/
Author: Жуленев С.В.
Tags: математическая кибернетика экономика отдельных стран экономика мирового океана математика финансы математическая экономика банковское дело
ISBN: 5-211-04312-X
Year: 2001
Text
С.В.Жуленев
Финансовая математика
Введение в классическую теорию
©
Издательство
Московского университета
С.В.Жуленев
Финансовая математика
Введение в классическую теорию
сл
Издательство
Московского университета
2001
УДК 519.7
ББК 65.9(2)23; 22.18
Ж 87
Рецензент
доктор экономических наук, профессор Ю.Н. Черемных
Жуленев С.В.
Ж 87 Финансовая математика: введение в классическую теорию. -
М.: Изд-во МГУ, 2001. - 480 с.
ISBN 5-211-04312-Х
Книга представляет собой введение в финансовую математику в условиях
определенности, т.е. без учета случайных факторов. И преследует она две цели:
восполнить пробелы школьного образования в финансовой области, которое не
дает пока молодым людям представления о ставках, рентах и фундаментальных
принципах финансовой математики, а также вооружить читателя сведениями,
которые позволят ему понимать математическую суть большинства финансо-
вых теорий и моделей.
Первая половина книги вполне доступна школьникам, а вторая - студентам
университетов и вузов с повышенной математической подготовкой. Вся книга
рассчитана также на банковских работников, профессиональных участников
рынка ценных бумаг, слушателей бизнес-школ.
УДК 519.7
ББК 65.9(2)23; 22.18
ISBN 5-211-04312-Х
© С.В. Жуленев, 2001
© Издательство
Московского университета, 2001
Оглавление
Предисловие ix
Введение xi
Глава I. Простые проценты 1
1. Начисление простых процентов......................... 2
1.1. Понятие процента............................... 2
1.2. Простые проценты............................... 3
1.3. Расчет процентов на практике................... 4
1.4. Приведенное и накопленное значения ............ 7
2. Учет векселей ....................................... 9
2.1. Вексель - долговое обязательство............... 9
2.2. О причинах востребованности векселя........... 11
2.3. Дисконтирование, или учет векселя ............ 12
2.4. Эквивалентность, переучет и пролонгация векселей . 14
2.5. Историческая справка и вексельное право....... 16
3. Коммерческий расчетный счет......................... 18
3.1. Определение. Сопутствующие понятия ........... 18
3.2. Методы начисления процентов................... 19
3.3. Расчетный, или текущий счет....................23
4. Ломбардный кредит....................................24
5. Форфейтная операция ................................27
5.1. Суть операции и ее участники ..................27
5.2. Анализ позиции продавца........................28
5.3. Анализ позиции покупателя и банка..............31
6. Упражнения...............*...........................33
Глава II. Ставки 35
1. Сложные проценты.....................................36
1.1. Формула сложных процентов......................36
1.2. Парадоксы и некоторые нюансы капитализации ... 39
2. Пять типов эквивалентных ставок......................41
2.1. Две основные ставки............................41
2.2. Периодические ставки...........................43
2.3. Ставка непрерывного начисления процентов......48
2.4. Некоторые общие замечания .....................53
iv
3. О проблемах начисления процентов ....................56
3.1. Практические примеры из жизни..................56
3.2. Ставки из реальной жизни.......................58
3.3. Некоторые нюансы проблемы начисления процентов 60
4. Упражнения ..........................................63
Глава III. Стоимость простейших потоков платежей 65
1. Основные варианты канонической ренты.................66
1.1. Определение стоимости и ее перенос во времени ... 66
1.2. Основные варианты стоимости простейших потоков
платежей. Два типа ренты......................67
1.3. Отложенная и бесконечная ренты.................70
2. Другие варианты платежей.............................72
2.1. Частые ренты...................................72
2.2. Редкие ренты...................................75
2.3. Нецелые значения срока жизни...................77
2.4. О связи между частыми, редкими
и основными рентами ..........................79
3. Непрерывная рента....................................80
3.1. Непрерывная каноническая рента ................80
3.2. Комиссионный сбор на платных автодорогах.......81
4. Непостоянные, или меняющиеся ренты ..................83
4.1. Возрастающие и убывающие ренты ................83
4.2. Арифметические ренты...........................86
4.3. Менее распространенные случаи..................88
5. Интерпретация и свойства стоимости...................91
5.1. Алгебраическая интерпретация...................91
5.2. Геометрическая интерпретация...................93
5.3. Свойства сечений...............................95
6. Упражнения ..........................................97
Глава IV. Погашение кредита 101
1. Элементы классического погашения....................102
1.1. Упрощенная схема. Классический принцип........102
1.2. Простейший случай.............................103
1.3. Каноническое погашение........................105
2. Основные варианты возвращения ссуды.................106
2.1. Постоянные выплаты............................106
2.2. Ступенчатые выплаты...........................114
2.3. Непрерывное погашение.........................121
3. Особые случаи возвращения ссуды.....................123
3.1. Погасительный и амортизационный фонды.........123
3.2. Потребительский кредит........................129
3.3. Ипотека ......................................132
3.4. Льготные займы и кредиты......................137
3.5. Сдвоенные ссуды...............................140
4. Некоторые проблемы погашения........................145
4.1. Неизвестная ставка............................145
4.2. Неизвестный срок ссуды........................149
4.3. Замена и объединение рент.....................151
5. Погашение кредита в реальной жизни..................155
5.1. Нагрузки......................................155
5.2. Таблицы погашения.............................157
5.3. Среднесрочная или долгосрочная ссуда..........161
6. Упражнения..........................................162
Глава V. Изменение стоимости денег 165
1. Расширенный процесс накопления .....................166
1.1. Еще один взгляд на ставки ....................167
1.2. Интенсивность начисления процентов............169
1.3. Принцип согласованности.......................172
2. Эквивалентность ставок и процессов накопления.......174
2.1. Эквивалентность для определенного периода......174
2.2. Функции накопления, эквивалентные данной ставке . 176
3. Простые проценты и простой дисконт..................179
3.1. Простые и сложные проценты....................179
3.2. Простой дисконт...............................181
3.3. Простой и сложный дисконт.....................182
4. Накопление и приведение.............................185
4.1. Обычный процесс накопления....................185
4.2. Общий процесс приведения .....................188
4.3. Фундаментальные принципы......................192
4.4. Уравнение равенства стоимостей................193
5. «Голое» право собственности и право пользования.....196
5.1. Реальная ставка по кредиту....................196
5.2. Неделимые займы. Полные права.................198
5.3. Единичные права для облигационных займов.......200
5.4. Единичные права в непрерывном случае .........203
5.5. О приближенном решении
уравнения реальной ставки ....................204
5.6. Расчет единичных прав Р', U'..................206
6. Упражнения .........................................211
vi
Глава VI. Эффективность капиталовложений 215
1. Денежный поток......................................216
1.1. О проблеме получения денежных потоков.........216
1.2. Используемые обозначения .....................217
1.3. Характер интересующих нас потоков.............217
2. Два основных подхода................................220
2.1. Доходность проекта. Простейший подход.........220
2.2. Приведенная прибыль и внутренняя доходность . . . 222
2.3. Существование внутренней доходности и ее роль
в оценке эффективности капиталовложений ...........226
2.4. Сравнение инвестиционных проектов.............233
2.5. Две различные ставки на текущем счету.........237
3. Внутренняя доходность - это опасно..................240
3.1. Кредитование или заимствование................240
3.2. Если корней много или их совсем нет...........241
3.3. Взаимно исключающие друг друга проекты........245
4. Другие «конкуренты» приведенной прибыли.............248
4.1. Период окупаемости ...........................248
4.2. Индекс прибыльности ..........................251
4.3. Оптимальное распределение
ограниченных фондов по проектам .............253
5. Инфляция и ее влияние на внутреннюю доходность......255
5.1. Что такое инфляция? Элементарные соображения . . 255
5.2. Эффект инфляции ..............................258
5.3. Расчет индексов...............................260
6. Доходность фондов...................................262
6.1. Доходность за один год........................262
6.2. Доходность за несколько лет.
Три способа ее оценки........................266
6.3. Совместные фонды..............................269
6.4. Еще два метода и одна проблема................272
7. Упражнения .........................................275
Глава VII. Оценка стоимости ценных бумаг 279
1. Доходность за период до погашения...................280
1.1. Терминология и обозначения ...................280
1.2. Верхняя и нижняя оценки.......................282
1.3. О приближенном решении........................284
2. Формула Макэхама....................................285
2.1. Одноразовое погашение.........................285
2.2. Многократное погашение........................289
2.3. Другие подходы и бессрочные ренты ............293
vii
3. Срок погашения и доходность.............................295
3.1. Цена как центральное поле кривых на плоскости . . 295
3.2. Дата погашения принадлежит интервалу..........299
3.3. Распределение момента погашения известно......301
4. Налог на добавленную стоимость......................303
4.1. Основная ситуация в начислении НДС............303
4.2. Цена как центральное поле кривых на плоскости . . 305
4.3. Учет НДС в различных ситуациях................307
5. Покупка ценных бумаг в реальной жизни...................312
5.1. Несколько более сложных ситуаций .................313
5.2. Формула для определения внутренней доходности . . 318
6. Инфляция и доходность ..................................321
6.1. Реальная доходность при неравномерной инфляции . 321
6.2. Индексирование капиталовложений ..................323
6.3. Национальные сберегательные сертификаты.......324
6.4. Индексированные акции правительства...........326
7. Упражнения .............................................329
Приложения
А. Решения к упражнениям 333
Глава I ................................................333
Глава П.................................................336
Глава 1П ...............................................339
Глава IV ...............................................345
Глава V.................................................353
Глава VI ...............................................360
Глава УП................................................365
Б. Приближенные методы решения уравнений 373
1. Общие соображения.......................................373
2. Известные методы .......................................375
2.1. Метод «вилки».....................................375
2.2. Метод хорд .......................................376
2.3. Метод касательных.................................378
3. Начальное приближение...................................379
3.1. Линейная интерполяция ............................379
3.2. Метод проб и ошибок. Средняя доходность...........382
viii
В. Вспомогательная математика 383
1. О единственности положительного решения............383
2. Расчет единичного «голого» права...................388
3. Обзор математических понятий и фактов..............390
3.1. Прогрессии...................................390
3.2. Усреднение (относительно /?/, Д/ > 0, 52" Д/ = 1) • • 390
3.3. Суммирование степеней целых чисел............391
3.4. Разложения Тейлора...........................391
3.5. Двойное суммирование.........................391
3.6. Бином Ньютона................................392
3.7. Центр тяжести ...............................392
3.8. Правило знаков Декарта.......................392
4. Вывод некоторых формул.............................393
4.1. Разложения в ряд.............................393
4.2. Приближенные формулы.........................393
4.3. Интерполяционная формула (IV.4.7)............394
4.4. Доказательство теоремы (V.1.1)...............395
5. О рентабельности портфеля договоров ...............396
Г. Разное 397
1. Краткая характеристика содержания глав.............397
Глава I ...........................................397
Глава II...........................................397
Глава П1 ..........................................398
Глава IV ..........................................399
Глава V............................................400
Глава VI ..........................................400
Глава VII..........................................401
2. Список сокращений..................................402
3. Терминология, обозначения и их определения.........403
3.1. Эквивалентные ежегодные ставки...............403
3.2. Стоимость простейших потоков платежей........404
4. Список литературы..................................406
5. Ценные бумаги с фиксированным доходом .............407
6. Что такое финансовая математика?...................411
7. Сравнение простых и сложных процентов..............415
Д. Таблицы 416
1. Финансовые таблицы.................................416
2. Номера дней года...................................456
3. Пример погашения долгосрочного кредита.............457
4. Особые неклассические таблицы. Примеры.............461
5. Натуральные логарифмы..............................464
Предисловие
Если появление настоящей книги и можно считать случайным, то ее
цели и содержание совершенно определенны. Прежде всего в ней дела-
ется попытка изложить азы классической финансовой математики на
современном уровне, а заодно и разобраться в том, какое же содержание
вкладывается в понятие классической финансовой математики. Послед-
нее весьма актуально, поскольку проблематика эта возникла недавно и
в настоящее время каждый воспринимает ее по-своему. Но, возможно,
более важная цель книги - помочь тем, кто хотел бы побыстрее выйти
на уровень свободного понимания математической части любых финан-
совых книг и дискуссий на финансовые темы.
Дело в том, что автору посчастливилось оказаться в группе мате-
матиков кафедры теории вероятностей мехмата МГУ, на долю которой
выпала честь принимать участие в возрождении актуарно-финансового
образования в России на факультете. Немалую роль при этом сыграла
помощь со стороны английского фонда «Ноу Хау», а также французской
федерации страховых компаний. В результате автору вместе с коллегами
пришлось не только непосредственно в аудитории переводить различные
курсы лекций, которые обычно проводились недельными циклами по 6
часов в день, но и общаться с лекторами в течение нескольких лет. А это
были известные профессора лучших университетов, а также ведущие спе-
циалисты федераций страховых компаний Франции, Англии, США, Ка-
нады и других стран. Именно эта совместная работа не только увлекла
автора, но и фактически заставила его обратиться к написанию книги.
В процессе ее подготовки основную сложность представлял выбор
общей концепции книги, т.е. примерного круга вопросов, который имело
смысл затрагивать прежде всего. Но как только эта сторона дела прояс-
нилась, в дальнейшем стало попроще, поскольку было на что опереться.
Точнее говоря, при написании книги особую роль сыграли три известные
монографии [1; 4; 7], каждая из которых неоднократно переиздавалась в
своей стране и даже рекомендовалась при подготовке экзамена по финан-
совой математике для получения диплома актуария. В результате автор
постарался выбрать все самое лучшее из этих работ, пытаясь определить
основу будущей книги.
Но переработка материала данных книг осуществлялась под опреде-
ленным и критическим углом зрения. По сути, весь включаемый мате-
риал - а он собран из всех изданий [1 - 17], в том числе и русских, -
оценивался прежде всего с точки зрения математика. Конечно, с этой
переработкой был связан большой риск, поскольку заранее понятно, что
при таком подходе можно растерять все достоинства основных книг и
лишь приобрести новые недостатки по сравнению с остальными. Но не
менее ясно было и то, что нужная нашему читателю книга должна ро-
диться скорее всего на таком пути.
Обстоятельства рождения книги, изложенные выше, приведены не
только потому, что памятны для автора. В определенной степени они
отвечают на вопрос: чем же данная книга отличается от других, подоб-
ных изданий? Но, конечно, читателя больше интересуют несколько иные
вопросы. Скажем, с чем конкретно следует еще познакомиться, чтобы
свободно понимать математическую часть любых финансовых книг и
дискуссий на финансовые темы? К сожалению, кратко ответить на них
непросто. Поэтому затронем эту тему в Приложении Г.6, а здесь лишь
обратим внимание читателя на еще одну особенность книги.
Возможно, полезной она окажется для «многих понемногу», поскольку
в ней есть определенные нововведения. Однако рассчитана книга все же
на читателя, которого 1) интересует математическая суть дела в любой
ситуации и который 2) верит, что при знакомстве с любой формулой -
скажем, формулой начисления простых процентов, - важна не столько
сама формула, сколько многообразие ее проявлений в реальной жизни.
Именно поэтому особое внимание в книге уделено примерам и упражне-
ниям, не только иллюстрирующим какое-то понятие, но и позволяющим
познакомиться с одним из таких проявлений.
Большую роль в написании книги, несомненно, сыграли иностранные
коллеги, а также друзья и сотрудники родной кафедры теории вероятно-
стей, прежде всего Е.В. Булинская, Д.Б. Гнеденко, Е.В. Чепурин. Неоце-
нима поддержка заведующего кафедрой теории вероятностей мехмата
А.Н. Ширяева и рецензента Ю.Н. Черемных. Всем им автор выражает
глубокую признательность.
Введение
Интерес к финансовой математике (ФМ) в России начал вновь про-
являться не так давно. На механико-математическом факультете МГУ
возрождение актуарно-финансового образования, которое было органи-
зовано в царской России еще в конце XIX в., приходится на 1994 г. В
этом же году появилась и первая книга на русском языке, в названии
которой использовался термин ФМ: «Финансовая математика. Теория и
практика финансово-банковских расчетов». Это был перевод с сербского,
сделанный ее автором Еленой Кочович.
Однако необходимо отметить, что многие специалисты и ученые раз-
ных стран вкладывают в понятие ФМ различный смысл. Так, даже в
странах с давно функционирующей рыночной системой одни известные
ученые под ФМ понимают рассматриваемые ими сложнейшие и совре-
менные теории и модели, а факты классики, связанные с простыми и
сложными процентами в него не включают. Другие же рассмотрение по-
добных простых вещей на определенном уровне называют углубленной
финансовой математикой и также в чем-то правы. Все это лишь подчер-
кивает, что в данной проблематике сложилась любопытная ситуация. И
об этом же говорит и то, что материал данной книги совсем не касается
огромной области знания, которая называется «современная финансовая
математика», и является в основном стохастической (Приложение Г.6).
Очевидно, что для нашей страны отсутствие единого понимания про-
блематики ФМ вполне естественно: нет устоявшейся школы ФМ, авторы
книг являются людьми разных профессий (физики, математики, эконо-
мисты), разного уровня зрелости, подготовки. Все это не добавляет яс-
ности в сложившуюся ситуацию. В связи с этим автор настоящей книги
постарался прежде всего четко высказаться о том, 1) какой смысл здесь
вкладывается в понятие ФМ, и 2) о чем конкретно пойдет в ней речь.
Для решения второй проблемы каждая глава характеризуется два-
жды. Первый раз во введении, которое всегда находится в начале главы.
Но оно составлено так, чтобы не столько объяснить содержание, сколько
заинтересовать им читателя. Именно поэтому наряду с введением дается
и краткое резюме данной главы. Все эти краткие характеристики содер-
жания глав объединены вместе и помещены в ПГ.1. В них отмечаются
основные факты, рассмотренные в данной главе, а также наиболее суще-
ственные предложения или нововведения автора. Именно здесь читатель
получит более точное представление о содержании главы.
xii
В отношении первой проблемы заметим следующее. Конечно, есте-
ственно считать, что различные методы финансового анализа, как про-
веренные практикой, так и появившиеся недавно, должны быть как-то
«охвачены» проблематикой ФМ, если только эти методы имеют отноше-
ние к математике. Но есть один существенный момент, заставляющий
вкладывать в эти слова несколько иной смысл.
Дело в том, что к настоящему времени практически любое направле-
ние человеческой деятельности накопило совершенно неподъемное коли-
чество материала. И для более ясного осознания сделанного не только
желательна, но и просто необходима прозрачная и точная классифика-
ция. Со временем она, конечно, появится и даст более четкое толкование
ФМ. Пока же автор предлагает свой экспериментальный вариант этой
классификации в ПГ.6 (Приложение Г.6), где вся ФМ делится на три
части. При этом оказывается, что само содержание книги можно рас-
сматривать как вариант классификации первой из них, что и уточняет
связь всей ФМ и материала, рассматриваемого в настоящей книге.
Суть этой классификации в двух словах проста. С одной стороны,
арифметическая прогрессия часто используется в финансовых вычисле-
ниях, но считать ее элементом ФМ вряд ли имеет смысл. Скорее, ее при-
сутствие является следствием использования определенных финансовых
принципов. И так можно говорить о многом. С другой стороны, если ана-
лизировать, скажем, самую известную финансовую операцию (погашение
кредита), то естественно прежде всего выделить классический принцип
начисления процентов как ее основу, а многие формы погашения креди-
та, встречающиеся в реальной жизни, охарактеризовать словами «случаи
особого погашения» (см. гл. IV) и т.д.
В заключение выскажем несколько слов о терминологии, обозначе-
ниях и сокращениях. Можно сказать, что практически все обозначения
книги являются общепринятыми не только в западных странах, но и у
нас. К сожалению, с терминологией дело обстоит хуже, поскольку некото-
рые из тех терминов, которые стали использоваться в нашей литературе,
совершенно не выдерживают критики, с точки зрения автора. Напри-
мер, постоянная рента «постнумерандо», современная стоимость ренты,
компаундинг и др. Именно поэтому предложено довольно много новых
наименований. Наконец, для упрощения изложения в книге используется
немало авторских сокращений. Естественно, все они, а также термино-
логия и обозначения помещены каждые в своем месте в ПГ.
Обозначения, предназначенные для ссылок, в основном являются
двойными и относятся лишь к соответствующей главе. Так что, если
в гл. П вы встречаете замечание 2.1, то это первое замечание во втором
параграфе этой главы. Если же ссылка дается на другую главу или при-
ложение, то обозначение тройное. Например, п.VI.5.3 означает подпункт
3 параграфа 5 главы VI, а п.ПВ.1 - параграф или пункт 1 приложения В.
Борису Владимировичу ГНЕДЕНКО
посвящается
Глава I
Простые проценты
Вся книга фактически посвящена использованию сложных процентов в
реальной жизни, многообразию форм их практического применения в
финансовой деятельности. За исключением первой главы. Здесь мы
предлагаем в качестве разминки поговорить о простых процентах. Сна-
чала о них самих, а затем о наиболее известных финансовых операциях,
которые их используют, таких как вексель, текущий счет, ломбардный
кредит. Поскольку все эти операции, вообще говоря, краткосрочны, т.е.
рассчитаны на срок в несколько месяцев, то у данной главы естествен-
ным было бы и другое название:
краткосрочная финансовая математика.
Для понимания следующих глав вовсе не обязательно читать п.2-5 на-
стоящей главы. Достаточно ограничиться лишь п.1. Однако сейчас и в
дальнейшем при изложении материала мы будем придерживаться опреде-
ленных правил. Их всего три. Во-первых, договоримся считать единицей
времени год, если только что-то другое не оговорено особо. Во-вторых,
проведем эксперимент, а именно, освободим текст от названий денеж-
ных единиц. И, наконец, в-третьих, введем две совершенно равноправ-
ные формы записи процентов. Точнее говоря, договоримся вместо 70%
иногда писать 0,7 и наоборот.
2
I Простые проценты
1. Начисление простых процентов
Существует бесконечное множество разнообразных ситуаций, когда
можно говорить о начислении процентов в смысле вознаграждения за
предоставляемый в долг капитал в прямом или в каком-либо переносном
смысле. Таким образом, в этом отношении понятие процента не уступает
другим элементам окружающей нас жизни. И ниже мы приводим пример
подобного типа, причем делаем это специально для того, чтобы предо-
стеречь читателя от пренебрежительного отношения к процентам вооб-
ще и простым в частности. Представляется, что это не только поможет
ему обратить внимание на определенные нюансы этих понятий, отмеча-
емые ниже, но и спокойно воспринимать какую-либо сложную проблему,
связанную с ними.
1.1. Понятие процента
В настоящей книге слово «процент» всегда будет использоваться именно
в смысле вознаграждения за возможность взять деньги в долг. Причем
проценты всегда будут измеряться в деньгах и даже в одинаковых де-
нежных единицах со взятой в долг суммой. Однако для более полного
понимания этого слова желательно не только знать то, что оно происхо-
дит от латинского pro centum (одна сотая), но и представлять, насколько
разнообразны формы процентов, которые окружают нас в повседневной
жизни, а также видеть объективные причины, по которым вознагражде-
ние за предоставление кредита является в принципе справедливым.
Итак, прежде всего отметим, что предоставляемый в долг капитал и
полагающиеся за это проценты не обязаны выражаться не только в одних
денежных единицах, но даже и в одинаковых товарных единицах. Пусть,
например, в разгар уборочной страды у одного из друзей-фермеров вы-
ходит из строя трактор, а у другого простаивает без дела. У первого
под угрозой срыва уборка богатого урожая, а второй не знает, куда при-
строить новую технику. Хорошие отношения между соседями - и ника-
ких проблем: в результате урожай убран полностью, аренда трактора
оплачена по «дружеской» ставке процента, все довольны. Но могло быть
несколько иначе даже при тех же теплых отношениях между фермерами.
Если, скажем, второму фермеру трактор тоже был нужен, но вместе они
решили, что приоритетными следует считать проблемы первого ферме-
ра. В этом случае величина процентов будет сильно зависеть от уровня
отношений между друзьями (не поссорились ли они при обсуждении про-
блем и т.д.). Как в этой ситуации определить, из чего вообще состоят
проценты за аренду и какую часть из них составляют деньги?
Отметим и три причины, по которым оплата кредита считается само
собой разумеющимся делом.
1 Начисление простых процентов
3
1. Во-первых, тот, кто дает некоторую сумму в долг, как правило,
лишает себя возможности использовать эти деньги в течение всего
срока займа и, наоборот, оказывает услугу взявшему их в долг,
поскольку предоставляет ему шанс осуществить выгодную сделку.
2. Во-вторых, тот, кто одалживает деньги, рискует их потерять. При-
чем произойти это может не только из-за банкротства должника
или его неплатежеспособности. Бывает, что кредитор просто «на-
тыкается» на отказ вернуть ему деньги без всяких объяснений (что
неоднократно делало наше государство).
3. Наконец, в-третьих, всегда присутствующая текущая инфляция
обычно приводит к обесцениванию суммы кредита. И следователь-
но, рассматриваемое вознаграждение должно хотя бы компенсиро-
вать эти потери.
1.2. Простые проценты
Какой доход или процент I принесет предоставление суммы 5000 в долг
на срок три месяца под 10% годовых? Наверняка большинство из нас
дадут такой ответ:
I = 5000 • 0,10(3/12) = 125.
И, вообще говоря, окажутся правы. Хотя вопрос был задан не вполне
корректно. Тем лучше! Попробуем разобраться в этом, не торопясь.
Ясно, что величина I рассматриваемого вознаграждения в любом
случае зависит некоторым образом (как минимум) от двух - самых важ-
ных - величин:
• взятой в долг суммы С и
• длительности займа t.
Таким образом, во многих случаях действует формула
/ = /(С, t),
в которой /(ж, у)- некоторая функция двух переменных.
Простые же проценты (ПП) пропорциональны не только взятой сум-
ме С, но и длительности t. Точнее говоря, если за единицу времени взят
год, то проценты I можно записать в виде
1 = СП, (1.1)
где i- ежегодная ставка процента, т.е. вознаграждение за единицу, пре-
доставленную в долг на один год кстати, это следует из (1.1) при
подстановке значений С = 1, t = 1.
^ока мы не уточняем, когда это вознаграждение выплачивается.
4
I Простые проценты
Пример 1.1
Две суммы были положены в разные банки на разное время, причем про-
центы, которые принесла большая сумма, оказались в два раза больше.
Определить эти суммы, если разница между ними равна 300 и, кроме
того, большая сумма была вложена на 6 месяцев под ежегодную ставку
5%, а меньшая - на 3 месяца под ставку 6%.
Решение. Обозначим большую сумму через С. Тогда придем к урав-
нению
Л = СО, 0б| = 2/2 = 2(С - 300)0,0б|,
из которого найдем, что С = 1800 •
1.3. Расчет процентов на практике
Любые проблемы, связанные с финансами, имеют множество нюансов.
И это в полной мере относится к расчетам по формуле (1.1). Причем в
практических проблемах, связанных с расчетом процентов, эти нюансы
в основном касаются определения длительности займа t. Отметим неко-
торые из них. Для этого еще раз напомним, что мы договорились считать
единицей времени год.
В краткосрочном контракте по предоставлению кредита срок его дей-
ствия естественно измерять днями. Поэтому при выбранной единице вре-
мени длительность займа удобно записывать в виде
где п - длительность контракта в днях, a N - число дней в году. При
этом оказывается, что в разных странах мира сложилась своя практика,
банковская и коммерческая, в отношении базы времени N. Возможны
следующие четыре варианта:
7V = 360, N = 365 , TV = 365,25, N = 366,
из которых первый во многих странах называется коммерческим годом.
Но выбор одного из этих вариантов еще не вносит полную ясность в
расчет t, поскольку не меньше подходов к определению числа п. Так,
оно может быть точным числом дней от одной даты до другой, включаю-
щим или не включающим в себя границы. Хотя наиболее распространен-
ная практика определения числа дней ссуды по календарю такая: первый
день не учитывается, а последний - учитывается 2. Но это же число мо-
жет получаться совсем по-другому. Например, когда рассматриваемый
2В России именно такой подход, хотя он и звучит иначе: первый и последний день
считаются за один день.
1 Начисление простых процентов
5
период (ссуды) разбивается на три части, две из которых - первая и тре-
тья - выражаются в днях, а средняя - точным числом месяцев, которые
берутся равными 30 дням, или семестров, равных 90 дням.
Кстати, в Германии, Дании, Швеции год условно считается коммер-
ческим, а месяц - имеющим 30 дней. Также коммерческий год использу-
ется во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии, Югославии. Но здесь
предпочитают рассчитывать точное число дней контракта по календа-
рю. Наконец, обычный год в 365 дней (или 366) и календарный расчет
срока распространен в таких странах, как Португалия, США и Велико-
британия. При этом, скажем, в Англии, при банковских ссудах полгода
приравниваются к 182 дням.
Пример 1.2
Рассчитайте срок займа, исходя из предположения, что вы в Германии,
а ссуда выдана 21 апреля и должна быть возвращена 16 сентября.
Решение. Весь срок займа разбивается на следующие три части:
апрель 30-21 = 9 дней
май - август 30 • 4 = 120 дней
сентябрь 16 дней
п = 145 дней
Таким образом, искомый срок займа составляет 145 дней, несмотря на
то, что период май-август на самом деле содержит не 120 дней, а 123 •
Третий нюанс касается удобства записи выражений типа (1.1) в раз-
ных фррмулах. Дело в том, что, если используется коммерческий год, то
формулу (1.1) естественно записывать в виде
где D = 360/i (т.е. величина, как бы обратная дневной ставке процен-
та), поскольку тем самым параметры сделок (С, п) , которые зависят от
контракта, отделяются от других параметров (г, N = 360) , обычно от
него не зависящих.
Пример 1.3
Мне не удалось получить желаемую сумму кредита в 5000 на 2 меся-
ца. Но удалось договориться в отношении 3000 на 2 месяца. Поэтому
пришлось попросить хорошего знакомого взять в том же банке недо-
стающую сумму. Ему предоставили 2000, но на срок в 3 месяца. Како-
ва суммарная величина процентов, которые мне придется уплатить (в
момент предоставления кредита), если ежегодная ставка равна 5%?
6
I Простые проценты
Решение. Пусть в месяце 30 дней. Тогда в силу (1.2)
г С1П1+С2П2 (3000-60 + 2000-90)0,05 гп
у — — — о и ®
D 360
Подводя итоги в отношении определения длительности займа t, за-
метим следующее - в каждой стране вырабатывается своя определенная
практика. Так, в США к настоящему времени сложились и в основном
используются три метода.
1. Точные простые проценты.
В этом подходе п полагается равным точному числу дней в периоде
между двумя датами операции, a N считается равным 365. Поэтому
рассчитанные таким способом проценты обозначаются «actual/actual» (у
нас «д/д», поскольку actual означает действительный). Приложение Д.2
(ПД.2) в этом случае облегчает расчет числа п.
2. Обычные простые проценты.
Здесь считается, что в каждом месяце 30 дней, а год содержит 360 дней.
Поэтому таким образом рассчитанные проценты и метод часто обозна-
чаются «30/360». В этом случае используется простая формула
п = 360(у2 - У1) + 30(m2 - mJ + (d2 - di), (1.3)
в которой буквы у, m, d с индексами обозначают соответственно год,
месяц и день каждой из двух вовлеченных в финансовую операцию дат.
3. Банковское правило.
Этот метод является гибридным, поскольку в нем п определяется как
точное число дней между датами, a N полагается равным 360. Соот-
ветственно рассчитанные по нему ПП часто обозначаются «actual/ЗбО» и
«оправдывают» свое название тем, что обычно выгодны кредитору.
Пример 1.4
Рассчитайте проценты, которые следует начислить на сумму 2000, ес-
ли она была положена на банковский счет 17 июня, снята с него 10 сен-
тября того же года, а ежегодная ставка i = 0,08. Используйте все
три метода.
Решение. 1. Из ПД.2 вытекает, что 10 сентября - это 253-й день года, а
17 июня - 168-й. Поэтому п = 253-168 = 85 и, следовательно, по формуле
(1.2) имеем I = 2000(0,08)(85/365) = 37,26, если год не високосный.
2. Используя формулу (1.3), получаем, что п = 360(0) + 30(9 - 6) +
(10 -17) = 83. Поэтому 7 = 2000(0,08)(83/360) = 36,89 .
3. Здесь ответ I = 2000(0, 08) (85/360) = 37,78 получается сразу, по-
скольку точное число дней было определено выше. И он подтверждает,
что банковское правило действительно дает самую высокую оценку для
величины процентов •
1 Начисление простых процентов
7
1.4. Приведенное и накопленное значения
Рассматривая проблему начисления процентов, мы не коснулись одного
важного момента. А именно, когда сумма процентов, рассчитанная по
формуле (1.1), выплачивается кредитору. Ведь от этого зависит и сама
сумма I, точнее говоря, ее стоимость, поскольку, как известно,
ВРЕМЯ - ДЕНЬГИ.
Но есть и еще один, не менее важный элемент предоставления ссуды, без
уточнения которого нельзя судить о «тяжести» процентов как платы за
кредит. Это вопрос о том, на какую сумму начисляются проценты: на ту,
которую берут в долг или, наоборот, на ту, которую возвращают. Как
можно, например, понимать фразу «взятая (в долг) сумма С», сказанную
перед формулой (1.1)? Ведь здесь можно иметь в виду как ту сумму,
которую берут в долг, так и ту, которую возвращают!
Пусть С означает сумму, на которую начисляются проценты, а сами
проценты выплачиваются в конце срока займа вместе с основной суммой.
Например, клиент Сбербанка открывает счет и кладет на него некото-
рую сумму денег, скажем, на год. А в конце этого срока закрывает счет
и забирает как саму сумму, так и начисленные на нее проценты. Здесь С
означает также и сумму, которая выдается кредитором заемщику в мо-
мент предоставления кредита. Это первый вариант, который приводит
к формуле
W = С + Сг7 = С(1 + г7). (1.4)
В ней величину W естественно называть накопленным значением (НЗ)
исходной суммы, поскольку именно в нее она превращается за время ссу-
ды. А коэффициент 1 + it, конечно, является показателем роста суммы
С за время t. И потому его естественно назвать коэффициентом на-
копления (КН). Но есть и другой основной вариант, отличающийся от
первого лишь тем, что проценты в нем выплачиваются не в конце срока
ссуды, а в его начале. Эта ситуация типична для векселя. Когда, скажем,
коммерсант желает взять кредит в банке под вексель, то он получает
несколько меньше той суммы, которую просит в долг и которую обязу-
ется вернуть через некоторое время. Таким образом, в этой ситуации
действует формула
V = C-Cit = C(\-itY (1.5)
Величина V в ней называется приведенным значением (ПЗ) возвраща-
емой суммы С (приведенным на момент предоставления кредита!). И
в случае векселя V представляет собой сумму, которую получает заем-
щик. А коэффициент 1 - it соответственно называется коэффициентом
приведения (КП).
8
I Простые проценты
Пример 1.5
Банк 1 взял в банке 2 в долг сумму С(1 —г2£) с обязательством вернуть
уже сумму С через некоторое время t. Сразу же после возвращения
суммы С уже банк 2 положил сумму С на свой счет в банке 1, и также
на время t. Как связано это время со ставками ц, i2 , используемыми
банками для своих операций, если НЗ суммы С в банке 1, т.е. деньги,
которые банк 1 должен будет выплатить банку 2, оказывается в 1,2
раза больше ПЗ суммы С на момент получения денег банком 1 ?
Решение. Банк 1 должен будет выплатить сумму С(1 + i\t).
Таким образом, имеем уравнение
С(1 + М) = 1,2 • С(1 — г2£),
которое дает (i’i + 1,2i2)t = 0,2 или (5z’i + 6i2)t = 1. В частности, если
ц = 12%, i2 = 15%, то 5г’1 + 6г2 = 1,5, и, следовательно, t = 2/3, или
8 месяцам • 1
Величины W и V и особенно их аналоги в схеме сложных процентов
играют очень важную роль в финансовой деятельности и, в частности,
в финансовой математике (ФМ). Фактически они представляют «суть
дела» во многих финансовых операциях. В связи с этим обратим внимание
читателя на следующее.
Во-первых, формы записи НЗ и ПЗ весьма разнообразны. И потому
равенства (1.4) и (1.5) следует воспринимать лишь как одну из них. Дру-
гими словами, процесс знакомства с этими понятиями только начинается.
Во-вторых, еще более сложной является теория НЗ и ПЗ в схеме сложных
процентов. Там о них мы будем не только говорить на протяжении всех
глав, но даже посвятим целиком гл. V. И, наконец, отметим еще один
момент, связанный с терминологией и обозначениями в литературе на
русском языке:
В отношении НЗ у большинства авторов книг и статей наблюдает-
ся единодушие: вместо английского сочетания accumulated value вполне
можно использовать термин «накопленное значение». Однако в отноше-
нии английского present value общего мнения пока нет. Более того, слово-
сочетания «современная стоимость», «текущая стоимость», «современное
значение», похоже, встречаются гораздо чаще, чем «приведенное значе-
ние». Иными словами, многие авторы считают такой перевод уместным.
Но мы будем придерживаться термина
«приведение».
Ведь не только здесь, но и вообще в ФМ одним из основных аспектов
является перенос стоимости с одного момента времени на другой. И по-
тому не хочется «терять» слово, прямо указывающее на суть дела. Что же
касается предлагаемых сокращений, то они не только еще не устоялись,
но даже и не вводились ранее (о них см. ПГ.2).
2 Учет векселей
9
2. Учет векселей
Перейдем к рассмотрению основных финансовых операций, в которых ис-
пользуются простые проценты. И начнем с операций с векселями. Точнее
говоря, познакомимся сначала с именным векселем, имеющим хождение в
России, азатем более подробно с коммерческим векселем, который очень
популярен в Западной Европе. Ну а в заключение совершим небольшой
исторический экскурс и выскажем одно предостережение.
2.1. Вексель - долговое обязательство
Долговое обязательство - это финансовый документ, удостоверяющий
факт получения денег в долг. Мы говорим и несколько иначе: факт пре-
доставления денег в кредит, или получения ссуды. Примерами долговых
обязательств могут служить так называемые депозитные и сберегатель-
ные сертификаты, облигации, чеки и многое другое. Простейший тип
долгового обязательства - вексель, или проще: долговая расписка.
Общая характеристика именного векселя
Под векселем, как правило, понимается именное долговое обязательство.
А точнее говоря, письменное обещание одного лица выплатить опреде-
ленную сумму денег другому лицу в указанный срок. Обычно вексель
выдается заемщиком кредитору при получении денег. При этом лицо, вы-
дающее и подписывающее вексель, называется векселедателем, а лицо,
получающее вексель, - векселеполучателем. Как мы уже упоминали, сам
вексель представляет собой безусловное обязательство выплаты лицом,
выдавшим вексель, суммы с процентами по требованию лица, на кото-
рое он выписан. Составляется же эта расписка, например, следующим
образом:
18 февраля 2000 г.
Через 3 месяца обязуюсь выплатить Тростникову В.Н.
50 тыс. руб. и простые проценты по ставке 2% за месяц
(подпись) Кузьмин Л.К.
18 февраля 2000 г.
Через 3 месяца обязуюсь выплатить Тростникову В.Н.
53 тыс. руб.
(подпись) Кузьмин Л.К.
Нетрудно видеть, что эти расписки-векселя эквивалентны. Что по-
нятно как для кредитора, так и для должника. Но, конечно, допускаются
различные формы, и, как правило, сами участники следят лишь за тем,
чтобы в этой расписке были указаны основные моменты (реквизиты) -
10
I Простые проценты
величина долга при погашении (номинал векселя), дата погашения (пря-
мо или косвенно, как в приведенном примере) - и названы как вексе-
ледатель, так и векселеполучатель. Правда, часто указывают и другие
характеристики: основную сумму долга, дату, место выписки векселя и
срок, на который он выписан, место, в котором должен быть совершен
платеж, а также процентную ставку с указанием периода, к которому
она относится (если она не годовая).
Дисконт и учетная ставка
Дисконтом называется скидка с цены товара, обусловленная различны-
ми обстоятельствами: оптовая продажа, досрочная оплата и т.д. В ФМ
дисконт - это скидка со стоимости погашения долгового обязательства,
при его продаже-покупке до срока погашения. Ну а вексель является не
только долговым обязательством, но и обычным товаром благодаря хо-
рошему законодательному обеспечению.
Пример 2.1
Владелец векселя номинала 100 000 и сроком погашения 5 месяцев, спу-
стя 2 месяца с момента его получения, нуждаясь в деньгах, продает его
банку. Банк выкупает или, как еще говорят, «учитывает» вексель. Но
не за полную стоимость, а за 94 000. Определить дисконт и учетную
ставку этой операции.
Решение. Нетрудно видеть, что дисконт - это разница
Е = 100 000 - 94 000 = 6000,
учетная ставка за период (3 месяца) составляет 6%, а годовая учетная
ставка d определяется из соотношения (3/12)d = (6000/100 000) и равна
24% •
Иными словами, дисконт Е и учетная ставка d определяются из со-
отношений
V = C-£ = C(l-(ft), (2.1)
где С - сумма долга при погашении, V - выкупная, или учетная, стои-
мость векселя, a t - остаток срока до погашения в годах.
Банки обычно указывают учетную ставку за некоторый период, как
правило, год, и эта учетная ставка называется годовой учетной став-
кой. Ставка же dt за период вычисляется так же, как вычисляется про-
центная ставка за период по годовой ставке, т.е. по формуле dt = d • t.
При этом ясно, что на дисконт можно смотреть как на проценты, но
оплачиваемые не в конце года или периода, а в начале. Соответственно
и учетная ставка имеет смысл ставки процента, которая уплачивается
в начале периода. В дальнейшем в схеме сложных процентов ставки с
подобным свойством так и будут называться: ставка дисконта.
2 Учет векселей
11
2.2. О причинах востребованности коммерческого векселя
В настоящее время в цивилизованных странах операции с векселями весь-
ма популярны. И это, конечно, имеет простое объяснение. В самом деле,
промышленное или коммерческое предприятие должно оплачивать пер-
вичные ресурсы, в которых оно нуждается, а также платить за их хра-
нение, транспортировку и т.д. Причем делать это нужно до продажи
конечного продукта, т.е. до того, как вложенные в производство деньги
«оживут» вместе с прибавочной стоимостью и позволят не только по-
крыть технические расходы, но и получить прибыль. Это одна сторона
дела. Но не менее важную роль играет и, так сказать, оптимальное зако-
нодательное обеспечение этой операции. Ведь в конечном счете именно
оно сводит к минимуму «нежелательные эксцессы» и таким образом не
позволяет снижать заинтересованность людей (физических и юридиче-
ских лиц) в использовании этой операции. Так вот, в Западной Европе
эта сторона дела также отлажена. И не только не мешает этой финансо-
вой операции «свободно жить» (как пока в России), но и стимулирует ее
использование.
Кроме того, вексель позволяет отказаться от посредников. В США,
например, более 60% ценных бумаг размещаются с их помощью. Фак-
тически именно эту цель преследует такая разновидность финансового
векселя, как коммерческие бумаги (буквальный перевод международно-
го термина, принятый и у нас). Они могут выпускаться как финансовы-
ми, так и нефинансовыми компаниями, имеющими хорошую репутацию.
Обычно на срок от 1 до 270 дней в форме на предъявителя, часто на
срок от 30 до 50 дней. И могут размещаться без андеррайтеров, посколь-
ку прямой займ у инвесторов значительно дешевле.
Длительность производственного цикла, естественно, сильно зави-
сит от характера деятельности предприятия. Но в любом случае именно
она и определяет его потребность в денежных средствах. Существуют
два основных способа, позволяющих удовлетворить эти потребности. Во-
первых, это выпуск так называемого коммерческого векселя, т.е. крат-
косрочной официальной бумаги, имеющей смысл долговой расписки. Эта
бумага может иметь характер договора или обменного письма, если она
выпускается кредитором, а затем проверяется и подписывается клиен-
том, а также приказа, если составляется и подписывается клиентом.
Кстати, частным случаем последнего варианта являются казначейские
государственные билеты. Во-вторых, использование при получении кре-
дита в банке уже существующего коммерческого векселя, который пред-
приятие само получило при оформлении расчетов, скажем, с каким-то
своим поставщиком. Для предприятия это равносильно получению кре-
дита у банкира на оставшийся срок действия вручаемого векселя, т.е. до
момента его погашения.
12
I Простые проценты
2.3. Дисконтирование, или учет векселя
Дисконтирование коммерческого векселя означает его покупку у владель-
ца до наступления срока оплаты по цене, несколько меньшей той суммы,
которая должна быть выплачена по нему в конце срока (часто это - номи-
нал векселя). Как мы отметили выше, дисконтирование векселя являет-
ся второй формой кредитования банком векселедержателя и называется
также учетом векселей.
Расчет дисконта
Будем считать, что величина кредита V определяется номиналом век-
селя С за вычетом некоторой суммы Е, называемой дисконтом и име-
ющей смысл процентов. Точнее говоря, дисконт - это процент, оплачи-
ваемый предприятием или коммерсантом за кредит, в момент его полу-
чения. И действует формула (2.1), в которой величина V называется
также ПЗ векселя. При этом дисконт бывает двух типов и называется
коммерческим, или внешним, если он вычислен как процент от номиналь-
ного значения С , а также рациональным, или внутренним, если является
процентом от ПЗ V. Итак, в соответствии с вышеуказанными опреде-
лениями, в случае коммерческого года (360 дней) при ежегодной ставке
простых процентов i и п днях до погашения для (t = n/D)
коммерческого дисконта (КД)
т-. Сп гг . гп D - п 360 /Л
Ес — Cit — , Vc — (1 — ттт)С — т; С; D — ——, (2-2)
и ЗоО и г
рационального дисконта (РД)
360 + in _ D + n
360 r ~ D Vr
Vr = -^-C, Er = Vrit = -^—Ec. (2.3)
D + n D+n
Пример 2.2
У двух векселей с номиналами Ci = 10 000, С2 = 24 000 оставшиеся сро-
ки до погашения равны п^ = 90, п? = 30 дней. Найти коммерческий и
рациональный дисконт по ним, если используемая ставка простых про-
центов i = 10%.
Решение. Нетрудно видеть, что соответственно
Ес = 10 000 • 0,1 • (90/360) = 250, Ег = 250/(1 4- 0,1 • 90/360) = 243,9;
Ес = 24 000 • 0,1 • (30/360) = 200, Ег = 200/(1 4-0,1- 30/360) = 198,3 •
Итак, если считать, что при учете векселей действует формула (2.1),
то имеет место следующая простая связь между ежегодной учетной став-
кой d и ежегодной ставкой простых процентов i, вытекающая из (2.2)
и (2.3) при t = п/360:
КД: d = i- РД: d= —-L—=-±- (2.4)
1 + n/L) 1 + it
2 Учет векселей
13
Практика дисконта
В реальной жизни, однако, вышеуказанной схеме сопутствуют различные
нюансы. Так, во французской практике ставка процентов d, обычно ис-
пользуемая в операции учета векселя и называемая учетной, обычно опре-
деляется добавлением к основной банковской ставке двух комиссионных
надбавок: за учет, т.е. расчет дисконта, и за так называемую переда-
точную надпись (на векселе). Кроме того, банки могут взимать и такие
комиссионные, которые в отличие от вышеупомянутых могут подвер-
гаться налогообложению. Некоторые из них зависят от числа векселей,
представленных к учету (комиссионные за обслуживание), другие взи-
маются пропорционально участвующим в операции капиталам. Наконец,
как правило, срок погашения увеличивается на один так называемый бан-
ковский день, чтобы расширить базу для начисления процентов. В сумме
все эти надбавки оказываются эквивалентными как минимум 10 дням,
добавленным к сроку погашения.
По этим причинам вексель номинала 1 026 724,60, представленный к
учету 11 января со сроком погашения 12 февраля, будет учтен следую-
щим образом:
условная длительность учета (в днях) (31-11)4-12+1=33
основная банковская ставка (в %) 8,80
совокупная дополнительная ставка 1,15
проценты по ежегодной ставке 9,95% 9364,58
фиксированные комиссионные за услугу 10,00
налог с комиссионных 1,86
Всего начислено к оплате 9376,44
Таким образом, насчет клиента поступит сумма 1 017 348,16. Считая,
что налоги все равно были бы выплачены и потому чистая стоимость
операции равна 9374,58, получим, что реальная процентная ставка при
учете была равна
9374,58-360 _
1 026 724,60(33 - 1) - ’ °’
Следует иметь в виду, что затронутая тема комиссионных весьма
многогранна. И полностью охарактеризовать ее трудно. Так, в основе
любого честного товарного векселя лежат реальная сделка и коммерче-
ский кредит, который продавец предоставляет покупателю, что позволя-
ет ускорить реализацию товара. Комиссионные здесь могут быть поэто-
му тесно увязаны с видом товара. В то же время бывает, что за неболь-
шое вознаграждение люди соглашаются участвовать в мошенничестве и
на них выписывается бронзовый вексель. В какую графу комиссионных
записать тогда эти суммы?
14
I Простые проценты
2.4. Эквивалентность, переучет и пролонгация векселей
Эквивалентность векселей
В случае коммерческого дисконта два векселя называются эквивалент-
ными на данный момент, если их ПЗ (на этот момент) при учете по
одной и той же ставке совпадают. Точно так же один вексель эквивален-
тен нескольким другим, если его ПЗ равно сумме ПЗ этих других. При
коммерческом дисконте имеем, таким образом,
для двух эквивалентных векселей:
V =
D - n _ D — nf
D С = D
для одного векселя, эквивалентного двум другим:
Пример 2.3
За бытовой прибор стоимостью 1600 можно внести 200 наличными, а
остальное оплатить за 12 месяцев, оформив 12 векселей одинакового
номинала с погашением через месяц,
1. Рассчитайте этот номинал для коммерческого дисконта, используя
ежегодную ставку i = 12% и считая год равным 12 месяцам.
2. При погашении третьего векселя решили заменить 9 оставшихся век-
селей на один с погашением при пятой выплате, т.е. через 2 месяца.
Каков его номинал?
Решение. 1. На момент оплаты 200 ПЗ 12 векселей равно 1400. Если
их номинал равен С, то ПЗ каждого векселя есть V/ = С(1 - iti),
ti = //12, 1 < I < 12. Поэтому
1400 = С 52(1 - ih) = 12С - —(1 + 2 + ... + 12) = С(12 - ^-0,12).
Откуда С = 124,78.
2. Сразу же после третьей выплаты ПЗ 9 непогашенных векселей
V = С(1 - г/12) + С(1 - 2г/12) + ... + С(1 - 9г/12) = 1066,84.
Поэтому номинал С единственного эквивалентного им векселя равен
(« = п/360)
V V 1066,84
” 1 - n/D “ 1 - it ~ 1 - 0,12(2/12) “ 1 ’
Переучет и пролонгация векселя
На практике часто случается, что должнику не удается вовремя вернуть
2 Учет векселей
15
долг, т.е. погасить вексель, который он оставил у кредитора. В этом
случае у него остается право частично или полностью обменять старый
вексель на новый, с более поздней датой погашения. Естественно, та-
кая пролонгация требует определенного вознаграждения, помимо умения
убедить противоположную сторону в том, что на этот раз дело закончит-
ся возвращением долга.
Пример 2.4
Вексель номинала 50 000 со сроком погашения 16 июня не был погашен
вовремя и заемщик решил заменить его на новый с датой погашения
16 сентября и номиналом 40 000, согласившись оплатить комиссионные
за продление по ставке 6% и фиксированные комиссионные за услугу -
5. Сколько всего заемщик должен заплатить за обмен?
Решение. Искомая сумма состоит из следующих элементов и равна:
за погашение разницы 10 000,00
(\ 40 000*0,06*92 z? 1 о оо
дисконт за продление (92 дня) ---------= 613, 33
затраты банка 5,00
искомая выплата заемщика 10 618,33 •
Если банк учитывает векселя какого-либо другого банка, то это на-
зывается переучетом векселей. Именно такой обычно и бывает форма
кредитования одного банка другим.
Пример 2.5
Банк А задолжал банку С сумму 86 000 и должен вернуть ее 16 июня.
Например, несколько ранее он взял кредит под три векселя номиналами
20 000, 40 000 и 26 000 с таким сроком погашения. Этот долг он решил
погасить тремя своими векселями, по которым уже ему должны вы-
платить суммы 25 000, 30 000 и 23 000 соответственно 18 сентября,
Ц августа и 19 августа. Какую сумму наличными банк А заплатит
банку С за эту операцию переучета, если учетная ставка равна 9%, а
фиксированные комиссионные составляют 10?
Решение. Коммерческий, дисконт по взятым векселям равен
гг ч/г^ (25 • 92 + 30 • 57 + 23 • 62)1000
Е = (Cin, + С2п2 4- C3n3)/D =--------360/0 09--------= 1359,
поскольку до погашения каждого векселя осталось соответственно 92,
57 и 62 дня. Поэтому их суммарное ПЗ на 16.06 составляет величину
76 641 = (25 + 30 + 23)1000 — 1359. И, значит, банк А должен заплатить
банку С сумму 9369 = 86 000 - 76 641 + 10 •
16
I Простые проценты
2.5. Историческая справка и вексельное право
Вексель, возможно, самая старая ценная бумага, рожденная из потребно-
стей в переводе денег из одного места в другое, а также в оформлении
рассрочки платежа при совершении торговой сделки.
Трудно сказать, можно ли считать родиной векселя Италию, но из-
вестно, что уже в середине XII века генуэзские купцы стали давать день-
ги местным менялам в обмен на письменные обязательства выплатить ту
же сумму в другом месте в определенное время. Таким образом, купец
мог отправиться на ярмарку без денег. На ярмарочных площадях золо-
тых дел мастера обменивали стекавшимся со всех сторон купцам деньги
на монеты их страны. При этом, как правило, валюта выдавалась не на-
личными, а в виде письма, содержащего в себе поручение корреспонденту
менялы в месте жительства купца уплатить по предъявлению определен-
ную сумму. Учитывая, насколько опасным в те времена было передви-
жение между городами, нетрудно понять, почему этот способ платежа
очень скоро сделался излюбленным. Письма от менял, дававшие купцам
право на получение денег в другом месте, представляли собой как бы за-
родышевую форму векселя. Сам же термин «вексель» по произношению
берет начало, по-видимому, от немецкого слова, а по смыслу на многих
языках означает «обмен»:
по-английски bill of exchange
по-немецки wechsel
по-французски lettre de change
по-итальянски cambium
Итак, первоначально вексельные операции были связаны с переводом
денег из одних городов и стран в другие. Но уже вскоре векселя стали
орудием коммерческого кредита. Купцы, продавая друг другу товары
в кредит, расплачивались векселями. В те времена центрами торговли
были ярмарки, и потому платежи по векселям обычно приурочивались
к той или иной ярмарке по времени. Так, в XII-XIV вв. международное
значение имели ярмарки во французском графстве Шампань, располо-
женном на путях между Англией и Италией. На эти ярмарки, устраи-
вавшиеся шесть раз в год, съезжались купцы со всей Европы с товарами
из европейских и восточных стран. В определенные дни на шампаньских
ярмарках совершались расчеты между купцами по векселям, получившие
название вексельных ярмарок. В XV-XVI вв. роль мировых ярмарок и
центров вексельного оборота перешла к ярмаркам Лиона и Антверпена.
Считается, что вексель отличается от долговой расписки и иных дол-
говых обязательств своей большей строгостью и формализованностью
в условиях составления, обращения и взыскания. В этой связи большое
значение имеет вексельное право и, конечно, модель векселя, которую
устанавливает та или иная система вексельного права.
2 Учет векселей
17
Различают женевскую (более 70 стран) и англо-американскую (бо-
лее 40 стран) системы вексельного права. Россия входит в женевскую
систему, является участником женевской вексельной конвенции 1930 г.
и соответственно на ее территории действует Единообразный закон о
переводном и простом векселе (точнее говоря, его перевод в форме По-
ложения о переводном и простом векселе, чье действие подтверждено
постановлением Президиума Верховного Совета РФ от 24 июня 1991 г.).
Основной целью в этом пункте было желание автора познакомить чи-
тателя с тем, как простые проценты используются в сфере обращения
векселя. И чтобы сделать изложение более конкретным, были выбраны
два типа векселя. Однако следует иметь ввиду, что практически любой
финансовый инструмент или даже конкретная проблема из области фи-
нансовых отношений - это всегда очень емкие понятия или ситуации. Их
просто невозможно в достаточной степени полно раскрыть в какой-либо
общей монографии, какой бы толстой она ни была. Это тем более верно
в отношении векселя.
Добавим к этому несколько штрихов. Конечно, вексель имеет строго
установленный перечень обязательных реквизитов (характеризуя имен-
ной вексель, мы их указали). И отсутствие хотя бы одного из них лишает
документ юридической силы (за немногими исключениями). Более того,
вексель составляется на так называемой вексельной бумаге. Правда, сей-
час это не означает специальный сорт или гербовость бумаги. И когда
говорят, что используется гербовая бумага, имеют в виду лишь то, что
должен использоваться бланк, содержащий все необходимые вексельные
реквизиты.
В то же время понятно, что в сфере обращения векселя существуют
изъяны. Интересно, что для некоторых мошеннических типов векселей
время выработало названия, весьма приятные на слух. Мы имеем в виду
понятия дружеский и бронзовый векселя, за которыми не стоит никакой
реальной сделки или реального финансового обязательства. И отличают-
ся они лишь тем, что оба лица, участвующие в дружеском векселе, явля-
ются реальными, тогда как в бронзовом хотя бы одно лицо оказывается
вымышленным. Обычно дружескими векселями встречно (и на равные
суммы, сроки и т.д.) обмениваются лица, находящиеся в доверительных
и при этом затруднительных финансовых отношениях. Цель - получить
под вексель реальные деньги или использовать их для совершения пла-
тежей за товары. У бронзового векселя целью также является получение
денег в банке под залог или для погашения долгов по реальным товар-
ным сделкам или финансовым обязательствам. Излишне указывать, что
такие векселя фальсифицируют вексельный оборот, провоцируют его не-
устойчивость и массовые неплатежи.
18
I Простые проценты
3. Коммерческий расчетный счет
Операции с коммерческими счетами имеют широкое распространение в
цивилизованном мире. Однако «правила игры» в них у нас пока малоиз-
вестны неспециалистам, поскольку все же заметно отличаются от при-
вычных нам действий со счетами, открываемыми в различных филиалах
Сбербанка: срочными, до востребования и т.д.
3.1. Определение. Сопутствующие понятия
Расчетными, или текущими называются счета, которые предприятия от-
крывают в банке. На этих счетах отражается вся деятельность физиче-
ского или юридического лица, связанная с изъятием или поступлением
его денежных средств. Причем деятельность эта сильно регламентиро-
вана и, кроме того, в мировой практике принято выделять несколько фаз
отношений банка со своим клиентом-собственником счета.
Суть этих фаз проста: они указывают на степень доверия банка к
своему клиенту. Допустим, предприниматель только открыл счет в бан-
ке и вложил в него определенную сумму денежных средств. На этом этапе
собственник счета имеет возможность снимать деньги только в преде-
лах своего счета. Это - первая фаза отношений. Вторая предусматри-
вает разрешение банка своему клиенту несколько превысить сумму рас-
ходов по сравнению с величиной его расчетного счета. Иными словами,
брать небольшие суммы в кредит. В третьей фазе банк разрешает соб-
ственнику счета брать заметно большие суммы в кредит (открывает так
называемую кредитную линию). В четвертой - допускается финансиро-
вание капитальных вложений, в пятой - предусматривается погашение
всех долгов из-собственных средств заемщика. И т.д.
Укажем и формальное определение, непонятное на первый взгляд, но
вполне отражающее суть дела. Расчетный счет (PC) - это контракт,
по которому две стороны обязуются не претендовать на свои средства,
«проходящие» через этот счет, до его закрытия. На суммы, записываемые
на этот счет, могут начисляться проценты, но не всегда. Если проценты
начисляются, то по оговоренным ставкам, постоянным или меняющимся.
Например, по учетной ставке национального банка Франции или основ-
ной банковской ставке. Если ставка одна и та же для средств клиента и
банка, то говорят, что PC имеет взаимную ставку. В противном случае
ставка называется дифференцируемой.
Но здесь нас будет интересовать другое. А именно, по каким бух-
галтерским правилам «живет» такой счет? Точнее говоря, речь пойдет о
французском варианте таких правил, во многом отражающем ситуацию
в Европейском союзе.
3 Коммерческий расчетный счет
19
3.2. Методы начисления процентов
Исторически сложились три основных способа расчета процентов на PC:
прямой, косвенный и гамбургский. В каждом из них опираются на по-
следовательность дат:
дату начала или открытия счета;
дату окончания или закрытия счета;
даты операций: в эти дни имеют место изменения на счету;
даты отсчета: некоторые условные дни, начиная с которых
производится начисление процентов.
Уточним смысл последней даты. При каждом изменении на счету пе-
реходят от даты операции к соответствующей дате отсчета, добавляя
или вычитая некоторое число дней, называемых днями отсчета (обычно
в диапазоне (-2, 2)). Эти числа меняются в зависимости от вида операции
(занесение или снятие денег со счета, их перевод и т.д.), типа денег (на-
личные, чеки), места проведения операции («на месте», в другом месте,
за границей), а также участвующего банка или финансовой организации
(в этом нет никакой регламентации).
Но в любом случае дни отсчета выбираются в пользу финансового
учреждения. И такая практика объясняется не тем, что «каждый гребет
под себя» (к чему в России давно привыкли). Дело в том, что, если деньги
на счет в банке поступают от клиента, то существуют переходные пери-
оды, когда они еще не находятся под контролем управляющего банка или
организации, в которой открыт счет. А если клиент снимает какую-то
сумму, то фактически он «отрезает от пирога», который должен быть
приготовлен заранее и «ждать», когда клиент захочет его отрезать. И
при этом управляющий банка не имеет возможности использовать сам
этот, так сказать, «клиентский пирог».
Рассмотрим сначала случай совпадающих ставок. Но прежде уточ-
ним основные моменты в расчете процентов. Во-первых, предположим,
что мы рассматриваем счет, находящийся, как минимум, во второй фазе
(отношений банка с клиентом). Иными словами, предположим, что сум-
мы на расчетный счет могут не только вноситься, но и сниматься по воле
клиента даже тогда, когда баланс на счету говорит: отмеченная на нем
сумма принадлежит банку. Причем для простоты будем считать, что сни-
маемые суммы не нарушают имеющихся балансовых граничных условий
данной фазы. Иначе нам придется вникать в различные возможности,
связанные с преодолением этих барьеров.
2—1221
20
I Простые проценты
Прямой метод
В этом подходе проценты начисляются на любую сумму как из приходной
колонки, так и из расходной за период от соответствующей даты отсчета
до даты завершения расчетов:
__ Сопо С1П1 Сьпь _ £2о Cini. /о 1 \
~ D + D +"'+ D ~ D ’
здесь и ниже С[- сумма, появляющаяся на счету во время Z-го измене-
ния на счету (за рассматриваемый период), а п/ - число дней от соответ-
ствующей даты отсчета до даты завершения расчетов в данном периоде
I = 1, 2, • • •, L . Что же касается Со , то это сумма, представляющая ба-
ланс на счету в начале рассматриваемого периода, a N = пр - количество
дней в этом периоде (точнее говоря, от даты начала расчетов до даты
завершения расчетов).
Косвенный метод
В этом случае проценты определяются как разница между так называ-
емыми глобальными процентами, начисляемыми за весь рассматривае-
мый период (от начала расчетов до их завершения), и так называемыми
фиктивными процентами, т.е. начисляемыми за время от даты начала
расчетов до соответствующей (поступающей сумме) даты отсчета:
, _ "SoG _ SfC,(W- -,)
D D ' ( 1
Гамбургский метод
В этом случае проценты вычисляются по формуле
_ Ср(пр — nJ (Ср + Ci)(ni — П2) (Ср + Ci + • • • + Cl)til , .
D + D +”+ D ‘
Все три выражения (3.1-3.3) легко переходят одно в другое (см. упр.8).
Используются же они в зависимости от ситуации и предпочтений работ-
ника.
Табл. 3.1 Ноябрь. Ставка взаимная 7%
N Дата Тип Дебет Кредит Дата Дни Сумма Сумма
1 операции операции IGI Ci отсчета П/ дебет кредит
0 01.11 Сальдо дебетовое 2500,00 31.10 30 75 000
1 05.11 Чек
выписан 2000,00 03.11 27 54 000
2 11.11 Вклад
наличными 7222 12.11 18 129 996
3 27.11 Чек
оплачен 660,00 25.11 5 3 300
30.11 Проценты дебетовые 0,45
30.11 Сальдо кредитное 2061,55
7222,00 7222 132 300 129 996
3 Коммерческий расчетный счет
21
Пример 3.1. Прямой и косвенный методы
Рассмотреть текущий счет, представленный в табл. 3.1, прокоммен-
тировать его и объяснить расчет процентов за ноябрь с использова-
нием прямого и косвенного метода.
Решение. Наша таблица отличается от реального ТС лишь 1-й ко-
лонкой и нижней строкой (а также указанием в верхней части 3, 4 и 6-й
колонок наших обозначений). Их мы добавили, чтобы упростить понима-
ние введенных обозначений. Будем считать, что 1-й колонки нет. Тогда
можно сказать, что изменения на счету делаются в 3 и 4-й колонках.
В рассматриваемом случае за ноябрь было всего три таких изменения,
т.е. L = 3. Что же касается нулевой строчки, то мы видим, что сумма
2500,00 находится в 3-й колонке. Это означает, что предприниматель,
владелец счета, на 1 ноября должен банку именно 2500. Кроме того, бу-
дем считать, что цифры из 3-й колонки имеют знак минус, а 4-й - плюс.
Тогда, например, Со = -2500.
Что еще можно сказать? Нетрудно видеть, что правая половина табл.
3.1 относится к расчету процентов, как бы подготавливает все для бы-
строго получения искомой суммы. Конечно, в двух самых правых колон-
ках даны произведения Ci-ni. Далее, нижняя строка суммирует цифры в
соответствующей колонке. В предпоследней строке отмечено, что сальдо
(т.е. остаток или баланс в нашей терминологии) является кредитовым.
Иными словами, сумма 2061,55 принадлежит владельцу счета. Помеще-
на же она в 3-ю колонку только для того, чтобы «подбить баланс» (т.е.
сделать сумму цифр 3-й колонки равной сумме цифр 4-й).
Итак, нам осталось лишь разобраться в том, что проценты за но-
ябрь являются дебетовыми, т.е. I = —0,45. Но в соответствии с пря-
мым методом для этого достаточно (по формуле (3.1)) алгебраическую
сумму чисел последней строки (число 132 300 имеет знак минус!) раз-
делить на D. Иными словами, I = (-2304)(0,07/360) = -0,45. В то
же время сальдо этого счета в последний день рассматриваемого пе-
риода (N = по = 30) становится кредитовым и составляет величину
2062 = 7222 - (2500 + 2000 + 660) = . Поэтому, используя косвенный
метод, т.е. формулу (3.2), получаем
I = [2062 • 30 - (7222 • 12 - 2000 • 3 - 660 • 25)](0,07/360) = -0,45 •
Если же ставки, начисляемые на деньги банка (говорят: дебетовые
суммы), и деньги клиента (говорят: кредитовые суммы) отличаются, то
во всех методах величина D может принимать два значения, а не одно.
Поэтому вычисления следует проводить, разбивая все слагаемые на две
группы. Ясно, что соответствующие изменения незначительны, а дей-
ствия очевидны. Мы рассмотрим их лишь в конкретной ситуации рас-
четного счета с дифференцируемой ставкой.
22
I Простые проценты
Табл. 3.2 Первый квартал. Ставка кредитная 2%, дебетовая - 9%
Дата опер Тип операции %Сумма дебет Сумма кредит Сальдо дебет Сальдо кредит Дата отсчета Дни П| Проц
01.01 20.01 10.02 01.03 31.03 31.03 Сальдо кредитное Вклад открыт Чек выписан Чек выписан Проценты кредитные Сальдо дебетовое 5 500 7 500 1 200,00 10 000,00 4,22 1 795,78 1800,00 1795,78 1 200 И 200 5 700 31.12 21.01 08.02 27.02 21 18 19 32 + 1,40 + 11,20 +6,02 -14,40
13 000 13 000,00 90 +4,22
Пример 3.2. Гамбургский метод
Рассмотреть текущий счет, представленный в табл. 3.2, прокоммен-
тировать его и объяснить расчет процентов за первый квартал, ис-
пользуя гамбургский метод.
Решение. Здесь после разбора предыдущего примера комментиро-
вать практически нечего. Отметим лишь, что в 1-п строке колонки
«дни» теперь приведены числа п/ - n/+i, ^l+i = 0, а в двух новых
колонках (сальдо дебетовое и кредитовое) - суммы из формулы (3.3):
Со + С\ + • • • + Ci. Что же касается расчета цифр двух правых коло-
нок, то на этот раз они рассчитываются по соответствующим ставкам.
Например, 14,40 = 1800 • 32[0, 09/360].
Возможно, следует добавить также, что проценты 4,22 за первый
квартал получаются кредитовыми (т.е. банк должен оплатить указанную
сумму клиенту) и потому помещаются в кредитовую колонку. А сальдо
1800 на конец квартала на этот раз дебетовое и потому в первой строке
за 31 марта указано его уменьшение до 1795,78 с принятием в расчет
начисленных процентов. И наконец, та же цифра 1795,78 помещена во
вторую строку за 31 марта опять-таки для «подбития баланса».
Остается, таким образом, объяснить, почему суммарные проценты за
три месяца равны 4,22. Для этого достаточно, используя формулу (3.3),
разбить все слагаемые на две группы:
I = (1200-21 + 11 200-18+5700-19)[0,02/360] - (1800 • 32) [0,09/360] = 4,22е
Замечание 3.1. Выше мы не указали причин, по которым выбор дат
отсчета для той или иной ситуации оказался именно таким. Но мы и не
собираемся этого делать. Хотим лишь обратить ваше внимание, что дни
отсчета действительно лежат в интервале (-2,2) •
3 Коммерческий расчетный счет
23
3.3. Расчетный, или текущий счет
В Большой советской энциклопедии говорится, что в СССР расчетный
счет - это банковский счет, на котором отражаются денежные операции,
вытекающие из хозрасчетной деятельности предприятий и организаций,
наделенных собственными оборотными средствами. Для каждого такого
предприятия мог быть открыт только один подобный счет, служивший
для хранения денежных средств и осуществления соответствующих рас-
четов. Немудрено, что в Советском Союзе мало кто имел представление
о расчетном счете.
Выше мы уже познакомились с так называемым коммерческим рас-
четным счетом, вернее, с его французским вариантом, широко распро-
страненным в странах Западной Европы. Но, конечно, только в первом
приближении, в основном с правилами расчета процентов в некоторых
ситуациях. В реальной же жизни практически любой читатель не раз
бывал в Сберкассе (теперь филиалы Сбербанка) и наверняка уже успел
получить представление о сберкнижках и счетах, которые каждый гра-
жданин может десятками и сотнями открывать на свое имя, а также о
десятках различных типов вкладов и других операций, которые стали
возможными в наше время.
Итак, с одной стороны, практически полное отсутствие представле-
ния о PC в России до 90-х гг., и ограниченные возможности познакомить-
ся с «работой» этого же понятия в цивилизованных странах еще недавно.
А с другой - бурный рост числа различных финансовых инструментов
в мире вообще, и попытка Сбербанков в России встать вровень с бан-
ками развитых стран. В этой ситуации, конечно, каждый специалист
по-своему будет объяснять слова расчетный счет (PC) и текущий счет
(ТС), которые мы в дальнейшем будем использовать как синонимы. И
будет прав, поскольку это очень емкие и интересные понятия. Однако
выручает то, что в принципе знакомиться с этими понятиями (чтобы их
использовать) нам и не нужно. Для нас достаточно лишь в двух словах
уточнить смысл, который здесь будет вкладываться в эти понятия.
Если читателю удобно, он может считать, что PC, или ТС, - это счет,
который возникает при открытии любого типа вклада в Сбербанке. Для
автора же суть дела в том, что говоря о ТС, мы всего лишь имеем в
виду возможность наращивания или увеличения в каком-то ритме и в те-
чение некоторого времени имевшейся в какой-то момент времени денеж-
ной суммы. Для наших целей этого будет вполне достаточно практически
во всех ситуациях в которых мы будем оказываться. Ну а уж конкрет-
ную форму «прибора», который будет исполнять функцию наращивания,
читатель может выдумать себе и сам.
24
/ Простые проценты
4. Ломбардный кредит
Эта финансовая операция в настоящее время знакома нам несколько боль-
ше, чем две предыдущие. Хотя бы потому, что она «работала» и в совет-
ское время. И соответственно известна многим поколениям не только по
кино и книгам, но и по реальной жизни. Ее смысл в том, что обеспечение
получаемого кредита производится ценными бумагами (ранее только в
других странах) или материальными ценностями. При этом в мировой
практике принято, что сумма ломбардного кредита (ЛК) не должна со-
ставлять более 75-80% номинальной стоимости залога. Если же кредит
дается под ценные бумаги (чего у нас, похоже, до сих пор нет), то его
сумма рассчитывается исходя из такой же доли текущей курсовой стои-
мости данных ценных бумаг.
Обычно ЛК выдается на трехмесячный срок (в дальнейшем мы поста-
раемся описать подход, которого придерживаются в странах Западной
Европы). При этом возможны различные варианты возвращения долга.
Заемщик может
1) весь долг погасить вовремя,
2) продлить срок погашения на следующие три месяца,
3) оплатить вовремя лишь часть долга, а остаток погасить позже и т.д. В * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
В расчетах, как правило, учитывается точное количество дней в ме-
сяце и принимается, что в году 360 дней. Если заемщик не погашает
кредит вовремя, он должен рассчитываться с кредитором по увеличен-
ной (штрафной) процентной ставке в течение всего периода задержки
платежа.
Пример 4.1
Клиент обратился в банк 16 марта для получения ЛК и представил в
залог 150 единиц ценных бумаг. Величина займа рассчитывается, исходя
из 80% их курсовой стоимости, кредит берется на 3 месяца, ежегодная
процентная ставка равна 9%, а затраты банка по обслуживанию долга
- 200.
1. Определить, на какой кредит может рассчитывать этот клиент,
если курс одной его ценной бумаги составляет 300.
2. Предположим, что заемщик 16 июня решил выплатить лишь часть
долга (6000) и продлить погашение кредита еще на 3 месяца. Сколько
всего он должен будет заплатить за продление, если штрафная ставка
в этом случае не используется?
Решение. 1. В расчете 16 марта основную проблему составляют про-
центы
Т _ Сп _ 36 000 • °’ 09 • 92 ООО
j~~d~ 360 ~828’
которые должны быть начислены на сумму С = 36 000 = 0,8 • 300 • 150.
4 Ломбардный кредит
25
Поэтому весь расчет может быть представлен в виде
курсовая стоимость залога 300 • 150 45 000
величина займа 80% от 45 000 36 000
проценты за период с 16.03 по 16.06 828
затраты банка 200
клиент получит на руки 34 972
2. 16 июня проценты начисляются по основной ставке на остаток долга,
который равен 30 000=36 000 - 6000. Кроме того, период с 16 июня по
16 сентября также составляет 92 дня. Поэтому проценты за продление
I = 30 000 • 0,09 • 92/360 = 690 и, следовательно, весь расчет принимает
следующий вид
новая величина займа 36 000 - 6000 30 000
проценты за период с 16.06 по 16.09 690
затраты банка 0
клиент всего заплатит 6 690
если банк не берет комиссионных за эту услугу •
Часто бывает, что у клиента есть некоторая сумма А < С и он ее
отдает в счет погашения долга С и оплаты процентов за перенос пога-
шения на некоторое время t вперед. Естественно, требуется получить
представление А = V + I, в котором проценты I за время t берутся с
остатка долга С — V , который и является искомой величиной. Нетрудно
видеть, что I = (С - V)it = (С - А 4- I)it и поэтому
; (С - A)it
1 — it
С -V = С - А + I.
(4-1)
Пример 4.1 (продолжение)
Предположим, что 16 июня клиент обнаружил, что помимо 6000 имеет
15 000. Но по-прежнему просит продлить срок погашения на 3 месяца
и соответственно рассчитать остаток долга, который он должен бу-
дет вернуть 16 сентября.
Решение. У нас С = 30 000, А = 15 000, t = 92/360. И потому
15 000 0,09 92
1 — ллл л лл — 353,1Z
360 - 8,28
С- V = 15 353,12 •
В расчетах, связанных с ломбардным кредитом, могут возникать зна-
чительно более неожиданные ситуации. И обычно никаких осложнений не
бывает. Тем не менее рассмотрим, например, случай, когда приходится
делать два расчета. Первый для погашения просроченной задолженно-
сти, а второй для определения искомой суммы нового кредита, которую
заемщик получит после погашения долга по первой ссуде.
26
I Простые проценты
Пример 4.2
Предположим, что долг еще одного клиента также был обеспечен
150 облигациями и составляет 45 000. Но срок его погашения истек
Ц октября, а заемщик лишь 24 октября принес еще 300 таких же об-
лигаций и 100 акций в залог под новый трехмесячный займ. Считая,
что предыдущий долг будет погашаться из нового займа, определить,
на какую величину кредита может рассчитывать этот клиент, если
величина займа по-прежнему устанавливается исходя из 80% от зало-
га, основная ставка равна 8%, штрафная - 9% и при этом курсовая
стоимость всех имеющихся облигаций одинакова и составляет 350, а
акций - 180.
Решение. Разберемся сначала с возвращением долга и оплатой про-
срочки. Ясно, что проценты за 10-дневное опоздание составляют вели-
чину I = 45 000-0,09-10/360= 112,5. И, следовательно, из нового займа
следует «вынуть» сумму 45 112,5.
Обратимся далее к новому займу и предположим, что ранее отданные
в залог облигации войдут в новый залог. Тогда курсовая стоимость всех
облигаций составит величину 450-350 = 157 500, акций 100-180 = 18 000,
а полная стоимость залога будет равна 175 500. Соответственно сумма
займа окажется равной (т.е. для возвращения залога придется выпла-
тить) 0,8 • 175 500 = 140 400. Таким образом, на руки клиент получит
остаток от этой суммы после оплаты старого долга с процентами за
опоздание и новых процентов
140 400-0,09 -92 _ Л
---------------= 3229,2
Следовательно, расчет по новому займу можно оформить в виде
курсовая стоимость облигаций 450 • 350 = 157 500 курсовая стоимость акций 100 • 180 = 18 000 курсовая стоимость залога 157 500,0 18 000,0 175 500,0
величина займа 80% от залога проценты за период с 24.10 по 24.01 возврат первого долга 140 400,0 3 229,2 45 112,5
заемщик получит на руки 92 058,3
если считать, что за новое обслуживание долга он заплатил ранее •
Отметим в заключение, что, как мы убедились выше, проценты в
ЛК оплачиваются вначале и рассчитываются по сумме кредита. Таким
образом, операция ЛК фактически полностью совпадает с коммерческим
векселем. Только традиции оформления расчетов здесь сложились совсем
другие. Учетная ставка даже не упоминается, хотя она и совпадает с
ежегодной ставкой простых процентов.
5 Форфейтная операция
27
5. Форфейтная операция
Среди новых финансово-кредитных операций, используемых всего лишь
примерно 40 последних лет XX в., есть одна, название которой на пер-
вый взгляд совсем непонятно - форфейтная операция (ФО). Правда, бу-
квальный перевод с французского несколько проливает свет х: получение
кредита на заранее оговоренных условиях. Она получила особое распро-
странение во внешней торговле, где послужила важным стимулирующим
фактором развития. Хотя, отметим, что нет веских причин, препятству-
ющих ее использованию и внутри страны. Кроме того, эта операция да-
ет пример финансовой сделки, в которой принимают участие более двух
сторон.
5.1. Суть операции и ее участники
При продаже какого-либо крупного объекта (комплекта оборудования,
судна, предприятия, значительной партии товара) нередко возникает сле-
дующая ситуация. Покупатель (или импортер) хочет приобрести товар в
рассрочку, поскольку у него нет или не хватает денежных ресурсов. Про-
давец же (или экспортер) не может отложить получение денег на будущее
и продать товар в кредит. Возникающее противоречие разрешается тем,
что покупатель выписывает комплект векселей на сумму, равную стоимо-
сти товара, плюс проценты за кредит, который как бы предоставляется
покупателю. Ну а затем продавец сразу же после получения портфеля
векселей учитывает его в банке, получая деньги немедленно, как и хотел.
Таким образом, в ФО фактически не продавец кредитует покупате-
ля, а банк предоставляет кредит и берет весь риск на себя. Последнее
обстоятельство нередко приводит к тому, что в этой сделке появляется
и четвертый участник: гарант-банк покупателя. Он гарантирует пога-
шение задолженности по векселям. Но, конечно, каждая из участвующих
в сделке сторон преследует собственные цели и соответственно следит за
разработкой условий соглашения.
Цель продавца - получить при учете векселей сумму, равную ого-
воренной цене товара. Некоторую помеху для него создает тот факт,
что покупатель и банк часто являются разными «объектами» (в этом
мы убедимся несколько ниже). Покупатель же хочет приобрести товар
с наименьшими издержками. Расходы для него сводятся к погашению
последовательно предьявляемых ему векселей, обычно через равные про-
межутки времени. Наконец, для банка ФО - обычная операция учета
векселей.
^cheter a forfait - купить подрядным способом, т.е. закпючив договор.
28
I Простые проценты
5.2. Анализ позиции продавца
При ближайшем рассмотрении оказывается, что интересы сторон в этой
операции переплетены в большей мере, чем это может показаться на пер-
вый взгляд. Поэтому, анализируя позицию каждого из участников сдел-
ки, по возможности будем принимать во внимание интересы остальных
ее участников.
Из вышесказанного следует, что продавец должен получить при уче-
те портфеля векселей в банке сумму, равную цене товара Р. Но если
предположить, что эти векселя имеют номиналы Ci и предъявляются к
погашению в моменты Z = 1,• • •, п, то при учете будет получена сумма
А = уС,(1 -dl). (5.1)
1
Конечно, если сделка совершена в момент 0, d - учетная ставка рассма-
триваемого периода, ап- число векселей или равных периодов, разде-
ляющих платежи.
Итак, при выборе номиналов векселей Ci продавцу следует поступить
так, чтобы А = Р. Но как именно? Ведь традиционно этот номинал
состоит из двух элементов: суммы В/, погашающей основной долг Р,
и процентов Ц за кредит. Причем обычно В/ = Р/n, т.е. погашение
распределено равномерно по времени, а проценты определяются одним
из двух способов, в которых i - ставка ПП периода:
1)//= Рг(1 - —2)h = Pi-. (5.2)
n n
Иными словами, в первом случае они начисляются на остаток долга, а во
втором - на уже оплаченную сумму. Ясно, что в этой ситуации номинал
Ci векселей записывается в виде
1) Ci = —[1 + (п — / + 1)г], 2) Cl = - fl + И]. (5.3)
п п
Понятно также, что существует условие на параметры сделки п, г, d,
при котором действительно оказывается, что А = Р. Найдем его в ка-
ждом из двух вариантов.
В силу (5.1) и (5.3) ПЗ комплекта векселей А можно записать в виде
1) А = -[(1 + (п + 1)г) У (1 - Id) - i У /(1 - Id)],
n ix
р n n
2) A = -[У (1 - Id) + i У /(1 - Id)].
n i i
5 Форфейтная операция
29
Но, как известно, = , 53" I2 = n^n+l-^2n-+-^. Поэтому выраже-
нию (5.1) можно придать форму А = Pz, где
l)2 = l + ^[(i-d)-id^p], 2) z = i + ^l[(z-d)-id^±2]. (5.4)
Zu Zu
Соответственно искомое условие равенства А = Р записать можно в
виде
. ,п + 2 Л. . , . ,2n + 1
1) г — d. = id—-—, 2) г - d = id—-—.
и и
Практически же полезней, когда одна ставка выражается через другую:
d = 1 + гП±2 ’ 1 = )d = 1 + г^’ Z = 1-d^' ( 5)
При этом для равенства z — 1 ставка г должна быть заметно больше
d. А точнее говоря, если положить г = d(l + к) , то z — 1, когда к
определяется из условия
к п 4- 2 2n + 1
—- = <Ю, где 1)Р=^-, 2)Г>=—(5.6)
1 + к 3 3
Имея такую простую связь (5.5) между ставками, продавец, казалось
бы, не должен испытывать никаких проблем. Он может сначала уточнить
уровень учетных ставок в ближайших банках, согласных взять на себя
предоставление кредита, и затем спокойно искать покупателя, зная, ка-
кую ставку i можно ему предложить. Во всяком случае он может знать,
на что опираться, принимая решение. Но в жизни, как правило, бывает
по-другому.
Пример 5.1
В уплату за товар ценою в 1 000 000 выписали четыре векселя с пога-
шением через полгода по ежегодной ставке ПП i = 10%.
1. Каковы номиналы векселей и проценты Ц по ним в каждом из двух
методов (указать их, считая, что 1000=1)?
2. Угадал ли продавец, если ежегодная учетная ставка равна 9,5%?
3. Какой должна быть предложенная покупателю ставка i, чтобы при
данной учетной ставке 9,5% продавец не понес ущерба?
1 Bl = Р/п 1. h 1. Ci 2. h 2. Ci
1 250 50,0 300,0 12,5 262,5
2 250 37,5 287,5 25,0 275,0
3 250 25,5 275,0 37,5 287,5
4 250 12,5 262,5 50,0 300,0
Итого 1000 125,0 1125,0 125,0 1125,0
30
I Простые проценты
Решение. Так как п = 4, а БП = полгода, то i = 5%, d = 4, 75%.
1. Искомые величины находим по формулам (5.2), (5.3) (см. табл.).
2. Для ответа достаточно рассчитать значение величины z :
1) z = 1 + 2, 5 • [(0, 05 - 0, 0475) - 0, 05 • 0, 0475 - 2] = 0, 994375;
2) z = 1 + 2, 5 • [(0,05 - 0,0475) - 0,05 • 0,0475 - 3] = 0, 988437.
Как видим, продавец «не угадал». И если все условия сделки останутся без
изменений, то он получит несколько меньшую сумму вместо оговоренной
цены Р =1 000 000. Причем заметно меньше во втором случае.
3. Нетрудно видеть, что в силу (5.5)
ч 0,0475 ч 0,0475
1 i =----------= 0,052486, 2 i =---------------= 0, 055394.
7 1 - 0,0475^ 7 1 - 0,0475^1
И, следовательно, в качестве ежегодной ставки i вместо 10% нужно было
предложить хотя бы, чтобы 1) i = 10,4972%, 2) i = 11,0788% •
Итак, подведем итоги с помощью рассмотренного примера. Конеч-
но, лучше заранее рассчитать нужную ставку i по данной ставке d и
соответствующие номиналы Ci векселей. Тем более что все требуемые
формулы есть. Однако, если «промашка» все же вышла (т.е. г < 1), то
у продавца есть два пути, чтобы все-таки получить искомую цену Р:
либо скорректировать цену, увеличив в 1/г раз непосредственно сами
номиналы векселей, либо повысить ставку кредита г до уровня, задавае-
мого формулами (5.5). Иными словами, ему следует изменить номиналы
векселей, но теперь уже неравномерно по времени.
Пример 5.1 (продолжение 1)
Каковы новые номиналы векселей для 1-го варианта кредита после
1) корректировки с помощью коэффициента z , а также
2) назначения новой ставки кредита.
Решение. Компенсировать потери продавца будем в обоих случаях
исходя из найденных при ответе на первый вопрос номиналах С/.
1. Используя полученный при ответе на второй вопрос множитель
z = 0, 994375 , рассчитываем новые номиналы по формуле C\]z :
301,697; 289,126; 276,566; 263,984.
2. Напомним, что для номиналов действует формула С/ — 250[1 + (5-/)г].
Причем старые соответствуют ставке г — 0,05, а для новых следует ис-
пользовать ставку г — 0,052486, найденную при ответе на третий во-
прос. Иными словами, новые номиналы С/ можно рассчитывать по фор-
муле Ci = Ci + 250(5 - l)(i - 0, 05) = Ci + 250(5 - Z) • 0,002486 :
302,486; 289,365; 276,243; 263,122 •
5 Форфейтная операция
31
5.3. Анализ позиции покупателя и банка
Прежде всего отметим, что как покупатель, так и банк связаны с одним
и тем же денежным потоком (ДП). А именно, платежами по векселям
величины Ci в моменты I = 1, 2,---,п. Только для банка естественно
рассматривать ситуацию, когда этот поток сбалансирован, т.е. номина-
лы Ci уже выбраны так, что А = Р , а в случае покупателя вполне можно
рассматривать ситуацию как бы в процессе корректировки, т.е. с заме-
ной первоначально выбранных номиналов С/ на величины Cifz, или на
величины С/, определяемые по той же формуле (5.3), но с увеличенной
ставкой i.
В то же время интересы банка и покупателя заметно различаются.
Банк интересует прежде всего так называемая доходность рассматрива-
емого ДП. И в дальнейшем мы рассмотрим несколько таких показате-
лей. Но если взять наиболее «уважаемый» из них, то это некоторая такая
ставка g сложных процентов (СП; см. гл. П), что ПЗ будущих платежей
по ней на настоящий момент равняется текущим расходам (т.е. сумме
А, при сбалансированности равной Р, которую банк выдает продавцу).
Иными словами, имеем следующее уравнение для определения этой став-
ки g , которому будет посвящена большая часть гл. VI:
п
P = YCivl, v=l/(l + <7). (5.7)
1
Пример 5.1 (продолжение 2)
Определить для второго варианта новые номиналы векселей после кор-
ректировки с помощью коэффициента z и доходность операции их по-
гашения.
Решение. Чтобы получить новые номиналы векселей, берем номиналы
второго варианта из таблицы и умножаем на корректировочный множи-
тель l/z= 1/0,998437 = 1,0116977: 265,57; 278,22; 290,86; 303,51. В
результате уравнение (5.7) принимает вид
1000 = 265,57и + 278,22и2 4- 290,86и3 + 303,51и4.
В дальнейшем решению подобных уравнений будет уделено немало
внимания. Поэтому сейчас лишь заметим, что первое приближение можем
найти из квадратного уравнения 1000 = (265, 57 + 278,22)х + (290,86 +
303,51)х2, где х = v2. Затем улучшим его с помощью линейной интер-
поляции или какого-либо приближенного метода: g=5,22%. И наконец,
превратим полугодовую ставку в эквивалентную ежегодную ставку про-
цента по формуле (из гл. П) 1,05222 - 1 = 10, 71% •
Покупателя же интересует стоимость W соответствующего ДП на
момент подписания контракта, которая также обычно определяется с
32
I Простые проценты
помощью некоторой ставки q СП, т.е. аналогичным уравнением
Ж = и=1/(1 + 9), (5.8)
z 1
если номиналы (5.3) подправлены с помощью корректировочного множи-
теля z. При этом ставка q имеет смысл типичной для данного момента
банковской ставки по кредитам за рассматриваемый период, а сумма W
играет роль издержек покупателя. Поэтому естественно ставить и во-
прос о минимизации этих издержек.
Точнее говоря, запишем выражение (5.8) в виде функции параметров
Р, п, г, 9, z для обоих вариантов номиналов из (5.3) и воспользуемся
тем, что
/ и — , 7 VU -- I - IV V I .
1 Я /
В результате получим, что W — Pw/nqz , где
1 — vn 1 — vn
1) w = [l+t(n+l)](l-vn)-t(------nvn); 2) w = (1-vn)+i(-------nvn),
1 — v 1 — v
(5-9)
a z определяется соответствующими соотношениями из (5.4). И теперь
можем ставить вопрос о том, как величина издержек W зависит от име-
ющихся параметров сделки, скажем при фиксированном q.
Считается, что наиболее интересной и практически важной является
зависимость совокупных издержек от количества погашаемых векселей.
Так, можно обнаружить, что при одних сочетаниях исходных параметров
(г, d, q) значение W может расти, а при других падать. Более того, при
некоторых сочетаниях существует такое количество векселей п , при ко-
тором издержки становятся минимальными. Но строгий аналитический
подход приводит к довольно громоздким выражениям. Поэтому для поис-
ка оптимального п проще рассчитать значения W для заданного набора
параметров и выбрать искомое число простым сравнением.
Конечно, можно поставить проблему и по-другому. Заинтересован-
ный читатель, может попытаться сделать это и сам, поскольку все нуж-
ные выражения для этого приведены. Так, можно проанализировать вли-
яние ставки процентов i на величину издержек, учетной ставки d (см.
выражения (5.4) для z) на положение минимума издержек по числу кон-
трактов и т.д. (некоторые соображения на эту тему см. напр. в [17]). Но
после того, как мы «наткнулись» несколько выше на сложные проценты,
возникает естественное предположение. Наверное, просто пора перехо-
дить к знакомству с ними?
6 Упражнения
33
6. Упражнения
1. Накопленное значение.
При некоторой ставке простых процентов вклад величины 1000 через не-
которое время превратится в 1110. Определить НЗ суммы 500, если ее
положили на другой счет на срок в 2 раза больший, если на нем действует
в 3 раза большая ставка.
2. Расчет срока вклада.
Предположим, что вклад был сделан в день начала Второй мировой войны
для СССР (22 июня 1941 г.), а снят - в день ее окончания (9 мая 1945 г.).
Каков его срок по правилу 1) «д/д» и соответственно 2) «30/360». Ответить
на тот же вопрос и для США (дата вступления в войну: 7 декабря 1941 г.,
а дата окончания: 8 августа 1945 г.).
3. Взаимоотношения между тремя подходами.
Покажите, что банковское правило
1) всегда выгоднее кредитору, чем точные простые проценты;
2) обычно выгоднее ему, чем обычные простые проценты;
3) укажите контрпример, в котором оно менее выгодно кредитору.
4. Разные способы начисления процентов.
Сумма 10 000 инвестируется на 2 месяца, июль и август, под 6% годовых.
Определить суммы процентов, начисленных по правилу
1) точных простых процентов,
2) обычных простых процентов и
3) банковскому правилу.
5. Выяснение номиналов некоторых векселей из комплекта.
Для погашения долга в 100 000 в день погашения 18 апреля заемщик
выписывает своему кредитору четыре векселя:
первый на сумму 10 000 со сроком погашения 25 июня,
второй на сумму 20 000 со сроком погашения 5 июля,
и два векселя одинакового номинала х со сроками погашения 18 мая и
3 июня соответственно. Определить этот номинал при ежегодной учетной
ставке d = 6%.
6. Пролонгация векселя.
Вексель номинала 50 000 не был погашен вовремя и заемщик в тот же
день, 16 июля, предложил поменять его на новый вексель номинала 40 000
на срок 3 месяца. Определить стоимость операции продления кредита,
если годовая учетная ставка d = 6% , а расходы на оформление равны 5.
34
I Простые проценты
7. Коммерческий PC. Гамбургский метод.
Некоторый текущий счет с ежегодной дебетовой ставкой процента 18%
имел дебетовое сальдо в 4000 (т.е. этот остаток на счету принадлежал
банку) на 1 октября. В течение трех месяцев на нем были произведены
следующие операции: 2 ноября положили на счет 1000, 5 ноября сняли с
него сумму 3000, 12 ноября снова положили на счет 4000, а 17 декабря
снова сняли с него сумму 2000. Каким будет сальдо баланса (остаток)
на этом счету 31 декабря, если в качестве дней процента используются
1 день для кредитных операций (т.е. когда деньги поступают на счет)
и 2 дня для дебетовых? Напомним, что дни процента прибавляются или
отнимаются от дней операций для получения дат отсчета всегда таким
образом, чтобы это оказывалось в пользу банка, в котором открыт счет.
8. Эквивалентность методов расчета процентов на PC.
Показать, что (3.3) (3.1) (3.2).
9. Ломбардный кредит.
16 марта клиент должен был оплатить свой долг в 10 000. Но он лишь
26 марта перечислил в счет погашения долга 5000 и попросил продлить
погашение долга на 3 месяца и соответственно рассчитать его остаток
(т.е. сумму, которую ему придется вернуть 26 июня). Каков этот остаток,
если основная ставка процента равна 9%, а штрафная - 10%?
10. Форфейтная операция.
Условия сделки: Р = 1200 (в тыс.), полугодовые ставки i = 3% ,
d = 4, 5%, n =. 6 . Рассчитать исходные номиналы всех шести векселей по
методу 2 и провести их корректировку двумя способами.
11. Арбитраж девиз.
Здесь мы не будем точно определять, что такое арбитраж и девиза. Про-
сто скажем, что девиза - это иностранная валюта, а арбитраж - связанная
с ней оценка определенных действий. Чтобы читатель смог сам ответить
на один вопрос.
Девизы можно покупать на рынке в день установления курсовой стоимо-
сти, раньше или позже этого дня. Для того, чтобы их можно было сравни-
вать, их стоимость нужно привести к одному дню. Если же есть желание
купить валюту по более позднему курсу, но немедленно (или раньше), то
необходимо доплатить за срочность по имеющейся ставке. И наоборот,
при желании купить по настоящему курсу, а валюту получить позже, со-
ответствующий процентный платеж отнимается.
Предположим, что по текущему курсу 1$ в Москве стоит 26,43 руб. Опре-
делить стоимость 100$ при оплате сейчас и при получении через 1 месяц
при 12% годовых.
Глава II
Ставки
Ставки - это одно из основных финансовых понятий не только по частоте
использования в практической жизни, но и по способности объяснять ис-
тинные причины тех или иных поступков сторон в финансовой сделке. И
уже поэтому навряд ли стоит считать его одним из самых простых по-
нятий, встречающихся в финансовой деятельности. С другой стороны,
при желании разобраться в нем как не «утонуть» в бесконечном много-
образии существующих ставок, а вместо этого научиться легко отличать
их друг от друга и с толком использовать в конкретной ситуации?
Оказывается, что это не так уж и сложно. Достаточно познакомиться
с двумя подходами к объяснению этого понятия, которые будут изло-
жены ниже. Первый из них можно считать основным, и он будет пред-
ложен вниманию читателя в п.2. Грубо говоря, рассматриваемые там
пять типов эквивалентных ставок как раз и представляют то ядро или
корень, из которого и «растут» любые ставки. Второе же толкование
этого понятия будет представлено в n.V.1.1.
Но в предыдущей главе мы отметили, что начинал с этого момента,
книга фактически посвящена раскрытию идеи сложных процентов, т.е.
многообразию форм ее проявления в реальной жизни. Поэтому начать
изложение материала естественно с понятия сложных процентов и не-
которых аспектов, связанных с их практическим использованием. Это
сделано в п.1. Кроме того, если уж вся книга фактически «начинается
сейчас», то желательно кратко, но более конкретно, поговорить о ее це-
лях и особенностях. С этим читатель может познакомиться в п.З.
36
II Ставки
1. Сложные проценты
Идея сложных процентов очень проста. В них, в отличие от простых про-
центов, существует период времени, по истечении которого проценты
начисляются не только на имеющуюся в начале этого периода сумму, но
и на накопившиеся к его концу проценты. Конечно, интервал этот может
быть разным по длине, например, месяц или год. Но если уж он выбран,
то является циклическим, т.е. на некотором промежутке ось времени раз-
бивается этими периодами на равные части, как линейка на сантиметры.
В то же время так же, как и простые проценты, сложные
не могут НЕ СУЩЕСТВОВАТЬ!
Но если без простых процентов нельзя обойтись из-за соображений удоб-
ства в обращении или, скажем, ощущения справедливости линейной за-
висимости вознаграждения от суммы кредита и времени, то в случае
сложных процентов основную роль играет наличие
свободной конкуренции.
В самом деле, если положить на срочный вклад 100 000 под 60% годо-
вых и на два года, то в результате на этом вкладе окажется 220 000, если
действует формула начисления простых процентов (1.1.4) и ставка за все
это время не изменится. А если через год снять имеющуюся на счету сум-
му 160 000 и положить на такой же срочный вклад, но в другом банке,
то через те же два года получится сумма 256 000 = 160 000 + 96 000,
очевидно, на 36 000 большая. Но ведь первый банк не захочет потерять
своего клиента-вкладчика и потому сразу предложит ему формулу
100 000(1 + 0,6)2 = 256 000.
А это и есть формула сложных процентов.
1.1. Формула сложных процентов
В соответствии с вышесказанным введем понятие базового периода (БП)
начисления объявленных процентов как такого интервала времени, по
истечении которого можно снять положенную на счет сумму С вместе с
причитающимися процентами I. Но если эта сумма остается «лежать»,
то далее проценты начисляются уже на новую сумму С + I. И отметим
еще раз, что, если не уточняется, какой именно БП рассматривается, то
имеется в виду год.
Итак, допустим, что некоторую сумму С можно положить в банк
с ежегодной постоянной ставкой процента i и эта ставка не будет ме-
няться в дальнейшем. Тогда, с одной стороны, любая 1 из этой суммы в
начале первого года или из лежащей на счету суммы в начале каждого
1 Сложные проценты
37
из следующих лет «превращается» в 1 + i в конце его, т.е. увеличивается
в соответствии с формулой простых процентов. Но с другой стороны,
имеет место диаграмма
1 => 1 + г =» (1 + Q2 => ••• => (1 + г)п
"О 1 2 п~
вполне иллюстрирующая принцип сложных процентов:
накопленная к концу предыдущего года сумма на счету
является основой для начисления процентов за предстоящий год
Эта же диаграмма приводит к так называемой основной формуле
Ck = C(l + i)k, 0 < k < п. (1.1)
В ней Ск ~ сумма, в которую превращается начальная сумма С = Cq к
концу года k. Естественно, сама формула верна в предположении, что
ставка начисления процентов i «держится» в течение п лет (конечно,
само предположение из разряда невозможных даже при небольших п , но
мы говорим лишь о принципе сложных процентов!).
Замечание 1.1. Указанная формула действительно лежит в основе
любых других аналогичных формул. Так, нетрудно понять, что, если по-
прежнему задействован принцип начисления сложных процентов, но сама
ставка начисления меняется из года в год, то возникает формула
к
ск = С П(1 + й), 0 < к < п; (1.2)
1=1
здесь г/ - ежегодная ставка начисления процентов за год I •
Пример 1.1
Определить число лет т , достаточных для удвоения начальной сум-
мы С в условиях формулы (1.1). Иными словами, как долго придется
ожидать вкладчику, решившему удвоить свой капитал?
Решение. Нетрудно видеть, что должно выполняться условие
т = min[Z > 1 : (1 + i)1 > 2] и, следовательно, т = 1 при i > 1 и
т = [In 2/ In(1 + г)], 0 < i < Г,
здесь [а] - целая часть действительного числа а •
38
II Ставки
Хотя формулу (1.1) и можно считать основной, но в финансах (а не
только в финансовой математике) еще большую роль играет обратное
равенство
c = cfc(i + t)-\ (1.3)
поскольку очень часто людей интересует ответ на вопросы типа: а сколь-
ко нужно иметь сейчас, чтобы получить заданную сумму в некоторый
момент в будущем? Или же возникают несколько иные вопросы, ответы
на которые также дает формула (1.3).
Пример 1.2
Таня берет в долг 5000 на три года под ежегодную ставку в 5%. При
этом она договорилась вернуть первую 1000 через год, еще 2000 через
два и остаток через три. Определить величину этого остатка х .
Решение. Будем исходить из того, что величина займа - иными сло-
вами, полученная сейчас сумма - должна равняться стоимости всех трех
возвращаемых сумм на исходный момент 0, т.е. сумме величин, получа-
емых по формуле (1.3):
5000 = 1000 • 1,05“1 + 2000 • 1,05~2 + х • 1,05"3.
Умножая обе части этого равенства на 1,053 , получаем
х = 5000 • 1,053 - 1000 • 1,052 - 2000 • 1,05 = 2585,62 •
В дальнейшем мы более подробно поговорим на эту тему. А пока
лишь заметим, что если выражение (1.1) представляет накопленное зна-
чение (НЗ) Ск исходной суммы С к моменту к , то об эквивалентном
выражении (1.3) следует говорить несколько иначе. А именно, что оно
определяет
стоимость суммы Ск момента к в момент 0.
Ну а называть эту стоимость С будем приведенным значением (ПЗ) сум-
мы Ск на момент 0, имея в виду, что соотношение (1.3) как бы перево-
дит стоимость Ск с момента к на момент 0. Соответственно величина
v = (1 + г)-1 (1.4)
имеет смысл коэффициента приведения (КП) стоимости на 1 год назад,
т.е. представляет стоимость одной денежной единицы конца года в его
начале. Кстати, тот факт, что обозначение (1.4) является устоявшимся и
очень часто используется на практике, в отличие от коэффициента на-
копления (КН) и = 1 + i, отражающего рост стоимости одной денежной
единицы за 1 год, также подтверждает мнение, что «приведение назад»
приходится использовать чаще.
1 Сложные проценты
39
Пример 1.3
Андрей покупает дом, оплачивая сразу 50 000 и добавляя еще 50 000
через два года. Во сколько бы ему обошелся этот дом, если бы он внес
всю сумму сразу, занимая вторую половину в банке под 6% годовых,
естественно, на два года?
Решение. С = 50 000(1 + 1, Об"2) = 94 500 •
Замечание 1.2. Во многих странах процесс накопления денег из не-
которой начальной суммы С, в частности по формуле (1.1), называется
капитализацией. В русском языке это слово, похоже, находит много сто-
ронников. Мы также не против его использования •
Поговорим теперь о некоторых моментах, связанных с накоплением
денег, чтобы расширить наши первоначальные представления о сложных
процентах. Конечно, это будет лишь малая толика того, что можно о них
рассказать.
1.2. Парадоксы и некоторые нюансы капитализации
Формула (1.1) означает, что капитал растет экспоненциально в зависимо-
сти от длительности финансовой операции. Чтобы проиллюстрировать
этот характер его изменения, приведем табл. 1.1. Но рассмотрим в ней
все же не рост капитала, а его прирост, чтобы иметь возможность ви-
деть разницу в параллельно меняющихся простых и сложных процентах
при одинаковых ставках, начисленных за данное время.
В этой таблице приведены пять вариантов ставок, с запасом перекры-
вающих обычно используемую в Западной Европе вилку ставок, а также
рассматривается приращение основной суммы С = 100 для интервала
времени в 20 лет, который принято считать максимальной длительно-
стью капиталовложений, когда есть шанс вернуть кредит. Наконец, для
каждой из пяти ставок в ней приведены две колонки, в левую из которых
помещены простые проценты, а в правую - сложные. Ну а, точнее говоря,
проценты в этих колонках определяются соответственно по формулам
l)I = Cik, 2) 7 = С[(1 + 0* - 1].
Табл. 1.1. Простые и сложные проценты для капитала С = 100
к \ i 3% 9% 15% 20% 30%
1 3 3 9 9 15 15 20 20 30 30
5 15 16 45 54 75 101 100 149 150 271
10 30 34 90 137 150 305 200 519 300 1 279
15 45 56 135 264 225 714 300 1441 450 5 019
20 60 81 180 460 300 1537 400 3734 600 18 905
40
II Ставки
Ничего парадоксального в этой таблице нет. Как не удивляет нас и
сумма, полученная по формуле (1.1), если те же 100 положить на 100 лет
под 3% годовых: 1882. Однако если 3% заменить на 30%, то через те же
100 лет придем к умопомрачительной сумме в 2,479 • 1013. Можно попы-
таться оценить величину этой суммы с помощью современной машинки
для счета банкнот достоинством 100. Если допустить, что за 1 сек. та-
кая машинка просчитывает 10 билетов, то окажется, что для пересчета
всей суммы ей потребуется более 785 веков! Эту гипотетическую гору
денег можно сравнить и со всем золотом, которое человек добыл из-под
земли за все время своего существования. При цене золота 105$ за 1 кг
мы увидим, что стоимость нашей «горы» в 10 раз больше, поскольку вес
золота оценивается величиной от 20 до 40 тыс. т.
Так могут ли кредиторы сказочно обогащаться? Конечно, нет. Хотя
и при обычных ставках длительная капитализация приводит к суммам,
несоизмеримым с исходным капиталом. Например, если табличные 100
положить на некоторый счет под 50% годовых на 20 лет, то они принесут
332 426 только процентов. Но подобные ставки оказываются возможны-
ми лишь в условиях сильной инфляции, когда обесценивание денег очень
велико. И здесь можно продолжить разговор, начатый в п.1.1.1 о цене
риска, заложенной в проценты.
Нередко бывает, что кредиты не возвращаются целиком, например, в
случае войны или революции. Риск полной потери связан также с боль-
шим числом стихийных бедствий и катастроф (наводнения, землетрясе-
ния, крупные аварии и т.п.). В результате кредиторы обогащаются, но
ненамного. Кроме того, как и другим, действующим в экономической
сфере лицам, кредиторам достается их собственная доля национального
продукта, даже если он и растет экспоненциально на душу насёления.
А статистика показывает, что такой показатель, как доля националь-
ных богатств, идущая на покрытие процентов, в цивилизованных стра-
нах скорее имеет тенденцию к уменьшению.
Ну а основной нюанс капитализации касается показателя доходности
произвольной финансовой операции. И нам желательно познакомиться с
этим понятием как можно раньше, чтобы лучше в нем разобраться.
Пример 1.4
Казначейские билеты со сроком погашения 5 лет, которые государство
выпустило в декабре 1969, продавались по цене 900 при номинале 1000 и
были погашены в срок по цене 1150. Какой оказалась ежегодная ставка
- доходность i этой финансовой операции?
Решение. Нетрудно видеть, что при постоянной ежегодной ставке i
должно выполняться соотношение 900(1 + г)5 = 1150, из которого выте-
кает, что г = (115/90)1/5 - 1 = 0,05025 •
2 Пять типов эквивалентных ставок
41
2. Пять типов эквивалентных ставок
Наступил момент, когда мы готовы обсудить сложившиеся за последние
сто лет «официальные» формы
превращения ВРЕМЕНИ в ДЕНЬГИ.
Их очень много. Но мы выделим как бы «становой хребет» в этом вопро-
се, который обсудим весьма подробно. А об остальных, и очень многочи-
сленных ипостасях, которые принимают ставки, поговорим в следующем
пункте.
2.1. Две основные ставки
Когда мы знакомились с простыми процентами, оказалось, что при оди-
наковой форме начисления процентов в виде
I = СИ,
(2-1)
в принципе, существует лишь два основных способа их оплаты - либо в
конце некоторой финансовой операции длительностью t лет (для про-
стых процентов обычно t < 1; скажем, 3 месяца - это 1/4 года), либо
в ее начале. Напомним, что соответствующие финансовые операции мы
характеризовали следующим образом:
1) C->C(l + tt), 2) С(1 - dt) -> С,
(2-2)
имея в виду, что первая из диаграмм представляет операцию предоста-
вления кредита величины С на срок t лет под i% годовых, а вторая -
учет векселя номинала С с погашением через t лет при коммерческом
дисконте по ставке d% годовых.
Попытаемся теперь выделить в приведенных соображениях главное.
Для чего введем простейшую финансовую операцию кредита -
предоставление 1 денежной единицы в долг на 1 год (2.3)
U = 1 + i 1 - d = v 1
1 t t
0 ] L ( ) 1 I
оплата в конце оплата в начале
Рис. 2.1. Две основные эквивалентные формы оплаты КО
42
II Ставки
- и назовем ее канонической операцией (КО). Тогда, как следует из выше-
сказанного, при начислении процентов существует две основных формы
оплаты вознаграждения кредитору со стороны заемщика: в конце опера-
ции или в ее начале. Ну а в КО сами ставки как раз и являются денежным
выражением этого вознаграждения. Точнее говоря,
• ежегодная ставка процента i
является вознаграждением за операцию (2.3), выплачиваемым заем-
щиком в конце операции вместе с возвращаемой суммой кредита, а
• ежегодная ставка дисконта d
является вознаграждением за операцию (2.3), выплачиваемым заем-
щиком в начале операции одновременно с получением суммы кредита,
также равной 1 и возвращаемой в конце операции (рис. 2.1).
Замечание 2.1. Пусть стрелка, направленная вниз, означает получе-
ние денег и наоборот, стрелка, направленная вверх, - освобождение от
них. Тогда на рис. 2.1 слева операция (2.3) представлена с точки зрения
заемщика, а справа - кредитора •
При этом по заданной ставке процента г всегда можно выбрать став-
ку дисконта d так, чтобы их можно было назвать эквивалентными. И
наоборот. Причем сделать это можно разными способами, но одинаково
убедительно. В самом деле, соотношение
(2-4)
означает пропорциональность сумм, которые берут в долг в момент 0 и
отдают в момент 1 при наших двух формах оплаты КО (1 — d и 1 или 1
и 1 + i). А следовательно, и
одинаковую ИНТЕНСИВНОСТЬ наращивания капитала (ИНК)
кредитора в соответствующих сделках.
Но эквивалентность ставок естественно определять и обратным со-
отношением
d = vi (= 1 - v), (2.5)
поскольку оно означает (см. (1.4)): величина d является ПЗ суммы г,
выплаченной в конце года, на его начало. Иными словами,
ставка d является СТОИМОСТЬЮ ставки i,
т.е. стоимостью суммы i конца года в его начале.
Остается заметить, что в определении КО слова «1 год» можно заме-
нить на «месяц» или, обобщая, на «единицу времени». Поэтому вводимые
подобным образом ставки фактически определяют период начисления
процентов. И потому их естественно называть ставками этого периода.
2 Пять типов эквивалентных ставок
43
2.2. Периодические ставки
Итак, использование одной «чужой» денежной единицы в течение года
(или единицы времени) обходится в г денежных единиц при оплате в
конце года и d единиц - при оплате в его начале. Но как быть с величиной
оплаты, если то же самое «удовольствие» иметь 1 денежную единицу в
своем кармане в течение года оплачивать за несколько раз? Скажем, это
можно делать в конце каждого месяца или в начале каждого квартала.
Попробуем в этом разобраться, считая, что на ТС действует ежегодная
ставка процента i, эквивалентная ежегодной ставке дисконта d.
Периодические ставки процента
Выразимся точнее и поставим вопрос так: какой должна быть одинако-
вая оплата в а денежных единиц в конце каждого из к последователь-
ных интервалов времени длины 1/к , чтобы такую форму оплаты можно
было назвать эквивалентной первой основной, т.е. одноразовой оплате i
денежных единиц в момент 1?
Нетрудно видеть, что, привлекая простые проценты для ответа на
этот вопрос, мы не получим удовлетворительного ответа. В самом де-
ле, тогда, с одной стороны, по принципу линейности величина а должна
быть равна i/k, а с другой - ряд из к платежей величины i/k, очевид-
но, выгоднее для кредитора, поскольку большая доля ((к — l)i/k) всего
вознаграждения i выплачивается раньше.
ik ik ik
оплата 1 раз
о 1/к 2/к 1
оплата к раз
Рис. 2.2. Первая периодическая эквивалентная форма оплаты КО
Допустим, что а = ik (рис. 2.2). Тогда из вышесказанного следует,
что должно быть ik < i/k. Но чему именно равна сумма ? Ответ на
этот вопрос легко дать, если ввести новый БП. Точнее говоря, вместо
года, т.е. периода длины 1, в качестве интервала начисления процентов
выбрать период длины 1/к.
В этом случае в соответствии с формулой (1.1) рост стоимости 1 де-
нежной единицы КО в моменты 1/к, 1=1, 2,--, к, начисления про-
центов можно описать выражением (1 + ik)1. И соответственно получить
простой вывод: новая форма оплаты КО (см. правую часть рис. 2.2) экви-
валентна старой, основной форме оплаты (см. левую часть рис. 2.2), если
ik определяется из равенства
(1 4- ik)k = 1 + г.
(2-6)
44
II Ставки
Итак, высказанные соображения приводят нас к новой ежегодной
ставке
№ = kik = fc[(l + i)1/k - 1] (2.6а)
начисления процентов. Она естественно возникает из ежегодной ставки
процентов- i как сумма к регулярных выплат величины ik в предполо-
жении, что БП имеет длину 1/к. Называть ее мы будем
ежегодной периодической ставкой процента, или
ежегодной номинальной ставкой процента
А:-кратного начисления (процентов). При этом если дана ежегодная пе-
риодическая ставка № , то эквивалентную ей ежегодную ставку про-
центов i, определяемую из равенства
(1-Ь)fc = 1 4-г, (2.66)
К
будем называть соответствующей ей ежегодной ставкой процента
Пример 2.1
Определить ежегодную ставку процента i, соответствующую еже-
годной номинальной ставке г’(12) = 0,12 ежемесячного начисления.
Решение. Используя (2.66), получаем
i = (1 + 2123)12 _ 1 = ! 0112 - 1 = 0,126824 •
v 12 ’
Замечание 2.2. Вышеуказанный процесс изменения стоимости ка-
питала в КО можно представить и более подробно в виде следующей
диаграммы:
Дата 0 1/к ••• 1/к ••• 1
Приход Тк ~ г\(1 + ik)l~x ~ гк(1 + ifc)*-1
Остаток 1 14- ik ••• (1 + г\)* ••• (l + ik)k
При этом удобно считать, что полученная в кредит 1 денежная единица
положена на некоторый банковский счет (т.е. ТС) с периодической став-
кой ik начисления процентов за БП длины 1/к . В такой схеме проценты
за Z-й период [(/ — 1)/к, 1/к) начисляются на сумму (1 + ik)1"1 и ока-
зываются на счету в момент l/k, 1 < I < к. Они представлены первой
строкой диаграммы («Приход»). Что же касается НЗ суммы кредита на
этот момент 1/к , то оно дается во второй строке («Остаток») •
Ставка ik также является периодической ставкой процента. Но ее
естественно все-таки называть периодической ставкой периода длины
1 Довольно часто эту ставку называют эффективной ставкой (процента). Но это
всего лишь буквальный перевод английского выражения effective rate of interest.
2 Пять типов эквивалентных ставок
45
1/к (или ставкой БП). И, конечно, она имеет тот же смысл, что и основ-
ная ежегодная ставка процента г, так что новой ставкой процента, вве-
денной в этом разделе, пока является лишь ежегодная периодическая
ставка процента № .
Периодические ставки дисконта
Примерно таким же образом возникает понятие ежегодной периодиче-
ской ставки дисконта. Более того, можно сказать, что имеет место пол-
ная аналогия. И прежде всего в этом случае, как и ранее, оказывается,
что вместо того, чтобы владение 1 денежной единицей в течение года
оплачивать 1 раз, выплачивая d денежных единиц при получении кре-
дита, можно оплатить его за к раз, выплачивая каждый раз сумму dk
денежных единиц, удовлетворяющую уравнению
(l-dk)k = l-d.
(2-7)
При этом можно считать, что первая сумма dk идет в оплату за владение
1 денежной единицей в первом периоде длины 1/к и выплачивается в его
начале, вторая - за второй период и т.д. (рис. 2.3).
d
оплата 1 раз
Рис. 2.3. Вторая периодическая эквивалентная форма оплаты КО
dk dk dk
о i/fc (fc-l)/fcl
оплата к раз
Мотивировать же соотношение (2.7), определяющее величину ставки
dk , можно по-разному, но, конечно, в том же предположении, что БП име-
ет длину 1/к . В этом случае величина 4 в конце любого такого периода
«стоит» dk в его начале - и уже поэтому схема оплаты вознаграждения
рис.2.2 справа эквивалентна схеме на рис. 2.3 справа, - если определить
эту величину из равенства
по аналогии с (2.5). Тогда 1 - dk = Vik = (1 + 4)”1 и если учесть (2.4),
то нетрудно понять, что (2.7) эквивалентно (2.6).
В то же время величину dk можно определить равенством
l-dk = (l + ikTl =vik (2.4а)
сразу, поскольку оно также делает очевидной эквивалентность соотноше-
ний (2.6) и (2.7). При этом смысловой подтекст у равенства (2.4а) отнюдь
не меньше, чем у равенства (2.5а), поскольку оно позволяет объяснить,
46
II Ставки
что таким образом определенная величина dk является искомой (т.е. удо-
влетворяет (2.7)), привлекая совершенно определенный процесс на преж-
нем банковском счету с периодической ставкой процента 4 . А именно,
1 денежная единица на этом счету в момент 1 должна быть равна 1 - dk
в момент , (1 - djc)2 в момент и т.д., (1 - dk)k в момент 0.
Поскольку, определяя по сумме А, находящейся на этом счету в конце
I -го периода, т. е. в момент £ , сумму В , находящуюся на счету в начале
этого периода, в силу (2.4а) имеем уравнение В = (1 - dk)A.
Итак, вводя ставку dk нового БП, приходим к ежегодной ставке
(№ = kdk = fc[l - (1 - d)1/fc] (2.7а)
начисления дисконта. Она естественно возникает из ежегодной ставки
дисконта d как сумма к регулярных выплат величины dk в предполо-
жении, что БП имеет длину 1/к. Называть ее мы будем
ежегодной периодической ставкой дисконта, или
ежегодной номинальной ставкой дисконта
А:-кратного начисления (дисконта). При этом, если дана ставка d^ ,
то эквивалентную ей ежегодную ставку дисконта d, определяемую из
равенства
(1-—)fc = l-d, (2.76)
rV
будем называть соответствующей ей ежегодной ставкой дисконта 2.
Пример 2.2
Периодическая ставка дисконта двукратного начисления равна 6%.
Определить 1) сумму полученного кредита, если через 6 лет должна
быть возвращена 1000, и 2) ежегодную номинальную ставку процента
ежеквартального начисления, эквивалентную данной ставке дисконта.
Решение. 1. Используя формулы (1.3), (2.4) и (2.76), для ПЗ 1000 = х
получаем
X = 1000(1 - d)6 = 1000(1 - МЁ)2 6 = ЮОО(0,97)12 = 693,8.
Отметим, что рассмотренная ситуация эквивалентна той, в которой сум-
ма 1000 выплачивается через 12 лет и действует ежегодная ставка дис-
конта 3%.
2. Записать исходное выражение позволяют формулы (2.4), (2.66) и
(2.76):
(1 + т)4 = 1+г=гЬг(1-Т)_2
Откуда получаем, что № = 4[(0,97)-1/2 - 1] = 0,0614 •
2 Эту ставку могут называть эффективной учетной ставкой.
2 Пять типов эквивалентных ставок
47
Некоторые замечания
Подчеркнем еще раз то, что мы только что отметили в прим. 2.2, а имен-
но, что при любых т > 1 и I > 1 ставки = Idi эквива-
лентны между собой в силу (2.66), (2.4) и (2.76), если
(1 + im)m = (1 - (2.8)
Теперь можно надеяться, что читатель сможет сам легко разобраться
в ситуации, которая часто встречается на практике, т.е. когда имеется
несколько предложений по кредиту и требуется понять, какое из них
подходит больше. Вообще же, хотя многие и понимают, что выгодность
предлагаемых ставок для заемщика различна, однако провести сравнение
конкретных чисел для них - большая проблема!
Пример 2.3
Допустим, что первый кредитор предоставляет ссуду под ежегодную
ставку процента 9%. Другой назначает под ту же сумму займа еже-
годную периодическую ставку процента ежеквартального начисления
8,75%. А третий кредитор предлагает оплачивать 8,5%, но по еже-
годной ставке дисконта ежемесячного начисления. Определить, какая
из этих ставок более выгодна для заемщика.
Решение. Выясним для этого, например, ежегодные ставки процен-
та г(2), г(3) , эквивалентные ставкам, предлагаемым вторым и третьим
кредиторами:
г(2) = (1 + °’°4875)4 - 1 = 0,0904, г(3) = (1 - ^^)“12 - 1 = 0,08905.
Но, возможно, проще получить тот же вывод, если «залезть» в табл. ПД.1
и для ежегодной ставки процента г = 9% найти эквивалентные ей пе-
риодические ставки г’(4) = 0,087 и = 0,0859 , которые показывают,
что третий кредитор «лучше» первого, а первый «лучше» второго •
Итак, мы познакомились с четырьмя типами эквивалентных ставок
процента и дисконта. И уже выяснили мимоходом кое-что об их взаимо-
отношениях, а именно то, что
d < d^ < № < i.
Правое неравенство в виде 4 < i/k мы объяснили выше. Левое же в
форме d/к < dk имеет такое же простое объяснение: если бы dk = % ,
то такая манера оплаты была бы заведомо менее выгодна кредитору,
чем одноразовая оплата суммы d в момент 0 (поскольку общая сумма
вознаграждения была бы одинаковой, но большая ее часть вносилась бы
позже). Наконец, среднее неравенство в виде dk < ik можно «увидеть»
при сравнении двух форм оплаты в КО, изображенных справа на рис. 2.2
и 2.3 - поскольку все dk вносятся раньше ik и поэтому меньше их.
48
II Ставки
2.3. Ставка непрерывного начисления процентов
Последний, пятый, вариант оплаты КО (2.3) является таким же есте-
ственным, как и предыдущие четыре. Однако следует признать, что в
нем есть некоторый «налет таинственности», от которого не сразу удает-
ся освободиться при первом знакомстве. И посоветовать здесь читателю
можно лишь одно: не торопиться с освоением нового понятия и обяза-
тельно разобраться в том, как оно вырастает из понятия периодической
ставки, не важно, процента или дисконта.
Определение ставки и двойной смысл представляющего ее числа
Посмотрим сначала, какие функции выполняет величина
6 = 1п(1 + г), (2.9)
которую в дальнейшем мы будем называть
ежегодной ставкой непрерывного начисления 3 процентов
соответствующей ежегодной ставке процента i. Так, если прологариф-
мировать равенство (2.6), то получим k 1п(1 + г\) = 6. Но в силу этого
же равенства 0 при к -> оо, поскольку ставка i фиксирована.
Поэтому, используя известное асимптотическое соотношение 1п(1 + х) ~
ж, я —> 0, легко убеждаемся в том, что имеет место сходимость
= kik —> <S, к -» оо. (2.10)
А следовательно, 6 является пределом ежегодной номинальной ставки
, эквивалентной ежегодной ставке процента i, при бесконечном уве-
личении числа к базовых периодов начисления процентов за год.
• • • 1 > 4 • • • 6dt 5
0 1 1 0 [t, 14- dt) 1
Рис. 2.4. Родственные связи двух типов ставок
Но при к -+ оо период 1/к можно считать переходящим в dt. И
потому в силу (2.10) ставка ik должна переходить в 6dt. Что же это
означает, если сумма , выплачиваемая в момент Z/fc, есть плата за
владение 1 денежной единицей в периоде [^-, %)? Конечно, лишь то,
что сумма 6dt, выплачиваемая в момент t, есть плата за владение 1
денежной единицей в периоде [t, t + dt). Период этот, конечно, совпадает
с точкой t, но из последней фразы понятно главное: число 6 имеет смысл
3 Начисление процентов равномерно, если его интенсивность постоянна.
2 Пять типов эквивалентных ставок
49
• постоянной интенсивности начисления процентов
за рассматриваемый год, поскольку сумма начисления на произ-
вольном интервале [а, Ь) в силу вышесказанного определяется по
формуле /аЬ 6 dt = 6(Ь - а), и видно, что она не зависит от местопо-
ложения интервала и пропорциональна 6 , а также
• суммарной величины процентов I, начисленных за весь год,
поскольку I = Jq 6 dt = 6 .
Величина 6dt на рис. 2.4 изображена как стрелка и представляет
собой деньги, выплаченные в момент t. Она так и должна выглядеть.
Однако лучше стрелку воспринимать как прямоугольник с высотой 6
и шириной dt. Причем считать его площадь 6dt 1) суммой денег, вы-
плаченных за владение 1 денежной единицей в интервале [t, t + dt), и
2) частью пунктирного прямоугольника, который представляет собой
все проценты, начисленные за год.
Изменение капитала при непрерывном начислении процентов
Предположим далее, что в какой-то момент времени - назовем его 0 - на
некотором ТС имеется сумма С(0). И будем считать, что на этом счету
уже некоторое время действует и будет действовать ежегодная ставка
6 непрерывного начисления процентов. Точнее говоря, пусть эта ставка
сохраняется на счету в интервале |£| < Т, где Т > 0, и посмотрим,
как менялась и как будет меняться со временем сумма C(t), лежащая на
счету в момент t, конечно, если никакие другие изменения на счету не
происходили, кроме непрерывного начисления процентов с постоянной
интенсивностью 5.
Нетрудно понять, учитывая вышесказанное, что увеличение dC ка-
питала С за время от момента t до t + dt, т. е. проценты в количестве
Sdt за каждую единицу в сумме С = C(t), следует записать в виде
dC = C6dt. (2.11)
Эта же связь возникает, если действовать по аналогии с равенством
С(1 + ik) - С = Cik- Интегрируя полученное дифференциальное урав-
нение и производя несложные преобразования, в результате придем к
искомой функциональной зависимости:
ft^yl = Sftdy} lnC(f)-lnC'(0) = 6/,
Jo С\У) Jq
C(t) = C(0)eSt, -T<t<T. (2.12)
Прежде всего ясно, что это выражение содержит в себе как соот-
ношение (1.1), так и формулу (1.3). В самом деле, чтобы убедиться в
этом, достаточно вспомнить, что 1 4- i = es в силу определения 6, и
50
II Ставки
несколько изменить используемые в (2.12) обозначения. Точнее говоря,
чтобы получить (1.1), достаточно выбрать t = k, Т = п и положить
С(0) = С, С(к) = Ck А. к (1.3) придем, если выбрать t = -к, Т = п и
положить С(0) = Ck, С{—к) = С.
Однако нетрудно понять, что равенство (2.12) является более общим,
чем вышеуказанные соотношения из п.1 - оно не только дает описание
процесса изменения капитала при непрерывном начислении процентов,
но и содержит в себе аналоги формул (1.1) и (1.3) для БП длины 1/к
при любом целом к > 1. Скажем, при t = 1/к или t = —1/к из (2.12)
вытекает, что
1) C(//fc) = C'(0)(l + ifc)/, 2)C'(-//*)=C(0)(l-dfc)' (2.12а)
(/ = 0, 1, •••, [Тк]), поскольку 1 + ik = exp(5/fc) и 1 - dk = ехр(-<£/А:).
Таким образом, ситуация непрерывного и равномерного начисления про-
центов содержит в себе все рассмотренные выше схемы начисления про-
центов и дисконта 4. Конечно, если ставка 6 эквивалентна ставке г, а
следовательно, и всем остальным ставкам.
Рассматривая вопрос об изменении капитала, мы фактически затра-
гиваем проблему эквивалентности различных денежных сумм в разные
моменты времени. А это один из фундаментальных аспектов финансовой
деятельности, которому будет посвящена целая глава. Пока же заметим,
что эквивалентность одной суммы некоторой другой (и рассматриваемой
в некоторый другой момент) обычно понимается с помощью равенств ти-
па (2.12). Если же сравниваются несколько сумм, то используется прин-
цип линейности: стоимость нескольких сумм одного момента времени
на какой-то другой момент полагается равной сумме соответствующих
стоимостей. Крбме того, при упрощении финансовых обязательств тра-
диционно используются следующие два подхода.
Пример 2.4
Получатель кредита в банке должен вернуть три суммы:
6280 через 4 года, 8460 через 1 лет и 7350 через тринадцать.
И он предлагает вместо этого вернуть
1) эквивалентную сумму х через 5 лет или
2) взятую сумму 22 090 в соответствующий момент t в будущем.
Найдите х, t в предположении, что банк пошел навстречу своему
клиенту и обе стороны согласились на ставку 5 непрерывного начисле-
ния процентов, эквивалентную ставке процента i = 0,08. Кроме того,
эквивалентность старого варианта каждому из двух новых определяй-
те из простого условия: ПЗ одной выплаты нового варианта должно
равняться сумме ПЗ всех выплат старого.
4Но мы все же будем говорить «непрерывное начисление процентов».
2 Пять типов эквивалентных ставок
51
Решение. В нашей ситуации естественно взять ПЗ на текущий мо-
мент. Тогда 1) в первом случае можно было бы обойтись и без став-
ки непрерывного начисления, поскольку возникает уравнение 6280v4 +
8460v7 + 7350v13 = xv5 с целыми степенями и, а из него вытекает, что
х = 18 006.
2. На этот раз искомое уравнение имеет вид 6280v4+8460v7+7350v13 =
22 090vz, и предположение о ставке 6 необходимо, поскольку ответ
t — 7,66 оказывается нецелым •
Естественная интерпретация
Рис. 2.5. Поток дохода от начисления процентов
Интуитивно ясно, что процесс непрерывного начисления процентов,
причем даже для произвольной интенсивности, зависящей от времени,
должен быть очень похожим на поступление воды в бассейн с какой-то
соответствующей скоростью. Приведем эту интерпретацию для бассейна
(рис. 2.5) с двумя трубами - наливающей воду и выливающей ее. В ней
скорость протекания воды по трубам отождествляется с интенсивностью
начисления процентов.
Допустим сначала, что открыта лишь труба, наливающая воду. И
пусть скорость поступления воды в бассейн в момент t есть <£i (£) м3
в час. Тогда, если (£) = <5, т.е. скорость поступления воды постоянна,
час для бассейна эквивалентен году для ТС и в некоторый момент 0 в
бассейне было С(0) м3 воды, то функция (2.12) описывает изменение
объёма воды в бассейне в м3 за период в 2Т часов. Если же открыта и
вторая, выливающая воду труба, причем выливающая ее в момент t со
скоростью = ^i(^) м3 в час, то уровень воды в бассейне не будет
изменяться. Такая ситуация, очевидно, означает, что начисляемые про-
центы сразу снимаются со счета, скажем, переводятся на другой счет.
Каноническое накопление и приведение
Формула (2.12) не только обобщает исходное равенство (1.1) и указывает
закон, по которому происходит увеличение капитала от одного момен-
та времени до некоторого другого в будущем, ее можно использовать и
для определения «уменьшения» капитала при «переходе в прошлое». А по-
скольку процесс этот весьма важен для дальнейшего и будет называться
52
II Ставки
приведением стоимости на некоторый момент в прошлом, то, пользуясь
удобным случаем, введем его простейшую форму как следствие из (2.12).
Точнее говоря, выпишем одновременно два простейших закона. А
именно, закон канонического накопления и закон канонического приведе-
ния, т.е. выражения, отвечающие наследующие вопросы, конечно, в пред-
положении постоянной ежегодной интенсивности начисления процентов
6 на некотором ТС:
1) в какую сумму u(t) превратится 1 денежная единица
через некоторое время 17
2) какую сумму v(t) нужно положить на счет сейчас,
чтобы иметь единицу по истечении времени t?
Соотношение (2.12), очевидно, содержит в себе равенства
1) u(Z) = eSt = u\ 2) v(t) = e~St = v\ t > 0, (2.13)
в которых u = 1 + г, v = (1 + г)”1. Напомним, что в п.1.1 мы назвали
v коэффициентом приведения стоимости на 1 год назад,
и коэффициентом накопления стоимости за 1 год.
и заметим, что такой смысл у них во всех пяти формах оплаты возна-
граждения в КО, а не только при непрерывном начислении процентов.
Но, конечно, случай непрерывного начисления процентов как бы пред-
полагает, что снять имеющуюся на счету сумму вместе с начисленны-
ми процентами можно в любое время (хотя в жизни это не всегда так).
А при периодическом начислении считается, что, не теряя объявленных
процентов, можно снимать суммы со счета лишь в моменты, кратные
1/k. Кстати, нюансов в этой области очень много, но все они выходят
за рамки данной книги.
Выводы
Итак, первый этап знакомства со ставками мы фактически завершили
(второй нас ожидает в гл. V). В п. 2.4 мы добавим лишь несколько за-
мечаний, а в п.З постараемся обратить внимание читателя на различ-
ные моменты, связанные с изучением теории сложных процентов в этой
книге. Подчеркнем - мы закончили тем, с чего начали: обобщением фор-
мулы (1.1). Теперь у нас вместо (1.1) формула (2.12) и ее частные слу-
чаи - равенства (2.12а) и (2.13). Однако следует иметь в виду, что это
лишь первый этап и относится он к равномерным способам оплаты возна-
граждения. Скажем, оплата вознаграждения при периодических ставках
процента так же равномерна, как и в непрерывном случае, поскольку
последовательно вносимые суммы 4 одинаковы и равномерно распреде-
лены во времени.
2 ' Пять типов эквивалентных ставок
53
2.4. Некоторые общие замечания
Прежде всего еще раз подчеркнем тот факт, что все рассмотренные выше
эквивалентные ставки возникают как различные формы оплаты кредита
в КО (2.3). И здесь, по-видимому, уместно представить эти формы в виде
следующей таблицы.
Табл. 2.1. Эквивалентные способы оплаты процентов
N\t 0 1 к i к 3 к ’ .. t • fc-1 1 t/z
1. d d
2. dk dk dk dk dk kdk
3. 6 dt 6
4. ik ik ik • • ik ik kik
5. i i
Мы не будем повторять здесь все вышесказанное о ставках. Просто от-
метим, что такая таблица, на наш взгляд, фактически является повторе-
нием изложенного в сжатой форме. Добавим лишь, что правый столбец
дает сумму выплат по строке, которая, конечно, одновременно является
и номинальной ставкой (в двух случаях).
Полезно понимать также, что все эти ставки на действительной оси
расположены упорядоченно, т.е. симметрично разбросаны вокруг своего
центра S. А точнее говоря, имеют место неравенства (d = № = г)
d < • • • < № < d(k+V :(*+!) < № (2.14)
Конечно, большая их часть очевидна. Как, например, 6 < № < г при
к > 1. Ясно же, что чем с большей частотой выплачивается вознагражде-
ние, тем меньшую сумму оно составляет за год. Однако монотонность
функций № и с№ по к требуется доказывать. Установим, например,
что < № при любом к > 1.
Для этого достаточно показать, что функция
/(х) = х(е&!х - 1)
при <5 > О убывает на полуоси 0 < х < оо. В самом деле, ясно же, что
es^k = 1 + ik и, следовательно, /(/г) = kik = №. Но
/'(х) = (1 - -)es'x - 1 = (1 - у)е* - 1,
X
если положить у = 8/х. С другой же стороны - функция (1 - у)еу ,
очевидно, убывает на интервале 0 < у < 1 (достаточно взять производ-
ную) и потому (1 - у)еу < 1. Если же у > 1, то также очевидно, что
/'(*)<-к о.
54
II Ставки
Интересна и другая особенность ряда (2.14). Оказывается, что
J____________1_ _ 1
d(^) г’(^) k
(2.15)
при любом к > 1. Иными словами, если перейти к обратным величинам
1 1 1 1 1 1 1
г < < iW < < 6 < < d'
то расстояние между соответствующими элементами к-го порядка не
будет зависеть от исходной ставки процента г. Но доказывать проще
равенство
-J- - i = 1, (2.15а)
dk Ч
эквивалентное (2.15) и еще более удивительное. Легко видеть, что его
левая часть не зависит не только от ставки i, но и от периодичности
начисления процентов к !
А вытекает оно из очевидного соотношения (см. (2.5))
d — iv
(2.16)
и аналогичных ему равенств
скажем, что в силу (2.16)
dk = ikV,k, k > 1, поскольку легко видеть,
1
d
г г v
(2.156)
Кстати, здесь мы вновь затрагиваем еще одну сторону рассматри-
ваемых ставок, а именно возможность давать словесную интерпретацию
связывающим их соотношениям. Причем часто этих интерпретаций мож-
но дать несколько. Так, равенство (2.16) мы уже объяснили ранее: ставка
дисконта d является стоимостью ставки процента i. Но это равенство
можно переписать в виде du = i и перефразировать: ставка i являет-
ся НЗ ставки d. Причем словесная интерпретация, по-видимому, есть у
любых соотношений. Возможно, как и геометрическая.
Скажем, равенство (2.156) является таким же простым следстви-
ем пропорциональности определенных элементов на двух диаграммах
рис. 2.1, как и соотношение (2.4). Ясно же, что одну из указанных про-
порциональностей представляет равенство
1 _ 1-d
i d
Этому вопросу в следующей главе мы будем уделять больше внима-
ния. А вообще говоря, это весьма увлекательная загадка, которая всегда
стоит перед любознательным читателем.
2 Пять типов эквивалентных ставок
55
Далее, в некоторых ситуациях основным параметром естественно
считать интенсивность начисления процентов 6, а остальные ставки
определять по ней. Часто же роль основного параметра играет, на-
пример, ставка ежегодного начисления процентов i, и соответственно
остальные приходится рассчитывать в зависимости от нее. Вообще быва-
ет необходимо использовать связи между тремя основными эквивалент-
ными ставками г, 6, d и КП и.
Табл. 2.2. Связи между ставками i, 6, d и КП v
В терминах d 6 i V
d d In (1 - d)~l (l-rf)-1-! 1 — d
8 1 - e~s 8 es - 1
i г(1 + i)~l In (1 + i) i (1 + г)-1
V 1 — V In V-1 v”1 — 1 V
Читатель может сам проверить справедливость этих связей, а также
и убедиться в том, что при малых значениях ставок все они имеют один
порядок, a v ~ 1-г. Если же быть точнее, то можно получить, например,
асимптотические соотношения
~ г - г2, <5 ~ г —-г2, г~<5+-<52, d~8--82, (2.17)
2 2 2 v '
которые справедливы при i 0 или <$ —> 0. Для этого нужно лишь взять
разложение в ряд соответствующей функции (для логарифма или дроби
ниже этот ряд абсолютно сходится при |г| < 1) и использовать первые
два его слагаемые. Так, для 6 и d имеем
6 = In(1 + г) = г - -г2 + -г3 - -г4 + • • •,
v 7 2 3 4
d — г/( 1 + г) — 1 — i 4- i2 — i3 4~ * * *) — — i2 — i4 4" * * ’•
Но всегда можно высказаться еще точнее.
Пример 2.5
Покажите, что 0,166<53 < г — (<5 4- |£2) < 0,185<£3, если 0 < 8 < 0,1.
Решение. Используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа
n-i k п
4 я! п!
о
(т > 0, 0 < 0 < 1) для функции /(ж) — ех при п = 3 получим
1 + 8 + }-82 + |<53 < es < 1 + 8 + |<52 4- г = es - 1 < 8 + ^82 + ^Зег.
2 * о 2 о 2 о
Остается заметить, что 1/6 > 0,166, а е|5/6 < е0,1/6 = 0,1842 < 0,185
при 0 < 8 < 0, !•
56
II Ставки
3. О проблемах начисления процентов
Все, что связано с финансовой деятельностью или финансовыми потока-
ми, утопает в огромном количестве нюансов. Здесь практически невоз-
можно предусмотреть или учесть большую их часть. Тем не менее имеет
смысл обратить внимание читателя на определенные моменты, связан-
ные с использованием сложных процентов в реальной жизни. Хотя для
этого и придется приостановить знакомство с теорией.
3.1. Практические примеры из жизни
Приведем три ситуации из реальной жизни, в которых возникает потреб-
ность в финансовой математике. Они различны. Тем не менее решение
и анализ представленных в них проблем, а также ответы на все поста-
вленные в них и подобные вопросы как раз и являются целью настоящей
книги.
1. Ипотечный кредит
Предположим, что физическое лицо желает взять кредит в 350 000 для
покупки дома в живописном пригороде. Подобные кредиты широко рас-
пространены в Англии и многих других странах, поскольку в таких фи-
нансовых сделках можно просто решить основной вопрос о гарантиях
возврата кредита. Ведь в этом случае гарантией служит сама собствен-
ность, для покупки которой и берется кредит.
Допустим далее, что по контракту оплату кредита предусматрива-
ется провести в течение 25 лет за счет регулярных и постоянных вы-
плат. Какой должна быть выплачиваемая сумма? Ясно, что она должна
зависеть как от ставки, по которой предоставляется кредит, так и от
периодичности выплат (раз в месяц, квартал или год). В то же время
в современных условиях большинство потенциальных кредиторов не за-
хотят фиксировать процентную ставку на весь срок. А следовательно,
контракт будет составлен так, чтобы процентная ставка пересматрива-
лась (и даже несколько раз) в зависимости от экономических условий.
Соответственно при каждом пересмотре ставок могут меняться либо
размер регулярной выплаты, либо оставшийся срок возврата кредита,
либо какой-то иной элемент данной финансовой сделки.
2. Капиталовложения на бирже
Одна из наиболее важных областей использования сложных процентов
относится к анализу и оценке биржевых спекуляций и, в частности, капи-
таловложений в ценные бумаги с фиксированным доходом. Предположим,
что один инвестор, который не должен оплачивать налоги, в какой-то
определенный день может за 1000 приобрести любой из следующих трех
ДП, рассчитанных на 8 лет:
3 О проблемах начисления процентов
57
• ежегодные дивиденды в размере 120, выплачиваемые в конце
каждого из следующих 8 лет, а также возврат начальной суммы
через восемь лет;
• ежегодные дивиденды в том же ритме, но в размере 90 при выплате
через 8 лет большей суммы, равной 1300;
• серию выплат величиной в 180 в конце каждого из следующих
8 лет.
Первые два варианта представляют собой покупку определенной цен-
ной бумаги (ЦБ) с фиксированным доходом. А третий вариант, хотя и
является ЦБ, но имеет не очень привычное для нас название ежегодной
ренты, рассчитанной на срок в 8 лет. Выгодность этих вариантов наш
инвестор должен легко оценивать.
3. Капитальный ремонт сухогруза
Компания НЕТКО стоит перед дилеммой: произвести капитальный ре-
монт своего старого сухогруза или купить новое судно. Что делать ком-
пании, если доступная ей доходность капиталовложений (в другие про-
екты) составляет 10%, налог на прибыль в ближайшие годы останется
равен 40%, а инфляции не будет? Кроме того, условия ремонта и покуп-
ки известны и совершенно конкретны.
Допустим, что вариант капремонта предполагает расходы по трем
статьям:
1. Установка нового двигателя 250 000.
2. Замена старой навигационной системы на новую 200 000.
3. Ремонт корпуса 160 000.,
При этом расходы по статье 3 можно компенсировать за счет налого-
облагаемой прибыли, отнесенной к году 0, а статьи 2 и 3 могут рас-
сматриваться в качестве капитальных затрат и соответственно будут
амортизироваться по линейному закону в период с 1 по 5 год. Кроме
того, главный инженер оценивает ежегодные эксплуатационные расхо-
ды в 985 000 и считает, что компании не стоит менять навигационную
систему, поскольку тогда эксплуатационные расходы возрастут до вели-
чины 1 181 000. Наконец, амортизация старого судна уже полностью
проведена и в случае своего обновления оно проживет не более 10 лет.
В то же время вместо ремонта старого «друга» компания может про-
дать его за 140 000 и вложить эти деньги в покупку нового сухогруза
по цене 2 000 000. При этом амортизацию вложенных денег можно будет
провести по линейному закону в течение 10 лет - хотя приносить до-
ход новое судно будет не менее 15 лет - а ежегодные эксплуатационные
расходы составят всего 900 000.
58
II Ставки
3.2. Ставки из реальной жизни
Теория эквивалентных ставок из п.2 лежит в основе любых проблем из
финансовой области. И как мы видели, в ней не так уж много типов ста-
вок. Мы выделили всего пять. Однако разнообразие форм, в которые мо-
жет «одеваться» любая из рассмотренных ставок, а также неожиданных
интерпретаций этого простого слова «ставки», поражает. Кроме того,
можно даже сказать, что любое прикосновение теории к практической
жизни вызывает определенные изменения в понимании теории. Однако
страшного ничего нет, и всегда следует быть уверенным в одном - пони-
мая суть дела на уровне, скажем, настоящей главы, при желании всегда
можно разобраться почти в любой конкретной ситуации и не только в
отношении ставок.
Пример 3.1
Номинальные ставки различной периодичности приводятся в местной
прессе английских городов несколько раз в неделю и относятся, скажем,
к депозитам соответствующего срока в местном банке, сделанным в
конкретный день. Выглядят они, например, следующим образом:
Срок Номинальная ставка (%)
1 день 11 3/4
2 дня 11 5/8
7 дней 11 1/2
1 месяц 11 3/8
3 месяца 11 1/4
Определить НЗ вклада размером в 1000, сделанного в указанный день на
срок 1)1 неделю и 2) 1 месяц.
Решение. Чтобы записать и использовать информацию в местной
прессе, нам придется ввести новое обозначение i^(to) для ежегодной
номинальной ставки процента периодичности к , при не обязательно це-
лых к, относящейся к определенному дню to, & также определиться с
тем, сколько дней в году.
Срок в годах (1/к) 1/365 2/365 7/365 1/12 1/4
0,1175 0,11625 0,115 0,11375 0,1125
Как мы знаем, увеличение вклада за БП длины 1/fc определяется вы-
ражением 1 + ik — 14- i^/k. Поэтому, действуя по аналогии, есте-
ственно определить искомое НЗ по формуле 1000(1 4- №(1о)/к) при
к = 365/7, к = 12 :
1) 1000(1 4- 0,115) = 1002,21, 2) 1000(14- -10,11375) = 1009,48 •
365 12
3 О проблемах начисления процентов
59
А теперь немного продолжим тему номинальной ставки. И не пото-
му, что она важнее других проблем, а просто для того, чтобы показать,
что практически любой вопрос имеет очень много «различных продолже-
ний». Отметим, что иногда даже полгода (если это конкретный срок) мы
можем не считать целой долей года. Поэтому желательно иметь определе-
ние ежегодной номинальной ставки г(Л) для произвольных подпериодов
года длины h , не обязательно равной 1/к .
Естественно дать это определение с помощью равенства
e*h - 1
*(Л) = —7—, (3-1)
h
поскольку прежнее определение в нашем случае можно переписать в виде
№ = fc[(l + i)l'k - 1] = [е*/к -
Пример 3.2. Обобщение понятия номинальной ставки
Интенсивность начисления процентов постоянна и равна 0,12. Опре-
делить эквивалентную ей номинальную ежегодную ставку процента
по вкладам на 1) полгода (182 дня), 2) июль месяц и 3) одну неделю.
Решение. В нашей ситуации 1) Л = Щ, 2) h = 3) h = gjg.
365(е°. 12-182/365 _
Поэтому i(h) равны соответственно: 1) ---------—----------= 0,1237,
182
З65(е0,12'31/365 - 1) Л З65(е0,12'7/365 - 1) п
2) ------------------ = 0,1206, 3) -----------------= 0,1201 •
01 I
Итак, взяв конкретное понятие ежегодной периодической ставки про-
цента, мы уже отметили три ее ипостаси: основную № , теоретическую,
определяемую выражением (2.6а), практическую i^k\to), из жизни ан-
глийской «глубинки», а также обобщение г(Л) основной ставки, вызван-
ное потребностями практики. Помимо этого можно добавить, что при-
веденные выше в таблице конкретные ставки должны меняться со време-
нем. И они заметно меняются. С одной стороны, если бы они оставались
постоянными, то при двухдневном инвестировании суммы 1 000 000 ее
НЗ равнялось бы величине 1 000 000[1 + 0,11625 • 2/365] = 1 000 637. А
если бы вложили дважды под однодневную ставку, то получили величи-
ну 1 000 000[1 + (0,1175/365)]2 = 1 000 644. И, следовательно, появля-
лась бы «сила», заставляющая предпочитать однодневную ставку двух-
дневной. Но, с другой стороны, указанное несоответствие естественно
объяснить, скажем, тем, что сейчас рынок ожидает изменения ставок в
будущем и потому так себя ведет.
60
II Ставки
В качестве другого примера можно взять учетную ставку, использу-
емую при дисконтировании или учете векселей. Как следует из п.1.2.3,
учетная ставка при коммерческом дисконте фактически является став-
кой дисконта в смысле п.2.1, а в случае рационального дисконта - став-
кой процента. И это не все. Скажем, во французской практике понятие
«учетная ставка» складывается из добавления к так называемой основ-
ной банковской ставке различных комиссионных надбавок. Кроме того,
существует много различных названий ставок, которые на самом деле по-
хожи на французскую учетную в том смысле, что являются составными.
Например, актуарная ставка, используемая в страховании. В дальнейшем
мы еще коснемся этой темы. Но следует сказать и другое. Вооружившись
теорией сложных и простых процентов в объеме настоящей книги, можно
без особого труда разобраться с любыми, сколь угодно экзотическими
ставками. Конечно, при условии уважительного отношения к желанию
разных людей по-разному говорить об одном и том же.
3.3. Некоторые нюансы проблемы начисления процентов
Общие соображения
В своем простейшем варианте проблема начисления процентов затраги-
вает четыре элемента.
1
2
3
4
Начальный вклад или приведенное значение (ПЗ)
Длительность операции капиталовложения под проценты
Ставка
Снимаемая сумма или накопленное значение (НЗ)
Зафиксировав любые три из них, мы оказываемся в состоянии опреде-
лить оставшийся четвертый. Конечно, если известна связь начального
вклада и снимаемой суммы при данной ставке и длительности финансо-
вой операции. Связь, которая в простых примерах, рассмотренных выше,
была очевидной.
В главе I мы достаточно обстоятельно познакомились с определением
длительности финансовой операции в долях года. Как мы видели, зача-
стую это весьма хлопотное занятие. В главе П мы уже познакомились с
понятием ставки, в том числе и для того, чтобы свободно себя чувство-
вать в любой ситуации. Остается, таким образом, одно - разобраться в
том, как начальный вклад и снимаемая сумма связаны в общем случае.
Обратимся мы к этому в главе V. Но оказывается, что связь эта нахо-
дится в прямой зависимости от ставок. И потому там будет рассмотрен
еще один взгляд на ставки.
3 О проблемах начисления процентов
61
О возможностях, позволяющих упростить решение задач
Читатель должен, конечно, представлять инструментарий, который мо-
жет помочь в финансовых расчетах. И уметь легко определять степень
его пригодности со своей точки зрения, правильно формулируя необхо-
димые вопросы.
• Финансовые таблицы
Каков диапазон используемых в них ставок?
Какие еще функции имеются в таблице?
Насколько широк представленный в них временной интервал?
Достаточно ли десятичных знаков для нужной точности?
• Карманный калькулятор
Есть ли в калькуляторе экспонента и логарифм?
Можно ли без особых усилий запрограммировать эти функции?
Имеются ли специальные алгоритмы для финансовых расчетов?
• Персональный компьютер (ПК)
Способны ли имеющиеся в ПК программы выполнять требуемые
вычисления? Можно ли просто создавать эти программы?
Имеет ли значение его способность быстро выдавать
результат на печать?
Конечно, выбор подхода к вычислениям сильно зависит от наличия
нужного инструментария, типа и сложности возникающих задач, а так-
же от объема предстоящих вычислений. В этой книге при решении раз-
личных задач мы будем прибегать к помощи финансовых таблиц из ПД.1
и всегда обходиться без ПК. Но, конечно, следует иметь в виду, что ре-
шение этих задач можно просто поручить известным программам или
быстро запрограммировать подходящий алгоритм с их помощью. И, на-
конец, главное. Фантастически быстрое развитие вычислительной тех-
ники, несомненно, уже в ближайшее время снимет многие проблемы, ко-
торые еще недавно служили препятствием в решении многих задач. Но
маловероятно, что оно освободит многих участников финансовых опе-
раций от необходимости понимать суть проблем, выбирать методы их
решения и т.д., особенно руководителей финансовых учреждений.
Спокойно относиться к двусмысленностям
Чаще всего период капиталовложения измеряется в годах, т.е. год ис-
пользуется в качестве единицы времени. Во многих случаях так есте-
ственно поступать, если рассматриваются ежегодные ставки процента
или дисконта, а также если используется непрерывное начисление про-
центов. Однако в случае периодических ставок процента или дисконта
положение меняется. И наиболее удобной единицей времени становится
период начисления процентов. Таким образом, можно сказать, что в ка-
честве единицы времени практически всегда выбирается БП. Поскольку
62
II Ставки
при непрерывном начислении процентов обычно в роли БП выступает
год.
Так как любая финансовая сделка заключается, как минимум, между
двумя сторонами, заемщиком и кредитором, то соответствующая задача
может быть сформулирована с разных точек зрения. И потому одна и та
же проблема интерпретируется по-разному. В настоящей книге дается
много примеров таких интерпретаций именно с целью адаптации чита-
теля к реальной жизни и воспитания определенных навыков. Скажем,
чтобы различная фразеология не могла сбить его с толку.
Кроме того, в сложных финансовых операциях нередко принимают
участие три или более сторон. Как это было в случае форфейтной опе-
рации или коммерческой фирмы, анализирующей доходность от капита-
ловложения в строительство нового завода, когда имеется много посред-
ников. Однако основные финансовые принципы, разработанные для ана-
лиза двусторонних соглашений, без особого труда можно использовать и
в анализе более сложных ситуаций.
Терминология
Наконец, отметим еще один момент, который читатель обязательно дол-
жен учитывать при знакомстве с конкретной финансовой проблемой.
Речь идет о многообразии и многозначности терминологии, которая ис-
пользуется участниками финансового рынка и может привести в сму-
щение и «опытного зубра». Дело в том, что финансовые термины даже
в цивилизованном мире имеют различное толкование или не всегда со-
ответствуют интуитивным представлениям о данном понятии, сделке и
т.д. Более того, многие участники финансовых операций, вовлеченные
в конкретную финансовую сделку, не всегда пользуются терминологи-
ей и определениями данной книги, имеющими точное значение. Поэтому
читателю в момент знакомства с какой-либо конкретной проблематикой
предлагается всегда быть осторожным в оценке используемых терминов
и пытаться разглядеть их истинную природу под «словесной упаковкой».
В то же время - и это правило - полного согласия в терминологии у
различных участников рынка и ожидать не приходится. Хотя, конечно,
в данной книге, по мнению автора, приведена основная и общепринятая
терминология по смыслу. Кроме того, здесь предложен ряд нововведе-
ний русской терминологии, которая у нас еще только вырабатывается.
Основная их цель - подчеркивать смысл понятия русскими словами, а не
плохим переводом с английского. Насколько это удачно сделано - судить
читателю!
4 Упражнения
63
4. Упражнения
1. Накопленное значение (НЗ).
На некоторый счет под проценты, начисляемые по постоянной ставке, ка-
ждые 3 года вносится сумма 100, начиная с момента 0. Запишите величину
остатка на этом счету непосредственно перед внесением этой суммы в ше-
стой раз, если используемая на нем ставка 10% является
1) ежегодной ставкой процента или
2) ежегодной периодической ставкой процента полугодового начисления.
2. Приведенное значение (ПЗ).
Некоторый фонд наращивает свои средства с постоянной интенсивно-
стью, определяемой ежегодной 1) ставкой процента 8% или 2) ставкой
непрерывного и равномерного начисления 8%. Запишите выражение для
суммы, которую следует вложить в этот фонд сейчас, чтобы рассчиты-
вать на получение 16 одинаковых и регулярных выплат величиной в 240
каждая, первая из которых будет сделана через год, а все последующие -
через 3 года одна от другой.
3. Взаимосвязи между ставками.
1. Определить г’(4\ 5, с№ при условии, что i = 0,0625.
2. Определить г^12), ^(4) При условии, что № = 0,0625.
3 Определить 5, d при условии, что d^12^ = 0,0625.
4. Определить d^ при условии, что 6 = 0,0625.
4. Монотонность периодических ставок дисконта.
Покажите, что > d^ при любой ставке процента i. Делайте это
по аналогии с доказательством неравенства < № в п.2.4, т.е. ис-
пользуя функцию
д(х) = х(1-е~6/х), <5# 0,
или действуя каким-либо иным образом.
5. Редкое начисление процентов.
Иногда проценты начисляются даже реже, чем 1 раз в год. Например,
1 раз в к лет. Определите ежегодные ставки процента ft1/*) и дисконта
, соответствующие этой «интенсивности начисления процентов», и
установите для них формулу, аналогичную (2.8).
6. Еще одна связь.
Выразите v как функцию отношения двух ставок г = №/d^.
64
II Ставки
7. Система двух уравнений с двумя неизвестными.
При каком к возможны равенства
1) № = 0,1844144, 2) = 0,1802608?
8. О взаимоотношениях периодических ставок процента и дисконта.
Найти п , если известно, что при некоторых к, I > к
1) 1 + «п — 1 } ?) 1 — dn — - — .
1 4- ii 1 - di
Определить п в частном случае, когда к = 4, I = 5.
9. Словесная интерпретация.
Покажите, что
гМ = ^)(1 + гуЛ
и дайте качественную (финансовую) интерпретацию этому равенству.
10. Два представления в виде ряда для ставки
непрерывного начисления процентов.
Покажите, что
f d + i d2-i2 d3 + i3
s=—+—+—+
11. Еще несколько разложений в ряд.
Укажите разложение функции у = f(x) в ряд по х в следующих четырех
случаях:
N 1 2 3 4
у ”1 v S №
х d 6 d i
Указание: начать с табл. 2.2 или равенства (2.6а).
12. Приближенное равенство.
Покажите, что при любых к > 1
х i{k)+d^ . п
----2---’ г^°'
Запишите точное выражение для ошибки в этом соотношении в виде ряда
по S при к = 1.
Глава III
Стоимость
простейших потоков
платежей
В предыдущей главе нас интересовали различные формы оплаты про-
стейшей финансовой операции: предоставление единичного кредита на
единичное время. В результате мы познакомились с пятью типами экви-
валентных ставок. Можно сказать, что сейчас мы находимся в аналогич-
ной ситуации, рассматривая различные варианты не только регулярных
платежей, т.е.
одинаковых по величине и
равноотстоящих друг от друга по времени,
но и канонических, т.е. таких, для которых
сумма всех платежей, отнесенных к любому, но определенному году,
всегда равна одной денежной единице.
Дело в том, что интересовать нас будет в основном
СТОИМОСТЬ
такого потока на определенный момент времени - и прежде всего ее
частные случаи: приведенное значение и накопленное значение - в про-
стейшей ситуации, когда исходная ставка процента остается постоянной
в течение всего периода платежей. В результате мы сможем познако-
миться с различными типами рент, т.е. с
регулярными последовательностями, или потоками платежей,
используемых в настоящее время в финансовой практике, а также сде-
лать важный шаг на пути к оценке стоимости капиталовложений (гл.VI).
66
III Стоимость простейших потоков
1. Основные варианты канонической ренты
Начнем с простейшего потока платежей (ППП), состоящего из конеч-
ного числа п единичных сумм, последовательно выплачиваемых через
год.
ill 11
Рис. 1.1. Простейший поток платежей
Здесь он пока не «привязан» к временной шкале (рис. 1.1). Однако имен-
но его стоимость, отнесенная к различным моментам времени, и будет
интересовать нас в этом пункте.
1.1. Определение стоимости и ее перенос
Стоимость любого потока платежей на некоторый момент времени
в этой книге всегда определяется как сумма стоимостей
отдельных элементов потока на этот момент времени.
Стоимость же отдельной выплаты на определенный момент времени (в
частности, ПЗ и НЗ) была определена нами в предыдущей главе.
Напомним, что перенос стоимости 1 денежной единицы на t лет впе-
ред или назад осуществляется соответственно по формулам
u(t) = г?, v(t) = (1.1)
в которых и = 1 + г, v = 1/(1 +г); здесь u(t) - стоимость 1 денежной еди-
ницы через-1 лет, a v(t) - стоимость 1 денежной единицы в момент на
t лет раньше. При этом у нас t будет в основном целым и положитель-
ным действительным числом. Хотя, вообще говоря, это необязательно.
Главное же, когда речь идет о переносе стоимости вперед или назад по
времени, следует иметь в виду, по крайней мере, следующие два момента.
Во-первых, в таких случаях будем считать для простоты, что суще-
ствует некоторый ТС, на который и поступают выплаты. Причем для
нас существенно лишь то, что этот счет просто является «прибором для
наваривания денег». И, во-вторых, мы можем по-разному определять по-
стоянную ставку, действующую на этом счету. Если она является еже-
годной ставкой процента г, то мы будем считать соотношение (1.1) вы-
полненным для целых t. А если проценты на нем начисляются, скажем,
непрерывно с постоянной ежегодной интенсивностью S, эквивалентной
исходной ежегодной ставке процента г, то формулы (1.1) естественно
считать справедливыми при любом t.
1 Основные варианты канонической ренты
67
1.2. Основные варианты стоимости ППП.
Два типа ренты
Традиционно сложились и используются как основные четыре варианта.
В них стоимость ППП рис. 1.1 отнесена соответственно на моменты:
1) за год до первой выплаты,
2) первой выплаты,
3) последней выплаты,
4) год спустя после последней выплаты.
В результате один и тот же простейший поток удобно представлять
в каждом случае по-своему. Возможно так, как это сделано на рис. 1.2,
где указанный момент обозначен черной горошиной.
= v + v2 + v3 Н-------h vn
й-| = 1 + v + и2 + • • • + и71”1
= un-1 + un~2 +-------hl
s~l = un + и71”1 +-------h u
Рис. 1.2. Стоимость канонической ренты
При этом яснъ, что нечетные варианты (1 и 3) можно назвать конеч-
ной подрасчетной рентой, т.е. последовательностью регулярных и оди-
наковых платежей, которые делаются в конце каждого из п периодов
ренты. И аналогично, четные варианты (2 и 4) - это авансовая рента, в
которой выплаты делаются в начале каждого из периодов, на которые
разбивается рента. Нетрудно заметить, что в любом варианте стоимость
всего потока, или ренты, отнесена либо на момент его начала, либо на
момент его окончания и потому сами выражения могут быть названы
следующим образом:
а-. .. 1 приведенное значение ап| подрасчетнои v ренты авансовой
Sn| .. 1 накопленное значение Sn| подрасчетной v ренты авансовой
68
III Стоимость простейших потоков
Замечание 1.1. Отметим, что введенные выше обозначения являют-
ся сокращенными, поскольку в них не отражена зависимость стоимости
от ежегодной ставки процента i. Тем не менее мы будем в основном ис-
пользовать именно их, чтобы не делать индексы слишком громоздкими
в случаях, когда ясно, о какой ставке идет речь. Однако иногда, во из-
бежание двусмысленности, будем использовать и два полных варианта
обозначения стоимости, получаемых из сокращенных по аналогии с
ап| “ an|t — а\
(1-2)
Они эквивалентны, но автору будет иногда удобно использовать англий-
ский вариант , а иногда французский а^.
, как это сделано в рассмо-
тренном ниже примере. Добавим к этому, что сказанное относится не
только к четырем обозначениям рис. 1.2, но и ко всем, введенным ранее
(скажем v = vt) или вводимым позже»
Пример 1.1. Стоимость подрасчетной ренты
Определить ПЗ ренты, в которой 500 выплачивается в конце каждого
полугода в течение 20 лет, если на счету действует ежегодная перио-
дическая ставка № = 9% .
Решение. Выберем в качестве БП полгода. Тогда можно записать
500<£?45 = 500 • 18,4016 = 9200,80 •
Займемся теперь выражениями, указанными на рис. 1.2 справа. Ка-
ждое из них и есть стоимость одного и того же ППП рис. 1.1, отне-
сенная к соответствующему моменту времени, отмеченному на рисунках
черным кружочком. Причем символ в левой части каждого равенства
является обозначением этой стоимости. А правая его часть дает пред-
ставление рассматриваемой стоимости в соответствии с определением и
выбранным моментом. В самом деле, все эти выражения являются ПЗ
или НЗ имеющихся выплат на момент начала или окончания ренты. Так,
скажем, первое слагаемое v в представлении для а-| есть ПЗ на момент
0 самой первой (левой на рис. 1.2) выплаты, которая делается в момент 1.
Далее идет второе слагаемое v2 , которое является ПЗ второй выплаты
момента 2 на момент 0 и т.д. И аналогично, скажем, первое слагаемое
в представлении для з-| означает НЗ первой выплаты момента 1 к
моменту п.
Нетрудно видеть далее, что все четыре выражения для стоимости
совпадают с п при г = 0. В основном же случае, т.е. при i > 0, они
отличаются, но также очень просты и симметричны. Покажем, что эти
выражения можно записать в виде:
_ 1 - vn _ 1 - vn___________________ип - 1 _ ип - 1
nl i ’ ^nl J ’ П1 г ’ nl d
i > 0; (1.3)
1 Основные варианты канонической ренты
69
напоминаем, u = 1 + i, v = 1/(1 + г), d = г/(1 + г) = 1 - и. В самом
деле, используя определение, получаем (1 + г)а-| = 1 + v + ... + vn-1 , и
потому га-| = (1 + г)а~| — а—। = 1 — vn. Но, очевидно, что иа-\ = а-| и
s-| = ипа-|, $“| = иПйп\- Таким образом, доказана первая формула в (1.3)
и указаны простые связи между нею и остальными тремя формулами.
Кстати о связях. Помимо указанных выше существуют и другие, на-
пример,
1) — = — + г, 2)J- = ^- + d. (1.4)
an| Sn| an| Sn|
И практически все они имеют не только простые формальные доказа-
тельства, но и интересные качественные интерпретации, которые можно
также считать доказательствами. В отношении равенств (1.4) мы пред-
лагаем читателю самому разобраться в этих вопросах в упр. 9 к настоя-
щей главе. Ну а здесь приведем «качественную» интерпретацию первого
из соотношений (1.3), которое представим в виде:
0 12 3 п -| _ • । п /1 г\
1 = Шп\ + V ’ V1*5)
Допустим, что 1 денежная единица кладется на рассматриваемый
счет под проценты на п лет. Тогда каждый год принесет в качестве про-
центов сумму i, выплачиваемую в конце него. А весь поток из п таких
сумм будет иметь стоимость или ПЗ, равные ia-\. Но первоначальный
вклад в момент п возвращается, и его ПЗ на момент начала операции
равно vn . Таким образом, справа в (1.5) записано ПЗ обязательств банка
на момент 0, которое должно совпадать с полученной суммой вклада.
Пример 1.2. Разница в погашении авансовой и подрасчетной рент
Кредит в 2^00, выданный под ежегодную ставку процента i = 10%,
должен быть погашен 20 равными ежегодными выплатами. Определить
величину этой выплаты в случае, когда она делается
1) в конце года или 2) в его начале.
Решение. 1. Обозначим размер выплаты через х. Тогда
2400 = x(v + и2 + • • • + v20) =
Отсюда получаем, что х = 2400/a£Q| = 2400/8,5136 = 281,90.
2. Пусть теперь величина выплаты равна у. В этом случае
2400 = j/(l + v +••• + v19) = уа^
и потому у = 2400/&2о| = 2400/uajQ|Oд = 2400/9,3649 = 256,28 •
70
III Стоимость простейших потоков
1.3. Отложенная и бесконечная ренты
Наряду с рассмотренными выше рентами встречаются бессрочная, или
бесконечная рента, а также отложенная. В отношении последней тради-
ционно сложились и используются следующие два варианта подрасчетной
и авансовой ренты соответственно.
m m + 2
m\a-1 = Vm+1 + vm+2 + • • • + vm+n
m m 4- 2
Ш|Й“| = Vm + Vm+1 H--------h Vm+n 1
Рис. 1.3. Стоимость отложенной канонической ренты.
В этих вариантах нас интересует стоимость на момент начала ренты
длительности т+п лет, который отделен т годами от так называемого
первого года выплат, отмеченного дугой на рис. 1.3. Нетрудно видеть,
что
m|°n| = - ат| = m|an| = (L6)
Пример 1.3. Понятие ежегодной доходности
Заемщик согласился оплатить кредит в 3000 за 19 лет 15 ежегодными
выплатами величиной 500 в конце каждого из последних 15 лет, т.е.
начиная с конца 5 года. Определить ежегодную доходность этой сделки
для кредитора, понимая под ней ставку, ПЗ по которой всех 15 выплат
будет совпадать с суммой кредита.
Решение. Уравнение равенства стоимости (УРС) в данном случае
имеет вид
3000 = 500(v5 + v6 + • • • + и19) = 500 4|ai5| — 500(а]д| - а^) = f(i).
И нам нужно найти его единственное решение - ставку процента i. Един-
ственное, поскольку правая часть УРС /(г) является, очевидно, убыва-
ющей функцией ставки. Но нетрудно видеть, что
/(0,08) = 500(9,6036 - 3,3121) = 3145,75,
/(0,09) = 500(8,9501 - 3,2397) = 2855,20.
Таким образом, ясно, что искомое значение г находится между 0,08 и
0,09. А поскольку точность нас особенно сейчас не волнует, воспользу-
емся линейной интерполяцией (см. ПБ.3.1) и получим
г =
0,08+ (0,09- 0,08)
3145,75- 3000
3145,75- 2855,20
= 0,08502 #
1 Основные варианты канонической ренты
71
Бесконечная рента является последовательностью бесконечного чи-
сла выплат. И хотя на первый взгляд кажется, что найти примеры по-
добной конструкции в жизни трудно, они существуют. Дивиденды по
привилегированным акциям без резерва под погашение или английская
2,5% консолидированная рента, т.е. непогашаемые облигации британско-
го правительства, как раз и представляют собой такие примеры. Другие
мы представим в гл. VII.
Конечно, говорить о НЗ к концу срока жизни для бесконечной ренты
особого смысла нет. Что же касается ее стоимости на момент начала, то
она, естественно, определяется просто как предел (г > 0)
а—। — lim а-. = 1/i, a—, = lim а-. = 1/d, (1.7)
поскольку НгПп-юо vn = 0. Кстати, приведенным выражениям нетрудно
дать и качественную интерпретацию. Так, если вклад величины 1/г по-
ложить под проценты по ставке г, то ежегодные проценты г(1/г) = 1
в конце каждого года и будут представлять собой единичную бесконеч-
ную ренту, эквивалентную по стоимости самому вкладу. Таким образом,
дается объяснение первому равенству в (1.7).
Более того, с помощью бесконечных рент можно дать интерпретацию
и «обычным» выражениям. Например, стоимости обычной подрасчетной
ренты
1 - vn
В самом деле, рассмотрим две бесконечные ренты. В первой 1 выплачи-
вается в конце каждого БП, и потому ее ПЗ равно 1/г. Вторая же пред-
ставляет собой бесконечную ренту с теми же выплатами, но отложенную
на п периодов, и потому ее ПЗ равно величине vn/i. Разница же этих
двух бесконечных рент как раз и представляет собой интересующую нас
подрасчетную ренту.
Пример 1.4. Отложенная и бесконечная ренты
А оставил в наследство поместье стоимостью 100000. Первому наслед-
нику В достались проценты по нему за предстоящие 10 лет, второму С
- за следующие 10 лет и, наконец, благотворительному обществу (БО)
D - за все оставшиеся годы. Определить относительные доли наслед-
ства, доставшиеся двум наследникам и БО, предполагая, что поместье
заложено и приносит 7% годовых (ставка процента).
Решение. Нетрудно видеть, что искомые доли составляют суммы:
7000ащ = 7000 • 7,0236 = 49 165,
7000(а^ “ аТ6|) = 7000(10,5940 - 7,0236) = 24 993,
7000(а—! - О55|) = 7000(- 10,5940) = 25 842 •
72
III Стоимость простейших потоков
2. Другие варианты
дискретной канонической ренты
Итак, мы рассмотрели ППП с одной выплатой каждый год. Но канониче-
ским мы назвали регулярный поток платежей, в котором выплаты за год
суммарно или в среднем составляют 1 денежную единицу. Поэтому нам
осталось обсудить проблему стоимости канонических рент еще в двух
случаях. А именно, когда
• за 1 год делается несколько выплат, или
• одна выплата делается 1 раз в несколько лет.
Соответственно будем называть эти ренты частыми или редкими, а так-
же периодическими, если БП - не год. Но по сути в этом случае новые
ренты отличаются от основных лишь тем, что частота выплат в них не
совпадает с частотой начисления процентов.
2.1. Частые ренты
Здесь мы сможем в полной мере использовать периодические ставки про-
цента и дисконта из гл. П. Что же касается стоимости рент, которые мы
собираемся проанализировать, то выражения для них легко получаются
из соответствующих выражений для стоимости подрасчетных и авансо-
вых ежегодных рент, рассмотренных выше.
Пусть сначала п и к - целые числа, которые представляют срок рен-
ты и количество выплат в год. Начнем с ренты с выплатой 1/к в конце
каждого из к одинаковых периодов длины 1/к , на которые разбивается
любой год. Эту ренту, стоимость которой на момент начала (т.е. ПЗ) мы
обозначим через , естественно поставить в соответствие ежегодной
подрасчетной ренте с ПЗ а-|. Более того, сделать это можно с помо-
щью рис. 2.1, который позволит очень просто получить выражение для
(к)
ее стоимости аХ/.
Рис. 2.1. Стоимость частой канонической ренты
2 Другие варианты
73
В самом деле, чем характеризуется ежегодная подрасчетная рента с
ПЗ а-| ? Тем, что в конце каждого года по этой ренте выплачивается
1 денежная единица (см. верхнюю левую часть рис. 2.1). За соответ-
ствующий же год в рассматриваемой ренте с ПЗ суммарная еди-
ничная плата вносится к раз одинаковыми долями 1/к в конце каждого
из к его периодов (см. нижнюю левую часть рис. 2.1). Таким образом,
слева наглядно представлена разница в ДП, связанных с рассматривае-
мыми рентами. Причем эта разница «заставляет» вспомнить похожие и
эквивалентные ритмы поступления денежных средств.
О них и напоминает нам правая часть рис. 2.1, где представлены два
из пяти основных способов оплаты вознаграждения в КО: когда можно
либо оплатить проценты один раз в конце года в сумме i, либо вносить
к раз суммы ik в конце всех к его периодов. Как известно, эти два
способа внесения денег эквивалентны. Таким образом, с одной стороны,
очевидно, что > а-|, поскольку часть выплат (в сумме равных) де-
лается раньше. Но, с другой стороны, ясно следующее. Обе пары ДП,
справа и слева на рис. 2.1, имеют один ритм, причем потоки справа
эквивалентны, и суммы внесенных в них денег не равны (h\ <i), ав
потоках слева суммы равны. Следовательно,
(fc) _ i_____________________________l-vn
°^l iW
Добавим, что соотношение (2.1) вытекает и прямо из определения:
<£) - V - 1 vl/*(1 ~ v”) _ r~vn _ Y-vn (2 la)
«I ^k к [1-vMfc] “ А[(1 + г)1Л-1] “ kik ’ 1 ’
1
(2-1)
1- vn
l-vn
Ы
d
1 1
к ik
dk .dk .dk
dk
Рис. 2.2. Стоимость частой канонической ренты
Совершенно аналогично величина определяется как ПЗ перио-
дической ренты с внесением сумм 1/к в начале каждого из к равных
периодов в каждом из п лет. Используя только что приведенные сообра-
жения и рис. 2.2, нетрудно получить для стоимости авансовой периоди-
ческой ренты формулу
..(*) _ ____1 - vn
(2-2)
74
III Стоимость простейших потоков
Итак, обе стоимости введенных выше рент - подрасчетной и авансо-
вой - весьма просто связаны со стоимостью соответствующих ежегод-
ных рент, если во всех случаях иметь в виду стоимость на момент начала
ренты. Однако перенос стоимости на любой другой момент - скажем, на
момент окончания ренты, т.е. на п периодов вперед по сравнению со сто-
имостью на момент начала, или на m периодов назад для отложенного
варианта - не должен отличаться от аналогичных операций с ежегодны-
ми рентами. И потому естественно возникают следующие обозначения и
соотношения:
(k) n w ..(fc) n--(k) W m (fc) Дк) m--(k) /о
s\f = una\f, s\ = una\, <a\ = vmcP’ mia-. = v a\’. (2.3)
n| n| n| n| ’ n| n| ’ n| n| v '
Пример 2.1. Кредит с помощью ренты
Закупая на бирже ренту, инвестор предоставляет кредит какой-либо
организации. Допустим, что он решил купить 5-летнюю ренту с еже-
квартальными выплатами, равными в сумме за год 120. Определить
цену покупки этой ренты, если кредит предоставляется под 12% годо-
вых. А точнее говоря, под такую 1) ставку процента или периодиче-
скую ставку 2) полугодового или 3) ежемесячного начисления.
Решение. 1. Используя (2.1), запишем искомую стоимость в виде
mi 0,12
1204S,12 = 5Д^120«5|О,12 = 451 583-
2. На этот раз у нас ставка № = 0,12. Поэтому в качестве БП удобно
выбрать полгода. Тогда ставка процента БП г = 0,06 , число выплат по
ренте за БП k = 2, а сумма выплат за БП равна 60. Таким образом, в
силу (2.1) получаем, что цена равна
Г21 0,06
= 6ООД)6<2)“Я1 = 448'134'
3. Здесь мы забегаем вперед, поскольку редкую ренту мы рассматри-
ваем в п.2.2. На этот раз ставка 0,12 есть г’(12) и потому в качестве БП
выбираем месяц. Таким образом, ставкой процента БП является 0,01,
очередная выплата суммы 30 падает на конец каждого третьего месяца,
и потому п = 60, I = 20, к = 3, а цена в силу (2.5) равна
30
10С1(:|’ = Г “®1 = 445'084 •
’ д3|
Конечно, введенные периодические ренты и их стоимости являются
обобщением соответствующих ежегодных рент, поскольку при к = 1
превращаются в них. В силу (2.1), (2.2) очевидно и то, что
а(М - _1_ а(*) _ (2 4)
если определять стоимость бесконечной периодической ренты по анало-
гии с бесконечными ежегодными.
2 Другие варианты
75
2.2. Редкие ренты
Вместо рент с пк выплатами можно рассматривать ренты с п/к выпла-
тами, полагал, что к и I = п/к - целые числа, ап- по-прежнему дли-
тельность, или срок жизни ренты в годах. По определению такие ренты
будут каноническими, если в среднем на 1 год выплачивается 1 денежная
единица, т.е. каждая выплата будет равна к единицам.
Рассмотрим сначала подобную ренту - аналог подрасчетной ежегод-
ной. В ней первая выплата приходится на конец года к, вторая - года
2к , и т.д. Всего делается I выплат, последняя из них оплачивается в кон-
це года 1к = п. Тогда, если обозначить стоимость этой подрасчетной
ренты через а-\(к) и использовать эквивалентность двух форм внесения
денежных сумм из нижней части рис. 2.3, то нетрудно понять, что (вто-
рое равенство можно воспринимать как определение новой ставки ,
см. п.5.1)
к _чуп
= ~a”h = 7W
AC |
А: к к к
____i i i I_______i___i I______________I___i___i I »
0 1 2 ••• к___2к________________________••• Ik
0 12 к 0 1 2 ••• к
Рис. 2.3. Стоимость редкой канонической ренты
В самом деле, именно нижняя часть рис. 2.3 напоминает нам, что к
следующих одна за другой единичных выплат подрасчетной ежегодной
ренты можно заменить одной выплатой размера $£| в конце соответству-
ющих к лет и потому a-|(A:)/a-| = к/з^.
к к к к
0 1 2 ... к (l-2)k ... /А:
0 1 к - 1 к 0 1 • • • к - 1 к
Рис. 2.4. Стоимость редкой канонической ренты
Естественно, если редкую авансовую ренту определить по аналогии с
авансовой ежегодной и воспользоваться соображениями рис. 2.4, то для
ее стоимости й-|(А:) мы получим соотношение (см. (5.1))
Ь 1 _
an|(fc) =
ЛI
76
III Стоимость простейших потоков
Пример 2.2
Строительная компания А предоставляет кредит под ежегодную
ставку процента j и просит оплачивать его ежегодной подрасчетной
рентой. Другая строительная компания В предоставляет кредит. на
тех же условиях, т.е. при одинаковой суммарной выплате х за 1 год.
Однако просит оплачивать кредит хотя и ежегодной подрасчетной, но
1) частой или 2) редкой рентой.
Показать, что реальная ежегодная ставка процента i компании
В независимо от срока займа п и суммы х удовлетворяет соответ-
ственно неравенствам
1) г> J = (l + l)fc-l> j, 2) i< J = (l + fcj)1/fc-l < j, (2.7)
К
где J определяется в (2.7), а к имеет смысл частоты выплат (своей
в каждом варианте). Определить также ставку i в частном случае
j = 0,08, к = 12, как для частого, так и для редкого варианта ренты
при сроках займа в 10 и 25 лет.
Решение. 1. Поскольку стоимости рент равны хащ3 соответ-
ственно, то искомая ставка i удовлетворяет соотношению
(к)
ап\г = an\j'
Поэтому, используя неравенства
j = А[(1 + J)1^ - 1] = J(fc) < J, (1 + J-)k > 1 + j
К
(ясно также, что 1 + J < (1 4- %)k => < J), в силу (2.1) и (1.3)
получаем
(k) l-(l + J)-n l-(l + j/k)~nk l-(l + j)-n (fc)
aK|J = ------------- = --------j------ > -------j---- = «nb = “n|.-
Остается заметить, что функция a£*t- по i является монотонно убываю-
щей и, следовательно, i > J. Что и требовалось доказать.
2. На этот раз искомая ставка i удовлетворяет другому соотношению
(см. п.5.1)
an|(^) = an|r
Однако сохраняется практически полная аналогия:
j = (1 + * = J(1/fe) > J, (1 + Ъ)(1А) < 1 + >,
к
J l-(l + J)-n l-(l + fcj)-”A l-(l + j)-n Л ....
an|W =------Jwtj----=----------j------<---------j----= a*b = an\^-
2 Другие варианты
77
При этом функция (А:) по i монотонно убывает и потому i < J.
3. Случай редкой ренты оставим читателю, а в отношении частой
заметим, что в силу (2.7) искомая ставка процента i компании В при
выбранных j = 0,08, k = 12 всегда больше, чем J = 0,083.
Обозначим ставки компании В для кредита на 10 и 25 лет через г*2
соответственно. Тогда для их определения нужно решить уравнения
(12) 0,08 г» 71Л1 (12) 0,08 -I л z?*7/tQ
— «Til =6,7101, = 10,6748,
10|ii Ю| ’ ’ 25|г2 25| ’ ’
и получить, что и = 0,088806, г*2 = 0,084433 •
2.3. Нецелые значения срока жизни
До сих пор мы считали, что параметр п во всех типах ежегодных рент
является целым числом. Предположим теперь, что это не так, считая по-
прежнему, что рассматривается основной случай г > 0.
Начнем с подрасчетной ренты и спросим себя: а какой смысл мо-
жет иметь обозначение где « ~ некоторое положительное целое,
а 0 < f < 1. В этом случае определение справа на рис. 1.2 «не проходит»,
поскольку для него требуется, чтобы n + f было целым числом. Конечно,
можно определить этот символ по формуле (1.3), в которой целочислен-
ность уже не требуется. Однако понятно, что поставленный вопрос от
этого не снимается.
Возникает довольно любопытная ситуация, поскольку не удается уй-
ти от двусмысленности. А точнее говоря, плохо не то, что ответов на
поставленный вопрос нет, а то, что их слишком много. В самом деле, с
помощью формулы (1.3) легко получить, например, представления
<Wl - ай| = v”a7i = u”+/s7l = u”+1®7l = уП+1+/*7|’ <2-8>
если развернуть ее следующим образом:
Vn — Vn+f Vn+/vJ (1 — V-^) Vn+1(l — V^) уп+1+/(у/ — 1)
an+/l an| i i d rf
Ясно, что каждый из указанных способов имеет очевидную интерпрета-
цию. Скажем, второе равенство означает, что выражение предста-
вляет собой сумму двух приведенных значений: ПЗ канонической подрас-
четной ренты со сроком жизни п лет и ПЗ заключительной выплаты в
момент п + /, равной s^.
Более того, можно с достаточными основаниями говорить даже о
большей естественности приближенных выражений для символа •
Например, вместо второго равенства из (2.8) напрашивается приближен-
ное равенство
“г+71 = »7| + (2-9)
78
III Стоимость простейших потоков
поскольку более подходящим числом для некоторых читател’ёй может по-
казаться число f , как соответствующее априорному желанию видеть вы-
плату, пропорциональную рассматриваемой дробной части. К счастью,
величины sj| и f близки при малых г. И читатель может сам попы-
таться ответить на вопрос: а насколько они близки?
Итак, выражение а^у| в действительности не является четко опреде-
ленным символом, не требующим уточнения определенных деталей про-
цесса выплат. К несчастью, потребность интерпретировать символы
ренты с нецелым сроком жизни возникает не только в теории. В свя-
зи с этим упоминаемое отсутствие четкости приводит к проблемам. Так,
многие суды используют ренту фиксированного срока для описания фи-
нансовых последствий от несчастного случая или незаконного решения
суда, связанного со смертью клиента страховой компании. А роль пара-
метра п ренты при этом играет среднее время жизни данного клиента.
Таким образом, если потерпевшая сторона в таком судебном процессе
имела оставшуюся среднюю длительность жизни 15,7 лет, то возника-
ет вопрос: а каким должно быть правильное значение соответствующей
ренты? Вопрос, на который нельзя дать исчерпывающего ответа.
Конечно, высказанные соображения относятся ко всем типам ежегод-
ных (и периодических) рент в равной мере. Но все же добавим несколько
слов о частых и редких рентах, которые были фактически определены
для случая п , кратного 1/к . Правда, анализируя редкую ренту, мы ска-
зали об этом сразу, а в разговоре о частой начинали с предположения,
что п - целое число лет. Однако из формулы (2.1а), которая вытекает из
определения этой ренты, очевидно, что она остается в силе именно при
п — 1/к, где I - целое число, имеющее смысл числа выплат в ренте.
Итак, нам понятно выражение а— . Но что можно сказать о символе
9,5|
(Т.1Д2—। ? Мы лишь повторим сказанное в отношении подрасчетной ежегод-
ной ренты. А именно, что, с одной стороны, имеется формула (см. (2.1))
(м_ i_-v2
П| Цк)
которая с математической точки зрения корректно определяет стои-
мость частой ренты при любых п > 0 . Но с другой - если п не является
кратным 1/fc, то не существует общепринятой интерпретации символа
(к) 2
а-/ и, в частности, а-^-.
п ’ ’ 9,75
И нужно выбирать из нескольких имеющихся.
Например, использовать какой-то вариант из (2.8), или равенство
(2.9а)
=a^ + fv^,
n+f\ n|
являющееся аналогом другого предложения, сформулированного выше;
здесь п кратно 1/к, а 0 < f < 1/к. В этом случае можно записать:
a¥L = а— + хг9’75
9,75| %,5| + 4 ’
2 Другие варианты
79
2.4. О связи между частыми, редкими
и основными рентами
Отметим два момента. Во-первых, нетрудно видеть, что исходные рен-
ты с частотой выплат, отличающейся от частоты начисления процентов,
можно представить с помощью соответствующей периодической ренты
- аналога ежегодной основной (при замене года на новый БП). Так, если
речь идет о частой ренте, то можно воспользоваться для этого выраже-
нием (2.1а), а если о редкой, то рис. 2.3, и получить для них представления
следующего вида (см. п.5.1)
1) а-) = 7-а-Г|. , 2) а-.(к) — ка—тг<. , (2.10)
в которых ставки ik = №/к, ix/k = определяются равенствами
ik = (1 + i)1/k - 1, i1/k = + 1- (2.10a)
Конечно, полезными эти представления могут быть лишь в том случае,
если ставки 4, h/k периодического начисления, эквивалентные исходной
ставке г, являются табулированными.
Во-вторых, оказывается, что частые и редкие ренты весьма тесно
связаны друг с другом. Так, нетрудно проверить, скажем, что при любых
целых к > 1
= aV’ а^\ = ап\№), a-|(-) = aL|), a^7) = a-|(fc), (2.11)
если «согласиться» на то, чтобы определять величины $уд| и йуд| по
формуле (1.3). В самом деле, например, в силу (2.5) имеем
/Ц i i (k)
Mfc) ~ А:(«1А - 1) °”1 ” г«а"1 “ ай| ‘
Пример 2.3
В предположении, что i = 0,03 оцените следующие стоимости рент:
1 1 9\ О\ q(2)
7 а23,75|’ 7 1’51а5,25|’ 7 "б,5Г
Решение. 1. Здесь можно использовать разные подходы. Например,
“) Ci! = J + <| = 17 128°- 'П <75, = П +
2-. «1<| = »1,5<| = “1’5 (Ц(?) = 4'6349-
3- ~ 1 = 7,2195 •
80
III Стоимость простейших потоков
3. Непрерывная рента
Рассмотрим, наконец, последний вариант канонической ренты, когда
платежи осуществляются непрерывно и равномерно, причем суммарно за
год по-прежнему в объеме 1 денежной единицы. А также познакомимся
с конкретным примером из жизни, в котором реальные платежи имеет
смысл рассматривать именно как непрерывные, хотя и не обязательно
равномерные.
3.1. Непрерывная каноническая рента
Итак, пусть зачисление денег на некоторый ТС в интервале (0, п) явля-
ется непрерывным, равномерным и суммарно за любой год равным 1
денежной единице. Это означает, что независимо от t в интервале вре-
мени (t, t+dt) - или, другими словами, в момент t - на рассматриваемый
счет вносится сумма dt. И потому, в частности, за любой год суммарно
действительно поступает величина f*+1 dt = 1.
Если же допустить, как это мы сделали в самом начале гл. Ш, что
деньги зачисляются на банковский счет с действующей на нем посто-
янной ежегодной интенсивностью S, эквивалентной ежегодной ставке
процента i (а именно это предположение мы продолжаем использовать
всюду в этом пункте), то ПЗ суммы dt на момент 0 является величи-
на e~if dt. Таким образом, сумма всех этих ПЗ или, другими словами,
стоимость рассматриваемой ренты на момент 0 есть величина
1 - e~in
5
1 - vn
6
(3.1)
Нетрудно видеть, что к этой же формуле можно прийти иначе:
а-, = lim = lim
' k-+oo nl k-too
1 - Vn
1 - Vn 1 - Vn ..(fc)
—-— = hm —-(TV- = lim aX’
6 k-too d\k) k->oo nl
Таким образом, непрерывная каноническая рента, как это и следует из
интуитивных соображений, является предельной для периодических рент
увеличивающейся периодичности.
Конечно, также легко можно записать стоимость канонической рен-
ты другого интервала времени той же длины на любой другой момент.
Например, в случае отложенной на m лет ренты, т.е. при зачислении де-
нег в интервале (m, тп + п), для ее стоимости на момент начала имеем
выражение:
rm+n
m|®n| — I е dt = am+n| - a—i = v a-|. (3.2)
J m
3 Непрерывная рента,
81
А если интересоваться стоимостью ренты срока п на момент ее окон-
чания, то соответственно получим
напоминаем, и = 1 + г. Кстати, отметим и очевидные, но полезные связи:
«п| = |вп| = *Т|апр *n| = |Sn| = «T|Sn| = ein«n|- (3-4)
Пример 3.1
Определить интенсивность начисления процентов, при которой
$20] = 3$10| •
Решение. Используя формулу (3.3), получим е20* - 1 = 3(е1015 - 1). Та-
ким образом, для определения 8 нужно будет решить квадратное уравне-
ние х2 — Зх + 2 = 0, в котором х = ехр(10<5). Первый его корень Xi = 1,
очевидно, лишний, поскольку приводит к 8 = 0. Ну а второй хг = 2
позволяет найти искомую интенсивность: 8 = In 2/10 = 0,0693 •
На непрерывные канонические ренты можно взглянуть и под другим
углом зрения. Для этого продифференцируем функции и 5^ по t:
U = 1 - 2) = и* = 1 + ^|- (3.5)
Обе полученные формулы имеют интересные качественные интерпрета-
ции. Поговорим, например, о второй. Рассмотрим работу инвестицион-
ного фонда, деньги в который поступают непрерывно с интенсивностью
1 за БП. Баланс на счету фонда в момент t равен Sj|. И он меняется
мгновенно по двум причинам. Во-первых, новые депозиты поступают с
интенсивностью 1 за БП и, во-вторых, проценты начисляются с интен-
сивностью 6 на каждую единицу в сумме .
3.2. Комиссионный сбор на платных автодорогах
А теперь перейдем к рассмотрению примера из жизни. Но предваритель-
но запишем стоимость конечной непрерывной ренты в предположении,
что деньги вносятся неравномерно. Точнее говоря, пусть по-прежнему
рассматривается промежуток времени в п лет, но теперь в интервале
времени (t, t 4- dt) вместо dt вносится сумма f(t) dt, где f(t) - неко-
торая действительная функция. Тогда в соответствии с вышесказанным
стоимость такой ренты из интервала (0, п) на момент ее начала (Vo)
или конца (V^i) можно записать соответственно в виде:
1) Vo = Г dt, 2) Vn = Г es^f(t) dt. (3.6)
Jo Jo
82
III Стоимость простейших потоков
Допустим, что магистральный участок большой 8-рядной автодоро-
ги, связывающей Париж и Нант, находится «на хозрасчете». Причем все
поступающие от участников дорожного движения средства в тот же день
переводятся на некоторый долгосрочный счет с постоянной ставкой. В
этой ситуации, по всей видимости, без особой натяжки можно считать,
что деньги поступают непрерывно. Так, пунктов сбора оплаты проез-
да на 200-километровом отрезке дороги около сотни, и в каждом свой
интервал времени, в который этот пункт и должен перечислить собран-
ные средства. Таким образом, поступающие на рассматриваемый счет
в каждый конкретный момент деньги составляют малую долю от всей
собранной за день суммы, и сами моменты перевода достаточно плотно
распределены, скажем, в течение 5/6 любых суток.
Пример 3.2
Попробуем грубо определить доход от эксплуатации этой дороги в
предстоящее десятилетие, т.е. стоимость соответствующей ренты.
Предположим для этого, что в течение предстоящих десяти лет:
1) ежегодная банковская ставка будет оставаться постоянной на
уровне i = 0, 04 ,
2) стоимость 1 т- км также будет одинаковой и равной 0,1,
3) рост грузооборота в зависимости от времени можно определить
функцией
f(t) = ехр(0, 03£).
Пусть, кроме того, известна
4) оценка суммарного грузооборота за последний год: 1 000 000 т- км.
Решение. Поскольку выбранной ставке соответствует 5 = 0,0392, то
ПЗ и НЗ всех собранных за 10 лет средств по формулам (3.6) составит
соответственно
flO 1 _ ^-0,0092 10
Vo = 0,1 • 109 / e-°.0392‘e°.03t dt = 108 п пппп-= 9,543 • 108,
Jo 0,0092
Vn = Vo(l,04)10 = yoeo-°392 io = 14) 112. io8 •
Замечание 3.1. Возможно, более естественной является ситуация,
когда предположение о росте грузооборота остается прежним, но данные
по нему за прошлый год отсутствуют. В этом случае их можно заменить,
например, оценкой по грузообороту за первый предстоящий год, скажем
величиной Ь. Тогда практически ничего не меняется. Только предвари-
тельно придется найти лишь отсутствующую величину а грузооборота
за прошлый год по b из уравнения
a [ exp(0, 03t) dt = b,
Jo
используя, например, известное соотношение ~ 1 + f, х —> 0 •
4 Непостоянные, или меняющиеся ренты
83
4. Непостоянные, или меняющиеся ренты
Мы обратились сначала к каноническим рентам прежде всего потому,
что к ним сводятся многие жизненные ситуации. Однако вместо слова
«многие» можно сказать «практически все», если рассмотреть еще один
или два типа рент. Поговорим о некоторых из этих рент фактически
одного типа.
4.1. Возрастающие и убывающие ренты
Выше мы рассмотрели все возможные типы канонических рент, понимая
под словом «рента» последовательность регулярных выплат, в том смы-
сле, что выплаты не только равны по величине, но и вносятся на счет
через равные промежутки времени. При этом мы, хотя и не говорили
об этом прямо, но фактически научились определять стоимость любой
последовательности выплат, отнесенной к любому моменту времени. К
примеру, нам уже очевидно, что величина
V = aivtl (4.1)
1
есть стоимость на момент 0 последовательности выплат величины а/,
произведенных в момент ti, 1 < I < п. Более того, понятно и то, что
смысл этой величины не зависит ни от упорядоченности ti (т. е. не нуж-
но, чтобы выполнялось условие ti < t2 < • • • < tn ), ни от их знака,
т.е. они могут быть разбросаны вокруг момента 0 каким угодно обра-
зом. Хотя, конечно, естественно прежде всего рассматривать ситуацию
О < h < t2 < - - • < tn .
Однако рентами иногда называют и последовательности неравных
выплат, если они по-прежнему регулярны в том смысле, что их изме-
нение каким-то простым образом упорядочено. Простейший и, можно
сказать, основной их вариант возникает в частном случае, когда в (4.1)
имеем ai = ti = I. Но лучше сказать, что есть два частных случая, кото-
рые довольно часто встречаются и потому имеют не только названия, но
и специальное обозначение. Это возрастающая рента, указанная выше, а
также убывающая рента, возникающая при сц = n + 1 - /, ti = I. Ко-
нечно, поскольку в обиходе есть меняющиеся ренты, то в название всех
вышерассмотренных часто добавляют слово «постоянные».
Начнем с возрастающей ренты - аналога подрасчетной ежегодной и
постоянной, стоимость которой, т.е. ПЗ на момент 0 обозначается через
(/а)~1 и в соответствии с определением равна
(/а)-| = v + 2v2 + 3v3 + • + nvn. (4.2)
4-1221
84
III Стоимость простейших потоков
Умножая обе части (4.2) на u = 1 + г, а затем вычитая, легко получаем
u(7a)~| = 1 + 2и + Зи2 + • • • + nvn 1,
г(7а)-| = 1 + v + и2 + • • • + vn 1 - nvn = d-| - nvn,
а-, — nv
n — 1 n
n — 1 n
1 n
Рис. 4.1. Представление для стоимости возрастающей ренты
Отметим сразу, что полученную формулу не нужно запоминать меха-
нически. Ее можно «понять». В самом деле, равенство й-| = + nvn
представляет собой запись ПЗ обязательств на момент 0 двух сторон:
инвестора, предоставляющего по 1 денежной единице в начале каждого
из следующих друг за другом п лет в долг (всего п единиц) и заемщи-
ка, обязующегося выплачивать проценты в конце каждого из этих лет
за сумму, находящуюся в его пользовании в течение этого года, а также
возвратить сумму всех полученных денег в конце года п (рис. 4.1).
Естественно, выражение для НЗ этой ренты, т.е. ее стоимости на мо-
мент последней выплаты, которая и обозначается по аналогии с обычной
рентой через (7s)-i , как и ранее, легко получить из формулы для ПЗ:
(/s)n( = ('“hl”" =
s^T|-("+1)
i
(4-4)
Пример 4.1
Выплаты по ренте поступают на счет в течение 20 лет в конце ка-
ждого года. Первая выплата равна 8000, а величина каждой последую-
щей уменьшается на 300. Определить стоимость этой ренты на мо-
мент начала первого года при условии, что на счету действует еже-
годная ставка процента i = 5% .
Решение. Используя возрастающую ренту, запишем искомую стои-
мость х в виде:
О 05 Й20| - 20г?2°
х = 83006120! - 300(/a)2oj = 8300а^°5 - ЗОО-^1-^-= 70 151 •
4 Непостоянные, или меняющиеся ренты
85
Замечание 4.1. Первая выплата по ренте равна 8000, а последняя -
2300. Следовательно, средняя выплата составляет 5150. Поэтому грубой
оценкой для искомой стоимости является величина 5150«2о| = 64 180. Яс-
но, что рост влияния дисконтирования со временем заставил нас в этой
оценке недооценить истинное значение, однако сама она подтвердила по-
рядок ответа. А в практической работе очень важно иметь простые спо-
собы проверки того, что в полученном ответе, скажем, десятичная точка
стоит на нужном месте, или что не сделана какая-либо другая нелепая
ошибка •
Рассмотренная ситуация, конечно, провоцировала использование убы-
вающей ренты. Как видно, мы легко обошлись и без нее. Тем не менее
этот вариант ренты также нередко используется на практике и имеет
специальное обозначение для своего ПЗ: (Da)-\. Выведем формулу для
этого символа несколько иначе, чем в случае с возрастающей рентой.
А именно, представим ее в виде суммы ежегодных подрасчетных рент
разной длительности (кстати, этот подход применим и для вывода сто-
имости возрастающей ренты):
(^)n| = “ 1 + Vv‘ = Ё а/| = Ё = —Г21' (4'5)
1=1 1=1 1=1
Запишем и ее НЗ по аналогии с (4.4):
пип — S~|
(Os)-, = (Da)-,«" = ---—=1.
Важно понять, что в теории сложных процентов, вообще говоря, не
существует какого-либо одного правильного или наилучшего решения
для многих задач. И если читатель хорошо усвоил так называемые фун-
даментальные принципы, то он будет в состоянии сам выбрать из многих
имеющихся решений то, которое ему больше понравится.
Пример 4.2. Несколько решений в ситуации с убывающей рентой
Рента выплачивается раз в полгода в течение 6 лет, начиная с конца
второго года, когда вносится сумма 1800. Величина каждой последу-
ющей выплаты уменьшается на 30. Определить стоимость ренты на
момент ее начала, если на счету действует периодическая ставка про-
цента № = 0,1.
Решение. Приведем три различных способа определения искомой сто-
имости х (читатель может предложить и свой подход). В качестве
БП, естественно, возьмем полгода и соответственно положим i = 0,05.
Кроме того, поскольку всего выплат 12, то величина последней равна
1800 — 11-30 = 1470. Учитывая это, запишем исходное выражение для
стоимости в виде
х = 1800V4 + 1770и5 4- 1740г6 + • • • + 1470^5О5.
86
III Стоимость простейших потоков
1. Используя убывающую ренту, действуем следующим образом:
х = v3[1440(v 4- V2 + • • • + и12) 4- 30( 12v 4- 1 lv2 4- • • • 4- v12)] =
v3[1440a^°5 + 30(jDa)j2|] = v3[1440a^°5 + 30(12 . = i2 651.
2. Используя возрастающую ренту, поступаем так:
х = v3[1830(v 4- V2 4- • • • 4- v12) - 30(v 4- 2v2 4- 3v3 4- • • • 4- 12v12)] =
, ,/ 30(07,. - 12v12)\
v3[1830aj2| ~ 30(Za)i2|] = v 1830аИ|----------------) = 12 651.
3. Опираясь на основные принципы, запишем цепочку равенств:
(1 + i)x = 1800и3 4- 1770и4 4- 1740и5 4- • • • + 1470и^4О5,
ix = 1800v3 - 30(v4 4- v5 4- • • • 4- v^os) “ H70v15,
1800v3 - 30(ani - ax.) - 1470v15
X =-----------------31----------= 12 651*
г
4.2. Арифметические ренты
P P + Q P + 2Q ... P+(n - 2)Q P+(n - 1)Q
-----1 1------1------1--------------1------1------
0---------------------------------------------------1 2 3 ... n-1 n
Рис. 4.2. Диаграмма ДП арифметической ренты
Обе ренты, с которыми мы только что познакомились, являются част-
ными случаями арифметической ренты, т. е. ренты, выплаты которой
меняются по закону арифметической прогрессии. Например, такой, как
на рис.4.2. Ну а эта рента в свою очередь есть частный случай ДП из
(4.1), определяемый равенствами
ai = P + Q(/-l), ti = l; (4.6)
здесь Р > 0, а Q, хотя и может иметь любой знак, но должно удовле-
творять условию
P+(n-l)Q>0,
чтобы не было отрицательных выплат. Стоимость Vn этой ренты на
момент ее начала (за год до первой выплаты) или стоимость Vnun на
4 Непостоянные, или меняющиеся ренты
87
момент ее окончания (момент последней выплаты) могут быть записаны
в следующем виде:
а-\ — nvn s~< - n
l)Vn = Pa-[+Q^—-------, 2) Vnun = Ps-\+Q^—-. (4.7)
Ну а полученные ранее выражения можно вывести из первого равенства
в (4.7), учитывая, что возрастающая рента возникает при Р = 1, Q = 1 ,
а убывающая при Р = n, Q = — 1.
Отметим также, что в рассматриваемом случае можно говорить и
о бесконечной ренте. В самом деле, поскольку существуют пределы
Ишп-^оо а-| = 1/г, linin^oo nvn = 0 , то, очевидно,
Ко = ? + • (4.8)
г г*
Только в этом случае для того, чтобы избежать отрицательных выплат,
нужно иметь Р > О, Q > 0. Кроме того, при поиске выражений для
стоимости различных меняющихся рент на практике часто используют
следующие три величины:
Fn — vn = ПЗ 1 денежной единицы,
поступившей на счет в момент п;
Gn — vn/d = ПЗ постоянной бесконечной ренты при первой
выплате в 1 денежную единицу в момент п;
Hn = vn/d2 = ПЗ возрастающей бесконечной ренты
1,2,3,..., при первой выплате в момент п.
Дело в том, что эти символы оказались весьма удобными при полу-
чении выражений для стоимости меняющихся рент. Бывает достаточно
соответствующим образом представить процесс выплат по ренте, чтобы
практически сразу «выйти» на интересующую нас формулу. Проиллю-
стрируем сказанное на примере наиболее известных меняющихся рент.
Пример 4.3
Установить формулы 1) (4-3) и 2) (4-5), используя введенные выше
функции Fn, Gn, Нп. Указание: полезно вспомнить, что v/d— 1/г.
Решение. 1. (7п)-| = Hi - Hn+i - nGn+i =
и vn+1 1 vn nvn ^nl ~
— — --- — 72---- ~ — — --- — --- — --------.
d2 d2 d di di i i
2. (Da)-, = nG, - (H2 - Hn+2) =
88
III Стоимость простейших потоков
4.3. Менее распространенные случаи
В практических приложениях структура процесса выплат по ренте мо-
жет заметно отличаться от рассмотренных в этой книге (но случается
это редко). Однако независимо от «экзотичности» денежного потока, свя-
занного с рентой, проблем при нахождении ее стоимости на тот или иной
момент обычно не возникает. По крайней мере, для человека, знакомо-
го с основными принципами, т.е. понимающего, что ПЗ суммы платежей
является суммой ПЗ отдельных платежей. Тем не менее в этом пункте мы
попытаемся расширить «набор» известных рент. И не затронем лишь так
называемые геометрические ренты, о которых собираемся поговорить в
следующей главе.
Здесь мы по-прежнему будем знакомиться с конечными рентами. Но
рассмотрим три типа изменений в них. Во-первых, до сих пор в наших
меняющихся рентах период между выплатами совпадал с БП начисления
процентов. И, говоря о (7а)-| или (/$)~|, мы, как и ранее, подразумева-
ли, что по аналогии с постоянными рентами определяются и остальные
типы стоимости возрастающей ренты. Такие, например, как (7а)-|. По-
этому здесь мы просто укажем два, на наш взгляд, интересных случая.
Во-вторых, среди ситуаций, в которых период между выплатами не со-
впадает с БП, мы выделим три и поговорим о них вкратце. И наконец,
в-третьих, отметим два варианта непрерывных меняющихся рент.
Итак, начнем с двух конкретных частных случаев.
Пример 4.4. Рента «равнобедренный треугольник»
Определить ПЗ подрасчетной меняющейся ренты, в которой выплаты
делаются ежегодно в конце, начинаются с 1 денежной единицы в конце
первого года, затем каждый год увеличиваются на 1 до суммы' в п, а
потом уменьшаются ежегодно на 1 до суммы в 1 денежную единицу.
Решение. Воспользуемся для записи ПЗ на момент 0 символами Нп :
(7а)-! + = (Ях - Яп+1) - (Яп+1 - Я2п+1) =
и _ 2vn+1 + v2n+1 1 — 2vn + v2n (1 - vn)2
--------- = = - — = а-|й-| •
d2----------------------------------id-id nl nl
Полученную простую формулу можно объяснить. Это мы и предлага-
ем сделать читателю. Другого типа задача будет связана со следующей
ситуацией.
Пример 4.5. Рента «прямоугольная трапеция»
Определить стоимость ежегодной подрасчетной ренты, возрастаю-
щей на интервале (0, 10) и постоянной на интервале (10, 25) на до-
стигнутом уровне. Точнее говоря, выплаты начинаются с 1 в конце
первого года, затем растут ежегодно на 1 до суммы 10 и остаются на
этом уровне до последней выплаты в конце 25 года.
4 Непостоянные, или меняющиеся ренты
89
Решение. Введем для ПЗ такой п-летней «возрастающе-постоянной
ренты», в которой рост выплат идет лишь в первые m лет, 0 < m < п,
обозначение
Тогда нетрудно видеть, что
10 25 9
х = (Ло|«)25| = + 10 V1 = ^Vla^.
1=1 1=11 1=0
Ну а читателю предлагается обосновать следующие выражения:
х = (Za)iQ| + 10v Gpq, х = (^а)25| — v (^a)i5|’
х = 10«25| - (Da)^, х = Hi - Hi i - IOG26 •
Далее рассмотрим три естественных обобщения возрастающей ренты
со стоимостью (/а)“|. А точнее говоря, познакомимся вкратце с одним
аналогом редкой периодической ренты и двумя аналогами частой.
Начнем со случая, когда выплаты делаются в конце каждого А:-го БП,
причем первая равна к, вторая - 2к и т.д. до последней /-й, равной 1к
и выплачиваемой в момент n = 1к. Вводя обозначение для ее стоимости
на момент 0 и действуя по аналогии с редкой рентой, получим
В самом деле,
(7а)-!(к) = k[vk 4- 2v2k + ••• + (/- l)vn"* + Zvn],
(Ia)-\(k)uk = fc[l + 2vk + •••+(/ - l)vn-2fe + lvn~k],
(Ia)-^k)[uk - 1] = fc[l + vk + v2k + • • • 4- vn~k - /vn] = a-,(fc) - nvn,
и придем к (4.9), если обе части последнего равенства разделим на i.
Пример 4.6. Вечная возрастающая рента
Найти ПЗ вечной ренты, в которой 1 выплачивается в конце третьего
года, 2 - в конце шестого, 3 - в конце девятого и т.д.
Решение. Обозначим искомое ПЗ через х . Тогда
. х = v3 4- 2и6 4- ЗиВ 9 4- • • •, и3х = и6 4- 2и9 4- • • •,
4,3 „3
т(1 - и3) = v3 + и6 4- V9 + • • • = --3, V .
1 - V6 (1 —
90
III Стоимость простейших потоков
Если же выплаты делаются несколько раз за БП, то возникают разные
ренты в зависимости от того, меняется ли размер выплаты внутри БП
при каждой следующей выплате или он остается постоянным в каждом
БП. Рассмотрим сначала ситуацию второго типа. А точнее говоря, пусть
выплаты в первом БП делаются в моменты //&, 1 < I < к и равны 1/fc,
во втором БП делаются в моменты 1 + Z/A:, 1 < I < к и равны 2/к и т.д.,
в последнем делаются в моменты п - 1 + 1/к, 1 < I < к и равны n/к. В
этом случае нетрудно показать, что имеет место формула
/1Л а-. — nvn
= Лч— (4'10)
Но если общее число выплат остается прежним (и равным пк), а размер
их меняется при каждой из них, то для стоимости получаем выражение
а-) — nvn
= ^[vl'k + 2v2/fc + • • • + nkvnk'k] = ----. (4.11)
к2 iW
Читателю предлагается установить обе эти формулы в упр. 15.
Наконец, последнее, что мы хотели отметить - это стоимость непре-
рывной и возрастающей ренты. Обычно выделяются два типа, хотя в
основном они представляют лишь теоретический интерес. Специально
подчеркнем, что наше исходное предположение о непрерывном начисле-
нии процентов на счету (сделанное в п.1.1) полностью используется лишь
здесь и в п.З. В остальных случаях можно было бы ограничиться предпо-
ложением, что на счету, скажем, действует ежегодная ставка процентов
i, эквивалентная интенсивности 6.
Дадим определение соответствующих рент, прямо указав выражения
для их стоимости (на момент начала), и одновременно введем обозначе-
ния
Cn . aZi “nvn Г л й-. “ П^п
(/б)п| = уо tv dt = —4$—’ =52rJ xv dt=——•
(4.12)
Таким образом, в первом случае интенсивность выплат непрерывна на
всем протяжении ренты и равна t в момент t, а во втором - кусочно-
постоянна и равна величине г на интервале (г - 1, г], 1 < г < п.
Пример 4.7
Найти выражение для ПЗ непрерывно возрастающей ренты длитель-
ности п лет, постоянной интенсивности начисления процентов 6 и
интенсивности зачисления денег на счет в момент t, равной t2 .
Решение. Искомое выражение для стоимости х можно получить ин-
тегрированием по частям:
х = f t2e 8t dt =
Jo
— - e~Sn
82
n2 2n 2
T + 'p+p
5 Интерпретация и свойства стоимости 91
5. Интерпретация и свойства стоимости
Итак, мы познакомились с различными типами канонических рент, в
основном фиксированной длительности. Иными словами, с простейшими
постоянными и регулярно меняющимися рентами. И убедились в том,
что «взаимоотношения между ними самые дружеские» в том смысле, что
как и в случае с различными ставками соответствующие стоимости свя-
зывают не только красивые, но и полезные соотношения. И этому обстоя-
тельству можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. Кроме
того, нелишне представлять и поведение, скажем, величин а„|:, как
функций двух своих параметров на положительном ортанте i > 0, п > 0.
Для этого мы укажем некоторые свойства их сечений. Правда, сделаем
мы это в обоих случаях только в простейшей ситуации конечных и по-
стоянных рент п.1.2. Но начнем с еще одного момента, весьма наглядно
характеризующего такие ренты.
Как известно, во всех канонических рентах фиксированной длитель-
ности п общая сумма выплат одинакова и равна именно п. Поэтому
ясно, что любая конкретная стоимость характеризует только процесс
выплат по данной ренте, т.е. зависит лишь от характера ДП, связанного
с рентой. Более того, понятно, что стоимость ПЗ всегда меньше п, а
стоимость НЗ всегда больше. Поэтому естественно возникает вопрос: а
есть ли смысл у числа, характеризующего разницу между любой стои-
мостью и общей суммой выплат? Ведь если ответ положителен, то тем
самым окажется возможным несколько иначе и даже более точно охарак-
теризовать процесс выплат.
5.1. Алгебраическая интерпретация
Получить ответ на поставленный вопрос можно, если ввести в рассмо-
трение некоторые новые ежегодные ставки, в определенном смысле сим-
метричные по отношению к периодическим ставкам процента № и дис-
конта с№ . В самом деле, введем ставки:
= (i+^-2 = = (5Д,
к к к к
u = 1 + i = и-1 . Тогда нетрудно видеть, что прежние соотношения (1.3)
можно переписать в виде (напоминаем, что у нас i > 0):
1 - vn _ .. un - 1 _ it1/")
. П1 г г ’ "I d d ’
1 - vn _ dl1?n'> un - 1 _
I d d । г г
5.2
92
III Стоимость простейших потоков
Ну а чтобы воспринимать новые выражения не только .«проще», но
и с «пользой для дела», достаточно обратить внимание хотя бы на сле-
дующие два момента. Во первых, введенные в (5.1) величины при i > О
удовлетворяют неравенствам:
(/(i/n) < d(!A) < d < J < i < j(iA) < j-U/n), 1 < k < n> (5 3)
расширяя тем самым наше представление об эквивалентных ставках, свя-
занное с соотношениями (П.2.14). Читателю, кстати, предлагается уста-
новить их справедливость в упр.6. Но возможно более важным является
другое. Оказывается, можно даже сказать, что до сих пор выражений
(5.1) «не хватало для полноты картины» в области эквивалентных ста-
вок. Причем не только в том смысле, что теперь комплект всех ставок
из (5.3) заполняет всю положительную ось (см. ПГ.1.3).
В самом деле, величину г'П/^) естественно назвать
ежегодной и постоянной ставкой простых процентов
эквивалентной на интервале [0, к]
ежегодной и постоянной ставке сложных процентов i.
В том смысле, что НЗ 1 в обеих схемах накопления за к лет составит
одну и ту же величину (1 + i)k (об эквивалентности ПН и ставок см.
n.V.2.1). Но ведь то же самое можно сказать и о периодической ставке
процента iSk\ т.е. можно назвать ее
ежегодной и постоянной ставкой простых процентов
эквивалентной на любом из к подинтервалов года длины 1/к
ежегодной и постоянной ставке сложных процентов i.
Поскольку эквивалентной i на указанных интервалах и в указанном ра-
нее смысле является ставка = i/^/k, Конечно, точно так же можно
высказаться и о «ставках простого дисконта» dWk\
Итак, новые ставки позволили по-новому взглянуть и на старые, еже-
годные периодические ставки процента и дисконта к- кратной перио-
дичности. Они же позволяют использовать другие выражения и для сто-
имости у всех канонических и конечных рент. Причем сделать их более
наглядными и упрощающими сравнение любых рент, не важно ПЗ или
НЗ нас интересует.
Скажем, теперь в силу (5.2), (5.3) ясно, что
а-, < d-i < п < s-i < s-i, i > О
п| п| п| п|’
(хотя, конечно, это было очевидно и из рис. 1.2). Но это - отдельная
и большая тема для разговора, которой мы не будем касаться. И здесь
5 Интерпретация и свойства стоимости
93
приведем лишь еще пару новых выражений для одного из рассмотренных
нами типов рент:
1 - vn un - 1
= d(i/*) = жч”’ = id а) = п' (5ф4)
Больше для того, чтобы заметить: правые равенства в (5.4) доказывают
крайние неравенства в (5.3), а правые равенства из (5.2) - вторые нера-
венства справа и слева в (5.3), поскольку стоимость любой приведенной
канонической ренты меньше п, а накопленной - больше (в упр. 6 к этой
главе предлагается доказать все эти неравенства иначе).
В заключение еще раз подчеркнем, что
стоимость ренты - это функция суммарных выплат,
в которой коэффициент перед величиной п этих выплат «о многом гово-
рит». В самом деле, он содержит в себе (см. (5.2), (5.4)), весьма полную
информацию. Во-первых, тип ставки числителя (d или г) выбирается в
зависимости от того, является ли стоимость ПЗ или НЗ, а индекс этой
ставки указывает на то, какую часть БП составляет от длительности
ренты (у всех рент из (5.2) или (5.4) БП - это год!). И, во-вторых, тип
ставки знаменателя ( d или i) выбирается в зависимости от того, в нача-
ле или в конце периода делается выплата, а индекс ее показывает, сколько
выплат падает на БП.
5.2. Геометрическая интерпретация
Рис. 5.1. Геометрическая интерпретация стоимости рент
94
III Стоимость простейших потоков
Начнем сразу с расшифровки установленных ранее соотношений
i _ d
fl-j < = < Й-i (5.5)
(рис. 5.1). И прежде всего заметим, что а-\ = J” e~St dt - площадь под
функцией у = v* = е”** на интервале [0, п]. А стоимости подрасчетной
и авансовой рент
а-| = v + v2 Ч--1- vn, а-| = 1 + и ч--h v"-1
представляют собой суммы площадей вертикальных столбиков с единич-
ным основанием, которые либо принадлежат указанной площади d-| , ли-
бо содержат ее целиком. Точнее говоря, а-\ - сумма максимально воз-
можных столбиков, лежащих под функцией и1, а а-| - сумма минимально
возможных, чьи верхние планки (пунктирные) лежат выше этой функ-
ции.
Но не только неравенства из (5.5) имеют свою интерпретацию. Из
(5.5) ясно и то, что отношение ставок i/<£, d/8 просто представляет со-
бой отношение упомянутых площадей. Интересно, правда, что в отличие
от ставок, площади эти зависят от п через посредство величин 1 - vn,
также имеющих простой смысл разности й-| — а~| этих площадей. И вы-
текает это из очевидного равенства гл. П
Понятно, все эти соображения остаются в силе и для любых других
вариантов ежегодных канонических рент. Скажем, идет ли речь о НЗ
(s-р s-|), или об отложенной ренте ( m|S-|, m|S-|), в этих случаях
возникнут лишь незначительные изменения. Например, при рассмотре-
нии НЗ достаточно лишь заменить функцию на и*. Но на самом деле
вышесказанное делает прозрачной ситуацию в отношении любых кано-
нических рент.
В самом деле, для частых периодических рент вместо (5.5) имеем
(А:) . №
а-/ < —г-
d(^..(A:) ..(к)
— -г-а-/ < а-/
(5.6)
При
(к)
этом очевидно, что величина а-/
, например, представляет собой
сумму площадей столбиков, лежащих ниже функции , как и в случае
с а-|. Только на этот раз их больше и они «тоньше». Поскольку любой
столбик шириной 1, участвовавший в представлении а-|, переходит в
к столбиков шириной 1/к, но также подпирающих снизу функцию и* ,
как и ранее (см. овал на рис. 5.1). Естественно, что отношение ставок
5 Интерпретация и свойства стоимости
95
i^/б точно так же, как и ранее, представляет собой отношение пло-
щадеи , разница «ступенчатых» площадей равна 1/к,
поскольку имеет место равенство
_______ — _ ь > 1
ширина столбиков имеет смысл промежутка времени между выплатами
и т.д. Конечно, для редких рент все аналогично, начиная с соотношений
г’(1/*) rf(iA)
an|W < — an|(M = «п| = ЙП|М < Йп|(^-
(5.7)
5.3. Свойства сечений
Функция двух переменных
1- (1 + г)-п
очевидно определена в области i > — 1 (г / 0), п > 0. Но на полупрямой
г = 0, п > 0 ее можно доопределить по непрерывности (т.е. считать,
что а„|о = 1!тг_>оап|г при любом п > 0). Поэтому мы будем считать ее
определенной на части плоскости
(г > -1, п > 0),
несколько большей положительного ортанта, а уравнение
z ~ ап|г
задающим над ней некоторую поверхность в трехмерном пространстве
(г, тг, г). Рассмотрим два типа сечений этой поверхности вертикальными
плоскостями, параллельными оси п или г. А затем вкратце поговорим
и о таких же сечениях функции s-i.
Z = /(п)
Рис. 5.2. График первого сечения функции а„|,
96
III Стоимость простейших потоков
Положим при этом, что
1 - vn
/(n) = On|t- = —
т.е. будем считать, что функция /(п) представляет собой сечение пер-
вого типа, соответствующее некоторому фиксированному значению г, а
функция <p(i) -сечение второго типа, соответствующее фиксированному
значению п.
Нетрудно видеть, что для первого сечения (рис. 5.2)
/(0) = 0, /(п) —> 1, п -> оо,
г
л„) = 52^>0, л„) =-’£ЧМ!<о.
г г
Таким образом, функция f является возрастающей, выпуклой вверх,
причем имеющей горизонтальную асимптоту z = 1/г (стоимость бес-
срочной канонической ренты)
Рис. 5.3. График второго сечения функции a^\i
Функция же , наоборот, убывает, причем очень быстро, выпукла
вниз и имеет вертикальную асимптоту г = -1, поскольку (рис. 5.3)
/и = (Di+= - Ё'(!+< »•
1 1
п
/'(0 = J2/(/ + l)(l + i)-'-2>0,
1
<p(i) —> оо, г —> -1+; (/>(0) = п, </?(г) —> 0, г —> оо.
Поведение же сечений функции у = з^|г еще проще. Оно определяется
соотношениями
у = una^|i, у —> п, г —> 0; у —> оо, г оо (или п —> оо),
и тем, что мы только что выяснили о функциях /, р.
6 Упражнения
97
6. Упражнения
1. Платное образование для любимого сына.
Семья желает скопить за 20 лет 50 000 в фонде при платном колледже. И
решает, какую схему накопления выбрать. Допустим, она будет вклады-
вать в фонд в конце каждого из первых 10 лет по 1000, а затем в конце
каждого из 10 последующих лет увеличит вносимую сумму до 1000 + х .
Определить с точностью до 1 сумму х , если фонд «зарабатывает» еже-
годно ставку процента i = 7%.
2. Покупка автомобиля в рассрочку.
Новый автомобиль стоит сейчас 10 000 наличными. И покупатель желает
купить его в рассрочку под ставку процента г*(12) = 18%, выплачивая
в конце каждого месяца по 250 в течение 4 лет. Определить сумму х
необходимой доплаты при подписании контракта.
3. Пенсионное обеспечение на самообслуживании.
Рабочий 40 лет хочет накопить к моменту ухода на пенсию некоторую
сумму и решает откладывать ежегодно по 1000 в начале каждого из пред-
стоящих 25 лет, внося их на счет одного фонда. При этом он планирует,
начиная с 65 лет, забирать с этого счета некоторую сумму х в начале
каждого из следующих 15 лет. Определить х , предполагая, что рабочий
сможет снять все эти 15 сумм, а ставка процента i = 8% будет действо-
вать на счету лишь первые 25 лет, а затем поменяется на i = 7% .
4. Отложенная вечная рента.
В начале каждого из следующих 20 лет на счет фонда вносится 1000. Через
30 лет этот фонд начинает ежегодные и одинаковые выплаты, которые
продолжаются бесконечно. Причем первая из них приходится на конец
31 года. Записать выражение для величины этой выплаты.
5. Необычное наследство и бесконечная рента.
Меценат оставляет необычное наследство четырем благотворительным
учреждениям, А, В, С, и D : бесконечную постоянную под расчетную еже-
годную ренту. В течение первых п лет А, В и С делят каждую выплату
поровну. А все суммы после этого срока принадлежат D . Найти величи-
ну (1 + i)n в предположении, что ПЗ долей всех учреждений в наследстве
одинаковы.
6. Взаимоотношения «редких» и основных ставок.
Мотивируйте крайние четыре неравенства из (5.3) алгебраически и напо-
мните их словесную интерпретацию.
7. Любитель поговорки «Тише едешь - дальше будешь».
В соответствии с контрактом один инвестор обязался вносить 50 еже-
квартально на некоторый сберегательный счет, начиная с 1 июля 1996 г.
98
III Стоимость простейших потоков
и заканчивая 1 октября 2009 г. А 1 января 2010 г. он сможет снять всю на-
копленную сумму. Рассчитать величину этой суммы в предположении, что
на счету будет действовать ежегодная ставка 12% и она будет ставкой
процента 1) г, 2) i<2), 3) г‘(4\ 4) г’(12\
8. Объединение рент.
1 ноября 1985 г. один клиент страховой компании получил от нее в виде
пособия следующие три ренты (оплачиваемые этой компанией) с ежегод-
ными выплатами в размере
1) 200, выплачиваемыми ежегодно 1 февраля,
последняя - 1 февраля 2007 г.;
2) 320, выплачиваемыми ежеквартально, 1 января, 1 апреля,
1 июля и 1 октября каждого года,
последняя выплата - 1 января 2002 г.;
3) 180, выплачиваемыми ежемесячно, в первый день каждого
месяца, последняя выплата - 1 августа 2004 г.
Сразу же после получения ежемесячной выплаты 1 ноября 1985 г. клиент
попросил объединить все три ренты в одну, оплачиваемую все последу-
ющие годы дважды в год, 1 февраля и 1 августа, с последней выплатой
1 февраля 2007 г. Просьбу клиента удовлетворили.
Определить величину х ежегодных выплат по новой ренте в предположе-
нии, что использовалась ежегодная ставка процента i — 8% и все месяцы
имели одинаковую длину.
9.
Интересные связи.
Приведите алгебраическое доказательство следующих формул
_L. = _L_ + ,•(*) _L = _1_ + </(*>
л(*) в(*>+ 1 я(*) t-(fc)+ ’
Ct—. О—. С1—। О—.
обобщающих соотношения (1.4). Дайте им словесную интерпретацию.
10. Замена одной ренты на другую.
Стоимость первой вечной ренты, по которой 1 выплачивается в начале
каждого следующего года, равна 20. Стоимость другой вечной ренты на
тот же момент такая же, но выплаты по ней происходят в начале каждой
пары из следующих лет (моменты первых выплат совпадают). Определите
величину х выплаты по этой второй ренте и убедитесь, что она не зависит
от ставки.
11. Недолгая жизнь фонда.
В некотором фонде проценты начисляются на счет непрерывно с ежегод-
ной интенсивностью 4% . Сейчас на его счету 40 000, но деньги с него
снимаются с постоянной ежегодной интенсивностью 2400. Как долго про-
живет этот фонд?
Упражнения
99
12. Непрерывная возрастающая рента.
Проценты по ренте начисляются непрерывно с постоянной интенсивно-
стью 8 в промежутке времени (0, п) (число п не обязательно целое).
А интенсивность выплат по ней в момент t равна t. Если же ставка 6
эквивалентна ставке процента i = 0,05 , то ПЗ ренты на момент 0 оказы-
вается равным половине всех начисленных по ренте денег. Найти п .
13. Легкое равенство и трудное неравенство.
Покажите алгебраически, что имеют место следующие соотношения:
(Z)a)n| = (« + Uanl " (/a)np Sn|«n| > ”2 (» > 0)-
14. Бесконечная рента - прямоугольная трапеция.
Определить приведенную стоимость вечной ренты, выплаты по которой
делаются в конце каждого года и устроены по закону трапеции: первые п
лет они возрастают от 1 до п по 1 за год, а затем остаются постоянными
на достигнутом уровне в п .
15. Циклическая рента.
Десятилетняя рента имеет следующее расписание выплат:
каждое 1 января................ 100
каждое 1 апреля................ 200
каждое 1 июля.................. 300
каждое 1 октября............... 400
1. Покажите, что ее ПЗ на 1 января непосредственно перед первой
выплатой равно, величине
ХбООа^Оа)^.
2. Установите формулы (4.10) и (4.11).
16. Кусочно-постоянные ренты.
У двух под расчетных рент следующий порядок выплат:
Конец года Выплаты по ренте
X У
1-10 1 ь
11-20 2 0
21-30 1 ь
ПЗ этих рент на момент 0 совпадают, а ежегодная ставка процента i
такова, что г10 = 1/2. Определить Ь .
100
III Стоимость простейших потоков
17. Редкая рента «со сносом».
Определите стоимость (с точностью до 1) на 1 января для ренты, по ко-
торой 2000 выплачиваются через пол год а 10 раз подряд, считая, что пер-
вая ее выплата приходится на 1 апреля того же года, а ставка процента
г<12) = 0,09.
18. Любопытные взаимоотношения конечных рент.
Определите х, у, z , если известно, что
О7| _ Q3| + Sr|
аТТ| ау| + Sz\
19. Упрощение записи.
Запишите выражение «^(l 4- v15 4- v30) с помощью одного символа.
20. Отрицательные ставки.
Установите следующие формулы для постоянных рент:
^п|: — an|- di ^п\г ^n|-d*
21. Дивиденды банковского счета представляют собой ренту.
Вкладчик помещает 10 000 на банковский счет, на котором ставка про-
цента i = 0,04 будет действовать в течение 10 лет. Счет «полусрочный»
в том смысле, что снятие любой суммы с него в течение первых 5,5 лет
наказывается малым штрафом: банк оставляет себе 5% этой суммы.
Предположим, что вкладчик, снимая с этого счета сумму х 4 раза - в
конце 4, 5, 6 и 7 годов - сделает остаток на нем в конце 10 года равным
10 000. При каком х это возможно?
22. Модифицированная периодическая рента.
Покажите, что
23. Приближенные равенства.
Установите следующие приближенные равенства: 24 * * * *
24. Помощь любимой дочери в период обучения.
Дочь поступает в колледж и семья решает предоставить ей ренту на 4
года. Сумма 100 будет выплачиваться по ней только 9 первых месяцев
каждого года, в конце. Показать, что ее ПЗ на момент за месяц до первой
выплаты равно
Глава IV
Погашение кредита
Потоки платежей, связанные с погашением кредита \ весьма разно-
образны. Однако существует лишь несколько общих моментов, знание
которых позволяет свободно себя чувствовать при анализе любого из них
и, значит, лучше ориентироваться в самой известной из всех финансовых
операций. Рассмотрим их в этой главе, считая слово «ссуда» просто си-
нонимом слова «кредит», а слова «возвращение ссуды» эквивалентом слов
«погашение кредита».
Прежде всего это - принцип, в соответствии с которым очередная
выплата по ссуде подразделяется на две основные части: собственно по-
гашение какой-то доли кредита и проценты за удовольствие его иметь.
Кстати, этот принцип позволяет в любой момент представлять, какая
часть ссуды остается непогашенной. И тем самым удовлетворить клиен-
тов, желающих вернуть этот остаток раньше времени или объединить,
скажем, два различных долга в один и т.д. Еще один момент состоит в
том, что объявляемая в договоре процентная ставка, под которую дается
кредит, обычно меньше той реальной ставки, по которой в действитель-
ности приходится платить. И, наконец, хорошо бы не только понимать,
насколько меньше, но и непринужденно решать первую проблему пога-
шения кредита, т.е. определять конкретные размеры платежей по ссуде
в любой ситуации.
Указанные три момента следует признать основными. Однако зна-
комство с ними естественно считать всего лишь первым шагом на пути
познания нашей финансовой операции. Не менее важен и второй шаг.
Желательно, чтобы читатель мог судить об огромном разнообразии
ссуд, встречающихся в реальной жизни, а также представлять проблемы,
которые могут возникать при элементарном намерении подписать кон-
тракт. Именно поэтому большая часть главы имеет целью помочь чита-
телю сделать этот, второй, шаг.
1 Слово «кредит» по-французски означает «доверие».
102
IV Погашение кредита
1. Элементы классического погашения
Итак, одна из целей главы состоит в том, чтобы разобраться в пробле-
ме разделения каждой выплаты по ссуде на составные части, которыми
являются
• погашение кредита,
• оплата процентов собственно по кредиту,
• оплата технической реализации кредита и дополнительных услуг.
При этом основное внимание мы уделим упрощенному варианту с двумя
первыми частями. Тем более что в действительности многие из вариан-
тов погашения такими и являются. А учет последнего, третьего элемента
разбиения выплаты отложим до п.5.
Соответственно начнем с основных соображений по определению этих
двух частей.
1.1. Упрощенная схема. Классический принцип
Предположим, что ссуда величины С , взятая в момент to , возвращается
с помощью п выплат размера щ , производимых в некоторые фиксиро-
ванные моменты времени ti и при этом (рис. 1.1)
Рис. 1.1. Общая схема возвращения ссуды
Назовем системой погашения такой ссуды разбиение величины ка-
ждой выплаты на следующие две части
ai — mi + yi, 1 < I < n,
(1-1)
где yi - проценты по ссуде за l-й период, т.е. за промежуток времени
(t/_i, ti], a mi - часть ссуды, погашаемая в момент I-й выплаты. И пусть
1 Элементы классического погашения
103
Ci есть часть ссуды, оставшаяся непогашенной после этой l-й выплаты.
Таким образом, выполняются соотношения
1
Ct = C -£ms, 1</<п, (1.2)
1
причем
Сп = 0, (1.2а)
если после n-й выплаты кредит возвращается полностью. Это и предпо-
лагается в дальнейшем.
Будем также считать, что в каждом из периодов, разделяющих вы-
платы, «держится» одна и та же ставка процента. Тогда любая такая
система погашения называется классической, если
yi = Ci-iii(ti - ti-t), 1 < / < n; (1.3)
здесь ii - ставка процента, действующая в l-м периоде, а Со = С.
Иными словами, в классической системе погашения проценты за данный
период начисляются по формуле простых процентов и на сумму, находя-
щуюся в распоряжении должника в течение всего этого периода.
Далее в основном мы будем рассматривать т.н. простейший случай.
1.2. Простейший случай
Имеется в виду такой частный случай возвращения ссуды, когда
1) ставка процента i постоянна в течение всего срока возвращения ссу-
ды (период [0, п)) и является ставкой сложных процентов с ежегодным
начислением, а
2) выплаты регулярны, хотя и не обязательно одинаковы.
Иными словами, рассмотрим ситуацию, когда проценты начисляются по
формуле
У1 = Ci-ii, 1<1<п, (1.4)
и предусматривается п выплат размера а/ в конце каждого из предсто-
ящих п лет. Следовательно, имеют место соотношения
tl = l, 0<1<п. (1.5)
В этом случае, как легко видеть,
Ci-iu = ai +Ci, 1 < I < n, (1.6)
поскольку В'силу (1.1), (1.2) и (1.4)
Ci — Ci-\ - ттц = Ci-i - (ai - Ci-ii) = Ci-\U - ai (u — 1 + i).
104
IV Погашение кредита
А это означает, что величина С/ одновременно является и стоимостью на
момент I всех оставшихся после этого момента выплат (иными словами,
суммой ПЗ всех оставшихся выплат на момент /), т.е.
Ci = asvs z, 0 < I < п.
з=/+1
(1.7)
В самом деле, очевидно, формула (1.7) дает решение рекуррентного со-
отношения (1.6). И, следовательно, мы уже представляем, как удовлетво-
рить нетерпеливого клиента, желающего поменять контракт и немед-
ленно уплатить свои долги по данному кредиту, поскольку только что
выяснили, что продолжать оплачивать оставшиеся суммы j > /, или
сразу вернуть сумму С/ (в момент I, непосредственно после внесения
суммы а/) - это две эквивалентные операции.
Высказанные выше соображения можно использовать в различных
ситуациях.
Пример 1.1. Стоимость кредита в разных схемах возвращения
Сравните суммарно выплаченные проценты по одной и той же ссуде в
1000, предоставленной на 10 лет, под одну и ту же ежегодную ставку
процента, равную 9%, но для трех различных схем погашения:
1) проценты и взятая в долг сумма выплачиваются в конце срока ссуды;
2) проценты оплачиваются в конце каждого года, а 1000 возвращается
через 10 лет;
3) долг и проценты погашаются за счет постоянных взносов.
Решение. 1. В этом случае а/ = 0, I = 1, 2, •, 9. И потому в силу
(1-7)
С = аюи10, аю = 1000(1,О9)10 = 2367,36.
Следовательно, искомая сумма равна 2367,36 - 1000 = 1367,36 .
2. Каждый год в качестве процентов выплачивается 1000 -0,09 = 90.
Поэтому суммарно за 10 лет будет выплачено 10 • 90 = 900.
3. Пусть все а/ = Ъ. Тогда в силу (1.7) уравнение погашения имеет вид
1000 = Ьатб|0,09 = 6,4176586. Откуда b = 155,82 и, значит, искомая сумма
процентов есть 10 • 155,82 — 1000 = 558,2 •
Читатель теперь мог бы сам прокомментировать заметную разницу
в оплате процентов. Скажем, чем позже делаются выплаты по ссуде, тем
большую долю в них составляют проценты. И, наоборот, чем раньше
производятся выплаты, тем меньше суммарная величина процентов. В
то же время очевидно, что хотя суммарная величина выплат по ссуде и
разная в разных схемах погашения, ПЗ этих выплат у всех схем одинаково
и равно 1000.
1 Элементы классического погашения
105
1.3. Каноническое погашение
Как и ранее, здесь также имеет смысл выделить самую простую ситу-
ацию, которая используется очень часто. На этот раз это будет случай
так называемого канонического погашения, т.е. когда помимо условий
(1.4), (1.5), еще и
ai = а > 0.
В этом случае в силу (1.7) очевидно, Ci = аа^| • И потому элементами
погашения при а = 1 являются величины (см. табл. 1.1):
гщ = С/_1 - Ci = = vn l+l
yi = iCi-i = = 1 - vn-/+1,
(1-8)
Рис. 1.2. Непогашенный капитал - ПЗ оставшихся выплат
Табл. 1.1. Каноническое погашение ссуды величины С = a-i
I У1 mi Cl
0 0 0 а 3J
1 ia-, = 1 — vn vn О 11
n—1 1
2 *an^T| = 1 — г71”1 Vn“’1 an-2|
I ian-/+l| - ti—/4* 1 iy7i—/“J-1 an^7|
n - 1 га2\ ~ 1 — V2 V2 aT|
n гаТ| = 1 — V V 0
Кроме того, рис. 1.2 еще раз напоминает, что С/ - это стоимость на
момент I оставшихся после этого момента п — I единичных выплат.
Соответственно при любом а > 0
„ ЛЛ.П —/+1 .. _/-| я.п— /+1\
mi = av , yi = a(l — v ),
1 < / < n.
(1.8a)
106
IV Погашение кредита
2. Основные варианты возвращения ссуды
При погашении кредита первой проблемой обычно является определение
размера выплат, учитывающего все обстоятельства. Здесь мы постара-
емся показать, что даже в самых сложных ситуациях этот вопрос про-
блемой не является, если использовать определенный прием (см. п.2.2).
Но сначала мы поговорим об этом на примере так называемых основных
вариантов возвращения ссуды, часто встречавшихся в реальной жизни
еще недавно. При этом отметим, что разделение выплат на части здесь
нас не будет интересовать. И, кроме того, всегда будем иметь в виду
выплаты, которые служат лишь двум целям: погашать сумму кредита и
оплачивать проценты за него.
Подчеркнем и еще один момент. Здесь мы фактически продолжим
изучение рент как потоков регулярных платежей. Только если в гл. Ш
нас интересовала почти исключительно стоимость ренты на какой-то
момент времени, то здесь основным будет определение размера платежей.
В следующих пунктах мы затронем и другие вопросы.
2.1. Постоянные выплаты
Начнем с повторения пройденного и рассмотрим сначала наиболее рас-
пространенные варианты погашения.
Два основных варианта
Предположим, что кредит величины С погашается за счет постоянных
выплат величины а , назначенных на конец каждого из последующих лет,
причем первая выплата должна последовать через год после получения
кредита. Будем также считать, что он взят под постоянную ежегод-
ную ставку процента i. Иными словами, рассмотрим ситуацию, скажем,
непогашаемых казначейских билетов банка Франции стоимостью С и
доходностью i процентов. Сколько же по этому билету предлагается по-
лучать каждый год? Действительно ли а = Ci, как нам обещали при
покупке?
Это легко вытекает из принципа равенства приведенных значений
обязательств двух сторон - кредитора и должника, владельца облига-
ции и государства и т.д., который мы будем продолжать «эксплуати-
ровать» и дальше. Нетрудно видеть, что в рассматриваемой ситуации
соответствующее равенство имеет вид
С = а((1 + i) 1 + (1 + i) 2 + ...) = fl/i, (2*1)
если момент приведения совпадает с моментом получения кредита, как
это обычно и предполагается (о бесконечной геометрической прогрессии
см. в ПВ.З).
2 Основные варианты возвращения ссуды
107
Предположим далее, что кредит величины С по-прежнему погашает-
ся последовательностью периодических выплат размера а и сохраняется
ставка i. Однако теперь рассмотрим несколько более общую ситуацию,
полагая, что кредит погашается за конечное число п периодов (не обя-
зательно лет). Ясно, что в этом случае принцип равенства приведенных
значений обязательств двух сторон или просто уравнение погашения за-
писывается аналогично (рис. 2.1)
С = а((1 + г)"* 1 + (1 + г)-2 + ... + (1 + г)’п) = ааЯ|,-, (2.2)
а а а а а а а
Рис. 2.1. Периодические постоянные выплаты
хотя ставка г начисления процентов уже не годовая, а относится к со-
ответствующему периоду. В результате получаем, что размер выплат
определяется по формуле
а = С/а^1, (2.3)
очевидно включающей в себя случай бесконечно долгих выплат, посколь-
КУ аоо|« - 1/«-
Конечно, рассмотренный канонический случай является очень про-
стым. У него одна особенность: выплаты производятся в конце каждого
периода, на которые разбивается срок погашения, и начинаются сразу,
т. е. с конца первого периода после получения кредита. Назовем такие вы-
платы подрасчетными по аналогии с рентами такого же типа из гл. Ш.
Однако реальная интерпретация соответствующей финансовой операции
может принимать самые неожиданные формы.
Пример 2.1
Клиент коммерческого банка положил 1000 на счет с ежегодной перио-
дической ставкой процента ежеквартального начисления 8% и спросил
себя:
1) а насколько большой может быть сумма х , которую можно было
бы снимать со счета в конце каждого квартала в течение 10 лет? А
затем подумал:
2) и сколько же при этом я получу в качестве процентов?
Решение. 1. По формуле (2.3) х = 1000/а^?2 = 1000/27,3555 = 36,56.
2. И это означает, что на проценты приходится 36, 56*40-1000 = 462,4 •
108
IV Погашение кредита
Продолжая идею примера, отметим, что простая формула (2.3) содер-
жит в себе много различных жизненных ситуаций. Покажем, что именно
так позволяют сказать следующие два ее естественных обобщения
а = С(1 - pvn)u}/а^, (2.4)
L 1-1
а = С’/^аЯГ|,(П(1 + ь)’п^ (2-5)
1 j=i
здесь, как и обычно, v = (1 + г)”1, и = 1 + г, а р > 0, /, /V, £, г/, п/ - не-
которые действительные числа (^f тц = п). Заметим, кроме того, что
частое использование схемы постоянных выплат при погашении объясня-
ется не только тем, что упрощаются вычисления. Скорее, этому способ-
ствует желание кредитора облегчить обслуживание займа и уменьшить
нагрузку на заемщика, распределив ее равномерно по времени. Поэтому
имеет смысл обсудить различные варианты этой схемы.
Частично отложенное погашение
Если в течение первых т периодов из всего количества п периодов
погашения должник выплачивает только проценты (рис. 2.2), то этим он
фактически
1) сдвигает момент получения ссуды на т периодов «вправо» и
2) сокращает количество погашающих выплат с п до п — т , при т < п
(см. замеч. 2.3). А потому и возникает формула (2.4), в которой N =
п — m, р = f = 0.
а а а а
Ci Ci Ci
0 12 m m+1 m+2 n-1 n t
Рис. 2.2. Частично отложенное погашение
Замечание 2.1. Мы назвали этот вариант погашения частично отло-
женным, поскольку проценты начинают оплачиваться сразу и затягива-
ется лишь собственно погашение взятой в долг суммы. Соответственно
рассматриваемый ниже случай, когда откладывается на некоторый срок
и выплата процентов, естественно было назвать полностью отложен-
ным погашением •
Замечание 2.2. Вместо того, чтобы говорить отложенное (на
такой-то срок) можно сказать также франшиза погашения (такая-то).
Это же выражение относится и к самому периоду задержки выплат, т. е.
к числу т •
2 Основные варианты возвращения ссуды
109
Замечание 2.3. Величина m не может быть равна п, поскольку
тогда не будет выполняться одно из условий погашения. Последняя вы-
плата в этом случае будет производиться как бы в момент взятия ссуды,
а должна, как минимум, через период. Но этот вариант входит в ситуа-
цию авансовых выплат, рассмотренную ниже •
Вариант погашения с остаточной суммой
В уравнении (2.2) как бы предполагается полное погашение ссуды в мо-
мент последней n-й выплаты. Допустим теперь, что в этот момент при
постоянных выплатах остается непогашенной некоторая ее часть R.
Точнее говоря, предположим, что все выплаты были равны а, за ис-
ключением последней, равной а + R , в которой остаток R = рС, т.е.
составляет долю р всего кредита (рис. 2.3). Ясно, что тогда правая
часть соответствующего уравнения погашения отличается от правой ча-
сти (2.2) присутствием слагаемого pCvn . А это и приводит к формуле
(2.4) при f = 0, N = п .
Полностью отложенные, досрочные или авансовые выплаты
Предположим теперь, что в схеме постоянных выплат рис. 2.1 меняется
лишь взаимное положение моментов получения ссуды и первой выплаты.
Точнее говоря, допустим, что расстояние между этими моментами по
Рис. 2.4. Различные типы рент
по
IV Погашение кредита
времени изменяется (в (2.3) оно равно 1; см. рис. 2.4) на величину
т, при отложенном на m периодов начале выплат,
f _ 0, в основном варианте выплат в конце каждого периода,
J ~ -d, при досрочном начале выплат, 0 < d < 1,
-1, при авансовых выплатах (в начале каждого периода).
Тогда ясно, что новую ситуацию легко «привести» к старой ((2.2) или
(2.3)), если перенести стоимость взятой ссуды с реального момента на
момент 0. Для этого достаточно лишь заменить величину С в (2.3) на
Си^. Но такое изменение и приводит к формуле (2.4) с р = 0, N = п.
Погашение при нескольких ставках начисления процентов
Понятно, что при долгосрочных кредитах не слишком естественно для
кредитора использовать одну и ту же ставку весь срок. Рассмотрим по-
этому более реальную ситуацию, когда периодическая процентная ставка
равна ii в течение первых щ периодов, 1’2 в течение следующих п2 пе-
риодов, и т.д., ir в течение последних пь периодов. Конечно, при этом
для срока кредита выполняется соотношение
L
п = 5П
1
а роль уравнения погашения вместо (2.2) будет исполнять равенство
С = а{[(1 + ii) 1 + ...+ (1 + й) П1]+
(1 + ii)-ni[(l + г2)-1 + ... + (1 + г2)’П2] + ...+
nfr/Cl + Ъ)"п4(1 + »ь)-1 + - + (1 + гь)"П£]},
из которого и вытекает выражение (2.5).
Численные примеры
Итак, мы рассмотрели несколько различных схем погашения. Познако-
мимся теперь с тем, как выбор одной из них сказывается на величине
постоянной выплаты.
Пример 2.2
Сумма кредита 500 000 взята на 15 лет под 12% годовых. Определить
размер постоянной выплаты х в различных ситуациях вышеуказанного
типа, уточнив предположение в отношении ставки и способа получе-
ния постоянной выплаты.
Решение. 1. Подрасчетные выплаты.
Покажем что в условиях
1) ежегодных выплат, при ежегодной ставке i = 12% х = 73 412,
2) ежемесячных выплат, при той же ставке г = 12% х — 5805,
3) ежемесячных выплат, при ставке г^12) = 12% х = 6001.
А затем отдельно рассмотрим «очевидную» ситуацию, когда
4) ежемесячные выплаты равны х = 6118 = 73 412/12.
2 Основные варианты возвращения ссуды
111
В силу (2.3) 1) х = 500 000/а^,2 = 500 000/6,8109 = 73 412.
15|
Далее, во втором и третьем случаях имеем одно и то же уравнение:
х = 500 000/аЦ*. Но в 2) г12 = г<12)/12 = 0,113866/12 = 0,00949 ,
1 o(J|
а в 3) ii2 = 0,01. Что же можно сказать о случае 4)?
Ясно, что при любом х > 5805 реально используемая ставка процента
г > 0,12, а при х > 6001 - г'(12) > 0,12 и, следовательно, г > 1, 0112 - 1 =
0,12683. В то же время для рассматриваемого значения х = 6118 имеем
равенства 12za|^ = 500 000 = 73 412aj5|0 12. Таким образом, понять,
насколько реальная ставка процента г велика (больше 0,12), можно из
уравнения = ау5|Од2 = 6,8109.
Однако отметили мы случай 4) не для того, чтобы указать это урав-
нение (см. упр. 5, в котором определяется его решение). Дело в том, что
этот случай нередко даже в цивилизованных странах выдается за случай
3) с очевидной выгодой для организации-кредитора. Мы имеем ввиду,
что даже в цивилизованных странах бывает, что записанная в контрак-
те ставка г(12) из 3) реализуется в жизни, как вариант 4).
Точнее говоря, в договоре записывается, что периодическая ставка
процента г’(12) = 0,12. И потому нужно было бы назначить выплату
х = 6001. Но вместо этого искомая выплата х определяется из уравне-
ния 12ха^5|0 12 = 500 000, пользуясь неискушенностью многих клиентов
и внешней логичностью действий: сначала суммарная годовая выплата
определяется вроде бы по записанной в контракте ставке (но мы видим,
что г(12) заменяется на г), а затем остается лишь разделить на 12.
2. Авансовые выплаты
«сидят» в (2.4), им соответствуют значения f = -1, р = 0, N = п. Но
лучше аналог подрасчетной формулы (2.3) для авансовых выплат (т.е.
когда выплаты делаются в начале всех периодов срока погашения) запи-
сать в виде
a = Си~г/а\ = Cv/a\ = С/й\. (2.6)
Пользуясь, например, вторым равенством этой формулы и величинами
ио,12 — 0,892867, Vo,113866/12 = ^о,00949 = 0,990599, vo,oi — 0,990089
из ПД.1, легко получим (= 0,113866), что в условиях
1) ежегодных выплат, при г = 12% х = 73 412 • 0,892867 = 65 547,
2) ежемесячных выплат, при i = 12% х = 5805 • 0,990599 = 5750,
3) ежемесячных выплат, при г^12) = 12% х = 6001 • 0,990089 = 5942.
112
IV Погашение кредита
3. Отложенное погашение.
Рассмотрим сначала частично отложенное погашение с франшизой, рав-
ной 1,5 годам (вновь основной вариант погашения с подрасчетными вы-
платами, как и всюду ниже). И пусть нас интересуют ежемесячные вы-
платы с пропорциональной ставкой (случай 3)). Тогда в первые 18 ме-
сяцев они составят 5 000 (проценты), а затем в оставшиеся 162 месяца
будут равны
х = 500 000/а^ = 6246.
Иными словами, можно сказать, что используется формула (2.3) с умень-
шенным (за счет выплаты процентов) сроком погашения. Если же рас-
смотреть полностью отложенное погашение с той же франшизой, т.е. без
оплаты 5000 в первые 18 месяцев, то выплаты в оставшиеся 162 месяца
составят (в этом случае действует формула (2.4) с f = m = 18, р — 0,
N = п - m = 162)
х = С(1,01)18/а^ = 7471.
4. Остаточная сумма.
Допустим, что нас интересует ежемесячная выплата при пропорциональ-
но определяемой ежемесячной ставке, но с остаточной суммой в 20% от
суммы кредита. В этом случае ежемесячная выплата опускается до 5 801
(с 6 001), поскольку в силу (2.4) имеем
х = 500 000(1 - 0,2(1,01)"18О]/а^ = 5801.
1оО|
Но зато теперь заемщик должен вернуть через 15 лет 100 000.
Результат этот естественно сравнить с вариантом ежемесячных вы-
плат величиной в 5805 и без остаточной суммы, но с периодической став-
кой, полученной по эквивалентной схеме (случай 2)). Нетрудно видеть,
таким образом, что влияние способа преобразования ставки на резуль-
тат имеет здесь порядок в 20% от суммы кредита.
5. Несколько ставок.
Допустим, что средняя ставка на протяжении 15 лет близка к исходной
ставке в 12% в следующем смысле:
первые пять лет действует ставка Ц = 10% годовых,
последние десять лет действует ставка It = 14% годовых.
Тогда для ежемесячной выплаты х с пропорционально определяемыми
ставками в силу (2.5) будем иметь (L = 2, щ = 60, пг = 120, период-
месяц)
х = 500 000/[а^. + (1 + ii)’60^.] = 5800;
OU| i XUI
2 Основные варианты возвращения ссуды
113
здесь
Ц = (7х)(12>/12 = (0,1) <12)/12 = 0,09569/12 = 0,00797,
г2 = (/2)(12)/12 = (0,14)(12)/12 = 0,131746/12 = 0,01098.
Во избежание двусмысленности специально подчеркнем, что обе рассма-
триваемые здесь ставки ц и г2 являются по смыслу периодическими
ставками , но для разных ежегодных ставок процента. Точнее гово-
ря, г/ = (//)i2) I = 1) 2.
Ежемесячные выплаты в рассматриваемой схеме можно приблизить
к постоянным выплатам при фиксированной исходной ставке в 12% го-
довых с пропорциональной ежемесячной ставкой (6 001). Для этого до-
статочно уменьшить срок действия первой ставки (10%) до 40 месяцев -
выплата окажется равной 6 004. Можно сказать, таким образом, что по-
нятие «средняя ставка» (в смысле среднего арифметического) не очень-то
связано с функцией приведения •
«Разные» постоянные выплаты
В принципе можно говорить и о других обобщениях формулы (2.3), от-
личных от (2.4), (2.5). Так, серия из неизвестных постоянных выплат мо-
жет вполне уживаться с известными постоянными выплатами другого
размера. В такой ситуации естественно использовать следующий аналог
уравнения погашения, приведшего к (2.5)
L Z-1
1=1 j=l
(для случая ступенчатого погашения ссуды с различными выплатами а/,
постоянными на каждом из L периодов длины п/ действия ставки г/, I =
1, • • • L, V, = (1 + г)-1). И, следовательно, получить еще одно обобщение
соотношений (2.2) или (2.3).
Пример 2.2 (продолжение 1)
Предположим, что по какой-то причине удобно первые 4 года погашать
ссуду ежемесячными выплатами размера а^ = 5400, а последние 8 лет -
размера аз = 6900. Определить величину аг постоянной ежемесячной
выплаты для оставшегося периода в 3 года, если все 15 лет действует
ставка г^12) = 0,12.
Решение. Нетрудно видеть, что в рассматриваемой ситуации поможет
формула (2.7), в которой ai, аз даны, г/ = 0,01, I = 1, 2, 3 = L, а п\ =
48, пг = 36, пз = 96. В результате получим
а? — [С - aia4g| ~ a3agg| uo,oiJ/a3g| uo,oi — 5938 •
114
IV Погашение кредита
2.2. Ступенчатые выплаты
Покажем теперь, что запись уравнения погашения даже в самых сложных
ситуациях не представляет труда, если использовать некоторые простые
соображения-правила. Хотя они и носят общий характер, мы не будем
формулировать их в каком-то определенном месте. Просто приведем в
виде комментария к некоторому конкретному уравнению погашения и
соответствующей этому уравнению геометрической интерпретации про-
цесса приведения платежей.
Рис. 2.5. Ступенчатая ссуда. Процесс приведения платежей
Рассматриваемый вариант погашения
Специально выберем для этого достаточно сложную схему погашения с
так называемыми выплатами упорядоченного роста и асинхронно меня-
ющимися ставками. Но не нужно думать, что она чисто теоретическая.
Хотя, конечно, из-за своей громоздкости в практической жизни исполь-
зуется редко.
Обычно под ступенькой понимается отрезок времени, в течение ко-
торого выплачиваемые взносы являются постоянными. Как, например,
в ситуации (2.7). Но мы рассмотрим другой случай. Хотя выплаты и
держатся постоянными целый год, однако ступеньками мы назовем ин-
тервалы времени, в течение которых действует одна и та же годовая
ставка начисления процентов.
Итак, предположим, что (рис. 2.5)
• для ставок процента существует L ступенек
шириной Ni лет каждая или п/ = kNi периодов, 1 < I < L,
2 Основные варианты возвращения ссуды
115
• на /-й ступеньке используется годовая ставка процента 7/,
• каждый год делается к периодических выплат в конце каждого
из к периодов длительности 1/к, и в эти же моменты происходит
начисление процентов,
• величина этих выплат меняется в зависимости от года по закону
0] = а(1 + ?)7-1, j = (2.8)
геометрической прогрессии и пусть а > 0, 1 + q > 0. Хотя, конечно,
величина q также чаще бывает положительной. Будем считать, кроме
того, что для срока займа N лет (п = kN периодов) имеет место ра-
венство N = 52f Ni (соответственно п = щ ), а размер а первых к
выплат - за первый год - как раз и является единственной неизвестной
величиной, которую нам предстоит определить из уравнения погашения,
чтобы известными стали все выплаты.
Уравнение погашения и первая выплата
Введем периодическую ставку процентов г\(/), эквивалентную годовой
ставке 7/, т. е. удовлетворяющую соотношению
(l + ^(/))fc = l + /b 1 < I < L.
По определению, эта ставка действует в каждом из к периодов любо-
го года j', попавшего в l-ю ступеньку. Поэтому естественно возникает
уравнение погашения
N
C = «2(l + 9y-‘«^v(J), (2.9)
х——г /С|
J = 1
/-1
в котором v(j) = П(1 + Л)"№(1 + Na+1,
3=1
если 52s=i + 1 < j < ELi Ns] здесь v(j) имеет смысл стоимости
одной денежной единицы момента j — 1 (т.е. начала года j) в момент 0.
А чтобы избавиться от вспомогательных переменных ijy, v(J), запишем
параметр j с помощью двух величин Z, t в виде j = J2s=i Ns + t. Тогда
исходное уравнение можно не только переписать без этих переменных,
но и заметно упростить:
С = а]Г(1 + <?)£'='
/=1
L 1-1
= а(1 + q)~l П^ + Z^~N’
1=1 S=1
' h '
МГ
(2.Ю)
5—1221
116
IV Погашение кредита
если положить
1 + 2' = ТТ7 (2Л1)
и воспользоваться цепочкой равенств
.,(/) = i-(i + u(Q)-fe = i-g + Z/)-1 = Ji______1 ,
м ik(l) ik(l) ik(l)(l + h)' ’
Итак, для первой выплаты а получается весьма простое выражение
L
а = С(1 + дИ £2
I l=i
1,(1 Ni\
ik(V)
Па+^г"' >
(2.13)
И нам остается лишь понять, почему уравнение погашения в рассматри-
ваемой ситуации можно записать в виде (2.10) механически, т.е. «не за-
думываясь».
Комментарий к процессу приведения
Прежде всего вспомним о том, что уравнение погашения - это равенство
ПЗ обязательств двух сторон. И следовательно, если слева в этом равен-
стве стоит С, т.е. моментом приведения (момент 0) считается момент
получения кредита, то справа должна стоять сумма ПЗ на этот момент
всех платежей заемщика, предусмотренных рассматриваемой схемой по-
гашения. Таким образом, для записи уравнения требуется лишь умение
определять стоимость денежной единицы некоторого отдаленного мо-
мента времени в любой другой, скажем, предшествующий момент вре-
мени 0. Но для этого, очевидно, достаточно лишь знать, что 1 в конце
некоторого периода времени, в котором действует процентная ставка i
равна величине (т.е. «стоит») v = (1+г)-1 в начале этого периода. Иными
словами, достаточно быть знакомым лишь с элементарным представле-
нием о ставках, которое было изложено в гл. П.
Далее, чтобы не только понять запись уравнения (2.10), но и считать
ее очевидной, удобно разбить всю операцию записи на три шага. При
этом в качестве первого шага, как и всегда, предлагается четко предста-
вить весь поток платежей заемщика с помощью некоторой диаграммы.
Так, в рассматриваемой ситуации удобно считать, например, что поток
этих платежей является забором, состоящим из N секций по к прутов
каждая (секция - это год!), причем высота прутов года j задается
формулой (2.8).
Оставшиеся два шага - это 1) получение выражения для стоимости
произвольного прута или какой-то «удобной» части забора в момент 0
и 2) выбор подходящей формы для суммирования всех полученных та-
ким образом ПЗ. В нашем случае мы фактически сделали эти два шага
на рис. 2.5, выбрав там представление для произвольного года j , озна-
чающее просто предположение, что этот год попал на l-ю ступеньку,
2 Основные варианты возвращения ссуды
117
причем внутри ступеньки его порядковый номер представляет число t.
Продолжим же их тем, что укажем соответствующую интерпретацию
всех элементов формулы (2.10). А для придания наглядности этим со-
ображениям предлагаем использовать рис. 2.5.
Все элементы (2.10) имеют прозрачный смысл. Так, величина
*1 из первого равенства в (2.10) представляет суммарную стоимость всех к выплат года j в его начале, т.е. в момент j - 1, если все они равны единице. Будем говорить, что эта величина
(1 + Л)-‘+1 переводит стоимость выплат года j на его начало, представляет стоимость единицы начала года j в начале 1-Й ступеньки, т.е. переводит стоимость
п£(1+ /,)-*' единицы момента j — 1 на момент Ns. переводит стоимость единицы с начала /-й ступеньки на момент 0 получения ссуды. Кроме того, ясно, что множитель
а(1 + д)-7-1 присутствует, поскольку все выплаты года j по
2^/=i 2^t=i величине равны этому числу (а не 1) и, наконец, эти символы суммируют выплаты всех лет.
Пропорциональная ставка
При постановке различных проблем чаще используется ежегодная став-
ка процента, как это и было выше со ставкой //. Однако достаточно ча-
сто используется и предположение о том, что имеющаяся ставка являет-
ся периодической ежегодной ставкой процента А:-кратного начисления.
Поэтому желательно хорошо разобраться в том, чем эти два подхода
отличаются друг от друга.
Конечно, мы знаем, что если некоторая ставка есть ежегодная став-
ка процента i, то эквивалентная ей ставка начисления за период длины
1/к есть ставка г\, определяемая из уравнения (1 + ik)k = 1 + г. А ес-
ли исходная ставка г объявляется периодической ставкой процента i/k\
то эта эквивалентная ей ставка начисления за период 1/к определяется
равенством i/k и потому называется пропорциональной. При этом сама
ежегодная ставка процента г, эквивалентная г, будет определяться из
равенства (1 + i/к)к = 1 + г и потому, очевидно, г > г.
В то же время в практической жизни использование так называемой
пропорциональной ставки может означать злоупотребление со стороны
организации-кредитора, предоставляющей ссуду. Дело в том, что став-
ка, объявляемая в договоре как ставка процента i, в жизни принимает-
ся за ставку № . И пользуясь тем, что в глазах неискушенного клиента
деление на к выглядит привлекательным, эта организация фактически
118
IV Погашение кредита
заставляет его оплачивать кредит по более высокой ставке, чем это за-
фиксировано в контракте (подробнее об этом см. с.111).
Но сейчас нас интересует другое. А именно, что изменится в нашей
конкретной и достаточно сложной ситуации, если предположить, что на
/-й ступеньке действует не ежегодная ставка процента, а ежегодная пе-
риодическая ставка 7/ . Ясно, что вместо ставки 4(/) начисления за пе-
риод длины 1/к будем иметь ставку Ii/k. А соответствующая ей еже-
годная ставка процента 7/ будет определяться из соотношения
(1+ /(/£)* = 1 +Л, 1 < I < L. (2.9а)
Но именно она теперь будет определять КП v = vjl = (1 4- 7/)-1 на 1 год
назад (вместо иц ), если этот год находится на l-й ступеньке.
Соответственно незначительно изменится запись уравнения погаше-
ния и выражение для первой выплаты. Например, уравнение можно за-
писать в виде
С = а У^(1 +
1=1
( Ni l-l
< £(1 + + 7z)-t+1 IP1 + =
л=1 3=1
= a(l + 9)-1£l’I(1 + zs)-/v‘ у ajL (2.10a)
1=1 3=1 L 1 J 1
если положить
i + z; = yy (2.11a)
1 + 9
и воспользоваться цепочкой равенств
ц/к = i-(i + /f/fc)-fc = i-(i+ /,)-* = kh 1
a*l h/к h/к h (1 + Л)-
Это приведет к представлению
a = С(1 + q)
(2.13a)
Частные случаи
Попробуем теперь изменить исходные условия, чтобы убедиться в том,
как просто записывать новые уравнения погашения, опираясь на выска-
занные выше соображения. Предположим сначала, что хотя выплаты по-
прежнему делаются в конце каждого из подпериодов длины 1/к и имеют
тот же вид, но держатся они постоянными не год, а целую ступеньку.
Иными словами, определяются равенством
a/ = a(l + g)/ \ I = 1,2,..., L,
(2.8a)
2 Основные варианты возвращения ссуды
119
И пусть все остальные предположения остаются в силе. Тогда легко ви-
деть, что вместо соотношений (2.9), (2.10) будем иметь уравнение
L 1-1
C = a^{l+q)‘-1a^Y[(l + !,rN‘.
1=1 3=1
(2-14)
Предположим далее, что ежегодная ставка постоянна в течение всего
срока и равна i (Ji = i, 1 < I < L) . И пусть это единственное изменение
исходной схемы. В этом случае нетрудно понять, что при использовании
эквивалентной (г’д.) или пропорциональной (г’/fc) периодической ставки
(т.е. в первом случае считая ставку г ежегодной ставкой процента, а во
втором - ежегодной ставкой к-кратного начисления процентов) вместо
(2.9) получим соответственно следующие уравнения погашения:
N
Y N| и(1 + г) *1 ik(l + q) N\ k ;
j-i i/k..z aki „г z (c\ i r \
С — > a7a-', v~ — aaTi aTri — = -г------гОтгг (2.15a)
3 г к\ N| i(l + i) Wl i(l+g) Nl V 7
Конечно, если положим соответственно
и примем во внимание, что (1 + i = (1 + i/к)к, а^ = (1 + г)а„|г)
J fcl 4(1 + 0’ j fcl г(1 + 0’
Наконец, если предположить, что в ситуации (2.8а) // = г, то вместо
(2.14), очевидно, получим соотношение
С = .£(1 + + (2.14а)
которое имеет много практических приложений. Точнее говоря, большое
число интересных приложений стоит даже за частным случаем L = 2,
поскольку часто бывает, что доходы заемщика резко меняются и это из-
менение можно предвидеть, скажем, выход на пенсию, переход семьи с
одной зарплаты на две или наоборот, и т.д. В этом случае кредитору
естественно ожидать с его стороны просьбы о соответствующем умень-
шении или увеличении размера выплат во «второй ступеньке».
120
IV Погашение кредита
Пример 2.3
Мой однокашник выходит на пенсию через 17 месяцев. Он знает, что
его пенсия будет составлять 65% от зарплаты. И потому ссуду на по-
купку автомобиля планирует погасить ежемесячными выплатами со-
ответственно: чтобы размер выплаты после выхода на пенсию также
составлял 65% от выплаты до него. Каков размер этих выплат, если
ссуда в 100 000 берется на 3 года под 18% годовых ?
Решение. В формулировке задачи нечетко охарактеризована ставка
и способ оплаты (как это часто бывает в практической жизни). Будем
считать, что все выплаты производятся в конце каждого месяца после
получения ссуды, а рассматриваемая ставка есть ежегодная периодиче-
ская ставка процента г(12) = 0,18.
Обозначим величину первой выплаты через х. Тогда в силу (2.14а)
будем иметь С = ж[а^15 + 0,65а^15(1,015)“17]. Откуда получим, что
сц = х = 4311, а2 = 0,65х = 2802 •
Пример 2.2 (продолжение 2)
Рассмотрим еще две ситуации с ростом выплат по закону (2.8) и при
ежемесячных выплатах с г’(12) = 0,12.
Решение. 6. Геометрический рост при постоянной ставке.
Предположим, что у нас действует схема с Nf = 1. Тогда, выбирая рост
(2.8а) (он подходит, как и рост (2.8)), в силу (2.15а) получаем равенство
500 000 = аа~ в котором 1 + z — (1 + г)/(1 + </), 1 + г = (1,01)12
(а^?1 = 100г/(1 + г)!). И потому при
g=3,5%: ai=5024, «15=8 132,
q=8%: ai=3920, ai5=ll 514.
Рост величин а/ на протяжении срока ссуды составляет 62 и 194% со-
ответственно. Определяющие их показатели q для Франции кое-что на-
поминают. Так, первый из них - это обычный вариант для подобных
выплат в момент их введения в 1977 г. Ну а второй (8%) совпадает с
потолком такого роста, который был определен в декрете от 22 ноября
того же года (в 1988 г. этот потолок снизили до 5%).
7. Геометрический рост. Франшиза погашения и две ставки.
Предположим теперь, что в течение первых девяти лет ставка г^12) = 9% ,
а в оставшиеся 6 лет - 10% . Причем имеет место двухлетняя франшиза,
включенная в первый период использования ставки 9% (точнее говоря,
первые два года имеет место частично отложенное погашение - выпла-
чиваются только ежемесячные проценты: 3 750). Таким образом, срок
погашения уменьшен с 15 до 13 лет, и начало его передвинуто на два
года вперед. И потому у нас ситуация уравнения (2.10а) с L = 2, N =
13, Ni =7, N2 = 6, 11 = 0,09, I2 = 0,1, к = 12. Соответственно при
q = 0,035 получим, что а3 = а = 4636, ai5 = а(1,035)12 = 7005 •
2 Основные варианты возвращения ссуды
121
2.3. Непрерывное погашение
Общие соображения
Допустим, что в кредит на п лет под ежегодную ставку процента i
берется сумма С. Или лучше сказать - под ежегодную и постоянную
ставку 6 непрерывного начисления процентов, эквивалентную i. При-
чем решено, что интенсивность возвращения ссуды будет определяться
функцией a(t). А точнее говоря, в интервале [t, t + dt) (или, что то же
самое, в момент t) на счет кредитора будет вноситься сумма a(t) dt.
Иными словами, рассмотрим самый общий случай погашения. Прав-
да, под оплату процентов с постоянной интенсивностью. И, кроме того,
будем считать, что
• возвращение ссуды учитывает только две части из трех возможных,
собственно погашение и оплату процентов, причем
• оплата процентов производится в соответствии с классическим
принципом, т.е. причитающиеся кредитору в произвольный момент
проценты определяются начислением на оставшийся непогашенным
на этот момент капитал по используемой схеме начисления.
Пусть m(t) есть выбранная интенсивность погашения ссуды. Тогда
в отношении нее известно следующее. Во-первых, оставшийся непога-
шенным на момент t капитал составляет величину (на момент п все
погашено: С(п) = 0 !)
C(t) = m(s)ds] (2.16)
конечно, при этом
С = С(0)= [ m(t)dt. (2.17)
Jo
И, во-вторых, сумма m(t) dt составляет некоторую долю суммы a(t) dt,
вносимой на счет, которая идет собственно на погашение. А оставшаяся
доля идет на оплату процентов и в соответствии с классическим прин-
ципом имеет вид y(t) dt = C(t)6dt, поскольку за каждую 1 в сумме C(t)
должны вноситься проценты в сумме 6 dt (см. п.2.3 из гл. П). Соот-
ветственно возникает равенство a(t) dt = C(t)6dt + m(t) dt, которое мы
запишем в виде
a(t) = C(t)5 + m(t). (2.18)
Наконец, непогашенный капитал C(t) и, в частности, взятая в кредит
ссуда, как и, в дискретном случае, является ПЗ всех оставшихся на момент
t выплат. Поэтому
C(t) = j a(s)e-$ls~V ds. (2.19)
122
IV Погашение кредита
Замечание 2.4. Функцию a(t) естественно было бы назвать интен-
сивностью погашения. Но тогда возникнет путаница с функцией m(t).
Поэтому предлагается остановиться на вышеуказанных определениях •
Частный случай
Рассмотрим далее конкретный случай экспоненциальной интенсивности
возвращения
а(Г) = Ле1''. (2.20)
А точнее говоря, выясним, какие интенсивности погашения m(t) и опла-
ты процентов y(t) соответствуют такой манере возвращения при начи-
слении процентов с постоянной интенсивностью 6.
Оказывается, что
и, следовательно, искомые интенсивности определяются весьма просто
(j/(t) = CW!).
В самом деле, из (2.18) и (2.16) вытекает дифференциальное уравне-
ние
a'(t) = —6m(t) + m'(t) — Ave"*
относительно m(t), общее решение которого можно записать в виде
m(t) = Dest + Ее*.
Принимая далее во внимание, что С = С(0) и a(n) = m(n) в силу (2.18),
поскольку С(п) = 0, приходим к выводу: постоянные Z), Е удовлетво-
ряют системе уравнений
Г (Dest + Ее*) dt = С, DeSn 4- Ее™ = Ае™
Jo
с тремя неизвестными D, Е, А. Вспоминая, что в силу (2.19) связь А с
С имеет вид
С= Г Ае~^-^ dt = -т^-[1 - e-V-^],
Jo о — и
без труда получаем, что
С<5 Cve^~^n
D “ e(5-p)n _ i ’ Е~ e(5-p)n_f
Замечание 2.5. В частном случае постоянной интенсивности воз-
вращения ( и = 0 )
m(t) = Ае-г(п-‘\ y(t) = Л(1 -е-^-О), С = Аа-}.
Ясно, что эти формулы очень напоминают полученные ранее (см. п.1.3) •
3 Особые случаи возвращения ссуды
123
3. Особые случаи возвращения ссуды
Как известно, нет правил без исключения. Так и с погашением кредита.
С одной стороны, существуют так называемое классическое погашение
(п.1) и варианты возвращения ссуд, которые естественно назвать основ-
ными (п.2). Тем самым как бы задаются рамки, охватывающие большую
часть схем погашения из реальной жизни. Но с другой стороны, сама
жизнь оказывается настолько разнообразной, что в эти рамки просто
не «желает» вписываться. По крайней мере, автор не видит возможно-
сти реализовать эту идею. Соответственно остается лишь предложить
вниманию читателя несколько случаев такого «несогласия» жизни с су-
ществующими рамками.
3.1. Погасительный и амортизационный фонды
Довольно часто бывает, что сумма займа велика и должна быть возвра-
щена в конце его срока. Тогда возникает, вообще говоря, угрожающая
ситуация. В том смысле, что с самого начала ставится под угрозу выпол-
нение условий кредита. И это мало зависит от того, будет ли его сумма
возвращена вместе с процентами или без них (т.е. они уже будут выпла-
чены на этот момент). Поэтому осторожный должник сразу или почти
сразу начинает откладывать некоторые суммы с тем, чтобы в нужный
момент быть в состоянии расплатиться. Именно так и возникают фонды
погашения, или погасительные фонды (ПФ), которые особенно широко
распространены в англо-саксонских странах.
Фонды погашения. Равные взносы
Необходимость создания ПФ иногда оговаривается даже условиями
займа (такой пункт заносится в договор). И формируется он обычно
с помощью последовательных взносов, скажем, на специальный счет в
банке. При этом выбирается такой ритм внесения этих взносов, чтобы
сумма всех взносов и начисленных процентов равнялась сумме долга на
момент его возвращения.
Допустим, что вся сумма кредита величины С, предоставленного под
ежегодную ставку процента i, должна быть возвращена через п лет, а
проценты по нему выплачиваются в конце каждого года. И пусть ПФ
создается одновременно с выплатой процентов за счет одинаковых взно-
сов величины R . Тогда при ежегодной ставке процента g на счету банка
этот взнос определяется по формуле
sn|p
а полные ежегодные расходы заемщика (выплаты процентов по займу и
124
IV Погашение кредита
взносы на организацию фонда) составляют величину (см. (III.1.4))
a = C(i+-) = C(— + i-g). (3.1)
sn|p an\g
Очевидно, l/$n|p < l/sn|i ПРИ 9 > г- Нетрудно видеть поэтому, что
рассматриваемая форма погашения в этом случае выгодна должнику.
Ведь мы помним, что постоянные взносы, погашающие ссуду С, равны
величине
^=с(г+2_).
®n|l Sn|t
Конечно, условия организации фонда могут быть самыми разными.
Но структуру общих затрат должника в любом случае несложно опреде-
лить. Так, если проценты, как и вся сумма долга, оплачиваются через п
лет, то общие выплаты заемщика состоят из ежегодных взносов в ПФ,
которые равны величине
R = a =
С(1 + г)п
sn|a
(3-2)
Если, скажем, проценты выплачиваются в конце каждого года, а взносы
в ПФ, хотя и делаются по-прежнему ежегодно в конце, но начинают вно-
ситься на счет в банке через m лет, то первые m лет расходы заемщика
состоят из процентов в сумме Ci, а затем возрастают до
a = C(i-]----—). (3.1а)
Наконец, если проценты по займу выплачиваются ежегодно, а взносы в
ПФ делаются с периодичностью к в год и выплачиваются также в конце
периодов длины 1/к, то ежегодная сумма к таких взносов равна
к ~ (к)-
(з.з)
Поэтому схема выплат, очевидно, имеет следующий вид: в конце первых
(к — 1) периодов года длины 1/к выплачиваются суммы R/к , а в конце
каждого года - R/k + Ci.
Пример 3.1
Кредит на сумму в 100 000 выдан под ежегодную ставку процента 10%
на 5 лет. Для его погашения создается ПФ, на средства которого на-
числяются проценты по ежегодной ставке процента 11%. Определить
ежегодные расходы заемщика, если
1) проценты и взносы он выплачивает в конце каждого года,
2) взносы в ПФ оплачиваются в конце каждого года, а проценты по
3 Особые случаи возвращения ссуды
125
займу - через 5 лет,
3) проценты выплачиваются в конце каждого года, а взносы в ПФ -
в конце каждого месяца,
4) взносы в ПФ ежегодные, но начинаются со второго года.
Решение. Пусть 1000= 1. Тогда у нас С = 100, i = 0,1, п = 5,
g — 0, И, а из ПД.1 находим, что Д1 = 6, 2278 , $4|0Д1 = 4, 7097 ,
= 6,5359. Поэтому с помощью формул (3.1)—(3.3) получаем:
1) а = 100(0,1 + 1/6, 2278) = 26, 057, 2)а = 100(1,1)5/6, 2278 = 25, 86,
3) ежегодная сумма взносов в ПФ равна R = Ю0/Ц^п = 15, 300 . Таким
образом, в конце первых 11 месяцев должник выплачивает суммы а =
R/12 = 1,275 , а в последний месяц - а = 11, 275.
4) В конце первого года выплачиваются лишь проценты (ai = 10), а
затем к ним добавляются взносы в ПФ и потому при I > 2 имеем а/ =
10 +Ю0/4,7097 = 31,233 •
Расчеты, связанные с ПФ, обычно представляются в виде так называ-
емой таблицы погашения. Простейший ее вариант мы приведем для всех
примеров этого пункта. Суммы S(/) накопленных на счету ПФ средств
на конец года I указываются в одной из колонок этих таблиц и опреде-
ляются с помощью рекуррентного соотношения
S(/) = S(l - 1)(1 + g) + Ri, S(0) = 0, I > 1. (3.4)
В случае табл. 3.1, относящейся к варианту 4) прим. 3.1, Ri = 0,
Ri = R — 21 233, I > 2, и потому S(/) = Rs-^g-
T а б л и ц a 3.1
Конец года 1 Проценты Ci за год 1 Взносы Ri в ПФ Расходы а/ по займу Накопление S(/) на конец года 1
1 10 000 10 000
2 10 000 21 233 31 233 21 233
3 10 000 21 233 31 233 44 801
4 10 000 21 233 31 233 70 962
5 10 000 21 233 31 233 100 000
Фонды погашения. Периодически меняющиеся взносы
Одинаковые взносы в ПФ - не единственно возможное решение пробле-
мы накопления суммы, необходимой для уплаты долга. Нередко платежи
бывают увеличивающимися или, наоборот, уменьшающимися со време-
нем. В таких случаях естественно использовать результаты, полученные
при анализе переменных рент из гл. П1.
Допустим, что платежи в ПФ изменяются в соответствии с арифме-
тической прогрессией и имеют вид
Ri = R + q(l- 1), 1= 1, 2, •••, n, (3.5)
126
IV Погашение кредита
где R > 0 , a q - некоторое, не обязательно положительное число. Тогда,
если эти платежи делаются в конце каждого из п лет, то ПЗ А такого
ДП на момент предоставления кредита можно представить в виде
А = RiV9 = R ' + q ТУ1 ~ = R ’ а"1з + - nvg Ь (3-6)
1 1 9
В самом деле, если воспользоваться формулами (III.4.2), (III.4.3) и выра-
жением ii^g = (1 + g)a^g , то получим
JL , а-. - nvn а-, - nvn
(/ - l)v = (Та)-. - a-i = —---а-. = —-----.
Л / \ /п| ' д ' д
Соответственно для НЗ S этого же потока на момент возвращения име-
ем
5 = Аид = Я • «п|з + - п) = (Л + ^)Sn|s - у- (3.6а)
Пример 3.2
Кредит на сумму в 10 000 выдан под ежегодную ставку процента 9,5%
на 5 лет. Для его погашения создается ПФ с ежегодной ставкой про-
цента 10%. Определить ежегодные расходы заемщика, если платежи в
ПФ выплачиваются ежегодно в конце, одновременно с процентами, и
каждый раз увеличиваются на 500.
Решение. В рассматриваемой ситуации i = 0,095, С = S = 10 000,
<7 = 0,1, п = 5, q = 500. Чтобы рассчитать величину первого взноса R,
воспользуемся формулой (3.6а), предварительно «вынув» из ПД.1 значе-
ние $5|0>1 = 6,1051 :
Я = (S+^.,-^1^- 5000 = 732,9.
Остальные данные приведены в табл. 3.2 •
Т а б л и ц а 3.2
Конец года 1 Проценты Ci за год 1 Взносы Ri в ПФ Расходы ai по займу Накопление 5(/) на конец года 1
1 950 732,9 1682,9 732,9
2 950 1232,9 2182,9 2039,0
3 950 1732,9 2682,9 3975,9
4 950 2232,9 3182,9 6606,4
5 950 2732,9 3682,9 9999,9
3 Особые случаи возвращения ссуды
127
Рассмотрим далее случай геометрических взносов, когда платежи в
ПФ делаются в конце каждого года и определяются выражением
Rl = R(1 + q)1-1, 1= 1, 2, •••, п. (3.7)
Будем считать, что первая выплата R положительна, а 1 + q > 0, т.е.
платежи могут не только возрастать, но и уменьшаться в указанных пре-
делах. Нетрудно видеть, что ПЗ А и НЗ S такого потока определяются
выражениями
A = ^R^+g) ~ Y+~g^ T+~g = Т+1ЛЬ = T+Z*|J’
S = 4(1 + g)n = R(1 + g)n-4|, = fl(1 + g)n (1 + <?)n, (3.8)
9 ~ Q
в которых вспомогательная ставка j определяется из соотношения и
равна
Пример 3.3
Ссуда в 100 000 выдана под ежегодную ставку процента 5,5% на 5 лет.
Предполагается погасить ее через 5 лет с помощью ПФ с ежегодной
ставкой процента 6%. Определить ежегодные расходы заемщика, если
платежи в фонд будут расти на 10% ежегодно и производиться в конце
года одновременно с выплатой процентов.
Решение. По условиям S = 100 000, q — 0,1, п = 5, g = 0, 06,
i = 0,055. В силу (3.8)
R =
5(0,1-0,06)
1,15- 1, Об5
= 14 690,52.
Ну а процесс формирования ПФ указан в табл. 3.3 •
Т а б л и ц а 3.3
Конец года 1 Проценты Ci за год 1 Взносы Ri в ПФ Расходы а/ по займу Накопление £(/) на конец года 1
1 5500 14 690,52 20 190,52 14 690,52
2 5500 16 159,57 21 659,57 31 731,52
3 5500 17 775,53 23 275,53 51 410,94
4 5500 19 553,08 25 053,08 74 048,68
5 5500 21 508,39 27 008,39 100 000,00
128
IV Погашение кредита
Амортизационный фонд
Одним из примеров использования рассмотренной методики может слу-
жить расчет так называемого амортизационного фонда, создаваемого с
целью компенсации уменьшения стоимости только что купленной новой
(или старой) машины, прибора и т.д.
В отечественной практике, как известно, часто применяется линей-
ный метод, согласно которому ежегодные отчисления получают делением
амортизируемой стоимости (объекта, прибора, оборудования и т.д.) на
число лет его предполагаемого функционирования. Однако если амор-
тизационные отчисления накапливаются^ то они, естественно, должны
приносить проценты. А с учетом процентов необходима меньшая сумма
отчислений в амортизационный фонд.
Метод определения этих сумм с учетом фактора времени (т.е. про-
центов) называют методом погасительного фонда (sinking fund method).
В соответствии с ним постоянные взносы R в амортизационный фонд
определяются из выражения
Л=Ж/4р (3.10)
где W - стоимость, подлежащая амортизации, п - число лет предполага-
емого функционирования, а г - ежегодная ставка начисления процентов.
Кстати, из этой формулы видно, что R < W/n, поскольку > п при
любой ставке i > 0 начисления процентов. И, таким образом, отчисления
с учетом процентов действительно меньше отчислений без их учета.
Пример 3.4
Первоначальная стоимость объекта 1 200 000, ликвидационная стои-
мость после 10 лет эксплуатации - 200 000. Определить сумму еже-
годных амортизационных отчислений, если ставка г = 0,1.
Решение. Пусть 1000=1. Тогда по линейному методу получаем
W/n = (1200 - 200)/10 = 100 , а в соответствии с методом ПФ имеем
R = 1000/s~ = 1000/15,9374 = 62,745. Таким образом, в последнем слу-
чае для полного восстановления объекта требуются существенно мень-
шие ежегодные платежи •
В чем же особенность ПФ? Конечно, прежде всего в том, что здесь
есть игра на двух ставках, в которой заемщик может получить опреде-
ленную выгоду, если он заранее начинает готовиться к выполнению своих
обязательств (и необязательно сразу после получения кредита). Однако
часто бывает, что многочисленные проблемы предприятия должника не
позволяют ему вовремя начать эту подготовку. В результате склады-
вается малоприятная ситуация и возникают определенные ассоциации.
Например, в американской практике название ПФ в шутку заменили на
«зловонный фонд». Иными словами, вместо sinking fund (фонд погруже-
ния) говорят stinking fund.
3 Особые случаи возвращения ссуды
129
3.2. Потребительский кредит
Этот тип финансовой операции представляет собой пример отхода от
классического принципа в начислении процентов. И в этом его первая
особенность.
Как известно, в потребительском кредите (ПК) начисляются про-
стые проценты. Однако начисляются они на всю сумму кредита, и можно
сказать, что присоединяются к основному долгу уже в момент предоста-
вления кредита, поскольку погашение происходит равномерно, частями,
которые определяются по НЗ на момент возвращения кредита.
Точнее говоря, если кредит величины С предоставлен на п лет под
ежегодную ставку простых процентов i, то НЗ долга на момент оконча-
ния срока есть величина S = С(1 + ni). Но обычно каждый год делается
несколько выплат. И если предположить, что таких выплат всего к, то
размер каждого из пк погашающих платежей, производимых в конце
периодов длины 1/fc, полагается равным величине
п C^ + ni>) /о 1П
(3.11)
Как же разделяется очередная такая выплата на проценты и пога-
шение? Вопрос отнюдь не риторический, поскольку от ответа на него
зависит удовлетворение многих «пожеланий» должников и, следователь-
но, повышение кредитоспособности кредиторов.
Допустим, что ссуда величины С погашается постоянными плате-
жами произвольного размера а через интервалы времени длины 1/к в
течение п лет. Тогда, как мы знаем (см. п.1.3), /-я выплата делится на
две части - проценты и погашение - в соответствии с равенством
a:=yi + mi, yi = а(1 - v71*”*4"1), mi = , (3.12)
если используется классический принцип начисления процентов. Однако
в ПК принцип совершенно иной и, вообще говоря, непростой. В двух
словах о нем можно сказать лишь в частном случае п = 1, к = 12 :
сумма процентов определяется по «правилу 78» (rule of 78).
А именно, если кредит выдается на 1 год с ежемесячным погашени-
ем, то поступают следующим образом. Сумма порядковых номеров всех
месяцев в году равна 78. Отсюда и название метода, согласно которому
считается, что при первом платеже оплачивается доля в 12/78 общей
суммы начисленных процентов Р = Cni. Из второй выплаты на опла-
ту процентов идет 11/78 суммы Р и т.д. ... до 1/78. Таким образом,
процентные платежи представляют собой убывающую арифметическую
прогрессию.
Обобщая «правило 78», заметим, что первая доля процентов как бы
«должна» оплачивать все пк периодов займа, вторая - оставшиеся пк — 1
130
IV Погашение кредита
периодов, и т.д., последняя - один период. Поэтому, если обозначить до-
лю процентов yi l-й выплаты в общей сумме процентов Р через а/,
т.е. положить yi = оцР, то естественно определить ее пропорционально
числу оставшихся на этот момент (но до него) выплат. Иными слова-
ми, естественно положить а/ = (nk - I + l)»”1 , где а определяется из
условия Oil = 1 и, следовательно,
пк пк
a = ^^(.пк - I + 1) = =
1 1
nk(nk 4- 1)
2
Оставшаяся же после оплаты процентов часть суммы (3.11) идет на по-
гашение кредита. Таким образом, разделение каждой выплаты на две
части на этот раз происходит в соответствии с формулами
<7(1+ пг) 2(пк - I + 1)
а=--------= yi + mi, yi -————тт-Спг. (3.12а)
пк пк(1 4- пк)
Замечание 3.1. Нетрудно видеть, что все погашения тп/ положи-
тельны, если 1/1 < а, или, что то же самое, если
пк 4- 1 \ 1
пк - 1 / п
(3.13)
Но это означает, что при больших п и обычных ставках i погашение
первых выплат отрицательно, т.е. долг сначала растет. Отчасти по этой
причине схема ПК используется лишь при малых п •
Пример 3.5
Кредит в сумме 10 000 выдан на 3 года под 10% годовых (простых). По-
гашение задолженности по договору ежемесячное, в конце. Уточнить
все его элементы.
Решение. В данном случае С = 10 000, п = 3, к = 12. Соответственно
общая задолженность равна S = С(1 + ni) = 10 000 • 1,3 = 13 000,
сумма начисленных процентов - 3000, а ежемесячные выплаты составят
а= 13 000/36 = 361,11.
Ясно также, что неравенство (3.13) выполняется (0,1 = i < 555), и
поэтому все погашения т/ положительны. Конкретные же их значения
вместе с yi определяются из (3.12а). Что же касается остатка долга С/
на конец I -го месяца (но до выплаты), то для него используем прежнюю
формулу С[ — С - 521”1 ms, 1 < I < п, которая и позволит закончить
расчет табл. 3.4.
Но все же уточним некоторые детали построения таблицы. Вместо
«правила 78» на этот раз действует «правило 666», поскольку это число
- сумма порядковых номеров всех месяцев трех лет. Соответственно из
первого платежа в счет уплаты процентов идет 36/666 общей суммы в
3 Особые случаи возвращения ссуды
131
3000 начисленных процентов, т.е. 162,16. Разность 361,11 — 162,16 =
198,95 представляет собой первый транш, выделяемый на погашение
основного долга. Следующая доля, направляемая на проценты из второй
выплаты - 35/666 от 3000 - и т.д. Ясно также, что проценты уменьша-
ются с постоянной скоростью в 4,51 за месяц от 162,16 в первом месяце
до 4,51 - в последнем •
Таблица 3.4
Номер месяца 1 Остаток долга С/ на конец месяца Проценты yi 1- й выплаты Погашение т/ /- й выплаты
1 10 000,00 162,16 198,95
2 9 801,05 157,66 203,45
3 9 597,60 153,15 207,96
15 6 804,82 99,10 262,01
16 6 542,81 94,59 266,52
35 708,70 9,01 352,10
36 356,60 4,51 356,60
Итого 3000,00 10 000,00
В рассматриваемой финансовой операции есть еще один интересный
момент. Дело в том, что хотя проценты и простые, но начисляются они
на всю сумму долга. Поэтому ясно, что реальная ставка ПК значитель-
но выше объявленной в договоре. И это обстоятельство также можно
считать особенностью ПК. Попробуем разобраться с этой точки зрения,
скажем, в ситуации прим. 3.5.
Нетрудно видеть, что в схеме сложных процентов ежемесячная ставка
х может быть определена из уравнения [C(l + ni)/nk]a^x = С или, что
то же самое,
(3-14)
пк
ank\x 14-т’’
В нашем случае соответственно получаем = 36/1,3 = 27,6923.
Поэтому, используя линейную интерполяцию и данные таблицы ПД.1
- азё|0 Qi = 30,1075, «зё|о,о2 = 25,4888, - без труда найдем, что
х = 0,01523. А это означает, что эквивалентная ежегодная ставка
г*(12) = 12ж = 18,276%. Иными словами, реальная ежегодная ставка про-
цента, которая больше г‘(12), практически в два раза превышает объ-
явленную простую ставку 10%!
132
IV Погашение кредита
3.3. Ипотека
Ипотечная ссуда - это кредит под залог некоторого имущества. Она
является одной из самых распространенных финансовых операций в ци-
вилизованном мире. И объясняется это легкостью, с которой решается
основная проблема предоставления кредита -
обеспечение ГАРАНТИИ его возврата.
Суть дела состоит в том, что покупатель жилого дома или какого-то
другого имущества (земля, машина и т.д.) получает ссуду ПОД НЕГО.
Иными словами, в качестве обеспечения долга он передает кредитору
право на все это имущество (или его часть) в случае отказа или неспо-
собности погасить задолженность. Конечно, сделка оформляется с уче-
том того, что покупатель становится владельцем этого имущества. Так
что передает он свое право, а не чужое.
Основными объектами залога являются жилые дома (в США это 75%
от общей суммы закладных), фермы, земля, разнообразная собствен-
ность различных компаний. Большой интерес представляют правовые
вопросы этой операции, особенно для России, поскольку в настоящий мо-
мент мы на пороге ее введения. Много поучительного дает и практика
использования ипотеки в различных странах и даже отдельных регионах
одной страны (скажем, в штатах США). В частности, полезно познако-
миться заранее как с частотой применения санкций, так и с их тяжестью.
Но нашей целью является не менее важный и интересный аспект: техни-
ческий.
Основной традиционный вариант ипотеки
Конечно, основной вариант ипотеки - это равномерное погашение задол-
женности. А его трудно отнести к особым случаям возвращения кредита.
Однако последние 30 лет за рубежом стали применяться новые варианты
ссуд под залог, которые предусматривают более сложные условия возвра-
щения кредита, чем традиционные. Именно это усложнение естественно
считать особенностью данной операции. Мы рассмотрим некоторые ее
варианты в разделе 3. Все они в основном обыгрывают такой естествен-
ный момент, как зависимость ставки от времени или экономической си-
туации. Иными словами, предусматривается некоторый механизм ада-
птации договора к текущим условиям рынка. Но начнем все же с тради-
ционного способа погашения ипотечной задолженности и двух проблем,
возникающих при этом.
Во-первых, это размер постоянной выплаты, которая не только пога-
шает, но и оплачивает проценты. В случае, если (здесь и ниже)
действует ставка начисления процентов i периода длины 1/к,
ссуда величины С берется на п лет, а
выплаты производятся в конце каждого такого периода (длины 1/k),
3 Особые случаи возвращения ссуды
133
то мы имеем (см. (2.3))
С
ai = a = ----, 1 < I < пк. (3.15)
а—г. — “
пк\г
Во-вторых, при выдаче ссуды под залог для обеих сторон в сделке
важно знать сумму погашенного долга и его остаток на любой промежу-
точный момент. Здесь, как мы знаем (см. (1.2) и табл. 1.1), непогашенная
часть ссуды на момент I -й выплаты, но после нее, равна
I
Ci = a • — С — ш3, I > 1; (3.16)
1
тщ- часть l-й выплаты, направляемая на погашение. Конечно, интерес
представляют и обе части очередной l-и выплаты, идущие на погашение
и на оплату процентов (у/). О них мы также все знаем (см.(1.8а)). Но
отметим сейчас разные формы их записи, очевидно, переходящие одна в
другую (u = 1 + г):
mi — a • vnA:”/+1 = mil?”1, 1 < I < пк, (3-17)
y/ = a(l-vnfe-'+1) = Ci^bl±ll =q_1i, 1 < I < nk. (3.18)
ank\
Пример 3.6
Сумма 100 000 выдана под залог и процентную ставку г12) = 12% на 10
лет. Погашение в конце каждого месяца. Определить размер постоян-
ной выплаты и остальные элементы погашения.
Решение. У нас к = 12, г = 0,01, п = 10. Поэтому, используя ПД.1
или просто опираясь на формулу (3.15), получим:
а= 100 0001_”'^_,го = 1434,71.
Другие элементы погашения представлены в табл. 3.5. Прокомментируем
их кратко.
Проценты за первый месяц составляют величину у\ — 100 000-0,01 =
1000. Поэтому сумма погашения mi = 1434,71 — 1000 = 434,71. И,
следовательно, остаток долга на момент первой выплаты, но после нее
(можно сказать также: на начало второго месяца) будет равен Ci =
100 000 - 434,71 = 99 565,29. Проценты за второй месяц у2 = С\г =
99 565,29 -0,01 = 995,65 , а сумма погашения т2 = 1434,71 - 995,65 =
439,06 и т.д. Далее, предположим, что мы хотим определить, скажем,
элементы погашения 118 месяца. Тогда, используя (3.16), получим
Си? = а аз|0 01 = 1434,71 • 2,941 = 4219,48,
откуда без труда найдем, что уцв = Cmi = 42,20, тлив — 1434,71 -
42,20 = 1392,51, Сц8 = а = 1434,71 ‘ 1,9704 = 2826,95 •
134
IV Погашение кредита
Т а б л и ц а 3.5
Номер 1 выплаты Взносы а/ Проценты У1 Погашение mi Остаток долга G-i
1 1434,71 1000,00 434,71 100 000,00
2 1434,71 995,65 439,06 99 565,29
3 1434,71 991,26 443,45 99 126,23
37 1434,71 812,74 621,97 82 274,07
38 1434,71 806,52 628,19 89 652,10
39 1434,71 800,24 634,47 80 017,63
118 1434,71 42,20 1392,51 4 219,35
119 1434,71 28,27 1406,44 2 826,94
120 1434,71 14,21 1420,50 1 420,50
Нетрадиционные ипотеки
Начиная с 70-х гг. за рубежом в практике стали применяться новые виды
ссуд под залог с более сложными условиями, чем ранее. Среди них есть
ссуды с переменной процентной ставкой, в которых уровень ставки в
договоре не фиксируется. Вместо этого ставка привязывается к какому-
либо экономическому индексу. При этом пересмотр осуществляется, ска-
жем, один раз в полугодие, и для изменения ставки предусматриваются
лишь границы или коридор.
Встречаются ссуды с периодическим пересмотром процентной став-
ки. Этот вид залога давно и широко распространен в Канаде, а в послед-
нее время начал применяться и на рынке закладных в США. Стороны
соглашаются пересматривать уровень ставки каждые 3-5 лет. Договор
периодически перезаключается на новой основе. В этих ипотечных ссу-
дах фактически предусматривается механизм адаптации договора к те-
кущим условиям денежного рынка. Однако в связи с тем, что уровень
процентной ставки для будущего остается неопределенным, здесь невоз-
можно разработать полный план погашения.
В отличие от них, в ссудах с постоянным увеличением расходов по об-
служиванию долга это сделать можно. Такие ссуды предполагают посто-
янный рост месячных расходов должника в течение первых 5 или 10 лет.
При этом в первые годы текущие месячные расходы могут оказаться да-
же меньше, чем суммы, необходимые для оплаты только процентов. В
связи с этим сумма основного долга некоторое время будет увеличивать-
ся. Рассмотрим их более подробно.
Предположим для этого, что весь срок погашения ссуды в п периодов
длины 1/k разбивается на два интервала протяженностью т и п - т
периодов соответственно. В первом расходы должника растут по гео-
метрической прогрессии, а во втором остаются на достигнутом уровне.
3 Особые случаи возвращения ссуды
135
Точнее говоря, пусть ссуда величины С погашается выплатами величи-
ны
( а(1 + q)1 \ 1 < I < т,
| b = а(1 + q)m~i, т + 1 < I < п.
(3.19)
производимыми в конце каждого периода длины 1/к. Тогда, если по-
прежнему действует периодическая ставка процента i этого периода,
то величина первой выплаты, а следовательно, и структура всех выплат
полностью определяется из уравнения погашения
С — | + VJ an-m|:L (3.20)
правая часть которого представляет собой ПЗ ДП (3.19) на момент пре-
доставления ссуды, а величина j определяется из уравнения
1+J =
1 + г
1 + /
В самом деле, нетрудно видеть, что
п
с = =
1
Что же касается остальных элементов погашения, то их можно рассчи-
тать, используя формулы (см. (1.1), (1.2), (1.4))
I
У1 = Ci-ii, mt = at- yi, Ci = С - ms. (3.21)
1
Пример 3.7
Сумма кредита 100 000 предоставлена на 20 лет под ежегодную пери-
одическую ставку процента г^12) = 10%. Ежемесячные выплаты в те-
чение первых 5 лет растут по геометрическому закону со скоростью
5% в год, а затем постоянны на достигнутом в последний месяц этих
5 лет уровне. Уточнить схему построения таблицы погашения.
Решение. В рассматриваемом случае 1 + q = 1,051/12 = 1, 004074, г =
0,10/12 = 0,00833, l+j = l, 00833/1,004074 = 1,00424. Поэтому в силу
(3.20) имеем а = 802,87. Таким образом, ежемесячные расходы в первом
(5-летнем) периоде определяются по формуле
а/ = 802,87- 1,004074'“ \
И в последнем месяце составляют сумму аво = 802,87 • 1,00407459 =
1020,52. Эта же сумма ежемесячно выплачивается и во втором периоде
(15-летнем). Остальные элементы погашения определяются с помощью
(3.21) (см. табл. 3.6).
136
IV Погашение кредита
Т а б л и ц а 3.6
Номер 1 месяца Взносы а/ Проценты У1 Погашение 771/ Остаток долга G-i
1 802,87 833,33 -30,46 100 000,00
2 806,14 833,58 -27,44 100 030,46
3 809,43 833,81 -24,38 100 057,90
10 832,79 834,68 -1,89 100 162,25
11 836,19 834,70 1,49 100 164,14
12 839,59 834,64 4,94 100 157,75
59 1016,38 795,14 221,24 95 416,91
60 1020,52 793,29 227,22 95 195,67
61 1020,52 791,40 229,12 94 968,45
239 1020,52 16,84 1003,68 2 015,72
240 1020,52 8,48 1012,04 1 012,04
Сумма начисленных процентов в первом месяце равна yi = Ci =
833, 33. Как мы видим, она не покрывается первой выплатой. Нехватку
средств для этого в количестве 30,46 приходится поэтому присоединить
к основному долгу. По этой же причине долг продолжает увеличиваться
до 11 месяца, когда он достигнет максимального значения в 100 164,14»
Затем он медленно убывает, сокращая задолженность к началу второго
периода до величины Сео = 94 968,45.
До одиннадцатого месяца сумма взносов недостаточна для оплаты
процентов. Но начиная с этого месяца, взносы превышают накопившие-
ся за последний месяц проценты, и остаток идет на погашение основной
задолженности. Причем величина остатка увеличивается с каждым ша-
гом во времени. Так, если в одиннадцатой выплате проценты и погаше-
ние составляют суммы 834,70 и 1,49, то в последней это соотношение
меняется практически на обратное: 8,48 и 1012,04 •
Табл. 3.7. Показатель льготности w беспроцентных займов, в %
i% 5 лет 6 8 10 12 15 20 25 лет
5 13,4 15,4 19,2 22,8 26,1 30,8 37,7 43,6
6 15,8 18,0 22,4 26,4 30,1 35,3 42,7 48,9
7 18,0 20,6 25,4 29,8 33,8 39,3 47,0 53,4
8 20,1 23,0 28,2 32,9 37,2 42,9 50,9 57,3
9 22,2 25,2 30,8 35,8 40,3 46,3 54,4 60,7
10 24,2 27,4 33,3 38,6 43,2 49,3 57,4 63,7
11 26,1 29,5 35,7 41,1 45,9 52,1 60,2 66,3
12 27,9 31,5 37,9 43,5 48,4 54,6 62,7 68,6
3 Особые случаи возвращения ссуды
137
3.4. Льготные займы и кредиты
В некоторых ситуациях долгосрочные займы и кредиты выдаются на
льготных условиях. Низкая процентная ставка, предусматриваемая та-
ким займом, в сочетании с большим его сроком предоставляют заемщику
существенную выгоду. И в ряде случаев ее можно рассматривать просто
как субсидию. Особенно, если льготная ставка сопровождается льгот-
ным периодом, когда расходы заемщика сводятся к оплате процентов
либо вовсе переносятся на более поздний срок.
Проблема определения размера этой помощи обсуждается в между-
народных организациях и экономической литературе. Конечно, прежде
всего для сравнения финансовой нагрузки, которую берут на себя стра-
ны, предоставляющие займы на льготных условиях. Однако такие займы
и кредиты могут предоставляться и в любой стране.
Практика выработала условную обобщающую характеристику льгот-
ности кредита, называемую грант-элементом, а точнее говоря, две
характеристики под одним названием: абсолютный и относительный
грант-элементы. Познакомимся с ними поближе, поскольку в них и за-
ключается особенность финансовой операции предоставления кредита в
данном случае. С этой целью рассмотрим несколько простейших ситуа-
ций. Но прежде поясним смысл этих понятий для произвольного ДП
(fl/, £/), ti < ^2 < * * ’ < (3.22)
и постоянной ставки кредита; ti - момент внесения платежа а/, пусть
ниже ti = I.
Подчеркнем сразу, что поток (3.22) представляет собой последова-
тельность платежей по выданной ссуде С . Иными словами, определяется
по ней и схеме погашения, указанной в договоре. А потому удовлетворяет
следующему уравнению погашения
1
при льготной ежегодной ставке процента j , если ссуда выдана в момент
0. В то же время, если бы это был не льготный кредит, а выданный под
обычную ежегодную ставку процента i > j , то поток платежей (3.22),
очевидно, погашал бы меньшую сумму
п
к = '52a‘vi
1
поскольку Vi = (1 + г)"1 < v3 = (1 + j)”1. Таким образом, разница W =
С - К имела бы смысл выгоды заемщика или потери заимодавца. Она
138
IV Погашение кредита
и называется абсолютным грант-элементом. Относительный грант-
элемент w определяется по отношению к величине ссуды - w = WfC -
и, следовательно, является безразмерной величиной, 0 < w < 1.
Рассмотрим далее четыре конкретных ситуации. Сначала теорети-
чески, т.е. выведем формулы для W и w, а затем проиллюстрируем
их на конкретном примере. Уточним, что ссуда величины С выдается
на п лет под ежегодную льготную ставку процента j, которая обычно
заметно меньше ставки i, действующей на финансовом рынке.
а а а
1, Одинаковые выплаты, весь срок. о 1 2 з п
Если ссуда погашается подрасчетной рентой с выплатой а, то
С = К = бШуф-, (3.23)
W = C- К = С(1- w = l-^l.
an\j an\j
2. Одинаковые выплаты, льготный период 1.
а а а
Cj Cj
0 12m n
Если первые т лет оплачиваются только проценты (ежегодно в кон-
це), и лишь затем начинаются постоянные выплаты размера а в конце
каждого года, то имеем
с = , Л' = Cja^i, 4- vfaa—|,-,
m an-m|t
®n—m|j
5. Одинаковые выплаты, льготный период 2.
а а а
w = 1 - \jam\i + v
012 т т 4- 1 п
Если первые т лет не оплачиваются даже проценты, а сами посто-
янные ежегодные выплаты а (в конце года) начинаются лишь потом, то
( = 1+ J )
= аап_т^, К = v, аап_т^,
w = 1 -
ап—т]г / 1 + j
an—m\j \ 1 +
m
3 Особые случаи возвращения ссуды
139
Беспроцентный заем.
Предельным случаем льготного займа является беспроцентный заем.
Его условия также могут предусматривать льготный период. Но если
его нет, то в случае одинаковых погашающих платежей имеем (можно
получить из (3.23), полагая j = 0)
С = па (а = С /п), К = аащг,
w = 1 - (3.24)
п
Пример 3.8
Сумма 10 000 000 предоставлена на 10 лет под льготную ежегодную
ставку 3,8%. Определить грант-элементы для постоянных регулярных
выплат в конце года, если обычная ставка процента для такого сро-
ка займа равна 8%. Сделать то же самое для трехлетнего льготного
периода в двух случаях.
Решение. 1. Нетрудно видеть, что без льготного периода
1 _ 1 по-Ю п пчя
W = 1------2—------—’ о = 0,1809, W = 107 • 0,1809 = 1 809 000.
0,08 1-1,О38-10
2. Как мы увидим ниже, наличие льготного периода также уменьшает
фактические расходы заемщика. В случае, если проценты выплачивают-
ся, имеем (см. ПД.1)
а7|о,оз8 — 6,0467, а?|0 08 = 5,2064, аз|0 08 = 2,5771, v3 = 1,08 3 = 0,7938.
г5,2064
w = ! - [6 046?0,7938 + 0,038 • 2.5771] = 0,2185.
3. Если в льготном периоде проценты не выплачиваются, то
w = 1 —
5,2064
6,0467
1,038\3
1,08/
= 0,2356 •
Отметим, что предоставляя беспроцентный заем на 10 лет при су-
ществующей на денежном рынке ставке 10%, кредитор фактически вы-
дает безвозмездную субсидию, равную 38,6% от суммы займа. В этом
нетрудно убедиться с помощью (3.24). Если же читателю интересно по-
знакомиться с общей картиной относительных потерь кредитора w при
беспроцентном займе, т.е. для различных значений сроков займа и уров-
ней процентных ставок, то ему достаточно взглянуть на табл. 3.7 выше
(см. с.136).
140
IV Погашение кредита
3.5. Сдвоенные ссуды
Существует много причин, по которым две кредитные организации мо-
гут быть даже вынуждены объединиться для предоставления ссуды. На-
пример, чтобы использовать право на льготные ставки, помощь властей в
расширении кредитных возможностей или просто из желания заключить
коммерческое соглашение. Мы проанализируем здесь лишь некоторые,
часто встречающиеся случаи. Правда, подчеркивать особенности этих
ситуаций на этот раз не будем, поскольку они видны невооруженным
глазом.
Выравнивание до постоянных взносов
Предположим, что первый кредитор располагает небольшими фонда-
ми и потому ему трудно найти надежного заемщика. Однако ставка,
которую он использует, значительно ниже. И это привлекает вторую
организацию-кредитора, которая дает основную часть ссуды и предла-
гает заемщику связную схему совокупной оплаты.
Итак, пусть
Ci, г’1, П1 и С2, г2, п2
размер кредита, периодическая ставка процента и срок ссуды в перио-
дах наших организаций. Будем считать, что Ci < С2, ч < г2, щ < п2 .
Ведь это очевидно не только для сумм кредитов и ставок, но и даже
для сроков, поскольку малой организации труднее находить оборотные
средства. Предположим также, что обе организации предоставляют свою
долю общей ссуды С = Ci+C2 одновременно и выбрали схему ее погаше-
ния постоянными выплатами а в конце каждого из п2 периодов. Тогда
процесс возвращения ссуды графически можно изобразить следующим
образом (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Выравнивание до постоянных взносов
В этой ситуации требуется определить два неизвестных числа. Первое
из них - величина постоянного периодического взноса а\ , погашающего
3 Особые случаи возвращения ссуды
141
ссуду первого кредитора - получается по формуле (2.3):
“ =
Чтобы определить второе - величину общего периодического взноса a -
нужно записать уравнение погашения ссуды С2 по ставке 12 , где учесть,
что у нас двухступенчатая ссуда, т.е. сначала в течение щ периодов вы-
плачиваются взносы размера (а - aj , а затем в течение оставшихся
(п2 - nJ периодов взносы размера а. Поэтому соответствующее урав-
нение погашения имеет вид С2 = (а — аЛа—, + а(1 + i2}~nxa--
4 7 nJ n2-ni|
В результате получаем
а = -S-falL,/okl 4- -S-. (3.25)
al/nd' n2pTal V )
nil n2|
Выравнивание do равномерного годового роста
Вместо выплаты постоянного взноса заемщик из предыдущей ситуации
может пожелать устроить погашение геометрически растущими взноса-
ми а} , т.е. выплачиваемыми как и ранее в конце каждого из к периодов
года, но растущими ежегодно по формуле (см. (2.8))
а} = а(1 + яУ~\ j = 1,2,
Покажем, что в этом случае построение схемы выплат также не пред-
ставляет труда.
Предположим, что обе организации по-прежнему предоставляют свои
доли ссуды одновременно и доля первого кредитора погашается посто-
янными периодическими взносами - на этот раз величины b. Будем счи-
тать для простоты, что периодическая ставка г/ эквивалентна ежегод-
ной ставке процента //, I = 1, 2, а числа периодов щ и п2 представляют
собой целое число лет, т.е. (М и N2 - целые числа)
(1 + ii)k = 1 + Ii, щ = kNi, п2 - П1 = kN2; М + N2 = N = п2/к.
Тогда уравнение погашения второй части ссуды можно записать в виде
(здесь опять уместно использовать соображения п.2.2)
TVi N
C2 = £(aj-6)a^(l + Z2)-^-1)4- £ <^(1 + =
;=1 j=Ni+l
alJaa^l “ =
. . /2 г . [afe. - бф.] = [ат^Ц- -
г2(1 + /2) N| N1l 12 (1 + 9)
142
IV Погашение кредита
если воспользоваться формулой (2.8), равенством
<£. = /2/г2(1 + /2)
*1
И
ч
«11
положить 1 + z = (1 + /2)/(1 4- q) . Учитывая далее, что b = С\/а
легко получаем для первого взноса а, определяющего все
выплаты, например, следующее выражение
«Впрыскивание»
В ситуации сдвоенного кредита, которую мы начали анализировать вы-
ше, может преследоваться и цель максимально облегчить участие в опе-
рации первому кредитору. Например, тем, что разрешить предоставле-
ние его доли Ci растянуть по времени. Скажем, выплатить эту сумму
не сразу, целиком, а частями, принимая участие в выплатах заемщика.
Кроме того, и погашение такого рода ссуды можно провести нетради-
ционно: сначала осуществить капитализацию предоставленной суммы и
только потом, через некоторое время, начать и провести ее погашение
по классической схеме.
Точнее говоря, условия участия первого кредитора могут быть, на-
пример, следующими (рис. 3.2). Сначала в конце первых п\ периодов им
выплачивается постоянная сумма Ъ. Таким образом, первый кредитор
не только облегчает на этом этапе свою жизнь, но и помогает заемщику,
участвуя в его погашениях, поскольку в постоянной выплате а = + b
второму кредитору есть его доля Ь.
Затем в течение следующей группы п2 периодов идет капитализа-
ция собранной суммы Ьщ (или продолжается капитализация полученной
суммы ). Естественно, в это время сумму а = а2 второму кредито-
ру выплачивает заемщик. И наконец, в течение оставшихся п% периодов
погашается полученная в результате капитализации сумма bni(l + г'1)П2
3 Особые случаи возвращения ссуды
143
(или + й)П2 ), где п — п1 + п2 + пз ~ срок всей ссуды, а ц -
используемая периодическая ставка погашения первого кредитора. По-
нятно, что на последнем этапе заемщик, выплачивая сумму аз, «кормит»
двух кредиторов сразу. Механизм этой операции представлен на рис. 3.2.
А расчет элементов рассмотренной схемы погашения предлагаем считать
простой задачей.
Численный пример
Проиллюстрируем теперь ситуацию впрыскивания и выравнивания до по-
стоянных взносов на конкретном случае, уже не раз рассматривавшемся
ранее. Ответ же на один из основных вопросов - в чем конкретно со-
стоит выгода от этой операции для второго кредитора? - на этот раз
читателю предлагается дать самому.
Пример 2.2 (продолжение 3)
Допустим, что по-прежнему сумма кредита 500 000 берется заемщи-
ком на 15 лет и под 12% годовых. Но предоставляется она двумя кре-
диторами. И рассмотрим два варианта погашения в этой ситуации,
причем оба с ежемесячными выплатами и пропорциональными ставка-
ми у обоих кредиторов.
Решение. 8. Выравнивание до постоянных взносов.
Предположим, что вся сумма кредита разбита на две части: С\ —
20 000, С2 = 480 000. И будем считать, что первый кредитор предо-
ставляет ссуду на 7 лет под 3% годовых, а второй - на 15 лет под 12%
годовых, причем обе ставки являются по смыслу периодическими став-
ками г'(12). Таким образом, в этом случае щ = 84, п% = 180,
at = 20 OOO/a^?025 = 264, а формула (3.25) дает
264a5L°l+48O ООО
а = ------------= 5980.
а 180|
9. «Впрыскивание».
На этот раз всю сумму кредита 500 000 предоставляет вторая организа-
ция. И получать она по-прежнему будет ежемесячно по 6001, как если бы
не было первого кредитора. Однако он есть, причем его условия прежние,
и потому заметно меняется схема погашения заемщика, конечно, если он
этого хочет.
Предположим, что, как и ранее, первый кредитор предоставляет в
долг примерно 20 000. А точнее говоря, будет выплачивать 400 в конце
каждого месяца в течение 4 лет (48 месяцев), т.е. общая сумма его креди-
та составит Ьщ = 19 200 . Предоставив таким образом ссуду и уменьшив
нагрузку на заемщика, он затем ждет три года начала погашения и од-
новременно «радуется» тому, что идет капитализация суммы долга. В
результате этой капитализации получится 19 200(1,0025)36 = 20 980,
и затем уже эта сумма будет погашаться ежемесячными выплатами
144
IV Погашение кредита
с = 20 980/agJ025
= 246 в течение восьми оставшихся лет, естественно,
одновременно увеличивая ежемесячную нагрузку заемщика. Ну а полная
схема его погашения будет выглядеть следующим образом:
ai = 6 001-400=5 601 в течение первых 48 месяцев,
а2 = 6 001 в течение следующих 36 месяцев,
а3 = 6 001+246=6 247 в течение последних 96 месяцев •
В заключение, чтобы еще более разнообразить представление чита-
теля о том, насколько необычными могут оказаться схемы переменных
выплат в жизни, мы познакомим его с еще одной конкретной ситуацией.
В ней весьма деликатное стечение обстоятельств, в котором потенциаль-
ный инвестор сейчас нуждается в небольших деньгах, но еще до оконча-
ния срока займа станет владельцем значительно большего капитала.
Пример 3.9. Еще немного экзотики.
Заемщик просит 100 000 на 1 год под ежегодную ставку 10%. А креди-
тор предлагает ему не возвращать через год 100 000 с процентами, а
дать уже ему в долг 290 000 и также на год. При этом разницу в 190 000
обещает вернуть в конце второго года, причем дает и гарантии опла-
ты этой суммы в виде так называемого «гарантийного фонда». Таким
образом, предлагается растянуть срок займа до двух лет и сделать его
беспроцентным. Можно ли считать это предложение выгодным для за-
емщика?
Решение (точнее говоря: краткий анализ). Прежде всего о беспро-
центности займа. Как читатель уже догадался, так можно говорить по-
тому, что две суммы, получаемые заемщиком вначале и через два года
(100 000 и 190 000), вместе равны сумме, получаемой кредитором через
год. Соответственно ставка процента такой операции должна быть рав-
на 0. Но оказывается, она может быть равна и другому числу! Ведь из
уравнения погашения (записанного в предположении, что 10 000=1)
10«2 - 29и + 19 = 0
мы получаем два корня: и = 1, i = 0 , а также и = 1,9, i = 0,9.
В то же время можно считать, что первая часть займа остается в
силе (100 000 на 1 год под 10%). И тогда естественно спросить, а к ка-
кой ставке сводится предложение кредитора? Нетрудно видеть, что эта
ставка i определяется равенством 18?/ = 19 и потому i = 0,055(5). В
самом деле, через год заемщик должен вернуть 110 000 и потому, если он
дает 290 000, то на самом деле предоставляет в долг 180 000, а обещают
вернуть ему 190 000. Таким образом, в рассматриваемой ситуации тео-
рия дает несколько суждений в отношении ставок. Наш «богатей» может
использовать их. Но все же решение свое часто основывает исходя из
иных соображений, в которых может быть задействовано и его мнение о
гарантийном фонде, как гарантии возврата кредита •
4 Некоторые проблемы погашения
145
4. Некоторые проблемы погашения
До сих пор в этой главе нас интересовал размер выплат, погашающих
предоставленный кредит, естественно, в предположении, что известны
другие параметры погашения: ставка начисления процентов и срок ссу-
ды. Однако бывает, что сначала выбирается подходящий по каким-то
соображениям размер выплат. И уже затем определяется ставка при фик-
сированном сроке ссуды либо срок при данной ставке. Причем хотя обе
эти ситуации и «растут» из одного и того же уравнения погашения, но
каждая имеет свои нюансы. Поэтому познакомимся с ними отдельно. На-
чнем со случая неизвестной ставки, а закончим рассмотрением проблемы,
которая довольно часто встречается в жизни и дает примеры того, по-
чему нужно определять новые ставки или новые сроки ренты (см. п.4.3).
4.1. Неизвестная ставка
В практической жизни эта проблема находит очень широкое применение.
И поэтому она будет рассмотрена в более широком контексте. Ей будет
посвящена целая гл. VI. Здесь же мы как бы начнем готовиться к более
серьезному разговору на эту тему. И фактически обсудим лишь проблему
решения уравнения
an\i = k (4.1)
относительно i при данных пик, поскольку это самое простое урав-
нение, к которому сводятся многие уравнения погашения. Конечно, не
считая случаев совсем простых уравнений для ДП из одного элемента
или аналогичных уравнений типа = к.
Три метода
Для определения неизвестной ставки процента i из уравнения (4.1) при-
меняется много различных подходов. Первый из них называется алге-
браическим и состоит в использовании некоторого выражения, равного
или близкого при малых i к левой части (4.1). Скажем, можно просто
вспомнить определение стоимости
О“| = V + v2 Н-h Vn
подрасчетной конечной ренты в виде полинома n-й степени относитель-
но v. Ясно, что, зная корни соответствующего уравнения (4.1), мы мо-
жем легко определить искомую ставку. К сожалению, практически по-
лезным этот метод бывает лишь при малых п.
Но используются и другие выражения, например, получающиеся из
равенств
an| _ 1 - (1, n + 1. , (n+l)(n + 2) 2
— --------nl-----------------------~6----<4'2)
146
IV Погашение кредита
a-i
ni
_ п + 1 . П2 — 1 .о
=1+^--------
12
(4-3)
п
При этом формулу (4.3) обычно предпочитают формуле (4.2), поскольку
она дает более высокую скорость сходимости. Вывод этих формул чита-
тель может (рассматривать для себя как простое упражнение, а, вообще
говоря,) найти в ПВ.4.
Второй подход состоит в использовании линейной интерполяции со-
вместно с финансовыми таблицами типа тех, которые представлены в
ПД.1. Здесь следует отметить, что точность определения корня при этом
будет зависеть прежде всего от плотности сетки табулирования выбран-
ных таблиц, но, конечно, и от того, насколько близкой к линейной ока-
жется рассматриваемая зависимость, а также от того, на краю интервала
или в его центре находится выбираемое приближение.
Третий подход - это метод последовательного приближения. Он
является наилучшим, поскольку с его помощью можно выйти на любой
уровень точности. Кроме того, он применим для любых проблем подоб-
ного рода. Правда, в отличие от двух других методов он требует нали-
чия калькулятора с экспоненциальными и логарифмическими функция-
ми. Подробнее об итерационных методах говорится в ПБ.
А пока заметим, что начать итерационный процесс можно, если рас-
сматриваемое уравнение (и, в частности, (4.1)) удается представить в
виде
i = f(i) (4.4)
или известно, что корень искомого уравнения является и корнем урав-
нения (4.4). При этом сам итерационный процесс начинается с выбора
начального значения г0, и далее последовательность приближений полу-
чается из рекуррентного соотношения:
—/(?/), / — О, 1, 2, •••.
(4-5)
Обычно эта процедура просто приводится в действие. Но, конечно, тре-
буется заранее понимать, что возникающая таким образом последова-
тельность обязательно сходится к искомому значению. Момент же оста-
новки в такого рода итерационных процессах определяется так: вычи-
сления продолжаются до тех пор, пока 4+i = ik с заданной точностью
(скажем, пять десятичных знаков слева и справа совпадают). Соответ-
ствующее число к и определяет количество нужных итераций.
К примеру, записать уравнение (4.1) в виде (4.4) не представляет тру-
да. Если воспользоваться формулой а-, = (1 - vn)/i, то получим
1 - (1 + i)-"
к
(4.6)
4 Некоторые проблемы погашения
147
К сожалению, как мы увидим ниже в прим. 4.1, скорость сходимости у
этой формулы невелика. Значительно более высокую скорость сходимо-
сти дает метод Ньютона (см. ПБ.2.3), в котором итерационная формула
(4.5) для решения уравнения (4.1) имеет следующий вид:
_ Ji, 1 - (1 + й)~п - kii 1
г/+1-г/|1+ 1-(1+ -z)_n_1[1 + г/(п + 1)]р (4’7)
Вывод последней формулы также дается в ПВ.4.3, а пока будем наде-
яться, что он доставит читателю определенное удовольствие. Конечно,
эта формула весьма громоздка и потому ее не стоит использовать ради
одного числа. Но если требуется проделать много вычислений, то это,
возможно, лучший вариант, поскольку связанная с ней скорость сходи-
мости часто заслуживает уважения.
Выбор начального приближения
При использовании итерационных методов большую роль играет старто-
вое значение. От него сильно зависит количество требуемых итераций.
Получить хорошее первое приближение io можно с помощью линейной
интерполяции и финансовых таблиц.
Однако большую пользу, как правило, приносит какое-либо прибли-
женное выражение для корня в терминах лишь п и к. Такие формулы
можно получить, например, если взять первые два или три слагаемые
из выражений (4.2), (4.3). В случае двух первых слагаемых приходим к
равенствам
1) к = а-. = п(1 - - - г), 2) к = а~, =-.
7 n| v 2 nl j । п+* г
И соответственно для начального приближения получаем выражения
. . 2(п - к) . . 2(п - к) . .
!) г° ” —~Г~п’ 2) г° ~ w 1V
п(п + 1) k(n + 1)
Но все-таки даже эти выражения уступают еще одной формуле
1 - (-)2
*о=—(4.9)
которая устанавливается в ПВ.4.2. Там же читатель может познакомить-
ся с другими итерационными методами. А нам остается проиллюстриро-
вать вышесказанное.
Пример 4.1
Определить ежегодную ставку процента ежеквартальной периодично-
сти, при которой вклад 16 000 достаточен для того, чтобы снимать
со счета, на который он положен, 1000 в конце каждого квартала на
протяжении 5 лет.
148
IV Погашение кредита
Решение. Нам нужно найти Положим j = №/4. Тогда можно
записать lOOGojo^ = 16 000 и потому имеем (форма (4.1))
a56|j = 16.
Посмотрим сначала, что дает линейная интерполяция. Для этого по-
ложим g(i) = - 16 и будем искать г, для которого g(i) — 0. Из
таблиц находим, что
<?(0,020) = 16,3514 - 16 = 0,3514, g(0,025) = 15,5892 - 16 = -0,4108.
Поэтому линейная интерполяция дает j = 0,020 + 0,005 = 0,0223 и,
следовательно, № = 4(0,0223) = 0,0892.
Займемся далее последовательной итерацией. Причем в качестве на-
чального приближения можем взять только что полученное значение
jo = 0,0223. Однако мы воспользуемся второй формулой из (4.8), ко-
торая дает
Л=Ап?= 0’0238’
и формулой (4.6), которая приведет к последовательности значений:
jo = 0,02380
>1 = 0,02345
j2 = 0,02319
>3 = 0,02298
>4 = 0,02283
>5 = 0,02270
>6 = 0,02261
>7 = 0,02253
>8 = 0,02248
>9 = 0,02243
>ю = 0,02239
>п = 0,02237
>12 = 0,02234
>13 = 0,02233
>14 = 0,02231
>15 = 0,02230
По этим 15 шагам ясно, что сходимость очень плохая. И продемон-
стрировали мы эту медленную сходимость как раз для того, чтобы чи-
татель увидел: практически важно использовать методы с разумной ско-
ростью сходимости.
Так, если использовать метод Ньютона (формула (4.7)), получим
>о = 0,0238, >i = 0,0222459, >2 = 0,0222623, >3 = 0,0222623.
Иными словами, мы добьемся семи точных десятичных знаков всего лишь
после двух итераций! А формула (4.6) смогла дать всего пять десятичных
знаков после 15 итераций. Таким образом, мощь метода Ньютона, по
крайней мере здесь, очевидна •
Итак, правильный ответ с точностью до шести верных десятичных
знаков есть
г(4) = 4-0,0222623 = 0,089049.
Заметим, что стартовое значение, определяемое по формуле (4.9)
1 - (16/20)2 _
— — 0, 0225
16
4 Некоторые проблемы погашения
149
лучше предложенного выше, поскольку ближе к истинному значению. Но
если использовать первую формулу в (4.8), то стартовое значение будет
хуже: г'о = 2 • 4/20 -21 = 0,0190. Это нередко бывает и в других ситуаци-
ях, поэтому рекомендовать для определения стартового значения можно
прежде всего формулу (4.9). Хотя есть и еще одна не менее хорошая
формула, предлагаемая в ПВ.4.2.
4.2. Неизвестный срок ссуды
Бывает, что неизвестным оказывается срок ссуды. Тогда, казалось бы,
при данной ставке уравнение погашения должно позволить также легко
определить соответствующий срок ссуды п. Но не тут-то было. И дело
не в том, что решить задачу на этот раз сложнее. Просто жизнь вносит
свои коррективы.
А сложности возникают из-за того, что решением уравнения пога-
шения часто оказывается нецелый срок ссуды. Проиллюстрируем их в
конкретной ситуации.
Пример 4.2
Вклад величины 1000 в некотором фонде предполагается использовать
для того, чтобы производить платежи размера 100 в конце каждого
года до тех пор, пока это будет возможно. Доходность фонда измеря-
ется ежегодной ставкой процента 0,05. Определить, как долго можно
будет выплачивать указанные суммы, а также остаток вклада, если
он будет выплачен 1) вместе с последней регулярной выплатой,
2) через год после нее, или где-то
3) между этими датами в соответствии с одной из формул (Ш.2.8).
Решение. Уравнение погашения в нашей ситуации имеет вид
100а—। = 1000, или a-i = 10.
п| ’ п|
Поэтому из ПД.1 вытекает, что 14 < п < 15. Таким образом, всего будет
сделано 14 регулярных выплат величины 100 (см. рис. 4.1).
150
IV Погашение кредита
Обозначим через а:/ величину дополнительной выплаты варианта I и
пусть 14 +г/ означает дату выплаты из третьего варианта (см. (Ш.2.8)).
Запишем далее в каждом случае уравнение погашения и решим его.
1) 100sn| + Xi = 1000(1,05)14, поэтому Xi = 1979,93 - 1959,86 = 20,07.
2) lOOs’14! + х2 = 1000(1,05)15; откуда х2 = 1000(1,05)15 - 100(вП| - 1) =
2178,93 - 2157,86 = 21,07. Отметим, что 20,07(1,05) = 21,07 или, в
общем случае, xi(l + г) = х2. Почему?
3) аГ4+7| = Ю’ где 0 < г/ < 1. Таким образом, в силу (Ш.2.8)
1 — +
----:---= 10, v14+" = 1 - Юг = 0,5, (1, 05)14+" = 2,
г
14 + v = In 2/ In 1,05 = 0,693147/0,048790 = 14,2067, v = 0,2067.
И в соответствии с этой же формулой выплачиваемая в момент 14,2067
сумма есть
(1,О5)0,2067 - 1
*з = 1001 ' п,-----= 20,27.
(J, иэ
Возможно, более простым приближением для хз является величина
100р = 20,67. Ну, а ответ, полученный сейчас, лежит между ответа-
ми двух других вариантов, как мы и ожидали. Ясно, кроме того, что
формулы (2.8) приводят к нескольким эквивалентным вариантам ответа
и потому приходится выбирать •
До недавнего времени считалось, что нецелая дата является малопри-
годной для обеих сторон финансовой операции (скажем, если регулярные
выплаты производятся 1 марта каждого года, то выплачивать дополни-
тельную сумму 12 апреля одной стороне и получать другой было неудоб-
но технически, но сейчас положение может измениться!). Поэтому обыч-
но использовался какой-либо один из двух первых вариантов, рассмо-
тренных в примере. При этом, если дополнительная выплата делается в
момент последней регулярной выплаты, то она ее несколько увеличивает.
И может быть поэтому последняя называлась balloon payment (надувшая-
ся выплата). Если же дополнительная выплата производится через пери-
од после последней, то ее уже называют drop payment (выплата-капля).
В то же время все три способа согласования обязательств двух сто-
рон, указанные в примере, являются эквивалентными. Более того, яс-
но, что с математической точки зрения дополнительную выплату можно
приурочить к любому моменту времени как до последней выплаты, так и
после после нее - без нарушения эквивалентности. Подчеркнем поэтому,
что из всех этих возможностей практика выбирала до сих пор в основном
первые две, указанные выше.
4 Некоторые проблемы погашения
151
4.3. Замена и объединение рент
На практике часто приходится менять соглашение по ренте. В самом
простом случае изменение условий ренты сводится к замене ренты од-
ной выплатой. В более сложных случаях рента с одним набором условий
заменяется рентой с другими условиями. Наконец, несколько рент мо-
гут быть объединены в одну. Скажем, при попытке упростить оплату
нескольких долгов, погашаемых разными рентами, когда их погашение
сводится к одной ренте. Ясно, что указанные изменения не могут быть
произвольными. И чтобы обе стороны, участвующие в сделке, были до-
вольны, должен соблюдаться принцип финансовой эквивалентности.
Все возможные варианты подобных манипуляций с рентами трудно
перечислить. Мы познакомимся лишь с некоторыми из них, причем для
простоты рассматривать будем только постоянные и подрасчетные рен-
ты, по-преимуществу ежегодные, в которых ставка часто также не будет
меняться и будет являться ставкой процента i. В основном эти вариан-
ты будут сводиться к проблеме определения нового размера платежей
b или нового срока ренты п. При этом взнос по старой ренте будет
обозначаться через а с индексом или без него.
Замена рент
Простейшие и противоположные варианты замены одной ренты на дру-
гую - это выкуп ренты или рассрочка платежей. При выкупе распре-
деленные во времени платежи или их часть (остаток на какой-то мо-
мент) требуется заменить единовременным платежом. Во втором случае,
наоборот, вместо немедленной оплаты наличными определенной суммы
предлагается сделать это в рассрочку, как это обычно бывает при ком-
мерческом кредите.
Пример 4.3
Цена партии продукции 1 000 000. Оплата в рассрочку в течение трех
лет по ежегодной ставке 10%. Платежи вносятся каждые полгода, в
конце, причем покупателю предоставляется отсрочка на три месяца
по той же ставке. Определить ежегодный взнос 2а, если проценты
начисляются ежеквартально. Считать 1000 за 1.
Решение. Уравнение погашения имеет вид Си3/12 = г Поэтому
п Си1/4
~ а<2)
з|0,1
Ю24, П • 0,1<2> _
°, 1«з|о,1
Итак, если новая рента представляет собой «сдвинутую вперед» ста-
рую, то
С — а • Си — Ь •
где t - отсрочка в годах. Поэтому b = аи*. И, таким образом, новый
размер ежегодных платежей является НЗ старого платежа. Уточним, что
152
IV Погашение кредита
t здесь может быть не только целым числом, но и числом, кратным 1/к.
Последнее при условии, что проценты начисляются за период длины 1/к ,
как это было в прим. 4.3.
При отсрочке платежей, однако, размер нового взноса можно оста-
вить тем же, а неизвестным считать новый срок ссуды П2 . В этом слу-
чае, от исходного равенства
а * ani |г — а * ап2|г^ •>
легко приходим к выражениям [u = 1 + г)
1п[1 - и* + г?”П1]
п2 =-------------------
(4.Ю)
(4.11)
In и
В самом деле, для этого достаточно переписать (4.10) последовательно в
одной из следующих форм:
1 _ 1 _
= и* , un2+t - u”2"r‘1+t = иП2 - 1.
i i
Число п2 в (4.11), как правило, дробное. Поэтому при выборе какого-
то близкого целого срока возникает разница в ПЗ заменяемых рент.
Естественно, эту разницу необходимо погасить каким-либо образом (см.
п.4.2). Например так, как это делается в следующей ситуации.
Пример 4.4
Подрасчетная рента с параметрами а = 2000, i = 0,08, п — 5 отложе-
на на S года без изменения величины ежегодного платежа. Определить
новый срок ренты п2 и «пристроить» разницу ПЗ.
Решение. Используя (4.11), получим
1п(1-(1-«-п,)«‘) ln(l- (1 - 1,08-5)1,083)
п2 =-------------------=---------------—---------= о, оо9.
In и In 1,08
Допустим, что продолжительность заменяющей ренты равна 6 годам.
Тогда ПЗ новой ренты (на момент 0) составит величину а • a§|o,o8v3 ~
2000 • 4,6229(1,08)“3 = 7339,58. В то же время ПЗ старой ренты равно
а’а5|о,о8 = 7985,42. Разность, таким образом, составит 645,84. Ясно, что
если мы выбрали для погашения этой разницы момент s, то уплатить
нужно сумму 645,84 • 1,08s •
Обратимся далее к обычным, неотсроченным рентам. Для них взнос
Ь новой ренты отличается от старого взноса а, как правило, если
1) выбран другой срок - в этом случае величина b определяется из урав-
нения
С — a • сьП1|{ — Ь •
2) или изменена периодичность платежей - тогда b определяется из ра-
венства
С = kid • а-\) = /ггб • а-^,
1 П|1 Х П|1 ’
4 Некоторые проблемы погашения
153
где ki - (целое) число платежей в год по l-й ренте, I = 1, 2.
Но, понятно, что и все три основные параметра ренты (срок, ставка
и размер отдельной выплаты) могут меняться одновременно. При этом
следует иметь в виду, что для записи соответствующего уравнения по-
гашения, скажем при к платежах в год, часто могут использоваться
следующие три представления для ПЗ ренты
с* = • «^ = “2 ’ Мй = 03 ' (4-12)
(ai = а2 - размер отдельной выплаты за период длины 1/Ат в первых
двух равенствах); здесь ставка i имеет смысл ежегодной ставки про-
цента в первых двух равенствах и ежегодной периодической ставки про-
цента № в третьем. Кроме того, если в первом равенстве проценты
начисляются 1 раз в год, то в остальных двух - к раз в год, в конце
интервала 1/к. При этом п, как и всегда, есть срок ренты в годах. Но
роль года в (4.12) на практике может исполнить и любой другой период.
Пример 4.5
Рента с характеристиками щ = 5, = 0,06, к^ = 4 заменяется
на другую ренту, у которой п2 = 8, = 0,08, fc2 = 2. Определить
размер b полугодового платежа по новой ренте, если за год в старой
выплачивалась 1000.
Решение. Здесь на роль года удобно взять полгода, соответственно
поменяв периодические ставки № в обеих рентах на полугодовые став-
ки процента. Тогда для записи ПЗ старой ренты можно воспользоваться
первым равенством из (4.12), а для ПЗ новой - третьим. В этом случае
придем к уравнению
2а ‘ аТб|о,оз = b ‘ аТб|0,04>
и, следовательно, легко получим, что искомый взнос Ь = 368,76:
500-
0,03
о,оз(2)
®16|о,оз = 500 • 1,007445 • 8,5302 = b • 11,6523 •
Объединение рент
Различных постановок задач при объединении нескольких рент в одну
никак не меньше, чем при замене старой ренты на новую. Однако при
записи соответствующих уравнений погашения, как и ранее, проблем не
возникает. Кроме того, среди всех возможных постановок выделяются
все-таки следующие три: определение одной из величин - ежегодного пла-
тежа, срока или ставки заменяющей ренты - при известных остальных.
Ну а поскольку проблему неизвестной ставки мы как бы переносим в
гл. VI или предлагаем использовать подходы п.4.1, то ниже рассмотрим
лишь примеры первых двух проблем.
154
IV Погашение кредита
Пример 4.6
Десятилетняя подрасчетная рента использует ежегодную ставку про-
цента 6% и объединяет три ренты из табл. 4.1. Определить ежегод-
ный взнос по этой ренте, если она обычная подрасчетная (немедленная)
или отложенная на 3 года.
Т а б л и ц а 4.1
Рента 1 а/ П/ il С/ = а/а^
1 1000 10 0,06 7,36009 7 360,09
2 500 8 0,05 6,46321 3 231,61
3 1200 12 0,05 8,86325 10 635,90
Итого 21 227,60
Решение. Ставки процента у рент разные. Поэтому удобно использо-
вать уравнение
з
’ аТо|о,ови = ~ 21 227,6.
1
Но аТо|о,оби3 ~ 7,3601(1, Об)”3 = 6,1797. Поэтому для новой отложенной
ренты Ь = 21 227,6/6,1797 = 3435,05, а для немедленной (см. ПГ.3.2) -
6 = 21 227, 6/7,3601 = 2884,15 •
В случае неизвестного срока п у объединенной ренты для него имеем
уравнение
Ь ’ an\i = Q/Qn7|i/» (4*13)
В то же время довольно часто при одинаковой ставке у всех рент взнос
объединенной ренты полагается равным сумме платежей по отдельным
рентам, т.е. b = ^)а1- В этом случае для п легко получаем упрощенное
выражение (г/ = г, а/ = ai/b)
In $2 <*ivni \n^<*iuni
n =-----:-----=------------. (4.14)
In V In и
Пример 4.7
Имеются три ежегодные ренты с одинаковой ставкой 5% и разными
сроками и платежами: щ = 10, П2 = 5, пз = 12, ai = 500, аз =
1500, аз = 1000. Определить срок объединенной ренты при b = 3000.
Решение. Из (4.14) вытекает, что
_ 1п[(1/6)1,О510 + (1/2)1,055 + (1/3)1,0512]
72 — - — . —- ж д! / / л
5 Погашение кредита в реальной жизни
155
5. Погашение кредита в реальной жизни
Мы уже познакомились со многими сторонами самой известной из всех
финансовых операций. Однако до сих пор само понятие ссуды или, ска-
жем, долгосрочной ссуды не было уточнено. И в обсуждении различных
аспектов этой операции, которое велось выше, автор как бы полагался
на здравый смысл читателя и многочисленные примеры конкретных си-
туаций из жизни. Они должны были создать уверенность, что читатель
с автором говорят на одном языке, когда ведут речь о предоставлении
кредита. Теперь мы сможем уточнить эту сторону дела (п.5.3).
Но главное, что отличает рассмотренное выше классическое теорети-
ческое погашение от реального, фактически сводится к двум моментам:
нагрузкам и таблицам погашения. Попробуем разобраться в том, что же
это такое.
5.1. Нагрузки
В начале п.1 этой главы мы говорили о том, что любая выплата 6/ по
ссуде может быть разделена на три части
6; = 7П/+ t//+ Л/, (5.1)
среди которых первые две мы определили выше - тп/ представляет часть
долга, погашаемого в момент l-и выплаты, а величина ш означает про-
центы по ссуде, причитающиеся кредитору на этот момент. Ну а о по-
следнем, третьем элементе разбиения произвольной выплаты hi, назы-
ваемом нагрузки, как раз и поговорим сейчас.
Ранее мы подчеркнули, что это
суммы, которые идут на оплату технической реализации кредита
и некоторых конкретных дополнительных услуг.
Однако определить их можно и как
совокупность трат, отличных от процентов и
взимаемых кредитором либо в свою пользу, либо в пользу кого-то еще.
На финансовом жаргоне во Франции их называют лаконично подливкой.
Возможно потому, что само выражение нагрузки в классической финан-
совой математике не является общепринятым и связано скорее всего с
применениями в страховании.
Расчет нагрузок редко приводит к громоздким выражениям. Обыч-
но приходится лишь найти в потоке времени место для выплат. С этим
лучше всего познакомиться на примерах, которые мы рассмотрим чуть
ниже. А сейчас поговорим о важнейших нагрузках. Отметим, что для
156
IV Погашение кредита
уточнения каждой из них, как правило, требуется вспомнить принцип
расчета и способ оплаты. Но мы добавим к этому и несколько слов в
отношении их происхождения.
Чаще всего используются:
• расходы по взиманию платежей фиксированы и включаются в ка-
ждую выплату. Исторически эта нагрузка соответствует старым
правам на штемпель и покрывает расходы, которые несет креди-
тор, пытаясь вернуть свои деньги;
• страховые взносы или премии чаще всего пропорциональны капи-
талу С и вносятся также при каждой выплате (например, 4 в ме-
сяц и на каждые 10 000 суммы кредита), часто авансом, как это
принято в страховании. В исключительных случаях они могут вы-
ражаться и в процентах от выплаты. Речь здесь идет, конечно, о
покрытии риска неплатежеспособности заемщика в случае смерти,
инвалидности или, а в последнее время также из-за потери работы;
• взносы в гарантийный фонд имеют целью распределить на всю мас-
су заемщиков риск неплатежеспособности некоторых из них, неза-
висимо от риска, покрываемого страховкой;
• оформительские расходы, т.е. расходы на ведение досье или бух-
галтерского учета, обычно либо фиксированы, либо выражаются в
виде процента от капитала. Как правило, вносятся при подписании
контракта, но бывает (например, в потребительском кредите), что
распределяются по всем выплатам.
Можно также упомянуть о расходах, которые направляются на
• купоны общественного фонда, механизм которого схож с гаран-
тийным фондом. Однако питается эта нагрузка ежегодными взно-
сами и, кроме того, сами купоны представляют собой ценную бума-
гу, подтверждающую право собственности в отношении созданного
фонда;
• комиссионные различного толка, появляющиеся как следствие раз-
деления гарантий или денежных средств между кредиторами. Ка-
ждая из этих величин может быть рассчитана по начальному капи-
талу или по невыплаченной сумме. Их могут актуализировать или
просто просуммировать и представить к оплате в момент подписа-
ния контракта и т.д. Используются также и так называемые
• дополнительные ставки, которые с учетом основных могут по-
крыть любые из вышеупомянутых нагрузок.
5 Погашение кредита в реальной жизни
157
Наконец, существуют виды нагрузок, которые на первый взгляд как
бы не имеют никакого отношения к предоставлению кредита. Скажем,
среди расходов по ведению досье можно выделить нотариальные расходы
и вознаграждение агентам по недвижимости (обслуживающих запросы
кредитора). Их расчет ведется по правилам, принятым в соответству-
ющих профессиях. Отметим также, что в разделах, посвященных учету
векселей и текущим счетам, мы указали некоторое количество весьма
специфичных нагрузок. Вообще, это довольно сложная и интересная те-
ма, к которой мы имеем возможность лишь немного прикоснуться.
5.2. Таблицы погашения
В принципе мы уже неоднократно прибегали к таблицам погашения (см.
п.3.1-4, 4.3) для уточнения процесса выплат по ссуде. Хотя использовали
такое название робко и как бы неофициально, поскольку все-таки основ-
ная причина появления этих таблиц связана с нагрузками. Дело в том,
что в связи с большим числом нагрузок, иногда экзотических, заемщику
даже с простой схемой погашения многое может быть непонятно. И кре-
дитор был вынужден найти способ, позволяющий не только упростить
ситуацию, но и сделать ее прозрачной. Этот способ и называется табли-
цами погашения.
Сначала мы проведем краткое знакомство со структурой таблиц, рас-
сматривая простейшие варианты погашения. А затем прокомментируем
некоторые нюансы их построения. Что же касается желающих углубить
свои представления о таблицах, то мы направляем их в ПД.4. Там, хотя
и кратко, но все же рассмотрены случаи особых, неклассических таблиц
и даже вариантов погашения.
Перейдем теперь к построению таблиц погашения. Причем, как и
было упомянуто выше, рассмотрим лишь классический вариант, когда
проценты начисляются на невыплаченный капитал. Отметим также, что
расчет выплат в любой ситуации начинается с определения трех величин
теоретического погашения из равенства ai = mi + yi и обычно прово-
дится в следующем порядке: сначала определяется размер постоянного
взноса а, азатем последовательно j/i, Ci, 1/2, т2 и т.д.
Постоянные выплаты
Пример 5.1
Предположим, что кредит С = 40 000 предоставлен на 4 года под
16% годовых, И по условиям контракта должен погашаться ежегод-
ными или периодическими выплатами в конце или в начале выбранного
периода. Кроме того, при оформлении кредита оговорены следующие на-
грузки: 8 на взимание платежей, 4 в месяц и на 10 000 страховых, 200
в гарантийный фонд и 1% исходной суммы на бухгалтерский учет.
Решение. Ставка не определена, и нам предстоит ее уточнять.
158
IV Погашение кредита
1. Ежегодные выплаты, ежегодная ставка процента i = 0,16
Постоянный взнос без нагрузок равен (см. (2.3))
at = a = C/a^ = 40 000 • 0,16/(1 - (1,16)"4] = 14 295,
а элементы у/, т/ вместе с Ci рассчитываются последовательно, по фор-
мулам (1.4), (1.1) и (1.2) (см. также (1.8а) и табл. 1.1). Например,
yi = 6400, mi = 14 295 - 6400 = 7895, Сх = 40 000 - 7895 = 32 105.
Что же касается нагрузок, то они по каждому периоду составляют со-
ответственно при
подписании контракта: /г0 = 200 + 40 000 -0,01 = 600,
каждой выплате: hi = 8 + 4(40 000/10 000)12 = 200, 1 < I < 3,
(кроме последней)
последней выплате: /г4 = 8 + 192 - 200 = 0 (возврат взноса в ГФ).
Сами же выплаты будут определяться по формуле bi = ai + hi,
I > 0, (во = 0), и потому мы легко заполняем последнюю колонку:
b0 = ho = 600, bi = 14 295 + 200 = 14 495, и т.д. В результате приходим
к табл. 5.1, в которой нам все должно быть понятно, кроме последней
строки и колонки «дополнительные проценты». Скажем пока лишь, что
эта строка во всех наших таблицах суммирует содержимое соответству-
ющей колонки. Ну, а зачем это делается и почему присутствует третья
колонка (доп. проц. = дополнительные проценты), уточним ниже.
Табл. 5.1. Основной вариант - ежегодные выплаты в конце года
Даты 1 Основн. проц, yi Доп. проц. Погашение капит. mi Невыплач. капит. Ci Нагрузки hi Выплаты bi
0 0 0 0 40 000 600 600
1 6 400 0 7 895 32 105 200 14 495
2 5 137 0 9 158 22 947 200 14 495
3 3 672 0 10 623 12 324 200 14 495
4 1 971 0 12 324 0 0 14 295
Всего 17 180 0 40 000 107 376 1200 58 380
2. Полугодовые выплаты с пропорциональной ставкой.
Предположим далее, что та же сумма погашается восемью полугодовыми
взносами, также выплачиваемыми в конце периода, но при другой ставке
г*(2) = 16%. В этом случае постоянный полугодовой взнос без нагрузок
также рассчитывается по формуле (2.3):
а = С/ащ008 = 40 000/5, 7466 = 6961.
5 Погашение кредита в реальной жизни
159
А далее последовательно определяется содержимое трех колонок:
yi = 40 000 • 0, 08 = 3200, mi = 6961 - 3200 = 3761, Сх = 40 000 - 3761 =
36 239 и т.д.
Из нагрузок же изменится лишь величина страхового взноса: вместо
192 будем иметь 96. И потому в строках с 1 по 7 будет 104, а в последней
-96. Ну а заполнив колонку с нагрузками и опять используя формулу
bi = щ + hi, найдем содержимое последней колонки, а с ней и табл. 5.2 (в
ней, как и всюду: основн. проц. = основные проценты).
Табл. 5.2. Полугодовые выплаты, ежегодная ставка № — 16%
Даты 1 Основн. проц, yi Доп. проц. Погашение капит. mi Невыплач. капит. Ci Нагрузки Выплаты h
0 0 0 0 40 000 600 600
1 3 200 0 3 761 36 239 104 7 065
2 2 899 0 4 062 32 177 104 7 065
3 2 574 0 4 387 27 790 104 7 065
4 2 223 0 4 738 23 052 104 7 065
5 1 844 0 5 117 17 935 104 7 065
6 1 435 0 5 526 12 409 104 7 065
7 993 0 5 968 6 441 104 7 065
8 520 0 6 441 0 -96 6 865
Всего 15 688 0 40 000 196 043 1232 56 920
3. Ежегодные авансовые выплаты с остаточной суммой.
Вернемся к ежегодным выплатам и предположим, что они выплачивают-
ся авансом, а остаточная сумма составляет 10% от капитала. Если все
остальные условия сохраняются, то меняется лишь формула для опреде-
ления постоянной выплаты. Теперь вместо (2.3) используется формула
(2.4) с N = п = 4, р = 0,1, f = -1 :
_ С(1 - 0, lv4)u-1 _ 40 000[1 - 0,1 • 0,5523] _
«410,16 ” 1,16-2,7982
Действуя далее по аналогии, приходим к табл. 5.3.
Табл. 5.3. Авансовые ежегодные выплаты с остаточной суммой
Даты 1 Основн. проц, yi Доп. проц. Погашение капит. mi Невыплач. капит. Ci Нагрузки hi Выплаты bi
0 0 0 11 643 28 357 600 12 243
1 4 537 0 7 106 21 251 200 И 843
2 .3 400 0 8 243 13 008 200 11 843
3 2 081 0 9 562 3 446 200 11 843
4 551 0 3 446 0 0 3 997
Всего 19 569 0 40 000 66 062 1200 51 769
160
IV Погашение кредита
4. Ежегодные выплаты. Увеличенный третий взнос.
Пусть в основной схеме подрасчетных выплат третья выплата увеличена
по сравнению с остальными на 10% от предоставленной ссуды (см. упр.2),
т.е. а = ai = вг = «4 = «з — 4000. В этом случае нетрудно видеть, что
„ СГ1-0,1-1,16"31 37 437.37 Ю О-7П ы
а _ _i——!-----1 — —। = 1з зуд. и это меняет остальные элементы
°4|0,1в 2’7Э8
табл. 5.1 следующим образом
Табл. 5.4. Постоянные подрасчетные выплаты с полуавансом
Даты 1 Основы, проц, yi Доп. проц. Погашение капит. ггц Невыплач. капит. Ci Нагрузки hi Выплаты h
0 0 0 0 40 000 600 600
1 6 400 0 6 979 33 021 200 13 579
2 5 283 0 8 096 24 925 200 13 579
3 3 988 0 13 391 11 534 200 17 579
4 1 845 0 11 534 0 0 13 379
Всего 17 516 0 40 000 109 480 1200 58 716
Некоторые пояснения к таблицам
Помимо двух вопросов, возникших при построении табл. 5.1, есть и тре-
тий. Как следует поступать с ошибками округления, неизбежно возни-
кающими в процессе вычислений? Ведь если их «не трогать», то они не
позволят «подбить баланс», если так можно выразиться. А это было бы
нежелательно. Все эти вопросы затронуты ниже и в ПД.4.
В отличие от нагрузок, которые у нас сгруппированы в одну колон-
ку для наглядности, проценты разбиты на две части. Это соответствует
общепринятой практике, поскольку страховые нагрузки или взносы в га-
рантийный фонд также могут выражаться в процентах от невыплачен-
ного капитала и помещаться в эту колонку. Другая же причина присут-
ствия третьей колонки в том, что она просто является резервной и в тех
или иных ситуациях используется для соответствующих целей.
Суммирование по столбцу для сравнения различных схем погашения
ничего не дает, кроме дополнительной проверки того, что таблица со-
ставлена правильно (сумма элементов любой строки должна быть посто-
янной). Но сумма невыплаченных капиталов, называемая «тарелкой», по-
скольку служит основой для начисления процентов, может быть полезной
при сравнении двух таблиц одного срока и периодичности.
Наконец, случайные ошибки округления действительно могут сделать
невозможным равенство нулю величины невыплаченного капитала после
последней выплаты. И лучший способ избавиться от этой неприятности
- направить в графу последнего погашения точное значение предыдуще-
го невыплаченного капитала (как это сделано во всех таблицах). Ну а
сумму по строке можно подкорректировать, если понадобится, тем, что
исправить первую цифру основных процентов.
5 Погашение кредита в реальной жизни
161
5.3. Среднесрочная или долгосрочная ссуда
А теперь попробуем уточнить, каковы не столько наши бытовые пред-
ставления о ссуде и ее разновидностях, сколько те, которых придержи-
ваются в финансовых кругах и в настоящей книге. Под ссудой здесь мы
понимаем, вообще говоря, «неделимый заем», т.е. заем с единственным
кредитором (и часто с единственным заемщиком) - в отличие, напри-
мер, от выпуска облигаций, когда сам заем может распределяться сре-
ди сотен тысяч вкладчиков-кредиторов. И будем считать при этом, что
кредитор предоставляет в распоряжение заемщика оговоренную сумму,
убедившись заранее в наличии достаточных личных и залоговых гаран-
тий. Ну а о том, какой может быть ссуда помимо сделки между двумя
людьми или физическими лицами, попробуем высказаться вкратце.
И в качестве примеров ссуд отметим
• предоставление кредита отдельным частным лицам непосредствен-
но банками, другими финансовыми учреждениями или другими фи-
зическими лицами через посредство нотариуса;
• ссуды под залог недвижимости, предоставляемые для строитель-
ства дома или квартиры специализированными финансовыми учре-
ждениями (например, земельным кредитным банком);
• среднесрочные кредиты, т.е. предоставляемые, скажем, на срок бо-
лее года и менее 7 лет, предприятиям на покупку оборудования На-
циональным кредитным банком или просто банками.
Но, конечно, понятие кредита является значительно более емким. Ска-
жем, даже названия его трудно указать все, ведь он бывает вексель-
ным, банковским, ипотечным, коммерческим, коммунальным, междуна-
родным, потребительским, сельскохозяйственным и т.д. И соответствен-
но мы не можем уделить этому понятию достойное внимание.
В то же время в отношении другого, более простого понятия «средне-
срочный кредит» полного порядка не нужно и искать. Так, во француз-
ской банковской практике операции сейчас называются краткосрочными,
если их длительность меньше двух лет, среднесрочными - при длитель-
ности до семи лет и долгосрочными - если больше. В других странах
несколько иные порядки. У нас же их еще нельзя считать сложившими-
ся, хотя краткосрочные кредиты, как правило, предоставляются на срок
до года. Тем не менее заметим, что в финансовой математике в той же
Франции различают лишь краткосрочные операции - при длительности
до года, и долгосрочные - если больше. Мы придерживаемся здесь этой
точки зрения.
162
IV Погашение кредита
6. Упражнения
1. Постоянный взнос.
Инвестор желает накопить 1000 через 12 лет. Для этого планирует вкла-
дывать на счет некоторого фонда одинаковые суммы в конце каждого
года, за исключением последнего. Какой должна быть эта сумма, если
фонд ежегодно «зарабатывает» 7%, которые выплачиваются в конце.
2. Остаточная сумма в роли «полуаванса».
Предположим, что погашение заметной доли р взятой в долг суммы С
происходит по аналогии с остаточной суммой, но эта доля погашается
не в конце срока, а где-то в середине, скажем, в момент тп. Уточните,
каким частным случаем формулы (2.4) является эта ситуация, не такая
уж редкая в реальной жизни.
3. Неизвестный срок ренты. Одна из ловушек.
Сумма 25 000 была собрана в результате регулярных переводов на неко-
торый счет в банке по 1000 ежегодно, в конце, и некоторого «добавка»,
сделанного через год после последнего перевода. Определить число пере-
водов и величину добавки, если на счету действовала ежегодная ставка
8%, а добавка была меньше 1000.
4. Неизвестная ставка. Получение представления i = /(г).
Сумма 17 000 должна быть собрана за 5 лет с помощью 10 последова-
тельных выплат, направляемых на некоторый счет в конце каждого из
предстоящих полугодий. Определить необходимую для этого постоянную
ежегодную ставку № на счету с точностью до 0,01%, если первые пять
выплат будут равны 1000, а последние пять - 2000.
5. Невинная замена. Запись уравнения погашения в форме (4.1).
Определить реальную ежегодную ставку процента, соответствующую
«невинной» замене случая 3) на случай 4) в ситуации пр. 2.2 (подрасчетные
выплаты). Но сначала записать уравнение вида = R в форме (4.1).
6. Погасительный фонд.
Ссуда величины 1 выдана под ежегодную ставку процента i на п лет.
Проценты по ней выплачиваются в конце каждого из этих лет, а пога-
шение производится 1 раз, через п лет, с помощью ПФ (с ежегодной
ставкой процента j ), куда заемщик вносит регулярные взносы одновре-
менно с выплатой процентов по ссуде. Записать на произвольный момент
/, 1 < I < п, выражения для (I - разница процентов, оплачиваемых по
ссуде и начисляемых в ПФ):
1) взноса в ПФ; 2) процентов, начисляемых в ПФ за год /;
3) суммы на счету ПФ; 4) непогашенной части ссуды к концу года /;
5) величины /; 6) доли всей ссуды, погашаемой в момент I.
6 Упражнения
163
7. «Ступенчатое» начисление процентов за кредит.
В практической жизни довольно часто возникает ситуация, в которой пре-
доставленная в кредит сумма С делится на несколько частей и начисле-
ние процентов на каждую из них проводится по своей ставке. Рассмотрим
проблему определения постоянной погашающей и регулярной выплаты в
простейшем случае, когда в сумме кредита выделяются всего две части.
Предположим, что сумма С предоставлена в кредит на п периодов и
должна погашаться постоянными выплатами размера х . Допустим так-
же, что три основных элемента погашения эд, тп/, С/, как и ранее (см.
п.1), удовлетворяют соотношениям yi 4- mi = ж, mi = C/-i — Ci , но преж-
няя связь yi = iCi-i заменяется на новую
____ J Li (О-i 0—1 > L) 1 __ т-
yi - t iG-i, G-1<L, '<l<n (Co = C>L>0);
L- некоторое фиксированное число. При этом для ставок процента пе-
риода в практической жизни чаще выполняется неравенство i > j , хотя
нам этого и не надо.
1. Найти выражение для погашающей выплаты х в виде функции
х = х(у) от числа лет у «двойного» начисления процентов.
2. Указать неравенство, определяющее число лет у, в течение которых
начисление процентов будет «двойным».
3. Предложить метод последовательного поиска величины х.
8. Продолжение неклассической ситуации упр. 7.
Кредит в 3000 погашается постоянными выплатами в конце каждого ме-
сяца на протяжении года. Проценты по нему за произвольный месяц I
начисляются на часть min(1000, Q_i) непогашенного капитала Ci все-
гда по ставке 0,015 , а если остаток (C/~i —1000) положителен, то на него
по ставке 0,01. Определить размер погашающей выплаты х и построить
таблицу погашения ссуды.
9. Изменение условий погашения.
Кредит на сумму 1 предоставлен под ежегодную постоянную ставку про-
цента и погашается за счет 25 выплат одинакового размера, поступаю-
щих на счет кредитора в конце каждого из предстоящих 25 лет. Если
бы пять выплат, с 6-й по 10-ю включительно, были бы увеличены на ве-
личину Д, то ссуда была бы погашена на 5 лет раньше. Показать, что
Д = (а—। - ау-£| )/а25|«5|.
10. Тождество для непрерывных рент и его интерпретация.
1. Показать, что — 5-| =
2. Дать интерпретацию указанному равенству.
164
IV Погашение кредита
11. Неравномерное погашение.
Погашение ссуды осуществляется ежегодными взносами в конце каждого
из первых десяти лет, в классической схеме и при постоянной ставке.
1. Первый взнос состоит только из процентов, вторая выплата в два раза
больше, третья - в три и т.д. Показать, что ставка i удовлетворяет ра-
венству (/а)то|,- =
2. Первая выплата равна 10, вторая 9 и т.д., последняя - 1. Показать, что
сумма процентов из шестой выплаты составляет величину 5 —
12. Непрерывное погашение с постоянной интенсивностью.
Ссуда предоставлена на 25 лет под постоянную ставку процента i и по-
гашается непрерывно с ежегодной и постоянной интенсивностью 1. Опре-
делить суммарно начисленные проценты за 5-летний период с шестого по
десятый годы включительно и рассчитать их величину для i = 0,05.
13. Непрерывное погашение с возрастающей интенсивностью.
Ссуда предоставлена на п лет под постоянную ежегодную ставку про-
цента i с условием непрерывного погашения по классической схеме п.2.3
с интенсивностью, равной t в момент t, 0 < t < п. Определить величи-
ну C(t) суммы кредита, оставшейся непогашенной на момент t, двумя
способами (в частности, размер взятой ссуды).
14. Тождества для рент.
Показать, что если ссуда величины С погашается постоянными взносами
размера ж, то для капитала, оставшегося непогашенным на момент I,
справедливы равенства:
1) Ci = Си1 - 2) Ci = х(ащг - vnSj^, 1 < I < п.
15. «Лишние проценты».
Сумма наследства достаточна для того, чтобы при ежегодной ставке про-
цента 3,5% можно было из нее оплачивать по 10 000 в конце каждого из 10
ближайших лет, если бы она лежала на ТС с такой ставкой. Первые пять
выплат только что были сделаны. Однако сумма лежала в фонде, зараба-
тывающем 5% в год. Записать выражение для суммы «лишних» процентов,
которая скопилась на счету фонда.
16. Изменение условий кредита.
Девять лет назад одна семья взяла под залог недвижимости 80 000 на 20
лет с условием погашения ежегодными выплатами в конце всех лет по
ставке 8%. Сейчас эта семья желает немедленно оплатить 5000 и погасить
остаток задолженности за предстоящие 9 лет. Записать выражение для
нового ежегодного взноса (и найти его), если кредитор
1) согласен с 8% доходностью в прошлом, но требует 9% в будущем,
2) настаивает на 9% доходности за весь срок ссуды.
Глава V
Изменение стоимости денег
Настоящая глава - единственная в данной книге, которую можно на-
звать теоретической, поскольку большая часть собранного в ней мате-
риала «напрямую» не используется в практической жизни. Тем не менее
главная его цель - улучшить понимание читателем основных элементов
финансовой деятельности - непосредственно с ней связана.
Этих элементов или понятий не так уж и много - процессы накопле-
ния и приведения, интенсивность начисления процентов, два фундамен-
тальных принципа, используемых на протяжении всей книги, а также
уравнение равенства стоимостей, которое мы уже практически знаем и
которому фактически будут посвящены две оставшиеся главы. Однако
не менее важен и несколько иной взгляд на ставки, с которого мы и на-
чинаем изложение в п.1.
Наконец, слова «изменение стоимости денег» нередко имеют смысл пе-
реноса стоимости с одного момента времени на другой. А специальным
частным случаем такого переноса является понятие так называемого «го-
лого» права собственности. Оно практически не освящено в литературе
на русском языке. Его мы и рассмотрим в п.5.
166
V Изменение стоимости денег
1. Расширенный процесс накопления
Для того, чтобы конкретизировать ситуацию, будем считать, что когда-
то давно, в момент Ti, некто положил на ТС некоторую сумму денег.
И после этого решил не трогать свой вклад, т.е. ничего не добавлять и
не снимать, а просто проследить, как будет меняться значение остатка
на счету со временем. Конечно, можно добавить, что наблюдение, нача-
тое в момент Ti , было решено продолжить с настоящего момента 0 до
какого-то момента времени Т2 в будущем, скажем, когда имеющаяся на
счету сумма будет с него снята. Но для удобства обозначим через u(t)
и будем считать процессом накопления (ПН) не стоимость реальной сум-
мы, лежащей на счету в момент t, а ее отношение к стоимости в момент
0. Причем для определенности под «лежащей на ТС в момент Ь> будем
понимать сумму, которую в этот момент можно снять со счета.
Таким образом, фактически нас будет интересовать, как стоимость 1
денежной единицы, лежащей на этом счету сейчас, изменялась в прошлом
и будет изменяться в будущем. Конечно, понятно, что основной движу-
щей силой такого ПН является изменение ставок начисления процентов
со временем или, иными словами, интенсивность «наваривания денег на
счету». Причем говорить мы будем о результате этого «наваривания»
в условиях, когда в расчет принимались и будут приниматься события
только на этом счету, но не на других счетах этого банка или где-то еще.
Рассмотрим три подхода к определению такого ПН, и назовем его
расширенным, поскольку он отражает изменение стоимости не только в
будущем, но и в прошлом. Начнем же наше знакомство с такими общими
процессами с того, что попытаемся несколько углубить представления о
ставках, полученные ранее. Теперь они будут связываться не с различ-
ными формами оплаты вознаграждения в КО, а с вводимыми ниже ПН
на конкретном ТС.
Точнее говоря, естественно считать, что
будет накоплено на счету
процента за предстоящий БП,
ставка Л - это то, что -
дисконта было накоплено на счету
за прошедший БП,
если в данный момент на счету имеется 1 денежная единица. Иными
словами, любую ставку процента или дисконта за любой БП естественно
воспринимать как
меру относительного прироста вклада на счету за этот БП,
свою для процента и дисконта. Ну а чтобы это осознать, начнем с про-
стейшего варианта определения ПН.
1 Расширенный процесс накопления
167
1.1. Еще один взгляд на ставки
Пусть далее для определенности u(t) означает стоимость 1 денежной
единицы момента 0 в момент £, Т\ < t < Т2 . Предположим также, что
этот ПН u(t) является, вообще говоря, произвольной функцией, опреде-
ленной на интервале (Tj, Т2) и «привязанной» к точке (0, 1) , т.е.
u(t) определена при < t < Т2\ tz(O) = 1. Т\ < 0 < Т2. (1.1)
Хотя, конечно, в основном u(t) должна быть кусочно-постоянной или
монотонно возрастающей и непрерывной, с редкими скачками в обоих
направлениях. Попробуем разобраться в том, что было сказано выше
о ставках, используя некоторый конкретный вид рассматриваемого ПН
(рис. 1.1). Другими словами, попробуем дать интерпретацию рассматри-
ваемого ПН в терминах ставок выбранного БП.
Рис. 1.1. Расширенный процесс накопления и ежегодные ставки
Проверим прежде всего выполнение соотношений
1. и(п) = (1 + /1)(1 + /2) •••(! + Ai), 1 9
2. п(_п) = (1 - D.^l - D-2) • • • (1 - П_п), " “ A ’ (1.2)
в которых ставки процента Д и дисконта Dk за Аг-й год или БП
(но мы будем говорить - год) определяются из равенств
r^(fc)n = 1 + Л = T-ljp k= 1,2, , (1.3а)
u(k - 1) 1 - Dk
и(к^Р = 1 + /* = гАг’ fc = (1.3/5)
u(fc) 1 - Dk
168
V Изменение стоимости денег
При этом будем считать, что нулевого года нет, а положительные и от-
рицательные представляют собой интервалы [к - 1, к), k = 1,2,... и
[fc, к + 1), к = -1, -2,... соответственно.
Для этого нужно лишь убедиться в том, что вышеупомянутые ставки
процента и дисконта естественно определить равенствами (1.3), если
• любая ставка процента - это мера относительного прироста суммы
u(t) на счету по отношению к сумме в начале рассматриваемого года, а
• любая ставка дисконта - это мера относительного прироста суммы
u(t) на счету по отношению к сумме в конце рассматриваемого года.
В этом нетрудно убедиться. Скажем, за первый год имеем
u(l) - u(0) _ u(l) - и(0)
u(0) = D'~ „(1)
и потому действительно выполняются равенства (1.3а) при к = 1. Ну
и, кроме того, ясно, что аналогично можно убедиться в справедливости
всех остальных соотношений (1.3).
Пример 1.1
Найти ежегодную ставку процента i, постоянную в течение предсто-
ящих трех лет с одной стороны, и эквивалентную последовательности
ежегодных ставок дисконта в некотором процессе накопления с другой,
для первого года равной 8%, для второго - 7%, и для третьего - 6%.
Решение. Из (1.3а) вытекает, что
Эквивалентность же будем понимать в том смысле, что оба ПН, соот-
ветствующих данной последовательности ставок дисконта, с одной сто-
роны, и последовательности одинаковых ставок процента - с другой, за
рассматриваемый период в 3 года принесут один и тот же доход. Други-
ми словами, если из каждой денежной единицы за 3 года получится и(3)
денежных единиц. Таким образом, ставка процента i у нас определяется
из уравнения (1 + г)3 = и(3). А поскольку и(3) = (0,92 • 0,93 • 0,94)-1 =
1,2433727 , то легко получим, что i = 0,075 •
Итак, мы сформулировали первый и самый простой вариант опреде-
ления ПН как произвольной функции. Он, конечно, не позволяет загля-
нуть в суть проблемы накопления и, скажем, указать какую-либо удоб-
ную, присущую ему характеристику, однако вполне отвечает интуитив-
ным представлениям и, главное, позволяет достаточно просто начать
знакомство с еще одним взглядом на ставки. Более того, можно считать,
что мы уже коснулись всех основных его элементов, а краткое определе-
ние ставок процента и дисконта, приведенное во введении к п.1, вполне
в него вписывается.
1 Расширенный процесс накопления
169
При этом оказывается, что предстоящий год играет особую роль для
ставок процента Д , а прошлый - для ставок дисконта Dk . Дело в том,
что при и(0) = 1
• ставка процента Д есть мера относительного прироста накоплен-
ной суммы u(t) для любого года к , но только для первого (к = 1)
она представляет собой абсолютный прирост, т.е. Ц = u(l) - и(0),
и точно так же
• ставка дисконта Dk есть мера относительного прироста величины
u(t) за любой год, но только для прошлого (к=-1) она представляет
собой абсолютный прирост, т.е. D~i = u(0) - u(“l).
1.2. Интенсивность начисления процентов
Произвольная интенсивность начисления процентов является, конечно,
математической идеализацией действительности. Но она играет ключе-
вую роль в понимании и представлении ПН. Поэтому мы ее использу-
ем как стержень, вокруг которого будет «крутиться» практически все
дальнейшее изложение. Она же является основным элементом второго
подхода к определению ПН.
Начнем с того, что если ТС воспринимать как прибор для «увели-
чения количества денег», то в первую очередь нас должна интересовать
его производительность. Иными словами, интенсивность наращивания
капитала (ИНК) или, что то же самое, интенсивность начисления про-
центов (ИНП). Поэтому, если мы хотим определить самый общий про-
цесс накопления u(t) на данном счету, то следует предположить, что в
этом случае действует
произвольная интенсивность 6(t) начисления процентов,
-оо < 7\ < t < Т2 < 00.
И будем пока считать, что - некоторая неотрицательная функция
времени, для которой справедливо все нижесказанное, а Т\, - некото-
рые фиксированные числа. Поближе познакомиться с этой функцией мы
сможем позже. А сейчас лишь добавим, что функция 6(t) является ИНК
для вкладчика, т.е.
u(t) — деньги, которые принадлежат вкладчику целиком в момент t
(в том смысле, что в произвольный момент t он может их снять со счета).
Теперь можно легко вывести искомое выражение для нашего расши-
ренного ПН. Заметим, что в рассматриваемой ситуации увеличение du
капитала u(t) за время dt, т.е. проценты в количестве 6(t) dt за каждую
единицу в сумме u(t) можно записать в виде
du(t) = u(t)6(t) dt (1.4)
170
V Изменение стоимости денег
по аналогии с (П.2.11). Интегрируя далее полученное дифференциаль-
ное уравнение, скажем, действуя по аналогии с переходом от (П.2.11) к
(П.2.12) и учитывая условие (1.1), придем к основному соотношению
«(£) = ехр{ / 6(у) dy}, T1<t<T2, (1.5)
Jo
характеризующему процесс накопления на нашем счету. При этом из са-
мого вывода ясно, каким может быть самое слабое ограничение на функ-
цию 6(t). Например таким, что интеграл
t
Ку) dy
существует в том смысле, что процесс его изменения «понятен». Тогда в
роли интенсивности <£(£) могут выступать не только непрерывные или
кусочно-непрерывные функции, но и даже дельта-функции, о которых
речь пойдет ниже.
Замечание 1.1. Рассматриваюмую нами функцию u(t) называют
функцией накопления (ФН). Хотя более естественно называть ее отно-
сительной ФН, поскольку рассматривать приходится и абсолютную ФН,
определяемую равенством U(t) = Cu(t), где, например, С = €7(0). В
этом случае величину 1{п) = U(n) - U(n - 1) называют процентами,
накопленными за n-й год (не путать со ставкой процента 1п выше) •
Пример 1.2
Функция накопления некоторого фонда за этот год является полино-
мом второй степени. Вложенные в этот фонд в начале года деньги под
проценты на один год за первые полгода принесли такой же доход, как
и при ежегодной периодической ставке процента полугодового начисле-
ния 5%. Ежегодная же ставка процента в фонде равна 7%. Определить
<5(0,5).
Решение. Пусть u(t) = at2 + bt + с. Тогда u(0) = с = 1 и поскольку
г’(2) = 0,05, то и(0, 5) = 1,025. Но в то же время г = 0,07 и, следова-
тельно, и(1) = 1,07. Таким образом, имеет место система уравнений
0,25а 4- 0,5Ь = 0,025, а + b = 0,07,
и потому а = 0,04, Ь = 0,03 . Но в силу (1.5) нетрудно видеть, что
К*) =
u'(t) _ 2at + b
u(t) at2 + bt + c
И следовательно,
./Л H 0,08-0,5 4-0,03 14
<*(0,5) = ----Г hok = = °>0683 •
l,U2o 205
1 Расширенный процесс накопления
171
Конечно, в принципе ясно даже не математику, что произвольный за-
кон накопления может быть описан выражением (1.5) с начальным усло-
вием (1.1) и произвольной функцией 6(t). Поэтому ценность этой форму-
лы прежде всего в том, что функция 6(t) , как показывает вывод, имеет
в ней конкретный и простой смысл. Она является интенсивностью, или
скоростью «набегания» денег на счет (точнее говоря, денег вкладчика).
Хотя мы будем называть ее несколько иначе: ИНП.
Понятие ИНП с идейной точки зрения оказалось весьма полезным,
сделав процесс непрерывного увеличения стоимости денег очень похо-
жим на многие другие функции роста в естественных науках, в природе,
да и вообще в жизни. Скажем,
• изменение веса конкретного человека со временем, не важно от ро-
ждения до старости или в период, когда он решил перейти в другую
весовую категорию, сознательно или бессознательно,
• строительство дома, вернее, такой показатель, как сумма вложен-
ных на данный момент денег в строительство собственно корпуса,
• написание книги по финансовой математике, когда вас интересует
точное количество страниц, которое автор считает в данный момент уже
готовыми.
Допустим, если в первом примере человек захочет похудеть и сбросить
лишние 20 кг, то реальный результат этого желания может сильно зави-
сеть от многих факторов. Большими усилиями он может добиться поху-
дения и тогда можно говорить, что рост стоимости 1 денежной единицы
прекратился и перешел в падение, вызванное большой инфляцией. Но мо-
жет случиться и обратное, когда рост стоимости продолжится, причем
независимо от принимаемых жестких мер. В последнем же примере мо-
жет наступить момент, когда автору покажется, что большая часть из
написанного годится лишь «в корзину». Нетрудно заметить, что это на-
поминает ситуацию, когда большая часть всех сбережений конкретного
гражданина вдруг испаряется!
Хотя ИНП и является наиболее фундаментальной характеристикой
начисления процентов, но пока только в теории. На практике простые и
периодические ставки процента и дисконта все-таки используются зна-
чительно чаще, поскольку они более понятны для большинства людей и,
кроме того, большинство финансовых сделок относится, скорее, к дис-
кретным процессам, чем к непрерывным. Однако это не означает, что
ИНП лишена практического значения. Наряду с тем, что она является по-
лезным идейным и аналитическим инструментом, ее могут использовать
и как приближение к случаю часто начисляемых процентов (например,
ежедневно). Кроме того, последние 10-15 лет многие финансовые учре-
ждения активно начали использовать непрерывное начисление процентов
в своих операциях.
172
V Изменение стоимости денег
1.3. Принцип согласованности
Познакомимся теперь с очевидным и естественным свойством общего
ПН, которое фактически играет роль уравнения (1.4), поскольку также
позволяет записать этот процесс в виде (1.5). Соответственно получим
третий вариант определения ПН.
Предположим для этого, что некоторый расчетный счет как «прибор
для наращивания денег» заработал в момент to > 7\. Чтобы охаракте-
ризовать его работу на произвольном отрезке (£1? < ^2,
введем обозначение. Пусть 4(ti, £2) ~ коэффициент увеличения, или ро-
ста (КР) 1 денежной единицы, лежащей на счету или положенной на него
в момент ii , за период (^i, £2) • А точнее говоря, пусть A(£i, £2) есть
НЗ на момент £2 вклада в 1 денежную единицу, сделанного в момент t\ .
Другими словами КР - это отношение сумм, лежащих на счету в момент
и ii соответственно. Конечно, в том случае, если никаких посторон-
них изменений на счету за этот период не произошло, а сам он работает
как автомат.
Тогда ясно, что следующие две различные стратегии поведения одно-
го и того же инвестора в принципе должны приводить к одному и тому
же результату. Скажем, инвестор этот мог положить на счет некоторую
сумму в момент t\ и 1) держать ее там до момента to или 2) держать
ее там до момента t2, t\ < t2 < а затем снять и сразу вернуть на
тот же счет и держать до момента £3. Но каждая денежная единица в
его сумме в первом случае увеличится в A(^i, to) раз, а во втором -
в A(£i, t2) A(t2, to) раз. Поэтому должен иметь место так называемый
принцип согласованности (ПС) в простейшей форме:
A(^i, to) = A(^i, t2)A(t2, to), to < ti < t2 < to- (1.6)
Конечно, математическая индукция позволит легко вывести отсюда, что
на самом деле этот принцип имеет место в несколько более общей форме
A(h, in) = A(tb t2)A(t2, tn), (1.6a)
т.е. при любом n и любой последовательности возрастающих чисел
<i, t2,..., tn. При этом, конечно, A(t, t) = 1 при любом t > to •
Понятно, что в реальной жизни трудно ожидать выполнения этого
принципа в полном объеме, поскольку существуют комиссионные из-
держки, налогообложение и другие факторы. Более того, в некоторых
моделях капиталовложений для подобных коэффициентов роста принцип
согласованности не выполняется как бы изначально. Однако мы будем
считать его выполненным, если не оговорено противное, поскольку этот
принцип можно считать как бы отражающим суть процесса накопления,
а здесь мы прежде всего обращаем внимание на суть дела, а уж потом
на нюансы, которых так много в финансовой математике.
1 Расширенный процесс накопления
173
Пример 1.3
Предположим, что для КР при всех ti < имеет место выражение
A(<i, <2) = exp[0,05(t2 - *1)]-
Проверить, что в этом случае ПС выполняется и найти НЗ вклада
величины 600, сделанного в произвольный момент на срок 15 лет.
Решение. Проверку предоставим читателю. Искомое же значение, оче-
видно, равно
600А(0, 15) = 600ехр[0,05 • 15] = 1270,20 •
Но если ПС выполняется, то оказывается, что для КР имеет место
представление
Г^2
A(^i, t2) = ехр{ / 6(t)dt}, (1.7)
Jti
в котором
5(f) = lim (1.8)
7 д—>4-0 \ h J
и, следовательно, для процесса накопления u(t) = A(to,t) действительно
выполняется соотношение (1.5). Точнее говоря, имеет место
Теорема 1.1. Пусть функции 5(t) и u(t) непрерывны при t > to и
выполняется ПС (1-6). Тогда справедливы представления (1.7) и (1.5)
при t > to с to вместо 0 (доказательство в ПВ.4-4)-
Замечание 1.2. Итак, мы определили функцию A(ti, ^2) лишь при
ii < t2 . И поэтому вынуждены определять интенсивность 6(t) с по-
мощью правой производной в (1.8). А отсюда и необходимость пре-
одолевать некоторые технические трудности при доказательстве тео-
ремы 1.1. Однако можно было бы доопределить эту функцию, положив
А(^2, М = 1/A(^i, t2), и уйти от этих осложнений. Конечно, величину
A(t2, ti) уже следовало бы называть не КР, а коэффициентом приведе-
ния (КП), поскольку она имеет смысл вклада, который нужно положить
на счет в момент ti , чтобы можно было снять 1 в момент t2> t\ . Но об
этом мы поговорим несколько позже»
Замечание 1.3. В некоторых практических задачах возникает по-
требность рассматривать, скажем, кусочно-постоянные интенсивности.
Такие, например, как (ЦА =1, t £ A; ItA = 0, t £ А)
6(t) =0,09Zt[0, 5) + 0,08Z*[5, 10) + 0,07Л[10, оо).
В подобных и более общих случаях теорема 1.1 остается в силе. Соответ-
ствующие доказательства опираются на возможность представить такие
интенсивности в виде предела (в определенном смысле) последовательно-
сти непрерывных функций •
174
V Изменение стоимости денег
2. Эквивалентность
ставок и процессов накопления
Довольно часто возникает потребность сравнить различные ПН по их
эффективности. Ну и, конечно, такая простейшая характеристика, как
ставка, эквивалентная или соответствующая данному ПН на каком-то
интервале времени, помогает это сделать. Однако естественно поинте-
ресоваться ответом и на противоположный вопрос: а какие ПН можно
считать порождающими одну и ту же ежегодную ставку процента? В
этом пункте мы попробуем коснуться этих проблем. И начнем с понятия
ставки, соответствующей или эквивалентной данному ПН на фиксиро-
ванном промежутке времени.
2.1. Эквивалентность для одного или нескольких БП
Начнем со случая одного года, поскольку соответствующие соображе-
ния, как мы знаем, автоматически переносятся на произвольный БП, а
для определенности допустим, что первого года. Отметим, что здесь со-
вершенно очевидно, как определить ежегодную ставку - не важно какую,
- соответствующую или эквивалентную заданной ИНП 8(t) или функции
накопления u(t), 0 < t < 1. Достаточно определить сначала, например,
ставку процента г, действуя по формулам (1.3а) и (1.5):
i = u(l) - u(0) = ехр( f 6(y)dy)-l, (2.1)
Jo
а уж затем - любую из остальных ставок, используя известные связи:
6 - In (1 + г) = [ 6(у) dy,
Jo
d=l-v, г* = (1 +г)1/* - 1, dk = l-(l-d)l'k.
Конечно, все сказанное остается в силе и для любого другого БП.
Пример 2.1
Пусть ИНП 6(t) = 2/(t - 1), 2 < t < 10. Определить ставку ,
эквивалентную соответствующему ПН (1.5) для произвольного года п ,
т.е. интервала [п - 1, п) при 3 < п < 10.
Решение. В силу (1.3а) = 1 - Dn, где Dn играет роль ставки
дисконта d для года п. Но мы знаем, что 1 - d = (1 - ^)2 . Поэтому
dW = 2[1 - (^^=р!)1/2] = 2(1 - ехр(-1 Г <й)] =
у и(п) J 2 Jn-i t — 1
= 2(1-^—^ = ^-, 3 < п < 10 .
п - 1 п - 1
2 Эквивалентность ставок и ПН
175
Итак, задание ИНП или ПН u(t) на любом БП - и не важно
каком: первом, пятом или минус десятом - позволяет однозначно опре-
делить соответствующую ставку процента i, дисконта d и т.д. Столь
же просто решается и другая проблема, когда нас интересует какая-либо
средняя ставка для нескольких БП, например, периода [0, п) . Естествен-
но, в этом случае также достаточно сначала найти среднюю ставку про-
цента г на этом периоде из выражения
(1 + г)п = u(n) = ехр( f 6(y)dy), (2.1а)
Jo
а затем уже получить искомую ставку.
Пример 2.2
Ежегодная ставка сложных процентов Ik для k -го года определяется
по формуле
h = (1 + г)к(1 + г) - 1, 1 < к < п,
где г > 0, г > 0 - некоторые действительные числа. Определить
1) НЗ 1 денежной единицы момента 0 на конец года п и
2) ежегодную постоянную ставку процента j , эквивалентную
заданной последовательности ставок на интервале [0, п].
Решение. 1. Нетрудно видеть, что в силу (1.2)
п п
и(п) = [](1 4- Ik) = rj[( 1 + г)(1 + Г)*] = (1 + г)п(1 + r)n<n+1)/2.
1 1
2. Слово «эквивалентная» мы понимаем в смысле равенства соответству-
ющих ПН или относительных ФН в конечной точке рассматриваемого
интервала. Таким образом, искомая ставка j определяется из уравнения
u(n) = (1 + j)n и, следовательно, j = (1 + г)(1 + r)(n+1)/2 — 1 •
Не следует думать, что все задачи по ПН сводятся к эквивалентно-
сти ставок и ФН. Здесь мы ограничиваемся обсуждением в основном
таких задач только потому, что они составляют большую часть. Однако
в упражнениях и ниже мы все-таки даем примеры совсем другого типа.
Напоминаем, что абсолютная ФН U(t) определена в замеч.1.1.
Пример 2.3
Известно, что ФН u(t) = at2 + b. Определить НЗ на момент 10 суммы
в 100, положенной на счет в момент 5, если вклад 100, сделанный в
момент 0, привел к НЗ на момент 3, равному 172.
Решение. Нетрудно видеть, что £7(3) — 100а(3) = 100(9а + 6) = 172,
г/(0) = 6=1. Таким образом, а = 0,08 и, следовательно, искомое НЗ
есть
а(10) 9
ЮО-Лтг = 100- = 300 •
и 5 3
176
V Изменение стоимости денег
2.2. Функции накопления,
эквивалентные данной ставке
Затронем еще один вопрос из области взаимоотношений ставок и ПН или
ФН, который представляется не менее интересным. Как известно, раз-
ные банки могут предлагать разные ставки при прочих равных условиях.
Здесь все сводится к проблеме надежности этих банков, рассмотрение
которой выходит за рамки данной книги. Однако если одинаково надеж-
ные банки предлагают одинаковую ставку под вклады одного размера,
то возникает вопрос, каков диапазон ФН, которые можно назвать соот-
ветствующими или возможными при данной ставке и для определенности
на интервале [—1, 1]?
Ниже мы предлагаем вариант ответа на этот вопрос, причем сначала
сформулируем его в терминах интенсивности S(t), характеристики, за-
дающей произвольный ПН. Для этого введем два новых понятия. Сначала
определим с помощью равенства
= о<|<|<1,
• среднюю эффективность St вклада для БП (СЭВ)
на момент t снятия вклада u(f), «выросшего» из 1, при t > 0, или
на момент t вложения суммы u(t), которая перейдет в 1, при t < 0.
Иными словами, определим СЭВ как среднюю ИНП на счету
за время |£| жизни вклада в предстоящем (или прошедшем) БП.
Затем введем понятие
• обычной тактики владельца счета (ТВС), т.е. банка, состоящей в
том, что вкладчикам предлагаются схемы накопления, при которых
<$(*)> 0, 8t < <S = ln(l + i), 0 < \t\ < 1, (2.2)
где 6(t) - ИНП, a St - определенная выше СЭВ на счету вкладчика.
Обычная ТВС и выделяет ФН, соответствующие данной ставке на
данном интервале. Конечно, оба условия в (2.2) представляются есте-
ственными. Однако наряду с этой первой формой ответа на поставлен-
ный вопрос желательно предложить и его эквивалентную интерпретацию
в терминах ФН u(t). Тем более что это нетрудно.
Укажем для этого два крайних варианта ПН, соответствующие дан-
ной ставке процента i в первый год: самый выгодный и самый невы-
годный для вкладчика из всех возможных. Определим самый выгодный
вариант как такой, при котором вклад можно снимать со счета с имею-
щимися процентами в любой момент t Е [0, 1), а самый невыгодный -
при котором снимать вклад с процентами можно лишь в конце года, при
t = 1. Ясно, что эти варианты имеют следующие ФН u(t) :
1) u(t) = Uo(t) = eSt, 0 < t < 1; 2) u(t) = 1, 0 < t < 1, u(l) = 1+г. (2.3)
2 Эквивалентность ставок и ПН
177
Но если с этим согласиться, то ответ напрашивается сам собой. А имен-
но, соответствующие или возможные при данной ставке i ФН u(t) есте-
ственно определить как неубывающие и удовлетворяющие условиям:
1) u0(t) < u(t) < 1, -1 < t < 0; 2) 1 < u(t) < u0(t), 0<t<l. (2.4)
Итак, мы считаем очевидным, что возможными естественно назвать
варианты ФН, лежащие между указанными крайними и с неотрицатель-
ной интенсивностью 6(t). Кроме того, полагаем понятным, что для ин-
тервала [-1, 0] самым выгодным будет вариант ФН uo(t), а самым
невыгодным такой: если не успеваешь вложить сумму 1 - d в момент
t = -1, чтобы в момент 0 снять со счета 1, то затем при t > — 1 для
этого придется вкладывать 1. Ну и, конечно, мы сразу отбросили вари-
ант, в котором соответствующими u(t) называются произвольные ФН,
скажем, с u(l) = 1 + г.
Рис. 2.1. Канонический процесс накопления и ставки
Иными словами, если ставки d, 6 эквивалентны данной ставке про-
цента г, то соответствующими этой ставке ФН на [-1, 1] предлагается
считать неубывающие функции из двух криволинейных прямоугольни-
ков с пунктирными единичными катетами, лежащими на прямой у = 1,
и другими катетами, равными i и d соответственно, а также гипотену-
зами, лежащими на кривой Q : у = uo(t), которую мы назвали канони-
ческим процессом накопления (рис. 2.1). При этом доказать, что таким
образом определенные ФН из (2.4) удовлетворяют условиям (2.2) не пред-
ставляет труда.
В самом деле, для этого нам нужно фактически лишь проверить, что
из условия
St = 7 [ S(y)dy<6, -1 < t < 1,
1 Jo
вытекают неравенства (2.4) между и и uq . Но это очевидно так же, как
и то, что неравенства между и и 1 вытекают из условия 5(t) > 0.
178
V Изменение стоимости денег
Пример 2.4
Проценты в фонде начисляются по схеме простых процентов с еже-
годной ставкой I = 4%. Определить 1} при каких ставках i слож-
ных процентов такая схема начисления является обычной ТВС и 2) на
каком интервале (О, Г) данная ставка I эквивалентна ежегодной и
постоянной ставке сложных процентов i = 3% .
Решение. Функция накопления, отвечающая схеме простых процентов
на интервале (О, Т), определяется равенством uj(t) = 1 + It, t > 0.
1. В силу (2.4) следует определить минимальную ставку i, для которой
uj(t) < ЗД(О> 0 < t < Т,
где 6 = In(1 + г). Иными словами, определить такую ставку г, при кото-
рой прямая у = 1 + It на плоскости (t, у) находится ниже экспоненты
у = e&t при всех t > 0 (рис. 2.1). Но для этого достаточно, чтобы
г/ДО) = I < 6 = 'Uq(O) = 1п(1 + г)> те- г > - 1 = е0,04 - 1 = 0,0408.
2. Поскольку соответствующие ФН должны быть равны в точке t = Т,
приходим к уравнению: 1 + IT = eST или Т1п(1 + г) = ln(l + IT). Решая
его методом подбора, получаем вилку:
Т = 19 : 19 In 1,03 = 19 -0,0296 = 0,5624 < In 1,76 = 0,5653,
Т = 20 : 20-0,0296 = 0, 5920 > In 1,80 = 0,5878.
Используя линейную интерполяцию, заключаем, что Т = 19,5 •
Разобранный пример подчеркнул, что процессы накопления в схеме
простых процентов являются полноправными членами общих процессов
накопления (1.5). Но их мы обсудим в следующем пункте. А сейчас заме-
тим, что рассмотренная выше ситуация без труда обобщается на другие
интервалы и любые ставки. Так, если нас интересует прежний интервал и
на нем действует периодическая ставка процента № , то меняется лишь
один момент: самый плохой вариант ФН для вкладчика. А именно, ранее
эта ФН была почти постоянной с двумя отдельными точками, поскольку
u(t) = 1, |t| < 1, и(—1) = 1 — d, u(l) = 1 + г (половинаее указана в (2.3)).
Теперь же мы имеем кусочно-постоянную функцию с тремя ступеньками
и двумя отдельными точками (см. рис. 2.1; ЦА определена на с.173):
и2(0 = (1-<Ш(~1, -1/2] + Л(-1/2, 1/2) + (1 + г2)Л[1/2, 1),
u2(-l) = 1 - d, u2(l) = 1 + г.
Что же касается соответствующих данной ставке № ФН u(t), то легко
понять, что они, как и ранее, не убывают, но на этот раз принадлежат
четырем криволинейным треугольникам (в частности и Кз) или,
что то же самое, удовлетворяют неравенствам
1) ^о(0 < u(£) < u2(t), -1 < t < 0; 2) u2(t) < u(t) < u0(t), 0 < t < 1.
3 Простые проценты и простой дисконт
179
3. Простые проценты и простой дисконт
Общая схема накопления (1.5), которую мы сейчас рассматриваем,
включает в себя как частные случаи не только сложные, но и простые
проценты, в чем мы только что убедились, рассматривая прим.2.4. Но ли-
нейным начисление процентов может быть не только за предстоящий БП,
когда возникает ставка процента, но и за прошедший БП, когда прирост
вклада естественно назвать дисконтом. Попр<}буем уточнить здесь неко-
торые детали, прежде всего связанные с дисконтом, как с более сложным
понятием, а также проведем напрашивающиеся сравнения.
3.1. Простые и сложные проценты
Нетрудно видеть, что если
W = 7Т77’ 0 < < < 1 < (3-1)
1 + гъ
то формула (1.5) на отрезке [0, 1] переходит в соотношение
u(t) = l + it, 0<£<1. (3.2)
Таким образом, интенсивность (3.1) характеризует именно случай про-
стых процентов с ежегодной ставкой процента i. Другими словами, эта
функция выделяет класс простых процентов среди всех возможных про-
цессов накопления (1.5).
Попытаемся теперь сравнить два процесса накопления: по схеме на-
числения простых процентов с ежегодной ставкой i и по схеме сложных
с постоянной интенсивностью 6(t) = 6 , эквивалентной ежегодной ставке
процента i. Другими словами, попробуем сравнить два эквивалентных
процесса накопления на первом году «их жизни».
Рис. 3.1. Сравнение схем накопления в простых и сложных процентах
180
V Изменение стоимости денег
На рис. 3.1 хорошо видно, что функция у = 1 + it на интервале [0, 1]
выше функции у = (1+г)*; в упр. 5 предлагается подтвердить этот вывод
и математически. Это означает, что схема накопления простых процен-
тов более выгодна кредитору на интервале их обычного использования.
Причем самая выгодная в определенном смысле точка БП - примерно его
середина.
Пример 3.1
Записать выражение для точки to = £q(i) БП, в которой разница двух
процессов накопления рис. 3.1 принимает максимальное значение. Пока-
зать, что при малых i величина to примерно равна 1/2 и определить
*о(0,1).
Решение. 1. Точка, в которой величина 1 + it — (1 + г)* принимает
максимальное значение, является решением уравнения (1-Н)* In(1 + г) = i.
Поэтому tQ = [In (г/<5)]/<5.
2. Используя известное соотношение In(1 + х) ~ х, х -> 0 и (II.2.17),
получаем, что
, 1 г— 6 г - 6 1
t0--ln(l + ——г —> 0.
3. В ПД.1 находим, что в нашем случае 6 = 0,09531, а следовательно,
*o(0,1) = In(0,1/0,09531)/0,09531 = In(1,04920)/0,09531 = 0,5036 •
Рис. 3.1 (слева) наглядно объясняет отмеченный выше факт, что
функция у = 1 + it на интервале (0, 1) выше функции у = (1 + г)*
и, следовательно, более выгодна кредитору: в начале интервала (0, 1)
интенсивность (3.1) выше постоянной интенсивности у = 6, а к концу
его ситуация меняется на противоположную. Отмеченное обстоятельство
как раз и указывает на ту реальную силу, которая в практической жизни
ограничивает интервал использования простых процентов одним годом.
К сказанному уместно добавить, что для финансовых операций с дли-
тельностью год и более практически 100%-ным является использование
сложных процентов. Но бывает, конечно, когда их используют и при сдел-
ках на срок меньше года. Простые же проценты, как мы отметили толь-
ко что, часто используются в краткосрочных операциях, т.е. длитель-
ностью меньше года. Однако у них есть и другая сфера применений,
поскольку при использовании периодических ставок в финансовых опе-
рациях дробной длительности (относительно рассматриваемого периода)
формула сложных процентов не дает удовлетворительного описания из-
менения стоимости денежной единицы в зависимости от времени. Соот-
ветственно возникает необходимость упрощающего приближения и здесь
чаще прибегают именно к простым процентам.
3 Простые проценты и простой дисконт
181
3.2. Простой дисконт
Итак, что же такое простой дисконт? По аналогии с формулой (3.2) про-
стых процентов естественно определить его по формуле
v(t) = 1 - dt, 0 < t < 1, (3.3)
понимая под v(t) отношение суммы, получаемой заемщиком в момент
О, ко всей сумме кредита, возвращаемой через некоторое время t. Та-
ким образом, чем позже возвращается кредит, тем меньше получаемая
сумма. Но можно представить дело и иначе. Если считать, что кредит
возвращается в момент 0 , а берется в момент t < 0 , то получается, что,
используя равенство u(t) = v(—t), мы можем ту же получаемую долю
кредита записать в виде (рис. 3.2)
u(t) = l + dt, -1<£<0. (3.3а)
А, следовательно, и представить не только ПП, но и простой дисконт
(ПД) как частный случай расширенного процесса накопления (1.5).
Рис. 3.2. Простые проценты и простой дисконт
Кстати, на рис. 3.2 представлены эквивалентные ПП и ПД, т.е. со
ставками d, i, удовлетворяющими соотношению
1 - d = v =
1
г+т
(3-4)
поскольку оно означает равенство мер относительного приращения про-
цесса (1.5) в соответствующих интервалах. Таким образом, получается,
что в простых процентах и дисконте эквивалентность определяется тем
же соотношением, что и в сложных. Но следует иметь в виду, что в ре-
альной жизни под словами «проценты» и «дисконт» может пониматься не
182
V Изменение стоимости денег
только соответствующая ставка в простом и сложном вариантах, но и
абсолютная величина вознаграждения.
Пример 3.2
Если бы кредитор захотел получить по данной в долг на 1 год сумме
х проценты, то он получил бы 336, а если дисконт (т.е, оплату ссуды
при ее получении) - то 300. Определить величину х .
Решение. Система уравнений xd = 300, xi = 336 не зависит от то-
го, простые или сложные проценты имеются в виду. В любом случае,
используя (3.4), получаем, что i = 0,12, х — 2800 •
3.3. Простой и сложный дисконт
Перейдем теперь к тому, что (как и ранее с простыми процентами) попы-
таемся сравнить два процесса накопления: по схеме начисления простого
дисконта с ежегодной ставкой d и по схеме сложного с постоянной ин-
тенсивностью 6(t) = 6, эквивалентной этой ежегодной ставке дисконта
d. Нетрудно видеть, что тогда u(t) из (1.5) будет совпадать с u(t) из
(3.3а) при
= (3.5)
1 + at
Рис. 3.3. Сравнение схем накопления в простом и сложном дисконте
В то же время на рис. 3.3 (справа) видно, что функция у = 1 + dt на
интервале (—1, 0) выше функции у = (1 + г)\ причем слева этот факт
наглядно объясняется. Таким образом, как и в случае простых процентов
становится понятно, почему интервал использования простого дисконта
в практической жизни 'также ограничивается одним годом.
Однако эквивалентным простой и сложный дисконт (а также про-
стые и сложные проценты) может быть не только на БП. Рассмотрим
соответствующий пример.
3 Простые проценты и простой дисконт
183
Пример 3.3. Коммерческий дисконт
В краткосрочных операциях кредиторы используют так называемую
ежегодную ставку коммерческого дисконта D, 0 < D < 1. Это озна-
чает, что в обмен на обещание выплатить сумму х через некоторое
время t, 0 < t < 1, заемщику выдается сумма ж(1 - Dt),
Вывести выражение для ежегодной ставки d сложного дисконта,
эквивалентной ставке D в указанной сделке. И показать, что эта
величина возрастает по t на интервале 0 < t < 1.
Решение. Как и ранее, будем считать ставки эквивалентными, если
соответствующие процессы накопления типа (1.5) имеют одинаковое при-
ращение на рассматриваемом интервале. Иными словами, если (в отличие
от рис. 3.4, здесь t > 0)
Рис. 3.4. Коммерческий дисконт
В самом деле, теперь мы сравниваем (рис. 3.4) простой дисконт с другой
ставкой (D) и сложный с прежней d, эквивалентной i (т.е. 1 - d = v)
на части (i, 0) интервала (-1, 0) . Поэтому сначала получаем равен-
ство 1 + Dt = (1 + i)\ а затем уже отсюда приходим к (3.6), заменяя
отрицательное t на положительное.
1. В силу (3.6) искомая формула имеет вид: d = 1 - (1 - Dt)1^.
2. Также из (3.6) вытекает, что Hn(l - d) = In(1 - Dt) = -Dt - {Dt)2/2 -
{Dt)3/3 - • ••, если воспользоваться разложением логарифма в ряд. И,
следовательно,
In(1 - d) = -D - D2t/2 - D3t2/3---.
Поэтому In (1 - d) как функция t убывает, a d - возрастает •
И, наконец, еще один момент. При первом же взгляде на рис. 3.1 и 3.3
возникает вопрос: является ли внешнее сходство ИНП в этих ситуациях
случайным или соответствующие функции 6{t) действительно совпада-
ют с точностью до сдвига? Оказывается, что верно именно второе. Точ-
нее говоря, если функции (3.1) и (3.5) обозначить соответственно через
184
V Изменение стоимости денег
8d(t), то
i d
5,(1 + t)= = —— = 6d(t), -l<i<0,
1 + + t) 1 + dt
поскольку d = 1 - v = i/(l + г), то i - d = di и, следовательно,
г(1 + dt) = i + idt = d+ di + idt = d[l + i(l + t)].
Но такой ответ ставит другой вопрос: а почему интенсивность начисле-
ния дисконта (ИНД) в простом дисконте не симметрична ИНП в эквива-
лентных простых процентах? Хотя интуиция подсказывает, что симме-
трия должна быть. И она не подводит. Эти интенсивности действительно
можно сделать симметричными. Но для этого нужно перейти от левого
крыла расширенного ПН к так называемому процессу приведения (ПП),
который мы проанализируем в следующем пункте.
В самом деле, если рассмотреть процесс (см. рис. 4.1)
v(t) = ехр(— [ 6(y)dy), (3.7)
Jo
то нетрудно увидеть следующее. С одной стороны, интенсивность
<Ф) = 0 < t < 1, (3.8)
1 — at
превращает процесс (3.7) в (3.3). А с другой - очевидно, что она сим-
метрична функции (3.1) относительно вертикальной прямой t = 1/2 на
плоскости (t, у), поскольку
d _ d _ i о<£<1
1 — </(1 — t) v + dt 1 + it' ~ ~ '
Процесс (3.7) как раз и называется ПП. Хотя он и теоретический, но
играет очень важную роль для понимания многих финансовых вопросов.
Замечание 3.1. Конечно, ясно, что в силу (1.5) интенсивность
*<')=р-9>
(и называть ее естественно ИНП при t > 0 или интенсивность начи-
сления дисконта при t < 0). Однако формула (3.9) напрашивается и по
бытовым соображениям. В самом деле, с одной стороны, ИНП должна
быть пропорциональной скорости изменения капитала u'(t) на счету.
Но с другой - если вы вкладываете 200 или 100 на одинаковых условиях,
то это не должно влиять на интенсивность. И потому следует говорить
о скорости изменения капитала по отношению к его единице»
4 Накопление и приведение
185
4. Накопление и приведение
Модель расширенного процесса накопления исполняет три функции. Во-
первых, дает связную картину процессов накопления из реальной жизни с
учетом не только будущего, но и прошлого. Во-вторых, позволяет проти-
вопоставить начисление процентов и дисконта. Ну а в-третьих, содержит
в себе не только обычные процессы накопления, которые отражают лишь
будущее, но и обычные процессы приведения. Причем последние играют
в финансовой деятельности, может быть, даже большую роль.
4.1. Обычный процесс накопления
Именно так естественно назвать процесс
u(t) = ехр{ [ 5(у) dy}, 0<t < Т2, (4.1)
Jo
т.е. правую половину процесса (1.5). Но что же мы знаем о нем, кро-
ме того, что он представляет самую общую модель изменения стоимости
1 денежной единицы со временем? Попробуем заглянуть, скажем, в Сбер-
банк России и посмотреть, какие интенсивности представляют там кон-
кретные типы вкладов. Однако прежде введем понятие дельта-функции
- t0) :
эта функция равна нулю всюду, кроме одной точки to ,
в ней она равна бесконечности, и
обладает интегралом, равным единице, а точнее говоря,
fb
/ Д(£ — to) dt = 1 при любых а < to, b > to.
J а
Как мы знаем, снимать деньги со счета обычно можно в любой мо-
мент t рассматриваемого БП, но только без процентов, если t < 1. По-
знакомимся с тем, какая ИНП 6(t) возникает в подобной ситуации.
Пример 4.1. Номерной вклад
На этом депозите проценты причисляются к сумме вклада ежемесяч-
но. И действует ежегодная ставка процента г’(12) = 44,4. В случае
закрытия счета до истечения одного месяца со дня его открытия до-
ход не выплачивается. Предположим, что клиент при открытии счета
был почти уверен, что ему придется снять деньги не позже, чем через
месяц. В какой ИНП 6(t) он был тогда практически уверен?
Решение. Возьмем за БП 1 месяц и пусть г = ii2 = 3,7%. Тогда ясно,
что искомая ИНП 6(t) является дельта-функцией, связанной с Д(£ - 1).
А точнее говоря,
5(0 = 5Д(£ - 1), 0 < t < 1 (5 = In 1,037 = 0,0363).
186
V Изменение стоимости денег
В самом деле, в этом случае u(t) = 1, t < 1, u(l) = 1 +' i. Поэтому
функция 5(f) из (4.1) должна быть такой, что
Л . f о, 0 < t < 1,
Если же проценты этого года все-таки можно забирать вместе с день-
гами и по-прежнему в любой момент t, но при t < 1 начисляться они
будут по более низкой ставке г’о < i простых процентов, то опять придем
к сингулярной функции. Теперь, действуя по аналогии, получим
<5(t) =-^—+ (<5 - 60)Д(< - 1), 0<< < 1 (<5о = 1п(14-го)), (4.2)
1 4- Zql
поскольку должно быть
ЛХ/ , , _ / 1п(1 + го0, 0 < t < 1,
/о 6^dy~ 1 1п(1 + г0) 4-(<5 - <*0) = <*, t=l-
Именно такая ИНП возникает в следующем примере. Но обращаем вни-
мание читателя на то, что здесь, в конкретной ситуации, очень хорошо
видно: значения функции можно произвольно менять на множестве
меры Лебега 0, скажем, в конечном числе точек, и при этом ФН u(t)
останется прежней, ведь значение интеграла f6(y)dy от этого не из-
менится. Поэтому мы будем выбирать вариант записи, исходя из общих
соображений. Отметим также, что это один из факторов, из-за которого
об интенсивности предпочитают лишь говорить, на практике же обычно
используют ФН.
Пример 4.2. Срочный вклад в долларах США
Клиент Сбербанка внес минимальную сумму в 1000 на этот вклад с
ежемесячным начислением процентов по ежегодной ставке процента
г(12) = 3, 6% . И затем закрыл его через 2,5 месяца. Определить
1) полученную им сумму в предположении, что за неполную часть тре-
тьего месяца проценты начисляются по ежегодной ставке Iq = 2%
простых процентов, а также
2) ИНП 6(t) этой операции в интервале от одного до трех месяцев
(клиент интересуется этим периодом, поскольку собирается снять
свои деньги именно в течение этого промежутка времени);
3) выяснить, можно ли считать условия этого вклада обычной ТВС
(см. п.2.2).
Решение. 1. Выберем за БП опять 1 месяц. Тогда i = г’12 = 0,3% и
мы имеем
1000(1 + г) 2[1 + ^го] = 1000(1,003)2[1,000833] = 1006,85.
2. Если за БП взять 1 месяц, то на интервале [1, 3] будем иметь
(г0 = 70/12 = 0,00167, г = 0,003 )
4 Накопление и приведение
187
u(t) = = <
u(l)[l + i0(*- 1)], 1 < t < 2,
u(l)(l + i), t = 2,
w(l)(l + t)[l + i0(*-2)], 2 < t < 3,
u(l)(l + i)2, f = 3.
Поэтому, рассматривая далее сначала интервал [1, 2), а затем [2, 3),
убеждаемся в том, что искомую интенсивность можно записать в виде
(<50 = 1п(1 + г'о), 6 = In 1,003)
2) + 1+Л 9 Л2’ 3) + " 2) +
1 + - 1) 1 + Zo[t - 2)
+(<5 - (So)- з)], 1 < t < 3, где ItA = 1, t € A, ItA = 0, t $ А.
3. Как следует из прим. 2.4, ТВС можно назвать обычной, если став-
ка ?о простых процентов не больше ставки 6, эквивалентной ставке г
сложных процентов. Возьмем за БП год. Тогда искомое условие имеет
вид /0 = 0,02 < <5 = 121п(1,003) = 0,036. Очевидно, оно выполняется, и,
следовательно, ТВС является обычной •
В рассмотренных выше примерах ИНП определить несложно. И она
действительно характеризовала производительность ТС, хотя ее исполь-
зованию и мешала неоднозначность определения. Конечно, напрашивался
простой вывод: об интенсивностях желательно знать для лучшего пони-
мания ПН, однако из практических соображений проще ограничиться
использованием ФН. И, в частности, потому, что пока до них (ИНП)
добраться непросто.
Дело здесь в следующем. Понятно, что ставки начисления процен-
тов (или дисконта) - это основной элемент, определющий ИНП. Но ясно
также, что есть и другие элементы, оказывающие на нее свое влияние.
Например, если на данном вкладе за данный месяц не было расходно-
приходных операций, то начисление процентов за этот месяц будет про-
ходить по ставке i сложных процентов месяца. Но если они были, то, как
правило, возникает ставка простых процентов и выбираться она может
равной или меньше основной месячной ставки i. Поэтому, чтобы выйти
на ИНП, требуются соответствующие уточнения, а их-то и трудно полу-
чить. По крайней мере, пока это трудно сделать в филиалах Сбербанка.
Замечание 4.1. Случай, когда ставка г’о простых процентов рав-
на ставке г сложных, как это иногда бывает, имеет особенность. Не-
трудно показать, что использование простых процентов для дробной
части периода эквивалентно линейной интерполяции между двумя НЗ
u(l - 1) = (1 + г)*”1, u(l) = (1 + г)1, если момент t окончания операции
приходится на /-й период. В самом деле, в этом случае НЗ 1 денежной
единицы за* время t = I — 1 + х можно записать в виде (0 < х < 1)
(1 -ьг)/-1(1 + xi) = (l + t),-1[l-a: + a:(l + :)] = (1 -х)(1 + г)/-1 + г(1 + г)' •
188
V Изменение стоимости денег
4.2. Общий процесс приведения
Как и процесс накопления (4.1), рассматриваемый здесь процесс (3.7)
является не только самым общим, но и каноническим. Иными словами,
характеризует изменение стоимости 1 денежной единицы во времени.
Выскажем несколько точек зрения на этот процесс и познакомимся с
ним поближе на примерах.
Во-первых, нетрудно видеть, что ПН (4.1) фактически дает ответ
на вопрос:
в какую сумму u(t) через некоторое время t > 0 превратится
1 денежная единица, лежащая на счету в момент О?
Однако вкладчика чаще интересует другой, «симметричный» вопрос:
какую сумму и(£) следует положить на счет сейчас,
т.е. в момент 0, чтобы через некоторое время t > О
она превратилась в 1 денежную единицу?
Конечно, в предположении, что на счету по-прежнему действует ИНП
6(t). Введенное выше понятие КР позволяет отвечать на подобные во-
просы сразу и даже в более общем случае. А именно, что любому КР
А(£1, ^) можно и естественно поставить в соответствие коэффициент
приведения (КП) , поскольку это и есть сумма, которая должна
лежать на счету в момент ti , чтобы в момент на нем была 1 денежная
единица. Но u(t) = А(0, t). Поэтому ясно, в частности, что v(t) = l/u(£)
и,следовательно,
v(t) = exp{-[ 6(y)dy}, t > 0. (4.4)
Jo
Итак, можно говорить, что
v(t) - это сумма на счету, которая спустя время t превратится
в 1 денежную единицу.
Во-вторых, ясно, что процесс (4.4) фактически представляет собой
левое крыло расширенного ПН. Точнее говоря, является его отражением
относительно прямой i = 0 на плоскости (i, у) значений этого процесса,
т. е. v(t) = t > 0. В самом деле, если S(t) = <$(-£), то
\nv(t) = -f 6(y)dy=-[ 6(-y)dy= f 6(y)dy = \nu(-t), t > 0.
Jo Jo Jo
И все же для нас функция (4.4) прежде всего осуществляет
перенос стоимости любой суммы на рассматриваемом счету
на t лет назад - с момента t > 0 на момент 0.
4 Накопление и приведение
189
Соответственно ее естественно назвать процессом приведения (ПП), по-
скольку, хотя она и дает стоимость 1 денежной единицы момента t, но
с ее помощью легко указать стоимость любой конкретной суммы этого
момента в момент 0. Главное здесь в том, что стоимость любой конкрет-
ной суммы, но отнесенной к одному фиксированному моменту в буду-
щем, переносится назад на t лет. Ну а поскольку делается это на счету
с произвольной ИНП <$(£), то это самый общий способ переноса такой
стоимости.
Но говорить об этом переносе мы можем и несколько иначе: величина
v(i) имеет смысл относительного уменьшения стоимости вклада
на рассматриваемом счету за время t,
отсчитанное в обратном направлении,
понимая, что это не только самый общий, но и самый простой вариант
переноса стоимости. Правда, в реальной жизни обычно рассматриваются
более сложные ситуации, когда требуется определить стоимость потока
платежей, т.е. нескольких сумм, отнесенных к разным моментам време-
ни, на какой-то момент в прошлом или будущем. Но об этом в следующем
пункте. А сейчас перейдем к рассмотрению частных случаев нашего ПП.
Рис. 4.1. Сравнение простой и сложной схем приведения
Наиболее широко используемым является, конечно, вариант постоян-
ной интенсивности, когда 6(t) = 6, t > 0. В нем мы имеем
v(t) = v*, t > 0, (4.5)
где v = (l-H)”1 = Значения этой функции v(t) приводятся в прило-
жениях ко многим книгам. В ПД.1 они даются для 42 различных значений
ставок процента i и 50 целых значений t (в 36 случаях). Кроме того,
возможно, именно сейчас уместно несколько иначе, чем ранее в п.3.3,
представить связь простого и сложного дисконта (рис. 4.1), поскольку
сложный дисконт записывается с помощью функции (4.5).
190
V Изменение стоимости денег
Но нередко используются и кусочно-постоянные интенсивности.
Пример 4.3
Найти функцию v(t) для интенсивности 6(t) из замечания 1.3.
Решение. Интеграл jJ<J(y)dy, очевидно, непрерывен и линеен на ин-
тервалах постоянства интенсивности. Используя это, без труда получа-
ем, что
{ехр(-0,09£), 0 < t < 5,
ехр(-0,05 - 0,08£), 5 < t < 10,
ехр(-0,15 - 0,07£), t > 10 •
Весьма известен и случай неравномерной интенсивности, в котором
она записывается в виде
g
= Р + , , rpSt • (4-6)
1 + resl
Выражение это называется формулой Студли. Нетрудно показать, что
она описывает ПП, который является средневзвешенным двух ПП с по-
стоянной, но разной интенсивностью. Точнее говоря, имеет место равен-
ство
v(0 = TT7U1W + (4-7)
1 + Г 1 + г
где vi(t) = exp(-(p + s)t), v2(t) = exp(-pZ).
В самом деле, из (4.6) вытекает, что
v(t) = ехр{— <5(у) dy} = ехр{— (р + =
nrsesy \
p + s- ГТ—т) dy} = exp{-(p + s)£ + [In (1 + resy)]0} =
1 + res* J
1 + rest , , . , 1 ./„..и r _nt
——— exp{-(p + s)t) = ———e (p+’ +гТТе •
1 + r 1 + r 1 + r
Формула Студли часто используется страховыми компаниями для
оценки стоимости рент, различных контрактов и т.д.
Пример 4.4
Найти функцию v(t) и значение v(10) , т.е. ПЗ 1 денежной единицы
момента t = 10 на момент 0, если ИНП задается формулой (4-6) с
р = 0,076961, г = 0,5, s = 0,121890.
Решение. Используя уравнение (4.7), получаем
2 1
v(t) = - ехр[—(0,076961 + 0,121890)4] + - ехр(-0,07696И) =
о о
|(1,22)-‘ + |(1,08)-(.
и о
4 Накопление и приведение
191
Отсюда искомое ПЗ 1 денежной единицы есть
о 1
v(10) = -(1,22)-10 + -(1,08)-10 = 0,24566 •
О о
Рассмотрим далее еще один экспоненциальный вариант ИНП. Но за-
тронем в нем несколько более сложные задачи, не забывая, как и выше,
что v(t) - это относительное уменьшение стоимости вклада, если «огля-
дываться назад».
Пример 4.5
Предположим, что на счету действует ИНП 6(t) = ae~bt, t > 0. И
допустим, что один вкладчик через год вносит на свой счет по 1000
четыре раза подряд, начиная с конца первого года.
1) Найти функцию v(t). Предполагая, что <$(0) = 0,1 = 25(10),
2) определить ПЗ всех четырех выплат, т.е. стоимость этого ДП
на момент 0, а также
3) выяснить, при какой постоянной ИНП у этого ДП будет то же ПЗ.
Решение. 1. По формуле (4.4)
rt г а 1
v(t) = ехр{- / ae~by dy} = exp --(1 - e~bt) .
Jo I а J
2. Поскольку a = 0,1, e“106 = 0,5, то b = 0,069315, и, следовательно,
полагая ПЗ V всех выплат равным сумме ПЗ каждой выплаты, получаем
V = 1000[v(l) + v(2) + v(3) + v(4)] = 3205,43.
3. Искомую постоянную ИНП 6 естественно определить из уравнения
1000[е"г 4- e~2S + e~3S 4- e"4i] = 3205,43, (4.8)
аналогичного вышеприведенному. Решению подобных уравнений в даль-
нейшем мы уделим большое внимание, и не только в ПБ. А пока отметим
следующее. В принципе можно использовать формулы для корней алге-
браического уравнения 4 степени. Однако считается, что проще исполь-
зовать какой-либо из методов приближенного решения этого уравнения.
Но в таком случае потребуется так называемое первое приближение х .
Читателю предлагается объяснить, почему это приближение может быть
найдено, например, из уравнения
4000 ехр(—5х/2) = 3205,43. (4.9)
В результате сначала получим, что х = 0,08865, поскольку
= In 1,24788 = 0,2216. А затем уточним его: 6 = 0,09063 •
192
V Изменение стоимости денег
4.3. Фундаментальные принципы
Только что рассмотренный пример заставляет специально подчеркнуть
один важный момент. А именно то, что в нем мы использовали сразу
два фундаментальных принципа теории сложных процентов. Или, дру-
гими словами, в очередной раз опирались на две аксиомы финансовой
математики. Первый из них можно назвать
I. Принцип переноса стоимости (ППС),
или эквивалентности двух сумм, относящихся к разным
моментам времени.
И состоит он в том, что
стоимость определенной суммы денег на произвольный, но
фиксированный момент времени зависит от того, сколько времени
1) прошло с тех пор, как эта сумма была выплачена, или
2) пройдет до того, как она будет выплачена,
а также рассматриваемой ИНП за это время или ставки на ТС.
Этот фундаментальный принцип мы уже не раз использовали в кон-
кретных примерах и упражнениях. Именно он обычно и ассоциируется
с нашим представлением о том, что «время - деньги». Представляется,
что сейчас настало время высказаться о нем в общей форме. А одновре-
менно напомним читателю об осторожном отношении к любым «финан-
совым» утверждениям. Так, против любого принципа можно выдвинуть
ему обратный. Например, «время убивает деньги» - этот принцип будет
связан уже не с начислением процентов, а с понижением покупательной
способности денег из-за инфляции, разговор о которой пойдет ниже, в
гл. VI и УП.
Ну а второй принцип состоит в том, что
стоимость денежного потока
(нескольких денежных сумм, отнесенных к разным моментам времени)
на любой момент времени полагается равной сумме стоимостей
отдельных денежных сумм на этот же момент времени.
И потому его естественно назвать
П. Аддитивное свойство стоимости (АСС).
Этому принципу легко придать и более общую форму, связанную с
тем, что представление ДП может быть несколько иным (см. гл. VI). Од-
нако суть его от этого не изменится: наряду с суммой конечного числа
элементов ДП будет учитываться и сумма бесконечного числа этих эле-
ментов. Ведь от этого она не перестанет быть суммой. Следствием же
этих двух принципов как раз и является так называемое УРС.
4 Накопление и приведение 193
4.4. Уравнение равенства стоимостей
Наряду с только что упомянутыми фундаментальными принципами мы
неоднократно использовали и еще одно важное понятие или инструмент
финансовой математики. Правда, называли его по-разному: уравнени-
ем погашения, равенством ПЗ обязательств двух сторон (в финансовой
сделке), уравнением реальной ставки (п.5 этой главы) и т.д. Хотя всегда
его можно было называть (и мы предлагаем это делать в дальнейшем)
уравнением равенства стоимостей (УРС).
Нетрудно видеть, что именно благодаря вышеуказанным принципам
для сравнения двух или более денежных сумм, относящихся к разным мо-
ментам времени, достаточно привести их к общей дате. Иными словами,
для каждой денежной суммы следует найти ее ПЗ (т.е. дисконтировать
или определить ее НЗ; напоминаем, что НЗ является частным случаем
ПЗ). Эта общая дата называется датой сравнения, а уравнение, содержа-
щее ПЗ всех денежных сумм называется УРС Ч Поговорим о нюансах,
связанных с этим уравнением. Для этого потребуется
конкретная ситуация,
которая поможет нам лучше представлять тему разговора. И в качестве
таковой рассмотрим следующую задачу довольно общего, весьма распро-
страненного типа.
Пример 4.6
В обмен на возможность снять со своего счета 600 через 8 лет вклад-
чик согласился внести на него сразу 100, через 5 лет 200 и через 10 лет
еще некоторую сумму х . Определить х, если на счету все это время
действует ежегодная номинальная ставка процента № = 8%.
Решение. В рассматриваемой финансовой операции есть две стороны:
владелец счета (например, строительная организация, фонд или банк) и
вкладчик. Начнем с того, что представим на диаграмме ДП, поступаю-
щие от обеих сторон на счет и приравняем их стоимость на момент 0. Для
чего выберем полгода в качестве БП (поскольку проценты начисляются
раз в полгода) и положим г = г2 = 0,04, v = vo,o4 •
600
<---------L
5
Рис. 4.2. Временная диаграмма ДП с точки зрения вкладчика
1 Англ.: equation of value.
194
V Изменение стоимости денег
100 + 2ООи10 + хи20 = 600и16. ' (4.11а)
Ответ получается без труда, если воспользоваться таблицами ПД.1:
600и16 - 100 - 2ООи10 600 • 0,53391 - 100 - 200 • 0,67556 , о/>
* = ------------------- = -----------О^ЙЙ----------------- = 186> 76 "
Дата сравнения и независимость решения У PC от нее
Конечно, вместо момента 0 в качестве даты сравнения мы могли бы вы-
брать любой другой момент. И соответственно получили бы другое УРС.
Так, если датой сравнения считать момент окончания сделки t = 10, то
будем иметь
100(1,04)2О + 200(1,04)1О + х = 600(1,04)4. (4.116)
Однако нетрудно видеть, что второе уравнение получается из первого
умножением обеих его частей на (1,04)20 и потому имеет то же реше-
ние. Более того, в нашем случае ясно, что выбор другой даты сравнения
просто не влияет на ответ, поскольку означает всего лишь перенос рас-
сматриваемой равной стоимости по шкале времени.
Итак, каждой дате сравнения в рассматриваемом примере соответ-
ствует свое уравнение. Однако решение у всех таких уравнений оказы-
вается одним и тем же. И возникает простой вопрос: а всегда ли решение
УРС не зависит от даты сравнения?
Из рассмотренного примера ясно, что оно не зависит от даты сравне-
ния при постоянной ИНП, т.е. при = 6. Точнее говоря, в этом случае
зависимости нет даже при произвольных значениях моментов времени
£/, связанных с денежными суммами. Но если эти моменты находятся
на сетке дробных чисел типа т/к, m = 0, 1, ••• (т. е. ti = щ/к при
некоторых целых щ ), то ответ на наш вопрос несколько шире. А имен-
но, в этом случае решение не зависит от даты сравнения не только при
постоянной ИНП 6, но и при постоянной ставке процентов №.
Во всех же остальных случаях решение может зависеть от даты срав-
нения. Скажем, при использовании простых процентов и простого дис-
конта выбор даты сравнения обычно сказывается на ответе. И читатель
может сам в этом убедиться, если запишет соответствующие аналоги
уравнений (4.11) из рассмотренного примера (см. упр. 11). Это еще с
одной стороны подчеркивает внутреннюю несостоятельность простых
процентов по сравнению со сложными.
Временная диаграмма
Для записи и решения УРС временная диаграмма вовсе не обязательна.
Но она позволяет лучше представить ситуацию в любом случае, хотя,
конечно, набрав определенную практику, читатель вполне сможет обой-
тись без диаграмм в простых ситуациях. Тем не менее именно практика
4 Накопление и приведение
195
показывает, что временная диаграмма оказывается весьма полезной в
решении сложных проблем.
Конкретный вид графика зависит от вкусов его составителя. Обще-
принятого варианта не существует. И, конечно, размеры вносимых или
снимаемых сумм не обязаны указываться дважды, как это сделано на
рис. 4.2, где высота стрелки соответствует абсолютной величине суммы.
Часто ограничиваются указанием шкалы времени и моментов, связанных
с внесением этих сумм. При этом величины сумм одной из сторон могут
указывать выше оси времени, а другой - ниже.
Различные типы и формы записи УРС
В следующих двух главах мы фактически будем говорить только об УРС.
Причем продолжим знакомство с этими уравнениями уже в п.5 этой гла-
вы. Но все же некоторых моментов уместно коснуться именно сейчас.
Прежде всего отметим, что запись УРС зависит от определения ДП.
И здесь есть два основных варианта, которые мы рассмотрим, считая,
что на ТС действует произвольная ИНП 6(t), а ДП ассоциируется с не-
которыми денежными суммами а/, поступающими на этот счет и сни-
маемыми с него в определенные моменты времени
— 0 < ii < ^2 < ••• < •
Варианты эти могут быть записаны в виде
п (1) (2)
1) J2a/v(tz) = 0, 2) = J2ap(t(), (4.12)
i=i i l
где v(t) из (4.4) и соответственно словесно охарактеризованы как
1) равенство нулю ПЗ общего ДП финансовой операции или
2) равенство ПЗ двух различных ДП
(скажем, каждой из сторон финансовой операции).
Сейчас мы не будем уточнять, как следует определять элементы нашего
ДП в той или иной ситуации. Просто скажем, что уравнения (4.11) выше
были записаны в виде (4.12) типа 2), поскольку в этом случае v(t) = v\.
Однако, вообще говоря, более часто используется (и будет использовать-
ся ниже) форма 1) уравнения (4.12). А в отношении того, насколько об-
щими могут быть УРС, заметим следующее.
Так, ДП может быть не только дискретным, но и непрерывным. И
это, конечно, повлияет на форму записи УРС, но не по существу. Кроме
того, в каждом из равенств (4.12) мы могли бы заменить функции v(t[)
на , где v/(i) = ехр(- 5/(у) dy]. Это означало бы: некоторые сум-
мы а/ помещаются (или изымаются) каждая на свои счета, на которых
действуют разные ИНП $i(t). Но в этой книге этой стороны мы совсем
не касаемся.
196
V Изменение стоимости денег
5. «Голое» право собственности
и право пользования
Если владелец шикарного особняка сдает свой дом в аренду, то какое-то
время наслаждаться пребыванием в нем он, вообще говоря, не сможет,
поскольку право пользования им на некоторое время передано другим
людям. При этом ясно, что право собственности остается за владельцем.
Но это право собственности уже естественно называть «голым», посколь-
ку теперь оно отделено от права пользования, с которым ранее вместе
составляло «обычное» право собственности. Как же оценивать стоимость
соответствующих прав в денежном выражении?
Вопрос не праздный, поскольку касается очень многих аспектов дея-
тельности человека. Однако не все эти виды деятельности подходят для
быстрого знакомства с нашей проблематикой. Скажем, вопрос аренды
жилья или вообще недвижимости, конечно, представляет большой инте-
рес. Но в этом случае придется затронуть массу деталей, не имеющих
прямого отношения к теме разговора. Так что вполне реальна угроза
«утонуть в них» раньше, чем подойдешь к сути дела.
Именно поэтому предлагается определить и проанализировать «го-
лые» права на примере займов, делимых и неделимых, т.е. облигационных
займов и обычных ссуд, чтобы процесс знакомства с «правами» оказался
короче. Ну а поскольку определение чисел, выражающих эти права, будет
упираться в одну проблему, то мы с нее и начнем.
5.1. Реальная ставка по кредиту
Предположим, что дивиденды по данной облигации выплачиваются еже-
годно и составляют 7% от номинала. Таким образом, при такой номи-
нальной ставке на облигацию стоимостью (номинала) 500 полагается
получать один раз в год по каждому купону 35 = 500 х 0,07. Однако,
если заем погашается не по номиналу, скажем, если за рассматривае-
мую облигацию в конце ее срока действия полагается получить 600, то
тем самым владельцу этой облигации предоставляется как бы дополни-
тельное поощрение. И он с полным правом будет считать, что реальная
доходность займа выше 7%. Другой случай. При покупке машины вам
пришлось занять в долг 5 000, причем с условием выплачивать в конце
каждого месяца по 300 в течение ближайших 20 месяцев. Естественно,
ясно, что в качестве процентов по займу будет выплачена сумма 1 000.
Однако для сравнения с другими возможностями кредита вам будет не-
доставать некоторой ставки процента, хорошо характеризующей исполь-
зуемый вариант займа.
Рассмотрим теперь ситуацию, при которой ссуда величины С , взятая
в момент 0, возвращается по частям за п раз: в моменты времени ti = I
5 «Голое» право собственности
197
платежами величины а/ > 0. Будем также считать, что <*4 > С
и, следовательно, каждая выплата содержит как очередное погашение
кредита, так и оплату некоторых процентов по нему. Чтобы понять,
каких именно, рассмотрим соответствующие изменения на некотором ТС
с действующей процентной ставкой х .
Точнее говоря, допустим, что кредитор вместо того, чтобы предо-
ставить в долг сумму С , положит ее на данный расчетный счет и будет
забирать ее оттуда по частям, снимая суммы размера а/ в моменты I -
подряд п раз. Тогда нетрудно понять, что остаток на этом счету будет
меняться следующим образом:
в момент 0 он равен: С,
в момент 1, после снятия суммы : С(1 + х) — бц,
в момент /, после ... а/ : С(1 + х)1 — ai(l + x)^”1 — ... — а/,
в момент п, после ... ап : С(1 + я)п - ai(l + ж)71”1 — ... — ап.
И если последний остаток равен 0, то мы получим соотношение
Итак, мы еще раз вывели принцип равенства ПЗ обязательств двух
сторон - кредитора и заемщика - и можем дать следующее определение:
реальной ставкой (PC) финансовой операции называется
такая ставка начисления процентов, при которой возникает
равенство ПЗ взаимных обязательств двух сторон
на некоторый, определенный момент времени
Ну а само уравнение (5.1) назовем уравнением реальной ставки (УРС).
Пример 5.1
Определить себестоимость кредита при покупке машины из примера
в начале п.5.1.
Решение. Уравнение (5.1) в нашем случае можно записать в виде
5000 = 300а|^| или = 16,667. Используя далее финансовые та-
блицы и линейную интерполяцию, получаем: = 16,3514, =
18,0456, х = in = 0,0177 или г<12) = 21,256% •
Теперь мы готовы перейти к определению искомых прав. Но заме-
тим сразу, что в конце этого п.5 вновь будем вынуждены вернуться к
реальным ставкам, чтобы познакомиться с двумя их типами и одним
подходом к приближенному решению УРС. И все это для того, чтобы
лучше разобраться в правах.
198
V Изменение стоимости денег
5.2. Неделимые займы. Полные права
Рассмотрим сначала ситуацию обычного, не облигационного займа. И
пусть V - его реальная стоимость на данный момент для заемщика.
Скажем, в начальный момент (предоставления кредита) величина V мо-
жет означать совокупный выигрыш от получения кредита величины С,
рассчитанный каким-то образом на момент 0, и который, вообще говоря,
отличается от номинального значения С. Впоследствии величина V мо-
жет равняться договорной цене покупки остатка займа, и в этом случае
должна быть меньше С . Особенно, если не только уже были произведены
некоторые погашения, но и выяснилось, что действительная надежность
заемщика отличается от предполагаемой вначале в худшую сторону. Но
в любом случае смысл величины V станет более понятным только при
рассмотрении конкретных примеров (см. п.5.6).
В то же время в силу (5.1) понятно, что всегда существует некоторая
такая ставка х приведения к рассматриваемому моменту, при которой
реальная стоимость займа V на данный момент равна сумме соответ-
ствующих ПЗ V(x) всех оставшихся погашений и процентов, т.е. суще-
ствует решение уравнения
V(x) = V, (5.2)
По определению, такая ставка х и называется реальной ставкой займа
на данный момент. Из вышесказанного ясно, что эта ставка может быть
равна номинальной ставке i займа, определяющей выплату процентов.
Однако она может и сильно отличаться от нее, причем в обе стороны.
Рассмотрим сначала так называемые полные права. Иными словами,
определим величины
U - право пользования от французского слова
(займом, чужим имуществом,...) usufruit
Р - голое право собственности от французского слова
(без права использования) nue-propriete
имея в виду всю сумму кредита и весь срок, на который он предоста-
влен, т. е. считая моментом приведения начальный момент (предоставле-
ния ссуды). Более того, рассмотрим этот вопрос только в простейшей
ситуации классического погашения постоянными выплатами (см. n.IV.l)
Итак, пусть кредит предоставлен под ежегодную ставку процента г,
I
ai = a = mi + yi, yi = Ci-ii, Ci = С - У^т5, 1 < I < п (Со = С),
1
и,следовательно,
V(х) = а/(1 + х)~1 = а • а£. (5.2а)
1
5 «Голое» право собственности
199
Тогда рассматриваемые нами величины определяются равенствами
U = yi(l + х)~1 - ПЗ по ставке х всех процентов по ссуде,
Р = £2™ т/(1 + х)~1 - ПЗ по ставке х всех погашений,
в которых сама ставка х находится из уравнения (5.2) с V (х) из (5.2а).
При V ф С для искомых прав имеют место формулы
xV — iC у _ iC - iV
x — i ’ x — i
(5-3)
(если V С, то, очевидно, x i!). В самом деле, нетрудно видеть, что
в силу (5.2) и (5.2а)
P + U = V. (5.4)
В то же время легко показать, что
iP + xU = iC, (5.5)
Действительно, поскольку тгц = С[-\ - С/, yi = Ci-\i и потому
= yi - 2//+1, Уп+1 = 0, т/i = Ci, то
п
гР = - Ун-1)(1 + х)~‘ = U - (1 + х)[С - i/i/(l + а:)] =
1
= -xU + yi = -xU + iC.
Поэтому равенства (5.3) вытекают из (5.5), если воспользоваться (5.4),
выражал из него сначала U , затем Р и подставляя в (5.5).
Наконец, отметим очевидное равенство V(z) = С и не менее простой
факт
(С- У)(х-г) >0, x/i,
вытекающий из правой формулы в (5.3). Скажем, если У < С, г > 0, то
U > 0 при х > 0 и, следовательно, i < х.
Если же V — С, то х = г. В этом случае, очевидно, P + U — С и для
вычисления прав лучше прямо воспользоваться определением. В самом
деле, в соответствии с правилом Лопиталя и в силу (5.3) можно записать,
что (поскольку (хУ - iC)x = У + xVf, (iC - iV)x = -iVf, (x - i)x = 1)
P = lim[V(x) + xV'(x)], U = Нт[-гУ'(х)],
г—и x—уг
и воспользоваться равенствами V(x) = аа£, (а^)^. “ (nv?+1 ~ a^/x'
Но если опираться на определение, то для получения ответа достаточно
использовать разбиение (IV. 1.8а):
Р = vt~^ivx — U = 0^(1 - г\п~/+1)^ = а[а-| - nvn+1].
о о
200
V Изменение стоимости денег
5.3. Единичные права для облигационных займов
Условия погашения облигационного займа
Будем считать, что выплаты производятся регулярно, скажем в конце
каждого из последующих п лет, и в наиболее общем случае имеют сле-
дующий вид:
Qi = 7Voci + DiRi,
а2 = Мс2 + D2R24
ai = Ni-ici + DiRi,
= ^П—1СП 4“ DnRn,
в котором к моменту I -й выплаты относятся
ci - сумма дивидендов, выплачиваемых по 1 купону,
Ri - сумма погашения, выплачиваемая на 1 облигацию,
Di - число погашаемых в этот момент облигаций,
а также
Ni-i - число облигаций, оставшихся непогашенными
перед /-Й выплатой и после (/ - 1)-й выплаты,
No - общее количество облигаций займа при выпуске.
Таким образом, предполагается, что погашение облигаций, вообще
говоря, распределяется по выплатам, но в частном случае возможно и в
конце срока займа. С купонами также многое возможно, хотя наиболее
распространенная форма выплат по ним регулярная: один (скажем, во
Франции или в Германии) или два (в Англии или США) раза в год. Кро-
ме того, бывает, что купоны и погашения являются нагруженными, т.е.
каким-то образом учитывают расходы и налоги.
Определение единичных прав и фундаментальное соотношение
В теории, разделяющей обычное право собственности на две части -
право пользования и «голое» право собственности, - действует жесткое
ограничение: предполагается, что все купоны и погашения равны между
собой. Пусть в дальнейшем си R - их величины.
Предположим также, что стоимость V одной облигации при покупке
мы будем определять как соответствующую долю ПЗ по ставке х всех
выплат по займу на этот момент. Иными словами, будем считать, что
п
VN — ^(cN^ + R- А)(1 + х)"'. (5.6)
1
Тогда можно записать, что
V = cU' + ЯР',
(5.7)
5 «Голое» право собственности
201
где
и' = £ М-1(1 + х)-\ Р' = 1 £ А(1 + т)-‘. (5.8)
Эти величины и называются соответственно единичным правом
пользования (U1) и единичным «голым» правом собственности
(Р'). При данном х они зависят лишь от ритма выплат, но не от размера
купона или величины погашения. Кроме того, из определения видно, что
величина U' может быть как меньше 1, так и больше нее, в отличие от
величины Р', которая всегда меньше 1 при положительных х .
Далее, если выражение для Р' преобразовать с помощью равенств
Dt = Nt-t - Nt, Nn = 0,
то придем к так называемому фундаментальному соотношению
U'x + Р1 = 1. (5.9)
В самом деле, поскольку
Е? М(1 + х)-1 = ЕГ1 М(1 + х)~1 = ЕГ1 W + х)-‘ - No =
= E?M-i(14-x)-/+1-N0,
то нетрудно видеть, что
Р' = N-ЧП Жх(1 + х)~1 - (£” M-i(l + - No)] =
= Uf -(1 + х)1/' + 1.
Интерпретация прав
Указанная выше связь (5.9) двух единичных прав может быть получена
или истолкована как интуитивно, так и в определенном вероятностном
смысле.
Во-первых, почему интуитивно? Потому, что единица, истраченная
при покупке облигации, распадается на две части естественно. Прежде
всего, в соответствии с (5.8) в момент I возвращается доля Di/N еди-
ницы, т.е. всего права на собственность. Но ^Di = N и потому Р'
представляет собой ПЗ всего возвращаемого права, т.е. является денеж-
ным выражением прав собственности на единицу в момент 0. С другой
стороны ясно, что использование не возвращенной к моменту I собствен-
ности должно быть оплачено по ставке х. Точнее говоря, поскольку в
периоде [/ - 1, I) используется доля Ni-i/N всей собственности, то ве-
личина xUf как раз и представляет собой ПЗ оплаты ее использования
за весь срок, займа, т.е. представляет собой денежное выражение всего
права пользования (единицей) в момент 0.
202
V Изменение стоимости денег
Во-вторых, нетрудно видеть, что и” + хащх = 1 при любых х > 0
и п > 0. Поэтому равенство остается в силе, если п заменить на про-
извольную целочисленную случайную величину £ > 0, и, следовательно
( М - символ математического ожидания),
Mv^ + хМа^х — 1.
Это по формальным соображениям. Но ясно также, что и в силу опре-
деления Р' = Uf = Л/а^|х. По крайней мере в частном случае,
когда выбор номеров очередных погашаемых облигаций доверяется жре-
бию и вероятность для любой облигации быть погашенной в любой кон-
кретный момент может считаться одинаковой. В этом случае величи-
на £ играет роль времени до погашения данной облигации, а величина
Di/N = Р(£ = I) как раз и является вероятностью погашения любой об-
лигации в момент I, т.е. зависит лишь от числа погашаемых облигаций,
если рассматривается в момент 0. Соответственно, используя равенство
М-i = 52Р D3, легко получаем формулы (5.8):
п
1
п п I п
Mai\r = N~l Е D‘ai\. = N~' £ D1+*)' = N~' Е t1+*)'•
1 1 j=l 1
Итак, мы сформулировали простейший подход к определению «раз-
деленных» прав. И теперь попытаемся познакомить читателя с тем, как
практически вычислять, скажем, числа Pf, Uf. Но сначала хотелось бы
объяснить, что для этого прежде всего желательно разобраться в том,
как решать УРС.
Почему же нужно искать решение х УРС, хотя мы хотим найти ве-
личины Р', U'l Дело в том, что эти величины являются функциями х,
удовлетворяющими фундаментальному соотношению. И если мы не най-
дем число х, то не получим и искомые величины Р', U' в виде числа.
Но из определения этих величин понятно, что они характеризуют ритм
погашения займа и не зависят от других параметров займа (с, R). Та-
ким образом, естественно прежде всего получить запись этих функций
для различных ритмов.
Выражения эти не только известны, но и полезны. А привели мы их
в ПВ.2 с краткими объяснениями, чтобы немного разгрузить изложе-
ние этого пункта, а также чтобы сосредоточиться на теории и практике
решения УРС. Соответственно, в п.5.5 мы рассмотрим один важный под-
ход к приближенному решению этого уравнения, а затем п.5.6 посвятим
в основном примерам решения УРС и поиску прав.
5 «Голое» право собственности
203
5.4. Единичные права в непрерывном случае
Пусть, как и ранее, процентная ставка с и коэффициент погашения R не
зависят от времени, V - стоимость одной облигации при выпуске, a N(t)
имеет смысл совокупного номинала облигаций, не погашенных на момент
t. Тогда, если считать, что в интервале [t, t+dt) проценты оплачиваются
с суммы N(t) dt,, а погашаются облигации номинала N(t) - N(t + dt) =
-N'(t) dt, то возникает следующий аналог
VN= / [N(t)c- N'(t)R]e~Sxt dt (2V(0) = TV)
Jo
(5.10)
соотношения (5.6). Таким образом, мы вновь получаем равенство (5.7),
если определить единичное право пользования U* и единичное «голое»
право собственности Р' равенствами
-Sxt .
tv(o) d'
STt
W(0)
dt.
Фундаментальное соотношение
В рассматриваемом случае, конечно, остается в силе установленная выше
связь двух прав Р' и U'. Однако она приобретает несколько иную форму
U'6X 4- Р1 = 1,
(5.П)
если оставить за ставкой х смысл ежегодной ставки процента (<5Х =
1п(1 4- х)!).
В самом деле, если переписать величину Р' с помощью формулы ин-
тегрирования по частям (udv = duv — vdu), то получим
-Р'— [ dc~Sxt I 6 [ c~Sxt dt — fc~Sxt]n IS U' - S U1 1
P-Jode 7V(0)+H ЛЧО) 1 N^]o+bxU ~6xU L
Частный случай
В заключение отметим, что величины Р', U' несложно рассчитать, ска-
жем, в случае экспоненциальной интенсивности возвращения капитала
(см. п.IV.2.3). Но здесь мы покажем лишь, что равенство
1 (у?-у”
®n|t \ $х ~ $i
легко получить в частном случае постоянной интенсивности возвраще-
ния a(t) = А и, следовательно, при интенсивности погашения (см.
замеч. IV.2.5) m(t) = Ае~&,^п~^. В самом деле, используя равенство
m(t) = -N'(t) и определяя величину 7V(0) из соотношения (см. (IV.2.17))
?V(0) = JJ1 m(t) dt = А • d„|, мы получим, что
Р’ =
,1 Г
an|t JO an\i{^x “ $i)
204
V Изменение стоимости денег
5.5. О приближенном решении уравнения
реальной ставки
Помимо общих методов решения таких уравнений (см. ПБ) существуют
и специальные, удобные именно для облигационных займов. Рассмотрим
один из таких подходов, использующий так называемые формулы Гури.
Формулы Гури
Итак, у нас простейшая ситуация одинаковых купонов и погашений, как
это и полагается в теории прав собственности и пользования. Выше было
установлено, что в случае такого облигационного займа исходное УРС
(5.1) имеет форму (5.7). В этом подходе с помощью фундаментального
соотношения оно представляется в виде
х = /(х). (5.12)
При этом оба выражения для /(ж)
1) /(I) = , 2)/^)=—^ (5.13)
V п,
(они и называются формулами Гури) получаются очень просто и запи-
сываются с помощью единичных прав Р', U' и основных характеристик
займа: величины купона с, т.е. ставки начисления процентов, а также
цены погашения R и стоимости V одной облигации на какой-то мо-
мент (смысл величины V лучше будет понятен в конкретных ситуациях
рассматриваемых далее примеров).
В самом деле, первая формула Гури возникает, если используя (5.9),
сначала записать уравнение (5.7) в виде V(P' + xU') = cUf + ЯР', а
затем переписать его в форме (5.12). Второе же выражение получается,
если величину Р' выразить из (5.9), подставить в уравнение (5.7), т.е.
записать его в виде
V = cU' + R(l-xU'),
а потом опять переписать полученное равенство в форме (5.12).
Замечание 5.1. Обе формулы (5.13), как и любые финансовые утвер-
ждения, имеют элементарную качественную интерпретацию. Так, пер-
вую из них можно объяснить следующим образом. При цене выпуска
V = R очевидно, PC равна отношению c/V. Если же V < R, то не
менее ясно, что эта ситуация эквивалентна варианту с погашением по
цене выпуска V, но с дополнительной оплатой процентов в сумме Л,
компенсирующей разницу цен при погашении R - V. При этом в со-
ответствии с теорией единичных прав ПЗ этой разности есть величина
(Я — V)P', а ПЗ процентных выплат представляет величина h,Uf. Отсю-
да h = (Я - V)P'/Uf и остается использовать равенство х = (с+ h)/V.
Ну а случай V > Я полностью аналогичен •
5 «Голое» право собственности
205
Конечно, сама по себе форма (5.12) УРС - еще не гарантия того, что
решение будет получено. Для этого еще надо, чтобы функция f(x) бы-
ла итерабельна, т.е. чтобы последовательность приближений xq, я?1,...,
получаемая в данном подходе по формуле xn = /(а:п-1) > сходилась бы к
решению УРС 0 при выборе некоторого начального значения а?о- Это
значение, судя по формулам (5.13), можно выбирать, например, полагая
Xq = c/V ИЛИ Xq — c/R.
Рис. 5.1. Метод последовательного решения УРС
Достаточным условием сходимости последовательности хп к искомо-
му решению является неравенство |/'(х)| < 1 в некоторой окрестности
решения, в которую входит и начальное приближение xq . Доказывать
это мы не собираемся. Но рис. 5.1 фактически дает представление о си-
лах, толкающих данную последовательность хп в сторону корня на ка-
ждом шагу.
На практике условие сходимости этого метода обычно не проверяет-
ся, поскольку он зарекомендовал себя как метод очень быстрой сходимо-
сти для обоих вариантов из (5.13). Так, в нижерассмотренных примерах
поиск решения заканчивается не позже, чем на втором шагу.
Прежде чем начинать процесс приближенного решения, следует опре-
делиться с требованиями к точности решения. Допустим, что число,
меньшее а, считается нулем. Тогда процесс протекает следующим обра-
зом. Начинал с хо> рассчитывают значение х\ = /(^о) и проверяют
разницу xi - Xq. Если |a?i - жо| < а, то полагают, что xq = 0, и счита-
ют, что решение УРС найдено. Если же |xx - а?о| > а, то рассчитывают
значение Х2 = /(^1) и т.д. Наконец, при выборе типа формулы из (5.13) и
связанного с этим начального приближения используются и посторонние
соображения.
206
V Изменение стоимости денег
5.6. Расчет единичных прав Р', U' в конкретной ситуации
Теперь мы готовы на примерах проиллюстрировать процесс определе-
ния прав собственности и пользования. А если быть точнее, то процесс
нахождения PC, поскольку, как выше было отмечено, первый процесс
сводится ко второму. Но для знакомства с правами мы выбрали ситуа-
цию облигационных займов, а в них PC имеет свои особенности. Поэтому
сначала несколько слов об основных типах PC.
Два основных типа PC
Реальные ставки для кредитора и для заемщика в принципе всегда раз-
личаются, поскольку очень часто не только расходы, но и выгоды от
проводимой операции у каждого свои. В связи с этим имеют место сле-
дующие два понятия:
• реальная ставка доходности - это реальная ставка
для кредитора, т.е. та ставка, которая
характеризует эффект от его капиталовложений,
• реальная ставка себестоимости - это реальная ставка
для заемщика, т.е. та ставка, которую
ему придется заплатить за удовольствие взять кредит.
Еще раз подчеркнем, что это как бы основные названия таких PC, по-
скольку существуют их различные варианты. Так, в случае облигацион-
ного займа под PC доходности может подразумеваться средняя ставка,
рассчитанная для всей массы вкладчиков. И, естественно, она может от-
личаться от PC доходности для какой-либо конкретной облигации или
средней PC для портфеля облигаций, особенно если погашение было рас-
тянуто по времени и проводилось с помощью жребия.
В главе IV мы говорили о расходах, которые несет заемщик и которые
как бы повышают его реальную ставку себестоимости. Приведем также
примеры выгод, которыми пользуются кредиторы, помимо номинальной
ставки начисления дивидендов, и которые повышают их реальную ставку
доходности в случае облигационного займа:
• цена выпуска или покупки на вторичном рынке ниже номинала;
• цена погашения выше номинала;
• процентная бонификация, а также индексация по капиталу;
• льготы по налогообложению;
• розыгрыш досрочного погашения или увеличенной ставки.
Продлим и список расходов, которые могут нести обе стороны:
• расходы по выпуску займа, которые несет фирма;
• расходы при покупке или продаже на бирже;
• расходы на обслуживание выплат по купонам и погашениям;
• специальные налоги.
5 «Голое» право собственности 207
Расчет PC доходности или себестоимости займа. Примеры
Приведем теперь примеры элементарного расчета единичных прав
Р', U', из которых будет видно, что основная тяжесть вычислений пада-
ет на определение реальных ставок себестоимости и доходности. И одно-
временно попытаемся познакомить читателя с использованием формул
Гури приближенного решения соответствующих уравнений, а также со
специальной терминологией облигационных займов. Хотя для понимания
рассматриваемых задач, вообще говоря, никакой специальной информа-
цией об этих займах располагать не нужно. Что же касается приводимых
решений, то для их лучшего понимания желательно знать вывод формул
Гури и представлять, что такое единичное «голое» право собственности
и единичное право пользования.
В рассмотренных ниже примерах ставка начисления дивидендов по-
стоянна. Таким образом, все их параметры - величина купона, цена по-
купки и сумма погашения - выражаются в процентах от номинала, и, сле-
довательно, для простоты (но без потери общности) можно считать, что
номинал облигации С = 100 . Ясно будет также, что от числа купленных
облигаций доходность не зависит и потому при записи УРС предполага-
ется, что куплена одна облигация. И, наконец, последнее. В первых трех
примерах единичные права получаются по формулам (см. ПВ.2)
Р' = (1 + г)-п, С/' = О?Г|Х. (5.14)
Соответственно везде для определения х мы это неявно используем, а
затем просто приводим значения самих прав Р', 17'.
Пример 5.2. Ставка доходности для владельца облигаций
Облигационный займ выпускается по цене 97% и погашается по цене
102% через 12 лет. Заемщик выплачивает в конце каждого года 10%
по всем 12 купонам. Каковы реальная ставка доходности от покупки
некоторого количества таких облигаций, а также соответствующие
ей единичные права Pf, 17'?
102
ю ю
1 2 3 4 5 11 12
,,97
Рис. 5.2. Диаграмма потока платежей с точки зрения инвестора
Решение. В этом случае цены покупки и погашения 1 облигации даны
- V = 97, R = Ю2, - а дивиденды определяются по основной формуле
208
V Изменение стоимости денег
с = 0,1С. Поэтому УРС можно записать следующим образом (рис. 5.2):
12
97 = 10 J2(l + х)~к + 102(1 + я)-12.
1
Для решения этого уравнения используем первую формулу Гури, которая
дает представление полученного уравнения в виде (5.13), где
/(х) = Юрт = {ю + (102 - 97) + 12}/97.
V аТ21х
Начинаем итерационный процесс с величины xq = c/V = 10/97 =
0,1031. Далее получим /(^о) = [10 4-5-0,308/6,711]/97 = 0,1054. Затем
положим Xi = 0,1054 и получим Х2 = /(^1) = 0,1054. Таким образом,
если достаточно четырех верных десятичных знаков у решения, то ответ:
х = 0,1054. И, следовательно, для решения потребовалась одна итерация,
а Р1 = и0Д054 = 302, и1 = ЛГ2|О,1О54 = ®50 •
Итак, доходность от операции с точки зрения инвестора составила
10,54%, что выше 10%, объявленных при выпуске. И ясно почему: к ве-
личине купона в 10% добавились премия при выпуске и премия при по-
гашении.
Пример 5.3. Ставка себестоимости для некоторой компании
Одна компания выпустила 9%-ный заем, погашаемый через 10 лет по
цене 103%. Найти ставку себестоимости для компании, выпустившей
данный заем, и соответствующие ей единичные права в предположении,
что при появлении облигации продавались по номиналу, а расходы по
выпуску составляли:
о 1 % от номинала на рекламу,
о 3% от купона на обслуживание оплаты дивидендов,
о 1% от суммы погашения на обслуживание всего займа.
Решение. В рассматриваемом случае ставка i = 0,09, но остальные
исходные характеристики корректируются из-за дополнительных трат.
А именно, V = 0,99 • С = 99, с = 1,03 • 100г = 9,27, R = 1,01 • 1,03 • С =
104,03.
99
12 3 10
9,27
9,27
104,03
Рис. 5.3. Диаграмма потока платежей с точки зрения компании
5 «Голое» право собственности
209
И потому равенство ПЗ взаимных обязательств имеет следующий вид
10
99 = 9,27^(1 + х)~к + 104,03(1 + я)-10
1
(рис. 5.3). Опять используем первую формулу Гури, но с хо = 9,27% (ку-
пон + расходы по его оплате), а не Хо = c/V = 9,36% . В результате для
получения ответа х = 9,68% потребуется две итерации. В самом деле,
поскольку для Р', U' имеем те же формулы (5.14), то последовательно
получаем
0 412
/(хо) = [9,27 + (104,03 - 99) т2-—]/99 = 0,0969,
о, <542
Xi = 0,0969, /(xj = 0,0968, Х2 = 0,0968, /(хг) = 0,0968, Р' = Vq^968 =
0,397, V = аТо|о,о9в8 = 6» 235 •
Здесь причина превышения найденной ставки себестоимости 9,68%
над объявленной в 9% также понятна: реклама и расходы по оплате ди-
видендов. В реальной жизни таких причин может быть очень много.
Пример 5.4. Ставка доходности для инвестора
- покупателя облигаций на бирже (вторичном рынке)
Один инвестор 10 июля 1998 г. покупает 10%-ную облигацию по цене
99%. У этой облигации купон отрывается 12 мая каждый год, а пога-
шение будет произведено 12 мая 2002 г. по номиналу. Какова ставка
доходности этой операции с точки зрения покупателя и соответству-
ющие ей единичные права?
Решение. Здесь поток платежей и УРС имеют следующий вид
Рис. 5.4. Диаграмма потока платежей с точки зрения покупателя
99(1 + х)~™ = Юа?|х + 100(1 + х)"4 = 10(7' + 1007*,
если в качестве момента приведения взять 12 мая 1998 г. (рис. 5.4). При-
меним вторую формулу Гури с параметрами С = 10, R = 100, V =
99(1 + х)-59/365 (цена покупки, приведенная на 59 дней назад, т.е. на
12 мая 1998 г.). И положим хо = 10/99 = 10,1%, т.е. равным отноше-
нию номинальной ставки к цене выпуска. Тогда для получения ответа
210
V Изменение стоимости денег
(х = 10,85%) и вновь с помощью (5.14) потребуются две итерации (для
Р', U1 имеем те же формулы):
/(т0) = [10 + (100 - 99(1,1О1)"59/З66)/3,16]/100 = 0,108, Xi = 0,108,
/(zi) = 0,1085, х2 = 0,1085, /(т3) = 0,1085, Р' = 0,291, U' = 6,537 •
Численный пример. Корректировка PC
Организация, выпускающая заем, имеет возможность согласовать его PC
себестоимости с рыночной ставкой доходности даже в момент выпус-
ка, причем не меняя номинальной ставки займа. Для этого она может
либо изменить цену выпуска, либо скорректировать «радостную» дату
(no-франц.: date de jouissance) оплаты обязательств заемщика. А точнее
говоря, дату оплаты первых процентов и (или) погашения. Если эта да-
та приближается к дате выпуска, то PC увеличивается, а если наоборот,
удаляется, то уменьшается.
Пример 5.5
Облигационный заем с купонной ставкой 10,2% погашается по номиналу
за 20 лет ежегодными постоянными выплатами в конце. Рассчитать
его ставку себестоимости и соответствующие единичные права
1} при изменении только цены выпуска (три варианта): 100, 99, 98%;
2) при номинальной цене выпуска и сближении дат выпуска и оплаты
первых процентов на (два варианта) 15 или 30 дней.
Решение. В любом случае УРС имеет вид V = 10,2Uf + 100Р', в
котором 1) V = 100, 99, 98, 2) V = 100v£, где h = 15/365, или h =
30/365, а величины Р', Uf определяются по формулам (см. ПВ.2.6, 2.7;
здесь i = с/С = с/100 = 0,102, п = 20):
Решая его и вычисляя затем права, получим следующую таблицу.
V h х% Р' U'
100 0 10,200 0.30975 6.76718
99 0 10,349 0.30539 6.71185
98 0 10,500 0.30107 6.65651
100иА 15/365 10,259 0.30801 6.74458
100иА 30/365 10,320 0.30623 6.72257
Таким образом, уменьшение цены выпуска на 1% приводит к повышению
ставки на 0,15%, а сближение дат выпуска и процентов на месяц ведет к
увеличению ставки на 0,12%. Ну, а заключение в отношении прав чита-
тель сделает сам •
6 Упражнения
211
6. Упражнения
1. Эквивалентные годовые ставки процента.
Абсолютная ФН [/(/) = 100-1- 5/. Определить 1) /5 , 2) Ло-
2. Эквивалентные годовые ставки дисконта.
Абсолютная ФН U(t) = 1000(1,1/. Определить 1) D$ , 2) D10.
3. Абсолютная функция накопления.
При каких п имеет место равенство U(n) = (14- In)U(n — 1)?
4. Абсолютная и относительная функции накопления.
Пусть U(t) = t2 4-4/4-5. Определить 1) соответствующую относительную
функцию накопления u(t) и 2) значение интенсивности J(l).
5. Реальная функция накопления и соответствующая ИНП.
Определить 6(t), если [/(/) = RaW cd .
6. Формулы для ИНП.
Покажите, что
7. Простые проценты и дисконт.
Фонд А увеличивает свой капитал по ставке простых процентов 10%, а
фонд С - по ставке простого дисконта 5%. Определить, через сколько лет
соответствующие ИНП совпадут.
8. Простые и сложные проценты.
Покажите алгабраически, что при 0 < i < 1 :
(1 + 04
< 1 + it,
= 1 4“ it ,
> 1 4- г/,
t = 1,
t > 1.
9. Простой и сложный дисконт.
Покажите алгабраически, что при 0 < d < 1 :
(1-dH
< 1 — dt,
= 1 - dt,
>l-dt,
0 < t < 1,
t = 1,
1</<1.
10. Простые и сложные проценты.
Две одинаковые суммы положены на год под проценты с начислением 3%
за квартал. Но первая с начислением по схеме сложных процентов, а вто-
рая - Цростых. Определить отношение Z>(4)/Z?(3) , где D(k) означает
разницу в суммарной величине процентов, начисленных по первой и вто-
рой суммам за к-и квартал, к = 1, 2, 3, 4.
8-1221
212
V Изменение стоимости денег
11. Решение УРС зависит от даты сравнения.
В ситуации прим.4.6 для двух естественных дат сравнения (начало и ко-
нец финансовой операции) запишите УРС, предполагая, что действует
постоянная полугодовая ставка простого дисконта d или эквивалентная
ей полугодовая ставка простых процентов i = 0,04 . Найдите и сравните
эти решения с ответом примера.
12. Зависимость сложных процентов и дисконта от простых.
Покажите, что при постоянной ежегодной ставке
1) D простого дисконта эквивалентная ей ставка сложного дисконта d
увеличивается с ростом периода вложения t в интервале 0 < t < 1/D,
2) I простых процентов эквивалентная ей ставка сложных процентов i
уменьшается с ростом периода вложения t в интервале t > 0.
13. Сложные проценты. Постоянная ставка.
При некоторой постоянной ставке процентов периода, с одной стороны,
1 превращается в 2 за а лет, 2 превращается в 3 за b лет и 3 возрастет
до 15 за с лет. Но, с другой - 6 увеличится до 10 за п лет. Определить
величину п как функцию параметров а, 6, с.
14. Сложные проценты. Разные ставки.
Предположим, что отношение НЗ 1, положенной на ТС под ежегодную
ставку процента i на m • п лет к НЗ 1, положенной на другой ТС под
ежегодную ставку процента j на п лет равно НЗ 1, положенной на третий
ТС под ежегодную ставку процента к и также на п лет. Найти, как
последняя ставка к выражается через две первые г, j.
15. Сложные проценты. Туманное обещание.
Определить, какую сумму можно получить в кредит сейчас в обмен на
обещание (если банк поверит в него) вернуть долг тремя одинаковыми
суммами по 10 000 через 20, 40 и 60 лет соответственно. Предположить,
что будет действовать постоянная ежегодная ставка процента, при кото-
рой 500 превратятся в 4000 за 30 лет.
16. Накопление с постоянной интенсивностью.
Известно, что вклад в 600 через 2 года принес в качестве процентов 264.
Найти НЗ 2000, положенных под ту же ставку процента на 3 года. При-
ведите два различных решения.
17. Коэффициент роста.
ИНП в фонде X линейна на протяжении 20 лет: 6(t) = 0, 01/ -I- 0,1,
0 < t < 20, а в фонде Y постоянна и такова, что НЗ 1 за 20 лет в обоих
фондах совпадают. Определить КР в фонде Y за первые 1,5 года.
6 Упражнения
213
18. Непрерывная рента.
Один инвестор закупил ренту, которая должна будет оплачиваться непре-
рывно в течение п лет ( п - целое). Интенсивность оплаты ренты является
линейной функцией времени. Предположим также, что время измеряется
в годах с момента покупки ренты и пусть 7/ обозначает суммарное ко-
личество денег, оплаченных за I -й год.
1. Выписать выражение для ежегодной интенсивности 8(t) возвращения
денег в момент t в терминах Д, /2 , а также определить суммарное ко-
личество возвращенных денег к моменту t (t - произвольное число).
2. Записать выражение для ПЗ ренты на момент покупки в терминах
п, Л, 12 и некоторой постоянной ИНП <5.
3. Определить Д, 1П в предположении, что ПЗ ренты равно 9047 при
8 = In 1,06, а п = 20, 12 = 1,07Д.
19. Квадратичная и кусочно-линейная ИНП.
Для определенного типа вклада в банке ИНП равняется 0,15 в начале, 0,10
в середине первого года и 0,08 - в конце. Определить НЗ за этот год
суммы 5000 в предположении, что ИНП является
1) квадратичной функцией на протяжении всего года или
2) непрерывной кусочно-линейной функцией с одним «изломом»
в середине года.
20. Специальный процесс приведения.
При оценке будущих выплат инвестор может использовать формулу
(/) = ------,
; (а + /)(а + /+ 1)’
t > 0,
которая дает стоимость в момент 0 одной денежной единицы момента t;
а > 0 - фиксированное число, а время t измеряется в годах.
Покажите, что в этом случае
1) ежегодная ИНП описывается выражением
2Z Ч- 2о Ч- 1
(о Ч- t)(a Ч-1 Ч- 1) ’ >
2) годовая ставка процента за п Ч- 1 год, т.е. период [n, п Ч- 1) есть
Л+1 —
2
п Ч- а ’
3) ПЗ серии из п единичных выплат, сделанных в конце первых п лет,
равно
а(п) =
па
п Ч- а Ч- 1
214
V Изменение стоимости денег
21. Среднее время.
Должник обязался вернуть банку 6280 через 4 года, 8460 через 7 лет и
7350 - через 13. Некоторое время спустя, пересмотрев свои планы, он
предложил банку
1) вернуть суммарный долг в 22 900 через соответствующее время t или
2) погасить весь долг через 5 лет, выплатив соответствующую сумму х .
Найти х и /, предполагая, что банк использует непрерывное начисление
процентов, эквивалентное ежегодной ставке процента 0,08.
22. Покупка займа на бирже. Формулы Гури.
Условия облигационного займа таковы: дата выпуска 01.01.1997, номи-
нальная ставка 10%, погашение по номиналу растянуто на 10 лет, прово-
дится 5 равными частями и является отложенным на 5 лет. Точнее говоря,
выплаты пройдут в конце каждого из 5 лет, начиная с шестого со дня вы-
пуска и сумма погашения в них будет одинаковой.
Большая коммерческая компания приобретает на бирже весь этот заем
27.07.1999 по цене 97%. Какова PC доходности от операции с точки зре-
ния этой компании?
23. Ставка доходности для инвестора. Линейная интерполяция.
Облигационный заем выпускается по цене 99%. По купонам в нем полага-
ется выплачивать 8% от номинала каждый год до полного погашения. Ну а
само погашение является отложенным на 5 лет, должно быть проведено за
15 лет равными частями, выплачиваемыми в конце года и предусматрива-
ет 5% премию. Какова PC доходности от покупки некоторого количества
таких облигаций?
24. Ставка себестоимости для заемщика. Уравнение (5.7).
Коммерческая компания выпустила 5%-ный заем, который был продан по
цене 99,5% и должен быть погашен постоянными выплатами в течение 20
лет по цене 110%, причем с соотношением процентов и погашения 5/105.
Найти ставку себестоимости займа для компании, если расходы при вы-
пуске составили 3,2% от номинала, по оплате купонов - 4% от стоимости
купона и при погашении - 1% от суммы погашения.
25. Ставки доходности и себестоимости для одного займа.
Погашение займа в 100 000 000 предусматривается равными частями в
конце каждого из предстоящих пяти лет. При этом оплата 8% годовых,
естественно, будет происходить в эти же моменты, а цена облигации но-
минала 100 при выпуске равна 97.
1) Определить ставку себестоимости займа для организации-заемщика.
2) Посредник, отвечающий за размещение займа, уступает его одному ин-
вестору по цене 99%. Определить ставку доходности этого инвестора и
его единичные права.
Глава VI
Эффективность
капиталовложений
Можно сказать, что специфику главы составляют два момента. Прежде
всего в ней рассматривается определенный подход, который мировая фи-
нансовая практика последних ста лет выработала для оценки состоятель-
ности так называемых коммерческих, предпринимательских или просто
деловых проектов. Во-вторых, среди многих показателей, имеющих от-
ношение к анализу этой состоятельности, по общему мнению многих спе-
циалистов выделяются 1
приведенная прибыль и внутренняя доходность.
Поэтому в основном займемся именно ими, хотя определенный интерес
проявим и к некоторым другим.
Русским названиям этих показателей еще предстоит утвердиться.
Здесь же автор предлагает и мотивирует свои варианты лишь по той про-
стой причине, что используемые не слишком удачны с его точки зрения.
Однако в любом случае понятия эти можно считать если не централь-
ными, то во всяком случае определяющими многие стороны финансовой
деятельности. Скажем, показатель внутренней доходности фактически
является фундаментом для изложения всего материала следующей главы.
Ну а приведенная прибыль вообще может выручать не только во многих,
но и даже в самых «безнадежных» ситуациях.
^нгл.: net present value, internal rate of return
216
VI Эффективность капиталовложений
1. Денежный поток
как искомая характеристика проекта
1.1. О проблеме получения денежных потоков
Традиционно сложилось, что финансовая привлекательность любых ка-
питаловложений, в том числе и коммерческих проектов, в основном оце-
нивается по денежному потоку, который они порождают. Причем начи-
нается этот поток обычно с так называемого первоначального взноса,
за которым следуют по преимуществу доходные поступления. Прежде,
чем условиться о характере рассматриваемых ниже ДП и ввести соот-
ветствующие обозначения, коснемся вкратце проблемы их получения.
На самом деле эта проблема возникает не всегда. Например, при по-
купке некоторого количества государственных ценных бумаг с фикси-
рованным сроком погашения и постоянными дивидендами можно четко
представить весь поток без особых усилий, поскольку при покупке будет
точно указано, когда и в каком количестве будут выплачиваться диви-
денды, а также когда и каким образом будут погашены все купленные
облигации. И более того, можно не сомневаться, что все именно так и
произойдет, если вы живете, например, в Англии!
Но бывает и совершенно другая ситуация, когда толковые прогнозы
ДП, порождаемого конкретным проектом, никто не принесет на «блюдеч-
ке с голубой каемочкой», даже если вы живете в Америке. Разработать
такой прогноз обычно поручается финансовому управляющему компа-
нии, проявившей интерес к данному проекту. И часто он имеет дело с
сырыми данными, поставляемыми специалистами в области производ-
ства, рекламы, маркетинга и т.д. Ему приходится проверять соответ-
ствующую информацию с точки зрения надежности, точности, полноты
и т. д. В результате вся работа его подразделения по определению соот-
ветствующего ДП часто оказывается невозможной без высокого профес-
сионализма, творческой жилки, интуиции. Причем от самого финансово-
го управляющего иногда требуется и просто мужество, поскольку работа
эта может превратиться в опасное занятие, способное погубить удачно
складывающуюся карьеру. Пример подобного проекта можно наити в [2]
(прим. 6.2 из гл.6).
В силу вышесказанного финансовому управляющему часто приходит-
ся принимать и осторожные решения. Скажем, рассматривать несколько
вариантов порождаемых проектом ДП, разработанных на основе опти-
мистического, средневзвешенного или пессимистического прогнозов раз-
вития событий. В связи с этим высокая точность в оценке ДП для боль-
шинства деловых проектов и не требуется.
1 Денежный поток
217
Но нас здесь будет интересовать другое. Мы будем предполагать, что
ДП получен и на основании его анализа требуется понять, оправдаются
ли усилия по его реализации с финансовой точки зрения. Именно поэтому
ДП и можно назвать основной характеристикой проекта - основной, по
крайней мере, для нас.
1.2. Используемые обозначения
Итак, остается рассмотреть конкретный пример проекта и порождаемый
им конкретный ДП. Но прежде введем обозначения и выделим интере-
сующие нас здесь потоки. Условимся считать, что любой предпринима-
тельский проект характеризуют
• период его реализации Т и
• два типа денежных поступлений (или отчислений) на счет проекта,
т.е. на счет, скажем, компании, реализующей этот проект.
Точнее говоря, будем рассматривать ДП вида
а = (af, a(^))0<t<T, (1.1)
длины Т или на интервале времени [О, Т], где Т < оо,
at - дискретная составляющая потока, т.е. at / 0 при некотором
конечном или счетном количестве моментов времени
О = to < ii < t2 < ... < tn, принадлежащих интервалу [0,Т],
величины atk могут принимать значения любого знака
(tn = Т, если a(t) = 0 при t > £п),
a(t) - непрерывная составляющая потока,
т.е. функция a(i) определена на [О, Т] и имеет смысл
интенсивности зачисления денег на счет проекта в момент t
(отрицательная интенсивность означает отчисление денег).
Замечание 1.1. Если по счету проекта в момент ti проходят не-
сколько поступлений и несколько отчислений, то atl - алгебраическая
сумма всех этих операций •
1.3. Характер интересующих нас потоков
Выше мы уже говорили о том, что проекты бывают двух типов: в од-
ном случае можно интересоваться доходностью проекта, в другом - его
себестоимостью. Эти два типа можно назвать симметричными, посколь-
ку фактически любому потоку, порождаемому проектом первого типа,
можно поставить в соответствие некоторый поток проекта второго типа,
который будет отличаться лишь знаком составляющих элементов потока,
и наоборот. Скажем, в начале этого пункта мы, давая пример ситуации,
в которой порождаемый проектом ДП очевиден, говорили о покупке цен-
ных бумаг с точки зрения покупателя. Рассматривая операцию покупки
218
VI Эффективность капиталовложений
под таким углом зрения, мы автоматически интересуемся ёе доходно-
стью. Но ту же самую финансовую операцию можно рассматривать и
с точки зрения продавца или заемщика. Естественно, тогда составляю-
щие ДП просто поменяют знаки, и мы будем вынуждены интересоваться
себестоимостью операции.
Понятно, что достаточно уметь анализировать потоки какого-либо
одного типа. А выводы относительно другого нетрудно будет сделать
по аналогии. Ну а то, почему мы хотим для определенности интересо-
ваться лишь доходностью проектов, объясняется весьма просто - мы
всего лишь решили рассматривать потоки, соответствующие названию
гл.У «Эффективность капиталовложений»1.
Их нетрудно охарактеризовать вообще, поскольку очевидно, что ре-
ализующая проект компания должна сначала вкладывать свои деньги и
лишь затем получать отдачу от них. Иными словами, на некотором на-
чальном интервале времени расходы должны превалировать над дохода-
ми. Но в то же время суммарный поток в течение всего периода реали-
зации проекта должен быть положительным. Кстати, эти соображения
нетрудно записать с помощью функции
A(t) = \2as+ [ a(s)ds, 0<t<T. (1.2)
s<t Jq
При этом естественно сделать это, противопоставляя «нашим» пото-
кам (слева) симметричные им «не наши», например, следующим образом:
1) 3t < Т : A(t) < О, А(Т) >0; 2) 3t < Т : A(t) > 0, А(Т) < 0. (1.3)
А заодно и заявить, что только их и имеет смысл рассматривать (здесь
нужно кое-что уточнить, см. п.2.3). В самом деле, стоит ли, вообще го-
воря, интересоваться потоками типа
1) а0 < 0, А(Т) < 0; 2) а0 > 0, А(Т) > 0. (1.4)
Ведь в первом из них не удается даже компенсировать произведенные
начальные расходы, т.е. иметь А(Т) = 0. А во втором, скажем, не полу-
чается полностью возвратить предоставленный кредит, поскольку, если
кредит взят (ао > 0), то необходимо за это заплатить (А(Т) < 0). Та-
ким образом, здесь мы будем интересоваться лишь потоками типа (1.3.1)
и прежде всего их простейшим частным случаем, когда
а0 < 0, А(Т) > 0. (1.5)
Поскольку считаем, что умения анализировать такие потоки будет достаточно для
свободного общения с любыми потоками.
1 Денежный поток
219
Занимать же нас будет в основном один вопрос: как выделить ситуа-
ции, в которых соответствующий проект можно было бы назвать выгод-
ным или рентабельным?
Пример 1.1. Проект строительства и эксплуатации магазина
Рассмотрим проект строительства и обустройства магазина с целью
извлечения прибыли от его эксплуатации. Проект рассчитан на 13 лет
и предполагает внесение первоначального взноса в 20 000 под строи-
тельство и последующего взноса в 10 000 через год на обустройство
и ввод в эксплуатацию. Предполагается также, что доходы от экс-
плуатации начнут поступать через 3 года и будут иметь постоянную
интенсивность 3 000 в год в течение 10 лет. Наконец, по оценкам вы-
ходит, что через 13 лет магазин может быть продан по цене 6 000.
Опишите ДП, порождаемый проектом, и проиллюстрируйте его на
диаграмме, выбирая за единицу времени 1 год.
Решение. Проект порождает следующий ДП (Т = 13):
а0 = -20 000, ai = -10 000, а13 = 6000; a(t} = 3000, 3 < t < 13.
На рис. 1.1 представлена диаграмма этого потока•
а = (at, a(t))
a(t) = 3000
ai3 = 6000
о 1
з
t
13
О1 = -10 000
а0 = -20 000
Рис. 1.1. ДП для проекта строительства и эксплуатации магазина.
Замечание 1.2. Сразу же обратим внимание читателя на один важ-
ный момент, о котором не следует забывать, приступая к анализу пото-
ка, - в ценах какого года (или каких лет) представлен рассматриваемый
поток. Пока, если не оговаривается противное, мы будем считать, что
прогнозируемые цифры ДП (1.1) выражаются в денежных единицах по-
стоянной покупательной способности •
220
VI Эффективность капиталовложений
2. Два основных подхода
к оценке эффективности капиталовложений
2.1. Доходность проекта. Простейший подход
Определять доходность проекта естественно как
показатель относительного прироста вложенного капитала
в среднем на единицу капиталовложений и
единицу времени жизни проекта.
Но как действовать, используя эту простую мысль? Допустим, что по
формуле
в которой А_(0 = at + a(t) dt есть результат суммирования и
интегрирования по всем t, для которых at < 0, a(t) < 0, т.е. называя
вложенным капиталом суммарные расходы по проекту |А_ (£)| , а приро-
стом вложенного капитала - алгебраическую сумму А(Т) всех элементов
потока. К сожалению, полезность такого определения оценить трудно, а
изъяны очевидны. Например, если менять положение интервала положи-
тельности a(t) из прим. 1.1, т.е. интервала [3, 13] внутри периода [0, 13]
реализации проекта, то это не будет влиять на оценку (2.1), поскольку
интеграл fcc+103000dt не зависит от с, но входит в сумму А(Т).
Тем не менее есть подход, по-видимому, спасающий идею. Дело в том,
что предложенный показатель дает легко рассчитываемую и хорошо от-
ражающую реальность оценку доходности для двухэлементного и дис-
кретного потока а = (ао, ат) типа (1.5), если действовать по только что
указанной формуле (2.1): i = (ао + ат)/Т|ао|. И, кроме того, понятно,
что любой ДП а можно заменить на близкий ему (в некотором смысле)
двухэлементный (ас, ас+т) с некоторым своим сроком реализации т, на-
пример, считая положительную часть ДП просто механической системой
точечных масс с соответствующими весами и расстояниями между ними
и соответственно выбирая в качестве ас+т суммарный доход и помещая
его в центр тяжести с + т этой системы (см. ПВ.З, а также продолжение
прим. 1.1). Ну а далее, поступая аналогично с отрицательной частью по-
тока, т.е. полагая величину ас равной суммарным расходам и помещая
их в центр тяжести с этой части потока, мы придем к оценке типа (2.1):
= (йс 4" ас+т)/т|ас|. (2.1а)
Таким образом, напрашивается следующий двухэтапный подход к оценке
доходности исходного проекта а = (at, a(t)):
2 Два основных подхода
221
1. сначала определить «близкий» ему
двухэлементный поток (ас, ас^.Т) ;
2. затем использовать формулу (2.1а).
Назовем эту оценку доходности средней доходностью (СД) проекта
и попробуем сразу же на конкретном примере разобраться с предложен-
ным двухэтапным подходом. Но прежде автор хотел бы попросить чи-
тателя не торопиться с выводами в отношении качества предлагаемой
оценки. Дело в том, что громоздкая форма представления СД, которой
не удалось избежать выше, противоречит легкости и гибкости ее прак-
тического использования. Во всех примерах этой главы, где СД можно
было использовать, она давала весьма разумные ответы. И кроме того,
даже если эту оценку и не стоит использовать в качестве самостоятельно-
го инструмента, то в роли начального приближения определяемой ниже
внутренней доходности проекта она может просто выручать.
Пример 1.1 (продолжение 1)
Получить оценку г'о средней доходности проекта.
Решение. В рассматриваемой ситуации в качестве близкого двухэле-
ментного потока и соответствующей ему оценки г'о можно выбрать
36 - 30 1
aQ = -30, а9 = 36 , г'о = ~ 0, 022 (т.е. с = 0, г = 9; 1000 = 1).
30-9 45
Иными словами, срок жизни вспомогательного проекта составляет 9 лет,
вложенный в проект капитал равен 30 000, а его абсолютный прирост -
6000. Почему же исходный поток вполне можно заменить на указанный
вспомогательный?
Чтобы понять это, достаточно выполнить следующие действия:
1) перенести сумму в точку 0, совместив с а0 и тем самым получив
а0 = -30 000;
2) заменить 30 000, получаемых непрерывно и за 10 лет, на величину
а8 = 30 000, т.е. поместив всю сумму 30 000 в центр тяжести (или ма-
тематическое ожидание) «распределения» а(£), 3 < t < 13;
3) определить центр тяжести фигуры (а%, сцз) на глазок, как 9, и по-
местить в него суммарную величину 36 000, что как раз и приведет к
а9 = 36 000 •
Замечание 2.1. Читатель мог заметить, что мы дважды нарушили
указания подхода, поскольку отошли от точной записи центра тяжести.
В самом деле, первый раз при замене отрицательного потока (ао, aj на
aQ = -30 000 мы должны были взять величину а^з = -30 000. Ну а
второй - при определении центра тяжести системы точек (ag, Я1з) на
глазок. Вместо того, чтобы положить его равным величине а$+х и найти
х из уравнения 8-30 000+13-6000 = (8 +х)-36 000 . В результате вместо
222
VI Эффективность капиталовложений
равенства ад = 36 000 мы бы имели а8_|_5/6 = 36 000 и соответственно
в качестве оценки СД получили бы величину ig = (6000)/30 000(8,5) =
2/85 = 0,02353.
Ниже мы увидим, что первая оценка оказалась заметно ближе к точ-
ному ответу, чем вторая. Вывод: в этом грубом методе упрощающей
коррекцией общего подхода оценку можно улучшить. Остается лишь на-
учиться эту коррекцию осуществлять.
Ну а в рассмотренном выше случае соображение по коррекции было
очень простым. Метод дает оценку тем лучше, чем шире база, т.е. рас-
стояние между полученными элементами близкого потока. Поэтому мы
сдвинули влево, в точку 0, центр тяжести отрицательной части пото-
ка, а затем компенсировали это нарушение тем, что несколько сдвинули
вправо центр тяжести положительной части потока •
Что же представляет собой «таинственная» СД? Не будем торопиться
с ответом. Хотя бы потому, что пока нам не с чем ее сравнивать (отча-
сти поэтому свое мнение автор предлагает ниже; см. ПБ.3.3). Однако
посмотреть правде настоящего момента в глаза мы все-таки должны. И
потому скажем, что, с одной стороны, введенный показатель использует
все элементы ДП, но с другой - первый этап в его определении лишен чет-
кости и соответственно даже значительные изменения моментов времени
ti могут мало сказываться на оценке. В отличие от других показателей,
к обсуждению которых мы и переходим.
2.2. Приведенная прибыль и внутренняя доходность
Рассмотрим теперь два основных подхода к определению эффективности
проекта или вообще капиталовложений. Конечно, они тоже имеют изъя-
ны. И о них мы поговорим ниже. Однако финансовая практика последних
нескольких десятков лет свой приговор сделала: приведенная прибыль и
внутренняя доходность - это лучшее из того, что к настоящему времени
удалось выработать для этой цели.
Приведенная прибыль
Уточнив или оценив ДП рассматриваемого проекта, финансовый упра-
вляющий компании 1 обязательно захочет сравнить его рентабельность с
другими проектами или капиталовложениями. В частности, он может по-
желать определить, стоит ли занимать деньги для финансирования этого
проекта, каким образом более выгодно провести эту операцию и т.д.
Все это нетрудно сделать, если у компании есть
*Мы могли бы говорить просто инвестор, но предпочитаем форму, в которой до-
стоинства проекта интересуют некоторую компанию.
2 Два, основных подхода,
223
Текущий счет,
с помощью которого она может брать и давать кредиты
под некоторую фиксированнную ставку
непрерывного начисления процентов <£,
эквивалентную ежегодной ставке процента i,
скажем, одну и ту же для займа и кредита.
В самом деле, в этом случае денежные средства, связанные с проек-
том, могут быть гипотетически проведены через этот счет с получением
остатка на момент Т окончания проекта в виде (и = 1 + i — е5)
гТ
W(i) = '^atuT-t + / ит"‘а(?)Л; (2.2)
Jo
суммирование здесь распространяется лишь на значения параметра t,
для которых at / 0. Ну а поскольку эта величина ИДг) имеет смысл на-
копленной прибыли (НП) от проекта, то вывод об эффективности самого
проекта напрашивается сделать именно по ней.
Оказывается, однако, что есть более привлекательная величина, чем
JV(i). А именно, ее ПЗ на момент 0 начала проекта (v = (1 + г)-1)
= (2.3)
J о
также рассматриваемое как функция параметра г. Назовем величину
У(г) по аналогии приведенной прибылью (ПП) от проекта, считая воз-
можным использовать оба названия и для отрицательных значений. Но
отметим, что этот показатель является более интересной характеристи-
кой потока, чем НП (2.2), поскольку имеет смысл даже при Т = оо.
Именно ПП V(i) традиционно считается лучшим инструментом для
определения эффективности проекта, и не только из-за случая Т = оо.
Главное в том, что она аккумулирует в себе всю информацию о ДП. А
точнее говоря, учитывает информацию не только о размерах платежей,
но и о моментах их поступления, причем всех!
Как же используется этот показатель на практике? Да с помощью
простого
ПРАВИЛА ПРИВЕДЕННОЙ ПРИБЫЛИ (ППП):
проект является рентабельным, если V(i) > О
для ставки г указанного выше текущего счета.
Но есть нюанс: смысл ставке г в нем можно придавать и по-другому.
224
VI Эффективность капиталовложений
Дело в том, что многие проекты связаны с определенным риском.
Поэтому еще более естественно (чем использовать ТС) поискать на фон-
довой бирже ликвидный инструмент аналогичного риска и в качестве
ставки дисконтирования или приведения взять его доходность. А есте-
ственно потому, что с его помощью можно легко определить, насколько
доходным окажется вложение денег проекта в покупку данного актива,
поскольку для него известна ежедневно меняющаяся курсовая стоимость
и ее можно спрогнозировать на период проекта. Такую ставку дискон-
тирования называют
интенсивностью наращивания капитала (ИНК)
данной возможности (связанной с указанным финансовым инструмен-
том) 2. Именно ее также можно использовать в вышеуказанном ППП
вместо ставки i ТС.
Внутренняя доходность
С функцией V(i) связан и другой основной критерий эффективности
проекта, а именно его внутренняя доходность (ВД).
Определение 2.1. Внутренняя доходность проекта
Так называется ставка г‘о , которая является решением уравнения
V(z) = 0, (2.4)
если оно существует и единственно. Само же уравнение (2.4) называ-
ется уравнением внутренней доходности (УВД) или уравнением приве-
денной прибыли (УПП). Обычно при этом считается, что ставка г
может иметь смысл, если i > — 1.
Нетрудно видеть, что слово «внутренняя» используется по существу,
а не просто как буквальный перевод английского эквивалента (см. ниже),
поскольку из определения ясно, что величина го является показателем от-
носительной доходности проекта, очень похожей на рассмотренную вы-
ше СД. Иными словами, она также характеризует прирост капитала на
единицу капиталовложений и единицу времени жизни проекта.
Введенное понятие используется в различных областях экономики,
финансов, бухгалтерского дела и т.д. Соответственно в развитых стра-
нах у него много названий. Например, в англоязычных для г‘о использу-
ются такие названия:
internal rate of return (IRR) - внутренняя доходность (ВД),
yield rate - доходность,
yield to redemption - доходность за период до погашения,
money-weighted rate of return - доходность сделки,
for the transaction средневзвешенная относительно ДП.
2Англ.: opportunity cost of capital. Само же это выражение может иметь и совсем
другой смысл: издержки производства, эксплуатационные расходы и т.д.
2 Два основных подхода
225
Пример 1.1 (продолжение 2)
Найти функцию ПП У(г), нарисовать ее график в интервалах (0, 0,05]
и (0, оо], а также определить внутреннюю доходность го проекта.
Решение. В соответствии с (2.3)
У(г) = -20 000 - 10 000v + 3000(аП|. - d^-) + 6000v13.
Рис. 2.1. ПП для проекта строительства и эксплуатации магазина.
Вид этой функции указан на рис. 2.1, а приближенное знамение для
корня го фактически определено выше, когда мы искали СД. Более точ-
ной является величина го = 2,197%, которую в данном случае нетрудно
получить одним из методов, указанных в ПБ, используя СД в качестве
начального приближения. Но такая точность в этих вопросах обычно не
требуется •
Замечание 2.2. Следует признать, что понятию ВД ничто не угро-
жает, поскольку его «любят». Однако до сих пор более уверенному его ис-
пользованию мешало отсутствие надежных способов определения корня
УВД в любом случае «навскидку» (без компьютера) и ряд других факто-
ров. Так вот, многое здесь упирается в начальное приближение, которое
не всегда удается быстро прочувствовать. Похоже, что СД может здесь
выручить. Подробнее об этом см. в ПБ.З, где также обсуждаются методы
решения уравнения (2.4) •
226
VI Эффективность капиталовложений
2.3. Существование ВД и ее роль в оценке
эффективности капиталовложений
О единственности и положительности решения УВД
Поскольку ВД широко используется в качестве показателя финансовой
привлекательности проекта или сделки, то вопрос о единственности ре-
шения уравнения (2.4) в области i > — 1 приобретает большое практиче-
ское значение. Достаточно полный ответ на него можно дать в простей-
шем случае дискретного ДП вида
а = (а/)о</<п, Т = п, (2.5)
а точнее говоря, когда у потока (1.1) нашего типа (1.5) непрерывная
составляющая a(t) = 0, а моменты наступления расходных и доходных
платежей регулярны, т. е. ti = I, 0 < I < п. Более того, для увеличения
общности будем считать, что равенства а/ = 0 при 0 < I < п у потока
(2.5) возможны.
Отметим прежде всего, что довольно часто возникает ситуация, ко-
гда единственность решения очевидна. Именно так обстоит дело в слу-
чае, когда все расходные элементы ДП (а/ < 0) предшествуют доходным
(а/ > 0). Как известно, есть правило Декарта (см. ПВ.З) о числе пере-
мен знака в последовательности коэффициентов уравнения (2.4), которое
нам «на блюдечке» эту единственность приносит. Но все же значительно
чаще встречаются проекты, у которых текущая условная прибыль A(t)
(см. (1.2)) отрицательна на всем «интервале капиталовложений» [0, г],
где т = шах{/, 0 < I < п : сц < 0}. Ведь именно так естественно
назвать период реализации проекта, в течение которого и предусматри-
вется вкладывать средства в проект. Оказывается, что и при таком ДП
единственность корня установить несложно.
Рассмотрим в. качестве УВД алгебраическое уравнение n-й степени
а0 + v + • • • + flnvn — 0 (2.6)
относительно i (v = (1 + г)”1) в условиях
do < 0, A(n) = > 0’ (2.7)
о
A(t) <0, 0 < t < т, где 0 < т = тах{1, 0 < I < п : сц < 0} < п, (2.8)
и сформулируем утверждение, доказательство которого приведено в
ПВ.1. Но прежде хотим обратить внимание читателя на другой аспект.
Одновременно с единственностью из высказанных условий для проектов
типа (1.5) вытекает и положительность искомого корня уравнения (2.6),
являющегося частным случаем уравнения (2.4).
2 Два основных подхода
227
Теорема 2.1. Существование ВД
Если ДП типа (2.5) удовлетворяет условиям (2.7), (2.8), то соответ-
ствующее УВД (2.6) имеет единственное решение г’о в области г > — 1,
причем io > 0.
Чтобы читатель лучше представлял суть высказанного утверждения,
укажем сразу ситуацию, в которой выполнены условия (2.7), (2.8), причем
в ней есть два корня УВД: один «лишний», ii < -1, а другой, io > 0,
нас «устраивает» и представляет собой ВД.
Пример 2.1
Для срочного приобретения выгодных акций брокеру пришлось пойти
на соглашение, в котором он обязуется погасить свой долг - сумму
2000, взятую двумя равными частями в начале и в конце месяца, - через
два месяца суммой 3000. Определить среднюю ежемесячную доходность
кредитора в этой сделке.
Решение. Пусть i - искомая ставка и 1000=1. Тогда УВД можно за-
писать в виде
3v2 - v - 1 = 0.
Нетрудно видеть, что v = |[1 ± л/ТЗ], и потому это уравнение имеет два
корня г’о = 0,30276, ii = -3,30256 •
Замечание 2.3. Напомним читателю, что теория алгебраических
уравнений n-й степени содержит довольно мощные теоремы (например,
теоремы Декарта, Евклида, Штурма), которые позволяют отвечать на
самые сложные вопросы относительно числа корней, их расположения на
оси и т.д. Правда лишь в том случае, если уравнение имеет конкретный
порядок и у желающего получить эти ответы найдется немного терпения.
В то же время ответы на сравнительно простые, но практически важные
вопросы для общего уравнения эти же теоремы получить не позволяют.
Теорема 2.1 несколько исправляет положение в отношении интересующих
нас потоков. Кстати, читатель, наверное, уже заметил, что форма (1.5)
записи этих ДП ничем не отличается от условия (2.7) •
Два правила и их связь с ВД
Допустим сначала, что компания, интересующаяся проектом, может да-
вать и брать деньги в кредит под ежегодную фиксированную ставку
процента х , т. е. имеет соответствующий ТС. Тогда она может легко
«прикинуть», окажется ли выгодным и если да, то насколько, данный
проект, если все расходные и доходные элементы соответствующего ему
ДП провести через данный ТС. Иными словами, она может рассчитать
величину V(x), которая окажется ПЗ по этой ставке всего ДП, связан-
ного с проектом, и считать, что проект является рентабельным тогда и
только тогда, когда V(x) > 0 (другой вопрос, насколько рентабельным,
мы пока оставляем в стороне!). Но это и есть ППП.
228
VI Эффективность капиталовложений
Как же связано это правило с ВД проекта? Дело в том, что в случае
ДП типа (1.5) нетрудно видеть, что
V(0) - Л(Т) > 0, V(oo) = a0 < 0.
Поэтому, если ВД существует - т.е. решение го уравнения (2.4) в области
i > — 1 существует и единственно, - то ВД io > 0. А это означает, что
левее точки г'о значения функции У(г) в области г > -1 положительны,
а правее - отрицательны. Таким образом, в соответствии с ППП проект
естественно назвать рентабельным, если
ставка указанного выше текущего счета меньше ВД: х < г’о-
Однако, представляя рискованность рассматриваемого проекта, ком-
пания может найти финансовый инструмент аналогичного риска и попы-
таться понять, насколько выгодным окажется реализация капиталовло-
жений проекта с ним. Таким образом, в принципе она сможет сравнить
ВД проекта iq , т.е. решение уравнения (2.4), с доходностью х от анало-
гичных капиталовложений, скажем, в найденные акции и, если
ИНК проекта г’о окажется больше ИНК х от использования акций,
то это будет означать, что проект лучше данных акций и, следовательно,
является рентабельным. Так мы приходим к
ПРАВИЛУ ВНУТРЕННЕЙ ДОХОДНОСТИ (ПВД):
проект является рентабельным, если его ВД г’о > х,
где х - доходность вспомогательного финансового инструмента.
Итак, мы отметили два варианта использования ВД для оценки ка-
чества проекта. При этом оказалось, что оба они сводятся к одному и
тому же утверждению, а именно:
проект является рентабельным, если его ВД г’о > х. (2.9)
Причем независимо от того, какой из двух вариантов выбран для ставки
х : ставка ТС компании или доходность конкретной ЦБ, сравнимой по
риску с проектом. Конечно, это не случайно.
Хотя указанные два фактора и естественно выделить как основные,
но оба они в принципе представляют собой лишь два частных случая
просто некоторой возможности (у инвестора или компании) наращи-
вать капитал, с которой имеет смысл сравнить эффективность вложе-
ния средств в рассматриваемый проект. Недаром в американской прак-
тике любят использовать выражение Opportunity Cost of Capital. И пе-
реводится оно на русский язык чаще именно так: стоимость (в смысле
«эффективность использования») капитала «данной возможности»3.
3Вообще же это выражение может иметь совсем другой смысл - например,
«эксплуатационные расходы».
2 Два, основных подхода,
229
Еще раз об основном варианте ДП этой книги
Есть еще один момент, который пора уточнить прежде, чем приступить
к знакомству с многообразием реальной жизни на примерах. Это вопрос
о том, каким образом следует выделять ДП, рассматриваемые в данной
книге. Дело в том, что выше, в п.1.3, они были представлены не совсем
корректно, хотя сделано это было сознательно, ради упрощения разгово-
ра на начальном этапе знакомства с темой.
Для финансовых утверждений, вообще говоря, характерно, что даже
небольшое отклонение от простейшей ситуации может привести к неточ-
ностям в выражениях и соответственно к недоразумениям (и об этом мы
не раз напоминали читателю), настолько непросто учесть все открываю-
щиеся возможности и правильно сформулировать какое-.то предложение.
Однако всегда есть другая сторона: при желании понять, что хотели ска-
зать другие, это чаще всего можно сделать без особого труда.
Примером такой ситуации является попытка в п.1.3 высказаться по-
точнее о ДП, которые будут интересовать нас в этой книге. Словами,
выделенными курсивом и приведенными непосредственно перед опреде-
лением (1.2) условной стоимости проекта в момент t, мы вроде бы точно
описали желаемый класс проектов. Но что получилось, когда мы записа-
ли эти слова в виде (1.3.1)? С одной стороны, (1.3.1) является буквальным
повторением этих слов в математической форме, а с другой - проекты
типа (1.4.2) (о которых мы сказали, что их не имеет смысла рассма-
тривать), как нетрудно видеть, могут быть частным случаем проектов
(1.3.1)! И это при том, что рассматривать их действительно нецелесо-
образно (что мы и объяснили в п.1.3).
Итак, запись интересующих нас ДП не совсем удачна. Поэтому, с од-
ной стороны, будем искать иную форму их записи, а с другой - все-таки
признаем, что некоторые основания использовать запись (1.3.1) есть, тем
более, что для нас здесь важно то, что большая часть интересующих нас
таких ДП может быть записана в виде (1.5).
Практическое использование ППП и ПВД
Начнем теперь знакомиться с тем, какую пользу введенные понятия при-
носят в различных ситуациях. Конечно, при этом нас будет интересовать
и разнообразие форм, в которые практическая жизнь «одевает» указан-
ные выше подходы. А в качестве первого шага рассмотрим следующие
два примера.
Пример 1.1 (продолжение 3)
Допустим, что предприниматель, решивший реализовать рассматри-
ваемый проект, имеет текущий счет с одной и той же ставкой 2%
по займу и кредиту. Определить, является ли данный проект рента-
бельным для него по ППП и, если да, то какой окажется прибыль на
момент его окончания.
230
VI Эффективность капиталовложений
Решение. ДП меняет знак лишь один раз и потому ВД существует.
Выше мы нашли, что io « 2,2%, т.е. iQ > х = 2%. Следовательно,
проект является рентабельным, а его прибыль на момент окончания есть
величина
IV(0,02) = V(0,02)(1,02)13 = 481(1,02)13 = 622 •
Чтобы познакомиться получше с ПВД, предположим, что у вас есть
большой участок строевого леса, расположенный в недоступной местно-
сти. Ясно, что при желании реализовать свое богатство, вам придется
осуществить значительные капиталовложения, скажем, в строительство
подъездных дорог, приобретение соответствующей техники и т.д. При
этом предсказываемый рост цен на пиломатериалы и рост самих деревьев
со временем заставят вас откладывать момент начала распилки леса и
его реализацию (если принято решение проводить эту операцию быстро).
В то же время прогнозируемый рост расходов на подготовительные ра-
боты вызывает обратное желание и потому возникает проблема выбора
оптимального момента (в табл. 1000 = 1; hn в %).
Годы, п 0 1 2 3 4 5
Чистая прибыль Wn 50 64,4 77,5 89,4 100,0 109,4
ПП Vn = Wn(l,l)-” 50 58,5 64,0 67,2 68,3 67,9
ИНК проекта hn = Wr\^Wn~l _ ?Tn—1 28,8 20,3 15,4 11,9 9,4
Допустим, что ожидаемая чистая прибыль Wn от этой операции при
ее окончании в некоторый будущий момент времени п задается первой
строкой таблицы. Из нее видно, что чем дольше вы будете ждать, тем
больше денег заработаете. Но вас в большей степени интересует макси-
мизация не абсолютной прибыли, а средней ежегодной доходности. По-
этому во второй строке приведены значения Vn ПП для разных «мо-
ментов остановки» (при ставке дисконтирования 0,1) Из нее видно, что
оптимальным моментом является 4-й год, поскольку именно на него при-
ходится максимальное значение ПП. Кроме того, из третьей строки сле-
дует, что ИНК проекта hn (за последний год ожидания п ) первые годы
больше 0,1, а после четвертого становится меньше этой величины.
Эффективность кредита. Ставки реинвестирования
На первый взгляд может показаться, что ставка, под которую деньги да-
ются в долг, и означает доходность этой операции для инвестора. Одна-
ко на самом деле эта доходность зависит от многих факторов. И прежде
всего от ритма возвращения долга и так называемой ставки реинвести-
рования, т.е. ставки, по которой возвращаемые суммы инвестируются
вновь.
2 Два основных подхода
231
В случае, если кредитор оказывается не в состоянии разместить по-
купаемые от заемщика деньги хотя бы по такой же ставке, то общая
доходность операции будет меньше первоначальной ставки. Однако, ес-
ли ставка реинвестирования окажется больше нее, то и общая доходность
должна быть выше. Например, пусть 1 денежная единица предоставля-
ется в долг на п лет под ежегодную ставку процента i, причем вы-
плачиваемые в конце каждого года проценты сразу инвестируются на
оставшийся срок под ежегодную ставку процента j (рис. 2.2). Тогда
нетрудно видеть, что, получал через п лет положенную ему сумму s,
инвестор будет иметь ВД х от операции, определяемую из соотношения
(«1 = 1 + г)
s = l + is-. — и*
п| х
И ясно, что х — i в том и только в том случае, когда j = г.
I i i i г г
О 1 2 3 n - 1 n
Рис. 2.2. Реинвестирование процентных платежей
В последние годы ставки реинвестирования используются в финансо-
вых расчетах все более широко и играют более важную роль, чем ранее.
Возможно, это связано со значительно большей изменчивостью ставок, а
также с большей подготовленностью инвесторов сейчас, на рубеже веков.
Пример 2.2
Взносы размера 1000 предполагается дёлатъ в фонд в начале каждо-
го из последующих 10 лет. Каждый платеж приносит 7% ежегодно,
причем считается, что поступающие в конце года проценты от соот-
ветствующих взносов начала года инвестируются на оставшийся срок
уже под 5% годовых. Определить (рис.2.3)
1) сумму W на счету фонда через 10 лет, а также
2) цену Р покупки сейчас «результатов обработки этой ренты» в фон-
де для инвестора, который хочет получить ВД от операции в 8%.
Решение. Пусть i = 0,07, j = 0,05, п = 10 и 1000=1. Тогда НЗ W
нашей ренты на конец 10 года можно записать в виде (см. (П1.4.4))
1+ = n + iun}(Ia}^} = п + i(Is)^j = п + (i/j)[s^ - (n + 1)].
1. Поэтому в нашем случае W = 1000(10 + (7/5)(14,2068 — И)] = 14 490.
Причем, ка!< и следовало ожидать, полученный ответ лежит между сле-
дующими двумя числами: 1000sjq|O 05 = 13 2 07, 1000sjq|O 07 = 14 784.
2. Нетрудно видеть, что искомая цена Р = 14 490(1,08) —10 = 6712 •
232
VI Эффективность капиталовложений
Рис. 2.3. Реинвестирование процентных платежей
Важным соображением для инвестора является так называемая ин-
тенсивность возвращения долга, предусматриваемая схемой предоставле-
ния кредита. Чем выше эта интенсивность, тем большее значение имеет
ставка реинвестирования. И наоборот, чем меньше интенсивность, или
скорость возвращения кредита, тем дольше определяет ситуацию перво-
начальная ставка.
Пример 2.3
Предположим, что ссуда размера 1000 предоставляется каждому из
трех различных заемщиков на 10 лет под одну и ту же ежегодную став-
ку процента 9%, но схема ее возвращения у каждого своя:
1) взятая сумма возвращается вместе с процентами через 10 лет,
2) сумма возвращается через 10 лет, а проценты выплачиваются
в конце каждого года,
3) погашение суммы кредита и оплата процентов происходят за счет
постоянных ежегодных выплат в конце года.
Определить ВД от такого предоставления займа для кредитора в
каждом из трех случаев, если он в состоянии реинвестировать полу-
чаемые суммы до конца срока кредита лишь под ежегодную ставку 7%
(здесь лучше говорить «ставку» вместо «ставку процента»).
Решение. Пусть х - искомая ВД, a W - НЗ выплат по ссуде по ставке
7% на момент 10 окончания её срока. Тогда для х имеем уравнение
1000(1 + ж)10 = W.
1. В этом случае до момента 10 выплат нет. Но W — 1000(1,09)10 и
потому, очевидно, ВД совпадает с первоначальной ставкой в 9%.
2. На этот раз проценты выплачиваются раньше срока. Поэтому имеем
уравнение
W = 1000 + 90sio|o,O7 = 2243,48 = Ю00( 1 + г)10.
Откуда х = 8,42% < 9% и видно, что ставка реинвестирования начинает
сказывается.
3. Здесь интенсивность возвращения долга самая высокая, поскольку к
конце каждого из 10 лет выплачивается сумма b = 1000/ауд|О9 = 155,82.
Таким образом, ясно, что ВД должйа быть минимальной. Она таковой и
оказывается:
W = 6sTo|o,O7 = 155,82-13,8164 = 2152,88= 1000(1 + х)10, х = 7,97%‘*
2 Два основных подхода
233
2.4. Сравнение инвестиционных проектов
Продолжим рассмотрение простейших ситуаций, в которых можно ис-
пользовать введенные выше понятия ПП и ВД. Причем затронем в них
два способа сравнения, один с явным использованием ВД, а другой, так
сказать, с неявным ее использованием. Кроме того, хотя речь в примерах
будет идти о двух проектах, но сами способы, очевидно, годятся и для
сравнения нескольких проектов.
Основной вариант сравнения
Допустим, что требуется сравнить два варианта капиталовложений или
проекта. Причем ответ требуется дать с помощью ПП и ВД, т.е. осно-
вывать свое суждение инвестору можно лишь на представляющих эти
проекты ДП. Для простоты будем считать, что
1) у этого инвестора есть ТС с одной и той же ставкой х для займа и
кредита, а также, что
2) брать в долг он может сколь угодно большие суммы.
И рассмотрим сначала следующий конкретный пример.
Пример 2.4. В какой из двух займов вложить деньги?
Займ 1. Покупка ренты
дает возможность за 10 000 получать ежегодно 1000,
выплачиваемую равными частями в конце каждого
квартала, в течение 15 лет.
Займ 2. Покупка ПО облигаций по цене 100 за штуку
дает возможность за 11000 помимо 605,
выплачиваемых в конце каждого года, в течение 18 лет,
получить также исходную сумму в конце этого периода.
Предполагается, что инвестор может брать и давать деньги в кре-
дит по ставке 4% годовых. Посоветуете ли вы ему вложить деньги в
какой-либо займ или даже предпочесть какой-то из них, как более вы-
годный?
Решение. Для займа 1 имеем
Ц(г) = -Ю 000 + 1000а^.
Поэтому его ВД определяется из уравнения ей.
1Ь |i
»о(1) ~ 0,0588. Что же касается займа 2, то
= 10, что дает
V2(i) = -11 000 + 605(4, + 11 000v18,
' ' 1о|
и здесь решение уравнения V2(i) = 0 очевидно (почему?): г0(2) = 0,055.
По условиям у инвестора есть ТС со ставкой х = 0,04, которая мень-
ше ВД обоих проектов. Поэтому оба они могут считаться рентабель-
ными. Но можно ли считать проект 1 более выгодным, поскольку его
234
VI Эффективность капиталовложений
доходность выше: го(1) > го(2) ? Для ответа на этот вопрос определим
ПП обоих проектов. Оказывается, что здесь вывод может быть другой.
Проект 2 лучше, поскольку дает большую прибыль:
Ц(0,04) = 1284 < V2(0,04) = 2089 .
Итак, оценки с помощью заданных инструментов (ПП и ВД) сделаны.
И это главное, хотя ответа на поставленный вопрос мы пока и не полу-
чили. Это обычная ситуация в реальной жизни. И окончательный выбор
часто позволяют сделать соображения, далекие от теории. В рассмотрен-
ном же случае можно рекомендовать оба проекта как прибыльные, а если
надо выбирать один из них, то стоит предложить проект 2, как имеющий
большую прибыль и не только в абсолютном смысле, но и в среднем на
год (116 > 85,6) •
Рис. 2.4. Сравнение капиталовложений
Если посмотреть на графики ПП обоих проектов (рис. 2.2), то станет
ясно, что рассмотренный пример неплохо иллюстрирует один важный мо-
мент. А именно, что выбор варианта капиталовложения сильно зависит
от ставки х , по которой инвестор может давать и брать деньги в кре-
дит. В самом деле, если бы х = 5,75%, то рекомендованный только что
проект 2 оказался бы просто убыточным, в то время как проект 1 оста-
вался выгодным. Из графика же видно, что существует точка I « 0,051,
в которой Vi = V2 и, следовательно, при любых х < I (а не только при
х = 0,04) проект 2 должен иметь большую прибыль, чем проект 1.
2 Два основных подхода
235
Еще одно правило
Следующий пример использует так называемое правило эквивалентных
ежегодных расходов (ЭКВЕР) проекта, позволяющее сравнивать проек-
ты разных сроков жизни. Точнее говоря, ЭКВЕР величины х соответ-
ствующего проекту ДП типа (2.5) определяются из условия
п
^а^ = ха^ (2.10)
О
где ставка дисконтирования i означает ИНК вспомогательного финан-
сового инструмента. В соответствии же с правилом ЭКВЕР для каждого
из проектов (но при одной и той же ставке i) требуется рассчитать ха-
рактеризующую его величину х с помощью (2.10) и признать лучшим
тот проект, у которого она меньше.
Пример 2.5. Стоимость президентского комфорта
Президентский реактивный лайнер используется уже два года, но вам,
как члену Совета директоров компании, только сейчас пришла в го-
лову простая идея. Вы считаете, что использование лайнера другими
руководящими работниками компании увеличит его эксплуатационные
расходы всего на 20 000 в год, но в то же время сэкономит 100 000
в год на авиабилетах для них. Одновременно вы понимаете, что но-
вая интенсивность полетов заставит заменить старый самолет на
новый через три года вместо четырех. Кроме того, новый лайнер сто-
ит 1 100 ООО и при настоящей слабой интенсивности полетов его срок
жизни составит 6 лет.
Предположим, что компания не платит налоги, а ИНК имеющихся
у нее финансовых инструментов составляет 8%. Должны ли вы в этом
случае попытаться убедить своего президента разрешить членам Со-
вета использовать самолет?
Решение. В нашей ситуации, очевидно, есть два разных варианта экс-
плуатации лайнера. Однако эти варианты все-таки требуется уточнить
с тем, чтобы можно было однозначно записать уравнение (2.10) для ка-
ждого из них (рис. 2.5).
> поо
ь ь ь ь ь ь
t
0 1 2 3 4 5 6
старый вариант
< 1100
b b 6-80
|| t
0 1 2 3 4 5
новый вариант
, Рис. 2.5. Два варианта эксплуатации лайнера
Будем считать нулевым момент покупки лайнера два года назад. И
назовем старым вариантом эксплуатацию лайнера все 6 лет в прежнем
236
VI Эффективность капиталовложений
режиме, а новым - тот, в котором изменение режима эксплуатации па-
дает на последние три года. Следовательно, этот вариант-проект длится
5 лет. Кроме того, предположим, что ежегодные эксплуатационные рас-
ходы составляют неизвестную нам постоянную величину b и приходятся
всегда на конец года, как и другие выплачиваемые суммы.
Тогда, полагая, что все эти суммы записываются в 1000 денежных
единиц, мы можем записать оба уравнения для соответствующих величин
х/, I = 1, 2, каждого варианта в следующем виде:
1100 + b • fleiQ Qg = • аб|о,о8> (2.10а)
1100 + Ь • «5|0 08 ~ 80v2 • ^з|о о8 — х2 • а5|0,08- (2.106)
Отсюда, используя финансовые таблицы ПД.1 будем иметь
хх - Ь = 1100/Лб|О,О8 = 1Ю0/4,6229 = 237, 946,
1100 — 80и2 • аз|0 08 1100- 80-0,85734-2,5771 _
Хэ — и — ----------------- — ------------------------- — Zol, Zoo,
а5|о,о8 3,9927
и соответственно получим: х\ = b + 237,946, Х2 = b + 231,233.
Итак, новый вариант действительно выгоднее. И потому президента
стоит уговаривать пойти на него. Конечно, если он сочтет ежегодную
плату за свой комфорт в 6713 слишком большой или поймет, что эта
плата возрастет до 42 443, при полном переходе (что это такое?) на более
интенсивную схему использования самолета •
Ситуация выбора оптимального варианта эксплуатации лайнера, с ко-
торой мы только что познакомились, представляет собой пример скры-
того использования ВД проекта. Дело в том, что само уравнение (2.10)
можно «прочитать» как равенство ПЗ обязательств двух сторон в случае
предоставления в аренду проекта, реализованного за счет средств компа-
нии и тем самым направленного на получение определенной доходности.
При этом, конечно, величина х будет играть роль ежегодной платы за
аренду и будет известна, а сама ставка дисконтирования i превратится
в неизвестное переменное уравнения (2.10), решение которого как раз и
будет ВД компании от аренды.
Так, в рассмотренном выше примере компания закупила самолет, за-
пустила его в эксплуатацию и поддерживает в каком-то режиме. Левая
часть равенств (2.10) тогда как раз и будет представлять ПЗ соответ-
ствующих расходов компании. Ну а обе правые, естественно, окажутся
ПЗ арендной платы. При этом, очевидно, что ВД от аренды одинакова
(0,08) только потому, что плата за аренду различна. И если плату за
аренду, скажем, во втором случае оставить прежней, то ВД от аренды
должна быть меньше 0,08.
2 Два, основных подхода
237
2.5. Две различные ставки на текущем счету
До сих пор мы предполагали, что инвестор может брать и давать деньги
в кредит по одной и той же ставке процента х . На практике, однако, ему
приходится оплачивать получение кредита по большей ставке у, чем его
предоставление - пусть здесь остается ставка х. Это объясняется мно-
гими факторами, но первым и вполне понятным является тот факт, что
сама техническая организация этой финансовой операции часто требует
оплаты.
В этой ситуации идеи ПП и ВД, вообще говоря, теряют свой смысл. И
потому остается лишь рассчитывать величину прибыли на конец проек-
та, опираясь на известные принципы и учитывая, в какой из двух стадий
(дебетовой или кредитовой) находится счет инвестора. Кроме того, во
многих практических случаях баланс (остаток) на счету инвестора явля-
ется отрицательным до некоторого момента ti и положительным затем,
вплоть до окончания проекта. Значит, до этого момента действует став-
ка у , а после - ставка х . И это позволяет достаточно просто рассчитать
как величину , так и прибыль на момент окончания проекта Т. Про-
иллюстрируем эти соображения на конкретном примере.
Пример 2.6. Проект открытой разработки угольного карьера
Горнорудная компания считает, что карьер по открытой добыче угля
будет давать 10 000 т угля в год, непрерывно в течение 10 лет. После
чего придется вложить в его восстановление 300 000 (имеется ввиду
просто приведение в порядок всего участка). Получение прав на разра-
ботку карьера оценивается в 1 000 000, а ежегодные расходы на эксплу-
атацию участка - в 200 000, причем выплачиваемых непрерывно.
Компания не имеет возможности профинансировать проект, но мо-
жет получить банковский кредит под первоначальный взнос в 1 000 000
по ставке 12% годовых. Предполагается также, что погашение долга
может быть произведено любым образом, по желанию компании. Одна-
ко есть условие - компания должна все доходы, возникающие в процессе
реализации проекта и не предназначенные для погашения или выплаты
процентов, направлять на счет этого же банка и держать там до
окончательного расчета по проекту, получая за это 10% годовых.
Совершенно ясно, что существует так называемая безубыточная
цена 1 т угля Р, при которой компания выполнит все свои обязатель-
ства и останется в нулях. Определить эту стоимость, а также вели-
чину периода ti , в течение которого компания погасит свой долг перед
банком (при этой цене !).
238
VI Эффективность капиталовложений
Решение. ДП проекта имеет простой вид (1 < t < 10):
a0 = -1 000 ООО, аю = -300 000, a(t) = b = 10 000Р - 200 000.
Но как действовать компании в рассматриваемой ситуации? Она, конеч-
но, может все свои доходы направлять на 10%-ный счет банка и накап-
ливать их там до окончания проекта и цену Р определить из того же
условия погашения всех своих обязательств. Однако ясно, что это будет
самый невыгодный для компании вариант, поскольку в то время, когда
долг компании будет расти со скоростью 12% в год, увеличение ее соб-
ственных средств будет происходить гораздо медленнее - со скоростью
10%. Соответственно и получаемая цена не будет минимально возможной.
Но вышесказанное делает понятным и другое: самым выгодным должно
быть направление всех возникающих доходов сначала на немедленное по-
гашение долга банку и лишь затем на его 10%-ный счет с целью накопить
средства для оплаты 300 000.
Будем считать, что соответствующую этой тактике минимальную
безубыточную цену и предлагается найти в задаче. Тогда для определе-
ния периода мы имеем уравнение
1 000 000(1,12)'* =6s-f2 * * *,
11
или, что то же самое,
106 * * = ba^12. (1)
Но после момента ty , когда погашать уже будет нечего, все свои средства
компания будет направлять на 10%-ный счет и потому обнуление баланса
на этом счету на момент 10 можно записать в виде
bs£—, - 300 000 = 0.
1О-П|.
(2)
Остается, таким образом, решить систему двух уравнений (1), (2) с
двумя неизвестными ti, b , а уже затем по b определить искомую величи-
ну Р. Исключая из этой системы величину b , получаем для уравнение
0,3a^2 = затем переписываем его, например, в виде
с 11 1U с 11
[(1, l)10“fl](l, 12)*1
(1,12)6 - 1
= 0,3
In 1,1
In 1,12
= 0,2523
и решаем методом проб и ошибок, привлекая линейную интерполяцию.
Находим, что ti = 8,481 и, следовательно, b = 183 515 . Отсюда и полу-
чаем, что
о 200 000 + 6 _
Р = —= 38,35
10 000
и есть минимальная цена тонны угля, которая сделает проект прибыль-
ным •
2 Два основных подхода
239
Замечание 2.4. Мы специально недостаточно корректно сформу-
лировали эту задачу. Дело в том, что для многих практических задач
обычным является существенное изменение исходной формулировки в
процессе знакомства с нею. Таким образом, ее коррекция является как
бы обязательной стадией рассмотрения любой реальной задачи. И здесь
мы об этом напоминаем •
Определив безубыточную цену и зная текущие цены на уголь, мы
сможем ответить на главный вопрос: является ли возможная прибыль
от проекта достаточной для его принятия? При этом ясно, что поло-
жительный ответ может быть дан и при более жестких условиях банка,
предоставившего кредит, когда соответствующая им безубыточная цена
заметно выше.
Пример 2.6 (продолжение)
Предположим теперь, что 1) вся сумма кредита должна быть возвра-
щена только через 10 лет, 2) проценты должны выплачиваться не-
прерывно, хотя и в том же размере, и при этом 3) излишки доходов
компании (то, что остается от доходов после оплаты процентов по
кредиту) по-прежнему должны сразу направляться на счет банка с кре-
дитной ставкой х = 0,1. Какова в этих условиях минимальная цена Q
тонны угля, которая делает проект рентабельным?
Решение. Прежде всего заметим, что ежегодные проценты по ссуде
составляют величину 1 000 000<£о,12 = ИЗ 329 (5г = In(1 + г)). Поэтому
после их оплаты у горнорудной компании, но на 10%-ном счету банка,
остается непрерывный ДП постоянной интенсивности
с = 10 000Q - 200 000 - 113 329 = 10 000 Q - 313 329
в год в течение 10 лет. И именно с его помощью ей нужно в конце 10
года не только погасить задолженность в 1 000 000 перед банком, но и
оплатить 300 000 на восстановление участка. Таким образом, выходи?/
на второе уравнение
c^l1 = 1 300 000,
которое дает с = 77 744 , а затем из первого получаем Q = 39,11 •
Итак, в обеих ситуациях мы можем дать оценку рассматриваемому
проекту, поскольку смогли рассчитать возможную прибыль на момент
его завершения, несмотря на разные ставки по займу и кредиту. Нетруд-
но понять, что и в более сложных ситуациях, когда обе ставки меняются
со временем, или когда ставок больше, можно действовать совершенно
аналогично. И это хорошо. Но все же проблема определения доходности
проектов в подобных ситуациях остается. Хотя бы потому, что без до-
ходности трудно сравнивать проекты друг с,другом.
240
VI Эффективность капиталовложений
3. Внутренняя доходность - хороший,
но опасный инструмент
ВД часто используется в финансовых делах. Многие компании даже пред-
почитают этот показатель ПП. Но считают так не все. Чаще говорят, что
хотя оба эти критерия формально эквивалентны, но правило, связанное
с ВД, нередко может ввести в заблуждение. Почему? Здесь есть несколь-
ко возможностей и мы в порядке углубления наших представлений о ВД
выделим три из них. При этом, иллюстрируя на примерах указанные
возможности, будем сравнивать доходность рассматриваемого проекта с
ИНК у некоторого гипотетического финансового инструмента, эквива-
лентного по риску нашему проекту. Для простоты эта ИНК всегда будет
полагаться равной 0,1.
Не следует думать, что с ПП угодить в ловушку, т.е. прийти к оши-
бочному заключению, невозможно. Просто автору ближе точка зрения,
согласно которой с ВД это сделать легче. И потому о подобных подво-
хах со стороны ПП мы упомянем в отдельных примерах, а опасностям,
связанным с ВД, посвятим отдельный параграф.
3.1. Кредитование или заимствование
Нетрудно видеть, что следующие два проекта имеют одинаковую ВД в
50%.
Проект ао «1 ВД, % V(0,l)
1 -1000 1500 50 364
2 1000 -1500 50 -364
Действительно, -1000 + 1500/1,5 = 1000 - 1500/1,5 = 0. Но можно
ли в связи с этим говорить, что эти проекты однаково привлекательны?
Конечно, нет. Ведь в случае проекта 1, где сначала нужно заплатить,
имеет место предоставление кредита по ставке 50% годовых. В случае же
проекта 2, наоборот, речь идет о получении кредита по той же ставке. Но
когда мы даем деньги в долг, то хотим получить высокую доходность, а
когда берем - то низкую себестоимость операции. Таким образом, такие
проекты могут оцениваться как бы с разных точек зрения.
И это одна из причин, по которым здесь мы рассматриваем лишь ДП
типа проекта 1 (проект 2 не удовлетворяет условиям (1.3.1)!). Тем. не ме-
нее представляется нелишним еще раз напомнить о том, что одинаковая
доходность еще мало о чем говорит. Обычно при этом нужно взглянуть
на тип ДП и значение ПП при некоторой фиксированной ставке дискон-
тирования. Иначе можно промахнуться!
3 Внутренняя доходность - это опасно
241
3.2. Случай, когда корней много или их совсем нет
Выше мы заявили: ВД в таких случаях не определена. Однако не все так
просто и бывают ситуации, в которых естественно сделать исключение
из этого правила. Ниже мы познакомим читателя с конкретными приме-
рами подобных ситуаций.
Кроме того, ситуации со многими корнями могут казаться читателю
искусственными и редко возникающими в реальной жизни. Оказывается,
однако, что они не просто встречаются на практике, но в определенном
смысле их можно даже назвать типичными, поскольку существуют совер-
шенно определенные факторы, приводящие к возникновению ситуаций с
большим числом корней и соответственно позволяющие предвидеть эти
ситуации. Некоторые такие факторы упомянуты ниже, после рассмотре-
ния прим. 3.1.
Но также возможны и встречаются на практике случаи, в которых
либо нет корней в диапазоне i > — 1, либо вообще все корни являются
комплексными числами. Четкого ответа на вопрос, что делать в такой
ситуации, теория не дает. Но некоторые соображения все же можно вы-
сказать, хотя опять-таки только после рассмотрения конкретных приме-
ров, к чему мы и приступаем.
В большинстве стран считается обычным, что налоги с доходов взи-
маются через некоторое время после их возникновения. Как, например,
в случае Гэрби Вора, управляющего небольшого завода по консервиро-
ванию овощей, которому предстоит разобраться, в какой степени налоги
съедят прибыль от рекламной компании.
Пример 3.1. Налоги и рекламная компания
В соответствующем проекте рекламной компании предполагается,
что за первоначальным взносом в 1 000 000 должно последовать уве-
личение доналоговой прибыли в пяти последующих периодах, причем на
300 000, которые будут поступать в конце каждого из них. Сами нало-
ги предполагается оплачивать со сдвигом в 1 период, причем по ставке
50% за период.
Нарисовать график ПП проекта, т.е. функции у = V(г) , определить
значение V(0,1) и высказать мнение о том, существует ли у проекта
ВД и какова она.
Табл. 3.1. ДП рекламной кампании
Период
0 1 2 3 4 5 6
। Реальная прибыль -1000 300 300 300 300 300
^Налоги 500 -150 -150 -150 -150 -150
Чистая прибыль (ДП) -1000 800 150 150 150 150 -150
242
VI Эффективность капиталовложений
Решение. Начнем со знакомства с табл. 3.1 реальных поступлений и
отчислений проекта, в которой определен и сам ДП проекта (обратите
внимание, что налоги в ней берутся с разницы «доходы - расходы» неза-
висимо от ее знака; кроме того, здесь и ниже 1000=1).
Из него ясно, что в рассматриваемом случае
5
V(i) = -1000 + 800V+ 150^2 vk - 150t;6>
2
и, следовательно, функция ПП имеет следующий вид (рис. 3.1):
Рис. 3.1. Уравнение ВД имеет два корня
Из рисунка видно, что УВД имеет два корня. Проверка (только в от-
ношении второго.- для первого очевидно!) позволяет убедиться в том,
что этими корнями являются г0(1) = -0,5, го(2) = 0,152, a V(0,1) =
74,9. В результате, проведя все эти вычисления, мистер Вор решает,
что ставку г‘о(2) = 15,2% можно считать ВД проекта, если в предстоя-
щие 2 года инфляция будет положительной. Иными словами, он как бы
сократил область интересующих его ставок с полуплоскости г > — 1 до
г > 0 и тем самым получил единственный корень УВД (в интересую-
щей его области). Кроме того, ему ясно, что при ИНК 10% < io(2) он
получит прибыль •
В рассмотренном примере причиной двух корней УВД безусловно
является двойное изменение знака у ДП. Ясно также и то, что обусловле-
но это изменение задержкой в оплате налогов. Причем, надо сказать, что
это далеко не единственный вариант жизненной ситуации, приводящий
к двум и более корням УВД.
Так, нетрудно представить себе ситуацию, в которой число перемен
знака в ДП велико. Например, если капиталовложения проекта касаются
3 Внутренняя доходность - это опасно
243
производства какого-либо изделия или продукта на достаточно продол-
жительном промежутке времени и когда расходы периодически повторя-
ются, чередуясь с доходами. Более того, во многих проектах существует
даже статья - так называемые расходы по прекращению эксплуатации.
Например, прекращение эксплуатации ядерного реактора, перевод во-
енного корабля из состояния действующего в резерв (на консервацию),
приведение участка открытой добычи угля в порядок (после окончания
его разработки - как в прим. 2.6) и т.д. Таким образом, наряду с перво-
начальным взносом в таких проектах есть и заключительная расходная
статья, как в только что рассмотренном примере. Отсюда естественно
возникает, как минимум, двойное изменение знака у ДП, а следовательно,
и возможность иметь два действительных корня в УВД.
Для такого типа проектов стоит предложить, подражая мистеру Во-
ру, следующее уточнение определения ВД.
Определение 2.2. Внутренняя доходность проекта
Положительный корень io УВД V(i) = 0 называется ВД проекта, если
он является единственным положительным корнем этого уравнения,
а также предполагается, что в период реализации проекта инфляция
будет положительной, и, следовательно, соответствующие ей ставки
дисконтирования i будут положительными.
Но что делать, если, скажем, корней два и оба они положительные,
как в нижеследующей ситуации?
Пример 3.2
Допустим, что сумма 23 000 предоставляется в долг через год в обмен
на обязательство выплатить 10 000 сейчас и 13 200 через два года.
Существует ли ВД этой сделки для кредитора или, по крайней мере,
выгодна ли она для него?
Решение. Заметим; прежде всего, что ДП (пусть 10 000=1)
По — 1) — —2,3, а% — 1,32
у рассматриваемого проекта «наш», поскольку удовлетворяет условиям
(1.3.1). Соответствующее ему УВД может быть записано в виде
l,32v2 - 2,3v + 1 = 0
и, очевидно, имеет два положительных корня: io(l) = 0,1, г'о(2) = 0,2.
Таким образом, официальной ВД у данной операции, с точки зрения
кредитора, нет, поскольку слишком много корней. Однако в отношении
выгодности этой сделки для него все ясно, поскольку V(i) > 0 при
г > 0, 2 или г < 0,1 •
Рассмотренная ситуация показывает, что само понятие ВД для оцен-
ки качества проекта не так уж и обязательно. Точнее говоря, этот при-
мер напоминает читателю, что понятие ВД несет в себе две функции,
9—1221
244
VI Эффективность капиталовложений
позволяющие (если ВД существует)
• сравнивать проекты друг с другом, а также
• определять выгодность проекта или операции с помощью ПВД,
и говорит о том, что вторая его функция может быть использована, даже
если ВД и не существует. Полезно это иметь в виду.
Рассмотрим далее ситуацию, когда УВД не имеет действительных
корней вообще.
Пример 3.3. Сумма двух проектов различного типа
Мой товарищ знает, что через год я получу наследство и в том числе
3 000 000 наличных, И он предлагает: 1) взять в долг 1 000 000 под
10% годовых; 2) закупить на них оборудование для производства хоро-
ших кирпичей и наладить его в течение этого года; 3) затем в начале
второго года погасить долги, приобрести сырье и запустить производ-
ство на остальные 1 900 000. По его расчетам оказывается, что чи-
стая прибыль (с учетом расходов по эксплуатации) составит 2 500 000
в конце второго года. А после этих оценок он добавляет: «похоже дело
стоящее не только из-за прибыли и последующих перспектив исполь-
зования почти нового оборудования. Ты же давно мечтал построить
себе хороший коттедж»!
Можно ли с ним согласиться?
Решение. Будем считать, что ДП в рассматриваемой ситуации име-
ет вид ао = 1, в1 = -3, а2 = 2,5 (1 000 000=1) и, следовательно,
2V(z) = 2 — 6v+5v2 = (vy/5 — 3/\/5)2 + | > 0, i / -1. Таким образом, УВД
действительно не имеет корней. И причина этого, возможно, лежит в том,
что рассматриваемый поток является суммой двух потоков различного
типа в смысле п.1.3. Точнее говоря, суммой потока (ai = 1, а2 = -1,1)
типа получение кредита, а также потока (ai = -1,9, а2 = 2,5) наше-
го типа, т.е. с капиталовложениями вначале (например, предоставление
кредита). Но в то же время ясно, что
0,2 < V(z') <1, 0 < i < оо; V(0) = 0,5, V(0,1) = 0,339,
V(2/3) = 'inf V(z) = 0,2.
i>0
И потому вывод может быть таким: хотя ВД у проекта отсутствует,
но он является рентабельным при любой положительной ставке дис-
контирования z. Более того, можно добавить, что минимальная при-
быль в нем равна 0,2, достигается при ставке 2/3 и составляет 1/15
капиталовложений •
Конечно, для подобных ситуаций разработано много различных мо-
дификаций ПВД. Однако совершенно необязательно их использовать. До-
статочно просто воспользоваться ППП, примеры которой приведены вы-
ше. Или рассчитать СД, которая здесь равна 8,33% (= ).
3 Внутренняя доходность - это опасно
245
3.3. Взаимно исключающие друг друга проекты
Довольно часто фирмы оказываются перед необходимостью выбирать из
нескольких проектов или предложений, позволяющих добиваться одной и
той же цели (выполнить одну и ту же работу, использовать одну и ту же
установку, и т.д.). В этих случаях ВД также может ввести в заблуждение,
особенно, если в соответствующих проектах заметно отличаются друг от
друга начальные расходы и сроки реализации.
Пример 3.4. Начальные расходы отличаются
Допустим, что в первом проекте покупаемый станок имеет ручное
управление, а во втором - компьютерное. Ну а соответствующие им
ДП и показатели приведены в таблице.
Табл. 3.2. Покупка высокоточного станка
Проект ДП ВД % ПП V(0,l)
ао ai
1 -10 000 20 000 100 8 182
2 -20 000 35 000 75 11 818
2-1 -10 000 15 000 50 3 636
Что можно порекомендовать компании-покупателю?
Решение. Как видно из таблицы, первые два проекта являются рен-
табельными, но у первого лучше ВД, которая в данном случае (Т=1)
совпадает с СД, а во втором - ПП V(0,1). И, следовательно, если ис-
пользовать ПВД, то нужно выбирать первый проект, а если ППП - то
второй. К сожалению, такая ситуация возникает довольно часто.
В подобных случаях, при желании все-таки использовать ПВД можно
взглянуть на так называемый дополнительный поток (см. третий по-
ток 2-1 в табл. 3.2). При этом обычно поступают следующим образом.
Сначала рассматривается меньший поток, т.е. у нас первый. Поскольку
его ВД намного больше ориентира (т.е. доходности 0,1 вспомогательного
финансового инструмента), то очевидно, что он приемлем. Затем спра-
шиваем себя, стоит ли вкладывать дополнительные 10 000 в проект 2,
т.е. фактически браться за реализацию проекта 2-1? Ну а поскольку у
этого проекта ВД равна 50% (что также больше 10%), то второй проект,
вообще говоря, следует предпочесть первому®
Однако следует иметь в виду: может получиться так, что спасая ПВД,
вы прыгаете из раскаленной сковородки в огонь. Дело в том, что если
в последующих дополнительных потоках будет несколько перемен знака,
то как следствие, возможны несколько корней в УВД и потому все равно
придется использовать ППП.
246
VI Эффективность капиталовложений
Пример 3.5. Некоторые проекты из сельской жизни
Допустим, что первые три ДП, представленные в табл. 3.3,
Табл. 3.3. Случай большой разницы в сроке реализации проекта
Проект ДП ВД % ПП V(0,l)
«о «1 «2 аз СЦ а5 ..
1 -9000 6000 5000 4000 0 0 .. 33 3592
2 -9000 1800 1800 1800 1800 1800 .. 20 9000
3 0 -6000 1200 1200 1200 1200 .. 20 6000
2-1 0 -4200 -3200 -2200 1800 1800 .. . 15,6 5408
характеризуют два коммерческих проекта, поощряемые местным са-
моуправлением из подмосковного или какого-то иного региона (100=1).
1. Приобретение и ввод в эксплуатацию на некоторый срок комплекса
по выпечке хлебобулочных изделий. Этот проект представляет ДП 1.
2. Получение права бессрочного владения участком земли, который
можно сдать в аренду на очень выгодных условиях (пусть в разгаре
посевная и тот, кто вносит заметные деньги в ее фонд, приобретает
эти права). Проекты такого типа представляют ДП 2 и 3.
Можно ли сравнить их с помощью ПВД?
Решение. К тому, что мы сказали выше, можно добавить, что срав-
нение проектов с помощью ПВД не является надежным, если имеют раз-
ный порядок их объемы или сильно различаются сроки их жизни, как
в проектах 1 и 2 из табл. 3.3 (в проектах 2 и 3 положительные потоки
бесконечны!). Поэтому в таких случаях проще всего использовать ППП.
3 Внутренняя доходность - это опасно
247
Однако, если вы предпочитаете ПВД, то можете действовать, рассма-
тривая дополнительный поток, как и в предыдущем примере.
Что же мы имеем в случаях проектов 1 и 2 (о проекте 3 на какое-
то время забудем)? У проекта 1 опять более высокая ВД, а проект 2
имеет более привлекательную ПП. На рис. 3.2 хорошо видно, почему со-
ответствующие правила (ПВД и ППП) приводят к разным выводам. Но
и причина того, почему показатель ВД вводит в заблуждение, также
лежит на поверхности: ДП второго проекта больше, но выплаты по нему
осуществляются заметно позже (напоминаем, что ДП этого проекта бес-
конечен!). Поэтому опять для окончательного решения можно взглянуть
на дополнительный поток 2-1.
Скажем, сначала вы проверяете, что ВД проекта 1 достаточно вы-
сока, затем «беретесь» за проект 2-1, т.е. легко убеждаетесь, что ВД
у этого проекта равна 15,6% и, поскольку она больше 0,1, то решаете
выбрать проект 2е
Приведенные в табл. 3.3 цифры взяты из книги [2]. Авторы ее прямо
заявляют, что соответствующие этим цифрам примеры являются для них
любимыми, поскольку они знают реакцию на них многих предпринима-
телей. Когда этих деловых людей спрашивали, какой проект, 1 или 2, они
предпочитают, то многие выбирали проект 1. Одна причина очевидна:
более быстрая окупаемость этого проекта. Другая состоит в том, что
предприниматели верят в большую гибкость проекта 1, т.е. считают,
что если они выберут проект 1, то в дальнейшем смогут реализовать и
проект типа 3 (заметьте, что проект 3 можно профинансировать, исполь-
зуя ai из проекта 1!). Если же они выбирают проект 2, то у них может
не быть достаточно денег для проекта 3. Таким образом, предпринима-
тели неявно предполагают, что именно нехватка капитала (shortage of
capital) вынуждает их сделать выбор в пользу проекта 1. Но если это
предположение убрать, то обычно проект 2 признается более выгодным.
Здесь мы затрагиваем тему оптимального распределения денежных
средств по проектам при ограничениях на используемый капитал, кото-
рая рассматривается в следующем параграфе (п.4.3). Сейчас же отметим
лишь один момент, касающийся этих ограничений. Связан он с тем на
первый взгляд удивительным фактом, чтб менеджеры, предпочитающие
проект 1, работают на большие фирмы, у которых нет проблем с до-
быванием денег. Ясно же, что такая фирма как Джи-эм (GM) может
рассмотреть проект 3 независимо от того, какой из проектов, 1 или 2,
будет выбран. И потому проект 3 вроде бы не должен влиять на выбор
между проектами 1 и 2. Но он сказывается и прежде всего потому, что в
больших фирмах существуют бюджетные ограничения для их подразде-
лений среднего уровня, как часть системы планирования и контроля всей
фирмы. Ну а поскольку система сложна и громоздка, то эти ограничения
обычно бывает трудно изменить.
248 VI Эффективность капиталовложений
4. Приведенная прибыль: другие конкуренты
и возможности использования
Этим названием прежде всего хотелось подчеркнуть, что среди всех воз-
можных показателей, позволяющих оценивать эффективность различных
проектов с финансовой точки зрения, все-таки выделяется ПП. В то же
время считается, что ВД ему практически не уступает, в отличие от
других показателей. Однако, если говорить о каком-то общем подходе к
финансовому анализу ДП, то без этих других его также трудно предста-
вить. Особенно без следующих двух:
периода окупаемости (payback period or discounted payback period),
индекса прибыльности (profitability index).
Их мы и рассмотрим ниже. В отличие от ПП и ВД они являются специаль-
ными правилами (ad hoc rules), сложившимися в результате поддержания
определенных традиций или естественных желаний (например, желания
побыстрее вернуть вложенные в проект деньги). Отметим также, что их
практическое использование существенно зависит от вкусов конкретного
управляющего или типа компании.
Но помимо конкурентов у ПП есть и другие стороны. Например, воз-
можности и формы ее практического использования весьма разнообраз-
ны. И мы предлагаем читателю познакомиться с тем, как ПП может
использоваться при желании оптимальным образом распорядиться огра-
ниченным капиталом или другим активом.
4.1. Период окупаемости
Одним из естественных факторов, оказывающих влияние на оценку каче-
ства проектов, является промежуток времени, в течение которого компа-
ния возвращает свой первоначальный взнос в рассматриваемый проект.
В более общей трактовке это промежуток времени
ti = sup{£ > 0 : A(t) < 0}, (4.1)
который называется периодом окупаемости (ПО). Конечно, здесь мы
имеем в виду, что функция A(t) определяется выражением (1.2) с по-
мощью ДП (1.1) общего вида. Однако не уточняем, каким является пара-
метр t. Он может быть целым числом, но может быть и произвольным.
В каждой конкретной ситуации этот момент уточняется отдельно. Для
проектов нашего типа (1.3.1) или (1.5) ПО обязательно существует и
причем всегда ti < Т.
4 Приведенная прибыль
249
Познакомимся теперь с различными негативными моментами, кото-
рые могут возникать при желании, вообще говоря, естественном, не затя-
гивать возвращение вложенных денег. Для этого рассмотрим несколько
простейших ситуаций.
Табл. 4.1. Период окупаемости проектов.
Проект ДП ПО годы ПП V(0,l)
оо 01 О2 о-з
1 -2000 2000 0 0 1 -182
2 -2000 1000 1000 5 000 2 3 492
3 -2000 0 2000 5 000 2 3 409
4 -2000 1000 1000 100 000 2 74 867
Правило, основанное на периоде окупаемости (ППО), предполагает
установление волевым решением компании некоторого фиксированного
промежутка 1 времени 7\ , который и определяет выбор проектов из
условия ti < 7\. В противном случае проекты даже не рассматривают-
ся. Так, если 7\ = 1, то из представленных в табл. 4.1 четырех проектов
этому условию удовлетворяет лишь первый. Если же = 2, то можно
рассматривать все четыре. Но чаще используется другое правило, также
называемое ППО: лучше тот проект, ПО ti которого меньше (иногда
и без учета величины 7\ ). В этом случае, как видно из табл. 4.1, ППО
характеризует проекты 1 и 2 совсем не так, как ППП. По этому же кри-
терию (ППО) все три проекта 2-4 одинаково привлекательны. Однако
очевидно, что проект 2 при любой положительной ставке дисконтиро-
вания будет иметь большую ПП V(i), чем проект 3, поскольку ПЗ ДП
ai = 1, 02 = 1 на момент 0 в любом случае больше ПЗ ДП 02 = 2. Ну, а
проект 4 вообще имеет на два порядка большую ПП!
Причины же того, почему ППО дает противоположные советы яс-
ны: ППО присваивает равные веса всем элементам ДП, возникающим до
момента t\ включительно, и нулевые веса всем последующим. Но этот
недостаток частично можно исправить, рассматривая так называемый
дисконтированный период окупаемости (ДПО)
= ^(г) = sup{£ > 0 : A(t]i) = \^asvs + f a(s)vs ds < 0}-, (4.2)
s<t
и здесь уместны те же замечания, что и приведенные выше.
Во многих практических ситуациях суммарный денежный поток
А(£,г) меняет знак лишь один раз, причем для рассматриваемых нами
ДП с минуса на плюс и именно в момент . При этом обычно и ставка
Рекомендаций по выбору этой величины не существует. Обычно компании
действуют интуитивно, исходя из сложившейся ситуации.
250
VI Эффективность капиталовложений
дисконтирования i меняется в этот момент: i = Ji, t < г = t > h .
Таким образом, за оставшийся срок у проекта накапливается прибыль,
причем по другой ставке. Но особенно часто ДПО используется в том
случае, когда проект предусматривает единственную расходную статью,
так называемый первоначальный взнос.
Рассмотрим конкретный пример подобной ситуации и учтем еще один
часто встречающийся момент. А именно, если ДП имеет регулярный вид,
т.е. ао = -С*, ak = R, 1 < к < п, то прибыль по нему на момент Т = п
окончания проекта равна величине
(4.з)
11 | п—Ч 1 |
Пример 4.1. Стоит ли предоставлять кредит с помощью займа?
Банк А согласен предоставить банку С сумму 100 000 на срок 25 лет
при условии ежегодных выплат размера 10 500 в конце каждого из этих
лет. И одновременно может получить кредит на ту же сумму 100 000
от одного из своих клиентов на условиях погашения постоянными взно-
сами того же размера 10 500 и в те же моменты по ставке 9% годовых.
Определить, стоит ли банку А затевать эту операцию.
А точнее говоря, определить
1) длительность периода t\ погашения обязательств банка А перед
клиентом и
2) величину его прибыли на момент окончания контракта с банком С,
если он сможет направлять оставшиеся выплаты на ТС с кредитной
ставкой в 7%.
Решение. В рассматриваемой ситуации естественно считать, что
ДПО G - это такое минимальное целое t, при котором
10 500а°’°9 > 100 000.
ч
Из таблиц находим, что = 23. И потому в силу (4.3) искомая прибыль
через 25 лет будет равна величине
Р = [-100 000(1,09)23+ 10 500sg[9](l,07)2 + 10 500s?j°7 = 26 656 •
Замечание 4.1. Если проценты не учитывать, т.е. если клиент дает
банку А беспроцентную ссуду (может ли случиться такое в реальной жиз-
ни, как вы считаете?), то ПО=Ю годам. А это намного меньше, чем ДПО,
найденный выше, и, конечно, лишь подтверждает сложившееся мнение:
использование «чистого» ПО (не дисконтированного) без особой нужды
не рекомендуется•
4 Приведенная прибыль
251
4.2. Индекс прибыльности
Познакомимся теперь с еще одним показателем, который может помочь
при оценке проекта. Однако он же может и ввести в заблуждение. Чтобы
в этом немного разобраться, рассмотрим простую ситуацию табл. 4.2.
Табл. 4.2. Индекс рентабельности проекта
Проект ДП (в млн) сд ИП г = 0,1 ПП V(0,l)
ац а1 «2
1 -10 30 5 1,25 2,1 21
2 -5 5 20 2,00 3,2 16
3 -5 5 15 1,50 2,4 12
4 0 - -40 60 0,25 0,4 13
Все три первые проекта этой таблицы являются привлекательными,
поскольку у них большая ПП. Но предположим, что компания при выборе
проектов не должна истратить больше 10 млн. В этом случае она может
вложить деньги либо в проект 1, либо в оба проекта 2 и 3, но ей не под
силу реализовать их все три. Ясно также, что ПП каждого из проектов
2 и 3 в отдельности хуже ПП проекта 1, но их совместная реализация
приведет к большей ПП. Таким образом, в данном случае трудно принять
решение, основываясь только на ПП. Кроме того, в случае ограниченных
фондов естественно искать вариант с максимальным отношением ПП на
1 начальных капиталовложений. Это отношение и называется
индексом прибыльности (ИП), или индексом рентабельности,
и определяется формулой
Ip = V(0/|ao|. (4.4)
Замечание 4.2. Иногда показатель с таким смыслом определяется по
другим формулам, а иногда под таким названием скрывается другой
смысл. Например, если в ДП есть несколько отрицательных элементов и
a(t) = 0, то формула (4.4) слегка меняется: Ip = V(i)/|A_(T, г)|; здесь
Л_(Т, г) = atv*, т.е. является суммой всех отрицательных слагаемых
суммы А(Т, г). Бывает же, что ИП определяется как отношение ПЗ
доходных элементов ДП к ПЗ расходных. Таким образом, в случае одного
расходного элемента ао вместо (4.4) получаем: 1Р = (У(г) + |ао|)/|ао|- Но
этот показатель, отличающийся от прежнего на 1, может и называться
по-другому: отношение прибыль-расходы (benefit-cost ratio) •
252
VI Эффективность капиталовложений
Из табл. 4.2 видно, что максимальный ИП имеет проект 2 и следую-
щим по качеству является проект 3. Таким образом, при ограниченном
бюджете компания должна выбрать эти два проекта. К сожалению, этот
простой метод ранжирования проектов не всегда можно использовать.
Предположим, что рассматриваются все четыре проекта табл. 4.2 и
компания может вложить в начале каждого из первых двух лет не боль-
ше 10 млн. В этом случае возможная линия поведения была определена
выше: выбрать проекты 2 и 3. Однако в этом случае компания не сможет
взяться за проект 4, поскольку начальное капиталовложение в нем замет-
но превосходит ее возможности. Альтернативой же является принятие
проекта 1. Хотя ПП у этого проекта ниже ПП совместного проекта 2-3,
но доходы по нему в конце первого года (30 млн) позволят приступить к
проекту 4. Для этого достаточно, чтобы компания добавила к ним закон-
ные 10 млн. Общая же картина по этой альтернативе ясна: проекты 1, 4
имеют меньший ИП, чем совместный проект 2-3, но зато более высокую
совместную ПП. И потому следует предпочесть именно этот вариант.
В заключение разговора о показателях отметим следующее. Выше мы
предпочли ПП показателю ВД, поскольку, похоже, в последние годы эта
точка зрения доминирует. Но еще недавно большей популярностью у ин-
весторов пользовалась именно ВД. Хотя, конечно, для окончательного
и более надежного решения вопроса привлекаются и другие показатели,
а также учитываются и нефинансовые критерии, связанные, например,
с экологией и безопасностью персонала. Чтобы подтвердить вышеска-
занное, приведем данные, полученные в 1983 г. в ходе анкетного опроса
103 крупнейших нефтяных и газовых компаний США (92% сбыта нефти,
нефтепродуктов и газа):
показатель используется в роли (в %)
основного вспомогательного
ВД 69 14
ПП 32 39
другие 12 21
В то же время известно, что мелкие фирмы (с ежегодными инвести-
циями менее 107$) на основе рассмотренных показателей приняли про-
екты только в 25% случаев, а крупные (с инвестициями более 5 • 108$) -
в 92% случаев. Кроме того, 65% опрошенных фирм одобряли проект для
реализации и тогда, когда он не отвечал нормальным инвестиционным
критериям, но устраивал по другим соотбражениям. Конечно, не следует
забывать, что за рамками этой книги остались многие другие вопросы,
касающиеся рассмотренных показателей.
4 Приведенная прибыль
253
4.3. Оптимальное распределение
ограниченных фондов по проектам
Линейное программирование
Рассматривая ИП, мы фактически уже затронули эту проблему распреде-
ления. Попробуем теперь сформулировать ее несколько иначе. Допустим,
что компания по-прежнему хочет выяснить, как ей следует поступить с
четырьмя проектами табл. 4.2, и предположим, что она вкладывает не-
которую долю xi имеющихся средств,
О < xt < 1, 0 < I < 4, (4.5)
в каждый из этих проектов. Причем напрашивающееся равенство ^2 Х1 —
1 использовать не будем, чтобы иметь возможность закупать несколько
проектов целиком (при этом, конечно, xi будет иметь смысл условной до-
ли средств). Тогда ПП от вложения средств в объеме х = (xi, х2, ,
очевидно, составит величину
/(ж) = 21X1 + 16х2 + 12х3 + 13х4.
И если по-прежнему компания в начале каждого из первых двух лет не
может израсходовать на проекты больше 10 млн, то получаем еще два
ограничения на вектор х :
/1(х) + Ю = 10х1+5х2+5хз < 10, /2(х) + Ю = -30xi-5x2-5x3+40x4 < 10.
(4-6)
Наконец, если компания желает определить набор х проектов, который
принесет ей максимально возможную ПП, то возникает следующая задача
линейного прогаммирования:
/(х) -> max, /i(x) < 0, /2(2) < 0, 0 < хь < 1, 1 < к < 4. (4.7)
Прежде всего отметим, что подобные задачи могут приводить к
неожиданным ответам. Так, решением задачи (4.7) является вектор
х = (0,5, 1, 0, 0,75), при использовании которого достигается ПП
/(х) = 36,25. А ранее мы интуитивно пришли к выводу, что для целочи-
сленных векторов той же задачи решение дает вектор х = (1, 0, 0, 1) и
при нем ПП равна 34. Таким образом, допуская дробные наборы проек-
тов, мы получаем возможность увеличить ПП от вложенных средств на
2,25 млн в абсолютном выражении, или на 6,6% в относительном.
Очевидно, что такой подход возможен, если капиталовложения пер-
вого проекта представляют собой, скажем, стоимость 1000 м2 строя-
щегося универмага или 1000 т стального проката. Ведь в этих случа-
ях нетрудно подобрать партнеров так, чтобы использовать найденный
оптимальный вариант. Но что делать, если наши капиталовложения -
254
VI Эффективность капиталовложений
это стоимость одного высотного крана или одной нефтяной скважины?
Оказывается, однако, что и в этих случаях нет никаких проблем! Конеч-
но, задача (4.7) теперь теряет смысл. Но возникает другая, в которой
вместо (4.5) будет условие xi = 0 или 1, 1 < I < 4. Называется она за-
дачей целочисленного программирования. И для нее также существуют
алгоритмы поиска решения, правда, несколько более громоздкие.
О возможных обобщениях
Бывает, что управляющий завода оказывается в весьма щекотливом по-
ложении. И вынужден, скажем, заведомо неразумно пристраивать остат-
ки неиспользованных за прошедший год средств (например, застилать
розовым линолеумом пол литейного цеха). А все потому, что в против-
ном случае он не сможет обосновать высокий бюджет на следующий год,
поскольку в этом заметная сумма оказалась неизрасходованной. Но Со-
вет директоров этого же завода может смягчить проблему, разрешая
перенос неиспользованных средств на следующий год. И тогда прежняя
задача несколько меняется.
Вернемся к проблеме выбора проектов из табл. 4.2 и допустим, что
в ней становится возможным перенос денежных средств в объеме у > О
с начала первого года на его конец. И пусть, кроме того, разрешается
зарабатывать на этом проценты по ставке i. Тогда вместо неравенств
(4.6) возникают условия
lOxi + 5х2 + 5х3 + у < 10, -30з?1 - 5х2 - 5х3 + 40х4 < 10 + (1 + г)у, у > 0;
у < 0 означает, что компания может взять в кредит дополнительную
сумму |?/| в начале года 1 и, следовательно, предполагается, что эта воз-
можность исключена.
Приведем и несколько других примеров, подчеркивающих бесконеч-
ное разнообразие жизненных ситуаций, заставляющих решать самые раз-
личные задачи оптимизации. Во-первых, деньги не единственный ресурс,
на который могут накладываться ограничения. А следовательно, наряду
с ПП будут учитываться другие факторы, хотя и по-прежнему с целью
максимизировать ПП.
Например, в каждом из проектов табл. 4.2 могут потребоваться ди-
зайнерские услуги от подразделения, состоящего из 12 человек. И если
по проекту 1 предполагается использовать трех сотрудников этого под-
разделения, в проекте 2 - двух и т.д., то к вышеуказанным добавляется
новое ограничение 3xi + 2х2 + 8х3 + Зх4 < 12. Более того, производ-
ственные возможности другого подразделения могут не соответствовать
спросу на рынке. Скажем, если по проектам 1 и 4 производится 4 и 3 еди-
ницы некоторого продукта соответственно, а компания будет в состоя-
нии продавать лишь 5, то естественно возникает еще одно ограничение
4xi + Зх4 < 5.
5 Инфляция и ее влияние на, ВД
255
5. Инфляция и ее влияние на ВД
Инфляция представляет собой довольно сложное и важное явление совре-
менного мира, которое самым непосредственным образом сказывается на
многих сторонах не только финансовой, но и вообще любой экономиче-
ской деятельности человека. Оно зависит от многих факторов и является
предметом изучения экономической теории, конечно, с привлечением те-
ории вероятностей и случайных процессов.
Здесь мы попытаемся ответить на вопрос о том, как инфляция ска-
зывается на эффективности капиталовложений и, следовательно, на ВД
рассматриваемых проектов. Причем интересным это представляется и
потому, что проекты, кажущиеся нерентабельными на первый взгляд,
даже при незначительной инфляции и ее учете могут превратиться в вы-
сокорентабельные. Ниже мы специально рассмотрим и соответствующий
пример.
Тема инфляции затрагивается нами впервые. Поэтому для обоснова-
ния этого любопытного факта нам придется коснуться еще двух момен-
тов. Прежде всего уточним, что мы будем понимать под словом инфля-
ция, причем как с точки зрения практической жизни, так и с точки зре-
ния математического подхода. Ну а далее вкратце объясним, как ведется
учет инфляции и, в частности, рассчитывается индекс потребительских
цен.
5.1. Что такое инфляция? Элементарные соображения
Как известно, смысл инфляции весьма прост: реальная стоимость 1 де-
нежной единицы падает со временем. Это связано с ростом цен и соот-
ветствующим ростом заработной платы. При этом уровень подверженно-
сти инфляции различных активов и, следовательно, элементов ДП может
сильно зависеть от времени и быть связанным с тем, что, скажем, зара-
ботная плата возрастает быстрее цен на некоторые товары или наоборот,
а на некоторые элементы ДП - такие, как арендная плата - инфляция мо-
жет не сказываться вовсе, даже будучи очень высокой.
Случай, в котором все элементы ДП подвержены инфляции в равной
степени и равномерно по времени, представляет особый интерес. Его мы
здесь и рассмотрим, определяя уровень инфляции в единицу времени,
или ее интенсивность, величиной h > 0. Как именно эта величина опре-
деляется, мы рассмотрим в заключительной части этого пункта. Сейчас
же постараемся разобраться в том, какое соотношение связывает номи-
нальную и реальную ставки процента при заданном уровне равномерной
инфляции h, а также, что это за ставки.
Начнем с того, что при учете инфляции естественно прежде всего
выделять или использовать следующие два понятия:
256
VI Эффективность капиталовложений
• номинальную ежегодную ставку процента j, которая использует-
ся банковскими учреждениями и говорит об абсолютном увеличении
средств инвестора, а также
• реальную ежегодную ставку процента i, которая указывает на рост
покупательной способности имеющихся у него средств.
Причем определения эти фактически заставляют ввести равенство
1+} = (1 + г)(1 + Л), (5.1)
которое как раз и должно связывать номинальную и реальную ставки
при заданном уровне инфляции h. Кстати, некоторые авторы считают,
что равенство (5.1) следует называть уравнением Фишера, имея в виду
Ирвинга Фишера, с работы которого (1930) и берет начало использование
понятия ПЗ (prezent value rule).
Это равенство фактически и решает основную нашу проблему о том,
как инфляция сказывается на ВД проекта. Просто придется говорить
о номинальной и соответственно реальной доходности проекта. Однако
формально понятие ВД задается с помощью ДП и потому качественного
понимания роли инфляции (т.е. равенства (5.1)) маловато. Желательно
еще уточнить, как инфляция сказывается на различных вариантах записи
используемого ДП проекта, а также соответствующих форм УВД.
Рассмотрим для простоты ДП регулярного типа (2.5) и вспомним
замеч.1.2, в котором было предложено считать, что все элементы at это-
го потока выражаются в денежных единицах постоянной покупательной
способности. Иными словами, можно сказать, что прогнозируемые эле-
менты ДП at, относящиеся к произвольному моменту времени £, запи-
сывались ранее без учета инфляции, т.е. в ценах года 0 - начальном для
рассматриваемого проекта. Но при постоянной инфляции интенсивно-
сти h рост цен в зависимости от времени может быть описан функцией
(l + h)*. Поэтому для того же самого ДП (2.5) напрашивается следующая
эквивалентная форма записи его элементов в виде
6t = at(l + /i)‘, (5.2)
т.е. с помощью цен года t. Именно эту запись удобно использовать для
определения номинальной ВД проекта, в чем мы и убедимся несколько
ниже.
Но добавим, что бывает и обратная ситуация, когда элементы ДП
(2.5) записаны в ценах года t и требуется перейти к ценам года 0. Ясно,
что в этом случае возникает равенство
= at(l + (5.3)
отражающее то, как реальная стоимость элементов ДП падает со време-
нем.
5 Инфляция и ее влияние на, ВД
257
Итак, мы получили математическое описание роли инфляции в про-
стейшем случае, когда она постоянна. И тем самым подготовились к от-
вету на интересующий нас вопрос о влиянии инфляции на ВД. Однако
существует и несколько практических моментов, связанных с инфляцией.
О двух из них, по-видимому, следует упомянуть именно сейчас.
Прежде всего, можно говорить о двух типах инфляции. В самом деле,
даже с дилетантских позиций ясно, что есть инфляция-ржав чина, инфля-
ция, которая «съедает» имеющиеся деньги примерно так же, как ржавчи-
на проникает в тело железных конструкций. О такой инфляции говорят,
если имеют в виду деньги, лежащие «в чулке». И эту инфляцию предста-
вляет равенство (5.3).
Но одновременно существует и совершенно другая равномерная ин-
фляция, которую можно назвать инфляция-погоня (за равенством). Ведь
стоимость жизни во всех странах растет. И характеризуется этот рост
ценами на какие-то конкретные продукты или товары. Получается как
бы погоня за ценой, справедливой на данный момент. Можно считать,
что этот вариант восприятия слова «инфляция» отражает равенство (5.2).
Очевидно, что оба эти типа инфляции жестко связаны друг с другом. В
определенном смысле они обратно пропорциональны. Что же касается ак-
тивов, стоимость которых не меняется с течением времени (т.е. остается
постоянной в ценах года 0) и с помощью которых мы до сих пор выража-
ли элементы ДП, то они существуют. На каком-то небольшом промежут-
ке времени в роли таких активов могут выступать унция золота, литр
молока или килограмм свинины. Ну а в рассматриваемом ниже приме-
ре такой, не меняющейся с течением времени стоимостью естественно
считать, скажем, доход от одной овцы за год.
Другой момент состоит в том, как отслеживается инфляция в прак-
тической жизни, точнее говоря, как определяется ее текущий уровень h.
Об этом мы специально поговорим в п.5.3, а сейчас лишь заметим, что в
цивилизованных странах именно для того, чтобы следить за этой инфля-
цией, используются различные обобщающие показатели, причем послед-
ние десятилетия обычно в ходу какой-то один «особо любимый» индекс.
Так, Великобритания избрала на эту роль индекс розничных цен (retail
price index=RPI), США - индекс потребительских цен (consumer price
index=CPI) и т.д. В России же пока таких индексов нет. Однако в рос-
сийских газетах регулярно печатаются различные индексы инфляции,
такие как показатель роста цен за неделю, месяц или год, рассчитанный
на основе определенной потребительской корзины, или, скажем, показа-
тели роста цен в определенных отраслях производства.
258
VI Эффективность капиталовложений
5.2. Эффект инфляции
До сих пор мы говорили, что элементы ДП выражаются в денежных еди-
ницах постоянной покупательной способности. Сейчас этому выражению
стоит придать более точный смысл. Для этого заметим, что есть активы,
стоимость которых в текущих деньгах увеличивается со скоростью, или
интенсивностью, инфляции Ь. Точнее говоря, текущая стоимость тако-
го актива пропорциональна величине (1 + h)*, t > 0. Именно он и имеет
постоянную покупательную способность. Ясно, что таких активов доста-
точно много, некоторые из них были названы выше. Но, конечно, есть и
активы, как, например, сама денежная единица, у которых покупатель-
ная способность снижается со скоростью инфляции. Иными словами, 1
денежная единица момента 0 превращается в (1+ /*)“* денежных единиц
момента t (когда о ней забывают).
Если же покупательная способность актива постоянна, то это озна-
чает, что для него инфляции не существует. Поэтому рассматриваемая
ранее запись (1.1) соответствует нулевой инфляции, а эквивалентная за-
пись того же самого ДП
b = (bj, f>(t))o<t<T ’• bt = аД1 + h,y, b(t) = a(t)(l 4- h)* (5-4)
(в ценах года t) - постоянной инфляции на уровне h. Соответственно
возникает следующая пара вариантов записи ПП рассматриваемого ДП:
1) V(i) = Г a(t)v*df, 2) Vh(j) = Y Ь^+ Г b^v'dt, (5.5)
Jo Jo
которые следует назвать реальной (см. (2.3)) и номинальной ПП.
При этом оказывается, что если номинальная ставка j из (5.5) свя-
зана с реальной ставкой i из (2.3) соотношением (5.1), то Vh(j) =
V0(i) = V(z). В самом деле, в этом случае очевидно, что 52 btv* =
52 at( 1 + ЬУ((1 + /г)(1 + i))“z = 52 Поэтому, с одной стороны, нам
ясно, что решения уравнений Vh(j) = 0 и -У(г) = 0 естественно назвать
номинальной и соответственно реальной ВД рассматриваемого проекта,
а с другой - понятно, что эти решения связаны равенством (эквивалент-
ным (5.1))
j = г(1 + /г) + h, (5.6)
Указанные выше результаты имеют большое практическое значение,
поскольку позволяют понять, например, что при высоких ставках про-
цента на первый взгляд невыгодные проекты могут превратиться в вы-
сокорентабельные даже при небольшой инфляции. Рассмотрим соответ-
ствующий пример.
5 Инфляция и ее влияние на ВД
259
Пример 5.1. Увеличение поголовья овец
Фермер, занимающийся разведением овец, решил увеличить свое стадо
с 3000 голов до ^500. В соответствии с его расчетами это будет при-
носить ему дополнительную ежегодную прибыль в размере 1,91 на одну
новую овцу, если не учитывать эксплуатационных расходов. В отноше-
нии же начальных расходов, связанных с увеличением стада, известно,
что
покупная цена 1500 овец 4 292
огораживание загона 1 850
засев 400 акров земли 8 000
всего 14 142
Кроме того, в конце каждого года ему придется выкладывать за
акр 3,27 на покупку удобрений в целях поддержания земли в должном
состоянии, а значит, всего за год - 1308. И, наконец, предполагает-
ся, что огораживание прослужит 20 лет, а цена дополнительной овцы
через те же 20 лет будет нулевой.
1. Найти ВД проекта, предполагая, что инфляции не будет, а чи-
стая выручка поступает на счет фермера в конце каждого года.
2. Определить, какой должна быть минимальная равномерная еже-
годная инфляция, при которой проект окажется выгодным. Предполо-
жить, что все расходные и доходные статьи будут возрастать с ин-
тенсивностью инфляции, а фермер сможет брать кредит и инвести-
ровать деньги по ставке 10% годовых.
Решение. 1. Без инфляции чистый ежегодный доход по проекту со-
ставит 1,91-1500 - 1308 = 1557 . Поэтому его характеризует следующий
ДП типа (2.5):
а0 — -14 142, а\ = а2 — • * • = «20 — 1557.
Соответственно У(г) = -14 142+ 1557а^, и, следовательно,
ВД г0 ^9,07%.
2. Предположим, что ежегодная инфляция составит h% в год. Тогда
в силу (5.6) ВД проекта будет определяться равенством jo = 0,0907(1 +
h) + h и, очевидно, будет больше 0,1 при h > 0,0085. Таким образом,
если ежегодная инфляция превысит 0,85%, то ВД окажется больше 10%
и проект станет выгодным •
Замечание 5.1. В примере рассматривается именно инфляция-
погоня, поскольку ежегодную дополнительную прибыль 1,91 и расходы
в 3,27 в ценах 2000 г. естественно считать увеличивающимися со скоро-
стью инфляции все предстоящие 20 лет. Во всяком случае, приведенное
решение верно лишь в этом предположении •
260
VI Эффективность капиталовложений
5.3. Расчет индексов
С инфляцией связывают множество различных показателей. Так, индек-
сы роста цен за какой-то период обычно рассчитываются на основе не-
которой потребительской корзины, типичной для конкретного региона
страны. Если же речь идет об индексах, отражающих изменение прожи-
точного минимума, то в них наряду с продовольствием также включают
промышленные товары, услуги и т.д. Индексы инфляции рассчитывают
и для различных отраслей производства, а также для валового нацио-
нального продукта страны.
Познакомимся теперь вкратце с тем, как рассчитываются основные
индексы в некоторых развитых странах. Для этого введем понятие потре-
бительской корзины из L наименований как набора (g/)i</<L некоторых
товаров и услуг в количестве qi соответствующих единиц. Естественно,
стоимость этой корзины в произвольный момент времени t может быть
определена выражением
L
X(t) = ^Xl(t)qh (5.9)
1=1
если стоимость l-й (товарной и др.) единицы в этот момент составляет
x/(i) используемых денежных единиц.
Определение 5.1. Индекс роста потребительских цен (ИПЦ)
ИПЦ за время от t\ до или индексом инфляции называется величина
t2) = |^ = l+/l(<1, t2); (5.10)
Л (ti)
при этом безразмерная величина h(t\, £2) называется интенсивностью,
или темпом инфляции за тот же период.
Индекс инфляции Н показывает, во сколько раз выросли цены за рас-
сматриваемый период. Ну а темп инфляции h, очевидно, имеет смысл
ставки инфляции этого периода и характеризует относительную ско-
рость прироста цен. В силу (5.10) ясно также, что индекс инфляции за
несколько периодов равен произведению индексов инфляции на каждом
из составляющих периодов,'т.е.
п
Я (to, tn) = 1 + h(t0, tn) = IJ(1 + /i(fZ-i, t,)). (5.11)
/=1
Выбирая базовую единицу времени, можно рассматривать индекс инфля-
ции H(t) и темп инфляции h(t) за единичный интервал (t-1, t), опреде-
ляя их выражением H(t) = X(t)/X(t-l) = l+/i(t). Тогда рассмотренный
выше случай постоянной инфляции просто означает, что /i(t) = h.
5 Инфляция и ее влияние на ВД
261
Представляет интерес и то, что за 31 год (с 1960 по 1991) ИПЦ даже
для стран с устойчивой экономикой вырос весьма заметно. Так, в Фин-
ляндии он увеличился более, чем в 10 раз, в Великобритании чуть меньше,
во Франции - в 8 раз, и только в Японии, США, Германии примерно в
2 раза меньше - соответственно в 6, 5 и 4 раза. Следует добавить, что
приведенные цифры отражают и разницу в скорости роста индекса ин-
фляции валового национального продукта в этих странах. В то же время
функция темпа ежегодной инфляции h(t) все эти годы не выходила из
полосы (0-10%), за исключением двух случаев. Первый из них пришелся
на нефтяной кризис начала 70 гг., и тогда инфляция в указанных шести
странах достигала 20-25%.
Рис. 5.1. Рост ИПЦ и средней заработной платы в Великобритании
Однако нельзя не отметить, что одновременно с возрастанием ИПЦ в
развитых странах происходит также увеличение заработной платы. На
рис. 5.1 приведены графики темпа годовой инфляции у = h(t) и со-
ответствующий показатель роста средней годовой заработной платы в
Великобритании (у = g(t)) в период с 1960 по 1990 гг. Из них видно,
что в целом за этот период реальный уровень жизни работающего насе-
ления возрастал почти каждый год. И некоторое падение этого уровня
произошло лишь в конце 70-х гг. во время энергетического кризиса.
Пример 5.2
Дается прогноз ежемесячного темпа инфляции h на следующий год и
требуется определить соответствующий годовой индекс инфляции Н,
Найти Hi в предположении, что hi = 1%, I = 1,2,3.
Решение. В силу (5.11) имеем формулу Hi = (1 + /г/)12. И потому
Я1 = (1,01)12 = 1,13, Н2 = (1,02)12 = 1,27, Н3 = (1, ОЗ)12 = 1,43 •
262
VI Эффективность капиталовложений
6. Доходность фондов
Конечно, успешность работы любого финансового учреждения - напри-
мер, страховой компании или пенсионного фонда - можно оценивать,
исходя из вышерассмотренных критериев, если известно состояние их
денежных фондов f(t) хотя бы в некоторые моменты времени t. Так,
их ежегодная ВД г’о на некотором интервале времени io < i < ii может
быть определена как решение уравнения накапливания фондов
/((0)(1 + г)<1-‘°+ 22 а<(1 + г)(1"(+ ria(/)(l + z)t'-4/ = /(/i), (6.1)
если известны начальная и конечная суммы /(io), /(G) , характеризую-
щие состояние этого фонда, а также ДП а, отражающий деятельность
учреждения за рассматриваемый период. Однако практическая жизнь
выработала для этой цели и подходы, весьма далекие на первый взгляд
от того, что предлагает теория. Познакомимся с некоторыми из них.
6.1. Доходность за один год
Довольно часто единственной, легко доступной информацией о деятель-
ности фонда или финансового учреждения являются следующие три по-
казателя: /(io), /(G), а также D - процентный доход, или прирост
капитала за год (io, G]. Поэтому весьма к месту оказывается простая
приближенная формула 1
• 2D (Г 91
Ж)) + Ж)-я (х
для решения уравнения (6.1). Приведем два ее простейших обоснования,
предложенных Г.Харди еще в далеком 1890 г.
Доказательство и условия справедливости (6.2)
В первом варианте следует начать с очевидного и грубого равенства
Ш = f(t0) + D + N, (6.3)
в котором
7V = 22 а*+ [ ' a(t)dt, (6.4)
так называемые новые деньги, полученные за год. Можно еще говорить,
что D + N - это превышение доходов над расходами, a D - часть по-
ступлений года, обусловленная предыдущими капиталовложениями.
^сли не учитывать налогообложение; о налогах в следующей главе.
6 Доходность фондов
263
Предположим далее, что at = 0, a(t) = р и, следовательно, новые
деньги поступают в течение года с постоянной интенсивностью р. Но в
силу (6.3), (6.4) это означает, что
(6.3а)
Поэтому уравнение (6.1) превращается в равенство (ti = to + 1)
Ж)(1 + г) + [/(ti) - /(io) - = Ж).
Ну
а поскольку
1 + г/2, то искомая формула (6.2) установлена.
Обратим внимание читателя и на частный случай, в котором эта фор-
мула является точной: если новые деньги поступают двумя равными ча-
стями в начале и в конце года.
Пример 6.1. Доходность от капиталовложений
Фонд взаимопомощи освобожден от уплаты налогов и за 1982 г. имел
следующий балансовый отчет.
Состояние фондов на 01.01.1982 Доходы от капиталовложений Пожертвования и членские взносы 501 050 41 838 19 250 Страховые взносы Эксплуатационные расходы Состояние фондов на 31.12.1982 31 489 5 541 525 138
Е 562 138 Е 562 138
Оцените доходность от деятельности фонда взаимопомощи за 1982 г.
Решение. Очевидно, что /(£0) = 501 050, /(^i) = 525 138, D = 41 838
и потому
2-41 838 _
1 ~ 501 050 + 525 138- 41 838 = °’ °85° *
Интересно отметить также, что в проведенном расчете доходности
пожертвования, членские и страховые взносы, а также эксплуатационные
расходы были учтены косвенно, поскольку эти суммы жестко связаны с
величинами f(to), /(ti), D- Кроме того, ясно, что формула (6.2) может
быть записана в виде 2£)/(2/(£0) + р), где р = 19 250 - 31 459 - 5541 =
-17 750, и потому можно было действовать, наоборот, без величин
/(^i), Z), и получить тот же ответ.
Но есть и другой момент. В самом деле, не меньший интерес предста-
вляет, скажем, чистая доходность (от «прошлых» капиталовложений), т.е.
в предположении, что р — 0. А поскольку новые поступления имеют от-
рицательную интенсивность (р = —17 750 ), то такая доходность, рассчи-
тываемая по второй формуле, оказывается ниже полученной. И, значит,
если руководство фонда использует первую формулу, то, по-видимому,
264
VI Эффективность капиталовложений
оно считает, что увеличение страховых взносов в каком-то диапазоне
способствует увеличению доходности. Можно ли с этим согласиться?
Альтернативный подход также прост. Пусть в нем a(t) означает ин-
тенсивность наращивания активов фонда в момент t и по-прежнему
ti = tQ + 1. Тогда D = f(t)a(t)dt, а средняя интенсивность этого
наращивания за рассматриваемый год есть величина
_ matt) dt _ D
Отсюда вытекает, что искомая доходность
(м>
(приближенное равенство становится очевидным, если в представлении
е1* — 1 « 5(1+ 5/2) заменить величину (1 + 5/2) на 1/(1-5/2)). И потому
для получения формулы (6.2) достаточно использовать так называемое
правило трапеции: j*' f(t) dt « |[/(to) + /(ti)](ti - to).
Другие возможности
Итак, мы разобрались с простейшим вариантом - формулой (6.2). Од-
нако на самом деле вместо нее могут использоваться более качествен-
ные «заменители». Отметим две такие возможности. Первая связана с
большей информированностью о функции /(t). Например, если извест-
ны значения этой функции в точках to, (to + ti)/2, t\ = t0 + 1, то
вместо формулы трапеций можно использовать формулу Симпсона -
£ol /W dt = |[/(to) + 4/((t0 + ti)/2) + /(ti)](ti - to) - и выйти на бо-
лее точную приближенную формулу, чем формула (6.2). Другую возмож-
ность рассмотрим на конкретном примере. Она касается случая, когда
у функции /(t) есть заметные разрывы и потому перед использованием
формул приближенного интегрирования весь интервал (to, ti] естествен-
но разделить на соответствующие части.
Пример 6.2. Доходность пенсионного фонда
Балансовый отчет крупного пенсионного фонда за 1980 г. имеет следу-
ющий вид (все данные в млн ден.- единиц):
Состояние фонда на 01.01.1980 Пожертвования и членские взносы Процентный доход 150,8 47,1 12,6 Страховые взносы Состояние фонда на 1.01.1981 13,2 197,3
Е 210,5 210,5
6 Доходность фондов
265
Из него видно, что налоги и управленческие расходы не оплачивают-
ся. Известно также, что страховые взносы и доход от пожертвований
и членских взносов поступают равномерно в течение года, за исключе-
нием одного момента: 30 ноября 1980 г. работодатель внес крупное по-
жертвование в 25 млн. Оценить доходность работы пенсионного фонда
в 1980 г.
Решение. Если действовать по аналогии с прим. 6.1, то
2-12,6
1 ~ 150,8+ 197,3- 12,6 “ °’ °751‘
Но применять эту формулу в рассматриваемой ситуации нежелательно,
поскольку функция /(t) не является гладкой: имеет большой скачок в
точке t = 11/12. Более точный ответ можно получить, разделив интер-
вал (0, 1] на две части.
Рис. 6.1. Рост остатка на счету фонда
Предположим для этого, что функция f(t) является линейной с по-
стоянным наклоном, за исключением точки t = 11/12 , где у нее скачок,
равный 25 (рис. 6.1). Если мы будем считать ее непрерывной слева, то с
помощью линейной интерполяции, полагая /(0) = 150,8, /(1) = 197,3,
легко получим, что /(11/12) = 170,51. И потому, используя опять-таки
формулу трапеций, получаем
/•1 /-11/12 /-1
( /(£)<&= / f(t)dt+ / f(t)dt =
О JO Jll/12
11 /150,8 + 170,51\ 1 /195,51 + 197,3
12 К 2 J + 12 \ 2
= 163,6.
Тем самым в силу (6.5) имеем 8 « 12,6/163,6 = 0,07702 и, следовательно,
i = es - 1 « 0,0801. Искомая доходность, таким образом, равна 8,01%,
т.е. на 0,5% большее
266
VI Эффективность капиталовложений
6.2. Доходность за несколько лет. Три способа ее оценки
На практике весьма часто возникает потребность оценить эффектив-
ность капиталовложений конкретного фонда за период в несколько лет.
Предположим, что это будет период (Io, tn], который разбит на интер-
валы I/], 1 < I < п, т.е.
t0 < < • • • < tn (6.7)
(интервал в реальной жизни не обязательно является годом, но мы бу-
дем считать, что это так), и рассмотрим три способа оценки средней
ежегодной доходности.
Цепная ВД (linked internal rate of return)
Допустим, что ii означает доходность фонда за l-й год (tj_i, I/], ко-
торая определяется, скажем, одним из указанных выше способов. Тогда
НЗ одной денежной единицы момента to на конец основного периода tn
составит величину
(1 + ii)'1’*0 (1 + ...(1 + in)'”-'"-1 •
Поэтому ВД i такой операции за период (Iq, tn] естественно определить
равенством
71
(1 + = (6.8)
1
и назвать цепной внутренней доходностью (ЦВД). Ясно, что эта вели-
чина является неким средним ежегодных доходностей г/ отдельных лет.
Однако это среднее мало учитывает изменение состояния фонда в рас-
сматриваемом периоде, т.е. функцию /(£), и, кроме того, зависит от
выбранного разбиения (6.7).
ВД, средневзвешенная относительно денег2
Если же мы хотим учесть влияние функции /(I) в большей мере, то
можем рассчитать ВД прямо из уравнения (6.1), в котором t\ следу-
ет заменить на tn . Такая доходность будет называться ВД средневзве-
шенной относительно денег (ВДСД), ДП или состояния фонда f(t). Она
не зависит от разбиения (6.7) и обычно присваивает большие веса тем
доходностям ii, которые соответствуют максимальным значениям этой
функции. Однако на практике чаще используется третий показатель, ко-
торый называется
ВД, средневзвешенная относительно времени.3
Этот индекс также не зависит от разбиения (6.7), но требует
1) знания моментов времени, связанных со всеми элементами ДП а, и
2Англ.: money-weighted rate of return.
3Англ.: time-weighted rate of return.
6 Доходность фондов
267
2) наведения полной ясности в том, что такое новые деньги, а точнее
говоря, отделения новых поступлений, связанных с прошлыми капитало-
вложениями, от действительно новых.
Рассмотрим далее для простоты ДП дискретного типа
(т.е. a(i) = 0), но в отличие от (2.5) будем считать, что моментами по-
ступления элементов at этого потока являются моменты из (6.7). Пусть
также Vi = /(£/)) означает сумму на счету фонда в момент ti, но
1) после оплаты процентов и учета приращений капитала до момента ti
включительно и
2) персе? внесением новых поступлений и изъятием со счета фонда каких-
то денег в этот момент ti. Положим также с/ = atl и напомним, что at
означает алгебраическую сумму поступлений и изъятий со счета фонда
в момент t.
Введем величину
V/-1 +
которую естественно назвать показателем наращивания, или накопления
капитала в l-м интервале ti]. Тогда величина R = R1R2 ...Rn
будет иметь смысл показателя накопления на основном периоде (io, tn]
и потому искомую среднюю ежегодную доходность i следует определить
из уравнения (1 + г)/п“*° = R или, что то же самое, равенством
i = tfWn-to) _ L (6,9)
Это значение и называется ВД фонда за период (io, tn], средневзвешен-
ной относительно времени (ВДСВ).
Пример
Конечно, иногда все введенные выше показатели практически совпада-
ют. Однако во многих случаях разница между ними может быть даже
значительной. Особенно, если состояние фонда в рассматриваемом пери-
оде сильно скачет, т.е. функция /(i) напоминает зубы акулы или кро-
кодила.
Пример 6.3. Доходность общества взаимопомощи
Балансовый отчет некоторого общества взаимопомощи, освобожден-
ного от уплаты налогов, выглядит следующим образом.
Календарный год / Сумма на счету фонда 1 января года 1 Процентный доход, полученный за год 1
1980 86 932 7703
1981 91 781 8189
1982 96 316 8613
1983 100 837 9256
1984 105 054 9371
1985 109 688 -
268
VI Эффективность капиталовложений
В этих условиях найти
1) ЦВД фонда в периоде с 1 января 1980 г. по 1 января 1985 г. и
2) В ДСП за тот же период.
Решение. Поскольку в этом отчете не отражен ни прирост капитала
или его потери, ни то, как оплачиваются страховые взносы и поступают
новые деньги, то мы будем считать, что страховые взносы и доходные
поступления имеют постоянную интенсивность в течение всех лет. Пусть,
кроме того, разбиение отчета и есть разбиение (6.7).
1. При сделанных допущениях мы можем воспользоваться формулой
(6.2) и с ее помощью получить, что годовая доходность в 1980 г. прибли-
женно равна
г’1 =
2•7703
86 932 + 91 781 — 7703
= 0,09009.
В то же время, если Ni = р - интенсивность поступления новых денег
в 1980 г., то по формуле (6.3а) получаем
М = 91 781 - 86 932 - 7703 = -2854.
Поступая далее аналогично с последующими годами, придем к табли-
це
Календарный год Годовая доходность й Годовая интенсивность м
1 1979 4- /
1 1980 0,09009 -2854
2 1981 0,09104 -3654
3 1982 0,09137 -4092
4 1983 0,09414 -5039
5 1984 0,09126 -4737
Ну а используя данные этой таблицы и определение ЦВД (6.8), получим,
что искомая доходность
' 5
г =' №+
„ 1
1/5
1 = 0,09158.
2. В рассматриваемой ситуации at = 0, a(t) = pi = Ni, t € ti],
причем ti = 1980 4-1, I = 0, • • •, 5, a Ni определяется по формуле (6.3a).
Поэтому уравнение (6.1), которое определяет ВДСД имеет вид ( и = 1-М)
86 932м5 - [2854и4 + 3654м3 4- 4092м2 4- 5039м 4- 4737]s^ = 109 688.
Из него получаем, что i = 0, 09150. Таким образом, для нашего балансо-
вого отчета цепная доходность и средневзвешенная относительно денег
практически совпадают •
6 Доходность фондов
269
6.3. Совместные фонды
Совместные фонды широко распространены в цивилизованном мире.
При их описании мы не будем учитывать расходы (оплата дилерских ко-
миссионных, административного управления и т.д.) и налогообложение,
хотя на практике делать это необходимо.
Простейшие соображения
Предположим, что в момент to определенная группа лиц совместными
усилиями собирает некоторую сумму денег N(to). Эти деньги называют-
ся фондом и немедленно вкладываются в ценные бумаги (обыкновенные
акции, долговые обязательства, вклады). И пусть стоимость инвести-
рованных средств в момент Iq составляет величину V(to) = N(to). При
этом собранный фонд можно представлять себе состоящим из N(£q) еди-
ниц, каждая стоимостью u(to) = 1. Количество же единиц, находящихся
у каждого из участников вышеуказанной группы, очевидно, равно вне-
сенной им сумме.
Через некоторое время, скажем, в момент , стоимость инвести-
рованного актива является уже иной в связи с различными доходными
поступлениями, приростом капитала и т.д. в период (£о, ^1] • Пусть она
равна V(^i). Соответственно стоимость u(ti) одной единицы в этот мо-
мент можно определить из равенства
....
если за это время число держателей фонда не изменилось. Но допустим,
что один из основателей фонда, владеющий п единицами, в этот момент
ti желает забрать свой вклад. Поскольку принадлежащая ему доля еди-
ниц фонда составляет величину , то причитающаяся ему стоимость
активов фонда равна дф0)У(*1) = nu(ti).
Таким образом, в обмен на свои п единиц он получит сумму nu(ii).
При этом, конечно, чтобы удовлетворить его просьбу правление фонда
будет обязано обналичить по рыночной цене определенную долю своих
активов, если новых желающих вступить в фонд не окажется. Поскольку
после такой операции число единиц фонда меняется на N(ti) = N(Iq)~ п ,
то соответственно меняется и стоимость активов фонда на этот момент
t\ . Она становится равной
Предположим далее, что в этот момент другой основатель фонда же-
лает увеличить свой вклад на сумму X. Тогда, поскольку естественно
поддержать стоимость одной единицы на этот момент на уровне u(ti) ,
то представляется логичным создать и выдать ему в обмен на сумму X
270
VI Эффективность капиталовложений
таких единиц в количестве m = X/u(t\Y При этом, конечно, сумма X
немедленно инвестируется или используется в оплате тех единиц, кото-
рые изымаются.
Итак, в результате проведенных двух операций число единиц стано-
вится равным
7V(ii) + тп — N(to) - n + m.
а общая стоимость активов фонда составляет величину
V(ii)
п
Ж)
V(^i) + X = [N(t0) - n +
Кроме того, мы несколько прояснили и сами «правила игры» в фонде.
О работе фонда и ее доходности
Приведенные выше соображения, естественно, легко обобщаются на про-
извольное число продавцов и покупателей, а также на любое количество
подобных сделок купли и продажи. Но мы не будем этого делать, по-
скольку нашей целью было просто объяснить, как меняется число единиц
и ее стоимость со временем. Теперь же нам осталось поговорить о до-
ходности и некоторых моментах, окружающих работу фонда.
В реальной жизни управляющие совместных фондов рассчитывают
цену единиц не чаще одного раза в рабочий день, а в некоторых случаях
только раз в неделю или в месяц. Ну а покупка и продажа обычно разре-
шаются лишь в эти дни. Многие фонды аккумулируют доходы от капи-
таловложений и прироста капитала на некотором счету и распределяют
их пропорционально имеющимся единицам примерно один раз в полгода.
В такие дни цена единиц падает на долю выданной всем суммы, приходя-
щейся на одну единицу. Но существуют и фонды другого типа, которые
автоматически реинвестируют любой доход и не распределяют его сре-
ди владельцев единиц. Называются эти два типа фондов соответственно
фондами распределения и фондами накопления. Существуют, правда, и
такие фонды, в которых есть два типа единиц и поддерживаются разные
цены, отражающие их природу.
На практике в любом фонде используются две цены для единиц. Бо-
лее высокая цена продажи для подписчиков-покупателей единиц и цена
покупки для подписчиков, желающих продать свои единицы. Разница же
в ценах, как и при валютном обмене, определяется известными факто-
рами: издержками торговли, управления инвестициями и оплатой труда
административного персонала.
Доходность же от деятельности фонда, естественно, определяется че-
рез цепочку цен единиц, поскольку, скажем, отношение u(ti)/u(to) ха-
рактеризует не только доходность одной единицы за первый год, но и
всего фонда, если количество единиц в интервале (io, ^1] не менялось.
6 Доходность фондов
271
Иными словами, ежегодная доходность фонда i, средневзвешенная отно-
сительно времени, определяется из соотношения
(1 + u(tn) _ u(tn)
если в интервалах (£/-i, ti) число единиц не менялось. При этом, как
видно из определения, не играет особой роли, считаем ли мы u(t) ценой
продажи или ценой покупки. Если же говорить о денежной средней до-
ходности для конкретного владельца единиц, то она будет зависеть от
количества купленных и проданных им единиц и моментов времени, в ко-
торые были проведены эти операции. Но подобные вопросы имеет смысл
рассматривать лишь на примерах.
Пример 6.4. Доходность инвестиций в фонд для физического лица
Некто вкладывал пять раз по 1000 в совместный фонд каждый год
15 ноября, с 1980 г. по 1984 г- включительно. А затем распродал все
свои единицы 15 ноября 1985 г.
1. Используя информацию нижеследующей таблицы о стоимости
единицы, определить ВДСВ фонда за период с 15 ноября 1980 по 15 но-
ября 1985 г., считая его накопительным.
2. Найти также ВДСД нашего инвестора, полагая для простоты,
что он может покупать доли единицы.
Годы
1980 1981 1982 1983 1984 1985
Стоимость единицы 15 ноября 1,90 2,25 2,72 2,68 2,96 3,20
Решение. У нас очень сжатая информация о деятельности фонда, ее
едва хватает для ответа на вопросы.
1. Естественно взять 15 ноября 1980 г. за tQ , а 15 ноября 1985 г. за tn ,
полагая п = 5 и считая все цодинтервалы равными. Используя далее
представленные в таблице значения щ = u(ti), 0 < I < 5, в силу (6.10)
для исходной доходности i получаем уравнение
(1 + г)5 = и5/и0 = 3,20/1,90,
из которого и вытекает, что i = 0,1099.
2. Чтобы найти денежно-средневзвешенную доходность, нужно запи-
сать и решить соответствующее уравнение погашения взаимных обяза-
тельств. Одна сторона здесь очевидна: инвестор вкладывал по 1000 под-
ряд 5 лет и стоимость этого потока на момент есть 1000s-.. С другой
стороны, он получил в обмен на внесеные 5000 всего 1000/?// единиц,
стоимость которых на момент составила 1000/u/)?/5 = 6558,01.
Таким образом, искомая доходность i определяется из простого уравне-
ния lOOOs’b = 6558,01. Легко находим, что i = 0,0918 •
51
272
VI Эффективность капиталовложений
6.4. Еще два метода и одна проблема
Рассмотренные выше способы определения доходности фондов, конечно,
не решают всех проблем. И прежде всего связанную с ВД фонда про-
блему начисления процентов на старые и недавно поступившие вклады.
Причем особенно остро такая проблема стоит в периоды, когда банков-
ские процентные ставки достаточно быстро и заметно последовательно
вырастают и падают.
Точнее говоря, затронем эту ситуацию в крупном инвестиционном
фонде с большим количеством разноплановых участников, которыми мо-
гут быть как отдельные и небогатые люди, так и большие компании.
Конкретным примером такого финансового учреждения являются пен-
сионные фонды. В них каждый участник имеет свой отдельный счет.
Однако этот счет, по сути своей смешанный, т.е. не обслуживается какой-
то конкретной группой активов, а как бы представляет собой некоторую
пропорциональную долю на счету всего фонда.
Как известно, в настоящее время практически используются лишь
два различных подхода к начислению процентов на эти счета: общий для
всех (portfolio method) и учитывающий дату внесения средств в фонд
(investment year method). Поскольку у нас эти названия еще не устоялись,
предлагаем следующие сокращения для этих методов: ОВМ - для первого
и ДВМ - для второго. Именно проблему выбора - какой из двух методов
и как использовать - мы и собираемся рассмотреть ниже.
Общая характеристика двух методов
При ОВМ рассчитывается средняя ставка, основанная на доходах всего
фонда. Именно по ней и начисляются проценты на каждый счет. Есте-
ственно, метод очень прост и удобен. Он используется давно и пригоден
в самых различных ситуациях. Что же касается проблем, то они возника-
ют в периоды значительных колебаний банковских процентных ставок.
Рассмотрим, например, ситуацию, а которой ставки в недавнем про-
шлом заметно подскочили. Скажем, новые вклады способны приносить
10% годовых, а средняя ставка, рассчитанная по ОВМ, равна 8%. И не
так уж важно, что причина малой средней ставки ясна: такова доход-
ность капиталовложений, сделанных в прошлом. Значительно более важ-
но другое. В этот момент, с одной стороны, возникает причина, заста-
вляющая потенциальных вкладчиков избегать вложения средств в фонд
с таким методом начисления процентов, а с другой - у клиентов фонда
появляется соблазн уйти из него.
Второй метод (ДВМ) как раз и был разработан для того, чтобы если
не снять, то смягчить эту проблему. Он возник сравнительно недавно
и стал широко использоваться в интервале 60-70-е г.г., на который по-
пал довольно длительный период роста процентных ставок, связанный с
энергетическим кризисом.
6 Доходность фондов
273
Использовать на практике ДВМ значительно сложнее, чем ОВМ. Од-
нако многие финансовые учреждения, такие как банки и страховые ком-
пании, почувствовали настоятельную необходимость в его использовании
для того, чтобы привлечь новых вкладчиков и не отпугнуть старых. Ко-
нечно, если процентные ставки падают, то ситуация изменяется и ОВМ
становится более привлекательным, чем ДВМ.
Дее проблемы ДВМ
При попытке реализовать ДВМ возникают различные проблемы, две из
которых можно считать основными. Первая из них связана со ставками
реинвестирования и для ее решения разработаны два подхода. В первом
из них, называемом система падающего индекса (declining index system),
фонды, связанные с конкретным годом вложения средств, уменьшаются
по мере того, как деньги реинвестируются. При этом процентная став-
ка, по которой начисляются проценты, отражает ставку доходности этих
уменьшающихся активов. И наоборот, в случае системы фиксированного
индекса (fixed index system) сответствующие фонды остаются постоян-
ными (в денежном выражении, конечно, при этом их состав может ме-
няться). Ну, а процентная ставка ДВМ будет отражать ставку первона-
чального капиталовложения, скорректированную с учетом последующих
ставок реинвестирования.
Другой проблемой освоения ДВМ является необходимость обрывать
процесс на каком-то шаге. Ведь ясно же, что нет никакого смысла ис-
пользовать ДВМ подряд 100 лет! Как правило, произвольно выбирается
некоторый период и по его окончании ДВМ заменяется на ОВМ. Напри-
мер, если в качестве такого периода выбрать 10 лет, то на любой вклад
срока давности больше 10 лет проценты начисляются по схеме ОВМ.
Конкретный вариант ДВМ
В принципе, чтобы иметь возможность использовать ДВМ, достаточно
разработать двумерную таблицу из процентных ставок, учитывающую
дату вложения средств и прошедшее с этого момента время. Ну а чтобы
упростить представление этой таблицы, предположим, что эти времен-
ные интервалы измеряются в календарных годах, а все моменты внесения
вкладов и снятия их со счетов падают на 1 января.
При построении такой таблицы нужно исходить из года вложения
средств в фонд и выбранной заранее длительности использования ДВМ.
Пусть у - календарный год вложения средств, т- количество лет исполь-
зования метода, а г/(у) - годовая ставка йачисления процентов за l-и год
«лежания» на счету. Как мы и говорили выше, при I > т должен исполь-
зоваться ОВМ и поэтому в этом случае ставки будут зависеть только от
календарного года. Обозначим эти ставки ОВМ через г (у) и взглянем на
табл. 6.1 с т = 5, где в качестве первого года выбран календарный год
г, а самого последнего - год z+10. Понять, как «работает» эта таблица,
лучше с помощью нижеследующего примера. Добавим, кроме того, что
274
VI Эффективность капиталовложений
правила получения такой таблицы - тема отдельного разговора. Табл. 6.1. Иллюстрация к ДВМ
Год у вклада *1 (у) Ставки ДВМ. »з(у) Ставки ОВМ ’(У + 5) Год У + 5
’г(у) ’з(у) Ч (у)
Z 8,00 8,10 8,10 8,25 8,30 8,10 z 4- 5
2 4-1 8,25 8,25 8,40 8,50 8,50 8,35 z 4- 6
2 4-2 8,50 8,70 8,75 8,90 9,00 8,60 24-7
z 4- 3 9,00 9,00 9,10 9,10 9,20 8,85 z 4" 8
2 4- 4 9,00 9,10 9,20 9,30 9,40 9,10 г 4-9
z 4- 5 9,25 9,35 9,50 9,55 9,60 9,35 z 4- 10
2 4- 6 9,50 9,50 9,60 9,70 9,70
24-7 10,00 10,00 9,90 9,80
z 4" 8 10,00 9,80 9,70
z 4" 9 9,50 9,50
2 4 10 9,00
Пример 6.5
Вклад размера 1000 сделан в фонд, начисляющий проценты в соответ-
ствии с табл. 6.1, в начале года z + 4. Определить проценты, начи-
сленные в нем. за три года, с z + 7 по z + 9 включительно.
Решение. Прежде всего ясно, что НЗ вклада на начало года г + 7 есть
величина 1000(1,09)(1,091)(1,092) = 1298,60. По аналогии получаем, ис-
пользуя ту же формулу, что НЗ вклада на начало года z + 9 равно
1000(1,09) (1,091) (1,092) (1,093) (1,094) (1,091) = 1694,09.
Таким образом, общее количество начисленных за нужные 3 года про-
центов составляют величину 1694,09 - 1298, 60 = 395,49 •
Теперь читателю должно быть более понятно, например, следующее.
Чтобы получить набор ставок, по которым начислялись проценты на
вклад года у = г + 2,* в этот и все ближайшие годы (если он оставался
в фонде), надо «пройтись» по соответствующей строке табл. 6.1 до по-
следнего столбца ставок ОВМ (от 8,5% до 8,60%), а затем вниз по этому
столбцу (от 8,6% до 9,35%). Если же вас интересуют ставки, скажем,
по которым проценты начислялись за год у — z + 7, то они находятся
на диагонали только что указанного угла (ставки от 10,00% слева вни-
зу диагонали до 8,60% справа вверху). Естественно, они «обслуживают»
вклады, внесенные на счет фонда в интервале лет [г + 2, г + 7].
Соревнование между инвестиционными фондами обычно фокусиру-
ется на ставках первого года, которые фактически определяют выбор
того или иного фонда потенциальными вкладчиками и помещены в пер-
вой колонке, озаглавленной i’i(t/). Кроме того, использование ДВМ на
практике обычно сводится к значительно более сложным таблицам, чем
табл. 6.1. Ведь фонды меняют свои ставки значительно чаще, чем раз в
год, клиента надо обслужить в любой момент, причем не важно, снимает
он некоторую сумму или вкладывает, в начале года или нет, и т.д.
7 Упражнения
275
7. Упражнения
1. Необитаемый остров - ВД и НП (накопленная прибыль).
Вы недавно унаследовали небольшой остров, на котором можно раз-
водить овец, коз, а также производить лесопосадки. И вам предло-
жили три проекта со следующими ДП:
Разведение овец
Разведение коз
Заготовка древесины
Первоначальный взнос: 20 000.
Ежегодный доход: 1100, выплачивается
в конце каждого года, в течение 20 лет.
Цена продажи через 20 лет: 20 000.
Первоначальный взнос: 20 000.
Ежегодный доход: 900, выплачивается
в конце каждого года, в течение 20 лет.
Цена продажи через 20 лет: 25 000.
Стоимость лесопосадок: 20 000.
Продажная цена выросших деревьев
через 20 лет: 57 300.
1. Найти ВД всех проектов с точностью до 0,1%.
2. У вас нет средств профинансировать какой-либо из проектов, но
вам предлагают банковскую ссуду в 20 000 под-5% годовых, выпла-
чиваемых ежегодно в конце. Ссуда должна быть погашена через
20 лет, и не раньше. Если же потребуется дополнительный заем,
то он может быть взят на тех же условиях. Но если после выплаты
банковских процентов остаются наличные средства, то они могут
быть помещены на тот же счет лишь по ставке 4% годовых.
Какой из трех проектов даст большую прибыль через 20 лет?
2. Морская добыча нефти - ВД и модифицированная ВД.
Нефтяная компания недавно приобрела за 2 700 000 бурильную уста-
новку и права на бурение скважин в одном из районов Северного
моря. Она планирует эксплуатировать установку в течение трех лет
и затем продать за 100 000. При этом ежегодные эксплуатационные
расходы составят 200 000 и будут выплачиваться в конце каждого
года. Предполагается также, что забить нефть может не больше,
чем из одной скважины в год, причем вероятность этого события
в каждом из трех последующих лет равна 0,25. 0,2 и 0,1 соответ-
ственно, независимо от предыдущих скважин. Наконец, компания
считает, что из пробитой скважины последует Добыча нефти с рав-
номерной интенсивностью 50 000 баррелей в год в течение 10 лет,
начиная с конца года, в котором она была пробита.
276
VI Эффективность капиталовложений
1. Предполагая, что цена на нефть будет постоянной и равной 20
за барель, наити ежегодную ставку процента i, при которой ПЗ
затрат компании окажется равным математическому ожиданию ПЗ
ее доходов от проекта.
2. Предполагая, что нефть впервые забьет на третьем году, а цена
нефти продержится на уровне 17 за барель, определить ВД проекта
с точностью до 0,1%.
3. Химическая компания - диаграмма ДП, ДПО и НП.
Одна химическая компания согласилась поставлять заказчику некоторое
количество определенного соединения в течение следующих семи лет. Со-
ответствующий этой операции ДП оценивается ею следующим образом:
Расходы Первоначальный взнос - стоимость строительства завода -
ао = 500 000. Производственные расходы: сумма 400 000
выплачивается в конце каждого года, в течение 7 лет,
причем первая выплата - через год.
Обработка отходов и разрушение завода: сумма 250 000
выплачивается три раза через год, первый раз - через 8 лет.
Доходы от продажи соединения: 600 000 поступают в конце
каждого года в течение 7 лет, начиная с первого года.
Компания намеревается профинансировать проект, получив 15% банков-
ский кредит под следующие обязательства: погасить ссуду как можно бы-
стрее за счет разницы доходов и расходов, а оставшиеся от погашения
деньги и дальнейшие поступления направлять на некоторый расчетный
счет в этом же банке, но по ставке 12% Годовых - для оплаты расходов
последних трех лет.
1. Нарисовать диаграмму ДП проекта (1000=1).
2. Определить, через какое минимальное число лет кредит будет погашен.
3. Какой «навар» ожидает компанию на указанном счету через 10 лет.
4. Финансовые операции с компьютером - корни УВД.
В начале прошлого года Илья купил новый компьютер за 1000 и сра-
зу получил крупный заказ, по которому через 3 месяца на его счет
поступила сумма С. Но затем были только Небольшие заказы, кото-
рые в расчет принимать не стоит, а также покупка и подключение
к сети модема в конце года за 600.
1. Измеряя время в кварталах, запишите УВД существенных фи-
нансовых операций прошлого года.
2. Найдите все положительные корни этого уравнения при
а. С = 1600, б. С = 1550, в. С = а = 800(5/3) 1/251/4 « 1544,39.
7 Упражнения
277
3. Покажите, что УВД имеет 0,1,2 положительных корней соот-
ветственно в областях
а. С < а, б.С — а или 1600 < С, в. a < С < 1600,
и постройте график функции ПП V(г) при С = 1600.
5. Дополнительная рабочая смена - «подходящие» ИНК.
Кораблестроительная компания «ТИТАНИК» имеет подряд на сооруже-
ние небольшого грузового судна. Основной вариант проекта предусма-
тривает расходы, состоящие из двух взносов по 250 000 в конце первого
и второго годов. А оплата заказа в размере 650 000 должна поступить в
конце третьего года. По контракту компания может ускорить сооружение
судна, если организует дополнительную рабочую смену. Тогда ей придет-
ся заплатить 1 раз в конце первого года сумму 550 000, а расчет по той
же сумме 650 000 произойдет в конце второго года.
Используя ПВД, определите диапазон ИНК, при которых компании будет
выгодно организовать дополнительную рабочую смену.
6. Инфляция и схема погашения с низким стартом.
В связи с высокими процентными ставками последнего времени,
обусловленными высокой инфляцией, одна строительная компания
решила предложить своим заемщикам план погашения с так назы-
ваемым низким стартом, А точнее говоря, выплаты взявшего в
кредит сумму L в момент 0 будут представлять собой геометриче-
скую прогрессию Р(1+/г)А:“1, 1 < к < п, со знаменателем 14-/г, где
h > 0 - уровень инфляции, Р - первая выплата и п - срок ссуды.
Оказывается, что в таком плане при первых выплатах не удается
даже оплатить проценты по номинальной ставке j с непогашенной
части ссуды. И потому разница добавляется к ней, сначала увели-
чивая ее. Предположим также, что расходы и налогообложение не
учитываются.
1. Покажите, что если Lk означает непогашенный остаток ссуды
после к-и выплаты, то она определяется равенством
Lk = L(l+j)k-P(l+j)k-la-kb,
где 1 + j = (1 + г)(1 + К). Кроме того, объясните, почему в силу
этого уравнения
(l+j)b
^n|l
2. Предполагая, что j = 0,12, h = 0,1, L = 10 000 и n = 20 лет,
определить
• величину Р первой выплаты, которая вносится через год;
• до какого года включительно будет возрастать величина Lk .
278
VI Эффективность капиталовложений
7. Совместные фонды.
ВДСВ фонда и ВД «спекулянта» единицами.
В период с 1 января 1994 г. по 1 января 1995 г. цена единицы в двух
фондах накопления, фонде собственности (А) и фонде акций (Б),
менялась следующим образом
Цены на единицу в 1994 1995
Фонд 1 января 1 апреля 1 июля 1 октября 1 января
А 1,24 1,31 1,48 1,58 1,64
Б 1,21 0,92 1,03 1,31 1,55
1. Найти ВДСВ каждого фонда в 1994 г.
2. Один инвестор покупал единицы фонда собственности все 4 раза,
когда это было возможно (дни указаны в таблице) в 1994 г. И продал
все имеющиеся единицы 1 января 1995 г. Найти доходность от его
финансовых операций в предположении, что он всегда
• покупал одно и то же количество единиц;
• вкладывал одну и ту же сумму денег
(покупая и дробные части единицы).
3. Какова доходность в предположении, что покупались акции.
8. Фонд накопления - различные цены единиц,
ВДСВ и другие доходности.
В нижеследующей таблице приведена так называемая средняя цена
единицы (СЦЕ) некоторого фонда накопления в период с 1989 г. по
1995 г.
Годы_____________1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
СЦЕ на 1 апреля Ц86 2Д1 2^55 2~49 2^88 ЗД8 3,52
1. Используя вышеприведенные цены и не учитывая расходы и на-
логи, определить
• ВДСВ фонда в период с 1 апреля 1989 г. по 1 апреля 1995 г.;
• доходность для инвестора, купившего 6 раз по 200 единиц
подряд с 1 апреля 1989 г. по 1 апреля 1994 г. включительно и
продавшего их все 1 апреля 1995 г.;
• доходность для инвестора, который вкладывал 6 раз по 500
в те же сроки и распродал все в тот же день, что и выше.
2. Предположим, что правление фонда продаёт единицы по цене на
2% выше и покупает их вновь по цене на 2% ниже вышеуказанной (и
опубликованной в местной прессе) средней цены. Определите, как
сильно изменятся в этом случае доходности инвестора.
Глава VII
Оценка
стоимости ценных бумаг
Одной из наиболее важных областей практического использования тео-
рии сложных процентов является оценка стоимости ценных бумаг (ЦБ).
С ней мы и собираемся познакомить читателя. Однако прежде всего нас
будет интересовать,
сколько следует заплатить за пакет ЦБ,
чтобы иметь заданную доходность от операции покупки,
и наоборот,
какую доходность получит покупатель пакета облигаций,
или одной облигации
от этой финансовой операции, если заплатит определенную цену.
При этом понятие ВД, введенное и изученное в первом приближении в
предыдущей главе, окажется тем стержнем, на котором будут основаны
все выводы настоящей главы.
Конечно, здесь в это понятие вносятся и новые штрихи. Во-первых,
предлагается универсальная формула, позволяющая не только отвечать
на вопросы, поставленные выше, но и отделять будущие процентные вы-
платы по ЦБ от будущих погашений и тем самым решать некоторые дру-
гие проблемы. Во-вторых, рассматривается более реальное понятие ВД,
учитывающее оплату налогов двух основных типов: подоходного налога
(ПН) и налога на добавленную стоимость (НДС). Причем с ПН начнем
знакомиться сразу, а рассмотрение НДС отложим до п.4. И, наконец,
в-третьих, затрагиваются некоторые специальные вопросы, такие, на-
пример, как зависимость ВД от срока погашения ЦБ, если по условиям
контракта его выбор находится в руках продавца-заемщика.
280
VII Оценка, стоимости ЦБ
1. Доходность за период до погашения.
Простейшая ситуация
В настоящей главе речь пойдет о так называемых ЦБ с фиксированным
доходом, некоторое представление об английских разновидностях кото-
рых дается в ПГ. Здесь же мы ограничимся минимальной информацией
в отношении их терминологии и обозначений, несколько пополняя ее в
процессе изложения. Что же касается названий, связанных с доходно-
стью от покупки такой ЦБ, то разобраться в них не просто. Особенно,
если учесть, что русские термины еще не устоялись.
В самом деле, в английской терминологии интересующая нас доход-
ность называется yield to redemption, или redemption yield (это название
мы и вынесли в заголовок параграфа), в основном чтобы отличить ее
от flat or running yield (текущая доходность), которая определяется как
отношение DfP купонной ставки к цене единицы номинала (см. ниже).
Но есть еще доходность без учета налогообложения, которая называется
«грубой» (gross yield). Причем в английской прессе обычно публикуется
грубая ежегодная доходность от ЦБ, проценты по которым выплачива-
ются дважды в год и т.д.
Тем не менее опасаться читателю нечего. Достаточно знать, что нас
всегда интересует доходность, имеющая смысл ВД относительно соот-
ветствующего ДП. Ну и, конечно, желательно помнить, что у любого
конкретного примера есть еще и скрытая функция: снять или уменьшить
двусмысленность, возникающую в тексте.
1.1. Терминология и обозначения
Указанные во введении вопросы не только симметричны, но и важны.
И прежде всего потому, что практически любые проблемы, связанные с
покупкой ЦБ на бирже, имеют к ним прямое отношение. Мы повторим
их в несколько иной форме и добавим, что задаются они с точки зрения
инвестора или покупателя одной ЦБ или всего займа в момент выпус-
ка или позже. Напомним, что в n.V.5 мы интересовались жизнью займа
скорее с точки зрения заемщика, т.е. организации, выпустившей его.
Итак, нас будут интересовать следующие вопросы:
• какую цену А за пакет ЦБ общего номинала N 1
или Р = А/N за 1 номинала должен заплатить инвестор,
чтобы получить ВД от такой операции, равную г?
• если инвестор уже заплатил А, то какую ВД г он этим
себе гарантировал?
Номиналом ЦБ называется ее стоимость, указанная на банкноте ЦБ.
1 Доходность за период до погашения
281
И соответственно несколько поменяем наши обозначения, имея в виду
что у любых ЦБ с фиксированным доходом есть три основных момента
в жизни, с которыми связаны следующие обозначения:
покупка - А = PN
выплата процентов по купонам - D, п
погашение - С — RN.
Уточним их:
N - суммарный номинал всего пакета
купленных инвестором ЦБ (если это, скажем,
одна облигация, то N - именно ее номинал);
п - срок жизни ЦБ или оставшийся срок жизни,
если момент покупки не совпадает с моментом выпуска
соответствующего займа;
А - стоимость всех купленных ЦБ суммарного номинала N
при покупке;
Р - цена единицы номинала при покупке;
С - сумма наличных, получаемых при погашении всего пакета;
R - цена единицы номинала при погашении;
D - ежегодная купонная ставка, т.е. доля единицы номинала,
получаемая инвестором за год при всех процентных
выплатах (до оплаты ПН; если их fc, то обычно
при каждой выплате инвестор получает долю D/k}\
t\ - ставка подоходного налога, т.е. при каждой выплате про-
центов из полученной суммы инвестор должен отдавать
государству долю £i, а себе оставлять долю 1 - h;
g = - ежегодная купонная ставка в единицах цены погашения.
Конечно, величины Л, Z), , а в принципе и Р могут меняться со
временем в зависимости от конкретной ситуации покупки. Но в этой
главе в основном мы будем считать их постоянными. В английской и
французской терминологии используются различные названия для ЦБ,
связанные с тремя возможными положениями величин Р и R относи-
тельно единицы (например, Р > 1, Р = 1, Р < 1). У нас же они пока
лишь складываются, как и термины, связанные с тем, кому причитаются
при покупке выплачиваемые проценты - продавцу ЦБ или ее покупателю
(если она происходит в момент выплаты процентов - это бывает чаще,
но не всегда; см. краткий словарь терминов в ПГ.5). Добавим, что в этой
главе основным вариантом будет покупка в момент выплаты процентов,
причем сами проценты остаются продавцу.
282
VII Оценка стоимости ЦБ
1.2. Верхняя и нижняя оценки
Доходность за период до погашения - это, как мы отмечали еще в
п. VL2.2, всего лишь иное название ВД операции покупки ЦБ. Чтобы
записать соответствующее ей УВД, нужно четко определить связанный
с ней ДП. Уточним поэтому последовательно все три варианта выпол-
нения взаимных обязательств продавца и покупателя по данной ЦБ в
момент ее покупки. И начнем с простейшего.
I 1. Инвестор покупает пакет ЦБ по цене Р за 1 номинала
и оплачивает ПН по ставке
2. Проценты выплачиваются один раз в год в конце каждого
из следующих п лет по ежегодной ставке D.
3. Погашение производится один раз через п лет
по цене Я за 1 номинала.
Итак, в этой ситуации за цену Р инвестор получит наличными п раз
каждый год по Z)(l - ti) и, кроме того, через п лет еще и сумму Я,
называемую выручкой от погашения. Таким образом, ВД i операции
покупки определяется уравнением (рис. 1.1)
Р = D(1 - t^i + Rvn = V(i) + P, (1.1)
в котором мы дополнительно указываем и функцию ПП V(i)
этой операции.
Прежде, чем приступать к решению подобных уравнений, желатель-
но иметь некоторое представление о порядке искомого решения. Как мы
сейчас увидим, для данного уравнения несложно указать интервал воз-
можных значений i, который «накрывает» искомое решение. Причем сам
этот интервал часто оказывается достаточно узким, а его концы - про-
стыми оценками.
Рис. 1.1. ДП первого варианта покупки ЦБ
В самом деле, если R = Р, то очевидно (поскольку а^ = (1 - vn)/i)
. _ Z?(l - G)
г р
1 Доходность за период до погашения
283
Если же R > Р, то при погашении возникнет дополнительная выгода и,
значит,
. Я(1-М
г>—р--
В то же время если бы упомянутую выгоду при погашении, равную вели-
чине R-P, инвестор получал п равными частями в качестве дополнения
к процентам, то ВД от такой операции была бы еще выше искомой i. Ну
а сама эта ВД, очевидно, была бы равна выплачиваемым процентам на
единицу вложенного капитала, т.е. величине [£>(1 - ti) + (Я — Р)/п]/Р.
Таким образом,
R > р . D(l-ti) < i < D(l-ti)+(R-P)/n
Наконец, если R < Р, то можно рассуждать по аналогии, говорить о
потерях в момент погашения и т.д. Но в результате, очевидно, получим,
что
R < Р * < г* < D(i-ti)
Таким образом, в любом случае искомая доходность ЦБ лежит в до-
статочно узком интервале длины \R - Р\/Рп . Соответственно для боль-
шинства практических целей приведенные оценки вполне достаточны,
чтобы найти искомую доходность при помощи линейной интерполяции с
приемлемой точностью.
Пример 1.1
Акции одной компании регулярно приносят 7,5% годовых и погашают-
ся по номиналу через 20 лет. Эти проценты выплачиваются в конце
каждого года, и первый раз поступят ровно через год. Определить чи-
стую ежегодную доходность от покупки некоторого количества таких
акций по цене 80% в данный момент для инвестора, который должен
оплачивать ПН по ставке 1/3 .
Решение. У нас Р = 0,8, D = 0,075, R = 1, ti = 1/3, п = 20. И ясно,
что мы находимся в ситуации уравнения (1.1). Таким образом, имеем
0,8 = 0,05<4( + V20 = f(i),
и, кроме того, поскольку R > Р, то 0,0625 < г < 0,075. Далее, если
проверить напрашивающиеся значения для искомой вилки - 0,065 и 0,070,
- то мы действительно ее найдем, поскольку оказывается, что /(0,065) =
0,8347 > 0,8 > 0,7881 = /(0,07). Поэтому остается провести линейную
интерполяцию и получить г = 0,0687. Отметим, что в данном случае
точное решение г = 0,068686, т.е. линейная интерполяция действительно
позволила получить очень хорошую точность •
284
VII Оценка, стоимости ЦБ
1.3. О приближенном решении
Используя величину д = D/R и чистые ежегодные проценты <?( 1 -
на 1 цены погашения, мы можем переписать уравнение (1.1) в виде
Р = 5(1 - + Rvn = Я[</(1 - ti)а-| + (1 - га-р],
к
gti-t^-i----= о, (1.2)
если положим к = (Р — R)/R.
Очень много изобретательности и вообще усилий было потрачено на
поиск хорошего приближенного решения уравнения (1.2). Коснемся здесь
лишь тех из них, которые основаны на разложении в ряд по i функции
(см. (IV.4.3))
п _ in _ -j . I П ~ .
1-(1 + г)-п 2 + 12
(1-3)
Естественно, простейший вариант получается, если взять из правой ча-
сти (1.3) лишь первые два слагаемые и подставить в (1.2):
g(l - h) - k/n
(1.4)
Даже эта простейшая формула часто дает достаточно хорошее прибли-
жение, особенно, если i и п невелики. Но большей точности можно до-
биться, если взять из правой части (1.3) первые три слагаемые (т.е. сте-
пени < 2). В этом случае (1.2) превращается в квадратное уравнение
Г к(п2 “ 1) 1 .о ( А?(п +1)1. Г ч М л /,
• р + р + -4—1 Н - и1 - - - Н о. (1.5)
( IZn J ( 2,п J ( п)
Как правило, используется лишь один из его корней, поскольку другой
далек от искомого решения (1.2). Бывает также, что оценка (1.4) оказы-
вается лучше той, которую дает уравнение (1.5). Правда, нижеследующий
пример показывает, что меньший из корней этого уравнения все-таки
ближе к решению (1.1).
Пример 1.1 (продолжение)
Определить приближенное значение ВД с помощью формулы (1Д) и
уравнения (L5).
Решение. Нетрудно видеть, что к = -0,2, <?(1 - ti) - к/п =
0,075(2/3) + 0,2/20 = 0,06, к{п2 - 1)/8п = -0,2(399)/160 = 0,49875, 1 +
A:(n-|-l)/2n = 1-0, 2(21)/40 = 0,895. Поэтому (1.4) дает i = 0,06/0,895 =
0,067039, а (1.5) сводится к уравнению 498, 75г2 - 895г + 60 = 0 с дву-
мя положительными корнями 2(895 ± у/8952 — 240 • 498,75)/2 • 498,75 :
И = 0,06975, г2 = 1,72473 •
2 Формула, Ма-кэхама,
285
2. Формула Макэхама
Привлекательность этой формулы, названной по имени известного бри-
танского актуария XIX в., обьясняется тем, что она позволяет
определить ВД операции покупки, или
соответствующую ей справедливую цену А пакета ЦБ, а также
легко разбивать эту цену на две важные части:
ПЗ погашаемого капитала К = Сvn и
ПЗ всех чистых процентов (1 — ti)I = [51(1 — — К) ,
полученных на протяжении всего срока жизни ЦБ.
Кроме того, оказалось, что практически использовать эту формулу удоб-
но в самых сложных ситуациях. Правда, для этого требуется выполнение
жесткого условия: величины D, t\, R должны оставаться постоянными
на протяжении всей жизни ЦБ.
2.1. Одноразовое погашение
Рассмотрим далее следующий, второй по сложности вариант выполнения
взаимных обязательств заемщика и кредитора по данной ЦБ на момент
покупки.
II 1. Инвестор покупает ЦБ по цене Р за 1 номинала и
оплачивает ПН по ставке t\.
2. Проценты выплачиваются к раз в год в конце каждого из
следующих кп периодов длины 1/к по ежегодной ставке D.
3. Погашение производится через п лет, т.е. через кп периодов
длины 1/к, по цене Л за 1 номинала и, следовательно,
один раз (таким образом, число п не обязано быть целым -
ему достаточно быть кратным 1/к, чтобы целым было
число периодов кп-, например, п = 5,25 = 21/4).
Нетрудно видеть, что этот вариант мало отличается от первого: вме-
сто одной процентной выплаты в конце каждого года их стало к за год,
и делаются они также в конце всех его подпериодов длины 1/к (рис. 1.1
и 2.1), если, конечно, не учитывать, что теперь п может быть и нецелым
числом.
0(1 -МА
1/к 1/к
второй вариант
Рис. 2.1. Разница в оплате процентов
I - 1 I
первый вариант
286
VII Оценка, стоимости ЦБ
Тем не менее уточним, что во втором варианте за цену Р инвестор
получит наличными пк раз по Z?(l - t\)/k на единицу номинала (или
д(1 — ti)/k на единицу цены погашения R ) в качестве процентов и, кроме
того, через п лет сумму R и также на единицу номинала. В результате
ВД i операции покупки пакета ЦБ для инвестора будет определяться
почти таким же УВД
P=P(l-h)4*> + /?vn = У(г) + Р, (2.1)
как и ранее (практически тем же будет и выражение для ПП V(i) ДП
нашей операции займа).
Однако на этот раз запишем УВД в несколько ином виде, сначала
умножая равенство (2.1) на N и производя затем элементарные операции
с его правой частью:
А = NRvn + ЛШ(1 - h)aW = Cvn + 5(1 - =
= CV + 9(1 - tl= Cv- + - »").
В результате получим так называемую формулу Макэхама
A = Z< + g(1.~fl)(C-K-), (2.2)
в которой К = Cvn - ПЗ суммы погашения С на момент покупки, а
- ПЗ всех чистых процентных выплат. Последнее ПЗ особенно хорошо
подчеркивает смысл величины </(1 - Ц) как чистой ставки ежегодных
процентных выплат на единицу цены погашения или на единицу задол-
женности, которую представляет величина С.
Об этой известной и практически полезной формуле мы еще погово-
рим ниже подробней. А сейчас уместно подчеркнуть, что у исходного
равенства (2.1) не один, а четыре практически полезных и эквивалент-
ных между собой варианта записи, т.е. помимо формулы Макэхама су-
ществуют еще три полезных формулы. Выведем их сейчас и выскажем
некоторые соображения в отношении этой полезности, считая для про-
стоты (но не снижая этим общности рассуждений), что Ц = 0.
Прежде всего обратим внимание на первую из них
A = [Cg]a^ + Cvn, (2.3)
которая фактически была установлена одновременно с формулой Мак-
эхама и называется основной формулой (basic formula). В соответствии
2 Формула, Ма,кэха,ма,
287
с ней цена покупки должна быть равна сумме ПЗ будущих процентных
выплат (ежегодно в размере Сд = ND по всему пакету) и ПЗ цены
погашения Cvn .
Вторую естественно назвать премиально-штрафной формулой (рге-
mium/discount formula). При этом можно считать, что эта формула
А = С + С[<,-г^]а^ (2.4)
с очевидностью вытекает из основной, если воспользоваться равенством
Стл = С(1 - г<*4а^)ф В самом деле, если покупная цена пакета облига-
ций превышает его цену погашения, т.е. А > С, то говорят, что пакет
продается с премией. При этом сама разница между А и С называется
премией. И аналогично, если покупная цена меньше стоимости погаше-
ния, т.е. А < С, то говорят, что пакет продается со скидкой. Ну а сама
разница С — А называется скидкой, или дисконтом (discount).
Конечно, ясно, что дисконт - это всего лишь отрицательная премия.
Главное же в том, что формула (2.4) задает полезную связь
А - С = C(g - > (<, =)0, если д > «, =)№, (2.4а)
между ценами покупки и погашения, с одной стороны, и ставками д,
характеризующими оплату процентов по контракту и доходность опера-
ции покупки -- с другой. Отметим и еще один момент. Формула (2.4)
часто более удобна, чем основная формула, поскольку при ее использо-
вании нужно искать в финансовых таблицах одно значение (), а не
два (еще и vn ). Этим же отличается и следующая формула (2.5).
Наконец, третья формула
A = G + (C-G)vn (2.5)
также просто вытекает из (2.3), если положить G = Сд/№ и учесть ра-
венство = 1 - vn. Называется это выражение формулой основной
суммы (base amount formula). В самом деле, величина G для облигаций
может быть названа основной, поскольку имеет смысл той суммы, вло-
жение которой на ТС под ежегодную ставку № приведет к регулярной
выплате процентов за год суммарного размера, равного сумме купонов
пакета ND.
Проверим теперь, как все эти формулы работают в конкретной си-
туации, т.е. позволяют определить стоимость покупки, скажем пакета
облигаций, при которой возникает заданная доходность. Ну а затем ука-
жем три типа различных доходностей, которые ежедневно используют в
деловых и финансовых кругах США и обычно связывают с облигациями
(или ЦБ с фиксированным доходом).
288
VII Оценка, стоимости ЦБ
Пример 2.1
Есть пакет из 10 облигаций общего номинала 1000 с купонами 8,4%
годовых, оплачиваемыми один раз в конце каждого полугодия, и с по-
гашением через 10 лет по цене 1050. Определить цену покупки этого
пакета, при которой доходность операции для покупателя № = 10%.
Использовать все четыре формулы.
Решение. В данном случае доходность определена так, что удобно за
БП взять полгода. И потому у нас k = 1 (а не двум),
0,084 1050
7V = 1000, С = 1050,£> = = 0,042, Я = —- = 1,05,
£ 1. UUU
0 042
g = -у-^- = 0,04, п = 20, г = 0,1/2 = 0,05, Cg = ND = 42,
К = 1050(1,05)—20 = 395,734, (7 = 0,042 • 1000/0,05 = 840.
1. Основная формула:
А = Cga^Q Q5 + К = 42 • 12,4622 + 395,734 = 919,15.
2. Премиально-штрафная формула:
А = С + С(д- 0^2010,05 = 1050 + (42 - 52,5) 12>4622 = 919,15.
3. Формула основной суммы:
А = (7 + (С - (7)(1, О5)"20 = 840 + (1050 - 840)0,37689 = 919,15.
4. Формула Макэхама:
А = К + -(С - /<) = 395,734 + ^( 1050 - 395,734) = 919,15 •
г 0,05
Во избежание двусмысленности полезно представлять также, что:
• номинальная доходность (nominal yield) является просто ежегодной ку-
понной ставкой облигации. Например, если для облигации номинала 100
сумма выплат по купонам за год равна 9, то ее ежегодная номинальная
доходность составляет 9%. При этом читатель должен знать, скажем,
что в США слово номинальный имеет разные толкования (поскольку так
сложилось, к сожалению);
• текущая доходность (current yield) представляет собой отношение сум-
мы ежегодных купонов к первоначальной цене облигации. Например, ес-
ли только что упомянутая облигация продается на рынке за 90, то ее
текущая ежегодная доходность составляет 10%. Заметим, что текущая
доходность никак не отражает прибыльность (или потери) при продаже,
погашении или исполнении;
• доходность за период до погашения (yield to maturity = yield to redemp-
tion), а вернее, ее точный смысл, может слегка меняться, но он все-
гда представляет ВД от операции покупки облигации для покупателя-
инвестора.
2 Формула, Ма,кэха,ма,
289
2.2. Многократное погашение
Только что установленная формула (2.2) остается в силе и при последо-
вательном погашении частями. Рассмотрим далее следующий, основной
вариант выполнения взаимных обязательств по ссуде.
Ill 1. Инвестор покупает пакет ЦБ по цене Р за 1 номинала
и оплачивает ПН по ставке ti.
2. Проценты выплачиваются к раз в год в конце каждого из
следующих кп периодов длины 1/к по ежегодной ставке D.
3. Погашение ссуды номинала N = Ni + N2 + ... + Nm
производится за т раз в моменты п\ < П2 < ... < пт = п,
ni > 0, причем в момент щ погашаются ЦБ суммарного
номинала Ni и по-прежнему по цене Я за 1 номинала,
I = 1, 2,..., т; как и выше, все числа п/ считаем
кратными 1/к, а также полагаем, что г/ = (Ni/N)R.
При этом, как и ранее, нас будет интересовать ВД i рассматриваемой
финансовой операции.
О П1 П2 Пз П = Пт
третий вариант
Рис. 2.2. Разница в проведении погашения
R
о
первый вариант
Вывод формулы Макэхама. Элементарные соображения
В рассматриваемой ситуации всю ссуду можно и удобно разбить на т
«траншей» номинала Ni, 1=1, 2, ...,m. Каждый из этих «слоев» пред-
ставляет собой второй вариант обязательств по ссуде и потому для него
имеет место формула
Al = Kt + 9{\7*'\ci - ;</), / = 1,2,..., m, (2.6)
г\к)
где At = PNi, Ci = RNi, Ki = Civni. Но величины </(1 — по-
стоянны (не зависят от /). Поэтому, суммируя равенства (2.6) по I, мы
снова приходим к (2.2), если ввести естественные обозначения
т т
С = £С/, K^^Ki. (2.7)
1 1
290
VII Оценка стоимости ЦБ
Вывод с помощью принципа пропорциональности
Установить формулу (2.2) можно и совершенно иначе. Рассмотрим для
этого вспомогательный заем, отличающийся от введенного в определении
третьего варианта лишь одним: чистые ежегодные процентные выплаты
в нем делаются с интенсивностью № вместо </( 1 - Ц) , которая есть у
исходного займа. А точнее говоря, каждая из пк процентных выплат
по пакету ЦБ составляет долю i^/k от задолженности С вместо доли
5(1 -
Но как мы знаем, если проценты по ссуде за предыдущий период опла-
чены полностью (вернее говоря, точно), то момент взятия ссуды можно
считать «сдвинутым» с начала этого периода на его конец. И, соответ-
ственно, если проценты оплачены полностью за весь период займа, то
момент его взятия можно считать «сдвинутым» на момент возвращения.
Таким образом, какой бы ни была задолженность по этому займу, она
будет совпадать со своей ценой (конечно, если ежегодные ставки г,
эквивалентны).
Итак, у вспомогательного займа цена А совпадает с задолженностью
С, и, кроме того, он имеет то же ПЗ всех погашений К , что и у исход-
ного займа. Таким образом, для него формула Макэхама имеет вид
с = к + (с-к\
Но займы отличаются лишь интенсивностью процентных выплат и по-
тому ПЗ всех процентных выплат по одинаковой ставке i по этим двум
займам должны быть
пропорциональны этим интенсивностям.
Иными словами, ПЗ процентных выплат в исходном займе должно быть
равно ^^у^(С - К)к если во вспомогательном оно равно С - К. И,
следовательно, стоимость А исходного займа имеет следующий вид
А = К 4- g(1~/1)(C - Л')
и обеспечивает ВД от операции покупки, равную г.
О различных подходах к решению задач
Изложенные выше соображения, связанные с пропорциональностью, мо-
гут упрощать решение и многих других проблем. Но мы продолжим близ-
кую тему многообразия подходов к решению задач, начатую в предыду-
щем примере. При этом предлагаем называть рассматриваемую выше
доходность от операции покупки для инвестора
чистой ежегодной доходностью (ЧЕД).
2 Формула, Макэхама,
291
Пример 2.2
Десять лет назад в обращение был выпущен заем под 8% годовых, вы-
плачиваемых в конце каждого года. Погашение по его условиям прово-
дится одновременно с выплатой процентов, за счет постоянных вы-
плат размера 1000 в конце каждого из 25 лет его жизни.
Только что владелец займа в десятый раз получил 1000 и появился
инвестор, желающий выкупить у него имеющиеся ЦБ и оплачивающий
ПН в размере 40%. Какой является справедливая цена этих бумаг, если
владелец согласен, что инвестор должен иметь ЧЕД от сделки 10%?
Решение. Мы предложим четыре различных решения, которые дадут
один и тот же ответ. Последнее из них использует технику так называе-
мой косвенной оценки ПЗ всех погашений, которая успешно используется
в некоторых задачах. Но прежде чем приступить к их разбору, уточним
один существенный момент.
Затронутая нами схема погашения представляет собой так называе-
мое каноническое погашение постоянными взносами из п.IV.1.3. Если же
момент предполагаемой покупки взять за 0, то имеющиеся ЦБ предста-
вляют регулярный ДП из 15 оставшихся выплат по 1000, приходящихся
на конец каждого из первых 15 лет. Будем считать, что этот поток «впи-
сывается» в третий вариант выполнения взаимных обязательств сторон
и характеризуется следующими параметрами:
Р = R = 1, D = g — 0, 08, /1=0, т — п = 15.
Ясно, кроме того, что первоначальная ссуда была равна lOOOa^Q 08 , при-
чем проценты и погашение ее произвольной, s-й выплаты составляли
соответственно 1000(1 - v26”5) и 1000v26“s (см.(IV. 1.8а)). Но любая из
оставшихся 15 выплат по 1000, допустим /-я, является (10 + /)-й в пер-
воначальном потоке. Поэтому она разбивается на проценты и погашение
/-го года следующим образом (у/, т/ - обозначения гл. IV):
у, = 1000(1 - и*®^), mi = lOOOt^'= м, 1 = 1,2,..., 15. (2.8)
Понятно также, что стоимость всех оставшихся тысяч для владельца
на этот момент есть Ai = 1000а^?8 = 8559,48 = С = TV, поскольку
N = = lOOOagJ8.
1. Используя аксиому: ПЗ ДП = ПЗ отдельных выплат.
По условиям инвестор получит лишь 60% от суммарных процентов и в
то же время должен иметь ежегодную доходность от покупки в 10%.
Поэтому в силу (2.8) справедливой будет цена
15
А = £(!, 1)"'[1000и‘6о-' + (1 - 0,4)1000(1 - v^')] =
292
VII Оценка, стоимости ЦБ
15
= £(1, 1)-'(600 + 400г^-') = бООа^ + 400<О8<%| = 6084,64;
1
j здесь и ниже определяется из равенства 1 + j = (1,1)/(1,08).
2. Применяя формулу Макэхама.
В силу вышесказанного все нужные параметры (D, R) покупаемого
ДП постоянны и потому в рассматриваемой ситуации формула приме-
нима. Кроме того, нам известны все элементы формулы, кроме ПЗ по
ставке i — 0,1 всех погашений К : С = N = 8559,48, R = 1, D = д =
0, 08, i = 0,1. Поэтому остается найти К и можно ее применять:
15
Л' = ^2(1, 1)-,1000vq^8Z = ЮООи^а^ = 3792,48,
1
А = 3792,48 + °’ °8^ 7 °’ (8559,48 - 3792,48) = 6080,64.
U, 1
3. Используя ПЗ всех погашений К .
Стоимость покупки для инвестора составляет величину
А2 = 1000<Д| = 7606,08, (2.9)
15|
если не учитывать налогообложение. Выше было показано, что ПЗ по
ставке г = 0,1 всех погашений К = 3792,48. Таким образом, ПЗ I
всех выплаченных процентов по той же ставке составляет величину I =
А? - К = 3813,60. Но из них инвестор получит лишь 0,6/. Поэтому
справедливой ценой является сумма
А = К + 0,6/ = 3792,48 + (0, 6)3813,60 = 6080,64.
4. Косвенная оценка ПЗ К и формула Макэхама.
Величина К ПЗ по ставке i = 0,1 всех погашений не зависит от того,
платит инвестор ПН или нет. Поэтому ее можно найти в предположении,
что он его не платит. В самом деле, тогда в силу (2.9) А% = 7606,08 и
по формуле Макэхама в этом случае имеем
Д2 = к + у^(8559,48 - К),
откуда получаем, что К = 3792,48, как и раньше. Но определив К , мы
можем вновь использовать формулу Макэхама, теперь уже для инвесто-
ра, который оплачивает ПН, и выяснить, что справедливая цена
А = 3792,48 + °’ °8^ ~ °’4) (8559,48 - 3792,48) = 6080,64.
Отметим в заключение, что косвенная оценка величины К позво-
ляет не иметь дело с представляющей эту величину геометрической
прогрессией •
2 Формула Макэхама
293
2.3. Другие подходы и бессрочные ренты
О возможных обобщениях
Выше мы рассмотрели связь стоимости пакета ЦБ на момент покупки с
ЧЕД инвестора, покупающего его по такой цене. Причем эта доходность
всегда имела смысл ставки оплаты процентов в конце года и потому
обозначалась через г, даже если оплата процентов по ЦБ производилась
к раз в год. Мы использовали для записи выражений ставку № , но
доходностью была эквивалентная ей ставка г.
Однако также можно было бы интересоваться доходностью в смы-
сле любой другой, скажем, из пяти типов известных нам эквивалентных
ставок - г, 6, d. Причем ясно, что при переходе с одного типа
ставок на другой проблемы возникать не должны.
Пример 2.3. Военный 3,5%-ный заем 1932 г. в Англии
Облигации этого займа появились в 1932 г. как новая версия старого
займа, выпущенного еще в период Первой мировой войны (19Ц-1918).
Проценты по нему составляли 3,5% годовых и выплачивались дважды
в год, 1 июня и 1 декабря. В настоящее время эти облигации не име-
ют фиксированной даты погашения, хотя и предполагается, что они
должны быть погашены по номиналу.
Считая, что заем не будет иметь погашения, определить ежегод-
ную доходность i и номинальную ежегодную доходность № полугодо-
вой периодичности для инвестора, не оплачивающего ПН и купившего
некоторое количество этих облигаций 22 августа 1983 г., когда цена
облигации равнялась 34,875% (имеется в виду: от номинала).
Решение. Вместо УВД (2.1) для искомой ставки i теперь, очевидно,
имеем уравнение
= (2.Ю)
где Р = 0,34875, D = 0,035, к = 2 и t = 101/365 - период времени
в годах, разделяющий моменты покупки и первой процентной выплаты,
причитающейся инвестору. Решая его, получаем сначала i = 0,1053, ну
и затем по известной формуле № = 2((1-Н)1/2-1) = 0,1027 . Именно эта
доходность и была опубликована 22 августа 1983 г. в местной прессе •
Но, конечно, не только доходность в реальной жизни может пони-
маться по-разному. Процентные платежи, например, могут вноситься в
начале БП, а все элементы рассмотренной выше схемы могут меняться
на протяжении жизни ЦБ (даже ставка доходности, см. упр. 7). Но в лю-
бом случае, желая определить связь цены покупки и нужной доходности,
можно действовать по аналогии, а именно, записать условие равенства
ПЗ обязательств двух сторон, т.е. равенства справедливой цены сумме
ПЗ будущих купонных платежей и ПЗ цены (или цен) погашения.
294
VII Оценка стоимости ЦБ
Пример 2.4. Непостоянная купонная ставка
Корпорация выпустила облигации номинала 1000 с погашением через 10
лет и процентными платежами в конце каждого из них, причем вы-
брала купонную ставку так, чтобы учесть высокий уровень инфляции.
А именно, за первый год эта ставка была равна 7%, а каждый следу-
ющий купон увеличивался на 3%. Цена погашения была выбрана равной
1200. Определить цену покупки одной такой облигации для инвестора,
который не оплачивает ПН и хочет иметь доходность i = 9%.
Решение. Некоторую трудность представляет лишь расчет ПЗ буду-
щих купонных платежей I. Но здесь нас выручает, например, формула
1 1 _ (1±£)П
v+t72(14-g) + v3(l + 9)2+-• •+vn(l + ?)n-1 = —-а^ = ?1+г/ , (2.10)
1 + q 1 ? — q
в которой j определяется из равенства 1+j = (l + ?)/(l + g). В соответ-
ствии с ней получаем, что I = 70[1 - ]/(0,09 - 0,03) = 504.368,
и, следовательно, искомая цена
А = 1 + 1200(1,09)1О = 504,368 + 506,893 = 1011,26 •
Бессрочные ренты
Не нужно думать, что только старые займы могут продолжаться бес-
конечно долго или настолько долго (скажем, 999 лет), что вполне могут
считаться бесконечно долгими с практической точки зрения. В этой роли
довольно часто оказываются современные займы, связанные с покупкой
или арендой земли. Они так и называются - бессрочные ренты {perpe-
tuities or perpetual loans). Причем арендная плата, которую арендатор
земельного участка выплачивает либо ее владельцу, либо главе местной
администрации, может вноситься не только за временное пользование
участком земли, но и, например, вместо отбывания воинской повинности
(несения воинской службы) или какой-либо иной обязанности.
В этой области есть и много других особенностей. Так, земельная
реформа в Шотландии 1974 г. предоставила арендаторам право выку-
пать будущие выплаты по арендной плате {feu-duty). Цена подобной опе-
рации рассчитывается весьма просто - умножением суммы ежегодной
арендной платы на арендный коэффициент {feu-duty factor). Последний
же представляет собой ПЗ бесконечной единичной ренты.
Пример 2.5
Ежегодная арендная плата в 30 выплачивается один раз в полгода, 15
мая и 15 ноября. Используя 10% ежегодную номинальную ставку пери-
одичности 2, определить арендный коэффициент на 15 марта 1984 г-
для инвестора, не выплачивающего ПН.
Решение. Возьмем за БП полгода. Тогда искомое ПЗ можно будет
записать в виде 15vq q35/^o,O5 = 309,92 •
3 Срок погашения и доходность
295
3. Влияние срока погашения на доходность
Здесь мы рассмотрим ситуации, в которых момент погашения не являет-
ся фиксированным, конечным и известным заранее. Но, с одной стороны,
подобных ситуаций в жизни очень много и охватить их все в такой кни-
ге невозможно, а с другой - этого делать и не нужно, поскольку многое
понятно и по аналогии. В связи с этим в п.3.1 мы вводим в действие
некоторый инструмент - семейство кривых на плоскости - помогающий
разобраться во многих ситуациях, а затем, в п.3.2 и 3.3, касаемся двух
основных из них.
3.1. Цена как центральное поле кривых на плоскости
Отвлечемся от идейной стороны формулы Макэхама и попробуем разо-
браться в свойствах цены, как функции срока погашения п и доходности
г. Это имеет смысл тем более, что позволит просто отвечать на многие
практические вопросы.
Второй вариант предоставления займа
Естественно в связи с этим сначала воспользоваться более простым вто-
рым вариантом предоставления займа. Для чего введем в рассмотрение
соответствующее ему семейство кривых на плоскости (г, а)
а = А(п, i) = ND(1 - + Сг;П> (3.1)
зависящих от параметра п , где а и есть цена, соответствующая данным
п и i. При этом мы будем считать функцию А(п, ?) определенной на
плоскости i > 0, п > 0 , а точнее говоря, на счетном множестве полупря-
мых 1
(г > 0, п = Z/fc), I = 0, 1,...
первого координатного угла этой плоскости. Ну а для того, чтобы это
было возможно, положим
1 кп
1
считая, как это обычно и делается, что = 0.
Оказывается, что это семейство в области определения является так
называемым
ЦЕНТРАЛЬНЫМ ПОЛЕМ,
если 0 < t\ < 1. А точнее говоря, обладает следующими свойствами:
Запомним: во П варианте предполагается, что п кратно \/к.
296
VII Оценка, стоимости ЦБ
1) при любом фиксированном п > О
цена a = А(п, г) является убывающей функцией г при всех г > 0,
поскольку такими являются обе функции vn и aL|' в выражении
A(n, i) = C[0(l-*i)a$ + vn]; (3.3)
2) при любом фиксированном г > О
цена a = А(п, г) является
возрастающей функцией п, если о > 1,
< постоянной по п, если а = 1,
убывающей функцией п, если а < 1,
при всех п > О, поскольку
А(п, г) = С[а+ (1 - a)vn];
(3-4)
здесь и ниже a = <?(1 - С, h - некоторые положительные числа.
В самом деле, сами утверждения-свойства очевидны в силу (3.3, 3.4)
- выражений для цены, эквивалентных исходному представлению (3.1), -
поскольку в силу (3.2)
= С1 “ i > 0, п > 0, а£^ = п, п > 0, = 0, г > 0.
и ND = дС. Но это означает, что введенное семейство кривых имеет
примерно такой вид, как на рис. 3.1, где г’о - решение уравнения а = 1
относительно г, т.е. доходность,
Рис. 3.1. Цена как семейство кривых.
3 Срок погашения и доходность
297
при которой а = 1. Кстати, из рис. 3.1 хорошо видно, что
1) имеет место цепочка эквивалентных неравенств
i < io <=> о > 1 <=> а > С (3.5)
(а = А(п, г) > С при любом фиксированном п > 0), а также, что
2) все кривые этого семейства занимают совершенно определенную
область в первом координатном углу плоскости (г, а), поскольку
а) А(0, г) = О', г > 0; б) А(оо, г) = Са, г > 0;
в) А(п, 0) = С[<7(1 - t\)n 4-1], п > 0;
здесь А (со, г) = lim^oo А(п, г). Точнее говоря, в вертикальной полосе
с основанием 0 < г < го они заполняют криволинейный треугольник,
катетами которого являются отрезок прямой а = С и луч а > С, i = 0 ,
а «гипотенузой» - кривая а = Са, Соответственно можно сказать, что
в горизонтальной полосе 0 < а < С, i > 0 семейство заполняет «нож,
лезвием которого является прямая а = С».
Замечание 3.1. Каждое из трех использованных выше выражений
для цены имеет свой смысл. Первое, (3.1), как бы представляет весь про-
цесс выполнения обязательств двух сторон. Второе и третье, (3.3) и (3.4),
помогают осознать вышеуказанные свойства. Но есть и еще одно выра-
жение,
A(n, = K + (3.6)
где
I = DNa^ = gC(l - vn)/i^ = а(С - K)/(l - h).
Оно представляет не меньший интерес, поскольку дает разбиение цены
на два естественных слагаемых: ПЗ суммы погашения К и ПЗ всех чи-
стых процентов (1 - ti)I (т.е. полученных инвестором с учетом опла-
ченного ПН; I - ПЗ грубых процентов, т.е. причитающихся инвестору
до оплаты ПН) •
Замечание 3.2. Функция а = Са параметра г, окаймляющая семей-
ство справа и снизу, при малых г является почти гиперболой. В самом
деле, поскольку № = А:[(1 4- г)1^ - 1], то № « г[1 - i(k - 1)/2Аг] и,
следовательно,
а « ^(1 - £i)/i[l - i(k - l)/2fc], г —> 0.
Отметим также, что для г0 можно получить хорошее разложение в ряд
по z = 5(1 — t\)/k, основанное на равенстве го = [1 4- 5(1 — ~ 1 >
поскольку величина z обычно очень мала»
298
VII Оценка, стоимости ЦБ
Замечание 3.3. Определение (3.2) величины aL|' можно было бы
заменить на
“S = + (3.2а)
расширив область определения цены, т.е. функции Д(п, г), до первого
координатного угла плоскости (г, п); [ж] - целая часть числа х. При
этом вышеуказанные свойства останутся в силе. Однако мы предпочли
оставить вариант (3.2), поскольку с финансовой точки зрения в отноше-
нии полезности формулы (3.2а) нет единодушия •
Третий вариант предоставления займа
В этом случае формулы (3.3), (3.4) несколько меняют свой вид, а (3.6)
остается в силе, т.е. мы имеем следующие эквивалентные выражения для
цены
•4(й, г) = < С[а + (1 - а) 7/= $, (3.7)
( К + (1-^)/,
поскольку
/ = D Е? =9^1 Cta^ = (g/i^) £? C/(l - =
= а(С -/<)/(1 - tj;
в новом обозначении для цены мы полагаем п = (щ, П2,..., пт), см.
также (2.6), (2.7).
Из первых двух выражений в (3.7) ясно, что первое свойство сохра-
няется у нового семейства полностью, а со вторым есть определенная
проблема в отношении того, каким должно быть оптимальное обобще-
ние этого свойства (если таковое существует). Однако нетрудно понять,
например, что имеет место следующее утверждение:
1) при любом фиксированном векторе п
цена а = А(п, г) является убывающей функцией г при всех г > О,
2) при любом фиксированном г > О
цена а = A(nt, г) является
возрастающей функцией t, а > 1,
< постоянной по £, а = 1,
убывающей функцией а < 1,
при движении точки nt = (ni + t/3i, • • •, пт + t(3m) вверх по прямой, т.е.
при увеличении параметра £, и фиксированных /3/ > О, YT fli > 0.
3 Срок погашения и доходность
299
3.2. Дата погашения принадлежит интервалу
Иногда ЦБ не имеет даты погашения. В таком случае заемщик может
погасить ее по своему усмотрению в любую из дат выплат процентов
или после некоторого заранее оговоренного момента времени. Но воз-
можен и вариант, при котором условиями договора предусматривается,
что момент погашения должен принадлежать некоторому заранее вы-
бранному интервалу. При этом главное, что выделяет рассматриваемый
сейчас случай - это то, что о выборе момента погашения больше ничего
не известно.
Инвестор, желающий вложить деньги в заем с погашением по выбору
заемщика, в момент покупки не может знать, как поведет себя в даль-
нейшем рынок и, следовательно, когда заемщик погасит свою задолжен-
ность. Поэтому он не может знать ЧЕД от операции покупки, которая
образуется в результате. Тем не менее кое-что он может сделать и даже
без вышеизложенного в п.3.1.
В самом деле допустим, что инвестор может вложить деньги в лю-
бой из двух займов второго типа, совпадающих по всем параметрам за
исключением срока погашения, щ < П2 . И пусть за каждый нужно за-
платить цену b < С = NR . В этом случае ясно, что оба займа при пога-
шении дадут прирост капитала (С - b > 0) и потому при более раннем
его получении доходность выше. Итак, в первый заем вложить деньги вы-
годней, чем во второй. Но совершенно аналогичные рассуждения можно
провести и для случая b > С и, следовательно, при потере капитала при
погашении. Но все же более четкие выводы можно получить, опираясь на
вышеизложенное.
Предположим, что момент погашения п займа второго типа может
быть выбран по желанию заемщика из интервала щ < п < П2 . Тогда в
любом случае можно определить
• минимальную ЧЕД, которая будет возможна при заданной цене или
• максимальную цену, при которой ЧЕД будет не меньше заданной.
Покажем, что для этого достаточно понять следующее утверждение.
Лемма 3.1
Если для займа второго типа величина а = А(п, г) означает заданную
цену при покупке, а срок погашения п выбирается по желанию заем-
щика из интервала п\ < п < П2 , то ожидаемая ЧЕД i будет принад-
лежать к интервалу с концами Ц, г2 , а точнее говоря, при
а > С : г*1 < г < г2 (< г‘о) ;
а < С : (г’о <) г*2 < г < Ц ,
где i[ определяется из уравнения а = A(ni, г), I = 1, 2. Если же
окажется, что а = С, то искомая ЧЕД i = г’о независимо от даты
погашения.
300
VII Оценка, стоимости ЦБ
Доказательство. Мы рассмотрим лишь ситуацию a > С, поскольку
случай a < С полностью аналогичен, а случай a = С совсем очевиден.
Взглянем на прямую a = ai = const > С на рис. 3.1. Ясно, что она
сначала пересекает кривую a = A(ni, i) , затем a = А(п, i) и, наконец,
a = Л(п2, г) . При этом абсциссы соответствующих точек пересечения,
очевидно, удовлетворяют неравенствам ц < г < г*2 •
Ну а теперь мы в состоянии разобраться с максимальной ценой и мини-
мальной ЧЕД. Но, конечно, опять сделаем это лишь в ситуации a > С,
В самом деле, совершенно ясно, например, что максимальной ценой, га-
рантирующей ЧЕД г‘1, будет величина = A(ni, Ц). Поскольку при
a = ai возможный интервал доходностей есть [г’1, г2], при a < ai он
будет сдвинут вправо, а при a > ai - влево. И именно в последнем слу-
чае появится интервал возможных погашений, при которых ЧЕД может
оказаться меньше заданной г’1 .
Пример 3.1
Облигация приносит 7% годовых, которые выплачиваются дважды в
год, и погашается по цене 105% в один из моментов этих выплат че-
рез п лет в интервале 10 < п < 15 (напоминаем, что п кратно 1/2).
Какую цену Р за 1 номинала должен заплатить сейчас, в момент оче-
редной выплаты процентов (но после нее) инвестор, чтобы гарантиро-
вать ЧЕД i в 5%, если он
1) не оплачивает налоги,
2) оплачивает ПН по ставке 40%.
Решение. Поскольку D = 0,07, R = 1,05, п\ = 10, П2 = 15, г =
0,05, то g = 0,07/1,05 = 0,06667, г<2> = 0,05<2> = 0,04939 и мы легко
можем сначала определить, выполняются ли неравенства из (3.5), азатем
использовать лемму.
1. В этом случае ti = 0 и потому g(l — t\) > г^2\ т.е. о > 1. Таким
образом, в силу (3.5) и леммы, искомая цена Р = А(10, 0,05). Чтобы ее
найти, используем формулу Макэхама
р = к + (С "7<) = 1105и°°°5+05 ь О5и°°05) = 111918;
при этом, если инвестор заплатит эту цену, а заем будет погашен через
15 лет, то ЧЕД г будет равна 5,42%.
2. На этот раз = 0,4, <?(1 — ti) = 0,04 < г’(2\ и потому искомая цена
Р = -4(15, 0,05) = 1,05vq5O5+ JM£-(l,05- 1,05v*5O5) = 0,9464;
U,иЧУоУ
при такой цене и погашении через 10 лет ЧЕД окажете0 равной 5,35% •
3 Срок погашения и доходность
301
3.3. Распределение момента погашения известно
Предположим далее, что третий вариант относится ко всему займу. И
будем считать, что теперь инвестор
1) закупает лишь некоторую его часть, допустим, одну облигацию,
2) сам заем состоит из таких облигаций одинакового номинала, а
3) пакет погашаемых в любой конкретный момент облигаций
определяется жребием.
В этом случае можно считать известной вероятность
Pi = Ni/N (3.8)
того, что данная облигация будет погашена при /-м погашении, а сле-
довательно, распределение момента погашения £ : Р(£ = n/) = pi, I =
1, 2,..., m, где pi определены в (3.8). Поэтому, если ввести ЧЕД i = ii,
которую инвестор будет иметь при погашении его облигации в момент
тц , то одновременно можно говорить и о математическом ожидании его
доходности от покупки этой облигации
m
I = 'YjPiii. (3.9)
i
Следует отметить, что эта величина, вообще говоря, не равна ЧЕД i
от покупки всего займа. Однако во многих случаях величины г, I близки
друг к другу. Кроме того, ясно, что обе эти величины лежат между
г'1 и im . Вероятность же того, что покупатель одной облигации будет
иметь ЧЕД не меньше заданной, может быть легко определена из того
соображения, что ставки г/ убывают или возрастают в зависимости от
/, что, как известно, определяется лишь тем, что больше - Р или R.
Пример 3.2
Займ номинала 80 000 погашается по цене 105% четырьмя равными ча-
стями в конце 5, 10, 15 и 20 годов. Проценты по нему выплачиваются
по ежегодной ставке 10% дважды в год, а конкретные облигации для
данного погашения выбираются жребием среди всех имеющихся на мо-
мент 0 так, что выполняется условие (3.8).
Инвестор, оплачивающий ПН по ставке 30%, покупает одну обли-
гацию номинала 100 за 95,82 в момент выпуска. Определить
1) ЧЕД i = ц инвестора при погашении через 51 лет (1=1, 2, 3, 4),
2) вероятность того, что ЧЕД i будет больше 9%,
3) математическое ожидание I его будущей доходности на момент 0,
4) ЧЕД i = i* этого же инвестора в случае, если бы он купил весь заем,
и нанести все доходности на один график для сравнения.
302
VII Оценка, стоимости ЦБ
Решение. Поскольку Ni = 20 000, то в силу (3.8) pi = 0,25.
1. Доходности ii являются решением УВД
95,82 = 105и,5' + у (105 - 105иг5')
1,05г^
и равны соответственно
21 = 0,09066, г2 = 0,08109, г3 = 0,07803, i4 = 0,07660. (3.10)
2. Из (3.10) вытекает, что искомая вероятность есть pi = 0,25.
3. Из вышесказанного также ясно, что математическое ожидание доход-
ности совпадает с ее средним арифметическим I = (521г/)/4 = 0,0816.
4. Для определения доходности г* используем формулу Макэхама в виде
А = К + а(С- К)] (3.11)
здесь a = С = 84 000, А = 80 000 • 0,9582 = 76 656,
К = 20 000(^21 г?5,)1,05 = 21 000^1. Решаем это уравнение методом
проб и ошибок (см. ПБ.3.2), используя при выборе начального прибли-
жения г следующее соображение: поскольку для решения io уравнения
a — 1 имеем = 0, 0667 и a = А < С, то в силу (3.5) это при-
ближение должно лежать в области i > iq > iQ . В результате получаем,
что г* = 0, 0800 •
Все полученные доходности изображены на рис. 3.2. Точнее говоря,
доходности (3.10) представлены в виде точек, а величины /, г\- пунк-
тирной и жирной линиями соответственно.
0,09
0,08
-I---------------1---------------1-----►
10 15 20 П
Рис. 3.2. ЧЕД для примера 3.2
4 Налог на. добавленную стоимость
303
4. Налог на добавленную стоимость
Здесь мы рассмотрим вариант налога, введенного в Англии в 1965 г.
Взимается он только при погашении (или продаже), причем только если
разница С-А цен погашения и покупки положительна. Отсюда, кстати,
и слово «добавленный» в названии этого налога. Его влияние на цену
покупки или доходность ЦБ мы рассмотрим только для основной схемы.
Ставку же его всюду ниже будем обозначать через •
4.1. Простейшая и основная ситуация в начислении НДС
Если погашение происходит один раз и рассматривается второй вариант
ссуды, то налог на добавленную стоимость (НДС) взимается с суммы
С - А в момент п . Ясно, что тогда ПЗ суммы налога на момент покупки
равно величине ^(С - A}vn = £2(С — А)К/С и потому искомая цена А
должна удовлетворять, например, уравнению
А = аС + (1 - а)/< - t2(C - А)К/С.
Но А < С <=> а < 1 в силу (3.5). Таким образом, при любых а
аС + (1 — а)К, а > 1,
[ l-t2A7C ’ « 1.
(4.1)
(4.2)
Ниже мы увидим, что эта формула остается в силе и для третьего вари-
анта займа, но при соблюдении одного принципа, обычно используемого
в современной Англии:
доля, погашаемая в момент ni, имеет покупную цену ANi/N = Ayi,
т.е. вся цена А покупки распределяется по датам погашения
пропорционально погашаемым номиналам Ni, I = 1, 2,...,m.
Вводится это правило для того, чтобы НДС взимался либо при всех по-
гашениях, либо ни разу - для упрощения расчетов. И мы будем придер-
живаться его всюду ниже.
В самом деле, в соответствии с указанным принципом при Z-м пога-
шении НДС берется с суммы NiR - NiA/N = (С - 4)7/. И мы знаем, что
52? 7/гП* — А’/С (см. п.3.1). Поэтому ПЗ всех т налоговых отчислений
при А < С составит величину
ЕГ «27/(С - A)vn‘ = t2(C- А)К/С.
И, следовательно, цена А должна удовлетворять тому же уравнению
(4.1), что и раньше. Кроме того, ниже мы покажем (см. (4.5)), что при
t2 < 1 импликации (3.5) останутся в силе и для третьего варианта. Таким
304
VII Оценка, стоимости ЦБ
образом, для цены покупки А по-прежнему будет иметь место выраже-
ние (4.2), но только с К, С из (2.7).
Представление (4.2) для цены А в случае, когда оплачиваются оба
налога, нам будет удобно записать и в несколько ином виде
А =
K-b(l-h)I, А > С,
Л<С,
(4.3)
используя нижнюю формулу из (3.7), а также импликацию (4.5); напоми-
наем, что для третьего варианта займа
Z = a^K, К = a = д1-^,
причем величина I имеет смысл процентов, выплачиваемых инвестору
до оплаты им ПН, К - ПЗ всех погашений на момент покупки и мы
полагаем, что 0 < ^, £2 < 1-
Пример 4.1
Заем номинала 500 000 был выпущен в обращение под 8% годовых, вы-
плачиваемых в конце каждого квартала. Погашение в нем предусматри-
валось осуществить 20 равными частями по 25 000 и оплачиваемыми
регулярно через год по цене 105%, причем в первый раз через 10 лет
после выпуска.
Один инвестор, оплачивающий оба налога, закупил весь займ по це-
не, которая принесла ему ЧЕД 6%. Определить уплаченную цену в пред-
положении, что его ставки t\ и равны соответственно
1) J0, 30%, 2) 20, 30%.
Решение. В рассматриваемой ситуации С = 500 000 -1,05 =
525000, К = 25 OOO-l,O5(a^6-^j06) = 178 211, I = К) =
450 158, Ао — К + I = 628 368, где Ао - цена для инвестора, не опла-
чивающего налоги.
1. В этом случае, если оплачивается только ПН, то «возникающая»
цена
Ai = К + (1 - t,)I = 448 306 < 525 000 = С.
Таким образом, НДС нужно оплачивать и потому искомая цена А опре-
деляется, например, из уравнения (4.3)
Л 448 306-0,3-178 211 п
А =----------------------= 439 610.
1 - 0,3-178 211/525 000
Итак, займ был закуплен по цене 87,922% = A/N.
2. На этот раз цена А,, учитывающая лишь ПН, равна 178 211 +
(1 - 0,2)450 158 = 538 337. Поскольку она больше 525 000, то НДС не
оплачивается, и, следовательно, эта цена является искомой. Итак, заем
был оплачен по цене 107,667% •
4 Налог на добавленную стоимость
305
4.2. Цена как центральное поле кривых на плоскости
Здесь, как и ранее в п.3.1, мы снова займемся чистой математикой, желая
распространить установленные там свойства цены на
третий вариант займа с одновременной оплатой ПН и НДС.
При этом для простоты мы рассмотрим лишь частный случай, когда
все т моментов погашения щ меняют свое положение на оси времени
одновременно. А точнее говоря, будем считать, что единственным пара-
метром, от которого зависит схема погашения, является момент п = пт
последнего погашения. Остальные же с ним связаны жестко, т.е. при из-
менении п величины п - щ постоянны при всех I > 1.
Введем, как и прежде, семейство кривых на плоскости (г, а),
а = А(п, г) =
аС + (1 — ot > 1,
aC+(\—a—t2)K . -i
i-tiX/c' » a <
(4.4)
зависящих от параметра п, причем параметр а, как и ранее, будет
представлять цену, соответствующую данным п, г. Ну а саму функцию
А(п, г) будем по-прежнему считать определенной на счетном множестве
полупрямых (г > 0, п = l/k), I = 0, 1, 2 ..., хотя очевидно, что выраже-
ние аС + (1 - а)К из (4.4) определено на всем положительном ортанте
(г >0, п > 0). Как читатель помнит, во-первых, мы рассматриваем тре-
тий вариант займа. Ну а во-вторых, в (4.4) есть слагаемые , которые
без проблем определяются пока только по формуле (3.2) и, следовательно,
для значений п/, кратных 1/к.
Покажем, что новое семейство в области определения также является
ЦЕНТРАЛЬНЫМ ПОЛЕМ,
если 0 < ti < 1, 0 < t2 < 1. А точнее говоря, обладает следующими
двумя свойствами:
1) при любом фиксированном п > 0
цена а = А(п, i) является убывающей функцией i при всех i > 0,
2) при любом фиксированном i > 0
цена а = А(п, г) является
возрастающей функцией п, если а > 1,
< постоянной по п, если а = 1,
убывающей функцией п, если а < 1.
при всех п > 0.
306
VII Оценка стоимости ЦБ
Но прежде установим, что для новой цены, как и ранее в (3.5), при
любом п > 0
a < 1 <=> a < С, (4.5)
и потому действительно формулу (4.3) можно использовать в таком виде.
В самом деле, пусть a < 1 и, следовательно, цена а удовлетворяет
соотношению
а(С - t2K) = аС + ц _ а (4,1а)
О
Допустим, кроме того, что a = С(1 + <£), a = 1 + Д. Тогда нетрудно
понять, что (4.1а) можно переписать в следующем эквивалентном виде
<5(С-М<) = А(С-Л’). (4.16)
Но мы всегда предполагаем, что i > 0 и потому С > К. Таким образом,
поскольку i2 < 1, то знаки величин 6, Д в силу (4.16) одинаковы и,
следовательно, эквивалентность (4.5) установлена.
Убедимся теперь в том, что вышеуказанные свойства действительно
имеют место. Ну, а поскольку при a > 1 цена не зависит от £2, то ясно,
что достаточно рассмотреть лишь случай а < 1 или (что то же самое)
i > г’о.
Представим для этого цену в виде a = Cf(n, г), где
a + (l-a- t2)L
1 ~ l-t2L
a L = К/С — • И покажем, что обе частные производные fn
отрицательны, считая функцию / определенной во всем первом ортанте.
Ясно, что для установления справедливости искомых свойств этого будет
вполне достаточно.
Нетрудно проверить, что
az(l-L)(l-^2£) + (l-a)(l-^2)i:
Л (1 - t2LY
и _ (1 ~ a ~ ^)(1 - ^2^)^n + +(!-»- £2)£]Ьп _
1п~ (1 - t2LY
= (l-g)(l-f2)£;
(1 - t2LY *
Ну а поскольку а' = -</(1 - fi)(i^)~2(l + г)1/*"1 < 0 и, очевидно,
£ < 1, i2 < 1, £' < 0, то ясно: /' < 0. Что же касается f'n , то она
отрицательна, так как t2 < 1, L = vn £2™ yiun~ni = constvn и потому
L'n = L In v < 0.
4 Налог на добавленную стоимость
307
4.3. Учет НДС в различных ситуациях
А теперь перейдем к примерам из практической жизни.
Определение ВД при наличии НДС
Как и в любом другом случае для решения УВД достаточно найти вилку
(см. ПБ.2.1) и затем использовать линейную интерполяцию. Конечно, при
этом можно использовать нижние и верхние оценки из п.1.2. Но полезным
бывает и переход к так называемой
эквивалентной ситуации без ПН и НДС.
Пример 4.2
Заем номинала 1000 предусматривает 6% годовых, выплачиваемых в
конце каждого года в течение 10 лет, а также погашение по номи-
налу через 10 лет. Определить ЧЕД i для инвестора, купившего этот
займ по цене 800 и оплачивающего ПН и НДС по ставкам 40 и 30%
соответственно.
Решение. Ежегодные проценты после оплаты ПН составляют 36 =
(1 - /1)60. Ясно также, что приращение капитала при погашении поло-
жительно (200). Поэтому НДС оплачивается и чистая выручка при пога-
шении равна 940 = 1000 - /2 * 200. Таким образом, УВД можно записать
в следующем безналоговом виде:
800 = Збащ + 94Ои10. (4.6)
Теперь можем искать вилку, но прежде получим нижнюю и верхнюю
оценки для искомой ЧЕД из п.1.2, считая, что мы имеем уравнение типа
(1.1). В результате окажемся в ситуации R = 0,94 > 0,8 = Р и потому
придем к неравенствам: 0,045 < i < 0,0625. Но это означает, что в рас-
чете на вилку естественно попробовать значения 0,055 и 0,06 . Проверка
показывает, что правая часть (4.6) при i = 0,055 равна 821,66, а при
? = 0.06 - 789,85. Следовательно, вилка найдена и можно использовать
линейную интерполяцию, которая приводит к
821,66- 800 ,
* = °’ 055 + Я91 fifi 7Я0 Я^°’ 06 " °’ °55) = °’ °584'
ozl,оо — 7о9,85
Отметим, что вместо нижней и верхней оценок при поиске вилки в
рассматриваемой ситуации вполне можно использовать и среднюю доход-
ность, определяемую по схеме п. VI.2.1. В самом деле, если в уравнении
(4.6) заменить на 10и5 , то получим квадратное уравнение
47ж2 + 18ж - 40 = 0
относительно х = v5. Решая его, находим х = (-9 + \/81 + 1880)/47 =
0,7507, v = 0,9443, г = 0,059051 •
308
VII Оценка, стоимости ЦБ
Даты погашения по выбору заемщика
Если момент щ начала погашения выбирается по желанию заемщика из
некоторого интервала, а остальные моменты погашения определяются по
йему однозначно, то
1) мы легко определяем интервал п < п < п возможных значений для
момента п последнего погашения (он участвует в обозначении цены), а
2) результат леммы 3.1 остается в силе и для третьего варианта займа
с учетом НДС. Последнее вытекает из доказанных в п.4.2 свойств цены
(4.4), которую мы обозначаем через а = А(п, i) . И это можно опреде-
ленным образом использовать.
Пример 4.3
Заем номинала 100 000 предусматривает 8% годовых, выплачиваемых
один раз в конце каждого полугодия на протяжении всего срока займа,
а также погашение по номиналу десятью равными частями (10 000) по-
следовательно через год, начиная с первого погашения. Дата же этого
погашения по условиям займа должна быть выбрана заемщиком в ин-
тервале [10, 25] лет с момента выпуска.
Один инвестор желает закупить весь займ в момент выпуска по
цене, которая гарантировала бы ему НЕД в 7%. При этом он должен
оплачивать ПН и НДС по ставкам 40 и 30% соответственно.
Определить 1) эту цену, а также 2) ЧЕД, которую эта цена ему
обеспечит, если погашение начнется через Ц лет.
Решение. У нас С — 100 000, k — 2, R — 1, д — 0,8, = 0,4, t2 =
0,3, i = 0,07, 10 < ni < 25 и потому п = 19, п = 34. Таким образом,
5(1 — Ц) = 0,48 < 0,07(2). А следовательно, а <1 и а <С в силу (4.5).
1. По лемме 3.1 минимальная ЧЕД в 0,07 будет гарантирована при
выборе п = п, г2 = 0,07, т.е. при цене А = А(34, 0,07). Найдем ее по
формуле (4.3). Для этого сначала определим
К = 10 000 (agj7 - a^°7) = 13 846,75,
(1 - ti)/ = a(C - К) = О,Оо8^772°,4)(Ю0 000 - 13 846,75) = 60 092,87,
а затем по этой формуле - искомую цену
(1 - 0,3)13 846,75 + 60 092,87
1 - 0,3-0,1384675
= 72 810,14.
Итак, если заемщик отложит начало погашения на последний момент,
то реальная ЧЕД окажется равной 0,07. Но если погашение начнется
раньше, то она будет больше.
2. Если цена погашения А, а значит, и Р известна, то для определе-
ния ВД удобно использовать уравнение, вытекающее из (4.3)
А = [1 - i2(l - P/R)\K + a(C - /<),
(4.7)
4 Налог на добавленную стоимость
309
которое естественно назвать обобщением формулы Макэхама на случай
учета НДС. Первое слагаемое в его правой части представляет собой ПЗ
чистой выручки от погашений, остающейся после оплаты НДС, а второе,
как мы знаем, представляет ПЗ всех чистых процентов, остающихся в
кармане инвестора после оплаты ПН.
Если погашение начинается на 14-м году и А = 72 810,14 , то
К = 10 000(^ -«у.
[1 - <2(1 - Я/Я)) = 1 - 0,3(1 - 0,7281014) = 1 - 0,08157 = 0,91843.
Таким образом, искомое УВД имеет вид
72 810,14 = 9184,30(а^. - ак) + °’86 [100 000 - 10 000(aU -
Читатель может проверить, что его решением является i = 0,0744 •
Взаимозачет потерь и приращений капитала
В некоторых случаях инвестор получает возможность уменьшить размер
оплаты НДС за какой-то год или даже совсем освободиться от нее. Де-
ло в том, что ему дается право из общей суммы приращений капитала,
соответствующей всем тем погашениям, при которых это приращение
положительно, вычитать суммарные потери. Конечно, если эти послед-
ние окажутся больше, то получается лишь освобождение от НДС. Кредит
под будущие выплаты по этому налогу не предусматривается.
Поскольку эта тематика выходит за рамки нашей книги, мы рассмо-
трим только один пример того, какой в этом плане может оказаться
конкретная ситуация.
Пример 4.4
Правительственным акциям двух типов осталось «жить» 4 года. Пога-
шение в них предполагается по номиналу, а проценты выплачиваются
в конце каждого года с интенсивностью 15% по первому типу и 8% -
по второму.
Только что были выплачены проценты и поступила информация,
что цены на них равны 105,80 и 85,34% соответственно. В этот мо-
мент покупкой этих акций заинтересовался инвестор, обязанный опла-
чивать ПН и НДС по ставкам 35 и 50% соответственно. Покажите,
что этот инвестор будет иметь ЧЕД i, равную
1) 8%, если закупит некоторое количество акций
какого-либо одного типа, не важно какого;
2) 8,46% , если закупит некоторое количество акций двух типов и доля
средств, вложенных в 8% акции окажется такой, что общее прира-
щение капитала при погашении будет равно 0 (конечно, ему разрешено
компенсировать потери капитала при погашении его приращениями).
310
VII Оценка, стоимости ЦБ
Решение. Первую часть задачи мы рассматриваем, поскольку она мо-
жет быть проанализирована по аналогии с прим. 4.2.
2. Обозначим долю средств инвестора, вложенных в 8% акции, через
А и предположим, что этот инвестор всего закупил акций на сумму 1000.
Токда номинал закупленных акций первого и второго типов будет равен
соответственно
М = 1000(1 - А)100/105, 8, TV2 = 1000 А100/85, 34.
При этом чистый доход от процентов будет составлять каждый год ве-
личину
0,65[0,15М + 0,08/V2] = 92,16 - 31, 22 А,
а общая выручка от двух погашений до оплаты НДС будет равна
^ + ^2 = 945,18+ 226,60 А.
Таким образом, если выбрать А = (1000 - 945,18)/226,6 = 0,2419,
то эта общая выручка будет равна 1000, и, следовательно, приращение
капитала по 8% акциям будет полностью компенсировать потери по 15%
акциям (т.е. в этом случае наш инвестор фактически имеет право не
оплачивать НДС). Но при выбранном А ежегодный доход от всего пакета
будет равен 92,16 - (31,22-0,2419) = 84,61. И поскольку погашение в
рассматриваемом случае происходит по номиналу, то искомая ЧЕД равна
8,461%, что и требовалось®
Цена погашения и ставка налога меняются со временем
Продолжим рассмотрение третьего варианта займа и будем по-прежнему
предполагать, что за I -й слой погашения заплачена цена N[A/N = N{P .
Кроме того, будем считать, что цена погашения единицы номинала при
l-м погашении равна Я/, а ставка НДС - t^i. Тогда, используя прин-
цип определения стоимости ДП, мы можем записать ПЗ всех налоговых
отчислений по НДС в виде
т т р _ р
~ NiP)+vn‘ + (4.«)
1 1 1
где К[ — NiRivni - ПЗ суммы /-го погашения на момент покупки,
Р - цена единицы номинала при покупке, а
(6)+ = Ъ, если Ь > 0 , и (6)+ = 0 , если b < 0 .
Таким образом, именно величину (4.8) нужно будет использовать в (4.1)
вместо /2(С- А}К/С при определении справедливой цены .4.
При этом остается один вопрос, который в каждом случае нужно ре-
шить: а все ли слагаемые в (4.8) положительны или нет? Обычно предпо-
лагают, что все, и затем, получив ответ, проверяют это предположение.
4 Налог на добавленную стоимость
311
Пример 4.5
8%-ный заем номинала 300 000 был выпущен 15 лет назад. Проценты
по нему выплачиваются в конце каждого года, а погашение предпола-
галось осуществить ежегодными равными частями (номинала 10 000),
выплачиваемыми в течение 30 лет, и также в конце каждого года. При-
чем была установлена своя цена погашения для каждого десятка лет:
первого - по номиналу, второго - по 105% и третьего - по 110%.
Один инвестор пожелал закупить остаток займа именно сейчас,
т.е. в момент сразу после 15 погашения и очередной выплаты процен-
тов. Оплачивать он должен лишь НДС, причем по ставке 35% первые
десять лет и 30% последующие пять. Какую цену этот инвестор мо-
жет заплатить, чтобы получить ЧЕД от этой операции в 10%?
Решение. Предстоящие 15 лет удобно разбить на следующие три этапа
годы________________1-5 6-10 11-15
цена погашения, в % 105 110 110
ставка НДС, в % 35 35 30
Естественно также привлечь ПЗ всех погашений по номиналу и разбить
его на следующие три части: К — 10 000а^ = 76 060, 79 — L\ + £2 + £з ,
где L, = 10 OOOaj’1 = 37 907,87, L2 = 10 000(a^ - a^j1) = 23 537,80, L3 =
10 000(a^ - a^) — 14 615,12. Тогда цену покупки без учета НДС мож-
но считать состоящей из 1) цены того же займа, но при погашении по
номиналу и 2) ПЗ «премий» при погашении, т.е. записать в виде
76 060,79 4- (150 000 - 76 060,79) + (0,05 • 37 907,87)+
0,1(23 537,80+ 14 615,12) = 140 922,84.
Перейдем далее к учету НДС. Отметим, что поскольку все суммы пога-
шения равны, то в соответствии с принципом пропорциональности цену
каждой из них при покупке можно считать равной .4/15, где А - ис-
комая цена. Ясно, кроме того, что удобно разбить ПЗ всех налоговых
отчислений (4.8) на три части и записать следующим образом, предполо-
жив, что все слагаемые положительны:
о, 35 {е![(Ю 000 • 1,05) - + £|°[(10 000 • 1,1) - £]v'} +
0,3^[(10 000-1,1)- £]v' =
(0,35-1,05-L,) + (0,35-1, l-L2) + (0,3-1, l-£3)-A[0,35a^+0,3(a^-a^)] =
27 816,18- 0,1726034.
В результате искомую цену можно определить из следующего аналога ра-
венства (4.1): А = 140 922,84—(27 816,18 —0,172603Л). Из него вытекает,
что А — 136 701,80 и, следовательно, все слагаемые в (4.8) действитель-
но положительны, а Р = 91,13% = Д/150 000 •
312
VII Оценка стоимости ЦБ
5. Покупка ЦБ в реальной жизни.
Учет различных нюансов
А теперь коснемся определения ВД в случае различных отклонений от
рассмотренного выше основного, третьего варианта покупки ЦБ. В связи
с этим напомним, что в этом варианте предоставления займа использу-
ется упорядоченная схема расположения покупаемого ДП. И можно даже
сказать, что не только моменты выплат процентов регулярны, т.е. рав-
ны l/k, I = 1, 2,..., fcn, но и все остальное связано с ними. В самом
деле, в наших соглашениях момент покупки - это момент 0 - и моменты
погашения п/ также лежат на решетке указанных выше действительных
чисел, кратных 1/к (рис. 5.1). Ну а чтобы сам ДП рис. 5.1 воспринимался
без удивления, укажем несколько иную эквивалентную запись ПЗ I всех
грубых процентных выплат, которую мы ранее не использовали:
m m
1 = - *<) = ° Е "'С =
1 1 1 1
m тп О
= D^m^vn,~la^^\i Е = 0, по = 0). (5.1)
з=1 /=3 9 3 1
Рис. 5.1. ДП основного, третьего варианта предоставления займа
Само же обсуждение представляется естественным разбить на две
части. Во-первых, мы представим универсальную формулу, которая до-
вольно часто используется на практике для определения искомой ВД опе-
рации покупки. В ней отклонением является так называемая частичная
оплата покупки и некоторые другие моменты. Ну а начнем разговор с
обширного класса жизненных ситуаций, в которых какой-либо из элемен-
тов основного варианта займа не удовлетворяет его условиям. А точнее
говоря, затронем ситуацию переменных ставок D, R, ti , произвольного
выбора момента покупки и скрытой оплаты процентов, т.е. погашения
займа постоянными выплатами.
5 Покупка, ЦБ в реальной жизни
313
И последнее. Высказываемые соображения остаются в силе и при уче-
те оплаты налогов. Однако действовать в ситуации с налогами можно по
аналогии с ситуацией без них, опираясь на рассмотренную выше теорию.
Поэтому для упрощения изложения мы будем в основном интересовать-
ся лишь грубой доходностью (ГД), т.е. доходностью даже без учета ПН.
И при этом в ее сокращенное название не будем включать слово «еже-
годная», поскольку иногда она будет периодической, т.е. доходностью за
период 1/k.
5.1. Несколько более сложных ситуаций
Основное внимание в этом разделе уделяется конкретным примерам.
Оценка стоимости покупки в произвольный момент
Выделим три типа изменений, связанных с моментом покупки. Бывает,
когда он
совпадает с моментом оплаты процентов и
они причитаются инвестору
(ранее мы считали, что они принадлежат заемщику),
совпадает с моментом выпуска, но первая процентная выплата
нестандартна по величине, или
не совпадает с моментом оплаты процентов.
Ясно, что в любом из этих случаев для перехода в ситуацию третьего
варианта займа нужно проделать не более двух простых операций:
1) отдельно учесть первую процентную выплату и
2) перенести стоимость покупки вперед или назад.
Пример 5.1
Среднерыночная стоимость (т.е. среднее цен покупки и продажи) саус-
эмптонских акций по котировкам 15 декабря 1976 г. на Лондонской фон-
довой бирже равнялась 66%. Ежегодные 6% по этим акциям выплачива-
лись один раз в полгода, 1 апреля и 1 октября, а погашение по номиналу
произошло в конце сентября 1981 г. Определить ежегодную ГД i от
покупки этих акций 15 декабря 1976 г. по вышеуказанной цене.
Решение. Рассмотрим два способа.
1. Если бы момент покупки приходился на 1 октября 1976 г., причем на
момент непосредственно после выплаты процентов, то по формуле Мак-
эхама соответстствующая стоимость Д' покупки одной акции номинала
100 равнялась бы
А' = К 4-212^(100- К'). (5.2)
где К = lOOvf. Поэтому для определения искомой стоимости А на 15 де-
кабря 1976 г. нужно осуществить перенос вспомогательной стоимости А'
314
VII Оценка стоимости ЦБ
вперед и в результате записать УВД в виде
А = (1 4- г)75/366А' = 66,
откуда получить, что г = 0,1776.
2. Если бы момент покупки приходился на 1 апреля 1977 г., причем на
момент непосредственно после оплаты процентов, то по формуле Мак-
эхама соответстствующая стоимость Д' покупки одной акции номинала
100 равнялась бы величине А1 из (5.2) с К = 100v2 * 4’5. Стоимость же
на то же 1 апреля 1977 г., но на момент непосредственно до выплаты
процентов будет равна величине Д' + 3. Поэтому искомую цену можно
записать и в следующем виде
А = (1 + г)-107/366(Л' + 3) = 66,
откуда, как и ранее, получить, что г = 0,1776 •
Меняющиеся ставки
Если в зависимости от времени меняется, скажем, цена погашения R , то
часто полезно использовать один из следующих двух подходов:
1. рассмотреть фиксированную цену погашения, чтобы воспользо-
ваться формулой Макэхама, а затем подправить ответ, учитывая
падение или рост реальной цены по сравнению с выбранной;
2. разбить заем на части с постоянной ценой и сначала оценивать
с помощью формулы Макэхама каждую из частей отдельно.
Вообще говоря, первый подход больше подходит к ситуациям с большим
числом различных значений у цены, а второй - когда этих значений не-
много, т.е. два или три. Кроме того, аналогичные соображения годятся
и для других ставок.
Пример 5.2. Меняются ставки R и Ц ; первый подход
Заем номинала 10 000 выпущен в обращение в виде облигаций номинала
100, выплата 9% по которым должна производиться в конце каждого
года до момента погашения включительно. Предполагается, что поло-
вина облигаций будет погашена равными частями в конце каждого из
первых 10 лет, т.е. по 5 облигаций в год, а оставшаяся половина обли-
гаций будет погашена и также равными частями, но в конце каждого
из последующих 5 лет, т.е. по 10 облигаций в год. Кроме того, цена
погашения первой половины равна 112,5 за облигацию, а второй - 120.
Одному инвестору было предложено закупить весь выпуск по цене
10 190, чтобы он имел ЧЕД i 7%. Известно, что этот инвестор дол-
жен оплачивать лишь ПН, причем некоторое время после покупки по
ставке 40%, а потом - 30%. Определить число процентных выплат, по
которым налог с него будет взиматься по первой ставке.
5 Покупка, ЦБ в реальной жизни
315
Решение. Предположим, что цена погашения постоянна и равна
112,5%. Тогда ПЗ всех погашений
К = 562,5а^7 + U25v10a2j07 = 62 95,63,
и, следовательно, стоимость выпуска при ставке = 30% равна (д =
^ = 0,08)
/< + 250 - К) = 10 259.
Но более высокая цена погашения в последние 5 лет дает увеличение ПЗ
всех погашений на
1000 • 0,075(а^°7 - а^°7) = 156,
не влияя на ПЗ процентных выплат. Поэтому при указанной ставке Ц
цена равнялась бы 10 415. Остается, таким образом, определить, за какое
число первых I выплат ПЗ суммарного дополнительного ПН составит
величину 225 = 10 415 - 10 190.
Для этого построим таблицу,
Год 1 Номинал займа С/, непогашенный в начале года 1 Проценты за год 1 Il = 0, ОЭС/ ПЗ их 10% за год 1 0) 1Avo,O7 Суммарное ПЗ за первые 1 лет
1 10 000 900 84,1 84,1
2 9 500 855 74,7 158,8
3 9 000 810 66,1 224,9
4 8 500 765 58,4
из которой видно, что I = 3. Надеемся, что возможный другой смысл
обозначения С/, используемый ранее неоднократно (цена погашения I-
го транша займа), не собьет читателя с толку •
Пример 5.3. Меняется купонная ставка D; второй подход
По займу номинала 3 000 000 в течение первых 10 лет оплачивают-
ся 3,5% годовых, а в дальнейшем - 4%. Причем делается это один раз
в конце каждого полугодия. Погашается же он по номиналу равными
ежегодными частями в течение 30 лет, выплачиваемыми в конце ка-
ждого из этих лет. Определить ЧЕД i для финансового учреждения,
закупившего заем по номиналу и оплачивающего ПН по ставке 37,5%.
Решение. Разобьем заем на две части: номинала 1 000 000 и погашае-
мой в течение первых 10 лет, и остаток номинала 2 000 000, погашаемый
в дальнейшем. Тогда по формуле Макэхама можно записать
Л. = Л-. + °-035:?625(1 000 000 ^<,), (5.3)
316
VII Оценка, стоимости ЦБ
А2 = К2 4- 0,04‘9°;625(2 000 000 - Л'2), (5.4)
где Ki = 1 000 000а~35, К2 = 2 000 000(а~ 4 - а^4). Но если равенство
(5.3) действительно описывает стоимость первой части займа, то выра-
жение (5.4) относится к некоторому вспомогательному займу, в котором
по любой облигации, погашаемой в интервале (10, 30] лет всю ее жизнь
выплачивались 4% годовых. Таким образом, излишек выплаченных в нем
процентов за первые десять лет (а точнее говоря, ПЗ излишка)
2 000 000 • 0,005 • 0,625аЦ. = 6250аЦ.
’ 10|г 10|г
нужно изьять из общей стоимости займа и записать искомое УВД в виде
3 000 000 = А1 + А2 - 6250а^.
Грубым решением этого уравнения должна быть величина i =
0,023 = 0,0375 • 0,625 (почему?). Проверка же показывает, что она и
является решением с точностью до 0,001 •
Погашение одновременно с оплатой процентов
Ситуацию ссуды номинала С, выданную под ежегодную ставку процента
D, и оплачиваемую постоянной периодической рентой, конечно, можно
считать частным случаем третьего варианта займа с параметрами
R=l, Ni = £v*"-'+1, n/ = l I = 1,2, ...,kn, (5.5)
К k к
где a = C/a^D, Dk = (1 + D)1^ — 1. Так что формально отклонений
нет. Однако из-за громоздкости выражения для Ni и связанных с этим
последствий удобнее рассматривать этот случай с других позиций. А это
как раз и можно считать отклонением.
Пример 5.4. Погашение рентой. Специальный подход
Заем номинала 1 000 000 был предоставлен под 8% годовых с условием
погашения по номиналу в течение 40 лет постоянными взносами, вы-
плачиваемыми в конце каждого из 480 месяцев. Один инвестор пожелал
закупить весь заем в момент выпуска по цене, гарантирующей ему ЧЕД
г’(2) = 0,06. Определить эту цену, если ПН оплачивается им по ставке
40%.
Решение. Отметим прежде всего, что размер ежегодных выплат х
(т.е. суммы 12 ежемесячных выплат) определяется из уравнения
“SU=1 мо
что дает х = 80 933,82. Далее, поскольку нам удобнее определять до-
ходность типа ежегодной ставки процента, то выберем в качестве БП
5 Покупка ЦБ в реальной жизни
317
полгода. Соответственно, получим: искомая ЧЕД i = 3%, полугодовая
выплата равна х/2 = 40 466, 91 , а стоимость всего займа для нашего ин-
вестора (если бы ему не надо было оплачивать ПН), составит величину
4 = 40 466,91^=1237 320.
Теперь можно сказать следующее. Допустим, что мы знаем ПЗ К всех
погашений по ставке 3% за наш БП. Тогда, очевидно, инвестор должен
заплатить сумму
S = К + (1 - 0,4) (Л - К) = 0, 6Л + 0,4/<,
поскольку
1) величина А - К представляет собой ПЗ всех грубых процентов
(без учета ПН), а
2) величина К не зависит от того, выплачивается ПН или нет.
Найти же величину К можно из уравнения
0, 08(12)
1 237 320 = К + —-----г(1 ООО 000 - /<), (5.6)
2-0,03<6)
которое получается из соображений пропорциональности, введенных в
п.2.2 и использованных в четвертом варианте решения прим. 2.2.
Напомним их:
1) если бы проценты начислялись с ежегодной интенсивностью 2-0,03^6\
то формула Макэхама имела бы вид 1 000 000 = К + (1 000 000 - К), но
в действительности
2) они начисляются с большей ежегодной интенсивностью в 0,08^12) и
потому ПЗ искомых грубых процентов пропорционально больше величи-
ны (1 000 000-/<) и мы получаем формулу (5.6). В результате, используя
ее, находим сначала К = 216 214, а затем искомую цену Е = 828 878,
заплаченную инвестором •
Замечание 5.1. Величину К , естественно, можно получить и непо-
средственно по формуле
Л = f>(1.03)-"« = (1,08)^(1,03)-</в,
I 1
справедливой для погашения по номиналу, используя развернутое пред-
ставление
_ _ (°-С0,08^) ,,.1)/12
12о(,2) °* “ 12 '
iZa40|0,08
(fc = 12, n = 40, D = 0,08, С — 106, a = x) из (5.5). Нетрудно видеть,
однако, что даже запись выражения для К представляет определенные
трудности •
318
УП Оценка, стоимости ЦБ
5.2. Формула для определения ВД
Здесь мы изложим один из имеющихся подходов к определению ГД, ко-
торый годится для большинства ЦБ с фиксированным доходом. А под
словом «формула» имеется в виду выражение для ПП V(i) соответству-
ющего ДП, которое очень часто используется на практике (скажем, в
английскую практику оно было введено с февраля 1986 г.).
Представление формулы
Рассмотрим на самом деле два выражения для ПП V(г)
/(v) = v^Do + vn}v + Rvn]-P-Y Ptvn‘ = (5.7)
I ~ v) ) 1
D
= v?(D0 + -<£ + Rvn) - P -^Ptvn‘ = V(i),
i
в которых, как и обычно (смысл ставки г уточняется ниже),
v - коэффициент приведения стоимости на период назад;
R - цена погашения единицы номинала;
D - ежегодная купонная ставка;
Do - купон момента покупки, выплата по которому может отличаться от D/к,
Р - цена, выплачиваемая инвестором за единицу номинала в момент покупки;
Pi - сумма l-й оплаты покупки при оплате 1 номинала за несколько раз;
п/ - момент l-й оплаты покупки, I = 1, 2, ..., L;
п - число процентных выплат;
р - длина периода между моментами покупки и первой процентной выплаты
(может измеряться в разных единицах: годах или периодах).
Но на этот раз мы будем интересоваться не уравнением V(i) — 0, а
эквивалентным ему уравнением /(v) = 0. Дело в том, что искомой доход-
ностью у нас будет величина № = х , т.е. ставка начисления ежегодных
процентов дважды за год. А рабочей ставкой, т.е. ставкой, относитель-
но которой записывается УВД и ведутся расчеты, будет ставка Ц , т.е.
ставка начисления процентов в конце периода длины 1/fc. Ее мы и обо-
значим через i : i = ijJ Таким образом, если мы находим v = (1 + г)-1 ,
то, используя равенство (1 + |)2 = (1 + i)k, получаем, что
х = 2(и"/с/2 - 1).
(5.8)
Интерес к такому подходу велик потому, что существует много
стран, в которых, как, например, в Англии или в США, проценты вы-
плачиватся дважды в год для большинства ЦБ. В связи с этим для срав-
нения различных ЦБ друг с другом полезно уметь переходить от ставки
ik , удобной для конкретной бумаги, к общей для многих ЦБ ставке
5 Покупка, ЦБ в реальной жизни
319
чтобы одна формула охватывала если не все случаи жизни, то большую
их часть.
В формуле (5.7) и таблице объяснений к ней шесть элементов из девя-
ти требуют специального комментария, особенно цена Р, включающая
в себя так называемые накопленные проценты1. С ней мы разберемся
отдельно чуть ниже. А сейчас прокомментируем остальные.
Прежде всего отметим, что теперь единица времени - интервал дли-
ны 1/к года. Поэтому, вообще говоря, числа п, р выражаются в таких
единицах и, следовательно, п- целое число, а р- некоторое положитель-
ное число, меньшее 1. Однако возможны и другие подходы, когда, ска-
жем, р выражается в годах. Поэтому просто следует быть аккуратнее
при работе с этими числами. Далее, величина Do, о которой мы пока
мало говорили, может равняться 0, если момент покупки совпадает с
выплатой процентов и они принадлежат продавцу, либо равняться неко-
торой доле от процентной выплаты D/k, т.е. часто просто Do = pD/k ,
если момент покупки совпадает с моментом выпуска и находится от пер-
вой процентной выплаты на расстоянии р в периодах (иными словами,
используется формула простых процентов).
Наконец, ЦБ называется оплачиваемой по частям, если суммы Р/ за
нее вносятся не сразу, а в течение нескольких шагов, приходящихся на
моменты времени щ . Таким образом, последнее слагаемое в (5.7) пред-
ставляет собой ПЗ всех этих выплат на момент покупки. Конечно, в этом
случае цена Р может быть равна 0.
Определение стоимости покупки Р
Проблема такая стоит потому, что никаких ограничений в отношении
выбора момента покупки не существует. Дело в том, что цена Р еди-
ницы номинала при покупке всегда означает цену, выплачиваемую по-
купателем в момент покупки. Ну а известной ценой на этот момент, с
помощью которой и определяется Р, обычно является рыночная цена Р'
последней или ближайшей выплаты процентов, либо цена Р' выпуска.
При этом, как правило, обе цены представляют собой стоимость одного
и того же ДП из оставшихся выплат, но на разные моменты времени.
Чтобы научиться определять величину Р по Р' в любой ситуации, до-
статочно рассмотреть простейший случай.
Предположим для этого, что Р' - это объявленная рыночная цена
на момент s какой-либо процентной выплаты и следующая такая цена
будет объявлена только через интервал времени, равный БП Д = 1/к (а
предыдущая - за БП до этого). И будем считать, кроме того, что
1) наша цена Р, выплачивается инвестором в момент покупки s + t
(см. диаграмму с. 410), который лежит между моментами предыдущей
процентной выплаты s - Д и будущей - 5 + Д, т.е. |£| < Д, и
^нгл accrued interest.
320
VII Оценка, стоимости ЦБ
2) этот момент является единственным, т.е. Р/ = 0 в (5.7). Тогда обычно
для цены Р используется формула
Р = Р'(1+ £>*), Н < А, (5.9)
которая просто означает, что цена покупки Р в момент s + t определя-
ется с помощью Р' по формуле простых процентов. Что же до величины
то можно считать, что она задается равенством 365J = т, где тп -
число дней, прошедших с момента s до момента покупки s + t при t > 0
(с момента s +1 до момента s при t < 0).
Конкретная ситуация
Ну а теперь проиллюстрируем использование вышеуказанной формулы
(5.7). При этом определять цену покупки Р не придется, поскольку она
будет задаваться. Однако проверить полезность формулы (5.9) читатель
все же сможет сам, если захочет выяснить величину рыночной цены Р'
во втором варианте.
Пример 5.5
Акции одной коммерческой компании были выпущены в обращение 1 мая
1986 г, по цене 95% и были погашены по номиналу 1 января 1993 г. Диви-
денды по ним в размере 6% годовых выплачивались один раз в квартал
1 января, 1 апреля, 1 июля и 1 октября, причем в момент первой про-
центной выплаты 1 июля 1986 г. были выплачены по схеме простых
процентов. Определить ежегодную ГД № = х от операции покупки
1) на момент выпуска в обращение и
2) на 15 июня 1986, когда цена Р акций с учетом накопленных процен-
тов равнялась 94%, а первые дивиденды причитались продавцу.
Решение. В рассматриваемой ситуации к = 4, Р/ = 0. И пусть Р-
цена одной акции номинала 100, а не единицы номинала, как это было
предположено выше.
1. В этом случае р = 2/3, D/k = 3/2, Dq = pD/k = 1. Поэтому УВД
имеет вид
о
/(v) = v2/3(l + -а^ + 100v26) - 95 = 0,
что дает v = 0,9829. После этого остается воспользоваться формулой
(5.8) и получить, что искомая ГД х = 7,02%.
2. На этот раз первая процентная выплата принадлежит продавцу и по-
тому Dq = 0. Ясно также, что р = 1/6 и, следовательно,
О
/(v) = v1/6(2<4, + 100и26) - 94 = 0.
Решая это уравнение, сначала получаем v = 0,98254. А затем, как и
ранее, используя (5.8), находим х = 7,17% •
6 Инфляция и доходность
321
6. Учет влияния инфляции на доходность
Здесь мы коснемся двух моментов. Во-первых, рассмотрим подход, в ко-
тором можно учитывать как бы реальную инфляцию, т.е. неравномерную
по времени. И, кроме того, познакомимся с двумя типами так называ-
емых индексированных финансовых инструментов английского рынка.
Причем интересоваться будем все время инфляцией первого типа в тер-
минологии n.VI.5 и простейшим дискретным ДП типа (VI.2.5).
6.1. Реальная доходность при неравномерной инфляции
Выше мы отмечали, что инфляция может быть определена как паде-
ние покупательной способности денег. Обычно такое падение измеряется
каким-либо индексом, представляющим эту покупательную способность.
В Великобритании с этой целью очень часто используется индекс роз-
ничных цен (ИРЦ), который ежемесячно рассчитывает Центральное ста-
тистическое управление. Индекс этот является потомком многих других
официальных индексов, точное происхождение которых теперь уже даже
трудно установить.
Пусть функция Q(t) представляет собой значение ИРЦ в момент t.
Ее можно воспринимать, скажем, как стоимость некоторой фиксирован-
ной корзины продуктов, которая, вообще говоря, возрастает со временем,
причем на каком-то интервале больше, на каком-то меньше. Роль этой
функции проста: служить обобщающей характеристикой увеличения сто-
имости жизни со временем. Но для нас сейчас удобнее связывать ее с со-
ответствующим падением реальной стоимости одной денежной единицы,
падением, которое мы будем считать обратно пропорциональным этой
функции.
Точнее говоря, допустим, что элемент исходного ДП естественно обо-
значить через поскольку он задается в ценах года t. Тогда величину
at = btQ(to)/Q(t) можно считать записью исходного элемента bt в ценах
момента (или года) to . Соответстветственно будет выглядеть и запись
УВД для определения реальной ВД г0 :
П И 1
V(i) = ^atlvtl = 0 & = ° <6Л)
1=0 1=0 1>
(напоминаем, что номинальная ВД jo в рассматриваемом случае должна
определяться как решение уравнения Vj>(j) = = 0)-
Прежде чем перейти к рассмотрению примера, заметим, что- ИРЦ
появляется в определенный день каждого месяца, точнее говоря, свя-
зывается с конкретным днем. Обычно это второй или третий вторник
каждого месяца. При этом в печати, как правило, он публикуется в пят-
ницу второй или третьей недели следующего месяца. Например, ИРЦ для
322
УП Оценка стоимости ЦБ
марта 1983 г. был равен 327,9, причем значение это было опубликовано
22 апреля 1983 г. и относилось к 15 марта 1983 г.
Это обстоятельство означает, что поиск ВД с помощью уравнения
(6.1) возможен лишь после завершения проекта, если говорить о той до-
ходности, которая реализуется в жизни, и не учитывать, что в этой самой
жизни встречаются люди с интуицией, позволяющей им делать безоши-
бочные прогнозы ИРЦ на весь срок проекта. Отметим также, что в (6.1)
вместо Q(to) в принципе можно использовать любое значение индекса
Замечание 6.1. Во многих случаях бывает нужно определить значе-
ние ИРЦ для какой-то промежуточной даты. Обычно это делается с по-
мощью линейной интерполяции. Причем предпочитают интерполировать
функцию In Q(t) , а не саму функцию Q(t). Как известно, логарифм сгла-
живает неравномерности подлогарифмической функции и потому лучше
ассоциируется с линейным приближением •
Пример 6.1. Реальная доходность от предоставления кредита
Предприниматель получил кредит в 25 000 от банка 16 января 1980 г.
Сумма была возвращена три года спустя, причем 10% годовых выпла-
чивались в конце каждого года. Определить реальную ежегодную доход-
ность этой сделки для банка, не учитывая налогообложение и считая
для простоты, что значения ИРЦ для любого месяца относятся к его
середине. Сами же значения ИРЦ приведены в следующей таблице:
календарный год 1980 1981 1982 1983
значение ИРЦ января 245,3 277,3 310,6 325,9
Решение. Понятно, что рассматриваемый ДП ссуды задается в ценах
текущего года и потому его следует записать в виде: &о = -25 000, 61 =
b2 = 2500, = 27 500. Соответственно очевидно, что номинальная ВД
(в терминологии п.VI.5.1) jo = 10%. Для определения же реальной ВД г’о
банка запишем правое уравнение в (6.1) и упростим его:
25 000
0(0)
= 2500
V V2 ( V3
0(1) + 0(2) + 0(3)
г3
+ 25 000 0(3)’
1 = 0,1
245,3\
277,3)
v + 0,1
245,3
310,6
и2 + 1,1
245,3\ з
---— v
325,9/
1 = 0,088460и + 0,078976V2 4- 0,827953г3 = С(г).
Нетрудно проверить, что С(0) = 0,995389. Поэтому реальная еже-
годная ВД io отрицательна. Чтобы найти ее, вычисляем значение
С(-0,005) = 1,009174 и используем линейную интерполяцию:
г'о = -°- 005с(-оДО2с(о) = -°-0017 •
6 Инфляция и доходность
323
6.2. Индексирование капиталовложений
В условиях относительно стабильного денежного рынка, какой можно
считать, например, ситуацию в Англии в течение 100 лет вплоть до
1914 г., ВД с учетом инфляции или без нее практически совпадали.
В наше время, когда инфляция устойчиво высока уже довольно долго,
известно1, что реальная доходность правительственных акций даже для
инвестора, не оплачивающего налоги, находится «на нуле» (колеблется
между малыми положительными и отрицательными числами). А по ЦБ с
фиксированным доходом реальная доходность очень часто оказывается
отрицательной.
Теоретически идея индексирования доходов и расходов в любой сдел-
ке как бы напрашивается сама собой. Однако на пути ее реализации воз-
никают определенные сложности. В своей простейшей форме индексиро-
вание капиталовложений можно представлять состоящим из двух частей.
Во-первых, нужно переходить, допустим, от ранее использованного ДП
а = (atl) к соответствующему реальному ДП b = элементы кото-
рого представляют реальную денежную стоимость элементов исходного
потока atl в деньгах момента t[ и определяются, скажем, в виде
btl = atlR(tij/R(T), (6.2)
где R(t) - некоторый специальный индекс, ат - определенный момент
времени. При этом существенно, что значение R(ti) известно в момент
ti при всех I. Например, потому, что сумма (6.2) представляет собой
обязательства заемщика перед инвестором и должна быть выплачена по
первому требованию последнего (как в прим. 6.2), или, как это было, в
частности, в п.5 гл. VI, когда фактически предполагалось, что R(t) =
(l + hy. И, во-вторых, реальную ВД по ДП (6.2) естественно по-прежнему
определять относительно ИРЦ Q , т.е. как такую ставку г, для которой
выполняется (6.1).
Конечно, если бы индекс Q , определяющий реальную доходность, был
равен индексу R , позволяющему записать ДП а в «других» ценах, то мы
бы пришли к ВД без индексации. Но в действительности этого быть не
может, поскольку не существует подходящего индекса, который измеря-
ется непрерывным образом и становится известным как бы немедленно,
в любой нужный момент ti . Это очевидно, по крайней мере для исполь-
зуемого нами ИРЦ, ведь мы уже говорили, что значение ИРЦ в принципе
известно лишь для одного дня каждого месяца. Причем это значение ста-
новится известным примерно через месяц, к середине следующего месяца,
и бывает, рассматривается лишь как значение для всего месяца.
Сейчас, на рубеже веков, можно предположить, что большую угрозу будет
представлять не инфляция, а дефляция.
324
VII Оценка стоимости ЦБ
Итак, картина в отношении индексов Q складывается следующая.
Реальная доходность в Соединенном Королевстве почти всегда измеря-
ется по отношению к ИРЦ Q . Индекс же R, используемый для пере-
хода к реальному ДП, обычно представляет собой кусочно-постоянную
функцию, постоянную для каждого месяца. Значения же этой функции
определяет опять-таки ИРЦ, но с некоторым временным сдвигом. При-
чем сдвиг имеет целью снять возможные трудности в случае, когда ИРЦ
не публикуется вовремя или временно отсутствует по какой-либо другой
причине. Ниже мы рассматриваем два примера подобной ситуации из
жизни Великобритании.
6.3. Национальные сберегательные сертификаты
Впервые эти индексируемые ЦБ были выпущены правительством Вели-
кобритании в июне 1975 г. и предназначались только для лиц пенсион-
ного возраста. Но уже при повторном размещении (ноябрь 1980 г.) это
ограничение было снято. Стоимость сертификата любого номинала, ко-
торый сохранялся на руках инвестора больше года, индексировалась при
помощи ИРЦ с отставанием в два месяца. При первом выпуске давался
и бонус в 4% для тех, кто сохранял сертификат в течение 5 лет и более,
причем этот бонус также индексировался. Во втором выпуске предусма-
тривались различные дополнительные льготы. Гарантировалось, что це-
на погашения сертификата ни при каких условиях не будет меньше цены
покупки.
Допустим, что значение индекса Я(.) для любого конкретного месяца
определяется по значению ИРЦ Q(.), появившегося за два месяца до
этого (точнее говоря, в какой-то конкретный день месяца на два месяца
раньше). И рассмотрим сертификат первого выпуска, в котором цена
погашения С при погашении раньше года равнялась цене покупки А, а
в остальных случаях определялась по формуле
A max (1,
А шах (1,
1 < Ц - t0 < 5,
i 1 to > 5,
(6.3)
где to~ момент покупки, а Ц - момент погашения. Причем попробуем
разобраться в том, как эта формула и указанный выше подход работают
в конкретной ситуации.
1 to(/) fi(/) Г/ <2(п) Si
1 01.07.81 01.08.82 19.05.81 294,1 15.06.82 322,9
2 01.07.81 31.08.82 16.06.81 295,8 13.07.82 323,0
3 31.07.81 01.08.82 14.07.81 297,1 17.08.82 323,1
4 31.07.81 31.08.82 18.08.81 299,3 14.09.82 322,9
6 Инфляция и доходность
325
Пример 6.2. Национальный сберегательный Сертификат
Одна такая ЦБ была куплена в июле 1981 г. за 100 и погашена
в августе 1982 г.
1. Сколько за нее получили при погашении?
2. Определите реальную ВД сделки в каждом из четырех предположе-
ний о точной дате покупки и погашения сертификата, используя при-
веденную в таблице информацию о значениях ИРЦ Q(t) .
Решение. Мы имеем дело с двухэлементным ДП, причем номинал сер-
тификата естественно считать ДП а и потому
ato ~ bto ~ —100, А = atl = 100.
1. Поскольку сертификат был куплен в июле 1981 г. и продан в августе
1982 г., то из (6.3) вытекает, что цена его погашения С во всех четырех
случаях была равна
С — btl — atl
Д(август 82)
7?(июль 81)
100<Э(июнь 82)
<2(май 81)
322,9
= = Ю9,79.
294,1
2. Для определения реальной ВД следует использовать правое УВД (6.1)
100 109,79 t, tn п
------1---!—и'1 ‘° = 0
<Ж) <2(М
(l + z)tl-<0
109, 79<2(£р)
100Q(ti)
(мы привели две эквивалентные формы записи), в котором tQ, ti озна-
чают моменты покупки и продажи соответственно. Причем действовать
можно двумя способами. Например, положить Q(to) = Qfrt), Q(ti) =
<2($з), считая, что значение ИРЦ для конкретного дня месяца относится
ко всему месяцу. Но в этом случае во всех вариантах будет одинаковая до-
ходность. Поэтому мы должны выбрать более тонкий подход, в котором
значения Q(to), Q(ti) определяются с помощью линейной интерполяции.
Поскольку же во всех вариантах действия одинаковы, рассмотрим лишь
первый из них.
В этом случае момент покупки Iq = 01.07.81 падает на период от Г2 =
16.06.81 до гз = 14.07.81, содержащий 28 дней. Поэтому естественно
определить Q(to) из равенства (см. замеч. 6.1)
15 13 15 13
111 Q(to) = Т- In Q(r2) + — In <Q(r3) = — In 295,8 + — In 297,1 = In 296,41.
Zo Zo Zo Zo
Соответственно момент продажи ti = 01.08.82 падает на период от
$2 = 13.07.82 до S3 = 17.08.82, содержащий 35 дней, и потому, дей-
ствуя аналогично, получим <2(<i) = 323,05. Для решения искомого урав-
нения остается заметить, что ti — to = 1^ = 1,08493 и получить, что
i = 0,0068. Итак, реальная ежегодная ВД составляет 0,68%.
Читатель может проверить, что в остальных вариантах в ро-
ли Q(to), Q(ti) наряду с прежними значениями могут оказаться
<2(31.07.1981) = 298,17, <2(31.08.1982) = 323,00. Соответственно для
ВД i получим: 2.0,67%, 3. 1,33%, 4. 1,24%»
326
VII Оценка стоимости ЦБ
6.4. Индексированные акции правительства
Свои первые индексированные акции правительство Великобритании вы-
пустило в обращение в марте 1981 г. Они назывались 2%-ные индексиро-
ванные акции казначейства 1996, поскольку ежегодно по купонам выпла-
чивалось 2% от номинала, а погашение по номиналу предусматривалось
(и прошло) в 1996 г. Точнее говоря, проценты выплачивались дважды в
год, 16 марта и 16 сентября, а последняя процентная выплата и погашение
состоялись 16 сентября 1996 г. При этом как выплаты всех процентов,
так и сумма погашения индексировались с помощью ИРЦ, но с задержкой
в восемь месяцев.
Чтобы высказаться точнее, заметим, что оба индекса Д, Q в не-
которых ситуациях можно считать постоянными для каждого месяца.
Тогда их значения естественно рассматривать как функции, зависящие
от некоторого целочисленного параметра, означающего номер месяца в
некотором масштабе. Таким образом, можно сказать, что индексирован-
ность означает следующее: единица номинала, оплачиваемая 2 в момент
п > тп , имеет стоимость сп , равную относительному приращению зна-
чения индекса R за прошедшее с момента m выпуска акции время, т.е.
равняется величине
_ Д(п) _ Q(n-8)
й(т) Q(m-8)'
Выбор же восьми месяцев задержки при индексации преследовал про-
стую цель. Поскольку выплаты процентов делались один раз в полгода,
то покупатель акций, когда бы их ни купил, мог точно представлять себе
денежное выражение первой процентной выплаты, которое ему предсто-
ит получить (не далее, чем через полгода). А это давало ему возможность,
используя определенные предположения о будущем изменении ИРЦ Q(n),
оценить реальную ВД своей покупки с большей точностью.
Пример 6.3. Индексированные 2%-ные акции казначейства
Один инвестор, не выплачивающий налоги, закупил некоторое
ство вышеуказанных акций казначейства 21 декабря 1983 г.
106,375%. В день покупки он смог оценить реальную ВД от
используя последнее известное значение ИРЦ на этот момент, и пред-
положив, что сохранит акции до погашения, а ИРЦ будет возрастать
с постоянной ежегодной интенсивностью el) 5% или 2) 7%.
Определить обе оценки ВД, полученные инвестором, если ему было
известно следующее. Во-первых, последнее значение ИРЦ Q на момент
покупки: оно равнялось 3J1,9 и относилось к 15 ноября 1983 г. (было
опубликовано 16 декабря 1983). Во-вторых, значения ИРЦ для июля 1980
и июля 1983 г.: они были равны соответственно 267,9 и 336,5 (акции
появились в марте 1981 г.).
(6.4)
количе-
по цене
сделки,
2Не важно, при выплате процентов или при погашении
6 Инфляция и доходность
327
Решение. Хотя в настоящее время ясно, что ни одно из предполо-
жений рассматриваемой ситуации не было реализовано в точности, мы
будем исходить именно из этих предположений, поскольку подобные рас-
четы очень часто встречаются на практике и обычно делаются как раз
в момент покупки.
Чтобы записать УВД (6.1), нам нужно выбрать единицу времени, а
также определиться с элементами ДП btl из (6.2) и величинами Q(ti) из
(6.1). Иными словами, нам следует уточнить запись моментов времени
ti, г, элементов исходного ДП atl , стоимости fi = R(ti)/R(r) одной
денежной единицы момента т в ценах момента ti и, наконец, значений
ИРЦ Q(ti) после момента покупки.
Поместим для этого начало координат на оси времени, как обычно, на
день покупки, 21 декабря 1983 г., и положим £0 = 0 . Тогда первая выпла-
та процентов пройдет через 86 дней (16 марта 1984), а все последующие
- через полгода вплоть до последней, 26-й, которая пройдет 16 сентября
1996 г. вместе с погашением. Соответственно за единицу времени удобно
взять полгода, через i обозначить ставку г2 полугодового начисления
процентов в конце периода, а искомой ВД считать ежегодную ставку
г*(2) = 2г. В этом случае расстояние р от момента покупки до первой
выплаты процентов можно будет записать в виде р = 86/182 , поскольку
конкретные полгода, на которые падает этот промежуток, содержат 182
дня (с 16 сентября 1983 по 16 марта 1984; здесь мы для простоты не учи-
тываем, что в период с 16 марта по 16 сентября несколько больше дней,
чем с 16 сентября по 16 марта, если год не високосный). При этом для
момента I -й выплаты получаем равенство ti = I - 1+p, Z = 1,2,..., п = 26,
а ДП а может быть записан в виде ato = —NP = -106, 375 (TV = 100),
DN 0,02
atl = — = -у-100 = 1, / = 1,2,...,25, at26 = 1 + RN = 101.
С оставшимися величинами г, Q(ti) и особенно fi дело обстоит не-
сколько сложнее, поэтому читателю предлагается не торопиться.
Момент т естественно считать месяцем выпуска акций, т.е. мартом
1981 г., поскольку значения индекса R относятся к конкретному месяцу.
Поэтому, если считать ноябрь 1983 г. как последний месяц известного
ИРЦ нулевым, то для марта 1981 г. получаем номер - 32. Итак, пусть
т — т — -32.
В отношении Q(ti) из (6.1) ясно, что в наших обозначениях фЦо) —
Q(0) = 341,9, а остальные значения ИРЦ могут быть определены только
из прогноза. Будем считать, что прогнозируемый рост этих значений
начинается с момента 0 и описывается функцией (1 + Л/, где интен-
сивность полугодового роста h определяется одним из двух способов:
1) 1 + Л = 1, 051/2, 2)1 + h = 1,071/2 . Точнее говоря, будем считать, что
Q(t/) = Q(/-i + p) = Q(O)(i + /z)'-1+z’, />1. (6.5)
328
VII Оценка, стоимости ЦБ
Специально подчеркнем, что эта формула используется лишь для запи-
си Q(ti) из (6.1) и несколько отличается от указанной ниже формулы
для чтобы учесть нестандартность момента покупки. Другая же
формула будет нужна для записи величины btl с помощью (6.2) и (6.4).
Переходя к величинам //, заметим прежде всего, что формула (6.2)
в рассматриваемом случае действует лишь при I > 1, поскольку индек-
сирование относится только к суммам, поступающим от заемщика (т.е.
положительным элементам ДП а). Что же касается fo, то, очевидно,
следует положить /0 = 1, т.е. bto = а/0. Далее, хотя величина fi при
всех I > 1 описывается выражением // = R(6l - 2)//?( —32), но опереть-
ся на реальное значение индекса мы сможем только при записи j\. В
остальных же случаях придется пользоваться прогнозом и потому
_ Д(4) _ Q(-4) _ 336,5 _ _
Я(-32) Q(-40) 267,9
_ Я(6/- 2) _ Q(6Z — 10) _ Q(0) (6/_ю)/6 _ 341^9 z_5/3 _
Jl Я(-32) Q(-40) Q(-40)1 } 267,9 + ’
= Д(1 + /i)'"5/3
при I > 2; здесь и ниже Д = 1,2762. Конечно, читатель уже понял,
что здесь прогноз использует формулу Q(6l - 10) = Q(0)(l + /г)(6/-10)/6,
поскольку ИРЦ Q имеет целочисленный аргумент и ежемесячный рост
описывается выражением (1-Ь/г)1/6. Кроме того, ясно, что месяц первой
выплаты (март 1984 г.) имеет номер 4.
Теперь, наконец, мы готовы записать УВД (6.1) в виде
26
106,375 = и'(Л(1 + h)~p + //(1 + h)1~l~pvl~1 + 100/26( 1 + /г)-25-^25) =
2
vp(<5(l + h)~p + Д (1 + h)~^2/3Е26 и'"1 4- lOOv25]) = F(i),
если освободить его от величины Q(0), содержащейся в силу (6.5) в зна-
менателях всех ее слагаемых. Решить же полученное уравнение, исполь-
зуя монотонность функции F(i) не представляет труда.
1. 1 + h = 1,05х/2.
Нетрудно проверить, что F(0,017) = 106,9287, a F(0,0175) = 105,7695.
Поэтому интерполяция дает i = 0,01724 и, следовательно, искомая еже-
годная ВД i№ = 2г = 0,03448.
2. 1 + h = 1,07х/2.
В этом случае F(0,0165) = 106,9544, a F(0,017) = 105,7932 и, значит,
г - 0,016749, г<2> = 2г = 0,033498 •
7 Упражнения
329
7. Упражнения
1. Формула Макэхама. Покупка виллы = выпуску займа.
Контракт на покупку виллы составлен по аналогии с договором займа,
т.е. вилла в обмен на отложенную оплату плюс проценты за фактическую
ссуду. Получается, что покупатель виллы исполняет роль заемщика, вы-
пустившего заем в обращение, а продавец виллы - покупателя всех выпу-
щенных облигаций, т.е. займа целиком.
Пусть номинальная стоимость виллы 75 000 (сумма, записанная в контрак-
те), а реально она стоит в 1,2 раза больше, точнее говоря, оплачивается
частями, выплачиваемыми в конце каждого года, начиная с первого го-
да после подписания контракта и смены владельца виллы, всегда по цене
120%. Величина /-го платежа определяется по формуле
а/ = 1000(15 4-/),/ = 1, 2, • • •, п,
а ежегодные проценты по ссуде составляют 6% и выплачиваются один раз
в конце каждого полугодия.
Определить реальную стоимость виллы на момент подписания контракта,
т.е. величину 75 000Р, где Р- стоимость единицы номинала, если ока-
залось, что сделка принесла покупателю всего займа (владельцу виллы)
ЧЕД 7%, хотя ПН оплачивается им по ставке 1) 30%, 2) 40%. Начать с
выяснения числа п погашений.
2. Погашение по выбору. Дата покупки нестандартна.
Заем приносит 10% годовых, выплачиваемых в конце каждого года. Да-
та погашения по номиналу выбирается заемщиком, но должна совпасть с
какой-то одной из первых пяти годовщин даты его выпуска.
Через 6 месяцев после выпуска один инвестор закупает некоторое количе-
ство облигаций этого займа по цене 102%. Показать, что его ЧЕД окажет-
ся минимальной, если заем будет погашен через 5 лет (здесь теория п.3.1
неприменима, поскольку момент покупки не совпадает ни с выпуском, ни
с моментом оплаты процентов).
3. Влияние срока погашения на доходность.
Заем, приносящий 9% годовых, выпущен в обращение давно. По его усло-
виям проценты выплачиваются дважды в год, 1 апреля и 1 октября, а
погашение всех облигаций по цене 120% может произойти в один из этих
двух дней в период с 1999 по 2003 г. включительно.
Инвестор, оплачивающий ПН по ставке 20%, приобрел несколько облига-
ций этого займа 1 октября 1993 г. (сразу после выплаты очередных про-
центов). Определить цену облигации номинала 100, гарантирующую ему
ЧЕД i на момент покупки, равную: 1) 5%, 2) 7%.
Предполагая, что данная цена заплачена, определить максимально воз-
можную ЧЕД i от сделки для инвестора на 1 января 2000 г. в каждом
случае.
330
VII Оценка, стоимости ЦБ
4. Иностранный заем-долгожитель.
По акциям одного иностранного займа общего номинала 175 000 000
3% годовых выплачивались ежеквартально, 16 июля, 16 октября, 16 янва-
ря и 16 апреля. В обращение он был выпущен 16 апреля 1870 г., а погашен
по номиналу в течение 75 лет в соответствии со следующим расписанием
Период А Б В Период А Б В
1879 - 1907 29 1 29 1939 - 1945 7 4 28
1908 - 1925 18 2 36 1946 - 1950 5 5 25
1926 - 1938 13 3 39 1951 - 1953 3 6 18
в котором приняты следующие обозначения: А - число лет периода, Б -
число погашений каждого года в периоде и В - суммарное число погаше-
ний в периоде. При этом погашение происходило каждый год 16 апреля,
все акции имели номинал 100 и каждый раз выбирались жребием.
1. Определить стоимость единицы номинала части займа, оставшейся не-
погашенной на 16 апреля 1915 г., которая обеспечивает ее покупателю
ЧЕД i = 3,5%.
2. Определить вероятность того, что купивший одну акцию номинала 100
по этой цене 16 апреля 1915 г. будет иметь ежегодную доходность не менее
5% (налоги не учитываются и покупатель не получает проценты в момент
покупки).
5. Нестандартный момент покупки.
Заем приносит 10% годовых, выплачиваемых каждые полгода в конце.
Погашается он по цене 105% пятью выплатами одинакового номинала,
которые намечены на 31 июля каждого из 5 лет, с 2016 по 2020 г. включи-
тельно.
Инвестор, оплачивающий ПН по ставке 40%, закупил весь заем 19 июня
1986 г. по цене Р за единицу номинала, которая гарантировала ему ЧЕД в
9% годовых. Определить эту цену в предположении, что первые проценты
за 31 июля 1986 г. ему
1) не принадлежат (англ.: ex dividend),
2) принадлежат (англ.: cum dividend).
6. Отложенное и растущее погашение. Оба налога.
Страховая компания только что выкупила займ номинала 880 000 по цене
94,5%, по которому 5,5% годовых выплачиваются в конце каждого полу-
годия. Погашение предполагается по номиналу ежегодными выплатами,
начинающимися через 5 лет. Номинал первого погашения равен 50 000, а
каждого следующего на 6000 больше предыдущего.
Определить ЧЕД i для страховой компании в предположении, что она
оплачивает ПН по ставке 37,5%, а НДС - 30%.
7 Упражнения
331
7. Беспроцентная облигация и НДС.
Облигация, по которой не выплачиваются проценты, была куплена т лет
тому назад инвестором А , который оплачивает НДС по ставке t . В мо-
мент покупки срок жизни этой облигации был равен п(п > т) . Цена,
уплаченная .4 , гарантировала ему ЧЕД i, если бы он сохранил ее до по-
гашения
Но в настоящий момент А желает продать облигацию, хотя ему и при-
дется заплатить НДС с превышения цены продажи над ценой покупки.
1 Запишите выражение для цены (единицы суммы погашения), уплачен-
ной А при покупке, в виде функции от п, /, г.
2 Запишите выражение для цены (единицы суммы погашения), по кото-
рой А должен сейчас продать облигацию, чтобы получить ту же ЧЕД i
от сделки - на этот раз в виде функции от т, п, /, г.
3 . Предположим, что облигация продана А другому инвестору, который
также оплачивает НДС по ставке t, причем по цене, которая гарантирует
уже ему ЧЕД i, если он сохранит ее до погашения. Запишите уравнение,
из которого можно определить ЧЕД j для А от продажи этой облигации
именно сейчас.
Найдите значение j в частном случае, когда
п = 10, т — 5, / = 0, 4, г = 0,1 ,
8. Вечная рента.
Проценты по бесконечной ренте выплачиваются дважды в год, 1
июня и 1 декабря и всегда составляют сумму 1,75 на 100 единиц
номинала. Определить ежегодную ГД для инвестора, закупившего
некоторое количество соответствующих акций 14 августа 1994 г.
по цене 35,125%.
9. Погашение жребием.
Заем номинала 1 650 000 должен приносить 5,5% в год, выплачива-
емых один раз конце полугодия и состоит только из облигаций но-
минала 100. Погашение по нему предусматривается осуществить по
цене 110% и сделать растущим и ежегодным. Точнее говоря, первые
1000 облигаций должны быть погашены через 5 лет после выпуска,
а каждое следующее погашение будет охватывать на 100 облигаций
больше предыдущего и проводиться через год после него, причем
каждый раз выбирать погашаемые облигации предполагается жре-
бием.
1. Профсоюз, оплачивающий ПН по ставке 25%, решает вопрос о
закупке всего займа в момент выпуска. Какую цену он должен за-
платить, чтобы иметь ЧЕД i в 4%?
2. Инвестор, оплачивающий ПН по ставке 30%, купил одну облига-
цию в момент выпуска за 107. Какова вероятность того, что его
ЧЕД i составит не менее 4%?
332
VII Оценка, стоимости ЦБ
10. Цена погашения растет и неизвестна.
Заем номинала 8000 будет приносить 10% ежегодно с оплатой ежеквар-
тально в конце. Погашение произойдет четырьмя равными долями в конце
2, 4, 6, 8 годов после выпуска и с премией, пропорциональной интервалу
времени, истекшему с момента выпуска.
Инвестор, оплачивающий ПД по ставке 40% первые 5 лет и по 50% в по-
следующие годы, рассчитал, что он должен предложить цену в 7880,55 за
весь заем, чтобы иметь ЧЕД i = 7%.
Определить цены погашения всех четырех траншей.
11. Уточнение условий займа, оставляющих доходность прежней.
Компания А 31 декабря 1974 г. выпустила в обращение заем, принося-
щий 7% годовых, выплачиваемых один раз в конце каждого полугодия.
Погашение предполагалось осуществить по номиналу за 15 раз выплата-
ми через год, начинающимися 31 декабря 1980 г. с суммы в 15 000, которая
затем каждый год увеличивается на 5000.
Инвестор В , оплачивающий только ПН по ставке 33%, закупил весь заем
по цене, которая обеспечила ему ЧЕД i = 10%.
1) Какова эта цена?
2) 1 января 1985 г. обязательства А и В по оплате налогов изменились
в связи с изменением налогового законодательства. Начиная с этого мо-
мента В должен был оплачивать ПН по ставке 50%, а НДС - 10%. Со-
ответственно компания А предложила уменьшить процентную ставку до
5% (сохранив ритм их оплаты), с одной стороны, и увеличить номиналы
оставшихся погашений на г% каждый - с другой. Определить величину
г , если при ней ЧЕД i от всей сделки остается по-прежнему равной 10%.
Рассмотреть связь ПЗ «исчезнувших» процентов и чистых «премий».
12. Индекс стоимости жизни.
Правительство одной страны 7 апреля 1986 г. выпустило в обращение две
индексированные ЦБ, со сроком жизни 20 и 30 лет соответственно. По
каждой ЦБ проценты выплачивались 1 раз в полгода, в конце, и составля-
ли 3% годовых. При этом как оплата процентов, так и суммы погашения
индексировались по отношению к индексу стоимости жизни (ИСЖ) этой
страны с восьмимесячным смещением, как с ИРЦ в (6.4). Значение же ин-
декса для августа 1985 г. было равно 187,52, а последнее значение индекса,
известное на момент покупки, было равно 192,10 и относилось к февралю
1986. Цена выпуска по каждой ЦБ была такова, что если бы ИСЖ рос
непрерывно с ежегодной интенсивностью h = 6%, то покупатель любой
ЦБ получил бы реальную доходность от капиталовложения, измеряемую
ставкой № = 3% (по отношению к ИСЖ).
1. Показать, что цены выпусков были равны и найти эту общую цену.
2. Показать, что если бы h = 4% (вместо 6%), то первая ЦБ была бы
более доходной, но если бы h = 8%, то все было бы наоборот.
Приложение А
Решения к упражнениям
Глава I
1. Предположим, что исходная ставка и срок равны г, t соответ-
ственно. Тогда 1000(1 + it) = 1110, а нам нужно найти величину
х = 500[1 + (Зг)2£]. Но, очевидно, it = 0,11 и потому х = 830.
2. 1) По правилу «д/д» достаточно заглянуть в ПД.2 и найти порядко-
вые номера указанных дней. В случае СССР 22 июня - N 173, 9 мая
- N 129, и потому п = 365 • 4 + 1 + (129 - 173) = 1417. А в случае
США 7 декабря - N 341, 8 августа - N 220, и потому
п = 365 • 4 + 1 + (220 - 341) = 1340.
2) По правилу «30/360» нужно использовать формулу (1.3). В соот-
ветствии с ней в случае СССР п = 360(1945 — 1941) + 30(5 — 6) +
(9 - 22) = 1397, а в случае США п = 360(1945 - 1941) + 30(8 - 12) +
(8- 7) = 1321.
3. Напомним, что ПП рассчитываются по формуле
I = си = а^. (1)
N
1. В этих подходах п рассчитывается одинаково, a N меньше у
банковского правила (360 < 365).
2. В этом случае, наоборот, знаменатели в (1) совпадают (360), а
число дней в каждом из 11 месяцев в году (т.е. из 12), не меньше,
чем по банковскому правилу.
3. Лишь в феврале число дней, рассчитанное по банковскому пра-
вилу, меньше. Используя это, и нужно строить контрпример.
334
А Решения
4. Срок ссуды в соответствии с первым и третьим подходами равен 62
дням, а по второму составляет 60 дней. Поэтому (600 = 10 000 0, 06)
600 • 62 600 • 60 600 • 62
Л = ” - = 101,918, 12 = — = ЮО, /3 = = Ю3,33.
365 360 360
5. Находим сначала точное число дней до погашения п/ для всех век-
селей: 68, 78, 30, 46. Затем, полагая 1000 = 1, составляем уравнение
и решаем его:
100 = = ^Ci- t! = -^,
100 = 30 + 2х - |§[10 • 68 + 20 • 78 4- z(30 + 46)], [2 - = 70 +
x = 35,411.
6. Нетрудно видеть, что проценты за период с 16 июля по 16 октября
(т.е. за 92 дня) составляют величину 613, 33 = 40 000 •0,06 • 92/360 .
И потому заемщик должен заплатить сумму (50 000 - 40 000) +
613,33 + 5= 10 618,33.
7. Прежде всего определимся с днями и датами отсчета. Это нам по-
требуется для нахождения величин (n/~i - n/), I = 1, 2,..., 5 (см.
диаграмму, где отмечены также даты начала и окончания опера-
ций):
1.10 2.11 5.11 12.11 17.12 31 12
1 2 1 2
Даты отсчета 3.11 3.11 13.11 15.12
п0-П1 = 33, П1-п2 = 0, п2-п3 = 10, П3-П4 — 32, п4-п5 = п4 — 17.
Что же касается сумм Со + • • • + C/_i, I = 1, 2,..., 5, то все они
оказываются отрицательными: -4000, -3000, -6000, -2000, -4000. И
потому суммарные проценты рассчитываются по формуле (3.3) с
одной ставкой, являются дебетовыми и составляют величину
1000[4 -33 + 3- 0 + 6-10 + 2-32 + 4- 17] (0,18/365) =
65,10 + 29,59 + 31,56 + 33, 53 = 159,78.
Итак, остаток на счету на 31 декабря является дебетовым и равен
4159,78.
Комментарий к дням и датам отсчета. Почему, например, дату опе-
рации 2 ноября нужно сдвинуть вправо? Но в этот день на счет по-
ложили 1000 и потому банку выгоднее, чтобы дебетовые проценты
брались дольше с большей суммы (4000 > 3000). Эти же соображе-
ния повторяются и в остальных трех случаях.
335
8. Связь (3.1) с (3.2) очевидна. Достаточно «отщепить» от первой сум-
мы в (3.2) первое слагаемое, тогда легко понять, что остальные
сокращаются. Импликация же (3.3) <=> (3.1) вытекает из равенств
L+i 1-1 L L+i L
= у^с3 ^2 (n'-i-п')=
1=1 5=0 5=0 / = 5-|-1 5=0
второе из которых верно потому, что пь+i = 0, а первое предста-
вляет собой эквивалентную запись так называемой двойной тре-
угольной суммы (см. ПВ.3.5). В ней
п = L + 1, i = /, j — s + 1, агд = (пг-1 - пг)С7_1 .
9. За время просрочки погашения клиент оплачивает проценты по
штрафной ставке, начисляемой на основной долг. И потому Л =
10 000 • 0,1 • 10/360 = 27, 78. Таким образом, сумма А из (4.1), ко-
торая оплачивает часть долга V и проценты I за продление срока
погашения остатка долга С - V, равна 4972,22 = 5000 — 27,78.
Остается применить формулу (4.1) с С = 10 000 и получить
; = ^^4^ = 118,з6, с
360 - 8,28
А + I = 5146,14.
10. Исходные номиналы Ci = 200(1 + I • 0, 03), I = 1, • • •, 6. Посколь-
ку i < d, то сразу можно сказать, что необходима корректировка
первоначальных условий, чтобы продавец получил цену Р в бан-
ке. Первый способ равномерного увеличения номиналов с помощью
множителя z из (5.4) приводит к формуле С\ = Cifz, в которой
z = 1 + j[-0,015 - 0,03 • 0,045 • ^] = 0,927025, | = 1,0787195.
Второй способ использует увеличенную ставку, определяемую по
формуле (5.5): i = (13/3)0 045 ~ 0,0559 и приводит к номиналам
Ci = 200(1 + I • 0,0559), также представленным в таблице.
Период 1 Исходные номиналы Ci Увеличенные номиналы Ci Увеличенные номиналы Ci
1 206 222,216 211,18
2 212 228,688 222,36
3 218 235,161 233,54
4 224 241,633 244,72
5 230 248,105 255,90
6 236 254,578 267,08
Итого 1326 1430,381 1434,78
11. При получении через месяц 100$ сегодня будут стоить
2643 — 26,43 = 2616,57 р.
336
А Решения
Глава II
1. По аналогии с решением примера 1.2 будем считать, что искомый
остаток х на счету - это сумма НЗ всех пяти вкладов на конец
15 года. А каждое НЗ рассчитывается по формуле (1.1) с С=100
и ставкой, которая зависит от варианта. В первом случае за БП
естественно выбрать год, а во втором - полгода. Соответственно
имеем (см. диаграммы)
100 I 100 I 100 I 100 I юо
Illi ro^
0 3 6 9 12 15
I 100 I 100 I 100 I 100 I 100
I I I I I полугодия
0 6 12 18 24 30
5
1) i = 0,1 : х = 100(м15 + и12 + и9 + и6 + и3) = 100 «3'‘,
1
5
2) г = 0,05: а: = lOO^u6', u = 1 + г.
1
2. В обоих случаях за БП естественно взять год, а искомую сумму
х считать ПЗ всех будущих выплат (на момент 0), т.е. суммой ПЗ
каждой из этих выплат по соответствующей ставке процента г.
Само же выражение в обоих случаях получается одинаковым -
х = 240v£2q5 - но ставка зависит от варианта:
1) г = 0,08, 2) г = es - 1 = е0-08 - 1 = 0,0833.
3. Ответы на все вопросы содержатся в равенствах:
(1 + -г)к = 1 + i = (1 - —е& = 1 + г = (1 - d)"1.
К I
1) г<4> = 4[( 1,0625)1/4 - 1] = 0,061086, 6 = In 1,0625 = 0,060625,
= 2[1 - (ЬОбгб)”1/2] = 0,059715;
2) г<12> = 12[( 1 + г<2>/2) 4/в - 1] = 0,061702,
6 = 21п(1 + г(2>/2) = 0,061543,
d(4) = 4[1 - (1 + г^/г)"1/2] = 0,061072;
3) №> = 2[(1 - </(12>/12)-6 - 1] = 0,063655,
5 = -12 ln(l - d<12)/12) = 0,062663,
d = 1 - (1 - d<12>/12)12 = 0,060740;
4) № = 4[е&!4 - 1] = 0,062991, d™ = 2[1 - е~&!2] = 0,061534.
337
4. Если использовать функцию д(х), то как и в п. 2.4 с функцией /(ж),
нужно сначала убедиться в том, что с№ = д(к), а затем показать,
что д(х) возрастает при х > 0 и 8 > 0 , опираясь на представление
д’(х) = 1 - е-^(1 + 6/х) = —[еу(1 - у) - 1], у = -5/х,
и тот факт, что функция еу(1 — у) - 1 возрастает на полуоси
—оо < у < 0 от —1 до 0. Ясно также (см. рис.), что <у(1) = d,
у'(0) = 1, д(х) ~ х, х —> +0, д(х) —> 6, х —> оо.
5. Действуя по аналогии с определением ставок г<*), </(') равенствами
(2.6а) и (2.7а), полагаем
,(1/ч = =
к I -
Откуда
(1 4- к№к})1/к = 1 + г = (1 -
6. Поскольку = 4[(1 4- г)1/4 - 1], = 4(1 — (1 4- г)-1/4], то
г = (1 4- г)1/4 = и~1/4 и» следовательно, v — г-4.
7. Пусть № = a, = Ь. Тогда нетрудно видеть (см. упр.6), что
7 = и1^ = х = 1,02304, a+b = kfu1^ — = к(х — —) = 0,36468
Ь х
и, следовательно, к — (а 4- Ь)х/(х2 — 1) = 8.
8. В любом случае мы имеем
| _ 1 _ 1 _ kl
п к I' П I - к'
поскольку 1) 1 4- гп — (1 4- г)1/71; 2) 1 - dn = (1 — d)1/71. В частном
случае п = 4 • 5 = 20.
338
А Решения
9. Само равенство очевидно в силу определения ставок d^ . Мы
в этом уже убедились в упр. 6 и 7. Интерпретируется оно также
просто: сумма 4 является НЗ суммы (при ежегодной ставке
г для БП длины 1/к) и потому то же самое верно и в отношении
ставок № = kik, d^ = kd^.
10. Используя разложение логарифма в ряд (см. ПВ.3.4), получим
оо •/ оо »/
I = ln(l + i) = £(-1)'-* у, 6 = - 1п(1 - </) = £ у.
1 1
Отсюда сразу вытекает 2). Ну а 1) становится очевидным, если
вспомнить о равенстве (2.15): 1/d^ - 1/№ = l/l.
11. Используя данные табл. 2.2, находим:
1) i = (1 - d)-1 - 1 = d + d2 + d3 + ---,
2) v = e~5 = 1-<$ + <$2/2-<Р/3! + “-,
3) 8 = - In(1 - d) = d + d2/2 + d3/3! + • • •.
Ну а привлекая равенство (2.6a) и бином Ньютона, получаем
~ 1 -2 . ~~ l)(2fc - 1) з
2к + 6к2
12. Здесь удобно использовать представления
№ = к[е^к - 1], = fc[l - e~s'k],
и, например, известное асимптотическое соотношение
In(1 + х) ~ х, х —> 0.
В самом деле, благодяря первым имеем равенства
6 = k\n(l + iw/k) = -dw/k),
а упомянутое соотношение позволяет извлечь из них нужную ас им-
птотику, поскольку № ->0 и (№ —> 0, если i —> 0.
Выражение для ошибки при любом к можно взять из разложения
логарифма в ряд (см. ПВ.3.4, а также упр. 10). Но лучше действо-
вать по-другому. Так, в случае к = 1 имеем
i + d es — е s
f f £
3! + 5! + 7!
339
Глава III
1. НЗ на момент 20 двух 10-летних рент равно 50 000 (см. диаграмму).
Запишем соответствующее равенство и преобразуем его:
50 000 = lOOOsjoiи10 + (1000 + 07 = lOGOs^ +
юоо + х
юоо
о 1 2
9 10 12
20
Используя данные ПД.1, получим:
STq|0 07 = 13,8164, $25! = 40,9955, х = 9004,5/13,8164 = 651,725.
2. Используемая ставка заставляет выбрать в качестве БП месяц, по-
лагая i — 0,015 и записывая ПЗ ДП в виде (см. диаграмму)
250а48|о О15 + х = 10 000.
Решение вновь получаем с помощью ПД.1:
х = 10 000 - 250 • 34,0426 = 1489, 35 .
3. На диаграмме момент 25 слева совпадает с моментом 0 справа и
оба они являются моментом выхода рабочего на пенсию (65 лет).
Само же равенство НЗ и ПЗ, очевидно, можно записать в виде
юоо
0 1 2 23 25
4—
13 15
О 1 2
1000s25|O,O8 —
воспользоваться далее опять ПД.1 и получить
«25|о,о8 = s25|u — 73, Ю59 • 1,08 = 78,95437,
®Т5|о,О7 = аТ5|м = Ю79 • 1,07 = 9,74545,
х = 78954,37/9,74545 = 8101,6648 (= 8102).
12—1221
340
А Решения
4. Стоимость взаимных обязательств запишем на момент 30:
1000s£o|?z10 = 1ООО(гд20 - l)?z10/d = ха—। = x/i,
О 1 2
1000
• • •
--------------------ь
18 20
30 31
откуда х — 1ООО(гг20 - 1)zz10(z/rf) = 1ООО(гг20 - 1)г/11.
5. а-, — 3t’na—I => 1 - vn = 3vn, un = 4.
n| oo| ’
6. Достаточно доказать, что > к > 1,
0 12 к - 1 к 0 к
0 12 3 к 0 к
Но это вытекает из следующих очевидных неравенств:
Й£| > kvk, < kuk (см. диагр.). В самом деле, из первого ясно,
что kvk(l-v) < l-vk, < (fc +1)(1 -vk). Ну ас помощью
второго можно записать, что uk - 1 < kuk(u - 1),
(fc + l)(^- 1) < k(uk^ - 1).
7. В каждом случае мы выбираем свою единицу времени: сначала год,
затем полгода, квартал и месяц. Соответственно будем иметь,
50
х
_i-———------н
96 97 98
2009
2010
(см. диагр.) если использовать ПД.1 и нужные формулы:
1) 200з£> „ = 200(1,1213’5 - l)/d<4> = 6475,661,
2) 100sg’oo6 = 100(1, Об27 - l)/rf(2> = 6655,892,
3) 5032-7 = 6753,63, 4) (50/3)з^(3) = 50(з^7аз|) = 6821>85-
341
8. На диаграмме представлен процесс выплат по трем исходным рен-
там - начальный период и последние выплаты. Он помогает запи-
сать исходное уравнение как равенство ПЗ обязательств на 1 ноября
1985 г. (горошина слева) до и после объединения:
8 —•— 1 6 87 80 1 2007 1,01
86
87
2002
15 > 1,08
86 87 2004 2007
200й^|ОО8?/4 + 320<Ц±> (1,08)1/12 + 180а^> = z(l, OS)1/^
1 1О| < JI L 1 j I
Откуда x = 6837, 76/10, 307 = 663,412.
9. Оба представления вытекают из равенства + 1.
Только для получения первого его нужно умножить на № ,
а второго - на с№.
10. Исходное уравнение легко преобразуется и быстро приводит к от-
. вету:
х 1 ж
= 20 = 2ЙЙ(2) d = 20 = Т^2’
X = 20(1 —V2) = 20(1/20) (39/20) = 1,95, поскольку d= 1-v = 1/20.
11. Здесь основное - понять, что закон изменения суммы на счету фон-
да есть
С(0 = 40?' - 2,4 / е8у dy (1)
Jo
(мы полагаем 1000=1). Тогда, поскольку искомый момент Т есть
решение уравнения C(t) = 0, то будем иметь
^0,047 _ -I
40е°’О4Т = 2,4—Q 04 = 60(е°’О4Т- 1), Т = 25In3 = 27,465.
Покажем теперь, что получить равенство (1) нетрудно из анало-
гичной дискретной схемы. Предположим, что начисление процентов
и снятие денег происходят в моменты, кратные 1/п, и действует
342
А Решения
постоянная периодическая ставка процентов гп, эквивалентная 6
(т.е. 1 + г\п = е^п). Тогда в момент тп/п на счету остается сумма
2,4-)е5/п
п
2,4-)е5/"-----)?/п -2,4- =
п п
40em<5/n
1 771—1
-2,4-V ем/п=>40ег'
п
1=0
если п —> оо, 1/п —> dy, l/n-^y, m/n—^t.
12. Сумма выплаченных по ренте денег составляет JJ11 dt = п2/2. А
искомое ПЗ в соответствии с (4.12) есть (7а)—।. Поэтому величина
п является решением уравнения
а-, - nv71 1 п
/ т —\ _ П| А 2
Ua)n|0,05 = д ,
или, что то же самое, — tivq 05 — |<5п2 = 0 . Используя ПБ, ПД.1
и линейную интерполяцию получаем, что п = 22,37.
13. 1) Достаточно нарисовать диаграммы соответствующих ДП и ра-
венство становится очевидным. Впрочем, алгебраически оно также
очевидно, поскольку
(/а)~1 = v + 2v2 + • • • + nvn, (Da)-| = nv + (n - l)v2 + • • • + vn.
2) В этом случае желательно понять прежде всего, что
71—1 71—1 71—1
sniani = Е«'Е«'=«+Е(«-о(«'+4
О 0 1
Тогда остается заметить, что 1(п~^ — п(п-1)/2 , а недостаю-
щее неравенство ul + vl > 2 вытекает из неравенства (и1 - I)2 > 0.
14. Стоимость V этой ренты, очевидно, есть величина
v = (1ак\ + пг}Па^\ =
йй| ~ ! nvn = ^п| ай\
i i i d
15. 1. По аналогии с (4.11)
= -^(1 + 2v1/4 + 3v2/4 4- 4v3/4).
i| 4^
Таким образом, используемый символ действительно означает сто-
имость ренты с нашей структурой выплат за исключением одно-
го: представляемые им суммарные выплаты за год равны 10/16,
343
а у нас - 1000. Следовательно, смысл ПЗ всех выплат любого
года на его начало в нашей циклической ренте имеет величина
с = 1600(/(4’й)1|)
Получаемая же последовательность из 10 ПЗ на
1 января всех 10 лет в свою очередь имеет ПЗ, равное саг—
2. Нетрудно видеть, что (Za)^ = £ X7=i v/’’1 52s=i vS^k “
/-1 * VH ' zr ' an|-^
— —77V Z IV — / Iv = wUfl j = ------77T\--•
i(k) nl i(k)
1=1 1=1
Пусть далее = x. Тогда в силу определения х в (4.11)
, а-^ — nvn
х(их/к - 1) = —[1 + v^k + • • • + v{nk~1}/k - (nk)vn] = --
k
И остается заметить, что их!к — 1 = г^, ki^ =
16. Равенство ПЗ двух рент можно записать в виде
а10|(1 + 2и1° + у2°) = аТо|6(1 + и20)-
Откуда получаем, что 2,25 = 1,256 и, следовательно,
Ь = 9/5= 1,8.
17. Из-заставки г^12) в качестве БП выбираем месяц. И потому началь-
ное выражение для искомой стоимости V записывается с помощью
редкой ренты с параметрами к = 6, I = 10, п = 60, i = 0,09/12 =
0,0075. Используя (2.5) и равенства и6 = 1,00756 = 1,04585, и3 =
1,02267, v60 = 1, OO75"60 = 0, 63870 , получим
90ПП 1 — 7?60
v = —<W6)u3 = 2000и3 w = 16117’36-
18. Исходное соотношение имеет следующие эквивалентные формы за-
писи
J_V_ = 1 - v3 +и* - 1 _ 7 _ - V3),
1-yll 1 - vy + uz - 1 ’ V M V M 1
uz - uz~7 — u~y + u~y~7 = ux — u*”11 - u~3 + u-14
(напоминаем, что v = 1/u). И потому z — x => z — 4, y = 7, x = 4.
19. Можно сказать, что здесь «три маленьких забора легко объединя-
ются в один большой». В самом деле, если представляет собой
первую «изгородь» из 15 единичных жердей-выплат, относящихся
к концу первых 15 лет. то слагаемое г15«у5| - вторая «изгородь»,
и т.д. Ну а стоимость всего забора из 45 единичных выплат - это
. Поэтому ответ: .
344
А Решения
20. В случае 2) можно действовать по аналогии. 1) Так как d = 1 - v,
то
_ 1 - (1 - d)~n _ un - 1 _ ..
a"l-d“ (_rf) ~ d
21. Полагая, как и обычно, u = 1 + i = 1,04 , запишем состояние счета
на момент 10 и затем преобразуем: 1О4и10 - 1,05з?и6 - 1,05x?z5 -
xu4 — xu3 = 104, ж[г43з^| + 0,Оби5^] = 10 OOO(u10 - 1).
После этого останется использовать ПД.1 и получить, что х = 980 .
22. Из (2.4) и (4.11) вытекает, что
w
Но iWdW = fc2(u1/A: - 1)(1 - v1/*) = A?2[(w1/fc - 1) - (1 - v1^)] =
к-d^), поскольку № = - 1], = fc[l - v1/*]. В то же
время можно было бы просто заметить, что искомое представление
легко вытекает из (1) в силу равенства (П.2.15):
1 _ 1 _ 1
Ж Ж - k'
23. 1) Используя формулу бинома Ньютона (см. ПВ.3.6)
(1+()l = fQy (») = в
(для любого b и -1 < t < 1), получаем
1 11
it = (1 +i)V‘_ 1 = ,+ ( !) +....
К К К 2
Но это означает, что i^/i « 1 — . И остается воспользоваться
асимптотическим соотношением » 1 + х, х —> 0.
2) Это утверждение вытекает из 1), поскольку
(к) 1 — vn i 1 — vn
n| г(к) г(к) n| n| г
24. В данном случае символ ЦуП|»
как мы знаем из п.2.3, совершенно
однозначно определяет ПЗ девяти выплат величины 1/12 на начало
первого месяца. Но у нас каждая выплата равна 100, т.е. в 1200
раз больше. Отсюда множитель 1200. Ну а оставшийся сомножи-
тель й^| означает ПЗ четырех единиц из всех вышеуказанных ПЗ,
отнесенных к началу каждого из первых четырех лет.
з
-+-
4
345
Глава IV
1. В рассматриваемой ситуации нас интересует НЗ ДП на момент 1
год спустя после последней выплаты. Поэтому искомая сумма х
определяется из уравнения х • $П|о,О7 = Ю00- Решая его с помощью
ПД.1, получим х = 1000/1, 07 • $п]о,О7 = Ю00/1,07 • 15,7836 = 59, 21.
2. Это случай формулы (2.4), в котором п = т, N = п, f = 0.
3. Пусть 1000=1, и первая выплата сделана в момент 1. Тогда сначала
мы должны определить максимальный момент п последней выпла-
ты, при котором НЗ всех выплат на этот момент было бы меньше 25.
Иными словами, определить п из условий $п|0>08 < 25, 5^jTf|0t08 >
25. Но из ПД.1 вытекает, что $П|о,О8 = 24,2149, ^Т5|0>08 = 27,152, и
потому п = 14. Что же касается добавки х , то она определяется
из условия • 1,08 + х = ($i5| - 1) + х = (27,152 - 1) + х = 25 .
Отсюда х = -1,152 и, следовательно, нужно снять со счета 1152.
Понятна и причина отрицательности последней выплаты. Дело в
том, что остаток на счету в момент последней выплаты оказал-
ся слишком близким к нужной сумме: = 24,2149. И потому
проценты за следующий год помогли имеющейся сумме заметно пе-
решагнуть через 25: 24, 2149 • 1,08 = 26,152. Конечно, эта ситуа-
ция не является типичной. Чаще действительно требуется осуще-
ствить положительную дополнительную выплату. Однако рассмо-
тренный пример подчеркивает, что ловушки возможны и потому
следует быть осторожным с выводами.
4: Пусть № = 2j и 1000 = 1. Тогда j определяется из уравнения
<^5|7 + 2v^a^ = 17vJ° или, что то же самое,
1 - X Л 1 - X о е
—:---h 2х—:— = 17х2, х = v5,
J J
. _ 1 4- х - 2х2 = (l+j)10 + (l+j)5-2
3 17х2 17
Итак, мы получили искомое представление и можем воспользовать-
ся методом последовательной итерации из п.4.1. Нужно лишь опре-
делить стартовое значение. Для чего возьмем то же уравнение по-
гашения, но запишем его в другой форме: + 25^ = 17, т.е.
17 - ш а
= Я(“ь
346
А Решения
А затем воспользуемся линейной интерполяцией. Точнее говоря,
сначала найдем из ПД.1 вилку значений (см. рис. ниже и ПБ.3.1)
55|о,оз = 3091, Uq оз = 1,15927, R(u) = 5,381,
s5|0,04 = 5 * * * * * *> 4163, u0,04 = 1,2 1 665, R(u) = 5,285,
а затем используем линейную интерполяцию, т.е. положим jo =
0,03 + х • 0,01 и определим х, 0 < х < 1, из уравнения 5,3810 —
х(5,3810 — 5,2850) = 5, 3091 + х(5,4163-5,3091) : 719 = ж-2032, х =
0,3538.
Линейная интерполяция второго типа
При найденном начальном значении jo = 0,033538 требуемая точ-
ность (четыре десятичных знака для № и, скажем, пять - для j )
достигается за две итерации: ji = 0,033545, j2 = 0,033557, j’3 =
0,033552. Таким образом, j = 0,03355, № = 0,0671.
5. Как мы видели в пр. 2.2, реальная ставка i определяется из урав-
нения
al5|i = а15|0,12 = 6) 8109,
и желательно понять, насколько i > 0,12.
Сначала запишем это уравнение в форме (4.1). Для этого заметим,
Л Л (к) п
что более общее уравнение aL|' = R всегда можно записать в виде
a^\lk = Rk > поскольку 4*; = , где ik = (1 + г)1/* - 1. Та-
ким образом, мы можем решить уравнение <^Т8о|гс = 12 • 6,8109 =
81,7308 относительно х с помощью соотношения (4.5) и затем
определить искомую ставку г из равенства г = (1 + ж)12 - 1.
347
Но здесь мы просто покажем, что искомая ставка i больше 0,13,
т.е. найдем только стартовое значение г’о с помощью линейной ин-
терполяции. Для этого вспомним, что
и потому
а<12)
15|0,13
0,13-6,4624
0,122842
= 6,8390,
а<12)
15|0,14
0,14-6,1422
0,131746
= 6,5270.
Ясно, что i > 0,13. Линейная же интерполяция дает io = 0,1309.
6. Все символы подразумевают ставку процента j, 1 < I < п:
1) 1/*п|, 2) jspT|/Sn|, з)
4) 1 - s/|/sn|- 5) г' - 7'srij/sn|> 6) и'_1/«п|-
7. Прежде всего ясно, что по определению целого числа у
Су — х • ап_у\г < L, Cy-i > L, (1)
Точнее говоря, из определения вытекает, что у представляет но-
мер выплаты, начиная с которой остающийся (после нее) непога-
шенным капитал впервые не превышает заданный уровень L. Но
одновременно число п — у представляет число периодов или выплат,
проценты для которых вычисляются по классической формуле (1.4)
и потому имеет место равенство в (1). Таким образом, напрашива-
ется следующим образом решать наши проблемы: сначала получить
другое выражение для Су , используя имеющиеся рекуррентные со-
отношения для С/, затем приравнять его первому выражению в (1),
вывести из этого равенства формулу, выражающую х через у, и
далее записать простое неравенство, позволяющее определить у .
1) Из равенств х = yi + т/, т/ = C/-i - Ci и формулы
yi = L(i - j) + jCi-i вытекает, что
С/ = [£(г-;)-х] + С/_1(1 + », 1<1<у (Со = С).
Но отсюда следует, что
Су = C(l+j)4[L(t-j)= (C-L)(l+jf+L+(Lt-a:)s^. (2)
Приравнивая полученное значение выражению из (1), приходим к
искомому представлению
(С - L)(l + j)y + L + iLs^
T. — -----------------------. A I
а^?|г + S?|}
348
А Решения
2) Мы уже говорили выше, что у - это минимальное целое, удо-
влетворяющее левому неравенству в (1). А поскольку величину х
мы уже выразили через у, то получаем возможность не только за-
писать неравенство для у, но и решить его, используя известные
методы. Интересным, однако, оказывается то, что возникающее из
(1) очень громоздкое неравенство
(C-L)(l + j)» + L + itsa
------- --------<4=51. < L (4)
Un-y\i Ь2/Ь
легко упрощается до совсем простого
С - L < (5)
В самом деле, достаточно заметить, что в силу (4)
(С — £)(1 + j}yQ>n-y\t + ^Sy\jan-y\i — LSy\j,
(С - Ь)иуа—1г < Lvf~ySy\3.
3) В качестве начального приближения можно взять величину
х0 = С/ащр} при некотором р между г, j,
а при выборе последующих приближений использовать возмож-
ность при любом из них оценить, насколько точно оно погашает
ссуду. Точнее говоря, используя имеющиеся рекуррентные соотно-
шения
Ci = Ci_\ - з?о + iL + j(Ci-i - L), если C/_i > L (т.е. I < у),
Ci = Ci_\ - x0 + iCi_\, если Ci-\ < L,
можно с помощью компьютера определить значение Сп , которое
должно быть равно нулю при полном погашении. И дальше дей-
ствовать в зависимости от знака и величины этого числа. Напри-
мер, если Сп > 0, то это будет означать, что ссуда не погашена
и потому следует взять х\ > xq и т.д. Продолжая этот процесс,
ищем вилку и действуем известными способами.
8. У нас С = 3000, L = 1000, п = 12, i = 0,015, j = 0,01 и пото-
му неравенство (5) для определения числа у двойных начислений
процентов имеет вид
2 < Qy|0,01
S12^|0,015
349
Минимальное у , удовлетворяющее ему, есть у = 9 . Таким образом,
размер погашающей выплаты
2000(1,01)9+ 1000+ 15sqi0 01
х =--------—---------------= 270, 98545.
аЗ|0,015 + S9|0,01
Схема погашения при ступенчатом начислении процентов
Время 1 в мес. Взнос а Проценты У1 Погашение mi Непогашенный капитал Ci
0 3000,00000
1 270,98545 35,00000 235,98545 2764,01455
2 - 32,64015 238,34530 2525,66925
3 - 30,25669 240,72876 2284,94049
4 - 27,84940 243,13605 2041,80445
5 - 25,41804 245,56741 1796,23704
6 - 22,96237 248,02308 1548,21396
7 - 20,48214 250,50331 1297,71065
8 - 17,97711 253,00834 1044,70231
9 - 15,44702 255,53843 789,16388
10 - 11,83746 259,14799 530,01589
11 - 7,95024 263,03521 266,98068
12 - 4,00471 266,98074 -0,00006
Отметим, что в последней строке правой колонки должен быть 0.
Но как часто бывает, ошибка округления накапливается и может
составить заметную величину даже при очень малых ошибках на
каждом шагу.
9. Из элементарных соображений ясно, что (см. диаграмму)
Д Д хх
О ••• 5 6 10 0 ••• 20 21 25
Дг5а~1 = ащ20^, где размер погашающей выплаты х = 1 /а^
Кроме того, очевидно, что = i’15<Zg|. Поэтому
д - и>5 _ а2°1 ~ а15|
а25| а25|а5|
350
А Решения
10. 1) Достаточно вспомнить, что а-| =
2) По определению, а-| = J” v*dt, и мы знаем, что эта величина
представляет стоимость, скажем, всех денег, поступающих на ТС с
постоянной ежегодной интенсивностью, равной 1, в течение п лет,
на момент 0. Но за это время на счет поступит сумма п = /оп 1 dt,
которую можно представить себе как площадь большого прямо-
угольника (см. диаграмму) с высотой 1 и основанием [0, п]. По-
кажем, что равенство 1) тогда можно воспринимать как разбиение
площади этого прямоугольника на две части, одна левее точки t,
а другая правее.
О t п
В самом деле можно сказать, что все элементы в 1) представляют
совершенно определенную стоимость на момент t. Первое слагае-
мое переносит стоимость большого прямоугольника с момента 0 на
момент t, величина является стоимостью левого прямоугольни-
ка на этот момент, a ~ стоимостью правой части большого
прямоугольника на этот же момент.
И. Пусть взятая в кредит сумма равна С и
1) первая выплата обозначается через х . Тогда х = Ci,
С = x^2l°lvl = x(Ia)}Qi и остается заметить, что а^г = 1/г.
2) В классической схеме погашения имеем yi = iC[_\, Ci =
- I - s)va- Ho C5 = £|(6 - s)vs = 6а5| - (Za)K|, (M)-, =
Cln|~nt' , a-1 = a-| + l-vn. Поэтому y6 = 6(1-и5)-Й5|4-5г5 =
12. Рассматривается ситуация п.2.3, в которой а(1) = 1, п — 25 и
потому (см. замет.2.5) интенсивность начисления процентов
y(t) = 1 - е-<5(25-<), 0 < t < 25.
Соответственно, искомые проценты составят величину
ю
(1 _ е-«(25-0) dt = 5 - е-1515^ = 5 - и15^^).
При i = 0,05 будем иметь
5 - (0,48102)4, 3295 ( °’05 ) = 2, 8658.
\ V/ < V I о /
351
13. Мы должны определить величину C(t) двумя способами, т.е. в тер-
минологии п.2.3 по формулам (2.16) и (2.19), в предположении, что
a(t) = t. Для первой из них нужно определить функцию m(t) - ин-
тенсивность погашения ссуды.
Используя (2.18), для нее легко получить уравнение
т' - бтп = 1. (1)
Как известно, общим решением линейного неоднородного уравне-
ния является сумма общего решения однородного уравнения и част-
ного решения неоднородного, которое находится методом вариации
постоянной. Используя этот прием, получим m(t) = Си* + 5^. По-
стоянную же С определим из условия С(п) = 0, т.е. т(п) — п в
силу (2.18). В результате окажется, что (см. упр. 10)
m(£) = (nvn - a-|)u' + = nvn~l - (2)
(3)
a-| - nvn
6 ’
Теперь можем легко убедиться в том, что
C(t) = ta—tl +
используя следующие вспомогательные соотношения:
v а—г.
71 — 11 71 —~ t j
t
n 1 — vn s , n - t
ds =
а—г.
6
6
6 ’
t
i- C(z) = s _ “nZ7|]ds = n“~t\---------~s n d =
1 _ vn-t n-t - a—t,
= + (n- t)-----------------------= 4-
2. C(t) = Ц svs-( ds = + Ц vS <^1 =
t _ nvn-t a— _ a—t, -(n- t}vn-1
6 + 6 tan~l\+ 6
Остается заметить, что второе равенство в (3) можно записать в
виде
Поэтому его справедливость вытекает, например, из равенства
a—t} = и*а-\ - (см. упр. 10).
352
А Решения
14. Докажем сначала эти тождества с помощью интерпретации.
1. По определению, величина Ci представляет собой ПЗ всех п - I
оставшихся выплат на момент /. Но в то же время ясно, что это
ПЗ должно равняться НЗ самой ссуды на этот момент за вычетом
НЗ всех I уже выплаченных сумм.
2. Поскольку все выплаты равны, то Ci можно считать ПЗ первых
п-l выплат на момент 0. Остается заметить, что первое слагаемое
справа является ПЗ всех п выплат, а второе - последних I лет, и
также на момент 0.
Но и алгебраическая аргументация не так уж сложна. В самом деле,
1) Ci = х v*"1 = ж(У^ vt ~ У? v*)ul ~ Си1 —
t=/+i 1 1
2) Cl = X 52 vt~l = X 52 v' - 52 = xanl ~
f=/+l t=l 1 n-l+1
15. Пусть сумма наследства есть С и 1000=1. Тогда
С = Ю^То|о,оз5 = 83,166
и ясно, что в силу (1.8а) сумма процентов за первые 5 лет на ТС со
ставкой 3,5% равна
5
2/(0,035) = 10 52(1 - «К) = Ю(5- v5ag|0)035) = 11,984.
1
Но для суммы процентов, выплачиваемых по ставке i в том же
ритме, имеет место формула (ж - величина постоянного взноса)
*/(«) = г[С«5|,- - xu4(/a)Z|],
которую можно получить, если воспользоваться равенством
(см. упр. 14)
Ci = Си1 - xs-^.
Таким образом, искомые «лишние» проценты можно записать в виде
0,05[С$5|О,О5 — 10uq Q5 (^^)4|OjO5] — у(0,035) = 5737.
16. Если выплаты по-прежнему делаются в конце года, то
(80 000/«2о|О 08)ауу|0 08 — 50 00
1) ---------------------------= оооо,7о,
a9|0,09
80 000(1,09)9 — (80 000/a2o|O>O8)sg|O 09 — 5000 _ Ю450
a9|0,09
353
Глава V
1. В силу (1.3а) и замен. 1.1: Д = [{7(fc) — U(k — 1 )]/J7(к - 1).
Поэтому h = 5/(100 4- 20) = 1/24, Ло = 5/(100 4- 45) = 1/29.
2. В силу (1.3а) и замен. 1.1: Dk = [£/(&) - U(k - 1)]/U(k).
Поэтому Г>5 = [(1,1)5 - (1,1)4]/( 1,1)5 = 1/П,
Рю = [(1,1)10- (1,1)9]/(1,1)10= 1/11.
3. Из (1.3) и замен. 1.1 вытекает, что при п = 1, 2, • • •.
4. 1) u(t) = (£2 + 4£ + 5)/5; 2) 5(1) = u'(l)/u(l) = 0,6.
5. In U(t) = In R + t In a + t2 In b + d* In с. Поэтому
6(t) = (In U(t)Y = lna + 2Hn b + d* In din c.
6. Если имеется в виду, скажем, 6(t) из определения (1.5) расширенно-
го ПН, то первое равенство вытекает из него в предположении, что
интеграл 6(у) dy дифференцируем. А второе следует из первого.
7. Соответствующие интенсивности определяются равенствами (3.1)
и (3.8) с d = 0,05, i = 0,1. Поэтому имеем уравнение
dill
----г =-----г или —----= —-----, откуда t = 5.
1-dt l + it 20 ~t 10+ *
8. Положим f(t) = (1 + iY = e**, g(t) = 1 + it. Тогда, очевидно,
/(1) = 5(1). Если t < 1, то f монотонно возрастает при малых
t > 0 медленнее, чем д, поскольку /'(0) = 6 < i = д'(0) , а за-
тем быстрее, но не может сравняться с д раньше точки t = 1,
поскольку она выпукла вниз: /"(f) = 62eSt > 0. При t > 1
достаточно проверить, что f'(t) > g'(t) при всех t, поскольку
/(1) = ^(1). Но из неравенства 6 > d = г/(1 + г) вытекает, что
/'(0 = 6eSt > /'(1) = <5(1 + г) > г = g'(t). Из вышесказанного ясно,
что требуемые неравенства справедливы при всех г > 0.
9. Воспользуемся разложением логарифма в ряд. Тогда получим
t In(1 - d) = -t dl/l, In(1 - dt) = - ^(Л)7/.
1 1
И нетрудно видеть, что каждое слагаемое первого ряда меньше со-
ответствующего слагаемого второго ряда при t < 1 и больше при
t > 1. Заметим, что в этом случае условие 0 < d < 1 существенно,
поскольку позволяет получить первое представление.
354
А Решения
10. Пусть 0,03 = i4, а сумма - С. Тогда D(k) = 0, 03С(1,03^ 1 - 1),
к = 1, 2, 3, 4. Поэтому Z?(4)/Z?(3) = 1,5227.
И. Аналоги уравнений (4.11) и их решения можно записать в виде
i 4 1
1) 100+200( 1 — 10d)+x (1—20d) = 600(l-16d), d = ----: = — = —
1 + ? 104 26
2) 100(1 + 20?) + 200(1 + 10г) + x = 600(1 +4г), x = 300 - 1600г = 236.
12. Для эквивалентных на интервале [0, t] ставок имеют место
соотношения
1) (1 - dY = 1 - Dt; 2) (1 + if = 1 + It.
1. В этом случае проблема решена в прим. 3.3 и нам остается лишь
добавить: условие Dt < 1 возникает потому, что нужно иметь воз-
можность взять логарифм от обеих частей в (3.6).
2. Функция (In(1 + х))/х монотонно убывает при всех х > 0 :
1п(1 + ж)\ _2г х
-------- = х --------
х J т 1 + X
(1п(1 + х) > при х > 0, например, поскольку обе функции
равны при х — 0, а для их производных справедливо неравенство
(1 + х)-1 > (1 + х)“2, х > 0). Но 1п(1 + г) = Поэтому
In(1 + г) и сама г как функции t убывают при всех t > 0.
13. Поскольку (1 + г)а = 2, (1 + г)6 = 3/2, (1 + г)с = 5, то
(1 + г)п = 10/6 = 5/3 = (1 + i)c~a~b и, следовательно, п — с - а - Ь.
14. к = (1 + г)т/(1 + j) — 1, поскольку связь между ставками задается
соотношением
(1 + г)тп
(1 + Лп
= (l + fc)n.
15. Если действует постоянная ежегодная ставка процентов г, то она
определяется из равенств 500 = 4000и3° или и30 = 8. Поэтому
х = 10 ООО(и20 + и40 + и60) = 10 0 00(1/4 + 1/16+ 1/64) = 3281,25.
16. Требуется определить величину х = 2000(1 + г)3 при условии, что
600[( 1 + г)2 - 1] = 264. Но из равенства 600(1 + г)2 = 864 вытекает,
что 100(1 + г)2 = 144, 10(1 + г) — 12 , и потому х — 2 • 123 — 3456.
355
17. Пусть ИНП в фонде Y равна 6. Тогда /о2О(0,01г/ + 0,1) dy = 206
и требуется определить величину х = е3&/2. Но легко видеть, что
6 — 0,2 и потому х = е0,3 .
18. У нас 6(i) = а + bt, где а, b - некоторые постоянные. Поэтому
Г1 21-1
Il = / (а 4- bt) dt = а 4--—b, I = 1, 2, • • •, п. (1)
Л-1 2
Отсюда Ii = а + I2 = а + |б. А это значит, что
1) а = b = I2 — Л и, следовательно,
6(t) = (371-/2)/2 + (Z2-Z1)Z, 0 < t < п.
В то же время ясно, что суммарное количество денег, возвращенных
к моменту t, есть 6(у) dy = at+^bt2 = [(37i — 72)/2 + (72 —7i)t/2]t.
2) В соответствии с формулой (IV.2.19) (см. n.IV.2.3) ПЗ ренты есть
/ (a + 6t)e-3 * 54t = -i--^aff|t + (72-71)(7a)ff|t-, (2)
Jo 2
поскольку, интегрируя по частям и вспоминая старые формулы,
видим, что
fn 1 _
J e~Stdt=------------= an|,-, 6 = 1п(14-г),
3) Нам нужно сначала приравнять выражение (2) величине 9047
и определить /1, используя остальные данные задачи. Решая это
уравнение 3Zi~*i07/i ц, 81068 + 0,077j95,66994 = 9047, получим, что
/1 — 500. Но сумма наличных, выплачиваемых каждый год, растет
как арифметическая прогрессия со знаменателем 35, поскольку в
силу (1)
In = h + (П - 1)6 = h + (n - 1)(72 - II) = Il + (n - 1)(0,07Л).
И потому 72o = 500 + 19 • 0,07 • 500 = 1165.
19. 1) Пусть 6(t) = at2 + bt + c. Тогда с = 0,15, |a+ |6 + c = 0,1, a + & +
с = 0,08 и, следовательно, a = 0,06, b = -0,13, с = 0,15, 6(t) =
0,0672 - 0,137 + 0,15, Jq 6(у) dy = 0,105. Таким образом, в силу
(1.5) искомое НЗ есть 5000и(1) — 5ОООе0,105 = 55 53,55.
356
А Решения
2) В этом случае 6(t) линейна при 0 < t < 0,5, 0,5 < t < 1.
Поэтому
ri fi/2 ri
/ 6(y)dy = / 6(y)dy+ / 6(y)dy =
Jo Jo Jl/2
1(6(0) 4- 26(1/2) + 6(1)] = 1(0,15 + 0,20 + 0,08)] = 0,1075.
Отсюда искомое НЗ есть 5ОООе0,1075 = 5567,45.
20. 1) В силу (4.4)
= -^1= 2* + 2q+1
U v(t) (t + a)(t + a + 1)'
2) Из (1.3а), (1.5) и (4.4) вытекает, что
T _ u(n 4- 1) , __ v(n)
/ \ -1 / I 1 \
u(n) v(n + 1)
(n + l + a)(n + 2 + a) _ 2
(n + a)(n + 1 4-a) n 4- a
3) Достаточно заметить, что
1 11 n
v(*)=a(a + l)----------------, a(n) = Vv(/)
v 7 v 7 [t + a t + a+ 1J ’ k 7 i
и потому
1
1 + a
a(n) = a(a + 1)
1 na
n + a + 1J (n + a + 1) ’
21. В рассматриваемом случае
v(t) = = (1,08)"', t > 0,
и потому равенства ПЗ бывших и предлагаемых обязательств долж-
ника на момент 0 можно записать в следующем виде
1) 6280H + 8460u7 + 7350v13 = 22 0901/, 2) 6280v4 + 8460u7 + 7350u13 = xv\
Решая эти уравнения, получаем соответственно t = 7,66, х = 18 006.
22. Как и всегда, при записи уравнения погашения удобно иметь диа-
грамму потока платежей, соответствующую данной ситуации. Но
в рассматриваемом случае сначала полезно составить таблицу вы-
плат по займу, полагая С = 100 :
357
Год 1 Капитал G-1 Погашение mi Проценты У1 Выплаты а/
1 100 0 10 10
2 100 0 10 10
3 100 0 10 10
4 100 0 10 10
5 100 0 10 10
6 100 20 10 30
7 80 20 8 28
8 60 20 6 26
9 40 20 4 24
10 20 20 2 22
Диаграмма потока платежей с точки зрения инвестора
В результате искомое уравнение погашения примет вид
97(1 +я)-208/366 = 10аз|х + 30(1 + х)-4 + 28(1 + а:)-5 + ... + 22(1 + а:)-8,
если моментом приведения выбрать 1 января 1999 (см. диаграмму) и
считать, что представляет операцию покупки облигация номинала
100 (в табл. Ci - капитал, непогашенный после l-и выплаты).
Для определения ставки х используем вторую формулу Гури (см.
(5.13)), в которой с = 10, V = 97(1 + х)~208/366, Д — Ю0. А в каче-
стве начального приближения выберем = с/§7 = 0,103. Чтобы
начать итерационный процесс, нам остается, таким образом, най-
ти величины Р', С7'. Вспомним для этого, что в рассматриваемой
схеме погашения (погашаемые доли т/ равны и само погашение
начинается с задержкой в d = 3 года) для единичного права соб-
ственности Р' имеет место формула (см. ПВ.2.3 и 2.8)
р' = (1 + а;)-4а_|х = (1 + х)-31а_|г.
Ну а право пользования определяется из соотношения (5.9).
358
А Решения
Таким образом, процесс можно начинать. В рассматриваемом слу-
чае он приводит к ответу за три итерации: х — 0, 1228. Приведем
основные их элементы:
xQ = 0,103, Р' = 0, 56, U' = 4, 26, V = 91,71,
Ю ^2?
/(0,103)= 1004’26 = 0,1194,
2Г1 = 0,1194, Р1 = 0,514, и1 = 4,06, V = 90,93,
Ю 9,07
/(0,1194)= 1о4’06 = 0,1223,
2-2 = 0,1223, Р’ = 0,507, U1 = 4,03, V = 90,77, /(0,1223) = 0,1228,
х3 = 0,1228, Р' = 0,505, U' = 4,03, V = 90,77, /(0,1228) = 0,1228.
23. Уравнение (5.7) в рассматриваемом случае записывается в виде
99 = 8С' 4- 105Р' = 5(х)
с Р' = = 1Ма!б| - С' = (i - Р')/х. Далее сначала
убеждаемся в том, что #(0,085) = 98,12, #(0,0825) = 100,00, а
затем, используя линейную интерполяцию, получаем х — 0,08383.
24. В этом случае выпускающая организация от одной облигации но-
минала 100 имеет всего 99,5 - 3,2 = 96,3, а также несет расходы
по оплате купона в 5(1 + 0, 04) = 5, 2 и погашения одной облигации
в 110(1 + 0, 01) — 111, 1. Поэтому уравнение (5.7) имеет вид
96,3 = 5,2r'+Hl,lP' = ffU).
Далее, фраза «соотношение процентов и погашения 5/105» означа-
ет, что расчет величины выплаты в этом случае является таким,
как при номинальной ставке i = 5/105 = 0,047619. Кроме того,
поскольку ритм погашения фактически определен, то мы можем
воспользоваться формулой из ПВ.2.6
1 (1,047619)"20 - (1 + z)"20
“ а0Д)47б19 X-О, 047619
20|
Далее проверяем догадку насчет «вилки» [0,06 - 0,065] :
#(0,06) = 0,9947, #(0, 065) = 0. 9555.
И получаем ответ с помощью линейной интерполяции: х = 0, 06404.
359
25. В качестве 1 денежной единицы используем 1 000 000. Тогда схема
погашения займа будет представлена следующей таблицей
Год 1 Непогашенный капитал С/-1 Сумма тгц погашения Проценты У1 Выплаты a-i = mi + yi
1 100 20 100-0,08 = 8,0 28,0
2 80 20 80-0,08 = 6,4 26,4
3 60 20 60-0,08 = 4,8 24,8
4 40 20 40-0,08 = 3,2 23,2
5 20 20 20-0,08= 1,6 21,6
1) В этом случае УРС можно записать в виде (рис. 1)
97 = 28vT + 26,4v2 + 24,8v3 + 23,2v4 + 21,6v5.
28 26,4 24,8 23,2 21,6
Рис. 1. ДП с точки зрения заемщика
97
Решением его является х — 9, 22%.
2) На этот раз УРС отличается от случая 1) незначительно (рис. 2):
99 = 28их 4- 26,4и2 + 24,8и3 + 23,2и4 + 21, би5.
99
Рис. 2. ДП с точки зрения инвестора
28 26,4 24,8 23,2 21,6
Искомой ставкой является х = 8,40% Что же касается единич-
ных прав, то для их вычисления следует использовать формулы из
ПВ.2.3 (заем, погашаемый равными сериями)
1 п - а-.
Р' = -а£. = 0,7903, U' =----------= 2,496.
п П1 пх
360
А Решения
Глава VI
1. 1. Внутренняя доходность i определяется из уравнений (100=1)
1) 200 = llaig + 2OOv20 => i = 0,055;
2) 200 = 9а^ + 25Ov20 => г = 0,0524;
3) 200(1 +г)20 = 573 => г = 0,054.
2. Расчет прибыли Р на момент 20.
1) После каждой оплаты процентов остается 100.
Поэтому Р = WOsgJ4 = 2978.
2) При каждой оплате процентов не хватает 100.
Поэтому приходится занимать и, следовательно,
Р = 25 000 - (20 000 + lOOs^J5) = 1693.
3) До момента 20 оплачивать проценты нечем, а
занимать не имеет смысла. Поэтому
Р = 57 300- 20 000(1,О5)20 = 4234.
Итак, максимальная прибыль достигается на заготовке древесины.
Начальное приближение (поиск ВД): в случаях 1) и 3) не нужно.
2. Если заменить на 2Ои10, то получим уравнение
25и20 + 18и10 — 20 = 0, из которого будет следовать, что
и10 = (-9 + х/581)/25 = 0,604, v = 0,95086, г = 0,05168.
2. 1. Будем считать, что интенсивность поступления денег равна 1,
для чего возьмем за единицу 20 • 50 000 = 1 000 000. Тогда, если
нефть забьет на первом году, то ПЗ всей выручки от ее продажи на
момент 0 составит величину Математическое ожидание того,
что произойдет именно так, равно вероятности того, что скважина
будет пробита: 0,25. Таким же образом можно рассчитать средние
ПЗ доходов и в другие годы. Расходными элементами ДП будем
считать величины а0 = -2,7, щ = а2 = -0,2, а3 = -0,2 + 0,1 =
-0,1. Поэтому получим уравнение
V(i) = -2,7- 0,2aL - 0, lv3 + (0,25v + 0,2v2 + 0, lv3)a^. = 0,
Z| 1U|
решением которого является i = 0,0933.
2. В этом случае, поступая аналогично, получаем
V (г) = -2,7 - 0,2Ц - 0, lv3 + 0,85v3a^ = 0,
и соответственно i = 0,1455.
361
Поиск начального приближения.
1. Покажем, что искомый упрощенный вариант уравнения можно
записать в виде —27 — 6v3,5 + 60v7 = 0 и, следовательно, полагая
и3’5 = х и решая квадратное уравнение будем иметь
X = (3 + (9 4- 1620) 1/2)/60 = 0,72268, v = 0,91138, i = 0,09724.
В самом деле, для этого достаточно проделать в левой части ис-
ходного уравнения четыре операции замены: на 10v5 , 0,05v
на 0, lv3, 0,2(v + v2 + v3) на 0,6v2, 0, 2(v + v2) + 0, lv3 на 0,6v3’5;
после чего полученный результат умножить на 10.
2. В этом случае, действуя по аналогии, приходим к уравнению
-27 - 6v4 + 85v8 = 0.
Решая его, получаем: v4 = 0,6, v = 0,88011, i = 0,13622.
3. 1. Диаграмма имеет следующий вид (1000=1)
200 200
о
1 2 3
200
8 9 10
7
-250
-500
2. ДПО ti = min{t > 0 : B(t) = -500(1,15)* 4- 200s°’15 > 0} = 4,
поскольку a^j15 = 2,2832 < 2,5, a a^j15 = 2,855 > 2,5.
3. Остаток после оплаты ссуды b = В(4) = 124,172. Поэтому НП
на конец 10 года можно записать в виде
6(1,12)6 4- (200(1,12)3 - 250)s?!12 = 349,651.
3|
4. 1. У(») = -1000 4-С(14-г)-1 - 600(1 4-г)"4 •
3. Сначала естественно рассмотреть этот пункт и начать с анали-
за функции У(г). Нетрудно видеть, что (на рис. представлен ее
график при С = 1600)
V'(i) = C(l-H)-5 -tF-(1 + 03 =0
о
при г = im = (2400/С)1/3-1,
ЗС* / С \ 3
V (г)(г — гш) < 0, г / гш, V(im) = —1000 -| -- I 9 I = 0
362
А Решения
при С = а. Таким образом, функция V(i) монотонно возрастает
слева от im и также монотонно убывает справа, V(0) = С — 1600,
V(im)(C - а) > 0 , при С / а, V(i) -> —1000, при г -> оо,
У(г) —> -оо, при (1 + г) +0.
a) С < а ; в этом случае V(im) < 0 и, следовательно,
V(i) < У(гт) < 0 при любом г > —1.
б) Если С = а, то V(im) = 0, V(i) < 0, г / im, а, следовательно,
im - и есть единственный положительный корень.
Если же 1600 < С, то V(0) > 0, и потому имеем единственный по-
ложительный корень независимо от im (гт < 0, если С > 2400).
в) а < С < 1600; в этом случае, очевидно, есть два корня, посколь-
ку V(0) < 0, V(zm) > 0, im > 0.
2. Приведем имеющиеся корни.
С = 1600 : 0,3631, С = 1550 : 0,1036, 0,2177, С = а : 0,1588.
5. Имеем две функции (ПП; 10 000=1)
У1(г) = 65и3 - 25(и2 + и), V2(z) = 65v2 - 55v,
и нас интересует интервал значений г, для которых У2(г) > ^1(0-
Но это неравенство при v > 0, т.е. при i > -1 эквивалентно нера-
венству 13v2 — 18v + 6 < 0. Таким образом, приходим к неравен-
ству Vi < v < v2 , где vi = (9 - \/3)/13, v2 = (9 + \/3)/13 - корни
соответствующего уравнения. Иными словами, искомым является
следующий интервал ИНК: — 1 = 0,2113 < г < 0,7887 = vf1 - 1.
6. 1. Величину ссуды, остающейся непогашенной в конце года &, мож-
но представить как разницу накопленного к этому моменту значе-
ния взятой в долг суммы и накопленных значений сделанных вы-
плат. Поэтому
к
Lk = £(14- j)k - £Р(1 + =
1=1
363
к
Ц1 + j)k - p(i + j)*-1 ]Г(1 +
1=1
и, следовательно, искомое представление получено. Размер же вы-
платы Р определяется из условия Ln = 0, т.е. из равенства
£(1 + »п - Р(1 = о.
2а. Р = 10 в™1'12 = 660,98, где i = 0,02/1,1 = 0,018(18).
а20|
Время (годы) к Выплата в момент к Непогашенная ссуда Lk
1 660,98 10 539,02
2 727,08 11 076,63
3 799,78 11 606,04
4 879,76 12 119,00
5 967*74 12 605,55
6 1064,51 13 053,70
7 1170,96 13 449,18
8 1288,06 13 775,02
9 1416,87 14 011,16
10 1558,55 14 133,95
11 1714,41 14 115,61
12 1885,85 13 923,64
13 2074,43 13 520,04
14 2281,88 12 860,57
15 1510,06 И 893,77
16 2761,07 10 559,96
17 3037,18 8 789,98
18 3340,89 6 503,88
19 3574,98 3 609,36
20 4042,48 0,00
26. Чтобы определить, до какой максимальной величины возрастает
непогашенная часть ссуды при нашей схеме погашения, мы можем
воспользоваться рекуррентным соотношением
Lk+1 = (l + j)Lk-P(l + h)k
с начальным значением Lq = 10 000 и данными j, h. Это приве-
дет к вышеуказанной таблице, из которой видно, что максимальная
непогашенная часть ссуды приходится на 10 год.
7. 1. В силу (6.10) ВДСВ равны соответственно:
(1,64/1,24) - 1 = 0,3226, (1,55/1,21) - 1 = 0,2810.
364
А Решения
2a. Допустим, что инвестор всегда покупал по 100 единиц и нас
интересует ежегодная доходность г. Тогда УВД можно записать в
следующем виде
124 + 131г1/4 + 148г1/2 4- 158г3/4 = 4 • 164г.
Из него получаем, что i = 0,2932.
26. Если же инвестор всегда покупал единиц на сумму 100, то УВД
имеет вид
.ЛП..(4) ,.../ 100 100 100 100
400s-,. — 1,64 I .......-J" " " 4* 4*
11* ’ \1,24 1,31 1,48 1,58
т.е. Sy*) = 1,1801. Это дает i = 0,2979.
За. Действуя по аналогии, получаем 1214-92г1/44-ЮЗг1/24-131г3/4 =
4•155г. Откуда i = 0,6731.
36. В этом случае г = 0,7088, поскольку s^ = 1,4135 :
.ЛЛ..(4) , гг ( ЮО 100 100 100
°Si| “ ’ (1,21 + 0,92 + 1,03 + 1,31
Замечание. Инвесторская доходность лишь в очень слабой степени
зависит от того, покупается ли просто определенное число единиц
или единицы на определенную сумму денег, причем в любом фонде.
У фонда акций ниже ВДСВ, но зато намного выше ВД: это является
следствием того, что цены на акции обычно отличаются большей
изменчивостью, чем цены на собственность и, кроме того, в конце
периода эта цена оказалась относительно высокой •
8. 1а. В силу (6.10) ВДСВ равна (352/186)1/6 - 1 = 0,1122.
16. Пусть Uk - цена единицы в конце к года, начиная с 1 апреля
1989. Тогда ВД может быть найдена из уравнения 200 UkVk =
1200u6v6, т.е. 186 + 211 v + 255г2 + 249г3 + 288г4 + 318г5 = 2112г6.
Это дает i = 0,1060.
1в. Здесь УВД имеет следующий вид 500s’t = 500ueSo(Mufc)> т-е-
st — 8,6839. Откуда г = 0,1067.
26. С учетом изменения цен УВД имеет вид
5
200^2(1,02uk)vk = 1200 • 0,98и6г6,
к=0
т.е. 190 + 215г + 260г2 4- 254г3 4- 294г4 4- 324г5 = 2070г6. Это дает
i = 0,0933.
2в. Изменение цен приводит к УВД st = 0,98ив13о(1/1’ ^uk) или
st = 8,3434. Но это означает, что i = 0,0950.
365
Глава VII
1. Имеем третий вариант выполнения обязательств по ссуде и
D = 0,06, R = 1,2, k = 2, tx = 0,3(0,4), д = 0,05, ЧЕД i =
0,07. При этом погашаемые номиналы определены так, что с одной
стороны N = 221 М = 75, а с другой - NiR = Ci = 15 + Z, I > 1
(здесь и ниже 1000=1). Поэтому величина п находится из равенства
С — 22i С/ = 75 • 1,2 = 90 без проблем: п = 5.
Положим Ki = (15 + Z)v/. Тогда независимо от варианта налогооб-
ложения
5
К = £2 К1 = 154|’°7 + (/а)б|0.07 =15-4,1002 + 11,7469 = 73,25
1
и потому, используя формулу Макэхама, получаем (С — К = 16,75):
1) ti = 30% : А = К -ь ^5у(С - Л') = 81,77 = 75Р, Р = 109,03%.
2) h = 40% : А = К + ^у(С - К) = 80,55 = 75Р, Р = 107,40%.
2. Будем измерять время в годах с момента выпуска. Тогда инвестор
покупает заем в момент 1/2. Следовательно, если погашение про-
исходит в момент п(1 < п < 5) , то искомая ВД i удовлетворяет
уравнению
102 = (1 + г)1/2(10аЬ + Ю0ип) = А(п, г). (1)
С одной стороны, минимальное значение можно выбрать из реше-
ний указанного уравнения при всех пяти различных значениях п
(см. таблицу).
п 1 2 3 4 5
г 0,1630 0,1220 0,1138 0,1103 0,1084
Как видим, эта ставка действительно достигается при максималь-
ном п и равна г = 0,1084. Но, с другой стороны, это и нетрудно
доказать. В самом деле, для стоимости А(п, г) имеет место следу-
ющее рекуррентное соотношение
А(п + 1, г) = А(п, г) + 10ип+1^2(1 - 10г), п > 1.
Из него следует, что функция А(п, г) монотонно убывает при лю-
бом фиксированном г, если г > 0,1. Но полученное уравнение (1)
можно переписать в виде Р = 102V1/2 = Юа^ + 100vn, из кото-
рого ясно, что г > 0,1, если Р < 100. Остается заметить, что
102г?1/2 < 100, если г > 0,0404.
366
А Решения
Добавим к сказанному следующее. В рассматриваемой ситуации це-
на покупки больше цены погашения. Но несмотря на это, макси-
мальная ВД достигается при самом раннем погашении. Причина
этого в том, что в момент покупки остается мало времени до пер-
вой выплаты процентов.
3. Имеем второй вариант обязательств по ссуде, в котором
D = 0,09, R = 1,2, = 0,2, к = 2, N = 100, щ = 5,5, п2 = 10,
ff(l-ti) = 2^^ = 0,06.
1) ЧЕД i = 0,05. В этом случае 0,06 > 0,05 > 0,05^ — 0,0494.
Поэтому а > 1 и, следовательно, искомая цена
а = А(п1; 0,05) = 120vo’o5 + (120 - 120ио5’о55) =
120 • 0,765 + о^(120 - 91,8) = 91,8 + 34,25 = 126,067
2) ЧЕД i = 0,07. В этом случае 0,06 < 0,07<2> = 0,0688 < 0,07.
Поэтому а < 1 и, следовательно, искомая цена
а = Л(п2;0,07) = 120и*°7 + ^(120 - 120v$7) = 112,44.
Далее, если вопрос о доходности рассматривается 1 января 2000,
то интервал возможных погашений сужается до 6, 5 < п < 10 (бли-
жайшая выплата процентов 1 апреля, а это момент 6,5). Таким обра-
зом, по лемме 3.1 и в силу (3.5)
1) искомая ВД i определяется из уравнения а = А(5,5;0,05) =
A(10;i), поскольку а > 120. Решая его, получаем, что i = 0,056.
2) На этот раз максимальная доходность возникает при ближайшем
погашении 1 апреля 2000. Поэтому i определяется из уравнения
а = А(10; 0, 07) = А(6, 5; г). Откуда находим, что г = 0, 067.
4. 1) Номинал ссуды, оставшейся непогашенной на 15 апреля 1915 г.,
равен 130 (пусть 1 000 000=1). Поэтому ПЗ К всех оставшихся на
этот день погашений есть
К = + 3v10aT~i + 4v23az. + 5и30аы + 6v35a~. = 62, 717.
10| 1OI 'I о| о|
Ну а ПЗ всех оставшихся выплат по формуле Макэхама есть
/< + °’03<л,(130 - /<) = 121,14
0,035<4)
и потому искомая стоимость 1 номинала равна
0,9318 = 121,14/130.
2) ВД i при погашении через п лет удовлетворяет уравнению
93,18 = За^ + 100vn.
367
Поскольку цена покупки меньше цены погашения, то ВД уменьша-
ется с увеличением срока погашения. Поэтому нам нужно найти
такое п , чтобы при нем ВД была больше 5%, а для погашения че-
рез п+ 1 лет - меньше. Но если г = 0,05 , то наше уравнение можно
записать в виде
3(1 -vn)
или
п 93,18 • 0,05<4> — 3 п
и0 05 =-----------=------= 0. 8246.
0,05 100 • 0, 05<4> - 3
Соответственно, легко видеть, что Vq05 > 0,8246 > и4 и, значит,
ВД не меньше 5% только если погашение пройдет в течение трех
лет (точнее говоря, с 1916 по 1918 г. включительно). Таким образом,
искомая вероятность равна (2 + 2 + 2)/130 = 0, 04654.
5. Возьмем за начало координат 31 июля 1986 г. и предположим, что
мы имеем дело с частью займа номинала 500. Тогда ясно, что
С = 525, Аг = 2, д = 0,1/1,05, а
погашение
---1—•----------------------1-------1-----1------1------h-
42 0 ••• 30 31 32 33 34
приведенная диаграмма дает наглядное представление о нашей си-
туации.
Найдем по формуле Макэхама ПЗ А по ставке 9% всех выплат на
момент 0. И начнем с ПЗ всех погашений:
К = 105(4® - = 33, 548,
А = '< + = 352'45'
Теперь искомая цена легко определяется:
1) 352,45г?о2оэ365 = 348,975, или 69,79%;
2) [352,45 +(0,6- 25)]vo o/9365 = 363,826, или 72,77%.
6. Сначала определимся с числом т погашений, выбирая за едини-
цу 1000 и предполагая, что сумма погашения момента I + 4 равна
величине 44 + 6/, I = 1, 2,...,т. Имеем
44m + 6 / = 44m + 3m(m + 1) = 880.
i
Откуда т — 11 и, следовательно, срок займа п = 15 лет.
368
А Решения
Используем далее формулу (4.1)
„ „ 0,055 -0,625,... Л „880-831,6 т, ....
А = к+ ;рГ~(88° - К) - О, 3 880 К =/(.),
в которой А - цена покупки и К' - ПЗ всех погашений:
4 = 831,6 = 0,945-880, К = 44(а^ - а^) + 6и4(/а)ТТ|.
Выберем в качестве начального приближения величину
i = (0,055 • 0,625) + (1°° ~ ^4’151)0’- = 3,8%.
У4, о * 11
Исходя из нее, ищем вилку: /(0,04) = 830,969, /(0,035) = 867,387.
Ну а поскольку С = 880 • 0,945 = 831,6, то ясно, что она найдена
и, кроме того, что i = 0,040 с точностью до 0,1%.
7. 1. Пусть Pi - цена единицы из суммы погашения при покупке.
Тогда Pi(l + г)п = 1 — t(l — Pi) и потому
1 -
(1 + г)” -
2. Пусть Pi~ цена единицы из суммы погашения при продаже.
Тогда Pi(l + i)m = Р2 - t{Pi — Pi). И, следовательно,
Р2 = Л
(1 + 0т-<
1 -1
(l + i)m-t
(l + i)n —£
3. Пусть Рз - цена, полученная А при продаже. Тогда, используя 1)
с п — т вместо п, получаем Рз = (1 - £)/[(! 4- i)n~m - t]. Поэтому
искомое уравнение имеет вид
t (l-£)[(l + z)n-t]
[(1 + г)п-ш - t]
Подставляя в него заданные значения, получаем j = 8,26%.
8. Пусть БП равен полу году и, следовательно, искомая доходность i =
i2- Тогда она удовлетворяет следующему уравнению погашения для
ЦБ номинала 100
35,125= 1,75(1 + г)1-7Л
поскольку первые проценты будут получены 1 декабря 1994 г., а
интервал времени от момента покупки до них составляет долю
t = 109/183 в течение полугода от 1 июня 1994 г. до 1 декабря
1994 г. Решая это уравнение, получаем, что i = 0,05083, а соответ-
ствующая ежегодная доходность равна (1 + г)2 - 1 = 0,1042.
369
9. Возьмем за БП год и пусть т означает число проведенных тира-
жей. Тогда для него имеют место равенства (100=1)
N = 2^(900 + 100 • I) = 16 500 = 900тп + 50m(m + 1).
1
Поэтому т = 11 и тиражи происходят в моменты 5, 6, • • •, 15.
1) У нас R = 1,1, д = 0,055/1,1 = 0,05, к = 2, С = NR =
1 815 000, i = 4%. Соответственно ПЗ всех погашений
и
К = £(900 + 100 • Z) 110v4$ =
1
= (900 • 110) (ai5| - а5|) + И 000v4(7a)H| = 1 203 393.
И, следовательно, профсоюз должен заплатить цену
К' + 0,05-0,75 815 000 _ = х 782 449, т е 108 03%
0,04^
2) Поскольку заплаченная цена (107) меньше 110, то доходность
уменьшается с ростом срока п до погашения, а ЧЕД i при таком
сроке удовлетворяет УВД
107 = 0,7 • 5,5a^J + 110vn = Д(г) + [110 - /3(i)]v?, (1)
где /?(г) = 0,7-5,5/г(2\ Но при г = 0,04 из (1) вытекает, что Vq04 =
0,7656 и ясно, что Vq04 > 0,7656 > Vq>04. Поэтому г > 0,04 только
для п < 6 и, следовательно, только для первых двух погашений.
Поэтому искомая вероятность равна 2100/16 500 = 7/55 = 0,1273.
10. Обозначим искомую цену погашения 100 единиц номинала в момент
21 через Ri = 100+х•/, I = 1, 2, 3, 4, и воспользуемся первым мето-
дом из п.5.1. Иными словами, сначала, чтобы использовать формулу
Макэхама, оценим стоимость вспомогательного займа с постоян-
ным погашением по номиналу и ПН, равным 50% «всю дорогу», а
затем проведем коррекцию полученной оценки.
ПЗ всех погашений вспомогательного займа
К = 2000(v2 + V4 + V6 + Vo о?) = 2OOOa°;°7407 = 5769,37.
Соответственно стоимость займа на момент покупки есть
а' + Т5Ж(8000"/<) = 74031911
370
А Решения
Но ПЗ «лишнего» ПН за первые 5 лет составит величину
8044 ’ + 60и244) + 40и444) = 20(44) + 44) + 2<£’ ) = 274,85,
Z| Z| 1 I Ч| €>|U,U«
а ПЗ премий при погашении составит величину
20rr(v2 4- 2t>4 + 3v6 + 4v£07) = 134,526т.
Таким образом, приходим к уравнению
7403, 91 + 274, 85 + 134, 526ж = 7880, 55,
решая которое находим, что х = 1,5. А это означает, что искомые
цены Ri равны, соответственно, 101,5, 103, 104,5 и 106%.
11. 1) Прежде всего заметим, что общий номинал займа равен
N = 15 + 20 + • • • + 85 = 750, если принять 1000 за единицу. Со-
ответственно С — 750, а ПЗ всех погашений К = 10(а^* “ ^j1) +
5и5(/а)р7| = 195,498. Отсюда искомая цена
д = /< + 0.07(1 -0,33) 05.
0, 1(2)
2) Возьмем за начало координат 31 декабря 1984 г., приравняем
этот день 1 января 1985 г. для простоты и найдем г из условия
равенства на этот момент
а) ПЗ всех премий погашения (за вычетом НДС, уплаченного В) и
б) ПЗ всех чистых процентов, которых В лишился.
Ясно, что так можно действовать потому, что все изменения ДП,
связанные с новым законодательством, касаются периода именно с
1 января 1985 г. и до конца жизни займа - периода, включающего в
себя 10 последних погашений, первое из которых падает на 1 января
1986 г.
Обозначим номиналы этих погашений через I = 1, 2, •, 10,
а цену единицы номинала при покупке через р = А/N. Ясно, что
Ni = 35 + 5Z, а р = 461,905/750 = 0,615873. Предположим далее,
что покупная цена I- го слоя определяется, как и ранее в п.4.1,
пропорционально начальным погашениям Ni и равна Nip (а не
7V/(1 + г)р). Тогда НДС по I-му слою берется с суммы ЛГ/(1 + г-р),
а чистая премия погашения составляет величину
Nir - 0,1М(1 + г - р) = 7V/[0,9г - 0,1(1 - р)].
Но v‘Ni = 40v + 45v2 + • • • + 85v10 = Збо^ + 5(/а)И| = 360,241.
И пусть она равна L. Тогда первое ПЗ можно записать в виде
ю
^и'М[0,9г-0,1(1 -р)] = [0,9г-0,1(1 -p)]L.
1
371
Что же касается ПЗ чистых процентов, то его удобно рассчитывать
по формуле (1 -ti)I = а(С-К] (см., например, замеч. 3.1). Поэто-
му ПЗ всех чистых процентов, которых В лишился (т.е. разницу
«прошлого и настоящего»), можно записать в виде
(С - /<)
"0,07(1 — 0,33) — 0,05(1 - 0,5)
о, 1(2)
= 59,397;
здесь С — 40 + 45 + ... + 85 = 625 - номинал займа, оставшегося
непогашенным на момент 0, а К = L = 360, 241 - ПЗ оставшихся на
этот же момент погашений. Таким образом, возникает уравнение
[0,9г - 0,1(1 - p)]L = (0,9г - 0,038413)Т = 59,397,
из которого получаем, что г = 0,2259.
12. 1. Предположим для определенности, что ЦБ номинала 100 закупле-
на по цене А в момент выпуска и в качестве единицы времени вы-
бран БП оплаты процентов, т.е. полгода. Тогда для обеих ЦБ ДП
а имеет следующий вид, а п = 40 или 60 в зависимости от ЦБ:
с^о — bto — A, ciil — 1,5, I — 1, 2, • • •, п 1, dfn — 101,5.
И если в этой ситуации для определения искомой цены использо-
вать правое уравнение (6.1), в котором величины btl определяются
по формуле (6.2), то получается, что нам прежде всего нужно опре-
делиться с величинами Q, R, ti и т из (6.1), (6.2).
Пусть Q(t) из (6.1) означает ИСЖ. Эта функция в момент 0 обыч-
но неизвестна, тем более неизвестны все ее последующие значения.
Кроме того, для решения уравнения (6.1) она может быть опреде-
лена лишь с точностью до постоянной. Поэтому, не задумываясь о
значении Q(0), хотя и выбирая момент выпуска, 7 апреля 1986 г.,
за момент 0, мы можем, помня о выбранной единице времени, поло-
жить ti = Z, I = 0, 1, • • •, п, и считать, что
Q(t,) = Q(/) = Q(0)(l + /l)'/2, l>0, (1)
где h- ежегодная интенсивность ее роста по предположению.
В отличие от ситуации с Q , величины btl обычно четко определя-
ются для первых двух значений. У нас bto - это цена покупки, a btl
известна за счет восьмимесячного смещения у индекса R. Точнее
говоря, если мы будем считать аргументами функций R и Q из
(6.2), (6.4) месяцы, введем равенство R(k) = Q(k — 8), присвоим
13—1221
372
А Решения
апрелю 1986 г. номер т = 0 и предположим, что R растет так же
как и Q , т.е. 7?(6/) = Я(6)(1 + h)(/-1)/2, I > 1, то получим
Д(6/) = + = Q(-2) = 192,10
Я(0) Q(-8) ’ " ’ 71 Q(-8) 187,52’ 1 ’
поскольку август 1985 г. получит номер -8, а февраль 1986 г. -2.
Итак, допуская разные аргументы у функции Q в (1) и (2), мы
можем записать уравнение (6.1) в виде
А _ 3 y^Q(-2)(l + /i)('"1)/2 v‘
Q(0)"2^ Q(-8) Q(0)(l + /l)'/2 +
Q(-2)(l + fe)("-D/2
Q(-8) Q(0)(l +/i)n/2 ’
O(-2) 3
(1 + ^./4(-8)(2°Ч' + 10<)"’‘1-
(3)
Отсюда сразу вытекает, что при заданной ежегодной доходности
г(2) = 3%, т.е. при г = 0,015, для искомой цены А при любом п
должно выполняться равенство
Л _ 100
(1 +Л)^<?(-8) °0'
Но по условию эта доходность достигается при интенсивности ро-
ста h = 0,06. Поэтому отсюда следует, что цена обеих ЦБ в этом
случае равна
192,10-100
-----Лч------= 99, 50.
1, Об1/2 - 187,52
2. Перепишем уравнение (3) в виде
3 п 99,5(1+ /г)1/2187,52
2“”|г + 10°V =--------192..0------ (4)
и заметим, что правая часть (4) равна 100 при h = 0,06 и, соот-
ветственно, больше 100 при h > 0,06 (меньше - при h < 0,06 ) при
любом п. Поэтому ясно, что при h < 0,06 доходность у обеих ЦБ
должна быть несколько выше 1,5%, а при h > 0,06 - ниже. ;
Но проверка показывает, что если h = 0,04, то значения i для
п = 40 или п = 60 равны 1,5319 и 1,5242% соответственно. Иными
словами, в этом случае 20-летние акции имеют несколько большую
реальную доходность. Если же h = 0,08, то значения i для п = 40
или п = 60 равны 1,4688 и 1,4763% соответственно. Получается,
что большую реальную доходность имеют 30-летние акции.
Приложение Б
Приближенные методы
решения уравнений
Проблема поиска решений нелинейных уравнений возникает во многих
областях математики. И финансовая математика не исключение. Более
того, возникающие в ней уравнения довольно часто записываются с по-
мощью многочлена и поэтому для их решения могут использоваться и
конкретные приближенные методы. Но в этом разделе мы расскажем о
трех наиболее известных общих методах, которые годятся, вообще гово-
ря, для произвольных уравнений, таких, например, как
х = 0 < х < 1 (р > 1); х4 — х — 1 = 0, cosx = х2.
При этом затронем весь комплекс вопросов и, в частности, проблему
выбора начального значения или приближения.
1. Общие соображения
При обсуждении эффективности каждого из этих методов, т.е. возмож-
ности быстро получить искомое решение произвольного уравнения с их
помощью, обычно используют два представления
/(х) = 0, (1.1)
х = F(x). (1-2)
И, на первый взгляд, может быть непонятно, почему, говоря о решении
одного конкретного уравнения, естественно рассматривать два предста-
вления. Но это не случайно. Дело в том, что при описании любого метода
нужно затронуть, как минимум, три проблемы, не считая упомянутой
выше проблемы начального значения. И прежде всего нужно четко оха-
рактеризовать
374
Б Приближенные методы
1) последовательность приближений корня (яп)п>о,
2) условия ее сходимости, а также определить
3) момент остановки, связанный с выбранным уровнем точности.
Так вот, представление (1.1) оказывается удобным при решении первой
проблемы, (1.2) - второй, и оба они в одинаковой степени годятся для
уточнения момента остановки.
Алгоритм, определяющий последовательность приближений (zn)n>o
обычно задается в виде рекуррентного соотношения
хп+1 = F(xn), п > 0, (1-3)
где функция F(x) из (1.2) определяется с помощью функции /(ж), ес-
ли, конечно, исходное уравнение записано в виде (1.1). И приводится он
«в движение» заданием начального значения х$ (или какого-либо друго-
го множества начальных значений). Конкретный вид алгоритма и соот-
ветствующую функцию F(z) для каждого метода мы приведем ниже, а
сейчас подчеркнем то, что является общим для всех этих методов.
Прежде всего будем предполагать, что исходное уравнение записа-
но в виде (1.1), а искомый корень лежит внутри заданного интервала
[а, Ь]. Относительно функции /(ж) предположим, что она непрерывна
на этом интервале. Тогда, как известно, итерационная последователь-
ность з?о, Xi, • • •, определяемая с помощью рекуррентного соотношения
(1.3), сходится к корню функции /(ж), если для всех х из [а, Ь]
|F'(z)| < а < 1
и в качестве xq взята любая точка отрезка [а, 6]; а - некоторое фикси-
рованное число. Доказательство этого факта можно найти в [В.А.Ильин,
Э.Г.Позняк. Основы математического анализа, ч.1, 1971]. Что же касает-
ся моментов остановки, то укажем два правила, в соответствии с кото-
рыми построение итерационной последовательности продолжается, пока
1) у xn, xn_|_i из (1.3) число совпадающих десятичных знаков не окажет-
ся равным заранее заданному числу (т.е. совпадают целые и, например,
пять десятичных знаков; иными словами, точность е = 10“5), или
2) для некоторого хп из (1.3) окажется, что при некотором е
f^n+e)f(xn - г) < 0.
Тогда в обоих случаях мы знаем, что очередное приближение хп нахо-
дится от искомой точки не далее, чем на г, и минимальное п с выше-
указанным свойством определяет число итераций, потребовавшихся для
достижения заданной точности, а соответствующее ему г и есть точ-
ность определения корня.
2 Известные методы
375
2. Известные методы
Теперь обратимся к трем наиболее известным общим методам прибли-
женного решения уравнений вида (1.1). Причем в каждом из них не толь-
ко укажем рекуррентные соотношения типа (1.3), которые как бы упра-
вляют процессом поиска решения, объясним, откуда они появились, но и
выскажем краткое мнение о полезности данных методов. В связи с этим
еще раз напомним, что функция /(ж) из (1.1) непрерывна на отрезке
[а, Ь] и принимает значения разных знаков на его концах. Точнее гово-
ря. пусть для определенности
/(а) < 0, /(6) > 0.
2.1. Метод «вилки»
Назовем для краткости «вилкой» любой сегмент, на концах которого
функция f(x) имеет значения разных знаков, и выберем в качестве на-
чального приближения середину отрезка [а, Ь], т.е. положим
х0 = (а + Ь)/2.
(2-1)
В результате будем иметь одно из двух:
1) значение функции f в точке xq равно 0 и тогда корень найден;
2) указанное значение отлично от нуля. В этом случае одна из половин
сегмента [а, Ь] является вилкой. Ее мы обозначим [ах, &i] и положим
*1 = + 61)-
(2.2)
Продолжая далее по аналогии, будем иметь две возможности: либо
1) начатый выше процесс построения последовательности х/ приближе-
ний корня оборвется, если значение функции f в середине какой-то вил-
ки окажется равным нулю (и тогда искомый корень найден), либо
2) описанный процесс можно продолжать неограниченно и тогда мы по-
лучаем стягивающуюся систему сегментов-вилок [ап, Ьп] со свойством
f(an) < 0, f(bn) > 0 и полагаем
жп — ~(ап 4“ ^п), п > 0. (2.3а)
Конечно, при этом ясно, что если процесс и обрывается, то значение
корня совпадает с одним из хп в (2.3а).
Несмотря на прозрачность итерационного процесса (2.3а), для персо-
нального компьютера все же «будет лучше», если мы преобразуем форму
его записи в рекуррентную, типа (1.3). Сделать это совсем нетрудно. Од-
нако все же на этот раз вместо соотношения (1.3) имеет место несколько
376
Б Приближенные методы
отличающееся соотношение
Хп+1 = xn + (b-a)2~^+2\lXn(f(xn) < 0) - ZIn(/(xn) > 0)], п > 0. (2.36)
Точнее говоря, справедливо рекуррентное соотношение
#п+1 ~ -fn(^n)) 72 > 0, (1.3d)
в котором (1Х(А) = 1, х € А, 1Х(А) = 0, х £ А)
Fn(x) = х + (b - a)2-(n+2)[/x(/(z) < 0) - Ix(f(x) > 0)]. (2.4)
Почему? Дело здесь в том, что соотношение (2.36) утверждает лишь, что
при любом п > 0 1) шаг алгоритма |xn+i — хп| = (Ь - а)~(п+2) при
условии (2.1) и 2) он делается «влево», если f(xn) > 0. Но это становится
ясно даже при рассмотрении перехода от xq к х\ .
Основное преимущество метода вилки состоит в том, что он похож
на бульдога: если уж ухватился за искомое решение, т.е. если интервал
[а, Ь] содержит эту точку, то не упустит. В других методах возможны
«выскакивания» из интервала [а, Ь] даже при нахождении итерационной
последовательности в какой-то момент совсем рядом с корнем. Однако
необходимо отметить, что у метода вилки невысокая скорость сходимо-
сти и потому чаще используют другие методы.
Мы рассмотрим ниже два из них, которые, как правило, дают вполне
удовлетворительную скорость сходимости практически во всех случаях.
2.2. Метод хорд
К числу широко распространенных приближенных методов решения
уравнения (1.1) относится и метод хорд, или секущих. Приведем следую-
щие два его варианта.
Рис. 2.1. Метод хорд
2 Известные методы
377
1. Одно стартовое значение. Из окрестности искомого решения
(т.е. из интервала [а, Ь]) произвольно выбирается одна начальная точка
xq и затем последовательно определяются все последующие. Допустим,
что известно значение хп (читатель может предположить, что п = 0).
Тогда яп+1 определяется (см. рис. 2.1) как точка пересечения с осью х
прямой, проходящей через точки (хп, /(хп)) и (6, /(6)) . Уравнение этой
прямой на плоскости (ж, у) можно записать в виде
У - fM _ f(b) - f(xn)
х х yi b x yi
и потому для абсциссы точки пересечения имеем выражение
b__%
Хп+1 = ХП - (2-5)
Но это и означает, что в рассматриваемом случае мы имеем уравнение
вида (1.3), в котором
х — Ь
= <2'6’
2. Два стартовых значения. На этот раз произвольно выбираем
два числа хо, хр Затем по ним определяем Х2 , по х% строим х$...
и т.д. Как именно?
Допустим, что мы уже построили приближенные значения до хп
включительно. Тогда следующее значение xn+i получается как точка
пересечения с осью х прямой, проходящей через точки (zn-i, /(xn-i))
и (xm f(xn)) (рис. 2.1; при этом читатель опять может считать, на-
пример, что п = 1). Уравнение этой прямой на плоскости (х, у) имеет
вид
У ~ /(^п-1) __ f(xn) ~ f(xn-l)
х ~~ хп—1 хп ~~ хп— 1
И потому для получения абсциссы искомой точки пересечения (xn+i, 0)
требуется лишь учесть, что в нем х = xn+i при у = 0 :
__ хп-1/(хп) ~~ xnf(xn—l)
In+1 “ ’
= ^-/ы ,Л~_Хг7г' v <2-7’
f\xn) f\xn-l)
Отметим, что второе представление позволяет сказать, что (2.7) - это
частный случай рекуррентного соотношения (1.3а), в котором
Fn(x) = х - V (2-8)
/(х) - /(хп_1)
378
Б Приближенные методы
2.3. Метод касательных
Этот метод является одним из самых эффективных приближенных ме-
тодов вычисления корней уравнения (1.1). У нас его также называют
метод Ньютона, а в англоязычных странах Newton-Raphson method. Он
дает более высокую скорость сходимости, чем указанные выше методы,
но требует умения вычислять значения ff(x).
Рис. 2.2. Метод касательных
В этом случае для получения итерационной последовательности до-
статочно выбрать произвольную начальную точку хо из интервала
[а, Ь]. Допустим, что уже определены значения до хп включительно.
Тогда следующее значение хп+1 определяется как точка пересечения ка-
сательной к кривой у = f(x) в точке хп с осью абсцисс (см. рис.2.2).
Уравнение этой касательной имеет вид у — f(xn) = f'(xn)(x — хп). По-
этому для искомого значения получаем выражение
*п+1 = Хп - 7^4, п > 0. (2.9)
J (хп)
Иными словами, на этот раз соотношение (1.3) выполняется с функцией
ж = (2.10)
Замечание 2.1. В отличие от метода вилки, правило пропорциональ-
ных частей (метод хорд) или правило Ньютона (метод касательных),
вообще говоря, нуждаются в условиях, обеспечивающих как единствен-
ность корня в интервале [а, 6], так и сходимость к нему соответствую-
щей процедуры. Скажем, для единственности корня достаточны условия
f(a)f(b) < 0, f'(x) / 0 при а < х < Ь. А сходимость алгоритма (2.9)
обеспечивают каждое из условий: 1) f'(x) монотонна и сохраняет знак
в [а, 6] или 2) /'(х) / 0, |/"(х)| < L, а < х < Ь.
3 Начальное приближение
379
3. Начальное приближение
Проблема выбора начального приближения обычно легко разрешается,
если требования к нему невелики, в основном потому, что, как прави-
ло, имеет место какая-то дополнительная информация. Однако от пра-
вильности или оптимальности выбора начального значения часто все же
сильно зависят количество итераций и даже сама возможность «выйти»
на решение. В связи с этим здесь немало интересных аспектов.
В последнее время, однако, из-за возрастающей мощи компьютеров
роль всего этого арсенала уменьшается. Поэтому здесь мы ограничимся
рассмотрением лишь двух общих моментов этой проблемы - линейной
интерполяции и так называемого метода проб и ошибок, - а также по-
говорим о новом понятии СД, введенном в гл. VI.
3.1. Линейная интерполяция
Под этими словами обычно понимают возможность ускорить получение
ответа за счет некоторой потери точности. А возникает такой соблазн
довольно часто в ситуации, когда требуется определить какую-то неиз-
вестную величину, например, значение функции /(г) в точке г. При
этом существуют различные формы проведения этой операции, как по-
казывают примеры и упражнения книги. Однако здесь мы затронем эту
сторону лишь в малой степени, поскольку желаем обратить внимание
читателя прежде всего на суть дела.
Основной вариант
Предположим, что значения функции /(ж) известны в точках Xi и х2 ,
а нужно получить ее значение в некоторой другой точке z, х\ < z < х2
(рис. 1). Тогда определяют величину а из представления
z = axi + (1 — а)х2 и полагают
/(z)=a/(z1) + (l-a)/(x2). (3.1)
Этот процесс и называется линейной интерполяцией (ЛИ), поскольку
фактически он соответствует замене дуги кривой у = f(x) на плос-
кости (х, у) между точками (o?i, /(^i)) и (х2, /(ж2)) этой плоскости
на соединяющий их отрезок прямой.
Допустим далее, что нам нужно определить значение функции
при i = 5,72%, а в таблице она представлена лишь для значений i =
5,70%, i = 5,75% . В этом случае, очевидно, можем записать соотношение
5,72 = а5,70 + (1 - а)5,75 или 5а = 3. Таким образом, а = 0,6 и потому
<4 °572 = 0,бЛ°57 + 0,4<£?575 = 0, 6 • 11,7546 + 0,4 • 11,7064 = И, 735.
ZU| ZU| ZU|
380
Б Приближенные методы
Рис. 3.1. Линейная интерполяция. Основной вариант
Уточнения основного варианта
1. Прежде всего заметим, что указанные представления для точки z и
значения /(z) имеют еще по две эквивалентные формы
z = + (1 - а)(ж2 - xi) = х2 - а(ж2 - xj, (3.2)
/(*) = /(*1) + (1 - а)[/(х2) - /(ц)] = /(х2) - а[/(х2) - /(Xi)], (3.3)
использованию которых нередко отдается предпочтение. Кстати, роль
величины а в них, по-видимому, становится более понятной: это доля,
которую отрезок [z, #2] составляет во всем отрезке [xi, Ж2].
2. Продолжая рассмотренный выше пример, допустим, что мы не
можем извлечь из имеющейся финансовой таблицы значение а^?575 =
11,7064, поскольку оно не пропечатано достаточно хорошо, испорчено
или отсутствует по какой-то другой причине. Но есть значение а|^565-
Что делать в таком случае? Иными словами, что делать, если величина
z лежит вне интервала [xi, #2]?
Ничего не меняется. По-прежнему следует сначала определить зна-
чение а, скажем, из представления (3.2), а затем использовать какую-
нибудь из формул (3.1) или (3.3). В самом деле, полагая xi = 0,0565, х2 =
0,0570 и считая как и ранее, что z = 0,0572, мы легко находим
а = —0,4, например, из уравнения z = х2 - 0, 0005а. Ну а далее остаётся
лишь использовать известную формулу и, скажем, получить
а^|572 = “S" + °’ 4tafe|57 - а°2&65] = П’7546 - °’4 • °>0472 = П. 7357.
XU| ZUI XUI ^Ul
3. Еще одним незначительным изменением в основном варианте мож-
но считать постановку противоположной цели в прежних условиях. Точ-
нее говоря, естественной является и задача, в которой известной величи-
ной считается значение f(z), а неизвестной - z. Иными словами, рассма-
тривается решение уравнения J(x) = L в ситуации, когда по-прежнему
известны значения f(x2), известна величина £, а в отношении
корня в предполагается, что Xi < в < х2 (рис. 3.1).
3 Начальное приближение
381
В данной книге этот вариант встречается весьма часто. И, конечно,
ничего существенно нового в нем не появляется. По-прежнему следует
сначала найти величину а. Только теперь для этого придется использо-
вать какое-либо из уравнений (3.1) или (3.3). Ну а затем уже сам корень 9
(точнее - его оценка г) определяется с помощью одной из формул (3.2).
4) Ответ, полученный с помощью ЛИ, можно корректировать, если
представлять степень и знак выпуклости рассматривемой функции. В
данной книге в роли /(ж) довольно часто выступают сечения величины
а„\г , т.е. функции параметра i при фиксированном п, или наоборот.
Поэтому может оказаться полезной информация из п.III.5.3.
Линейная интерполяция другого типа
Но встречаются и случаи ЛИ, которые заметно отличаются от изложен-
ного выше основного варианта и его уточнений. Мы не будем здесь вда-
ваться в детали. Просто рассмотрим ситуацию конкретного примера,
которую предоставляет упр. IV.4.
Рис. 3.2. Линейная интерполяция другого типа
В этом случае речь идет о решении уравнения вида (рис. 3.2)
g(x) = h(x).
(3.4)
И в нем для определенности будем считать, что в окрестности [xi, £2]
искомого корня 9 одна из функций, ff(x), монотонно убывает, а другая
наоборот возрастает. Кроме того, как и ранее считаем, что известны
значения наших функций в точках a?i, х2. И пусть д(9) = h(9) = L.
Нетрудно видеть, что тогда использование ЛИ позволяет получить
приближение z для 9 следующим образом. Сначала, скажем из предста-
вления yz - д(х1)-/3[д(х1)-д(х2)] = h(xi)+(3[h(x2)-Л(^1)], определяется
(3. Ну а затем сама величина z находится из равенств (3.2), в которых
13 = 1-о. Нетрудно видеть, что в этом случае шансы получить z равным
или близким к 9 весьма велики, даже если разница yz - L «заметна».
382
Б Приближенные методы
3.2. Метод проб и ошибок. Средняя доходность
Поиск начального приближения часто начинается с поиска вилки (см.
ПБ.2.1). Иногда в этом процессе может оказаться полезной и априор-
ная информация, например, знание верхней и нижней оценки для иско-
мого решения. Именно так была определена вилка в прим. VII.1.1. Но при
полном отсутствии такой информации для определения начального при-
ближения приходится использовать даже интуицию, и, вообще говоря,
просто выбирать точки наудачу. Отсюда и название метода.
Чтобы определить вилку, чаще всего нужно сначала определить, так
сказать, «грубое» приближение к искомому корню 0, а уже затем угады-
вать другой конец вилки методом проб и ошибок. Представляется, что
поэтому имеет смысл немного уточнить определение и подвести здесь
кратко предварительные итоги использования нового метода получения
такого грубого приближения к решению УВД, предложенного в п.VI.2.1
и названного там средней доходностью (СД). В то же время понятно, что
по нескольким примерам его использования в примерах и упражнениях
гл. VI трудно судить по-настоящему о его эффективности.
Прежде всего отметим, что помимо основного варианта, использу-
ющего переход ко вспомогательному двухэлементному ДП и формулу
(VI.2.1а), естественно возникает и другой: вариант выхода на близкий
трехэлементный ДП, который позволяет записать, скажем, некоторое
квадратное уравнение. Именно так предлагается действовать при анали-
зе ситуации в обоих вариантах упр. VI.2 и во втором варианте упр. VI.1.
Здесь интересным является то, что высокая точность оценки СД (при-
мерно 5% от величины искомого корня) как бы не «замечает» крайней
нерегулярности рассматриваемых ДП, а, следовательно, и «неприятно-
сти» исходных уравнений. Таким образом, обобщая, можно сказать, что
метод предлагает проводить некоторое выгодное упрощение ДП, т.е. та-
кое упрощение, которому соответствует легко решаемое УВД.
Напрашивается и еще один вывод по использованию основного вари-
анта. Если в исходном ДП отрицательная часть лежит слева от некоторо-
го момента времени, а положительная - справа, то метод дает высокую
эффективность, которая тем выше, чем больше основание вспомогатель-
ного ДП (величина т). Об этом говорит, скажем, ситуация прим. VI.1.1.
Но даже если отрицательные элементы ДП и разбросаны по краям, как
в прим. VI.3.1, то выход из этого самого невыгодного положения есть.
Конечно, в этом случае получаемая эффективность ниже (в прим. VI.3.1
СД равна 0,1685 вместо г’о = 0,152). Однако даже здесь легко прове-
рить, что небольшая коррекция т выводит на точный ответ и остается
лишь научиться проводить коррекцию. Например так, как в ситуации 2в)
упр. VI.8, где увеличение т на 1/6 его величины позволяет практически
точно попасть «в точку».
Приложение В
Вспомогательная
математика
1. О единственности положительного
решения уравнения n-й степени
Введение
В этом разделе мы предлагаем доказательство теоремы 2.1 из п. VL2.3.
Проведем его двумя этапами. Сначала сформулируем и докажем основ-
ной результат, который естественно выделить как частный случай обыч-
ного алгебраического уравнения n-й степени. А затем объясним его
эквивалентность рассматриваемой теореме.
Основной результат
Рассмотрим алгебраическое уравнение тг-й степени
ао + Я]Х -|-h апхп = 0 (1)
в условиях
а0 < 0, А(п) = > 0, (2)
о
A(t) <0, 0 < t < г, где 0 < г = тах{/, 0 < I < п : ai < 0}, (3)
и покажем, что имеет место
Теорема. При любом п > 1 уравнение (1) в условиях (2-3) имеет
единственное решение xq на положительной оси, причем 0 < xq < 1.
Доказательство. Заметим прежде всего, что при п = 1 это очевидно
(кстати, в этом случае условие (3) является частью (2)). В самом деле,
из (2) вытекает, что ai > |<2о| и потому 0 < Xq = |ao|/«i < 1- Очевидно
также, что
1) ап > 0 в силу (2, 3),
2) в условии (3) т < п в силу (2).
384
В Вспомогательная математика
Идея доказательства использует определенное разбиение последова-
тельности коэффициентов a = (ао, сц,---, ап) на группы и несколько
вспомогательных обозначений, связанных с этим разбиением. Кроме то-
го, с помощью некоторого соображения относительно этого разбиения
устанавливается пара свойств левой части уравнения (1). Поэтому, чтобы
сделать обоснование более прозрачным, уточнение структуры коэффици-
ентов и объяснение данного соображения, а также выписываемых ниже
свойств будем проводить в основном на конкретном примере уравнения
(1). Наконец, ниже для простоты будем считать все коэффициенты от-
личными от нуля. А уже из самого доказательства будет следовать, что
это предположение отнюдь не снижает общности рассуждений.
Начнем с коэффициентов. Поскольку крайние из них (а0, an) имеют
разные знаки, то все n + 1 коэффициентов, расположенных в порядке
возрастания индекса от 0 до п, можно разбить на некоторое число пар
групп k > 1 чисел одинакового и чередующегося знака. Точнее говоря,
сначала в последовательности а можно выделить группу отрицательных
чисел, начинающихся с ао, затем будут следовать положительные числа
... и т.д. Соответственно можно ввести последовательность целых чисел
(^)i</<2fc , например, условиями (t0 = -1, = г, t2k = n)
i2/-i = min(/ > t2i-2 : a/+i > 0), t2i = min(/ > t2/-i • a/+i < 0),
из которых вытекает, что ti имеет смысл номера последнего элемен-
та в первой группе отрицательных коэффициентов (и может совпасть с
0), t2 - номера последнего элемента в следующей группе положительных
коэффициентов и т.д.
Потребуются нам также и следующие обозначения (ниже у = х~1)
t
V = V(t) = V(t, х) = £а/х',
О
t
У) = х) = 0 < t < п;
о
Vi = V(t2l, х) - V(f2/_2, ж), 1 < I < k (V(t0, *) = 0).
Само же доказательство разобьем на две части. Сначала установим
два вспомогательных утверждения
А : V(n, х) > А(п), если х > 1,
В : V(f, х) < 0 при всех t < п, если V(n, х) = 0, 0 < х < 1,
а затем уже проведем обоснование нашей теоремы.
1 О единственности решения
385
Рис. 1. График функции A(t) для многочлена (4)
I. Оба утверждения фактически опираются на одно и то же соображе-
ние. А именно, что каждое из к слагаемых левой части V(n, х) = V/
уравнения (1) легко оценить сверху или снизу с помощью функции A(t),
пример которой изображен на рис.1. В самом деле, у каждой суммы V/
есть как отрицательные, так и положительные слагаемые. Так вот, отри-
цательные слагаемые asx* имеют степени s < t2/-i , а, у положительных
> t2i—1. Поэтому нетрудно видеть, скажем, что при х > 1 замена
степени Xs на х*21-1 одновременно уменьшает как отрицательные сла-
гаемые, так и положительные. Естественно, при х < 1 та же замена
увеличивает оба типа слагаемых. Ну а поскольку сумма коэффициентов
у всех слагаемых из V/ равна А(^/) - ^4(^2Z—2) , то имеют место следую-
щие неравенства, 1 < I < k (А(10) = 0) :
1) V, > [A(t2Z)-A(f2Z_2)]?*‘->, X > 1; 2) Vt < [A(<2Z)-A(<2Z_2)]x^-, х < 1.
Рассмотрим сначала обоснование свойства А на следующем конкрет-
ном примере:
V(ll, х) = -2-2х—х2+х3+2х4-х5—Зх6+2х7+Зх3-4х9+2х10+5хп. (4)
Прежде всего отметим, что
h = 2, t2 = 4, t3 = 6, t4 = 8, t5 = 9, t6 = 11 = n, к = 3,
V(n, x) = Vi + V2 + V3. И возьмемся за «правый бок нашего многочлена».
Иными словами, распишем сначала нужное неравенство для V3 : V3 =
V(t6)-V(t4) = -4x9+2x104-5xn > (-4+2+5)z9 = Зх9 = [A(n)~A(t4)]x‘\
и перейдем от исходного многочлена с тремя парами групп коэффи-
циентов одинакового и чередующегося знака к вспомогательному мно-
гочлену 1^(9, х) меньшей степени с двумя такими парами групп и
с теми же t/ = ti, кроме ^ = 9 = ^ + 1: V > Vi + V2 + Зя?9 =
-2 - 2х - х2 + х3 + 2х4 - х5 - Зх6 + 2х7 + Зя;8 + Зя;9 = V1 (9, я:).
386
В Вспомогательная математика
Нетрудно видеть, что новый многочлен не только удовлетворяет усло-
виям (2, 3), но и сохраняет прежнее значение суммы коэффициентов:
Ai (ni) = Д(п) = 2. Поэтому далее действуем аналогично и получаем
(t2 = 5 = i2 + i);
Ух(9, х) = Ц + У2 + Зх9 = Ц + У2\
У/ = -х5 _ Зх6 + 2х7 + Зх8 + Зх9 > (-1 - 3 + 2 + 3 + 3)х6 = 4х6 > 4х5 =
[А(п)-4(М><2+1,
У^Э, х) > У2(5, х) = У1+4х5 = -2-2х-х2 + х3 + 2х44-4х5 > 2 = А(11),
У = У(11, х) > У^Э, х) > У2(5, х) > 4(11).
Ясно, что в общем случае ничего не меняется, только вместо последней
строки получим более длинную цепочку неравенств (поскольку =
h(k-i) + 1, 1 < I < к)
v = V(t2k, х) > Vl(t2k_2 4-1, х) > • • • > Vk~x(t2 + 1, х) > А(п).
Для обоснования свойства В заметим, что функция V(t, х) похожа
на A(t) при любом х > 0, т.е. убывает и возрастает при тех же значени-
ях t. Поэтому из рис.1 видно: при условии У(п, х) = 0 и доказательстве
отрицательности значений функции У(£, х) угроза неотрицательности
может «исходить» лишь от индексов, коэффициенты с которыми положи-
тельны. И потому достаточно убедиться в отрицательности максималь-
ных значений У(£, х) для таких коэффициентов, т.е. величин У(£2/, я)
при 1 < I < п . Покажем для этого, что
V(t2l, х) < A(t2l)xh‘-', 1 < I < к. (5)
Ну а начнем с «левого бока» нашего конкретного многочлена (4), т.е. со
значения I = 1.
Ясно, что V(i2, х) = -2 - 2х - х2 + х3 4- 2ж4 < (-2 -2-14-1 + 2)х2 =
-2х2 = A(t2)xtx < A(t2)xt2. Поэтому, с одной стороны, мы доказали (5)
при I = 1, ас другой - выяснили, что можно перейти от многочлена (4) к
новому многочлену Ух(пх, ж), у которого роль o,q будет играть величина
4(i2), а остальные коэффициенты будут совпадать с исходными а/ при
I > = 4, п\ = n - t2 = 7 :
V(n, х) < A(t2)xt2 + V(n) - V(t2) =
xt2[-2 — x - 3z2 + 2z3 + 3x4 - 4x5 + 2x6 + 5a:7] = z4Vi(7, x).
Более того, ясно, что если определить х) по аналогии с V(t, х),
то можно сказать, что
V(t, х) < x4Vi(f - f2, х), при всех t > f2,
1 О единственности решения
387
а также, что новый многочлен не только удовлетворяет всем условиям
теоремы. У него по-прежнему сумма всех коэффициентов равна А(п) , и
всего k — 1 пара «секций одного знака». Используя этот многочлен, мы
легко получим, что
V(ti, я) < х4У1(£4 - ^2, = я4[-2 — х — Зх2 + 2х3 + Зх4] < — х6 =
A(t4)xt3 < А(£4)х*4.
Тем самым мы доказали свойство (5) для многочлена (4) при I = 2 и,
значит, свойство В для него. Понятно, что в общем случае мы можем
действовать далее совершенно аналогично и соответственно придем к
неравенствам (5).
П. Итак, все положительные корни нашего уравнения лежат в интер-
вале (0, 1). Это следует из А . Предположим далее, что х\ такой корень
(а хотя бы один существует в силу (2)) и докажем его единственность,
используя утверждение В и функцию W.
Заметим, что при любом у
И/(0, у) = а0, W(t, у) = yW(t - 1, у) + at, 0 < t < п.
Кроме того, свойство В можно переписать в виде
W(i, у) < 0 при всех t < п, если W(n, у) = О, у = х-1 > 1.
Поэтому, учитывая вышесказанное, получаем, что при любом
У2 > yi = = у
Иф, У2) = y2^(t-l, y2) + at < yiW(£-1, yi) + a( = W(t, yi), 0 < t < n.
А это означает, что y2 не может быть корнем уравнения W(n, у) = О,
т.е. х2 — 1/у2 < не может быть корнем уравнения V(n, х) = 0. Ины-
ми словами, левее Xi корней нет. Но в таком случае корней нет и правее,
поскольку предположение противного будет означать, что исходная ве-
личина корнем не является. Теорема доказана.
Заключение
Нетрудно видеть, что уравнение (1.1) совпадает с уравнением (VI.2.6)
при х — v. И если установлено, что для его единственного решения вы-
полняется неравенство 0 < xq < 1, то это означает, что для решения
исходного уравнения (VI.2.6) относительно i выполняются неравенства
0 < vo < 1 <=> — 1 < г'о, г'о > 0.
Но именно это и утверждает теорема 2.1 из гл. VI: корень г*о не только
является единственным в области г > — 1, но и положительным.
388
В Вспомогательная математика
2. Расчет
единичного «голого» права собственности
При использовании формул Гури приближенного решения уравнения по-
гашения требуется знать величины [/' и Р'. Ну а в силу фундаменталь-
ного соотношения (5.9) достаточно рассчитать одну из них. Поэтому
приведем (если вывод очевиден) или выведем для нескольких основных
схем погашения формулы для единичного права собственности Р', ко-
торое обычно получить проще, чем U1. Но в некоторых случаях укажем
и выражение для СТ5 * 7, получаемое по формуле
1. Погашение за один раз, в конце срока займа:
Р/ = (1 + х)-", u' = a^lx.
2. Бессрочная рента:
Р' = 0, t/'zzx’1.
3. Заем, погашаемый серией равных выплат.
а) Погашение каждый год:
1 _ кг/ _ 71 ап\*
п 1 пх
б) Погашение в конце периодов, кратных I годам, п = kl:
Р = |[(И-г)-, + (1+1:Г21+- + (1+гГи] = U’=
4. Заем с погашением по арифметической прогрессии.
Точнее говоря, погашение в условиях, когда Dk = D + (k - l)d и,
следовательно, N = n[D + (n - l)d/2], В этом случае
п d
NP1 = Da^ + d^^k - 1)(1 + х)~к = Da^x + -(а^ - пи”).
5. Заем с погашением по геометрической прогрессии.
Точнее говоря, погашение в условиях, когда Dk = .D(l + у)к~х и,
следовательно, N = DSn\y . В этом случае
•Oon|z
W + y)’
где 1 + г =
1 + х
1 + У ’
2 Расчет «голого» права
389
6. Заем, погашаемый постоянными выплатами.
Первый способ. Поскольку в рассматриваемой ситуации (см.
(IV.1.8а)) mk = vn~k+1 = тт(1 4- г)*"1, то Dk = D(1 4- i)k~l . Сле-
довательно, мы имеем случай предыдущего пункта 5, в котором
у = i, N = Ds^i = D(1 4- i)nQn\i • Таким образом, при х / i
(1 + х)п- (1 + г)п
(х - г)(1 4- х)п
1 v? - v2
pf _______I____x
an\i X — i
Если же x = i, то непосредственное вычисление дает
Р' = nDv/N = тгг/[(1 4- г)" — 1](1 4- г) = nv"+1/an|,-.
7. Заем, погашаемый постоянными выплатами.
Второй способ. Рассмотрим частный случай, когда погашение про-
изводится по номиналу и величина купона рассчитывается по номи-
нальной ставке, т.е. R = С, с = Ci. Стоимость облигации в этой
ситуации, называемую истинной стоимостью, можно записать в ви-
де (см. (V.5.7))
V = CiU' + CPf.
Но величина а постоянного погашения займа рассчитывается по
формуле a = NC/an\i. А с другой стороны, поскольку V относится
к единичным правам, то NV = аащх в силу (5.2а). Таким образом,
используя (5.9), получаем систему уравнений
iUf + Р' = V/C = а„\х/а„ц, xU' + Pf = 1,
откуда без труда находим, что
1 ап\х/an\i pt ___ Хап\х/an\i ~ i
х — i ’ х — i
8. Заем с отложенным погашением.
Если через Р" обозначить единичное голое право собственности
займа, погашаемого в том же ритме, но без задержки в d периодов,
то искомая связь очевидна:
р1 = P"(l + x)~d.
390
В Вспомогательная математика
3. Обзор математических понятий и фактов
3.1. Прогрессии
Так называются последовательности действительных чисел (o/)i</<n,
отличающиеся определенной и простой зависимостью величины а/ от
индекса I. Предположим, что в основном п < оо и пусть Sn = YU ai-
• Арифметическая прогрессия
Первый член последовательности а и ее разность d - произвольные
числа, ai = а + (/ — l)d : о, а + d, а + 2d, • • •, а + (п - l)d,
Sn = п[а + |(тг - l)d],
• Геометрическая прогрессия
Первый член последовательности а и ее знаменатель q - произ-
вольные числа, ai = а • ql~r : a, aq, aq2, •••, aqn~},
Q ~ 1 * C a 11/1
Sn = a---Soo = ---------, если \q\ < 1.
q-1 1 -q
3.2. Усреднение (относительно pi, fii > 0, /?/ = 1)
• Среднее арифметическое An последовательности произвольных
чисел (a/)i</<n :
n
An = fiiai = Z?i a i + + • • • + 0nan-
i
• Среднее геометрическое Bn последовательности положительных
чисел (a/)i<z<n :
1
Эти величины удовлетворяют неравенству
— /31^1 + /?2О2 + ’ * ’ + finaTi > af1 а22 ’ * ’ апП ~ Вп,
которое является строгим за исключением случая, когда все ai рав-
ны.
• Среднее квадратичное Сп последовательности произвольных чисел
п _______________________
^2 = + ^а2 + • • • +
1
3 Обзор математических понятий и фактов
391
3.3. Суммирование степеней целых чисел
1 2 + • • • 4- п — п(п 4" 1),
I2 4- 22 4- • • • 4- п2 = |п(п 4- 1)(2п 4-1),
I3 4- 23 4----F п3 = |п2(п 4- I)2.
В общем случае величина .$’£ — lk определяется из соотношений
= (n+ I)”1 - n - 1, m > 1 - произвольное целое (при k > 1).
3.4. Разложения Тейлора
1. Ряд Тейлора функции f в т. а рассматривается, если сходится:
ЯЛ = £ - »)' = Л“) + /'(“К1 - “) + +
2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
/(*) = ^2 П + Rn(x), где
О
f(n)(a + 0(х - а)]
Rn(x) = —(° < е < 1)
3. Разложения известных функций в ряд Тейлора:
ех - ИТ 7г = 1 + я+^т- + ---, ПРИ всех = 1 + я + :г2+ • • ,
ОО I О Ч
(-1)' = х- —4- —--------, при И < 1.
1 I Z о;
3.5. Двойное суммирование
i=i j=i
J = 1 i=3
392
В Вспомогательная математика
3.6. Бином Ньютона
1. Биномиальные коэффициенты (®) определяются при всех действи-
тельных х и положительных целых т по формуле
((х)т - 1) • • • (х - т+ 1) (х\
™ =-^Г =---------------------- (полагают, что I I = 1).
\т / ml ml \U /
2. Бином Ньютона, т.е. разложение степенной функции
(1 + хУ = Q)x' = 1 + tx + 2 1^2 ----
в ряд используется при любых t в интервале -1 < х < 1. В частном
случае, когда t = п > 0 целое, то при любых х
Ж"=ПФ'-
3.7. Центр тяжести
х в двух простейших случаях одномерной физической системы.
1. Система п материальных точек, расположенных на оси х, с ве-
сами pi и координатами х/ в некоторой системе координат:
71 • 37
X — Pl XI, 0 373 Д7П__1 Хп
1
2. Система бесконечного числа материальных точек (скажем, мед-
ный прут), расположенных на отрезке оси х с плотностью вещества
р(я), 0 < х < п :
rn tt х ~
х = I хр(х) dx. о п
Jo
3.8. Правило знаков Декарта
Число положительных корней уравнения (подсчитанное с учетом их крат-
ности)
/(х) = апхп + On-ix71”1 -|-h а,\х + а0 = О
не больше числа перемен знака в последовательности an, an-i, • • •, ао и
может отличаться от него лишь на чётное число. Если уравнение имеет
только действительные корни, то число его положительных корней равно
числу перемен знака в указанной последовательности.
4 Вывод некоторых формул
393
4. Вывод некоторых формул
4.1. Разложения в ряд
Рассмотрим лишь два выражения из n.IV.4.1:
an| _ 1 - (1 + г)~п _ _ п + 1. , (п + 1)(п + 2),2
п ni 2 6
(JV.4.2)
’.4..
Чтобы мотивировать первое из них, достаточно использовать бином
Ньютона
(1 +.)-” = f М 1 i + - "(" + 1|.)(" + 2)i3 + ....
О' '
Для обоснования второго нужно, кроме того, воспользоваться разложе-
нием в ряд (1 - я)-1 = ^22° х1- В этом случае нетрудно видеть, что
если определить х из равенства
(1 + г)-" = 1 - п • г(1 - х).
Ну а затем следует заметить, что первая степень г в (IV.4.3) справа
«происходит» из х в (1) и возникающий коэффициент, очевидно, равен
. Что же касается степени г2, то ее нужно «получить» из (х + х2) и
остается добавить, что нужный коэффициент перед г2 равен
/п + 1\2 (п+1)(п + 2) п2 - 1
V 2 ) 6 “ 12
4.2. Приближенные формулы
Установим сначала равенство, определяющее начальное приближение
1 - [-12
го = (ZV.4.9)
К
в процессе решения уравнения = к. Запишем это уравнение несколь-
ко иначе и воспользуемся неравенством между средним геометрическим
и средним арифметическим. Тогда получим, что
k an| v + V2 + • • • + vn -Д- ; 1/п П±1
- = --L = -------------- > [I V 1 ' = V 2 .
п п п
1
394
В Вспомогательная математика
Ясно, что скорее всего мы сблизим обе части последнего неравенства,
если увеличим его правую часть заменой n + 1 —> п. Таким образом
получим приближенные равенства
- = vn/2 ttvn = [-]2,
п п
и для получения нужной формулы останется использовать выражение
Эта же идея может быть использована и в других ситуациях. Так, при
желании получить приближенное выражение для левой части (ZV.4.3) мы
можем записать
n rv + v2 + • • • + vn, I _n±l
--- = [---------------] < V 2 =>
a~i
nl
п
ИЛИ х.
где можно выбрать m =
Отметим и еще одну хорошо зарекомендовавшую себя формулу
. __ 2(п - k)
г° k(n - 1) ’
как начальное приближение для уравнения = k. Она является анало-
гом формул (IV.4.8), но объясняется с помощью первых трех слагаемых
правой части равенства (IV.4.3), а не двух. В самом деле, она возникает,
например, если исходить из равенства (действуя по аналогии с устано-
влением (IV.4.8))
и предположить, что (п2 - 1)г = 12.
4.3. Интерполяционная формула (IV.4.7)
Чтобы представить уравнение а-| = k в виде /(г) = 0, очевидно, доста-
точно положить
С другой стороны, в силу (2.9) из ПБ.2.3 для решения уравнения (1.1) по
методу Ньютона имеем рекуррентное соотношение
4 Вывод некоторых формул
395
Но нетрудно видеть, что последнее равенство и приводит к искомой ин-
терполяционной формуле, если провести несложные выкладки, используя
выражение
i2f'(i) = (1 + i)-n-1[i + (п+ 1)г] - 1.
4.4. Доказательство теоремы (V.1.1)
Напоминаем, что нам нужно установить представления
А(М, t2) = ехр{^ to - - *2’
u(i) = Д(«о, t) = ехр{ [ 5(у) dy}, t0 < t,
Jto
в предположении, что ПС (V.1.6) имеет место, а функции
(A(t, t + h) - 1\
6(t) = hm ----------------
h-(-+0 \ h )
и u(t) непрерывны.
Используя определение 6(t) и ПС, получаем, что
lim А(*о, t)A(t, t + h) - A(t0, t) =
h—>4"0 h.A(to, t)
1 lim U(t 4-ft) - u(t) = u’+(t)
u(t) /i->+o h u(t)
где u'+(i) обозначает правую производную функции и. Но последнее
равенство можно переписать в виде
u'+(t) = u(t)6(t),
из которого вытекает, что функция u'+(t) непрерывна. Непрерывная же
функция, у которой существует непрерывная правая производная, в дей-
ствительности дифференцируема. Таким образом приходим к равенству
u'(t) — u(t)S(t).
Решением этого дифференциального уравнения, как известно, явля-
ется функция
u(t) = сехр{ / 6(у) dy}, t0 < t;
Jto
с - некоторая постоянная, очевидно, равная единице в силу A(t, t) = 1.
Ну а другое представление получаем, используя ПС и определение u(t) :
A(t0, t2) u(t2) sft2XMri/X
396
В Вспомогательная математика
5. О рентабельности портфеля договоров
Доходность ДП, связанного с некоторым количеством контрактов по
страхованию жизни в конкретной страховой компании, можно без особо-
го труда оценить, используя различные предположения о будущих про-
центных ставках, расходах и т.д. Конечно, если не учитывать случай-
ных колебаний числа исков, расторжений и других подобных факторов.
Предположим, например, что страховая компания «собрала» определен-
ный портфель таких договоров и следующим образом оценивает ДП, свя-
занный с ним (см. вторую колонку табл. ПВ.5.1)
Табл. ПВ.5.1. Оценка доходности портфеля договоров
Год t Денежный поток, at Накопленные суммы, B(t)
0 2 176 2 176
1 2 303 4 566
2 2 218 6 967
3 2 128 9 373
4 2 030 11 778
5 1 926 14 176
6 1 816 16 559
7 1 699 18 921
8 1 576 21 253
9 1 447 23 551
10 -24 493 0
Точнее говоря, здесь под величиной at понимается превышение соби-
раемых премий по всем договорам над всеми расходами по ним, включая
выплаты по искам года t. При 0 < t < 9 видно, что эта разница поло-
жительна. И это естественно. Величина же вю получилась достаточно
большой и отрицательной, поскольку за 10 год предполагается оплачи-
вать по искам всех тех, кто останется в живых на этот момент (такой
тип контракта оказался основным).
В этой ситуации компания должна прежде всего рассчитать мини-
мальную ставку г'о процента, которую ей следует «заработать», т.е. по-
дыскать банк, например, чтобы портфель таких договоров оказался при-
быльным. Ее как раз и дает ВД рассматриваемого потока (проекта)
поскольку она может быть рассчитана как решение уравнения (VI.2.6).
Эквивалентным же этому уравнению является подход с подбором тако-
го варианта накопленных сумм B(t) = 0 < t < 10, т.е.
такой ставки г*о , при которой В(10) = 0. В нашем случае такой вариант
возникает при г’о = 0,04 (см. третью колонку табл. ПВ.5.1). Подобные
вычисления по определению рентабельности того или иного портфеля
можно проводить с помощью компьютера в различных предположениях.
Но подробное обсуждение этой темы выходит за рамки данной книги.
Приложение Г
Разное
1. Краткая характеристика содержания глав
Связи между главами здесь не рассматриваются. Делается лишь попытка
более четко охарактеризовать математическую составляющую каждой
главы и расставить акценты на основных ее моментах.
Глава I
В первых трех главах практически вся математика является школьной
и, кроме того, ее не так уж и много. В этой главе, например, вся она по-
мещена в п.1, где рассматривается формула начисления простых процен-
тов и внимание читателя обращено на некоторые существенные моменты
этого начисления.
Все последующие параграфы посвящены четырем известным финан-
совым операциям, в которых используются именно простые проценты.
Конечно, в каждом из рассмотренных случаев формула начисления из
п.1 имеет свои особенности. Но по существу, этот материал представляет
собой краткое и элементарное объяснение правил, которые определяют
«жизнь» указанных операций.
Глава II
Ставки - это первый основной момент в теории сложных процентов, по-
этому ему посвящена целая глава. Математическая часть ее фактиче-
ски сосредоточена в п.2, где рассматривается один из двух подходов к
определению понятия ставки, излагаемых в этой книге, а также группы
эквивалентных ставок. Изложение этого материала дается в авторской
интерпретации, в основе которой лежит использование так называемой
канонической операции.
398
Г Разное
До этого, в п.1 читателю предлагается вспомнить, что такое сложные
проценты, и освежить некоторые легенды, связанные с возможностью
быстрого обогащения. После этого, в п.3.1 делается попытка в двух сло-
вах объяснить, какого типа ситуации из реальной жизни читатель смо-
жет анализировать сам после знакомства с книгой. В п.3.2 автор касается
многообразия форм любых из пяти видов эквивалентных ставок, встре-
чающихся на практике. Наконец, в п.3.3 речь идет о различных сторонах
начисления процентов, дается несколько советов читателю и высказыва-
ется отношение автора к зарождающейся терминологии.
Глава III
Традиционное название проблематики этой главы, например в западных
книгах, - ренты. Это второй основной элемент теории сложных процен-
тов. С ними читатель и познакомится в результате. Однако, по мне-
нию автора, все же основным аспектом всех рассматриваемых в главе
вопросов следует считать именно стоимость простейших потоков плате-
жей (ППП) на определенный момент времени, что и отмечено в названии
главы. Во всяком случае при таком «взгляде на вещи» легко сопоставить
материал этой главы с материалом предыдущей: ставки - это стоимость
владения одной суммой при ее оплате в разные моменты времени, а цена
ренты - это стоимость потока платежей на какой-то один момент.
Если же говорить по существу, то эта часть книги является един-
ственной, в которой все параграфы содержат новую математику по срав-
нению с предыдущими главами. При этом основные вопросы разобраны в
п.1-3. Здесь введен полный комплект так называемых канонических, т.е.
самых простых потоков или рент и рассмотрены всевозможные вариан-
ты их стоимости на момент начала или окончания. Естественно, введены
и обозначения для этих стоимостей, которые являются общепринятыми,
за исключением редких рент. С терминологией же здесь несколько по-
хуже, и потому есть много авторских предложений. Цель их - выразить
свое отношение к начинающим складываться русским терминам, далеко
не всегда удачным.
Остальные параграфы всего лишь позволяют читателю несколько
углубить свое представление о стоимости произвольного ДП. Так, неко-
торое расширение класса ППП, встречающихся в реальной жизни, дает-
ся в п.4 и в п.2.3, где обсуждается проблема нецелых параметров ренты.
В последнем п.5 к традиционным вопросам геометрической интерпре-
тации стоимости и свойствам так называемых сечений добавлен новый
п.5.1, посвященный алгебраической интерпретации стоимости. Он воз-
ник, поскольку выяснилось: для полноты картины в отношении записи
различных видов стоимости не хватает двух типов ставок
и потому их пришлось ввести. Конечно, роль и полезность этих ставок
1 Краткая характеристика содержания глав
399
еще предстоит оценить. Однако смысл их ясен, например, в силу сообра-
жений n.V.2.1. Скажем, ставка ixlk является ставкой ПП, эквивалентной
ставке i СП на интервале [0, к] в том смысле, что соответствующие КН
совпадают (1 + kix!к = (1 + г)к ). Представляется, что для более четкого
осознания этих ставок и их роли в ФМ полезны маленькие таблицы из
ПД.1, а также прямое доказательство их монотонности по к :
функция i\x/k} монотонно возрастает от i до оо, а функция
монотонно убывает от d до 0 при возрастании k > 1.
Доказательство: нетрудно видеть, что
х2 = 1 - (1 - 6x)eSx > 0, х2 = (1 + 6x)e~Sx - 1 < О,
\ / х \ / X
при х > 0 в силу известного неравенства еу > 1 + t/, -ос < у < оо, у О
(только применять это неравенство нужно, скажем, к 1-ох , а не к eSxl).
Остальное очевидно: №к) = оо и d^1^ ~ (1/&) —> 0, к —> ос.
Глава IV
Сначала о математике, которая сосредоточена в п.1, 2, 4. Начинается гла-
ва с классического принципа начисления процентов при последователь-
ном погашении (п.1), где также представлена образцово-показательная
простейшая схема погашения постоянными выплатами, в которой хоро-
шо видна динамика уменьшения процентной доли очередной выплаты и
соответственно увеличения доли погашения в зависимости от порядко-
вого номера выплаты.
Основным моментом следующего параграфа можно назвать способ
записи уравнения погашения в самых сложных ситуациях (п.2.2), позво-
ляющий заметно упрощать процесс определения размера последователь-
ных выплат при погашении ссуды. Кроме того, в п.2.1 приведены наибо-
лее употребительные варианты погашения последовательностью посто-
янных выплат, а в п.2.3 рассмотрена ситуация непрерывного погашения
А точнее говоря, для произвольной интенсивности возвращения ссуды
объясняется, как ее разделить на две части - интенсивность оплаты про-
центов и собственно интенсивность погашения ссуды - в соответствии
с классическим принципом и при постоянной ставке начисления процен-
тов.
В п.4 сначала речь идет о двух проблемах погашения и затем, в п.4.3,
обсуждаются ситуации, в которых они возникают. Следует отметить,
что второй проблемы мы лишь касаемся (п.4.2). Первую же рассматри-
ваем достаточно подробно (п.4.1), хотя и в сравнительно частном случае,
но с разных точек зрения.
В оставшихся параграфах новой математики практичеки нет. В п.З
читателю предлагается познакомиться с многообразием форм погашения
400
Г Разное
кредита, встречающихся в реальной жизни. А в последнем п.5 говорится
о том, чем реальное погашение ссуды может отличаться от теоретиче-
ского, рассматриваемого ранее.
Глава V
Рекомендовать для чтения нетерпеливому читателю в этой главе мож-
но немного. Прежде всего это последняя треть, п.5, в котором кратко
излагается французская теория «голого» права собственности и права
пользования. Кроме этого можно упомянуть лишь два момента: еще один
подход к определению понятия ставки в п.1.1, а также общие соображе-
ния по так называемым фундаментальным принципам п.4.3 и уравнению
равенства стоимостей п.4.4. Все остальное представляет собой попытку
автора устроить несколько более углубленный теоретический разговор
об основных понятиях финансовой математики. И потому есть основа-
ния опасаться, что такому читателю будет скучно.
Так, в п.1 наряду со ставками рассматриваются три варианта опре-
деления расширенного процесса накопления. В п.2 даются ответы на два
взаимосвязанных вопроса: 1) какую ставку следует называть эквивалент-
ной данному процессу накопления на определенном интервале времени?
- а также 2) какие процессы можно считать соответствующими данной
ставке на каком-то временном промежутке? Взаимоотношения простых
процентов и простого дисконта, и особенно их место в схеме начисления
сложных процентов и дисконта, затрагиваются в п.З. Наконец, в п.4.1 и
4.2 речь идет о самых общих процессах накопления и приведения.
Глава VI
Подобно главам I, II, в гл. VI всего один параграф аккумулирует в себе
новую математику. Это п.2, хотя, конечно, к нему можно присоединить
и п.1 как содержащий необходимые обозначения и предварительные со-
ображения. С чем же читатель может познакомиться в них?
Прежде всего здесь вводятся и рассматриваются два показателя эф-
фективности капиталовложений - внутренняя доходность (ВД) и приве-
денная прибыль (ПП), - отношение к которым у подавляющего большин-
ства специалистов единодушно положительное. Но есть и два момента,
которые можно назвать авторскими нововведениями. Во-первых, это по-
пытка четко определить классы денежных потоков (ДП), которые 1) име-
ет смысл рассматривать, особенно в главе с таким названием, а также
2) ввести как можно более широкий класс ДП, для которых существует
понятие ВД (см. теорему 2.1 и ее доказательство в ПВ.1). Во-вторых,
здесь предлагается способ (п.2.1) навскидку давать оценку искомой ВД.
Называется этот способ средней доходностью (СД).
1 Краткая характеристика содержания глав
401
В остальных параграфах расширяется представление читателя о вве-
денных показателях эффективности и вообще об используемых в финан-
совой математике понятиях. Скажем, в п.5 понятие инфляции вводится
в основном для того, чтобы познакомить читателя с фактом, на первый
взгляд удивительным: нерентабельный проект легко может превратить-
ся в высокорентабельный при незначительной инфляции и ее учете. А
в п.6 можно познакомиться с различными методами оценки доходности
в практической жизни и в таких малоизвестных нам пока финансовых
учреждениях, как инвестиционные фонды.
Наконец, в п.З внимание читателя обращено на дефекты всеми лю-
бимого показателя ВД, а в п.4 на еще два показателя состоятельности
коммерческих проектов и один подход по выбору оптимального поведе-
ния инвестора, фактически являющийся способом максимизации ВД.
Глава VII
Как и в предыдущей главе, здесь речь идет о доходности коммерческих
проектов. Рассматривается хотя и частный, но очень важный класс та-
ких проектов - покупка ценных бумаг (ЦБ) с фиксированной доходно-
стью. И потому основной целью является не столько поиск ВД, сколько
знакомство с различными его нюансами, которые «напридумала жизнь».
Первый и наиболее существенный момент - это учет налогообложе-
ния двух основных типов. Можно сказать, что в п.1-3 рассматривается
только начисление подоходного налога, а в п.4 также и налога на до-
бавленную стоимость в английском варианте. Внимание читателя в этих
параграфах следует обратить на два момента. В отличие от предыдущей
главы, здесь для определения искомой доходности предлагаются простые
формулы. Особую популярность из них приобрела формула Макэхама,
названная по имени известного британского актуария XIX века. И во-
вторых, в этой главе, как и в предыдущих двух, присутствуют элементы
«средней» математики. Мы имеем в виду привлечение в п.3.1 и в п.4.2
одного понятия из вариационного исчисления. Точнее говоря, с ценой по-
купки связывается некоторое центральное поле кривых на плоскости. А
все для того, чтобы упростить выводы в отношении доходности в случае,
ког^а момент погашения выбирается заемщиком из заранее фиксирован-
ного интервала, но по его усмотрению.
Остальные два параграфа, п.5 и п.6, также посвящены различным
аспектам, но там они уже не имеют такого глобального характера, как
налоги. В п.5 можно познакомиться с тем, как вести поиск ВД в случае
различных отклонений от так называемой стандартной схемы. Что же
касается п.6, то здесь, как и в гл. VI, автор не только рассматривает
влияние инфляции на доходность, но и пытается познакомить читателя
с различными не знакомыми ему пока финансовыми инструментами.
402
Г Рази
2. Список сокращений
БП - базовый период, 36
ВД - внутренняя доходность, 224
ГД - грубая доходность, 313
ДП - денежный поток, 31, 86
ип - индекс прибыльности, 251
кд - коммерческий дисконт, 12
КН - коэффициент накопления, 7
ко - каноническая операция, 42
кп - коэффициент приведения, 8,
КР коэффициент роста, 172
лк - ломбардный кредит, 24
НЗ - накопленное значение, 7
НП - накопленная прибыль, 223
пд - простой дисконт, 181
пз - приведенное значение, 7
ПК - потребительский кредит, 129
пн - процесс накопления, 166
пн - подоходный налог, 279
по - период окупаемости, 248
ПП - простые проценты, 3
ПП - поток платежей, 66
ПП - процесс приведения, 184
ПП - приведенная прибыль, 223
ПС принцип согласованности, 172
ПФ погасительный фонд, 123
РД рациональный дисконт, 12
PC расчетный счет, 18
PC реальная ставка, 197
СД средняя доходность, 221
СП - сложные проценты, 31
тс текущий счет, 23
ФМ - финансовая математика, 8
ФО - форфейтная операция, 27
ЦБ - ценная бумага, 57, 279
дпо - дисконтированный период окупаемости, 249
двм - метод, учитывающий дату внесения средств, 272
ИНД - интенсивность начисления дисконта, 184
инк - интенсивность наращивания капитала, 42, 169
ИНП - интенсивность начисления процентов, 169
ипц - индекс потребительских цен, 260
ИРЦ индекс розничных цен, 321
НДС налог на добавленную стоимость, 279
3 Терминология, обозначения и их определения
403
ОВМ
ПВД
ППО
ППП
ППП
СЭВ
ТВС
УВД
УРС
УРС
ЦВД
ЧЕД
вдев
вдед
ЭКВЕР
метод, общий для всех, 272
правило внутренней доходности, 228
правило периода окупаемости, 249
простейший поток платежей, 66
правило приведенной прибыли, 223
средняя эффективность вклада, 176
тактика владельца счета, 176
уравнение внутренней доходности, 224
уравнение равенства стоимостей, 70, 193
уравнение реальной ставки, 197
цепная внутренняя доходность, 266
чистая ежегодная доходность, 290
ВД, средневзвешенная относительно времени, 267
ВД, средневзвешенная относительно денег, 266
правило эквивалентных ежегодных расходов, 235.
3. Терминология, обозначения и их определения
3.1. Эквивалентные ежегодные ставки
i процента. Она дана, остальные определяются по ней.
с! ставка дисконта: d=l-v<=>(l — tZ)(l + ?) = l.
№ процента . - периодическая ставка < к - кратного начисления: дисконта iw = Ат[(1 +г)(1/А) - 1], d(fc> = fc[l - (1 - d)(1/fc>]. (3.1)
Д1/М процента i - периодическая ставка Л f- кратного начисления: дисконта к + z)fc ~ 1 ^(i/fc) 1 - (1 - d)k к ’ к
<5 = In ( Л ставка 1 + г) - непрерывного начисления процентов. интенсивность
Замечания 3.1
1. Выше мы предпочли говорить о целых значениях к и потому, скажем,
ставки с№ и оказываются разных типов. Но их можно было бы
объединить в один тип, просто расширив по аналогии с (Н.3.1) опреде-
ление (3.1) с целых к > 0 на произвольные h > 0 :
г<Л> = Л[(1 4-г)(1/Л) - 1], = Л[1 - (1 - d)^]. (3.2)
2. Напоминаем, что указанные обозначения здесь и ниже являются не-
полными. Полные определяются в замеч. П1.1.1.
14—1221
404
Г Разное
3.2. Стоимость ППП
1. Дискретные канонические ренты
1.1. Основные варианты (одна выплата за год)
«й| = So""1
подрасчетнои
По v немедленной ренты.
авансовой
%, = с;«'
ТТГЛ подрасчетнои
Но v немедленной ренты.
авансовой
подрасчетнои
ПЗ v отложенной ренты.
авансовой
— vm+n-1 J
m|sn| — 2^т U
,ё__I
m|dn| — и
НЗ
подрасчетнои
отложенной ренты.
авансовой
_ 1 .. _ 1 _ vm .. _vm
аоо| “ р Й<»1 “ d' m|CM — ’ т1й^1 ~ ~d~‘
1.2. Частые и редкие ренты (L = n/k)
1 пк 1 пк—1
аЦ> =
n| k Lj n| fc Lj
1 0
1 пк—1 - пк
ич\ ^=1-УиЧк.
n| k n| k
0 1
L L-l L-l L
a-n\W = kZvkl, an|W = k^vkt, sn|W = s-|(Ar) = ky2ukt-
10 0 1
2. Непрерывные канонические ренты
3. Неканонические ренты
3.1. Возрастающие, убывающие и смешанные ренты
п т— 1
= ('»);, = «”(/»);,, = У А^|.
1 о
п
(Da)n| = 12(П “ 1 + 1)v/’ (Ds)n| = U"(£)a)n|-
1
3 Терминология, обозначения и их определения
405
3.2. Частые и редкие возрастающие ренты
n sk Л nk L
= Щ Е (/(‘’< = р Е ‘ Е '»ы
1 (s-l)fc+l 1 1
3.3. Непрерывные возрастающие ренты
(!^п\ = jo tvt<lt' U-a)-\ = tr I /dt.
Замечания 3.2
1. Любая выплата по ренте обязательно относится к какому-либо году
или периоду лет. Тем самым возникает понятие периода выплат по рен-
те, как промежутка времени, к которому отнесены все выплаты.
2. Рассматриваемые здесь ДП являются в определенном смысле регуляр-
ными и потому мы называем их рентами. Однако в последнее время,
похоже, регулярности ДП для этого и не требуется. Более того, у всех
рассматриваемых рент период выплат одинаков и равен п годам.
3. Напоминаем, что канонической называется рента, у которой выплаты
суммарно за год или в среднем за год равны 1 денежной единице на всем
периоде выплат.
4. Словом «немедленная» называют ренту с периодом выплат [0, п]. Ины-
ми словами, это рента, выплаты по которой начинаются с первого года.
Получается, что название «немедленная» является эквивалентом названия
«не отложенная» и потому его естественно опускать (в отличие от назва-
ния «отложенная»), что мы и делали в тексте книги.
5. Вышеупомянутое множество ставок (3.2), очевидно, включает в себя и
основные ставки процента и дисконта, а непрерывная ставка 8 является
пределом № при h —> оо. Поскольку же стоимость всех канонических
дискретных рент можно определить, например, соотношением
то, как и в случае со ставками, мы можем считать, что не только частые
и редкие ренты, но и вообще все канонические дискретные ренты соста-
вляют один класс. Что же касается стоимости непрерывных рент, то она
также получается из стоимости (3.3) указанным предельным переходом.
6. Все символы в обозначениях стоимости рент, как читатель уже за-
метил, имеют определенный смысл. Так, буквы а и s означают соот-
ветственно ПЗ и НЗ ренты, а тип ренты авансовая, непрерывная или
подрасчетная отмечается двоеточием, чертой или отсутствием значка
над этими буквами. К сказанному можно добавить, что символы I и D
означают возрастающая или соответственно убывающая рента. Именно
поэтому мы ограничились указанием терминологии лишь в п.1.1.
406
Г Разное
4. Список литературы
1. Bonneau Р., Wiszniak W. Mathematiques financieres approfondies.
P: Dunod, 1992. 186 p.
2. Le Borgne H. Mathematiques du credit.
P: Eyrolles, 1991. 162 p.
3. Brealey R.A., Myers S.C. Principles of Corporate finance.
The McGraw-Hill & C.: N.Y...., 1996. 1092 p.
4. Kellison S.G. The Theory of Interest. Irwin: Boston, 1991. 450 p.
5. Kolb R.W., Rodriguez R.G. Principles of Finance.
D.C.Heath & C., Lexington, 1992. 820 p.
6. Martin J.D., Cox S.H., McMinn R.D. The Theory of Finance:
Evidence and Applications. 1995. 736 p.
7. McCutcheon J.J., Scott W.F. An Introduction to the mathematics of
finance. Heinemann: L, 1986. 480 p.
8. Piermay M., Hereil 0., Lazimi A. Mathematiques financiers.
P: Economica, 1989. 210 p.
9. Rochet J-С., Demange G. Methodes mathematique de la finance.
1992. 304 p.
10. Гитман Л.Дж.У Джонк М.Д. Основы инвестирования. М.: Дело.
1997. 1008 с.
И. Кочович Е. Финансовая математика. Теория и практика финансо-
во-банковских расчетов. М.: Финансы и статистика, 1994. 268 с.
12. Шарп У., Александер Г.У Бэйли Дж. Инвестиции. М.: Инфра-М,
1997. 1024 с.
13. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: Инфра-М, 1997.
160 с.
14. Касимова О.Ю., Кржижановский Г.А. Начала финансовой
математики. Зеленоград: НТФ НИТ, 1995. 120 с.
15. Малыхин В.И. Финансовая математика. М.: Юнити, 2000. 248 с.
16. Миркин Я.М. Ценные бумаги и фондовый рынок. М.: Перспектива,
1995. 536 с.
17. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов.
М.: Дело, 1995. 320 с.
5 Ценные бумаги с фиксированным доходом
407
5. Ценные бумаги с фиксированным доходом.
Английская практика
Правительство, местные власти, частная компания или любое другое
юридическое лицо может получить деньги в долг, организовав выпуск
займа на бирже. Условия выпуска могут устанавливаться заемщиком и в
этом случае инвесторов приглашают подписываться на заем по заданной
цене (issue price). Но встречается и вариант так называемого тендера, ко-
гда инвесторам предлагают самим назначить цену, которую они готовы
заплатить. В этом случае цена выпуска определяется по максимальной из
предложенных цен и назначается одновременно с указанием правил раз-
мещения займа. В любом из этих вариантов на весь заем или его часть
может «подписаться» любое финансовое учреждение, которое согласно
оплатить по определенной цене какую-либо часть выпуска, на которую
не подписался другой инвестор.
Классификация ЦБ с фиксированным доходом
Возникающие в процессе реализации подобной идеи ценные бумаги
с фиксированным доходом могут быть классифицированы следующим
образом.
1. Британские правительственные облигации (British govern-
ment stocks), известные также под названием «облигации с золо-
той каемкой», или «позолоченные» (gilt-edged stocks or gilts). Эти
ЦБ выпускаются в больших объемах и считаются наиболее надеж-
ным способом вложения денег. По данным службы правительствен-
ного актуария Великобритании, за последние 80 лет XX в. сред-
няя номинальная доходность по ним составила 6,4%, а реальная (с
учетом инфляции) - 2,9%). Издержки, связанные с их покупкой и
продажей, относительно невелики. Классифицируются они в соот-
ветствии со сроком погашения: трехмесячные, краткосрочные (до
пяти лет), среднесрочные, долгосрочные и без даты погашения. В
последнее время их начали выпускать в индексированном варианте,
когда оплата процентов по ним и сумм погашения привязывается к
ИРЦ (индексу розничных цен).
2. ЦБ, выпускаемые в Великобритании местной администра-
цией, общественными организациями и национализирован-
ными отраслями промышленности. Хотя эти облигации также
считаются высоконадежными, но при их покупке советуют вни-
мательнее оценивать надежность подобных займов и обязательно
обращают внимание на известные примеры неплатежеспособности
по некоторым из них (Mersey Docks, Harbour Board - в 1970 г.).
408
Г Разное
3. Займы, выпущенные правительствами других стран. Ин-
вестор, желающий приобрести подобные ЦБ, при покупке должен
учитывать целый ряд моментов: тенденции изменения курсовой
стоимости используемой валюты в фунтах стерлингов (если ЦБ ис-
пользует не фунт стерлингов), проблему контроля по обмену валют,
соглашения в налоговой области и в некоторых случаях даже воз-
можность банкротства.
4. Займы, выпущенные в других странах местной админи-
страцией (городов или штатов), и т.д. Эти ЦБ должны при
покупке подвергаться еще более тщательному анализу, чем выпус-
каемые правительством соответствующей страны. В США, напри-
мер, многие местные облигации в 1930 гг. обанкротились.
5. Долговые обязательства коммерческих фирм и так назы-
ваемые необеспеченные займы (Debentures and unsecured loan
stocks). В этой последней группе собраны ЦБ коммерческих ком-
паний Великобритании и других стран. Даже очень надежное дол-
говое обязательство коммерческой компании оказывается заметно
менее ликвидной ЦБ, чем правительственная облигация похожего
срока и «гарантирует» большие издержки. Соответственно от них
инвесторы ожидают и большей доходности, чем от похожих пра-
вительственных облигаций. В США такие ЦБ называются bonds и
классифицируются в соответствии с уровнем доверия к ним, кото-
рый часто определяется по общему номиналу уже купленных ЦБ.
Конечно, существуют облигации с переменной купонной ставкой, ме-
няющейся одновременно с какой-либо стандартной процентной ставкой,
например, ставкой по казначейским билетам. Эти ЦБ, а также упомяну-
тые выше индексированные ЦБ, вообще говоря, не являются ЦБ с фик-
сированным доходом. Однако они имеют с ними гораздо больше общего,
чем, скажем, с обычными акциями.
Примеры правительственных облигаций
• 9% облигации казначейства 1994 (9% Treasury 1994) Эти ЦБ
были выпущены в 1969 г. и погашены по номиналу 17 ноября 1994 г.,
как и предполагалось с самого начала. Девять процентов годовых
по ним выплачивались дважды в год, 17 мая и 17 ноября.
• 3% облигации газовой промышленности 1990-5 (3% British
Gas 1990-5). Эта ЦБ была выпущена в 1949 г., сразу после нацио-
нализации газовой отрасли и приносила 3% годовых, выплачивае-
мых 1 мая и 1 ноября. Намечалось также, что погашение пройдет в
какой-либо из этих дней в период с 1 мая 1990 г. по 1 ноября 1995 г.
включительно по выбору правительства.
5 Ценные бумаги с фиксированным доходом
409
• 3,5% Военный заем (3,5% War Loan). Выпуск этих ЦБ прошел
в 1932 г. и представлял собой модификацию займа периода войны
1914-1918 гг. По условиям этого займа 3,5% годовых выплачивались
два раза в год, 1 июня и 1 декабря, до сих пор. Что же касается
погашения, то сейчас предполагается, что оно пройдет по выбору
правительства в один из этих двух дней.
К сказанному можно добавить, что в действительности все британ-
ские правительственные облигации погашаются по номиналу, но дата
погашения не всегда четко определена и бывает, что не указывается во-
обще. И также по всем проценты оплачиваются раз в полгода, за ис-
ключением 2,5% английской консолидированной ренты (2,5% Consols). В
ней это делается ежеквартально, 5 января, 5 апреля, 5 июля и 5 октября.
Терминология
В случае ЦБ с фиксированным доходом наряду с терминологией п.VII.1.1
используются следующие английские выражения:
1) the stock is said
above
to be redeemable at par,
below
par or at a premium,
par or at a discount,
if R > 1,
if R= 1,
if R < 1;
2) the price P is said
above
to be at par,
below
par or at a premium, if P > 1,
if P= 1,
par or at a discount, if P < 1;
3) the security is
bought
ex dividend
cum dividend
(x.d.), if seller
(c.d.), if buyer
receives
the next interest or dividend payment.
В первых двух случаях эти фразы можно перевести, например, так:
1) акция погашается с премией, по номиналу или с дисконтом,
если соответственно R > 1, R = 1, или R < 1;
2) цена Р покупки ЦБ выше номинала, равна ему или ниже,
если соответственно Р > 1, Р = 1 или Р < 1.
В последнем, третьем случае русский перевод: «ЦБ покупается без диви-
денда (с ним), если ближайшая выплата дивидендов причитается продав-
цу (покупателю)». Эта фраза хорошо воспринимается, если речь идет об
основном варианте покупки ЦБ, рассмотренном в гл. VII, когда покупка
происходит в момент получения процентов (дивидендов), непосредствен-
но перед ним. В гл. VII мы привыкли, что эти проценты причитаются
продавцу, т.е. «ЦБ покупается без дивидендов» момента покупки.
410
Г Разное
«Возросшие или накопленные» проценты (accrued interest)
Но если покупка происходит между выплатами процентов, то для пра-
вильного ее понимания требуются разъяснения. Приведем здесь поэтому
небольшой комментарий к формуле (VH.5.9), используя введенную там
терминологию Ii нижеследующую диаграмму (Р' - рыночная цена):
---1-------1--•----М-----1 ►
s — Д s + t з s + t s + Д
Итак, если инвестор покупает ЦБ в момент $, то он платит цену Р' и
первый раз получает проценты в момент $ + Д. Если же момент покуп-
ки s + t находится правее (t > 0), то заплаченная цена Р больше на
величину P'Dt. Ну а если левее (t < 0 ) - то меньше на величину PfD\t|.
Конечно, в этом случае слово «накопленные» можно заменить на другое.
Налог на добавленную стоимость
НДС был введен в Великобритании сравнительно недавно, в 1965 г. Он
взимается с разницы между ценой продажи или погашения облигации
или какого-либо другого актива, с одной стороны, и ценой покупки -
с другой, если она положительна. В отличие от ПН, этот налог обычно
выплачивается лишь один раз, в момент продажи или погашения. Неко-
торые активы, и среди них ряд ЦБ с фиксированным доходом, могут
быть освобождены от оплаты НДС. Кроме того, возможно как полное
и открытое, так частичное и скрытое освобождение от него. Например,
первый вариант возникает, если определенный актив находился в чьем-
то владении некоторый период времени. Второй же вариант получает-
ся, когда потери капитала в одних активах могут компенсироваться за
счет его прироста (т.е. прибыли) в других. Эта ситуация рассмотрена в
п.VII.4.3 (прим. 4.4).
НДС критиковался и справедливо, за то, что во времена инфляции он
не принимал во внимание понижение покупательной способности денег.
Иными словами, за то, что «бумажные деньги» облагались им в той же
степени, что и «настоящие». В связи с этим в Соединенном Королевстве в
1981 г. была введена система индексации, которая затем модифицирова-
лась. В настоящее время, если актив находится в чъем-то владении более
года, расчет НДС обязательно принимает во внимание соответствующие
изменения в ИРЦ.
В гл. VII рассматривается влияние НДС на цену покупки и доходность
лишь ЦБ с фиксированным доходом. Более того, для простоты предпо-
лагается, что рассматриваемый актив «доживает» до погашения. Если
же он продается раньше, то расчет НДС несколько меняется, посколь-
ку вместо денег, получаемых при погашении, нужно учитывать прибыль
от продажи. Для упрощения расчетов мы избегали также индексации. В
теории ее ввести несложно, однако на практике изменения в законода-
тельстве могут чрезвычайно затруднить расчет этого налога.
6 Что такое финансовая математика?
411
6. Что такое финансовая математика?
Прежде всего отметим, что выражение «финансовая математика» (ФМ)
появилось недавно. Так, в финансовых кругах западных стран оно ста-
ло использоваться лишь последние двадцать пять лет и менее десяти - у
нас. Пока оно не является общепринятым и всеми понимаемым одинаково,
как, например, слова «физика», «биология», «русский язык». Именно по-
этому уточним смысл, который вообще могут вкладывать в термин ФМ
в России и в других странах, а также, как он понимается в данной книге,
в частности. Ну а для этого приведем краткую классификацию той части
имеющейся теории, к которой относится книга и которую естественно
называть «классическая финансовая математика».
Современное представление о термине ФМ
В настоящее время есть два основных варианта его трактовки. Первое у
нас оформилось в 1998 г. с появлением двухтомной монографии профес-
сора А.Н. Ширяева «Основы стохастической финансовой математики».
Соответствующая область знания известна во всем мире под тем же на-
званием - «стохастическая финансовая математика». Ее становление в
России началось лет 7 назад и, в основном, было связано с рассмотре-
нием проблем опционов. Тем не менее уже тогда наши ученые не толь-
ко присоединились к мировому сообществу, но и возглавили некоторые
направления исследований. Сами же исследования ведутся и сейчас на
очень высоком уровне, и у нас в том числе (школа А.Н. Ширяева). Здесь
пытаются решать и довольно успешно самые насущные проблемы фи-
нансовых взаимоотношений. Однако пока создаваемая теория слишком
сложна, чтобы ее можно было легко объяснить любому желающему.
Второй вариант представления о ФМ, наоборот, возник из-за инте-
реса к весьма простым математическим методам финансового анализа,
прошедшим «обкатку» в практической финансовой деятельности. Одна-
ко возникла довольно любопытная ситуация: создается впечатление, что
авторы многих книг, использующие термин ФМ в названии изданий по-
следних нескольких лет, трактуют их одинаково, но слишком упрощенно.
Так что существует проблема: как излагать и при каком изложении назы-
вать ФМ все то, что составляет багаж созданной к настоящему времени
теории. Иными словами, пока это направление не оформилось.
Появление первой книги на русском языке по этой тематике относит-
ся к 1994 г. В дальнейшем они появлялись редко - не более одного-двух
изданий в год. Лишь в 2000 г. авторы как бы «проснулись» и задолго
до конца года подарили читателям почти столько же изданий, сколько
появилось до сих пор. Конечно, упомянутые книги принесли и прине-
сут большую пользу, найдут своего читателя. Однако попробуем оценить
стиль изложения большинства из них. Не критики ради, а просто с целью
понять, какая форма была выбрана для их изложения.
412
Г Разное
Представляется, что у авторов была благородная цель: они хотели
побыстрее (ситуация заставляла - книг не было) ввести читателя в курс
дела по всем возможным направлениям. Соответственно использовал-
ся простой стиль изложения, понятный и неподготовленному читателю
практически по любым темам (части I, II классификации ниже). Но в
результате получались книги, которые с точки зрения математика име-
ют весьма отдаленное отношение к математике. Скорее это арифметика
финансов, простейшие финансовые расчеты и модели, а также краткие
рекомендации по их практическому использованию.
Подобный материал, конечно, обсуждается и в западных книгах, но
все же есть отличие в манере его подачи. Там могут либо еще менее
завуалированно, чем мы сейчас, говорить о расчетном характере рас-
сматриваемого материала, как, например в книге
Уотшем Т.Дж., Паррамоу Л. Количественные методы в финансах:
Пер. с англ. - М.: ЮНИТИ, 1998, 528 с.,
либо, наоборот, помещать его в необозримое поле различных нюансов,
связанных с капиталовложениями (как, например, в [6; 10; 12]), или с фи-
нансовой деятельностью больших фирм (корпораций; см., например, [3]).
Соответственно в названии последних книг нет и слова «математика».
Однако совершенно ясно, что должны существовать и другие подходы
к изложению, в которых авторы пытаются донести до читателя достиже-
ния не только практики, но и теории. Какими бы простыми ни являлись
рассматриваемые вопросы, уровень изложения может быть выбран не по
степени детализации возможных приложений, а по сложности затраги-
ваемых вопросов в данной проблематике. Скажем, о всеми признанной
модели САРМ (ценообразования финансовых активов) можно рассказы-
вать в популярной форме, фактически лишь определяя условия ее су-
ществования, и говорить больше о возможных применениях. Но можно
посвятить читателя в определенные математические нюансы построения
эффективного множества портфелей и даже объяснить математически,
что форма практически любого множества допустимых портфелей на
критериальной плоскости напоминает «ежика». Причем сделать все это
можно, не «отрываясь от земли», т.е. не используя высокую математи-
ку, как, например, в [9], либо специально привлекая ее, чтобы сократить
изложение или показать красоту этой «стороны дела».
Более того, открывать какие-то новые стороны можно и у старых по-
нятий, общепризнанно считающихся очевидными. Скажем, говоря о став-
ках, можно интересоваться взаимоотношениями различных типов ставок
и говорить, что для «полноты картины в области эквивалентных ставок
не хватает двух типов». Именно такими автору показались монографии
[1; 4; 7]. И здесь уже не так важно, присутствует ли слово «математика»
6 Что такое финансовая математика?
413
в названии, как в [7], совсем отсутствует, как в [4], или используется сло-
восочетание «углубленная математика», как в [1]. И без этих слов ясно,
что у всех упомянутых книг математическая направленность, если так
можно выразиться. Именно такой и пытался сделать автор данную кни-
гу. При этом иногда ему приходилось прилагать усилия, чтобы «остаться
на земле, а не улетать в облака», как в [9].
Конечно, все эти соображения условны, поскольку любые индивиду-
альные оценки слишком субъективны. Но автор упомянул о них не только
для того, чтобы уточнить: данная книга имеет математическую напра-
вленность, причем аналогичную [1; 4; 7]. Дело в том, что на повестку
дня пора ставить вопрос о преподавании элементов ФМ в школе, или,
по крайней мере, думать о приобщении школьников к этим проблемам,
например, заменяя часть математических задач о бассейне с трубами
задачами на финансовые темы. А для этого придется определять темы
первой необходимости, выбирать подходящий уровень изложения и, есте-
ственно, решать, называть все это ФМ или как-то по-другому.
Краткая характеристика проблематики ФМ
В настоящее время практически в любой области человеческой деятель-
ности накоплено так много фактического материала, что становится
просто необходимым уметь кратко отвечать на подобные вопросы: что
такое ФМ?. Конечно, прежде всего в интересах начинающего читате-
ля. Но разве преподаватели или ученые-исследователи не нуждаются в
том, чтобы хотя бы отделить ФМ от общей теории финансов? Поэтому
мы рискнем и попробуем дать такой ответ хотя бы для книг, имеющих
математическую направленность.
Представляется, что всю ФМ естественно разбить на три части.
I. Классическая ФМ в условиях определенности.
П. Классическая ФМ в условиях неопределенности.
1П. Современная ФМ (повышенного уровня).
Все они будут охарактеризованы с общей точки зрения ниже. Однако в
отличие от третьей, первые две части мы попробуем достаточно подроб-
но детализировать. Скажем, в каждой из них выделим семь подпунктов.
I. Классическая ФМ в условиях определенности
(детерминированная ФМ)
1. Простые и сложные проценты.
2. Ставки и стоимость потоков платежей.
3. Фундаментальные принципы.
4. Процессы накопления и приведения, интенсивность накопления.
5. Классический принцип погашения.
6. Показатели эффективности капиталовложений вообще.
7. Оценка стоимости ЦБ, в частности.
414
Г Разное
П. Классическая ФМ в условиях неопределенности
1. Риск и доходность актива.
2. Теория иммунизации, волатильность и некоторые другие понятия,
связанные с доходностью.
3. Простейшая теория расчета стоимости опционов.
4. Портфельная теория Марковица.
5. Модели ценообразования финансовых активов.
6. Простейшие модели изменения случайных процентных ставок.
7. Понятия финансового рынка, арбитража и др.
Формальное объяснение приведенной характеристики
При написании книги автора интересовали прежде всего два вопроса.
1. Какую часть всей теории ФМ можно было бы назвать
минимальным комплектом сведений, позволяющим «все» понимать?
2. Какой материал из этого комплекта следует считать
«самым необходимым»,
чтобы на нем построить книгу, если делать ее введением в ФМ?
В результате было решено считать, что ответ на первый вопрос дает
классическая ФМ в указанном выше виде, а на второй - ее первая часть,
т.е. классическая и детерминированная ФМ настоящей книги. При этом
предлагается понимать используемые слова следующим образом: «клас-
сическая» как набор давно устоявшихся фактов, теорий, моделей, и т.д.,
«в условиях неопределенности» как элементы ФМ, определяемые с уче-
том риска и других простейших элементов случайности, «современная
ФМ » как недавно разработанные или разрабатываемые сейчас теории
(в основном это - стохастическая ФМ).
Подчеркнем и еще два момента. Прежде всего, следует объяснить,
почему выражение «минимальный комплект сведений, позволяющий все
понимать», имеет смысл. Дело в том, что третья часть (современная ФМ)
по количеству имеющегося и особенно вновь появляющегося материала
намного превосходит первые две. И разрыв продолжает увеличиваться, с
привлечением все новых областей «сложной математики» и других наук.
Но при этом использование новой ФМ встречается «все реже».
Другой момент состоит в том, что, конечно, бурное развитие совре-
менной ФМ будет сказываться и на нашем понимании классической ФМ.
Скажем, некоторое время назад слова «в условиях неопределенности» из
названия ч.П классической ФМ можно было вполне отождествлять с по-
нятием дисперсии случайной величины, поскольку для риска использо-
вались два варианта, связанные с ней, а кроме риска, туда и включать
практически было нечего. Теперь же ситуация несколько изменилась и
под теми же словами, возможно, лучше понимать использование теории
вероятностей на некотором простейшем уровне.
7 Сравнение ПП и СП
415
7. Сравнение ПП и СП
Приведем в заключение краткий комментарий в отношении начисления
процентов по схеме сложных и простых процентов (ставка постоянна),
отвечающий на два вопроса:
1) что в них общего и 2) чем они отличаются?
1. Оба типа начисления процентов
• не могут не существовать, хотя причины этого разные.
ПП олицетворяют ощущение справедливости линейной зависимости
вознаграждения от суммы кредита и времени на некотором времен-
ном интервале, а СП возникают как следствие конкуренции;
• являются вознаграждением за время предоставления кредита
(в настоящей книге), а точнее говоря, в детерминированной клас-
сической ФМ (см. ПГ.6). Вообще же и те и другие могут учитывать
и быть платой за риск и другие факторы.
2. Выделим следующие моменты:
• ПП выгодны кредитору в сделках длительности до года, а
СП - больше года;
• в ПП прирост капитала Д не зависит от времени t, если он
абсолютный, а в СП - если относительный, точнее говоря, если
ПП: Д = u(t + s) - u(t) , СП: Д = (u(t + s) - u(t))/u(t)-,
• в ПП суммы Wk, накопленные к моментам, кратным какой-то еди-
нице времени, представляют собой возрастающую арифметическую
прогрессию, а в СП - возрастающую геометрическую, скажем,
ПП: Wk = С(1 + ik) , СП: Wk = С(1 + i)k, к = 1, 2, ;
в СП эта единица времени является периодом начисления процентов.
Нельзя не отметить, что в силу выясненной симметрии аналогичные
сравнения легко провести между простым и сложным дисконтом. Так, на-
пример, можно говорить, что выданные заемщику суммы Vk (или остав-
шиеся после удержания) при увеличении срока погашения векселя на рав-
ные промежутки времени представляют собой убывающую арифметиче-
скую, соответственно геометрическую прогрессии -
ПД: Vk = С(1 - dk), СД: Vk = С(1 - d)k, к = 1, 2, • •.
Приложение Д
Таблицы
1. Финансовые таблицы
Все таблицы занимают 39 страниц. Поскольку финансовые показатели
на 417, 454 и 455 страницах приведены по той же форме, но в сокра-
щенном варианте, то объясним лишь устройство остальных 36 страниц,
относящихся к определенной ставке процента i = 0,005/, I = 1, 2, • • •, 36.
На каждой из них помещаются две таблицы: большая и маленькая. В
большой значения пяти основных функций двух параметров п, г, свя-
занных с финансовыми вычислениями, приводятся для 50 значений дли-
тельности финансовой операции п и соответствующей ставки г. Вычи-
сляются они по известным формулам:
тгп = (1 + г)п, vn = (l + i)-n,
ип - 1 1 - vn z т ч - nvn a-\U - nvn
nl г • г v 7 । г г
Наряду с этим, в маленькой таблице помещены три набора полезных
величин: 1) 8 значений степеней и и и, 2) 25 значений ставок 6 типов,
эквивалентных данной ставке г, а также 3) 15 отношений основной став-
ки к части вышеуказанных эквивалентных из второй группы.
Все они могут быть использованы для определенной цели. Так, вели-
чины первой группы естественно использовать при переносе стоимости
вперед или назад на месяц, квартал и т.д. Элементы второй группы мож-
но использовать непосредственно, скажем, при желании сравнить выгод-
ность различных ставок. Величины же третьей группы предназначены,
например, для простого перехода от табулированного значения стоимо-
сти ренты к нетабулированному. Так, величины г/№ позволяют с помо-
щью одной операции умножения перейти от табулированного значения
а-| к нетабулированному а величины i/d^W подобным же образом
связывают пару а-, и
1 Финансовые таблицы
417
i = 0.19
u 1.190000
u1'2 1.090871
u1'4 1.044448
t?/*2 1.014602
v'/*2 0.985608
vl/< 0.957444
v1'2 0.916698
V 0.840336
»<2> 0.181742
j(4) 0.177791
,(12) 0.175220
S 0.173953
d‘,2> 0.172698
d<4’ 0.170225
d<2> 0.166603
*/.<2> 1.045438
i/.<4> 1.068671
j/,(12) 1.084351
i/6 1.092249
,/№ 1.100186
»/d'4> 1.116170
i/d<2> 1.140436
n un vn 1 £ co 1 c e (/o)n| n
1 1.19000 0.84034 1.0000 0.8403 0.8403 1
2 1.41610 0.70616 2.1900 1.5465 2.2527 2
3 1.68516 0.59342 3.6061 2.1399 4.0329 3
4 2.00534 0.49867 5.2913 2.6386 6.0276 4
5 2.38635 0.41905 7.2966 3.0576 8.1228 5
6 2.83976 0.35214 9.6830 3.4098 10.2357 6
7 3.37932 0.29592 12.5227 3.7057 12.3071 7
8 4.02139 0.24867 15.9020 3.9544 14.2965 8
9 4.78545 0.20897 19.9234 4.1633 16.1772 9
10 5.69468 0.17560 24.7089 4.3389 17.9332 10
11 6.77667 0.14757 30.4036 4.4865 19.5564 11
12 8.06424 0.12400 37.1802 4.6105 21.0445 12
13 9.59645 0.10421 45.2445 4.7147 22.3991 13
14 11.41977 0.08757 54.8409 4.8023 23.6251 14
15 13.58953 0.07359 66.2607 4.8759 24.7289 15
16 16.17154 0.06184 79.8502 4.9377 25.7183 16
17 19.24413 0.05196 96.0218 4.9897 26.6017 17
18 22.90052 0.04367 115.2659 5.0333 27.3877 18
19 27.25162 0.03670 138.1664 5.0700 28.0849 19
20 32.42942 0.03084 165.4180 5.1009 28.7016 20
21 38.59101 0.02591 197.8474 5.1268 29.2458 21
22 45.92331 0.02178 236.4385 5.1486 29.7248 22
23 54.64873 0.01830 282.3618 5.1669 30.1457 23
24 65.03199 0.01538 337.0105 5.1822 30.5147 24
i = 0.2
u 1.200000
u1'2 1.095445
Ц1/4 1.046635
ui/12 1.015309
v1/12 0.984921
V1'* 0.955443
v1/2 0.912871
V 0.833333
,(2) 0.190890
,(4) 0.186541
,(12) 0.183714
6 0.182322
d<12) 0.180943
d<4> 0.178229
d'2> 0.174258
i/i<2> 1.047724
»/.<4> 1.072150
j/,d2) 1.088649
»/5 1.096960
»/d(12) 1.105320
i/d^ 1.122152
i/d™ 1.147723
n un vn 1 e co nJ (^«)n| n
1 1.20000 0.83333 1.0000 0.8333 0.8333 1
2 1.44000 0.69444 2.2000 1.5278 2.2222 2
3 1.72800 0.57870 3.6400 2.1065 3.9583 3
4 2.07360 0.48225 5.3680 2.5887 5.8874 4
5 2.48832 0.40188 7.4416 2.9906 7.8967 5
6 2.98598 0.33490 9.9299 3.3255 9.9061 6
7 3.58318 0.27908 12.9159 3.6046 11.8597 7
8 4.29982 0.23257 16.4991 3.8372 13.7202 8
9 5.15978 0.19381 20.7989 4.0310 15.4645 9
10 6.19174 0.16151 25.9587 4.1925 17.0796 10
11 7.43008 0.13459 32.1504 4.3271 18.5600 11
12 8.91610 0.11216 39.5805 4.4392 19.9059 12
13 10.69932 0.09346 48.4966 4.5327 21.1209 13
14 12.83918 0.07789 59.1959 4.6106 22.2113 14
15 15.40702 0.06491 72.0351 4.6755 23.1849 15
16 18.48943 0.05409 87.4421 4.7296 24.0503 16
17 22.18611 0.04507 105.9306 4.7746 24.8166 17
18 26.62333 0.03756 128.1167 4.8122 25.4927 18
19 31.94800 0.03130 154.7400 4.8435 26.0874 19
20 38.33760 0.02608 186.6880 4.8696 26.6091- 20
21 46.00512 0.02174 225.0256 4.8913 27.0655 21
22 55.20614 0.01811 271.0307 4.9094 27.4641 22
23 66.24737 0.01509 326.2369 4.9245 27.8112 23
24 79.49685 0.01258 392.4842 4.9371 28.1131 24
418
Д Таблицы
п Un vn 1 £ со 1 с (/а)п| п
1 1.00500 0.99502 1.0000 0.9950 0.99502 1
2 1.01003 0.99007 2.0050 1.9851 2.97517 2
3 1.01508 0.98515 3.0150 2.9702 5.93062 3
4 1.02015 0.98025 4.0301 3.9505 9.85161 4
5 1.02525 0.97537 5.0503 4.9259 14.72846 5
6 1.03038 0.97052 6.0755 5.8964 20.55157 6
7 1.03553 0.96569 7.1059 6.8621 27.31140 7
8 1.04071 0.96089 8.1414 7.8230 34.99848 8
9 1.04591 0.95610 9.1821 8.7791 43.60342 9
10 1.05114 0.95135 10.2280 9.7304 53.11690 10
11 1.05640 0.94661 11.2792 10.6770 63.52967 11
12 1.06168 0.94191 12.3356 11.6189 74.83253 12
13 1.06699 0.93722 13.3972 12.5562 87.01638 13
14 1.07232 0.93256 14.4642 13.4887 100.0722 14
15 1.07768 0.92792 15.5366 14.4166 113.9909 15
16 1.08307 0.92330 16.6142 15.3399 128.7637 16
17 1.08849 0.91871 17.6973 16.2586 144.3818 17
18 1.09393 0.91414 18.7858 17.1728 160.8362 18
19 1.09940 0.90959 19.8797 18.0824 178.1184 19
20 1.10490 0.90506 20.9791 18.9874 196.2196 20
21 1.11042 0.90056 22.0840 19.8880 215.1314 21
22 1.11597 0.89608 23.1944 20.7841 234.8452 22
23 1.12155 0.89162 24.3104 21.6757 255.3524 23
24 1.12716 0.88719 25.4320 22.5629 276.6449 24
25 1.13280 0.88277 26.5591 23.4456 298.7142 25
26 1.13846 0.87838 27.6919 24.3240 321.5521 26
27 1.14415 0.87401 28.8304 25.1980 345.1503 27
28 1.14987 0.86966 29.9745 26.0677 369.5009 28
29 1.15562 0.86533 31.1244 26.9330 394.5956 29
30 1.16140 0.86103 32.2800 27.7941 420.4265 30
31 1.16721 0.85675 33.4414 28.6508 446.9856 31
32 1.17304 0.85248 34.6086 29.5033 474.2651 32
33 1.17891 0.84824 35.7817 30.3515 502.2571 33
34 1.18480 0.84402 36.9606 31.1956 530.9538 34
35 1.19073 0.83982 38.1454 32.0354 560.3476 35
36 1.19668 0.83564 39.3361 32.8710 590.4309 36
37 1 20266 0.83149 40.5328 33.7025 621.1959 37
38 1.20868 0.82735 41.7355 34.5299 652.6352 38
39 1.21472 0.82323 42.9441 35.3531 684.7414 39
40 1 22079 0.81914 44.1589 36.1722 717.5069 40
41 1.22690 0.81506 45.3796 36.9873 750.9245 41
42 1.23303 0.81101 46.6065 37.7983 784.9869 42
43 1.23920 0.80697 47.8396 38.6053 819.6867 43
44 1.24539 0.80296 49.0788 39.4082 855.0169 44
45 1.25162 0.79896 50.3242 40.2072 890.9703 45
46 1.25788 0.79499 51.5758 41.0022 927.5398 46
47 1.26417 0.79103 52.8337 41.7932 964.7184 47
48 1.27049 0.78710 54.0978 42.5803 1002.499 48
49 1.27684 0.78318 55.3683 43.3635 1040.875 49
50 1.28323 0.77929 56.6452 44.1428 1079.839 50
i = 0.005
и 1.005000
и1/2 1.002497
и1/4 1.001248
и*/*2 1.000416
v1/12 0.999584
V*/4 0.998754
v1/2 0.997509
V 0.995020
,(о 01) 0.006467
,(0 02) 0.005665
,(0 05) 0.005245
,(0 1) 0.005114
,(1/5) 0.005050
,0/4) 0.005038
,(1/3) 0.005025
,(1/2) 0 005013
1 0.005000
,<2> 0.004994
,(4) 0.004991
,(12) 0.004989
6 0.004988
d<‘2> 0.004987
d'4> 0.004984
d<2> 0.004981
d 0.004975
d6/2) 0.004963
d^ 0.004950
№ 0.004938
dP™ 0.004925
d<01> 0.004865
j(0 05) 0.004747
j(0 02) 0.004414
j(0 01) 0.003927
1/1<° 21 0.990099
l/l<‘/4> 0.992457
,/,d/3) 0.995025
,/,(l/2) 0.997407
t/«'2> 1.001201
1.001803
,/,(l2) 1.002205
t/8 1.002486
l/d^ 1.002707
i/dw 1.003210
i/d™ 1.003814
t/d^ 1.007455
1.010101
i/d(‘/4> 1.012556
i/d<° 2> 1.015022
1 Финансовые таблицы
419
i = 0.01
и 1.010000
и'/2 1.004988
и*/4 1.002491
„1/12 1.000830
V1/12 0.999171
v1/4 0.997516
v1/2 0.995037
V 0.990099
,(0 01) 0.017048
г(0 02) 0.012893
г(0 05) 0.011010
г(0 1) 0.010462
г(1/5) 0.010202
г(1/4) 0.010151
г(1/3) 0.010100
г(1/2) 0 010050
г 0 010000
г'2’ 0.009975
г'4’ 0.009963
г(12) 0.009954
8 0.009950
0.009946
d'4’ 0.009938
d'2’ 0.009926
d 0.009901
d^m 0.009852
d(l/3) 0.009803
jU/O 0.009755
d'1/5’ 0.009707
d'°'’ 0.009471
j(0 05) 0.009023
j(0 02) 0.007839
J(O 01) 0.006303
г/г'02’ 0.980200
г/г(,/4) 0.985125
г/г'1/3’ 0.990099
г/г"/2’ 0.995025
г/г'2’ 1.002494
г/г'4’ 1.003742
г/г"2’ 1.004575
i/6 1.004993
г/d^ 1.005408
г/d'4’ 1.006242
г/d'2’ 1.007494
г/d"/2’ 1.015022
г/d"/3’ 1.020096
г/d"/4’ 1.025115
г/d'0 2’ 1.030184
п Un vn 1 с со 1 с СЗ (/а)п| п
1 1.01000 0.99010 1.0000 0.9901 0.9901 1
2 1.02010 0.98030 2.0100 1.9704 2.9507 2
3 1.03030 0.97059 3.0301 2.9410 5.8625 3
4 1.04060 0.96098 4.0604 3.9020 9.7064 4
5 1.05101 0.95147 5.1010 4.8534 14.4637 5
6 1.06152 0.94205 6.1520 5.7955 20.1160 6
7 1.07214 0.93272 7.2135 6.7282 26.6450 7
8 1.08286 0.92348 8.2857 7.6517 34.0329 8
9 1.09369 0.91434 9.3685 8.5660 42.2619 9
10 1.10462 0.90529 10.4622 9.4713 51.3148 10
11 1.11567 0.89632 11.5668 10.3676 61.1744 11
12 1.12683 0.88745 12.6825 11.2551 71.8238 12
13 1.13809 0.87866 13.8093 12.1337 83.2464 13
14 1.14947 0.86996 14.9474 13.0037 95.4258 14
15 1.16097 0.86135 16.0969 13.8651 108.3461 15
16 1.17258 0.85282 17.2579 14.7179 121.9912 16
17 1.18430 0.84438 18.4304 15.5623 136.3456 17
18 1.19615 0.83602 19.6147 16.3983 151.3940 18
19 1.20811 0.82774 20.8109 17.2260 167.1210 19
20 1.22019 0.81954 22.0190 18.0456 183.5119 20
21 1.23239 0.81143 23.2392 18.8570 200.5519 21
22 1.24472 0.80340 24.4716 19.6604 218.2267 22
23 1.25716 0.79544 25.7163 20.4558 236.5218 23
24 1.26973 0.78757 26.9735 21.2434 255.4234 24
25 1.28243 0.77977 28.2432 22.0232 274.9176 25
26 1.29526 0.77205 29.5256 22.7952 294.9909 26
27 1.30821 0.76440 30.8209 23.5596 315.6298 27
28 1.32129 0.75684 32.1291 24.3164 336.8212 28
29 1.33450 0.74934 33.4504 25.0658 358.5521 29
30 1.34785 0.74192 34.7849 25.8077 380.8098 30
31 1.36133 0.73458 36.1327 26.5423 403.5817 31
32. 1.37494 0.72730 37.4941 27.2696 426.8554 32
33 1.38869 0.72010 38.8690 27.9897 450.6188 33
34 1.40258 0.71297 40.2577 28.7027 474.8599 34
35 1.41660 0.70591 41.6603 29.4086 499.5669 35
36 1.43077 0.69892 43.0769 30.1075 524.7282 36
37 1.44508 0.69200 44.5076 30.7995 550.3324 37
38 1.45953 0.68515 45.9527 31.4847 576.3682 38
39 1.47412 0.67837 47.4123 32.1630 602.8246 39
40 1.48886 0.67165 48.8864 32.8347 629.6907 40
41 1.50375 0.66500 50.3752 33.4997 656.9559 41
42 1.51879 0.65842 51.8790 34.1581 684.6095 42
43 1.53398 0.65190 53.3978 34.8100 712.6412 43
44 1.54932 0.64545 54.9318 35.4555 741.0408 44
45 1.56481 0.63905 56.4811 36.0945 769.7982 45
46 1.58046 0.63273 58.0459 36.7272 798.9037 46
47 1.59626 0.62646 59.6263 37.3537 828.3475 47
48 1.61223 0.62026 61.2226 37.9740 858.1200 48
49 1.62835 0.61412 62.8348 38.5881 888.2118 49
50 1.64463 0.60804 64.4632 39.1961 918.6137 50
420
Д Таблицы
п ип и” 1 с со 1 с ('“hi п
1 1.01500 0.98522 1.0000 0.9852 0.9852 1
2 1.03023 0.97066 2.0150 1.9559 2.9265 2
3 1.04568 0.95632 3.0452 2.9122 5.7955 3
4 1.06136 0.94218 4.0909 3.8544 9.5642 4
5 1.07728 0.92826 5.1523 4.7826 14.2055 5
6 1.09344 0.91454 6.2296 5.6972 19.6928 6
7 1.10984 0.90103 7.3230 6.5982 26.0000 7
8 1.12649 0.88771 8.4328 7.4859 33.1017 8
9 1.14339 0.87459 9.5593 8.3605 40.9730 9
10 1.16054 0.86167 10.7027 9.2222 49.5897 10
11 1.17795 0.84893 11.8633 10.0711 58.9279 11
12 1.19562 0.83639 13.0412 10.9075 68.9646 12
13 1.21355 0.82403 14.2368 11.7315 79.6769 13
14 1 23176 0.81185 15.4504 12.5434 91.0428 14
15 1.25023 0.79985 16.6821 13.3432 103.0406 15
16 1.26899 0.78803 17.9324 14.1313 115.6491 16
17 1.28802 0.77639 19.2014 14.9076 128.8476 17
18 1.30734 0.76491 20.4894 15.6726 142.6161 18
19 1.32695 0.75361 21.7967 16.4262 156.9346 19
20 1.34686 0.74247 23.1237 17.1686 171.7840 20
21 1.36706 0.73150 24.4705 17.9001 187.1455 21
22 1.38756 0.72069 25.8376 18.6208 203.0006 22
23 1.40838 0.71004 27.2251 19.3309 219.3314 23
24 1.42950 0.69954 28.6335 20.0304 236.1205 24
25 1.45095 0.68921 30.0630 20.7196 253.3506 25
26 1.47271 0.67902 31.5140 21.3986 271.0052 26
27 1.49480 0.66899 32.9867 22.0676 289.0678 27
28 1.51722 0.65910 34.4815 22.7267 307.5226 28
29 1.53998 0.64936 35.9987 23.3761 326.3540 29
30 1.56308 0.63976 37.5387 24.0158 345.5469 30
31 1.58653 0.63031 39.1018 24.6461 365.0864 31
32 1 61032 0.62099 40.6883 25.2671 384.9582 32
33 1.63448 0.61182 42.2986 25.8790 405.1481 33
34 1.65900 0.60277 43.9331 26.4817 425.6424 34
35 1.68388 0.59387 45.5921 27.0756 446.4277 35
36 1.70914 0.58509 47.2760 27.6607 467.4909 36
37 1.73478 0.57644 48.9851 28.2371 488.8193 37
38 1.76080 0.56792 50.7199 28.8051 510.4005 38
39 1.78721 0.55953 52.4807 29.3646 532.2222 39
40 1.81402 0.55126 54.2679 29.9158 554.2727 40
41 1.84123 0.54312 56.0819 30.4590 576.5404 41
42 1.86885 0.53509 57.9231 30.9940 599.0142 42
43 1.89688 0.52718 59.7920 31.5212 621.6830 43
44 1.92533 0.51939 61.6889 32.0406 644.5362 44
45 1.95421 0.51171 63.6142 32.5523 667.5633 45
46 1.98353 0.50415 65.5684 33.0565 690.7543 46
47 2.01328 0.49670 67.5519 33.5532 714.0993 47
48 2.04348 0.48936 69.5652 34.0426 737.5887 48
49 2.07413 0.48213 71.6087 34.5247 761.2131 49
50 2.10524 0.47500 73.6828 34.9997 784.9633 50
i = 0.015
U 1.015000
и1/2 1.007472
и1'4 1.003729
и'/'2 1.001241
V1/12 0.998760
v1'4 0.996285
vl/2 0.992583
V 0.985222
,(0 01) 0.034320
,(0 02) 0.022105
,(0 05) 0.017343
,(0 1) 0.016054
,(1/5) 0.015457
,(1/0 0.015341
,(1/3) 0.015226
,(1/2) 0.015113
I 0.015000
t<2> 0.014944
.<4> 0.014916
j(12) 0.014898
s 0.014889
d<“' 0.014879
d<4’ 0.014861
d<2> 0.014833
d 0.014778
d(l/2> 0.014669
d(l/3) 0.014561
dd/4) 0.014454
d(l/5) 0.014348
d(°D 0.013833
j(0 05) 0.012876
J(O 02) 0.010500
^(0 01) 0.007744
./.<° 2> 0.970434
,/,(*/4) 0.977772
0.985157
,/,(l/2) 0.992523
t/.<2) 1.003747
i/.<4> 1.005632
t/.<12» 1.006847
,/<J 1.007455
i/dW 1.008132
i/dW 1.009353
i/d™ 1.011259
i/d^ 1.022565
l/d">3> 1.030149
г/d"'" 1.037775
t/d'° 2> 1.045442
1 Финансовые таблицы
421
i = 0.02
U 1.020000
и1'2 1.009950
и1'4 1.004963
ul/>2 1.001652
0.998351
v1/4 0.995062
v1/2 0.990148
V 0.980392
7(0 01) 0.062446
г(0 02) 0.033832
г(0 05) 0.024297
г(° 1) 0.021899
,(1/5) 0.020816
,(1/4) 0.020608
г(1/3) 0.020403
г(1/2) 0.020200
г 0.020000
,(2) 0.019901
0.019852
г(!2) 0.019819
8 0.019803
d<12> 0.019786
d<4> 0.019754
d'2) 0.019705
d 0.019608
d(1/2> 0.019416
d0/3) 0.019226
d(l,i} 0.019039
d0/5) 0.018854
d(01> 0.017965
j(0 05) 0.016351
</(0 02) 0.012569
</(0 01) 0.008620
,/,(0 2) 0.960799
«/t('/4> 0.970497
0.980248
,/,(>/2) 0.990099
t/.<2’ 1.004975
t/«<4> 1.007469
t/t<12> 1.009134
t/<5 1.009967
l/d^ 1.010801
l/dw 1.012469
t/dw 1.014975
i/d"/2> 1.030078
г/d'1/3» 1.040258
j/d11'4» 1.050475
i/d<02» 1.060783
п Un vn 1 с со 1 с п
1 1.02000 0.98039 1.0000 0.9804 0.9804 1
2 1.04040 0.96117 2.0200 1.9416 2.9027 2
3 1.06121 0.94232 3.0604 2.8839 5.7297 3
4 1.08243 0.92385 4.1216 3.8077 9.4251 4
5 1.10408 0.90573 5.2040 4.7135 13.9537 5
6 1.12616 0.88797 6.3081 5.6014 19.2816 6
7 1.14869 0.87056 7.4343 6.4720 25.3755 7
8 1.17166 0.85349 8.5830 7.3255 32.2034 8
9 1.19509 0.83676 9.7546 8.1622 39.7342 9
10 1.21899 0.82035 10.9497 8.9826 47.9377 10
11 1.24337 0.80426 12.1687 9.7868 56.7846 11
12 1.26824 0.78849 13.4121 10.5753 66.2465 12
13 1.29361 0.77303 14.6803 11.3484 76.2959 13
14 1.31948 0.75788 15.9739 12.1062 86.9062 14
15 1.34587 0.74301 17.2934 12.8493 98.0514 15
16 1.37279 0.72845 18.6393 13.5777 109.7065 16
17 1.40024 0.71416 20.0121 14.2919 121.8473 17
18 1.42825 0.70016 21.4123 14.9920 134.4502 18
19 1.45681 0.68643 22.8406 15.6785 147.4923 19
20 1.48595 0.67297 24.2974 16.3514 160.9518 20
21 1.51567 0.65978 25.7833 17.0112 174.8071 21
22 1.54598 0.64684 27.2990 17.6580 189.0375 22
23 1.57690 0.63416 28.8450 18.2922 203.6231 23
24 1.60844 0.62172 30.4219 18.9139 218.5444 24
25 1.64061 0 60953 32.0303 19.5235 233.7827 25
26 1.67342 0.59758 33.6709 20.1210 249.3198 26
27 1.70689 0.58586 35.3443 20.7069 265.1380 27
28 1.74102 0.57437 37.0512 21.2813 281.2205 28
29 1.77584 0.56311 38.7922 21.8444 297.5508 29
30 1.81136 0.55207 40.5681 22.3965 314.1129 30
31 1.84759 0.54125 42.3794 22.9377 330.8915 31
32 1.88454 0.53063 44.2270 23.4683 347.8718 32
33 1.92223 0.52023 46.1116 23.9886 365.0393 33
34 1.96068 0.51003 48.0338 24.4986 382.3803 34
35 1.99989 0.50003 49.9945 24.9986 399.8813 35
36 2.03989 0.49022 51.9944 25.4888 417.5293 36
37 2.08069 0.48061 54.0343 25.9695 435.3119 37
38 2.12230 0.47119 56.1149 26.4406 453.2170 38
39 2.16474 0.46195 58.2372 26.9026 471.2330 39
40 2.20804 0.45289 60.4020 27.3555 489.3486 40
41 2.25220 0.44401 62.6100 27.7995 507.5530 41
42 2.29724 0.43530 64.8622 28.2348 525.8358 42
43 2.34319 0.42677 67.1595 28.6616 544.1869 43
44 2.39005 0.41840 69.5027 29.0800 562.5965 44
45 2.43785 0.41020 71.8927 29.4902 581.0553 45
46 2.48661 0.40215 74.3306 29.8923 599.5544 46
47 2.53634 0.39427 76.8172 30.2866 618.0850 47
48 2.58707 0.38654 79.3535 30.6731 636.6388 48
49 2.63881 0.37896 81.9406 31.0521 655.2078 49
50 2.69159 0.37153 84.5794 31.4236 673.7842 50
422
Д Таблицы
п Un vn 1 с со 1 £ сз ('“hi п
1 1.02500 0.97561 1.0000 0.9756 0.9756 1
2 1.05063 0.95181 2.0250 1.9274 2.8792 2
3 1.07689 0.92860 3.0756 2.8560 5.6650 3
4 1.10381 0.90595 4.1525 3.7620 9.2888 4
5 1.13141 0.88385 5.2563 4.6458 13.7081 5
6 1.15969 0.86230 6.3877 5.5081 18.8819 6
7 1.18869 0.84127 7.5474 6.3494 24.7707 7
8 1.21840 0.82075 8.7361 7.1701 31.3367 8
9 1.24886 0.80073 9.9545 7.9709 38.5433 9
10 1.28008 0.78120 11.2034 8.7521 46.3553 10
11 1.31209 0.76214 12.4835 9.5142 54.7389 11
12 1.34489 0.74356 13.7956 10.2578 63.6615 12
13 1.37851 0.72542 15.1404 10.9832 73.0920 13
14 1.41297 0.70773 16.5190 11.6909 83.0002 14
15 1.44830 0.69047 17.9319 12.3814 93.3572 15
16 1.48451 0.67362 19.3802 13.0550 104.1352 16
17 1.52162 0.65720 20.8647 13.7122 115.3075 17
18 1.55966 0.64117 22.3863 14.3534 126.8485 18
19 1.59865 0.62553 23.9460 14.9789 138.7335 19
20 1.63862 0.61027 25.5447 15.5892 150.9389 20
21 1.67958 0.59539 27.1833 16.1845 163.4420 21
22 1.72157 0.58086 28.8629 16.7654 176.2210 22
23 1.76461 0.56670 30.5844 17.3321 189.2551 23
24 1.80873 0.55288 32.3490 17.8850 202.5241 24
25 1.85394 0.53939 34.1578 18.4244 216.0088 25
26 1.90029 0.52623 36.0117 18.9506 229.6910 26
27 1.94780 0.51340 37.9120 19.4640 243.5527 27
28 1.99650 0.50088 39.8598 19.9649 257 5773 28
29 2.04641 0.48866 41.8563 20.4535 271.7485 29
30 2.09757 0.47674 43.9027 20.9303 286.0508 30
31 2.15001 0.46511 46.0003 21.3954 300.4693 31
32 2.20376 0.45377 48.1503 21.8492 314.9900 32
33 2.25885 0.44270 50.3540 22.2919 329.5992 33
34 2.31532 0.43191 52.6129 22.7238 344.2840 34
35 2.37321 0.42137 54.9282 23.1452 359 0320 35
36 2.43254 0.41109 57.3014 23.5563 373.8313 36
37 2.49335 0.40107 59.7339 23.9573 388.6708 37
38 2.55568 0.39128 62.2273 24.3486 403.5396 38
39 2.61957 0.38174 64.7830 24.7303 418.4276 39
40 2.68506 0.37243 67.4026 25.1028 433.3248 40
41 2.75219 0.36335 70.0876 25.4661 448.2220 41
42 2.82100 0.35448 72.8398 25.8206 463.1104 42
43 2.89152 0.34584 75.6608 26.1664 477.9814 43
44 2.96381 0.33740 78 5523 26.5038 492.8272 44
45 3 03790 0.32917 81.5161 26.8330 507.6401 45
46 3.11385 0.32115 84.5540 27.1542 522.4128 46
47 3.19170 0.31331 87.6679 27.4675 537.1385 47
48 3.27149 0.30567 90.8596 27.7732 551.8107 48
49 3.35328 0.29822 94.1311 28.0714 566.4232 49
50 3.43711 0.29094 97.4843 28.3623 580.9704 50
и 1.025000
и''2 1 012423
и'14 1.006192
и1/>2 1 002060
0.997944
v1/4 0 993846
v1'2 0.987730
V 0.975610
,(001) 0.108137
,(0 02) 0.048742
,(о 05> 0.031931
г(0 1) 0.028008
,(1/5) 0.026282
,(1/«) 0.025953
,(1/3) 0.025630
,(1/2) 0.025313
I 0.025000
г'2» 0.024846
г'4» 0.024769
,(12) 0.024718
<5 0.024693
d"2> 0 024667
d"> 0.024617
d'2> 0 024541
d 0.024390
d"/2' 0 024093
d"/3> 0.023800
d"/4> 0.023512
d"/*> 0.023229
d'01> 0 021880
j(0 05) 0.019486
j(0 02) 0.014181
j(0 01) 0.009154
г/г<° 2> 0.951221
г/г"/4» 0.963280
г/г"/3» 0.975419
г/г"/2» 0.987635
г/г'2» 1.006198
г/г'4» 1.009326
г/г"2» 1 011409
г/6 1 012433
i/d^ 1 013500
г/d'4' 1 015558
г/d'2' 1 018703
г/d"!2' 1 037646
г/d'1^ 1.050420
г/d"!4' 1.063287
г/d'0 2> 1.076241
1 Финансовые таблицы
423
i — 0.03
и 1.030000
u1/2 1.014889
u1/4 1 007417
1.002466
vl/12 0.997540
v1/4 0.992638
v1/2 0.985329
V 0.970874
г(° 01) 0.182186
j(0 02) 0.067678
,(0 05) 0.040306
,(° 1) 0.034392
,(1/5) 0.031855
,(1/1) 0.031377
tU/3) 0.030909
г(1/2) 0.030450
I 0.030000
l'2’ 0.029778
г'4’ 0.029668
г(12) 0 029595
8 0.029559
d,12> 0 029522
d(4> 0.029450
d<21 0.029341
d 0.029126
d0/2) 0.028702
0.028286
jd/4) 0.027878
dU/5) 0.027478
£/(1/10) 0.025591
j(l/20) 0.022316
J(1/5O) 0.015438
£/(1/100) 0.009480
t/.<° 2> 0.941767
i/г'1'4’ 0.956114
0.970591
г/?1'2» 0.985222
г/г<2> 1.007445
г/?4’ 1.011181
j/i|12) 1.013677
г/<5 1 014926
г/а<12> 1.016177
г/d'4’ 1.018681
г/d'2’ 1.022445
г/d'1/2’ 1.045223
г/d'1'3’ 1.060595
г/d^ 1.076117
г/d'02’ 1.091783
п Un vn 1 £ со 1 £ ('<1 п
1 1.03000 0.97087 1 0000 0 9709 0 9709 1
2 1.06090 0 94260 2 0300 1.9135 2 8561 2
3 1.09273 0.91514 3.0909 2.8286 5.6015 3
4 1.12551 0.88849 4.1836 3.7171 9.1554 4
5 1.15927 0.86261 5.3091 4.5797 13.4685 5
6 1.19405 0.83748 6.4684 5.4172 18.4934 6
7 1.22987 0.81309 7.6625 6.2303 24.1850 7
8 1.26677 0.78941 8.8923 7.0197 30.5003 8
9 1.30477 0.76642 10.1591 7.7861 37.3981 9
10 1.34392 0.74409 11.4639 8.5302 44.8390 10
11 1.38423 0.72242 12.8078 9.2526 52.7856 11
12 1.42576 0.70138 14.1920 9.9540 61.2022 12
13 1.46853 0.68095 15.6178 10.6350 70.0546 13
14 1.51259 0.66112 17.0863 11.2961 79.3102 14
15 1.55797 0.64186 18.5989 11.9379 88.9381 15
16 1.60471 0.62317 20.1569 12.5611 98.9088 16
17 1.65285 0.60502 21.7616 13.1661 109.1941 17
18 1.70243 0.58739 23.4144 13.7535 119.7672 18
19 1.75351 0.57029 25.1169 14.3238 130.6026 19
20 1.80611 0.55368 26.8704 14.8775 141.6761 20
21 1 86029 0.53755 28.6765 15 4150 152.9647 21
22 1.91610 0.52189 30.5368 15.9369 164.4463 22
23 1.97359 0.50669 32.4529 16.4436 176.1002 23
24 2.03279 0.49193 34.4265 16.9355 187 9066 24
25 2.09378 0.47761 36.4593 17 4131 199.8468 25
26 2.15659 0.46369 38.5530 17.8768 211.9028 26
27 2.22129 0.45019 40.7096 18.3270 224.0579 27
28 2.28793 0.43708 42.9309 18.7641 236.2961 28
29 2.35657 0.42435 45.2189 19.1885 248.6021 29
30 2.42726 0.41199 47.5754 19.6004 260.9617 30
31 2.50008 0.39999 50.0027 20.0004 273.3613 31
32 2.57508 0.38834 52.5028 20.3888 285.7881 32
33 2.65234 0.37703 55.0778 20.7658 298.2300 33
34 2.73191 0.36604 57.7302 21.1318 310.6755 34
35 2.81386 0.35538 60.4621 21.4872 323.1139 35
36 2.89828 0.34503 63.2759 21.8323 335.5351 36
37 2.98523 0.33498 66.1742 22.1672 347.9295 37
38 3.07478 0.32523 69.1594 22.4925 360.2881 38
39 3.16703 0.31575 72.2342 22.8082 372 6024 39
40 3.26204 0.30656 75.4013 23.1148 384.8647 40
41 3.35990 0.29763 78.6633 23.4124 397 0675 41
42 3.46070 0.28896 82.0232 23.7014 409.2038 42
43 3.56452 0 28054 85.4839 23.9819 421.2671 43
44 3.67145 0.27237 89.0484 24.2543 433.2515 44
45 3.78160 0.26444 92.7199 24.5187 445.1512 45
46 3.89504 0.25674 96.5015 24.7754 456.9611 46
47 4.01190 0.24926 100.396 25.0247 468.6762 47
48 4.13225 0.24200 104.408 25.2667 480.2922 48
49 4.25622 0.23495 108.541 25.5017 491.8047 49
50 4.38391 0.22811 112.797 25.7298 503.2101 50
424
Д Таблицы
п Un vn 1 £ со 1 с е п
1 1.03500 0.96618 1.0000 0.9662 0.9662 1
2 1.07123 0.93351 2.0350 1.8997 2.8332 2
3 1.10872 0.90194 3.1062 2.8016 5.5390 3
4 1.14752 0.87144 4.2149 3.6731 9.0248 4
5 1.18769 0.84197 5.3625 4.5151 13.2347 5
6 1.22926 0.81350 6.5502 5.3286 18.1157 6
7 1.27228 0.78599 7.7794 6.1145 23.6176 7
8 1.31681 0.75941 9.0517 6.8740 29.6929 8
9 1.36290 0.73373 10.3685 7.6077 36.2965 9
10 1.41060 0.70892 11.7314 8.3166 43.3857 10
11 1.45997 0.68495 13.1420 9.0016 50.9201 11
12 1.51107 0.66178 14.6020 9.6633 58.8615 12
13 1.56396 0.63940 16.1130 10.3027 67.1737 13
14 1.61869 0.61778 17.6770 10.9205 75.8227 14
15 1.67535 0.59689 19.2957 11.5174 84.7760 15
16 1.73399 0.57671 20.9710 12.0941 94.0033 16
17 1.79468 0.55720 22.7050 12.6513 103.4758 17
18 1.85749 0.53836 24.4997 13.1897 113.1663 18
19 1.92250 0.52016 26.3572 13.7098 123.0492 19
20 1.98979 0.50257 28.2797 14.2124 133.1006 20
21 2.05943 0.48557 30.2695 14.6980 143.2976 21
22 2.13151 0.46915 32.3289 15.1671 153.6189 22
23 2.20611 0.45329 34.4604 15.6204 164.0444 23
24 2.28333 0.43796 36.6665 16.0584 174.5554 24
25 2.36324 0.42315 38.9499 16.4815 185.1341 25
26 2.44596 0.40884 41.3131 16.8904 195.7639 26
27 2.53157 0.39501 43.7591 17.2854 206.4292 27
28 2.62017 0.38165 46.2906 17.6670 217.1155 28
29 2.71188 0.36875 48.9108 18.0358 227.8092 29
30 2.80679 0.35628 51.6227 18.3920 238.4976 30
31 2.90503 0.34423 54.4295 18.7363 249.1687 31
32 3.00671 0.33259 57.3345 19.0689 259.8116 32
33 3.11194 0.32134 60.3412 19.3902 270.4159 33
34 3.22086 0.31048 63.4532 19.7007 280.9721 34
35 3.33359 0.29998 66.6740 20.0007 291.4713 35
36 3.45027 0.28983 70.0076 20.2905 301.9052 36
37 3.57103 0.28003 73.4579 20.5705 312.2664 37
38 3.69601 0.27056 77.0289 20.8411 322.5478 38
39 3.82537 0.26141 80.7249 21.1025 332.7429 39
40 3.95926 0.25257 84.5503 21.3551 342.8458 40
41 4.09783 0.24403 88.5095 21.5991 352.8510 41
42 4.24126 0.23578 92.6074 21.8349 362.7538 42
43 4.38970 0.22781 96.8486 22.0627 372.5494 43
44 4.54334 0.22010 101.238 22.2828 382.2339 44
45 4.70236 0.21266 105.782 22.4955 391.8036 45
46 4.86694 0.20547 110.484 22.7009 401.2551 46
47 5.03728 0.19852 115.351 22.8994 410.5855 47
48 5.21359 0.19181 120.388 23.0912 419.7922 48
49 5.39606 0.18532 125.602 23.2766 428.8729 49
50 5.58493 0.17905 130.998 23.4556 437.8256 50
i = 0.035
U 1.035000
и1/2 1.017349
u'/4 1.008637
t?/12 1.002872
v'/12 0.997138
vl/4 0.991437
vl/2 0.982946
V 0.966184
j(0 01) 0.301914
,(° 02) 0.067678
j(0 05) 0.049489
,(01) 0.041060
,(1/5) 0.037537
,(1/4) 0.036881
j(l/3) 0.036239
j(l/2) 0.035613
I 0.035000
t<2> 0.034699
,-(-) 0.034550
,(12) 0.034451
<5 0.034401
d(12) 0.034352
d(4) 0.034254
d<2> 0.034107
d 0.033816
0.33245
№ 0.32686
d(‘/4) 0.32139
d(l/5) 0.31605
d(°l) 0.029108
d(0 05) 0.024872
d(0 02) 0.016419
d(0 01) 0.009679
./l<° 21 0.932413
г/»'1'4’ 0.948998
t/l’1'3» 0.965810
,/,(l/2) 0.982787
1.008675
1.013025
,/,(l2) 1.015936
«/<5 1.017412
t/d<12’ 1.018864
t/d<4> 1.021778
i/d<2’ 1.026182
./d'1'2’ 1.052790
1.070795
./dC/4’ 1.089020
./d<° 2> 1.107420
1 Финансовые таблицы
425
i = 0.04
и 1.040000
и'/2 1.019804
и1'4 1.009853
и‘/12 1.003274
v‘/12 0.996737
v1/4 0.990243
vl/2 0.980581
V 0.961538
,(0 01) 0.495049
,(о 02) 0.122134
,(О 05) 0.059556
j(0 1) 0.048024
t(l/5) 0.043331
,(1/4) 0.042465
:(l/3) 0.041621
,(1/2) 0.040800
I 0.040000
,(2) 0.039608
j«) 0.039414
j(12) 0.039285
6 0.039221
d<12> 0.039157
d<4> 0.039029
d<2> 0.038839
d 0.038462
dt1'2' 0.037722
dt1'3' 0.037001
dt1'4' 0.036299
d(!/5) 0.035615
d<°” 0.032444
j(0 05) 0.027181
^(0 02) 0.017186
(/(0 01) 0.009802
,/,(° 2) 0.923127
,/,d/4) 0.941952
,/,(1/3) 0.961053
,/,(l/2) 0.980392
»/.<2> 1.009902
»/.c> 1.014877
,/,(12) 1.018204
./J 1.019869
./d<‘2> 1.021537
,/d<4> 1.024877
./d<2> 1.029902
,/d<*'2> 1.060389
i/d'1'3' 1.081052
./</<*/4> 1.101959
./d(°2> 1.123122
п Un vn <z 1 с Л? п
1 1.04000 0.96154 1.0000 0.9615 0.9615 1
2 1.08160 0.92456 2.0400 1.8861 2.8107 2
3 1.12486 0.88900 3.1216 2.7751 5.4776 3
4 1.16986 0.85480 4.2465 3.6299 8.8969 4
5 1.21665 0.82193 5.4163 4.4518 13.0065 5
6 1.26532 0.79031 6.6330 5.2421 17.7484 6
7 1.31593 0.75992 7.8983 6.0021 23.0678 7
8 1.36857 0.73069 9.2142 6.7327 28.9133 8
9 1.42331 0.70259 10.5828 7.4353 35.2366 9
10 1.48024 0.67556 12.0061 8.1109 41.9922 10
11 1.53945 0.64958 13.4864 8.7605 49.1376 11
12 1.60103 0.62460 15.0258 9.3851 56.6328 12
13 1.66507 0.60057 16.6268 9.9856 64.4403 13
14 1.73168 0.57748 18.2919 10.5631 72.5249 14
15 1.80094 0.55526 20.0236 11.1184 80.8539 15
16 1.87298 0.53391 21.8245 11.6523 89.3964 16
17 1.94790 0.51337 23.6975 12.1657 98.1238 17
18 2.02582 0.49363 25.6454 12.6593 107.0091 18
19 2.10685 0.47464 27.6712 13.1339 116.0273 19
20 2.19112 0.45639 29.7781 13.5903 125.1550 20
21 2.27877 0.43883 31.9692 14.0292 134.3705 21
22 2.36992 0.42196 34.2480 14.4511 143.6535 22
23 2.46472 0.40573 36.6179 14.8568 152.9852 23
24 2.56330 0.39012 39.0826 15.2470 162.3482 24
25 2.66584 0.37512 41.6459 15.6221 171.7261 25
26 2.77247 0.36069 44.3117 15.9828 181.1040 26
27 2.88337 0.34682 47.0842 16.3296 190.4680 27
28 2.99870 0.33348 49.9676 16.6631 199.8054 28
29 3.11865 0.32065 52.9663 16.9837 209.1043 29
30 3.24340 0.30832 56.0849 17.2920 218.3539 30
31 3.37313 0.29646 59.3283 17.5885 227.5441 31
32 3.50806 0.28506 62.7015 17.8736 236.6660 32
33 3.64838 0.27409 66.2095 18.1476 245.7111 33
34 3.79432 0.26355 69.8579 18.4112 254.6719 34
35 3.94609 0.25342 73.6522 18.6646 263.5414 35
36 4.10393 0.24367 77.5983 18.9083 272.3135 36
37 4.26809 0.23430 81.7022 19.1426 280.9825 37
38 4.43881 0.22529 85.9703 19.3679 289.5433 38
39 4.61637 0.21662 90.4091 19.5845 297.9915 39
40 4.80102 0.20829 95.0255 19.7928 306.3231 40
41 4.99306 0.20028 99.8265 19.9931 314.5345 41
42 5.19278 0.19257 104.820 20.1856 322.6226 42
43 5.40050 0.18517 110.012 20.3708 330.5849 43
44 5.61652 0.17805 115.413 20.5488 338.4189 44
45 5.84118 0.17120 121.029 20.7200 346.1228 45
46 6.07482 0.16461 126.871 20.8847 353.6951 46
47 6.31782 0.15828 132.945 21.0429 361.1343 47
48 6.57053 0.15219 139.263 21.1951 368.4397 48
49 6.83335 0.14634 145.834 21.3415 375.6104 49
50 7.10668 0.14071 152.667 21.4822 382.6460 50
426
Д Таблицы
п ип vn sn| 1 g е (/«)й| п
1 1.04500 0.95694 1.0000 0.9569 0.9569 1
2 1.09203 0.91573 2.0450 1.8727 2.7884 2
3 1.14117 0.87630 3.1370 2.7490 5.4173 3
4 1.19252 0.83856 4.2782 3.5875 8.7715 4
5 1.24618 0.80245 5.4707 4.3900 12.7838 5
6 1.30226 0.76790 6.7169 5.1579 17.3912 6
7 1.36086 0.73483 8.0192 5.8927 22.5350 7
8 1.42210 0.70319 9.3800 6.5959 28.1604 8
9 1.48610 0.67290 10.8021 7.2688 34.2166 9
10 1.55297 0.64393 12.2882 7.9127 40.6559 10
11 1.62285 0.61620 13.8412 8.5289 47.4340 11
12 1.69588 0.58966 15.4640 9.1186 54.5100 12
13 1.77220 0.56427 17.1599 9.6829 61.8455 13
14 1.85194 0.53997 18.9321 10.2228 69.4052 14
15 1.93528 0.51672 20.7841 10.7395 77.1560 15
16 2.02237 0.49447 22.7193 11.2340 85.0675 16
17 2.11338 0.47318 24.7417 11.7072 93.1115 17
18 2.20848 0.45280 26.8551 12.1600 101.2619 18
19 2.30786 0.43330 29.0636 12.5933 109.4946 19
20 2.41171 0.41464 31.3714 13.0079 117.7875 20
21 2.52024 0.39679 33.7831 13.4047 126.1200 21
22 2.63365 0.37970 36.3034 13.7844 134.4734 22
23 2.75217 0.36335 38.9370 14.1478 142.8305 23
24 2.87601 0.34770 41.6892 14.4955 151.1754 24
25 3.00543 0.33273 44.5652 14.8282 159.4936 25
26 3.14068 0.31840 47.5706 15.1466 167.7721 26
27 3.28201 0.30469 50.7113 15.4513 175.9988 27
28 3.42970 0.29157 53.9933 15.7429 184.1627 28
29 3.58404 0.27902 57.4230 16.0219 192.2542 29
30 3.74532 0.26700 61.0071 16.2889 200.2642 30
31 3.91386 0.25550 64.7524 16.5444 208.1848 31
32 4.08998 0.24450 68.6662 16.7889 216.0088 32
33 4.27403 0.23397 72.7562 17.0229 223.7298 33
34 4.46636 0.22390 77.0303 17.2468 231.3423 34
35 4.66735 0.21425 81.4966 17.4610 238.8412 35
36 4.87738 0.20503 86.1640 17.6660 246.2222 36
37 5.09686 0.19620 91.0413 17.8622 253.4816 37
38 5.32622 0.18775 96.1382 18.0500 260.6161 38
39 5.56590 0.17967 101.464 18.2297 267.6230 39
40 5.81636 0.17193 107.030 18.4016 274.5002 40
41 6.07810 0.16453 112.847 18.5661 281.2457 41
42 6.35162 0.15744 118.925 18.7235 287.8582 42
43 6.63744 0.15066 125.276 18.8742 294.3366 43
44 6.93612 0.14417 131.914 19.0184 300.6802 44
45 7.24825 0.13796 138.850 19.1563 306.8886 45
46 7.57442 0.13202 146.098 19.2884 312.9617 46
47 7.91527 0.12634 153.673 19.4147 318.8996 47
48 8.27146 0.12090 161.588 19.5356 324.7026 48
49 8.64367 0.11569 169.859 19.6513 330.3715 49
50 9.03264 0.11071 178.503 19.7620 335.9070 50
i = 0.045
U 1.045000
и'/2 1.022252
U1/4 1.011065
и1/*2 1.003675
vl/12 0.996339
г1/4 0.989056
v1/2 0.978232
V 0.956938
,(0 01) 0.805885
,(0 02) 0.160653
,(О 05) 0.070586
,(О 1) 0.055297
,(1/5) 0.049236
,(1/4) 0.048130
/(1/3) 0.047055
,(1/2) 0.046013
1 0.045000
,(2) 0.044505
,(4) 0.044260
/(12) 0.044098
<5 0.044017
dd2) 0.043936
0.043776
d™ 0.043536
d 0.043062
0.042135
d(l/3) 0.041234
d(l/4) 0.040360
d(l/5) 0.039510
</(1/10) 0.035607
</(1/20) 0.029268
</(1/50) 0.017786
</(1/100) 0.009877
j/,(° 2) 0.913965
,/,d/4) 0.934968
,/t(l/3) 0.956328
,/,(*/2) 0.977984
1.011122
1.016719
///(*2) 1.020454
«/<5 1.022332
»/d<12> 1.024217
i/d^ 1.027961
i/d^ 1.033627
i/dW 1.067996
i/d"™ 1.091332
г/d1^ 1.114965
t/d<° 2> 1.138952
1 Финансовые таблицы
427
i = 0.05
u 1.050000
u1'2 1.024695
1.012272
ux/'2 1.004074
V1/12 0.995942
v1^ 0.987877
v1/2 0.975900
V 0.952381
г(° 01) 1 305013
г(0 02) 0.209348
г(0 05) 0.082665
г(° 1) 0.062889
,(1/S) 0.055256
0.053877
ги/з) 0.052542
,(1/2) 0.051250
г 0.050000
,(2) 0 049390
г'4’ 0.049089
г(12) 0.048889
8 0.048790
0.048691
d'4’ 0.048494
d'2’ 0.048200
d 0.047619
d<‘/2) 0 046485
d'1/3’ 0.045387
d(‘^> 0.044324
j(l/5) 0.043295
d'01’ 0.038609
j(0 05) 0.031156
j(0 02) 0.018256
j(0 01) 0.009924
г/г'02’ 0.904879
г/г'1/4’ 0.928040
г/г'1/3’ 0.951620
г/г'1/2’ 0.975610
г/г'2’ 1.012348
г/г'4’ 1.018559
г/г'12’ 1.022715
«/<5 1.024797
г/d'12’ 1.026881
г/с/'4’ 1.031059
г/d'2’ 1.037348
г/d'1/2’ 1.075616
г/d'1/3’ 1.101637
г/d'1/4’ 1.128057
г/d'0 2’ 1.154868
п Un vn Sn| 1 е <3 (Ь)й п
1 1.05000 0.95238 1.0000 0.9524 0.9524 1
2 1.10250 0.90703 2.0500 1.8594 2.7664 2
3 1.15763 0.86384 3.1525 2.7232 5.3580 3
4 1.21551 0.82270 4.3101 3.5460 8.6488 4
5 1.27628 0.78353 5.5256 4.3295 12.5664 5
6 1.34010 0.74622 6.8019 5.0757 17.0437 6
7 1.40710 0.71068 8.1420 5.7864 22.0185 7
8 1.47746 0.67684 9.5491 6.4632 27.4332 8
9 1.55133 0.64461 11.0266 7.1078 33.2347 9
10 1.62889 0.61391 12.5779 7.7217 39.3738 10
11 1.71034 0.58468 14.2068 8.3064 45.8053 11
12 1.79586 0.55684 15.9171 8.8633 52.4873 12
13 1.88565 0.53032 17.7130 9.3936 59.3815 13
14 1.97993 0.50507 19.5986 9.8986 66.4524 14
15 2.07893 0.48102 21.5786 10.3797 73.6677 15
16 2.18287 0.45811 23.6575 10.8378 80.9975 16
17 2.29202 0.43630 25.8404 11.2741 88.4145 17
18 2.40662 0.41552 28.1324 11.6896 95.8939 18
19 2.52695 0.39573 30.5390 12.0853 103.4128 19
20 2.65330 0.37689 33.0660 12.4622 110.9506 20
21 2.78596 0.35894 35.7193 12.8212 118.4884 21
22 2.92526 0.34185 38.5052 13.1630 126.0091 22
23 3.07152 0.32557 41.4305 13.4886 133.4973 23
24 3.22510 0.31007 44.5020 13.7986 140.9389 24
25 3.38635 0.29530 47.7271 14.0939 148.3215 25
26 3.55567 0.28124 51.1135 14.3752 155.6337 26
27 3.73346 0.26785 54.6691 14.6430 162.8656 27
28 3.92013 0.25509 58.4026 14.8981 170.0082 28
29 4.11614 0.24295 62.3227 15.1411 177.0537 29
30 4.32194 0.23138 66.4388 15.3725 183.9950 30
31 4.53804 0.22036 70.7608 15.5928 190.8261 31
32 4.76494 0.20987 75.2988 15.8027 197.5419 32
33 5.00319 0.19987 80.0638 16.0025 204.1377 33
34 5.25335 0.19035 85.0670 16.1929 210.6097 34
35 5.51602 0.18129 90.3203 16.3742 216.9549 35
36 5.79182 0.17266 95.8363 16.5469 223.1705 36
37 6.08141 0.16444 101.628 16.7113 229.2547 37
38 6.38548 0.15661 107.710 16.8679 235.2057 38
39 6.70475 0.14915 114.095 17.0170 241.0224 39
40 7.03999 0.14205 120.800 17.1591 246.7043 40
41 7.39199 0.13528 127.840 17.2944 252.2508 41
42 7.76159 0.12884 135.232 17.4232 257.6621 42
43 8.14967 0.12270 142.993 17.5459 262.9384 43
44 8.55715 0.11686 151.143 17.6628 268.0803 44
45 8.98501 0.11130 159.700 17.7741 273.0886 45
46 9.43426 0.10600 168.685 17.8801 277.9645 46
47 9.90597 0.10095 178.119 17.9810 282.7091 47
48 10.4013 0.09614 188.025 18.0772 287.3239 48
49 10.9213 0.09156 198.427 18.1687 291.8105 49
50 11.4674 0.08720 209.348 18.2559 296.1707 50
428
Д Таблицы
п ип vn ^1 а-. n| п
1 1.05500 0.94787 1.0000 0.9479 0.9479 1
2 1.11303 0.89845 2.0550 1.8463 2.7448 2
3 1.17424 0.85161 3.1680 2.6979 5.2996 3
4 1.23882 0.80722 4.3423 3.5052 8.5285 4
5 1.30696 0.76513 5.5811 4.2703 12.3542 5
6 1.37884 0.72525 6.8881 4.9955 16.7056 6
7 1.45468 0.68744 8.2669 5.6830 21.5177 7
8 1.53469 0.65160 9.7216 6.3346 26.7305 8
9 1.61909 0.61763 11.2563 6.9522 32.2891 9
10 1.70814 0.58543 12.8754 7.5376 38.1434 10
11 1.80209 0.55491 14.5835 8.0925 44.2475 11
12 1.90121 0.52598 16.3856 8.6185 50.5592 12
13 2.00577 0.49856 18.2868 9.1171 57.0405 13
14 2.11609 0.47257 20.2926 9.5896 63.6565 14
15 2.23248 0.44793 22.4087 10.0376 70.3755 15
16 2.35526 0.42458 24.6411 10.4622 77.1688 16
17 2.48480 0.40245 26.9964 10.8646 84.0104 17
18 2.62147 0.38147 29.4812 11.2461 90.8768 18
19 2.76565 0.36158 32.1027 11.6077 97.7468 19
20 2.91776 0.34273 34.8683 11.9504 104.6014 20
21 3.07823 0.32486 37.7861 12.2752 111.4234 21
22 3.24754 0.30793 40.8643 12.5832 118.1978 22
23 3.42615 0.29187 44.1118 12.8750 124.9109 23
24 3.61459 0.27666 47.5380 13.1517 131.5506 24
25 3.81339 0.26223 51.1526 13.4139 138.1065 25
26 4.02313 0.24856 54.9660 13.6625 144.5691 26
27 4.24440 0.23560 58.9891 13.8981 150.9304 27
28 4.47784 0.22332 63.2335 14.1214 157.1834 28
29 4.72412 0.21168 67.7114 14.3331 163.3221 29
30 4.98395 0.20064 72.4355 14.5337 169.3415 30
31 5.25807 0.19018 77.4194 14.7239 175.2372 31
32 5.54726 0.18027 82.6775 14.9042 181.0058 32
33 5.85236 0.17087 88.2248 15.0751 186.6445 33
34 6.17424 0.16196 94.0771 15.2370 192.1513 34
35 6.51383 0.15352 100.251 15.3906 197.5245 35
36 6.87209 0.14552 106.765 15.5361 202.7630 36
37 7.25005 0.13793 113.637 15.6740 207.8665 37
38 7.64880 0.13074 120.887 15.8047 212.8346 38
39 8.06949 0.12392 128.536 15.9287 217.6676 39
40 8.51331 0.11746 136.606 16.0461 222.3661 40
41 8.98154 0.11134 145.119 16.1575 226.9310 41
42 9.47553 0.10554 154.100 16.2630 231.3635 42
43 9.99668 0.10003 163.576 16.3630 235.6649 43
44 10.5465 0.09482 173.573 16.4579 239.8369 44
45 11.1265 0.08988 184.119 16.5477 243.8813 45
46 11.7385 0.08519 195.246 16.6329 247.8000 46
47 12.3841 0.08075 206.984 16.7137 251.5952 47
48 13.0653 0.07654 219.368 16.7902 255.2691 48
49 13.7838 0.07255 232.434 16.8628 258.8240 49
50 14.5420 0.06877 246.217 16.9315 262.2623 50
i = 1 0.055
u 1.055000
U1/2 1.027132
ul/< 1.013475
u1/12 1.004472
v1/*2 0.995548
v1'4 0.986704
v'/2 0.973585
V 0.947867
,(0 01) 2.104686
,•(0 02) 0.270839
,(0 05) 0.095888
j(0 1) 0.070814
,(1/5) 0.061392
,(1/4) 0.59706
,(1/3) 0.058080
,(1/2) 0.056513
I 0.055000
,(2) 0.054264
,(4) 0.053901
,(12) 0.053660
s 0.053541
d<12> 0.053421
d<"> 0.053184
d<2> 0.052830
d 0.052133
<P'2> 0.050774
d(l/3) 0.049462
d(l/4) 0.048196
d(l/5) 0.046973
d<01> 0.041457
j(0 05) 0.032864
j(0 02) 0.018625
j(0 01) 0.009953
j/j(°2) 0.895882
j/jd/4) 0.921180
j/j(l/3) 0.946970
,/j(l/2) 0.973227
i/i™ 1.013563
i/i^ 1.020389
»/i<*2> 1.024972
«/<5 1.027250
t/d<12> 1.029558
г/d^ 1.034146
i/d™ 1.041075
1.083232
i/d^'V 1.111965
i/d<'W 1.141174
i/d<° 2> 1.170885
1 Финансовые таблицы
429
i = 0.06
u 1.060000
t?/2 1.029563
u1'4 1.014674
ul/‘2 1.004868
v‘/‘2 0.995156
vl/4 0.985538
v1'2 0.971286
V 0.943396
t(0 01) 3.383021
t(O 02) 0.348403
t(0 05) 0.110357
:(O 1) 0.079085
,(1/5) 0.067645
t(l/4) 0.065619
j(l/3) 0.063672
,(1/2) 0.061800
I 0.060000
,<2) 0.059126
t(4) 0.058695
,(12) 0.058411
6 0.058269
№ 0.058128
d‘4> 0.057847
d<2> 0.057428
d 0.056604
d'1'2’ 0.055002
d(l/3) 0.053460
d(l/<) 0.051977
d(l/5) 0.050548
d(°D 0.044161
rf(0 05) 0.034410
J(O 02) 0.018914
j(0 01) 0.009971
./.<° 2> 0.886984
t/t'1'4’ 0.914369
t/t(l/3) 0.942329
l/td/2) 0.970874
г/г'2» 1.014782
t/г'4’ 1.022227
t/г'12» 1.027211
г/<5 1.029709
t/d'12’ 1.032211
t/d'4’ 1.037227
г/d'2’ 1.044782
t/d'1/2’ 1.090869
г/d'1'3» 1.122334
t/d'1'4’ 1.154357
t/d'02’ 1.186991
n Un vn Sn| a~i n| ('“hi n
1 1.06000 0.94340 1.0000 0.9434 0.9434 1
2 1.12360 0.89000 2.0600 1.8334 2.7234 2
3 1.19102 0.83962 3.1836 2.6730 5.2422 3
4 1.26248 0.79209 4.3746 3.4651 8.4106 4
5 1.33823 0.74726 5.6371 4.2124 12.1469 5
6 1.41852 0.70496 6.9753 4.9173 16.3767 6
7 1.50363 0.66506 8.3938 5.5824 21.0321 7
8 1.59385 0.62741 9.8975 6.2098 26.0514 8
9 1.68948 0.59190 11.4913 6.8017 31.3785 9
10 1.79085 0.55839 13.1808 7.3601 36.9624 10
11 1.89830 0.52679 14.9716 7.8869 42.7571 11
12 2.01220 0.49697 16.8699 8.3838 48.7207 12
13 2.13293 0.46884 18.8821 8.8527 54.8156 13
14 2.26090 0.44230 21.0151 9.2950 61.0078 14
15 2.39656 0.41727 23.2760 9.7122 67.2668 15
16 2.54035 0.39365 25.6725 10.1059 73.5651 16
17 2.69277 0.37136 28.2129 10.4773 79.8783 17
18 2.85434 0.35034 30.9057 10.8276 86.1845 18
19 3.02560 0.33051 33.7600 11.1581 92.4643 19
20 3.20714 0.31180 36.7856 11.4699 98.7004 20
21 3.39956 0.29416 39.9927 11.7641 104.8776 21
22 3.60354 0.27751 43.3923 12.0416 110.9827 22
23 3.81975 0.26180 46.9958 12.3034 117.0041 23
24 4.04893 0.24698 50.8156 12.5504 122.9316 24
25 4.29187 0.23300 54.8645 12.7834 128.7565 25
26 4.54938 0.21981 59.1564 13.0032 134.4716 26
27 4.82235 0.20737 63.7058 13.2105 140.0705 27
28 5.11169 0.19563 68.5281 13.4062 145.5482 28
29 5.41839 0.18456 73.6398 13.5907 150.9003 29
30 5.74349 0.17411 79.0582 13.7648 156.1236 30
31 6.08810 0.16425 84.8017 13.9291 161.2155 31
32 6.45339 0.15496 90.8898 14.0840 166.1742 32
33 6.84059 0.14619 97.3432 14.2302 170.9983 33
34 7.25103 0.13791 104.184 14.3681 175.6873 34
35 7.68609 0.13011 111.435 14.4982 180.2410 35
36 8.14725 0.12274 119.121 14.6210 184.6596 36
37 8.63609 0.11579 127.268 14.7368 188.9440 37
38 9.15425 0.10924 135.904 14.8460 193.0951 38
39 9.70351 0.10306 145.058 14.9491 197.1142 39
40 10.2857 0.09722 154.762 15.0463 201.0031 40
41 10.9029 0.09172 165.048 15.1380 204.7636 41
42 11.5570 0.08653 175.951 15.2245 208.3978 42
43 12.2504 0.08163 187.508 15.3062 211.9078 43
44 12.9855 0.07701 199.758 15.3832 215.2962 44
45 13.7646 0.07265 212.744 15.4558 218.5655 45
46 14.5905 0.06854 226.508 15.5244 221.7182 46
47 15.4659 0.06466 241.099 15.5890 224.7572 47
48 16.3939 0.06100 256.565 15.6500 227.6851 48
49 17.3775 0.05755 272.958 15.7076 230.5048 49
50 18.4201 0.05429 290.336 15.7619 233.2192 50
430
Д Таблицы
п Un V” 1 £ со fl-j п| п
1 1.06500 0.93897 1.0000 0.9390 0.9390 1
2 1.13423 0.88166 2.0650 1.8206 2.7023 2
3 1.20795 0.82785 3.1992 2.6485 5.1858 3
4 1.28647 0.77732 4.4072 3.4258 8.2951 4
5 1.37009 0.72988 5.6936 4.1557 11.9445 5
6 1.45914 0.68533 7.0637 4.8410 16.0565 6
7 1.55399 0.64351 8.5229 5.4845 20.5611 7
8 1.65500 0.60423 10.0769 6.0888 25.3949 8
9 1.76257 0.56735 11.7319 6.6561 30.5011 9
10 1.87714 0.53273 13.4944 7.1888 35.8284 10
11 1.99915 0.50021 15.3716 7.6890 41.3307 11
12 2.12910 0.46968 17.3707 8.1587 46.9669 12
13 2.26749 0.44102 19.4998 8.5997 52.7001 13
14 2.41487 0.41410 21.7673 9.0138 58.4975 14
15 2.57184 0.38883 24.1822 9.4027 64.3299 15
16 2.73901 0.36510 26.7540 9.7678 70.1714 16
17 2.91705 0.34281 29.4930 10.1106 75.9993 17
18 3.10665 0.32189 32.4101 10.4325 81.7933 18
19 3.30859 0.30224 35.5167 10.7347 87.5359 19
20 3.52365 0.28380 38.8253 11.0185 93.2118 20
21 3.75268 0.26648 42.3490 11.2850 98.8078 21
22 3.99661 0.25021 46.1016 11.5352 104.3125 22
23 4.25639 0.23494 50.0982 11.7701 109.7162 23
24 4.53305 0.22060 54.3546 11.9907 115.0106 24
25 4.82770 0.20714 58.8877 12.1979 120.1891 25
26 5.14150 0.19450 63.7154 12.3924 125.2459 26
27 5.47570 0.18263 68.8569 12.5750 130.1768 27
28 5.83162 0.17148 74.3326 12.7465 134.9782 28
29 6.21067 0.16101 80.1642 12.9075 139.6476 29
30 6.61437 0.15119 86.3749 13.0587 144.1832 30
31 7.04430 0.14196 92.9892 13.2006 148.5839 31
32 7.50218 0.13329 100.034 13.3339 152.8493 32
33 7.98982 0.12516 107.536 13.4591 156.9796 33
34 8.50916 0.11752 115.526 13.5766 160.9753 34
35 9.06225 0.11035 124.035 13.6870 164.8375 35
36 9.65130 0.10361 133.097 13.7906 168.5675 36
37 10.2786 0.09729 142.748 13.8879 172.1672 37
38 10.9467 0.09135 153.027 13.9792 175.6386 38
39 11.6583 0.08578 163.974 14.0650 178.9838 39
40 12.4161 0.08054 175.632 14.1455 182.2054 40
41 13.2231 0.07563 188.048 14.2212 185.3061 41
42 14.0826 0.07101 201.271 14.2922 188.2885 42
43 14.9980 0.06668 215.354 14.3588 191.1556 43
44 15.9729 0.06261 230.352 14.4214 193.9102 44
45 17.0111 0.05879 246.325 14.4802 196.5556 45
46 18.1168 0.05520 263.336 14.5354 199.0946 46
47 19.2944 0.05183 281.452 14.5873 201.5306 47
48 20.5485 0.04867 300.747 14.6359 203.8665 48
49 21.8842 0.04570 321.295 14.6816 206.1056 49
50 23.3067 0.04291 343.180 14.7245 208.2509 50
i = 0.065
U 1.065000
и'/2 1.031988
и*/4 1.015868
и1/12 1.005262
vl/12 0.994766
v1'4 0.984380
v1/2 0.969003
V 938967
,(0 01) 5.422013
,(0 02) 0.446134
,(° 05) 0.126182
,(0 1) 0.087714
j(l/5) 0.074017
^(1/4) 0.071617
,(1/3) 0.069317
,(1/2) 0.067113
I 0.065000
г<2> 0.063977
,(-) 0.063473
,(12) 0.063140
<5 0.062975
d<12> 0.062810
d<4’ 0.062482
d<2> 0.061994
d 0.061033
d(i/2> 0.059170
dd/3) 0.057384
dd/4> 0.055669
d(l/5) 0.054024
d(°D 0.046727
ц(0 05) 0.035810
j(0 02) 0.019142
£j(° °1) 0.009982
,/,(° 2) 0.878177
,/,d/4) 0.907606
,/,(/3) 0.937721
,/,(l/2) 0.968516
г/«'2’ 1.015990
t/t<4> 1.024057
«/.<12> 1.029458
i/5 1.032156
г/<Д,2> 1.034867
i/dw 1.040300
г/d^ 1.048489
./d('/2’ 1.098530
»/</<*/3> 1.132720
./d<l/4> 1.167616
i/d(° 2> 1.203169
1 Финансовые таблицы
431
i = 0.07
и 1.070000
u1/2 1.034408
u'/4 1 017059
u>/‘2 1.005654
v1/12 0.994378
v1/4 0.983228
v1'2 0.966736
V 0.934579
,(0 01) 8.667163
г(0 02) 0.569141
t(0 05) 0.143484
г(° 1) 0.096715
,(i/5) 0.080510
,(1/4) 0.077699
,(1/3) 0.075014
,(1/2) 0.072450
г 0.070000
,(21 0.068816
г‘4) 0.068234
,(12) 0.067850
8 0.067659
d(l2> 0.067468
dw 0.067090
d<2> 0.066527
d 0.065421
d<‘'2> 0.063281
dU/з) 0.061234
d“'4> 0.059276
d(l/5) 0.057403
d<°*> 0.049165
d(0 05) 0.037079
d(0 02) 0.019321
j(0 01) 0.009988
г/г10 21 0 869457
г/г11/4’ 0 900912
t/г'1/3’ 0 933159
г/?‘/2> 0.966184
г/*<2’ 1.017204
г/?4’ 1.025880
г/.'12’ 1.031691
г/6 1.034605
г/d^ 1.037525
i/dw 1.043380
t/d^ 1.052204
tIdW 1.106177
г/d^ 1.143156
i/d^ 1.180916
г/а<02> 1.219448
п Un vn Sn| 1 с ' ' п
1 1.07000 0.93458 1.0000 0.9346 0.9346 1
2 1.14490 0.87344 2.0700 1.8080 2.6815 2
3 1.22504 0.81630 3.2149 2.6243 5.1304 3
4 1.31080 0.76290 4.4399 3.3872 8.1819 4
5 1.40255 0.71299 5.7507 4.1002 11.7469 5
6 1.50073 0.66634 7.1533 4.7665 15.7449 6
7 1.60578 0.62275 8.6540 5.3893 20.1042 7
8 1.71819 0.58201 10.2598 5.9713 24.7602 8
9 1.83846 0.54393 11.9780 6.5152 29.6556 9
10 1.96715 0.50835 13.8164 7.0236 34.7391 10
11 2.10485 0.47509 15.7836 7.4987 39.9652 11
12 2.25219 0.44401 17.8885 7.9427 45.2933 12
13 2.40985 0.41496 20.1406 8.3577 50.6878 13
14 2.57853 0.38782 22.5505 8.7455 56.1173 14
15 2.75903 0.36245 25.1290 9.1079 61.5540 15
16 2.95216 0.33873 27.8881 9.4466 66.9737 16
17 3.15882 0.31657 30.8402 9.7632 72.3555 17
18 3.37993 0.29586 33.9990 10.0591 77.6810 18
19 3.61653 0.27651 37.3790 10.3356 82.9347 19
20 3.86968 0.25842 40.9955 10.5940 88.1031 20
21 4.14056 0.24151 44.8652 10.8355 93.1748 21
22 4.43040 0.22571 49.0057 11.0612 98.1405 22
23 4.74053 0.21095 53.4361 11.2722 102.9923 23
24 5.07237 0.19715 58.1767 11.4693 107.7238 24
25 5.42743 0.18425 63.2490 11.6536 112.3301 25
26 5.80735 0.17220 68.6765 11.8258 116.8071 26
27 6.21387 0.16093 74.4838 11.9867 121.1523 27
28 6.64884 0.15040 80.6977 12.1371 125.3635 28
29 7.11426 0.14056 87.3465 12.2777 129.4399 29
30 7.61226 0.13137 94.4608 12.4090 133.3809 30
31 8.14511 0.12277 102.073 12.5318 137.1868 31
32 8.71527 0.11474 110.218 12.6466 140.8585 32
33 9.32534 0.10723 118.933 12.7538 144.3973 33
34 9.97811 0.10022 128.259 12.8540 147.8047 34
35 10.6766 0.09366 138.237 12.9477 151.0829 35
36 11.4239 0.08754 148.913 13.0352 154.2342 36
37 12.2236 0.08181 160.337 13.1170 157.2612 37
38 13.0793 0.07646 172.561 13.1935 160.1665 38
39 13.9948 0.07146 185.640 13.2649 162.9533 39
40 14.9745 0.06678 199.635 13.3317 165.6245 40
41 16.0227 0.06241 214.610 13.3941 168.1833 41
42 17.1443 0.05833 230.632 13.4524 170.6331 42
43 18.3444 0.05451 247.777 13.5070 172.9772 43
44 19.6285 0.05095 266.121 13.5579 175.2188 44
45 21.0025 0.04761 285.749 13.6055 177.3614 45
46 22.4726 0.04450 306.752 13.6500 179.4084 46
47 24.0457 0.04159 329.224 13.6916 181.3630 47
48 25.7289 0.03887 353.270 13.7305 183.2286 48
49 27.5299 0.03632 378.999 13.7668 185.0085 49
50 29.4570 0.03395 406.529 13.8007 186.7059 50
432
Д Таблицы
п Un vn ^1 1 с е ('»);, п
1 1.07500 0.93023 1.0000 0.9302 0.9302 1
2 1.15563 0.86533 2.0750 1.7956 2.6609 2
3 1.24230 0.80496 3.2306 2.6005 5.0758 3
4 1.33547 0.74880 4.4729 3.3493 8.0710 4
5 1.43563 0.69656 5.8084 4.0459 11.5538 5
6 1.54330 0.64796 7.2440 4.6938 15.4415 6
7 1.65905 0.60275 8.7873 5.2966 19.6608 7
8 1.78348 0.56070 10.4464 5.8573 24.1464 8
9 1.91724 0.52158 12.2298 6.3789 28.8407 9
10 2.06103 0.48519 14.1471 6.8641 33.6926 10
11 2.21561 0.45134 16.2081 7.3154 38.6574 11
12 2.38178 0.41985 18.4237 7.7353 43.6957 12
13 2.56041 0.39056 20.8055 8.1258 48.7730 13
14 2.75244 0.36331 23.3659 8.4892 53.8594 14
15 2.95888 0.33797 26.1184 8.8271 58.9288 15
16 3.18079 0.31439 29.0772 9.1415 63.9590 16
17 3.41935 0.29245 32.2580 9.4340 68.9307 17
18 3.67580 0.27205 35.6774 9.7060 73.8276 18
19 3.95149 0.25307 39.3532 9.9591 78.6359 19
20 4.24785 0.23541 43.3047 10.1945 83.3442 20
21 4.56644 0.21899 47.5525 10.4135 87.9430 21
22 4.90892 0.20371 52.1190 10.6172 92.4246 22
23 5.27709 0.18950 57.0279 10.8067 96.7831 23
24 5.67287 0.17628 62.3050 10.9830 101.0137 24
25 6.09834 0.16398 67.9779 11.1469 105.1132 25
26 6.55572 0.15254 74.0762 11.2995 109.0792 26
27 7.04739 0.14190 80.6319 11.4414 112.9104 27
28 7.57595 0.13200 87.6793 11.5734 116.6063 28
29 8.14414 0.12279 95.2553 11.6962 120.1672 29
30 8.75496 0.11422 103.399 11.8104 123.5938 30
31 9.41158 0.10625 112.154 11.9166 126.8876 31
32 10.1174 0.09884 121.566 12.0155 130.0505 32
33 10.8763 0.09194 131.683 12.1074 133.0846 33
34 11.6920 0.08553 142.560 12.1929 135.9926 34
35 12.5689 0.07956 154.252 12.2725 138.7772 35
36 13.5115 0.07401 166.820 12.3465 141.4416 36
37 14.5249 0.06885 180.332 12.4154 143.9890 37
38 15.6143 0.06404 194.857 12.4794 146.4226 38
39 16.7853 0.05958 210.471 12.5390 148.7461 39
40 18.0442 0.05542 227.257 12.5944 150.9629 40
41 19.3976 0.05155 245.301 12.6460 153.0765 41
42 20.8524 0.04796 264.698 12.6939 155.0907 42
43 22.4163 0.04461 285.551 12.7385 157.0089 43
44 24.0975 0.04150 307.967 12.7800 158.8349 44
45 25.9048 0.03860 332.065 12.8186 160.5720 45
46 27.8477 0.03591 357.969 12.8545 162.2238 46
47 29.9363 0.03340 385.817 12.8879 163.7938 47
48 32.1815 0.03107 415.753 12.9190 165.2854 48
49 34.5951 0.02891 447.935 12.9479 166.7018 49
50 37.1897 0.02689 482.530 12.9748 168.0462 50
г = 0.075
U 1.075000
и1/2 1.036822
и1'4 1.018245
и>/12 1.006045
vl/12 0.993991
vl/4 0.982082
v1/2 0.964486
V 0.930233
,(0 01) 13.82077
,•(0 02) 0.723795
,(0 05) 0.162393
,(01) 0.106103
,(1/5) 0.087126
,(1/4) 0.083867
,(1/3) 0.080766
,(1/2) 0.077813
1 0.075000
,(2) 0.073644
<(4) 0.072978
,(12) 0.072539
S 0.072321
d(12) 0.072103
d<4> 0.071671
d<2> 0.071029
d 0.069767
№ 0.067334
d(l/3) 0.065013
dd/4) 0.062800
d(l/5) 0.060688
d(°» 0.051481
d(0 05) 0.038229
d(O 02) 0.019462
d(o.oi) 0.009993
,/j(° 2) 0.860822
,/,d/4) 0.894273
j/,(l/3) 0.928609
j/,(l/2) 0.963849
./»<2> 1.018413
i/»<4> 1.027707
./.(12> 1.033927
./<$ 1.037043
./d<l2> 1.040179
»/d<4> 1.046448
i/d™ 1.055907
i/dW 1.113850
i/d<1'» 1.153615
t/d^ 1.194268
./d<°2> 1.235829
1 Финансовые таблицы
433
i — 0.08
и 1.080000
ul/2 1.039230
u1'4 1.019427
U1/12 1.006434
vl/12 0.993607
v1'4 0.980944
vl/2 0.962250
V 0.925926
,(0 01) 21.98761
,(o 02) 0.918032
,(0 05) 0.183048
,(0 1) 0.115892
,(1/5) 0.093866
t(l/4) 0.090122
j(l/3) 0.086571
,(1/2) 0.083200
i 0.080000
j(2) 0.078461
j(D 0.077706
j(12) 0.077208
6 0.076961
d(12) 0.076715
d<4> 0.076225
d<2> 0.075499
d 0.074074
di*/2» 0.071331
d<!/3) 0.068723
d<l/<) 0.066243
dO/5) 0.063883
d(0 01) 0.053681
d(0 05) 0.039273
d(0 02) 0.019574
d(0 01) 0.009995
,/j(0 2) 0.852279
,/,(!/<) 0.887686
,/,d/3) 0.924097
,/,(1/2) 0.961538
i/i<2) 1.019615
i/i™ 1.029519
,/i(!2) 1.036157
»/<$ 1.039487
»/d<12> 1.042824
i/d^ 1.049519
i/d™ 1.059615
i/d^» 1.121532
./d'1'3) 1.164094
i/d^'4> 1.207675
./d<’2> 1.252289
п Un vn 1 Й со 1 е (^)nl п
1 1.08000 0.92593 1.0000 0.9259 0.9259 1
2 1.16640 0.85734 2.0800 1.7833 2.6406 2
3 1.25971 0.79383 3.2464 2.5771 5.0221 3
4 1.36049 0.73503 4.5061 3.3121 7.9622 4
5 1.46933 0.68058 5.8666 3.9927 11.3651 5
6 1.58687 0.63017 7.3359 4.6229 15.1462 6
7 1.71382 0.58349 8.9228 5.2064 19.2306 7
8 1.85093 0.54027 10.6366 5.7466 23.5527 8
9 1.99900 0.50025 12.4876 6.2469 28.0550 9
10 2.15892 0.46319 14.4866 6.7101 32.6869 10
11 2.33164 0.42888 16.6455 7.1390 37.4046 11
12 2.51817 0.39711 18.9771 7.5361 42.1700 12
13 2.71962 0.36770 21.4953 7.9038 46.9501 13
14 2.93719 0.34046 24.2149 8.2442 51.7165 14
15 3.17217 0.31524 27.1521 8.5595 56.4451 15
16 3.42594 0.29189 30.3243 8.8514 61.1154 16
17 3.70002 0.27027 33.7502 9.1216 65.7100 17
18 3.99602 0.25025 37.4502 9.3719 70.2144 18
19 4.31570 0.23171 41.4463 9.6036 74.6170 19
20 4.66096 0.21455 45.7620 9.8181 78.9079 20
21 5.03383 0.19866 50.4229 10.0168 83.0797 21
22 5.43654 0.18394 55.4568 10.2007 87.1264 22
23 5.87146 0.17032 60.8933 10.3711 91.0437 23
24 6.34118 0.15770 66.7648 10.5288 94.8284 24
25 6.84848 0.14602 73.1059 10.6748 98.4789 25
26 7.39635 0.13520 79.9544 10.8100 101.9941 26
27 7.98806 0.12519 87.3508 10.9352 105.3742 27
28 8.62711 0.11591 95.3388 11.0511 108.6198 28
29 9.31727 0.10733 103.966 11.1584 111.7323 29
30 10.0627 0.09938 113.283 11.2578 114.7136 30
31 10.8677 0.09202 123.346 11.3498 117.5661 31
32 11.7371 0.08520 134.214 11.4350 120.2925 32
33 12.6761 0.07889 145.951 11.5139 122.8958 33
34 13.6901 0.07305 158.627 11.5869 125.3793 34
35 14.7853 0.06763 172.317 11.6546 127.7466 35
36 15.9682 0.06262 187.102 11.7172 130.0010 36
37 17.2456 0.05799 203.070 11.7752 132.1465 37
38 18.6253 0.05369 220.316 11.8289 134.1868 38
39 20.1153 0.04971 238.941 11.8786 136.1256 39
40 21.7245 0.04603 259.057 11.9246 137.9668 40
41 23.4625 0.04262 280.781 11.9672 139.7143 41
42 25.3395 0.03946 304.244 12.0067 141.3718 42
43 27.3666 0.03654 329.583 12.0432 142.9430 43
44 29.5560 0.03383 356.950 12.0771 144.4317 44
45 31.9205 0.03133 386.506 12.1084 145.8415 45
46 34.4741 0.02901 418.426 12.1374 147.1758 46
47 37.2320 0.02686 452.900 12.1643 148.4382 47
48 40.2106 0.02487 490.132 12.1891 149.6319 48
49 43.4274 0.02303 530.343 12.2122 150.7602 49
50 46.9016 0.02132 573.770 12.2335 151.8263 50
434
Д Таблицы
п Un vn 1 с со °п| (/а)п| п
1 1.08500 0.92166 1.0000 0.9217 0.9217 1
2 1.17723 0.84946 2.0850 1.7711 2.6206 2
3 1.27729 0.78291 3.2622 2.5540 4.9693 3
4 1.38586 0.72157 4.5395 3.2756 7.8556 4
5 1.50366 0.66505 5.9254 3.9406 11.1808 5
6 1.63147 0.61295 7.4290 4.5536 14.8585 6
7 1.77014 0.56493 9.0605 5.1185 18.8130 7
8 1.92060 0.52067 10.8306 5.6392 22.9783 8
9 2.08386 0.47988 12.7512 6.1191 27.2972 9
10 2.26098 0.44229 14.8351 6.5613 31.7201 10
11 2.45317 0.40764 17.0961 6.9690 36.2041 11
12 2.66169 0.37570 19.5492 7.3447 40.7125 12
13 2.88793 0.34627 22.2109 7.6910 45.2140 13
14 3.13340 0.31914 25.0989 8.0101 49.6820 14
15 3.39974 0.29414 28.2323 8.3042 54.0941 15
16 3.68872 0.27110 31.6320 8.5753 58.4316 16
17 4.00226 0.24986 35.3207 8.8252 62.6792 17
18 4.34245 0.23028 39.3230 9.0555 66.8244 18
19 4.71156 0.21224 43.6654 9.2677 70.8570 19
20 5.11205 0.19562 48.3770 9.4633 74.7693 20
21 5.54657 0.18029 53.4891 9.6436 78.5554 21
22 6.01803 0.16617 59.0356 9.8098 82.2111 22
23 6.52956 0.15315 65.0537 9.9629 85.7336 23
24 7.08457 0.14115 71.5832 10.1041 89.1212 24
25 7.68676 0.13009 78.6678 10.2342 92.3736 25
26 8.34014 0.11990 86.3546 10.3541 95 4910 26
27 9.04905 0.11051 94.6947 10.4646 98.4748 27
28 9.81822 0.10185 103.744 10.5665 101.3266 28
29 10.6528 0.09387 113.562 10.6603 104.0489 29
30 11.5583 0.08652 124.215 10.7468 106.6444 30
31 12.5407 0.07974 135.773 10.8266 109.1164 31
32 13.6067 0.07349 148.314 10.9001 111.4682 32
33 14.7632 0.06774 161.920 10.9678 113.7035 33
34 16.0181 0.06243 176.684 11.0302 115.8261 34
35 17.3796 0.05754 192.702 11.0878 117.8399 35
36 18.8569 0.05303 210.081 11.1408 119.7490 36
37 20.4598 0.04888 228.938 11.1897 121.5575 37
38 22.1988 0.04505 249.398 11.2347 123.2693 38
39 24.0857 0.04152 271.597 11.2763 124.8885 39
40 26.1330 0.03827 295.683 11.3145 126.4191 40
41 28.3543 0.03527 321.816 11.3498 127.8651 41
42 30.7644 0.03251 350.170 11.3823 129.2303 42
43 33.3794 0.02996 380.934 11.4123 130.5185 43
44 36.2167 0.02761 414.314 11.4399 131.7334 44
45 39.2951 0.02545 450.530 11.4653 132.8786 45
46 42.6352 0.02345 489.825 11.4888 133.9575 46
47 46.2592 0.02162 532.461 11.5104 134.9736 47
48 50.1912 0.01992 578.720 11.5303 135.9299 48
49 54.4574 0.01836 628.911 11.5487 136.8297 49
50 59.0863 0.01692 683.368 11.5656 137.6759 50
i — 0.085
и 1.085000
и1'2 1.041633
ul/< 1.020604
1.006821
vl/12 0.993225
v1'4 0.979812
v1/2 0.960031
V 0.921659
,(0 01) 34.90193
t(0 02) 1.161726
,(0 05) 0.205602
t(0 1) 0.126098
,(1/5) 0.100731
,(1/0 0.096465
,(1/3) 0.092430
,(1/2) 0.088613
t 0.085000
j(2) 0.083267
,(<) 0.082418
,(12) 0.081858
6 0.081580
№ 0.081303
d<"> 0.080754
d<2> 0.079939
d 0.078341
d(l/2) 0.075272
dd/3) 0.072364
dU/<) 0.069606
d(l/5) 0.066991
d'° » 0.055771
j(0 05) 0.040219
£/(0 02) 0.019662
j(0 01) 0.009997
,/,(° 2) 0.843836
»/l(1/4) 0.881149
,/,(1/3) 0.919615
t/?1'2’ 0.959227
t/.<2> 1.020813
t/*<4» 1.031328
1.038384
«/<5 1.041922
«/d<12> 1.045472
t/d<4> 1.052579
г/d'2’ 1.063311
z/d<*/2> 1.129238
г/d"/3’ 1.174617
./d'1'4’ 1.221159
t/d<02> 1.268827
1 Финансовые таблицы
435
i — 0.09
и 1.090000
г/'2 1.044031
г?/4 1 021778
и‘/!2 1.007207
0 992844
г1/4 0 978686
е1/2 0 957826
V 0 917431
г(° 01) 55.28041
г(0 02) 1.467150
г(0 05) 0.230221
г(° 1) 0.136736
г(1/5) 0.107725
г(1/4) 0.102895
г(1/3) 0.098343
г(1/2) 0.094050
г 0.090000
г'2’ 0.088061
,(4) 0.087113
г(!2) 0 086488
6 0.086178
d"2' 0 085869
d'4) 0 085256
d'2’ 0 084347
d 0.082569
0 079160
d'1/3> 0.075939
d(‘/4) 0 072894
d(‘/5) 0.070014
d101' 0.057759
^(0 05) 0.041078
j(0 02) 0.019731
j(0 01) 0.009998
г/г'02’ 0 835461
г/г'1/4’ 0.874678
г/?1/3’ 0.915164
г/г'1/2’ 0.956938
г/г'2’ 1.022015
г/г'4’ 1 033144
г/г'12’ 1 040608
t/8 1 044354
t/d"2' 1 048108
i/dw 1 055644
i/dm 1 067015
г/d^ 1 136938
г/d^ 1 185162
г/d'1/4’ 1.234670
г/d'0 21 1 285457
п ип vn 1 с со 1 £ п
1 1.09000 0.91743 1.0000 0.9174 0.9174 1
2 1.18810 0.84168 2.0900 1.7591 2.6008 2
3 1.29503 0.77218 3.2781 2.5313 4.9173 3
4 1.41158 0.70843 4.5731 3.2397 7.7510 4
5 1.53862 0.64993 5.9847 3.8897 11.0007 5
6 1.67710 0.59627 7.5233 4.4859 14.5783 6
7 1.82804 0.54703 9.2004 5.0330 18.4075 7
8 1.99256 0.50187 11.0285 5.5348 22.4225 8
9 2.17189 0.46043 13.0210 5.9952 26.5663 9
10 2.36736 0.42241 15.1929 6.4177 30.7904 10
11 2.58043 0.38753 17.5603 6.8052 35.0533 11
12 2.81266 0.35553 20.1407 7.1607 39.3197 12
13 3.06580 0.32618 22.9534 7.4869 43.5600 13
14 3.34173 0.29925 26.0192 7.7862 47.7495 14
15 3.64248 0.27454 29.3609 8.0607 51.8676 15
16 3.97031 0.25187 33.0034 8.3126 55.8975 16
17 4.32763 0.23107 36.9737 8.5436 59.8257 17
18 4.71712 0.21199 41.3013 8.7556 63.6416 18
19 5.14166 0.19449 46.0185 8.9501 67.3369 19
20 5.60441 0.17843 51.1601 9.1285 70.9055 20
21 6.10881 0.16370 56.7645 9.2922 74.3432 21
22 6.65860 0.15018 62.8733 9.4424 77.6472 22
23 7.25787 0.13778 69.5319 9.5802 80.8162 23
24 7.91108 0.12640 76.7898 9.7066 83.8499 24
25 8.62308 0.11597 84.7009 9.8226 86.7491 25
26 9.39916 0.10639 93.3240 9.9290 89.5153 26
27 10.2451 0.09761 102.723 10.0266 92.1507 27
28 11.1671 0.08955 112.968 10.1161 94.6580 28
29 12.1722 0.08215 124.135 10.1983 97.0405 29
30 13.2677 0.07537 136.308 10.2737 99.3017 30
31 14.4618 0.06915 149.575 10.3428 101.4452 31
• 32 15.7633 0.06344 164.037 10.4062 103.4753 32
33 17.1820 0.05820 179.800 10.4644 105.3959 33
34 18.7284 0.05339 196.982 10.5178 107.2113 34
35 20.4140 0.04899 215.711 10.5668 108.9258 35
36 22.2512 0.04494 236.125 10.6118 110.5437 36
37 24.2538 0.04123 258.376 10.6530 112.0692 37
38 26.4367 0.03783 282.630 10.6908 113.5066 38
39 28.8160 0.03470 309.067 10.7255 114.8600 39
40 31.4094 0.03184 337.882 10.7574 116.1335 40
41 34.2363 0.02921 369.292 10.7866 117.3311 41
42 37.3175 0.02680 403.528 10.8134 118.4566 42
43 40.6761 0.02458 440.846 10.8380 119.5137 43
44 44.3370 0.02255 481.522 10.8605 120.5061 44
45 48.3273 0.02069 525.859 10.8812 121.4373 45
46 52.6767 0.01898 574.186 10.9002 122.3105 46
47 57.4177 0.01742 626.863 10.9176 123.1291 47
48 62.5852 0.01598 684.280 10.9336 123.8960 48
49 68.2179 0.01466 746.866 10.9482 124.6143 49
50 74.3575 0.01345 815.084 10.9617 125.2867 50
15—1221
436
Д Таблицы
п Un vn <z £J an| п
1 1.09500 0.91324 1.0000 0.9132 0.9132 1
2 1.19903 0.83401 2.0950 1.7473 2.5813 2
3 1.31293 0.76165 3.2940 2.5089 4.8662 3
4 1.43766 0.69557 4.6070 3.2045 7.6485 4
5 1.57424 0.63523 6.0446 3.8397 10.8247 5
6 1.72379 0.58012 7.6189 4.4198 14.3054 6
7 1.88755 0.52979 9.3426 4.9496 18.0139 7
8 2.06687 0.48382 11.2302 5.4334 21.8845 8
9 2.26322 0.44185 13.2971 5.8753 25.8611 9
10 2.47823 0.40351 15.5603 6.2788 29.8962 10
11 2.71366 0.36851 18.0385 6.6473 33.9498 11
12 2.97146 0.33654 20.7522 6.9838 37.9882 12
13 3.25375 0.30734 23.7236 7.2912 41.9836 13
14 3.56285 0.28067 26.9774 7.5719 45.9131 14
15 3.90132 0.25632 30.5402 7.8282 49.7579 15
16 4.27195 0.23409 34.4416 8.0623 53.5033 16
17 4.67778 0.21378 38.7135 8.2760 57.1375 17
18 5.12217 0.19523 43.3913 8.4713 60.6516 18
19 5.60878 0.17829 48.5135 8.6496 64.0392 19
20 6.14161 0.16282 54.1222 8.8124 67.2956 20
21 6.72507 0.14870 60.2638 8.9611 70.4183 21
22 7.36395 0.13580 66.9889 9.0969 73.4058 22
23 8.06352 0.12402 74.3529 9.2209 76.2582 23
24 8.82956 0.11326 82.4164 9.3341 78.9763 24
25 9.66836 0.10343 91.2459 9.4376 81.5620 25
26 10.5869 0.09446 100.914 9.5320 84.0179 26
27 11.5926 0.08626 111.501 9.6183 86.3470 27
28 12.6939 0.07878 123.094 9.6971 88.5528 28
29 13.8998 0.07194 135.788 9.7690 90.6391 29
30 15.2203 0.06570 149.688 9.8347 92.6102 30
31 16.6662 0.06000 164.908 9.8947 94.4702 31
32 18.2495 0.05480 181.574 9.9495 96.2237 32
33 19.9832 0.05004 199.824 9.9996 97.8751 33
34 21.8816 0.04570 219.807 10.0453 99.4289 34
35 23.9604 0.04174 241.688 10.0870 100.8896 35
36 26.2366 0.03811 265.649 10.1251 102.2618 36
37 28.7291 0.03481 291.886 10.1599 103.5497 37
38 31.4584 0.03179 320.615 10.1917 104.7576 38
39 34.4469 0.02903 352.073 10.2207 105.8898 39
40 37.7194 0.02651 386.520 10.2472 106.9502 40
41 41.3027 0.02421 424.239 10.2715 107.9429 41
42 45.2265 0.02211 465.542 10.2936 108.8716 42
43 49.5230 0.02019 510.769 10.3138 109.7399 43
44 54.2277 0.01844 560.292 10.3322 110.5512 44
45 59.3793 0.01684 614.519 10.3490 111.3091 45
46 65.0204 0.01538 673.899 10.3644 112.0166 46
47 71.1973 0.01405 738.919 10.3785 112.6767 47
48 77.9611 0.01283 810.116 10.3913 113.2924 48
49 85.3674 0.01171 888.077 10.4030 113.8664 49
50 93.4773 0.01070 973.445 10.4137 114.4013 50
i — । 0.095
u 1.095000
ul/2 1.046422
1.022948
u‘/‘2 1.007592
v«/12 0.992466
/4 0.977567
v>/2 0.955637
V 0.913242
,(0 01) 87.36997
,(o 02) 1.849545
,(O 05) 0.257081
,(0 1) 0.147823
,(1/5) 0.114848
,('/4) 0.109415
,(1/3) 0.104311
j(4/2) 0.099513
1 0.095000
,(2) 0.092845
t<4> 0.091792
,(12) 0.091098
<5 0.090754
d(12) 0.090412
d<4> 0.089733
d<2> 0.088726
d 0.086758
d(,'2> 0.082995
dd/3) 0.079449
d(‘/4) 0.076106
dd/5) 0.072954
d(°D 0.059649
rf(O 05) 0.041859
j(O 02) 0.019786
j(O 01) 0.009999
,/,(° 2) 0.827180
,/,0/4) 0.868254
,/,(1/3) 0.910738
,/,d/2) 0.954649
1.023211
l/l‘4> 1.034949
,/,(12) 1.042833
t/<5 1.046786
1.050745
l/d(4> 1.058696
»/d<2> 1.070712
t/d'1'2' 1.144647
«/d'*'3’ 1.195736
t/d<‘/4> 1.248259
l/d(° 2> 1.302190
1 Финансовые таблицы
437
i — : 0.1
и 1.100000
u1/2 1.048809
u1/4 1.024114
U1/12 1.007974
vl/12 0.992089
v1/4 0.976454
t?/2 0.953463
V 0.909091
г(° 01) 137.7961
г(0 02) 2.327817
г(0 05) 0.286375
,(0 1) 0.159374
t(l/5) 0.122102
г(1/4) 0.116025
:(l/3) 0.110333
:(l/2) 0.105000
I 0.100000
г'2’ 0.097618
г'4’ 0.096455
г(12) 0.095690
8 0.095310
d'12’ 0.094933
d'4’ 0.094184
d'2’ 0.093075
d 0.090909
0.086777
d(l/3) 0.082895
d'1/4’ 0.079247
d(‘/5) 0.075816
d'01’ 0.061446
d(0 05) 0.042568
£/(0 02) 0.019830
cf(ooi) 0.009999
г/г'02’ 0.818987
,/,(•/4) 0.861883
г/г'1/3’ 0.906347
г/г11/2’ 0.952381
г/г'2’ 1 024404
г/г'4’ 1.036756
г/г112’ 1.045045
г/<5 1.049206
г/d'12’ 1.053378
г/d'4’ 1.061756
г/d'2’ 1.074404
г/d'1/2’ 1.152379
г/d'1/3’ 1 206345
t/d'1/4’ 1.261877
t/d'° 2’ 1.318983
п Un vn 1 Й а-. п| ('«hi п
1 1.10000 0.90909 1.0000 0.9091 0.9091 1
2 1.21000 0.82645 2.1000 1.7355 2.5620 2
3 1.33100 0.75131 3.3100 2.4869 4.8159 3
4 1.46410 0.68301 4.6410 3.1699 7.5480 4
5 1.61051 0.62092 6.1051 3.7908 10.6526 5
6 1.77156 0.56447 7.7156 4.3553 14.0394 6
7 1.94872 0.51316 9.4872 4.8684 17.6315 7
8 2.14359 0.46651 11.4359 5.3349 21.3636 8
9 2.35795 0.42410 13.5795 5.7590 25.1805 9
10 2.59374 0.38554 15.9374 6.1446 29.0359 10
11 2.85312 0.35049 18.5312 6.4951 32.8913 11
12 3.13843 0.31863 21.3843 6.8137 36.7149 12
13 3.45227 0.28966 24.5227 7.1034 40.4805 13
14 3.79750 0.26333 27.9750 7.3667 44.1672 14
15 4.17725 0.23939 31.7725 7.6061 47.7581 15
16 4.59497 0.21763 35.9497 7.8237 51.2401 16
17 5.05447 0.19784 40.5447 8.0216 54.6035 17
18 5.55992 0.17986 45.5992 8.2014 57.8410 18
19 6.11591 0.16351 51.1591 8.3649 60.9476 19
20 6.72750 0.14864 57.2750 8.5136 63.9205 20
21 7.40025 0.13513 64.0025 8.6487 66.7582 21
22 8.14027 0.12285 71.4027 8.7715 69.4608 22
23 8.95430 0.11168 79.5430 8.8832 72.0294 23
24 9.84973 0.10153 88.4973 8.9847 74.4660 24
25 10.8347 0.09230 98.3471 9.0770 76.7734 25
26 11.9182 0.08391 109.182 9.1609 78.9550 26
27 13.1100 0.07628 121.100 9.2372 81.0145 27
28 14.4210 0.06934 134.210 9.3066 82.9561 28
29 15.8631 0.06304 148.631 9.3696 84.7842 29
30 17.4494 0.05731 164.494 9.4269 86.5035 30
31 19.1943 0.05210 181.943 9.4790 88.1186 31
32 21.1138 0.04736 201.138 9.5264 89.6342 32
33 23.2252 0.04306 222.252 9.5694 91.0550 33
34 25.5477 0.03914 245.477 9.6086 92.3859 34
35 28.1024 0.03558 271.024 9.6442 93.6313 35
36 30.9127 0.03235 299.127 9.6765 94.7959 36
37 34.0040 0.02941 330.039 9.7059 95.8840 37
38 37.4043 0.02673 364.043 9 7327 96.8999 38
39 41.1448 0.02430 401.448 9.7570 97.8478 39
40 45.2593 0.02209 442.593 9.7791 98.7316 40
41 49.7852 0.02009 487.852 9.7991 99.5551 41
42 54.7637 0.01826 537.637 9.8174 100.3221 42
43 60.2401 0.01660 592.401 9.8340 101.0359 43
44 66.2641 0.01509 652.641 9.8491 101.6999 44
45 72.8905 0.01372 718.905 9.8628 102.3172 45
46 80.1795 0.01247 791.795 9.8753 102.8910 46
47 88.1975 0.01134 871.975 9.8866 103.4238 47
48 97.0172 0.01031 960.172 9.8969 103.9186 48
49 106.719 0.00937 1057.19 9.9063 104.3778 49
50 117.391 0.00852 1163.91 9.9148 104.8037 50
438
Д Таблицы
п ип vn 1 £ со 1 £ п
1 1.10500 0.90498 1.0000 0.9050 0.9050 1
2 1.22103 • 0.81898 2.1050 1.7240 2.5429 2
3 1.34923 0.74116 3.3260 2.4651 4.7664 3
4 1.49090 0.67073 4.6753 3.1359 7.4494 4
5 1.64745 0.60700 6.1662 3.7429 10.4844 5
6 1.82043 0.54932 7.8136 4.2922 13.7803 6
7 2.01157 0.49712 9.6340 4.7893 17.2602 7
8 2.22279 0.44989 11.6456 5.2392 20.8592 8
9 2.45618 0.40714 13.8684 5.6463 24.5235 9
10 2.71408 0.36845 16.3246 6.0148 28.2080 10
11 2.99906 0.33344 19.0387 6.3482 31.8758 11
12 3.31396 0.30175 22.0377 6.6500 35.4968 12
13 3.66193 0.27308 25.3517 6.9230 39.0469 13
14 4.04643 0.24713 29.0136 7.1702 42.5067 14
15 4.47130 0.22365 33.0600 7.3938 45.8614 15
16 4.94079 0.20240 037.5313 7.5962 49.0998 16
17 5 45957 0.18316 42.4721 7.7794 52.2136 17
18 6.03283 0.16576 47.9317 7.9451 55.1972 18
19 6 66628 0.15001 53.9645 8.0952 58.0474 19
20 7.36623 0.13575 60.6308 8.2309 60.7625 20
21 8.13969 0.12285 67.9970 8.3538 63.3425 21
22 8.99436 0.11118 76.1367 8.4649 65.7884 22
23 9.93876 0.10062 85.1311 8.5656 68.1026 23
24 10.9823 0.09106 95.0699 8.6566 70.2879 24
25 12.1355 0.08240 106.052 8.7390 72.3480 25
26 13.4097 0.07457 118.188 8.8136 74.2869 26
27 14.8177 0.06749 131.597 8.8811 76.1090 27
28 16.3736 0.06107 146.415 8.9422 77.8191 28
29 18.0928 0.05527 162.789 8.9974 79.4220 29
30 19.9926 0.05002 180.881 9.0474 80.9225 30
31 22.0918 0.04527 200.874 9.0927 82.3258 31
32 24.4114 0.04096 222.966 9.1337 83.6366 32
33 26.9746 0.03707 247.377 9.1707 84.8600 33
34 29.8069 0.03355 274.352 9.2043 86.0007 34
35 32.9367 0.03036 304 159 9.2347 87.0633 35
36 36.3950 0 02748 337.095 9.2621 88.0525 36
37 40 2165 0.02487 373 490 9.2870 88 9725 37
38 44.4392 0.02250 413.707 9.3095 89.8276 38
39 49.1054 0.02036 458.146 9.3299 90.6218 39
40 54.2614 0.01843 507.252 9.3483 91.3590 40
41 59.9589 0.01668 561.513 9.3650 92.0428 41
42 66.2545 0.01509 621.472 9.3801 92.6767 42
43 73.2113 0.01366 687.726 9.3937 93.2640 43
44 80.8985 0.01236 760.938 9.4061 93.8079 44
45 89.3928 0.01119 841.836 9.4173 94.3113 45
46 98.7790 0.01012 931.229 9.4274 94.7770 46
47 109.151 0.00916 1030.01 9.4366 95.2076 47
48 120.612 0.00829 1139.16 9.4448 95.6056 48
49 133.276 0.00750 1259.77 9.4524 95.9732 49
50 147.270 0.00679 1393.05 9.4591 96.3127 50
i = 0.105
U 1.105000
ul/2 1.051190
u1/4 1.025275
ul/12 1.008355
Vl/12 0.991714
0.975348
vl/2 0.951303
V 0.904977
,(0 01) 216.8741
,(o 02) 2.925397
,(0 05) 0.318312
,(0 1) 0.171408
,(1/5) 0.129489
,(1/4) 0.122726
,(1/3) 0.116411
,(1/2) 0.110513
1 0.105000
,(2) 0.102380
i'4> 0.101102
,(12) 0.100262
8 0.099845
0.099431
dW 0.098610
d<2> 0.097394
d 0.095023
№ 0.090508
№ 0.086279
0.082316
jl1/5) 0.078600
d(°D 0.063155
rf(0 05) 0.043212
d(0 02) 0.019864
^(0 01) 0.010000
г/г'021 0.810880
г/г<‘/4> 0 855564
0.901977
0.950114
t/г'2) 1.025591
i/i<4> 1.038555
./i<12) 1.047256
»/<* 1.051630
1.056009
i/d(4> 1.064801
i/d<2> 1.078095
i/d^ 1.160118
i/d^ 1.216982
i/d^ 1.275572
t/d<02> 1.335878
1 Финансовые таблицы
439
i — 0.11
и 1.110000
u1/2 1.053565
u1/4 1.026433
u‘/>2 1 008735
„‘/12 0 991341
v‘/4 0.974247
v1/2 0.949158
V 0.900901
г(° 01) 340.6318
г(0 02) 3.671297
г(0 05) 0.353116
г(° 1) 0 183942
г(1/5) 0 137012
гП/4) 0.129518
г(1/3) 0 122544
г(1/2) 0 116050
г 0 110000
г,2) 0 107131
г,4) 0.105733
г(12) 0.104815
8 0.104360
df,2) 0 103908
d(4> 0.103010
d<2’ 0 101684
d 0 099099
0 094189
№ 0.089603
d"'4> 0.085317
0.081310
d<01> 0.064782
j(0 05) 0 043798
J(O 02) 0 019892
j(0 01) 0 010000
i/?02’ 0 802849
0 849303
г/г"/31 0 897637
г/г|1/2> 0 947867
г/г<2> 1.026783
г/г(4) 1.040353
г/г<12> 1 049467
г/6 1 054044
t/d"2> 1.058634
i/dw 1.067853
г/d^ 1.081783
i/d^M 1.167865
t/d^V 1.227637
t/d"'4' 1.289309
t/d^ 2> 1 352847
п Un V71 •Sn| 3_1 ('«hl п
1 1.11000 0.90090 1.0000 0.9009 0.9009 1
2 1.23210 0.81162 2.1100 1 7125 2.5241 2
3 1.36763 0.73119 3.3421 2.4437 4.7177 3
4 1.51807 0.65873 4.7097 3.1024 7.3526 4
5 1.68506 0.59345 6.2278 3.6959 10.3199 5
6 1.87041 0.53464 7.9129 4.2305 13.5277 6
7 2.07616 0.48166 9.7833 4.7122 16.8994 7
8 2.30454 0.43393 11.8594 5.1461 20.3708 8
9 2.55804 0.39092 14.1640 5.5370 23.8891 9
10 2.83942 0.35218 16.7220 5.8892 27.4109 10
11 3.15176 0.31728 19.5614 6.2065 30.9011 11
12 3.49845 0.28584 22.7132 6.4924 34.3311 12
13 3.88328 0.25751 26.2116 6.7499 37.6788 13
14 4 31044 0.23199 30.0949 6.9819 40 9268 14
15 4.78459 0.20900 34.4054 7.1909 44.0618 15
16 5.31089 0.18829 39.1899 7 3792 47.0745 16
17 5 89509 0.16963 44.5008 7.5488 49.9582 17
18 6.54355 0.15282 50.3959 7.7016 52.7090 18
19 7.26334 0.13768 56.9395 7.8393 55.3249 19
20 8.06231 0.12403 64.2028 7.9633 57.8056 20
21 8.94917 0.11174 72.2651 8.0751 60.1522 21
22 9.93357 0.10067 81.2143 8.1757 62.3669 22
23 11.0263 0.09069 91.1479 8.2664 64.4528 23
24 12.2392 0.08170 102.174 8.3481 66.4137 24
25 13.5855 0.07361 114.413 8.4217 68.2539 25
26 15.0799 0.06631 127.999 8.4881 69.9781 26
27 16.7387 0.05974 143.079 8.5478 71.5911 27
28 18.5799 0.05382 159.817 8.6016 73.0981 28
29 20.6237 0.04849 178.397 8.6501 74.5043 29
30 22.8923 0.04368 199.021 8.6938 75.8148 30
31 25.4105 0.03935 221.913 8.7331 77.0347 31
32 28.2056 0.03545 247.324 8.7686 78.1693 32
33 31.3082 0.03194 275.529 8.8005 79.2233 33
34 34.7521 0.02878 306.837 8.8293 80 2017 34
35 38 5749 0 02592 341 590 8.8552 81.1090 35
36 42.8181 0.02335 380.164 8.8786 81.9498 36
37 47.5281 0.02104 422.982 8.8996 82.7282 37
38 52.7562 0.01896 470.511 8.9186 83.4485 38
39 58.5593 0.01708 523.267 8.9357 84.1145 39
40 65.0009 0.01538 581.826 8.9511 84.7299 40
41 72.1510 0.01386 646.827 8.9649 85.2982 41
42 80.0876 0.01249 718.978 8.9774 85.8226 42
43 88.8972 0.01125 799.065 8.9886 86.3063 43
44 98.6759 0.01013 887.963 8.9988 86.7522 44
45 109.530 0.00913 986.639 9.0079 87.1630 45
46 121.579 0.00823 1096.17 9.0161 87.5414 46
47 134.952 0.00741 1217.75 9.0235 87.8897 47
48 149.797 0.00668 1352.70 9.0302 88.2101 48
49 166.275 0.00601 1502.50 9.0362 88.5048 49
50 184.565 0.00542 1668.77 9.0417 88.7757 50
440
Д Таблицы
п ип vn 1 с со 1е п i = ( J.115
1 1.11500 0.89686 1.0000 0.8969 0.8969 1 U 1.115000
2 1.24323 0.80436 2.1150 1.7012 2.5056 2 и1'2 1.055936
3 1.38620 0.72140 3.3582 2.4226 4.6698 3 u1'4 1.027587
4 1.54561 0.64699 4.7444 3.0696 7.2578 4 u>/12 1.009112
5 1.72335 0.58026 6.2900 3.6499 10.1591 5 vl/12 0.990970
6 1.92154 0.52042 8.0134 4.1703 13.2816 6 v1/" 0.973153
7 2.14252 0.46674 9.9349 4.6370 16.5488 7 и1/2 0.947027
8 2.38891 0.41860 12.0774 5.0556 19.8976 8 V 0.896861
9 2.66363 0.37543 14.4663 5.4311 23.2764 9 j(ooi) 533.9230
10 2.96995 0.33671 17.1300 5.7678 26.6435 10 j(o 02) 4.601398
11 3.31149 0.30198 20.0999 6.0697 29.9653 11 ,(0 05) 0.391029
12 3.69231 0.27083 23.4114 6.3406 33.2152 12 ,(o 1) 0.196995
13 4.11693 0.24290 27.1037 6.5835 36.3729 13 ,(1/5) 0.144671
14 4.59037 0.21785 31.2207 6.8013 39.4228 14 ,(1/4) 0.136402
15 5.11827 0.19538 35.8110 6.9967 42.3535 15 0.128732
16 5.70687 0.17523 40.9293 7.1719 45.1571 16 ,(1/2) 0.121613
17 6.36316 0.15715 46.6362 7.3291 47.8287 17
18 7.09492 0.14095 52.9993 7.4700 50.3658 18 t U. 1loUUU
19 7.91084 0.12641 60.0942 7.5964 52.7675 19 :(2) 0.111871
20 8.82058 0.11337 68.0051 7.7098 55.0350 20 ,(«) 0.110349
21 9.83495 0.10168 76.8257 7.8115 57.1702 21 l‘(12) 0.109350
22 10.9660 0.09119 86.6606 7.9027 59.1764 22 6 0.108854
23 12.2271 0.08179 97.6266 7.9845 61.0575 23 № 0.108362
24 13.6332 0.07335 109.854 8.0578 62.8179 24 dw 0.107387
25 15.2010 0.06579 123.487 8.1236 64.4625 25 d<2> 0.105945
26 16.9491 0.05900 138.688 8.1826 65.9965 26 d 0.103139
27 18.8982 0.05291 155.637 8.2355 67.4252 27 d(!/2) П 0Q7R90
28 21.0715 0.04746 174.535 8.2830 68.7540 28 я(1/3)
29 23.4948 0.04256 195.607 8.3255 69.9884 29 >(1/4) u.uyzoo/
30 26.1967 0.03817 219.101 8.3637 71.1335 30 cr ' ' 0.088251
d(,/5) 0.083947
31 29.2093 0.03424 245.298 8.3980 72.1949 31 j(° ’’
32 32.5683 0.03070 274.507 8.4287 73.1774 32 1(0 05)
33 36.3137 0.02754 307.076 8.4562 74.0862 33 a i(0 02) л -1 о
34 40.4898 0.02470 343.389 8.4809 74.9259 34 0.019913
35 45.1461 0.02215 383.879 8.5030 75.7011 35 j(o 01) 0.010000
36 50.3379 0.01987 429.025 8.5229 76.4163 36 z/t<° 2’ 0.794907
37 56.1268 0.01782 479.363 8.5407 77.0755 37 ,/,(1/4) 0.843096
38 62.5814 0.01598 535.490 8.5567 77.6827 38 l/i(1/3) 0.893329
39 69.7782 0.01433 598.071 8.5710 78.2416 39 0.945623
40 77.8027 0.01285 667.850 8.5839 78.7558 40 ./.<2> 1.027970
41 86.7500 0.01153 745.652 8.5954 79.2284 41 »/l(4> 1.042148
42 96.7263 0.01034 832.402 8.6058 79.6626 42 ,/,(12) 1.051669
43 107.850 0.00927 929.129 8.6150 80.0613 43 •/«5 1.056461
44 120.253 0.00832 1036.98 8.6233 80.4272 44 t/d(12) 1.061258
45 134.082 0.00746 1157.23 8.6308 80.7628 45 i/d(4) 1.070893
46 149.501 0.00669 1291.31 8.6375 81.0705 46 1.085469
47 166.694 0.00600 1440.81 8.6435 81.3525 47 i/d<*/2> 1.175629
48 185.863 0.00538 1607.51 8.6489 81.6107 48 ./d<‘/3> 1.238330
49 207.238 0.00483 1793.37 8.6537 81.8472 49 г/d^^ 1.303101
50 231.070 0.00433 2000.61 8.6580 82.0635 50 t/d«> 2> 1.369912
1 Финансовые таблицы
441
г = 0.12
U 1.120000
и1'2 1.058301
и1/" 1.028737
и1/и 1.009489
V1/12 0.990600
vl/< 0.972065
t,1/2 0.944911
V 0.892857
,(о 01) 835.2127
,(0 02) 5.760044
г(0 05) 0.432315
,(0 1) 0.210585
,(1/5) 0.152468
г(1/4) 0.143380
{(1/3) ' 0.134976
,(1/2) 0.127200
1 0.120000
|<2> 0.116601
,(4) 0.114949
,(12) 0.113866
6 0.113329
d<12> 0.112795
d<-> 0.111738
d<2> 0.110178
d 0.107143
0.101403
0.096073
d(l/4) 0.091120
d(i/M 0.086515
d(oi) 0.067803
• j(° 05> 0.044817
j(° 02) 0.019931
^(0 01) 0.010000
t/.<02> 0.787050
,/,d/4) 0.836937
0.889047
,/,d/2) 0.943396
./,'2> 1.029150
./»<*> 1.043938
t/i<12> 1.053875
,/i 1.058867
t/d<12> 1.063875
1.073938
t/d<2> 1.089150
i/d'1'2’ 1.183397
t/d"/3> 1.249050
1.316945
t/d'° 2> 1.387043
п Un vn 1 с со 1 с СЗ п
1 1.12000 0.89286 1.0000 0.8929 0.8929 1
2 1.25440 0.79719 2.1200 1.6901 2.4872 2
3 1.40493 0.71178 3.3744 2.4018 4.6226 3
4 1.57352 0.63552 4.7793 3.0373 7.1647 4
5 1.76234 0.56743 6.3528 3.6048 10.0018 5
6 1.97382 0.50663 8.1152 4.1114 13.0416 6
7 2.21068 0.45235 10.0890 4.5638 16.2080 7
8 2.47596 0.40388 12.2997 4.9676 19.4391 8
9 2.77308 0.36061 14.7757 5.3282 22.6846 9
10 3.10585 0.32197 17.5487 5.6502 25.9043 10
11 3.47855 0.28748 20.6546 5.9377 29.0665 11
12 3.89598 0.25668 24.1331 6.1944 32.1467 12
13 4.36349 0.22917 28.0291 6.4235 35.1259 13
14 4.88711 0.20462 32.3926 6.6282 37.9906 14
15 5.47357 0.18270 37.2797 6.8109 40.7310 15 j
16 6.13039 0.16312 42.7533 6.9740 43.3410 16
17 6.86604 0.14564 48.8837 7.1196 45.8169 17
18 7.68997 0.13004 55.7497 7.2497 48.1576 18
19 8.61276 0.11611 63.4397 7.3658 50.3637 19
20 9.64629 0.10367 72.0524 7.4694 52.4370 20
21 10.80385 0.09256 81.6987 7.5620 54.3808 21
22 12.10031 0.08264 92.5026 7.6446 56.1989 22
23 13.55235 0.07379 104.603 7.7184 57.8960 23
24 15.17863 0.06588 118.155 7.7843 59.4772 24
25 17.00006 0.05882 133.334 7.8431 60.9478 25
26 19.04007 0.05252 150.334 7.8957 62.3133 26
27 21.32488 0.04689 169.374 7.9426 63.5794 27
28 23.88387 0.04187 190 699 7.9844 64.7518 28
29 26.74993 0.03738 214.583 8.0218 65.8359 29
30 29.95992 0.03338 241.333 8.0552 66.8372 30
31 33.55511 0.02980 271.293 8.0850 67.7611 31
32 37.58173 0.02661 304.848 8.1116 68.6126 32
33 42.09153 0.02376 342.429 8.1354 69.3966 33
34 47.14252 0.02121 384.521 8.1566 70.1178 34
35 52.79962 0.01894 431.664 8.1755 70.7807 35
36 59.13557 0.01691 484.463 8.1924 71.3894 36
37 66.23184 0.01510 543.599 8.2075 71.9481 37
38 74.17966 0.01348 609.831 8.2210 72.4604 38
39 83.08122 0.01204 684.010 8.2330 72.9298 39
40 93.05097 0.01075 767.091 8.2438 73.3596 40
41 104.2171 0.00960 860.142 8.2534 73.7531 41
42 116.7231 0.00857 964.359 8.2619 74.1129 42
43 130.7299 0.00765 1081.08 8.2696 74.4418 43
44 146.4175 0.00683 1211.81 8.2764 74.7423 44
45 163.9876 0.00610 1358.23 8.2825 75.0167 45
46 183.6661 0.00544 1522.22 8.2880 75.2672 46
47 205.7061 0.00486 1705.88 8.2928 75.4957 47
48 230.3908 0.00434 1911.59 8.2972 75.7040 48
49 258.0377 0.00388 2141.98 8.3010 75.8939 49
50 289.0022 0.00346 2400.02 8.3045 76.0669 50
442
Д Таблицы
п ип vn 5й| 1 £ (^)n| п
1 1.12500 0.88889 1.0000 0.8889 0.8889 1
2 1.26563 0.79012 2.1250 1.6790 2.4691 2
3 1.42383 0.70233 3.3906 2.3813 4.5761 3
4 1.60181 0.62430 4.8145 3.0056 7.0733 4
5 1.80203 0.55493 6.4163 3.5606 9.8480 5
6 2.02729 0.49327 8.2183 4.0538 12.8076 6
7 2.28070 0.43846 10.2456 4.4923 15.8768 7
8 2.56578 0.38974 12.5263 4.8820 18.9948 8
9 2.88651 0.34644 15.0921 5.2285 22.1127 9
10 3.24732 0.30795 17.9786 5.5364 25.1922 10
11 3.65324 0.27373 21.2259 5.8102 28.2032 11
12 4.10989 0.24332 24.8791 6.0535 31.1230 12
13 4.62363 0.21628 28.9890 6.2698 33.9346 13
14 5.20158 0.19225 33.6126 6.4620 36.6261 14
15 5.85178 0.17089 38.8142 6.6329 39.1895 15
16 6.58325 0.15190 44.6660 6.7848 41.6199 16
17 7.40616 0.13502 51.2493 6.9198 43.9153 17
18 8.33193 0.12002 58.6554 7.0398 46.0756 18
19 9.37342 0.10668 66.9873 7.1465 48.1026 19
20 10.54509 0.09483 76.3608 7.2414 49.9992 20
21 11.86323 0.08429 86.9058 7.3256 51.7694 21
22 13.34613 0.07493 98.7691 7.4006 53.4178 22
23 15.01440 0.06660 112.115 7.4672 54.9497 23
24 16.89120 0.05920 127.130 7.5264 56.3706 24
25 19.00260 0.05262 144.021 7.5790 57.6862 25
26 21.37793 0.04678 163.023 7.6258 58.9024 26
27 24.05017 0.04158 184.401 7.6674 60.0250 27
28 27.05644 0.03696 208.452 7.7043 61.0599 28
29 30.43849 0.03285 235.508 7.7372 62.0126 29
30 34.24330 0.02920 265.946 7.7664 62.8887 30
31 38.52372 0.02596 300.190 7.7923 63.6934 31
32 43.33918 0.02307 338.713 7.8154 64.4318 32
33 48.75658 0.02051 382.053 7.8359 65.1086 33
34 54.85115 0.01823 430.809 7.8542 65.7285 34
35 61.70755 0.01621 485.660 7.8704 66.2957 35
36 69.42099 0.01440 547.368 7.8848 66.8142 36
37 78.09861 0.01280 616.789 7.8976 67.2880 37
38 87.86094 0.01138 694.888 7.9089 67.7205 38
39 98.84356 0.01012 782.748 7.9191 68.1151 39
40 111.1990 0.00899 881.592 7.9281 68.4748 40
41 125.0989 0.00799 992.791 7.9361 68.8025 41
42 140.7362 0.00711 1117.89 7.9432 69.1010 42
43 158.3283 0.00632 1258.63 7.9495 69.3725 43
44 178.1193 0.00561 1416.95 7.9551 69.6196 44
45 200.3842 0.00499 1595.07 7.9601 69.8441 45
46 225.4322 0.00444 1795.46 7.9645 70.0482 46
47 253.6113 0.00394 2020.89 7.9685 70.2335 47
48 285.3127 0.00350 2274.50 7.9720 70.4018 48
49 320.9768 0.00312 2559.81 7.9751 70.5544 49
50 361.0989 0.00277 2880.79 7.9778 70.6929 50
i = 0.125
u 1.125000
ul/2 1.060660
ul/< 1.029884
ul/'2 1.009864
vi/n 0.990233
v''4 0.970984
v'V 0.942809
V 0.888889
,(0 01) 1303.914
,(0 02) 7.201977
,(0 05) 0.477255
,(0 1) 0.224732
,(1/5) 0.160406
,(!/<) 0.150452
,(1/3) 0.141276
j(l/2) 0.132813
t 0.125000
j(2) 0.121320
j(4) 0.119534
j(12) 0.118363
<5 0.117783
d(12) 0.117207
d'<> 0.116066
d(2> 0.114382
d 0.111111
d(l/2) 0.104938
jd/3) 0.099223
d(l/«) 0.093926
d(l/5) 0.089014
d(oi) 0.069205
rf(0 05) 0.045258
j(0 02) 0.019945
c/(ooi) 0.010000
,/,(° 2) 0.779273
,/,(1/4) 0.830830
j/,(l/3) 0.884793
j/id/2) 0.941173
./.<2> 1.030333
»/•(-> 1.045728
l/i<l2> 1.056073
‘/<5 1.061274
./d<12’ 1.066489
i/d(4) 1.076973
./d'2> 1.092829
t/d<‘/2> 1.191180
1.259789
»/d<*/4) 1.330835
»/d<° 2> 1.404273
1 Финансовые таблицы
443
i = 0.13
и 1.130000
и1/2 1.063015
u1/4 1.031026
и1/>2 1 010237
0 989867
Г1/4 0.969908
('*/2 0.940721
1* 0 884956
г(° 01) 2031 619
г(0 02) 8.994719
г(0 05) 0.526154
г(° 1) 0.239457
г(1/5) 0.168487
,(1/4) 0.157618
,(1/3) 0.147632
,(1/2) 0.138450
г 0.130000
г'2’ 0.126029
,(4) 0.124104
,(12) 0.122842
6 0.122218
d'12’ 0.121597
d'4’ 0 120369
d'2’ 0 118558
d 0 115044
d'1/2’ 0.108427
d'1/3’ 0.102317
d(‘/4) 0.096670
d(l/5) 0.091448
d'01’ 0.070541
j(0 05) 0.045661
j(0 02) 0.019956
^(0 01) 0.010000
г/г'02’ 0.771573
г/г'1/4’ 0.824779
г/г'1/3’ 0.880568
г/г'1/2’ 0.938967
г/г'2’ 1.031507
г/г'4’ 1 047509
г/г'12’ 1 058269
г/<5 1 063676
г/d'12’ 1 069102
г/d'41 1.080009
г/d'2’ 1.096507
г/d'1/2’ 1.198963
г/d'*/3’ 1.270561
г/d'1/4’ 1.344781
г/d'0 2’ 1.421573
п Un vn sn| 1 с е ('«hi п
1 1.13000 0.88496 1.0000 0.8850 0.8850 1
2 1.27690 0.78315 2.1300 1.6681 2.4512 2
3 1.44290 0.69305 3.4069 2.3612 4.5304 3
4 1.63047 0.61332 4.8498 2.9745 6.9837 4
5 1.84244 0.54276 6.4803 3.5172 9.6975 5
6 2.08195 0.48032 8.3227 3.9975 12.5794 6
7 2.35261 0.42506 10.4047 4.4226 15.5548 7
8 2.65844 0.37616 12.7573 4.7988 18.5641 8
9 3.00404 0.33288 15.4157 5.1317 21.5601 9
10 3.39457 0.29459 18.4197 5.4262 24.5059 10
11 3.83586 0.26070 21.8143 5.6869 27.3736 11
12 4.33452 0.23071 25.6502 5.9176 30.1421 12
13 4.89801 0.20416 29.9847 6.1218 32.7962 13
14 5.53475 0.18068 34.8827 6.3025 35.3257 14
15 6.25427 0.15989 40.4175 6.4624 37.7241 15
16 7.06733 0.14150 46.6717 6.6039 39.9880 16
17 7.98608 0.12522 53.7391 6.7291 42.1167 17
18 9.02427 0.11081 61.7251 6.8399 44.1113 18
19 10.19742 0.09806 70.7494 6.9380 45.9745 19
20 11.52309 0.08678 80.9468 7.0248 47.7102 20
21 13.02109 0.07680 92.4699 7.1016 49.3229 21
22 14.71383 0.06796 105.491 7.1695 50.8181 22
23 16.62663 0.06014 120.205 7.2297 52.2015 23
24 18.78809 0.05323 136.831 7.2829 53.4789 24
25 21.23054 0.04710 155.620 7.3300 54.6564 25
26 23.99051 0.04168 176.850 7.3717 55.7402 26
27 27.10928 0.03689 200.841 7.4086 56.7361 27
28 30.63349 0.03264 227.950 7.4412 57.6502 28
29 34.61584 0.02889 258.583 7.4701 58.4879 29
30 39.11590 0.02557 293.199 7.4957 59.2549 30
31 44.20096 0.02262 332.315 7.5183 59.9562 31
32 49.94709 0.02002 376.516 7.5383 60.5969 32
33 56.44021 0.01772 426.463 7.5560 61.1816 33
34 63.77744 0.01568 482.903 7.5717 61.7147 34
35 72.06851 0.01388 546.681 7.5856 62.2004 35
36 81.43741 0.01228 618.749 7.5979 62.6424 36
37 92.02428 0.01087 700.187 7.6087 63.0445 37
38 103.9874 0.00962 792.211 7.6183 63.4099 38
39 117.5058 0.00851 896.198 7.6268 63.7418 39
40 132.7816 0.00753 1013.70 7.6344 64.0431 40
41 150.0432 0.00666 1146.49 7.6410 64.3163 41
42 169.5488 0.00590 1296.53 7.6469 64.5640 42
43 191.5901 0.00522 1466.08 7.6522 64.7885 43
44 216.4968 0.00462 1657.67 7.6568 64.9917 44
45 244.6414 0.00409 1874.16 7.6609 65.1756 45
46 276.4448 0.00362 2118.81 7.6645 65.3420 46
47 312.3826 0.00320 2395.25 7.6677 65.4925 47
48 352.9923 0.00283 2707.63 7.6705 65.6285 48
49 398.8814 0.00251 3060.63 7.6730 65.7513 49
50 450.7359 0.00222 3459.51 7.6752 65.8623 50
444
Д Таблицы
п Un vn 1 с со 1 с (/а)п| п i = 0.135
1 1.13500 0.88106 1.0000 0.8811 0.8811 1 U 1.135000
2 1.28823 0.77626 2.1350 1.6573 2.4336 2 и1'2 1.065364
3 1.46214 0.68393 3.4232 2.3413 4.4854 3 и1/4 1.032165
4 1.65952 0.60258 4.8854 2.9438 6.8957 4 и1/'2 1.010609
5 1.88356 0.53091 6.5449 3.4747 9.5503 5 V*/12 0.989503
6 2.13784 0.46776 8.4284 3.9425 12.3568 6 V1/4 0.968838
7 2.42645 0.41213 10.5663 4.3546 15.2417 7 vl/2 0.938647
8 2.75402 0.36311 12.9927 4.7177 18.1465 8 V 0.881057
9 3.12581 0.31992 15.7468 5.0377 21.0258 9 ,•(0 01) 3159.256
10 3.54780 0.28187 18.8726 5.3195 23.8444 10 ,(0 02) 11.22147
11 4.02675 0.24834 22.4204 5.5679 26.5762 11 ,(0 05) 0.579343
12 4.57036 0.21880 26.4471 5.7867 29.2018 12 j(0 1) 0.254780
13 5.18736 0.19278 31.0175 5.9794 31.7079 13 j(l/5) 0.176712
14 5.88765 0.16985 36.2048 6.1493 34.0857 14 j(l/4) 0.164881
15 6.68248 0.14964 42.0925 6.2989 36.3304 15 j(I/3)
0.154045
16 7.58462 0.13185 48.7750 6.4308 38.4400 16 ,(1/2) 0.144113
17 8.60854 0.11616 56.3596 6.5469 40.4147 17 0.135000
18 9.77070 0.10235 64.9681 6.6493 42.2570 18 t
19 11.08974 0.09017 74.7388 6.7395 43.9703 19 t(2) 0.130728
20 12.58686 0.07945 85.8286 6.8189 45.5592 20 ,(4) 0.128658
21 14.28608 0.07000 98.4154 6.8889 47.0292 21 ,(12) 0.127303
22 16.21470 0.06167 112.701 6.9506 48.3860 22 5 0.126633
23 18.40369 0.05434 128.916 7.0049 49.6357 23 d<*2> 0.125967
24 20.88818 0.04787 147.320 7.0528 50.7847 24 d<4> 0.124649
25 23.70809 0.04218 168.208 7.0950 51.8392 25 d<2> 0.122707
26 26.90868 0.03716 191.916 7.1321 52.8054 26 d 0.118943
27 30.54135 0.03274 218.825 7.1649 53.6895 27 d(l/2) 0.111869
28 34.66443 0.02885 249.366 7.1937 54.4972 28
29 39.34413 0.02542 284.031 7.2191 55.2343 29 d(l/3) 0.105356
30 44.65559 0.02239 323.375 7.2415 55.9061 30 d(l/4) 0.099354
d(!/5) 0.093818 0.071813
31 50.68410 0.01973 368.030 7.2613 56.5178 31 d(°l)
32 57.52645 0.01738 418.714 7.2786 57.0740 32
33 65.29252 0.01532 476.241 7.2940 57.5794 33 d(° 05) d(0 02) d(o 01) 0.046028
34 74.10701 0.01349 541.533 7.3075 58.0382 34 0.019964
35 84.11146 0.01189 615.640 7.3193 58.4544 35 0.010000
36 95.46650 0.01047 699.752 7.3298 58.8314 36 i/i<02> 0.763955
37 108.3545 0.00923 795.218 7.3390 59.1729 37 i/,(l/4) 0.818772
38 122.9823 0.00813 903.573 7.3472 59.4819 38 ,/,d/3) 0.876367
39 139.5850 0.00716 1026.56 7.3543 59.7613 39 ,/,(l/2) 0.936765
40 158.4289 0.00631 1166.14 7.3607 60.0138 40 ./t<2> 1.032679
41 179.8168 0.00556 1324.57 7.3662 60.2418 41 «/»<•*> 1.049293
42 204.0921 0.00490 1504.39 7.3711 60.4476 42 i/t(12> 1.060445
43 231.6445 0.00432 1708.48 7.3754 60.6332 43 г/8 1.066073
44 262.9165 0.00380 1940.12 7.3792 60.8006 44 i/d<12> 1.071709
45 298.4103 0.00335 2203.04 7.3826 60.9514 45 i/dw 1.083041
46 338.6957 0.00295 2501.45 7.3855 61.0872 46 t/d™ 1.100182
47 384.4196 0.00260 2840.14 7.3881 61.2094 47 i/d^™ 1.206769
48 436.3162 0.00229 3224.56 7.3904 61.3195 48 i/d'1'3’ 1.281370
49 495.2189 0.00202 3660.88 7.3924 61.4184 49 ./d'1'4’ 1.358778
50 562.0735 0.00178 4156.10 7.3942 61.5074 50 i/d<02> 1.438956
1 Финансовые таблицы
445
1 — 0.14
и 1.140000
и1/2 1.067708
и1'4 1.033299
U1/12 1.010979
V1/12 0.989140
v'/4 0 967774
v'>2 0.936586
V 0.877193
г(° 01) 4903.252
г(0 02) 13.98466
г(0 05) 0.637174
г(о 1) 0.270722
,(1/5) 0.185083
г(1/4) 0.172240
г(!/3) 0.160515
г(1/2) 0.149800
г 0.140000
г(2) 0 135416
?4) 0.133198
г(!2) 0 131746
8 0.131028
d(12> 0.130316
d'4’ 0.128905
d'2’ 0.126828
d 0.122807
d'1'2’ 0.115266
d(l/3) 0.108343
d(‘/<) 0.101980
d(‘/=) 0.096126
d(°‘) 0.073026
d(0 05) 0.046362
j(O 02) 0.019971
J(0 01) 0.010000
г/?02> 0.756417
г/г(,/4) 0.812819
г/?1/3' 0.872193
г/?1'2' 0.934579
г/?2> 1.033854
г/?4) 1.051067
г/?12’ 1.062649
1/6 1.068472
г/d^ 1.074316
t/d(4) 1.086067
t/d<2* 1.103854
t/d'1'2’ 1.214582
./d<‘/3> 1.292192
t/d'l'4> 1.372818
t/d<02> 1.456422
п Un vn 1 £ <Х> 1 с п
1 1.14000 0.87719 1.00000 0.8772 0.8772 1
2 1 29960 0.76947 2.14000 1.6467 2.4161 2
3 1.48154 0.67497 3.43960 2.3216 4.4410 3
4 1.68896 0.59208 4.92114 2.9137 6.8094 4
5 1.92541 0.51937 6.61010 3.4331 9.4062 5
6 2.19497 0.45559 8.53552 3.8887 12.1397 6
7 2.50227 0.39964 10.73049 4.2883 14.9372 7
8 2.85259 0.35056 13.23276 4.6389 17.7417 8
9 3.25195 0.30751 16.08535 4.9464 20.5092 9
10 3.70722 0.26974 19.33730 5.2161 23.2067 10
11 4.22623 0.23662 23.04452 5.4527 25.8095 11
12 4.81790 0.20756 27.27075 5.6603 28.3002 12
13 5.49241 0.18207 32.08865 5.8424 30.6671 13
14 6.26135 0.15971 37.58107 6.0021 32.9030 14
15 7.13794 0.14010 43.84241 6.1422 35.0045 15
16 8.13725 0.12289 50.98035 6.2651 36.9707 16
17 9.27646 0.10780 59.11760 6.3729 38.8033 17
18 10.57517 0.09456 68.39407 6.4674 40.5054 18
19 12.05569 0.08295 78.96923 6.5504 42.0814 19
20 13 74349 0.07276 91.02493 6.6231 43.5367 20
21 15.66758 0.06383 104.7684 6.6870 44.8770 21
22 17.86104 0.05599 120.4360 6.7429 46.1088 22
23 20.36158 0.04911 138.2970 6.7921 47.2383 23
24 23.21221 0.04308 158.6586 6.8351 48.2723 24
25 26.46192 0.03779 181.8708 6.8729 49.2170 25
26 30.16658 0.03315 208.3327 6.9061 50.0789 26
27 34.38991 0.02908 238.4993 6.9352 50.8640 27
28 39.20449 0.02551 272.8892 6.9607 51.5782 28
29 44.69312 0.02237 312.0937 6.9830 52.2271 29
30 50.95016 0.01963 356.7868 7.0027 52.8159 30
31 58.08318 0.01722 407.7370 7.0199 53.3496 31
32 66.21483 0.01510 465.8202 7.0350 53.8329 32
33 75.48490 0.01325 532.0350 7.0482 54.2701 33
34 86.05279 0.01162 607.5199 7.0599 54.6652 34
35 98.10018 0.01019 693.5727 7.0700 55.0220 35
36 111.8342 0.00894 791.6729 7.0790 55.3439 36
37 127.4910 0.00784 903.5071 7.0868 55.6341 37
38 145.3397 0.00688 1030.998 7.0937 55.8955 38
39 165.6873 0.00604 1176.338 7.0997 56.1309 39
40 188.8835 0.00529 1342.025 7.1050 56.3427 40
41 215.3272 0.00464 1530.909 7.1097 56.5331 41
42 245.4730 0.00407 1746.236 7.1138 56.7042 42
43 279.8392 0.00357 1991.709 7.1173 56.8579 43
44 319.0167 0.00313 2271.548 7.1205 56.9958 44
45 363.6791 0.00275 2590.565 7.1232 57.1195 45
46 414.5941 0.00241 2954.244 7.1256 57.2305 46
47 472.6373 0.00212 3368.838 7.1277 57.3299 47
48 538.8066 0.00186 3841.475 7.1296 57.4190 48
49 614.2395 0.00163 4380.282 7.1312 57.4988 49
50 700.2330 0.00143 4994.521 7.1327 57.5702 50
446
Д Таблицы
п Un vn 1 £ со а-. п| п
1 1.14500 0.87336 1.00000 0.8734 0.8734 1
2 1.31103 0.76276 2.14500 1.6361 2.3989 2
3 1.50112 0.66617 3.45603 2.3023 4.3974 3
4 1.71879 0.58181 4.95715 2.8841 6.7246 4
5 1.96801 0.50813 6.67594 3.3922 9.2652 5
6 2.25337 0.44378 8.64395 3.8360 11.9279 6
7 2.58011 0.38758 10.89732 4.2236 14.6410 7
8 2.95423 0.33850 13.47743 4.5621 17.3490 8
9 3.38259 0.29563 16.43166 4.8577 20.0097 9
10 3.87307 0.25819 19.81425 5.1159 22.5916 10
11 4.43466 0.22550 23.68731 5.3414 25.0720 11
12 5.07769 0.19694 28.12197 5.5383 27.4353 12
13 5.81395 0.17200 33.19966 5.7103 29.6713 13
14 6.65697 0.15022 39.01361 5.8606 31.7744 14
15 7.62223 0.13120 45.67058 5.9918 33.7423 15
16 8.72746 0.11458 53.29282 6.1063 35.5756 16
17 9.99294 0.10007 62.02027 6.2064 37.2768 17
18 11.44192 0.08740 72.01321 6.2938 38.8500 18
19 13.10099 0.07633 83.45513 6.3701 40.3002 19
20 15.00064 0.06666 96.55612 6.4368 41.6335 20
21 17.17573 0.05822 111.5568 6.4950 42.8562 21
22 19.66621 0.05085 128.7325 6.5459 43.9748 22
23 22.51781 0.04441 148.3987 6.5903 44.9963 23
24 25.78290 0.03879 170.9165 6.6291 45.9271 24
25 29.52141 0.03387 196.6994 6.6629 46.7740 25
26 33.80202 0.02958 226.2208 6.6925 47.5431 26
27 38.70331 0.02584 260.0228 6.7184 48.2408 27
28 44.31529 0.02257 298.7262 6.7409 48.8726 28
29 50.74101 0.01971 343.0415 6.7606 49.4441 29
30 58.09846 0.01721 393.7825 6.7778 49.9605 30
31 66.52273 0.01503 451.8809 6.7929 50.4265 31
32 76.16853 0.01313 518.4037 6.8060 50.8466 32
33 87.21297 0.01147 594.5722 6.8175 51.2250 33
34 99.85885 0.01001 681.7852 6.8275 51.5655 34
35 114.3384 0.00875 781.6440 6.8362 51.8716 35
36 130.9174 0.00764 895.9824 6.8439 52.1466 36
37 149.9005 0.00667 1026.900 6.8505 52.3934 37
38 171.6360 0.00583 1176.800 6.8564 52.6148 38
39 196.5233 0.00509 1348.436 6.8615 52.8132 39
40 225.0191 0.00444 1544.960 6.8659 52.9910 40
41 257.6469 0.00388 1769.979 6.8698 53.1501 41
42 295.0057 0.00339 2027.626 6.8732 53.2925 42
43 337.7816 0.00296 2322.631 6.8761 53.4198 43
44 386.7599 0.00259 2660.413 6.8787 53.5336 44
45 442.8401 0.00226 3047.173 6.8810 53.6352 45
46 507.0519 0.00197 3490.013 6.8830 53.7259 46
47 580.5744 0.00172 3997.065 6.8847 53.8069 47
48 664.7577 0.00150 4577.639 6.8862 53.8791 48
49 761.1475 0.00131 5242.397 6.8875 53.9435 49
50 871.5139 0.00115 6003.544 6.8886 54.0008 50
i = 1 0.145
и 1.145000
и'/2 1.070047
и*/4 1.034431
и*/12 1.011348
vl/12 0.988780
vl/4 0.966714
v1/2 0.934539
V 0.873362
,(0 01) 7595.355
,(0 02) 17.41028
,(0 05) 0.700032
,(0 1) 0 287307
,(1/5) 0 193602
0 179697
г(‘/з) 0 167041
г(1/2) 0 155513
1 0.145000
«<2> 0.140093
,(4) 0.137723
,(12) 0.136171
5 0 135405
d<12> 0.134644
d(4) 0.133138
d™ 0.130923
d 0.127738
dW) 0.118619
d(l/3) 0.111277
d(l/4) 0.104549
JH/S) 0.098375
d<°*> 0.074181
j(0 05) 0.046667
j(0 02) 0.019977
j(0 01) 0.010000
г/г<° 2> 0.748959
i/.U/O 0.806914
,/,(>/3) 0.868050
./г'*/2' 0.932397
г/г<2) 1.035027
i/i<4> 1 052838
г/.<12> 1.064838
г/6 1.070861
г/d^ 1.076914
i/d(4) 1.089096
i/d<2> 1.107521
./d'1'2) 1.222401
1.303055
i/d^^ 1.386909
г/d'0 2’ 1.473952
1 Финансовые таблицы
447
i = 0.15
U 1 150000
и1/2 1.072381
и'/4 1.035558
и!/12 1.011715
v‘/‘2 0.988421
0.965663
v'>2 0.932505
V 0.869565
г(° 01) 11743 12
г(0 02) 21.65315
г(0 05) 0.768327
г(0 1) 0 304556
г(1/5) 0 202271
г(1/4) 0 187252
г(1/3) 0 173625
г(1/2) 0 161250
г 0.150000
г'2» 0.144761
г'4» 0.142232
г(12) 0.140579
8 0.139762
d<12> 0.138951
d'4> 0.137348
d<2> 0.134990
d 0.130435
d“'2> 0.121928
d(‘/3) 0.114161
d(l/4| 0 107062
jd/5) 0.100565
d<° '» 0 075282
^(0 05) 0 046945
^(0 02) 0.019982
J(OO1) 0 010000
г/г'02' 0.741579
г/г'1/4' 0.801060
г/г'1/3' 0.863931
г/г'1/2' 0.930233
г/г'2' 1 036190
г/г'4' 1 054613
г/г'12» 1.067016
г/<5 1.073254
г/d'12' 1.079516
г/d'4' 1.092113
г/d'2' 1.111190
г/d'1/2' 1.230234
г/d'1/3» 1.313934
г/d'1/4» 1 401057
г/d'02' 1 491573
п Un vn Sn| а-i п| ('<1 п
1 1.15000 0.86957 1.00000 0.8696 0.8696 1
2 1.32250 0.75614 2.15000 1.6257 2.3819 2
3 1.52088 0.65752 3.47250 2.2832 4.3544 3
4 1.74901 0.57175 4.99338 2.8550 6.6414 4
5 2.01136 0.49718 6.74238 3.3522 9.1273 5
6 2.31306 0.43233 8.75374 3.7845 11.7213 6
7 2.66002 0.37594 11.06680 4.1604 14.3528 7
8 3.05902 0.32690 13.72682 4.4873 16.9680 8
9 3.51788 0.28426 16.78584 4.7716 19.5264 9
10 4.04556 0.24718 20.30372 5.0188 21.9982 10
11 4.65239 0.21494 24.34928 5.2337 24.3626 11
12 5 35025 0 18691 29 00167 5.4206 26.6055 12
13 6 15279 0.16253 34 35192 5 5831 28.7184 13
14 7 07571 0 14133 40 50471 5.7245 30 6970 14
15 8.13706 0.12289 47.58041 5 8474 32.5404 15
16 9 35762 0.10686 55 71747 5.9542 34 2502 16
17 10.76126 0.09293 65.07509 6 0472 35.8300 17
18 12.37545 0.08081 75.83636 6.1280 37.2845 18
19 14.23177 0.07027 88.21181 6.1982 38.6195 19
20 16.36654 0.06110 102.4436 6.2593 39.8415 20
21 18.82152 0.05313 118.8101 6.3125 40.9572 21
22 21.64475 0.04620 137.6316 6.3587 41.9737 22
23 24.89146 0.04017 159.2764 6.3988 42.8977 23
24 28.62518 0.03493 184.1678 6.4338 43.7361 24
25 32.91895 0.03038 212.7930 6.4641 44.4955 25
26 37.85680 0.02642 245.7120 6.4906 45.1823 26
27 43.53531 0.02297 283.5688 6.5135 45.8025 27
28 50.06561 0.01997 327.1041 6.5335 46.3618 28
29 57.57545 0.01737 377.1697 6.5509 46.8655 29
30 66 21177 0.01510 434 7451 6 5660 47.3186 30
31 76.14354 0.01313 500.9569 6.5791 47.7257 31
32 87.56507 0 01142 577 1005 6 5905 48 0911 32
33 100.6998 0.00993 664.6655 6.6005 48.4188 33
34 115 8048 0.00864 765 3654 6.6091 48.7124 34
35 133 1755 0.00751 881.1702 6.6166 48 9752 35
36 153.1519 0.00653 1014.346 6.6231 49.2103 36
37 176.1246 0.00568 1167.498 6.6288 49.4204 37
38 202.5433 0.00494 1343.622 6.6338 49.6080 38
39 232.9248 0.00429 1545 165 6.6380 49.7754 39
40 267.8636 0.00373 1779.090 6.6418 49.9248 40
41 308.0431 0.00325 2046.954 6.6450 50.0579 41
42 354.2495 0.00282 2354.997 6.6478 50.1764 42
43 407.3870 0.00245 2709.246 6.6503 50.2820 43
44 468.4950 0.00213 3116.633 6.6524 50.3759 44
45 538.7693 0.00186 3585.128 6.6543 50.4594 45
46 619.5847 0.00161 4123.898 6.6559 50.5337 46
47 712.5224 0.00140 4743.482 6.6573 50.5996 47
48 819.4007 0.00122 5456.005 6 6585 50 6582 48
49 942.3108 0.00106 6275.405 6.6596 50.7102 49
50 1083 657 0 00092 7217.716 6.6605 50 7563 50
448
Д Таблицы
п ип vn Sn| а 3J п i = । 0.155
1 1.15500 0.86580 1.0000 0.8658 0.8658 1 u 1.155000
2 1.33403 0.74961 2.1550 1.6154 2.3650 2 ul/2 1.074709
3 1.54080 0.64901 3.4890 2.2644 4.3121 3 U*/« 1.036682
4 1.77962 0.56192 5.0298 2.8263 6.5597 4 u1'12 1.012081
5 2.05546 0.48651 6.8095 3.3129 8.9923 5 v1/12 0.988063
6 2.37406 0.42122 8.8649 3.7341 11.5196 6 v*/< 0.964616
7 2.74204 0.36469 11.2390 4.0988 14.0724 7 v1'2 0.930484
8 3.16706 0.31575 13.9810 4.4145 16.5984 8 V 0.865801
9 3.65795 0.27338 17.1481 4.6879 19.0588 9 t(0 01) 18121.67
10 4.22493 0.23669 20.8060 4.9246 21.4257 10 ,(o 02) 13.45168
11 4.87980 0.20493 25.0310 5.1295 23.6799 11 j(0 05) 0.842503
12 5.63617 0.17743 29.9208 5.3069 25.8090 12 ,(0 1) 0.322493
13 6.50977 0.15362 35.5469 5.4606 27.8060 13 ,(i/s) 0.211093
14 7.51879 0.13300 42.0567 5.5936 29.6680 14 ,(!/<) 0.194906
15 8.68420 0.11515 49.5755 5.7087 31.3953 15 ,(1/3) 0.180266
16 10.03025 0.09970 58.2597 5.8084 32.9905 16 j(l/2) 0.167013
17 11.58494 0.08632 68.2899 5.8947 34.4579 17
18 13.38060 0.07474 79.8749 5.9695 35.8031 18 » 0.155000
19 15.45460 0.06471 93.2555 6.0342 37.0325 19 j(2) 0.149419
20 17.85006 0.05602 108.7101 6.0902 38.1530 20 j(«) 0.146727
21 20.61682 0.04850 126.5601 6.1387 39.1716 21 j(12) 0.144969
22 23.81243 0.04199 147.1770 6.1807 40.0955 22 8 0.144100
23 27.50335 0.03636 170.9894 6.2170 40.9317 23 № 0.143239
24 31.76637 0.03148 198.4927 6.2485 41.6872 24 0.141536
25 36.69016 0.02726 230.2591 6.2758 41.3686 25 d™ 0.139032
26 42.37713 0.02360 266.9493 6.2994 42.9822 26 d 0.134199
27 48.94559 0.02043 309.3264 6.3198 43.5338 27 j(l/2) П 19^104
28 56.53216 0.01769 358.2720 6.3375 44.0291 28 Ci U.LZu It?4! Л 1 1СЛПЕ
29 65.29464 0.01532 414.8041 6.3528 44.4732 29 cr ' ' U. 116995
30 75.41531 0.01326 480.0988 6.3661 44.8710 30 jd/D 0.109521
j(l/5) 0.102698
31 87.10468 0.01148 555.5141 6.3776 45.2269 31 j(° 1) П П7АЧЧ1
32 100.6059 0.00994 642.6188 6.3875 45.5450 32 u j(0 05) U.Ul ООО 1 П ЛЛ71ПП
33 116.1998 0.00861 743.2247 6.3961 45.8290 33 av 7 j(0 02) U.U47199
34 134.2108 0.00745 859.4245 6.4035 46.0823 34 0.019985
35 155.0135 0.00645 993.6353 6.4100 46.3081 35 j(0.01) 0.010000
36 179.0406 0.00559 1148.649 6.4156 46.5092 36 ,/,(°2) 0.734274
37 206.7919 0.00484 1327.689 6.4204 46.6881 37 0.795255
38 238.8446 0.00419 1534.481 6.4246 46.8472 38 0.859840
39 275.8655 0.00362 1773.326 6.4282 46.9886 39 »7»(1/2) 0.928071
40 318.6247 0.00314 2049.191 6.4314 47.1141 40 i/i™ 1.037351
41 368.0115 0.00272 2367.816 6.4341 47.2255 41 i/i^ 1.056384
42 425.0533 0.00235 2735.827 6.4364 47.3243 42 i/»*12» 1.069194
43 490.9365 0.00204 3160.881 6.4385 47.4119 43 i/i 1.075642
44 567.0317 0.00176 3651.817 6.4402 47.4895 44 i/d^ 1.082108
45 654.9216 0.00153 4218.849 6.4418 47.5582 45 i/dw 1.095128
46 756.4344 0.00132 4873.770 6.4431 47.6190 46 i/d(2) 1.114851
47 873.6817 0.00114 5630.205 6.4442 47.6728 47 i/rfl1/2) 1.238079
48 1009.102 0.00099 6503 887 6.4452 47.7204 48 1.324843
’ 49 / 1165.513 0.00086 7512.989 6.4461 47.7624 / 49 / ,/<№ 1.415254 /
50 J 1346.168 0.00074 8678.502 6.4468 47.7996 1 50 1 t/d<02> J 1.509280 |
1 Финансовые таблицы
449
i — 0.16
и 1.160000
и*'2 1.077033
ul/4 1.037802
ul/12 1.012445
vl/12 0.987708
vl/4 0.963575
v>/2 0.928477
V 0.862069
:(0 01) 27912.50
t(0 02) 33.39408
г(0 05) 0.923038
t(0 1) 0.341144
,(1/5) 0.220068
t(l/4) 0.202660
,(1/3) 0.186965
j(l/2) 0.172800
I 0.160000
,(2) 0.154066
0.151208
,(12) 0.149342
6 0.148420
dd2) 0.147506
d^ 0.145700
d™ 0.143047
d 0.137931
d(W 0.128419
dd/3) 0.119781
d(l/<) 0.111927
d(!/5) 0.104777
d<° И 0.077332
rf(0 05) 0.047431
d(0 02) 0.019988
j(ooi) 0.010000
,/,(°2) 0.727048
./.dM) 0.789500
,/,d/3) 0.855775
0.925926
./i<2> 1.038516
1.058145
t/t<12> 1.071366
i/» 1.078022
./d<12> 1.084702
t/d<4) 1.098147
t/d<2> 1.118513
./d'1'2’ 1.245926
./d<*'3) 1.335771
t/d“/-> 1.429503
»/d<02> 1.527053
п Un vn 1 с со а~1 п| da)nl п
1 1.16000 0.86207 1.0000 0.8621 0.8621 1
2 1.34560 0.74316 2.1600 1.6052 2.3484 2
3 1.56090 0.64066 3.5056 2.2459 4.2704 3
4 1.81064 0.55229 5.0665 2.7982 6.4795 4
5 2.10034 0.47611 6.8771 3.2743 8.8601 5
6 2.43640 0.41044 8.9775 3.6847 11.3228 6
7 2.82622 0.35383 11.4139 4.0386 13.7996 7
8 3.27841 0.30503 14.2401 4.3436 16.2398 8
9 3.80296 0.26295 17.5185 4.6065 18.6063 9
10 4.41144 0.22668 21.3215 4.8332 20.8732 10
11 5.11726 0.19542 25.7329 5.0286 23.0228 11
12 5.93603 0.16846 30.8502 5.1971 25.0443 12
13 6.88579 0.14523 36.7862 5.3423 26.9323 13
14 7.98752 0.12520 43.6720 5.4675 28.6850 14
15 9.26552 0.10793 51.6595 5.5755 30.3039 15
16 10.74800 0.09304 60.9250 5.6685 31.7926 16
17 12.46768 0.08021 71.6730 5.7487 33.1561 17
18 14.46251 0.06914 84.1407 5.8179 34.4007 18
19 16.77652 0.05961 98.6032 5.8775 35.5332 19
20 19.46076 0.05139 115.3798 5.9288 36.5609 20
21 22.57448 0.04430 134.8405 5.9731 37.4912 21
22 26.18640 0.03819 157.4150 6.0113 38.3313 22
23 30.37622 0.03292 183.6014 6.0443 39.0885 23
24 35.23642 0.02838 213.9776 6.0726 39.7696 24
25 40.87424 0.02447 249.2140 6.0971 40.3812 25
26 47.41412 0.02109 290.0883 6.1182 40.9296 26
27 55.00038 0.01818 337.5024 6.1364 41.4205 27
28 63.80044 0.01567 392.5028 6.1520 41.8594 28
29 74.00851 0.01351 456.3032 6.1656 42.2512 29
30 85.84988 0.01165 530.3117 6.1772 42.6006 30
31 99.58586 0.01004 616.1616 6.1872 42.9119 31
32 115.5196 0.00866 715.7475 6.1959 43.1889 32
33 134.0027 0.00746 831.2671 6.2034 43.4352 33
34 155.4432 0.00643 965.2698 6.2098 43.6539 34
35 180.3141 0.00555 1120.713 6.2153 43.8480 35
36 209.1643 0.00478 1301.027 6.2201 44.0202 36
37 242.6306 0.00412 1510.191 6.2242 44.1727 37
38 281.4515 0.00355 1752.822 6.2278 44.3077 38
39 326.4838 0.00306 2034.273 6.2309 44.4271 39
40 378.7212 0.00264 2360.757 6.2335 44.5327 40
41 439.3165 0.00228 2739.478 6.2358 44.6261 41
42 509.6072 0.00196 3178.795 6.2377 44.7085 42
43 591.1443 0.00169 3688.402 6.2394 44.7812 43
44 685.7274 0.00146 4279.546 6.2409 44.8454 44
45 795.4438 0.00126 4965.274 6.2421 44.9020 45
46 922.7148 0.00108 5760.718 6.2432 44.9518 46
47 1070.349 0.00093 6683.433 6.2442 44.9957 47
48 1241.606 0.00081 7753.782 6.2450 45.0344 48
49 1440.262 0.00069 8995.387 6.2457 45.0684 49
50 1670.704 0.00060 10435.65 6.2463 45.0983 50
450
Д Таблицы
п Un vn 1 с со 1 с СЗ п
1 1.16500 0.85837 1.0000 0.8583 0.8584 1
2 1.35723 0.73680 2.1650 1.5952 2.3320 2
3 1.58117 0.63244 3.5222 2.2276 4.2293 3
4 1.84206 0.54287 5.1034 2.7705 6.4008 4
5 2.14600 0.46598 6.9455 3.2365 8.7307 5
6 2.50009 0.39999 9.0915 3.6365 11.1306 6
7 2.91260 0.34334 11.5915 3.9798 13.5340 7
8 3.39318 0.29471 14.5042 4.2745 15.8916 8
9 3.95306 0.25297 17.8973 4.5275 18.1683 9
10 4.60531 0.21714 21.8504 4.7446 20.3398 10
11 5.36519 0.18639 26.4557 4.9310 22.3900 11
12 6.25045 0.15999 31.8209 5.0910 24.3099 12
13 7.28177 0.13733 38.0713 5.2283 26.0951 13
14 8.48326 0.11788 45.3531 5.3462 27.7455 14
15 9.88300 0.10118 53.8364 5.4474 29.2632 15
16 11.51370 0.08685 63.7194 5.5342 30.6529 16
17 13.41346 0.07455 75.2331 5.6088 31.9202 17
18 15.62668 0.06399 88.6465 5.6728 33.0721 18
19 18.20508 0.05493 104.2732 5.7277 34.1158 19
20 21.20892 0.04715 122.4783 5.7749 35.0588 20
21 24.70839 0.04047 143.6872 5.8153 35.9087 21
22 28.78527 0.03474 168.3956 5.8501 36.6730 22
23 33.53484 0.02982 197.1809 5.8799 37.3588 23
24 39.06809 0.02560 230.7157 5.9055 37.9731 24
25 45.51433 0.02197 269.7838 5.9275 38.5224 25
26 53.02419 0.01886 315.2981 5.9463 39.0128 26
27 61.77318 0.01619 368.3223 5.9625 39.4498 27
28 71.96576 0.01390 430.0955 5.9764 39.8389 28
29 83.84011 0.01193 502.0613 5.9883 40.1848 29
30 97.67373 0.01024 585.9014 5.9986 40.4920 30
31 113.7899 0.00879 683.5751 6.0073 40.7644 31
32 132.5652 0.00764 797.3650 6.0149 41.0058 32
33 154.4385 0.00648 929.9302 6.0214 41.2195 33
34 179.9208 0.00556 1084.369 6.0269 41.4084 34
35 209.6078 0.00477 1264.290 6.0317 41.5754 35
36 244.1931 0.00410 1473.897 6.0358 41.7228 36
37 284.4849 0.00352 1718.090 6.0393 41.8529 37
38 331.4249 0.00302 2002.575 6.0423 41.9676 38
39 386 1100 0.00259 2334.000 6.0449 42.0686 39
40 449.8182 0.00222 2720.110 6.0471 42.1575 40
41 524.0382 0.00191 3169.928 6.0490 42.2357 41
42 610.5045 0.00164 3693.967 6.0507 42.3045 42
43 711.2377 0.00141 4304.471 6.0521 42.3650 43
44 828.5920 0.00121 5015.709 6.0533 42.4181 44
45 965 3096 0.00104 5844.301 6.0543 42.4647 45
46 1124.586 0.00089 6809.610 6.0552 42.5056 46
47 1310.142 0.00076 7934.196 6.0560 42.5415 47
48 1526.316 0.00066 9244.339 6.0566 42.5729 48
49 1778.158 0.00056 10770.65 6.0572 42.6005 49
50 2071.554 0.00048 12548.81 6.0577 42.6246 50
i = 0.165
и 1.165000
ul/2 1.079352
U*'4 1.038919
u>/12 1.012808
vl/12 0.987354
v*/< 0.962539
v>/2 0.926482
V 0.858369
,(0 01) 42913.35
,(o 02) 41.41108
,(0 05) 1.010446
,(0 1) 0.360531
,(1/5) 0.229200
,(1/4) 0.210515
,(1/3) 0.193722
,(1/2) 0.178613
i 0.165000
,(2) 0.158703
,(4) 0.155674
,(12) 0.153697
<5 0 152721
d(12) 0.151753
d<4> 0.149842
d(2> 0.147036
d 0.141631
d(./2) 0.131601
d(l/3) 0.122519
dU/4) 0.114282
d(l/5) 0.106803
d<01> 0.078286
d(0 05) 0.047643
02) 0.019990
j(ooi) 0.010000
,/,(°2) 0.719895
,/,(1/4) 0.783792
,/,d/3) 0.851736
»/i(1/2) 0.923785
1.039678
1.059907
«/г<12> 1.073541
г/6 1.080402
t/d<12> 1.087293
i/d(4) 1.101160
i/d^ 1.122174
./d*1'2’ 1.253790
./d’1'3’ 1.346730
./d(‘/-’ 1.443797
./d<° 2> 1.544900
1 Финансовые таблицы
451
г = 0.17
U 1.170000
и1'2 1.081665
u1/4 1.040031
t?'12 1.013170
„1/12 0.987002
v'/4 0.961509
v1'2 0.924500
V 0.854701
,(о 01) 65854.60
t(0 02) 51.30431
г(0 05) 1.105280
t(0 1) 0.380683
,(1/5) 0.238490
t(l/4) 0.218472
t(l /3) 0.200538
,(1/2) 0.184450
I 0.170000
,(2) 0.163331
г‘4' 0.160126
г(12) 0.158035
8 0.157004
<f('2) 0.155981
d(4) 0.153962
d'2’ 0.150999
d 0.145299
d^ 0.134743
d<‘/3> 0.125210
d(l/4) 0.116587
Jd/S) 0.108778
d(°l) 0.079196
j(0 05) 0.047836
d(0 02) 0.019992
^(0 01) 0.010000
./t(° 2> 0.712818
t/t’1'4’ 0.778132
г/г“/3> 0.847720
г/г'1^ 0.921659
г/г'2) 1.040831
t/«<4> 1.061664
г/г<12' 1.075711
»/<5 1.082775
t/d'12’ 1.089876
i/d(4) 1.104169
./d‘2> 1.125835
,/</<*/2> 1.261661
г/d^'^ 1.357719
г/d"'4' 1.458139
t/d<° 2> 1 562816
п Un vn 1 е со 1 £ (/а)п| п
1 1.17000 0.85470 1.0000 0.8547 0.8547 1
2 1.36890 0.73051 2.1700 1.5852 2.3157 2
3 1.60161 0.62437 3.5389 2.2096 4.1888 3
4 1.87389 0.53365 5.1405 2.7432 6.3234 4
5 2.19245 0.45611 7.0144 3.1994 8.6040 5
6 2.56516 0.38984 9.2069 3.5898 10.9430 6
7 3.00124 0.33320 11.7720 3.9224 13.2754 7
8 3.51145 0.28478 14.7733 4.2072 15.5537 8
9 4.10840 0.24340 18.2847 4.4506 17.7443 9
10 4.80683 0.20804 22.3931 4.6586 19.8247 10
11 5.62399 0.17781 27.1999 4.8364 21.7806 11
12 6.58007 0.15197 32.8239 4.9884 23.6043 12
13 7.69868 0.12989 39.4040 5.1183 25.2929 13
14 9.00745 0.11102 47.1027 5.2293 26.8471 14
15 10.53872 0.09489 56.1101 5.3242 28.2705 15
16 12.33030 0.08110 66.6489 5.4053 29.5681 16
17 14.42646 0.06932 78.9792 5.4746 30.7465 17
18 16.87895 0.05925 93.4056 5.5339 31.8129 18
19 19.74838 0.05064 110.2846 5.5845 32.7750 19
20 23.10560 0.04328 130.0329 5.6278 33.6406 20
21 27.03355 0.03699 153.1385 5.6648 34.4174 21
22 31.62925 0.03162 180.1721 5.6964 35.1129 22
23 37.00623 0.02702 211.8013 5.7234 35.7345 23
24 43.29729 0.02310 248.8076 5.7465 36.2888 24
25 50.65783 0.01974 292.1049 5.7662 36.7823 25
26 59.2697 0.01687 342.7627 5.7831 37.2209 26
27 69.34550 0.01442 402.0323 5.7975 37.6103 27
28 81.13423 0.01233 471.3778 5.8099 37.9554 28
29 94.92705 0.01053 552.5121 5.8204 38.2609 29
30 111.0647 0.00900 647.4391 5.8294 38.5310 30
31 129.9456 0.00770 758.5038 5.8371 38.7696 31
32 152.0364 0.00658 888.4494 5.8437 38.9801 32
33 177.8826 0.00562 1040.486 5.8493 39.1656 33
34 208.1226 0.00480 1218.368 5.8541 39.3289 34
35 243.5035 0.00411 1426.491 5.8582 39.4727 35
36 284.8991 0.00351 1669.995 5.8617 39.5990 36
37 333.3319 0.00300 1954.894 5.8647 39.7100 37
38 389.9983 0.00256 2288.225 5.8673 39.8075 38
39 456.2981 0.00219 2678.224 5.8695 39.8929 39
40 533.8687 0.00187 3134.522 5.8713 39.9679 40
41 624.6264 0.00160 3668.391 5.8729 40.0335 41
42 730.8129 0.00137 4293.017 5.8743 40.0910 42
43 855.0511 0.00117 5023.830 5.8755 40.1413 43
44 1000.410 0.00100 5878.881 5.8765 40.1852 44
45 1170.479 0.00085 6879.291 5.8773 40.2237 45
46 1369.461 0.00073 8049.770 5.8781 40.2573 46
47 1602.269 0.00062 9419.231 5.8787 40.2866 47
48 1874.655 0.00053 11021.50 5.8792 40.3122 48
49 2193.346 0.00046 12896.16 5.8797 40.3346 49
50 2566.215 0.00039 15089.50 5.8801 40.3540 50
452
Д Таблицы
п Un ип 1 £ со 1 с сз 71
1 1.17500 0.85106 1.0000 0.8511 0.8511 1
2 1.38063 0.72431 2.1750 1.5754 2.2997 2
3 1.62223 0.61643 3.5556 2.1918 4.1490 3
4 1.90613 0.52462 5.1779 2.7164 6.2475 4
5 2.23970 0.44649 7.0840 3.1629 8.4799 5
6 2.63164 0.37999 9.3237 3.5429 10.7599 6
7 3.09218 0.32340 11.9553 3.8663 13.0236 7
8 3.63331 0.27523 15.0475 4.1415 15.2255 8
9 4.26914 0.23424 18.6808 4.3758 17.3336 9
10 5.01624 0.19935 22.9500 4.5751 19.3272 10
11 5.89409 0.16966 27.9662 4.7448 21.1934 11
12 6.92555 0.14439 33.8603 4.8892 22.9262 12
13 8.13752 0.12289 40.7859 5.0121 24.5237 13
14 9.56159 0.10459 48.9234 5.1167 25.9879 14
15 11.23487 0.08901 58.4850 5.2057 27.3230 15
16 13.20097 0.07575 69.7198 5.2814 28.5351 16
17 15.51114 0.06447 82.9208 5.3459 29.6310 17
18 18.22559 0.05487 98.4319 5.4008 30.6187 18
19 21.41507 0.04670 116.6575 5.4475 31.5059 19
20 25.16271 0.03974 138.0726 5.4872 32.3007 20
21 29.56618 0.03382 163.2353 5.5210 33.0110 21
22 34.74026 0.02879 192.8015 5.5498 33.6443 22
23 40.81931 0.02450 227.5418 5.5743 34.2077 23
24 47.96327 0.02085 268.3616 5.5952 34.7081 24
25 56.35684 0.01774 316.3248 5.6129 35.1517 25
26 66.2193 0.01510 372.6817 5.6280 35.5443 26
27 77.80767 0.01285 438.9010 5.6408 35.8913 27
28 91.42401 0.01094 516.7086 5.6518 36.1976 28
29 107.4232 0.00931 608.1326 5.6611 36.4676 29
30 126.2223 0.00792 715.5559 5.6690 36.7052 30
31 148.3112 0.00674 841.7781 5.6758 36.9143 31
32 174.2656 0.00574 990.0893 5.6815 37.0979 32
33 204.7621 0.00488 1164.355 5.6864 37.2590 33
34 240.5955 0.00416 1369.117 5.6905 37.4004 34
35 282.6997 0.00354 1609.713 5.6941 37.5242 35
36 332.1721 0.00301 1892.412 5.6971 37.6325 36
37 390.3023 0.00256 2224.584 5.6997 37.7273 37
38 458.6052 0.00218 2614.887 5.7018 37.8102 38
39 538.8611 0.00186 3073.492 5.7037 37.8826 39
40 633.1617 0.00158 3612.353 5.7053 37.9458 40
41 743.9651 0.00134 4245.515 5.7066 38.0009 41
42 874.1589 0.00114 4989.480 5.7078 38.0489 42
43 1027.137 0.00097 5863.639 5.7087 38.0908 43
44 1206.886 0.00083 6890.775 5.7096 38.1272 44
45 1418.091 0.00071 8097.661 5.7103 38.1590 45
46 1666.257 0.00060 9515.752 5.7109 38.1866 46
47 1957.851 0.00051 11182.01 5.7114 38.2106 47
48 2300.475 0.00043 13139.86 5.7118 38.2314 48
49 2703.059 0.00037 15440.33 5.7122 38.2496 49
50 3176.094 0.00031 18143.39 5.7125 38.2653 50
i = 0.175
U 1.175000
ul/2 1.083974
u‘/4 1.041141
u!/12 1.013530
v1/'2 0.986651
v1/" 0.960485
vl/2 0.922531
V 0.851064
,(0 01) 100875.7
,•(0 02) 63.50188
t (0 05) 1.208135
j(01) 0.401624
,(1/5) 0.247939
0.226531
,(1/3) 0.207411
,(1/2) 0.190313
I 0.175000
,(2) 0.167948
,(<) 0.164563
,(12) 0.162357
<1 0.161268
d(>2) 0.160189
d(4) 0.158060
d'2’ 0.154938
d 0.148936
d.^ 0.137845
d<''3> 0.127855
№ 0.118844
dd/5) 0.110702
d(°l) 0.080065
rf(0 05) 0.048013
j(0 02) 0.019994
j(0 01) 0.010000
t/.|02> 0.705819
г/г"/4' 0.772521
,/,d/3) 0.843735
г/?1'2’ 0.919538
t/t'2> 1.041989
t/.'4> 1.063423
t/t<12> 1.077872
i/<5 1.085150
t/d'12’ 1.092460
i/dw 1.107174
i/d™ 1.129484
,/№ 1.269542
i/d^3' 1.368738
./d<*/4’ 1.472519
./d<02’ 1.580821
1 Финансовые таблицы
453
i = 0.18
и 1.180000
и1'2 1.086278
и1'4 1.042247
м1/12 1.013888
v>/‘2 0.986302
v*/4 0.959466
vl/2 0.920575
V 0.847458
,(0 01) 154241.3
г(0 02) 78.52714
г(0 05) 1.319652
г(° 1) 0.423384
,(1/5) 0.257552
,(1/4) 0.234694
г(1/3) 0.214344
,(1/2) 0.196200
г 0.180000
.<2> 0.172556
г'4’ 0.168987
г(!2) 0.166661
8 0.165514
№ 0.164378
d'4> 0.162137
d<2> 0.158851
d 0.152541
0.140908
d^3’ 0.130456
dd/4) 0.121053
d(l/5) 0.112578
d<°» 0.080894
j(0 05) 0.048175
j(0 02) 0 019995
j(0 01) 0.010000
г/?° 2> 0.698888
,/,(i/4) 0.766956
«Л',/3> 0.839772
,/id/2) 0.917431
t/.<2> 1.043140
t/«'4> 1.065171
t/t’12’ 1.080037
i/8 1.087521
./d“2> 1.095037
t/d<4> 1.110172
t/d'2’ 1.133137
./d'1'2’ 1.277429
t/d'1'3’ 1.379776
t/d<*'4> 1.486952
./d<02> 1.598891
п Un vn 1 с со 1 с п
1 1.18000 0.84746 1.0000 0.8475 0.8475 1
2 1.39240 0.71818 2 1800 1.5656 2.2838 2
3 1.64303 0.60863 3.5724 2.1743 4.1097 3
4 1.93878 0.51579 5.2154 2.6901 6.1729 4
5 2.28776 0.43711 7.1542 3.1272 8.3584 5
6 2.69955 0.37043 9.4420 3.4976 10.5810 6
7 3.18547 0.31393 12.1415 3.8115 12.7785 7
8 3.75886 0.26604 15.3270 4.0776 14.9068 8
9 4.43545 0.22546 19.0859 4.3030 16.9359 9
10 5.23384 0.19106 23.5213 4.4941 18.8465 10
11 6.17593 0.16192 28.7551 4.6560 20.6277 11
12 7.28759 0.13722 34.9311 4.7932 22.2743 12
13 8.59936 0.11629 42.2187 4.9095 23.7860 13
14 10.14724 0.09855 50.8180 5.0081 25.1657 14
15 11.97375 0.08352 60.9653 5.0916 26.4185 15
16 14.12902 0.07078 72.9390 5.1624 27.5509 16
17 16.67225 0.05996 87.0680 5.2223 28.5705 17
18 19.67325 0.05083 103.7403 5.2732 29.4855 18
19 23.21444 0.04308 123.4135 5.3162 30.3039 19
20 27.39303 0.03651 146.6280 5.3528 31.0341 20
21 32.32378 0.03094 174.0210 5.3837 31.6837 21
22 38.14206 0.02622 206.3448 5.4099 32.2605 22
23 45.00763 0.02222 244.4869 5.4321 32.7715 23
24 53.10901 0.01883 289.4945 5.4510 33.2234 24
25 62.66863 0.01596 342.6035 5.4669 33.6224 25
26 73.94898 0.01352 405.2721 5.4804 33.9740 26
27 87.25980 0.01146 479.2211 5.4919 34.2834 27
28 102.9666 0.00971 566.4809 5.5016 34.5553 28
29 121.5005 0.00823 669.4475 5.5098 34.7940 29
30 143.3706 0.00697 790.9480 5.5168 35.0032 30
31 169.1774 0.00591 934.3186 5.5227 35.1865 31
32 199.6293 0.00501 1103.496 5.5277 35.3468 32
33 235.5626 0.00425 1303.125 5.5320 35.4869 33
34 277.9638 0.00360 1538.688 5.5356 35.6092 34
35 327.9973 0.00305 1816.652 5.5386 35.7159 35
36 387.0368 0.00258 2144.649 5.5412 35.8089 36
37 456.7034 0.00219 2531.686 5.5433 35.8899 37
38 538.9100 0.00186 2988.389 5.5453 35.9604 38
39 635.9139 0.00157 3527.299 5.5468 36.0218 39
40 750.3783 0.00133 4163.213 5.5482 36.0751 40
41 885.4465 0.00113 4913.591 5.5493 36.1214 41
42 1044.827 0.00096 5799.038 5.5502 36.1616 42
43 1232.896 0.00081 6843.865 5.5511 36.1965 43
44 1454.817 0.00069 8076.760 5.5517 36.2267 44
45 1716.684 0.00058 9531.577 5.5523 36.2529 45
46 2025.687 0.00049 11248.26 5.5528 36.2756 46
47 2390.311 0.00042 13273.95 5.5532 36.2953 47
48 2820.567 0.00035 15664.26 5.5536 36.3123 48
49 3328.269 0.00030 18484.83 5.5539 36.3270 49
50 3927.357 0.00025 21813.09 5.5541 36.3398 50
454
Д Таблицы
п Un vn 1 с со ап| (^)п| п
1 1.21000 0.82645 1.0000 0.8265 0.8265 1
2 1.46410 0.68301 2.2100 1.5095 2.1925 2
3 1.77156 0.56447 3.6741 2.0739 3.8859 3
4 2.14359 0.46651 5.4457 2.5404 5.7519 4
5 2.59374 0.38554 7.5893 2.9260 7.6796 5
6 3.13843 0.31863 10.1830 3.2446 9.5914 6
7 3.79750 0.26333 13.3214 3.5080 11.4347 7
8 4.59497 0.21763 17.1189 3.7256 13.1758 8
9 5.55992 0.17986 21.7139 3.9054 14.7945 9
10 6.72750 0.14864 27.2738 4.0541 16.2809 10
11 8.14027 0.12285 34.0013 4.1769 17.6323 11
12 9.84973 0.10153 42.1416 4.2785 18.8506 12
13 11.91818 0.08391 51.9913 4.3624 19.9413 13
14 14.42099 0.06934 63.9095 4.4317 20.9121 14
15 17.44940 0.05731 78.3305 4.4890 21.7718 15
16 21.11378 0.04736 95.7799 4.5364 22.5296 16
17 25 54767 0.03914 116.8937 4.5755 23.1950 17
18 30.91268 0.03235 142.4413 4.6079 23.7773 18
19 37.40434 0.02673 173.3540 4.6346 24.2852 19
20 45.25926 0.02209 210.7584 4.6567 24.7271 20
21 54.76370 0.01826 256.0176 4.6750 25.1106 21
22 66.26408 0.01509 310.7813 4.6900 25.4426 22
23 80.17953 0.01247 377.0454 4.7025 25.7295 23
24 97.01723 0.01031 457.2249 4.7128 25.9768 1 24
i — 0.21
и 1 210000
и1'2 1 100000
и1/4 1 048809
ui/‘2 1.016012
vl/»2 0.984240
v1'4 0.953463
V*/2 0.909091
V 0.826446
г(2) 0.200000
г'4’ 0 195235
г<12> 0.192142
<5 0 190620
d"2’ 0 189114
d'4’ 0.186150
d'2’ 0.181818
г/г'2’ 1.050000
г/г(4) 1 075627
г/г'12’ 1 092942
г/<5 1.101668
г/d'12’ 1 110441
г/d'4’ 1.128122
г/d'2’ 1.155001
п ип и” 1 £ со а~1 п| Л? CS п
1 1.22000 0.81967 1.0000 0.8197 0.8197 1
2 1.48840 0.67186 2.2200 1.4915 2.1634 2
3 1.81585 0.55071 3.7084 2.0422 3.8155 3
4 2.21533 0.45140 5.5243 2.4936 5.6211 4
5 2.70271 0.37000 7.7396 2.8636 7.4711 5
6 3.29730 0.30328 10.4423 3.1669 9 2908 6
7 4.02271 0.24859 13.7396 3.4155 11.0309 7
8 4 90771 0.20376 17.7623 3.6193 12 6610 8
9 5.98740 0.16702 22.6700 3.7863 14.1641 9
10 7.30463 0.13690 28.6574 3 9232 15 5331 10
11 8.91165 0.11221 35.9621 4.0354 16.7675 11
12 10.87221 0.09198 44.8737 4.1274 17.8712 12
13 13.26410 0.07539 55.7459 4.2028 18.8513 13
14 16.18220 0.06180 69.0100 4.2646 19.7165 14
15 19.74229 0.05065 85.1922 4.3152 20.4762 15
16 24.08559 0.04152 104.9345 4.3567 21 1405 16
17 29.38442 0.03403 129.0201 4.3908 21.7191 17
18 35.84899 0.02789 158.4045 4.4187 22.2212 18
19 43.73577 0.02286 194.2535 4.4415 22.6556 19
20 53.35764 0.01874 237.9893 4.4603 23.0304 20
21 65.09632 0.01536 291.3469 4.4756 23.3530 21
22 79.41751 0.01259 356.4432 4.4882 23.6301 22
23 96.88936 0.01032 435.8608 4.4985 23.8674 23
24 118.2050 0.00846 532.7501 4 5070 24 0705 24
г = 0.22
и 1.220000
и’/2 1 104536
и'/4 1.050969
Ц1/12 1 016709
у!/12 0 983566
v'/4 0 951503
v‘/2 0.905357
1» 0.819672
г'2’ 0 209072
г'4’ 0 203877
,(12) 0 200507
<5 0.198851
d'12’ 0 197212
d'4’ 0.193989
d'2’ 0 189285
г/г'2’ 1 052269
г/г'4’ 1.079082
г/г'12’ 1.097219
«/<5 1.106356
i/d'12’ 1.115551
г/d'4’ 1 134085
г/d'2’ 1 162269
1 Финансовые таблицы
455
г = 0.23
u 1.230000
u1'2 1.109054
u,/4 1.053116
ul/‘2 1.017401
v1/12 0.982897
vl/< 0.949563
v1/2 0.901670
V 0.813008
г'2’ 0.218107
г(4) 0.212465
,(12) 0.208810
<5 0 207014
d'12’ 0 205239
d'4’ 0.201749
d'2’ 0.196661
г/г'2’ 1.054528
г/г'4’ 1.082531
г/г'12’ 1.101480
«/<5 1.111036
г/d'12’ 1.120645
г/d'4’ 1.140030
г/d'2’ 1.169525
п Un vn 1 s co 1 £ C3 n
1 1.23000 0.81301 1.0000 0.8130 0.8130 1
2 1.51290 0.66098 2.2300 1.4740 2 1350 2
3 1.86087 0.53738 3.7429 2.0114 3.7471 3
4 2.28887 0.43690 5.6038 2.4483 5.4947 4
5 2.81531 0.35520 7.8926 2.8035 7.2707 5
6 3.46283 0.28878 10.7079 3.0923 9.0034 6
7 4.25928 0.23478 14.1708 3.3270 10.6469 7
8 5.23891 0.19088 18.4300 3.5179 12.1739 8
9 6.44386 0.15519 23.6690 3.6731 13.5706 9
10 7.92595 0.12617 30.1128 3.7993 14.8323 10
11 9.74891 0.10258 38.0388 3.9019 15.9606 11
12 11.99116 0.08339 47 7877 3.9852 16.9613 12
13 14.74913 0.06780 59 7788 4.0530 17 8428 13
14 18.14143 0.05512 74.5280 4.1082 18.6145 14
15 22.31396 0.04481 92.6694 4.1530 19.2867 15
16 27.44617 0.03643 114.9834 4.1894 19.8697 16
17 33.75879 0.02962 142.4295 4.2190 20.3732 17
18 41.52331 0.02408 176.1883 4.2431 20.8067 18
19 51.07368 0.01958 217.7116 4.2627 21.1787 19
20 62.82062 0.01592 268.7853 4.2786 21.4971 20
21 77.26936 0.01294 331.6059 4.2916 21.7689 21
22 95.04132 0.01052 408.8753 4.3021 22.0004 22
23 116.9008 0.00855 503.9166 4.3106 22.1971 23
24 143.7880 0.00695 620.8174 4.3176 22.3640 24
i = 0.24
u 1.240000
u1/2 1.113553
u1'4 1.055250
u*/*2 1.018088
v'/‘2 0 982234
v1/4 0.947643
V1/2 0.898027
V 0.806452
г'2’ 0.227106
г'4’ 0.221001
,(12) 0.217051
<5 0.215111
d'12’ 0.213195
d'4’ 0.209430
d'2’ 0.203947
г/г'2’ 1.056775
г/г'4’ 1.085968
г/г'12’ 1.105731
i/6 1.115703
г/d^ 1.125730
г/d^ 1.145968
г/d™ 1.176776
n un vn 1 £ co 1 g C3 (/a)n| n
1 1.24000 0.80645 1.0000 0.8065 0.8065 1
2 1.53760 0.65036 2.2400 1.4568 2.1072 2
3 1.90662 0.52449 3.7776 1.9813 3.6806 3
4 2.36421 0.42297 5.6842 2.4043 5.3725 4
5 2.93163 0.34111 8.0484 2 7454 7 0781 5
6 3.63522 0.27509 10.9801 3.0205 8.7286 6
7 4.50767 0 22184 14.6153 3.2423 10.2815 7
8 5.58951 0.17891 19.1229 3.4212 11.7128 8
9 6.93099 0.14428 24.7125 3.5655 13.0113 9
10 8.59443 0.11635 31.6434 3.6819 14.1748 10
11 10.65709 0.09383 40.2379 3.7757 15.2070 11
12 13.21479 0.07567 50.8950 3.8514 16.1151 12
13 16.38634 0.06103 64.1097 3.9124 16.9084 13
14 20.31906 0.04921 80.4961 3.9616 17.5974 14
15 25.19563 0.03969 100.8151 4.0013 18.1928 15
16 31.24259 0.03201 126.0108 4.0333 18.7049 16
17 38.74081 0.02581 157.2534 4.0591 19.1437 17
18 48.03860 0.02082 195.9942 4.0799 19.5184 18
19 59.56786 0.01679 244.0328 4.0967 19.8374 19
20 73.86415 0.01354 303.6006 4.1103 20.1081 20
21 91.59155 0.01092 377.4648 4.1212 20.3374 21
22 113.5735 0.00880 469.0563 4.1300 20.5311 22
23 140.8312 0.00710 582.6298 4 1371 20.6944 23
24 174.6306 0.00573 723.4610 4.1428 20.8319 24
456
Д Таблицы
2. Порядковые номера дней
в обычном невисокосном году
Месяцы года
п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 п
1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 1
2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 2
3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 3
4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 4
5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 5
6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 6
7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 7
8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 8
9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9
10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10
11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 11
12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 12
13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 13
14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 14
15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 15
16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 16
17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 17
18 18 49 77 108 138' 169 199 230 261 291 322 352 18
19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 19
20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 20
21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 21
22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 22
23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 23
24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 24
25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 25
26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 26
27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 27
28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 28
29 29 - 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 29
30 30 - 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 30
31 31 - 90 - 151 - 212 243 - 304 - 365 31
3 Пример погашения долгосрочного кредита
457
3. План погашения
ссуды под залог недвижимости
Таблица погашения кредита на длительный срок выглядит довольно лю-
бопытно, поскольку первые выплаты практически целиком идут не на
погашение кредита, а на оплату процентов. Приведем поэтому пример
такой таблицы для ссуды в 100 000 на 30 лет, с ежемесячными выплата-
ми и под ежегодную ставку г’(12) = 0,1 (см. (IV.1.8) и (IV.2.3)).
1 mi У1 mi У/ 1
301 533.36 344.21 40 772.20 684.13 193.44 22 528.08 331
302 537.80 339.77 40 234.40 689.84 187.73 21 838.24 332
303 542.28 335.29 39 692.12 695.58 181.99 21 142.66 333
303 546 80 330.77 39 145.32 701.38 176.19 20 441.28 334
305 551.36 326.21 38 593.96 707.23 170.34 19 734.05 335
306 555.95 321.62 38 038.01 713.12 164.45 19 020.93 336
307 560.59 316.98 37 477.42 719.06 158.51 18 301.87 337
308 565.26 312.31 36 912.16 725.05 152.52 17 576.82 338
309 569.97 307.60 36 342.19 731.10 146.47 16 845.72 339
310 574.72 302.85 35 767.47 737.19 140.38 16 108.53 340
311 579.51 298.06 35 187.96 743.33 134.24 15 365.20 341
312 584.34 293.23 34 603.62 749.53 128.04 14 615.67 342
313 589.21 288.36 34 014.41 755.77 121.80 13 859.90 343
314 594.12 283.45 33 420.29 762.07 115.50 13 097.83 344
315 599.07 278.50 32 821.22 768.42 109.15 12 329.41 345
316 604.06 273.51 32 217.16 774.82 102.75 11 554.59 346
317 609.09 268.48 31 608.07 781.28 96.29 10 773.31 347
318 614.17 263.40 30 993.90 787.79 89.78 9 985.52 348
319 619.29 258.28 30 374.61 794.36 83.21 9 191.16 349
320 624.45 253.12 29 750.16 800.98 76.59 8 390.18 350
321 629.65 247.92 29 120.51 807.65 69.92 7 582.53 351
322 634.90 242.67 28 485.61 814.38 63.19 6 768.15 352
323 640.19 237.38 27 845.42 821.17 56.40 5 946.98 353
324 645.52 232.05 27 199.90 828.01 49.56 5 118.97 354
325 650.90 226.67 26 549.00 834.91 42.66 4 284.06 355
326 656.33 221.24 25 892.67 841.87 35.70 3 442.19 356
327 661.80 215.77 25 230.87 848.89 28.68 2 593.30 357
328 667.31 210.26 24 563.56 855.96 21.61 1 737.34 358
329 672.87 204.70 23 890.69 863.09 14.48 874.25 359
330 678.48 199.09 23 212.21 870.28 7.29 3.97 360
Окончание таблицы оказалось удобным расположить на первом листе
(основная ее часть помещена далее). Из него видно, что в результате по-
гашения возник остаток в 3.97, который оплачивается вместе с последней
выплатой. Он представляет собой суммарную ошибку округления, кото-
рая возникла потому, что размер выплаты полагался равным величине
877.57, а ее более точное значение - 877.57158. На практике же в этой
ситуации кредиторы оплачивали бы величину 877.58.
458
Д Табл и
1 772/ У1 mi У1 С/ 1
1 44.24 833.33 99 995.76 66.99 810.58 97 202.99 51
2 44.61 832.96 99 911.15 67.55 810.02 97 135.44 52
3 44.98 832.59 99 866.17 68.11 809.46 97 067.33 53
4 45.35 832.22 99 820.82 68.68 808.89 96 998.65 54
5 45.73 831.84 99 775.09 69.25 808.32 96 929.40 55
6 46.11 831.46 99 728.98 69.82 807.75 96 859.58 56
7 46.50 831.07 99 682.48 70.41 807.16 96 789.17 57
8 46.88 830.69 99 635.60 70.99 806.58 96 718.18 58
9 47.27 830.30 99 588.33 71.59 805.98 96 646.59 59
10 47.67 829.90 99 540.66 72.18 805.39 96 574.41 60
11 48.06 829.51 99 492.60 72.78 804.79 96 501.63 61
12 48.46 829.11 99 444.14 73.39 804.18 96 428.24 62
13 48.87 828.70 99 395.27 74.00 803.57 96 354.24 63
14 49.28 828.29 99 345.99 74.62 802.95 96 279.62 64
15 49.69 827.88 99 296.30 75.24 802.33 96 204.38 65
16 50.10 827.47 99 246.20 75.87 801.70 96 128.51 66
17 50.52 827.05 99 195.68 76.50 801.07 96 052.01 67
18 50.94 826.63 99 144.74 77.14 800.43 95 974.87 68
19 51.36 826.21 99 093.38 77.78 799.79 95 897.09 69
20 51.79 825.78 99 041.59 78.43 799.14 95 818.66 70
21 52.22 825.35 98 989.37 79.08 798.49 95 739.58 71
22 52.66 824.91 98 936.71 79.74 797.83 95 659.84 72
23 53.10 824.47 98 883.61 80.40 797.17 95 579.44 73
24 53.54 824.03 98 830.07 81.07 796.50 95 498.37 74
25 53.99 823.58 98 776.08 81.75 795.82 95 416.62 75
26 54.44 823.13 98 721.64 82.43 795.14 95 334.19 76
27 54.89 822.68 98 666.75 83.12 794.45 95 251.07 77
28 55.35 822.22 98 611.40 83.81 793.76 95 167.26 78
29 55.81 821.76 98 555.59 84.51 793.06 95 082.75 79
30 56.27 821.30 98 499.32 85.21 792.36 94 997.54 80
31 56.74 820.83 98 442.58 85.92 791.65 94 991.62 81
32 57.22 820.35 98 385.36 86.64 790.93 94 824.98 82
33 57.69 819.88 98 327.67 87.36 790.21 94 737.62 83
34 58.17 819.40 98 269.50 88.09 789.48 94 649.53 84
35 58.66 818.91 98 210.84 88.82 788.75 94 560.71 85
36 59.15 818.42 98 151.69 89.56 788.01 94 471.15 86
37 59.64 817.93 98 092.05 90.31 787.26 94 380.84 87
38 60.14 817.43 98 031.91 91.06 786.51 94 289.78 88
39 60.64 816.93 97 971.27 91.82 785.75 94 197.96 89
40 61.14 816.43 97 910.13 92.59 784.98 94 105.37 90
41 61.65 815.92 97 848.48 93.36 784.21 94 012.01 91
42 62.17 815.40 97 786.31 94.14 783.43 93 917.87 92
43 62.68 814.89 97 723.63 94.92 782.65 93 822.95 93
44 63.21 814.36 97 660.42 95.71 781.86 93 727.24 94
45 63.73 813.84 97 596.69 96.51 781.06 93 630.73 95
46 64.26 813.31 97 532.43 97.31 780.26 93 533.42 96
47 64.80 812.77 97 467.63 98.12 779.45 93 435.30 97
48 65.34 812.23 97 402.29 98.94 778.63 93 336.36 98
49 65.88 811.69 97 336.41 99.77 777.80 93 236.59 99
50 66.43 811.14 97 269.98 100.60 776.97 93 135.99 100
Пример погашения долгосрочного кредита
459
1 mi У1 G 772/ У1 Cl 1
101 101 44 776 13 93 034.55 153 60 723.97 86 722.44 151
102 102 28 775 29 92 932.27 154.88 722.69 86 567.56 152
103 103 13 774.44 92 829.14 156.17 721.40 86 411.39 153
104 103 99 773.58 92 725.15 157.48 720.09 86 253.91 154
105 104.86 772.71 92 620.29 158 79 718.78 86 095.12 155
106 105 73 771.84 92 514.56 160.11 717.46 85 935.01 156
107 106 62 770.95 92 407.94 161.44 716.13 85 773.57 157
108 107 50 770.07 92 300.44 162.79 714.78 85 610.78 158
109 108 40 769.17 92 192.04 164.15 713.42 85 446.63 159
ПО 109.30 768.27 92 082.74 165.51 712 06 85 281.12 160
111 110.21 767.36 91 972.53 166.89 710.68 85 114.23 161
112 111.13 766.44 91 861.40 168.28 709.29 84 945.95 162
113 112 06 765.51 91 749.34 169.69 707.88 84 776.26 163
114 112.99 764.58 91 636.35 171.10 706.47 84 605.16 164
115 113.93 763.64 91 522.42 172.53 705.04 84 432.63 165
116 114.88 762.69 91 407.54 173.96 703.61 84 258.67 166
117 115.84 761.73 91 291.70 175.41 702.16 84 083.26 167
118 116 81 760.76 91 174.89 176.88 700.69 83 906.38 168
119 117.78 759.79 91 057.11 178.35 699.22 83 728.03 169
120 118 76 758.81 91 938.35 179.84 697.73 83 548.19 170
121 119 75 757.82 90 818.60 181 34 696 23 83 366.85 171
122 120 75 756 82 90 697.85 182.85 694.72 83 184.00 172
123 121.75 755 82 90 576.10 184.37 693.20 82 999.63 173
124 122 77 754 80 90 453.33 185.91 691.66 82 813.72 174
125 123 79 753 78 90 329.54 187.46 690.11 82 626.26 175
126 124 82 752.75 90 204.72 189.02 688.55 82 437.24 176
127 125.86 751.71 90 078.86 190.59 686.98 82 246.65 177
128 126.91 750.66 89 951.95 192.18 685.39 82 054.47 178
129 127.97 749.60 89 823.98 193.78 683.79 81 860.69 179
130 129.04 748.53 89 694.94 195.40 682.17 81 665.29 180
131 130.11 747.46 89 564.83 197.03 680.54 81 468.26 181
132 131.20 746.37 89 433.63 198.67 678.90 81 269.59 182
133 132.29 745.28 89 301.34 200.32 677.25 81 069.27 183
134 133.39 744.18 89 167.95 201.99 675.58 80 867.28 184
135 134.50 743.07 89 033.45 203.68 673.89 80 663.60 185
136 135.62 741.95 88 897.83 205.37 672.20 80 458.23 186
137 136.75 740.82 88 761.08 207.08 670.49 80 251.15 187
138 137.89 739.68 88 623.19 208.81 668.76 80 042.34 188
139 139 04 738 53 88 484.15 210 55 667.02 79 831.79 189
140 140 20 737.37 88 343.95 212 31 665.26 79 619.48 190
141 141 37 736 20 88 202.58 214.07 663.50 79 405.41 191
142 142 55 735.02 88 060.03 215.86 661.71 79 189.55 192
143 143.74 733.83 87 916.29 217.66 659.91 78 971.89 193
144 144 93 732.64 87 771.36 219.47 658.10 78 752.42 194
145 146 14 731.43 87 625.22 221.30 656.27 78 531.12 195
146 147.36 730.21 87 477.86 223.14 654.43 78 307.98 196
147 148.59 728.98 87 329.27 225.00 652.57 78 082.98 197
148 149.83 727.74 87 179.44 226.88 650.69 77 856.10 198
149 151.07 726.50 87 028.37 228.77 648.80 77 627.33 199
150 152.33 725.24 86 876.04 230.68 646.89 77 396.65 200
460
Д Таблиц
1 mi У1 Cl mi yi Cl l
201 232.60 644.97 77 164.05 352.22 525.35 62 689.99 251
202 234.54 643.03 76 929.51 355.15 522.42 62 334.84 252
203 236.49 641.08 76 693.02 358.11 519.46 61 976.73 253
204 238.46 639.11 76 454.56 361.10 516.47 61 615.63 254
205 240.45 637.12 76 214.11 364.11 513.46 61 251.52 255
206 242.45 635.12 75 971.66 367.14 510.43 60 884.38 256
207 244.47 633.10 75 727.19 370.20 507.37 60 514.18 257
208 246.51 631.06 75 480.68 373.29 504.28 60 140.89 258
209 248.56 629.01 75 232.12 376.40 501.17 59 764.49 259
210 250.64 626.93 74 981.48 379.53 498.04 59 384.96 260
211 252.72 624.85 74 728.76 382.70 494.87 59 002.26 261
212 254.83 622.74 74 473.93 385.88 491.69 58 616.38 262
213 256.95 620.62 74 216.98 389.10 488.47 58 227.28 263
214 259.10 618.47 73 957.88 392.34 485.23 57 834.94 264
215 261.25 616.32 73 696.63 395.61 481.96 57 439.33 265
216 263.43 614.14 73 433.20 398.91 478.66 57 040.42 266
217 265.63 611.94 73 167.57 402.23 475.34 56 638.19 267
218 267.84 609.73 72 899.73 405.59 471.98 56 232.60 268
219 270.07 607.50 72 629.66 408.96 468.61 55 823.64 269
220 272.32 605.25 72 357.34 412.37 465.20 55 411.27 270
221 274.59 602.98 72 082.75 415.81 461.76 54 995.46 271
222 276.88 600.69 71 805.87 419.27 458.30 54 576.19 272
223 279.19 598.38 71 526.68 422.77 454.80 54 153.42 273
224 281.51 596.06 71 245.17 426.29 451.28 53 727.13 274
225 283.86 593.71 70 961.31 429.84 447.73 53 297.29 275
226 286.23 591.34 70 675.08 433.43 444.14 52 863.86 276
227 288.61 588.96 70 386.47 437.04 440.53 52 426.82 277
228 291.02 586.55 70 095.45 440.68 436.89 51 986.14 278
229 293.44 584.13 69 802.01 444.35 433.22 51 541.79 279
230 295.89 581.68 69 506.12 448.06 429.51 51 093.73 280
231 298.35 579.22 69 207.77 451.79 425.78 50 641.94 281
232 300.84 576.73 68 906.93 455.55 422.02 50 186.39 282
233 303.35 574.22 68 603.58 459.35 418.22 49 727.04 283
234 305.87 571.70 68 297.71 463.18 414.39 49 263.86 284
235 308.42 569.15 67 989.29 467.04 410.53 48 796.82 285
236 310.99 566.58 67 678.30 470.93 406.64 48 325.89 286
237 313.58 563.99 67 364.72 474.85 402.72 47 851.04 287
238 316.20 561.37 67 048.52 478.81 398.76 47 372.23 288
239 318.83 558.74 66 729.69 482.80 394.77 46 889.43 289
240 321.49 556.08 66 408.20 486.82 390.75 46 402.61 290
241 324.17 553.40 66 084.03 490.88 386.69 45 911.73 291
242 326.87 550.70 65 757.16 494.97 382.60 45 416.76 292
243 329.59 547.98 65 427.57 499.10 378.47 44 917.66 293
244 332.34 545.23 65 095.23 503.26 374.31 44 414.40 294
245 335.11 542.46 64 760.12 507.45 370.12 43 906.95 295
246 337.90 539.67 64 422.22 511.68 365.89 43 395.27 296
247 340.72 536.85 64 081.50 515.94 361.63 42 879.33 297
248 343.56 534.01 63 737.94 520.24 357.33 42 359.09 298
249 346.42 531.15 63 391.52 524.58 352.99 41 834.51 299
250 349.31 528.26 63 042.21 528.95 348.62 41 305.56 300
4 Особые неклассические таблицы. Примеры 461
4. Особые неклассические таблицы. Примеры
На практике классический алгоритм начисления процентов на невыпла-
ченную часть ссуды или капитал используется не всегда. Хотя, конечно,
он доминирует, но в ряде случаев действуют иначе. Проиллюстрируем
некоторые варианты подобных предложений финансовых организаций,
продолжая рассматривать прим. IV.5.1. А точнее говоря, добавим к ука-
занным в n.IV.5.2 ситуациям еще пять.
Для простоты будем говорить только о подрасчетной ссуде с еже-
годными выплатами. И договоримся еще вот о чем. Здесь и ниже под
основными процентами будем по-прежнему понимать часть yi выплаты
bi = yi+mi+hi, которая идет на оплату процентов в момент I -й выплаты.
Но теперь эта часть не обязана удовлетворять равенству yi = Ci-\i, в
отличие от величины погашения т/, которая по-прежнему определяется
рекуррентным соотношением т/ = С/-1 - С/.
Постоянное погашение при постоянных выплатах
Основные цифры определяются двумя соотношениями:
ai = а = 14 295, т/ = С/п = 10 000.
Что же касается процентов, то на них в каждой выплате идет среднее
арифметическое процентных отчислений основного варианта 1, т.е. сум-
ма 4295=17 180/4 (см. табл. IV.5.1 и табл. ПД.4.1 ниже).
Табл. ПД.4.1 Постоянные ежегодные выплаты и погашения
Год 1 Основные проц, yi Компенс. проц. Zi Погашение капит. mi Невыплач. капит. Ci Нагрузки hi Выплаты bi
0 0 0 0 40 000 600 600
1 4 295 2105 10 000 30 000 200 14 495
2 4 295 2947 10 000 20 000 200 14 495
3 4 295 2324 10 000 10 000 200 14 495
4 4 295 0 10 000 0 0 14 495
Е 17 180 0 40 000 100 000 1200 58 380
В связи с тем, что оплаченные, скажем, в первой выплате проценты
(4295) меньше положенных по классическому варианту (6400), то появля-
ется понятие так называемых компенсирующих процентов (в таблицах:
компенс. проц.). С одной стороны, это сумма, которую заемщик дол-
жен вернуть кредитору помимо капитала, оставшегося непогашенным
(30 000), если пожелает досрочно, сразу после первой выплаты, опла-
тить весь свой долг. С другой, проценты за второй год теперь должны
начисляться не только на указанный невыплаченный капитал, но и на
невыплаченные или компенсирующие проценты (2105). Иными словами,
начисленные проценты за второй год составляют величину
2105 + 0,16(30 000 + 2105) = 7242 = 4295 + 2947.
462
Д Таблицы
При этом последнее равенство представляет собой разбивку процентов,
которые заемщик должен за второй год (7242) и соответственно опла-
чивает (4295) и остается должен (2947 = компенсирующие проценты).
Естественно, аналогичное равенство
У1 + zl — zi-i + (Q-i + zi-\)i, 1 < < 4 (zq — 0) (4.1)
рекуррентно определяет компенсирующие проценты за другие годы.
Заранее фиксированное погашение
Наряду с желанием упростить схему погашения, как это было в предыду-
щей ситуации, у кредитора может возникнуть необходимость приспосо-
бить погашение к каким-либо своим потребностям: бухгалтерским, нало-
говым или другим. Но и заемщик может о чем-то попросить. Например,
не иметь погашения на 3-м году и максимально «утяжелить» его на 2-м
и 4-м. Соответственно, если опять отталкиваться от основного вариан-
та табл. IV.5.1, то возникнет табл. ПД.4.2 с отрицательными компенси-
рующими процентами, по-прежнему удовлетворяющими рекуррентному
соотношению (4.1).
Табл. ПД.4.2 Постоянные ежегодные выплаты и погашения
Год 1 Основные проц, yi Компенс. проц. Zl Погашение капит. mi Невыплач. капит. Ci Нагрузки hi Выплаты bi
0 0 0 0 40 000 600 600
1 2 885 3515 11 410 28 590 200 14 495
2 0 8652 14 295 14 295 200 14 495
3 14 295 -1972 0 14 295 200 14 495
4 0 0 14 295 0 0 14 295
Е 17 180 0 40 000 97 180 1200 58 380
Создание фонда погашения
Предположим, что реально погашение кредита откладывается на послед-
нюю выплату, но в то же время остается в силе, скажем, схема погашения
предыдущей ситуации. Точнее говоря, создается фонд погашения, куда
загодя (на год ранее) вносятся суммы, в точности равные величинам
погашения из 4-й колонки табл. ПД.4.2. При этом, как и в любом другом
Табл. ПД.4.3 Возвращение ссуды в конце срока с фондом погашения
Год 1 Основные проц, yi Фонд fl Погашение капит. mi Невыплач. капит. Ci Нагрузки hi Выплаты ь.
0 0 11 410 0 40 000 600 600
1 6 400 26 161 0 40 000 200 6 600
2 6 400 27 207 0 40 000 200 6 600
3 6 400 42 590 0 40 000 200 6 600
4 6 400 44 294 40 000 0 0 46 400
Е 25 600 40 000 160 000 1200 66 800
4 Особые неклассические таблицы. Примеры
463
капиталовложении, имеющиеся в начале каждого года суммы на счету
фонда к концу его увеличиваются (допустим, что здесь по ставке 4%).
Таким образом, если fi~ сумма на счету фонда в момент I, после вне-
сения I-й выплаты, то fi — //-ii, 04 + m/+i, 0 < I < 4, с граничными
условиями /-1 = 0, ms = 0. В результате (табл. ПД.4.3) накопленной
фондом суммы почти хватает для оплаты последнего взноса.
Погашение по более низкой ставке
и при «заранее фиксированной» разнице процентов. Допустим, что выпла-
ты решено сделать постоянными и равными 14295 как и выше, но в каче-
стве расчетной выбрана ставка 10%. Тогда прежнюю постоянную выпла-
ту без нагрузок можно разложить на две части 14295 = 12619+ 1676, из
которых первая определяется как постоянная выплата при новой ставке,
а вторая и представляет собой заранее фиксированные проценты. Соот-
ветствующая таблица возникает без труда.
Табл. ПД.4.4 Погашение по меньшей ставке 10%
Год 1 Основные проц, yi Зар. фикс, проц, fl Погашение капит. mi Невыплач. капит. Ci Нагрузки hi Выплаты bi
0 0 0 0 40 000 600 600
1 4 000 1676 8 619 31 381 200 14 495
2 3 138 1676 9 481 21 900 200 14 495
3 2 190 1676 10 429 11 471 200 14 495
4 1 148 1676 11 471 0 0 14 295
Е 10 476 6704 40 000 104 752 1200 58 380
Погашение по двум ставкам
В заключение приведем ситуацию особого, но классического погашения.
Ее смысл состоит в том, чтобы несколько увеличить долю погашения
первых двух лет, оставляя размер пбстоянной выплаты прежним и со-
ответственно увеличивая эту долю затем. Для этого предлагается начи-
слять проценты первые два года по ставке 12%, а затем по такой ставке
(она оказывается равной 28,1%- почему?), которая позволяет ежегодной
выплате оставаться прежней (см. табл. ПД.4.5, в которой 2-4 колонки
взяты из табл. IV.5.1 для сравнения).
Табл. ПД.4 5 Погашение по двум ставкам
1 ставка 2 ставки
Год Проц. Погаш. Нев.кап. Проц. Погаш. Нев.кап. Выплаты
1 У1 mi G У1 mi G а/
1 6 400 1 895 32 105 4 800 9 495 30 505 14 295
2 5 137 9 158 22 947 3 661 10 634 19 871 14 295
3 3 672 10 623 12 324 5 584 8 711 11 160 14 295
4 1 971 12 324 0 3 135 11 160 0 14 295
Е 17 180 40 000 107 376 17 180 40 000 101 536 57 180
464
Д Таблицы
5. Натуральные логарифмы чисел от 1 до 5.59
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.0 0.00000 .00995 .01980 .02956 .03922 .04879 .05827 .06766 .07696 .08618
.1 .09531 .10436 .11333 .12222 .13103 .13976 .14842 .15700 .16551 .17395
.2 .18232 .19062 .19885 .20701 .21511 .22314 .23111 .23902 .24686 .25464
.3 .26236 .27003 .27763 .28518 .29267 .30010 .30748 .31481 .32208 .32930
.4 .33647 .34359 .35066 .35767 .36464 .37156 .37844 .38526 .39204 .39878
.5 .40547 .41211 .41871 .42527 .43178 .43825 .44469 .45108 .45742 .46373
.6 .47000 .47623 .48243 .48858 .49470 .50078 .50682 .51282 .51879 .52473
.7 .53063 .53649 .54232 .54812 .55389 .55962 .56531 .57098 .57661 .58222
.8 .58779 .59333 .59884 .60432 .60977 .61519 .62058 .62594 .63127 .63658
.9 .64185 .64710 .65233 .65752 .66269 .66783 .67294 .67803 .68310 .68813
2.0 0.69315 .69813 .70310 .70804 .71295 .71784 .72271 .72755 .73237 .73716
.1 .74194 .74669 .75142 .75612 .76081 .76547 .77011 .77473 .77932 .78390
.2 .78846 .79299 .79751 .80200 .80648 .81093 .81536 .81978 .82418 .82855
.3 .83291 .83725 .84157 .84587 .85015 .85442 .85866 .86289 .86710 .87129
.4 .87547 .87963 .88377 .88789 .89200 .89609 .90016 .90422 .90826 .91228
.5 .91629 .92028 .92426 .92822 .93216 .93609 .94001 .94391 .94779 .95166
.6 .95551 .95935 .96317 .96698 .97078 .97456 .97833 .98208 .98582 .98954
.7 .99325 .99695 .00063 .00430 .00796 .01160 .01523 .01885 .02245 .02604
.8 1.02962 .03318 .03674 .04028 .04380 .04732 .05082 .05431 .05779 .06126
.9 .06471 .06815 .07158 .07500 .07841 .08181 .08519 .08856 .09192 09527
3.0 1.09861 .10194 .10526 .10856 .11186 .11514 .11841 .12168 .12493 .12817
.1 .13140 .13462 .13783 .14103 .14422 .14740 .15057 .15373 .15688 .16002
.2 .16315 .16627 .16938 .17248 .17557 .17865 .18173 .18479 .18784 .19089
.3 .19392 .19695 .19996 .20297 .20597 .20896 .21194 .21491 .21788 .22083
.4 .22378 .22671 .22964 .23256 .23547 .23837 .24127 .24415 .24703 .24990
.5 .25276 .25562 .25846 .26130 .25413 .26695 .26976 ..27257 .27536 .27815
.6 .28093 .28371 .28647 .28923 .29198 .29473 .29746 .30019 .30291 .30563
.7 .30833 .31103 .31372 .31641 .31909 .32176 .32442 .32708 .32972 .33237
.8 .33500 .33763 .34025 .34286 .34547 .34807 .35067 .35325 .35584 .35841
.9 .36098 .36354 .36609 .36864 .37118 .37372 .37624 .37877 .38128 .38379
4.0 1.38629 .38879 .39128 .39377 .39624 .39872 .40118 .40364 .40610 .40854
.1 .41099 .41342 .41585- .41828 .42070 .42311 .42552 .42792 .43031 .43270
.2 .43508 .43746 .43984 .44220 .44456 .44692 .44927 .45161 .45395 .45629
.3 .45862 .46094 .46326 .46557 .46787 .47018 .47247 .47476 .47705 .47933
.4 .48160 .48387 .48614 .48840 .49065 .49290 .49515 .49739 .49962 .50185
.5 .50408 .50630 .50851 .51072 .51293 .51513 .51732 .51951 .52170 .52388
.6 .52606 .52823 .53039 .53256 .53471 .53687 .53902 .54116 .54330 .54543
.7 .54756 .54969 .55181 .55393 .55604 .55814 .56025 .56235 .56444 .56653
.8 .56862 .57070 .57277 .57485 .57691 .57898 .58104 .58309 .58515 .58719
.9 .58924 .59127 .59331 .59534 .59737 .59939 .60141 .60342 .60543 .60744
5.0 1.60944 .61144 .61343 .61542 .61741 .61939 .62137 .62334 .62531 .62728
.1 .62924 .63120 .63315 .63511 .63705 .63900 .64094 .64287 .64481 .64673
.2 .64866 .65058 .65250 .65441 .65632 .65823 .66013 .66203 .66393 .‘66582
.3 .66771 .66959 .67147 .67335 .67523 .67710 .67896 .68083 .68269 .68455
.4 .68640 .68825 .69010 .69194 .69378 .69562 .69745 .69928 .70111 .70293
.5 .70475 .70656 .70838 .71019 .71199 .71380 .71560 .71740 .71919 .72098
Учебное издание
Жуленев Сергей Викторович
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
Введение в классическую теорию
Зав. редакцией
Редактор
Художественный редактор
Художник
Технический редактор
Корректоры
Н. А. Рябикина
Т.Г. Трубицына
Ю.М. Добрянская
В.А. Чернецов
3. С. Кондрашова
Н. В. Иванова, Т. И. Алейников а
Изд лицензия N 040414 от 18 04.97
Подписано в печать 23.01.01
Формат ТОхЮОУЮ. Бумага офсетная N 1.
Офсетная печать
Усл. печ. л. 39,0. Уч.-изд. л 30,16.
Тираж 3000 экз. Заказ N 1221. Изд. N 7042.
Ордена «Знак Почета»
издательство Московского университета
103009, Москва, ул. Б.Никитская, 5/7.
Отпечатано с готового оригинал-макета
в ОАО Типография «Новости»
107005, Москва, ул. Фр.Энгельса, 46