/
Author: Фаддеев Л.Д. Славнов А.А.
Tags: анализ физико-математические науки физика квантовая теория поля квантовая физика
ISBN: 5-02-013755-3
Year: 1988
Text
Л. Л. СЛЛВНОВ, Л. Д. ФАДДЕЕВ
ВВЕДЕНИЕ
В КВАНТОВУЮ
ТЕОРИЮ
КАЛИБРОВОЧНЫХ
ПОЛЕЙ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1988
БЕК 22 161
С 47
УДК 517
С л а в н о в А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую
теорию калибровочных полей.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988,— 272 с.
Дается формулировка квантовой теории поля в терминах кон-
континуального интеграла. Излагается общий метод квантования не-
голономпых систем и на его основе строится схема квантования
калибровочно инвариантных теорий поля. Формулируется инвари-
инвариантная процедура перенормировки калибровочных теорий. Обсуж-
Обсуждаются применения калибровочных полей в физике элементарных
частиц. Во втором издании книги (первое вышло в 1978 г.) добав-
добавлены разделы, посвященные калибровочным полям на решетке
и явно ковариантным методам квантования (BRS-квантование).
Расширены разделы, посвященные S-матрице и аномалиям в кван-
квантовой теории, а также внесен ряд других изменений и дополнений.
Ил. 30. Библиогр. 113 назв.
Рецензент члеп-корреспондент АН СССР Д. В. Ширков
С
1702050000-022
053@2)-88 *4"88
ISBN 5—02—013755
(О) Издательство «Hasna».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1978;
с изменениями, 1988
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 5
Предисловие к первому изданию 7
Глава I. Введение. Основы классической теории калиб-
калибровочных полей 9
§ 1. Основные понятия и обозначения 9
§ 2. Геометрическая интерпретация ноля Янга —
Миллса 18
§ 3. Динамические модели с калибровочными полями 23
Глава II. Квантовая теория в терминах континуально-
континуального интеграла 30
§ 1. Континуальный интеграл по фазовому простран-
пространству 30
§ 2. Континуальный интеграл в голоморфном пред-
представлении 38
§ 3. Производящий функционал для /У-матрицы в тео-
теории поля 44
§ 4. дУ-матрица как функционал на классических ре-
решениях 55
§ 5. Континуальный интеграл по ферми-полям .... 59
§ 6. Свойства континуального интеграла в теории воз-
возмущений 70
Глава III. Квантование поля Янга — Миллса 80
§ 1. Лагранжиан поля Янга — Миллса и специфика
его квантования 80
§ 2. Гамильтонова формулировка поля Янга — Мил-
Миллса и его квантование 83
§ 3. Ковариантные правила квантования и фейнманов-
ская диаграммная техника 100
§ 4. Взаимодействие с полями материи 113
Глава IV. Перенормировка калибровочных теорий . . . 125
§ 1. Примеры простейших диаграмм 125
§ 2. Л-операция и контрчлены 132
§ 3. Инвариантные регуляризации. Метод Паули —
Вилларса 13S
§ 4. Метод высших ковариантных производных 145
§ 5. Размерная регуляризация 153
1*
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 6. Калибровочные поля в решетчатом пространстве-
времени '62
§ 7. Обобщенные тождества Уордн 171
§ 8. Структура перенормированного действия .... J82
§ 9. Перенормированная ^-матрица 198
§ 10. ^-матрица в ковариантном формализме 207
§ 11. Аномальные тождества Уорда 215
Глава V. Некоторые приложения и заключение . ... 228
§ 1. Объединенные модели слабых и олектромапшт-
ных взаимодействий 228
§ 2. Асимптотическая свобода. Калибровочные теории
сильных взаимодействий 238
Литературные указания 252
Дополнение яри корректуре. Аномальный ком-
коммутатор закона Гаусса 257
Список литературы 264
Используемые обозначения 268
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
За десять лет, прошедшие с момента первого издания
этой книги, калибровочно инвариантные модели взаимо-
взаимодействий элементарных частиц превратились из привле-
привлекательной правдоподобной гипотезы в общепризнанную
теорию, подтвержденную экспериментом. Поэтому естест-
естественно, что к разработке методов теории калибровочных
полей было привлечено внимание подавляющего большин-
большинства специалистов по квантовой теории поля. К новым
интересным направлениям, возникшим за это время, от-
относятся формулировка калибровочных теорий па решетке,
исследование нетривиальных классических решений урав-
уравнений Янга — Миллса и квантование в их окрестности,
применение методов алгебраической топологии в теории
калибровочных полей. При подготовке второго издания
перед нами возникла трудная дилемма: значительно рас-
расширить книгу, включив в нее серьезное обсуждение этих
новых направлений, или в основном сохранить план, при-
принятый в первом издании. Мы остановились на втором вари-
варианте, поскольку, по нашему мнению, перечисленные выше
многообещающие направления до сих пор не приобрели
законченной формы. Кроме того, их изложение потребо-
потребовало бы от нас значительного расширения используемого
математического аппарата. Поэтому во втором издании
мы ограничились лишь теми дополнениями, которые ор-
органически связаны с основным содержанием первого из-
издания, а также внесли ряд усовершенствований, облегчаю-
облегчающих, как мы надеемся, чтение книги и делающих ее
более самосогласованной.
Мы пишем зто предисловие в тот момент, когда воз-
возникают надежды на построение более фундаментальной
основы теории элементарных частиц — теории суперструн.
Однако независимо от того, оправдаются ли эти на-
надежды, ясно, что теория калибровочных полей адекватно
описывает физику элементарных частиц при умеренных
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
энергиях. Кроме того, методы, которые используются в
полевой теории релятивистских струн, являются непосред-
непосредственным обобщением методов теории калибровочных по-
полей, которым посвящена эта книга. Поэтому мы считаем, что
ее переиздание будет полезным как для непосредствен-
непосредственных приложений уже сложившейся калибровочной тео-
теории, так и для поисков новых путей.
Москва — Ленинград
1986
А. А. Славное
Л. Д. Фаддеев
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Прогресс квантовой теории поля за последние 10 лет
в значительной мере связан с развитием теории полей
Янга — Миллса или, как их иногда называют, калибро-
калибровочных полей. Эти поля открывают новые возможности
для описания взаимодействий элементарных частиц в
рамках квантовой теории поля. Калибровочные поля
участвуют в большинстве современных моделей как
сильных, так и слабых и электромагнитных взаимодей-
взаимодействий. При этом возникает чрезвычайно привлекатель-
привлекательная перспектива объединения всех взаимодействий в одно
универсальное.
В то же время в современной монографической лите-
литературе поля Янга — Миллса освещены явно недостаточно.
Хотя с точки зрения общей квантовой теории поля теория
Янга — Миллса представляется довольно частной моделью,
она весьма специфична и методы, используемые в этой
теории, значительно отличаются от традиционных. Су-
Существующая монография Н. П. Коноплевой и В. Н. По-
Попова «Калибровочные поля» посвящена главным образом
геометрическим аспектам теории калибровочных полей и
недостаточно подробно освещает квантовую теорию по-
полей Янга — Миллса. Мы надеемся, что данная книга в
какой-то мере восполнит этот пробел.
Основным техническим методом и квантовой теории
калибровочных полей является меюд континуального ин-
интегрирования. Поэтому в данной книге уделяется боль-
большое внимание описанию этого альтернативного подхода
к квантовой теории поля. Мы старались изложить этот
метод достаточно последовательно и самосогласованно,
отправляясь от самых основ квантовой теории. Тем не
менее для более глубокого понимания книги желательно,
чтобы читатель был знаком с традиционным аппаратом
квантовой'теории, например, в объеме"первых четырех
глав книги Н. Н. Боголюбова и Д. В. Ширкова «Введе-
8 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
ние в теорию квантованных полей». В] частности, мы не
будем вдаваться в детали сопоставления диаграмм Фейн-
мана членам ряда теории возмущений и строгого обосно-
обоснования процедуры перенормировки на основе .R-операции.
Эти вопросы не специфичны для теории Янга — Миллса
и подробно освещены в упомянутой выше монографии.
Журнальная литература, посвященная полям Янга —
Миллса, весьма обширна, и мы не собираемся делать
сколько-нибудь полный ее обзор. Наша цель — познако-
познакомить читателя с методами квантовой теории Янга — Мил-
Миллса. При этом мы не будем обсуждать альтернативные
подходы к этой теории, а изложим подробно тот подход,
который нам представляется наиболее простым и естест-
естественным. Приложения, которые мы затрагиваем в книге,
носят характер иллюстраций и не являются последним
словом в применении полей Янга — Миллса к моделям
элементарных частиц. Мы делаем это сознательно, так
как феноменологические аспекты калибровочных теорий
быстро развиваются и изменяются. В то же время техника
квантования и перенормировки полей Янга — Миллса яв-
является относительно установившейся. Именно этим воп-
вопросам и посвящена в основном наша книга.
Мы благодарны нашим коллегам по Математическому
институту им. В. А. Стеклова в Москве и в Ленинграде
за многочисленные полезные обсуждения проблем, за-
затронутых в этой книге.
Мы хотели бы особенно поблагодарить О. И. Завьяло-
Завьялова и Д. В. ТПиркова, прочитавших рукопись и сделавших
много полезных замечаний, и Э. Ш. Егорьяна за помощь
в проверке формул.
Москва — Ленинград — Кировск
1977
А. Славное, JIt Фаддеев
Глава I
ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ
§ 1. Основные понятия и обозначения
Теория калибровочных полей в настоящее время явля-
является общепризнанной теоретической основой физики эле-
элементарных частиц.
Действительно, наиболее детально разработанная мо-
модель теории поля — квантовая электродинамика, явля-
является частным случаем калибровочной теории.
Далее, модели слабых взаимодействий получили эле-
элегантную и последовательную формулировку в рамках ка-
калибровочных теорий. Феноменологическое четырехфер-
мионное взаимодействие заменилось взаимодействием
с промежуточной векторной частицей — квантом поля
Янга — Миллса. Согласование экспериментальных дан-
данных с требованием калибровочной инвариантности привело
к предсказанию слабых нейтральных токов и новых
квантовых чисел для адронов.
Феноменологические кварковые модели сильных вза-
взаимодействий также получают наиболее естественное обо-
обоснование в рамках калибровочной теории, называемой
квантовой хромодинамикой. Эта теория дает уникальную
возможность описать в рамках квантовой теории поля яв-
явление асимптотической свободы. С ней же связываются
надежды на объяснение удержания кварков, хотя этот
вопрос пока не очень ясен.
Наконец, при расширенном толковании принципа ка-
калибровочной инвариантности гравитационное взаимодей-
взаимодействие также укладывается в общую схему полей Янга —
Миллса.
Таким образом, возникает возможность объяснения
на основе единого принципа всей иерархии существующих
в природе взаимодействий. Дискредитированный в свое
время термин «единая теория поля» приобретает новое,
реальное звучание в теории калибровочных полей.
В формировании этой картины приняло участие боль-
большое количество исследователей. Упомянем несколько клю-
ключевых дат.
10
ГЛ. Т. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
В 1953 году Ч. Н. Янг и Р. Миллс впервые обобщили
принцип градиентной инвариантности взаимодействия элек-
электрических зарядов на случай взаимодействия изоспинов.
В их работе было введено векторное поле, получившее
впоследствии название поля Янга — Миллса, и в рамках
классической теории поля развита его динамика.
В 1967 году Л. Д. Фаддеевым и В. Н. Поповым и
Б. Де Виттом была построена последовательная схема
квантования безмассовых полей Янга — Миллса. В том
же году С. Вайнберг и А. Салам независимо друг от дру-
друга предложили объединенную калибровочную модель сла-
слабых и электромагнитных взаимодействий, в которой элек-
электромагнитное поле и поле промежуточного векторного ме-
мезона объединялись в мультиплет полей Янга — Миллса.
Эта модель основывалась на механизме появления массы
векторных мезонов в результате спонтанного нарушения
симметрии, предложенном ранее П. ХиггсомиТ. Кибблом.
В 1971 году Г.'т Хоофт показал, что общие методы
квантования безмассовых полей Янга — Миллса практи-
практически без изменения переносятся на случай спонтанно
нарушенной симметрии. Тем самым была открыта воз-
возможность построения последовательной квантовой теории
массивных векторных полей, столь нужных для теории
слабых взаимодействий и, в частности, для модели Са-
лама — Вайнберга.
К 1972 году было в основном закончено построение кван-
квантовой теории калибровочных полей в рамках теории воз-
возмущений. В работах А. А. Славнова, Дж. Тейлора, Б. Ли
и Ж. Зин-Жюстена, Г. 'т Хоофта и М. Вельтмана были
развиты различные методы инвариантной регуляриза-
регуляризации, получены обобщенные тождества Уорда и построена
процедура перенормировки ряда теории возмущений. Ото
привело к построению конечной и унитарной матрицы
рассеяния для поля Янга — Миллса.
С этого времени началось бурное развитие теории ка-
калибровочных полей как в чисто теоретическом, так и в
феноменологическом аспектах.
Результатом этого развития явилось создание после-
последовательной теории слабых и электромагнитных взаимо-
взаимодействий, основанной на модели Вайнберга — Салама,
а также успешное описание адронных процессов в области
асимптотической свободы, где применима теория возму-
возмущений.
В чисто теоретическом плане установлены глубокие
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
И
связи калибровочных теорий с дифференциальной геомет-
геометрией и топологией.
В настоящее время основные усилия направляются
на создание вычислительных методов, не связанных с
разложением по константе связи. На этом пути появля-
появлялись перспективные направления, с которыми связыва-
связывались большие надежды. Однако пока эти надежды пол-
полностью не реализовались. Сюда относятся квантование
в окрестности нетривиальных классических решений —
инстантонов, расчеты на больших компьютерах в рамках
решеточного приближения, использование методов тео-
теории фазовых переходов, разложение по обратным сте-
степеням числа цветов и ряд других методов.
Развиваются также комбинированные подходы, в ко-
которых сочетается использование квантовой теории калиб-
калибровочных полей с дисперсионной техникой (правила сумм).
Одним словом, интенсивная работа по развитию теории
калибровочных полей продолжается.
После этого краткого исторического обзора перейдем
к описанию самого поля Янга — Миллса. Для этого нам
придется напомнить некоторые обозначения из теории
компактных групп Ли. Точнее, нас будут в основном
интересовать алгебры Ли этих групп. Пусть Q — компакт-
компактная полупростая группа Ли, т. е. компактная группа, не
имеющая инвариантных коммутативных (абелевых) под-
подгрупп. Число независимых параметров, характеризую-
характеризующих произвольный элемент группы (размерность), равно п.
Среди представлений этой группы и ее алгебры Ли
существует представление матрицами пХп (присоединен-
(присоединенное представление). Оно порождается естественным дейст-
действием группы на саму себя преобразованиями подобия
h -+ (o/kiT1; h, шёЙ. A.1)
Любая матрица Ж в присоединенном представлении ал
гебры Ли может быть представлена в виде линейной ком-
комбинации п генераторов
Ж = Тааа. A.2)
Для нас важно, что генераторы Та можно нормировать
условием
tr (ТаТь) = -28аь. A.3)
В этом случае структурные константы tabc, участвующие
в условии
[г, тъ\ = еЬст% A.4)
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
полностью антисимметричны. Читатель, незнакомый с те-
теорией групп Ли, может запомнить лишь эти два соотно-
соотношения, которые на самом деле являются характеристи-
характеристическим свойством компактной полупростой группы Ли.
Компактная полупростая группа называется простой,
если она не имеет инвариантных подгрупп Ли. Полу-
Полупростая группа общего вида является произведением
простых групп. Это значит, что матрицы алгебры Ли в
присоединенном представлении имеют блочно-диагональ-
ную форму, где каждый блок отвечает одному из про-
простых сомножителей. Генераторы группы можно выбрать
таким образом, что каждый из них будет иметь отличные
от нуля матричные элементы только внутри одного из
блоков. Мы всегда будем иметь в виду именно такой вы-
выбор генераторов, согласованный со структурой прямого
произведения.
Простейшим примером такой группы является про-
простая группа SU B). Размерность этой группы 3, алгебра
Ли в присоединенном представлении задается антисим-
антисимметричными матрицами 3 X 3; в качестве генераторов
можно выбрать матрицы
/О 0 0\ / 0 0 1\ /0 —1 0\
711=@ 0 —1 ; Т2 = \ 0 0 0 ; Т3 = \1 О О
\0 1 О/ \—1 0 0/ \0 0 0у
A.5$
структурные константы tabc в этом базисе совпадают с
полностью антисимметричным тензором гаЬс.
Помимо полупростых компактных групп, мы будем рас-
рассматривать также коммутативную (абелеву) группу U A).
Элементами этой группы являются комплексные числа,
по модулю равные единице. Алгебра Ли этой группы
одномерна и образована мнимыми числами, или вещест-
вещественными антисимметричными матрицами 2x2.
Поле Янга — Миллса можно ассоциировать с любой
компактной полупростой группой Ли. Оно задается век-
векторным полем Лу, (х), принимающим значения в алгебре
Ли этой группы. Удобно считать Л^ (х) матрицей в присо-
присоединенном представлении этой алгебры. В этом случае
оно определяется своими коэффициентами А%, (х)
А„ (х) = Al (x))Ta A.6)
по отношению к базису генераторов Та,
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
13
Аналогичным объектом в случае группы U A) являет-
является электромагнитное поле Лц, (х) = iA^ (x).
Перейдем к определению калибровочной группы и ее
действия на поля Янга — Миллса. В случае электроди-
электродинамики калибровочное преобразование — это хорошо зна-
знакомое градиентное преобразование
Л» (х) -> А» (х) + гЗцА (х). A.7)
Напомним его происхождение в рамках классической те-
теории поля. Электромагнитное поле взаимодействует с
заряженными полями, которые описываются функциями
\|з (х), принимающими комплексные значения. В уравне-
уравнения движения поле А^ (х) всегда входит в комбинации
Vv$ = (dll-All)q=:(dllL-iAllL)$. A.8)
Указанное выше градиентное преобразование обеспечи-
обеспечивает ковариантность этой комбинации по отношению к
фазовому преобразованию полей г|э. Если ф преобразует-
преобразуется по закону
$(х) -> е*Щ_(х),
У(х)^е-*Ыур(х) ( '
то так же преобразуется и V^. Действительно,
(д„ -Лу)Ц-+ [д» - гд^ (х) - А„(х))e*K*>i|)(х) =
A.10)
В результате уравнения движения также ковариантны
по отношению к преобразованиям A.7), A.9); если пара
г|> (х), о4ц (х) является решением, то'и еа(х>г|э (х), jlp, (x) +
4- гдцК (х) — тоже решение.
Другими словами, локальное изменение фазы поля
г|5 (х), которую можно считать координатой в зарядовом
пространстве, эквивалентно появлению дополнительного
электромагнитного поля. Мы усматриваем здесь полную
аналогию со слабым принципом эквивалентности теории
тяготения Эйнштейна, где изменение системы отсчета
приводит к появлению дополнительного гравитационного
поля.
Развивая далее эту аналогию, можно сформулировать
принцип относительности в зарядовом пространстве, впер-
впервые введенный Г. Вейлем в 1929 году: полевые конфигу-
конфигурации г|э (х), -Ар, (х) и г|з (х) еад, Л^ (х) + id^X (x) описы-
описывают одну и ту же физическую ситуацию, Е)сли положить
14
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
этот принцип в основу построения теории, то описанная
выше конструкция уравнений движения с помощью ко-
вариантных производных является единственно возможной.
Обобщение] этого принципа на случай более сложного
зарядового пространства приводит к теории Янга — Мил-
лса. Примерами таких зарядовых, или, как их иногда
называют, внутренних пространств, являются изотопи-
изотопическое пространство, пространство унитарного спина в
теории адронов и т. д. Во всех этих примерах мы имеем
дело с полями г|5 (х), принимающими значения в зарядо-
зарядовом пространстве, которое само является пространством
представления некоторой компактной полупростой группы
Q (SU B), SU C) и т. д.). В уравнениях движения для
полей ф (х) участвует ковариантная производная
Vn = dp, — Г(Лц), A.11)
где Г (А») —представление матрицы Ац, соответствующее
данному представлению группы Q. Например, если Q =
= SU B) и зарядовое пространство отвечает его двумер-
двумерному представлению, то упомянутые выше генераторы Та
представляются матрицами Паули
л
-n /rnd\ L a
2i
A.12)
где
и в этом случае
t\ ,_
A.14)
Преобразование полей г|5 (х), аналогичное локальному
фазовому преобразованию в электродинамике, имеет вид
т|> (х) -*¦ г|5ю (х) = Г [со (х)] г|5 (х), A.15)
где со (х) — функция х со значениями в группе Q. Удобно
считать о) (х) матрицей в присоединенном представлении
группы Q. Производная A.11) будет ковариантна по отно-
отношению к этому преобразованию, если поле Л^ (х) пре-
преобразуется по закону
«Л (х) - ¦- Al (х) = со (х) А^ (х) со (х) + Эцсо (х) со (х). A.16)
Нетрудно убедиться, что это преобразование удовлетво-
удовлетворяет групповому закону. Множество этих преобразова-
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ 15
ний образует группу, которую можно формально обо-
обозначить как
Й = Дй. С1-17)
X
Эта группа называется группой калибровочных преоб-
преобразований.
Часто удобно иметь дело с инфинитезимальной фор-
формой калибровочного преобразования. Пусть матрицы
со (х) бесконечно мало отличаются от единичной:
со (х) = 1 + а (х) = 1 + аа (х) Г, A.18)
где а (х) принадлежит алгебре Ли группы Q.
Тогда изменение Л^ при таком преобразовании имеет
вид
или, в компонентах,
8А1 =
tabcA\ac
A.20)
Соответствующее преобразование для \|) имеет вид
6ф = Г (а) г!>. A.21)
Ясно, что группа градиентных преобразований электроди-
электродинамики является частным случаем калибровочной группы.
Существование ковариантных производных позволяет
динамически реализовать принцип относительности во
внутреннем пространстве: полевые конфигурации г|э (х),
Лу, {х) и Г [со (х)] i|) (x), A'l (х) описывают одну и ту же
физическую ситуацию. Положив в основу построения ди-
динамики этот принцип, мы автоматически придем к теории
Янга — Миллса.
Принцип относительности означает, что истинной фи-
физической конфигурации соответствует не один набор полей,
а целый класс калибровочно эквивалентных конфигура-
конфигураций. Более наглядно он утверждает, что во внутреннем
зарядовом пространстве не существует выделенного фик-
фиксированного базиса, относительно которого физические
поля материи ty представляются в виде набора г|э = (фц . .•
. . ., г|;т). Такой базис можно вводить локально в каждой
точке пространства-времени, однако нет физической при-
причины для фиксации его расположения. Локальное изме-
изменение базиса интерпретируется как изменение калибро-
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ: ТЕОРИИ
вочного поля, играющего роль, аналогичную гравитацион-
гравитационному или электромагнитному полям.
Принцип относительности приводит к значительному
формальному отличию в описании динамики калибровоч-
калибровочных полей по сравнению с более привычными полями,
такими, например, как самодействующее скалярное поле.
Чтобы практически работать с классами эквивалентных
конфигураций, их надо как-нибудь параметризовать, т. е.
выбрать однозначных представителей в каждом классе.
Обычно этого достигают, наложив дополнительное ус-
условие, уничтожающее калибровочный произвол. Это до-
дополнительное условие называют калибровочным условием
или просто калибровкой. Наиболее употребительными ка-
калибровками являются условия:
ф?, = д^Ац = 0 (лоренцева калибровка),
Фс == дкАк = О (кулоновская калибровка),
фя = Ао = 0 (гамильтонова калибровка), A.22)
ФА = As = 0 (аксиальная калибровка).
Для общей системы, включающей как поля А», т&к и по-
поля ty, последние могут входить в калибровочное условие.
Примеры таких условий мы приведем ниже в § 3.
В общем виде калибровочное условие Ф(А,\р;х)
представляет собой семейство функционалов от Ау, и ф
по одному для каждого х. При фиксированном х Ф (А,
\|); х) представляет собой элемент алгебры Ли группы Q,
так что число независимых калибровочных условий сов-
совпадает с размерностью калибровочной группы. В приме-
примерах A.22) все условия имеют именно такой вид. Кроме
того, в этих примерах калибровочные условия локальны,
т. е. Ф (A, \J); x) зависит от значений А у, и ф в окрестнос-
окрестности точки х.
Обсудим требования, которым должны удовлетворять
калибровочные условия. Важнейшее из них состоит в том,
что система уравнений
Ф (Ли, \|)ю; х) = 0 A.23)
при фиксированных Ау, и г|5 имеет однозначное решение
со (х). Это требование означает, что в каждом классе экви-
эквивалентных полей действительно содержится единственный
набор полей А^, ty, удовлетворяющий условию A.23).
Этот набор, взятый в качестве представителя класса, од-
однозначно характеризует истинную физическую конфигу-
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
17
рацию. Менее принципиальное, но практически важное
требование состоит в том, что уравнение A.23) не должно
быть слишком сложным и давать достаточно явное реше-
решение со (х), хотя бы в рамках теории возмущений.
Уравнение A.23) представляет собой систему нели-
нелинейных уравнений относительно со (х). Для локальных
калибровочных условий это будет нелинейная система
дифференциальных уравнений в частных производных.
Например, для лоренцевой калибровки эта система урав-
уравнений выглядит следующим образом:
им- ч IX м-' м- м- и. ^24 j
и для малых Ау, и а (х) переписывается в виде
A.25)
где точками обозначены члены более высокого порядка по
а. Уравнение A.25) однозначно разрешимо относительно а
в рамках теории возмущений, если оператор Ц = д^д^
снабдить подходящими граничными условиями. Такие
граничные условия возникают в процессе описания дина-
динамики полей Янга — Миллса и будут обсуждаться в гл. III.
В то же время, вне рамок теории возмущений для больших
полей Ац, единственность решения уравнения A.24) мо-
может пропасть. Обсуждение этой возможности выходит за
рамки этой книги.
Необходимым условием разрешимости уравнений A.23)
является невырожденность соответствующего якобиана.
Вариация калибровочного условия при бесконечно малом
калибровочном преобразовании а задает линейный опе-
оператор Мф, действующий на а:
а
6Ф1
и играющий роль матрицы якобиана условия A.23). Не-
Невырожденность оператора Мф
detA/ф^О A.27)
и является необходимым условием однозначной разре-
разрешимости A.23).
18
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Для локальных калибровочных условий Мф является
дифференциальным оператором, получающимся при ли-
линеаризации уравнения A.23). Например, для лоренцева
калибровочного условия МФь = ML имеет вид
MLa = [Ja-dlJi[AlJi,a]. A.28)
Этот оператор однозначно обратим в рамках теории воз-
возмущений, если дополнить его граничными условиями.
Как мы уже говорили, такие условия будут обсуждаться
в гл. III.
Уместно пояснить смысл определителя дифференциаль-
дифференциального оператора ML. Представим ML в виде
lil^,-}), A-29)
где QJ — интегральный оператор — функция Грина, од-
однозначно определяемая после введения граничных усло-
условий. Таким образом ML представляется в виде произве-
произведения оператора Ц, не зависящего от Ау,, и оператора ви-
вида I + К, где К — оператор Фредгольма. В качестве
определителя оператора Mr, мы возьмем det (I + К), ко-
который можно формально ввести с помощью формулы
In det (I + К) = Тг In (I + К). A.30)
Условие A.27) будем называть условием допустимос-
допустимости калибровочного условия; оно неоднократно будет об-
обсуждаться в дальнейшем.
§ 2. Геометрическая интерпретация поля Янга — Миллса
Описанная выше конструкция допускает красивую
геометрическую интерпретацию, при которой поля Ян-
Янга — Миллса играют роль, аналогичную символам Крис-
тоффеля в теории тяготения. Подобно последним поля
Янга — Миллса описывают параллельный перенос в за-
зарядовом пространстве и определяют кривизну этого про-
пространства. При этом поля \J) (х) являются аналогами тен-
тензорных полей.
Естественный геометрический язык для описания этой
аналогии дает теория расслоенных пространств. Полю
Янга — Миллса в этой теории соответствует понятие связ-
связности в главном расслоении. Хотя теория расслоенных
пространств дает наиболее адекватный язык для аксио-
аксиоматизации классической теории поля, в этой книге, рас-
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
19
считанной главным образом на читателя-физика, мы не
будем им пользоваться. Отметим только, что общее поня-
понятие связности, эквивалентное полю Янга — Миллса, по-
появилось в математической литературе лишь в 1950 го-
году, т. е. почти одновременно с работой Янга и Миллса.
Поясним теперь, в каком смысле поля Янга — Мил-
Миллса задают параллельный перенос. Пусть у (s) — контур
в пространстве-времени, задаваемый уравнением
Ч = х„ (s). B.1)
Векторное поле у (s) с компонентами
dx.,
Х,, = ^- B,21
as ^ '
является касательным к кривой у (s) в каждой ее точке.
Будем говорить, что поле г|5 (х) параллельно переносится
вдоль у (s), если в каждой точке контура
= 0,
B.3)
т. е. ковариантная производная в касательном направле-
направлении равна нулю.
При параллельном переносе вдоль замкнутого контура
поле г|5 (х), вообще говоря, изменяется. Вычислим это из-
изменение для бесконечно малого контура. Рассмотрим кон-
контур, имеющей вид параллелограмма с вершинами
(х, х + Агх, х -f- Ахх + Агх, х + А2х).
Нетрудно убедиться, что если ковариантная произ-
производная вдоль контура равна нулю, то полное изменение
¦ф (х) при обходе этого контура равно
А12-ф (х) = Г (f,^) a|5 (A^AjjZv — A^vA^), B.4)
где
fnv = dvJ,lx — d(lJ,v + [J,il,,J,v]. B.5;
Действительно, поскольку ковариантная производная
вдоль стороны (х, х -|- Ахх) равна нулю, приращение г|) (х)
при изменении х вдоль первого контура равно
Ахч|) (х) = г|5 (х + Агх) —Цр(х)= дцфД^ц =
= Г (Лц) ур (х) АЛ. B.6)
Проделав аналогичные выкладки для других сторон па-
параллелограмма и пользуясь тем, что Г (>Ап) линейно за-
зависит от Лу, и [Г (Лм), Г (ЛгI = Г (Ыц, Av\), получаем,
20
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
что полное изменение ф (х) выражается формулой B.4).
Эта формула показывает, что $$.<, естественно назвать
кривизной зарядового пространства.
При калибровочных преобразованиях Аф (х) меняется
так же, как ф (х). Это следует из того, что при построении
Дг|; (х) мы использовали только ковариантную производ-
производную. Тогда из формулы B.4) видно, что Г {f^v (#)) пре-
преобразуется по закону
Г (f»v (х)) -> Г (со (х)) Г (f^ (*)) Г ((о (х)). B.7)
Тем самым само f^v (x) при калибровочных преобразова-
преобразованиях преобразуется так:
f
(х) со г (х).
B.8)
Если согласиться называть т|э (х) вектором относительно
калибровочных преобразований, то Г (f^v (х)) является
тензором второго ранга. Само же <$ ^ (x) иногда удобно
считать вектором в присоединенном представлении.
Наш косвенный вывод формулы B.8) подтверждается
прямой проверкой, если воспользоваться явным выраже-
выражением для f рд, {х) через А^ (х) B.5) и законом преобразо-
преобразования Ау. (х) A.16). На этом мы заканчиваем краткое
описание геометрического смысла полей Янга — Миллса:
они описывают параллельный перенос векторов в зарядо-
зарядовом пространстве, а тензор ^Гцд> {%) является тензором
кривизны этого пространства. Читатель, знакомый с тео-
теорией тяготения, теперь уже, без сомнения, убедился в пол-
полной аналогии между А^ (х) и символами Кристоффеля
и Fnv (х) и тензором кривизны гравитационного поля.
Чтобы завершить эту аналогию, укажем, что тензор
f рд, (х) является коммутатором ковариантных производ-
производных
^v(*) = [V^,VV] B.9)
и тождество Якоби
[[^ц- vvb ^а] 4- циклическая перестановка = 0 B.10)
приводит к тождеству
V<j,f nv (х) + циклическая перестановка = 0, B.11)
где Ve.f ^ (х) = дЛ^ (х) - \.Ла (х), f»v (x)], которое
является аналогом тождества Бъянкц в теории тяготения.
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
21
Аналогичное рассмотрение можно провести и в случае
абелевой группы U A). В этом случае
(х) = дуЛ^ (х) - д^Лу (х) = i
), B.12»
что, очевидно, совпадает с тензором напряженности элект-
электромагнитного поля. Трактовка f ^ (х) как кривизны в за-
зарядовом пространстве, идущая от В. Фока и Г. Вейля,
представляет собой наиболее естественный подход к гео-
геометризации электромагнитного поля. Многочисленные по-
попытки связать это поле с геометрическими свойствами са-
самого пространства-времени никогда не имели успеха.
В заключение этого параграфа скажем несколько слов
о классической динамике поля Янга — Миллса. Наша
задача — построить калибровочно-инвариантную функ-
функцию Лагранжа, совпадающую в случае абелевой группы
U A) с лагранжианом электромагнитного поля
где Хм описывает калибровочное инвариантное взаимо-
взаимодействие полей Ац (х) и \р (х) и получается из свободного
лагранжиана полей ф заменой обычных производных на
ковариантные, а е играет роль электрического заряда.
Эту формулу легко переписать в более привычном виде,
если изменить нормировку полей
d (т\ • =». 4> d (т\ (О 4Л\
В этом случае множитель е~2 исчезает И8 первого сл?»>
гаемого, но зато появляется в выражении для ковариант-
ной производной
В дальнейшем мы будем пользоваться обоими способами
нормировки поля Ац (х), не оговаривая это особо.
Естественным (и единственным) обобщением формулы
B.13) на случай простой неабелевой калибровочной груп-
пы является
1
Первое слагаемое можно переписать также в виде
со _J_ pi pa
B.15)
B.16)
22
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
где Ffiv [х) — компоненты матрицы f ^v (x) по отноше-
отношению к базису Та. Очевидно, что этот лагранжиан инва-
инвариантен относительно калибровочных преобразований
A.15), A.16). В случае полупростой группы общего вида
лагранжиан содержит г произвольных констант gt, i —
= 1, . . ., г, где г — число инвариантных простых сомно-
сомножителей. В этом случае формула, аналогичная B.16), при-
принимает вид
где i — номер простого сомножителя.
В отличие от электродинамики, лагранжиан B.16)
поля Янга — Миллса в пустоте (т. е. при отсутствии по-
полей т|э) содержит наряду с квадратичными по полям члена-
членами также и члены более высокой степени. Это означает,
что поля Янга — Миллса имеют нетривиальное самодей-
самодействие. Другими словами, кванты поля Янга — Миллса
сами обладают зарядами, взаимодействие которых они
переносят. Основная специфика динамики поля Янга —
Миллса связана именно с этим самодействием, так что
ниже при рассмотрении общих вопросов мы часто будем
ограничиваться моделью поля Янга — Миллса в пустоте.
Уравнения движения, возникающие из лагранжиана
B.16) для поля Янга — Миллса в пустоте, имеют вид
V№.f iiv = dfSду - [Лц, fw] = 0 B.18)
и, будучи записанными через Лц,
? dv — dvdnA + [Л», (dvA - 0цЛу + Мц> -Л„])] -
представляют собой систему уравнений второго порядка.
Эти уравнения калибровочно-инвариантны в следующем
смысле: если Лц — решение B.19), то Л^ — также ре-
решение для произвольной со (х). Это означает, что стан-
стандартная параметризация решений через начальные
данные (Лц (х, t), дпЛц (х, t) при фиксированном t) для
системы B.19) непригодна. После наложения калибровоч-
калибровочного условия это препятствие устраняется, однако на-
начальные данные уже не произвольны, а связаны калибро-
калибровочными условиями.
Модели взаимодействия поля Янга — Миллса с поля-
полями материи будут рассмотрены в следующем параграфе.
§ 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 23
§ 3. Динамические модели с калибровочными нолями
Проще всего выглядит лагранжиан, описывающий
взаимодействие поля Янга — Миллса со спинорными по-
полями. Пусть мультиплет спинорных полей \рк (х) реали-
реализует представление Г (ю) простой компактной калибровоч-
калибровочной группы Q. Тогда лангранжиан имеет вид
= X
ym
ty (ж)
(х) - ппр (х) г|з (х). C.1)
Здесь мы используем следующие обозначения: Хум —
это уже знакомый нам лагранжиан поля Янга — Миллса
в пустоте:
1
&YM =
f a
C.2)
В скалярном произведении двух спиноров подразуме-
подразумевается суммирование по индексам, отвечающим внутрен-
внутренним степеням свободы, например, массовый член можно за-
записать в виде
(ж) т|з (х) = m-tyк (х) %. (х).
Далее
^ (х)I: = д^ (х) -
C.3)
(х), C.4)
где (Г {Л„))ы = Al (Г (Та))ш и матрица (Г (Та))ы, ко-
которую в дальнейшем будем обозначать просто Ты, есть
матрица генератора Та в представлении, реализуемом
полями тр (х). Тогда
* (ж) Тд^ф (х) = %. (х) Т|1 (д„% (х) - А1 (х) Т1^г (х)). C.5)
Например, пусть калибровочная группа Q = SU B),
а поля ур (х) реализуют фундаментальное представление
этой группы. Тогда
где ха — матрицы Паули, и полный лагранжиан имеет
вид
+ ~
C.7)
24
ГЛ. Т. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Для случая, KoiTjaj калибровочная группа определяется
группой SU C), а спиноры \|з (х) реализуют ее фундамен-
фундаментальное (спинорное) представление, аналогичный лагран-
лагранжиан имеет вид
где fa
рицы
be
о
1
о
-'О
о
\1
о
о
о
структурные константы группы SU C), а мат-
мат— хорошо известные матрицы Гелл-Манна
C.9)
Перенормировкой полей
(х)
C.10)
лагранжианы C.7), C.8) приводятся к более привычному
виду, где g входит только во взаимодействие.
Последний лагранжиан используется, например,
в теории сильных взаимодействий. При этом спиноры т|э
отождествляются с полями кварков, поля Янга—Миллса
называют глюонами, а внутреннее пространство в этом
случае называют пространством цветов.
Уравнения движения квантовой хромодинамики в пе-
переменных C.10) имеют вид
+ * -f"
> = 0,
C.12)
C.13)
В рассмотренных выше примерах, когда калибровоч-
калибровочная группа простая, все взаимодействия характеризуются
одной константой связи. Такая универсальность взаимо-
§ 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
25
действия является характерной особенностью теории Ян-
Янга — Миллса.
Следующий полезный пример — взаимодействие поля
Янга — Миллса со скалярным полем. Пусть мультиплет
скалярных полей щ (х) реализует вещественное представ-
представление Г (ю) простой компактной группы Q. Тогда калиб-
ровочно-инвариантный лагранжиан имеет вид
= %ym +
- ~ Фф - V (ф), C.14)
где ковариантная производная У
и выше,
- Г
строится так же, как
и) ф, C.15)
ФФ, как и прежде, обозначает скалярное произведение в
зарядовом пространстве, а V (ф) — инвариантная по от-
отношению к группе Q форма третьей и четвертой степени
по полям ф.
В случае, если Q = SU B), а поля ф реализуют при-
присоединенное представление ф = фа, с = 1, 2, 3, соответ-
соответствующая формула принимает вид
1 к т2
C.16)
где параметры т и Я,2 играют роль массы и константы
контактного взаимодействия скалярных полей. Сам по
себе лагранжиан C.16), по-видимому, мало интересен
для физических приложений, однако его незначительная
на первый взгляд модификация приводит к чрезвычайно
интересной возможности описания массивных векторных
полей в рамках теории Янга — Миллса. Этот механизм
появления массы векторного поля называется эффектом
Хиггса. К его обсуждению мы сейчас и перейдем.
Будем продолжать использовать п качестве примера
калибровочную группу SU B). Рассмотрим сначала слу-
случай, когда скалярное поле принадлежит присоединенному
представлению. В качестве функции Лагранжа возьмем
4
СО ср i_ /T7 гг,а\2 ) 2 /г[\агг\а ..2\2 /Ч А 7\
Этот лагранжиан отличается от рассматривавшегося ра-
ранее лагранжиана C.16) постоянным слагаемым —А,2^4
и знаком квадратичного по ф члена. На первый взгляд
20
ГЛ. I. ВВЕДЕНИИ. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
лагранжиан C.17) описыиает частицы мнимой массы и по-
отому не имеет физического смысла. Однако такой вывод
поспешен. Квадратичное по ф слагаемое играет роль массы
только в том случае, если ф = 0 является положением
устойчивого равновесия, т. е. минимумом потенциальной
энергии. В нашем случае потенциальная энергия имеет
вид
U (Лд, Ф) =
а — y?f] dax, i,k = 1,2,3,
C.18)
и конфигурация ц>а = 0, А% = 0 является седловой точ"
кой. Соответствующее положение равновесия неустой"
чиво. Однако существуют и устойчивые положения равно"
весия; ими являются конфигурации, отвечающие нулевым
4д и постоянным ф, имеющим фиксированную длину
Ф2 = ц,2. Такие JL^., ф обращают в нуль все три положи-
положительных слагаемых, из которых состоит потенциальная
энергия. (Заметим, что помимо этих конфигураций ми-
минимумами, разумеется, являются и конфигурации, полу-
получающиеся из них в результате калибровочного преобра-
преобразования. Однако в силу принципа относительности эти
конфигурации не содержат новой физической информации,
и мы их рассматривать не будем.)
Помимо этих трансляционно инвариантных минимумов
потенциальная энергия имеет и другие, отвечающие, на-
например, монополям 'т Хоофта — Полякова. Однако зна-
значения энергии для этих конфигураций выше, так что они
являются лишь локальными минимумами.
Для того чтобы определить настоящие массы, нужно
разложить потенциальную энергию в ряд Тейлора в ок-
окрестности истинного минимума. В нашем случае положе-
положение равновесия вырождено. Минимальные конфигурации
образуют двумерную сферу S2, точки которой соответст-
соответствуют направлениям постоянного вектора ф. Эти направ-
направления будем обозначать буквой п и соответствующие ф
снабжать индексом п, так что ф„ = цп. Вырождение сни-
снимается, если мы сузим пространство конфигураций и бу-
будем рассматривать лишь поля ф, асимптотически при
больших | х | совпадающие с одним из фи. Такой выбор
разрушает, разумеется, инвариантность относительно пре-
преобразований SU B) с постоянными параметрами (изото-
(изотопическую инвариантность). Можно убедиться, что это
§ з. Динамические модели
27
условие не противоречит динамике и что теории, отвечаю-
отвечающие различным выборам фп, физически эквивалентны. Чи-
Читатель, знакомый с теорией твердого тела, несомненно,
увидит здесь аналогию с теорией ферромагнетика, где для
формулировки теории приходится выбирать направление
вектора спонтанной намагниченности.
Выберем для определенности п направленным вдоль
третьей оси: п = @, 0, 1). Тогда соответствующий вектор
Ф„ равен @,0, ц).
Переход к полям ф (х) с нулевой асимптотикой на бес-
бесконечности
Ф (х) -»- <р„ + Ф (х) C.19)
делает нарушение изотопической симметрии явным,
и лагранжиан принимает вид
+ grn,
2 ^ * ' 2mx r VT ' 8m2 v
j»! = ng; m2 = 2f 2А,ц. C.20)
Хотя изотопическая инвариантность нами явно наруше-
нарушена, лагранжиан и граничные условия инвариантны отно-
относительно локальных калибровочных преобразований с
функциями о) (х), стремящимися к единице на бесконечно-
бесконечности. Приведем явный вид калибровочных преобразований
в новых переменных, ограничиваясь инфинитезимальными
преобразованиями
бфа (х) = — gsabc(fb (x) ас (х) - тугаасас (х). C.21)
Чтобы проанализировать спектр масс, порождаемый
лагранжианом C.20), необходимо выбрать представителей
в калибровочно эквивалентных классах полей Л^ (х),
Ф (х), т. е. фиксировать калибровку. Удобно в качестве
калибровочного условия выбрать
Ф1 (ж) = 0; ф2 {х) = 0; д^А3, (х) = 0. C.22)
Можно проверить, что для достаточно малых ф3 (х) усло-
условие допустимости выполнено. Действительно,
? a3 -
C.23)
28
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
и бф1*2 определяются формулой C.21). В результате опе-
оператор М, соответствующий нашей калибровке, имеет вид
«г). C.24)
О.З/
При малых ф детерминант оператора М представляется
в виде
det М = ml det Q+ О (ф). C.25)
Поскольку первое слагаемое отлично от нуля, в рам-
рамках теории возмущений det M Ф 0, и условие допустимо-
допустимости выполнено. %_
Выпишем теперь явно квадратичную форму, опреде-
определяющую спектр масс:
C.20)
Как видно, в классическом приближении наша теория
описывает два массивных векторных поля, одно безмас-
безмассовое векторное поле и одну массивную скалярную час-
частицу. Таким образом, действительно, два векторных поля
приобрели массу, зато из списка частиц пропали кванты
двух скалярных полей.
Нетрудно построить SU B) калибровочно-инвариант-
ную модель, в которой все три векторных поля приобре-
приобретают ненулевую массу. Для этого нужно рассмотреть муль-
типлет комплексных скалярных полей в двумерном (спи-
норном) представлении
¦J ш ф+==!(ф1) фг)- C-27)
Калибровочно-инвариантный лагранжиан имеет вид
- W (Ф+ф -
где
C.28)
C.29)
и калибровочное преобразование полей ф задается фор-
формулой
бФ (х) = -1- gTaaa (x) Ф (х). C.30)
§ 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
29
Так же, как и в предыдущем случае, устойчивый экстре-
экстремум отвечает постоянному ф, такому, что
ф+ф = (А2. C.31)
Мы видим, что в этом случае многообразие устойчивых
экстремумов является трехмерной сферой S3. Чтобы снять
вырождение, выберем в качестве минимума
) . C.32)
Можно проверить, что условие
Ф1 (х) = 0; Im ф2 (х) = 0 C.33)
является допустимой калибровкой. В этой калибровке
остается только одно скалярное поле
Re ф2 (х) ¦¦
1
Переходя к полям с нулевой асимптотикой на бесконеч-
бесконечности,
а (х) -> /2ц -I- а (х),
C.34)
получаем лагранжиан
оО —— /
4
g2-o*AaAa 8m*
32т2
О,
C.35)
описывающий взаимодействие трех массивных векторных
полей и одного массивного скалярного поля.
Описанный только что механизм будет использован
в дальнейшем для построения калибровочно-инвариантных
объединенных моделей слабых и электромагнитных взаи-
взаимодействий. На этом мы заканчиваем рассмотрение клас-
классической теории Янга — Миллса и переходим к его кван-
квантованию.
Глава II
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
В ТЕРМИНАХ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА
Существует несколько подходов к квантованию теории
поля. Наиболее часто используется операторный метод
квантования, при котором классическим полевым конфи-
конфигурациям соответствуют операторы, удовлетворяющие ка-
каноническим перестановочным соотношениям. Существует,
однако, и другой подход, в котором квантовая динамика
описывается континуальным интегралом — суммой по
всем полевым конфигурациям. При помощи этого подхода
Р. Фейнман впервые сформулировал последовательную
явно релятивистски инвариантную теорию возмущений
для квантовой электродинамики. Этот формализм оказы-
оказывается наиболее удобным для квантования калибровоч-
калибровочных полей, так как принцип относительности учитывается
в нем наиболее просто: следует интегрировать не по всем
полевым конфигурациям, а только по калибровочно эк-
эквивалентным классам.
В этой главе мы расскажем об общем формализме кон-
континуального интеграла. Применению зтого формализма
к калибровочным полям будет посвящена следующая глава.
§ 1. Континуальный интеграл по фазовому пространству
Мы начнем с того, что продемонстрируем основные
идеи метода континуального интеграла на примере нере-
нерелятивистской квантовой механики. Начнем со случая си-
системы с одной степенью свободы.
Пусть р и q -r- канонические импульс и координата
частицы (— оо<р<оо, — оо < g < со). При опера-
операторном квантовании им соответствуют операторы Р, Q,
для которых чаще всех употребляют две реализации —
координатную и импульсную. В координатном представ-
представлении эти операторы и их собственные функции имеют вид
Q ~
Р = -4-
I p> =
,i fix.
A.1)
§ 1. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ
31
Функции перехода из координатного представления в им-
импульсное и обратно даются формулами
Динамика системы описывается при помощи функции
Гамильтона h (p, q). В квантовой механике ей соответст-
соответствует оператор Гамильтона
= h(P, Q),
A.3)
где подразумевается определенный рецепт упорядочения
некоммутирующих операторных аргументов Р и Q. Мы
не будем здесь обсуждать общую проблему упорядочения
и вернемся к ней после того, как введем понятие конти-
континуального интеграла. Формальные рассуждения, которые
мы будем при этом использовать, не зависят от конкретно-
конкретного выбора упорядочения.
Для определенности будем использовать симметричный
способ упорядочения, впервые введенный Г. Вейлем.
При квантовании Вейля классической наблюдаемой
/ (Р» Я) сопоставляется оператор F = / (Р, Q) по следую-
следующему правилу. Рассмотрим двухпараметрическое семей-
семейство унитарных операторов
и (з, t) = «">«•*«* A.4)
и введем преобразование Фурье функции / (р, q):
/ (Р. ?) =
f
ds dt-
Тогда
A.6)
В координатном представлении ядро <д" | F | q") опера-
оператора / (Р, Q) дается формулой
q" IF10 --= 4
'' dp.
.7)
Для получения этого представления достаточно заметить,
что ядро оператора и (s, t) в координатном представлении
имеет вид
| и (.9,
.= охр
} б (Ч" - у' -|- s). A.8)
32
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Равенство A.8) легко вывести при помощи формулы Хаус-
дорфа
справедливой для произвольных операторов А, В, ком-
коммутатор которых пропорционален единичному оператору.
Развитие системы во времени определяется оператором
эволюции
\U (t\ t') = ехр {-Ш (t" — t')}. A.10)
Например, в шрёдингеровской картине, если в момент t'
система находилась в состоянии ЧГ', то в момент t" она ока-
окажется в состоянии
V = U (f, О Ч". A.11)
Будем вычислять матричный элемент оператора эволю-
эволюции
<?' | U {t\ О | q'y = W ! ехр {-Ш (Г - ?)} | ?'>,
A.12)
который можно назвать ядром оператора U в координат-
координатном представлении. Иногда этот матричный элемент назы-
называют функцией перехода и обозначают <?", t" } q', t'y.
Для малых t" — t' имеем
ехр {~-Ш (t" — О} = 1 - № (t" - О. A-13)
и по формуле A.7) получаем ядро оператора перехода
в виде
ih [p,
X
х (Г -
—
. A.14)
Для конечного интервала t" — t' эта формула, разумеет-
разумеется, не верна. В этом случае можно поступить так. Разобьем
интервал t" — t' на N частей, считая, что
достаточно мало, чтобы можно было воспользоваться пре-
предыдущей формулой для оператора ехр {—iHAt). Опера-
§ 1. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ 33
тор U (t", t') выражается через ехр {—iHAt) формулой
U (t", t') = (ехр {-iHM))n. A.16)
Заменяя каждый сомножитель справа его ядром и интег-
интегрируя по промежуточным состояниям, получаем
(q"\ U (Г, О | О = J ехр |i [pN (qN - q^) + . . .
9y + 9jv-i ^
.V) ^ I
• • • +
- h(pi,
+ ...
где glV = ?", q0 = q'.
Перейдем теперь к пределу N ->- оо, А^ -> 0. При этом
число переменных интегрирования также стремится к бес-
бесконечности и можно считать, что в пределе мы интегри-
интегрируем по значениям функций р (t), q (t) при всех t из ин-
интервала t' < t < ?". На функцию <? (t) наложено условие
q(t') = </;q(t')=q". A.18)
Показатель экспоненты в этом пределе переходит в ин-
интеграл
v
q(t)))dt,
A.19)
т. е. в классическое действие на интервале (t', i"). Таким
образом, мы получаем основной результат: матричный
элемент оператора эволюции получается интегрированием
фейнмановского функционала ехр {iAt} по всем траек-
траекториям р (t), q (t) в фазовом пространстве, имеющим фик-
фиксированные значения q' и q" при t = t' и t = t" соответ-
соответственно. Мера интегрирования формально может быть за-
записана в виде
ГТ
iJ-
dp (t) dq (t)
A.20)
Таким образом, если опустить одномерное интегри-
интегрирование по конечному импульсу р (t"), то квантовомеха-
ническая амплитуда перехода <g", t" \ q', О записыва-
записывается целиком в канонически инвариантных терминах клас-
классической механики — функционала действия и меры Лиу-
вилля.
2 А. А. Сдавдов, Л. д. Фаддеев
34 ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ!
Такой же окончательный ответ
<g», t"\q', t'} = (q"\U(t", t')\q'} =
A.21)
получился бы, если бы мы пользовались другим упорядо-
упорядочением операторных сомножителей. На первый взгляд,
нам удалось однозначно построить квантовую механику
целиком в терминах классических объектов, являющихся
каноническими инвариантами. В действительности это
не может быть верным, так как на квантовую механику
не переносится действие полной группы канонических
преобразований классической механики. Разрешение ка-
кажущегося парадокса состоит в том, что мы фактически
не дали определения континуального интеграла во внут-
внутренних терминах, без ссылок на предельный переход.
Чтобы вложить реальный смысл в континуальный ин-
интеграл, необходимо сформулировать конкретный способ
его вычисления. При этом нам придется задать определен-
определенный способ упорядочения не коммутирующих операторов,
а также учесть дополнительное интегрирование по ко-
конечному импульсу.
В теории поля мы в первую очередь интересуемся пре-
пределом функции перехода при t" -+ оо, t' -*- — оо . При
этом строгое определение континуального интеграла (и тем
самым решение проблемы упорядочения операторов) да-
дается теорией возмущений, дополненной процедурой пе-
перенормировки. С этой точки зрения корректное определе-
определение континуального интеграла эквивалентно построению
перенормированной теории возмущений. Соответствую-
Соответствующим построением мы и будем заниматься на протяжении
всей книги.
Пока же будем работать с континуальным интегралом,
обращаясь с ним как с конечномерным. Надеемся,
что формальные манипуляции с континуальным интегра-
интегралом, которыми мы будем заниматься ниже, выработают
у читателя достаточно ясное интуитивное представление
об этом объекте.
Сам Фейнман использовал несколько иную форму
континуального интеграла, а именно интеграл по траек-
траекториям в пространстве координат. Фейнмановская фор-
формула естественно возникает, если гамильтониан квадра-
§ i. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ
35
тичен по импульсам:
A.22)
Действительно, в этом случае интегрирование по пе-
переменным р можно провести в явном виде. В интеграле
'"-
A.23)
нужно сделать сдвиг:
р (<)-»¦ Р (t) + ml. A.24)
После этого интегрирование по р и q разделяется и мы
получаем ответ
t"
Л О = -if
A.25)
где
УГ' =
Нормирующий множитель N, очевидно, не зависит от q'
и q" и является функцией времени t" — t'. Обычно этот
множитель включают в определение меры. Из приведен-
приведенного вывода ясно, что вторая форма континуального ин-
интеграла является менее общей. Она справедлива лишь
для гамильтонианов, квадратичных по импульсам. Тем
не менее для большинства физически интересных задач
гамильтониан обладает этим свойством, и поэтому для
них обе формы эквивалентны.
Случай системы со многими степенями свободы можно
рассмотреть аналогично. Используя векторные обозначе-
обозначения
pq =
dpdq
dPidq
A.27)
мы можем и для этого случая сохранить формулу A.21),
однако формула A.25) в общем случае модифицируется.
2*
36 ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЙ
Квадратичная форма импульсов для системы со мно-
многими степенями свободы имеет вид
В* (Я) Р*Р*, A-28)
где gll; (д) — риманова метрика на многообразии коор-
координат.
Разделение интегрирований по р и q по-прежнему осу-
осуществляется сдвигом, но при этом интеграл по р имеет вид
ik (q) pV dt\ Ц~^= N-* П («let g-)-Vs A.29)
ехр {-
где N — не зависящая от q константа.
В результате аналог интеграла Фейнмана A.25) вы-
выглядит следующим образом:
. A.30)
В отличие от случая одной переменной здесь возникает
дополнительный множитель (det g)~1/2, превращающий
меру интегрирования по координатам в риманову меру.
С точки зрения гамильтоновой динамики квантовая
теория поля является системой с бесконечным числом
степеней свободы. Например, в случае скалярного нейт-
нейтрального поля, описываемого лагранжианом
% = \d^d^-^-tf-V($), A.31)
точками фазового пространства являются пары функций
ф(ас), л (ж), образующие бесконечный набор канонических
переменных. Аргумент х играет роль номера этих пере-
переменных. Скобки Пуассона задаются соотношениями
{ф И, ф (*/)} = 0; {л (х), л (у)} = 0;
{Ф (х), л (у)} = -6<8> (* - у). [1-бг>
Существует много представлений для операторов ф (ж)
и л (х), отвечающих ф (х) и я (х) после квантования. Одно
из них, координатное, является диагональным для ф (ас);
§ 1. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ
37
векторы состояния являются функционалами Ф (ф (к))
от ф (х) и
A.33)
Чаще используют представление в пространстве Фока
(которое будет введено в § 3). Гамильтониан, соответст-
соответствующий лагранжиану A.31), имеет вид
Н(л, ф) =
4^ + хд^ (¦*¦) 9*ф и + \ <р2 (*) + v (ф) Jd3x-
A.34)
Нетрудно убедиться, что гамильтоновы уравнения
движения
d , , 6Я
dt
A.35)
= Аф - V (ф) — тЧ
совпадают с обычным уравнением для скалярного поля
? ф + /П2ф = - V (ф). A.36)
Полученные выше формулы, выражающие оператор
эволюции в виде континуального интеграла, непосредст-
непосредственно переносятся и на этот случай. В координатном пред-
представлении имеем
<Ф" (х), t" | ф' (х), О = <Ф" (х) | ехр {- Ш (Г - t')} | Ф' (ав)> =
= J ехр [i J [л (*•, t)dtq> (х, t)
х, I)
'¦ -2-{dMx,t))*-
dn (x, t) dq> (x, t)
ж, t
A.37)
«' < х0 < i"; ф (е, t") = ф" («); ф (к, Г) = ф' (-с).
В последней формуле мы использовали релятивистские
обозначения х = (ж, t). Единственное, что в ней не ло-
ренцинвариантно, это ограничение интеграла по времени
интервалом t' <; х0 <^ i". Впоследствии нас будет инте-
38 ГЯ. П. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
ресовать оператор эволюции для бесконечного проме-
промежутка времени, поскольку именно он нужен для построе-
построения матрицы рассеяния, которая определяется формулой
S= lim е;"„ге-1Н(г-е)е-ш„('5 A.Г8)
f—оо
где Но — оператор энергии свободного движения, полу-
получающийся из II, если опустить член взаимодействия V (ср).
Для вычисления этого предела использованное ранее
координатное представление неудобно, так как выражение
для оператора ехр {—iHot} в этом представлении доста-
достаточно громоздко. Более удобным является так называемое
голоморфное представление, в котором диагопальпы опе-
операторы рождения. Обсуждению этого представления по-
посвящается следующий параграф.
§ 2. Континуальный интеграл
в голоморфном представлении
Начнем опять со случая одной степени свободы. Рас-
Рассмотрим в качестве примера гармонический осциллятор
с функцией Гамильтона
4 jL 24
Введем комплексные координаты
а* = —-== (ш - ip), а = -—== (щ + ip); B.2)
У Z'Si у 2@
функция Гамильтона в этих координатах имеет вид h =
= юа*а.
В квантовой механике им соответствуют сопряженные
друг другу операторы, удовлетворяющие перестановоч-
перестановочным соотношениям
[а,а*} = 1. B.3)
Эти перестановочные соотношения имеют представление
в пространстве аналитических функций / (а*) со скаляр-
скалярным произведением
B.5)
(A, U) = $ (fi (а*)) н
Операторы а*, а действуют следующим образом:
«*/(«*) = а*/(а*), ^/(*)
2. ГОЛОМОРФНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
39
Введенное скалярное произведение положительно опре-
определено. Действительно, произвольная аналитическая
функция / (а*) является линейной комбинацией одночле-
одночленов
B-6)
Простое вычисление показывает, что эти одночлены ор-
тонормированы:
ап (а*)т е—
2Я
= г- - — \ р dp \ сШР*
\/т\п\ п J J
оо
i(n-m)e-t>' — I
= т,
' B-7)
откуда следует положительная определенность скалярно-
скалярного произведения. В этом вычислении использованы по-
полярные координаты
а = Peie, а* = ре"'9. B.8)
При этом
da* da I , ,
—„ = —пап ад.
2т я [ !
B.9)
Ясно также, что операторы а*, а сопряжены друг
ДРУгу. Действительно, пользуясь тем, что
== " e-i*a.
da
da
./(а*)==0, B.10)
имеем, интегрируя по частям,
(Л. а*/а) = [ (Л («*))* «*/а («*) е~а*а
Можно ввести два способа описания произвольных
операторов в этом представлении. Во-первых, произволь-
произвольный оператор А можно представить в виде интегрального
оператора с ядром А (а*, а):
= \ A (a*, a)/(a*)g-»*«
B.12)
40 ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Ядро А (а*, а) выражается через матричные элементы
оператора Л в базисе tyn: если
А ... = Л1х.1А1яЬ„>, B.13)
B.14)
то
А(а*,а)=
п, m
Эта формула определяет А (а*, а) как аналитическую
функцию двух комплексных переменных а*, а. Функция
А (а*, а) определяется однозначно своими значениями на
вещественной плоскости, т. е. когда а и а* комплексно
сопряжены друг другу, как в формулах B.2), B.11). Одна-
Однако в формуле B.12) и в последующих формулах это усло-
условие не выполняется, и переменные а, а* являются неза-
независимыми.
Произведению операторов Аг, А2 соответствует сверт-
свертка ядер
^а*, а)
. B.15)
Второе представление для операторов — это просто за-
задание оператора в виде нормально упорядоченного по-
полинома по операторам а*, а. Под нормальным произве-
произведением мы понимаем произведение, в котором все опе-
операторы а* стоят слева от операторов а. Посмотрим, как
выглядит ядро оператора А, заданного в виде суммы по
нормальным произведениям:
= S Кпп(а*)пат.
п, т
Сопоставим такому оператору функцию
К(а*,а)= \Кпт(а*)пат,
B.16)
B.17)
п, m
которую будем называть нормальным символом опера-
оператора А. Тогда ядро А (а*, а) оператора А связано
с К (а*, а) формулой
А (а*, а) = е'^К (а*, а). B.18)
Для проверки рассмотрим в качестве оператора А. одно-
одночлен
/!=-(«*>*«', B.19)
§ 2. ГОЛОМОРФНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 44
К (а*, a) = (a*)V B.20)
так что
и
Km = <%г I А | 4>т> =
= |Лг (и — 1)... (п — к + 1) Ym (m—l)...(m~l + l)x
xQ(n^k)Q(m^lNn_ki т_„ B.21;
( 0, если п ¦
где G (п ;> к) = \
v ' A, если п
Построим теперь А (а*, а) по формуле B.14). Имеем
п*а}. B.22)
Формула B.18) проверена. Формулы B.18), B.15) поз-
позволяют просто построить оператор эволюции в виде кон-
континуального интеграла по функциям a* (t), a (t). Соот-
Соответствующий вывод фактически повторяет рассуждения
из § 1.
Пусть гамильтониан задан в виде
H = h(a*,a), B.23)
где подразумевается нормальное упорядочение. Тогда
ядро U (a*, a, At) оператора эволюции
U (At) = exp {-iHAt} B.24)
для малых Д? выглядит следующим образом:
U (a*, a, At) = exp {a*a — ih (a*, a) At}. B.25)
Для произвольного интервала t" — t' — NAt мы должны
взять свертку N таких ядер
U(a*, a; f — t') =
= \ ехр {[я* ajV_i — aN_iu(jv_i + . . . — а*^ + а*а0] —
-i [h(a%, ojv-,) + • • ¦ + h (of , a0)] At) П ^Ц~ - B-26)
42
ГЛ. ТТ. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
где мы обозначили а0 = a, un = а*. Формальный продел
при Af —>¦ О, N -> оо выражается в виде
?/ (а*, а; Г -*')=§ ехр {а* (О а (О> X
** da , B.27)
X
ехр К (~ а*а - i/г (а*, а)) d*l П
или, после симметризации по а*
U (a*, a;t"~t') =
X
da* da
2ju
. B.28)
Здесь считается, что а* (?) = а*, а (t1) = а. Заметим,
-ллттоттияя Аовмула мало отличается от соответствую-
параграфа. В обеих
игнкпионал ехр \i л mmivih^j, .* --± ^
ведется по произведению мер Лиувшшя по фазовому про-
пространству. Дополнительный функционал
схр j_i_ (а* (Г) а (Г) + а* (О а (Г))} B.29)
Anrmvne B 28) отражает различие граничных условий
ия*Ж2кторви, по которым мы интегрируем: в случае
М21)мы Фиксируем при t = f и t = Г значение одной
( - lo Avhioihh G («), в то время как в случае B.28)
и той «еЩЩ значе/ие функции а {t), а при
°Р= /' ^Функции V (t). Подчеркнем, что переменные
„* (t"\ Та (t") являются независимыми; по a (t ) мы ин-
( ) лГрм а а* (?) фиксировано. Аналогично а* (* )
ГвГе'Гя переменной интегрирования, а а (Г) фиксиро-
BftHR PTrv4ae гармонического осциллятора интеграл B.27)
*.«« втисляется, так как подынтегральная функция
плепставТяет собой экспоненту от неоднородной квадра-
SS Формы. Такие интегралы мы будем называть гаус-
С°ВМ^воспользуемся известным свойством гауссова ин-
, согласно которому он равен (с точностью до коп-
копии систематически будем включать в оп-
§ 2. ГОЛОМОРФНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
43
ределение меры интегрирования) подынтегральному выра-
выражению, вычисленному в точке экстремума показателя
экспоненты. При этом экстремум не обязательно лежит
в исходной области интегрирования.
Условие экстремума в нашем случае совпадает с клас-
классическим уравнением движения
а* — icoa* = 0; а + та — 0; a* (t") = a*; a (tf) = a,
B.30)
так как
г
б (а* (/") а A") + I (— и*а — Ша*а) tit) =
\ (ба (а* — им*) — ба* (а + icoa)) dt B.31)
при ба* \г — 0; ба \t ==: 0.
Уравнения B.30) тривиально решаются
а (^ =
а; а* (f) =
B.32)
При подстановке решений B.32) в действие, участвующее
в формуле B.27), нетривиальный вклад дает только вне-
интегральное слагаемое. В результате для ядра оператора
эволюции, который мы будем обозначать через Uo, полу-
получаем
U0 (а*, а; ? — ?) = ехр {а*ае;и<*'-*">}. B.33)
Если / (а*)
U0(t)f(a*)=
произвольная функция, то
B.34)
Эта формула наглядно демонстрирует удобство голо-
голоморфного представления для гармонического осциллятора.
В этом представлении эволюция произвольного состояния
Ф (а*) сводится к замене аргумента
а* ->- а*е~ш. B.35)
Это свойство очень полезно для теории поля, по-
поскольку свободный гамильтониан в этом случае пред-
представляет собой сумму гамильтонианов бесконечного на-
набора осцилляторов.
44 ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
§ 3. Производящий функционал для ^-матрицы
в теории поля
Голоморфное представление для теории поля вводится
через комплексные амплитуды a* (Je), a(U). Канонические
переменные ф [х) и я (ос) для скалярного поля выражаются
через них следующим образом:
e~ikx
л (х) = (-^-у° ^ (а* (к) e~ih* - а (к) eihx) i ]/ -~ d3k,
к0 = со = (А + т2I!'.
Свободный гамильтониан Нп выражается через а*, а
следующим образом:
<(k)a*(k)a(k)d3k, C.2)
и представляет собой сумму энергий бесконечного набора
осцилляторов. Аргумент к играет роль номера осциллято-
осциллятора, а со (к) — его частоты.
При квантовании амплитуды а* (к), а (к) приобретают
смысл операторов рождения и уничтожения. Эта термино-
терминология связана с тем, что состояние Ф, заданное в голо-
голоморфном представлении функционалом
1—1
является собственным для гамильтониана C.2), с соб~
п
ственным значением \«)(к{). Это состояние интерпре-
i=i
тируется как состояние га свободных частиц с импульсами
кг, . . ., кп и обозначается символом | frl7 . . ., кп}.
Состояние без частиц | 0> представляется функционалом,
тождественно равным единице. Произвольное га-частичное
состояние является линейной комбинацией этих состояний
~ 'кь C.4)
2 $ сп (kv . . ., кп) \kv..., kny
п
где функции сп симметричны относительно своих аргу-
аргументов.
Операторы а* и а переводят га-частичное состояние
в состояние с« + 1 частицей и состояние с п + 1 части-
§ 3. ПРОИЗВОДЯЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ ДЛЯ S-МЛТРИЦЫ 45
цей в га-частичное соответственно. На базисных функциях
| к\, . . ., кпУ это действие выглядит следующим образом:
а* (к) | frlf . . ., fen> = I *i. • ¦ м Кп, к}, C.5)
п
а(к)\к!, . . .,*:„> = S6(fe-fci)|fe1, . . ., fei-i, fci+i, ¦ • ., fcn>,
i=i
a(fc)|0> = 0. C.6)
Пространство, образованное линейными комбинациями
C.4), принято называть пространством Фока. Вектор
состояния в нем задается набором амплитуд с = {с,, (кг, . . .
. . ., кп)}. Скалярное произведение задается формулой
(с', с") = 2 п\ \ с*' (kv ..., кп) с"п (kv . . ., кп) П dki. C.7)
п i
Полный гамильтониан // помимо члена Но содержит
взаимодействие V (а*, ы), которое получается при под-
подстановке в ^ F(ф) d3x функции ф («) в виде C.1). Опера-
Оператор эволюции U (t", t') определяется ядром U (а* (к),
а (к), t" — t'), которое выражается через континуальный
интеграл
U (а* (к), а (к), i"~t') =
= [ ехр Я d3ka* (к, t") а (к, t") + i\—iV (a*, a) +
+ С d3k (— а* (к, t) а [к, t) — та* (к, t) а (к, I)) I dt\ X
nda* Ik, t) da (к, t)
2ni
t, к
> a* (k, t ) = a* (k); a(k, t) — a(k).
C.8)
От этой формулы легко перейти к 5-матрице. Для
этого заметим, что для произвольного оператора А с яд-
ядром А (а* (к), а (к)) оператор
имеет ядро
А (а* (к) ei(Ot", а (к) е~^г).
C.10)
Уто прямое обобщение формулы B.34) для гармоническо-
гармонического осциллятора, полученной в предыдущем параграфе.
Таким образом, ядро ^-матрицы получается пределом при
46
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
t" -*¦ оо, t' -> оо интеграла C.8), который мы для удоб-
удобства перепишем в симметризованном виде:
S{a* {К), а (к)) =
= lim [ охр D- [ d*k(a*(k, t")a(k, t") + а*(к-, ?)а{к, *')Н
г—оо О I * J
Г- о
2- (d* (ft, i)a(k, t)~a*(k, t)d(k, t)) —
da*(k, I) da ('t, t)
- ш (fc) o* (fe, 0 a (ft, *)) - V (a*, o)l 1 П
7 J ' k,t
2ni
где
a* (k, t") = a* (ft) exp {ico (ft) O,
a (ft, t') — a (k) exp {— ico (fe) t'}.
C.11)
C.12)
C.13)
Применим эту формулу для вычисления ^-матрицы
при рассеянии на внешнем источнике у\ (х), когда
у (ф) = - п (*) ф И (З-14)
и ,т] (ж) быстро убывает при | t \ -*- оо.
Соответствующий функционал У (а*, а) имеет вид
V(a*,a)=^d3k[y(k, t)a* (к) + у* {к, t)a(k)], C.15)
где
(ЗЛ6)
Функционал V (а*, а) явно зависит от времени. Тем
не менее все формулы для оператора эволюции остают-
остаются в силе и в этом случае. Единственное изменение состоит
в том, что теперь оператор эволюции зависит от обеих
переменных t", t', а не только от их разности. Подынте-
Подынтегральное выражение в C.11) в нашем случае опять имеет
вид экспоненты от неоднородной квадратичной формы, и
гауссов интеграл вычисляется тем же приемом, что и в
в предыдущем параграфе. Условия экстремума выглядят
следующим образом:
a(k,t) + ia>(k)a(k,t) + ?y(fc, 0 = °'
a* (ft, t) — i© (fe) a* (k,t) — iy* (k, I) = 0, C.17)
a* (k, t") = a* (к) еш", a (ft, t') = a (fe) e~iat'.
§ 3. ПРОИЗВОДЯЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ ДЛЯ S-МАТРИЦЫ 47
Решение этих уравнений дается формулой
а* (к, I) — а* (к) еш — ieiKt e~iasy* (k,s)ds, (Я. 18)
a (fe, I) — а (к) e-iat — 1е~ш \ elasy (fe, s) ds. C.19)
t'
Подставляя это решение в показатель экспоненты
формулы C.11) и переходя к пределу, получаем для ядра
^-матрицы выражение
la* (к) а (к) +
Bn)J/
dt
—оо —оо
X Л («Л s) eik (*-y)e~ia I *-s I
C.20)
Выражение для ^-матрицы становится более элегант-
элегантным, если перейти от ядра к нормальному символу,
что сводится к отбрасыванию первого сомножителя
exp |^d3& -а (к)a (ft)}- Оставшиеся сомножители можно
переписать в явно релятивистски инвариантной форме. Для
этого введем решение свободного уравнения Клейна —
Гордона
(а*
e~iltX) -fk:' К=@>
П ф0 + щ2ф0 - о
и функцию Грина этого уравнения
„-ikx
1
№ — т? + М
О
C.21)
C.22)
C.23)
C.24)
Первое представление для De следует из второго
после интегрирования по к0.
48
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Во введенных обозначениях нормальный символ S-
матрицы, Sn (а*, а), дастся формулой
(а*, а) = exp \i ^ т) (х) ср0 (х) dx
+ -i- J n (x) Dc (x -
t,
C.25)
Подчеркнем, что учет граничных условий C.12) C.13)
на траектории интегрирования привел к однозначному
выбору функции Грина оператора Клейна — Гордона
[J + т? в виде C.23). Эту функцию Грина принято назы-
называть причинной.
Перейдем теперь к рассмотрению S-матрицы в случае
общего потенциала V (ц>). В этом случае мы, разумеется,
не можем вычислить соответствующий континуальный
интеграл точно и ограничимся построением для него тео-
теории возмущений. Покажем, что в этом случае задача сво-
сводится к уже решенной задаче о рассеянии на внешнем поле.
Для этого воспользуемся очевидной формулой
ф (х±) . . . ф (Хп) =
i бт]
б
C.26)
отсюда следует, что произвольный функционал Ф (ф) от
ф (х) можно записать в виде
C.27)
Т1=0
В частности,
ехр \— i \ V (<p)dx =
= exp\~i[v(—~)dx\exv\i[mdx} . C.28)
I J \ l ОТ] / J [ J J 11=0
Эта формула, разумеется, понимается в смысле теории
возмущений.
Тем самым в функциональном интеграле C.11), опре-
определяющем ^-матрицу для потенциала общего вида, мы
можем заменить в подынтегральном выражении
ехр {— i [ V (<p)dxjH& правую часть C.28) и вынести фор-
формальный дифференциальный оператор
ехр
§ Л. ПРОИЗВОДЯЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ ДЛЯ S-МЛТРИЦЫ 49
за знак континуального интеграла. Остающийся конти-
континуальный интеграл в точности совпадает с уже вычис-
вычисленным интегралом для матрицы рассеяния на источнике.
В результате мы получили следующее окончательное вы-
выражение для нормального символа 5-матрицы:
^= ехр < — i
v D"
dx
о И
~^r\(x)Dc (x — у) т) (у) dx dy
Tl-0
C.29)
Здесь мы заменили пару аргументов а*, а одной функци-
функцией ф0, поскольку они друг друга однозначно определяют.
Разлагая этот функционал в ряд по ф0,
5 (Фо) = ^ VT
C.30)
получаем коэффициентные функции Sn (хг, . . ., хп).
В операторной формулировке эти функции возникают
при разложении оператора ^-матрицы в ряд по нормаль-
нормальным произведениям свободных полей.
Функционал S (ф0) называют иногда про-
производящим функционалом для коэффи-
коэффициентных функций 5-матрицы.
Формула C.29) является удобным ис-
исходным пунктомдляпостроения теории воз-
возмущений для вычисления коэффициентных Рис 1
функций. Будем считать, что взаимодейст-
взаимодействие V (ф) является полиномом по полям ф, т. е. линейной
комбинацией одночленов Vn (ф) = фп (х) с малыми коэффи-
коэффициентами. Дифференциальному оператору Vn( — -г——\
\ I ОТ) (X) I
сопоставим диаграмму, (рис. 1), в которой из вершины,
помеченной точкой х, выходят п линий. В формуле C.29)
дифференциальный оператор ехр |— i \ V (—г- , ) dx\
[ J \ I ОТ) [X) ) \
применяется к функционалу 5Л (ф0), определяемому фор-
формулой C.25). Дифференцируя Sn (ф0) по ц (х), получим
-yL(у)dyMЧ(Фо). C.31)
Вычисление S (ф0) по формуле C.29) сводится к много-
многократному дифференцированию «Sr, (ф0)по.г| (х() с последую-
50 ГЛ. П. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
щим интегрированием по хг. При этом второе слагаемое
в C.31) дает нетривиальный вклад при ц = 0 только в том
случае, если оно еще раз дифференцируется. Очевидно, что
многократное применение оператора -т—-—г- к S4 (ф0)
ОТ] (Х^
будет приводить при у\ = 0 к появлению множителей
Рис. 2
Рис. 3. Диаграммы первого по-
порядка в теории ср3
ф0 (xt) либо De (xt — Xj). В соответствии со сказанным
выше, функция Da (xt — хЛ отвечает дифференциально-
му оператору второго порядка — . , . —. Теперь
нетрудно изобразить графически произвольный член раз-
разложения S (ф0) в ряд по Vn. Произведению к дифферен-
дифферента Z1 Ь \ , . ,
циальных операторов Vп —г--г—,—г- » * == 1, . . ., А,
мы сопоставим диаграмму, состоящую из к вершин, поме-
помеченных точками Xi (i = 1, . . ., к), из которых выходят по
п1 линий. Эти линии могут либо замыкаться, соединяя
пару вершин (назовем их внутренними), либо выходить из
диаграммы (назовем их внешними). Каждой внутренней
линии, соединяющей точки xt, Xj, сопоставляется функция
Dc (xi — Xj); каждой внешней линии, выходящей из точ-
точки xt сопоставляется поле ф0 (xt). Полное выражение для
5 (ф0) получается суммированием по всевозможным диа-
диаграммам, с последующим интегрированием по xt.
В качестве примера рассмотрим простейшее взаимодей-
взаимодействие вида
^(ф) = -|гФ8И, C-32)
где g — малый параметр, называемый константой связи.
В этом случае есть только один тип вершин с тремя вы-
выходящими линиями (рис. 2).
§ 3. ПРОИЗВОДЯЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ ДЛЯ S-МАТРИЦЫ
51
В низшем порядке по константе связи S (ф0) описывает-
описывается двумя диаграммами(рис. 3), которые дают вклад, пропор-
пропорциональный \ фо (х) dx и Dc @) \ ф0 (х) dx соответственно.
Во втором порядке теории возмущений имеем диаграм-
диаграммы, изображенные на рис. 4.
Вклады этих диаграмм вычисляются по тем же прави-
правилам: каждой внутренней линии сопоставляется функция
Dc (х — у), каждой внешней линии — поле ф0. При этом
возникает еще численный фактор, который мы обсудим
ниже.
Дальнейшее построение очевидно. Описанная диаграмм-
диаграммная техника впервые была построена Р. Фейнманом, так
что подобные диаграммы принято называть диаграммами
(или графиками) Фейнмана. Сформулируем окончательный
рецепт сопоставления Sn (ф0) диаграммам Фейнмана.
Нужно нарисовать п вершин, изображенных на рис. 2,
помеченных точками (х1: . . ., ж„), и, производя всевоз-
всевозможные замыкания сплошных линий, получить сумму
диаграмм, изображенных на рис. 3, рис. 4 и т. д.
Рис. 4. Диаграммы второго порядка в теории ф3
Каждой внешней линии, выходящей из точки xt, нуж-
нужно сопоставить поле ф0 (xt); каждой внутренней линии,
соединяющей точки xt и Xj,— функцию Грина (или про-
пагатор) — iDc (xt — Xj). Полученное выражение надо
и проинтегрировать по всем xt.
умножить на(— ig)n—п
C!) п\
Заметим, однако, что при таком способе действий мы
никак не учитывали симметрию диаграмм, и многие диа-
диаграммы, полученные таким образом, будут отличаться
лишь тривиальным переобозначением переменных интегри-
интегрирования. Чтобы учесть этот факт, заметим, что п незави-
независимых вершин типа изображенных на рис. 2 обладают
52
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
группой симметрии порядка п\ C!)". Множитель (и!)
отражает симметрию относительно перестановки п экви-
эквивалентных вершин, а множитель C!)и — симметрию от-
относительно расстановки линий в вершинах. Поэтому для
получения аналитического выражения для (S (фо))н до-
достаточно нарисовать лишь существенно различные диа-
диаграммы, произвольным образом расставив аргументы
хх, . . ., хп, а результат умножить на число способов,
которым данная диаграмма получается из данных вершин.
Это число равно п\ C\)n/Dn, где Dn — порядок группы
симметрии диаграммы. В результате такого умножения
множитель (п\) C!)™ сокращается с аналогичным множи-
множителем перед интегралом и весь комбинаторный фактор
сводится к (Dn).
Полученные таким образом диаграммы будут, в част-
частности, содержать несвязные диаграммы, например, изоб-
изображенные на рис. 5.
е е
Рис. 5. Факторизация вакуумных диаграмм в теории rp;i
Отдельные члены в этой сумме отличаются множителя-
множителями, представляющими собой сумму всевозможных диа-
диаграмм без внешних линий (вакуумных диаграмм). Каждый
такой член, очевидно, обладает симметрией порядка тп\,
где пг — число идентичных связных компонент вакуум-
вакуумных диаграмм. Поэтому произвольная диаграмма Г, не
содержащая несвязных вакуумных компонент, умножает-
умножается на ряд
C1U
(E
C.33)
Здесь Го — сумма всех связных вакуумных диаграмм. По-
Поскольку подобный постоянный множитель возникает перед
всеми диаграммами, мы можем включить его в определе-
определе§ 3. ПРОИЗВОДЯЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ ДЛЯ S-МАТРПЦЫ 53
ние интегральной меры и переопределить нормальный
символ 5-матрицы, поделив его на сумму вакуумных диа-
диаграмм
5(Фи)=^=4^- C-34)
Разложение 6 (ф0) в ряд теории возмущений уже не
содержит вакуумных диаграмм.
Описанная диаграммная техника без труда обобщается
на другие модели теории ноля. При этом в практических
вычислениях обычно используется диаграммная техника
в импульсном представлении (когда ф0 и D заменены их
преобразованиями Фурье ф0 (р), В (р)). В следующей гла-
главе мы сформулируем правила Фейнмана для поля Янга —
Миллса. Если в формуле C.29) не полагать х\ -~ 0, то по-
полученный функционал
= ехр |— i jj V [-^-
dx
i § Ц М ф0 (j:)dx]
X ехр {4- ^ Л (х) Dc {х — у) г| (у) dx dy)
C.35)
представляет собой нормальный символ /S-матрицы для
рассеяния взаимодействующих частиц в присутствии
внешнего источника .т) (х). На практике часто удобнее
работать не с 5-матрицей C.29), а с функционалом
X ехр {4- J Л (х) Dc (x -y)r\ (у) dx dy} , C.36)
который совпадает с S (ф0, У]) при ф0 = 0 и имеет смысл
амплитуды перехода из вакуума в вакуум в присутствии
внешнего источника. Коэффициентные функции Gn (хг, . ..
. . ., хп) в разложении этого функционала в ряд по ,т) (х)
C.37)
определяют так называемые функции Грина, которым
к операторном формализме соответствуют вакуумные
средние от хронологических произведений гейзенберго-
вых операторов поля. Функции Грина необходимы,
54 ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
в частности, для проведения программы перенормировки,
о которой будет идти речь в следующих главах, и кото-
которую до сих пор не удалось провести непосредственно для
5-матрицьт.
Функционал Z (х\) содержит в себе больше информации,
чем S (ф0), поскольку он определен для произвольных
функций г), в то время как S (ф0) определен лишь «на
поверхности энергии», т. е. его аргумент гр0 является
решением свободного уравнения движения. Зная функцио-
функционал Z (у\), можно восстановить S (ф0). Соответствующая
процедура задается так называемыми формулами приве-
приведения. Их легко усмотреть из сравнения формул C.29)
и C.36).
Чтобы получить явные формулы, введем расширен-
расширенный функционал S (ф), заменив в формуле C.29) ф0 про-
произвольной функцией четырех переменных. Тогда расши-
расширенные вне поверхности энергии коэффициентные функ-
функции суть вариационные производные
ft , . 16 1 б п / ч |
йп (,Гг, . . . , Х„) — — бф {xi) ¦ ¦ ¦ —- 5q) (ag » (Ц>) |ф=0-
С другой стороны, заменим в функционале Z (у\) аргумент
Г) (х) на rj (x), где
)- (х - и) n (.v) dy. C.38)
Тогда прямым сравнением убеждаемся, что
16 16
i 6fj (xi) ' ' " i йт) (хп
Таким образом возникает простой рецепт вычисления
нормального символа ^-матрицы. Нужно вычислить ва-
вариационные производные
16 ' ft '"^',-0, V-Щ
т. е. функции Грина Gn (ж15 . . ., жн), подействовать на
эти функции дифференциальным оператором
п
ПО,;-И«2), C.41)
Й 4. S-МАТРИНА НА КЛАССИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ 55
умножить результат на произведение
— Iboto). C-42)
г
проинтегрировать по всем х и просуммировать по п.
§ 4. /S-матрица как функционал на классических
решениях
В этом разделе мы покажем, что полученное выше вы-
выражение C.29) для 5-матрицы, включающее формальный
дифференциальный оператор ехр <— i \ V [—г--*— )ах\ , мо-
жет быть записано в виде континуального интеграла от
явно релятивистски инвариантного функционала. Для
этого используем формулу
-^-{ц (х) Dc (х ~у)ц (у) dx dy\ =
= J II da (x) ехр {- J -±- a (x) D^1 (
x - у) а (у) dx dy +
D.1)
Обобщенная функция D^1 (x — у) может быть записана
как результат применения оператора Клейна — Гордона
к функции б4 (х — у).
При этом функции а (х) должны принадлежать классу
функций, на которых оператор Клейна — Гордона одно-
однозначно обратим, а его обратный оператор задается ядром
Dc (x — у). Другими словами, функции а (х) должны до
пускать представление вида
Dc (x-y)fi (у) dy,
D.2)
где Р (х) быстро убывает при | t | -> оо.
Формула D.1) фактически представляет собой опреде-
определение гауссова интеграла, согласно которому он опреде-
определяется значением подынтегрального выражения в точке
экстремума.
Более явно граничное условие D.2) означает, что функ-
функции а (х) при | t | -> оо асимптотически совпадают с
Bл)
50 ГЛ. И. КВАНТОР.ЛЯ ТЕОРИЯ
решениями свободного уравнения Клейна — Гордона:
(k)eil!x\K=(isd4 при *-*-оо, D.3)
+(k)e-ilcx\k^b)dsk при t-> + оо, D.4)
1
т. е. содержат только положительно частотную экспоненту
eiat при t -> — оо и отрицательно частотную экспоненту
e-ieoi ПрИ ^ __>. _j_ оо. Описанные асимптотические условия
будем называть фейнмановскими или условиями излу-
излучения.
Подставляя формулу D.1) в выражение C.29) для
/5-матрицы, получим
S (ф0) = ехр {-l\v D- ft^-) dx\ jj П da (x) X
X exp \i { \^~д^а (x) d^a (x) —
-\ (<(>0(x) + a{x))i\(x)\dx}
- ^- а2
л-=-- о
D.5)
Дифференцирование по г\ можпо выполнить явно (ср. C.28)).
В результате для S (ф0) получим выражение
(ф0) =
_ ^1 а? (х) + F
(ф0 + а)] <
D.6)
Эту формулу можно переписать в более наглядном виде,
переходя к новым переменным интегрирования:
Ф (*) = Фо (х) + « И- D-7)
В этих переменных 5 (ф0) можно записать в виде
S (фо) == J ехр |i J [4" "Vf1 (') 3-l(P W ~
т. е. в виде континуального интеграла от функции
ехр [i [Х(Ц> {х}) dx) , если в квадратичной форме действия
§ 4. S-МАТРИЦА НА КЛАССИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ
57
использовать регуляризацию
(<Эц.фдц.ф — т\2) dx =
= I №ц (ф - Фо) <?и (Ф - Фо) - т2 (Ф - ФоJ] dx- (i-9)
Левая часть может быть формально преобразована в пра-
правую, если при интегрировании по частям опустить внеин-
тегральные члены. При этом класс функций ф (х), по ко-
которым ведется интегрирование, описывается следующим
образом:
при t —>- — оо и t —>¦ + оо ф (х) асимптотически сов-
совпадает с решением свободного уравнения фш (х) и фои4 (х),
где
Фш (х) = ф0 (х) + а_ (х), D.10)
фс-ut (^) = фо (ж) + а+ (ж). D.11)
Другими словами, положительно частотная волна
в фщ и отрицательно частотная волна в фои4 совпадают
с соответствующими волнами в ф0.
В итоге мы получили для нормального символа 5-
матрицы формулу
J l[\Ud(p(x). D.12)
Используем эту формулу для вывода альтернативного диа
граммного разложения для S (ф0). Для этого метод ста-
стационарной фазы применим непосредственно к интегралу
D.8). Стационарная точка грс] определяется решением
классического уравнения движения
(? + тг) фс! = V (фс1), D.13)
где V обозначает производную функции V (ф) по аргу-
аргументу, удовлетворяющим асимптотическим условиям
f фш,
1ч
t --.> — оо,
t~. 4- сю.
D.14)
Это дифференциальное уравнение и граничные условия
можно объединить в одно нптегральное уравнение
«Pel (х) = Фо (х) + J Д. (ж - ,v) У (фс) (г/) dy. D.15)
58
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
1
§ 5. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФЕРМИ-ПОЛЯМ
59
Чтобы построить разложение стационарной фазы,
представим переменные интегрирования в виде
ф (х) = фС1 (х) + ф! (х) D.16)
и будем считать отклонение срх (х) малым.
В силу сформулированных выше асимптотических ус-
условий фх (х) удовлетворяет условиям излучения и, следо-
следовательно, принадлежит области определения операто-
оператора Dc1.
Функционал действия запишется в виде
35 (х) dx = J X (фС1 (х)) dx + ~ J [0^Aq>i - т\1 +
+ V((pci)<f>l]dx+~ jj V"(ipei) 4>$dx + ¦ ¦ ¦ , D.17)
где многоточие обозначает следующие члены разложения
V (ф) в ряд Тейлора в окрестности точки фсь
В первом слагаемом в правой части квадратичную
форму в действии следует понимать в смысле D.9).
Подставляя разложение D.17) в выражение для S-
матрицы D.12), представим его в виде
S (Фо) = Sci (Фо) • SWhm D-18)
где
5С, (ф0) - охр {l]x (Фс1 (х)) dx} D.1У)
с уже упомянутой регуляризацией квадратичной формы,
a /Sioop определяется суммой вакуумных диаграмм, в по-
построении которых используются следующие элементы.
Вершины с п выходящими линиями имеют коэффициентом
функции iln\V^ (фс] (х)), а внутренним линиям соответ-
соответствуют функции Грина дифференциального оператора
П + т* _ V" (Фс1)о = К (Фс1). D.20)
Кроме того, в Sioop вносит вклад множитель (del К (9)
возникающий при вычислении гауссова интеграла по
Раньше мы опускали соответствующий множитель, вклю-
включая его в нормировочную константу. Однако в нашем слу-
случае этого делать нельзя, поскольку он зависит от фС1 и
дает нетривиальный вклад в 5-матрицу.
Обычные диаграммы Фейнмана возникают, если в опи-
описанной процедуре подставить вместо фс] решение уравне-
уравнения D.15), разложенное по теории возмущений. При этом
Soi (ф0) отвечает сумме древесных диаграмм, [det К (фС1)]~1/2
дает сумму одиопетлевых диаграмм, а следующие члены
отвечают диаграммам с двумя и более петлями.
Описанное выше разложение принято называть разло-
разложением по петлям. Ввиду того что замкнутое выражение
для фС1 в общем случае неизвестно, зто разложение исполь-
используется главным образом не для конкретных расчетов,
а в теоретическом анализе.
Используя D.12), мы можем сразу же написать и вы-
выражение для производящего функционала функций Гри-
Грина через континуальный интеграл. Поскольку Z (ц) яв-
является амплитудой перехода из вакуума в вакуум в при-
присутствии источника у\ (х), имеем
Z (г,) = ЛГ1 J exp {i I [X (х) + 1! (х) Ф (х)] dx) Ц
D.21)
где интегрирование ведется по полям ф (х), удовлетво-
удовлетворяющим условию излучения.
Полученные формулы D.12) и D.21) привлекательны
своей компактностью и наглядностью. Так, представле-
представление для Z (п) в виде интеграла позволяет применять про-
простые формулы анализа: интегрирование по частям, пе-
перемену порядков интегрирования, замены переменных,
вычисление по методу стационарной фазы. К сожалению,
как мы уже говорили, на сегодня не существует определе-
определения этого интеграла во внутренних терминах, которое
сделало бы эти формальные преобразования строгими.
Тем не менее в рамках теории возмущений формуле D.21)
можно придать строгий смысл, используя формулу C.36),
выражающую Z (у\) в терминах вариационных производ-
производных.
Приняв за основу эту формулу, можно строго обосно-
обосновать все перечисленные выше операции для интеграла
D.21) в рамках теории возмущений. Это будет сделано
в § 6.
§ 5. Континуальный интеграл по ферми-полям
Описанная в предыдущих разделах техника практи-
практически без изменений переносится на случай нескольких
взаимодействующих скалярных полей, а также на дру-
другие бозе-поля, в том числе векторные, которые будут
подробно рассмотрены в следующей главе. В^этом па-
параграфе мы покажем, что для ферми-полей можно раз-
60
ГЛ. П. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
работать такую схему интегрирования, что соответствую-
соответствующие формулы динамики (оператор эволюции, 5-матрица)
будут выглядеть практически так же, как для бозе-полей.
Начнем со случая ферми-системы с одной степенью
свободы. Пространство состояний для такой системы
двумерно. В нем действуют два оператора а*, а, сопря-
сопряженные друг другу и удовлетворяющие перестановочным
соотношениям
а*о + аа*=1, (а*J-=(); а2 = 0. E.1)
Эти операторы можно представить матрицами 2x2
,'() 1\ , 0 (Г
E.2)
Формализм континуального интегрирования основан на
другом представлении операторов а*, а, являющемся
своеобразным аналогом голоморфного представления.
Рассмотрим две антикоммутирующие переменные а*, а:
а*а + аа* - 0; (а*J = 0; а2 = 0. E.3)
Такие переменные называются образующими алгебры
Грассмана. Общий элемент этой алгебры (функция от
образующих) дается формулой
/ (а*, а) = /00 + f01a + f10a* + fnaa*, E.4)
гДе /ooi foil /101 /и — комплексные числа. Голоморфными
функциями назовем функции, зависящие только от а*:
/ (а*) = /о + ha*. E.5)
Множество таких функций образует двумерное простран-
пространство, и мы используем их для представления векторов
состояний нашей системы.
Операторы а* и а возьмем в виде
a*f{a*) = a*l{a*),
где дифференцирование
формулой
= 4*1@.*), E.6)
естественно определяется
E.7)
Нетрудно убедиться в том, что коммутационные соотно-
соотношения E.1) действительно выполняются. Наша следую-
следующая задача — ввести скалярное произведение в про-
§ 5. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФЕРМИ-ПОЛЯМ
G1
странстве голоморфных функций, такое, чтобы операто-
операторы а* и а были сопряжены друг другу. Мы сделаем это
посредством удобного определения интеграла от функций
вида D.4) по da*da. Будем считать, что da* и da анти-
коммутируют между собой так же, как с а и а*, и опре-
определим однократные интегралы
\ a*da* = 1; \ a da = 1; $ da* = 0; jj da = 0. E.8)
Заметим, что наглядный смысл последних двух формул
состоит в том, что интеграл от полной производной равен
нулю. Приведенных правил достаточно для определения
интеграла от любой функции, если еще условиться по-
понимать кратный интеграл как повторный. Тогда
11 (a*, a) da* da = /n. E.9)
Искомое скалярное произведение дается формулой
(/i. /2) = $ (fi («*))* U (a*)e-*'a da* da, E.10)
здесь понимается, что
(/(«*))* =/о + fia. E.11)
Проверим, что это скалярное произведение положитель-
положительно определено. Для этого покажем, что одночлены
г^0 = 1, ^ =а* E.12)
ортонормированы. Имеем
D>о. to) = S e~^ da* da = $ A - а*а) da* da = 1, E.13)
(to, ti) = \ a*e-a'a da* da = 0, E.14)
(ti. ih) = \aa*e-a'a da* da = 1. E.15)
Сопряженность операторов а*, а следует из того, что
ь базисе г|з0, г|з1 они задаются матрицами E.2). Действи-
Действительно ,
«"Чо = ti» tt*ti = 0,
E.16)
Що = 0; mpi = to-
Применим сформулированные правила интегрирова-
интегрирования для вычисления интеграла от экспоненты, показатель
62
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
которой является неоднородной квадратичной формой
exp {a*Aa + a*b + Ъ*а) da* da, E.17)
где b и b* антикоммутируют между собой и с а*, а.
Как следует из формулы E.9), мы можем сделать
в интеграле E.17) сдвиг переменных интегрирования
а* _> „* - А-Ч)*; а -> а - А~ХЪ, E.18)
так как коэффициент при аа* в подынтегральной функции
не меняется при таком сдвиге. После этого сдвига интеграл
E.17) приобретает вид
ехр {— Ь*А~1Ь}[ехр {а*Аа} da*da =
= -А ехр {—b*A-'b}. E.19)
Обратим внимание, что формула E.19) выглядит точно
так же, как в случае интегрирования по коммутирующим
переменным, за исключением того, что множитель А
стоит в числителе, а не в знаменателе, как это было бы
в случае коммутирующих переменных.
Приступим к описанию способов задания операторов
в рассматриваемом представлении. Общего вида оператор А
можно записать следующим образом
А = К
оо
К1Оа
К01а + Киа*а.
E.20)
алгебре
Мы можем сопоставить ему две функции на
Грассмана: нормальный символ
К (а*, а) = Коо + К1Оа* + К01а + Кпа*а E.21)
и ядро
А (а*, а) = А00 + А10а* + А01а + А1га*а, E.22)
где Апт, п, т = 0,1 — матричные элементы оператора
А в базисе г|з0, i^:
Апт = <4>п \А Ит>. E.23)
Ясно, что
(Af) (a*) = J А (а*, ее) / (а*) е~а*а da*da; E.24)
(AjAt) (а*, а)=]Аг (а*, а) А2 (а*, а) е~«*а da* da. E.25)
Чтобы записать эти формулы, нам пришлось ввести но-
новые антикоммутирующие переменные а*, а. По опреде-
определению, а*, а антикоммутируют с а*, а.
1
§ 5. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФЕРМИ-ПОЛЯМ
63
Нормальный символ К (а*, а) и ядро А (а*, а) данного
оператора А связаны между собой формулой
А (а*, а) = еа*аК {а*, а). E.26)
Для доказательства этого утверждения достаточно срав-
сравнить коэффициенты Кпт и Апт в формулах E.21) и E.22)
и убедиться, что
Лоо = ^4оо> л01 = А01; К10 = All}; K1L = А1Х — Аоо.
E.27)
Все приведенные формулы без труда обобщаются на
случай п степеней свободы. Для этого следует использо-
использовать 2га антикоымутирующих переменных
ej, . . ., ап; at, . . ., а*. E.28)
Пространство векторов состояния составлено аналитиче-
аналитическими функциями / (а*) и имеет размерность 2". Опера-
Операторы at, a u i = 1, . . ., п, действуют по правилу
«i/(«*)=(-A-) /(«*)- «*/(«*)= «Г/(а*), E.29)
V dai I L
где индекс L означает, что при дифференцировании по
at мы должны в функции / (а*) пронести переменную
af налево, прежде чем ее опустить.
Введенные операторы удовлетворяют перестановочным
соотношениям
«iак + ака»—oifc, а4 ак + «n«i ~ 0, (цщ + ака4 = 0
E.30)
и сопряжены друг другу относительно скалярного произ-
произведения
(fx, h) = S (А (а*))* /а (a*) e'la*a IIrfa*da. E.31)
Здесь операция * вводится по формуле
(С<. . .a*)* =C*alf.. .a,,; E.32)
интегрирование вводится так же, как и выше.
Интеграл от произвольной функции /(а*, а) равен
$/ (а*, а) П da*da = Д „.„,...,„ E.33)
где /i,...,n,n,...,i — коэффициент при одночлене % . . .
. . . апа* ... а* в разложении / по образующим. Гауссов
64 1"Л. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
интеграл
\ ехр {а*А^пк + a*bi + bfai} {{datdai E.34)
i
вычисляется сдвигом, как и в случае одной степени сво-
свободы, и равен
iatdai. E.35)
ехр {— bt{A'l)ik Ък) \ ехр {а%А1как}
Оставшийся интеграл в силу формулы E.33) равен
det A (-1)".
Заметим, что экспоненту в ответе можно получить,
подставляя в подынтегральную функцию решение урав-
уравнений
аг >Ь
(afAikak + afbi + b*at) = О,
E.36)
l JL
Это свойство является общим для гауссовых интегралов
как по обычным коммутирующим, так и по антикоммути-
рующим переменным. Мы неоднократно будем им поль-
пользоваться в дальнейшем.
Одночлены
i>U...ir = а* • • • atr (h < i2 < . . . < ir) E.37)
ортонормированы и образуют базис в пространстве со-
состояний.
Так же как и в случае одной степени свободы, произ-
произвольный оператор А может быть задан нормальным сим-
символом К (а*, а) или ядром А (а*, а). Если оператор А
дается выражением
г, ti,
ТО
К (a*, a) = S 2 Ki,..ir\il-.Jlat
r, M,<...<ir '
},<¦¦¦<},
A (a*, a) = J, У, А,...гri J....J,«t
7-, t ii<...<ir '
a*rah-
a* aA.
aJt
E.38)
E.39)
E.40)
% 5. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФЕРМИ-ПОЛЯМ
65
где
E.41)
Между ядром и нормальным символом имеет место соот-
соотношение
А (а*, а) -— е" а{<х'К(а*, а). E.42)
Действие оператора на функцию и произведение операто-
операторов задается формулами
(Af)(a*) = J A (a*, a) / (a*) e"
, E.43)
а) =\ах (а*, а)
, a)
E.44)
Если сравнить полученные формулы с формулами B.12),
B.15), выведенными в § 2 для бозе-системы, то нетрудно
заметить, что они имеют один и тот же вид. Если просле-
проследить вывод представления для ядра оператора эволюции
через континуальный интеграл, то можно убедиться, что
весь он основан на двух формулах B.18) и B 15). В слу-
случае фермионов мы имеем абсолютно идентичные формулы
(Г).42), E.44). Поэтому можно сразу написать гредставле-
пение для ядра оператора эволюции ферми-системы с
гамильтонианом h (a*, a, t) в виде
U (а*, а; ?", Г) = С ехр \^- V D (О ak (t") + at (f) ak (?)) 4-
~h (а*(/)> а (г)' iAdt n
E.45)
где считается, что
Подчеркнем, что здесь мы имеем дело с интегралом по
бесконечномерной алгебре Грассмана, с независимыми
образующими ак (t), ak (t), к = 1, . . ., п, для каждого
t t' <С t <С t"
Перейдем теперь к теории поля. Комплексное спинор-
ное поле можно рассматривать как систему фермяоно в
с бесконечным числом степеней свободы, Образующими
3 А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев
66
ГЛ. И. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
алгебры Грассмана являются в этом случае антикоыму-
тирующие функции г|) (х), г|) (х), а классическое действие
имеет вид
^ X (х) dx = j [h|) (у^ду + im) i|) — 7 (г|), г|), ф)] dx.
E.47)
Здесь 7ц — известные матрицы Дирака, удовлетворяющие
перестановочным соотношениям
[Yn, 7v]+ = 2g»\ E.48)
В качестве матриц у можно выбрать, например,
'I 0\ ./ОД /0 т<
I
7* =
-т, о
О т
¦ т3 0
E.49)
гдетг —матрицы Паули A.1.13), al — единичная матрица.
Символом г|) обозначено дираковски сопряженное поле
г|) = г|}*7°, а буквой ср обозначены все остальные поля.
В отсутствие взаимодействия G = 0) поле г|) удовле-
удовлетворяет уравнению Дирака
д N ¦ п E.50)
Вводя преобразование Фурье, можно записать решения
уравнения Дирака в виде
Bя) /г J
E.51)
где комплексные амплитуды г|з± (Лг) удовлетворяют урав-
уравнениям
к0 = у Лга +
[ПЛ
= 0,
2. E.52)
Каждое из уравнений E.52) при фиксированном к обла-
обладает двумя линейно независимыми решениями. Например,
в системе покоя к = 0 уравнения E.52) принимают вид
(Vo + D Ф+ @) - 0, Gо - I) г(," @) = 0. E.53)
§ 5. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФЕРМИ-ПОЛЯМ
67
Решение этих уравнений с учетом явного вида у-матриц
E.49) зависит от двух независимых констант
а @) =
E.54)
Решения в произвольной системе координат можно полу-
получить с помощью преобразования Лоренца. Мы будем
обозначать линейно независимые решения уравнений
E.52) через и%а (к) и vla (к), г = 1,2, соответственно. Ус-
Условия нормировки можно выбрать так, чтобы выполня-
выполнялись соотношения
п1(к)и'(к) =
пг(к)и3(к) = 0,
vl (к) vj (к) = ~ б", vl (к) и} (к) ¦= 0.
E.55)
Здесь гг = u*v°, г; = у*7°.
Полезно привести также формулы суммирования по
спиновому индексу
и (к) (х) и (к) --= —^т— , E.5b)
1=1, 2
E.57)
j
i=l, 2
Поскольку спиноры и, v образуют полную ортонорми-
рованную систему, произвольную спинорную функцию
г|) (х) можно представить в виде
зо {х) =
BлK^
dk [<г*'и*а (к) h* (к) + e«**vi (fc) Ci (к)],
Bл) '
y
E.58)
E.59)
Если г|:а (х) — фермионное поле, то коэффициенты Ъ (к),
Ь* (к), с (к), с* (к) следует рассматривать как образую-
образующие алгебры Грассмана, которые нумеруются значениями
импульса к. В терминах образующих b, b*, с, с*
задается обычным образом нормальное произведение,
т. е. в записи произвольных операторов через ядро
3*
68
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЙ
А (&*, с*; Ь, с) или нормальный символ К (&*, с*; Ъ, с)
образующие Ь*, с* стоят слева от Ь, с.
Рассмотрим систему ферми-полей, взаимодействующих
с внешним источником, в качестве которого возьмем анти-
коммутирующие спинорные функции ? (х), | (х). Гамиль-
Гамильтониан такой системы имеет вид
h =* \ (гг|: (х) укд^ (х) + тгр (ас) г|> (ас) + ij) (ас) Е (а-) +
+ f (х) ф (х)) d»* - $ [ j/fc2 + т* (Ь*(к) Ъ{ (fc) + cf (fc) c4 (fc)) +
+ V* (fc,*) &г (fc) + t* (fc) Vi (fc, «) + 6* (fc, t) c{ (fe) +
+ c*(k)8i(k,t)]d3k. E.60)
Здесь при переходе к импульсному представлению ис-
использованы свойства ортонормированности спиноров и;
и vt, i — 1, 2. При этом
б'-матрица в виде континуального интеграла дается
формулой
S(Ъ*, с*; Ь, с) = Jim J ехр {-1- J d»A(ft* (Л, ОЬ4(Л, О +
[ J dsk -i- (Й? (fc, f) fei (Л, t) - Ь* (Л, f) b'i (Л, f)
X
X
fc, /
dc*(k,1)dc(k, t)
E.62)
где
6* (fc, f) = b* (fc) exp {tco (fti) f},
& (ft-, «') = b (k) exp {-ico (k) t'},
c* (k, t") = с* (Л) exp {ico (fc) t"),
с (fc, t') = с (fc) exp {—ico (fc) ?'}.
E.63)
§ 5. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФЕРМИ-ПОЛЯМ
69
Этот интеграл является гауссовым и вычисляется со-
совершенно аналогично соответствующим интегралам C.11),
C.20) для скалярного поля. Выражение для нормального
символа записывается в явно релятивистском виде
где
(x - y) = (^J* -i-
, I, Ь*,Ъ, с*,с) = exp [i^l (x)Sc (х — у) I (у)dxdy +
+ i I A (x) t0 (x) + ф0 (x) I (x)) dx} , E.64)
*к<*-%4 (fc)
i (fc) 9 (^ -
»«(fc) 9 («, - t±) -
E.65)
— причинная функция Грина уравнения Дирака и
Ci(fc)
— решение свободного уравнения Дирака
(iVn^ii - т) Sc (x) = б (х),
(iVu^n — т)% = 0.
E.66)
E.67)
E.68)
Для перехода от первого представления для Sc ко второ-
второму использованы формулы суммирования по спиновому
индексу E.56), E.57). Первое представление делает оче-
очевидным, в каком смысле функция Грина Sc является
причинной:
-y)l (у) d*y,
E.69)
где !¦ быстро убывает при \ t \ —> оо, не имеет положитель-
положительно частотной или отрицательно частотной волны при
t — > —эо и t —> +сю соответственно.
Формула E.64) может быть положена в основу вывода
разложения теории возмущений для ^-матрицы спинор-
ного поля, взаимодействующего с самим собой или с дру-
другими полями. Для этого заметим, что
E.70)
= 1|з {х) exp
70
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
ехр
ехр \i
где определение правой производной естественным обра-
образом модифицирует определение левой. Эти формулы вме-
вместе с E.64) позволяют сводить континуальный интеграл
для ^-матрицы с произвольным взаимодействием полей
г|), г|), ф к интегралу для ^-матрицы с внешним источником.
Функции Грина спинорного поля и формулы приведения
получаются естественной модификацией формулы для ска-
скалярного поля. Мы закончим обсуждение, приведя выра-
выражение для производящего функционала для функций
Грина взаимодействующих спинорного и скалярного по-
полей с лагранжианом:
X (х) = г|) (х) 1уцд^ (х) — mty (х) я|) (х) -\—=- д^ф (х) д^ф (х) —
содержащим! простейший вариант взаимодействия; этот
фувкционал дается выражением
6 6 6 \ , )
— ее / 1 -г—гт \dx 1 X
6Е (х) оЕ, (ж) 01] (х) J |
X охр {г ^ A (ж) 5С (ж — г/) Е (г/) + -у т) (х) Z) (ж—у) ц (у)) dx dy
E.72)
и может быть записан в виде континуального интеграла
= 4г J ехр
а:) +
+ Ц +
x} J]
E.73)
где интегрирование ведется по полям г|э (х), г|) (ж), ф (ж),
удовлетворяющим условию излучения.
§ 6. Свойства континуального интеграла
в теории возмущений
Как мы уже говорили, на сегодня не существует оп-
определения континуального интеграла во внутренних тер-
терминах. Однако для нужд теории возмущений в квантовой
§ 6. СВОЙСТВА КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА
71
теории поля достаточно уметь работать лишь с конти-
континуальными интегралами специального вида — гауссовы-
гауссовыми интегралами. Для таких интегралов можно развить
технику вычисления и преобразований, которая в компакт-
компактной и наглядной форме содержит всю комбинаторику
диаграммной теории возмущений.
Получим эти правила для случая скалярного поля
на примере производящего функционала для функций
Грина. Для этого функционала у нас есть два эквивалент-
эквивалентных представления: в виде континуального интеграла
D.21) и явная формула C.36). Примем в качестве опре-
определения гауссова континуального интеграла формулу
D.1). Более точно, положим
\ ехр U \ -у Ф (:г) К (х — у) ф (у) dxdy + 'i\(p (x) i\ (x) di
X Ф fa) • ¦ ¦ ф (хп) Д ^Ф (х) = (- i)n
¦х\ X
F.1)
где ядро К (х — у) без ограничения общности можно
считать симметричной функцией своих аргументов.
По определению, интегрирование по dq> перестановоч-
перестановочно с интегрированием по dx и дифференцированием по
внешним источникам ц (х). Предполагается, что оператор
К с ядром К (х — у) имеет обратный К с ядром
К1 (х - у):
\к {х — z) К (z — y)dz =
= J К-1 (x — z) К (z-y)dz = б (х — у). F.2)
Мы будем считать, что ядро К~г (х — у) достаточно глад-
гладкая функция. Функция Dc (x — у), которая фигурирует
в производящем функционале Z(r\), разумеется, этим свой-
свойством не обладает, что приводит при его вычислении по
теории возмущений к появлению ультрафиолетовых рас-
ходимостей. Эти расходимости устраняются процедурой
перенормировки, которая будет обсуждаться в гл. IV.
Первый этап этой процедуры состоит во введении про-
промежуточной регуляризации, заменяющей функцию
Dr (x — у) гладкой функцией. Таким образом, рассужде-
рассуждения, которые будут приведены ниже, относятся к регу-
ляризованной теории возмущений,
72
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Класс функций ф (х), по которым ведется интегриро-
интегрирование, должен обеспечивать однозначное определение опе-
оператора, обратного к К. Если К — Ц, таким условием
является уже много раз упомянутое условие причинности:
Ф асимптотически при | t | —> оо ведет себя как решение
свободного уравнения, не имеющее положительно частот-
пой волны при t—> —оо и отрицательно частотной волны
при t—>-\-oo. Оператор К'1 в этом случае является ин-
интегральным с ядром Dc (точнее, как только что говорилось,
его регуляризацией). Подынтегральное выражение в фор-
формуле F.1) при т] = 0 будем называть гауссовым функцио-
функционалом.
Перейдем теперь к обсуждению свойств континуаль-
континуального интеграла, определенного формулой F.1).
Заметим прежде всего, что функционал F.1), который
естественно назвать преобразованием Фурье от гауссова
функционала
-^-(p(x)K(x — y)q>(y)dxdy^(p(x1). .. (р(хп),
F.3)
сам является гауссовым функционалом, так как при
дифференцировании ехр | \ цК~гц dx dyj мы получаем вы-
выражение, в котором эта экспонента множится на по-
полином.
Мы покажем, что наше определение позволяет дока-
доказать для интеграла F.1) справедливость простейших
преобразований: интегрирования по частям, замены пе-
переменных, а также ввести понятие функциональной
б-функции.
1. Интегрирование по частям. Рассмот-
Рассмотрим интеграл
I
==)
I==
х
X ехр \i \ q(x)r\(x)dx\ Д dq>. F.4)
Функционал
ехр j-i- jj ф (х) К (х-у) у (у) dx dy] F.5)
— гауссов, поэтому интеграл F.4) имеет смысл и по оп-
§ 6. СВОЙСТВА КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА
ределению равен
X
X
X
ехр |-|- ^ ф (х) К(х — у) гр (у) dxdy + i^cp (х) ц (х) dx} j
x
~ У)
=- ii\ (z) Z (г,). F.6)
X
С другой стороны,
— щ (г) Z (т)) = — ^ ехр {-g- ^ Ф (?) К{х~у)у (у) dx dy
X д^-expji J ср (а?) т] (ж) da:J- Ц ^ф. F.7)
X
Сравнивая F.4) и F.6), видим, что имеет место формула
интегрирования по частям, причем граничные члены от-
отбрасываются. Этот результат обобщается на произволь-
произвольный гауссов интеграл, поскольку любой такой интеграл
представим в виде производной от / по г).
2. Повторные интегралы. Поскольку ин-
интеграл от гауссова фупкциопала сам является гауссовым
функционалом, можно определить повторный интеграл.
Докажем, что
\ ехр
Щ п ** • • •
(здесь мы используем сокращенные обозначения, подра-
подразумевая, что по повторяющимся непрерывным индексам
х, у проводится интегрирование).
Пусть равенство F.8) справедливо для некоторого п.
Докажем, что тогда оно верно и для номера п -j- 1. По
предположению,
'п+1
= $ ехр {-
+
X
i, з=1
X
(Оьг
Kjn+1 ф„+
F.9)
74 ГЛ. П. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Выполняя интегрирование по ср,1+1, получим
Х^Лп+m+l— / J^ln+l\^n )lm "-m n
X
.+0 x
I, m~l
X
F.10)
Воспользовавшись тем, что
F.11)
где через К tj обозначена адъюнкта элемента К и матри-
матрицы К, второй сомножитель в показателе экспоненты можно
представить в виде
п
М«+ V \zx Г/Лг.* V \XV RVU \ JfxV T7VV тгъи ]-1
(detAn) l(aex,Kn) J Kn+m+i— /j Л(Я+1л^а;„+1] —
i, j=l
= (det/Tn)M(det^1+1)a:u. F.12)
Рассмотрим отдельные члены в формуле F.10):
Лп+1Лп+1 (det Kn)xz (det К^гГ1 = r\*+1 (K^Zi „+1 <+1,
S Л«+1 (det KZifv КГп+гЩч ==
i
= Лп+1 (det ^+1)x« Kl?i ri = Лп+i (^«а j i)l F.13)
Аналогичным образом можно показать, что коэффи-
коэффициент при л;г|7- есть (i?n+i)f/. В итоге получаем
F.14)
/п+1 = ехр {- 4 X
г, j=l
что и требовалось доказать. Очевидно, что результат не
зависит от порядка интегрирования, так как изменение
порядка эквивалентно просто перестановке столбцов мат-
матрицы К. Таким образом, доказано, что повторные интс
гралы существуют и результат не зависит от порядк?
интегрирования.
I
§ 6 СВОЙСТВА КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА 75
3. Определение б-функции
. F.15)
Это равенство ознДяает, что
x
х
_ # (х)] dx} П dtp \\di\ = F (c'). F-!°)
где F (ф) raycc^J3 функционал (по аналогии с обычным
определением 6-фУНК1ГИИ можно было бы ожидать, что
в формуле F.16) Должен присутствовать еще постоянный,
т е не зависящий от ф'> множитель det с. Отсутствие
этого фактора в формуле F.16) объясняется тем, что наше
определение фун^йионального интеграла F.1) включает
условие нормиров^и)-
Равенство F.^6) проверяется непосредственным вы-
вычислением
С [^exp l-j-{(p(a)K(x — y)tp{y)dxdy} X
Xexpji Сл(*) [5С(Ж~ У)<(>(У)аУ — ф'(ж)] dx} X
X П ^Ф П dy\ = е<р [х $ Ф' (х) С~1К (х ~ У) С~1{Р' (У)dx dlJ\ ¦
F.17)
X X
Покажем теперь,
/я (ф) - ф' (ж)] л (^) ^^} П di\ = б (/х (ф)
F.18)
U (ф) как функц»3?1 ж принадлежит к тому же классу,
что и ф (х). фуЯ*Щия /ж (ф) разложима в формальный
ряд вида
/х (<0 = С° (Ж) + ф И + / (ф),
f (ф) = ^$с1(^,г/)ф(у)^ +
+ ?г ( сг (ж, г/, z) ф (у) <p(z)dydz + . . . F.19)
76
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
(для простоты мы считаем, что коэффициент при ср в пер-
первой степени равен единице. Рассмотрение тривиально
обобщается на случай с -ф 1 с помощью предыдущей фор-
формулы). При этом уравнение
с0 (х) + ф (х) + f (ф) - Ф' (х) = 0 F.20)
имеет единственное решение, представимое в виде фор-
формального ряда по g.
Формула F.18) означает, что
J [ F (Ф) ехр {i jj [/я (Ф) - ф' (х)] П (х) d
Xdet {l + -I
= F(ip), F.21)
где ф (ф') — решение уравнения F.20); det 11 + -—),
—)
по
определению, есть
+ • • •
Согласно определению
F.22)
[/(Ф) - <p'
det
X
X
— -^- ^ л (х) К 1(x —
X exp {- i J [ф' (x) - c0 (ж)] Л (х) dx} П
x
F.23)
Значок —» (<—) над экспонентой означает, что при пред-
представлении экспоненты в виде ряда все операторы б/бг|
нужно поставить справа (слева) от ц. Интегрируя по час-
частям, преобразуем правую часть к виду
¦X
X
ехр {- i jj [Ф' (х) - с0 (х)\ л (х) dx} П di\. F.24)
§ 6. СВОЙСТВА КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА 77
Рассмотрим функционал
: X
X ехр |— i ^ [ф' (ж) — с0
X det
' - c0)} exp [~
- c0 (.г)] л (*)
В (ф', г|) удовлетворяет уравнению
с, начальным условием
В (Ф\ 0) --= А (Ф') = ехр {- \ -^j^ f (ф' - с0) dx}X
F.25)
F.26)
l. F.27)
Будем искать решение уравнения E.26) в виде
В (ф\ ц) =А (ф') ехр {-i j Ф (Ф') л (ж) da:}. F.28)
Подставляя F.28) в F.26), имеем
Ф (х) = Ф' (х) - с0 (х) - f (Ф). F.29)
Следовательно, искомый интеграл равен
А (ф') J exp j- -i- jj т, (х) К'1 (х - у) ц (у) dx dy} x
X ехр |— i \ ф (х) т] (х) dxj П ^Л =
J dx dy} . F.30)
х
= А (Ф') ехр |-L J ф (г) Z (х - }
Нам осталось лишь показать, что А (ц>') = 1. Формулу
F.27) можно переписать в виде
А (ф') = det [ех~р |- ^^- / (ф' - со)|
. F.31)
78
ГЛ. И. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Рассмотрим п-й член суммы, стоящей в квадратных скоб-
скобках. Он представляет собой двучлен, первое слагаемое
которого можно представить в виде
*#¦ ^г Г(ф') = (-^г ^ (w fn~x (ф'})' ((U2)
С другой стороны, п — 1-й член суммы в квадратных
скобках представляет собой аналогичный двучлен, вто-
второе слагаемое которого равно
ф
Таким образом, последовательные слагаемые в квадратных
скобках взаимно компенсируются, и все выражение рав-
равно ед инице.
4. Замены переменных. Пусть
1 = \ ехр {"Г $ ф (ж) А (ж ~ у) *Р ^ dx dy +
+ i^<p(x)T\(x)dx}Hdy. F.34)
Заменой переменных
Ф = /» (ф#), /* (ф') = с0 (х) + ф' (ж) + f (ф'), F.35)
/ приводится к виду
/= J exp H~ S '«(Ф') ^(« - У)/У ((f')dxdy +
+ S J /Я(Ф') л (ж) da:} det {l + ^} Д ^Ф'. F-36)
Чтобы доказать это утверждение, достаточно убедиться
в равенстве фурье-образов F.34) и F.36). Фурье-образ
F.34) есть
ехр j-i- ^(х)К(х-у)Ц (у) dx dy} . F.37)
Фурье-образ E.36) равен
= ехр {-L. J /яд: (ж - у) fy dx dy} det jl +
x
I
§ 6. СВОЙСТВА КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА
79
Утверждение доказано.
Наше рассмотрение показывает, что все те свойства
интеграла Фейнмана, которыми практически приходится
пользоваться в теории возмущений, вытекают непосред-
непосредственно из определения квазигауссова интеграла и могут
быть строго обоснованы независимо от вопроса о сущест-
существовании фейнмановской интегральной меры. Таким обра-
образом, в рамках теории возмущений формализм континуаль-
континуального интеграла является вполне строгим математическим
методом, и полученные с его помощью результаты не
нуждаются в дополнительном обосновании.
Все эти выводы в равной мере относятся и к конти-
континуальным интегралам, содержащим фермиевские перемен-
переменные. В этом случае следует помнить об антикоммутатив-
антикоммутативности вариационных производных и в формулах замены
переменных соответствующий детерминант писать в зна-
знаменателе вместо числителя. Эта отличительная черта
гауссовых интегралов по фер ми-переменным уже обсуж-
обсуждалась выше
^exp {^"
Глава 111
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА — ММЛЛСА
1
§ 1. Лагранжиан поля Янга — Миллса
и специфика его квантования
В предыдущей главе мы сформулировали правила кван-
квантования при помощи континуального интеграла на при-
примере скалярного и спинорного полей. На первый взгляд
поле Янга — Миллса можно было бы квантовать анало-
аналогичным образом, рассматривая каждую компоненту этого
поля как скалярное поле. Это, однако, не так. Калибро-
Калибровочная инвариантность вносит специфические черты в
процедуру квантования. Спинорные и скалярные поля,
с которыми взаимодействует поле Янга — Миллса, не
влияют на эту специфику. Поэтому в ближайших трех
параграфах мы ограничимся обсуждением ноля Янга —
Миллса в пустоте.
Напомним некоторые обозначения, введенные в гл. I.
Пусть Q — компактная группа внутренней симметрии,
Т2 (я = 1, • • м п) — ее ортонормированные генераторы
в присоединенном представлении, tabc — соответствующие
структурные константы и
Ali==AllT A.1)
— поле Янга — Миллса. Калибровочное преобразование
задается матрицей со (х) со значениями в присоединенном
представлении группы:
<Лц (х) ~> А® (х) = со (х) А^ (х) со (х) + д^о (х) со (х). A.2)
Калибровочно-инвариантный лагранжиан имеет вид
I
% = —— tr{f Я- \ A3)
где г 8#2 Mv flv
Уравнения движения
¦- О
A.5)
§ 1. ЛАГРАНЖИАН ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА 81
представляют собой уравнения второго порядка относи-
относительно Ац и калибровочно-ковариантны: если А^ (х) —
решение уравнений движения, то для любой со (х) реше-
решением будет и А® (х), где со произвольным образом зависит
от х. Это значит, что уравнения движения A.5) не неза-
независимы. И действительно, нетрудно проверить, что
VvV^f\iV = 0. (l.fi)
Для доказательства представим VvV^ в виде
VvVl = —(VVV _|_ у Vv) н — (VvVfl — VmVv). A.7)
Вспомним, что для любой матрицы ИЗ (х) в присоединен-
присоединенном представлении
В силу антисимметрии ,f jiV по (i и v получаем
Тождество A.9) является частным случаем второй тео-
теоремы Нётер, утверждающей, что из иниариаитпости функ-
функции Лагранжа относительно преобразований, зависящих
от произвольной функции, следует линейная зависимость
уравнений движения.
Отмеченная специфика уравнений движения проявля-
проявляется и при их квантовании. Действительно, некоторые
из функций, параметризующих классическое решение,
произвольным образом зависят от времени и не подчи-
подчиняются динамике. При квантовании мы должны разделить
истинные динамические переменные и групповые пара-
параметры. Этой задачей мы будем заниматься в следующем
параграфе.
Покажем теперь, почему не проходит наивный перенос
правил построения теории возмущений, разработанных
в предыдущей главе, на случай полей Янга — Миллса.
Согласно рецепту гл. II при заданном лагранжиане X
для построения теории возмущений мы должны предста-
представить его в виде
где Хо — квадратичная форма по полям, a .SSint содержит
формы, более высокие по полям. Одночлены в Xiat опре-
определяют вершины с тремя и более концами, а Хо определяет
82
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯнГА — МИЛЛСА
функции распространения, отвечающие внутренним ли-
линиям. А именно, функция распространения является
ядром интегрального оператора, обратного дифферен-
дифференциальному оператору, определяющему квадратичную фор-
му %о-
Для лагранжиана поля Янга — Миллса Хо с точно-
точностью до несущественной дивергенции имеет вид (в норми-
нормировке Ар. —> gAp.)
В импульсном представлении квадратичная форма Хо
задается выражением
ЛГа^ lh\ - Л"Ь I it ?-2 I. h \ t\ <l 9\
^\-JLIV\"V U ^SJLIV"' — KpPVJ' V *^/
Этот оператор не имеет обратного, и, следовательно,
функция распространения не определена. Причина этого
состоит в том, что, как уже отмечалось, не все компоненты
поля Янга — Миллса являются независимыми динамиче-
динамическими переменными. Аналогичное затруднение возникает,
как известно, в квантовой электродинамике. В этом слу-
случае используется формализм Гупта — Блейлера, который
рецептурно сводится к следующему: в качестве пропага-
тора фотона выбирается функция
DpV (к2) = - J^.Q A.13)
и показывается, что построенная с его помощью 5-мат-
рица унитарна.
Обобщая этот рецепт, можно было бы попробовать
строить теорию Янга — Миллса, используя пропагатор
D^=~ k2 + i0 ¦ A.14)
Однако, как показал впервые Фейнман, такое построение
теории возмущений недопустимо. Вычисленная с таким
пропагатором ^-матрица не унитарна. Поэтому необходи-
необходимо пересмотреть вывод правил теорий возмущений, от-
отправляясь от причинного описания динамики классиче-
классических полей Янга — Миллса, в качестве которой удоб-
удобнее всего использовать гамильтонову формулировку этой
теории.
§ 2. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
83
§ 2. Гамильтонова формулировка поля Янга — Миллса
и его квантовгние
Для того чтобы построить корректную процедуру кван-
квантования, мы должны прежде всего найти истинные дина-
динамические переменные для поля Янга — Миллса и убедить-
убедиться, что они меняются со временем по законам гамильтоно-
вой динамики. После этого мы сможем воспользоваться
для построения оператора эволюции развитым в предыду-
предыдущей главе формализмом континуального интегрирования.
Рассмотрим более подробно структуру функции Лаг-
ранжа поля Янга — Миллса. Удобно использовать функ-
функцию Лагранжа в формализме первого порядка:
? = — tr ^ )
B.1)
g [Ар., .Av] ^ -^mv) .
где Ар, и .^v считаются независимыми переменными.
Этот лагранжиан и следующие из него уравнения движе-
движения эквивалентны лагранжиану A.3). Действительно,
уравнения движения для §\v, следующие из B.1), не
содержат производных. Подставляя их решение в B.1),
мы получим лагранжиан A.3).
В трехмерных обозначениях (ц — 0, к; v = О, I; к, I =
= 1, 2, 3) мы можем переписать лагранжиан в виде
(с точностью до дивергенции)
55 = -4-1
где
2
Щ, B-2)
B-3)
и мы считаем, что 9г %м выражено через A.-t с помощью
уравнений движения, не содержащих производных по
времени:
fi^Mi-Mj + ^Mi. АЬ B.4)
Этот же лагранжиан можно записать в виде
1
B.5)
Из вида лагранжиана B.5) ясно, что пары (Е%, At) ив-
84
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
ляются каноническими переменными, h — гамильтониан,
Aq — множитель Лагранжа, Са — связь на канонические
переменные. Вводя скобки Пуассона
е-у),
B.6)
нетрудно проверить, что
{Ca(x),Cb(p)} = gtabeCe(x)8(;c - у) B.7)
и что
{\d*x[{ElY + (Gin Сь{у)} = 0. B.8)
Это означает, что наша система представляет собой
пример так называемой обобщенной гамильтоновой ди-
динамики. Это понятие было введено Дираком. Рассмотрим
его на примере системы Геи степенями свободы. Пусть
Pi и 4i — ее канонические переменные, пробегающие фа-
фазовое пространство Г2?1, а действие имеет вид
a
i - h (P. Q) -
1 . . . m, m
а (P.
B.9)
n.
Здесь дополнительные к р и q переменные Ха назы-
называются множителями Лагранжа, а фа — связи. Такое
действие определяет обобщенную гамильтонову систему,
если выполняются условия
{А,Фа}=с«Р(р,д)фч; {ф«,фР} = 2саВМр,д)ф7 B.10)
Y
с некоторыми коэффициентами cai>> и са-'у, вообще говоря,
зависящими от р, q.
Мы пользуемся термином «обобщенная гамильтонова
система» в узком смысле, накладывая на связи условие
B.10), согласно которому их скобки Пуассона исчезают
па поверхности связей. В общем случае такое условие
может не выполняться. Связи типа B.10) принято пазы-
вать связями первого класса. Ограничение связями пер-
первого класса достаточно для нашей книги.
Обобщенная гамильтонова система эквивалентна обыч-
обычной гамильтоновой системе Г* с п — т степенями свободы.
Фазовое пространство Г*2<"-т> последней системы можно
реализовать следующим образом. Рассмотрим т допол-
нительпых условий
Хт (Р, Я) -= 0, B.11)
§ 2. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
85
для которых выполняются требования
det | {фа, хр} I Ф 0,
B.12)
B.13)
(Условие B.13) не является существенным, но оно удобно
и мы ниже будем им пользоваться.)
Подпространство в Г2П
ха (р, д) = 0, ф« (р, q) = 0 B.14)
представляет собой искомое пространство Г*2(и~т). Кано-
Канонические переменные р*, q* в Г*2("~т) можно найти сле-
следующим образом. Вследствие условия B.13) мы можем
выбрать канонические переменные в Г2" так, что %а будут
совпадать с первыми т переменными типа координат
Пусть
р = (ра, р*)
— соответствующие сопряженные импульсы.
B.12) в этих переменных имеет вид
det
#0,
B.15)
B.16)
Условие
B.17)
так что уравнения связей
Ф» (р, д) = 0 B.18)
можно решить относительно ра. В результате подпро-
подпространство Г*2<п~т) задается уравнениями
Xе = qa = 0; ра = ра {р*, д*) B.19)
яр*, q* являются каноническими. Гамильтонианом этой
системы является функция
B.20)
h*(p*,q*) ^
|ф_,0,х=0.
Эквивалентность систем Г и Г* означает следующее.
Рассмотрим уравнения движения для системы Г
Pi + -
= 0, B.21)
Фа = 0.
Решения этих уравнений содержат произвольные функ-
функции Ха (t). Дополнительные условия %а (р, q) = 0 уни-
86
ГЛ. ITT. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
чтожают этот произвол, выражая Ха (t) через канониче-
канонические переменные. В результате в качестве уравнений
движения остаются уравнения для переменных р*, q*.
Эти уравнения совпадают с гамильтоновыми уравнени-
уравнениями для системы Г*
' — -з-зг; Р = — ^г*-- B.22)
dp* ' ' dq* ч '
Действительно, рассмотрим уравнение B.19), B.21)
в координатах B.15), B.16). Уравнения (а -¦= 0 приводят
к соотношениям, позволяющим найти Ха:
a*_ + WJ2*!L = 0. B.23)
fin ' fin ч '
Рассмотрим теперь какую-нибудь из координат q* и срав-
сравним уравнения для нее, следующие из B.19), B.21) и
B.22). Они имеют вид
С *=г
«Эр*
аР*
' ~ dp* ~ ар* + аРа ар* ^ ¦ '
соответственно. Правые части этих уравнений совпадают,
если
dp*
дра др* ¦
B.26)
Используя уравнение B.23), это условие можно перепи-
переписать в виде
ар*
= 0.
B.27)
0рр дР* )
Это равенство выполняется в силу условия связи фа = 0.
Переменные р* рассматриваются аналогично. Утвержде-
Утверждение доказано.
Изменение выбора дополнительных условий сводится
к каноническому преобразованию в пространстве Г*2("~т)
и поэтому не влияет на физику задачи.
Для квантования системы Г можно использовать не-
независимые переменные р*, q*. Тогда оператор эволюции
будет задаваться континуальным интегралом
jj exp \i J [р*( * - h (p*, q*)] dt] П -^~f- , B.28)
§ 2. ГАМЙЛЫ'ОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
87
где фиксируются начальные и конечные значения коорди-
координат q*. Однако на практике связи не всегда легко решить.
Поэтому желательно уметь работать непосредственно в
терминах обобщенной системы Г. Нетрудно убедиться,
что континуальный интеграл
exp
{'
i — h (р, q) — Х«<р« (р, q)] dt} X
B-29)
t,a
совпадает с интегралом B.28). Действительно, интегри-
интегрируя по Я, формулу B.29) можно переписать в виде
exp |i jj [рг({ - h (p, q)] dt
t,a
В переменных ра, да, p*, q* множитель
П б (фа) б (Ха) det | {фа, хр} |
-^Г". B-30)
B.31)
переписывается в виде
= П6(я«>6[р«
t
а (р*, С]*)].
B.32)
В результате после интегрирования по ра и qa интеграл
B.29) сводится к B.28).
Сравнение формул B.5)—B.8) и B.9), B.10) показы-
показывает, что поле Янга — Миллса действительно представ-
представляет собой обобщенную гамильтонову систему. Применим
для ее квантования описанную только что процедуру.
Ясно, что роль дополнительного условия в этом слу-
случае должно играть условие калибровки. В качестве такого
условия мы выберем соотношение
дкЛк = 0.
B.33)
Это условие допустимо. Действительно, очевидно, что
{дКАа: {х), д,АЬг {у)} = 0.
B-34)
88 ГЛ. III. КВАНТОВАНИЙ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
Далее,
1Са(х), дг,А\ (у)} = - дк [дк8а!> - gl^Al (х)] б (я - у).
B.35)
Оператор Мс = АбаЬ — gtabcAc; (х) дК в рамках теории
возмущений обратим. Обратный оператор М~с является
интегральным оператором, ядро которого М'с (х, у) оп-
определено интегральным уравнением
йаь
4я \х-у\ ~*~
и может быть вычислено итерациями в виде формального
ряда по g. (Заметим, что для больших полей Ак оператор
Мс может иметь нулевое собственное значение, так что
Мс перестанет существовать. Этот вопрос, однако, вы-
выходит за рамки теории возмущений^ и мы не будем его
здесь обсуждать.)
Вид дополнительного условия B.33) подсказывает, что
для нахождения координат q* удобно использовать орто-
ортогональное разложение А к
// — //, I /I™ /9 *\П\
на продольную и поперечную компоненты. Здесь
, B.38)
dkAj = O. B.39)
Ясно, что роль q* играют поперечные компоненты А\ (х).
Сопряженные с ними импульсы — это поперечные со-
составляющие <oji (x). Уравнение связи представляет собой
уравнение для продольной части Щ\ (х). Если положить
B.40)
то уравнение связи запишется в виде
- g [А, дМ - g U,, el] = 0,
B.41)
в котором участвует уже знакомый нам оператор
§ 2. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
Это уравнение позволяет выразить продольную составля-
составляющую Щ\ через if и А\. После подстановки решения
в гамильтониан h (А, <?) мы получим гамильтониан
h* (Ат, &т) в виде бесконечного ряда по константе g.
Переменные Ат, ёт и гамильтониан /г* являются истин-
истинными гамильтоновыми переменными для поля Янга —
Миллса. Полевая конфигурация Ат при фиксированном
времени t задается двумя функциями от х. Это значит,
что поле Янга — Миллса имеет два возможных состояния
поляризации.
Теперь мы можем написать 5-матрицу для поля Ян-
Янга — Миллса через континуальный интеграл
S = lim J ехр {J d»k \ \ ^ а? (к, t") a\ (к, I") +
t"
+ af (к, t')a1(k, О] + i \ dt J d*x [(- \
X
X tr [й7 (зв, t) Aj (ж, t) - Sf (ж, t) Al (x, I)] -
da* (fe, t)dai (fe, t)
, B.42)
где
BяK/2 .Zj
(x, t) ¦= -^
l/co '
B.43)
r l/co d3k
")J 1/2-
и i4 (^), i = 1, 2 — два вектора поляризации, в качестве
которых можно взять два произвольных ортонормирован-
ных вектора, ортогональных вектору к. Здесь считается,
что выполняются асимптотические условия
а\ (/.-, t) j^+ c^'a'i (к). B.44)
90
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
Эта формула не очень удобна для построения диаграм-
диаграммной техники, поскольку гамильтониан h* известен лишь
в виде ряда по константе g и порождает к тому же нело-
нелокальные по пространственным координатам вершины.
Конечно, это чисто техническая трудность, но она сильно
затрудняет практические вычисления, в частности про-
проведение программы перенормировок. Отмеченный недо-
недостаток исчезает, если мы воспользуемся представлением
для ^-матрицы в виде интеграла по всем функциям
di (к, t), &t (к, t):
S
lim
af (k, t") a\ (k, t") +
i=l,2
exp {J d% [-i-
+ af (k, t') a\ (k, *')] + » jj dti d3x X
t'
X ( — 4")tr
- ff? (ж, t)
X Д б
x,t
x> *) Лi (ж, t) — i[ (ж, t)
(x, t) + 2J0 (d,$t - g
iAi) det Mc [^] Д
x,t
(x, t) -
, ?,])]} x
0. B.45)
Здесь граничные члены <ц (к, t"), at {к, t') определены
теми же формулами, что и выше, т. е. строятся по попе-
поперечным полям jti .
Это выражение можно преобразовать аналогично тому,
как мы сделали в гл. II для случая скалярного поля.
В результате получаем для нормального символа 5-мат-
рицы
S =
exp ji ^ dx j^-g- tr ,f ,,vf MV]| X
Д б (дк-Лк) Д det Mc [Л] Д йЛ», B.46)
где интегрирование ведется по всем полям Л^ (х), при-
причем фиксировано асимптотическое поведение их трехмерно
поперечных частей
4{ (ж)^±оо — .aLxa (x); B.47)
in
I
§ 2. ГАМИЛЬТОТТОПА ФОРМУЛИРОВКА
out
1=1,2
\ [a\, in (
V OUt
out
, 2,
и соответствующим образом доопределена квадратичная
форма действия.
В формуле B.46), так же как и в случае скалярного
поля, интегрируется фейнмановский функционал exp {i X
Xдействие}. Однако интегрирование ведется не по всем
полям. Мера интегрирования явно содержит б-функцию
от калибровочного условия. Это является проявлением
принципа относительности, согласно которому нужно
интегрировать не по всем полям, а лишь по классам ка-
либровочно-эквивалентных полей; б-функция отбирает по
одному представителю в каждом классе, а определитель
обеспечивает правильную нормировку меры интегрирова-
интегрирования. Асимптотические условия также согласованы с вы-
выбором калибровочного условия.
Разложение интеграла B.46) в ряд теории возмущений
порождает диаграммную технику. Пропагатор опреде-
определяется гауссовым интегралом
exp
dx tr [-J-
с фейнмановскими граничными условиями на .Ли (усло-
(условиями излучения). Этот интеграл равен
exp j-L J Jl (x) Dls (x - у) К (у) dx dyj , B.49)
где D"^ — искомый пропагатор:
nl
Ifel2
B.50)
Для доказательства воспользуемся интегральным пред-
представлением б-функции (П.5.18). Тогда / (/) задается
<12 ГЛ. TIT. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
гауссовым интегралом
/ (/) = А-1 J exp \i jj dx [- -L (<?v4 - ^J +
+ /{^ + л'<М[.]} ЦйЛд^, B.51)
X
для вычисления которого надо найти экстремальное зна-
чепие показателя экспопенты. Уравнения
4
кк1 = о,
B.52)
переписываются в виде
и однозначно решаются при сформулированных выше гра-
граничных условиях. При этом можно считать, что источник
/ удовлетворяет условию поперечности
дъЛ = 0.
В результате решение дается формулой
B.54)
B.55)
где D'^y (х) — только что введенная кул онежская функция
распространения.
Явное выражение для Z)Jjv показывает, что распро-
распространяются во времени только трехмерно поперечные со-
составляющие Ац, что согласуется с нашими граничными
условиями.
Недостатком диаграммной техники в кулоновской ка-
калибровке является отсутствие явной релятивистской ин-
инвариантности. В следующем параграфе мы покажем, что
в интеграле B.46), определяющем 5-матрицу, можно
перейти к явно ковариантной калибровке.
Мы закончим зтот параграф описанием альтернативной
гамильтоновой формулировки теории Янга — Миллса,
используя калибровочное условие ,Лй = 0. Эта калиб-
калибровка выгодно отличается от кулоновской тем, что она
является допустимой и вне рамок теории возмущений.
Покажем, что в каждом классе калибровочно-эквивалент-
§ 2. ГАМИЛЪТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
ных нолей содержится поле, удовлетворяющее условию
Ло = 0. B.56)
Для этого заметим, что уравнение
а
д.
со (ас, I) = — со (ас, I) Ай (ас, t)
допускает решение вида
соо(ас, t) =
t
— $ A0{x,s)ds] ,
B.57)
B.58)
где символ Т означает, что экспоненту надо упорядочить
по времени. Из уравнения B.57) следует, что
Ау. = соое/0цсо„ -|- б»Aсо0со(| B..)Я)
удовлетворяет условию
Х° = °- B-ГH)
Наряду с матрицей соо (х) аналогичным свойством
обладают матрицы со (х) вида
со (х) = со (ж)соо (х), B.61)
где со (ас) — произвольная матрица из й, зависящая толь-
только от пространственных координат. Таким образом, га-
мильтонова калибровка не уничтожает полностью калиб-
калибровочный произвол в определении поля Янга — Миллса,
а сводит калибровочную группу к группе матриц <о(г).
Покажем теперь, что уравнения движения в калиб-
калибровке Ао = 0 фактически являются гамильтоновыми.
Для этого удобно использовать формулировку уравнений
движения в виде уравнений первого порядка, следующих
из лагранжиана B.1):
g
- f цГ =
— g
Посмотрим на эти уравнения в трехмерной формули-
формулировке. В обозначениях ji = @, к), v — @, /) и т. д. 10
уравнений B.62) перепишутся в виде
— g
g Mi-
.fob-1 ==
B.63)
Й4 гл. т. Квантовании поля янга — миллса
Исключая переменные $ 1к с помощью уравнений движе-
движения, видим, что система уравнений B.63) имеет явно
гамильтонов вид
Ml (ж, t)
= {H,Et(x,t)},
d0A%(x,t)=-
6tf
¦ = {H,Aak(x,t)},
B.64)
&Eak (x, t)
H = \h d3x,
где использованы введенные выше обозначения для Е^, h
и скобки Пуассона. Последнее уравнение
% (х, 0=0 B.65)
представляет собой уравнение связи. Как мы уже видели,
скобка Пуассона {Я, % (х, t)} исчезает,
{Я, % (х, t)} = d0(fo (ас, t) = О, B.66)
так что % (х, t) порождает бесконечный набор интегралов
движения.
Покажем, что % (ж) являются генераторами инфини-
тезимальных калибровочных преобразований, оставшихся
после наложения калибровочного условия Ло = 0. Для
этого произвольной матрице ос (х) в присоединенном
представлении группы Q (х) сопоставим величину С (ос):
B.67)
Перестановочные соотношения B.7) в этих обозначениях
переписываются в виде
{С (ос), С (р)} = gC ([а, р]). B.68)
Это показывает, что С (а) задает представление алгебры
Ли группы калибровочных преобразований, состоящей
из матриц а (х). Действие этого представления на пере-
переменные Ai (x) и $i (ас) дается формулой
А[ = {С (а), А{ (х)} = др (х) - g [At (x), а (х)],
^,, = {С (а), ^ (х)} = -g VSk (x), a (x)].
B.69)
Итак, действительно, С (а) являются генераторами ка-
калибровочных преобразований, оставшихся в гамильтоно-
вой калибровке.
§ 2. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
95
В соответствии с принципом относительности наблю-
наблюдаемые величины О {А\, Шк) калибровочно-инвариантны
и, следовательно, должны коммутировать с С (ос). Это
условие представляет собой систему дифференциальных
уравнений первого порядка, для которой соотношение
B.68) играет роль условия интегрируемости, и выражает
одну из шести функций Ак, ё^, от которых зависит О,
через остальные. Вместе с условием связи B.65) это сво-
сводит число независимых функций к четырем, что согласу-
согласуется с подсчетом степеней свободы в кулоновской калиб-
калибровке.
Посмотрим, как эта классическая картина переносится
на квантовый случай. В операторной формулировке га-
гамильтониан, связи С и наблюдаемые О становятся опера-
операторами, удовлетворяющими соотношениям
Р]), B70)
[Я, С (ее)] = 0; [О, С (а)] = 0.
Мы не можем положить прямо оператор С равным нулю,
однако формулы B.70) показывают, что существует под-
подпространство, образованное векторами г|), удовлетворяю-
удовлетворяющими уравнению
СЧ|> = 0, B.71)
и что это подпространство инвариантно по отношению к
операторам наблюдаемых величин. Условие B.71) заме-
заменяет классическое уравнение С = 0, а построенное под-
подпространство является истинным пространством состояний
нашей физической системы.
Итак, наша задача состоит в том, чтобы построить
матрицу рассеяния, описывающую переход из асимптоти-
асимптотического состояния W' в состояние х?". В отличие от случая
кулоновской калибровки, когда асимптотические состоя-
состояния включали лишь трехмерно поперечные кванты, теперь
пространство асимптотических состояний содержит наряду
с поперечными также и продольные кванты. Его можно
реализовать как тензорное произведение пространства
поперечных и продольных квантов: Ж = Ж'1' (х) Ж'1. В ка-
качестве Жт можно выбрать пространство Фока для попереч-
поперечных квантов. 13 то же время из уравнений B.63) видно,
что продольная компонента поля в отсутствие взаимо-
взаимодействия удовлетворяет не уравнению гармонического ос-
осциллятора, а уравнению свободного движения. Поэтому
96
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
для Ж1' естественно выбрать координатное или импульсное
представление. В дальнейшем будем обозначать W-* =
= |$г,>, если Жь реализовано в импульсном пред-
представлении, и W'j = | ЛО1 если Жь реализовано в коор-
координатном представлении.
Физические состояния выделяются условием B.71).
Для асимптотических состояний это условие упрощается.
Обычно полагают, что закон Гаусса асимптотически ли-
линеаризуется:
lim еш»'С (а) е-ш°* = Со (а) + О A), B.72)
где
в> t)a{x)d*x
B.73)
— генератор линеаризованных калибровочных преобра-
преобразований
бе,,. = 0, б А = дка (х), B.74)
а Но — свободный оператор энергии
?? + {dKJt - <М/,-J] ^. B.75)
Предположение о линеаризации является стандартным
для теории возмущений и эквивалентно гипотезе об адиа-
адиабатическом выключении взаимодействия. Для наших целей
достаточно более слабого условия — линеаризации закона
Гаусса по трехмерно поперечным компонентам полей.
Мы не будем, однако, здесь на зтом останавливаться и
предположим, что выполнено условие B.72).
Легко видеть, что физические состояния, которые ан-
аннигилируются оператором Со, можно представить в виде
|?>= I^Xg) |0>= \W, 0>, B.76)
где | W7"} обозначает произвольный фоковский вектор в
пространстве поперечных состояний, а |0> — собственный
вектор оператора <Eh с нулевым собственным значением.
Оператор Со коммутирует с .S-матрицей. Это показы-
показывает следующая формальная выкладка:
SC0= lim eiBfe-ii4r-t')e-m\tc0 =
t" ¦¦ 100
= lim
t"—+co
= lim
г-н-»
= CQS. B.77)
2. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
97
Отсюда следует, что ^-матрица унитарна в физическом
подпространстве, т. е.
Поскольку векторы физического подпространства при-
принадлежат непрерывному спектру, матричный элемент
перехода между двумя физическими состояниями,
<(*? , 0 | S | Ч? , СГ>, сингулярен. Однако, воспользовавшись
свойством B.78), его можно естественным образом дооп-
доопределить:
B-79)
где у — произвольная константа. Поскольку матричный
элемент в правой части пропорционален б (%''), это выра-
выражение не зависит от у.
Чтобы вычислить интересующие нас амплитуды пере-
перехода, заметим, что произвольный матричный элемент
можно согласно (И.3.29) записать в виде
= ехр {-
Su
где
B.80)
L>, B.81)
t' —00
a ?70 (f, t') — оператор эволюции для рассеяния на внеш-
внешнем источнике \ J{ (x) A'i (x) dx.
Матричный элемент B.81) определяет пропагатор фейн-
мановской диаграммной техники, зная который можно
вычислить интересующую нас 5-матрицу по формуле
B.80). В формуле B.81) зависимость от продольных и
поперечных компонент факторизуется, и задача сводит-
сводится к независимому вычислению (W1 \ S (JT) | WT) и
<$ ' | S (J ') | WJy. Поперечный матричный элемент был
4 А, А. Славнов, Л. Д. Фаддеев
98 ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
вычислен выше. В частности,
<0 | So (JT) 10> = ехр {4- J Jla (х) 1%*С (х - у) jf (у) dx dy},
B.82)
где Dij — кулоновский пропагатор B.50). Продольный
матричный элемент <#L | S 0 (JL) | 0 ) можно представить
в виде
= lim
*'-»—со
X
Jh I Uo (f, f) I ЛЪ (A\ I e-W | 0> П
i dA\.
B.83)
В этой формуле мы воспользовались свойством полноты
системы векторов | Ль~у.
Каждый из входящих сюда матричных элементов
выражается через функциональный интеграл вида
, t)dxdt\, B.84)
где
(Для первого и третьего матричного элемента j\ = 0.)
Интеграл B.84) гауссов, поэтому он равен подын-
подынтегральному выражению, вычисленному в точке экстрему-
экстремума показателя экспоненты. Экстремальные значения Ль
определяются из решения соответствующих классических
уравнений и задаются формулами:
Аак' L(x, t) = 4- \' \t - s | Jp L(x, s)ds + Cl (ж) t + Dak (x)
*L (ж-s)ds -
pL(x,s)dS, B.86)
§ 2. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
99
4" \* (s
l (x) = AV, f ~ 4" \ (s ~ h) Л'L (*, s) ds - Ci (ж) tv
Подставляя зти выражения в B.83) и выполняя три-
тривиальное интегрирование по Ль, мы получим выра-
выражение для матричного элемента <$?< | 5,, (JL) | 0}. Чтобы
получить матричный элемент перехода между физиче-
физическими состояниями, нужно в соответствии с определе-
определением B.79) проинтегрировать это выражение с весом
ехр \-Ц- \ 2?к° (?)Е\а (x)dx\ . В результате получим
ехр |-L
?¦ь (х)
L
(х, у) A; L (у) dx dy} , B.87)
где
B.88)
К B-89)
D{xo,yo) = -^-\xo — yo\ — —\xo + yo\ + y. B.90)
Если бы в формуле B.79) мы интегрировали не по конеч-
конечным, а по начальным состояниям, то для функции D (х0, у0)
получили бы
-у |х0 + у0 |
у. B.91)
Объединяя вместе результаты для поперечного и продоль-
продольного матричных элементов, получаем окончательное вы-
выражение для функции Грина поля Янга — Миллса в
калибровке Лй = 0:
>in (X, У) — BлI
?2 _|_ iQ I "in y^2
~~2~ \Х0 У 0 I i ~~2~ (Х0 "Ь ^о) ~Ь *
X
. B.92)
Как видно, пропагатор B.92) зависит не только от
разности (х — у). На первый взгляд это нарушает транс-
трансляционную инвариантность. Нетрудно показать, однако,
А*
100
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
что калибровочно инвариантные величины обладают транс-
трансляционной инвариантностью. Это следует хотя бы из
того, что трансляционно неинвариантные члены можно
устранить калибровочным преобразованием.
В отличие от диаграммной техники в кулоновской
калибровке, в калибровке Лй = 0 отсутствуют вершины,
порожденные (let Me, что несколько упрощает вид взаимо-
взаимодействия. Однако отсутствие явной трансляционной ин-
инвариантности сильно затрудняет практические вычисления
и служит серьезным препятствием для последовательного
проведения программы перенормировок, которая будет
обсуждаться в следующей главе.
Окончательное выражение для б'-матрицы можно за-
записать в виде континуального интеграла от релятивистски
инвариантного действия, введя формально интегрирова-
интегрирование по Лй:
S - Л' J охр \i J dx [4"
где для Л^ подразумеваются описанные выше граничные
условия.
Этот интеграл также допускает интерпретацию в духе
принципа относительности. Он представляет собой интег-
интеграл по классам калибровочно эквивалентных полей при
другом калибровочном условии, определяющем выбор пред-
представителей.
§ 3. Ковариантны е правила квантования
и фейнмановская диаграммная техника
Как уже отмечалось, полученные в предыдущем пара-
параграфе выражения для ^-матрицы не являются явно ко-
вариантными. Это неудобно для вычислений по теории
возмущений, в особенности для проведения перенорми-
перенормировок. Метод континуального интеграла позволяет изба-
избавиться от этого недостатка. Принцип относительности
подсказывает, что для этого нужно перейти к реляти-
релятивистски-инвариантной параметризации классов калибро-
вочно-эквивалентных полей, т. е. выбрать релятивистски-
инвариантную калибровку. Простейшим релятивистски-
инвариантным калибровочным условием является условие
Лоренц а
8^ = 0. C.1)
§ 3. КОВАРИАНТНЫЕ ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ
101
Покажем, как, исходя из уже известного выражения
для iS-матрицы в кулоновской калибровке B.40), можно
перейти к лоренцевой калибровке. С геометрической
точки зрения мы должны 'перенести меру, заданную на
поверхности Фс = д^Л^= 0, на поверхность Фь = д^Лц =
— 0 вдоль траекторий калибровочной группы. Формально
ото можно сделать, используя следующий прием. Введем
функционал А г, (А), исходя из условия
C|1./С)<*«>=1' C-2)
где интегрирование ведется по мере Ц dco (х) и da>— ин-
X
вариантная мера на группе ?2:
d (toco0) = d (со°со) = da. C.3)
Функционал А/, (,Л), очевидно, калибровочно-инпарпантен:
что непосредственно следует из инвариантности меры
интегрирования.
Пользуясь соотношением C.2), выражение для 5-мат-
рицы B.46) можно переписать в виде
S = N'1 \ exp \i \dx\ -5- tr .^avf nv r 11 о (^h-^n) X
J L J L » J) x
X lldetMc(.ji)AL(J,)]l8(dilJ,^)d(odJ,. C.5)
t x
Заметим теперь,' что функционал lldet Me {-Л) совпадает
t
с калибровочно-инвариантным^функционалом Ас {А) на
поверхности Фс = д^Аъ = 0, где Ас {А) вводится ана-
аналогично А/, (А):
Действительно, если А к удовлетворяет условию дкАц —
= 0, то со = 1, очевидно, является корнем аргумента
б-функции (единственным в рамках теории возмущений).
Поэтому в интеграле C.6) достаточно интегрировать лишь
в окрестности единичного элемента. Для со (х) =t 1 -f-
-f- и (х) имеем
дкЛ% — Д и — g {А,* {х), дци (х)] = Мси (х) C.7)
102 ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
И
§ 3. КОВАРИАНТПЫЕ ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ
103
C.8)
Таким образом, интеграл явно вычисляется, и мы полу-
получаем, что
Ас (Л) \оклк=о = П det Мс (А).
(,¦3.9)
Вернемся к нашему интегралу C.5), в котором, как
мы только что доказали, можно положить
П б @,,А) П det Мс = Пб (д,Ак) Ас. C.10)
X t X
Сделаем теперь замену переменных
jli—yjf'1, C:11)
якобиан которой, очевидно, равен единице. В силу ин-
инвариантности действия и множителей А^, Ас интеграл
C.5) перепишется в виде
X б (dkAf) Ас (Л) da dA. C.12)
Заменяя в интеграле по da>, «Г1 на о и пользуясь фор-
формулой C.6), видим, что последние два сомножителя в
подынтегральном выражении C.12) можно опустить.
В результате получаем выражение для ^-матрицы в ло-
ренцевой калибровке:
S = IT1 J exp {i jj dx [4- *г frwf ^v] П Al {Л) б (дй^) dX
C.13)
Рассуждения, полностью аналогичные тем, которые при-
привели к формуле C.9), показывают, что на поверхности
Ф? = <9,,,.//м (ж) = 0 функционал AL равен
C.14)
<vA)a. C.15)
-«д=о = det ML,
где оператор M7j определяется формулой
Заметим, что фигурирующие здесь определители det Me
и (let Mi, уже встречались нам в гл. I при формулировке
допустимости калибровочного условия.
Мы пока не обсуждали влияние замены неременных
на асимптотические условия в интеграле B.46). В связи
с этим полученная формула для «S'-матрицы C.13) носит
пока несколько формальный характер. В частности, из
наших рассуждений не ясно, в каком смысле следует
понимать детерминант Mi,. Дело в том, что для коррект-
корректного задания оператора Mi, во всем пространстве пере-
переменных х нужны граничные условия при ?—>-+°°. По-
другому тот же вопрос можно сформулировать следующим
образом. Для определения детерминанта естественно вос-
воспользоваться формулой
det ML = exp {Tr In Mt) =
= exp {Tr In ? + Tr In A + CTW (A))}. C.16)
Здесь символом Тг обозначена операция взятия следа,
включающая также интегрирование по координатам.
Первый множитель представляет собой несуществен-
несущественную константу, которая меняет лишь нормировочный
множитель N. Второй же множитель порождает добавку
к действию, которая имеет вид
Tr in A + П w {Л))
tr
x2 ~ Xl) _...
w)n --=
.О {хг — х2) х
dXi . . . dXn x
X ti{Alh(x1)...Alin(xn)} X
X d^D (Xl -x2)... d^D (xn-Xl)-..., C.17)
где D (x) — функция Грина оператора д'Аламбера. Эта
функция Грина определена неоднозначно, и вопрос со-
состоит в том, какие граничные условия надо наложить для
ее однозначного определения. Практически речь идет о
способе обхода полюса в интеграле
¦dk,
C.18)
определяющем функцию Грина. Аналогичная проблема
возникает и приЧшределении функции Грина D^v (x — у),
104
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
отвечающей квадратичной форме в лоренцевой калибров-
калибровке. Формальный ответ, полученный обращением этой
квадратичной формы, имеет вид
% (x-y) = -J^- jj е-^
-L dk. C.19)
В этой формуле также необходимо выяснить, в каком
смысле обходятся полюса подынтегрального выражения.
Для ответа на вопрос о граничных условиях нужно
провести преобразование интеграла B.46) к интегралу
C.13) до перехода к пределу по времени t" ->¦ оо, t' ~-*~ —оо.
Напомним, что в кулоновской калибровке, помимо гра-
граничных условий на трехмерно поперечные составляющие
потенциала А*, у нас есть условие
0ftA-=O, C.20)
которое выполняется во всем интервале t' <^ t ^ t",
в том числе и при t = t", t = t'. Замена переменных
= со
'со
C.21)
не должна нарушать этого условия.
Удобно выбрать калибровочную функцию со (х, t),
удовлетворяющую следующим граничным условиям:
со (х, t") = 1, со (ж, t') = 1. C.22)
Такой выбор обеспечивает неизменность граничных зна-
значений поперечных составляющих Лк при t' —>¦ —сю,
t" ~> +°°i так как в этом пределе преобразование C.21)
сводится к замене
Ак->Ак, А0^А0-доа, C.23)
со = ехр {а}. C.24)
Таким образом, формальное определение оператора Мъ,
данное формулой C.15), следует дополнить граничными
условиями
а (х, t") = а («, t') = 0. C.25)
Функция Грина D, возникающая при разложении де-
детерминанта в ряд теории возмущений, является функцией
Грина оператора д'Аламбера с этими же граничными
S з. ковлрилнтнъге правила квантования
105
условиями. Такая функция имеет вид
C.26)
при х0 ;> у0 Dx (x, у) определяется из условия симметрии
Пг (х, у) = .Dj (у, х).
При таком определении оператора ML его детерминант
положителен в рамках теории возмущений, что и оправ-
оправдывает его использование в формуле C.14) вместо | del Mi\.
Аналогично решается и вопрос об обходе полюсов в
функции Грина D^v. Для ее определения при конечных
/', t" мы должны решить уравнения
ал=л. 0дЛ=о. C-27)
где dp, удовлетворяет условию совместности
ад*=°- C-28)
Граничные условия для этой системы таковы:
а* (к, t") = а* (к,) еш", а{ (к, Г) = о4 (As) е~ш' C.29)
(i = 1, 2),
дкАк (jc, t) = 0 при t = t', t = t".
Граничные условия для Лй определяются из самой сис-
системы C.27) и имеют вид
д0А0 ==0, t = *', t = t". C.30)
Решение системы C.27) имеет вид
где
(х) = ЛЬ {х) + ID (х, у) Jl (у) dy, C.31)
А\т" (х) =
BпУ
\т" (х) = ? J eik*-iatabi (к) и\ (Щ +
= , C.32)
и векторы и\ (/.') введены выше в B.43). Функция Грина
D (х, у) имеет вид
Л (х, у) = De (х - y)Q (t" - уо)В (у0 - t'), C.33)
100
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ПТ1ГЛ — МИЛЛСЛ
и при t' ->¦ —оо, t" ->¦ +°° переходит в причинную функ-
цшо Грина Dc (х — у). Остающиеся компоненты Л{ (х)
и Ло (х) даются формулами
Ао (х) = J D, (х, у) Jo (у) dy; Л\ = J D2 (x, у) Cfi (у) dy,
C.34)
где D2 (x, у) — функция Грина оператора д'Аламбера с
граничными условиями
доа |t=r = доа |f=r = 0. C.35)
Эта функция имеет вид
#2 (Х' У) =
I
BлK
cos[]lc\(Xo~t')]cos[\k\(yo~t')]
|ft|sin[|fc|(i' —С)]
C.36)
При ж0 2> у0 D2 (x, у) определяется из условия симметрии.
Объединяя формулы C.33), C.36), C.26), получаем функ-
функцию Грина в лоренцевой калибровке для конечного ин-
интервала времени, согласованную с кулоновскими гранич-
граничными условиями.
Попробуем теперь перейти в полученных выражениях
к пределу при i"->oo, t' ->¦ — оо. Предел функции
D (х, у) существует и совпадает с причинной функцией
Грина Dc (x — у). Это согласуется с тем, что трехмерно
поперечные составляющие Af (x) отвечают физическим
поляризациям.
Функции Dx (x, у) и D2 (x, у) не имеют предела при
?"->+°о, f ->—оо. В то же время предел интеграла
C.13), определяющего ^-матрицу в лоренцевой калиб-
калибровке, должен существовать, поскольку по построению
этот интеграл равен кулоновскому интегралу B.40), для
которого предел существует. Это значит, что при разло-
разложении ^-матрицы C.13) в ряд теории возмущений сум-
суммарный вклад функций Dx ш D2 стремится к определен-
определенному пределу. Формально этот предел проще всего вы-
вычислить, регуляризуя одинаковым образом функции Dx
и ZJ, например, добавлением бесконечно малой мнимой
части к переменной интегрирования fc2. В результате та-
такой регуляризации осциллирующие экспоненты в подын-
подынтегральных выражениях для Dt и D2 станут либо расту-
§ 3. КОВАРИАИТНЫЕ ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ
107
щими, либо убывающими при больших | t' |, | t" \ и пре-
предел будет существовать. Наиболее удобно считать, что
к2 имеет отрицательную мнимую добавку —Ю, так как
в этом случае пределы функций Dx и D2 совпадают с
причинной функцией Dc (x), и для полной функции Грина
в лоренцевой калибровке мы получаем явно ковариантное
выражение
1 С ( kk )\C 37)
Одновременно функции Грина, фигурирующие в разло-
разложении определителя det ML в ряд теории возмущений,
также становятся причинными, а сам определитель ста-
становится комплексным функционалом от Ауу..
Подчеркнем еще раз, что конкретная регуляризация,
использованная здесь, не является единственно возмож-
возможной. Например, при замене к2 ->¦ к2 + Ю мы получили
бы антихронологические функции Грина для нефизиче-
нефизических поляризаций и мнимая часть определителя поменяла
бы знак. При этом, однако, функция Грина D^ потеряла
бы явную ковариантность.
Приведенные довольно длинные рассуждения привели
нас к следующему ответу на поставленный выше вопрос:
все обходы полюсов функций Грина можно считать фейн-
мановскими, т. е. считать, что 1/&2 интерпретируется,
как (к2 + Ю). Таким образом, ^-матрица в лоренцевой
калибровке имеет вид
S =¦ TV
exp
in ,
i С -L tr Juv^nv dx
П
X
C.38)
где Л
решения уравнений
? ^ = 0, д^ = 0, C.39)
параметризованные амплитудами яй (fc) и а* (к) такими.
что
а0 = 0, к1п1 =0; а*п = 0, ktaf = 0, C.40)
причем в ^т задана амплитуда аг (fc) (положительно
частотная волна), а в A,Out — аТ (^) (отрицательно частот-
частотная волна).
108
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
Аналогичный вывод формулы C.13) для ^'-матрицы
можно было бы дать, отправляясь от гамильтоновой ка-
калибровки Ао = 0.
Полученная формула C.38) не является единственно
возможным релятивистски-инвариантным выражением для
5-матрицы. Интегрирование по калибровочно-эквивалент-
ным классам можно реализовать не только путем выбора
представителя в каждом классе при помощи условия
калибровки. Анализ нашего перехода от кулоновской
калибровки к лоренцевой показывает, что в формуле
C.2) не обязательно использовать в качестве подынтеграль-
подынтегрального выражения функционал типа б-функции. Вместо нее
можно взять любой не калибровочно-инвариантный функ-
функционал В (А), для которого сходится интеграл
to. C.41)
В результате возникнет континуальный интеграл для
^-матрицы, в котором б (д^Ац) det Mr, (А) заменится на
Ли (Лц)В (Ар). Выбирая в качестве В (А,) функционал
Ав {Л) = \ [В (А*)]
мы получим семейство свободных функций Грина
«¦*¦
которое содержит наиболее употребительные частные слу-
случаи: при а = 0 мы возвращаемся к лоренцевой калиб-
калибровке, а при а = —1 получаем диагональную функцию
Грина.
Приведем формальные рассуждения, наиболее просто
реализующие зту программу. Перейдем сначала от лорен-
лоренцевой калибровки к обобщенной лоренцевой калибровке
д^А» (х) = а (х), C.44)
где а (х) — произвольная матричная функция, используя
те же рассуждения, что и при переходе от кулоновской
калибровки к лоренцевой. Соответствующий функционал
Аа (А), определяемый формулой
[Аа (А)]-1 = $ П
C-45)
§ 3. КОВАРИАНТНЫК ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ
109
на поверхности
ц = а (х)
C.46)
совпадает с функционалом det М, где оператор М вводится
формулой C.15). Таким образом, производящий функцио-
функционал C.38) для 5-матрицы тождественно переписывается
в виде
S = N
охр
11 -_ -_ 7
6Г 6Г И -у' I \/
о <Т LIV.T I1.V u'x f ^
"in
out
X
dA. C.47)
Поскольку исходный функционал не зависит от а, мы
можем его проинтегрировать по а (х) с весом
ехр
г~4о~
C.48)
что приведет лишь к изменению нормировочного мно-
множителя Л^. Выполняя интегрирование, получаем произ-
производящий функционал для ^-матрицы в виде
S =
ехр \i
tr [-L
dx
} x
out
C.49)
Расширяя понятия калибровочного условия, будем назы-
называть этот функционал ^-матрицей в а-калибровке.
Разло>кение этого функционала в ряд теории возму-
возмущений порождает диаграммную технику с функциями
Грина C.43). Чтобы сделать эти рассуждения вполне
строгими, необходимо, как и выше, более внимательно
следить за граничными условиями. Мы не будем здесь
этого делать и ограничимся лишь указанием, что все
функции Грипа можно выбирать причинными. Более
подробно эквивалентность ^-матриц в различных калиб-
калибровках будет обсуждаться в следующей главе в связи
с проблемой перенормировки.
Можпо ввести калибровки еще более общего иида,
для которых продольная часть функции Грина поля
Я ига — Миллса является произвольной функцией к2.
по
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯЫГА — МИЛЛСА
Для этого достаточно использовать в качестве функцио-
функционала В (А) выражение типа ехр | — 4- tr [/ (?J) дцЛй]2 dx\ ,
гДе / О) — произвольная функция от оператора Д'Алам-
бера. Все рассуждения, проведенные выше для случая
/ = 1, без каких-либо изменений переносятся и на этот
случай. Калибровки такого типа будут использоваться
в дальнейшем при обсуждении регуляризации и пере-
перенормировки.
Выражение C.49) для ^-матрицы содержит нелокаль-
нелокальный функционал det M и потому не имеет привычного
вида интеграла от фейнмановского функционала ехр {i X
X действие} по всем полям. Мы можем, однако, исполь-
использовать для det M интегральное представление
det М = $ ехр [i fa (х) МаЪсь (х) dx} П dc dc, C.50)
X
где с (х) и с (х) — антикоммутирующие скалярные функ-
функции (образующие алгебры Грассмана), удовлетворяющие
условию излучения
C.51)
d?n(fc) = O, gb{k) = O,
где d, g, d*, g* вводятся обычными формулами:
OHt (^П) J Out nut
)
out
-^gfn (к)
out
out
out
C.52)
Используя это представление, перепишем формулу C.49
для S в виде
S =УГ* J ехр {г J tr [-1- r^v^v - ^(дцлЛJ -
^(Пс-^й Мм. CD1 ^} П^^ ^с йс, C.53)
где при I —*¦ Ч-оо
' in » C-
Cin » c-^Cin, c = ca^a. C.54)
out out
3. КОВАРИАНТНЬте ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ
111
Ценой введения фиктивных полей с, с нам удалось учесть
принцип относительности так, что ^-матрица представля-
представляется в виде интеграла от ехр {i X действие}, где действие
локально и имеет невырожденную квадратичную форму,
а интегрирование ведется по всем полям. Это позволяет
развить для функционала C.53) теорию возмущений так
же, как это было сделано в предыдущей главе для случая
скалярного поля, отправляясь от гауссова интеграла.
С этой целью введем производящий функционал для
функций Грина
Z
= N~l ^ ехр
dc dc =
16
ехр j-L j {Jl (X) DX (х - у) А (у) +
(x) D"b (х - у) Ъъ (у)] dx dy} , C.55)
где /JJ, fa, ^a — источники полей А^, са, с", причем ^а
и ^ь антикоммутируют между собой и с полями с", с и
V (Яц, с, с) = -i- tr jj {2g- CV^ - flu^v) Mn> «^vl +
+ g2 (Mu, ^vlJ + %59Д [^м, с]} dx; C.50)
производные по % считаются левыми, а по \ — правыми.
В интеграле C.55) все переменные интегрирования удов-
удовлетворяют фейнмановским граничным условиям. Разло-
Разложение функционала Z в ряд теории возмущений порож-
порождает диаграммную технику. Перечислим ее элементы,
используя сразу импульсное представление.
1. Пронагатор векторных частиц
= <(?) = -
sab
-a)). C-57)
112 ГЛ. ITI. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
j 2. Вершивы самодействия векторпых частиц,
S ¦'.. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ Г, ПОЛЯМИ МАТЕРИИ
113
[(Р ~ к)р #ЙГ + (ft - q\igy() + (q - p)v gw], C.58)
= VA> = g2 {tBbatcde(gwgv<s ~
tace'bde (guvgpa giwgpv) г tade^ebe(g^pgov g)ivgep)}- yJ-t)")
3. ГГропагатор фиктивных с-частиц
-—* =»аЪ= -J^w ¦ C-6°)
4. Вершина взаимодействия фиктивных с-частиц с по-
полем Янга — Миллса
C.61)
Каждая диаграмма, построенная через эти элементы,
определяет вклад в функции Грина Gn, т (^ц ¦ • •, кп\рх, ...
. . ., рт) с п внешними концами для векторных частиц
и т концами для фиктивных с-частиц. Вклад данной диа-
диаграммы входит с множителем
\1-У
BлL J
(- I)8-
C.62)
где V — число вершил, I — число внутренних линий, г —
порядок группы симметрии диаграммы и s — число замк-
замкнутых петель из фиктивных частиц.
^-матрица вычисляется по функциям Грипа при по-
помощи формул приведения:
= ki ... knki. . . KnjH (k10)... 9 (кио
l(--A-10)...e(-ftm0)«Jl',...MA» :<
, . j
(i (ftj. . . hn, ftj . . . кт) II, V|. . . ?/vm
C.63)
В этой громоздкой формуле мы умножили каждую внеш-
внешнюю векторную линию с импульсом к на к2 и вектор по-
поляризации щ = @, и\), i = 1, 2, а затем перешли на
массовую поверхность к2 = 0, считая, что ki0 ^> 0, для
каждой входящей частицы и ki0 <^ 0 для каждой выходя-
выходящей частицы. Фиктивные частицы не имеют соответст-
соответствующих внешних линий и входят в «S-матрицу только
через замкнутые петли.
§ 4. Взаимодействие с полями материи
Включение полей материи я|> (х) во взаимодействие
с полем Янга — Миллса Лу. (х) не вносит новых трудно-
трудностей в проблему квантования. Калибровочная группа
действует на поле Д^ (х) при помощи тех же формул,
что и без полей материи. Поэтому калибровочное условие,
наложенное только на поле JL^. (x), фиксирует выбор
представителей в классах калибровочно-эквивалентных
полей Лр (х), г|з (х). Это показывает, что в определении
.S-матрицы для этих полей в соответствующем контину-
континуальном интеграле можно интегрировать по полям т|) по
уже вычисленной ранее мере (например, 11йф(а;) — для
скалярного поля,
а в качестве меры для полей Л^ взять одну из мер, вы-
вычисленных в предыдущем параграфе, для поля Янга —
Миллса в пустоте. Строгий вывод должен быть основан
на гамильтоновой формулировке динамики и повторяет
уже не один раз проведенные рассуждения.
В то же время калибровочное условие можно наложить
и на иоле материи \р. Это бывает удобно, в частности,
ж) — для спинорного поля),
114
ГЛ. Ш. КВАНТОВАНИЯ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
при квантовании моделей со спонтанно нарушенной сим-
симметрией. Один пример такого условия будет рассмотрен
ниже.
Начнем с примера взаимодействующих полей Янга —
Миллса и спинорного поля. Лагранжиан
X = -о—г tr {,f Mvf nv} + i^YnVl' — mtyty D.1)
инвариантен отиосительтю калибровочного преобразования
\\> (х) —> Г (со) 1]) (ж), ,Alt —> Jl™ = ю^цОГ1 + ЗдСоаГ1. D.2)
Гамильтоиово калибровочное условие
«Л = 0 D.3)
является допустимым и приводит уравнения движения к
обобщенной гамильтоновой формулировке (с естественной
модификацией, принимающей во внимание антикоммута-
антикоммутативность полей \р, я]))
« А oh , * _ _^ &h . 7 --^ *
6ЖЬ
D.4)
где т|)* =
+
-р- tr (^2* + Г?»)
D.5)
Кроме того, среди уравнений движения содержатся связи
отличающиеся от B.63) последним слагаемым, которое
строится через поля материи. Заметим, что это слагаемое
представляет собой О-компоненту тока
Jl = ^YmT (Г°)г[>, D.7)
который сохраняется при выключенном взаимодействии.
Соотношения
{С- (ас), О> (у)} = tab?8 (ас - у) & (х),
{Са (х) А\ {у)} = б"Ч-б (* - У) ~ tacbAck8 {x - у), D.8)
{Са (ас), у (у)} = Г (Та) г|з (аз) б (х — у),
{Са (ас), ^(|/)}== — Г (Га) ^ (ж) б (ж — «/),
§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ПОЛЯМИ МАТЕРИИ
115
аналогичные B.66), B.68) и B.69), показывают, что Са (х)
является генератором калибровочных преобразований,
которые остались после наложения калибровочного усло-
условия Ло = 0. Параметры аа этого преобразования но
зависят от xQ.
Поля материи входят в Са (х) квадратично, так что
иа решениях свободных уравнений движения связь ли-
линеаризуется при t -> оо,
Са(х) ~ Со(х), D.9)
где
С; = 5А- D.10)
В результате, повторяя рассуждения из § 2, мы прихо-
приходим к выводу, что в квантовом случае ^-матрица, построен-
построенная по гамильтониану Н в большом пространстве, где
действуют все поля А^, Е\, г|за, г|)а, коммутирует с опе-
оператором Со (х):
[S, С% (х)] = 0. D.11)
Другими словами, и при наличии полей материи рас-
рассеиваются только кванты этих полей и трехмерно попе-
поперечные кванты полей Янга — Миллса.
Подчеркнем, что эти выводы, так же, как и выше, ос-
основаны на линеаризации связи Са (х) при больших вре-
временах. В рамках теории возмущений такая линеаризация
выглядит вполне убедительно и мы исходим из того, что
она имеет место. В то же время мы не можем исключить,
что вне рамок теории возмущений линеаризации нет.
Модели заключения кварков могут быть основаны именно
на таком обстоятельстве.
Возвращаясь к нашей ^-матрице, запишем ее в виде
континуального интеграла
L
S = J exp [i
X (х) dx] П б (Ло) dJL Ц d\\, D.12)
out
где для JL имеются в виду граничные условия, сформу-
сформулированные в § 2, и проведем с этим интегралом преобра-
преобразования, уже описанные в § 3:
1) интегрирование по ,f fc0;
2) переход к обобщенной лоренцевой калибровке
Фь = д„.А» (х) + а{х) = 0
1 IG ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
при помощи формулы
б (Лп) dJl^ -> AL {А) б (ЗцЛц + a)
D.13)
3) интегрирование по вспомогательной функции а (х)
с гауссовым весом exp j — — tr \ a2 (х) dx\ .
Мы получим выражения как для ^-матрицы, так и
для производящего функционала функций Грина в
а-калибровке, которые отличаются от формул C.53), C.55)
только присутствием полей я|), \р в лагранжиане и в членах
с источниками.
Диаграммная техника содержит, помимо уже введен-
введенных выше элементов G^v, G, Va?, Va4, Vc-a, еще спинор-
ную линию
Р
__ с __
и вершину
D.14)
D.15)
Вследствие уже отмечавшихся особенностей интегри-
интегрирования по ферми-полям, каждый фермионный цикл вно-
вносит дополнительный множитель (—1). В формулах при-
_ з^
ведепия спииорпые концы умттожаготся па Bя) ut (у^кц —
— m)Q (—к0) для выходящей частицы и на Bя) 2 (Уцк^ —
— m)ufi (k0) для входящей частицы. Для античастиц
нужно заменить ut на vt и 9 (к0) на 9 (—к0).
Второй пример, который мы рассмотрим,— это модель
со спонтанно нарушенной симметрией. Выберем в качестве
калибровочной группы группу SU B) и пусть ф — ска-
скалярное поле в изоспинорном представлении:
В качестве исходного пункта для квантования возьмем
лагранжиан A.3.32), который получается из A.3.25)
§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ПОЛЯМИ МАТЕРИИ
наложения калибровочного условия C.30):
1
4~
ml л а л
-\—w~ A^A
2
и /In j
4mi
8
a3
or-
n и
g2ml
32m2
117
D.17)
В отличие от рассмотренных выше примеров этот
лагранжиан не вырожден, и для квантования мы можем
использовать обычные методы, отработанные нами на
примере скалярного поля в гл. II. Следует лишь обратить
специальное внимание на переменную AaQ (x), которая не
является в этом случае ни динамической переменной, ни
множителем Лагранжа. Уравнение движения для Ай
m,
D.18)
позволяет выразить его через независимые динамические
переменные jt^, о и их сопряженные импульсы. Под-
Подставляя решение в лагранжиан D.17), получим невырож-
невырожденный лагранжиан, зависящий от этих переменных.
Мы уже знаем, что квадратичная форма в гамильто-
гамильтониане определяет асимптотические условия па переменные
интегрирования в континуальном интеграле для 5-матри-
5-матрицы. В нашем случае эта квадратичная форма имеет вид
А* =
2m?
и диагонализуотся подстановкой
з
Аъ,{х) = Bя)
k°a\ (k) е\ (к)
(к)е\(к))-??=-, D.20)
118 ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
Fbol (х) = Bп)-Ч> ]П $ (е"*а\ (к) ё\ (к) -
- е-**а? (к) е\ (к)) -L j/ij. dsk, D.21)
где е\ -= е\ и ё\ = ё'| — два произвольных ортонормиро-
ванных вектора, ортогональных вектору к,
для векторного поля, и стандартной подстановкой для
скалярного поля а. В результате свободный гамильто-
гамильтониан принимает вид
3
^ hQ d3x = ^ d3k 12 ai «itt*! + пап^а^) , ©2 = V к2 + ml.
D.23)
Как видно из приведенных выкладок, спектр состоит из
трех массивных векторных частиц и одной массивной
скалярной частицы.
Нормальный символ ^-матрицы дается выражением
S (Jt'f, о(о)) =
ехр {i J X (х) dx) П dAi (x) do {x),
Аг /in \
\outj
амп \
\outj
\
где <А\ , о(°) — решения свободных уравнений
D.24)
+ аГ (к) е\ (к) е***] -^ , D.25)
00» (*)=-.
a*
а граничные условия задаются функциями А%ла ., Ола ,,
^out' ^our
которые описываются формулами, аналогичными D.25),
D.26), с очевидной заменой at (к), а* (к) -»- ai(m \\{k),
чои1/
§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ Г. ПОЛЯМИ МАТЕРИИ 119
a*in > (fc), ao(fc), a? (к) -+ a fin , (fc), a*,in x (fe). При этом
2'out' ° out^ *out'
\, in
= «i (*>)» «f
D.27)
«о, in («) = ао(к); at, out (к) = а* (к).
Па функции a?,out (*')> oi.tnC»*) и во,out (*"')> а<з,1п {к)
никаких условий не накладывается.
J3 качестве лагранжиана X (х) следует взять результат
подстановки решения уравнений D.18) в формулу D.17).
Недостатком этой формулы является отсутствие явной
релятивистской инвариантности, так как интегрирование
ведется лишь по трем компонентам векторного поля.
Этот недостаток легко устранить, если ввести интег-
интегрирование по Ло. Именно, формула
exp(i
¦?-oJdjtlldo, D.28)
out
out
где X {x) определяется формулой D.16), эквивалентна
D.24). Здесь
out
= -4- \ [а\, in (fc) и] (к) e~itx
Un)" J out
*Ъ
out
Uq =^ U, i — 1, Li Uq — ¦
= . D-29)
D-3°)
а4°щ и (Tin уже введены выше. Действительно, интеграл
out out
D.28) приводится к D.24) после гауссова интегрирования
по Ао. Локальный множитель (т1 + -|- а (х)) компен-
сируется соответствующим детерминантом, а асимптоти-
асимптотические условия D.29) согласованы с уравнением D.18).
Подчеркнем, что д^Л^,т = 0, так что компонента
out
дцъЛц векторного поля не распространяется, и напомним,
что квадратичная форма в действии \ X (х) dx определена
как
п
<<0)
д - Af) dx, D.31)
120
ГЛ. Ш. КВАТТТОПАТТИЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
где оператор (QM.V -f mlgliV) сиабжоп фейнмановскими
граничными условиями.
Производящий функционал для функций Грина
Z (/, т)) = J ехр {г
х) + /»4? + otj) rfz} X
X П ('"i + -|- nj dj,n da D.32)
и вытекающая из него диаграммная техника теории воз-
возмущений содержат некоторые новые элементы. Во-первых,
функция распространения векторного поля, которую мож-
можно переписать в виде
X
X
ю
D.33)
более сингулярна при х — у, чем встречавшиеся нам до
сих пор функции Грина. Действительно, ее продольная
часть
1
к2 — т\ + iO
D.34)
не убывает при больших к, так что ее вклад в пропагатор
имеет сингулярность силы б<4> (х). Во-вторых, мера ин-
интегрирования содержит локальный множитель det Mff.
Его можно формально записать в виде
Ав1МФ =
= const • ехр
In
da;
n=l
, D.35)
F = \dx = fiD) @).
В рамках теории возмущений такая добавка к действию
порождает новые диаграммы, вклад которых пропорцио-
пропорционален степеням 6<4> @) (конечно, ото выражение следует
понимать в смысле некоторой объемной регуляризации).
Роль отих диаграмм состоит в том, чтобы компенсировать
§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ПОЛЯМИ МАТЕРИИ
121
сингулярные части других диаграмм, возникающих в
теории возмущений. Такие сингулярности возникают при
произведении S-образных вкладов в функции Грина век-
векторных частиц.
Оба отмеченных отличия диаграммной техники для
лагранжиана D.16) показывают, что она содержит не-
неудобные сингулярности. Поэтому рассматриваемую модель
удобнее исследовать в лоренцевой калибровке или
а-калибровке, которые можно просто ввести, пользуясь
уже знакомыми нам приемами. Роль же рассмотренной
калибровки (которую часто называют унитарной) состоит
в том, что она явно релятивистски инвариантно задает
спектр частиц и асимптотические состояния модели.
В этом смысле она заменяет нам кулоновскую калибровку
теории Янга — Миллса в пустоте.
Заметим, что нормальный символ ^-матрицы можно
записать, используя калибровочно инвариантный лагран-
лагранжиан A.3.25), если вернуться к полному набору полей
v4ix, ф, а условие калибровки ввести в континуальный
интеграл. Для явной записи формулы введем обозначения
+ В2
1
D.36)
и выразим лагранжиан A.3.25) через поля .J^, В, а. Тогда
S = N'L [ ехр \i \Х(Л, Ш, a) dx\ x
( Ut
X
II б (ЗЙ) (т1 + 4" о (х)K ^и dm do, D.37)
X {Л, Ш, а) ость результат подстановки D.36) в A.3.25).
Нетрудно видеть, что локальный множитель Ц («^ +
х
есть якобиан det Мф калибровочного усло-
условия 5 = 0. Поэтому, повторяя уже описанную процеду_
ру перехода к ковариантной калибровке, получим для нор_
122 ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
мального символа «^-матрицы в а-калибровке выражение
S = N-i \ exp \i ^ [X (х) + -^(d^Y )dx\x
out
где
out
X
delMaY[d^ndSSdo, D.38)
?- Al
+ 4" 0цЯо0ц0° + 4" ЗцаЗца - -^ а2 +
аы = Мы =
u —
ц, и].
D.39)
D.40)
Асимптотические условия на ij и о те же, что и выше.
Поля дцА^, Ва и фиктивные частицы с*, са, участвую-
участвующие в определепии det M, не распространяются. При
построении диаграммной техники для них удобно (по не
обязательно) использовать фейнмаповские граничные ус-
условия. Производящий функционал для функций Грина
стандартно строится по выражению D.38) для ^-матрицы.
Диаграммная техника в а-калибровке общего вида
несколько громоздка из-за наличия смешанных функций
распространения А^Ва. При вычислениях наиболее удоб-
удобно пользоваться лоренцевой калибровкой а = 0. В этой
калибровке диаграммная техника содержит следующие
элементы.
1. Линии векторной частицы соответствует функция
р аспростр анения
к
-4v
Sni
| k*-ml + M \
D.41)
§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ПОЛЯМИ МАТЕРИИ
123
2. Функции распространения фиктивных частиц с, с
и вершины их ваимодействия с векторной частицей те же,
что для поля Янга — Миллса в пустоте.
3. Линиям скалярных частиц Ва ш а соответствуют
функции распространения
6aft
к* + гО
D.42)
ft3
D.43)
4. Многочисленные вершины взаимодействия полей
Ац., Зв и а, которые легко выписываются по лагранжиану
D.39).
Формулы приведения выглядят обычным образом, и мы
опишем их словами. Внешние концы в функциях Гри-
Грина следует брать лишь для векторных частиц и частиц
поля о. Каждый конец, соответствующий векторному
полю, умножается на (к] — ml) и на вектор поляризации
и^ (kj). Каждый конец, соответствующий полю а, умно-
умножается на (р! — пф. Затем следует перейти на массовую
поверхность kj = mx, pi = т.„, считая, что к0 и р0 поло-
положительны для уходящих частиц и отрицательны для при-
приходящих частиц.
Другой вариант диаграммной техники можно полу-
получить, если выбрать в качестве снимающего вырождение
функционала В, фигурирующего в формуле C.41), вы-
выражение
{i § amiBa? dx\ ¦ D-44)
exp{i
Выкладки, полностью аналогичные тем, которые приве-
привели нас к выражению для ^-матрицы в а-калибровке, при-
приводят к следующему результату:
S =
jj exp {i jj [Z (x) + JL {p^Al + am^f] dx} X
out
out
X П dot Mx dd^ dm da, D.45)
124
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
где лагранжиан X по-прежнему дается формулой D.39),
а оператор Мх выглядит следующим образом:
= О — атЬ и ~
4ц, и] —
, и] -
аи.
D.46)
Как и раньше, del Mx можно представить в виде интегра-
интеграла по полям фиктивных частиц
det Мх = $ exp jf $ с" (т) Mfcb {x) dxl П dc dc. D.47)
Недиагональный по полям А^, В член щА^д^В", присут-
присутствующий в лагранжиане D.38), сокращается с аналогич-
аналогичным членом в выражении, фиксирующем калибровку.
В результате смешанные функции распространения А^ВЪ
отсутствуют. Правила Фейнмана отличаются от сформули-
сформулированных выше в следующих пунктах.
1. Векторной линии соответствует функция распро-
распространения
Г ?nv —ft(A
— т\ -\-
2. Скалярной 5-линии соответствует функция распро-
распространения
s.ab
0 D 491)
ptmla + iO K ' '
3. Фиктивным частицам соответствует функция рас-
распространения
з „ , ,п • D-50)
р3 — тп'а. -J- (О
4. Появляются дополнительные вершины взаимодей-
взаимодействия фиктивных частиц с полями В1 и а, явный вид ко-
которых легко получить из формул D.46), D.47).
При а = 0 эти правила, очевидно, совпадают с сфор-
сформулированными выше для случая лоренцевои калибровки.
На этом мы заканчиваем описание примеров взаимо-
взаимодействия поля Янга — Миллса с полями материи. Мы
надеемся, что эти примеры достаточно характерны и чи-
читатель без труда построит диаграммную технику для про-
произвольной модели как с нарушенной, так и с ненарушен-
ненарушенной симметрией.
Глава IV
ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
§ 1. Примеры простейших диаграмм
Развитая в предыдущей главе диаграммная техника
позволяет вычислять функции Грина и вероятности про-
процессов рассеяния с точностью до любого порядка по g.
Однако прямое применение сформулированных выше пра-
правил для вычисления диаграмм, содержащих замкнутые
циклы, приводит к бессмысленному результату — соот-
соответствующие интегралы расходятся при больших импуль-
импульсах. Придание этим выражениям смысла составляет со-
содержание процедуры перенормировки, изучением кото-
которой мы будем заниматься в этой главе.
В качестве простейшего примера рассмотрим поправ-
поправку второго порядка к функции Грина фиктивной частицы
в теории Янга — Миллса с калибровочной группой
Рис. 6. Поправка второго порядка к функции Грина фиктивной
частицы. Пунктирная линия обозначает функцию распространения
фиктивной частицы, волнистая — поля Янга — Миллса
SU B). Эта поправка описывается диаграммой, изобра-
изображенной на рис. 6. Соответствующее аналитическое вы-
выражение имеет вид
A.2)
где в диагональной сс-калибровке (а = —1)
3
При р —> оо этот интеграл линейно расходится. Чтобы
придать интегралу A.2) смысл, введем прежде всего
промежуточную регуляризацию, заменив функцию (р2 +
126 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
+ ДО)~Х регуляризованным выражением
1 1 1 _
(р2 + iO) "* (р3 + Ю) рз „ дз + да ~
" " J (Р*"
A.3)
При Л —> оо регуляризованная функция Грина стремит-
стремится к исходному выражению Q?2 + Ю). При конечных Л
интеграл
dP(k-p)v
A.4)
сходится. Для его вычисления воспользуемся формулой
Фейнмана
1
1 i'
2zdz
b {\ -
Эта формула позволяет объединить оба множителя в зна-
знаменателе интеграла A.4) в один:
2ft А* *
dp (Л — p)v
+ ,0)
¦^vp- A-6)
Переходя к новым переменным
р-> р + к (I - z),
получаем
A.7)
А2 1
о о
dp (&z — p)
Интеграл
dp Pvf
A.8)
A.9)
равен нулю по соображениям симметрии.
В остающемся интеграле можно повернуть контур ин-
интегрирования на 90° и ввести новую переменную интегри-
интегрирования р0 —-> ip0.
§ 1. ПРИМЕРЫ ПРОСТЕЙШИХ ДИАГРАММ
В результате интеграл по р принимает вид
127
A.10)
где интегрирование ведется по четырехмерному евклидо-
евклидову пространству. Вычисление интеграла A.10) дает
in»
2с •
1 '
A.11)
В результате получаем следующее выражение для функ-
функции 2Л (А;2):
л* 1
•^А ("- ) = 4(\т,2 \ \ 2 J.3 1\ 7Г? Т7 • \ • I
J.U3X .1 -I К A 2 J Z /vi
о о
Интеграл по X берется явно. При /с2 < 0 получаем
. A.13)
При стремлении Л —> оо это выражение, как и следовало
ожидать, логарифмически расходится. Процедура пере-
перенормировки состоит в замене интеграла, фигурирующего
в A.13), выражением, получающимся из него вычитанием
нескольких первых членов разложения в ряд Тейлора
(в данном случае одного). Разлагая подынтегральное вы-
выражение в точке к2 = х, получаем
— z)z —
хA--*)*
При Л —* оо второй и третий члены стремятся к опреде-
определенному пределу, равному
Н (Щ =
In — .
я
A.15)
Первый член при Л —>¦ оо не имеет предела в ведет себя
как
A.16)
12S ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
Разбиение A.14) не однозначно. Выбирая в качестве цент-
центра разложения вместо точки к какую-нибудь другую точ-
точку, мы получили бы для 2Н (/с2) выражение, отличающее-
отличающееся от A.15) на конечный полином по /с2. Таким образом,
общее выражение для перенормированной функции Грина
с точностью до второго порядка по g2 имеет вид
A.17)
§ 1. ПРИМЕРЫ ПРОСТЕЙШИХ ДИАГРАММ
129
+ 'О
-?- In—
где Ь2 — произвольная постоянная.
Замена расходящегося интеграла A.2) перенормиро-
перенормированным выражением A.15) эквивалентна модификации ис-
исходного лагранжиана.
Действительно, заменим лагранжиан фиктивных ча-
частиц следующим выражением:
A.18)
где z2 определяется формулой A.16). Поскольку последний
член ~g2, будем относить его к лагранжиану взаимодейст-
взаимодействия. Тогда в разложении по теории возмущений помимо
к
-Х--
Рис. 7
диаграммы, изображенной на рис. 6, появится новая диаг-
диаграмма (рис. 7), где крестиком обозначена вершина, отве-
отвечающая «контрчлену» (z2 — 1) c[J с.
Очевидно, что поправка к функции Грина, отвечающая
сумме^диаграмм на рис. 6 и рис. 7, дается формулой A.17)
(при &2 = 0). На атом простом примере мы видим, что
вычитание первых членов разложения в ряд Тейлора эк-
эквивалентно изменению (перенормировке) параметров ис-
исходного лагранжиана (и данном случае постоянной нор-
нормировки волновой функции фиктивных частиц).
Проиллюстрируем это наблюдение еще одним приме-
примером. Вычислим поправку третьего порядка к вершинной
функции Г-с^, отвечающей переходу двух фиктивных
частиц в одну векторную. Диаграммы, дающие вклад в
ГссЗц, в третьем порядке по g, изображены на рис. 8.
Для простоты ограничимся случаем нулевого передан-
переданного импульса q = 0.
_а_
4-
к
к+
а) д)
Рис. 8. Поправки третьего порядка к вершинной функции Г_~
Диаграмме а соответствует интеграл
Вводя промежуточную регуляризацию с помощью форму-
формулы A.3) и пользуясь соотношением
1 г e^M^i. , (!-2°)
запишем этот интеграл в виде
X [dp
о о
\[р-к(\ -z)P
Замена переменных A.7) дает
. A.21)
{кг - р)а (кг - р)ц 6г A -- z)
BяI
о о
A.22)
Нечетные степени рне дают вклада по соображениям сим-
симметрии. По тем же соображениям
J dppllPvf(pZ) = 4 %v jj dpp*f(p*). A.23)
Переходя к евклидовой метрике и выполняя интегриро-
5 А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев
130 ГЛ. IV. НЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
вание по р, получаем
-z)z —
San
¦ Z A —
dk
1
{/с2 A — z) z —
• A-24)
Интегрирование по к дает
-eabck'2kL, х
16я2
1
¦z)z~ АН
1
z2(l —
32л3
A.25)
Первый член в формуле A.25) при Л — > оо стремится к
определенному пределу, а второй логарифмически рас-
расходится. Так же как и в случае диаграммы второго по-
порядка, к определенному пределу стремится выражение,
полученное вычитанием из второго интеграла первого
члена разложения в ряд Тейлора. При Л — > оо 1а можно
представить в виде
g3eabck.. Ai
где Ъ\ — конечная константа, зависящая от выбора точ-
точки х. Совершенно аналогично вычисляется диаграмма Ь.
Соответствующий интеграл имеет вид
1Ь = — igssabc х
dp (k ~ P)q fep {2Рц8др - PqgUp ~ Ppgna} ggggpP м п?.
Повторяя сделанпые выше выкладки, получаем при Л ~>оо
A.28)
Вычитая из суммы 1а + 1Ъ члены, пропорциональные
In Л2/—х, получаем выражение для перенормированной
§ 1. ПРИМЕРЫ ПРОСТЕЙШИХ ДИАГРАММ
вершинной функции в виде
131
х 16л3
где Ь1 — произвольная константа. Сделанное вычитание
эквивалентно введению в лагранжиан контрчлена
A..Ч0)
где
"¦I
л
16л2
In —+ Б2
В заключение приведем без вычислений выражения
для поправок низшего порядка к функции Грина поля
Янга — Миллса и тройной вершине Т^, которые описы-
описываются диаграммами, изображенными на рис. 9 и 10.
b
Ъ
kv
1'ис. 9. Поправки второго порядка к функции Грипа поля Япга
Миллса
)к
Л
\
\
в
ар
\ v
Риг. 10. Поправки третьего порядка к вериттгапой функции Гд,
Контрчлены, устраняющие расходимости из этих диа-
диаграмм, имеют вид
2g{z1~l)(dvJll~dllAv)[JlJi,.Av]),
5*
132 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
где
я2-5
Л2
л2;
A.33)
A.34)
Ьх и Ь2 — произвольные конечные постоянные.
Как видно, для устранения расходимостей из рас-
рассмотренных диаграмм действительно достаточно пере-
переопределить параметры, входящие в исходный лагранжи-
лагранжиан. Заметим, однако, что контрчлены A.16), A.30), A.32),
вообще говоря, не калибровочно-инвариантны. Их явный
вид зависит от используемой промежуточной регуляриза-
регуляризации и выбора точек вычитания. В частности, для устране-
нения расходимостей из двухточечной функции Грина
может оказаться необходимым введение явно неинвари-
неинвариантного контрчлена
8т tr {Л^Л^}. A.35)
Разумеется, физический смысл имеют не сами контр-
контрчлены, а перенормированные, конечные матричные эле-
элементы. Для того чтобы теория оставалась самосогласо-
самосогласованной, необходимо, чтобы перенормированные матричные
элементы удовлетворяли принципу относительности.
В этом состоит специфика перенормировочной процедуры
в калибровочных теориях, исследованием которой мы бу-
будем заниматься в этой главе.
§ 2. 11 -операция и контрчлены
В предыдущем параграфе мы обсудили процедуру
устранения расходимостей из простейших диаграмм.
В рассмотренных примерах присутствует лишь одно ин-
интегрирование по dk и для того, чтобы при снятии проме-
промежуточной регуляризации соответствующие функции стре-
стремились к определенному пределу, достаточно вычесть не-
несколько первых членов их разложения в ряд Тейлора по
внешним импульсам. Как мы видели, такое вычитание эк-
эквивалентно переопределению исходного лагранжиана —
введению контрчленов.
Более сложным диаграммам, например диаграмме,
изображенной на рис. 11, отвечают интегралы вида
/ (Ръ ¦ ¦ ¦, Рт,
К)
. dkn, B.1)
§ 2. Н-ОПЕРЛЦИП И КОПТРЧ.ТТЕНЫ
133
которые могут расходиться не только при одновременном
стремлении всех kt к бесконечности, но и при стремлении
к бесконечности части аргументов к( при фиксированных
остальных. В этом случае говорят, что диаграмма имеет
расходящиеся подграфы. Для диаграммы на рис. 11 та-
такими подграфами являются совокупности вершин A, 2, 3)
и соединяющих их линий и совокуп- Л
ность вершин B, 3, 4) и соединяю-,
щих их линий. Для диаграмм, имею-
имеющих расходящиеся подграфы, про-
простой рецепт устранения расходимо- ?
стей, сформулированный в § 1, уже рис ц
недостаточен. В этом случае решение
задачи дается /^-операцией Бого-
Боголюбова — Парасюка, которая ставит в соответствие лю-
любой диаграмме Фейнмана конечную коэффициентную функ-
функцию. Подробное обсуждение i^-операции можно найти в
книге Н. Н. Боголюбова и Д. В. Ширкова, и мы не будем
здесь его повторять. Для наших целей достаточно знать,
что i^-операция эквивалентна введению в лагранжиан
контрчленов, представимых в виде ряда по константе
взаимодействия. Для формулировки соответствующего ре-
рецепта нам понадобятся несколько определений. Диаграм-
Диаграмма называется связной, если ее нельзя разбить на части,
которые не соединены друг с другом линиями. Диаграмма
называется сильно связной, или одночастично неприво-
неприводимой, если ее нельзя превратить в несвязную снятием
одной линии. Сильно связную диаграмму, у которой ам-
ампутированы все внешние линии, будем называть собствен-
собственной вершинной функцией и обозначать Г (х1г . ¦ ., хп).
Сильно связная функция Грина G (х1: . . ., хп) выражается
через собственную вершинную функцию Г (хг, . . ., хп)
соотношением
G(xv .... хп) =
= \jdxx. . . dx'nG1 (хг — х[). . . Gn (хп — х'п) Г (хг, . . .,хп),
B.2)
где Gt (xt — Xi) — двухчастичная функция Грина, соот-
соответствующая г-й внешней линии. Топологическую струк-
структуру диаграмм удобно характеризовать числом незави-
независимых циклов, содержащихся в данной диаграмме. Диа-
Диаграммы с одним циклом называются однопетлевыми,
1 34 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
с двумя циклами — двухнетлевыми и т. д. Диаграммы с
данным числом петель являются членами одного порядка
в квазиклассическом разложении 5-матрицы или произ-
производящего функционала для функций Грина по постоянной
Планка %. В силу этого они образуют инвариантную со-
совокупность, т. е. все свойства симметрии, которыми об-
обладает полная iS-матрица, выполняются независимо для
совокупности диаграмм с фиксированным числом петель.
Для характеристики устраняющей расходимости иы-
читатольной процедуры вводится понятие индекса диа-
диаграммы. Пусть данной сильно связной диаграмме по-
порядка п соответствует коэффициентная функция, фурье-
образ которой имеет вид
П
г-=1
где индекс q нумерует вершины, а I — внутренние линии.
В аргументе б-функции стоит алгебраическая сумма им-
импульсов, входя,них в вершину с помором q. Функция
Грина t>i(pi) имеет иид
Di (Pi) =Z(Pi)(nfi-pb-\ B.4)
где Z (pi) — полином степени ?•/.
Сделаем масштабное преобразование всех импульсных
переменных (и масс): р(, к(->ар{, akt. Если интеграл
/ (/с) сходится, то при таком преобразовании он умножит-
умножится на аа, где индекс диаграммы со складывается из следую-
следующих факторов: каждая внутренняя линия вносит вклад
гг — 2, что в сумме дает 21 (ri — 2), где L — полное чис-
i =i
ло внутренних линий. В формуле B.3) интегрирование
ведется по L переменным рь однако (п — 1)-интеграл
снимается б-функциями (одна б-функция выражает закон
сохранения полного импульса). Поэтому остается 4 (L —
— п + 1) независимых дифференциалов, которые дают
суммарный вклад 4 (L — п -f- 1). Если лагранжиан взаи-
взаимодействия содержит производные, то каждая вершина,
содержащая т производных, вносит дополнительный
фактор т. Суммируя эти факторы, получаем
м = S (О + 2) - i (га - 1) + тп. B.5)
§ 2. Я-ОПЕРАЦИЯ И КОНТРЧЛЕНЫ
135
Индекс со определяет степень роста коэффициентной
функции при однородном растяжении всех импульсных
переменных. При со ^ 0 это определение, вообще говоря,
теряет смысл, так как соответствующий интеграл расхо-
расходится. В этом случае индекс диаграммы определяет ус-
условную степень роста. Из неотрицательности индекса
диаграммы следует расходимость отвечающего ей инте-
интеграла. Обратное, вообще говоря, не верно, так как ин-
индекс диаграммы характеризует ее поведение лишь при
одновременном растяжении всех импульсов и ничего не
говорит о поведении 'диаграммы 'при стремлении к бес-
бесконечности части переменных интегрирования при фик-
фиксированных остальных. Другими словами, диаграмма с
отрицательным индексом может иметь расходящиеся под-
подграфы. Отрицательность индекса является достаточным
условием [сходимости примитивно ^расходящихся [диа-
[диаграмм, т. е. диаграмм, которые становятся сходящимися
при разрыве любой внутренней линии. Рассмотренные
в § 1 диаграммы являются примитивно расходящимися,
в то время как диаграмма на рис. 11 имеет расходящиеся
подграфы A, 2, 3) и B, 3, 4). Очевидно, что однопетлевые
диаграммы могут быть лишь примитивно расходящимися.
Теперь мы можем сформулировать рецептуру устра-
устранения расходимостей из произвольных диаграмм путем
введения контрчленов. Прежде всего введем промежуточ-
промежуточную регуляризацию, делающую все интегралы сходящи-
сходящимися (например, с помощью формулы A.3)).
Рассмотрим сначала однопетлевые диаграммы. Как
мы уже видели, для того чтобы соответствующие коэффи-
коэффициентные функции стремились при снятии регуляриза-
регуляризации к определенному пределу, достаточно вычесть из них
несколько первых членов разложения в ряд Тейлора по
внешним импульсам. Такое вычитание в свою очередь
эквивалентно введению в лагранжиан контрчленов, т. е.
замене исходного регуляризованного лагранжиана Ха на
55л + A5?j.
Явное*выражение для контрчленов A3?! строится сле-
следующим образом.' Пусть G" — сильно связная диаграмма
с п вершинами и s внешними линиями .А^, имеющая неот-
неотрицательный индекс (о. Ей отвечает симметричная собст-
собственная вершинная функция Гд (жь . . ., xs). Вычитаемый
полином представляет собой первые члены разложения
фурье-образа Г™ в ряд Тейлора и в координатном пред-
136
ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
ставлении имеет вид
-L.) 8(хг- xj . . .
B.6)
где Z — симметричный полином степени <в. Для того что-
чтобы получить контрчлен, отвечающий данной диаграмме,
нужно умножить выражение B.6) на произведение
^(^•••Л.К). B.7)
просуммировать полученное выражение по щ . . . \is и
проинтегрировать по всем переменным хх, . . ., xs, кро-
кроме одной. (Если помимо векторных внешних линий диа-
Рис. 12
Рис. 13
грамма содержит другие, например спинорные и скаляр-
скалярные линии, то все рассуждения остаются в силе за исклю-
исключением того, что симметризация распространяется лишь
на линии одного типа.)
Будем теперь строить двухпетлевые диаграммы, ис-
используя в качестве лагранжиана Х\ + АХХ. Построен-
Построенные таким образом двухпетлевые диаграммы уже не со-
содержат расходящихся подграфов, т. е. при снятии проме-
промежуточной регуляризации расходимость возникает только
при одновременном стремлении всех переменных интег-
интегрирования к бесконечности. Этот факт вполне очевиден,
если расходящиеся подграфы не перекрываются, как это
имеет место, например, для диаграммы, изображенной
на рис. 12.
В этом случае контрчлен АХ,_, устраняющий расходи-
расходимости из подграфа B.3), имеет вид
->71} Ф»А%-дчА1)\ B.8)
и лагранжиан X + АХг наряду с диаграммой на рис. 12
порождает диаграмму, изображенную на рис. 13, где кре-
крестиком обозначена вершина B.8). Интеграл, соответ-
соответствующий сумме диаграмм на рис. 12 и 13, расходится
лишь при одновременном стремлении всех импульсов к
бесконечности, и для устранения расходимости опять-
таки достаточно вычесть из него первые два чдена
§ 2. Й-ОПЕРАЦИЯ И КОНТРЧЛЕНЫ
137
разложения в ряд Тейлора, ото эквивалентно введению в
лагранжиан нового контрчлена АХ2:
X -> X + АХг + АХг. B.9)
Доказательство аналогичного утверждения при наличии
перекрывающихся расходящихся подграфов, как напри-
например в диаграмме на рис. 11 более сложно и мы не будем
его здесь приводить.
Продолжая указанную процедуру, мы придем к пере-
перенормированному лагранжиану
XR = X + A%1+... + AXn, B.10)
где AXt — локальные полиномы по полям и их производ-
производным, для которого все диаграммы, содержащие не более
п петель, сходятся при снятии промежуточной регуляри-
регуляризации к конечному пределу. Очевидно, что, действуя по
теории возмущений, мы можем вычислить таким образом
функции Грина с точностью до любого конечного порядка
п. С увеличением п полное число контрчленов, разумеет-
разумеется, возрастает, однако число различных типов контрчле-
контрчленов может оказаться конечным. (Типом контрчлена мы
называем его функциональную зависимость от полей.)
В этом случае говорят о перенормируемости теории. Пере-
Перенормируемая теория фиксируется заданием конечного
числа параметров, имеющих смысл физических зарядов
и масс. Если же число типов контрчленов неограниченно
возрастает, т. е. в старших порядках теории возмущений
появляются структуры, содержащие все большее число
полей и их производных, то теория называется неперенор-
мируемой. Поскольку введение нового контрчлена озна-
означает появление новой произвольной константы (положе-
(положения точки вычитания), неперенормируемые теории не
фиксируются конечным числом параметров. Для непере-
нормируемых лагранжианов метод теории возмущений,
по-видимому, непригоден, и мы не будем их здесь рассмат-
рассматривать.
Явный вид контрчленов зависит от конкретной проме-
промежуточной регуляризации и от выбора точки вычитания,
т. е. центра разложения в ряд Тейлора. Неудачный выбор
регуляризации может сильно затруднить анализ перенор-
перенормированной теории. Для калибровочных теорий особенно
удобны так называемые инвариантные регуляризации, со-
сохраняющие формальные свойства симметрии перенорми-
перенормированной теории.
138 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
§ 3. Инвариантные регуляризации.
Метод Паули — Вилларса
Контрчленная форма Л-операции удобна для исследо-
исследования полей Янга — Миллса, так как она позволяет на-
наиболее просто и явно учесть свойства симметрии. Как мы
уже видели в предыдущей главе, принцип относитель-
относительности позволяет строить теорию возмущений для полей
Янга — Миллса, отправляясь от различных калибровок.
При этом калибровки, в которых 5-матрица формально
унитарна (кулоновская или гамильтонова калибровки
для безмассового поля Янга — Миллса, унитарная ка-
калибровка для теории со спонтанно нарушенной симмет-
симметрией), неудобны с точки зрения процедуры перенорми-
перенормировки. В первых двух случаях отсутствует явная реляти-
релятивистская инвариантность, а в последнем — явная
перенормируемость. Гораздо удобнее в этом смысле явно
ковариантные калибровки типа лоренцевой, для которых,
как мы вскоре увидим, перенормируемость очевидна. Од-
Однако в лоренцевой калибровке мы не можем построить
гамильтонову формулировку теории, и потому унитар-
унитарность ^-матрицы не очевидна. С точки зрения операторно-
операторного формализма ^-матрица в лоренцевой калибровке дей-
действует в «большом» пространстве, содержащем как физи-
физические, так и нефизические состояния (продольные и вре-
временные «фотоны», скалярные фермионы, голдстоуновские
бозоны), и, вообще говоря, унитарна лишь в этом про-
пространстве, в котором метрика индефинитна. Унитарность
.S-матрицы в физическом подпространстве, состояния ко-
которого соответствуют полям материи и поперечным век-
векторным квантам, является следствием принципа относи-
относительности, который утверждает, что все наблюдаемые не
зависят от конкретного выбора калибровочного условия.
Это подтверждается явными вычислениями предыдущей
главы, где было показано, что явно унитарный произво-
производящий функционал для коэффициентных функций ?-мат-
рицы в кулоновской калибровке может быть тождествен-
тождественно преобразован в функционал, отвечающий лоренцевой
калибровке. Приведенные рассуждения носили, однако,
формальный характер, так как мы не обращали внимания
на расходимости, появляющиеся при вычислении этих
функционалов по теории возмущений. В действительности
в квантовой теории принцип относительности следует
применять к свободным от расходимостей перенормиро-
§ 3. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
139
ванным величинам. Перенесение этого принципа на пере-
перенормированную теорию не является тривиальным. Пере-
Перенормировка эквивалентна переопределению исходного
лагранжиана. Поэтому необходимо доказать, что пере-
перенормированный лагранжиан калибровочно инвариантен.
Тогда мы сможем применить к нему рассуждения преды-
предыдущей главы и строго доказать эквивалентность различ-
различных калибровок и, следовательно, унитарность ^-матри-
^-матрицы. Последнее утверждение нуждается в уточнении. Как
мы уже видели, явный вид перенормированного лагран-
лагранжиана зависит от используемой промежуточной регуля-
регуляризации. Сказанное выше относится лишь к инвариантной
промежуточной регуляризации, т. е. регуляризации, со-
сохраняющей формальные свойства симметрии неперенор-
мированной теории. Это не означает, разумеется, что для
вычисления ^-матрицы нельзя пользоваться неинва-
неинвариантной регуляризацией. В этом случае, однако, регу-
ляризованная теория калибровочно неинвариантна и рас-
рассуждения предыдущей главы, демонстрирующие эквива-
эквивалентность различных калибровок, к ней неприменимы.
Принцип относительности справедлив теперь лишь для
перенормированной ^-матрицы в пределе снятой регуля-
регуляризации. Все это усложняет доказательство унитарности
и делает его значительно менее прозрачным. Поэтому мы
начнем описание процедуры перенормировки теории Ян-
Янга — Миллса с построения калибровочно-инвариантной
промежуточной регуляризации. Специфика инвариант-
инвариантной регуляризации калибровочных теорий обусловлена
взаимодействием полей Янга — Миллса в пустоте. Взаи-
Взаимодействие с полями материи не вносит никаких ослож-
осложнений: соответствующие диаграммы регуляризуются с по-
помощью очевидного обобщения градиентно инвариантной
процедуры Паули — Вилларса. i |
Покажем это на примере взаимодействия поля Янга —
Миллса со сшгаорпым полем я|), описываемого лагранжиа-
лагранжианом A.3.1). Производящий функциопал для функций Гри-
Грина имеет вид
fj, V)
exp
\i [
gTaAa) г|, - ^
+ Щ> +
dz\debM
C 1)
140 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
Расходящиеся диаграммы, не содержащие внутрен-
внутренних векторных линий — спинорные циклы, регуляри-
зуются так же, как в электродинамике, т. е. вычитанием
аналогичных циклов, по которым распространяются спи-
спинорные поля с массами |хг. Действительно, если мы инте-
интересуемся ТОЛЬКО СПИНОрнЫМИ ЦИКЛамИ, ТО ИСТОЧНИКИ rj, T)
можно положить равными нулю. Остающийся гауссов
интеграл по i|) и \|з явно вычисляется. Он равен det Xo, где
Хо = П'А - (in - igT^Al- C.2)
Регуляризация состоит в замене det Xo произведением
п
det Хо -> det Хо П (det X})ci =
3=1
п
= ехр {Тг In Хп + S cjТг In Xj} , C.3)
3=1
где операторы Xj конструируются аналогично операто"
РУ Хо,
Xj = id — [ij ~ igTaAa, C.4)
а коэффициенты Cj удовлетворяют условиям
2 cj + 1 = 0, 2<^ = 0. C.5)
Чтобы убедиться в том, что замена C.3) действительно
регуляризует спинорные циклы, представим det Xj в виде
det Xj = det (id - (x;-) det {1 — g (id ~ (ij) 1ТгА'}. C.6)
Первый множитель не зависит от полей А^ и поэтому
может быть включен в нормировочную константу N. Вто-
Второй сомножитель можно преобразовать к виду
ехр {Тг In {1 - g (id - (ij)-1 iTaAa}} =
= ехр { - [Ш- tr J [TaAa (xL) Si (x, - x2) -
X ТагАа> (x2) Sj(x2 — xx)\ dxx dx2+ . . .
tr
где
. . . ГО«Л°« (жп) Sj {xn - ^) dxL... dxn] } ,
(ж) — спинорная функция Грина;
C.7)
C-8>
§ 3. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
141
Переходя к фурье-образам, п-в слагаемое в экспонен-
экспоненте можно записать в виде
const
st-\' Kdp —
J J fix?
tr I
- Р3) iV) - (Р + *хJ) • • • (^ - (Р + ViJ)
X tr[ra>Aavl{k1)...rai>A«n{kn)-\ x
X fi (А„ - Aj - . . . - к^)] dkx... dkn. C.9)
Здесь первый след относится к спинорным индексам,
а второй — к внутренним степеням свободы. При п <J 4-
интеграл по р расходится. При больших р подынтеграль-
подынтегральное выражение в этом интеграле можно представить в
виде ряда по (х;-
яп(р) + 1ф\_а(р) + ... + ц? Рп(р) , Р„
X
X
pin(p)
2
(Xj
i
C.10)
где Pj {р) — полином по р степени /. Коэффициент при
(Xj' при больших р ведет себя как р~п~г'!. Если коэффи-
коэффициенты Cj удовлетворяют условиям C.5), то два старших
члена в асимптотическом разложении по р подынтеграль-
подынтегрального выражения в сумме C.3) выпадают, и асимптотика
регуляризованного выражения есть p~n~i. Таким образом,
все интегралы по р сходятся.
Регуляризованный производящий функционал можно
представить в виде континуального интеграла, в котором
в показателе экспоненты стоит локальное действие, если
воспользоваться представлением det Xj в виде
[det Zj]±] =
= I ехр {i J [Щ 0 - gTaAa) Tfc - Vj^pj] dx) П <H, <%
C.11)
где i|),:,, i|O- — вспомогательные снинорные переменные. По-
Показатель степени в левой части этого равенства определя-
определяется коммутационными свойствами полей tyj. Антикомму-
тирующим переменным соответствует показатель +1,
коммутирующим — 1. Выбирая в качестве коэффициентов
Cj, фигурирующих в формуле C.3) целые числа, регуляри-
142
ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
§ 3. ЙПТиРИЛТТТПЫР, РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
143
зующий множитель Ц (det Xjfi можно представить в
3=1
виде
О (det Х,р = J exp {i J S Г S \Щ* Ф ~
i
1
J
: П <
x, j, К
C.12)
Здесь коэффициенты с,- и массы \i}- считаются удовлетво-
удовлетворяющими условиям C.5). При этом отрицательным коэф-
коэффициентам Cj соответствуют коммутирующие вспомога-
вспомогательные поля %¦•> tyjki a положительным коэффициентам
Cj — антикоммутирующие вспомогательные поля.
Добавляя к действию, стоящему в показателе экспо-
экспоненты C.1), действие, фигурирующее в правой части ра-
равенства C.12), мы получим регуляризованный производя-
производящий функционал в виде континуального интеграла от
exp {i X локальное действие}. Действие C.12) явно ин-
инвариантно относительно одновременных калибровочных
преобразований полей Лц, 'Фяг! ^ь и> следовательно, ре-
регуляризация C.3) не меняет свойства симметрии произво-
производящего функционала.
Обобщение этой процедуры на случай, когда поле Ян-
га — Миллса взаимодействует еще со скалярными поля-
полями, очевидно. Единственное отличие состоит в том, что
поскольку скалярные поля являются коммутирующими
переменными, сумма замкнутых циклов равна (det Yo) 1
и регуляризация состоит в замене
(det 70Г -> (det У ор П (det У,р. C.13)
i
Регуляризация Паули — Вилларса применима в тех слу-
случаях, когда лагранжиан взаимодействия квадратичен по
нолям, образующим расходящиеся циклы. Поэтому она
не обобщается на само поле Янга — Миллса. Здесь при-
приходится прибегать к более изощренным приемам. В даль-
дальнейшем ограничимся рассмотрением поля Янга — Милл-
Миллса в пустоте.
В настоящее время существуют два основных метода
инвариантной регуляризации неабелевых калибровочных
теорий: метод высших ковариантных производных и метод
размерной регуляризации.
Первый метод является, по сути дела, инвариантным
обобщением стандартной процедуры регуляризации, при
которой свободные пропагаторы регуляризуются путем
нычитания
(Я.14)
— к"-
к2 — :\~4-.l
(для простоты выписан скалярный пропагатор).
Такое вычитание эквивалентно введению в лагран-
лагранжиан членов, содержащих высшие производные
ЯфЗфдд +
В случае поля Янга — Миллса подобная процедура на-
нарушает калибровочную инвариантность, так как обычная
производная не является ковариантным объектом. Есте-
Естественное обобщение регуляризации C.15) состоит в до-
добавлении к лагранжиану Янга — Миллса члепа, содер-
содержащего высшие ковариантные производные, например
%
YM
-^ &YM = -g- tr |
;f
+
f
= 4- tr
v - g Ma,
Замена C.16) приводит к желаемой модификации ско-
бодного пропагатора, однако в качестве платы за инва-
инвариантность в лагранжиане взаимодействия появляются
новые вершины. Ниже мы обсудим эту регуляризацию бо-
более подробно, а сейчас заметим лишь, что из-за появле-
появления новых вершин с производными регуляризация явля-
является лишь частичной — в регуляризованной теории оста-
остаются расходящимися диаграммы второго, третьего и чет-
четвертого порядков. Таким образом, сам по себе метод выс-
высших производных не решает проблему полностью, а лишь
сводит задачу к исследованию суперперенормируемои тео-
теории, т. е. теории, порождающей конечное число расходя-
расходящихся диаграмм. Ниже будет показано, что остающиеся
диаграммы можно регуляризовать с помощью несколько
видоизмененной процедуры Паули — Вилларса. В ре-
результате мы опишем явно инвариантный лагранжиан, ко-
который порождает сходящиеся (при конечных параметрах
регуляризации) диаграммы Фейнмана. Недостатком это-
этого метода является его сравнительная громоздкость. Из-
за появления в лагранжиане взаимодействия новых вер-
144
ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
шин, количество диаграмм сильно возрастает, что затруд-
затрудняет практические вычисления. Однако для исследова-
исследования принципиальных вопросов унитарности и перенорми-
перенормируемости этот метод наиболее удобен, поскольку наличие
явно инвариантного выражения для регуляризованного
действия позволяет автоматически перенести на регуляри-
зованный случай рассуждения предыдущей главы отно-
относительно эквивалентности различных калибровок и тем
самым доказать унитарность перенормированной теории.
В отличие от метода высших ковариантных производ-
производных, размерная регуляризация не сводится к какой-либо
модификации исходного лагранжиана, а оперирует непо-
непосредственно с диаграммами Фейнмана. Этот метод осно-
основан на двух наблюдениях.
1. Формальные соотношения симметрии между функ-
функциями Грина (обобщенные тождества Уорда) не зависят
от числа измерений пространства времени (п).
2. При достаточно малом или комплексном п все ди-
диаграммы отвечают сходящимся интегралом.
Таким образом, обобщенные тождества Уорда можно
строго доказать в той области п, где все интегралы схо-
сходятся, а затем путем аналитического продолжения перей-
перейти к п = 4.
Метод размерной регуляризации оказался удобным
для вычисления конкретных диаграмм и довольно широко
используется в практических вычислениях. Однако сточ-
сточки зрения исследования принципиальных вопросов он
обладает некоторыми недостатками.
Поскольку при нецелом или комплексном п регуляри-
зованной теории нельзя сопоставить никакого лагранжиа-
лагранжиана, простое доказательство унитарности, использующее
замены переменных в континуальном интеграле, в этом
случае неприменимо и необходимо работать непосредст-
непосредственно с диаграммами Фейнмана, что значительно более
трудоемко. Дополнительные сложности возникают при
регуляризации теорий, включающих фермионы. Посколь-
Поскольку алгебра у-матриц существенно зависит от числа изме-
измерений пространства, такие теории нуждаются в специаль-
специальном рассмотрении.
Таким образом, метод высших ковариантных произ-
производных и метод размерной регуляризации в известном
смысле дополняют друг друга; первый метод наиболее
удобен для общих доказательств, в которых используется,
.- 4. МЕТОД ВЫСШИХ КОВАРИАНТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 145
но сути дела, лишь существование инвариантного регу-
регуляризованного действия, в то время как второй метод
более эффективен для расчета конкретных процессов.
§ 4. Метод высших ковр»ри:нтных производных
Регуляризация будет состоять из двух этапов: вначале
мы путем введения в лагранжиан высших ковариантных
производных перейдем к суперперенормируемой теории,
в которой расходится лишь конечное число однопетле-
вых диаграмм, а затем регуляризуем однопетлевые диа-
диаграммы с помощью видоизмененной процедуры Паули —
Вилларса.
Модификация лагранжиана C.16) недостаточна для
того, чтобы обеспечить сходимость всех диаграмм, содер-
содержащих более одной петли. Лагранжиан C.16) хотя и
отвечает суперперенормируемой теории, но порождает
расходящуюся двухпетлевую диаграмму собственной энер-
энергии четвертого порядка. Чтобы устранить и эту расхо-
расходимость, мы введем в лагранжиан член, содержащий ко-
вариантные производные четвертого порядка
Калибровочная инвариантность регуляризованного
лагранжиана очевидна.
Регуляризованный производящий функционал для
функций Грина имеет вид
ZA (/„) - TV-
~W U О) д»
D.2)
где / ([[j) — произвольная функция от оператора д'Алам-
бера, определяющая конкретный вид обобщенной а-ка-
либровки. Регуляризованный свободный пропагатор поля
Янга — Миллса строится обычным образом:
паЬ
V — ° [
а/сЛ 1
/с1/2 (- к*> J •
D-3)
В лоренцевой калибровке (а = 0) пропагатор ведет себя
при больших к как к~в. Если а ф 0, то мы будем выби-
выбирать функцию / (—к2) таким образом, чтобы она не ухуд-
ухудшала асимптотического поведения пропагатора при к -> оо
14f> ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
и /c-vO, например,
- И2,
D.4)
где х2 — произвольный параметр.
Расписывая явно член ~Л~4 в лагранжиане D.1):
да [Аа,
— 2
видим, что он порождает вершины с тремя, четырьмя,
пятью, шестью, семью и восемью выходящими линиями.
Максимальное число производных в каждой из этих
вершин равно 5, 4, 3, 2, 1, 0 соответственно. Вычислим
теперь индекс произвольной диаграммы. Принимая во
внимание, что в нашем случае гг = —4, получаем, что
индекс диаграммы, содержащей щ вершин с к выходя-
выходящими линиями, Lin внутренних и Lex внешних линий,
определяется формулой
со «^ 4 + п3 — пъ — 2п6 — Зи7 — ins — 2L\n —
— 6 — 211 — п3 — 2гс4 — 3n5 — 4гай — 5«7 — 6щ, D.6)
где П — число замкнутых петель.
Нетрудно видеть, что расходиться могут только ип-
тегралы, соответствующие однопетлевым диаграммам вто-
второго порядка с двумя внешними линиями, третьего порядка
с тремя внешними линиями и четвертого порядка с четырь-
четырьмя внешними линиями. Аналогичные расходящиеся диа-
диаграммы порождаются также определителем det M. Всем
прочим диаграммам, включая однопетлевые диаграммы с
внешними линиями, отвечающими фиктивным с-частицам,
соответствуют сходящиеся интегралы.
Покажем прежде всего, что для устранения расходи-
мостей из однопетлевых диаграмм достаточно ввести ка-
либровочно инвариантные контрчлены.
Суммарный вклад однопетлевых диаграмм с внешними
линиями Ау, можно представить в виде
Zo = iV J exp
i \-L
(x) qhv (y)] dx dy +
u ° (x) 6Abv (y)
-[{f (?) dtfl (x)}* dx} det M(A)U dq».
D.7)
§ 4. МЕТОД ВЫСШИХ КОВЛРИЛНТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 147
В отличие от производящего функционала для однопет-
однопетлевых диаграмм полей материи, который мы рассматри-
рассматривали в предыдущем параграфе, функционал Zo (A^) не
инвариантен относительно калибровочных преобразований
своих аргументов. Это обусловлено присутствием в нем
фиксирующего калибровку члена и циклов фиктивных
частиц, нарушающих явную калибровочную инвариант-
инвариантность. Тем не менее, как мы сейчас покажем, расходящаяся
часть функционала Zo (А) инвариантна относительно ка-
калибровочных преобразований полей Ац. С точностью до
конечных членов функционал D.7) может быть преобра-
преобразован к явно инвариантному виду
с Г с Г 1 ё25л
X
X
D.8)
где
= 5ц<7ц — g
D.9
а многоточие обозначает конечные члены.
Инвариантность функционала D.8) следует из того, что
при калибровочных преобразованиях полей Ац производ-
производил
тле д .а . д лъ преобразуются контраградиентно.
Из инвариантности ^л следует
« (х) 6Abv (у)
й.4'с (.г
. (б«сб"' - gt:alu' (x) eM— gtbdlu\y) бас+...).
D.10)
Поэтому если одновременно с калибровочным преобра-
преобразованием Ац —>- А^ сделать компенсирующую замену
неременных интегрирования
, D.11)
го интеграл D.8) не изменится. (Множители detV^n
б (У^ц), очевидно, инвариантны относительно такой за-
замены.)
148 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
Чтобы продемонстрировать эквивалентность выраже-
выражений D.7) и D.8), воспользуемся уже известным нам при-
приемом. Умножим функционал D.8) на «единицу»,
1 = A
w
П б Eц (?ц + V)
a, D.12)
D.13)
и сделаем замену переменных
В результате этого функционал D.8) примет вид
1 b"'SA
2 6Л« (.г) 64 (У) [?li~ ^
X [qv - Vvu]bdx dy\ det V2 П в (V^ - V2u) X
X
X 6C^ — FF(x))Avv(^n)dgn,rfw. D.14)
Интеграл по и снимается б-функцией. Возникающий при
этом якобиан сокращается с det V2. Замечая, что функ-
функционал Aw Мц) на поверхности д^ = W равен det M,
перепишем D.14) в виде
х [gv - VvV-2Vpgp]" dx dy\ П в (drf* - WT (r)) det M dq».
D.15)
Интегрируя D.15) с весом ехр |-^- \ {/(?) WY'dxj , мы
получим функционал, отличающийся от D.7) лишь за-
заменой q^ в показателе экспоненты на
9ц —^V^Vpgp. D.16)
Покажем, что возникающие в результате этого допол-
дополнительные диаграммы отвечают сходящимся интегралам.
Для этого воспользуемся соотношением
65Л
j-abc
Л (х
\{У)
Км
), D.17)
следующим из калибровочной инвариантности действия SA-
Это соотношение позволяет переписать показатель экспо-
% 4. МЕТОД ВЫСШИХ КОВАРИ.ШТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
пенты в формуле D.15) в виде
149
' С 2ZA
dx dy - gtabc
a:. D.18)
Легко проверить, что второй член в D.18) порождает
.¦[ишь сходящиеся диаграммы. Это следует из того, что
пропагатор q^ при больших к ведет себя как к~й и коли-
количество производных в вершинах взаимодействия недоста-
недостаточно, чтобы компенсировать это убывание. Поэтому
нставка вершин, порождаемых вторым членом D.18),
и любую диаграмму делает ее конечной. В частности, на
массовой поверхности вклад этого члена вообще равен
нулю.
Итак, мы показали, что с точностью до конечных
членов функционал D.7) совпадает с явно калибровочно
инвариантным функционалом D.8). Поскольку этот функ-
функционал инвариантен относительно калибровочных пре-
преобразований полей j}^, этим же свойством обладает,
очевидно, и его локальная расходящаяся часть, и, сле-
следовательно, контрчлены, необходимые для устранения
ультрафиолетовых расходимостей совпадают с янг — мил-
лсовским лагранжианом
1
D.19)
Заметим, что такая простая структура перенормировки
характерна для теории Инга — Миллса с высшими про-
производными. В теории, не содержащей высших производ-
производных, как мы увидим ниже, контрчлены имеют более
сложную структуру.
Приведенное выше доказательство инвариантности
контрчленной части однопетлевого действия носило фор-
формальный характер, так как мы оперировали расходящими-
расходящимися интегралами. Его можно сделать вполне строгим, если
заменить D.8) аналогичным выражением, регуляризован-
пым по Паули — Вилларсу:
Zo (,А) -
= det 0ov« Ц det Qj ~ det Bo det вI, D.20)
150
ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
где
det Bj = det {V2 — u|} =
= \ exp { — \ tr [bj
det Qj ' = \ exp \'i \ -^
у
dx\ U.drit db}, D.21)
^ (.г) tfVj Ы ~
j. D.22)
Поля g^j (by, bj) считаются коммутирующими при Cj ^> О
(с'у<^0) и антикоммутирующими при Cj < 0 (c7^> 0), ко-
коэффициенты су удовлетворяют условиям Паули — Вил-
ларса
2 су +1 = 0, 2су^ = 0, D.23)
50 = В при (ху = О, Qo = Qj при [ij = 0.
Формула D.21) описывает обычную регуляризацию Пау-
Паули — Вилларса, которую мы подробно обсуждали выше
на примере спинорных полей. Из каждого замкнутого
цикла, по которому распространяется векторная (д^) или
скалярная (Ь) частица, вычитаются аналогичные циклы,
в которых внутренние линии имеют массы [Ху. Благодаря
условиям D.23) ведущие члены в асимптотике подынте-
подынтегральных выражений сокращаются и интегралы становятся
сходящимися.
Множители det Qj и det Bj, очевидно, калибровочно
инвариантны. Это следует непосредственно из интеграль-
интегральных представлений D.21), D.22). Соответствующие эф-
эффективные действия описывают калибровочно инвариант-
инвариантное взаимодействие скалярных (Ь) и векторных (q^) полей
с полем Япга — Миллса. Поэтому
dot Bj (Ла) = det Bj {Л),
delQj (,АЫ) = det Qj (Л).
D.24)
Выбирая в качестве исходиого регуляризованное выра-
выражение D.20), мы можем проделать с ним описанные выше
преобразования и в результате получим равенство регу-
ляризованных выражений (с точностью до членов, остаю-
остающихся конечными в проделе снятой ультрафиолетовой
g 4. МЕТОД ВЫСШИХ КОВАРЙЛНТТШХ ПРОИЗВОДНЫХ 151
i уляризации):
4г I I/ (D
det В'/ =
ИJ dx\ (let M (Л) П rlet Q~
= N~x det (?oVz П det Q~ ~ det Bo П det BCJ. D.25)
Устремляя регуляризующие массы [ху к бесконечности
и приравнивая члены, сингулярные при ц,у —>- оо, мы
получим равенство D.19).
Поставленная выше задача в принципе решена. По-
Поскольку вычитательная процедура применяется рекур-
рентно — вначале к однопетлевым диаграммам, затем к
диухпетлевым диаграммам и т. д., мы можем вычесть
контрчлепы D.19), после чего остающийся интеграл при
конечном параметре регуляризации Л не будет содержать
ультрафиолетовых расходимостей. Однако для многих
целей удобно иметь калибровочно инвариантный регуля-
1>и:ювапный производящий функционал, который не со-
содержал бы ультрафиолетовых расходимостей до примене-
применения иычитательной процедуры. Очевидным кандидатом
на роль такого функционала является выражение
ZA, ^ ^TV-11 exp {iSA} det M П det Q~ ~ det BCJ П
j X
D.26)
где Sa — калибровочно инвариантное действие Янга —
Миллса, содержащее высшие производные, a det Qj и
det Bj определяются формулами D.21), D.22). Действи-
Действительно, в пределе (ху->- оо множители det Qj и det Bj
порождают необходимые однопетлевые контрчлены, причем
комбинаторика Д-операции гарантирует, что после вы-
вычитания этих контрчленов все остающиеся интегралы
конечны. При конечных д,у происходит аналогичное
кычитание с той лишь разницей, что соответствующие
«контрчлены» нелокальны (рис. 14).
Однако наряду с такими «контрчленными» диаграммами
множители det Qj и det Bj порождают также сходящиеся
диаграммы, в которых производные действуют не на
152 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
внутренние g-линии, а на внешние .//-линии. Б пределе
|х;- -н>- оо вклад таких диаграмм обращается в нуль. Но
при конечных и,7- эти диаграммы присутствуют и, будучи
проинтегрированы по Jl^, в принципе могли бы породить
§ 5. РАЗМЕРНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
153
Лонтрчлениа ч
вершина
Соответствующая
нелокальная Вершина
Рис. 14. Сплошные линии обозначают поля А^, пунктирные —
поля <7„ и Ь
новые ультрафиолетовые расходимости. Чтобы этого не
произошло, достаточно, чтобы пропагаторы полей Л^
убывали быстрее, чем пропагаторы полей д^, т. е. порядок
старших производных в регуляризованном действии SA
должен быть выше, чем в эффективном действии D.22),
определяющем det Qt. Структура однопетлевых расходи-
мостей в теории Янга — Миллса со старшими производ-
производными всегда определяется формулой D.19), поэтому не
обязательно считать, что SA, фигурирующее в D.26),
совпадает с SA, определяющим det Qj. Выбирая подходя-
подходящим образом SA и Sа (например, мы можем считать, что
Sa содержит производные шестого порядка, a SA — про-
производные четвертого порядка), мы обеспечим конечность
всех диаграмм, порождаемых разложением в ряд теории
возмущений регуляризованного функционала D.26).
С помощью интегральных представлений D.21), D.22)
это выражение можно представить в виде континуального
интеграла от ехр {/ X локальное действие} по янг —
миллсовским полям Ац и вспомогательным полям с, с,
?hj> T}i> br «-,
При конечных Л, \ij все диаграммы, порождаемые ЛЛ,
сходятся. В то же время ZA имеет те же трансформацион-
трансформационные свойства, которыми формально обладает нерегуляри-
зованный функционал. В частности, для него справедли-
справедливы, как мы увидим, обобщенные тождества Уорда.
Снятие ультрафиолетовой регуляризации осуществля-
осуществляется после введения необходимых коитрчленов, зависящих
от Ц], А, предельным переходом ц.;-->°о, Л->оо.
§ 5. Размерная регуляризрция
Индекс расходимости со существенно зависит от раз-
размерности пространства-времени. Для пространства раз-
размерности п произведение независимых дифференциалов
вносит в индекс диаграммы вклад, равный
п (L — т + 1), E.1)
где L — число внутренних линий, am — число вершин.
11оэтому диаграммы, которым в четырехмерном простран-
пространстве соответствовали расходящиеся интегралы, в про-
пространстве меньшей размерности могут оказаться сходящи-
сходящимися. С другой стороны, переход от четырехмерного
пространства к пространству размерности п никак не
отражается на свойствах симметрии. Калибровочные пре-
преобразования естественным образом обобщаются на про-
пространство любой целой положительной размерности. Мож-
Можно пойти дальше и определить фейнмановские диаграммы
для пространства нецелой и даже комплексной размер-
размерности. В этом случае, разумеется, уже нельзя говорить
о какой-либо симметрии лагранжиана, поскольку само
;>то понятие при нецелом п теряет смысл. Тем не менее
\п>1 можем исследовать функции Грина в пространстве
произвольной размерности. Как мы покажем в дальней-
дальнейшем, калибровочная инвариантность теории на языке
функций Грина эквивалентна существованию соотноше-
соотношений между этими функциями, называемых обобщенными
тождествами Уорда. Эти соотношения имеют смысл в
пространстве любой размерности и в той области п, где
псе интегралы сходятся, могут быть строго доказаны.
Функции Грина, рассматриваемые как функции размер-
размерности пространства п, имеют полюсные особенности при
и — 4. Вычитая эти особенности, мы можем аналитически
продолжить функции Грина в точку п = 4. Полученные
таким образом функции будут удовлетворять обобщенным
тождествам Уорда.
В качестве простейшего примера рассмотрим интеграл,
отвечающий диаграмме собствеиной энергии второго по-
порядка
В этой формуле \х — произвольная константа, имею-
имеющая размерность массы, a g — безразмерная константа
154 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
связи. Необходимость введения масштабного фактора [л
связана с тем, что в пространстве произвольной размер-
размерности для сохранения правильной размерности действия
константы, на которые умножаются вершины взаимо-
взаимодействия, должны иметь ненулевую размерность.
При целом п < 4 итот интеграл сходится. Восполь-
Воспользовавшись формулой
ab ~~~ J [ax + b(i г)]3 ' V '
-.г)]3
о
его можно переписать в виде
1
2— ¦
'[fc2
A
- т2 + г
E.4)
Поворачивая контур интегрирования на 90° и переходя
к переменным к0 -»¦ ik0, приходим к интегралу по евкли-
евклидову пространству размерности п
1 = ig*
Гк
[к*
E.5)
Интеграл по к легко вычисляется с помощью извест-
известной формулы
dnk
/
Г а -
(fc' +
Г (а)
E.6)
где Г (а) — гамма-функция Эйлера. Правая часть равен-
равенства E.6) может быть аналитически продолжена на
комплексные значения п. Мы примем формулу E.6) в
качестве определения интеграла, стоящего в левой части
при произвольной размерности пространства. Таким
образом, интеграл E.2) равен
/2Г (
2 - -j-)^ dx [m2 -
- х))~
о
E.7)
При п — 4 Г-функцпя имеет полюс п / обращается в
бесконечность. Это соответствует расходимости исходного
интеграла по четырехмерному пространству. Разлагая /
§ 5. РАЗМЕРНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
ряд Лорана вблизи точки п/2 = 2, имеем
155
\dx In
т* — рЧ I — .
о —-:
E.8)
г|5 (а) =
d hi Г (а)
da
В соответствии с общими правилами устранения рас-
чодимостей, сформулированными выше, можно опреде-
определить перенормированную собственную энергию с помощью
пычитательной процедуры. Делая вычитание в точке
А.а = р2, получаем окончательный ответ
1
1R = m^g- \
ax In
— х)
х)
E.9)
Аналогичным образом можно доопределить и другие
расходящиеся диаграммы. Однако часто бывает удобно
пользоваться специальной процедурой перенормировки,
которая получила название схемы минимальных вычита-
вычитаний. В этой схеме вычитательная процедура сводится к от-
орасыванию в выражении E.8) полюсного члена. Другими
словами, в схеме минимальных вычитаний перенормиро-
иапная собственная энергия дается выражением
1
Jr. mi, = i
dx In
~ x) x]
E.10)
Аналогичный рецепт принимается и для всех остальных
расходящихся диаграмм. Разумеется, с точки зрения
любой отдельной диаграммы этот рецепт сводится к выбору
специальной точки вычитания. Например, для диаграммы
E.2) эта точка определяется из уравнения
1
E.11)
Однако если мы будем рассматривать всю совокупность
расходящихся диаграмм, то схеме минимальных вычита-
вычитаний уже нельзя поставить в соответствие какой-либо
15E
ГЛ. TV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
S 6. РАЗМЕРНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
157
универсальный выбор точки нормировки. Для различных
диаграмм потребуются различные точки вычитаний, при-
причем даже для диаграмм одинаковой структуры (например,
для собственно энергетических частей) точки вычитания
будут меняться от порядка к порядку.
Удобство схемы мипимальных вычитаний связано с
тем, что в этом случае контрчлепы имеют особенно прос-
простую структуру, в частности, они вообще не зависят от
массы. Это значительно упрощает многие вычисления,
в особенности решение уравнений ренормгруппы, о кото-
которых речь пойдет в последней главе. Кроме того, если
между регуляризованными функциями Грина сущест-
существуют какие-либо соотношения симметрии (например, обоб-
обобщенные тождества У орда), то они автоматически сохра-
сохраняются и для перенормированных величин. Это следует
из того, что соотношения симметрии должны выполняться
для каждого члена лорановского разложения соответст-
соответствующих функций Грина вблизи точки п = 4. Поэтому
отбрасывание полюсных членов не может нарушить эти
соотношения.
Для вычисления фейнмановских диаграмм общего вида
необходимо сформулировать также правила обращения
с тензорными величинами в пространстве размерности п.
По определению,
Mnv = «- E.12)
Аналогичным образом для теорий с участием фермионов
вводятся объекты, обладающие алгебраическими свойст-
свойствами у-матРиЦ
Vb + YvYn = 2gnvA E-13)
единичная матрица,
п
tr{YnVv} = 2~^v, E-14)
(и-4)р$. E.15)
Заметим, однако, что обычное определение матрицы у5
где /
Y5 =
E.16)
не переносится на пространство произвольной размер-
размерности, поскольку абсолютно антисимметричный тензор
определен только в четырехмерном пространстве.
Вследствие этого теории, в которых участвует матрица
у5, нуждаются в специальном рассмотрении и, вообще
говоря, размерная регуляризация к ним неприменима.
Рецептура размерной регуляризации произвольной ди-
диаграммы Фейнмана состоит в следующем. Прежде всего
выделяются тензорные структуры при у-матрицах, при-
принадлежащих внешним фермиоиным линиям. Далее с по-
помощью описанной выше формальной алгебры у-матриц
и re-мерном пространстве вычисляются следы произведе-
произведений у-матриц, отвечающих внутренним фермионным ли-
линиям. В результате этого возникают интегралы вида
I L
F=U d^jik^k^ . . . (fc,Jv П {qi ~m\+ iO), E.17)
j=l i=l
где L — число внутренних линий диаграммы, / — число
независимых циклов, а импульсы qt представляют собой
алгебраические суммы переменных интегрирования kt и
внешних импульсов pt. В этих интегралах нужно восполь-
воспользоваться какой-либо параметризацией, позволяющей явно
выполнить интегрирование по угловым переменным. Для
этого можно использовать либо фейнмановскую парамет-
параметризацию с последующим переходом в евклидову область,
как это было сделано в примере E.2), либо так называемое
а-нредставление:
(р2 _ т2 + jO)-i = (j)-i ^ da exp {ia (p2 - m2 + Ю)}. E.18)
о
После перехода в а-представление интегралы по к стано-
становятся гауссовыми и вычисляются с помощью формул типа
-ехр (-
2ка)=Ш
При нецелом п формула E.19) принимается за определение
интеграла по и-мерному пространству. Интеграл, опре-
определяющий функции F, сходится в конечной области ком-
комплексной переменной п. При п = 4 эта функция имеет
полюсы. (Практически эти полюсы появляются, например,
как особенности Г-функций Эйлера, возникающих в ре-
результате интегрирования по параметрам а.)
Функции F можно представить в виде произведения
тензоров, построенных из внешних импульсов pt на
158
ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
скалярные функции Fj. Если соответствующая диаграмма
не имеет расходящихся подграфов, то разложение функ-
функций Fj в ряд Лорана вблизи точки п = 4 имеет вид
Fi(p)=
-A), E.20)
полином, степень которого равна ин-
ингде A (pf, pt pj
дексу диаграммы.
Заметим, что, как следует из формулы E.6),
С* J41.
E.21)
поэтому в методе размерной регуляризации отсутствуют
так называемые квадратичные расходимости, т. е. контр-
контрчлены, которые в схеме перенормировок с ультрафиоле-
ультрафиолетовым обрезанием Л пропорциональны Л2.
Следующий шаг, процедура перенормировки, зависит
от того, какой схемой вычитаний мы хотим воспользо-
воспользоваться.
В схеме минимальных вычитаний мы должны отбро-
отбросить полюсные члены в выражении для Fj и оставшееся
конечное выражение принять за определение пере норми-
нормированной функции Fj.
При альтернативном способе перенормировки из Fj (p)
вычитается несколько первых членов разложения в ряд
Тейлора по импульсам р в какой-либо точке %, например
на массовой поверхности (если это возможно).
Для диаграмм, содержащих расходящиеся подграфы,
вычитания делаются рекурреитно. Вводятся контрчлены,
устраняющие расходимость из подграфов, а затем делается
вычитание для диаграммы в целом. Важным свойством
размерной регуляризации является возможность сдвига
переменных интегрирования в регуляризованных интег-
интегралах. Именно это свойство в сочетании с тензорной
алгеброй E.12) позволяет доказать в рамках размерной
регуляризации обобщенные тождества У орда.
В заключение мы проиллюстрируем метод размерной
регуляризации простым примером — вычислением поправ-
поправки второго порядка к функции Грина поля Янга — Мил-
лса. Эта поправка описывается диаграммами, изображен-
изображенными на рис. 9.
§ 5. РАЗМЕРНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
150
Диаграмме (а) в диагональной а-калибровке соответ-
соответствует регуляризованный интеграл
< [(Р + к)», g^ + (р - 2&V gMiMt + (fc
< К* + P)V2gXVl + (к - 2p)VtgVV2 + (р _ 2fc)vgVlV.] x
{(к + Ру + (к~ 2pf] + (п~Ь) PviPv +
+ (in - 6)^&v + C - 2n)(Pvklx + p,Jev)} x
X {(к* + iO) [(p - kf + iO]}-\ E.22)
где для того, чтобы сохранить правильную размерность
n^v, введена размерная константа связи g\ = g2^-n.
Пользуясь формулой
к* (р -
= \ dz
(р —
ii переходя к новым переменным
к -+¦ к + pz,
запишем этот интеграл в виде
\
о
E.23)
E.24)
< (Р)а = g^ab \ dz -g- [g,v E - 2з + 2z
о *• '
v - Dге - 6)г A - г)
Н A — г
РН
2. E.25)
В этой формуле опущены нечетные по к члены, вклад
которых по соображениям симметрии обращается в нуль.
Переходя к евклидовой метрике, можно выполнить
160 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
интегрирование по к с помощью формулы
оо _ — 1
С (Щ d к __ inn/i
т
— )
п-J-
X
X
Г (I)
. E.26)
При нецелом или комплексном п эта формула является
определением интеграла, стоящего в левой части E.26).
Выполняя интегрирование, получаем
> (р)л = -^ \ dz {[gliv E - 2Z + 2z*) p* ~
Dл) 2 о
— (in — 6) PllPvz A — z ) + (n — 6) pnpv] X
-4-). E.27)
Интегралы по z берутся с помощью формулы
В результате получаем
jab , \ . 51 Sub
2\ К
ГBт-я —/с)
2
E.28)
г (n - 2)
— 2
Г (П - 1)
/ re ^
6(re-1) Г\~2*;
2 —re Г (re)
n
+ 2-
— 6) ¦
Г(ге)
E.29)
§ 5. РАЗМЕРНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ 161
Мри получении этой формулы использовано соотношение
1
E.30)
Как видно, в пределе при п -> 4
гак как функция ГB ^"j имеет в этой точке полюс.
Разлагая Т1^(р)а в окрестности и = 4 в ряд Лорана и
пользуясь тем, что
(^) ОИ, E.31)
получаем окончательное выражение для Пцу (р)а:
, / О
19
1
In
E.32)
4—n
где с„ ud — конечные постоянные.
Диаграмме (Ъ) соответствует интеграл
вычисления, полностью аналогичные предыдущим, дают
1 1 и.2
+ -у PuPv (е х + d) + (g-p,vP2 — PuPv) -g-ln "=^2" +
+ -TPiiPvln^r}. E.34)
Наконец, диаграмма (с) дает нулевой вклад. Вклад этой
диаграммы пропорционален интегралу
/ =
E.35)
6 А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев
162
ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
1
В методе размерной регуляризации, как уже отмечалось,
имеет место формула
7 f dnk(k^ =0, {ЪЩ
J Bл)
а = 0, 1, . . ., т.
Таким образом, суммарная поправка второго порядка к
функции Грина поля Янга — Миллса имеет вид
аЪ
К (?)=К- <* + ПГ» (/>)ь =
4
Расходимость при е ->- 0 устраняется, как обычно, вычи-
тательной процедурой. Соответствующий контрчлен равен
^& -* + 6, E-38)
Где Ъ — произвольная константа. В схеме минимальных
вычитаний Ь = 0. Этот результат согласуется с формулой
A.33) из § 1. Как видно, выражение E.37) автоматически
поперечно и для устранения расходимостей не требуются
калибровочно неинвариантные контрчлены типа контр-
контрчлена перенормировки массы поля Янга — Миллса.
§ 6. Калибровочные поля в решетчатом
пространстве-времени
В этом разделе мы обсудим еще один способ калиб-
ровочно-инвариантной регуляризации теории Янга —
Миллса — путем замены непрерывного пространства-вре-
пространства-времени дискретной решеткой. Такая регуляризация кажет-
кажется наиболее естественной с точки зрения формализма
континуального интеграла, поскольку интеграл по тра-
траекториям вводится как предел конечномерных аппрокси-
аппроксимаций. Однако для нужд фейнмановской диаграммной
техники, которую мы главным образом обсуждаем в этой
книге, решеточная регуляризация неудобна из-за отсутст-
отсутствия явной релятивистской инвариантности и вычисли-
вычислительных сложностей. В то же время эта регуляризация
используется в некоторых подходах, не связанных с
разложением по константе связи, и в особенности в чис-
численных вычислениях на компьютерах. Детальное обсуж-
обсуждение этих методов выходит за рамки нашей книги,
§ 6. КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ В РЕШЕТЧАТОМ ПРОСТРАНСТВЕ J03
ц мы отсылаем заинтересованного читателя к соответствую-
соответствующим обзорам и монографиям. Здесь мы ограничимся
формулировкой общей схемы и лишь кратко упомянем
о возможных приложениях, не связанных с теорией воз-
возмущения.
Существуют два подхода к решеточной регуляризации
калибровочных теорий. В одном из них теория с самого
начала рассматривается в евклидовом пространстве R*,
и решетка вводится по всем четырем измерениям. Переход
к псевдоевклидову пространству осуществляется путем
аналитического продолжения. Во втором подходе теория
рассматривается в псевдоевклидовом пространстве, и ди-
скретизируются лишь пространственные переменнывз
а время остается непрерывным.
В первом подходе теория поля сводится по существу
к четырехмерной статистической механике, что позволяет
применить к ней методы, развитые в этой науке.
Во втором подходе мы имеем дело с квантовомехани-
'шской системой с большим числом степеней свободы.
Оба эти подхода имеют свои достоинства и недостатки.
Более употребительной является евклидова формулиров-
формулировка, которую мы и обсудим.
Непрерывное евклидово пространство .й4 заменяется
дискретной решеткой Zi. Рассмотрим для определенности
регулярную кубическую решетку с постоянной решетки а.
Вершины решетки будем обозначать п = (щ, п2, п3, щ),
где nt — целые числа. Преобразование Фурье для функ-
функции, определенной на решетке, дается обычной формулой
F.1)
Поскольку / (р) является периодической функцией
2л
с периодом ——, достаточно рассматривать значения
и интервале ( ^~'~^~)- Тем самым в теорию вводится
ультрафиолетовое обрезание: |рй|<^— , ц = 1, 2, 3, 4.
Поля материи естественно определяются в вершинах
решетки: ф (х) ->- ф (п), а векторные поля, которые харак-
характеризуются также направлением,—на ребрах (п, ju). Здесь
точка п указывает начало ребра, а ft — единичный вектор
к направлении ц.
6*
164 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
Заменяя производные в функции Лагранжа конечными
разностями
dj (х) -> Д^*) = -1.
F-2)
можно без труда написать решеточный аналог действия
Янга •—Миллса. Однако наивная дискретизация лагран-
лагранжиана Лига — Миллса привела бы к потере его наиболее
важного свойства — калибровочной инвариантности. Что-
Чтобы избежать этого, можно воспользоваться следующим
приемом. Вместо поля Янга — Миллса А^ (п), прини-
принимающего значение в алгебре Ли компактной группы й,
будем рассматривать функцию ?/п,ц, принимающую зна-
значения в группе й. Удобно ассоциировать Un>ll с ребром,
начинающимся в точке п и кончающимся в точке п + f*.
Обратный элемент ассоциируется с ребром, имеющим
противоположное направление
Un, ц — Un+ц, -ц*
F.3)
При преобразованиях из калибровочной группы ип,ц
преобразуется следующим образом:
Uп, ц ~~'
ц"п+ц'
F.4)
где й„ — заданная на решетке функция со значениями
в группе Й.
С геометрической точки зрения элемент Z7n>(i осущест-
осуществляет параллельный перенос вдоль ребра u,, a Й„ задает
локальное вращение базиса в точке п. В непрерывном
пределе а ->- 0 набор йп переходит в элемент Й (х) ка-
калибровочной группы, а калибровочное поле Ац (х) со
значениями в алгебре Ли группы й возникает при экспо-
экспоненциальной параметризации С/П,ц'-
— аЛ^{п)}. F.5)
Легко проверить, что в пределе а —>- 0 преобразования
F.4), будучи записаны в терминах полей Av, переходят
в обычные калибровочные преобразования. Действительно,
Й„ A — аА» (га)) (Й„ + оДцй,,) + . . . .
F.6)
1 - аЛ^ (») + ..
откуда, приравнивая члены первой степени по а, получим
67
§ 6. КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ В РЕШЕТЧАТОМ ПРОСТРАНСТВЕ 165
Простейшее действие, инвариантное относительно пре-
преобразований F.4), имеет вид
с
р
t/p-2],
где
Up U (Рп, |iv) Un> |д
F.8)
i, л')-
77+V
¦1 P»,nv — плакет, образованный ребрами (и, и.), (п +
(п + М- + v, — v), (n + v, —v) (рис. 15).
Величина U (рп,ц\) имеет смысл параллельного пере-
переноса вдоль плакота в заданном направлении. Суммиро-
Суммирование производится по всем планетам,
причем U и U'h отвечают планетам с про-
противоположной ориентацией.
Нетрудно убедиться, что в непрерыв-
непрерывном пределе F.8) переходит в действие
Янга — Миллса. Пользуясь формулой
Бейкера — Хаусдорфа, получим
п
П+JU
U (р) = 1 + а2
2!
Рис. 15. Плакет
F.10)
где
f п,цУ = Дц^»гу — ЬуАпц + {Anil,Anv] + О (а). F.11)
Вклад члена, пропорционального а2, уничтожается
при суммировании U (р) + U+ (p), а член порядка а4
в пределе а ->- 0 переходит в непрерывное действие Янга —
Миллса.
Вакуумные средние, соответствующие функциям Гри-
Грина непрерывной теории, даются континуальным интегра-
интегралам по инвариантной мере на группе й:
n, ц)> = ~ \ 1 (Un, ^
йр(уп,я),
п, ц
F.12)
11, Ц
Заметим, что в решеточной теории выбор в качестве
основных переменных величин U определяется соображе-
соображениями удобства. Если нужно, то можно перейти и к пере-
переменным Ari,v, сделав замену переменных F.5). Именно
так и следует поступить, если мы хотим вычислять ин-
166 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
тегралы типа F.12), пользуясь теорией возмущений по
константе связи g. Переопределяя обычным образом
переменные j/,n> й —>- gt4n, ц, мы можем разложить Un,\i
в ряд теории возмущений:
tfu.n— 1 - gaUn.» + . . . F.13)
Соответствующее разложение для действия имеет вид
О = О, у —g— 1Г (ДуеЛп (г Ац«^ьп v ~Г S 1«^пц' ¦-T'nvJ)
п, II- v
ЬГ
п v]
". F-14)
Фиксируя, как обычно, калибровку, можно строить
теорию возмущений, отправляясь от действия F.14).
Однако в этом действии помимо вершин, которые в
пределе а ->- О переходят в стандартные вершины Янга —
Миллса, содержатся также новые вершины, с большим
числом полей и дополнительными производными. Хотя
эти вершины пропорциональны параметру решетки а
в положительной степени и в классической теории в пре-
пределе а —*¦ 0 несущественны, в квантовом случае ими нельзя
пренебречь. Поскольку эти вершины содержат допол-
дополнительные производные или высокие степени поля, в пре-
пределе а —*- 0 соответствующие диаграммы расходятся как
а~к и в результате дают ненулевой вклад. С ростом по-
порядка теории возмущений появляются все новые и новые
вершины, что делает решеточную регуляризацию мало
пригодной с точки зрения практических вычислений. Кро-
Кроме того, из-за отсутствия явной релятивистской инвари-
инвариантности для устранения ультрафиолетовых расходимос-
тей могут понадобиться релятивистски не инвариантные
контрчлены.
Поэтому в теории возмущений эта регуляризация на
практике применяется редко и основной областью ее при-
применения являются методы, не связанные с теорией возму-
возмущений.
В заключение этого раздела скажем несколько слов
об этих методах.
Для вычисления корреляционных функций F.12) мож-
можно воспользоваться разложением сильной связи, т. е.
теорией возмущений по 1/g2. Рассмотрим в качестве при-
§ 6. КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ В РЕШЕТЧАТОМ ПРОСТРАНСТВЕ 167
мера вычисление вакуумного среднего так называемой
вильсоновской петли, которая в непрерывном случае оп-
определяется интегралом
(W (Г)> — J -J~ tr P exp jj Л» dx^ ¦ ехр {— S} П dA» (x).
F.15)
Здесь Г — замкнутый контур, а Р обозначает упорядоче-
упорядочение вдоль контура. В решеточной теории этому вакуум-
пому среднему соответствует регуляризованный интеграл
(W (Г)> = -^ J tr(C77ilitllC7n,+lll, ъ • • .U^n.
X
w0 =jj du exp {
щи; + uv- 2)}.
F.16)
В этой формуле в числителе стоит упорядоченное про-
произведение групповых факторов С/„.>м,., соответствующих
ребрам решетки, образующим
контур Г (рис. 16).
Будем вычислять интеграл
F.16), разлагая экспоненту по
степеням 1/g2. Как видно, задача -
сводится к вычислению интегра-
интегралов типа
Г7+ ¦, ,,А Рпс. 16. Вильсоновская
. UKm ima\i(U), петля на рошетке
(fi.17)
групповые индексы. Эти интегралы
вычисляются с помощью стандартных формул интегри-
интегрирования на группе. Так для группы U (N) имеем
г
где in, jn,
km, lm
d\i (U) U =
= ^d[i (U) U+U+ =
= 0,
F.18)
Интеграл F.17) отличен от нуля только в том случае, ког-
когда для каждого 1/ц в произведении найдется соответствую-
соответствующий фактор Uji с теми же индексами. Геометрически это
168 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
означает, что отличный от нуля вклад дают такие произ-
произведения U, в которых каждое ребро решетки участвует
дважды, причем один раз оно проходится в прямом на-
направлении, а второй раз — в обратном. Возвращаясь
к интегралу F.16), мы видим, что
ведущий порядок по 1/g2 соответ-
соответствует члену, в котором плакеты
Up, возникающие при разложе-
разложении экспоненты, минимальным
образом заполняют поверхность
вильсоповской петли (рис. 17).
Поэтому в ведущем порядке по —j-
1
oo
о
Рис. 17
(W
В случае произвольного контура
F.19)
F.20)
где Smia — площадь минимальной поверхности, натяну-
натянутой на контур Г.
Можно показать, что вакуумное среднее <FF (Г)) опи-
описывает энергию взаимодействия двух удаленных статиче-
статических источников, а именно
где Е (L) — энергия взаимодействия. Как видно из фор-
формулы F.19), в теории Янга — Миллса эта энергия имеет
вид
Я ~ L In (Ng*) F.22)
т. е. между двумя статическими источниками возникает
линейный потенциал взаимодействия. При g -> оо за-
заряды связаны упругой струной с натяжением (в едини-
единицах а~2)
а = In Cg2). (при N = 3). F.23)
Благодаря этому они не могут разойтись на макроскопи-
макроскопическое расстояние и образуют постоянно связанную си-
систему. Такое явление получило название конфайнмента
(постоянного заключения) зарядов.
К сожалению, поведение системы при g —>- оо лгало ин-
интересно с точки зрения реальных физических моделей.
Дело в том, что в конечном счете нас интересует теория
§ (>. КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ П РЕШЕТЧАТОМ ПРОСТРАНСТВЕ 109
и непрерывном пространстве-времени, т. о. в пределе а —>•
->- 0. При этом в пределе а ->¦ 0 должна восстанавливаться
лоренц-инвариантность, и при соответствующем выборе
константы g зависимость от а должна полностью исчезать.
Попробуем выяснить, какие ограничения это накладывает
на константу g. Рассмотрим какую-либо функцию Грина
Сх (х, у) — (А (х) В (у)}. При больших (но конечных!)
евклидовых х — у естественно ожидать, что имеет место
асимптотическое поведепие G (х — у) типа
I n—т\
\х-у\
G{x,y) r-e S(s) =e 5" . F.24)
Чтобы получить нетривиальный результат при переходе
к непрерывной теории, корреляционная длина ?¦ (g) долж-
должна при а -*¦ О стремиться к бесконечности. Как известно,
корреляционная длина обращается в бесконечность в точ-
точках фазового перехода. Следовательно, чтобы получить
физически осмысленную теорию, мы должны осуществ-
осуществлять предельный переход в окрестности точки фазового
перехода g*, т. е.
lim g (a) = g*. F.25)
а—о
В теории Янга — Миллса критическое значение заряда
равно нулю (см. по этому поводу § 2 гл. V). Поэтому пре-
предельный переход к непрерывному пространству-времени
должен осуществляться в окрестности точки ^ = 0, где
разложение сильной связи заведомо неприменимо.
В то же время факт обращения в нуль критического
значения константы связи в теории Янга — Миллса поз-
позволяет сделать важные предсказания относительно мас-
масштабных свойств этой теории.
Поскольку лагранжиан Янга — Миллса не содержит
размерных параметров, все размерные величины, напри-
например масса, должны выражаться через постоянную решет-
решетки а:
1 "- F.26)
Если предельный переход к непрерывному пространству
а-*- 0 происходит при одновременном стремлении конс-
константы связи к критическому значению g* (g* = 0 для по-
поля Янга — Миллса), то т стремится к конечной величине,
равной физическому значению массы. Таким образом,
при согласованном стремлении а -»- 0, g -> 0 зависимость
170
ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
от а в уравнении F.26) исчезает, что выражается следую-
следующим дифференциальным уравнением:
т
dm
da
df dg
dg ' da
= 0.
Величина
1 dg
a da
F.27)
F.28)
называется функцией Гелл-Манна — Лоу и в окрестнос-
окрестности точки g = 0 может быть вычислена по теории возмуще-
возмущений (см. § 2 гл. V):
Р (i) = -PoS3 - № + О (g7), F.29)
где для теории Янга — Миллса в пустоте, соответствую-
соответствующей калибровочной группе SU (N),
11 ,. 1
17
16л*
1
F.30,
Р1~ 3 1Ч A6л2J
Решение уравнения F.27) имеет вид
f{g) = ce »|п*.(Ро?я) 2\ F.31)
где с — постоянная интегрирования. Отсюда следует, что
в пределе а ->- 0, g -*¦ О, зависимость всех масс и других
размерных параметров от константы связи имеет универ-
универсальный характер, определяемый формулой F.31). Раз-
Различные размерные величины отличаются константами с,
которые нельзя вычислить по теории возмущений.
Существуют и другие методы вычислений в решеточной
теории Янга — Миллса, как, например, метод среднего
поля или разложение по параметру 1IN для калибровоч-
калибровочной группы SU {N). Однако наибольшую популярность
приобрело использование решеточной регуляризации для
вычислений на компьютерах по методу Монте-Карло. Мы
не будем обсуждать здесь это направление. Отметим лишь,
что, несмотря на определенные успехи, в этой области
имеется целый ряд нерешенных проблем. Одна из непрео-
непреодоленных до конца трудностей состоит во включении в ре-
решеточную схему фермионных полей материи, что необхо-
необходимо для реальных физических приложений.
§ 7. ОБОБЩЕННЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
§ 7. Обобщенные тождества У орда
171
Вернемся теперь к исследованию поля Янга — Миллса
в рамках теории возмущений.
Необходимым этапом в построении квантовой матрицы
рассеяния является, как мы уже отмечали, процедура
перенормировки.
Процедура перенормировки формулируется обычно
в терминах функций Грина. В отличие от ^-матрицы,
функции Грина не являются калибровочно-инвариантным
объектом и их значения зависят от конкретного выбора
калибровочного условия. Принцип относительности эк-
эквивалентен существованию соотношений между функция-
функциями Грина, которые мы, по аналогии с электродинамикой,
будем называть обобщенными тождествами1 Уорда. Эти
соотношения обеспечивают физическую эквивалентность
различных калибровок и играют ключевую роль в дока-
доказательстве калибровочной инвариантности и унитарности
перенормированной 5-матрицы. Из них следует, в част-
частности, что контрчлены, которые необходимо ввести для
того, чтобы снять промежуточную регуляризацию, обра-
образуют калибровочно-инвариантную структуру.
Начнем с вывода обобщенных тождеств Уорда для ре-
гуляризованных неперенормированных функций Грина.
Во всех дальнейших рассуждениях будет использоваться
лишь калибровочная инвариантность регуляризованного
действия. Поэтому мы не будем выписывать для него яв-
явное выражение, имея в виду, что в качестве такового мож-
можно воспользоваться, например, формулой D.26).
В качестве исходного выберем представление произво-
производящего функционала для функций Грина в виде
Z =
exp ji
ji
X
G.1)
Здесь Sa — калибров очно-инвариантный функционал
действия, в который включены все регуляризующие фак-
факторы. Для получения обобщенных тождеств Уорда вос-
воспользуемся тем же приемом, что и при доказательстве
калибровочной инвариантности 5-матрицы.
172 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
Введем калибровочно-инвариантный функционал
А(Л), определенный условием
Д (Л) I 8 [д^ - W (х) ~ х (*)] d(,y = 1, G.2)
где х (¦?') — произвольная матричная функция. С учетом
G.2) перепишем Z (J) и виде
Z (J) = N~" J exp |i [SA - 4- tr
G.3)
X
Перейдем к новым переменным
"*H > ^1" rj /л
со—хо'. '
Интегралы по со и W снимаются б-функциями, причем
возникающий якобиан сокращается с Д {Л).
Принимая во внимание, что значение функционала
Д {Л) на поверхности
а...4„ =W+v. G.5)
равно значению функционала А (Л) на поверхности
(
ЗцЛ = W,
G.6)
получаем
exp
G.7)
G.8)
G.9)
и = -М^х + О (х2), G.10)
где М~х — оператор, обратный к М. Ядро этого оператора
Мйь {х, У) удовлетворяет уравнению
Маь (х, у) - gt'^d^Al (x) M~l (х, у)) = баЬ8 (х - у) G.11)
Здесь
Л% = Л» + д^и - g \Л^ и] + О (и2),
а и (х) удовлетворяет уравнению
П« - ^ [Л- »] + О (и2) = 1^' - д»Л» --=-
Представляя решение и в виде ряда но %, имеем
§ 7. ОБОБЩЕННЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
173
it, очевидно, совпадает со связной частью функции Грина
фиктивных частиц во внешнем классическом поле Л^ (х):
J D> (x - z) d» \Ai (z) L>» (z-y)]dz + ... G.12)
Поскольку исходный функционал G.1) не зависит от %$
его производная по % равна нулю:
= 0. G.13)
dZ
х=о
Подставляя в эту формулу выражение G.7), полученное
тождественным преобразованием функционала G.1) и вы-
выполняя явно дифференцирование, получаем
expjj [SA + J [JIAI + 4r
{
+ \ Jl (z) (VlM-y* (z, y, A) dz) П dA = 0. G.14)
Это равенство есть не что иное, как система обобщенных
тождеств Уорда для теории Янга — Миллса. Его можно
записать также в терминах вариационных производных
4 /МП) <Ь{т!
1 й
где операторы (М)Ъа ¦- - .,
из ?й (^4), (М)' (ж, I/, Л) очевидной заменой
G.15)
получаются
G.13)
Действуя оператором М х на Z (/), получаем полную
функцию Грина фиктивных частиц в присутствии класси-
классического источника /:
'Щ-^- тг]z ^) = Q
6т," (.г) Л,,' (у)
exp |— i -|-
G.17)
174 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
Эта функция удовлетворяет уравнению
bc(x,y,J) = 8ac8(x-y)Z(J). G.18)
Из обобщенных тождеств Уорда G.15) легко получить
соотношения между отдельными функциями Грина. На-
Например, беря от G.15) вариационную производную но
J^i (у) при / = 0 и дифференцируя полученное равенство
по ум, получаем
¦L,
Вариационная производная
1
G.19)
G-20)
Lr=o
есть не что иное, как двухточечная функция Грина поля
Янга — Миллса G^v (х, у). Равенство G.19) показывает,
что продольная часть полной функции Грина
G^v (x — y)=i
совпадает со свободной:
, = — Sab
Uuv -—
Cg-toc.
(х - у) G.21)
dk. G.22)
Таким образом, в полной аналогии с электродинами-
электродинамикой радиационные поправки к продольной части функции
Грина отсутствуют. Соответствующие тождества для трех-
и четырехточечных функций выглядят значительно слож-
сложнее, чем в электродинамике, поскольку в них нетривиаль-
нетривиальным образом участвуют функции Грина фиктивных частиц.
Следствием обобщенных тождеств Уорда являются со-
соотношения между контрчленами, необходимыми для уст-
устранения расходимостей из функций Грина. Например,
из тождества G.19) для двухточечной функции Грина,
следует, что контрчлен, ответственный за перенормировку
продольной части волновой функции, равен нулю. Мож-
Можно показать, что если функции Грина удовлетворяют обоб-
обобщенным тождествам Уорда, то контрчлены образуют ка-
либровочно-инвариантную структуру. Это можно сделать
либо путем непосредственного анализа системы G.15), ли-
§ 7. ОБОБЩЕННЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
175
бо переходя к аналогичным тождествам для одночастично
неприводимых функций Грина. Тем самым будет доказано,
что перенормировка не нарушает калибровочной инва-
инвариантности теории. Проще, однако, поступить наоборот —
с самого начала ввести в лагранжиан калибровочно-ин-
вариантные контрчлены наиболее общего вида, а затем
с помощью обобщенных тождеств Уорда доказать, что все
функции Грина в такой теории стремятся при снятии про-
промежуточной регуляризации к конечному пределу. Имен-
Именно так мы поступим в следующем параграфе.
Получим теперь обобщенные тождества Уорда для
случая, когда поле Янга — Миллса взаимодействует со
скалярными ф и спинорными \)э полями.
Производящий функционал для функций Грина в этом
случае можно записать в виде
z (/, s, л, л) = лг*jj ехр {* [sA + jj [ JL (/О) wr +
+ JlAl + SV + фу + tjV ] dx] x
ПS(дрЛр -W)dAdWdy dT\> dq. G.23)
X A
Калибровочно-инвариантное регуляризованное действие
включает также члены, описывающие взаимодействие
спинорных и скалярных полей.
Все приведенные выше рассуждения автоматически
переносятся и на этот случай. Единственное отличие со-
состоит в том, что одновременно с заменой переменных G.4)
нужно перейти к новым полям фю, \ра:
Ф-»- ф»,^-^!)H1. G.24)
В результате в экспоненте преобразованного функцио-
функционала появятся дополнительные члены
6Х(?У + фУ + tjV) = Е'^ф* + б#л* + fW G-2')
и обобщенные тождества Уорда будут иметь вид
expjs [sA -i
+
2а
(/ (Q д^у] dx] det M {-i- /2 О) д»А1 (у)
+
(z)
6/ (У)
(v)
:W
ьха (у)
]dz\.
rO. G.26)
1 7fi ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
В таком виде обобщенные тождества Уорда справед-
справедливы как в симметричной теории, так и в теории со спон-
спонтанно нарушенной симметрией. Отличие состоит лишь в
явном виде калибровочного преобразования скалярных
полей фю. Если поля ф реализуют некоторое представле-
представление калибровочной группы Q, с генератором Гс
бФа = g (Гс)аЬ q>V \-0{и% G.27)
то тождество G.26) можно записать в виде (спинорные по-
поля опускаем)
,c 1 &Gda (у, x, J,
1 K° (У)
= O. G.28)
В случае спонтанно нарушенной симметрии преобразова-
преобразование G.27) модифицируется следующим образом:
бср'1 = g (Yc)ab cpV + g(Tc)ahrbuc + O(u2), G.29)
где гь — постоянный вектор, который без ограничения
можно считать направленным по оси с номером Ь: гь —
— гЬъь. Соответственно в тождестве G.28) появляется до-
дополнительный член
rg
Gda (jf, x, J, I) dy.
G.30)
Например, для модели A.3.25), в которой скалярные
поля образуют комплексный ^^б
Ф1Н) _
фм= :; =tt5
калибровочное преобразование имеет вид
G.31)
G.32)
§ 7. ОБОБЩЕТШЫК ТОЖДЕСТВА УОРДЛ
177
Обобщенные тождества Уорда выглядят следующим об-
образом:
«to
= 0.
В заключение этого параграфа мы покажем, что обоб-
обобщенные тождества Уорда G.14) выражают некоторую
дополнительную, не имеющую классического аналога сим-
симметрию эффективного лагранжиана квантованного поля
Янга —¦ Миллса. (Эффективным лагранжианом мы на-
называем выражение, стоящее в показателе экспоненты в
формуле C.3.54) для б'-матрицы. Это выражение вклю-
включает помимо классического лагранжиана Янга — Милл-
Миллса фиксирующий калибровку член и лагранжиан фиктив-
фиктивных полей.)
Запишем производящий функционал для функций
Грина в виде континуального интеграла от exp {i X ло-
локальное действие}, вводя явно поля фиктивных частиц
Z = /Г1
exp
o'Mahc"
+
4г
Tfcaj dx} П
dc dc. G.34)
В этой формуле мы ввели помимо источника для поля
Янга — Миллса антикоммутирующие источники tj, r\ для
фиктивных полей. Функционал G.34) отвечает определен-
определенному выбору калибровочного условия (для простоты мы
рассматриваем случай / ([J) = 1). Поэтому эффективное
действие, стоящее в показателе экспоненты, не является
калибровочно инвариантным. Тем не менее существуют
преобразования, затрагивающие одновременно как поля
Янга — Миллса, так и фиктивные поля с, с, относительно
которых эффективный лагранжиан инвариантен. Эти
преобразования имеют следующий вид:
А1 (х) -> Al (х) + [ V (х))а е, G.35)
са (х) -> с" (х) — ~ t"""cb (.r) с* (*) е,
с" (.г) ^
с" (.г) -f- 4"
1 (х)} г.
G.36)
G.37)
178 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
Здесь е — не зависящий от х параметр, являющийся эле-
элементом алгебры Грассмана:
е2 = 0; ее + се = 0; гс + се = 0; [е, J»] = 0. G.38)
(Напомним, что фиктивные поля с, с также являются ан-
тикоммутирующими переменными.) Преобразования по-
подобного типа, нетривиальным образом перепутывающие
коммутирующие и антикоммутирующие величины, по-
получили название суперпреобразований.
Убедимся, что эффективный лагранжиан, фигурирую-
фигурирующий в формуле G.34), инвариантен относительно пре-
преобразований G.35) — G.37). Преобразование G.35) яв-
является частным случаем калибровочного преобразова-
преобразования, потому оно оставляет инвариантным первый член
в показателе экспоненты G.34). Нетрудно проверить, что
вариация б (V^c) тоже равна нулю. Действительно,
§ 7. ОБОБЩЕННЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
179
i
e —
t
ald (д^ -
ecd
G.39)
Из антикоммутативности переменных с , cd следует, что
tabdtbefcfcd _ I faedjab/gb^ G.40)
и поэтому правая часть G.39) обращается в нуль. Таким
образом, полная вариация эффективного лагранжиана
равна
8Xef = 4" MX (V)°e - 4" ^А1МаЬсьг. G.41)
Вспоминая определение оператора М, видим, что это вы-
выражение равно нулю.
Инвариантность эффективного действия относительно
преобразований G.35) — G.37) позволяет дать альтерна-
альтернативный вывод обобщенных тождеств Уорда G.15).
С этой целью сделаем в интеграле G.34) замену пере-
переменных интегрирования G.35) — G.37). Якобиан этого
преобразования, очевидно, равен единице. Следователь-
Следовательно, в результате замены G.35) — G.37) меняются лишь
члены с источниками. Выписывая явно их вариацию
dZ
и приравнивая нулю производную -з—, получаем
соотношение
J ехр {* J [Xef + JlAl + cV + n°ce] dx] X
x {4 (у) [V (у)\ь - 4- д»А» (у) 1° (у) ~
йУ П dd dc dc = 0,
4" 71"
G.42)
из которого легко получить тождества G.14). Дифферен-
Дифференцируя равенство G.42) по ц и полагая ц, г\ =0, имеем
ехр
+
°1 Ц { - 4" д»А»
a (I/) /* (z) [ V (z)]b
= 0.
G.43)
Выполнив с помощью формулы G.17) интегрирование по
с, с, получаем в точности тождество G.14). Совершенно
аналогично можно получить обобщенные тождества Уор-
Уорда для случая, когда поле Янга — Миллса взаимодейст-
взаимодействует с полями материи.'
В качестве второго примера применения преобразова-
преобразований G.35) — G.37) получим обобщенные тождества Уор-
Уорда для сильно связных функций Грина. Эти тождества
можно, разумеется, получить непосредственно из соотно-
соотношений G.15), однако удобнее перейти вначале к линеа-
линеаризованной форме уравнений G.15). Для этого введем в
производящий функционал G.34) помимо источников для
фиктивных полей с, с и поля Янга — Миллса Лу, также
источники для нелинейных составных полей, появляю-
появляющихся в правой части преобразований G.35), G.36).
Модифицированный производящий функционал будет
иметь вид
Z (/, fj, т), K,L)=^ ехр ji J [#e/ (J,, с, с) + JlAl + c<V +
|- fjV + Kl (?дс)а - ^ ?etoMcVl <Ц П dA dc dc. G.44)
Как и в предыдущем случае, сделаем замену переменных
G.35) — G.37). Члены, содержащие источники К и L, ин-
инвариантны относительно этой замены. В инвариантности
члена V^c мы убедились выше, а инвариантность произ-
иедения ?abdcbcd непосредственно следует из тождеств
180 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
dZ
Якоби. Приравнивая нулю -^~
,получим
Точно такому ;ке соотношению удовлетворяет, очевидно,
производящий функционал для связных функций Грина
W = Пп Z. G.46)
Сильно связные функции Грина выражаются через ва-
вариационные производные функционала Г (Л, с, с, К, L),
связанного с функционалом W преобразованием Лежандра
Г (Л, с, с, К, L) = — W (/, г\, т), #, L) — /JUJi — т)„са — сат)а,
G.47)
где
6Г
6Г
6с"
G.48)
6\У
с. О.
бт)
6Г
б?1
Действительно, непосредственно из определения G.48)
следует, что
Цх) 6- <.
Дифференцируя G.49) еще раз по Аср и пользуясь оп-
определением G.48), получим
юг б
(z) &HV
T(y,y)C-T(z,2)y.
<Vm' -drdi/dz. G.50)
Равенство
6Г
§ 7. ОБОБЩЕННЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА 181
G.50) показывает, что функция
получается из трехточечной связ-
связной функции Грина ампутацией внешних линий, т. е. она
представляет собой сильно связную функцию Грина. Со-
Совершенно аналогично можно убедиться в том, что все
вариационные производные Г представляют собой сильно
связные функции Грина.
Воспользовавшись определением G.48), мы можем пе-
переписать тождество G.45) в терминах функционала Г:
бса
бс (х)
ехр {} J[5? {Л, с, г) +
Это уравнение можно переписать в виде
,/_ч . 1 д б
G.51)
Тождество G.51) следует дополнить уравнением для
функции Грина фиктивных полей. Делая в исходном про-
производящем функционале G.44) замену переменных с ->¦
_ , dZ
—v с -+- в и приравнивая нулю производную —j—
получим
dcdc=O.
G.52)
G.53)
Снова пользуясь определением G.48), для связных функ-
функций Грина получим
^ + ^ ^L_ = 0. G.54)
Уравнения G.51) и G.54) представляют собой обобщен-
обобщенные тождества Уорда для сильно связных функций Гри-
Грина. Их характерной особенностью является отсутствие ка-
какой-либо явной зависимости от вида калибровочной груп-
группы. Они не содержат ни констант связи, ни структурных
констант группы симметрии. Явный вид калибровочной
группы используется лишь в определении источников.
Симметрия относительно преобразований типа G.35) —
G.37) оказалась очень полезна для исследования струк-
структуры эффективного действия. Особенно широкое примене-
182 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
ние она нашла в калибровочных теориях с открытой ал-
алгеброй, т. е. в теориях, в которых алгебра калибровочной
группы замыкается лишь на решениях уравнений движе-
движения. Примером таких теорий являются модели расширен-
расширенной супергравитации.
Эта симметрия лежит также в основе явно ковариант-
ного подхода к квантованию калибровочных теорий, яв-
являющегося аналогом формализма Гупта —¦ Блейлера в
квантовой электродинамике. Этот подход будет описан
в одном из следующих параграфов.
До сих пор мы рассматривали лишь ковариантные
а-калибровки, с которыми обычно приходится иметь дело
в практических вычислениях. Однако все рассуждения
автоматически переносятся и на более общий случай, ког-
когда фиксирующий калибровку член имеет следующий вид:
В (Л) = exp |-L jj Ф2 {Л, х) <Ц , G.55)
где Ф (Л) — некоторый функционал от Л (х), который
в принципе может содержать помимо линейных по Л чле-
членов члены более высокого порядка. В зтом случае, в со-
соответствии с общей процедурой квантования, описанной
в гл. III оператор М, фигурирующий в производящем
функционале для функций Грина, определяется формулой
A.1.26):
М*«=\^ж^а{у)ау- G-56)
Чтобы получить обобщенные тождества Уорда для этого
случая, достаточно во всех выкладках, приведенных в на-
начале этого параграфа, заменить
ЗцА -»» Ф (Л), М -+ МФ. G.57)
В результате получим вместо G.14)!
jj exp jj J \sA + [ 4~ Ф2 (A) + JJUS] da:} det Мф X
X {Фа (А,и) + ^1 (z) {%Mtfa [z, y, A) dz) П dA = 0.
G.58)
§ 8. Структура перенормированного действия
Проанализируем структуру примитивно расходящихся
диаграмм в теории Янга — Миллса. Начнем с поля Ян-
га — Миллса в пустоте. В а-калибровке эффективный ла-
8. СТРУКТУРА ПЕРЕТЮРМИРОПАННОГО ДЕЙСТВИЯ
183
гранжиан имеет вид
Х = 4"tr {4" К^
(8.1)
Диаграммная техника включает следующие элементы:
a) векторные линии A^Av, линии фиктивных с-час-
тиц се. Этим линиям соответствуют свободные функции
Грина ZVV (p) и D (р) с асимптотиками при р -v oo, р~2;
b) вершины с тремя выходящими векторными линия-
линиями и одной производной;
c) вершины с четырьмя векторными линиями без про-
производных;
d) вершины с одной векторной и двумя фиктивными
линиями и одной производной.1
В соответствии с общей формулой, выведенной в § 2,
индекс диаграммы, содержащей па тройных векторных
вершин, п4 четверных вершин, пе вершин с участием
фиктивных частиц, L\n внутренних векторных линий, L\n
внутренних фиктивных линий, равен
со = 2Lin + 3L;n _ 4 (n4 - 1) - 3 (n, + nc). (8.2)
Воспользовавшись тем, что число внутренних линий Ljn,
Lin связано с числом внешних линий Lex соотношением
Lm =
,c _ 4
Mn —
(8.3)
2
выразим индекс диаграммы через числа внешних линий:
со = 4 — Lex - Lcex. (8.4)
Из формулы (8.4) следует, что ряд теорий возмущений
для поля Янга — Миллса в а-калибровке содержит
конечное число типов примитивно расходящихся диа-
диаграмм. Эти диаграммы символически изображены на
рис. 18. (Формально имеется еще логарифмически расхо-
расходящаяся диаграмма с двумя внешними векторными и дву-
двумя фиктивными линиями и расходящаяся диаграмма с че-
четырьмя фиктивными линиями. Однако, как видно из фор-
184 ГЛ. TV. ПЕРТСПОРМИРОПКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
мулы (8.1), производную, стоящую в одной из внешних
вершин, интегрированием по частям можно перебро-
перебросить на внешнюю с-линию. Поэтому в действительности
соответствующие интегралы сходятся.)
Диаграммы собственной энергии (а) и (б) имеют ин-
индекс 2. Диаграммы (в), (г) имеют индекс 1, диаграмма
§ 8. СТРУКТУРА ПЕРЕНОРМИРОПАПНОГО ДЕЙСТВИЯ
185
a) 5) 8) г) д)
Рис. 18. Типы расходящихся диаграмм в теории Янга — Миллса
(д) — индекс 0. По тем же причинам, что и выше, факти-
фактический индекс диаграмм, имеющих внешние с-линии, по-
понижается на 1. Кроме того, из соображений лоренц-ин-
вариантности все диаграммы, имеющие индекс 1, в дей-
действительности расходятся лишь логарифмически.
В соответствии с общей процедурой, для устранения
этих расходимостей из соответствующих собственных вер-
вершинных функций нужно вычесть несколько первых чле-
членов разложения в ряд Тейлора по внешним импульсам.
В качестве центра разложения обычно выбирают точку,
в которой внешние импульсы лежат на массовой поверх-
поверхности, поскольку такой выбор обеспечивает правильную
нормировку одночастичных состояний. Однако в случае,
когда рассматриваемая система включает частицы с ну-
нулевой массой, вершинные функции на массовой поверх-
поверхности могут содержать дополнительные сингулярности,
обусловленные расходимостью соответствующих интег-
интегралов в начале координат (инфракрасная катастрофа).
Поэтому мы будем делать вычитания в точках, для кото-
которых значения всех внешних импульсов лежат в евклидо-
евклидовой области. Для вершины с га внешними импульсами pt
таковыми являются, например, точки
р!=-а«, Р;Р, = -^г . (8.5)
В птих точках все вершинные функции вещественны
и свободны от инфракрасных сингулярностей.
Выпишем наиболее общие выражения для вычитаемых
членов, совместные с условиями релятивистской инвари-
инвариантности и бозе-симметрии. Собственные вершинные функ-
функции, соответствующие диаграммам, изображенным на
рис. 18, имеют следующую структуру (здесь выписаны
вершинные функции для группы SU^. В этом случае тен-
тензорная структура по зарядовым индексам исчерпывается
тензорами еайс и 6аЬ. В общем случае могут присутство-
присутствовать дополнительные линейно независимые структуры, на-
например члены, пропорциональные симметричному тензо-
тензору dabc в случае группы SU3. Данное ниже доказательство
перенормируемости остается справедливым и в этом слу-
случае):
rrfrf (р) = Г$ (р) - баЬ {blg]lv + btf^Pv +
+ h (p^guv — PuPv)} + ¦¦¦¦>
r() rnb( 6V
= rftZ (p, k, q) r=
(p - k)p
— p)v)
(8.6)
^4r slmn
be (к-
= Р {b7egile8'
В последней формуле Р — оператор симметризации
по парам индексов (г, [i), (I, v), (m, p), (га, к). Коэффициен-
Коэффициенты Ь{ зависят от параметров регуляризации Л, и,, и по-
положения точек вычитания а^ . . . обозначает следующие
члены разложения в ряд Тейлора, стремящиеся при сня-
Tirn регуляризации к конечному пределу. Вычитание по-
полиномов (8.6) эквивалентно введению в эффективный ла-
лагранжиан следующих контрчленов:
=4-1г
2Ь,1сГ\с -j- Ъъ (dv А —
М [Л», Л
+ ^-{tr(t^A)}2. (8.7)
Число типов контрчленов, необходимых для устранения
расходимостей, конечно, и, следовательно, теория пере-
перенормируема. Однако контрчленная часть действия (8.7)
186 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
содержит значительно больше параметров, чем исходный
лагранжиан. При произвольных параметрах bt перенор-
перенормированная, теория не калибровочно-инвариантна и не
удовлетворяет принципу относительности, что означает
потерю эквивалентности различных калибровок и вслед-
вследствие этого нарушение унитарности.
При фиксированной промежуточной регуляризации
значения параметров bt зависят от выбора точек вычита-
вычитания at. Мы покажем, что этот произвол позволяет подо-
подобрать параметры bt таким образом, чтобы перенормирован-
перенормированная теория была калибровочно-инвариантна.
Выясним, какие ограничения накладывает принцип
относительности на вид перенормированного эффективно-
эффективного лагранжиана. Прежде всего заметим, что калибровочная
инвариантность лагранжиана Янга — Миллса не нару-
нарушится, если мы умножим его на константу. Кроме того,
мы можем произвольно распоряжаться параметром g,
играющим роль заряда. Другими словами, наиболее об-
общее выражение для калибровочно-инвариантного лагран-
лагранжиана поля Янга — Миллса имеет вид
§ 8. СТРУКТУРА ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО ДЕЙСТВИЯ
187
X =
tr
(8.8)
Роль параметра калибровочного преобразования для
этого лагранжиана играет константа g:
Ё =
(8.9)
Чтобы теория была самосогласованной, тот же параметр
должен фигурировать и в определении ковариантной про-
производной. В частности, в операторе М, который был оп-
определен формулой
M = diyii^dli(dtl-g[Ull, }), (8.10)
константу g нужно заменить на g. Записывая det M (#)
в виде интеграла по полям фиктивных частиц
det М (|) = const \ ехр I—~ \ галдц (д^с — z^g x
Ац, с}) <Ц П dc dc, (8.11)
X
где
— Z2
(8.12)
и мы опять воспользовались возможностью умножения
лагранжиана как целого на произвольную константу,
получаем наиболее общее выражение для допустимого
эффективного лагранжиана
Жя = 4"tr {4- Z2 Kflv^ii - <Wv) + z^V [A», Av] ]2 -
- 4r (/ О) ^ЛР - 22 (с П ^ - 2^ [<Лп c])- (8-13)
Константы zlt г2, zlt z2 связаны соотношением (8.12). При-
Привычное условие zx = z2 не является необходимым, и,
вообще говоря, не выполняется: лагранжиан (8.13) имеет
ту же структуру,что и неперенормированный лагранжиан,
отличаясь от последнего лишь мультипликативной пере-
перенормировкой полей Ац, с, с, заряда g и калибровочного
параметра а:
.4... —> 7.У2.4... с -> г\/гс, с -> z.H,
(8.14)
g, a—>z%a.
В отличие от общего выражения (8.7), этот лагранжиан
содержит всего три независимых контрчлена, и на пер-
первый взгляд не очевидно, что с их помощью можно устра-
устранить все расходимости.
Вводя инвариантную промежуточную регуляризацию,
можно построить производящий функционал для функ-
функций Грина ZR (/), порождаемых лагранжианом (8.13).
Мы будем считать, что регуляризация осуществляется с
помощью метода высших ковариантных производных,
описанного в § 4. Поскольку во всех дальнейших рассуж-
рассуждениях используется лишь инвариантность регуляризо-
ванного действия, не будем выписывать явно регуляризую-
щие члены, имея в виду, что они описываются, например,
формулой D.26).
Роль параметра калибровочного преобразования для
лагранжиана (8.13) играет константа g = z^g. Поэто-
Поэтому обобщенные тождества Уорда, которым удовлетворяет
функционален (/), отличаются от тождеств G.15) заменой
g в операторах М'1 и Vp, на g:
t-stH2»»0' <8Л5>
188 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
где значок ~ обозначает, что константа g, фигурирую-
фигурирующая в определении оператора М~х, заменена на g.
В этой формуле удобно перейти к перенормированным
функциям Грина фиктивных частиц, определенным ра-
равенством
Gdn (у, х, J) = ЛГ1 \ са (у) са (х) exp [l $ [22с! (s) ? cf (s) -
- zjk]0 (s) r?,t \Al (s) c' («I -h Ж™ (s) +
+ Л^] ds) П d^ rfc dc. (8.16)
X
Для этого заметим, что
М'ГХ =-- TV $ с" {у) с" (ж) охр {i ] [с" (s) П с" (s) -
- zl\gtlbd1? (s) Зц [Л* (s) cd (s)] + %ЪМ (в) +
+ Л^] ds} П d^ dcdc-=z.fit {у, х, J). (8.17)
Последнее соотношение получается из (8.16) заменой пе-
переменных
c-.z^c, c-~>ztuc. (8.18)
Представляя источник J^ в правой части тождества
(8.15) в виде /ц = /jf + dll'T2~1dvJv, и пользуясь тем, что
дЪ(\»(ё)М-%ьх=--^ь8(х-у), (8.19)
перепишем эти соотношения в виде
6ZC
"*-т-^с%(у'х>^йу- (8-20)
Мы покажем, что при подходящем выборе констант z2,
z2, zx из тождества (8.20) следует конечность всех функ-
функций Грина. Доказательство будет строиться по индукции.
Предполагая, что все диаграммы до «-го порядка вклю-
включительно конечны, мы докажем, что функционал F, сто-
стоящий в правой части уравнения (8.20), конечен до порядка
п -\-¦ 1. Отсюда следует, что функционал
(8.21)
^1 —•
S 8. СТРУКТУРА ПЕРЕНОРМИРОВАПНОГО ДЕЙСТВИЯ
189
также конечен с точностью до порядка п -\- 1. Послед-
Последнее, как мы увидим, означает, что конечны все функции
Грина, кроме, быть может, двухточечных функций поля
Янга — Миллса Тал и фиктивных частиц Г-,. Из этих
функций расходимости устраняются с помощью констант
перенормировки z2 и ?2, выбор которых остается в нашем
распоряжении.
Доказательство выглядит особенно просто в случае
калибровок, для которых продольная часть функции Гри-
Грина поля Янга — Миллса быстро убывает при больших
импульсах, т. о. когда фигурирующая в определении обоб-
обобщенной а-калибровки функция / (/с2) имеет асимптотику
к2'1 с п ^> 1. (Сюда же. разумеется, относится и собствен-
собственно лоренцева калибровка а ----- 0, когда продольная часть
Z)Mv равна нулю.)
Доказательство в случае произвольной калибровки не
содержит никаких принципиально новых моментов, но
более громоздко. Чтобы не отвлекать внимание читателя
техническими деталями, мы рассмотрим вначале случай
/ (к2)—v к'г", и > 1, и вернемся к обсуждению калиб-
ровок общего вида позже, когда будем исследовать зави-
зависимость функций Грина от калибровки.
В низшем порядке g2 расходятся лишь двухточечные
функции Таа и Г-с- Собственная вершинная функция
ТАА = Г^ (к) во втором порядке связана с функцией
Грина G^v (к) соотношением
^гпЬ /j ч j~.am /7 \ птиц /7 \ т\п^ а \ т~\аЬ /7 \ /о оо\
Gafi (к) — Ахи (Щ I nv {к) Dyfi (к) -f AaS (к). (8.22)
Из тождества (8.20) следует
о „1 Oik,, „h к,,
PG$(*)-- "
(~ к2)
rab
т. е. функция Г^ (Л") поперечна:
(8.23)
(8.24)
Следовательно, константы fot u b2 в лагранжиане (8.7)
равны нулю, и для устранения расходимости достаточно
одного контрчлена z2 ¦ Аналогичным образом контрчлен
2.20) обеспечивает конечность функции Грина фиктивных
частиц.
190 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
Докажем теперь конечность вершинных функций треть-
третьего порядка. Вершинной функции Т~с . соответствуют
сильно связные диаграммы, изображенные на рис. 19.
Как было показано выше, индекс этих диаграмм равен
- а.) У, У х X1 У, У
Рис. 19. Поправки третьего порядка к вершинной функции Г_
нулю, т. е. формально они логарифмически расходятся.
Нетрудно убедиться, однако, что в калибровках, для
которых / (к2) —-*- | к\гп, п > 1, расходимость отсутствует.
Действительно, аналитическое выражение, отвечающее
диаграммам на рис. 19, представляет собой в координат-
координатном представлении сумму членов типа
~ J D (х - хх) 3? {D (хх - Zl) dp1 [Dmi (z, -z)D (zx - yt)] X
X dil [Dvj>, {xx — г/i) I> (yx — y)]} dx1 dyx dzv
Интегрируя по частям, это выражение легко преобразо-
преобразовать к виду, когда производные, стоящие в вершинах
хх и ух, действуют либо на векторную функцию Грина,
в результате чего в интеграл дает вклад лишь ее быстро
убывающая продольная часть, либо на внешнюю линию.
Поэтому истинный индекс расходимости понижается,
а диаграммам на рис. 19 отвечают сходящиеся интегралы.
Соответственно в рассматриваемых калибровках констан-
константа zx конечна.
Для функции Грина
%>{x,y,z) =
п4а (у. *>J)
{x, у, z) тождество (8.20) дает
X
gva
с, j/
х
p).
Функции
Gf (у, х, J)
&J'a {у) б/р (г)
браженные на рис. 20.
отвечают диаграммы, изо-
j=o
§ 8. СТРУКТУРА ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО ДЕЙСТВИЯ 191
Диаграммы (б) и (в) слабо связные, и сходимость соот-
соответствующих интегралов следует из конечности двухто-
двухточечных функций Грина GjJv и Gab второго порядка.
Диаграмма (а) имеет структуру, аналогичную диа-
диаграмме, описывающей переход двух фиктивных частиц
X. X
Рис. 20. Диаграммы, отвечающие функции
&GdRa (у, х, J)
в одну векторную (см. рис. 19). Она отличается от послед-
последней лишь видом крайне левой вершины, отмеченной на
рисунке крестиком. Из зтой вершины выходят одна век-
векторная и одна фиктивная линии, а производные отсутст-
отсутствуют. Формально диаграмма на рис. 20, а, имеет индекс
нуль, однако по тем же причинам, что и выше, фактиче-
фактический индекс на единицу меньше, и расходимость отсут-
отсутствует.
Таким образом, правая часть равенства (8.25) конечна,
и, следовательно, конечна и функция d^G^p {%, у, z)
в третьем порядке по g. Поэтому конечна и дивергенция
собственной вершинной функции Г?*р
(k + p^tf&itcpXoo. (8.26)
Расходящаяся часть T^Vp (к, р) может быть лишь по-
полиномом не выше первого порядка. Условие (8.26) озна-
означает, что этот полином тождественно равен нулю, и, сле-
следовательно, функция r?vp (&i P) в третьем порядке по g
конечна. Для устранения расходимости из вершинной
функции T^vp нам не понадобилось вводить независимую
константу перенормировки zt. Эта функция автомати-
автоматически оказывается конечной, если zx = ZjZ^Zj.
Доказательство конечности вершинных функций про-
произвольного порядка проводится совершенно аналогично.
192
ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
Рассмотрим функционал F, стоящий в правой части
уравнения (8.20). Его связная часть представляется диа-
диаграммами, изображенными на рис. 21. Пусть все диаграм-
диаграммы, участвующие в разложении этого функционала,
конечны вплоть до порядка п. Для доказательства конеч-
конечности функционала F в (п + 1)-порядке достаточно рас-
рассмотреть диаграммы на рис. 21, в которых отсутствуют
у р. ¦¦- .,.„ s , a:
Рис. 21. «~— обозначает внешний классический источник J
вставки во внешние линии, причем, но предположению,
все подграфы конечны.
Диаграммы на рис. 21 имеют структуру, аналогичную
диаграммам, изображающим функции Грина G {х, у, J)
с двумя внешними фиктивными линиями и произвольным
числом внешних векторных линий. Они отличаются лишь
видом вершины, отмеченной крестиком. Из этой вершины
выходят одна векторная и одна фиктивная линии, а про-
производные отсутствуют.
Поэтому индекс диаграмм на рис. 21 такой же, как
у соответствующих диаграмм для G (х, у, J). Диаграмма
с диумя внешними линиями имеет индекс 1. По соображе-
соображениям лоренц-инвариантности соответствующее аналити-
аналитическое выражение имеет вид
? (у) Фц (у - *) ^г/ — 5 •# (//) ^ф (г/ - х) dy ~= о.
Диаграмма с тремя внешними линиями имеет индекс 0
и в принципе логарифмически расходится. Остальные
диаграммы имеют отрицательный индекс. Дословно по-
повторяя рассуждения, проведенные выше для диаграммы
8. СТРУКТУРА ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО ДЕЙСТВИЯ
193
третьего порядка, убеждаемся, что логарифмические рас-
расходимости в диаграммах на рис. 21, а также в диаграммах,
отвечающих вершинной функции Г-сай, в действительности
отсутствуют.
Таким образом, из предположения о сходимости ин-
интегралов, отвечающих диаграммам порядка п, следует
конечность функционала F до порядка п + 1 включи-
включительно. Это означает, что сходятся также все интегралы,
участвующие в разложении функционала, стоящего в ле-
левой части уравнения (8.20), т. е. конечны все функции
Грина
SXi i
D
Фурье-образы функции
Z'Z2(xi---Xm)- (8-27)
связаны с вершинными
функциями Гц,*...,/" соотношением
^G^Ak,)...
а Ь
(*!...&„). (8.28)
а-Ь.
а-Ь.
Все двухточечные функции G^.-i. обратимы и имеют
по g порядок <^п. Поэтому из конечности функций (8.27)
следует
!¦¦• К) =
(8-29)
Вершинным функциям Г^...^ соответствуют, вообще
говоря, как сильно, так и слабо связные диаграммы.
Слабо связным диаграммам отвечают коэффициентные
функции, представимые (в импульсном представлении) в
виде произведения коэффициентных функций меньшего
порядка, которые, по предположению, конечны. Поэтому
можно считать, что равенство (8.29) справедливо для
собственных вершинных функций порядка п + 1.
Если собственная вершинная функция имеет индекс 0
или 1, то ее расходящаяся часть может быть лишь поли-
полиномом не выше первого порядка. Условие (8.29) означает,
что этот полином тождественно равен нулю, и, следова-
следовательно, все функцииГ^..^ц™ (кг , . . кт) конечны. Исклю-
7 А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев
194 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
чение могут составлять лишь двухточечные функции Грина
поля Янга — Миллса и поля фиктивных с-частиц. Пос-
Последняя вообще не участвует в разложении (8.27), и по-
поэтому на нее не возникает никаких ограничений.
Что касается двухточечной функции Грина поля
Янга — Миллса, то поскольку ей соответствуют диаграммы
с индексом 2, расходящаяся часть Т^, (к) может быть
полиномом второго порядка. Условие (8.29) не достаточно
для обращения в нуль полинома второго порядка. Оно
не накладывает никаких ограничений на его поперечную
часть
const (g^vk2 — &p,/cv). (8.30)
Однако в нашем распоряжении есть еще два произ-
произвольных контрчлена порядка п + 1: 4™+1\ Zg"". Этих
контрчленов достаточно, чтобы устранить расходимости
из двухточечных функций Грина. Таким образом, все
диаграммы п + 1-порядка конечны. Индукция закончена.
Пусть теперь поле Янга — Миллса взаимодействует
еще со скалярными и спинорными полями. Соответст-
Соответствующие лагранжианы даются формулами A.3.1,11). Диа-
Диаграммная техника, помимо уже обсуждавшихся элемен-
элементов, содержит теперь скалярные и спинорные линии,
которым соответствуют функции Грина D (р) и S (р) с
асимптотиками р~2 и р~х соответственно, вершины с дву-
двумя спинорными и одной векторной линией без производ-
производных, вершины с двумя скалярными и одной векторной
линией с одной производной и вершины с двумя вектор-
векторными и двумя скалярными линиями без производных.
Индекс диаграммы с b?x внешних векторных линий, Ь%*
фиктивных, Ltx скалярных и Lex спинорных внешних
линий равен
@ = 4 — Ьех — Lex — ^ех <Г
(8.31)
Помимо уже перечисленных выше диаграмм, неотрица-
неотрицательный индекс имеют диаграммы, изображенные на
рис. 22. Диаграмма собственной энергии скалярного поля
(Ъ) расходится квадратично, диаграммы а, г — линейно,
остальные диаграммы расходятся логарифмически.
Соответствующие собственные вершинные функции
имеют вид (мы опять для определенности выписываем
§ 8. СТРУКТУРА ПЕРЕНОРМИРОВАШЮГО ДЕЙСТВИЯ 195
формулы для случая группы SU2)
(8.32)
Г „ал = d7
где ... обозначают члены, стремящиеся при снятии регу-
регуляризации к определенному пределу. Так же как и в
Рис. 22. Дополнительные расходящиеся диаграммы в теории поля
Янга — Миллса, взаимодействующего с спинорными и скалярны-
скалярными полями. Сплошная линия обозначает функцию распространения
спинорной частицы, штрихпунктирная — скалярной частицы
случае поля Янга — Миллса в пустоте, число возмож-
возможных контрчленов значительно больше, чем число пара-
параметров в неперенормированных лагранжианах.
Наиболее общее выражение для калибровочно-инва-
риантного перенормированного лагранжиана строится так
же, как и раньше, и имеет вид
R + 12лру (З ФА;Т (Г)) ур -
- z& (m + d) W + -j. z2(p (ЭйФ -
lT (Ta)
-мЧф2J. («-33)
где %ум — перенормированный лагранжиан поля Янга —
Миллса в пустоте (8.13).
7*
196
ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
§ 8. СТРУКТУРА ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО ДЕЙСТВИЯ
197
Калибровочная инвариантность требует, чтобы кон-
константы ZztyZ^g и z^z1<pgr, участвующие в ковариантных
производных спинорных и скалярных полей, совпадали
с соответствующей константой g = z^zxg, фигурирующей
в лагранжиане поля Янга — Миллса
(8.34)
2
Z
P :== Z2 Z
Как и раньше, условия
б Клб
zm
= z
1(p
не явля-
являКак и раньше, условия z^ ^, m 1p
ются необходимыми. Калибровочная инвариантность не
накладывает никаких ограничений на контрчлены d и /,
Рис. 23
перенормирующие массы полей и контрчлен zk (q>2J. По-
Постоянные z.^ и 22<р будем выбирать из условия конечности
двухточечных функций Грина спинорных и скалярных
полей.
Если выполнено условие (8.34), то функции Грина,
порождаемые лагранжианом (8.33), удовлетворяют обоб-
обобщенным тождествам Уорда G.26), с очевидной заменой
g —> g. Доказательство конечности функций Грина до-
дословно повторяет рассуждения, проведенные выше.
Единственное отличие состоит в том, что функционал
F, стоящий в правой части (8.20), содержит дополнитель-
дополнительные члены
у + .. ., (8.35)
где многоточие обозначает аналогичные члены для спи-
спинорных полей. Соответствующие диаграммы изображены
на рис. 23. Конечность этих диаграмм доказывается точно
так же, как и конечность диаграмм на рис. 21.
Все остальные рассуждения полностью идентичны ана-
аналогичным рассуждениям для поля Янга — Миллса в пус-
пустоте.
Таким образом, для устранения всех ультрафиолето-
ультрафиолетовых расходимостей и в этом случае достаточно калибро-
вочно-инвариантных контрчленов.
Никаких принципиально новых моментов не возни-
возникает и в теории со спонтанно нарушенной симметрией.
Описанная выше схема доказательства перенормируемо-
перенормируемости остается неизменной.
Рассмотрим, например, модель A.3.25). Наиболее об-
общий вид допустимого перенормированного лагранжиана
можно получить следующим образом. В соответствии с
описанной выше процедурой в лагранжиан A.3.25) вво-
вводятся допустимые контрчлены
К a \
ducp+ — izyfZllg ^- Aly+ )
- zk* (Ф+ф - fx2 + VJ +
(8-36)
Константы z2(p, z1(p удовлетворяют условиям (8.34). Пе-
Переходя к сдвинутым полям Вп, о, определяемым форму-
формулой G.31), получаем
f^
a2)
l + ^ (a2 + Я2) AI ] -
32т*
Перенормированный лагранжиан Янга —Миллса (8.13),
включающий также взаимодействие с фиктивными части-
частицами, остается неизменным, и мы его не выписываем.
198
ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
§ 9. ПЕРЕНОРМИРОВАННАЯ S-МАТРИЦА
199
При переходе к формуле (8.37) мы сделали сдвиг по-
полей ф на величину, равную вакуумному среднему поля ф
без учета радиационных поправок. Поэтому в лагран-
лагранжиане (8.37) присутствуют контрчле-
контрчлены, линейные по полю о, компенси-
компенсирующие расходимости в диаграммах ти-
типа «головастиков» (рис. 24), а также
контрчлен перенормировки массы голд-
стоуновскнх полей Ва. Эти контрчле-
контрчлены необходимы для того, чтобы обеспе-
обеспечить устойчивость основного состояния
при учете радиационных поправок.
Лагранжиан (8.36) инвариантен от-
Рнс. 24. Диаграм- носительно калибровочных преобразо-
преобразований G.32) с заменой
мы типа «головас-
«головастиков» в теории
Янга — Миллса со
спонтанно нару-
нарушенной симметрией
т.
->¦ mv
in-, =:
т.
(8.38)
Обобщенные тождества Уорда модифицируются так же,
как и в симметричном случае
1 Г 1
(8.39)
(напомним, что в рассматриваемых калибровках констан-
константа 1-у конечна). Доказательство перенормируемости прак-
практически дословно повторяет соответствующие рассужде-
рассуждения для симметричного случая. Единственное техническое
усложнение состоит в том, что из-за смешивания полей
Ар, В2 в калибровке общего вида двухточечные функции
Грина представляют собой матрицы B X 2).
§ 9. Перенормированная ^-матрица
Мы показали, что процедуру перенормировки можно
осуществить, не нарушив калибровочной инвариантности
теории. Докажем теперь, что перенормированная теория
удовлетворяет принципу относительности, т. е. вероят-
вероятности физических процессов не зависят от конкретного
выбора калибровочного условия. Тем самым будет дока-
доказана унитарность перенормированной ^-матрицы.
В зтом параграфе мы будем рассматривать модели со
спонтанно нарушенной симметрией, в которых все физи-
физические частицы имеют ненулевые массы. Формально все
рассуждения переносятся и на симметричную теорию,
однако в этом случае, как уже отмечалось, матричные
элементы на массовой поверхности содержат дополнитель-
дополнительные инфракрасные сингулярности. Поэтому в рамках
теории возмущений ^-матрица в симметричной теории,
строго говоря, не существует.
Итак, рассмотрим перенормированный производящий
функционал для функций Грина, который можно запи-
записать в виде
Z (/ц, So) = Л"
too] dx] x
X
(9.1)
Здесь Xr — перенормированный калибровочно-инва-
риантный лагранжиан поля Янга — Миллса, взаимодей-
взаимодействующего с полями материи. (Для определенности мы
рассматриваем лагранжиан (8.36).) Источник J^ будем
считать поперечным:
d»Jt = 0. (9.2)
Матричные элементы ^-матрицы выражаются через ва-
вариационные производные Z по формулам приведения
<u,...in. j,-}m (k'i • • • k'n, p'i ¦¦¦ Pi; К ...
n+m l+q
...km,Pl...pq)V~*~W~ =
= (к'* — ml). . . (к'' - ml) (p? — ml). . . {p* — mf) (Aj—/???)...
...(km — ml) (pi — ml). . .(p\ — m\) 6 (kw). . .
. . . 9 (km) 0 (- &10). . . 6 (- km) 0 (Pw)... 0 (P;o) 0 (- p10). . .
.. . 0 (— pqo) < ... ^"GW.^v,..^ (K . . . pq) X
Хи{\.. .и
dm
(9.3)
Здесь к, к' обозначают импульсы векторных частиц,
р, р' — импульсы скалярных частиц. Постоянные V и W
200 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
являются нормирующими множителями
г= (А;2 — т\)
$•"•
dor, (9.4)
Если двухточечная функция Грина нормирована на
массовой поверхности на единицу,
(p2-m2)G(p2) =1, р2 = /п2, (9.6)
то эти множители отсутствуют, и мы возвращаемся к
формуле C.64).
Вычисленные в лоренцевой калибровке матричные эле-
элементы (9.3) при снятии промежуточной регуляризации
стремятея к определенному конечному пределу. Покажем,,
что в действительности значения матричных элементов
(9.3) не зависят от конкретного выбора калибровочного
условия.
Перейдем в выражении (9.1) для производящего функ-
функционала Z (J, ?0) от лоренцевой; калибровки к унитарной
калибровке
Ва = 0. (9.7)
Инвариантность перенормированного лагранжиана Xr
позволяет воспользоваться для этого тем же приемом,
который мы использовали в гл И.
Вводя калибровочно-инвариантный функционал
А' (а, В, |), определенный равенством
= 1, (9.8)
где
53Ш = 53 — Ш^ — -|-[53, и] — -§-<ш-f 6> (и2), (9.9)
можно переписать функционал Z (/, ?) в виде
,, I) = АЛ J exp {i J [XR + JlAl + too] dx] A (g, J) x
X П б (ЗцЛц) A'E3, g,o) б E3W) do dJL da dS. (9.10)
§ 9. ПЕРЕНОРМИРОВАННАЯ S-МАТРИЦА 201
Переходя к новым переменным
Л*-*Л%*, 33-* 53И~\ а-^о"'-1, ю-'-хй (9.11)
и интегрируя по со, получаем в полной аналогии с резуль-
результатами гл. II
= ЛГ1 J exp {i J [XR + Jl (X)a + Ъ°а] dx} x
x A'{o,33,g)T[b0S)d<Adod33, (9.12)
где
ц = ^ц Н- 0цы — f [^ц, и] + О (и2),
аа = о н- 6а = а 1- (ЗЗи) + О (и2),
а функция и определяется из уравнения
(9.13)
. . .=0. (9.1 i
Значение функционала А' (а, 53, g) на поверхности 53 =
= 0 равно
Д' (о, 53, g) =n det | тг + Il^l f ~= const det
2
(9.15)
Функционал (9.12) отличается от производящего функ-
функционала для функций Грина в унитарной калибровке
лишь видом членов с источниками. Покажем, что при
подстановке в редукционную формулу (9.3) это различие
исчезает, т. е. перенормированные матричные элементы
не меняются при замене
/^(ЛТ->^Л- ZeO"-*^. (9.16)
Вариационные производные функционала (9.12) вы-
выражаются через функции Грина вида
J, 1=о
^N~l J exp {i J [XR] dx} A' (a, 53, ЮМм.Г' (*i) • • •
<Kjm [xm) a» {xx) ... a» (xq) П б (.93) d.A do d®, (9.17)
202
ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
где Л^, ош определяются формулами (9.13). Поскольку
источники $ц считаются поперечными, линейный член
д^и не дает вклада и разложение в ряд теории возму-
возмущений ЬА^ и 8а начинается с членов, квадратичных по
полям.
Характерные диаграммы, соответствующие функциям
Грина, изображены на рис. 25.
Диаграммы типа (а) и (б) содержат полюсы по всем
переменным pi, kj. Диаграммы типа F) являются одно-
одночастично неприводимыми, по крайней мере по одному
из импульсов pt, kj. (На рисунке изображена диаграмма,
одночастично неприводимая по импульсу рг. Это значит,
что ее нельзя разбить на две части, связанные лишь одной
линией, по которой распространяется импульс рх.) Из
§ у. ПЕРЕНОРМИРОВАННАЯ S-МАТРИЦА 203
исследования аналитических свойств диаграмм Фейнма-
на известно, что одночастично неприводимые диаграммы
не имеют полюсных особенностей по соответствующим
переменным. Поэтому если коэффициентные функции, от-
отвечающие диаграмме (Ь), умножить на произведение
X\{kl-ml)\\{p)-m*} (9.18)
i i
и положить к\ = ml, p] = mi, то это выражение обра-
обратится в нуль.
Диаграммы типа (б) получаются из диаграмм (а) пу-
путем вставок во внешние линии блоков, обозначенных на
рис. 25 буквой П. На массовой поверхности это эквива-
эквивалентно умножению соответствующих функций Грина на
константы, равные значениям функций П^ (к2), По (р2)
в точках' к2 = ml, р2 = ml. Значения функций Грина с т
внешними векторными и q внешними скалярными лини-
линиями на массовой поверхности при переходе от одной
калибровки к другой меняются следующим образом:
т q
П (А? - ml) П (PI - т\) G(?X2m (kv...,kmtPl,..., pq) =
= A + IU {m\f A + Па {m\) )m П № - ml) f[ (Pj - ™l)
X
X
Pq) |
(9.19)
PJ"»2
Здесь G(u) — функция Грина в унитарной калибровке,
а G(!j' — в лоренцевой калибровке. Очевидно, что совер-
совершенно аналогичная формула связывает функции Грина
и в других калибровках.
Для двухточечной функции Грина соответствующее
преобразование изображено графически на рис. 26. Зна-
Значения двухточечных функций Грина на массовой поверх-
поверхности в различных калибровках связаны соотношением
(к2 - ml) G$ab (к) = ^ A + П^ (ml)? (к2 - ml) 4"Г (А),
(р*
ml)
(р) = _ A + По (ml)? (р* - ml) G™ (р)
р2—т~,
(9.20)
2U4 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
Возвращаясь к формуле (9.3), видим, что при переходе
к унитарной калибровке фурье-образы функций Грина
Рис. 26
с т векторными и q скалярными внешними линиями ум-
умножаются на
A + П^ {т\))т A + П0 (т*))*, (9.21)
но одновременно нормирующие константы V и W умно
жатся на A + П^ (ml)J и A + По (ml)J соответственно.
В результате выражение для перенормированного мат-
матричного элемента остается неизменным.
Из этих рассуждений, являющихся по сути дела ана-
аналогом известной в аксиоматической квантовой теории тео-
теоремы Борхерса, следует, что перенормированная ^-мат-
^-матрица не зависит от конкретного выбора калибровочного
условия и, следовательно, перенормированная теория
удовлетворяет принципу относительности.
В калибровке Ш = 0 перенормированный лагранжиан
имеет вид
%YM
(ml -f- dm;) a3
+
JSf
l +
о" —
(9.22)
Все нефизические частицы (голдстоуновские бозоны, фик-
фиктивные с-частицы, продольные кванты векторного поля)
отсутствуют, и унитарность матрицы рассеяния очевидна.
§ 9. ПЕРЕНОРМИРОВАННАЯ S-МАТРИЦА 205
При этом в силу независимости ^-матрицы от калибровки
матричные элементы на массовой поверхности при снятии
регуляризации стремятся к определенному пределу. За-
Заметим, что для функций Грина вне массовой поверхности,
порождаемых лагранжианом (9.22), это неверно. Свобод-
Свободная функция Грина векторного поля, отвечающая лагран-
лагранжиану (9.22), имеет вид
А2 —
(9.23)
и при к —>• оо стремится к константе. Вычисляя индекс
расходимости диаграммы, содержащей п3 тройных век-
векторных вершин, щ четверных вершин и Lex внешних
векторных линий, находим
со = 4 + 4п4 + 2п3 — 2Lex;
(9.24)
с ростом п% число типов расходящихся диаграмм неогра-
неограниченно возрастает, т. е. вне массовой поверхности тео-
теория неперенормируема. Тем не менее для устранения
расходимостей из матричных элементов на массовой по-
поверхности достаточно конечного числа контрчленов, явно
выписанных в формуле (9.22). Калибровочная инвариант-
инвариантность приводит к физической эквивалентности явно пе-
перенормируемой и явно унитарной калибровок, благодаря
чему перенормированная ^-матрица обладает обоими эти-
этими свойствами.
Очевидно, что все эти выводы не зависят от конкрет-
конкретного вида модели (9.22) и в равной мере относятся и к
модели A.3.13), а также к моделям, включающим допол-
дополнительное калибровочно-инвариантное взаимодействие
фермионов. Существенна лишь калибровочная инвариант-
инвариантность перенормированного лагранжиана.
В заключение этого параграфа мы вернемся к вопросу
о доказательстве конечности функций Грина в перенор-
перенормируемой калибровке общего вида. До сих пор мы рас-
рассматривали либо лоренцеву калибровку, либо калибровки,
в которых продольная часть векторной функции Грина
быстро убывает при к —* оо. Покажем теперь, что это
условие не является необходимым и контрчлены вида
(8.3) обеспечивают конечность функции Грина в любых
перенормируемых калибровках, т. е. таких калибровках,
для которых продольная часть свободной функции Грина
206
ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
векторного поля убывает при к —> оо не медленнее, чем
поперечная. Простейшим примером такой калибровки
является калибровка с / (к2) = 1.
В любой такой калибровке расходящиеся диаграммы
имеют структуру, уже обсуждавшуюся выше; расходиться
могут лишь диаграммы с одной, двумя, тремя и четырьмя
внешними линиями. Как и раньше, мы можем выбрать
константы z2, z2, z2<p, z2,|-, zlt z, Ьт, таким образом, чтобы
сделать конечными все двухточечные функции Грина и
вершинные функции Г-Сай, Га4, а константы z1? z1(f, z^ опре-
определим из условия инвариантности перенормированного
действия
--1 г =-1 ,-1 „ _-l /Q ОС|ч
Покажем, что отношения типа
Г.„, Г.
и т. д.
(9.26)
где все внешние векторные концы считаются попереч-
поперечными, на массовой поверхности не зависят от калибров-
калибровки. Действительно, из формул (9.19), (9.20) следует, что
при переходе от одной калибровки к другой рассматри-
рассматриваемые функции меняются следующим образом (мы опу-
опускаем тензорную структуру):
(9.27)
, (ftlf ка к3) — A + П^ (т*)K Г^з (kv ft,, ft,).
, (ft) — A + П* (m?)J VM {к), ft? = иг?.
Подставляя эти выражения в формулу (9.26), убеждаемся
в инвариантности этого отношения. В лоренцевой калиб-
калибровке все функции по доказанному выше конечны. Функ-
Функция Г^йвй конечна в силу сделанного выбора констант гг.
Следовательно, в любой калибровке функция Г^» (кг, к2,
ks) при к\ = т\ конечна. Поскольку в перенормируемых
калибровках эта функция может расходиться лишь ло-
логарифмически, отсюда следует конечность Г^з при лю-
любых к{.
Совершенно аналогично доказывается конечность всех
остальных функций Грина. Подчеркнем, что сейчас речь
идет о функциях Грина вне массовой поверхности. На
массовой поверхности расходимости отсутствуют в любых
калибровках, в том числе и не явно перенормируемых
(т. е. таких калибровках, для которых продольная часть
§ 10. S-МАТРПЦА В КОВАРИАНТНОМ ФОРМАЛИЗМЕ 207
функции Грина векторного поля при больших к ведет-
себя как к2'1, п > —1).
В перенормируемых калибровках конечное число ин-
инвариантных контрчленов обеспечивает существование
функций Грина и вне массовой поверхности. При этом
конкретные значения контрчленов, разумеется, зависят
от выбора калибровки. В частности, в калибровке общего
вида константа гх уже не является конечной.
§ 10. ^-матрица в ковариантном формализме
Развивавшаяся в предыдущих разделах схема построе-
построения перенормированной матрицы рассеяния сводится
к следующему. Квантование проводится в нековариантной
(например, кулоновской), калибровке,в которой простран-
пространство состояний включает лишь физические частицы.
Далее, пользуясь калибровочной инвариантностью, мы
переходим в ковауиантную калибровку и в этой ка-
калибровке проводим перенормировку. Доказанная выше
согласованность процедуры перенормировки с принци-
принципом относительности позволяет нам уже в яеренормиро-
ванной теории вновь перейти в кулоновскую калибровку,
демонстрируя тем самым унитарность перенормированной
^-матрицы.
Возникает вопрос, нельзя ли избежать использования
на промежуточных этапах нековариантных величин и
работать с самого начала в релятивистски инвариантной
калибровке. В случае квантовой электродинамики подоб-
подобный формализм хорошо известен — это формализм Гупта—
Блейлера. В этом формализме в качестве исходного вы-
выбирается действие в фейнмановской калибровке
4" (д^пJ + ¦ • • ] dy =
]y. A0.1)
Благодаря присутствию фиксирующего калибровку
члена действие A0.1) не вырождено, и к нему можно при-
применить стандартную процедуру квантования, считая все
компоненты Л^ независимыми. Каноническое квантование
приводит к ковариантным перестановочным соотношениям
для операторов рождения и уничтожения
к').
A0.2)
208
ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
§ 10. S-МАТРИЦА В КОВАРИАНТ1ЮМ ФОРМАЛИЗМЕ
209
Благодаря тому что коммутаторы операторов рождения
и уничтожения временных квантов а0, а* отличаются
знаком от соответствующих коммутаторов для простран-
пространственных квантов di, норма состояний, содержащих не-
нечетное число временных квантов, отрицательна. Прост-
Пространство состояний является пространством с индефинитной
метрикой. Чтобы избежать появления в наблюдаемых ве-
величинах отрицательных вероятностей, необходимо выде-
выделить в этом пространстве подпространство физических
состояний, обладающих положительной нормой. Это до-
достигается наложением на допустимые состояния ослаблен-
ослабленного условия Лоренца
Ф> = 0.
A0.3)
Здесь <Ац (х), как обычно, обозначает отрицательно
частотную часть оператора Л^.
Условие A0.3) гарантирует выполнение условия Ло-
Лоренца в среднем и обеспечивает отсутствие отрицательных
вероятностей в наблюдаемых величинах. Можно показать,
что средние значения всех наблюдаемых величин (энергии,
импульса и т. д.), вычисленные с помощью состояний
A0.3), совпадают с соответствующими значениями, вычис-
вычисленными с помощью состояний, содержащих лишь трех-
трехмерно поперечные физические фотоны.
Для физической унитарности теории необходимо, что-
чтобы матрица рассеяния переводила состояния, удовлетво-
удовлетворяющие A0.3), в аналогичные состояния. В электродина-
электродинамике это имеет место. Это объясняется тем, что продоль-
продольная часть электромагнитного поля удовлетворяет свобод-
свободному уравнению
П^А = 0. A0.4)
и поэтому взаимодействие не приводит к переходам между
физическими состояниями и состояниями с отрицательной
нормой.
faft Как уже отмечалось выше, прямое перенесение форма-
формализма Гупта — Блейлера на неабелево поле Янга — Милл-
са приводит к противоречию: ^-матрица не унитарна
в пространстве состояний, удовлетворяющих условию
A0.3). Причиной этого является то, что в неабелевом слу-
случае продольная часть поля Янга — Миллса не удовле-
удовлетворяет свободному уравнению и в процессе эволюции
состояния A0.3) могут перейти в состояния с отрицатель-
отрицательной нормой. Необходимо найти другое релятивистски
инвариантное условие, которое, с одной стороны, обеспе-
обеспечивало бы отсутствие отрицательных вероятностей и сов-
совпадение наблюдаемых величин с соответствующими вели-
величинами в кулоновской калибровке и в то же время сохра-
сохранялось бы в процессе эволюции. Сформулировать такое
условие позволяет инвариантность эффективного действия
относительно преобразований G.35)—G.37), которые при-
принято называть BRS (Бекки — Рюэ — Стора)-преобразова-
ниями.
Выберем в качестве исходного эффективное действие
в фейнмановской калибровке (не представляет труда рас-
рассмотреть и произвольную ковариантную а-калибровку),
х=- 4- KvK» - 4- (д»А*)г + ied» (V)°- <10-5)
Этот лагранжиан сводится к лагранжиану, фигурирующе-
фигурирующему в формуле (III.3.54) для ^-матрицы заменой перемен-
переменных с —> ic, при а = —1. Лагранжиан X явно эрмитов,
если принять следующие правила сопряжения фиктивных
полей:
с+ = с; с+ = с. A0.6)
Поскольку лагранжиан A0.5) не вырожден, к нему
применима стандартная процедура канонического кван-
квантования. В этом случае все переменные Л^ являются не-
независимыми и поэтому вместо разложения C.2.43) удобно
воспользоваться следующим разложением:
на' (к, t) el + е-^а*1 (к, I) е1^] -Ц=г ,
A0.7)
где е1 и е2 — единичные пространственные вектора поля-
поляризации, ортогональные вектору импульса к и друг другу
Комплексные амплитуды а*, а при операторном кванто-
квантовании играют роль операторов рождения и уничтожения,
и стандартная процедура канонического квантования при-
приводит к следующим перестановочным соотношениям:
[ой (fc, t), av {kr, t)\ r--. - gv-8 {к — к').
8 А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев
A0.9)
210
ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
Как видно из этой формулы, коммутатор операторов
временных квантов имеет неправильный знак, что при-
приводит к неположительной определенности скалярного
произведения. Пространство состояний в такой теории
является пространством с индефинитной метрикой.
Аналогичные разложения для духовых полей с учетом
условий ормитовости A0.6) имеют вид
I С
(«, t) = —^r \ [e^d (к, I)
(АТС) ' d
(к, t)]
A0.10)
Каноническое квантование приводит к следующим
перестановочным соотношениям:
[d (к, t),d* {к', t)]+ = б (А' -к'),
[d (к, t), d* (к', t)]+ = б (ft -к').
Операторы асимптотических полей получаются из A0.7),
A0.10) обычной заменой:
A0.11)
а1 {к, t) -> а1 {к) егш, а*1 (к, ?)-» а*1 {к) eia>t,
A0.12)
G(к, I) -> d (ft)e-iat, d* (k, t) -> d* (ft) еш.
Соответствующее асимптотическое пространство явля-
является, как уже отмечалось, пространством с индефинитной
метрикой, и в нем действует представление алгебры BRS-
преобразований.
Из инвариантности лагранжиана A0.5) относительно
преобразований G.35)—G.37), в которых нужно сделать
замену с —> ic, следует сохранение тока
jB = Flv (vvfy - (dvAl) (V„с)п - -j- <y>VMc V. A0.13)
Заряд
1№х A0.14)
сохраняется во времени и является генератором BRS-
преобразований G.35)—G.37).
Лагранжиан A0.5) порождает еще один закон сохра-
сохранения, следующий из инвариантности A0.5) относительно
масштабных преобразований:
с -» еас, с --¦> е'ас. A0.15)
§ 10. S-МАТРИЦА 1! КОВАРИАПТПОМ ФОРМАЛИЗМЕ 211
Соответствующий сохраняющийся ток ,7'jj имеет вид
Заряд
Qc^\?tld3x A0.17)
называют духовым зарядом. Собственные числа опера-
оператора iQc называются духовыми числами. Очевидно, что
A0.18)
= jj d3x
[iQc, с (х)] = с (х),
[iQc, с (х)\ = —с (х).
Операторы QB и Qe образуют BRS-алгебру
Юв, Qb]+ = 2Q% - 0, A0.19)
UQc <?в1 = Qb, A0.20)
IQc ^.1 = 0. A0.21)
Как видно из формулы A0.19), квадрат оператора QB
равен нулю. Такие операторы называются нильпотентны-
ми. Равенство A0.19) легко проверяется непосредственно:
2ieQ% =
^ ^aov(VvCy - dvAav (Voc)" - \ д^Г™*?^ =
dFbovcd (Vvc)° - 4" dfl (dvAv)a t'lbdcbcdj = 0.
A0.22)
Здесь мы воспользовались тем фактом, что б (Vw с) = 0,
б (iabdcbcd) = 0 (см. G.39)), а также уравнениями дви-
движения.
Равенства A0.20) и A0.21) означают, что заряды QB
и Qc обладают духовыми числами 1 и 0 соответственно.
Выделим физический сектор условиями
Qb I Ф > = 0, A0.23)
Qc I Ф > = 0. A0.24)
Поскольку операторы QB и Qc коммутируют с гамиль-
гамильтонианом, подпространство, определяемое уравнениями
A0.23), A0.24), инвариантно относительно временных
трансляций, и матрица рассеяния переводит физические
асимптотические состояния в физические. Для асимптоти-
8*
2i2 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
ческих состояний условия A0.23) и A0.24) упрощаются:
Пше*"ьЧ?в(с)е--'=$)<«•>. (Ю.25)
1*1-.»
где
Q°B = J d*x [(dvAn - d0Av)a дуС - CХ.Л?.) Soc"l, A0.26)
ф = \ dsxi [C0ca - dncV]. A0.27)
Нам нужно построить асимптотические состояния,
которые аннигилируются операторами Q% и (?". С этой
целью выразим оператор Q% через операторы рождения и
уничтожения. Подставляя в A0.26) разложения A0.7),
A0.10), получим
Q% = -1 d8fo> [(at + 4)d + d* (a0 + аа)]. A0.28)
Условие A0.24) означает, что в физическом состоянии
число духов (d) равно числу антидухов (а).
Поскольку оператор Q% не зависит от поперечных ком-
компонент поля, любое состояние | Otr), содержащее лишь
поперечно-поляризованные кванты, удовлетворяет усло-
условию A0.23), а произвольное состояние, удовлетворяющее
A0.23), A0.24), можно представить как произведение
I Фи) б§ I Ф), где | Ф) имеет впд
$>=
i, к, т
лг о
m
х П d*(pJa)d*(Pjl)\0>.
A0.29)
Л, J4=0
Здесь С"„' к (^) — коэффициентные функции, зависящие
от аргументов рп (i = 1, . . ., 4); а* (р) и а* (р) обозна-
обозначают комбинации
„;w_ <"";<""; „!,р) = <""-«" . (,о.зо)
Условие аннигиляции вектора] Ф) оператором Qb имеет вид
(те + 1) С?Л - -(А + 1) С+ь ''+1;
Ст*+1 ^ 0; /н, и, /с == 0 . . . оо.
A0.31)
g 10. S-МАТРИЦА В КОВАРИАНТНОМ ФОРМАЛИЗМЕ 213
Принимая во внимание, что
[cl+ (fc), а! (й'I = -6 (fc - к'),
находим, что норма вектора | Ф)> равна
К >
В силу условия A0.31) в атом выражении все члены кроме
вакуумного, отвечающего п = к = т = 0, попарно ком-
компенсируются.
Таким образом, норма физического состояния <Ф | Ф>
равна <Ф1г | Фи>. Несмотря на наличие в полном прост-
пространстве состояний с отрицательной нормой, все физичес-
физические векторы имеют положительную норму, определяемую
лишь трехмерно поперечными компонентами. По дока-
доказанному выше ^-матрица унитарна в физическом секторе.
Очевидно, что среднее значение любой наблюдаемой
в физическом состоянии также определяется лишь трех-
трехмерно поперечным сектором и совпадает с соответствую-
соответствующим средним в кулоновской калибровке. Это следует из
того, что наблюдаемые величины калибровочно инвариант-
инвариантны и, следовательно, соответствующие операторы комму-
коммутируют с генератором BRS-преобразования.
Описанная выше конструкция строилась для теории
Инга—Миллса, причем мы предполагали применимость
теории возмущений. Однако аналогичное построение мо-
может оказаться полезпым и для исследования возможности
выхода за рамки теории возмущений, а также для описа-
описания других калибровочно инвариантных систем, например
релятивистских струн. Поэтому в заключение этого раз-
раздела мы сформулируем некоторые общие результаты, ка-
касающиеся представлений BRS-алгебры A0.19) — A0.21).
В силу нильпотентности оператора QB, представления
BRS-алгебры имеют максимальную размерность два. Су-
Существует неприводимое синглетпое и дублетное представ-
представления. Сииглетным состоянием называют состояние, удов-
удовлетворяющее условию QB [ s> — 0 и непредставимое в виде
| s)> = Qb I f). Дублетом называют пару состояний
| рУ и | dy, удовлетворяющих условиям | dy — Qb | />>,
Qb I dy = 0. Состояния | рУ и \ dy называются родитель-
родительским и дочерним соответственно.
214 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
Эта классификация гш вполне однозначна, так как,
например, если | s)> — сишлетное состояние, то состояние
| s)> -f- | (?} также будет синглетом. Неоднозначность мож-
можно устранить, если фиксировать базис в пространстве,
в котором действует представление BRS-алгебры. Сущест-
Существует базис, в котором полное пространство V разбивается
в прямую сумму трех подпространств:
V =¦- VPCB Vd ¦¦¦¦: Vs. A0.34)
Сипглетное подпространство Vs выделено условием
qv. = q+vs = {0}. A0.35)
Здесь q — матрица, представляющая Qb в выбранном ба-
базисе. Условие эрмитова сопряжения для q имеет вид
Ш ~ Q+r\i гДе Л — метрика, определенная обычным обра-
образом: т[ы = <Vft I ег>, | е^У — базисные вектора.
Дочернее и родительское подпространства выделяются
условиями
qVd = q+Vp^O, A0.36)
§ 11. АНОМАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
215
= V
p.
A0.37)
Пространство, в котором действует представление BRS-
алгебры, является пространством с индефинитной метри-
метрикой. Физическое подпространство выделяется условием
Qa I Ф> =0 и допускает явное представление через вве-
введенные выше подпространства
V
vh
vd.
A0.38)
Очевидно, что для произвольных физических состояний
скалярное произведение зависит лишь от cunr летных
компонент
<ф | ф> = <ф | р (Vs) | Ф>, A0.39)
где Р (Vs) — проектор на синглетное подпространство.
Отсюда следует, что физические состояния имеют поло-
положительную норму в том и только в том случае, если синг-
синглетное подпространство имеет положительно определен-
определенную метрику. Последнее определяется конкретным выбо-
выбором модели и нуждается в специальном исследовании.
Если теория инвариантна относительно BRS-преобразо-
ваний, то Qh коммутирует с гамильтонианом и 5-матрица
унитарна в физическом подпространстве. При этом матрич-
матричные элементы фактически зависят лишь от еггнглетных
компонент. Подчеркнем однако еще раз, что BRS-инва-
риантность сама по себе еще недостаточна для того, чтобы
теория была физически приемлема. В общем случае «фи-
«физические» векторы, которые аннигилируются генератором
BRS-преобразований, могут иметь отрицательную норму.
Поэтому необходимо дополнительное исследование BRS-
синглетного сектора модели.
§ 11. Аномальные тождества Уорда
При построении унитарной перенормированной S-
матрицы мы пользовались инвариантной промежуточной
регуляризацией. Существование инвариантного регуля-
ризованного действия позволило нам получить обобщен-
обобщенные тождества Уорда и с их помощью доказать физиче-
физическую эквивалентность унитарной и лоренцевой
калибровок. Вообще говоря, использование инвариант-
инвариантной промежуточной регуляризации не является обяза-
обязательным. В принципе мы могли бы ввести произвольную
нромежуточную регуляризацию и попытаться подобрать
контрчлены таким образом, чтобы перенормированные
функции Грина удовлетворяли обобщенным тождествам
Уорда. При неинвариантной регуляризации для этого
могут понадобиться неинвариантные контрчлены типа
перенормировки массы фотона в электродинамике.
В этом случае в регуляризованной теории принцип
относительности не выполняется, и вопрос о его спра-
справедливости в пределе снятой промежуточной регуляри-
регуляризации нуждается в специальном исследовании. Может
оказаться, что ни при каком выборе локальных контр-
контрчленов перенормированные функции Грина не удовле-
удовлетворяют обобщенным тождествам Уорда. Это приводит
к неэквивалентности различных калибровок и несамо-
согласоватшости теории. В этом случае не существует
(по крайней мере в рамках теории возмущений) унитар-
унитарная перенормированная .S'-матрица.
На практике указанная ситуация часто возникает в тех
случаях, когда в калибровочных преобразованиях полей
фермионов участвует матрица уъ. В этом случае оба
описанных выше метода инвариантной регуляризации
неприменимы. В рамках размерной регуляризации не
удается дать непротиворечивого определения матрицы
7,5 для пространства с, произвольным числом измерений.
Регуляризация с помощью высших ковариантных про-
216
ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
изводных по-прежиему обеспечивает конечность всех
многопетлевых диаграмм, однако инвариантная регуля-
регуляризация однопетлевых диаграмм с помощью процедуры
Паули — Вилларса в этом случае невозможна, поскольку
массовые члены для фермионных полей (х7-гр/ф7- нарушают
75-инвариантность. Таким образом, для однопетлевых
диаграмм не существует у5-инвариантной регуляризации,
и, как мы увидим, для целого ряда калибровочных групп,
включающих "^"Преобразования, функции Грина не удов-
удовлетворяют обобщенным тождествам У орда.
В качестве простейшего примера рассмотрим модель
с U A)-калибровочной группой, описываемую лагран-
лагранжианом
? = — -J- (д^ - дМг + ЩУм (дц - igAtfs) t, (H.I)
Ys = — JYolYWa-
Этот лагранжиан инвариантен относительно абелевых
калибровочных преобразований
А» (х) -> Лй (х) + д„к (х),
¦ф {х)-+ e^Aw^ (х); A1.2)
гр (ж)-» яр (х) е^АМ,
и на первый взгляд все рассуждения относительно эк-
эквивалентности различных калибровок в равной мере
относятся и к нему. В а-калибровке эффективный лагран-
лагранжиан имеет вид
где X — калибровочно инвариантное выражение A1.1).
Лагранжиан A1.3) не вырожден и описывает наряду
с поперечно поляризованными квантами векторного поля
скалярные кванты со спином пуль.
Можно было бы принять лагранжиан A1.3) за ис-
исходный и построить на его основе квантовую теорию.
Хорошо известно, что такая теория физически несостоя-
несостоятельна: вероятность событий с участием скалярных кван-
квантов может принимать отрицательные значения. Если,
однако, функции Грина, порождаемые лагранжианом
A1.3), удовлетворяют тождествам Уорда
—ди
/м (х)
— ?<Эц/ц (х)
= 0,
A1.4)
S 11. АНОМАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
где Z — производящий функционал вида
21/
Z = N-
exp
dx) dA
A1.5)
то, как легко показать, матричные элементы перехода
между состояниями, содержащими поперечно поляризо-
поляризованные кванты, и состояниями, содер-
содержащими скалярные кванты, равна ну-
нулю. Это значит, что ^-матрица, связы-
ваюхцая «физические», поперечно поля-
поляризованные состояния, унитарна.(Стро-
унитарна.(Строго говоря, в рассматриваемой модели
б'-матрица не существует из-за инфра-
инфракрасных расходимостей. Можно пока-
показать, однако, что все рассуждения пере-
переносятся и на случай, когда векторное I
поле имеет не нулевую массу и инфра-
инфракрасные расходимости отсутствуют.)
Тождество A1.4) формально следу-
следует из инвариантности лагранжиана
A1.1) относительно преобразований
A1.2). Его частным случаем является
\.
рИс. 27. Аномаль-
ная треугольная
диаграмма
J, 11=0
соотношение
= 0, п>2, A1.6)
явно демонстрирующее отсутствие переходов между по-
поперечно и продольно поляризованными состояниями.
В действительности нас интересуют не «наивные» тож-
тождества A1.4), которые, строго говоря, не имеют смысла
из-за расходимости участвующих в них интегралов, а соот-
соответствующие соотношения для перенормированных функ-
функций Грина. В электродинамике, а также в обсуждавшихся
выше неабелевых моделях перенормированные функции
Грина удовлетворяют обобщенным тождествам Уорда,
отличающимся от «наивных» лишь перенормировкой
участвующих в них зарядов и масс. В модели A1.1) это не
так. Функция Грина с тремя внешними векторными линия-
линиями, соответствующая диаграмме, изображенной на рис. 27,
пи при каком выборе локальных контрчленов не удовле-
удовлетворяет «наивным» тождествам A1.4). Тождество A1.6)
означает, что фурье-образ трехточечной собственной вер-
218 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
шинной функции Гцуа (р, q), определенный равенством
Гцл-а (Р. Я) Gm' (p) Gvv> (q) Gaa' {Р + Ц) =
4 dxdy, A1.7)
= 0. A1.8)
§11. АНОМАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
219
должен быть поперечен:
P,JW (Р> Я) = ffvIW (Р, 9) = (Р
Явное вычисление 1\ха. (р, q) дает с учетом того, что
функция ГдЛ-а (р, q) симметрична относительно аргумен-
аргументов (р, p.), (g, v), {—(р + g), a),
i (Р
(Р, 9) = —1^
Поскольку диаграмма на рис. 27 имеет индекс, равный
единице, функция Гдуа (р, д) определена с точностью до
полинома первой степени по р и q. Можно было бы попы-
попытаться воспользоваться этим произволом, чтобы обратить
правую часть равенства A1.9) в нуль. Легко видеть,
однако, что это невозможно. Наиболее общее выражение
для перенормированной трехточечной вершинной функции
имеет вид
Гnva (Р, Я) =¦ Гцга (P,q)
A1.10)
где r^,va {Pi q) ~ симметричная вершинная функция,
удовлетворяющая соотношению A1.9). Потребовав, чтобы
функция T^va также была симметрична относительно
аргументов (\i, p), (v,q), (a, — (р + q)), получаем
с, = с2 = 0. A1.11)
Таким образом, никаким выбородг локальных контр-
контрчленов невозможно добиться выполнения тождества
A1.8) для перенормировапной вершинной функции. 13след-
ствие этого вероятность перехода из поперечно поляризо-
поляризованных состояний в продольные отлична от нуля. Модель,
описываемая лагранжианом A1.1), не самосогласована.
Указанная трудность присуща всем теориям, инвариант-
инвариантным относительно абелевых калибровочных преобразова-
преобразований, в которых участвует матрица у&. Существует, однако,
класс моделей, для которых эту трудность можно обойти.
Пусть, например, в модели A1.1) помимо поляг); участвует
еще поле г|)', взаимодействующее с векторным полем так
же, как и \р, но отличающееся от последнего знаком заряда,
X = - ~
- igAy&)
-\^'y»(d + igAyb)xp'. A1.12)
Тогда наряду с диаграммой, изображенной на рис. 27,
имеется аналогичная диаграмма, в которой внутренние
линии отвечают полям if>'. Из формулы A1.9) видно, что
дивергенция аномальной вершинной функции пропорцио-
пропорциональна g3. Поэтому диаграмма, отвечающая полю г|/,
, аст в тождество A1.9) такой же вклад, но с противополож-
противоположным знаком. В результате полная вершинная функция
Tuva будет удовлетворять нормальным тождествам A1.8).
Непосредственным вычислением нетрудно проверить, что
все остальные однопетлевые диаграммы удовлетворяют
тождествам A1.8). Что касается диаграмм, содержащих
более одной петли, то для них отсутствие аномалий можно
доказать в общем виде. Действительно, как было показано
в § 3, регуляризация с помощью высших ковариантных
производных делает сходящимися все многопетлевые
диаграммы в произвольной калибровочно-инвариантной
теории. Поэтому если в однопетлевых диаграммах анома-
аномалии отсутствуют, то многопетлевые диаграммы заведомо
удовлетворяют нормальным тождествам У орда. Отсутст-
Отсутствие аномалий в модели A1.12) можно объяснить также
следующим образом. В лагранжиане A1.12) можно перейти
к новым каноническим переменным
Ларганжиан взаимодействия, выраженный через поля
¦ф!, т|J, не содержит матриц у5,
?i ~ (^'iYn4'i ' " ^'ФаТи'Фг) Ар., A1.14)
и представляет собой аналог лагранжиана электромаг-
электромагнитного взаимодействия двух безмассовых спиноров.
Такая теория инвариантна относительно чисто векторных
калибровочных преобразований
г^ (х) -v е'дас*)^ (х), % (х) ->- е-'дас*)^ (х),
г[52 (ж) -»- e-iga(x>i|j2 (а;), гр2 (х) -> е^а(ж>гр2 (ж), A1.15)
220
ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
и, следовательно, неренормированные функции Грина
удовлетворяют нормальным тождествам У орда. Подоб-
Подобный механизм компенсации аномалий можно использо-
использовать и в более реалистических моделях, в частности в мо-
моделях со спонтанно нарушенной симметрией. Если поля
г|), г|)', Ац взаимодействуют еще со скалярными полями, то
при соответствующем выборе потенциала за счет механизма
Хиггса все физические частицы могут приобрести ненуле-
ненулевые массы. В то же время вид взаимодействия спинорных
полей с векторными, ответственный за появление анома-
аномалий, не меняется. Поэтому все рассуждения относительно
компенсации аномалий остаются в силе.
Появление аномалий в тождествах Уорда можно ин-
интерпретировать как нарушение соответствующей класси-
классической симметрии. Аномальное тождество (9.9) можно
записать в виде
J exp \i J X (x)dx\ \дХ (х) +
X dxpd^dA =0, A1.10)
где X определяется формулой A1.1), F^ — обычный
тензор напряженности для поля А^, а /^ — аксиальный
ток: /jf = "ФТм-Тв!9- В классической теории аксиальный
ток /ц, с которым взаимодействует поле А^, сохраняется.
Как следует из равенства A1.16), в квантовой теории ди-
воргенция /? Ф 0. Тем не менее и в этом случае можно
определить сохраняющийся ток ]^\
АО. A1.17)
lt=
Однако этот ток не совпадает с током, с которым взаи-
взаимодействует поле Лц, и его сохранение не обеспечивает
инвариантности теории относительно калибровочных
преобразований A1.2).
Возникает естественный вопрос, нельзя ли модифици-
модифицировать лагранжиан A1.1), добавив к нему какой-либо член,
зависящий от полей А^, так чтобы его вариация в точно-
точности компенсировала аномалию и действие в целом было
калибровочно инвариантно. Непосредственной проверкой
нетрудно убедиться в том, что этого сделать нельзя.
Аномалия иепредставима в виде вариации локального
функционала, зависящего только от полей А^.
§ 11. АНОМАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
221
существуют аргументы в пользу того, что при наличии
аномалий сама схема квантования калибровочных полей
должна быть изменена, поскольку некоторые классиче-
классические связи первого рода в квантовой теории с аномалия-
аномалиями могут стать связями второго рода. Это в свою очередь
может привести к эффективному появлению новых, не-
неклассических степеней свободы.
Однако пока не удалось постро-
построить последовательную схему кван-
квантования, учитывающую эти сообра-
соображения. В рассмотренном выше
примере появление аномалий при-
приводит к неэквивалентности раз-
различных калибровок и, следова-
следовательно, к несамосогласованности
теории. Однако аномалии могут
присутствовать и в самосогласо-
самосогласованных теориях,например в кван-
квантовой электродинамике. В элект-
электродинамике мы тоже можем опре-
определить аксиальный ток /А =
~ WnYs^ причем в пределе нулевой массы электронов в
классической теории этот ток сохраняется.
Матричный элемент перехода аксиального тока в два
фотона в низшем порядке теории возмущений описывает-
описывается диаграммой (рис. 28), отличающейся от соответствую-
соответствующей диаграммы в модели A1.1) лишь отсутствием ^-мат-
^-матриц в вершинах А и 1В. Легко понять, что это отличие
несущественно, так как, коммутируя у-матрицы, мы мо-
можем перенести обе у5-матрицы в одну вершину, поело чего
матричные элементы тождественно совпадут. Поэтому
в электродинамике тождество Уорда для дивергенции
аксиального тока в пределе нулевой массы электронов
имеет вид, аналогичш.тй A1.9):
Рис. 28. Аномальная
треугольная диаграмма
в электродинамике. Кре-
Крестиком обозначена вер-
вершина, отвечающая акси-
аксиальному току
A1.18)
Единственное отличие состоит в том, что в этом случае
отсутствует симметрия относительно перестановок вершин
А <>Сл Б <--> С. Поэтому можно попутаться переопреде-
переопределить вершинную фугекгхию, воспольяовагспшег, коптрчлен-
нглм проинчолом согласно A1.10). Выбирая с1 — — с2 =
222 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
= тр—jj- , мы обеспечим выполнение условия
(Р + ?№** = 0. A1.19)
Однако функция Г^а не удовлетворяет условию
A1.20)
являющемуся следствием сохранения электромагнитного
тока ipy^.
Таким образом, в квантовой электродинамике нельзя
одновременно обеспечить сохранение электромагнитного
и аксиального токов. Поскольку сохранение электромаг-
электромагнитного тока является твердо установленным экспери-
экспериментальным фактом, мы вынуждены сделать вывод о не-
несохранении аксиального тока в квантовой электроди-
электродинамике.
В этом случае аксиальная аномалия не приводит к не-
самосогласованности теории, поскольку калибровочная
инвариантность в электродинамике связана с сохранением
векторного электромагнитного тока, а аксиальный ток
является с точки зрения этой модели внешним объектом.
В электродинамике с массивными электронами аксиаль-
аксиальная аномалия приводит к модификации «частичного»
закона сохранения аксиального тока. Вместо классиче-
классического уравнения
дХ = 2тп/5, A1.21)
где /8 = Ё;Ч>у5'ф, мы получим
jj exp \i jj X (*)сЦ \дХ (х) ~ 2mjb +
= 0. A1.22)
Аномальное тождество A1.22) приводит к важным экспе-
экспериментальным следствиям. В частности, электромагнит-
электромагнитный распад л0-мезона на два фотона описывается аномаль-
аномальной диаграммой, изображенной на рис. 28. Расчеты,
выполненные1 на основе тождества A1.22), полностью
согласуются с экспериментом.
Аномальные тождества Уорда могут возникать и
в неаболевых калибровочных теориях. Пусть, например,
сцинорные доля -vp калибровочио-шхвариантным образом
§ 11. АНОМАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
взаимодействуют с полем Янга — Миллса
223
)ll~gTaA^q + ... A1.23)
и многоточие обозначает лагранжиан поля Янга — Милл-
са, а также, возможно, калибровочно инвариантное взаи-
взаимодействие полей Ац, г|) со скалярными полями. Послед-
Последнее может отвечать как симметричной теории, так и теории
со спонтанно нарушенной симметрией.
Матрицы Га реализуют представление алгебры Ли
[Г°, Гь] = tabTc A1.24)
и могут включать также матрицу уъ. Дивергенция трех-
трехточечной вершинной функции Грина вычисляется точно
так же, как в абелевом случае. Единственное отличие
состоит в появлении дополнительного множителя, пропор-
пропорционального следу произведения стоящих в вершинах Г
матриц:
1 (Р + д)аГ$а (Р, q) = const tr {уъ [Г„, Гь]^ Гс} едуаР/?адР).
A1.25)
Если множитель
[Га, Гь]+Гс}
A1.26)
отличен от нуля, то функция Г^уса не удовлетворяет об-
обобщенным тождествам Уорда, что приводит к потере
калибровочной инвариантности перенормированной тео-
теории.
Проанализируем, в каких случаях АаЬс равно нулю.
G этой целью введем вместо матриц Га киральные мат-
матрицы Т±
ra = -^(l + Vb)T+a + -^(i-y5)T-a, A1.27)
где Т+ уже не содержат матрицу уь.
Множитель АаЬс можно теперь представить в виде
где
Ьс = 2 (АаЬс — Ааьс),
= tr {[Г*, П]+Т±).
A1.28)
A1.29)
Ааьс очевидно обращается в нуль, если А* = А . Это
заведомо выполнено, если представления 71* унитарно
224 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
эквивалентны:
Та = UT+U+, A1.30)
где U — унитарная матрица. В этом случае, выбирая
другой базис спинорных полей, взаимодействие можно
переписать в чисто векторном виде:
^дГ„-ф = — цу» {A + Уъ) Т1 + A - Уь) Та) Ц = ?^7'Ж
A1.31)
где
Ч>' =-f(l + Уь)У + -т(*--Уь)иЪ. A1.32)
При таком переопределении полей г|з у5-матрицы появ-
появляются в массовых членах. Отсутствие аномалий в таких
моделях совершенно естественно. В базисе г|/ калибровоч-
калибровочные преобразования уже не содержат матрицы у5, и по-
поэтому к ним применима описанная ранее процедура инва-
инвариантной регуляризации, позволяющая строго доказать
обобщенные тождества Уорда. Конкретный вид калибро-
калибровочной группы при этом не существен.
Подобные модели называются «векторно подобными»,
поскольку при больших энергиях, существенно превы-
превышающих все характерные массы, они ведут себя так же,
как модели с чисто векторным взаимодействием.
Унитарная эквивалентность Т+ и Т_ не является не-
необходимой для отсутствия аномалий. Для этого достаточ-
достаточно обращения в нуль выражения A1.28), которое может
происходить и по другим причинам.
Аномалии отсутствуют в том случае, если АаЬс =
— ATibc = 0, что имеет место для некоторых калибровоч-
калибровочных групп. Достаточным условием для этого является
вещественность представлений, реализуемых матрица-
матрицами т?. (Представление называется вещественным, если
оно унитарно эквивалентно своему комплексно сопряжен-
сопряженному.) Н этом случае
§ 1 i. АНОМАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
225
« +
= - tr {[T$, TtU Tr) = 0. A1.33)
Такая ситуация осуществляется для алгебр
SU B); SO B7V -f 1), N > 2; SO (W), N > 2;
Sp BN), N > 3;
GB); Я D); E G); E (8), A1.34)
I
все представления которых вещественны. (Можно пока-
показать, что для алгебр SO (N) аномалии отсутствуют для
всех Л' ]> 5, N ф 6.) Для алгебры SU C) аномалии от-
отсутствуют лишь для некоторых представлений, в частно-
частности 8 и 3 + 3.
В неабелевых теориях аномальными могут быть также
однопетлевые диаграммы с большим числом внешних
линий. Если же в данной модели все однопетлевые диа-
диаграммы удовлетворяют нормальным тождествам Уорда,
то многопетлевые диаграммы заведомо свободны от ано-
аномалий. Это, как мы уже отмечали, непосредственно следу-
следует из того, что регуляризация с помощью высших кова-
риантпых производных регуляризует многопетлевые
диаграммы в любой калибровочной теории, в том числе
содержащей уъ преобразования. Поэтому многопетлевые
диаграммы автоматически удовлетворяют нормальным
тождествам Уорда.
Приведенная классификация «нормальных» и «ано-
«аномальных» теорий в равной мере относится и к теориям
со спонтанно нарушенной симметрией. В аномальном
случае унитарная и перенормируемая калибровки соот-
соответствуют физически не эквивалентным теориям. В уни-
унитарной калибровке теория неперенормируема и потому
в рамках теории возмущепий не имеет смысла. Наоборот,
в перенормируемой калибровке теория возмущений стро-
строится без труда, однако i'-матрица не унитарна в простран-
пространстве физических состояний. Тем самым требование от-
отсутствия аномалий накладывает жесткие ограничения на
возможные калибровочно инвариантные модели.
Заметим, что аномалии не обязательно связаны с нару-
нарушением у5-инвариантности. В некоторых моделях возни-
возникают, например, аномалии, связанные с нарушением кон-
конформной инвариантности.
В заключение мы обсудим некоторые общие свойства
неабелевых у5-аномалий, которые позволяют исследовать
их структуру, не обращаясь к вычислениям по теории
возмущений.
Как мы уже видели, аномалии возникают в однопетле-
вых фермионных диаграммах, включающих у6-взаимодей-
ствие с векторным полем. Поэтому рассмотрим произво-
производящий функционал
Z = I exp {i I [ЩУ11 (ди - V» - ЛТг.) 1> dx] d^ dip. A1.35)
Здесь Vp = У?Г?г и А^ — А?Г"г — внешние классиче-
226
ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
ские источники для векторного и аксиального токов соот-
соответственно. В классической теории эти токи сохраняются
вследствие инвариантности свободного фермионного дей-
действия относительно глобальных векторных и аксиальных
преобразований фермионных полей:
Цн = It,P> A1.36)
Соответствующие
Здесь
X1-
Л —
¦уг _
X —
а б
" '* К
-в 6
— f/ll —
ч
тождества Уорда
X{Z =
^Z =
= 0,
= Gt (Уд, ^
6 -ji
' ^ J
' s^, J
имеют
l|i)Z-
•[л--
вид
6 -li
M.u J '
6 li
A1
A1
A1
A1
.37)
.38)
.39)
.40)
A1.41)
A1.42)
A1.43)
a Gt — аномалия. При написании этих тождеств мы вос-
воспользовались тем фактом, что производящий функционал
Z всегда можно определить так, чтобы векторный ток
цф сохранялся.
Операторы Xt (х), Yj (x1) образуют алгебру
[Xt (х), X; (х1)} = tli4 (х - х') Хк (х),
lXt (x), Y} (x')\ = 1^4 (х - х') Yb (х),
[Yt (x), Y} (x')l = tij4 (x - х') Хм (х).
Применяя к функционалу Z операторы XiYj, ХгХ}-,
YtYj и пользуясь коммутационными соотношениями
A1.41)—A1.43)' и тождествами Уорда A1.37), A1.38),
мы получим условия совместности, которым должна
удовлетворять аномалия
Xt (x) Gj (xl) = tijk8 (х - х') Gk (x), A1.44)
Yt (x) Gj (х1) - Yj (х1) Gx (x) =- 0. A1.45)
Первое из этих соотношений означает просто, что ано-
аномалия G преобразуется по присоединенному представле-
представлению векторной калибровочной группы.
Второе уравнение A1.45) представляет собой нетри-
нетривиальное условие интегрируемости, которое позволяет оп-
определить структуру аномалии, не прибегая к вычислени-
вычислениям по теории возмущений. С другой стороны, это условие
§ И. АНОМАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
227
может служить для проверки правильности аномалии,
вычисленной с помощью какой-либо конкретной регуля-
регуляризации. Так, например, аномалия, вычисленная В. Бар-
Бардиным длн случая группы SU C) X SU C), имеет вид
J
8л2
2 1~4~ ^v^°p "г" 2"
-f- -g- i (A^AvVap +
+
где
i [Vy» Vv] - i [AIX, Av],
( '
Непосредственной проверкой можно убедиться, что анома-
аномалия A1.46) удовлетворяет условиям согласования A1.44),
A1.45).
Глава V
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой главе мы обсудим некоторые приложения кали-
калибровочных теорий к описанию взаимодействий элементар-
элементарных частиц. В настоящее время теория калибровочных
полей является общепризнанной теоретической основой
физики элементарных частиц, и сколько-нибудь полный
обзор ее экспериментальных приложений далеко выходит
за рамки данной книги. Этому вопросу посвящены спе-
специальные монографии, к которым мы и отсылаем заинте-
заинтересованного читателя.
Здесь мы ограничимся описанием наиболее характерных
особенностей калибровочно инвариантных моделей эле-
элементарных частиц, не пытаясь отразить новейшие веяния
в этой области. Рассматриваемые примеры носят педаго-
педагогический, иллюстративный характер.
§ 1. Объединенные модели слабых
и электромагнитных взаимодействий
Вплоть до конца шестидесятых годов электродинамика
была единственным успешным примером применения
в физике элементарных частиц квантовой теории поля
вообще, и калибровочно инвариантных теорий в частности.
В то же время уже довольно давно было замечено, что сла-
слабые взаимодействия имеют много общего с электромаг-
электромагнитными. Из эксперимента известно, что в слабых взаи-
взаимодействиях участвуют векторные токи. Это наводит на
мысль, что, так же как и в электродинамике, взаимо-
взаимодействие осуществляется за счет обмена векторными
частицами, получившими пазвание промежуточных
PF-мезонов. Так же как и электромагнитный ток, сла-
слабый векторный ток сохраняется. Наконец, слабое взаи-
взаимодействие является универсальным — взаимодействие
характеризуется одной и той же константой связи (если
отвлечься от эффектов, обусловленных возможностью
смешивания различных фундаментальных частиц),
§ 1. ОБЪЕДИНЕННЫЕ МОДЕЛИ
229
Все эти свойства получают естественное объяснение,
если предположить, что слабое и электромагнитное
взаимодействия описываются калибровочно-инвариант-
ной теорией, в которой роль переносчиков взаимодей-
взаимодействия играют поля Янга — Миллса. При этом, однако,
в отличие от дальнодействующего электромагнитного
взаимодействия, слабое взаимодействие имеет конечный
радиус действия и, следовательно, соответствующие век-
векторные поля должны быть массивными. Второе отличие
состоит в том, что слабое взаимодействие не сохраняет
четность. Эти различия, которые долгое время препят-
препятствовали созданию реалистической объединенной модели
слабых и электромагнитных взаимодействий, можно с ус-
успехом объяснить с помощью механизма Хиггса. Спон-
Спонтанное нарушение симметрии позволяет выделить «элек-
«электромагнитное» направление во внутреннем зарядовом про-
пространстве. Соответствующий векторный мезон остается
безмассовым и взаимодействует с сохраняющим четность
током. Остальные мезоны приобретают ненулевую массу,
и их взаимодействие не сохраняет четность.
Рассмотрим простейшую реализацию этих идей. Вы-
Выбор калибровочной группы определяется соображениями
соответствия с экспериментом. Размерность группы долж-
должна быть не меньше трех, поскольку она должна включать
как минимум генераторы, соответствующие фотону A)
и промежуточным векторным мезонам B). Если ограни-
ограничиться лишь «легкими» лептонами — электроном, мю-
мезоном и соответствующими нейтрино, то минимальное
число генераторов равно четырем. Действительно, заря-
заряженный слабый ток имеет следующую структуру:
it = Ve
e =
Ye)
где
A.1)
A.2)
(мюонный ток имеет аналогичную структуру).
Следовательно, матрицы A + уь) т+ и A + уъ) т~ вхо-
входят в алгебру Ли калибровочной группы. Минимальная
алгебра Ли, включающая эти матрицы, состоит из гене-
генераторов
Y5)
A.3)
230
ГЛ. V. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
§ 1. ОБЪЕДИНЕННЫЕ МОДЕЛИ
и соответствует группе SU B). Эта алгебра не содержит
генератора, с помощью которого можно было бы по-
построить сохраняющий четность электромагнитный ток.
Простейшая алгебра, порождающая как электромаг-
электромагнитный, так и заряженный токи, отмечает rpyuue U B)
и содержит четыре генератора, один из которых соот-
соответствует нейтральному слабому току. Именно эта груп-
группа лежит в основе модели Вайнберга — Салама, которую
мы обсудим ниже. Исторически, когда конструировались
первые объединенные модели, нейтральные токи не на-
наблюдались экспериментально. Поэтому предлагались аль-
альтернативные модели, не включающие взаимодействий ней-
нейтральных токов. В частности, вводя помимо электро-
электрона и мю-мезона дополнительные «тяжелые» лептоны,
Г. Джорджи и Ш. Глешоу удалось построить калибровоч-
но инвариантную модель на основе группы SU B). Однако
выполненные впоследствии эксперименты подтвердили
предсказание модели Вайнберга — Салама относительно
существования нейтральных токов. Более того, оказалось,
что тяжелые лептоны, обнаруженные экспериментально,
также хорошо описываются моделью Вайнберга — Са-
Салама. Все накопленные за последние годы данные недву-
недвусмысленно свидетельствуют в ее пользу. Окончательным
триумфом модели Вайнберга — Салама явилось прямое
экспериментальное обнаружение нейтрального и заряжен-
заряженных промежуточных векторных мезонов.
Ниже мы подробно оиишемэту модель, основанную на
группе S U B) х U A) — модель Вайнберга — Салама.
В модели Вайнберга — Салама электрон и электронное
нейтрино объединяются в SU2 дублет L и синглет R:
н = -Т^~Уь)е. A.4)
Такой выбор мультинлетов диктуется тем, что право-
и левополяризованные лептоны входят в слабое взаимо-
взаимодействие не симметрично — правополяризованное элек-
электронное нейтрино экспериментально не наблюдается.
В аналогичные мультиплеты объединяются мюон и мю-
онное нейтрино. В дальнейшем мы ограничимся рассмот-
рассмотрением электронного сектора. Потребовав, чтобы слабые
заряженные токи имели структуру V — Ли чтобы фотон
взаимодействовал только с векторным током заряженных
частиц, мы приходим к следующему закону преобразова-
вания:
L (x) -^ L (x) -- ig \- ?° (x) L (x) - i|i- t] (x) L (x)
231
A.5)
R(x)
R (х) - iglr\ (x) R(x) + ...
Поскольку группа SU B) X U A) не простая, калибро-
калибровочные преобразования включают два произвольных па-
параметра g и gx. Подгруппам S U B) и U A) соответствуют
калибровочные поля: изовекторное поле А^, и синглет В^.
Калибровочно инвариантный лагранжиан, описываю-
описывающий взаимодействие мультиплетов R и L с полями Янга—
Миллса, имеет вид
L
r r
ig
где fp.v — тензор напряженности поля Янга — Миллса,
а ^nv — аналогичный тензор для абелева поля:
Заметим, что массовый член для лептонов
m (LR + BL)
A.7)
A.8)
запрещен требованием инвариантности относительно пре-
преобразований A.5).
Все поля, входящие в лагранжиан A.6), имеют нуле-
нулевую массу. Однако если поля А$,, Вп и R, L взаимодейст-
взаимодействуют еще со скалярными полями, то они могут приобрести
ненулевые массы за счет эффекта Хиггса. Поскольку все
векторные мезоны, кроме фотона, должны стать массивны-
массивными, мы воспользуемся конкретной моделью спонтанного
нарушения симметрии A.3.25). Введем комплексный
дублет
преобразующийся при калибровочных преобразованиях
следующим образом:
Ф
Ф - igla (x) -?- ф -)- -i|L q (х) Ф (х). A.10)
232
Г Л. V. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Калибровочно-инвариантный лагранжиан, описывающий
взаимодействие ср с полями Л^л В^, R, L, имеет вид
- G {(Lcp)R + Я (<р+/,)} + ~(Ф+Ф) ~ К (Ф+ФJ- A-И)
Как мы уже знаем, взаимодействие вида A.11) порож-
порождает спонтанное нарушение симметрии: вакуумное сред-
среднее поля ф отлично от нуля, и для того чтобы строить тео-
теорию возмущений вблизи симметричного основного состоя-
состояния, нужно перейти к сдвинутым полям:
ф-*ф' = ( ):
В результате этого сдвига возникают массовые члены для
векторных полей
-f [g* {Alf + g2 {Alf + (g^ - gA%f]. A.13)
Диагонализация квадратичной формы A.13) приводит к
следующему спектру масс.
Заряженные мезоны W±
приобретают массы
Нейтральные мезоны
A.14)
A.15)
A.16)
A.17)
приобретают массы -~=- (g2 + g\L> и 0 соответственно.
В результате сдвига A.12) ненулевую массу приобре-
приобретают также лептоны. Массовый член имеет вид
A.18)
Нейтрино остается безмассовым.
§ 1. ОБЪЕДИНЕННЫЕ МОДЕЛИ
233
Наконец, пользуясь разложением
(а-?58), A.19)
находим, что поле а приобретает массу 2Кц.
Голдстоуновские поля Bt имеют нулевую массу и, как
было показано в гл. III, §4, могут быть устранены калиб-
калибровочным преобразованием.
Взаимодействие лептонов с векторными полями имеет
вид
Z^ + le^ii, ve^v^}, A.20)
где величина 0^ = arctg (g'g'1) называется углом Вайн-
Вайнберга.
Из этой формулы видно, что электромагнитная кон-
константа е и константа слабого взаимодействия Ферми Gf
выражаются через параметры g и gt следующим образом:
GF
\[2
Из A.21) следует, что
е ¦
откуда
»,„, 1 ё'У2 \ г^^
mvv \ 8GF J ^
g2
8т2
38
sin 0г
Гэв > 38 Гэв,
A.21)
A.22)
A.23)
A.24)
т. е. масса заряженного промежуточного мезона ограниче-
ограничена снизу и велика.
Аналогичная оценка для массы нейтрального мезона
дает
mz > 75 Гэв. A.25)
Сама по себе модель Вайнберга — Салама дает лишь
нижние границы масс промежуточных мезонов. Однако
значение угла Вайнберга можно определить, изучая про-
процессы с участием слабых нейтральных токов. Соответст-
Соответствующие эксперименты дают sm2Oir ~ 0,218. Подставляя
ГЛ. V. НЕКОТОРЫЙ ЛРИЛОЖШШЯ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
это значение в формулу A.24), находим для массы заря-
:клшого векторного мезона mw ^ 80 Гэв, а для нейтраль-
нейтрального мезона mz ~?- 90 Гэв. Экспериментальные значения
масс mw = 81,8 + 1,5 Гэв и mz = 92,6 ^ 1,7 Гэв пре-
прекрасно согласуются с предсказаниями модели.
Помимо выписанных выше членов, лагранжиан взаи-
взаимодействия описывает также самодействие скалярных ме-
мезонов и их взаимодействие с лептонами. Вопрос о сущест-
существовании и свойствах хиггсовских скалярных мезонов наи-
наименее ясен с экспериментальной точки зрения. В рамках
модели Вайнберга — Салама масса cr-мезона является
свободным параметром, однако ее нельзя сделать сколь
угодно большой. Это ясно хотя бы из того, что в пределе
та -> сю амплитуды, которым соответствуют диаграммы,
имеющие внутренние cr-линии, обращаются в бесконеч-
бесконечность. Существуют косвенные оценки массы ст-мезона, ко-
которые не противоречат имеющимся эксперименталь-
экспериментальным данным. Тем не менее попытки непосредственного
обнаружения хиггсовских мезонов пока не привели к ус-
успеху, и этот вопрос остается открытым.
Как мы уже отмечали, наиболее ярким предсказанием
модели Вайнберга — Салама является существование сла-
слабых нейтральных токов. Оно приводит к целому ряду эк-
экспериментальных следствий, касающихся, в частности,
процессов упругого е — v рассеяния и эффектов несохра-
несохранения четности в атомной физике.
Все эти предсказания в настоящее время подтверж-
подтверждены.
Что касается взаимодействия заряженных слабых то-
токов, то здесь предсказания модели Вайнберга — Салама
в низшем порядке совпадают с предсказаниями феномено-
феноменологической четырехфермионной модели. Но будучи, в от-
отличие от последней, перенормируемой, модель Вайнбер-
Вайнберга — Салама позволяет также вычислять радиационные
поправки высшего порядка. В частности, слабые поправ-
поправки к аномальному магнитному моменту мюона оказывают-
оказываются малы в соответствии с данными эксперимента.
Наконец, результаты исследований тяжелого т-леп-
/ о Гэв \
тона [т ~ А —т- и соответствующего нейтрино также
хорошо укладываются в рамки модели Вайнберга — Са-
Салама, если считать, что т-лептон, подобно ji-мезону яв-
является тяжелой копией электрона, т. е. его взаимодейст-
взаимодействие имеет вид, аналогичный A.20).
§ 1. ОБЪЕДИНЕННЫЕ МОДЕЛИ
235
Обсудим подробнее вопрос о перенормируемости моде-
модели Вайнберга — Салама. Поскольку лагранжиан A.6),
A.11) калибровочно-инвариантен, к нему применима
описанная в предыдущей главе процедура перенормиров-
перенормировки. Однако калибровочная группа содержит абелеву под-
подгруппу U A) и в соответствии с классификацией § 11
гл. IV является аномальной. Поэтому, несмотря на фор-
формальную калибровочную инвариантность, модель Вайн-
Вайнберга — Салама, описываемая лагранжианом A.6), A.11),
неперенормируема. Исправить положение можно с по-
помощью механизма, описанного в предыдущей главе. Как
мы видели, аномалии отсутствуют в случае любой калиб-
калибровочной группы, если правополяризованные и левополя-
ризованные фермионы дают в аномальную треугольную
диаграмму вклады, равные по величине и противополож-
противоположные по знаку. Поэтому если в модели Вайнберга — Са-
Салама ввести помимо электронных мультиплетов A.1) муль-
типлеты с противоположной спиральностью
взаимодействующие с векторными полями так же, как
L и R, то в такой модифицированной модели аномалии уже
отсутствуют. Заметим, однако, что в качестве Z и R нель-
нельзя использовать мюон и мюонное нейтрино, поскольку
«компенсирующие» лептоны должны участвовать в сла-
слабом взаимодействии с противоположной спиральностыо.
Поэтому, оставаясь в рамках физики лептонов, пере-
перенормируемое расширение модели Вайнберга — Салама
можно построить, лишь вводя тяжелые лептоны со спи-
спиральностью, противоположной спиральности электрона.
Взаимодействия такого типа экспериментально не наблю-
наблюдаются .
К счастью, остается еще возможность компенсации леп-
тонных аномалий за счет аналогичных аномалий в элек-
электрослабых взаимодействиях адронов.
Перейдем теперь к их обсуждению. Подобно тому как
модель Вайнберга — Салама для лептонов предсказывает
существование нейтральных лептонных токов, аналогич-
аналогичная модель для адронного сектора предсказывает сущест-
существование слабых нейтральных адронных токов. При этом
если группой симметрии адронов является группа SU C),
то нейтральный ток содержит члены, меняющие стран-
странность. Чтобы убедиться в этом, напомним, что в SU C)
236
ГЛ. V. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
симметричной теории слабый заряженный адронныи ток
описывается формулой Каббибо
it = Щ» A + Ye) (d cos 6 + s sin 6). A.27)
Здесь и я d— (up)- и (down)-KBapmi с зарядами 2/3 и —V3,
.v — странный кварк с зарядом —1/3, Э — угол Каббибо,
характеризующий относительные вероятности процессов
с изменением и без изменения странности.
Так же как в модели Вайнберга — Салама для лепто-
нов, генераторы, соответствующие заряженным токам,
порождают группу SU B). Поэтому в калибровочно-ин-
вариантной теории наряду с заряженными токами A.27)
присутствует нейтральный ток вида
= пу^ A + уъ) и +
+ (d cos 0 + s sin 0)
A + уь) (d cos 0 + s sin 0).
A.28)
Ток yji взаимодействует с третьей компонентой поля Ян-
га — Миллса А^ и, следовательно, представляет собой
линейную комбинацию электромагнитного и слабого ней-
нейтрального тока. В результате в такой модели разрешены
процессы, идущие через нейтральные токи с изменением
странности, такие как
К'}. ->
К+ -
n+vv,
A.29)
причем вероятности этих процессов должны быть срав-
сравнимы с вероятностями процессов, идущих через заря-
заряженные токи. Из эксперимента известно, что процессы
типа A.29) запрещены с очень высокой степенью точности.
Отношение вероятности распада KaL —> \i+\i~ к вероятнос-
вероятности распада К+ —» (хЧц, идущего через заряженные сла-
слабые токи ^ 10~~9. Запретить подобные процессы в калиб-
ровочно-иивариантной теории можно, отказавшись от
предположения об SU (З)-структуре адронов. Простей-
Простейшая возможность состоит в замене группы SU C) груп-
группой SU D). В кварковой модели это эквивалентно введе-
введению четвертого кварка с, обладающего новым квантовым
числом — «очарованием».
Четырехкварковая калибровочная модель слабых и
электромагнитных взаимодействий строится так же, как
модель Вайнберга — Салама для лептонов. Левополяри-
§ 1. ОБЪЕДИНЕННЫЕ МОДЕЛИ
237
зованные кварки объединяются в два S U B)-дублета
d cos 0-f s sin 9/'
- d sin 6 -\- s cos 9
а правополяризованные — в синглеты
)¦
A.30)
R3 = -2~ A — уъ) (d cos 0 + s sin 0); A.31)
#4 = 4" (* ~ Yb) (— d sin 0 + s cos 0).
Заряженный адронныи ток имеет вид
h — ULyn {d cos0 +ssin0) + cLyn(— dsin 0 + s cosG). A.32)
Коммутируя yjt и yji, получаем для /д выражение
= «Yn (! + Y8)" + dy» A + Y5) d + «Yn A + Yb) s- A-33)
В этом токе меняющие странность члены отсутствуют и,
следовательно, процессы типа A.29) в низшем порядке
по слабому взаимодействию запрещены.
Мы не будем выписывать здесь полного калибровочно-
инвариантного лагранжиана слабого и электромагнитного
взаимодействия адронов. Он выглядит совершенно анало-
аналогично лагранжиану A.3). Его наиболее замечательной осо-
особенностью является предсказание «очарованных» адрон-
ных состояний.
Это предсказание также подтверждено эксперимен-
экспериментально.
Чтобы закончить описание моделей слабых взаимо-
взаимодействий адронов, напомним, что согласно общепринятой
сейчас точке зрения существует три разновидности квар-
кварков, отличающихся друг от друга «цветом», т. е. каждый
из кварков р, с, d, s может иметь три различных «цвета».
Слабые взаимодействия не чувствительны к цвету, и соот-
соответствующий лагранжиан представляет собой сумму трех
идентичных лагранжианов. Гипотеза о существовании
цвета была выдвинута для того, чтобы объяснить наблю-
наблюдаемый спектр адронов в рамках обычных предположений
238
ГЛ. V. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ И ЗАКЛЮЧЕНИЯ
о связи спина со статистикой. Удивительным образом ока-
оказалось, что введение цвета одновременно делает самосо-
самосогласованной описанную выше объединенную модель сла-
слабых взаимодействий. В модели, в которой участвуют че-
четыре лептона \i, e,
ve и четыре трехцветных кварка
р, с, d, s с зарядами-^- , Чр » g~ ' 3~' ОТСУТСТВУЮТ
аномалии и, следовательно, соответствующая теория пере-
перенормируема. В данном случае суммарный заряд лептонов
(—2) равен по величине и противоположен по знаку сум-
суммарному заряду кварков ( — X 3 j — 2, ив силу этого ано-
аномалии лептопного и адронного токов компенсируются.
Внимательный читатель может заметить, что мы про-
продемонстрировали сейчас лишь сокращение электронных
и мюонных аномалий. Но выше мы упоминали, что сейчас
известно еще одно семейство лептонов — т-лептон и соот-
соответствующее нейтрино. Поскольку эти частицы взаимо-
взаимодействуют точно так же, как электрон и мю-мезон, они то-
тоже дают вклад в треугольную аномалию. Для того чтобы
скомпенсировать этот вклад, необходимо ввести еще два
кварка, получивших название t (top)- и Ъ (ЬоМот)-квар-
ков. Адроны, в состав которых входит fe-кварк, уже об-
обнаружены, поиски ^-кварка продолжаются.
В настоящее время мы не можем сказать, будут ли об-
обнаружены еще новые лептоны и кварки и будет ли их взаи-
взаимодействие также удовлетворять требованию компенса-
компенсации аномалий. Однако все имеющиеся на сегодня данные
успешно объясняются в рамках перенормируемой калиб-
ровочно инвариантной модели Вайнберга — Салама.
§ 2. Асимптотическая свобода. Калибровочные теории
сильных взаимодействий
Динамика сильных взаимодействий кажется на пер-
первый взгляд слишком сложной, чтобы пытаться описать ее
в рамках какой-либо разумной модели квантовой теории
поля. Поэтому в течение долгого времени для описания
сильных взаимодействий использовались либо методы
дисперсионных соотношений, основанные лишь на самых
общих физических требованиях причинности и унитар-
унитарности, либо феноменологические модели. Попытки по-
построить релятивистскую лагранжеву модель, которая
давала бы детальное описание динамики сильных
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СВОБОДА
239
взаимодействии, не приводили даже к качественным ре-
результатам.
С другой стороны, эксперименты по глубоко неупруго-
неупругому рассеянию лептонов на протонах свидетельствуют ь
пользу того, что в основе сильных взаимодействий лежит
простой динамический механизм. При больших передан-
переданных импульсах, что эквивалентно малым пространствен-
пространственным расстонниям, адроны ведут себя так, как если бы они
состояли из невзаимодействующих точечных объектов. Та-
Таким образом, возникает следующая качественная картина:
адроны являются сложными объектами, причем взаимо-
взаимодействие их составляющих элементов стремится к ну-
нулю на малых расстояниях. В то же время на больших рас-
расстояниях эффективное взаимодействие становится силь-
сильным, благодаря чему адрон является сильно связанной
системой.
Можно ли описать такое взаимодействие в рамках
какой-либо модели квантовой теории поля? Ответ на этот
вопрос оказывается однозначным. Описанное выше пове-
поведение взаимодействия можно получить только в неабеле-
вой калибровочной теории. Все непротиворечивые модели
теории поля, в которых не участвуют поля Янга — Мил-
лса, приводят к росту эффективного взаимодействия на
малых расстояниях. Эта уникальная особенность полей
Янга — Миллса связана с явлением асимптотической сво-
свободы, к описанию которого мы теперь переходим.
Мы будем обсуждать сейчас асимптотическое поведе-
поведение функций Грина в глубоко евклидовой области, когда
квадраты всех импульсных аргументов р( отрицательны
и велики по абсолютной величине.
Непосредственного физического смысла эта асимпто-
асимптотика, разумеется, не имеет, так как для вычисления
^-матрицы нужны значения функций Грина при 'pi = ml >
.> 0. Можно показать, однако, что вероятность процессов
глубоко неупругого рассеяния непосредственно связана с
поведением функций Грина в глубоко евклидовой области.
Точнее говоря, мы будем исследовать асимптотики
функций Грина и сильно связных собственных вершин-
вершинных функций Г„ (кр1 . . . %рп, т, g), где р! = —а} < 0
при и -> оо. Для этого нам понадобится аппарат ренорм-
группы, основные идеи которого мы кратко напомним.
Как мы уже знаем, вычитание первых членов разло-
разложения в ряд Тейлора расходящихся собственных вершин-
240
ГЛ. V. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СВОБОДА
241
ных функций эквивалентно введению в лагранжиан ло-
локальных контрчленов, что в свою очередь эквивалентно
перенормировке параметров, входящих в лагранжиан.
Переход от одной точки вычитания к другой эквивалентен
конечной перенормировке. Например, введение контр-
контрчленов
-rtIV
1) (AAi -
2g (Zl -
(где ... обозначают соответствующие контрчлены для
фиктивных частиц и полей материи) эквивалентно сле-
следующей перенормировке функций Грина и зарядов:
Guv (к, g) —> z2 G>v (к, g'),
Гд. (р, q, g) ~> zJV (P, q, g'), B-2)
ГЛ4 (k,p, q, g) -> zIz^Ta* (k, p, q, g'),
Введем безразмерную функцию D, связанную с G^ соот-
соотношением (для простоты в дальнейшем будем работать в
лоренцевой калибровке)
' ~ {й к2 ! А2 ¦
Безразмерные функции, получающиеся после выделения
из ТЛз и Гл. тензорных структур, обозначим через gT3
и ?2Г4. Эти функции зависят лишь от безразмерных ар-
аргументов
п л ! m 0 • г — г 2 —-
к';
7 2
Т"' •• -'"Г"' ~5Г' ь/ '.,
B.4)
А;2 = р-, kl—.q'\ kl = (p-\-qf и т.д.,
Я — точка вычитания. (Инвариантные переменные выбра-
выбраны так, чтобы функции Tt были вещественны при к\ =
= Я<0.)
Будем считать, что функции D, Г3, Г4 нормированы ус-
условием
D, Г„Г4 = 1 при -х-1- B.">)
1)[Л-^vH + ... B-1) |
В древесном приближении все эти функции очевидно рав-
равны единице. Учет радиационных поправок приводит к
нетривиальной зависимости от импульсов, однако в точ-
точке нормировки эта зависимость исчезает, и мы опять воз-
возвращаемся к квазиклассическому пределу. Это значит,
что заряд g характери-
характеризует эффективное взаимо-
взаимодействие вблизи точки нор-
нормировки. Если вычитание
сделано вблизи нуля (как
это обычно делается в
электродинамике), то кон-
константа g характеризует
низкоэнергетическое взаи-
взаимодействие. Напротив,
вычитание при к2 =
— А,-> —>о соответствует
эффективной константе
взаимодействия в глубоко
евклидовой области.
Переход от одной точки вычитания к другой в соответ-
соответствии с B.2) эквивалентен следующей перенормировке
заряда:
g -> g' = zxz1h g. B.6)
Здесь фактор zx появляется из-за перенормировки трой-
тройной вершины, а фактор z^/2 обусловлен тем, что в этой
вершине сходятся три функции Грина, причем каждая
функция Грина соединяет две вершины (рис. 29).
тз v _ / к2 m2 \
Введем функцию g ' -j-- , —^- ,gj, называемую ин-
инвариантным или бегущим зарядом:
Рис. 29
Я,
X
g х
Их-х-
Если одновременно с преобразованием функций Грина
B.2) сделать компенсирующее преобразование заряда
g -* z/ zfg,
то функция g очевидно не изменится.
9 А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев
B.8)
242
ГЛ V. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Преобразования B.2), B.8) образуют группу мульти-
мультипликативных перенормировок, или ренормгруппу, а бе-
бегущий заряд g является инвариантом этой группы.
Условие независимости теории от выбора точки вычи-
вычитания при одновременном компенсирующем преобразо-
преобразовании заряда (ренорм-инвариантности) можно записать
в виде
ч
к
А-2 А-2
m2
-i
ч
X, ' X,
B.9)
Из уравнений B.4) и условия нормировки следует, что
1
1 ~
"XT '
B.10)
Используя формулы B.7), B.10), условие инвариантности
бегущего заряда можно записать в виде
Будем рассматривать это условие в глубоко евклидо-
евклидовой области к2 —> —оо, причем выберем точку вычитания
так, чтобы
| % | > тп\
Можно показать, что в перенормируемых теориях веду-
ведущие члены в асимптотике функций Грина не зависят от
массы и поэтому в уравнении B.11) можно положить m =
= 0. Тогда условие инвариантности примет вид
B.12)
ё (я, 8) = g (-7-» ё (t, 8)) ¦
Это уравнение показывает, что растяжение импульсов
в if раз эквивалентно переходу от константы связи g к новой
константе g (t, g). Поэтому, зная поведение бегущего за-
заряда вблизи точки нормировки, мы можем исследовать его
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СВОБОДА
243
поведение при больших евклидовых импульсах. С этой
целью продифференцируем уравнение B.12) по и и поло-
положим х = if. Таким образом получим
B.13)
где
at
B.14)
Функция p (g) называется функцией Гелл-Манна — Лоу.
Как видно, она зависит лишь от поведения инвариантного
заряда вблизи точки нормировки.
Уравнение B.14) удобно переписать в интегральной
форме
da
• = In и,
B-15)
где учтено граничное условие
g (I, g) = g.
B.16)
При % —> оо правая часть B.15) обращается в беско-
бесконечность. Это значит, что в пределе х, —> оо инвариантный
заряд либо неограниченно возрастает, либо стремится к
постоянной величине, являющейся нулем Р-функции. Точ-
Точки, в которых р-функция обращается в нуль, называются
фиксированными точками. Если в окрестности фиксиро-
фиксированной точки g0 производная Р-функции отрицательна, то
такая точка называется ультрафиолетово стабильной.
В этом случае при х. —* оо g (я) -> g0. Если производная
Р-функции в окрестности g0 положительна, то такая точ-
точка называется инфракрасно стабильной. В этом случае
при -л ~> 0 g (к) -> g0.
Особый интерес представляет поведение Р-функции в
окрестности точки g0 = 0, поскольку на практике единст-
единственным надежным способом вычисления Р-функции явля-
является теория возмущений. Здесь возможны два принци-
принципиально различных случая, графически изображенных
на рис. 30.
В первом случае (рис. 30, а), нуль является инфракрас-
инфракрасно стабильной точкой, поэтому при малых к эффективная
константа связи мала и применима теория возмущений.
В противоположном пределе % —> сю эффективная кон-
константа растет и удаляется от нуля. При этом она может
9*
244
fMl V. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
либо неограниченно возрастать, либо, как показано на
рис. 30, а, стремиться к ультрафиолетово стабильной точ-
точке gQ.
Во втором случае (рис. 30, б) нуль является ультра-
ультрафиолетово стабильной точкой. При х ---> со g (х) —> 0.
АуЗ
ff)
Рис. 30. Различные типы фикспроваипых точек
Поэтому в глубоко евклидовой области мы вправе пользо-
пользоваться теорией возмущений. Такие теории называются
асимптотически свободными, так как на малых расстоя-
расстояниях взаимодействие стремится к нулю.
В большинстве моделей квантовой теории поля реали-
реализуется первая возможность. Например, в электродинами-
электродинамике в низшем порядке по а
РН = 1ЙГ- B-17)
Подставляя это значение в формулу B.15), получаем
а (у,, а) = ¦
Зл
In к
B.18)
Как видно, с ростом я, а (я, а) возрастает и при я =
= е3"/" обращается в бесконечность. Разумеется, в дей-
действительности при я ~ езл/а формула B.18) непримени-
неприменима, поскольку функция р была вычислена в предположе-
предположении о малости эффективной константы связи.
Если все же попытаться экстраполировать формулу
B.18) в область больших а, то мы немедленно придем к
противоречию. В электродинамике инвариантный заряд
связан с фотонной функцией Грина соотношением
а (я, а) = ad (я, а), B.19)
где
1 ' - -^Ljd(k^a). B.20)
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СВОБОДА
245
Поэтому обращение знаменателя в выражении B.18) в
нуль означает существование у фотонной функции Грина
полюса. Нетрудно убедиться, что вычет в этом полюсе отри-
отрицателен. Соответствующее состояние имеет отрицатель-
отрицательную норму, что противоречит условию унитарности. Та-
Таким образом, в случае, когда р (#)> 0 при g ~ 0, теория
возмущений не может дать никакой надежной информации
об асимптотическом поведении функций Грина.
Иначе обстоит дело в теории Янга — Миллса. В этой
теории р (g) отрицательна в окрестности нуля и, следо-
следовательно, нуль является ультрафиолетово стабильной
точкой. Действительно, по определению,
B.21)
где в случае поля Янга — Миллса инвариантный заряд
равен
g) =
(x).
Поскольку я — -у- ,
д __ _
С другой стороны,
д
дЫХ i
д
д
дХ
д In X
B.22)
B.23)
a in я
д1йХ
д
|
?D-)и B-24>
... B.25)
Поэтому для определения р (g) мы можем воспользовать-
воспользоваться найденными ранее значениями zt. Получаем таким об-
образом
= --1ГD- B6)
Следовательно, квадрат инвариантного заряда при к
стремится к нулю:
22
Dя)«
•In:
B.27)
В глубоко евклидовой области взаимодействие «вы-
«вымирает» и теория ведет себя как свободная. Для случая
произвольной калибровочной группы и с учетом взаимо-
246 ГЛ V. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
действия с полями материи функция Р (g) дается формулой
B.28)
где
8аЪС
= tacdtbcd;
T (R) 8ab = tr {Га, Гь}, B.29)
где tacd — структурные константы группы, Г1 — генера-
генераторы представления, реализуемого полями материи. Если
число мультиплетов полей материи не слишком велико, то
и в этом случае теория асимптотически свободна.
Таким образом, если переносчиками сильных взаимо-
взаимодействий являются поля Янга — Миллса, то на малых
расстояниях мы действительно будем наблюдать квази-
квазисвободные частицы, что согласуется с результатами экспе-
экспериментов по глубоко неупругому рассеянию.
До сих пор мы рассматривали лишь асимптотическое
поведение инвариантного заряда. Исследуем теперь по-
поведение других функций Грина. В принципе это можно сде-
сделать с помощью уравнений B.9). Мы, однако, воспользуем-
воспользуемся альтернативным подходом, который позволит нам по-
познакомиться еще с одним ренорм-групповым уравнением.
Рассмотрим произвольную связную функцию Грина с п
концами. Условие ренорм-инвариантности для такой
функции (аналог уравнений B.9)) имеет вид
(n)
Хо, g) =
= «i«a "g.
(Мы по-прежнему работаем в глубоко евклидовой области
и поэтому опускаем массовые члены.) Здесь z2 — констан-
константа конечной перенормировки внешних линий, отвечающая
переходу от точки нормировки А,о к точке X. Поскольку
левая часть B.30) не зависит от X, мы можем приравнять
нулю производную по X от правой части этого уравнения.
Дифференцируя и полагая Хо =» X, получим
45 9G_
в д In z2
ШГ
*(п)
дк
dg
дХ
dl
Вводя функцию
:0. B.31)
B.32)
. . kl, X, g), B.30) i
I
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СВОБОДА
247
которая называется аномальной размерностью, и вспоми-
вспоминая, что
(=1
мы можем записать уравнение B.31) в виде
B.33)
(») (/<;i • • • kw К g) - 0. B.34)
Это уравнение, получившее название уравнения Калла-
на — Симанчика, удобно для исследования асимптотиче-
асимптотического поведения функций Грина при одновременном рас-
растяжении всех импульсов. Поскольку значение заряда g
является функцией точки вычитания X, мы можем в урав-
уравнении B.34) положить
и записать уравнение Каллана — Симанчика в виде
Чк+пЧ М] °п (К--- К, X, g) = 0. B.36)
Решение этого уравнения находится без труда:
Gn (fcx. . . кп, X,g) =
nfc ...кп, Хо, g0), B.37)
где g0 = g (Хо), а Хо — некоторая фиксированная точка
нормировки, которую мы выберем в виде X = %Х0. Сдела-
Сделаем масштабное преобразование импульсов kt —> xkt. Из
уравнения B.37) получим
Gn (и/с,.. . . %кп,
Gn (x^ . . . ккп, Яо, g0).
B.38)
Если функция Gn имеет размерность d, то при умноже-
умножении всех импульсов и точки нормировки на к она умножит-
умножится на (>c)d. Поэтому
GKn) (хЛх. . . ккп, яХ0, g) = (uf G fo . . . кп, Хо, g). B.39)
Подставляя это выражение в B.38), получим закон пре-
преобразования функции Грина при однородном растяжении
248 ГЛ V. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
всех импульсов
Как видно, закон преобразования функций Грина опреде-
определяется не наивными соображениями размерности, но
включает дополнительный фактор
п
е К %' . B.41)
Этот фактор возникает в результате того, что масштабное
преобразование затрагивает также положение точки нор-
нормировки. Отсюда и возникает дополнительная «аномаль-
«аномальная» размерность функций Грина. Этот фактор имеет,
в сущности, ту же природу, что и аксиальная аномалия.
Классическая симметрия нарушается процедурой пере-
перенормировки, которая вводит в теорию новый размерный
параметр. Если при А, —* оо g (Я) стремится к определен-
определенному пределу, равному g^,, а у (g) стремится к у (g^), то
с точностью до константы
B.42)
Я — > оо
Таким образом, масштабное преобразование функций
Грина описывается формулой
Gn (к/q . . . хкп, Ко, g0) = xd+nyc°Gn(kL ...кп, л0, g (и/\0)).
B.43)
Растяжение всех импульсов в и раз приводит к умно-
умножению на масштабный фактор, учитывающий аномаль-
аномальную размерность, и к замене константы связи g0 бегущей
константой g (хА,0).
В асимптотически свободных теориях масштабное по-
поведение функций Грина при х —> оо можно определить
точно. В этом случае степенные поправки отсутствуют, но
имеется логарифмическое отклонение от масштабного пре-
преобразования свободной теории.
Проведенный выше анализ показывает, что в асимпто-
асимптотически свободных теориях при больших евклидовых им-
§ 1 АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СВОЁОДА
249
пульсах бегущая константа g (x) мала и мы можем полу-
получать надежные количественные предсказания, пользуясь
теорией возмущений.
Наоборот, при х < 1 эффективная константа взаи-
взаимодействия возрастает. Конечно, в этом случае формула
B.27), полученная на основании теории возмущений,
уже неприменима. Тем не менее, если Р-функция не имеет
нулей при #> 0, то, как следует из уравнения B.15),
g (*,#)-> оо,и-> 0. B.44)
Подобное поведение инвариантного заряда означало бы,
что с увеличением расстояния взаимодействие неограни-
неограниченно возрастает и, следовательно, частицы не могут
разойтись на большие расстояния.
Описанная выше качественная картина реализуется
в общепринятой сейчас модели сильных взаимодействий,
получившей название квантовая хромодинамика. В этой
модели адроны считаются связанными состояниями квар-
кварков. Существует несколько типов кварков, отличающихся
квантовым числом — «запахом». Примерами «запахов»
являются странность, очарование. Каждый кварк в свою
очередь может существовать в трех разновидностях, отли-
отличающихся «цветом». Таким образом, кварки представляют-
представляются следующей матрицей:
d.
V
у'
V
V
B.45)
J
Здесь индексы г, у, Ъ обозначают «цвета» (red, yellow, blue),
а буквы w, d, s, с — различные «запахи». Взаимодействие
между кварками осуществляется за счет обмена цветными
полями Янга — Миллса, «глюонами». Калибровочная
группа SU3 действует в пространстве цветов. Поля Янга —
Миллса образуют цветной октет и нейтральны по отноше-
отношению к запахам. Лагранжиан сильных взаимодействий име-
имеет вид
? = 4" tr {^nvf nv) + q {iy» Id» - gT {Л»)\ - /л} q; B.46)
q = u, d, . . .
Цветовая б1 ^-симметрия предполагается точной.
250
ГЛ V. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Й ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Наблюдаемый спектр адронов порождается синглет-
ными по отношению к группе SUl (бесцветными) связан-
связанными состояниями кварков. В приближении, когда все
кварки имеют одинаковые (например, нулевые) массы, лаг-
лагранжиан B.46) инвариантен относительно преобразова-
преобразований группы SUf, действующей в пространстве запахов.
Поэтому спектр адронов можно классифицировать по
группе SUf. Однако из-за существенного различия в мас-
массах кварков SU -симметрия сильно нарушена и вырожде-
вырождение по массам внутри адронных мультиплетов отсутст-
отсутствует.
С точки зрения теории наиболее проблематичным в
этой схеме остается вопрос о том, почему кварки не на-
наблюдаются в свободном состоянии. Для объяснения этого
факта выдвигается гипотеза о «невылете» кварков. Со-
Согласно этой гипотезе благодаря специфическому характе-
характеру взаимодействия между кварками, проявляющемуся,
в частности, в явлении асимптотической свободы, цвет-
цветные объекты — кварки, глюоны — постоянно связаны в
бесцветные комплексы. Только эти бесцветные комплексы,
соответствующие реальным адронам, и наблюдаются экс-
экспериментально. В пользу этой гипотезы свидетельствует
рассмотрение ряда упрощенных моделей, а также расчеты
на компьютерах, однако ее строгое доказательство пока
отсутствует.
В настоящее время интенсивно развиваются и более
далеко идущие модели, объединяющие в рамках единой
калибровочной теории все виды взаимодействий. Эти мо-
модели основаны на предположении о том, что при сверх-
сверхвысоких энергиях, превышающих 1017 ГэВ бегущие кон-
константы всех взаимодействий становятся равными и объе-
объединяются в одну константу, а динамика всех взаимодей-
взаимодействий определяется теорией Янга — Миллса, отвечающей
единой калибровочной группе G (наиболее простой ва-
вариант «великого объединения» можно построить на осно-
основе группы SU E), однако, по-видимому, эта модель про-
противоречит имеющимся экспериментальным данным). При
энергиях, характерных для великого объединения, исче-
исчезает принципиальное различие между лептонами и барио-
нами и возможны процессы с несохранением барионного
числа, в частности распад протона. При более низких
энергиях в результате спонтанного нарушения симмет-
симметрии происходит сужение группы инвариантности до
SU C) X 5*7B) X U A), где SU C) представляет собой
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СВОБОДА
251
группу симметрии квантовой хромодинамики, a SU B) X
X U (I) — электрослабых взаимодействий. Наконец, при
энергиях порядка 100 ГэВ симметрия электрослабых взаи-
взаимодействий редуцируется к U A) — группе инвариант-
инвариантности электродинамики. Модели великого объединения
дают целый ряд интересных экспериментальных предска-
предсказаний, однако их подробное обсуждение выходит за рамки
этой книги. Отметим лишь, что последовательное прове-
проведение программы объединения требует также учета гра-
гравитационного взаимодействия, что естественным образом
приводит к рассмотрению суперсимметричных теорий,
обладающих фермион-бозонной симметрией. Наконец в
последнее время широкое распространение получила ги-
гипотеза о том, что квантово-полевые теории, такие как
хромодинамика и теория электрослабых взаимодействий,
являются лишь низкоэнергетическим пределом фунда-
фундаментальной теории, описывающей взаимодействие протя-
протяженных объектов — релятивистских струн.
Стоит отметить, что хотя модели релятивистских струн
уже не описываются теорией поля в обычном смысле этого
слова, тем не менее многие методы, описанные нами выше,
находят применение и в этой области. Это связано с тем,
что релятивистская струна представляет собой еще один
пример калибровочно инвариантной системы и ей прису-
присущи те же проблемы, которые возникают в теории поля
Янга — Миллса и которые мы подробно обсуждали в
этой книге.
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
Как уже отмечалось в предисловии, эта книга не является
учебником по квантовой теории поля. В настоящее время сущест-
существует много исчерпывающих руководств по квантовой теории поля,
среди которых в первую очередь назовем классическую монографию
Н. Н. Боголюбова и Д. В. Ширкова [1J. Тем не менее мы считаем,
что принятое нами изложение современной квантовой теории поля,
несмотря на сравнительно малый объем книги, является внутренне
замкнутым. Мы положили в основу описания квантовой динамики
метод континуального иптеграла.
Этот метод в применении к задачам кваптовой механики изла-
излагается в книге Р. Фейпмана и А. Хиббса [2], а его использованию
в теории систем с бесконечным числом степепей свободы посвяще-
посвящены монографии Л. Н. Васильева [3] и В. Н. Попова [4], Класси-
Классические геометрические аспекты калибровочных полей освещены в
монографии Н. П. Коноилевой и В. Н. Попова [5], а их квантова-
квантование и приложения к моделям элементарных частиц кратко описа-
описаны в книге Дж. Тейлора [6].
Насколько нам известно, предложенное нами в первом издании
изложение формализма квантовой теории поля в терминах конти-
континуального интеграла явилось первой попыткой в этом направлении.
После этого появились учебные монографии П. Района [7) иЖ. Б. Зю-
бера и К. Ициксона [8], в которых континуальный интеграл занима-
занимает значительное место. Исправления, внесенные нами во второе
издание, сделали ого, как мы надеемся, более самосогласованным
и позволят использовать эту книгу в качестве учебного пособия
по современной квантовой теории поля.
Глава I
Калибровочные поля были введены в физику в работе Ч. Н. Ян-
га и Р. Миллса [9] на примере полей, переносящих взаимодействие
изотопических спинов. Естественное обобщение на случай внут-
внутренних степеней свободы более общей природы обсуждается, напри-
например, в работах [10, 11, 12].
На специфику квантования неабелевых калибровочных полей
впервые обратил внимание Р. Фейнмап [13J. Его подход, основан-
основанный на восстановлении диаграмм с петлями по диаграммам типа
деревьев, был развит Де Виттом [14), сформулировавшим оконча-
окончательные правила квантования калибровочных полей и поля тяго-
тяготения в работе [15]. Независимый вывод правил теории возмущений
для этих теорий, основанный на функциональном интегрировании,
был получен Л. Д. Фаддеевым и В. Н. Поповым в работе [16]
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
253
(см. также [17]). Построению теории возмущений для калибровоч-
калибровочных полей посвящены также работы [18, 19, 20]. Высказанная в
лекциях Фейнмана |13] гипотеза о том, что теория возмущений для
калибровочных полей может быть получена как предел при т —» 0
теории массивных векторных полей, оказалось неверной [21, 22].
Первые реалистические модели объединенных взаимодействий, ос-
основанные на механизме Хиггса [23, 24, 25], были сформулированы
С. Вайнбергом [26] и А. Саламом [27].
В 1971 г. Г.'т Хоофт распространил процедуру квантования
полей Янга — Миллса на случай теорий со спонтанно нарушенной
симметрией [28]. В 1971 — 1972 гг. в серии работ А. А. Славнова
[29, 30], Дж. Тейлора [31], Б. Ли и Ж. Зин-Жюстена [32],
Г.'т Хоофта и М. Вельтмана [33] были развиты методы инвариантной
регуляризации и перенормировки для теории калибровочных по-
полей ( в том числе и для моделей со спонтанно нарушенной симметри-
симметрией), и тем самым было в основном завершено построение квантовой
теории калибровочных полей в рамках теории возмущений.
С точки зрения дифференциальной геометрии классическое
поле Янга — Миллса представляет собой связность в главном рас-
расслоенном пространстве, базой которого является многообразие
пространства-времени, а типичным слоем — группа внутренней сим-
симметрии. Понятие связности, обобщающей евклидову связность в
римановом пространстве, разрабатывалось начиная с 20-х годов
в работах многих геометров, в частности Г. Вейля и Э. Картана.
В современной формулировке оно появилось впервые в работе
Эресмана |34]. Отличное введение в теорию расслоенных прост-
пространств и связностей можно найти в книге А. Лихнеровича [35].
В 20-х годах в связи с успехами общей теории относительности
делалось много попыток геометризовать электромагнитное поле.
Правильный взгляд на это поло как на часть сиязности, входящую
и ковариантную производную комплексных полей, появился в ра-
работах Г. Вейля [36] и В. А. Фока [37) по формулировке уравнения
Дирака в гравитационном поле. Г. Вейль прямо говорит об электро-
электродинамике как об общей теории относительности в зарядовом про-
пространстве.
Классические решения уравнений движения, включающих ка-
калибровочные поля, являются предметом интенсивного исследования
и последние три года. Мы приведем ссылки на несколько главных
работ в этой области [38, 39, 40, 41], в которых исследовались
такие решения как для вакуумного, так и для солитонного секторов
Глава II
Континуальный интеграл для формулировки квантовой дина-,
мики впервые был введен в работах Фейнмана. Историю и основные
идеи можно найти в монографии [21, Фейнмановские диаграммы
в теории возмущений, введенные в работе [42), были обоснованы
при помощи континуального интеграла п работе [43]. Монографии
|3, 4, 7, 8] содержат более современный обзор приложений метода
континуального интеграла к квантовой физике. Изложение мето-
метода континуального интегрирования в данной книге следует лекциям
одного из авторов [44). Введение континуального интеграла в
кваптовой механике при помощи формулы подобной (П. 1. 12)
было дано в работе В. Тобокмана [45). Голоморфное представление
квантовой механики идет от работ В. А. Фока; под названием
254
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
когерентных состояний оно появилось в квантовой оптике. Его
математическую формулировку можно найти в монографии Ф. А. Бе-
Березина [46). Там же можно найти первое строгое изложение интег-
интегрирования по антикоммутирующим переменным.
Граничные условия в континуальном интеграле рассматрива-
рассматривались О. И. Завьяловым [47] и А. Н. Васильевым [3].
Функции Грина были введены в квантовую теорию поля
Ю. Швингером [48]. Ему же принадлежит идея сведения проб-
проблемы вычисления ^-матрицы к задаче об 5-матрице для рассеяния
на внешнем источнике [49].
Представление S-матрицы в виде континуального интеграла
с асимптотическими условиями при больших временах обсуждалось
Фейнманом в лекциях [13]. Замкнутая форма для 5-матрицы,
естественно приводящая к разложению по петлям, была дана в
работе [50] (см. также монографию А. Н. Васильева [3]).
Введение континуального интеграла через гауссов функцио-
функционал предложено в первом издании монографии [1], Изложение
аксиоматики континуального интеграла при помощи гауссова функ-
функционала в книге следует работе одного из авторов [51]. Сходный
подход был развит также в [52].
Глава III
Обобщенная гамильтонова динамика была впервые введена
П. Дираком [53] (см. также его лекции [54]). Гамильтонова форму-
формулировка калибровочных теорий в кулоновской калибровке иссле-
исследовалась 10. Швингером [55]. Общая формулировка континуаль-
континуального интеграла в обобщенной гамильтоновой форме была дана одним
из авторов [56].
Изложение квантования в гамильтоновой калибровке следует
работе [57].
Метод замены переменных в континуальном интеграле для пе-
перехода от одной калибровки к другой был предложен в работе [16].
Его геометрическая интерпретация в терминах различных пара-
параметризаций калибровочно-эквивалентных классов обсуждается в
работах [56, 58]. Обобщенные а-калибровки впервые аккуратно
были рассмотрены в работе [14] (см. также [19, 56].) Метод перехода
к обобщенной а-калибровке, излагаемый в книге, заимствован
из работы Г.'т Хоофта [28].
Глава IV
Теория перенормировок восходит к идеям, высказанным Р. Кра-
мерсом [59] и Г. Бете [60]. В ее развитии принимал участие целый
ряд авторов, включая Р. Фейнмана, Ю. Швингера, Ф. Дайсона,
А. Салама и др. Законченная математически строгая теория пере-
перенормировок (теория Д-операции) была впервые построена Н. Н. Бо-
Боголюбовым и О. С. Парасюком [61]. Прекрасное изложение Л-опе-
рации можно найти в монографиях [1, 62], где приведена также
подробная библиография по теории перенормировок.
Регулиризация с помощью высших ковариантных производ-
производных была впервые предложена в работе А. А. Славнова [63], а
затем применена к теории Янга — Миллса в работах [28, 30].
Дополнительная регуляризация однопетлевых диаграмм, описан-
описанная в § 4, была построена в работе [64],
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
255
Размерная регуляризация была предложена в работах
Г.'т Хоофта и М. Вельтмана [31], If. Коллинп и Г. Джимбьяд-
жи [65], Дж. Ашмора [66].
Калибровочные поля на решетке впервые были введены К. Виль-
Вильсоном [67]. Подробное изложение формализма калибровочных по-
полей на решетке и его приложения к численным расчетам можно най-
найти в монографии М. Крейца [68].
Тождества, связывающие двух- и трехточечные функции Гри-
Грина в квантовой электродинамике, были впервые получены Дж. Уор-
дом [69]. Обобщенные соотношения, связывающие любую функ-
функцию Грина с функцией, содержащей ка единицу меньшее число
внешних фотонных линий, были получены Е. С. Фрадкиным [70]
и И. Такахаши [71]. Электродинамические тождества Уорда не
обобщаются непосредственно на случай неабелевых калибровочных
полей. В неабелевой теории их роль играют так называемые обобщен-
обобщенные тождества Уорда, полученные впервые А. А. Славновым [29]
и Дж. Тейлором [31]. Их вывод, приведенный в книге, следует
работе [72]. Альтернативный вывод, основанный на использовании
инвариантности эффективного лагранжиана относительно некоторо-
некоторого преобразования с антикоммутирующими параметрами (супер-
(суперпреобразования) был предложен К. Бекки, А. Рюэ и Р. Стора [73].
В литературе используются также обобщенные тождества Уорда
для одночастично неприводимых функций Грина, полученные Б. Ли
174], см. также [52]. Структура перенормированного действия ис-
исследовалась в работах [29, 31, 32, 33, 75], результатом которых яви-
явилось доказательство калибровочной инвариантности и унитарности
перенормированной ?-матрицы. Другой подход к перенормировке
калибровочных теорий, основанный на использовании формализма
нормальных произведений Циммермана, был развит К. Бекки,
А. Рюэ и Р. Стора [73, 76].
Вопрос о зависимости констант перенормировки и функций
Грина от выбора калибровочного условия подробно обсуждался
в работе Р. Каллош и И. Тютина [77].
Ковариантное квантование, основанное на BRS-инвариантно-
сти, было предложено в работе [78]. Описание классификации пред-
представлений BRS-алгебры, приведенное в книге, следует работе [79].
Аномальные тождества Уорда были впервые изучены С. Ад-
Адлером [80] и Дж. Беллом и Р. Джакивом [81]. Их роль в проблеме
перенормируемости калибровочных теорий обсуждалась в работах
[82-85].
Условие самосогласованности для неабелевых аномалий полу-
получено Дж. Вессом и Б. Зумино [86]. Явное выражение для неабеле-
неабелевой аномалии, приведенное в книге, взято из работы В. Бардина
[87]. Топологический подход к классификации и вычислению ано-
аномалий предложен в работах Б. Зумино [88], Р. Стора [89], см. так-
также [90]. Проявление аномалий в гамильтоновой калибровке Ао = 0,
изменяющее коммутационпые соотношения для закона Гаусса
(III. 2. 7), обсуждается в [91].
Классификация аномальных взаимодействий, приведенная в
книге, следует работе Г. Джорджи и Ш. Глешоу [85].
Глава V
Объединенная модель слабых и электромагнитных взаимодей-
взаимодействий была построена С. Вайнбвргом [26], А. Саламом [27] и Ш. Гле-
Глешоу [92].
256
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
Механизм подавления меняющих странность нейтральных то-
токов за счет введения нового «очарованного» кварка был предложен
Ш. Глешоу, Дж. Иллиопулосом и Л Майани [93].
Гипотеза о существовании дополнительной степени свободы у
кварков, получившей впоследствии название «цвета», была выдви-
выдвинута в работах Н. Н. Боголюбова, Б. В. Струминского и А.Н. Тав-
хелидзе [94], М. Хана и И. Намбу [95] для объяснения статистики
адронов. В работах А. Салама и И. Пати [96], М. Гелл-Мана,
Р. Фрича и Г. Лейтвиллера [97], С. Вайнберга [98], было высказа-
высказано предположение, что сильные взаимодействия осуществляются
за счет обмена янг-миллсовскими мезонами, взаимодействующими
с цветовыми степенями свободы. Соответствующая модель получила
название квантовой хромодинамики.
Читателя, интересующегося приложениями калибровочных по-
полей к феноменологии элементарных частиц, включая вопросы, свя-
связанные с великим объединением, мы отсылаем к монографиям
Л. Б. Окуня [111], К. Хуанга [112], и И. Намбу [ИЗ].
Групповой характер преобразований перенормировки был впер-
впервые отмечен В. Штюкельбергом и А. Петерманом [99]. Группа
мультипликативных перенормировок в квантовой электродинамике
была фактически использована М. Гелл-Манном и Ф. Лоу [100]
для исследования ультрафиолетовых асимптотик функций Грина.
Общая теория ренормгруппы была построена в работах Н. Н. Бо-
Боголюбова и Д. В. Ширкова [101, 102]. Подробное изложение этой
теории можно найти в монографии [1]. Дифференциальные уравне-
уравнения ренормгруппы исследовались Л. В. Овсянниковым [103]. Ана-
Аналогичные уравнения в рамках квантовой теории поля были получе-
получены К. Калланом [104] и К. Симанчиком [105]. Асимптотическая
свобода полей Янга — Миллса была обнаружена Г 'т Хоофтом [106],
Д.Гроссом и Ф. Вилчеком [107], У. Политцером [108]. Гипотеза
о невылете кварков обсуждалась в работах [97, 98, 109, 110].
Дополнение при корректуре
АНОМАЛЬНЫЙ КОММУТАТОР ЗАКОНА ГАУССА
В § И главы IV мы упомянули о возможном изменении
схемы квантования калибровочных полей в моделях, со-
содержащих аномалии. Здесь мы объясним эту точку зрения
более подробно.
Рассмотрим в качестве примера модель, описывающую
взаимодействие киральных фермионов, реализующих пред-
представление неабелевой группы Q, с полем Янга — Мил-
Миллса. Действие в такой модели дается выражением
S = SYU + J dxiR (х) Y|1 [д№ - Г {Л»)\ R (х), (Д. 1)
где SYm обозначает действие поля Янга — Миллса в пус-
пустоте,
Д = 1-A-Г5I>- (Д-2)
Г {А») обозначает, как обычно, представление матри-
матрицы Л»,, соответствующее данному представлению группы
Й. В дальнейшем мы положим для краткости
Г(Л»)=А%ХатА», (Д.З)
где
tr (la
)= - 1 ба6.
(Д.4)
В гамильтоновой калибровке Ао = 0 связь — закон
Гаусса — имеет вид
Са (х) = дА - t'lb°AlFc0K + mkay0R (Д.5)
(сравните (III. 4.6)).
В классической теории связи Са удовлетворяют пере-
перестановочным соотношениям
{Са (х), Сь {у)) = tab°& (х - у) Сс (х). (Д.6)
Как мы видели в главе III, эти соотношения позволяют
интерпретировать условие Са (ас) == 0 как связь первого
258
ДОПОЛНЕНИЕ ПРИ КОРРЕКТУРЕ
класса, которая в квантовой теории переходит в условие
на допустимые векторы состояния
Са (х) W = О,
(Д-7)
где W — допустимый физический вектор. Ниже мы пока-
покажем, что при наличии аномалий это условие может нару-
нарушаться и определение физических состояний нуждается
в специальном обсуждении. Чтобы продемонстрировать
зто, рассмотрим производящий функционал
Z (А) = J exp {iS (А, ^ ф)} П
x), (Д.8)
в котором поля Янга — Миллса считаются внешними. Дей-
Действуя точно так же, как мы поступали в главе IV, нетруд-
нетрудно получить для этого функционала аномальное тождество
Уорда, которое можно записать в виде
(Д.9)
где G (х) — аномалия,
Ga(x) = ^
а - 1 AVAXAO)]. (Д.Ю)
Заметим, что конкретный вид аномалии может зависеть
от используемой регуляризации: различные регуляриза-
регуляризации могут приводить к результатам, отличающимся на про-
производные от локальных контрчленов. Мы пользуемся вы-
выражением, наиболее часто встречающимся в литературе.
На языке континуального интеграла аномалию можно
интерпретировать следующим образом. Как видно из фор-
формулы (Д.9), аномалия представляет собой вариацию функ-
функционала In Z при бесконечно малом калибровочном пре-
преобразовании полей Ар. С другой стороны, из интеграль-
интегрального представления (Д.8) для Z (А) видно, что если од-
одновременно с калибровочным преобразованием полей Ау,
сделать компенсирующую замену переменных
со = еи
(Д.И)
то вариация Z (А) может быть представлена в виде
(Д-12)
АНОМАЛЬНЫЙ КОММУТАТОР ЗАКОНА ГАУССА 259
где / = 1 + б/ — якобиан преобразования (Д.И). От-
Отсюда следует, что
б In Z (А) = In/. (Д.13)
Сравнивая это выражение с определением аномалии (Д.9),
получаем
Из этой формулы видно, что аномалия представляет со-
собой вариацию меры интегрирования [[ dty dty при бес-
X
конечно малом калибровочном преобразовании полей 1J5.
Формально эта мера инвариантна относительно преобразо-
преобразований (Д.И). Однако, как мы знаем, для того чтобы при-
придать интегралу (Д.8) строгий смысл, необходимо ввести
регуляризацию (например, по Паули — Вилларсу). Удоб-
Удобно считать, что все регуляризующие факторы отнесены к ме-
мере интегрирования. При таком соглашении мера становится
зависящей от полей А,,, и ее вариация связана с анома-
аномалией формулой (Д. 14).
Для конечных преобразований соответствующая фор-
формула имеет вид
П
П
(Д-15)
Функция a (A, о)) определяется из дифференциального
уравнения
, со) = G{A°>),
(Д-16)
которое можно явно проинтегрировать. В дальнейшем нам
понадобится выражение для фазы a (x) с точностью до чле-
членов второго порядка по и. Это выражение имеет вид
а==
X
д„и — у [daii, u]j — у
-\- О (и3). (Д.17)
Перейдем теперь к вычислению коммутатора связей. В
операторном формализме матричный элемент коммутато-
коммутатора двух полевых операторов А (х)жВ (х) можно выразить
через матричный элемент хронологического произведения
260 ДОПОЛНЕНИЕ ПРИ КОРРЕКТУРЕ
тех же операторов с помощью формулы
lim q0 J dt'e^-C-*) <<х | ТА (х, Г) В (у, *) | Р> =
= i<a\[A(x,t),B(y,t)]\fof (Д. 18)
которая носит название формулы Джонсона — Бьерке-
на — Лоу. В формализме континуального интеграла со-
соответствующая формула имеет вид
<а | [А (х, х0), В (у, х0)] | Р> = — i lim g, ^ ечМ,-**) х
X J exp {iS} А (х) В (у) П dip
(out)
(out) (Д. 19)
где асимптотические поля А пп ,, г|)лп * соответствуют со-
Vout/ lout/
стояниям а, р.
Чтобы получить выражение для коммутатора связей,
достаточно написать тождество Уорда для хронологичес-
хронологического произведения связей. Напомним, что связь Са(х)
является коэффициентом при Ао в действии (Д-1), за-
записанном в формализме первого порядка (см. §4 гл. III).
Поэтому для наших целей естественно воспользоваться
приемом, которым мы уже неоднократно пользовались в
главе IV.
Сделаем калибровочную замену переменных
г|з—>г|)и, г|)— >"tya, А^,—> А^, Е —*¦ Еа (Д-20)
в производящем функционале для iS-матрицы в гамиль-
тоновой калибровке
Zs =
(А0)х
loutj
lout;
X
В результате такого преобразования интеграл (Д. 21) при-
примет вид
loutj
X Ca (x) dx + ia (А, и) |Др=аоИ_1ш} П
lout.)
dE d^d^. (Д.22)
АНОМАЛЬНЫЙ КОММУТАТОР ЗАКОНА ГАУССА
261
При написании этого выражения мы явно воспользова-
воспользовались формулой (Д.15) преобразования функциональной
меры.
Для получения интересующих нас тождеств Уорда мы
приравняем нулю члены второго порядка по и в формуле
(Д.22). По построению интеграл (Д.22) не зависит от и,
поэтому должны независимо обращаться в нуль члены лю-
любого порядка по и. Подставляя в выражение (Д.17) для
а (А, и>) Ао = с^оГ1© и выписывая явно члены второго
порядка по и, мы получим соотношение
- i J dx dy (ТСа (х) Сь (у)> доип (х) доиь (у) -
(Д.23)
- i- J dx tlbcua (х) доиь (х) <СС {х)У =
dx гШ tr [дЛ (д*ид°и + доидки)] + .
где многоточие обозначает слагаемые, не содержащие про-
производных по времени от и, которые несущественны в пре-
пределе Бьеркена — Джонсона — Лоу. Функции Са опре-
определяются формулой
Г - С - ^ г'}к tr [ka (Aid}A1:+ djAbAi- AtAjAk)]. (Д.24)
При получении этой формулы была сделана замена пере-
переменных
Соотношение (Д-23) представляет собой тождество
вида
[Каь (х, у) и- (х) и* (у) dx dy = 0, (Д.26)
где КаЬ (х, у) — ядро, симметричное относительно пере-
перестановки (х, а <-» у, Ь). Фурье-образ первого слагаемого
отличается от интересующего нас матричного элемента
хронологического произведения связей множителем poq0.
Поэтому для получения одновременного коммутатора свя-
связей необходимо, в соответствии с формулой (Д.18), подей-
подействовать на КаЬ(х, у) оператором
(Д.27)
262
ДОПОЛНЕНИЕ ПРИ КОРРЕКТУРЕ
АНОМАЛЬНЫЙ КОММУТАТОР ЗАКОНА ГАУССА
263
Применение этого оператора ко второму и третьему чле-
членам КаЬ снимает в них производные по времени. Это сле-
следует из тривиального равенства
Ро —go
9о
Ра
Члены, не содержащие производных по времени, в этом
пределе не дают вклада. В результате получаем соотно-
соотношение
[Са (х), Съ (у)] = itabcCc (у) 8 (х - у) -
*tr id*Ai &"> "
;* ~ у)-
Если вернуться от операторов Са к исходным связям Са,
то для закона Гаусса получаем аномальный коммутатор
[С (х), Сь (у)] = itabcCc (у) 8(х-у)-
(Д.29)
— d}Ai'kaAlctf> 4-
Формула (Д.29) показывает, что в аномальной модели свя-
связи или по крайней мере некоторые из них являются свя-
связями второго класса, т. е. их коммутатор не исчезает на
поверхности связей. Это означает, что условие (Д.7), вы-
выделяющее физические векторы состояния, является в
этом случае несамосогласованным. Поэтому для теорий,
содержащих аномалии, схема квантования, описанная в
главе III, должна быть пересмотрена. Указанная несамо-
согласованность является еще одним проявлением отмечав-
отмечавшегося в § 11 главы IV противоречия, возникающего в ано-
аномальных моделях при попытке ограничить физический
спектр поперечными состояниями. Это можно рассматри-
рассматривать как указание на то, что аномальные модели описы-
описывают взаимодействие большего числа степеней свободы,
чем соответствующие классические теории. Существуют
аргументы в пользу того, что при правильном выборе про-
пространства асимптотических состояний и корректном учете
некоммутативности связей можно построить непротиворе-
непротиворечивую схему квантования для теорий, содержащих ано-
аномалии. Однако ввиду того, что этот вопрос пока не вполне
j мы не будем здесь обсуждать его более подробно и от-
отсылаем заинтересованного читателя к журнальной лите-
литературе. Отметим лишь, что проведение подобной прог-
программы требует использования методов, не связанных с
разложением по константе связи.
Литературные указания
Данное изложение в основном следует работам [114, 115].
Интерпретация аномалии как изменения меры интегрирования в
континтальном интеграле впервые была предложена Фуджикавой
[116, 117]. Вычисление одновременного коммутатора с помощью
процедуры Бьеркена—Джонсона — Лоу хорошо описано в книге
[118]. Впервые возможность появления аномального коммутатора
обсуждалась в работе [119]. Аномальный коммутатор в форме
(Д.29) выведен в работах [120, 121] путем суммирования диа-
диаграмм теории возмущений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Б о г о л ю б о в Н. Н., Ш и р к о в Д. В. Введение в теорию
квантованных полей.—М. : Наука, 1984.
2. ф е й и м а н Р., X и б б с А. Квантовая механика и ин-
интегралы по путям.— М. : Мир, 1968.
3. Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой
теории поля и статистике.— Л. : Изд-во ЛГУ, 1976.
4. Попов В. Н. Континуальные интегралы в квантовой тео-
теории поля и статистической физике.— М. : Атомиздат, 1976.
5. К о н о п л е в а Н. П., П о п о в В. Н. Калибровочные
поля.— М. : Атомиздат, 1980.
6. Тейлор Дж. Калибровочные теории слабых взаимодей-
взаимодействий.— М.: Мир, 1978.
7. Р а м о н П. Современный вводный курс— М. : Мир, 1985.
8. Ициксон К., Зюбер Ж. Б. Кваптовая теория поля —
М. : Мир, 1984.
9. Yang С. N., M i 1 1 s R. L. // Phys. Rev. 1954 V 96 Р 191
10. Utiyama R.//Phys. Rev. 1956. V. 101. P. 1597.
11. S a 1 a m A., Ward J. C.// Nuovo Cimento. 1959. V. XI. P 568.
12. Glashow S. L., Gell-Mann M.//Ann. of Phys. 1961
V. 15. P. 437.
13. F e у n m a n R. // Acta Phys. Polonica. 1963. V 24 P 697
14. D e Witt B.//Phys. Rev. Lett. 1964. V. 12 P 742
15. D e Witt B.I/ Phys. Rev. 1967. V. 160. P 1113, 1195
16. F a d d e e v L. D., P о р о v V. N. // Phys. Lett. 1967. V. B25.
P. oO.
17. П о п о в В. Н., Фаддеев Л. Д. Теория возмущения для
калибровочно инвариантных полей.— Препринт ИТФ АН
УССР. Киев, 1967.
18. Mandelstam S. // Phys. Rev. 1968. V 175. Р 1580
19. F г a d k i n E. S., Т у u t i n I. V. // Phys. Lett. 1969 V B30
P. 562. Phys. Rev. 1970. V. D2. P. 2841.
20. В а й н ш т е йн А. И., X p и п л о в и ч И. Б. // Ядерная фи-
физика. 1971. Т. 13. С. 198.
21. В о и 1 w а г е D. // Ann. of Phys. 1970. V. 56 P. 140
22. С л а в н о в А. А., Ф а д д е е в Л. Д. // ТМФ 1970 Т 3
С. 18. ....
23. Higgs P. W.//Phys. Lett. 1964 V. 12 Р 132
24. Е n g 1 е г t F., Brout R. // Phys. Rev. Lett. 1964 V 13
P 321
25. Kibble T. W. B.//Phys. Rev. 1967. V. 155. P. 1554.
26. W e i n b e г g S. // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. P 1.264.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
265
27. S a 1 a m A. Elementary Particle Theory, ed. by N. Svart-
holm.— Stocholm. Almquist Forlag AB, 1968.
28. ' t H о о f t G. // Nucl. Phys. 1971. V. B35. P. 167.
29. С л а в н о в А. А. // ТМФ. 1972. Т. 10. С. 99.
30. С л а в н о в А. А. // ТМФ. 1972. Т. 13. С. 174.
31. Taylor J. С. // Nucl. Phys. 1971. V. ВЗЗ. Р. 436.
32. L е е В. W., Zinn— Justin J.//Phys. Rev. 1972.
V. D5. P. 3137.
33. ' t H о о f t G., Veltman U.I I Nucl. Phys. 1972. V. B44.
P. 189., V. B50. P. 318.
34. E hresma n n.//Coll. top. Bruxelles. 1950. P. 29.
35. Лихперович А. Теория связностей в целом и группы
голономий.— М. : ИЛ, 1960.
36. W e i 1 Н. // ZS. f. Phys. 1929. V. 56. P. 330.
37. F о с k V. // Journ. de Physique. 1929. V. 10. P. 392.
38. П о л як о в А. М. // Письма ЖЭТФ. 1974. Т. 20. С. 430.
39. ' t Н о о f t G. // Nucl. Phys. 1974. V. B79. P. 2761.
40. F a d d e e v L. D. Preprint MPI — RAE/Pth Munchen, 1974.
41. В e 1 a v i n A. A., P о 1 у a k о v A. M., T у u p k i n Yu. A.,
S h w a r z A. S. // Phys. Lett. 1975. V. B59. P. 85.
42 Feynman R. P.//Rev. Mod. Phys. 1948. V. 20. P. 367.
43. F e у n m a n R. P. // Phys. Rev. 1950. V. 80. P. 44.
44. F a d d e e v L. D. Les Hauches Lecture. Session XX. ed.
North Holland, 1976.
45. T о b о с m a n W. // Nuovo Cimento. 1956. V. 3. P. 1213.
46. Березин Ф.А. Метод вторичного кваптования.— М. :
Наука, 1986.
47. Завьялов О. И. Диссертация МИАН. М. :, 1970.
48. S h w i n g e r Z.I/ Phys. Rev. 1949. V. 75. P. 651.
49. S h w i n g e г J. // Proc. Nat. Acad. Sci. 1961. V. 37. P. 52.
50. Арефьева И. А., С л а в н о в А. А., Ф а д д е е в Л. Д.
//ТМФ. 1974. Т. 21. С. 311.
51. С л авнов А. А.//ТМФ. 1975. Т. 22. С. 177.
52. Zinn — Justin J. Lecture Notes in Physics. V. 37.
Berlin: Springer Verlag, 1974.
53 D i г а с P. A. M. // Can. J. Math. 1950. V. 2. P. 129.; Proc.
Roy. Sci. 1958. V. A246. P. 326.
54. Дирак П. А. М. Лекции по квантовой механике.— М. :
Мир, 1968.
55. S с h w i n g e r J. // Phys. Rev. 1962. V. 125. P. 1043. V. 127.
P. 324.
56. Ф а д д е е в Л. Д. // ТМФ. 1969. Т. I. С. 3.
57 С л а в н о в А. А., Ф р о л о в С. А. // ТМФ. 1986. Т. 68.
С. 360.
58. Попов В. Н., Фаддеев Л. Д. // УФН. 1973. Т. III.
С. 427.
59. Kramers H. A. Rapports du 8е Conseil Solvay, Bruxells.
1950.
60. В e t h e H. A. // Phys. Rev. 1947. V. 72. P. 339.
61 Боголюбов Н. Н., П а р а с ю к О. С. // ДАН СССР,
1955. Т. 100. С. 25.; С. 429. Acta Math. 1957. V. 37. P. 339.
62. Завьялов О.И. Перенормированные диаграммы Фейн-
мана.— М.: Наука, 1979.
63 Slavnov A. A.//Nucl. Phys. 1971. V. В31. P. 301.
64. С л а в н о в А. А. // ТМФ. 1977. Т. 33. С. 210.
266
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
[98.
! 99.
100.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
BolliniC. G. Giambiadgi J. Т.//Phys. Lett.
1972. V. B40. P. 566.
Ashmore J.F. // Nuovo Cimento Lett. 1972. V. 4. P. 289.
Wilson K. // Phys. Rev. 1974. V. D14. P. 2445.
С г е u t z M. Quarks, Gluons and Lattices.— Cambridge:
Cambridge University Press, 1985.
Ward J. С //Phys. Rev. 1950. V. 77. P. 2931.
Ф р а дкин Е. С. // ЖЭТФ. 1955. Т. 29. С. 288.
Takahashi Y. // Nuovo Cimento. 1957. V. 6. P. 370.
S 1 a v n о v A. A. // Nucl. Phys. 1975. V. B97. P. 155.
В е с с h i C, Rouet A., S t о г a R. // Com. Math. Phys.
1975. V. 42. P. 127.
Lee B. W.//Phys. Lett. 1974. V. B46. P. 214. Phys. Rev
1974. V. D9. P933.
Славнов А. А.//ЭЧАЯ. 1974. T. 5. С 755.
BecchiC, Rouet A., S t о г a R. Renormalization
Theory. Ed. G. Velo, A. A. S. Wightman.— D. Reidel Publ.
Co., 1976. Ann. of Phys. 1976. V. 98. P. 287.
Каллош Р. Э., Тютин И. В.//ЯФ. 1973. Т. 17
С. 190.
К u g о Т., Ojima I. II Suppl. Progr. Theor. Phys. 1979.
N 66.
N i shi j i ma К.//Nucl. Phys. 1984. V. B238. P. 601.
A d 1 er S.// Phys. Rev. 1969. V. 117. P. 2426.
BellS., J а с k i w R. // Nuovo Cim. 1969. V. 60A. P. 47.
Славнов А. А./ ТМФ. 1971. T. 7. С 13.
G г о s s D. J., J а с k i w R. // Phys. Rev. 1972. V. D6. P. 477.
Bouchiat C, Illiopoulos J., Meyer P.//
//Phys. Lett. 1972. V. B38. P519.
Georgi H. , GlashowS. L. // Phys. Rev. 1972. V. D6.
P. 429.
Wess J., Zumino B. // Phys. Lett. 1971. V. B37. P. 95.
В a r d e e n W. A. // Phus. Rev. 1969. V. 184. P. 1848.
Z u m i n о В. In: Relativity, Groups and Topology,— Am-
Amsterdam: North — Holland, 1983. P. 86.
S t о га R. Ibidem. P. 34.
РейманА. Г., Семенов-ТяньшанскийМ. А.,
Фаддеев Л. Д. // Функциональный анализ. 1984. Т. 18.
С. 64.
Faddeev L. D. // Phys. Lett. 1984. V. В145. P. 81.
G 1 a s h о w S. L. // Nucl. Phys. 1961. V. 22. P. 579.
GlashowS. L., Illiopoulos J., MaianiL. //
V. D2. P. 185.
H., СтруминскийБ.В., T а в -
Препринт Д — 1968. ОИЯИ, 1965.
a m Ь u Y., // Phys. Rev. 1965. V. 139.
//Phys. Rev. 1970.
Боголюбов Н.
хелидзе А. Н.
Н a n n M. Y., N
Р. 1006.
Р a t i J., S a 1 a m A. // Phys. Rev. 1973. V. D8. P. 1240.
FritzschH., Gell-MannM., Leutwyller H.
// Phys. Lett. 1973. V. B47. P. 365.
WeinbergS. // Phys. Rev. Lett. 1973. V. 31. P. 494.
Stueckelberg E. С G., Peterman A./ Helv.
Phys. Acta. 1953. V. 26. P. 499.
G ell-Mann M. , L о w F. // Phys. Rev. 1954. V. 95,
P. 1300.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
267
101. Б о г о л ю б о в Н. Н., Ш и р к о в Д. В. II ДАН СССР.
1955. Т. 103. С. 203, 391.
102. В о g о 1 i u b о v N. N., S h i r k о v D. V. // Nuovo Cim.
1956. V. 3. P. 845.
103. Овсянников Л. В.// ДАН СССР. 1956. Т. 109. С. 112.
104. С а 1 1 а п С. // Phys. Rev. 1970. V. D2. P. 1542.
105. S у m a n z i к Н. // Comm. Math. Phys. 1970. V. 18. P. 227.
106. 't Hooft G. Report at the Conference on Lagrangian field
theories. — Marseille, 1972.
107. Gross D., Wilczek F.//Phys. Rev. 1973. V. D8.
P. 3633.
108. P о 1 i t z e r U. O. // Phys. Rep. 1974. V. 14C. P. 129.
109. P о 1 у а к о v A. M. // Phys. Lett. 1975. V. B59. P. 82.
110. Wilson K. Erice Lectures. CNLS-321, 1975.
111. Окунь Л. Б. Лептоны и кварки. М.: Наука, 1980.
112. X у а н г К. Кварки, лептоны и калибровочные поля.— М.:
Мир, 1985.
ИЗ. Намбу И. Кварки.—М.: Мир, 1985.
Дополнительная литература
114. FaddeevL. D., S h a t a s h v i 1 i S. L. // Phys. Lett.
1986. V.167B. P. 225.
115. Алексеев Ю. А., Мадайчик Я., Фаддеев Л. Д.,
Шаташвили С. Л. Препринт Р-7-87, ЛОМИ, 1987.
116. Fu j ika wa K. //Phys. Rev. 1980. V. D21. P. 2848.
117. Fujikawa K.//Phys. Lett. 1986. V. 171B. P. 424.
118. TreimanS., JackiwR., WittenE. Current Al-
Algebra and Anomalies,— Singarore: World Scientific, 1985.
119. Faddeev L. D. // Phys. Lett. 1984. V. 145B. P. 82.
120. J о S.-G. // Phys. Lett. 1985. V. 163B. P. 353.
121. Kobayashi M., SeoK., Sugamoto A. // Nucl.
Phys. 1986. V. B273. P. 607. . • ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
(х, у) — точки пространства Минковского, (х,
0> (У 1 s) [или (х, хо), (у, г/о)] — их пространственные
и временные компоненты соответственно.
Метрический тензор gw имеет вид
diag(l, -1,-1, _ 1).
Все векторы считаются ковариантными; аЪ =
= я„6 = а0Ьй — (а, Ь) — скалярное произведение
четырехмерных векторов а, Ь с компонентами а , b ¦
компоненты четырехмерных векторов нумеруются гре-
греческими буквами, а трехмерных — латинскими.
Постоянные h и с, если это не оговорено особо,
считаются равными единице.
Андрей Алексеевич Славное
Людвиг Дмитриевич Фаддеев
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ
КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОПЕЙ
Редакторы О. If. Завьялов, В. В. Абгарян, А. П. Баева
Художественный редактор Т. Н. Колъченко
Технический редактор С. Я. Шкляр
Корректор М. Л. Медведская
ИБ № 12567
Сдано в на'ор 14.04.87. Подписано к печати 26.10.87.
Формат 84xl08V«. Бумага тип № 1. Гарнитура оСыкновенная
новая. Печать высокая. Усл. пэч. л. 14,28.
Усл. кр.-отг. 14,28. Уч.-изд. л. 15,21. Тираж 5800 экз. Зак. 436.
Цена 2 р. 40 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука»,
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6
Andrei Slavnov and Ludwig Paddeev
INTRODUCTION TO QUANTUM THEORY
OF GAUGE FIELDS
2nd enl. and rev. ed.
Moscow, Nauka, Main Editorial Board for Physical
and Mathematical Literature, 1988.
Readership: Mathematicians, physicists, college teachers and stu-
students.
Merits: This is an indispensable aid for researchers actively
working in the field of theoretical physics due to its
high scientific standard and amount of information. The
second edition (the first was published in 1978 and
translated into English by Benjamins) incorporates
data reflecting progress in the field; in particular, it
includes a section dealing with gauge theories on the
lattice, which attract attention of a wide range of spe-
specialists and are used in computations. Special section
is concerned with covariant quantization methods.
More detailed description is provided of the methods
to construct «S-matrices, and the problem of quantum
anomalies.
Summary: Considers the most important aspects of gauge field
quantum theory: quantization problem, invariant
procedure of renormalization, application to elementary
particle physics. Outlines quantum field theory in
the framework of path integral method. Describes ge-
general method to quantize nonholonomic systems, and
on its base the scheme to quantize the Yang-Mills field
is constructed. Considers in detail invariant regularization
methods, the generalized Ward identities, anomaly
problem in quantum theory. Studies unified models
of weak and electromagnetic ineractions from the vi-
viewpoint of gauge-invariant field theory, explains
the phenomenon of asymptotic freedom.
Contents: Quantum Theory in Terms of Path Integral. The Yang-
Mills Field Quantization. Interaction with Matter Fields.
Renomalization of gauge theories. Applications to
particle physics.
The authors: Professor Andrei Slavnov is a leading researcher of
the Mathematical Institute of the USSR Academy
of Sciences. Ludwig Faddeev is Deputy Director of
the Mathematical Institute of the USSR Academy of
Sciences (Leningrad branch), the USSR State Prize
winner, President of the International Mathematical
Union, holder of the international Heinemann prize.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
ГОТОВИТСЯ К ПЕЧАТИ В 1988 Г.:
Маслов В. П. Асимптотические методы и тео-
теория возмущений.— 20 л.
(Темплан 1988 г., № 31)
Содержит изложение основных результатов ис-
исследований автора по амсимптотическим методам ре-
решения широкого круга задач физики, механики, ин-
информатики. Теория возмущений рассматривается само-
самостоятельно и как инструмент, применяемый для уточ-
уточнения и обоснования асимптотических формул. При-
Примеры, которыми богата книга, позволяют читателю
оценить большие возможности асимптотических ме-
методов, которые кроются в их глубокой связи с ха-
характерными особенностями, спецификой решаемой
задачи.
За разработки этой тематики автор удостоен Ле-
Ленинской премии 1986 г.
Для специалистов в области математики, физики,
механики.
Предварительные заказы на данную книгу при-
принимаются без ограничения всеми магазинами Книго-
Книготорга и Академкниги, распространяющими физико-ма-
физико-математическую литературу.