Author: Стиффлер Дж.Дж.  

Tags: электротехника   монография   информационные технологии   телекоммуникации   передача информации   теория связи  

Year: 1975

Similar

Теория синхронной связи

Проектирование оптимальных систем производственной связи

Физические принципы и техника передачи дискретной информации

Сигналы. Помехи. Ошибки... (Заметки о некоторых неожиданностях, парадоксах и заблуждениях в теории связи)

Text 
                    Дж . Дж. СТИФФЛЕР
Т'еория
u
синхроннои
связи
Перевод с а1нглийского
Б. С.Цыбакова
подред. Э. М. Габидулина
О -в391
6дА,.~9
-
(! 81)
•· :--.
<:" '
~;-,
$'го~/


6ФО.1
сво
УДК 621 .39-072.9
O'11Ветственный ред.актор серии Б. Р. Лев ин
Редакционная коллегия:
А . Г. ЗЮКО, Л . :М:. ФiИНК, ,В. С . ЦЫБtАКОВ, В. В. ШАХГИЛБДЯН,
Ю. С. ШИНtАКОВ, Л. Н. ВЫЛЕГЖАНИ:НА
Дж. Дж. Стиффлер
С80
Теория синхронной связи. Пер. с англ. Б . С. Цыбакова
сзо401-03s
045,-75
под ред. Э. М. ,Габидулина . М., «Связь», 1975.
4188 с . , с ил., табл. (Статистнческая теория связи).
К.ннга Стнффлера является пока единственной в мнровой J11пературе
моно1·рафией, в которой снс теJ\tатнзирована н ясно изложена современная
теория синхронизации систем связи. Теория синхроннзацин излагается на ос­
нове теориi1 решений . Рассматривается синхронизация с помощью отдеJiьного
канала, а также непосредственно по последовательности сигналов, несущих
информацию.
Книга рассчитана на ' широкий круг научных работнин:ов, инженеров.
аспирантов и студентов старших курсов, специалпэнр ующнхся в 06ласт11 пе­
реда чи информации, вычнслнтельноi-i т ех ники и ю1бернеп-r1,н .
30401-035
С 045(01)-75 25
-
75
6ФО.1
Theory of sync]1ronous communications, Stiff]eг J. J .
Prenlice Hall, !пс., Engle,vood cliffs, New Jersey, 1971 .
25-75
·· " Перевод. ,на ру,оск·ий язык, изда1·едьство «Свнзь», 197,5 r.


ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Книга Дж. Дж. Стиффлера «Синхронные системы связи» яв ­
.1яется ~пока единственной ·в мире монографией, 1в которой. систе­
:-Jа т.ически излагается теория ,синхрон1иза1ци,и -систем связи . В кни­
:-е сrобраны и обобщены результаты, разбросанные по многочис ­
.1ен ным, зачастую ,малодосту,пным для со:ветского читателя источ ­
ни к ам . Отличитель.ной особенностью монографии является рас ­
с~10трение щюблем оинхронизаn:ии в рамках общей теор,ии кодиро­
ва.ния, модуля1ции и оптимального приема сообщений . Такой
п одход ,поз.валяет естественным образом об,наружить тесную •связь
~1 ежду весьма далекими, ,на лервый взгляд, областями, как нап.ри­
~1 ер, .между теорией систем ФАПЧ ,и теорией коррект,ирующих
кодов.
В пер,вой части рассмотрены вопросы, включаемые обыч.но в
курсы под условным названием ~<Теория :передачи сообщен,ий» .
Интересны результаты, относящиеся 1{ последовательному 111оиску.
Кратко ,и я,с,но описаны дискретные :по времени системы связи и
с истемы ФАПЧ .
Во второй части ра•ссмот,рены собственно ,вопросы теори,и син­
хр,онизации, а в третьей - вопросы теории кодирования пр,имени ­
тельно к задачам синхрон,изации . ,Многие результаты в этой об­
л асти принадлежат самому Дж. Дщ:. Стиффлеру, пр,ичем :ы екото­
.рые из них публикуют,ся в.первые.
Можно :надеяться, что книга будет полезна советским ч,итате­
лям, ж1елающим оз1На,комиться с сrсшрем•енным состоянием теории
синхронизации.
При ~перев-оде третьей (.и частич.но 1в•т,ор,ой) части ,были •01Пуще­
ны доказательства ряда .из1вес11ных ут.в-е~рждений . Эти доказатель ­
с т1ва можно най11и в литерату,ре ию rеор'Иrи .кодир,ова,ния, изда11-11rю:й
в rНашей ст,ране. Кроме то1го, iПiроизв-едены союращения В'Сlпомога ­
тель.ного материа\Ла (ма·тематических ,п,риложеняй, ;ря1да зада1ч,
истор.ичеоких замечаний и т . 1п. ) .
В заключение с~.итаю своим 1пр,иятным долго,м ,по6л.аiГода1р:r.~:ть
Е . В. Воро1ноВ'а за ~помощь :при JЮд'готов•ке пер,е.воща ;к 1П·еча11и.
Э . М. Габидулин


ПРЕДИСЛОВИЕ
Эт а книrа tП,ос.вящена синхронизаци,и в системах связ.и: . На ран­
ней стадии ее создания четыре .последних слова составляли назва­
ние книги. Настоящее название получ,ило предпочтение по двум
причинам. Во-первых, хотя кн,ига ,посвящена исключ,итель-но систе­
мам связи, в которых для эффективной работы необходим ,синхро­
низм между передатчиком и 'Приемником, рассмотрение , тем не
,мен ее, не огранич,ивает•ся обсуждением только методQВ установле­
ы,ия этог о синхронизма; значительная часть книги пос.вящена опи­
санию и исследовэ.нию самих систем связи : Во-вторых, некюторые
воп росы, .которые могли бы !}Од,пасть под первоначальное наз.ванне
книги (на1пр,имер, вопрос сш-rх,ронизаци,и сети в случае, когда не­
которое число абонентов требует одновременного доступа к систе­
ме огра:н,иченной емкости), здесь совершенно ,не исследуются.
Ц ель книги - изложить ос.новы теории синхронных систем свя­
З:и, ,при.нципы их фу.нкц,иониро,вания и характер,истики, а та.кже
представить выв,оды теории JB форме, удобной для использования
при пр о е кти,ровании систем ·связи . В соответств,ии с первой из
этих зад ач теоре'Гические вопросы излагаются достаточно подроб­
но и приводя,11ся ,.1_,оказа'Гельс11ва ~всех наИlболе,е вюкных :результа­
тов. Для решения второй .из указанных задач при теоре'Гическом
расс мот рении упрощающие 1п редположения вводились ,в тех слу­
чая х, когда только с .их помощью можно было получить mоддаю­
щи еся ,ип-rтер1претации результаты (т. е. те, которые можно объя,с-
1нить без о~браще~ния 1к большим ,выч.исл.ит,ельным машинам).
Книга . состоит из трех частей. В пер1вой части (с ,первой по
пятую главы) излагаются основы стат~истичес.кой теории решений
,и ст ати стической теории 01Ценок; они применяются для анализа
нек ото рых синхронных .систем связи. Рассматривается также ряд
доп олните ль.ных вопросов, ,в тo:vr числе теория поиска и теория
систе м фазовой авто.подстройки частоты несущей ( ФА:ПЧ), .кот~о­
рые важ ны для второй части этой кн,иги . Вторая часть (.главы с
шес той .по девятую) посвящена методам устано,влен,ия синхрониз­
ма, необх одимого для эффек11ивной работы систем с.вязи. описа,н­
ных н 1Первой части. В этой ча,сти даются отшеты, по крайней мере ,
част ично на во1просы: ~«каков наилучший метод ,синхронизации? ·»,
,«.насколько быстро можно войти .в оиr-rхр,онизм?» и к<,с какой точ­
:1-юстыо можло поддерживать оинхроюrзацию?» . Третья часть ю-rили
посвящена теории кодиро,ва.ния и включает в ,себя как кодирова­
ние источников сообщения, так и кодирование для каналов связи.
В с-оответст.вии с общей направленностью .книги знач,ительное 1вни­
м;:~ .1 I ис уделено методам ,построе.ния кодов, дающих возможность
установить и ,поддержать синхронизм между кодером ,и декодером.
В ~к онце 1ря1да гла~в ,имеют,ся .задачи. Эт.и эадачи :в,ключе,ны, глав­
ным о'61разом, для того, чтобы ржши,рить материал авязан,ных с
ними глав, а 1во ,м,ног.их ~случаях дать новый материал, который ;ИЗ­
з·а О(гсут-с'Гlвия места не ,мог быть в,ключен в а,с,но.вной текст книг.и.
4


М ы предполагаем, что читатель знаком с теорией случайных
:iр оце ссов и шумо,в. Для этого, нашример, вполне достаточ.ным яв ­
:1яе тс п материал леrвых девяти гла,в книги Давенпорта и Рута
<{ Введе ние в теорию случайных сигналов и шумов» (изд-во ИЛ,
1960) ,или глав ,втvрой и т,ретьей книги Возенкрафта .и Дже1юбса
« Тео ретические осно,вы техники связи» (изд -,во ,« Мир», 1969) . Для
ч нтате лей с такой по дготовкой настоящая юrига будет содержать
все .нео бходимые для ее понимания сведения. Конечно, не следует
д у мать, что пр,ив лечен ,и е ,J,О'полнительного материала не рекомен­
дуетс я, однако ,предполагается, что при чтении книги читатель с
о гово ренной выше подготовкой не почу,вствует необходим,ости об­
ра щаться к другим книгам .
Мно ги м я хотел бы выразить свою бла,годарность за их помощь
при подгот овке этой рабо ты . Лрежде всего, это относится к м0,ей
ж ене, которая не только терпела мою работу над книгой в течение
п ос ледних несколышх лет, .но даже (чтобы ,от.влечь ее от мысли о
требовании ком,пенсацни за 1мое ,пре,ступлен,ие) была нагружена
не од ~юкрат ным .перепечатыванием нескольких ,вариант ов рукопи­
си . .i\'1.пе б ы хотелось также особо ~поблагодарить профессоро,в
Р . Штольца и :и. Блэй к за чт,е,н,ие в,сей ,рукописи .и за 1мно,гие .чю ­
лезлые атред ложения, способствовавшие ее улучшению. Кроме то­
го , я о чень благодарен 1профессо1ру И. Блэйк за 1пом,ощь 1при чтЕжии
корр е ктуры книги . . Я обязан также моим коллегам, которые либо
доброволыю, либо без сопротивления читали различные части ру­
к оп иси и высказывали по ним ,с,во,и мнения. К н1им относятся док­
тора Е. Б рукнер, С. Ба в1Эн, Р. Эспозито, С. Фарбер , Р. Кинг, Дж.
Лэйле,нд, Дж. Залыц, Г. Со.ломан и А. Витерби . ,Я особенно !Пр•из­
нателсн доктору Р. Т ури.ну, оказ авшему существенную ~помощь пр и
.последнем ,пер,еси отре руко,п.иси, и П. Шоттлеру, 1к•ото,рый не толь-
1,0 читал н есколько глав р укошrси ,и делал по ним замечания, rю
та кже п ро читал корректуру яерстки ·всего текста книги . Выражаю
благодар.ность также Р. Холлу ,и Р. Джекобсону и их .коллегам ,з а
у ча стие .в оформлении всех рисунков. Наконец, хочу поблагода­
ри ть 'Проф ессо,ра Т . Кайласа за ·предложение написать эту книгу ,и
за ряд полез ных предложен,ий и критич еских замечаний на на­
чал ьной стадии, а также профессора С . 1Голомба, который не толь­
ко стимули ро,вал мой начаj[ьный ,инте.рес к этой области, но и сам
в11 ес м.1юr ое ,в . решение .проблем, рассма·триваемых в ю-1,иге. Кром е
того, во вре мя одного из периодически ~Возникавших у меня ,при­
с т упов отча ян ,ия из - за отсутствия ,прог,ресса при написании, в ча­
стно ст,и , глав руколиси, посвшцен.ных с·инхрон.изации, он обратил
мое внима.н ие на то, ка к уме стны здесь слова Гамлета, которыми
я заканчива ю это .предисловие:
«Порвалась дней связующая нить,
Как мне ~брывки их соеди нить! »
(«Га,1:лет», акт!, сцеиа 5).
Дж. Д,нс. Стиффлер
J(онкорд, аtт. Массачусетс


ЧАСТЬ I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Глава 1
СИНХРОННЫЕ СИСТЕМЫ СВЯЗИ
1.1 . Введение
Система связи может быть наз.вана оинхронной, если
необход,имым усл0tвием ее удовлетворительной работы я,вляет,ся
существование общего для передатчика ,и приемника отсчета ,вре­
мен,и. Цель вводной главы состоит в том, чтобы .выделить харак­
терные свойства таких систем и указать различные функ.ции, ко­
торые может выполнять этот общий отсчет времени. Посте;Jе.нно в
дальнейшем будет ·выя.влено от.ношение ,различных вопросов, об­
суждаемых в последующих главах, к общей теор,ии синхронной
с,вяз,и.
1.2 . Модель системы связи
Структурная схема, изображенная на рис. 1.1, представ­
ляет собой ·обобщенную модель -системы связи. Эта схема :выбрана
не только потому, чт,о является достаточно общей ,и охватывает
. широкий
класс систем, но также потому, что каждый ее блок
,предъявляет определенные требования к синхронизации, т. е . тре-
6
~ тель
YcmpoiJcтdi
ПfJOIJ3dooя­
щee dы-
оорки
Регене­
ратор
сооощения
; {ПOЛ!Jlf(l-
~ .....__
__.
. _;'---~
!{ооер
UCff!OI/HUIШ
декоilер
ucmOI/Jшкo
Рис. \.\ . Модель системы связи
l!ooep
КОНОЛQ
'fJKOOll/J
КОШJЛ(l
Noilyляmo.
Демоilу­
лятор
/{{Jl{Od


бо ва:Н ия, ,кото,рым ,должен удовл,е11ворять общий отсче т 1в~ременн.
Во мног,их системах отсутствует ощш или большее число блоков,
ук аз анных на рис . 1.1. Так как удаление какого-либо из блоков
уп рощает оставшуюся систему, то будем вначале ,рассматривать
си стему ( имея в 1в1,щу цеюr синхронизации), ,в которой присутст­
ву ют все блоки.
Источник ~представляет собой просто ,источник ,информации, ко­
торую ,нужно передать . Его выход, по ,предположению, является
сл у чайным процессом; он может быть непрерывным ил,и дискрет­
н ы~~ ,по ам1плитуде, а таюке IПО време:ни. Устройство, производящее
в ыборки, лрео6раз,у ет етот случайный ~процесс ,в слу,чайную лосле­
дова тельность.
Кодер источника выполняет несколько функций. В наиболее
лростом ,случае он представляет собой преобразователь аналог­
цифра, ~преобразующий ло,стушающие на его вход выборки ,в после­
дова тельность цифр некоторой удобной .системы счлсления (напр,и­
~•rер, часто, но не всегда, двоич.ной оистемы) . ,В более общем слу­
чае o,J-I я·вляется устройством для отображения ,выборок в слова,
т. е. в последо.зательности :цифр или сиJиволов; это отображение
может -сильно отличаться ,от того простого отображения, которое
обычно ассоциируется с работой преобразователей аналог-цифра.
Кодер ,источника может быть лредназ.начен, на1пример, для того ,
чтобы сниз,ить среднее число -символов, ,необходимых для представ­
ления типичной .последовательности выборок, с ,помощью уменьше­
ния избыточности, почти неизбежно присутств }ющей в необрабо­
таю-rых данных. Его функции ·могут определяться и 1<акими - либо
другими соображениями.
Как бы ,в оилу ,иронии, кодер канала вводится для тог,о, чтобы
онести избыточность в последовательность символов, поступающую
на его .вход. Цель здесь состоит в том, чтобы дать ·возможность
приемнику mравильно опознать сообщение, представляемое теперь
кодовы.ми слова,ии канала, .несмотря на некоторые ошибки, кото­
рые могут про;,~з-ойти при передаче . Оба этих кодера не .нейтрали­
зуют друг друга, как это может ,показаться с первого взгляда.
Обычно естественная ,избыточность, устраняемая кодером ,источ­
.11:ика, является .намного менее эффективной в борьбе с ошибками
при передаче, че~1 контролируемая избыточность, вносимая коде­
ром канала. Даже если это и не так, уже то обстоятельст,во, что
избыточность контролируется, позволяет использ -овать ее более ра­
цио на.11ы10 .
Ф ун к ция Аtодулятора состоит в преобразовании последователь­
нос11и оим ·волов на .выходе кодера в последовательность ,с и,налов,
пригодных для передачи по каналу связ,и. Каждый сигнал, в об­
щем случае, .содержит несущую (или поднесущую) , обычно сину­
соиду, ам1плитуда, фаза или частота которой изменяются ( модули­
руются) в ооответствии с подлежащей передаче информ а цией.
Физ,ические каналы часто можно представ,ить как последова­
тельное соединение у стройства с н ек ото.рой частотной ха,рактери­
с ти кой Нс (ffi, t) н элемента, который производ:Iп сложе.ние сигнала
т


с мешающим шумом. В ~последующих главах, когда будет · необхо ­
димо указать более определенно тип кана:71а, он всегда буде+ :Пр ед­
полагаться широко.полосным и . не за1висящим от времени, · т . е .
функц,ия Hc,(w, t) будет предполагаться не зав,исящей ,i{ й' от w
(в существенной для рассм,отрения шолосе частот), яи о т t. Бо лее
того, обычно будет предполагаться, что шум ,представляет со бо й
выборочную функцию белого (т. е. имеющего рав,номерную спек­
тральную плотность на ;всех представляющих интерес чiстот ах)
гауссовского процесса . Получающийся ·в ,результате кана л явл яет­
ся удобной (но редко адекватной) моделью реального кана ла.
(Возможно, что единственным физическим каналом, для котор ого
все эти условия ,в действ,итель;ности выполняют,ся, является кос ми­
ческий .канал). Однако его ~Важность обусловлена двум я следую­
щиии обстоятеТiьствам,и: во-первых, его .сравнительно ю росто а на ­
лизировать; 'Во-вторых, ·резудьтаты этого анализа ,показ ывают, че­
го следует ож.идать пр,и иссдедовании более сло:iкных каналов , и
во м,ногих случаях являются .необх,одимой основой для получе ния
более общих результатов.
На лриемном коНiце деikт,вия производятся в обратн ом пор яд­
ке; каждый блок (см. рис . .1 .1) .выполняет о:ттеращию, обратную по
отношению ,к •соответс11вующему ,блоку на передающ ем конце.
Демодулятор преобразует принятые сигналы в ~последов ательность
символов, котор ую декодер капала переводит в тот :вид , котор ый ,
как мы надеемся, был .н а вх,оде .кодера канала . Зате м де!(о дер
источпик,а преобра~ует лостушающую на его вход посл едовате ль-
1юсть в последовательн ость импульсов различной амплитуды: О ни ,
в свою очередь, испо л ь зу ются регенератором сообщения ДJIЯ того ,
чтобы произвести ,вычисление оцен~и действительного ,вх ода 1Jкточ­
ника, которая и поступае т к получателю.
Описанная .схема связи .н,азывается дискре тпой систем о й связ и
с кодировшшем. Есл.и ~· схеме
опущены блоки ~одера и де ко·дера
жа.нала, то система вс е же остается д,иск,ретной ,по своей [Iр ир оде
(так как в ,ней ,использует.ся лишь конечное число сигналов ) ,и .на­
зывается дискретной или дисюретной по амплитуде импульсной си­
стемой связи. Если блоки ,кодера и декодера источ.ника также от­
сутствуют, то система называется непрерывной по амплитуд е им­
пульсной системой связи. Хотя информащия не имеет здес ь дис­
кретной формы (кроме того случая, когда сам ис·ючник я вл яется
дискретным), все же до ее передачи еще · производятся выборки
(дискретизация по времени) . Наконец, если устраняются т а кже ,и
устройство, 1п,роизводящее выборкш, и соответствующее устр ойство
;на приемном конце, то система ста.новится аналоговой системой
связи.
При рассмотрении синхронных систем связи лоуч,ительн о вна­
чале !Предположить, что в действительност,и имеется общий о т счет
време.ни, уд,овлетворяющий всем необходимым условиям. В с оот-
1Ветстви,и с этим гл. 3 и 4 {следующие ~после вводной главы (гл . 2),
в которой изложены некоторые основ.вые 11юнятия, необход и мые
для изучения систем слязи] посвящены О1писанию и исследо ва нию
,8


t1'>шуль.сных с,и.стем ·связи ,и, в частности, вида опт,имального демt,­
.:~.у.1ято.ра для таких ,систем. ,1\1.етоды кодирова.н:ия рассматриваются
3 гл . 10 и 13. Глава 10 посвящена . вопросам построения кодов и
ус транения избыточности (кодирование шсточника), а гл. 13 пос·вя­
ще.на в-оп,росам борьбы с ошибкам,и (кодирование для канала).
Анало го1Вые системы, О,J.нако, здесь рассматриваться не будут, так
ка к они обычно .не являются ,синхронными и поэтому выпадают
из круга во!Просо.в этой книги. Если в аналоговых оистемах необ­
ходима синх роаи зация, то ~то неизменно связано с требованиями,
п редъяв ляе,мы;v11и источ.ником (как, например, при ,передаче теле­
в изионных сигналов), а не самой оистемой связи 1). Поэтому и ме­
т од , ,используемый здесь для синх,ронизац.ии, также фактичес.ки .не
з а1в.и1с ит · от ,конп<рет~но ис1пользуемой ,схемы модуляции, а О'бсужд,е­
tН Ие это:го ,метода ,не влечет за со:бой ,сооТJв:етст.вующее расомотре­
ние ,о,ставшейся части схемы.
1.3 . Задача синхронизации
Говорят, что две !ПОследователыюсти событ,ий являются
синхроняыми, если соответствующие события в них происходят од­
но,в.ременно . Синхронизация определяется просто как процес,с уста­
новления .и 1под,д.ержа,ния синх,р ,он ,но1го с·о,стоя1ния.
'-+r обы испол,,зовать эти понятия при рассмотрении систем свя­
зи, не обходимо лишь положить, что одна из двух последовательно­
стей событий, которые должны быть -синхрониз,ированы, имела
место в ~передатчике, а другая - в ,приемнике. Обычно удобно ,как
для понимания .принщи.па, так и для работы раздел,ить процеос
синхрониза'Ции на два различных типа, хотя в некоторых случаях
такое ,раз,деление доволыно иокус1с11венно . Пер.вый тиlп, синхрониза­
ция о тсчетов времени, необходим для того, чтобы отсчетьr време­
ни, котор ые регулируют обе последовательност,и, подлежащие оин­
хро н изации (т. е. отсчеты времени в передатчике и .в приемнике),
п ро,из водились ,с одной и той же окоrростью 2) . Вто:р,ой ти~п, синхро­
низ ац ия более высокого порядка, нужен для того, чтобы идент,и­
фиrцировать соо11ветстiВующие 1Па,ры событий в д,вух 1по,следователь­
ностях и осуществлять их одновременное появление. Ясно, что если
одно и то же событие ,происходит в двух одинаковых 1последова­
телыюстях одновременно и если .последовательности раз.в,иваются
1) Следовало бы сделать искщочение в этом утверждении для фазово-коге­
ре1 1 т11ых систем амплитудной модуляции. Несущая дает общий отсчет времени
для пе редатчика и приемника, так что эти системы, по крайней мере, в некото­
ром эл ементарном смысле , являются синхронными. В любом случа е такие системы
т ес н о связаны с системами когерентной амплитудно-импульсной модуляции, кото­
рые 11од робно изучаются в последующих главах , н поэтому не будут рассматри­
nаться отдельно. (При1,1. авт. )
2 ) • В отечественной литературе ~«отсчеты времени» часто называются такта­
м11, а «синхронизация отсч етоg времени» - тактовой синхронизацией. Остав­
ле нный в перевод е термин больше соответству е т той общей концепции, которая
развив ается в книге . ( Прилс . перев.)
9


с одной и той же ,скоростью, то лоследовательнос11и являются и
будут ,п.родолжать оста,ваться синхро1низи,р,ован1ными .
Ес л и отсчеты времени в передатчике и приемнике доста то чно
стабильны, чтобы обеопечить требуемую точ,ность си.нхрониза;ц,и и,
то синхронизация отсчетов времени может 6ыть опущена. Однако
обычно этот случай не имеет места ,и для установления необходи­
мой синхронизации отсчетов времени ,следует использов·ать подхо­
дящий метод . Самым прямым методом являются ,использование
для отсчета времени в передатчике период1ического сигнала и пе ­
.редача этого сигнала вместе с информацией . Соот,ветствующи,м
образом отфильт,рованный принимаемый сигнал ,может быть затем
использован для от,счета времени в ~приемнике. Пр,и таком ~подходе
возникают два доволь.но фундаментальных вопроса. Первый воп ­
рос, относительно структуры оптимального фильтра приемника,
являет,ся .предметом гл. 5. Второй .волрос, относителыю взаимосвя­
зи 1между используемым ,сиг.налом и качество,м синхронизации от ­
счетов ·времени, рассматривается наряду с другими проблемами в
гл. 6.
Конечно, сама не.сущая могла бы быть использована для от­
счета ,времени. В фазово - когерентной с,истеме 1), в которой пред ­
полагае11ся, что при демодуляц,и,и фаза .несущей известна, должны
также быть . оинхронизированы принимаемая несхщая и местная
опорная .несущая. Если фаза несущей связана некоторым задан ­
ным .и известным соотношен,ием ,с отсчетом времени на передатчи­
ке, то местная опорная несущая также может быть использована
для местного отсчета времени . Есл~и ,передаваемый сигнал содер­
жит спектральную компоненту на частоте несущей (т. е . есл,и ,не­
сущая не ,имеет 100 %-ной модуляции), то возникающая ситуация
будет такой, как описано .выше. Однако, даже если такая ком­
понента не ,передается, часто можно извлечь несущую из переда­
ваемого модулированного сигнала . Соответ,ствующие методы опи­
саны в гл. 8. Заметим попут,но, что синхронизация несущей явля­
ется частным -случаем оинхронизации отсчетов времени, и поэтому
она за,ведомо обсуждается в вышеупомянутых главах . В тех слу­
чаях, .когда не требуется проводить разл,ич,ия, термины синхрони­
зация несущей (или поднесущей) и синхронизация отсчетов вре­
мени будут использоваться как синонимы.
После того как отсчеты времени в передатчике ,и ,прием,нике
синх.ро!Низ.и1ро1Ва.ны, начинается ~второй эта,п синхрон.иза,ции . Некото­
рые события, происходящие в каждом из блоков на приемном
конце схемы рис . 1. 1, должны быть ,синхронизированы с соответ­
ствующими события1ми, .происходящими в аналоличных блоках на
передающем конце. Для эффективной демодуляции необходимо ,
чтобы демодулятор был синхронизирован с модулятором так, что­
бы было известно, когда кончается ·сигнал, пред:ставляющий один
символ к·анала, ,и начинается другой (синхронизация самволов).
1) Системы, в которых работа демодулятора не основывается на знании
фазы несущей, называются фазово-некогерентными. ( При,11 . авт.)
10


Декодер канала не может правильно работать до тех ~пор, пока
он не сумеет определить начало каждого .кодового слова ( синхро­
низация кодовых слов). Аналогично декодер ,источ.ника бесполе­
зе н, если поступающие на его вход .сим·волы не могут быть ,разде­
.1е ны на группы, каждая из которых .соответствует выборке сооб­
щения ( синхронизация слов сообщения). Наконец, так как смысл
любой ,конкретной выборки сообщения может быть определен
л ишь ее полож ением в последовательности выборок ~[ил.и в блоке
(кадре), как ,иногда говорят], генератор -сообщения ча,сто должен
б ыть синхронизирован с выбор.ка•ми сообщения (синхронизация
кадров) .
Если невозможно точно определить, 1происх0Д~ит ли ,событие в
момент t или в момент i+nT0 , где п-какое-либо целое число, то
говорят, что существует неоднозпачность во врел,tени, равная Т0
секун1дам. Минимальная :пр,иемлемая неодноз1нач,ность 1во времени 1в
системе связи равна периоду ,события, требующего си.нхрониза:ции
н аивысшего порядка (т. е. ~периоду кадра). Если бы период отсче­
та времени был равен минималь.ной приемлемой не,однозначности .
во времени 1ши ра1Вен некоторому целому кратному этой величи­
,ны, то фаза пр ,шштого сигнала в.ремени ,сама бы давала всю необ­
ходимую информацию о синхронизации и синхронизация второго
111ша была бы тогда избыточной. ,К сожалению, редко бывает ра­
зумным ,и,е поль зовать отсчет .времени, ,имеющий такой большой пе­
риод. Таким об.разом, если период ,от.счета времени равен IЛТ .се­
кунд, а минимальная приемлемая .неоднозначность во време.ни ,рав­
на То секунд, причем Т0/ЛТ~ N> 1 1), то ,остает,ея N-,к,р•атная ,не1сщ­
.1-rозначность, .которая должна быть разрешена, прежде чем процесс
с1шхронизаrщи будет считать·ся законченным. Цель с,инхронизаr.щи
более высокого .порядка состоит в том, чтобы выполнить это раз­
решение.
Как и в случае .синхронизации от.счетов времени, очевидным
методом ,передачи информации, необход,имой для синхронизации
более высокого .порядка, является использование отдельного ка.ва­
ла ед,инственно для этой цели. Менее очевидный, но :потенциально
более эффективный ~подход состоит в попытке осуществить требуе­
мую синхронизацию с помощью модул,ированных сигналов. Оба
эти метода детально изучаются :в ~последующих главах . Ра-ссмат­
риваемые задачи включают 1в ,себя: задачу ,синтеза -сигнала в ,слу­
чае, когда используется отдельный канал для синхронизации
(гл. 6); задачу оптимизации процедур разл,ичения гипотез и оце­
нивания в ,применении к си.нхрон,изации для -случаев, когда исполь­
зуется отдельный канал для синхрониза1ции (гл. 6) и когда ,инфор­
мация для синхронизации извлекается непосредственно ,из моду­
лирующего ,сиЕ1ала (гл. 7). В гл. 9 рассматриваются во.просы о
том, к чему приводит несовершенная оинхронизац,ия, и во.прос об
оптимальном распределении мощности между с,инхроканалом и •
1) Символ ~ используется в дальнейшем для обозначения рав е нства по
определению. (При,1t. авт. )
11


каналом для ·передачи информации. Наконец, гл. 11, 12 и 14 пос,вя­
щены а.нализу методов внесения дополнительных ,ограничен,ий на
опособ, которым символы, представляющие •сообщение, группиру­
ются в слова •С тем, чтобы поя,вилась возможность ,с,инхронизации
слов.
Прежде чем зшюнчить -эти вводные замечалия, следует , воз­
можно, .сказать о методе, с помощью которого наиболее часто
уст,раняются неопределенности ·во времени. Если каждый кадр со­
держит, скажем, ni слов, кажд,ое .слово ,содержит п 2 символов и
каждый символ длится точно п3 пер,иодов отсчета в р емени и если
эти числа ni, n2 и п3 .известны, то все требуемые типы ,синхро.ни­
зац,ии, в принципе, •можно о,существить после того, как будет уста­
новлена синхронизация кадров. От,сюда следует, что .нужно сосре ­
доточить внимание исключительно .на синхронизации блоков и по­
лучить всю остальную информацию о синхронизации как ·вторич­
ный продукт. Это был бы разумный подход, если бы не был о ни­
каких огра.ничителы-1ьгх усл,овий на сложность устройств, ис,пол ь ­
зуемых на приемном конце; однако такой подход .не практ и чен,
когда нужно работать ;пр,и ,более привыч.ных ограничениях. Как бу­
дет показано, время, необход,имое для разрешения N- кратной слн­
хронизационной .неоднозначности при т,ипичных ограничения х ап­
паратурного характера, ~прямо пропорционально N и даже может
быть :пропорционально некоторой целой ,степени N в зависимости
от обстоятельств . Таким образом, есл,и N =n1n2nз и если следует
.разрешить всю N-крат1ную 1неодноз,начн,ость за одну , О1перацию,
то время синхронизаци,и будет порядка nin2n3. В противопол ож­
ность этому, е~ли сначала устанавливается ,синхронизация сим во­
лов, затем, ,соот-ветственно, •синхронизация слов и кадров , то вре­
мя, необходимое для оинхронизации, будет пропорционально
п 1 +n2 +n3, т. е. полная задержка оинхрон .из·ации .равна задерж,ке,
.нео-бхо,димой для ,раз,решения п3 -:К!рат,ной неод,ноз1Начности в ,с ин­
хронизации символов, сложенной с задержкой для разреш е ния
п2 -кратной нео.дноэначност.и 1в с-и:нхронизации слов .и ,з·адер ж к.ой
для разрешен·ия п 1 -1крат,ной .неод1ноз1начн,о,ст,и .в с.инхро1ни зац,ии
кадров. Если используется внутренняя под,стру.ктура, котора я не­
обход!нмо имеется в каждом кадре, то ;полное время синхр он,иза ­
ции может быть сн.ижено в (существенное) число раз:
n 1n2n 3/ (ni +n2+n3). По этой 1пр,ичине наиболее разумно
-начать,
вообще говоря, •с синхрониза:ции ,самого низкого порядка (т . е. с
,синх1ронизации для у,с'Гра .нения .наименьших ,нео,днозна,чностей) и
затем по.следовательно ,перехо,IJ;ить к си.нхронизаuии более · вы со­
ких порядков.


Гл.ава 2
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ,
ТЕОРИЯ РЕШЕНИИ И ПОИСК
2.1. Введение
Большая часть матер.иала этой и последующик гл ав свя ­
за н а со следующей общей задачей. Наблюдается случайны й про­
цесс y(t). В результате наблюдения выделяет,ся ,множество коор­
.1.ин ат ·или, проще говоря, наблюдаемых 1) У= {Yi}. Известно, что
э т и наблюдаемые порождаются источником, ,который може т нах о­
,1. и ться в одном из нескольких возможi-rых состояний . Стат истиче­
с юrе свойства наблюдаемых предполагаются .изве,стным,и для к аж ­
дого состояния источника . Требуется ОIПJЭедел,ить по этим наб л.~0-
,1. аемым ,истинное •состояние ,источника. Основные правила , по тю­
торым лроизводит.ся эт,о определение, будут меняться. Иногда чис­
,1 0 наблюдаемых в множестве У будет фи~сированным . В д ру гих
случаях число наблюдаемых будет существенно ·неогранич енным,
н о решение должно быть построено .на основе .как можно мен ь шего
и х числа при условии, что задано ограничение на надежност ь этогGJ
.решения.
Ино,гда отра~-rичения на сложпюсть а1ппарату,ры будут 11реlбо­
н ать, что·бы -реше~н,ие было оделан,о в -несколь,ко лр.иемо в; воз­
можно, что за мин раз ~будет 1про1ве,ряться только г:и1пот,еза об од ­
•ном со,стояни.и. В д,ру,лих случаях гиiпотезы обо в-сех сост оя,ни я х
могут быть дроверены •одновре~мен,rю .
В любом случае важными являют.ся ,следующие ,вопро сы: к ак
при зад,анных основных :правилах решения задачи наил у чш им об­
разом ,использовать .находящиеся в раопоряжении ,наблюд аем ые,
чтобы у,становить ,состояние источника; насколько надежны м явл я­
ется окончательное ,решение .
В этой главе предпринята попытка ответить на эт,и 1вопро.сы дл я
разнообразных ситуаций , с которыми мы столкнемся в последу ю­
щих главах. Начнем, !По-видимому, с простейшего случая , когд и
источник имеет только два возможных состояния ·и ч,исло на бл ю­
даемых фиксировано.
1) Множ е ство наблюдаемых У часто на з ываютс я статисти кой; терм ин <-1: ст а­
тистика_» обычно относится к любому отображ ению одного пространств а на блю ­
даемых (в данном случае пространства исходного процесса y(t)] на другое ( в
данном случае на пространство наблюденных координат У) . Статистика наз ы­
вается · достато•той, если при этом отображ ении не терпется ник а кая и н форм а ­
ция , имеющая значение для потребителя . (Прим. авт.)
13


2.2 . Выбор между двумя простыми гипотезами
Предположим , что имеется множество наблюдаемых
У= {У1, У2, . .., Ум} . Задача со.стоит в том, чтобы оп.ределить по
этим .наблюдаемым, какая из следующих двух гипотез ,имеет мес­
то : нулевая гипотеза Н0 о том, что источник наход,ится в нулевом
состоmши и наблюдаемые описываются условной ллотностью р1ас ­
пределения р ( У IН0 ), или альтернативная гипотеза Н I о том, что
источни.к наход,итс,я в альтернативном состоянии и .наблюдаемые
ОiПИlсЫrваются rплотно,стью рас!Пределе,ния р(У\Н1) . Так ·,как каждая
гипотеза относится только к одному состоянию источник.а, то она
называется простой гипотезой. Выбор между ними иногда назы­
вается проверкой (тестом) гипотезы Н0 относительно альтернатив­
ной ГИlпотезы Н,, но вопрос о том, производится л,и выбор между
двумя ги_потеза•м,и и пр,инятие одной из них или ·вместо этого про-
1вер~ка •о.дной .из ,них и ,принятие или 0Т1Верж,ение е,е является, оче-
1вщщно, .ВОП!росом терминолог,ии . Существ~уют два .в,и;да ошибо,к, :п,р,и­
сущих этой ;процедуре прове,рк,и гипотез. 1Гов,орят, что происходит
ошибкд первого рода, когда гипотеза Н0 я,вляется верной, но от­
верr~ается в результате проверки. Аналогично ошибка второго рода
возникает, когда верна гипотеза Н1, а принимается гипотеза Но.
Вероятность ошибки пер·вого рода ·называется также уровнем зна­
чимости теста ,и обозначает,ся через а. .Вероятность ошибк;и .вт,о.ро­
го рода обозначается f\ . Наконец, упомянем, что вероятность
1-[3 называется мощностью теста пр,и проверке гипотезы Но отно­
сительно гипотезы Н1 .
Обоз.начим через S ,пространство возможных значений наблю­
даемых У= {У1, У2, .. ., Ум} .
Задача проверки гипотез состоит в
том, чтобы разделить пространство S на д,ве ·непересекающиеся об­
ласти Ro и R 1 (1Ro+R1 =S) так, что если У ,принадлежит Ro, т,о
принимается Н0 , а если У принадлежит rR1, то пр,инимается Н1 (от­
вергается Н0 ). Вероятност,и ошибок а и f\ можно fыразить с по­
мощью интегралов 1), взятых по М-мерным областям 1Ro и Ri:
1- ,1р(У\H0)dY = .Jр(У\ H0)dY= 1-а;
R,
R0
1- Jp(Y\H1 )dY =
_fp(Y\H1)dY=~.
(2.1)
R,
Ro
Для того чтобы осуществить оптимальный выбор обла,сти Ro ,
необход,имо задать критерий оптимальности . В связ,и с ,этим ,при ­
пишем численное значение, или стоимость, каждому возможному
реше.н,ию . Эта стоимость предста·вляет собой потери (или выигрыш
в случае, если стоимость является ,отр,ицатель·ной), •возникающие
1 ) Если наблюдаемые Yi являются дискретными случайными величинами,
то интегралы могут быть заменены суммами, а плотности распределений '- ве ­
роятностями. Оба этих случая могут быть, конечно, записаны в единой фор ­
ме с помощью интегралов Стильтьеса. ( ПpUJ,t . авт . )
14


п ри каком-то частном решении. Так rкак стоимость отдельного ре­
шения часто не Яiсна, то .разумно, 1по-видимО1му, пред.положить, что
стоимость ошибочного решения бол1:,ше, чем стоимость правильно­
го решения. Это предположение в действительности достаточно для
того, чтобы ,определ,ить оптимальное ·прави.1O решения rв общем . ви­
де, которое определяет,ся здесь как правило, -минимизи~рующее ма­
тематическое ожидание стоимости .решения.
Обозначим через C,j ,стоимость принятия r~и1Потезы Hi ,в случае,
когда верной является г.ипотеза Hj, и пусl'Ь p(Hi) обозначает ап­
риорную вероятность того, что Hi являетrся вер,ной r,ипотезой. Тог­
да математическое ожидание стоимости некоторого ча,стног,о ре­
шения
Е (стоимость)= С00 rр (У/ Н0) Р (ff0) dY +
я.
+ C01Jр(У/ H1)P(H1)dY + С1~ rр(У/ H0)P(H0)dY +
R0
R,
+C11_Jр(У/ Н1)Р(1-11) dY.
R,
Так 'I<ак какое-то решение должно быть принято, то
f p(Y/Hi)dY+_ip(Y/Hi)dY= 1,
R0
R,
так что
Е (стоимость)= f [(С01 - С11) Р(Н1)Р (У IН1) -
(2.2)
Ro
1-(С10 -С00)Р(Н0)р(У IH0)]dY + С11 Р(Н1) + С10 Р(Н0).
(2.3)
Математическое ожидание стоимости решения, очеаидно, дос­
тигает минимума пр.и определении ,R0 как области, соде•ржащей
все те точ,ки У, для которых ~подынтегральное :выражение в ,равен­
стве (2.3) отрицательно. Так как по предположению величины
Со1-С11 ·и С 1 0-Соо ·полож,ительные, то оптимальная ,область 1Ro со­
держ,ит все точки У, удовлетворяющ;!е неравен,ст,ву
р(УIНо) > (Со1- Сн)Р(Н1)
.
(2.4 ~
р (У IН1)
(С10 - Соо) Р (Но)
Если отношение плотностей вероятностей p(YjHo),/p(Y/H1) превы­
шает постояю-rую (С0 1-С11)Р(Н1)/(С10-Соо)Р(Но), то ,в соотвеIГ­
ствии ,с эт,им тестом ,принимается гипотеза Но; в противном случ:ае
гипотеза отвергается. Этот тест известен под наз.ва-нием байi!сЕхв­
ского теста.
Может ,случить;ся так, что ·выполняется равенство Со1-Сп=
= С 10-С00, либо предполагают, что оно верл,о за неимением .луч­
шей оценки дейст,вительных стоимостей. Опт,имальное решение
тогда состоит в том, что следует ~принять гипотезу Hi, ,соответству-
15


ющую наибольшему из выражеiшй p(YIHi)P(Hi) - Такого типа
ре:ы1 ~ ние 1по оче;видlНЫМ 1при~чянам ~называется ,р,еше~нием 1по макси­
мулtу апостериорной вероятности . {Иногда для этого пра,вила ре­
шеНlия используется тер·ми.н «идеальный наблюдатель». Заметим,
что когда Со1-С11=С10-Соо, мак,симиза~ция матема11ического ожи­
дания сто.и-мост.и эквивалентна минимиз,ации безусловной ,вероят­
ности Ре = ,аР(Но) +~Р(Н 1 ) ошибочного ,решения.] Бели в добав­
ление к этому апр~Иорные вероятности P(Hi) ,рав.ны (,или предпола­
гаются ра'вными), Р(Н0 ) =Р(Н 1 ), то ,решение оснО'вывается толь­
ко на ж:пользовании фун,кций р( У IHi), иногда :называемых функ­
ция :1щ правдоподобия. Решение, ,состоящее в принятии гипотезы
Hi, для которой функция правдоподобия p(YIHi) 1Пр.ИН1имает м,ак­
симальное значение, обычно .называется решением по максимуму
правдоподобия.
Если невозможно приписать ,с·тоимости раэличным решениям,
то иногда более пр,иемлемьrм являет,ея .критерий Неймана-Пир:
сана. Согл,ас.J-fо этому юритерию :ве,р,оятность ,ошибочно отвергнуть
гип отезу а заранее фиксируется и используется тест, который
имееr максим,альную мощность 1-~ сред и
в-сех тестов, .имеющих
уровень з.начимост,и а. Независимо от значения ,а оптимальным по
этому критер,ию оказывает,ся тест, и,епользующий отн,ошение ,плот­
ност е й вероятностей. Для того чтобы минимизировать .В при фик­
сированном· а, .в-ведем ,множитель Лагра,нжа л ,и найдем такую
область Ro, для которой выражение
ла+~=л[I - Jр(УIН0) dY]+Sр(УIН1) dY
Ro
Ro
прин и мает мак,сим,альное значение. Но э·то ~выражение -совпадает с
выр а жением (2 .3) при Р(Н0 ) =Р(Н1) = 1/2; С10=2,,,,; Со1 =2 и Cl! =
=С00 =0. Так ка,к значения С0 1-С1 1 и С10-Соо .положительны ,при
люб о м положительном л, то выполняются условия, ·необходимые
для оптимальности ,выраженного неравенством (2.4) теста, исполь­
зующе,го отноше:н·ие :плотностей ,вероятностей. Оптималыный тест,
соот в етствующий кр,итерию Неймана-Пир,сона, приводит, следо­
ват ел ьно, 1к принят,ию гипотезы Но, если
(2.5)
и от ве ржению этой гипотезы в других случаях. Пар,аметр л опре­
деляется, очевидно, из условия a=l-J p(YIHo)d,Y, где R состоит
R.
из вс ех тех множеств У, которые удовле11воряют не-равенству (2.5).
На1<0нец, е,сл,и стоимостные функции извес·т,ны, но нет разум­
ного спос,оба определ,ить апр .иорные ·вероятности, то можно отдать
предпочтение лрав,илу _решения, которое минимизирует стоимость
решения для наиболее .неблагоприятного выбора этих ,вероятно­
стей. Так. как математическое ожидатпrе стоимо.ст.и решения я'вля-
1.6


ется линей ной фунющей вероятности Р(Н0) = 1-Р(Н 1 ), то .макси­
сJу м с тоимости лолучает.ся ли,бо, когда Р(Н0 ) = 1, либо когда
Р( Н1 ) = 1. Так,им образом, эквивалентным правилом является то,
.1 .1я котороло ма,к,симум математического ожидания стоимостей ре­
ше н и я в случаях, когда Р(Н0 ) = 11 и Р(Н1) = :1, минимален. Реше­
н ие , построенное в ,соответствии ,с этим правилом, :называется ми­
н и,наксным решением. Из равенства (2.3) ~получаем :
Е(стоимость\Р(Н0)= 1) = C10-S(С10- С00)р(УIН0)dУ;
Ro
Е(стоимостьIР (Н1) = 1) =Сп+S(С01 - Сп) р(У IH 1)dY.
Ro
Есл·и •бы выражен.не ,для Е.(,стоимость IР (Но)= 1) ,было ~наиболь­
ши м из двух 1п,риведенных, ·то ма ,к,с.иму,м математ.ического ожи­
дан ия ст оимости мог бы быть уменьшен увеличением области R0 ;
есл и бы наибольшим было ,выражение для Е (.стоимость· IР(Н1) =
= 1), то ма~юимум мог бы быть уменьшен уменьшением области
Ro. Опт имальная область Ro, следовательно, должна быть одной
из таких областей 1R, для к,оторой
Е(стоимостьjР(fJ0) = 1) = Е(стоимостьIР(Н1) = 1) =
= у Е(стоимость IР (Н0) = !) + (1- у) Е (стоимость IР (Н1)--:-- 1) =
.
= \ [(С01- С11)Р(УIf-11) (! -у)-(С10-С00)0р(У If-!0) yJdY +
k.
(2.6)
где у- произво.:~ьная . постоянная. Т,ак как это последнее выраже­
ние с о владает по форме с выражением в ('2.3), то максимум ма­
те-ма т ич еского ожндан,ия •стоимости мюшмизируется при выборе
обл ас ти Ro, длн которой
p(YIHo) "- (Co1-C11)(l-y)
p(YIH1) ,,,,
(C1o - Cou)'\'
(2.7)
;rде у в ыбираетс я так, чтобы удовлетворялось первое ,из равенств
{2.6).
Важно то, чт о эти решения, независимо от того, какое из ,пр ,а­
в ил -р ассматрива е тся, основаны на ·срав1-1ении отношения пл,от.но­
ст е й в ероятностей p(YIH0)/p1(YIH1) с ,некоторой заранее заданной
п о сто я,н,ной . Эт о отношение ш,р•инято называ,ть отношением правдо­
под об ия, .а те ст , основанный на этом отношении,
-
тестом отно­
и 1ен ия плоmоп е й вероятностей . Оптимальная mровер,ка пшотез
п ри л юбом и з указанных выше определений оптимальности явля­
е тся те,стом отнош ения плотностей :вероятно.стей .
В ,следующем параграфе ·вновь рассматривается ,выбор между
д в умя лростым и гипотезами, но для случая, когда число М наб­
.rтю да емьrх заране е не Ф,иксировано .
;; i..~'-· '1«11~~-- - ~~ ..,;;~~ (].
(
i'(,,,.,; ,.~ ~
'
•
1
~::J~,;.& ЩНi.Щ·tН•Н:; ~" ;1'}'),1
•
П58391
17


2.3 . Последовательный тест отношения
плотностей вероятностей
Тест, рассмотренный в предыдущем ,параграфе, основан
на сравнении отношения p·(YIHo)/p(Y/H1) с некоторой заранее
определенной постоянной С. Решение принимает,ся ,после тог,о, .как
становятся известными ·все М наблюдаемых из множества У. Но
если М достаточно велико, чтобы гарантиронать надежное реше­
ние почти для каждого случая, то, по-видимому, иногда 1прав•иль­
ное решение станоВ'ит.ся очевидным задолго до того, как станут
из-вестны ,все М наблюдаемых . Например, пу,сть У(п) будет мно­
жеством, состоящим из первых п наблюдаемых, ,и предположим,
что отношение р(У(п)] На)/р(У'(п) 1Н1) значительно больше (или
знач•ительно меньше), чем констант.а решения С для некаторого
п<,М. В этом случае предста·вляется разумным и безо1Пас,ным при-
1-шть (или отвергнуть) .нулевую гипотезу даже тогда, когда для
вынесен•ия реше.ния используются меньше, чем М наблюдаемых.
Допуская та1кую :гиб,ко,сть, .най,дем, что ,математическое ,ожида•ние
числа наблюдений, необходимых для решения, может быть значи­
тельно уменьшено без увеличения вероятности вынесения непра­
•1:Jильного решения.
Последовательный тест отношения плотностей вероятностей
строится так, чтобы решение пр'Инималось в тот момент, когда это
впервые можно сделать с достаточной гарантией его верности.
Процедура ,состоит в следующем. Пусть У(т) обозначает мнтке­
ство наблюдаемых {у1, У2, . . ., Ут}. Для каждого т определяет.ся
отношение
'),,(m)=р(У(т) 1Но) .
р(У(т)1Н1)
(2.8)
Если л(т) больше, чем •некоторое пороговое значение А, то
тест за:вершается принятием гипотезы Н0 . Если л(т) меньше , чем
второе пороговое значение В, то Н0 отвергается. Наконец, если
B</1)(,n) <А, то проводятся дополнительные наблюдения, вычис­
ляется и .снова с-равнивается с А и В отношение л(т+ 1). Таким
образом, тест заканчивается при наименьшем значении m=M, для
которого л(М) ~А, или л-(М) ~В. Множества наблюдаемых У(т)
в среднем могут быть, ,по-:видимому, меньшими, чем те, которые
необхощимы для теста ,с фиксиро·ванным объемом выборок . Теперь,
однако, число н,аблюдаемых, использованных в данном тесте , яв­
ляется случайной величиной.
Ясно, что ,вероятности •а и ~ - функции пороговых значений А
и В. Чтобы найти ·вид этой зависимости, пред~положим сначала,
что тест закончился принятием г,ипотезы На. Пусть У(М) =
= {у1, У2, ..., ум} 1пр~дста1вляет собой не,которое 1час111юе множест­
во, удовлетворяющее всем неравенствам B<!'.(m)<A, 'm=I,
18


2.... , М-1, ). (М)~А , и пусть Rм обозначает пространст во таких
~ 11-южеств У(М). Тогда 1)
00
1-а= ~ Sp(Y(M) jH0)dY(M) >
M=l RM
(2.9)
Ан алогич,-ю обозначая через Sм пространство М,Ножеств У(М),
приводящих после М наблюдений к отказу от гипотезы Н0 , лалу­
чаем
00
а=~ Sp(Y(M)IH0)dY(M)~
M= lSм
00
~В~ .\р(У(М)jH1)dY(М) = B(I -
~).
(2.1 О)
M=lSм
Так,им образом, А~ (1-,a)/r, и В~а/(1-в) .
Здес ь испоJiьзуются знаки неравенств из-за того, что отноше­
ние 'Л,(т) может ;превысить А или ,быть меньше, чем В, в момент
принятия или отказа от гипотезы. Но если наблюдаемые таковы,
что л(т) не меняется быст.ро ,с изменением т, то, так ,как
В <л (М-1) <А, от.ношение л(М) не может сильно отличаться от
А или В. Оч евидно, при замене В на aJ,(1-B) и А на (1-а)/В
длина теста может увеличиться . Тем не менее [IрИ толыю что опи­
санных условиях это увеличение будет незначительным. Замена В
на a/ (1--r,) и А на (1-a)/r, изменит также ,вер,оят,ност-и ошибО1к .
Однако, обозначая через а1 и в 1 действ,ительные вероятности оши­
бок первого и второго рода соответ,с'Гвенно, когда А и В аппрок­
симируются таким образом, из ра·венств (2.9) 1и (2.10) находим,
что (1-a 1 )/r, 1
~A= (l----,a)/r, и a1 /(1-r,') ~B=a/1('1-r,). Следова­
тельно, r,'~r,'/ (l-a1 )~r,/,(l-a), a1 ~a1 /(l-r, 1 )~a/(:1-r,) и
a1 +r,'~a+r,.
Так как а н f:\ в общем случае очень ,малы, возможное увели­
чение вероятностей ошибок из--за .использования· этих аппрокси­
маций для А и В незначительно. В некоторых •случаях предста·в­
ляет интерес лослед,о,вательный тест с F,-+<0. При этом r,'-+O и
а1 ~а независимо от значения а. Аналогичное утверждение спра­
ведли во и при а-+-0.
Опт.имальный тест с фикси:р-ованным объемом ·в ыбор1ки состоял
в срав нении отношения .плотностей вероятностей с ~пороговым зна­
чением, определяемым различными ,с тоимостными функциями и
1) Для про стоты здесь предполагается, что тест заканчивается с вероятно­
стыо, равной единице, для некоторого значения М . Это утверждение справед­
тrво, когда наблюдаемые статистически независимы, но его можно доказать
н при более общих ус.1овиях . ( При,11. авт.)
\9


априорными вероятностями . Вероятности ошибок а и ~. ,в с во ю
оче­
редь, та,кже определялись этим пороговым значение:м. Как отме­
чалось в начале параграфа, если ра,ссмат.рива ем,ое отношение шют­
ностей вероятностей либо значительно больше, либо значигельно
меньше, чем пороговое значение, еще до того, как собра.ны все на­
блюдаемые, то ,представляется довольно безо:пасным оборвать
тест в этой точке. Затем были определены два пороговых значе­
ния А и В и бы .IIо разрешено закончить тест, когда от,ношение
плотностей вероятностей достигнет одного из ю1х . Вероятности
ошибок а и ~ вновь могли быть выражены через пороговые зна­
чения. Однако в этом .рас.суждении не р,ассматривался 'Вопрос о
стоимостях. Пр:и ,использовании ~последовательного те-ста появля­
ется ,н,о,вая ,стоимость, ,кото1рая 1не учитывалась тестом -с фиксир,о­
ванным объемом, а именно, .с тоимость продолжения :на,блюден ия.
В тесте ,с фш<,сированным объемом выборки ,стоимость наб людения
не зависела от принятого решения. Здесь же, так как длина тест,а
зависит •от вероятн·о·стей ,различ.ных решений, стошvюсть ,наблюде­
ния является функцией .сам ого теста . ·Математическое ожидание
стоимости последовательного теста можно з_аписать в виде (ер. с
ра'венством .(2 .3)]
Е (стоимость)=[~ С01 + (1 -
~) С11] Р (Н3) + [rx С10 + (1-а.) С00] Р(/-10)+
+ С0Е(МIН0)Р(Н0) + С0Е(МIН1)Р(Н1),
(2.11)
где Со-стоимость наблюдения, а Е(М<IНо) и Е(МIН1) -усло'В­
ные математические ожидания длины теста при условии, что вер ­
ными гипотезами были Н0 и Н 1 ,соответстве.нно. Можно показать,
что независимо от конкретных значений этих стоимостных коэф фи­
циентов (в пре дположени·и, конечно, что 1в,се величины Со, Со1~С11
и С 10 -С00 положительны) ,существует последовательный тест от­
ношения плотностей вероятностей, который мюшмизирует мат е ма­
тическое ожидание сто.имости решения . Более того, использу я этот
фа1<т, можно д,оказать, что среди всех тестов, приводящих к неко ­
торому заданному множеству вероятностей а ,и р, математическое
ожидание числа наблюдаемых М, необходимых для решения при
люб ой гипотезе, минимизируется 1при использовании ,последо'Ва­
тельного теста отношения плотностей ·вероятностей . Эти доказа­
телыства, однако, довольно длинны, ,и ·подроб1-10сN1 читатель мо­
жет найти в л.итературе .
Эффективность лоследователыюго тест-а отношения плотн остей
вероятностей ,в •сравнении с другими тестами , имеющими те же
самые вероят.1юсти ошибочных решений, может быть измер ена с
помощью .математического ожидания числа М .на.блюдений , тре­
буемых для выполнения теста. Вывод общего выражения для это­
го параметра не представляет,ся возможным, однако оно может
быть найдено в важном частном случае, когда наблюдаемые Yi яв­
ляются одш-rаково распределенными, статистически независи­
мыми случайными :величинами .и когда можно пренебречь «пере­
скоками границ» ,[л(М)-А, когда принимается Но ,и В-л,(М) , коr-
20


а она отвергается ]. В частности, можно ,показать 1), что если
- i~ log{po(y;)/p1(Yi) ], где PJ(Yi) ~ p(yi / H.i), и еслиЕ(z/Н0) л
~ E(z;/H0 )=;i=O, то
E(M I Ho) = (1-a) logA+alogB =
Е (z IН0)
(1-а) log(~-~) + а log( ~)
E(zlH0 )
Подобно этому, если E(z / H 1)=i=O, то
1-а
а
~ log --+ (!-~) log --
E (М /f-!i) = ----'-
~------
! --'-~-
Е(z /Н1)
(2. 12)
(2.1 3)
Часто полез.но иметь возможность описывать тест более полно,
чем с помощью только математического ожид,ания числа н а бл ю­
д аемых, необходимых для решения . Можно ~показать, что , нап ри ­
мер, при определенных у,словиях распределение величины М яв­
ляется приближенно гауссовсклм . В любом случае ,распределен ие
М может быть, по крайней мере, частично охарактер,изова.н о дву­
мя параметрами: его математическим ожиданием и дисп ерсие й.
Выражения для ди•сперсий М имеют вид:
var(МIНо)= Е(МIНо)var(zIН0) _ а(1- а)(IogА- JogВ)2+
E2(z\Ho)
E2(zlH0)
+ ~~ 1о:-:=_а; 10~ ~z~~:~ в [Е (М IН0)- Е (М / ff1)l;
(2.1 4)
(2.1 5)
Наконец, приведем без доказатель,ства следующий ре зульта т.
Если ,нижний порог В .принимается ра·вным нулю (а верх ний по­
рог А является конечным) и если незав111симые ,случайные ·вели­
чины zi .нормально распределены с математическим ожидан.и ем
E(z)=~L и дисперс•ией var(z)=a2, то .ра,определение ч•исла набл ю­
даемых, необходимых для завершения теста при условии, что он
за1вершается, является п·р.иближенно гау.ссовским . Среднее и дис­
персия этого распределения задают,ся равенствами (2.12)-(2.15)
соответственно. Это приближение становится ш,се более точ ным с
ростом (р./ а2 ) log А. Аналогичное утверждение аправедливо, когда
В конечно, а А = оо. Заметим, что когда В=О, то а=О и в вы ра-
1) Так как результаты, представляющие для нас интерес, зависят от отнош е ­
ний логарифмов, то логарифмы могут быть взяты по любому удобному осно ва­
нию, и это никак не отразится на выводах. Однако в дальнейшем всегда , бу­
дет подразумеваться натуральное основание е, если не оговорено иное. ( При,11.
авт.)
21


:жепли для var(MIHo) в ра,ве~н,ст.ве :(2.14) остается только 1пер,вый
член. Анало~гично, ,когда А= оо, то В =0 и 1вт•о,рой и 11ретий члены
в выраже,нии для var(M I Н1) исчезают.
2.4. Проверка сложных гипотез
Наблюдаемые, исследов,анные ра,нее, по предположению
удовлетворяли од,ному из двух условий: либо гипотеза Н0 была
веgной и наблюдаемые описывались плотностью 'рас·пределения
р( YI Но), либо гипотеза Н1 была вер.пой и наблюдаемые описыва­
лись :плотностью распределения р ( У I Н 1 ). Каждая из двух гипотез
.соответствовала одному единствен.ному ,состоянию наблюдаемых;
обе они были простыми гипотезам,и . Часто, однако, источ.пик наб­
людаемого явления может ,находить,ся 'В одном из нескольких воз­
можных состояний; наблюдаемые, относящиеся к ,состоянию ,0,
распределены в ,соответств.ии с плотностью вероятности p(Yle).
В таком случае иногда достаточно разделить множест,во возмож­
ных состояний на два непересекающихся подмножества и опреде­
лить лишь то подмножество, к которому принадлежит данное со­
стояние И•сточника. Нулевая гипотеза Н0 .состоит в том, что ,со­
стоян,ие источника О является элементом из .подмножества Q 0, в то
время как альтернативная г.ипотеза Н 1 состоит в том, что 0 при­
надлежит подмножеству Q1, причем Q 0 +Q 1 содержит ·все множе­
ство возможных состояний. Каждая из этих r,rшотез называется
сложной гипотезой, есл-и ,соответствующее 1подмножес11во содержит
более чем одно значение ,параметра, обозначающего состояние.
Задача проверки двух ,сложных гипотез возникает в целом ря­
де ситуа:ций . Можно, например, интересоваться только тем, попа­
дет или нет 0 в некоторое mодмножество, а не тем, что ·0 примет
какое-то частное значение, или 0 может быть вектором 0= (Ф1, Ф2, ... ),
т-де ,па,рамет,ром, !Пр-едста,вляющим интерес, я.вляется толь.ко Ф1.
Если Ф 1 может принимать только два значения, то, _ очевид:~:ю, лро­
вер.ка является проверкой двух гипотез, но из-з,а наличия других
неиз,вестных пара:метров обе гипотезы являются ,сложными .
В любом случае мы должны заново раосмотреть как тест с
фю~сироваш-1ым объемом выборки, так и :последо•вательный тест
для того, чтобы понять, как ,они изменяются, когда гипотезы ста­
новятся сложными .
Провер1<а ,сложных гипотез п.ри фик•с'Ирован-
11 ом объеме вы б о •р к и. Пусть Со,(0) и С1 (0) стоимости, от­
носящиеся к гипотезам Н0 и Н 1 ,соответ-ственно при условии, что
источник наход;:пся в состоянии ;0, и пусть л (0) - апр1иорная ,плот­
ность распределения вероятности параметра 0, описывающего со­
стояние. Пу,сть далее ,R0 обозначает область :принятия гипотезы
НO и Р (0) - ,вероятн,ость ,принять НO ~при за~ан,ном состоя,нии G,
т. е.
Р(е)= \р(У10)dY~f1- а(8),
°R.
)~ (0),
22


Тогда м,атематическое ожидание стоимости .реше.ния
Е(стоимость)= .\ л:(0)[С0(0)(1- а(0)) +С1(0)а(0)]d0+
0€'2.
+ 5 '1:(0)[С0 (0)~(0) + С1 (0)(1 - ~(0))Jd0 = К+
0€2,
+ Sл:(0)(С1(0)- С0(0))а(0) d0+
6€'1о
+ Sп(0)(С0(0) - С1(0))~(0)d0.
0821
(2.16)
Здесь К - постоянная, не зависящая
делим лоwо(Н) ~ (С1 (0)-Co(i0) )л( 10)
- С1;(0))л(0), где
от пра-вила решения . Опре-
и
1чW1(0) ~ (Со(0)-
sWo(0)d0= sW1(0)d0= 1.
0€20
0€2,
Теперь, если ло и 1, 1 положительны (это аналог условий С01 >С1 1 и
С1о> С00 в § 2.2), то оптимальное пра1вило решения состоит в rвы­
боре такой области принятия гиmотезы, которая м,инимизирует ве­
личину
sW1(0)~(0)d0+лJWo(0)а(0)d0,
(2.17)
еео,
0€'2о
где л= .л0/л 1. Опре1делим теле1рь Н'0 ,и Н' 1 ·та.к, что1бы
р(У\Н~)= 5р(У10)w0 (0)d0;
еео.
Р(У\Н;) = 5p(Y \ 0)w1 (0)d0.
еео,
(2 .18)
(2.19)
Бели бы ,R0 была областью 1пр·и,нятия (и Ro - областью отвер- .
жен.ия) как простой гипотезы Н'0, так и сложной гипотезы Но, то
а~ Sp(Y\,H~)dY= S 5 p(Yl0)w0 (0)d0dY = Jw0 (0)a(0)d0;
я..
Ro AeQ.
ее о.
(2.20)
~~ 5P(YIH;)dY = 5 w1 (0)~(0)d0.
R.
еео,
(2.21)
Область Ro, которая минимиз•ирует величину ~+ла, определя­
ется (в соответствии с обсуждавшимся ранее критерием Нейм а­
на-Пирсона), неравенством
р(УIH~)IP(УIн;)< 1/л.
(2.22)
23


Таким образом, область принятия гипотезы Н0 , определенная
соотношением (2.22), также минимизирует математическое ожи­
дание стоимости решения :при сложной гипотезе {см. ф-JIY (2: 17) ].
Если
где .Со и С1 по.тюж ительные ло,стоя1-шые, то этот тест приводит к
при ня тию Н0 только тогда, когда
_\ р(У10)л(0)d0
_ e-'e'--Q-" --•-- --
-->ь_
S
-
Со•
р(У10):n:(0)d0
(2 .23)
0€Qi
Иногда это т тест называется тестом среднего максилильного
правдоподобия .
Если функции С; (8) -или априор .ная плотность вероя11ности л1( 18),
ил и и то и другое неизвестны, то функции w; (;8) не определены.
Т ем не ,менее они часто могут быть определены .разумным способом
с помощью некоторого другого критерия . Взвешенная средняя ве -
роятность ошибки .\ a(8)wd(18) •d18+ J И8)w1(8)d8 по-прежнему
ее2 0
еео,
остается миниl\,rалыrой для теста (2.22) ,неза1висимо Ьт критерия, с
по м о щью которого определяются весовые функции. Один из воз ­
мо жных способов выбора весовых фун,кций :при отсут,ствии доста­
точной априорной информации или информации о ,стоимости со­
стоит в том, что лолагают wd(8) =0(8-8') .и w1(8) = 10(8-1811 ), где
о(х) - дельта-функция Дираыа; ,0' принадлежит ,Q0 , а 811 ттринад­
лежит Q 1. В .некоторых важных случаях область принятия гипоте­
з ы , о пределенная -неравенством (2.22), ,с выбран1ными таким об­
ра зом функциями w0 (8) и w1 (8) может быть ,сделана независимой
как от Н', так и от 1811 для некоторого ,л..= л(0', 811 ) . Получающийся
в резу льтате тест, который называется равномерно наиболее л~ощ­
ным те стом ,с уровнем значимосrи а(8), является осЬ,беюrо привле­
ка т ель.ным в этом случае, по крайней мере, е.сли aa=max а(0) 1и
ес:;2 0
f)o =max f) 1(0) достаточно малы . _Термин «ра,вномерно .наиболее
ес:;2 1
мощный тест» означает, что для любых 0а 1щ Qo и 01 .из QI среди
вс ех тестов .с уровнем значимости а(Во) этот тест имеет мак,си­
ма л ьну ю мощность l-f)(01) .
Могут быть определены также другие ра~умные тесты, отлич ­
ные от теста (2.22). Один •из них, тест :по ма~симуму правдоподо­
бия, состоит в определении максимума ллотно,стей р1 (У\ 0). Если
этот максимум достигается для ·8E,Q0, то принимается гипотеза Но;
24


в ,противном случае Н0 отвергается 1) . Тот же ,самый тест
общей форме мог бы состоять в сравнении отношения
тах'р (У 18)
0€Q.·
maxр(УJ8)
0€Q,
в более
• (2.24)
с ,пороговым значением С •И принятии Н0 тогда и только т,огда,
когда пороговое зна1чение 'Превышено.
Последовательные те,сты для ,сложных .гипо­
те з. Как только что было указ1ано, области принятия гипотез при
рассмотрении ,сложных гипотез Н0 и Н 1 часто могут быть опреде­
лены тестом отношения ,плотностей вероятностей . Если можно за­
дать разум.ный тест таког,о вида, то следующий: очевидный шаг
должен состоять в 1ис,следовании последовательной :процедуры ре­
шения. Однако, если отношение плотностей определено ,с помощью
взвешенного ,среднего значения функций p(Yl0), как в ф-дах , (2 . 18)
и (2.19), то последовательные наблюдаемые у; часто не будут не­
за1ви~симыми 1п,ри любой .из этих ли1потез. То есть даже1п~ри p!(Yl .0) =
= П р-(у; 10) 1величи1на ·
•
i
в общем ,случае ие равна П Jp(y;J 0)wv (,0)d0 как для v=O, так
L 8(SQV
и для v = 1. Те:,1 не менее в рассуждениях, приводящих к ф-лам
(2.9) и (2.1 ,0), использовалось предположение о незаrВисимости
наблюдаемых у; только для доказательства того, что тест ·в конце
концов заканчивается . Это свойство можнQ доказать и при значи­
тельно более общих условиях. При условии, что о.но имеет место,
соотношения (2.9) и (2.10) справедливы также в случае тестов
для сложных гипотез. Если верхний порог А равен (1-а),/~, а .ниж­
ний порог В равен а/(1 - ~), то равенства (2.20), (2.21) также бу­
дут удовле11ворят:ься для по·следовательного теста. Здесь примени­
мы те же замечания, касающиеся выбора весовых функций, что и
в случае те.ста с фиксированным объемом выбор,ки.
При выводе выр ,аже11ий (,см. § 2.3) для среднего и дисперсии
числа наблюдаемых, .необходимых для решения при использовании
последовательного те.ста, довольно существенно используется !Пред­
положение о независимости на,блюдаемых . В общем случае, ,при
отсут,ствии .независимости, т,рудно получить сравнимые результаты.
Однако наблюдаемые Yi остаются независимыми для некоторых
специальных классо1в весовых функций, таких, как wv (0) =
= ,б (:0_.fЭv). В более общем случае, если 0 является вектором
0= (01, Ф1, Фz, ... , Ф1~), если
1 ) Заметим, что это определение теста по максимуму правдоподобия экви­
валентно приведенному в § 2.2 для случая, когда Но и Н1 были простые гипо­
тезы . (Прим. авт.)
25


w.., (6) = 6(0- 0,,)f1(Ф1)f2(Ф2)...fk(Ф,.) и Р(У\6) = ПР(У;1е. Фi), то
Sр(У\ 6)w)6)d6 = s... SП Р(У; 10v, Фi)f; (Ф;)dФ1.. . dФk =
i
= пs P(Yi 10v, Фi)fi (Фi)dФi =ПР (Yi 10..,)
l
i
и ,наблюдаемые статиегичесюr независимы. Тест эквива.rrентен раз­
личению двух простых гипотез.
Вероятность Р(0) т,ого, что ,последовательный тест отношен,ия
плот,ностей вероятностей заканчивается принятием ,нулевой гипо­
тезЬr Но, когда источник находи11ся в состоянии 0 в предположе­
нии, что наблюд.аемые независимы и одинаково распределе.1-rы,
равн а
I-в'1<е>
Р(0)= -
---
(2 25)
Ah<0>_ вh(0> ,
•
где h,' (0) - единственн ое ненулевое ,решен ие ур а1виения
Ф(h,)= Е(ehzl 0) = 1 (z= loge.f!.o___V!_)_) ·
Р1 (у)
Матеиати ч еское ожидание числа наблюдаемых, ,необходимых для
решения при этих же условиях, рашно
Е(МI0)= Р(0)JogА+(1- Р(0))!ogв .
Е(z10)
(2.26)
Заметим, что если 0о 1предполагает,ся состоянием, ,соответству­
ющю1 .нулевой гипотезе, то li (0 0 ) = -1 является р еше н ием уравне­
ния Ф (,h) = ,1 и вследствие того, что это уравнение имеет только
одно ,ненулевое решение, имеем Р(100 ) =A(I-B)/(A-B) = •1-а.
Если 01 является ,состоянием, соответствующим альтернативной ги­
,потезе, то h(0 ,)=l и Р(0 1 )=(1-В)/(А-В) = ~. Так ка,к A>l и
В< 1, то, если а и ~ .будут положительными, вероя11ность Р( ,0) яв­
ляется монотонно убывающей функцией 1h (0). Таким образом, если
неравенство h(0) ~ 1/1(0 1) = 1 удо,влетворяется для всех 0 из Q,, то
мак,симум вероятности принятия гипотезы Н0 будет равен ~ и бу­
дет иметь место, когда 0 1 является в действительности набшодае­
мым состояние:w. Подобно этому, если h(.O) <-1, т,о ,нулевая гипо­
теза будет принята ,с вероятностью большей, чем 1 -а.
2.5. Поиск
В .предыдущих параграфах задача состояла в том, что­
бы определить, к какому из двух возможных подмножеств Q 0 или
Q 1 nри,надлежю состояние .О. Предположим, однако, что требует,ся
большая информация относительно 0; в ча,стности, предположим,
ч то множество состояний Q разбит,о на N подмножеств ,щ, w2, ... , WN
и что задача -состоит 1в там, чтобы определить ·подмножество Wi,
26


з а илучшим образом характеризующее состояние источника !0. Ес-­
.1 и N>2, то тест называется проверкой многих гипотез. Если ш ,
п редставляет собой только одно возможное состояние 0, то соот ­
в етствующая гипотеза Hi - простая; в противном случае она яв­
.1яется сложной . В любом случае проверка многих гипотез может
ок азаться ·в вычи,слительном отношении значит~ль.но более слож­
н ой ,по с-равнению с проверкой двух гипотез . В действительности
практические .соображения могут исключить возможность прове­
дения такого теста. Если это так, то може"F возникнуть .необходи ­
мость, 1во -лершых, сгруппировать гипотезы uJi в два 1Подмножества ,.
скаже.м, Q1 и Q 1, причем ,Q1 + rQ1 содержит объединение подмно­
жеств ,щ. ,В этом случае тест будет ,состоять в выборе множества
наблюдаемых У 1 и решении, следует ли .принять нулевую гипоте ­
зу Н. 1 (~принадлежит подмножеству Q 1) или альтер.нативную ги.­
потезу Н 1 . ( 10 принадлежит ,Q .1) . Такое решение уменьшает число
конкурирующих гипотез, оставляя гипотезы, принадлежащие либо,
подмножеству Q1, либо ,подмножеству ,Q 1. Если затем разделить
эт,и остающиеся гипотезы на два новых подмножества Q2 и ,Q2•
представляющих две гипотезы Н2 и Н2, то второй тест ,по проверке­
двух гипотез, основа,нный на ислользо:вании множества наблюдае­
мых У2, ,снов,а уменьшает число рассматриваемых гипотез. Если
продолжить эту процедуру, выбирая надлежащим образом после­
довательные гипотезы Н1 , Н2, Н3, ... , то, в конце концов, останется.
только одна •из конкурировавших гипотез. Будем называть этот
процесс :еведен•ия проверки многих гипотез к последовательности~
проверок д!ВУХ ги~потез поиском.
Целью поиска является уменьшение сложности проверки мно,
гих гипотез, возможно, за счет увеличения •времени, необходимого,
для ре ш ения. Хотя ,конечная цель состоит ,в у,казании определен.­
,ного п одмножества ,ffii сос т о я ний .исто чника, эта цель будет дос'I'И ·
гаться с помощью получения ответов на :последовательно,с1ь более
·простых, как мы надеемся, вопросов . Этот подход является типич ­
ным, .например, когда ,состоянием источника является его ~положе ­
ние в простра,нстве или во ,времени. Ча,сто более эффективной про ­
цедурой является такая, когда не спра ш ивают: «Где он находит­
ся?», а «Находится ли о н здесь?» .
Бели желательно существенно уменьшить ,сложность вычисле ­
ний с помощью процедуры ,поиска, то гипотезы Hi .и Hi должны
быть такими, чтобы возюшающие ·в результате тесты были на­
много проще, чем первоначальная проверка многих гипотез. Так
как Hi и Hi по ,всей вероятности будут ,сложными, если ислоль.зует -­
ся только что опи,санная процедура, то ча,сто на практике необхо ­
димы дальнейшие у1Прощения. По етой прич1ине здесь и в следую ,
щем параграфе рассмотрены лишь такие ситуации , в ,которых ,каж­
дое подмножество uJi характеризует одно един,ственное с остояние·
источника ik На j - м шаге поиска будет проверяться гипотеза Hj :
0 = 0i (с i = j mo мо;:~:улю N) IПО отношению к 1некото~рой, альтерн а-
27


тивно й (:п~ред1положитель,но ,п,ростой) 1г.и1потез,е Hj (будем ,называть
эт.о 1п,ровер1кой состояния 0i). Пров-ер ка за,кан~чн,вается то.nда, 1югда
вынос·ится ,реше,н,ие, что не11юто,рое состояние я,вля•ется .верным. Бу­
дем также ра·соматр.и1вать ра:зновид'ность эт,ой ,сгратег.ии, ,в !Кот,о,рой
поиск прекращается после того, как все N со.стояний проверены
по одно~1 у разу. Если к этому моменту ,ни одно состояние :Не было
объя вле но верным, то может быть использован некоторый другой
критерий решения; например, может быть выбрано состояние, со­
ответствующее наибольшему значению отношения ,правдоподобия.
Друг,и е ,разновидности нстречаются в з,адачах в ,конце этой Г.'Iавы
и в последующих главах .
Внач але определим вероят,ность того, что поиск я,вляется у.с­
пешн ым в ,случае, когда раз·решается :продолжать его бесконечно и
ког да на каждом этапе поиска вероятность а неправильного отвер­
жения не за,висит от состояния истQIЧник,а, а вероятность непра­
вилы-юго пр,инятия ее не зависит от •состояния, которое проверяет­
ся. (Эти ограничения впоследствии будут ослаблены.) Пусть
Р (μ ) = 1/N обозначает априорную вероятность того, что источник
находится в •~t-м ,с остоянии. Тогда вер,о ятность того, что состояние
источ.~-шка определено правильно,
N-1 а:,
Ре==~ ~Р(~t) (1 -
~/ (N-1)+μ aj (1 - а)=
μ=О i=O
(1- а)[J-(1- ~)N]
N~[1- а(1-
~)N-l]
(2.27)
Этот результат приводит к у:прощенной формуле, которая бу­
де т полез на в дальнейшем. А именно, если вероятность ошибки
ма ла, то должно ,выполняться неравенство
N~~1-а (Ре«1).
(2.28)
Дейс твительно, 11ак как Ре, очевидно, являет,ся убывающей
ф ункцией а 1и при а=О
р= 1- (1-
~)N =l_ N-1R-f-(N- 1)(N- 2)R2+
"
N~
2 1-'
5
1-'
••• ,
то !Веро ятность ошибки Ре= 1-Рс мала :110 сравнению ,с единицей,
тол ько если Nf,«1. Но если Np«l, то равенство (2.27) можно
упростить, сохранив толь-ко главные члены в разложении в степен­
ной ряд фу1-ыщий (1-~ )N ,и (l-р)н- 1 . В результате получаем со­
от ношен ие
(для Ре« l ),
(2.29)
нера .венство (2.28) ·верно для в.сех Pe«1l .
Для дальнейшего заметим, что приближение (2.29) остается
справедливым для любого значения Pe<l, если а-+1 . Действи­
тельн о, из равен,ства •, (2.27) следует, rчто выражение (1-f,)N-l
должно сгремить,ся к единице при а-+1, если вероятность Ре не
стремится к нулю. Т,аким образом, снова N~ « 1, ,и это предполо-
28


жение являет,ся единс11венным, .необходимым для справедливости
приближения (2.29) .
Вероятность того, что будут проверены v = jN + 1i + 1 состояний
,:i_o 1пр 1инятия окончательного решения, равна
N-1
Pr(v= jN+i+ 1)=ЕPr(v= jN+i+ 11р,)Р(μ)=
μ=О
=-
1 (l- ~/<N-1>ai f(l- ~)i(l-a)+
N
,
+ia~(l-
~ )i- 1 + (N-i-1)~(1- ~)i J,
где
(1-
~i<N-l)+iai(1- а), i=μ;
Pr(v...: ._jN+i+ ljμ) = (l- ~i<N-l)+i-la1+1~,
i>μ ;
~(}_
~ )i(N-l)+i а/~'
i<μ.
(2.30)
Следо вательно, математическое ожидание числа проверенных
сост ояни й
оо
N-1 оо
E(v) = ~vPr(v) = ,~ ~
~(jN +i + l)Pr(v • jN +i + 1). (2.31)
v=O
i=O j=O
Хотя'· эта сумма легко вычисляется , получающееся ·в результате
в ыр ажен ие довольно неудобно для дальнейшего использования.
Од,нако если Ре « 1, то согласно (2.28) имеем: N~« 1-а , и лолу­
чаетсл :полезная приближешrая формула
Е(v)~Nа/(1 - а)+(N+1)/2.
(2 .32)
Пр и этом же условии , (Ре« 1) находим, что
var(v) ~Noа/(1-- а)2+(No-1)/12.
(2 .33)
Пред ыдущие выражения были получены в предположении, что
пои ск мо жет продолжа,ться бесконечно. Если поиск заканчивается
пос ле нс-следования N-го состояния, как указывалось ранее, то ма­
тем атическое ·ожидание числа состояний, которые должны быть
про верен ы,
N-1
Е(,,)= ~ ~(i + l)Pr(v=i+ l)+Na(l-~ )N- I
(2.34)
i=O
{ер. ,с ра венством (2.31)]. Если N~ мало, то прИ1ближенно
E(v) ~ (N + 1)/2 + (N- l)a/2.
Веро ят,ность ошибки
N-1
Ре=1-+
~(1- ~)i (1-а) =
i=O
1-(1-~ ),v
N-1
= 1-(1 -а)
N~
~а+-2 -~ ,
(2.35)
(2.36)
29


где отказ от приня'!'ИЯ оконч,ательного решения после лро,верки
всех N состояний также от.несен к ошибкам.
Если а .и f3 зависят от ра,ссмат.риваемых состояний, то получен­
ные выше результаты все же остаются ,полезными при отыскании
границ для параметров :поиска. Приближенные выражения для
среднего и дисперсии числа проверенных ,состОЯН,ИЙ i[равенства
(2.32) и (2.33)] являются монотон.но возрастающими функциями а,
вероятность ошибки ( ф-ла (2 .27)) - возра,стающей функцией как
а, так и (3. Так:ам образом, верхнюю и нижнюю границы для этих
,величин легко установить, используя верхнюю ,и нижнюю границы
дляаи(3.
Если на каждом этапе поиска проводят,ся тесты с фиксирован ­
ными объемами выборок и для выполнения каждого теста необх,о ­
димы М н:аблюдаемых, то общее число Мт на,блюдаемых, требуе­
мых для поис-ка, точно равно ·математическому ожиданию числа
тестов E(v), умноженному на М . ~Как Мт, так 1и Ре-вероятность
уопешн·о1го зав-ершения !По:иска-фу~нюци,и а ,и (3. По-1видимому, эти
пара.метры могут быть согласованы так, чтобы минимизировать
Мт при условии, что вероятность Ре ограничен,а. Это может быть
сделано, ,однако (в случае, если заданы стат,истики теста), только
тогда, когда известно соотношение, ,связывающее М с а и (3. Поэто­
му дальней шее обсуждение этой ,стороны проблемы отложим до
рассмотрения более конкретных задач (,см. гл. 6). Случай, когда
на I<Jаждом этапе проводятся :последовательные тесты, изучается
более подробно ,в следующем параграфе .
Прежде чем закончить параграф, у:помянем две .разновидности
приведенных выше стратегий поиска, которые не только ,интере,с­
;ны сами по себе, но также указывают на некоторые недостатки,
свойственные подходу с фиксированным объемом выборки. Пер­
вая ,разновидность ·состоит в ,разбиении поиска на два (,или более)
этапа. На первом эта1Пе лроизводит,ся относительно быстрый
поиск; скорость достигается за ,счет довольно большого значения
вероятности ошибочного ,принятия f3 .по еравнению с той, которую
хотелось бы получить в конце концов. После того как условно ото­
браны одно ил.и большее число состояний, переходят ко ,второму
этапу, когда каждое принятое ,состояние проверяется в течение
несколько 6олее длинного периода времени, чем тот, который тре­
буется для принятия решения при первом рассмотрении . В конце
этого испытате.'!ьного периода ,каждое 'Р'ассмат.риваемое ,состоя,ние
окончательно ,принимае тся ,или отвергается. Поиск заканчивается,
когда либо одно состояние принято , либо когда в.се состояния были
отвер1r1нуты. Очевидно 0'6обще1J-1ие Э1'ОЙ ~процедуры на случай , ,1юг ­
да поиск осуществляется более чем в два этапа.
Преимущество этого ;подхода легко в1идеть . Предположим , что
лер1Вый из тестов ,включает М 1 на~блющаемых 1и Ч1'О ве.роят,ности
ошибочного от,вержения ,и ошибочного принятия при этом тесте_
соответственно равны а 1 и (3 1. Пусть М2, а2 и f32 являются соответ­
ствующими параметрами второго теста . Вероятность ошибочного
отказа для объединенного теста а= а1 + а2'( 1-а1), в то В'ремя как
30


в ероятность ошибочного принятия гипотезы ~ = ~1~2 . Математиче ­
с к ое ожидание чнсла наблюдаемых для решения, когда проверяет­
с я правильное состояние, Мс=М 1 +(1-а 1 )М2, в то время как -ма ­
те м ати ческое ожидание, необходимое при проверке любого друго­
г о с остоя,н,и,я, Ме=~М1 +~1М2 .
Та,к как 1по предположению ~1, ~2 , а 1 .и а2 являются малыми, то
о ши·бочные состояния ·могут быть отвер1гнуты с намного большей
н адежностью, чем это можно было бы сделать ,с помощью только
.1ишь первого тЕста, в то ,время как прав,ильное состояние отвер ­
гается лишь ,с немного большей вероятностью, чем ,ранее . Более
того, ес ли М2~М1, то время :проверки ошибочных состояний уве­
.1ичивается значительно по отношению ко времени проверки пра ­
нил ыюг,о со.сто'Яния . КО1Гда общее число состояний ,вел.ико (и .имеет­
ся тольк о одно правильное состояние), этот метод дает значитель­
н ы е преимущества.
П реимущество, ,связанное с увеличением относительного ,време­
н и про верки правильного ,состояния, реализуется также в другой
.м од и фикации поиска с фиксированным объемом выборки. Здесь
также имеется два этапа 'Работы . На .первом этапе каждое сос11оя­
ние оп ять проверяется в течение относ.ительно короткого проме­
жутка времени, .но при этом никакое решение не выносится . Вме,с­
то этог о запи.сывается отношение :правдоподобия . На втором этапе .
с ос тоя ния исследуются в порядке убывающих значений их отно­
шен и й правдопо,:~,обия, и решение о принят-ии или отвержении каж­
дого с остояния проводится так, как в случае, когда процесс поиска
не разбит .на этапы. Таким образом, сначала проверяются наибо­
лее ве роятные состояния, поэтому время ~проверки ошибочных со­
стон.ний, по всей веронтности, будет уменьшено.
Н аиболее серьезным недостатком методов поиска с фююиро­
ва нным объемом выборки является неэффективное использование
и ме ю щейся в распоряжении информации . В начале :nоиска, когда
не которое число ,состояний уже отверnнуто, эффективные априор­
н ые в ероятности оставшихся состояний у1величиваются. По·рог, со­
о тв е тствующий принятию гипотезы, должен бы поэтому соответ ­
с тв ен но уменьшиться. Учет этого факта, однако, привел бы к уст­
r, а11снию перво1 1 ачi:1льного 111реимущества этой процедуры поиска, а
1в,rсшю, ее простоты. Неэффективность еще больше возрастает,
е сли до ,приннтнн решения ,некоторые со.стоя.ния проверяются более
че м од:ин раз. Для выяснения в J-й раз, нужно ли принять или от­
в ергнуть -состояние, используется отношение .плотностей вероятно­
с тей вида p0 (Y,,;) / p1 ( Yvi), где Yv; означает i-e множество наблю•
,:~, аемых, относящихся к v-му этапу. Это ,вся информация, вообщ е
ис пользуемая ,на каждом этапе. Заметим , однако , что после i не­
завис имых наблюдений отношение плотностей вероятностей
i
П '[ро( Yvi) ]/;[р 1 ( Yvi)] являет,ся намного лучшей мерой того, наблю­
i=I
дается ли v-e состоя.ние или нет. Так как каждый из сомножителей
этого 'произведения ,должен !был ·быть -оmределен .ра~нее, то особепно
31


неэффектив,но использование только одного из них для принятия
решения. Нее это приводит к мысли о-6 использовании какого -л ибо
последовательного теста.
2.6. Последовательный поиск
Многие из трудностей , связанных с ,поиском 1при фикси­
•рованном объеме выборки, могут быть у,странены, если для каж­
дого исследуемого ,состояния можно осуществить последователь­
ный тест. Во-лервых, исчезают недостат,ки теста с фиксированным
объемом выборки, связанные с необходимостью ·многократных н аб­
людений каждого ,состояния . Это происходит iПотому, что ( в слу­
чае, коtГда ,можн-о :прене6речь «,пе,рескокам:и г,ра,ниц») 011но ше,ни-е
плотностей ,вероятностей p(){Yvi(Mi)]/p 1[Yvi (Mi)] в конце i-го тес та
равно постоянной В для всех тестов, кроме последнего. Та ким
образом.
где В-заданная постоянная. Так ка.к эта величина являе11ся од­
ной и той же для каждого отвергнутого состояния. то реш ен ия,
принятые во время ,i-й ,серии тестов, не будут меняться, даже если
принять ее вq внимание.
Другое преимущество последовательного ·поиска , котор ,ое может
быть существенным , основано на лотенщиальной возмож.но сти
'
устранить олерации 1Проверочного типа, часто т.ребуемые при ПQИС-
ке с фиксированным объемом ,выборки. Способность распозн ав ать
ошибочные решения для того, чтобы заново начать поиск и одно­
:временно способность минимизирова'Гь вероятно,сть перехода ,к
повторному поиску, если решение является правильным, при су щи
последовательному поиску.
Прежде чем 1по~дро6~но рассмотреть эти .во!П,росы, 01111р-едел им
сначала математическое ожидание числа наблюдаемых Мт , необ­
ходимых для завершения п оследовательного ,поиска . Вероятность
Рг(v) того, что будут mроверены v состояний до того, как будет
вынесено -ре ш ение, дается .равенством (2.30) независимо от тога,
проводится . ли последовательный тест или тест с фиксированным
объемом выборки. Если распределение на·блюдаемых _YJ:= {y/JJ}
в тесте зависит не от то.го, какое состояние i0J проверяет,ся , а от
того, является ли оно истинным состо~нием источника 1), то услов­
ные распределения Р (М IА) и Р('М IR) •,чисел наблюдаемых, необ­
ходимых для того, чтобы принять или отвергнуть некоторое кон ­
кретное состояние, не зависят от проверяемого состояния . .Мате ма -
1 ) 'Более общий случай рассмо тр ен ниже. (Прим. авт.)
32


- ;::::::~c i<oe ожидание в-еличины Мт :поэтому ,м,ожет ,быть выражено в
:z.:e
00
00
.::: .\1т) =~Pr(v)Е(МтIv) =~[Е(М\R)(v- 1)+
V=l
V=l
- Е(М /A)J Pr(v) = E(v - l)E(M /R) + Е(М \А),
(2.37)
::- .:.:: E(M/R) и Е(М/А) -математические ожидания числа наблю­
.:: ё:з:,1 й , необходимых, чтобы отвергнуть или принять проверяемое
;: ~то яние. Аналогично дисперсия числа наблюдаемых, необходи-
:~х для решения,
00
··а (Mr) = Е(М})-Е2(Мт) =IE(М}1v)Pт(v)-E2(Mr)·
V=O
Но E(MJ!v) = в(t1мiу = (v - l)E(M2 /R) +
-
Е(М2\А)+(,,-1)(v-2)Е2(М/R)+2(v - !)Е(МIR)Е(МIА),
так что
Yar(Мт)=Е(v- 1)var(МIR)+Е2(МIR)var(v- 1)+Yar(МIА).
(2.38)
Оба выражения Е (,,) и Уаг (v) были найдены в предыдущем
п араграфе. Среднее значение и ди-слер-сия числа наблюдаемых Мт,
н е обходимых для решения, являются · функциями как а, так и ~ -
Эти два параметра, однако, не являются _ независимыми, .при лю­
б ой заданной вероятности ошибки Ре они подчиняются равенству
(2.27). Иопользуя это ра.венс11во ,совместно с ф - лам1и (2.37) и (2.38),
по лучаем ·выражения для с,ред,н-ег-о з1на1чения и диоперсии величи­
н ы Мт через а (или В), вероятност,и ,ошибки Ре, ч•исла •состояний N
,1 усло,вных моментов ( ; по ,пред п , оложе,нию независимых) :случайных
зелич,ин Z; = log[po (yi)JP1 (у;) ] .
Так как получающиеся в результате общие :выражения для
Е (Мт) и var (Мт) довольно сложны, то некоторые наиболее ,важ­
н ые ча-стные ,случаи приведены в табл. 2.1 . Формулы упрощаю11ся,
ес ли использовать приближения, полученные в предыдущем пара­
гр афе fравенства (2.29), (2.32) и (2.33) ]. Случай, когда обе вели­
чи ны а и В являют,ся малыми, представляет - интерее как для срав­
н ения с другим крайним случаем (а-+ 1), так и для .по.следующего
ср авнения с методом поиска при фиксированном объеме выборки,
к оторый обычно имеет 1пра-ктическую ценность только при а-+-1 .
Так как Е(Мт) становится бесконечным при а-+0, то осмысленное
с равнение возможно только при а>О. Чтобы ра,ссмотреть этот пре­
дельный случай, мы до некоторой степени произвольно прирав­
н яем а ,к Ре/2 и В ,к Pe/(N-1). Заметим, что если а и , В О1пределены
таким образом, то справедлив,о ·равенство (2 .36) . Вероятность Ре,
с ледовательно, учитывает .событие, когда решение не ,было при-
2-281
33


с
:
.
,
o
f
>
-
,
-
У
с
л
о
в
и
я
О
б
щ
и
й
с
л
у
ч
а
й
Р
е
«
1
Р
е
«
1
Р
е
а
=
-
-
2
Р
е
~
=
N
-
1
Е
(
М
т
)
Е
(
v
-
1
)
Е
(
M
I
R
)
+
Е
(
M
J
A
)
1
(
N
-
l
)
(
l
+
a
)
l
o
g
-
а
-
2
(
1
-
а
)
μ
1
1
l
o
g
-
а
а
-
-
-
+
1
-
а
μ
о
+
(
N
-
1
1
+
а
)
l
o
g
~
-
2
-
μ
о
2
N
-
1
l
o
g
-
l
o
g
-
-
N
-
1
Р
е
+
Р
е
-
-
2
μ
1
μ
о
Т
а
б
л
и
ц
а
2
.
1
v
a
r
(
М
т
)
Е
(
v
-
1
)
v
a
r
(
M
I
R
)
+
v
a
r
(
v
-
1
)
Е
'
(
M
I
R
)
+
v
a
r
(
M
I
A
)
1
l
o
g
2
-
(
N
2
-
I
N
2
a
)
а
_
1
_
2
_
+
(
1
-
а
)
2
+
μ
f
2
(
N
-
l
)
(
l
+
a
)
а
1
+
-
х
2
(
1
-
а
)
μ
f
1
а
Б
[
(
N
-
1
1
+
а
_
а
_
_
1
]
х
l
o
g
-
-
l
o
g
-
-
-
-
J
-
l
o
g
а
3
Р
е
2
1
-
а
а
μ
о
1
а
l
o
g
2
~
1
1
)
2
-
+
-
-
(
1
-
а
)
2
(
μ
о
μ
1
(
Р
е
«
:
~
о
)
2
)
2
!
о
-
2
No
-
!
(
g
Р
е
N
-
1
а
1
l
_
!
_
+
-
-
-
-
+
-
-
-
o
g
1
2
μ
1
2
μ
f
Р
е
а
Б
N
-
1
+
-
l
o
g
-
p
-
μ
g
е
-


'
"
'
❖
:
с
,
.
,
"
'
а
-
,
.
1
,
~
-
о
Р
е
1
-
(
А
*
-
1
-
l
o
g
А
•
)
-
1
-
-
(
1
-
·
Р
е
)
Х
P
e
~
(
N
-
I
)
/
N
μ
1
μ
о
(
А
*
-
1
)
х
:
l
o
g
A
*
-
~
а
-
-
-
1
,
~
-
+
о
(
N
-
I
)
l
o
g
-
-
-
1
Р
е
«
1
N
-
I
Р
е
-
-
+
μ
1
μ
о
Р
,
«
1
,
~
=
0
1
(
н
е
п
р
е
р
ы
в
н
о
п
р
о
д
о
л
ж
а
е
~
1
ы
й
п
о
и
с
к
)
{
a
N
N
-
1
}
l
o
g
-
а
-
-
+
-
-
1
-
а
2
μ
1
a
=
P
e
«
l
,
~
=
0
1
(
н
е
п
р
е
р
ы
в
н
о
п
р
о
д
о
л
ж
а
е
м
ы
й
п
о
и
с
к
)
N
-
I
l
o
g
-
Р
е
-
-
2
μ
1
а
-
-
+
1
,
~
=
0
N
-
Р
е
«
1
μ
1
(
н
е
п
р
е
р
ы
в
н
о
п
р
о
д
о
л
ж
а
е
м
ы
й
п
о
и
с
к
)
О
б
ь
з
н
i
ч
е
н
и
я
:
μ
;
=
1
Е
(
z
l
H
;
)
I
;
А
*
=
l
i
m
(
1
-
а
)
'
=
(
N
-
1
)
(
1
-
Р
,
)
а
-
1
~
р
~
-
о
е
а
1
=
v
a
r
,
.
(
z
l
H
t
)
;
N
2
а
1
G
6
N
-
1
-
+
(
N
-
J
)
-
+
-
(
1
o
g
-
-
-
1
)
-
μ
1
μ
f
μ
g
Р
е
(
1
1
)
2
-
+
-
(
Р
,
«
N
μ
~
o
)
μ
о
μ
1
!
о
2
_
1
_
(
No
-
1
N
2
а
)
g
а
-
l
-
2
-
+
(
1
-
а
)
2
Т
+
2
(
N
-
1
а
N
)
с
т
1
1
-
1
-
-
-
+
-
-
-
l
o
g
-
2
1
-
а
μ
f
а
1
l
o
g
2
-
2
No
-
1
Р
е
N
-
I
G
1
1
_
1
_
2
_
_
_
2
_
+
_
2
_
_
_
з
!
о
g
р
μ
1
μ
1
е
N
2
N
a
1
-
+
-
μ
1
μ
f


нято .к моменту времени, когда каждое состояние было проверено
точно ОДИН раз.
Обращаясь к табл. 2. 1, можно увидеть, что в обычной с и ту ации,
когда величины E(zjH0) и E(zlH1) имеют один и тот же порядок
и N~logl[(,N-1)/Pe], время поиска для случая, кагда величина а
1
мала, пр-иблизительно в 2 log (2/Ре) раз больше, чем время поиска
для случая, когда а-+ 1. Лнало·гично ди,сперсия времени поиска
1
уменьшается, грубо говоря, в -log2 (2/Pe) раз 1при а-+1.
12
,Возможность ошибки при принятии ка.кого-то состояния в ка­
честве .истинного состояния источника -может ока,аться неприят­
ным свойством процедуры поиска, использующей схему контроля,
та-к как схема контроля может ошибочно начать ,вновь ве,сь поиск.
В послед,овательном тесте отношения плотностей вероятностей это
неудобство можно иногда устранить, если ,положить вероятно-сть ~
равной нулю. Это :предположение эквивалентно тому, что порого­
вое значение А ста .новится бесконечным, и, следовательно, тому,
что любое состоя1ние 1ни1Когда не . будет m1ризна'Но 1прав·ильным.
Вместе с тем истинное состояние будет отвергаться с вероятностью
а, а нее другие состояния будут отвергаться с ,вероятностью 1.
Следовательно, с вероятностью 1-а аппаратура :поиска будет не­
способна отвергнуть истинное состояние и поэтому будет наблю­
дать его бесконечное число раз. Во многих приложениях ист и нн ое
состоян•ие отыскивается только с целью продолжения наблюдений.
В •этих случаях такой .подход может оказаться вполне удовлетво ­
рительным.
Представление о ник о гда не завершающемся поиске равносиль­
.но признанию, что может быть получена новая информация, кото ­
рая приведет к тому, что временно принятое правильным состоя­
ние будет отвер.гнуто. Из-за этого свойства, а также для того, что­
бы отличать этот метод от более ~привычного, только что рас-смот­
ренного метода, будем называть ,описанную ~процедуру :поиска не­
прерывно продолжаемым поиском. Вероятность прав,ильного реше­
ния будет идентифицироваться с вероятностью того, что в .неко­
торый момент времени истинное состояние было проверено и впо ­
следствии никогда не будет отвергнуто.
,Если формально поиск никогда не .прекращается, то нужно не­
с колько •изменить определен-не врем ени поиска, чтобы оно имело
смысл . Та.к как состояние источника эффективно определено в тот
момент, когда аппаратура .поиска начинает юроверять состояние,
которое не может быть 1в:последствии отвергнуто, то время пои-ска
можно определить как время, необходимое для достижения этого
момента . Это эквивалентно тому, что величины E(MIA) и
var(MIA) полагают.ся рав.ными нулю ,в выражениях для среднег,о
и дисперсии общег о вр е мени поис-ка. Получающиеся в р езультате
выражения для Е(Мт) и var(Mт) (с ~=0) также приведены в
табл. 2. 1.
Зб


К ак и в •случае поиска с фиксированным объемом выборки, по­
.--:уче нные результаты могут быть ис,пользованы для определения
:-ра ющ , ·в которых лежат параметры поиска, даже в тех случаях,
когда вероятность :пр,инятия ошибочного решения является функ-
и ей проверяемого состояния. Эт,от .подход, однако, будучи в об­
::цем довольн,о удовлетворительным для процедур поиска с фи.кси­
ро в а,нным объемом выбор1ш, может приводить к довольно :плохим
гран ицам для последовательного -поиска. Лучшие гран,ицы можно
~ олу чить, если .принять во внимание, что в ,случае, когда а:льтер.на­
тивн ая гипотеза в действительности является сложной (даже если
;~.1я целей теста она замененil простой гипотезой), некоторые
о ши бочные состояния м огу т быть отклонены в среднем намного
б ыс трее, чем другие.
В двух случаях, ·представляющих на·ибольший интерес, когда
<1-+l и ~-о и когда а=Ре/2 .и ~=Pe/:(N-1) (в обоих случаях
Pe <f:.. l), более точные оценки числа наблюдаемых Мт, необходимых
д.1я завершения теста, нетрудно ,получить даже .при более общих
ус ловиях, чем только что описанные . Пу:сть в ра,ссматриваемом
слу чае y(i) - наблюдаемая, относящая-ся к i-му ,состоянию, подле­
ж ащему проверке, и ~пусть z(i)= logl[Po(y(i)) /р1 (y<i))] - ,соответствую­
щая стати.с'Гlика теста . Ес~и источник находится в j-м состоянии,
то пусть статистика z(i) характеризуется плотностью распределе­
ни я p(z(i)jj) с p(z(i)j ,i) =p0 (z( i)) для всех .i. Плотность ра,спределе­
;r ия p(1z(i) 1 j) может ,быть функщией как ,i, так и j, но .множество
функций {p1('z(i) 1j), j = О, 1, ..., N-1} по предположению будет счи­
та ться ,неза,в,исимым от i. (Это ;после,щнее у,слови-е ,всегда удо,влет­
:в оряет,ся в рассматриваемых ниже применениях алгор1итма после­
довательно го поиска. В действительности р (z(i) 1j) будет во в-сех
с лучаях функцией лишь разности i-j ·по модулю N.) Плотность
р аспределения альтернативной ти.потезы p1,(y(i)) по пред~положению
о предеJтяется так, что :проверка i-1го с-остояния оканчивается его
принятием с вероятностью 11 -а, е-сли 'Источник в действительности
н аходится в этом -состоянии, и с вероятностью самое большее ~.
-если он находится в j-м состоянии для любых j=l=-i по модулю N.
Пусть v обозначает число состояний, проверенных до т,ого, как
б ыло принято решение, а Mi - ч1исло наблюдаемых, необходимых
для ,i-го теста. Тогда
Е(Мт) =Е(~ м1) = f [Pr(v=n)IE(M1 \v=n)] =
1=1
n=l
t=l
00
00
= 2:~Pr(v= п)Е(М1\v = п).
(2.39)
i=ln=l
00
Замечая , что ~ Pr(v = n\v~:i)E (Mi\v=n) =E(Mi \v~i) и что
n=i
P r(v=n) =Pr (v=n \ v~-i) Pr(v~•i) для всех n~i , получаем
00
Е (Мт) = ~ Pr(v> i )E(M1 1v>i).
{2.40)
i=l
37


rB общем ·случае случайная велич,ина М; не является неза­
висимой от события {v;;;,:.i}, даже ко гда ,все статистики ошибочных
состояний одинаково распределены. Если, на1Пример, i = N, то тот
факт, что ,N-1 состояний уже •были отвергнуты, увеличивает ве­
роятность того, что N-e состояние будет правильным . Так как чис­
ло наблюдаемых, необходшмых для решения, являет,ся функцией
проверяемого состояния, то это будет влиять на значение
Б (М; 1v;;;,: i). Однако если а-1, то зависимость от .проверяемого
состояния не существует . Так как все состояния (правильное и не­
:nрав,ильное) отвергают,ся с вероятностью, равной единице, то ве­
.р,ояr~ность того, что i-e состояние я1вляе11ся либо ~правильным со­
стоянием ,и,сточника, либо ,каким-,ли·бо ~ада1нным ош ибочным с·о ­
стоянием, не изменяется предыдущими i-1 наблюденияУш .
В ;этом случа·е
N-1
E(M;lv>i)=E(Mi)=+ ~ E(M;/j),
(2.41)
i=O
где j - индекс правильного состояния. Так как множество плотно­
стей распределения {p(,z(iJjj), j = O, 1, ..., N-1} не завиоит от i, то
эта независимость сохраняет,ся для Е(М;) . Следовательно, из ф - лы
(2.26) получаем
N-1
Е.(М-)=Е(М)л _1\1PjlogА+(1-Pj)logB
'
о=Ni.J
•
Е(z(O)1j)
,
J=O
(2.42)
где Pj- вероятность 1Пр•и.н .ятия ~прав.ильным ,нулевого состоян,ия,
КОIГД'а ИСТО,ЧIНИК ,НаХQ.ДИТ·СЯ !В j - м ,состоян.ии. Из ,ра1Венств (2.40)-
(2.42) 1при а-+-1 следует, ,чrо
оо
N-1
Е(Мт)=~ ~P(v>i)~E(M0/j)=
i=l
i=O
N-1
= Е(v)\1PjlogА+(]- Pj)logВ.
N /.J
Е(z<O)Jj)
J=O
(2.43)
Но со,глаоно 1гИ1потезе Po= ' (1l-a) и Pj~ В для в,сех j=l=O. Более
того, из соотношен,ия (2.32) лри Ре~ 1 имеем: E(v) ~Naf(l-a), и
эта величина фактически не зави,сит от вероятностей Pj, j=l=O . Та­
ким образом, если А = (1 - а)/В и В=а/(1-В) и если а-+1, в-о,
так, что верно соотношение ,(2.29) (при Ре~ 1), то
N-1
Е(Мт) = ~
j=l
1
+
/Е(z<0)1j)I
( N-1
)
log~- 1
Е(z<0)1о)
(2.44)
(Ср. этот ,результат •С !Приведенным в табл. 2.1 для тех же самых
усло:вий.) Выраже,ние для Ре, ,коне:Ч1но, является верх1ней ,г,рани,цей
38


,::.1я действительной вероятнос11и ,ошибки, так как соотношение
2.29) было выведено для случая, когда Pj= В для всех j=l=O.
В другом ~райнем случае, когда а и В являются малыми
·а =Ре/2, B=Pe/(N-1)], ·приближенное выражение для Е(Мт)
хо ж но получить, используя .соот.ношен,ие
N
N
Е(М;1V > i)~\1Е(MiIj)р(jI V > i)~'1---Е(MiIj), (2.45)
I..J
/.,,J N+I-i
f=i
f=i
::-J.e j снова обозначает индекс правильного состояния, а
Р (j Iv ;;;:, ,i) - вероятность того, что j-e состоян:ие являет,ся правиль­
н ым при условии {v;;;:,i}. Это .приближение справедливо потому ,
~то с большой вероятностью состояние принимается тогда и толь­
ло т,оU"'да, капда оно я,вля-ется ,пра,вилыным. По той ж,е самой :ПР'И­
чин е P:(v;;;:, ,i),;::;; (N + 1-,i)./,N, i= 1, 2, ... , N. Объединяя равенс'Гва
(2.40) и (2.45) и используя эту .последнюю аплрок,симац;ию, нахо­
-1и м, ЧТО
NN
Е (Мт) ~+ ~ EE(Mi\j).
(2.46)
i=l f=i
Это выражение до.пускает дальнейшие упрощения, е-сли ;nлот­
з о сть распределения р (z<i) 1 j) являет,ся функцией лишь разности
i -j по модулю N; при этом
N-1N-k
N-l
Е(Мт)~~Е·~Е(М0\k)=~ NN kЕ(М01k).
(2.47)
k=O i=l
k=O
Наконец, так как Р0 = 1-а ,и Pj~ В для всех j=l=O .и так как а
11 В являются малыми :[а=Ре/2, B= Pe/(iN-11), Pe~l], то
2
log--
Pe
" =1=0
PJlogА+(1- PJ)logВ
Е(Мо\j) =
Е(z<OJ Ij)
~
- [E_(_z_(O-) l-i -)I ' J ;
N-1
log--
Pe
•
0
----
]=
Е(z<0JIо) '
1!
N-I
N-l
log--
E(М)~]о
_2
_
\1N-k
I
+
Ре
т~ gРеI..J N [Е(z(O)1k)I Е<z<0J[о)
k=l
N-I
N-l
log--
=
_1log-2-\1 __!_
_
+
Ре
2
Ре I..J IE(z<0>/k)/ Е(z<0>1О)
k=l
(2.48 )
39


!Где ,последнее выражен.не оп~ра1Ведл,и.во :при принятых здесь ,пред­
по·ложе11шях из-за того, чт-о B(z(OJ/k) =E(12< 0J\N-k). <Снова Ре я,в­
л.яет,ся верхней пра.ницей для дей,стtвителыной ве1роятности ошиrбк,и.
2.7 . Об оптимальном последовательном поиске
.
Казалось бы, что для минимизац;ии времени поиска ве­
роятность ошибочного отвержения а должна ,быть взята малой для
того, чтобы можно было выбрать правильное состояние с высокой
вероятностью в момент проверки (или, в случае непрерывно про­
должаемого .поиска, для того, чтобы не отвергнуть его). В дейсr­
витель,ности табл. 2.1 показывает, что справедливо как раз пр,о­
тивоположное. I lри дифференцировании математического ожида-
1,4
ния времени поиска по ;а можно
. увидеть,
что оно будет монотонно
убывающей функцией а для всех
::тачений N (N~2) как в случае
обычного, так и непрерывно про­
должаемого
последовательных
поисков. },lатематическое ожида-
ние величины Мт изображено на
рис. 2.1 как функция а, когда
N~to/~L 1 велико, а Ре мало по срав­
нению с единицей (см. табл. 2. l) .
Заметим, что в тех же самых ус ­
Jювиях математические ожидания
вре мен и поиска для обычного и
fOL__. ..L _ _J::::::=:==1=---I непрерывно продолжаемого поис-
1о
0,2
0,4
О,б
dт ков совпадают.
Рис . 2.1 . Математическое ожидание
времени
последовательного поиска
как функцюi а
Следует подчеркнуть, что ког­
да ·а-+ 1, число проверок каждого
состояния в процессе поиска стре­
мится к бесконечности. Время
поиска ,остается конечным, .потому что одновремен.но ,стремится к
нулю время исследования каждого состояния. Тем не менее это
обсто,нель.ство Еакладывает некоторые очевидные ограничения на
процедуру поиска. П.режде в-сего, мы молчаливо предполагали, что
по своей природе наблюдаемые являются непрерывными; каждое
состояние могло ,пров·еряться в,плоть ,до М •Jмента, когда его 011ноше­
ние шлотн,о,стей вер1оят1но-стей •ста1}ювилось меньше а и ,в этот мо ­
мент наблюдение мгновенно прекращалось. На практике наблю­
даемые часто являются дискретными (М - целое число) и, следо­
вательно, по меньшей мере одна наблюдаемая должна быть в на­
личии, .прежде чем может быть принято решение. Этот эффект
квантования .пр,иводит к тому, что чи.сло наблюдений для каждого
состояния не ст;;емится к нулю при а-+1. Далее предполагалось,
что при .переходе от исследования одного состояния к другому вре­
мя ,не затрачивается. Пред,полож·им, что t0 секунд затр·ачивают'СЯ,
чтобы выполнить кажщ,ое .наблюдение, ,и t, ,секунд :в дей.стшитель-
40


:с::ос-ги необходимы, чтобы перейти от одного состояния к другому.
:Jри этом математическое ожидание времени пои,с~а
E(Ts)=E(v-l)ti+E(Mт)t0 •
(2.49)
:·огд а а-+-1, 1перво"е слагаемое обращается в бесконечность незани­
с.;пю от того, насколько малым является t 1, если оно отлично от
;:._·.1 я. Тем не менее результаты, относящие,ся к случаю, когда а-+-1,
та ю11ся ,полез1ными 1п.р•и отыска1н·ии ·ожида,е1мых границ для ,пара-
rетро,в, относящихся .к .работе идеальной ,схемы. Более Т-О['О, тест
зсе еще остается полезным даже, е,сл,и а несколько меньше едини­
~ы и, как следствие, время, затрачиваемое на проверку каждо['О
сос тояния, не стреиит,ся к нулю, а число :проверок не ,стремится к
бесконечности [ер. равенство i(2.31)]. Оба у.помянутые выше воз­
;,аж ения снимаются, ло крайней мере до .некоторой ,степени, ког­
,1.а а нескольк,о меньше ед,и,ницы. Если ·время t 1, необходимое для
=ерех ода от исследования одного состояния к другому, .известно,
:-о фаюшчески возможно определить оптимальное значение а.
Часто, однако, значение t 1 является настолько малым, что опти­
ма льное значение а, удовлетворяющее этому у.равюжию, слишком
бл изко к единице, что не позволяет оправдать :пренебрежение эф ­
фе ктом .квантования. В любом случае увеличение времени, вызы­
ваем ое ,отклонением а от единицы, не является чрезмерным, как
~ю жно увидеть из рис. 2.1 .
Сред,нее ч,и.сло наблюдаемых, необходимых для каждого теста,
1ю жно определить с 'Помощью результатов § 2.3 . Когда •это ч.исло
,1.ос тигает, скажем, десят,и, то с достаточным основанием можно
счи тать, что эффект квантования не играет ,больше роли .
С этими оговорками •математическое ожидание времени, необ­
хо димо го для завершения :последовательн ,ого поиска, м1ин,имизи­
руется .пр,и вероятности ошибочного отклонения, стремящейся к
ед ини це. В этом ,смысле последовательный поиск с а= 1 является
ол тима льным среди рассматриваемого ,клаоса ,процедур поиска .
Но можно ли сказать, что этот метод будет оптимальным в какои­
.1и бо более широком смысле? Ил.и какой алгор,итм поиска в более
об ще-м 1слу,ча,е минимизирует математическое ожида~ние .:!\реме.ни
ои.ока, если толыко одно ·С'Остояние ,может быть 1про1верено за •оди1н
ра з?
Хотя наибо,пее общий ответ на этот вопрос представляет.ся не­
ясн ым, следующее пранило является заманч•!jВЫМ, правда, не всег­
да ущачным конкурентом о:птимальной ,с-nратеги-и (см . задачу 2.7) :
всег да проверять состояние, имеющее наибольшую текущую ве­
роя тность быть прав,ильным . Предположим, что вероятности μ -то
сос тояния 0μ и v-ro состояния 0v в один и тот же момент поиска
авн ы Рμ и Pv соответственно л Рμ = Pv ~Р; для .всех li #cμ, v. При
эrом ,мы ,п,роиз1води~м на ·блюдение Y}"J , о·тно,сящееся к v -м у состоя-
нию . Тогда, есл;r
41


то ,новая вероятность v - .r o состояния
р'=
Ро ( У?)) Р...,
v
Ро(У}"))Рv+Р1(У]"))(1- Рv)
1
Р...,+-л-- (1-Р...,)
\IJ
(2.50)
где л...,i= Ро (y}"J) /Р1 (y}"J)
отношение правдоподобия. Если Р ~
меньше, чем Р...,, то μ-е состояние становится наиболее вероятным .
Таким образом, если правило обязательной проверки текуще го наи­
более вер,оятного -состояния применено, то исследование v-го .со­
стояния на этот раз будет прекращено . Но Р: меньше, чем Р..., , тог ­
да ,и только тогда, когда л...,i ме,ньше е,щин,ицы. Если л...,i больше.
единицы, то v-e состояние остается наиболее вероятным состоян,ием.
и его исследование продолжает-ся. Фактически оно ,продолжается
до тех пор, пока произведение iл...,i лv.i+l \.н 2 ••• л...,, i+l не -станет
меньше единицы. Условие, что в процедуре .поиска всегда иссле­
дуется на,иболее вероятное ,сост-оя.шие, реализуется, -следо ва тельно .
в п оследовател ьном поиске ·с нижним порогом В=а/(1-~ ), равным
единице. Соответственно последовательный поиск с а= 1-~ i [и ,
сле­
довательно, ·согласно (2.29) с а~ 1] можно рассматривать как ал­
горитм, реализующий эту интуитивно привлеченную страт егию.
2.8 . Проверка многих гипотез
Если те ,или друг.ие ограничения, например, связанные
со сложностью вычислений, не являются решающими, то часто вы­
годно выполнить проверку мно.гих гипотез, одновременно лроверяя
все конкур,ирующие гипотезы, вместо того, чтобы осуществлять
поиск, который, вообще говоря, требует затраты большего време­
ни. В этом параграфе кратко рассмотрены некоторые аспекты про­
верки мног,их гипотез как для процедуры с фююирова,нным объе­
мом выборк,и, так •и для процедуры последовательного типа. Сн-ова
рассмотрелие огр-аничено только .простыми гипотезами. Обобще­
i!-IИе на сложные гипотезы во многих ·случаях является не:посред­
,ственным .
Тесты с фиксированными объемам,и выборок.
Если тест следует закончить в заранее установленлое время (т. е .
если должно быть произведено фиксированное число наблюдений).
то оптимальный тест легко получить, обобJЦая результаты § 2.2 .
Пусть опять Cij обозначает стоимость пр -и нятия гипотезы Hi ('0 = 0i) .
когда правильной гипотезой является Hj(,0=10j). Тогда матема'I'И­
ческое ожидание стоимости решения будет
Е(стоимость) = IIc;jP(Hi) Sp(YIHi)dY,
(2.51)
ii
R;
где Ri - область принятия гипотезы Hi. Используя лравило Байе­
са .и меняя .порядок интегрирования и суммирования, mолучаем
Е(стоимость) = ~. \ !ciiP(Hi l Y)p(Y)dY.
(2.52)
iR1i
42


Математическое ож,идание ст-о,имости минимизируется поэтому
:::~р-и включении У в область R v тогда и только тогда, когда выра­
жение
(2 .53)
.J.Ос тигает своего минимального значения при i=v. Таким образом,
,· -я гипотеза Н v принимается тогда и только тогда, когда
~ CviP(Hj\Y)
i
IC;jр(Нj\У)
j
-~------<1
2:Ciiр(У\Hj)Р(Hj)
i
(2 .54)
;r.1 я всех 1i =l= v. Эта процедура представляет собой байесовский тест
.J.Л Я случая мног,их гипотез [ер. с равенством (2.4) ].
Опять возникают трудности при определении опт·имальногq тес­
та в ,случае, когда не,известны л.ибо ст,оимости, либо а:приор.ные
вероятности p(lfi), либо и то, и другое. Ограничимся рассмотре­
ни ем ,слу чая, когда ,известны все апр,иорные вероятности и стои­
~о сти всех ошибочных решений равны между собой:
с._ {С0,i=j;
t1-
С1, i=l=-j .
Требует,ся минимизировать выражение
1J CiiP(Hi IУ) = С1 }J P(Hi \У) -(С1 -С0) P(Ht \У)=
j
j
=С '1P(H-IY)-(C -C)p(Y \ H;)P(Hi)_
(2.55)
1 /.J
J
1
О
р (У)
i
Стоимость м :анимизируется (если С 1 > С0 ) выбором той гипоте­
зы Hi, для которой вероятнос ть
(2.56)
:~ри ни мает макс-имальное значение . Эта процедура, очевидно, яв­
.1 яе тся тесто,и .максuмалы-1.ой апостериорной вероятности для мно­
гих гипотез.
Обоз,начая через sv случайную величину р ( У IН v) Р (Hv), мож­
зо выраз ить вероятность ошибки в принятии решения этого типа
с.1е дующим образом:
N
Ре= L Р(Нμ) Ре(μ),
(2.57)
μ=1
rдеР,(μ)=1- PrfSμ>maxsvJНμ\=
l
#μ
J
оо sμ
sμ
= 1-j· S ... S P(s1, s2, ···, sнJHμ)ds1ds2 ... dsнdGμ·
оо
о
43


Подынтегральным выражен.нем является условная совместая
плотность распределения вероятности случайных величин ~v
.
Так
как э11и велич,ины обычно не являются незав,исимыми, то точное
вычисление вероятности ошибки часто затруднительно. Тем не ме­
нее можно ·01Це.нить эту 1ве,роя11н,ость . Одну из таких гра1ниц мож ­
но получить, если учесть, что
N
maxPr{si- Sμ>оIнμ}<Р,(μ)<IPr{s,-Sμ>оIНμ}·
lcpμ
i=l
i=f-aμ
Так как Pr {Si -- Sμ > О [Нμ} = Pr{ sμISi :(; 1[Нμ} (члены Si являются
плотностями распределений и, следовательно, не могут быть отр,и ­
цательным.и), то
иr.=
μ,
(2.58)
По след о вате льны е т ее ты. Чтобы иметь возможно,сть
провод,ить пос ледователь ный теет для многих гипотез , нужно как­
то определить •лношение ллотностей вероятностей вида
p(Y(m) I Hi)
(У(m)\н;)
(2 .59)
для каждой гипотезы Hj. Альтернативная г,ипотеза Н* j может быть
одной из конкурирующих гипотез, но м-ожет и не совпада гь н,и с
одной из них. Например, плотность распределения вероятности
р ( У IН\) может представлять собой некоторое взвешенное сред­
нее плотностей распределений, соответствующих всем альтерна­
тивным гипотезам , т . е .
Р(У(m) [Hj) =Lw, (т)р (У(m) 1Н1),
l=f-a/
(2 .60)
где ~wim)=1. Мы указывали на завис-имость весов Wi от числа
iat,j
наблюдаемых в множестве У(т). Теет, -который проводится парал ­
лельно, включает в себя одновременную проверку всех г,ипотез Н;
до тех пор, пок;, все гипотезы, кроме одной, не будут отвергнуты~
следовательно, одной ·из форм, которую эта зависимость может
принять, является равенство wi(m) = ·О, если Hi уже была отверг­
нута . В только что упомя,нутом последовательном тесте для мно­
r,их гипотез все отношения (2.59) .рассматриваются одновременно.
4,4


-
:-и потеза Hi отвергается, как только -соответствующее отношение
::-ано вится меньше некотор ,ого .порога В 5 . Отсюда следует, что
СХ>
"
= ~ J р(У(m) 1Нμ)dУ(т)=
m=I Rμ (m)
СХ>
=Вμ~ S p(Y(m)IH;)clY(m),
m=I Rμ (m)
:-.::е Rμ(т) - область отвержения μ-й r,ипотезы, определяемая от­
~о ше ниями (2.5Э). Независимо от альтернативной гипотезы н: со­
"'":,,п ия, по котпрым производится суммирование в первой части
з:-о го равенства, являются вза·имоиеключающими; если У(т) лр,и -
~а,:цежи т .Rμ ,(m), то У (l) не принадлежит 1R μ(!) для любых l<m
з.1и :пр •ове,р .ка μ-г-о с-ост-оя,ния завершена до того, ,ка1к ,произ ·ве1де;но
71 - е на ·блюдение. Следовательно, эта ,сумма не 1пр-е~вышает еди:ниц~у,
(2.61)
-а ве роятность ошибочного отвержения гипотезы Нμ ограничена
з:1а че нием порога Вμ. К сожаленюо, в общем случае труд:но опре­
.:е.1 ить математическое ожидан.ие числа наблюдаемых, необходи­
;:_:ы х для завершения ·последователыiого теста многих гипотез .
.:::> ол ьшинство относящихся -сюда результатов .получены эмпири­
:::;ески.
2.9. Оценка статистических параметров
Существенно е отличие оценивания стат,истических пара­
~ :е тр ов от пр , овсрк·и стат.истических гипотез состоит в том, что, по
:1р ед положению, липотезы образуют лишь дискретное множество ,
з то время как параметры могу·г в общем случае пр,инимать кон ­
ти нуум значений . Рассмотрим задачу оценивания одного единст­
зен нО'го .параметра х по наблюдаемым У. Чтобы обобщить методы
зы ч и сления математического ожидания стоимост,и решения в слу ­
ч а е м ногих гипотез и сделать их пригодными при оценивании па ­
рю,етра, необходимо только определить стоимостную функцию
л
/\ /\
С(х, х), которая указывает стоимость пр.инятия оценки х=х(У) ,
ко гда .пар аме тр в действительн о сти равен х. Далее, видоизменяя
ра венство (2 .52) .приме ни тельно к рассматриваемой с,и туации, по­
.1у чаем
Е (стоимость) = jЕ (стомость I У) р (У) d У,
(2 .62)
гt
л
де Е(сто,имо сть!У)=j С(х, x)p(xlY)dx. Таким образом, для
(\
ка ждо го У, для которого р(У) =;60, нужно определить оценку х(У),
45


т ак, что<бы Б(~стоимость I У) .было мин•ималыным . Такие оrценки на­
зывают,ся байесов·ски,ни оценками.
Одной :из н а иlболее широко ис,поль зуемых стои,мос11ных функци й
являетс я квадрат ошибки оценк,и :
л
л
С(х-х)=(х-х)2.
(2 .63)
Легко видеть, что дл я этой с тоимостной функции оптимальной
л
о ценкой х величины х является ее условное математическое ожи­
дание
л
х=E(xlУ).
Рассмотрим любую .щру.гую ,оце:нкух , тогда
Е (стоимость IУ)= Е ((х- х)21 У)=
=
Е[((х-
~) - (х - ;))21У]=(х- ;)2+
л
л
+Е{(х-х)2 1 У] >Е[(х-х)21У],
л
(2.64)
где ,ра,ве,нсг.во вы1пол1няе11ся толыко !при х=х. fv1ожно 11101Казать, 1что
1п.р·и некоторых до,вольно 01бщих ,ограниче:ниях на 1плотн·ость раоп,ре­
деления p(xl У) услю.вное математическое ожидание E(xl У) я1вля­
ется о,пт,ималыной формулой -оценки 1) для .весь-ма широко.го класса
стоимостных функций. В частности, это утверждение справедливо,
если стоимостная функ.ц.ия является симметр,ичной функцией .раз-
л
н ости х-х, неубывающей функцией ее абсолютного значения и
если плотность p(xl У) является унимодальной и симметричной
о тносительно своего среднего значения. Но если плотность p(xl У)
унимодальна -и симметр,ична относительно среднего значен .ия, то
ясно, что
л
maxp(x l У)= р(х I У),
(2.65)
х
л
где x=E(xl У), т. е. условное среднее значение х равно условной
м оде распределения х. Соответственно оптимальная формула ·
о ценки в этих условиях является формулой оценки по максимуму
апостериорной верояпюсти.
Пр,и оцени в ании статистичес~их параметров так же, как при
:п равер,ке г.и,пот е з , мо,f1ут быть .неизве-ст,ны априор.ные вероятности,
и, как и там, выбор критерия для формулы оценки в отсутствии
л
1) Термин «фор,11ула оценrси» используется для обозначения ф ункции х=
л
л
=х(У). Оценка величины х есть значение х для любого заданного множества
У. (Прим. авт . )
46


это й информации является менее очевидным . Часто ,испол1:зуются
с.1 еду19щие меры при вычислен,ии формул оценок :
/\
/\
1. Смещен.ие оценки. Если х является оценкой х и Е ( х Iх) =
•
/\
= х +Ь(х), то Ь(х) называется смещением оценки х .
;\
2. Условная диспер,с.ия Ei[ (х-х-Ь (х)) 2 \ х] о:цен,ки. Любая оцен -
/\
:ка х величины х, основанная на множестве независимых одинако ­
зо распределенных наблюдаемых У= {y i} (i= 1, 2,
..., N), имеет
.1.испероию, для которой граница снизу определяется выражением
( db(x) .2
1+--1
Е[(;-х - Ь(x))2Iх] >-,
dx
(2 66)
•
~NE [(log:~уIх)/1х] '
•
г..1.е р(у\х)=р(уi\х)-условная плотность распределения наблю ­
да емых Yi· Это неравенство называется неравенством Крамера­
Р ао.
В большинстве случаев предпочтительна оценка, которая яв ­
.1 яется несмещенной ,и которая ,среди всех несмещенных оцено к
и м еет дисперсию, достигающую ,нижней границы (2 .66). Такие
о ценк.и называются эффективн.ыми . В связи с этим оцен.ка макси­
-~t алыюго правдоподобия, т. е. корень (или корни) 1) х уравн.ен.ия
правдоподобия
_д_\оgр(УIх) = О,
(2.67)
дх
11 м еет два весьма .привлекательных свойства. Первое - если с у­
ществует эффективная · оценка , то она является оценкой мак•си­
~I ального правдоподобия. Второе - даже если эффектив,ная оце.нка
н е существует, то существует оценка максимального правдоподо­
б ия, которая является асимптотически эффективн.ой, когда число
н аблюдаемых становит.ся большим.
Принцип максимума правдоподобия, использованный в преды ­
дущих параграфах этой главы, в рассматриваемой ситуации со­
стоя"1 бы в выборе в качестве оценки х т акой велич.ины, которая
м акс,имизирует в области допустимых значений х функцию
Р' (У \ х) l[ил,и, что эквивалентно, функцию log р(У\х)] . Эта оце.нка
ч асто является решением уравнения :правдоподобия, но , конечно,
н е всегда (например, уравнение .правдоподоб:ия может не име ть
р ешения в рассматриваемой области значений х). Кроме того,
уравнение лравдолодобия может иметь решения, ,которые не мак­
с.и м,изируют р (У Iх). Для того чтобы в дальнейшем ,изложении
1) Иногда случается так, что р( УIх) принимает максимальное значение при
нек отором х, н е зависяще м от У. Таки е оценки обычно отбрасываются в поль -
/\ /\
зу н екоторой другой оценки х=х(У) , котор ая является функцией У и для к u­
торой р ( У iх ) достигает, по меньшей мере, отн осительного ма ксиму1ма . (Прим.
авт.) •
47


различать между собой эти две формулы оценок, мы будем назы­
вать любую формулу оценки, основанную на макс-имуме функции
p(Y lx), формулой оце нки по принципу максимума правдоподобия
и резервировать термин «формула оценки макС"имал ьного правдо­
nодоб,ия» для тех формул оценок, которые определяются равен­
ством (2.6'Т).
Распростра;-Jение результатов на более общий случай, когда не­
скол ько параметров должны быть оценены одновременно, во мно­
гом является очевидным. Неизвестный параметр х теперь стано ­
вится вектором Х= (х1, х2, . .. , Хт). Оценки ;параметров х1, Х2, ..., Хт
по максимуму алостериорной вероятност,и, на.пример, при задан ­
ных наблюдаемых У= {Yi} - это величины, которые одновреi'ленно
максиМ'изируют выражение
Р(хIУ)=р(х1, х2,... , ХтIУ),
(2.68)
в то время ка-к оценки максимального правдоподоб,ия - это вели­
чины х;, которые удовлетво ряют уравнениям 1):
д
-р(УIХ1,Х2,..., Хт) =0, i =1,2,..., m.
(2.69)
дх;
Задачи
2. 1. Пусть S -- двоичный источник; его выход представля е т собой последо ­
вательность статистически независимых нулей и единиц с Pr(O) = l -Pr(l) =р.
Следует определить, исп ользуя шесть посл ед овательных выход н ых символов ис­
точника S, находится ли о н в состоянии 00 с р=2/3 ил11 в состоянии ·01 с р= 1/2.
Показать, что в каждой из следующих ситуаций соответствующим образом выб­
ранный тест принимает гипотезу Но, что '0= •0о тогда и только тогда, когда
число появившихся нулей nnльше некоторого числа v, и определить v в каждом
случае. (Обозначения здесь такие же, как в § 2.2):
э) Р(Но)=Р(Н1)=1 /2 ; Со1-С11=С , о-Соо;
б) Р(Но)=Р(Н1)=1/2; Co1 - C11= l ; C,o-Coo=lO:
в) P(flo)=P(H,)= 1/2; Со1-С11= 10 ; С10-Соо= l;
г) а не прево сходит 1/ 9;
д) С11=Соо=О, Co1=l, С10=1O; априорные nеропностн не11..звестны.
Определить а и ~ в каждом случае.
2.2. а) Указать посл едов ател ьный тест отношения плотност ей вероятностей
для определения состояния источника, оп11санного в предыдущ ей задаче. Найти
среднее и диснерсию чнсла [JЫХОдных символов источника, . не обходим ых для
последовательного решения с а=~= l iЗ . (Обратить внимание, что в этих
усдовиях влияние «перескоко[J г ран иц» существенно, та1, что ответы будет лишь
приближенными.)
1) При одновр еме нной оценке нескольк и х парам е троз мнннмаль ная возмож­
ная днсперсия оценки некоторого частно,о параметра Ф .; може т быть боль ­
ше , ч ем в случае, когда имеется единственный неизв ес тн ый параметр. В част ­
ности, если методом максимума правдоподобия оцениваются два параметра
Ф1 и Ф2, то асимптотические днсперс нн эти х двух оuенок будут больше, ч ем
значення, задава ем ые ф- JЮ Й (2.66), до тех пор, пока оба э ти х пара"1 е тра нс
станут независимымн в том смысле, ч то
E(дlogp(ylФ1, Ф2) дlogp(I/ I Ф1, Ф2)_ ·) = О
дФ1
д Ф.,
J•
( Пршi. авт.)
48


r, ) Пр едположим, что источник на самом деле выдает нули с вероятно­
' 11,1" !i/12 . Найти вероятность принятия при этих условиях гипотезы Н о и о пре­
I Р,I I I IтI , м ате матпчесI<ое ожидание числа наблюдений, необходимых длп за ве р-
11I 1• 11I1>I теста .
2. :3. •Ка кие условия накладывает минимаксный критерий на пороговы е з на­
•1 1 •IIII1I в п о следювательном тесте?
2.4 . Ис пользуя тождество Вальда, показать, что если E(z[0) = 0,
v111· (: [О) cfc О, то равенства (2.25) и (2.26) перех одят соответственно в
/' (0) •-с-: --~-- и Е(М[0)= ·"'
.
log В
IJoaА logВ \
logВ- logА
,·ar (z 10)
l. 5. При последовательном поиске нужно определить состояни е 0 источ-
1I1 II , :1 . Ра спределение наблюдаемых z известно и за дается плотностью Po( z ),
, , ,·1 11 1 t'о стояние источника является тем, которое в действит ельности проверя ет­
, 11, 11 п ло тностью P1(z) во всех остальных случаях. Эта ситуация отличается о т
р , 1 с с мотр енной в § 2.6 , где априорная вероятность того , что источник на х одится
11 1 · ос тоя нии 0;, равна Р 0 для всех i (Ро - произвольная вероятность, не пре-
11 1 н · х дн шая liN) . Поиск вводится для того, чтобы с вероятностью ошибки Ре
11 11 р 'J t сли ть правильное состояние источника, когда оно в действительности яв-
1I 1I ,• тс1I одним из проверяемых. Показать, что когда а-+!, ~-+О при условии,
1 1 11р, • ; t сл н е мом равенством (2.27), математическое ожидание числа наблюдений,
111 •0 > хол. имых , чтобы завершить поиск (ер . с табл. 2.1) ,
,/;(Mr; Ро) =Е(Mr; ~)+(1- Ре)(1- NPo)Х
A* -1
-log A*
μ1
А*-1 }
logA*---
.
А*
-.
μо
•! ! ок азать, что выраже ни е, стоящее в правой части равенства, является по­
J IОЖ 11те щ,ным при условии, что можно пренебречь «эффектом квантования»,
Iюмн н утым на стр. 40.
2.6 . а) Поиск, · описанный в предыдущей задаче, следует мо д ифицировать,
1 1 11, с рша я его либо когда Р;(М)-;;,,Рс для некоторого i, либо когда P;(M) ~ Pr
111111 всех i (i=l, 2, . . ., N), где Р;(М)-апостериорная вероятность того, что
11rн· .11 с• М наблюдений источник находится в состоянии i. Показать, что если
1 11111п, построен так, чтобы проверять наиболее вероятное состояние в I<аждый
М 1Jщ• 11т , то матема rическое ожидание требуемого числа наблюдений
Ро
J·,' (Mr; Р0, Р,., Ре)=SЕ(Mr; х) р (х) dx ,
Pr
1н1• ,~· ( Мт ; х) определено в задаче 2.5 , но с
11'' >-Л ;' (х)=(l-х)Р с/х(!-Рс), Pc=l-Pc и где p(x)= dP(x)/dx с
I'(х) =ехр[- r _(_l-_s)_ __
N_ds1.
1 .) Pc-s
1-Ns
r
\
Х
1
,\I 1m.ю 1ше . Рассмотреть ряд усеченных последовательных поисков; ~-и поисI< про­
Iн 1 1 t 11 т с н с верхним и нижним порогами А; и В; соответственно, и усеч е ние про-
11111 0 1 t I пся не только тогда, ко гд а одна из статистик теста достигает А ; , но так­
~ I< е т о 1·да , I<огда все N статистик теста достигают В;. Показать, что математи­
• 1 Рс 1< ое о жидание числа наблюдений, не о бходимых для завершения такого поиска ,
р 1 ш 11 0 прои зв едению. 1-Pr(B; [А ; , В;) на математическое ожидание числа нaб­
J II OJ t c 11 1-1 й , не обходимых для завершения соотв етствуiощего неусеченного пои ска,
1'J L1' Рг( В; [А; , В;) - вероятность того, что все N статистик теста достигнут ниж-
49


него порога. Далее показать, что если Р i обозначает апостериорную вероятност1,,
каждого из проверяемых состояний в конце i-ro усеченного поиска , если Ai ~
~(I-Pi-1)Pc/Pi-1(I-Pc), Bi~ (l-Pi..:1) (Pi-1-Лi-1)/Pi-1(l-P;_1+Лi-1) и её=°
Л11 Лi= (I-Pi)Л/,(1-NPi), то- при Л-+O имеем: Pi-+Po-i,Л. Сформулированный
результат теперь получается, если взять предел при Л-+O взвешенной сумыы
математического ожидания числа наблюдений, необходимых, чтобы завершить
каждый последовательный усеченный поиск; веса определяются вероятностью
тог о, что поиск должен закончиться решениеы.
б) Используя результат п. а), вывести выражение для математического ­
ожидания числа наблюдений, необходиыых для завершения последовательного ­
поиска, когда априорные вероятности различных состояний не равны.
2.7. Один из методов определения, находится ли источник в состоянии 0о
или в состоянии 01, когда априорная вероятность того, что каждое состояние ·
является правильным, равна 1/2, состоит просто в проверке одного из состоя ­
ний до тех пор, пока его апостериорная вероятность достигнет либо Р с, либо
1-Р с . Сравнить эту стратегию (используя математическое ожидание числа наб­
людении, необходимых для завершения теста) со стратегией последовательного
поис1<а, описанной в § 2.7 . При каких условиях последняя будет лучше? Являет­
ся ли более эффективной стратегия, которая всегда проверяет Аtенее вероятное
из двух состояний?
2.8 . Пусть У= {yi} - ыножество N независимых в ыборок случайной вели-­
чиныус
р (у)= ( 1/У2па) ехр {- (у
-
μ)2/2а2},
но с иеизвестными ~L и а. Найти оценки нанбольшего правдоподобия для μ, а
и а2 . Являются ли эти оцеики сме щеины м и? Эффективны ли они?


НЕПРЕРЫВНЫЕ ПО АМПЛИТУДЕ И
ДИСКРЕТНЫЕ ПО ВРЕМЕНИ СИСТЕМЫ
связи
3.1 . Введение
В этой ,и следующей главах рассмотрены некоторые си­
t· ,· е м ы связи, наиболее интересные с точки зрен,ия синхронизации;
11('' э ти С'Истемы будем называть импульсными ;или дискретными
nu и реме пu системами связи. В таких системах в течение •интер-
11 ; 1 J 1 а времени iTs<I< (i + 1) Ts передает,ся сигнал, описываемый
1щ11ой из ,функций, ,принадлежащих ,некоторому множеству; эта
1i о11к ретная функц,ия определяется ,источником информации .
И мпульсные системы связи могут быть разделены на два типа
11 :Ja висимос ти от того, используется ли конечное (ил,и бесконечное
(' 1 1 е т1-rое) множество функций или несчетное бесконечное множе­
t' ,,110 (на пример, множество функций может быть семейством функ-
1(1 1i '1 в ремени, зависящих от некоторого :непрерывного параметра).
!\то рой тил ~лульсных систем связи - непрерывные по aмnлu­
J'fJПe систе мы -- и является предметом этой главы. Рассмотрение
t· 11 с т е м первого типа, обычно называемых дискретными си.::темами
с 11н з и, проводится в гл. 4.
•
Сист емы связи, рассматр·иваемые в · -этой главе, включают в се-
111 с нсгемы -с когерентной амплитудной модуляцией, некогерентной
11м 11 ул ь-сной амплитудной модуляI1Jией и когерентной фазовой ма-
11 111 1 уля цией . Предполагается, что во всех этих системах принимае­
~1 1,1 i', сигнал имеет вид :
l'Ji.l' v; - параметр, определяемый передаваемой •инфор:wацией, а
11 (!) - белый гауссовский шум ,с односторонней спектральной лл-от-
1 1о с тыо N 0 . Источник предполагается стационарным, так что ста-
1 , 11 с тики с.игнала x(t-iTs, vi) не зависят от :i. Целью рассмотрения
н 11 J 1 яет ся определение вида оптимального демодулятора и изуче-
11 11l' об щих характеристик этих си-стем. Для этого нужно, очевид-
1111, 13 ыбрать некоторый критер,ий оптимальности ,и некоторые па­
р ; , мет ры, на основе которых будем сравнивать различные ,систе­
~1 1 .1. Э тим вопросам посвящен § 3.3 . Еще более важной для обсуж­
! L1· 11 11я импульсных систем модуляции является заранее предпола-
1 · : 1 l' М а я способность удовлетвор·ительного представления .информа­
lL111 1 последова тельностью чисел, появляющи хся со средней скоро­
с л ,ю одно число за каждые Т8 -секунд. Если ,информация уже имеет
, , ·у д искретную ,по времени форму, то никаких фундамент.1льных
11роб лем не возникает. Но если она является существенно непре­
р1,111 11 о й функцией времени, то ее необходимо как-то превратить в
51.


такую последовательность в надежде, что пр·и -этом потер,и инфор ­
мации будут млнимальны. O,щин из методов такого преобразова­
ния обсуждается в следующем параграфе.
3.2. Теорема отсчетов
Пусть f(,t) представляет собой выборочную функцию
стационарного случайного процесса. . Обозначим через b't (t-ri)
периодическую функцию, изображенную на рис . 3.1 . Импульсы ши-
□Шо□.,
'1,
T+z
2Т+i
Рис . 3.1 . Периодическая отсчетная
функция
риной в т секунд каждый расположены так, что их центрам,и яв­
ляются моменты t = ri+iT, ,i= .. .,
-1, О, 1, 2, . . ., где 1']-случай­
ная величина с плотностью распределения
приОс<'YJ<Т;
(3.2)
в остальных случаях.
Так как функция b't (t-ri) является периодичес1юй, то она мо ­
жет быть разложена в ряд Фурье: ·
СХ>
(3.3)
n=l
где а0 = 1; ап=(sinwпт)/wпт и Wn=2nn/T.
Рассмотрим те,перь произведение g(t) =f(t)b't (t-ri). Если ,про­
цесс f(t) не зависит от ri, то автокорреляционная функция произ ­
ведения равна произведению автокорреляционных функц,ий:
Rg(у)=Е{f(t)f(t+у)b't'(t- YJ)b't(t- YJ+у)}= Rt(у)Rь(у).
(3.4)
Но
СХ>
Rь(у)=а6+ 2) а~cosWnу.
(3.5)
--
n=I
Следовательно, спектральная плотность произведения имеет
вид
со
СХ>
Sg(w)= j'Rg(y)e-lroydy= L a;St(w-wп),
(3.6)
52


1 ·де, по определению а_п = а,,.
1 -:: сл и спектральная плот -
11 ость МОЩНОСТИ S1(w) пpo­
llCCca f(t) имеет вид, изоб ­
раже нный на рис. 3.2а, то
/i(L) имеет спектральную
1 1 .1 10т1-юст ь, показанную на
рнс. 3.26.
Из этого рассуждения
с леду ет важное заключение,
•1то есл и спектральная плот-
11ость St(w) равна нулю для
1 1ссх частот l•w/2:rt 1 ~ W, как
110 1< азано на рис. 3.2, то сJiа-
а)
о (J---
·-2Ji.
О
Jli,
4JC (,J-+-
r
r
т\
Рис . 3.2. Спектральные плотности мощно­
сти до и после отсчетов-:
а) спектр сигнала; б) спектр отсчетов
сигнала
1 · : 1 см ые в первой части равенства (3 .6) не перекры ваются по часто­
т~· 11ри условии W ~ 1/2Т. Отсюда следует, в принципе, возможность
11р опустить п роцесс g(t) через фильтр. имеющий частотную харак­
теристику
//(iw) ={l,
О,
fw l <2:rtW;
l w l >2:rtW,
11 оставить только низкочастотное слагаемое a20S 1(w) =S1(w) . Но
l(;t J< раз этот ч лен является спектральной плотностью процесс а f(t) .
О 1 1 с в.идно, что никакой потери ,информации в результате умноже-
11,1151 f (t) на функцию Ьт (t-'Y]) н,е ,произошло, хотя фуrнюция Ьт (t-'Y])
l'ОЖд ествен:но сО1вша~дает с нулем большую часть ,времени.
Т ак как два совершенно .различных ,процесса могут иметь один
11 тот же спектр, то это утверждение требует дальнейшего обос-
11011а ния. Чтобы дать это обоснование, нужно лишь рассмотреть
· р сд неквадратическую разность между ,f(t) и выходным с,игналом
ф1 1 .пьтр а.
Пус ть h(t) - импульсный отклик фильтра с характер.истикой
//(iw). Тогда
1:·{r(t) -_Ig(у)h(t-у)ау}2 =
о,
R1(0) -2 JRtg(y-t)h(t-y)dy +
-о,
о,
00
-со -оо
00
о,
SS,(w)[ l-2H(iw)Jdw + \0 Sg(w)IH(iw)j2 !!:.!!! . _ _
2л
,
2л
(3.7)
-оо
-0,
( аметим, что iR. Jg(a) = R1(а)Е(Ьт (t- 'Y])) =R,(a).) Это выражение
· 1 · ождественно равно нулю, если Н (iffi) определена так, как указа-
53


:н о выше, и есл,и S1(ш)=Sg( ,ш) для lшl< •шm и S1(ш)=О для
l(t)i >шm=2:n:W. В рассматР'иваемых условиях восстанавливаемый
-процесс сов.падает в среднеквадратическом смысле с первоначаль­
ным процессом.
Заметим, что этот вывод не зависит от ширины импульса -r.
-:Устремляя -r -+0, замечаем, что вся ,информация, содержащаяся в
процессе f(t) с ограниченной полосой, содерж,ится в -выборочных
значениях М,11 +пТ) ; n=O, ± 1, ±2, ...,; Т= 1/2W для любого 11 · От­
•сюда следует, что сигнал может быть восстановлен с помощью про-
'°
:-пус кания последовательности выборок g(t) = Т ~ f(t)б(t-nТ)
n=-oo
".[б(t) - дельта-функц.ия Дирака] через фильтр с импульсным от­
кл1и.ком
<Х)
-
Ji(t)= -
1 sН (i ffi) eirot dffi = (sin2:rt Wt) /nt.
2л
-таким образом, если f(t) имеет спектр мощности шириной W или
м еньше, то
"'
(t)=
_\"g(a)h(t-a)da
-сп
<Х)
сп
_\Tf(a)8(a-nT)h(t 1 a)da =
n=-oo -ао
<Х)
\'f(пТ)sin2лW(t- пТ)
~
2лW(t-nТ)
n=-Qtj
(3 .8)
. Этот результат обычно называется теоремой отсчетов .
К сожалению, большинство .представляющих интерес спектраль­
·ных плотностей мощности не равно нулю вне какого-либо конечно ­
Рис 3.3 . Явление «мимикрии частот » :
а) спектр сигнала; 6) спектр отсч етов снг -
н ала
го интервала частот. На­
пример, никакой сигн ал
конечной длительности не
может иметь спектр, об­
ладающий этим свойст­
вом. Наиболее ти п ичная
с п ектральная
п лотность
мощности показана н:з
рис . З.За. Однако, хотя
может не быть частоты,
после .ко'I'орой опе-ктраль ­
н а я плотность обращает­
ся в нуль, для любых
процессов с конечной
мощностью доля общей мощнос т и на частотах If 1 > fо, где
_f
O -- не1,оторое достаточн о большое, но конечное значение, яв­
ляется сколь угодно малой. Представляется разумным в этом слу-


1 1 ае брать отсчеты фушщии каждые Т= l/2if0 секунд, получа я функ­
l l Н Ю с характерным спектром, показанный на рис . 3.36. Ре зульт а ­
том такой ,процедуры будет ;«свернутый назад» спектр. Если теперь
от фи л ьтровать всю энергию на част,отах, больших ,f 0 , то п олучен-
11ы й спектр .не будет ,сов.падать со спектром перво.начального про­
l( С сса и первоначальный процесс не может быть точно восстанов­
.1 1 с н по периодическим отсчетам . Ошибка, вызванная эти м «свора­
ч 11 ва нием назад», часто называется ошибкой «мимикрли ч астот» ;
'С л егко определ,ить с помощью равенства (3.7). В больш инст ве
1 1 ра .ктических случаев минимальная приемлемая ча ,стота о тсчето в
оr р а нич1ивается величиной до:пу.ст,имой ошибки ,« мл м икрии ч астот» .
3.3. О расчете систем импульсной модуляции
Удобной мерой качества аналоговых систем свя зи явля­
l' ТСЯ отношение сигнал/шум, определяемое следующим о бразом.
[ел и желаемым сигналом лрлемника является s(.t), а действ итель -
1 1 ым - y(,i), то мощность шума, .по определению ,
т
1~
а~= lim -
\ [У (t)- s (t)]2 dt.
т-rо 2Т ,
-Т
Мощность сигнала 1), очевидно,
т
а;=]im - 1
-
Srs(t)-s(t)]2dt,
т-оо 2Т
-Т
;i о тношение сигнал/шум
S/N = а;/а~.
(3. 9)
(3.10)
(3. 11)
По аналог,ии определим отношение снгнал/шум в и м п ульсной
·ис т е ,ле связи как
S
var (s;)
(3. 12)
N
l'де s; - отсчет, который должен быть передан на ,инт ерва л е
/\
i Ts< t<1(.i+l)Ts, а ,s;-оценка этого отсчета, выданная н а в ыхо-
л
Jle приемника. (Последовательности s; и s; .предполаг а ют ся ста -
1 1 и онарными, так что величина S/N в действительности не за висит
о т i.) М ерой качества им,пульсн-ой систе,мы связл будет служить в
т
1) Средняя амплитуда сигнала s (1) = lim -
(' s (/) dt в идеале равн а нулю_
т-,,,, 2Т ,)
-Т
Гели s(.t) не равна нулю, то та же информа ция, в при,щипе, может быть пepe-
Jt a 11 a с игналом s(t)_:_ s(t), и поэтом у мощность сигна·ла определяется опя ть как_
)l11сперсия s(t). (Прим. авт.).
55"


этой ;главе отношение силнал / шу,м, 01пределенное ра:венrст,вом (.З . 12) .
.Эк,вшвалент,ной мерой щр-и зада1н:ной диоперсии ои1г,нала я.вляется
(\
,среднеквадратичес1кая ошибка EHs;-s;) 2].
Одной из мер •стоимости достижения некоторого заданного
уровня качества является ширина полосы частот модулированного
с·иrнала. Имеется несколько разумных с.пособов численного опре­
делен,ия эт,ой меры. Ширина полосы может быть, например, опре­
делена как ширина идеального полосового фильтра, необходимая,
·чтобы ,пропустить, допустим, 90% мощност.и сигнала. Эта мера,
конечно, делает необходимым определение действительногс спект ­
,ра сигнала.
Второй, часто используемой мерой ширины полосы, занимаемой
сигналом, является его эффективная ширина полосы, о п ределяемая
как обратная величина ма,кс,имальной ттлотност,и (в каналах на
·един.ицу ширины полосы частот), с которой каналы, передающие
-статистически одинаковые с~игналы, могут быть уплот,нены ,по ча ­
стоте без взаимной интерференци,и. Это означает, что ·выходной
сигнал демодулятора для любого канала должен быть независ.и­
мым от с-игналов, передаваемых по любым друг.им каналам.
Так как мы будем иметь дело ,исключительно с импульс.ными
системам1и связи, то полезно следующее выражение для спектраль­
ной плотности мощности случайной последовательност,и статисти­
чески независимых им.пульсов:
S((J)) = ; s Jp(μ) jFμ(i(J))l2dμ- ;s 1Sp(μ)Fμ(i(J))dμ l2 +
(3.13)
где Fv(iw) -преобразование Фурье временной функции x(,t, v).
Эта последняя функция ,определяет переданный сигнал x(t- iTs, v;)
на ,к аждом заданном и:нтервале iTs< t<·(i+l)Ts и ,предполагается
т
равной нулю в.не интервала (О, Ts), т. е. Fv (i (J)) =.)х (t, v) е- i ю t dt;
о
p,(v) в ф-ле (3.13) -плотность распределения вероятнос-ги пара­
ме11ра v оиrнала. Равенст,во (.З., 13) ,сщра1в,едл.иво, ко~гда парам,ет,ры
v; (i= ...,
-1, О, 1, .. .) ,в :перещаваемой 1поrследовательности я1вля­
;ются независимым :и .и ~порождаются ста 1ционар ,ным ист,очником.
3.4 . • Оптимальная демодуляция
Oп1'имальный им,пульсный демодулятор непрерывного
пар аме тра в соответствии с критерием § 3.3 минимизирует ,средне­
~квадратическую разность между -переданным параметром v и вы­
л
ходом приемника v. Таким образом, оптимальный демодулятор
-56


является формулой оценки пара метра в смысле, указанном в § 2.9"
со сто,имостью ошибки, равной ее среднеквадратиче.ской величине.
Дл я того чтобы свести рассматриваемую зде.сь задачу к дискрет­
ному случаю (§ 2.9), пропустим принятый сиг_нал y(t) через иде­
а льный фильтр ,нижних частот с •полосой В. Профильтрованный
с игнал может быть ,представлен множеством выборок У= {Yi} =
=·{ Y1UЛt)}, i=1, 2, ... , k=2BTs с Лt=l/2B, где индекс :f означает,.
1 1то функция y(t) была ·профильтрована до того, как были взяты
13 ыборки 1). Так как принятый сигнал не ограничен какой-либо ко-
111сч,ной шириной 1п,олосы В, то 1при фильт,рации некото,рая ,и:нфор­
ма ция, конечно, теряет,ся. Вначале определим вид оптимального ·
1~ ем одулятора для наблюдаемых У при некоторой конечной шири-
1 1 е лолосы В, а затем при В-+оо . В пределе никакая информация-
11 е теряется, и получающийся демодулятор будет оптимальным без.
вся кого ограничения.
Как было показано в гл. 2, оптимальная формула оценки пара­
метра v, основачная на использовании наблюдаемых У, -когда
с тоимостная ф ункция представляет с-обой сре·днеквадратическую,
о шибку, является условным средним
/\
·\1=E(v j У).
· ( 3.,14)
Чтобы вычислить эту оценку, нужно знать а.постериорную ,плот-
11ость распределения вероятност,и р (,, j У):
p(v \Y) = p(Ylv)p(v)/p(Y),
(3.15),
где p(v) ~ априорная плотнос ть рас,пределения параметра v. За-
11исывая Yi= Y1(ibl) =Ax1(iЛt, v) +щ(i,Л.t) ~ Ах; (v) +n;, 'Где x1(t, v)
11 щ(t) представляют -собой профильтрованный сигнал и профильт ­
рованный аддитивный шум с,оответственно, получаем
P(vl У)= К0 р[п1 = У1 -Ax1 (v),
n2=Y2-
-
Ax2 (v), ... , nk = Yk-Axk(v)Jp(v),
(3.16),
г,J,е Ко - нормировочная постоянная, не , зависящая от v. Более·
того, так как n(t) - выборочная функция белог,о гауссовсксго шу­
ма с односторонней спектральной ~плотностью No Вт/Гц, та,
р (п1, n2,
... ,
n1i) - многомерная гауссовская плотность распреде­
ле ния. Спектр этого ш ума после его ·прохождения через идеаль -
1 1ый фильтр ;Нижних частот с ши1ри:ной uюлосы В :имеет следующий
в ид:
sn(f)={io/2 при \f1<В;
в остальных случаях.
(3.17)
Следовательно, автокорреляц,ионная функция
Rn(i:) =NOВsin211Rт
2nВт
(3.18)
1 ) Так . как статистики сигнала не зависят от рассматриваемого интервала,
то можно без потери общности ограничиться рассмотрением сигнала y(t) =
= Ax(t, μ)+n(t) для O<t<T, . (Прил~ . авт.).
57


:М Rп(iЛt) =1Rп(i;2B) =0 для :i= 1, 2, . .., а Rn(O) =N0 B. Таким об­
;разо:v~,
(3.19)
P (vl Y) ~ (2 •N~~)"' ехр [ - 2 ) 08 t [y,(iЛl)-Ax1 (iЛI, v)J']r(v) ~
k
=K1P(v)exp{~N:B ~[y,(iЛt)Ax,(iЛt, v)- ~
2
x7(iЛt,v)] }, (3 .20)
:где К1 также не зависит от v. Те п ерь, устремляя В-+оо (Лt-+0),
пол у чим
. p (vl y (l))~K;r(v)exp( :. J'r2Ay(l)x(l,v) - A'x'(i, v))dt). (3.2 1)
Следовательно, оптимальный демодулятор вычисляет величину
·~ =S vp(v l y(t))dv,
(3.22)
лгде функция p{v Iy(i)] ~ p(v Iy(t), O~t~Js) задается равенством
(3.21).
В § 2.9 было замечено, что если р (v I У) - унимодальная сим­
мет,р,ическая фушкд.ия v, то усл,о,в:ное математическое ,ожида,ние v
равно условной моде расп ределения . Таким образом, -в этом елу­
--чае эквивалентной операцией для оптимального демодулятора бу-
/\
.дет о тыскание такой оценки v, для которой апостериорная плот­
/\
1юсть распределения p![v Iу(✓) ] достигает своего максимума .
Если априорная ,пл.от;юсть вероятности р (v) не известна, то
могут оказаться пригодными друг;ие формулы оценок, напр,имер,
Ашнuл1аксная формула оценки и формула оценки максимального
.правдоподобия (ер . е § 2.9) . На самом деле оценка мак,симального
правдоподобия эффективна, если эффективная оценка существует.
В ~последнем ,случае она ста1но;вится о~птималь:ной оценкой в оред­
неквадратическом смысле, если ввод1ится дополнительное ограни­
'Чение, чтобы оценка была несмещенной . Даже если эффективная
,оценка не существует, оценка максимального правдоподобия час­
·то ,имеет небольшое смещение, а дисперсия не на много превы­
шает теоретический минимум, который задается (2.66) . Таким об­
разом, ее можно ~предпочесть в качестве оценки даже, когда изве­
,с тна априорная ,плотность p(v).
Нев ольно может возникнуть мысль, что оценка максимального­
правдоподобия в-сегда будет эффективной в рассматриваемых
.здесь условиях, так как число k яезависимых наблюдаемых у;, на
-~8


которых основывается каждая оценка , стремится к бес.конечност и,
1 1 р,и стремлении к бесконеч н ости ширины полосы В и, как пока ­
з а 1rо в§ 2.9, формулы оце.нок максимального правдоподоб,ия явля­
юлся а 1сим1птотичееrки •эффективными. К сожалению, диюперсии
NoB эт.их наiблюдаемых •Од,но.време,нно етремятся к беск·онечности•.
:1 1в у11ве,рждении § 2.9 ш1ре,щпола,га.ет,с.я, на,шротив, что статистикw
11 с лезависят от .k. А.к:им,птотичесК!ие свойс11Ва формул оце;нок
максим ального ,п ра•вдоподобия проявляются, однако, когда отно-
11 1 с 1ше сигнал/ шум 1«на входе» R=A 2Ts / N 0 достаточно велико (это,
(>у дет показано в дал ь ней ш ем) . Здесь T s - непосредственный ана-­
J IО Г числа независимых выборок, когда наблюдаемые дискретны.
Формула оценкш максимальног,о п равдоподобия имеет и другое
11р еи мущество ло сравнению с большин,ством других формул оце--
11 ок ; как будет вскоре показано, ее часто легче реализовать . По,
·•пнм двум при чи на м форУiулы оценок максимального :nравдоподо­
ri 1н1 (или принци п а ма~юимума правдоподобия) образуют класс.:
формул оценок , кото р ый наиболее широко •пр,именяет,ся для демо­
:tуляции.
(\
Оценка максимального правдоподобия v ,параметра v, по оп ре-­
J l СJ1 е нию, является решением уравнения правдоподобия
д
д
.
-д-p[y(t)1v]
-
logр[у(t)1v] =
v
=
О.
iJv
p[y(t)lv]
Ис пользуя байес о вское правило и равенство (3.2 1), .получаем , что,
< щ е нка максимального п равдоподобия пред,ставляет ,собой решение·
у равнения
т
iJ
2А ss
дх(t v)
-
logp[y(t) l v]=-
[y(t) - Ax(t,v)] ' dt=O.
1Jv
N0
дv
(3.23}
о
Безотносительно к используемому критерию все ,оптималь ные·
формулы оценок имеют одно и то же важное свойство; принятый.
· 11 гнал входит в них ли ш ь через посредство взаимокорреляционн ых
коэ ффициентов вида
т
(y(t )z(t, v)dt,
()
(3.24 )
1 ле для .примера z(t, v) =x(t, v) l[см. равенство (3.21)] или.
.: (/, v) =дК(t, v)/дv i[см. равенство (3.23) ]. Один из способов oпpe ­
Jl лени я этих коэффиц и ентов состоит в пропускании принятого cиr-
1111J1a через фильтр, имеющий импульсный отклик:
/i(t) = {z(T5 -t, v) при O<t<Ts;
(З. 2 5),
О
в остальных случаях.
Та ,к,ой фильтр .называется согласованн.ым., фильтролt (он «,c or-
.1
1а с оtВан» с си1;налом IZ ( t, v)). Нсегда моJКJНО, конечно, ,построить.
59'


-сог.1асованный ф и льтр, как взаимный коррелятор, т. е. с помощью
_умножения y(t) на z(t, v) и интегрирования, как показано на
рис. 3.4а.
Часто z(t, v) -имеет вид ;(t, v) =s(t, v)V2siш(.roc>f+Ф), где мно­
житель j1 2sin(шct+Ф) ·представляет собой несущую. Обычно бо-
fdt ;,
о
z[t,и)
Т;
ФНЧ
fdt
о
·"> vf~tn(f.,Jc t.+<P)
s(t,u)
Рис. 3.4. Схемы согласованных фильтров:
а) реализация взаимного коррелятора;
б) взаимный коррелятор для модулироIJан­
ной несущей
.11ее практичным в этом слу­
чае является демодулятор,
изображенный на рис. 3.46.
Единственное различие меж­
ду этим устройством и 1-ор­
релятором рис. 3.4а состоит
во включении фильтра ниж­
них частот. Если частота
wс/2л велика по сравнению
с максимальной существен­
н,ой частот.ной комfflон-ентой
s ( t, v), то выход первого ум­
ножителя состоит из двух
относительно узкополосных
составляющих: одной, скон­
центрированной около нулевой частоты, и другой - около
'Частоты 2 Шс/2 л . В силу того, что система умножитель­
интегратор действует как фильтр с импульсным откликом
li(t) =s,(Ts-t, v), она также представляет собой фильтр, согласо­
ван,ный 1с низrко.частотным -сигналом s (t, v). Каrк таrков·ой, о·н .яв­
.ляет,ся фильт,ро,м ,нижних часют с шир-иной ,поло,сы, равной ши­
рине ,полосы сигнала ,и , следовательно, малой по ,сравнению -с
2ш,)2л. Если первый фильтр -имеет большую ширину полосы ло от­
нош ен ию -к полосе согласованного фильтра, то он не оказывает
з нач ительного влияния на выход последнего фильтра и демодуля ­
торы на рис. 3.4а, 6 фактически эквивалентны. Однако если шири­
.на поло сы этого первого фильтра мала по сравнению -с 2шс/2л, то
это приводит к устранению составляющих с удвоенными частота­
ми после первой операции умножения. В условиях, :принятых зде-сь,
-следовательно, не существенно, учитываем л,и мы не.сущую .пр,и
ана лизе изучае1v;ых -сист ем ,связи или нет, поскольку мы вводим в
лр :иемник демодулятор, в котором предусм-отрено умножение на
,сигнал нес у щей.
В общем случае требует,ся континуум согласованных фильтров,
~ПО одному для каждого возможного значения ·v безотносительно к
том,у , к ак -с,н и rреал-изуютtся . Дll!я то.го .чт,об ы демо1дулятор имел ка­
кую- либо ,практическую ценность, нужно, конечно, снизить число
этих устройств до некоторого конечного числа. В некоторых ,слу­
чаях это означает, что нужно и.спользовать .приближенно опти­
мальный демодулятор. К ,счастью, как будет вскоре показано, оп­
т.има л ьные демодуляторы для систем модуляции, расематривае­
мых в этой главе , имеют только од,и.н или два таких •согласован­
яых фильтра.
-60


В заключение параграфа следует упомянуть, что принятый с,иг­
нал может содержать другие неизвест,ные :параметры, такие, как
ам плитуда сигнгла или фаза несущей. Если можно предположить,
что эти .параметры остаются постоянным:и в течение всего време­
нн передачи, то их, вообще говоря, можно оценить (как указано в
§ 2.9) с достаточной точностью, что позволит обращаться с ними
как с известными. В другом край.нем случае, когда можно ,пред­
лоложить, что они принимают независимые значения на каждом
Тs -се.кундном интервале, их можно оценить одновременно с каж­
д ым информационным .параметром Vi, хотя сам,и по себе они не
несут информаци,и. В том случае, когда. известны априорные рас­
п ределения этих «мешающих» параметров, оценки информацион­
н ых параметров иногда можно усреднить по эт.им 1велич·инам, что
изб авляет от необходимости их явной о'Ценки. А именно, обозна­
чая неизвестные .параметры вектором Ф, вначале определяем функ­
цию pi[y(t) l v, Ф] или p[v ly(t), Ф], или Ei[v/y(t), Ф], а затем усред­
н яем ее по неизвестным параметрам Ф, получая в результате
00
p [y(t)jv] = J p[y(t)jv, Ф]р(Ф/v)dФ
-00
,(е р. с § 2.4). Част:ный лример впер,вые ,рассма тр.ивается в § 3.6.
3.5 . Когерентная амплитудно-импульсная
модуляция
Огибающая ампл.итудно - им.пульсномодулированного сиг-
1 1а л а представляет собой последовательность импульсов фиксиро­
ван ной дл,ителыюсти, равной Ts секунд; ампл,итуды импульсов ме­
н яются в соответствии · с .передаваемой. информацией. Vi- Бели оги­
б ающие имшульсо.в ,пря1моу,гольны, то ,передаваемый. .си1гнал
x (t- iTs, vJ = ~/"2 visinCucf, iTs<t<(i + l)Ts .
(3.26)
Ч тобы сохранить независимость сигнала от длины интервала, по­
требуем, чтоlбы Шс= лr/Ts, где r - ли,бо -целое числ-о, либо число,
м.1ю го большее •единицы.
Пусть y(t) обозначает сумму .принятого сигнала и шума :
y(t)- Ax(t, v)+n(t)=V2Avsin(t_)cf+n(t), 0<t<T5 •
(3.27)
Из равенства •(3.21) находим, что апостериорная .плотность
раопре,делен·ия ,величины v шри зада,Н1ном y(t) O<t<Ts, -имеет ,вид
{2А jТ.s -
'&}
p[vjy(t)] = Kp(v)exp -
у (t)(V2 vsinCuJ)dt- v2 -
N0
No
о
•
= Kp(v)exp {2R(vl - ~ )} ,
(3.28)
где К - нормирующая •постоянная, не зависящая от v; величина
6 =A 2Ts .представляет собой энергию принятого импуль-са, если
61


т
v= 1; R= €,/No ·И / = (1/ATs) { y(t) V2sin wctd,t. Если случайная !Ве -
о
личина v имеет равномерное ,раопрещеле,ние
(
1
-
при- а<v<а;
p(v)= 2а
О в остальных случаях,
(3.29 )
то
др [v/y (t)J = [2R(I-v) + _1_ dp (v)] р [v \y (t)]
дv
p(v) dv
(3.30)
/\
и рl[v!у( t)]-унимодальная функция v с модой v =v, где
11
( / при -а<1<а;
v=-апри/<-а;
.
а при l>a.
(3.31)
Формула оценки по максимуму апостериорной вероятности случай-
11
ной величины ·v совпадает, следовательно, с велич,иной v, о.преде­
ленной равенст:аом (3.31) . (Заметим, что p1[v Iy(t)]- несимметрич-
11
ная функция v, кр,оме сл 1у,чая, rко.гда / =0, и v в общем случае :не
является опт,имальной оцеююй величины v в среднеквадратиче­
ском смысле.)
/\
Оценка максимального правдоподобия v согласно равенств у
(3.23) совпадает с решением уравнения
Ts
дlog ~r: (t)lv] = :~ 5[у(t)-v2АV sin(i)c t]v2sin wJdt = О, (3.32)
о
л .решение в ,э'!'ом c\liyчae я,вляется ед.инствен:ным для всех !:
Л
Ts
v=I=
-
1-JV2 у(t) sin wcfdt.
(3.33}
ATs
о
Независ,имо от того, какая ,из этих формул оценок используется,
демодулятор имеет вид, :изображенный на рис. 3.5. У,стройство ,
jJ(t)
~ Рис. 3.5. Функциональная
~fr ]dt 1
1
,
схема д~модуля1'ора ко-
t~
У гереннюн по фазе АИМ:
г,, .
_
.
1 - устройство, производя-
~25tП (,)с t
щее оценку
пр оизводящее оценку, может быть весьма простым (просто корот­
кое замыкание в случае оценки максимального правдоподобия)
или относительно сложным (как в .случае формулы оценк и
~= E[v \ y(t)] = J(s vp(v) ехр {2R (vl-(v2/2)) }dv.
62


Хотя нетрудно определить отношение сигнал/шум на выходе
.любого и з эт,ттх демодуляторов, вычислим его только для демоду­
Jiят ора мак,симального правдоподоб.ия, для которого оно прини­
мает особенно простой вид. Так как шум гауссовский, то оценка
/\
.:максимал ьного правдоподобия v величины v {см . ф-лу (3.33)] имеет
г ауссовское распределение с условным средн,им
/1
{ -v-Ts
}
Е(v/v)=Е v+-2
-
\ п(t)sin wctdtJv = v
ATs ,
о
(3.34)
11, с ледо вательно, является .несмеще.нной. Условная среднеквадра­
l'нч еска я ошибка имеет влд
cr) ~ Е [(v ~ v)'lvl ~ ЕIА'~; J' J'n(l)n(u)sin roJ sin ro, ududt !~ 2~ (3.35)
,11 11с зависит от v. Так как
(3 .36)
то оце нка максимального правдоподобия величины v эффективна
( · м . § 2.9). Наконец, от н ошение сигнал/шум на выходе просто
р : 111110
2
S
as
2i°
N
а2п
J' Jt c & =E(v2 ) & -средняя энергия принятого сиг.нала.
(3.37)
Дл я ,сравнения рассмотрим теперь оптимальные демодуляторы,
t' ·. 1 11 1 амплитуда сигнала имеет гауссов.ское распределение
- v2 /2cr2
е
s
(3.38)
13 э том случаё
p [v Jy(t)J = К ехр {2Rv/-(R + 2:~) v2} =
~К'ехр {-(R + 2:~) (v-~)2 },
(3.39)
/\
J'J tC v =//{l+(l/2.Ra2s)]. Следовательно, pi[vJy(t)]-тaкжe гауссов­
С !(а я ,плотность распределения, ,и она симметрична и унимодальна.
1 l оэ тому как оптимальная среднеквадратическая оценка, так и
< щс 1i ка по ма1~симуму апостериорной вероятности величины v имеет
I\IIД
л
I
v = E[v\y(t)] = --1-
1-+
--2
2Ra 5
I
(3.10)
63


где вновь &= &a2s - средняя энергия принятого · сигнала.' Более
того,
л
а2 = Е(v- v)2 = 1/(2R+ 1/а2)
п
s•
(3.41)
так что
(-1 .42)
В противоположность этому формула оценки максимального
правдоподобия, которая не зависит от апр·иорного распределения,.
остается такой же, как ранее, и .приводит к отношению сигнал/шум
(3.37). Оценка максимального правдоподобия, как уже отмеча­
,1ось, являет-ся несмещенной. Оценка, дающая минимум средне­
квадр а т,ической ошибки ,(3.40), однако, ,имеет смещение при лю-
бом конечном отношени·и с,игнал./шум &/N 0:
л
E(/lv)
v
Е (vJv) =
~
=
_
(3.43}
1+(2t/NоГ1
1 + (2'ti/NoГ 1
С помощью ф-лы (3.13) можно легко найти •с,пектр и, следова­
тельно, ширину полосы АИМ сигнала. Ограничимся здесь, однако,
рассмотрением (имеющим скорЕ:е теоретический, чем практичес.1шй
интерес) меры ширины полосы - эффективной ширины полосы,
введенной в § 3.3 . Напомним, что эта мера определяется макси­
мальной возможной плотностью, с которой АИМ каналы могут
быть уплотнены .по частоте без взаимной интерференции. Чтобы
определить ее, рассмотрим идеальную ситуацию, в которой все ка­
налы имеют совершенную синхронизацию; l-й канал передает сиг-
нал в,ида 1/ 2 Х1 siП: ffi1t, где Х1 постоянно на каждом интервале
iTs<!f< (i + 1) Ts для ,всех l. Тогда вых·од iдетектора • т-,го ,канала ,
вызванный им.пульсом, переданным по l-му каналу,
2
Ts.
.
тх15 SIПffi/SIП(J)mfdt=O, l=i=m,
s
о
е сли ffi1 и ffim-дeлыe, юратные велич-ине rcTs. Та.к ,как .два см·ежны х
канала должны быть разделены по частоте хотя бы интервалом
!/2Ts герц, то эффективная ширина ,полосы канала, очевидно, рав­
на ВэФФ= ' 1/2Тs герц.
З.6. Некогерентная по фазе амплитудно­
импульсная модуляция
Считается, что в некогерентной с.истеме связи фаза Ф не­
сущей является случайной величиной, равномерно распределенной
на интервале (G,2rc), и не делается никаких попыток оцен,ить ее
истинное значение . Некогерентная передача ведется тогда, когда
практически неразумно оценивать Ф непосредственно. Такая ,ситуа­
ция может •возникнуть либо из-за огра.н,ичений на сложность обо-
64


рудования, либо потому, что Ф ,изменяется слишком быстро вслед.,•
ств:ие нестабильности генератора, что не позволяет сделать точную
о ценку . В любом случае, если Ф - медленно меняющаяся функци~
времени на .интервале Ts, то разумно (удобно) рассм.атрив ать ее
J< а к равн омерно распределенную случайную величину, постоянную
ла любо м интервале передач,и одного импульса. Более того, есл~
Ts мно го больше, чем период несущей 2л/wс , то не будет лротив0-­
р е ч-ия в предположен.иях (которые будут сделаны в этом парагра­
ф е ), что фаза несущей неизвестна, .а фаза огибающей извести~
Т ЧJ-Ю.
Ес ли необходимо произвести некогерентную обработ ку, то пе.­
р с дав аемый сигнал должен быть изменен, чтобы отразить тот
факт, что злак величины v определить нельзя . Не существует спо­
со ба определить, была ли амплитуда равна v, а фаза н есущей Ф
, , л и же ам!плитуда ~была -v, а фаза ~несущей л+Ф. По этой лричИ,.
-н е , если ,демодулятор должен ·быть ,нек,огерентным, обычно 0I1рани.­
чива ются только положительным.и значениями величины v. Дей­
с тви тель.ный си г.нал s .по предположению о.пять имеет нулевое
с реднее; поэтому v ,имеет вид s+a, например, когда p(s) = 1/2а,,
-
a<s<a.
С этой оговоркой передаваемый оигнал будет та~им же, как и
р ане е {ер. с ф-лой (3.27) ], но теперь (при рассмотрении задач, свя­
:, ан ных с анализом характеристик демодулятора) принимаемыйсиr-
11ал имеет вид x(t, v, Ф) = V2v sin(wct+Ф) и является функцией
:LВух с лу чайных параметров, лишь один из которых следует оце.,.
нит ь . Следовательно, необходимо видоизменить выводы § 3.4, что­
G ы принять во внимание этот факт. Начнем с замечания, что опти­
~1 альн ый демодулятор сигнала y(t) = Ax(t, v, Ф) +n(t), когда фаз а
1 1 есущей изrвестна, основывается 'На .и.опол ьзовани.и 1п лотност~
расп реде л ения [см. ф-лу (3 .21) ]:
р[v\Y (t). 1ФJ = К'ехр [2R" fs у (t) ·1/2sin(wct+Ф) dt-R v2] Р (vlФ)=
ATs .)
о
= К'р(v)ехр{-Rv2+ 2Rv[ХcosФ + УsinФJ},
(3.4~,
т,
гдех= -
1-s у (t) ·v2 sin (fJC tdt;
ATs
о
1fs
у=-
1у(t)v2cos(fJCtdt
ATs.
о
и предполагается, что v не зависит от Ф. Без услов ная апосте-р иар-
11а я пл о тность раслределения вероятности p,[v Iy(t)], ,следовдтел ь ­
но, ,имеет вид
2:l't
P[viY(t)J = \. р [vly(t), Ф]р[Ф/у(t)JdФ=
о
3-281


2:п
=Kp(v) Jр(Ф)ехр !-Rv2 + 2RvMcos(8-Ф)}dФ,
(3.45)
о
где М2=Х2+ У2 ,и 8= arctgf[Y/X]. Если р (Ф) =
-
1 , O<Ф<:rr, то
2:rt
2:n
р [v /y(t)J = Кр (v) ехр {-R v2} 2: Sехр {2RM vcos (8-Ф)}dФ =
о
= Кр(v)ехр{-Rv2}10(2RMv).
(3.46}
rде ln(x) __: _ _ модифицирован.ная функция Бес-селя п-го порядка пер­
вого рода.
Та,к как величина '\,' не может быть отрицательной, то p{v/y(t) ]
не будет симметричной функ ц ией v независимо от вида функции
p(v) . Таким образом, оценка, оптимальная в смысле среднеквадра­
тической ошибки, максимальная апостериорная оценка ,и оценка
ма,ксимального правдоподобия в общем случае будут разл.ичны .
Ра,ссмотрим здесь только последнюю оценк 1 . Оценкой максимума
правдоподобия величины v является решение уравнения
дlogр[у(t)lv] =2R('М 11(2RMv) _ v)=О
дv
/ 0 (2RMv)
'
(З.4?)
и, следовательно, оценка имеет вид 1)
л
л
л
v = М/1 (2RM v)/10 (2RM v).
(3.48)
Имеется несколько трудностей, связанных с этим результатом.
Во-первых, то, что оценка величины v является решением транс­
цендентного уравнения, по меньшей мере, является неудобным.
Более того, решен,ие зависит от отношения сигнал/шум ,R= &/N0 ,
кот,орое, следовательно, должно быть и з вестным ,или должно быть
о ценено .
В отсутствии шума, J<огда ,R-нх:>, ,имеем I 1(2RMv)/I0 (2RMv)--rl,
и сцен.ка максималыrого правдоподобия величины v
А
v= М.
(3.49)
Хотя эта оценка не является оптимальной для любого уровня
шумов, она т е:v1 не менее имеет сVIысл даже тогда, когда стноше­
ние сигнал/шум не очень велико, и часто удобно .использовать ее
вм-есто оце<н·ки ма~,симального 1праВiдо:подо6ия. Функци-ональная
сх•ема этой а1п1п,р-о.кс-и:vrац.ии 1неко1герент,ного 1п о фазе АИМ 1п р.ием.ни-
1<а максимального ,пра 1в,J;о1по доб ия ,по.1шза,на ,на ри!С. 3.6 2) .
Интересно, что равенство (3.49) в точности описывает оценку,
которая получи лась бы, если бы одновременно оценивались ампли­
туд.а и фаза принятого сигнала. Оценка максимального правдопо-
1 ) Это уравнение им ее т также решение v=O, которое отбрасывается, т а ;;
как оно не зависит от n рпнятого сигнала. (При1,1. авт.).
2 ) Другая ,реализация рассмотрена в § 4.3. (Прим . авт.).


добия величюш v лр•и заданной Ф i(ф-лу (3.23)] удовлетворяет
уравнени ю
аlogР[у(t)\,,,ФJ = 2R[ХcosФ+УsinФ-
'"'] =0
(3 .50)
а,,
f2 5i,n l,)ct
1 )dt
х
х
АТ,
y{t)
,,
))
Рис. 3.6. Функциональ -
1r
у
ная схема демодулятора
х
А'~jdt
неког,ерентной по фа.1е
АИМ
V2 cos 1Jct
а оценка максимального правдоподобия величины Ф должна быть
решением уравнения
аlogр[у(t)\v,Ф] 2R [У Ф v • Ф]
о
---
-~-
-
=
V
COS - л.SIП
=
.
дФ
•
(3.51)
Решая одновременно оба эти уравнения, находим совместные
формулы оценок ма•1юимального правдоподобия для пары неизвест­
н ых параметроi3 v .и Ф:
Ф= 0= arctg[ ~];
(3 .52)
/\
V= м =[Х2+у211/2.
(3.53)
(Э то решение не единственно. Другое решение, определяемое ра-
л
/\
t3 енствами v=O и Ф=-arctgi[X/Y], дает оценку амплитуды, кото ­
рая не зависи т от .принятого ,сигнала, и поэтому отбрасывается .)
Хотя при неъ:огерентном прие ме оценка Ф не производится, ее
\ ЮЖНО построить по тем же наблюдаемым, которые используются
для оценки величины v . В силу того что по предположению фа за Ф
счит ается медленно ме,няющейся во времени (схема .приемника,
о-пи санная здесь, может быть использована только при этом пред-
л
положении), Ф; - оценка i - го импульса
-
должна нест,и некото-
рую информацию относительно фазы (i + 1) -го импульса. Та,ким
об разом, в пр-инципе , некогерентный АИМ прием может быть улуч­
ше.н при использовании оценок фаз, которые можно, вообще гово­
ря, получить л,ишь с чуть большими усилиями.
/\
Чтобы определить среднее и дисперсию оценки v=M., заметим,
1 1то , когдау(t)=V2А \1 sin(wct+Ф) +n(t), то Х и У имеют совмест-
11ое гауссовское распределение, .причем
!~ (Х) =--= ,1 соsФ,
· 1 ~ (У)== vsinФ;


в~= Е (Х2)- Е2.(Х} -'-С Е(У2)-Е2 (У)= 2~ ;
Е(ХУ)-Е(Х)Е(У) = О.
Та,ким образом,
р_( , Yv, Ф)- -2-ехр _
2
х1
-
1
{ (Х- VcosФ)2+(У- VsinФ)2}
2nan
2an
iik; no:rtaгaя (Х2 + У2) 112=М и arctg [;] =Ф, получаем
р(М, 01:v, Ф) = MRexp{-R[M2 +v~-2vMcos(0-Ф)]},
л
О<М~ -:rt<в<n.
Тогда ,
:п·
:P(Mlv, Ф) = Jр· (М, 0IФ, v)d0= 2RMexp{-R[M2 +v2]} Х
Xl0 (2MRv) =P(М'/: v), О<М,
и это выражение не зав.иеит от Ф. Далее
00
Е(МIv) = JМр(М/v)dM=
о
=;:~~2 e-R"t>'/2 [(1+Rv2) fo ( \v2) +Rv2/1 ( R2v2)] ;
E}M2 jv)= 5М2р(М I v)dM=; (1+ Rv)2.
о
Йспользуя асим•птотичеекое разложение функции
00
/'()
ех ~ (,-!) 11 Г(п+k+1!2)
п_Х= (2nх)112l,,J kl'Г(п - k+1/2)(2x)k '
k=O
i11олучаемЕ(М/,v) = v+- 1
-
+О(-1
-)и
4Rv
R2 v2
Е(М2 / v)•-E2(M / v) =
-
1+О(-1
-).
-
т
~~
(3.54)
(3.55)
(3.56)
(3.57)
(3. 58)
(3.59)
Следовательно, лри больших отношениях сигнал/шум R эта
1щ,енк-а является несмещенной для любой амплитуды v=f:0 и имеет
д:11сперсию, которая стрем,ится .к дисперсии для случая когерент­
ной обра ботки . Кроме того, так -как для любой амплитуды v имеем
Е=={(:vlogpfy(t) 1 v, Ф],)2} = 4R2E[ХcosФ+УsinФ - v]2=2R
$3


fc p. с ф-лам-и (3.50), (3.51)], то дисперсия оценки асимпт,отичеоки
J 1 р иближается к минимальной возможной диспер,сии, определяемой
!,
ф -л ой (2.66). Таким образом, оценка v=M а,симлтотически эффек­
т1 1 вна. Как отмечено ранее, параметр ~игнала v должен иметь не-
1,о торое ненулевое среднее значение v, если демодулятор некоге­
рс нтен по фазе. В частности, если v равномерно распределена на
11н тервале (О, 2а), то 6 ~ GБ(v2 ) =4а 2 6 /3 •и отношение ,сигнал/шум
11р,и некогерент.ной по фазе АИМ в случае больших & /N 0 прибли ­
же нно равно
(3 .60)
{е р . с ф-лой (3.37)].
Эффективная ширина полосы для нек,огерентной АИМ оцени­
вае тся также, как ·И в коге р ентном случае, с помощью определения
м инимального разделения между каналами, которое ус:траняет
вза имную интерференц и ю . Однако в случае некогерентного прие­
м а на пр-иемни;,е не известна фаза .переданного сигнала. Выходной
си гнал пр,иемника для т - го канала, вызванный импульсом, пере­
данным .по l-му каналу, равен (Х2 + У2) 112, где
Т.s
Т.s
Х~:·j siп(Cu/ +Ф)siпCumtdt. и У~ Jsin(Cu1t +Ф)cosCumtdt.
о
о
Что бы обе величины Х и У были равны нулю, разность Cu1-Cum
J l Ол жна равняться 2пk/Тs, где k- целое число и эффект,ивная ши­
рин а полосы при этом будет 1 /Тs, что вдвое больше, че·м лри ко-
1·срентной АИi\'1..
3.7 . Фазовая манипуляция
Если в соответствии с (дискретной по времени) инфор­
шщией меняется не ампл,итуда, а фаза несущей, то процесс назы­
нас тся фазовой манипуляцией (или фазовой те л еграфией , с0Ер а ­
щс 11но ФТ 1). ПринимаЕ мый снrнал имеет вид:
!!(1)= Ах(t, v) +п(t) = 112Аsin(Cui +Ф1)+п(t); iTs< t< (i+1)Ts,
(3 .61}
') Рассматршзаемую в § 3.7 передачу чаще называют фазовой ыодуляцией,
щ·т,,вл я я терми.н ФТ для случая дискретного множества {Фi} (см. § 4.5). Од-
11 ; 11,о в англнйскоы о ;тг11нале для обоих случаев используется единый термин
«pl1asc sl1ift I(eying»; поэтому при переводе был также сохранен единый термин
Ф Г. (Прилt . перев.).
69


где величина Ф; (-п<Ф;<п) представляет собой сигнал, т. е .
Ф;=s;л/а, где s;(-a<s;<a) - выборка, которая должна быть
передана на i-м импульсном интервале. К:ак и в случае когерент­
ной АИМ, частота Wc предполагается равной rл/Т,, где r - либо
целое чис:то, л ибо число, много большее единицы.
Апостериорная плотность распределения Ф при заданном y(t),
O~t~Ts, согласно§ 3.4 имеет вид
р(ФIу(1)) = Кр(Ф)ехр (;:J'y(/)V2sin (оо,1+Ф)dt}=
= Кр(Ф)ехр {2R(X соsФ + YsinФ)}, :
(3.62)
где К - постоянная, .не зависящая от Ф; R = & /Na. Величины Х и
У о.пределены в ,предыдущем параграфе:
1 \Ts
-
1 )Ts
-
Х=
-
у(t)V2sinwJclt; У=
-
у(t)V2cos wc tdt.
ATs .
ATs .
о
о
Плотность распределения, очев,идно, несимметричная функция Ф,
кроме ,некоторых частных случаев специального выбора величин
Х -и У; это утверждение справедливо незави,симо от априорного
распределения Ф. Среднее и мода 1плот,1-юсти рl[Ф Iy(t)] обычно не
равны друг другу, так что оптимальная среднеквадратическая
оценка и оценка по :11аксимуму апостериор н ой вероятности .не эк­
внвалентны.
Если выборки сигна.1а распределены равно:11ерно, то р(Ф) =
= l/2л; - -::1 <Ф<л, и
др[ФLfLi_l_)J = 2R[-Х sinФ+УcosФ]р[Ф Jу(t)J.
дФ
(3 .63)
Оценка по максю1уму апостериорной вероятности величины Ф,
/\
следовате J1ьно, юv1еет ви,:r, Ф = 8 = arctg1( У/ Х). (Эта оценка одно-
_ij(t)
х
t
fi. С05 lJr. t
А1 Jr1t
.1_ fdt
А7,;
х
у
Рис. 3.7. Функциональ­
ная схема демодулятора
максимального
правдо­
п одобия для ФТ
значна в интервале -л<Ф<п, есл.и з.наки выражений Х и У запо­
минаются и испо,;~ьзуются ,:~,,1я определен.ия фазового квадранта.)
Этr же о ц енка яв,1яется оценкой максимального правдоподоб!-!я
70


ве личи,ны Фi i[cp. с ф-лой (3.51) .при v=l] 1). Получающийся в ре­
з уль тате демодулятор ,изображен на .рис. 3.7 .
В оптимальном ФТ приемнике используются, таким образом, те
ж е самые решающие переменные Х .и У, что и в некогерентном
ЛИМ пр,иемнике, рассмотренном в § 3.6 . Там было ,показано , что
если y(t)= -V2'\•A siп(шсt+Ф) +n(t), то
м
р(М,0/Ф, v)=-
Rехр{-R[М2+v2 -- 2v М cos(0-Ф)J};
:rt
О<М, -:rt<0<:rt,
(3.64)
где М=(Х 2 +У 2 ) 1 ; 2 и 0=arctg(Y/X). Здесь величина v=l является
л
1юсто янной, и представляет интерес распределение оценки в = Ф.
И•меем
лrл
R('
р(Ф)= .J р(М, Ф)dМ= -;--J Мexp{-R[М2+ 1- 2М cos0eJ}dM=
о
о
e-R
(R)1/2 0 -Rsin28е I
= --+
-
cos 2е
--=-
2л
л
У2л
л
где ее= Ф-Ф; -2:rt <ее< 2:rt.
В с ледств ие того, что ллот.ность распр еделения ошибки 0е оценки
1JС личин ы Ф симметрична относительно 0е=О, математичес·кое ож,и­
J ( а 1-ше величины этой ошибки ,равно нулю и оценка не смещена.
1 ) Оптимальную среднеквадратическую оценку такж е лег ко найтн с по ­
~1ощыо разложения Ф в ряд Фурье:
со
Ф= ~ +(- l)n+ IsiпnФ; -л<Ф<л. Таким образом, Е[Ф/у(t)]
n=I
00
:п
"'
К'{1 2
'
\12
-=
2л 1.J --;; (-1)"+1 j exp{2RMcos(Ф-0)} sinnФdФ=K 1.,J---;; х
n=I
-:n
rt=l
X ( - l)n+Isinn0/п(2RM), где М=(Х 2 +У2 ) 112 ; 0 = arctg(Y/ X). Так так
Н
00
•
\12
.\
/J [Ф /у (t)] dФ = 1; К= [/0 (2RМ)Г1,тоЕ[Ф / y(t)] = 1.J--;; (- l)n+1sinn8x
н
11=1
!,, (2RM)
х--
~.
Если 2RM>> 1, то прибли женно эта оценка будет ;rметь в1ш
! о (2RM)
'"
~ ~ ( - 1)n+J siп п 0 = 0, т. е . будет эквивалентна оце нк е максимального прав-
1..J п
,,
1
1 tо 1юдобия. (При.м. авт.).
71


Дисперсия ошибки, в общем, 5lв.тrяеТ<:я довольно сложной функ­
цией отношения сигнал/шум R. Однако если R велико, то велич,и­
на ·0е с большой вероятностью будет малой. В результате выраже­
ние (2R) 112 cos 0е будет велико и
1/2
(2R)
cos ее
S -х2/2d l ехр[-Rcos20е]
е
х::::::: - ----: -:=------, -= -~~
- V2n (2R) 112 cos ее
-оо
(3.66)
(3.67)
Более тог,о, если 0е мало, то cos 0е ~ 1 и sin 0е:::::: 0е, так что
р(0е)::::::.( : )112 ехр [-R0;] .
(3.68)
Ошибка 0е имеет аоимптотически гауссовское распределение с
нулевым средним и дисперсией ,а2п= 1,/2R . Снова, как легко прове­
рить с ,помощью ф-лы ,(3.51), эта оценка аоимптотически эффек­
тивна (при v = 1); она не смещена и, когда R велико, имеет ми­
нимальную дисперсию, задаваемую ф-лой (2 .66).
Есл•и амплитуда сигнала рас,пределена ра•вномерно, то диспер ­
сия сигнала имеет в,ид
п
а2= _1_ sф2dФ =~
5
2n·
v
v
3•
(3 .69)
-п
Энергия пр,инимаемого сигнала постоянна и равна & =А2Тs. По­
этому отношение сигнал/шум на выходе
(S)
2:rt2 ~
:п;2(S)
tiФТ~зNo = з ti1°им•
(3.70)
Это приближенный результат, .справедливый, когда отношение
с-игнал/шум на входе {!, /N 0 достаточно велико.
Требования, предъявляемые к эффективной ширине· лолосы в
случае ФТ, в точности такие же, как при некогерентной АИМ. Рас­
суждения, ,приведенные в § 3.6, непосредственно ·примен,имы .и
здесь. Следовательно, эффективная ширина ,полосы ФТ сигнала
вдвое больше требуемой для когерентного АИМ сигнала, хотя на
практи ,ке ширина .полосы, ,которая должна быть отведена одному
каналу в обоих случаях, по существу, одна •И та же, что можно
понять, ,рассматривая соответствующие эт,им сигналам спектры.
3.8 . Заключительные замечания
В этой главе рассматривались наиболее важные свой­
ства .непрерывных по амплитуде импульсных систем ,связи, а имен­
но: вид оптимальных демодуляторов (при различных определения х
олт-имальности); достижимое на выходе отношение сигнал/шум~
72


с. п е I<тры с•игнала и требования к эффект.ивной ширине пол.асы.
Были и зу чены тр,и частные системы: когерентная АИМ, некогерент-
11 ая АИМ и ФТ. При равномерном распределении выборок сигнала
б ыJJо найдено, что отношение сиг.нал/шум при ФТ больше, чем при
1<о гер ентной АИМ в л2/3 раз, а для некогерентной АИМ это отно-
111 е.11·ие в четыре раза меньше, чем для ,когерентной АИМ . Спектры
э т их трех ,систем почт.и одинаковы, но эффективная ширина поло­
с ы равна 1/Тs герц для ФТ ,и некогерентной АИМ и l / 2Ts герц для
I<оrе рентной АИМ.
Интересно отметить то коли ч ество а.приор.ной информации, 1ю­
торое должно быть использовано различными демодуляторами
максимально го правдоподобия. Для ·котерент,ного АИМ демодуля­
то ра [ер. с ф-лой (3.33)] пред п олагаются ,известными мощность
принятого сигнала и фаза несущей сигнала, хотя от первого из
э т,их требований ч а,сто можно ,о тказаться, если важна только отно­
си тельная ам.плитуда с.игнала. При некогерентной АИМ демоду­
J1яции обходят,ся без знания фазы .несущей, хотя правильно спроек­
ти рованный демодулятор макеимального правдоподобия т.ребует
з нан,ия как уровня мощност и си гнала, так и уровня мощности шу­
ма ,[ф-ла (3.48)]. В случае ФТ нет :необходимости знать амплитуду
сигнала и уровень шума, но, очевидно, леобходимо .иметь в распо­
ряж ении опорную фазу, та.к как модулирующий ,сигнал может быть
о пределен толь,ко лишь ло разности между этой опорной фазой ,и
фазой J!,ринят-ого с•итнала. («НекОJГерентная» ФТ обсужда•ется в
следующей главе . ) Наконец, ФТ ,система обладает важным nрак­
ти ческим преимуществом: постоянством передаваемой мощности .
В противоположнос,ть этому ,при .когерентной АИМ с равномерным
рас пределением ам,п литуды оигнала требует,ся .пиковая мощность,
вт р-ое большая ее средней мощности.
Хотя огибающие им.пульсов для каждой ,из рассмотренных в
э то й главе ,систем ,были прямоугольными, по существу, аналогич­
ные результаты могли быть получены для •произвольной формы
о гиб ающей .f(t). В частности, если фильтр .приемника согласован
с ,импульсом if(.t)sin wct; O<t<Ts, где f(t) - медленно (по сравне-
1 шю ,с :периодом .несущей 2:n:/,wc) меняющаяся функция, ;и если при-
1шм аемый сигнал имеет вид Af(t)sin(,wct+Ф) +n(t), •ТО отношение
с 11rнал/шум на выходе фильтра равно
(АOISf2(1)dtcosф)
2
-
------
~
= 2cos2Ф 'g
No'
(3 .71)
J"J lC & - энергия принятого сигнала, а N 0 - спектральная плот-
1 1 uс ть шума. Очевидно, это отношение не зависит от формы ог.и­
Г>а ющей импульса.
Более того, хqтя оптимальные характеристики системы дости-
1 · ;~ются, когда фильтры ,приемника ,согласованы с принимаемым
73


имлульсом , однако метод исследования характе-рист,ик , изложен ­
ный в этой главе, в равной мере применим и тогда, когда , фильтры
не являются согласованным-и. Если прин.имае·мый импульс ,имеет
вид, описанный в .предыдущем а,бзаце, а импульсный от,клик фильт­
ра приемника .с,_ вид ,h(t)sin wc(T8 -t), то отношение сигнал/шум
на выходе
(А]ОС>f(t)h(Тs- t)dtcosФу
Nоо
-:- sh2(T8 - t) dt
-ао
• (},,f(t)h(Т8- t)dt)
2
= 2cos2 Ф __'§____
--'----------'----
No
~
Л2усоs2 Ф- .
со
оо
=
N0
sf2(t) dt sh2 (Т8- t) dt
(3.72)
-оо
-с;ю
Единственным результатом несогласованности фильтра будет
онижен.ие отношения ,сигнал/ шум на выходе в у раз [эта величин а
согласно нераве.нсtву Шварца меньше единицы, кр,оме случая, ког­
да функция 1h(Ts-t) отличает-ся от ,f(t) только множителем] . При
этой модификации предыдущие методы могут быть использованы
даже тогда, когда фильтры прием.ника несогласованные .
Это утверждение, очевидно, должно быть видоизменено, когда
передается последовательность импульсов, а импульсный отклик
ih(t) не равен тождественно нулю при t> Т8 • В последнем случае
на выход фильтра в моменты каждого отсче-та влияют как более
ранние ,им.пульсы , так и текущий им.пульс, и усредненная характе­
ристика -системы, в общем, хуже , чем предсказанная на основ е
рассмотрения одного единствен.ного импульса . Более того, утверж­
дение, что характе.ристика системы не зависит от формы импульса ,
также след у ет видоизменить , если канал связи не является кана­
лом с бесконечной шириной .полосы и белым тауссовским шумом ,
что зд есь .предполагалось. Если, например, ширина :полосы канал а
невелика по сравнению .с шириной полосы еигнала или если в ка­
нале ,имеется многолучев,ость с различными 1временами задержки в
различ.ных лучах, то характерис'Гика -системы в действительност и
будет функцией формы имп ульса .
Задачи
3.1. а) Показать, что если (гауссовский
белый , то равенство (3.21) пере хо дит в
{
Т5
p(vly(t))=KP(v) exp J[2Ay ( t) z (t ,
74
стационарный) шум не о бяза тел ь н о


.
т
где z (t, v) определяется интегральным уравнеsне м х (t, \1 ) = Js R п (1-т) z (т, v) ,dt,
о
а R,,,(t) - автокорреляционная фующия шума.
б) Пусть y(t)=x(t, v)+n(t); O<t<T,, где п(t)-гауссовский шум со
с 11 с 1пральной плотностью мощности S,, (,(J) ) , и пусть h(t) и Н (i(J)) - соответ ­
ств е нно импульс ный отклик и частотная ха рактеристика обеляющего фильтра,
0 11р еделя е мого равенством IH(ioo)l 2S n((J))=No/2. Показать, что если y(t) по­
д а ется на вход такого фильтра, то выходом будет Y1(t)='l;(t , v)+nw(t), где
Ts
'1; (1, v ) = .\ x(t, v)fi(t - т) ,d-т: и , где nw(t) - белый гауссо~вски i'! процесс .
о
в ) Показать, что приемник, полученный в п. а), может быть реализован как
обеляю щий фильтр, за которым следует при ем ник , который следов ало бы ис-
110льз овать, е сли принимается сигнал 1и з множеств а {'1; ( 1. , , ) } , определенного в
11 б ) на фоне белого гауссовского шума.
3.2 . а) Найти спектр АИМ сигнала, определенного равенство~~ (3.26) , где
11 -;
-
вз аимонезависимые случайные величины, равномерно распределенные на
1 11 1 те р вале (а, Ь). Сравнить его со спектром си гнала J/2 Am(t-11)sin(wct+Ф),
1·де m(t)=vi; iT, < t< (i+l)T,, а 11 и Ф -незав исимы е слу чайны е величины ,
рав номерно распределе нны е н а инте рвалах (О, Т ,) и (0,2:rt) соответственно.
б ) Повторить п . а ) для ФТ сигнала, определенного равенством (3.61), где
11е.1шч ины Фi - равном е рно распределены на интервале (--' :rt , :rt).
в) Повторить п. а ) и б), когда огибающие импульсов косинусоидальны, а
1 1 е п рямоугольны, т. е . когда сигнал состоит из последовательности амплитудно-
или фазовомодулированных им пульсо в вида У/2 Ap(t)sin (Фсi+Ф), где p(t) =
= V 2/3(1-cos 2:rtt/Ts),
3.3. Показать, что формула оценки, определяемая равенством (3.40), явля­
е т с я оптимальной минимаксной формулой оценки амплитуды АИ:М импульса
11 р и стоимостном 1,ритерии, определяемом сред неквадратич еской ошибкой , т. е .
1 10 1<аза ть, что эта формула оценки минимизирует максимум возможной с р ед н е -
1ш а дра тической ошибки, когда известна лишь дисп ерси я амплитуды сигнала (с
11 у л е вым средним). (Указание . Показать, что среди всех распределений с н уле ­
о ым с редним значением амплитуды и дисперсией •а 2 , гауссовское распределение
11р11водит к наибольшей среднеквадра ти ческой ошибке, когда используется эта
ф о рмула оценки.)
3.4. ФТ модули ро ванный сигнал s i (t)= Y2Asiп(,(J)ct+Фi); iT,<t<(i+l)T,
1 1 р 1шимается в присутствии белого гауссовского шума . .Приемник строится так,
/\
чт о б ы получить оптимальную оценку Si(t) прин я'!'о го сигнала в смысле средне-
1ша д р ат ического критерия и использовать фа зу этой оценки как оценку вели ­
• 11111 ы Bi. Показать, что получающаяся в ре зультате оценка совпадает с оценкой
ма ксима льного правдоподобия величины 0i.


Глава 4
ДИСКРЕТНЫЕ ПО АМПЛИТУДЕ
И ПО ВРЕМЕНИ СИСТЕМЫ СВЯЗИ
4.1. Введение
Схемы импуль-сной модуляции, рассмотренные в преды­
дущей тла.ве, были л,ре.;:щазначены для с.иnналов, 1п1редставлявших
собой непрерывные функции некоторого .параметра. Хотя опти­
мальный приемник для такого множества фун,кц,ий, очевидно, тре­
бует континуума согласованных фильтров, по одному 1на каждый
возможный принятый сигнал, рассмотренные системы •содержали
лишь один или два таких фильтра .
Этот случай не является общим. (Рассмотрите, например, олти­
мальный демодулятор, когда ·множество сигналов ,имеет вид
s(l/t) =V2A sinшt; ·O<t<Ts, где (J)-непре.рывный параметр . )
В общем случае оптимальный приемн.ик должен определять функ­
цию принятого сигнала для каждого 1возможного значения оце.ни­
ваемого пара11етра. В этих условиях для импульсной передач·и не­
прерывного ,параметра могут быть ,построены лишь приближенно
оптимальные лриемнИК,И. Часто можно получить удобное лр.ибли­
ж·ение, ~сл,и учесть, что .выход филь11ра, 1настр•оенното на сиг.нал
Sa. (t), будет, вообще говоря, большим, когда принимается сигнал
sa., (t) ,с ~параметром а1, отл·ичающи~мся л.ишь 1незначительно от 111а­
рам-е11ра а . Можно ,пред1положить, чтrо шрием:ни~к будет «1щрок,ва1н­
тошан» ~плотным м1нюжесТ1в-ом согласован,ных фильт,ров, ·заменяющих
теоретичес,ки нео·бходимое 6ес1конечное множ-ес11во .
Хотя квантование с-игнала на приемном конце у.прощает ,систе­
му ,связ,и , к ва1нто1вание :на 1пе,редающем ·конце 1п1р.ивод·ит 1к еще боль­
шим у,прощениям. Ис1п·ользование лишь .конеч,но,го числа с-и~г;на­
лов при,вод.ит, разумеется, к ошибкам ква·нтова1ния всякий раз,
когда .предназначенная для передачи информация ,по своей приро­
де .не является дискретной . Ошибка может быть, однако, абсолют­
но ,не суще,ст:венной ,или 1даже лолезной, так как почти 1при ,каж­
дом мыслимом использовании этой информац,ии требуется лишь
определенная точность. И в любом случае (так I<aI< еиr~нал неиз­
бежно .и~скажа,ется шу мом) ,достижИ1мая точность ограничена, не­
зависимо от используемого метода модуляции .
Можно утверждать, что потери при ,квантовании -сигнала до его
передачи малы ,;i, кро м е того, ,ква .нтование приводит к ряду пре ,и­
муществ. Основное преимущество .квантования состоит в легкости
накопления дискретной .информации, а также ее перемещения ,или
передачи из одного места ,в другое . Некоторые ,из менее очевид­
ных преимуществ ста.нут более ясными в последующих главах.
Главное преим у щество, которое использовано в этой главе , состо-
76


ит в сравнительной простоте анализа и реализации таких систем,
Рассмотрим в общих чертах работу системы: на вход передат­
чика дискретной системы связи поступает последователыюсть
цифр (в некоторой подходящей системе сч,исления). Он превра­
щает эти цифры в последовательность си.мволов, каждый из кото.­
рых выбирается ,из конеч1ного множества ,символов (будем н.азы­
вать его алфавитом символов) и однознач.но -соответствует неко­
то рому заданному отрезку последовательнос'I'и входных цифр.
Каждый ,из этих символов ,представляется затем с помощью не,ко­
то рого сиг.нала 1) s" (t); V = 1, 2, ..., N, где N обозначает число СИМr
волов в алфавите. Каждые Ts ,секунд будет передаваться один сим­
вол; обычно ,предполагается, что ,сигнал ;sv (t) равен нулю вне и1н­
тврвала (О, Ts).
Мерой .качества систем -связи, рас-смотренных в предыдущею
главе, было отношен,ие сигнал/шум на выходе. Для дискретны:!!:
систе:vr также можно определить отн,ошение сигнал/шум на выходе
(принимая во БН,има1ние, если нужно, среднеквадратическую ошиб­
ку квантования). Одна-ко более естественной и в больщинстве слу­
чаев более удовлетворительной мерой качества являет,ся вероят­
ность о~иибки в си,нволе, т. е. верс.,ятность того, что символ на вы,
ходе приемника отличается от переданного. Критерий среднеквад.­
ратической ошибки в -случае аналоговых ,с,истем .полезен, rлавш,~ш
образ ,ом, потому, что ее легко выч,ислить, ,а 1не потому, что он.а обя~
зательно является ·мерой качества, наиболее интересной для пот ­
ребителя. Фактически, как ,следует из замечаний, изложенных FE
пред ыдущих абзацах, постоянно существующие, .но малые по срав­
нению ,с требуемой для прин-имаемой ,информац,ии точностью ощиб~
кн передачи могут быть намного менее нелр,ия11ными, чем редкие,
н о большие ошибки в этой информации. В то же время средне­
кв а д ратическая ошибка в этих случаях может б ыть одинаковой.
Вероятность ошиб~ш в с·имволе представляется разумной осно,
вой для ,срав.нения двух систем, иепользующих одно ,и то же чи_сла
символ ов. Но нужно сдела1ь оговорку к этому утверждению. когда
сравниваемые системы ие,пользуют различное число символов "
А ,именно, есл,и алфанит сигналов содержит N символов, то каж­
дый принятый символ ,переносит log2N бит информации (т. е. та-
1,ое же количество информации, ,которое ,содержится в l,og2 N дво.­
ич ных символах). Ясно, что две системы, ,имеющие неравные числа
символов, можно разум.но сравнить только, если они используют
од ну и ту же энергию для передачи каждого бита информации~
С тои м ость пе р едачи оценивается полной энергией, н еобходимой дщJi
1~е.ред ачи все1г,о соО16щения, а 1не э-нер!гией, необходимой для удов­
J1 ет,вор ительной лереда,чи ;не1юторо1го сим1вола.
1 ) Обычно будем использовать слово «символ» как применительно -к опре-
1~сленному выше символу, так и для сигнала, который его представляет. Анало­
п1ч110 термин ~<а лфавит символов» будет обозначать как мно жество символов,
та1, 11 множество ёоотвеtствующих сигналов. (ПриАt. авт . ).
11


Далее в этой главе мерой качества служит вероятность ошнб­
ки в еим,воле. Чтобы сравн,ить ,системы, использующие различные
числа символов, следует определить эту вероятность как функr.щю
средней энергии, затрачиваемой на каждый бит переданной инфор­
мац,ии. В процессе вычисления вероятности ошибки в символе
обычно одновремен1но определяются та.кже вероятност,и ошибок
каждог,о вида (вероятности ошибочно вынести решение в пользу
s,Jt) вместо sμ (t) для любых μ и v). Эти величины в.сегда по же-
ланию можно использовать для •вычисления среднеквадратической
ошибки.
4.2 . Оптимальный когерентный по фазе приемник
и его характеристики
Если в гл . 3 рассматривалась статист,ическая оценка не­
кото1рого ~параметра ;принятого ,силнала, то здесь задачей яв­
ляется ,проверка многих г,нпотез. Эта задача рассматривалась в
§ 2.8, где было отмечено, что опт,ималь'ное решение в случае, когда
стоимость ошибки не зависит от конкретного вида ошибки, состоит
\В выборе rиiПотезы, имеющей наибольшую а1по'стери~орную вер,оят­
ность быть верной. Так как требуется минимизировать вероятность
оши·бки, то при рассмотрении все ошибк·и равноценны, и оптималь­
ный приемник фактически является приемюtкоjн Аtакси.мальной
апостериорной вероятности.
Сигнал на входе приемника имеет вид y(t) =Asv; (t-iТs) +n(t);
iTs<t<(,i+1)Ts, для некоторого значения Vi= 1l, 2, ... , N 1). Апос­
тер,иорные вероятности Pi[vly(t)] легко определить в предr:толоже­
нии, что шум - белый гауссовский. С ,помощью ра,ссуждений, ана­
логичных ,проведенным в § 3.4, получаем
{2А STS
•
А2 sт,
P[vly(t)]=kP(v)exp -
y(t)sv(t)dt- -
s;(t)dt =
No
No
о
о
{2А \тs
А2К }
= kехр - у(t)sv(t)dt-
__
v,
No.
No
о
(4.1)
где k - постоянная, 1не зависящая от i, а постоянные
Ts
N
Kv = .\ s~ (t)dt - А: logeP(v)
(4.2)
о
не зависят от принятого сигнала y(t). Оптимальное решение со·
стоит в выборе с,игнала s μ(t), где μ- значение v, которое макси­
мизирует выражение
Ts
AKv
zv = J y(t)sv(t)dt--2
-.
(4.3)
о
1 ) :как и в предыдущей главе, ,i полаrае:rся равным нулю, а подстрочный
индекс у v опускается , если это не будет вызывать недоразумений. (Прим . авт.) .
78


Оптимальный приемник, таким
образом, состои т из набора п арал ­
Jiельно соединенных согJiасова н ных
фиJiьтров, как показано на рис. 4. 1.
По предположению аддитив-
ный шум n(t) - белый и имеет
Рис . 4.1 . Функциональная схема оптималь­
гюrо фазовоко герен тного де,модул.ятора (а.1-
фавит с N символами); 1 - устройство, вы-
1\
y(t)
57 (t)
S2 (t)
носящее решен,ие; на выходе s (t)
s11 (t)
т.
J sdt
о
] Тsdt
1
о
JТs
dt
о
гауссовское распределение. Тогда, если y(it) = Asr(t) +n(t), то слу­
чаиные .в-елич.ины Z; имеют гауссовокое распределение для любого
задаtНного значения ,r. Так как шум белый, то El[n(,t)]=O и
E![n(u)n(t) ] = (N0/2)б(t-u), 1rде N0 -о~д.носто1рон,няя опект,ральная
плотность шума. Следовательно,
Ts
AKv
r111(r)ЛЕ(zv /r) = А.\ s,(t)sv(t)dt-- 2
-
(4.4)
о
а условная дисперсия случайной величины z"
т
Nfs
N
0'2 (,-)=_о
s2 (t)dt= _о~
=
а2•
v
2
v
2А2 v
v'
ъ
(4.5)
в ф - ле ,(4.5) Sv --энергия v - го лр,инятого
вариация велич.и.н zv и zμ
символа. Условная ко-
Е{[Zv-
'llv(r)][Zμ- 11μ(r)J/r}
Р И=-'-------'----'----~
vμ
<Yv <Уμ
т
1NS'
=
avаμ-Т
sμ(t)sv(f)dtЛPvμ = Pμv
{4 .6)
о
также не зависит от :переданного символа.
Если передается сигнал sr(t), то вероятность правильного прие­
ма этого сигнала -имеет вид
Pc(N; r) = Pr[z,>maxzk / r]
k=f =r
ао w,+'IJг-'I)'
ss
-со
-со
-ао
(4.7)
где wi= •Zi-Y]i; , Y]i="l']i(,r); w-13ектор-столбец (w,, W2,
..., WN);
w т - траН,сшонирован1ный ,ве~кто'Р-столбец, ·а А
-
(невырожденная)
79


осовариа~ц·ион:ная матри;ца А= {av<JμPμv} . Обозначение А- 1 п,ринято
для матрицы, обратной А, а IА 1 - ее определитель. Окончательно
:зероя'r.но сть ,ошибки ,в -раосматриваемой си1стеме ,св,яз•и ,и1м,еет в-ид
(4.8)
в~де опять P(,r) - априорная вероятность символа sr(t). Вероят­
н,ость ·ошиб,ки, ,в ,принципе, мож,ет быть ~вычислена для любой ,не­
вырожд,ен,ной мат,рицы Л 1по ф - ле (4.7). Но если на мн-ожество сиг­
,.:1алов {s;(i)} ~наложены некоторые 01гран,и~чения, то можно 1полу­
ч.ить ,в некото,ром от1ношени•и ·боле-е удобное для ~работы выраже.н,ие .
Как ука зывалось, оптималь,ный ш1риемник 1пр.ин,имает решения, .ис­
,rюльзуя :величины, ,ош1ределенные равен,ство,м :(4..З), .и, слеlдо,ватель­
ню, шодразуме,вается, что известны амплитуда 1п~ринято.то си/Гнала А
и спектра льная шют1-юсть шума N0 . Если, однако, сделать Kv не­
завис и мым от v, потребовав, чтобы энергия сигнала •Sv и а.п,р.иор-
11ые вер оятности P(v) не зав,исели от v, то ни один из этих пара­
метр о в не нужно будет измерять при реализации оптимального
nр.иемника . Это т,ре,бо,вание у,до,бно как с пра1кrическ·ой, так .и ,с
анали тической точки зре.н.ия.
Кр ом е того, передатчик может работать более эффективно, так
)]{ЗJ<: .передаваем,ая энергия будет относительно постоя1нна . Поэто­
му ,у~к азанные треrбова,ния щают болышие 1Пра.ктиче,с1кие 1п1реимуще­
rтва . Более т,ого, они обычно не влияют на на·иболее важные ре-
1ультаты . Средняя информац.ия, передаваемая на один символ,
Dчевид.н о, максим-изируется, когда априорные вероя11ности симво­
лов рав ны . В г.1. 10 рассматриваю11ся методы, .позволяющие пр,иб­
лиз-ить,ся к это',1У случаю пр,и произвольной статистике ,источника.
А если каждый символ априори равновероятен, то каждый сим­
вол переносит одно и то же количе.ство информации. Следователь­
но, на .передачу каждого е,имвола нужно тратить •одну и ту же
~нергию, есл,и этому .не мешают друг,ие обстоятельства.
Если ,источник осуществляет ,выбор из N символов, имеющих
равнь1е а·приорные вероятности, •И всем символам соответствуют
,2иr.налы с равными энергиям.и , то ол-гимальный пр.иемник просто
выч и сляет величины
Ts
t" = Sу(t)sv(t)dt
(4.9)
!)
Jil вы бирает наибольшую ·из них. В этом случае все еще примени­
~·ю ра венетво (4.7) для вероятности правильного решен,ия, но при
Ts
этом 1Jv (r) =А _\ Sr(t)sv(t)dt=A G"Pv, ,И
о
о-;=(N0/2)~=а2,
(4.10)
Ts
rдеPij= _J.r S;(t)sj(t)dt.
~.J
о


Раве.1-1стtю (4.7) лишь немного у,прощается при этих предположе­
ниях оТJносительно сигнала; ~вычисление вероятности ошибк,и все
е щ е можно 1вы1пол,нить только ,с зат,ратой значителыных уiСИЛ,ИЙ. По­
это му ,раесмотрим не,сколь.ко наиболее ~Важных ча,ст,ных случаев.
О 1рто~го .наль :ны ,е симв ,олы. Бели ,Pij=0 для 'ВС•ех i=l=j,
то множество символов по очевидным причинам называется орто­
го нальным алфавитом . В этом случае равенство (4.7) можно зна­
ч ительно упростить. Прежде всего, в силу симметр·ии Pc(N; :r) не
за висит от r. Вероятность прав,ильного решения равна ,вероятно­
с п, правильного определения (в приемнике) ,переданного сигнала
незав,исимо от ТОIГО , .какой ча,стный с'иrнал -был 1пер-едан. Более 'ГО­
г о , та'к как !Pij=O, i=l=j, ма'Г!ри,ца Л 1п~росто ра1вна 1пр-оизв-едению а2
1 1 а единичную ыатри цу 1. Подставим эти соотношения в ф-лу (4.7)
";[ G-~'/2
]N-1
-f1:-(2R)l/2]/2
Pe( N)=l -Pc(N)=l -j S V2п d~ е у2тс
d~ЛФн(Rь),
-оо-ао
-
( 4.11)
где Rь=,R/Iog2N= ({l,/N0 )log2N - отношение энергии принятого
си гнала, прихо дящейся на один бит , к спектральной плотности
шума. Следовательно, если 'Pij =0 для в-сех i=I= j, то вероятность
о шибки являет.::я функцией только числа сигналов N и от.ношения
с и гнал/шум на ,входе R = {!, /No . Эта функция ФN (Rь) была найде­
на ;численно . О.на изо1бражена .на ,р.ис. 4.2 как ,функция Rь для
раз личных значений: N .
Если имеются лишь два символа (двоичное ортогональ'ное мно ­
жество), то вероятность ошибки можно представить в несколько
б о лее удобной форме. Имеем
Pc (2)=Pr{z1 >z2 / l}=Pr{z1 -z2 >0/ l}.
Т а к как z1 , и 22 - независимые гау,ссовские случайные велич·ины,
то z1-z2=w -также гауссовская величина со средним, равным
ра зности средю1х величин 21 и 22, и дисперсией, равной сумме их
д н сперс,ий. Такиwr образом,
Ре(2)=Pr{w.,;;;:о11}= /1 s"' e-''
12 d~ л -1 [1- erf (Rь )112].(4.12)
12n
=2
2
Rb/2
В•ероят:ность ош.и,6·ки, ко1rда PiJ=,p для :всех i, j,
i =I= j . Бели все коэффи циенты взаим.ной: ,корреляции p;ii=I= j) ра1в-
1 1ы р и .каждый символ имеет одну и ту же энергию {!,, то вероят­
но ст ь ошибки опять не зависит от переданного сигнала в силу име­
ю rде йся ,симметрии . Хотя можно ввести преобразование 1перемен-
11ых в равенстве (4.7), которое свод,ит этот случай к только что
ра сс мотренном у ортогональному случаю, однако более .простой
~ 1 с тод определения вероятно.ст.и ошибки состоит в следующем. Сна­
ч а ла предположим, что ,р>О, и расс·мотр·им множество ..-:игналов,
11 о лу чаемое добавлением к каждому оим,волу sirt), O<t<T's, из
о рто гонального множества с N символами фиксированной фунюци,и
81


времени .r(t), T's<f<Ts. Корреляция между любыми из получен­
ных символов .имеет в-ид
-оо
\
1
\
1
\
1
1
\
i =1-= j;
i=j,
Рис . 4.2. Вероятности ошибок для ортогональных сим­
волов:
--- когерентная
по фа зе п ереда 1~а;
-
-
-
-
не когерентная по фа зе передач а
где & " -энергия г(t); {l,' - э.нергия si(t), а {!,-полная энергия
каждого нового с·имвола. Если {l, 11 / {l, =;р, то множество новых сим -
82


в о лов, как и тре бо ва л ось , содержит N символов, имеющих взаимо­
корреляционные коэффициенты Pij= •p, i*j. Но характерист,ики
с истемы связи, иСJпользующей это м1ножесТ1во с.иrнало,в, и системы с
о ртогональными -символами э.квивалентны. Последние Т.~-Т'_. се­
ку нд при вычислен.и- и . корреляции приводят к одинаковым резуль ­
т а там для всех N сим в олов и, следовательно, не могут быть исполь ­
з ова.ны пр·и их различении . Использование определенных здесь
н овых символов, следовательно, эквивалент.но использованию
о ртогонального множества с·имволов, каждый ,из которых имеет
эн ергию &'= &-&"= & (1-р). Аналогично, если р<О, то можно
н ачать с первочача л ьного множества сигналов {si(t)}, O<t < Ts и
с формировать н з .него ортогональное множество, добавляя к .каж­
д 9му из символов функцию 1времени r(t) , Ts < t<T's, где
Ts
.\ r2 (t) ,dt = 1р 1 &= -,р &- Опять характерист,ики системы, исполь-
тs
зу ющей новые (ортогона л ьные) символы. и системы, использующей
п е рвоначальные неортогональные символы, должны с овпадать.
Энергия новых сим,ВОJЮВ равна &'= & (,1+ 1р 1) = & (1-:р) . Так как
ве роятность ош и бки является функцией лишь .коэффициентов Pij
и отноше.ния сигнал/шум, то отсюда следует, что любое м ножест­
во •из N символов, к аждый из которых ,имеет энерг-ию & , с коэф­
фициентами взаимной корреляции Pij=p для 1всех i, j, ,i* j ,пр·иво ­
д ит к той же самой вероятности ошибки, что и множество N орто­
го нальных симRолов, -имеющих энергию & ( 1-р); имеем
(4.13)
где ФN определяется так же, как в равенстве (4. 11) . Это справед­
л,и,во ,как для полож·ительных, так и для отрицательных р.
Об оптимальном выборер. Какбылопоказановыше,
э ффективная э н ергия некоторо го множества сигналоз равна
& ( 1-р), где & - фактическая энергия каждого с имвол а, а
р = ,Pi.i - коэффици е нт вз а имной корреляции. Казалось бn1, что р
сле дует сделать как можно большим и отрицательным ( р=--1)
дл я того, чтобы мини м изировать вероятность ошибки. К с ожале-
11и ю, это возможн о только тогда, когда N =2; в остальных с .1учаях
коэ ффициент р н е может быть сделан столь малым. А именно ,
е сли алфавит с остоит из N символов, то коэффициент р огран,ичен
с н изу величино й -1 / (N-l).
На самом дел е можно доказать следующий более общий р е-
зул ьтат:
N
N
}
1
1
1
.
Pcp~cpeдf7epij= N(N-I) ~ pij=N(N-I){ . ~
Pii-N . =
i,fj
i, j=l
'• 1=\
i=pj
{
N
Т
1
1
1Nos·
·=_
__
\1-, __r s;tt)sju)dt- N . =
N(N-1) i.J CJiOi 2 .J
i,i=l
О
83


=
1
{No sтs[i,~]~dt-N} >--1
-
.
N(N- 1) 2
i.J а;
N-1
О i=l
(4, 14)
Далее, так ка.к Рманс Qmaxpij;?:
'
<pcp, то и Рманс и рср не меньше
-
i,j
i,f=j
- --J/ (1N-l). В частности, если ,Pij = ,р для в,сех i, j, i =1= j, то отсюда
следует, что p;?:-1/(N-1). Заметим также, что, если р равно
- 1/ (N- I), то множест,во сигналов линейно зависимо, т. е.
N
~ s;(t)/CJ;=O для всех t, O<t<Ts.
i=l
Если N велик,о , то 'Рманс ,и ,Рср ограничены сн,изу приближенно
нулем, так что ортогональные алфавлты близки к олтималь.ному в
смысле мини,мизации этих .коэффициентов. Если Pij=-1/(N-I)
для всех 1i, j, i=I= j, то вероятность ошибки такая же, как ,и для
N-символьного ортогонального алфавита •с энерг.ией на ,символ ,
равной fN / (N-1)] 6 . Такой алфавит называется трансортогональ­
ным алфав,итом или правильным симплексом.
~Можно было бы предположить, что так как эффективная э.нер­
гия пропорциональна 1-р, то оптимальные множества с,иг.налов
будут такими, для которых Рмакс {и ipcp) достигают минимального
значения - 1/ (N-1). Очеsидно, это верно, когда все коэффициен­
ты корреляци,и p;j (ii=I= j) должны быть равными по условию. Но ,
хотя справедливость этого утверждения кажется ·интуитивно яс.ной
даже для случая отсутствия условия равенства коэффиц,ие.нто в
•взаимной корреляции, оно остается ги•потезой .
Биортогональные мн,ожества сигналов. Рассмот­
рим другой случай, .представляющий определенный интерес . Пус ть
сигналы s 1(t), s 2 (t),
.. . , sN1 2 (t) образуют множество ,N/2 ортого­
нальных символов. Рассмотри.м множе,ст,во N символов s1(f) ,
s2(1t), . .. , Su1;/2)+1 (t) =- S1 (t), S(Nl2)+z(t) =-S2(f), .. ., SN(t) =-SNl2(t) .
Тогда
i О, i=l=j , j+N/2;
Pii= ~ 1,
l-1.
i=j;
i=j+N/2
1
'1
1
И Рср= N(N_ 1)i.JPii=
-
N_1
•
ij
i-=I= j
Та.к как Рмакс=О>-1/(N-1), то это множество сигналов не оп­
тимально в смысле, указанном выше, но Рср достигает н•ижней
границы . Кроме того, как станет вскоре ясно , такое множеств о,
называемое биортогональным алфавитом , имеет ряд знач,ительных
преимуществ перед ортогональным алфавитом . Так как обе функ­
ции, s;(t) и -s;(t), принадлежат алфав.иту, то оптимальный лри-
тs
емн,ик вычисляет величины zi = ,\ y(t)s;(t),dt, i = 1, 2, ... , N/2, где
о
84


снова .предполагается, что все сигналы имеют один,ш.овую энер­
гию, появляют(:я с равными априорными вероятностями. Пр,ием ­
ником выбирается велич·ина z;, имеющая наибольшее абсолютное
значение; знак Z; указывает, какой ·из сигналов +s;(t) ил,и -s;(t)
на,иболее верояте.н. Зде,сь, между проч,им, проявляется одно из наи­
более важных преимущест•в использования биортогонt~льного ал­
фавита, а именно: необходимы лишь N/2 согласован.ных фильт ров
для приема N •СИМВОЛОВ.
Вероятность правильного решения 1) Pc(N) опять .не зависит от
того, какой ,из сигналов был .передан, и равна вероятности того,
что если был передан Sн/2 (,t), то Zнl2> I Z; 1 для в.сех i<N/2; имеем
Pc(N)= Pr [zн12 > maxlz;[ \.!! __].
i<N/2
2
Так как величина z; имеет гауссовское распреде ле ние, причем.
E(zi I N/2)= { 0•
i<N/2; и var(z; 1 N/2)=cr7=(N0;2A 2)rt, TG
АG, i=N/2
Pe(N) = 1 -Pc(N) =
о,[ G -~212
](N/2)-1
_
[G-( 2R)l/2J2/ 2
1- 1 s-eds
еr-
.J
Y2n
V2n
О-G
(4. 15)
где Rь определено ранее. Выражение (4.15) было найде.но числен­
ными методами, а вероятности Ф'н(Rь) изображены графически и
табулированы, 1ка,к •фун11щия Rь для различных значений N. При,
любом N имеем: Ф'н(.Rь)<Фн(,Rь), .но ~различие ,станови11ся ,не­
значительным для N~8.
Вновь, если N =2, то вероятность ошибки может быть выраже­
на .с помощью пнтеграла вероятности в ,виде
СХ>
1-_J_S
e-G'l2 d 't. =
-
1 [1- erf (R112)] .
v'2n
~
2
ь
-(2Rь) 1/2
(4.16)
Этот результат можно также получить, замечая, что р 12 равно
-
1! для двухсимвольного биортогонального алфав,ита . .Вероятность
ошибки для блортогональ.ного алфавита, когда N =2, равна ве­
роятности ошибки для ортогональ.ного алфавита с эффективным
отно шен-ие,м 1с,и,лнал/ шум R (;J-,p1 2) =2,R.
Границы вер,оятности ош ,ибк,и. Выражение для ве­
роятн ости ошибr<:и в систе ме связи с N ,символам,и громоздко и с
ним трудно работать, если нет никаких ограничен,и й на коэффи­
ци енты корР'еля,Ции ,p;j, и даже в толыю что рассмо'Грен,ных частных
случаях ,вероятность можно ,найти лишь численно . К счастью. не-
1) Заметим, что ковариационная матрица А в этом случ ае вырождена так,
что нельзя прямо применить равенство (4.7) . ( ПpиJ.t. авт.).


трудно получ,ить простые границы для этого ,выражения, вполне
удовлетвор,ительные для мног,их .конкретных приложений.
Простейшая и наиболее г,ибкая граница ,сверху для вероятно­
сти ошибжи получает•ся ,из аддитивной границы, исп,ользованной
в § 2.8. Есл,и выходы корреляторов приемника обоз.нач,ить через zi
'[ф-ла (4.9)] 1), то ошибка возн·икает, если был передан r-й символ,
но zi~z,. для некоторого 1i=j=r. Так как эти события не являют,ся
взаимно исключающим·и, то
N
Pe(N; r)<2iPr[z;>z,}<(N- l)1~xPr{z;> z,}.
i=l
L~f
(4.17)
i=/=r
Более того, так как вероятность, по крайней мере, одного из
этих событий больше, чем вероятность какого-либо определенного
ИЗ .НИХ, Т·О
Ре(N; r)>maxPr{z;>z,}.
i
i,f=r
(4.18)
Необходимо лишь повторить
(4.12), чтобы получить
рассуждения, пр,иводящие J< ф-ле
1{
(R* )112}
_
2 1-erf 2
<. Pe(N; u·) <
(4 .19)
тде R* = min R ( 1-р;,•). Наконец, ·используя хорошо известные .нe­
iof,r
ра,венства
е-х'/2 (1-
_1)<_1[1- erf(~)]<е-:_'/2'х>О,
-V2п х
х~
2
у2
-V2л: х
находим, что
e-R*/2 (
1)
1•
{R*
}
1-- <:P,(N;r)<---exp --. +log(N-l)-
(2лR*) 112 ,
R*
(2л R*) 112
2
е
(4.20)
Заметим, что верхняя граница для вероятност,и ошибки асим­
лтотически ,стремится к нулю, когда N-+oo, есл·и R* /log2 N =
=-R*ь>2 log·e 2.
Более точная в общем случае граница ,сверху может быть по­
лучена с немного большими усилиями. Ограничим .рассмотрение
.алфавит.ам,и с ()ртогональными символаии, хотя результаты могут
быть распространены также .на пр,оизвольные множества сигналов.
Из ф-лы (4.11) имеем
Pe(N)= sе-<;:~•;, {1-[+(1+erf(-v\-))Г-'}d~,
(4.21)
-r: ,,
1 ) Если априорные вероятности и энергии сигналов не одинаковы для всех
символов, то Zi определяется равенством (4.3). (Прилл. авт.).
-
86


+[1+erf(+)]= 1- Jе~:~2dx = 1-[SJ
G
ss
dxdy Г' >
[
оо 2:rc
_,,
12
11, 2
>1-
J1_e __rd0dr
= 1 - -1-е-•'12 .
.J 2n
2
У2со
J
(4.22)
Неравенство справедливо в силу того, что каждая из велич·ин
x=rsin0 и y=rcos0 больше, чем~' только если О< 10<л/2 и
r~ V2 ~; обратное неверно . Из (4.21) и (4.22), а также •из заме­
чаний, что J +erf (~/V2) ~О для всех ~ и что -(l-x)N-1
~
1-Nx
для всех х~О, получаем, что для любого ~1 ~0
j-~
e-<,-Go)'/2
N е- GБ/4 soo е-<,-,./2)'
Pe(N)-<
у2п d'+
2
у2п d,.
(4 .23)
-00
Sl
.Эт,а ,верхняя гран.ица ·миним-изируется, есл·и ~1 определяется ра'­
венством
N -ф2
-е
=1
(4 24)
2
так как тогда подынтегральное выражение ,первого члена меньше,
чем подынтеграль.ное выражение второго члена для в.сех ~<~,, и
больше для всех ~>~1- Нако.нец, ,иепользуя границу (4.22) и ра­
венс1'во (4.24), получим
"'е-~'/2 _ _!_(_§_ -si)
"',
е-,;'/2
Рг(N)-< sУ2nd~+е2 2 JУ2nd' -<
G.-G,
2 (•• -~)
)
1 [ _ <so71>'
-[(•.-~)
2
-+( •i- :6 )]] _(so~~1)
2
2е
+е
=е
' ,1<~0< 2~1 ;
<1 _(Go-~1)2
_!__, (sБ 2)
1(sБ 2)
1
2
-
2 -2-
-
•1
З-Т
-2-
-
•1
2е
+е
-<2е
,
2~1<~0, (4 .25)
t
гд е ~20 =2R и ~2 1=2loge(N/2) .
Вер,оятность ошибки стремится, следовательно, к н улю .асимпто­
тически по N, е-сли ~0>~1 и, следовательно, если Rь>Ioge2 . (Из
рассмотрения аддитивной гран,ицы следует, что это заключение
с.праведливо только, есл.и Rь>2 loge2.) Нетрудно проверить, что
э то условие является необход•имым .и достаточным для того, чтобы
вероятность ошибк·и асимптотически пр,иближалась к нулю; так,
в действитель.ности Pe(N) асимптот,ичееки равна единице, если:
Rь<Ioge2.
87


4.3 . Некогерентный по фазе прием
Для ·целей ра;:r.иосвязи часто удобно .представлять пере­
даваемые символы в •ниде -
-.S;(t)= S;(t,Ф) = ·v2~i(t)sin(шсf+ej(t)+Ф)=
= V2а;(t)sin(шсt+Ф)+'V2~;(t)cos(шсt+Ф), 0<t< Ts.
(4.26)
Ранее, когда 1ра•ссматрнвался ,случай точ.но .изве-ст,ных Шс ·и Ф
':·а1,ое представ ле ние не использовалось. Тогда не делалось ника­
ких 1пр-едположений отн,осительно фор.мы ис1поль:зуемых •сиив.олов,
поскольку важны ,были только их коэффициенты корреля,ции. Если,
однако, как в § 3.6 , мы не хотим или не можем определить фазу
·несущей Ф, то ,принимаемый сим1вол 1долже,н быть 1п,рин,ят некоге­
рентно и более детальное нре д ставление (4.26) необходимо для
того, 1чтобы ,в ычислить характер·ист:иж-и ;с,истемы 1) .
Если Ф, по предположению, является ,случайной величиной,
равномерно распределенной .на интервале (О, 2:п:), а ai(t) •и ~i(t)
, считаются изВ'естными функциям·и 1в1ре,м-ени :~пrр (;Jдщоложен.ия, -кото­
рые состоятельны толыю, если a;(t) и ~;(t) медленно меняются
по •сравнению с sin(шct+Ф) ] , то легко олределить оптимальный
фазовонекогерентный приемник (см. § 3.6) . Апостериорная вероят­
ность того, что был передан i-й символ, если .принят сигнал y(t) =
=A:sr (.t, Ф) +n(t), а фаза Ф известна, равна
. P:(i I y(t), Ф)= Кехр [ 2А5тs y(t)s;(t, Ф)dt- '13;] P(i I Ф) =
•
1⁄4
1⁄4
о
= KP(i)exp {J!.i. + 2А [Xi соsФ + Yi sinФ]},
No
No
(4.27)
где К не зав,иоит от i. Здесь P(li) - априорная вероятность i -ro
Т
Т5
символа и 8,= J'A2s2;(t, Ф)d,t; Х; = Jsi(;f, О)y(t)dt и У;=
о
о
Ts
= S s;(t, ; )y(t)dt. Отсюда получаем, как в§ 3,6, что
о
.P(i I Y(t)) = KP(i)exp {- 'if!; } I 0 (· 2Az;),
(4.28)
No
No
где z;= (Х2;+ У\) 1; 2.
Если P(i) и & ; .не зависят от ri, то (так как !0 (х) - монотонно
;возра•с тающая функция х) P\(i \ y(t)) ма.ксимизируется, 1югда Z ;
1) Сигнал, рассмотренный в § 3.6, имел вид (4.26) при ~i (t) =0. Более об­
wее выражение с необязательно равными нулю ~;(t) позволяет рассматривать
.::и гналы с у глово й, а также амплитудной модуляцией. (Прим. авт.).
88


достигает своего максимума .
Следовательно, правило реше ­
ния максимального правдопо­
добия (по максимуму апосте ­
риорной вероятности) утверж­
дает, что μ - й символ принят
тогда и только тогда, когда
zμ>maxzv.
Приемник, соот-
v*μ
ветствующий этому правилу,
изображен на рис. 4.3 .
Другая интересная и полез ­
ная реализация оптимал ь ного
некогерентного по фазе прием ­
ника получается при рассмот ­
рении выхода фильтра, имею­
щего импульсный отклик
Рис. 4.3. Функциональная схема опти­
мального фазовонеко герентного демо­
дулятора;
1 - устрой-ство , выносящее реше·ния
hi(t)={si(Ts- (Ф)приО<t< Ts;
О
в остальных случаях.
-
s,v(t,D)
SN(t,Ji)
(4.29}
Если с,игнал y(t) .подается на ,вход такого фильтра, то его вы­
ход в .моме.нт t имеет в,ид
ф
t
J у(т)h;(t-т)dт= J y(т)s;(Ts+т-t, Ф)dт
_ ,,,
t-Ts
= Yi (t) cos (ffii- Ф')
-
Х; (t) siп (ffi/- Ф') = z;(t) cos [(J)cf+0;(t)], (4.30}
где
t
Xi(t)= J у(т) [V2a;(Ts+т-t)sinffic•+ V2\\(Ts+т-t)COSfficтJdт ;
t-Ts
t
У; (t) = J у(т) [V2 a;(Ts+• -
t) cos ffic•+ v2~i (Ts+•- t) sin О)сТ] d т;
t-Ts
Ф'=О)стs+Ф; Z;(t) =(Х;(t)+У7(t))1l2 ;
0; (t) = arctg (У; (t)) -Ф'.
Х; (t)
Выход этого фильтра является синусоидой с огибающей z;(t}
и фазой 0;(t). Так как z;(Ts) представляет собой решающую ста­
т иС'гику z;, определенную в ф-ле (4.28), то оптимальный лр .v.емник,.
о ч е видно, также можно реализовать с помощью параллельно с-ое­
д инных фильтров, вид которых задается равенством (4.29), детек­
тора огибающей, устройства, .производящего выбо,рки, ,и устрой 0
89·


ст,ва, выносящего решение (рис. 4.4). Фильтр ,hi(,t), который будем
называть некогерентным согласованным фильтром, согласован с
,сигналом s; (t, Ф) при произвольной фазе Ф. Интерпретация Zi (t)
S(tj
J
Рис. 4.4 . Реализация
схемы оптимального фа­
зовонекогерентного демо­
дулятора с помощью со­
гласованных фильтров:
1 - детектор огибающей; 2 -
устройство,
производящее
выборки; 3 - устройство, вы­
носящее решения
.как ог.ибающеи функции zi(t) cos ~wct +18i(1t)] являет,ся разумной,
а реализация детектора огибающей для выделения этой огибаю­
щей возможна, если zi(t) и ·0i(,t) относ.ительно постоянны на лю­
бом 2л/wс-секун:дном интервале. Но та.к как изменения во времени
zi(t) и 0i(t) происходят всецело из-за измt>:1ен,ий функций ai(t) ·и
Pi (1t), то факт.и чески этот случай и имеет мбtто.
В качестве первого шага .при определении вероятностей лра­
виль.ного решения заметим, что Xi :1 Yi являются гауссовскими
случайным-и велич,инами, причем
.
т
j.s
"'
~
л
'l'JxЛE\X; j 1·, · Ф}=А sr(t,Ф)s;(t,O)clt=: (P;rcosФ-p;rsinФ);(4.31)
о
т
'
'l'JyЛЕ{У; 1r, Ф} =j.ssr(t, Ф)s;(t, ~)dt = ·,~ (;irсоsФ+PirsinФ),
-
о
2
А
(4.32)
.:где
Ts
~
1"
Pir = ~ .\ [а;(t)ar(t) +-В;(t)Br(t)jdt;
о
т
л
1,s
'
.
Pir=-.
( [а;(t)Вг(t)- Bi(t)ar (t)]d!
\§оJо
(4.33)
и 6 = & i - энергия принятого сигнала, по предположению неза­
висящая от i, а &о= {!,/А 2 . Частота несущей •Wc по сраш1ению с
максимальной существенной част-отой модуляции предполэгается
достаточно высокой для того, чтобы можно было пренебречь инте­
гралами от J(омпонент удвоенной частоты. Это предположение ,ис-
л
-,пользуется и в дальнейшем. Кроме того, так как Pii= 1 и ·р;;=О,
то находим, что
No
•
о
var{X; 1,·, Ф) = ь0 2 = var{Y; 1r, Ф}Л а·;
.Е{Х;У, 1 г, Ф}-Е{Х; [ 1·, Ф}Е{У; 1 т, Ф} = О.
90
(4.34)


С ледовательно.
(4 .35)
л
Положив Z;=(X2;+Y2 ;) 112 ,
·0;=arctg(Y;/X;), а;=р;т&о и Ь;=:р;,•&о
и 1предлола~гая, ·что р(Ф Ir) =р (Ф) = l/2n, О~Ф<2n, ,получаем, что
для Z;~O
00
СО
p(z;/1·) = j'Jp(z;,0;j1·,
Ф)р(Ф)dФd01 =
-оо -со
-
z;
[ 27 +а;+ ьfj/((йj+ьn112z; )
-
-
ехр - ----- о
--
-
-
-
-
.
а2
2а2
а2•
(4.36),
Эта функция иногда называется райсовской плотностью рас­
пределения. Если а;=Ь;=О, то функ ц ия p(z;lr) сводится к релеев­
ской плот.ноет.и распределения:
z,
(z~)
р(z- 11·) =
-
ехр--
z.>О·
z.
а2
\
2а2•i
'
(4.37)
р(У·= z211·)= -
1 ехр[-.!А.] у>О
l
l
2а2
2а2 ,
l
,
(4 .38)
где р(у;) - плотность известного х - квадрат распределения ,с дву­
мя степенями свободы.
Вероятность правильного решения Pc(N), очеви д но, выражает­
ся через совместную плотность распределения р (z1, z 2 , ... , zw Ir), а
не только через одно:vrерные плотности распределения; имеем
Ре (N) = ~ P(I-) Pc(N; 1·),
....
где Pc(N; r) =Pr{z,->maxz1ijr}
k"4=r
(4.39)·
,[ер . с равенствами (4.7) и (4 .8)].
Не удивительно, что с этим выражением иметь дело даже труднее,
чем с соответствующим выражением в ,случае когерентного пр ,ие­
ма. Как ,и ранее, нужно наложить .некоторые ограничения на вели-
/\
чины p;j (и p;j), чтобы получить выражение, с которым легче ра­
б отать.
л
Ортогональные символы. Если p; j =,P; j =O для вес."
i, j, i=I= j, то говорят, что символы ортогональны . Вероятность оши6-
1< и в этом случае определяется довольно легко. Так как все гаус­
сО1вские случайные вел.нчи.ны Х; и У; вза·имно ,не ,коррелированы и ,
следовательно, ста1'нстически незав,исимы [т. е. та~< как E(X;Xj)-
-
E(X;)E(Xj) =E(Y;Yj)-E(Y;)E(Y,i) = N;'&o ~;J
и Е(Х;Уj)-
1\/о~Го /",
-
E(X;)E(Yj)= --
2- Pi .1 для всех i, j], то с.с1учайны е в.еличины Z;.
!\ ЭК функции независш1ых с1у ч айных ве.1ичин также незас<исимы.


rБолее того, в силу симметрии вероят.ность ошибки опять не зави­
,с,ит от передаваем-ого сигнала. В результате имеем
00
[z,
Pc(N)=Pr{z1 >~~xzklr= 1}= J
00
p(z1 / 1) __ .:lP(zi j
Из ф-л (4.37) и ,(4 .38) имеем
.z,
zf
zт
1j'
1 1· -у/2а'
-
2а'
,
р(zi11)dzi= -
е
dy=1-е
,
.
2о2 •
-•-00
0
д, исцользуя это равенство с равенствами (4.36) ,и
rая ~= ,z/cr ,и ~о = (2R) 112 = (2 {l,/N0) 1; 2, получаем
°':
[ ~2..L(;2j·
(
-
~ )N-1
Ре(N)= .\ ~ехр -~
/о(~~0) 1- е 2
d,.
о
Исюользуя би.н1омиальн,ое разложе,н•ие
N-1
(1- e-G
2
/2)N-1 = ~ (N-; -1) (- l)i e-iG'/2'
i=O
наход.им, что
?
Gij N-1
с,,
G'(i+I)
Рс(N)=е- 2 }J(N-;-1)(- 1);.)~е-- 2
-
/0(,~
0)d, .
i=O
О.
Последний интеграл можно вычислить:
00
G2U+1)
{2}
~е 2 l0(~t0)dt=--ехр - 0
-
,
j' --
1
~
•
-
-
i+1
2(i+ 1)
р
так что
1) dz;
dz1 .
]
N-1
(4.40)
( 4.41)
(4.40) и пола-
(4.42)
(4.43)
(4.44)
N
.
.
N
_
i-_1 R
Pc(N)=e-R ~C)(-I)1- 1 eR/ 1 =I- ~ JJC)(-l)ie 1 ;(4.45)
i=I
i=2
зде-сь использовано тождество (N ~ 1) i ~ 1 = С; 1) -Jv- и положе­
но j=,i+I.
Вероятность ошибки при некогерент.ном пр,иеме Pe(N) =
= 1-Pc(N) также была найдена численно. Она изображена на
рис. 4.2 r<,ак функция Rь=R/log2N для различных значен,ий N.
Заметим, что если N =2, то
1 -R/2
Ре(2) = 1 -Рс(2) = -е
• (4.46)
2
92


Неортогональные символы. Выражения для вероят-
11 с сте й о шибок при .некогерентном ло фазе приеме ·неортогональных
с 1 1 м воло в обыччо получить труднее, чем соответствующие резуль­
т ,1т ы дл я когерентного по фазе лр.иема . Приведенные выше ра,с­
t.:у жде н,ия, например, относ.итель.но метода рассмотрения множе­
с тва символов, имеющих одинаковые коэффициенты вза,им,юй кор­
р е ля ции Pi j =,р, как состоящего частично из ортогональных .и час­
т11 ч.но и з совпадающих отрезков функций, имеют небольшую цен -
1 1 ост ь в некогерентном случае, так как оовпадающие фун кци,и
1щи яют на решение . Пусть Xi=Xi+a 'И Yi=Yi+~ .
i=,l, 2, ..., N,
1 ·де а и ~ не зависят от i, а Xi, Xj, Yi и yj взаимно независимы при
все х i и j, i =1= j. Оптимальное решение строится на основе максими ­
зации выражения Zi= (X2i+ Y 2i) 1!2 = (X2i + y 2i +2axi+2~yi+ а2+ ~2) 112.
1lал ичие перекрестных членов axi ·и ~Yi не дает 1возможност,и ска­
.1 ать, что решение не завис.ит от а ,и ~. даже если эти
члены явля­
ю тс я общими для всех Xi и Yi соответственно.
Тем ,не менее можно •получить компактное ныражение для ве ­
ро ятности ,пра~вильного .ре ш ения Pc(N, р) ,при .некогер·е.нтном ,Пiр.ие­
м е с,имволов, имеющих одинаковые коэффициенты взаимной кор­
л
ре л яц,ии Pij=,p?,0, если pij=O. А именно ,
Pc (N, р) = (!- p)e-R JJхуехр [-+ (х2 + у2)] /0 [2R(l-p)1 12 х] Х
оо
-
' l 0 (pxy)[I-Q(V py, x)]N- 1 dxdy,
(4.47)
о,
.,·де Q(а, ~) = rх ехр (- -1-(х2 +а2)) /0(а x)dx
-
табулированная
,)
\
2
J3
ф у нк ция, изв е стная под названием ·Q - функци,и Маркума. Выв-од
1 то й формулы до,воль.но длинен и не будет здесь воспроизведен .
1 3с роятность о шибки P e(JV, р) = 1-Pc(N, р) была найдена числен-
110 и табулирована .
Бе л и N = 2, то ве ре. ятность ошибки при некоrерентном по фазе
11
приеме является функцией лишь R .и 1р ~ (р212 +р212) 1;2. Найден()
1 10 J1 ез ное вырюк ен ие для этой вероятност,и, а именно,
(4 .48)
Границы для вероятности ошибк.и. Неравенства
(-1.20 ), конечн о , в равной мере применимы ,и для не1югерентного
110 фазе при е м а ,JI •показьшают, что для произвольных значен.ий
;\
jl,, = (p2ij +p2ij) 1/ ~
(4.49)
93


Вероятн:::сть Ре{2, -Рiт}, определенная ф-лой (4.48 ), легко оце­
нить. Так как
л
n
О~Цх)= --;:5excos еcosn 0d0<-;;-Jexcos 0d 0= /0(х)
о
о
n
и l,;;:/&(x)<--;-Jed0=eX,
о
,о из ф - лы (4.48) следует, что
R
.
R
1-2
1-2 (pR)
-е <Ре(2,р)<-е /0 -
Х
2
2
2
Х[ 1+2~ е-~)"] <+(:+:(е-"";-"
(4.50)
(4.51)
(4.52 )
Так как граница сверху для Ре(2, .р) - ~1онотонно возрастаю­
щая функция р, то Pe(N; r) можно оценить с помощью величины
(\
р, ~ max-(p 2 i r +,p2ir) 112 • Фактически, ,кажется оче видным, что вe ­
i=!= r
роятность ошибк.и PJ(N; r) достигает своего м .и:нимума, когда
р,.=O . Так как решение основывается на абсолютных значениях
(\
решающих переменных , то -отр,ицателы~ые значения pij и Pij , по-ви­
д.имаму , будут также неприятны, как и положительные значения .
По крайней мере, .интуитивно кажется, что оп т имал ьным множе­
ством символов для случая некогерентно го по фазе приема будет
ортогонально е множе-ство .
Интересно срав нить эту границу сверху д.1я вероя тности ошиб ­
ки в случае н екогерент.ного .приема с соответствующей границей
для вероятност,и ошибки в случае когере нтного прием-а .[см. (4.20) ].
Из ф-л (4 .49) и ( 4.52) для некогерентног о прие:-.1а .им еем
P,(N~ r),;;: - 1 (1+Р,)112 ехр{-_в_(1-р,) + ]oge(N - 1)}.
(4.53)
.2
1- р,
2
Аналогичный результат для когерентного приема равен границе
(4.53), умноженной на (2/(1+.р,.)лR) 1 ; 2 . Велич ин ы р,. не обяза­
тельно , однако, одинаковы в обоих сл у чая х.
Рассуждения, кото рые приводят к границ е (4.25) для ве­
роятности ошибки при когерентном ,прие ~1е ор то гон альных симво­
лов, .применимы также -и здесь после небольшой мод ификации. Ис­
пользуя ф-лы (4.42) и выражения для границы сверху (4.50) и
(4.51) для !0 (х), получаем, что при ~2o=2R
00
•
(1;-~ .)•
P,(N) < J~е--2-- [1 - (1 -
e-1;' 12JN-I] d~ =
G
~.
;~
<Х) -ct;-t;o)')
=
\ e--- (i;-i;,J'd ~- +- Ne--4 \~e
4
d~
,;
.
{4.54)
(J


ф2
)\JIП любых ,1 ~О. Определяя е
=N/2 и считая, чrо P(Y(N) л,ред-
t· тнuляет верхнюю границу в ф - ле (4.2.S) для вероятност,и ошибки
11 с .11учае когерентного приема, для всех , 0 >,1 имеем
SI
(~- -•) '
J\ (N)-i/2:rt,0 P0 (N)< j'(,-,0)e--
2-d,+
о
1(2 •6)"'
-
(~- ~)
2
1- 2е2 ь1--2 J(~- ;o)e
2 d,<e-(G.- G,J'/2<Po(N), (4 .55)
G,
так что Pe(N) < (2 VпR+ 1 )P0 (N).
Границы вероятности ошибки ,при некогерентном приеме явля­
ю т с я, очевидно, экспоненциально ,совпадающими со сравнимыми с
1 111мя гра,ницами для случая когерентного приема, л условие, нак­
.1 1 ,~дываемое на Rь для того, чтобы соответствующие гра:нлцы для
о шибок были малы,ш, когда N велико, является одним •И тем же в
orio иx случаях. Это не уд,ивитель.но, так как фаза несущей, по
1 1р ед положению, ,остается ·постоянной во всем интервале некоге­
р с l[тного приема. Пр.и N--+= ,и нтервал, на котором производится
,11р ием, также ,стрем·ится к ,бес-конечност,и и фаза С'Игнала, ,факти­
'll'С l<И, оценивается безошибочно.
4.4. Генерирование ортогональных символов
В нескольких предыдущих параграфах расс матр,ивались
~а ракте ристики систем связ-и, .использующих конечные множества
t· 11м воло,в. Как было показано, вероятность ошибочного решения на
1 1р11емном конц е являет,·я фунюшей ли шь числа символов N, их
1ш э ффициентов взаюшой корре.1яции p;j ,и ,о тношен,ия Rь энергии
1· 11мвола на бит к спек тральной плот,ности шума. Утверждалось
1 ·: 1 юке, что опти:v1альные значения коэффициентов взаимной корре ­
м щи.и при отс утствни 1<ак,их-либо других ограничений равны p;j=
-
1/(N-1) ;1.ля когерентных по фазе систем и pij=O для некоге­
рt·11 тных по фаз е систем при всех i, j, i=l=j. Следовательно , когда N
1н·,11ико, ортогона льное ыножество символов, ,по существу , я,вляется
1111 т11малы1ым для обеих ситуаций. Очевидно, важн-о уметь 1<онст­
р у 1 1ровать так ое ,1ножество символов, которое можно ,испол ьзо-
11 : 1т1, в практ,ичесi(ИХ -системах. В этом параграфе о.писаны два лег -
1, 0 р еа лизуемых и широко ,используемых ортого:нальных множества
<' 11мпо лов и исе-1 ед ованы их эффективные полосы.
Сим,волы д.1я частотной ма.нипуляци.и. Множе­
(' 1 · 1ю символов, 11с пользуем ых в си,стеме связи с (дискретной) ча-
1' m тной маl-lunуляцией (ЧТ) 1), ,имеет вид
s 1 (1) = V2siп(cuc: ;:<i)t, i = О, 1, 2,
., N-1,
(4.56)
') ЧТ-частоrная телеграфия. (При,и . отв. ред.)
95


где roc=nl/Ts, а l и постоянные k; - целые числа. Коэффициенты
взаимной корреляции
Ts
_
2s.(+nk1)t • ( +nkj)tdt_{1, ki=ki;
Ptj--
SIП (iJC
-
sш (iJC
-
-
Ts
.
Ts
Ts
О k-~k-
o
.
1-т- ;,
(4.57)
и сигналы Si(t) ортогональны независимо от величины N. Ортого­
нальность в фазово:некогерентном смысле накладывает, однако,
дополнительные ограничения на ,целые числа k;. Положив
St(t, Ф) = V2sin(rocf_+ nk;t+ Ф)=v2cosлk; tsin(roJ+ Ф) +
Ts
Ts
+ V2 sin n k; tcos (rocf + Ф) = 1/2 a;(t) sin((iJct+Ф)+ y2pi(t)cos((iJJ+Ф),
Ts
(4.58)
находим, что
т
.
;ij = ;s{[а;(t) ~j(t) -
~i (t)а;(t)]dt = О,
(4.59)
о
толы1ю ;если k;-kj - четное ц,ел,о,е число.
Множество ортогональных символов, удовлетворительное для
когерентного ,и некогерентного ,по фазе прием0,в, определяется тог­
да равенством .( 4.56). Так как частоты сигналов должны быть раз­
делены хотя бы интервалом l/2Ts герц, чтобы гарантировать орто­
гональность в случае .когерентности по фазе, то эффективная ши­
рина полосы такого множества в -соответствии с определением
§ 3.3 равна N /2Т s, где N обозначает общее число символов. Если
ортогональные символы используются в некогерентной по фазе
оистеме, то эффективная ширина .полосы вдвое больше этой .ве­
личины.
Биортогональное множество всегда можно получить из ортого­
.нального (когерентного по фазе) множе-ства просто добавлением
снмволоn - si(t), i = 1, 2, ... , N к первоначальному множеству . Эта
процедура не увеличивает ширину пол.осы по сравнению с ортого­
:н.альным множеством, однако она удваивает число символов. Сле­
довательно, эффект,ивная ширина полосы биортогонального мно­
жества равна ,V/4T8 , что -составляет половину полосы ортогональ­
ного множества того же самого объема.
Спектр мощности случайной последовательности каких -либо из
этих символов может ,быть найден с помощью метода § 3.3.
Врем я-импульсная манипуляция. Вторым множест­
вом сигналов, с которым часто пр.иходится встречаться, является
следующее:
1
V2Nsin(iJJ при iTs < t<(i + 1) т~ ;
S;(t)=
N
i\
О
в остальных случаях.
(4.60)
96


Обычно, чтобы сохранить одну и ту же энергию импульса , вы-
111,рают 1Wc=lлN/Тs, г,де ,[-,цело-е ил-и l~ 1 . ,Си,мволы iпредставля -
1отся с ~помощью имmульсо.в, 1пюлож-ение кото~рых и O1п.ре1Деляет со­
о тветст:вуюrц,ий с,имвол . Сист,ема связи, использующая эти •символы,
'! 1,аз ы1вается СИlстемой с время-импульсной йанипуляцией (В Ии\!\) .
1ак ~как им1пульсы мо,гут ~появляться толыю 1в 1моме,нты t=iTs/N,
ра ссматриваемая здесь система является дискретной ВИМ .
Определенные равенством (4 :60) ,им-пульсы ·не перекрываются
no времени; они, очевидно, ортогональны 1в обоих - фазово-коге­
р е:нтном и фазово-некогерентнО'м - смыслах. Эффективная шири­
н а ;поло,сы JJавна N/2Ts -гер,ц в случае ,прие,ма, кО1герентного по .фа­
зе . Имеем
(i+l)T/N
2N J sinw tsinw tdt=О,
С1
CJ
iTsfN
ес ли Wc1 ·И Wc2 отличаются на целое, кратное величине .лN/Т рад/с.
В результате не возникнет .интерференция между любыми двумя
од ин.ако,вым,и ВИМ каналам,и до тех лор, лака их несущие -часто ­
ты будут отличаться на целое, .кратное величине N/2Ts герц .
То же самое множество ,сИМ'волов в случае некогерентного .прие ­
м а требует вдвое большей эффективной ширины полосы . Это про ­
( i+I)T8 /N
исх одит потому, что лерекрест.ный член 2N S sin wc 1 t cos wc2 td t
iT,fN
об ращается в нуль, е-сли потребовать, чтобы разность -wc 1
-
wc2 рав­
н я л ась целому, кратному величине 2roN /Т8 .
Опять с по-мощью добавления отри'Цательных -им п уль сов
-
s; (t), i= 1, 2, ..., N число •СИМВОЛОВ можно удвоить. В резуль­
т а те получим фазовокогерентное биортогональное мно ж е ств о , э ф ­
фе ктивная ширина .по л осы ,которого рав:на половине по л осы орто ­
г онального м.ножества, содержащего то же самое чис л о си:УJво л,ов .
Существуют, конечно, многие другие ис·пользуемые на п р а кт.и ­
ке методы генерирования ортогональных множеств сиrн а л оЕ . Один
1 1 з м-етодо,в, !Имеющий особое зна1че,н.ие, ~подробно 1ра1с с м о трен в
гл. 13.
4.5. Фазовая манипуляция ( ФТ) . Когерентньrй
по фазе прием
Еще ·-одним .м1ножестном сигналО1в , .пр-едставляющим не ­
который интерес, является следующее:
s1(t) =У2sin(wct+Ф1), О<t< Ts,
(4.61 )
где Ф;=2лi/N, i=O, 1, 2, ..., N-11 аи -wc=лl/Ts для :некото1ро1г0 ,цело ­
г о l. Система , использующая это множество сим.волов, отличается
о т 1ра·ссмотрен.н-0й .в 1tл . 3 ФТ системы толь,1ю тем, ,что зд·есь число
ф аз сигнала конечно . Термин ФТ будет :пр·именять!ся к обеим этим
4-~ [
~


системам с оговоркой в тех случаях, когд,а ,имеется опасность не­
доразумения.
Коэффициенты ,взаимной корреляции пр.и ФТ (случай когерент­
ной фазы)
(•
") 2:rt
pij=COS l-J
-
.
N
(4.62)
Если N рав.ао 2, то p;j равно -1 для 1i=l=-j, и множество являет­
ся ,оптимальным в смысле § 4.2 . Если N равно 3, то Pij .равно -1/2,
i=l=-j и снова мчоже,ство оптимально. Если N равно 4, то Pij равно О
для Ji-jj=l или 3 и pij равно -1 для Ji-jJ=2. Это множество
является биортогональным ,и, к~~к таковое, ми:н,им,изирует усред­
нен.ный коэфф,щиент взаимной корреляции. Вероятности ошибок
в этих случаях уже были определены в § 4.2 . Для больших значе­
ний N, одна.ко, точ.ные выражения для .вероятностей ошибок, по­
лученные в § 4.2, перестают быть применимыми, так как Pi.1 не яв­
ляются :независимыми от i и j для i=I= j и множество не является
rбиорто~гональным . Выражения для ,лраниц, при:веденные в § 4.2,
;конечно, остаются применимым.и. Однако в случае ФТ границы
можно существ~нно уточнить.
Легко найти для ФТ ,приемник маке,имальной апостериорной
вероятности. Согласно равенству ,(3.62)
{2АSTS
-
Р[ФiIу(t)] = КР(Фi)ехр
-
у (t) 112 sin ffictdt cos Фi +
No
о
2А STS
-
}
+No
O
у(t)V2cosffictdtsinФt ,
(4.63)
где К -.не зависит от Фi . Если Р (Фi) также не завис,ит от i, то
апостериорная вероятность Р{Фi Iy(t)] максимизирует,ся на таком
Фi, для которо,го ~величина
XcosФi + YsinФ1
(4.64)
достигает м.аксимума, где
~
~
Х= -1-1 y(t)V2sinffi/dt и Y=-
1-Jl y(t)V2cosffictdt.
ATs .)
ATs
о
о
Пола,гая Х =М cos Ф и У =М sin Ф (Ф=arctg У/Х), находим1
что апостериорная вероят.ность максим,изирует,ся таким Фi, кото­
рое миним,изирует зна чен,ие IФ-Фi \, так как Х cos Фi + У sin Фi =
=М соs(Ф~Ф;) максимально, когда аргумент косинуса минима­
лен по модулю 2л:.
В силу того что имеются N сигналов, равноотстоящих по фазе,
ошибка при приеме не будет происходить тогда и только тогда,
когда разность 0е между Ф и ,и,стинным значением фа,зы Фr лри­
нятого сигнала ограничена по абсолютной sел.ичине значением
98


n /N. Если l 0e/ больше, чем это значение, то разность I Ф-Фт+11
11 JJ.~ 1 разность Ф-Фт-11 будет меньше, чем IФ-Фтl , и в качестве
нр,инятого символа будет выбран некоторый другой символ. Cлe ­
Jtona тельно,
-л/N
P,(N)= 1- S р(0,)dее,
(4 .65}
--л/N
r;te р (0е) определяется равенством (3.65) .
Эту вероятность легко оценить. Заметим сначала, что согла,сно
(4.65 ) вероятность ошибки не зависит от переданного сигнала.
Прн заданном отношении сигнал/шум она зависит только от чис ­
ла равноотстоящих фазовых углов. Более того, вероятность ошиб-
1ш не меняется, если в качестве множества ,возможных фаз сиг-
11 ;;1 ла ,и,спользовать {Ф'i} вместо {Ф;}, где
(4.66)
Теперь, если передается Ф'0 и если У положительна , то ошибка
обяз ательно произойдет. Действительно, если У>О, О<Ф<п, то
некоторая другзя фаза Ф'; будет ближе к Ф, чем Ф'0 . Таким об­
разом,
Ре(N)~Pr{У>ОIФ~}=Pr{~< Ф< N+1:rtIФ0}•
N
N
(4.67)
I Io, кроме того,
Pe(N)= Pr{: <Ф<:rt /Ф0}+ Pr{-: >Ф>+:rt!Фо} <
<Pr{~< Ф< N+1пIФ}+Prf-
__::__> Ф>-N+1:rtIФ}
N
N
о
lN
N
о,
11 , следовательно, в силу симметрии
Р,(N)< 2Pr{: <Ф < N;1:rt [Ф0}=2Рг{У>ОIФ~}.
(4.68)
Так как У - гауссовская случайная величина со средним
1.::· {YI Ф'о} =-sin(:л;/N) .и дисперсией vaг{YI Ф'о} =N0/2 &;~ 1/ 2R, то
Рг{У>ОIФ~} =+[1-erf(RI12sin ; )];
+[1- erf(RI12sin ; )]<Р,(N)< 1- erf(RI12sin : ) .
(4.69)
(4. 70)
Ве роятность ошиб,ки в этом случае оценивается намного точнее,
11 с м это 111ожно сделать, испоJТ·,зуя методы § 4.2 ,[,см. неравенств о
(1.20) ].
Если N велико, то, чтобы вероятность Pe(N) была мала , в ел,и­
чшrа Rь =R/log2 N должна ,быть ~порядка No/:л; 2 log2 N . Следователь-
110 к1ва нт,ованная ФТ ,в общем случае ~сравнима с системами моду­
лпции, которые обсуждались 1ра,нее, только тогда, когда N от,нос-и ­
т ,пьн о мало.
gg,


Приведенные выше аргументы можн,о ,использовать при опре­
делеН,ИИ точногu выражения для вероятности ошибки в важном
слrуча•е, :когда N = 12; в этом случае 1В дейс11вительн1ости достигается
нижняя граница Ре. Так, есл.и Ф'0 =-:rn/2=3rr,/2, то ошибка будет
происходить тогда ,и только тогда, когда У .положительно. Если У
отрицательно, n<Ф<2n •и /Ф-(Зn/2)'1 будет :наверняка . меньше,
чем IФ-(n/2) j. Следовательно, если N=2, то
Ре(2) = +[1-erf(R112 )],
(4.71)
что подтверждает полученные ранее выводы отное,ительно биорто­
.гонального множества символов.
4.6. Фазовая манипуляция. Относительный
когерентный прием
Очевидно, что передача •С помощью обычной ФТ невоз ­
можн а без опорной фазы, так .как информац,Ия фактически содер­
ж,ится в фазе прин,Имаемого с.игнала. Вместе с тем, если бы инфор­
мация содержалась не в самой фазе, а в разности фаз последова­
тельных символов, то •необходимость в опорной фазе отпала бы.
В этом случае необходимо лишь предположить, что ,случайная фа­
за принимаемого сигнала остается строго постоянной в течение ин­
тервала 2Ts секунд, ,и тогда можно извлечь информацию из пр,ИНИ­
маемой последовательност.и с,имволов. А именно, если символ
si, (.t) = V2sin (roct+1i 1 (2л/N) + а) передается на интервале O<t< Ts,
.а s1.(t- Ts) = V2sin(roc(t-Ts) +i2(2л/N)+a) - на интервале
Ts<rt<2Ts, и е,сли абсолютное значение изменения а на ·интерва­
ле Ts секунд мало по сравнению с л/<N радианам.и, то влияние это­
го изменения на вероятность ошибочного решения от,носитель.но
разност-и фаз (i1-1i2 ) (2л/N) будет пренебреж,имо малым. Система
связи, которая использует разность фаз последовательных ФТ сим­
волов, называется относительной когерентной ФТ или ОФТ си­
стемой.
Чтобы найт-и вид оптимального (.по апостерлор:ной вероятно­
сти ) когерент,ного приемника для относ,ительного приема, восполь­
зуемся обычной формулой Байеса:
р[i iI(t)а]=Р(у(t)1i1,i2,а)РU1, i21а)
1,2У'
р(у(t) 1а)
'
(4.72)
где ·i1 обозначает символ, принятый на интервале времени O<t<Ts;
i2 -символ, принятый на интервале Ts<t<2Ts, и y(t) -принятый
сшrнал, искаженный шумом на ,интервале O<t<2Ts. При обычном
предположении, что вероятность P(i1, i2 ) не зависит ,от конкретных
значений символов i 1 и .i2 , оптимальное решение ,состоит в выборе
пары символов 1i1, i2, максимизирующих функцию правдоподоб.ия
2n
p[y(t) 1 i1, i2] = J p(n1 (t), п2 (t) 1 a)p(a)da,
(4.73)
о
100


rде р (а)= 1/2л:, О~а<2л: . ,Как обычно , предполагается , что фу.нк-
1.LИИ n1,(t) = У1 (t)-si, (,t), O< •t<T, И ~2(1t)= y(t)-:si 2(,t), Тs<t<2Т8-
бе лые гауссовские случайные процессы, а так как они расположе­
,ны на не:пересекающих•с,я интер,валах ,времени, то он.и независимы.
В :результате mолучим
(4.74)
С этим ,интегралом мы уже стал.кивались не.сколько раз; посту­
пая как в § 4.3, находим
2n+i ,(2n/N)
р[у(t) / i1, i2) = _!5__ s ехр{2R[ХcosФ+УsinФ]}d Ф=
2n
i 1 (2it/N)
= К/0 [2R (Х2 + У2)112] ,
(4.75)
где
~
2~
Х=
-
1- Sу(t)V2sin roidt+-1
-
Су(t)l/2sin(roct +i 2n)dt;
ATs
ATs J
N
о
~
~
2~
1s
-
1s
-v- ( 2л;)
У=-
y(t) V2 cosroctdt +- y(t) 2 cos (J)cf + i - dt
~
~
N
О
Ts
и Ф =1a+i1f2л:/W; i=ir-i1.
В силу того, что 10 (х) - монот,он.но возрастающая функция х,
опти мальное решение состоит в выборе такого значен,ия i=i2-1i 1,
к ото рое максимизирует вел,ичин,у Х2 + 1 У2•
За писывая
V
.2л;
•
.2л;
л=Х1+Х2COSL-
+у2SШL -
;
N
N
у
.
.2n+
.2n
= У1 -X2SШL- y2cos L-
,
N
N
(4.76)
iT5
XJ= АТ J у(t)V2sin roc tdt;
s (j-l)Ts
101


.получаем
х2+У2=хт+Yf+х~+у~+2(Х1Х2+У1У2)cos 2:/t i +
,
N
(4.77)
Полагая Х1Х2+ У1У2=М cos Ф и Х1У2-Х2У1 =М sin Ф, находим
аналогично результату, полученному в •случае когерентного ,прие ­
ма, что оптимальное относительно разности фаз ЛФ= (2n/N) Х
л
Х (i2-i1) = Ф2-Ф1 решение состоит в выборе ,ЛФ, которая мл'ни­
л
м,изирует значение \Ф-ЛФ \. Заметим также, что оценка макси­
мального правдоподобия величины Ф1 ~ a+i1 (2n/N) пр.и заданном
л
сигнале y(t) имеет вид Ф1=arctg(y1/x1), а оценка максимального
правдоподобия величины Ф2 =a+i2(2n/N) при заданном y(t) -
л
,вид Ф2 = arctg (Y2i х2) . Но
л
л
л
л
tgФ2- tgФ1
tg(Ф2- Ф1) =
лл
1+tgФ1tgФ2
У2Х1 -Х2У1 = tgФ.
Х1Х2 + У1У2
(4.78)
Следовательно, доказа,в следующий, согласующийся с интуи­
цией, результат: оптимальный .приемник разности фаз ,ЛФ выби­
л
рает значение ,ЛФ, которое минимизирует разность
(4.79}
л
л
где Ф2 и Ф 1 - оптимальные оце-нки фаз принятых символов s 1.(t)
и si,(t) соответственно.
Однако приемник, пол учаемый с учетом этого последнего за-
мечания, в некотором отношении является более сложным , чем это
необходимо . Более удобная практическая реализация пръведена
на .рис . 4.5; в · ней ислользуе тся тот факт, что оптимальное решен.не
требует знания только двух стат,истик Х1Х2 + У1У2 и XiY2-X2Y1 [см.
• (4.77) ]. Первая из этих статистик вырабатывается :на выходе верх-
Рис. 4.5. Функциональная схема демодуля ­
тора относительной когерентной ФТ:
1 - некогерентный согласованный фильтр; 2 -
фильтр нижних частот; З - задержка на Т5 , с;
4- поворот фазы на 90°; 5- устройство, выно•
сящее решения
него фильтра на рис. 4.5 {ер. с ф-лой (4.30) ], а ·вторая - на выходе
нижнего фильтра. (Здесь wcTs, по предположен:ию, равно четному
целому числу, умноженному на п.) Устройство, выносящее реше-
102


1 ;;1п, взвешивает эти выходы в моменты выборок t=iTs в соответ­
с тв ии .с равенством (4.77). ,В двоичном случае (N =2) этот ,прием­
шш становится еще проще, так ,как ,нужна лишь верхняя стати­
ст ика, определяемая верхним фильтром, а решение зависит толь­
ко от знака этог,о выражения.
Определение границ вероятност,и ошибки Ре в этом случае зат­
руд нитель.но. Можно подсчитать плот.ность распределения разно-
/\л
с т 11 фаз Ф2-Ф 1 , но результирующее выражение будет громозд-
1,и м. Вместо этого ниже получено пр,иближенное выражение для
(\
Р,, . Ошибка 0е1 =Ф1-Ф 1 .в оценке вел.ичины Ф, fфазы сим1Вола S t, (t) ]
з ад ается равенством {ер . с ф-лой (3.65)]
(2R)lfZ cos8el
( Х?)
Jехр-2dx~
-00
(2R)l/2
~ ---cos eel ехр (-R sin:1 ее1),
1/ J/2,i;
(4.80)
где опять R=(A2Тs/N0 ). Можно возразить,чтоэтолоследнееприб­
J I И Ж•ение в дейстrвительности являе11ся ;н•ижrней -границей для р (0е1)
п ри l 0e, 1~ (л/N). Во всяком случае, чтобы система имела прием­
J1 е мые характеристики, величина l 0e11 должна с большой вероят-
1ю стью быть мен ьше, чем л/N, а потому (2R) 1; 2cos 0е 1 в общем
сJ1учае велико п о сравнению с единицей, так что это приближение
/\
1 1 ме-ет ,разум,ную то~ч,ность . АналО1гично, [IОлатая 0е2=Ф2-Ф2 , тде
л
Ф2 - фаза символа s i, ( t), а Ф2 - ее оптимальная оценка , полу­
чае м
(4 .81)
Р е шение относительно ,ЛФ будет верным тогда и только тогда,
1,о rда l 0e 2~0e11 меньше, чем 2л/2N, и только ·в этом случае функция
(\
(\
(\
(\
1Л Ф-(Ф2-Ф1) 1 = IЛФ-ЛФ+0е2+0е11 будет до.стигать ми.нимума
(\
1 1ри ЛФ=,ЛФ. Более того, так хак 0е 1 и 0е2 должны быть малыми,
('CJ IИ выносится правильное решен.не, то Isin (0е2-8е1) 1=
-
1s iп 0е2 cos 0e1-siп 0е, ·COS 0e2 I ;.::; 1sin 18e2-sin 0е1 \. Поэтому
f,. (N)= 1- Pr{10,а- eel 1<;}~1-Pr{1sin(0е2-0е1)1<sin;}~
~1- Pr{1sin0е2- sin0,1 1< sin : }.
(4.82)
(2R)I /2
(2R) 1/2
110 p(a=sin0,1)~
_
exp(-Ra2) и p(~=sin0,2 )~ --- Х
'
y2n
-V2n
~ exp,(-R ~2), так что как а, так и ~приближенно.имеют гаус-
103


совские распределения с нулевыми средними и дисперсией 1/2,R .
В силу т,оrо, что а и 13 - ·независимые rау,ссовские величины, их
разность также rауссовская случайная велич,ина с Е (а-13) =
=Е(а)-Е(!3)=0 и var(a-!3)=E(a2 )+E(132 )=1/R. Таким обра-
зом,
P,(N)~1-Pr{1а-~1<sin; }=
sin(;r./N)
Jехр(- : у2)dу=1- erf{(~)112sin ; }.
-sin(1t/N)
,
(4.83)
Сравнение равенств (4 .70) ,и (4.83) показывает, что вероят­
ность ошибки для относительного когерентного -приема, по суще­
ству, ра·вна вероятности при когерентном приеме, если отношение
энергии ,сигнала к спектральной плотности шума в :п0:следнем слу­
чае уменьшить вдвое.
Справедл,ивость этого выражения для вероятности ошибки
очень сильно зависит от приближения в равенстве (4.82) . Это приб­
лижение, в св,ою очередь, зави,сит от преддоложения, что R cos 0е
велико . Для больших значений N условие \ 8e1-18e2 I<п/N доста­
точно для того, чтобы 8е 1 и :0е2 были малым.и ,и чтобы необходимые
предположения удовлетворялись. Таким образом, следует ожи­
дать, что оценка вероят,но1сти ошибiки, полученная вдесь, будет
иметь смысл для достаточно больших N. В важном случае , .когда
N1=2, точ1-юсть этого выражения сомнительна.
К -счастью, другой способ прив,одит ,к выводу точной формулы
для вероятност,и ошибки, когда N =2. В этом случае имеютс я лишь
два возможных символа : 1S1(t) = V 2sin ffict и s2(,t) =-·s 1(t). Для
определения разности фаз между двумя последовательны м и сим­
волами требуется различить лишь два события: либо на и нтервале
(О, Ts) был -принят с.иr.нал 5i(t), а на .интервале (Ts, 2Ts) -оиrна л
si(i-Ts), либо был принят ,слгнал Si(t), а затем ,сигнал -si (t-Ts) .
Ситуации одинаковы как при 1i= 1, так и при ,i=2 , так как .не ста ­
в,и11ся целью определ,ить i. НезавиС"имо от i, •следовательно , необ­
хо.п:имо лишь различить два 1« ра,сширенных символа»: u1 ( t) =si(t),
s;;(t-Ts) (случай, когда дв а одинаковых символа si(t) следуют
друг за другом) и u2(t) =Si(t), -si (t-Ts). Решение это й задач,и
полностью эквивалентно решению в фазово1некоrерентной си,стеме
относительно того, был ли передан сигнал u 1 (t) ,ил,и u2 (, t ) . Та к как
u 1 (t) и u2 (,t), очевидно , взаимно ортогональны ,И кажды й ,из них
имеет удвоенную по сравнению с символами s1 (t) .и s2,(,t) эн ергию ,
то вероятность ошибки согласно ф-ле (4.46) имеет вид
Ре(2) = -
1 ехр (-R).
2
Бели же .'Вос.польз,о.вать,ся ~ф - лой (4.83), то для N =2
Р,(2) ~ 2e-Rl 2/ V21cR,
что является довольно неточн о й о-цен.к ой .
104
(4.84)
(4.85)


4.7 . Сравнение вероятностей ошибок в бите,
символе и слове
Мерой каче-ства дискретных с,истем с вяз.и , .использован -
11ой повсюду в этой главе, была вероятность ошибки в с t': мволе.
С ледует иметь в виду, однако, что даже если две системы имеют
о,дн,у .и ту же вероя1шость ошибки 1в символ-е, их ха1ра1ктер.ис11ики с
то ч ки зрен.ия потребителя могут быть совершенно различными. На ­
•11ример, чем большее число битов приходится .на символ, тем боль­
ше эти ошибки в б.итах группируются вместе. Если вероятность
о шиб ки в симв-оле ра-вна ;Ю-3, то математическое ожидание числа
без ошибочных символов между какими-либо двумя ошибочными
с имволами равно 1000. Бели каждый символ содержит один б.ит
,и нформации, то математическое ожидание числа битов, разделяю ­
щи х д:ва ошибо,чяых бита, .рашло 1000, 1в то же .время математи1че­
с кое ожидан.ие этой величины, когда ,символ содержит 10 битов ,
ра вно 10 ООО бат. Естественно, что ошибка в симво.1е, вообще го ­
nо ря, создает больше ошибок в -битах ·во втором случае, поэтому
лр оцент ошибок в битах примерно тот же самый, как мы скоро
у видим . Тем не менее эффект группирования может сделать одну
с истему более предпочтитель,ной перед другой даже пр.и одной и
т о й же частоте ошибок в символах. Какая из них предпочтитель­
нее , зависит от конкретной ситуац,ии.
Одной из доволь·но часто встречающиХJся альтернатив меры ка ­
ч ес тва для дискретных систем является вероятность ошибки ,в б.ите ,
. :1 не ошибки в символе. Но эта мера качества имеет тот же недо ­
с т а ток, что .и ве,роятность ошибки ·в символе, а ,именно: она не
о бяз ательно является мерой, .представляющей наибольший интере,с
для потребителя . Часто информационные б.иты могут быть объеди ­
н е ны в информациою-rые слова, ,скажем, по k бит каждое . Каждое
сл ово может, например , соответ,ствовать одному наблюдению в
э ксперименте ил.и одному отсчету данных . Бели этот случай им еет
мест,о , часто оказывается, что приемлемой мерой качества явля ет­
с я вероятно,сть ошибки в ,информационном слове. Потребитель хо­
ч ет, чтобы принятое слово было правильным; если ка,кой-нибудь
б ит в слове является ошибочным, информация , представляемая
сло вом, может оказаться беслолезной для потребителя. Нс срав­
н и вать две системы .на основе их вероятностей ошибок в слове
J lО В ольно непрактично, так как результаты сравнен.ия будут раз­
; 1 ич ными при различных значениях ,k (число б.ит в слове).
,Короче говоря, хотя ве,р,оятность ошибки в символе может не
G ыть м ерой, подходящей какому-то потребителю, но и любая дру­
п~я ме ра будет подходящей лишь для некоторых ,конкретных си­
т уаций. К счарью, каждая ,из альтернативных мер качества, упо­
мшr утых выше, т. е. вероятность ошибки в б.иrе л вероятность
() 111ибки iв слов-е, МО['УТ быть, ,вообще .т-о,во1ря, до1волыно ~просто iНaЙ­
J lC.II Ы , исходя из ,,вероятности ошиб:ки в символе.
Ни же эти в,опросы рассматриваются подробнее .
105


1.Вероятности ошиок11 в бите;множества сим­
в о лов с равными коэфф.ициентами взаимно й
корреляции (p;j=1p) . Для того чтобы выразить вероятност ь
ошибки в бите Рь через вероятность ошибки в символе Ре в систе ­
ме связи с N символам.и, в которой коэффициенты взаимной корре ­
ляции p;j = 1р пр.и всех 1i, j, i =1= j, нужно л.ишь учесть, что вероят ­
ность того, что какой-л,ибо символ .перейдет в какой-либо другой
символ, не завасит от того, какие конкр ет ные символы рассматр и -
1ваются . Тогд а при условии, что произошла ошибка в символе, пе ­
реданная дво.ичная п-последовательность (n=log2 N) с равной в е ­
роятностью пе реходит в любую .из 2п-1 1 возможных других п - по ­
след о вательностей . Так как число п-пос ледовательностей, отлича ­
ющихся от данной п-последовательности в точности в i битах,
ра'вно. (~), то математическое ожидание доли п битов, которая
i,
будет ошибочной при условии, что символ является ошибочным .
равно:
У) ь=Е (доля ошибочных би товjошибка в символе)=
(4.86 )
(4.87)
2. Пероятности ошлбки в бите; м:ножест ·ва би­
ортого.нальных символов . Обозначая через Ре 1 вероят­
ность .перехода ,некоторого ,символа в некоторый другой заданный
сим,вол, отличный от до:полнения .к ,первона1Чальному, ~через Ре2 -
.вероят,ность ,пер ·ехода не~к,ото1р,0,го !С~ИМ'вола в ето до;полнение и че­
,рез Ре - :вероятность ошибки в симв·оле, юолучшм
Ре=(N- 2)Pel+Pez·
(4.88 )
Так .как Ре2 <Ре 1 , то математическое ,ожидание числа ошибоч­
ных блтов, очез11дно, .принимает минимальное з.начение, когда до­
полнительные п-лоследовательности представляются дополнитель ­
J:IЫМИ СИИ)Волами. в этом ~случае
n-1
Рь=Ре1 ~--;;
(;} + Ре2 = (2п-~- 1)Ре1+Ре2=+(Ре+Ре2)~Р,/2.
i=l
(4.89)
Приближение в последнем равенстве ф-лы ,(4 .89) справедливо
всегда, кроме случая малых значений N . Если N =2, то Ре =Ре2 и
Рь равно Ре, а не Ре/2. Интересно , что вероятности ошибки в бите ,
ког1да N = 2 и N = 4 одинаковы, если только два множества симво ­
лов имеют одну .и ту же энергию с,игнала на б.ит . Чтобы убедиться
в этом , обозначим через х выход фильтра, согласова:нного с од -
106


н им и з Л' = 2 биортогональных симнолов, а через х 1 и х2 - выходы
ф ильтро.3, ,согласованных с двумя ,из ортогональных оимволов би ­
о ртогонального множества с N =4 . Предположим, что отображе­
ние является таким , что, когда х, >'1x2 I, ,принятый ,е,имвол отож ­
дес твляется с сообщен,ием 00, а когда Х2 > 1х, 1, он отождествляет ­
ся с О 1. Если передает,ся {:имвол 00, то ошибка в первом бите про ­
нсхощит то1гда и толыю тогда, когда х, +х2 ~0, так как если сум м а
х1 +Х2 .положительна, то либо x,>lx2I, либо x2>l x 1\ . Т а ки м обра­
зом , вероятность ошибки в бите (в силу симметрии она одинакова
дл я каждого из двух битов) является вероятностью события
у~ (х1 +х2 )/2~0. Но та,к как х и у - гауссовские величины с
E( yl00) = +Е(х, !ОО) =E(xl0) и var(y) =+ var,(x1) +1 var(x2) =
1
=
2 var(x1)=var(x), то Pr(y<OIOO)=Pr(x~OIO), ,и ,вероятнос ти
о шибки в ,б,ите в этих двух случаях ,совпадают .
3.Вероятности ошиб,к,и в бите; ФТ символы.
В э том случае вероятность перехода оимвола в какой-либо из двух
« бЛ~ижайших» (rпо фа:зе) с.имвол0:в, очевидно , !МIНО'ГО больше (если
ве роятность ошибки в символе достаточно ма л а) , ч е м
ве роятность какой-либо ошибки другого вида. Отображая двоич­
ны е п-,последовательности в символы таким образом , чтобы пара
п- последовательностей, соответствующих каким-либо двум смеж ­
н ым символам, отличалась от каждой .из ,остальных л.ишь в одной
дв о'ичной ~позиции, можн,о добиться того, чтобы наиболее ,вероятное
ч}~,сло ошибок в битах при условии ошибки в символе было Пiросто
р авно единице . При таком отображении
Pь ~ Pe/log2 N.
(4 .90)
Отображение, удовлетворяющее ограничению , описанному в
пр едыдущем абзаце, .называется кодом Грэя . Существов а ние кодов
Г рэя п-последовательностей для всех целых п легко установить
мет одом ,ищ1,укции. Пусть g 1, g2, ..., gN такое упорядочение двоич­
ных п-последовательностей, что ,gi и gн 1 отличаются лишь одним
битом 1для /Всех i=•l, 2, . . ., N 1(N+l=l). Далее ~пусть v 1gi обозна­
чае т (п + 1) последов а тельность, получаемую с помощью прибавле­
ния двоичного символа v в качестве префикса к gi, Тогда яоно , что
0g 1, 0g2, . .. , 0gN, lgN, lgN-1 , . .. , lg2 , lg1 является упорядочением
( п +1 1) -последовательностей , удовлетворяющим тому же огр ан.иче­
юпо . Так как последовательность 0,1 предiставляет такое у1Порядо­
<1е ние для п = 1, то коды 'Грэя существуют для нсех п .
4. Вероятности ошибок в слове . Бсл~и k бит обра­
з ую т слово и если для предста·вления каждого бита ис пользуется
один символ, то вероятность ошибки 'В слове
Рш = 1- (1-Ре)\
(4.91)
1ле Ре - вер,оятность ошибки в символе. На рис . 4.6 сравниваются
веро ятности ошибки в слове , когда : 1) каждый бит пятибитового
107


информационного слова лередает,ся как б.иортогональный ,символ;
2) когда каж!П,ое слово .передае тся как один из 32 б.иортого.наль­
ных с.имволо·в.
По-видимому, наиболее важ1ный вывод, который можно сделать
при сравнении ве.роятности ошибки .в сл•ове •с вероятностями оши­
бок в б.ите ,ил,и символе, ·вытекает из поведения этих вероятностей
при малых отношениях сигнал/шум R. Используя какую-либо одну
.из последних двух мер качбства, находим, что для достаточно ма­
PUJ . 5оит!симоол 1оит/сим5ол
!О
о
1/
i'> .IO. /
!\\
'•
\\
'•
\
'
!
-
100
101
Рис. 4.6. Сравнение вероятнос­
тей ошибок, приходящихся на
слово (k=5)
лых значений 1R .тrучше использов ать
по возможности меньшее число сим­
волов. Это положение быстро меня­
ется, однако, с ростом ,R. Если же
рассматриваются вероятности ошиб­
ки в слове, т о в противоположность
этому всегда лучше использоват,,
символ для того, чтобы представить
слово, а не бит (ер. с рис . 4.6).
Это свойство довольно легко о6ъ­
яснпть. Если рассматрива ется ве­
роятность ошибки в слове, то в ка­
честве меры качества представляет
интерес вероятно сть пере хода сиг­
нала, представляющего одно слово,
в 1,акой-либо сигнал, представляю­
щий неr<0торое другое слово, неза­
висимо от числа битов, соответст­
вующих каждому символу. Если же
каждый бит индивидуаль н о пред­
ставляется с помощью, например,
одного трансортогонального симво­
ла (p12=-l) и k битов составляют
слово, то корреляция между двумя
сигналами ,(;п1рещ;ставляющими сло­
.ва) и.з1мбняеТ1Ся от ,p;j=(k-2)/k до -11. Но в .когере нтной системе
тран,сортогональ,ные а,оды, ,имеющие •Pij =-1/ (2k- 1) для ,всех ,i и j
,при ,i=f= j, 1по -1видимому, о,птимальны ;при ,всех значениях R (с,р. с
§ 4.2). Поэт.ому сдолжно iП1роя,вляться ,преимущество ото·бражения
слов !перед отображением отдельных бит,ов в тра,н.со,ртогональные
символы. Так как характеристи.ки множеств орт огональных и би­
орт-огональ,ных с.имволо,в бли.зк;и 1к хара.кте,рлст,и.кам 11ра,н~сорто•го­
нальных множеств, то следует ожидать, что те же выводы справед­
ливы и для ра:нее •ра,ссмотр•ен:ных .алфавитов.
Наконец, когда l слов отображаются одним символом, вероят­
ность ошибки в ,слове может быть выражена через вероятности
ошибок .в ,символе аналог,и,чно тому, как это было ,сделано :при по­
лучении вероятностей ошибок в бите, выраженных через вероят­
ности ошибок в символе. В качестве примера предположим, ч:то
пара сл,ов, содержащих k битов ,каждое, должна быть передана в
виде одного ·из 22k ортогональных символов. Математическое ожи-
108


дание дол,и ошибочных слов лри условии, что про.изошла ошибка
в сим:воле, .имеет ,вид
l
'l'Jw = 2 Pr (первое слово правильное и второе слово ошибочное)+
1
-f - - 2 Pr (второе слово правильное и первое слово ошибочное)+Рr (о ба слова
21'-l
22k-J-2(2k-J)
2k
ошибочны)= 22k - l +
22k_ l
= 2k+1•
(4.92)
Следовательно,
2k
Pw =--Ре.
(4.93)
211 +1
4.8 . Заключительные замечания
Вероятность ошибочного ,приема в системе передачи, ис­
пользующей N символов равной энергии и канал с белым гауссов­
ским шумом, является фу~нкц,ией лишь уровней ,сигнала и шума на
выходах фильтров приемника и корреляции (понимаем,ой как в
когерентном, так и в некоге,рентном смыслах) между этими раз­
ли чными выходами. ·Следователь.но, замечан,ия, аналогичные сде­
ланным в § 3.8, в равной мере уместны и здесь при ,соблюдении
тех же общих условий. В ,частности, ,не существенны конкретные
виды сигналов, используемые в рассматриваемой здесь ,системе
связ и; все алфав.иты ,символов, имеющие одно 1и то же . множество
коэффициентов корреляц.:ии, являются одинаково хорошими, если
они используются пр.и од.них и тех же уровнях сигнала и шума .
Боле е того, анэлиз характеристик, проведенный в этой главе, при­
мен им не только к олт,ималыным ,приемникам. Результаты легко
могу т быть распростра,нены на приемн,ики, отличные от при емников
с ,согласова ,нными фильтрами , е,сли можно определить уровни сиг ­
нала •И шума на выходе и корреляцию между этими ра зличными
n ыходами. Однако результаты , юолученные при использовании сог­
лас,ова1нных фильтров, дают нижние границы для вероятности
о шибки, достижимой при использовании какого-либо другого мно­
же,ств а фильтров .
Системы связи, рассмо11ренные здесь и в предыдущей главе,
служ ат основой при последующем ра,ссмотрении ,проблем ,синхро­
ннз·ации. Это •воJЗ.се не означает, что это рассмотрение охватывает
псе интересные системы ,связи. На самом деле .некотор ые очевид-
11ы е вар.ианты (например, д.искретно-амплитудная АИМ, непрерыв­
!1О-амплиТ1удная ВИЛ11, частотная манипуляция ,и когеренТ1ная отно­
с ит ельная ФТ) и гибр.иды этих систем , (например , АИМ-ФТ) ера­
ау же напрашиваются сами собой. Тем не менее ра,ссмотре.нные
сист емы являют,ся достаточно представительJНыми, чтобы дать воз-
1мож1-юсть ,о,бсу1дить IВОПрО·СЫ синхронизации ~ доста'ГО'ЧНО общей
JI OCTaJIOBKe.
109


Задачи
4.1. а) Предположим, что принимается сигнал 11 2 y1;(t)siп(wct+Ф)+n(t);
,Q ~ t~ Т , , где ~ (t) - один из двух равновероятных ортогональных сигналов рав ­
ной э не ргии, а n(t) - белый rауссовский шум. Фаза несущей - случайная ве­
.личин а, р ав номерно распр1;:деленная на интервале (О, 2л), а амплитуда сигна-
.ла 'У - сл уч ай на я величина с релеевским распределением р (у) =2у е-У', у;:,:О.
,( Если такие характеристики случайной амплитуды и фазы возникают вследствие
влияния канала, то он называется J<аналом с рел е ев с килш залшра,шялш или
.мн.оголу ц евыл~ каналом. Такой канал возникает, например, когда энергия сиг­
н ала перенос и тся бо льшим числом лучей с примерно одинаковыми затуханиями,
но меняю щим и с я задержками в разных лучах. Если у л Ф могут считаться
постоянными на протяжении каждого символа, как здесь предполагается, го­
ворят, что з а мирания являются медленными.)
Показать, что минимальная достижимая вероятность ошибки в символе
равна Р,= 1/(2+,R), где R. -
отношение средней принятой энергии на символ к
с пектральной плотности шума .
б) Предположим теперь, что принимаемый сигнал имеет вид Y21;(t)sin wct+
+ Y2y1;(t)siп(wci+Ф)+п(t) с теми же обозначениями , что и ранее . (Первое
слагаемое, называемое спектралыюй компонентой, может возникать, если один
из лучей на м ного превосходит все остальные . ) [}оказать, что если использовать
для этого сигнала тот же приемник, который был использован в п . а) этой за­
дачи, то вероятность ошибки будет Р',=Р, exp{-P,R,}, где Р, определяется,
к ак и в п. а), а Rs - отношение энергии спектральной компоненты к спектраль­
ной плотности шума .
в) Описать оптимальный приемник для сигнала, определенного в п . б).
4.2 . [}оказать, что вероятность P,(N), определенная равенством (4.8) , удов­
л етворяет неравенствам:
1{
(R* )112 }
N- l{
(R**)I/2 }
2 1- erf,Т
3⁄4РеlN)3⁄4- 2
-
1-erf2
,гдеR*=RХ
N
2
Х {+ ~(!---р,)112 } ;R**l=m~nR(l-p,) и
r=I
ством (4 . 19)] .
р, = min (1-р;,) [ер . с неравен­
i
i=! 'r


Глава 5
ОПТИМАЛЬНЫЕ ФИЛЬТРЫ,
СОГЛАСОВАННЫЕ ФИЛЬТРЫ
И СИСТЕМЫ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРО й КИ
ЧАСТОТЫ
5.1 . Введение
Задачи, ра,ссмотренные в двух последних главах, в то й
ил.и иной мере были ,связаны с извлечением ·информации из -с и гн а ­
ла, искаженног,о шумом . В к·аждом случае сигнал ·представлял со­
б ой последовательность функций, каждая .из J{оторых, в свою оче­
редь, была функцией одного илл большего числа пара м е тров , ко­
торые по предположению оставались неизменными в течение
известного интервала времени длины Ts ,секунд. Задача состояла
в определении (с возможно большей точностью) .параметра, пред ­
ставляющего иfiТересующую информацию. Это привело к рассмот­
р е нию согласованных фильтров и связанных с ними устройств .
Эту тла:ву .наrчнем с .исследования вида <<-ОIП'l'Имальног,о» фильт ­
ра для намного более общего класса сигналов . А именно, прини­
маемый сигнал представляет ,собой выборочную функцию произ­
в ольного стационарного в широком смысле случайного ,процесса,
описываемого лишь с помощью автокорреляционной функци и (или,
что эквивалентн,о, с помощью спектральной плотности мощности).
Пусть входом фильтра (наблюдаемыми) будет процесс y(t). [В
общем случае y(t) имеет вид y(t) =x(t) +n(t), где x(t) предст а в­
ляет ,собой .информацию, а n(t) обозначает шум]. Обозначим вы -
л
ход фильтра через z(t), а желаемый сигнал - через z(t) . Т огд а
оптимальный филь11р определяется как фильтр, который д ает :наи­
лучшее приближение в смысле ,среднеквадратической ошибки к
желаемому сигналу z(t), т. е . оптимальн ый фильтр выбира ет с я
так, чтобы м.иннм.изировать ошибку
л
cr;=E[z(t)--z(t)]2 •
(5.1 )
Предполагается, что случайные процессы y(t) ,и z(t) стационарны,
а параметры фильтра не зависят от времени, так что ошибка а2е
тоже не зависит от времени.
Для того чтобы ,определить структуру оптимального фильтrра .
об ычно необходимо ,ввести ограничен.ия на класс рассматриваемых
/\
устройств. Предположим, что фильтр линейный, так что z(t) бу ­
де т линейной функцией наблюдаемых y(,t) . Это огр а.ниrчение и м еет
; 1.n ойное преимущество: оно не только приводит к отн о сительно
,нр о стой .процедуре оптимизации, но также позволяет физически
ре ализовать усТ1ройство (ил·и, 1по ,J{jрайней мере, mолучить хорошее
J1 р и ближение) . Частотная характерист,ика опт,имального линейно­
го фильтра будет получена в следующем .параграфе.
ш


Следует указать, что некоторые другие критерии ошибок, от­
личные от среднеквадратиче,ской ошибки, также могут быть удов­
летворительными, а в некоторых ситуациях •И более адекватным.и.
С р едняя абсолютная ошибка
/\
еа=Е/z(t)- z(t)/
или мак,симум абсолютной ошибки
/\
ем=mах I z(t)-z(t) 1
t
(5.2
(5 .3)
могут представлять, например, больший интерес для потребителя,
чем ореднекваrдратическая ,ошибка . Важна также средняя ошибка
л
ТJ = E[z(t)-z(t)J.
(5.4)
Однако если 'YJ отлична от нуля, то ,нетрудно по1<азать, что сред­
неквадратическую ошибку можно легко уменьшит::.. Предположим,
/\
что "'(t) - выход оптимального в смысле среднекваμ.ратической
/\
ошибк.и фильтра, и рассмотрим функцию <J 2e(a) =E![e(t)-a -z(t)]2=
/\
=E!~z(t)-.
z(t)]2--2a'YJ +а 2. Так как <J 2e(a) - монотонно возраста­
ющая функция Ia-ri 1, то можно уменьшить среднеквадратическую
ошибку, вычитая из выходного сиг,нала фильтра постоянную 'YJ ·
Во вс ех практических случаях при этом оптимальный в с,редне­
ква драти,ческом смысле линейный фильтр обычно не меняется при
наложении ограничения также и на среднюю ошибку . Во всех ин­
тересны х случаях средняя ошибка на выходе такого фильтра фак­
тич ески равна нулю 1).
Причина ,предпочт е ния критерия •среднеквадрат.иче,ской ошиб­
ки перед д,ругими со.стоит, главным образом, в его удобстве . Ма­
тематич е с к ие олерац.ии не являются громоздкими, а реше.ние зада­
чи можно .получить в явном ,в.иде; это .последнее утверждение ле
в ерн о, вообще говоря, почти для всех других нетривиальных кри­
териев, которые можно было бы выбр,ать . Боле е того, с интуитив­
ной т,очки зрения среднеквадрат.ическая ошибка - довольно удов­
летворителыrая мера качества. В конце концов, о.на является
«мощностью» или, с точrш з,рения статистики, диспер,сией ,сигнала
ошибки . Наконец, если необходимо дальнейшее обоснование для
в ыбор а ·крит•ерия с,редн,еквадратичес.кой о-ши6к•и, уrп,омя:не,м, что ,во
многи х в,ажных случаях получающийся в результате фильтр яв­
ляет,ся оптимальным с точки зрения значитель.ного более общего
класса критериев. После всего сказанного ра,ссматриваемая зада ­
ч а сводится к з адаче оценки того типа, который обсуждался в§ 2.9 .
(Как и в предыдущих главах, можно вначале профильтровать при-
л
1 ) Это не эквивалентно утверждению, что оценка z(,t) величины z(,t) явля­
ется несмещенной (см. § 2.9) . Скорее математическое ожидание смещения равно
нулю. (Прш,t. авт.) .
112


нятый сигнал и с помощью теоремы отсчетов ,све,сти множество
наблюдаемых к диск;рет,ному множеству У, а затем допустить, что
полоса частот фильтра станови11ся бесконечной.) Задача состоит
в оценке ,случайной ·величины z(to) в некоторый момент t0 на ос-
1-юве наблюJщемых y(t), tr <!t<,t2•.
,(Обычн•о .в ,рассматриваемых
зд есь задача t 1 равно -оо, а f2,s;;;;)o.) Но, по § 2.9 оптимальная
л
.
'
о ценка z(t0 ) величины z(to) для широкого кла,сса .критериев, вклю­
чающего в себя критерий среднеквадратической ошибки, имеет
/\
вид ei(to) = E[z(ta) 1 У] . В частн.ости, это е1прашедливо, если стоимость
/\
о шибки e(to) =z(t0 )-z(t0 ) являе11ся какой-либо монотонной неубы­
ва ющей функцией e(t0 ) и если ~плотность распределения p:[z(t0 )1I У]­
си мметрич н ая унимодальная фун·кция :z(t0). Этот случай возникает,
например, когда и y(t), и z(<f) -совместно гауосовские случайные
процессы. Интерес,но также отметить, что El[e(t0 ) /У] является л,и­
ие йной функцией наблюдаемых У= {yi}, есJ1И случайные величины
z (to), Yr, У2, .. . имеют совместно гауссовское ,распределение. Таким
об разом, если y(t) и z(t) совмест,но гауссовские процессы, огран,и-
•
/\
чение, состоя щее в том, что оценк,а z(ta) должна быть линейной
функцией y(i), является из,лишним . Тот же ,самый результат ,по­
лу чает,ся без этого о гран,иче-ния для любой стоимост,ной функции,
к оторая является монотонно неубывающей функцией ошибки
/\
e (to) = z(to) - z(to).
5.2 . Оптимальный линейный фильтр
Оптимальный линейный фильтр, в соответствии с дан­
r rым выше определением, минимизирует с,реднеквадратическую ,раз­
ность й2е между ;некоторым желаемым с,игналом iz(t) .и выходом
л
фильтра z(t). Таким образом, требуется найт,и фильтр ,с импульс­
ны м откликом f;(t), для которого величина
и~ = E[;(t)-z(t)]2 = Е {J,,
0
y(t--c)h(-c)d-c -z (t)}
2
00
00
00
= Rz(0)-2 SRyz(-c)h(-c)d-c + S SRy(т-ri)h(-c)h(ri)d-cdri (5.5)
-оо
-оо -оо
J~остиг ает своего м,ин.имально возможного значения. Через Rав ( т),
1с с1к о'бычно, обозна'Чены июрреляционные фун•юции Rав (,:) = •
-= E:(1a(1f) В(t+т)) ,и R а(,:) =tRaa(-r) .
Как будет показано, оптимальный фильтр легко найти, если на
11 го не накладываются никакие дополнительные ограничения. Од-
111 ,шо , чтобы решение имело какой-нибудь практический смысл, од­
но ограничение нее же должно быть наложено. Оно состоит в том,
• Iто1бы фильтр был физически реализуемым, · т. е. чтобы си1Гнал на
113


выхо.де отсутствовал до 1моме,нта 1поя1вления еиг.нала ,на wo входе 1и ,
следовательно, чтобы его им-пульсный отклик li(t) был тождествен ­
.но равен нулю для 1всех t<O. Хотя это олраничение до некоторой
степени усложняет анализ, оптимальный физически реализуемый
фильтр может быть найден лишь несколько большими усчлиями .
Удобно также в последующих выводах предположить сущест­
вование частотн-ой хара1ктер.истики Н Uw) о,птимально,го фильт~ра .
Легко .ви.деть, что это ,пред,положе.ние опра,вмливо, есл-и фильтр яв­
ляется устойчивым, т. е . если каждый ограни,ченный входной сиг ­
;н ал x(t) вызывает оr,ран.иче.нный выход,ной сигнал y(t). Чтобы ~про ­
верить это у-гвержден.ие, ~покажем, что фильтр устойчив т,огда и
только тогд а, когда его ·им1пульсный отклик абсототно интегр и ­
руем:
=
S /h(t)/dt< оо.
(5.6)
Это у,словие является достаточным для существования л,реоб­
разования Фурье Н (iw), так как
H(iw) / = 11, h(t)e-lrotdtl < ]ос, 111([)//e-irot\dt= J
0
/h(t)/df.
Чтобы доказать эквивалентность устойчивости фильтра и абсолют ­
ной интегрируемости импульсной переходной характеристики, за­
метим, что
/y(t)/ = IJ, h(,:)x(t-т)d,: 1<. I, /h(,:)/ lx(t-1:) /d,:
00
и, если !x (t) !~Х для всех t, то /y(t) 1 ~Х J h(т)dт. Вместе с тем.
-ос,
если для некоторого значения t входной сигнал
х(t-т)= sgnh(т) = { l,
-1,
h(т)> О;
h(т)<О
"'
для всех ,:, то для этого сигнала имеем : y(t) = J /Jz.(,:) 1dт, и утвер -
-ОС>
ждение до -казана.
Нетрудно показать, что им.пульсный откли к оптимального филь ­
тра удовлетворяет следующему интегральному уравнению, кото ­
рое .называется уравнением Винера-Хопфа :
00
Jh(т)Rу(т-ТJ)dт = Ryz(ТJ)
(5 .7)
а
для всех ТJ >а. Если фильтр должен быть фи з ически реал из уемы м ,
то а=О; в против.нам случае а=-оо . Среднеквадратическая ошиб-
1,14


ка в случае, 1кО1nда им1пульсный ,отклик фильт,ра удовлетворяет
э т о му уравнению, имеет вид
00 00
о~ = Rz (О) - JJh(т) h(ri) Ry (т-ri)dтd 11 =
аа
00
=
Rz(O)- .) Ryz(т)h(т)dт:,
а
по можно проверить, подiставляя ф - лу (5.7) в (5.5).
(5 .8)
Для то,го чтобы доказать оптимальность филь11ра, удовлетво­
р яющего ур-нию (5.7), покажем, что разность ошибок o2 ,,.[g(t)]-
- a2e[h('t)] неотрицательна; a2,J[g(t)] означает среднеквадратическую
о шибку в случае, когда используется ~произвольный фильтр g(t),
а a2e[h(t)] - аналогичную ·величину в случае, когда используется
ф ильтр, удовлетворяющий ур-нию (5.7). Бели фильтр h(t) должен
б ыть физически реализуемым, то, конечно, таким же должен быть
и фильтр g(t). В остальных {:лучаях ограничения на фильтр g(t)
не накладываются. Используя (5.5) и {5 .8), получаем
"'
00 "'
o;[g(t)]-a;[h(t)l=-2 J g(т)Ryz(т)dт + J J[g(т.}g(ri)+
а
аа
"'"'
аа
00 00
аа
00 00
аа
"'
=
_ _ !_ S I G(iro)-H(iro) l2 Sy(ro)dro:;;;,. О.
2.rt
(5.9)
В ,по,следrнсм выражении G(iro) н H(i,w) представляют собой
ча стотные характеристик,и этих двух фильтров, а Sy(ro) - спек­
тр альную .плотность мощности .процесса y(t). Заметим также, что
ре шение h(t) единственно в том смысле, что разность ошибок ,рав­
на нулю т,олько тогда, когда G(i,ro) =H(iro) для всех ro , для кото­
рых Sy(ro)*O.
Этот результат, однако, имеет небольшую .практическую цен­
ность до тех пор, пока ка.ким-либо обр,азом не получено явное ре ­
шение для h(t) или, что эквивалентно, для Н (i,ro) . Для этого пере­
п ншем равенство (5.5) в частотной области . Делая подстановку
"'
R('t) = _!__ JS(w)~irot d.ro и меняя порядок nнтегрирования, находим,
2.rt
-оо
115


что
00
cr; = 2: J[Sz (w)-Syz(w) H(-i w)-Sz/w)H (iw)+ Sy(w) JH(i w)J 2Jd (!) =
-
00
00
= _1 s{\Ф(w)Н(iw)-Syz (w) 12+[s (w) _1 Syz (w) 1~]}dw
2л
Ф* (w)
z
Sу (w)
'
(5. 1О)
-00
где Ф(w) -функция, удовлетворяющая соо1'но шению \Ф(,w) 1 2 =
=Sy(w) , и Ф·~(w)-комплекено-соп,ряженная функция. Функции
Sz (,w) и Sy (,w), как обычно, обозначают опектральные плотности
мощностей процессов z(,t) и y(t) соответственно, а S 2 y(w) - их
вза.имную спектральную плоп-юсть.
Если ,не требуется физиче,ская реализуемость, то оптимальный
фильтр легко найти из равенства (5.1,0) . Так как толь.ко первый
член последнего .подынтегрального выражения зависит от H(i,w) и
так ка,к этот член не может быть отрицательным, то среднеквад ­
ратическая ошибха минимиз.ирует,ся приравниванием его нулю .
Таким ,образом,
H(iw) = Syz(w)/Sy(w)
(5.11 )
является частотной характеристикой оптимального физически не­
реализуемого фильтра. Получающаяся среднеквадратическая
ошибка имеет вид
<IJ
а2__1_ r Sy(w)Sz(w)-1Syz(w) 12
о-2л J
Sy(w)
dw.
(5.12 )
-<I J
1В с.илу того что дополнительные ограничения на H(iw) могут
лишь увелич.ить о шибку, а20 , определенная равенством (5.12), час­
то называет,ся остаточной ошибкой.
К: сожалению, импульсный от.клик фильтра, определяемый час­
тотной характеристикой (5. 11), не будет равен нулю для отрица ­
т ельных значений t, и, следовательно, такой фильтр не будет фи­
зически реализуемым. Чтобы :наложить условие физичес,кой реали­
зуемости, удобно предположить, что спектр Sy(w) входного про­
цесса y(t) - рациональная функция w. Оптимизация не требует ,
чтобы спектр бьrл рациональным, но ,рас,суждения сильно упроща­
ются, когда рассматривается этот случай. К:роме того, спектр про ­
цеоса y(t) может быть в ,общем ,случа е а1шпрокс,им ·и1ро,ван сколь
угодно точно рациональной функцией даже, есл и сам он не являет­
ся ,ра,Циональным.
Если •спектр Sy (w) рациональный, то его можно записать в
виде
S()= 2(w-а1)
.•. (w- ат)
yffi
а
.
(w-
~1) .. .(w-~п)
(5.13)
Так ,к.ак Sy(w) - спектральная ллот,ность процесса y(t), то она
должна быть действительной неотрицательной симметричной функ-
116


цией {u. Отсюда следует, что в приведенном выше выражении мно­
житель а2 должен быть действительным; любые полюса и нули с
ненулевым.и мнимым .и частями должны появляться в виде ,комп­
лексно-сопряженных пар, ,и ,все действитель·ные iПолюса и нули
долж,ны и.меть ч,е11ную ,ыра11ность .
.Ка к
,следствие этих ограничений, на.кладываемых на с,пектраль­
ную плот;-юсть процесса y(t), Sу(ш) можно представить в виде
произведения двух выражений:
S (ш)= а(0-а:1) •• • (0-ат12)а(w-а~ • . . (0-а:~:2) ЛЧ'(ш)Ч'*(ш),
у
(0-~1) • • •(0-~п/2) (0-~
1) •.. (0-~п/2)= (5.14)
где (*) обозначена компле~сно-сопряже-нная функция. Фактор.иза­
ция такова, что все полюса -и нули чr (1w) лежат в верхней полови ­
не, а для ЧГ* (w) - в нижней половине ,комплек-с-ной ш-1плоскост,и.
( В последующих выкладках удобно предположить, что Sy(w) и,
следов.ательно, чr (,w) и ЧГ* (w) не имеют особенностей на действи­
тельной :w-оси. Если же Sy (,w) имеет такие ,особенности, то они
должны иметь четную ,кратность. Поэтому они могут быть сдвину­
ты с оси как комплексно-сопряженные пары с .помощью подстано­
вок вида w 2 г+w 2 i+в 2i. Оптимальный фильтр можно определить
для этого модифицированного -спектра, а требуемое решение полу­
чает,ся теперь в пределе, когда ,вi ,стремится к нулю . )
Как было упомянуто, ~решение задачи фильтрации может быть
найдено, даже если спектр Sy(w) не является рац,ионалыrым. В дей­
ствительности, если
00
S \ logSy (w) 1 dw<oo,
1+ (0/2n)2
-со
(5.15)
то Sy(,w) можно еще факт,оризовать и получить решение. Если, с
другой -стороны, интеграл в ф-ле (5.15) бесконечен, то стационар-
1rый процесс у(t) является детерминировш-~ным; будущее поведе­
н ие функции может быть точно предсказано с помощью линейной
о перации .над его прошлым.
Для последующих ра,с.суждений удобно ввести следующее обоз­
начение. Пусть F(.(!)) ,и ,f(t) - пара .преобразований Фурье:
-оо
О п,ределим
f+(t) = {'(t),
О,
[(t)={О,
-
f (t),
t>О;
t<O;
t>О;
t<O,
со
F (ro) = sf _(t) e-iыt dt.
-со
(5.16 )
(5.17),
тяк что 1f(t) =f+O) +f-(t). Теперь пусть F+(ro) и f+(t); F_( ,ш) и
f - (t) - пары преобразований Фурье. Тогда F({J)) =F+(,ro) +F-{,ro) ,
117


где преобразование первого из слагаемых является ненулевым
только шри t;;;:,:O, а лреобраз,ование второго слагаемого - только
при t<O.
Возвращая,сь к рассматриваемой задаче, найдем частотную ха­
рактеристику H(iffi) физически реализуе.мого ф.ильт,ра, м.инимизи­
рующего среднек·вадратическую ошибку , задаваемую (5.10) . По­
лагая
F(ffi) = Ч'(ro)H(i ro)- Syz(ro) = F+(ro) + F_(ro),
Ч'* ((!))
можно переписать (5 . Ю) с Ф( ,rо) =ЧЧ,ffi) в виде
00
00
(5.18)
cr;= -
1 sIF (ro)12d ffi+cr~ =
-
1 s[1F+(ffi)/2+F+(ffi)F'_ (ro)+
2л
2л
-оо
-оо
(5.19)
где и20 определяет,ся равенством (5.12) и не зависит от Н (iffi). Но
00
00
00
2~ JF+(ffi)F'_(ro)dro= 2: JF'_(ro) Jf+(t)e-Iwtdtdro=
-оо
-оо
00
00
00
=
sf+ (t)2~ JF'_
(ro)e-iwtd (J)dt = sf+ (t)f'_ (t)dt= О.
(5.20)
-о,
-со
-о,
00
То же с1nраве,дл.иво дл.я инте~грала 2: S F~ (ffi)F_(ro)dro. Далее
-оо
F_ (ro) = [Ч'(ro)Н(iro)J-- [Syz((!)) ] = ~
- [Suz ((!))] .
Ч'* ((!)) -
•
Ч'* (ro) -
(5.21)
Выражение (5.21) :не .зависит от Н (iffi) . Это следует из того, что
(5.22)
-оо
-со
где фу.н:кции Ф(t) (1преобраз.01Ван.ие Фу,рье ЧГl (ffi)) и h(t) .рав:ны н,улю
для всех t<O 1) . Таким образом , ,свертка в (5.22) равна нулю для
все х t<O; [ЧГ(ffi)H(iffi)]-=0 и равенство (5 .21) справедливо . Един­
ственный член в ф-ле (5.,19), зависящий от Н(i,ю), имеет вид
F + (ro) = [Ч'(ro) Н(iro)]+ - flSyz ((!)) ] = Ч'(ro)Н(iro)-[Syz (ro) ] , (5.23)
Ч'* (ro) +
Ч'*((i)} +
что следует непосредственно из (5.22) (т. е. преобразование Фурье
1 ) Следует помнить, что f(t) не равна нулю при t>O только тогда, когда
ее (рациональное) преобразование F (.(i)) имеет по,rюсы в верхней w -полуплос­
кости ( левой s-полуплоскости, где s=i(!)) и не равна нулю при t<O только
тогда , когда F(ro) имеет полюсы в нижней rо-полуплоскости. (Прим. авт.) .
118


функции ЧГ,(.w)H(iw) отлично от нуля лишь при t~O). Частотная
характеристика оптимального физически реализуемого фильтра
теперь определяется приравниванием этого члена нулю :
H(iw)=-1
-
[Syz (ro) ] .
(5.24)
'1' (ro) 'l'*(ro) +
Любой другой физически реализуемый фи~1ьтр необходим-о прив о­
дит к ·большей сре~нек;вадратической ошибке.
Если выражение, стоящее в квадратных ,ск обках в ф-ле (5. 24) ,
рационально, то H(iw) можно определить довольно легко, произ­
водя разложение этого выражения на простейшие дроби ,и остав­
ляя только полюса , лежащие в ·верхней ,w-•полуплоскости . Если оно
нерационально, то вначале можно найти его преобразование Фурье
и затем оставить лишь ту часть этого преобразования, которая со ­
ответствует полож и тельному времени. В результате получим
H(iw)= _ 1_ 500e- iwt[_
l s"° ei w't Syz (ro') d ffi'] dt.
'1' (w)
2л
'1'* (ro')
о
-оо
(5.25)
До сих пор мало было сказано о желаемом сигнале z(t). Пред­
полагалось лишь, что Sz(w) и Syz(w) определены . В самом обыч­
ном слу,чае y(L) =x(t) +n(t), где сигнал x,(t) .и шум n(t) - орт,о­
гональные случайные процессы (R хп (т) =0), а z(i)=x(t+to) для
некоторого постоянного t0 . (Если t0 = -оо, что соответ,ствует бес­
конечному времени задержки, то оптимальный фильтр опять физи ­
чески J-Iереализуем [см. ф-лу (5 . 11) ]; ,считается, что сигнал извес­
тен на всем интервале -оо <t< + оо.) В этих условиях
Sy {ffi) = Sx {ffi) + Sп (ffi) и Syz (ffi) = Sx(ffi) eiwt •.
Если t0 >0, то результирующий фильтр называется предсказываю­
ш, uм фильтром .
Фи л ьтр, лред,ст а~ляющий наибольший интерес, называется
с глажuвающи,н фильтром и соответствует случаю z(t) =x(t) и
y (t) =x(t) +n(t). Равенство (5.14) может быть несколько уп роще­
но, когда t0 = О, а спектры ( орт,огональных) сигнала и шума рацио­
нал ьны. Д ля этого случая
/i(iffi) = _J_ [iSx(ro)] = _1_ [ '1'(ro) '1'* (w)-Sn (ro)] =
'1' (<J)) '1'* (w) + '1' (ro)
'1'* (w)
+
=1-
_ 1_ [Sn (w)]
{5.26)
'1' (ro) '1'* (w) + •
Ес ли, к;роме того, шум белый, Sn(ffi) =Na/2 и спектральная
1Пл отность сигнала стремится к :нулю для больших {u, то это выра­
ж е ние можно упростить еще больше . Так как
119


то lim'I"(ro) = lim'l"*.(ro) = (N0/2/12 и выражение Sn(,ro)/'l'*(m)
0)➔00
(i)- +-0)
имеет
ненулевой вычет при ,m •= оо. Однако
[~] = [(No )1/2 _ (No )1/2 'l'* (w)-(~)112 ]+ =
'l'*(w) +
2
2
'l'*(oo)
= (No)1/2_ (N0)1/2['l'*(w)- (~(
2
],
2
2
'l'* (оо)
+
(5.27)
а этот .последний член имеет нулевой вычет при ffi = оо . Следова­
тельно, его разложение на лро-стейшие дроби содержит только дро­
би вида K/{ffi+a)"- (где k - положительное целое число) и, та.к
как все нули ЧГ'' (ffi) лежат в нижней полуплоскости, т,о
f 'l'* (w) - (No/2)112 ] = О.
l 'l'* (оо)
+
Таким образом, если шум является белым и ортогональным сиг­
налу ,и если спектральная плотность сигнала Sx(.ffi) - рациональ­
ная функц,ия rffi, а lim Sx(m) ,=0, то
w-oo
( N0 )1/2
Н(iffi)= 1- -
1-[Sn (оо)] = 1 -
2
(5.28)
'l' (m) 'l'* (w) +
'l' (w)
Среднеквадратическая ошибка, соответствующая оптимально­
му фильтру, задается равенством (5.28) . Представляют интерес
также эквивалентные выражения в ча,стот.ной области
00
<1;=2
~
s[Sz(ffi) - Sy(ro) 1Н(iffi) /21d(1) =
-())
00
=-
1 r [Sz(ro)-Syz(m)H(-iro)Jdro.
2n ,1
.
-оо
(5.29)
Когда z(t) = x(t); y(,t) =x'(,t) +n(t) и x(t) и n(t) - ортогональ­
ные процессы, эти равенства п,ринимают ·вид
00
о-; =
-
1 s {Sх((1)) [1-1Н(iro)/2)- Sп((1))1Н(iro)/2}dro =
2n
-оо
00
=-
1 JSx(ro)[l-H(iro)]dro.
2n
-о,
(5.30)
Это выражение особенно удобно, если использовать либо ра­
венство (5 .26), либо (5.28). В последнем ,случае
())
а2=(No)1/2 s Sx(m) dw.
е
2
'l'(m) 2n
(5. 31)
-оо
120


Еще одно ·полезное выражение для среднеквадратической ошиб­
ки при тех же самых условиях следует из равенства (5.10):
со
о;=-1 sfSx(ffi)jl-H(iro)j2 +Sп(ffi)jH(iffi)j2]dro.
2:-t
-оо
(5.32)
Это равенство, в отличие от предыдущих выражений для ошибrки,
справедливо даже тогда, когда Н (i,ro) является характеристикой
неоютимальнО1Го фильт,ра.
5.3 . Пересмотр теории согласо'Ванных фильтров
Б гл. 3 и 4 было установлено, что все без исключения
формулы оценок параметров и .приемники содержат согласованные
фильтры, т. е. фильтры с импульсными откликами вида
h(t)=f(t0 -t),
(5.33)
где функция f(t) (O<t<to) связана с ожидаемым ,сигналом . В этом
параграфе покажем интере,сную взаимосвязь между оптимальны­
ми в смысле среднеквадратической ошибки фильтрами и согласо­
ванными фильтрами. С этой целью поставим другую задачу, ко­
торая также имеет в ,качестве решыrия соrла,сованный фильтр ви­
да (5.33), но решается методами, развитыми в предыдущем :па,ра ­
графе. Задача состоит в ,следующем. Принимаемый ,сигнал имеет
вид y(t) = ,f(t) +n(t), где ·
,f(t) -известная функция времени, а
n(t) - шум, ста.циона,рный в .широком смысле ,случайный 1про1Ц'еос .
Сигнал следует пропустить через линейный фильтр ,с импульсным
откликом h(t) . Обозначим через g,(,t) выход этого фильтра , кото ­
рый наблюдался бы в •слу,чае отсутствия шума, и через а2п - сред­
неквадратическое зн:ачение шумовой компоненты выходного ,с.игна­
ла фильт,ра . Задача состоит в отыскании фильтра с импульсным
от.кли11юм . h(t), 1который ,мак,с,им·изи1рует отношен:ие
g2 (t0)/o~ ,
(5 .34)
где t0 -:некоторый фиксирова,нный момент времени 1). Так как
представляет интерес отношение сигнал/шум, а не уровень си гнала
с ам по ·себе , эта максимизация может быть выполнена, если потре­
б овать, чтобы •.составляющая сигнала на выходе пр.инимала н еко­
торое фиксированное значение в момент времени t= to , и :найти
фильтр, который ми,нимиз.ирует среднеквадратический уровень шу ­
м а. В соответствии с этим, та.к как
00
00
g(t0) = Sh(t0 -t)f(t)dt= ~п Seiwt. H(i w)F(iffi)dro,
-00
-оо
1 ) Так как f(t) - известная функция времени, то процесс y(t) не является
ст ационарным . Следовательно, в противоположность фильтра м, расс м отренны м
в предыдущих параграфах , оптимальный фильтр , рассматриваемый здесь в об­
щем случае, будет зависеть от заданного момента времени to. (Прим . авт.) .
121


00
где F(iw) = Jf(t)e- 1001 dt, т,ребуется найти частотную характер.и-
-со
стику Н (iш), кото:рая минимизирует выражен,ие
00
02 +лg(to)=-1 s{IH(i(J))l2 Sп(w)+~e100t0 H(iш)F(iш)+
п
2n
2
-оо
л.-1cot. (
•
)F( •)1d
+2е Н-1ш
-
1(J)J ш.
(5.35)
Это выражение совпадает с (5.10) по.еле подстановк.и величин
Sп(,ш); -(л/2)е-1001• F(-iw) и О вместо Sy(ro); Syz(ro) и Sz(w) со­
ответственно. Единственным ограничением, наложенным на эти
выражения при выводе ф-лы (5.25) для оптимального физически
,реализуемого фильтра, ,было то, что Sy(,ro) (или в рассмат,р.иваемом
случае Sn(ro)) фактор,изуемо. Таким образом, •если Sn((J))=
=Ч'(rо)ЧГ*(rо) и все особенности ЧГ(rо) лежат в верхней <.0-полу­
nлоскости, то оптимальный физически реализуемый фильтр в ,ра,с­
сматриваемой задаче имеет ча,стотную характеристику
00
00
H(i@) = _k_se-iшt_1 J eiю'(t-t.>F(-iоо') dro'dt
(5.36)
Ч' (оо)
2rc
Ч'* (оо')
'
о
-оо
где k=-л/2- пастоянный коэффициент усиления, который не
влияет на отношение сигнал/шум. Если шум является белым,
Sn (,ro) =No/2, то
1 005 e 100 '(t-t.> F( -ioo')
,
1
-
--- --d@=- ~f(t0 -t)
2n
(No/2)1/2
(N0/2)1/2
-оо
00
и Н(i(J)) = kiJf(t0- t) e-lrotdt,
(5.37)
о
где k 1 =2k/N0 - произ-воль-ная пост,оянная. Таким образом, поло­
жив k1 = 1, ,uолучаем
h(t)={f(to- t), t>О;
(5.38)
О
t<O.
Если f(t) - тождественный нуль при t>t0 , то полученное вы­
ражение в действительности представляет собой импульсный от­
клик согласова1шого фильтра, определенного в гл . 3.
5.4. Фl)рмулы оценок при отслеживании фазы
Предположим, что Ax(t) - известный периодический
сигнал с периодом Т, имеет неизвестную задержку 1по времени
-с секунд и принимается на фоне аддитивного гауссовского белого
122


шума n(,t) (с одност0tронней спектральной .плотностью N 0 ). Пусть
требуется оценить 't по принятому сигналу yz(t) =Ax (.t+ i) +n(t) ;
lT<t< (l + 1) Т. (Так ,как 't можно оценить только с точн остью д о
пер.иода Т, то оно может быть либо отрицательным , либо ,положи­
тельным . ) Оценка максимального правдоподобия велич и ны 't в
этих У,СЛLШИЯХ является решением уравнен.ия (см . § 3.4)
Л
(
<l+l)T
Л
Л}
длlogeР(Yz(t)1т) = дл N~ S[2Ay1(t)х(t+т)- А2х2(t+-r)J dt =
д,:
д '1:
lT
(l+l)T
Л
:: \ У1(t/x(tt1:)dt= О.
lT
д,:
(5.39)
В некоторых случаях, когда, например x(t) - синусоида , ур-ние
(5.39) приводит к решению в явном ,виде для ,оптимально й оценки
л
т задержки 't (см . § 3.7). В более общем случае это не так. В лю­
бом случае задача, которая здесь ра,ссматр·ивается, в ,некоторо м
отношении отличаекя от рассмотр,е,нных ,в ['Л . 3. Здееь ,пр,еДrпола ­
гается, что . -, в ,отлич.ие от случая, ,колда она :приН'имае т незав -и ­
симые значениq на каждом последовательном интерва ле в Т се ­
кунд, является непрерывной функцией времени, .приме р но постоян ­
ной на любом заданном ,интервале, яо медленно изменяющейся о т
о дного интервала к дру,г-ому.
В с.илу того что т предполагается почти постоянной н а любо м
Т-с екундном .интервале, можно было бы •произвести н езависимы е
оценки ее по максимуму правдоподо бия на каждом из этих и нтер ­
в алов, используя формулу оцен.ки (5.39) . Но так как
.--
медле нн о
м еняющаяся функция времени, то ее значения на п оследов ат ель­
н ых инте~рвалах будут -сильно коррелированы. Игнор и р ование э то й
корреляции пр.?Iводит к ~потере полезной информации . Ес л и б ыл о
бы возможно точно описать условную плотность р асп ределе ни я
л
л
р(тz lтн, т1-2, ... ) величины т на интервале lT<t< (l+·l) Т при ус­
ловии, что заданы оценки величин т на предыдущих интервалах,
то формула оценки по максимуму апостериорной в еро ятност.и , в
при нципе, могла бы быть найдена .
Часто более практ.ичным метод ом, по з во л яющим по лучить поч ­
ти тот же самый ,рез ультат, явля-ется метод , .исполь зующий то т
факт, что .при еоблю дении опреде ленных усл-овий регулярности
(5.40)
): .-] .(5.41)
't='t
123


Таким обр ,азом, математическое ожидание величины интеграла
(l+IJT
Л
е1-
SYz(t)дх(t: 't)dt
(5.42)
lT
д't
л
является монотонно убывающей функцией -r в окрестности - .~ - r,
л
л
положительной лри 1:<1: и отр ,ицательной при -r>-r. Предположим
поэтому, что величины е1 нс.пользуют для управления изменением
л
л
фазы -r сигнала местного генерат о ра, заставляя ,: уменьшаться,
когда велич.ина ( е1) от.р.ицатель.на, и увеличиваться, когда она по­
л
ложительна. Вообще говоря, в случае, если 1:=1: -
единственное
л•
значение 1:, для которого выполняются соотношения (5.40) и (5.41),
'
л
то -r будет сходиться к -r и отслеживать ,:. В действительности, что-
л
Л
бы использовать факт медленного изменения -r во вр ,емени, ,: долж­
но управляться взвешенным с1редним прошлых показаний индика-
л
l
тора знака ошибки ,:-1:, т. е. ·величиной ·вида ё1+1 ~ ~ 1az-iei, а не
-
i= -00
только одной величиной е1.
Функциональная схема устройства, выполняющего описанные
операции, изображена на рис. 5.1. Бели h(O) = 0 и
\,.(t)= 0 at; iT<t<_(i+ l)T,
(5.43)
jdt
z
Рис. 5.1. Устройство отслеживания фазы:
1 - устройство, производящее выборки: 2 -
устройство, усредняющее с весом; 3- фазо­
вращатель; 4 - генератор сигнала
Рис. 5.2. Структурная схема
системы ФАJПЧ:
1 - фильтр ФАПЧ: 2 - генера­
тор сигнала: 3 - ГУН
то входной сигнал фазовращателя на интервале (l+l)T<t<
< ([+2) Т можно представить в виде
l
е1+1= ~ a1_iе;Ле((Z+1)Т).
(5.44)
i=--oo
t
л
где e(t) ~ JY(YJ)x'('YJ+'t')ha(,t-11)dtYJ. Более того, если,:, как пред-
полагалось, относительно постоянна на любом ,интервале в Т се­
кунд, то разность ai-ai-l должна быть малой при всех i. Следо-
124


ва тельно , iia ( ,t) может быть точно а1ппроксимирована непрерывной
(и да же дифференцируемой) функцией В!ремени , скажем h; ( t) , и
входы фазосд.вигающего устройства ,e,z могут быть заменены на
вх одн о й с игнал в (i) без ка,кого-либо существенного влияния на
ха ра ктеристики устройства. Наконец, замет.им, что вм есто того,
л
чт обы устанавливать связь ,; непосредственно с функцией s(i) ,
можно, что эквивалентно, установить связь межд у скоростью изме ­
л
нения ,; и производной этой функции:
t
А
е' (t) = j' Y(ч)x'(ч+т)h~(t-ч)d'l'J.
(5.45)
-оо
Рассмотрим теперь устройство, представленно~ ф ункциональ­
но й схемой на рис. 5.2 . Генератор, управляемыи напр яжением
( ГУН) , генери1рует колебания, частота которых в идеале про·пор­
ци оналыrа напряжению на его ,входе. ,Выход ТУН использует,ся
для синхронизации генератора сигнала, вырабатывающего мест-
л
Л
11ы й сигнал х' (t+т), и тем самым регулирует скорость из м енения,; .
П риН'имая .во .внимание ~результаты ,щр -едыдуще~г,о абзаца, можно ,
с ледо1вательн-о, закл ючить , что если .им1пульсный от.клик .фильтра
ФА ПЧ h(t) =h1a(t), то у,стройст,ва ,на J)И~ . 5. ,1 ,и 5.2 ~фу,н1кциональ:но
э 1<,ви в а л ентны. По,след,нее уст-ройст:во известно 1п0,д .названием си­
стемы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) ,и ,наиболее часто
иоп ользуетс.я на ~прак тике.
Сис тема ФАПЧ тогда является, 1по ,существу, уст;ройством с об­
ра т но й связью, предназначенным для решения уравнения 11равдо -
11 юд оtбия (5.39). Еще н е ол1ределенный точно фильтр ФАПЧ ~не ­
о бходим потому , что фаза принимаемого сигнала ,; и з меняется со
н ре м е нем, поэтому при оце·нке текущей фазы прошлое, вообще го­
,uо ря, не должно ,использоваться с одинаковыми весами . Возникает
з а,дач а 01пределения 01птимального ф.илы1ра ФА!ПЧ, ,ка к функции
с татисти к процесса -r(t) . Однако , прежде чем решить э ту задачу ,
1 1 с обходимо .ра'З.ра1ботать линей,ную модель сист,емы ФАПЧ . Это
одсл ано 1в следующем ;па,ратрафе. Для то,го чтобы .избежать услож -
11 с 11и я изложения, предположим, что x(,t) - синусоида . Получен-
11ые ~резу льтаты обобщаются в § 5.8 та1кже на ,несину,соидальные
функции.
Пол езно вновь тюдчеркнуть , что одно из фундаментальных
р:1 . .11ичи й между методом сглаживающего фильтр а .и методом сот­
.1 1;~.сованного фильтра в задаче оценивания состоит в количестве
: 111риор ных знаний о сигнале . Согласованный фильтр требует пол-
11ого описания ожидаемого сигнала за исключен.нем , быть может,
1\ l( ' 11 з вес тного, но постоян.ного параметра или параметров; с глажи-
1111 ющий фильтр требует лишь знания его статистических характе­
,р , 1 '1'ИК в торого порядка . В рассматр.иваемом случае оба подхода,
1 :11( окаже тся, применимы к одной и той же задаче . Согласован-
125


ный фильтр может быть использова'Н ·в силу того, что функциональ­
ный -вид ожидаемого -сигнала ·известен, исключая неизве-стный па­
раметр; однако теперь этот параметр являет.ся случайным процес­
сом, а не случайной величиной. Сглаживающий фильтр потребует­
ся, следовательно, для наиболее точной, 1по возможности, .непре­
рывной оценки этого меняющегося по времени параметра.
5.5. Линейная модель
Функциональная схема системы ФАПЧ для от,слслшва­
ния фазы синусоидального ,с иг,нала .изображена на рис . 5.3. Так
как выход ГУН сам является синусоидой, генератор сигнала на
Рис. 5.3 . Структурная схема ~и­
нусоидальной ФАПЧ:
I - фильтр ФАПЧ; 2 - поворот фа­
зы на90°; 3- ГУН
Рис. 5.4. Функциональная
схема линейной модели си­
стемы ФАПЧ
рис. 5.2 может быть заменен фазовращателем с поворотом фазы
на 90° или даже -вовсе опущен. (Поворот на 90° не-обходим, если
выход ,ГУН должен служить копией принятого сигнала .) Точный
анализ ошибки от-слеживания, связанной с этим устройством, яв­
ляется сложным. Из - за не линей ности дифференциального уравне­
,ния , связывающег,о ,в ыход и вход устройства, оно может быть ре­
шено точно лишь в некоторых частных случаях. Для того чтобы
лолуч·ить пр.и,годные для работы ;рез,ультаты, ка ·сающиеся хара·кте­
ристики системы, а также о,п,р,едел.ить ви1д 01птималыю:го фильтра
ФАПЧ, ,необ х одимо сделать mрибл·ижЕшие, .кото,рое 1приве;д,ет ,к ли­
.неариза:ции д.иффе.реr-щиально·го ура1внения ,системы. Опра,ведли­
вость этого л.иней.н·ого пр.ибл.иже,ния зависит от тог,о, :насколыко
велико отношение с·игнал/шу,м и, следовательно, нас.коль·ко мала
ошwбка ,о-тслежи:вания . В ,большинстве 1пр·именен.ий , которые ~Нас
будут интересовать, это условие будет обязательно выполнено.
Если принимаемый сигнал .имеет вид y(t) = VA siп[w 0t+Ф0 (t) ]+
+n(t) и если выход сдвинутого по фазе ТУН равен V2co s[w 0 t+
+Ф1 (t)], то при выполнении указанного выше условия Ф0 (t) ~
~ Ф 1 (t). Низкочастотная компонента произведения этих функций
А siп[Фо (t) -Ф1 (t)];:::::; Аl[Фо (t)-Ф1 (t)] поэтому является прибли­
женно линейной функцией разност.и фаз. Кроме того, компонентой
удвоенной частоты этого произведения можно полн остью прене­
бречь вследствие того, что система ФАПЧ, по ,существу, э1шива­
лентна устройству на рис. 5.1 и, следовательно, реагирует лишь
126


н а и.нтеr.рал этого 1произведен.ия ,по ~полному ,периоду . Скорость
нзм енени.я фазы (т. е. частота) выхода ,ГУН теперь (iп,риближен-
1 ю ) ~пропорциональна :проф,ильтро.ва.нн·ой и искаженной шумом
u ши бке отслежива,ния:
(5.46)
Следовательно, до т ех пор, ,пока ошибка отслеживания являет­
с я малой, система ФАПЧ может быть представлена так, как .по­
казано на рис. 5.4.
Д.пя анализа этой мо,1,ели нужно определить статистические ха-
ра ктеристики входного шума n1,(.t) ~ V2cosl~wot+ Ф1 (t) ]n(t) 1
~ a(t)n(t). Ис,следование, казалось бы, сильно усложняется зави­
с и мостью между этим шумом и фазой на выходе ГУН . Но эта фа­
з а зависит ·не от самого процесса n(t), а от интеграла от шрофиль­
тр ованного лро.;~зведения п (t) ,a(t). Если ширина полосы шума рав­
на Вп, то величины n(t) и n(t- . :), по существу, независимы при
л юбых -т:>-k/Вп, где k-обычно малое число. Так как фаза Ф 0 (t)
110 предположению медленно меняется по сра·внению с периодом
с и rн,ала 2л/•ш 0 , то оптимальная оценка Ф 1 (,t) фазы будет зависеть
о т значений входного сигнала в .последние 2лК/ш 0 секунд, где
/( ~ 1. В соответстви и с этим, если {JJo/2лK ~В1~ Вп (а выполнение
··на го н е равенства, ко нечно, .необходимо, чтобы ·назвать шум « бе­
,;, wм »), то шум, 1nринятый в ,послед,ние k/ Вп секунд, бу,дет ,пренебре­
жнмо мало вл.иять на Ф1 (t). Поэтому Ф1 (t) и, как следствие, a(t)
11с б уду т, по суще,ству, зависеть от n(t) и
/;{n1 (t)}~Е{п(t)}Е{а(t)}= О,
(5.47)
11 т о .время как
Е{п (t)п (t)}~{Е{п(t1)а(/1)а(t2)}Е{п(t2)} =О,
1112
E{n2 (f1)}E{a2 (t1 )},
(5.48)
Но если входной шум-белый (т. •е. Bn~ Bz), то Е {n(t) n(t+'t)} ~
N
~ _о_ о(-т:), так что
2
П {n1 (t)n1 (t+.:)}~N; E{a2 (t)}8(1:).
(5.49)
1: cJ IИ фаза Фа(/) распределена равноме,рно, что предполагается, и
1 •с .11н ошибка в фазе не зависит от Ф 0 (t), что, очевидно, имеет мес­
'1'1> n с истеме ФАПЧ, то величина Ф1 (t) также равномерно распре­
; 1, 1'.11 е.н а на интервале (О, 2л). Следовательно, так как a(t) =
l12cos,[w0t+Ф 1 (t) ], то E [a 2 (t)]=1. Поэтому шум на входе линей-
1 1 оi'1 м одели с.истемы ФАПЧ, по существу, является белым и ста-
1 1 1юна рным в широком смысле .
ле ктр входного шума Sn.1 (w) только что был определен . Та1'
1,:1 1, п ри отыскании оптимального фильтра необходимо также зна-
1111 , nз аимной спектральной ллотно•сти Sп1Фо(ш), то ее также сле-
127


дует изучить. Но та« .как n(t1), 1по существу, не за1висит от a('t1) и
совершенно не зависит от фазы сигнала Ф0 (i2) шри любом i 2, т,о
Е{n
1(t
1)Ф0(t
2)}~Е{а(t
1)Ф0(t
2)}Е{п(t1)} = О
(5.50)
и спектральная плотность Sп 1Ф0 (,w) пренеб,режимо мала.
Наконец , в силу того, что .интересна ;Не только дисперсия, но
также ,и .распределение фазовой ошибки Фе (t) =Фа (t)-Ф 1 (t), по­
лезно дать полное статистическое описание проце,сса n 1(t) =
=n,(:t) ,a (t), 1П!редста1вляющего !Собой шум на входе. Для 0то1г,о у~доiб­
:но 1пред,положить на некоторое в,ремя, что ~перед системой ФАПЧ
находится полосовой фильтр ,с mолосой B,s;:;_2:fa=2w 0 /2:rt, еимметрич­
но расположенной относительно частоты ;f 0. Дисперсия шума а2п
тогда равна NaB. Пусть щ(.f) обозначает, что этот шум профиль­
тро .ван .и
п1 (t) = па (t) cos (t)of - nь (t) sin (t)of.
(5.51)
Если n(t) - гаус,совский п1роцесс с нулевым средним, то na(t)
и nь'(t) - взаимно независимые .гау,ссовские процессы, имеющие
средние, ранные нулю, и дисперсии, равные диспер,сии щ(t). Так
как a(t) = V2cos[w 0 t+Ф1{t)], то низкочастотные компоненты ,про­
изведения n1 (t)a(t) могут быть .за•писаны в виде
п1(t)а(t)]u = ) 2 {па(t)cosФ1(t) +nь(t) sinФ1(t)}.
(5.52)
Положим теперь
V2[п1(t)а(t)Ju = п'(t) = {па(t) cosФ1(t) +nь(t)sinФ1(t)}
(5.53)
и п" (t) = {па (t) sin Ф1 (t)-пь (t)cos Ф1 (t)} и рассмотрим совм ест­
ную плотность распределения случайных .величин п', п", Ф 1 в ка­
кой-либо фиксированный момент времени. Якобиан пре образ ова ­
ния перехода от па, nь и Ф1, к ·п', п" и Ф 1 равен единице. Более
того,
1 - (п2+п2);202
р(па,nь, Ф1)= --2е
а ь пр(Ф1).
2ncrn
Последнее следует из того, что па и nь -независимые гаус.совские
величины, а (ка.к уже было показано) n1 (t) и, следовательно ,
na(t) .и nь(t), по существу, не зависят от Ф(t). Но п2а+n 2 ь=
= (п')2+(п")2 а поэтому
1 -[(n')'+(п")2]/2а 2
р(п'_ п", Ф1)=
--
2
е
11 р(Ф1),
2л:оп
Наконец,
оо 2it
- (n')'/2O 2
р(п')= ssp(n',n",Ф1)dФ1 dn"=, 1 1 е
11
,
У 2л: CJn
(5.54)
-со о
и одно1мерное ,рас,предел•ение шума на ,входе фильтра ФАПЧ
[щ(,i)x (t)]11= (I/V2)n'(t) является гау,ссо в,ским с нулевым сред-
128


1 rи м ,и диопер,сисй 1 /2и2п. Так как ш.ир·и,на ,полосы низкочастотной
ко мпоненты -вдвое м еньше, чем ширина по л осы фильтра , то двусто­
р-о нняя спект р альн ая плотность этой компоненты равна
( 1 /2и2п)/(1/2В) =No/ 2, т. е . та же, что .и у процесса n(t) .
Х отя в предыду щи х рассуждениях 1было удо бно рассма три вать
·пол осовой фильтр,::.. ши,риной 111оло,сы B~Zfo, стоящий iП€ред систе ­
мой ФАПЧ, нал ичие фильтра 1в lЦействительности несущест,вен,н о
для выводов. После умножеюiя ·на ,a(i) любая компонента шум а
вне диапазона ча стот 0<t<2,f0 .будет расположена да лек о з а лре ­
Jlел ами полосы п роп ускания системы ФАПЧ . Таким обра з ом , В мо­
же т быть произвол ьн о большой, не влияя на вы х од цепи, и фильтр ,
фа;ктичеоки, .мож но ~полностью устранить. В соответств,ии с эт,и м
,п,р и ~рассмотрени и ,системы ФАПЧ, ;проц,ес,с {п1 (.t) ]11 можно считать
бел ым гауссовск и м случайным процессом со спектральн о й п ло т-
1rостью No/2. Сн о ва вы сокочастотные компоненты процесса n1 (t)
не буду т влиять на характеристики системы ФАПЧ и могут не
у чит ываться.
5.6 . Опти мизация фильтра в системе ФАПЧ
Сущест вуе т несколько под х одов к оптимизации систе мы
ФА ПЧ, зависящих о т лредположен,ий относ.ительно сиr,нала. В за­
J~а че всегда следуе т учитывать ,случайные расхожд ения из-з а н е­
с та бильностей гене р атора между фазой на выходе ГУН и фазой
11 ри нятого сигна л а да же в отсутствие шума. Хотя в эти случайны е
флу ктуации внос ят в клад оба генератора, в общем случае удобн о
рассматривать ГУ Н как ,идеальный генератор, а генератор п е ре ­
да тчика - 1шк единст венный источник этих изменений. Для бо л ь-
1ш11-rства случаев де йс твительный источник является н е су щест в ен-
11ы м , так как ин тересн а лишь разность фаз. Если апе~ктр эти х
фл уктуаций фаз ы изв естен :или если его можно найти 1пр111бли­
же нно, то фил ь т р в с истеме ФАПЧ можно легко оптимизировать
та к, чтобы миним.и з ир овать среднеквадратическую разность фаз .
""
Используя пре обр азования Лапласа •0i(s) = f Фi(t)e-stdt, i=0,1
о
со
11 H (s)= JJi(t)e-std t , где s=a+iw, а~О, получаем в отсутствие
о
11 1ума {,ер. с рис. 5.4 ; Ф1·(t), Ф2 (t) и ,h(t) те же, что и определенные
11 а рисунке], что
Ot(s) = У(s)00(s),
(5.55)
IVl Y ( s) - частотн ая характер ·и,ст,и.ка системы ФАПЧ
у(s) = АКН(s)
s+ AKH(s)
(]Jl сь К обозначает усиление ГУН) .
l1 281
(5 .56)
129


Это соотношение .иллюстрируется рис. 5.5 . Для того чтобы оп­
редел.ить частотн ую характеристику оптимального фильтра H(s),
достаточно найти оптимальную частотную хар.актеристи.ку Y(s) и
.затем выразить ff(s) :
Рис. 5.5 . Функциональная
с.хема линейной модели в
частот ном представлении
Н(s) _
sY (s)
-
АК[1- У(s))
(5 .57)
Так как цепь, пригодная для каких­
либо применений, должна быть устойчи­
вой, то Y(s) должна быть частотной ха­
рактеристикой устойчивого фильтра (ер.
с § 5.2). Таким образом, преобразование
Фурье Y(iw) импульсного отклика этого
фильтра также существует, и процедура
оптимизации , развитая в § 5.2, прямо
,п.римен·има вдесь. Оп~т,имальный фильтр ФАПЧ H(s) ~будет, одна­
ко, не обязательно устой.чwвым, ·как 1по1казано в дальнейшем .
В качестве примера предположим, что принимаемый сигнал
имеет вид
-V2А11sin [(ffi0 + 2:n: f) t] + п(t),
(5.58)
rде /-случайная частотная компонента со ,спектром St(ffi) =
=2а.21 ~/ ~w2 + ~2), а w0/2:n: - центральная частота ГУН . Тогда спектр
фазы
Оптимальный фильтр Y(i.ffi) являет-ся ,с глаживающим фильт­
ром, если сигнал имеет спектр SФ(w), а шум является белым со
спектра льной плотностью Sn('ffi) =N0/2A 20 . Так как шум является
белым, а спектр с.игнала рациональным (.и асимлт-отически равным
нулю), ОiПтимальный ,фильт,р 01п,ределяется таl!( же, ,ка~к ,в ф-ле
(5.28):
( N /2А2)1;2
У(iffi)=1-
00
•
-
Ч' (w)
(5 .59)
(5 .60)
l3fl'


Среднеквадратическая ошибка , об условленная наличием шума,
имеет вид ![ер . с (5.31)]
00
NВ
o ;=-1-s N~ JY(i(i))J2d(i)=~ .
2n
2А0
А0
(5.6 1)
-оо
гд:е ширина полосы оuстемы ФАПЧ BL={B 20 + 1(a-;B)~ ]/4 a ра вн а
ширине полосы идеального прямоуголъного фильтра, который пр о­
пу стил бы ту же самую мощность шума . Ошибка вследс твые др 0-­
ж ания частоты равна
~
~
o2j' =
_1 j' So((!))11- у(i(!))12d(i) = 4
.
s
2з,;
аВ0
(5.62)
-оо
Интересно тметить •связь между полученной здес ь ф а зовой
о шибкой из-за наличия аддитивного шума (5 .61) и соот.ветст вую­
щим выражением при использовании опт.имальной формул ы оц ен ­
к и фазы, когда принимаемая фаза считается постоянной (,с м . § 3.7 ).
С оответствующие выражения для ошибок в этих двух ситу~а циях :
a2n =NoBL/A20 и а2п=Nа/2А 2оТ совпадают, если BL и 1/2Т ра вны.
Н апомним , что Т - это время, в течение которого мо ж но с читать,
что принимаемая синусоида лмеет одну и ту же фазу , есл и п р оиз­
в одится оценка максимального правда.подобия .
В большинстве практических случаев наряду со случайн ыми
ф лу,ктуациями фазы генератора существуют •переходные пр оцессы
из -за относительных различий между фазой принимаемого с.игна ­
л а и фазой ;ГУН сигнала . Такой переходный процесс возн и к ает,
на пример, когда сигнал принимается впер.вые и ,цепь входит . в еи н ­
х ронизм . Другой прич.иной возникновения .переходного пр оцесса
м ожет служить допплеровский сдвиг частоты принимаемого сиг­
на ла , .приводящий к отклонению от централь·ной частоты цеп.и .
Ч асто эти переходные процеосы влияют намного сил ь н е е, ч ем слу­
ча йные .колеба,н·ия lфа:зы, ,поэтому фильт,ры в с,истем е ч а сто в ыбира­
ю тся единственно из тех соображений, чтобы избежать оши бо к от­
слеживания .из-за прогнозируемых переходных процессов . При э том
фи льтр ФАПЧ с11роится так, чтобы 1минимизир·овать сред,Н е.К,ва~р а­
ти чес кую ошибку, вызва"Нную аддитивным шумом при за данной:
:щ п устимой ошибке, возникающей из - за пере х одных .про це\:с ов.
Т а к же, как при анализе согла,сованных фильтров в § 5.3, проце­
дур а оптим.изации, использующая этот критерий оптимал ыюс ти,
со вл адает с лроцедур,ой, описанной для сглаживающего ф ильтра,
е ли установить .нужные соответствия .
О птимизация ,при условии ограничения на пере х одны е .проц ессы
вы полняется следующим образом. Средн е.квадратиче с кая ф азовая
о шибк а , вызванная аддитив·ным шумом ,
15 .GЗ)
-оо


где Sn(w) =No/2A 2o, как раньше, -нормированная спектралыная
плотность шума . Ошибка из-за переходных процессов определяет,ся
как интеграл от квадрата разности между фазами на входе и вы­
ходе в .отсутствие шума 1при условии, что :переход,ный ,процесс ~на­
чинается в момент t=0, т. е .
00
~
af = s[Ф1(t) - Ф0(t)]2dt = sФ~(t) dt.
(5.64)
о
о
Так как этот интеграл должен быть огран ,иченным, то сущест­
вует, согласно теореме Пла.ншереля, такая функция 0e(i,w), что
(5.65)
-~
-ао
Более того, если Фе(f) абсолютно интегрируема, что также жела­
тельно потребовать, то
00
0e(iw) = SФе(t) e-i(J)/dt = li~0е(s) = !~~\/ 1- У(s) /00(s),
(5.66)
-со
где ,снова s= ,a+i,w.
Требуется минимизировать а2п при наличии ограничений на пе­
рехощ1ную ,ошибку, т. е. отьюкиваекя фильт,р ФАПЧ, .ко'I'орый ,ми­
ним·из.ирует ~выражение
Ez= 02+').,Za2
п
т.
(5.67)
(Множитель Лагранжа л определяется с помощью заданного уров­
ня переходной ошибки, как сейчас будет ,показано.) Таким обра­
зом, требуется найти переходную функцию У ( s), минимиз.ирующую
00
Е2=
-
1 s{1У(iw)12Sп(w)+л2/У(iw)- 1/2 /0
0
(iw)12
}
du.J.
2:п:
(5.68)
-00
Но равенства (5.10) и (5.68) эквивалентны, если в первое вместо
Sz(w) под<:тав,пь ,выражение л2 l ·8o(i,w) 12 и если Sш(w) =0. Поэто­
му оптимальные фильтры § 5.2 являются оптимальными и здесь.
Ясно, что ~амым важным переходным процессом при нашем
рассмотрении является скачок частоты ·80 (s) =,Лw/s 2 , так как цент­
ральные частоты передатчика и ГУН никогда ·не будут в точности
равными. Систему ФАПЧ строят так, чтобы удержать ошибку от-·
слеживания, возникающую из-за этого различи ,я, в разумных пре­
делах . Но так как
'А,218(iw)12=lim л2(Лw)z
'
(5.69)
о
/3➔о ro2 (ro2 + ~2)
то требуемое решение непосредственно вытекает из равенства
(5.60), если подставить л 2 (Л,w) 2 вместо ,a2t~ и устрем.ить ~ ,к нулю.
132


Олтюrаль ная част-от,ная характеристика ,системы ФАПЧ поэтому
бу,дет иметь в.ид
.
В6+У2В0iw
У(1 @)=
-
'
(5.70)
В6+у2В0iw- w2
где B 4o ={4A 2o(ivЛ,w) 2]/N0 . Как и ранее, средняя мощность шума на
н ыхо.J,е может быть записана как
00
а2=
-
--
0 I Y(1w) l2dcu= --,-рад2
1J'N
•
NoBL
ri
2n
2А~
АБ
'
(5.71)
-00
1·де BL=• (3B 0/4V2) - ш11рина полосы системы ФАПЧ.
Используя (5.57), где А =Ао, получим
H(s)= в~+ V2BosfAoKs.
(5.72)
Таким образом, оптимальный фильтр зав.исит от В 0 и А 0 и, сле­
довательно, от амплитуды 01гнала, отношения сигнал/шум, абсо­
лют.ной ,величиаы скачка частоты и значения л, которое, в свою
u чередь, определяет величину переходной ошибки. Чтобы убедить­
с я в этом, необходимо лишь замет.ить, что
"'
е.2.= -
10 (iw)l2 l l-Y(iw) l2 dw =---рад2 с
1j'
(Лrо) 2
1
2гt
о
(8ВL /3) 0
-<»
(5.73)
11 ошибка обра тно пропорциональ-на "л 3; 2 .
Еслн мощность -си гна ла А 2 1 и спектральная плотн ость шума N 1
о тличаются от принят ых при расчете значений А 20 н N0, Вт/Гц.
то дро;,ка ние фазы на вы ходе (в рад2 )
2_(BLN1)1[А1;]
a- ---2- ~I
11
\
Af13
Au,
11 · п е реходная ошибка ( в рад,2 с)
е2 = (Лw)2 (~)2
т(8~LуА1,
1·: l c BL определено ран ее .
(5.74)
(5.75)
Конеч но, можно построить цепь так, чтобы комп енс ировать раз­
,'111 ч 11ые 1перех,одные 1процессы. Система ФАПЧ, изученная выше,
1 1с 1 с то .наз ы1вается системой второго порядка, та.к ка-к Y(s) имеет
: l11a ~по люса. Система первого порядюа :получается, если ,п·от,ребо-
11,1ть, чтобы ,переходн ые процессы, воз,ниа<ающие mри -скач,ке фазы
00 (s) = Л8/s,
(5.76)
0 1 ,1 л и ограниченн ь1ми. В этом случае олт.имальная пе редаточная
фу.11,1,1ция, как ле1r.ко видеть, имеет в,ид
)r(s) = 4BL/(s+4BL),
(5.77)
133


т,огда как
Н (s) = 4BLJA0K,
(5.78)
где BL = У2л. (Л0) Aof4N~12
.
Среднеквадратическая фазовая ошибка, обусловленн ая адди­
тивным шумом, ,и переходная ошибка (при произвольной ампл.и­
туде сигнала А 1 :и спектральной плотности шума N 1/2) соответ­
ств0нно равны:
а2= N1BL (~) •
пА2
,
(5.79)
1
Ао
е2 - (Л82)
(5 80)
Т - BBL (А1/Ао)
•
Для си:стемы ФАПЧ третьего порядка, опос,оiб1ной от,сл еживать
линейные ,из1менеrН·ия частоты 0rY(s) =IЛ1a/s3, оптимальный фильтр
ФАПЧ, ,оказывае'!'ся, ,имеет .вид
(~вL)з +2(.i__в1-)2 s+ Е BLs2
f/(s) = 5
5
5
(5.81)
AoKs2
где
=
-
вз ( 5 '\3 V2л,(Лсх)А0
L
6)
(No)l/2
Соответствующие ошибки
и шума равны:
для произво льных уровней с.игн ал а
а2 = N1BL _2-[4(А1/А0)+1] .
п
А2
•
1
5 4(A1/A0)-I
(5.82)
(5'з
6) (Лсх)2
el- =
-~-
-
- ---
-
(~~)l4(~: )-1JBf
(5.83)
Легко продемонстрировать преимущества системы ФАПЧ вто­
рого порядка. Если на входе системы ФАПЧ первого порядка
возникает скачок частоты величины Лю, то фазовая ошибк а
iсо
1\"
Лео
Лю{ - 4BLt}
Фе(t)=-. (1-Y(s))-estds= 48 1-е
2лI
s2
L
-i ею
и е( оо) = ,Л,ю/4Вr,, так ч то остается нежелательная установившаяся
ошибка. Система второго порядка дает при том же сам ом входе
нулевую устюювив,шуюся ,оши,б1ку. ,С друсr--ой ,стО1ро,ны, так п<ак раз.
н·оеть частот двух генераторов, .вооб ще говоря, не увел.и'Чива ·ет•ся
(или умень[llается) ,бесконе ч,но, то :системы третьего ~по ряд ка ре,дко
исшользуют,ся ·для еи:нх,ронизации.
Итак, было по 1<азано, что с помощью соответствующим обра­
зом выбранных метод о в можно построить отслеживающий согла~
134


с аванный фильтр. Фильтр можно сконструировать так, чтобы ском­
ненсировать случайные флуктуации фазы :ИЛИ с равным успехом
переходные процессы (или и то, л другое одновременно). К ,сожа­
J 1ению, оптимальный фильтр в общем случае зависит ,от отношения
с игнал/шум . В частности, показано, что ширина полосы оптималь -
1rой цепи в ,каждой из трех только что рассмотренных систем
ФАПЧ прямо пропорциональна некоторой дробной степени отно­
ш е ния сигнал/шум. Однако если параметры фильтра не изменя­
ю11ся ,при .изменении ,от.ношения с.и1лнал/шум на ·входе, то эффек­
тивная ширина inoJюcы ,системы ФАПЧ-,функ'Ция лл:шь а,м,плиту­
,' lЫ сИiгнала {см. раве,нст1ва (5 .74), (5.75), ('5.78), (.S .79) .и .(5.82),
(5.83)]. В результате, хотя в каждой из этих систем среднеквадра­
тнческая ошибка фазы и переходная ошибка уменьшаются, когда
м ощность сигнаш:1. ,возрастает 1по аравнен.ию ,со значе,н,ием, .пр·ин.я­
тым 1при рас чете, ,но они .не ум·еньш аются ш1ро;порцио1Нальн, о, .как rв
с лучае фильт р а ФАПЧ, 01птимизирова.нног,о для ,каждого у,ро.в,ня
с игнала.
На лра,ктике системам ФАПЧ обычно п ред ш ествуют полосовые
о грани ч ители .или устройства автоматической регулировки усиле­
н ня. Благодаря этим устройствам полоса цепи зависит от отноше-
1 1 ия сигнал/ ш ум, а не от уровня сигнала, и, следовательно, завнс·и­
мость от этих параметров более близка к оптимальному случаю.
,_ то утвержде н ие является прямым следств.ием двух особенностей
11олосовых о гр аничителей и устро йств автоматиче.ской регули­
р о в ки ус,иления:
1. Отношение сигнал/шум S' , /No 1 B 1 ,на выходе таких приборов
11 рямо про п орционально отношению S1/ N1B 1 на их входе, т. е.
S' 1/ N' 1B 1 =kS 1/N 1B 1, где л/4<k<2 для полосовых ограничителей с
1 11 1 1р.иной полосы В 1 1) и, по - видимому, ,k= 1 для устройств автома­
·1· 1 1 ческой регулировки усиления.
2. Полная мо щность .на выходе та~шх устройств постоянна не­
: 1:11111симо от отношения сигнал/шум на входе, т. е. S'1+N'1B1=К.
ТШ{ИМ образом, s; = к . 51
Им;= .!5_
Ni
51 + N1B1/k
k S1+Л'iB1 / k
В ,соответствии с этим увеличение уровня пр.инятоrо сигнала
11.1• тично проявляется на входе цепи как уменьшение уровня ш у ­
м 1 1. Ширина .полосы системы поэтому с ростом уровня сигнала уве ­
J 111 1 1·нвается медленнее (и, следовательно, 01на ,бл.иже .к ,01птимально­
~ 1 у с лучаю), чем в отсутствие О'r:раничлтеля . А•нало1гично увеличе-
1111 ' у ро,вня ш ума ~проявляется частич.но ,ка,к уменышение ,мощности
1• 111 · 11 а ла на вхо.де це~пи. Это, в -овою очередь, приводит 1к у,меньше-
1 1 1 1 ю шир.ины ,полосы .цели, что ближе .к :Идеальной ситуации.
13 любом случае обычно nрлнято стро.ить цепь так, чтобы рабо-
1 ·1 1 т 1 , 01 nтимально в ~наихудших ожидаемых у,сло1виях . Хотя ,ра.бота
11 1 1 е б удет оптимальной для других уровней, отличных от номи-
1 1 11 .1 11, 1 1О1rо, она ;все же будет .r~.учше, чем ;в эт,ом крайнем случае, .в
1t lT ()l p·o м работа ~читается удовлетворительной.
1) См. задаqу 5.6.
135


В ·общем случае случайные флуктуац ии фазы (шум генерато­
ра) присутствуют, даже когда цель строптся так, чтобы компенси­
ровать лишь аддитивный шум и ожидаемые переходные процессы .
Шум генератора увеличивает среднеквадратическую ошибку .по
сравнению с пределом, который соответствует лишь аддитивному
шуму. Тем не менее iB ~большинстве слу,чаев ~полоса ,системы ФАПЧ,
нео;бхо.zi:и·мая щля тшо, чтобы сделать 1пр-ие,млемым.и mереходные
процессы, · достаточно широка, чтобы сделать влияние шума гене­
ратора относительно малым по ,сравнен.ню с влиянием аддитивного
шума. Это предположение будет использовать,ся в· последующем
а,нализе систем ФАПЧ .
Анализ, проведе.нный в этом параграфе , начинался с' лредполо­
же,ния, что линейная модель дает хорошее пр'Ибл.ижение к дейст­
влтельному ~поведению ,си,стемы ФАПЧ . Э1юперименталыные ре­
зультаты показывают, что это имеет место, когда среднеквадра­
тичес~кая ошибка ,отслеж.ива1ния цеmи не ,п ревышает 1/4 рад2 . Не­
линейный анализ цепи :пер,вого ~порядка ,пр:иво,дит ,к ~результатам,
которые очень близко со;гласую11ся с .результатами л,инейно~го .ю1а­
лиза в том же интервале ,о:ши,бок. дiру~гие 111риближе.нные нели ­
нейные подход ы также подтверждают этот вывод для цепей более
высокого порядка. Во всех применениях, •с которыми мы будем
сталкивать:ся, среднеквадратич е ская ошибка фазы, большая, чем
1/ 4 рад2 , будет н едопустимой. В соответствии с этим линейная мо­
дель будет, как прав.ила, приемлемой для наших целей. Исключе ­
нием из этого правила является ,начальный процесс вход.а в •сн.н­
хронизм, кО1гда .оистема ,еще не отслеживает 1при1нлмаемый сигнал ..
Эта ст,о,рона задачи ,обсуждается в слещующем ,параг.рафе.
5.7. •Время
входа в синхронизм
В этом па,раграфе получим оценки для ·в ремени, необ­
ходимого для тoiro, чтобы 1nри,вест•и систему ФА!ПЧ 1в со1стояние
синхронизма 1), когда началь:ная разность между частотой ГУН •и
част,отой ,принимаемо,го сигнала -ра,вна ,Лf. Та.к iКа1к два .незавж:::и­
мых генератоrра яИlкотда не бущут ~работать точ,но ,на одной и той
же .частоте, эта зада1ча 1неиз,бежн.о .в-озн,и.ка,ет в ~начальной стащии
процесса входа в синхронизм. Система ФАПЧ второго порядка
способна отследить такой с.дви,г частот с .нулевой установи,вшейся
ошибкой; системы ФАПЧ боле•е :высокого ~порядка также о.бла,дают
этим свойством, но так как для них возникает проблема устойчи­
во:сти, когда mа,раметры си,гнала •Отличаются от номинальных зна­
чений, то, вообще ,го,воря, ,с,истемы ,вто,роrго ,порядка 1пр•едпочти­
тельнее. Более ТОIГО, .ка,к у:ж:е быJiо отмечено, те 1п-ерех,одные .пр,о­
це.ссы, которые требуют .введения цепей '6олее ,высо1к101rо !По.рядка ,.
им-еют, .ка!К m,равило, ог.раниченную ,продолжительность. По этим
1 ) Говорят, что цепь син х ронизации фазы будет в «состоянии синхро нпз ма» ,
когда разность фаз между сигналом ТУН и принимаемым сигналом становитсЯ:
и продолжает оставаться меньше, чем :rc рад. (ПриАt. авт.).
136


причинам О'rра .ничи,м наше вниман:ие изучением ,процес,са .входа в
с инхро,низ1м лишь с,истемы ФАПЧ ;вт,ороrо 1по1р я~дка ,в случае, когда
11 е рвоначальный сдвшг частоты рав ен постоянной Лf.
В ы числе~ние времени, необходим ого для вхожден.ия в ошхро -
11нз м при использоваюш ,системы ФАПЧ, хотя и несомненно свя­
з ано с поведе:ннем цепи ' в со,стЬянии синхронизма, является по
с 11оему существу более т рудным для анал.иза. Д ел о в том, что
:Jдес ь ,нел ьзя иопользовать линейную ·м.одель ~системы ФАПЧ; оче-
1111дно, что до того, как ·пооизойдет захватывание, сист ема должна
nо о'бще ,rо1воря, 1ра6отать •за mределам.и линейного участка диа1па­
:зона . Ниже ~получены ~некоторые при'6 .1иженные результаты, ,в слу­
• 1 ае, ко nда мож1-ю 1пре:неб.речь ,шумом •на :входе ,системы. Так ка•к
оцен к и фазы должны •быть доволы-rо точным,и для то,rо, что­
ri ы их мо жно было ИС,ПОЛЬЗQIВ3'ТЬ · в СИН·ХрО,!ШЫХ системах, инте­
р ес представля ет случ,ай с 1больiu.им значением отношения сиг-
11<1JI/ш ум. Поэтому время входа в
01 ,1rх р о!-Iизм системы 1в отсутств·ие
111v,ма 'будет разумной оценкой ее
ха,ракт еристик в ,большинстве 1пр:и- tcos (1Jot +-Ф1)
.11оже1~rий, связа1rных С ·СИ'НХ,рО:Н'ИЗа-
Jl]lеЙ.
H{r;)
ГУН
Для анализа временII входа в
с 1 111хрон пзм r,ернемся к нетшеа ри­
:ю панно й модел и системы ФЛПЧ
( рис. 5.6). В.ысокочастотные со -
Рис . 5.6. Функциональная схема
нелинейной модели системы ФАПЧ
с тя в.,яю шие на выходе умножитt:ля могут не пр ини маться 1ю
11 1111~,r aыie, так 1,ак они опять - та.ки будут, фактическн, устранены
ф11 л ьтром . Фильтр Н(р) уже был 'Найден (р обозн ачае т оператор
1//,rlt ), так что анализ можно провести во време,шбй области. Вы­
х о :Lн ая частота ГУН состоит :нз постоянной .составляющей w0, т. е.
Щ'11 тр а ль.н ой частоты, и сос тавляющей, пропорL~иона льной напря­
i 1 с1 1 :1ю на входе H(p)A0 sinФe (t). Поэтому Ф1 (t)=(К0Н(р)/р)Х
,< Ао s in Фе(t), ,где Ко -,постоянная, обаз,начающая коэффи циент
,·t1ления :ГУН, и
Фн(t)- Ф1(t) = Ф0(t) - н(р)АоКо siпФ,(t) = Ф,(t).
(5.84)
р
'
)l 11ф фе ренцируя, ,находим
i/ r~~/t) + H(p)A0K0 sinФe(t) ~ dФ;?) = Лш,
(5.85)
11осJ1сдне е равенство сле дует IIЗ . того, что первонача льная разность
1 1 11с т от ТУН и принимаемого с:игнала по лредлолож внию равна
1\ 1,1 рад/с; Фо(t) =,(.u ,w)t+Фo. Ха ;рактеристика ,фильтра •системы
нто·рого по·ря,дка , который был введен в § 5.6 , имела вид
11(р) = К1 (1 + .:0р)/р.
(5.86)
() l.1111 о птимального фи льтра
,,,
в~о!АоКо ·И 1io= \12/Во. )
1 111фф с р е нц.ируя, лолучаеи
в соответствии с критерием ~ 5.6
П одс тавляя Н(р) в (5 .85) 11 опять
137


d2Фе+dФе К -ф+К.ф
_
d2Ф0 (t)
т0COSе
SШ е----
dt2
dt
-
dt2
•
(5.87)
,де К =АоКоК1 . Предполагается, что частота на входе пост о янна,
так что d2Ф0 (t) /dt 2 =0. Удобно сделать подстаrновку .: = .:0 Kt. Тогда
равенство (5.84) упростится и примет вид
d2 Фе
rd Фе
1
•
1
-
-
+cosФ,--+-2sinФe=f+fcosФ+--
2 sinФ = О, (5.88)
d,2
d,
К,о
·
1(,о
где Ф=Ф,(t); f=dФe(t) и f = d11Фe(t}
d,
d-c 2
Таким ,образом,
J_ = !!!_/dФ= _!1:L = -соsФ-sinФ
fd,d,dФ
4~f
'
(5.89)
где ~2 = Kr:20/4.
Равенство (5.89) можно ис п ользовать , чтобы получ.ить п ри бли­
женное выражен.ие для времени входа в синхро,низм. С этой uел ью
умножим обе части (5.89) .на sin ФdФ и лроинтегр:ируем в преде­
лах от Ф=2лk до Ф=2л(k+1), где k-произвольное целое число ;
в результате получим
Ф=2тi:rk+l)
2л(k+l)
2л(k+l)•
1.
ssin2ф
r
sшФdf = -
--dФ= - J
,
4~f
~
fcosФdФ,
(5.90)
Ф=2nk
2nk
2лk
где последний интеграл получен при интегрироваrнии по ч а стям
первого интеграла. Аналогично умножая обе части (5.89) ,н а .f dФ ,
интегрир,уя ·в тех же пределах .и используя ф - лу (5.87), по л у ч им
2n(k+ l )
2:rt(l,+I)
-1⁄2-rt2(2л(k+ l ))-f2(2лk)]= - 5 fcosФdФ= - J
.
2~k
2nk
sin2Ф dФ.
4~2 t (5.9!)
Если фу1 1 кц;.1 я }' положительна, то последниi1 интеграл положи­
телен, и тот факт, что f[2л(k+l)]<f(2лk), означает, что независимо
от величины рззности частот f каждый полный цикл приво д ит к
уменьшению этой разности. Есл,и f отрицательна, что еоответствует
изменеюпо на.правления ·отсчета фазы на ,пр•отиво1п,олож.но е {от
2:п:(k+l) .к 2лk рад], то ·интеrг,рал ,с,права отрицателен и lf(2лk } \<
< 1f,[2л (k+ 1)] 1- Разность частот, таким образом, стремится к нул:~u
независ1в10 от первоначального значения. Теоретически част от ный
д.иапазон захвата бесконечен.
Чтобы оценить время, необходимое для входа 11 синх рон изм,
напомним, что / =dФ/d.: и, следовательно,
t = -,~'к = 'olK sdfФ•
(5.92)
138


С ум м иру я равеi1ств о (5.91) .по п nерлодам, на ход!1:11, что
·2пл
/2(2nn)-f(O)= -
-
1 Jr, siп2Ф dФ.
2~2
f
о
Для -некоторого значения п ,имеем f2(2пл) ~ О и
2:ftt!
2:ftt!
/2(O)-f2(2Jitn) = _1_ J'sin2ФdФ=__:!_ 1 ~~=2Тма
2~2
f
2t2Jf•о'
0
О
(5.93)
где Тм - время, необходимое для того, чтобы р,а з ность частот ста­
J 1 а лри б,1ижею-1 0 равной н улю в случае, когда начальная ра з ность
равна Лf =,[т@Кf{О) /2л] Гц; 1а - некоторое число из интервала
O< a<l . Поэтому
r
:rt
2. ( l+41;2 )З(Лf)2
Тлr=- --- --
вз•
Ва~\ 4~
L
(5.94)
где Т м .1.ано 1в секундах; ВL=,(1/4т0 ) (1 +4~2) - ширина полосы
с 11 с т е мы ФАПЧ в случа е, когда фильтр ФАПЧ задается равенство :\,~
(5. 86). ![Е с ли нс~пользуется оптимальный фильтр, введенный в § .5 .6 ,
т о ~2 = :1/ 2 и то=V2/В 0. Интересно отметить, что время ,входа в
,: 1111х р·о.низ м сОJ'ласно ф-ле ( 5.94) в действительности миним·изи1ру­
(' т с я, когда ~2 = 1/2]. Хорошая в общем случае оценка для Т лr по.т1у-
11 ;1 стся, 11юг,J.а siп2 х в (5.93) заменяется на его ореднее значение
1/2_ Тогда ,а= 1/2 •ш
'd'
~ ~( 1+4~2 )з (Л./)2
лr~ 4~
4~
в.I •
(5.95)
В не которых случаях в о з можно (и желатель110) увеличивать BL
JH > в р е м я входа в ,синхронизм для того, чтобы уменьшить требуе­
мое вре мя, и уменыμать BL после входа в ,синхронизм. Однако ве­
.1 , 1111и н а, н а 1,оторую можно изменить BL, огранич е на ш у мом, так
1 с. 1 1 ( у,вел нчение , ширины ~полосы системы усиливает вю!Я'ние адди­
·1
·. 1 1 в 1 10 г о шума и, следовательно, общую вероятность н еудачи при
11ходс в си нхронизм.
Мы у,стааювили , что время, необх-ощимое для входа ,в ,синхР'о­
'11 11 :1м , ра стет как квадрат разност.и частот ГУН и принимаемого
(' l11 ·11 a;1 a. Когда началыrая разность частот велика, время входа в
,·1111хронизм может быть чрезмерно большим. В этом случае ши­
,ро 1<0 11ри м еняется метод, который состоит в подаче на вход ГУН
1 1, 0 1 1 ш1 шпе лыного линейно возрастающего (или убывающего) на-
111 н 1 жс 1шя , что приводит к качанию частоты ГУН в интервале не-
111 1р с 1 L с л е н ности. Предыдущие рассуждения мож,но обобщить так,
11·1
·0 , ы полу чить н е которые предельные резул1;,таты дл я этого слу-
1111!1. LЗ силу ТОГО что
Ф1(!) -.сКоН(р)А0siпФ,(t)- -1 ~t2,
(5 .96)
р
2
139


где μ- - ск о рость качания, ·рад/с 2 , равенство (5.85) приюв1 ;;ет вид
dФ, (1) +А К H(p)sinФ (t)= dФо (t) + ~t .
(5.97)
dt
оо
е
dt
Подст а новка Н(р) и дифферендирование, как и ранее, д а ют
d2Фе+_dФетКсоsФ +KsinФ = d~Фп(t) +~
dt2
diо
е
е
dt2 •
(5.98)
вместо (5.87). Равенство (5.89) прИiнимает вид
df
rr-) + ~/К -sin Ф
-
= -СОSЧс
dФ
4~2 f
(5.99)
Интегрируя обе части этого рав енства в пределах от 2лk до
2л(k+ !), ,получаем
2л(k+I)
f(2n(k + l))-f(2лk)= 4~2
.f ~/K7s inФdФ.
(5.100)
2лk
Но теперь, если В>К, то положительное значение t в течение
пюбоrо одного цикла означает, что f{2n(/i+l)] больше, ·чем f( 2лk) ,
в то время как отриц, ательная . разность ча стот означает, что
f(2л,k)<,f(2л(k+l)), когда в<-К. В "1юбом из этих случаев раз-
1юсть частот растет по абсолютной ве "1ичине на любом един·и чном
цикле. Более того, когда ,f мало по абсолютной величи1не, равенство
(5.99) показывает, что f будет возрастающей функцией Ф, если
f>0 и B>l( и если f<0 .и в<-К. Соответствен•но абсолютное зна­
~1ение f является возрастающей функцией времени ттри ма,1ых зна­
чениях i}'.
Эти два фактора заведомо приводят к неустойчивости
системы, е,сли r, ~по абс-о,'lютной величин е ,превосходит К; ка ,к след­
ствие, вхождеi-!.ие •в •синхронизм ,01,ззывается невозможньс.1. Экспе­
римеп-rта ~1ьные данн ые и моделирование ,на ·вычислительной ,1аши­
;1е подтверждают этот вывод наря ду с я есколько более слабь~:-л об­
ратным утверждением, что ,при I r, 1 <К/2 захват ывание ю,1 е ет мес­
то. (При малых отношениях сигна:r/шум I f', 1 должно быть ~1 ень­
ше К. Однако при отношениях сигl}!ал/шум, часто имеющих Уrесто
пр,и ког е рентн•ой связи и ,в за.дачах оrнхрон·изации, ! [} l может
быть близко к К/2.) .
.Время, •необходимое для качания частоты 13 интервале н ео пре­
деленнос11и Лf ,Гц со ,скоростью В/2л: Гц/с, равно 2п,Л;f/ f', секунд.
Время входа в синхронизм при использовании этого ,vrетод а
.,
2лЛf 4лЛf
тсЛ f
тлr= -~-~к= [4~/(1 + 4~ 2 )]2 вI •
(5. 101)
Сравнивая ф-лы (5.101) и (5.95),чrаходим, ч .т о качан·ие ча сто ты
ГУН в области неопредепенности становится эффективным, если
(5. 102)
140


Эти оценки вре~1ени входа в синхронизм 1не учитывают время, в
течение которого фазовая ошибка уменьшается до некоторого до­
статочно малого значения после того, как частотная ошибка была
у странена. Чтобы оценить эту величину, рассмотрим случай, ког­
да цель первоначально нах,одится в синхро,низме, но фаза прини­
м аемого сигнала изменяется скачком на ведичину ,л,е в момент
t = О. Если Л10 не слишком велико, то опять может быть использо­
в ана линейная модель системы ФАПЧ. Так как мы рассматриваем
снсте~,rу второго iПорядка, то имеем
j00
Oe(t)= -1
-.
rл0r1- у(s)Jes1ds =112леe-D,I/j/ 2cos(V2Bot+~) .
2л:1 .) s
'
2
4
-i
со
Время, .необходимое для того, чтобы огибающая этой переход­
ной ошибки умоньшилась приближенно до 1/4 ее первоначального
значения, равно, следовательно, Т = 1/BL. Это, конечно, дает
.,ишь грубую оценку интересующей лас величины. Тем не менее,
е с ,1н величина BL мала по сравнению с ·неопределенностью часто­
т ы Л,f, то эта добавка к общему времени входа в синхронизм, mо­
в идимому, преаебрежимо мала по сравнению со временем, необ­
ходимым, чтобы отследить ,первоначальный сдвиг частоты i[(5.95)
или (5.101)].
5.8. Системы ФАПЧ и несинусоидальные сигналы
Рассмотрение, которое .пр.ивело к формул:ировке понятия
си стемы ФАПЧ в § 5.4, без особого · обоснования ограничивалось
синусоидальными си,пналами. Тот же подход в равной мере лрлме­
н им к любому периодическому сигналу x'( ,t) . Так как .выход гене­
р а тора сигнала (рис. 5.1 :н рис. 5.2) обозначен через x'(t), то это
у твержден·ие можно ~понять ,в том с,мысле, что -о6о'6ще.ние П\роиз-
1 ю дится лишь · на дифференцируемые периодические функции. Од-
1 1 а 1ю в деikт,в:ительно·сr.н ,это ,н ·е Я'Вляекя необходимым . Такое же
уст,ройство можно было бы !Предложить для отслеживания фазы
с 1 1 гнала x(t) .при использован,ии некоторого местно1го mер.нодичес'КО­
г о сит,на J;а, отлично:го от x'(t). Рассуждения§ 5.4, которые 1п.ривели
к обоснованию системы ФАПЧ, .изображенной на рис. 5.2, в равной
щ~ ре пр:11менимы и тогда, когда местный сиr,нал является любой
1 1 е риодической функцией -z(t), такой, что
т
.1·х(t)z(t+т)dt J,=o = О;
о
т
/-т:sх(t) z(t +т)dt [,=о< О,
о
(5. 103)
11 р ич е м оба этих условия выполняются лишь в точке т=О. В дей­
с т в ительности, используя 1не1<оторый местный сигнал z(t), отлич-
141


:Аый , от х' (.t), можно бь1ло бы получить, по-видимому, существенно
лучшие характеристик,и отслеживания. Нскоре мы возврат,им.ся к
этому вопросу.
Для того чтобы рассмотрение было по возможности наиболее
общим, предположим, что местный сигнал z(t) является периоди­
ческой фу~нкцией, в остальном неопределенной . Однако z(t) ,и x(t)
будут нормированы так, чтобы их мощность была равна единице .
Так как амплитуда А пр.инимаемого ,сигнала произвольна и так
как увеличение амплитуды сигнала z(t) эквивалентно, например,
увеличению усиления цепи, то такая нормировка не приводит к
потере общности.
.
Тогда, если условия, пр,иводящие к системе ФАПЧ, выполнены
л
( т. е. если -с и т - относительно медленно изменяющиеся функции
времени), система ФАПЧ и устройство слежения, .изображенное
н.а рис . 5. 1, являются эквивалентными. В этих услоВ:иях влияние
·принимаем,оrо сигнала x(it+-c) 1На харак·тер:истику системы за,висит
всецело от корреляцион~ной фу,нкции
л
т
л
РлА't--с)= +JХ(t+'t)Z(t +'t) dt.
(5 . 104)
о
Более того, если с достаточно большой вероятностью можно
~казать, ,что с.истема ,раrботает ·в достаточно малой области ,в'близи
л
'!:ОЧКИ "t'='Т, ТО
л
/\
Pxz('t-'t)~(-с- -с)Л,
(5,105)
(Это, конечно, как раз то приближение, которое лр:ивело .к линей­
мой системе в § 5.5.) Оказывается, таким образом, что пока ошиб­
ка отслеживания остается в пределах этой ограниченной области,
влияние вида функц,ии, которая описывает принимаемый сигнал,
uроявляется лишь с помощью величины ,p'xz(O), так что все сиг.на­
лы x(t) .и z(t) с •одинаковым параметром p'xz(O) являются экви­
валентными.
Одна;ко, чтобы .обосновать утверждение, что существенна rоль­
ко корреляционная функция rp'xz(-c) или (в линейной области) про-
11зводная этой корреляционной функции, необходимо также заново
л
исследовать произведение z(t+-c)n(t), описывающее шум 1на входе
/\ /\
фильт-ра ФАПЧ. Фаза -c = rr('t) зависит от шума n(t1), ,но, .как и в
§ 5.5, только при ti <t. Таким образом, утверждение, что спектр
этого произведения является «белым», если n(t) занимает полосу,
большую, чем полоса системы, остается справедливым. Если дву­
~;:торонняя спектральная плотность мощности процесса n(t) равна
142


л
N 0 /2, то спектральная плотность процесс а z (t + -r) n(t) со rл асн0
§ 5.5 имеет вид
~
л~
500
2 Е[z2(t+-r)]=2
.
(.1 ~
Рассмотрим далее распределение ампл:ит у ды низкоч астотн1ы~
л
ко мпонент лроизведе;ния z (t +>t) п (t) в какой-либо мом е нт време­
ни . (Высокочастотные ,комлоненты снова буду т устр анен ы благо­
да ря фильтрации, которую 'Выполняет цепь . ) Дл я этого р азложим
пе риод,ический сигнал z(,t+rr) в ряд Фурье :
л
00
2•
Z(f+'t)=~aiCOS(W;f+0i); W; = _:::_
.
~о
т
В рем е нно введем перед системой ФАПЧ пара лле льно со ед и ненные
ид еальные ,поло(:,овые фильтры, центральная частота ;к аж,досо ,из
КО 'Горых .равна одной ,из 1га,рмон.ическ·их ча,стот ш; = '2л:i/ Т, i ;;;::, O и
каждый rиз которых имеет одну и ту же ширину полосы В ~ 1/Т
(з а ис.ключением ,полосы около •нуленой частоты, кото р ая ,равна
,по ло1вине этой ,величины) . Ка'К и 'В § 5 .5, шум ,на .в ы ходе i-ro ф.ильт­
ра можно записать в ,вид е
п;(t)=пс.(t)cosw;f-п
. (t)sin w;t.
(5. !07~
'
s,
Тогда
{z(t+~)п(t)}u = {~а; cos(wit + 0;)[nci (t)cosw/-nsi (t)sin wjt]} =
i,j
lf
со
= ~.!!.!.. [пс. (t) cos 0; + n5 . (t) sin 0;] + а0пс (t).
/,J2 ,
,
о
(5.108)
i=l
Э то выражение пр едставляет собой просто вз в е ш е нн ую сумму
1 1лен ов вида , опред еляемого равенством (5.53) ; ка к б ыл о показа-
110, э ти члены являются га уссовскими сл у чайными велич и:нами с
11улев ымл средаими :и с не зависящими от времени в торы ми момен ­
там:и . Цель ,рассмотрения системы ФАПЧ с ,по лосо.в ы м-и фильтра­
ми - 111олучить удобное ,п,редста,вление для шу м а. Но р ассуждения,
11 1 р,ив одящие к (5 . 108) , сл.раведливы даже то,гда, 1к о[lда В = 1/Т,
т. е. когда в действительности вообще нет никак,их фильтр ов. По­
э тому з аключаем, как в § 5.5, что низкочастоп-rая компонент а шу­
м а на входе фильтра цепи является выборочной фун-rкцией белого
(т . -е. широк'Оlполое,ного 1по сра;в,н ению с ~полосой систем ы ) ,г ауссов­
·1юго случайного .прсщееса.
Если z(t) - прямоугольная функция , принимающая значения
только + l и - 1, то утверждение, что n(t)z.(t) :имеет то ж е самое
р ,1 сл р еделение, что и n(t), когда n(t) являет,ся б елым и симмет­
р 11 ч110 распр еделенным .процессом, оч е видно . Распр еделе нл я про-
1~с ссов n(t) и -n(,t) в точ~ности совпадают, и та к ка к n(tJ и
ll (t + e) незави,симы лри всех e=;i=O , то невозможно определить,
11аблюдается л.и n(t) или - n(t) . Ста1'ист.ически е х арактеристики
143


шума остаются, очевидно, в этом ,случае ,неизменными. Предыду­
щие рассуждения показывают, что тот же самый вывод справед­
лив для ,низкочастотных компонент произведения n(t)z(t), где
z(t) - любая периодическая функция . Как ,подсказывает интуи­
ция, {z(t)n(:t)} -сдвинутый 1по частоте белый шум , ,и 1этот сдвит не
меняет никаких свойств, ~потому что ,шу~м белый .
Объединяя э,ти два факта ![т . е. (во-первых), что статистиче,ские
л
снойства шума n ,,(1t) = {it (t) z(t +'t)} 11 фа;кт.ическ,и ,не зависят ,о т
z(t) и (во-вторых), что сигнал ошибки в линейной модели цепи за­
висит не от самого сигнала z(:t), а от производной корреляциО1нной
функции IPxz(i-)], приход:им к следующему выводу . Характеристика
системы ФАПЧ, построен,ной для ,слежения за произвольным пе­
риодическ,им сигналом Ax(,t) ,с периодом Т, совладает с хара,кте­
ристикой системы, имеющей син усоидальный вход (как п р едска­
зывала нелинейная модель), когда корень квадратный из средне­
квадратического значения амплитуды синусоиды
А,=~: 1P:z(O) 1 ·
(5.109)
Это за1ключение верно, ,пока си,стема ФАПЧ ,работа,ет ,в области,
в которой производ1ная корреляционной функции Pxz (т) относ,и­
т ельно постоянна.
Возвращаясь к вопросу о том, -нуж н о ли .z(t) приравнивать
x'(t), как предлагается в ра,ссуждениях § 5.4, заметим, что «,на:и­
лучшим» . ,с точки зрения равенства (5 . 109) является такой выбор
z(t), который дает корреляциО1нную функцию с максимальной воз­
можной производной в окрестности 't=O. Поэтому о п тимальный
выбор z(t) равен x'(t). Действитель,но,
т
т
p'z(O) I =
_i_
_ l Sx(t)z(t+'t)dt
х
д-r: т
=
+sх(t) z' (t)dt .
(5.110)
о
't'=O
О
Интег рируя это выраже1ше по частям и ис п ользуя неравенство
Шварца, ,находим, что
1 P;z(O)I =
-
1 ST [x'(t)z(t)dt < [_!_ T\' cx'(t)}2dt]
1
,'
2
[-
1 ST z2(t)dt]
112
то
то
то
(5.111)
Но так как z(t) по условию имеет единичную мощность, правая
часть неравенства не зависит от этой функции. Сформулированный
_ вывод справедлив в силу того, что это неравенство переходит в
равенство тогда и только тогда, когда :z(t) =kx'(t) для некоторой
постоя1нной k. Фактически, этот результат прямо ,связан с эффек­
тивностью формулы оценки максимального правдоподобия вели­
чины ,; (см. ф-лу (5.39)].
Это , однако, ,не 1все, .что ,можно ,с,казать, та ,к 1шк ,с,истема: ФАПЧ
1не все1гда ,буLдет ,работать в линейной ,области 01юл,о точки т = О,
особе.н:но, есл,1 эта о,бласть мала. В 1пре,д;шествующем абзаце
]44


установлено, что оптимальный местный ,сиr~нал z(t) для заданног о
принимаемого сигнала x(t) имеет вид . z(t) =x'(t) .при условии, что
к орреляционная функция 1Рхх' (-r) пр•иближешю является линейной
фу нкцией -r в достаточно большой окрес'I'нос1;и точки -r=0 1) .
Что!бы сделать 1в .ка·кой-'Го .мере более •оtпр,еделеиными рас•сужде­
ни я относительно важности расширения линейной области, .пр ед­
п оложим, что P~z(-r) -строго линейная функция т ' для lтl <L/2 11
что фаза принимаемого -силнала постоянна. Тогда в -соответствии
с л:инейной моделью вероятность того, что ошибка отслеживания
л
для с истемы ФАПЧ Т8 =-r--т останется в пределах этой области 2 ),
Pr{1'te1< ~}= erf(2:Ф\),
(5.11 .2)
где r;~=NoBL!Ae- Если Рхz(т) не является строго линейной функ­
цн е й т в области lтl ~L/2, а имеет В:Ид, изображенный . на рис. 5.7,
т о все еще слря.ведливо раве1нство
Pr (1те1< ~)= erf (;:::Li)
(5 . 113)
дJ1я некоторого k(L) из интервала ~,(L)/л. 0 ~k(L) ~ 1, где Л(L) оп­
ред е л ена на рис. 5.7 . Значение этой вероятности, рассматриваемой
Pr rc. 5.7 . Пример кop­
J\l' J IЯlllIO HHO Й фу1-1кции
11 спязанных с нею
границ
л(L)=
ло,
Рх2
т
_1з
2
_h,
2
Pxz (с)
L-2
2
L1
L2 L3
т
2<lт\<2' 2-< l тl<2
L2
Lз
2<\т\<2
Ь.'J
2
1) Та к как производ1-1ая синусоиды в разумном приближе1-1ии яв.riпетсп mr-
111 · i·11 ro й на значительной доле ее периода, то местный сигнал [если x(t) - си1-1 у -
1· 0 11 ; L а] д олжен, по-видимому , также быть синусоидой , как предполагалось в пре-
1I r ,r Jly щнx параграфах . Даже здесь, однако, другие критерии могли бы прнвест н
1( J l ру п,м выводам. Если бы считалось более важ11ым, например, расшир1Iть
, 1(1.1 1с 1 l:т ь юrне й н ости функции Px z(т), то для того, чтобы мак•симюнровать р'.,, (О).
~Iож II 0 б ы л о бы произвести другой выбор z(t). (Прилt. авт.).
") Т ак как n предположениях, J<оторы е нспользуютсн здесь, ошибка отсле­
,I, II I1: II11-111 яв ляется линейной функцией rауссовского с лучайного процесса ( е р.
t' ~ 5.5 ), о н а сама является гауссовским случайным процессом. (Прим. авт.).
,1
145


как фующия L, определяет меру адекватности линейной модели
системы ФАПЧ для 1ка~юй-либо част.ной рассматриваемой задачи .
Те же рассужде~шя можно использовать для оценки вероятно­
• сти потери синхронизма . В силу того что по определению потер:и
синхронизма возникают всегда, когда I Те 1 > Т/2, то
рЛPr(потеря синхронизма) = Pr{1-re 1> : }= 1- erf( -V~:Ф )
(5.114)
для некоторого !г; тах LЛ(L) / Л0 T~k~1. Если независимые вы-
L<т
борки ошибки uтслежива,ния берутся до того, как была обнаруже­
на потеря синхронизма, то математическое ожидание числа требуе­
мых выборок
00
E(n) = ~ п(1-р)"Р= 1 /р.
(5. 115)
n=I
В силу того что ми .нимальный временнои интервал, разделяю­
щий независимые выборки на выходе цепи, имеет -порядок l/2BL,
математическое ожида,ние времени д о потери си,нхронизма
Т = Е(п):::::::;
1
28L
28L l l--erf( ~k )J"
J/2 аФ
(5.116)
Хотя это рассужден,ие полностью эвристическое, его справедли­
вость может быть подтверждена для систем ·первого порядк а с по­
мощью ,нелинейной модел·и. Если, •на.пример, 1Pxz1(-r) -синусоида,
то с,р€днее ;в,рем.я ,до ,потер.и синх,ронизма для с·истемы mер,вО1Го
порядка хорошо а•ппроксюшруется для всех а Ф < 1/2 рад равенст­
вом (5.1 16), ,где k = 2/л.
Задачи
5.1 . С11гнал y(l)=x(t)+n(i) проходит ч е рез два сглаживающих фильтра,
л
построенных так, чтобы мIIю1м11з11ровать среднеквадратические оценки x(t) и
/\
n(t) для x(t) 11 n(t) соответственно.
л
/\
а) Сравнить две оценки x(t) 11 y(t)-n(t) для x(t).
/\
/\
/\
б) Выразить y(t)~ x(t)+n(t) через x(t) и n(t).
5.2 . Проверить равенства (5.77) - (5 .83).
5.3 . Фильтр системы второго порядка, определенный ф-лой
,(5 .72), имеет
вид Н (s) = а+ (b/s) и , следовательно, включает в себя ·идеальный интегратор,
На практике интегратор не будет идеальным и фильтр будет иметь вид H(s)=
= (as+b) / (s+б), где б мала , но не равна нулю. Определить ширину полосы
шума системы с таким фильтром, найти установившийся отклик системы на
единичный частотный скачок.
5.4 . Показать, используя , например , метод корневого годографа, что линей­
ные модели системы ФАПЧ первого н второго порядков (с идеальным инте-
146


r ратором и без него) являются устойчивыми ~е7 ависимо от отклонения уровней
,с ип-~а ла и шума от их номинальных значении. Показать, что это неверно для
с и ст.ем третьег о порядка.
5.5 . Точный анализ нелинейной модели системы ФАПЧ п е рвого порядка при­
оодит к распр еделен ию фазовой ошибки, называемому распределением Тихонова:
p:(Ф)= exp[RLg(Ф)] / lexp[RLg(Ф)]dФ; IФl ,(n,
ф
где .g(Ф) = SPxz(Tri/2n)dТJ, а px,("t) определяется в (5.104), и где RL=4A/NoK;
-:11:
А 2 - мощность принимаемого сигнала; No - спектральная плотность шума 11
К - постоянное усиление ГУН . (Этот результат справедлив, когда фаза прини­
маем ого сигнала постоянна, шум является белым и гауссовским и фазовая
о шибка берется по модулю 2п.) !Показать, что распределение фазовой ошибки
в действительности является приближенно гауссовск11м для достаточно больших
з н ачений RL с дисперсией ai в соответствии с тем, что предсказывает линей­
II а п модель [с эффективной амплитудой сигнала, задаваемо й ф-лой (5.109)].
Показать далее, что если Pxz (т) - нечетная функц11п т н есл и существуют ее
11 е роые три производные, то гауссовское приближение справедливо для всех RL,
J(JIH которых
а2,,,, 48л:21 P:z(О) 1·
ф,, тz
Pxz (О)
5.6. Сигнал y(t)= У2 А siп (wct+B) +n(t) , где n(t) - белый гауссовский
I11 у м, проходит через полосовой фильтр с шириной полосы шума В1 и централь-
11 о i '1 частотой Wc . Выхо,д фильтра, в свою очередь, проходит 'Через устройство
• н е четной v-характеристикой [т. е. устройство, которое превращает вход x(t) !!
выход \x(i) / vsgп(x(t)) ], за I{ОТорым следует второй полосовой фильтр с ши­
р11 11 ой полосы шума В 2 и центральной частотой Wc. 'Показать, что если
IJ 2« В1 « Wc и отношение сигнал/шум на входе достаточно велико, то отноше­
I III с сигнал/шум на выходе обратно пропорционально 1+v2 и , следовательно,
~ I а I(симизируется при v=0 . (Здесь отношение сигнал/шум определяется как от-
11uI 11 е ние среднеквадратическоrо значения сигнала, которое наблюдалось бы в
отс утст вие ш ума, к разности между этим сигналом II в действительности наб­
J Iюдаемым си гн алом.) Показать, что точность, с которой этот сигнал может
I ,I1ъ отслежен системой ФАПЧ в этих услов11ях в противоположность
II I ,III1 ес казанному, не зависит от v . (Указание: выразить вход устройства с v-ха­
р 1 11( т с ристикой в виде В sin(wct+'l') и найти синфазную и квадратурную ком­
IюII с 11ты основного сигнала на его выходе.) Как это сказывается (при рассмот­
р е 111111 системы ФАПЧ) на увеличении на 3 д:Б отношения си гнал/шум, которое
I 10; I учается (когда это отношение велико) пр11 пропускашI11 такого сигнаJJа через
I10 J юсовой ограничитель? (См . .с. 135).


ЧАСТЬ II
СИНХРОНИЗАЦИЯ
Глава 6
СИНХРОНИЗАЦИЯ
ПО ОТДЕЛЬНОМУ КАНАЛУ
6.1. Введение
Эта и две последующие тлавы лосвяще.ны методам у.ста­
нов:1ения сннх;.юнизаци.и, необходимой для эф ф ектиJЗ1ной работы
систем связи т о го типа, который был олисан в гл. 3 и 4. Вероятно,
наиболее простьвI и самым ·п рямым способом дать такую инфор:ма­
н.ию является использование отдельного канала ·(или каналов)
связи, отв еденного ед.ин,ственно для целей си1нхронизации. Некото­
рые ст о роны этого подхода 1юследуются в этой главе.
Как обсуждалось в г:r . 1, .первый шаг процедуры синхрониза­
цни состо ит обычно в том, чтобы связать отсчеты времени пр ·ием-
1-п11,а и ,пер~датчика и посредством этого установить общий от~чет
времени (несущую) для всей системы. Вторым шагом является уве­
.:~ичен 1ие интервала времени , в котором отсутствует , неод:-юзнач-
1юсть, до заранее выбранного интервала в То се1(унд .
Для того чтобы привязать отсчет време,ни приемника к отсчет у
вре~1ени п е редатчика, нужно передавать периодический сигнал
в~,1есте с сообщение:vr и отслеживать его фазу в .п р иемнике , Обыч,но
сигнал времен ,и одновременно служит ,несущей или п однесущей и
поэтому часто синусоидален. Однако незави,симо от того, какой ·пе­
риrцический сигнал используется, оптимальный приемник; по су­
ществу, является •системой ФАПЧ, как мы .пытались показать в
преды~~:ущей главе. Последующие два параг,рафа исследуют связь
~,rежду с:11гналом времени и достижимой точностью отслеживания.
6.2 . Синусоидальные сигналы времени
Если сиг,нал времени выбирается в виде си.ну~оиды, то
приеУ~ник, по - видимому, должен содержать систему ФАПЧ, исполь­
зующую опорную синусоиду, как обсуждалось в гл. 5. В этих усло­
в иях единстве.нн-ое, что о.стал•ось •Оlп.ределить ,в сИ1г.нале и структуре
приемника, - част,ота сиг.вала .и структура фильтра ФАIПЧ. Более
того, ·выбо;р ,их нельзя rпро.из1вес-ги ·неза,вис·имо. Как бьшо JJ()iKaзaнo
148


в ,гл. 5, оптималь.ный фильтр ФАПЧ 1поююстью о,пределяется отно­
шен,ием сшгнал /шум и статистическими -св·ойст,вами фазы или пред­
оказ ываемыми фазовыми 1пер·еходJным·и nrроцессами. Отноше1-н1е
сигнал/шум опред-еляет1ся внешними оrrра,ничениями. Аналогично ,.
фазовые ха,рахте,ристики 01пределе,н ы 1по зада,нным стаrб:иль·ностя~1
генераторов ~передатчика и ,пр,иемника и rпо ·их относительному
ухо1ду. Е,:щ нст,венн ая не0tпределе,ююсть ,в этих хара.ктеристиках
связана с величиной, которая, как будет сейчас показано, является
функцией частоты генератора . Таким образом, факт:иче,ски един­
ственным, что ос тается выбрать, является частота .
Если дисперсия фазовой ошибки равна а20 , -рад2 , а частота сиг­
нала равна w0 = 2л/Т 0 рад/с, то днспер.сия ошибки отслеживания,
выраженная в с\ равна ai- = a 20/w 20 . Очевид,но, ошибка синхрон ·иза­
ци,и могла бы быть сниже,на ·простым увеличе,~шем частоты •сигнала
времени от wa рад/с до, напр.имер, ·ш>(t)о paJ./c . Н ,о это лишь одна
сторона во,п-р·аrса, та1к как ха·ракт~-рист.ика фильт:ра и, следо,ватель­
но, ,диспе,рсия фазовой ошибюr а20 таrК,ке являются функциями (!).
Л ,именно, фи.т:iьтр ФЛПЧ .выби,рается ,в результате ком1промисса
ме:>кду ,нео-бх·о1димостыо уменьшить ·влияние случайно из,меняющей ­
ся или ·переходной фазьi сигнала и влияние аддитивного шума.
Чтобы минимизировать ошиб1ку оТrслеж,иванпя, обусловлен,ную
адд итивны;,r шумом, ширина полосы системы должна быть сде­
-~ана как можно меньшей; чтобы минимизировать ,переход ную
о шибку, ширина поJюсы должна быть ,сделана как можно большей .
Так как величича ,переходной ошибки, по-видимому, .прямо пропор­
цноналыrа частоте сигнгла, то чем выше частота, тем больше тре-
1J \1 емая· ·ширина полосы системы. Таким образом, если фиксированы
мо щность сиr~1-1ала и спектралыrая плотность шума, можно ожи­
J Lать, что ошибка отслеживания фазы увел·ичивает,ся при увел:иче-
1rнн .номиналЬ'ной частоты системы ФАПЧ.
Однако это увеличение диоперсии ошибки ·ca:vroe большее лря­
~
-
10 пропорционально увел,иче,нию частоты. На самом деле прнсут­
с тJЗ•ие аддитивного ш ума и возникающая вследствие этого необхо­
J L11мость компро:vrисса между этими двумя источнлками ошибок
обы чно приводят I< увеличению ширины .полосы оптимальной цепи
11, следовательно, дисперсии фазовой -ошибки, r-ю .не лро1порцио,наль-
110 ,часготе сшгнала. Поэтому ,о,быч1но дИ'аперС'ИЯ фазовой ' оши6.ки
може т быть записана в виде а20 (ш/,шь)т рад 2 , где r-некоторое чис­
М) из ,и,нтервала (0,1) i,r а~ = (а20/ш"0) fl/w 2- 1") -с2. Таким образом а0
оri ратно ,про1поцио,1-1альна ш 1 -r; 2 и ум·еньшается -с ростом ш.
Конечно, с,) ,не может быть ,сделана произвольно большой. Ко­
р с 11ь квадратный ·из среднеквадратического значеrния фазовой
0 111и1бrк.и должен быть малым 1по rсра,внению с л/2 рад, если ,систе,ма
ФЛПЧ должна оставаться ,в режиме з·ахвата .в· течение большог о
ltl' pиoдa времени, т. е. условие
(10 (ш/шn)'12 = л/2k
tб.1)
) l 0 JIЖHO выполняться для некоторой достаточно большой постоян-
14g•


Н С>Й k. ;[Значею1е k должно быть порядка 3 или выше, если вероят-
11-юсть ,потери синхронизации должна быть достаточно малой (ер.
с § 5.8) J. В ,соответствии с этим максимальная приемлемая часто­
та сигнала
·(t) = {до (-:rt-)2/r
(6.2)
2kao
и дисшерсия (в рад2 ) фаз,с~вой ошибки ,системы ФАПЧ, раrботаю­
щей на этой ~ча ,с'Готе,
02= .cr2u>2 =
_
,G4/r .
( 4k2 )(2/.г)~I
Ф
1:О
11;2
О
(6 .3)
Здесь для целей сравнения диспер,сия выражена через ,перво­
н ачальный период То=2л/ш 0 {т. е. 2л рад соответствуют Т0 секунд).
Дисперсия фаза.вой ,ошибки системы ФАПЧ, иаполь:зующей макси­
мальную ,приемле,мую ча1етоту, .про1по,рциональна (2/r) - степени .дис­
персии а~о системы ФАПЧ, ,ра'6от.ающей на частоте ш0 , 1пр·и условии,
конечно, что эта диюперсия м .ала по сра,внению с единицей .
Для примера рассмотрим систему второго порядка, предназ­
наченную для отслеживания ·скачка частоты вел,ичи.ны Л·ш/2л.
В соответств·ии •с изложенным в § 5.6 ,имеем
2- NcB.L
3
( No )З/4
1/2
0о-
2-
1/4
2
(л.Лw) •
А0
4 (2)
А0
Так как величина скачка частоты ло предположению прямо про­
порциональна частоте, то ,r в этом случае равно 1/2 1). (Обычно r
равно обратной величине 1поря,д:ка систе,мы; см . § .S .6). От,сюда
~~=(2:)
6
а~=(: )в(N~6Lу•
(6 .4)
что обеспечивает значительное улучшение, когда Л1 0 ВL/А 20 мало
ло сравнению с единицей.
6.3. Несинусоидальные сигналы времени
Как было изложено в § 5.8, характеристика системы
ФАПЧ при отслеживании ,сигнала y(t) =Ax(t) +n(t) с помощью
местного сигнала z(t) (см. рис. 5.2) совпадает с характеристикой
той же системы в случае, когда x(t) и z(t) -синусоиды, для ко­
торых корень квадратный из среднеквадратического значения ам­
плитуды лри 1н имаемого сигнал.а
А=АТоj,(O)J
е 2:rt Pxz
,
(6.5)
где Т0 -.период сигнала.
1 ) Параметр 1,, не зависнт от частоты; он просто представляет собой отно­
•с нтел ьный вес , пр;шисываемый шумовой и п е реходной ошибкам . Чтобы прове­
р ить это, заметим, что если "л пост,<Dянн.а, то a2 n и е 2 т зависят от lЛ-{u один а ково
(ер. с § 5.6). (Лрил.1. авт . ) .
150


Приведем пример ха рактеристи ки отслеживан:Ия, 1ютор ую мож­
но получить при использ -овании несинусоидальных сигналов; пусть
x(t) - периодлтi еский импульсный оигнал ,с длител ьностью имп,у.пь­
са ЛТ и периодом повторения Т0 . Так как форма •им пульса для
даль нейшего имеет второстепенное значение (ер . с задачей 6.2), то
для удобства .предположим, что она прямоугольна:
jVT0/ЛТ при- ЛТ<t<Л Т по модулю Т0;
х(t) =
2
2
О
в остальных случаях .
(6.6)
Пусть ме,с-гный сигнал z(t) определяется равенством
IVT0/2Лt при- лт+лt<t<-лТ-Лt помодулюТ0;
2
2
z(t)=
-
VТ0/2Лt при ЛТ-Лt<t<ЛТ+ЛtпомодулюТ0;
2
2
О
в остальных случаях,
(6 7)
1· де Лi~,ЛТ. Эти функции изображены на рис. 6.1 вместе с их
вз а,имокорреляционными функциями ,рх 2 ( т), которые в области,
1 1редставляющей основной интерес, имеют вид
P.rz(т)= - тV21лтлt; 1't1<лt/2.
Производная корреляци­
о нной функции Рхz(т) в об­
ласти lтl <IЛt/2 обратно про­
по рциональна (,Л.t) 112 . Это
м огло бы означать, что,
у стремляя ,Лt к нулю, можно
ми нимизировать ошибки от­
слежи вания. В самом деле,
если Лt-+-0, z(t)-н'(t), т. е.
с трем ится к местному сигна­
.r~у, оптимальному с точки
з,рения максимума ,р'xz(O).
О чевидно, однако, что ,Лt
1 ;с льзя сделать сколь угод-
'- x(t) •
1]
L1T
---г
tJT
т
УТ/2дt
/JT
2·
(6.8 )
,.
t
t
но малым, так как макси- ЛТ
r
мал ьная величина Рхz(т)
11,ря мо
пропорциональна
(.
(.~ t) 1/2. Чтобы определить
.1Т-Лi)
наилу чшее значение Лt, еле- Рис. б. l. Функции , определенные равенст-
J lуст принять во внимание, вами (6.6)-(6.8)
,,то оптимальная ширина по-
. 1ос 1.,1
системы ФАПЧ Ве является фушщи ей эффективной ампли­
т уJlЫ ,с и1г.нала Ае i[,равен-ство (6.5)]. А именно: Be=BL(Ae/A) r, .гд е
/J,.-
шири.на ,полосы 01Птимальной системы ФАЛЧ, 1предна.значен-
11ой для отслежн,ванля сН1ну~соиды с ам1плитудой А, ,и r за,висит .от
,1 1 оряд к!:! системш. (Опять r обычно ра.в,но обратной величине .пo­
/JH ! lKa с.истемы.) Поэтому средне1кваtдратическая фазовая оши6ка,


, обусловленная аддит.ивным шумом, 1в случае ~юг.да x(t) . и . z(t) за­
даны равенст.вами (6.6)-{6:8),
2 _ N0Be _ 2(2 2ЛТ ~)1-(r/~)
,аФ -
·о
-
qoл
А;
,
То То
(6.9)
где a:o =NoBL/A 2 · представляет . собой ошибку отслеживания, . если
сигнал является син,усоидальнь~м с 1пвр:иод•ом То.
Чтобы равенств,о (6.9) было спра1ведливо, система ФАПЧ с
• большой вероятностью должна ра•ботать в . Л'и~нейной dбла~ти
iт 1 ~ Лt/2 . Для того чтобы быть уверенным, что этот случай имеет
место, .и ,изrбежать трудностей, с.вя.занных со с11ремлением ..Лt 1к ну­
лю, вв-еде~м д,опол ·н.ительно •е 01nраничелие в .в.иде
:t лt
•(Jф = -.
-
(6.10)
kТ0
для н е которог о достаточн о большого k (ер . •С § 6.2) . Объединяя ра­
венс т ва (6.9) и (6.1 О) и разрешая -их О'ГНосителыю :лt, находим,
ЧТО
,l\t_{'., 2ЛТ(2-r)/(2+r)( kао)4/(2+r).
То - \LЛ т-:.1
-;-
'
1кпользуя это значение Лt, ,получаем
ai = (2knЛ TJTo)2l( 2-r>m+г>J a~1(2+r> _
(6.11)
Среднеквадратическая ошибка при отслеживании прямоуголь­
~-юго им1пульса, наш,рнме,р, .систем-ой 1в·ю,рого ~порядка лро1пор­
циональна (N0Br)A 2)~;5, когда местный сигнал определяется равен ­
, ствам,и (6.6)-(6.8) и Лt выбирается в соответствии с предыдущим
обсуждением. Это указывает на потенциальное улучшение по
,сравнению с ошибкой отслеживания синусоиды того же самого пе ­
риода, хотя это улучшение значительно менее эффективно, чем то,
которое (как было показано) достигается при использовании вы­
сокочастотных синусоид (§ 6.2). Рассмотренная схема имеет то
~преимущество, ч то в исходном интер.вал,е в Т0 се.ку,щд о,на не имеет
много1кратных точек, где ~происходит зах1ват.
До •С'ИХ пор параметр ЛТ (длителыность лрщrимаемого импуль-
, са) подразумевался фиксированным и постоянным. . Если это не
так, то его тож е можно опт.им ·изттровать почт,и таки .м · же методом,
как параметр Лt. Об ъедшrяя опять равенства (6 .9) и . (6.1 О) · и ре­
шая их относит е льно Лt, лолу чнм
ЛТ
2(2-r)/2r k2/r a2/r
о
-т; = п (Лt/ЛТ)(2+п 12, '
где отношени е Лt / ЛТ временно ечитается постоя,н,ным. Подставляя
это соотношение в (6.9) или в (6.. 1 .О) . находим
,cr2 = (~)(2/r)- I a4fr_
Ф Лt/ЛТ
о
(6.12)
152


Теперь ошибка отслеживания обрат.но пропо.рциональна Лt. Та к.
как равенства (6.6)- (6.8) справедливы только для Лt~ .ЛТ {,и
о чевидно, выбор Лt>ЛТ не дает преимущества), то оптимально й
в еличиной для ,Лt здесь является ,ЛТ.. Таким образом, приходим к
следующим выводам. Бели лр,ин.имаемый ·импульс достаточ1-fо ши ­
рок, выгодно уменьшить по возможности длительность местного
с11гнала, но так, чтобы она ,согласовалась с требуемой вероятно­
стью потери синхронизации. Однако если можно оптимизировать.
длительность импуль,са передаваем•ого с.игнала, то ее нужно выб­
рать по возможности малой при том же самом ограничении отно­
с ительно пот ерь синхронизации. Если эта возможность существует ,..
то никаких других преимуществ нельзя получить, уменьшая дли­
тельность им.пульса местного .с,игнала. ,В то время ка,к при оптим,и­
з ации длительности местного импульса :[равенство (6.11)] можн о
д ости чь Л'ИШЬ довольно скромного улучшения, ,преимущества, ко­
торые могут быть ~получены при оптимальном выборе длителыно­
сти передаваемого импульса, •по оуществу, будут такими же, как
п ри оптимизации частоты пе,редаваемой си,нусоиды {ер. ,с равен•ст­
п ами . (6.12) И (6.3)].
Иногда в качестве сигнала времен•и использует,ся не синусоида ~
11 .прямоугольные импульсы, причем местный сигнал z(t) может
б ыть либо синусоидой, либо другой последовательностью прямо­
у гольн ых импульсов. В этом случае легко выбрать оптимальную
ч а стоту ,следования ,прямоу гольных ,им.пrульсов, ·используя метод,.
р ассмотренный ,в§ 6.2 . Если z(t) синусоида, имеем
2 у2 . 2:n:'t
Pxz ('t)= -:л:-sш То,
11 э ффективная амплитуда сиг,нала равна (2V2/л)А, что приводит
к небольшому ухудшению по сравнен,шо со случаем, когда пе,ре­
J( ав. аем ый сигнал также является •синусоидой. А,налогичяо если.
z (t) - последовательность прямоугольных ,импульсов, то эффектив ­
н а я амплитуда сигнала уменьшается еще больше, до величины
2Л /л.
Оптимальной ко рреляционной фующией Pxz('t), очевидно, долж-
11,1 была бы быгь прямо1угольная фующия с единичной амплитудой.
11 мсющая бесконечную производную ·в точке 't=O и абсолютное
: 1 11 ачение, равное единице для .всех :t=FO 1по модулю То, К сожал•е­
tr ню, вза,имокорреляцио,нная фун,юция люlбых двух с·игналов ,конеч -
11 о й энерги.и не ,может ,иметь так,ого ;вщда~ Точ1ное о.писание «оmти­
м ;~л ыюй» р•еализуем·ой к,орреляц:ион;ной функции ,дать нелегко, ;ПО­
М 11 м о m•рочего, 'ИЗ-IЗа тоr,о, ч·ю трудно у.становить, ,ка;кие отклонения
о т .и,деальной ,п,ря.моуrольной коррелЯ'д.ИоJшой функции ~наименее
1 1 сж елателыны.
Е сли рассматривать лишь абсолютное значение производной
l,p'xz (O) 1 к,орреля11:ион,ной функции в точ:ке 't=O,. то его мож~но бы­
,110 б ы сделать сколь угодно большим •с помощью любого из мето­
: \ов, описа,нных здесь и в .предыдущем параграфе . Это достигается
:1: 1 с ч е т суже,ния ллнейной области и введения м,ногокра11ных точек
. 1~1 хn ата .или, в случае уз.кого импульса, з.а счет потенциальн ого
153


увеличения времени входа ,в синхронизм из-за больших интерва­
лов т, в которых Рхz(т) и, ,следовательно, сигнал ошибки равны -ну­
лю . Другой подход ,поэтому мог бы состоять в ,по·пытке максими­
заu:и,и величины IP'xz(O) 1 прл условии, накладываемом на в-ею
функцию ,Рхz(т): например, при условии, что Рхz(т) монотонно не­
убывающая функция т в области j т j ~ Т0/4.
Это услов.ие удовлетворялось бы, например, для класса сигна­
лов, рассмотренных в этом параграфе, если бы ЛТ в ф-ле (6.5)
равнялось Т0/2. Как было ,указано выше, длительность импуль,са
местного сигнала .Лt могла бы в этом случае быть минимизирована
{для того, чтобы максим·изировать j,p'xz(O) 1). Сравнительно скром­
ное улучшение, получаемое при этом по -сртнrению с испс:тьзова­
нием, например, синусоиды с частотой .f = I/T0, является следстви­
ем того, что .нужно .платить за глобальные, а ,не за локальные огра­
ничения на корреляционную функцию Рхz(т). Следовательно, для
того чтобы максимизировать эффективность ,использова·ния ·имею­
щейся мощности, часто необходимо использовать высокочастотную
синхронизацию ,и устранять возникающие в результате этого ,не­
определе-нности другими методам·и. В част,ности, это верно в тех
случаях, когда ограничения на пиковую мощность, или ширину по­
.ласы, или время входа в синхронизм снижают эффективность ме­
тода сужен,ия импульса.
6.4 . Поиск метки
Если в целях уменьшения мощности, требуемой для син­
хронизации, период ,ЛТ сигнала времени выблрает,ся меньше, чем
ос1юв1ной ·интервал неоднозначности дл·и1н•ой Т0 се~кунд, то проце­
дура си1нхронизации ,не заканчивается входом в ,синхронлзм. Пр·и
эт,ом остаются NЛ То/ЛТ тачек или меток в каждом интер.вале Т0,
каждая из которых может .представлять правильную опорную точ­
I(У синхронизации. Определение среди них правильной метки мож­
,но осуществить, передавая ·второй оигнал синхронизации x(t), пе­
риод которого равен минимальному периоду Т0, и определяя фа­
зу этого сигнала в прием,нике.
С .первого взгляда этот подход, казалось бы, не дает •никакого
преимущества перед использованием сигнала с ,периодом Т0 для
-самого отсчета времени. Однако наличие опорного отсчета времени
необходимо для достижения требуемой точности отслеживания.
Цель второго силнала состоит лишь в разрешении остающейся
N-кратной неоднозначности во времени. Как •следствие, мощность
этого сигнала знач.ительно меньше той, которая была бы необхо­
дима для него в случае, если он был бы также сигналом ·времени.
Поэтому полна,~ требуемая мощность может быть з,нач.:пельно
сниже,на при использовании двух с,илналов вместо одного .
Задача прием:н-ика теперь состоит в определении того, какой из
сигналов Axv(t) =Ах(t-,,ЛТ), -v= ·O, 1, . . ., N-1 фактически был
принят на фоне обычного аддитивного белого rауссовского шума.
154


Такая задача эквивалентна задачам пр,иема,. р,ассмотрен.ным в
гл. 4. Решение по максимуму правдоподобия 1) еостоит в форми­
ровании корреляций
М-1 <i+l)T 0
М-1
zv = ~ J y(t)x(t:--vЛT)dtЛ 2; zvj; v=0, 1, ..., N-1 (6. 13)
~о~
~о
и выборе на,ибольшей ,из ,них. Период ,наблюдения МТ0 здесь, в
противоположность ситуации, рассмотренной в гл. 4, .не обязатель ­
но огра•ничивается длительностью принимаемого сигнала , которы й
т акже может передаваться ;Неопределенно долго . Более того, есл и
м естный сигнал x(t) синхронизирован по времени с помощью rвос­
становленного отсчета времен.и,. то часто нелр'иятный случайный
у ход разности фаз местного ,и принимаемого сигналов, по ,сущест ­
ву, не будет воз,никать . Тем ,не менее обыч1но хотя т принять реше ­
.н ие ·от,нос.ительно мет.ки по воз·можност,и ,быст.рее. В ~сооТ'Ветствии
с этим цель параграфа - оцен,ить минимальное знач.ен'ие М, такое,
для которого решение может быть принято с заранее установл ен­
,н ой , достаточно малой вероятностью ошибки.
Эта ситуация имеет еще одно отличие от рассмотренной в гл. 4,
а именно : ограничения на сложность устройства часто делают не­
воз можной одновременную обработку наблюдаемых, относящи хс я
к каждой из меток. В этом случае мо:ж,но 'Использ о вать процедур у
п оиска. К задаче, рассматр .иваемой ·в этом параграфе, лриме,нимы
к а к алгоритм с фиксирова,нным объемом ,выборки , так и алгоритм
п оследовательного поиска из гл. 2.
Одновр ·ем ,ен ·ное на 1блю1дение. Так как шум явл яетс я
бел ым и ,га уссовс1шм , ,переменные Zvj (реtиающие переменные) 2 )
р а определены 1по Гауссу со средними
<i+l)T0
flv (μ)~ E(zvj / μ)= \ Axμ(t)xv(t)dt~ AT0 pt~ fl t, v=0 ,1.. . , (6.1 4)
/т.
11 к овариациями
а2ЛЕ(z.z
·) -Е(z-)Е(z-)=
μV=
μJ V/
μ/
V/
U+l)To
.
N
j хμ(t) xv(t) dt= -fТ0PiЛ a2pt,
No
-
2
(6.15)
jTo
, ·де μ означает правильную метку, а ,i = ~l -v по модулю N. ( Без
1) Повсюд у в этой главе будет предполагаться, что априорная вероятност ь
/J (,,) того, что -v-метка является правильной , не з ависит от -v; Р (v) = 1/N ,
v ~ о , !, . . . , N-1 . Таким образом, термины «синхронизация максимального прав-
1 \0 1юдо бия» и «сш-~хронизация по максимуму апостериорной вероятности » могут
!11,1 ть использо в аны на равны х правах. (Прим. авт. ) .
2 ) Тер м ин « решающие переменные» часто используется для обозначени я
1· т :1 т 11 сти к, на которых фактически основывается решение . (Прим. авт.).
155.


т.
nотер.и общности мож~ю к:читать, что (1/Т0 ) Jxi~(t)dt=l, 1ак что
о
j.p;J ~11).
Ситуация здесь совпадает с той, которая была рассмотре,~-1а в
§ 4.2. В частности, здесь ,непосредственно применимы границы
( 4.20) . Вероятаость ошибочного решения ограничена следующим
образом:
e-r'/2 (
1)
e-[(r'/2)- loge (N-1)]
1/?
1- - <Ре<
i12
(2n)-r
r2
(2n)
r
(6.16)
Е2(z-zlv)
где1·2Лmin (v
1' 1) = MR(l-p); р~ maxр; и R=A2T0/,N0.
μ.v var zv
-
zL, ,,
-
i,•О
μi'v
,
Есл·и ,ве,роят.ность · Ре должна ,быть малой, то r2 должно быть вели-
1со по сравнению с единицей. Таким образом, логарифмируя нера­
ве:нс11во (6 . 16), получим
21oge(l/Pe) < r2 < 21oge(l!Pe) + 2/oge(N- 1)
(6.17)
нли, в более удабной форме,
r2 = 2KN loge(l/Pe),
(6.18)
где l~KN~I +{loge(N-1)./loge(l/Pe)]. Члены лоря.дка loger были
опущены, так как они малы ,по сравнен·ию с r2 . Обычно вероят­
но сть Ре мала по сравнен·ию с 1/N, так что обе границы для r2
буд1у т давольно близк,ими.
Как следствие, из ф-л (6 . 17) , (6.18) получаем
М = [2KN1oge(1/Pe)J !R(I-p) ,
(6.19)
и требуемое время наблюдения равно МТо с е кунд. Если Pi =,р для
всех icf=O, то т очное выражение для вероятности ошиб~ш, получен­
ное в § 4.2, разумеется, в равной мере применимо и здесь . Чтобы
пр именить эти рез у льтаты к .настоящей задаче, нужно лишь под­
с тавить в ел ,ичину (1-p)MR/log 2 N вместо величины Rь, указанной
на рисунке 4 . 2.
Поиск с фиксированным объемом выборки.
Чтобы :примен:пь dлгоритм .поиска, описан,ный в § 2.5, в ра,ссмат­
риваемой здесь сит уа ции, будем проверять на ,:-м этапе поиска ну­
,1е 1Jую r:ипотезу ffv ( что меткой принятого оигнала является v -я
м етка _ЕО моду.ша N) относительно некоторой альтернатюшой ГИ'fJО -
тез ы Нv . Наблюд аем ым и б уд ут статистики zv, о-пределяемые ра­
ве н с твом (6.13) 1).
Хотя альтернатив,ная гипо т еза Hv очевидно, является слож­
но й, разумно и целес о образно заменить ее какой-либо простой ги-
1 ) Эти статистики, очевидно, не являются достаточными; чтобы принять
оптнмальное р еше ние, н ужн ы ,все статистики z1, z2,
..., ZN. Но цель поиска в
пе рвую очередь состоит в том, чтобы избежать необходимости одновременной
обработки всех этих величин. ( При1,1 . авт.) . •
156


г.о тезой Нμ с любым μci=v. Логарифм отношен'ИЯ 1правдоподобия
з десь имеет вид
1 р(z" \v) ] Л ТJo(l- р;) МТJ6(1-р~)
(6.20)
ogeр(z"!μ) = oge vμ =
а2 z.,,
-
2а2 ,
гд е 110, cr 2 и Pi определены ра,ве,нствамн (6.14), (6 .15) . Если имеются
л ишь две возможные метки, наиболее мощным тестом гипотезы Н.,,
п ри любом уровне значимости !а" будет принят,ие ее, если решаю-
щая .переменная z" превышает некоторый порог а" ,и отвержение
е е в остальных случаях. Но так как ,Pi< 1 для всех ici=O, то область
п ринхтия Н" при любом заданном а" -не зависит от ~L- Тест (6.20)
ги потезы Hv ,поэтому является равномерно -наиболе е мощным отно­
с ительно всех альтернативных гипотез Н μ. Незав,ис'имо от альтер­
н а тивной ги~потезы гипотеза Н" принимаете-я, если z" превышает
11орог а" и отвергается 1в остальных случаях.
По 1причинам, указа,нным в § 2.5, ограничимся рассмотрением
наиболее простых алгоР'нтмов поиска с фиксированным объемом
11 ыборки. Каждая гипотеза будет ,проверяться ,п,ри одном и том же
у ров1не н будет проверяться достаточ,но долго, чтобы гарантиро-
1.1а ть малую вероятность ошибочного решен.ия. Поэтом1у ,порог а.,,
б уде т поддерживаться постоянным независимо от v и будет выби­
ра ться так, чтобы были малыми вероятности ошибок обоих родов .
110 ,предположению ошибка возникает и в том -случ а е, если реше­
J 1 1 1 с н е будут вынесено к моменту, когда все N -состояний бьши про-
11 •рены.
Чтобы оценнть число наблюдаемых, ,необходимых для заверше­
,11 1 1 п поиска, обозначим через а вероятность ошибочно отвергнуть
1 · 11 п о тезу Н", а через ~v (~L) - вероят,110сть ее .принять, когда в де й­
<· тп 1п ельности .правильной являет-ся ,μ-я метка. Далее ,пусть
a ~M11o/:p+y(l--,p)] будет порогом пр,и решении, где р~ maxjp1 I;
i ,fO
11с л- ичина 1lo была определена выше. (Хотя величина у не была зa ­
Jl,1,11a, это ,не н1кладывает какого - либо ограничения .на а. Однако,
1'-::111 а rI ~" (μ) должны быть малыми, у долж,на, очевидно, лежать
11 1111тервале О~у~ 1) . Тогда
1
<1v = a=Pr{z..,,<a j v}= 2 {1-erf[(l-y)rJ},
(6.21)
J'Jl,~ r2 = М (, 1-р) 21120/2а2. Аналогично
\l v(μ) =Pr{z..,,>a/μ}-< +[1-erfy,·JЛ ~.
(6.22)
l'Jlt' раве нство выполняется, если р;=;р для всех ici=O .
.!2сл и бы ,р; были одинаковы для всех -ici=O, то пр,и условиях,
у 101 з а ш1ых выше (ер. с§ 2.5),
11
+N-lR,
,::::::: а
- -1-1,
2
(6.23)
157


Как 1а, так ,1 ~ являются фу.нкциям·и у, поэтом1у можно опреде­
лить значение у, которое минимизирует Ре. Когда применимо приб­
лижение (6.23), оrп,имальное з,начение у определяется уравнением
da N-ld~ О
-
+ ---
=
, которое удовлетворяется, если
dy
2dy
О<у=
-
1+- loge--<1.
1(
1
N-1)
2
r~
2
(6.24}
Подставляя это з,начение у в (6.23) 'И используя ас,имптотиче ­
ское разложение интеграла верояпюсти, .получим
{(
]oge Т )2
r2}
2ехр - 1-
гz 4 [1+о(+)]л Po(N).
--
[ ( ]ogeT )2]
r·
Улr 1-
r2
(6.25}
Вновь, в ,силу того что r2 должно быть большим, если Ре долж­
на быть малой, находим, логарифм,ируя обе ча,ст,и (6.25 ) и пре,не­
брегая членами 1порядка loge r, что
r2 = 4К~ loge ( 1/Ре),
(6.26)'
где
К ' = _ 1 + ]oge [(N-1)/2] + _1 (i + ]oge [(N-1)/2], )1/2.
N
2
4Ioge (1/Ре)
Z
loge (!/Ре)
Если ,Pi не обязательно ,равны, вероятность Ре мож1н о все же
оценить следующим образом . Очевидно, вместо равенства (6.23)
оправедливо неравенство
N-1
Ре<а +-- ~.
(6 .27)
2
где~ определено ф-лами (6.21) и (6.22) . БоJ!ее того, так как с ве­
роят,ностью ~ ошибочно принимается, ло меньшей мере, одна мет­
ка и так как с вероят,ностью 1/2 она будет проверена ранее лра­
вилыной метки, то
(6.28)
Используя для решения оптимальные пороги, определяемые
ф-лой (6.24), получаем следующие верхнюю и ниж,нюю границы
для Ре:
Р0 (2) <Ре< P0 (N)
(6.29)
[см . (6.25)] ,и, следовательно ,
r2 = 4К; loge (1/Pr.),
(6.30)
гдек;<к~<к~.
Математическое ож·идание времени ,поиска ·равно Е (v)MTo ~
~ МтТо, где v - число меток, проверенных до завершения поиска.
158


Когда Ре<!;;:. 1, из равенства
из равенства (6.30) - что
М~ 2(N+1)К~loge(IfPei
т~
R (l -p)2
(2 .35) след'ует, что Е (v) ;::::-; (N + 1) /2, а
(6.31)
где R было определено ра,нее .
3 аде р ж а н но е решен ,и е. Интересной модификацией ме­
то,да с ,фи-ксирова.нным ·объемом ,выбор.кн я,вляется такой, ,Пр'И кото ­
ром приН'имается задержанное решение относительно 1правильной
метки. То есть решение задерживается до тех ,пор, пока не б удут
обработаны все наблюдаемые ev, v=O, 1, 2, ..., N-1, даже если
корреляции, которые дают эти ,наблюдаемые, вычи·сляются пооче­
редно. Несом,ненно, что наиболее простым .правилом реше1+ия яв­
л яет,ся выбор в качестве правильной метки той, для которой значе­
ние v максим-изирует :zv. (Очевидно, это ,решение я,вляеТ1Ся под­
опти,мальным; сейчас ,рассматривается 01птимальн,о,е за1держа1нное
р ешение . ).
Вероятность ошибки при вынесен,ии такого решения удовлетво­
р яет тем же границам .[ер. с ф-лой (6. 16)], что и вероятность ошиб­
ки при ,параллельном решении. Единственное отличие состоит в
т ом, что вычисление стат,истик ,zv про,изводится не одноврем енно.
Таким образом, <JJμ =0; μ*v ,и член r 2 в (6.16) следует оп.реде ­
JIИТЬ так, как в равенствах (6.21) и (6.22). Поэтому здесь ра ,вен­
ст во (6.19) приобретает вид
2NКн loge (1/Ре)
(6.32)
Мт= R(I-p)2
Интересно сравнить равенства (6.31) и (6.32), особенно, ког ­
да N велико и Ре<< 1/N, что является типичным. В этом случае все
l (N , К1 2, К'N 'И, следовательно, К11 N 'Приближенно равны е динице, И
о б а времени поиска, по ,существу, сов,падают. Испытываются ли
вс е метки .пооч1~ред,но и принимается (подоптимальное) задержан­
но е решение, или используется алгор,итм поиска •С фиксированным
об ъе1мом выборки - ~это лишь .незна,чительно изменяет характе­
ри стику. Наиболее важным отличием является то, что время поиска
11 ·последнем случае является случай.ной величиной ,и с равной ве -
роя тностью принимает любое значение от ,[2 / (N+l)}MтTo до
/2N/ (N+ 1) ]МтТо.
Для того чтобы придать этим результатам более конкретную
фо рму и продемонстрировать один ,из недостатков алгор,итма по­
о ч е редного .поиска с фиксированным объемом выборки, допустим,
что сигнал синхронизации ,имеет вид
O<t<I..o _;
п
(6.33)
159


для ,некото,рО\Го .целого п; 2~n ~N; максималь:ная допустимая
однознач.ность во 1в-ремени 1рав•на Ta/N ,секунд. Т,01гда
не-
приIvk !!_;
п
11rvn1
(Vто) л =
-
N
РN=Pv
О в остальных случаях.
и p=maxpv =1-(n/N). Подставляя эту величину в ф-лы (6.19) и
'F
(6.32) .[или в (6.31)], получаем
Мт = 2NКн loge (l!Pe)fnR
для однов,ременной обработки •наблюдаемых и
Мт = 2NoКн loge (IfPe)fn 2R
(6.34)
(6.35)
для поочередной обработки. ,Когда N велико, огран.ичение, состоя­
щее в ·необходимости .поочередной обработки, может пр:ивести к
з,начителмrому ухуд шению характеристИI<'И 1). Можно было бы на­
деяться, что этот .результат можно улучшить, когда п мало по
сравнению с N, ,но •поочередный поиск в том виде, как он представ­
,1 ен здесь, очевидно, не является эффективным в этом ,случае . Все
(незав.исимые) статистики ,z" [см . (6 . 13)] должны быть обработа -
ны (по крайней мере, методом задержанного решения). Однако
лишь од,на .из тшх, наибольшая, влияет .на решение. То, что 21 и
ZN-I долж,ны быть почти столь же велики, как и 2 0 (когда v=O
,представляет С')бой л,равильную метку), и то, что 2N12 должна быть
намного меньше, чем каждая ,из этих величин, не принимается в
расчет ,при решен,ии.
В дейсrвителыюсrи лри заданных статистиках оптимальное .ре­
шение (максимального :правдоподобия) ,состоит в лр ,инят,и.и метки,
максимизирующей фу.ющию правдоподобия р (е.о, 21,
.
..,
2N-11 v).
Так как статистики •2 •независ·имы, когда ,наблюдения производят-
ся ·поочередно, то
1
{ 1 N~-I Czi+v-M 11;)2 }
р (zo, Z1,
•.. '
zN-1 \v) =
N/2Nехр--
-~---
'
(2лМ) о
2
Ма2
i=O
(6.36)
где подстрочные индексы у 2нv берут,ся по модулю N. Эта функ­
ция ма.1<симиз,и,руется с .помощью ·отыскания макс·имума велич:и~ны
N-1
v"=I1JiZi+v•
i=O
(6 .37)
1 ) Когда N велико по сравнен ию с п, ошибка синхронизации может быть
менее вредной, че11 когда они более или менее равны . Это происходит потому,
что в первом случае наиболее частая ошибка состояла бы в выбо·ре векоторой
~1етки, близкой к правильной метке. В некоторых случаях такие ошибки могут
быть терпимы. Но так ка 1, время поиска зависит лишь логарифмически от Р , ,
это является слабым утешением. (Прим. авт.) .
160


N-1
Есл,и 'У];='1'}1 для всех i=l=O, имеем vv = (110 - 'У]1)zv + 111 ~ z1, и Vv
i=O
максимизируется ·на том же самом v, что :и . z,,. Но для какого-либо
др1угого множества средних значений 'l'J; .решение лишь на основе
использования zv является лодо.птимальным. Решение, оонован­
ное 1на с татистиках zv, а не па ,стат,ист,иках ,vv , будем назыв а ть
оптимальным задержанным решением.
Статисти1<И vv являются суммами гауссовских случайных ве­
л нчин и поэтому также распределены по Гауссу. В соответствии
с этим вероятн()сть Ре принять ·непра,виль-ную метку в случае, ког­
да пр:нни мае тс11 01пт.ималы-юе задержанное реш е ние, может б ы ть
о ценена о бычным образом (v = О соответст в у е т .прав и льной ме тке )
с п омо щью о тношения
(6 .38)
[ер . с (6.16)]. Когда сигнал имеет вид, задаваемый равенст вом
(6 .3 3), минимум о'Гношен·ий E 2 (v_и,-v 0 ) ,/vaг(vμ -v0) достигается
п ри μ = 1. Таким образом, объединяя равенства (6.17), (6.18) и
(6 .38) и, для упрощения результата, считая N/n целым числом , на ­
Х ОД'И М, что требуемое время поиска равно МтТо секунд, где
М т = 2NoKN loge (lfPe)/nR .
(6.39)
По.иск с олтималь~ным задержанным решением -сшр-еделе,н•но луч­
ш е ран ее рассмотренных методов поочередного ~поиска, когда N
вел ико по сравнению с п (т . е. когда требуемое разрешение во вр е­
м ени мало по сравнению с ши р иной ,импульса, используемого в
с ннхроканале). Конечно, когда N ,равно п, оптимальный метод с во ­
; ( итс я к описанному ранее задержанному .поиску.
Последовательный .по·иск. Длятогочтобыприменить
1 10следовательный алгоритм ~поиска к рассматриваемой ситуации,
11 с о бходимо дишь сравнить текущую сумму
т
т
~ }J Р(ZvjIv)
l111 =
,
.Л
loge- -
~
-=-
,
VJ=
р(Z •1v)
i=l
i=l
VJ
(6.40)
<· J (uу мя порогами logeA и logeB. Гипотеза Hv (о том, что v-я м ет -
1<;~ 51вл яекя прJвильной) ~п ринимается, если это от,ношение превос ­
х од ит loge А и отвергается, если оно .падает ниже loge В. Если ни
OJ L11 0 и з этих событий не имеет места, тест цродолжается, нова я
с татис тика ~v. m+I добавляется к текущей сумме и Zm+1 сравн и -
1~: 1 то, с теми же порогам.и.
Т а к к ак тест отношения правдоподобия является здесь рав,но­
М<' Р II О наиболее мощным, то сложная альтернативная гипотеза бу-
0 -281
161


дет заменена простой гипотезой Н:у для некоторого v=/=v. Вероят­
ность ,ошибочного [Iр:И1нятия некотор,ой частной мет~и является, ,ко­
.н-ечно, Фун1кцией ~проверяемой ,метки . А именно, вероя11н,ость ;nрн­
няти я μ-и метки
р _ 1-Bh(μ)
μ- Ah(μ)__:Bh(μ) '
(6.41)
где А ,и В пороги решения, а h(μ) - ненуле1вое решение уравнения
iu; .
Е(е vi 1μ)~g(/i)=1.
В рассматриваемом здесь -случае p(zv)v)=(l/ V2:n:a)X
Х ех р {~ (zvi-rio) 2/2а2]}; р (zvi j~ = (1/V2ла) ехр {-Hzvj-YJi) 2/2а2]};
i = -v -v по модулю N. Предположим ,на время, что р (zvi !μ) =
= (1/V2яa' )exp{-[(zvi -ri) 2/2(a1) 2]}. Тогда h(μ) является ненуле­
вым решением уравнения
1 = g(h)= е~> joo' e -[( ~-r1')2/2(cr')'] d~= ef(h) '
у2лсr'
где ri' =ri +h(,a'/a) 2 (110-YJ;) и f(h) =Urio-YJ;) /2 a 2]hj[2ri + (ri o- YJ;) Х
X(a'/a) 2,h-(rio+YJ;)]. Так как после днее равенство с,праведливо
для любого конечного значения /,, необходимым услов"Ием того, что
g(h) равно единице, я•вляется равенство ,f(h) нулю , и поэтом у , есл,и
h=;i=-0 и YJ;=l=-110,
h= h(μ) = (ТJ~~ТJ;) - 211
.
(:) (110- 11i)
(6.42)
Если а'~а .и 'll~YJ;, то h(~L)~l. А:налоги·ч,но, если •а и~ я,вля­
ются .параметрам.и, определяющими пороги А и В (см . § 2.4),
Рμ=::::;~ . Более того, если а'=:::;;а и YJ~Y]o, то /1(μ)=::::; - l и в этом
случае Рμ ~ 1-а .
Поэтому услов,ия, приводящие к ра1венствам (2.44) и (2.48)
уД;овлетворяются з1десь, -осл,и Т); =шах ri1=Y]()p и а' =·а 1). Та.к к1к 1в
l=j=O
этом случае
t.=
110( 1 -р)
-vI
а2
то
11Б(1- р2)
zvi -
__
2_а_2--
(6.43)
,где i = -v -μ 'ПО модулю N, ,p=maxp;, а R и 1р 1 ошределе·ны ранее.
i?0
1) Заметим, что если оценки величин 110 , р и а являются осторожными , если
деw.ств ·ительное значение величины 110, по крайней мере, не меньш е ее предпо ­
лагаемого знацения, если Pi<P для всех i*O и если истинная диспе рсия не
больше, чем а, то тест, по меньшей мере, имеет такую надежность , ,. которая ему
и:риписывается. ( Прuм. авт.).
1,62


Математическое ожидание времени, ,необходимого для завершения
по:иска, равно ;~оэтому МтТо, где
N-1
(1ogeNРе1 - с)
Мт= с ~ 1 +--~-с._
(644
R(l - p) ,;,,J о + р-2р;)
R(l-p) 2
•
)
l=I
1
2
и гд е C = c=l ,при а-+-0, ~-о ·(Pe<t:.l) .и C=-loge- ;с= О :nrpи
2
Ре
а= Ре/2; ~ = P e/ (N- 1) :(Pe« •l) (ер. с ,раве,нст,ва1ми {2.44) и (2.48)}.
Последов а т е л ь ный .поиск должен давать значительный выигрыш
по срав,н е нию с поиском ,с фиксированным объемом выборки, на­
п ример, когда синхросигнал имеет в-ид (6 .33), где N велико rп о
сравнению с п . Б этом случае одни метки намного легче устранить ,
ч е м другие. Поиск с фиксирова,нным объемом выбо,рки должен от­
водить ,од~но и то же кол,ичество ,времени для пров-е.рки ,каждой
метки, а ,п~ри ,посл·мовательном ~по.иске моЖJно тратить .меньше ,вре­
мени на те метки, статисти:ки которых значительно отли,чаются от
статистик mра,в-илыной мет.кн. Равенство (,6.44) ·в этом случае (1в
пред~полож ен.ии, что N /п - делое ч:исло) 1имеет вид
Мт ~ 2С (!!__)2[l + loge (2N _ l) + (N-2N/n- 1) +
Rп
п
4(N/n-l/2)
+_1(!!__)2(logeN- 1
-
с1.
(6.45)
Rп
Ре
1
Таким образом, когда п мало, последовательный поиск с ма­
лым значением а, ,на самом деле, ·имеет худшие характеристики.
чем метод оптимального задержанного решения. При а-+-! после­
д овател1,1ный поиск имеет лучшие характер·исТИК,И для •всех п~2 .
х отя ~п,р:и малых п это преимущество крайне мало . В другом край­
нем случае, когда n=N, последовательный .поиск [Iриближенно ·В
четыре раза быстрее, чем .поиск с фиксированным объемом выбор-
1ш .при а=Ре/2 и , быстрее в 2 logei('2/,Pe) ,рав 1при a-+-il .
6.5. Оценка меток
Хотя задача синхрон,изаци·и в предыдущем параграфе
трактовалась как задача проверки гипотез, ее можно (и целесо­
о бразно, когда огран:иче.н:Ия на сложность устройства делают не­
в озможной одновременную обработку) сформул,и.ровать в виде за­
д ачи оценки, рассматривая ,r,=v,ЛT как непрерывный .параметр .
В действительности в некоторых случаях, -например, когда N очень
велико •ИJl'И когда не требуется общая временная синх.рон,изация,
п р едJположение ·о том, что ч.исло ·к,о,нку!рарующнх :м·етО!К .конечно,
н1в ляется до ,некоторой степени искусственным .
Если т, - непрерывный .параметр, его оценка максимального
11 р а вдоподобия удовлетворяет уравнению .правдоподобия
мт.
2А sy(t) ~x(t+ ,r,)dt = О.
No
д"t
дlogeрlч(t)1't]
д-;;
(6.46)
о
1 6.З


Если это уравнение не может быть явно решено относительно ,;,
то огран.ичения на обработку обычно заставляют Л'Ибо использ-о­
вать устройство типа системы ФАПЧ для того, чтобы ,найти его
решение, либо ра-ссматривать только конечное множество меток 1:.
Оба эти подхода уже были исследованы •В предыдущих парагра­
фах этой главы .
Однако для неkоторых сигналов x(t) (6.46) може т быть реше­
но относительно 1:. Например, предположим, -что x(t) с инусоида
x(t) = V2siп шоi', где ш0 =2п/Т0 . Тогдс1.
дlogeр[у(t)1т;J
-~-"-'---'-'--:.___:'--- = 2Ru>0 [-Х sin u>01:+ У cos u>0't'],
д,:
где
М-1 U+l)T 0
М-1
{Х}.= _1 '1 \ у(t)l/2{sinWot)dt л \1 {Х;}
У АТ0 /..J
.)
cos w0t
.I.J У;
i=O iT0
i=O
(6.47)
и R =A2T0/N0. Поэтом у оценка максим ального п ра,вдо подобия
имеет шид
лТо
(У)
1:=-
arctg -
.
2л
Х
(6.48)
С р еднее и дисп е рсия этой оценки могут быть легко опр еделе ны
из соответствующих р е зультатов § 3.7 . Для наши х целей доста т о ч­
л
н о напомнить, что т; как оце-нка максималыного ~правд оподо б ия яв­
ля ется асимптотически несмещенной и имеет д исперсию
л
1
~
Е [(1:-1:)2 11:] =
•;•
•
---
(6.49)
4R2 W6 МЕ [-X;sin w0т; + У; cos w0т;]2 (2л)2 2RM •
Сделаем попьп:ку найт11 ,μ,ругне ~инхрdtигналы, которы е, подоб­
но синусоидальному сигналу, позволяют · уменьшить сло)юность
устрой-ств, .но, как мы ,надеемся, п.риведут к лучшим х аракт е ристи­
ка,м. Та1юе уш1рощен,ие, очевидно, 1возмож'но, ес'ли фу~нК1ция 12(t+1:) =
~дх{t+т:)/д-r: нв,ляет-ся P,Cf,З.!fOa/PUMoй в т,рм с~мысле, что она выра-
ж:аетсf! ~ •виде ,,,
•
'
-3,.
1 'У!.
п
)·t
1
:}
~-
.. ··~
z(t+1:) = ~f;(t)g;(1:},
(6.50)
Если это можtiо•· ,сделатЬ, то лот,ребуется определить · л ишь п ин­
те гралов, ·и '6ц е нка величию,~ -i получается в · результат е ·. р е шения
уравi1ения
!1 '.
п
,.., J.g. (т) = О'
~ll
,
(6.51)
i=l
мт.
где 1; = J у (t) f; (t) dt ,[ер. 1с (6:Аб) ]. Чтобы сложноdtь устройства
о
164


мо1гла :б ыть у.мень1Шена 1на самом деле, п должно быть малым, а
ур-ние ·(6.51) ,должно относит.ельно просто ,решаться.
В любом случае, так как z(t+'t) - 'Периодическая функция вре­
мени, ее мож,но разложiИть в ряд Фу,рье:
n/2
z(t+ .) =~а1sin[ro1(t+ 't)+01] =
l=I
n/2
= ~ [а1sinro/cos(ro1't + 01)+ а1cos ro/sin(щr+ 01)],
1=1
где cov = 2'Jtk..)T0 и То - период ,z(t), а kv - целое
fv(t) и gv ('t) из рашенства (6.50) можно 11оэтому
дующим образом:
fV(f)= {
sin ro(v+l)fz t, v - нечетное;
cos rov12 t,
v - четное
LИ
(6.52)
число. Функи:ии
определить еле-
(6.53)
gv('t) = { a(v+l~/2 COS ((J)('ll+l)/2 't + 0(v+l)/2),
av/2 sш ( (J)v/2 't + 0v/2 ),
v-нечетное;
v-четное.
Так как 1i из (6.51) ст ати.с1;ически независимы, когда функци,и
Цt) определе аы саг ласно (6.53), то в этом методе требуе1'ся ·вы­
числение, .по меньшей мере п корреляций. Пред•положим противо­
положное, что интеграл в ф-ле (6.46) мог быть выражен в виде
т
~ Jjg1_;(т ) для некоторого множества функций g'j(•) rпри т<п .
i=I
Тогда
п
т
~ ligi('t)= ~ Jig;(т),
1=1
j=I
и так ]{аК функции ,gi('t) ортогональны ,на интер·вале (О, Т0 ) то
т
fv = Lav/i• v=1,2, . ..,
п,
i=l
Т0
/Т0
где avi Л .\ g; (т) gi('t)dт Jg;('t)d т.
о
о
Но ,в этом ,случае ,перемен:ные Jj могЛ'и бы быть выражены .ка.к л:н­
н сйные комбинации первых т переменных fv (есЛ'И эти перемен-
11ые являют<; я линейно ,независимыми). Это, в свою очередь, озна­
чало бы, что существует линейное ,соот,ношение между ,некоторы­
м и нз ,переменных 1v и ·поэтому пр;иводило бы к протИ1воречию.
Мы уже обсуждали ха рактеристику синхронизатора, когда
функция z(t) олределяла,сь .равенством (6.52), а n=2. В преды-
165


дущем абзаце ёоворилось о том, что эта характерист:Ика не может
быть улучшена без использования больше го числа ко.рреляторов.
Если п больше .:шу_~. ре:5ультирующее уравнение максимального
лравдоподобля (6.61), аа первый взгляд, является достаточно
сложны:\!, что 01 ,):1:Е1ч;,~вает его применимость. Од,нако это ограН'и­
чение мож:-ю ~! ~;;:·· до J~еть с помощью раздельного решения каждого
из уравнений iv g,Jr) +fv+igv+i ( т ) =0, v - нечетное и использо­
вания решения уравнения, соответствующего максимальной часто-
_,,
те u>v, для того чтобы .найти оценку т величины т. Решение осталь ­
ных уравнений можно затем использовать для устранения остаю­
щих,ся неопределенностей. Получающаяся в результате оценка хо ­
тя и является подолтимальной, в о о бще говоря, несущественно от­
личается от оптимальной оценки . В § 6.9 подробно обсуждается
нез.начитель.ная модификация эт о й с:-;емы, которая ,привод;ит к осо­
бенно -простой ,реализа,Ц,ии.
В действительности дово J1ьно эффективные формулы оценок мо­
гут быть иногда построены при и спользовании ,статистик, отлич­
ных от тех, которые получаются и з у р-ния (6.46). Например, пред-
р(т:)
п оложим, что синхросигнал
То
2
п редставляет собой периодиче­
скую последовательность пря­
моугол ьных импульсов дли­
тельности Т0/2 . Автокорреляци­
онная функция такого сигнала
изображена на рис. 6.2 . Заме­
тим что каждое значение .р (. -)
То 7: из области (О, 1) соот,ветствует
Рис. 6.2. Периодическая автокорреля­
ционная функция последовательности
прямоугольных импульсов ширины Т о /2
только двум возможным значе­
ниям .-
из интервала (О, То) .
(Если р(.-) =1, то значение •
однозначно определяется по мо­
дулю Т0.) В соот,ветствии с этим хорошую оценку функции р (.- )
можно было бы использовать для оценки .-
и далее для оценки
правильной метки (точки .- = О). Так как
р('t)=1-2 ~:1; 1•1<:о•
то, .разрешая уравнение относитель.но l•I , ,получаем
1-r 1= : 0 [l-p(1:)J.
Оценим теперь р (.) с помощью
;(т) =-1 -мf0 y(t)x(t)dt,
МАТ0 .)
о
(6.54)
(6.55)
(6.56)
где ,фующия x(t) определена раиJенством (6.33) (с n=2) и y(t) =
166


=Ax(t--r) +m(,t), 1и затем в качестве оценки 1-r\ ,ис,пользо1ва ть ве­
личин1у
,,,.. __
Т0
л
1 -r 1 = тfl-p (-r)J.
(6.57)
Формула оценки максималЬ,ного правдоподобия, если она су­
ществует, •велич ины 1,: 1 .пр.и условии, что задана наблюдаемая
л
р (,:) , 1как раз ,и оп~ределяется соотношением (6.57 ) . Пр.и этоrм .во
лл
всех точках, кром·е точеrк 1ра'З,рыва ,производной dp (r:) /d-r:, имеем
л
л
л
л
О= дlogР[р(-r)I-r I =+k[р(-r:)- р(-r:)J,
(6.58)
1/\
д't
л
где k - постоянная, не зависящая от ,:. Это ура1вне:-ше имеет един-
л
л
л
стве.нное ,реше,ние р(1:) = ·р(1:). Поэтому если lip(,:) 1~1 . то оценкой
/'.
максималь,ного n.равдоподобия величины 1,: 1 будет 1,: 1, где
/'.
л
21-rl л
р(,;) = 1 - --т;;- = p(-r:).
(6.59)
л
/'.
Так как р(,;) ~имеет гауссовское раепределение, то 11:i имеет то
же распределение со средним и дисперсией , задаваемыми равен­
ствами:
/'.
л
ТJл = Е(1,;1)= (Т0/2)[1- Е(р(-r))J = (Тof2)[1- р(,;)] = /1:/;
..
,,,,.._
л
т2
СJ2л = var (1-r: 1) = (Т0/2)2 var [ р (1:)J = _о_
•
8MR
'f
со ответственно.
(6.60)
(6.61)
Этот метод оценки весьма близок как в смысле сложности тре­
буемого устройства, . так и в -смысле получаемых результатов, к
оценке максималЬ,ного пра•вдо1подобия меток син~соидального с·иг­
нала {ер. раве.нст,ва (6.49) и (6.61)]. Это может •показаться удиви­
тельным, так как последняя я~вляется оценкой максимального .прав­
до подобия, основанной на наблюдаемых y(t), в то время ·как пер­
вая явл яется оценкой максимума правдоподобия, ·использующей
л
ли шь статис тиху р(,;) . На самом деле, если наблюдаемые y(t) .и-с­
пользую то1 оптимально вместе с -с-иг~налом, имеющим автокар .ре­
ляционную функцию (6.54), то получаются намного лучшие резуль­
таты. Время, необходимое для обнаружения правильной метки
с реди N конкур.ирующих меток, мож.но уменьшить ·пример,но в
N раз 1по ,сравне,шю со временем, необходимым для оценива1ния
(ер. с§ 6.4).
Для того чтg-бы сопоста•вить эти результаты более детально с
результатам и метода различения r:ипотез, rrюлуче~.~ными в преды-
167


дущих параграфах, будем считать, что ошибка си.нхронизации про-
-""
·исходит, если оценка l•I отличается от lтl более чем на ЛТ/2=
=To/2N секунд. Тогда
Р, = 1 - erf (M112R112/N).
и время поиска будет порядка МтТо, где
No.
1
Мт= -
loge -
.
(6.62)
R
Ре
Поиск, однако, на этом не заканчивают, так как до сих пор мы
оценил.и лишь iт 1, а ,не т. Нео·бходимо дополнительное ,на блюде:
л .,-"-.
/\
.,-"-.
ние, чтобы определить, какая оценка, т= l• I или т=-I тl, лучше .
Это иожно ,решить, наrпример, ис1пользуя тест с фиксированным
объемом выборки относит,ельно меток т= l•I и т=-1•I и приним ая
ту, которая дает ,наибольшую корреляцию. Число наблюдаемых
необходимых для решения, когда две метк,и исследуются поочеред­
но, может доходить до М'= (No/R)loge(,1,/Pe) 1[ср . с (6.33)]. Это
число, в силу иронии, .равно тому, которое .необходимо для перво­
начальной оценки. Вместе •С тем, если обе конкур:ирующие метки
можно обрабатывать одновременно, ,используя лишь два корреля­
тора, необходимое число наблюдаемых согласно ф-ле (6. 19 ) будет
самое большее порядка М" = M'/N, что при больших N дает rпрене­
брежимо малое увеличение общего времени оценивания.
Следует .признать, что ·метод оценки меток более ,существенно
зависит от точ •ного знания амллитуды сиг,нала, чем другие рассмот­
ренные до сих лор методы. Если амплитуда сигнала не известна,
она долж,на быть оце~нела либо до .по·иска, л:и6о .в 1проце,ссе ,поис.ка .
В любом случае неизбежные ошибки этой оценки будут увеличи­
ва ть вероятность ошибки окончательного решеН"ия. Этот недостаток
может быть в какой-то мере устранен, если ,имеются опорны е отсче­
ты времени. Если амплитуда пр,инятого сиг,нала времени находится
в ,некоторо~у~ известном соотношении с амплитудой синхросигнала,
то оценка амплитуды может быть получена как побочный резуль­
тат, ,связан.вый с нал·ичием опорных отсчетов времен:и . Таким обра­
зом, это предварительное условие для успешного применения про­
цедуры оцен~и меток может оказаться менее жестким, чем можно
было бы ожидать.
6.6. Ф.ззовонекогерентная синхронизация
Может случиться так, что синхронизация должна быть
достигнута без алриор,ного з,нания фазы несущей ка,нала синхрони­
зации. Это происходит .1ибо тогда, когда ограничения, ·накладывае ­
мые на систему, делают невоз~10жным когерентный •пр,ием, либо
тогда, когда по какой-то причине более выгодно сначала · устано­
вить ·синхронизацию, а затем фазовую когерентность. Следует за­
метить, что наличие отсчетов времени еще ,не обеспечивает фазо-
168


вую когерентность. Если, например, частота .несущей намного боль­
ше ча ,стоты отсчета в.ремени, то отсчеты времени, по существу, не
дают никакой информац,ии относительно фазы несущей. В некото­
рых случаях можно даже установить синхронизацию без всякого
общего отсчета времени, если .при этом временная .неопределе-н ­
ность ,на передатчике достаточно мала, чтобы можно было ттрене­
бречь ею в процессе синхронизации. Некоторые методы ·синхрони­
зации, развитые в ~предыдущих ,параграфах, вновь ,рассматр:ивают ­
ся здесь применитель,но к фазованекогерент.ным каналам.
Некогерентriый по фазе rпр.иемник максимального правдоподо­
бия рассматривался .в гл. 3 и 4. Если можно предположить, что фа­
за практически остается постоянной, по крайней мере, в течение
любого заданного интервала Т0 секунд, то некогерент.ный по фазе
синхронизатор макс,ималыюго праrвдоподобия должен вычислять
выражения
2:n:
2:n:
5·.. _\"р(Фо,Ф1
..
., Фм-1) Х
о
о
'
[М-1 2А U+l)T0
]
Х П ехрNo 5 y(t)sv(t, Ф1)dt dФ0dФ1 .•
. dФм-~,
l=O
1т0
(6.63)
где {sv(t, Ф) = V2s(t-vЛ T)siП[(J}c(t-vЛ Т) + 0(t-vЛ Т) + Ф]}
означает множество возможных принимаемых сиг н алов синх,рон:и­
зац и.и, а y(t) =Asr(t, Ф) +п,(t) - ,принимаемый СИIГНал, сложенный
с шумом. Это выражение .пропорционально апосте р иорной вероят­
ности v-й метки пр,и зада,нном ,с игщ1ле , y(t), O<t<MT0 .
Выражение (6.63) выглядит довольно громоздким, даже если
точно известна М - мерная плотность распределения р (Ф0, Ф 1 , ... ,
Фм- 1 ). Эта плотность ,распределения отражает, ореди прочего, ско­
рость, с которой фаза ,принимаемой несущей уходит по от,ношению
к мест,ной опорной фазе . В больши1нстве случаев ее можно опреде­
JТить лишь .приближенно . Чтобы обойти эту трудность, ограничим­
с я здесь рассмо~рен:ием двух крайних случаев:
р (ФO, Ф1 , . ., Фм-1) = р(ФO) 6 (ФO-;-- Ф1) 8 (ФO-Ф2) ... 8(ФO-Фм-1)
и р(ФO, Ф1, .., Фм-1) = р(ФO)р(Ф1) .. .р(Фм-1),
r}l,e р(Ф;) = (1/2:rr); О,;;;;Ф;<2л. В первом случае фаза постоя.н-на
11 те чени е пер.пода синхронизации; во втором предполагается, что
o, ra .принимает неза,висимые з.начен .ия на .различ1ных интервалах
л.л,и ной Т0 секунд. Фазовонекогерентная синхронизация фактически
озн ач ает, что долж1ны 01дно .временно о,ценаваться м·етка принимае ­
мо.го ,си1гнала .и фаза ело н-есущей, хотя ,последняя явно l\l,e о.це:ни ­
щ~ ст.с я . Че-м дольше фаза ,остается rпос·юяrнной, тем лучше она ·Мо­
жет rбыть оценена и, следовательно, тем лучше может быть оце,нена
м е тка. Два ра,ссматриваемых случая соотв~тствуют поэтому двум
к р айним значениям потенциаль.ной характеристики ,си:нхрониза -
169


тора 1). Выражение (6.63) в этих условиях, соответственно, имеет сле­
дующий вид (ер. с § 4.3; как и там, предполагается, что ffic>f>2rr,/To):
-
в пер,вом случае
2n
мт0
-
1 sехр 2А sy(t)sv(t,Ф)dtdФ = f 0 (2MRwv);
2:rt
No
о
гдеwv= (а~+Ь~)112;R= '&,JN0; i =А2j.o s~(t,Ф)dtлА2~0;
о
М-1
av=~~av1;
1-0
М-1
bv=~:Еbv1;
l=O
во •втором ,случае
Мп-1 1 s2:n
(2А (l+SI)To
-
ехр -
2n
No
1-0
о
1т0
где zv1= (а;1+b;1)If2 •
М-1
=
~ 10 (2Rzv1) Л zv,
1=0
(6.64)
(6.65)
В первом ,случае wv сама может быть использована ,как решаю­
щая переменная, так как f 0,(2MRwv) - монотонная функция wv.
Рассмотрения § 4.3 показывают, что
р (w" 1 1,')=
-
(6.66 )
{ 2MR w"exp [-MR(w; + pЩI0 (2MRp1w"); w" > О.
,~J
w"<O,
т.
~
1('
р,=-, Js0 (t,O)si(t,O)dt
LO
о
т.
Х JS('j( ,t, O)si(t, n/2)dt. Результаты это,го па,ра~рафа могут быть
о
1 ) Фаза, конечно, могла бы меняться даже внутри интервала в То секунд,
что приводило бы к еще большему ухудшению характеристики. Однако на п р ак­
тике эта ситуация маловероятна, по крайней мере, когда Т о - период символа.
Если Т O соответствует синхронизационному интервалу более высокого порядка,
то полезно использовать известную последовательность символов в качестве
сигнала синхронизации и использовать метод , рассматриваемый здесь, для сим­
вольной синхр·онизации, а также применить методы синхронизации слов, изло­
женные в последующих главах, для того чтобы снять оставшиеся неоднознач­
ности. Если синхросиrнал представляет собой импульс длительности To/n, то,
конечно, единственное, что необходимо для удовлетворения второго условия -
это относительное постоянство фазы на · каждом интервале в Тofn секунд .
( Пpuлt. авт.).
170


л
з десь применены непосредств енно . Например , если Pi и 1pi равны
нулю для всех i=l=O, нероятность правильного ре ш ения задается­
равенством (4.45) (где R следует заменить на MiR). Остальные
результаты § 4.3, включая границы для произвольных IPi, также
могут быть использованы здесь.
Поиск с фикс,Ированным объемом выборки оонован на исполь­
зовании отношен,ия плотностей вероятностей вид а
р(шv/v)_
e- MR IO(2MRwv )
P(wv/μ)-
e - MRp7f0 (2MRp;wv) .
(6.67)
Можно .п оказать, что отношение !0 (ах)/!0 (Ьх) - монотонно воз­
растающая функция х при а> :Ь. Так как p2i< 1 для всех i=l:::0, то
тест отношения плотностей 1вероя-гностей является односторонним
тестом w v ; v - я ме т ка пр,и,нимается тогда и только тогда, когда wv
превышает ,некоторую фиксированную величину . Следовательно,
тест является равномерно на,иболее мощным, и выбор альтернатив­
ной гипотезы несуществен. Вероятность ошибки .первого рода cor-
Jiacнo § 4.3 (,~ = •О - правильная метка) имеет вид
00
а = 1- .\ p(wo)dwo = 1-Q [(2MR)112; (2MR/12e].
(6.68)
е
где Q(x, у) оп р еделена в ф-ле (4.47), а 0 та.кова, 1ч 1'O 1югда wv >0,
отношение (6.67) превышает требуемый порог. Аналогично для .в е ­
роятности ошибки второго рода ,имеем
00
~v = \ P(wv)dwv = Q [(2MR) 112 pv,(2MR) 112 0].
iэ
л
.
(6.69)
Если Рμ и Pv равны нулю дJiя .всех v=l:::O - случай ортогональ-
ных оигналов, -го
(6.70)
Таким образом, можно , н апример, приравнять Ре к
a+ i[(N-1)/2}~ и выбрать 0 так, чтобы минимизировать вероят-
1rость ошибки в § 6.5.
К С()Жалению, условия, необходимые для ,справедливостtf выво­
; юв, касающихся дл·ительности ,последовательного теста о-гношения
1 1 ло тностей верQятностей (§ 2.3), здесь не удовлетворяю1'ся. А имен-
110, отн ошение p(wv lv)/p(wv /,μ) не может быть •выражено в виде
1 11,роиз.веще ния •отношений нида ,p(wv1 1v)/p(wv1/,μ). Такое разложение
оз,начало бы пренебр ежение зависимостью фазы не,сущей на после­
J l ОВательных интер,валах . Если бы такая завиеимость не сущес11во-
1 н1ла , то решающие переменные были бы такими, как в рассмот­
р с н11-10м выше втором случае. При анализе прследовательного поис-
1{::1 в эт ом последнем случае мы, конечно, одновременно строим
t71


г.раницу снизу для характеристики последовательного поиска, ос­
нованного на иопользовании решающих ,переменных ,w v· То же ут-
верждение. справедливо и для других •процедур поиска . Более 1ого,
анализ когерент,ной синхр~о.низа;ции, содержащийся в предыдущих
параграфах, дает вер~ние границы для характер,истики , которая
получается при использовании статистик 1w".
Теперь непооредст,венно перейдем к анализу характеристю<'и
синхронизатора 1во втором случае. По:иск должен быть основан на
использовании статистик z", определяемых равенством (6.65), ил.и,
что более удобно, статистик
M-l
logz" = ~ logl0 (2Rzv1 ).
(6.71)
l=O
rraк хак log z.,-сумма большого (по предположению) числа
независимых случайных .величин, то удо1влетворяются усло,В'ия, не­
обходимые для применимости центральной предельной теоремы 1),
и log zv приближ,енно имеет гауссовск?е распределение. Этот факт
мож,но ,использо1Вать для упрощения анализа, когда ,статистики
z" являются решающими переменным•и. Однако на прш~мном кон­
це,. вообще говоря, неудоб,но вычис.пять фующии Бесселя. Следую­
щее замечание приводит к :простой и математически удобной ап­
проксимации log z". Наиболее трудная ,ситуация, очевидно, будет
ТО!Г!да, когда от:ношен.ие сигнал/шум R = {1, /N O ,мало. Если это от.но­
шение велико, то ~почти любая система синх,ронизаци:и будет ,рабо­
тать удовлеТ1Ворительно. Но если R мало по сравнению с единицей,
то имеем
(6.72)
и решение можно пос11роить на основе использования суммы квад­
ратов ,величин z" 1 , а .не . суммы функций Бесселя от этих величин,
чт,о 1приводи1 к вначитель.но.му у,щроще~н.ию 2).
О.предел.им
M-l
,.='\"2
"'"
,:;... zvl •
l=O
(6.73)
Здесь опять ;" -
сумма большого ч исла ,независимых случай­
ных величин, .и согласно центральной предельной теореме она
1) Существование вторых моментов одинаково распределенных случайных
величин log fo ,(2Rzvl) я·вляется достаточным условием для справедливости этого
утверждения. (Прим. авт.) .
2 ) В другом крайнем .случае; когда ,R велико по сравнению с единицей
1⁄4l =loge/o(2Rzv1) ~2R.zvl и можно было бы использовать сумму самих Zvl •
Но, как увидим, характеристика системы, использующей сумму квадратов ве­
личин Zv/ . лишь немного хуже характеристики когерентной системы в случае.
когда ,R. велико. Таким образом, возможное пр е имущество использования приб­
лижения к идеальному синхронизатору с большим отношением сигнал /шум,
по - видимому, невелико. (Прим. авт.).
177


имеет прибл·иженно гауссовское распределение. На.помним, что
большинство границ для ·времени решения, ·полученных в преды ­
дущих параграфах этой гла:вы, зависит единственно от отношений
вида
.
Е2(хо- xv)
r2 = m1n-~--~
v+o var (х0- xv) '
где х,, - гауссовские случайные ,величины, соответствующие v -й
метке (нулевая метка является правильной). В рассмат,ривае м ом
сЛ'учае 1 )
Е('v)=М(р~+;);
(6.74)
[1
2
]
var('v)=М R2 +Rр~. '
'И если μ· и v-я метки проверяются одновременно, то
var( ,v-,μ)= 2М {~2 (1-р~) +
1[
~
(/\ /\.
~~
) /\(/\~
~ /\)]}
+R Р~+Р~- 2Р,PvРμ+PvРμ - 2pi PvРμ- PvРμ
,
(6.75)
/\
где p2j=,p2/+p\ :и i=v-μ по модулю N. Используя, например, гра­
ницы (6. 17), (6.18), находим, ч·ю время, необходимое для реше­
ния при параллельных наблюдениях, имеет .поряд о к МтТо секунд,
где
4kN loge (1 /Ре)
(6 76)
Мт = (1-p2)R2/(R+ I)
•
и •р2= max,p~.
Аналогично .время, требующееся дл я поиска с ф и к-
vsЬо
_
с ированным объемом выборки, ,ра·в.но .приближенно МтТо, с, где
-
4Nk~ log e (1/Ре)
М = --------
(6.77)
т (I_ р2)2{R2/[R(1+р2)+1]}
(см. (6.30)].
1 ) Для даль н ейшего заметим также, .что если известно, что Ф принимает
on1 ,o 11 з двух з начений Ф=О или Ф=п, то решение должно основываться . на
п
,
~2
сл1 тнсТИJ<е /;у= ~ avl • а не на статист ике ~v, определяемой равенством (6.73).
l=O
Кр оме того,
Г:(~~)~М(р~+I/2R)
11
var(~~ -
~~ ) = Ml~2 (1-р~)+ ~ (Р~+р~-2р;РμРv)}-
(//рил1. авт.).
173


Другие .результаты предыдущего параграфа также могут быть
обобщены на случай фазовонекогерентной с·инхронизации, Та·к, на­
пример, алrор,итм последовательного поиска легче всего применить
к .настоящей задаче, если ·предположить, что статистики z;1 имеют
гауссожкое распре.деление со ,средiним E(z~1 lv) =Т]о и дисперсией
cr2 =maxvar(,z~ 1 Iμ), :и выбирать в качестве альтернативной гипо-
μ
тетической метки мет.ку v, имеющую ореднее Т]1 =E(z~1 lv) =
=maxE(z~1 Iμ) и дисперсию cr2. При этом поиск будет основан ,на
μ
решающих переменных
,
= rJo- 111{z2 _ 110+111}
vl
а2
vl
2•
,Математическое ожида·ние времени поиска можно оценить, ис­
пользуя ф-лы (2.44) ·и (2.48). Вероятность ошибки, соответствую­
щая эт,им выражениям, не предiставляет, конечно, действительной
вероятности ошибки, так как наблюдаемые z;1 не ра•спределены по
Гауссу. Однако результаты § 2.6 от,носительно .влияния на уро•вень
значимости .и мощность теста того обстоятельства, что распреде­
ление наблюдаемых не соответствует ,ни нулевой, ,ни альтернатив­
ной гипотезам, могут быть использованы для отыскания действи­
тельной вероят.ности ошибки. {Распределение наблюдаемых zv1 за-
дается равенством (4.36) ].
Хотя решающие· переменные ~"
являются оптимальными толь­
ко при очень малых отношениях си~нал/шум R, приятно заметить,
что если R велико, получающееся в результате выражение для М1·
[равенства (6.76) и (6 .77)], когда р=О, Л'ИШь вдвое больше соот­
•ветствующего выражения •В случае когерентной еинх,ронизации. Бо­
лее того, если R велико, требуемое время поиска в обоих случаях
стано,вится одним и тем же при ,р-1. Так как характеристика си.н­
х,ронизатора, иапользующег.а ;велич·ины •Wv ~равенст.во (16.64) ], огра­
ничена характеристиками: сверху - когерен'!'ного синхронизатора
и снизу - синхро11шзатора, ,использующего ·величины
~v, 'Ю он дол­
жен 1п,р.и1Вод,ить Л'ИIШЬ :к чуть лучшей характеристик·е, че~м для синхро­
низатора с ~v в только что рассмотренных условиях, даже ·когда
фаза может предполагаться постоянной на полном интервале поис­
ка ~мт0 секунд. Наконец, мож1но заключить, что ухудшение харак­
теристики за счет использования ~v вместо log zv мал6 ,независимо
от отношения с·иг,нал/шум R. Когда R велико, предыдущие заме­
чания имеют силу; когда ,R мало, ~v и log zv, по .существу, равны,
и любое улучшение при использо•ва.нии последней величины будет
пренебрежимо малым .
Зависимость времени поиска ,от числа меток N одна и та же
как 1при к.01ге,рен11ной, та•к и 1при .некогерентной сихро:низации. За­
висимости времени ,поиска от отношения сигнал/шум ,R в этих д1вух
случаях также, ,по существу, являются одинаковым.и, если R вели-
174


ко по сра.внению ,с единицей. Однако, когда .R мало, характеристи­
ка фазовонекогерентного синхро,низатора зависят как l/R 2 от этото
п шраметра, а . характеристика когере.нт,ного •синхрон изатора - как
1/.Н..
До этого как закончить .параграф, заметим также, что системы
ФАПЧ могут быть иногда ,использованы с успехом даже тогда,
когд а синхронизацию нужно установить ,некогерентно. Например,
прямоуголы1ый импульс, рас'Смотренный в § 6.3, может быть от­
слежен системой ФАПЧ даже лр,и отсутствии О'ПОр,ной несущей.
Одна ко анализ ха,ракте,ристик такой цепи ·отложим на некоторое
1вр·емя, так 1как то же самое уст,ройство ·буtдет ·вновь ,рассмо11ре.но
с ,большей общности :в § 8.6 .
6.7. Выбор синхросигнала.
Псевдошумовые последовательности
Все рассмотренные в предыдущих параг,р афах схемы ре­
шения от,носителыю меток приводили к таким ,выражениям для вре­
мени поиска ил.и, ,по край.ней мере, для границ это го времени лоис­
ка, которые были монотонно возрастающими функциями макси­
маль,ного коэффициента кор.реляции 1Р (или в •случае фазовонеко ­
герент,ной синхронизации - значен·ия р 2 ). В ,соответствии с этим,
если мы свободны в выборе сигнала синхроканала, нужно, по-ви­
димому, пытаться минимизировать этот ,пара·метр. Задача состаw:т
в отыскании периодического с'иrнала x(,t) ,с периодом То, такого,
что в множестве N сигналОiв x,y(t)=x{,t - (vT0/N) ], v=O, 1, ... , N-1
максимальный из коэффициентов корреляции
1 1r~
Pμv= ~JХμ(t)х"(t)dt
(6.78)
о
является по возможности ·наимен ьшим. Как было показано ,в
§ 4.2, нераве,нство
1
maxр >- --
(6.79)
μ,," μv
N-1
μaf,\I
справедливо для любого множества N сит.налов. Эта 1нижняя гра­
ница, очевидно, может быть использована здесь. Вскоре будет
у казан кла,с•с сигналов, на котором достигается эта граница. Но
сначала з·аметим, что, когда N велико, ортогональное множество
(с 'Pμv =0) почти олтималыю (.и вероятно опт,имально 'В некоге­
рентном случае). Сразу же можно предложить один кла,сс ортого­
н а льных сиr,нало1в - сиг.налы ВИМ, рассмотренные в § 4.4: если
x ( ,L)=V2Nsinwct, 0-:::;;t-:::;;To/N, то ,pμv=O для всех μ7'=v, как и
J ребуется.
Таким об,разом, почти опт'имальный •СИНХ1росиrнал в ,случае, кor­
Jl a используется любая из процедур поиска, лри,веденных в преды-
175


дущих параr,рафах, представляет собой просто импульс ,с длитель­
ностью T0/N, передаваемый каждые Т0 -секунд . Основной ,недо­
статок такого сиr.нала состоит в том, что его амплитуда .пропор­
циональна 1 N, .и ,п,оэтому пикювая 1Переда,ваемая мощность будет
пр,олорц.ио.нальна N, если требуется, чтобы общая передаваемая
мощность оставала-сь постоя,Нной. Это услов.ие жестко ограничи­
вает значение N в реальных системах и тем самым огра.нич.и ­
,вает возможн-о-сть уменьшения ,первоначальн-9й неод1н-0значности
во времени.
К счастью, можно ,не только генер.ировать ,сигнал, имеющий, по
существу, опт-имальные коэффициенты корреляции Qvμ в от,сутствие
жесткого ограничения -на пико,вую мощность импульса сигнала, но
и делать это при дополнитель,ном условии, что его огибающая ,пос­
тоянна независимо от времени.
Рассм о трим следую щую функцию 1):
!1, О<t < Т0/З;
х(t) =
1, Т0/3<t<2Т0/3;
-
1, 2Т0/3<t<Т0
(6.80)
Эта функция, график которой изображен на рис. 6 . За, мож_ет быть
представлена последовательностью {1, 1, -1}. Г1рафик автокор,ре-
а)
x(t),
1
-1
о) .P{i)
Та/J
27a/J То t
2
Рис . 6.3 . Пример после­
довательности и ее ав·то­
l{Орреляционной функции:
а) функция x(t) [см.
(6 .80)]; б) периодичесr<ая
автокорреляционная
функция
ляционной фу,нкции p(ri) приведен ·на рис. 6.36. Отметим, что
p(ri) изменяется линейно в :инте р валах между значениями, кото­
рые она .принимает ·в точках 11 = О, Т0/3, 2Т0/3, ... ; чтобы полностью
задать функцию, необходимо ее определить лишь в эт,их точках.
Яоно, ч то э-гот случай всегда имеет место, когда x(t) ·представляет
собой последовательность импульсОIВ ;постоянной амплитуды и оди­
наковой длительности ЛТ -секунд, т . е. всегда, ]{ОГда x(t) может
быть представлена ,последовательностью + 1 и -1 . Функция, опре­
деленная равенством (6.80), в дейст,вительности чуть преддочти­
тельней (для фазо.в-окогерентного -случая), чем rпрямоу,гольный
1) Действительный передаваемый сигн а л обычно будет им е ть JJИ.I;
x(.t) J/2 А si n wot. ЗдесЪ предполагается, что демодуляции несущей уже выпол­
нена. (Прим. авт.).
176


импульс с длительностью ЛТ=То/3. Но ее самое в ажное преиму­
щество состоит в .постоянстве уро·вня мощности.
Желание получить меньшую эффективную длительность им­
пульса .приводит к .необходимости ст.роить более длинные последо­
вательности + 1 и -1, обладающие а1Втокорреляц.ионными функ­
циям.и, которые достигают нижней г.раницы (6.79). Заметим, что
эффективная д.лительность им-пульса ,ЛТ сигнала такого вида не
может быть меньше, чем T0/N, где N -число сим волов (.в одном
периоде) ,в двухуровневой .последовательности , представляющей
x(•t). Цель поэтому состоит •в том, чтоrбы ,найти двухуровневую по­
следова тельность •rе р·иода N, имеющую ,равномер,но малую корре­
ля ционную функциiю p(YJ) для всех 11 из интер1вала :iТ0 +T0/N<ri<
< (i + 1) T0-T0/N. Ниже будет показано, что это можно сделать
для любого N вида N =2k-l, тде .k - целое число .
Чтобы .продемонстрировать процеду,ру формирования такой по­
следов ательности, укажем одно специальное свойство последова­
тельности {l, 1, -1}, которое является ключевым для этого обоб­
щения . Заменяя символ -1 в этой ,последовательност-и нулем, .най­
дем, что сумма по модулю два первых двух ,сим:волов ра,вна третьему;
сумма по модулю два второго
и тр етье го символов равна пер­
во му и сумма по модулю два
третьего и первого символов
равна второму. Эта последова­
тел1:ность может быть порож­
дена линейным регистром сдви­
га с обратной связью, е,го
фу11-111щиональная схема изо~б~ра­
жена ,на рис. 6.4а. Прямоуг-оль- Рис. 6.4 . Функциональные схемы генера ­
н:ИК,И изо~бра ·жают элементы торов последавательностей регистра
~
сдвига
па,мяти, .к ото,рые х,ра,нят еиини-
щ; или нуль в течение одной единицы времени (в это м примере -
То/3 секун,д) .и ·за-гем 0дви,гают 1их 1в .н а1правлении выходной стрелки.
Цепь со,J.ержит 1эле,мент ЕIЭ -апеп:зна,к, о6озна~чает сум•матор ,по
модулю два; ,он м1пнов-е.нн,о лро,из,вод1ит .суммиро•вание 1по модулю
д,ва е1г-о ,вхо1дов и ~подает сумму в ,направле.нн,н его выход,ной стрел­
к и. Легко ,пр•о,верить, что этот регист,р сдвига .ге.н·е рирует ,периоди­
ческую 1п0tследователы-rость .. J lО 11 О ...
Таким образом, двухразрядный (т. е. с двумя элементами па­
мя ти) . регистр сдвига может ге,нер·ировать лоследователыность с
,пе риод ом 3 = ,22-1! . Т,рехраз,ря;дный ~регистр сдв·и~га .изо,б,ражен на
р-ис. 6.46 вместе с ,последователыюстью, которую о,н генерирует.
(Последова тельность ,следует читать спра,ва налево. Самый · юра й­
н.ий с имвол справа был пер:вым еим,волом на выходе регистра.)
Всегда, когда те же самые три символа ·встречаю11ся второй раз,
последовател ьность вновь начинает по·вторять себя, так как любые
тр и по,следо,ва тe,JJJ::,J-l!?!X сим,вола о•п,редеJJsщ)т щтавшуюся ттосле~о­
ва 1·ельно,сть. Этот трехразрядньili perиttp сдвига генерирует лосле-·
довате ль:ность с ,периодом 7=23-1. Спра,ведливо следующее утвер-
177


жде,ние: сущест.вует некоторое линейное устройст1Во с обратной
связью (т . е . такое, которое использует л:ишь суммирование по мо ­
дулю два), с помощью которого k-зарядный регистр сдвига может
генерировать дво и чн у ю посл едователыюсть с периодом 21<- 1 пр;1
любом целом Тг . Доказательство этого утвержде.н·ия еледует непо­
оредст ве нно из рез ул ьтатов, получ енных в гл. 13, и здесь .приведе­
но не будет. Следует подчер кнуть, что не все линейные :цепи •с о·б­
рат.ной свя з ью порождают 1после~до,вательности с m-е.риодом 2k-l .
На самом дел е лишь м а л ая доля ,возможных уj::тройств ,с обр а т,ной
связью при.водит к желаемым результатам.
Последовательность ·с .периодом 2k-1 , по.рождаемая линейным
k-разрядным регистром сдвига, часто называется последовательно­
стью максил1алыюй длины линейного регистра сдвига . Основание
для этого названия становится очевидным, если заметить , что пе­
риод этой последовательности равен минимальному числу ,с.имво­
л ов, отделяющ;1Х любые две одинаковые k-последовательности в
ней. Это про·и.сход.ит потому, что ,с.одержимое k элементов .памяти
однозначно определяет последующий выход. Далее, если все эле­
менты .памяти содержали нули в какой-то момент, то выход будет
нулевым все время, ,начиная с этого момента. Таким образом, са ­
мая дли.н,ная последовательность на выходе k-.разрядного регист,ра
сдвига может -содержать каждую ненулевую k-последовательность
один .и только один раз до того момента, как она ,начнет повто­
рять •себя . Так как существует точно 21<-1 таких (двоичных) k-по­
следовательностей ,и так как любая последовательность с пер,ио­
дом N ,содержит N [-,последовательностей для любого l~N, то
пер.иод .последовательности k-разрядного линейного регист,ра сдви­
га ,не может быть больше N =2k-1.
Мы еще не показали, что желательные а1втокорреляционные
св-ойст,ва последовательности максимальной длины {l, 1, О} ,соХ1ра­
няются ·в более длин,ных поеледовательностях. Это легко сделать,
если учесть следующие два ,свойства последовательности макси ­
мальной длины линейного регистра сдвига:
1. Сумма по модулю два .последователь,ности максимальной
длины и последователыност,и, ,полученной путем любого цикличе­
ского сдвига ее самой на любое число позиций /, где 1=1=-0 по мо­
дулю N, является некото,р·ой третьей последовательностью, полу­
ченной циклическим •сдвигом той же самой последовательности.
2. Любая ли.нейная ,последовательность максималь,ной длины
2k~J должна ,содержать 2"- 1 .единиц ,И 2k-1
-1 nулей.
Докажем oGa эт,их у1шерждения. Од.нако до этого рассмотрим
их следствия, касающие,ся а,втокорреляционной функп:ии этих по ­
следовательностей.
Автокор,реляционная функция •временной функции x(t), пред­
ставляемой ~последовательностью единиц и минус единиц, ка1к уже
было отм ечено, определяется ,ее з1Начениям·и 1в .т,очках ,:_i= jTo/N .
Если Х; является з,наче.нием ,i-го элемента этой лоследователыности
(Xi=+l или х, =- 1). то
178


(6.81)
где Хн+1=Х1 и Aj обозначает число случаев, когда Xi=Xнj, а Dj-
числ о случаев, когда Xi::PXi+j • Последнее выражение в :правой час­
ти равенст,ва (6 .81) сл,раведливо незаlВисимо от того, ис,пользует,ся
ли п о следовательность единиц 1и ,uинус единиц, или единиц и нулей.
Но ч исло случаев, когда xi =Xi+j в ,последовательности единиц и
нулей равно числу нулей в N-последователыности {xi(±;) Xi+.i} . Пер ­
в ое из двух счойств линейной последовательности ма~симальной
длины , упомянутых выше, утверждает, что сумма последовательно­
стей {х '; = xiffi Xi+.i}, где j =;;i=O по модулю N яlВляется просто цикл·и­
ческим адви,го·м 1п,оследователыности {xi}, {х';=хн1 } для некоторо­
го ц елого l. Второе овойство, ,в с·вою очередь, ут,верждает, что чис­
ло нулей в ~последовательности {Х;+1}, и, сле~дователыrо , ,в N-лосле­
до,ва т ельности {xi ffixнj} рав.но 21<- 1
-1 . ,Следо,вательно,
Aj-Dj
(2k-l _l)-(2k-l)
1
pj=
N-
2k_ l
=-N
(6.82)
для любого j=;;i=O по модулю N . Когда j =0 по модулю N, то, ко­
нечн о , A :i =N и 'P.i= 1. Если эти два утверждения относительно ли­
нейн ых .последовательностей максимальной длины справедливы (а
они 1вско,ре будут доказаны), то временная функц•ия x(t), ,соответ­
с1:вующая такой последовательности, .имеет а,втокорреляционную
фу,нк цию , гра фик которой приведен на рис. 6.5. Т аким образом,
Ри с. 6 .5 . Периодическа н
автокорреля ционная
функция последователь"
ности максималь ной дли ­
ны
p(z)
,,.
д ля коэффициенто,в корреляции ,р μv = Piμ-vl= -
( 1/N), μ=;;i=v, и они
подходят очень близко к нижней границе -{l/(N-1)], как указы­
в алось р а нее. Фактически никакая двухуровневая последователь­
ност ь длины N, большей двух, .не может улучшить этот результат.
Д ейс т вительно, из ф-лы (6.81) имеем ·Pi=l/,N, где !-некоторое це­
л о е ч исло , а так как maxpj;=:,,--{l/(N-1)], то l;=:,,--j[N/(N-1)]. Но
j
в си лу того, что l - целое число, оно должно быть больше или рав­
но - 1 для в-сех N>2.
Док ажем теперь оба утверждения, из которых следует справед­
л иво с ть ,равенства (6.82). Второе ут,верждение, что линейная по­
с.nедов а т ельность максимальной длины 21<_ 1 содержит 21<- 1
-
-I
нул ей и 2 ii- 1 единиц, следует почти непосредственно из сделанного
ра н ее за мечания, что каждая k-последовате'льность должна поя,в-
179


ляться один и только один 1раз в ,последователь.но•сти максималь­
ной длины, имеющей длину 2"-1 . Каждый символ последователь­
ности ,содержится точно ,в k посл·едсо,вательностях длины k (он явля­
ется первым символом в одной, вторым символом в Д;ругой после­
довательности и ,т. д.). По-этому ч,исло единиц в mосле;r;ова тель­
ности
2k
М= _1_\1m- =
_1_(2'' ~) = 2k-l,
ki.Jl
k
2
(6.83)
i=I
•
где mi - число единиц ·в ii-й ненулевой , k-.последо,вательно.сти. Чис­
ло :нулей, к•онеч,но, 1ра•в.но 2"-1-М = 2"- 1 -1.
Первое из этих двух утверждений (т. е. что ,последовательность
{xi ffiXнj} является ,последовательностью &ида {хнz} для некото­
ро1го .целого ·l), ;необходимое, чтобы вычислить авто1кор,реляцион­
ную функцию x(t), является следствием линейности регистра
сдвига, генерлрующего эти !Последовательности. Любой элеме•нт в
последователь,ности я1вляется линейной комбинацией k предыдущих
элеме,нтов
k
х=,..,ах.
l
L '\1 L-'V.
V=I
(6.84)
где сумм:иро.вание проводится по модулю два. Коэффициенты av
равны либо единице, либо нулю и зависят от того, является л.и
выхм соответс11вующеrго элемента !Памяти .входом для суммато,ра
по модулю два или нет. Сумма х; Е!Э X;+j может быть записана в
виде
k
(xiЕЕ)Х+-)= \' а (х. ffix+.
,).
1/
~
V
1-V
t J-V
(6.85)
V=I
В соответствии с этим последовательность {x';=x;ffi X;+j} так­
же может быть ,порождена той же самой логической цепью ,обрат­
ной связи, что и .первоначальная последовательность {х;}. Так как
любая k-последовательность однозначно определяет остаток этой
последовательности, то все ·ненулевые k-,последовательности долж­
ны где-либо встречаться в 1ней, если встречается какая - либо из них .
Последовательность либо содержит только нули, либо является
некоторой циклической перестановкой любой другой ,последова­
тельности максi!малыюй длины, порождаемой с помощью той же
самой логической ,цепи. Если две k-поеледовательности
х;, Хн1, ... , Хн1<-1 •И X;+j, хнн1,
.
. . , хнн1<-1
не являются равным.и
( а они равны только, если j =0 по модулю N), то последователь­
ность, порождаемая их суммой, .не я,вляет,ся последовательностью
одних нулей. Следовательно, кроме ,случая, когда j = О по моду­
лю N, еумма любых двух циклических перестановок одной и той
же последО"вательности максимальной длины линейного регист,ра
сдвига лредстаБляет собой третью перестановку той же самой по ­
•следозательности, что и доказывает ,пе:рвое у т,верждение .
180


В силу того что эти последовательности имеют ,некоторые о б ­
щие снойства со случайными двоичным,и 11Iоследовательнос тями
(ер. с гл . 13) , они ча,сто называются в литературе псевдослу чай­
ными или псевдошумовыми (ПШ) последовательностями. Послед­
нее название будет иопользо1вать,ся в последующем изло ж ен ии дл я
обозначения последовательностей · . максимальной длины регистр а
сдвига. Следует отметить, ·что существуют также двоичные после ­
довательности, отличные от псевдошумовых последовательностей
и .имеющие требуемые двухуровневые корреляционные функции .
Хотя -эти последоват.ельности до.пол,няют псевдошумовые последо ­
вательности (они могут ,иметь периоды, отличные , от 2k - 1), они
обычно более трудны для генерирования и поэтому иопользуются
не так часто.
Псевдошумовая •,последовательность дает метод реализац·ии
сигнала с эффективной длительностью им1Пульса ЛТ= T0/N секунд
(с 1N = 2k-1) и в то же - время поз,воляет сохранить . постоянной
,из,тrучаемую мощность . Соответственно она м,ожет быть .использо "
вана для целей синхронизации почти таким же образом, как п1ря­
моугольный импульс той же самой эффективной длительности .
Рассмотрения § 6.3, в ·част.ности, касающиеся отслеживания
периодического прямоугольного импульса с помощью системы
ФАПЧ, в равной мере пр,именимы к отслеживанию ПШ ,последо­
вательностей. Если пр,инимаемый сигнал представляет собой ПШ
,rюследо,вательность Ap(t), то сиr,нал ошибки, дающий дисперсию
фазовой ошибки (6.12) (с Лi=ЛТ), может быть реализован, напри­
мер, с ~помощью использова;1шя мес-гного (имеющего единичную
мощность) с·иг.нала р* (t) = V .N/2 (N + 1)[р (t+ЛТ/2)-р (t-ЛТ/2) ].
Эффективная мощность с,ит,нала ,в действительности больше . в
(N +1).f,N раз, чем в случае ,прямоугольного импульса длительно-
сти лт.
•
6.8. Выбор синхросигнала. Последовательности,
быстро входящие в синхронизм
В ,предыдущих параграфах этой главы рас,сматривались
о ценки времени, ,необходимого для того, чтобы достичь требуемой
т очности време,j{н6й ,синхронизации с помощью различных алгорит­
м ов поиска и различных синх,росигналов . Хотя выбор того или ино ­
г о метода поиска или синхросиг,нала; :или их обоих часто обуслов­
л ивался .внешними ограничениями, во многих случаях конструктор
м ожет обладать ШИ!рокой с,вободой в выборе системы . При этом
,в о з никает вопрос о том, какой метод синхронизации является оп­
т,имальным (в ,смысл·е минимума 1в,ре,мени ,поиска) л1р·и ,эт,их -ослаб­
ле,н ных ограничениях.
Если нет никаких ограничений вообще (кроме обыч.ных ограни­
чений на мощность), то оптимальный метод состоит, очевидно, в
пе редаче .псевдошумовой последовательности (или ее эквивален ­
та) 1п-о си1нх,роканалу и .в ~принятии решения ма1ксимального лра ,в ­
до,по,21;0'6:ия от,носитель;но 1правиль.ной метки (ер. с § 4.2) .
181


Как уже было отмечено, од:но ,из наиболее частых ограниче­
ний - ограничение на сложность устройств, пр·иводящее к тому,
что метки должны рассматрив,аться поочеред,но, а не одно.вре­
мен.но. Каков ,наилучший класс ,сигналов для использования в
этом случае? По очевидным соображениям в этом случае также
часто используются псевдошумовые последовательности. Действи­
тельно, как показывает беглый просмотр предыдущих параграфов
этой главы, процедуры поиска наиболее эффективны, когда
р = -1 /N (или в •Некогеретном случае, когда р =О). Если исполь­
зуется псевдошумовая :последовательность, услоsия, приведенные
в§ 2.7, удовлетворяются, и оптималы-tый ,поочередный поиск явля­
ется ,последовательным поиском с а---+. 1. Поэтому М'Инимально воз­
мож,ное математическое ожида,ние времени поиска , которое можно
получить с помощью ПШ последовательност,и, прямо пропорцио­
нально длине uоследователыности [ер. с (6.45) .пр:и n=N].
Есть основания ПОJ1агать, что время !Поочередного поиска могло
бы быть намного медленнее возрастающей функцией N. К этому
заключению приводят довольно очевидные недостатки процедуры
поочередного поиска, когда ·ис,поль.зуются псевдошумо,вые последо­
вательности. Независимо от используемого алгоритма, когда N
велико, значителыно большее время тратится на отвержение оши­
бочяых ме'!'ок, чем на ,принят,ие пра;вильной метки. Вместе с тем
от,вержение устраняет лишь одну метку среди конкурирующих, iВ
то время как принятие устраняет N-1 меток. Плоды непропор­
циональны усилиям. Метод оценива.ния меток, предложенный в
§ 6.5, обходит эту трудность. Наблюдение дает одно :и то же кол'И­
чество информации независимо от того, какая из меток рассмат­
ривается на самом деле. Хотя требуемое для принятия ,решения
время при иопользовании этого метода больше, чем математиче­
ск,ое ОЖ'идание времен.и поиска лри последовательном методе, по
крайней мере, если синхросигнал я,вляется псевдошумовой ,после­
дователь,ностью, алгор.итм оце,нивания в некотором смысле я1Вляет­
ся более эффекти,вным.
Способом уменьшения ,времени ffioиcкa является использование
такого алгоритма оценивания меток совместно с алгор1и,~мом, кото­
рый выделяет одно •и то же кол.ичество ·информации :из каждого
на·блюдения с 1пом,о щью эффе.кт,ив:ното !пр·и этом алгоритме класса
сигналов. Предположим, что синхросигнал таков, что наблюдае­
мые, относящиеся к какой-либо част.ной метке, . принимают в от­
сутствие шума одно из m •возможных значе,ний i3 завис'Имости от
того, какая метка яшляется правильной . Если т равно N ,и каждое
возможное соотноше.н.ие между .пра1виль•ной и наблюдаемой мет­
ка ми приводит к единственному ожидаемому значению наблюдае­
мой, то ~поиск заканчивается после при.нятия одного единственного
решения. Если m=No;2, то необходимы два так;их решения. В об­
щем случае для любого значения .m вплоть до тr 1различных меток
мотут быть разрешены 1с .помощью r решен'ИЙ. Поэтому в идеале r
может быть ,та:<:им же малым, как наименьшее ,целое число, •равное
или большее logm N.
182


Для того чтобы миним,из-И!ровать число ,необходимы х решений;
т должно быть , по возможности, большим . Вместе с тем дис,пер­
сия величи~ны рt;шающей перемешюй должна быть обратно пропор­
циональна к,вадрату числа у~ровней, которые ,нужно различить , если
требуется принять надежное решение. В соответствии с этим вре­
мя, необходимое для принятия решен.ия, грубо, должно бы ть, ·про­
порционалыю т2, а полное В1ремя лоиrска ,пр о.порционально
m 2 Iogт N = •(m 2/loge m)logeN. Дифференцируя iВЫражени•е m 2/l,oge п1.
по :т, находим, что оно я;вляется 1Возра1стающей функцией т при
m>e 1; 2 :и убы вающей функцией 1при т<е 1 ;2 . Так как т должно
быть целым, его оптимальное значение п~р,И,ближенно равно 2.
Таким образом, rпо·и~ск должен производиться на основе двоич­
ного решения относитель,но каждой метки, таrк же как в большин ­
стве ~п роцедур поиска , описанны х ранее, но с одним важным отли­
чием. Каждое двоичное решени е должно устранять половину ме­
ток, в.се е ще конкурирующих ;на этом эта·пе ,поиск а , независ-имо от
того, какая метка ,рассматр·ивается. Если это можно ,сд елать, .пол·
ное время поиска будет .пропорционально log2 N, а не N, что дает
з.н ачительный выигрыш, когда N ,вел ико.
Легко выбрать такой сиг.нал , чтобы mер1Вое дrвоичное решен ие
ус11ранило поло-вину конку;рирующи х меток. Пред,положим, в част•
но,сти, что синхрос.игналы s 1 (,t) являются синусоидами ,с единичной
мощностью или пря,моуrольными фующиями с периодом 2To/N.
Пощuйдет таrкже любая функц.ия времени t(t), :имеющая М.ИrНIИ­
мальный период 2T0/N и удовлетворяющая у,слоВ'ию rfU+(To/N)] =
=-f{t), т. е. любая антипериодическая ФУ'нкция. J<:01эффиuиенты
а1вто·корреляции rp(-r:=iT0/N)~p; такого сигнала имеют в.ид
Pi= (-1)1•
(6.86)
РешеНlие максимального ,правдоподобия относ•ительно того , явля·
е11с я ли номер .ааблюдаемой метки четным или .нечетным (относи·
тельн-о правильной метки), 1прИrн,имает·ся ,на основе использоrваншt
суммы :интегралов ·вида
(i+l)T0
Z1 (j) = s У1(t)S1(t)dt,
(6.87)
iТо
где лринимае,мый сигнал y 1(t) rравен As1tt-1 (iTo/N)]+n(i) для не­
м-1
которого целого i. Если сумма ~ 'Z1{j) .положительна, то п:роrверяе-
j=О
мая 1и пра:вильная метки, по-видимому , .имеют одинаковую чет­
ность (т. е . они разделены нечетным числом меток); если эта •су.м ­
м а отрицательна, они должны иметь разную четность. В лю бо м
сл учае, в соответствии с нашим жела,нием, rпосле решения будут
оставаться лишь N/2 конкур:и1рующих меток .
• Но ~после того как это решение будет принято , ситуация ~И зме­
ни тся толыю в том, что о,ста.нугся лишь 1N /2 равномерно располо­
женных меток, а не N меток, ,как mервоначально. Таким образом ,
вто рой синхроканал мог бы быть использовсJ.Н в точ но сти таким ж е
образ ом, как первый канал, для того чтобы вновь снизить вдвое
183


ч·исло 1ко,нку,р.ирующих меток . Нуж:но лишь ~передать ,по эrому ·вто­
ром у кана лу антилериодический с.игнал s2,(i) с ,периодом 2TCJ/N и
принять решен:ие на ос1-юв-е и.нтеграло1в вида
U+l)T 0
Z2(t)=
.\ lj2(t)s2 (t)dt.
(6.88)
И ,в общем случае, если vV - степень числа 2, то число конку­
рирующих меток м,ожет быть снижено от N/2i-I до N/2i ·С по ­
:"[ ОЩЬЮ передачи по i-му каналу а,нтипер.иодического с·илнала si(t)
с пер иод ом 2i T0/N и образования ;интегралов
и+1)т.
zi(j)= \ Yi(t)S;(t)dt.
(6 .89)
Требуется лишь log 2 N таких каналов .и, ·следовательно, log2 N
таких реше:-rий для того, чтобы определить правильную метку (,в
предположении, что все решения делаю'ГIСЯ nра,вильно).
Хотя эта процедура описана так, словно в распоряжении име­
ют,ся Jog2 N ~разд ельных .оинхрок:~налов, в действительности нужен
лишь оди,н канал . Это прои1Сходит потому, чт,о сигналы si(t) явля ­
ются ортогонаiiьными:
т.
-
1\s"(1)su(t)dt=О, μ=1=- v.
То .,
•
о
Таким образом, ~передаваемый сигнал может иметь вид
1
s(t)= ,r--·
r log2N
log,N
~ s/t),
i=l
(6 .90)
(6.91)
а каждая решающая переменная e;(j) может быть сформирована
так, что .на нее •не будет ~влиять присутс11вие любых других оигна­
л ов s,(,t), l=/=-. i. Если амплитуда каждого 1из составляющих сигна-
лов s;(t) равна l/V Jog2N, как указывает равенстsо (6.91), то
полная мощность прин.имаемого сигнала не зависит от N.
Тогда на i - м этапе поиска решение должно строиться на осно ­
в е ,статист.ик z;(j) относительно того, сравнимы ли по модулю 2i
метка ,принима~мого -сигнала ,и метка сигнала s;(t) (гипотеза Н; )
и ли о.ни не сравнимы (гипотеза H i ). Так как оба 1рода ошибок рав­
ноценны, если ра,ссматр·ивать -их действие на результат по.иска ,
то соответствующие .вероятности ошибок ,а и ~ должны быть ра1В­
ны . Опт,имальное :в смысле минимума математического ожидания
т ребуемого времени решен.не на каж~ом этапе, конечно, будет по ­
сл едо вательным ~решением . Математическое ожи,дание чис л а тре­
бующихся .наблюдаемых, ·в силу того что а=~. равно
1-а
(1- 2а) loge--
E(М\Н;)=Е(МIHJ= Е(~; IН;)_?:__ ,
(6 .92)
184


где ~i - логарифм ,отношения плотностей ,вероятностей
Ро(z;) =ехр{2~ z;} ;
Р1 (z;)
а'
(6.93)
1'] Л IЕ(z;)1 = АТ0/Vп; и2~- var(zi) = N0T0J2 и п4=1og2N.
Таки м
образ ом, ма•темат,ическое ожидание времени поиск а
се кунд, где
Мт= (log2N)Е(М Н;)=
- - loge -- (log2 N)2
-
I
1-2а (1-а)
4R
а
рав,но МтТо
(6.94)
с R=A 2To/No . Наконец, так как вероятность 1п1ринят1ия ошибоч,ной
метки Ре п,риближенно равна п1а, когда па<< 1 [ер. с § 2.6;
na{l-i[(n-1)/2]a} ~Ре= 1-(1-а)n~па], то получа ем
м 1 ] (Jog2N)(log2N)2
т~4 oge -р-
R.
е
(6 .95)
~Можно было бы также на каждом этапе про.изводить решение
с фикеирован1ным объемом ·выборки. Получающееся в результате
время ~поиска, ,,оrда 1ве:роятность Ре мала, прибл:иж е.нно .в четыре
раза больше, чем время последова,тельноrо по.иска .в тех же самых
у1словиях.
Хотя результат (6.95) в некотором отноше,нии х·уже, чем П1ро­
порциональность первой степен:и .величины log2 N, на которую было
указ ано ,в шредыдущих абзацах 1), он тем не менее дает значи­
тель ное онижеаие времен .и поиска по сравнению с време,не м, кото­
рое требуется при ис1пользо,вании псе,вдошумовых последователь,но­
сте й . Более того, кажется очевидным, что лри 1поочере,дном поиске
ник акое дальнейшее снижен·ие невозможно, по крайней мере, если
ре шения должны быть дво.ич,1-1ыми. Оигнал, иопользов а,нный в каж­
дом «канале», был оптималь1ным в том смысле, что никакой другой
си гнал с той же са,мой энергией .не .мог бы сделать эти две воз­
м ожные гипотезы более различимыми. Так как каждое р<::шен.ие
бы ло од,ина1ково .важно для окончательного результата, то все
« каналы» должны ~иметь од.ну и ту же э.нергию , как в действитель ­
ности и было. Никакая процедура решения не является , в среднем,
более быстрой, чем по,следо·вательное реше,ние, так что время, зат ­
раченное на каждое решение, минимально . И , J-Iако.нец, ,в среднем,
правильную метку могут определить не менее чем log2 N двоичных
ре шений.
Недостаток этих с:иrналов ло сравнению с лсеmдошумо выми ,по­
следовательностями состоит в ,непостоянстве передаваемой мощно­
с п1. Пиковая мощность [см. (6.91)] в log2 N раз больше средней
мо щности. Хотя это отношен-ие значительно лучше по ,сра•внению с
1) Заметим, что если можно изменять передаваемый сигнал в подходящие
моменты времени в течение процесса синхрониэациюнного поисха , то сигналы
s; (t) мо гут передаваться поочер едно . Мощность каждого составляющего с игн а­
; 1 а мож н 'о было бы при этом эффективно увеличить в log2 N р аз, и время поиска
r т а ло бы, на самом деле , пропорциональным log2 N. (Прим . авт.).
185


отношен:ием N/1, характерном для 1им,пульсного сигнала длитель­
ност,и To/N, нее же использование таких аиг.налов может оказатыся
неудоб,ным. В любом ,случае эти сигналы могут быть заменены
д'ВОИЧНЫМ.И ,nос.1едовательностя.ми ЛОСТОЯiННОЙ мощности лишь С М'И­
нимальным ухудшением характе;рист.ик.
Чтобы показать, как это можно сделать, ,пред,положим, что сиг­
налы si(,t) пря,моугольны, и заметим, что они могут быть одно­
значно представлены последовательностью Si= 1(cri 1, cri 2 ,
.
..,
criN)
единиц :и жинус единиц; crij 1соответс11вует амплитуде сигнала si{,t)
на интервале (j-1) To/N <t<jT0 /N. При этом сигнал s(.t) пред­
с та :вляе тс я ,последовательностью
(6.96)
Цель состоит в том, чтобы •заменить эту последовательность ~по­
следовател ьностью s ' = (81, 02, ... , 8N) единиц и жuнус единиц, соот­
ветствующей сиr,налу s'(t) та1ким образом, чтобы миН'им:изиро,вать
увеличение математ.иче.ского ожидания времени еинхронизацион,но­
го поИlска . Согласно (6.94), это время поиска определяется л,ишь
велич:инамл 11 и ,cr , где cr не за·висит от принимаемого сигнала. Та­
к им образом, выберем s' так, чтобы макси.миз:ировать величину
Т0
N
11; = Аss' (t) s1(t)dt = А;о }_] 8р}
0
i=l
для в,сех i=l, 2, . .., n=log2N. Но
пN
N
n
N
= АТ0\1\1e.cri. = АТо\1е.\1cri.,;;;_ АТо '1
LNn I.J
.l.,J11 NnI.J1I.,JI NnJ;.J
.
i=I j=l
j=l i=I
i=I
min 11; <. ave 11;
(6.97
где послед.нее неравенст,во пе;реход,ит .в равенство толда и только
тогда, когда
(6.98)
О1тределение фующии sgn {х} ,при х=О ,несущественно лри рас­
смот_рjени и этого последнего ут,верждеН'ия. Для удобства определим
sgn {О}= 1, хотя это расходит,ся с обычным определением , пр,и ко­
тором sgn {О}= О. Как будет показано, еслл ej определяется равен­
ством (6.98), величины min 11'; и ave 11'; достигают верхней гра­
~шцы •в (6.97). Таким ,образом, 1последовательность s', которая на­
зывает~ся последователы-юстыо, быстро входящей в синхронизм,
являет,ся опт.имальной в тех условиях, которые здесь рассматр:и­
ваются. Посл,едователь,ность, быстро входящая в си,щс,ронизм, s'
186


длины ~v =32 изображена на рис. 6.6 ,вместе с составляющим.и
последовательностями s;.
Для доказательства оптимальности последовательности s' за­
м етим, что 11нюжество п-последовательностей {a1j, a2j,
.. .,
an_;}
с одерж1ит каждую из N двоич,ных п-,последовательностей (единиц .и
Рис. 6.6 . Последователь­
ность, быстро входящая
в синхронизм, и ее ком­
поненты (N=32)
минус единиц) один и только один раз. Более того, та:к как ej -
симметричная функция ,aij и а\, то
N
N
,
,_
АТо '1( k
;)е_АТо'1(; k)0_
,
,
Т]k - ТJ;
-
N 1,,.J (Ji - (Ji
;-N 1,,.J (Ji-(Ji j - ТJ;
-
llk
i=l
j=l
и, следовательно, ri';=ТJ'k для 1ВСех ,i и k. В соот~ветств.ии с эт.им
a ve 11\=min ri'i, и все не-ра,венст,ва 1в (6.97) в действительности
i
являюТ1Ся равенствами, если 0j 0111ределяется так, как указано вы­
ше. Наконец,
N
,л
,=АТо~
Т]=11;
Nn 1.J
i=l
, п нечетное;
(6.99)
, п четное,
где к·вадратные скобки обозначают целую часть находящейся в
11 с й дроби. ПосJiедняя сумма опять выч·исляется с учетом того, что
1<а ждая из N двоичных п-последовательностей появляется точно
один раз .в множест.ве {a1j, a2j, ..., О'nj}-
Когда п велико, применение приближения Стирл,мнга ,.1ля би-
11 о миналы-1ых коэффициентов дает
11' ~
----
--
VT
АТо
л (log2 NJ 112
(6.100)
187


Единственной !Платой за замену передаваемого с'Игнала s(t) ,на
s' ( ,t) является увеличение вре,мени поиска прибл1иже.нно в n/2 rраз
[см . ф-лу (6.94), где ,нужно 1J заменить на 'l'J'].
Интересно отметить, что после~овательност,и, быстро ,входящие
в си.нхро.низ,м, содержат с-вой собственный отсчет времени. А и.мен­
но, если такая ,последовательность подается на вход системы
ФАПЧ, если местный сигнал z(t) является прямоугольным, с ле­
р.иодо.м, ра~вным периоду .наиболее высокочастотной компоненты,
определяющей последо.зательность, и если ширина полосы цепи
порядка 1/2То или меньше, т,о эта ,ком понента .будет отслежен.а.
Для с.истемы последовательность оказывается чисто 1црямоуголь­
ной функцией с амплитудой Ar(, где 'l'J' определяется ф-лой (6.99).
Ошибка отслеживания поэтому равна ab='(ri:/'2) 21 (N0В.L/A 2 ('1'J') 2)
(см. § 6.3).
Обычно значительно большую мощность следует придать ком­
поненте, iПО кото,рой производ,ится О'Г!счет времени, а не :к;аким-л:ибо
другим компонентам, определяющим составную последователь­
ность, так как временная компонента ,определяет око.нчатель,ную
точность -синхртшзаци.и. Это можно выполнить с помощью просто­
го увеличения веса .на.ивысшей частоты ,последовательности при ол­
ределе.нии составной последовательности. Таким образом, напри­
мер, когда ,N = 16, можно так 1выбрать з,наки сумм соответствую­
щих элементов в четы,ре х последовательностях
2-2 2
__: _2
2-2 2
-2
2-2 2
-2
2-2 2-2
-1
-1
1-1
-1
1 1-1
-1 1 1-1-1
1~1
-1
-1
-1
11
1-1
-1
-1 '~1
11
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1,
чтобы получить ,сос тавную послед,овательность
1-1 1
-1
1-1 1
-1
-1
1-1
-1
-1.
Эта последов.ательность :имеет :корреляцию 'l')ci=З/4 с ,временной
ком1понентой и 'l'J = 1/4 с каж,дой из остальных компонент последо­
вательности. В общем случае, если отсчет времени .представляет ­
ся последовательностью а, -а, а, -а, ... , а
д1руг.ие компоненты
представляютеr последователь,ностями + 1 и -1, коррелящия меж­
ду ,сост,авной последовательностью, сформирован.ной таким о:бр,а­
з·ом, .и ,временной компонентой, как легко 1в·и1де ть, буде.т равна
rJci=(2A-N)/N,
1'
(6 . 101)
•
[(n-l;f--a)/2] • • . l
(n-l)
гдеА=2 ~ с~ )- п-~+а ,а n=log2N. Второй бино-
минальный коэффициент .берется равным нулю, есл:и (п-1 +а) /2 ~
не целое число. Аналогично корреляция с каждой из остальных
компонент последовательности равна
11 = (2В- N)/N,
188
(6.102)


где
[(n-I+a)/2](n- 2 ' ( n-2) [(n-1-a)/2](n- 2 )
В=2~•i)-п-1+а+2~\i
i=O
2
i=O
(п-2)
-
п-~-~ •
За м е тим, что l')c1=. l, 11 =0, 1коrда а>п-1, и что t'] cz=YJ, когда а= 1.
Ес ли п O11носителы-ю велико, то можно -пол у чить [IОЧТИ любое тре­
буемое соотношение между У]с1 и 11 ,при .некоторо.м а из интер,вала
l~a ~ n-1.
6.9 . Заключительные замечания
Эта глава посвяще,на ме'I'одам установления син хр они­
з а цил , ,выбору сигнала для оинхро.н.изац·ии и методам ,эффекти в­
ной его обра ботки, когда имее-nся отдельный канал, используемый
.исключитель,но для этой цели. Следует з,аметить, что наличие от­
дельного ка1F1ала не обяз ательно требует отдельных передатчика и
пр ие мн ика. Синхрооигнал может быть ра зл ичными способ ами уп­
ло тне н с сигналаМ'и, ,п е реносящими и,н,ф0<р,м ацию, ,на'Пр им е1р , ,с ~по­
мо щь ю ис пользова.н:ия раздельных . пощ несущи х ,или чередования
д вух сиг.нало,в во времени. В ,некоторых случаях ,с.истема связи мо­
же т р 'аботатр в двух ,режимах; ;исходный режим уста,н,о·вле ния сттн­
х р о низации необходим для следующего режима передачи . Син хро-
1-шз ац и я поддерживается либо ,с помощью .постоянного от,слежива­
JШ Я о тсч;етов времени, либо она основывает,ся на достаточной ст а­
б ил ыюст.и генераторов 'В ,переда,тчике !:f в ,приемнике. Неза ·виоимо
от используемой схемы уплот,н~ния результаты этой гл авы могут
б ы ть примене,ны в случае, если с-инхроканал можно расс матривать
к а к совершен.но отдельный .
Х отя это не в,сеrда так, . пер·вым шагом в процес,се синхрониз.а-
1~и н, я ообще говоря, является установлени е общего отсчета вре,ме-
11.и во ,всей си()теме связи, . Это приводит к ,передаче .периодического
с нг,1-rа ла и от,слеживанию его фазы в пр.ием.нике. Если период этого
сиr,на ла вре.мен.и равен (или больше) минимальному приемлемому
с н1 1 х р-о низационн,О"му .инте,рвалу н·еодJН•О.знач,но,сти • Т0 секу,нд, то
ла л ьн е йшие операции не нуж,ны . ._
Однако, если в целях онижени я
, вр е м е ни входа в cщ1xp _OHJ;1:JM используется . сиr,нал времени с пер ,и,о­
i tо м .1~,Т < Та, то остаются N =То/.ЛТ не определенных синхрони з аuи­
о. 11ных мето1к л сигнал д олже.н .устр,анитJ:,· эту N-кратную н•еод1юз1нач-
11 ость.
Оптимальная ,ст,ратеrия для устр 41нения нео~I-Ю:J,На·чности за -
1и 1си 1г от используемого для этой цели. . ,сигнала и _огр~шичений на
<·.11 ож 1-юс ть оборудования . Главные выводы по этому вопросу . мож-
11 0 с форму л.ировать следующим образо;М :
•
189


1. Есл.и нет ограничений на сложность оборудо•вания, а также
форму 1си.нхрос,игнала, кроме, возмож.но, огра~н·ичения на пико­
вую мощность, то оптимальным является псевдошумовой сигнал
или эквивалентный ему (пер.иоJI,rический ортогональный сигнал для
некогерентного ка,нала) , а оптимальным прием'ником я.вляются па­
раллельно ,соедине.нные ,согласованные ф:ильтры, по одному для
каждой из меток сигнал-а. Время решения пропорц·ионально тогда
log 1N, где <N - число конкурирующих меток сигнала.
•
2. Если О1граничен.ия на слож,ность оборудования заставляют
произ,водить поочередные наблюдения .меток, то о,птимальным яв­
ляет,ся сиг,нал, который раосматр:ивался в § 6.8 . Если существует
жест,кое ограниче.ние пиковой мощности, то эти последовательности
могут быть прев,ращены ·В д,воич,ные последовательности, быстро
ffiХ•одящие в синхронизм, что приведет лишь к незначитель,ному уве­
личению времеаи по:иска. В любом случае время поиска будет по­
рядка (log N) 2 . Бели в этих условиях используются псев,дошумо­
вые лоследо,вателыюст.и, то ·время поиска •будет ,поряtдка N. (Су­
щес11вуют методы объr.\J.Инен·ия несколы<;их 1Псевдошумовых лосле­
доват,ельностей для .получе.ния составно1го сигнала. В,ремя ~поиска
лри .и.спользо,ва:нии таких 1по-следовательностей меньше, чем ;п,ри
нспользовани·и только ПШ .по-следовательност,и с одной к0~м1по­
нентой, но ·больше, чем для последовательностей, быстро ,входя­
щих в си.нхронизм.)
3. Если .имеюгся та1к.же огра;н,иче.н;ия 1на форму си;нхросигна­
ла, то оптимальным алгоритмом поиска может быть либо заде1р­
жанное решенне при последовательном по:иске, либо оценивание,
зависящее от ко.нкретного вида используемого ,оигнала . В любом
случае шремя поиска будет, как правило, прО1порциональ.но No.
4. Если жест.кие ограничения ,на оборудование запрещают ис ­
пользование всех ,алгоритмов ·по.иска, кроме ,простейшего, (т. е . .по­
следовательного поиска с фиксированным объемом ~ыборки), то
,время поиска может оказаться пропорциональным No.
В той части выводов, которые относил·ись к построениiо сигна­
ла, молчаливо предполагалось, что синхронизац.ион,ный канал 'Име­
ет ,аг.раничение на от.но,шение сигнал/шум, а не .на шири.ну ~полосы.
На самом же деле, есшr произведение длительности ·им:пульса -на
ширину полосы порядка 3 или 4, ил.и выше, то можно полн•остью
п,ренебречь О['раничшшем на шир,ину, ·и 1выводы, от,носящ11еся к
построению си.гнала, 1не .нуждаются в корректировке. Одна1ко,
есл:и есть , ограничен.ия на ши.рину . полосы, может оказаться,
чт,о не.выгодно делать длительность импульса такой малой, .какой
она должна была бы быть ,при наличии· лишь ограничений на отно­
шение сигнал/шум . Тем не менее ,воз.можно с .помощью изменения
формы ,импулы:а сузить эффективную длитель,ность импуль.са, не
нарушая ,01граничений ,на полосу .канала. Наиболее эффективная
форма .импульса определяется ,полосовыми характеристиками ка­
нала, и . трудно получить какие-либо общие выводы ,в этом .направ­
лении . Те же ого.варки можно сделать от.носитель.но выбора часто­
ты оинусоидальной паднесущей , :используемой для отсчета време­
,ни. Очев·идно, сиг,нал ,времени должен находиться в пределах ло-
190


.носы про пускания ка ·нала, и ето может привести к тому, что его
частота окажется меньше, чем та , которая предлагается в § 6.2.
Следует также отметить второе ,предположен.ие, которое лежит
в основе приведенных uЗыше выводов . А име.н.но, предполагалось,
что коррел яции, дающие решающие переменные , выч1исляются за
некоторое целое число периодо:в сигнала синхрон изац.и и. Есл,и от -
1rошение ,силнал/шум .и период ,сигнала си.нхро низаци:и достаточно
велики, то можно принять .надеж,ное -решение относительно фазы
с иг н ала еще до завершен·ия наблю~е,ния полного период а. В этом
слу ч ае п,риведен.ные uЗыше результаты перестают быть справеюш:­
вы ми. Коэффиц и еNты частичмй корреляции, 11олучаемые путем ,вы­
числения вза.исVr,ной корреляции псевдо шумов ой последовательно­
с ти и ее местного варианта ил·и .последовательности, быстро :входя­
ще й ,в .с:инхро,низм , .и од.ной из ·компонент этой последовательности
ли шь 1на час11и этого периода , будут ,иметь ненуле вые диспереии
да же в отсут ствие шума . Псевдошум овые последовательности бу­
ду т в этом случае лучше последо,вательностей , быстро вхо:дящих ,в
с инхронизм, и, если отношение сигнал/шум достаточно велико для
тог о, чтоб ы оп равдать использ,ование частичных ·корреляций, буду т
нес омненно работать лучше ,них. Один 1из методов использован·ия
этой возможн ости указан в задаче 6.6.
В этой главе рассматри.валось оптимальное реш ение задачи
на.иб олее эф фектИ!вноrо использов-ания имеющейся в -распоряже­
нии мощности сигнала. Так же, как ·и в предыдущих главах, обоб­
щен1ие иоследований этой главы -на ситуации, ,в которых рекомен­
да ци и ,п о достижению ,оптимума могут быть выполнены лишь приб­
лиженно, вообще говоря, является простым .
Что касается сложности оборудован:ия, то ,наиболее уязвимым
элеме.нтом в аппар,атуре, которая необходима для реализации ме­
тод ов э той главы, несомненно является цепь от-слеж:и,ва.ния. На са­
мо м де ле, оинхро,низация, очевидно, возможна без таких устройств,
хотя их устранение, !Вообще го.воря, весьма существен.но скажетс я
11а мощности сигнала, необходимо,го для получения заранее задан­
ной точност:и.
Если .приним,аемым сигналом является синусоида, то с.и,стема
ФАПЧ ра,бо тает .как узкололос1ный филь11р . Та.к ,как система
с пособна отсл еживать частоту е,иг.нала, ее ширина полосы BL мо­
жет быть намного уже, чем динамический частотный диапазон Л1f
11.рюги маемоrо с-иrнала. Тем не менее прию1маемый сигнал мог бы
бы ть от ф.илырован пассивным фильтром, имеющим ширину поло ­
с ы частот В~ ,Лf. Отфилырова,нный ,сигнал тогда ·и.мел бы вид
(ер. с § 5.4)
y1(i)=Аsin(ш/+Ф)+п,(t)=[А+n1(t)]sin(шсf+Ф)+
+ п2(t)cos{fficf+ Ф)~Аsin(ffict+Ф+ n2~t)) .
(6.103)
111jи6лижен,ное. равенство имеет место тогда, ко гда I щ(t) 1 ~А. как
11 должно б ыть для того, чтобы извлеченный с.игнал да.вал ·пр.ие мле -
191


мый отсчет времени .
лрибл.иженно равна
Так,им образом, 1диоперсия фазовой ошибки
02 = _Е~[ _п~_(_t)~] _
Ф
А~
л2
(6.104)
где N0 - опектральная плотность шума. Для того чтобы .получить
с фильтром, имеющим ширину полосы В, ту же с,амую точность,
что и ,пр:и рабоге с системой ФАПЧ с ши,риной полосы BL, необхо­
ди мо увел,ичить ,мощн,ость си~нала в B/BL раз. Та•к как В~Л,f, в
то ·время ка1к, о·бычно, BL4:. ,Лf, то 1iребуемое у.велИ'чение мощност,и
может быть ощутимым.
Тот же общий ,в ывод от.носительно влиян.ия устранения цепи от­
слеживания о,стается справедл,и.вым :и для случая, когда принимае­
мый ,с игяал является несинусоидальным. На,пр.имер, если оигнал
синх1ронизаци.и состоит из лер.иодически ,перед,аваемых корот1шх
лмпульсов, ,цепь отслеживания, описа,нная в § 6.3, иногда заме ­
няется фильтром и следующим за ,ним пор•оговым устройством;
оцен:иваемая метка определяется моментом, в который выход
фильтра лревышает некоторый .порог 1) . Вновь ценой устра.нения
цеп.и является значительное увеличен.не ,полосы частот -с инхроsиза­
тора (ер. ,с зада чей 6.3) и, следовательно, соответс'I'вующее у,вели­
чен!Ие мощности сигнала, ,необходимой для получения удовлетво­
рите J1ышх результатов.
Задачи
6.1 . а) Сигнал х (t _:_, ) принимает с я в присутствин аддитивного белого и1ус ­
совского шума, имеющего одностороннюю спектраль1-1ую плот1-1ость No. Функцин
x(t) н звестна, 1-1 0 времн задержки ,; является случайной величиной, равномерно
расп р ед е.~е1-1ной н а интер ва ле (-Т о / 2, Т о/2). Показат1, , что независимо от ме­
тода. ис п ользуемого для оце 1 1ю1 т, с: реД Н ('.квадратнческая ошибка оцени ва 1111н
огра11нче1-1а снизу 1-1ерав енст вом
2
.! !:_{
[ (l-p(u))R JI /2[
О,; > rпах
1- erf
J,
O<v<r0/2 8
2
гдеR= 't,fN0;'f!, = ]~х2(1)dt и р(и) =~ 1/~(1,х(t)х(t +и)dt ) .
Указание. Рассмотрите следующую задачу. Принимается один из двух рав­
н овероят н ых сигналов: x,(t)=x[t-(u/2) ] и x2(t)=x[,t+(u/2) ]. Для то го чтобы
оп р еделить , какой 11менно , оценивается Dремя з адержки сигнала т и реш е н ие
t,
стронтся с нспользова 1ш ем з на к<1 это й оценки т. Очеиндно , вероятность ошибоч­
ного ре.ше11ия
Ре=+Рг{-re>fIХ1}+ ~ Pr{'te<-fIXz},
1 ) 1 Зада ч а синхронизации в этом виде тесно связа н а с зада чей оценки вре­
ме н и задержки радиолокационного импульса п р и измерении расстояния . ( При,11.
авт.).
192


А
где i:e='t--r - ошибка оценивания. Получите сформулпрованный результа т, ис-
1юльзуя ф-лы (4 . 12) и (4 . 13) для того, чтобы оценить снизу Р, и неравенство
Чеб ышева Pr {\х \;;;,k} ~Е (х2 ) /k3 для того, чтобы провест и дальнейшую оценку
с11изу.
6) Показать , что если
[
(~)112приО<t<ЛТ;
x(t)= ЛТ
О в остальных случаях,
тоа~~k(ЛT)2/R2, где k= max
[~ (1 - erf ~)] = 0,0925.
o.;:62<R/2 2•
С рав ните эту дисперсию ошибки оценивания с той, которая . получаете~. когда
тот же сигнал передается с периодом То и его отслеживание производится си-
сте мой ФАПЧ с шириной полосы Ве=1/2То • (ер. с§ 6.3).
••
6.2 . Корень квадратный из среднеквадратической ширины полосы Во перио ­
n11 ч ес кой последовательности импульсов x(t) определяется равенством
со
j'(w/2л)21Х(w) 12dw
2 -СО
Во= __со
_
_
_
_
__
_
1JX(w)J2 dw
J
-СО
1 л е Х (w) - преобразование Фурье x(t).
а) Покажите, что если такая последовательность и м пульсов должна быть
() т слеже на системой ФАПЧ, рассмотренной в § 6.3 , то приближенное выраж~
1111 е для дис п ерсии фазовой ошибки при достаточно больших отношениях сиг-
н а л/шум имеет вид: cr~ =NoBL/A 2B 2oТ2, где Т- период импульсной rюследо-
11 а тельности; А 2 - мощность принимаемого сигнала; No - спектральн ая плот-
11 ость шума; BL -ширина полосы системы и Во - (конечная) определенная вы-
111 с ширина полосы.
6 ) Используя неравенство К.рамера-Рао, определите нижнюю границу дис-
11 с р с ии любой несмещенной оценки фазы такого сигнала и сравните с преды-
1 1, ущ им результатом.
в) Покажите, что метод оптимизации длительности импульса, рассмотрен-
1 ш й в § 6.3, в равной мере применим к импульсам, имеющим конечные шири-
11 1,1 полос Во, и приводит, по существу, к тем же самым результатам .
6.3. Одним из распространенных методов установления синхронизации яв­
J 1 н стся передача периодической последовательности коротких импул ь сов и уста-
11 о вле ния моментов, в которые амплитуда соответствующим образом профильт­
р о ва нного принимаемого сигнала превышает некоторый порог. Показать, что,
11р11 до статочно больших отношениях сигнал/шум среднеквадр атическая ошибка
с 1111хронизации будет равна ошибке при отслеживании того же сигнала систе­
мо i·1 ФА~ПЧ, имеющей ширину полосы В L = 1/2Т при частоте пов торе ния · им-
11 уJ 1 ьсов 1 / Т . Показать, что это справедливо для прямо у гольны х импульсо в и
JlJ JП и м пульсов, имеющих конечную ширину полосы В 0 , определенную ,в зада-
11\' 6.2 .
Указа ние . При больших отношениях сигнал/шум соотношение между кор-
11 е м квадратным из среднеквадратического значения временной ошибки <J"f и
н ор 11 ем квадратным из среднеквадратическоrо значения шума <J n на выходе
ф11J 1 1, тра может быть аппроксимировано так, как показано на рис , 6,7.
Что является здесь а н алогом вероятности потери с1-шхрони за ции в с исте­
м11х ФАЛЧ?
193


6.4. Фаза ис1< а женного белым гауссов с ким шумом прямоугольного сигнала
с периодом Т должна быть оценена с помощью вычисления его корреляции
одаовременно с двумя прямоугольными сигналами, генерируемыми местным ге­
нератором и имеющими тот 1<е самый п ериод; один из этих местных сигналов
задержан на время Т/4 относительно другого . IПри условии, что после вычис ­
ления корреляции за МТ секунд нормированный выход одного коррелятора ра-
7
//--Сигнал+ Ш!JМ
flopoгo!JыiJ
!JflOIJeнь
/
,,__,,__ _t-п(,:.) Я, ~п(i-)
•
-
r- f-
• Рис . 6.7 . Приближенное
соотношение между уров­
нем шума и временной
ошибкой
i ---
вен х, а другого - у; показать , что формула оценки макснмальноrо правдо­
подобия времени задержки принимаемого прямоугольного сигнала имеет вид:
лт
.-=
8 [2sgn у- sgn х sgn y-sat (xsgn y-ysgnx)],
где
{и,
sat и=
sgпu,
1и1<1;
{ 1,и:;;:>О;
иsgпи=
1и1:;;:> 1
-
1,и<о.
Указание . Положите и=(х-у) /У2, v=(x+y)/Y2 и заметьте, что оценка
максимального
правдоподобия миними з ирует в ел ичину
л
{[х-Е( х lт)]Ч
л
+ [у-Е (ylт)]Z}t;2 .
• Определить
среднеквадратическую ошибку этой оценки, когда отношение
сигнал/шум велико . Сравнить ее с соответствующим параметром, относящимся
к случаю, когда в качестве местного сигнала используется . синусоида, а не
прямоугольный сигнал .
6.5 . Предположим , что синхросиrнал является частотномодулированной не­
сущей, т. е. предположим, что принимаемый сигнал имеет видУ2А sin[,wc.t+ЛfX
Х j' s(t)dt]+n(t), где n(t) - широкополосный rауссовский шум . Хорошо изве­
стно и легко дока з ывается, что при отношениях сигнал/шум, превышающи х по­
рог ЧМ демодулятора, выход демодулятора имеет вид: ·Лfs(t)+n' (t)/А , где
n'(t) - производная n(t) . Этот сигнал должен быть отслежен системой ФАПЧ
с фиксированной шириной полосы В L, узкой по сравнению с Лf. Показать, что
справедливы следующие утверждения:
а) Если s(t) - синусоида, то достижимая точность синхро низации не за­
висит от ее частоты . (Это утверждение, конечно, справедливо при обычном
предположении, что шир ина полосы цепи мала по срав н ению с обратной вели -
чиной периода синхросиrнала.)
•
б) Если s(t) - периодическая импульсная последовательность с периодом Т
и есл и maxs(t)=l, то дисперсия ошибки времени равна
t
194


т
где величина S; Л J(dis (t) /dti)2dt предполагается конечной как при != 1, так
о
и при i=2.
6.6 . Рассмотрим следующую схему определения фазы искаженной шумом
11се вдошумовой ,последовательности длины 2h-J . В начале принимаются k после­
!lО В а телъных битов, относительно них строится решение (с использованием ме­
тод ов гл. 4), и они заносятся в регистр сдвига, предназначенный для генериро­
ва ния такой же последовательности, как и принятая. Затем строятся решения
от носительно последовательно принимаемых битов и сравниваются с соответ ­
ств ующим выходом регистра сдвига. Подсчитывается число случаев, когда вы­
ход ы регистра сдвига и устройства, принимающего решение , совпадают , и на
ос нове этого подсчета выполняется .последовательный тест для того, чтобы
о пределить, находятся ли в фазе местная и принимаемая .последовательности.
Если принимается решение о том, что они не в фазе, то новое множество. из
/1 битов, относительно которых приняты решения, •вносится в регис11р сдвига,
11 начинается новый последовательный тест " Эта процедура продолжается до
тех пор, пока некоторый последовательный тест закончится принятием гипd­
тез ы о том, что две последовательности находятся в фазе. Оценить число при :
11и маемых битов, необходимых для завершения синхропоиска, при вероя:rност.и
ош ибки, меньшей или равной Р,, и при выполнении следующих предположений:
а) синхронизация битов уже установлена;
.
6) если две последовательности не согласованы по фазе, то совпадение и
нес овпадение сравниваемых битов равновероятно: последовательные совпадения
11 несовпадения являются статистически независимыми событиями.
При каких отношениях сигнал/шум этот метод лучше методов, рассмотрен-
111,rх В § 6.7 И 6.8?
•
6.7 . Показать, что псевдошумовая последовательность может быть отеле:
же на системой ФАПЧ, использующей какой-либо из местных сигналов
Z 1= p(t)-p(t-ЛТ) или
Zz(t)=1
- p(t),
р(t), lЛТ<t<(1++)ЛТ;
(1++)ЛТ<t<(l+!)ЛТ,l= . . .-1,О,1, ..
1'J le p(i) обозначает последовательность, а .ЛТ - ее период в битах. (Такое ус1-
рой ство называется системой синхронизации с задержкой.) Сравни;гь результи­
рую щие сигналы ошибок.


!'лава 7
СИНХРОНИЗАЦИЯ СИМВОЛОВ
ПО МАКСИМУМУ ПРАВДОПОДОБИЯ
7.1. Введение
Глава 6 была посвящена изучению методов установле­
мия отсчета времени и синхронизации более высокого порядка пу­
тем использования дополнительных каналов. В большинстве остав­
шихся гла:в так или .иначе рассматр.иваюкя методы :извлечения
этой информации непосредственно из принимаемого сообщения.
О<;:новная цель состоит в том, чтобы полностью обойтись без всяких
вспомогательных каналов синхронизации.
Очевидно, что информация, необходимая, в частности, для ус­
тановления синхронизации символов, присутствует, фактически,
в . самом сигнале, переносящем сообщение. Очевидно, должно су­
ществовать ощутимое различие между принимаемыми символами
для того, чтобы была передана какая-либо информация. А так как
символы должны быть различимыми, можно, по-видимому, непо­
средст венно по принимаемой последовательности определить, ког­
да именно происходит переход (во времени) от одного символа к
другому. Цель этой главы состоит в исследовании методов исполь­
зовани я этой возможности .
7.2 . Символьный синхронизатор максимального
правдоподобия
В этом параграфе принцип максимума правдоподобия
примен яется к задаче синхронизации символов. Решение макси­
мального правдоподобия относительно метки символа состоит в
приня т ии такой метки 1) v, которая максимизирует функцию
P!:y(t);\vl и, следовательно, определяет метку символа, наиболее
правдо подобно отвечающую наблюдаемому сигналу y(,t). Разви­
вая этот подход, будем предполагать, что все символы имеют рав­
ную и известную длительность Ts секунд . Всякое устройство, ко­
торое пытается установить метку символа, будет называться сим­
вольным синхронизаторолt; синхронизатор, который находит мак­
симум по v плотностей вероя т ностей p(y(t) lv], будет называться
t:uмвольн ым синхронизаторо1,f максимального правдоподобия.
Выв од математического вида синхронизатора максимального
:правдоподоб ия аналогичен выводу для приемника максимального
t) Так же, как и в гл. 6, удобно ограничить рассмотрение вначале лишь
случаем, в котором имеется только конечное число конкурирующих меток.
(Прим. авт.).
1,95


[1равдоподобия в гл. 3. Пусть принимаемый сигнал y(t) =Хj(t­
-,,,ЛТ) +n(t) 1пролус<кается через адеаль:ный •фильтр нижних ча­
.с т,от с шириной ,полосы В и 1nrр,о,Из,водятся выборки со с1юростью 2В
выборок в секунду (см. § 3.4). Выходом является последователь­
ность выборок
.
•=О1
у- Xf
+n- {]
'
'
1- i-Vk
l•=12
1
'
'
·, ML+(N- 1)k;
(7.1)
.,п.
Слагаемые ni - это независимые выборки гауссовского случай­
ного процесса, имеющего нулевое среднее и дисперсию a2 =N0B,
где N0, как обычно, обозначает одностороннюю спектральную плот­
ность шума. Нс1дстрочный индекс j обозначает j-й символ из мно­
жества п возможных символов Xj(t); L-число выборок на сим­
вол; k= 1L,ЛT/Тs - число выборок в интервале, разделяющем любые
две последовательные метки символов; М обозначает полное число
наблюдаемых символов. Наконец, метка v является некоторым це­
.лым числом из интервала {О, N-1}.
Так как множество наблюдаемых У= {Yi} представляет собой
множество независимых гауссовских величин, то, когда j и v зада­
ны, имеем
М-\ n
{
(l+I) L+vk-1
}
р(УIv) = ,п=О /~-\ cv~ cr)L ехр - 2:2 ~ (Yt - x{_vk)2 р(j) =
l=lL+vk
М-\ n
{ (l:+,I) L+vk-\
}
=К1П~ехр:2
~ y,xf_vk-+ ( xf_vk) 2 P(j),
1=0 i=l
l=lL+vk
(7.2)
тде P(j) - вероятность j-го символа и
{
ML+vk-1
}
К=
1
ех--1
\12
1
(V2na)ML Р
2а2 k,,J У1 •
l=Vk
Заметим, что крайние выборки Yi с номерами O~i<vk и ML+
+vk~i<(M+I)L в равенстве (7.2) опущены. Множество наблю­
д аемых У обязатель.но соде,рж.ит все .выборк·и Yi, О~ i<i(M + 1) L, так
как выражения p(Ylv) должны быть вычислены для всех v. Пре­
н ебрежение этими крайними выборками приводит к потере неко­
торой информации, от которой может зависеть решение . Тем не
менее, если чис.тю выборок (М + l)'L, требуемых для надежного ре­
ш ения, велико, то эти крайние выборки вносят пренебрежимо ма­
л ый вклад в общую имеющуюся в распоряжении информацию и
могут быть без ущерба опущены. При очень больших отношениях
-с игнал/шум это неверно, как вскоре будет показано . Однако с этим
ис ключением использование крайних выборок в нижеследующих
в ыкладках лишь усложнит результаты, не изменив их существенно .
С той же оговоркой множитель К1 в ф-ле (7 .2), по существу, не
за висит от v и, следовательно, может рассматриваться как кон­
•Станта.
197


Взяв предел в суммах (7.2) при стремлении ширины полосы В
к бесконечности и стремлении к нулю интервала между выборка­
ми, находим, что решение максимального правдоподобия состоит
в выборе той метки символа v, для которой достигает максимума
выражение
м-1 ( п ! (l+IJ Т5+vлт
j)
!J1
~
ехр)0 tтsiлт [2У(t)Xj(t- ,1Л Т) -х;(t- vЛТ)]dt P(j) .
(7.3)
Это и есть та математическая операция, которую должен вы­
полнить синхронизатор максимального правдоподобия.
Другой часто используемый подход состоит в том, что одновре­
менно выносится решение максимального правдоподобия относи­
тельно метки и о символах xit-vЛT). В этом случае (7.3) следует,
очевидно, заменить на
м-1 [
! (l+IJ т,+vлт
]]
П mfxехр )0 J [2у(t)xi1(t- vЛТ)
-
х71(t- vЛТ)]dt .
l=O
I
IТ 5+vлт
(7.4)
Так как некоторая информация неизбежно теряется при замене
(7.3) на (7.4), получающийся синхронизатор будет в какой - то мере
хуже синхронизатора максимального правдоподобия. Однако, как
будет показано, ф-ла (7.4) часто приводит к намного более при­
емлемому для практики устройству. Более того, такой подход мо­
жет быть подходящим, когда неизвестны априорные вероятности
P(j). [Еще одной возможностью является вынесение решения по
максимуму апостериорной вероятности относительно символов и
решения максимального правдоподобия относительно метки. Един­
ственным отличием этого метода от только что рассмотренного яв­
ляется использование априорных вероятностей при отыскании мак­
симу,ма сомножителей 1по j ,в ф-ле (7.4) .]
При получении (7.3) и (7.4) мы неявно предполагали, что точно
известен вид функций Xj(t--т;), соответствующих символам, за ис­
~лючением случайной временной задержки -т;. Это предположение
часто оказывается справедливым. Например, если имеется фазово­
коrерентный отсчет времени, то эта предполагаемая возможность
воспроизведения символов (с точностью до их временной задерж­
ки) в приемнике может на самом деле существовать. Однако не
так уж редко имеются и другие неизвестные параметры, даже
тогда, когда делается попытка установить синхронизацию символов.
Параметром, который чаще всего не известен, является фаза
несущей. В этом случае распределение множества наблюдаемых
У является функцией фазы несущей и метки v. Если предполагает ­
ся, что фаза несущей постоянна в течение каждого интервала
передачи (это предположение согласуется с тем, которое было
198


сделано при обсуждении некогерентного по фазе приема), то фазо­
вонекогере нтный символьный синхронизатор максимального прав­
доподобия должен вычислять выражение
J.. - SP(Ylv, Ф1 Ф2, • • -Фм)Р(Ф1, Ф2, .
•
. ,Фм)
Х
(7.5)
где Фi - фаза в течение i-го интервала; iTs+vЛT <t< (i+ I) Ts+
+v,ЛТ. Как и в § 6.6, вид синхронизатора зависит от предположе­
ний относительно плотности распределения р(Ф1, Ф2, ... , Фм).
Рассмотрение здесь будет ограничено синхронизаторами, которые
получ аются в приближении
(7.6)
(Очевидно, можно предполагать, что статистики фазы также не
з ав исят от метки символа v.) Если существует некоторая зависи­
мость фаз последсвательных символов (а она неизбежно сущест­
в ует), то это приближение приводит к подоптимальному синхро­
низа тору, в которсм некоторая информация о фазе отбрасывается
llMecт o того, чтобы быть использованной. Тем не менее характери­
стика этого подоптимального синхронизатора служит границей
с низу для характеристики оптимального синхронизатора , в кото­
ром используется вся информация о фазе. Граница сверху для этой
х аракте ристики устанавливается, конечно, с помощью фазовоко­
t' е рентного синхронизатора (ер. с § 6.6).
Используя равенство (7.6), находим, что максимально правдо­
подобной меткой символа будет ,,, которое максимизирует выра­
жение
в(t, fр(Ф)[ехр N~ 1'+:Jл:, [2y(t)xi (1 -vЛ Т, Ф)-
.- ;~i и"~л T,Ф)J'Jdt}dФ Р(j)) .
(7. 7)
Вновь непосредственным видоизменением синхронизатора мак­
, с 1-1 мального правдоподобия является такой, который выносит сов­
мес тные решения максимального правдоподобия относительно ме­
ток, символов l! возможно даже фаз. Этот синхронизатор находит
ме тку v, которая максимизирует функцию
лr1
! u+1> т5+ vлт
Г1шахsр(Ф) ехр-1 1 [2у(t) xi (t- vЛ Т,Ф)
-
,,
N0
J
1
1=0
IТ 5+,,·лт
-
[х11(1- vЛТ, Ф)']dl}dФ
(7.8)
199


или функцию
м-1
(1+1) T5+vлr
Пmaxехр-1 S [2У(t)xi,(t- vЛТ, Ф1)-
J1• Фz No
l=O
zт5+vлт
-[x11 (t-vЛT, Фz)] 2 ]dt.
(7.9)
Кроме временной задержки и фазы несущей, могут быть неиз­
вестными также другие параметры, например, амплитуда символа
или спектральная плотность шума не всегда известны точно. В об­
щем, однако, эти параметры можно достаточно точно оценить,
чтобы обращаться с ними, как с известными, и при определении
структуры требуемого синхронизатора связанные с ними неолреде­
ленности обычно можно игнорировать.
7.3. Синхронизация символов АИМ
Для описанных в § 3.5 и 3.6 систем амплитудно-импульс­
ной модуляции рассмотрим фазовокогерентные и фазовонекоге­
рентные символьные синхронизаторы максимального правдоподо­
бия. Начнем с случая синхронизатора, для которого фаза несущей
уже была определена.
Принимаемый сигнал имеет вид y(t)= 112Axsin((J)cf+Ф)+
+ n(t), где А и Ф - известные постоянные, а х
-
случайная вели­
чина, постоянная на каждом интервале iTs+v,ЛT <t< (i+ 1) Ts+v,ЛT
и имеющая извесгную априорную плотность распределения веро­
ятности р(х). Сумма по j в ф-ле (7.3) становится здесь интегра­
лом, а вероятность P(j) - плотностью вероятности. Максимально
правдоподобной метю;>й v является та, которая максимизирует
00
\
U+l) Т5+vлт
1
Пj'ехр -1
\
[2Axy(t)V2sin((J)ct+Ф)-A2x2]dt p(x)dx.
No
.J
-оо
IТ 5+vлт
Это произведение может быть записано в виде
П eRn~z Sе-R (x-av1)2 р (х) dx,
1
--О,
Интеграл
1/2 00
,
-Rх-а2
R_jе ( vz)р(х)dx
V:n: - оо
200
(7.1О)
(7.11)
(7.12)


является сверткой плотности распределения р(х) и
Rl/2
R.a2
р(аl)=_
е-
vl•
vl
Уп
(7 .13)
Это соотношение отражает тот факт, что экспоненциальному
qлену ехр (Ra~ 1) нужно дать меньший вес, когда av I существенно
отличается от тех значений, которые предсказываются априорным
распределением ее ожидаемой величины х. В общем, однако, этот
член не влияет си.1ьно на решение, принятое синхронизатором.
Для того чтобы обосновать это утверждение, когда х имеет
равномерное распределение, рассмотрим интеграл из ф-лы (7.12)
в двух крайних случаях, когда R-;::p I и когда R4:.. I . Если R-;::p I,
экспонента e~щx-avt>' пренебрежимо мала, за исключением случая,
когда х~ av1 . Есл.и р(х) = I/(xo-X1) для .Х1 <х<хо, то .имеем
-=е
vt p(x)dx ~ хо -xi
Rl/2 SXo -R . (х-а )2
( 1 приХ1<avl<Хо;
-V:п ха
О в оста.f!ьных случаях.
Но когда R велико, av 1 будут с большой вероятностью оставаться
в ну-nри и.нте,р1вала (xr, х0 ), так что вз,вешивающая функция ,почти
везде :постоянна.
Аналогично, если R<f:..1, то e-R(x-avl)' ~ 1, кроме случая, когда
av 1 значительно выходят из интервала ( Х1, хо). В этом случае
RI /2 xj~
-R. (х-а )2
Rl /2
--
е
vl p(x)dx ~ --
-Vп
- V:n'
Ха
и это выражение вновь, по существу, постоянно.
Когда х имеет гауссовское распределение р(х) =
= (1/ V 2nas) е-х2/2а; , ситуация становится даже более простой .
При этом
Rl/2 "'5 -R . (х-а )2
1(.
1
}l/2
-
[ R / (1+2R.cr~)] а~1
--=: е
vl p(x)dx =-=
---
Хе
·V:rt
•.
У:п 1+2Rа~
-=
.
и (7 .11) ·принимает вид
К П e[(2R~) / (1+2~а;)] а~1 .
1
Н о так как v, максимизирующее выражение К1П ехр(К2а~ 1 ), не
l
за висит от К1 и К2, то решение остается одним и тем же независи­
мо от того, включается ли множитель в интеграл (7.12) или нет.
В качестве последнего аргумента в пользу приравнивания вы­
р ажения (7.12) • постоянной, заметим, что когда производится сов­
ме стное решение максимального правдоподобия относительf!о сим-
•201


вола и метки i[см. (7.4)], это выражение заменяется на постоянную
[
Rl/2 - R(x- avz)2]
Rl /2
max --е
=
--
.
х
ул
ул
(7.14)
С этими оговорками будем пренебрегать интегралом в (7.11) ,
считая ег о п ос тоянной и поним а я, что получающийся син хро ни з а­
тор, возможно , будет подоптимальны м . Относительная пр о стот а
статистики
2
,пRavl
z,,=
е
(7 .15)
1
обычно впо л н е компенсиру ет эту во з можную nодоnтим а льнос ть.
Как обычно . более удобно работать с лог а рифмо м статист ики , а н е
с самой ст а тис тикой. Определим с это й целью
zv= ~а~-1·
1
(7.16)
Если числ о слагаемых в каждой из этих сумм велико, то можно
исполь з ова т ь цен тр а льную предельную теорему для тог о, чтоб ы
пока за ть , ч то ,?v им е ет приближенно г ауссо вско е распред еле ни е 1).
Вероятность того, что правильная метка символа (котора я без по­
тери общнос ти будет пр едполагаться нул е вой ме ткой v = О) м оже т
быть правильно опознана среди всех других меток, также можно
выразить с помощью первых и вторых м оментов случайных вели ­
чинzv.
Пусть М об о значает полное число слагаемых в сумме (7 .16) и
пусть m=E(x) - математическое ожидание амплитуды с и г нала;
μ;=Б[(х-т)i] - ее i-й центральный момент и R=A2T,JN0 - о тно­
шение сигнал /ш у м на входе (см.§ 3.5). Пусть далее л ,.=,,ЛТ/ Тs =
=v/N. Первые и вторые моменты случайных величин z ,., мог ут быть
выражены с помощью этих параметров следующим обра зом :
r1v= Е(zv)=М{[(1- лv)2+л~]μ2+ m2+ 2~};
(7. 17)
(J2- Ма2 +Ма2 -1...Ма2
v-
sxs
sxn 1
.nxn'
(7.18)
+
где a~xs = [л~ + (l-лv)2 12 (μ4 -μ~) + 4р.~ + (1 - лvYJmμ:r
2
и
R
1) Опять-т а ки легко устанавл11ваемо е существован11с- в торых м о ~~ент ов оди ­
наково распр еделенных случайных величин о~ 1 оправдывает это утверждение,
Величины а~1 и а~. I+; статистич е ски независимы для в с ех i,,i = О, l. Следова тель-
но, суммы ~ av21 11
,..,
а~1. аснмптотмческ,I имеют rауссовское рас-
,_ .,
-
по нечетным l
по четным l
пределение , и т а к как zv явлпется суммой двух га:11ссовс кr-I х случайных веJ1 ичи,щ.
то z v также гауссовская величин а . (П р им,_ авт.) .
202


Подстроечные индексы в последних трех членах обозначают соот­
nе тственно «сигнал/сигнал» (дисперсия, обусловленная лишь сиг­
налом), «сигнал/шум» (дисперсия, обусловленная взаимодействи­
е м сигнала и шума) и «шум/шум» (дисперсия, обязанная лишь
ш уму) 1>.
О конч ательно
Л~μ~Е[(z\, -
z1.)2]- Е2( zv- zμ) = МЛ;хs+МЛ~хп+МЛ;,ш, (7.19)
где Л;хs=4(лμ- лv)2 (1 -( "-μ +"-v)]2μ4; Л;,ш= 4( "-μ
-
"-v) [1 -(2лv +
+"-μ)+Злv"-μ] ~- ;л~Xrt=2(\i-
"-v)[1- ( "-,tt - \,)j~ 2
и μ ~ v. Вновь под.черкнем, что эти выражения были получены в
нр едположении . что М - число наблюдаемых символов
-
доста ­
т очно ве лико для того, чтобы при рассмотрении опустить часть
си мволов в ни~,але и в конц е интервала наблюдения.
Есл и все метки проверяются одновременно, то вероятность оши-
6 очног о решения, I<ак обычно, оценивается следующим образом:
N-1
шах Pr{z0 -z., <0}3⁄4 Ре= 1-Pr fz0 > maxz;l 3⁄4 ,---.
Pr{z0 -Z; <О}3⁄4
i0/0
\
i cpO ) ;:;:'J
,< {N- l) maxPr {z0 -z;<0}.
(7.20)
i~O
Когд а М достаточно велико, чтобы оправдать использование
г а уссовской аппроксимации для распределения случайных вели­
чи н zi, случайная Ееличина y,=zo-Z; также имеет гауссовское рас-
11р е де л ение со средним з начением
щ =Е(у;)=11 0 -11;
(7.21)
и дисперсией
а2= Е(у·2)-Е2(у•) = л2.
l
.
l
·1.
Ot'
(7 .22)
~<о тор ые определяются равенствами (7.17)-(7.19) соответственно.
П роизводя решения так же, как в § 6.4, но параллельно, получаем,
ч то если вероятность ошибки мала, то наименьшее из отношений
т;
2Млi(1- 'Адμ~
а;
2лi.(1- tч)μ4+2~t2IR+l/R2
(7.23)
Jtолжн о быть порядка 2KN loge 1/Ре. (Коэффициент K N, напомним,
u r р аничен снизу
единицей и сверху величиной 1+
1) Во всех э:rпх выраженшях w ,c предполагается либо равной некоторому
1 \ сло м у к ратному величи ны 2л /,ЛТ, .1ибо достаточно большой по с равнению с
1 1 111рн но й полосы сигнала, так что несущая может быть устранена демодулято­
р uм, к ото рый фор .мирует произведение (ер. с § 3.4). Это предположение нужно
; 111шь дл я упроще ни я получ -ающихся резул.ыато~,; оно существенно не изменяет
ус J1 о в1 1 н. Если несущая не удовлетворяет ни одному из этих предполо)!<ений, то
1tфе.м я ,с инхр.Gнш1,ацщ1 , по-видимому, уменьшится в сил у того, что нек01орые и з
11( 0 111<ур11 рующих .меток будут более нвно отличаться от пр а ви л ьной метки .
(.Прал~. авт.).
203


+loge-(N-1)/loge(l/Pe); если, ,ка .к в обычно ~рассматриваемых
случаях, Pe4::.11N, то KN, по существу, равен единице.) Это отно­
шение является возрастающей функцией Лi при лi< 1/2 и убываю­
щей функцией Лi при лi> 1/2 . Таким образом, оно достигает мини ­
мума при лi= 1/N (и лi= 1-1/N). Полное число символов Мт, не­
обходимых для решения, следовательно, равно
М =2NK log -1 [_&..+_N_(- 1
-
+-1
-)]
(7.24)
т
N
еРе Nμ~
N- 1 Rμ2 2R?μ~
•
Интересно сравнить этот результат с аналогичным результа­
том гл. 6. Зависимость времени поиска от N в обоих случаях яв­
ляется одной и той же, если ширина автокорреляционной функции
синхросигнала порядка Тs/2. Наличие выражений 1/,R и 1/R 2 В;
(7.24) напоминает случай фазовонекогерентного приема, рассмот­
ренный в гл. 6. Это не удивительно, так как в обоих случаях при
принятии решения используется квадрат интеграла от сигнала ,
сложенного с гауссовским шумом.
Когда R стремится к бесконечности, отношение (7.23) стремит­
ся к Мμ22/μ4, а это означает, что ошибки синхронизации возможны
даже в отсутствие шума. Это происходит потому, что краевые эф­
фекты становятся все более и более существенными при R-+oo.
Тем не менее правильное решение может всегда быть принято на
основе статистики zv [равенство (7J6) I даже после наблюдения
лишь одного символьного интервала в случае, когда шума нет .
Чтобы доказать это, необходимо лишь учесть, что выражение
'tz
[J,У2у(t) sinЫс(t -
't') dt 1
2
JifW&-~~'t------
't,
S2sin2 Ыс (t -
,;) dt
['t,
]2
JУ2у(t)sinЫс(t - т)dt
't1
.)2sin2Wc(t-
-r)dt
't
положительно, кроме случая, когда сигнал y(t) представляет собой
синусоиду с постоянной амплитудой в каждом из двух интервалов
интегрирования, т. е. кроме случая, когда y(t) = Xt siп шс(t-,;) ,
, ;1 < ,t<т и y(t) =Х2 siп Шc(t--r:), т<t<тz 1>. Таким образом, сумма
двух последних ч,1енов достигает максимума, когда т=vЛТ, где
,,-
правильная метка символа . Этот максимум будет единствен ­
ным, кроме случая, когда y(t) постоянна на всем интервале т1 <
1 ) Это утверждение является прямым следствием неравенства Шварца.
(Прим. авт.).
204


<t<i:2 , что может случиться только, если два последовательн ы:к
симв ола равны (событие, которое имеет нулевую вероятность прю
рассматриваемых здесь условиях) или если область интегрирова­
ния полностью содержится в односимвольном интервале. Соответ­
стве нно абсолютно надежное решение может быть сделано на ос­
нове этих двух последних членов (в отсутствие шума) лишь тог­
да, когда интервал наблюдения по меньшей мере равен Ts секунд.
Од нако только числители этих членов зависят от принима емого
си гнала, и эти числители фактически являются статистиками вида
(7.16).
Если различныЕ: метки не могут быть проверены одновременно,
мож но использовать те же самые решающие переменные zv вме­
сте с каким - либо из поочередных тестов, рассмотренных в гл. 6.
Ан ализ этих различных синхронизационных схе м с пооче р ед ной
об работкой аналогичен во всех существенных деталях соответству­
ющему анализу и:~ гл . 6 и приводит к аналогичным результатам.
Синхронизатор максимального правдоподобия для фа зовонеко-
1 ·ере нтной АИМ согласно ф-ле (7.7) определяет метку v, которая
ма ксимизирует
2л 00 ! и+1) тs+vлт
П2~
.\ Jехр)0
S [2Аху(t)112sin(cuct +Ф)-
о -оо
1т5+vлт
~А'х']dt) р (х) dxd Ф.
(7.25)
(Для некогере:нной АИМ мы приняли наши обычные предполо­
жен ия : принимаемый сигнал имеет вид V2Ax sin(wcf+Ф), где х
нмеет априорное распределение р(х) и Ф равномерно распределе­
н а на интервале (0,2 л:). Кроме того, wc=2 л:k/Ts, где k - либо це­
.1 1 6е число, либо достаточно велико по сравнению с единицей.)
Сел и определить
U+I) Т5+vлт
J V2у(t)sinwc tdt
1
а=-
vt
ATs
1т,+vлт
и
(l -t - 1) т5+vлт
Ь1=
-
1-
s V2у (t) cos wс. tdt
v
АТ5•
•
tт5+vлт
н поступить так же, как в слупае фазовокогерентного
(7.25 ) можно привести к виду
2n
"'
П2: Jехр[Rc2v: (Ф)] Sехр[-R[х- с"1(Ф)]2 ]р(х)dxd Ф,
1
о
-00
(7.26)
приема, то
(7.27)
205


где cv1 (Ф)=av1 co<sФ+bv1 sinФ и R определено так же, как и ра­
нее. Вновь, либо считая интеграл по х практически постоянным,
либо вынося совместные решения максимального правдоподобия
относительно метки и символов {см. ф-лу (7:8) ], получим выраже­
ние, по которому будет определяться метка:
21t
КП-1 fехр[.в_~t1(1 +cos2(0-Ф))] dФ,
(7 .28)
2л: ,
2
1
О
где avl = ~v 1cos 0; bv1= ~vl sin 0 и К (по крайней мере, приближен­
но) - постоянная величина. Выполняя интегрирование и пренебре­
гая постоянными членами, получим
Пехр( :i~~1)/о( : ~t1) •
(7 .29)
1
Как exp{(R/2) ~~ 1 ], так и /о[ (R/2) ~~1 ] являются монотонными
функциями ~t1, а это значит, что ~~1 сама может быть использова­
на как удовлетворительная решающая · переменная. Фактически,
если R« 1, то
е<Rf2J \;~1 / (_в_ r,2 ) ,__, е<R/2) l:~1 (1+ _}_(!l)2~4 +
о2-vl
4\2
vl
2
)
(R/2) Gvz
.
~е
.
(7.30)
АеслиR~1,то
•
2
2
е(R/2)l:v1/ (_!l ~2 ),__, еR1:v1(1+_1_+
о2vl
R2
21⁄21
(7 .31)
Это выражение также получается, если решение максимального
п~?авдоподобия принимается относительно всех неизвестных пара­
метров: всех величин х и Ф, а также v {см. (7.9) ]. Взяв логарифм
какого-нибудь из выражений (7.30) или (7.311), получаем для ре­
шающей переменной относительно метки выражение
zv = L~~l = I (а~/+ь~1)·
(7.32)
1
1
Хотя эта решающая переменная, вообще говоря, подоптималь­
на, если известны априорные распределения х и Ф или одно из
этих распределений, относительная простота, с которой она может
быть вычислена в реальной системе связи, легко оправдывает ее
применение. Более того, из предыдущих рассуждений следует, что
получающийся в результате синхронизатор, по-видимому, будет
работать столь же хорошо, как и синхронизаторы, для которых
известны эти распределения.
Анализ характlристик полученного синхронизатора аналогичен
анализу для фазовокогерентного синхронизатора. Единственное
отличие состоит в том, что шумовой член в выражении для сред-
?n6


него значения и член «шум/шум» в выражении для дисперсии в
равенствах (7.17)- (7.19) удваиваются по отношению к соответст­
ву ющим выражениям для случая фазовокогерентного приема . Для
дал ьнейших ссылок перепишем здесь эти выражения :
11v = Е(zv) =М{[(1- лv)2+л~]μ2+ m2 + 2;_};
а~=М(a;xs +а;хп+а~хп);
a~xs = [(1-
"'v)2+ л~]2(μ4- μ~)+4[л~+
+ (1- Лv)2
]
111 μ3 + 4л~(1- Лv)2μ~/с1+ 4m2μ2 ;
а2 ={[(1- л)2+,.2]μ +m2}..!_ •
sxn
·v
v
2
R'
а~~п = с0/2R2 ;
Л~μ=Е(zv~zμ)2]- Е2(zv- zμ) =М[Л;хs+ Л;хп + Л~хп];
Л;хs= 4(лμ-
"'v)2 [l -( лμ + "'v)]2μ4/C1;
Л;хп= 4(лμ- лv)[1- (2лv +лμ) +3лμлv] μ; ;
1
л~хп=2со(лμ-
"'v)[1- (лμ- лv)]R2,
(7.33)
где μ~v . Коэффициент с0 равен 1 в случае когерентного и 2 в слу­
чае некогерентного приема ; с1 равен 1 в обоих случаях . Вскоре мы
11 оя сним причину, по которой был введен этот последний коэффи 0
циент.
7.4. Символьная синхронизация для ФТ
Рассматриваемая здесь система обсуждалась в § 4.5 и
3.7 ; в этой системt:: с равными вероятностями на любом заданном
интервале симвоJJа Ts секунд передается один из п сигналов
Xi(t) = У2А sin(u)ct+Ф+0;), где фаза Ф известна, а 0;=2-л.i/n,
i = '1, 2, ... , п. Из ф-лы (7.3) следует, что 1наи6олее 1правдоподо6.на51
метк а СИ:\•Шола соотшетствует значению v, которое ма,ксимизи,рует
, вы,раже,н.ие
п
= п+ ~ехр {2R(a... 1cos0i+ьvlsin0j},
(7.34}
1
i=I
207


где
(l+IJ T 5+vлr
1
а=-
·-
vt
ATs
s
IТ5+vлт
(l+l) Т5+vлт
bv,= -
1-
s у(t)V2cos(ro,t+Ф)dt
ATs
IТ5+vлт
н R=A2Ts/No .
Опять-таки из-за трудностей реализации описываемого равен­
ством (7 .34) синхронизатора (не говоря уже о трудностях анализа
его характеристики) представляет интерес получить какие - либо
пр и ближения к этому идеальному случаю. Вначале рассмотрим
при бл ижение при малом отношении сигнал/шум. Разложение экс­
поненциального чл е на в ф-ле (7 .34) в ряд дает
п
п
П-;-Еехр{2R(avl cos ej +Ьvl sinej)} = П+Е[1+2Ra'lll Х
I
i=I
l
i=I
х cosei + 2Rb'lll sin ei + 2R2a~l cos2 ej + 4R2a'lll ь'\11 sin ej cos ej +
+2R2b~,sin2 0i+O(R3)J.
(7 .35)
п
п
Таккак 0j=2л_;/п, j= I, 2, ..., п, то
~cosk0i= ~sink0i= О для
i-l
J-l
любого целого k, не кратного числу п. Равенство (7.35) поэтому
принимает вид
П[1+ 1+2бт 2R2a~l + 1-2бп2 2R2b~l +О(RЗ)] ~
l
s::::,к,~ (~;, +~;,), n> 2;
К2~avl, п - 2,
l
(7.36)
rде 6п2 = 1, когда n=2, и равно нулю в остальных случаях и где
К1 и К2 не завися-! от v. Это приближение справедливо также для
непрерывной ФТ; суммирование по j становится в этом случае ин­
тегрированием по 0.
Анализ характеристики приближе1щя (7 .36) к синхронизатору
максимального пр8вдоподобия полностью аналогичен приведенно­
му выше анализу для случая АИМ. Действительно, если п = 2
(zv= Z: а~1), первые два момента величины zv совпадают с ана-
1
логичными мо:.\1ентами для решающей переменной в случае фазо ­
вокогерентной АИЛ1 {равенство (7.33) при m=O, μ 2 =μ.=Co=C1=l].
208


Если n>2 (zv = ~а~1 + Ь~1), первые два момента величины zv
1
также задаютс::~ ф-лами (7.33), но теперь m=O, μ 2 = μ 4 = 1 и с0 =
= с1=2 1 >. Таким о6разом (пр.и параллельном на,блюдении), ,надеж­
н ое решение относительно правильной метки получается, если чис­
ло наблюдаемых символов порядка
М~2Nкlog -1(-1+-1+-1\
(7.37)
Т
N
еРе N
R 2R2/'
~ели п=2, и порядка
мт~2Nкнlоg -
-
-+-+- ,
1(1
1
1)
еРе2N R 2R2
(7.38)
если n>2 ,fcp. с равенством (7.24)].
Инте,ре,сно от,метить, ·что о.птималь.ный синхронизатор для К·О­
герентных сигналов ОФТ при малом отношении сигнал/шум экви­
валентен (кроме случая, когда n=2) синхронизатору, полученному
для случая когерентного приема. В отсутствие опорной фазы вы­
ражение (7.34) заменяется на
п
2n
,
П-;;~2: 5ехр{2R(av1cos(0i+Ф)+bv1sin(0i+Ф))}dФ=
I
j=I
О
= П/0(2R(а:1+Ь~1)112),
(7.39)
1
где av1 и bv 1 были определены ранее {см. (7.34) ], но теперь имеют
произвольную ~естную фазу Ф. Используя разложение функции
Бесс еля для малых значеrшй аргумента, так же как в § 7.3, полу­
чим приближение к (7.39) для малого отношения сигнал/шум в
ви де
(7.40)
l
э то означает, что решение относительно правильной метки символа
л.олж но основыват!>ся на выражениях
zv = !(а~1+Ь~1)
(7.41)
1
независимо от значения п. Исключая случай, когда п~2, этот вы­
под совпадает с утверждением, полученным в случае когерентного
11риема, а соответствующие синхронизаторы имеют одинаковые
ха рактеристики. Характеристика двоичного относительного коге­
рентного синхронизатора, очевидно, эквивалентна характеристике
J lВОичного синхронизатора для фазовонекогерентной АИМ, рас­
с мотренной в предыдущем параграфе, если положить m=O 'И μ2 =
= μ,=!.
1) Здесь последовательные фазы предполагаются статистически независи­
мым11 и равномерно ' распределенными. Для видоизменения этих результат·ов в
('J1y,1ae, когда это последнее ограm1чение снимается, см. задачу 7.1. (Прим. авт.).
209


Действительно, не должно удивлять то, что синхрони за торы для
фазовокогерентной и относительной когерентной ФМ совпадают.
Как в той , так и ь другой ситуации информация о метке символа
содержится в изменениях фазы при переходе от одного символа
к другому; характеристика синхронизатора зависит от разности
фаз. а не от с ам огu значения фазы .
В другом предельном случае , когда отношение сигнал/шум R
в елико по сравнению с единицей, слагаемое в сумме (7 .34), для
которого величина (av 1cos 8j+bv1sin 8j) максимальна, по-видимо­
му, будет много больше, чем остальная часть этой суммы . При
этом предпоJюжс~-:ии логарифм выражения (7.34) будет пропор­
ционален
Iшах{а,,1cos811 + bv, sin8iJ·
(7.42)
11/
Это выраже н ие получилось бы, если бы мы попытались получить
совместно е решение относительно метки и символов (см. (7.4) ].
Значение 8j, макснмизирующее выражение avlcos 8j+ьvl sin 8j, paв-
:rt
но81,,где/8- 811/< - ; 8= arctg(b/а1) (см.§4.5).Еслипве-
п
\!
V
.11ю,о , то 8::::::: ·8,, для некоторого k и
max{a cos8+b siп8}=(a2 +b2 ) 112 cos(8-8k):::::::(a2 +b2 )112-
i
vl
/
vl
I
vl
vl
vl
vl
(7.43)
В противоположность этому, если n=2 (с Gj=O или л) , то
(7.44)
Относительный когерентный синхронизатор (7.39) можно ап ­
проксимировать, 1<огда .R вели'ко, испоJ!ьзуя асимптотическое раз­
ложение функции Бесселя
П /0[2R(а~1 + b~1)112J~ П ехр {2R (а~1 +Ь~1)112}.
(7.45)
1
1
То же выражение получается, когда производится совместная
оценка максимального п равдо п одобия для фазы Ф и символа j:
Пп:~а:ехр{2R[av1cos(8i1+ Ф1)+ Ь"1sin(0i1+ Ф1)]}=
1111
= П ехр{2R(а~1+ Ь~1)112).
(7.46)
1
В 1<аждом из этих случаев решение должно осн о вываться на пере­
менных
,,_' = ,.,(а2 +ь2)1/2
(7.47)
~v
, ,,, ;,.
vl
vl
•
Наилучшее п риближение к синхрониза тору максимального
п равдоподобия зависит, очевидно, как от отношения сигнал/шум,
210


т ак и от числа возможных фаз. Однако, как и в § 6.6, можно до­
с та точно обоснованно ограничиться лишь приближениями для ма­
л ых отношений сигнал/шум. Это, в конце концов, представля е т
н аиболее трудную для синхронизации ситуацию. Более того , ха­
ра ктеристика такого синхронизатора дает нижнюю границу для
х арактеристики идеального синхронизатора. Наконец (и это , воз­
м ожно, самое uажное) для этих приближений к идеальному син­
х ронизатору характеристика, относящаяся к большим отношениям
с игнал/шум (если интересуются лишь эффектами, связанными с
шумом), факт:1чески совпадает с характеристикой оптимального
с инх,р•О'низатора .в отсутствие ·ка1кой-лн60 модуляции. За:пас для
,nоз'м,ожного улучшения характер,истики з:д:есь очень небольшой.
Ч тобы показать это, нужно лишь сравнить ф-лы (7.37), (7 .38) ,
(7.24) с (6.19) и заметить , что в рассматриваемом случае
max р (iTs/N) = 1-1/N .
i
7.5 . Синхронизация ортогональных символов
В нескольких предыдущих параграфах подход к задаче
r: инхронизации символов, описанный во введении к этой главе, был
пр·им ене1н к АИ1\1 и ФТ системам связи. Тот же самый 1подхо1д в
рав ной мере применим к ортогональным (и биортогональным) си­
с т е мам связи, рассмотренным в гл. 4. Практическая значимость
это го подхода зависит от того, какое конкретное множество орто­
го нальных символов используется. В последующих главах будут
о писаны конструкции ортогональных символов, которые значитель­
но лучше приспособлены к методам эффективной синхронизации,
ч е м любая из двух конструкций (ВИМ и ЧТ), рассмотренных в
1 ·л . 4. Поэтому обсуждение задачи синхронизации в применении
1, э тим двум классам множеств символов будет кратким.
СинхронизацияЧТсимволов.Еслимножествосимво­
J1ов имеет вид
x1(t) = V2sinffi1t, O<t<Ts, i = 1, 2, • • •, п,
где ffii=лkJTs; ki -1нжоторое ~целое . (ор. с § 4.4),
фаз овокогерентного синхронизатора максимального
G ия {см . (7.3)] принимают вид
11
П ) "' ехр [2Rz,,1 (j)] Р (j),
-
1 i=l
Г)lС
u+1> т.,+vлr
z1(j)=
-
1-
5 V2у(t)sinffii(t - lTs- vЛ Т)dt
v
ATs
1r 5+vлr
(7.48)
то статистики
правдоподо -
(7.49)
11 R = A 2T 8/N 0 . Зде,сь опять были опущены члены, которые не зави­
снт от v.
211


По-видимому, чтобы вероятность ошибки синхронизации была~
мала, система связи должна работать с достаточно большим отно­
шением сигнал/шум R. Поэтому одно (или два, когда vci=O) из,
этих слагаемых суммы в (7.49) будет иметь тенденцию доминиро­
вать над остальными . Это приводит к совместной оценке макси­
мального правдоподобия метки и символов, при которой, следова ­
тельно , используется для решения следующая сумма:
z.., ~~z..,1~~m~x zv1(j1).
(7 .50)
-
l
-
l
le
Так же, как и в предыдущих параграфах, можно оценит~, число
наблюдаемых, необходимых для решения, требуя, чтобы отношение
Е2(z0 - z.., 1О)
, 2 = min -------
v
var(z0 -z. .,IO)
(7 .51}
было порядка 2kN loge(I/Pe). Положив y(t) = 1Г2А siПffir(t- lTs) +
+n(t); lTs<t<(l+ l)Ts и y(t) = \/ 2А sin ,ffiJ[t-(l+ l)Ts]+n(t)~
(l+I)Ts<t<(l+2)Ts и пренебрегая членами с удвоенной частотой .
получим
ro,+roi
Wr -Wj
cos
2
(N- v)ЛТsin
2
(N- v)ЛТ
(.) ( l)krN- v
+
zvl1=
-
N ------------------
ro -(J)·
r
1 (N- v)ЛТ
2
ro 5 +roi ЛТ . Ws-ro,i
cos
2
v
sin
2
vЛТ
+(- 1/i~ ------------+ni.
N
W5 -Wj
где
• (l+IJ Т5+vлт
--~vлт
2
ni=A;s
S ~1г2п (t) sin ffi; (t-- lT5 -
vЛ Т) dt.
17'5+vлт
(7.52)
Рассмотрим вначале частный случай, когда kj=2N(k+ j), где
k - некоторое произвольное целое число. Конечво, при этом часто­
ты разделены гораздо большим интервалом, чем это требуется для
простой ортогональности. Существуют случаи, в кот9рых такое
условие является весьма желательным. В любом случае это огра­
ничение даст возможность исследовать синхронизуемость ЧТ сиг­
налов в более общих условиях. Когда k.i=2N(k+j), имеем
Zvl J)=
-
--
u,1 +--8si + ni,
(• (1 vЛТ)J<
vЛТ
Ts
Ts
где б; 1 - символ Кронекера:
13.
-{1, i=j;
IJ-
О, i-=/:= j.
212
(7.53)


Дальнейшее упрощение достигается в предположении, что от­
ношение сигнал/шум достаточно велико, так что наибольший вы ­
ходной сигнал с большой вероятностью появляется н а выходе тог о,
1< оррелято,ра, который имеет наибольшее математическое ожида­
ние вых,одног,о си:гнала . При этом 1предiпол,ожении, есл-и v~N/2 ,и·
е сли применима ф-ла (7 .53), числитель в (7 .51) равен
м2(п-1)2 ~
пNo'
(7.54)
а знаменатель -
М~п- 1[-I+_1_
~
]'
Nп
R
пN
(7 .55)
когда метки проверяются одновременно, и
lм[-1⁄4+пп21(;)2],
(7 .56}
когда они проверяются поочередно. (Последовательные символы
предпол·агаются независимыми и равномерно распределенными ;
е сли v>N/2 1по модулю N, то v ,в эт.их выражениях следует заме ­
нить на N-v .) Наихудший случай опять возникает при v= l (или,
N - 1), так что число символов , необходимых для решения при па ­
раллель ном наблюдении,
М,~2кlog -1[_!!_(-п-)+- 1
-]
.
(7 .57}
т
N
еРеRп-I
п-I
Аналогично в случае поочередного поиска с фиксированным
о бъемо м выборки общее число символов, которое нужно наблю-
Jtать, ,,
1[(п)2N3
N]
М~2кlog-
--
-
+--
.
т
N
еРеп-1R п-I
(7.58)
Порядок величины характеристики, получающейся при этом
1~одходе, следовательно, тот же, что и в случае синхронизаторов
лля АИМ и ФТ, рассмотренных выше . (Слагаемые 1/R 2 здесь от­
су тствуют, так как мы начали с предположения о том, что отно-
111 с ние сигнал/шум R велико.) Другие методы, рассмотренные в
1r редыдущих параграфах (оценивание, оптимальное задержанное
ре шение и т. д.). также применимы здесь и приводят , как легко
11роверить, к той же самой сравнитель1юй характеристике, как и·
от меченная выше.
Те же заключения справедливы для синхронизатора для фазо­
но н е когерентной ЧТ при больших отношениях сигнал/шум. Если
·ов местное решен;fе максимального правдоподобия выносится от-
11 с ительно принимаемого символа и его фазы, то получающийся
(' 1rr1 х ронизатор выносит решение, используя функцию [см . (7.9)]
loge П maxexp{2R(щ (v)cosФ1+bi (v) sinФ2)}=
/1, Ф1
l
l
l
2
R
~m:,x(aj1(v)+ь71(v))1l2~2R ~,,,
(7.59)
l
213:


где
'tlj1(v) )- _!_ U+1) тs+vлт . .
-1 sin (J)i (t- vЛ Т)]
.
-
АТ ) У(t)V2
dt.
bi1(v)
'
,~тs+vлт
•cosffij(t- vЛТ)
{То же самое вы:р[1жение получается, если исполь з овать приближе­
ние при большом ОТ,Нош е нии сигнал/шум к синхрони з атору, опи­
с ываемому функцней (7.8) .] Такое устройство может быть реали ­
з овано, наприм ер , как параллельное соединение фа з овонеког е рент­
ных согласованных фильт<ров, каждый и з которых настро ен на oд­
if! Y из частот W i/2л и за каждым из которых включен детектор оги­
бающей (ер. с § 4.'3).
В предположении большого отношения сигнал / шум математиче­
О(О е ожидание в ели ч ины выходного сигнала любого детектора
огибающей и дисперсия этого сигнала приближенно равны анало ­
гичным вел.и чинам ,на выходе соответствующего фазовокогерент­
ного corласованшо 1·O фильтра '[ер. с (3.59) ]. Аналогично характери­
сгика синхрони з а ·1 о,ра для фазовон ·екогерентной ЧТ почти совпада­
ет с характеристикой фазовокогерент н ого синхронизатор а, описан­
н ого в предыдущих ,а,б з ац,ах при тех же самы х предположениях.
Следует подчеркнуть, что эти рассуждения использовали пр ед­
полож е ние, ч то детектор с наибольшим математическим ожидани­
•ем выхода будет с большой вероятностью детектором с наиболь­
шим выходом . Для величин \', близких к нулю или N, это предпо­
ложение равносильно требованию малости вероятности ошибки
•с инхронизации . О,:~:на1<0, когда v ,близко к N/2. два обстоятельства
изменяют эту ситуацию : 1) существуют не один, а два (или более)
детекто:ра, имеющих относительно большие математические ожи­
дания выходов fсм·. (7 .53) ]; 2) увеличивается вероятность того, что
выход ,одного из :цет:е:кто:ров с нулевым математическим ожидани­
е м на ,самом деле превысит выход другого, который имеет ненуле­
вое м.атематическое 0жида·ние. Оба этих обстоятельства приводят
к тому" что матем,атическое ожидание величины максимального
выхода смещаетс,я и становится больше наибольшего из матема­
тических ожиданий этих выходов . Такое смещение приводит к
уменьшению .ы.адежности, с которой некоторые из меток могут
быть отвергнуты. Эт,о -сильно не изменяет время поиска при па­
раллелыюм поиске -или поочередном п оиске с фиксированным
объемом выборки, так как они должны быть достаточно продол­
жительными, чтобы надежно отвергнуть наиболее трудную метку
(которая все еще .будет, по -видимому, меткой v = 1), независимо от
того, какая метка наблюдается на самом деле. Процедуры поиска,
которые при :вод:ят к экономии за счет того, что одни метки могут
б ыть более легко отвергнуты, чем другие, теряют , однако, свою эф ­
фективность, когда принимается во внимание это смещение.
Те же замечания справедливы (и даже с более сильными огра­
ничениями н·а отношение сигнал/шум), когда целые числа kj
[см. (7.48) ] не обя з ательно имеют вид kj = 2N(k+ j). В этом случае
:2'14


абсолютная величина математического ожидания выхода j-го (ф а-·
зовокогерентного) д е тектора ограничена 1[см. (7.52)] величиной.
N-v
N
w,-Wj
sin ---"-( N -v)ЛT
2
(йг- Wj
2
(N-v) Л Т
Ws- Wj
sin •
-
vЛТ
2
(7.60)
Шs -COj
•
vЛТ
2
где строгое неравЕнство имеет место дJlЯ всех '\ ' "FO, кроме случая ,
когда j=•r=s. Поэтому для достаточно больших отношений сиг­
нал/шум нулевая меп<а может еще быть опознана среди всех дру­
гих меток. Тет~рь. одна1<0, в силу того, что несколько детекторов
будут иметь ненулевые математические ожидания выходов, харак­
теристика этой схемы синхронизации будет ухудшаться еще быст­
рее с уменьшением отношения сигнал/шум. Хотя эту характери­
стику можно оценить, удовлетворимся здесь приведенными выше
з амечаниями относительно качественного поведения методов син­
хронизации ортогональных ЧТ сигналов. Как было уже отмечено·,
для случаев, когда синхронизация должна быть установлена на о с ­
нове свойств самих символов, существуют гораздо более эффектив-
11ые множества ортогональных символов. Они детально будут рас­
с мотрены в последующих главах.
Синхронизация ВИМ символов. Рассматриваем0е
множество символов состоит из сигналов вида
()V-2А•
1 (i- I)Тs<t<iT,,
Х;t=
п SlП сос.;
п
п
i=1,2, .. -,п,
(7.61 )
где coc=2nkn/T, д.т1я некоторого целого k. Каждый символ имеет
длительность Ts секунд, в то время как интервал, на котором ам­
плитуда не равна нулю (будем называть его подсимволы-1.ым ин­
т е рвалом), равен T 8/n секунд. Одна из стратегий при синхрониза­
I(ИИ состоит, поэтому, во-первых, в сведении задачи к идентифика­
ции п меток, у которых амплитуда символа может изменитьсн от
нуля до ненулевого значения или наоборот. Во-вторых, нужно за­
тем определить, какая из этих п оставшихся меток является в дей­
с твительности праьильной меткой символа.
Если ограничения на оборудование не исключают такой воз­
можности, то, конечно, быстрейшей процедурой является та, кото­
рая объединяет обе операции. Тем не менее, так как ср·еди этих
;щ ух подходов двух.этапная стратегия, очевидно, лучше с практиче·­
' I< ОЙ точки зрения, рассмотрение будет ограничеРiо задачей иден­
тификации подсимвольных меток, т. е. установлением подсимволь-
11 о й синхронизации. Второй этап процедуры здесь не будет рас­
·м а триваться, ,ак как он принадлежит к классу задач, которые
рассматриваются Е гл. 14.
Для того чrобы определить вид подсимвольного синхронизато­
р · ~ максимального правдоподобия, будем трактовать подсимвоu~ы
т ;ш, как будто они сами являются символцш. Постуnая так, бy­
Jt м пренебрегать зависимостью между последовательными под-
2•1.5,


• символами. Тогда информация, которую получит синхронизатор,
<:остоит в том, что l-й принимаемый подсимвол имеет вид:
У(t) = а1V2пАsinffic(t - vЛТ)+п(t);
J, Ts +vЛТ<t<(l+1)~+vЛТ,
п
п
(7.62)
где n(t) - белый гауссовский шум.
чайной величины а1 имеет вид
Плотность распределения слу-
1
1
п-1
р(а1) = -8(a1- l) +-- 8(а1),
п
п
(7.63)
где б(х) - дельта-функция Дирака. Синхронизатор максимально­
го правдоподобия (7.3) определяет максимум по v i[v=O, 1, ...
. . ., (N/n)-1] функции
<Х)
!П sехр[2Rzvl az - R апр'(а1)dа1,
l -оо
,
,где
(1+1) ( Tsfn)+vлт
S y(t)V2nsinffic(t-vЛ T)dt
1
z=-
vl
ATs
l ( Т5/n)+vлт
,и, конечно, R =A2Тs/Na. Используя равенство (7.63)
интегрирование, получаем требуемую статистику
(7.64)
и производя
,П[пп1+-;e2R(zvгI/2)]=П{-;[e2R(zvгI/2)- 1]+1}.(7.65)
l
l
Если п и R велики по сравнению с единицей и если вновь R
должно быть порядка log2n для того, чтобы вероятность ошибки
iSыла малой, то величины zv1 являются существенными (при рас­
смотрении синхронизатора) только тогда, когда они превышают
1/2. Отсюда получаем, что нужно вначале принять решение отно­
сительно того, имЕ:ется ли вообще подсимвол или . нет, прежде чем
использовать соответствующую статистику при принятии решения
относительно метки. Если, например, нужно вынести совместное
решение максимального правдоподобия относительно метки и под­
символа, то синхронизатор должен определить значение v, кото­
рое максимизируе г выражение
П maxexp [2Rzv1а1-Rа7] = Пехр [2R ( zvl -+)] ,
(7.66)
.1
rx1
leL
тде L - множество подстрочных индексов !, для которых zv1 > 1/2.
Если вместо этого выносится решение относительно наличия или
,отсутствия подсимвола на основе апостериорной вероятности этого
события, то получается то же самое выражение, но L следует ·оп­
,ределить так, чтобы в него вх0дили лишь те подстрочные индексы,
;216


1
для которых zv1':?-- + (l/2R) loge(n-1). В любом случае решение-
2
может быть основано на использовании множества статистик вида
zv = IJ (Zvz-+) •
leL
(7.67)
Если вероятность ошибки синхронизации мала, то величина zv1 ,
вообще говьря, не будет вносить вклад в сумму zv, кроме случая,
когда на самом деле имеет место ненулевой подсимвольный им ­
пульс. При этом предположении число символов, требуемых для
решения, как легко видеть, будет, по существу, равно тому числу,
которое необходимо для определения правильной метки среди N/n
конкурирующих меток, когда импульс длительностью Ts передается
каждые Ts секунд по отдельному синхроканалу (что обсуждалось.
в гл. 6). Аналогичные утверждения справедливы при тех же самых
условиях для синхронизаторов фазовонекогерентной ВИМ.
7.6. Синхронизаторы, отслеживающие символы
Предыдущие рассмотрения касались первоначального,
определения метки символа. Так как для всех предложенных для
этого схем неявно подразумевалось, что период принимаемых сим­
волов известен, то либо этот период должен быть весьма стабиль ­
ным, либо отсчет времени на приемнике должен следовать отсче­
ту на передатчике (ер. с гл. 6). В последнем случае, в частности ,
с инхронизация символов заканчивается, в принципе, правильным
о познанием метки символа; любые последующие флуктуации мет-
1<и символа будут отражены отсчетом времени в приемнике . Тем
11е менее часто выгодно иметь возможность прямо отслеживать.
изменения мет;ш символа, не используя вспомогательный отсчет
1:1ремени . Эта задача и рассматривается ниже.
Решение максимального правдоподобия относительно метки
с имвола т 4 vЛТ при заданном наблюдении y(t), как было пока ­
:1с11-IО в § 7.2, основывается на плотностях распределения, имеющих
следующий типичный вид:
(
п
f (l+I ) Т5+1:
рfy1(t)l1J= К ~ехр1)0 zтl,; 2у(и) xi(и- 1') -
-
xj(u-,)ldu)P(j)).
(7.68)
Приемники меток, описанные в предыдущих параграфах этой
1 · J 1 ав ы, находили максимум по т функции:
М-1
p[y (t)lт] = П P(!f1(t) l т].
(7.69}
l=O
217


Другой возможностью , которая рассматривается в этом пара •
;графе, является и<.:пользование взвешенной суммы производны)i:
,д loge [У 1(t) 1•J/д 't
(7 .70)
для управления текущей оценкой величины .- .
Так как это выра­
жение равно нулю ; когда i; равно правильной метке символа , 0, и
так как оно является монотонно убывающей функцией i; в окрест­
ности 't=•o, то устройство с обратной связью, которое рассматри­
валось в гл. 5, с1юсобно обеспечить сходимость i; к оценке макси­
мального правдоподобия величины .- 0 (ер . с§ 5.4). Описание и ана­
лиз таких устройств отслеживания символов являются предметом
этого параграфа. Начнем с когерентной АИМ и бифазной ФТ.
Когерентная АИJ\i\. и бифазная ФТ. Функция
!ogep(y1(t) \,) ()ыла аппроксимирована в § 7.3 выражением
[
1 (1+1) Т5+т г-
]2
Ка7(.:)=К ATs
5 YlU~}'2sin((t)cU + Ф)du ~Kz[(l+I)Ts+'t].
IT5+-c
(7 .71)
Отсюда следует. чго производную д logePIIY1(t) \,]/д.- можно аппрок­
симировать функцией
[z(t)- z(t- Лt)]/Лt.
(7.72)
Получающееся устройство отслеживания символов изображено
на рис. 7.1 . Выходной сигнал блока, ыазванного «генератор сигна­
ла», является периодической последовательностью выборок s(t) =
= ~ Io(t-Лt/2-iT s )-б(t+ Лt/2-iTs)], где б(t) - дельта-функция
i
Дирака. Фильтр цепи взвешивает последовательные входы z(t)-
-z(t~Лt), i=.:+l'Ts, l'=l, l-1, l-2, ..., находя тем самым ,еиг.нал
!/(~. ·
·.f~~
fis in (Чt+ Ф)
Сигнал синхронишции
сим!Jолоо
Рис 7.1 . Структурная схема синхрониза­
тора символов, 1<огерентная АИМ 11 би­
фюная ФТ:
ошибки на интервале lTs<,t.<
< (l+ 1) Ts, как обсуждалось в
§ 5.4. (Выражение 1/Лt вклю­
чено в коэффициент усиления
цепи.)
Анализ характеристики это­
го устройства проводится с по­
мощью установления его экви­
валентности обобщенной систе­
ме ФАПЧ, рассмотре.нной 'В
§ 5.8 . Как там было показано,
среднеквадратическая ошибка
1 - согласованный фильтр: 2 - 1<вадпатнч , ~о е отсле :живания, связанная С та-
у стройство; 3 - фильтр ФАПЧ; 4 - генератор
с игнала; 5 - ГУН
ким устройством, в отсутствие
каких-либо искажений, вызван­
ных переходными фазовыми процессами или дрожанием осцилля­
тора, является функцией лишь действующей амплитуды сигнала,
спектральной ш101ности шума на нулевой частоте Sn (О) на входе
фильтра ФАПЧ (в ,предщоложении, как обыч•но, что .ширшна лолосы
21~


с истемы ФАПЧ ':wа л а ,по -оравнению с шир,и,ной полосы ,предш еству­
ющей цепи) и ширины полосы шума цепи В 1..
,Си1пнал 1) на входе си-стемы ФАПЧ
Е [z(t)] ~11 (t ).
(7.73)
( Без потери общности предполагается, что - . 0 =0 обозначает пра­
вильную метку сигнала.) Поэтому эффективная а.мплитуда
Ts
Ае=
-
1S1](t) s' (t) dt
=
2n
о
Ts
-
1 1ri' (t) s(t)dt
.2n.)
о
(7.74)
(е р. с § 5.8 . Так как это несущественно усложняет последующий
а нализ и так как получающееся 0бобщение и·меет некоторый прак­
т ический смысл . то сигнал обратыой связи s(t) может быть здесь
Ts
J11обой периодической функцией t, для которой Jsft)di=O). Заме-
о,
т нм, что z(t) совпадает с zv из ф-лы (7.16), если v,ЛТ=т; и M=l.
Та ким образом, ri(t) равняется 11v из ф-л (7.17), (7.18') при тех же
U I МЫХ УСЛОВИЯХ .
Остающаяся часть входного сигнала
(7.75)
1 1р едставляет собой mум . Поэтому шум на входе фильтра ФАПЧ
имеет вид
IL(t)=~(t) S(t- т).
){i:! лее
QO
00•
ТS
S,,(О) = SR,,(и)d'u = ~ SR,,(w+iTs)du=
-С.О
i=-CO Q
ооTsTs
Ts ~ .) SR~(u+iTs, t) dtdu,
i=-CO O 0
(7.76}
(7 .77)
l'Jl Rn(u, t) ~ El[n(t)n(t+uJ] и где си.мвол JE( ...} обозначает ус­
Р t'J (11 ение по ансамблю. Так к@.IК Rц. (и, t) ~ E'[~(t)~(t+u)] и s(t) -
1н' рr,юдические фуЕкции. t G: периодом Ts, то . Sn (О), может быть за-
1111·а но в виде
со т, 1!_,
811 (0) ~ ;s ~ .,\ sR~(u+i.Ys-, t)s(t-т,)s(t+u-11)dtdu. (7.78)
i=-C,, о о
1) Зде сь аыпл11туда сигнаv1а · в любой момент времени является случайной·
11 1•J1 1 1 1 11111 о й. Однако вновь, если ширина полосы цепн м:ала по сравнению с 1/Т., .
111 1 1 1 ,1 ход ГУН будет определяться взвешенной суммой большого числа входных
11~11 1 у J11, со в . Т а ыш обр.азом,. для того, чтобы получить хорошую аппроксимацию
1111 •1111J1< 1 11 а вх оде цели, можно его заменить на его матем .атическое ожидание.
(11/11/М. а.ат.).
2g,


Сигнал s(t) считался детерминированным в этом последнем
л,реоб~ра,3овании, ,несмотря на то , что ,его фаэа случайно изменяется .
.Это справедливо, если ширина полосы системы ФАПЧ мала по
,сравнению с шириной полосы принимаемого· сигнала (ер. с § 5.8).
Рассмотрим теперь функцию
М
2
.,6.2 (и, t)~ Iim - 1 Е(\lr,(t+iT5)-, (t+ и+ iTs)J) =
-М-сю М '1.J
i=I
мм
= lim -1 \l\l{Rr;[(j-i)Т5,t]- 2Rr;[и+(j- i)Ts, t]+
м-оо м '1.J '1.J
i=I i=I
"'
-
-2Rr; (u+vTs, t) + R" (vTs, t +и)= ~ [Rr; (v Ts, t)- 2R" (и+
v~"'
+vТ5,-t)+Rr;(vТ5, t+и)].
(7.79)
Это выражение -сшра,ве,длино тогда, .коnда lim R ,JvTs, t)-+O. Объ-
v-оо
,единяя (7 .78) и (7 .79) и вспоминая, что R,, (vT5 , t) и s(t) - перио­
Т.s
дические функции t и что \ s(t)d,t=O, получаем
о
Ts Ts
.Sп(О) =- '
-
1-s sЛ2 (и, t)s(t-. -)s(t + u- .- )dtdu.
2Ts
(7.80)
оо
Ценность этого выражения для Sn (О) становится очевидной, ее­
-ЛИ заметить , что
-Л2(иt)=lim-1Л2
'
м-оо Л.1 vμ •
(7 .81)
-где Л~μ определяется так же, как в (7.19) при vЛT=t, μЛТ=t+и
.для O~t ~u+t~Ts и ,1ЛТ=t+и-Т 5 , μ,ЛТ=t для O~ ·t<Ts<и+t<
<Ts+ t. Отметим, что Л2 (и, t) - периодическая функция t.
Возвращаясь к устройству отслеживания символов, изображен,
ному на ,рис . 7. 1, ,где s(t)= ~[б(t-(Лt/2)-iTs)-б(t+,(Лt/2)­
i
-i Ts)], находим и:~ ф - л (7.17), (7.18), что математическое ожида­
.н-и е си гнала ,ошибки 'На входе фильтра ФАПЧ имеет ,вид
1
-
2μ2 (1-
~)~'о<1't13⁄4~;
·11(t+~t)-Ч(t- Л/) = Лt( Ts 2:s) Лt
2Лt
-
2μ2 -
1--
,-
-< т,;:;;;Ts- -
,
Ts
Т,
2
2
(7.82)
:220


тде t=-т: по модулю Т8• Этот
-сигнал изображен на рис. 7.2.
Из (7.74) имеем
А,= 2μ2 (1-
~).
nTs
Ts
Согласно (7.80) получаем
Sп(О)=Л2 (лt, 't-· \')/Ts.
(7.84)
Хотя спектральная плотность
шума зависит от момента вы-
Рис . 7.2 . Сигнал ошибки в синхронизато­
ре, изображенном на рис . 7. 1 , с периоди­
ческой последовательностью выборок в
цепи обратной связи
борки -т:, она относительно медленно меняющаяся функция этого
~параметра. В любом случае, есл.и систе,ма отслеживает в-ерно , то
-т:~О ,и .из ф - лы (7.81) ~получаем
s (О)~л2(лt -
~)/т =2м(1_~) [(2- ~)h_+
_
1]
п
'
2
s
у2
Ts
2Ts R
R2'
s
О~Лt~Jj_
.
(7. 85)
2
Наконец, среднеквадратическая ошибка отслеживания в радиа­
нах в хвадра.те (,где 2:rt рад соот-вет,е-гвуют Ts секунд) имеет ,вид
02= 2Sn(О)BL
2( Лt/Ts )[l_ ЗЛt)-1-+
_1-]Х
QJ
А2 =2л1-Лt/Ts
4Ts μ2R 2u2R~
е
,2
(7.86)
Параметры а и Ь, как функции Лt/Ts, изображены на рис . 7.3.
В новь сталкивс1 е мся со знакомой уже ситуацией, когда дисп е рсия
а,Ь
{l
4
Рис. 7.3 . Параметры из
рав е нств (7.86) , (7.89) и
(7.95) :
1- прямоугольные нмпу.rr1>­
сы; 2 - синусоидальная об­
ратная связь; З - 1\ОСJiнусои­
дальные импульсы
о ,u иб ки отслеживания и линейная область сигнала ошибки прямо
1 1 ропо рционалЬ!'l~J одному и том у же параметру, в данном с лучае
ЛI. Ка к и ранее (ер., например, с § 6.3), Лt можно оптимизировать
1,я к функцию -отноше.ния сиnнал/шум систе,мы. Так ,ка·к линейная
221


область ,раопрост:ра,няется лишь на Лt - секун;щый инте.р•вал, то ,Лt
.не может быть ,сделано сколь у1годно малым vпо край•н•ей мере, ,если
нужно оставить в силе (7.86) ]. Вместе с тем Лt часто может быть
значительно меньше , чем Т)2 секунд.
Синхронизатор символов, изображенный на рис. 7.1, также до­
пускает нескош,ко различных реализаций . Две из них вытекают из
следующего замечания. Пусть ,щ ( т) обозначает интеграл
(l+l) т5+'t-(Л//2)
а1(т)= - 1
-
5 V2y(t)sil'l(ffict+Ф)dt.
ATs
lT5+'t+(лt/2)
а ~1(т) обозначает интеграл
lT5+'t+ (Л//2)
~1(1:) = А~~ s V2у(t)sin(ffict +Ф)dt.
lT5+'t - (Лl/2)
Сигнал ошибки на входе ГУН (рис. 7.1) также может быть выра­
жен как взвешенная сумма вида
~ Wz {[а1(т) + ~1+1(т)]2-[а1(1:) +~1(т)j2 } ~
[
~ ~w1~1(1:)[a1_ 1(1:)-а1(т)].
[
(7.87}
Эти выражения для сигнала ошибки справедливы, если фильтр
ФАПЧ имеет ширину полосы, малую по ·сравнению с обратной ве­
.пичи,ной :nер.иода сим.вола Ts, т. -е. ,если фу:ющии W1 медлен,но меня-
ются в зависимости от !.
•
Две схемы сиnхронизаторов, которые получаются после этих
преобразований, изображены на рис. 7.4 и 7.5. Первый из них, ко-
С11гнол
6UIIX/J(JHIJJO-
ЦW с11мdолоd
Рис. 7.4 . Структурная
схема синхронизатора с
отстающим и опережаю­
щим стробированием:
1 - взаимный
коррелятор;
2 - выборка и запоминание;
3 - квадратичное устройство;
4 - опережение на Лl/2 с ;
5 - генератор сигнала; 6
-
ГУН; 7 - фильтр ФАПЧ;
~ - задержка на Лl/2 с
торый называется синхронизатором с отстающим и опережающим
стробированием (или синхронизатором с расщепленн.ым стробом),
представляет собой один из вариантов (возможно, самый простой)
реализации более общего устройства, представленного на рис. 7.1.
Модифицированный синхронизатор с отстающим и опережаю-
222


щнм с'I'робир,авание.м изображен на рис. 7.5 . Коrща систем.а верно
-о тслеживает т~О, верхний интегратор на рис. 7.5 интегрирует по
П\:реходной области, где происходит смена символа , в то время
1, ак нижний интегратор интегрирует по интервалу, в течение ко­
т орого такой переход не возникает. В случае, например, двоичной
Рис. 7.5 . Структурная
схема модифицированно -·
го синхронизатора с от­
стающим и опережаю­
щим стр обированием :
I - выборка и запоминание;
2- задержка на (Т5- IJ.lJ, с:
J - генератор сигнала отсче­
тов времени; 4 - ГУН; 5 -
·j)ильтр ФАПЧ; 6 - з-адержка
наТ8,с
lzoin(l,Jr. t
·ФТ выход верхнего интегратора в идеале умножается на ноль, если
11 е происходит переход одного символа в другой (в этом случае
с инхрониза ционной информации нет), и на знак перехода + 1 или
-
1, если он прои сходит. Когда отношение сигнал/шум достаточно
пелико для того, чтобы можно было принимать надежные решения,
э то последнее толкование предлагает принимать твердые решения
о тносительно того, имел ли место переход или нет и в соответст­
u ии с этим взвешивать интеграл в области перехода, помещая ,
н а пример, идеальный ограничитель после интегратора в нижней
IL c nи на рис. 7.5 . По существу то же самое устройство получилось
G ы непосредствен!-iо, если бы мы с самого начала для аппрокси­
м а,ци.и статисти:ки, о,пределяющей синхронизатор максималь,н,о,го
11р а вдоподобия использовали приближение большого отношения
<.: нгнал/шум {см . (7.44) ]. В случае, когда каждое реш е ние относи­
т е льно наличия и отсутствия перехода символов является правиль-
1 1ым, дисперсия ошибки отслеживания, достижимая при использ о­
А а 1-1ии такого устройства, равна, как легко убедиться,
(7.88)
, Поэ,то,му улучшен-ие, овязанное с вынесением тве,р1доrо решен.ия,
О!' раничено , по крайней мере, областью больших отношений сиг­
на л/шум R. 1[Ср . ('/ .86) и (7.88); см. также задачу 7.3.] Тем не ме­
н е потенциальное упрощение при реализации этого модифициро-
11н 11ного синхронизатора делает рассмотрение целесообразным.
Устройство отслеживания символов, изображенное на рис . 7.1 ,
может быть использовано также с другими местными сигналами
s (l ) . Если, ~апример, s(t) - синусоида с периодом Ts, то по ф-ле
(7. 74) Ае =2μ2/л2 , а соотношение (7 .80) (когда ошибка отслежи,ва-
н 11 п мала) при;шмает вид Sп(О) = 2Ts [..h(1 + ~) + -1
-], так что
:п2 2R
4:112
R2
2Sn (О) BL
[1(
15)
1]
(J~D =
2
= :rt2 2R_ 1+42 +-2-
ВL Тs.
Ае
μ2'
:п
μ2 R2
(7.89)
223


Среднеквадратическая ошибка отслеживания снова имеет вид
(a/μ2д+b/μ2z,R. 2 )B1]8 • Для сравнения эти параметры а и Ь также
нанесены на рис. 7.3 .
Хотя характеристика синхро_низатора с синусоидальной обрат­
,ной связью олрмеленно хуже ха.рактеристи1ки си,нх,р-о,низатора с 1по.
следовательностью выборок, его более простая реализация может
вполне компенсировать этот недостаток, по кр<1йней мере, тогда ,
когда R дост,аточн-о ,в·ели.ко и BLTs достат-очно мал-о. В ча,стности ,
это верно, когда система ФАПЧ с синусоидальной обратной связью
может быть заменена узкополосным фильтром, как это рассматри­
валось в § 6.9 . Ш,ири.на mолосы В1 в общем ,случае должна быть
значительно ,больше ши,рины полосы сж:темы ФАПЧ, :к,оторую о.н
заменяет, но ,:реднеквадратическая ошибка отслеживания, зада­
ваемая теперь равенством (7.89), где BL заменяется на В 1 (по
крайней мере, если В 1 « 1/Ts), все еще может оставаться в допу­
стимых границах.
Некогерснтная АИМ, недвоичная ФТ и относи­
тельна я к о г ере н т н а я Ф Т. Синхронизаторы символов, опи­
санные выше, предназначались для сигналов когерентной АИМ
и двоичной ФТ . Обобщение, необходимое для того, чтобы они ра­
ботали, когда используется некогерентная АИМ, недвоичная ФТ
или относительная когерентная ФТ, является очевидным с точки
зрения результатов , полученных в § 7.3 и 7.4.
Единственным изменением, которое необходимо внести в выше­
приведенные выводы для того, чтобы приспособить их к 0тим ти­
пам модуляции, является и з менение определения z(t) в (7 .7 1), а
именно:
z(t)=[ - 1 r y(u)V2sinu>cudu]
2
+[-1 r y(u)V2cos•c '' dи]2
ATs J
ATs J
t-~
~~
(7.90)
[ер. с (7.32) и (7.41)]. С этим видоизменением рассуждения про­
водятся точно ·;- ак же, как и раньше. Ошибка отслеживания будет
такой же, как определенная ф-лами (7.86) или (7 .89), с тем исклю­
чением, что коэффициент при l/R2 удваивается {см. § 7.3 и 7.4 и
(7.33) ].
Изменения JJpи реализации этого синхронизатора соответствен­
но незначительны. Следует лишь заменить когерентные согласо­
ванные фильтры в рассмотренных выше синхронизаторах на неко­
герентные согласованные фильтры, после которых включены де­
текторы огибающих (ер . с § 4.3) . Все остальное остается тем же.
Схема синхронизатора, изображенная, например, на рис. 7. 1, те­
перь принимает внд, изображенный на рис. 7.6 .
Ортогональныесимволы.Методы символьной синхро­
низации из § 75 также легко приспособить для схем отслеживания
символов. Рассмотрим разность d(.:) между выходом в момент
.:+ ,Лt/2 и выходом в момент -т:-лt/2 фильтра, согла~ованного с ЧТ
224


символом или ВИМ подсимволом. Если правильная метка симво­
л а (или подсимвоJ1а) - то, если li--т0 J <Лt/2 и если символ, соот0
в етствующий рассматриваемому согласованному фильтру, был
принят на самом деле, то математическое
о жидание величины d (т), как легко ви­
де ть, ~будет линейной фун,юц'ией т-то. Ве­
л ичина d (т) поэтому может быть исполь­
з ована как сигнал ошибки для управле­
ния моментом выборки т. Более того, если
т ~ т0 , то надежное р,ешение о.тн,осит,ель­
но того, был ли принят этот частный сим­
в ол или подсимвол, может быть построе­
но на основе выхода фильтра в момент
i-, а d(т) можно считать сигналом ошибки
только тогда, когда это решение является
у твердительным.
Структурные схемы получающих-
с я устройств отслеживания изо-
~~Сигнал CUIIXPOIIUJ{!ЦUU
симdолоD
Рис. 7.6 . Структурная схема
синхронизатора
символов,
некоrерентная АИМ и не­
двоичная ФТ :
1 - некоrерентный согласован­
ный фильтр; 2 - квадратичный
детектор огибающей; З - .фильтf)
ФАПЧ: 4 - генерат,ор с игнала .;
5-ГУН
б ражены на рис. 7.7 для сигналов некогерентной ЧТ и: на рис.
7. 8 для сигналов когерентной ВИМ. Устройство, выносящее реше-
1 rия, о,пределяет, ·1шкой сим.вол :был ,принят (1в случа·е ЧТ), или ,ре-
11Jает, присутствовзл или нет импульс подсимвола (в случае ВИМ) ,
!J{t)
1
1
1
1
1
5
Демоilу11и v-
dонныи сигнал
Рис. 7.7 . Структурная схема
синхронизатора
,символов
ЧТ:
L,.
7
1 - некогерен тный согласован­
ный фильтр 1; 2 - ;,. е тепор оги­
бающей ; 3 - задержка на Лt, . с.;
4 - стробирующее устройство и
устройство, выносящее решения;
5 - некогерентный согласован­
ныii фильтр 2; 6-фил-ьтр ·ФАПЧ::
7 - 1·1екогерентный саг ласован­
ный фильтр п; 8 - генератор
сигнала отсчетов времени; 9 -
ГУН
11 в соответствии с этим стробирует сигнал ошибки. Эти схемы
1 1 сс ьма похожи на схемы отсJiеживания ,символов для двоичной
ФТ при большом отношении сигнал/шум, описанные р:анее. Дис-
11 рсия ошибки отслежива1ния в предположении, что решения от-
11 о сительно наличия или отсутствия символа всегда правильны,
1(; 1к легко показать, будет иметь вид
Лt BLTs
u2=4~2_
-pR
(.7.. 9 :1}
Ф
Ts
,·де
jр {два последовательных символа} = п - 1 ЧТ;
r
отличаются друг от друга
п'
Р=
Pr {за подсимвольным импульсом} = п2 - 1 , ВИМ .
не следует импульс
п2.
Н -281
225,


Ошибка отслеживания ЧТ и;мпульсов определена здесь через пе­
риод символа (2л рад соответствуют Ts секундам), а ошибка для
ВИМ определена через период подсимвола (2л рад соответствуют
Ts/n секундам).
Рис . 7.8. Структурная
схема
синхронизатора
символов ВИМ:
1 - фнJiьтр , согласованный с
110дснмволом; 2 - стробнрую-
1цее устройство и устройство,
выносящее решения; 3 -
фи ,1ьтр ФАПЧ; 4 - задержка
наЛt.с;5- ГУН;6- гене­
ратор с 11г11 ала отсчетов вре-
мени
Эт а. последняя схема отслеживания символов, очевидно, при­
мени м!Э.: Е1 любой импульсной системе связи. В том случае, если
о!.'!;е нка метки символа может быть сделана достаточно точной, на­
деж~юе решение, по-видимому, может быть сделано и относитель­
но т еку щего ,принимае-мого симв,ола. После то~го как !ПрИlнимаемый
с:имвол и область п ерехода символов становятся известны, после д­
няя может быть испоJ1ьзоваш1 для уточ нения оценки метки сим­
вола . Применимость этого подхода зависит от не всегда справед­
ли вого предположения об относительно большом отношении сиг­
нал / шум и от возможности получить первоначальн ую оценку мет­
ки за достаточно J{ороткий период ьремени .
7.7. Синхронизация непрямоугольных сим'Волов
В противоположность ситуациям, когда система нахо­
дится в синхронизме, характеристика импульсной системы связи
в режиме входа в синхронизм зависит от формы импульса даже
тогда, когда нет ограничений на ширину полосы . Так , например,
как и в гл. 6, точность отслеживания может быть увеличена (или
умен ь шено время поиска) сужением эффективной длительности
используемых импульсов. Вмест1:: с тем чем меньше длительность
импульса, тем быстрее падает напряжение на выходе фильтра, со­
гласованного с этим импульсом, при отклонении от момента наи-
6:о льшего значения выхода. Таким образом, требование к точности
rоответственно возрастает, и ситуация , в общем, остается неиз­
ме~шой.
Это не означает, что тщательный выбор формы импульса не
может привести к преимуществам при синхронизации . Одно потен­
ы:иал.ьыое достоинство при выборе формы импульса , например, со­
понт в возможности упрощения аппаратуры, необходимой для
с1шхрон изации. С этой целью используется иногда модуляция с пас­
сивной паузой, когда энергия передается лишь в течение части
каждого периода символа. Это эквивалентно умножению симво­
лов на последовательность прямоугольных функций, один из уров­
ней которой является нулевым (последовательность не обязатель­
но симметричная) и, следовательно, при этом вносится частотная
226


компонента на частоте символа, которая может быть отфильтро­
ва на или отслежена. Если, например, энергия передается лишь в
течение первой половины каждого периода символа в ЧТ системе
и если частоты символов достаточно разнесены , то выходы согла­
сованных фильтров (или детекторов огибающих) на рис. 7.7 пред­
ставляют собой неперекрывающиеся треугольные импульсы . Сум­
ма этих выходов - также треугольная функция (искаженна я шу­
мом); она может быть отслежена системой ФАПЧ (или .от­
фильтрована узкополосным фильтром) для установления требуе­
мой символьной с:ннхронизации; таким образом, этот метод позво ­
ляе т заменить ус1ройство, производящее выборки и выносящее
решения (рис. 7.7), ~простым сумматором. Если не считать п-.крат­
ног о увеличения уровня шума (только один выход содержит ком-
11оненту сигнала в любой момент, в то время как все п выходов
содержат шум), характеристика такого устройства совпадает с ха­
рактеристикой системы ФАПЧ, отслеживающей треугольный сиг­
нал. При большиs отношениях сигнал/шум п-кратное увеличени е
шума может быть приемлемой платой за снижение сложности ап­
паратуры.
Другим поводом для изменения формы импульса сигнала, ис­
пользуемого для целей синхронизации, является нейтрализация
стох астических свойств сигнала. В рассмотрениях этой главы всю­
ду предполагалась статистическая независимость последователь -
11ых символов; это предположение редко выполняется строго . Если
в действительности последовательные символы имеют тенденцию
быть одинаковыми, то число переходов символов может стать зна­
чи тельно меньше, чем предполагалось в вышеприведенном анали­
з е , и характеристика синхронизатора станет значительно хуже .
Внов ь для решения этой задачи может быть использована модуля­
r~ия с пассивной паузой. Сходный метод для случая двоичной ФТ
сос тоит в исrпользо'вании кода Манчестера, в ,котором ,один сим,вол
сооб щения ,и,меет 1вид
l
x(t) ={ V2s~nffict, О<t<Т5/2;
-
V2 S\П fficf, T 5 J2<t<Ts,
а другой символ равен - x(t) . iакая модификация формы симво­
JIОв делает характеристику синхронизатора относительно независи­
мой от статистических свойств сигнала. За это приходится пла­
тить увеличением шириньr полосы, требуемой для передачи этих
моди фицированных символов .
Вопрос об <(оптимальном» сигнале при заданном (в этом слу-
1 1ае) множестве требований к передаче и синхронизации, к кото­
рому неизбежно приводит рассмотрение подобного рода, здесь не
ставится. Очевидно, что ответ, если его можно получить, зависит
13 сил ьной степени от наложенных ограничений . Вместе с тем вли-
1 11ше ошибок симЕольной синхронизации на характеристику всей
нс.темы связи может быть, ,вообще говоря, , ,пренебрежимо малым
11rри ис'пользовании эффектив;ных мет,одов синх.ранизации незави-
Н''
227


<еимо от формы импульса символа. (Ср . с гл. 9.) В любом случае,
следовательно, требования к синхронизации симво.тюв будут лишь
незначительно влиять на проблему выбора сигнала.
Результаты этой главы также могут быть обобщены на случай
непрямоугольных импульсов . Когда огибающая импульса p(t), О:::;;
::::;;t::::;; Ts произвольна, равенства (7 .33) изменяются, в частности,
следующим образом . Пусть
Ts
лi= ;s 5p(t'-Ts +iЛT)p(t)dt с "'н = 1:
о
ЛОЛОЖИМ '\'1 =Лv ; у2 =Лм-v ; у3 =лμ;
У,4 = "'N-μ; Ys = "'ui-v) ; '\'6 =Л N- (μ-v);
а=μ4+4mμ3+4m2μ2- μ~; Ь=тμ3+2т2μ2иd=μ~+4т2Р2·
Т0 гда
fiv=μ2(Yi+У~)+т2('\'1+У2)2+Co/2R;
6;xs = а(yf+ У~)2+8Ь'\'1У2('Yi+У~)+4dYiУ~/С1;
а;хп = 2μ2 ( Yi + У~)/R + 2т2('\'1 + У2)2/R;
IJ•~xn = С0/2R2 ;
Л;хs= аI(Yi + У~)-(У~+ '\'~)]2+ 8Ь(У1У2- )13у4)[(УТ+У~)­
-( У~+ У~)] + 4d (У1У2 - у3у4}2/с1;
(7.92)
Л;хп = 2т2 [('У1 + У2)2 +(Уз+ у4)2- 2 (У1 + У2)()13 + )14) (у5 + Yo)J/R +
+ 2μ2 [ Yi +У~+ У~ + У~ - 2у1)13)16 - 2у2)14'\16 - 2у2у3у5 ]/R;
л~хп=Со(1-у~- Y~)/R2•
Рассуждения , 11спользован11ые при рассмотрении синхронизато­
r,юв из § 7.6, 1приме1-1имы ,в равной мере в случае, ·1югда рассмат­
~;т;ваются импульсы любой фор,мы, если только 1пр·и этом ·использу­
ю т,ся согласова.н11ые с ним фильтры или взаимные 1юрреляторы .
С ред,н-ек.ва,драт,ическая -ошибка ,отслеживания, соответ-ствующая
..:-хеме .риt . 7.1, сохраняет ~вид
(7.93)
где А е и Sn(O} определяются ф-лами (7.74) и (7 .80) соответстнен­
но·. Однако члены 11v и лiv, присутствующие в этих равенствах ,
з а.меняются в соответствии с (7.92) .
Как уже отмечалось , пригодность какой-либо конкретной фор ­
N!ЪI им пульса в сильной степени зависит от условий , в которых он
будет ислольз.ова ться. Одним из наиболее широко используемых
228;


не прямоугольных импульсов является так называемый косuнусоu ­
дальный импульс, определяемый равенством 1)
p(t) = V2J3[l -cos(2л;tJT.si.)], О ~t< Т5 •
(7 .94)
Таки м образом, для того чтобы проиллюстрировать влияние
формы импульса на характеристику отслеживающего синхрониза­
тора, вы бер ем косинусоидальный импульс в качестве практической
альтернативы прямоугольному импульсу .
Расс мот рим схему синхронизатора, изображенную на рис . 7. 1,
где s(t) - лоследовательн-ость ·выбор,о-к s(t) = ~ [б(,t-(Лt/2) +
i
+:i Ts) ]-&vt + (М/2) +liТs)] и где 1п,ринимаемый сигнал 1представля,ет
соб ой после довательность модулированных АИМ или ФТ косину-
со идаль ных импульсов (т. е. y(it) = V2Ax(f-,i Ts)sin(ffict+0) +
+n(,t), iTs < ,t<(i-т-l)Ts, где информация содержится либо в х, ли­
бо в 0). Ср ед;н-еквадратическая ошибка отслежи.ва·ния O1пять имеет
вид
а2 = ('~+~)В Т5
(7 .95)
ФLtR
2RzL'
'2
'
μ2
гд е пар аме тры а=а(лt/Тs) и Ь=Ь(ЛТ/Тs) мо:жно определить из
ф-л (7 .80) и (7 .92) .. Эти зави симости также изображены на рис. 7.3 .
(Средняя а мплитуда АИМ предполагается здесь равной нулю.)
Сле дует отм етить, что в противоположность случаю, когда импуль­
сы п ря моу гольные, ошибка отслеживания, по существу, не зависит
от Лt, особе нно при лt<Ts/4. Аналогично форма сигнала ошибки
знач ит ельно меньше зависит от Лt. (Рис. 7.9. Амплитуда каждо го
Лt=?;
~
.~
~
4' t=o
-О,25
Рис . 7.9 . Сигнал ошибки в синхронизаторе •косинуса.
uдальных символо в
1) Одю1:.1 очевидным преимуществом этого имп ульса по сравнению с прямо­
уrольньш импульсом нвляется его более узкий спектр (ер. с задачей 3.2).
( Пр 1т. авт.).
229


сигнала ошибки нормирована так, чтобы соответствующие уровни
шума во всех с.11учаях были одинаковыми.)
Если форма сигнала ошибки не будет подвергаться вредным
искажениям, то, пv-видимому, выгодно .Лt устремить к нулю в ф-ле
(7.72) и построить соответствующий этому случаю синхронизатор.
(На рис . 7. 10 изображена более привлекательная с практической
Рис. 7.10 . Структурные
схемы синхронизаторов
символов с дифференци­
рованием (фазовокоге­
рентный случай):
1 - согласован н ый фильтр ~
2 - квадратнчное устройство ~
З - фильтр ФАПЧ; 4 - ген~­
ратор сигнала; 5 - ГУН
точки зрения реализация такого синхронизатора, чем та, которая
представлена на рис. 7. 1. Сигнал обратной связи здесь имеет вид
s(i) =~1б(f-:i T,).) Среднеквадратическая ошибка отслеживания
получающегося символьного синхронизатора для АИМ или ФТ мо­
жет быть легко определена с помощью (7.92) и (7.93). А именно:
а2 =2л:2{~ +~ 1BL !r5(p' (t))2dt
(7 .96)
Ф
.R'
(R') 2f
.J
'
о
где R'=A2Ts(,p2+m2)/No, а p'(t) - производная огибающей им­
пульса p(i) (см. задачу 7.1).
Интересно птмtтить, что синхронизатор рис. 7.1 способен от­
слеживать косинусоидальпые импульсы более точно, чем прямо­
угольные, когда Лt/Ts превышает величину, приближенно равную
0,1, и менее точно, когда Лt/Ts меньше этого значения. В общем
можно было бы ожидать, что чем круче переходы между после­
довательными ?..мпульсами, тем с большей точностью можно было
бы установить и стследить точку перехода. Это соображение под­
крепляется полученными выше результатами, но только в случае,
н:огда отношение сигнал/шум достаточно велико, чтобы можно бы­
ло полностью использовать это свойство . Только если отношение
си,гнал/шум для системы относитель,н,о велико, Лt мож1но выбрать
малым, .и это ,не ,п,р:и.ве,1.ет а< не1п,р,иемлемо большой 1вероя·тност,и ~по­
тери синхр,онизма (ер. с § 6.3). И ,только ,в этом случае ·большая
,крутизна ,перехода ,между последоваrельными ~прямоугольными
им,пульсами 1пр.иносит ,преимущестно .
Сле\.'1.ует также отметить при обсуждении от,ное,ительных ,до­
стоинств прямоугол·ьного и непрямоугольных импульсов с точки
230


зрения синхронизации, что синхронизационная информация м оже т
б ыть извлечена и::s последовательности непрямоугольных импуль ­
с ов даже в ,отсутствие какой-либо модуляции (ер. ,с задачей 7. 1).
Это, конечно, неверно, когда импульсы прямоугольные . В этом
с лучае могут оказаться необходимыми ограничения на модуляцию,
чтобы получит;., минимально необходимое число пер е ходов и тем
с амым избежать возможной потери синхронизации .
7.8. Заключительные замеч а ния
Эта глава была посвящена методам получ ения символь ­
н ой синхронизации непосредственно по принимаемой последова­
тельности символов, переносящих информацию . Были рассмотре­
н ы два типа синхронизаторов: задача первого состоит в определе ­
н ии правильной метки символа среди конечного множества меток;
в торого - в том, чтобы отслеживать эту метку. При исследовании
с инхронизаторов первого типа внимание было сосредоточено на
т ак называемых синхронизаторах максимального пр а вдоподобия.
Б ыло найдено, что характеристика этого класса синхронизаторов ,
по существу, сравнима с характеристикой, 1<0торая получается при
ис пользовании метода двух каналов, рассмотренного в гл . 6, если
эффективная длительность импульса синхросигнала равна перио­
ду символа. Но так как в методе двух каналов необходимо раз ­
делить имеющуюся мощность между каналами передачи информа­
ц ии и синхронизации, а здесь вся мощность одновременно исполь­
зуется как для пtредачи информации, так и для синхронизации,
то одноканальный метод может оказаться эффективнее двухка­
н а льного даже тогда, когда дл и тел ь ность синхроимпульса отно­
с ителыю мала.
Имеются три причины рассмотрения I<ласса отслеживающих
с инхрониза торов , введенных в § 7.6. Во - первых , это достаточно
о бщий класс, он включает в себя мн о гие символьные синхрониза ­
то ры , представляющие практи ч еский интерес . Во - вторых, в н е го
вх одят как подкласс синхронизаторы, предназначенные для реше ­
н ия у р авнения мы<симального правдоподобия (ер. с § 5.4), по
к райней мере. в наиболее трудном случае. когда отношение сиг­
н ал/шум ,R мало. Следовательно, п олучающаяся оценка метки сим­
в ола асим п т о т1.1чески оп т имальна в среднеквадратическом смысле
(§ 2.8 ), Еогда отношение сигнал/ шум · для системы ФАПЧ стремит­
с я к беско н ечности , т. е . когда ширина полосы сиrтемы ФАПЧ BL
сгремится к н улю . (Конечно , это не гарантирует оптимальности при
: ,а ком - либо другом м ножестве условий . )
Во - вторых, док2зательство аси мптотич<ё'ской оптимальности фор­
мулы оценки максимал ьного правдоподобия используе т определен­
н ы е условия регулярности, котор ы е не выпоJшяются, если не на­
ло ж е ны ограничения на несколько п ервых производных огибающей
11 мпул ьса . В реальных физических системах , конечно, ограничения
11,1 ш и рину полосы канала в любом случае не позволяют использо-
2.'3!


вать прямоугольные импульсы; так что эта оговорка не приводит
к серьезным последствиям . Выводы для прямоугольных импульсов
остаются справедливыми, если такие импульсы могут быть прием­
лемой идеализацией реальных импульсов .
И, в-третьих, что, возможно, наиболее важно, можн о получить
относительно простые аналитические соотношения, связывающие
среднеквадратическую ошибку отслеживания с отноше нием сиг­
нал/шум на входе приемника и другими физическими п арамет­
рами.
Задачи
7.1 . а) Пусть p(t)- импульс произвольной формы, определенный так же,
как в (7.92), и предположим, что первая и вторая производные импул ьса су ­
ществуют и абсолютно интегрируемы на интервале 0~,t,::;;,_T • . П ок аз ать , что если
в (7.92) μ=v+l, то
•
Л~хs(,
')2
(,')(
'
')
л~~о (Л Т)2 = 4а '\'1'\'1 -
'\ '2 '\'2
-
16 Ь '\'1'\'1 -
'\ '2'\ '2
'\'1'\'2 -
'\'2 '\'1 +
+ 4d ('\'1'\';- '\'2'\';)2 /с1;
л;.m 2т2 {( , ,)2
"} 2μ2{( ')2 (•)2
л~~(Л Т)2 -т '\'1 -v2 ·-('\'1 + '\')2 '\'з + R
'\'1+'У2-
(22)"}
-
'\'1 + 1'2 '\'з ;
.
Л;хп Со ,,
л~~о(ЛТ)1= -
R2 '\'з •
Ts
где v(t) = J.. sр(и-т.+t)р(и) du;
v' (t) =dv(:t)/dt; '\' 11 (t) =d2v(t)/dt2 и под-
Тs
о
строчные индексы 1, 2 и 3 обозначают аргументы ,: О liш vЛТ; Т,-,: и Т, соот­
-
лт-, о
ветственно.
б) Используйте этот результат, чтобы показать, что в случае достаточно
большого отношения сигнал/шум, когда ошибка отслеживания мала, дисперсия
ошибки отслеживания задается ф-лой (7.96) . Заметьте, что при этих условиях
среднеквадратическая ошибка отслеживания символов ФТ не зависит от мо­
дуляции.
7.2 . В ра.ссмотрениях, по.мещенных 1в § 7.6 и 7.7, не принималась во внимание
зависимость спектральной плотности шума S n (О) на входе системы ФАПЧ от
ошибки отслежи,вания ,: ~ер . с 1(7 .84) ].
а) Показать, что, когда BLTs мало и когда дисперсия а~ достато чно ма­
ла, чтобы оправдать линейное приближение в системе ФА,ПЧ, хорошей аппрок­
симацией служит
00
-ао
где а~ ('t') - дисперсия, получаемая теоретически, когда S,. (О)
оценивается в
точке т; р(т)=(l/ J/2:rt а1;)ехр(-1:2/2а~) при ст't =(Ts/2:rt)aФ.
232


б) Исподьзуя этот результат, показать, что есди принять во внимание за5
в исимость Sn (О) от т, дисперсия ошибки отслеживания , задаваемая (7 .86) , уве­
личиваетс я в
[l- (~+- 3-)
BLTs ]-1раз.
С1μ2 2μ2R_ 1 --(Лt/Ts)
7.3 . Рассмотрим устройство отслеживания, схема которого отлнчаетсн от
схемы р ис . 7.5 тем , что в ней после нижнего интегратора включен идеальный
о граничитель.
а) Показать, что , когда огибающие принимаемых двоичны х ФТ импульсов
п р ямоугольны, дис п ерсия ошибки отслеживания (при линейной модели) для та­
к ого устройства ра[!на
9
(Л t)
BLТ
аФ=2л2 Тs (1- 2р)2R •
где р обозначает вероятность ошибки определения синхросимвола при отноше­
н ии с11гнал/шум R.' =R [ I-.Лt/T ,].
б) Пок а зать, что для малых отношений сигнал/шум ,R наличие идеального
о граничител я увеличивает дисперсию фазовой ошибки в :л/2 раз, в то время как
в друго м предельном случае, J(Огда R.-нх,, оно уменьшает дисперсию в
.
3
[l -(лt;T,) )/fl-(4 Лt/Т,)] раз.
в) П ол учить аналогичные результаты, когда огибающие импульсов имеют
к осинусоидальную, а не прямоугольную форму.
7.4 . Оценить время, необходимое для установления символьной сннхронн­
з ации для АИМ и ФТ непосредственно нз модулированного сигнала при исполь­
зо вании различных поочередных методов поиска, рассмотренных в гл. 6
[ер. с (7.33)].
7.5. Показать, что, когда последовательные символы ФТ сигнала имеют
с татистически независимые , но не обязательно равномерно распределенные фа­
зы, все еще можно использовать соотношение (7.92), но следует положить
т2 =Е(соsЛ81); μ2=1-т2 ; а=Ь=О и d/c 1 =E(cos2 Лi01)+2E(cos~81cosЛ81+1)­
-ЗE2 (cos Л81), где Л81=81-81+1, а 81 обозначает фазу импульса на интервале
lT,,::;;_t,::;;_ (l+l)T,.


Глава 8
СИНХРОНИЗАUИЯ НЕСУЩЕЙ МЕТОДОМ
МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
8.1 . Введение
Предыдущая глава была посвящена исследованию ме­
тодов установления синхронизации символов непосредственно по
принимаемому сообщению. В этой главе будет показано, что неко­
торые из этих методов применимы в равной мере к задаче полу­
чения опорной несущей (или поднесущей) из модулированной не­
сущей. Так как фаза несущей будет неизбежно меняться во време­
ни, то задача состоит не в проверке гипотез относительно фазы, а
в отслеживанич периодичес1юго сигнала, и здесь подходят мето­
ды, использованные в гл. 5.
Задача выделения опорной несущей из информационных сиг­
налов, когда спектр модулированной несущей содержит дискрет­
ную компоненту на частоте несущей, уже была рассмотрена в гл. 6.
Необходимо лишь определить отношение мощности компоненты
несущей к спектральной плотности шума в этом частотном диапа­
зоне, для того чтобы оценить точность, с которой может быть от­
слежена несущая. Поэтому в этой главе будут рассматриваться
только каналы передачи информации, которые не имеют дискрет­
ной частотной компоненты несущей, или, по крайней мере, мощ­
ность такой компоненты не достаточна, чтобы ее можно было от­
следить сколь-нибудь надежно.
В первых нескольких параграфах этой главы в предположении,
что известна символьная синхронизация, рассматриваются и ана­
лиз·ируются уст,ройст,ва отслеживан;ия несущей для 1раэл,ичных ти­
пов модуляции. Так как символьная синхронизация должна быть
установлена до того, как начинается демодуляция, и так как несу­
щая отслеживаето, во всех режимах передачи, то это предположе­
ние полностью оправдано. В режиме входа в синхронизм символь­
ная синхронизаци~ может быть, а может и не быть достигнута до
входа в синхронизм несущей. (Она могла бы быть установлена,
например, путем использования одного из фазовонекогерентных
методов гл. 7.) Если ее нет, то методы, развитые здесь, все же
продолжают работать, хотя и с меньшей эффективностью . В после­
дующих парагоафах это предположение о первоначальной сим-
вольной синхронизации будет снято.
,
Здесь рассматривается следующая проблема. Прини'маемый
сигнал y(i) имеет вид Y1(t) =Xj (t--r:, Фо) +n(t); т+lTs<t<т+ (l+
+1)Ts; l= ... , -1, О, 1, 2, ... ; j1=1, 2, ..., п, где п(t)-белый гаус­
со·вский :шум; Ф 0 обозначает фазу несущей, а т - метка символа,
которая вначале 1Iредполагается известной. (Поэтому без потери
234


общности положим -с= О.) Задача состоит в том, чтобы отс.Тiедить
ф азу несущей Ф0 Подход, который развивается здесь, аналогичен
тому, который был использован в § 5.4 и 7.6, а именно, использует­
ся обратная связь для того, чтобы найти решение взвешенной
с уммы уравнений правдоподобия
д loge р [yz (t)IФ]
дФ
где
Р[у,(/)1Ф]~К(t.ехр!}, '] т,[2У(/) х1(/, Ф) ~
~ <j(I, Ф)]dl) P(j)).
(8.1)
(8.2
(Это последнее равенство следует непосредственно из аналогич­
н ых результатов § 7.2 .) Получающееся устройство называется син­
хронизатором 1,1аксuмального правдоподобия для синхронизации
н есущей . Это устройство оптимально в том же смысле, в котором
с истема ФАПЧ была оптимальной для отслеживания немодулиро­
ванной несущей.
Принимая этот подход максимального правдоподобия, мы, ко­
н ечно, игнорируем любую информацию относительно фазы несу­
щей, которая можtт быть получена с помощью предполагаемой
с имвольной синхронизации. Это может быть оправдано либо тогда,
к огда фазы несущей и метки символа фактически независимы , ли­
б о тогда, когда ширина спектра сигнала мала по сравнению с его
це нтральной частотой . В последнем случае опорную синхрониза­
ц ию можно было бы рассматривать как точную с точки зрения от ­
с чета символо;з, но все же она довольно груба, если ее точность
с равнивать с периодом несущей. Если ни один из этих случаев не
и меет места, то фактически несущая отсутствует, но ее можно рас­
с матривать как составную часть сигнала , соответствующего сим­
в олам, и применять методы гл . 7.
8.2 . Синхронизация АИМ несущей
Если принимаемый сигнал имеет вид 1) : y 1(t) = V2x
x Ax1sin(шct+Фo)+n(t); lTs<t<(l + I)Ts (где х1 обозначает ин­
ф ормацию, n(t) -- белый шум, имеющий одностороннюю спек-
1) Огибающ~rе импульсов здесь предполагаются прямоугольными . Однако
1 1 х действитель н ый вид не будет nюrять на результаты, которые излагаются ни­
же, если ширина спектра получающегося си гнала будет мала по сравнению с его
uе нтральной частотой. Измене н ия, которые требуется внести в устройства отсле­
живания для того,, чтобы они были пригодны для работы с н е прямоугольными
11 м пульсами, очевидны . (При,11. авт . ).
235


тральную шют;юсть N0, и Фо - фазу несущей), то можно посту­
пить так же, как :в § 7.3, и показать, что хорошим приб лиж ением
для функции p[y1(l) IФ] служит
R.a 2 (Ф)
р[У1(t)1Ф]=Ке 1 ,
(8.3)
(1+1) Т5
гдеа1(Ф)=-1- r y(t)V2sin(ffict+Ф)dt.
ATs J
/Т5
(Напомним, что равенство (8.3) является точным, когда ам плиту­
ды АИМ импульсов имеют гауссовское распределение, и . кроме
того, является разумной аппроксимаuией для всех отношений
сигнал/шум ,R =А Чs/N0 в случае других распределений. ) Исполь­
зуя (8.3), получаем
(1+1) т,
д1ogeр[yz(t)1Ф]
дФ
.\ у(t)v2sin(ffict+
IT8
(1+1) Т5
+ Ф)dt .\ у (t)"J./ 2cos (ffict + Ф) dt.
(8.4)
IT5
Для анализ::~ х2рактеристюш получающегося устройства отсле-
живания несущей (рис. 8.1) положим, что y1(i)= V2Ax1X
2
UjJOOtlHlfh!U
сигн11л
""-:::!:::~4 7i, CUНX(JOHUJ{l­
~
и сш1!Jоло!J
_
_г_::::~-'-'-f-'-- CUНff]OHUJtJ-
-
CUM/JOIТO!J
2
Рис. 8.1. Структур ная схема
синхронизатора АИМ несущей:
1 - согласованный фильт р;
2-
1<вадратнчное устройство: 3-фнльтр
ФАПЧ; 4 - генератор сигн ала; 5 -
ГУН
Xsin i[ffict+Фo(t)]+n(t) - принимаемый сигнал и что z(t) = V2x
Xsin'[ffict+Ф 1 (.t)]-выxoд ГУI--1. То1гда ,вход,ом фильтра ФАПЧ ,на
интервале (l+ 1)Ts<t<(l+2)Ts будет
[AT5X1sinФe(l) + n1 (Z)] [AT8X1CosФe(l) + п2 (l)] =
-
1 A2T;x7sin2Ф,(l)+
2
+АТ5х1sinФе(l)n2(/)+АТ5Х1cosФ,(Z) n1(l)+n1(l)п2(l),
(8.5)
где фаза Фе(!) =Ф 1 (t)-Ф0 (t); lTs<t<(l+ l)Ts предполагается по­
стоянной на каждом Т5 -секундном интервале и где
(l-j -1) Т5
n1 (Z) = J n(t)V2cos[ffict+Ф1 (t)]dt;
IT5
( 1+1) Т5
п2(l) = S п(t)·v:Lsinfffic t + Ф1(t)]dt.
(8.6)
/Т5
236


Лишь первый член правой части (8.5) несет каку ю-то информ а­
цию относительно фазы принимаемого сигнал а. Остальные члены
о писывают шум . Если ширина ~полосы системы ФАПЧ ,мал а ,по
с равнению с 1/Ts (,и это будет, если, как мы ,пред,пола:гали, Ф0 (t) ,и,
с ледователыю , Ф11 (t) и Фе(t) - медленно ме,нюощиеся фу.ющии
времени), то 1вых,о,д ГУН будет O1пре~деляться ,взшеше;нной суммой
бо льшо~го числа входных им1Пульсов . Как .и в § 7.6, ,си гнал на входе
фильтра ФАПЧ может ,быть а1ппро•ксим·ирован усредн,ением ,по х1
.першо,г,о ·ч.т1ена ,в ~правой •част.и ра,ве.нства (8.5). Поэтому эффеашив ­
ная ам,плитуда си,гнала рав'на
d[1
]
А=
-
-
А2Т2 Е (х2) sin 2Ф
=
А2Т2 Е (х2)
еdФе2
5
"
Ф=О
8
'
е
:(8.7}
где предполагается, что Е(х2) ~ Е(х21) не зависит от l {ер. с (5.109)}.
Так как шум n(t) на входе устройства предполагается белым.
то шумы на nхо,де фильтра ФАЛЧ, соответствую щие лю:бым двум
различным ;и1нтер,nалам: lTs<t<(l+I)Ts .и mTs<t<,(m+1~T"'
l=l=m, ,неза,nисимы . А •так жак
Е[nf(l)]= Е[п~(l)]= No Ts и Е[n1(l)п2(l)J = О,
2
,
то автокорреляционная функция шума
!02(1-
~
) 1't 1,;:::: т •
't=
п
Ts ;'
..._,,
s,
О, 1-i: I >Ts,
где
а~=Е{АТ8Х1sinФ,(l)n2(l) +АТ5Х1cosФе(l)n1 (l)+
+ n1 (l)п2(l)}2= А27';Е(х2)~ Ts+ (N;)2Т;.
Та ким образом,
S" (@) - о;} (J~l;,t)•-;•<dС се "'Т,( ''"!)'
2
,
~
2
(8.8)
(:8.9➔
.(8.10}
(8.11~
Как и в случае обычной системы ФАПЧ, схема устройства от­
слеживания, изображенная на рис. 8.1, теперь хорошо аппрокси­
мируется при малых ошибках отслеживания линейной схемой , из0-
б раженной на рис. 8.2. Ширина полосы шума n'(t) порядка 1/Ts , н
так .как ши,рина полосы системы ФАПЧ 1п,ред,полагается малой л0
с равнению с этой величиной, шум, по существу , является белым с
двусторонней спектральной плотностью Sn (О)= а 2пТ8 • Таким обра­
з ом, здесь снова применимы результаты § 5.6. Дисперсия фазовой
о шибки, обусловленная шумом на входе, равна
а~ ~ 2S11 (О) BLJA; •=
BL Т5(1/R' + l/2R'2),
(8.12 ~
237


где R'=А 2Е(х2)Тs/Nо-отношение средней энергии сигнала к спеr<­
тра.1ьной плотности аддитивного шума , а BL - ширина полосы шу­
ма эк1вивалентной системы ФАПЧ, :изображенной ,на рис . 8.2 .
H(s)
l{js
Ри с. 8.2. Функциональная схема
л ин е йной модели синхронизатора,
изображенного на рис. 8.,1
Следует отметить, что сигнал
на выходе отслеживающего уст­
ройства, изображенного на рис.
8.1, может быть либо в фазе с при­
нимаемой несущей, либо отличать-
,
ся ,по фазе на 180° . Эта неодно ­
зна,чность 'В 180° неиз-бежна; оче­
видно, что устройство отслежи­
вания несущей не позволяет при
отсутствии абсолютной опорной
несущей различить сигналы V2Axsin(u>ct+Фo) и V2A(-x)X
Xsin(u> c t+Фo+л). Конечно, существует несколько способов раз­
реш е ния этой неоднозначности. В общем случае либо естественная.
избыточность информационной последовательности, либо избыточ­
ност ь, преднамеренно вносимая для исправления ошибок синхро­
н и за ции кадров или других целей, будут достаточны для того, что­
бы да ть возможность получателю различить правильное сообще­
ни е и обратное к нему . В любом случае, хотя такие неоднозначно­
сти ср азу :же вызывают беспокойство , они редко приводят к серьез­
ны ~, последствиям.
8.3 . Отслеживание фазы ФТ несущей
Пусть теперь принимаемый сигнал представляет собой
ФТ синусоиду, искаженную шумом y1(t) = V2Asin [u>ci+8/ +
+Фo ( t)]+n(t); !Тs<t<(l+l)Ts, где 18 j =2лj/n, j=l, 2, . .. , п-фа­
з а , с одержащая информацию, а Ф0 (t) - фаза, I<оторая должна
бы ть о тслежена. С первого взгляда может пока з аться бессмысл е н­
ноi'r п опытка отслокивать Ф0 (t) , когда 8j 1 также случайная вели-
чиr-r а. Однако, если местная опорная фаза абсолютно стабильна, то
Ф0 р а вна нулю и G.i , может принимать лишь одно из п точно из-
вестных значений. Нестабильность о п орной фазы вызывает расхо­
жд е ние между значениями, которые, по предположению, могут
принимать фазы 0.i 1, и значениями, которые они фактически при­
ним а ют. Други~1и словами, Ф 0 (t) приводит просто к смещению на­
блюд а емых фаз. Если Ф0 (t) медленно меняется со временем, ос­
тав ая сь приближенно постоянной на ряде Т8 -секундных интерва ­
лов. то это смещение , по - видимому, може:г быть отслежено.
Функция p[u;(t) jФ] может быть здесь выражена в виде (ер . с
§ 7.4)
п
р[у1(t)1ФJ = _!5___ ~ ехр{2R[а1(Ф)cosf\+Ь1(Ф)sin81]},
п :.J
j=l
238
(8.13)


где
а1(Ф)j 1 (1+1
>тs
-1sin(u>ct+Ф)j
=-
r y(t) v2
dt.
Ь
АТ, .)
,,. (Ф}
•
/Т
COS(u>ct+Ф}
Оценка максимального правдоподобия величины Ф при з ад а нном
Y1(t), lTs<i< (l+ I) Ts является решением уравнения
дlogeр[У1(t)1Ф]/дФ =О.
(8.14)
/\
Заметим, однако, что любая величина Ф=Ф , удовлетвор яю щая
уравнению
п
~\1[а1(Ф)cos8i + Ь1(Ф)sin8i]" = О,
dФlJ
i=l
также будет решением ур-ния (8.14).
(8. 15)
Для того чтобы доказать это утверждение, вначале р а злож им
экспоненты из (8. 13) в степеннь1е ряды , возьмем логарифм по лу­
чающегося выражения и после диффе р енцирования по Ф полу чим
дlogePfY1 (t) 1ФJ
дФ
р(у1 (t) 1Ф]
(8. 16}
1!
1!
где Fv(Ф) = .I[а1(Ф)cosei +Ь1(Ф)sin0i]v = L[с1(Ф)ei6i+с;(Ф) х
i=I
i=l
х e-iei]v; с 1 (Ф) ~ [а 1 (Ф)- i Ь 1 (Ф})/2, а с; (Ф) комплексно-сопряженная
ве личина . Используя биномиальные разложения для отд ель ны х
с лагаемых, меняя порядок суммирования и замечая, что
п
'1eieiμ = {О,μ=i=О(modп);
~
n,μ = O(modn) _
;:::;имп( : ) Jс1(Ф)lv + п [~ ] (v v μ п) {[с1(Ф)]μ,~+ [с; (Ф)у1"},
2
μ=1
2
(8.17
где {v/n] обоз н а ч ает наибольшее целое число, не превосходя щее
,,f n, а биномиаль н ые коэффициенты ( ;·) полагаются равным и ну-
л ю , если j не является целым числом . Но, как легко прове р ить,
lс1(Ф) 1 не зависит от Фи
d:F•(Ф) ~iп':~
1
μ(v :• •}[с1 (Ф))μ" ~ [ ,; (Ф)]μ"}.
(8.18)
239


Эта сумма, очевидно, равна нулю, если сn1 (Ф) =[с* 1 (Ф)]n, т. е. если
.(d/dФ)Fv (Ф) =0 для v=n. Таким образом, если
(8.19)
v-нечетные
то числитель (8.16) равен нулю, и уравнение правдоподобия удов­
летворяется, что требовалось доказать.
Если ·на ,ИНтерв.але lTs<t<.(l+ 1) Ts 1п,ри.нимается сигнал y1(t) =
= V2ATssin(w~t+0 , -+Фa)+n(t), то
а1(Ф)= c_os Ф1'+n1; }
Ь 1 (Ф)=sшФ +п2 ,
(8 .20)
где Ф'=Фа-Ф+0г~ Фе+0,. и
n1]
1 и+ 1 >тs _(sin(wct+Ф))
=
-
r n(t)J/ 2
ldt.
ATs
.J
j
n2
lT5
cos (roct + Ф)
Та ким образом , с1 (Ф) = (е-iФ'/2) +m1; с* 1 (Ф) = (еiФ'/2) +т2 , где
т1 = (n1-in2)/2; tn? =m*1 и
• 2Е{п'Ф)r*(Ф)п}-п2
•
Ф'- п2
•
Ф
821
)n
с1 ( -~Cl
] - 2n-l S!Пti
-
2n-l SШn е•
(.)
Из равенства (8.21) следует , что один из корней функции, стоя ­
щей в левой частн (8.15), в действительности представляет собой
несмещенную оце1;ку величины Фа. Кроме того, знак математиче­
с кото ожидания этой функции будет положительным, . когда оценка
Ф величины Ф0 меньше, чем Фа, и отрицательным, когда Ф превы­
:шает Фа при IФо-Ф \ ,:;;;;_л/п. В соответствии с этим, если как вход
для ГУН использовать саму эту функцию после соответствующей
фильтрации, то получающееся в результате устройство будет спо­
собiно отслеж.нвать ,фазу лр,И:н:имаемой .несущей. Эти с·истемы отсле­
:;.кивания ,фазы ФТ .несущей показаны 1на рис . .8.3 для n= ·2, 3 и 4.
Имеются, конес.но , 2п-1 других значений Фе, для которых ма­
тематическое ожидание (8.15) равно нулю . Математическое ожи­
дание второй прои зв одной этого уравнения отрицательно для п - 1
из его решеню"~: они определяют все п возможных точек захвата .
То же самое буде т, если ·ис,пользуется ,формула оценки .максималь­
н ого правдоподоби я, поскольку, ~,ак уже было показано, любое ре­
ше ние (8.15) яв.ТJ?"ется также решением уравнения максимального
правдоподобия. Н а самом деле эта п-кратная неопределенность,
оче видно, являетс н неизбежной, если несущую нужно выделить не­
посредственно и з моду лированного сигнала 1>.
1 ) Сюда в равной ме ре относятся те замечания, которые были сделащ,1, от­
нос ительно аналогнчноi'1 задачи в предыдущем параграфе. Имеется еще другой
мет од решения этой зада чи для дискретных систем; он состоит в разностном
r<ади ровании информаш111 , т. е. в представлении информации в виде изменений
меж ду соседними сим полами, а не с -помощью самих символов (ер. с § 12.6).
(Пр~и,1, авт.).
240


Эти цепи отслеживания несущей яв л яются подопти м ал Ы! ЫМИ
тольк о вследствие того , что математические ожидани я п р оиз в од­
ных в ур-ниях (~ .14) и (8.15) не обязательно рав н ы . Поэтому
а)
!/(t )
2
J
1/
2
2
3
t;
5)
J
2
Ри с . 8.3 . Структурные схемы синхронизаторо в
ФТ несущей:
а) бифазный случай; б) трехфазный случай :
в) четыре хфазный случай
1 - t: оrла с ова111-1ый фильтр; 2 - выбор1~ а н з апомш,а ­
ние; 3- ГУI--1; 4-фильтр ФАПЧ; 5- поворот фазы 110
90°: 6 - возведение в квадрат; 7- вOJнсде11не в 1<у6
действ ите .,1ьная оценка максимального правдоподобия могла бы
иметь ме ньшую дисперсию . Тем не менее, когда отношение сиг­
нал / ш ум R=AZТ)N 0 мало, разложение в (8 .16) хорошо аппрокси­
миру ется с помощью лишь п ервого ненулевого члена. В этом слу ­
чае обе ф ормулы оценок, по существу, то:ждественны . Поэтому
форм ула оценки, основанная на функции из (8.15), асимптотиче­
с ю1 оп тим альна при R-+O. Более того, как будет показано, та же
са мая фо рмула оценки оптимальна также в другом крайнем слу­
чае, когда R-r=.
Анали з ха,рактеристик этих -систем ,проводится так же, как с,о­
о тветс тву ющнй анализ с·истемы отслеж.и,ван,ия ФТ несущей . Дис­
п е рси я фа :зы в сл у чае, когда ширина ·полосы шума эшви1валентной
с н·стел1ы ФАПЧ В 1, :-1ала 1по с,равненюо с 1/ Ts,
а~= 2а;; BL Т5/А~,
(8 .22)
rдс а;, = -n4 [E{ с7 (Ф)-[ с; (Ф)J1} 2 - Е2 { с7 (Ф)-[ с; (Ф)]п}] -- дис-
241


персия сигнала на входе фильтра цепи и где А1 - эффективная
амплитуда сигнала. После некоторых преобразований можно при­
вести дисперсию шума а2п к виду
п
2-
п' '1(п)2k' 1
0п- 22п-з~ k
•Rk •
(8 .23)
k=I
Из ф-лы (8.21) получаем
с игнала
также, что эффективная амплитуда
4=
-
--sшпФ
=
--
dfп2•
}
пз
-
е dФеl2n-l
еФе=0
2n-l
•
Таким образом,
ВLTs ~п(п)2 1
о2=
--
k!-
.
Ф
п2
k
Rk
k=I
Когда ,R велик,), получаем
(J~ ~ NOBL;A2 .
(8.24)
(8.25)
(8.26)
Так как это выражение представляет собой дисперсию фазы в от­
сутствие какой-либо модуляции, то, очевидно, дисперсия представ­
ляет с,обой •оп тималь.н ую характерист,и,ку, воо6ще достижимую н а
1,аком - либо уст р ойстве отслеживания фазы несущей. Это подтвер­
ждает, что оп иса.нные системы асимлтот,иче,с1к.и оптималыны ,при
R-+oo. Они также оптимальны, когда R мало (если и BL доста­
точно мало), и в этом случае
2
ВТп!1
(J~
-
-
Ф
Lsп2Rn
(8.27)
Очевидно, что такие системы 1прЕщст,авляют пра.ктический инте ­
рес только для малых з,начений п, если R .не является относитель­
но большим.
8.4 . Отслеживание фазы несущей при большом
отношении сигнал/шум
Хотя только что ~рассмотренные системы ,отслежи.вания
асим1птот.и•ч,ес1ш о.п ти.мальны R-+oo, сущест:вуют уст,ройства, .кото­
рые . могут 1в не1юторых случаях им-еть лучшую ха,ра·ктеристику,
когда R велико , но конечно . Один из методов улучшения харак­
теристик состоит n ис п ользовании аналога (7.4) как функции, на
основании которой строи тся решение, т. е. в использовании функ­
ции
max ехр!-1 (l+r T\2y(t)xj(t, Ф)-х7(t, Ф)]dtl.
(8 .28)
1
NoJ
ITs
242


Этот метод, который называется обратной связью от решающе­
го устройства, зак.тrючается в определении вначале наиболее прав­
доподобного символа и последующей попытки оценить или уточ­
нить оценку фазы несущей.
В качестве примера рассмотрим еще раз ФТ систему из преды­
дущего параграфа. Если R велико и j 1 является значением j, мак­
симизирующим (8.28), то
(1+1) Т5
I
No д]оgе"Р[У1(t)[Ф];:::::; r y(t)"V2cos(w t+e- +Ф)dt.
2А
дФ
)
с
11
1'т5
(8.29)
Это соотношение приводит к схеме устройства (рис. 8.4), кото­
рое отличается от обычной системы ФАПЧ лишь наличием фазо-
вращателя, управляемого выхо- Jrt)
жка на Ts секунд необходима в
J
ц_
.
силу того, что нужно принять весь
символ прежде, чем вынести ре-
дом приемника символов. Задер- ~
1
'
2
__
х:-х 1
шение относительно его фазы. За-
-------~
тем это решение используется для Рис. 8 _4
_
Структурная схема сннхро­
изменения выхода ГУН так, что- низатора ФТ несущей с обратной
бы сформировать функцию, опре- связью от решающего устройства:
деляемую ф-лой (8.29). (Интегра- 1-приеш, нк символов: 2-задеrжка " "
тор может быть исключен, так т; • с; 3 - ГУН; 4 - Фильтр ФАПЧ; 5 -
фазовращате л ь
1<ак он ни на что в действитель-
1-юсти .не ·влияет, если, как 1предюолагалось, ширина ~полосы систе­
:-v1ы ФАПЧ В1, мала по сравнению .с 1/Ts.)
Если приемник символов всегда принимает правильное реше­
ние, то ха ракт ериLТика этого устройства совпадает с характеристи­
ЕОЙ системы ФАПЧ, имеющей тот же входной сигнал (но с немо ­
дулирова нной фазой) и имеющей тот же фильтр ФАПЧ. Влияние
неправиль ног о решения относительно символов состоит в сниже­
нии мощности сиr-нала на входе и в увеличении мощности шума.
Предполо:жим, что принимаемый сигнал имеет вид y 1(t) = 1/ 2А Х
Xsin(wct+0r+Фo) и что лрле:vrн.ик выбирает фазы е•. Тогда обус­
ловленная сигналом низкочастотная компонента на входе фильтра
ФАПЧ в течение следуюших Ts секунд будет равна
Acos0esinФe + Asin0ccosФe,
(8.30
где Фе=Ф 0-Ф; Ф - текущая фаза ГУН и 0c=0,--0s. Первое сла­
гаемое здесь является желаемым сигналом, амплитуда которого
уме.нь:шена в cos 0е раз; вто,рое слжаемое характеризует шум. Лег-
1ю показать, что этот шум будет некоррелирован с аддитивным
шумом
(8 .31)
Рассматривая коррелятор с наибольшим выходом, отметим, что
на этот выход в приемнике символов шум - влияет лишь через по-
243


средство члена -v2n(t)sin(шct+0s+ Ф ) , который не завис ит от
n1(t) . Выходы других корреляторов, конечно, не являю тся неза ви­
симыми от п 1 (t), но вклад этих выходов, обусловленны й n1 ( t) , мо ­
жет с равной вероятностью принимать любой знак так , ч то р езуль­
тат не изменяется . Более т0го, некоррелированными так же яв ляют­
ся импульсы шума Asin Hecos Фе, соответствующие .r:rю бым двум
различным интервалам символов. Та;<им образом, когда В L <f;:_ 1/Ts,
этот шум добавляет лишь r<оэффициент
о2 Ts
(8.32)
к низкочастотной спектральной плотности шума, где (J2 =
=А 2Е {sin20ecos 2Фe} :=:::::А 2Е {siп 20е}-
Так как средння амплитуда сигнала уменьшается в Е (cos 0е)
раз, то дисперсия фазовой ошибки на выходе ГУН при ближ енно
равна
(8.33)
Самой распространенной ошибкой при больших о тноше ниях
сигнал/шум R явлнется выбор фазы , ближайшей I< прави льно й фа­
зе. Таким образом , для п-фазовой ФТ 10е [ =2л/п с боль шой веро­
ятностыо и
Е2(cos0е);::::::: [I- (1- cos 2:)Рег ;
Е (si11 2 0е) ;::::::: ( sin2 2: ) Р:,
где Ре - вероятность ошибки в символе.
(8.31)
Тот же метод нрименим так же, когда для модуляции исполь­
зуется ортогональная ЧТ или ВИМ . Фазовращатель н а ри с . 8.4
должен быть заменен устройством сдвига частоты или строб ирую­
щим устройством соответственно. Так как сигналы ортогонал ьны,
то при ошибочiюм решении относительно символа шум будет оста­
ваться неизменным, а сигнал полностью устраняется . Та ким обра­
зо·м, д.иопе,рси•я фазовой ошиiб.ки так,ой системы
(8.35)
где опять Ре - вероятность ошибки в символе. Это, коне чно, пред­
полагает наличие близкой к идеальной символьной синхр ониза ции ,
позволяющей устранить символьную модуляцию до того , как сиг­
нал 1посту,пит на ·вход фильтра ФАПЧ .
Одним из возможных недостатков описанного метода явл яется
требование задержки на Т., секунд . Если выход приемни ка с имво­
лов можно использовать для получения оценки текущего наи более
вероятного принимаемого символа в каж,цый момент вр емен и, то
эту задержку ~,южно вообще исключить. В случае двои чной ФТ,
например , оценка максимального правдоподобия символа , лрини-
244


маемого в любой момент времени t, описывается знаком выхода
коррелятора в момент t, т. е. функцией
t
s (t)~sgn .\·у(t)V2sin(roct +Ф)dt; !Т5< t< (l -f-- ])1'5 •
(8.36)
IT5
Та!{ИМ образом , когда используемым типом модуляции является
двоичная ФТ, задержку в устройстве, изображенном на рис . 8.4,
можно устранить, а фазовращатель заменить на умножитель , име­
ющий в качестве одного входа выход Г~1Н, а в качестве др у гого
входа - функцию s(t).
Очевидно , что это модифицированное устройство будет хуже
устройства, имеющего задержку, так как начальные оцен ки s(t}
будут неверными с вероятностью, близкой к 1/2 . Дисперсия фазы
в обоих случаях будет задаваться ф-лой (8.33) при E(si112.0 e) =0,
E2 (cos·0e) = (1-2Pr.) 2. Для цепи с задержкой Р0 обозначает вероят­
ность ошибки в символе. Для модифицированной цепи Р0 обозна­
чает процент времени, когда s(t) имеет неправильный знак , т. е.
Т5
[2R (1/Т5)]1/2
1
11\''
.1· е-х'/2 dxdt =
Ро=2 -TsV2n.
о
о
(2R)l /2
=2-V~n
J(1- 2
~) e-x'12dx = +-+(1- 2
~
)erf (R 112 )-
o
l
-R
(8.37)
2n112 R112 е
Следовательно,
(1-2Ро)2 = [(1- 2 ~ )erf (Rl/2) + Rl/21nl/2 е-lт;;:::;;
! 1, R»I;
;;:::;; _!.о_ R R « 1
(8.38)
9n'
-
и
I
BLTS-1
, R»1;
ai;;:::;; BL Ts {R (1 ~ 2Ро)2};;:::;; 9n В TR _1 _
R~J.
•
16LsR2'
(8.39},
Для цепи отслеживания с задержкой при двоичной ФТ имеем
(2R)l/2
р= _1
__
1_ s e-x'/2dx=-21 (I-erfRl/2)
е2
V2n
(8.40)
u
R» I;
(8.41}
R«1.
245


Оба эти выход::, не учитывают эффекты второго порядка, кото­
рые в действительности приводят к более быстрому ухудшению
х.арактеристики спстемы при уменьшении отношения сигнал/шум
R. При определенни Р0 и Ре считалось, что опорная несущая точно
известна . Однако при уменьшении R опорная фаза несущей будет
становиться все менее и менее точной, приводя тем самым к умень­
шению эффективного отношения сигнал/шум на входе и, следова­
тельно, к дальнейшему увеличению Ре и Ро. Тем не менее, если
, (iJi достаточно мала, то этот эффект будет фактически оставаться
пренебрежимо ма.л:ым, и приближенные выражения (8.39) и (8.41)
будут давать бли:Jкие к истинным характеристики этих систем.
8.5 . Система Костаса и квадратичная система
Все методы отслеживания фазы в предыдущих парагра ­
фах предполагали предварительное установление символьной син­
хронизации. Эта операция в действительности не столь существен­
на для ха,ра,ктеристики системы огслежи1Вания. В худшем случае,
к оrща сим,вольная синх,р·онизация имеет ,ошибку в Ts/2 секунд, сред­
няя а,мллитуда сипrала на ,входе фильтра системы уменьшается
л ишь в два раза, ;1-1а,пример, для ФТ 1и АИМ (когда раоп,ределение
а мплиту,ды символа симметрич,но отно,сительно нуля). Поэтому
ди.с1п,ерсия фазов-ой ошнб1ш у,величивается самое ~больrшое ,в четыр,е
раза ,пр·и отсутсТ1в.и:и с·им·волы-rой синх,рониза;ции.
В этом параграфе, однако, будет показано, что можно получить
даже меньшее ухудшение характеристики, когда символьная син­
хронизация не осуществлена, если устройство отслеживания стро­
ится без предположения о наличии этой информации. Метод состо­
ит лр,осто в замене интеграто,р,ов .в систе,ме фильтрами нижних ча­
с тот. Так как л.ишь для этих интеграторов требуеrея си.м,вольная
!J(I =
•
+n(t)
-
---~
(i!J)
2
синхронизация, то изм~ненная си-
стема '6уд:ет абсолю-гно незав,иси­
мой ·от этой инфор,мации . Хотя
тот же ;подход может быть ис­
;пользо·ван для ~всех систем из
§ 8.3, ,ниже оr:ра.ничимся лишь с,и-
Н(i,,;)
стемам:и для АИМ ,и двоичной ФТ.
р85с
Эти д,ве системы ·идентичны л
нс. . . трукт у рная схема цепи
Костаса:
имеют ,вид, изо.браженный ,на рис.
1 - ГУН; 2 - Фи л ьтр Ф Л ПЧ: з - поnо- 8 .5, когда интеграторы зам-енеиы
рот фазы на 90°
ф
Э
,ПрО,ИЗВОЛЬ,НЫМИ ' ильтра.ми .
то
устройство часто называется систелюй Костаса . Эта система может
быть исследована методом, который во многих чертах совпадает с
использованным для обычной системы ФАПЧ. Пусть принимаемый
сигн;1л имеет вид y(t) = Y2A(t)siп[wct+Фo(t)]+n(t). Тогда сиг­
нал на выходе верхнего фильтра (рис. 8.5) может быть записан в
виде A1(t)sinФe(t)+n1(t), где A 1(t) - результат фильтрации A(t),
Фе (t) =Фо(t)-Ф1(f) и где n1(t) - профильтрованное произведение
'24{3


n(t) }12cos[ffict+Ф1(t)]. Аналосично сигнал на выходе нижнего
фильтра имеет вид A1(t)cos Фе(t) +n2(t), где n2(t) - профильтро-
ванное произведение n(t) V2sini[ffict+Ф 1 (t)]. Если эти -фильтры
ши,ро'Кошолосны ,п,о отноше,нию к ,ширине ~полосы системы BL · (и
так как ширина ,полосы фильтр,ов будет 1по,рядка l/Ts, •это ,пред1по­
ложение совпадает со сделанным ,в 1Предыдущем пара,r~рафе), то
результаты § ,5.5 применены здесь в р.авной мере . В •частности.
отождеС'ГВЛЯЯ V2щ(t) с n'(t) из (5.,53) и ·v2n1(t) с n"{t) из того
же самого равенства, получаем, что n1(t) и n2(t) - независи-мые
совместно гауссовские процессы и с точки зрения осталыной части
цепи, по сущестJу, белые. (То есть Е {n1(t)n1(t+т)} =Е {n2(t)n2(t+
+т)} ;:::;О для т~ l/B11, где В11 обозначает ширину полосы шума
каждого из фильтров.) Более того, так как Фе(f) - медленно ме­
няющаяся функция времени (т. е. так как ширина полосы uепи
мала), то n1(t2), по существу, не зависит от Фе(t 1 +т) и, следова­
тельно, также от А 1 (t 1 +т) при t 1 ~t2 и т~ 1/Вт, l[и аналогично для
n2(t2); см. § 5.5]. Таким образом, находим, например, что
Е{n1(t)n1 (t +т)А1(t)sinФе(t)А1(t +т)sinФе(t +т)};:::::;
fЕ{n1(t)n1(t+т)}Е{А1(t)А1(t+т)sin2Ф2(L)}, т« 1/BL;
;:::::; ) E{n1 (t)A1 (t)sinФe(t)A1 (t + т)sinФe(t +т)}E[n1 (t+т)J =0: т'?:;> 1/В,.,,
(8 .42),
и если B 11 ~BL, то имеем
Е{n1 (t)n1 (t+ т)А1(t)sinФ;(t)А1(t + т) sinФе(t +т)};:::::;
;:::::; Rn, (т) Е {А1 (t) А1 (t + т) sin2 Фе (t)}
для всех т.
(8.43}
Используя (8.43) и аналогичные аппроксимации для других
математических ож:иданий того же самого вида, приходим к сле­
дующим выводам:
1) Сигнал A 21(i)sin Фe(t)cos Фе(t) = _!._А 21 (t)sin 2Фе(t) на выхо-
2
де фильт,ра ФАПЧ не коррелирован с шумом п' (t) = ,n1 (t) А2 (t) Х
Xcos Фе(t) +n2(t)A2(t)sin Фе(t) +n1(i)n2(t) на этом входе.
2) Автокорреляционная функция шума Rn' (т) может быть вы­
ражена в виде
Rn' (т) = R,,; (т) Rл, (т) + R~. (т),
(8.44)
'
где R,,. (т) =R,,, (т) =Rn2 (т) и, конечно, Rл, (т) =E{A1(t)A1(f+т)}.
На~онец, опять-таки, из-за того, что ВL << l /Ts, амплитуда сиг-
1-rала на ,входе фильтра ФАПЧ может 'быть а,п1прокс:ими,ро-вана сред­
ним значением, как в § 8.2. В соответствии с этим, если Фе(t) ос­
тается :малой, систе.ма -отслежива.ния (см. ,рис. 8.5) .хорошо а1ппр,ок­
сими,руется обычной линейной .моделью системы ФАПЧ (ер. с
рис. 8.2), ,входом .которой я·вляется функция Фа(t) +n'(t)/E{A21(t)J-
247


Поэтому диоперсия фазовой ОIШИ6К,И, оrбусло,вленной ,амит.и.вным
шумом, пр:и,бли женно равна
а2= 2BLSn,(0)
( 8.45)
Ф Е2 (А~(t)] '
где BL - ширина полосы шума линейной модели цепи; из (8.44)
получаем
00
00
00
Sп,(0)= sRn,(1:)d1:= SSA,(f)Sпi(-f)df+ SSn;(f)Sпi(-f)df.
-оо
-00
-со
(8.46)
Но
00
A1 (t)= Jh(1:)A(t-1:)d1:,
(8.47)
о
где /1(t) - импульсный отклик фильтров, стоящих перед умнтки­
телем. Следовательно, если Sл(f) - спектральная плотность про­
цесса A(t), то
00
E[Af(t)] = JSл(f) I H(i2лf)\2 df.
(8.48)
-00
Аналогично, когда n(t) - белый шум с односторонней спект ­
ральной плотно~·тыо N0, то
~п/f)= N; 1Н(i2nf)12;
(8.49)
00
00
Sп, (O) =N; SSA(f)\H(i2nf)\4 df+(;)2
s \ N(i2nf)\4 df.
-оо
Таким образом ,
{
00
00
1
JSA(f)[J-i( i2nf)[4 df+3⁄4- j'tf-f(i2nf)[4 df 1
о;,~N,A1
l
1
-00
-оо
(8.50)
(8.51)
Считается, , что о,птималыный фильтр H1(iw) - это фильтр, кото­
рый минимизирует о~. Но минимизация о~ эквивалентна мини­
мизации числителя в (8.51) при условии, что знаменатель остается
постоянным или, что более удобно, остается постоянным корень
квадратный из зн.:,менателя . Таким образом, требуется найти ча­
стотную характеристику Н (iw), которая минимизирует выражение
24R


со
S{[SA(f) + N0/2]1f-1 (i 2:rtf) J4 - ~SA (f) 1J-i(i2:rtf)J2} df =
-оо
= s"' {[Sл(f)+N0/2]Г\i--J(i2nf)\2 - лSл(f) J-
12
-
l
2[Sл(f)+(N0/2)]
.
-00
1
л,2 s~ <f)
}
-
4[ Sл (f) + (N0/2)] df.
(8.52)
Этот интеграл, очевидно, достигает своего минимального значения,
когда
1Н(i2nf)\2 =
(л/2) sA (!)
(8.53)
SA (f) + (N0J2)
Это и есть частотная характеристика оптимального фильтра .
Так как (8.53) является условием, относящимся лишь к IH(i{J)) /2 ,
то Н ( i,ro ) может, очевидно, описывать физически реализуемый
фильтр. Постоянн2.я л/2 произвольна , так как она не влияет на
отношение (8.51). Когда Н (iro) определяется согласно (8.53), это
отношение будет равно
NoBL
и~= ---------
joo.
s~ (f)
-(7.)
df
Sл (f) + (No/2)
(8.54)
Для АИМ пли двоичной ФТ с прямоуголь ными импульсами
спеюр процесса A(t) имеет вид
S (f)=рТ(sinпfTs)2
(8.55)
А
ss
п fTs
,
где Ps - средняя мощность принимаемого сигнала. Хотя общее
выражение для а~ довольно громоздко, если спектр SA(,f) задает­
ся равенством (8.55), легко найти его асимптотические выражения
при больших и малых отношениях сигнал/шум. Если No/2~SA(if)
(для всех f, для которых вклад SA({) в общую энергию сигнала
является существенным) , то
и~~ N0BL/Ps = BL T 5JR,
(8.56)
где R=P8 T 8 /N0 . Это выражение (между прочим, не зависящее от
спектра сигнала) описывает дисперсию фазы, которая имела бы
место в отсутствие какой-либо модуляции. В другом крайнем слу­
чае, когда No/2»SA(f) для всех f, имеем
а2~
Nl BL
ЗNl BL
3 BLTS
(8.57)
-
--•
ф~
со
4Р~ Ts
4R2
2
sS~ (f)df
-СО
249


Дисперсия Фазовой ошибки, которая получается при использо ­
в ании систем предыдуще,го па,ра1графа для АИМ и двоичной ФТ,
как было ,по.казана, равна
rd~ = BL Ts(1/R+ l/2R2).
(8 .58)
Таким образом. когда R велико, характср11сп1ю1 11 :JrIIX .111ух.
сJJучаях почти сов п адают; когда R мало, ..1 1 1с п ерс 11 я с: 1 сто1L1 Кос­
тас а больше в 3/2 ,раза . В качестве ,последнего с р авнения аце;ним
чу1вствительность системы к леоптимальному выбору фильтра
Н '( i>ffi) ; 1Пред1положи•м, ,что выб~рали
1
1'
f1 (i 2:лf) =
о,
1
\f\ < Ts;
lfl> )s.
(8.59)
1/Ts
т
рт \ (sin11fTs )2df~Ps,
о:гда, так как s s
---
.-
то
.
nfTs
-1/Т5
0'2 ~ BLNo(Ps+No/Ts)=ВТ(_!_+ _1_).
ф
р~
LS,R
R2
(8.60)
Можно п олучить интересное видоизменение этого метода Костаса
для о клежива,ния фазы. Пусть y(t) rбудет ,входом си-стемы Ко·ста ­
са и ,пусть h(,f) обозначает им.пульс,ный отклик каждоrго из .ri,вyx
фильтр-о·в, стоящих 1пе,ред ум.ножителями . Тогда ~выход ,ве-рхне~го
фи л ьтра
~
JУ(т)V2cos[fficт+Ф1('t)]h(t- т)dт.
(8.61)
-со
I-Io так как этот фильтр , по предположению, считается широко ­
поло с ным 011носительп-10 шир.ины ;полосы системы, то ,Ф1{t) ;:::::;Ф(t)
для всех т, для которых значения h(t-т) не являются пренебре­
жимо малыми. Таким образом, выход верхнего фильтра может
быть з аписан в виде
(J~y (т) cos (J)c-r h (t- т) d-r) V2cos [Ф1 (t)J -(j00у (т) sin со ст /i (t -
-
- r)d-r) V2s i n[Ф1 (t)] ~ У (t) -V2cosФ1 (t)- Х (t) V2siпФ1 (t). (8.62)
Аналогично выход нижнего фильтра равен
у(t)V2sinФ1(t) +х(t)v2cosфl(t),
(8 .63)
250


так что ,входом фильтра ФАПЧ ,будет
[У2 (t) - Х2 (t)] sin 2Ф1 (t) + 2Х (t) У(t) cos 2Ф1~(t).
(8.64 )
Рассмотрим теперь в момент t квадрат выхода фильтра, имею­
щего импульсн:,1й с,тклик h(t)cos ffict :
(Iу(т) h(i-т)cos[ro,(1-т)Jdт)' ~ +[X'(I) + Y'(l)J+
+_I[У2(t)- Х2(t)]cos2шсt+х(t)у(t)sin2roct.
2
(8 .65)
Если этот сигнал умножить на 4sin2[roci+Ф 1 (t)], то полученное
ни:з.кочастотное слагаемое ~будет задаваться соотн,оше.нием (8 .64).
Таким -образом, друrгой . реали.за,цией системы Костаса, ,назы­
вае,мой квадратичной цепью, является та, которая изображена на
рис. 8.6. Так как сигналы ошибок в обеих цепях одни и те же, то
Рис. 8.6 . Структурная схема квадра- !}~
1
~
-
5х :-
тичной цепи:
-
-~
1 - полосовой фильтр; 2 - квадратичное
устройство; 3 - фильтр ФАПЧ; 4 - ГУН;
5 - умножитель на 2
они дают одинако.вые 01пор,ные 1н-есущие. Выбор .между этим.и д,ву­
мя устройствами производится исключительно с точки зрения про­
стоты реализации, которая, в свою очередь, зависит от частот и
ширины полос рассматриваемых устройств. То же справедливо,
когда h(t) является характеристикой согласованного фильтра, при
этом h(t)cos ffic(t) будет представлять некогерентный согласован­
,ный фильтр. Поэто.му олтимальные системы отслеживания :несущей
для АИМ и двоичной ФТ из § 8.2 и 8.3 также могут быть реализо ­
ваны ка.к кваtдратичные системы. На.конец, ,О1чевид1ным обобщением
э·юго ,рассуждения можно ~показать, чт,о сист-ема отслеживания ,не­
сущей для п-ичной ФТ из § 8.3 эквивалентна системе п-й степени .
В 1по,следней за фазовонекогерентным согласо,ва:н1ным фильт.ро.м
включается ус11ройство, ,возв-одящее в п-ю сте1Пень, а его выход от­
слеживается обычной С'истемой ФАПЧ (с умножител·ем частоты
в п ,раз, .включенным .после ГУН).
8.6 . Отслеживание символов, имеющих
«тонкую структуру»
При.н.ц.и,пиальное отличие дис,персий ,ошибо·к отслежива­
ния в цепях отслеживания сим~волов, 01п,исанных .в rгл. 7, от дис.пер­
сий в системах ,отслеживания несущей, рассматриваемых .в этой
главе, с-о-стоит в том, что 1по,следJние относительно :независимы от
символьных статистик. Эта неза,висимость ·воз.никала из-.за то1Го,
ч т о частота несущей п,редлолаrгалась большой 1по сра~в1Нению с об­
ратной величиной , лериода с;и.мвола. Таким образом, каждый сим­
в о л состоял из м,ногих ,периодав несущей, и .к0,ррелЯ1ция между
251


местной 01порной несущей ,И ~принимаем-ой несущей, вообще ГОВО1ря,
не за ,висела от относительно :редк,и.х ~переходов символа.в. Систе.мы
.отслежи.ва1н:ия символов в rп,ротиво.положность этому лсшользовали
частично (или 1пол,ностью, ка,к ·в случае ,прямоу~гольных им,пуль·сов)
наличие ~переходов ·сим1волов 1при формировании си1г,нала ошибк'И.
E c.rrи не использовать переходы символов, то преимущества оче­
видн ы, в особенности, когда последовательные символы не явля­
ются ста тистически независимыми. Для реализации этого преиму­
щест вз следует придать символам «тонкую структуру», подобную
той, которую имеет несущая. В частности, можно допустить, что
,,-й символ имеет вид x..,(t)a(t), где xv (t) определяется так же, как
в гл. 3 и 4, и зависит от вида модуляции, а a(t) задает тонкую
структуру. Здесь мы будем предполагать, что сигнал a(i) имеет
период Ts, равный периоду символа. Если бы период a(t) был
мень ше, чем Т,, Т() тонкая структура могла бы быть отслежена без
помощи однозначЕо устанавливаемой символьной синхронизации,
и введение этой структуры потеряло бы во многом свой смысл .
Системы ,от,слеживан:ия, расомотрен.ные ,в § 7.6, в ~равной мере
можно исшо льэо.вать и тогда , ~когда символы имеют вид Xv(t) ,a(•t).
Со1гл ас•о1ванные фильтры, ,ко.неч:но, должны теперь ~быть согласо­
ваны с этими измененными символами. Один из методов рса ­
.11 изац ии этой модификации иллюстрируется рис . 8 . 7а для ко ­
герентной АИМ и двоичной ФТ и рис. 8.76 для некогерентной АИМ
и недвоичной ФТ. Так как сигнал умножается на a(t) до того, как
он проходит через блоки, названные «согласованным фильтром»,
то эти фильтры СОl'ласованы с импульсом, который наблюдался бы
в отсутствие тонкой структуры.
Здесь также можно использовать методы анализа характери­
стик сис тем, ,ра.звитые в § 7.6 . Дисле:рсия (,в радианах ,в квадрате)
ошибк и отслежив а ния
2Sn (О) BL
(J~r ,::=::::;-- ~- -
A;
(8 .66)
гдеАе=
-
1 ,~Е {~(-r+~)
-~
(-r-~)}. /
и S,,(O) =
2л дт
2
2
,'t=O
лz(Лt• -
лt/2) при Л2(и,t) = Jim -1 var[~(t)- ~(t+и)] [ер. с
Ts
м-оо М
равенствами (7.74) и (7 .84)]. Функция
~(t) обозначает (нормиро­
ванный) выход ывад,ратичног,о устройства системы (р•и.с . 8.7) в мо ­
мент t.
Т ак как цель введения тонкой структуры - сделать сигнал
ошибки, по существу , ,неза,висимым от сим·в олы-1ых статис1ик, то
можно предположить, что функция a(t) такова, что эта цель до ­
стю·нута . В соответствии с этим среднее и дисперсия случайной ве­
личины ~(t) определяются так же , как в ·§ 6.6 [равенства (6 .74) ,
(6 .7.5 ) при ~v = rU=v.ЛT)], и являются фующиями лишь отношения
сигнал /шум и авттсорреляционной функции p(-r) процесса a(t).
252


Чтобы преобр азовать равенство (8.66) к более удобному виду,
предположим, что cr(t) является псевдошумовой последователь•
ностью с периодом Ts и с длительностью бита ,Лt= Ts/n. Тогда
т.
I-n+I~ J.-J<Лt·
п лt,
,
r (.-) =s·а(t)cr(t+т:)dt=
о
п
Рис. &.7 . Структурные схемы устройств отсл е­
жII13а11ш1 символов, IIMCIOЩJIX тоIIкую струЕ­
туру:
а) когерентный случай; 6) некогерентный слу­
чай
1 - cor.rt3coвaнныii фнльтр; 2 - l{Вадратнчное устрой­
ство; З - выборка и за поминани е; 4 - генератор сиг­
на л~: 5 - ГУН; 6 - фильтр ФАПЧ; 7 - некогерентны,'i
соr;1.1сован11ы ii фи льтр; 8 - ,~ва драп1 (шый дстс1,тор
огибпющеИ
и для боль ших п имеем
02 = 211:2(~)2(-1 + ..::О..) В Т
Ф
Ts
R
R2
Ls,
где
R = {А2Е (х2) TsfN0 для АИМ [ер. с (8. 12)];
A2TsfN0
для ФТ;
{ 1 для когеренrной АИМ и двоичной ФТ;
Со = 2 для некогерентной АИМ и недвоичной ФТ.
(8.67)
(8.68)
253


Эта дисперсия выражена в радианах в квадрате ( 2л рад соответ­
ствуют Ts секундам) .
Заметим, что корень квадратный из среднеквадратической
ошибки отслеживания не только не зависит от символьных стати­
стик [исключение составляет член Е(х2) в случае АИМ], но и про­
порционален множителю (Лt/Ts). Это очевидное преимущество ис ­
пользования длинной последовательности полностью сводится, од­
нако, на нет гем, что допустимая ошибка отслеживания умень­
шается в то же число раз из-за наличия последовательности. Бо­
лее того, так как :::.ффективная амплитуда сигнала Ае увеличивает ­
ся, когда добавляется последовательность, ширина полосы цепи
BL также, по-видимому, должна быть увеличена из-за ее присутст­
вия (см.§ 6.3). Часто наиболее важным ограничением на длину
последовательности является, однако, ограничение на ширину по­
лосы; ширина полосы, которая требуется для того, чтобы вместить
модифицированные символы, увеличивается в Ts/,Л,t раз. Так как
это отношение должно быть разумно большим для того, чтобы
тонкая структура была эффективной, то вопросы расширения по­
лосы при этом подходе, вообще говоря, приводят к наиболее
серьезным проблемам.
Этот метод введения тонкой структуры в поток символов для
целей синхронизации легко обобщается на случай, когда требуется
синхронизация бо::ее высокого порядка. Если a(t), например, яв­
ляется псевдошумовой последовательностью с периодом kTs, то
отслеживание это1'1 последовательности в приемнике приводит к
определению одной единственной точки в каждой последователь­
ности k символов. Если отношение Ts/,Лt поддерживается большим,
то ошибка отс.тrеживания будет по-прежнему приближенно зада­
ваться равенством (8.68). Причина, по которой этот результат яв­
ляется лишь прибJiиженным в рассматриваемом случае, состоит в
том, что те п ерь фильтры, стоящие перед квадратичными устрой­
ствами, согласованы только с отрезками полной псевдошумовой
последовательности. Таким образом, сигнал ошибки определяется
не автокорреляционной функцией (8.67) (в силу того, что Ts боль­
ше не является периодом ПШ посJiедовательности), а множеством
функций
(l+I) Т5
p1 (t) = 5 a(t)a(t+'t)dt.
(8 .69)
iT5
Однако эти функции частичной автокорреляции описываются все
еще приближенно выражением (8.67) (с соответствующей норми­
ровкой), если ,Лt достаточно мало по сравнению с Ts,
Так как дисперсия фазовой ошибки (8.68) не зависит от сим­
вольной модуляции, то это выражение должно быть справедливым
даже в отсутствие какой-либо модуляции. Поэтому оно представ­
ляет собой также фазовую ошибку при отслеживании некогерент­
ной псевдошумовой последовательности или, что эквивалентно, по­
следователыiости прямоугольных импульсов длительности Лt (ер.
254


с § 6.6). В последнем случае устройство, производящее выборки в
схеме рис. 8.76, может все же потребоваться, например, если фаза
несущей, будучи относительно постоянной на любом Лi-секундном
интервале, не остс:ется постоянной в течение Ts секунд. Однако,
ес ли фаза несущей, по существу, постоянна на любом Т5 -секундном
интервале (это ,пред,положение неявно 1подразуме.вается, если <J1(-t)
не равно нулю на всем интервале Ts Сt;кунд и если принимаемые
сим1волы не модулированы ,ника·ким д,ру.гим ,сигналом), то устрой­
ство, производящ~е выборки (рис. 8.76), очевидно, не является
необходимым; выход детектора огибающей представляет собой
нужный вход для цепи отслеживания в любой момент времени.
Отсутствие устройства, производящего выборки, не изменило бы
характеристику отслеживания, если бы не нелинейный элемент,
стоящий перед ним. Наличие этой нелинейности может улучшить
характеристику системы, если нет символьной модуляции, при уст­
ранении устройства, производящего выборки.
Анализ устройства, изображенного на рис. 8.76, в случае, когда
исключается устроиство, производящее выборки, и когда согласо­
ванный фильтр заме1Няется .на 1произволь.ный, ~проще а1нализа си­
стемы Костаса из § 8. - 5 . Произнодя опе~рации, анало1гичные ,о,писан­
ным в этом параграфе, можно проверить, что если <J(i) является
псевдошум овой последовательностью с периодом бита Лt, диспер­
с ия фазов ой ошибки на выходе этой модифицированной цепи от­
слеживания (когда отношение полос до цепи и цепи велико)
u~ = 2:n;2 (~)
2
tf_!_+~~500
J fj(iffi;J4 dw11BLТ5•
Ts
R R22л
-00
(8 .70)
З десь Н (iw) - преобразование Фурье li(t), а h(t)cos ffict пред­
с тавляет собой импульсный отклик фильтра, предшествующего
к вадратичному уоройству. Если h(t) - прямоугольный фильтр с
полосой В= 1/2Ts. то дисперсия фазовой ошибки здесь, по-види­
мому, сов падет с полученной при использовании согласованного
ф ильтра, за которым включено устройство, производящее выборки.
Если h(t) пред стаы,яет собой фильтр, согласованный с прямоуголь-
1шм импульсом длительности Ts, то, устранив устройство, произ­
водящее выборки, получим в действительности небольшое улучше­
ние.
Это утверждение, казалось бы, находится в противоречии с ре­
зультатами § 6.6 относительно оптимального фазовонекогерентно-
1·0 синхрон изатора. Однако противоречие возникает с моделью фа­
з овой стат истики , приводящей к указанным результатам, а не с
сами ми результатами. А именно, включение устройства, произво­
;щ щего вы борки, является следствием того условия, что фаза не­
с ущей Ф(t) постоянна на каждом интервале iTs<f<(i+I)Ts, но
11с .на ·интер,вале Пs+-r<t< (i +1) Ts+-r для любого -r=I= О ,по м0~ду­
то Т.,. Как было указано ранее, эта модель в некотором отношении
яuJ1я ется идеализ'r1р·ован 1ной .
255


8.7 . Заключительные замечания
Самым прямым методом получения необходимо й: для си­
стемы связи синхронизации является использование трех ( или бо­
лее) отдельны"' каналов: одного для передачи отсчето в вр емени
(и несущей или поднесущей), одного для синхронизации б оле е вы­
сокого порядка и одного для самой информации. У этого подхода
имеются два недостатка . Первый состоит в том, что эти три кана­
ла должны быть каким-то образом уплотнены, чаще всего по вре­
мени или по частоте. Это не только увеличивает сложность систе­
мы, но часто I~риводит к межканальной интерференции, которая
может ухудшить характеристику системы. Второй состоит в том,
что мощность, предназначенная каналам синхронизации, представ­
ляет собой мощпuсть, которая могла бы быть использована для
передачи tдаП'ПЫХ, есл.и 1бы :имела,сь .возможность уста.но-вить си1н­
хронизацию каким-либо другим образом.
В соответствии с этим в последних двух главах были и сследо­
uаны методы, позволяющие устранить необходимость использова­
ния одного или обоих вспомогательных каналов. В гл . 7 были опи­
саны и изучены процедуры, дававшие возможность произвести
символьную синхронизацию непосредственно по последовательно­
сти принимаемых символов, что позволяет устранить, по крайней
мере, частично необходимость использования одного из каналов
синхронизации. (Методы установления синхронизации более вы­
сокого порядка, использующие поток данных, исследуются в по­
следующих ff'лaiвax; см. также § 8.6.) Настоящая глава 1продолж•ила
это направление, в ней рассматривались методы выделения отсче­
тов времени непосредственно из модулированной несущей.
Не должно удивлять то, что во всех случаях точность , с 1,ото­
рой синхроинформация мьгла быть определена непосредственно из
модулированно,о сигнала, была меньше, чем в случае использова­
ния отдельных каналов, когда оба канала имеют одну и ту же
мощность сигнала. На самом деле, вероятно, следовало ожидать
более ярко выраженного различия между этими двумя ситуациями.
Но так как доля мощности, выделенная каналу синхронизации, по
возможности должна быть малой, предпочтение может быть отда­
но синхронизационным оценкам, получаемым непосредственно из
модулированного сигнала. Однако, чтобы подтвердить эту гипоте­
зу, нужно найти оптимальное распределение мощности между ин­
формационным каналом и каналами синхронизации. Это одна из
проблем, исследованных в гл. 9.
Задачи
8.1 . Получить результат (7.96), используя метод, приведенный в § 8.2 .
8.2 . Показать, что система отслеживания для п-ичной ФТ из § 8.3 эквива­
лентна в условиях, ко11орые были введены в § 8.5 при рассмотрении к•вадратич­
ной •системы, системе п-й степени, т. е. системе ФАПЧ, которой предшествуют
полосовой фильтр и устройство, -возводящее в п-ю степень.
256


8.3 . Рассмотреть систему отслеживания несущей из предыдущей задачи для
четырехфазной ФТ, замен ив согласованные фильтры прямоугольными полосо­
вым;~ фильтрами с шириной полосы 2/Тs , Показать, что в этом случае диспер·
сия ошибки отслеживания приближенно равна
а~=(1/R+ 36/R2+ 18/R3+ 8/R4) BLТ5•
Сравни ть этот результ ат с соответствующим результатом. от,юсящимся к слу0
чаю, когда использую тся согласованные фильтры.
8.4 . Решить задачу 5.6 , если y(i) - искаженный шумом сигнал, двоичной
ФТ y(t)= Jl2Asiп(wct+01)+n(t), lTs<t<(l+l)Т,, 01=0 и.1н л, есл•и устро,:1-
ство, возводящее в неч ет н ую степень v, заменяется устройством, возводящим в
четную степень v(x(t)-+Jx(t) 1" ) , и если В2 uентри.рована относительно 2w 0 •
Показать, в частности, что в условиях, указанных в задаче 5.6 , отношение сиг-
11ал/шум на выходе теперь обратно пропорционально z+ (v/2) ", но точность, с
которой несущая ыожет быть восстановлена по этому выходному сигналу,
опять -таки · не зависит от v .
8.5 . С помощью ф - лы (8.13) по-казать, что идеальная система отслеживания
несущей для двоичной ФТ будет такой, как изображена на рис. 8.За, но верх-
11яя цепь будет содержать нелинейность вида th[2R ( •) ] . .Сравнить эту систему с
с11стемам и, которые обсуждались в § 8.3 и 8.4 . В частности, показать, что, когда
Л.-+оо, эта система совпадает с системой, рассмотренной в § 8.4 , но имеющей за­
держку .
8.6. Дисперсия всех систем отслеживания несущей, рассмотренных в этой
r лаве, стремится к В LTsiR при возрастании отношения сигнал/шум R. Та же са­
мая дисперсия наблюдалась бы, если бы несущая была немодулированной, а
с 11нхронизатор представлял бы собой обычную систему ФАПЧ. Будет ли ши­
рнна полосы цепи В L одной и той же в этих двух случаях? Будет ли одной и
той же вероят но сть потери синхронизации?


Глава 9
ЗАДАЧА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ . МОЩНОСТИ
9.1 . вв·едение
Каков бы ни был метод, использованный для установле­
ния требуемой сию,ронизации, эта синхронизация всегда будет не­
совершенной. Очевидно, что эта неточность будет приводить к не­
которому ухудшению характеристики системы. Одной из задач гла­
вьi является оценка этого эффекта. Знание такой оценки необходи­
мо при вынесении суждения о всей системе связи в целом и для
ответа, среди прочего, на вопрос о том, является ли предлагаемый
метод синхронизации удовлетворительным для рассматриваемой
ситуации. Эта информация, кроме того, даст возможность сказать,
выгодно ли затра1ить большую мощность для целей синхрониза­
ции или система уже фактически «пересинхронизирована» в том
смысле, что некоторая мощность, используемая для синхрониза­
ции, могла бы быть более эффективно использована для передачи
информации. Воп~ос о распределении мощности между синхрони­
зационным и информационными сигналами также исследуется в
этой главе .
Если известны статистические свойства ошибок в опорных си г­
налах, то, в приш,ипе, легко определить их влияние на характе ­
ристику системы. I\огда, например, мерой характеристики системы
является отношенае сигнал/шум на выходе и когда ошибки в син­
хронизации несущей, поднесущей 1) и символов равны соответст ­
венно Ф1, Ф2 и Фз. необходимо вначале рассмотреть результирую­
щее отношение сигнал/шум на выходе как функцию этих ошибок,
т. е. (S/N) =f(Ф1, Фz, Фз). Зная его, можно определить усреднен­
ную характеристику системы
(SJN)AVE = SSSt(Ф1,Ф2, Ф3)р (Ф1, Ф2, Ф3)сlФ1 dФ2 dФ3,
(9.1)
где р(Ф 1, Ф2, Фз) - совместная плотность распределения ошибок
трех опорных сигналов.
1) В предыдущих главах не делалось явного различия между несущими и
п0днесущими . Рассмотренные методы синхронизации были, в рамках использо­
ванных ограничений, одинаково применимы к случаям, когда используется одна
или большее число несущих. (В когерентной системе с многими несущими , ко­
нечно, нужно предложить какой-нибудь метод получения опорных сигналов для
всех несущих.) Однако неточное знание каждого из опорных сигналов приводит
к ухудшению характеристики системы и поэтому должно быть принято во вни­
мание при ее вычислении. Даже в этом случае обычно одна из несущих будет
иметь наибольшее значение для рассматриваемой характеристики. Поэтому, а
также и потому, что все равно нельзя рассмотреть все непредвиденные обстоя ­
тельства, большая часть последующего рассмотрения ограничена случаем, когда
имеется одна единственная несущая. (Прим. авт.).
258


Аналогично в дискретных системах, в которых имеет смысл ве ­
роятность ошибки . эта вероятность может быть вычислена как
функция ошибок отсчетов времени и проинтегрирована по этим
оши бкам для определения средней вероятности ошибки
Ре= JJJ Ре(Ф1, Ф2, Фз)Р(Ф1, Ф2, Ф3)dФ1 dФ2 dФ3 .
(9.2)
Функция Р11 (Ф1, Ф2, Фз) обозначает вероятность ошибки при
услов ии, что заданы ошибки опорных сигналов Ф1, Ф2 и Ф3. Важ­
н о заметить, что ,:оотношение (9 .2) справедл иво в случае, когда
р а ссм атриваются сшибки несущей и поднес ущей, тол ько если эти
ошиб ки остаются относительно постоянными на интервале симво­
ла . В противном случае вероятность ошибки в символе зависит от
всех прошлых ошr;бок опорного сигнала на символьном интервале.
Оба эти пара!V,етра, среднее отношение сигнал/шум и средняя ·
вероя тность ошибки, зависят от плопюстu распредел е1шя р(Ф 1 ,
Ф2, Фз) фазовых пшибок. Главное внимание в трех п редыдущих
главах было обращено на отыскание дисперсий этих ошибок при
11сп ользовании раsличных оценивающих схем . К счастью, с хоро-
11шм приб л ижением фазовые ошибки являются гауссовскими поч- ·
ти во всех случая х, представляющих практи ческий интерес, и это ·
с войст во не зависит от процедуры оценивания . Более того, различ­
ные фазовые ошибrш неизменно являются либо статистически не­
з ави симыми (если они получаются из различны х сигналов), либо
11 рям о пропорциональными друг другу (если они получаются из од­
ног о и того ж~ сигнала). Таким образом, представля ют интерес
л и шь одномерные плотности распределения р(Фi), а если Фi -
1 · аусс овские случайные величины, то эти плотности полностью за­
J lаются с помощью дисперсий величин Ф ;. ![Вообще гово ря, Е (Фi)
б удет равно нулю. Если, как рассматривалось в гл. 6 и 7, осуществ­
.ппет ся прием метки символа и строит,ся 1п,рО'верка ,гиюот-ез, а не от­
с леж ивание, то ошибочное решение, конечно , будет приводить к
1юс тою-шой ненулевой ошибке.]
Для того чтобы обосновать утверждение о том , что фазовые
п 111ибки имеют приближенно гауссовское распр еделение, заметим
uнач але, что оно, очевидно, справедливо , когда оценка фазы яв­
.пяется линейной функцией гауссовского шума, наложенного на
с иг нал. Таким образом, гауссовское приближ ени е справедливо, ког­
Jlа оценка про изводится на выходе системы ФАПЧ при условии,
•1то дисперсия ф:1зовой ошибки достаточно мала (меньше, чем
1/4 рад 2 в случае синусоидальных сигналов; - см. § 5.5). В боль-
111инстве пред .::тавляющих для нас интерес си туаций дисперсия
ф а зо вой • ошибки в действительности достаточно мала для того,
11тоб ы оправдать это предположение ; если это не так , то, прежде
в се го, вероят;-юсть потери синхронизации будет неприемлемо
б ольш ой.
Дог:ол нителLноr обоснован ие справедливости предположения о
1 ·, 1 у ссо в с1{0м расп ределении фазовой ошибки требуется при рас-
01от рен·ии системы от-слеживания, •которая содержит (.или перед
n•
259


которой содержатся) ,и нели,ней1ные элементы (1rл. 7 и 8). Из - за не­
линейностей шум на входе фильтра цепи перестает быть гауссов­
ским, как предполагалось в § 5.5 . Тем не менее, если ширина по­
лосы системы много меньше ширины полосы фильтров, стоящих
перед нелинейными устройствами (это предполагалось обычно в
рассмотрениях гл. 7 и 8), то фазовая ошибка, относящаяся к лю­
бом у моменту, представляет собой взвешенное среднее большого
числа по существу независимых шумовых слагаемых. Поэтому,
чтобы доказать, что даже в этом случае фазовая ошибка будет
и меть приближенно гауссовское рас11ределение, может быть при­
менена центральная ~предельная теорема.
В последующе:\i рассмотрении синхронизационный и информа ­
ционный каналы будут считаться независимыми, и мы будем пре ­
небрегать любым влиянием сигнала и шума одного канала на дру­
гие каналы. В некоторых случаях это предположение легко оправ ­
дать, как, ;на,пример, тогда, когlда ,оба 1,анала д•остаточно разне,сены
друг от друга по частоте. Однако часто оно справедливо лишь при
дополнительных 01 раничениях. Если, например, синхронизация ус ­
танавливается не:,осредственно по модулирующему сигналу, как
было в последних двух главах, или если синхронизационный и ин­
формационный каналы пересекаются по спектру, то шумы на вы ­
ходах этих двух каналов могут не быть независимыми. Эти шумы,
однако, с тановятсЕ. по существу, независимыми, если они рассмат­
риваются на выходах фильтров с сильно отличающимися ширина­
ми полос . В этом случае шум на выходе узкополосного фильтра
составляет пренебрежимо малу10 часть выхода широкополосного
фильтра, и, следовательно, он почти не коррелирован с ним . Так
как ширина поло;.-ы демодулятора, вообще говоря, имеет порядок
I/Ts, то это условие удовлетворяется, если ширина полосы шума
си нхронизатора В 1, мала по сравнению с I/Ts 1). Это ограничение,
напомним, постоянно возникало из других соображений при рас ­
смот рении синхронизаторов в предыдущих двух главах . Да:же тог­
да, когда шумы в этих дву х каналах могут считаться независимы­
ми, может происходить взаимная интерференция сигналов. В даль­
нейше м будем ею пренебрегать. Однако следует сделать предосте­
режение о том, что в некоторых случаях интерференцию нужно
принимать во зшн1ание для того, чтобы имел смысл анализ харак­
тер истики систfмы l[cp . с задачей (9.3)].
Следует указать, что среднее отношение сигнал/шум и средняя
в ероятность ошибки являются в некотором смысле произвольными
мерами. В некоторых случаях лучшей мерой, например, может
быть доля времени, в течение J(оторого вероятность ошибки пре ­
в.ышаст определенное значение или отношение сигнал/шум нахо­
дится ниже н ек оторого заранее заданного уровня. Тем не менее,
в силу того, что среднее этих величин является наиболее часто
используе мой мерой, рассмотрения пос.т:едующих параграфов свя-
1 ) Это также справедливо при довольно нереальном противоположном ус­
ловии BL» 1/Т,. (При.к ав т.).
260


з аны лишь со средним отношением сигнал/шум или средней веро­
ятностью ошибки независимо от нужд приложений. В случае необ­
х одимости можно легко обобщить этот подход на другие меры .
9.2. В.пияние неточностей в опорных сигналах.
Амшштудно-импульсная модуляция
Расо1отрим вначале влияние фазовой ошиб ки несущей
(или поднесущ:: й) на наблюдаемое отношение сигнал/шум в АИМ
с истеме . Если принимаемый сигнал имеет вид
у(t) =V2Ахsinwct +п(t)
(9.3)
и местной оценкой несущей является V 2sin (wct-Ф), то приемник,
рассмотренный в гл. 3, вычисляет интеграл
Ts
1=-
1-5 у (t) yTsin(wct- Ф) d t.
ATs
(9.4)
о
Так же, как и в гл. 3, определим отношение сигнал/шум на вы­
ходе как отноwенпе дисперсии сигнала к среднеквадратической
о шибке оценивання. В соответствии с этим для любого заданного
Ф имеем
(SI
var (х)
2R
!. N)Ф=Е(!-х)2= 1+2R'(]- cosФ? '
(9.5)
где R= (A2Т5/Na)var(x) и R' = (А2Т5 /N0)Е(х2).
Если ошибка фа з ы опорной несущей имеет гауссовское распре-
деление, то
00
(S)
2R
j'
'NAVE= у'2лаФ
-00
ехр ( -Ф2/2о~)
------dФ.
1 +2R' (1-соsФ) 2
(9 .6)
Так как (l .J_x)- 1
~
1-х для всех действительных значений х, то
00
(~) >.-~
j'ехр(- Ф2\[l-2R'(1-соsФ)2]dФ=
N AVE
1-1 2л оф -оо
2о~ )
= 2R[1- ЗR'+4R'ехр(- :~) - R'ехр(--2а~)j~
~2R[1- fR'а;р].
(9 .7)
Э т а граница в действительности дает хорошую оценку для средне­
г о отношения сип1ал/шум только тогда , когда аФ достаточно мало,
та к что 2R'(l-co,sФ) 2 ~1 для /Фj~ЗаФ. Последнее приближение
u ф-ле (9 .7) спrаведливо также при этом предположении .
261


Для того чтобы определить влияние ошибки в выборе длитель­
ности (прямоугою,ного) 1) символа, заметим, что интеграл в ф-ле
(9.4), если ошибка с'И'НХ1ро:ни:зации ,символов ра1вна 1: секунд ('В
предположении, что частота несущей велика по сравнению с 1/Ts
так, что несущей ~ожно пренебречь), принимает вид
для .~о и
о
l= _1_ rХо(t)dt+_1
_
ATs ,\
ATs
't'
т,+'t
.\ х2(t)dt
(9.8)
Ts
(9.9)
для т<О,
Таким образом ,
если х 0, х 1 , и х, предполагаются независимыми и одинаково рас­
пределенными, то
(S)
var (х)
[
2R
]
N't=Е(!-Х)2=
-
1+4R'(;,)°. •
(9.1О)
Если ошибка в опорном сигнале ~ ~- 1:/Ts имеет гауссовское рас­
пр едел ение с нулевым средним и дисперсией иl , то ф-ла (9.1)
дает
"'
ехр(-/2)
,.-
Rехр(
1
BR'а2 )
(s)
2R
r
а; d~=J/~
,
;Х
NAVE= _у
_2_л_сr~-}'° 1 + 4R' ~2
2
(R') 112 а~
х{1- erf [ 2cr~ (d.R')l/2 ]} ~2R{1- 4R1ао.
(9 .11)
Таким образом, влияние несовершенства в символьной синхро­
низации состоит в уменьшении отношения сигнал/шум в ( 1-4R' Х
Х и~ ) раз . Аналогичные рассуждения приводят к тому же заклю-
чению для фазоnонекогерентной АИМ, когда R велико (ер. с
§ 3.6).
Наконец, рассматривая совместно эффекты, возникающие из­
за ошибок синхронизации несущей и символов, п олучаем
тs+'t
l=-
1- r y(t)V2sin((t)ct-Ф)dt.
ATs .)
(9. J2)
't
1) Наиболее частой причиной использования непрямоугольных импу,1ьсов
является желан ие суз ить спектр сигнала. В результате широко используемые
непрямоугол ьные импульсы имеют более широкие автокорреляционные функции
по сравнению с прямоугольными импульсами, и в соответствии с этим система
связи. использующая такие импульсы, подвергается меньшему н еблагопр иятно­
му влиянию за счет неточностей в синхронизации символов. (П ри;,1. авт.).
262


Если roc~ 1/Ts, то
(S'
[
2R
]
\N)ф~= 1+2R'(1- cos Ф)2+4R'1sIcosф(1 - cos Ф)+4R's2 cos2 ф '
(9.13)
тде обозначения ТЕ: же, что и ранее. Если а Ф и •а~ малы, то
(:)лvв~2R[1- 4R'at- 2R'а~U6(V ~ - 2a6)-+R'a;z,] •
(9.14)
Только что по;1ученный результат был выведен в предположе­
lН ИИ, что ошибка синхронизации символов и фазовая ошибка несу­
щей независимы . Часто обе они получаются с помощью одного и
того же опорного сигнала. В этом случае ~=Ф/лт, где т - число
полупериодов несущей на символ (roc=лm/T,) . Тогда
( : )Ф ={2~,+(l-cosФ)2 +2f(Ф)[f(Ф)+(l-cosФ)Jг1 R~, (9.15)
['Де f(Ф) =-
1 '[Ф cos Ф-sin Ф]. Так как последний член в ф-ле
nm
,(9.15) имеет порядок I Ф5 1 /Злт при малых Ф, а второй член - по­
•рядок Ф4/4, то для разумно малых значений аФ последним членом
можно пренебречь независимо от значения т. Это приводит I< за­
J<лючению, что ухудшение характеристики определяется в основ­
.нам лишь фазовой ошибкой несущей, если синхронизация, как не­
,сущей, так и СИМRОЛОВ получается с ПОМОЩЬЮ ОДНОГО и того же
,о порного сигнала [ер. с (9.5)].
Итак, отношение сигнал/шум на выходе для АИМ уменьшается
,тт риближенно в
·[1- 4R'а2- 2R'а2а (V-?- -
2а)--3
-
R'а4]
(9.16)
6
Фs
1t
~
2
Ф
;р аз (когда дисперсия фазовой ошибки несущей равна а~ , а дис­
п ерсия ошибки символьной синхронизации равна •О'~ ) . Если о ба
• О порных сигнала нолучаются с помощью одного и того же сигнала,
то уменьшение возникает, по существу, лишь из-за фазовой ошиб­
,1ш несущей r[это уменьшение определяется ф-лой (9.16) при а~ =0].
9.3. Влияние неточностей в опорных сигналах.
Фазош~я манипуляция
В этом параграфе исследовано влияние неточностей
·() Парных сигналов на характеристики различных ФТ систем, рас ­
с м отренных в гл. 3 и 4. Н ачнем с двоичного случая, Если местная
о п о рная несущ,1я ,имеет ошибку Ф рад, то математическое ож ида­
,н и е выхода коррелятора приемника (см.,§ 4.5) равно
263


Ts
E(IIФ) =
-
1-j. (+V2Asinшct)V2sin(шct-Ф)dt= +соsФ,(9.17)
ATs
u
'
где, по предпоJiожению, Шс=лт/Тs, а т либо равно целому числу.
либо велико по сравнению с единицей. Так как дисперсия этого
выхода не за виси r от Ф, то единственным следствием ошибки при
определении опорной несущей является снижение действующей ам­
плитуды сигнала в cos Ф раз. Таким образом, если фаза опорной
несущей имеет ошнбку Ф рад, условная вероятность ошибки в сим­
воле равна
Ре(Ф) =
-
1 [1 - erf (R112 cos Ф)],
(9.18)
2
где R=A2Тs/N0 Jcp с (4.71)]. Если Ф имеет гауссовское распреде­
ление с дисперсией а;, то вероятность ошибки в символе равна
00
00
Ре= (' р (Ф) Ре(Ф)dФ =
-
1- \'ехр(. -
~') Х
J
:rюФ J
2а2
-оо
u
ф
со
хj ехр
(9.19)
V2 R 112 соsФ
Эта вероятность была определена численными методами и изобра­
жена на рис. 9.1 как функция ,R для различных значений аФ. От­
метим, что при R-+oo Ре стремится к ненулевой постоянной (кото­
рая называется иногда остаточной вероятностью ошибки) при лю­
бом ненулевом значении дисперсии а~ ·- Увеличение отношения
сигнал/шум станогится все менее и менее эффективным, не при­
водя к соответствующему уменьшению ошибки опорного сигнала.
Остаточная вероятность ошибки, конечно, является вероятно­
стыо того, что фазовая ошибка в опорном сигнале Ф выходит из
интервала (-л/2, л/2) по модулю 2л. Так как гауссовское при­
ближение к ра~пределению Ф, очевидно, становится плохим для
значений Ф, превосходящих л/2 рад, то вероятность ошибки, опре ­
деляемая (9.19) при R-+oo, будет соответственно менее точной
оценкой для истинной вероятности ошибки, чем в случае малых
значений R. В общем случае ошибка, возникающая за счет гаус­
совского приближения, становится ощутимой для значений R, пре­
восходящих 1/ (2а~), так как вероятность фазовой ошибки, боль­
шей, чем rc/2 рад. при этом перестает быть пренебрежимо малой
по сравнению -~
в<:роятностыо ошибки, обусловленной аддитивным
шумом (ер. с защ1чей 9.1). Этот случай имеет малую практиче­
скую ценность, поскольку в правильно построенных системах, как
мы знаем, ai ~почт.и всегда меньше, 1чем 1/ (2R). Тем не менее не­
которые из кривых на рис. 9.1 были продолжены за точку R =
264


= 1/ (2а~), чтобы дать грубое представление (в общем оптимисти­
ческое) о вероятности ошибки, которая могла бы ожидаться, если
б ы система работала при этих условия х 1).
fe
100
7
5
J
2
ttJ f
7
s
3
2
102
7
5
J
2
ffJ3
7
5
3
2
4
!О
7
s
3
2
1---
r-...
........
-
~"
~
"
~
~ "'1\.
1~
'•
i\
""
'
.
-
.\\
r--..
1\\,
\,\
~
\
\\/
~
,н
\\' /
\\\
\1\\ 1
L
\
Г"--
r---..
--
_,,6,р=0,1!!
1/
-
/
/
/0, 2
/
/(),3
V
/
0,5 /
\
\
\
\
105
10о
2J4s79101
2J4S79102
R
Рис. 9.1. Вероятность ошибки в символе для двоичной
ФТ при несовершенной синхронизации несущей
1) Если в качестве опорного сигнала использовать выходной сигнал СIIсте­
мы ФАПЧ, то можно было бы использовать вместо гауссовского распределенIIя
в (9. 19) распределение Тихонова (ер. с задачей 5.5) или подходящее обобщенIIе
~1
·0 для получения, в общем, более точной оценки вероятности ошI1бю1. Однако,
1,роме некоторых частных случаев (например, системы первого порядка без сдви-
1· ,1
частоты), трудности вычисления прн анализе увеличиваются во много раз, н
11 JJюбом случае -результаты достаточно хорошо •со,г,1.асуются с те~1и, которые
J1ОJ1учаются при гауссовском приближении для всех а1 :е:;;; 1/ (2R) . (При,11. авт.).
265


Влияние ошиб!\и символьной синхронизации на вероятность
ошибки за,в,исит ,от •.налич;ия или отсут,ств.ия ~перехода ,символа.в _
Если два последоnательных (прямоугольных) символа одинаковы,
то неправильное определение положения символа никоим образом
не повлияет на ВЕ'роятность ошибки. Однако если два последова­
тельных симво.1:а различны, то величина математического ожида­
ния на выходе коррелятора уме,ньшается в 1-(21-rl/Тs ) ,раз, ,где
т - временная ошибка [ер. с ф-лами (9.8) и (9.9) при х1 = 1, Хо=
=Х2 =--1]. Поэтому вероятность ошибки при условии, что задана,
временная ошибка т секунд,
Ре(т) = Рr(ошибка\переход, т) Рr(переходjт) +Рr(ошибка\перехо ­
да нет, т) Pr (перЕ'хода нет Iт).
(9.20)'
Если последовательные символы независимы и принимают с
равными вероятностями одно из двух значений, вероятность пере ­
хода равна 1/2 и временная ошибка s=т/Ts распределена по Гаус ­
су, то
о
со
ХSехр (-х;) dxd~+2; 2n 5ехр(-х:)dx.
(9.21)
(2R) I12 (1-2 / Ш
(2R/ 12
На р·ис. 9.2 эта вероятность ошибки изображена как фу~нкция R
для .несколь,ких ,различных значею1й cr ~ .
Чтобы определить одновременное влияние фазовой ошибки и
ошибки сигнала синхронизации символов, допустим, что прини-
маемый сигнал имеет вид ± V 2 Asin wct, местный опорный сигнал
имеет вид Visin(wct~Ф) и временная ошибка для символа рав­
на т секундам. Тогда, как легко проверить, математическое ожи­
дание выхода коррелятора
Е(/1Ф,s)= cosФ- 28{scosФ- -1
-
[sinФ+sin(2:n:тs-
2nm
-
Ф) Jfsgn (s),
(9.22)
где б= 1, когда имеется переход символов, и б=О, когда он отсут­
ствует. Здесь вновь wc=m:n:/Ts, а т либо равно целому числу, либо
т~1.Если,т~1,то
Е(!\Ф, s) = (1-26\s\)cosФ = Е(/\Ф)Е(/\s).
(9 .23)
В противоположность этому предположим, что для установле­
ния синхрон·изации фазы несущей и символьной синхронизации ис­
пользуется один и тот же опорный сигнал. Тогда s=Ф/:n:m и из
ф-лы (9.22) имеем
266 ·


Е (! 1Ф, G) = соsФ- ::[ФсоsФ-siпФ]Хsgп(Ф).
(9.24)
Так 1как sin Ф;:;:,Фсоs Ф -при О~Ф~Фо Фо>п и sin Ф~Ф cos Ф
при -Ф 0 <Ф~О, Ф 0 >п; то ухуд ш ение из-за наличия одновре-
fе
!00
8
.5
3
2
-
10
1.... _
"""'
·"'"
._
~'-.' -,
~
~
l'..
~'\.
"
5
3
2
-z
10
'~
~
i'\ 1'\
,5
3
2
-3
70
5
3
2
709
\~1\_\
\j\\\ ~
~ [\~
\'~
\'
\
1'\..
1'.
~r -.
1"'..
L\ ~r---
Jl~, =
~
-
~-
---r--- oj
-
---r--- 0,2
/
,\\-- _\
/
:\\'
'
0,3
\\\' \
0,11 /
\\\ \o,s
\'\
\
'
\
'
\\
\
\'\\
2и'1/57[J101
234579102
R
Рис. 9.2. Вероятность ошибки в символе для двоич но й
ФТ при ,несовершенно й ,симв-ольной синхронизации
ме нно символьной ошибки и ошибки в фазе несущей, всегда мень ­
ше, чем ухудшение, связанное лишь с ошибкой в фазе несущей.
Вер хняя граница для случая одновременного участия двух ошибок
полу чается, следовательно, с по мо щью рассмотрения лишь ошибок
в фазе несущей. Для больших значений т отличие этих двух слу­
'Ча ев является, конечно, пренебрежимо малым.
267


Другой интересный случай возникает, когда вместо с инусои­
дальной используется прямоугольная несущая (поднесу щая). В
этом случае уменьшение уровня сигнала, вызываемое временной
ошибкой т; секунд ( если как синхронизация символов , т а к и син­
хронизация несущей получаются с помощью одного и того же
опорного сигнала),
E(Il~)=[l-4 1~1+4ol~//mJ, ~<1/2,
(9.25}
где ~=т:/Т0 ,и ;rде Т0 =2Тs/т-;период ·несущей . Отрицательный член
связан лишь с фазовой ошибкой несущей. Опять результат , отно­
сящийся к одновременным синхронизационным ошибкам , может
быть оценен , если пренебречь ошибкой символьной синхро н изации .
Эта граница быстро сходится к точному выражению при воз раста­
нии т.
Выв од аналогичных результатов для q-ичной ФТ при q>2 вы ­
полняется с помошью простого (хотя и несколько гром о здкого)
обобщения предыдущих рассуждений. Этот анализ можно упро­
стить при использсвании метода оценки вероятности ошибки из,
§ 4.5. Видоизмен5IЯ эти границы применительно к расс ма тривае ­
мом у случаю, най~тем , например, что вероятность ошибк и в с имво ­
ле для q-ичной Ф'I системы при условии, что фазов а я ошибк а
опорной несущей равна Ф, ограничена неравенствами:
1
-
{Р0 (q; Ф) + Р0 (q;- Ф} < rпах {Р0 (q; Ф); Р0 (q;--Ф)}<
2
<. Р,(q; Ф)<Р0(q; Ф) + Р0(q; -Ф),
(9.26),
где Р0(q; Ф) = _!_
-
_! _ erf (R1l 2 siп (п/q-Ф)). Средняя вероятность.
2
2
ошибки поэтоМ'✓ хорошо аппроксимируется с помощью вы ра жения
(9.19) при замене r:os Ф на sin [(n/q)- 1Ф 1]. Аналогично , если ошиб­
ка символьной синхронизации равна т; секундам и ~ели разность
фаз двух символоD , влияющих на некоторое частное реш ен ие , рав­
на ЛФ рад, то
+[P0 (q; -r, ЛФ)+Р0 (q; 1. ,
-ЛФ)]<Ре(q; т:, ЛФ)<
< Р0(q; т:, ЛФ)+Р0(q; -r, -
ЛФ),
(9.27 )
где Р0(q; т:, ЛФ) =+-+erf{R112 [ (1 - 1~ 1) sinq~ + 1~!sin(;-лФ)]}
и 's = т: / Т8 • Среднюю вероятность ошибки можно оценить путем ус -
1редн е ния по ~ ·и Л Ф kp. с (9.21) ]. Заметим, ,что оценки снизу 1в
(9.26) и (9.27) оf\ращаются в равенства, когда q=2. Более того ,
когда q=4 , эта же самые нижние границы представляют собой
вероятности ошибск на бит, если фаза опорной синусоиды и м еет
ошибку Ф, а ошибка сим,в,оль.ной синхро,низа:ции ра'Вна rr. Это ут ­
верж,де~-гие :не:пооредственно ,следует ,из ,рас-сиот,рения § 4.7 .
Бо л ее простая, хотя и приближенная , мера влияния синхрони­
зационных ошибо1( в ФТ системе связи получается при использо "
268


вании приближенного распределения ошибки оценивания фазы,
описанного в § 3.7 . В частности, если принимаемый сигнал имеет
вид V2Asi n(wct+ Ф+Фe) +n(t), где Ф_е- фазовая ошибка опор-
ного сигнала, то распределение оценки Ф принимаемой фазы мож ­
но приближенно п~:;едставить в виде
/\ VR[(,,.
')2]
р(ФIФ,) ~ лех р -R Ф-Ф-Фе
(9 .28)
Следовательно ,
(9.29)
где u20 = (1+ 2и~R) /2R и где и~ =Е (Ф2е). Следовательно, неточ­
ность фазы опорного сигнала увел ичив ает дисперсию ошибки оце­
ниван ия от значеЕия l /2R до значения u 20 = (1+2u~ R)/2R и, сле­
довательно, увеличивает вероятность ошибки от значения
Ре(иФ=О)~1- erf(; R112) •
до значения
1
-
л
Rl/2
]
Ре(GФ)~ 1 -erf _q (l + 2a~R) 112
•
Это приближение особенно полезно, когда q велико.
(9.30)
(9.31)
Из (9.29) следует также, что среднее отношение сигнал/шум в
непрерывной по ам плитуде ФТ системе при условии, что имеется
фазовая ошибка в опорном сигнале,
(S)
л2 л2
2R
(9.32)
NAVE= 3аБ =3(1+2a~R)'
где и~ - дисперсия этой ошибки опорного сигнала.
Относительная когерентная система ФТ, конечно , не нуждается
в фазовокогер е нтl-'ОЙ опорной несущей. Это утверждение может,
однако, привести к заблуждению. Если, например , демодуляция
выпол няется с 1юыощью оценивания последовательных фаз симво­
лов и наблюдения разностей фаз '[ер. с (4.79)], то, очевидно, зара­
нее предполагается, что имеется в распоряжении точно известная
опорная несущая. Хотя установившаяся фаза этого опорного сиг-
11 ала является несущественной, его кратковременные флуктуации
фазы должны быть малыми, в противном случае будет вноситься
сме щение в оцениьаемые разности фаз. Точно также, если исполь­
з уется схема с задержкой, изображенная на рис. 4 .5, то эта за­
держка должна 'быть весьма точной. Если она будет иметь ошиб-
269


ку ЛТ секунд, то при каждом сравнении фаз будет возникать ошиб­
ка, дающая смещение wсЛТ рад. Влияние этих ошибок, а та кже
Jiюбых ошибок символьной синхронизации может быть оценено с
помощью введения необходимых изменений в сuответствующие ре­
зультаты, относящиес я к когерентной ФТ. Возросшая вероятность
ошибки (из-за посто я нной ошибки, вызывающей фазовое с м еще ­
ние, или и з -за н е ст а бильностей символьной синхронизации) в дво­
ичной относительной когерентной системе, например, может быть
определена, если заменить функцию 1-erf(x) на е-х' в ф-лах
(9.18) или (9 .21) соответственно. Когда q>2, необходимо лишь
уменьшить вдвое отношение сигна л /шум в результатах, относящ их ­
ся к фазовокогсреы·ному случаю, чтобы найти аналогичные выра­
жения для относи,:ельного когерентного случая (ер. с§ 4.6).
9.4. Rлияние неточностей в опорных сигналах.
Ортогональные символы
Так же. как и в системах связи, рассмотренных вьш.:е,
в системе с ортогональными символами основной причиной, приво­
дящей к ухудшению характеристики, вообще говоря, является фа ­
зовая ошибка несущей. Это, в частности, в ерно, когда частота не ­
сущей велика по сравнению с обратной величиной периода симво­
ла и когда все опорные сигналы, в том чи-::ле опорная несущая,
получаются на основе одного и того же источника . В силу этого,
а также того, чт'J влияние других синхронизационных ошибок
сильно зависит от конкретно используемого ортогонального алфа­
вита, ограничимся здесь лишь рассмотрением влияния неточностей
опорной несущ<:Й.
Предположим, что сигнальный алфавит состоит из множества
сигналов едини,шои энергии
s_(t, Ф) =Vr2ai(t)sin(ffict+Ф)+V2~i(t)cos(wct+Ф), О<t<ts
(9.33)
[см. ( 4.26) ]. Пр.ием.ник ,по .принятому сигналу у(t) =Аsт (t, Фо) +
+n(t), O<f<Ts определяет корреляции
Ts
I,=-
1- \ у(t)si(t, Ф1)dt,
ATs .
о
(9.34)
где Ф 1 - оцененная фаза несущей. (Предполагается, что ошибка
сим в ольной синхронизации пренебрежимо ма л а.) J\'lа тематическое
ожидание величины /i при з а данной величин е Ф = Фа-Ф 1
~
А
E(I,1Ф) = .PriсоsФ+РгisinФ
(9 .35)
[ер. с (4.31), (4.32); как обычно, частота несущей wc пр едполага е тся
достаточн о большс,й для того, чтобы было за конны м ттренебр е же -
270


ние компонентами удвоенной частоты]. Если множество сигнаJ1ов
является ортогональным в фазовонекогерентном смысле, то
E(JiIФ)=JсоsФ, ~=r;
(9.36)
l О, i=i=г,
и фазовая ошибка уменьшает амплитуду сигнала в cos Ф раз.
Б о многих практических ситуациях, когда приходится рассмат­
ривать ошибку опорной несущей, в общем стоит по возможности
ув еличивать uнриr1у полосы, чтобы выбра т ь множ е ство сигналов,
ортогональное в фгзовонекогерентном смысле . EcJiи фазовая ошиб­
ка Ф всегда д"стгточно мала, так, что можн о пр е небреч ь членом
А
p,. ;sin Ф , то фазовuн:огерентная ортогональность во з можно будет
достаточной. В любом случае математические ожидания выходов
к:орреляторов, по ,·уществу, будут такими, как в ф-ле (9.36).
Дисперсия этих выходов , очевидно, не зависит от фазовой ошиб­
ки опорного сигнала, так что единственное изменение в характери­
стике системы возникает из-за снижения эффективной мощности
сигнала в cos2 Ф раз. Таким образом, из ф-лы (4.11} для средней
вероятности ошибки получаем
(9 .37)
Эта в е роят:юсть ошибки изображена на рис. 9.3 ка к функция
R ь =R/1og2N для различных N и uФ. Эти кривые (подобно кривым,
из ображенным на рис. 9.1 и 9.2) дают оценку снизу для Ре, когда
вероятность соGытия { 1 Ф 1 ;?-,л/2} не мала по сравнению с Ре, т . е.
когда и t ' больше 1/R. Однако вновь в правильно построенной си-
е т е ме и~ почти всегда будет меньше, чем 1/R.
Тот же подход, что и для ортогонального множества, очевидно,
м ожет быть испо,1ьзован для биортогонального множества сигна­
л ов. В силу того что характеристики биортогональной и ортого­
н а льной систем б.:шзки, когда используется более четырех симво­
л ов, влияние неточности фазы опорной несущей будет почти оди-
11 а ковым в этих двух случаях.
Следует по,1.чеr;1шуть, что р е зультаты , относящиеся к влиянию
синх ронизационных ошибок н а вероятности о ш ибок в символах, ос-
11 овы в а ются на предположении , что синхронизационные ошибки
ост аютс я постоян~:-;ыми в течение любого интервала корр еляции.
13 д р угоы кр а й,1ем случае, когда синхронизационные ошибки могут
з н а чительно м с ня~ься на интервале интегрирования, может ока­
з ат ься более разумным определить среднюю эффективную мощ-
1 rос т ь сигнала и использовать эту среднюю мощность для оценки
271


Ре
ю" ~------------,-----------,
----N=2
-----N=8
··· -- ·-· ••••• N=J2
- -- --N=t28
10-31- -- -- -- -1,-+ --" -' +-' c+r--'\- ----\ -\-" "\- -~ -- -- -- --1
..
'
..
..
10~1----'----1-+·~·~•-----r'l-L--~1--Нf--,-1⁄4f----o-----------;
'\..
\·\\\' '
''
..
z J45в7о'вш2
Rь
Рис. 9.3. Вероятность ошнбки для ортогональных снмволо,в
при несовершенной сн н хрон н зацни несущей
вероя тности ошибЕи. Так , наприме р , в только что рассмо т ренной
ситуации средняя амплитуда на выходе п равильного коррелятора
со
(
о)
1
•
ф2\
.
(Jф
E(/r)~ ~ \ехр(-- -2
-
) соsФсlФ = ехр -
-
.
у2л: аФ ,,
2аФ
2
-со
'
(9 .38)
При этом ~,rерс,й ухудшения характеристики будет увели ч ение
вероя тности ошиб~<и в символе, когда R уменьшается от значения
A2Тs/N0 до (A2T )N0) exp (-СУ~ ) . Для одной и той же величины СУ Ф
272


это ухудшение бу,:~ет значительно меньшим, чем то, которое опре­
делялось ф-лой (9.37). Тем не менее оно более точно отражает из­
менение вероятности ошибки, когда Ф изм е няется быстро.
9.5 . Оптимальное распределение мощности
Часто бывает так , что практические соображения опре­
деляют мощность. которая может быть выд е лена передаваемому
опорному сигналу. Если это так, то анализ, проведенный в преды­
дущих параграфах, дает возможность определить необходимые па­
рам е тры ( отношения с игнал/шум или вероятности ошибок) систе­
мы связи . Если, однако, другие ограничения являются менее жест-
1шми, то может оказаться возможным изменить долю общей мощ­
ности , выделенной синхронизационному каналу. Очевидно , что ес­
ли вся мощность используется для передачи информации и не де ­
лается попытка установить синхронизацию, то система будет рабо­
тать очень плохо, как и в том случае, если вся мощность исполь­
з уется для синхронизации и ничего не остается для п е редачи ин­
формации. Следовательно, между этими крайними случаями рас­
пределения мощности должен существовать промежуточный , когда
х арактер.истика си-стемы rбудет лу ч,ш е ил.и ·в к,райнем случае 1не
ху же, чем .при любо.м дру,гом раоп~ределе~нии мощ1-юсти ~1ежду
информационными и синхронизационными сигналами.
Целью этог() параграф а является получение относительно про­
стых выражений для условия оптимального распределения мощно ­
с ти. Поскольку, как мы уже знаем, наиболее ощутимое влияние на
х арактеристику системы обычно оказывает ошибка опорной несу­
щей, то мы ограничимся рассмотрением задачи распределения
м ощности между !\•одулированной и немодулированной частями н е ­
с ущ е й . Опорная нРсущая будет выделяться из немодулированной
н е с у щей отслеж ивани ем с помощью системы ФАПЧ, имеюще й ши­
р ин у полосы шума BL Гц (aJ =NoBL!Ps, где P s - мощность не­
м одулированной несу щей) . Обобщение используемых здесь мето­
д ов на другие зада чи распределения мощности осуществляется
просто. Если, ,{апример, система имеет не только несущую, но и
1,о днесущую и опорные, поднесущая и несущая неза-в1исимы ( е-сли
о ни п олучаются из одного и того же источника , то опорная под-
11 е су щ ая, по-видимому, будет более точной), то мощность , в об-
1ц ем , может быть удовлетворител ь но распределена между тремн
I<анал ами методом суперпозиции . Мощность, необходимую для не­
модул ированной несущей, можно определить с помощью получен -
11 ых з д е сь результатов в предположении, что опорная поднесущая
являе тс я абсолютно точной . Аналогично эти же результаты можно
ис п ольз овать для отыскания мощности опорной поднесущ е й в ттре-
1 1 сб р е жении искажениями , вызываемыми неточным знанием несу­
ще й. Е сли оба (' Порных сигнала являются достаточно точными, ка·
1 < нми он и и должны быть для того, чтобы сирема работала удов­
J 1 с твор ительно, то эффекты второго порядка, обусловленные одно-
273


временным присутствием ошибок в обоих опорных сигналах, обыч­
но пренебрежимо малы с точки зрения задачи оптимального рас­
пределения мо щности .
Общий метсщ будет проиллюстрирован исследованием задачи
распределения мощности между модулированной и немодулирован­
ной несущими для каждой из систем, рассматривавшихся в преды­
дущих параграфах .
Амплитудно-импульсная мод ул я ц и я. Записывая ве­
личину, обратную к дисперсии фазы, в виде
l/a7i, = P 5T 5Q/N0,
(9.39)
где Q= (1/TsBL ) . rюлучаем
R+1/Qa~ =
(Р5+Рт)T5/No = P0T5/N0~R0,
(9.40)
где Ps - мощность немодулированно~ несущей; Рт
-
средняя мощ­
ность модуля ции ,; Ро - полная мощность, имеющаяся в распоря ­
жении, по предположению ограниченная. Тогда
l+_! d(l/071,) =О·
Q
dR
'
(9.41)
диффере.нцируя (9 .7) (где R' =R) ~пр.и этом усло1вии, находим 1приб­
лиже:нно услоВ"ие для экстр-ему,ма (который, как ле,гко ~показать.
будет макс,имумом) ере.дне.то отношения <:и.гнал/шум:
R=-
1- !(1+__i_
_g_)112- 1 .~ .
(9 .42)
2Qо2 1
302
1
ф
ф
Если Q2Ro"2> 1. то оптимальное отношение мощности несущей к
полной мощнос-,и
IPs/Ро ~ (3/Q2Ro)1;з .
(9.43)
Отношение мощности синхронизационного сигнала к полной мощ­
ности обратно r:ропорционально Q. Это соотношение, которо е будет
появляться во все1 зодачах распределения мощности, является ти­
пичным.
Фаз о в а я манипуляция. Приравнивание нулю производ­
ной (9 .19) по R при условии, что R+ 1/Qa~ постоянно, дает
00
Jехр (- х; J exp[-Rcos2 (aФx)Jcos(aФx)dx =
о
<Х)
=
R a~Q Jехр (-
~
2) ехр [-Rcos2( аФх)] х sin ( аФ х) dx.
о
(9.44)
Это уравнение также было решено численно. Решение, выраженное­
как о т ношение Р,/Ро, представлено на рис. 9.4 как функция Ro для
различных значен.ий Q. У,р-1н.ие (9.44) решается ~приближенно, е,сли
иФ~l. т. е. ,если ,cosaФx~ l-,(a7i,x 2/2) и xsinaФx~x~aФ. Пола-
274
·~'"r.t.;,," -:


о
б
4
2
о
4
2
fi
4
2
1ft
·-
--
-
--
:;....:: --
..... _
~ ---
-
.. .: :: ..:::-
--
~
r--.
'
:,_,
"'"'-
~
~......__
--
......
~~
~
~......
"
'
........
- ' "'>{j•1
---
--
--
,-
---
5
-1- ~--
-
-
1--
t-
-1
----- -
-
1У
..:::,
лsо
~~-
..,, ,_
~~~
100
-
-
,_
!ООО
.......
/
---
. .... ... .... ...
--
!'--,.
....
!00
2
45101
2
451022
--
4
R
Рис. 9.4 . Опт ималь ное ра ,спр еделе ние мощности между сиn н ал•(:)~ 1 ;:~во­
ичной Ф Т и несущей
rая ах= (1-2cr~ N.)-112, _ п олучаем
в этом приближении следующее
у словие :
(xz\
Хехр--2)dx
,
2ах 1
или
I = ~~ (1+2RQа~)
2 (1- 2cr~ R)
(У45)
275


Послед нее равенство может быть зап исано в виде
~ = ________!_
___
__
_
_
Р0 (R __1)l-1 R0(Q+2)_)1f2_1l
0
4
+ (R-1/4)2
j
(9.46)
Эта функция изобрюкена штриховой линией на рис. 9.4 . Вероят­
ность ошибки u символе представлена 1,ак функция ,R 0 на рис. 9.5
6' ~\\ \ \/\ 2t-1------+------+----+-+-t-------<
1/~~~~
~~,\ \~
2 t----""°""\\-----\\1\i\-\t-,-JНl "+-11-_, . ., . .. , -+-, , __, (j-= -+
f -+-f--+-----1
ю2 \\\,,
'~v v5 f--+ -t-t --~
\\\ \
,\V
10
\\\ \ -'i
... ,v
5
\\ \'°
V v50
~ ,1 _...,1..-'\ /
41----f -- - --\ ~~ ~~VqV~[;- ,,c- --v
- l.,,,fOO~-+-+-+-------<
~\V';\
2 l-----+ ---ffi::"1'{+-ffi-+--+- -++-1- --1
\,\ \
!031----+---+-<r1'-Н-'+-~--·----~-+--~
t---+--+-11-t-М'1--i-1---- --, '1- -i !ООО t--+ - 1- + - --,
О 1---+--+;HЖНl--l-----1l1⁄2--,-I'"
,,
l,,,.-1.,...
=
ff 1-----+--+-1\Н:М-'F!--...Ь-i'"v t--+ -1--1 ---<
' l ,,,,--1
2
1rJ4
6'
4
2
trJS
100 2
1
\1
46'101
11
245!022
R
Ри с . 9.5. Вероятность ошибки в симво.пе
для двои ч1юи ФТ при оптимальном распре­
делении мощности:
J - от н осит еJ1ы-1 ая когерентная ВИJ\'\; 2 - н е н:оге­
р~нтнал (ортогональная ВИ Л!\. )
в случае, когда мощность
распределена опти мал ьно
между каналами для не­
сущ е й и информации; сим­
вольная
синхронизация
предполагается безоши­
бочной. Для сравнения
там же пр.иведены лра<фи­
ки вероятностей ошибок в
символах, получ ающихс я
при относительном коге­
рентном и фазо вонеко ге­
рентном приеме опять-та­
к и в случае безошибочной
символьной с.и:нхр ,ониза­
ции .
Заметим, что если два
рассматриваемых сигнала
н е являю т ся противопо­
ложными, но имеют коэф­
фициент взаимной ко рре­
ляции р, то эффективное
отношение сигнал/шум
снижается в ( 1--р ) /2 раз
по сравнению с эти:М отно­
шением в случае противо­
положных сигналов (ер. с
гл. 4) . Если в предыдущем
рассмотрении R заменить
на ,R(l-p)/2=R' и Q на
Q'=2Q/(l-,p), то , т, ак
легко видеть, приведенные
результаты справедливы
для произвольного р .
Тот же самый подход
можно применить для ве­
роятностей ошибки при
q>2 l[т. е. для (9 .26) ], но
вычисления будут громоздкими, а результаты не очень поучитель­
ными. Вместо этого перейдем прямо к приближенным выра :ж:ени ям,
получающимся из ф-лы (9.29). Как для дискретной, так и для не ­
п рерывной п о амплитуде ФТ цель распределения мощности в ус-
276


ловиях используемого приближения состоит в минимизации дис •­
персии а20 {см. (9.29) ]. Дифференцируя это выражение по
.R при
условии, что R+ (1/Qai) постоянно, получаем следующее условие
экстремума среднего отношения сигнал/шум:
2aiQR2 = 1.
(9.47}
Следовательно, отношение мощности несущей к полной мощности
Ps
1
Ро 1 + (Q/2)1/2 •
Заметим, что , 1<о гда Q велико по сравнению с Ro, оптимальное
распределение ыощности в двоичном с.пучае приводит к с ле дующе­
му выражению дли мощности несущей:
ps;::::;: PjRh/2 Ql/2
(9.49)
(е р . с (9.46)]. В противоположность этому, если число фаз q вели­
ко , мощность 1н~сущей в тех же условиях
? 5 ;::::;: P0/(Q/2)1 12
(9.50) .
[ер. с (9.48) ], что дает увеличение в (2Rc) 112 раз.
Орт ого н 1 льны е с им в о л ы . Дифференцирование выра­
жения (9.37) при условии, что R+ (1/Qo,l) постоянно, дает
ао
dP,=_
_
I_ \ехр(-~) ~12 [cosaФz-Ra~QzsinaФz] Х
dR
V2п .)
\2(2R)
Х-Р(а
_
dz,
[{d
}
]
da N ) а=112Rcos0'Ф 2
(9 .51 ),
где
ао
rх+а
]N-1
PN(a)= --fexp{-х2),1\'ехр(-Y
2
)dy dx
(2:rt)N/2 -оо
\
2 L~·oo
2
Оптимальное распределение мощности, в принципе , определяет ­
с я путем приравнивания этого выражения нулю и решения nолу -­
чающегося уразнЕ:Rия относительно а~, , что даст возможность вы-
,разить ai через R. Численное решение (ра-счет), одна'К<о, весьма
громозLЦко 1) . О,J,'на .ко с ,по.мощью некото,рых ,прiИближений можно ­
получить относ.ителыно простое а.налит.ическо,е выра жение для О!П - ­
т и,ма л ьного раопределе,н-ия м-ощност,и . Будет ,показано, что ,ре­
зул ьтаты хоро1Шо согласуются с результатами 6-оле е точно-го ч.ис- ­
ле нного решения для ,в-сех отношений ·сигнал/шу-м, .представляю ­
щи х ,и.нт ер -ес.
1) В другом численном мето д е фиксируется полная м ощность и для нее
вычисляется Ре при различных значениях ,R и а~. Расчет может быть выпол-
11 с н и графически путем нанесения на кривых рис . 9.3 геометрического места ,
т о чек, соответствующих фиксированной полной мощности, что относительно прос ­
т о для любых заданйых множеств параметров N, Ro -и Q. (Прим . авт.).
27Т


Начнем с заме,1ания, что для достаточно больших значений а
(9.52)
Э то заключ~ни~ подтвер ждается рис . 4.2, из которого следует,
что с корость изменения в ероятностей ошибок (с точностью до по­
<Стоянн о го множит ел я) не з ависит от N. Чтобы обосновать это ана­
.литически , заметны, что
00
.
(а)= -- ехр
--
1- -erfc---=-
/"V
р
I s(х2)[
I
х + a]N-1 dx,,...,
N
Y2n
2
2
у2
-оо
00
~--
ехр -- 1---erfc-=- dx
1 j..(. х2)[.
N-I
х+а]
у' 2л
2
2
У2'
-00
(9 .53)
где
х+а
,erfcа+_хЛ 1-erfх +_а= 1-
r~
S ехр (-L)dy.
112=
V2
v2л
,
2
-(х+а)
Приближение в ф ле (9.53) справедливо, когда а велико и, следо ­
ват е льно, erfct(x+a)/2] мало для всех х, для которых ехр(-х 2/2)
значител ь но боj1ьше нуля. Тогда
_d_Р_н_(а_)~(N- 1) _d f- ~ s°" ехр(-_х2)Х
da
da \ 2у2л
2
-оо
Хerfc(х+_а)dx} =(N- 1)dP2(а)
У2
da
(9.54)
и из ф-лы (9 .51) получаем
Х-Р.а
_
dz.
[{d
}
]
da 2( ) a=Y2RcosaФ z
(9.55)
11риравняв это выражение нулю, легко видеть, что полученное ра­
венс т во не зависит от N. Так как при N =2 оптимальное распреде­
лени е мощности получается, когда удовлетворяется (9.44) (где
R заменяется на R/2, а Q на 2Q, так как здесь р=О), то оно яв­
ляетс я хорош и м пр и бли же н ие м к оптимальному распределению
мощн о сти для всех зн а чен и й N. Но так как выражение (9.46) яв­
л я етс я приближенным реш е ние м у р-ния (9.44), справедливым, ког­
да иФ « 1, то оно применимо и для всех N при том же самом ус­
.лов и и . (Здесь также Ro следует заменить на Ra/2, а Q на 2Q.)
Сле дует отметить, что параметр R является отношением энер­
Т И'И с шгнала, 1пр,н,ходящейся :на символ, .к спектральной 1плотностя
'.278


шума. Как было указано в гл. 4, R должно возрастать пропорцио ­
нально log2N, если веро я тность ошибки должна оставаться посто -­
янной при увеличении N. Кроме того, если скорость в битах 1 / Ть,
фиксируется, то величина Q = 1/BLTs= 1/BLTь1og2N будет обратн о,
пропорциональна log2N. Так как Q должно быть больши м для
справедливости предположения относительно постоянства опорной
фазы на любом интервале интегрирования, то ограничение на BL
становится более жестким с увеличением N; BL должно быть ма­
лым по сравнению с 1/Ts= 1/Tь\og2N.
В заключение отметим, что приведенные выше рассуждения:,
могут быть использованы, по существу, без всякого изменения длк
биортогонального, а не о р тогонального множества сигналов. Опти- ­
мальное распределение мощности остается, по существу, таким же .
9.6. Сравнение синхронизации по отдельному
каналу с синхронизацией в случае единого
канала
Эта глава посвящена исследованию влияния неточностей,
опорных сигналов синхронизации на характеристику различных
систем связи, а также задаче распределения мощности между син­
хронизационным и информационным каналами . Вместе с тем в
гл . 7 и 8 были исс.педованы несколько методов получения этой син­
х ронизационной ИЕформа ции непосредственно из сигнала, модули­
рованного информацией. Т еперь можно определить эффективность
э тих методов на основе результатов настояшей главы. В этой свя­
з и сразу же возникают два вопроса: хуже ли синхронизационные
о ценки, получа1.:мые непосредственно из модулированного сигнала,
ч е м те, которые получаются с помощью отдельных каналов при оп ­
тимальном распределе~ии мощности? Выгодно ли дополнять эти
о ценки оценка ми, производимыми в отдельном канале, если вооб-­
ще это возможно сделать? Вообще говоря, ответы на эти вопросы­
пв ляются отрицат?ЛЬНЫМИ.
Для того чтобы обосновать это утверждение, нужно лишь срав­
н ить дисперсии этпх двух оценок. Пусть о-21 будет дисперсией син­
х ронизационной оценки, получаемой непосредственно из модули ­
ро ванного сигнала, а о-22 - дисперсией соответствующей оценки , по­
л учаемой с помощLю второго канала при оптимальном распределе­
IIии мощности. Заметим, что
-
1=~QR0
(9.56}
о~ Ро
и т а к как оптимальное отношение Ps/Pu в каждом из случаев , как
б ы ло показано, порядка Q-r, где O<r< 1, то 1/,cr 22 будет порядка
Q.s, где O<s< 1. В противоположность этому 1/,о- 21, как было пока­
: 1<1 н о в гл. 8, неизменно прямо пропорционально Q. Очевидно, что
<'сли Q= 1/ВLТ., достаточно велико, то оценка, получаемая непо ­
· редственно из передаваемых данных, будет лучше .


Практически выражение «достаточно велико», в общем, охва­
тывает все представляющие интерес значения Q. Так, например,
,обратное значение дисперсии опорной несущей АИN\, передаваемой
no отдельному каналу, в оптимальном случае равно
1/а~ = (ЗQRБ) 1 13
(9.57)
i[ом. (9A3)J. Обратная величина д,и1Сперсии оценки с помощью си­
сrемы ,Коста,са или квадратичной системы
IJaf ~ QRБ!(R0 + 1)
[см. (8.60) ]. Таким образом, последняя оценка луч ше, если
,Q > VЗ(Ro + I)312JR5.
(9.58)
(9.59)
Выражение ;1 правой части этого неравенства стремится к нулю
при ,Ro, стремящемся к бесконечности, и равно лишь 2 V6, когда
Ro= 1. Системы Костаса и связанные с ними устройства были рас ­
,смотрены ,в iпред,по,ложени'и, что BL<< I/Ts. Следовательно, эти е,и­
·стемы имеют ,очевидное превосходство, Jю крайней мере, ,пр,И рас­
,смотрени.и опор ,ной несущей АИМ для ·всех значений Q, для ~юто ­
рых справедлив проведенный ранее анализ.
Аналогично в случае синхронизации несущей для двоичной ФТ
система Костаса будет давать более точный опорный сигнал, если
fQ > 5/2R0 - 3/2R6 + 1/Rg.
(9.60)
Если , например, вероятность ошибки должна быть I0-3 , то Ro дол­
ж11ю ~быть ,порядка 5 и иопольз,о,вание системы Коста.са ,более вы­
тодr-ю для любых Q, больших, ,скажем, -чем 0,57. Для того чтобы
лровести ,с р авнение этих ,д,вух методов ~более на~глядно, гра,фик ве­
,роятности ошибки в слм,во,ле, относящий,ся к случаю, ко~гда опор,ная
несущая ,полу ча ется с 1помощью сист,емы Костаса, изоб,ражен на
Р'ИС. 9.6. Его ,следует сра1в1нить с со,ответст,вующими кри-выми на
:рис. 9.5. Кроме ,случая малых от:ношений ,сигнал/шум, метод, ис­
-пользующий ,си,стемы Костаса, ~приводит ,к результатам, ,которые
,с оВ1падают или лучше ,результатО'В для относительной когерен11н,ой
,схемы ,при всех Q~2 . Интересно отметить, что характеристика, ,ко ­
торая ,получает,ся лри использованп,и оптимальной системы отсле ­
.жи:вания ФТ ,несущей из § 8.3 вместо системы Коста,са, ,по -сущест­
ву, со.вшадает (при Q = ·2) с характер·истю<ой, ~получающейся 1при от­
носительr-юм когерент,н,ом ,п ри еме для любых -отно шений сиnнал/:шум.
Если Q =2, ,имеем BL= { l/2Ts), и ширина .полосы ,системы отслежи­
вания равна ши,ри11-1е лолосы Т8 -,секундно1го .интегратора. Следо,ва ­
тельно, ,почти ~полная эквивалентно-сть этих ,д,вух результатов ,не
должна удивлять. Ощнако рас,см-от,рен'ИЯ § 8.3 , ра,вно как .и 1пред1по­
ложение о ,rауссовском раопределении фазовой оши61ш, в лучшем
-случае я·вляются лишь ,приближенными, есл,и Q= (BLT s)-1 невели ­
ко . В л юбом -случ-ае ухудшен.не характеристики при и.слользоваН'ИИ
,системы Коста.са дл я ,по лучения опорl]-[ОЙ :несущей ~пренебрежимо
мало даже для срав,нительно малых значений Q.
:200


Сравнимые результаты получаются и для других систем моду ­
ляции и других задач синхронизации, рассмотренных выше . Ухуд­
шение характерис1ики бифазной ФТ системы вследствие несовер ­
шенства (прямоугольной) символьной синхронизации , например,
оказывается малым (при R< 10), если среднеквадратическое от­
клонение синхронизационной ошибки сrФ Л 2:rr:щ равно или меньше-
0,2 ,рад (рис. 9.2). Дисrперсия ошибки с,истемы ,отслеживан·ия сим­
воло.в (§ 7.6), ~ка.к было лока"Зано {см. (7.86) ], ,ра•в на
а2= _1( Лt/Ts }'[(I·- ЗЛt)_1+_1l
(9.61)
~ 2Q 1- Л1/Тs
\
4Т5 R
2R2 •
Так как сигнал ошибки линеен
ние Лt/Т, может быть по-
в области J. - 1 ~ ,Лt/2, то отноше -
рядка 1/6, когда а, =0,1/:rт fe
~
z
без нарушения условий
§ 7.6. Таким образом, ее- 10- 1
ли R = 5, то стандартное
отклонение синхрониза- 5
ционной ошибки может ч
быть порядка 0,2 рад при
Q~20.
2
Для ответа на второй
вопрос о том, стоит ли ис- ti2
пользовать отдельный син-
6'
4
2
б
4
2
"
td
li
4
2
105
'\'\\
/[
\\\\\
1\\\\\\ / V,,. /[}=1
~·
i\\\v
;::; 2
v,,.,, .
/lt
~\tv/;8
\\t' '\,
V//о()
\\\,\\ \ ,,,v
\\~
\'~
\
~
1
1
1
'
1\
1
\
'\\
!О24fi1012f/о102z
R
х ронизационный канал во
вспомогательных
целях ,
з аметим, что если си н х ро­
низация по единому кана­
лу является более точной
по сравнению с синхрони ­
з ацией по отдельному ка ­
,налу, когда мощность
распределена оптимально,
то вообще не следует вы­
де лять никакой мощности
с инхронизационному ка­
налу. Предположим, что
оба метода (синхрониза­
ции по единому каналу и
110 отдельному каналу)
б ыли использованы одно ­
временно. Если бы объ ­
единенная оценка была
J 1учше, чем оценка при ис-
110льзовании
отдельного
канала с оптимальным
распределением . мощно­
с ти, то характеристика си-
Рис. 9.6 . ,Вероятность ошибю1 в символе
для двоичной ФТ f!РИ использовании систе­
мы Костаса для получения опорной несущей
28[


сетемь1, очевидно, могла бы быть улучшена с помощью выделения
б ольшей мощности информационному каналу, так как син ­
хронизационная оценка ухудшается при таком перераспре­
делении мощнос1и даже менее быстро, чем в случае, когда
для получения этой оценки используется лишь синхронизационный
кан ал. И так как характеристика могла бы улучшиться с помощью
такого пе рераспределения мощности, когда имеется возможность
использовать лишь одну оценку, это утверждение должно оста­
.вать ся справедливым , когда используются обе оценки. Таким об­
разом, характеристика системы будет улучшаться по мере пере ­
р аспределен ия 1v1ощности от канала синхронизации к информаци­
онному каналу. по крайней мере, до тех пор , пока опорная синхро­
.низация не перестанет быть более точной , чем при использовании
.лишь отдельного канала с оптимальным распределением. Но есл,1
сам опорный сигнгл при синхронизации по единому каналу в Д(;f:i:­
ствительности является более точным, чем эта величина, то кана­
,лу синхронизации не нужно выделять вообще никакой мощности.
Поэтому в такой ситуации отдельный синхронизационный канал
-не мож ет быть использован с выгодой.
Следует подчеркнуть, что предыдущие замечания относились
к сравнительному анализу качества синхронизационных оценок по
отдельному и по единому каналам. Интересной мерой качества яв­
.ляются, чаще r,cero, конечно, отношение сигнал/шум на выходе и
.вероятность ошибки в символе. Так как в случае еди.ного канала
вся находящаяся в распоряжении мощность · используется для пе ­
_редачи информации, то полная характеристика такой системы мо­
жет быть лучше, чем характеристика системы с отдельным кана­
.лом даже тогд::~, когда более точная синхронизация получается при
использовании отдельного канала. В любом случае, когда Q вели­
ко, оба метода синхронизации приводят к почти оптимальной ха­
рактеристике, и р е шение относительно того, какой из них должен
·быть использован, будет основываться на других соображениях .
Например, при ис1,ользовании единого канала не возникают труд­
,r1-юсти при упло гнении, и поэто м у он может быть легче реализован.
Вместе с тем абсолютная опорная фаза, которая получается при
использовании отдельного канала, могла бы сделать его более
привлекательным, так как без него нужен некоторый другой метод
.для устраненщ~ возможных неоднозначностей в информационных
последовательностях (ер. с§ 8.2 и 8.3).
9.7. Заключительные замечания
Основные выводы из результатов этой главы могут быть
-сформулированы следующим об ра зом:
1. В когерентной системе, в которой восстанавливаемая несу­
щая служит также для отсчета времени в приемни ке, фазовая
ошибка несущей является определяющим фактором ухудшения ха­
рактеристики. В некогерентной системе, в которой отсутствуют вы-
282


сокочастотные временные отсчеты, или в когерентной системе, в ко­
торой символьная синхронизация не связана с опорной несущей,
ошибка символьной синхронизации такж е может иметь значение.
В действительности наличие относительно точного отсчета време­
ни может быть главным достоинством когерентной системы по
с равнению с некогерентной.
2. Однако даже для умеренно больших значений параметра
Q= 1/BLTs влияние неточностей опорных синхросигналов будет от­
носительно небольшим. В частности, это верно, rюгда синхрониза­
ция получается непосредственно из модулированного сиг нала, од­
нако утверждечие также остается в силе, когда используется от­
дельный синхрони:-:ационный канал с соответствующим распределе­
нием между двумя каналами имеющейся в распоряжении мощ­
ности.
3. За исключением случая довольно малых значений парамет­
ра Q синхронизация, получаемая непосредственно из модулирован­
ного сигнала, заведомо лучше синхронизации, получаемой с по ­
мощью отдельногс канала при оптимальном распределении мощ-
1-10сти.
Рассмотрения этой главы всегда подразумевали использование
де модуляторов из гл. 3 и 4. Как было показано, эти демодуляторы
оптимальны при совершенной символьной синхронизации, а в слу­
чае когерентного приема также и совершенной синхронизации не­
су щей. Интересным обобщением этих результатов было бы опре­
де ление вида оптимального приемни1,а, в котором учитываются не­
избежные неточности синхронизации. В общем случае эта задача
ок азывается довольно сложной и, с точки зрения результатов на­
сто ящей главы, 01части представляющей академический: интерес .
Однако в некоторых частных случаях ответы могут быть получены,
и они являются наглядными и поучительными.


ЧАСТЬ 111
КОДИРОВАНИЕ
I' лава 10
КОДИРОВАНИЕ ИСТОЧНИКА.
ОДНОЗНАЧНОСТЬ ДЕКОДИРОВАНИЯ
10.1. Введение
При рассмотрении в гл . 4 систем передачи данных пред­
полагалось, что имеется возможность представления информации
.-в виде последовательности дискретных по амплитуде символов.
Наиболее ~простым методом ,пр,е,вращения ~и.нформаци.и (есл.и она
не дисюрен1а ,с ,само,го начала) в такую фор.му ,служит дискрети­
зация по времени сообщения на выходе источника и квантование
выбранных значений; частота выборок и шаг квантования опреде­
ляются величиной допустимой ошибки. При этом подходе неизбеж­
ны некоторы е огр2ничения . Например , число уровней квантования
и, следовательно, результирующее число символов могут быть
бол ьше, чем число сигналов, используемых в системе связи. Кроме
того , тако е пр едставление сообщения мож е т не быть особенно эф­
, фективным, поэтому часто целесообразно кодировать информацию ,
т. е . отображать ее в некоторое более удобное множество симво­
лов, которые будем называть кодовыми символами (источника).
Один из распространенных методов уменьшения (или в некото­
рых случаях увеличения) числа различных символов, необходимых
для представления информации, называется импульсно-кодовой
модуля~;ией (ИКМ). (Термин «Модуляция» в этом названии в из­
вестной мере uвод,и;г в заблуждение, так как здесь не делается
никаких предположений относительно конкретных сигналов, ис­
пользуемых для представления информации.) Предположим, что
информационные выборки квантуются на N уровней, а сигнал на
выходе модуля·,ор;:1 представляет собой один из r возможных сиг­
налов. Тогда каждую выборку мо:жно представить в виде после­
довательности log,N (или наименьшего целого числа , большего ,
чем log, .N) г- ичных символов. (Если r больше, чем N, то в каждый
кодовый символ можно отобразить несколько выборок). Тем са­
мым алфавит источника (т. е. множество символов, представляю­
щи х информацию) согласуется с алфавитом ка на ла , (ор . с гл. 1). Ин­
·тересен таr<же другой метод, который называется дельта-модуля­
ци е й и состоит в увеличении частоты выборок до такой величины,
.284


I<огда становится возможным предста в ить каждую выборку лишь
одним r-ичным с имволом (в этом случае r=2), указывающим знак
раз ности между текущей :и предшествующей выборками. Очевидно
.возможны мносочисленные разновидности обоих этих методов .
Даже носле тоrо, как источник был согласован с каналом (или,
возможно, до этого), возникает необходимость в дальнейших пре­
об р азова ниях. В гл. 4 обычно предполагалось, что последовате.т:rь­
ные символы на входе модулятора были независимыми и с равны­
.ми веро~тностями принимали значение любого символа из алфави­
та . К сожалению , источники редко работают таким образом. Чем
б ольш е источник отличается от этой идеальной модели , тем мень­
шую эффективность имеет система в целом , если не предпринима­
ются какие - либо меры для компенсации этого отклонения.
Одна из причи!-! несоответствия реальных источников и идеаль­
ных мо делей состоит в том, что в большинстве источников различ­
ные символы появляются на выходе с разными вероятностями.
Для иллюстрации получающе йс я невысокой эффективности пред­
положим, что алфавит источника состоит из чеiъ1рех символов а,
Ь, с и d, п оявляющи хся с вероятностями Р(а) = 1/2, Р(Ь) = 1/4, Ре=
=P (d) = 1/8. Э ти символы можно, конечно, представить с помощью
четырех двоичных посJiедовательностей длины два: 00, 01, 10 и 11;
при этом для каждого символа источника требуются два двоичных
кодовых символа. Однако если отобразить а в 1, Ь в 01, с в 001 и
d в ООО, то для поJiовины символов источника потребовалось бы
тр и кодовых символа, но среднее число кодовых символов, необ­
х одимых ДJIЯ представления символа источника, было бы равно
__!_. 1+__!_•2+-1- -3+-1- -З = l.2. что дает сокращение на 125%
2
4
s·в
4'
'
·
по сравнению с первым методом . Отсюда возникает предложение
использова ть такое соответствие между вероятностью I{аждого
сим вола и числом кодовы х символов для его представл ени я, когда
-бо лее вероятным символам источника относят более короткие по­
след ователы1ости кодовых символов . Алгоритм фактической мини­
м изации среднего числа кодовых символов, необходимых для пред ­
•Ставле ния символа источника, описан в § 10.3.
Второй недост2ток реальных источников (по сравнению с иде­
альн ыми) состоит в почти неизбежной зависимости между после­
довател ьными выходными символами источника. Часто источник
можно моделировс1ть с помощью марковского источника конечного
по,рядка; марко,вский 1исто-чник п--го ,поряд-ка ошр~деляется как ис­
· , · очник, в котором распределение вероятно ст и т еку щ его выходного
с имво ла при условии, что заданы все прошлые выходные символы,
яnляется функцией лишь п предыдущих выходных символов. Если
марко вский источник п -го порядка способен производить N разJiич-
11ых выходных символов, то для полного описания статистических
с nойств текущего выходного символа необходимы Nn условных
р ,юпредел ений; ·в. этом ,случае говорят, что источник имеет No1
вu з мож ных состоjтuй . Однако, какой бы ни 'была эта зависимость
ме жду •в ых ,одн ыми с.имволами ш,с-гоч1ника, она означает, что
285


mо-следовательносгь сообщеиий содержит лз,быточf!ость . Каждый
символ переносит меньше информации, чем он способен переносить .
так как до некоторой степени он предсказуем по предыдущим сим­
волам. Имеется целый ряд схем для уменьшения этой избыточно ­
сти в выходных символах источника и, следовательно, для умень­
шения среднего числа символов, необходимых для представления
сообщения. Эти схемы обычно называются схемами для устране­
ния избыточности в сообщении или для сжатия данных.
Другие ограни!.iения, такие, как ограничение на сложность обо­
рудования, на ;1ростоту кодирования и декодирования, требование
сохранить некоторый определенный порядок отображения симво­
лов .источника в ,кодовые ,с.имволы т-а.кже 'В rбольшей или м.еньrшей
степени, влияют на выбор метода кодирования. При любом крите­
рии выбора некоторого конкретного кодирования, однако, всегда
каждый выходной символ источника (или каждая последователь­
ность выходных символов) представляется последовательностью
кодовых символов 1). Так как в общем случае для каждого выход­
ного символа источника требуется более одного кодового символа ,
то по необходимости кодовые символы объед и няются в слова; каж­
дое слово состоит из нескольких символов. Множество допустимых
слов называется кодовым словарем (источни ка).
Чтобы словарь имел какой-то практический смысл, он должен
удовлетворять одному важному требованию - условию однознач­
ной декодируоtостu. Последовательность слов из словаря D одно­
значно декодируема или просто декодируема тогда и только тогда,
когда ее невозможно интерпретировать как некоторую другую по­
следовательность слов того же самого словаря. Словарь D декоди­
руем тогда и только тогда, когда каждая конечная последователь­
ность слов из D декодируема. Это понятие лучше всего проиллюст­
рировать на примере словаря, который не имеет этого свойства,
как, например, словарь {w1=0, W2= 10 , Wз= 1001}. Невозможно оп­
ределить, является ли последовательность символов 10010 после­
довательностью слов w3w1 или же слов W2W1W2. Этот словарь не
является однозначно декодируемым и, следовательно, не может
быть использован на практике . (Можно было бы возразить, что
между словами всегда можно поместить «пустой интервал», и это
гарантирует их декодируемость даже, если словарь неоднозначно
декодируем. Но если декодер способен отличать интервал от дру­
гих символов, то интервал также может быть использован как сим­
вол. Использование этого символа - интервала только для разделе­
ния слов обычно не является оптимальным, как будет показано.)
Хотя любая кснечная последовательность слов однозначно де­
кодируемого словари может быть декодирована лишь одним спо-
1 ) Еlли, J{ак это предполагается здесь, выходные символы и сточника объе­
диняются в блоки до кодирования и при этом каждый блок содержит заранее
определенное число выходных символов, то получающийся код иногда назы­
вают блоковым кодол-1 . Зарезервируем, однако, этот термин для более ограни­
ченного класса кодов, в котором каждое кодовое слово также содержит одно и
то же число кодовых символов. (Прим. авт.).
286


собом, отсюда не следует, что текущая последовательность слов
.обладает этим свойством. Как следствие, может понадобиться не­
которая задержка прежде, чем окажется возможным декодирова­
ние некоторой последовательности слов. Рассмотрим, например,
,словарь D= {101, 00110, 10111, 11001}. Последовательность слов
10111, 00110, 11001 нельзя отличить от последовательности
101, 11001, 10110, 00,110.
пока не будет получен пятнадцатый символ. Словарь D является
декодируемым, но для однозначного опознавания первого кодового
.слова может понадобиться пятнадцать (или более) символов.
Число dc символов в самой длинной последовательности слов деко­
дируемого словаря, необходимое для однозначного декодирования
первого слова этой последовательности, называется задержкой де­
кодирования.
Задержка декодирования декодируемого словаря не обязатель­
н о является конечной, как показывает словарь D1 = {101, 00111,
10111, 11001}. Можно показать, что этот словарь является декоди­
руемым. Тем не менее последовательность 101110011100111 . .. мо­
жет быть декодирована как 101, 11001, 11001, ... или как 10111,
,00111, 00111, ... Длина самой длинной неоднозначной последова­
тельности в этом СJ1учае неограничена .
Существует множество различных ограничений, которые могут
,быть наложены на кодирование источника, однако резул ьтирую­
щие словари должны во всех случаях быть декодируемыми, для
того чтобы иметь практическую ценность . Исходя из этого, боль­
шая часть глазы посвящена исследованию свойства декодируемо­
·СТИ произвольных словарей, а не рассмотрению некоторых частных
.словарей. Единственным исключением является§ 10 .3, где, как уже
б ыло упомянуто, приведен алгоритм минимизации среднего числа
к одовых символов, необходимых для представления символа источ­
н ика, когда известны вероятности этих символов .
10.2. Неравенство Крафта и полные словари
Приведем необходимое и достаточное условие существо­
:в ания декодируемого словаря, имеющего N слов с длинами (числа­
м и кодовых символов) l1, l2, . . ., LN. Начнем с необходимого усло­
в ия.
Т е орем а 10 . 1. Если словарь из N г-символьных слов с дли­
.н ами l1, !2 . . . . , l.v явJ1яется однозначно декодируемым, то
N
'\-, r-li 3⁄4 1.
.....
i=l
(10.1)
(Это неравенство часто называется неравенством Крафта или Кра­
ф та-Сцилларда.)
Т о , что это неравенство может обращаться в равенство для не­
к от орых декодируtмых словарей, почти очевидно, так как. словар ь ,
для которого l,=' l (i= 1, 2, . . ., N), является декодируемым, если
287


l
все кодовые слова различны. Условие ·у г1 =Nг1 = 1 просто при­
..,.
i=l
равнивает N величине r 1. Так как имеются в точности r 1 различных
/-последовательностей из r символов, то условие равенства может
удовлетворяться д.'IЯ декодируемого словаря. То, что кодовые сло­
вари существуют для всех множеств чисел l; , удовлетворяющих не ­
равен ству, может показаться более удивительным.
Последователыюсть р, состоящая из r-ичных символов, назы­
вается префиксом слова w, если w = ps, где s - некоторая после­
довательность, содержащая один или более символов. Соответст­
венно посл едова тельность s называется суффиксом слова w. Опре­
делим кодовый словарь со свойством префикса, как словарь, в ко­
тором никакое кодовое слово не является префиксом никакого дру­
гого кодового слова. Если словарь имеет свойство префикса, то
каждое кодовое слово может быть однозначно декодировано сразу
же после того, как оно полностью принято. Такие словари на зыва­
ются мгновенно декодируемыми. (Тр ебование еще более короткой
задержки, т. е. требование, чтобы самые длинные слова можно бы­
ло декодировать е ще до того, как они были полностью приняты,
очевидно, было бы н епракт ичным; если бы оно было возможным,
то окончания этих слов, н е необходимы е для декодирования, могли
бы быть опущены в самом начале). Очевидно, для то го чтобы сло­
варь был м гновенно декодируемым, он должен обладать свойством
префикса . Эти два термина являются синонимами. Сформулируем
теперь теорему о том, что словари со свойством префикса и, в силу
этого, декодиру.:мые словари со словами, имеющими длины {/;},
(i = 1, 2, . .. , N), существуют для всех множеств {l;}, удовлетворяю­
щих условию (10.1).
Теорем а 10 .2 . Для любого множества {/;}, удовлетворяюще­
N
го условию ~ г1 ; ~ 1, суще~твует словарь со свойством пр ефикса,
i=l
исполь зующий /-СИМВОЛЬНЫЙ алфавит и состоящий из кодовых слов
сдлинами/1, /2, . .., lN.
Рассмотрим пример : r=2 , l1= 1, l2=2, lз=З, /4=/5=4. Тогда
5
)~ 2 -1 ; = 1 и словарь, обладающий свойством префикса, существу-
-
i=1
ет . Все словари (10.2) действительно обладают свойством префик­
са, а длины их слов удовлетворяют указанному необходимому ус-
ловию:
1
1
1о
о
о
о
0101000010101111
001 ООО 011 010 11О 111 100 1О1
(1О 2)
0001 0010 0100 О11О 111О 11О1 1О11 1001
0000 0011 0101 О 111 11 11 1100 1010 !ООО
288


Интересно, что декодируемые словари не только не обяза н ы
б ыть однозначными для любого множества допустимых длин слов,
но даже при дополнительном свойстве префикса словари могут
быть реализованы многими способами . Действительно , имеется
(:1) способов выбора первых п1 слов, ('2
n:ni) способов выбор а
следующих п2 слоn и т. д., так что общее число мгновенно декоди~
.руемых сло.ва,рей (здесь L- на1ибольшая .из дл,и1н слО1в)
N {lt} = (·r·)(r2
-
rn1 ) ·(r3
-
r
2
n1-
rn2 )
n1
~.
пз
.
.
•
•
(10 :3)
(
.rL- rL-1n1-
.••
•
-~rnL-1).
nL
Даже тогда, 11югда зада:ны длины li ,кодовых слов и тр~буется, 1⁄4Т Ь­
бы словарь был мtгновенно JJ.•екадируемым, он обычно ·шродолжает
оставаться недоо,n:ред·елен.ным и .к нему моirут быт,ь предъявлены
до1п,олн1ительные 11ре6ования .
N
Роль суммы L r-lt становится более ясной после введения п o-
i=I
нятия полного словаря. Полным словарем называется такой сло ­
варь, что для любой полубесконечной последовательности симво ­
лов найдется хотя бы одно кодовое слово, которое является пре ­
ф.иксом 0той mоследо.вательности . Как следств.ие этого , каждая .ко­
яечная ,последq·в-ателын,о,сть символов может быть ,интер1претиро·ва ­
на как последовательность 1кодовых . слов, оканчивающихся ли1бо
к•одовым словом , либо ,префиксом ·кодовог.о слова .
Теор ем а 10.3 . Если словарь · с N словами является полным, to
N
~ r-1t ;;:;: 1, где li - длина i-го кодового слова.
i=I
Теорем а 10.4 . Любые два из свойст-в
1) свойство по.r:~ноты; 2) свойство префикса; 3)
з а собой третье .
кодового словаря :
N
>,,.- 1t=1влекут
~
i=I
С л ед ст ,в .и ·е . Если -словарь является ,полным и декодиру~
мым, то он -обладает свойством 1префиКiса.
Следующие теоремы, относящиеся к полным словарям , буду~r
полезны для дальнейших исследований .
Те о р е м а I О.о. Если D - полный декодируемый словарь; .р
-
префикс некоторого слова из D, а D'(p) - множество всех суффик­
сов si, таких, что psi является словом из D, то суффиксное множе­
ство D(p) также является полным декодируемым словарем.
Теорем а 10.6 . .Если декодируемый словарь D, использующий
r-символьный алфавит, имеет N слов и является полным, то число
р азличных префиксов слов из D равно (N__. :.r)/(i-1) .
10- 281
289


Следствие. Самое длинное слово в полном декодируемом слова ­
ре D с N словами имеет длину L~ (N-1)/(r-1).
Следствие. Полный декодируемый словарь D с N словами суще­
ствует только тогда, когда N=r+л(r-l) для некоторого неотри ­
цательного целого числа л .
J0.3 . Коды Хаффмана
В э.том 11араrрафе описан алгоритм построения мгновен­
но декодируемых словарей, который минимизирует (по всем та­
ким словарям) среднее число символов, необходимое для кодиро­
вания сообщения, при условии, что каждый выход источника ко­
дируется индивидуально независимо от предшествующих и после­
дующих выходов (Это , конечно, не исключает возможности пред­
варительной обработки с целью уменьшения избыточности в выхо­
дах, как ук.азы з алось в§ 10 . 1.)
При описании алгоритма кодирования удобно ввести понятие
r-ичного дерева (рис. 10.1, r=З); каждый узел является началом
Р ис . 10. l. Троичное дерево
для г ребер; каждое ребро, в свою очередь, заканчивается узлом.
Эти узлы называются непосредственными потомками начального
узла. Если некоторый узел может быть получен из другого узла
mo последовательности непосредственных потомков, то он называ­
ете.я потомком этого узла. Приняты следующие обозначения: пер­
вый- узел никак не обозначается; его r непосредственных потомков
обозначаются r символами алфавита. В общем случае, непосредст­
венны е- потомки у з ла, обозначенного а1а2. . . а; ,
в свою очередь, обо­
зн а чаются а 1 а2 .. а;~, где ~ принимает значения r различных симво­
лов алфавита . Ясно, что все !-последовательности из ,-символьного
а лф авиrг а представляются как у з лы на дереве такого типа. Сло­
в а р ь определяется посредством отождествления некоторых из этих
у зло в с кодовыми словами и игнорированием остальных .
Если словарь д.олжен обладать свойством префикса, то ника­
кой и з потомков кодового слова н е может быть , в свою очередь ,
кодовым словом. Если узел такого словаря является кодовым сло­
мм, то в~ е уз лы , являющиеся его потомками, должны быть вы­
брошены из. дерева; каждое кодовое слово при этом является око­
нечным узлом, ко,орое не имеет потомков . Дерево такого типа на­
зьrв·ается кодовым дер евом. Кодово е дерево , соответствующее ело -
-варю•
{О,. r, 20, 21 , 220, 221 , 222}, изображено на рис. 10,- 2 . Так как
290;


все словари, которые могут быть представлены кодовым деревом:,
очевидно, являются мгновенно декодируемыми, то мы док азали
следующую теорему.
о
220
221 -222
Рис. 10 .2. Кодовое дерево
Теорем а 10 .7 . Словарь является мгновенно декодир уемым
тогда и только тогда, когда он может быть представлен в виде
кодового дерева .
Заметим, что некоторые из оконечных узлов дерева не обяза­
тельно будут принадлежать словарю, т. е . они могут соотв етство­
вать «символам источника», появляющимся с нулевой вероя т­
ностью .
Теорем а 10.8 . Множество длин {/i} слов любого слов аря, ИiО­
торый может быть представлен в виде кодового дерева , удо влетво­
ряет границе (10.1) со знаком равенства . (Опять , для того чтобы
усечь дерево, "-'IОжет оказаться необходимым включить нек оторые
кодовые слова, имеющие нулевую вероятность . )
Процедура построения мгновенно декодируемого словар я, -ко­
торый минимизирует среднее число кодовых символов , нео бходи­
мых для кодирования символа источника, была предложен а Хафф­
маном. Метод состоит в следующем. Пусть S 0 обозначает м ножест­
в о N символов источника, каждому из которых нужно поставить в
с оответствие некоторый узел кодового дерева. Возьмем r узлов, со­
о тветствующих r символам источника, имеющим наименьш ую ве­
роятность появления, и соединим их с помощью r ребер ,с одним и
тем же составным узлом. Оставшиеся N-r узлов вмест е с состав­
н ым узлом можно рассматривать как новый источник S 1, в котором
составной узел представляет новый «символ» , имеющи й вероят­
н ость, равную сумме вероятностей соединенных с ни м узло в. Ана-­
л огично соединим r наим енее вероятных узлов источни к а S 1 с од­
н им узлом и опре;;:елим тем самым другой источник S 2 с N-2 -(r-
- 1)' символами . Продолжим эту процедуру до тех пор , пока ,не .ос ..
та нется лишь один узел . Это и определит кодово е де рев о . Чис л о
ра ссматриваемых узлов уменьшается на r-1 на каж дом ш аге, по ­
этому на предпоследнем шаге останется в точности r узл ов тогда ю
то лько тогда, когда
N = r +л.(r-1),
( 10.4~
где 'А, - некоторое целое число. (Отметим, что в тако м виде можнG
пр едставить число N= га, где а - н екоторое целое.) Если N не
и меет такого вида , то следует ввести «фиктивные » символы источs
ни ка, каждый из которых имеет нулевую вероятность , с те м, чтобы
10*
29!


а)
· Сообщен11я
Вероятности
А1
0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 1,0
А2
0,20 0,20 0,20 0,20 0,40
Аз
0,10 0,10 0,12 0,18 0,20
А!,
0,08 0,08 0 , 10 0,12
Jl5
0,05 0,08 0,10
А6
0,05 0,05 0,05
А;
0,05 0,05 0,05
Ав
0,03 0,04
;19
0,02 0,03
А10
0,01
А11
0,01
б)
!11D {А9)
Рис . 10.3. Множество символов источника с
их вероятностями (а) и дерево. кода Хаф­
фмана для ·него (б) (r=3)
общее число символов, с
учетом добавленных фик­
тивных символов, удовлет­
воряло равенству (10.4).
Пример на рис. 10.3 помо­
гает понять эту про­
цедуру .
Кодовое дерево опреде­
ляется алгоритмом Хаф­
фмана не однозначно . Так ,
например, на рис. 10.36
символы А4, А5 и Ав могут
быть, очевидно, перестав­
лены, и это не повлияет
на среднюю длину сооб­
щения. Символы А5, А6 и
А 7 также могли бы быть
лереста,влены, так ,ка,к ·ве­
р-оя11ност.и •каждого ·ИЗ Н'ИХ
одинаковы.
Пр.едположим, что символы источника S с N словами представ­
ш:rюrrся: словами или некоторым словарем D. Тогда средняя длина
Ю'Jдо·вого слова определяется равенством
N
L=}:PJi,
(10.5)
i=l
где li - длина кодово го слова, представляющего i-й символ источ­
·ника, а Pi - вероятность того, что этот символ появится на выходе
источника. Очевидно, что, по крайней мере, когда каждый символ
источника кодируЕ-тся независимо от предыдущих и последующи х
символов, среднее число символов, необходимых для представления
последовательности символов источника, минимизируется при ми­
.ним.иза•ции L. Чтобы словарь <был однозначно декодируемым, мно­
же.ство. ,длин .кодовых слов {li} должно удовлеrворять rра1нице ( 10.1).
2912


Теорем а I О.~. Никакой мгновенно декодируемый словарь не
дает более короткую среднюю длину слова при представлении сим­
волов источника, чем соответствующий словарь Хаффмана .
Следствие. Никакой однозначно декодируемый словарь не
дае т более кор,оrгкую с:реднюю длину слова, чем ,с,оответствующий
с ло,ва,рь Хаффмана.
Алгоритм Хаффмана, таким образом , идеально подходит для
,с итуации, когда с помощью предварительной обработки зависи­
м о с ть между последовательными информационными с имволами
>была сведена к минимуму. В этом случае код Хаффмана исполь­
,зует каждый из r -·ич.ных ко,д•о,вых символов ~приближенно (1/r)-ю
до лю в,реме~ни ,и ·каждой символ ·в зак,одирова.нной 1п1О,следо1ватель­
но-ст,и дает -мин;имум информации относительшо -следующего за н1им
с им-вола. Это ле,гко увидеть с 1по,мощью рас,смотрен·ия соответству­
ю ще1го кодо~юго ,де,рева. ,Каждый :нешосредст.веняый 1потом,ок ,н е.ко­
т оро,г.о узла представляет са.бытие, вероятность ,ко11орото л,ри.мер:но
р а·вна ,вероятност;и событий, 1предста,вляемых другими непосредст­
,ве нными лот,омками этого узла. Соответственно ,п1римерно рав,ны
ве роя11ности появлен.ия любОiго символа вслед за любым другим, 1И
люб ой символ используется приблизительно с одинаковой частотой .
10.4.. Проверка произвольного словаря
на однозначную декодируемость
Полезным средством при анализе свойства декодируемо­
•сти какого - либо частного словаря является суффuксное разложе­
н и е словаря. Суффиксное разложение словаря состоит в определе­
нии множеств S;; эти множества определяются следующим обра ­
з о м. Множество S 0 представляет собой сам словарь , S 0 =D. Мно­
жест во S; состоит из всех п оследовательностей символов s; (кото­
,ры е :назыв-аются сегментами), та·ких, что либо s;- 11S;,= ,c, либо Si-i =
= cs;, где с--: некоторое слово из D, а si-1
-
какой - либо сегмент из
S ;- 1. Заметим, что каждый сегмент в каждом множестве S;, i~ 1
явля ется суффиксом кодового слова . Для примера пусть D = {О, 1О ,
12, 21, 112, 1122}. Тогда суффиксное разложение D может быть за -
1п.исано в .виде:
S 0 =D={0, Ю, :12 , 21, 112, 1122}, S1={2}, S2={1},
53= {О, 2, 12, 122}, S4={1,2}, Ss={О, 2,И, 122,1}...
Пр.и че.м все множества S; со,В1падают ,п,р1и i~5. Надо ~помнить , что
име ются два критерия для включения последовательности симво­
лов в некоторое частное множество . Множество S4, например, со­
ле р жит элемент 1 потому, что 21 принадлежит D и 2 входит · в 5 3.
Эле мент 2 содержится 1в S4, так .как 12 1пр.и1на1длежит D, а 122 - Sз.
Укажем следующую теорему, связывающую свойство однознач­
~ юй декодируемости с ограничением на суффиксное разложение D.
Э та теорема ~ пеiрвые была доказана Сардинасом и Паттерсоном.
293


Теорем а 10.10. Кодовый словарь является однозначно деко­
дируемым тогда и только тогда, когда никакое кодовое слово не
содержится ни н каком множестве Si (i~ 1), .
Чтобы более наглядно проиллюстрировать этот критерий , рас •
смотрим кодовый словарь D= {11, 010, 100, 110, 101, 0011} . Суф •
фиксное разложение словаря начинается следующим образом :
So=D
s,
s,
s,.
s.
s~
11
о
10-
о
1()
о
010
Oll
1
011
1
100
1
00
110
00
10
101
01
01
0011
11
Как видим, множество S5 содер,жит кодовое слово 11. Для того
чтобы построить неоднозначно декодируемую последовательность ,
выберем X5=S5= 1! ; X4=S4=00 (так что S4S5 - кодовое слово) ; Хз=
=Sз= 1 (S3S4= 100); X2=S2= 10 (S:!Sз= 101); X1=S1=0 (s1S2=010) и
Xo=So=II (s0s1=110). Последовательность sos1s2s 3S4Ss=ll01010011
может ,быть декодиро·вана .как 111 , 01 ,О, 100, 11 .и ~как 110, 101 , 001 I .
Пусть D* обозначает словарь, получаемый обращением (считы­
ванием справа налево) слов из словаря D (например , D= {1 , 01 ,
02, 012}, тогда D*={l, 10, 20, 210}) . Тогда справедлива
Теорема 10 .11. Словарь D является однозначно декодируе­
мым .тогда и только тогда, когда словарь D* однозначно декоди­
руемый.
Пусть Ns обозначает число различных суффиксов слов из сло ­
варя D, . которые сами не принадлежат D, и пусть N* s -
соответст­
вующее число для словаря D*. При этом справедлива
Те о р е м а 1О.! 2. Чтобы определить, является ли данный сло­
варь D декодируемым, необходимо исследовать не более по мно­
жеств, включая множество S 0 =D, где no~l+min(Ns, N*sJ.
В качестве примера рассмотрим кодовый словарь 10, 01, 011 ,
111. Суффиксами являются О, 1, 11, так что Ns=3. Обращенный
s,
s,
10
1
о
01
11
011
111
294
1s~1
1
11
s.
о
11
1
сло'Варь 01, 10,. 1Ю,. lt11 име­
ет ,су,ффик,сы 1, О , 10, 11 , так
что N's = 4. Не,о,бходимо ,ис­
следовать лишь четыре м1но ­
же,стна из таблицы . Так
ка-к ,НИ ОДНО .из этих че­
тыр е х множеств не содержит
кодового слова, словарь яв­
ляется однозначно декоди­
руемым. Фактически не бы'­
ло необходимости рассмат-


,ри вать даже ,четвертое м.нож·ество, ,все су~фtфлксы 1появились в 1п€р ­
вых двух м,ножест.вах. Кодо.вое слово, если бы оно tВОО16ще ,появи­
лос ь, было бы замечено в одном из первых трех множеств. Или,
что еще проще, ни одно из этих множеств не может содержать ко­
до вое слово, так как в множествах Si содержатся лишь суффиксы
и так как никакой суффикс из D не является кодовым словом из D.
Даже суфф.иксное разложе~ние ,не ·было необх,одлмым .
Интересно заметить, что, несмотря на то, что N* s>Ns, доказать
однозначную декодируемость обращенного словаря D* еще проще .
Есл и So=D*, то множество S1 пусто: ·
Все остающиеся множества также пусты, и
D* (и, следовательно, D) является одно ­
з начно декодируемым словарем. Заметим,
что D* обладает свойством префикса и без
дал ьнейших исследований ясно, что этот
с ловарь является однозначно декодируе­
'М ЫМ . Все множества в суффиксном разло­
же нии какого-либо словаря, обладающего
~ войством префикса, будут, очевидно, пус­
ты ми, так как никакой суффикс ве может
01
10
110
111
s,
в соединении с ю;ким-либо кодовым словом дать другое кодовое
сл ово. Обращение словаря, обладающего свойством префикса , дает
сл оварь, обладаюший свойством, которое можно назвать свойством
суффикса: никакой суффикс кодового слова не является кодовым
сл овом. Это следует либо из теоремы 10.11, либо из рассуждений
:п1редьщуще~го абза~ца 011нос:ительно того, ,что слова ,рь , обладающий
с войством суффикс:а, всегда однозначно декодируем.
Число различных суффиксов Ns кодовых слов из словаря D
б ыло использовано для того, чтобы получить · границу числа мно­
жеств в суффиксном разложении словаря D, которые нужно рас­
см отреть, чтобы вынести суждение об однозначной декодируемо ­
сги. Теперь используем это число Ns для других целей (например ,
для установления условия ограниченности задержки декодирова­
н ия кодового словаря). Полезно получить верхнюю границу для Ns
с помощью свойств самого словаря, не исследуя детально его суф-
1фиксов и не подсчитывая, сколько из них различных. Следующая
теоре ма дает такую границу .
Теорем а 10.13. Пусть D является словарем с N словами, со­
с тав ленным-и ·из r-символьного алфа,вита; о-боз,нач.им чер-ез Do ~под­
множество D, содержащее N0 слов (1 ~No~N) из D, которые не
являются суффиксами каких-либо других слов из D . Тогда число
Ns различных суффиксов из D, которые одновременно не являются
с лова ми D, ограничено неравенством
Ns < ~im1- N0[log,N0J+r r
1 ( rpog,N.J -I
-
1),
l
где mi - число слов в D0 длины i. Квадратные скобки обозначают
ы t сл ую часть величины, которая находится внутри них.
295,


Используя суффиксное разложение кодового словар я, можно
получить также необходимое и достаточное условие конечности за ­
держки декодирования.
Те о _ р ем а 10.14 . Кодовый словарь D является декодируемым
с конечной задержкой тогда и только тогд.а ; когда м1~,ожество Sn ·
в суффиксном разложении D -является пустым для некоторог ;
no~Ns+ 1.
Теорем а •10.15.' Если кодовый ·слснар:ь является декодируе­
мым с конечной задержкой dc, то
[ ~] lмин ~dc ~ [поt1] Zмакс,
где Sn - ' первое пустое множество в суффиксном разложении ело-
•
'
варя, а lманс и !мин - числа символов в кодовых словах максималь.-
ной и минимал~ной длины соответственно .
Величина п0 в теореме 10 . 15 ограничена сверху величиной N s+ 1,.
а не минимумом из Ns+ 1 и No''s+ 1. В то время как обращение де­
кодируемого кода декодируемо, обращение кода с конечной задер­
жкой декодирования не обязат ельно имеет конечную задержку_
Например , во з ьмем словарь D=10, 01 , 011 и 111, который рассмат­
ривался ранее. Хотя как D, так и D* декодируе мы , последователь ­
ность 01101110111П11101110111 ... могла бы во зникнуть как при пе­
редаче кодовых слов 01, 10,111 , 011, 10, 111, 011 . .., так и при пе­
редаче кодовых слов 011, 011, 10,111,011, 10 , 111, 01 . Для разре·­
шения неоднозначности необходимо эту последовательность слов и з
D продолжить до бесконечности. Напротив., обращенный код D*
имеет задержку дLкодирования, равную трем ,. так как он обладае'11'
свойством префикса .


Г лава 11
СИНХРОНИЗИРУЕМОСТЬ
11.1 . Введение
Условие декодируемости для кодового .словаря дает воз­
:можвость разбить любую последовательность слов из словаря од­
uюзначво на о,де.1ьные слова, составляющие эту последователь­
но сть, при условш,;,, что задан начальный символ последовательно ­
с т и. Во многих применениях, однако, начальный символ может не
б ыть известен; например, возможно, что была начата передача со­
об ще1-шя до того, 1,ак приемник начинает свой пряем, или во з.ник­
ш и е ранее ошибкт:! привели к неправиJiьному декодированию пер­
ло начальной части сообщения. Если такая ситуация возникла,
м ожет оказаться необходимым, чтобы ,ело·ва ,рь rбыл ,не толь.ко деко­
ди руемым, но и синхронизируемым . Последовательность слов, на­
чи нающаяся с кодового суффикса, называется синхронизируемой с
зад ержкой ds, rсш: для од,1юзначного определения начального сим­
nол а, ,по к,рай:ней мере, одного :,из ее ,ело.в нужно знать ,не более
L{, символов . Гов-орят, что словарь является синхронизируемым с
з аде ржкой ds, если он .:~екод'ируем и если ,каждая 1последо·ватель­
Lюс ть с имволов, составленная лз ,слов этого ,сло·варя, ,син:х~рон;из.и­
руе ма -е за1держкой ds или .ме,ньшей. Если термин «-сищсро.низμр,уе­
NЮсть» будет ис,пользоsаться без ,какой-либо ,ог,овор.ки, 'ГО бу)!;ет
нод разумевать,ся синхрониз1ируемо,сть ,с ко,нечной заде,ржкой.
Эта глава начинается с описания некоторых общих свойств, ко­
то рыми должен обладать словарь, для того чтобы быть - син х рони­
з и руемым . В ,следующем 1па,ра1графе ,введено ,понятие самосинхро­
пиз ируемост11 и иссле,д,ованы некоторые свойства словаря, ,связа н­
.,JJые с этим .понятием 1) . В §. 11.3 дана ,верх1няя ,граН'ица для числа
с ло·в различной дли,ны, которые м·оrут входить в какой-либо ,с,ин­
х ро низируемый словарь. Наконец, в § 11.5 описана конструкция ,
нопо льзу я которую, ,в-сегда можно достичь этой лрани:цы .
11 .2. Проверка словаря на синхронизируемость
Требование, чтобы словарь был синхрони з ируемым, на­
клад ывает на любую принимаемую последовательность кодо·вь1х
,с лов одно из следующих двух ограничений : Каждая последова­
тел ьность символов, получаемая из последовательности слов с по­
мо щью отбрасывания, по крайней мере, одного начального симво­
J 1а (но не большего числа, чем в полном слове), является либо не -
1) Представленные, в · §
_ 11 ..2 методы разработаны В. И. Левенштейilом.
,(Прttм. ,авт.). •
297


декодируемой, .тшбо декодируемой, но такой, что правильная син ­
хронизация автоматически устанавливается после того, к ак пер ­
вые несколько слов декодированы . Примером словаря , удовлетво­
ряющего обоим условиям, является словарь , который состоит и з
слов w1 =01; W2= 100 ; w3= 101; ,W4=HOl . Если , 1наmриме~р , ~первые
два символа 1последовательности , наЧ"инающейся с WzW4W i•• ·• не мо ­
гут быть использованы при декодировании, то выходом декодера
будет последовательность w1 , w3, wi . .. и синхронизм достигается ко
времени приема W; независимо от индекса ,i . Напротив, если в той
же самой последовательности был опущен лишь первый символ, то
декодер получит вначале символы 00. Так как никакое кодовое
слово не начинается этим префиксом, то декодер опознает , что­
произошла синхронизационная ошибка и выберет в качестве на­
чального какой-либо другой символ.
Те о р е м а 11.1 . Декодируемый словарь синхронизируем с ко­
нечной задержкой только тогда, когда он и его обращение декоди­
руемы с конечной задержкой.
Доказательство . Предположим, что з адержка декодировани я
для словаря D неограничена . Тогда существует некоторая после­
довательность с нещраниченной длиной , которая н е может быть
декодирована однозначно. В с:бозначениях § 10.4, где ci - сл ово, а
si - кодовый суффикс в D, типичная недекодируемая пос ле дова­
тельность имеет вид
J'
S22-СоS1SzS3С4С5С5S7SgS9С10,
.11
1_____1,
1, 1,
(11.1 )
где отметки указывают два возможных варианта декодирования :
Предположим , что нижние отметки соответствуют переданным ко ­
довым словам. Тогда отбрасывание из префикса этой последова ­
тельности символов, составляющих с1 = CoS1 , приводит к посл е дова­
тельности декодируемой с неограниченной задержкой , несмотря на
то, что синхронизация ошибочна .
Аналогично предположим, что обращенный словарь D* не деко­
дируем с конечной задержкой . Тогда опять в обозначениях § 10.4-
существует некоторая недекодируемая последовательность
11
1
1
1
\
S11С10S9S8S7S6S5С4С3S2S1Со.,
(11 .2)
1
1
1
111
1
1
которая теперь читается справа налево. (Здесь ci и Si . . .sh - слов а
первоначального кода D. При считывании справа налево они яв­
ляются словами обращенного кода . Аналогично все Si, если читат1->
справа налево, являются суффиксами и, так как задержка декоди­
рова;ния не огра1н.ичена, 1п,рефиксами в D*. Если их читать слева на ­
право, то они, следовательно, будут как суффиксами, так и пре­
фиксам;и в D .) Так как .sll, :на.пр.и ме р , является с уффиксом кодо.во· ­
го слова из D, то последовательность (11.2), читаемая слев,а на ­
право, могла бы оказаться последовательностью слсrв из D с от-
298


брошенными начал~,ными .символами. Отметки под последователь­
н остью соответствовали бы декодируемым словам, а верхние от­
м етки - переданным словам. Синхронизация не будет достигнута
до -гех пор, 1по,ка не iбуLдет ,принято с1. Но ,если задержка декодиро­
ван,ия ,обращенного кода D* не ·о.гра,ничена, то ,посл,едо ватель.ность
( 11.2) может быть произвольно большой . Таким обра з ом , в этом
сл учае синхронизационная задержка словаря D такж е н е о грани­
чена ■ { здесь ·и Lдалее ■ - Jюнец доказательеrша) .
В парагр.афе 10.4 было определено суффиксное разложение
словаря D. 'Пусть S - множество суффиксов D; рассмотрим суф­
фик,сное разложение множества S, получаемое при использовании
S , ·а не D в :качестве S 0 -,пе:р'ВО['О множества разложения . Вно~вь
и,с.пользуя об.означения § 10.4, отметим, ч ·ю любая декоди.руе,мая
n О1следо.вательность ,слов, начи1нающаяся с суффикса, может быть
з аписана в в.иде
S0X1X2X3X4 • • •,
(11 .3)
• де , как и ранее, х; обозначает либо кодовое слово ci, либо суф­
фикс слова si. Снова любая подпоследовательность этой последо­
вательности вида S;Сн1Сн2- . . C;+j-1si+j является кодовым словом . Бо­
ле е того, если ни одно из первых т множеств суффиксного разло­
ж ения не является пустым, то последовательность вида ( 11 .3) су­
ществует и содержит т элементов.
Теорем а 11.2. Декодируемый словарь D является синхрони­
з ируемым тогда и только тогда, когда некоторое множество Sn 0 в
суффиксном разложении множества S суффиксов D является пу­
стым при некотором целом no~min(Ns, N*s)+1. Величины Ns и
N* s обозначают числа таких различных суффиксов, которые одно­
в ременно не явля1е,тся кодовыми :словами в словарях D и D* соот­
ве тственно .
Доказательство Рассмотрим цепочку 1 ) сегментов из суффикс­
н ого разложения множества суффиксов S. Очевидно, что все по­
с ледовательности кодовых слов, которые могут быть декодированы
после того, как некоторые начальные символы были отброшены,
х арактеризуются какой-либо такой цепочкой. Если словарь яв­
ля ется синхронизируемым, то для всех этих последовательностей
должна всегда иметь место одна из следующих двух ситуаций,
о писанных выше: либо в процессе декодирования должно быть до­
стигнуто место, после которого невозможно произвести дальнейшее
де кодирование, либо декодирование должно войти в ·синхронизм
и привести к правильному кодовому слову. Первые из этих ситуа­
ц ий соответствуют условию, в котором некоторый сегмент из цепоч­
·к и не является элементом следующего множества. Если имеет ме­
сто второй случай то слово, которое должно в конечном счете быть
де кодировано. является либо суффиксом переданного кодового сло­
ва , составляющего эту часть последовательности, либо имеет в ка­
ч е ств е суффикса э70 переданное кодовое слово. В любом случае
1 ) Ср. с § 10.4 . (При.4'1. авт.).
299


соответствующий сегмент из суффиксното разложения будет кодо­
вым словом . Но по теореме 11.1, если словарь является синхрони­
зируемым с конечной задержкой, то он также должен быть деко­
дируем с конечноf1 задержкой. Таким образом, когда сегмент яв­
ляется кодовы~,r словом, цепочка, следующая за этим сегментом ,
должна по теореме 10.14 иметь конечную длину . Следовательно ,
все цепочки Дl)ЛЖНЫ иметь конечную длину, и некоторое множе­
ство должно быть пустым для того, чтобы словарь был синхрони:­
зи руемым. И, наоборот, если некоторое множество пусто, то все­
цепочки имеют конечную длину и либо невозможно декодировать
соответствующую последовательность дальше при заданной на­
чальной точке, либо декодирование должно войти в синхронизм с
переданной последовательностью слов.
Чтобы оценv.ть число сегментов, которые могут появиться в це­
почке ограниченной длины, заметим снова, что ни одна из них не­
должна содержать повторяющихся сегментов. Так как множество
S 0 содержит суффикс, то самое большее N 5 -l оставшихся суффик­
сов может быть ,зключено в какую-либо цепочку. Учитывая вто­
рой режим достижения синхронизма, можно сказать, что один из
этих сегментов может быть кодовым словом, а не суффиксом, но в
силу того, что словарь является декодируемым, лишь один сегмент
в цепочке может содержать слово. В соответствии с этим самая
длинная цепочка может содержать самое большее Ns+ 1 сегментов,
и множество S11 0 должно быть пустым для некоторого целого
по~Ns+1.
•
Предположнм теперь, <rто существует некоторая цепочка, содер­
жащая больше. чем N* s + 1 сегментов. Эта цепочка при чтении
справа налево соответствует некоторой цепочке в суффиксном
разложении суффнксного множества словаря D*. Так как D* де­
кодируем, то эта цепочка может также содержать самое большее
одно кодовое слово в качестве сегмента. Если она содержит более
чем No's+ 1 сегментов, то некоторый суффикс D* должен быть по­
вторен и может быть построена бесконечная цепочка. Следователь-
01
о
101
l10
01
001
10
s,
о
01
10
01
10
но, n0~N* s+l, и теорема дока­
зана ■;.
В качестве примера рассмот­
рим словарь D 1 из слов {01, 101 ,
110, 001}. Так как D 1 обладает
свойством пр·ефикса, то он, оче­
видно, является декодируемым.
Но суффиксное разложение суф­
фиксного множества словаря D 1
имеет вид, показанный в таблице ,
и так как S2 = S1, то все последующие множе·ства будут совпадать
с S 1. Словарь не является синхронизируемым. В частности, после -
довательность
1
1
1
1
101101101101
1
1
1
1
300


может быть бесконечно продолжена, причем невоз мож н о у ста·но­
вить правильную синхронизацию, если неизвестна начальная по­
зи ция.
В противоположность этому словарь D 2 ={101 , 00110, 10111 ;
11001}, который, как доказано в § 10.1, является декодируемым ,
является также и синхронизируемым в силу того , что
D,
s.=s
101
о
00110
10111
01
11001
10
11
001
110
111
0110
0111
1001
и S5 пусто.
s,
01
10
001
0110
0lll
1001
111
S2
01
10
111
0111
1001
s'
1
01
111
О 111
1001
s'
01
0111
1001
Теорем а 11.3 . Если словарь D является синхронизиру емым, '
то задержка синхронизации ds ограничена неравенством
шах{dс-lмакс, а;-zмакс,lпо2 1] lмн11} + 1~ ds ~ [по; 1] Z"акс - 1,
(11.4)
где dc и d*c - задержки декодирования словарей D и D* соответ- .
ственно; lма"с 11 . lмин - числа символов в кодовых словах D макси­
мальной и минимальной длины и Sп. -первое пустое множество в
суффиксном разложении множества суффиксов D .
Доказательство, Вывод верхней границы аналогичен использо­
ванному в теорем·е 10.15, ,но слегка усло.жне:н тем, · что 1пер,вые т
символов (О~m:s;;)манс-2) несинхронизируемой последовательно­
с ти максимальной длины не обязательно содержатся в соответ~;:т-,
вующем суффиксном разложении множества суффиксов D. {Первое
кодовое слово, которое принимается полностью, может начинаться
(т+ 1)-м символом, второе - k-м при некотором k из интервала
m<k<,lмaн c• Очевидно, что, если k?:::lманс, то (т+ 1)-й символ од-·
нозначно восстанавливается как первый символ первого правцт,-:
1-юго кодово,о слова.] Как ,и ра.нее, :есл;и по . четное, то существует'
четное число · непустых множеств в суффиксном разложении (от
'
.
30[


S o до sn :"-1), к длина самой длинной последовательности, соответ­
~твую щей этим по множествам , не превосходит (по/2).lмакс симво ­
лов. Та к как суффиксу из S 0 могут предшествовать в действитель ­
ности вплоть до lыакс-2 дополнительных символов, фактически не
входящи х в суффиксное разложение, то ds~ ( nо/2).lмакс + lмакс-2.
Если по нечетное, то длина последовательности максимальной дли ­
ны, не с одержащая суффиксы множества S 0, ограничена величиной
l(no--1) /21'1макс - Эта посл едов а телыность следует за суффиксом сло ­
ва (,по край н ей мере, 1часть ·к•О'I'О-рог.о 1пр.ина.длежит $ 0) , ·который
не может содержать больше ,lмакс-· 1 симв-оло·в . Следо1вательно , если
по нече тное, ds~ ((no+I)/2)lмaкc-1, и теорема о верхней границе
доказана.
Если словарь имеет задержку декодирования dc, то существует
последовательность длины dc-1 вида ( 11 .1) , где ни один из двух
возм ожных вариантов декодирования не может быть отброшен до
тех пор , пока не будет принят dс-й символ. Отбрасывание с0 из пре­
фикса этой последовательности приводит к последовательности
длины dс-1-(!мш, с-1) (или большей длины), которая не являет­
ся синхронизируемой . (В с0 могут входить самое большее lмакс-1
сим волов, так как cos 1 является кодовым словом . Если бы не было
0тбро шено все слово с0, то можно было бы заключить на основе
оста вшегося суффикса, что в действительности было принято Со.
И та к как оба варианта декодирования этой последовательности
нач и наются с первого символа со, то в этом случае не было бы
син хронизационной неоднозначности.) Аналогично, если обращен ­
ный словарь имеет синхронизационную задержку d*c, то существу ­
ет последовательность длины d*с-1 вида ( 11.2) , для которой еще
не устраirена неоднозначность декодирования . Та же самая после­
довательность, читаемая слева направо, является последовательно ­
стью из D, начинающейся суффиксом слова из D и имеющей дли­
ну, по меньшей мере, равную d * с-1-(.lм акс-1), и не являющейся
tш нхр онизируемой . Как и ранее, величина lмакс-1 должна быть
в ы чтена , так как по предположению можно завершить последо ­
вательность ~после получения ,первого символа .И'З со. Наконец , •рас­
суждения, приводящие к нижней границе в теореме 10.15, могут
быть использованы здесь для того , чтобы показать, что ds?,;
~[ (п0-1)/2]lмш,- Это завершает вывод нижней границы ■ .
11 .3. Самосинхронизирующиеся кодовые словари
Мы рассмотрели два механизма , посредством которых
можно осуществлять синхронизацию . Один из этих механизмов ра ­
ботает , когда 1при.нимаемая ,последовательность недекодируема
цосле определенного места: в этом случае обнаруживается потеря
син хронизации (в предположении, что ни один из символов не яв­
ляется ошибочным), и декодер должен начать декодирование по­
следовательности вновь, начиная с другого начального символа .
Эта процедура имЕ.ет то . преимущество , что она обнаруж~:~вает син-
302


хронизационную ошибку . Слова, декодированные, пока эта оши~­
ка не была обнаружена, можно отбросить, а принятая последова­
тельность декодируется вновь после того, как установлен а пра­
вильная синхронизация.
Было также отмечено, что в некоторых случаях синхрониз м по­
лучается автоматически. Декодер начинает работу с ошибочной
синхронизацией, ни в процессе декодирования фактически входит
в правильный синхронизм, никогда не достигая места, которое ои
не может декодировать . Синхронизационная ошибка никогда н~
обнаруживается, и поэтому не делается попытка исправить непра­
вильно декодированные до установления синхронизации слова. Тем
не менее этот :"11етод синхронизации имеет важное преимущество.
состоящее в том, что он не приводит к дополнительному усложне­
нию аппаратуры. Декодер достигает синхронизма без какого-ли.бо
видоизменения.
Последовательности, которые имеют то свойство, что декодер
автоматически входит в правильный синхронизм даже тогда , когда
начальные символы составляют суффикс слова, а не само кодовое
слово, будут называться самосинхронизирующимися по-следова­
тельностями. J:::слн любую последовательность слов из декодируе­
мо го словаря D, 11ачинающуюся с какого - либо суффикса какоrо­
либо слова из D, можно сделать самосинхронизирующейс я после­
до.ватель,ностью, 1присоедин-и,в :к ней в ,конце mоследо,ват.ельность
конечной длины, со,ст,оящую ,из слов, то D называется абсолютно
самосинхронизарующимся словарем. Если некоторые или никакие
из этих последовательностей не могут быть сделаны самосинхро­
низирующимися, ,о словарь называется соответственно частично
самосинхронизирующимся словарем или никогда самонесинхронизи­
рующимся слоаарем. Здесь не накладывается никаких ограничений
на время до возникновения самосинхронизации; такие коды могут
быть, а могут и не быть синхронизируемыми с конечной задерж­
кой . Однако даже в случае, когда задержка является потенциаль­
но бесконечной, вероятность того, что бесконечная последо ватель­
ность слов, выбираемых случайно из самосинхронизирую щеrося
словаря, в конечном счете не войдет в синхронизм, равн а нулю.
Действительно, вероятность того, что на каком-либо этапе не бу­
дет выбрана обязательно синхронизирующая последовательн ость,
меньше единицы, так что это событие может произойти бесконеч­
ное число раз только с вероятностью ноль.
Часто · желательно, чтобы словарь был либо абсолютно само­
синхронизирующимся, либо никогда самонесинхронизирующимся в
за висимости от того, является ли простота процедуры декоди рова­
ния более или менее важной по сравнению со способностью обна­
руживать момент, когда происходит ошибка синхронизац ии. Час­
тично самосинхронизирующийся словарь, в силу того что он дол­
жен производить синхронизацию при отсутствии самосинхр онизи­
рующейся последовательности, не обеспечивает ни снижения слож­
ности декодера, · ни гарантирует обнаружения всех ошибок синхро­
низации.
303 ·


Теорем а 11.4 . Словарь D будет никогда самонесинхронизи­
рующимся в том и только в том случае, когда никакие суффиксы
О не являются одновременно кодовыми словами D.
Доказательство . Если имеется такая самосинхронизирующа~ся
последовательность, как, например, (в обозначениях § 10.4) после­
дьвательность
(11.5)
в которой верхние отметки (представляющие декодированные сло­
ва в присутствии ошибок синхронизации) и нижние отметки (от­
мечающие пер.:щанные кодовые слова) будут находиться в фазе
после получения суффикса sв, то суффикс sв сам должен бьrть ко­
довым словом. Наоборот, всякий раз, когда суффикс so в ,Р являет ­
ся также некоторым кодовым словом с 0 , последовательность s0 , по ­
лучаемая отбрасыванием префикса из кодового слова с этим суф­
фиксом, является самосинхронизирующейся. ■
Словарь D 1 из § 11.2 порождает некоторые самосинхронизирую­
щиеся последовательности, · поскольку все сегменты суффиксного
разложения суффиксов словаря D1 содержат слово 01. Очевидно,
однословная последовательность 101 является самосинхронизирую­
щейся при удалении первого символа, так как 01 также является
кодовым словом. В противоположность этому словарь D: из того
же самого параграфа согласно теореме 11.4 будет никогда самоне ­
еинхронизирующимся.
Абсолютно самосинхронизирующийся словарь D должен обла­
дать следующими двумя свойствами:
l. Любая полубесконечная последовательность слов из D дол­
жна быть декодируемой в виде другой (возможно отличной) после­
довательности слов из D независимо от числа начальных символов,
Qтброшеыных в этой последовательности . Словарь, обладающий
э;r.и.м св:ойством, называется разбиваемым.
2. Должны существовать конечные синхронизирующие последо­
вате:льн,о,сти, состоящие из кодовых слов, которые способны обес­
печить достижение синхронизма для любой из этих разбиваемых
последов,ательностей. Это означает, что для каждой последова­
тельности кодовых слов у, которой предшествует любой суффикс х
.цюбого кодового слова, должна существовать сцнхронизирующая
последовательность z кодовых слов, такая, что последовательность
xyz может быть полностью декодирована. (Так как z состоит толь­
ко из кодовых слов и так как последовательность xyz должна окан- _
чщваться словом, а не префиксом, то декодер должеа достичь син­
хронизма, по крайней мере, ко времени, когда, будет полностью
декодирована последовательность xyz.)
_ , . Следующая теорема представляет собой прямое следствие вто­
JРОГО ИЗ ЭТИХ СВОЙСТВ.
304


Те о р е м а 11.5. Если декодируемый словарь является абсо ­
л ютно самосинхронизирующимся, то он должен обладать свойст­
вом ~префикса.
Доказательство. Предположим, что рассматриваемый словарь
не обладает свойством префикса, так что р одновременно является
к одовым словом и префиксом слова ps. Так как словарь является
а бсолютно самосинхронизирующимся, то должна существовать
де к,адируемая ~последовательность ,sz, где z -1последо·вательно,сть
кодо:вых слов. Но тогда J].екодир·овани,е ,по,следователЬiности psz
возможно, mo меньшей мере, д,вумя опо-со,бами : в одн,ом случае де­
коди,ро,вание начинается к•одо.вым слово ,м р, ·во вт0tром - .кодо.вым
сл овом ps. · Следо.вательно, ,словарь не может быть одно·временно
сама~синхрон,изи·руюшимся 11 .декодируемым, если а~н не обладает
С·ВОЙСТВ-ОМ :п•ре,фикса .•
Разбиваемость, которой требует абсолютная самосинхронизиру­
е мость словаря, очевидно, имеет место, когда словарь полный, но,
к сожалению, нужно иметь в виду некоторые другие соображения.
Те о р е м а 11.6. Синхронизационная задержка декодируемых
полных словарей является бесконечной, кроме случая, когда все
с лова содержат только один символ .
Доказательство. Если некоторое слово из словаря содержит
б олее одного символа, то имеется , по крайней мере, один символ
(назовем его а), киорый не является кодовым словом . Это утверж­
дение является следствием того, что словарь должен обладать свой­
с твом префикса (теорема 10.4) . Тогда последовательность ааа . ..
11редставляет собой последовательность кодовых слов длины два
или больше, так как словарь является полным, а символ а не яв 0
л яется кодовым словом. Но эта последовательность, очевидно, не
с инхронизуемая. Если отбросить первый символ, то последователь­
ность останется той же самой; не существует способа определения
первого· символа любого слова этой последовательности.
В силу этого может быть полезным рассмотрение словарей, ко­
торые обладают свойством префикса и которые являются разби­
ваемыми, но не полными. Для того чтобы описать такие словари,
удобно определить пополнение D' словаря D таким образом , чтобы
объединение D· и D' было полным декодируемым словарем. Если
D обладает свойством префикса, но не является полным, то всегда
можно добавить к нему слова так, чтобы получить словарь, кото­
рый будет полным, но все еще будет обладать свойством префикса.
С истематический метод выполнения этого построения состоит в вы-
11исывании всех L-последовательностей (где L - длина самого
дл инного слова из D) и определении тех, которые не имеют в каче­
с тве лр,ефиксов ,слова из .D. Эти 1послед1ние L-,последователь,носги
мо гут быть отнесены к множеству μУ. Хотя такая конструкцr:~
11риводит к неоднозначному определению D', она будет использова-
11а в последующем рассмотрении. Пусть далее S будет множеством
с уффиксов {si} в D и пусть S 1 будет множеством элементов {х;},
11ричем х; принад,:ежит множеству S 1. _тогда и только тогда, когда
305


SjXi=c' для некоторой L-последовательности с' из D' и некоторого
суффикса s j из S.
Теорем а 11.7 . Словарь D, обладающий свойством префикса ,
будет разбиваемым тогда и только тогда, когда никакой элемент
из множества S 1 не является префиксом в D и не допускает пред ­
ставления в виде последовательности слов из D, за которой сле­
дует, ,возможно, ,п1рефи.кс .из D .
Доказательство. Если условие теоремы нарушается, то сущест­
вует, очевидно, некоторый суффикс некоторого слова из D, который
в случае, когда за ним следует последовательность слов из D, дает
последовательность слов, содержащую некоторое слово из D'. Так
как словарь D +D' обладает свойством префикса, то эта же после ­
довательность не может быть декодирована в виде последователь­
ности слов лишь из D и D не будет разбиваемым. _
Обратно, 1п•ред1положим, что .им•еется некоторая ~последователь­
ность ,слов .из D (~начинающаяся суффи:ксом из S), которая не яв­
ляется ра з биваемой . Тогда первая недекодируемая часть этой по ­
следовательности должна начинаться словом из D'. Это
может
произойти , только если существует суффикс в S , за которым мо ­
жет следовать последовательность из нуля или более слов из D ,
оканчивающаяся, возможно, префиксом из D, что даст слово из D'.
Такая последовательность была бы элементом из S 1 и имела бы
вид , запрещенный условием теоремы . (Заметим, что никакой эле­
мент из S не может сам быть словом из D', так как все последни е
имеют длину L, в то время как все первые имеют длину, меньшую,
чем L.) Это доказывает теорему ■.
Для того чтобы показать, что множество разбиваемых -, но не­
полных словарей не является пустым, рассмотрим словарь D 1 =
= {1, 01 , 001, 0001}. Единственным словом, которое необходимо до ­
бавить для того, чтобы сделать множество полным, является 0000.
Но, так как S= {1, 01 , 001}, то S1 является пустым, и D1 являетс я
разбиваемым. В качестве второго, менее очевидного примера, рас­
смотрим словарь :02 ={1, 001, 0001, 011, 0101 , 01001, 010001} . Тог­
да D'={OOOOOO, 000001, 000010, 000011, 010000}, S={I, 01, 001, 11 ,
101, lООГ, 0001, 10001} и S1= {0000}. Поскольку никакая последо­
вателыность слов из D2 не нач.инается с 10000, то D2 1раз-би.вае.мый.
До сих пор мы имели дело с первым из двух условий, необ­
ходимых для того, чтобы словарь был саl\iосинхронизирующимся .
Напомним , что второе условие требует существования синхрони­
з ирующей последовательности для каждой возможной последова­
тельности слов, начинающейся суффиксом слова.
Для того чтобы облегчить рассмотрение необходимого и доста­
точного vсловия существования синхронизирующих последователь­
ностей, введем суффиксное множество Q, определяемое как мно ­
жеспю таюiх суффиксов некоторого словаря D, которые не явля ­
ются словами из D и не имеют в качестве префиксов слова из D .
Так, если D = {О, 100, 101, НО, 11'110, 11'11}, то Q={1, 10, 11 , 111}.
306


Теорема 11.8 . Разбиваемый декодируемый словарь D являет ­
с я абсолютно самосинхронизирующимся тогда и только тогда ,
когда каждый из элементов обращения Q* суффиксного множест­
в а Q содержится, по крайней мере, в одном множестве суффикс ­
ного разложения обращенного словаря D* .
Доказательство. При заданном разложении D* мо ж но по­
-строить последовательность вида (ер. с§ 10.4)
1
1
SgS7с6С5С4SзS2С1 ,
1111
11
гдf последоват,ельность читается справа налево. Отметки отделя­
ют подпоследовательности, которые являются словами из D *, а
при чтении слева направо словами из D. В этом частном примере
sв является суффикс'?м из D и верхние отметки отмечают декоди­
рование, начинающееся с ss, которое приводит к синхронизму, ког­
да 1пр,инимается слово с1, что указано с помощью нижних ,отметок.
Если такая последовательность существует, то существует, оче­
видно, синхронизирующая последовательность для любой после­
довательности кодовых слов. которая, будучи декодирована асин­
хронно, оставляет в качестве суффикса элемент, отмеченный в
данном случ.ае через ss. Так как Q содержит все возможные суф­
фиксы из D, которые не могут быть частично декодированы сами
по себе, то словарь абсолютно самосинхронизирующийся, если каж­
дый ,элемент Q* содержится в неко-тором сегменте ,разлож,ения D*.
Обратно, если имеется некоторая синхронизирующая последо-­
вательность для некоторого суффикса из Q, то можно разложить
е е на сегменты так, как это было сделано выше в частном приме­
ре. Эти сегменты, читаемые справа налево, определяют элементы
последовательных множеств суффиксного разложения обращенно­
го словаря D*. Рассматриваемый суффикс должен содержаться в
некотором множестве этого разложения, так что условие, указан­
н ое в теореме, является как необходимым, так и достаточным. ■
Рассмотрим опять словарь D1={l, 01, 001, 0001}. Здесь Q яв­
л яется пустым, так что условие теоремы 11.8 тривиально. Очевид­
но, что поскольку каждый суффикс является кодовым словом, сло­
в арь является абсолютно самосинхронизирующимся и в действи­
тельности является синхронизируемым с минимальной задержкой.
Вторым из рассмотренных разбиваемых словарей является сло­
в арь D2 = {1, 001, 0001, 011, 0101, 01001, 010001}, для которого
Q = {01}, Q*={~O}, а первые два множества в разложении D*~
S o=D*2-= {1, 100, 1000, 110, 1010, 10010, 100010}; '
S 1 = {О, 00, ООО, 10, 010, 0010, 00010} .
Т ак как S 1 содержит единственный элемент Q*, то этот слог,арь
т акже является абсолютно самосинхронизирующимся.
В противоположнрсть этому словарь Dз= {11, 00, 01, 1000, 1001,
1О i О,' 1О 11} является · полным и декодируемым ,. Но Q = {О, 1, 1О};
307


Q* = {О, 1, 01}. и разложение D* 3 имеет вид S()=D*3 = {11, 00, 10,
0001, 1001, 0101, 1101}; S1={01}; S2={01}; S 3 ={01} . Все последую­
щие множества содержат лишь 01, так что \/] 3 не является абсолют­
но самосинхронизирующимся словарем. В частности, никакая по­
следовательность с.тюв 1не может ,быть пр•исоедин.ена к ,какой-либо
последовательности, начинающей~я с суффикса, имеющего нечет­
ную длину, для того чтобы сделать ее самосинхронизирующейся ,
так как все последовательности слов имеют четную длину и любая
последовательность начинающаяся суффиксом, имеющим нечетную
длину, за которым следуют кодовые слова из D3, будет иметь не­
четную длину. Это рассуждение можно, очевидно, обобщить и сфор­
мулировать следующую теорему.
Теорем а 11 9. Любой словарь, имеющий слова с длинами, об­
щим делителем которых является некоторое целое число Ь, боль­
шее единицы, не может быть абсолютно самосинхронизирующимся.
(Заметим, в частности, что это относится ко всем словарям, имею­
щим одинаковые длины слов Ь> 1.)
Поскольку множество Р всех префиксов слов словаря, по-види­
мому, более удобно для использования, чем множество Q, то полез­
ной оказывается следующая теорема .
Теорем а 1·1 .10. Если множество Q в формулировке теоремы
11.8 заменить на Р (множество префиксов словаря D), то теорема
остается справедливой .
Доказательство. Ясно, что для того, чтобы словарь был разби­
ваемым, все элементы Q должны содержаться в Р. Условие теоре­
мы 11.8 при замене Q на Р, конечно, будет достаточным . Для того
чтобы доказать необходимость этого условия при замене Q на Р,
покажем , что каждый элемент Р''' должен содержаться в некотором
множестве суффиксного разложения D*, если это утверждение
справедливо для каждого элемента Q*. Это следует сразу же в си­
лу того, что любой элемент р* из Р* может быть использован для
построения слова, имеющего либо вид w"'t =w*2w*з ... w*zp* , либо
вид w*1=q*w*2w* 3... w*zp*, где w*i - слова из D* , а ,q* принадле··
жат Q*. Поскольку в каждом из этих двух случаев все слова из
D* содержатся в множестве So и все элементы Q* содержатся в
некотором множестве, то же должно быть верным для всех эле ­
ментов Р*. ■
Оценим теперь число множеств суффиксного разложения D* ,
которое нужно исследовать для того, чтобы узнать, можно ли сло­
варь D классифицировать ю:1.к абсолютно самосинхронизирую ­
щийся.
Теорем а 11 .111. Если разбиваемый декодируемый словарь D
является абсолютно самосинхронизирующимся, то требуется про­
верить не более п 1 множеств суффиксного разложения D*, чтобы
-,1.ста:новить, .выполняются ли условия теоремы 1,1 .8, где п, ~Nр и
где Np - число ,префиксов ,ИЗ !)_
•
1()8


Доказательство. Прежде всего, заметим, что N Р =N* s, · т.
е.
число префиксов D равно числу суффиксов D*.
Доказательство
после этого становится аналогичным доказательству теоремы 11.2 .
Каждая запись элемента в некоторое множество зависит только от
элементов предыдущеl·о множества. Поэтому после некоторого
множества, содержащего только элементы, которые уже появля­
лись в предыдущих множествах, никаких новых элементов в раз­
ложении не появится. Необходимо лишь выяснить, как долго будут
появляться новые сегменты в каждом множестве. Так как сущест­
вует лишь N*s = N р .возможных сеrме1нтов, теорема ,ДО'Каза.на. ■
Наиболее простые разбиваемые словари - это полные словари.
Основной недостаток этого класса словарей состоит в их неогра­
ниченной синх•р -олиза,ционной эащержке (теорема 11.6). Этот .недо­
статок можно преодолеть, однако, используя универсальную син­
хронизирующую последовательность. Универсальной синхронизи­
рующей последовательностью называется последовательность , ко­
торая эффективно декодируется независимо от предшествующег о
ей суффикса . Если периодически вставлять такую последователь ­
ность в поток кодовых слов, то можно быть уверенным, что деко­
дер будет в синхронизме после декодирования этой последователь­
ности, даже если до этого он не был в синхронизме. При этом, ко­
нечно, вносится избыточность в систему, но то же самое происходит
и при всех других методах синхронизации, рассматриваемых в этой·
главе. Другие рассматриваемые методы используют более силыrые
ограничения на число слов в словаре по сравнению с тем ограниче­
нием, которое наложено условием де1,одируемости. Метод универ ­
са,1ьной синхронизирующей последовательности позволяет исполь­
зовать полностью декодируемый словарь, но при этом необходимо·
периодически включать кодовые слова, не переносящие информа­
цию. Покажем теперь, что такие последовательности существуют~
Теорем а 11.12 . Для любого абсолютно самосинхронизирую­
щегося словаря существует универсальная синхронизирующая по,­
следователь ность.
Доказательство. Так как словарь является абсолютно само­
синхронизирующимся, то для каждого суффикса s существует по­
следовательность кодовых слов а, такая, что любая последователь-
1-юсть кодовых слов ПQСЛе приема пос.rr~довательности sa будет
декодирована синхронно. Построим универсальную синхронизиру10-
щую последовательность следующим образом. Пусть wL -
одно,
из кодовых слов максимальной длины L. Оно будет первым cлoвorvr
в синхронизирующей последовательности. Любая несинхронно де ­
кодируемая последовательность, за которой следует слово wL, бу­
дет давать в остатке один из L--1 возможных суффиксов этого,
слова. Если последнее декодированное слово было словом wL илн
суффиксом wL, то синхронизм уже достигнут. Предположим поэто-­
му, что остаток после последнего декодированного слова является
таким суффиксом s1 слова wL, который не является кодовым сло­
вом. Тогда должна существовать синхронизирующая последова-
309


-тельность <J1 для этого - суффикса s1. Предположим вместо этого,
·что остается суффикс s2. Обозначим тогда через
- s' 2 суффикс, остаю­
щийся после декодирования сегмента s 2<J1, и присоединим синхро­
·н изирующую последовательность <J2 этого суффикса к универсаль­
ной синхронизирующей последовательности, которую мы строим.
J3 общем случае ,суффикс si приводит после декодиров~щия после­
довательнGсти si,<J1<J2 ... <Ji-1 к суффиксу s'; , для которого, в свою оче­
·редь, синхронизм достигается с помощью последовательности слов
oj. Поступая таким образом, можно построить универсальную син­
хронизирующую последовательность вида ~ =WL•<J1•<J2<J3. •• <JL-1 , так
что, -есл,и JС)"ффикс si сло.ва wL ,остается, когда дек,01дер вшервые
,сталкивается .с этой посл·едО1ватель.ностыо, то синхронизм бу1дет
достигнут ко времени, когда будет получена подпоследовательность
,<Ji, ,и, ко;нечно, сишхр-он.из,м сохра .н,ится 1во .время декодирования ос ­
:т.а вшейся части синхронизирующей последовательности ~ - ■
Рассмотрим в качестве примера полный словарь D= {00, 111 ,
JlOO, 1101, 1000, 1001, 1010, 1011, 0100, 0101, 0110, 0111} . -
Имеем
D= {00, 111, 1100, 1101, 1000, 1001, 1010, 1011, 0100, 0101, 0110,
О111};
P=Q={O, 1, 11,100, 01, 101 , 10,010,011,110};
.So=D* = {00, 111, 0011, 1011, 0001, 1001, 0101, 1101, 00'110, 1010, 0110,
HlO};
•
.:S1 ={П,O l, 10, О-};
5 2 = {11, 01, 110, 11, О, 011, •001, 101, 010, J 10}.
-Поскольку множество Р* содержится в S2, то словарь является аб­
,солютно ·самосинхронизирующимся. Универсальная синхронизи-
рующая последовательнос1'Ь может начаться, например, с четырех­
симв-ольн10,го .слова wL=Ol 11. Тmда, есл,и суффикс, остающийся
после декодирования последнего слова, предшествующего этой по~
,следователыност.и, 1равен s 1 = ,111, то синхр,онизм уже достиг.нут .
Если су1ффиксо.м будет s2 = 11, то с.инх.рон.изирующая 1п0~след:ова­
тельность для него будет 'состоять из одного слова 00, т. е .
•
01 11100 1
1
1 ,.,
-так что универсальная синхронизирующая последовательность при ­
обретает вид 011100. Наконец, если остается суффикс sз= 1, то
,суффиксом s13 будет 100 и в качестве <Jз можно выбрать слово 0111 .
Полная универсальная синхронизирующая последовательность при
этом равна ~ =0111 ООО 111. Другая последовательность могла бы
быть построена, есщ-1 начать с некоторого другого четырехсимволь­
ного слова. Наиболее короткая унив~рсальная синхронизирующая
·nоследовательность 1000111 получается, например, когда выби­
рается WL= ЮОО.
Те О'р•е м а 11.13.-
Каждый самосинх:ронизирующийся кодовый
;,с ловарь· имеет универсальную синхронизирующую , последователь-
.J! О


ность д.rrины не большей, чем 'А, где 1. ~
[ 1Zii3] L(L-'1')' и· где n1
определяется так же,· как в теореме 11.1; iL - длина максимально­
го кодового слова, а квадратные скобки обозначают целую часть
стоящей в них дроби.
Доказательство . Для заданного разложения D* можно так же.
как и в доказательстве теоремы 11 .8, построить синхронизирующук,,;
последовательность для любого суффикса из Q. Самая длинная из:
таких ~последовательностей ~будет содержать п 1 сегме~нто,в и КQДО'­
вое сло·во в конце . Последовательность, ,пос11роенная из эт.их С€Г'­
ментов (см . § 10.4), такова, что любые два смежных · сегмента
имеют длину не более L символов . Следовательно, длина любой та­
кой последовательности не больше, чем {(n1i2) +l]L, символов, если'
121 четное, и {(n1+3)/2JL символов, если п 1 нечетное . Согласно кон-­
струкции из теоремы 11 . 12 универсальная синхронизирующая по ­
следовательность состоит не более чем из L-1 таких последова ­
тельностей. Таким образом, теорема доказана . ■
Мы говорили, что обычно словари должны быть либо абсолют-­
но самосинхронизирующимися, либо никогда самонесинхронизи-­
рующимися . Первые имеют то преимущество , что они не требую т­
какого-либо дополнительного оборудования для получения син ­
хронизации. Часто , однако , здесь возникают трудности из-за воз­
можной . неограниченной задержки синхронизации . Как было пока ­
зано в, теореме 11 . 12, ее можно устранить с помощью периодичес ­
кой передачи универсальной синхронизирующей последовательно ­
сти; такие последовательности существуют для всех абсолютно са­
мосинхронизирующихся кодов . Кроме того, хотя все полные коды1
имеют недостаток (неограниченную задержку), не все самосинхро ­
низирующиеся коды таковы. Любой словарь вида Dп= {1, 01, 001 .
001, 00001 ... } (содержащий все слова вида 00... 01 вплоть до дли-­
ны п), 1в котором все суффиксы та'Кже являются кодовыми слова-­
ми, очевидно, является самосинхронизирующимся с конечной за-­
держкой. В действительности эти коды можно было бы называть.
мгновенно синхронизируе.мы.ми , так как синхронизм получается •
автоматически после приема любого полного суффикса. Длины•
слов в - этом частном словар_е D ;, таковы, что
Следовател,ьно, Dn почти достигает верхней границы в неравенстве '
Крафта, определяющем свойство декодируемости . Ограничение на
синхро;низ,ируемость ,не обязательно значит€льно ув·ел~ичивает -избы 0-
точность кода, тю сравнению с той, которая требуется лишь для·
однозначной декод.ируемост,и. Вопрос о максим,альном числе слов в1
си~нхронизируемом словаре рассматривается · в следующем !Пара­
графе .
311 1


,11.4. Верхняя граница для числа слов
в синх;ронизируемом словаре
Пусть w обозначает п-последо~ательность, а wi - обо­
:значает п-последовательность, поJiучаемую циклической переста­
нош<ой символов w на ,i позиций вправо . Таким образом, если
::щ .= (ffiou)i.,.(I)п-1), то wi= (ffin-iffin-i+! , . . Wn-11ffiQ,,. ff in-i -1). Если - W1=
= wi2 для некоторого целого i, то говорят, что -w1 и ,w 2 принадле­
.жат одному и тому ?К,е . классу эквивалентности . Максимальное чис­
до _ различных слов дли ны п в классе эквивалентности равно, оче­
видно, п, так как wn=w для любого слова w. Некоторые классы
эквивалентности, которые называются вырожденными, содержат
lV,!еньше, чем п слов. ~[Сло во w = (00 ... 0), например, является единст­
I!енным словом в свеем классе эквивалентности. ] Если w принадле­
:жит вырожденному классу эквивэ.лентности, то w = wi для некото­
рого цел_ого i из интервала 1~,i~n- 1.
Если словарь синхронизируем (с ко1-Jечной задержкой), то он,
очевидно, не мо:жет содержать двух слов из одного и того же
класса эквивалентности. Если не считать префикс, то последовэ.­
тельности слов www ... и re,iwiwi .. . тождественны и не существует
,-способа определения на чальнuго символ а такой , последовательно­
сти, если как "и-', так и wi принадлежат словарю . Аналогично ни­
какой синхронизируемый словарь не может содержать ,шкакого
,слова из вырожденного класса эквивалентности. Если w =wi, то
бесконечная последовательность шww ... не изменяется, когда пер­
вые i символов отбрасываются и не существует способа определить,
J<акой символ является начальным символом кодового слова.
Таким образом, показана справедливость следующей леммы .
Л е м м а 11.1 . Число п-символьных слов в любр м синхронизи­
руемом коде, составленном из r-символьного алфавита, ограниче­
но величиной N(n, r), где
N(п,r)=W(п,r)/n
( 11.6)
и где W(n, ,r) - число п-последовательностей, принадлежащих не­
в·ырожденным классам эквивалентности.
Рассмо'Грим в качест,ве -примера множ·ест.во д.во·ичных .последо­
вательностей длины 4. Кла-ссы экв•ивалештности, содержащие ~по­
следовательности длины 4 0000 и 1111 , .имеют только ,по од,ному
элементу, клаес, соде,ржащий iПОслед.овательн-ости длины 4 0101,
1010, содержит лишь эти д.ва элем-ента. Оставшиеся 24 -2 -2= 12
4 -последо1в.а тель.н1остей ,принадлежат невырож,J,е-нным ,кла,ссам экв·и­
~зален1шости. Следо·ватель.но, имеется точно 12/4 = 13 таких классов,
каждый из которых вносит самое большее одно слово в любой
,,с ловарь, который будет синхронизируемым . Существование син­
хронизи руемого словаря •с тремя словами доказывается примером
множества {0001, 0011, 0111}.
Если n°посJlедовательность :имеет то свойство, что w = w v ,'J.'IЯ
некоторого целого · v,i' то · говорят, что она периодическая с перио-
:з1,2


дом v. Слово длины п принадлежит вырожденному классу экви ­
валентности тогда и только ·тогда, когда оно является периодичес­
ким с некоторым периодом O<v<n. Следующие две леммы будут­
полезны при определении числа слов W (11, r) в невырожденных..
классах эквивалентности.
Лемм а 11 .2 . .Если последовательность w длины 11 является пе­
риодической с периодами '\11, v2, . . . и есл и v1 наименьший из этих пе­
риодов, то
1. v1 \ Vi для всех i (т. е. v-; = l;v 1 для некоторого целог() l;);
2. V1 11.
•
Доказательство. Пусть Vi= ,q1v1+r;, где qi - неотрицательно~
целое число, а r; - целое число из интервала O:::;;r;<v1. Если w ·
•
V-
q.v,+r.
является периодической с периодам_и Vi и "'1 , то W= ,w '=.w''
'-
r.
=W'.Так
как \' 1 является наименьшим целым i, для которого
wi=w, то отсюда следует, что •ri~V1 или r;=O. Но так как ri при­
надлежит интервалу o:::;; ,r;<v1, то r.,=0 и ' vi=qiv1 для некоторого,
целого q;. Это справедливо для всех периодов v; последовательно­
сти w, в пом числе для v; == п. Лемма доказана. ■
Лемма 11.3. ПустьА
-
rюдмножество элементов множест­
ва S, имеющих свойства а; обозначим через IN(A) число элементо в
в А. Тогда число элементов в S, имеющих ка1{ое-либо из свойств
а1, а2,... , ат (т. е. число
элементов в 11шожестве А 1 +А2+ .. . +Ат),
равно
(11. 7},
i i<i k<i
где N(A;,Aj. --Av) - число элементов, имеющих все свойства,
а;, aj,••·, av (т. е . число элементов в множестве AiAj-•·Av) .
Доказательство . Доказательство проводится индукцией по rn ..
Очевидно, если т = 2, то
N(A 1+А2) =N(A1) +N(Az)-N (А1А2),
так как число элементов в А1А2 включается как в N (А1), так и в:
N (А2) и, следовательно, подсчитывается дважды в сумме N ( А1) +
+N(A2). Предположим теперь, что лемма справедлива д.п:я неко­
торого 111~2 . Тогда, положив B=A 1+Az+ ... +A m, получим
N(Am+I+В)=N(Ат+I)+N(В)- N(Am+IВ).
(11 .8) ,
Но так как В и Ат+1В представляют собой сумму (объединение) ·
т подмножеств, то как N(B), так и N(.4т+1В)=N.(А1Атн+
+А2Ат+1 + .. .+ArrAm+1) удовлетворяют равенству (11.7) согласно ,
предположению индукции. Объединяя (11.7) и ( 11.8) , ,получаем вь1;-­
ражение, эквивалентное (11.7), но содержащее т+ 1 подмножеств , .
и доказательство леммы следует из принципа индукции ..
Теперь можно доказать следующую те.орему.
31 3;


Теорем а 11.14 . Число п-сищюльных слов из ,r-ичного алфав и ­
·rа в синхронизируе,м-ом коде не может ,быть ,больше, чем
'
1'1
/d
N (n, r) =-;; ~μ(d)rn ,
(11.9)
djn
где суммирование производится по всем целым d, которые являют­
ся делителями п и где 1 )
1
1приd=1;
J! (d) = (- l)k при d=P1 Pz···Pk (Р1, Р2,... , Рk~различные простые ; числа) ;
.
О
в остальных случаях .
Доказательство . Предположим, что w - вырожденная п-по­
с ледовательность с минимальным периодом v. Согласно лемме 11.2
период rv должен, очевидно, равняться n/d, где d - некоторый це­
лый делитель п. Очевидно, что w также вырожденная последова -
телыность с_ ~периодом l v irдe l - некоторое целое число . Та•к как
.л юбое цел,ое d можно за1писать в виде mро,изведения стеmеней tПрос­
тых чисел, то 1полу,чаем, что v=nfd<n Я'Вляется !Пе~риодом w только
тогда, ·когда cl v =n/р, 1где р - некото'рый ,простой делитель п. Для
того чтобы найти число Wd(n, r) вырожденных п-последовательно­
•стей, необходимо, следовательно, лишь подсчитать число тех п-по­
rеледовательностей, которые имеют какой -либо из периодов n/pJ ,
-где (Р1, pz, ..., р1) - множество простых делителей п . Но если ·w яв ­
ляется п - последовательностью с периодом n/d, то она должна иметь
в ид w=ss.. .s, где s - некоторая (п/d)-последовательность . Так как
любая п -последовательность такого вида является периодической
,с периодом n/d, то существуют точно rn/d п-последовательностей,
имеющих этот период. Таким образом, используя лемму 11 .3 и за ­
tмечая согласно лемме 11 .2, что w будет вырожденной с периода­
ми n/pJ для всех j= j1, j2, .. ., jμ тогда и только тогда, когда она
также вырождена с периодом n/pi, Pi, . .. Piμ , получаем
\,...,
n/p. ~ ,...,
п/р. рj
Wd(n,r)=2..r
'- ,i,.,JLJr ' +
i i<i
+ L~ ~ /fP;PjPk· ·· -( -1)1/IP,P, .. , P/.
i i<i k<i
(11 .1О)
Поэтому число невырожденных п-последовательностей равно
W(n, r ) =rn-Wd(n, r) ; максимальное число п-последовательностей
в синхронизируемом коде равно 1/п-й этой величины (лемма 11 .1).
Т еорема доказана .
Теорема 11.4 основана на том, что никакие два слова с одной и
той же длиной в с инх,ронизи•руемом .коде ,не мо,гут ,принадлежать .к
од1-юму и тому же классу эквивалентности и что ни одно из слов
1 ) Функция μ (d) называется μ-функцией Мебиуса . Она часто встречается 11,
к омбинаторных задачах . (Прим. авт.) .
.3 14


'
не принадлежит вырожденному классу эквивалентности. В случае .
когда словарь содержит слова неодинаковой длины , та же самая
идея может быть использована, чтобы улучшить границу для числа
слов в с.и•нхрониз.ируемом коде. ПредJположим , что д1Ве различных,
!ПОСЛедо1вательшост.и слов оказались :в одном л том же 1классе эювл ­
валент.ност.и {напр·Иrмер, ,пре,щrюлтки.м,. 'ЧТО некот-орую ~циклическую-•
перестановку п-символьного слова можно было бы также получить,
если поместить за k-символьным словом (п-k)-символьное слово ~
все три слова принадлежат одному и тому же словарю] . Если бы·
две последовательности S 1 и S2, составленные из различных кодо­
вых слов, были фактически тождественными, то код не мог бы да ­
же быть однозначно декодируемым . Если бнr они были связаны цик­
лической перестановкой, то бесконечные последовательности
... S1S1S1.. . и
... S2S2S2 ... не могли бы быть различены : без помощи:
какого-нибудь постороннего метода, используемого для определе ­
ния начального символа, и код был бы несинхронизируемым .
Для того чтобы сделать это условие более точным, определим ,
класс эквивалентности по словам, в противоположность классу эк -­
вивалентности по символам, как множество всех последовательнос­
тей слов, которые отличаются лишь цикJ1ической перестановкой
слов в последовательности. Так, например; если w1 =0011, W2= 01
и Wз= 10, то последовательности• символов w1 =0011 и W2Wз=0110i
принадлежат одному и тому же классу эквивалентности по симво ­
лам . Однако последовательности слов w1 и W2Wз не находятся в од ,
ном и том же классе эквивалентности по словам, так как одна из :
них не может быть получена с помощью циклической перестановки
другой. В противоположность этому последовательности слов.
w1w2wз; wзw1w2 и w2wзw1 все пр:инадлежат одному и тому же клас ­
су эквивалентности по словам. Заметим, что символы, которые со -­
ставляют слова, не играют роли в определении , класс.а эквивалент - ­
ности по словам.
Предыдущие рассуждения, . относящиеся к требованию, ч тобы:
различные последовательности слов • принадлежали различным
классам эквивалентности по символам, приводят к следующему
выводу .
Лемм а ·111 .4 . Если словарь D я.вляет,ся синх.ро;н•ивируемым, то,
число невырожденных класс,ов эквивалентности слов ,из D, имею­
щих ,пол1ную длину п, не мож·ет ,быть больше числа ,невырожJJ.енных.
классов эквивалентности последовательностей символов длины п
при любом целом п.
Доказательство . Пусть S 1 и· S 2 - две различные последователь ­
тюсти символов, соответствующие последовательностям слов W1 и ·
W2 соответственно. Предположим далее, что S 1 и S 2 принадлежат
о дному и тому же классу эквивалентности по символам, но что
W1 и W2 принадлежат двум различным r<ласс.ам эквивалентности по,
словам. Бесr<онечная последовательнос:rь ... S1S1 ... может быть ин -­
терпретирована либо как ...П1't W1... , либо как ~
-- W2W2... , в зависимо­
сти от того, каr<ой символ принимается в качестве начального. Но
315•


·w1 и W 2 не связаны циклической перестановкой. Следовательно, в
отсутствие априорной синхронизации возможны два различных
,способа декодирования, и словарь не является синхронизируемым.
Аналогично, если S1 вырожденная последовательность, а W1 - не­
вырожденная, тогда либо S 1 неоднозначно декодируема, либо по ­
,следовательность ... S1S1 .. . может быть декодирована двумя различ­
ными способами, если начинать с различных символов.
Синхронизируемость требует, таким образом, чтобы любые две по­
, следовательности слов из различных невырожденных классов экви­
валентности по словам приводили к двум последовательностям
,-символов, которые были в различных невырожденных классах
эквивалентности по символам. Таким образом, лемма доказана. ■
Заметим, что до тех пор, пока не будут наложены ограничения
на допустимые последовательности слов, так же как на сами сло­
ва, все циклические перестановки какой-либо последовательности
.слов, очевидно, будут возможным.и. Сиrнхронизируемость -более высо­
кого порядка может привести к запрещению для использования
всех, кроме одной, последовательностей слов из каждого класса эк­
вивалентности по словам. Это означает, что второй уровень коди ­
рования можно было бы установить для самих кодовых слов, что­
бы, 1~апример, получить возможность опреде.1ить синхронизацию
кадров так же, 1,ак и синхронизацию слов непосредственно по по-
-следовательности символов.
Для того чтобы найти число классов эквивалентности слов,
имеющих длину п символов, рассмотрим вначале число способов
представления п в виде суммы положительных целых чисел (т. е.
числа упорядоченных разбиений целого числа п). В качестве при­
мера число 4 может быть записано в виде
4=1+1+1+1 = 1+1+2=1+2 + 1 = 2+1+1=2 + 2=
= 1+3=3+1=4.
Назовем два разбиения п эквивалентными, если одно является цик­
лической перестановкой другого. Множество разбиений, состоя·
щих из одного представителя из каждого класса эквивалентности,
называется множеством полуупорядоченных разбиений S числа п.
Полуупорядоченhые разбиения числа 4, в частности, могут быть
представлены последовательностя111и 1111, 112, 22, 13, 4 .
•
Разбиение S числа п является
316
s
1111
112
22
13
4
р
]]2
2
13
4
s(P)
4
1
2
последовательностью целых чи­
сел. Пусть v - м·ин.имальный ~пе­
риод этой последовательности S,
обозначим через Р первые '\' це­
лых чисел из S и через s(P) -
е,J.ИНСТIВбННОе целое IЧ'ИСЛО, такое,
что S=PP ... P=Ps(P), где после­
довательность Р повторяется s ( Р)
раз. Таким образом, когда n=4,
имеем (см. табл.).


Предположим теперь, что синхронизируемый словарь D содер­
жит CJi слов длины 1i и пусть S=ij.. .kij.. .k ... ,k =P 8<PJ - разбиение п.
Л ем м а 11 .5 . Число различных невырожденных классов экви­
в алентности, представленных словами синхронизируемого слова­
ря D, имеющими соответствующие длины, представляемые разло­
жением S = ps(P) числа п, равно
N [s(Р), CJi аi ... crk],
(11 .11)
где rN (п, r) определено ф-лой ( 11 .9).
Доказательство. Имеются -p:=- iCJ,;cr J... CJ,, множеств слов D, соответ­
ствующих последователы~ости ij ... k. Рассматрива.я каждое из этих
множеств как один символ нового · алфавита, мож ем рассмотреть
первоначальную последовательность слов как последовательность
s(P) этих новых «символов». Очевидно, что имеются ,М[s(Р), р] не­
вырожденных классов эквивалентности, представленны х «словамю,
этого вида, что и требовалось доказать. ■
С помощью этого результата легко доказать следующую тео­
р ему.
Теорем а 11 . 1,5. Если D является синхрон.изи,руемым слова­
рем, имеющим CJi слов длины i, то
~N.[s(P),CJ;CJi...ak]<N(n, г), п = 1,2,...,
5
(11.12)
где суммирование п роводится по всем полуупорядоченным разбие­
ниям S=Ps(PJ числа пи где P=<ij ... k .
Доказательство. Согласно лемме 11.4 число эквивалентных
Елассов последовательностей символов какой-либо длины п доюк­
но быть, по крайней мере, таким же, как число :эквивалентных клас-­
с ов последовательностей слов этой длины . Но для каждого разбие-
1-rия S -существуют tNl[s(Р), a;CJj ... CJ,,] классов эквивалентности по сло ­
вам, представленных с помощью слов из D_ (лемма 11.5). Очевид­
но, что 1последо ,ват,ельно,сти слов, со -ответс11вующие ~различным ,раз­
биениям, должны принадлежать различным классам эквивалентно­
с п1 . Общее число классов эквивалентности по словам при любоl\1
з аданном п поэтому задается суммой, стоящей в левой части нера­
венства (11.12). Число классов эквивалентности по символам этой
длины равно просто N(n, r), что и доказывает справедл ивость не­
р авенства ( 11 .12), которое должно удовлетворяться для всех це­
лыхn.■
Приведем пример: при n=4, r=2 имеем
LN.[s(Р), cr; CJ1...crkJ = N(4, CJ1)+N(1, CJfcr2)+
s
+N(2,cr2
)
+N(1,cr1 CJ3
)
+N(1,(J4
)
и по теореме 11.15 это выражение должно бы,ть ограничено величи-
1 : о й N{4,2)=(24--22)/4=3. Таким образом, так 1,ак N(l,CJ4)=,CJ4, то
317


<14 не может быть больше 3, и если :az, =3, то а1 и ,а2 должны быть
равны нулю из-за членов ,N ( 4, ;а1 ) и N (2, а2 } соответственно.
Подобные рассуждения могут быть использованы для того, что­
бы установить границы, в которых могут находиться длины слов .
Однако [IОлуче.нная :гран.ица tНе всегда удо:бна для ПJ,рименени.й
(очевидно, утомительно перечислять все существенные множества
{,ai}, для которых существование синхронизируемого кода не иск­
лючается этой границей). (Напомним, что эта граница должна
удовлетворяться для всех длин последовательностей, а не только
для n.=4.) Тем не менее если множество {,ai} таково, что гр.аница.
(11.12) удовлетворяется для всех п, то может быть построен син­
хронизируемый код, имеющий эти O'i (см . ,предыдущий §).
11 .5 . Максимальные синхро·низируемые словари
Здесь будет показано, что выполнение неравенств теоре­
мы 1'1 .15 является достаточным, а также и необходимым условием
для существования синхронизируемых кодов, т . е. можно построить
синхронизируемый код, имеющий ai слов д.Jiины •i, если неравенст­
во ( 11.12) удовлетворяется при всех п. Эта конструкция вместе с­
тем дает коды, обладающие свойством пр;ефикса, определенным в
гл. 10. Более жесткое ограничение, принятое в настоящей главе .
конечно, приводит, вообще говоря, к меньшим словарям, чем в тех
случаях, когда требуется лишь декодируемость.
Конструкция словаря будет следующая. Начнем со словаря Du,
с ·r словами, в котором каждый из ·r символов алфавита одновре ­
менно является словом. Если а1 = r, то Do уже представляет собой
требуемый словарь. Если а1 <r (ясно,. что а1 не может быть боль­
ше r), то пусть L обозначает максимальное значение ,i, для которо­
го O'i=FO. Обозначим через (Do-wo) множество слов, остающихся
после того, как односимвольное слово Wo будет устранено из Do, и
через p(Do-wo) - мн.ожество, образующееся с помощью приписы­
вания в начале каждого слова из (Do-wo) префикса, представляю­
щего собой последовательность символов р. То есть если Do=
= {а, Ь, с, d...}, ·ютда p(Do-a) = {рЬ, ре, ,pd;... }.
Словарь D1 определяется как объединение множеств D1 =
= (Do-Wo) +wo(Do-wo) +wowo(Do-wo) + ... +wawo ... Wo(Doc-Wo) ,
где префикс максимальной длины wawa ... wo состоит из L-1 симво­
лов Wo. Выбор слова Wo произволен. Так, например, если r=З, L=
=4, то
Da={O, 1, 2}; O(D 0 =0)={01, 02}; OO(Do~·O)={OOl, 002};
ООО (D 0-l) = {0001 , 0002} .
В общем случае ,i-я итерация этого процесса состоит в отыска ­
нии наименьrШего значелия j, тако['О, что ,число слов в Di-1 длины j
318


,б ольше, чем '<Jj, выбора произвольного слова W;-1 длины j из D;-1 и
использовании его в качестве префикса для построения D; по пра ­
вилу
_D i = (Di-1 -Щ-1) + Wi-1 (Di-1
-
- Wi-1) + Wi-1 Wi-1 (Di-1 -Щ-1)+ ...
...
+ Wi-1 Wi-l •• · Wi-1 (Di-1 -Wi-1).
Самый длинный префикс wi-1W ,- 1 ... W;-1 должен быть таким, что­
·б ы самое короткое слово из множества wi-tWi-1 • · ·• wi-t (Di-1 -wi-t)
и мело длину, не меньшую, чем L-j+ 1, так как использование бо­
.п ее длинного префикса привело бы только к словам, имеющим
·большую максимальную длину. Этот процесс, который будем на­
з ывать префиксной npotfeдypoй построения, оканчивается тогда,
к огда число слов каждой длины j при последней итерации будет
равным или большим Gj-
Продолжая предыдущий пример, предположим, что r=З, L=4,
·c r1=l , ,а2 = 2, ,аз=6, ,(J4=9 и Gj=0 для j>4. Неравенства (11.12) , как
.л егко проверить, действительно удовлетворяются этим множеством
{а;}. Словарь D1 определяется, как и выше . Так как он содержит
два слова длины .единица и так как а1 = 1, то выберем слово w1 = 1
в качестве префикса и построим D2 следующим образом :
D2 = {2, 01, 02, 001, 002; 0001, 0002, 12, 101, 102, 1001 , 1002, 112,
1101, 1102, 1112}.
Так как D2 содержит три слова длины 2 и так как ,а2 =2, то выбе­
ре м слово W2=01 в качестве префикса и построим D3 следующим
о бразом :
D 3 = {2, 02, 001, 002, 0001, 0002, 12, 101, 102, 1001 , 1002, 112, 1101 ,
1102, 1112, 012, 0102, 0112}.
Сл оварь Dз содержит одно слово длины единица, два слова длины
два, шесть слов длины три и девять слов длины четыре . Описан­
н ые ранее условия удовлетворяются. и построение оканчивается.
К ак было упомянутu ранее, это построение дает коды, обладаюш.ие
-с войством префикса. Это утверждение легко доказать по индукции .
Теорема 11.16. Все кодовые словари, определяемые префикс­
н ой процедурой построения, описанной выше, обладают свойством
п рефикса .
Доказательство. Очевидно, что словарь D0 обладает свойством
п рефикса, так как все его слова имеют длин у один. Предположим,
чт о Di обладает свойством префикса, и пусть zvi используется в ка­
честве префикса при построении Dн1 . Тогда все слова из Di+t
им еют вид wiw; ... w;wv , где w v - слово из D;, а число повторений
п рефикса W; произвольно. Если слово W;W; ... wiwv из Di+1 является
пр ефиксом некоторого другого слова wiwi .. .z .t ';Wμ , то либо W;W; ...
w ;w v должно быть префиксом wμ. либо wv должно быть префик­
,с о м wiw;... w;w,,..
(например, если W;W;Wv __: _ префикс w;wμ, то
319


w;wv -- префикс w μ ) . В любом из этих двух случаев одно из слов
w;, wμ или wv должно было быть префиксом одного из других,
что противоречит гипотезе о том, что D; обладает свойством пре­
фикса . Таким образом, по индукции все такие словари должны
обладать свойством префикса. что требовалось показать. ■
Теперь мы должны показать, что, во-первых, эта процедура
построения фактически приводит к синхронизируемым кодам и,
во-вторых, с помощью этого метода можно получить по меньшей
мере -cJ; кодовых слов длины ,i при условии, что все неравенства
( 11.12) удовлетворяются для множества длин {cr;} .
Для того чтобы доказать первое из этих двух утверждений, опи­
шем сначала алгоритм установления синхронизации для этого
класса кодов. Пусть D; определяется, как и ранее, и пусть Dv -
фактически -исшоль'Зуемый словарь. Пусть далее D1; (расшире­
ние D;) о~пределяется .как словарь, ,который получается на
,i - м шаге префиксной процедуры построения, если не накладывает­
ся никаких ограничений на длину максимального слова. Для при­
мера, рассмотренного выше, D'o=Do, но D't = tD1+ {00001, 00002,
000001, 000002... } и т. д., и каждый из словар,ей D't, 1i>0 содержит
бесконечное число слов.
Рассмотрим теперь произвольную последовательность слов из
Dv возможно начинающуюся суффиксом из Dv . Эта последова­
тельность, очевидно, может быть разбита на слова из D'0 с по­
мощью запятых, помещаемых после каждого принятого символа .
Затем для того, чтобы разбить последовательность на слова из
D'1, необходимо лишь отбросить запятые, поставленные после каж­
дого появления слова Wo, которое используется при построении D 1
с помощью Do . Ибо, если любое слово, кроме wo, принадлежит D't ,
то и любое слово вида wowo ... wow μ с μ=1=0 также принадлежит 'D'r .
Продолжая эту процедуру и на i-м шаге отбрасывая те запятые ,
которые поставлены после каждого слова W;-1 , можно последова­
тельно разделить принимаемую последовательность на слова из
D'0, D'1, ... , D:_,
и, наконец, на слова из D~ .
Если принимаемая последовательность, на самом деле, начи ­
нается полным словом из Dv, очевидно, что эта процедура пра­
вильно разобьет эту последовательность на слова из Dv . Если бы
было не так, то было бы возможно декодировать последователь­
ность как две различные последовательности слов из· D~ , что за­
прещено свойством префикса D~.
(Заметим, что теорема 11. - 16 не
накладывает никаких ограничений на длины слов, остающихся в
каком-либо из словарей D;.) Если, однако, принимаемая последова ­
тельность начинается суффиксом из Dv, то з:апятая, поставленная
после этого суффикса, могла бы быть устранена . Это, в свою оче­
редь, меняет форму принимаемого первого слова и, как следствие ,
приводит к устранению запятой, следующей за первым фактически
принятым словом. Это ошибочное устранение запятых может про­
должаться дальше; если устраняется запятая, следующая з·а j-м
принятым словом на не1<0тором шаге, то запятая, следующая 3[)
320


(j + 1) -м принятым словом, может быть устранена на некотором
последующем шаге. Свойство префикса D~ гарантирует, что ни­
какое слово не является префиксом другого слова. Однако оно не
гарантирует того, что одно слово не может содержаться в другом
слове или что суффикс одного слова не может быть префиксом дру ·
гого. Тем не менее свойство префикса гарантирует, что запятая ,
следующая за каким-либо словом из Dvo, не будет устранена, I<ро­
ме как после устранения запятой, предшествующей ей. Устранение
идущей сзади запятой до ведущей запятой (или одновременно с
ней) было бы возможным лишь, если слово из D~ также было 6ы
префиксом из D~
.
Таким образом, так как требуется лишь v ша­
гов для того, чтобы разделить принимаемую последовательность
на слова из D~, то запятая, следующая за '\,-м принятым словпм,
не будет устранена. Начиная с этого места, последовательность бу­
дет правильно разделяться на слова из Dv опять вследствие того,
что этот словарь обладает свойством префикса. Следовательно,
максимальная синхронизационная задержка ограничена величиной
vL+.L - 1, где L обозначает длину максимального слова из Dv, а
L-1, очевидно, представляет собой длину наибольшего возможно­
го суффикса из Dv .
Таким образом, доказана сJrедующая теорема.
Теор е .м а 11.17. Словари Dv , определяемые префиксной про •
цедурой построения, являются синхронизируемыми с синхрониза •
ционной задержкой, не большей, чем (v + 1) L-1 символов.
Остается доказать второе из сформулированных выше утверж­
дений относительно этих словарей, т. е. о том, что в действитель­
ности они являются максимальными.
Теорем а 11.18. Можно построить словари вида D;, имеющие
Gj слов длины j, для любого множества целых чисел {,о;}, удовлет­
воряющих границам ( 11.12).
Доказательство этой теоремы проводится очень легко с по­
мощью следующей леммы.
Лемм а 11.6 . Если словарь D 1 строится из словаря D;-1 при
использовании слова W;-1 длины k в качестве префикса, то грани­
ца (11.12) удовлетворяется со знаком равенства для всех n=k+I,
k + 2, ... , L ( L вновь обозначает длину самого длинного кодового
слова, остающегося в каком-либо из словарей D;).
Доказательство. Единственными последовательностями слов,
которые могут быть построены из слов словаря D;-1, а не из слов
D;, являются те, которые оканчиваются с.1ювом W;-1. Все такие по­
следовательности, имеющие длину, большую, чем k, имеют вид
(11.13)
где w 1 - слова .из D;-1. Если •W1=I= W;-1 1для ;некоторо1го w1 ·из это,1
последовательности и общая длина последовательности не больше,
чем L, то некоторая циклическая перестановка ( 11.13) является
nоследовательностыо слов, оканчивающейся w1, и является такой,
11-28·1
321


которая может быть построена из слов D;. Если последователь­
ность ( 11.13) состоит только из слов W;-1, то она принадлежит вы­
рожденному классу эквивалентности. Отсюда следует, что псе не ­
вырожденные классы эквивалентности, представляемые последо­
вательностям.и сло,в из D;- 1 с общей длиной п, где k+ 1 ~n~L,
также представляются последовательностями слов из D;. Все гра·
ницы (11.12), которые удовлетворяются на словаре D;_1 для
k+ 1~n~L, также удовлетворяются на D;. Наконец, так как гра­
ницы (11.12) удовлетворяются, очевидно, со з н аком равенства для
всех п на словаре D 0 и так как процедура построения такова, что
длина префиксов, используемых при переходе от D;_1 к D;, является
неубывающей функцией i_ .
то доказательство леммы следует по
индукции. 11
Докажем теперь теорему 11.18.
Доказательство. Пусть sij - число слов длины j из D1. Если
a1=r, то D0 является требуемым словарем и теорема доказана.
Если ,а1 <r, то D1 строится с помощью слова (символа) из D0 в ка­
честве префикса, как было описано. Это построение можно продол­
жить ,до тех юор, ~пока ,не бу.цет вы1полняться равенст1во а 1 =st,.
В общем случае слова длины j используются в качестве префиксов
для того, чтобы построить словарь D; до тех пор, пока sij= ,aj. Для
того чтобы процесс продолжался до тех пор, пока все необходимые
слова не будут построены, нужно показать, что если sij=•Cij для всех
j= 1, 2, ... , k, то si1t+1~aн1- Если бы это было неверно, то никакой
из словарей D1, i>i не содержал бы достаточно г о количества слов
длины k + 1. Если это условие выполняется, то по индукции будет
существовать некоторый словарь D1, такой, что s1j~C5j для всех j, и
теорема доказана. Но из леммы 11.6 известно, что словарь D; (по ­
строе~н,ный из D;-1 при иопользовании ,префикса дл,и.ны k) являет ­
ся таким, что
~N[s(P), s~ st...s~] = N(k+1, 1·).
(11.14)
s
Согласно гипотезе имеем
IN[s(Р),аμа...,...аμ] <N(k+1, r).
s
(11.15)
Лишь слова длины k + 1 или меньшей могут быть включены в
последовательность с общей длиной (числом символов) k+ 1. Так
как Gj=sij для всех j из интервала l ~j ~k, то единственными
членами в обеих суммах (11.14) и (11.15), которые не равны, бу­
дут те, которые включают в себя ,сrн1 и siн1- Так как N(l, u1<+1) и
N (1, siн1) являются единственными такими членами, то, устраняя
одинаковые члены из обеих частей неравенства
IN[0
s(P), crμcr..., . .. crТJ] < N(k+ 1, r)= 2 N[s(P), s~ st .. .s;1],
s
s
получаем N(l, crн,)~N(l, si1i+1) ·и , следовательно, CJ1t+ 1~si1i+1, что
и требовалось доказать. Иi
322


Теорем а 11.19. Число cJioв и, длины i, 1 ~i ~L, порождаемых
префиксной процедурой построения, равно коэффициенту при х'
МiНОГОЧе'Iена
(11.16)
где а; обознач,~ет число слов длины i, использованных в качестве
префиксов при построении по следнего словаря.
Доказательство. Прежде всего, заметим, что выражение ( 11.16)
справедливо для всех значений L длины слов максимальной дли­
ны, сохраняющихся в процедуре построения. Следовательно, вели­
чины Uj , j>,L представляют ,собой число слов длины j, которые бы­
:1и бы в словаре, сохраняющем эти слова (т. е. числа слов длины j в
расширении рассматриваемого словаря) . Имея это в виду, опре-
оо
делим Р(х) =2.,CJjXj и покажем, что Р(х) задается равенством
j=l
( 11.16).
о,
Пусть Pv (х) имеет вид 2,aj(v)xj, где O'j(v) - число слов дли-
i=I
ны j в словаре Dv (словаре, полученном, когда некоторое слово из
Dv-1 используется в качес тв е префикса для построения нового
словаря, как описывалось выше). Тогда число слов длины j в
Dv-1-- Wv-1) представляется коэффициентом при xj в многочле­
не Pv-I (х)-х 1, где l - дл.ина Wv-1. Аналогично число слов раз­
личных длин в множестве wv-I wv_, .• .wv-I (Dv-l
-
wv_ ,) задается
шrогочленом xμ 1(Pv-1 (х)-х1], где μ - число повторений префикса
Wv-i • Таким образом,
00
n
Р1(х)- xl __!
_
1- Pv-I (х)
Р(х)=[Р 1(х)-х1], :хμ1=
_
v-____
~
v
v-
i..J
1- х1
1-х1 •
μ=0
так что 1-Pv (x)=(l-Pv-1(x))/(1-x1) ·и по инду;кции
l_р(х) =
__ __
I_- _P_o_(х~)____
(1- х)а,(1- х2)а, ...(!-х')al
Так как Ро(х) =rx, то теор ема доказана. ■
Рассмотрим пример, когда r=З, а 1 =2 и а2 = 1 (этот случай был
рассмот рен ранее), имеем
Р(х)= 1-
!-Зх =х+2х2 +6х3 +9х4 + 15х6 + ...
(1- х)2(1- х2)
Интересно заме тить, что в этом рассужд ении не используются
никакие предположения относительно порядка использования пре­
фиксоБ, они не обязательно ис по льзуются в порядке возрастающей
дл и ны. Теорема 11 .17 также не учитывает какого-либо частного
323


упорядочения префиксов. В качестве следствия получаем, что рас­
смотренный алгоритм приводит к максимальным синхронизируе­
мым словарям независимо от порядка устранения префикса. Повто­
рим построение словаря с r=З, ,cr1 = 1, cr2 =2, cr.,=6 и cr4 =9, устра­
няя префиксы в порядке, отличном от использованного ранее. По­
лучим:
D0={О,1,2};
Dl = {1, 2, 01, 02, 001, 002, 0001, 0002};
D 2 = {1, 2, 02, 001, 002, 0001, 0002, 011, 012, 0102};
D3 ={2, 02, 001, 002, 0001, 0002, 011, 012, 0102, 12,102;
1001, 1002, 1011, 1012, 112, 1102, 1112}.
Хотя этот словарь является синхронизируемым и содержит то же
число слов каждой длины, что и соответствующий словарь рассмот­
ренного ранее примера, эти два словаря не тождественны.
Если цель состоит в построении . синхронизируемого словаря,
имеющего максимально возможное число слов длины, не превосхо­
дящей L, то она, очевидно, мо:жет быть достигнута при использова­
нии самого короткого слова в качестве префикса на каждом шаге
построения. 1[Это означает, что каждое слово длины l из интервала
L-(v+1)j<l~L-vj в множестве (Di-1-'Шi-1) дает v слов длины,
не превосходящей L, принадлежащих ,Di, когда 'Шi-i имеет длину j.
Очевидно, что добавляемое число слов является невозрастающей
функцией j.] Общее ч,и,сло ело.в дли;ны L (или меньшей) в Di будет
не меньше, чем число таких слов в Di-1 , тогда и только тогда,
во-первых, когда длина j использованного префикса не больше, чем
tL/2], и, 'ВО -.вто,рых, когда 1при чет,ном L имеются, 1по меньшей мере,
два слова в Di-i с длиной L/2. Если L нечетное, то все слова длины
(L-1)/2 могут быть использовань1 в качестве префиксов всех слов
длины (L+ 1)/2 так, что число слов в Di никогда не будет ме ньше
числа слов в Di-1 , если j~ (L-1)/2. EcJiи ,L четное, то до тех пор,
пока имеются, по крайней мере, два слова длины L/2, одно из них
может быть устранено и использовано в качестве префикса другого
без уменьшения общего числа слов длины L и меньше. В соответ­
ствии с этим, когда L нечетное, никакие слова длины, меньшей, чем
(L + 1) /2, не остаются в последнем словаре Di, в то время как при
четном L он будет включать в себя лишь одно слово длины L/2 и
ни одного с меньшей длиной. Все последовательности слов с пол­
н о й длиной п из интервала l[L/2]+ 1 ~n~L должны состоять из од­
ного слова. Но согласно лемме 11.6 число таких последовательнос­
тей равно числу невырожденных классов эквивалентности по сим­
во "1ам для всех п из этого интервала . Таким образом, общее число
L
с л ов в окончательном словаре точно равно ~ N(n, г) плюс одно
n=[L/2]+1
иставшееся слово длины L/2, когда L четное. Этот результат сфор­
мулирован в следующей теореме.
324 .


Теорем а 11.2,О. Максимальное число слов длины L или мень­
шей в синхронизируемом cJioвape
N=1+(-l)L+
L
2
L
IJ N(п,r).
n=[L/2]+1
Если бы использовались лишь слова длины L, то число слов просто
было бы равно N(L, r) .
О ч еви~но, что КО!Н,струrщия .максимальных синхронизируемых
,словарей, рассмотренное в этом параграфе, не является единствен­
но возможным. Суффикснэя конструкция, например, в которой вы­
брошенные слова используются н качестве суффиксов, а не в ка­
честве п р еф и ксов, была бы столь же эффективна. Конструкция,
рассмотренная здесь, обладает свойством префикса со свойствен­
ными ему преимуществами, которые были указаны в гл. 10.
В заключение докажем еще одно интересное свойство расширен ­
:ных словарей D~, определенных ранее.
Теорем а 11.21 . Расширенные словари D~ , полученные с помо­
щью префиксной процедуры построения, являются полными.
Доказательство. Теорему легко доказать по индукции. Очевид­
н о, что D~ является полным . Так как D~ обладает свойством пре­
фикса, то этот словарь полный тогда и только тогда, когда
,о, -l.(V)
~r'
= 1, где Ii(v) - длина i-го слова из D~ (ер. с теоремой
,4-1
10.4). Предположим, что~~ является полным. Тогда, так как каж -
дое слово длины li (μ) в Dμ (исключая wμ ) дает одно слово ДJIИ­
ны li(μ) +jlμ(μ) в D~+i при всех j=0, 1, ...
(где/μ (μ) - длина
.wμ),то
~ -ll (μ)
GO
СО
~f
'"1 r- li (μ+IJ = \1 \1 r-[!i (μJ+j lμ (μJ] = i=f=μ
=1,
j,,,J
/,,,,J j..,J
-lμ (μ)
4=1
j= Oi=f=μ
)-r
и теорема доказана.
Таким образом, если не накладывается никаких ограничений на
длину максимаJiьного слова, то синхронизируемые словари могут
удовлетворять со знаком равенства границе, выведенной ранее дJiя
м енее ограниченных декодируемых словарей. Однако следует от­
метить, что в то время, как могут быть построены декодируемые
ело.вари, имеющие любое множество длин слов, удовлетвО1ряющих
этой :r,ра;нИ1це, длины слов 1в оинхронизируемом словаре удовлетво ­
р яют ограничению, ,выраженн,ому ,неравенствами ( 11.12). Бо­
л ее того, синхронизационная задержка, соответствующая расши­
ренным словарям D ~, не ограничена для всех v>0, так как сама
длина слова является неограниченной (ер. с теоремами 11.6 и
11.17).


Глава 12
СИНХРОНИЗИР~7ЕМЫЕ БЛОКОВЫЕ КОДЫ
12.1 . Введение
Если наложено ограничение, чтобы все кодовые слова в.
словаре имели одну и ту же длину, то такой код обычно называет­
ся блоковым кодом ( ер. с § 10.1). Очевидно, что блоковый код яв­
ляется декодируемым . Более того, результаты § 11.5 также пока­
зывают, как построить максимальные синхронизируемые словари в
этом частном случае. Тем не менее часто требуется наложить до­
полнительные ограничения на синхронизируемые словари. Може-:­
быть полезным наложение более жесткого ограничения, например,
на допустимую синхро,низацио.нную задерrжку, или дальнейшее ,су­
жение класса словарей для того, чтобы упростить синхронизацию и
проце~дуру дек,одирова1н,ия, связанные с кодом . .В этой ~главе ис,сле ­
дуются некоторые методы, позволяющие достичь эти различные
цели. Начнем с 1посТ1роения синхрон,изируемых блоковых ,кодо.вых
словарей, для которых синхронизационная зядержка значительно
меньше той, которая гарантируется общей 1<онстру1щией из
§!1.5.
12.2 . Коды без запятой
Пусть D будет блоковым кодовым ,словарем, содержа­
щимсловаwi,i=1,2,...,N,где
Wt = (!)\ (!)~ ••• (!)~ •
( 12.1)
Стыком слов Wi и Wj ,назовем лю·бую п-,последователыность вида)
(!)k+1 wi+2··· (1)~ ffi{ (Of, .. (!)~
(12.2)
для любого k из интервала 1:,(k:;(n-1 . Словарь D называется с.'10-
варем без запятой тогда и только тогда, когда никакой стык лю­
бых двух (не обязательно различных) слов из D сам не является
словом из D. Пусть
pik=wi1wi2. .. wi1,
обозначает префикс,
а sin-k = wikHW;k+Z····W;n обозна'Чает суффикс слова Wi rпри не­
котором k из интервала 1:,(k~n -1 . Тогда следующее опре­
деление, очевидно, эквивалентно определению словаря без запя­
той. Словарь D будет словарем без запятой тогда и только тогда,
когда для каждого префикса pi" и каждого суффикса sin-k , таких,
что W; = piksin-k является сло.в,ом :ИЗ слов·аря D, либо pik ;Не явля­
ется суффиксом из D, юvбо sin-k н·е я~вляется п-рефиксо.м .из D.
326


Очевидно, что словарь без запятой D является синхронизируе­
мым с синхронизационной задержкой самое большее 2п-1 симво­
лов (где п длина слова). Для любой последовательности слов
из D никакой стык слов не может быть перепутан с кодовым сло­
евом. Как только наблюдается кодовое слово, устанавливается син­
хронизация. Но любая последовательность длины 2п-1 дол:щна
,содержать одно полное слово, так что максимальная задержка рав­
на 2 п-1. В действительности эта задержка может быть уменьше­
на на один символ, учитывая, что если 2п-2 последовательных сим­
волов не содержат слова, то слово обязательно должно начинать­
ся п-м принятым символом.
Максимальное число п-символьных слов из r-ичного алфавита
в синхронизируемом словаре, как было найдено в § 11.4, ограниче­
но величиной
N(п,r)=
-
1 '1μ(d)rn/J.
.
п i.J
(12.3)
d/n
Эта граница применима также к кодам без запятой. Так как
<<свобода от запятой» является значительно более :жестким ограни­
чением по сравнению с только синхронизируемостью, можно было
бы предположить, что эта граница не может, вообще говоря, до­
,стигаться в классе кодов без запятой. Но, как сейчас будет пока­
зано, в действительности могут быть построены коды без запятой
,с N (п, r) словами для всех нечетных значений п. Хотя были найде­
ны также некоторые коды без запятой с N(n, r) словами четной
длины, не существует общей конструкции для таких кодов . В дей­
-ствительности никакая общая конструкция для всех четных п не­
возможна, так как известны множества параметров п и r, для ко­
торых эта граница не может быть достигнута. Максимальное чис­
.ло слов, например, в словаре без запятой со словами из двух сим­
волов в алфавите из четырех символов известно и равно пяти, в то
время как N(2, 4) =6. Nlаксимальный словарь с п=4, r=4 содер­
жит 57, а не N (4, 4) = 60 слов; другие контр примеры, включая бес­
конечный ряд значений п и r, для которых граница ( 12.3) не может
быть достигнута, также были найдены.
Построение максимальных кодов без запятой нечетной длины,
которое здесь будет описано, является просто переложением пре­
фиксной процедуры построения из § 10.5 , Дополнительное услови~
-состоит в том, что на каждом шаге построения префиксное слово
W; должно быть самым коротким словом нечетной dлины, остаю­
щимся в D;. (Если имеется несколько слов этой длины, то может
быть выбрано любое из них.) Как уже было показано (лемма 11.6),
г раница ( 11.12) удовлетворяется со знаком равенства для слов из
D; при всех n=l+ 1, !+2, ... , L, где l - длина префиксного слова
.w;-1
.
Таким ,образом, ,продолжая лрефиксную :пр-о,цедуру .по~трое­
ния до тех пор, пока самое короткое слово, остающееся в Dv , будет
длины l для любого l из интервала (п+ 1)/2~ . l~n~L, получим,
'ЧТО
327


~N[s(Р), cr;ai···ak]= N(1,сrп) =ап = N(п,r)
s
( 12.4)
{ер . с ( 11 . 12)] и число <Jn слов длины п из D в действительности
равно N(n, r). Требуемый словарь D(n, r) получается выбрасыва ­
нием из Dv всех слов, кроме тех, которые имеют длину п. То, что
D(n, r) я1вляется ~синх;ролизируемым ,с .ко.нечной задержкой, •сразу
следует из § 11.5 . Однако, как показано в следующей теореме, он
на самом деле является словарем без запятой.
Теорем а 12 .1 1. Словарь D=D(n, r) с п-,символьным.и слова·ми
из r-ичного алфавита, определенный выше, является словарем бе3
запятой для любого нечетного цеJrого п и любого целого r.
Доказательство. Так как слова в D имеют нечетную длину, то
стыковое слово может совпадать с кодовым словом, только если
некоторый префикс четной длины из D является также суффиксом
в D. Следовательно, для того чтобы показать, что D - словарь без­
запятой , нужно лишь показать, что это событие не может иметь
места.
Пусть р - префикс четной длины из .D и w - п-последователь ­
ность, имеющая р в качестве суффикса. Так же, как и в § 11 .5, по­
ставим запятую после каждого символа как в р, т ак и в w, и затем
последовательно будем устранять их . На j-м шаге устраняются те
запятые, которые поставлены после каждого слова Wj, использо­
ванного при построении Dн1 по Dj, После каждого такого шага
w и р могут быть выражены в сJiедующем типичном виде :
W=
.,
.,
.,
.,
CL+I
С1
Cl-1
Cl-2
Со
Р='
с;
c;_I с~-2
с~
(12.5)
где Ci и с*; обозначают числа символов между i-й зс.пятой (справа)
и самой крайней справа запятой в w и р соответственно, а точки
обозначают сами символы. ![Удобно различать запятые в w и р П(}
их ·раоположениям: из .контекста бу~n.ет ясно, л.апользует,ся ли Ct
(или с* i) как отметка для i-й запятой в w (или в р) или как число,
соответствующее ее положению]. После того как будет устранена
какая-либо запятая, остающиеся запятые переобоз нач аются вновь
для согласования с этими правилами, а l переопределяется так,
чтобы с*1 всегда соответствовало запятой, предшеств ующей пре ­
фиксу, как показано в ( 12.5) .
Доказательство состоит в демонстрации того, что если запятые
одновременно устраняются из w и р в соответствии с упомянутой
выше процедурой , то со будет устранено одновременно с с*о. Так
как р я,вляется ,префик,сом, то с* 0 в КО!н,це концов, долж­
но быть устранено; поэтому, так как со также устраняется .
w не может быть кодовым словом.
Для начала заметим.
что если cv= < на любом этапе процедуры устра нения за -
328


.пятых, то Ci=C*i для в.сех i<v. Далее, . riaк ка.к р я.вляется
префиксом и так как при построении D ( п, r) были использованы в
качестве префиксов лишь слова нечетной длины, то с*1-с* 1_ 1 дол­
жно быть нечетным. Будь это не так, с*1-1 нельзя было бы никогда
устранить, и р имело бы слово из Dv в качестве префикса, что не­
возможно, в силу того, что Dv обладает свойством префикса (см .
§11.5).
Покажем далее, что после каждого шага в процедуре устране­
ния запятых остающиеся запятые будут иметь одну из трех конфи­
гураций:
1. с1 =с;;
2. с1 >с;, с1_1 =<-1'
З. Cz < с;< c1+v•
с1_1 = с;_1 и сi+i - c1+i-l четно для всех i= О,
1, ..., v-1;
-В ·каждом случае с*1 обоз,начает 1положе,ние за.пятой, 1предше­
,ствующей р, как показано в (12.5).
Вначале, очевидно, запятые соответствуют конфигурации 1.
Если запятые соответствуют конфигурации 1 на j-м шаге и все за­
пятые, кроме с1, устранены, то они остаются соответствующими
этой конфигурации. (Заметим, что cv и с~ устраняются одновре-
менно при любых v<1.) Если устраняется с1, то они должны соот­
ветствова ть тогда конфигурации 2. Аналогично, если они соответст­
вуют ко;нфигураци.и 2, то эта конфягурация будет сохраняться ~до
тех пор, пока на некотором шаге не будет устранена с*1-1 или С1-1.
Но С1-1 нельзя устранить ни на каком шаге. Это следует из того,
что слова, использованные в качестве префиксов при построении
Dн1 по Dj, были выбраны в порядке увеличивающейся (нечетной)
длины. Так как с1-С1-1>с*1-с*1-1 и так как с*1-с*1- 1 нечетны, то
с*1-1 была бы поэтому устранена до С1- 1 и запятые тогда соответст­
вовыш бы конфигурации :З. Более того, с*1- 1 не будет устранена ни
при какой конфигурации (в предположении, что с* 0 уже не была
устра нена), если только с*1-1-с*1-2 (и, следовательно, С1-1-С1-2) не
является четным. Если с*1-1-с*1--2 нечетно, то с*1-с*1--2 будет чет­
ным, и с*,_2 не может быть, следовательно, устранена, и р не может
быть пр.ефиксом из D. В результате, если с*1-1 устранена и конфигу­
рация 2 перешла к конфигурации 8, то (если запятые переобозначе­
ны) с1-С1-1 будет четным. Дальнейшие устранения запятых, обозна­
ченных с*1-1, приводят к общему условию, соответствующему кон­
фигурации 3. Таким образом, соответствуя конфигурации 3, С1-1 не
может быть устранена до С1. Запятые, следовательно, будут оста­
ваться в этой конфигурации до тех пор, пока не будет устранена
- ci, и в этом случае они возвратятся к конфигурации 2.
Существенным во всем этом является то, что после каждого
шага процедуры устранения запятых С1-1 и с*1-1 будут совпадать,
по крайней мере, до того, как устраняется с*о. (Следует помнить,
<что после устранения каждой запятой l переопределяется так, что-
329


бы с*1 всегда с о ответствпы.ла запятой, предшествующей р .) В со ­
ответствии с этим, так как ш и р должны содержать, по меньшей,
мере, одну запятую в одинаковых ,местах слева от с0 ,и с* 0 , то .со,,
будет устраняться одновременно с с*о. Исключением из этого ут­
верждения ~был бы слу~чай, IКО["Да с*1-1 Л с*о ·С·О.Вп,адают. Но так как
с*1-с*1-1 всегда нечетно, а с*1-с*а всегда четно, то это невозмож­
но, и утверждение остается справедливым. В конце концов, про­
цедура устранения запятых приведет к устранению со из w. Следо­
вательно, w не может быть словом в D, никакой префикс четной
длины из D не может также быть суффиксом в D, и iD - словарь.
без запятой, что и требовалось доказать. ■
Таким образом, существуют максимальные словари без запятой;
для кажцого нечетного целого п. К сожалению, доказательство это­
го факта хотя и является конструктивным, но не вселяет большой:
надежды на легкость реализации процедур кодирования и декол. и ­
рования этих кодов. По этой причине полезно ввести дальнейшие·
ограничения на словарь с целью упрощения его реализации, прини­
мая во внимание тот факт, что эти дополнительные ограничения не ­
сомненно приведут к уменьшению числа слов в словаре. Ряд таких
ограничений будет исследован в нескоJJъких последующих парагра ­
фах .
Ограничение, которое будет рассмотрено в следующем парагра­
фе, накладывается не столько для того, чтобы упростить кодирова ­
ние и декодирование получающихся кодов, сколько для того, чтобы
уменьшить еще более число символов, необходимых для установле­
ния синхронизации. Словари, получаемые с этим ограничением, бу­
дут не только несколько более легкими для синхронизации по,
сравнению с обычными словарями без запятой, но также во многих
случаях будут обладать неожиданными преимуществами, состоя­
щими в более легком кодировании и декодировании, несмотря на
то, что первоначальная цель наложения ограничений состояла в
другом. ·
Однако до этого рассмотрим вновь ограничение, которому
удо·вле11воряют коды без за1пятой для случая, когда длина CЛQIBa п
является четной. К сожалению, теорема 12.1 справедлива лишь.
для нечетных п. Как уже упоминалось ранее, доказано, что грани ­
ца ( 12.1) не достигается для некоторых значений п и r, так что,
очевидно, невозможно дать общую конструкцию для построения
кодов без запятой четной длины, удовлетворяющих этой границе .
Тем не менее существует относительно простая I<онструкция для
словарей без запятой с четной длиной слов, которая приводит к
кодам, параметры которых лежат вблизи этой границы .
Сначала построим словарь без запятой D (2, r) с двухсимволь­
ными словами. Разобьем r-символьный алфавит на три непересекаю­
щихся множества S1, S 2 и Sз. Первый символ слова w ={u1ffi2 из:
D (2, r) должен быть либо из S1, либо из S2, но если ffi1 принадле­
жит S1, то ,ffi2 должно быть либо из S2, либо из Sз, а если w1 при­
надлежит S2, то ffi2 должно быть из Sз . Легко установить для тако ­
го словаря, что он является словарем без запятой. Любой стык.
330


должен иметь вид -cu2w1, где w 2 принадлежит либо S2, либо Sз, а
(J)1 находится либо в S1, либо в S2. Никакой такой стык не может
быть кодовым словом. Очевидно. что число кодовых слов в D (2, r)
максимизируется, если взять числа символов в каждом множестве
по возможности равными. Таким образом, обозначая через N (S1)
число символов в множестве Si, получим:
N(S1) ={r/3], N(S2) =i[(r+ 1)/3] и N(S3) ={(r+2)/3], где квадратные
скобки обозначают целую часть заключенной в них дроби. При
этом число слов в D (2, r) будет равным
N(S1){N(S2)+N(S3)}+N(S2)N(S3) = [ r; ]-
(12.6)
Д.1я того чтобы построить словарь без запятой с п-символьны­
ми словами, fде n=2 т, m> 1, обозначим через S 4 подмножество
-слов из D (2, r), а через Ss - множество всех упорядоченных пар
символов, не входящих в S4 (т. е. S4 +Ss содержит все ,, 2 различные
111ары символов аЬ). Словарь D1(2m, r) содержит ,вс,е •сло.ва вида
а1а2...атЬ1Ь2 .. . Ьт, где пара а1Ь1 принадлежит S4, а пары ai,bi, i=I= l
принадлежат Ss. Словарь D ('2т, r), очевидно, также является сло­
варем без запятой. Единственный стык, который мог бы быть сло­
вом из D (2m, r), имеет вид b1b2... bma1a2 ... am, но то, что множество
пар а1Ь1 само образу1:т словарь без запятой, исключает эту возмож­
ность.
Используя те же обозначения, что и ранее, найдем, что число
,слов в D (2m, r) будет равно N(S4){N(Ss)} {n/ZJ-l . Если п;;::6, мож­
но считать, что N(S4) содержит !(r2/(n/2)] элементов, что дает
I2~2 ] {г2 _ [2; 2]} (n/2)-1
слов в D (2.т, r). Когда п велико, это выражение приближенно
принимает вид
!
2rn {
2 }n/2
2,n
-
1-- >-·
п
п
еп
Но из ф-лы ( 12.3)
N(п,r)<rn/n
(12.7)
(12.8)
для всех п, так что эта конструкция дает словари, содержащие, по
меньшей мере, 100(2/е) % ~73,5% слов от теоретически возможно­
го граничного значения.
12.3 . •Коды без запятой с инвариантными путями
Ограничение на кодовые слова в этом параграфе будет
следующим. Если блоковый словарь D содержит п-символьные
-слова, то для однозначного установления синхронизации должно
быть принято не более п последовательных символов. Ясно, что та­
·кие словари будут словарями без запятой. Однако они составляют
более ограниченный класс, чем все коды без · зiiпятой, так как по-
331


сл_едние могут потребовать до 2п-- ! символов до установлени Я'
синхронизации .
Для того чтобы описать конструкцию для словарей с этим свой­
ством , введем понятия «путей» и «инвариантности путей» . Для ил­
люстрации этих понятий рассмотрим код без запятой с параметра -
ми r=З, n=З :
-
{100, 101, 102, 200, 201, 202 , 211, 212} .
,
•
(12.9►
Так как .все слова в это,м словаре имеют вид сЬа с с>Ь, Ь~а,
то легко увидеть, что он является словарем без запятой, а так как
N (3, 3) = 8, то словарь является максимальным . · Определим теперь.
матрицу инциден.тности rXn из О и 1 : ij-м элементом матрицы бу­
дет .1, есл,и i-й символ алфа1В'ита :(,при к•аком-либо у,порядо~чении}
появляется на j-й символьной позиции какого-либо слова, и О, ес­
ли это не так. Пусть первый символ алфавита словаря ( 12.9) бу ,­
дет О, второй 1 и третий 2 ; поставим в соответствие этому словарю,
матрицу инциденпюсти:
Позиция
Символ
121
1
3
о
о
1
1
2
о
путе,11, на матрице инцидентности называется линия,
щая через одну 1 в каждом столбце, например,
О
1
1
О11
/
-1-
(12.11)
11'1
/
"'
~1- О
-1-
/
1О1
( 12.1 О)
проходя-
(12.12)
Имеется взаимооднозначное соответствие между п-последова ­
тельностями r-ичного алфавита и путями на матрице инцидентно ­
сти, а именно: если путь проходит через элемент ан= 1.
•то j-й символ п-последовательности является i-м символом
алфавита. В матрице (12.11) путь соответствует слову 212; это сло ­
во из словаря без за·пятой ( 12.9). В матрице ( 12.1 ·2) путь соот,­
ветству-ет сл,о-ву 210, .кот-01р,ое не ~принадлежит ело.варю.
Эта констру1щия дает средства для проверки словаря на свой ­
ство «свободы от запятой» . Рассмотрим стык, образующийся из.
суффикса (для слова) длины l и префикса (для слова) длины п-1 .
Все такие стыки соответствуют путям на матрице инцидентности ,.
получающимся, когда последние l столбцов матрицы инцидентно :-­
сти словаря ставятся вп~реди ее первых n-l столбцов (т . е . полу­
чаются с помощью циклической перестановки столбцов на l пози­
ций вправо). Все первоначальные пути из j-го столбца к (j + 1) -му
332


столбцу остаются неизменными !U-й столбец в исходной матрице те­
лерь ,будет (j + l) -м столбцом :по модулю п] , кроме, :1юнечно, случая ,
когда j +l = п. Пути можно пополнить, соединив каждую единицу в
l-м столбuе переставленной матрицы с каждой единицей в (l + 1)-м
столбце. Это соответствует условию, что любой префикс может
следовать за любым суффиксом . Эти «стыковые» матрицы проил ­
люстрированы ниже для словаря (12 .9) вместе с самой матрицей
инцидентности словаря; каждый путь соответствует слову или сты­
ку слов:
Эt.
(12 .1 3)
1=0
1=1
1=2
Обозначим через AJ исходную матрицу инцидентности, а через
Рм - М!НОЖест,во ~путей ж1 М, •которые соответ~етвуют кодовым ,сло­
вам. Обозначим далее через М (j) матрицу М, циклически перестав­
ленную на j позиций вправо, и через Рм(j) - множество путей на
M(j), таких, как были определены выше .
Теорем а 12.2 . Код является кодом без запятой тогда и толь­
ко тогда, когда никакой из путей в множестве Рм не входит ни в
какое множество Рмш-
Доказательство следует прямо из того, что имеется взаи.моодrrо­
значное соответствие между каждым путем в Рм и кодовым (·:ю­
вом и между каждым путем в Рм<л и стыком, состоящим из посл~д­
них j символов одного слова, за которыми следуют первы~ п- -j
символов другого слова. ■
Те орем а 12.3 . Словарь с п-символьными словами является
синхронизируемым с задержкой, не большей, чем п символов ,
тогда и только, тогда, когда никакой путь из какого-либо множест ­
ва Рми,> не принадлежит никакому другому множеству Рмu
j1, iз=О, 1, 2, ... , п-1, i1=l=j2.
Доказательство. Если множества Рм(j,) и РМ(ы, i1=I= j2 содержат
общие пути и если принимается соответствующая п-последователь­
ность, то невозможно понять, является ли началом правильного
слова (j1 + 1)- или (jz+ 1)-й симFюл. Наоборот, если никакой· путь
из одного множества не принадлежит какому-либо другому мно­
жеству, то любая п-последовательность, которая можеу быть со ­
ставлена из последних j 1 символов одного слова, за которыми сле­
дуют первые n-j1 символов второго слова, не может быть сформи­
рована для какого-нибудь другого значения j. Таким образом, лю­
бая принятая п-последовательность однозначно устанавливает зна­
чение j и, следовательно, правильную синхронизацию. ■
В то время как теорема 12.2 предлагает метод определения то­
го, является ли ' некоторый частный словарь словарем без запятой
333


или нет, теорема 12.3 чрезвычайно полезна, если ее использовать n
качестве основы алгоритма пμи настроении более ограниченного
класса кодов без запятой, как указывалось выше. Рассмотрим в
связи с этим (rХп)-матрицу М из единиц и нулей, обладающую
тем свойством, что все пути, соединяющие единицы в последова­
тельных столбцах, принадлежат множеству Рм и, следовательно.
соответствуют кодовым словам. Словарь теперь полностью опреде­
ляется его матрицей инцндентности М. Так как все возможные пу­
ти соответствуют кодовым словам, то множество Рм нет необходи­
мости задавать явно. По этой причине . такие коды называются
кодами с инвариантными путл.ми. Для нас представляют интерес
коды с инвариантными путями, которые являются одновременно
кодами без запятой. Такие коды, если они существуют, конечно
удовлетворяют условию теоремы 12.2, и, кроме того, для них спра­
ведлива следующая теорема.
Теорем а 12.4 . Коды без заIIятой с инвариантными путями и
длиной слов п имеют синхронизационную задержку самое большее
п символов. Более того, любая циклическая перестановка кода без
запятой с инвариантными путями представляет собой другой код
без за,пятой с и,нва,риан11ными путя,ми.
Доказательство. Оба эт,и утверж1дения следуют из то·Г·О, что все
возможные пути во всех матрицах M(j), j=O, 1, ... , п-1 соответст-­
вуют кодовым словам или стыкам слов. Предположим, что путь в
матрице M(j1) также является путем в матрице М(М . Тогда путь
в M(j1-bl ,будет та.кже путем .в мат,рице М (О) =М, и код не бу.
дет кодом без запятой. Таким образом, все пути во всех матрицах
М (j) являются одиночными, и согласно теореме 12.3 синхрониза­
ционная задержка самое большее равна п символам. То же ca~roe
рассуждение показывает, что каждая матрица М (j) должна так­
же соответствовать коду без запятой, и так как в матрице прове­
дены все пути, то каждый такой код является кодом с инвариант­
ными путями.
Следует подчеркнуть, что в общем случае словари без запятой
не являются словарями с инвариантными путями. Путь в матрице
( 12.12), например, не соответствует никакому кодовому слову R
словаре ( 12.9).
Одна из конструкций, которая порождает коды без запятой с
инвариантными путями, состоит в сл~ующем. Пусть с и d - два
двоичных вектора-столбца и пусть с является дополнением к с .
Рассмотрим теперь матрицу
[n/21 столбцов
[(п-1)/2] столбцов
М={~
~}
(12.14)
Любая матрица М (j), получаемая с помощью циклической пе ­
рестановки столбцов М на j позиций вправо, такова, что либо ее
первьrй столбец есть с (если {(n--l)/2]+1~j ~n-1), либо
(j+l)-й столбец есть с (если l~j ~[n/2]). (Если п четнр, то оба
334


случая имеют место, когда j=n/2.) В каждом из этих двух слу ­
чаев очевидно, что никакой путь в М (j) не может также быть пу­
тем в М, так как, по крайней мере, один из столбцов М заменяет­
ся на его дополнение в М (j). Следовательно, доказана следую­
щая теорема.
Т е о р е м а 12.5. Матрица инцидентности ( 12.14) соответствует
коду без запятой с инвариантными путями при любых выбо­
рахсиd.
Если с содержит l единиц, а d содержит т единиц, то имеются
l (r - l)[n/2] т[(п-1)/2]
(12. 15)
различных путей в М и, следовательно , столько же различных
слов 13 словаре . Для того чтобы максимизировать число кодовых
слов, т следует, очевидно, положить равным r (d должно быть
стол,бцо,м, со-стоящим л,ишь ·из -еди,н.иц), а l ,следует вы,б,р,ать -так,
чтобы
(l......: . . J)(r-l+ l)[n/2] < l(r-l)[n/21;
(12.16)
(l+1)(г- l - 1/п121<l(r- ziпf2J.
(12.17)
Если бы l была непрерывной переменной, то выражение
l(r-l/n121 принимало бы максимальнGе значение, когда !=
=r/(1 +[п/2]). Так 1<ак l>O, то для того, чтобы 13 словаре были
какие - нибудь слова, оптимальное значение l должно быть равно
единиuе всегда, когда {п/2]+ 1?::,r. Таким образом, всегда, если п
насто.т1ы,о велико, что удовлетворяется это неравенство, то число
кодовых слов равно
Nw=(r-
1)[п/2] r[(n-1)/2] =
_1!:_ {1-
_l_)[n/2] ~.
( 12.18)
r\
r
п
Отношение числа кодовых слов, которое дает эта конструкция, к
числу кодовых слов в максимальном словаре без запятой стре­
мится к нулю с ростом п. Основное преимущество словарей без
занятой с инвариантными путями состоит в уменьшенной синхро­
низационной задержке и в получающейся отсюда возможности
более простой реализации. Так, например, когда п достаточно
велико для того, чтобы можно было приравнять l единице в ф-лах
(12.16) и ( 12.17), синхронизация может быть достигнута путем
поиска местонахождения символа, который во всех словах должен
стоять на первом месте, и дальнейшей проверке того, появится ли
такой же символ в какой-либо из следующих [п/2] позиций. Если
нет, то этот символ и будет соответствовать началу кодового слова.
Неожиданным преимуществом этих словарей перед обычными
словарями без запятой является относительная простота их коди­
рования и декодирования . Чтобы продемонстрировать это, рассмот­
рим опять случай, когда l равно единице. Кодовые слова, опреде­
ленные матрицей (12.14), все начинаются каким-то одним фикси­
рованным символом, за которым следуют {п/2] символов, каждый
из которых может быть любым символом алфавита, но не этим
335


начальным, и за ними следуют 1( (п-1) /2] символов, на которые не
наложены никакие ограничения. Следовательно, информация мо­
жет быть отображена в последовательность чередующихся
[ (п-1) /2]-последовательностей, составленных из ,,-символьного
алфавита и i[п/2]-последовательностей, составленных из (r-1) -сим­
вольного алфавита. Операции кодирования и декодирования по­
этому легко реализовать.
12.4. Префиксные коды
Дальнейшее ограничение на словари, которое будет ис­
следовано, также вводится для упрощения синхронизации путем
ограничения числа символов, необходимых для определения пра­
вильной синхронизации. Оно состоит в использовании одной и той
же т-последовательности в качестве префикса перед каждым кодо ­
вым словом с п символами. Синхронизация устанавливается после
обнаружения этого префикса в некотором месте принимаемой по­
следовательности. Чтобы быть уверенным в том, что этот префикс
всегда указывает начало слова, необходимо запретить появление
этого префикса в качестве части кодового слова ИJJИ стыка кодово ­
го слова и префикса. Это означает, что если префикс состоит из т
символов У1У2Уз---Уm, а кодовое слово имеет вид У1У2•••Уmа1а2аз .. .ап,
то ни одна из т-последовательностей
I.,;;;;:i.,;;;;:m-1;
ai+t ai+2••• аi+т,
О<i<п-т;
ai+tai+2- .. a ny1•.• 1\+m-n,
п-т+1<i<п-1
(12.19)
не должна быть равной Y1'\'Z··•Ym• Словари, удовлетворяющие этому
условию, называются префиксными кодовылщ словарями 1).
Это условие можно было бы слегка ослабить без ослабления
синхронизируемости словаря. Если, в частности, ни на одну из l
т-последовательностей
ai+I ai+2···ai+m •
ai+I •·• ап 'У1··• 'Yi+m-n '
n-l<i<п-т;
n-m+l<i<n-I
(12.20)
не наложено ограничение, то первая т - последовательность У1У2 ... у,,,,
могла бы предшествовать префиксу слова, но не более чем,
на l •сим-в-оло1в, в то время как первая такая т-1после~д-о,ватель­
ность не могла бы появиться после правильного префикса до т'ех
пор, пока не были бы получены, по крайней мере, n-l+m допол­
нительных символов, следующих за префиксом. Правильный пре ­
фикс мог бы, следовательно, быть опознан, если l<n-l+m или
l< (п+т)/2. Впоследствии мы сделаем ряд замечаний по поводу
1 ) Следует различать префиксные кодовые словари и словари, обладающие
свойством префикса (гл. 10). В силу того что префиксные коды представляют
собой класс (в строгом смысле) блоковых кодов, то, очевидно, они , обладают
свойством префикса. (Прим , авт.).
336


модифицированных префиксных кодовых словарей, удовлетворяю­
щих этому ослабленному условию.
Заметим, что как префиксный, так и модифицированный пре­
фиксный кодовые словари являются словарями без запятой со сло­
вами из ( п + т) символов. Это следует из того, что каждое кодовое
слово начинается одной и той же т-последовательностью и ника­
кой стык кодовых слов не может обладать этим свойством . (Или,
в случае модифицированных префиксных кодов, каждое кодовое
слово должно начинаться одной и той же т-последовательностью,
которая не может появиться вновь в кодовом слове до тех пор, по­
ка не будут приняты, по крайней мере (т+п)/2 символов. Очевид­
но, что никакой стык кодовых слов не будет обладать этим свой­
ством.) В силу того что как префиксные коды, так и модифициро­
ванные префиксные коды являются кодами без запятой при неко­
тором дополнительном ограничении (состоящем в том, что для ус­
тановления синхронизации необходимо рассмотреть лишь т . симво­
лов одновременно), следует ожидать, что словари будут содержат:.,
чуть меньше слов, чем N (п+ т, r) из ( 12.3). Однако в этом случае
асимптотически с ростом длины слова число слов префиксного ко­
да имеет тот же порядок величины, что и N(n+m, r), в противопо­
ложность тому, что было для кодовых словарей без запятой с ин­
вариантными путями, рассмотренных в предыдущем параграфе. К
сожалению, хотя префиксные коды легче использовать для синхро­
низации, чем обычные коды без запятой, они не имеют тех преиму­
ществ при кодировании и декодировании, которые были свойствен ­
ны кодам с инвариантными путями.
Можно вывести производящую функцию числа слов в макси­
мальном префиксном кодовом словаре. Для этого введем следую­
щие определения:
1. Префикс из т символов будет называться повторяющимся с
периодом v (O<v~m), если y1y2...'\7v -y1y2 . . ,Ym-v =y1y2 ... ym. (Заме­
тим, что все префиксы длины т являются повторяющимися с пе­
риодом т . Следует подчеркнуть различие между повторяющимися
ттоследо:вательностями и периодическими последовательностя:-.ш.
Все периодические последовательности являются повторяющимися,
но не наоборот. Непериодическая последовательность 101, напри­
мер, является повторяющейся с нериодом два.)
2. Говорят, что i- последовательность а1-а2 "а; будет хороuю
оканчивающейся по отношению к некоторому префиксу 'V1V2 .. . vш,
если последовательность -у1-у2уз... ута1•а2 .. . а; не имеет в качестве суф­
фикса последовательность 'У1У2.. -'У" , тде v - ,не:~юторый ,период ,по-
вторения для этого префикса.
Теорем а 12.6 . Пусть У1'У2 .. yrr;, является префиксом слов длины
(п+т) из алфавита, содержащего r символов, принадлежащих
максимальному префиксному словарю Dm(n), и пусть этот префикс
имеет периоды повторения v1, v2, . .. , v1, Vi+t Л т. Положим
Лi~{1,i=Оилиi=viдлянекоторогоj, 1<j<l+1;
-
О, для всех остальных i < т.
337


Пусть d;=r,Л;-1-Л.; и ,пусть V; ,обоз1мчает число i -1последо·ватель.но ­
стей, хорошо оканчивающихся по отношению к Y1V2---'Ym• Тогда чис­
ло Nm(n) слов в словаре Dm(n) для всех п~ 1 равно коэффициен­
ту при xn в производящей ф унк ции
G(x) = [(1-rx) 11
1
Vix' +Vrnxrn ]/[l-t
1
di xi]-
(12.21 )
Доказательство. Рассмотрим (2 т + п-1) -последовательность
У1У2...Yrnа1CXz••• UnУ1••• Yrn-1 •
( 12.22)
Если сх1а2.. .ап
-
хорошо оканчивающаяся, то должно существо­
вать некоторое наибольшее целое k , O~k<n, такое, что либо
Y1<+ 1Y1<+2··•Yma1a2...a1< =у1у2 .. .ут, k<!m, либо a1, -m+1<Zl, -m+2- . .ak =у1у2 ...ут.
k~m .
Заметим, что если k<m, то k должно быть периодом повторе­
ния для префикса y1y2... ym, т. е. Лн= 1. Тогда (п-k+т) - последова­
тельность, нач1шающаяся символом У1<+1 (если k<m) или ak-m+ t
(если k~m) и оканчивающаяся символом ,ап, должна быть словом
из Dm(n-k) . Следовательно, дJrя каждого слова из Dm(n-k),
k < т, существует единственная (2 т + п- 1) -последовательность.
вида ( 12.22), где 1а1 а2.. .схп хорошо оканчивающаяся п-последова­
тельность тогда и только тогда, когда ,Л,,_= 1. Если k~m, то сущест ­
вует точно гk-т таких (2 т+ п-1 )-последовательностей для каждо ­
го слова из Dm(n-k), так как символы a1cxz ... ak-m являются
при
этом произвольными. Таким образом,
n-l
I ЛkNт(n-k) = Vn,
(12.23)
k=O
где лk~rk-rn, k:;;,,.m,
Далее если n>m и если ,an-n,+1CXm-n+2- . . an хорошо оканчиваю­
щаяся последовательность, то такой же будет a11az... an и наоборот .
Таким образом, Vп= ·гn-mVm для n>m.
Умножая обе части равенства ( 12.23) на xn и суммируя по п .
получим
оо n-1
оо
со
I LЛkNm(n-k)xn = ,! Лkxk I Nт(n-k)xn-k =
n=l k=O
k=O
n=k+l
00
00
00
= I лkxk}2Nт(l)Х1= LVпxn •
(12.24)
k=O
l=l
n=l
Таким образом,
оо
m-1
00
I Vnxn
I Vnxn + Vmxm/(1-rx)
G(х)~~Nт(п)xn = _п:-1---- _mn-~-/---------
n=i
LЛпхп I Лnхп+хт/(1- гх)
n=O
n=O
338


и, умножая числитель и знаменатель выражения, стоящего в пра­
вой части, на 1-rx, получим искомый результат. а
Следствие. Число слов Nm(n) в максимальном префиксном
словаре Dm(n) задается рекуррентным соотношением
т
Nт(п) = ~d;Nт(n-i)
(12.25)
l=I
для всех n>m.
Доказательство. Этот результат получается непосредственно,
т
€СЛИ умножить обе части равенства (12.24) на 1- ~ d;xi и прирав­
i=I
нять коэффициенты при хп. ■
Например, .пред:положим, что .префиксом является 1010 и r=2.
Так как )'1)'2='\'з'\'4, то префикс является повторяющимся с периодом
два. В силу того что он является единственным периодом повторе­
ния, Ло= 1, ,Л1=0, Л2= 1, Лз=О, Л4= 1 и
N4 (п) = 2N4 (n- 1)-N4 (n-2) + 2N4 {n-3)-N4 (n-4).
Далее, как легко проверить, V1 =2, V2=3, V 3 =6, V4=12 и, следова­
тельно, из ф-лы (12.23) или из (12.21) поJ1учаем, что N4(1) =2,
N4(2) = 3, N4(3) =4 и N4(4) =9.
В то время как ур-ние ( 12.25) полезно при определении числа
слов Nm(n) в максимальных префиксных словарях для большинст­
ва интересных на практике длин слов п+т, производящая функ­
ция наиболее полезна при определении асимптотического поведе­
ния Nm(n). Чтобы найти асимптотическое выражение для Nm(n),
фактически необходимо лишь найти наименьший по модулю корень
(или корни) знаменателя D(x) дроби iG(x). Это утверждение лег-
1ю проверить, производя разложение на элементарные дроби
G(x) с помощью корней х; его знаменателя. При этом типичным
членом такого разложения будет
•Ai
А;=-
~
(1+~+~+...)
(12.26)
Xi 1--
t
Х- Xi
(
Х)
Xi
Xt
Х~
'
>rt
и .коэффициент ~пр.и xn в мно1гочлене G(x) име,ет ,B'ИJI.: -:Z (А;/х7+ 1 ) •
'
(То же заключение справедливо и тогда, когда некоторые из кор-
ней являются кратными.) Асимптотически, следовательно, при
n-+oo этот коэффициент будет абсолютно подавлен членами, кото ­
рые соответствуют м,и.нимально,му по модулю корню или ко,рням.
В качестве примера использования производящей функции для
отыскания асимптотического поведения Nm(n) рассмотрим дробь
G(x), когда префикс не имеет периодов повторения (т. е. _коr.тха
Лi=О, i=l=0; каждый из префиксов аа... аЬ, аа . . .аЬЬ, аа ...аЬЬЬ, . .. ,аЬЬ . . .Ь
обладает этим Lвойством). Ясно, что все п-последовательности бу ­
дут хорошо оканчивающимися по отношению к неповторяющемуся
преф1шсу при 1~n<m, кроме самого префикса, представляющего
339


собой т-последовательность, когда п = т. Таким образом, V п = r 11'r
1~n<m, Vт= ,гm-1 и из ф-льr (12.21) имеем
G(х)=1/(1- rx+хт)-1.
(12.27)
Значения всех корней знаменателя D(x) дроби 1G(x) легко най ­
ти с помощью метода корневого годографа. Рассмотрим уравне ­
ние K/x(xm-1
- r) =-1 . При К-+0 точки х=х;, для которых это•
уравнение имеет решение, стремятся к корням уравнения х(хт-1_
-г) =0, т. е. стремятся к точке х=О и к (т-1) равноудаленнымr
точкам ·x=rl/(m-1) e2ni[k+(I/2)J/m
k-0 1
-1К
"
-
,
-
,
,..., т
.
орневои го
дограф, показанный на рис,
12.1, при т = 10 типичен для
всех т. С увеличением К ко­
рень х=О и корень x=r1/<m-1}
стремятся друг к другу по дей­
ствительной оси, в конце кон-­
цов, встречаются и расщепля­
ются на два комплексно-сопря-­
женных числа. Модули других:
т-2 корней монотонно воз ­
растают вместе с К и, следова­
тельно, по меньшей мере, рав­
ны г- 1/<m-J) для всех К.
Интересная ситуация воз­
никает, когда К= 1. На основе­
предыдущего получаем , что
D(x) имеет либо два по ­
ложительных действительных:
Рис. !~ . !. Геометрическое место точек корня
либо ни одного
корнеи
'
•
Но так как D(1/,r) >0 и
D{m/(m-1)r} =-1[1/(m-1)}[1-mm/(m-l)m-Lrm]<O для т?,:=3, то
D(x) имеет действительный корень хо, где (1/r) <хо<(т/(т-1)]Х
Х ( 1/r). Другой положительный действительный корень должен
быть равен некоторому числу х1 ?,:: 1. 0то становится ясным, если
представить D(x) в виде (х-хо) (x-x1)f(x), когда т четное, илн
(х-хо) (х-х1) (x-x2)f(x), когда т нечетное, где t(x) - многочлен,
имеющий все невещественные корни D(x) . (Если т нечетное, то,
имеется вдобавок к двум положительным действительным корням
отрицательный действительный корень х2 функции D(x).] Так как
корни f(x) должны появляться в виде комплексно-сопряженных.
!Пар,тоf(l)>0, а так:какд(l)~Ои x0<il, то х1?,::1.
Таким образом, установлено, что D(x) имеет только один ко ­
рень Хо, по модулю меньший единицы. Как следствие, показано, что,
n+I
•
:не только Nm(n) •ст,ремится ;к А 0/хо при n-+oo (см. (12:26)], но и
что входящие в Nm(n) члены, которые отбрасываются, асимптоти­
чески равны нулю. (Исключение может составлять член, соответст­
вующий возможному корню х= 1. В любом случае влияние этого­
члена пренебрежимо мало.) Более того, так как Хо - простой ко -.
340


рень, .то Ao=lim(x-xo)G(x)=N(xo)/D'(xo), где N(x) является чис-·-
х-хо
лителем iG(x), а D'(x) - производная его знаменателя.
Для того чтобы закончить вывод асимптотического выраж ен ия
для Nm(n), следует, однако, уточнить нашу оценку положения кор­
ня Хо. С этой целью положим y0 =1--(l/rxo). Поэтому D(x0)=0 тог­
да и только тогда, когда yo[l-(m-l)yo]<yo(l-y0)m-1 =,m<y0 .
Отсюда сразу же следует, что Уо=гm+О(тг2т) и
-1
[.1 -т О( -2т)]
Хо=r
-r
+mr
.
( 12.28►
Таким образом, когда префикс не имеет периодов повторения,
меньших, чем т, получаем
Nm(п)~_ N(хо) _l_ =
12 29)
(•
'il
D' (хо) х~+ 1
r- тxz,-1 х~+1 '
где Хо определяется выражением (12.28) .
Теорем а 12. 7 . Асимптотически при больших длинах слов lf
максимальный префиксньiй словарь содержит, по меньшей мере, .
[(r-1)r11 <r- 1
>_ logre]-1 (rNf,N) слов.
Доказательство. Пусть n+m=N и m=logr(N/c), где с выбран0:-,
так, чтобы т было целым. Тогда, используя ф-лы (12 .28) и (12.29)
и рассматривая с как постоянную, найдем, что
Nт(N-m)~(:Jn~(l- :)NrN-m~ce-c(; ).
(12.30у
Чтобы максимизировать это выражение при условии, что m=
= logr(N/c) - целое число, заметим, что се-с монотонно возрастает ·
с увеличением с при с< 1 и монотонно убывает с ростом с при ,,
с> 1. Далее некоторое значение с из отрезка c0 ~c ~rc0 должно ,
приводить к целому значению т при любом с0 >0. Положив .
c0e-c0 = •rcoe-rc . или Co=(loger)/(r-1), можно удовлетворить не- ­
равенству ce-c~{(r-l)r11 <r-I) log1e] - 1 для некоторого с, такого , что-•
т - целое. Тогда асимптотически
1,Н N N )[( 1).l/(r-1)1 ]-1
,N
eN:.;;.. т( -т :.;;.. r-c- 1
og,e
~·
(12.31),
где граница сверху справедлива в силу того, что се-с~е-1 . ■
Рассмотрим теперь префикс аа... а (т. е. префикс, имеющий все·
периоды повторения: 1, 2, ... , m). Некоторая п-последовательн6сть.
а1а2.. .ап, п~т, будет хорошо оканчивающейся по отношению к
этому префиксу тогда и только тогда, когда •an =l=a. В соответствии•
с этим Vn = (r-l)гп- 1 , l~n~m и из ф-лы (12.20) получаем
О(х)= (r- I)x(1-х)/[1- rх+(r- I)хт+1].
(12,32}1
Так как знаменатель D(x) этой производящей функции имеет тот
же вид, что и рассмотренный ранее, то могут быть использованы~
341!.


,фактически те же самые аргу менты относительно положения его
корней. В частности, D(x) имеет только один корень
.х =- 1----+о
-
,
1(
г-11
(т))-\
ог
ггт
г2т
(12.33)
•С мод улем, меньшим единицы . Так как этот корень меньше, чем ко­
рень хо, найденный в пред ыд у щем примере, то префикс аа ... а обе ­
.щает более быстрый рост Nm (n) по сравнению с тем, что дает не­
nовторяющийся префикс aa ...a/J.
На самом деле, эти два пр е фикса соответствуют крайним зна­
чениям скорости роста Nт (п). Это значит, что минимальный по мо­
дулю корень х"о знаменателя D(x) производящей функции G(x)
попадает в интервал х'о~х"о~Хо, где Хо и х'0 задаются ф-лами
(12 .28) и ( 12.33) соответственно для всех префиксов фиксирован­
·ной длины т . Чтобы нроверить справедливость этого утверждения,
заметим сначала, что знаменатель
т
т-\
,D(x)=1-~d1x1 = (1-rх) ~ л, х1+хт
(12.34)
1=1
i=O
является положительным при х= 1/r и отрицательным при х=
=,[m/(m--1)][1/r] (так как Ло= 1) . Таким образом , многочлен 1f(x) Л
.Л D(x)/(1-rx) должен иметь корень х110 из интервала 1/r<x"o<
<[m/(m-1)}[1/r}. Но f(x) монотонно возрастает как по х, так и по
коэффициентам Лi для всех х из этого интервала. Увеличение ка­
;кого-Jшбо Лi приводит, следовательно, к уменьшению х"о. В соот­
ветствии с этим х110 достигает своего минимального значения (х'0 ),
когда Л1=Л2= .. . = ;Лm-1=l , и своего максимального значения (хо),
когда Л1=IЛ2= ... =Лm-1-=О .
В силу иронии, несмотря на то , что префикс аа.. .а гарантирует
·.наибольшую скорость роста объема словаря для заданного значе­
,ния т, всегда можно i[пЬ крайней мере, когда r=2] найти словарь
,боJJьшего объема, имеющий ту же самую длину слов (п+т) и ис­
mользующий префикс аа .. .аЬ (и.~ш какой-либо другой неповторяю­
щийся префикс), который соответствует наименьшей скорости рос ­
·та. Разрешение этого парадокса состоит в том , что значение т в
этих двух случаях не будет одним и тем же . На самом деле, опти­
мальная длина префикса в последнем случае будет всегда больше,
чем в первом . Причина этого очевидна. В любом кодовом слове за
,префиксом 111 ... 1 из т символов должен всегда следовать О, что­
•бы не принять за префикс также т-последовательность, начинаю­
щуюся вторым символом слова. Любое слово тем самым фактичес­
•ки должно начинаться префиксом 11 .. . 10 длины (т+ 1). Тот же са­
мый словарь оказался синхрони з ируемым с помощью этого нового
·префикса, а не первонача л ьного . Но если используется этот пре­
•фикс, то теперь в словарь м огут быть включены некоторые добавоч­
ные слова и, в частности, те, которые оканчиваются серией из од­
ной или большего числа единиц. Таким образом, для того же са­
мого N объе м словаря может быть увеличен с помощью перехода
-от префикса 111 .. .1 длины т к префиксу 111 ... 1О длины т + 1.
.,342


Прежде чем закончить этот параграф, сделаем р яд кр а тки х заме -­
чаний относительно объем а словаря в случае, когда ограничеюн:­
на префиксный код слегка ослабляется, что приводит к ранее упо-­
мянутым модифицированным префиксным кодам. Модифицирова н -­
ны ми префиксными кодами, напомним, являются коды, в которых.
все слова из N символов имеют один и тот же префикс длины т
си мволов и составлены так, что этот префи кс не может появиться
как какая-либо m-последовательно сть, начинающаяся i- м сим в оло м
при любом .i из интервала 2:s;;i:s;;'[(N/2) + 1] . Если был опозн ан п р а ­
вильный префикс, то другой префи кс не появи тся до тех по р, пока•
не будут приняты, по меньшей мере, l[(N/2) + 1] символов. Если пре­
фикс обнаружен в любом друго м месте, то второй пр е фикс всегд а.
будет обнаружен еще до того, как пройдут '[(N/2) + 1] си м в олов .
Т ;:~ким образом, установление син х ронизации лиш ь немног о сл ож ­
нее, чем это было ранее, а число кодовых слов может быть увел и ­
ч ено . Один из методов построения такого словаря состоит в при ­
со единении в качестве суффиксов к каждому слову из обычного,
словаря префиксного кода длины m + t[(n+m)/2] всех возможны х.
[(11-т + 1)12] -последовательностей . Очевидно, что ни одна из m -по ­
следовательностей, начинающихся i - м си м волом любого сло ва из .
результирующего словаря, не будет совпадать с используемы м пре ­
фиксом при любом i из интервала 2:s;;i:s;;m+{(n+m)/2]-(m-1) =
= i[(N/2) + 1], что и требовалось . Это построение для некоторы х.
префиксов приводит к чрезмерным ограничениям, так как он о мо­
жет паложить не являющиесн необ х одимыми ограничени я на те·
m - последователь н ос т и, которые начинаются с ((N/2) +2]-г о П О ·
{(N/2) + m]-й . символы . Тем не менее в соответствии с ф-лой (1 2. 30 )·
это построение пр и водит к
Nm( [~ ])r{ [(N+l)/2]-т}~2ce-c(~)
(1 2. 35►
кодовым словам. За счет модификаuии асимптотически удва и в ае тся,:
объем словаря. Интересно отмети ть, что здесь верхняя границ а, к о ­
торая получается п р и прирав н ивании с к 1, в точности совпадает с
нижн е й границей (12.7), кото р ая достигается для непрефиксной,.
конструкции из § 12.2 .
В этом параграфе было показано, что асимптотически в пре ­
фиксном кодо-вом словаре содержится столько же слов, скол ь ко и·
в обычном словаре без запятой с той же самой длиной слов а [ер.
( 12 .3) и (12 .31) ). Как было сказано ранее, основное преимущество,
префиксных кодов состоит в относительной легкости, с которой они·
могут быть синхронизированы . Если с.rюварь является просто сл о ­
варем без запятой, необходимо рассматривать последовательно сти·
из N символов для определения того, было ли принято к акое-либо·
кодовое слово, и проделывать это для всех N возможных н ач аль­
ных позиций. В противоположность этому для префиксных кодов.
нужно лишь рассмотреть последовательные m-последовательности
(т ~ IogrN) и для получения синхронизации, опознать местонахож ­
дение префикса . К сожалению, процедуры кодирования и декоди -
343;


рования при использовании нрефиксных 1юдов могут оказаться
,столь же сложными, как и в случае использования кодов без за­
.пятой. В следующем параграфе исследован другой класс синхро­
,низи руемых блоковых кодов, в котором эта трудность во многих
отно шениях обходится.
12 .5. Коды с запятой
Другим методом установления синхронизации слов яв­
.ляется периодическая передача запятой или специальной последо­
,вательности длины т для определения правильной синхронизацион -
,ной позиции. Запятая называется сингулярной по отношению к ело ­
.варю D, если она может появиться в последовательности слов из D
·только там, где она намеренно поставлена; в этих условиях D бу­
дет называться словарем кода с запятой. Таким образом, для то­
го, чтобы запятая была сингулярной, все т-последовательности,
,состоящие из стыка двух кодовых слов, кодового слова и запятой
или з·а1пятой и ,кодоВО['О сло,ва, долж1ны ,быть отличны ,от за1Пятой . В
модифицированном коде с запятой можно было бы допустить, что­
•бы за1пят,ой был тольк,о стык .кодо.вого слова и запятюй, ,но не
,стык запятой и кодового слова (или наоборот) .
Сингулярная запятая может передаваться всегда, когда возни­
'кает потребность в синхронизационной информации. Как только
:nриемник опознает запятую, синхронизация устанавливается. Нет
,необходимости передавать запятую вновь до тех пор, пока что-либо
не вызовет потерю синхронизма, так как длина слова здесь, так же
, как и в других параграфах этой главы, считается одинаковой для
• всех слов. Однако в типичных случаях запятая периодически пе­
редается через умеренно короткие интервалы после каждых k ин­
"формационных слов, для того чтобы гарантировать, что в случае
поrер·и синх,рон,изации ,прошло не очень много времен.и до того,
· как она вновь будет установлена.
Если k = 1, то коды с запятой представляют собой просто пре­
• фиксные коды предыдущего параграфа . Ес.тш k> 1, то возникает
; новая ситуация. Теперь нужно ввести дальнейшие ограничения на
:кодовые слова для того, чтобы т - nоследовательность, образован­
•· ная стыком любых двух из них, не была запятой; сама запятая не
:;разделяет каждую пару п-последовательностей, как было в случае
, префиксных кодов.
Эти коды будут менее эффективны (будут более избыточны),
·чем префиксные коды. Так, если N=nk+m, то код с запятой будет
. сравним с префиксным кодом, имеющим тот же самый префикс
. длины
т символов и длину слова, равную N. Очевидно, никакая
N-последовательность, не принадлежащая префиксному коду, не
:может являться последовательностью слов кода с запятой. Некото­
· рые N-последовательности префиксного кода могут; однако, не
•быть какой-либо последовательностью слов кода с запятой. Напри­
мер, ни одна из этих последних последовательностей не может
;:344


01{анчиваться i-последовательностью, которая является началом,
запятой, если существует также какое-то слово, которое имеет в,
качестве префикса последние m-i символов запятой.
Вместе с тем эти коды могут быть проще в реализации . Более­
того, ограничения на код не зависят от k (при k~ (т+п-1 )/п),
так что частота, с которой передается запятая, может меняться в
соответсТ1вии с требова.ниям,и слсте,мы 'без с1колько-ни:будь значи­
тельного изм,енения кодирующей ·и декод,ирующей а1п1Паратуры.
Структура кодовых слов, конечно, будет зависеть от значениЙr
т и п. Хотя можно получить результаты для все х соотношений меж­
ду т и п, ограничимся тремя наиболее интересными случаями.
Теорем а 12 .8. Максимальный словарь кода с запятой из,.
r-символьного алфавита в случае, когда запятая имеет длину т, а
кодовые слова длину п_, содержит Мщ(п) слов, где
1. M1(n) = (r- 1)п;
2. Mn (п) = rn - r[n/2] - _,_[<_п+_1J_f2_J_ __I _
r-1
п>1;
3. М2п(п)= rn - 1.
В последних двух случаях оптимальной запятой является т-после-­
довательность вида ааа ... аЬ (или Ьа .. . а), состоящая из т-1 повто ­
рений одного из r символов а, за которыми следует некоторый дру­
гой символ b=l=a ил.и •ее обращение.
Доказательство . Случай 1. m= 1 (в качест._ве запятой использу­
ется лишь один символ) . При этом при построении кодовых слов
могут быть использованы лишь r--1 оставшихся символов; всего ,
имеются (r-1)n таких слов .
Случай 2. m=n> 1. Пусть запятой будет Y1Y2---Yn • Тогда
для
всех i, 1 ~i~n-1 либо никакое слово из словаря не может окан­
чиваться i-последовательностью si ~ Y1Y2• -•'Yi, либо никакое слово не­
может начинаться (п-,i)-последовательностью Рп-i~ Ун1Ун2...уп . .
Запрещение использования si в качестве суффикса устраняет гn -i
слов из словаря, в то время как запрещение использования Pi в ка­
честве префикса устраняет ri слов . Предположим, что s1 являетс я­
самым коротким запрещенным суффиксом. Тогда (n-l+ 1)-после­
довательность Рп-1+1 не должна использоваться в качестве префик ­
са кодового слова, и из словаря исключаются, по меньшей мере,
r"-1+ г1-- 1 - 1 п-последовательностей и запятая . (Вычитание едини ­
цы необходимо потомv, что одна п--последовательность могла бы .
иметь как ,суффик,с s1: так и ,п1рефик,с Рп-1+1-) Но
rn-1 + rl-1 > r[n/2] + { r[(n+IJ/2) _ l} /(r _ l)
для всех l<i[n/2] . Таким обра,зом, ,самый
суффикс и, по аналогии, самый короткий
должны содержач , по меньшей мере, {п/2]
бы граница Мп(п) была достижимой.
короткий за,п,рещенный,
запрещенный префикс
символов для того, что-
345


Если п четное, то либо суффикс, либо префикс длины п/2 долж­
'j-[Ы Gыть запрещены. Предположим, что запрещены самый корот­
жий суффикс Sп/2 и самый 1шроткий префикс P(nl2)+t (рассуждения
будут такими же, если запрещены префикс Рп/2 и суффикс S(nl2J+1).
Тогда ни какое кодовое слово не может иметь либо один из префик­
,сов P(n/2)+1 или Р(п12)+2, либо ОДИН из суффиксов Sn/2 или S(n/2)+!. -
Тогда, если Sп/2 не является суффиксом S(nl2)+i или P(nl2J+1 префик­
,сом P<nl2J+2, различными будут все устраняемые слова, кроме, самое
большее, четырех пар. Но, как легко проверить, когда п;:,,8, ,n/2 +
+2 г(n;2)- 1 +г<n; 2J-2-3 штук п - последовательностей тем самым само -
устраняются (включая саму запятую), так что число слов, допус­
· тимых для словаря, становится меньше, чем Мп(п). Таким образом,
для того чтобы указанная граница была достигнута, либо Sn/2 дол­
жен быть суффиксом S(n/2)+1, либо ,О(п/2) +1 должен быть префиксом
P(nl2J+2, либо и то, и другое. Но обе эти ситуации могут существовать
одновременно толыш, если запятая состоит из одно г о единственно­
го повторяемого символа Y1Y2---Yn=aa . .. a . При этом ограничение на
стык кодового слова и запятой, например, устранило бы все слова
из словаря, имеющие односимвольный суффикс а. Одно это не дало
бы возможность достичь границу М,.,(п). В соответствии с этим ли­
•бо Sn/ 2 является суффиксом S(nl2Jн и запятая имеет вид аа ...
,ay(пl2J+2· · • Yn, либо Р(пl2)+1 является префиксом P <nl2)+2 и запятая имеет
вид 'Y1Y2•- · Y<nl2J-2a . .. a. В первом случае все
слова, имеющие либо
,<Суффикс Sn/2, либо какой-нибудь из префиксов Рп - i, .i= О, 1.... ,
(п/2)-1, будvт различными. Во втором случае все слова, имеющие
либо префикс P(n'2)+1, либо какой - либо из суффиксов s;, i = п/2.
(п/2) + 1, ... , п, будут различными. В любом из
этих случаев, как
легко видеть, число остающихся кандидатов для словаря ограниче­
но ве.1ичиной Мп(п). Частные случаи n=2, 4 и 6 легко рассмотреть
,отдельно и показать, что для них справедлива та же самая граница.
Когда п нечетное можно использовать, по существу, те же са­
мые рассуждения, чтобы показать, что любая запятая, приводящая
к максимальному словарю, либо начинается, либо оканчивается
(п+ 1) /2 повторениями одного и того же символа. (Подробный вы-
·вод оставляется читателям в качестве упражнения.) Отсюда немед­
ленно следует указавная граница.
Рассмотрим теперь словарь Dп(п), содержащий все п - последо ­
вательности, кроме тех, которые начинаются каким-либо из пре­
фиксов Р[п;2н1, Р[n;2н2, , .•. ,
Рп, где р; имеет вид аа... аЬ для всех i
и, кроме тех, которые заканчиваются суффиксом s [<n+1J/2 J= а ...а.
Очевидно, что такой словарь содержит Мп(n) слов. Считая, что за-
пятая имеет вид аа ... аЬ, заметим, что никакой стык кодового слова
и запятой, запятой и кодового слова или кодового слова и кодового
слова не может образовать запятую; соответственно Dп(n) являет­
· СЯ словарем кода с запятой, содержащим Мп(п) слов. (То же са­
м0е доказательство, очевидно, справедливо для обращенной запя­
той Ьаа...а.)
346


Случай 3. m=2 п . Если запятая представляет собой 2п-последо ­
вательность ааа ... аЬ, то нужно устранить из списка кодовых слов­
лишь одну п-последовательность (п-последовательность аа ... а). Ни­
какой стык запятой и ,слова или слова и запятой не может образо ­
вать запятую, и если бы какой - либо стык, включающий три сл ова ,.
содержал запятую, то среднее слово непременно было бы не ис­
пользуемой п-последовательностыо аа ... а . Таким образом , разре­
шенными для словаря будут r"-1 п-носледовательностей. Незави ­
симо от соотношения между т и п, чтобы запятая была единствен­
ной, из словаря должна бьiть устранена, очевидно, по меньшей ме­
ре, одна п-последовательность. Следовательно, рассматриваемая·
запятая является оптимальной. (Опять-таки, обращение этой запя­
той является столь же эффективной запятой.) ■
Код с запятой при m=2n является особо привлекательны м с·
точки зрения реализации. Необходимо лишь позаботиться, чтобы
было исключено сообщение, не приводящее к кодовому слову
аа ... а. Обычно это доволы!о легко выполнить на практике. В этом
случае сообщения могут передаваться прямо с пер1iодически встав­
ляемой запятой. Синхронизация устанав л ивается вс е гда, когда опо­
зпается п-последовательность аа ...а. з а которой следует п-последо ­
вательность аа... аЬ.
Другие соотношения между п и т также могут иметь, по край­
ней мере, теоретический. если не практический интерес . Если
[m/2]<n<m. то рассуждения, использованные для случая m=п.
могут быть обобщены, по существу, без из м енений. Тогда можно.
показать, что число слов в J\Н!Ксимальном словаре с запятой
Мт(п)= r" -
rn-[(m+I)/ 2) -- ( ,.п-[m/2] - 1)/(7" -
1),
(12.36}
[т/21 <n<m.
Вновь максима.ТJьный словарь получа е тся, когда используется запя -­
тая аа ... Ь (или аЬ . ..,ЬЬ) и когда все префиксы вида аа . . .аЬ и длины
,[т /2]+ 1 или большей .и -суффикс аа ... а длины {(m+l) /2] запреще­
ны. Аналогично, если т~2 п, может быть использована запятая
аа ... аЬ и, как и .в случае m = ·2п, ;необходимо уст-ра1нить из ~л-Dlваря
лишь слово аа .. .а. Таким образом,
Mт(n)=r"-1, n<[;].
(12.37}
Рассмотрение становится более сложным, однако, когда n>m,
так как теперь за п ятая не ,должна появляться ни внутри кодового
слова, ни на стыках двух или большего числа кодовых слов. Поло­
жение здесь аналогично тому, которое возникло при обсужде нии
префиксных кодов . Максимальное число слов в словаре легче всего
определить рекуррентно.
Этот параграф закончим исследованием избыточности кодов с
запятой. когда длины слов становятся большими. Для того чтобы
облегчить сравнение с другими синхронизируемыми блоковыми ко ­
дами, обозначим через N=m+kn полную длину, когда запятая, со­
стоящая из т символов, должна передаваться после каждых k ко-
347


до вых слов длины п символов. Множество N-последовательностей,
·.получ аемых с помощью каждого возможного последовательного
~ оед инения k слов из словаря кода с запятой и стоящей перед ни­
м и за пятой, является, очевидно, словарем без запятой со «словами»
.и з N с имволов . Как уже отмечалось, это множество будет более
избы точным по сравнению с обычными кодами без запятой или
,:;префи ксными кодами той же самой длины из-за добавочного огра-
,ниче ния, накладываемого на коды с запятой . Определим здесь
лишь качественно , какую избыточность нужно добавить по сравне­
н и ю с другими кодами, когда N велико. Для этого зафиксируем N
и вы берем п так , чтобы максимизировать число N-последователь­
.носте й Lm(N), которые можно сформировать, используя слова дли­
ны п с имволов из словаря кода с запятой при трех ограничениях,
п редс тавляющих наибольший интерес, а именно : m= 1, m=n и
m=2n.
Когда m= 1, независимо от значения п имеем L1 (N) = (r-l)N-1
.
Дл я сравнения с границей для кода без запятой запишем это вы­
раже ние в виде
L(N)= N(1- 1/r)N ,н
1
,-1
--л-- ·
(12 .38)
. Когда т=пипчетное,получаем
,L n(N) = [Мп(n)]k =
,N [1-
_r_
._ ! !!!:_ (1 - ап )](N/n)-1 ~
,п
r-1 N
rN
,N
(r)
~ -.-ехр ---а,
,n
r-1
(12.39)
тде а =а(п) =N/пrn;z и N/n предполагается большим .
Л егко убедиться в том, что как функция от п (при фиксирован­
· н о м N ) это посл~днее выражение максимизируется, когда
1= -'-а(logre +.-1-)~_r
_
_!!_
_
г-1
п
2
r-1 2
Т а ким о бразом , когда N (и, следовательно, п) велико, Ln(N) мак­
-е и миз ируется при
N = an/i/2 ~ 2 (r-- l) n,J<nf 2>-1J.
(12.40)
Так как для любого в>О имеем ·rn12 <пrn12 < r(n;2>c1+e> при до­
·-ет аточ но большом п, то отсю д а следу ет, что асимптотически, когд а
N удов летворяет ф-ле (12 .40 ), гn ,_, ![rN/2(r-1)]2 и из (12 .39) по­
лучаем
,
(r-1')2 4
,N
Lп(N)~- ,
-
e2N н·
(12.41)
Если п нечетное, подо бные р ассуждения дают
(r-1)2 i
,N
Lп (N) ~r 2,-1
e2N tГ'
( 12.42)
348


тде N;;::::;[2(r-1)/(2r-1)]nr<n+1J;2. Наконец, если т=2п, имеем
L (N)_( п l)(N/n)-2
_
r
1
r
-а
N(
1 )(N/n)-2
N
'2n
-
r-
---
---
;:::::;-е
r2n
,п
,2п
'
(12.43)
где a=N/пrп. Это выражение максимизируется по п, когда а;;::::; 2.
- С,1едовательно, поступая, как и ранее, получаем
(12.44)
Конечно, эти асимптотические выражения справедливы только
для тех N, которые связаны описанными соотношениями с п, а не
.д,1я произвольны х N. Здесь также можно применить метод, ис­
пользованный в §12.4 для того, чтобы оценить снизу Nm(n)
.[ер. (12.30) и (12.31)] и тем самым оценить асимптотическое зна­
чен,ие Lm(N) 1для всех N . Единств,енное ,отличие будет состоять в
.небольшом уменьшении постоянной, которая в этих выражениях
умножается на rNjNo,. В любом случае, так как здесь N было введе­
.но довольно искусственно единственно для того, чтобы была осно­
,ва для сравнения с другими кодами без запятой, граница для про ­
;извольного N вряд ли является интересной.
12.6 . Блоковые коды, синхронизируемые
при использовании ФТ
При демодуляции r -ичного ФТ сигнала с помощью опор­
J-IОЙ несущей, получаемой непосредственно из модулированного
- сигнала (т. е. с помощью использования методов гл. 8 или исполь­
.зования относительного когерентного метода), выход детектора бу­
_дет иметь r-кратную неоднозначность. Выходные символы могут
быть выражены в виде ... ai-1 + В, .щ+ В, ан1+ В,... , где величины а
известны, но где из-за отсутствия абсолютного опорного сигнала f,
может быть любым из r символов алфавита.
Один из методов устранения этой неоднозначности состоит в
-.относительном кодировании информации; это означает, что инфор­
мация представляется в виде разности по модулю r между после­
довательными символами канала, а не в виде самих символов. Этот
метод имелся в виду, например, при рассмотрении ОФТ в § 4.6 . Ин­
тересно отметить, что нужны лишь N + 1 символов при использова­
нии относительного кодирования дJIЯ того, чтобы передать N сим·
в олов информации. В действительности, следовательно, использует­
·СЯ минимальное возможное число r-ичных символов (один) для уст­
ран ения ,r-кратной неоднозначности.
В любом случае это отсутствие абсолютного опорного сигнала
п риводит к дополнительной трудности при синхронизации слов.
Для иллюстрации рассмотрим двоичный словарь D= {00001, 01001,
·0 1101, 10001, 11001, 11101}. Этот словарь входит в класс словарей
бе з запятой в обычном смысле, как показано в · § 12.2. Теперь, од­
,н ако, из -за неопределенности опорного сигнала принимаемые сло-
349


ва могут быть либо из словаря D, либо из D, т. е. из дополнитель-­
ного к нему словаря. В отсутствие заранее установленной синхро ­
низации поэтому последовательность .. .00001000010000100... , напри­
мер, .может соответствовать одной из двух последовательносте й
слов ... w1re11W1 ... или
...WвWвWв ... (где W1=00001 и w 6 =11101). Следо­
вательно, возможная синхронизационная задержка неограничена .
Очевидно, что словари, которые синхронизируемы при обычных ус­
л овиях , не являются необходимо синхропизuруемыми при исполь ­
зовании ФТ (т . е. синхронизируемыми, когда они используются в
ФТ системе связи без абсолютного опорного сигнала).
Приведенный выше пример показывает, что, по меньшей мере .
треб у ется наложить следующее ограничение на кодовые словари
для того, чтобы они были синхронизируемыми при использовании
ФТ . Если словарь Dn со словами длины п, составл е нными и з r-ич­
ного а лфавита. содержит кодоrюе слово
то он не може т тогда содержать ника;,ого сл о ва вида
w' = (Шi+I+ ~)(wi+2 + ~) .. .(шi+п+~)
(12.45)
(12.46)
при любых i = 1, 2, ... , п-1 и при любом кодовом символе В (В= О,
1, 2,... , r-1). (Сложение шн.i+В производится по модулю r, в то
вре м я 1,ак с.тюжение в подстрочном индексе понимается по моду ­
лю п). Это, 1,01-rечно, исключает возможность того, чтобы само сло­
во ш имело вид w' для некоторого i9'=0 по модулю п .
Число слов в синхронизируемом словаре при использовании ФТ
может быть оценено так же, как в § 11.4, путем подсчета числа не­
вырожденных кл ассов эквивалентности п-последовательностей .
Только теперь класс эквивалентности нужно определить иначе ,
r:1с1ючим в него все сjюва, связанные как w и w' [см. ( 12.45), ( 12.46) ].
Это означает, что два слова 1п,ринадлежат теперь -одному
и тому же классу эквивалентности (классу ФТ эквивалентности) ,
если одно может быть получено из другого путем циклической пе­
рестановки на некоторое число позиций и прибавления к нему по­
стоянной п-последовательности В в ... в при любом f, (В = О, 1, ... , r-1) .
Любое слово, принадлежащее классу эквивалентности, содержаще­
му менее чем nr различных п-tпоследо.вательностей, ~будет назы­
ваться ФТ вырожденным . Так как любое ФТ вырожденное слово
может быть превращено в другое слово, из его класса эквивалент­
ности с помощью операции того вида, который указан здесь, по­
лучаем, что справед л ива следующая лемма .
Лемм а 12.1 . Синхронизируемый при использовании ФТ сло­
варь может иметь самое большее одно слово из каждого невырож­
денного класса ФТ эквивалентности.
Теперь докажем вторую лемму, которая нужна для оценки чис­
ла слов в максимальном синхронизируемом при использовании ФТ
словаре .
350


Лемм а 12.2. Число ре ш ений ,? уравнения kq=O (mod ,r) , О~
~ k<r равно (r, q), где (r, q) обозначает наибольший общий де ­
литель целых ,чисел q и r.
Доказательство. Если (r, q) ='v, то r= Bv и q=yv, где В и v - uе­
л ые чи сла, не.имеющие общих делителей, т .е. (В, v)=l . Уравнение
kq=O (mod r) удовлетворяется при этом тогда и только тогда, ко г­
да ,?=l(B/y), где l равно целому кратному у, и, следовательно, тог­
да и только тогда., когда k=aB для некоторого целого ,а. Так как
vв=r, то целые ki= ,iB<r дают единственные решения уравнения
kq=O (mod г) для всех i=O, 1, 2, ... , v--1 . Следовател ьн о, имеются
точно (r, q) =\.' ·,аких решений.
Теорем а 12.9. Число слов в словаре, синхронизируемом при
использовании ФТ и состоящем из слов длины п с символ ам и из r
символьного алфавита, не превосходит величины
N'(п,r)= -1
-\l(r, d) μ (d) rnfd,
rn l.J
.
dln
где: суммирование проводится по всем целым делителям п, (,r, d)
обозначает наибольший общий делитель r и d, а μ(d) - ~t - функ­
ция Мё биуса:
1приd=1;
μ(d) = (- !)" при d=Р1,Р2---Рv,где Р1,Р2 , ••• ,
Рv-различные простые
числа ;
.О
во всех остальных случаях.
Доказательство . Если w принадлежит ФТ вырожденному клас ­
•СУ эквивалентности, то должно существовать некоторое наимень­
шее целое v и некоторая п-последовательность kп~ (kk.. .k), O~k <
<r, такие, что ш=wv+kп, где wv обозначает п-последовательность ,
получаемую с помощью циклического сдвига символов ш на v поз и ­
ций влево . Ясно, что v должно быть целым делителем п (е р . с ле м ­
мой 11.2). Тогда также ш = (w"+kп)v+kп=W 2"+ (2k)п и , вообще,
w=шi''+(ik)п для любого целого i. Приравнивая первые d=nJv
с имволов w и i:viv + (ik)1i и считая, что s обозначает произвольгrую
v-последовательность, получаем, что w должно иметь вид
W = (s, ·s+kn/d, S+(2k)n/d,..., s+[(d-1)kJn/d)·
(12.47)
Далее, так как шdv+ (dk)п = ш+ (dk)п=W, то произведение dk
должн о равняться нулю по модулю r. Таким образом, имею тся
,-n;d (п/d)-1последователыностей s и (r, d) целых чисел k (ле,м­
ма 12. 2), представляющих различные ФТ вырожденные п-последо­
ва те льно сти вида (12.47) . Эти же самые п-последовательности яв­
л яются вырожденными с 1периодо-м п/d (в смысле 1'1.4) ·югда и
только тогда, когда k=O (по модулю r). Следовательно, имеются
(r, d) п - последовательностей, ФТ вырожденных с минимальны м
периодом n/d, для каждой п-последовательности, вырожденной с
-тем же са~ым периодом в обычном смысле. Оставшаяся часть до-
351


казательства полностью аналогична доказательству теоремы 11.14 ;
необходимо лишь подставить (r, d)rn;d вместо ,rn;d в доказательст­
во теоремы 11.14, чтобы получить, что число ФТ невырожденных
п - последовательностей
( 12.48)
d[n
В силу того что каждый ФТ невырожденный класс эквивалент­
ности содержит точно nr п-последовательностей и, так как словарь,
синхронизируемый при использовании ФТ, может содержать самое
большее . по одному слову из каждого класса эквивалентности
(лемма 12.1), то теорема доказана. ■
Приведем теперь конструкцию максимальных словарей D'п, син­
хронизируемых при использовании ФТ, для всех длин слов п. Пусть
Dn является максимальным синхронизируемым словарем со словами
длины п . (Такой словарь может быть построен методами§ 11.5 . Бо­
лее того, если п нечетное, то Dn может в действительности быть
словарем без запятой, как показано в § 12.2 .) Пусть Sn - подмно­
жество слов из Dn, сумма символов в которых равна нулю по мо­
дулю r. Например, если r=2 и ,D" является кодом без запятой
{00001, 01001, 01101, 10001, 11001, 11101}, то S 5 = {01001, 10001,
11101}. Словарь D'n состоит из всех слов вида
-
W.=
О,0'1,0'1+0'2,0'1+0'2+0'3,••·, 0'1+0'2+0'3+•·· +О'п-1=
=Ш1Ш2 · ··Шп,
(12.49)
где cr 1cr2 ... Gn является словом из Sn.
Теорем а 12.10 . Словарь D'n является синхронизируемым прн
использовании ФТ.
Доказательство. Рассмотрим произвольную последовательность
слов из D'п ... ш;шн1 .. .шпш\ш'2ш's - -- ·Ш'1-1ш\ .... Взяв разность по моду­
лю r между последовательными символами, получим последова­
тельность ...<Ji+1;crн2-- .{Yп-i10'n<J'1cr'2...
[Замечание. Первый с,имвол слова ,на ,выходе равен O-(cr1 +crz+
+ . .. +Gп-1) = ,ап в силу того, что по построению ,cr1+a2+ ... + •crп=
= О (шоd r) ]. Т,ак .как ,получен:ная ,после,дователь.но,сть mредста·вля,ет
собой последовательность слов из синхронизируемого словаря Dn ,
то она синхронизируемая. Синхронизационная задержка для D' n
лишь на один символ больше, чем аналогичная задержка для Dn
в отсутствие r-кратной символьной неоднозначности. ■
Теорема 12.11 . Словарь D'n состоит из N'(n, r) слов (см .
теорему 12.9) и поэтому является максимальным.
Доказательство. Имеются в точности гп- 1 п-последовательностей
a 1a2 ... an, таких, что а1 +а2 + .. .+ап=О (modr). Первые п-1 симво­
лов могут бьЕъ выбраны произвольно, а последний тогда опреде-
п-1
ляекя одн-означно из соотношения ап = - ~ Gi- Любая ·выр-ожденная
п - последовательность (в смысле § 11.4) должна обладать тем свой-
352


ством, что w = ss... s для некоторого s= 0'10'2 .. .0'nlq. Число таких п-по­
следовательностей, сумма символов которых равна нулю по моду-;
лю r равно (r, q)r<n;q)-t, так как первые (n/q)-1 символов s могут
быть выбраны произвольно, а последний должен быть выбран так.
n/q
чтобы удовлетворялось уравнение q (~ cri) = О (mod r); согласно лем-
i=
ме 12.2 это уравнение имеет (r, q) решений . Так же, как и в дока­
зательстве теоремы 11. 14, нужно лишь подсчитать число тех вы­
рожденных п-последовательностей, которые имеют период nlq;
где q - произведение простых чисел, для того чтобы учесть каж ­
дую такую п-последовательность один и только один раз . В соот­
ветствии с этим имеются
п-1 '°'(
) (n/pi)-1 ~~(
) (n/piPj)-1
1
r
-
~r,Pir
+L,t.. r,Р;Pir
+...,
i
i i>i
•
+ (- l)m(r, P1P2···Pт)r(n/p, Р,---Рт)-1
(12.50)
невырожденных п-последовательностей, символы которых в сумме
равны нулю по модулю r. Разделив ( 12.50) на п, найдем, что чис­
ло различных невырожденных (снова в смысле§ 11.4) классов эк­
вивалентности, имеющих слова с этим свойством, равно N'( п, r) .
Так как каждый невырожденный класс эквивалентности дает одно
слово в Dn (т. е. так как Dn -- максимальный словарь), то каждый
невырожденный класс эквивалентности , содержащий п-последова -
тельности, сумма символов в которых равна нулю , дает одно сло­
во D'п- Таким образом, D'п является максимальным словарем, и
теорема доказана.
12.7 . Заключительные замечания
В этой глав е был изучен ряд ограничений, которые на­
кладывались для того, чтобы гарантировать синхронизируемость
блоковых кодовых словарей. Интересно сравнить эти ра зл ичные
огран·ичения пu избыточности, которую они вносят. Пусть D будет
словарем, содержащим W слов длины N из r-ичного алфавита .
Тогда каждый символ содержит в среднем (1og·2W) /N бит информа ­
ции. Если на D не накладывается никаких ограничений, то W рав­
но rN и каждый символ содержит log2r бит . Избыточность D поэто ­
му может измеряться отношением
л. = [log2 r-(log2 l'7)/NJ/log 2 r = 1 - log, W/N.
(12.51)
Сама по себе синхронизируемость накладывает условие W ~
~ rN/N и, следовательно, л~ (logrN)/N. Эта нижняя граница, на
самом деле, достигается не только в классе синхронизируемых
кодов, но и в классе кодов без запятой со значительно более жест­
кими ограничениями, как было показано в § 12.2. Префиксные ко­
ды, по крайней мере, асимптотически, так же - достигают этой ниж­
ней границы (см. § 12.4) . Коды без запятой с инвариантными пу -
12-281
353


тями и з § 12.3, будучи более просто реализуемыми, имеют избыточ­
ность л ~ -1⁄2-i[l-logr(r-1)] [ер. с (12.18)], которая в противополож ­
lj ость тому, что справедливо для обычных I{Одов без запятой, не
с тремится к нулю асимптотически с ростом N .
Н есо мненно, что кодами , имеющими наибольший практический
интерес как с точки зрения реализации, так и с точки зрения син­
хронизации, являются коды с запятой . Если запятая помещается
после каждых k слов и k выбирается подходящим образом (см .
§ 12.5), то получающийся словарь из «слов» длины m+kn=N сим­
в олов является словарем без запятой с избыточностью
"' ,_
(12.52)
~~{(2logrN)/N,т =п.илит =2n;
1- logr(r-:- 1), т = 1.
.
Таким образом, если m=n или m=2 п (последний случай приво­
дит к простой практической реализации), то избыточ~юсть лишь
:вдвое больше той, которая может быть достигнута на синхронизи­
!Р Уемых словарях. Когда m= 1, получающиеся коды с запятой
!Имеют избыточность вдвое большую по сравнению с кодами без
за пятой с инвариантными путями . Последние, на самом деле , при
больших N представляют собой, по существу, модифицированные
коды с запятой для т = 1; модификация разрешает использовать
односимвольную запятую в последней половине каждого кодового
с лова.
Нак о нец, если требуется, чтобы код был синхронизируемым при
использовании ФТ (§ 12.6), избыточность оценивается неравенст­
вом л;:? (log,.N + 1) /N и асимптотически совпадает с избыточностью
при усл овии обычной синхронизируемости.


Г лавq /3
.,.,:'КОДИРОВАНИЕ ДЛЯ УСТРАН ЕНИЯ
ОШИБОК
13.1 . Введе~ие
.
!
Предположим, · что кана л связи подвержен влияни ю шума ,' ин ~
т енсивность которого достаточна , чтобы соз д ать трудно сти для п ра ­
вильной · иденt-ифи к а:т.1;и-и , в приемнике фактически переда н н ых сим­
волов 1по сигналам , иокажен.ным шумам·и . По-видим ому/ довол ьн о
часто будут возникать ошибки. Чтобы увеличить надеж ность с и сте­
мы, может оказаться целесообразным кодирование по длежа щей
передаче информации, возможно , путем передачи , помим о ин ф ор ­
мационных символов, еще некоторых символов, которые д адут воз­
можность проверить верность информационных символов . Наиболее
просто п осылать каждый информационный символ дв а р аза. Е сли
два соответствующих принимаемых символ а совпад аю т, то к этой
части . сообщения возникает большее доверие, че м если б ы символ
передавался один раз . Если , напротив, принимаемые симв олы р аз а
личны, то, . по крайней мере, один из ни х должен быть ошиб очн ым ч
решение относительно переданного символа может быть с оотве т.с т 7
венно обесценено.
Декодер для этого кода с одним повторением мог бы ра бот а ть
в режиме обнаружения оишбок. Если какой-либо один и з эт ой п а р ы
с имволов, соответствующей одному информационному симв олу , я в ­
ляется ошибочным, то декодер может :обнаружить это собы т ие н
сообщить потребителю о своей неспособности принять ре шение. Е с­
ли произойдет двойная ошибка (т . е . если оба повторенны х с и мво­
ла ошибочно определены н а приемнике), то будет иметь м есто не­
обнаруженная ошибка, но это событие, как мы надеемся , имеет
много меньшую вероятность .
Рассмотрим теперь ситуацию , когда символ повторяется н е оди н
раз, а дважды. То гда • декодер может принять в качестве пр а виль ­
ного символа тот, который он . определяет чаще . Это означа ет, :чт о
е сли в последовательности трех выходов приемника символ s 1 воз ­
никает дважды (или три раза), а символ s 2 - один раз (и ли . ни
разу), то приемник считает, что в действительности был пе р ед а н
s 1 (и ло,вто•реtн ~дважды) . • В · с.илу . того что . прин ять два и ли тр-и
последовательных ошибочнь1х решения , по-видимому , н епр а вд0по-~
д обно, вероятность ошибочного решения тем самым сни жа ет-с Я).
При этом , если при передаче трех символов происходит лиш ь од на
ошибка, то будет вынесено правильное решение , и гово р ят , ч то
,п рием1ник ,работает .в реж,име иоправленuя ошибо к.
Для того чтобьi сделать предыдущие рассуждения боле е кон ­
к ретными , предположим , что имеются лишь два символа ка н ала 1i
12 ··
35_5


чт? вероятность неправильного приема для каждого из них равна р.
(I\онечно, эти две вероятности ошибок не обязательно должны быть
равными, но очень часто они равны друг другу . ) Далее предполо­
жим, что все ошибки в символах представляют собой статистичес­
ки независимые события. Тогда, если используются только что рас­
смотренные код и алгоритм декодирования, вероятность правиль­
ного решения равна Р'с= 1-3р2 (1-р)-р 3. Она больше, чем веро­
ятност~:; Ре= 1-р правильного решения, когда символ передается
лишь один раз при О<р< 1/2; это значит, что сказанное справед­
ливо всегда, когда неправильный прием символа менее вероятен,
чем правильный .
В ·случае :кода с од.ним ~повторением ·и дек,одера с 0tбна.руж,ени­
ем ошибок вероятность неправильного решения равна р2, что, оче­
видно, меньше, чем соответствующая вероятность в отсутствие по­
в торения для всех О<р< 1. Вместе с тем вероятность Р"с правиль-
1ного решения при использовании этого кода равна l-2p(l-p)-p2 ,
что меньше, чем Ре= 1-р для всех О<р·<. 1. Достоинство этого ко­
да, очевидно, состоит в способности ук<1зывать на некоторые ошиб­
ки, когда они происходят, а не в способности их исправлять .
Метод повторения можно испоJiьзовать неограниченно; если
символ повторяется четыре раза, то могут быть исправлены одиноч­
ные ошибки и обнаружены двойные ошибки или могут быть обна­
ружены одиночные, двойные и тройные ошибки. Аналогично пять
повторений позволяют исправить даже две ошибки в пяти симRо­
лах. Стоимость повторений очевидна: если каждый символ повто­
ряется п раз, то каждый символ переносит лишь 1 /п-ю долю ин­
формации . Другими словами, п-1 из п повторяемых символов яв­
ляются избыточны,ии; они добавляются только для того, чтобы
создать защиту от шума в канале.
Очевидно, полезную избыточность можно ввести в передаваемый
сигнал способами, которые отличаются от прямого повторения .
Пред1положим, на1при,мер, что ~после кажд0tго блока из k информа­
ционных е,и,мволО1в ~пере.дается проверочный сим1вол, который •О1П1ре­
деляется как сумма k предыдущих символов. (Это имеет смысл
только в случае, если сумма определяется подходящим образом.
Например, r символов могут быть целыми числами О, !, ... , r-1, а
сумма понимается по модулю r. Или, если r степень простого числа,
,то символы могут быть заданы как элементы конечного поля, а
сумма определяется над этим полем . ) Здесь избыточным будет
только один из k+ 1 символов. Тем не менее одиночную ошибку всt
:ж,е можно обнаружить. Это следует из тоrо, что если любой из k+ l
символов принят ошибочно, то (k+ 1)-й символ не будет больше
.су ммой предыдущих k символов и будет отмечено появление ошиб­
ки. Две или большее число ошибок могут пройти необнар уже нны­
ми. Если, однако, вероятность ошибки в символе р достаточно ма­
ла т ак, чтобы наличие двух или большего числа ошибок в k+ 1 пе­
редачах было весьма неправдоподобным, то эта способность обна­
руживать одну ошибку может быть удовлетворительной.
356


Концепция исправления ошибок также может быть расширена.
Очевидное обобщение состоит н разделении множества k информа­
ционных символов на ряд подмножеств и передаче, кроме этих k
символов, проверочного символа для каждого из этих подмножеств .
Так, например, за последовательностью из трех информационных
символов можно передать проверочный символ для первого и вто­
рого символов, а затем - второй проверочный символ для второго
и третьего символов. (Рассмотренная выше схема повторения,
между прочим, может трактоваться как передача последовательно­
сти одинаковых проверочных символов для единственного инфор­
мационного символа.)
Каждая из этих процедур кодирования представляет собой при­
мер более общего метода кодирования, т. е. отображения блоков k
информационных символов в блоки n>k кодовых символов, назы­
ваемые кодовыми словами. (В дальнейшем множество кодовых
слов будет называться кодовым словаре,и или более кратко кодоtt.
Отношение k/n, т. е. доля информационных символов в кодовом
слове, называется скоростью передачи ш-1.формации.) Имеется мно­
жество возможных способов определения такого отображения.
Один из классов образуют отображения, например, состоящие в
присоединении n-k проверочных символов к каждым k информа­
ционным символам. Задача состоит в определении наилучшего ото­
бражения при заданном множестве условий, где наилучшее пони­
мается в смысле получения либо минимума вероятности ошибочно­
го приема кодового слова, либо максимума вероятности его пра­
в ильного приема. (То, что эти два критерия не обязательно совпа­
дают, можно понять на примере обсуждавшегося выше режима об­
наружения ошибок . ) К сожалению. они являются довольно неудоб­
ными критериями для исследования. Более простая мера качества
н екоторой частной схемы кодирования следует из рассмотрения со­
о тношения между вероятностью принять одно кодовое слово вместо
другого и числом соответствующих символов, которыми отличаются
эти два слова. Предположим, что d;j из соответствующих симво­
лов двух кодовых слов W; и -Шj не равны друг другу (например, ес­
ли W;=00111 и Wj= 10100, то d;j=З). Очевидно, что если передает­
с я одно из этих слов, то должны произойти самое малое d;i2 оши ­
бок при передаче для того, чтобы принятое слово стало «ближе» ко
второму слову, чем к первоначальному (отличалось меньшим чис­
лом символов от второго слова) , Вообще, если d - число символов,
в 1,оторых отличаются два ближайших слова, то могут быть исправ­
ле ны, по меньшей мере, е = (d--1) /2 ошибок путем отождествления
принят о й п-последовательности с ближайшим к ней словом из сло­
в аря. А налогично всегда может быть обнаружено любое множество
d -1 или меньшего числа ошибок .
Отметим попутно, что можно было бы исправлять некоторые
о шибки и обнаруживать другие . Например, все те принимаемые
с лова, которые находятся в пределах расстояния е от кодового сло­
в а, можно было бы считать возникшими из эт-ого слова, в то в_ремн
к ак принимаемые слова ; отличающиеся от всех кодовых слов на
357


расстояцие, большее е, могли бы рассматриваться как не подлежа­
щи:е декодированию. Тогда, ,если d -: - расстояние между блищайrш.t­
ми кодовыми словами, то будет считаться, что все принимаемые
слада., которые содержат, пр меньшей мере, е+ 1 ошибок, но не бо­
лее чем d-e-1 ошибо1\, содержат ошибки, но не будут декодиро­
ваться . Если код должен 11справлять вп.лоть до е ошибок, а также
обнаруживать все принимаемые слова, содержащие более чем е,
но не более чем i=d-e -1 ошибок, то d должно б~пь, очевидно,
равным, по меньшей мере, t+e+ 1.
Во всех этих случаях вероятность ошибочного декодцрщщ1-щя ,
связана с минимальным расстоянием d между любыми двумя КО•
довыми словами. Эта мера расстояния, т. е. число соответствую ­
щих символов, которыми отличаются два кодовых слова, называет­
ся хэмминговским расстоянием .
При последующем исследовании кодов., исправляющих ошибки
и обнаруживающих ошибки, словари будут сравниваться и оцени­
ваться с помощью связанного . с ними минимального расстояния d,
разделяющего любые два слова; наилучшим словарем при любых
заданных параметрах п и k будет тот, для которого это мищ~:маль,­
ное расстояние d максимально. Следует указать, что наилучший
словарь в этом смысле не обязательно будет наилучшим в смысле
максимума верояпюсти правильного приема или минимума веро­
ятности ошибочноrо приема . Эти меры связаны с минимальным
хэм\',1инговским расстоянием, но они не обязательно монотонно за­
висят от него. Впоследствии мы возвратимся к этой стороне задачи.
13.2 . Линейные коды
Чтобы описать более общие конструкции для
кодов, исправляющих и обнаруживающих ошибки, в кодовый сло­
варь нужно вв~сти структуру. Наиболее успешно используемая
структура состоит в том, что кодовые символы считаются элемен ­
тами некоторого конечного поля GF(q), а кодовые слова образу­
ют векторное подпространстно п-последовательностей над GF(q).
Такой код называется линейным (п, k)-кодом ; п обозначает число
символов в каждом ·кодовом слове, а k - размерность подпро­
странства.
Слова линейного кода могут быть построены, если взять все
линейные комбинации множества {gj} , состоящего из k базисных
векторов (или порождающих), с п компонентами
k
w1= ~a11g1,
(13.l)
i=I
где aij - элемент поля GF(q) , над которым определены кодовые
слова. Словарь, порождаемый k линейно независимыми векторами,
содержит qk кодовых слов . Матрица G с размерами kXn, строки
которой являются кодовыми словами gj, j = 1, 2, ... , k, будет назы­
ваться порождающей матрицей линейного (п, k)-кода .
358


Рассмотрим, · например, линейный словарь D= {ООО, 202, 122,
0 21 .. 220, 110, 012 , 101, 21 l}, определяемый над троичным полем.
Так ' как он содержит девять кодовых слов, то его размерность -~
р авна двум (32 = 9) . Все кодовые слова , например , являются линей-
1-1ыми комбинациями первых двух ненулевых слов. (Заметим, что
к аждый линейный словарь в силу того, что он определяет вектор­
Ii Ое · пространство, должен содержать нейтральный элемент, т. е.
\·.
.
.
.
в ектор, все компоненты которого равны нулю.) •
Одним из основных преимуществ при ограничении класса кодов
линейными является относительное удобство определения мини­
мальпого хэм_ минговского расстояния между двумя кодовыми сло­
в ами . Пусть вес вектора определяется как число его ненулевых
к ом пон ент . Тогда минимальное хэмминговское расстояние, разде­
ляющее любые два кодовых слова в линейном коде, равно весу
ненулевого кодового слова, имеющего минимальный вес в этом сло­
в аре. Это немедленно следует из того, что хэмминговское расстоя­
н ие между любыми двумя кодовыми словами Wr и Ws равно весу
вектора, представляющего собой разность векторов Wr-Ws, т. е.
к ом по нента Wr-Ws не равна нулю тогда и только тогда, когда со ­
ответствующие компоненты в Wr и Ws различны. Но так как код
является линейным, то слово w 1 =Wr-Ws само является словом из
к одового словаря и его вес равен расстоянию между Wr и Ws.
Второй причиной особого внимания к классу линейных ко­
д ов является то, что он ·включает в себя ·важный .класс кодов с
проверками, р:~ссмотренный ранее. Как сейчас покажем, эти два
класса кодов фактически совпадают, если концепция проверок
о бобщается следующим образом. Пусть (w1, w2, ... , wk) - множество
и нформационных символов, определенных над некоторым полем
GF(q) , и пусть проверочные символы w,, k<i~n определяются
k
у равнениями ~ t}ijWj+Wi=O , где суммирование производится над
.
i=I
GF(q) . Это выражение можно записать следующим образом :
п
_L '1J1i roi = О,
i=I
(13.2)
где 'l 'Jij=O для всех j>k, кроме j=i. Использованное ранее опреде­
л ение проверочного символа ограничивалось случаем, когда t}ij
р авнялось -1 (или О) для всех j~k. Обобщение состоит - в том,
чтобы рассматривать t}ij, j ~k как любые элементы из по­
л я GF(q).
Множество ур-ний ( 13.2) можно представить в более удобной
ф орме, используя матричные обозначения . Пусть вектор w=
= (w 1,w2... wn) соответствует кодовому слову, а hi-k =:(t}i!t}i2• • •'Чin),
i ==k+ 1, k+2, ... , п представляют собой (n-k) проверочных вектора.
Тогда существует проверочная матрица Н ~вида
Н=[An-k,kln- kJ,
'
( 13.3)
где An-k, k - матрица (n-,-k) Xk, а ln-k
-
единичная матрица
359


(n-k) Х (n-k), такая, что любая строка hi из Н удовлетворяет
уравнению whi=O для любого w из кода. Обратно любая п-после ­
довательность w, удовлетворяющая уравнению whi=O при всех hi
из Н, является код.овым словом. Таким образом, словарь D кода с
проверка.ми можно определить как множество всех векторов w,
удовлетворяющих уравнению 1)
wНт=О~(О,0,..., О).
(13.4)
Доказательство эквивалентности кодов с проверками и линей­
ных кодов легко выполнить, если заметить, что все порождающие
матрицы линейных ко,п:ов комбинаторно эквивалентны (эквивалент­
ны, быть может, с точностью до перестановки столбцов) порож­
дающей матрице вида
G= flkвk.n- kl,
(13.5)
где 111.
-
единичная матрица kXk, а 811., n -h .
-
некоторая матрица
kX (n-k). Это следует в силу того, что по определению линейный
код порождается (kХп)-матрицей W, имеющей строчный ранг (и,
следовательно, столбцевой ранг) k. Выражая W в приведенно -сту­
пенчатой форме, получаем матрицу в форме G. Матрица G порож­
дает тот же самый код, что и W, возможно лишь с точностью до
порядка его символов (т. е. до перестановки ее столбцов). Ясно ,
что это не меняет расстояния между двумя любыми словами кода,
так что результирующие коды обладают теми же самыми расстоя­
ниями. Коды, которые могут быть порождены матрицей вида ( 13.5),
,назы.вают,ся систематическими кодами 2). Пер,вые k символ-ов каж ­
дого кодового слова можно отождествить с информационными сим­
волами. Это значит, что если k информационных символов (а 1 ,
(1⁄2, .. . , -ah) ~а ,кодируются в сло·во
w=aG,
(13.6)
то i-м слмв-олом кодо·во~го сло,ва будет са,мо а; :для всех ,i ,из и.нте.р­
вала 1~i ~k и все информационные символы видны явно.
После этих предварительных замечаний можно сформулировать
следующую теорему.
Теорем а 13.1 . Любой систематический код является кодом с
проверr<ами и наоборот.
13.3 . Границы для минимального расстояния
между кодовыми словами
Число кодовых словарей, которые могли бы быть по­
строе.ны, 01Г,р,омло ,п-очти для любО1го множества 1па'Ра:мет,ро,в . Пусть
нужно выбрать из .qn п-последовательностей над GF(q) подмноже-
1) Транспонирование матрицы обозначается здесь надстрочным индексом Т .
(Прим. авт . ).
2 ) Иногда используется вместо этого термин «канонический код», а наз r:'­
ние к<систематический код» дается любому коду, который эквивалентен канон и­
ческому коду при перестановке столбцов . (Прим. авт.).
360


ство q" в качестве словаря. Существуют N1 = (;:) способов сделать
это: число N1 чрезвычайно велико даже при умеренных значениях
п, k и q. Если представляют интерес лишь линейные коды, то все
еще необходимо рассматривать N2=L(n, k, q) таких кодов, где
L(r, s , q) Л ( qr-I)(qr-q) ( qr-q2) ... ( qr_,qs-l) - ч1и,ело оrюсо,бов вы­
бора множества s линейных независимых векторов r-мерного век­
торного пространства над GF(q). fВыражение для ,L(r, s, q) легко
получить, если учесть, что первым вектором может быть любой из
q' векторов подпространства, кроме нейтрального элемента, вто­
рым - любой из qr--,q векторов, линейно не связанных с первым,
третьим - любой из qr-q2 векторов, который не является линей­
ной кпмбинацией первых двух и т. д .) Однако число неодинаковых
линейных кодов меньше, чем N2, так как каждый из них может
порождаться более чем одним способом. Но даже, если исполь­
зуется какой-нибудь метод, чтобы избежать вторичного рассмотре­
ния того же самого линейного кода, все еще остаются Nз=
= ,L(n, k, q)/f..,(k, k, q) различных кодов. Для доказательства заме­
тим, что при заданном линейном словаре имеются L(k, k , q) раз­
личных способов выбора порождающего его множества. Число
L(k, k, q) представляет собой кратность, с которой какой-то част­
ный код будет порождаться, когда выбираются все N2 различных
порождающих множеств. Наконец, число конкурирующих словарей
можно дa.JJee снизить, рассматривая лишь систематические коды.
В силу того что каждый линейный код комбинаторно эквивалентен
с истематическому коду, это ограничение в действительности не
устраняет какие - нибудь линейные коды, но уменьшает до некоторой
степени число различных словарей, которые нужно исследовать.
Так как существует q<n-k)k различных ![kX (п-k)]-матриц В,., n-k,
которые могут быть использованы при определении порождающей
матрицы для кода в виде (13 .5 ), то существуют N,. = ,q<n-k)k различ­
ных (но не обязательно комбинаторно не эквивалентных) система­
тических (п, k)-кодов. Но даже N,, очень велико для того, чтобы
можно было выполнить исследование с какой-.r,:ибо степенью полно­
ты. Имеется, например, более 32 млн. различны х систематических
двоичных ( 10,5)-кодов, и это число растет очень быстро с ростом
п,kиq.
Главное здесь состоит в том, чтобы подчеркнуть невозможность
исследования кодов с помощью перебора и, следовательно, под­
черкнуть, как важно иметь возможность оценить заданный код ка­
ким-то методом, который отличается от метода сравнения его со
всеми остальными кодами с теми же самыми параметрами . В этом
параграфе приведены несколько верхних границ для максимально­
го минимального расстояния кодовых словарей. Кроме того, описан
метод построения словарей, имеющих заранее заданное минималь­
ное расстояние, п посредством этого устанавливается нижняя гра­
ни ца для наилучшей возможной конструкции.
Некоторые верхние границы. В последующем рассмотрении бу­
дем обо значать через Dq(n, N, d) словарь, состоящий из N слов
361


дли.ны п, определеннр!Й над q-символьным аJJфавитом, любые два
'слова из которого разделены хэмминговским расстоянием, не мень­
шим d. Далее пусть V п(q) - множество всех qn п-последовате .пь­
ностей, определенных над некоторым q-символьным алфавит ом. Ес­
ли Dq(n, ,N, d) - линейный код, то он будет называться (п, k, d)-
словарем над GF(q) с k=logqN. В этом случае Vn(q) будет п-мер­
ным векторным пространством над GF(q). Выражение для первой
границы, которое будет выведено, является следствием из двух при­
водимых ниже лемм.
Лемм а 13.1 . Пусть D является словарем с N словами, опреде­
ленными над q-символьным алфавитом, и пусть Sp (х) обозначае:г
хэмминrовскую сферу радиуса р в Vn(q) с центром в х(т. е. Sp (х)
состоит из всех п - последовательностей, которые отличаются о'г х в
р или менее компонентах) . Тогда существует такое х, что Sp (х) со­
держит самое меньшее Np слов из D, где
а символ {!} означает наименьшее целое число , большее или рав­
ное l.
Доказательство . Пусть Np (х) - число слов из D в S 0 (х). Тог­
да, так как каждое кодовое слово w содержится точно ~
i>
'
L (~) (q-I)i различных сферах радиуса р, то
l=O I
и лемма доказана.
Лемм а 13.2 . Если Sp (х) содержит М?,:2 слов, принадлежа­
щих D, то, по меньшей меое, два из них лежат на хэмминговском
расстоянии d друг от друга·, где
1
min [ ::0
1(2-~ qq1),2р], р<qq1п;
d<
M(q-l)
q-l
--~~-п , р :;;.. -- п.
(М-1)q
q
Доказательство. Пусть А будет таблицей с размерами МХп ,
строки которой - кодовые слова из S 0 (х). Пусть Sj(i) - число
появлений символа ,aj{i) в i-м столбце А, где ao(i) Л Xi (i-я компо­
нентах) и где другие aj{i) определены произвольно, но так, чтобы,
конечно, выполнялось условие аμ (i)=l=av ( ,i), μ=#=v . Наконец , пусть
362


d;j. -
расстояние Между кодовыми словами W; и W'j, а 1 - МН()Же­
ство индексов i, таких, что w; принадлежит Sp (х). Тогда
п q-1
mi?M(M-l)d11 < '{1 dti= '{1'{1si(i)(M-si(i))=
i, /6l
I.J
I.J I.J
l,f=j
i, j€i
i=I j=O
1,
/,,,;
п q-1
п q-1
п
= М Е ~si(i)- Е~s7(i)- Еs6(i).
( 13.8)
i=IJ=O
i=l i=I
i=I
п q-1
Согласно неравенству Шварца имеем: n(q-1) ~ I s1(i) >
. i-:=1 i=I
пq-1,
Но ~ _! s;(i) пред­
i=l /=1
::::л::т;:б;х~,п:о::ов::::ук::!(I:,(:;:д~(:)) ~::~~м0:;ао~
п q-1
р = : t ~-s/(l)и замечая, что р:::=:;;р, получаем, что
i=I i=I
minM(M- l)dн < М2р{2- Р _!! _ _1} <
t, jl;J
пq-
t,f=j
1
М2р{2- __е_
_q_},р<nq- I;
п q-I
q
<
м2 q-I
q-I
п--, p>n--.
q
q
( 13.9)
Так как d, очевидно, ограничено сверху величиной 2 р, то это до­
казывает леммv . ■
Объединяя ·леммы 13.1 и 13.2, сразу получаем следующий ре­
зультат.
Теорем а 13.2. (граница Элайса). Словарь Dq(n, N, d) не мо­
жет существовать, если не выполняется неравенство
d < min{_5-P ( 2- !._
_q_) ,2р}
NP-I
п q-1
Po<P<[(q-1 )/qJn
где Np - на~меньшее целое число, равное или большее
р
; ~ (7) (q-1)1,
и где ро - наименьшее значение :р, для кото-
1=0
,
ро га Np ;;;::2.
363


След -ст1Вие (mрающа Хэмминга). Необходимым условием для
существования словаря D=Dq(n, N, q) является выполнение нера­
венства
f/
(d-1)/2
N<qn
~ (;) (q- l)i,
d нечетное,
~ / (d/2)-1
•
/qn-l ~ (n~l)(q-1)i dчетное.
t
L=O
(13.10)
Следствие (граница Плоткина). Словарь D =Dq(n, N , d) не
может существовать, если не выполнено условие
d<N(q-1)п.
(N-l)q
(13.11)
Теорем а 13 .3 . Если существует словарь D=Dq(n, N, d), то
существует словарь Dq(n-1), {N/q}, d) 1).
Теорем а 13.4 (граница Грайсмера) . Если D - линейный
(п, k, d)-словарь над 1GF(q), то существует также линейный
(n-d, k-1, {d/q} )-словарь над ,GF(q) .
Доказательство. Пусть G= {gi; i= 1, 2, ... , k} - множество по­
рождающих векторов кода D; без потери общности предположим,
что G содержит вектор gk веса d. Для удобства предположим, что
первые n-d компонент gk равны нулю. (Это, возможно, потребу ­
ет перенумерации компонент.) Предположим, что w является не­
нулевым словом в D, имеющим d' ненулевых компонент среди пер­
вых n-d . Тогда, так как w+1agk также принадлежит D при любом
а из !GF(.q), то D должно содержать некоторое слово, имеющее
среди первых n-d точно d', а среди последних d - самое большее
d-{d/q} компонент, отличных от нуля. В соответствии с этим если
w=;i=agk для какого-ли1бо а .из GF(q), то d' +d-{d/q} ~d и d'~
~ {d/q}. Пусть D' является линейным (n-d, k-1)-словарем, по­
рожденным G' = {g'i, i= 1, ... , k-1}, где g\ состоят ·из 1пер,вых n-d
компонент gi. Очевидно, что любые два слова из D' находятся
друг от друга на расстоянии, по меньшей мере, d', что и следовало
доказать.
Следствие . Линейный (п, k, d)-код на~ GF(q) существует
только, есл.и
k-1
n>~d;,
i=O
где da=d и di= {dнJ,q}.
(13.12)
Последние две теоремы могут быть использованы как незави­
симо, так и совместно с теоремой 13.2, для того чтобы оценить
максимум минимального расстояния d, который можно достичь на
1 ) Здесь и далее вновь {/} обозначает наимею,шее целое, большее или рав­
ное l. (Прим . авт.) .
364


словарях D, содержащих N слов, длины п. Как следует, например ,
сразу же из теоремы 13.3, существование словаря Dq(n, N, d) вле­
чет за собой существование словаря Dq(n-t, {N/q'}, d) при любом
t~{logqN}-1. Положив t=logq{N-1} , получаем далее, что сло­
варь не может иметь N слов из .ti символьного алфавита, разделен ­
ных минимальным расстоянием d, если не выполнено условие
d<.n-{logqN}+l .
(13.13)
В случае, по крайней мере, линейных кодов теорема 13.4 может
иногда приводить к более точной границе, чем граница в теоре­
ме 13.2 . Последняя граница, например, не запрещает существова­
ние словаря D2 ( 1О, 16, 5), но сагласно теореме 13.4 никакой ли­
нейный двоичный код не может обладать этими параметрами . Ана­
логично двоичньrй линейный (15, 8, 5t-код мог бы существовать.
есл и бы существовал (10, 7, -3) - код (ер. с теоремой 13.4). Послед­
ний код запрещен, однако, границей из теоремы 13 .2, хотя запре­
щение не распространяется на словарь. D2 (15, 256, 5) . Таким обра­
зом, может существовать нелинейный код с этими параметрами , но
не линейный 1) .
Обсуждение верхних границ закончим, доказав еще два следст­
вия теоремы 13.4 .
Следствие. Линейный (п, k)-код над GF(q) с расстоянием
k-1
/. -!
d=~оqk-1
-
).~iq'
_,
i=l
существует только в том случае, если
k-1
п > ~0(qk- l)/(q-1)- L ~1(q 1i -1)/(q- l).
i=l
(13.14)
(13.15)
•След ст ,в и е 2). Если линейный q-ич.ный (п, k)-код ,имеет ,м,и­
нимальное р,асстоя,ние d~qk- 1, то
п > _q_ (d- 1) + k-logчd.
q-I
(13.16)
Нижняя граница Гилберта. Прежде чем закончить обсуждение
границ, убедимся в том, что существуют линейные коды, по крайней
мере, хоть с какими - то способностями к исправлению или обнару­
жению ошибок. Вывод границы Гилберта показывает, что можно
построить q-ичные линейные (п, k)-коды с заданным минимальным
расстоянием. Основания для этого построения дает следующая
лемма.
1) Интересно отметить, что существует-таки нелинейный код с этими па­
раметрами. Наилучший линейный ( 15,8)-код имеет расстояние 4. Это один из
нескольких случаев, когда известно, что существует нелинейный код, имеющий
большее минимальное расстояние, чем допустимое для линейного кода с той
же самой длиной слова и размерностью . (Прим. авт.) .
2) Иногда эта граница также ,называется границей Плоткина. (Прим. авт.).
365


. i' Ле м м а JЗ.Э. Если имеется ·· кс5:дов.ое слово ' ,с весомг: d; порож­
де.ннdе м ·а:грицей G; то должна существовать линейная зависимость
Jiл e}i<щy точно '-d столбцам-и· п,ь§~жда10щей матрицы Н нуль-простран-
,сtlза и наоборот,
, .;:--·
-.
•·
ЭтJ лемма является основной дл.я конструкции Гилберта. Чтобы
шостроить л1:1-ней,ный (п, k)-код с минимальным 'расстоянием н-е
-меньшим d, нужно .выбрать стол,бцы (n-k) Хk-м,ат,рицы Н .так,
что:бы н•и,какое множество из d-1 ,ИЛ.И меньшего ,ИХ ч-исла не было
лиi-tейно з'ависймьtм. Та.к, ~первый ст,ол,бец h1 матрицы Н может
быtь любой (п-.k)-пОiследовательностью над GF (q), кро,ме чисто
1ну лево1г-о вектора от. Второй столбец h2 может ,быть любым, к,ро­
ме от , или (если d>2) h1, умноженного на любой .из q-1 нену­
левых элеме,нтов ,GP(q); hз ,может быть любым, кроме От, h1, h2,
умноженных .на любой из q--'1 ненулевых элементов ,G,P(q) (если
- d> 2) или (q-1) 2 л,инейных ком·б,и.наций, включающих ,в себя ,ка-к
hi, ·так и h2 ( если d>З). Вообще, (j +1) 0 й столбец из Н может -быть
вьr.бран и оставшихся (n-k)-1по-сл-ед-01вательностей лишь после того,
как все возможньiе линейные комбинации из d-2 или меньшего
числа j ранее выбранных столбцов Н были исключены . Это гаран­
тирует, что никакие из d-1 или меньшего числа выбранных столб­
цов не являются линейно зависимыми. В худшем случае все эти
устраненные (п-k)-последовательности являются различными, по­
этому можно заведомо выбрать п-й столбеu из Н. если после того,
как все, возможно различные
d-2
2 (n~ 1)(q-l)i~N(n,q,d)
(13.17)
/=0 /
(п-k)-последовательности были устранены, остался, по крайней
мере, один столбец. Т!;!к как имеются q(n'-k) различных (n--"k)-по­
следовательностей, то это возможно, если N(n, q, d) <qn-k . Так как
ранг Н не может. быть больше, чем n-k, то словарь должен содер­
жать, по меньшей мере, qk сло,в. Следовательно, доказа'на следую-
щая теорема.
•
Теор ем а 13.5 . Можно построить q-ичный линейный ( п, k )-ело-.
варь с минимальным расстоянием d;з:,2 для всех п, k и d, удовлет­
воряющих неравенству
qk<qri /1/n-;l)(q-l)i.
(13 . 18)
13.4. Циклические коды
За некоторыми важными исключениями поиск хороших
конструкций линейного кода, исправляющего ошибки, оказывался
успешным только после того, как были наложены еще большие
ограничеция на кодовую структуру. По мере того как математичес­
кие ограничения, которым должен удовлетворять код, становятся
более жесткими, подмножество допускаемых кодов становится, ко-
366


нечно, меньшим, и наилучшие коды с самого начала могут даже
быть исключением из рассмотрения. Вместе с тем те коды, которые
оста н утся, ,будут легче .поддаваться анализу , и хорошие .коды ,в
этом ограниченном классе будет легче описать.
Ограничение, которое применяется наиболее эффективно, со­
стоит в требованиf! того, чтобы линейный код был циклическим.
Обозначим через wi циклическую перестановку символов кодового
сло.ва w на i .позиций ·влево [если w= ,waw 1... Wn-1, то wi=
= (w;Wн1 .. .Wn-1WoW1 ... W; - 1)] . Линейный словарь D называетс я цик­
лическим тогда ,И только тог.да, ког~да он вместе с каждым слово,м
w из D содержит также слово w i для каждого целого ,i. Все эти пе­
рест ановки не обязательно должны быть различными . Например~
кажд ы й из словарей 0000, 1111 и 0000, 0011, 0110, l 100, 1001,
010 1, 1010, 1111 является циклическим.
Послезно ассоциировать с каждым кодовым словом w =
= { WoW1 ... Wn-1) многочлен
w(x) =W0+W1X+W2X2+...+Wn-1хп-1•
(13.19)
Если код является циклическим, то многочлен x 1w(x) также
должен п р едставлять собой кодовое слово; здесь показатель степе ­
ни берется по модулю п; x1w(x) соответствует слову, которое по­
лучается с помощью циклической перестановки символов w на l по ­
зи ц ий в п раво (на n-l позиций влево) . Более того, так как код ли­
ней н ь1 й, т о произведение p(x)w(x) представляет собой кодовое ело~
в о п ри л ю бом многочлене р(х) с коэффициентами, которые являют­
ся элементами поля, над которым определен код. Очевидно , что
приведе ние по модулю п показателей степеней в многочлене р (х)
эквивалентно приведению многочлена по модулю многочлена xn __ 1.
[Если р(х) =q(x) (xn-1) +r(x), где r(x) - многочлен степени,
меньшей чем п, то р(х) =-r(x) по модулю xn-I.]
Теорем а ·1з.6. Каждое кодовое слово в циклическом (п, k)-
коде может быть представлено многочленом вида а( x)g(х), где
а(х) - многочлен степентт k:-1 или меньше в зависимости от рас­
смат р иваемого кодового слова , а g(x) является нормированн ым 1)
делит:елем мно,гочлена хп~ 1, и1меет степень n-k и •опр еtделяется
един,ссгвенным образом . .
М н огочлен g(x), определенный в теореме 13 .6, будет на зывать­
ся порождающим многочленом (п, k)-кода.
Пусть теперь многочле_н v'~ (х) опредеJ1яется как
п-1
V*(х) =Vn-1+Vn-2Х+Vn-3Х2+...+V0xn-l = ~ Vn-1-iХ1,
i=O
( 13.20)
где (vov1 .,.Vn-1) - п-последоват~л:ьнdсть в нуль~пространстве рас­
сматриваемого кода; рассмQтрим произведение w(x)v*(l), в кота -:
,ром ~показатели степеней берутся 1по модулю п, w(x)v*(x)=
1 ) Нормированным многочленом называется многочлен_, старший •коэффи­
циент которого равен 1. (Прим . авт.).
367


п-1
= I (VoW;+1 + V1Wн2 + ... +v,~ -- 1W;)xi. Коэффициент при xi в произ-
i=О
ведении многочленов является скалярным произведением, пред­
,ставляющим собой одно из проверочных соотношений, 1 которому
должен удовлетворять вектор wi+1. Следовательно, если w(x) яв­
ляется многочленом кодового слова, а v*(x) - проверочный много­
член, определенный выше, то произведение w (х) v* ( х) должно быть
равным нулю, если показатели степеней приводятся по модулю п .
Другими слова ми, произведение w ( х) v * ( х) должно делиться
на xn-1:
w(х)v*(х)=р(х)(хп- 1).
(13 .21)
Теорем а 13.7. Нуль-пространство циклического кода также
является циклическим кодом с порождающим многочленом h(x) =
= (хп-1) /g(x).
Доказательство. Очевидно, что a(x)h(x) ~(x).g(x) =а(х) ~(х) Х
Х (xn-1) = р(х) (хп-1) и J1юбая п-последовательность, соответст­
вующая какому - либо из многочленов a(x),h(x), находится в нуль­
пространстве кода, порождаемого многочленом g(x) . Обратно пред­
ЛОJ1ожим, что v*(x) соответствует некоторой п-последовательности
в нуль-пространстве. Тогда g(x)v*(x) =р(х) (xn - 1) =p(x)g(x)h(x),
так что
v*(x) =р(х)h(х).
(13 .22)
Все многочлены, представляющие п-последовательности из ну.iть­
пространства, имеют вид (13 .22) и (наоборот), где h(x)=
= (xn - 1)/g(x), что и требовалось доказать . ■
Заметим, что пространство циклического кода, порождаемого
n-k
многочленом g(x) = ~ gixi, натянуто на векторы ·
i=O
go gl
gn-k
о
о
.о
оgo
gn-k -1 gn-k о
о
G=
оо
go
gl g2.. •gn-k-
.а его нуль-пространство натянуто на векторы
-
h0 h1
• hk-t hk
О
О
Оh0..
• hk_2 hk-l hk
.
.
.
О
Н=
368
(13.23)
(13.24)


k
;где h(x) = L h1,-;xi - порождающий многочлен нуль-пространства .
i=O
Более того, матрица G из равенства ( 13.23) может, очевидно,
быть записана в виде ( 13.5) с помощью последовательности эле­
ментарных операuий, выполняемых только со строками . В силу
того что эти операции со строками оставляют результирующий
с ловарь неизменным, все циклические коды являются систематиче­
скими.
Кодовое слово ,v= (шow1 ... Wn-1) принадлежит циклическому
(п, k)-кодовому словарю тогда и только тогда, когда
k+l
k
~wihi_1=~w;+ihi=О
(13 .25)
i=l
i=O
для всех l=O, 1, ... , n-k-1, ['Де h= (hoh1 ... hнO .. .O) - п.-1последо.Бiа­
тельность его нуль-пространства. Это сразу же следует из выраже­
ния (13.24) для порождающей матрицы нуль-пространства. В соот­
ветствии с этим символы любого кодового слова должны удовлет­
ворять рекуррентному соотношению
k-I
W1+k =
-
-
1- '1w;+1hi,l = О,1,..., n-k-1.
hk l.J
i=O
(13.26)
Символы Wj при всех k~j~n-1 однозначно определяются по
первым k символам Wo, w1, ... , w,,-1 с помощью этого разностного
уравнения.
Стандартная процедура отыскания решения линейных разност­
ных уравнений состоит в нахождении решения в виде ,w1=x1 и опре­
делении корней образующегося многочлена. При этом решение за­
дается равенством w1= ~1, где ~ - - любой корень многочлена
k
k
1]hi xi+l = x1+k ~ hk-ix-i = x1+k h(~).
(13.27)
i=O
i=O
h(x) было опредемно ранее. Корни h(1/x) существуют в некото-
ром расширении поля :GF(q), над которым определен код.
_
Один из корней многочлена (13.27), очевидно, есть х=О. Так
как x''h ( 1/х) является многочленом степени k, то существуют вплоть
до k дру~гих 'решений W1= ,~1i, где h(~ -
1i) =10, и так как разносТ1ное
уравнение является линейным, то любая линейная комбинация
этих k решений также должна быть решением. Общее решение по­
этому должно иметь вид
k
W1= ~Ci~i,
(13.28)
i=I
где Ci - постоянные, которые должны быть выбраны так, чтобы
удовлетворялись начальные условия:
369


k
k
k
•k
Wo= ~ci;W1=LС1~1; W2=! ci~7,···,wk-l=~ci~J-1
•
i=I
i=I
i=I
1=1
Это означает, что вектор с= (с1, с2, ... , с,,) должен
удовлетворять
уравнению
Мст=;т
'
(13.29)
где
-
l
l
~1
~2
М=~т~~
~
k-1
•1
~~ -1
иW=(wo, W1, ..., w,,-1).
Уравnение ( 1.З . 29) будет иметь решение с тогда и только тогда ,
когда матрица М имеет ранг k, и поэтому тогда , когда определи­
тель матрицы М не равен нулю. Но при всех k> 1 имеем
k
detM = П (~i-~i).
.. i,j=I
i>j
(13 .30)
Что .бы показать это, заметим, что обе части уравнения ( 13 .30)
Я!;!Л5,1,Ю,ТС5J: Мl;IЩOIJЛeI;I,aми р (В1) степени k-1 от какого-либо одног о
•
.·•,1
•·
,.
•
•••
••
•
k-1
из переменных Bi (т. · е. p(~i)= 1dj~ji], Более того, если Bi=Bj для
j=O
любых j=;i=-i, то det М=О, и поэтому p(Bi) имеет делитель Bi-Bj•
Так как обе части соотношения ( 13.30) являются многоч л еf!ами
одной и той же степени и и-меют одни .и те же делители, то о ни от ­
личаются самое большее на Ii остоянный множитель . Но поскольк у
коэффициент при 1 ~2 ~ 23 _; ; ~-z -1 совпадает для обоих многочленов, то ,
на caMOivl деле, они должны быть равнь1ми . (Этот· определ итель ,
между прочим, называется определителем Вандермонда . )
Поэтому получаем , что det M=;i=-O, если все корни Bi различные .
{Если они не являются различными, то решение все же можно по ­
лучить , хотя оно и не имеет вида (13.28). Во всех представляющих
для нас интерес ситуациях, однако, ~; будут различными .] Таким
образом, можно записать решения относительно коэффициентов Ci
так,• чтобы удовлетворялись начальные условия . Так как Wz в
(13 .28) удовлепюряют как рекуррентным соотношениям , так и на­
чальным условиям, то в действительности они должны быть симво­
лами кодового слова, имеющего эти k заданных информационны х
символов.
370


Фактически М Ь! л ишь уr<азали ' Д:ругой circkoб определения сим­
в олов слова циклического кода по информационным символам. Так
к ак можно было бы сделать это значI:Iтельно проще с помощью дру­
г их м·етодов, то казалось бы, что результат едва . ли заслуживает
затраченных усилий. Польза ур-ния ( 13.28) , однако, станет ясной
п осле следующих замечаний. Прежде осего, корни /3; многочлена
h (1ix) всегда могут быть выражены в виде /3;= /3о/3е;, где е; - це ­
л ые числа, а Во и /3 - элементы некоторого поля 1GF(qm) . (В част-
н ости, /3; = c/i , где а - примитивный элемент этого Ноля.) Но если
В; = 13 01/1 , то ур-ние ( J3.28) записывается в виде
k
W1= ~i~ci(~е1)1.
(13.31)
i=I
В соответствии с этим каждое кодовое слово из словаря можно ас­
социировать с многочленом
k
gw(х) =~с1Хе1
(13 .32)
•
i=I
т ак, iiт,o Wz= B1()gw(/3 1) . Эти многочлены В литературе по теории ко­
дирования обычно называются лтогочленами Маттсона-Соло-
•
1
Аюна .
Предположим теперь, что max ei=S . Тогда gw(x) является мнo-
I<t<k
гочленом от х степени s. Имеется самое большее s решений х = /31,
для которых gw(/3 1) =0. Если /3 является элементом порядка е, то ,
следовательно, самое меньшее fn/e](e-s) величин W; должны бьiть
ненулевыми. Так как это_ с11раведливо для любого ненулевого кодо­
вого слова из словаря, то сам словарь должен обладать минима.11ь­
н ым весом d~[n/e](e-s). Часто этот метод удобен для оценки сни­
зу минимального веса циклического кодового словаря . Отметим ,
что ни В, ни целые числа е; не определяются однозначно соотноше­
нием /3; = /3о/3е1 и s может быть различным для различных элемен­
тов /3. Тем не менее нижняя граница d~i[n/e](e-s) справедлива
для всех /3, удовлетворяющих этому соотношению . Резюмируем эти
результаты следующей теоремой .
Теорем а 13:8 . Пусть D
-
циклический кодовый (п, k)-сло­
варь, нуль-пространство которого порождается многочленом h(x),
и пусть h(x) имеет (различные) корни в-1 1, 13-12, .. . ,
13-1k. Тогда для
1,аждого слова w= (wow1., .Wn-1) из D существует ассоциированный
k
многочлен Маттсона-Соломона gш(х) = ~ с;/ 1 такой, что W1=
i=I
= 13 10gw(B1). {Целые числа ej определяются соотношением /3о/3'е1 = /3i,
i = 1, 2, ... , k, а коэффициенты с; ур-нием (13.29) .] Вес слова с мини­
мальным весом из D ограничен неравенством d~l[n/e]( e-s), где
s=maxе;ие- порядок/3.
l<i<:k
371


13.5. Некоторые важные циклические коды
Для того чтобы h(x) порождал нуль-пространство цик­
лического (п, k)-кода, h(x) должен делить xn-l, т. е . (xn-[)/h(x)
должен быть многочленом с коэффициентами из кодового поля. По­
этому один из методов выявления всех циклических кодов, которые
существуют для заданного значения п, состоит в определении всех
неприводимых делителей многочлена х"-1 над рассматриваемым
полем. Например, поскольку над двоичным полем x 7-l = (х+ l) Х
Х (х3+х+ l) (х3+х2+ l), то существуют циклические (7, 1) , (7, 3) ,
(7, 4), (7, 6) и, конечно (7, 7)-коды. Но так как многочлены х+ 1,
х3 +х+ 1 и х3 +х2 + 1 сами неприводимые над этим полем, то не су­
ществуют никакие другие двоичные циклические коды длины семь .
Эти коды легко найти. Так как (7, 1)-код соответствует многочле­
ну li(x)= l+ x, то кодом будет множество 0_000000, 1111111 . Коду
(7, 3) соответствует h(x) =х3 +х+ 1, так что код имеет вид 0000000,
111О100, 11О1001, 1О10011, О 100111, 100111 О, 00111 О 1, О 111 О 1О .
Код (7,4) соответствует Ji(x)=(x3 +x+l)(x+l)=x~+x3 +x2 +1
и содержит все слова из указанного выше (7, 3) -кода, так как если
многочлен w(x) (х3 +х+ 1) равен нуJJю по модулю х7-1, то это
справ·едливо и для w(x) (х3 +х+ 1) (х+ 1) . Кроме того, многочлен
w(x), представляющий ненулевое слово из (7, 1)-кода, удовлетво­
ряет условию w(x) (х+ l) =0 по модулю х7-1, так что w(x) (х+
+ 1) (х3 +х+ 1) =0 по модулю х7-1, и вектор, состоящий из одних
единиц, также является словом (7, 4)-кода. Код (7, 4) поэтому яв­
ляется объединением указанного выше (7, 3) -кода с его смежным
классом, содержащим п-последовательность из одних единиц . Заме­
тим, чт,о другой (7,3) -код 01пределяе1'ся с .помощью много­
члена h(x)= (x3 +x2-J- il), а другой (7,4)-код - с помощью много­
члена !i(x)=(x3 +x2 +l)(x+l). Эти последние коды являются
,нуль-:простра.нства,ми соот,ветст.венно '(7,4) и (7,3)-жщо~в, О~Писан­
ных выше .
Хотя этот подход и поучителен, но, очевидно, что он неудобен
для больших значений п. Поэтому важно иметь возможность опре­
делить общие классы кодов, которые существуют для мног и х па­
раметров п и k, и найти относящиеся к ним расстояния. Это и яв­
ляется задачей настоящего параграфа.
Начнем с сильно ограниченного класса кодов, в котором все
слова, кроме чисто нулевого слова, имеющегося в любом словаре,
являются циклическими перестановками любого из этих слов и в
котором все такие перестановки являются различными. Та кие ко­
ды будут называть циклическими кодами максимальной длины .
Смысл этого названия станет ясным после следующей теоремы.
Теорем а 13.9 . В циклическом (п, k)-коде максимальной дли­
ны, о~пределенном над ~полем GF(q), длина кодовых слов п должна
быть равной qk-1.
Ясно, что для того чтобы все п циклических перестановок сло­
ва из k-мерного циклического кода были различными, п не должно
372


быть больше qk-1. Поэтому их называют циклическими кодами
максимальной длины,
Любое слово в циклическом коде максимальной длины должно
после сложения с любой из его циклических перестановок, умно­
женной на скаляр, давать другую циклическую перестановк у са ­
мого себя. Это верно потому, что код является линейным (так что
все линейные комбинации кодовых слов также являются кодовы­
ми словами) и потому, что все ненулевые кодовые слова являются
циклическими перестановками одного слова . (Отметим отличие
этого кода от обычных циклических кодов. В последних все цикли­
ческие перестановки каждого кодового слова являются кодовыми
словами, но все кодовые слова не обязательно являются цикличе­
скими перестановками всех других слов.) В качестве примера рас­
смотрим двоичный (7, 3) -код, рассмотренный ранее. Этот код яв­
ляется циклическим кодом максимальной длины . Сумма слова
1110100 и любой из его циклических перестановок, например,.
1101001 должна быть другой его циклической перестановко й ; в.
этом случае - 00111 О 1. Это свойство кодов иногда называют ад­
дитивно циклическим свойством 1).
Теорема 13.10. Многочлен h(x) порождает нуль-прос т ран­
ство циклического (п, k)-кода максимальнои длины над полем
GF(q) тогда и только . тогда, I<огда h(x) - примитивный многочлен
[т. е. тогда и только тогда, когда корни !1(х) порядка n=qk-1].
След,ст.вие. Существует циклический (qk~l, k)-код макси ­
мальной длины для каж1дого q=pm, где р-1просто,е, ат-целое
число, и для каждо.го целого k .
Расстояния в uиклических кодах максимальной длины л е гко,
определяются с помощью следующей леммы.
Л е м м а 13.4. Пусть D является матриuей qk Х п, а строки 1)
представляют собой кодовые слова линейного кода длины п над
полем GF(q). Тогда любой столбец D, имеющий хотя бы одну не­
нулевую компоненту, соде.ржит каждый . элемент поля то чно•
q1, -1 раз.
Теорем а 13.11. Каждое ненулевое слово uиклического кода
максимальной длины содержит qk-t раз каждый ненулевой эле ­
мент поля и qh-1
--1 раз - нулевой элемент . Поэтому такие коды
имеют минимальный вес d= (q-1)qk-t _ В силу того что он являет­
ся максимально возможным минимальным весом для (q 11 -1, k)-ко­
да в соответствии с границей (13.11), эти коды являются оптималь­
ными.
Следующие кодовые слова, объединенные со всеми их uикли­
ческими перестановками и п-последовательностью из одних ну­
лей, дают примеры циклических кодов максимальной длины:
1) То, что все слова двоичного кода максимальной длины являются цикли­
ческими перестановками последовательности линейного регистра сдвига с об­
ратной овязью ( см. § 6.7) будет ( если это еще не стало очевидным) воко·ре-
показано. (Прилt. авт.). •
373-


(n=I,
(n=2,
{п=4,
(n~J,
(ti=7,
(n= 15,
(n=8,
(п=26,
k=-1;
k=1,
k= 1,
k=2,
k=З,
k=4,
k=2,
k=З,
q=2):
q=3):
q=5):
q=2):
q=2):
q=2):
q=З) :
q=З) :
21
2431
11О
1110100
100110101111000
11202210
20212210222001012112011100
Каждое ненулевое слово циклического кода максимальной дли­
ны имеет ряд свойств, которые характерны для чисто случайной
q-ичной последоват·ельности. Поэтому эти п-последовательности ча­
сто наз ываются псевдослучайными или псевдошумовыми последо­
вательностями.
Имея в виду рассмотрение; проведенное в § 13.4, не следует
удивляться, что циклические коды иногда более удобно описывать
с помощью корней порождающих их многочленов . Наибольший и
самый важный класс циклических кодов, обычно называемых БЧХ
кодами, определяется именно таким образом . (Буквы БЧХ состав­
ляют начальные буквы фамилий Боуза, Чоудхури и Хоквингема,
которые впервые описали конструкцию и свойства этих кодов.)
Теорем а 13.12. Пусть ;/:3 - элемент порядка п в поле GF(qm)
и пусть g(x) - многочлен наименьшей стеnени с -коэффициентами
из GF(q), имеющий корни :t3mo, вmо+1, вmо+2, ••• ,
вmо+1-1 • Тогда g(x)
,rюрожда ет цикличе•ский (п, k)-ко.д 1н,ад GF(q) для некоторого k~0
с минимальным расстоянием, по меньшей мере, равным d=t+ 1.
Kqщ,r этой теоремы и есть БЧХ коды. Заметим, что длина сло­
ва п должна быть делителем числа qm- 1 при некотором целом т.
Это соо тношени е определяет наименьшее поле GF(qm), содержа ­
щее В, т. е. ,т - наименьшее целое число, для которого qm= 1 по
модулю п.
Наиболее важными классами БЧХ кодов являются те, которые
получаются при m 0 =0' и при то= 1. Размерность 1k легко оценить
сн и зу для каждого из этих случаев . Пусть mi(x) - многочлен наи­
меньшей степени над полем GF(q), имеющий корень вi. Тогда эле­
менты ,t3iqj также являются корнями mi(x) при всех j= 1, 2, . . . ,т.
Так как каждый корень вида вт, где r делится на q, является
I(ОJ)нем некоторого многочлена mi(x) с i<r, то необходимо вычис­
л,ить самое большее ,l--i[l/q]=[{(q--11)/q} (l+ 1l)] мноточленов mi(x)
для всех корней ~i, i = 1, 2, ..., l (квадратные скобки обозначают
целую часть стоящей в ней дроби) . Так как •/:3 является элементом
GF(qm), то все м1-югочлены mi(x) имеют степень, не превышаю­
щую т. Элемент 1:3°, конечно, является корнем минимального мно­
гочлена х-1. Таким образом, многочлен
t...ci
l(x- 1), т0=О;
g(х)= П . mi(х)Х
~~-
1"' ;\'i'I.
т(х) т-1
i=l
_
__,
i..<Ш
i,
о-
l,fO mod q ...:,coJ .......,_,
374


является многочленом степени
[qq1(d- 1)]т+1, т0=О;
v=
[q q 1d]m,
mo=1.
(13.33)
Очевидно, что порождающий многочлен g(x) делит g(x); его
степень n-k не превышает, следовательно, v и k;;;::n-v, что и дает
требуемую границу.
Рассмотрим в качестве примера класс двоичных БЧХ кодов с
т = 6. Классы сравнений и порядки е соответствующих корней при­
ведены ниже :
о
124
3612
51020
71428
91836
112244
132652
153060
21 42
234629
275445
316261
'·'
е=I
8163263
244833
40
56
17 34
49 35
255037
411938
575139
585343
595547
21
63
9
7
63
63
21
3
63
7
63
(13.3 4)
Если · g(x) - миним _альный многочлен, имеющий примитивный
корень а, то t=2 [так как а2 также является корнем g(x)] и полу­
чающий~я (63, 57) -коμ1_ имеет минимальное расстояние d;;;::3 . С по­
.мощью. последовательного включения все больши х степеней при­
м итивного элемента а в определение g(x) получим , используя при­
веденные выше классы сравнений, коды со следующими парамет­
рами:
п636363636363636363636363
k5751
d35
453936302418
7911131521
16107
232731
1
63
Отметим, что последние восемь из этих кодов имеют размерно ­
сти, большие гарантированных ф-лой (13.33). Это типично, когда k
мал6 по сравнению с п. Если корень а0 также включается в мно­
жество корней, определяющих g(x) (т. е . если mo=0), то получим
то же самое множество параметров, но с k, меньшим · на единицу,
и с d, большим на единицу.
375


Непримит.ивные эле,менты GF(26 ) также могут быть .ис•пользо­
ваны для определения БЧХ кодов. Вновь в соответствии с множе­
ством классов сравнений в (13.34) и при выборе корня в=а3 по­
рядка 21 получаем, что существуют БЧХ коды с параметрами
п2121212121
k151264
d357921.
Аналогично элементы ~=,а1, ~= ,а9 и в=а21 определяют БЧХ
кодысn=9,k=З,d=Зи n=9,k=1,d=9;сn=7,k=4,d=3иn=
=7 , k= 1, d=7 и с n=З, k= 1, d=З соответственно.
Конечно, действительное построение любого из этих кодов тре­
бует задания неприводимого многочлена, соответствующего каж­
дому из классов сравнений в ( 13.34). Эта задача значительно об­
легчается при q=2 в связи с тем, что имеются таблицы неприво­
димых многочленов.
В заключение приведем один подкласс БЧХ кодов, представ­
ляющий особый интерес, а именно, коды Рида--Соломона, кото­
рые получаются при п = •q-1 . Эти БЧХ коды имеют размерность
k;;?:n-d+ 1 [ер . с ( 13.33); так как d должно быть меньше, чем q=
=n+ 1, имеем ({(q-1)/q}d]=d-l для всех d]. В силу того что d
никогда не может превысить n-k+ 1 (см . (13.13)], эти коды явля­
ются оптимальными 1).
13.6. Перфорированные циклические коды,
укороченные циклические коды и коды Хэмминга
В этом параграфе кратко рассмотрены некоторые дру­
гие кодовые конструкции, отличные от конструкций циклических
ходов из предыдущего параграфа, но связанные с ними . Первая
;из них состоит в укорачивании циклического (п, k)-кода: требуют,
чтобы i из k информационных символов были всегда нулевыми и
отбрасывают эти символы из кодового слова. В силу того что цик­
лический код является систематическим (теорема 13.12), такое
множество можно получить, если потребовать, чтобы первые i сим­
волов каждого слова были нулевыми. Образующийся в результате
укороченный циклический код, имеющий длину n-i и размерность
k-i, очевидно, остается линейным кодом, но перестает быть цик­
лическим. В силу того что все остающиеся кодовые слова пред­
ставляют собой укороченные слова первоначального циклического
словаря и в силу того, что i опущенных символов были равными
нулю в каждом из этих слов, минимальное расстояние между лю-
1) 'Можно показать, что каждый БЧХ код над полем GF(q) будет под­
пространством (возможно укороченного) кода Рида-Соломона над некоторым
более широким полем ,GF(qa); его кодовые слова состоят из всех тех слов кода
Рида-Соломона, символы которых принадлежат лишь полю GF(q). В этом
смысле коды Рида-Соломона образуют более общий класс кодов. (Прим. авт.).
376


быми двумя словами, по меньшей мере, будет таким же, как и в
первоначальном словаре. В качестве примера рассмотрим двоич­
ный циклический (7, 3)-код с расстоянием 4 (ер. с § 13.5), кото­
рый может быть укорочен, , если взять только те слова, начальный
символ в которых равен нулю, и затем отбросить этот символ, что
даст укороченный циклический (6, 2) - код, также имеющий рас­
стояние 4: 000000, 100111, 011101, 111010.
Порождающий многочлен g(x) для циклических кодов является
делителем многочлена хп-1, поэтому словарь состоит из слов, со­
ответствующих всем многочленам вида p(x)g(x) по модулю хп-1.
Обобщение этого класса кодов получается, когда g(x) определяет­
ся как делитель некоторого другого многочлена п - й степени f (х) =I=
=1=хп-1 и кодовые слова представляются многочленами вида
p(x)g(x) по модулю f(x). Такие коды называются псевдоцикличе­
скuми кодами. Можно показать, однако, что каждый псевдоцикли­
ческий код с минимальным весом, большим 2, является укорочен­
ным циклическим кодом и, обратно, каждый укороченный цикличе ­
ский код является псевдоциклическим кодом. Поэтому, кроме слу­
чая d=2, эти два класса кодов эквивалентны.
(Оптимальные коды с d=2, оказывается, существуют для всех
значений п и ,q. Из границы Хэмминга при d=2 имеем qk~qп-1 _
Код, образующийся присоединением к каждой из qп-1 (п-1)-по­
следовательностей над GF ( q) проверочной компоненты таким об­
разом, чтобы сделать сумму всех п компонент равной нулю, оче­
видно. имеет минимальное расстояние, равное 2, и поэтому являет­
ся оптимальным . )
Другой класс кодов, перфорированные циклические коды, полу­
чается при выбрасывании из порождающей матрицы циклического
q - ичного кода максимальной длины некоторых ее столбцов. Раз­
мерность кода остается той же, но некоторые из проверочных сим­
волов опускаются. Начнем рассмотрение этих кодов, сформировав
следующую теорему.
Теорем а 13.13. Пусть G1, является матрицей разм еров
k Х qk-1 из элементов GF ( q), строки которой порождают цикличе­
ский код максимальной длины. Тогда каждая из qk-1 q-ичных
k - последовательностей, кроме чисто нулевой k - последовательности,
появляется один и только один раз в качестве столбца Gk,
·Следствие. Каждая ненуле.вая q-ичная k-последователь.ность
л,оявляет,ся один и только один р.аз в ·виде k ~последовательных с.им­
волов (wi •wн1 ... wн1<-1) в любом слове циклического кода макси­
мальной длины (n= •qk- 1) w= (,w0 w1 ... Wn-1). [Подстрочные ин­
дексы у символов •Wi следует привести по модулю п. Например,
если i = п-2, то, по существу, k-последовательностью будет ( ,Wn-2
Wn-1
·f fio W1 ... -Wн-з) .]
Пусть теперь столбцы Gli разделены на (,q-1) классов так, что
если столбцевой в_ектор u принадлежит первому классу, то a2u при­
надлежит второму классу; a3u принадлежит третьему классу и
т. д., где а; - элемент поля, над которым определяется Gk с ai=I=
377


=Faj, i=Fj и a.;=FO, a1=l. С помощью подходящей перестановки
столбцов Gk (которая, конечно, не меняет расстояния в результи­
рующем словаре) получаем эквивалентную порождающую матри-
цу G*k в виде
:
.
•
G*k=a1Hk, а2Н1,, азНk, ..., ,aq-1Hk,
где Hk является порождающей
= (qk-1)/(q- 1) = 1qk-1+qk-2+ .. . + 1.
матрицей kXm с m=
Теорем а 13.14 . Каждое ненулевое кодовое слово из словаря,
порождаемого Hk, имеет вес do= •qk-1
.
С.л едет в л ,е. Код, порождаемый мат,рицей, ,которая tполучается
с .помощью выб~ра·сыван,ия (,перфо,рирования) любых r классов :поро­
ждающей матрицы Gk циклического кода максимальной длины с
размерностью k. имеет длину слова n=(q-l -r)[(qk-1)/(q-1)]
и расстояние (q- 1-,-r)qk-1_
Мы привели примеры перфорированных циклических кодов.
Для того чтобы обобщить алгоритм перфорирования, будем счи­
тать , что G1 является . матрицей, содержащей все столбцы Gk, име­
ющие нули в одних и тех же k-l их кюмпонентах. Матрица G1
будет порождать некоторую перестановку слов (q 1-1, l)-кода мак­
си,мальной длины, но каждое слово будет [ювторено qk-l раз. Это
является следствием того, что все q1- 1 ненулевые [-последователь­
ности представляются ненулевыми отрезками столбцов G1.
Разделим теперь порождающую матрицу Gk на q-1 классов,
как было указано выше. Эта процедура также одновременно раз­
делит подмножество G1 матрицы Gk на ,q-1 класс . Каждая строка
каждого класса подмножества G1 содержит либо (q1- 1
- l)/(q-1)
нулей, либо (в случае чисто нулевой строки) (q 1-1)/(,q-1) нулей.
Следовательно, каждая из этих строк содержит самое большее
q1- 1 ненулевых элементов.
Обобщенный алгоритм перфорирования состоит в следующем.
Вначале отбрасываются q-1 -t классов матрицы Gk. Далее от­
брасываются из r оставшихся t классов Gk все те столбцы, кото­
рые принадлежат G1. Кодовь1е слова, остающиеся к этому момен­
ту, имеют длину n='[t(qk-1)/(q-1)]-r(q1- 1)/(q-1)], и мини­
мальный вес равен d = tqk-1
- rq1- 1; размерность кода остается рав­
ной k. Затем эта процедура продолжается; выбирается другое под­
множество G( столбцов Gk, содержащих все столбцы, которые
имеют нули во всех компонентах, кроме заданного множества из
l' компонент. Если множества ненулевых компонент столбцов G,
и G( не пересекаются, то множества G1 и G( определенно не бу­
дут пересекаться. (Очевидно, что это возможно тогда и только тог­
да, когда l+l',::;;,k.) Таким образом, можно также удалить из r'
этих t классов Gk все столбцы, которые принадлежат G1', образуя
код с размерностью k, длиной слова n'=[t(qk-1)/(q-1)]-
- {r(ql- 1) /(q-1)]-{r' ( q 1'-1) /(q-1)] и минимальным весом d' =
= tqk- 1_rq1-1_г'q1' - 1
.
Этот процесс приводит к доказательству сле­
дующей теоремы.
378


Теорем а 13.15. Перфорированные циклич(;ские (п, k)-коды с
расстоянием d существуют для ' всех · • n=ro(qk-1)/(q-1)-
m
т
•
•
_ _ .: . ~ ri(q1;-1)!(q-1) и d=r0qk-t _~ ri,q1г1 • при условии , что
l=l
i=l
т
и\.'lkЭ
q-1 ,;;:,ro;;:,m,axri;;:,0 /..;
i~
.
..
ти коды лежат на гр а нице
-
.
(1' j
.
.
.
.
.
• i?.=1
\.
(13.14'); ( 13.1!5) и, следовс1тельно, являются оптимальными .
Так к .ак нуль-пространство подпространства само является под­
простращтвом, то. оно также .определяет линейный код. Рассмот­
риJ14 поэтому нуль-пространство кода, натянутое на какую-либо
одну порождающую матрицу из кдассов циклических кодов мак ­
симальной длины. Полученные коды называются кодами · Хэм ­
минга 1).
Теорем а 13.16. Коды Хэмминга представляют собой линей ­
ные (п= (q 8 -1)/(q-1); k=[(q 8-J)/('q-1)]-s)-кoды с минималь­
ным расстоянием d=3, и они существуют для всех положительных
целых s. Никакой · код, исправ,11яющий одну ошибку и имеющий
длину слова п = (qs- 1) / ( q-1), не содержит больше слов , чем код
Хэмминга с той же самой длиной слова.
13. 7 . Кронекеровское произведение,
кронекеровская сумма и каскадные коды
Один довольно заманчивый метод построения больших
кодовых словарей, исправляющих ошибки, состоит в объединении
двух или большего числа меньших словарей так, чтобы сохранить
желаемые их свойства в полученном большом коде . Основная
трудность, с которой сталкиваются • при использовании бою,ших
кодов, состоит в неизбежно связанной с ним возрастающей слож­
ности кодирования и особенно декодирования . Если большой код
получается с помощью объединения меньших кодов, то методы ко­
дирования и декодирования часто оказываются лишь немного бо­
лее с,11ожными по сравнению с аналогичными методами, которые
используются для отдельных составляющих кодов. В этом пара­
графе рассматриваются два метода эффективного объединения
кодов.
Первая общая конструкция использует кронекеровское произ­
ведение порождающих матриц G1 и G2 составляющих кодов . Кро­
некеровское произведение АХ В двух матриц А= {aiJ} и В= {biJ}
с елементаМ'и .из ,одного .и того же ~поля F •ОIПределяется следую­
щим образом:
1 ) На самом деле, Хэмминг ограничился исследованием двоичных кодов.
Здесь мы называем кодами Хэмминга все коды, которые имеют параметры, ука­
занные в теореме ,13.16. Определенные, таким образом, коды Хэмминга явля­
ются циклическими только в двоичном случае. Существуют другие . циклические
коды Хэмминга, хотя не для всех возможных параметров. (Прим. авт.).
37!)


[а11В а12В •••а1пВ]
АХВ= €1⁄2:18 €1⁄22:В ••• а~пВ
'
avlв av2B .. . аvпв
(13.35)
матрица А имеет размеры vxn. Если В имеет размеры μXm, то
к ронекеровское произведение имеет размеры μv Х тп. (Произ•
·ведение аВ обозначает матрицу, получаемую с помощью умноже­
ния каждого элемента В на элемент поля а, причем умножение,
конечно, выполняется над ~полем F. Про.из.ведения АХВ и ВХА
оказываются в общем случае не равными, хотя, как легко видеть,
эти матрицы будут комбинаторно эквивалентными.)
Если G1 и G2 являются порождающими матрицами двух линей­
ных кодов, то кронекеровское произведение кодов представляет
собой код, порождаемый матрицей G1 Х G2.
Теорема 13.17. Если Gi является kiXni матрицей, которая
порождает линейный (ni, ki)-код Di, имеющий минимальное рас­
с тояние di, над GF(q), то кронекеровское произведение кодов, по­
рождаемое G1 Х G2, представляет собой ( n1n2, k!1,}~2)-код, имеющий
минимальное расстояние d1d2.
Другая полезная процедура построения связана с методом кро­
некеровск ого произведения, но приводит к кодам с меньшими раз­
мерностями и с большими минимальными расстояниями по сравне­
нию с последним рассмотренным кодом. Из-за отсутствия лучше­
го ,н .азвания назонем эти коды кронекеровской суммой 1> кодов.
Кронекеровская сумма А1+1В двух матриц А= {aij} и В= {~ij} оп-
ределяется так:
[а11~В а12+В
А1+1В= :
-
Clμl +8 аμ2+8
(13.36)
где А- μХm-матрица, а В -vХп-матрица, и обе они определены
над одним и тем же полем F. Сумма а+ В означает матрицу, по­
лучаемую с помощью прибавления а к каждому элементу В над F .
Теорем а 13.18. Пусть А является матрицей словаря из М
слов длины т с хэмминговским расстоянием между любыми дву­
мя сло·вами, равным с.а.мое ме,ньшее dA .и сам,ое большее m--dA .
Аналогично пусть В - словарь, содержащий N слов длины п и
имеющий минимальное хэмминговское расстояние dв. Тогда мат­
рица C=Ai+[B соответствует словарю, имеющему NM слов длины
тп и минимальное хэммин говское расстояние dc такое , что dc ~
~miп[mdв, nd,t].
Следствие. Бели А ,и В-линей,ные (п 1 ,k)-и (п2,k2)-кодысо­
ответственно с минимальными расстояниями d 1 и d 2 и если макси-
1) Этот термин не следует путать с термином «прямая сумма». (Прим . авт.).
380


мальный вес любой строки из А не превышает n1-d1, то кронеке­
ровская сумма кодов, представляемая С, также является линей­
ным кодом с соответствующими параметр-ами n1n2, k1 +k2 и dc =
=min(n1d2, n2d1)-
Иногда кронекеровские произведения кодов называются также
итеративными кодами; можно считать, что они получаются в ре­
зультате итерации процедуры кодирования. Предположим, что ин­
формационные символы вначале группируются в блоки по k2 сим­
волов и кодируются в слова длины n2. Процесс далее может быть
итерирован путем груп п ирования этих слов в блоки по k1 слов и
добавления nг - k 1 проверочных слов к каждому блоку. Если берут­
ся i -e символы каждого из k1 слов и осуществляется кодирование
этих k1 символов в слово длины n1 при каждом i= 1, 2, ..., n2, то ре­
зультирующий (n1n2, k 1k2)-код, как легко видеть, будет кронеке­
ровским произведением кодов. Конечно, процесс итерации может
быть повторен _ Это эквивалентно определению кронекеровских
произведен и й кодов через коды, которые сами являются кронеке­
ровскими пр оизведениями кодов.
Эта интерпретация кронекеровских п роизведений кодов приво ­
дит к довольно интересному и п олезному обобщению. Предполо­
жим, что вместо того, чтобы охватить второй кодовой структурой
си,мволы слов, образующихся после первого кодирования, мы за­
кодируем сами слова, рассматривая эти слова как элементы
GF(qk2) . Это можно было бы сделать, ассоциируя с k2 информа ­
ционными символами а1, а2, ... ,
а,< каждого слова многочлен
k2
р(х) = ~ aixi- 1 и выполняя арифметические операции по модулю
i=J
неприводимого многочлена степени k2. Проверочные «символы»,
определяемые структурой второго кода, могли бы тогда быть
представлены как слова первоначального (п2, k2)-кода. [На прак­
тике операции кодирования, по - видимому, проходили бы в обрат­
ном порядке; информация вначале кодировалась бы над GF(qk2) и
получающиеся «символы» затем кодировались бы над GF(q).]
Если вто,рой 1юд является линейным (п 1 , k1) - кодом (,н.ад 1поле,м И,З
qk2 элементов), то код, получающийся после объединенного коди ­
рования, я,вляется линейным (n1, n2, k1, k2) -ко~ом над полем из q
элементов. Бол~е того, расстояние между любыми двумя слоr;ами
этого кода, как легко показать, равно d1d2 - произведению рассто ­
яний двух отдельных кодов (т. е. любые два qk2-ичных кодовых
слова должны отличаться, п о крайней мере , в d1 «символьных» по­
зициях , и любые два различных «символа» должны отличаться, по
ме,ньшей иере, в d2 местах). Т,акой код называ ,ется каскадным .
С первого взгляда кажется, что каскадные коды не дают ни­
каких преимуществ по сравнению с кронекеровскими произведе­
ниями кодов. В обоих случаях объединение (n1, k1)-кода с мини­
м альным расстоянием d1 и (п2, k2) -'Кода с ,мин,и-мальным 'расс"Гоя,ни­
е м d2 .дают (п 1 , n2, ' k1, k2)-1код с ,ми,нималыным расстоянием d1d2 . Од­
нако оба кода, являющиеся составл»ющими кронекеровского про-
381


изве,μ.енця, бы.ли олределены над полем из q элементо13, в то вре­
мя как · .один · »з кодоJЗ, на котором основывается каскадный код,
бьrл оr:rр~делен вад полем И$ qk2 элементов . Если Р1 яв,ляется
(п1, 'k1)-кодом над GF(qk), то максимально достижимое мини:маль­
ное"расстоянце . между любыми двумя его словами будет, по ' мень­
шей 1у1ере, таким же при k> 1, каким оно является при k= 1. В ча ­
стнщ:ти;, ,Р 1 мо;жно реализовать в виде кронекеровского произведе­
ни;я '(п1, k1)-кода и (k, k)-кода, ЮJ.Ждый из которых определен над
поле:м-, GF(q). Словарь, который получается при интерпретации ре­
зудьтирующего кода с k= 1k2 как (п1, k1)-кода над GF(qk2) , и при
каскадировании его с (n2, k2)-кодом, тождествен словарю, который
получается при формировании кронекеровского произведения ис­
хощщх (n1, ik1)- и (п2, k2)-словарей . Следовательно, каждое кро­
нек~роJЗское произведение кодов можно реализовать в виде кас­
кадного кода. Обратное утверждение неверно.
Основное преимущество при объединении малых кодов в боль­
шие коды состоит в том, что полученные коды могут быть декоди­
рованы с помощью последовательно соединенных декодеров, свя­
занных с каждым из составляющих кодов. Каскадные коды, на­
пример, могут быть декодированы с помощью разделения, внача­
ле принимаемой последовательности символов на блоки по п2 сим­
волов и декодирования 1,аждого блока в соответствии со словарем
Pz . Выход этого декодера можно затем · интерпретировать как по­
следовательность n1-символьных слов над GF(qk2) и декодировать
в соответствии со словарем ,Р 1 . Аналогичные методы могут быть
использованы для кронекеровского произведения и кронекеровской
суммы к9ддв. Поэтому сложность ~екодера будет увеличиваться
лишь арифметически, в то время как размерности кодов возра­
стают геометричерш. Последовательное соединение декодеров, од­
нако, может не исправить все ошибки, которые в действительности
являются исправимыми. Некоторые комбинации, состоящие лишь
из (d1 + 1) (d2 + 1) /4 ошибок, могут привести к ошибочному деко­
дированию, когда, например, декодируются каскадные коды или
кронекеровское произведение кодов, в то время как, в принципе,
можно исправить вплоть до ( d 1d 2- I) /2 ошибок. Вместе с тем мно­
гие комбинации ошибок веса, большего, чем (d1+ I) (d2+ I)/4, бу­
дут исправляться последовательным соединением декодеров, и ,
если составляющие коды выбраны подходящим образом, суммар­
ный результат может быть весьма удовлетворительным.
К наиболее интересным классам кодов, .получаемых при ис­
пользовании кронекеровских сумм, относятся классы кодов, кото­
рые получаются при последовательном кронекеровском суммиро-
вании двоичной матрицы D1 = r~ ~] с самой собой. Результи­
рующая матрица после i-й итерации имеет вид
382


D;-1 - дополнение Di-1 (матрица, получаемая при замене каж­
дого символа Di--1 на его дополнение) . Обозначая через di мини­
мальное расстояние между любьrми двум.я строками Di, . согласно
следствию теоремы 13.18 получаем, что так как d1 =1=щ/2, то di=
= ni/2 для всех i. ~ежду про'чим, эти матрицы при объединении с
их дополнениями Di дают хорошо · известные коды Рида_:.Маллера
ттервого порядка. Вскоре мы встретим эти же самые коды в дру-
гам, контексте.
•
В заключение параграфа следует упомянуть, что рассмотренные
здесь методы объединения малых .кодов для построения больших
1юдов также могут быть применены к нуль-пространствам кодов
для построения новых нуль-пространств, что иногда приводит к
полезным результатам.
13.8 . Сверточные коды
Другим методом увеличения эффективной длины кодо­
вого слова без соответствующего увеличения сложности связан­
ных с кодом кодера и декодера является сверточное кодирование.
По-видимому, проще всего сверточные коды определить с помощью
порождающей структуры. Порождающая матрица G сверточного
кода I;Iмеет вид
lG0 G1 G2
.
Gm-1 о
о
о•• ·J
G=ОGoG1
.
Gm-2 Gm-1 о
о ...
(13.37)
ооGo
Gт-зGm-2Gm-1о. . '
где G1, l=O, 1, . . ., т-1 - μХv-матрица с элементами из некото­
рого поля GF(q); Gz= {g(l>iJ}, а О обозначает μХv-матрицу из ну­
лей. Таким образом , если Х= (хо, Х1, ...) обозначает последователь­
ность информационных символов [также определенную над GF(q)],
у= (Уо, у1, ...) обозначает последовательность символов, которые
должны передаваться, то
y=xG.
(13.38)
СкQ\рость mереtдачи ,информации равна μ/v.
Вообще говоря, матрица G может быть полубесконечной . По­
этому сверточный код в противоположность другим кодам, рас­
смотренным в этой главе, не является блоковым кодом; при этом
отсутствует взаимооднозначное отображение (конечных) блоков
информационных символов и блоков кодовых символов. Заметим,
однако, что любой символ из первых μ информационных символов
влияет только на первые mv кодовых символов. Как будет вскоре
обнаружено, эта длина кодового ограничения n~mv во многих от­
ношениях аналогпчна длине блока (длине кодового слова) в обыч-
383


нь1х кодах, исправляющих ошибки. В последующем рассмотрении
будет :предщолагвться, что матрш1,а G систематическая, т. е .
!1, i=j=1,2, . . . ,μ, L=O;
gij> = О, i, j<:μ, i=l=j,
l=O;
О, привсехi,j<μ,
l=I=О.
(13.39 )
Таким образом, информационные символы будут явно появ­
ляться в кодовой последовательности у, где Xiμ +j = Yiv +j при всех
i;,,O, O~j ~μ-1.
Так же как и в блоковых кодах, показателем относительного
качества различных снеточных кодов может быть минимальное
хемминговское расстояние между любыми двумя кодовыми сло­
вами. ·Однако в силу того, что кодовые слова в сверточном коде
являются (вообще говоря) бесконечно длинными, подходящее для
этого случая определение расстояния менее очевидно, и оно, на
самом деле, зависит от конкретно используемого алгоритма деко­
дирования. Одним из полезных определений является минимальное
расстояние d между любыми двумя различными начальны.ми сло­
ва.ми Уо= {уо, У1, ..., Уп-1}, по крайней мере, одно из которых име­
ет некоторый: ненулевой: информационный: символ Yi, 0~ ,i~μ-1 .
В силу того что сверточные коды (при данном здесь определении)
линейны, d соответствует минимальному весу любого начального
слова, имеющего, по крайней мере, один ненулевой: символ среди
первых μ символов.
Смысл этого определения d состоит в следующем . Вследствие
того, что длина кодового ограничения равна n= mv, первые μ ин­
формационных символов Xi=Yi, O~i ~μ -1 влияют только на на­
чальное слово у0 . После Т·ОГО как ~первые п е,ииволо1в ,получены на
приемном конце, можно вынести решение относительно этих μ ин­
формационных символов. (Более надежное решение, однако, мож­
но принять, если задержать момент вынесения решения.) Воо'6ще
i-e множество информационных символов x,μ+ J=Yiv +j, j=O, 1, ..
μ-1 влияет лишь на i -e слово у; ~{Yiv, Y;v+1, . .. , Yn+iv-1}. И в слу­
чае, если предшествующие т-1 множества информационных сим­
волов были определены правильно, их влияние на Yi будет извест­
ным и фактически у; также будет начальным словом. Таким об­
разом, если ранее не было совершено никаких ошибок декодиро­
вания, то d задает меру надежности, с которой может быть опреде­
лено i-e множество информационных символов. (Декодер, которы й
использует ранее декодированные символы при последующем де­
кодировании, так как это указано здесь, называется декодером с
обратной связью.)
Если при декодировании была сделана ошибка, то, конечно ,
влияние предыдущих информационных символов не будет у чтен о
верно и последующие ошибки декодирования будут намного более
вероятными. Из-за этой тенденции ошибок к распространению
сверточные коды на практике часто усекаются . Это можно сделать,
разделив информационные символы на блоки , например, длины
384


K=i(L---,m+l)μ, и поместив после ~ каждого блока (т-1)μ нулей.
Получающийся в результате усеченный сверточный код фактиче­
ски представля ет собой блоковый (N, . К)-код с длиной блока N=
=Lv, хотя, когда L велико, это обстоятельство не очень важно .
Так как минимальное расстояние d между начальными слов а- .
ми, имеющими нетождественные начальные информационны е с и м­
вол ы, представля ет собой сверточный аналог для расстояни я в
блоковых кода х, которое рассматривалось в начальных парагр а­
фах этой главы, то интересно найти границы для этой величи н ы,
подобные, . тем, которые бьши ,· приведены в§ 13.3 . Следующие две
теоремы дают ·такие гршницы для :• ра:сстояния d, которое в даль­
нейшем будем называть начальным расстоянием.
Теорем а 13,.19. Существует q-ичный сверточный (n=mv,
kdс:тμ)-к<щ/ и'меющий: минима~ь'ное расстояние, по крайней мере~
равное d при любом d, удовлетворяющем неравенству
'~'
.
d-1''
,
'
,
IJ[(;),~(~;μ.)],(q _ 1)j ~ qn~k • '
(13.40)
f=l
'
..,
Доказательство . Пусть Уо= {уо, У!,. .... , Уп-д - q-ичная п -п осле­
довательность, по крайней мере, с одной ненулевой компонентой
Yi J,lP,И некотором i <μ и пуст~ N(yo) - максимальное число раз­
личных сверточны х (mv, тμ)-кодов, в которых любая такая п-по­
следовательность является начальным словом. Далее обозначим
через N(d) полное числ .о п-пqследов;э.т:ельностей вида у0 с весом,
меньuiйм ' d. Наконец, пуст~ N(mv; ,П!μ) обознач ает число различ­
ных сiз~рто~нь1х (f?'lv, тμ)-кодов. Тогда, если
N(,y0)N(d)<.•N(mv, пi~),
(13.41 ,)
то должен существовать, по крайней мере, один сверточный (тv,
тμ), -код, никакое ,начальное ело.во .1ют-0tро1го (отличное от тех, кото ­
рые начинаются μ или большим числом нулем) не имеет вес, мень­
ший, tieм d, и который, следовательно; имеет начальное расстояние,
по меньшей мере, равное d.
, Ясно, чтЬ N (d) можно получить·, вычитая из полного числа
q-ичн'ых ;п-последовательностей' веса, меньшего, чем d, число таких
п-последовательностей, начинающихся μ или большим числом .ну-
'
лей, т. е.
d-1
N (d) ·~ , !} [(;); (п~μ п(q- 1у.
•
j=l
(13.42,)
Бол ее того, так как имеются точно q<v-μ )μ различных мат,риц Gi
[см. 1(13.,37) и (13 .3 9)] и так ка.кт таки.х ,м атр .иц о.пределяют свер­
точ ньiй (mv, · тμ-код, то
N (1mv, тμ) = qm(V-~ L)μ_
( 13.43)
Остается лишь найти N(yo). Для этого обозначим через rJ j т­
компонентный ' вектор, содержащий Uv+j,) ,е ; компоненты Уо, i=
13-28'1
385


= О, 1, ..., т-1, т . е. 'l'}j ~{yj, Yv н .. ., Y<m-i)v+-J. Пусть Mi обозна-
чает треугольную тхт-матрицу:
о
~
x;μ+i
М-= х
х
l
~ μ+i
μ+t
X(m- l)μ+i
о•••оJ
о...о
Х; .0
'
Х;
где (Xiμ, Xiμ +1, ..., X(i+i)μ-1) = (Yiv, Yiv +1, ... , Уiv+μ-1)представляет
собой ,i - й блок информационных символов в у0. Пусть, наконец,
r.. = (g(O)· g(I)
g(m-l))T
lj
ij'ij'•'
·'
ij
,
где g< 1)ij- (i, j)-й элемент матрицы G1. Тогда (13.38) означает, что
μ-1
1Jj= -~
M,"(;j, j=μ, μ+ 1, ~ .., v-1.
(13.44)
По крайней мере, один из Xi (пусть Xi 0 должен быть отличен
от нуля. Так как Mi 0 при этом будет невырожденной, то ф-лу
(13.44) можно переписать в виде
r,..i = м~' {YJj-· ~
1
М;rij},j=μ,μ+1, .. ., v- 1.
(13.45)
t=O
i,fi0
Все эти уравнения должны удовлетворяться для любого сверточ­
ного кода, способного порождать начальное слово у0 . В соответст­
вии с этим для любого заданного у0 произвольные т (v-μ)-эле­
ментов из т матриц G1 однозначно задаются с помощью других
т (v-μ) (μ-1) таких элементов и
N (Уо) = qm(v-μ)(~ c
-1)_
(13.46)
Подстановка ф-л (13.42), (13.43) и (13.46) в неравенство (13.45)
приводит к требуемому результату.
Эта граница является сверточным аналогом границы Гилберта
для блоковых кодов. Если блоковая дли на отождествляется с дли­
ной кодового ограничения, размерность блокового кода - с тμ
(длиной кодового ограничения, измеренной в информационных сим­
волах), а кодовое расстояние для блокового кода -с начальным
расстоянием в сверточном коде, эти две границы фактически сов ­
падают при μ= 1 и q=2. Одна к о граница Гилберта была конструк­
тивной, а ее сверточный аналог, представленный здесь, является
лишь теоремой существования.
Верхние границы для расстояния, достижимого на блоковых
(п, k)-кода х (§ 13.3) также, очевидно, приме ни мы к начальному
расстоянию, достижимому на сверточных кодах при замене п на
длину кодового ограничения т,, и k на ~L. Такие границы, конечно,
н е учитывают влияние возможных ненулевых ин формаuионных
симво;ТJОВ (х;μ ,Х;μ+1, . .. , х(;+1)μ-1), i>O, на вес начального слова Уо-
386


Типичная более плотная граница, которая принимает во внимание
это влияние, приводится к следующей теореме.
Теор е ,м а 13.20. Мин,имальное началыное ,рrасст,ояние d q-.ично­
го сверточного (n=mv, k=тμ)-кода ограничено сверху неравен~
ством
q-1 {
V}
d<. --
п+-μ-- .
q.
q-1
(13.47)
Доказательство. Очевидно, что d не может превосходить сред­
него веса dл VE всех начальных слов Уо, имеющих, по крайней мере,
один ненулевой начальный информационный символ Yi, i~μ -1 .
Все эти слова содержатся в подмножестве слов, порождаемых мат­
рицей М 1 , состоящей из первых тμ строк и mv столбцов матрицы
(13.37), но не порождаемых матрицей М2, состоящей из последних
(т-1)μ строк и (m-1)v столбцов М 1 . Если М 1 (и, следовательно,
М2 ) не имеет чисто нулевых столбцов (такие столбцы не вносили
бы вклад в расстояние получающегося кода), то она порождает
словарь, содержащий в общем N(mv, тμ, q) ненулевых q-ичных
символо,в, где N(n, k, q) ~ nq1H(q-1) , (см. лемму 13.4). Таким
образом,
(qμ-1)q(m-t)μdлvE=N(mv, тμ, q)-N[(m-1)v, (т-1)μ, q], (13.48)
и отсюда прямо следует утверждаемое неравенство.
Методы построения хороших сверточных кодов разработаны
гораздо в меньшей степени, чем методы для блоковых кодов. Боль­
шинство сверточных кодов строится с помощью некоторых про­
цедур поиска или случайного выбора в сочетании с некоторыми
эвристическими ограничениями, имеющими целью ограничить мно ~
жество конкурирующих кодов теми, которые кажутся наиболее
заманчивыми. ОдЕой полезной в ряде случаев схемой построения
сверточных кодов по блоковым кодам является следующая. Пусть
0(1), l = 1, 2, ... , т - набор т матриц, где 0(1) - порождающ<1я
матрица линейного блокового (v, !μ)-кода с минимальным рассто­
янием d1 и где код, порождаемый 0(1), содержится в коде, порож-:
даемом 0(1+1), при всех l= 1, 2, . . ., т-1. Тогда код, который · ~;iо­
лучается при использовании в качестве матрицы Oi в ( 13.37) по­
рождающей мат,р.ицы 0(i+IJ (а не матр·ицы 0(iJ), будет све,рточным
(mv, тμ)-кодом с минимальным начальным расстоянием, оч,евид­
но, ограниченным снизу неравенством
т
d:;;,. ~ d1•
(13.49)
!е= 1.
Замети м, что получающийся. сверtDЧйiэiЙ код может быть приведен
к систематическому виду с помощью такого же приведения O(m)_
В качестве примера положим μ= 1 й будем считать, что O(m) -
кронекеровское произведени~ порождающей матрицы перфориро ­
ванного циклического (qт-1, т)-кода с расстоянием d= (q-1)qm-'-'l.
(§ 13.6) и r-последовательности, состоящей только из ненулевых
13*
381


компонент . .Обозначая • через . 9 0 rqт~1-последовательность макси-
мального веса в G(mJ, п,олучцм
Ir
d~:{гqт-1, ,
_.
l===1:
1- г(q0- l)qm.'._2, 1<1l < т.
Т~ким образом, описанная конструкция дает . !2kерточный
(,r.тqт-1 , т)-код с начальным расстоянием согласно ф-ле ( 13.49),
0граниченным неравенством d~do ~ rqn: - t(q-1),m+ 1]. , Но с.оглас ­
но (13.48)' do=dAvE, так что d=',d 0, и получающийся код I:IMeeт мак­
сима-льна возможное начальное расстояние. Так как 'd'~dAVE, то
все начальные слова, имеющие, по крайней м,ере, один ненулевой
начальный 'информационН):,iй •символ, должны обл~р:ать , весом d;
такие коды называются равн'с/мерными сверто;чными ко,р,ами: . .
Другой класс сверточ~ых . крдов получается, когда .~r.атрица G(lJ
п орождает БЧХ к~д · или : его кодовое подпространство. Это озна­
чает, что GUJ можно , т;~ределить как подмножество порождающих
матриц некоторого БЧХ (п, k)-кода (где k~μl - размерность наи­
меньшего Б~Х ·кода), содеnz!.{ащего . вс;е , пrрождающие, матриц~r из
множеств· G(iJ при i< t: Так, если q=2, v=63 и μ=1, то G< 1J можно
взять в виде порождающей матрицы двоичного БЧХ . (63, 1,)-кода;
G<i) - в виде подмножества ·. гtорождающих м'атриц БЧХ (63, 7)-ко­
да для всех 2~;i~7 и т. д. , Поступая подобным образом, получим
множ~тво расстояний (ер,. f.: § 13 .5):
63, l=I;
,J
31, " 2<l<7;
d• 21·
•8l10
t>
,,
.,;;: r<
..;
23, ll<l<l6; "''
1'
2'1, 17<l<18.
1"
Если, н'апример, in= 18, . то получающийся
св,ертЬчный КОД имеет
J(л'ину кодового ограни'чен·ия :·:' 17- ·~ 1,134 ,и . рассто~ние d~"510 . . Для
сравнения верхняя ' граница из теоремы 13.20 ограничивает d iзели­
ч.иной 598. Аналогично, если μ =7, получаем
•
.
.
:
'.
.
l-'-- 1,
l=2;
l=3,
l=4,
l=5ит.д.
\.,
иецш m=5, ,то ti~315 и d~~3, 13 то вре~я как )'eope\vi'a ~3 : ;20 ,' огра-
НИ~И,В~~т, d свер?у ~еfИЧ~~ой 157 . • .. ,
.
,
;..,
Итак, было .показано,. , что, минимальное начальное расстояние,
,ко.торое дос,:ига,ется на свертрчны~ кодах, . удоl}летворяет гра:ницам,
удивИ1;е.т:iьно похож,им на т,е , . которые бщш пол.учены рщ1ее д.(IЯ
388,


блоиовых кодов ,с длиной блока, равной дJIИttt: кодового ограниче­
ния сверточного кода. Хотя оказалось, что найти хорошие общие
конструкц ии сверточных кодов более трудно, чем конструкции для
,блоковых кодоn. достаточно хорошие и в некоторых случаях опти­
м.альн ые сверточные коды иногда можно построить с помощью по­
рождающих м.атриц блокового кода. В силу того что с точки зре­
ния расстояний сверточные и блоковые коды оказываются сходны­
ми, преимущества, если таковые имеются, сверточных кодов непо ­
средственно не очевидны. К обсуждению этого вскоре возвратимся
е ще ра.з.
13.9. Кодирование и декодирование линейных
кодов
Достоинства различных методов кодирования, рассмот­
ренных выше. нельзя полностью понять, не ответив на следующие
два вопроса: насколько трудно реализовать требующиеся кодер и
декодер? Чему равна вероятность ошибки декодирования? Цель
этого и следующего параграфов - дать, по крайней мере, частично
ответ ы на эти вопросы.
Очевидно, что эти ответы взаимосвязаны; оба они зависят от
ко нкретного ал1горитма декодирования. Ка•к будет ~показано в
§ 13 .1 0, вероятность ошибки Ре обычно является экспоненциально
уб ывающей фу нкцией длины кодового слова п. Сложность опти­
мальногь декодера может, однако, экспоненциально возрастать
вместе с п . Это порождает сильное желание найти более просто
реализуемые (возможно подоптимальные) процедуры декодиро­
вания, которые все еще сохраняют это экспоненциальное соотно­
шение между Р~ и п. Даже если получающаяся вероятность ошиб­
ки окажется больше, чем вероятность при использовании опти­
мального для заданного декодера п, более простой декодер веро­
ятно мог бы быть использован при много большей длине кодовых
с лов, и поэтому Qн имел бы лучшую характеристику. Эта пробл е­
ма декодирования была предметом интенсивных исследований, и
се йчас известен ряд эффективных алгоритмов. Детальное описание
алгорит·мов выходит за рамки этой главы. Однако главные черты
наиболее важных ,из лих !будут 1п:риведены здесь.
Прежде чем начать рассмотрение конкретных декодеров, уме­
ст но спросить, не возникают ли подобные же ограничения из-за
свойств кодера . Вообще говоря, это не так, по крайней мере, когда
рассматриваемый код линеен. Кодер линейного кода изображен
на рис. 13.1. Длинные блоки на рис. 13.1 изображают циклические
за поминающие устройства, а кружки обозначают умножители, вы­
ходы которых равны произведению в GF(q) двух входов. Ком­
поненты k-последовательностей ( а1, а2, ..., ak), которые должны
быть закодированы, используются в качестве одного из входов
ка ждого умножителя, а k порождающих gi= (gi1, gi2, ... , gi,,), i=
389


= 1, 2, .. ., k, (п, k)-кода дают другие входы. Таким образом, вы­
ходом будет п - последовательность
k
g = ·у• aigi,
--
i=l
что и требовалось получить.
gпl
t
f
gn-t 1п-
1
вшоiJ
(13 .50)
РР1с. 1-3 ..! . Структурная
схема кодера л инейного
кода :
1- сумматор в GF,(q)
Для циклических кодов можно строить даже более экономич­
ны е код е ры. Напомним, что согласно § 13.4 циклический код ассо­
циирован с проверочным вектором h= (h0, h1, .. ., hт,,), таким, что
V= (v 0, v1, . .. , v,, _ 1) является кодовым словом тогда и только тогда ,
когд а
k+r
k
\...,
h.V·=
\' h,-v,.+r = О
L, _;
1,-
fl
,'-
(13 .51 )
i=r
i=O
для всех r=O, 1, .. ., n- k-1. Поэтому символы vi при i;:::k опре­
деляются - по информацио,нным ,символам V j, j=O, 1, .. ., k-1 р екур­
рентным соотношением
.k-1
k-1
vk+r =
-
l~k~hivi+rл ~a;Vi+r '
(13.52)
i=O
i=O
которое реализует декодер, изобрю1<енный на рис. 13.2 . Такое ус ­
тройство, называемое регистро.м сдвига с обратной связью 1) , со­
стоит из k ячеек памяти , соединенны х так . что при поступлении
импульса отсчета времени (который не изображен на рисунке)
содержание каждой ячейки сдвигается на одну ячейку вправо, в
то время как их взвешенная [в GF(q) ] сумма сдвигается в край­
нюю левую яч е йку. Если начальные данные v 0, V1,
.
..,
v,,-1 , соот­
ветствующие информационным символам, п омещаются в k ячеек
регистра сдвига, то первые п выходных символов, выходящи е и з
1 ) См. вновь § 6.6. Там бы л и расс м отрены (двоичные) р е гистры сдвиг а м ак­
сим а льной длины и были ука з аны свойства получающихся в рез ультате посл е ­
до в ательностей. Здесь рассматривается регистр сдвига с точки з рения цик­
лического свойства кодового словаря и п о тому з начительно многостороннее, чем
в § 6.6. Заметим, что обратные св яз и определяются порождающим многочле­
ном li(x) нуль-пространства . (Прш,t. авт.).
390


крайней правой ячейки схемы, представляют собой требуемое ко­
довое слово. Таким образом, весь кодер весьма компактен. По
крайней мере, в случае двоичных кодов элементы кодера легко
построить; умножитель по модулю два представляет собой карат-
Рис. '13.2. Структурная
схема кодера с регист­
ром сдвига для цикличе­
ского кода:
1- сумматор в GF(q)
кое замыкание, если -ан= 1, и размыкание, если ан= О, а сумматор
по модулю два реализует,ся на обычных логических элементах 1) .
Сверточные коды столь же удобны при реализации; устройство
на рис. 13 .3 дает пример такой реализации. Устройства, обозна­
ченные G;, i = О, 1, . .., т-1, представляют собой линейные бло-
Рис. 13 .3 . Структурная
схема кодера сверточно­
го кода:
1 - сумматор в GP(c1)
I<овые (v, μ)-кодеры вида, изображенного на рис . 13.1 или 13.2 .
Информационные символы подаются на вход первого из этих ко­
деров блоками по μ символов; после того как будут порождены v
кодовых символов , эти же μ символов передаются блоком в сле ­
дующий кодер, а в первый кодер помещается новый блок инфор­
мационных символов. Кодовые слова, которые получаются с по­
мощью суммирования [в GF(q)] символов на выходах каждого из
этих I<одеров, как легко заметить, будут теми, которые порожда­
ются матрицей вида (13.37) .
Хотя при любом точном определении сложности кодера (или
декодера) нужно принимать во внимание конкретную используе­
мую реализацию, показатель этой сложности можно получить с
помощью подсчета общего числа операций (сложений, умноже­
ний и т. д.), необходимых, чтобы закодировать (декодировать)
к аждый информационный символ. В соответствии с этим слож­
ность кодера, изображенного на рис. 13 .1, пропорциональна длине
I<Одового слова п, в то время как аналогичная величина для коде ­
ра, изображенного на рис. 13 .2, пропорциональна n/k. Подобно
этому, сложность сверточного кодера имеет порядок самое боль-
1 ) Возможно также r,одrIровать цIшличе ские коды с помощью (п-k)-раз­
рндного регистра сдвига, что пр!iводrrт к очеIJi•Щным преимущы:твам при
k>n/2. (Прим. авт.) .
391


шее m\1 =n. Следовательно, исключая · случай, когда к кодеру при
реализации предъявляются намного ·: . более • жесткие требования.,
чем к декодеру, сложность кодера редко представляет собой огра ­
ничивающий фактор.
Возвращаясь к проблеме декодирования, отметим, что сущест­
вует другое ва:жное обстоятельство, которое нужно принять во,
внимание при любом рассмотрении обменных соотношений между
сложностью декодера и характеристикой, а именно, вид выходно­
го сигнала приемника. В простейшем случае выходом приемника
является один из q возможных кодовых символов; в другом край­
нем случае он может состоять из q уровней напряжения, соответ- .
ствующих выходам фильтров, согласованных с каждым из q сим­
волов канала. С первого взгляда кажется, что твердое решение от­
носительно каждого принятого символа должно приниматься до
того, как производится декодирование. Однако, по-видимом }:, при
декодировании .будет сделано меньшее чис.чо. ошибок, есл:и . деко­
дер3 имеет более полную информацию относительно прнюrтых
символов. Вместе с тем использG)вание э-той информации несомнен­
но потребует более сложного декодера. С этой точки зрения, если
имеется возмо:жность выбора вида выходного сигнала приемника,
то это обстоятельство также должно быть введено в характери-
стику декодера наряду со сложностью.
,
Для того чтобы сделать эту добавочную степень свободы, удоб­
ной для рассмотрения, допустим, что выходом приемника будет
один из символов приемника rv ,v=O, 1, ..., N-1. Эта модель со­
держит не только два упомянутых выше экстремальных случая
(,с N =q .и N-нх, с-оот,ветственно), но также ~включает .в оебя мно­
гие промежуточные канальr, представляющие ПР'актический инте­
рес. Однако здесь ограничимся, кроме двух экстремальных слу­
чаев, некоторы!\1 частным случаем общей модели приемника. В
этой более ограниченной модели каждый выход приемника отож­
дествляется с одним из возможных кодовых символов si, i = О ,
1, ... , q-1. Кроме того, он со п оставляется с классом верности
C_i, j = 1, 2, ..., J, который дает меру уверенности, с которой это
отождествление производится. Таким образом, символы приемника
rv принимают вид sU!i, где подстрочный индекс обозначает кодо­
вый символ, с которым отождествляется r v•
а надстрочный ин-
декс - его класс верности.
Пусть Pr {s(Лi Is,,,,} обозначает вероятность получения sU\, если
послан символ sv. Канал (который, конечно, включает в себя при­
емник), связанный с этой моделью, будет пр·едполагаться симмет-
ричным в том смысле, что вероятности Pr { sUJ I s } Л JPcj, v = ~~
L.
V=)р.V--1-i
е1,
,-
не зависят ,н,и от 1i, ни от , ,. Для удобства .классы верности у~поря ­
дочены так, чтобы Pr{si jsU\} (~вероятность того, что lбыл ,передан si,
когда принимается s(j)i) была убьшающей функцией j. В общем,
будет предполагаться также, что PcJ больше или равны PeJ при
всех j.
392


З.а исключением - случая q=2, приемники с классами нерности
()бы чно разрушают существенную информацию относительно при­
нятых символов даже тогда, когда число классов J стремится к
,бесконечно~ти. , Тем не менее эта модель описывает многие прак­
тически интересные ситуации. Если, например, J =2 и выход прием­
ника отождествляется либо с одним из q кодовых символов, либо
·С '(q'+ 1) Jм символом, к'Оторый с' равной вероятностью может быть
любьrм из них (Рс2=Ре2), 'го получающийся· канал называется ка­
налом со стuраt-lиялш. Обычно эта модель возникает, когда симво­
лы приемника нолучаются : с помощью - квантования наибольшего
выхода из q-выходов согласованных фильтров, опять-таки при
лредположеаши, что вероятность ошибочной замены одного симво­
ла на другой не зависит от обоих рассматриваемых символов.
· после этих предварительных замечаний щшшем , некоторые из
наиболее важных алгоритмов декодирования.
•
_ Декод.tрование . м:аксимального правдоподобия. Обозн.а1чим че­
рез wv v-e п-символьное cлoffilo . в кодовом ,словаре, а через v - п-по-
следователь ность символов приемника, . соответствующих некото­
рому принятому слову. · Тогда в предположении, что все ' слова ко­
да передаются· с ра:Внnrми вероятностями, оптимальн.ый декодер
(в СlУ!Ысле . мили,мума .вероят.ности ошибки в слов,е) декодирует
вектор v в,- виде -. w1, где
max Pr(v11 'w,v} = Pr{v I w1}, _
(13 .53)
т. е ..оптималь,ный, '· декодер является •декодером максимального
правдоподобия. Если стап:1стчки в канале че зависят от символа,
то
-
..
.
.
п
.
.
Рг {v I wv}= ' П Pr{''lrifcoμ(v)},,-
(13.54)
}f=I
где · ш ·(v). ' и 11μ' ...:_ соответственно μ-·е символы в wv и v. В общем
μ'
,
,,
'
,
'
случае для любого μ 1(юкдьiй uз _кодовых символов s; будет ис-
пользо~аться _как μ- й символ не~оторого кодового слова. Следо­
вательно, декодер J\1аксимального правдоподобия должен тем или
,иным .об,разом _.найти nq : вероятностей Pr {ТJμ \шμ (v)} и сформиро­
вать qk различнь~х прои:з1;1едений этих вероятностей. Сложность де­
кодера (1;1а информационный qимвол), следовательно, пропорцио.­
налы-1а .(n/k)qk и чри фикс11,рованной скор9сти ;k/n фактически . яв­
ляется экспоненциально :возрастающей функцией длины блока п.
Трудность .вы~исле:1:fИ~ вероятности , Pr {ТJμI шμ (v) }, оче~идно, за­
висит от статистик- канала. Как было показано в гл. 4, они, на­
пример, отно~ительно ле~ко ;находятся, когда канал является фа­
зовоко герентным га,уссовским каналом, и несколько труднее, к .огда
канал фазовонекогере~пны~. В любом случае часто_ удобно огра;­
rнич ить аJJфащит •приемника, : 3:начительное упр. ощение декодера щ>­
сти rается, - кт:да щ;н1емник _ я1ч1яе:тся :приемником с классами . : ве_ р-
393


ности того типа, который был описан выше. При этом (13.54) за­
писывается в виде
J
V
V
J
Pr{v / W }= ПPnejpncj=exp"\..,{n-logp --n" .\og(Pci )}
V
еJ С]
"""
]
•
С]
eJ
•
.
,
j=I
j=I
Ре 1,
(13.55)
где n"cj - число случаев, когда символ вида sШi в v соответствует
символу S; в wv; n"cj - число случаев, когда s<Л; в v соответствует
sμ в wv для некоторого μ:cp,i, а nj=n"ej+n"ij не зависит от v. ДЕ>­
кодер максимального правдоподобия декодирует при этом v в виде
w1 в том случае, если
J
J
d Л '1 n" . loge (PcilPej) Л '1 a..n".
v= l.J eJ Ioge(Рс1!Ре1) = l.J 1 eJ
j=l
j=I
(13.56)
принимает максимальное значение при v=A. (Если это имеет место
для более чем одного значения l., то может быть выбрано любое
из таких кодовых слов w 1.)
Если J = 1, то dvпредставляет собой просто хэмминговское рас­
стояние между вы х одом канала v и v-м кодовым словом w v, и де­
кодер максимального правдоподобия отыскивает кодовое слово,
ближайшее в смысле Хэмминга к принятой п - последовательности.
Это обстоятельство делает возможным использование алгебраиче­
ской структуры кода для снижения в какой-то мере сложности де­
кодера максимального правдоподобия. Так как v теперь является
q-ичной п-последовательностью , то она принадлежит некоторому
смежному классу линейного кодового словаря D. Декодер макси­
мального правдоподобия поэтому должен лишь найти смежный
класс, к которому принадлежит v, и вычесть из v вектор, который
называется лидером смежного класса (и который определяется
здесь, как любая из п-последовательностей минимального веса в
смежном классе). Действительно, если v-c принадлежит D, то v
и с должны лежать в одном и том же смежном классе; так как с
является элементом с минимальным весом в смежном классе , со­
держащем v, то в D не может быть слова, более близкого к v, чем
v-c.
Относительно простой метод определения смежного класса, в
котором находится принятое слово, описывается следующей теоре­
мой. Пусть Н - порождающая матрица нуль - пространства (п, k)
кодового словаря D. Тогда определим синдром s вектора v, как
s=vHг. Вектор s имеет над GF(q) размерность n -,_ k.
Теорем а 13 .21. Векторы v 1 и v2 принадлежат одному и тому
же смежному классу линейного кодового словаря D тогда и т ол ько
тогда, когда равны их синдромы s1 и Sz.
, Таким образом,
декодироваи ие может быть выполнено, если
хранить в памяти qn - k лидеров смежных классов, отождествив их
со связ·анными , с ними синдромами . Когда принимается v, опреде­
ляется синдром s=vнг. Соответствующий лидер смежного класса
394


затем вычитается из первоначального вектора v. Во многих слу­
чаях этот метод реализуется намного проще, чем более прямая
процедура отыскания расстояния между каждым словом словаря
и принятым слоном. Это, в частности, справедливо в случае цик­
Jiических кодов, так как произведение vнт находится с помощью
умножения соответствующего многочлена v ( х) на порождающий
многочлен h(x) нуль-пространства и приведения результата по мо­
дулю xn- 1. Эту операцию нетрудно реализовать.
Для эффективного использования структуры кода не обязатель­
но, чтобы алфавиты кода и приемника совпадали. Декодеры мак­
симального правдоподобия были разргботаны . для некоторых ко­
дов, построенных с помощью кронекеровских сумм, и они требуют
лишь примерно п log·e п операций даже в когерентном гауссовском
канале. (Скорость передачи для этих кодов стремится к нулю
:асимптотически по п, так что это утверждение нужно принимать с
соответствующей оговоркой.)
Алгебраическое декодирование. Если алфавиты
приемника и кода совпадают, то принятое слово v имеет вид v=
=w+e. где w - кодовое слово, а е= ( е1, е2, ... , е п) - вектор ошиб·
ки с компонентами из кодового пс.ля GF(q). Если рассматривае ­
мый код линеен и если Н - порождающая матрица его нуль-про­
странства, то, считая, что v, ,v и е являются векторами-строками,
им~ем
( 13.57)
Таким образом. стру1<тура кода определ ·яет систему n-k урав ­
нений с п неизвес1 ными е;. Это система уравнений не будет иметь
одно значно го решения; каждая такая система в действительности
имеет q1' решений, так как, если е - решение, то решением также
будет e+,v при любом кодовом слове w. Тем не менее свойства
расстояния в 1< оде гарантируют самое большее одно решение с
Ud-1) /2] или меньшим числом ненулевых компонент. В соответ­
ствии с этим, по крайней мере, когда число ошибок при передаче
не пр евы шает {(d-1)/2], уравнение (13.57) может быть решеао
однозначно относительно е и может быть определено правильное
кодовое слово w=v-e .
,
Термин алгебраическое декодироваliuе относится к классу ал­
горитмов декодирования, в которых с помощью регулярного мето­
да отыскивается решение е системы ур-ний ( 13.57) с минималь­
ным весом. Чаще всего эти алгоритмы заведомо работают только
тогда, когда существует решение е с весом [(d-1)/2] или меньшим.
В частности, высокоэффективные алгебраические процедуры деко­
дирования были развиты для циклических БЧХ кодов, рассмотрен­
ных в § 13 .6 . .Сложность БЧХ деко'деров может быть доведена до
величины порядка п loge п, что означает значительное улучшение
по сравнению с экспоненциальной зависимостью от длины кодово­
го слова, типичной для декодеров максимального правдоподобия.
Требуемые декодеры становятся, однако, значительно более слож­
ными ттри попытке исправлять более чем I(d-1)/2] ошибок.


• · Все операции при алгебраическом декодировании выполняю т с я
в пол е GF( q) , над которым определен I<од. Это о з начает, ч то а л­
фавиты приеilшика и кода должны совпадать . Однако ·с помощь ю
небольшого увеличения сложности · алгебраические декод еры могут
быть приспособлены также для обраб'отки стираний. Арифме ти че ­
ские операции в этом случае продолжают выполняться над GF(q),
но декодер такж е опозна е т возможные «п устые символы » , которы е·
01-1 считает абсолютно· неизвестными ,
•
Легко видеть, что любая комбинация е ошибок · и t стирани й
может быть исправлена, если 2e ·+t<d, где d - минимальное хэм­
мин говское расстояние между любыми двумя кодовыми слов·ами .
Так, если два п - символьных слова отличаются , по крайней мер е , в.
d символах, то подмнткество любых n-t их симвплов должно· от­
личаться, по крайней мере, в d~ t позициях . Таким образом , долж­
но произойти самое малое {(d-t+l)/2] ошибок для того, чтобы
кодовое слово, в котором произошло t стираний , трансформиров а ­
лось в ве,пор, который , по крайней мере, также бли з ок ко втором у
~<одовому слову, как и к nервоначалыюму.
Удивительно, что не з начительная модификация в сочет а нии с
обычным приемником с классами верности позволяет эффективн о•
применять алгебраический: декодер в случае·, когда имеются как.
о шибки, так и стирания .
В основе этого утверждения лежит сл е дующая л е мма .
Лемм а 13.5. Пусть ll1 и k2 и множества {m.i} и {n.i}', j = 1, 2, . ..
...,J
представляют собой произвольные постоянные, и п усть­
{a .i} - множества из J коэффициентов , та,~щх, что I;;::, а1 ~ а2? ... ?
?aJ,;;::,O. Тогда нераве1-1ство
J
J
~Ct/71j</i1- kз~(1~aj)/1.'j
(13 .58}
i=l
j=I
( 13 .59)
для некоторого (J ~ l~J 1)'.
Те' орем а lЗ . 22. Пусть "D - линейный (п, k) кодовый сл овар ь,
им е ющий · минимальный хэмминговtкий 'ве с ·d .'. Пусть V - выход
приемника с кл а сс ами верности, соответст_вуiощий некотороw.: у п е -.
реданному iшдрвому слову w μ ,' и пусть ,a.i
_.: .: в е'с , приписанный j- м у
классу .верности Ci, где 1;;::, а1.? а2? . ..;;::,,a .i;;::, О. Далее пусть
n ''ej - число случ ае в, когда j-й символ класса в е рности в принято !;i'
1.,
v._ .l'_
,,•
_
.,
.
1)Суммывида ~ -х;
сч11таются ,рав н щш ну.лю. (Прим. сlат. ) .
•
i=v
'
•
396


п-последовательности V' отличается ot соответствующего символа
в кодовом; слове .w v' и . пусть n/- полное число символов в v из
этого класса верJiюсти. , Тогда, если существует такое w", что
J
J
·:1
d-~
(1-rxj)Пj
Lajn~i <-- 1~·=_1_2 _ __
i=l
- (1'3..60)
то, справедливы следующие утверждения: 1) w v единственно;
2) wv входит· в · множество ' слов, получаемых с помощью алгебра­
ическо,rо ' дею:щиро'ва,ния v •с с:им·волам:и ,из J-1 классо·в rн,аимень­
шей в~рн.ости, р,ассматр1;1ваемыми • .в • каrчес11ве стираний, и ос­
тальньf~и, которь,ш пр1,ршсываетс~ вес един~ца для всех l из ин-
тервал ·а {1, J].
'
.
'Напомни'J\,i, что декодер максималь»ого правдоподобия, .связан­
ный с приемником с классами верности, декодирует принятую п-по­
следовательн.ость v как w v только тогда, когда обобщенное мини-
•
.
•
J
'
,
'
мальное расстояние аμ :__ ~ (ajn~j достигает минимального значе-
.
··
i=I
,
·,
ни~ п?~ μ,=v . . _С:мысл ' теоремьi р:22 со.стоит : в том, что есл .и d"
J
'
'
'
.
•
'
,
меньше, чем ' {[,d--' - - ~ (l-aj)/J,j]/2} .П:J1я некоторого v, то алгебраи-
J,'
'
:; 1 •i='l'
.
•
·
·
•1
'
••
чес·кий декодер, способен найти слово w v' рассматривая все при ня-
тые симв-олы ',В ' J-,l •кл.ассах на.име.ньшей · верiНОСТИ •к ак стирания, а
остающиеся символы как максим-ально надежные. После каждого
такого декодирования декодированное ~ слово, если таковое ока­
жетс5I, может ' бьiть проверено с те 'м, чтобы узнать, удовлетворяет
ли оно неравенству · (13.60) ·.
Если удовлетворяет, то ·декодирова ­
ние ·окаi1чивается; если нет, критерий стирания изменяется, И де~ '
лается ' новая попытка . Предполагается, что такой декодер может
отысi<ать слово, удовлетворяющее неравенству ( 13.60) при каж­
дом используемо rvi· зн'ачении [.' Тем не менее лишь одно самое боль0
шее из этих сл'ов ' будет удовлетворять нер·авенству· (13.60}. Более
того, число попыток декодирования самое бол,ьшее равно [ (d + 1) /2].
Дело В ' ТОМ, ЧТО ПJ)И' НЭ:ЛИЧ'ИИ t + 1: с,т~раНИЙ_ 1декодер МОЖеТ 0Испра­
ВИТЬ · столько же' ошибок, сколько - и при наличии t стирании, если
t и ,d либь оба; чет ны, либо Ьбсi нечетнь1. Таким обра·зом, если t+ l
стираний ::в·озi-iйкают вследствие ст'ир!iния символов в (l---'-l) клас­
сах 1 наименыilей ' вернdсти, а 1t tтираний- из-за стирания в (l-' -l""-
- 1) •классю-:: 1 Наименьшей :верности, · то · вторую попытку ·можно не
делать,· она -не сможет •дать какое-либо слов'о, уже н ·е найденное
при · предыдущей попытке. Далее ; если· ,t превышает d-1, то не
нужньi обе попытки, ·так каК ' В этом 'случае условие (13.60), по-ви­
димому .с не · может' быть удовлетворено.
•
Во: все111 ' это:м • рассмотрении единственньiми условиями, нала­
гаемь1ми 11а коэффициенты aj, бьtли т ребования ; чтобы ·они лежали
в инФервале 0~а/~ 1 и чтобы они ' п1:Уедставляли собой невозрас-
397


т.ающие функции j. При этих условиях для определения обобщен­
ного расстояния dv можно использовать любое множество коэф­
фициентов . Как было показано, оптимальный выбор aj при декоди­
ровании максимального правдоподобия задается соотношением
( 13.56). Однако эти коэффициенты не обязательно являются оп­
тимальными при декодировании по максимуму обобщенного рас ­
стояния. Этот вопрос будет изучаться в§ 13.10.
Вероятностное декодирование. При использовании
методов алгебраичеСК{)ГО декодирования пытаются уменьшить
сложность декодирования по сравнению , со сложностью декодиро­
вания максимального правдоподобия с . помощью использов·ания
алгебраической структуры кода . При использовании методов веро­
ятностного декодирования стараются достичь ту же цель с по­
мощью замены одного сложного решения (относительно того, ка­
кое кодовое слово был.о получено) рядом более простых. По су­
ществу, для этого используются делею,:е принятого слова на от­
резки и определение, возможно временное, подмножества ко,цовых
слов, наиболее правдоподобно согласующихся с каждым последо­
вательным отрезком. Если эти подмножества взаимно состоятель~
нь1 (т. е. если, по крайней мере, одно кодовое слово принадлежит
каждому подмножеству), то декодер продолжает декодирование
до · тех пор, пока он, наконец, не придет к единственному слову .
Если в какой-либо момен :г времени эта процедура столкнется с
трудностью (если ни одно из кодовых слов, которые все еще оста­
ются среди конкурирующих, не обещает в перспективе оказаться
верным), то возможно возвращение назад для пересмотра ранее
принятых решений и выбора . для д;~льнейшего рассмотрения дру­
гого подмножества кодовых слов.
Таким образом, вероятностный декодер рассматривает лишь
малую долю принятых кодовых слов в любой момент времени, и
отсюда следует, что связанная с ним сложность реализации умень­
шается. Число операций, однако, и, следовательно, время, необхо­
димое для вынесения решения, часто теперь является случайной
величиной (зависящей от конкретного используемого алгоритма)
и может в ряде случаев превышать время до момента, когда воз­
никает необходимость декодирования нового слова .
.Среди
наиболее эффективных вероятностных схем декодирова­
ния следует назвать алгоритмы последовательного декодирования,
предназначенные для использования со сверточными кодами. При ­
чина, по которой вероятностный подход особенно эффективен для
сверточных кодов, очевидна. Первые v кодовых символов сверточ­
но'го кодового слова полностью определяются первыми μ инфор­
мационными символами (см. § 13.8). Таким образом, предвари­
тельное решение относительно этих μ информационных символов
может быть сделано после того, как будут приняты лишь v кодо­
вых символов. Это первоначальное решение фактически снижает
число конкурирующих кодовых слов в q-μ раз, так же как и каж­
дое последующее решение, выносимое после получения каждого
последующего блока . из v символов. Если какой-либо из этих бло-
398


ков по v символов содержит слишком много ошибок, то будет при­
нято неправильное решение , и правильное кодовое слово окажет­
ся среди тех , которые временно будут устранены из рассмотрения.
Однако при дальн ейшем декодировании, вероятно, будет сделано
предположение, что прои зошла ошибка на ранней стадии (никакое
из конкурирующих кодовых слов не будет удовлетворительно со­
гласовываться с последовательными блоками принимаемых сим­
волов), и это ошибочно е решение с большой вероятностью будет
пересмотрено в некоторый более поздний момент.
Вероятностный подход может также быть эффективно использо­
ван для некоторы х классов линейных блоковых кодов. В этом слу­
чае правильность решения относительно каждого последовательно­
го символа оценивается на основе всех тех принятых символов , ко­
торые вместе с ним входят в проверочные соотношения , опреде­
ляемые структурой кода. Если бы каждая оценка была верной, то
слово было бы декодировано сразу после п таких операций . (В
действительности было бы достаточно k операций, так как долж­
ны быть определены лишь информационные биты.) Однако в об­
щем случае ·некоторые из этих оценок будут неверными и потре­
буется несколько итераций, причем каждая оценка предыдущей
итерации будет пересматриваться на основе других оценок, полу­
ченных во время этой итерации . Если все оценки являются состоя­
тельными (т. е. если текущие оценки удовлетворяют всем прове­
рочным соотношениям), то принимаемая п-последовательность де­
кодируется. Фактически число конкурирующих кодовых слов вре­
менно снижается на каждом шаге процедуры декодирования с по­
мощью оценивания одного из принимаемых символов . Если оценка
верна, то принимаемое слово должно принадл ежать подмножеству
кодовых слов, имеющих этот символ на этой позиции; если оценка
ошибочна, то со хра ня етс я надежда , что она будет исправлена на
одной из последующих итераций.
Более . подробные сведения относительно вероятностных алго­
ритмов декодирования можно найти в литературе. Здесь достаточ­
но будет отметить , что такие методы могут быть весьма эффек­
тивными во многих приложения х. В то время как число операций,
необходимых дпя алгебраического декодирования слова, примерно
постоянно и не зависит от числа ошибок, которые оно содержит,
вероятностные алгоритмы декодирования обычно требуют случай­
ного числа операций, которое сильно зависит от возникших в ка­
нале помех. Тем не менее при вероятностном алгоритме среднее
число операций при декодировании может оказаться меньшим для
заданной длины слова или длины кодового ограничения п по
сравнению с алгебраическим. Фактически среднее число операций
на информационный символ, необходимых для последовательного
декодирования сверточного кода, оказывается функцией лишь па ­
раметров μ и v (ер. с § 13.9) и статистик канала; оно, по существу,
не зависит от длины кодового ограничения п.
Пороговоедекодирование.Преждечемокончитьрас­
смотрение методов декодирования, упомянем еще один подход к
399


з а дач е декодирования, котор)ЬIЙ н:е является. полностью ни вероят­
ностны м, ни алгебраически~vr, · , но цмеет ряд , общих с ними rчерт .
Этот мет од д~код..ирqвания, , которь1й называется пороговым , деко­
дирова нием, особенно , ;эффекти13ен, для некоторых . классов · кодов
как бл оковых, так , ,и сверто v ных. Для т,ого . чтобы ;использовать этот
алг,оритм, необходимо • Отобрать ~ из множества · проверочных урав­
нений , порождаемых , провероч,ной ,: матрицей Н подмножество Ei
уравнени й, ортогональных , для i-ГО" символа · w; код-GвGJго .слов,а .
Это· озн ачает, что .каждое уравденде" из : множества: Е; долж:но ·сь­
держат ь W; . в про!:jерочном .: соотнqшеющ , наряду с · другими симво ­
лами Wj, j =/= ,i, но т~к, чтобы )Нд ОдJНJ • СИМВОЛ, кроме ' Wi; , не ВХОДИЛ
более чем в одно riз. этих ураВ.:нений : ,, t · :
,
Пред полощим, что пр.ин,и~vrается , последовательность -' (w1+e1,
w2+e2, . .., w,,+e-rъ) , · где Wj , 9.ЗJ,raчaei: j-й си_мвол , некоторого . кодово­
го снова, а ej - ,символ ) ошибки.1 Ка~дое уравнение из ортогона:ль -
-
,
•,·
~•,••
.
'а
."
,i
л[i'
·'f
1
1
•
ного ~ш ожества Ei дает, то·г~а нм,а:ви,сμ~ую , оц,еt1к;v . ~ i вел).111,ины Wi,
т. е,. wi (v) - ко!довый символ ,: котбрый ,удовлетворяет у-му урайн'е­
нию из множества Е;. Если · Е; содержит: d';_:1 ур·авнеюi:й ,' то в c'и­
Jiy того, что i - й .при нятый символ . w:; + е; такж:е дает независимую
эценку для . w,, декодер может лег-к0 ьпределить d'i ' тiЭ.ких оценd:к .
Если не более [ (d1;+ 1) /2} : сш:мволов ошибок ej, ' входящих -в эти
уравн ения, отличны · •от нуля; . 1 110 ,· более · полdвинь1 получюощихся
оценок будут определены верно j , и пр0стое • решение по · бЬ.h:ьшин­
ству, этих оценок будет да,ват,ь , правильное значение w;. В' ' с·оответ­
ствии с этим , если к;аждое •множествФ Ei; ,i= 1, 2,, .; . ., п · содержит,
1ю меньшей мере, d'-1 .уравнений Иlесли принятое ; кодово·е ,,сJfово
содер жит {(d'-1) /2]' или меньше'· ошибсж, то слОВ'о будет правиль­
но деющировано декФдером, работающим по этому принциr'Iу. · На
этом и . основан пороговый~ алгоритм ·декодирования. ' '
Если множества Е; могут быть , яайдены . для . .каждого i ' и они
содержат, по крайней мepe,1 , d-'---:'l1 ,уравнений, где ·d ·-
миним:в.тiьное
хэм минговское расстояние между любыми двумя словами :.кодово­
r-о с!Jоваря, то говорят ; ·что к0д полностью ортогона'ЛUзуемьtы:. Если
код полностью ортогонализуемый •. €а некоторые коды 1:Являются
таковы ми), то :порог,овый де,кодер : может ,иопр 1а1влять любую комб'и­
нацию. ошибок, . · которую могли , бы,: исnравить .· болы.liинство' алге­
браических декодеров. Боле·е того; ·1 nороговь1м1 декодер ·ьм , могут
быть : исправл.ены многие комбинации • ошибок, содержащие ' более
чем e={(d-, -1)/,2] ошибок ; • Хотя алгебраический декодер также
иногда можно видоизменить ._ так, .чтобы он исирав1ilял более чем е
ошиб ок, это можно сделат•ь лишь за счет значительного увеличе-
ния СЛОЖНОСТИ. ·
)•J·: ;
В общем случае не вс·е> ур.авн~iшя из ' ' мнЬжества Е, •содержат
,
:••
!>.:
·. ,'
,
::
,1:
1
:
..'Л:
·1
0дно и то же число приня:ть~~ - симво,лС>в. Яадежност.ь ~оценки • 'Wi (.v),
очевидно, будет зависеть дС> , некотqрой. степени , от ЧИ;сла :ттр:Инят,ых
сим~олов, ко 1орые . исполь,зуwrс;Я ,). , :JJiP.И I отыс;кании , этой ) 1=щенки.
Вследствие этого хара~т~р.И1⁄2Тf!К~ пррог_о.вого _ декодера иноr,да , мо-
400


.
.
,Л
жет быть улучшена с п'омdiдьiо взriешtiв'ания каждой оценки wi ( V)
в , ~отгветстви-и , с вероятностью то-го, . что она вiфна, а не· так , как
это . делается. , при описанно-м ··. выше построении решения по боль-
шинству , ~ти,х оценок.
•1,
•1
' ;13.1 О .' Вер.оятности •: ошибочного декодирования
' . : I Вероятность ошибочного декоhирования зависит ~~ · толь-
ко от статистик канала и конкретно выбранного кода, но, очевид­
t!О, , )i3f<Жeu от _алгоритма деко~.uрованuя. '. Даже ,обл'ад~я этой ин­
фо,р,мациеи, часто трудно О1пр,едел,ить 11очные выражения для .веро­
ятности ошибки. Например, _ лероятно<;:ть ошибки, связанна5,1 с 1 де~
КОДJtРОва,ни~.1У1 !у\аКСУ1Мал,ьн.9гр , пр?вдоподобия ли_нейных кодов, мо­
жет быть Найде.на. ТОЛJ;>КО, ; eCЛJ:I ' ИЗI}~CTlj:a вся ' весовая структура
кода. Вероятность спута-~:ь . одно сло13O с другим является функ­
цией расстояния между' двумя расСl\1атриваемь1ми кодовыми сло­
вами независимо от минимального расстояния кода.
Ситуация усложняется еще больше, когда число I символов
приемника велико по сравнению с числом кодовых с'имволов. Од­
нако обычно намного легче получить полезные границы для веро­
я::r!{ос,ти ошибки. Например, .границы _ ц1 .. 4 прямо применимы
здесь, если канал являетс'я фазовокогерентным гауссовским кана­
лом. Декодер максимального правдоподобия для такого канала
~a'зii~i~i~~iг ' максимум ' ГJО V '' функчии ~ йда r ' 1'oge,Pr {v IwV} =,с
~~ !оgе·Рг {11μ 1 ffiμ (v)} (см. § 13.9). Так как ' !оgеРr {1'1;t I ffi;t (v)}
·,• ~L ;'", ,;
•,..
(
11
,
.•
•
•
•
.--
i,
'
'
•
i
Я)ЗfrЯеТСЯ ЛИ!-LуЙНОЙ функцией . КОр_реЛЯЦИf/ 1 Ме)!~:ДУ ТIРИНЯТЫ!\1 СИГНа~
л_qir , :11; , сигнэ.110~1,, представ31щощим шμ _ (v), т,о, р~шение_ относительно
прJ1нятого .сл0в;с; остается: тем же самым .,- независимо от. того, осно­
вы~ается ; • а'IИ процедура декодирования ,на . посимвольном решении
( !3 силу того, что .I -ie теряется , никакая информ ·ация) или принятое
слово коррелируется с каждым из возможных кодовых слов. ];дин­
<;:tвенное влияние · структуры кода i-ra •принять1й сигнал состоJ-п ·; в
потенциальном снижении сложности приемника, которое она до­
пускает .
" : В ,,этом 1 параграфе будет получена В'ерхняя граница для вероят­
~юсти ошибки в слове, когда используется декодирование по обоб­
щ'енному . минимальному расстоянию, определенное , в §· 13_9;, ,Рас ­
смотрим этот частный случай в силу нескольких причин. Во-пер­
вь1х, в силу общности этого правила декодирования сама граница
является весьма гибкой. Во-вторых; 01\а показывает· iз ' удобной фор­
ме связь между вероятностью ошибки и имеющими к ней отноше­
ние тт.араметр·ами · кода : И, наконец, она также при11одна в качестве
границы .. для вероятностей ошибок, свя-занных : с многими другими
представляющими интерес правилами декодирования, включая не
только декодирование максимального правдоподобия, но и все те
алгоритмр~, в · которь1х вь1х9д 'приемника · содержит (а декод,ер ис~
пользует) 'бdщ,ше информации, чем приемник с классами верности
~дм: :IJ:O себе.


Граница определяется следующей теоремой.
Теорем а 13.23. Если q-ичное п-символьное слово из словаря
,D с минимальным расстоянием d передается по каналу с шумом· и
декодируется по обобщенному минимальному расстоянию, то ве­
роятность Ре ошибочного декодирования ограничена неравенством
P,<
5
';10inexp{--n[s ~ -μ(s)l},
(13.61)
J
гдeμ(s)=loge I {Pc;es(I-a.j)+(q- l)p,jes(l+a.j) } ;pej, Pcj и a.i опреде-
i=l
лены ранее (см. с. 392 ·и теорему 13.22) .
Доказательство. Ошибочное декодирование совершается только
тогда, когда неравенство ( 13.60) нарушается при условии, что w v -
в действительности переданное слово. Таким образом.
! d-L(l-щ)ni ]
Ре=Pr ~аi~~i>
i2
1v=
=Pr{L [(l +aj)n~'i+(l-ai)n~J >d I v}.
(13.62)
1
Пусть Yi - дискретная случайная величина с распределением
p(yi)= ~ {(q-l)pe_Дyi-(l+aj)]+Pcj~[yi-(l-aj)]}. Тогда Yi
j
принимает значение (1 +aj) с вероятностью (q-l)Pej (это вероят­
ность того, что символ приемника находится в классе C.i и отож­
дествляется с каким-либо q-ичным символом, отличным от факти­
чески переданного) и значение ( 1-aj) с вероятностью Pcj (это ве­
роятность того, что символ приемника находится в классе Cj и
отождествляется с переданным символом). В соответствии с этим
Pr{; [(l +a1)n~i+(l-ai)n~i]> 1 v }=Pr{z>d},
(13.63)
J
где z = . L Yi• Пусть {z.i} обозначает множество значений, прини-
'=1
маемых случайной величиной z. Тогда для любого s;::?:0 имеем
Pr{z::;,,.d} = I p(zi)< e-sd ~ / 2 ip(zj),
(13.64)
по всем
Z(;;,d
no всем
Zj
где неравенство следует из · того, что e-s(d-z) является неотрицатель- •
ным для всех z и, по меньшей мере, равно единице для всех z;::?=d.
Продолжая, получаем
Р,-,-Pr{z>d} <e-sdЕ( е52)= e-sdЕ(.~e
5
Yi) = e-sd i~ Е( е5У;)_
(13.65)
402


Последнее равенство является следствием предполагаемой не­
з ависимости последовательных ошибок в символах, а значит, слу­
чайных величин у;. Так как
.
.9
E(e5Yi)=~[(q-l)Peies('+aj) +Pejes('-<Xj)].
(13.66)
i='l
то теорема доказана.
Наиболее точная верхняя граница для Ре получа ется, когда по­
казатель экспоненты в квадратных скобках в ф-ле ( 13.61) макси­
мизируется по s, т. е. когда μ'(s)=d/n. Как легко проверить, μ"(s)
положительна при всех s (за исключением тривиального случая,
в котором все a.i равны и 23 Pcj = О или 1). Таким образом, по-
•
j
скольку μ':(=) =max(l +aJ >d/n, функция s(d/n)-μ(s) имеет
''
j
единственный м:аксимум для некоторого .s, O<s<= только тогда,
когда •μ'(O)<d/n. Но, если μ'(O)<d/n, то верхняя граница (13.61)
является экспоненциально убывающей функцией длины слова п.
Параметръr a.i также можно выбрать так, чтобы минимизиро­
вать границу для Ре. Дифференцируя показатель экспоненты гра­
ницы ( 13.61) по ai и вспоминая, что aj должны лежать между О и
1, найдем, что наименьшая граница получится, если
а; J: ::: !~:/-'~;,; : :;
11
Р _(q- 1) Pei
,
-· - loge
ei
в остальных случаях.
'- 2s
(q- 1) Pei
( 13.67)
Наилучшая граница сверху для вероятности ошибки ( 13 .61)
получится, если ai определяются так, как выше, а параметр s пос­
ле этого выбирается так, чтобы удовлетворялось равенство μ' ( s) =
=d/n.
Интересно сравнить эти оптимальные параметры ,а; с теми, ко­
торые были найдены в § 13.9 для декодирования максимального
правдоподобия, т. е. с
aj= loge (Ре~ )/!oge (Ре~) .
(13.68)
Ре1
Pet
Хотя оба эти определения совпадают, когда 1 = 1 (и Ре> 1/2), обыч­
но они различны, что отражает различие этих двух правил деко­
дирования (и то, что a.i здесь выбираются так, чтобы минимизиро­
вать тра,ницу для Ре, а не Ре) -
Когда 1 = 1 и Pc~l-(d/2n), граница (13 .61) пр1ини1мает вид
Ре-< ехр {- n[(t - ~\}loge ( 1-d/2n) + ~ loge ( dl2n )l} (13.69)
2n
Ре
2n
1-РеJ
и является экспоненциально убывающей функцией п для в<;ех Ре>
> l-(d/2n). Так как математическое ожидание числа ошибок в
403


п принятых си:vшолах равно· · п ( 1-·Рс); fro условие 'эксгюн'еiйiиаль­
ного убывания гр2.ницы для вероятности ' Ьшибки является прост о·
условием того, что математическое ожидание числа ошибок в
символах меньше, чем d/2; это, очевидно, необходимо и
достаточно для того, чтобы . • вероятность ошибки была
мала. В общем случае граница теоремы 13.23 , как можно по­
казать, является экспоненциально наиболее точной; никакая гра­
ница вида Ре~е-сп с c>max[s(d/2)--,~t(s)] неверна для достаточ-
,
,
s:;.O
,
но (5ольших п. Граница ( 13.64), использованная при . получении
этого результа.та, обычно назьпi _ается границей Чернова.
.
Сdотнош~ние между , минимальным расстоянием d для кодового
словаря и корректирующими способностями словаря очевидно при
рассмотрении границы теоремы 13.23. Ясно, . что вероятность оши- •
бочного декодирования монотонно убывает по d, когда решения
при декод'ировании основываются на. обобщенном · миним:аль_ном
расстоянии. Однако это не обязатеЛЬ!·Ю, ко'гд_а декодирование осу ­
щест'вля'ется п о максимуму правдоподобня, ·ка 'к показывает при-
мер следующих двух словарей:
•
'
1
•
'
'
D1= {0000,
D2= {0000,
0011 ·,
11 00,
ООО1, •111О,
1111};
1111}.
Если символы приемню<а являются двоичными, любое слово из D 1
правильно декодируется по методу макси'м:аль'ного правдоподо­
бия с вероятностью 1, если вектор ошибки е имеет вес нуль; с , веро­
ятностыо 1/2, если он имеет вес один; ·с веррятност~','ю 1/4, если ОН
отличен от кодового слова и имеет вес два и декодируется ошибоч­
но во всех остальных слу\lаях, Аналоr~ЧljО любое слово из -D2 де­
кодируется правильно, если е=ОООО, 0010, 0100 : или 1000 и деко­
щtруется неправильно в остальных случаях. , Таким :образом, . ве­
роятности •, ош~бочного деj<Одирования :. ; для D1 , И D2 равны Р1с=
= 1------:(1-р) 4-,:.2р(1-р) 3--,-р 2 (1-,-р) 2 _и. . Р2 = l-(1-p) 4------:3p(l~p) 3
соответственно, где р - вероятность ошибки в символе, и Р2<Р1
для всех р< 1/2. Однако D1 имеет минимальное., расстояние 2, в то
время ка~ р2 имее;г , ми,1щ.мальr1ое расстояние щ1шь. 11. Общее соо1:
ношение между вероятностью ошибочного декодироваr1ия ,_ и , ми,ни~
мальным расстоянием, связанными с кодовым словарем, тем не
менее ютражается границей теоремы 13.23, гран'ицей,: ,кЬтор:ая :спра­
ведлива для де.кодирования максимального пр·авдоподdбия, равно
как и для '- декодирования. по минттмальному р ·асстоянию. •
,..,.·
.- Можно · получить аналогичные' гран:иць~; ·tвязывающие-~длину кь­
до.вого ограничения сверточных кодов с вероятностью :ошиб'очн·огЬ
декодирования . Действительно, если св'ерточный код декодируется
с помощью• алгоритма · декодирования Ь обратной связью, ' то' гра­
нидр . теоремы 13.23 без изменения .может . бр1ть при~·е1нена для ве­
роятiюсти первого . ошибочного декодиров'ания, . если •п от1ождест­
вить с длиной кодового ограничения, а d с начальным расстояни­
ем раёсматр'иваемого '·кода . ' Одн·ако; если · будiт совершена . оriшб­
ка, последующие ошибоч'!-~ые 'деко'дир'ован'ия •будут много •более
404


вероятными. Вместе с тем, если правило декодирования по з воляе т
пересматривать начальные решения. то в дальнейшем первое оши ­
бочное декодирование может быть исправлено и вероятность оши­
бочного декодирования может оказаться даже меньшей, чем дшr
блокового кода с теми :ж:е самыми параметрами .
Тот факт, что вероятность ошибки экспоненциально убывает с
ростом длины кодового ограничения сверточного кода п и то, чт о,
сложность последовательного декодера почти не зависит от п~
когда скорость μ/v поддерживается постоянной, является основ­
ным аргументом в пользу этого метода. Длину кодового ограниче­
ния можно увеличить так, что вероятность ошибочного декодиро­
Вqния будет пренебрежимо мала. После этого основным парамет ­
ром станет вероятность отказа при декодировании . Эта возмож ­
ность появляется вследствие того, что число операций, требуемых
для декодирования информационного символа, является случайной ,
величиной. При неблагоприятных условиях декодер не будет спо­
собен декодировать символы с той же скоростью, с которой 01--щ:
принимаются, и поэтому должен будет запоминать эти символы до·
тех пор, пока он сможет до них дойти. Отказ при декодировании
происходит тогда, когда объем памяти декодера недостаточен для,
того, чтобы вместить необработанные принятые символы .
Прежде чем закончить этот параграф, обратим внииание на·
два пр,едположения, которые были приняты во всех р·ассмотрени 0
ях, но которые не обязатель1-ю всегда справедливы. Первое состо­
ит в том, что единственной мерой эффективности кода была веро­
ю·ность ошибочногq декодирования. Как было отмечено в § 13 .1,.
на ·пример, для кода может быть · важнее оqнаруживать появлени е·
определенньrх ошибок в принятых символах, а не исправлять эти
ошибки. Это, . в ча 'стности, верно , . когда можно затребовать повто­
реюrе перед~чи. Если этот случай имеет место, процесс декодиро­
вания мож~т проходиц, так же, как и раньше, но с дополнитель ­
нь1м ограничением, состоящим в том, что если декодированное и:
принятое слова отличаются более чем на заданную величину (ка­
кая 9ь1 мера для этого не использовалась), то декодированное·
сло,iзо отбрасываете.я. В, этом случае очевидно, . что вероятность­
оrirибди не являетс;я достаточной характеристикой; ее можно в дей~
ствительности сделать равной нулю, . если просто отбросить все·
принятые слова. Более осмысленной мерой в этой ситуации м.огла·
бы быть вероятность правильного решения.
•. Втррым предположением, , которое
ПОJ!разумевалосъ при рас·­
смотрении, было то, что искажаемые шумом последовательные­
вь1ходы приемника были статистически независимыми. , При нару0-
• ·•:
1,,
,J'
.
'
,,
'
•
шениI;I этоr-о усло:~щя может возщrкнуть несколько альтернатив·.
Одна ·из них состоит в том, чтобы пер ·еставлять символы несколь­
ких слов и посредством этого разделять символы любого частного
слова интервалом, достаточным, чтобы гарантировать независи­
мщть, во:щействующеrо , на них , шума. Другой метод предполагает,
чтФ rnyм ·приводит ю появiЛению па "lек ошибок.- Известен целый ряд
к6'нструкций •для кодов, ' исправляю~цйх i~ачки ошибок. К.роме. то-
405


то, многие обычные коды, исправляющие ошибки, в частности, цик­
.ли ческие коды, как можно показать, будут эффективными в кана­
.лах с пачками ошибок. Это показывает следующая теорема.
Теорем а 13.24 . Любой циклический (п, ,k)-код способен об­
наруживать любую пачку ошибок длины 1), не превосходящей
. n-k, обнаруживать любые две пачки ·с суммарной длиной, не пре­
восходящей n-2k+ 1, 1ши ;исп_равлять .любую одиночную пачку
длины, не превосходящей (п-2k+ 1)/2.
Эффективными для борьбы с пачками ошибок могут оказаться
такж е коды, определенные над большими алфавитами, в которых
каждый кодовый символ представляется несколькими символами
канала. Если, например, над GF(q1) определен код с минимальным
расстоянием d, и каждый кодовый символ представляется l q-ич­
ными срмволами канала, то, что·бы изменить [(d+l)/2] кодовых
символов и, следовательно, привести к ошибочному декодирова­
нию. пачка шума должна воздействовать, по крайней мере, на
l[(d-3)/2]+2 символов ка.вала.
13.11. Кодирование для канала с белым
гауссоnским шумом. Полифазные коды
В предыдущих пар.аг:раф.ах этой главы рассматривалась
задача кодирования для каналов, которые были существенно сим­
метричными. Вероятность того, что какой-либо символ будет пере­
путан с другим, сс1италась независимой от обоих рассматриваемых
символов или, по крайней мере, такой, что качество любого задан­
ного кода могло быть оценено с помощью минимального хэммин­
говского расстояния между .любыми двумя его словами . Эта мо­
дель справедлива, например, когда кодовые слова представляются
орто гональнь1ми функциями с равной энергией и равной длитель­
ностью по времени.
Во многих случilях, конечно, такая модель канала не приме­
нима. Исследованv.е одной из таких ситуаций составляет предмет
настоящего параграфа. А именно, требуется построить N-символь­
ный алфавит для использования В' канале с белым гауссовским
шумом, соединяя_ определенным обр.азом элементы r-чных ФТ сиг­
налов:
(13.70)
где ffic=kn/Ts, а k либо равно целому числу, либо велико по сравне­
нию с единиц~й, и где х"'- целое число, O~xv ~ •r-1 (ер. с . гл. 4).
Сами символы при этом принимают вид
1 ) Длиной пачки ошибок называется число символов, разделяющих первый
и последний кодовые символы, искаженные пачкой (включая сами эти симво­
.лы). Символы, лежащие внутри, .могут быть, а могут и не быть ошибочными.
(Прим. авт.) .
406


_
(
2лх1\
x1(t) =V2sin w/+--"1
r
/
(13.71)'
при (v-1)T,<f<vT,, v=l, 2, ... ,пс xtE{O, 1, ... , r-I}. (В общем
случае, конечно, N будет меньше, чем rп, так что некоторые после­
довательности не будут представлять собой символы. Преимуще­
ство такого типа конструкции символов станет вскоре очевидным.)
Если требуется, чтобы прин;ятый сигнал был демодулирова11
когерентно (см. § 4.2), то вероятность ошибки, связанная с таким
множеством сигналов, при заданном отношении сипrал/шум яв­
ляется функцией J1ишь нормированных коэффициентов коррелящш:
птs
п
~
1)
1~
2л
Р1т =
-
Х1(t)Х111(t)dt=
-
COS- (х1- х:п) =
nT5 ,
п
r
v
'
О
v=l
= Re f--;; - t e(2ni/r)( xt-vZ')},
l v=l
( 13.72}
где Re(z) обозначает действительную часть z·. Для случая неко-­
герентной демопуляции (см . § 4.3) параметры
пТ
п
Л
l"
5
/\
1}J2л
Р1т = -J X1(t)xт(t)dt =
-
sin-(x1 - хт)=
nTs .
п
r
v
v
О
v=l
(13.73)
также имеют вгжное значение. Здесь Хт(t) = V2cos [wct +
+ (2nx;tr)]; (v--1) T,< f<vT, и Im (z) -мнимая· часть комллекс-
1 ~п (2ni/r) ( xt- х:'}
ной переменной z. В обоих случаях сумма·
-
е
п·
v=l
я·вляется мерой, которая .представляет интерес 1).
Поставленная ::>адача может, таким образом, быть рассмотрена ·
как задача кодирования, в которой кодовые символы являются·
элементами из множества {' (v)} ~ {ехр (2n iv/r)}. Цель состоит в:
том, чтобы составить из этих символов N кодовых слов длины п
,1 ={,(х11 ), ,(х1,.), ... , ,(х 1п)}, причем эффективность любого задан­
ноr.о кодирования измеряется с помощью скалярных произведений·
,1 .,т, 1=i=m [ер.с (13.72) и (,13.73)]. Так,ие коды. •будут ,называться·
полифазными или, более просто, фазовыми кодами.
Удобно ввести структуру в множество п-последовательностей
ха= (ха1, ха2, ..., хап), состоящее из показателей степеней слов фа-
1 ) Связанной с ней мерой, которая приводит 1t некоторым интересным кодам;.
являетсн метрика Ли . (Прим. авт.).
40Т


}ОВого кода. В частности, пр ед поло жим, ч то множество, G = {ха}
образует абелеву группу относительно операций покомпонентного
сложения по модулю r, т. е. xa + xB=.(xa1 +xl:\ , ха2 +хВ2, . . . , хап+
+ хВп) . Получающийся фазовый код называется групповьtм кодом,
а G - кодовой степенной группой 1). (Отметим, что если r простое,
то G та Еже является векто рным простра нством.) Тогда · все коэф­
·фициенты корреляции (13.72) и (13.73) содержатся в м ножестве
.
.
1 tn.·
(2:rti/rjx~
·Ра =
-
е
,
п.
'
а=1,2, ..• ., N.
(13.74)
v=l
Так же как и в случае кодов, исправляющих ошибк~ , наличие
-ст руктур ы у проща ет задачу определения «хороших» кодов. Фазо­
вый код, конечно, описывается не с помощью его весовой структу­
ры, а с ,п•о,мощью мложества :па раметро в ,ра, 1ют,о,рые ,()!Пределены
со от ноше нием (•1,3.74) 2 ).
·
Теорема 13.2 5. Пусть sa=(sa1, slz2, . .. , sап),
,a=l,2, ..., N
являются N п-компонентными векторами, определенными над по­
лем комплексных чисел и пусть
..
'
\
.,
-
\
,
тде Раа = 1 для всех а и где (s~ ) * - комплексно-сопряженная ве­
/\
.личи на . Пусть далеераf:\ =Re(pa13 ) и Р~в Im( 1Paв ). Тогда
1. Если Рав = 0 для всех а*~' то N~n.
2. Есл и Рав =-1/п для всех а*~. то N~n+ 1.
/\
.'
3. Если Рав ~О-для всех а*~• то N~2n.
'
'
i
4. Суμ~.ествуют фазовые коды, содержащие N п-символьных
сло в , для всех п, удовлетворяющих , ограничен1.1ям 1., 2 и 3, такие ,
что в каждом из случаев N равно соответствующей верхней гра­
; нице.
_ Доказательство. Утверждение • 1. Пространство V, содержащее
п-х ом понентные векторы sa, принадлежит пространству п-последо­
ватrльнорей 11ад , полем ко~vш,пексщ,1х : чисел _и, следовательно, им·еа
ет Iv1акоимальную_, · размерност ь
·n . Это значит, , что максимальное
• l.) Сам фазовый кодовый с:.тiо·в а р ь · является: , rр у,r1пой п-последовател'ьностей
, относительно операций покомпонентноrо умнож.ения : Однако обычно более удоб­
но ,Оf!НС1i>!Вать ко~ с по111ощью степеr~ей э;rцх П<:JСЛедо~атt;ЛЫIОСтей. (Прим. авт.)·.
2 ) Заметим, что ; кo,r;;i.a r= 2, то. -Ра = (n-2.da ) /п, где. da-: х эмми~говский вес
·п-последо.вательности ха . Так к0ак -. дВОИ'\НОе векто,~;ню~ пространство ~акже обра­
зует группу то все дв оичны е, к.оды, рассмотрешtые 'в преды ду щих па раграфах ,
м'ожно исhользовать для определ ения фазовых кодов. ·го же самое можно ска ­
за ть о соответствии между словарем троичного кода, исправляющего ошиб!(и , и
троично го фа зов оrо !(Ода в . случае фазово!(огерентноrо приема. Так , в этом слу­
чае .!3⁄4= (n-d а,) /п, где da. о преде .тi е~о 1ране~'. (Прu;-i\1/зт,{: ,,,'.'_ , ,',,, ·, : :1 1
408


число ·линейно независимых вектор·ов в V равно п. Но если rvшo,
жество векторов {sa} удовлетворяет условиям Pal3 =0 для всех а-=!-==
=1= !3, то , очевидно, они являются линейно независимыми. Макси­
мальное число векторов, удовлетворяющих утверждению '1, равно
поэтому п, и утверждение доказано.
•
.
Утверждение 2. Предположим, что п-компонентные векторы 5а
удовлетворя,ют утверждению 2. Тогда, корреляция р~13 между век-
торами 'l')a и '1')13, где 111=(1, 1s11, s12,
...,
s1п), равна р~13 =1/(п+1)+
+п/(п + 1) (-1 /п) =0 дшr всех a=I= 13. Таким образом, согласно ут­
верждению 1 N~n+ 1. .
Утверждение 3. Предположим, что N векторов ;а удовлетворя"
ют утверждению 3, и определим 2п - компонентные векторы
а- {!:а(!:а)*}_{ta ta
ta (ia.) ~-
t:a *
ta)*}
1/-
",
"
-
'::, 1 ' "'2'
•
•
·'
"'п' '::, 1
'
("2)' •••
·,
( "'п
•
Тогда
_1 11а.1113 = _1_{§а. ~13+(§а.§13)*} = _1Re{§а.§13}=р ~О.
2n
2n
п.
а13
Следовательно, утверждение 1 гарантирует максимум 2n таких
векторов '1 ']~ и поэтому максимум 2n векторов - sa, что - и требова­
лось доказать.
Утверждение 4 . Пусть Do - словарь, определяемый степенной
группой 0 0, содержащей все кратные по модулю ,r r0 последова­
тельности (О, 1, 2, . . ., r-1). Тогда корреляция между любыми
двумя различными словами из D0
r-I
р = _!__ '\1 e(2Пi/r)(a- (3)V = Q,
af3
r~
V=O
для всех -a=I= 13. Так как словарь D0 содержит r слов по г символов
в каждом, то он ~ежит на границе, указанной в утверждении 1:
Аналогично, если G1 - группа (r'-1 )-последовательностей, обра­
зуемая при опускании первого нуля из каждого элемента в Ga, то
Рав =-1/(r-1), a=l=tl и , соответствующий словарь D1 лежит на
границе 2. Наконец, словарь D2 = D1 U (йD1) (где iD1 - словарь,
образуемый умножением каждого символа из D на i) содержит
2n слов с Ра13 =0, a=I= !3 и, следовательно, лежит на границе 3. Это •
завершает доказательство теоремы .
Словари, лежащие на границе, задаваемой утверждением 1, на­
зываются ортогональными; лежащие на границе, задаваемой ут ­
верждением 2, называются трансортогональными, а лежащие на:
гра,ни1..1:е, задаваемой ут.веJрждением 3, ортогональными в фазово ­
когерентном смысле.
Теорем а 13 .26. Пусть А и В матрицы размеров М X m и;
Nxn, строки которых являются словами групповых фазовых ко­
дов А и В соответственно. Пусть Sл- = {ра(А)} - множество коэф-
фициентов корреляции М'ежду любыми парами , слов , из ; А , а Sв=
40g ,


= {р 13 (В)} - аналогичное множество для В. Если С=АХ В яв­
ляется кронекеровским произведением А и В, то строки С образу­
ют групповой фазовый код С из MN mп-символьных слов, и если
Sc = {ра(С)} - множество коэффициентов корреляции, связанных
с С, то P:i, (С) =ра(А)р13 (В), где y=•aN + В относится к у-й строке
матрицы С, а к ·а-й, а В к f3-й строке А и В соответственно.
Доказательство. То, что строки С= АХ В образуют группу, сле­
дует из эквивалентности кронекеровского произведения матриц
фазового кода и кронекеровской суммы, связанной со степеннь1ми
матрицами. Кронекеровская сумма двух групп, как легко прове ­
рить, сама является группой.
В соответствии с этим множество коэффициентов корреляции С
является множеством {р,,.,(С)}, где
1 ~тп (2лi /r )z~
,Р (С)= -
е
V
mn
(13.75)
V=l
и где (2111, 2 112,
.
.. , z" тп) - элемент степеннои группы, соответству­
ющий у-й строке С. Но если у= aN+В, то
_ !_ '1 e(2ni/r)z~ =
_l_i,{1e(2ni/r)( у~+х~) =
тп /..J
тп lJ 1.J
V=l
μ~lv=l
~ (-;;;-t, e""'i')"~) ( +te"•'I' "\),
(13.76)
где (ха1, ха2, ... , хат)
и (уВ1, у/32, ... , уВп) являются элементами сте­
пеннь1х групп, соответствующих а- и В -й строкам А и В. Таким
образом, Ра(С) ~ р,,.,(А)р 13 (В), и теорема доказана.
След ст в и е. Получаемый с помощью кронекеровского про­
изведения ортогонального (r, 1) - словаря на самого себя k раз,
(r"-, k)-словарь (т. е. словарь n=r"-, N=r"-) также является ортого­
нальным словарем.
Доказательство сразу же следует из теоремы 13.26, так как
либо р,х(А) =0 или .р 13 (В) =0, либо справедливы оба равенства для
любого v= ,a,N + B=F0.
1
Следств ,ие. ТрансортС1Гональные фазо·вые (r"--1, ,k) -коды
существуют для всех r и k и могут быть получены отбрасыванием
первой компоненты из каждого слова соответствующим образом
выбранных ортогональных словарей.
Доказательство. Первая 1,омпонента каждого из слов ортого ­
нального (r, !) - словаря, как указывалось при доказательстве тео­
ремы 13.25, равна 1. Это свойство, очевидно, сохраняется для кро ­
некеровского произведения любых двух таких словарей. Таким
образом, опуск·ая этот первый символ из каждого слова, получаем
р~= (Np-1)/(/'v'-l), что и требовалось доказать.
410


К,ак у~помянуто в ,гл . 4,, т,рансортоr,ональные коды, ло-.вид-имо­
му, оптимальны для фазовокогерентных (а ортогональные коды
для фазовонекогерентных) каналов с белым гауссовским шумом.
В силу того что N- словный бифазный (О и 180°) ортогональный и
трансортогональный, а также 2N- словный четырехфазный (О, 90,.
180 и 270°) фазовокогерентный ортогональный словари существу­
ют для вcex . N=21i, возможное преимущество других методов ко­
дирования ставится под вопрос. Но если . информация переносится
фазовым кодом, содержащим N п-символьных слов, то каждый бит
информации 1пред•ставляется n/log2 N кодовыми си.м,волами. Если.
фиксирована скорость передачи информации, то требуемая полоса·
увеличивается по сравнению с полосой при передаче той же ин­
формации при использовании двоичного кодирования во столько
же раз. Ортогональные (и трансортогональные) коды могут поэто­
му быть использованы то,/Iько в случае, когда коэффициент рас­
ширения полосы n/log2 п является. допустимым. Очевидно, что это
накладывает ограничение на допустимую длину кодового слова.
Однако, как было показано в гл.- 4, вероятность ошибки экспонен­
циально убывает с ростом п, даже когда 'Рмаис (или 1 ,Рмаис 1) боль­
ше нуля. Это означает, что когда ограничена полоса частот, может
оказаться целесообразным использование отличных от ортогональ­
ных кодов, которые имеют большие коэффициенты корреляции, но
зато меньший коэффициент расширения полосы частот. Этот об­
мен выгоден, конечно, если длина елова п может быть увеличена
настолько, чтобы компенсировать увеличение коэффициентов кор­
реляции, не нарушая ограничения на ширину полосы частот . Хотя
относительно тсго, как произвести каиболее выгодный обмен, из­
вестно, в общем, немного, методы фазового кодирования были ис­
пользованы для этой цели с некоторым успехом.
Один из методов увеличения числа слов в фазовом кодовом
словаре при фиксированной длине слова состоит в следующем.
Пусть G - степенная группа ортогонального фазового кода; при­
соединим к G ее смежные классы С1, С2, .. . , Cr-1, где Cv обозна­
чает смежный класс G, содержащий п-последовательность (v , v , .. .
. . . , v). Число слов в соответствующем словаре фазового кода уве­
личива,ет{:я благода·ря этому в r раз. ~орреляц.ия между степенью
любого слова из Cv и степенью любого слова из Сμ
п (2rti/r) ( /1. -
x f3)
_
J_ }.]
1 1 (2лi /r)(v~μ)
р-
е
е
,
μv
п
(13 .77 )
i=l
где ха и xf3 - п-посл едовательности из G. Таким образом,
{О,
а =;l= ~;
Pvμ, =
(2лi/r) (v -,,)
р_
е
,а=1-1
иmaxPv = cos(2n/r), r>3.
v,,eμ
μ
Когда r= 2 , число слов в словаре просто удваива ется з а сч ет
включения в него также отрицательных знач ений этих слов. Это,
411


:разумеется, дает биортогональный словарь (см. § 4.2). По анало­
гии для произв.ольного значения r такие словари будем называть
r-ортогональными словарями. Тот же метод, между прочим, может
быть испощ,зован для увеличения объема кода даже тогда, когда
основной ортогональный . код не является фазовым кодом (напри­
мер , когда он является множеством ЧТ символов) или когда сте­
пени фазового кода определяются по модулю, отличному от того
значения r, которое используется в определении смежных классов .
Однако довольно часто возможно убедительное уменьшение слож­
.ности оборудования, если для получения требуемого множества
сигналов используются групповые фазовые · коды, в отличие, на­
пример, от ЧТ методов. Информация может кодироваться так, как
если бы она должна была передаваться по ,r-ичному симметрич­
.ному каналу, а получающаяся последовательность г-ичных симво­
.лов использоваться для фазовой модуляции синусоиды. Кодер мо­
жет иметь вид, изображенный на рис . 13 .1.
Например, как легко понять (см. теорему 13.26), · степенная
группа двоичного биортогонального (21•-1 , ,k)-кода состоит из 2k
.линейных комбинаций над двоичным полем, составленных из k
2"- 1 -ло~ледовательно•стей 1):
111111111
,010101010
,001100110
000000000
11
01
11
11,
(13.78)
т. е . из двои_чных ,последовательностей с периодами 1, 2, 4, 8,
.. ., 2"-1
.
Запоминающие устройства в схеме 13.1 могут поэтому
быть заменены в этом случа~ k-разрядным двоичным " счетчиком.
Выходы последовательных разрядов такого счетчика представля ­
ют собой точно требуемые последовательности. Соответствующий
биортогональный код, следовательно, генерируется особенно
просто.
Реализация приемн~1ка может · быть также значительно упро­
щена при испопьзсвании фазовых кодов вследствие того , что если
y(t) - принятый искаженный шумом сигнал вида (13.71), то кор-
реляция между ним и 1-м кодовым словом равна
•
п
-;;-~ ~t 11v,
(13 .79)
V=l
.
l
!
(2:л1/r)xv 1
.
тде ~v= е
; Xv обозначает фазу l-го кодового слова на интер-
вале (v-1) Ts<t<vTs и где
vTS
vrs
11v= -
1 S y(t)s i пw/dt=-i 5 y(t)cosco/dt.
Ts
Ts
(V-l)Ts
(v-l)T5
-
--
--
!) Заметим, что эти векторы порождают (2•- 1
,
k) :код Рида-_\.'\аллера, оп-
_ределенный в § 13 .8. (Прим. авт.).
-412


Необходимо лишь определить величины 'llv, выпошшть'. матричную
операцию
(13.80)
My=z,
i!.
'
;~.j::
''1.:
••
•
'
•
~'
+,
,,_
'
-'~
'-
1
гдеМ- NХп-матрица{st},l=1,2, ..:, ,V, - v=1,2, ..., п, а у=
= (111, 112, ..., 'l')п)т. Компонента z, имеющая наибольшую действи­
тельную часть (или в случае фазовонекогерентного приема, имею­
щая наибольшее абсолютное значение), указывает .тогда наиболее
.вероятно принятое слово . Матричное умно).iение можно выполнить
численно с помощью специализированн _ой или ущ-шерсальной
цвм: Известны особенно эффективные ал.·оритмы для выполне­
ния этого умножения, когда кодовый словарь является кронекеров­
с ким произведением словарей. •
.' •Вероятности ошибок, • св_язанные с ортоr анальным, биортого-
11альньrм •и трансортогональньпуr _ множества мн сигналов, были уже
исследованы 'в гл. 4. Конечно ; границы, полученные в этой главе,
м,ьжно применить к любому фазовому к·оду, когда шум является
аддитивным белым и' гауссовским.
•


Глава 14
СИНХРОНИЗИРУЕМЫЕ КОДЫ,.
ИСПРАВЛЯЮЩИЕ ОШИБКИ
14.1 . Введение
Коды, исправляющие ошибки, так же как и менее из­
быточные коды, рассмотренные в гл . 10, имеют значительно боль­
шую практическую ценность в случае, когда они являются также
синхронизируемыми . Так как слова в кодах, исправляющих ошиб­
ки, обычно все имеют одну и ту же длину, то они обязательно од­
нозначно декодируемы. Но они редко являются синхронизируемы­
ми без какого - либо изменения; все линейные коды, например, со­
держат чисто нулевое кодовое слово . Изменение кодов, исправля­
ющих ошибки с целью сделать их синхронизируемыми, является
предметом этой главы.
Как впервые было указано в гл. 11, термин синхронизируемый
словарь п рименялся к таким словарям, для которых декодер мо­
жет определить синхронизацию слов не п осредственно по принято­
му потоку символов в отсутствие какой - либо до п олнительной ин­
формации относительно этой синхронизации и после того, как бу­
дет принято лишь конечное число символов. Это определение, ко·­
нечно, должно быть дополнено словами «в отсутствие ошибок в
символах» (или, по крайней мере, «в отсутствие определенных
комбинаций ошибок») для того, чтобы оно было полезным для ка­
налов с шумами, так как неудачно расположенные ошибки в сим­
волах, очевидно, могли бы бесконечно задержать синхронизацию
слов независимо от того, какой код используется . На самом деле
из-за возможности ошибок в символах первона>Iальная синхрони­
зируемость может оказаться недостаточной для кодов, которые
нужно использовать в каналах с шумами. Тем · не менее требова­
ние синхронизируемости накладывает такие ограничения на при­
нимаемую последовательность символов, что, по - видимому, пра­
вильная синхронизация может быть получена после достаточно
длинного периода наблюдения даже в присутствии ошибок. Этот
вопрос будет в дальнейшем разобран детально (см. § 14.5) . Пер­
вые несколько параграфов этой главы посвящены методам изме­
нения кодов, исправляющих ошибки, для превращения их в син­
х ронизируемые в первоначальном смысле . Это исследование име-­
ет дополнительную цель создать фундамент для материала даль-­
нейших парагрс1фов, в которых этот подход будет обобщен и вида-­
изменен.
Хотя в этой главе явно не будут исследованы возможные син­
хронизационные свойства сверточных кодов, упомянем, что, по,
крайней мере, некоторые методы, которые рассматриваю,гся здесь,.
414


легко обобщить также и на эти коды. Это, очевидно, верно, когда
(как это часто делается) закодированная последовательность сим ­
волов периодически обрывается (см. § 13.8) и поэтому превра­
щается в блоковый код некоторой (в общем, большой) блоковой
длины N. Однако независимо от того, обрывается код или нет, де­
кодер должен, по крайней мере, быть способен разделять приня­
тую последовательность на v - символьные отрезки, соответствую­
щие μ - символьным блокам информационных символов, поступаю­
щим на вход кодера . (Те,р,м,ин,ологию см . в § 13.8.) Ино,r~да эта за­
дача называется задачей синхронизации узлов или ребер. Одним
из методов ее решения является такое рассмотрение закодирован­
ного потока символов, как будто бы он представляет собой посл е ­
довательность слов линейного блокового (v, тμ)-кода. (Конечно,
при этом не учитывается зависимость между последовательными
v-символьными отрезками, которая вводится структурой сверточ­
ного кода.) Методы, которые разработаны в этой главе для того ,
чтобы декодер получил возможность отличать правильные (блоко­
вые) кодовые слова от стыков слов, можно будет затем непосред­
ственно применять и использовать для того, чтобы снабдить свер­
точные коды дополнительной структурой, необходимой для уста­
новления более легкой синхронизации узлов. Как будет показано ,
эффективность эп!х методов обычно является убывающей функци ­
е й скорости передачи информации . Поэтому в действительности
может оказаться выгодным рассматривать последовательность
приняты х символов как последовательность слов блокового (iv,
(т + i-1) ·~ t) -кода для некоторого целого i > 1 и посредством этого
использовать кодовую структуру боле е эффективно . Будет ли ре­
з ультирующее уменьшение времени синхронизации вызывать при­
емлемое сопутствующее увеличение сложности синхронизатора , за ­
висит, однако, как от кода, так и от параметров к а нала . В любом
с лучае применимость для синхрони з ации узлов м е тодов, рассмат­
риваемых ниже, должна быть оч е видной .
14.2 . Префиксные коды и коды с запятой,
исправляющие ошибки
Одним из методов для превращени я блоковых кодов в
синхронизируемые, исследованных в гл. 12, было приписывание в
к ачеств е префикса ка ж дому слов у н е к о торой !-по следова те льно­
сти, такой, чтобы эта [-последовательность нигде не появлялась в
любой последовательности кодовых слов. Второй метод состоял в
периодической передаче запятой в последовательности кодовых
слов; словарь при этом выбирался так, чтобы гарантировать то,
что эта запятая не появилась во всех случаях, кроме того, когда
оН-а специально передается. Эти два метода применяются и здесь
к кодовым словаря м, испра вляющим ошибки.
Каждая из q'' различных k-последовательностей появляется в
качестве начальных k символов некоторого слова в любом сuсте-
415


л1, атt;ческом q-ич,~·QМ (п, k)-кщ1.сJ,вом с.тюва,ре. , В ,равной . ,мере это•
утвержд~ние применим.о к rл19бому см~жному классу систематиче­
сrщго кода. Следовательно, если q"-с_ловю~Il_!,, код явля.ется · снстема­
т~чески(У! (и часто . даже; е,сли он не _ является таковым) , то любой
префикс для того , чтоб:ь1 ч1;1-, бы~ , едищ:твенным;, должен содержать ,
по !',j:еньшей . мере , k+ 1 <;имволов . I1рисоединяя такой префикс к
каждому слову, получаем, следовательно, увеличение его избыточ­
ности, по меньшеtr . мере, на ,k ,-t;-1 с,и~волов .без .какого .либо улучше­
ния с1-юй~тв , р.асст~яния в коде. Ес..[[и k ма~о \ПО сравнению с п, этот
метод может быт:ь удобным;, , r10 . е.с.11-и !!, у,вели~11~ается, то эта . добаа
вочн ;:щ ,избыточность с.та.н9вится _ более ;,Gерьез,ной проблема:(!. Тем
не менее следующая теорема, гс1рант1fруе1 , существование простого
метода,, посредством которог,о люб,ой цц:к;л11ческий код может быть
сделан_ синхронизируем,ым с пом,ощt?ю легко реализуемой процеду ;
ры сщ--rхронизаци~ .
.._
).
Jе0рема l4.J . Любойциклический (п, k) - кЬд можно · превра­
тить в .префиксный код, если перед каждым сл'овЬм поставить riре­
фикс ООО ...О а, состоящий из k нулей; за которыми · следует какой­
либо ненулевой сшмвол - а·лфавита. Никакой более короткий пре~
фикс для этой неJiи использ0вать .нельзй. ••
'·
-
1
•
••
•
• ' Дрказате-4'ьство. Так ' Кс:Щ , префикс 00. : ·.оа не имеет дру;о;го · пе­
риода' повторения, кроме k'+ 1 (см: . § р.4), то _ никакое стыковое
слово, образуемое двумя словами _снабженного префиксом кода, не
мож'ет содержать этот префикс . s ·_ силу ' того что первоначальный
код систематический, k+ 1-й' и последующие символы определяют­
ся ' с ,помощью • .проверок для , ,первых k сим·воло.в. Если 1пер­
вь{е k с·имво,пов нуле.1?ые, то таким же дол~е•н быть. .и k+ _ l-й
символ. Так как код циклический, то . за 'всеми . последовательно­
стями из k последовательJ;Iых нулей должен следо'вать нуль. Сле­
довательно, ]{ОМбинация ООО.. .Оа J\1OЖет возникнуть только на ме­
сте префикса и никогда не r:,~ожет возникнуть в другом месте, и
расширенный код (т. е. код, получаю·щийся, когда каждому слову
предшествует рассматриваемый префикс) является префиксным
кодом; То, что никакой более короткий префикс · I-I 'e может быть ис­
пользован, чтобы получить это свойство, было уже доказано. (За­
метим, что этот результат справедлив, даже если k=n).
Расширенны11 код, конечно, не является больше линейным. Од­
нако это не сушественно, · так как префикс используется только для
синхронизации принимаемой последовательности слов; он может
не учитываться :при о:перациях кодиро.вания и декод:ирования, и
1п,рещ,мущества л,инейных кодов в•се еще можно ,иополь1зо1вать.
Более слабый результат можно получить для линейных кодов
в общем случае, заметив, что, если код имеет минимальное хэм­
минговское расстояние d, то все кодовые слова (кроме чисто ну­
левого слова) имеют, по меньшей мере, d ненулевых элементов.
Длина самой длинной серии нулей в любом (кроме чисто нулево­
го) .ющовом ,слове ,поэтому не может быть больше n-1d. Это ут­
вержμ1,ает следующая теорема.
416


Теорем а 14.2 . Любой линейный кодовый словарь с п-сим­
вольными словами и минимальным расстоянием d можно превра ­
тить в префиксный код, добавляя к каждому кодовому слову пре­
фикс ООО . . .Оа длины n-d+2, где а - какой-либо ненулевой сим­
в ол алфавита.
Так как для любого линейного кода n-d+2;;,:k+ 1 (см.§ 13.4) ,
'ГО этот метод всегда менее эффективен, чем тот, который описан
для циклических кодов.
Другой метод для синхронизации блоковых кодов, рассмот­
ренный в гл. 13, состоял в периодической передаче т-символьной
запятой. Любая запятая, которая должна быть сингулярной по от­
ношению к циклическому (п, k)-коду, должна иметь длину, по
меньшей мере, 2k+ 1. Это следует из того, что каждая k-последова­
тельность может появляться как в начале некоторого кодового
слова, так и в конце его. Стыковые слова должны поэтому содер­
жать любую возможную 2k-последовательность.
Теорем а 14.3 . Существует запятая длины 2,k+ 1, которая яв­
ляется сингулярной по отношению к любому циклическому ( п, k )-
коду при всех п и k, k~n-1 ,. Никакая более короткая запятая не
обладает этим свойством.
Доказательство. Последнее утверждение уже было доказано.
(Между прочим , это утверждение в равной мере применимо к лю­
бому смежному классу циклического кода.) Существование сингу ­
лярной запятой длины 2k+ 1 становится ясны111 при рассмотрении
запятой 0000 .. , Оа О . ..О, состоящей из ,k нулей, за которыми сле­
дует какой-либо ненулевой символ алфавита и еще k нулей. Что­
•бы доказать, что эта запятая сингулярна; заметим, что, во-первых,
никакая перестановка п-последовательности х=ООО .. .Оа не являет­
•СЯ кодовым словом и, во-вторых, никакая из двух (k+ 1)-последо­
вательностей si =000...Оа и s2=a00.. .О не Jюявляется ,ни в како,м
кодовом слове. Оба утверждения немедленно следуют из того, что
в циклическом коде никакое слово, кроме чисто нулевого слова, не
с одержит последовательности, состоящей из более чем k-1 после­
довательных нулей. Но для того, чтобы стык двух или большего
числа кодовых слов образовал запятую, какое-либо одно из слов
должно содержать s 1 или s2 или должно со;:.падать с некоторой
циклической перестановкой х. Никакая из этих ситуаций невоз­
можна. Аналогично для того, чтобы некоторый стык, в котором
участвуют как кодовые слова, так и запятая, образовал запятую,
по меньшей мере, ,k+ 1 символов этой запятой должны быть вне­
сены одним кодовым словом; опять-таки это кодовое слово долж­
но было бы содержать либо s1, либо s 2 или быть некоторой пере­
становкой х, и, следовательно, оно не существует. Этб доказывае.т
теорему.
Другим методом построения кода с запятой, обладающего так­
же способностью исправлятt~ ошибки, является тот, который опре­
деляется теоремой.
14-281
417


Теорем а 14.4. Пусть D - любой циклический (п, k)-кодовы й
словарь , исправляющий ошибки, и пусть D' -
словарь, получае­
мый выбрасыванием из D чисто нулевого кодового слова. Тогда
запятая ООО . . .Оа, состоящая из 2,k-1 нулей, за которыми следует
какой-либо нен улевой элемент, является сингулярной по отноше­
нию к D'.
Доказательство. Никакое слово из D' не может содержать ну­
левую k-последовательность. Однако для того, чтобы какой-нибудь
стык кодовых слов образовал запятую, одно из слов должно со­
держать нулевую k-последовательность . Очевидно, что никакой
стык, содержащий запятую, не может образовывать запятую, и
теорема доказана. (Нет необходимоси здесь требовать , чтобы
k<n; см. § 12.5.) ■
Так же, как и в случае линейных префиксных кодов, можно до­
казать отчасти более слабый результат для произвольных линей­
ных кодов с запятой.
Теорем а 14.5 . Запятая ООО .. .Оа. длины 2(n-d) +2 сингуляр­
на по отношению к любому линейному словарю, содержащему п­
символьные слова , разделенные минимальным расстоянием d, из
которого удалено нулевое слово .
Доказательство. Так как самая длинная последовательность и з
нулей, образующаяся из стыка двух слов, имеет длину 2(n-d)
(если последние n-d символов одного слова и первые n-d симво­
лов второго слова являются чисто нулевыми), то 2(n-d) + 1 нулей
будут отмечать присутствие запятой, конец которой указывается
символом а .
14.3 . Коды без запятой, исправляющие ошибки
Одно из ограничений, которое полезно, как было показа­
но, наложить на блоковые коды, состояло в требовании «свободы
от запятой» . Используя лишь около 1/п общего числа имеющихся
в распоряжении п-последовательностей, можно добиться того, что
все возможные стыки кодовых слов будут принадлежать множе­
ству исключенных п-последовательностей. Так как коды, исправ­
ляющие ошибкч, также используют в качестве кодовых слов лишь
подмножество всех п-последовательностей, можно было бы на­
деяться, что выбрасывание нескольких дополнительных п-последо­
вательностей превратит его в код без запятой. В § 14.4 будет до­
казано, что, действительно, по крайней мере, когда код цикличе­
ский и достаточно избыточный, некоторые из его смежных классов
будут кодами fieз запятой. Таким образом, он может быть очень
просто превращен в код без запятой без какого-либо дополнитель­
ного исключения п-последовательностей из словаря и без потери
каких-либо алгебраических свойств, которые полезны для кодиро­
вания и декодирования. В этом параграфе дано довольно простое
правило определения того, существует или нет смежный класс ли­
нейного кода, который является кодом без запятой.
418


Код будет называться неуязвимым при синхронизации на т - й
позиции, если посJJедовательность
(14.1)
не является кодовым словом, где а1а2.. .an и Ь 1·Ь2 , ... ,bn - какие­
либо два (не обязательно различных) слова из кода. Если код не­
уязвим на всех т позициях (т = 1, 2, ..., п-1), то, конечно, он яв­
ляется кодом без запятой. Если код линейный, то, очевидно, что
он не является неуязвимым ни на какой позиции, так как он дол­
жен содержать слово 00 . ..О. Однако можно прибавить вектор с к
каждому кодовому слову для того, чтобы сформировать смежный
класс, который является неуязвимым, по крайней мере, на некото­
рых позициях. Смежный класс обладает теми же самыми свойст ­
вами исправлять ошибки, что и первоначальный код, так как он
имеет те же самые расстояния.
Пусть G kХп - матрица, строки которой являются порождающи­
ми векторами подпространства над GF(q). Тогда любой вектор из
подпространства (рассматриваемый как вектор - строка) можно
представить в виде xG, где х является q_-ичной k-компонентной
вектор - строкой. Если код является смежным классом подпростран­
ства, порождаемого G, то любое кодовое слово w представляется
в виде
w =xG+c
(14.2)
при некотором векторе х. Пусть теперь G разбивается на матрицы
G1 и G2 размеров kXm и kX (п-т) соответственно:
G= (G1, G2);
(14.3)
аналоги чно пусть с разбивается на векторы с1 и с2 с т и п-т ком­
понентами в каждом:
(14.4)
Число совпадающих координат в любом кодовом слове и любом
•стыке- слов вида (14.1) может быть теперь определено с помощью
подсчета числа нулей в векторе вида
xG + c-y(G2 ,0т)-z(Oп-m, G1)-(c2 , С1)=
= [х, -у, -z][G2 ,G On-m] + с - [С2, C1J.
(14 .5)
От, G1
Матрицы 0 1 являются kХl-матрицами, все элементы которых
являются нулями, а х, у и z - k-компонентные векторы . Если
смежный класс, который должен быть использован в качестве сло­
варя, является уязвимым при синхронизации на т-й позиции , то
су ществует некоторый 2k-мерный q-ичный вектор -столбец v, такой,
что
Mv=b.
J4*
( 14.6)
4,\ 9


где
Для того чтобы доказать, что код неуязвим на -т-й позиции ,
достаточно показать, что не существует вектор, для которого напи­
санное выше уравнени е имеет решение . Но это уравнение имеет ре ­
шение тогда и тою,к о тогда, когда
р(М) = 1р(М, Ь),
(14.7 )
где р(А) обозначает ранг А, а (М, Ь) является пх (Зk+l)-матри­
цей, получаемой присоединением вектора-столбца Ь к матрице М.
Следующая ле,1ма полезна при изучении свойств неуязвимости ли­
нейных кодов.
Лемм а 14.1 . Пусть М-пХl-матр,ица; Ь= : (Ь1, Ь 2 , ... ,
bn)т-
век'Гор-столбец с элементами ,из GF( q) и .пусть mi = ( mil, mi2, . .. , mil).
i = 1, 2, . . .,п обозначает i~ю строку М. Тогда соотношение р (М) +
::f=p(M, Ь) выполняется тогда и только тогда, когда существует
n·
множество элементов {ai} из GF(q), таких, что ~ щm;=О (где
.....
i=l
п
О - нулевой вектор), в то время как ~ а;Ь;=#=О.
'
i=l
Доказательство. Если р(М) = .р, то должны существова гь р ли­
нейно независимых векторов mj, такие, что
р
'
m,=~ ~}iJmjдляВСРХi.
j=I
(14.8}
Ясно, что соответствующее множество векторов {m'j} из (М, Ь)
также образуег линейно независимое множество. Если также
р(М, Ь) =р, то это множество {m\} должно порождать простран­
ство (М, Ь) и
р
т;=I ~?)m; длявсехi.
/=1
(14.9)
Для любого заданного i коэффициенты ~(iJj в ф-ле ( 14.8) опре­
делены однозначно. Если бы это было не так, то можно было бы
указать линейную зависимость между векторами {mj}. Следова­
тельно , так как п ервые [' : компонент m.i и m'i совпадают, то то же
самое справедливо для коэффициентов ~(iJj в ф-лах ( 14.8) и (14.9) _
Теперь
n
р
~а,m;=~ Y1m1.
(14.10)
i=l
i=l
420


п
где Yi=!ai ~JO и
i=l
п
р
I aim; = ~yjm1_
(14.11)
i=l
j=I
Согласно предположению суммирование в ф-ле (14.10 ) дает
нулевой вектор О. Эт-о означает, что yj = O для всех j , та.к ,ка к век­
торы {mj} линейно нез,ависимы . В свою очвредь, ~это оэ,начает, чт@
сумма в ( 14 . 11) также равна О, что противоречит предrюлож енюо
о т•о,м, что }:: ai,bi=l=O . Т.аким образом, если }:: a;m; = O 1,н
i
i
~ a;bi=l=O , то для любого множества коэффициентов {а;} имеем:
i
р(М, Ь) >р(М). Обратно, если для любого множества { а ;}, для
которого ~ a;m; 0=0, также }:: а;Ь;=О, то, очевидно, р(М, Ь) =
i
i
= :р (М), и лемма доказана .
Следоватеш,но. можно заключить, что словарь является неуяз~
вимым при синхронизации на т-й позиции тогда и только тогда ,
когда условия nредставленной выше леммы удовлетворяются дл'ill
некоторого м,н,ож-ества rЭлементо,в {а;} .и Ми Ь, ошределенны х ( 14.6).
Пусть {а;} - множество элементов GF(q), таких, что
(14.12)
Тогда, вспоминая определение матрицы М i[см . (14.6,)J , находим,
что должны вы11олняться сл едующие три равенства :
п
)
~aigi=О.
i=l
(14.1 3}
п-т
11,
~aigi+т=I
ai-m gi= о.
i=l
i=m+I
где g; представляет собой i-й столбец G. Но по определени ю ·век­
тор h= (h1, h2,
.
.
.,hп)
принадлежит нуль-пространству кода , поро­
ждаемого G, тогда и только тогда, когда
п
~higi=О.
(14.:14}
i=l
Следовательно, ( 14 . 14) удовлетворяется на множестве {а;} тогда
и только тогда, когда нуль-пространство кода, порождаемого G. со­
держит векторы h={a1, а2, . . ., ап}; h(i)={an-m+I, Un-m+2,
.. ., Un,
О,О,..., О} иbl2)={О,О, ....О,а1,а2,..., ап-т} . Этот вывод совмест­
но с приведенной выше леммой доказывает следующую те 0рему.
15-281
42)


Теорема 14.6. Если линейный (п, k) - код имеет смежный
класс, который неуязвим при синхронизации на т-й позиции, то
его нуль - пространство должно содержать три вектора: h=
{h1, h2, ..., hп}; h(l)= {hп-m+I, hп-т+2,
...,hп,О,О,...,О}
И h<2)=
= {О, О, ..., О, h1, h2, . . ., hп-т}, такие, Ч'ГО h-c=#=h•Cm, где С= {с1, С2, .. .
• . •, Сп} - некоторый лидер смежного класса, а ст ~ { Cm+1, Cm+z,
...
...
.,Сп, С1..., Ст},
-
Таким образом, можно установить, может ли линейный код
быть сделан неуязвимым при синхронизации на любой т-й пози­
ции, определив, порождает ли его нуль-пространство три вектора,
удовлетворяющие приведенным выше условиям. Это значительно
облегчает определение возможного свойства такого кода быть ко­
дом без запятой. Если код является циклическим, можно указать
даже более простые необходимые и достаточные условия сущест­
вования смежных классов без запятой. Их рассмотрение является
предметом следующего параграфа.
14.4 . Циклические коды без запятой
Если G порождает циклический (п, k)-код, то нуль-про­
странство· кода также циклическое. Далее (см. § 13.4) нуль-про­
странство кода порождается (n -k) Х п - матрицей вида Н = {hiJ =
= {hнн} с h1=0 для l, не принадле:жащих интервалу 1~l ~k+ 1,
но с неравными нулю /1 1 и hн1- Это, совместно с результатами пре­
дыдущего параграфа, дает возможность доказать следующую тео­
рему.
· теорема 14.7. Любой циклический (п, !~)-код можно сделать
i'!еуязвимым прп синхронизации на всех т позициях при 1~ 1m 1 ~
~n-k-1, ( 1ml ~ min(m, п-т)) просто сложением некоторого
ненулевого элемента кодового поля с первым символом каждого
кодового слова.
Доказательство. Если 1~m~n- k-1, то нуль-про странство
кода содержит, очевидно, три вектора h= (/11, h2, ... , hk+1, О, О, ...
. . ., О);h(1J= (О,О, ..., О) иh<2J=(О,О, ..., h1,h2, ..., hн1, О, ..., О).
Таккакс=(а,(J, .
. , О) для некоторого а=#=О, то
ecJIИ 1~m~n-k -1, и условия теоремы 14.6 удовлетворяются.
Точно такие же рассуждения приводят к тому же выводу для
I~n-m ~n-k -1 . Следовательно, ур-ние (14.6) не будет иметь
решений, когда с определяется. таким образом при любых т,
удовлетворяющих .неравенствам 1~ 1т 1 ~n-k -1; теорвма до­
казана .
Другие сме:zкные классы, отличные от тех, которые образуются
еложением элементов с первым столбцом, могут также обладать
аt~алогичным свойством. Например, в равной мере эффективным
будет сложение ненулевого элемента с каждым членом последнего
етолбца.
Справедлива также теорема, обратная теореме 14.7.
~22


Те .о,р ем а 14.8 . Нее смежные классы любого систематического
(п, k)-кода уязвимы при синхронизации на всех т позициях, где
n-k~m ~k.
Доказательство. Первые k столбцов порождающей матрицы G
любого системс1тического кода должны быть линейно независимы­
ми . Ес1ш n-k ~m~k, то никакое подмножество из первых п-т~
~
,k столбцов G и, следовательно, из первых n-im строк М не мо ­
жет быть линейно зависимым. Но , кроме того, никакие из послед­
них т~!г стро;< М не могут быть линейно зависимыми, так как
столбцы G1 линейно независимы. Поэто м у р( М) =n и условия тео ­
ре м ы 14.б не выполняютс я . 111
Следствие. Если k~ (п-1)/2 , то любой циклический (п, !г) ­
код м ожет быть превращен в код без запятой . Если k>(n-I)/2,
то НИI(акой смежный класс никакого циюшческ о rо ( п, k)-кода н е
образует код без запятой.
Доказательство следует из того, что все ошибочно синхронизи­
р у емые позиции могут быть сделаны неуязвимыми, когда
n-k -1 ~k, т. е. когда k~(n-1)/2. Так как все циклические ко­
ды являются (::истематическими кодами, то применима теорем а
14.8, и если k>(n-1)/2, то все те величины т, которые лежат в
интервале (п-.1,, k), явля ются уязвимы м и пр и синхронизации не ­
зависимо от рассматриваемого смежного класса. 111
Возникает uопрос, имеют ли нециклически е л инейные коды ; ис ­
правляющие ошибки, смежные классы без з апятой и, в частности,
существуют ли такие смежные классы при k> (п-1)/2 . Интуи тив­
но можно было бы предположить, что условия теоремы 14.6 вы~
деляют циклические коды среди всех кодов с точки зрения св о й~
ства «свободы от запятой». Однако представляется трудным по­
строить общее утверждение относительно этого свойства для смеж ­
ных классов н,?-линейных циклических кодов , хотя частные коды
или классы кодов иногда легко исследовать, используя указанные
здесь методы.
Рассмотрим в качестве примера класс укороченных цикличе­
сrшх (n-,i, k-v)-кодов, получаемых отбрасыванием v информа-
1щонных битов из циклического (п, !г)-кода (см. § 13.6). Нуль-про­
странство такого 1,ода порождается матрицей Н v, получающейс5L,
когда отпускаются первые v столбцов порождающей матриv.ь;
нуль-пространства первоначального циклического кода. Имея это
в виду, нужно лишь повторить доказательство теоремы 14.7 (счи­
тая h (,1+1)-й строкой Hv) для того, чтобы доказать следующее .
Теоре м а 14 9. Любой укороченный циклический (n-v, k----v )·
код можно сделать неуязвимым при син х ронизации на в с ех по.зи­
циях т для 1~ 1т 1 ~ 11-k -v - l, просто складывая некоторый не­
нулевой элемеат с первым символом каждого кодового слова.
Хотя теорема 14.8 применима также и к укороченным цикли­
ческим кодам, строгое обращение теоремы 14.9 оказывается в об­
щем случае невозможным. Двоичный циклический (7, ~) - код мо -
15*
423


:iкет, например, быть сделан неуязвимым при синхронизации на
m-й позиции для всех 1~ 1m 1 ~ 3 и поэтому превращен в код без
за пятой. Теорема 14.9 устанавливает существование укороченного
цикл ического (6, 2)-кода, который неуязвим на позициях
l ~ lm l~2, и (5,1)-кода, неуязвимого только на позициях lml=l.
Легко проверигь, что ранг матрицы М (см. § 14.3), соответствую­
щий укороченному циклическо1>1у (6, 2)-коду, равен 6, когда m=3,
так что все его смежные классы являются, на самом деле, уязви­
мыми на позиции m=3, несмотря на то , что k<(n-1)/2. В проти­
вопол ожность ::~тому укороченный циклический (5, 1)-код имеет
смежн ый класс без запятой.
Р а сс м отри м втирай пример класса нециклических кодов. Пусть
G - n Хk-матрица, строки которой порождают слова циклического
двоичного хэм;чинговского (п, k) - кода (2n - k = n+ l; см . § 13.6) и
пусть G' получс1ется из G некоторой перестановкой столбцов. Тог­
да G' также порождает двоичный (п, k)-код с теми же самыми
расстояниями ~, поэтому с теми же
самыми корректирующими
свойст вами, ка,{ и код, порождаемый G. Все такие коды будут на­
з ыва ться здесь кuдами Хэмминга, хотя в общем случае они не
будут цикл ическими. (Между прочим, можно проверить, что в с е
двоичные линейные коды, исправляющие одну ошибку и имеющие
21' =2n/ ( n+ 1) слов. могут порождаться матрицей вида G'.) Так как
k> (n-1)/2 для всех таких кодов, кроме (3, 1)-кода, то никакой
смежн ый класс никакого циклического хэммин г овского кода не
будет кодо м без запятой при любых k> 1. Возможно, однако, что
неkоторый смежный класс нециклического хэмминговского кода
моt б ы быть кодом без запятой даже при -k> 1.
Дл я того чтобы показать, что это невозможно, достаточно
опять -т ак и доказать, что р(М') =n для некоторой уязвимой Щ)ЗИ­
ции т, где М' определяется через G' равенством ( 14.6) . Каждая
стр о ка матрицы нуль - пространства двоичного хэмминговско г о ко­
да содержит ровно (n+ 1)/2 единиц (см. § 13.6). Рассмотрим ыат­
ри цу М ', к огда m= (п -1 )/2. Так как в любое проверочное соотно­
шен ие должны входить ровно (п+ 1)/2 столбцов G' и так как в
этом случае G'i содержит лишь (п-1) /2 столбцов, то никакое под­
множ ество нижних (п-1) /2 строк М' не является линейно зависи­
м ы м. Единственной остающейся возможностью является то , ч т о ли ­
ней н о зависимыми окажутся верхние (п+ 1)/2 строк М' . Легко
заме ти ть , что это о::тачает , что
ln+ l )/2
п
L g~=
~ g;=о,
i=I
i= (n+I)/2
где g '; обозначс1ет i - й столбец порождающей матрицы G'. В свою
п
очередь , отсюдэ сJJедует, что L g\ =0, т. е. линейная .~юмб,ина­
t=О
ia;,s(n +l) v2
ция п- 1 столб!!ОВ G' должна быть равна нулю . Это противоречит
условию, что ровно (п+ 1)/2 столбцов должны быть использованы
·4 ·24


в любом таком соо тношении, если только не имеет места случай
n - 1=(n+1)/2, т. е. случай n = 3. Следовательно, (3, 1) - код являет­
ся единственным двоичным хэмминговским кодом со смежным
классом без запятой. ,
Полезное видоизменение вида уравнения уязвимости ( 14.6) ча­
сто можно получить, представляя векторы, входящие в это уравне­
ние, в виде многочленов, как в § 13.4 . В этих обозначениях ф-ла
(14.7) примет ,зид
w(x) +qm(x) +xn- mpm(x) = с(х) (xn-m _ 1), (mod xn - 1), (14.16)
n-I
где w(x) = ~ w;xi представляет собой некоторое слово w =
i=D
= (wo, W1,
.. .,
ZС'п- 1) из словаря D, порожденного G; qт(х) - мно ­
гочлен степени, самое большее, п-,т-1, соответствующий суффик­
су из D, а Рт(х) - многочлен степ ени, самое большее, т- 1, соот­
ветствующий П1)ефиксу из D. Многочлен с(х) соответствует лидеру
смежного класса. (Заметим, что здесь термин «лидер смежного
I<ласса» обозначает любой элемент в смежном классе, а не обяза­
тельно элемент минимального веса.) .
Если код является циклическим, то Рп.(х) является также суф­
фиксом, а qт(х) - префиксом из й. Если это так, то уравнение
уязвимости можно выразить более просто в одном из двух видов
w(x) =с(х) (xn-т_1)-x1i---:mpm(x) или
zv(x) = с(х) (xn - m_1)-qm(x).
(14.17)
При этом словарь является уязвимым при синхронизации на
позиции т тогда и только тогда, когда правая часть (14.17) яв­
ляется кодовым словом. Вспомнив, что согласно § 13.4 многочлен
р(х) представляет собой слово циклического кодового словаря D,
порождаемого многочленом g(x), тогда и только тогда, когда син­
др,ом {р(х)} ~ r(x) тождеств-енно ра.вен нулю !(где р(х) =
=q(x)g(x) +r(x)] ,получаем условия 1неуяз·вимости 1н(а т-й .позиции
{с(х) (xn - m_1) - xn - mpm(x)} =#=О или
{с(х) ( xn-m_ 1)-qm(x)} =#=О.
( 14.18)
Используя этот подход, можно очень просто доказать теоре­
мы 14.7 и 14.8 (для циклических кодов). Во-первых, если с(х) = 1
и если т~п-.lг - 1, то {хn-т_1-хп-трт(х)} = {xn-mi[1 - xm -
-Pm(x)]} =#=О, так как Рт(х) имеет степень, самое большее, т-1,
а g(x) имеет степень n-k. Аналогично, если 1~n-m~n-k-1,
то {xn-m_1 - q,.,,,(x)}=#=0. Во-вторых, для того чтобы доказать тео­
рему 14.8 для циклических кодов, нужно лишь заметить, что
{с(х) (xn-m_1)-xn - mpm(x)} является многочленом степени, самое
большее, n-k- 1 . Так как Рп(х) представляет собой префикс из D,
то его первые k коэффициентов соответствуют информационным
символам и, сл"'довательно, могут быть произвольны. Если n-k~
~m ~k, то долж:ен существовать многочлен Рт(х), такой, что
;(xn-9[c(x) (1-.хт)-Рт(х)]} = 10 независимо от многочлена с(х).
425


14.5. Синхронизация в каналах с шумами
Когда шума нет, синхронизация слов обычно устанав­
ливается, если она может быть установлена вообще, с абсолютной
надежностью . Как только появляется синхронизационная комби­
нация или как только устраняются все возможные декодирования
последовательности (в силу того, что они приводят в некотором
месте к :после1до,ватель,ности, которая ,не явля,ется словом), кроме
одного, ,с,инхронизация будет дост,и:г,нута. Наличие шу,ма м•ожет
видоизменить задачу синхронизации в нескольких направлениях .
Если, например, синхронизация должна устанавливаться опозна­
нием некоторой специальной rп - последовательности и кодовый сло­
варь был тщательно выбран с тем, чтобы запретить появление
этой m-последааательности в каком-либо неожиданном месте, шум
может вызвать ложную синхронизацию, так изменив m-последова­
тельность, появляющуюся внутри последовательности слов, что она
будет воспринята приемником как синхронизационная комбина­
ция. Более того, шум может увеличить синхронизационную задерж­
ку, изменив синхронизационную комбинацию и приводя к тому ,
что она пройдет . незамеченной. Аналогично если синхронизация
слов основывается на том, ,что ошибочно декодируемые последо­
вательности с длинами, превосходящими некоторую конечную дли­
ну, н е существуют, шум может аннулировать это свойство. Неде­
кодируемая последовательность может перейти в декодируемую
последовательность из-за наличия шума, в то время как первона­
·1ально декодируемая последовательность может стать недекоди­
руемой.
Возможность ошибочной синхронизации в присутствии шума
даже для синхрони-зируемых кодовых словарей неизбежно изме­
няет процедуру синхронизации. Теперь нужно выносить статисти­
ческое решение. Должна быть выбрана «наиболее близкая» деко­
дируемая последоЕательность или комбинация, наибольшим обра­
зоы напоминающая синхронизационную комбинацию, с последую­
щш.1 повторением процедуры через правильные интервалы. Если ,
напрю.1ер, используются коды без запятой с длиной cJioвa п, то
синхронизация устанавливается с помощью наблюдения всех при ­
нимаемых п - последовательностей для опредеJiения, являются они
словами или нет . Так как в отсутствие шума никакой стык слов не
является кодовым словом, то наиболее вероятно даже в присутст­
вии шума, что правильныЕ: слова будут опознаваться как кодовые
слова, а стыки - нет. И так как правильные кодовые слова дол­
жны наблюдаться после приема r,аждых п символов, то можно
увеличить надежность синхронизационной оценки с помощью по­
следователь н ого опознавания кодовых слов, разделенных ровно п
символами . В качестве примера предположим, что слова из слова ­
ря без запятой D= {010, 011, 020, 021, 022, 120, 121, 122} переда­
ются по r,аналу с шумом и принимается последовательность :
425


w
w
w
w
ш
w
ш
w
~
J_
l_
1
J_
L l__
L
1
L
-
w
w
w
w
w
li)
w
И!)
w
1
1
1
1
1
1
1
1
1
о1оl2О12 22 о1оо
О2О 22О1О222
1
1
[х
1
xf
1
1
1
[х
1
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
где символы, обоз11аченные х, ошибочны. Так как при декодирова­
нии, которое представлено нижн ей разбивкой, сталкиваются лишь
с _щвумя «не словюш» (w), в Т·О время .как в двух других случаях
по,пи все время стаJiкиваются с «не словами», то, по -види мому,
нижняя разби;зка соответствует пр авильн ой синхронизации. Те же
соображения применимы к другим методам синхронизации, рас­
смотренным в :-~редыдущ их главах .
Это изменение в поисковой процедуре синхронизации, обуслов ­
ленное присутствием шума, может изменить относительную при­
влекатель ность различных огранич ен ий, наложенных на блоковые
коды с ц ель ю сделать их синхронизируемыми. Два варианта син­
хронизаци онных ограничений из гл. 12, имеющие смысл, когда в
ка н але связи .'J.ействует шум, рассматрива ются в нескольких сле­
дующих пара граф ах.
14 .6 . Последовательности Баркера
Первый вариант предусматривает _ослабление одного из
ограничений гл . 12. Код с запятой подчинялся ограничению, кото ­
рое предотвра'дало появление некоторой специальной т-последо­
вательности в л юб ой произвольной последовательности слов из это­
го словаря. Когда бы эта т-последовательность или запятая не
наблюдалас ь приемником, она была установ ле на преднаме ренно и
поэто му давала требуемую синхронизацию . Как уже было отме­
чено, в присутс т вии шума ситуация не является столь простой. По ­
видимому, необходимы многократные f!аблюдения запятой, чтобы
увеличить вероятность того, что, на самом деле, была именно при­
нята она и что это не был пр осто шумовой эффект. Один оч~вид­
ный и простой ме1од синхронизации слов, который часто . приме ­
няется, когда все равно приходится выполнять несколько наблю­
дений, состоит в периодической передаче запятой, как и раньше,
но с отказом от каких - либо ограничений на остающуюся переда­
вае му ю послед овательность.
Предпо.пож пм, что в качестве запятой используется т-последо­
вательность и она передается после каждых N- m информацион­
ных символов. Запятая может теперь появиться в информацион­
ной последовательности даже в отсутствие шума. Но если инфор ­
мация представляет собой случайную последовательность r- ичных
с имво лов, выбираемых незав исимо и равновероятно, то вероятность
любой заданной информацио нн ой т -п оследовательности быть за-
427


пятой равна ,г'". Далее, так как шум принуждает в любом случае
выполнять многократные наблюдения, то вероятность того , что за­
пятая появится l раз , разделенная ровно N символами (что необ­
ходимо для того, чтобы произошла ошибка при декодировании пра­
вильной запятой), равна ,--zm. Таким образом, достаточно длинное
наблюдение должно опознать правильную комбинацию, которая
повторяется периодически (несмотря на то , что иногда она изме­
няется шу м о м ) в условиях , когда информационные символы не
подвергаются ., граничению. Фактически возможное уменьшение
времени, необходимого для вынесения надежного решения , которое
достигается благодаря дополнительному ограничению на инфор­
мационную последовательность, часто бывает незначительным .
С первого взгляда можно было бы предположить, что любая за­
пятая была бы столь же хорошей, как и любая другая, так как
все последовательности заданной длины появляются случайно с
одной и той же вероятностью . Это было бы, по существу, верно ,
если бы не было также необходимости проводить различие между
запятой и тем!1 т-последовательностями, которые начинаются ка­
ким-либо из ее т-1 суффиксов или оканчиваются каким-либо из
ее т-1 префиксов. Выбор запятой, состоящей из т повторени й
одного и того же символа, например, был бы, очевидно, плохим.
Если бы такой запятой предшествовал или бы за ней следовал тот
же самый символ, то, по меньшей мере, две подряд идущие т - по­
следовательности были бы идентифицированы как запятые.
Пусть di - хэмминговское расстояние между i-символьным
суффиксом запятой и ее i-символьным префиксом . Среднее рас­
стояние запятой от т-последовательности, начинающейся ее i-сим­
вольным суффиксом и оканчивающейся m - i независимыми r-ич­
ными информа:._щонными символами, в отсутствие ошибок равно
r- I(
.)
r-1[(•
r d\l
d;+--т-i=--т
-
l- --i)J.
r
r
r-1
(14.19)
(Эта величина равна также расстоянию зап ятой от т-последова­
тельности, начинающейся m-i информационными символами и
оканчивающейся i-символьным префиксом запятой.) Имея в виду
сделанные замечания, подходящей запятой могла бы быть некото­
рая т-последовательность, для которой расстояния (14.19) макси­
мальны для всех i. Это означает выбор последовательности, для
которой величина
(14.20)
достигает минимально возможного значения для всех i, O<i<m.
Граница, определяемая следующей теоремой, будет полезна в
дальнейшем.
Теорема 14.10. Пусть ci определяются согласно (14.20). Тог-­
п:а для любой r-ичной т-символьной зшпятой
1<~:~1 С;~~;-! С; > ~z
-
2(r -
1),-(т- 1) !mz ('
r
1
)]'
428


где квадратные скобки обозначают целую часть заключенной в них
дроби.
Доказательство Пусть D - словарь, состоящий из т цик{Iич-е­
ских перестановок запятой. Среднее хэмминговское расстояние
dлvE между запятой и ее т-1 различными циклическими пере­
становками, о ч евидно, равно среднему расстоянию между любыми
двумя словами из D . Это расстояние ограничено границей Плот ­
кина (13 . 11) следующим образом: dлvE::;;;; 1m2 (,r-1)/(m-l)r. Те­
перь из (14.20) имеем
rn- 1
у С· =m(m-I) _ r(m-1) d .
. "-'
i
l
2(r- 1) ave
i=l
(14.21)
В ,силу то1го что (т-1) ave должно быть целым , отсюда непоср1ед­
ственно следует утверждение теоремы . ■
Первые исследования в этой области были выполнены Барке­
ром и ограничивались последовательностями из двоичного алфа­
вита . При первоначально наложенных ограничениях последова­
тельности с ч итались приемлемыми, только если max с;::;:;:;О . Рас­
смотрим вначале следствия этого условия.
Теорем а 14.11. Если существует двоичная последователь­
ностьдлинытсс;::,:;;Одлявсехi, i=1,2, ..., т-1, то
{ О, i четное;
с-
i - -1, i нечетное.
Более того, такие последовательности могут существовать с длиной
m>2, только если m=4t-1 для некоторого целого t.
Доказательство . Если r=2, то величина C;= ri-2d; должна быть
четным целым числом при четном i и нечетным целым числом при
нечетном i. Предположим, что 'Y1V2- .
•'Ym - последовательность, для
которой
ci = {-~:
нечетное;
четное.
Тогда I 1
ci= -
[;],
t=l
и эта сумма находится на границе из теоремы 14.10. Любая по ­
следовательность v'ty'2 ...у' m, имеющая некоторые параметры с';<
<с;, обязательно имеет, по меньшей мере , один член c'j, больший,
чем соответствующее ci. Это означает, что c'j;:;:,cj+2;:;:, 1 и, следо­
вательно, нарушается условие max с;::,:;;О.
Чтобы доказать второе утверждение теоремы, отметим, что для
любой двоичной последовательности V1'\'2- .
•'Ym справедливо равен­
ство
т
аiЛ ci +crn-i = ~ (1-2yv)(l-2Vv+i)=
v=i
429


m
11i
=m-4 ~yv +4!YvYv+i=m-4Z
(14.22)
V=l
V=l
для некоторого целого l. (Подстрочные индексы у Yi понимаются
по модулю т.) Но, как мы только что показали , когда т четное и
max ci~0,
,
{ О, i четное;
а;=С;тCm-i=
-2, i н.ече'I'ное.
При этом нарушается условие ( 14.22) (кроме случая m = 2)
так, что т не может быть четным целым числом, большим, чем 2.
Если т нечетное, то ai= - 1 для всех i=l=0 по модулю 1m и из ф-лы
(14.22) m=4l-1, что и требовалось показать. 11
Баркер смог построить последовательности с требуемым свой­
ством (при m>2) для длин m=3, 7 и 11 и предположил, что не
существует никаких других таких последовательностей. (Если т =
= 1, то, очевидно, требуемым условием удовлетворяет тривиаль­
ная последовательность 1, а если m=2, то такой последователь­
ностью является последовательность 10.) Впоследствии было до­
казано, что это предположение верно. Последовательности, най­
денные Баркером, были следующими:
m=3 110
m = 7 1110010
m=,11 11i1000100O10.
(Эквивалентные последовательности получаются при обращении
этих последовательностей и замене либо четных, либо нечетных
символов на дополнительные. Баркер, между прочим, заметил, что
при построении этих последовательностей полезно знать, что всег­
да должны удовJiетворяться соотношения Vi=FYm+1-i для нечет­
ных i и Yi='\- 'm ..,.1-1 для четных i. Это легко доказать методом ин­
дукции по i.)
В силу того что при первоначальных баркеровских ограничени­
ях существуют только три неэквивалентные последовательности ,
то были предприняты попытки найти другие последовательно сти
при несколько более слабых ограничениях. Первым очевидным
ослаблением огрю•ичения на коэффициенты ci является разре ше­
ние иметь ci= 1 для некоторых значений i. Более того, так каr<, по­
видимому, нет преимуществ от того, что величины Ci будут прини­
мать большие птрицательные значения (ер. с теоремой 14.11) а ,
наоборот , это может иногда принести вред, то сразу же возникает
условие [ ci 1~ 1. 0<i<m. Двоичные последовательности, удовле­
творяющие этому условию, обычно называются последовательно­
стями Баркера; Of-JИ найдены для длин m= 1, 2, 3, 4, 5, 7, 11 и 13.
Было показано, Ч'СО такие последовательности не существуют для
нечетных длин m> 13. (Тем самым, конечно, доказывается несуще­
ствование каких-либо последовательностей, удовлетворяющих пер­
воначальному условию Баркера, для любых длин m> 11).
430


Теорем а 14.12 . Пусть 'Y1'Y2---Vm - двоич,ная ,гюследовательность
с коэффициентами С;, ограниченными по абсолютной величине еди­
ницей для всех ,i= l, 2, ..., т-1. Тогда, ,если т чет,н,ое ~целое число,
большее 2, т-о m=4v2 , где v-делое. Бели т ,нечетн-ое, то с; =
= (-1) (m-!)/2, когда i нечетное и С; = О, когда i четное, 0< i <:m.
доказательство. Если ,1 с; 1 =::;;: 1, то Iс; 1 = 1 для всех нечетных i и
с,-=0 для всех ч етных i. Таким образом, когда т четное,
а-=С·-1_ с
_
{О
,
i четное, i =f= О;
L
iJ
m-i
-
о
•
, +2 или - 2, i нечетное.
Но из ( 14.6.4) следует, что a; - aj = 4! для некоторого целого l и для
всех целых i, ,i . Аналогично если т четное и больше 2, то а;= О для
всех ,i= l, 2, ... , т-1. Полагая а1 = 1--2-у;, находим
т
тт
(т \2
Va-=m=~~a;a·+ ·=
~a -)=t2
,'-1 i
." "4~
,
/'
2.. /
i=l
i=lj=l
j=l
(14.23)
для неiюторого целого -i . Так как т четное, то t должно быть чет­
ным и 111 = (2 v) 2 для некоторого целого v. Если т нечетное и
jc; j =::;;:1, то а;= (-l)<m-t);2 (ер. с (14.22)]. Таким образом, так I{ак
С; четны, когда i четное, и нечетны в противном случае, то С1 =
= (-l)tm-t);2, когда i нечетное, и с;=О, когда i четное. 11
Не существуют баркеровские последовательности четной длины
при всех v из отрезка от 2 до 54 (16=::;;:т=::;;: 11 664) 1). Существова­
ние каких-либо баркеровских последовательностей с длинами, от ­
л ичными от приведенных выше. кажется крайне невероятным.
Дальнейшее обобщение основывается на замечании, что для
больших значений т полезно ослабить далее ограничения на Iс;!­
Представляется, что довольно трудно получить теоретические ре­
зультаты, когда I с; 1 не ограничены единицей. Последовательности,
для которых I с; 1 =::;;:2, были найдены для всех длин т=::;;:21 и для
т = 25 и 28; в случае, когда накладывается ограничение I с; 1 =::;;: 3, из­
вестны последовательности для всех длин т=::;;:34.
Очевидно, что коэффициент с, не может быть равномерно ма­
лым, если это свойство не ,вы1полняется для а; = -С;+ Cm-i • Обр ,атное
этому утверждение, что с; будут равномерно ·малыми, если малы а;,
конечно, не обязательно верно. Тем не менее поиск последователь­
ности баркеровского типа можно было бы начать с последователь­
ностей, про которые известно, что они имеют малые значения а;,
например, с последовательностей регистра сдвига максимальной
длины (см. теорему 13.11). В силу того что коэффициенты с; раз­
личны для различных циюшческих перестановок последовательно­
сти, каждая последовательность максимальной длины с длиной т
может порождать вплоть до т неэквивалентных синхронизирую­
щих последовательностей. В качестве примера рассмотрим последо­
вательность S 0 = 1110100 и определим S; как последовательность So,
1 ) Последовательность 111 О и все ее перестановки являются баркеровскими
последовательностяыи длины 4. (Прим. авт.).
431


циклически сдвинутую на i позиций вправо . Коэффициенты ci для
этих семи последовательностей приведены в табл. 14.1. Хотя вс е
эти последовательности ведут себя достаточно хорошо с точки зре­
ния максимального значения коэффициента ci, но лишь одна и з
них S4=0100111 является баркеровской последовательностью:
Таблица 14.1
С;
SoS1S2SзS4SsSв
Св
о-2о
о
о-2
-2
с,
1-1
-3
-
1-1
-1
С4
о-2
-2
-2
о
о
2
С3 -1
1
1-1
-1
-
3
Cg
-2
-
2о
2
о
о
о
С1 -1
;;1-1
-1
-
1
Очень мало и звестно о последовательностях баркеровского типа
в недвоичном случае. Однако снова множество последовательностей
регистра сдвига максимальной длины (когда r - простое число или
степень простого числа) представляется подходящим множеством
для поиска в нем последовательностей баркеровского типа. Среднеt
значение коэффициентов Ci, связанных с этими последовательно­
стями, как легко проверить, по крайней мере, достигает нижней
границы, данной в теореме 14.1 О.
14.7 . Индекс свободы от запятой
Другой метод получения синхронизации слов в присутст­
вии шума состоит опять-таки в кодировании информации, но при
ограничении, более жестком, чем обычная свобода от запятой. Ус­
ловие свободы от запятой гарантирует, что каждый стык слов отли­
чается от каждого кодового слова, по меньшей мере, в одном ~им­
воле . Шум с большой вероятностью может устранить это различие
и привести к удлинению времени синхронизационного поиска. Од­
нако если каждый стык слов отличается от каждого кодового сло­
ва, по крайней мере, s > 1 символами, то вероятность того, что шум
нейтрализует это различие, должна соответственно понизиться .
Следовательно, кодовые слова могли бы легче отличаться от стыкс1
слов, что привело бы к увеличению быстроты установления син­
хронизации слов и ее надежности. Коды, которые удовлетворяют
требованию, что каждый стык слов отличается от каждого кодово­
го слова, по меньшей мере, в s позициях, будут называться к.ода.ии
без запятой с индексо,11, s 1) .
1 ) Используется также термин «код с разделением s». (Прим. отв. ред.).
432


Некот,орые ·из методов 1пост,роения кодов без заiпятой (гл . 12)
можно обобщить для того, чтобы получить коды с большими и н­
дексами свободы от запятой. Однако в дальнейшем не будем сле­
довать этому подходу в силу того, что возникают довольно сер ье з­
ные ограничения при практическом использовании таких кодо в, на­
пример, недостаточная защищенность против ошибок после уста нов­
ления синхронизации. Два кодовых слова в коде без запятой е
большим индексом могут различаться лишь одним символом. П р ед­
полагается, что шум относительно легко трансформирует один
символ в другой, иначе не было бы необходимости использ овать
большой индекс свободы от запятой. При этих условиях будет про­
исходить много ошибочных декодирований. В то время как п отеря
синхронизации может быть исправлена с помощью дальнейших на ­
блюдений, ошибочно декодированное кодовое слово обычно не по­
вторяется второй раз. Следовательно, разумно потребовать чтобы
минимальное расстояние между кодовыми словами было бы, по
меньшей мере, таким же, как минимальное расстояние между ко­
довыми словами и стыками. В общем случае мы будем интересо­
ваться словарями, для которых первое расстояние значительно
больше, чем второе.
Довольно простую границу для числа кодовых слов в т а ки х
словарях может дать следующее утверждение . .
Теорема 14 . 13. Если r-ичный словарь D, содержащий N
п-символьных слов, имеет индекс свободы от запятой s и м ини­
мальное расстояние, по меньшей мере , равное s, то
N<Ns(п,г)=Ws(п,r)Jn,
(14. 24)
где W-1
.,(n, r) - максимальное число п-символьных r-ичных слов 6
словаре (не обязательно линейном), имеющем минимальное хэм­
минговское расстояние s .
Докаэательство. Каждая циклическая перестановка каждого ко­
дового слова не должна совпадать с каждой циклической переста ­
новкой каждого другого слова и с каждой другой циклической пе ­
рестановкой самого себя, по меньшей мере, в s символах, если код
является rшдом без запятой с индексом s и одновременно обладает
минимальным расстоянием s . Словарь, содержащий все п ци кличе­
ских перестановок каждого кодового слова из D, им е ет тогд а nN
кодовых слов, которые должны быть разделены минимальным хэм­
минговским расстоянием s. Не может быть более чем Ws(n, r) та­
ких слов.•
Заметим, что, когда s= 1, получаем границу N~,rn/п, которая.
конечно, справедлива, но не является минимальной границе й для
числа слов в обычных кодовых словарях без запятой .
След ст ·в и е . Словарь, ,сощ,ержащий N п-символьных r - и-чных
слов, не может иметь индекс свободы от за1пятой, боль1Ший , чем
s<min
{NP
p0 < p< [(r-I)/r]n Np -1
р(2_ _e___r),2р},
п r-1
(14 .25)
433


где Np - наименьшее целое число больше или равное (nN/rn) Х
р
Х lJ (:) (r-1) , а 'Ро - наименьшее целое, такое, что Np 0 ~2 .
i=O
Доказательство. Это утверждение следует немедленно, если ис·
rrользовать границу теоремы 13.2 для Ws ( п, r) в теореме 14.13. ■
В некоторых случаях может оказаться более важным обнаружи­
вать потерю синхронизации, а не определять ее вначале непосред­
ственно по последовательности кодовых слов. Эта ситуация может
возникнуть, например, тогда, когда режим входа в синхронизм
предшествует режиму передачи (что дает возможность установить
необходимую начальную синхронизацию), но когда вероятностью
последующей потери синхронизма нельзя пренебречь. Потеря син­
хронизма часто возникает из-за того, что местный сигнал отсчета
слов сдвинулся на несколько символьных позиций от правильной
позиции.
Поэтому полезно определить индекс неуязвилtости sm, указываю­
щий, что любой стык, начинающийся (т + 1) -м символом одного
слова и кончающийся т-м символом второго слова, должен отли­
чаться, по меньшей мере, Sm символами от любого правильного ко­
дового слова. Ранее указывалось на некоторые преимущества ис­
пользования словаря с большим индексом неуязвимости на всех
позициях т из некоторого отрезка -~,~,т~ ~t за счет, возможно,
полного отсутствия неуязвимости для других значений т. Будем
характеризовать с помощью tтдекса неуязвимости s степени μ
любой словарь с индексом неуязвимости, по меньшей мере, равным
s на всех позициях щ 1~ 1ml ~μ. Очевидно, что если μ={п/2],
где п - длина кодового слова, то словарь является словарем без
запятой с индексом s. Границу теоремы 14.13 можно легко обоб ­
щить та~,, чтобы охватить коды с инде1,сами неуязвимости произ­
вольной степени.
Теорем а 14 . lЗа. Если r - ичный словарь D, содержащий Л/
п-символьных слов, имеет индекс неуязвимости s степени ~t~n-1
и минимальное расстояние, по меньшей мере, s, то N,:.:;;
~ Ws(n, r)/(~t+l), где Ws(n, г) было определено ранее i[см. (14.24)}.
Доказательство. Пусть w - слово из D, а
wm - п-последо ­
вательность, получаемая при циклическом сдвиге символов ,v на т
позиций вправо. Пусть S - множество всех п - последовательностей
wm,гдеw- любоесловоизD,ат - тобоецелое числоизот­
резка -i[~t/2]~m~t[(μ+ 1)/2]. Если любые две из этих п-лоследова­
тельностей, скажем, w'r' и w'; 2 находятся на расстоянии cr одна
от другой, то кодовое слово w 1 находится на расстоянии ,cr от сдви·
нутого кодового слова wm2 -m, ~"" Так как по построению Iт2-т11 ~
~ ~t, то (μ+ 1)N п-последовательностей из S должны быть отделены
друг от друга расстоянием, по меньшей мере, равным s, и теорема
доказана.
434


14.8 . Вычисление индекса неуязвимости
смежных классов линейных кодов
Используя обозначения §14.3, напомним, что смежный
класс линейного кода, порождаемого столбцами матрицы G, яв­
ляется уязвимым . при синхронизации на т-позиции тогда и толыш
тогда, когда уравнение
Mv= Ь
( 14.26)
имеет решение , т. е. тогда и только тогда, когда
рМ=р(М, Ь)
(14.27)
где М и Ь определены в ф-ле ( 14.6). Предположим теперь, что для
некоторого значения т и некоторого вектора v
Mv-b=e(v, т).
(14.28)
Предположим далее, что матрица G такова, что
min le(v, т) 1= le(vo, то) 1= lel =s,
V, m,
1:::;;;щ:::;;;~L,
(14.29)
где I e(v, т) 1 обозначает хэмминговский вес e(v, т). Смежный
класс, получающийся при сложении с со словарем, порождаемым
G, имеет тогда индекс неуязвимости s степени fL. В этом случае
р(М)=р(М, Ь+е)
(14.30)
для т = то, но это равенство не справедливо для любого е меньше­
го веса при любом т из отрезка 1:::;;; 1т 1:::;;; μ .
К сожалению, не существует достаточно удобного метода опре­
деления минимального значения I е I в случае, когда оно не равно
нулю. Следующий метод полезен, когда хотят получить верхнюю
границу для I е I при заданной матрице G, когда хотят найти I е 1
для заданного смежного класса, и в н"екоторых случаях для по ­
строения оптимального лидера смежного класса для заданной по­
рождающей матрицы G. Однако с ростом длины кода необходи­
мые вычисления становятся весьма громоздкими, и первая из этих
задач является, по-видимому, единственной, для которой этот ме ­
тод является полезным при любых, но относительно малых кодо­
вых словарях.
Процедура состоит в следующем. Определяется операторная
.ма'I'рица А, которая .при.водит М r< лри1веденно-стуленчатой кано ­
нической форме
(14.31)
где В - ро ><Зk-иатрица; 1ро - ранг М, а О
-
нулевая матрица.
Умножая обе части ( 14.28) на А, получаем
AMv=Ab+Ae
(14 .32)
В силу того что р(М) = ро, первые р 0 написанных выше уравне-
435


ний могут быть. раз.решены . Левые части каждого из остающихся
п-ро уравнений равны всегда нулю, поэтому е должно выбираться
так, чтобы удовлетворялось у равнение
АЬ =-Ае,
(14 .33)
rде тильда обозначает усеченные векторы, состоящие лишь из
п -,р0 последних компонент. Имеются qn способоЕ выбора е шщ
GГ(q) , но имеются лишь qn- p, векторов Ае. Можно систематически
nере бирать в се эти векторы, начиная с вектора е наименьшего в ес а
и переходя к вектора м все большего веса до тех пор, по к а все
qn -P , векторов из м ножества Ае не буду т представлены хотя бы
один ра з . Вес s вектора максимальной длины, который завершает
мно жество., дает границу для инде кса неуязвимости словаря на по ­
зици и т. Этот индекс м ожно реализовать , если существует век­
тор с, удовлетворяющий ( 14.33) . Если для каждого другого значе ­
ния m из отрезка 1~ 1т 1~ μ с также приводит к вектору е веса,
по м е ньшей мере равного s, то словарь имеет индекс неуязви м о­
ст и s степени μ.
И з ур-ния ( 14.32) следует, между прочим, другая довольно по­
лезн ая граница для индекса неуязвимости, достижимая на линей­
ных кодах .
Те ор е м а 14.14. Ин.деке неуязвимости Sm ,на ~позиции т любо­
rо с межного кл асса линейно г о кода, порожденного G, не может
превосходить п-,р0, где р0 = 1р(М) - ранг матрицы М из (14.26).
Доказательство . Для того чтобы привести М к приведенно - сту­
пенч ато й к а нонической форме, необходимо лишь выбрать ро линей­
но нез ависимых строк М, сложить эти строки, умноженные на под­
ходящие коэффициенты, с каждой из остальных и с оставшимися
стр о к ами М и, наконец, переставить строки полученной матрицы.
Есл и А - матрица, выполняющая эти операции, а е
-
-
вектор с ну­
ля м и на :р 0 позициях, соответствующих этим линейно независимы м
стр ок ам М и с произвольными компонентами на остальных пози ­
ци я х, то Ае представляет собой п росто перестановку е, при которой
ненулевые компоненты е переставлены на п-,ро последних п озиций.
Та к как эти компоненты п роизвольны, то равенство ( 14 .33) всегда
можно удовлетворить вектором е веса, не большего п-ро. ■
С ледствие . Индекс неуязвимости систематического (п, k)-ко­
да на любой позиции m
Sm<{n- [m[-k, [ml<k, n- k;
n-2k,
lm[>k,
(14.34)
где [ml~min(m, п-т).
До казательс тво. Если матрица G порождает си стематический
код, то первые ее k столбцов линейно независимы . Предп оложим,
ч то т~п/2 . То,гда ~первые т столб ц,ов G1 ,в ( 14.6), если m~k ,и
m ~n-k, или первые k столб ц ов, е,сли k<m<n- k, также я в .тrяют­
ся линейно независимыми . Матрица М должна поэтому содержать,
436


по меньшей мере, k + т и 2k линейно независимых строк соответ­
ственно этим двум случаям, и ранг ,р0 матрицы М соответствующим
образом ограничен снизу. Если т заменяется на Iт \, то та же са­
мая граница, очевидно, справедлива при m>n/2. Так как sт~п-р0
(теорема 14.4), то следствие доказано.
14.9 . Индекс неуязвимости циклических кодов
Кгк было доказано в § 14.4, смежный класс циклического кодо­
вого словаря D является неуязвимым при синхронизации на т-й
позиции, кроме случая, когда многочлен
с(х) ( xn-m_ 1)-xn-mpm(х)
( 14.35)
либо, что эквивалентно, многочлен c(x)(xn-m_l) qm(x) пред-
ставляет собой кодовое слово из D по модулю многочлена xn- 1.
Многочлен с(х) соответствует лидеру смежного класса, а Рт(х) и
qm(x) - многочлены степеней, не больших т-1 и п-т-1 соот­
ветственно. Обобщая это доказательство, заключаем, что мини­
мальное число коэффициентов любого многочлена из ( 14.35), ко­
торые должны быть изменены так, чтобы получился многочлен ко­
дового слова, равно индексу неуязвимости sm на позиции т дан­
ного рассматриваемого смежного класса. Заметим, между прочим,
что для любого смежного класса любого циклического кода Sn-m=
=Sт. Это следует из того, что если S,n соответствующих коэффици­
ентов многочленов с(х) (xn-m _ _ l)-xn-mPm(x) и w(x) отличаются
друг от друга, то же самое справедливо для Sm коэффициентов мно­
гочленов с(х) (I-xm)-рт(х) и xmw(x) =w'(x) . Но, если w (х)
представляет собой слово циклического кода (а не смежного клас­
са), то w'(x) - тоже кодовое слово, а если Рт(х) является пре­
фиксом из этого кода, то он также должен быть и суффиксом .
Теорема 14.15 . Пусть DоиD-циклические (n,ko)- и
(п, k)-словари, порождаемые g(x) и m(x)g(x) соответственно, где
т(х) - многочлен степени ko-k, имеющий, по меньшей мере, один
корень порядка i:;. Если минимальное расстояние между любыми
двумя словами из Do равно do, то индекс неуязвимости Sm смежно­
го класса D сп-последовательностью g(x) в качестве лидера смеж­
ного класса ограничен неравенством
{d0 -Jml , 1ml-< min(n-d0 , в-1);
Sm>
2d0- п, п -d0-<1т1-<в-1.
Доказательство . Если O<m<i:;, то все корни многочлена
xn-m_ 1 имеют порядок меньший, чем 1:,, и xn-m _ 1 не является де­
лителем т(х). Следовательно, п-последовательность, представляе­
мая с(х) (xn-m_I) {где с(х) =g(x)], и поэтому также слово, пред­
ставляемое w'(x) =с(х) (xn-m_l)-w(x) (где ,w(x) соответствует
,:лову из D), входят в Do и не входят в D. Пусть Рт(х) префикс
длины т из D . То гда, так как любое слово из D, содержащее этот
префикс, должно отличаться от любого другого слова из Do, по
437


меньшей мере, в d0 местах, то самое большее min(m, n-do) соот­
ветствующих коэффициентов многочленов xn-mPm(x) и w' (х) могут
быть равными. Таким образом, c(x)(xn-m _ l)-w(x)-xn -mPm(x)
является многочленом, по меньшей мере, с do-min{m, n-do} нену­
левыми коэффициентами. Любой стык слов должен поэтому отли­
чаться от любого кодового слова, по крайней м ере , на эту величи­
ну, и теорема доказана.
Рассмотрим .в качестве ,примера двоичные БЧХ коды с п-15
(ер. с § 13.5). Классы сравнений степеней и соответствующие мно­
гочлены приведены ,в табл. 14.2 l[в таблице -прив едены делители
х 15 -1 .над GF(2)].
!(лассы сравнений
многочленов
248
36129
510
7141311
о
Соответствующие многочлены
Р1(х)=х 4 +х+ 1
р2(х) =х4+х3+х2+х+ 1
Рз(Х) =х2+х+ 1
р4(х)=х4+х2+1
p5(X) = x+l
Таблица 14.2
Порядок корней
многочленов
15
5
3
15
Таким образом, если положить g(x)=p1(x)p2(x) и т(х)=рз(х) ,
то получим смежный класс БЧХ ( 15;5)-кода с ~инимальным ,рас­
стоянием 7 и с индексом неуязвимости sm~5- Iт I для все х
1 т\ ~2=в-1 . Аналогично определяя g(x) = р1(х)р2(х) и т(х) =
= р4(х), получим ( 15,3)-код с минимальным расстоянием, не мень­
шим 5, и индексом неуязвимости Sm~5-- lml для всех т~4.
Заметим, что минимальное расстояние d между любыми дву;м1
словами из D может быть, а может и не быть большим d0 в зави ­
с,имости от многочлена т(х). Может оказаться, что в некото,рых
классах более важно иметь большее ,в, чем получить d, превосхо­
дящее d 0 и т(х) должно ~быть выбрано в соо'!'вет-ст.в,и·и •С этим.
Параметры некоторых БЧХ кодов, которые получаются с по­
мощью конструкции, указанной в теореме 14.1 .5, и имеют смежные
классы, обладающие свойством неуязвимости, сведены в табл. 14.3 ,
/\
гдеSm -
верхняя граница для Sm [см. ( 14.34) ].
Этот подход особенно уместен в случае кодов Рида-Соломона
n-k-1
(§ 13.5) . Пусть g(x) = П (x-ai), n=q-1 и а - примитивный
i=l
элемент GF(q), и пусть, например, m(x)=(x-an -k_); при этом по­
лучаем (п, k)-код с минимальным расстоянием n- k+ 1 и ин;~:ексом
неуязвимости
Sm:;;,,. { n-k- lml,
n-2k,
438
1ml<min(k,е-1);
k<1ml<е-1,
(14.36)


Таблица 14.3
15
11
3
1
15
1-lml
о
4-lml
15
9
3
3
3
3-lml
2
6-lm l
15
7
5
3
5
3-lml
2
8-Jml
15
5
7
5
3
5-lml
2
10-[mJ 1ml <5
5
lm1>5
15
3
5
515
5-/ml
4
12-lml Jm l::;;;3
9
lmJ:;;,3
15
2
10
6
15
6-lml
5
13-lml jmJ,:;;;2
11
l ml;;э:2
15
1
15
7
15
7-\ml
6
13
где е - порядок элемента a., n -k _ Если e?::= n-k+ 1, то получающий ­
ся код имеет индекс неуя звимости на всех т позициях, лежащий на
верхней границе (14.34). Например, код Рида-Соломона (4, 1) над
GP(5), порождаемый многочленом. g(x) =(x- 3)(x-4)(x-2),
имеет смежный класс D'[c с(х) = (х-3) (х-4)1 с индексом свободы
от запятой s=2: D= {2310, 3421, 4032, 0143, 1204}.
Ограничивая рассмотрение векторами, принадлежащими неко­
торому циклическому (п, kо)-коду, мы, очевидно, ограничиваем
множество возможных лидеров смежных классов, которые могли
бы быть использованы. Преимущества этого подхода, по существу,
связаны с общими свойствами циклических кодов, а именно, с тем,
что, во - первых, их математическая структура приводит к возмож­
ности получения результатов и, во-вторых, относительно легко по­
рождаются лидеры смежных классов. Тем не менее иногда полез­
ны также другие подходы. Один из них изу ча ется в оставшейся
части этого параграфа.
Лемм а 14.2. Если D является циклическим (п-k)-кодовым
словарем с минимальн ым расстоянием d и если бm из первых (мень­
ших по порядку) п-т коэффициентов многочлена c(x)(xn-m _J)
n--m- I
[т . е. многочлена ~ ( Ci+т-c i)xi] отличны от нуля, то смежный
i=O
класс D с лидером смежного класса С= {со, С1, ... , Сп -1}
имеет ин­
декс Sm, для которого справедлива граница снизу:
Sm "?=min{бm, d- lmJ-бm}.
(14.37)
Доказательство. Независимо от многочлена Рт(х) многочлен
(14.35) должен иметь самое меньшее бm и самое большее т+бт не­
нулевых коэффициентов. Так как любой ненулевой многочлен ко­
дового слова должен иметь самое малое d ненулевых коэффициен­
тов и так как для циклических кодов Sm =Sn-m, то неравенство
( 14.37) с'пр,аведливо для в,свх т, 1~т~п-1 ■ .
439


Поэто,му лре.цставляет ИН'!'е,рес следующая лемма .
Лемм а 14.3. Пусть
[(б-1)/2]
с(х)= I /(μ+1)-60 +Хп-1,
(14.38)
где <\ ={О, 8 четное; и где μ < (п- [~])'/[/\+!] (здесь i[8] обозна-
1, 8 нечетное
2
2
чает целую часть ,а). Тогда ровно 8 среди первых п-т коэффи­
циентов многочлена (xn-m_1)c(x) не равны нулю для всех т из
отрезка 1~m ~~t .
Доказательство. Рассмотрим многочлен
[(б-1 )/2]
(Хп-т_ I)с(х)= ). (Xi(μ+1)-б.-т) _ Xi(μ+1)-:бо)+
+ хп-т-1 _ хп-1.
-
i=бо
Так как т~μ<(п- [f])/[6;1], то наибольший показатель сте­
пени под знаком суммы меньше, чем п-т-1. Более того, никаю1~
два слагаемых под знаком суммы не имеют одинаковых показате­
лей, если 1~ т~ ~t . Поэтому, когда 8 нечетное, суммирование дает
2,[ (,8-1) /2] = 8--1 ненулевых коэффициентов, соответствующих по­
казателям из отрезка (О, п-т-1). Когда 8 четное, 80 = О и среди 8
слагаемых под знаком суммы только первое имеет показатель, ле­
жащий вне требуемого отрезка. Так как коэффициент при хn-т-1
не равен нулю, то ровно 8 среди первых п-т коэффициентов
(xn-m-11)c(x) 1не равны ,нулю в каждом из этих двух случаев. ■
Теорема 14.16. Любой циклический (п, k) - код с минимальным
расстоянием d может быть сделан неуязвимым при синхронизации
с индексом Sm=S на всех позициях 1ml ~μ, где
(14.39)
Доказательство. Используя лидер смежного 1<ласса, представ­
ляемый многочленом с(х) из леммы 14.3 согласно лемме 14.2, полу­
чим, что s;;::min{8, d - μ-8}. Таким образом, если μ~d-28, то для
индекса неуязвимости имеем s;;::8. Вторая граница сверху для
~t
является уело.в.нем, к,оторое накладывается леммой 14.3 . ■
Заметим, ,что когда s= 1, то с(х) =хп- 1 . Соответ-ст,вующий лидер
смежн•О['О кла,сса делает, 'Конечно, любой циклическ,ий (п, k)-.код не­
уяз·вимым 1пр·и ,синхр•онизации на в•сех позициях т, Jm l ~n-k- 1,
х,отя т,еорема 14.16 г ара.нтирует это только для случая 1ml ~d-2 .
Когда s=2, то с(х) = 1+хп - 1 , и ~получающийся ко,д буJJ,ет н,еуяз.ви­
мым с индексом 2 на всех позициях ,т при Iт 1~d- 4. Если
440


d~[n/2]+4, то такой код ~поэтому является кодом без запятой с
индек,с•ом 2. Однако ета конс11рукция никогда ,не ,может 1га·ра,нтиро­
вать 1получе.н.ие .иrнJJ,ек;с.а с.вободы от ·заrпятой, 6ольше~го 2, так как μ
должно быть меньше, чем ,(n-i[s/2])/(s +:1) /12] .
Лидер смежного класса, представляемый многочленом с (х)
(14.38), не является единственным, который имеет требуемые свой ­
ства. Однако очевиден принцип, лежащий в основе его выбора ; не ­
нулевые коэффициенты многочленов с(х) и xn- mc(x) не пересе ­
каются при всех Iml ~ ,μ. В резульсате величина От (лемма 14.2)
постоянна при всех т в указанном интервале независимо от поля .
над которым определен многочлен с(х). Хотя условие постоянства
От ле гко достичь, оно не обязательно является наиболее эффектив­
ным . Заметим, например, что От может увеличиваться с уменьше­
нием т без нежелательного влияния на индекс неуязвимости [см ,
( 14.37) ]. Этот факт часто можно с выгодой использовать, особенно ,
если с(х) подо гнано к заданному коду или к классу кодов . Однако
независимо от многочленов с ( х) максимальный индекс неуязвимо­
сти, гарантируемый этой конструкцией, не может быть больше
(d -1 т 1) /2 {см . опять ( 14.37) ]. Таким образом, конструкция того
типа, который описан в теореме 14.15, в общем предпочтительнг.
всегда, когда do больше, чем (d + 1т 1) /2.
Для целей сравнения результаты, полученные при применении
конструкции из теоремы 14 . 16 к БЧХ (15, k)-кода м , сведены Б-
Таблица 14 . 4
п
k
d
15
11
3
1
3
15
9
3
1
5
15
7
5
1
7*
15
7
5
2
1
15
5
7
1
7*
lБ
5
7
2
3
15
5
7
3
1
15
1
15
2
7*
15
1
15
4
6
15
1
15
5
4
15
1
15
6
3
15
1
15
7
1
Пр и ы е чан и е . Звездочкой отыечены коды без запятой
табл . 14.4 (ер . с табл . 14.3). ,[В качестве лидера см ежного класса
используется ( 14.38) ]. Величины !rn 1~~акс, указанные для случ а я
S=l, являются возможными , как показывает теорем а: (14.7) .
441


14.1 О. Коды, исправляющие ошибки
синхронизации
При введенчи понятия синхронизационной неуязвимости
было отмечено, что если синхронизированная система вдруг теряет
•синхронизацию, то это часто происходит из - за сдвига лишь на
неболь1Шое число 1поз,и1ций в ,ка-ко-м-ли.бо .из н,ал,ра.влений. В силу этой
причины, как было указано, иногда 11олезно выбирать лидер смеж­
ного класса так, чтобы гарантировать большой индекс неуязвю.ю­
· сти на всех позиuиях I т 1 ~ μ для некоторого относительно мало­
го μ вместо того, чтобы пытаться сделать код «свободным от запя­
той». По этой же са,мой 1прич,ин,е выгодно та.кже иметь возможность
определять не только то, что произошла ошибка синхронизации, но
также и то, какая именно позиция т в действительности наблюда­
ется. Это позволило бы исправлять ошибк и за один шаг, избегая
использования иногда довольно длительной процедуры поиска.
Коды, :кото:рые дают воз.можн-ость декодеру и,с~п ра·влять синхро­
низационные ошибки таким способом, называют кодами, исправ­
ляющими оИluбки синхронизации 1). В этом параграфе рассмотре-
но несколько методов построения таких кодов .
•
Подход, предложенный в предыдущих параграфах для обнару­
жения синхронизационных ошибок, состоял в требовании, чтобы
все стыки кодовых слов вида am+1arn+2 ... a.,,b1b2 ... bm отличались в воз­
можно большем числе позиций от всех кодовых слов для всех пред ­
,ставляющих интерес значений I т j. Очевидным обобщением этого
усл овия, которое необходимо для того, чтобы синхронизационные
ошибки были исправлены или обнаружены, является требование,
чтобы все такие стыки с т = m 1 отличались по возможности в боль­
шей степени не только от всех правильных кодовых слов, но и от
вс ех других стыков с m=;!=m 1 опять-таки для всех представляющих
интерес значений I т J. Если расстояние между любыми двумя сты­
ками, соответствующими различным значениям т, jmj ~μ, больше
или равно t, то величина и направление любой синхронизационной
ошибки величины \ т \ ~ ~t могут быть правильно распознаны всег­
да, когда ошибочными были не более [(t+ 1) /2] соответствующих
,символов. В этом состоит основная идея конструкций, которые
раесматр.иваются ниже 2).
1 ) Эти коды не следует путать с кодами, исправляющими вставки и выпа­
д ения. Если причиной синхронизационной ошибки является вставка или выпа­
дение одного или большего числа символов в некотором кодовом слове, то ме­
тоды, которые исследуются здесь, будут применимы к первой принимаемой
п последовательности, которая следует за такой ошибкой. Никакой попытки
. исправить слово, содержащее вставленные или выпавшие символы, предприни­
~1аться не будет. (Прил~. авт.).
2 ) Иногда в литературе используется другое название - коды, восстанав­
ливающие синхронпзацию, - для обозначения кодов, которые указывают если
не величину синхронизационной ошибки, то, по крайней мере, знак этой ошибки
, (т. е . такие коды способны отличать синхронизационные ошибки на +m1 сим­
: волов и на -mz символов для всех 0<m1, mz,;;;; 1μ).
(Продолжение на стр. 443)
442


Первая конструкция в точности совпадает с той, которая опи­
сана в теореме 14.15. Если максимальное значение \mj ограничить .
еще больше, то получающиеся коды могут быть использованы для
исправления синхронизационных ошибок, как показывает следую­
щая теорема .
Теорема 14.17. Пусть Do, D, g(x), т(х), 1:. и d0 определ ены
так же, как в теореме 14.15; рассмотрим вновь смежный класс D с­
вектором, представленным g(x) в качестве лидера смежного ютас­
са. Расстояние между любым стыком слов, начинающимся на лю­
бой позиции т1, и любым стыком слов на любой другой позици и,
111⁄2 для такого словаря
t>{do- 21ml, 1ml-<п-d0;
3d0 -2n, Jml >,n-d0 ,
где I т\ =max{ 1m1I, 1m2j} <1:./2.
Доказательство. Любой стык слов, начинающийся на любой по -­
зиции т, может быть представлен многочленом
Qm(х) = Хп-тс(х)+хп-тРт(х)+qm(х) = xn-mс(х)+W(х)+
+хп-тр~(х)= xn-mс(х)+w'(х)+q~(х).
(14.40)'
,[Обозначения те же, что в (14.17), т. е. c(x)=g(x) - многочлен ли­
дера смежного класса; w(x) и w'(x) - слова из !D; Рт(х) и
р'т(х) - многочлены степени т--1 или меньшей, соответствуюшие
префиксам из D, а qm(x) и q'm(x) - многочлены степени п-т-1
или меньшей, соответствующие суффиксам из D.] Расстояние между
стыком слов, начинающимся на позиции т1, и стыком слов на пози­
ции т2 равно числу ненулевых коэффициентов многочлена
Qm, (х)-Qт. (х) . Чтобы упростить доказательство, предположим ,
что т 1 ~п/2 и т2 -;;;_п/2 . Минимальное расстояние между двумя сты ­
ками слов при этом предположении дает нижнюю границу для,
расстояния в общем случае, что легко проверить . При этом
Qт,(х)- Qт2(х)= с(х)Хп-т(1- xlm,/+/m,/)+w'' (х)+
'
n-mi'(
'
тХ Рт,х)- qm,(х)
(14.41),
где w"(x) - слово из D, а jmj =min(m, п-т) . Если Jm1I +
+ /m2! <1:., то первое выражение и поэтому сумма первых двух вы­
ражений в ( 14.41) соответствуют слов ам из Da , не принадлеж:а­
щим D (см. доказательство теоремы 14.15), и, таким образом, они
имеют по мень шей мере da ненуJJевых коэффициентов. Тогда, посту­
пая так же, как и в доказательстве теоре мы 14.15, получаем, что-
Так как, по-видимому, различие как в избыточн ост и , так и в сложности.
реализации кодов, исправляющих ошибки в синхронизации, и кодов, восстанав­
ливающих синхронизацию, невелико, то лишь первые из них будут рассмотрены,
здесь сколько - нибудь подробно. (Прим. авт.).
443


расстояние t между рассматриваемыми стыками
неравенством
t >{do- (lm1I+lm2I),
d0- 2(п- d0),
и теорема доказана. ■
lm21<n- d0;
lm2I<п- do;
слов ограничено
( 14.42)
В случае (п, k) -кодов Рида-Соломона d0 = n- k и, если е>2 р,
то
{n - k-2μ
.t>
'
п-Зk,
μ<k;
μ>k.
Этот результат нельзя существенно улучшить, как показывает
,следующая теорема.
Теорем а 14.18. Пусть D' -
смежный класс циклического
,(п, k)-кодового словаря. Тогда минимал ь ное рас стояние tμ между
любым стыком его слов на позиции μ и любым стыком на пози­
ции - μ ограничено неравенств ом
jn- k - 2μ, μ<k,(n- k)/2
t
п- Зk,
k<μ<(п- k)/2;
'
<
μ
2(μ- k),
(п- k)/2,k<μ;
О,
(n-k)/2<μ<k.
Доказательство. Рассмотрим два вектора
ь.
п-μ'
v2= cμ+I, сμ+2, ...,
Сп, d1, d2, ... ,
dμ,
где а= (ап-μ+l , ... , ап)
и С=(cμ+l''"' Сп) - суффиксы, а Ь=(Ь1, ... ,
Ьп-μ) и d = (d1, ... , dμ) - префиксы из D'. Так как D' является смеж­
ным классом циклического кода, то имеется некоторая μ-последо ­
вательность а, такая, что первые б = min(~t, k) компонент V1 совпа­
дают с первыми б компонентами v2. Аналогично и по той же самой
причине последние б компонент V2 могут совпадать с последними
,iS компонентами V1. Наконец, так как (п- μ)-последовательность Ь
является пока произвольной, можно выбрать ее так, чтобы ее пер­
вые y=min ( k, п- 2μ) компонент равнялись соответствующим ком­
понентам v2. Таким образом, tμ ~п-26-у, и отсюда следует ут-
в ерждение теоремы.
Следствие. Никакой циклический (п, k) - код не способен ис­
правлять все возможные синхронизационные ошибки, если не вы­
полнено условие k~i[(n-1)/3].
Доказательство. Если k"?:n/3, то (n-k)/2~k . Следствие ера•
зу же становится очевидным, если положить ~t = (n-k)/2, так как в
.этом случае согласно теореме 14.18 tμ =0.
Это условие в противоположность тому, которое было найдено
ранее для требования свободы от запятой (§ 14.4), является необ-
444


ходимым но не достаточным, как показывает полное рассмотрение
(4,1)-кода (0000 ) . Тем не менее любой циклический (п, k)-код
1111
и,меет <::меж,ный .класс, который лс1Правляет ошибки еинхронизаци1и
на всех позициях 1ml ~(n-k -2)/2 (ер. с теоремой 14.18), как по­
казывает следующая теорема .
Теорем а 14.19. Пусть D' будет смежным классом циклическо­
го (п, k)-кодового словаря D с лидером смежного класса, представ­
ляемым c(x) = l+xn-i _ Тогда все стыки слов из D' на позиции т 1
отличаются от всех стыков на позиции m 2 при всех m1=l==m 2,
μ~ max\т11, lm21}~(n- k-2)/2.
Доказательство . Как уже было замечено, минимальное расстоя­
ние между двумя стыками слов, одно из которых на позиции т 1 ,
0<m1~n/2, а другое на позиции т2, n/2<m2~n, равно минималь­
ному числу ненулевых коэффициентов в многочлене (14.41). Два
стыка слов могут быть равными при этом только тогда, когда мно­
гочлен
хс(х) (1- xт,+Jm,I)+хр~1(х)- xm,+lq~, (х)
представляет собой кодовое слово из D. Но если с(х) = 1 +хп-1 , то
этот м,но,гочлен имеет ст,епе,нь т1 + 1 m2 I + 1 или меньшую. Если ,
следовательно, n - m1-Iт21-2 ~ k, то он не может представлять
собой слово из D, если только оно не является нулевым словом, что
невозможно здесь из - за того, что коэффициент при х0, очевидно, не
равен нулю. По существу, такое же доказательство применимо,
когда 0~m2<m1<n/2 и когда n/2~m1<m2~n, что доказывае~·
теорему 1).
Лидер смежного класса, использованный в теореме 14.16, также
появляется в словаре с некоторой способностью к исправлению оши-
бок ,с.и.н.хронизации.
•
Теорем а 14.20. Пусть D - смежный класс циклического
(п, k) - кода с минимальным расстоянием d и с лидером смежного
класса того вида, который представляется многочленом ( 14.38) , но
где μ заменено на 2μ. Тогда любой стык слов этого словаря на лю­
бой позиции т 1 отделен расстоянием, по меньшей мере, равным t, .
от любого стыка слов на любой другой позиции m2=I== т 1 для все х
lm11, 1т2\ ~μ, где
.
{d- 2t-l
μ-< mш
2
,
п- [(t+3)/2]}·
2 [(t + 2)/2]
Доказательство. Повторяя во всех существенных деталях дока­
зательства лемм 14.2 и 14.3, легко проверить, что:
1) Заметим, что с помощью такого же доказательства можно показать, что,
D' обла дал бы способностью к восстановлению синхронизации при ncex
μ~(n- k - 1) / 2, если c(x)=l (нлн хп- 1 ). (ПриАt. авт.).
44.'5.


1. Расстояние между стыком слов на позиции m 1 и стыком на
·:позиции т2 ограничено снизу неравенством
t
::;;,, miп r о
d-μ'-
о
}
ni1, т2
tm1,m2'
т1, m2
'
где
и 6 т,т 2 - число нену.1евых членов в первых п-μ' коэффициентах
многочлена
( Xn-m,-/m,/ - 1) С (х),
с(х), очевидно, лидер смежного класса.
2. Если с(х) определяется согласно (14.38), но с заменой вез-
.
1
п- [6;2]
деμ на 2μ, то 0-1:::;;от п, :::;;о, m1J, Jm2I :::;;μ< - -
~~.
1,2
2((6 + 1)/2]
Объединяя эти два утверждения, находим, что
t~mintm,,m, ::;;,,min{o-1, d-2μ-o},
m1 т,
.
гдеμ[~ max{lm1I, Jm2J}:::;; n-l -[o/21 .
-
2 [(о+ 1J;21
Сформулированное в теореме утверждение получается теперь, ес.1и
потребовать, чтобы d-2μ-6~6 -1. ~
До сих пор мало было сказано отно сительно методов использо­
вания возможностей линейных кодов исправлять и обнаруживать
ошибки в синхронизации, рассмотренные в этом и нескольких пре­
дыдущих параграфах. нг.стоящей главы. В действительности отно­
сительная предпочтительность различных возможных подходов в
значительной мере занисит от физических ограничений. Наиболее
удовлетворительное решение n случае, когда проблема синхрониза­
ции в основном состоит в первоначальном входе в синхронизм и
когда потеря синхронизации нроисходит не часто, не обязательно
будет таким же, как в случае, когда потеря синхронизации проис­
ходит довольно регулярно.
В перв ой из этих ситуаций может оказаться целесообразным,
чтобы декодер работал в сегда так, как будто бы синхронизация яв­
.тrяется верной. Справедливость этого предположения можно было
бы затем проверить с помощью измерения расстояния между каж­
дой принятой п - последовательностыо и соответствующим выходом
446


декодера, что предлагалось в § 14.5 . Если используе мый код имеет­
достаточно большой индекс неуязвимости на рассматриваемой по­
зиции, то этот факт дошкен б ыл бы отразиться в таком изменении
статистики измеряемого расстояния, которое поддавалось бы на­
блюдению . Если на основе этих наблюдений обнаруживается син­
хронизационная ошибка, то можно начать (или продолжить) син­
хронизационный поиск. Этот метод исследуется далее в § 14.16 11
14.17. Если используемый код может как исправлять синхрониза­
ционные ошибки, так и обнаруживать их, то с помощью дальнейших
наблюдений, по-видимому, можно было бы опреде,ттить правильную
синхронизацию слов без какого-либо поиска, хотя реализация это­
го метода могла бы быть сложной.
Когда потеря синхронизации происходит относительно часто,
только что описанный статистический подход может оказаться не­
эффективным; среднее время между потерями синхронизации
может оказаться недостаточным для построения надежного реше­
ния. В этом случае более разумным методом было бы разделение
множества принимаемых п-последовательностей на два или более
подмножеств. Если принятая п-последовательность попадает в под­
множество п-последовательностей, которые достаточно похожи на
настоящие кодовые слова, то можно предположить, что синхрониза­
ция правильная, и приступить к операции декодирования. Если
нет, то можно было бы вновь начать поиск или в зависимости от
подмножества, к которому принадлежит принятая п-последова ­
тельность, можно было бы немедленно произвести исправление­
синхронизации. Этот подход в противоположность предыдущему
почти неизбежно уменьшает 1юзможности кода исправлять ошибки
в синхронизации. Другими словами, для достижения той же самой
синхронизационной характеристиI{И должны быть использованы бо­
лее избыточные коды . Этого следовало ожидать. так как от кода
требуется больше, чем просто способность исправлять (или обна­
руживать) ошибки. В общем случае этот последний тип синхро!{И­
зации может привести к значительным трудностям при реализации .
Однаr<о, как и при обычном иснравлении ошибок, связанные с реа­
лизацией задачи часто можно значительно упростить, используя
алгебраическую структуру предлагаемого кода, за счет, возможно .
более низкой способности к исправлению или обнаружению ошибок
в синхронизации. Этот подход изучается в следующем парагрnфе.
14.11 . Алгебраически синхронизируемые коды,
исправляющие ошибки
Для того чтобы проиллюстрировать применение алгеб­
раических методов для одновременного исправления ошибок за~1е­
щения и синхронизационных ошибок, рассмотрим еще раз код, оп­
ределенный в теореме 14.15. Алгоритм декодирования будет следу­
ющим. Декодер вначале вычитает последовательность, соответст­
вующую лидеру смежного класса, из каждой принятой п-последо-
44Т


·вательности и декодирует результат так, как будто бы она была
,словом из словаря Do (определение терминов см. в теореме 14.15) .
Синдром декодированного слова затем вычис,Тiяется по отношению
.к словарю D и используется для о пр еделения как величины, так и
направления синхронизационной ошибки.
Для того чтобы понять, как и при каких условиях работает этот
алгоритм, предположим, что декодер в действительности начинает
декодирование на позиции т. Принятое слово после того, как из
него был вычтен лидер смежного класса, представляется многочле­
ном
с(х)(хп-т- 1)+w(х)- хп-тРт(х)+е(х),
где е(х) - многочлен, представляющий ошибки замещения, а
с(х) = g(x) - порождающий многочлен кода D0 . Пусть число не­
нулевых коэффициентов в е(х) (т. е. число ошибок) равно е. Тог­
да, если е+т~ (da-1)/2, то выход декодера будет иметь вид
,c(x)(xn-m _I)w(x). (Напомним, что декодирование производится
так, как если бы принятая п-последовательность была словом из
Do.) Синдром sm(x) получается с помощью деления этого мног о­
члена на g(x)m(x). Таким образом,
-Sт(х)= {С(х)(Хп-т- 1)+W(х)}т(х)g(х) = {Хп-т}т(х) ,
где последнее выражение означает остаток после деления (xn-m_
- 1) на т(х). Предположим, что В - корень т(х) по­
рядка 8. Тогда Sm(B) = вп-т_1_ Очевидно, что никакие два
- синдрома sm, (х) и sm, (х), m1ci=m 2 не могут быть равными, ес­
ли lm11 + 1m2I <в; следовательно, каждая синхронизационная
ошибка, величина которой не превышает μ~ (е-1)/2, при­
водит к однозначному синдрому. Для того чтобы завершить опера­
цию декодирования, нужно лишь изменить синхронизацию декоде­
ра в соответствии с этим синдромом. Если синдром равен нулю, то
первоначальный выход декодера представлял собой правильное
- слово 1[в предположении, что действительное число ошибок не было
большим (da-1)/2-lml] и процесс декодирования может продол­
жаться рассмотрением следующего принятого слова.
Один из минусов этого алгоритма декодирования состоит в
·уменьшении эффективного хэмминговского расстояния словаря D
-от зн,а1чения d до значения d0 (.ил,и, что эквивалентно, в уменьшении
размерности D0 от значения ko до значения k). Конечно, можно де­
кодировать принятое слово, как слово из D, а не как слово из Do,
и избежать этой потери в синхронизационной характеристике. Од­
нако такой способ значительно усложняет решение относительно
того, была или не была потеряна синхронизация, и фактически
заставляет декодер выносить статистическое решение по этому по­
воду, как было описано ранее. Причина этого состоит в том, что
если принимаемый поток символов декодируется в соответствии с
D, то все корректируемые комбинации ошибок в действительности
будут исправлены . Лишь среднее расстояние между первоначаль­
ными п - последовательностями и декодированными вариантами и,
448


возможно, число неисправленных комбинаций ошибок будут ука­
зывать на возможность синхронизационной ошибки.
Однако эта трудность реализации всех синхронизационных по­
тенциальных возможностей алгебраически синхронизируемых ко­
дов, :иопра,вляющих ошибки, иногда может быть .преодолена, как ~по­
казывает следующая конструкция . Пусть D0 - циклический
(п, k)-код, порождаемый g(x) и имеющий минимальное расстоя­
ние do=d, и пусть D - укороченный циклический ,[п-(2μ+ 1),
k- (2 μ + 1) ]-код, получаемый при оставлении в D0 только тех слов,
которые начинаются μ+ 1 нулями и оканчиваются μ нулями, и
дальнейшем отбрасывании этих нулей. Пусть далее D' -
смежный
класс D с лидером смежного класса, представляемым многочленом
,е (х) = ,w.(x), где wo(x) какое-либо слово из Do, начинаю1дееся
(μ+ 1)-последовательностью 00 ... 01 и оканчивающееся μ-последова­
тельностью 00 ... 0 . ~[Заметим, что такое слово должно существовать
в cиJfy молчаливого предположения о том, что 2(μ+ 1) ::::;;k.] Тогда
верно следующее утверждение.
Теорем а 14.21 . Слова из словаря D', определенного в преды­
ду щем абзаце, можно декодировать алгебраически, так что: 1) все
I<омбинации ошибок, содержащие (d-1)/2или мень шее число оши­
бок, будут исправлены, когда декодер находится в синхронизме с при­
нимаемой последовательностью слов, и 2) если декодер в действи­
т ельности начинает декодирование на позиции т, то при lm 1::::;;μ как
величина, так и направление этой син х ронизационной ошибки будут
определены при условии, что чис л о ошибок замещения не больше,
чем lr(d-1)/2]- 2 \т 1-1.
Доказательство. Алгоритм декодирования будет следующим:
l) Принимаемая последовательность символов разбивается на
б локи длины п--2 (μ + 1).
2. Каждый блок снабжается префиксо м в виде (μ+ 1)-последо­
вательности 00 ... 01 и суффиксом в виде р.-последовательности
00 ... 0, и результирующая п-последовательность декодируется в со­
ответствии с Do.
3. Если ее первый ненулевой символ появляется на i-й позиции,
то декодированное слово циклически сдвигается на μ+ 1-i пози­
ций вправо (если i::::;;μ+ 1) или на i-μ - 1 позиций влево (если
i> ~t+ 1) и из результата вычитается лидер смежного класса.
4. Если первые (~t+ 1) и последние μ символов результирующей
п -последовательности являются н ул евыми, то эти символы опуска­
ются и остаток принимается в качестве декодированного слова.
Кроме того, выносится решение, что декодер начинает декодирова­
ние на позиции т = μ + 1-i и производится соответствующая под­
,с тройка до того, как декодируется следующая (n-2μ- l) -последо­
вательность.
5. Если условия п . 4 не выполняются, то результат регистри­
руется в виде отказа при декодировании и декодер переходит к
следующей (п-2μ-1 ) - последовательности без какой-либо под­
ст ройки синхронизации.
449


Чтобы проверить, что характеристика этого декодера является
такой, как указано в теореме, рассмотрим ситуацию, когда декодер
начинает декодирование на позиции т:::;:; ~,. Образуемая декодеро м
п-последовательность может быть представлена мно гочлено м
Q()_ μ+μ+I
()1,11-μ-т ()+()
х-х хq111+2μ+iх,х
Ртх ех,
где q1(x) и р1(х) ,П'редставляют собой (п-l)-сим,вольный суффикс
из D и /-символьный префикс из D' соответственно, а е(х) - ком ­
бинация ошибок замещения. Так как
хμ+xμ+r р' (х)+хμ+~+тq
(i:)=w(х)...Lw (х)
т
т+2μ+1 •
1
О
,
где w.(х) слово из D; р'т(х) - т - символьный префикс из D' и
wa(x) было определено ра!-!ее, то получаем
Q(х)=хμ+хп-т(w(х)+w0(х)) - хμ-т - хμ-т+~р~(х)+
+п-μ-т ()+()
х
Ртх
ех.
Следовательно, выходом де1,одера будет слово, представляе:v1ое
многочленом w' (х) =x"-"'i[w(x) + rvo(x)] при условии, что число не­
нулевых коэффициентов в мноrоч.;1ене Q(x)-w'(x) не больше, чем
(d-1)/2. И это заведомо будет так, если e+2m+1:::;:;(d-1)/2,
т=/=О, или если е:::;:; (d-1)/2, m=O, где е - число ошибок замеще­
ния. Тогда первый ненулевой овшол в де1,одированном слове по­
явится на позиции i=~L+ 1-m п как синхронизационная ошибка ,
так и принятое слово будут правнльно опознаны. То же самое до­
казатель-ство, оче.видно, 111,рю1енимо в с,тучае, когда декод,ер ,нач.и­
нает декодирование на позици и m?,n-μ, и теорема доказана. ■
Таким образом, укороченные циклические коды имеют смеж­
ные классы, дающие возможнос1 ь исправлять сищlрониза1~ионные
оши6ки -без ухудшения е1пособности нс1правлять с·инхронные
ошибки замещения. Дело !:1 том, что нужно выбрать лиде р
смежного класса так, чтобы синхронизационные ошибки выглядели
как ошибки замещения в символах, которые в действительности
никогда не передавались. Однако к этому утверждению следует
сделать две оговорки. Во-первых , ук ороченный код, на самом деле ,
может иметь минимальное расстояние, большее, чем у первона­
чального циклического кода; если это так, то алгоритм декодирова­
ния, рассмотренный здесь, не использует этого обстоятельства .
Во-вторых, уязвимость процедуры исправления синхронизационных
ошибок по отношению к ошибка~r замещения увеличивается вдвое
быстрее с ростом Iт I по сравнению с предыдущей конструкцией .
Третья конструкция для а"1гебраически декодируемых кодов, ис­
правляющих сннхроннзацию, 1,сторая будет описана здесь , пред­
ставJiяет любопытный контрас т rю отношению к предыдуще~ту еtе­
тоду; вместо того чтобы укоротить циклический код, мы его фаrс-!i­
чески удлиним. Эта конструкция хотя и vвеппчивает избыточност ь
кода без увеличения его способности к исправ:rению ошибок зюле­
щения, но приводит к коду, который яв,1яется не более уязвимы м
450


по отношению к ошибкам замещения при неверном синхvuни::sмt::,
чем n случае, когда декодер находится в правильном синхронизме
с принятой последовательностью. Идея этой конструкции станет
понятной, если заметить, что уязвимость по отношению к ошибкам
замещения для кодов, описанных в теоремах 14.15 и 14.17, увеличи­
вается с ростом т только тогда, когда стык слов составлен из двух
различных 1юдовых слов '[т. е. когда Рт(х) =1=0]. Этот дефект можно
устранить, если снабжать каждое передаваемое слово подходящи­
ми «буферными последовательностями» в качестве суффикса и пре­
фикса.
А именно, пусть D, Do, g(x), т(х), d0 и в определяются так же,
как в теоремах 14.15 и 14.17. Построим новый (п+ ,щ.+т1, k) -
словарь Ds, содержащий слова вида
Ws = Wn- m1Wn- m1+1 ...Wn-1W0W1 •••Wn-1 W0W1 ••• Wmг-1 ,
( 14.43)
где \\'= (wow1 ... wn- 1) - слово из смежного класса D, имеющего
лидер смежного класса, представляемый многочленом g(x). Сло­
варь Ds отличается от этого смежного класса лишь повторением
его последних т1 символов и его первых mr символов.
Пусть теперь алгоритм декодирования будет следующим. Сна­
чала отбрасываются т1 начальных и mr конечных символов приня­
того (п+т1+тr)-символьного кодового слова. Затем вычитается
лидер смежного класса, и остающееся п-символьное слово декоди­
руется так, как если бы оно было словом из Do. Если синхрониза­
ция является верной и если во время передачи произошло (d0-l)/2
или менее ошибок замещения, то переданное слово будет декоди­
ровано верно. Но, кроме этого, если синхронизация была ошибоч­
ной, но не более чем на m,. символов вправо или т1 символов влево,
то вход декодера ,[если не считать (do-1)/2 или меньшее число
ошибок замещения, которые исправляются] будет некоторой цикли­
ческой перестановкой некоторого слова из смежного класса D, по­
рожденного g(x). Доказательство теоремы 14.17 прямо применимо
в настоящем случае, однако здесь префиксные многочлены Рт(х) и
суффиксные 11шогочлены qm(x) равны нулю. Повторяя доказатель­
ство теоремы 14.17 с этим видоизменением, получаем, следовате.r~ь­
но, приводимый ниже результат.
Теоре м а 14.22 . Определенный выше (n+mr+mz, k)-словарь
Ds может исправлять вплоть до (do--1)/2 ошибок замещения и од­
н овременно исправлять все синхронизационные ошибки из отрезка
-m1~m ~mr, m1+mr<8.
14 .12 . Синхронизируемые коды, исправляющие
пачки ошибок
Не должно удивлять, что коды, построенные для борьбы
с пачками ошибок, должны быть эффективными также и при об­
н аружении и исправлении синхронизационных ошибок. Действи­
тельно, если код циклический, синхронизационная ошибка сама мо-
451


жет б ыть п редставлена, как пачка о ш иб о к. Если и спользовать смеж­
н ы й класс этого кода с лидером смежно го класса, представленным
с(х) = l +хп-1 (где п - длина кодового слова), то можно гаранти­
ровать, что любая пачка ошибок из - за ошибочной синхронизации
будет выглядеть для декодера как концевая «круговая» пачка, т. е.
как пачка, которая начинается суффиксом, а оканчивается префик­
сом того же самого кодового слона. При синхронной работе та же
самая комбинация ошибок наблюдалась бы обычно только тогда,
когда появились бы две последовательные пачки , разделенные ~1е­
нее чем длиной кодового слова, что, по - видимому, является мало ­
вероятным событием. Так как циклические коды, исправляющие
пачки ошибок, тем не менее способны исправлять концевые круго­
вые ошибки точно так же, как и обычные пач1ш ошибок, то эта не­
использованная способность может быть применена для исправле­
ния или обнаружения синхронизацион н ых ошибок . Докажем, в
частности, следующее утверждение.
Теорем а 14.23. Пусть D будет циклическим (п, k) -сл о варем,
способным обнаруж и вать все пары п ачек ошибок с общей длиной,
не большей bd 1), и п усть D' будет смежным классом D с ,11идером
смежного класса, п редставленным многочленом с(х) = 1 +хп- 1 .
Тогда, если исключена возможность п оявления концевых круговых
пачек ошибок, то декодер для D' можно п остроить так, чтобы либо
обнаруживать одновременное появление пачки длины Ь, или мень­
шей, и синхронизационной ошибки величины ~L, или меньшей, при
любых μ + Ь ~ bd-2, либо исправлять синхронизационную ошибку
величины, не ~боль шей μ~max{ (bd-4) /2, (n-k-2) /2}, и :пачку оши­
бок длины ,Ь~Ьd/2, где μ+b~bd-2 при усл овии, что они не появ­
ляются одновременно.
Доказательство. Доказательство этого резуль тат а следует поч­
ти непосредственно из рассуждений, приведенных выше. Декод ер
может декодировать принятую последовательно с ть символов, вычи­
тая из каждой последовательной п-последовательности лидер смеж­
ного класса и декодируя результат в соответствии с D. Если он н з ­
чинает декодирование на позиции т, то в о тсутствие пачки ошибо к
п-последовательность на входе декодера представляется м ног о ­
членом
с(х)(xn-m
-
1) + w (х) - x'i-mРт (х),
или c(x)(xn-m_I)+w(x)-qт(x), ~ <.m<. nl[cp.c (14.40)]. В лю­
бом случае влияние синхронизационной ошибки состоит в том, что
вводится 1юнцевая круговая лачка дл,ины I т 1 + 2 с .непе,ре,еекаю­
щимися мно-жества,м,и ~пачек, ,ео,ответст,вующих каждому т, 1т 1 <
<(п-1) /2. Отсюда сразу же ,следует, что од.новре,м енное поя·вле­
ние этих двух типов ошибок можно обнаружить, если 1ml +2+Ь~
1 ) Напомним, что сог л асно §13.10 bd ;:.;,,п - 2k+ 1 для любого uиклического
(п, k)-кода. (Прим . авт. ) .
452


~bd, и что любая из ошибок может быть исправлена, если она по~
является одна и если ка.к I т 1 + 2, так и Ь ограничены сверху вели ­
чиной bd/2 i[cp. с § 13.1 О]. Ошибки этих двух типов можно различит.1>,
так как синхронизационная ошибка всегда приводит к концевой . кру­
говой пачке, в то время как согласно предположению обычная пач­
ка ошибок та .кого ти п а появиться не может . То, что синхронизац.и­
онныг ошибки величи.ны (n~k - 2) /2 ,в д,ейст,вительност,и могут ис-­
правлять,ся 1при отсутствии других ошибок, уже было докаэан·о •в
теореме 14.19. Однако для того, чтобы ]были ,ис,пра,влены синхрон:и­
заu,ио1шые ошибки большие, 1чем (bd/2)-2, необх,од,имо, чтобы с9-
ответ,ственно возросл,а опо,собность .к исл,равлению пачек ошибок
так, чтобы -пач.ки и синхронизационные ошибки вс•е еще можно бы~
ло различить. Это требо.ва.н,ие, очевидно, удовлетворяется, ес~.и
μ,+2+b~,bd, где μ=шахIт1.■
•Очевидно, что результаты предыдущих параграфов ; относящиеся
к спссобности линейных кодов исправлять и обнаруживать ошибки
в синхронизаuии, когда имеютсн произвольные ошибки замещею1я,
применимы также в случае, когда ошибки появляются пачками.
Иногда в случае, когда ошибки появляются только пачками, , эти
результаты можно усилить, как показывает следующая теорема.
Теорем а 14.24 . Определенный в теореме 14.15 словарь, лред­
ставляющий собой смежный класс, способен исправлять все пач­
ки ошибок длины Ь и меньшей и одновременно исправлять все
синхронизаuионньrе ошибки величины, •не большей μ<е/2, если
μ+Ь~ (п~Зk0 +2)/2 .
Доказательство. Повторяя доказательство теоремы 14.1 ~.
полу­
чаем , что любые д.ва стыка слов - ··
один, начинающийся на пози·­
uии т1 , а другой -на :позиции т2 -; ,содержащие :пачки - ошибок
длины Ь1 и Ь2 соответственно, будут отличаться, если
с(х)хп-т,(1- x1m,J+lm,I) +w"(х)+хп-т,р' (х)- q' (х)+
,
т1
т2,
+Ь1(х)+Ь2(х)=/=. О
{14.44)
для любого слова w"(x) из D. Обозначения здесь совпадают с те ­
ми, которые использованы в ф-ле ( 14.4 l) с тем исключением, что
два многочлена Ь1(х) и Ь2(х) представляют собой пачки ошибок
длины Ь 1 и Ь2. Как и в теореме 14 . 17, предположим, что О~т1~
~n/2<m2~n . То же доказательство лишь · с небольшими видоиз­
менениями (в действительности при более слабых условиях) спра­
вЕщлив6 также для других - случаев. Теперь для любых 1!11, 11 +
+lm2l~e (где е определено в теореме 14.15) первый член и, сле­
довательно, сумма первых двух членов в ф-ле (14.44) предста13ляют
собой слова из Do, но не из D . Таким образом, условие (14.44) на­
рушится только тогда, когда
Р(х)~хп-т,р~,(х)- q;n, (х) +Ь1(х)+Ь2(х)= w0 (х),
(14.45)
где ш0 (х) - некоторое ·ненулевое слово из D0 (но не из D). Так как
xn-in,p'm, (;,:.) -:-q'm,(x) можно интерпретировать как пачку длины
,453


т.1 + 1mzl, то условие (14.45) нельзя удовлетворить во всех случаях,
кро ме того, когда некоторое ненулевое слово из D0 может быть
представлено в виде суммы трех п ачек ошибок с длинами I m1 1 +
+ /т2\, ,Ь1 и Ь2. Но если Iт11 + lm2 I+Ь1+Ь2::::;;п-Зkо+2, то,ло край­
ней мере, один из интервалов, отделяющих две из эт их п ачек оши ­
бок, содержит ko или большее число символов. Так как D0 является
циклическим (п, kо) - словарем, то ли ш ь нулевое слово может соде р­
жать последовате л ьность ku или большего числа подояд идущих
нулей. Fсли lm1 I, lm2 I::::;;μ и если Ь1, Ь2::::;;Ь, то (14.45) ~ел ьзя удов­
летворить при указанных условиях, и теорема доказана .
Если словарь из предыдущей тео р емы о пр еделяется над двои ч­
ным полем, то в некоторых слу ч аях мож н о повыси т ь г раницу дл?.
максимально дозволенной суммы Ь + μ . П р едположим, что м н ого ­
член Р(х), определенный ф -лой (14.45), содержит в целом v «еди ­
ниц». Очевидко, что Р(х) не может пр едс т а в лять собой ненул евое
слово из Da, кроме случая, когда y~do, где da - вес слова мини­
мального веса из Da. Но если Р(х) является словом из Do, тu
(l+x)P(x) также будет словом и если Р(х) содержит в целом у
единиц, то (1+ х)Р (х) может иметь самое большее 2(1т11 + 1m2J +
+Ь 1 +,Ь2-v) +6 единиц ;поск•ольку символ в ( ! + х) Р(х) является
единицей только тогда, когда в качестве одного из соответствующих
СИМ,ВОЛО•В Р(х) ,ИЛИ хР(х) IПОЯВЛЯе1'СЯ нуль, а в качестве друго.
ro - единица. Для того чтобы (1 +х)Р(х) представляло собой сло­
во из Do, должно быть либо у=п, либо 2(\ m1 I+ lm2I+ b1+b2- v)~
~dr,-6 . Если как Р (х), так ,и ( 1+х) Р (х) ,должн ы 1п,ре.д,ставлять
слова из Do, то
!m11+lm2I+Ь1+Ь2>min{3(d0- 2)/2, п} = 3(d0- 2)/2.
Это последн е е равенство следует непосредственно из границы
(13. 11) , т. е . поскольку здесь ko~2, то п~Зdо/2 . Тем самым дока­
зана следующая теорема .
Т е орем а 14 .25. Если словарь в теореме 14 .24 определяется
над -GF (2) , то о,н м-ожет ис,пра,влять все ~пачки ошибок длины , мвнь­
шей или р авной Ь, и все синхрони з ационные ошибки вел ичины,
~ен ьшей или равнойμ, где μ+Ь ::::;; (Зd0- 7 ) /4 .
14.13. Инде кс свободы от запятой в
кронекеровском прои з ведении кодов,
кронекеровской сумме кодов и в каскадных кодах
Один и з п о лезных мето д о в построения кодов, имеющих
большие инде ксы свободы от з апятой , состоит в составлении кро·
некеровского произведения либо крон екеровской сум мы (см. § 13. 7)
пары меньших кодов , каждый и з которых является кодом б ез заня­
той с индексом, по ме ньшей м ере, равны м е д инице . Вывод грани­
цы для индекса свободы от запятой в образующемся коде, выра­
женной через индексы составляющих кодов, является первой из за­
дач ЭТО\Г·О ,параграфа. Результаты ~приведены в следующей теореме.
454


Теорема 14.26. Пусть МХт и NXn- матрицы Am и Вп пред­
ставляют собой два линейных кодовых словаря, каждый из кото­
рых содержит состоящее из единиц кодовое слово 11 ... 1. Пусть с,..
будет т-последовательностью, а dn п-последовательностью, таким и.,
что соотве1'ствующие коды Ат+ Ст и Вп + dn :будут иметь индексы
свободы от з.ашятой Sm и Sn, ( ,Матрица Ат+ Ст ,преД;ста ,вляет собой
словарь, который получаетсн с помощью почленного сложения · в
поле GF(q), над которым определены обе матрицы Ат и Вп, п-по­
следовательности Ст с каждой строкой Ат и аналогично для матр и­
цы В,,+ dn). Далее пусть Стп представляет собой словарь , порож­
даемый кронекеровским прои зведением порождающих матриц А,11
и Вп, и пусть Dmn будет кронекеровской суммой Am и Вп . Тогда ин­
декс свободы от за пятой Smn в словарях Стп + (Стl-Нdп) и Dnиi +
+ (C "il+ldn) ограничен неравенством Smп~min(nsm, тsп) . Здес ь
тп-последовательность Cml+idn является кронекеровской сумм ой
Ст= (y1y2 ... ym) и dп= (б1б2... бп), т. е. Cml+idп= (у1+dп, Y2+d n,-~ · •
Vm+dп), где Yi+dп= (уi+б1, Уi+б2, ... , у,+б;:;-f:
Доказательство.· Теорему довольно легко доказать, отметив сле­
дующие два свойства любого слова w из Стп или Dmn :
1) w имеетвид w=b1• Ь;
.. ..bl ,
1~2
m
где bi - слова Вп;
2) ,с,им·волы Wiп+j, .i=-0, 1, ... , т~1, сло.ва W= (,w1W2 ... Wmn) обра­
зуют кодовое слово из Ат при любом w и любом j= 1, 2, ... , п. '[Оба
эти утверждения отражают просто то обстоятельство, что если w
является словом из линейного словаря D, определенного над полем
GP(q), и если D содержит состоящее из одних единиц слово wo=
= (11 ... 1), то как aw, так и awo + w являются словами из D при лю••
бом а из GF(q) .] Прямыми следствиями этих двух утверждений
будут следующие утверждения, справедливые для любого слова
w' ИЗ Стп + (Cml+ldn) ИЛИ Dmn + (Cml+idn):
la) w' имее1:-;ид w'=-Ь;, Ь;,-·ь;т ~де Ь\ слова из Вп+dп;
2а) ,сим.волы ш'i1,+j, -i=O, 1, ... ,т -1 , слова w'= ,(w' 1·w' 2.. .w'mn) об­
разуюткодовоеслово из Am+Cm при любом w' и любом j= 1, 2,..., п.
Пу,сть те:перь w ,и w 1 -
слова либо из W= Стп + (Ст 1+1 d11 ), ли·оо
из W= Dmn + (ст l+idп); рассмотрим любой стык последовательно­
сти ww1, начинающийся (i+ 1) - м символом w и оканчивающийсЯi
i - м символом w'. Если i:i=O по модулю п, то этот стык являет,ся по­
следовательностью из т п-последовательностей, каждая из кото­
ры х могла бы появиться в качестве стыка слов Вп +dп . В соответ­
ствии с этим все эти стыки слов должны отличаться самое меньшее
в Sn местах от любого слова из Вп + dn и, по меньшей мере, ms"
символов любого такого стыка должны отличаться от соотве"Гствую­
щих символов в любом слове из W. Аналогично, если i = О по мо­
дулю n (i = ·vn, v=i=O), СИМВОЛЫ (J)vn+i (J)(v+l) n+i , ••• , W(m-l)n+jШ 1j'(i) 1n+j,• •·•
w;v-lJn+i составляют (при каждом j= 1, 2, ... , п) т-последователь-
ность, которая могла бы п_оявиться в качестве стыка двух слов из
455


Am+cm. Таким образом, каждая из этих п т-последовательностей
должна отличаться, по меньшей мере, в sm местах от любого c.iioв ·a
из Am + Ст и соответствующий стык \,\ТW1 должен отличаться от лю­
бого слова из W, по меньшей мере, в nsm местах. Так как все не­
тривиальные стыки любых двух слов из Стп + (Ст\+[dп) или Dmn +
+(Cm\+ldn) были учтены в этих рассуждениях, тополучаем, что
(14.46)
и теорема доказана. ■
В утверждении этой теоремы требуется, чтобы оба составляю­
щих кода содержали слово, состоящее из единиц. Это нужно для
тог.о, чтобы гарантировать, что все стыки кодовых слов, появляю­
щихся в кронекеровской сумме или кронекеровском произведении
словарей, могли бы также появляться в составляющих словарях.
Очевидно,· что если 75 - словарь, содержащийся в D, и 75 исполь­
зуется вместQ D в определении кронекеровской суммы или произве­
дения словарей, то получающийся словарь имеет индекс свободы
o::r запятой, по меньшей мере, такой же, как словарь, определенный
с помощью D. Таким образом, нет противоречия между ·предполо-
, жениями теорем 14.26 и 13.18. (Напомним, что последняя требова­
ла, чтобы слова одного из двух словарей, входящих в кронекеров­
скую сумму, имели rv1аксимальный вес, меньший, чем п.) ;Заметим
также, что если, по крайней мере один из двух составляющих слп­
в·арей в кронекеровской сумме или если оба словаря в кронеке­
ровском произведении содержат кодовое слово, состоящее из еди­
ниц, то такое же слово содержит получающийся словарь. В соот­
ветствии с этим процесс можно итерировать; кронекеровское произ­
ведение и кронекеровская сумма словарей без за п ятой могут быть
иtпользованы для того, чтобы породить еще большие кронекеров­
сI<ое произведение и сумму словарей без запятой.
Анал9гичный результат справедлив для каскадных кодов. Пусть
(п1,k1)-код D1 ,
определенный ,над GP(qk,) .и имеющий инде-кс с1во60-
дьr. ·от заля-гой s1. Анало,гично 1Пусть (п2, k2)-,код D2 над GF(q), имею­
щий индекс свободы от запятой s2. Каскадный код образуется прп
однозначном сопоставлении с каждым элементом GF(,qk,) слова ю
[)?;, , Требование, чтобы D1 и D 2 были кодами без запятой. ничего Е~
меняет при рассмотрении синхронизирующих свойств этого кода.
Од):щко каскадный код теперь также будет кодом без запятой с ин­
деiч:ом свободы от запятой (в терминах ,q-ичных символов):
(14.47)
..
,
,
где d2 -- минимальное расстояние между двумя . любыми словами
из D2 . Рассмотрим опять стык слов, начинающийся (i + 1) симво­
лом одного слова и . оканчивающi1йся i - м симв.олом другого. Если
i=O по модулю п 2 (но не по модулю n1n2), то свобода от запятой
D~' гара·нтирует, что этот стык слов будет отличаться от любого кп~
дd,вото слова, 1по меньшей мере, s 1 q k,.ич,ными ,символами и, следо~
,в·ательно, 1по ,меньшей мере, s1d2 q-ичным.и символам.и. Бели i=#:0 ,пп
456


модулю 112, то расстояние между стыком слов и любым правильным
словом будет, очевидно, по меньшей мере, равно n1s2 .
В действитель1;1ости это свойство каскадных кодов довольно не­
существенно, так как цель каскадирования состоит не просто в rю­
рождении больших q-ичных кодов, а дополнительно в получении
более удобного декодирования (ер . с § 13.9). Предположим, что
словари без запятой D1 и D2 объеди-Няются с помощью каскадиро­
вания или с помощью образования их кронекеровско го произведе­
ния или кронекеровской суммы . Тогда любая последовательность
слов из этого объединенного словаря также является последова­
тель,но,стью слов из D2 (ил,и .D 1 в зависимости от ,порядка, в кото­
ром ,о•бъединяют,ся эт,и два ,словаря). Синхронизация сло1З, таким
образом, может быть выполнена в два этапа; первый :;тап состоит
в определении начальных символов слов из D2, а второй -- - в раз­
решении остающейся неоднозначности . Первый этап 11 ( • . J можно
производить так, как если бы использовался один слоu. ·,, cl2. Вто­
рой этап после этого будет состоять в поиске по п 1 OL: а ющимся
позициям, основанном на свойстве отсутствия запятой : , , 1. В ре­
зультате общее число позиций , которое нужно рассмот ;~еть, будет
равно 111 + n2, а не n1n2, как в случае, когда эта подструктура не
учитывается.
В заключение этого параграфа суммируем некоторые известные
результаты, касающиеся свойств свободы от запятой кодов Рида­
Маллера первого порядка, упомянутых в§ 13.7 . Напомним, что эти
коды могут порождаться с помощью последовательного кронеке-
ровского суммирования матрицы D1 = [~ ~ ] с самой собой и после­
дующего присоединения к полученному словарю его дополнения.
Таким образом, словарь Di представляется матрицей
Di = [Di-1 D;-1 l
D;-1 D;-1J
и (2k- 1 , k) - словарь Рида-.Маллера ;представл яет -собой лро-сто
Dk-i U Dk-1 - Тот же самый словарь Dk-1 в равной мере можно опре­
делить с помощью кронекеровской суммы любой из пар матриц
Dj и Dk-1 -j, l~j~k-1, что легко проверить. Поэтому для того,
чтобы показать существование кодов Рида-Маллера без запятой
всех размерностей, необходимо лишь указать их для меньших раз-
мерностей . Фактически, если словарь D1 U D1 можно было бы сде­
лать свободным от запятой, то теорема 14.26 гарантировала бы,
что то ж ~ самое справедливо для кодов Рида-Маллера всех боль­
ших размерностей.
К сожалению, словарь D1 UD1 содержит все двоичные 2-после­
довательности и, оч.евидно, не может быть сделан свободным от
запятой. Более того, граница из теоремы 14.13 показывает, что ни-
какой из словарей Dk-1 UDн-1 не может бы;ь словарем без запятой
при любых k<4 . Код Рида-Маллера с k=4 также не может быть
сделан свободным от запятой. как легко проверить, используя ме-
· 16 -281
457


тоды § 14.3 . Например, ранг матрицы М. определенной соотноше­
нием (14.6), равен 8, если т = 5. Чтобы показать существование ко­
дов Рида-Маллера без запятой для всех размерностей -k~5, мы
должны получить их для р аз мерностей k=5, 6, 7 и 8 (например,
кронекеровская сумма словаря D4 с самим собой дает словарь D8,
а Ds U Ds является словарем Рида-Маллера с k=9) . Такие коды
были найдены и с помощью вычислительной машины были выч ис­
лены их индексы свободы от запятой. Резvльтаты вместе с верхни -
'
J
ми границами s для этих индексов приведены ниже:
k
s
s'
5
2
2
6
7
8
7
16
34
7
22
56
( 14.48)
Первые две границы сверху (k= 5 и 6) были получены при ис­
пользовании методов, о н исанных в § 14.8, последние две - с по­
мощью двух различных методов. Все эти границы более точны, чем
граница (14.24). Лидеры смежных классов, дающие оптимальные
словари с k=6, были найдены методом перебора (с помощью вы ­
числительной машины) снова с использованием результатов § 14.8.
14.14. Фазовые ходы без запятой
Синхронизируемость фа~овых кодов (§ 13.11) также мо­
жет быть улучшена превращением словарей в коды без запятой.
Мерой, которая представлнет интерес в этом случае, является кор­
ре.Няция между словом и стыком слов. а не хэмминговское расстоя ­
ние между ними. Это означает, что . ес.[!и у= (у1у2 ... у п)
.
~
вектор по­
казателей степени принятой п - последовательности, а хμ= (хμ1х'12...
хμп) - вектор показателей степени кодового слова, то рассматри­
вается асинхрою-tый коэффи ц иент корреляции
•
n
(2ni/r)(хμ- у)
-
1}J \1
\1
р (у)= -.
е
.
.
μ
n
(14.49)
V=l
Так как декодер по предположению является корреляционным
приемником, то эти (искаженные шумом) коэффициенты состав­
ляют основу для его р ешений отнс.,сительно принятого слова. Син­
хроt1изация слов, оченидно, лert.Je всего получается по самой после­
дов ательности данных, если множество коэффициентов корреляции
Рμ (у) в слу ч ае, когда п-пос:ледовательность у предС1:авляет пра-
вильное кодовое слово, значительно отличается от коэффициентон
корреляции в случае, когда она является стыком дву>;. кодовых
слов.
Следующая теорема иллюстрирует . соотношение между этими
коэффипиента.ми корреляции ..и · индексом свободь! от запятой, свя­
за\л-~ым с кодовой степенной группой (определения терминов см. Е
§ '13.1 J}.


Теорем а 14.27. Пусть С
--
некоторый смежный класс груп­
пы 1G, состоящей из п-последовательностей целых чисел по моду­
лю г и пусть каждая из ,~-последовательностей из С определяет по­
каза'Гели ·степен.и сл,о•ва .из ,фазового кодового словаря D. Предпо­
ложим, что словарь С, рассматриваемый как словарь п-символьных
г-ичных слов, имеет индекс свободы от запятой s. Тогда
rnaxRe{Рμ(У)} < 1- .!.._(1- cos 2:rt ).
у,μ
п
r
где р μ (у) определяется соотношением ( 14.49) . Более того, если ,G
содержит п-последовательность из единиц gп= ( 11 ... 1), то
~.а:1Рμ(y)j < [1- 2~(1-- ~) (1- cos :л )Г2
Доказательство. Первое из этих утверждений очевидно, так как
шахRe{Рμ(у)}<Re{п- s +.!.._ е2пi/r} = 1-
.!.._ (1- cos 2:rt)<!.
у,μ
п
п
п
r
( 14.50)
Доказательство второго утверждения почти столь же просто.
Во-первых, заметим, что IPμ (у) 1= 1PrL (y-vgo) 1 для любого цело­
го 'У· Пусть v будет значением (или одним из значений), принимае­
мым наибольшим числом (скажем, l) компонент у-хμ_ Тогда
1++ппlе2пi/r1, l> ; ;
( 14.5 1)
так как 1,Рμ (y-vgo) 1, очевидно, достигает наибольшего зна ченш:1:.
когда аргументы Yv -х~ -v, ,,= 1, 2, ... , п, по возможности близ ки
друг к другу . Поскольку iG содержит go и является кодом без запя:­
т,ой с..индексом s, то l~n -s и отсюда следует уК~азанная ,в теор е ме
верхняя граница для IРμ (у) 1- (Эта граница может быть сделан а
более точной, если s больше, чем п/2.) ■
Как ,следствие, результаты, касающиеся кодов без заттятой и rщ))­
лученные в предыдущих параграфах, имеют смысл и здесь. Однако
следует подчеркнуть, что, кроме как в двоичном и в троичном ф3-
зовокоrерентном случаях, эти две меры являются различным и f!
что наилучшие коды без запятой не обязательно порождают на iii­
лучшие фазовые коды.
Фазовыми кодами, которые представляют наибольший интерес,,
несомненно являются ортогональные и r-ортоrональные фазовые·
коды, рассмотренные в § 13.11 . Они соответствуют в высшей степе­
ни избыточным кодам, исправляющим ошибки, и, как следо ваJ1J0>
бы ожидать, можно найти такие коды , асинхронные коэффицие и1·ы
корреляции которых имеют значения , значительно меньшие еди н ю­
цы . Как бы :rо п о казано в § 13.11, с помощью метода кронекер оR-
16*
45!}


скоrо произведения могут быть построены r -ортоrон альные фазовые
коды с произвольными размерностями . Поэтому представляет 11н­
терес следующая теорема относительно максимума асинхронного
коэффициента корреляции кронекеровскоrо произведе1-щя сло-
ва рей.
•
Теорем а 14.28. Пусть Ат и Вп
-
словари фазовой кодовой
труппы (смежные классы), состоящие из М и N слов пот и п сим­
;волов в каждом соответственно; пусть оба они определены над мно­
жеством символов {ехр (2лiу/г)}. Пусть далее смежные классы сте­
п енной группы обоих этих словарей будут смежными классами
групп, которые содержат т- (п)-последовательность из единиц
( 11 .. . 1). Наконец, пусть Рт и Pn - асинхронные коэффициенты кор­
реляции, имеющие максимальные абсолютные величины в этих
двух словарях. Тогда
IPmnl ~ max{I Рт 1, 1Рп 1},
где 1Ртп - асинхронный коэффициент корреляции кронекеровского
произведения этих двух слонарей, имеющий м аксимальное абсо ­
лютr-rое значение.
Доказательство пря мо следует из доказательства теоремы 14.26.
Кронекеровское произведение фазовых кодов соответствует кроне­
керовской сумме смежных классов их ·степенных групп (т. е . соот­
ветствует смежному к.тrассу, который получается с помощью сло ­
жения каждого из элементов кронекеровской суммы их групп с
кронекеровской суммой соответствующих им лидеров смежного
кriacca. Таким образом, если i=#=IO по модулю п, то l1Pmnl::s;;; •l1Pnl, а
,если i = О по модулю п, то IРтп 1:::;;; 1Рт 1, и теорема доказана.
Далее выводится полезная граница снизу для асинхронного ко ­
эффицие нта корреляции, достижимого на ортогональных словарях
( и в силу этого на ~-ортогональных словарях) .
Теорем а 14:29. Пусть D является словарем ортогонального
фазово го кода· с п словами по п символов в каждом, имеющим мак­
сималь ный (по абсолютной величине) асинхронный коэффициент
корреляции Pn• Тогда IP1i l~ 1/ 11п.
Доказательство . Обозначая через {s"} множество слов из D, а
через 11 любой стык любых двух слов D, получим
п
\." "
μ
У/= ,!.,:. Рμ!; •
(14.52)
μ=1
Это следует в силу того, что пространство п - пос.тrедовательностей,
оп ределенных над комплексным полем, является линейной оболоч-
1{О Й множества ортогональных векторов ~μ- Более того, так как
~\•1')=/1ipV, ТО
п
+("IJ-1/) = 1 = ~ \Pμi2·
(14.53)
μ=l
460


Предположим теперь, что max J Рμ 1< 1 Vп.
μ
п
Тогда~ 1Рμ (< 1,
μ=1
что приводит к противоречию, доказывая тем самым теорему 1) .
В двоичном случае IPn 1= l 1-(2s/n) 1, где s - индекс свободы
от запятой; в этом случае обе меры эквивалентны. Коды Рида­
Маллера первого порядка для меры, рассматриваемой в этом па­
р аграфе , являются биортогональными, так что рассмотрения преды­
дущего параграфа, касающиеся (2k-1 , k)-кодов Рида-Маллера без
запятой, прямо применимы здесь. Величина асинхронных коэффи­
циентов корреляции, которая достигается на этих кодах, может
непосредственно быть получена из ( 14.48).
Если r= р является простым числом, большим 3, то легко пока­
зать, что при всех k-;;?;2 существуют р-ичные р-ортогональные
(pk- 1, k)-коды ,с аси.нtХронными ,коэффициентами ,кор,реляции, имею­
щими ма.кслм,аль.ные абсолют,ные ;значения, ,меньшие единицы. Ес­
ли существуют такие коды для k=2, то суще,ствование всех других
код,ов ,гара,нт.ирует,ся теоремой о кронекеровском ~произведении ко­
дов. Чтобы проверить , что коды с k=2 можно сделать свободными
о т за.пятой, необходимо лишь заметить, что .код, ~порождаемый с
помощью всех линейных комбика.ций над GP(p) двух р-1после.до­
вательностей
[о 12з...(р-1)].
1111...1
(14.54)
является циклическим. Следовательно, результаты § 14.4 показы­
вают, что смежный класс, который получается с помощью сложе­
ни я какого-либо ненулевого целого числа с последним (или пер­
вым) столбцом вто~го кода, я·вляется ,с,вабодным от за1пятой. Это
справ едливо при k~ (n-1)/2, т. е . при р-;;?:5. Действительно, ког­
д а р> 7, можно использовать лидер смежного класса, указанный н
тео реме 14.16, чтобы сделать эти коды свободными от запятой с ин­
декс ом 2. Несомненно, что большие индексы свободы от запятой
возм ожны для больших значений р.
14.15. Фазовые последовательности Баркера
Пре;:щоложим, что нужно ~передать инфор,мацию ло гаус­
со вскому каналу с помощью последовательностей ФТ символов
Sv (t) = V2 sin[wct+ (2nkH-v1, S-vE (О, 1, ... , r-1) длительность Ts с~­
ку,нд и ;что синхронизация должна быть ~получен.а ,с помощью о.П!ре­
д еления на ;пр.иемном конце !Пер,иод:ически 1переда,ваемой 1Последо-
за тельности {z-v (t)=V2sin(wct+(2n/r)x-v) , (v- l)Ts<if<vT,J,
'\' =
1, 2,..., п,
1) Эта граница вместе с некоторыми усовершенствованиями составляет ос­
нову для иоследнw:х двух верхних границ, п'риведенных в (14.48). (Прим. авт.).
461


представляющей собой запятую . (Последовательность , {х 'J } будем
называть фазовой запятой.). Если по предположению информ,1ция
состоит из взаимонезависимых символов, равномерно распределен­
ных на алфавите сигнала, то рассуждения § ,14 .6 можно обобщить
и считать, что адекватной мерой здесь является апериодический
коэффициент корреляции
n-k
Лk= ~
~ v ~:+k•
(14.55)
V=l
(2Лi/Г)Х
где ~v =е
v
.
«Хорошей» синхронизирующей последовательно­
стью в этом случае могла бы быть такая, для которой по определе­
нию lл1il~l для всех k=l, 2, ... , п-1. Это является очевидным ана­
логом условия, введенного в § 14.6.
Пара·метр л1~ тождестве.и ~параметру c1i из § 14.6, ког-
да r=2, и в фазовокогерентном случае, когда r=3. Та­
ким образом, в этих двух ситуациях непосрел,ственно примени мы
результаты § 14.6. Несколько 11оследов,1Тельностей баркеровского
типа (последовательностей, дJIЯ которых I л,, 1::::;;: 1 для всех k) про­
извольной длины известны для значений r, больших 2. Если r=
= -r1г2, то над r- ичным алфавитом, очевидно, могут быть построены
последовательности, которые, по крайней мере, столь же хороши.
как и те, которые можно получить либо над r1-ичным, либо над
r2-ичным алфавитами. Для этого 11росто можно использовать фаза ·
вую последовательность {r2xv}, где {xv} - фазовая з,шятая над
r1-символьным алфавитом. Таким образом, если r=4, то последо­
вательности, удовлетворяющие ограничению !лv 1~ 1 для всех k,
существуют для длин n = 2, 3, 4, 5, 7, 11 и 13, поскольку существуют
двоичные последовательности дJiя всех этих длин . Кроме того,
существует 4- ичная последоватеJiьность с P-1il ~ 1, 1 ~k ~n-1 для
n= 15. Извес11ны другие недвоичные ФТ последователь н ости, удов­
летворяющие этому ограничению, когда •r=6, для всех п из отрез­
ков 2~п~ 13.
Вообще говоря, приемлемые фазовые последовательности бар­
керовского типа можно получить, выбирая некоторую циклическую
перестановку псевдошумовой последовательности. Для любой фазо ­
вой последовательности справедливы неравенства:
n
n
rnax Iлk+лn-k1:;;,. ave lлk +Л,n-kl = -
1-
'1 '1 zkz;+i -п i=
O<k<n
O<k<n
n- 1l.JlJ
k=li=l
~п11( t.•• '-п\ > - [n/(n- l)J.
(14.56)
Псевдошумовые фазовые последоват.ельности, лежащие на этой
границе, представляют собой, по - видимому, естественный источник
пос.1едовательностей баркеμовского типа.
462


Другим методом построения длинных фазовых последователь­
ностей баркеровского типа явJrяется использование кронекеровской
суммы двух более коротких фазовых последовательностей, как
предлагает следующая теорема.
Теорем а 14.30 . Апериодические коэффициенты · корреляции
Лk, св язанные с кронекеровской суммой фазовых последовательно ­
стей
Х1+У1,Х1+У2,•••, Х1+Ут, Xz+У1, Х2+У2,•••, Xz +Ут,
о пр еделяются с помощью апериодических коэффициентов корреля­
ции tч, (х) и 'А,,(у) двух суммируемых последовательностей {хμ },
μ=1,2,..., lИ{Yv},v=1,2,..., т:
}.,k = Лj(х)'ль(у)+лн1(х)л:_h(У), k=jm+h, 0~h<т.
(2ni/r)x
(2ni/r)y
Доказательство. Пусть av=e
v иf}v=е
v . Тогда при
k = jm +h, O~h<m, имеем
l-j m-h
,,., = L Lаμf}v( aμ+i ~v+ьУ +
μ=lV=l
1- (i+l) т
l-j
m-h
+""
~"
_.;.
~ аμ~v ( aμ+i+l Pv-(m-h))*= ~ аμ a~+i ~ Pv ~*h +
μ=1
v ~m -1:+1
μ=!
V=l
1-(i+l)
h
+ I аμ a~+i+I L ~~. ~v'+т-h = лi (х) .ль (у) + \+1 (х) л:~:_(У),
J.t=l
V'= l
(14.57)
что и требовалось доказать ■ .
Замет им , что результ?:гы не обязательно остаются теми же в
слу чае, J<огда две последовательности в кронекеровской сумме ме­
н яютс я местами. Заметим также, что максимальное значение н ор ­
миров анных апериодических коэффициентов корреляции 'А,,/п нель­
з я сниз ить , используя эту конструкцию .
14.16. Синхрон изация слов и кадров.
Выбор статистик
В предыдущих параграфах этой главы и в гл. 11 и 12 бы­
,rш и сследованы различные методы установления с инхронизации
сло в . Рассмотренные методы можно разделить на две категории 1):
1. В поток данных лериодически помещается специальная син-
1} Третий метод, в равной мере применимый к синхронизации слов , выборок
сооб щения или символов , использует дополнительный синхронизационный канал
( или, что эквивалентно, использует канал связи в двух различных режимах, ре­
жи м е синхронизации и режиме передачи данных) . Этот · подход подробно изучен
в гл . 6 и здесь не будет рассматриваться. (Прим . авт.).


хронизирующая последовательность (или префикс , или запятая).
Опознание ее приемником устанавливает требуемую синхрониза­
цию. Для удобства методы, относящиеся к этой категории, будем
называть префиксны.ни методами.
2. Используется различие между правильными словами и сты­
ками слов для того, чтобы различить эти две ситуации. Хотя при
этом подходе не обязательно используются словари без запятой
(см . гл. 7), наибольший эффект по:лучается, когда словари свобод­
ны от запятой, и поэтому метод будет называться л1етодом свободы
от запятой.
Следует подчеркнуть эквивалентность с более общих позиций
синхронизации слов и выборок сообщения. Заменяя «слово» на
«символ» и «выборку сообщения» на «слово», с равным успехом
можно использовать все методы синхронизации слов для синхро ­
низации выборок сообщения. Если каждое слово содержит k
q-ичных информационных символов, то кадр может быть расс мот ­
рен как слово, составленное из qk-ичных символов . Относительная
привлекатель,ность различ.ных ~подходов , конечно, ,може т .изме­
няться, когда рассматривается синхронизация выборок сообщения,
а не синхронизация слов, но существенная эквивалентность этих
двух задач будет оставаться неизменной.
В следующем параграфе будет оценена синхронизационная за ­
держка, ,свойственная как префик.сному мет0~ду, 11а•к .и методу сво­
боды от запятой. Под синхронизационной задержкой здесь под­
разумевается число слов или символов, необходимых для первона­
чального входа в синхронизм с заранее заданной надежностью.
Следует отметить отличие этого определения синхронизационной
задержки и того, которое было использовано в гл. 11 в ситуации,
когда отсутствовал шум. Родственная задача возвращения в син­
хронизм после его потери отличается от задачи первоначального
входа в синхронизм только изменением априорных вероятностей
различных конкурирующих синхронизационных позиций и отдель­
но не будет здесь рассматриваться .
Однако до того, как приступить к этой задаче, нужно выбрать
статистику, на основе которой будет принято решение относитель­
но того, была или не была достигнута синхронизация . С этой
целью представим сигнал дискретным множеством наблюдаемых
У= {yi}. (В случае гауссовского канала эти у; могут быть выбор­
ками принимаемого сигнала, взятыми через равные интервалы
времени; если канал является уже дискретным, как в случае q-ич­
ного симметричного канала, то эти величины являются символами
на выходе приемника.) Так же, как и при рассмотрении символь­
ной синхронизации, удобно разделить полный период неоднознач­
ности Т на конечное число N меток v, v =O, 1, 2, ... , N-1, где N=-
= Т/Лt . Обычно в предположении, что синхронизация более низко­
го порядка уже была установлена, это квантование по времени
является весьма естественным.
Рассмотрим вначале ситуацию, когда в информационный по­
ток периодически помещi}ется синхронизирующая последователь-
464


ность или префикс . Разделим множество выборок Yi на два под­
множества У1 и У2, где У1 = У1 (v) содержит те выборки у;, которые
берутся из префиксной части принимаемого сигнала в предположе­
нии, что v-я метка является верной, а У2 = Y2(v) - множество,
остающееся после того, как У1 будет удалено из У. Обозначая че­
рез р(А IВ) вероятность (или плотность вероятности) события А
при условии события В и предполагая, что шум действует на по­
следова тельные выборки независимо, получим
p(YJv) =~p(Y2 JD, v)p(D)p(Y1 JS, v).
(14.58)
D
Каждое из множеств D является множеством информационных
выбо,рок, кото,рые на.блюдал,ись бы в о,сутствие шума с ве,роят.но­
стью P(D). Аналогично S является множеством выборок, характе­
ризующих ,п,рефик,с ,в отсутст,вие шу,ма. Оптимальн,ое ,решение
(максимального правдоподобия) состоит в выборе такой метки ,,,
для которой максимальна вероятность Р (У J v). (Это соответствует
случаю, когда одно и то же множество наблюдаемых У использует­
ся для проверки всех меток, т. е. случаю параллельного поиска.
Однако, как и н гл. 6, будем использовать одно и то же правило
решени я как для параллельного, так и для поочередного поиска.)
Суммирование по D в ф-ле ( 14 .58) весьма неудобно с практи­
ческой точки зрЕ'ния и хотелось бы иметь возможность приравнять
эту сумму постоянной, не зависящей от v. К сожалению, эта ст,ро­
гая независимость наблюдается крайне редко. Если информацион­
ная 1последовательно,сть состоит из независимых символо,в .и все
последовательности равной длины равновероятны, 1и если выбо:р­
ки Yi берутся после того, .как вынюсятся жесткие ,решения
относительн.о каждо 1го 'Принято.о сим-вол,а, т-о сумма 1на самом
деле, ,не за1висит от v. Однако в более общей ситуации этот
случай не имеет места. Кроме случая, когда жесткие решения уже
были сд~ланы, шум неизбежно будет приводить к тому, что неко­
торые множества выборок Y2(v) будут напоминать информацион­
ную последовательность более сильно, чем другие. То же самое ут­
верждение справедливо, когда на информационную последователь­
~юсть наложены какие -либо ограничения, например, когда она за­
кодирована с целью защиты от ошибок или с uелью не допустить
появления синхронизирующей последовательности.
Те м не менее вследствие того, что с· точки зрения реализации
получающийся синхронизатор имеет практические преимущества и
в силу того, что упрощенный синхронизатор более удобен для ана­
лиза, ,не будем учитывать суммирование 1по информационной ~после­
довательности в (14.58). Следует, однако, признать, что получаю­
щийся синхронизатор, использующий теперь единственную решаю­
щую переменную
Zv =p (Y1 JS,v),
(14.59)
в общем случае является подоптимальны м.
465


Для канала ,с белым 1гаус•совс,ким шумом .решающая ~переме нная
zv после отбрасывания выражений, которые не зависят от v, и пе ­
рехода к пределу, когда частота выборок стремится к б еско нечно ­
сти , принимает вид
i т,+т5+vлt
Zv= ~
S y(t)s(t-vЛt)dt.
(14,60)
i i т,+vлt
Здесь Т,. - врем е нной интервал между последовательными п ояв ­
лениями префикса; Тз - длительность префикса; y(t) - прини
маемый сиrгнал 1и s(t) ;преlф.иксный сигнал Iпричем .s·(t+iTr) =
=s(t) при всех i].
Решающая переменная для q-ичного симметричного кан а л а
также легко может быть найдена. Если расстояние Хэмминга меж­
ду j-м повторением предполагаемого префикса в множестве вы б о ­
рок У1 (v) и действительным префиксом, представляемым множ е с т -
м
'\"'
dv
Mn-dv
вом S, равно nj(v) и если ~ni(v)d", тozv '-- р
(1-р)
,rдe p-
i=l
вероятность ошибки в символе; п -- число символов в синхрон изи ­
рующей последовательности, а М - число повторений префикс а ,
используемых для решения. Если р< 1/2, то метка, выбранн а я с
помощью критерия максимального правдоподобия, минимизируе т
сумму
dv _=
~ni (v).
(14.61 )
j
Для упомянутого выше второго метода синхронизации, метод а
с,Вободы от за1пятой, ,вероят,ность p(Ylv) ,обыч.но выр,ажается в виде
p(Ylv) = LP(YID, v)P(D),
(14.62)
D
где обозначения те же самые, что и в ( 14.58). Так как при это м
отсутствует синхронизирующая последовательность, то вся инфор­
мация теперь содержится в сумме по D. В силу того что мы интере­
суемся прим-енением этого метода, когда информация кодируется с
помощью словаря без запятой, будем предполагать, что информа­
ция представляется последовательностью слов, каждое из которых
выбирается случайно из словаря, содержащего N слов w;, i= 1,
2, ... , N. Тогда, разделив У на непересекающиеся подмножества
Yj=Yj (v). соответствующие интервалу, на котором принимается
jce слово при условии, что правильной является v-метка, будем
иметь
(14.63)
i
Это, конечно, равносильно ситуации, с которой мы сталкивались
при исследовании методов символьной синхронизации (см. гл. 7).
466


В случае синхронизации слов в особенности справедливо то, что
одно из слагаемых p(Y;\1wi, v), по-видимому, будет ЗIН,ачительно
больше, чем остальные, когда v в действительности является пра­
вильной меткой. (Если это не так, вероятность ошибки при синхро­
низации слов, вообще говоря, будет неприемлемо высокой.) Следо­
вательно, если правильной является v-я метка, то имеем
p(Ylv) ~ -1 П maxp(Yi Iw1, v).
(14.64)
N
i
i
Решение максимального правдоподобия состоит в выборе той мет­
ки, ДJlЯ которой вероятность p(Ylv) достигает максимума. Так как
p(YI ,μ) можно хорошо аппроксимировать выражением (14.64),
когда μ является правильной меткой, и так как
р(У\ v) :;.,, -
1 П maxp(Yi Iw1, v)
N
i
i
для любой метки v (все отброшенные слагаемые неотрицательны),
то решение не должно быть значительно менее надежным в случае ,
если оно основывается ,на mрибл,иже.ни.и ( 14.64), а не на точном
выражении ( 14.63). Преимущества использования этого приближе­
ния очевидны. (Между ,П1р·очим, та же самая ,решающая переменная
получится, если производится совместное решение максимального
правдоподобия относительно как принимаемой последовательности
слов {,w;}, так и метки v.)
Для 1<анала с белым гауссовским шумом решающая перемен­
ная, которая по лучается после того, как берется логарифм ( 14.64)
и отбрасываются выражения, не зависящие от v, имеет вид
U+I) Т w+vлt
z"= ~miax
J [y(t)wi(t_:_vЛt)-+w;(t-vЛ Т)]dt,
i
iTw+vлт
(14 .65)
где Т w -- длительность слова 1) . Синхронизатор выбирает μ-ю мет­
ку, если zμ >zv при всех v=i=μ.
Решающая переменная для q-ичного симметричного канала, ко­
торая получается из приближения ( 14.64) , имеет вид
d" = ~m!nni(j;v),
(14 .66)
i1
где ni(j; v) - хэмминговское расстояние между принимаемой на
i -м интервале последовательностью и j-м словом кодового словаря.
При этом синхронизатор выбирает μ-ю метку, есл и d μ <dv при
всех v=i=μ.
1 ) Это не что иное, как решающая переменная фазовокогерентного с инхро­
низатора. Обобщение на фазовонекогерентный случай аналогично во всех су ­
щественных моментах соответствующему обобщению в гл . 7. (Прим . авт. ).
467


l4.) 7. Синхронизация слов и кадров.
Синхронизационная: · задержка
Несмотря на то, что в некоторых частных случаях отно­
сительно просто получить точные ответы, здесь рассмотрим лишь
один метод приближенного определения задержки, необходимой
для . получения синхронизации слов или ){адров. Оправдание этого
подхода состоит в общности и интерпретируемости результатов, а
также в том, что более точные оценки можно получить (если это
вообще возможно) только за счет знс~чительного усложнения ана~
лиза. Это !Приближение ,И{:.пользует, во-.первых, 1границу
Р0 <.Ре<: (N -1)Р0 •
(14.67 )
для вероятности ошибочного решения о синхронизации, где
!:~х Pr { zμ < zv}, гауссовский канал;
Ро=
.
maxPr{ dμ>dv}, q-ичный симметричный канал,
v+μ
а μ обознач,а1ет шра·вильную ,метку . Для удобства и 6ез потери общ­
ности в последующем рассмотрении положим μ = О. Далее замет им ,
что статистики zo, zv. do и dv обычно являются суммами большого
ч,исла ,независимых случайных ,вел.ичин и можно ~применить це,нт­
ральную !предельную 11ео,рему к ,р,азности
Yv= о
v•
{z-z
гауссовский канал;
dv -d0 , q-ичный симметричный канал.
(14.68)
При етом так же, как и ,в тл. 6 ,и 7, для ,оценки с,инхрон.изацио,н­
ной задержки можно использовать решение уравнения
Е2(у )
l
r2~min
"
= 2k loge-.
(14.69)
-:-v+o var(Yv)
N
Ре
Напомним, что постоянная kN ограничена неравенством 1~ ,k:v~
~l+[loge(N-1)/Joge(l-Pe)], так что в большинстве случаев
kN,;:::::, 1.
Этот метод оценивания синхронизационной задержки хорош ли­
бо когда наблюдения, относящиеся к различным меткам, произв о ­
дятся одновременно, либо когда они производятся поочередно в
соединении с поиском с фиксиро1:1анны м объемом выборки (с м .
гл. 6). Хотя этот вопрос и не исследуется здесь, алгоритм последn­
вательного поиска, по-видимому, также можно было бы использ о ­
вать с целью получить некоторое преимущество при определении
меток слов или кадров. Однако, так как ·наблюдаемые в обще м
случае подчиняются довольно rпр,ичудливым ,раоп,р·еделениям, обыч­
нu осуществляется аппроксимация оптимального теста.
Рассмотрим теперь некоторые частные примеры.
Префиксный метод; q-ичный симметричный канал. Если можно
предполагать, что информационные символы взаимно независимы
468


и имеют равномерное распределение, то когда v~m (где т обозна­
чает число символов \3 префиксе) и когда до вынесения решен ия
,произнодится М на1блюдений, то
Е(d0)= Мтр; Е(dv) = Мт(q- 1)/q;
)
·
,
[
!] (14.70)
var(dv-, d0)ст:var(dv)+var(d0) = Мт р(1- р)+qq2 ,
где р - вероятность ошибки в символе. Предполагается, что пре­
фикс в ыбирается так, чтобы метки v<m были более легко отличи­
мы от правильной метки по сравнению со случаем v~m . В дейст­
вительности последовательности баркеровского типа удовлетворяют
отран,ичекия-м, обес:печи.вающим как раз это свойство. Из ( 14 .69 )
111 ри этом .получаем
M=p(i - p)+(q-l)fq2 2k loge-1
-.
(14.71)
т(1- 1/q- р)2
N
Ре
Это и есть приближенное число наблюдений префикса, необходим ое
для того, чтобы достичь вероятности ошибки Р, (в случае, когда
все м е тки . наблюдаются одновременно) . Конечно, поочередное на­
б людение будет продолжаться в N раз дольше .
Возникает вопрос относительно преимущества запрещения пре­
фиксу появляться в случайном потоке данных, что могло бы быть
в ып ол не но с ·по м ощью использования либо префиксных кодов, ли­
б о к одов с з апя той. Преимущество довольно очевидно , когда веро­
ятность оши:б ки очень мала и необходи м ы лишь несколько наблю­
ден и й дл я т о г о, ч то бы вынести надежное решение. В противополож­
н ость это му , когд а в ероятность ошибки в символе имеет достаточ­
но б о л ьш у ю в е.rшчину, то требуется относительно большое числ J
н абл ю д е ний i[и тем самым справедливы приближения, приводящи е
к ф-ле ( 14.71 ) ] и эти преимущества исчезают. Единственным влия ­
ни е м этих ограничений на последовательность данных является не­
большое увеличение E(dv) и некоторое уменьшение var(dv)· Нн
о дн о из эт и х изменений не меняет существенно результат ( 14 .71 ) .
Т от же самый вывод неоп.раведлив, о~д:нако, лри условии, ·что ,ин ­
ф о р м аци онн а я часть принимаемого сигнала не опускается при оп ­
р еделен ии ре ш sю щей переменной i[см. ( 14.58) и следующее за ни м
об су ж де ни е]. В этом случае процедура синхронизации будет при ­
н а длеж а ть к 1,ла ссу методов свободы от запятой, а не к префикс-
11о м у жлас·с у в смысле терминов, ·введен,ных выше) .
Пр е ф иксный м етод-канал с белым гауссовским шумом. Если
сит,н а л, ,переносящий информющю x(t), статистичес,ки орт,огонален
к ,пр ефиксу s(t) и если s(t) -и,меет единичную среднюю мощность ,
то
Е(z0) = МАТ5; Е(zvJvЛТ>Т5)=О;
var(z0)= МN0Т5/2;
var( zvIVлТ>Ts) =мNoTs/2+МА2Т~а5.
469


где
п)-Е1[;,J'x(t + vЛ Т) s(t)dl) JvЛТ>Т,1•
(14.72)
аN"-
односторонняя спектральная плотность шума. Тогда, поло­
жив .Rs=A2Ts/No, находим, что требуемое число повторений прr­
фикса прибJJиженно равно
M=[(l + Rsa~)!Rs]2kнloge(I/P,) .
(14.73)
В еще более частном случае как префикс, так и информация
nредставляются последовательностями двоичных символов вида
± V2siп ffif, где каждый символ имеет длительность Ts /m секунд.
Тогда, если последовательные информационные символы взаимно
независимы и равномерно распределены, то
т
o2=_l ~(m)(l - ~)
2
=
J__
(14.74)
о 2'n/.Jl
т
т
1=0
Методсвободы от за,пятой; q-ичный симметрич­
н ы й к ан ал; к оды, исправляющие ошибки. В общем
случае трудно о ц енить синхронизационную задержку в случае отсут­
ствия запятой без деталь н ого рассмотрения конкретно го используе ­
мого словаря. Трудность появляется по т ому, что теперь решение осно­
вывается не на расстояниях между принимаемы~ш п - последователь-
1юстями при некоторой заданной метке и известным префиксом, а
на расстоянии между этими п-последовательностями и ближайши­
ми к ним кодовыми словами. Имеются фактически q1' префиксов
вместо одного.
Предположим, что расстояние между принимаемым стыком слов
и ближайшим кодовым словом (пусть zvi) в отсутствие ошибок рав­
но 6. Математическое ож11дание расстояния между этой п - последо­
вательностью и wi равно
(п-6)р+6(1- L)=пр+6(1 -
_q _P),
q-1
q-1
(14.75)
когда вероятность ошибrш в символе равна р.
К сожалению, это верхняя граница для математического ожи ­
дания расстояния между принимаемой п-последо в ательностью и
ближайшим кодовым слово м , так как ближайшее кодовое слово
ттосле того, как произошли ошибки, может уже не быть словом wi.
Несмотря на это, если рассматриваемый словарь имеет мини­
мальное расстояние ,d и индекс снсбоды от запятой s, если s мало
по сравнению с d/2 и если вероятность ошибки в слове (при нали ­
чии синхронизации) мала, то граница (] 4.75) (где б=s) дает ра­
зумную оценку дirя математического ожидания минимального рас­
стояния междv стыком слов и словом. Если стык слов в действи­
тельности отлЙчается лишь s символами от любого кодового сло­
ва, то (14.75) ограничивает сверху математическое ожидание ми -
470


нимальноrо расстояния, как уже было отмечено. Но если произош­
ло менее чем (rl/2)-s ошибок, то первоначально ближайшее сло во
будет и далее оставаться ближайшим словом, а так как веро ят ­
ность (d/2)-s или большего числа ошибок должна быть малой при
указанных предположениях, то этот эффект, по-видимому, б удет
сравнительно малым. Более того, хотя гарантируется, что мини­
малыюе расстояние в отсутствие ошибок равно s, в наибплее об­
щем случае оно будет превьrшать s, и так как математичес ко е
ожидание расстояния ( 14 :75) является возрастающей функцией о ,
то оценка, полученная приравниванием о к s, является в этом смыс­
ле ко н сервативной.
Для оценки синхронизационной задержки положим
E(d0 ) = Мпр;
Е(d,,,J= Мпр+Ms(1- qq 1р);
(14.76)
var (d0)= var(dv) = Мпр(1- р).
Дисперсии, приведенные здесь, являются дисперсиями расстоя­
ния между рассматриваемой п-последовательностью и ближайши м
с л ово м при отсутствии ошибок; следовательно, они являются верх­
ни м и границами для действительных дисперсий величин do и dv .
Заметим, что d0 и dv не являются независимыми в случае, е.сли эти
две мет1ш наблюдаются одновременно. Тем не менее, так как для
любых дву х случайных величин х и у
Е(х- у)2=Е(х2)+Е(у2)- 2Е(ху)
.,;;,:: Е (х2)+Е(у2) +
+ 2 Е112 (х2) Е112 (у2) = [Е112 (х2) + Е112 (У2)]2,
то получаем
var(у)-< {2Мпр(1- р),
v
4Мпр(1- р),
поочередное наблюдение;
параллельное наблюдение.
(14.77)
В соответствии с этим находим приближенную оценку общего
числа кодовых слов, которые должны быть приняты для того, что­
бы гарантировать надежное решение :
{ 2p(l -р)
1
2kп loge-, поочередное наблюдение;
[-;-(1- q q 1р)г . Ре
м--
4(1 )
1
(14.78)
1
_
Р-Р
.
2 kп loge -- , параллельное наблюдение .
п[..!_ (I - _qр)]2
Ре
~п\q-1
Следует подчеркнуть, что эти результаты дают лишь оценку
синхронизационной задержки; они не являются ни границей снизу.
ни границей сверху для этой задержки.
М,етод свобо.ды от за1пятой; 'Канал с белым•г,а_
уссовским шумом; ортогональные коды. ЕслиD--
471


ортогональный (n=rk, k)-словарь с максимальным асинхронным
коэффициентом корреляции -р,,., то можно доказать, чт о
Так как все слова имеют равную мощность Pw=A2, то второе
слагаемое под знаком интеграла, определяющего zv l[см. (14.65)],
здесь , было -опущено. Величина Тw-длительность -слова, а N0 -
од-н:ост-о.ронняя опектральная ~плотность шума . Аналогично
var(z0)= MN0 Twf2; var(zv) ~Mn2 N 0 Twf24Iogen.
(14.80)
В соответствии с этим из ф-лы ( 14.69) получаем
1
п(1 + л:2/12 logeп) 2kп loge (1/Ре)
поочередное наб .nюдение;
2Rь(log2n) [(1-pт)-(loge2/Rь) 112] 2 '
М~ (!+n/Y12 logen )2 2 kп loge (1 /Р,)
(l4-8l)
---'---'----='------'=-с----'--- , параллельное наблюдение,
2 Rь (log2 п) [О-Рт)- ( loge 2/Rь/ 12] 2
где Rь = А2Тw! Nolog2n - отношение энергии сигнала на бит к спекг­
р альной плотности шума. Очевидно, что достаточным для синхро­
низируемости ортогональных кодов является условие
Rь> loge 2/(1- Рт)2•
( 14.82)
Вероятность ошибки в слове при ис п ользовянии ортогонального
множества сигналов была найдена в § 4.2 , она стремится к нулю
асимптотически с ростом числа слов п только если Rь>loge2. Так
как, 1по:,види-мому, ,pm должн-о стре,м,иться ,К нулю 1при n---+oo (хотя
это и не было доказано. то условие для синхронизируемости орто ­
г о нальных кодов, по крайней мере. асимптотически совпадает с
условием малости веронтности ошибки в слове.
Тем не менее условие ( 14.82) дает чрезвычайно консервативную
оценку отношения сигнал/шум, требуемого длн синхронизации. Од­
ной из главных причин этого является предположение, которое не­
явно присутствует в (14.79), что любой стык слов имеет макс ималь­
но возможную корреляцию с каждым кодовым словом. За исклю­
чением, возможно, очень больших ортого н альных СJl оварей, тако е
прмп-олож,ение делает мес,праведл.ивым утверждение теоремы 14.29 .
Большинст,во стыков слов не ,будут коррелир,о,ваны так -сильно ,с ка ­
ким-либо словом словаря и, конечно, не будут коррелированы так
одновременно со всеми словами. Значительно более точные оцен­
ки синхронизационной задержки, связанные с ортогональными ко­
дами без запятой, были получены при использовании ограничею15J,
приведенного в теореме 14.29. Однако даже эти границы остаются
весьма консервативными. Э1<с п ерюнентальные данные показывают,
что в типичном случае требуется лишь несколько (5-10) принятых
слов для того, чтобы вынести решение относительно какой-либо
частной метки с приемлемо малой вероятностью ошибки.
472


АЛФАВИТНО-ПРЕДМЕТНЫП УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно самосинхронизирующиеся
коды 303
, у1шверсальная ·синхронизирующая
последовательность 309-311
, условия 304- 309
Аддитивная граница для ве-роятности
ошибки 44, 86
Аддитивно - циклическ·ое -свойство 3,73
АИМ 61-69 (см. также Амплитудно ­
им,пульсная модуляция)
Алгебраически синхронизируемые ко­
ды, испра,вляющие ошибки
447 - 451
Алгебраическое декодирование
395-3 .98
Алфавит
источника 284
канала 284
символов 77
Ал~тернативная гипотеза 14
Амплитудно - импульсная модуJ1яция
, влияние несовершеt>ной синхрони­
зации 263-2,73
, символьная синхронизация 200--
207, 2:7-2,26, 226-23 1
, системы ФАПЧ 234-238
, оптимальное
распределение мощ­
ности 2173 -279
фазов.окогерентная 61-64
фазовонекогерентная 64-69
Апериодический коэффициент корре -
ляции 462
Асимптотически эффекти·вная оцен к ;~
47
Асинхрон ,ный коэффициент корреля­
ции 458-461
, границы 458-4'61
кронекеровского произведения к о -
дов 459-461
Байесовская оценка 46
Байесовский тест 15, 43
Баркера последовательности 427-432
обобщения 430- 432
Баркера фазовые последовательност и
461-463
Белый шум 8
Биортогональный к.од 412
Биортогональный символьный алфа-
вит 84,-,85
Бло1,овые коды 286, 326
.
их ·синхронизируемость 326-354
Боуза - Чоудхури -Хоквингема коды
374-376 (см. также БЧХ ко­
ды)
БЧХ !{ОДЫ 374-376
их смежные классы, н е уя з вимы е
при потере сн.нхронизации
438-439, 441
Вандермонда определитель ,370
Вероятностное декодирование
398-399
Вероятность ошибки в символе 77, 91,
105-106 (см. также Вероят­
ность ошибки на бит, Ве­
роятность ошибки в ,слове)
, би.ортогональные символы 84-85
, границы ,
, когерентный прием 85----S7
, некоге рентный п рие м 93
, ортогО 1нальные с им во л ы
; когерентный прием 81-82
, иекогерентный прием 92
, ,при несовершенной синхрониза­
ции 27()-:273
, равнокоррелированые символы
, ко гере нтн ый прием 8·1-82
, некоге рентный
прием 92
, трансортогоналl:iные символы 84
,ФТ
, юогерентный прием 97-100
, относительно
когерентный при­
ем 102-104
, при несовершенной синхрониза­
ции 263-270
Вероятность ошибки в слове (см. так­
же Вероятность ошибки на
бит, Вероятность ошибки в
,символе)
, граница 402'----404
, связь с минимальным
расстояни­
ем 403-404
, сравнение с вероятностью ошибки
в символе 105,--,109
Вероятность ошибки на бит 105-109
(см. также Вероятность
ошибки в символе, Вероят­
ность ошибки в слове)
для двоичной rФТ
при несовершенной символьной
синхронизации 264-267
при несовершенной синхронизаци11
несущей 263-266
при опорной несущей, получае­
мой с помощью системы
Костаса 280-28:
при оптимальном распределении
М,ОЩНОСТИ 276
Вероятность ошибочного декодирова­
ния 401 - 406
, граница 402-404
Вес вектора 359
473


ВИМ (см. Время-импульсная :vrпн!lпу -
ляция)
Винера ф.ильтр 111-120
Винера.-Хопфа уравнение 114
Влияние неточной синхронизации
258-273, 282-283
A!ИvV\. 261-263
, двоичная ФТ 263- 270, 282- 283
ортогональные символы 270-273
ФТ 263-270
'
Время входа в синхронизм (см.
же С и нхронизационная
держка)
для систем ФАПЧ 136-141
так­
за-
для посл едова тельностей, быстр о
входящих в синхронизм 185
, единый канал 203-204, 209, 213
отдельный канал 155-163, )617-
,168, 173
Время-импульсная ман и пуляция 96,
97
, символьная
синхронизация 215 -
217, 224 -226
Выборок сооб щен и я синхрониз аш 1я
11, 463 -472 (см. также Слов
синхрон и за ция)
Вырожденный к ласс эквивалентност)I
3,12
в смысле ФТ 350
Высокого п о ря дка синхронизация 9,
154-19 2
Гене.ратор, упра вляемый нап ря же -
нием 125
Гил ь бер т а граница 365, 385-. 386
Гипотеза
альтер н ативная 14
н улевая 14
Грайсмера граница 364
Границы (см . также ,Вер оятность
ошиб1ш в символе, Вер оятность
о шибки в слове, границы для
них)
, аддитнвна я 44, 86
вероя тно·сти ошибочного декодиро-
вания 402-404
задержк и декодирования 29 6
индекса н еуязв и м ости 434, 435-437
индекс а свободы от запятой
432-434
максима льного коэффициента кор­
реляции IJ фазовых кодах 408
ми ним а льного начального расстоя­
ния в сверточных кодах 385-
387
~н11-111малы-юrо расстояния в кодах,
и спра вл яющих ошибки 360-
366
минимально го расстояния в к ода х,
ис пр ав.пяющих ошибки синхр о -
н изации 444,
•
474
си нхронизационной задержки 301,
302, 321
с!lн хронизацион11ой ош11бн1 отсле­
живания 131. 164
то чно сти оцен111заш1я 47
Чернова 404
чис.1а слов
сл оварях
чис ла слов в
зируемых
ФТ 351
Гру пповой код
в СilНХрО !·IИЗ!lру е мых
312-318, 327
словарях, синхрони­
при ·11спользовании
, фазовый код 407
Г рэя код 107
ГУН 125
Двоичная ФТ 100, 104
влияние несовершенной с11нхрони­
зации 264-267
оптимал ьно е ра спределе11ие мощ­
ности 274-277
, симв ольная
сннхронизащш 2'08-
209, 222-224
, синхрон из а ция
несущей 240-241
Декодер ы (см. также Декодиро ва ­
ние)
источника 8
канала 8
Декодирован ие 393-401, 412-413
а.1гебраическое 395-398
вероятн остное 398-3199
ыа ксима.пы10го пр а вдоподоб н я
393~395
, отказ при декодирован11н 405
ошибок и стираний 396
по обо бщ ен ному макс и мальному
расстоянию 397
гра н и ца для вероятност11 ошиб­
ки 402-404
п ороговое 399 - 401
п осдедова тельное 398-399
св ерточных кодов 398- . 401
с обрат ной связью 384
фазовых кодов 412-4 13
Декодируемые коды 286
, проверка
декоди р уемост и 293 -
296
Де,1ьта -мод уляция 2184
Демодул ятор 8, 56-61 (см . также
Приемники, Устройство 01(ени­
вания)
АИМ
ко герентный 61-64
неко герентный 64-69
J, орреJIЯUИОННЫЙ 59-60
макс и мал ьной апостериорной ве­
роятности 58
макс имального правдоподобия
58-59


с минимал ь ной среднеквадратиче­
ской ошибкой 57
с согласован н ыми фильтрами
59-60
ФТ 69-72
Детектор огибающей 89
Детермин и рованные сигналы 117
Дискретные системы связи 8, 76-110
Длина пачки ошибок 406
Достаточная статистиI<а 13
Задержка деI<одирования 287
, граница 296
, условие
ограниче н ной задержки
296
Зап ятая 344
Идеальный наблюдатель 16
ИК,,\!\. 284
Импульсно-кодовая модуляция 284
Импульсные системы связи
дискретные по амплитуде 8, 51-75
непрерывные по амплитуде 8,
51- 75
Инвариантные пути
, избыточно сть 353,--354
, коды без за п ятой с инвариантны­
ми путями ЗЗ 1-336
Индекс неуязвимости на т-й пози-
ции 434
БЧХ кодов 438- 439
, rра н .ицы 435-437
I<одов, исправляющих пачки оши­
боI< 4Sl-454
I<ронеI<еровсI<ого произведения, I<ро ­
некеровсI<ой суммы и I<асI<ад­
ных кодов 454-457
, прове р I<а 434
Рида-Соломона I<·одов 438
циклических кодов 437-442
Индекс неуязвимости степени 434
, ,границы для него 434
Индекс свободы от запятой 432
Информационный символ 356
ИсточниI<а кодер 7
Источника кодирование 284-287
, декодируемые коды 284-296
, проверI <а де I<о ди руе мо сти 293,-
2!96
,
синхронизируемые блоI<овые ко­
ды 326-331
без запятой 326-331
без запятой с инвариантными пу-
тями 331-336
префиI<сные 33·6 -344
при использовании ФТ 349-353
с запятой 344-349
, синхронизируемые
I<оды 297-325
, граница для чи сла
слов в них
312-318
построение максимальных сло­
ва•рей 3 18-326
, проверка синхронизируемости
297-302
с амосинхронизирующиеся
302-312
Хаффмана коды 1290-293
Источник информации ,7
l(адр (данные, сообщение) 11
Канал 7
с белым гауссовским шумом 8
мн оголучевой 110
с имметричный 406
Ка·скадные коды 3:81-383
, индекс свободы от запятой 454-
458
Квадратич11ан система 251
Ква нтоsанная ФТ 97-100 (см , так­
же Фазовая манипуляцин)
Классы векторов в порождающей
матрице 377
Класс верности 392
Класс эквивалентности
в смысле ФТ 350
вырожденный 312
п - последовательностей 3 12
си мволов 3115
слов 315
ФТ вырожденный 350
Когерентная система 70 (см. таI<же
Фазово-когерентные системы)
Код ( см. также Словарь, Де1юдируе­
мые коды, Синхронизируемые
коды, Коды с запятой, Коды
без запятой, Коды, исправляю­
щие ошибки, Фазовые коды,
Префиксные коды)
, Грэя 107
Манчестера '2:27
Хаффмана 290-293
Кодер ( см. также Кодирование)
источника 7
канала 7
Кодирование
пн нейных кодов 389
относите.1ь11ое 240
с верточных кодов 391
фазовы х кодо·в 412
u ик.тшческих кодов 390
Кодовое дерево 290
Кодов ое ограничение в сверточн ых
кодах 383
Кодовое слово 7, 286, 357
Кодовый символ 284
Ко,довый словарь 286
Коды без запятой 326-331
, и збыточность 353-354
; макс имальное число слов 327
475


, построение максимального слова ­
ря 327 -328
, доказательство свободы от за­
пятой 328-330
, построени е кодов с четной длиной
слов 330- 33 l
префиксные 33·6- 344
с ин.вариантными путя)!И 331 - 336
фазовые 458-401
Коды без запятой, исправляющие
ошибки 418-427
Коды, восстанавливающие синхрони ­
за цию 442
Коды , исправляющие ошибки 335 -
4.13
без запятой 418-42-7 (см. также
Коды без за.пятой, •ипр а вляю ­
щие ошибки)
, границы для
минима .1 ьно го рас ­
стояния 360-366
, исправление пачек ошибок 405-
406
ите ра 1'ивные 381
канонические 360
каскад ны е 381-383
, кронекеровское произведение 380
, кр он еке ровская сумма 380
линейные 358-360
, проверка 355-.'356
Ри да -Маллера 383
, связь Между расстоянием и воз ­
можностью исправлять и об ­
наруживать о ш и б ки 357-358
с запятой 418
синхронизируемые 414-472 (см.
также Синхронизируемые код ы,
·исправляющие ошибки)
систематические 360
Хэмминга 379
циклические 366-376 (см. также
Ци клически~ коды, исправляю­
щие ошибки)
Коды , ис правляющ ие пачки ошибок
40 5-406
, си н хронизируемость 451
Коды, испра вляющие ош ибки в син ­
хронизации 442 - 447
Ко ды, обнаруживающие ошибки 355,
356, 405 (см. та кже Коды, ис­
правляющие о ши бки)
Коды с за пятой 344-349
, избыточность 353 - 354
исправляю щи е о шибк и 417 - 418
связь с кодами без запятой 348-
349
чнсло слов в ма!,симальном сло­
варе 345-348
Корн евого годографа метод 146
для определения а·симптотики чис ­
ла слов в префиксном коде 340
47f>
Корреляционн ый приемни к 59-60
Косинусоидал ьный импульс 75, 229
Костаса система 24S-251
Крафта неравенство 287-290
Кронекеровск ая сумма кодов 380 -
381, 395
, lfНдекс свободы от запятой 454-
457
Кр11некеровское произ ведние (сум-·
ма) баркеровских фазовых по­
следовательностей 463
Кронек ер овское произведен ие кодов
380 , 409-41 О
асинхр онные коэффициенты кор­
реля ции 460-461
индекс сво боды от запятой 454-
458
Лидер смежног о класса 394
Ли метри ка 407
Линейная модел ь системы ФАП Ч
126-1 29
Ли нейные коды 358- 360 (см . также
Сверто ч н ые коды, Циклич еские
коды, исправляющие ошибки)
, ко дирование
и декодирование
389 -401
не,.1язви мость по отношению к по-
·тере синхронизации 418-422 .
порождающие 358
, провероч ная ма тр ица 359
Рида-Jv\аллера 383
снерт очные 383-389
, с1;яз ь с код ами с проверками 360
систематиче ские 3б0
Хэмминга 379
Ма ксимального правдоподоби я деко­
дер 393-395
1\'1 акс имальноrо правдопо:tобш1 демо­
дулятор 58 -59
, лим ·62
,ФТ70
.\1\аксимального правдоп одобия оцен­
ка 47
,
асимп т оти ческая эффектIJвность
47
М акс имального пра вдоподобия при-
емник
биортогональн ы х сигналов 84
когёрентный 79
некогерентный 88--89
ФТ
когерен тный 98
, относител ьный ·коге р ентIJы й
,100-103
Максима ,1ьног о прав д оподоби я прии­
щша оценка 4,8
Ма1< оимаJ1ьного правдоподобии сим ­
вольная синхронизация 196-
200
, AИJv\ 200- 207, 224-226


непрямоугольные символы 226-
231
, ортогональные символы 211 - 217
224- 226
'
, вим 215-----' 21 7, 224-226
, чт 211 - 216, 224-226
, О'I'слеживание 224-227
ФТ 207-21 ,1, .224-226
1\1\.аксимального правдоподобия син-
хронизация несущей 234
, АИМ 235-238
, большое
отношение сигнал/шум
242-246
, ФТ 238-242
Максимального правдоподобия тест
различения гипотез j6
Максимальной апостерrиорной вероят­
ности демодуля'!'ор 59
, АИМ62
, ФТ70
Максимальной апостериорной вероят­
ности оценка 4-6
Максимальной ап.остериорной вероят-
ности приемник
когерентный 7'8-79
некогерентный 88- 89
ФТ
, некоге р ентный при ем 98
, относительный
когерентный при­
ем 100-103
Максимальной апос териорной вероят­
ности тест
, две гипотезы 16
, много гипотез 43
.\•\аксимальной длины линейные по­
следователь ности
регистра
сдвига 178-181 (см. также
Псевдошумовые последователь­
ности)
Максимальной длины циклические
коды 372-373
,
аддитивно - циклическое свойство
373
, распределение весов 373 -374
.\tlаксимальные синхронизируемые ко­
довые словари 318-325
,
граница для синхрониза ционн ой
задержки 3211
граница для числа слов
, блоковые коды 314
, неравномерные коды 317
, ,построение 318-321
свойство полноты 325
, свойство префикса 319
, свойство
свободы от запятой
32б-327
Манчестера код 227
Марковский источник 285
Маркуса Q - функция 93
Матрица инцидентности для кодов
без запятой 332
Маттсона - Соломона многочлены 371
Мгновенно деиодируемый код 288
, достаточное условие существова­
ния 289
, необходимое условие существова­
ния 287~288
, число кодов 289
Мгновенно синхронизируемый код 311
Мебиуса функция 314
Метка -154
, обнаружение 155,' ·196-217
, отслеж-ивание 217-----' 23 1, 251-255
, оценивание 163-168, 1217
, поиск 154-163, 168-169
Метод свободы от запятой для син-
хронизации слов 464
Мимикрии частот ошибка 55
Минима~rсная оценка 58, 75
Минимаксное решение Н .
,Минимально-среднеквадратическая
оценка 46
Минимально -среднеквадратиче ские
линейные фильтры 111-126
Минимально-среднеквадрати че ский
демодулятор 57-58
АИМ 64
-
, ФТ71
Многолучевой канал 110
Модулятор 7 •
Модуляция с пассивной па узой 226
Мощность теста различения г ипотез
14
Наблюдаемые 13
Найквиста теорема отсчетов 52-55
Начальное _расстояние в сверточных
кодах 385
, границы 3185--387
Начальное слово 384
Неймана-,Пирсона критерий 16
Некогерентный 10 (см . также Фазо-
во-некогерентный)
Некогерентный согласованный фильтр
89
Неоднозначность во времени 11
Неравенство Рао-Крамера 47
Несущая 7
Несущей синхронизация 10, 148-154,
234-257
, АИМ 234- 238
, большое отношение сигна л / шум
242-246
, квадратичная система 251
обратная связь от реш а ющего
устройства 242'- 2 46
система Костаса 246-251
, система п-й степени 251
, ФТ 234-238
Неточность оп о рной фазы, ее вл 11я1-rие
, АИМ 261-263
477


, ортогональные символы 268-273
, ФТ 266- 270
Неуязв,имость при синхронизации на
т-й позиции
, индекс 434 (см . также Индек,с не­
уязвимости степени μ)
к одов Хэмминга 424-425
, проверка неуязви.мости 419-422
укороченных циклических кодов
423--424
циклических кодов 422-423
Никогд,а сам-онесинхронизирующиеся
коды 303
Нулевая гипотеза 14
Нуль-.пространство
линейных колов 360
циклических кодов 367-368
Обеляющий фильтр 75
Обнаружение меток 155, 196-200
Обобщенное минимальное расстояние
397
, декодирование 395-398
Обратная связь от решающего уст­
ройс тва 242-246
Обращенный код 294
Ограничитель в системах ФАПЧ
135-,136, ,146-147
Огибающей детектор 89
О пт им а льное распределение мощно-
с ти 273-279
, АИ?,1 274
, орт о гональные символы 277-279
, ФТ 274,-277
О пти мал ьные линейные фильтры
! 1!-126
Опти ~шза ция фильтра системы
ФАПЧ 129-136
Ортогон ал изированные коды 400
Ортого на .п ьные коды 4(},9
О ртог он а л ьные проверочные уравне-
ния 400
r -орт о г онал ьны е фазовые коды 412
О ртогональн ый символьный алфавит
8!
, генери,рование95- 97
О ртого на.п ьных символов вероятность
ош и бка 80-83, 91-92 (см.
та к же Вероятность ошибки в
симво .1е )
О ртогональн ых сим,волов синхрони­
заци я 2 11-217, 224-22'6 , 273-
2.82
Остаточная ошибка
в с и нхро нной с истеме связи 264
на вых о де линейного фильтра 116
О т д ельны й к анал синхронизации
47,8
148- 195
~, еткн
, оценив ание lб3-l68
, пот:: к 154-163
, отсчеты в ремени
, несинусоидальные 150-154
синусоида .'!Ьные 14:8-150
последовательности, быстро вхо -
дящие в синхронизм 1-81 -189
, псевдошумовые
последовательно ­
сти 1:75-181
, фазовонеког е р е нтный прием 168-
,l 75
Относительная когерентная фазовая
манипуляция 100-104
, символьная синхронизация 209-
210, 224
Относительное кодирование 240
Относительный когерентный прием
100
Отслеживающие фазу устройства
оценивания 124-126
Отсчетов времени синхронизации 9
(см. также Несущей синхрони­
зац,ия)
Отсчетов теорема 52-55
ОФТ (см. Относительная когерентная
фазовая манипуляция)
Оцен.ивание
, граница точности 4.7
статистических параметров 45-48
Оценка [с м. также Оцениваиие, Уст­
ройство оценивания (формула
оценки)]
а•оимптотичесю 1 эффек"!'ивная 47
байесовская 46
максимального правдоподобия, 47 ,
58
минимаксная 58- 75
минимизирующая среднеквадрати ­
ческую ошибку 46 , 57, 1И-
1!3
по максимуму апостериорной ве­
роятности 46, 58
по принципу максиму м а правдопо­
добия 48
эффективная 47
Ошибка
второго ро да 14
первого ро д а 14
Ошибок вероятности (сы. также Ве­
роятность ошиб к и на бит, Ве­
роятно ст ь ошибки в символе ,
Вероятн о сть ошибки в слове)
границы
для кодов, и с правляющих ошибки,
402-404
при фазовокогерентно м при вме
85
при фазо в онеког е р е нтном приеме
93
сравнение в ероятно стей ошибок на
бит, в символе, в слове 105-
109


Ошнбок и стираний декодирование
396
Перехо:цные •ошибки в ,си,стемах
ФАЛЧ 132
Период повторения для префикса
337
Период п-последовательност,и
312-3'13
Перфорированные цикличе ские коды
376 - 379
Плоткина граница 364
Поднесущая 7, 258
Понск 26-42, 154-163
меток 154-163
непрерывно продолжаемый 36
оптимальный 3,9 - 40
последовател ьный 32-40, 1,61, 163
с задержа нным решением 159-161
с фиксированным объемом выбор-
ки 29-32, 156-1 61
Полифазные коды 407-4 10, 458-461
( с м. также фазовые коды)
По.'!нос тью ортогонализируемые коды
400
Полный словарь 289-29(}, 325- 326
Полуупорядоченные разбиения цело-
го числа 316
Пополнение кодового словаря 305
Пороговое декодирование 3:99 - 40 l
Порождающая матрица
, линейные коды 358
, све рточные коды 383
, циклические коды 368
Порождающ и й м,ногочлен
нуль -пространства циклического ко­
да 369
цикл ических кодов 367
Порождающие линейного к ода 358
Последователь ное декодирование
398 - 399
Последовательности, быстро входя­
щие в синхронизм 181-189
Последовательны й поиск 32-40, ,161,
163
Последовательный тест ,отношения
плотностей вероятностей
, :11 1-юго гипотез 44-45
, простые гипотезы lfl- 22
, сложные гипотезы 25- 26
Потери синхронизации вероя тн ость
146
Правдоподобия принцип 47
Правдоподобия урав нение 47
Правдоподобия функция 16
Правильный симплекс в качестве ал-
фавита 84
Предсказывающий фильтр 11'9
Префикс кодового слова 288
Преф.иксная процедура построения
максимальных синхронизируе­
мых кодовых словарей 319-
321
, доказательство оптимальностн 322
, доказательство
синхроиизируем о­
сп1 320-321
, порождающая функция для числа
·слов в словаре 323
Префиксные 1,оды 336-344
, исправляющие ошибки 415-417
модифицированные 337
, число слов в них 33,7-344
Префиксный метод синхро низа ции
сло в 464
Приемник
максимальной апостериорно й ве­
роятнос ти 78, 88-89
с класса,ми ве рности 392
с ,согласованными фи льтр ами 79
некогерентный 89
фазо вокогерентный 78-8!
фазовонекогеретный 88-91
ФТ 98
, относительной · кргерентной ФТ
100•-104
Проверка 356, 359_: __350
, вектор 359
, матрица 359
, порождающ ий многочлен 368
символ 356
Проверка гипотез (тест)
, много гипотез 42 - 45
, просты е гипот езы 14-17
, сложные гипотезы 22'-26
Проверка гипотез пр и фиксн роIJа н-
ном объеме выборки
много гипо тез 42
, простые гипотезы ·14
, сложные гипотезы 22
Псевдослучайные последова тельности
(см, Псевдошумовы е по следо­
вательности)
Псевдоциклические коды 377
Псевдошумовые после довательности
il75-lt81, 253-254, 372-381
Путь на кодовой матрице инцндент ­
ности 332
ПШ-последовательности (см. Лсевдо-
шумовые последовательности)
Равномерно наиболее мощный тес т 24
Равномерные сверточные коды 388
Разбиваемый 1,од 304
, необходимое II достаточное усло­
вие 306, 308-309
Райсовское распределение 91
479


Распре делен и е мощности в синх рон­
ны х системах связи 258-283
( см . также Оптимальное рас­
преде .1ение мо щности)
Рас стояние
Л11 407
нача ,1ы-10е 385
обобщенное минимальное 397
хэмыннговск ое 358
Расш1-1ренне макс1-1мального синхро­
н1-1знруе мого словаря 320
Расщеп л~,нн ый строб
си1-1хроннзат ор
с
расщ е п ленным
стробо м 222-226
Рацнон альн ый с пектр 116
Р ебер с11нхро низация 415
Регнст р сдвиг а, линейный с обратной
связью 177, 373, 390
Релеев ские зам ирания в канале 110
Р елеевское ра-спределение 91
Решающие переменные 155
Р ида -М аллера коды 383
, ин3.екс св ободы от за пятой 457-
458 . 461
Р1-1 да-Со.10}1 она коды 376
, инд екс неуя звимости 440- 441
, и с правляющие ошибки синхрони ­
зации, 443-444
С-амос ннхрони зирующиеся коды
302-312
Сардинаса -Паттерсона алгоритм
293-295
С верточ ,ные код ы 383-389
, декодирова ние 398-401
, длп!-lа код ового ограничения 3-83
, нач альное расст-ояние 384-385
, граница 385-387
, н~1ча льн ое слово 384
порож да ющая матриuа 383
, скорость
передачи информаuии
383
Свободы от за пятой и ндекс 432-
434, 441
, граница 43 2-433
кроне;,еровск ого произвед е ния, кро­
некеровск ой ,с уммы и каскад ­
ных кодов 454-458
Рида-М. а .1лера кодо'3 457-458,
4,6 1
Сво йст во п рефикса 288, 319
Сглаживающ ий фильтр 119
Сегмент суф фиксного разложения
2.93
Сип1ал /шу,1 . от1-10ш е ние в импуль с ­
ных , 1Iстемах связи 55
Симво л
данных 7
инфор мащ rи 355
источ ника 284
кан а .1::1 77
кода 284, 355
приемника 392
проверочный 35б
Симв олы приемн ика 392
Символьные син хр онизаторы 1196-233
АИМ 200-207, 2,1\7 - 23,1
максимального правдоподобия
19 6-200, 217
, непрямоугольные
символы
226- 231
, ортогональные си мволы 211-217,
224 - 226
, отслеживание 217-226
, символы, име ющие «тонкую струк­
туру», 25 1-256
с отстающим л опережающим стро­
бированием 222-226
ФТ 2()7-211, 2'17-231
Символьные синхронзаторы с диффе-
ренц.и ров анием 229-230
Символьный алфавит 77
Симметричный канал 406
Сингулярность за пятой 344
Синдром 3.9 4-495, 425, 44'8
Синхрониз а тор с отстающи м и опе-
режающим стр-обирова-нием
222-223
Син х ронизаторы , отслеживающие
символы 217-222
, когерентная АИМ, бифазная ФТ
217- 224
, некогерентная АИМ,
недвоичная
ФТ , относительная коге р е нт ная
ФТ 224
, непрямоугольные символы
226-
2311
, ортогональные символы 224-226
Синхронизационная задержка 297,
414-415
в канале с гауссовским белым шу­
мом
ме то д свободы от запятой
470-471
, преф иксн ый метод 469-47()
в каналах с шумами 468-472
в q - ичном симм етричном канале
470 - 471
, метод своб оды от запятой
470-471
, префиксный метод 408-469
, границы З Gl-302 , 32,1
для код ов без запятой 326
для кодов без .запятой с инвариант­
ным.и путями 333
, условие ограниченноспr задержки
298-299
Синхронизационная ошибка отслежи­
вания
, границы
131, 164, 1192-195
, ошибка отслеживания несущей


АИМ 237-238
большое отношение снгнал/шум
244-245
при отдельном канале 150, 152,
153
ФТ 242
ошибка отслеживания символа
АИМ ФТ 221, 223-224, 229-
230
, ортогональные символы 224-
226
системой ,Костаса 248-250
Синхронизация 9 (,см. также Несу­
щей синхронизация, Выборок
сообщения синхронизация, Сим­
вол, Слово)
в каналах с шумом 426-427
, выбор символов для синхрониза­
ции 175-188
высшего порядка 10, 154--'l 92
, границы
для точности 131 , 164,
192-194
кадров сообщения 11
несущей (отсчетов времени) 10,
148-154, 234-257
, неуязвимость на т-й позиции
419-422
, ура.внение для неуязвимости 419
по отдельному каналу 148-195
ребер 415
символов 1О, 196-23-3
слов :!'1
''.
, сравнение синхронизации по еди ­
ному каналу с синхронизацией
по отдельному каналу 279-282
узло'в 415
фазовонекогерентная 168-175
Синхронизируемщ:ть 297 ( см. также
Синхронизируемые коды)
Синхронизируемые коды 297 (см.так­
же Коды с запятой, Коды без
запятой, Префиксные коды,
Синхронизируемые при исполь­
зовании ФТ коды, Синхронизи­
руемые коды, исправляющие
ошибки, Синхронизируемые фа­
зовые коды)
блоковые 326-354
, избыточность 353-354
, построение 327-328, 331
, граница для числа слов 312-318,
327
с различными длинами слов 297-
325
, максимальное число слов дли­
ны L .или меньше 325
, проверка 298-299
, построение, 318-3,25
Синхронизируемые коды , исправляю­
щие ошибки 414--472
алгебраически синхронизнруе:vrые
447-451
, границы для расстояния 444
, коды без запятой 418-425
коды, исправляющие пач ки оши­
бок 451-454
, коды с запятой 417--413
префиксные коды 415--417
, циклические ко·ды 437-44 1
Синхронизируемые при испо льзовании
ФТ коды
, избыточность 349-353
Синхронизируемые фазовые коды
458-461
Синхронизирующие посл.едов ательно­
сти 304-305
Синхронная система связи 6
Система синхронизации с задержкой
195
Системы отслеживания при большом
отношении сигнал/шум для не­
сущей 242-246
Систематические коды 360
, граница для индекса
неуязвимо ­
сти 436
УЯЗВИМОСТЬ •ПО ОТНОШNIИЮ К ПО­
тере синхронизации 423
Снстемы отслеживания при наличии
«тонкой структуры» 251-255
Системы ФАПЧ 125-146
,
вероятность потери синхрониза­
ции 146
, время входа в синхронизм 136-
141
.
второго порядка 133
с неточным интегратором 146
для несинусоидальных сигналов
141-146, 15{}-. : -154
, линейная модель 126
обобщенные
для отслеживания модулирован­
ной несущей 234-251
для символьной синхронизащии
217 - 231
, оптимизация 129-136, !48-154
, ошибка отслеживания 131-134
первого порядка 133
, построение сигналов 148-154
, среднее время потери синхрониза-
ции 146
третьего порядка 134
, ширина полосы 131
, эффективная
амплитуда сигнала
1144, 150-151, 219
Скорость передачи инфор маци и 357
для сверточных кодов 383
Словарь
декодируемый 286
, исправляющий ошибки 357
кодовый 286
481


мгновенно декодируемый 288
обращенный 294
полный 289
Слово
кодовое 7, 286, 357
данных 7
Слов си нхронизация 11
, блоковые ,коды 326-354
, выбор статистик 4·63-= -468
коды, исправляющие ошибки,
4 14-472
неравномерные коды 297-325
, синхронизационная
задержка в
канале с шумами 468-472
Сме)!ШЫЙ класс фазового кода 411
Смещение статистической оценки 47
Согласованные фильтры 59
, некогерентные 89
Состояние источника ,13
Спектральная плотность мощности
им:nульсной ·последовательности
56
Спектр импульсной последователь­
ности 56
Среднее -время потери ,синхро низма
146
Среднеквадратическая -ошибка, зада­
ющая стоимостную функцию
46
Среднеквадратическая ширина .поло­
сы :19з
Статистика 13
, п-ой степени система 251
Степенн ая группа фазового ·кода 408
Стираний декодирование 396
Стирающий канал 393,
Стоим<Jстная функция 45
Стоимость статистического решения
14
Суффикса свойство 295
Суффикс кодового слова .288
Суффиюсное разложение
, кодовый словарь 293
множ е ства 299
Тест отношения ,плотностей вероятно­
стей 17
Тест среднего максимального правдо­
подобия для различения .гипо­
тез 24
Тихон ова распреде.~ение 147, 265
Трансо ртогональный код 409
Трансо ртог ональный символьный ал-
фав ит 84
Узлов син хронизация 4 I5
Укороченные циклические коды 376-
379
а."1гебраически синхронизируемые
- 448-449
неуязвимые по · отношению к доте­
ре синхронизации 42 3-424
Универсальная синхронизирующая
последовательность 309-31 l
:">'порядоченные разбиения целого чи~­
ла 31,6
Уровень значимости теста различения
гипотез 14
Устойчивый фильтр 1!'4
Устранение избыточности в сообще­
нии 2,86
Устройство автоматической регуш1-
ровки усиле ния 135-136
Устройство оценивания ( форму ла
оценки) 46
меток ·163 -168
модулированного сигнала 217
, минимизирующее среднеквадрати­
ческую ошибку ,113......;126
фазы 69 - 72, 123-126, 141-146
модулированной несущей 235-
251
Фазовая манипуляция ( см. также
Двоичная ФТ)
влияние неточной синхронизацин
263
, дискретная амплитуда 9i-100
квантованная 97-100
непрерывная по амплитуде 69-72
, с,птимальное распределение мощ-
ности 273-279
относительный когерентный пр нем
100-104
, символьная синхронизация 207-
'211, 217-231
системы отслеживания несущей
238-246
Фазовокогерентные ортогональные
КОДЫ 409
Фазовокогерентные системы 10
Фазовокогерентный при ем дискре т ­
ных символов 78-S7
Фазовонекогерентная символьная син­
хронизация 168-175, :198-200
, АИМ 204-207, 224, 225
, символы, имеющие «тонкую стру­
туру» 251-256
Фазовонекогерентные системы 1О
Фазовонекогерентный прием дискрет­
ных символов 88-95
Фазовые коды 407-413, 458-46!
без запятой 458-461
биортогональные 412
границы для .ма1<:симальноrо ко­
эффициента корреляции -408
, кодирование и декодирован.ие
412-413
ортогональные 4'09.


ортогональные в фазовокоrерент-
ном смысле 409
r-ортоrональные 412
, степенная группа 400
трансорт-огональные 409
Физически реализуемый фильтр 113
Фиксированный объем выборки
, поиск 26-32
Фильтр системы , ФАПЧ
, оптимизация 129-1·36
ФТ 69-72, 97-100 (см. также Фа­
зовая манипуляция)
Q-функция 93
Хаффмана коды 290-293
Хорошо оканчивающаяся i-последо­
вательность 337
Хэмминговская граница 364
Хэмминг.овские коды 379
, не у язвимость по отношению к по­
тере синхронизации 424-425
Хэммннговское рас-с тояние 358
в сверточных кодах 384-389
в циклических кодах 371
, границы 360-366
Цепи
фильтра оптими за ци и 129-134
, ширина полосы , 131
Циклические коды без запятой
422-426
Циклические коды, исправляющие
ошибки Э66-З.76
, алгебраически синхронизируемые
4'47 -448
, без запятой 422-425
БЧХ 374-376
, ин д ек с неуяз вимост и 437-441
,
исправляющие и обнаруживаю­
щие пачки ошибок, 405-406
исправляющие ошибкн синхронн­
зацни 442-447
, максимальной дл и ны 372-373
, мини мально е
расстояние 371
, неуязвимо сть по от но ше нию к по­
тере синхронизации 422-423 ,
425
, пер фори рова нны е 377-379
, порождающая матрица 368
порождающая матрица ну ль -пр о­
странства 368
, порождающий многочлен 367
проверочный многочлен 368
, псевдоциклич еские 37'J
, укороченные 376-J77
, Хэмминга 379
Частичной ав токорреляцнн функция
254
Частичной корреляции коэффициенты
:\91
Частично самосинхронизирующийсн
КОД 303
Частотная манипуляция 95
,
символьная синхронизация 211-
215, 224-226
Чернова граница 404
ЧТ ( см. Частотная манипуляция)
Шум
белый гауссов•ск ий 8
небелый гауссовский 75
Элайеса граница 363
Эффективная амплитуда си гна ла в
система х ФАПЧ 14 4, 15 0-15 1,
218-219
Эффективная оценка 47
Эффективная ширина п оло сы 56
АИМ
, коге рентны й прием 64
, некогерентный прием 69
, ви.м 97
ФТ 72
'
чт 72
«Эффект квантования » пр и посл едо -
вательном поиск е 40, 49


ОГЛАВЛЕН И Е
Пр еди с ловие редактора перевода
Предис л овие
Часть !
ОСН ОВЫ ТЕОРИИ
Глава 1
Синхронные системы связи
l. l . ,Введение
1.2 . М одель системы связ и
1.3 . З ада ча синхронизации
Глава 2
Проверка гипотез, теория решений и поиск
2.1. ,В ведение
2.2. Выбор между двумя простыми гипотезами
2.3 . П оследовательный тест отношения плотностей вероятностей
2.4 . Пр о верка сложных гипотез
2.5. Поиск
2.6 . П осл едовательный поиск
.
2.7 . О б оп тиыальном последовательном поиске
2.8 . П ров ерка многих гипотез
.
2.9 . О цен к а СТi!ТИСтических параметров
Задачи
Глава 3
Непрерывные по ампли туде и дискретные по времени системы связи
3.1 . Введение
3.2 . Те о р ема отсчетов
3.3 . О р а сче т е систем импульсной модуляции
3.4 . Опти м а ,1ьная демодуляция
3.5 . Ко ге рентная ам плитудно-импульсная модуляция
3.6 . Н е1,о герентная по фазе амплитуд но-импульсная модуляция
3.7 . Ф азо вая манипуляция
3.8 . З ак ,1 ючительные за м ечания
Задач н
Глаnа 4
Дис к ретные по амплитуде и по времени системы связи
Ст р.
3
4
6
6
9
3
14
18
22
26
32
40
42
45
48
51
52
55
56
бl
64
69
72
74
4.1. В uедение
76
4.2. О пт1ща льный когерентный по фазе приемник и его х арактеристики
78
4.3 . Некогерентный по фазе прием
88
4.4. ,Ген ер ирование ортогональных символов
.
95
4.5. Ф а зовая манипуляция ( ФТ) . Когерентный по фазе прием
97
4.6 . Ф аз овая манипуляция. Относительный когерентный прием
100
4.7 . Сра внение вероятностей ошибок в бите, симво л е н сл ове
105
4.8. Закл ю ч rпельные замечания
109
Задач11
110
484


Глава 5
Оптимальные фильтры, cor ласованные фильтры и системы фазовой
автоподстройки частоты
5.1. Введение
5.2 . Оптима,1ьный линейный фильтр
5.3 . Пересмотр теории согласованных фильтро в
5.4. Формулы оценок при отслеживании фазы
5.5. Линейная модель
.
5.6. Оптимизация фи льтра в системе ФАIПЧ
.
5.7. Время входа в синхронизм
5.8. Снстеыы ФАПЧ и несинусоидальные сигн алы
Задачи
Часть i/
СИНХРОНИЗАЦИЯ
Глапа 6
С11нхронизация по отдельном у каналу
6.1. Введение
6.2 . Синусоидальные сигналы време ни
6.3 . Несинусоидальные сигналы в ремени
6.4 . Поиск ~1етки
6.5 . Оценка меток
6.6 . Фазовонекоrерентная син хрониз ация
6.7. Выбор сиихросигнала . Псевдошумовые последовательности
6.8. Выбор синхросигна ла . Последовательности, быстро входя щие в
хронизм
6.9 . Заключительные замечания
Задач11
Глава 7
Синхронизация символов по ма 1<симуму правдо п одобия
7.1 . Введение
7.2 . Символьный синхронизат ор мак симально го пра вдоподо бия
7.3 . Синхронизация символов АИМ
7.4 . Символьная синхронизация для ФТ
.
7.5 . Синхронизация ортого наль ных символов
7.6 . Синхронизаторы, отслеживающие символы
7.7 . Синхронизация непря моугольн ых символов
7.8 . Заключительные замечания
Задачн
Глава 8
Синхронизация несущей методом максимального правдогюдобия
син-
111
113
121
122
126
129
136
141
146
148
148
150
154
163
168
175
181
189
192
196
196
200
207
21!
217
226
231
232
8.1 . Введение
234
8.2 . Синхронизация АИ1\11 несущей
235
8.3 . Отслеживание фазы ФТ несуще й
238
8.4 . Отслеж ивание фазы несущей при больш ом отношении сигнал/шум
242
8.5 . Система Костаса и .квадратичная система
246
8.6 . Отслеживание символо в , имеющих ·«т он кую структур у ;,
251
8.7 . Заключительные замечания
256
Задачи
256
Глава 9
Задача распределения мощносп1
91.
92.
9.3 .
Введение
Влияние
дуляция
.Влияние
.
.
.
.
.
неточност ей в опорных сигналах. А,шлитудно - 1!мпульсная ~ю-
неточно стей в опорных сиг налах. Фазовая ман ипуляция
258
261
263
485


9.4. Влияние неточностей в опорных с и гнала х . Орто гональные символы
9.5. Оптимальное распре де л е н ие мо щности
9.6. Ср а внение синхрониз а ци и no отлельному ка налу с синхронизаци е й в
слу чае единого ка на ла
9.7. За ключ1п е ю,ны е заыечання
Часть JII
КОДИ РОВАНИЕ
Гл ава 10
Кодир о вание исто•1ника . Одно з на ч. ность дек о д ир о вания
270
273
279
282
10.1. Вв ед ени е
284
10.2 . Неравенство Крафта 11 fHJ,1н1.,1e словари
287
10.3. Коды Хаффмана
290
10.4. Проверка произвольного с:юваря на однозначную декодируемость
293
Глава 11
Синхрониз и руемость
11.1. Вв е денне
11.2. Проверка словаря на сн нхронизируе мость
11.3 . Самосинхронизирующиеся 1,одовые словари
11.4 . Верхняя граница для ч исл а ,слов в синхрони з ируе м ом словаре
11.5. Максимальные синхрони з и руемые сло вари
.
Глава 12
Синхронизируемые бJJОковые коды
12.1 . Введение
12.2 . Коды без запятой
12.3 . ,Коды без з апятой с инв ариантными пу т я111и
12 .4. Префиксные коды
12.5. Коды с запятой
12.6 . Блоковые коды, синхрони зируемые при 11 спо :1ьзо в а нии ФТ
12.7 . Заключительные з амечани я
Глава 13
Кодирование для устранения ошибок
297
297
302
312
318
326
326
331
336
344
349
353
13.1 . Введение
35Б
13.2. Линейные ко д ы
358
13.3 . Границы для минимальн о г о расстояни я между к одовыми словами
360
13 .4. Циклические коды
366
13.5. Некоторые важные ци1тичес1ше 1,оды
372
13.6. Перфорированные цикличе ск и е коды, у короче нн ы е циклические коды
и коды Хэмминга
.
.
.
376
13.7 . Кронекеровское nроизвед ен,не, кронекеровск ая сум ма и каскадные ко-
ды.
379
13.8 . Сверточные коды
.
.
383
13.9. Кодирование и декодирование л ин ейны х к одо в
389
13.10. Вероятности ошибочного де ко дир о в а ни я
401
13.11 . Кодирование для канал а с бе.1Jым гаусс о вск и м ш у мом. Полифазные
!ШДЫ
406
Глава 14
Синхронизируемые коды , испра11.чяю щие ош ибки
14 .1. Введение
.
.
.
.
.
14.2. Префиксные ко д ы н коды с запятой, 11 с п р авляющ не ошибки
14.3. Коды без запятой, исправляющие ошибки
14 .4. Циклические коды б ез з а п ятой
.
.
.
.
14.5. Синхронизация в к а н алах с шумами
486
414
415
418
422
426


14.6. Последовательности Барке р а
427
14 .7 . Индекс свободы от запятой
432
14.8. Вычисление индекса неуя з виыости смеж н ых J{лассов линейных кодов 435
14.9 . Индекс неуязвимости циклических кодо в
437
14 . 10. Коды, исправляющие ошибки синхронизации
.
442
14.11 . Алгебраически синхронизируемые коды , исправляющие ошибки
447
14.12 . Синхронизируемые коды, исправляющие пачки ошибо1,
451
14. 13. Индекс свободы от запяrой в кронекеровском произведении кодов,
кронекеровской сумме кодов и в каскадных кодах
454
14.14 . Фазовые коды без запятой
458
14. 15. Фазовые последовательности Баркера
461
14.16. Синхронизация слов и кадров. Выбо р статистик
463
14. l 7. Синхронизация слов и кадров. Синхронизационная задержка
468
Алфап11тно-прсдмстныII указатель
473


Дж. Дж. Стиффлер
Теория синхронной связи
П е р. с англ. Б. С. Цыбакова
под ред. Э. М. Габидулина
РедакторС.Т.Симонова
Техн. редактор К- Г. Мар к о ч
ХудожникА.В.Львов
Корректор Л. Н. Леще в а
Сдано в набор 10/Х! 1974 г .
Подписано в печ. ,J0/IV 1975 г .
Форм. 60Х90/ 16
Бумага nисч. No 1
.ЗО,5 усл.-n. .а.
33,25 уч.-изд. л.
Тираж 7 700 экз.
Изд. No 16374
Зак. No 281
Цена 2 руб. 90 коп.
Издательство «Связь», Москва 101000 ,
Чистоnрудный бульвар, д. 2
Типография издательства «Связь»
Госком издата СССР
Москва 101000 , ул. Кирова, д. 40