Элементарная квантовая теория поля - Тирринг В., Хенли Э.

Author: Тирринг В. Хенли Э.

Tags: физика теория поля квантовая физика

Year: 1963

Similar

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля

Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля

Этюды о симметрии

Теория тяготения и эволюция звезд

Text

Elementary
QUANTUM
FIELD THEORY
by
ERNEST Ж. HENLEY
Professor of Physics
University of Washington
and
WALTER THIRRING
Director
Institute for Theoretical Physics
University of Vienna
McORAW-HILL BOOK COMPANY, INC.
New York — San Francisco — Toronto — London
1962

Э. ХЕНЛИ и В. ТИРРИНГ
Элементарная
КВАНТОВАЯ
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Перевод с английского А. А. Ансельма
Под редакцией Ю. В. Новожилова
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва L963

АННОТАЦИЯ
Квантовая теория поля—.передний край* теоретической фнзнки—пред-
фнзнки—представляет собой один из наиболее мощных методов изучения структуры и
свойств элементарных частиц, их взаимодействия и взаимных превращений.
В настоящее время значение квантовой теории поля вышло за этн пределы:
разработанные ею методы применяются в статистической физике ядра, твер-
твердого тела, в квантовой химнн, и знание ее стало теперь необходимом спе-
специалистам, работающим во многнх областях физики. Однако сложность мате-
математического аппарата квантовой теории поля в известной мере .отпугивает'
тех, кто не связан непосредственно с его применением.
Книга .Элементарная квантовая теория поля" представляет собой удач-
удачную попытку просто и понятно изложить основы этой теории. Для ее чтения
достаточно знания квантовой механики в объеме курса, читаемого на. боль-
большинстве физических и физико-технических факультетов вузов.
В первой части книги излагаются основные представления теории и ряд
вводных вопросов (уравнения поля, операторы физических величин, пере-
перестановочные соотношения, квантование свободного поля).
Вторая часть посвящена квантово-полевым моделям, для которых можно
получить точное решение уравнений теории. Рассматриваются нейтральная
скалярная теория, .парная' теория, модель Ли.
В третьей части обсуждаются взаимодействия гс-мезонов с нуклонами,
ядерные силы (в основном — статическая модель), а также вопросы вторич-
вторичного квантования.
Можно надеяться, что настоящая книга будет весьма полезной всем
приступающим к' изучению квантовой теории поля, физикам — теоретикам
и экспериментаторам, занимающимся элементарными частицами, теорией
твердого тела, статистической физикой, специалистам по квантовой химии,
студентам и аспирантам ряда физических и инженерных специальностей.
Редакция литературы по физике

ПРЕДИСЛОВИЕ
РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Идеи и представления квантовой теории поля играют важную
роль в современной физике, и значение ее вышло далеко за рамки
физики элементарных частиц. Квантово-полевые методы с успехом
применяются и в физике твердого тела, и в физике атомного ядра,
и в статистической физике. Появились уже работы, в которых, эти ме-
методы применяются и к задачам квантовой химии.
Успех квантовой теории поля в объяснении многих явлений, ле-
лежащих вне физики элементарных частиц, свидетельствует о том, что
именно квантовая теория поля позволяет наилучшим образом понять
большой ряд явлений, относящихся к равличным областям физики.
Убедительный пример успешного применения квантово-полевых мето-
методов дает объяснение сверхпроводимости. Поэтому представления
квантовой теорий поля должны быть в наше время достоянием не
только физиков-теоретиков и той части экспериментаторов, которая
работает в области физики элементарных частиц, но и инструментом
исследователей, занятых в области твердого тела, ядерной физики,
статистической физики, т. е. практически всех физиков.
Изучение квантовой теории поля, однако, серьезно затруднялось
отсутствием достаточно простого учебника, в котором изложение
основных представлений велось бы не на основе абстрактного и
сложного математического аппарата современной теории, а на базе
тех сведений, которыми в наше время располагает каждый подгото-
подготовленный студент старших курсов. В книге известных специалистов
в области квантовой теории поля Тирринга и Хенли сделана попытка
изложить физические идеи квантовой теории поля на основе про-
простейших моделей, без обращения к сложному математическому аппа-
аппарату. Тирринг и Хенли строят квантовую теорию поля как естест-
естественное обобщение классической квантовой механики на случай не-
непрерывного распределения осцилляторов. При этом рассмотрение
общих вопросов включает также и обсуждение проблемы внутренней
симметрии.
В книге подробно изложены вопросы взаимодействия квантован-
квантованного поля со статическим источником в различных моделях. Особое

Предисловие редактора перевода
внимание уделяется моделям, допускающим точные решения (нейтральная
скалярная модель, парная теория, модель Ли). В каждом случае про-
проблема рассматривается как с квантово-полевой, так и с классической
точки зрения.
Большой интерес представляет систематическое изложение физики
тг-мезонов (взаимодействие тг-мезонов с нуклонами, свойства нуклона,
ядерные силы) с помощью статической модели. Эта модель позволяет
понять качественно и в очень доступной форме значительное число
явлений физики элементарных частиц малых энергий. Поэтому книга
может также служить хорошим введением в физику тс-мезон-нуклон-
ного взаимодействия.
Ю. Новожилов

ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель настоящей книги — изложить те представления и методы
квантовой теории поля, которые не связаны с особыми математи-
математическими трудностями и не требуют углубленного понимания специаль-
специального принципа относительности. В рамках этого подхода из различ-
различных приложений квантовой теории поля основное внимание было
уделено физике элементарных частиц.
Чтобы сделать книгу доступной широкому кругу читателей, мы
предполагали предварительное знание лишь нерелятивистской кван-
квантовой механики. Весь остальной необходимый аппарат развивается
в тексте. Так в первой части одновременно вводятся математическое
и физическое описания квантованного поля. Особое внимание уде-
уделяется принципиальным концепциям теории. Однако рассматриваются
только поля, подчиняющиеся статистике Бозе — Эйнштейна. Обсу-
Обсуждаются вопросы о наблюдаемых величинах, инвариантах поля,
а также различных Симметриях и связанных с ними внутренних сте-
степенях свободы.
Во второй части излагается дальнейшее развитие теории на
основе изучения взаимодействия квантованного поля с различными
статическими источниками. Здесь рассматриваются как с классической,
так и. с квантовомеханической точек зрения те проблемы, для ко-
которых известно существование точных решений, а именно нейтраль-
нейтральная скалярная теория, теория с билинейным взаимодействием, мо-
модель Ли.
В третьей части математический аппарат и физические предста-
представления, изложенные в предыдущих главах, применяются к tt-мезон-
ной физике низких энергий. Вслед за описанием классического под-
подхода и различных методов, которые использовались в прошлом для
анализа этой проблемы, мы переходим к модели, не основанной на
бесконтрольных математических приближениях, а именно к модели,
развитой Чу и Лоу. В терминах этой модели мы пытаемся объяснить
tt-мезон-нуклонное рассеяние, статические свойства нуклонов, электро-
электромагнитные явления и ядерные силы.

8 Предисловие
В последние годы возник релятивистский подход к описанию
взаимодействующих полей, основанный на аналитических свойствах
матрицы рассеяния. Даже когда этот подход сводится к тому, ко-
который мы используем в нерелятивистском пределе тс-мезон-нуклонной
задачи, он все же оказывается богаче и значительно лучше соот-
соответствует реальной физической ситуации, чем статическая модель.
Поэтому он должен неизбежно приводить к возможности сравнения
с детальными экспериментальными данными. К сожалению, указанное
направление требует значительно более сложных вычислений, чем
содержащиеся в настоящей книге и, кроме того, до настоящего мо-
момента не ясно, лежит ли в их основе строгая теория. Хотя реляти-
релятивистская трактовка должна устранить в конечном счете все недочеты
рассмотренных здесь моделей, нерелятивистский подход всегда
останется первым и основным шагом к совершенному знанию.
Для единства трактовки различных рассматриваемых нами проблем
представляется удобным работать в одном определенном представле-
представлении. Мы выбрали гейзенберговское представление с тем, чтобы под-
подчеркнуть взаимосоотношение между классической и квантовомехани-
ческой точками зрения.
В намеченных рамках мы стремились изложить материал доста-
достаточно подробно, делая упор на физический смысл получаемых
результатов. Отдавая себе отчет в том, что строгость и простота
являются взаимодополняющими сторонами теории, мы старались со-
сохранить разумные пропорции между тем и другим. Мы не пытались
дать полную библиографию, но во всех случаях, когда это казалось
необходимым, старались указать, где читатель может найти дальней-
дальнейшие сведения. Для углубленного изучения предмета мы отсылаем
читателя к книгам Н. Н. Боголюбова и Д. В. Ширкова „Введение
в теорию квантовых полей" (Москва, 1957 г.), Дж. Гамильтона
„Теория элементарных частиц" (Нью-Йорк, 1959) и С. С. Швебера
„Введение в релятивистскую квантовую теорию поля* (Эванстон, 1961).
Мы хотели бы поблагодарить профессора X. Фраунфельдера и
профессора'Б. А.'Якобсона за ценные комментарии, а также доктора
Рэннигера и доктора X. Питчмана, критически прочитавших книгу
в корректуре.
Эрнест М. Хенли
Вальтер Тирринг

Список обозначений
В тексте имеется несколько мест, в которых один и тот же
символ употребляется для обозначения двух различных физических
величин. Мы надеемся, что в этих случаях читателю будет ясно
из контекста, в каком смысле употребляется символ.
Числа в круглых скобках указывают пункт, в котором впервые
появляется данный символ.
Общие обозначения
s э. с.
*, к. с.
•, dfdt
1)
1)
1, / и т. д.
а, $ и Т. Д.
S
к
Эрмитово сопряженный
Комплексно сопряженный
Производная по времени
Голые состояния
Физические состояния
Латинские индексы, обозначающие простран-
пространственные компоненты
Греческие индексы, обозначающие компоненты
в зарядовом пространстве (в пространстве
изоспииа)
L-* ^ = B*г3 J аЧ
к
B.1)
A.2)
A.2)
(8.1)
(8.1)
A5.1)
A5.1)
D.1)

10
Список обозначений
Продолжение
Греческие символы
а
Р
Г
Г<+) (г)
1
Л
Aadv
дге1
Ь (со), 5 (*)
е
»
¦>)
Vi
в
a
д
Л
V
6
1С
Р(г)
Pk. Р (к)
Оператор поглощения положительно заряженного
кванта поля
Оператор поглощения отрицательно заряженного
кванта поля
Ширина резонанса
S«**-r
Фотон
Малый объем в импульсном пространстве
Опережающая функция Грина
Запаздывающая функция Грина
Фазовый сдвиг
Бесконечно малая положительная величина
Вектор поляризации электромагнитного поля
Полностью антисимметричный тензор
Вероятность
Вероятность перехода
Угол в разложении для поля
Константа в классической мезонной теории
Угол рассеяния
Матрица преобразования в зарядовом простран-
пространстве
Длина волны
Безразмерная константа связи
Неопределенный множитель
Перенормированиая безразмерная константа
связи
Собственные значении матрицы рассеяния в бор-
новском приближении
Масса тс-мезока
Часть магнитного момента нуклона
Частота
Число частиц в конечном объеме
Индекс, обозначающий спин н нзоспин нуклона
Оператор плотности импульса
п-мезон
Функция распределения источника в пространстве
Функция распределения источника в импульсном
пространстве
G-1)
G.1)
A2.2)
E.4)
B0.2)
A0.1)
(8.1)
(8.1)
(8.2)
A1.1)
B0.2)
E.1)
F.3)
(8.2)
E.1)
A6.1)
A6.2)
G.2)
E.4)
A1.1)
A7.4)
A2.2)
A8.5)
A5.1)
B0.1)
E.4)
F.3)
A7.1)
D.2)
G-2)
(8.1)
19.2)

Список обозначений
и
Продолжение
Греческие символы
а
"С
X
Ф
¦<->
Ф1"
0°ut
to
X
«I/
+
+f
(!)
Ш
Сеченне рассеяния
Оператор спина
Изоспиновые 2 X 2-матрицы
Оператор изоспина при действии на протон в мо-
модели Лн
Поле Клейна — Гордона (оператор)
Положительно-частотная часть ф(~ е~ш)
Отрицательно-частотная часть Ф (~ еш)
Операторы заряженного поля
Поле прн t = — со
Поле прн t = 4- со
Азимутальный угол
g?v Ba>U*rVl!
Волновая функция относительного движения двух
нуклонов
Оператор шредингеровского поля
Оператор шредннгеровского поля при действии
на протон в модели Ли
Собственная функция энергии Е
Собственная функция основного состояния
Частота гармонического осциллятора
Волновая матрица
Круговая частота и энергия
Матрица для ш
Резонансная энергия
Частота основного состояния
(8.2)
A5.1)
A3.1)
A3.3)
D.1)
E.3)
E.3)
G.1)
(8.1)
(8.1)
E.1)
(9.3)
B1.3)
D.2)
A3.3)
B.1)
B.1)
A.2)
(П.1) ¦
B.D
(ИЛ)
A2.2)
A6.1)
Другие символы
А
А
а
Оператор поглощения а Фт
Амплитуда плоской волны
Матрица
Электромагнитный вектор-потенциал
Расстояние между атомами
Оператор поглощения квантованного поля
Радиус источника
Амплитуда рассеяния
(8.1)
A6.2)
A7.5)
G.1)
A.2)
B.1)
A6.1)
A4.1)

12
Список обозначений
Продолжение
Другие символы
В
С (со)
Си
D
D±
Dt
DW
d
E
So
80W
&
AE
P(r,t)
Pk, F(k)
F
Pv. Ps
fit, t)
A-/(k)
/
7
/r
»
0 (f, t)
G
g
Sr
Sa
Оператор поглощения в <A0Ut
Матрица
Константа в классической мезонной теории
Нормировочная константа
± Im D±
Знаменатель в волновой матрице
Re D+
Перенормированная функция D
Смещение гармонического осциллятора
Энергия
Энергия основного состояния
&й/2т, энергия кванта шредингеровского поля
Энергия состояния I out, /)
Сдвиг энергии, обусловленный взаимодействием
(энергия основного состояния системы)
Энергия основного состояния N источников
Напряженность электрического поля
Энергия возбуждения для первого возбужденного
состояния
Волновая функция кванта поля
Волновая функция кванта поля в импульсном
пространстве
Весовая функция для /-матрицы
Формф акторы
Волновая функция кванта поля
Волновая функция кванта поля в импульсном
пространстве
Безразмерная константа связи мезона с нукло-
нуклоном в симметричной псевдоскалярной теории
Эффективная константа связн мезона с нуклоном
Перенормированная константа связн мезона с ну-
нуклоном
Весовая функция для ga
Функция Грина
Весовая функция для /-матрицы
Четырехмерная фурье-компонента функции Грина
Константа связи
Перенормированная константа связн
Функция, пропорциональная 1/й1"'
(8.1)
A7.5)
A6.1)
A7.1)
A1.2)
A1.1)
A1.2)
A2J2)
B.3)
B-2)
B.2)
D.2)
A4.2)
(9.2)
(9.5)
A0.2)
A7.4)
F.1)
F.1)
A8.3)
B0.1)
F.1)
F.1)
A5.1)
A7.4)
A8.4)
A8.7)
(8.1)
A8.3)
(8-1)
(9.1)
A3.6)
A8.7)

Список обозначений
Проб олжение
Другие символы
ъ
н
нт
//(г)
Л(">
&е
Ф
/
j
J,
'}
К
Ко
k
kr
h
"mas
L
L
Ln (*)
I
3?
M
Mo
M[t M2, M3
ьм
m
,M
Ш
N
N±
N(t)
n
Весовая функция для gu
Гамильтониан
Функция Ханкеля первого рода
Оператор локальной плотности энергии
Коэффициенты в разложении ^-матрицы по опе-
операторам проектирования
— 1 Р (*) l2/[BtK T(k)\ и аналитическое 1фодолже-
ние этой функции
Интенсивность
Полный угловой момент
Сферическая функция Бесселя
Оператор тока
Сокращенное обозначение для индексов j, a, k
Канонически сопряженная к времени переменная
Волновое число, импульс
Резонансный импульс
Импульс обрезания
Длина цепочки
Лагранжиан
Оператор орбитального углового момента
Определенная функция
Угловой момент
Плотность лагранжиана
Физическая масса источника
Механическая масса источника
Матрицы
Энергия физического нейтрона в модели Ли
Масса кванта поля
.г-компонента углового момента
Магнитный.момент нуклона
Приведенный магнитный момент нуклона
Число атомов
Число типов колебаний
Оператор числа частиц
Нуклон
Оператор числа частиц с зарядом ±1
Оператор плотности числа частиц
Квантовое число, характеризующее состояние
A8.7)
A.3)
E.4)
F.1)
A8.5)
(9.2)
A4.2)
F.3)
A6.1)
E.1)
G.1)
A8.2)
(8.1)
A.3)
A2.2)
A5.3)
A.3)
D.2)
E.1)
A7.5)
E.1)
D.2)
(9.2)
(9.2)
A2-4)
A3.3)
D.1)
EЛ)
A9.5)
¦A9.5)
A.2)
C.1)
E-3)
A4.1)
G.1)
E.4)
B.1)

Список обозначений
Продолжение
Другие символы
п
п
6
р
Р(г)
Ps
р
•г
Q
0(г)
?
Ч
S
R
R (ef)
г
'¦в
S
s
Г
Числа заполнения
Число квантов поля
Нейтрон
Единичный вектор нормали
Нормировочная константа
Произвольный оператор
Оператор импульса
Оператор плотности импульса
Импульс, сопряженный нормальной координате
Импульс
Протон
Оператор четности
Оператор проектирования
Оператор заряда
Приведенная к диагональному виду матрица qaj
в мезоиной теории с сильной связью
Оператор плотности заряда
Нормальная координата
Смещение
Среднее значение q
Нулевые флуктуации q
Неэрмитов оператор
Граничный радиус
Матрица рассеяния
Вклад основного состояния в Г-матрицу
Координата центра массы или энергии
Оператор, переводящий физический нуклон
в голый
Радиус-вектор
Эффективный радиус
Расстояние между двумя нуклонами
Константы перенормировки
5-матрица
Спнн нуклона
Матрица рассеяния
Полный изоспнн
Матрица вращения в зарядовом пространстве
Время
C.1)
E.3)
A3.1)
B.3)
A7.3)
B.3)
E.1)
F.1)
A.2)
A.2)
A3.1)
E.2)
(8.2)
G.1)
A7.5)
G.1)
A-2)
A.2)
B.3)
B-3)
D.2)
E.1)
A1.3)
A8.3)
E.3)
A7.1)
B.3)
A8.6)
B1.1)
A7.1)
(8.2)
A5.1)
(8.2)
A5.2)
G.2)
A.2)

Список обозначений
15
Продолжение
Другие символы
t
t
и
1'ь
V
V (г, 0
VK
Л
V
V
wt
w
w
Yf
УКг)
Z
Оператор изоспина, обобщенный на /г-мерное
зарядовое пространство
Оператор изоспнна мезона
Приведенная матрица рассеяния
Унитарный оператор
Радиальная функция в разложении #<|с'г
Волновая функция основного состояния
Электростатический потенциал
Обобщенная плотность источника потенциального
типа
Радиальная часть члена, представляющего источ-
источник тс-мезонов
Член, представляющий источник тс-мезонов
Скорость
Статический потенциал взаимодействия двух
нуклонов
Вероятность перехода из состояния / в состоя-
состояние /
Полная вероятность перехода из состояния i
Приведенная величина энергии
т -f- k%\1m, энергия кванта в модели Лн
Сферическая гармоника
Суперпозиция потенциалов Юкавы
Множитель перенормировки константы связи
G.2)
A5.2)
A4.3)
G.1)
E.1)
A1.3)
G.1)
(8.1)
A8.2)
A9.1)
A.3)
B1.1)
(8.2)
(8.2)
A7.4)
A3.2)
E.1)
A9.1)
A3.4)

Часть первая
СВОБОДНЫЕ
ПОЛЯ
О Ч Уеили R Типпииг

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
1.!. Соотношение между квантовой и классической теориями
поля. Квантовая механика дает нам ряд правил, которые предпола-
предполагаются неограниченно общими. Эти правила можно применить к лю-
любой системе и увидеть, как следует видоизменить классические поня-
понятия и откуда вытекают квантовомеханические свойства рассматривае-
рассматриваемой системы. Использование этих правил при рассмотрении полей
приводит к квантовой теории поля. Элементарная квантовая механика
не дает последовательной теории, если в совокупности с нею при-
применяется классическая теория поля. Бор и Розенфельд [1, 2] пока-
показали, что внутренняя непоследовательность сохраняется до тех пор,
пока электромагнитное поле остаетси не проквантованным. Если
квантование не выполнено, то в принципе возможны нарушения соот-
соотношения неопределенностей между координатой и компонентой импульса
частицы (например, электрона). Обычные шредингеровскую или клейн-
гордсповскую волновые функции ф также можно рассматривать как
классические поля материи, и поэтому они также могут служить
объектами квантования. С этим последним типом полей мы и будем
в основном иметь дело в настоящей книге. Как и в обычной кван-
квантовой механике, процедура квантования поля связана с классической
теорией через принцип соответствия. Оказывается, что элементарные
квантовые возбуждения поля ведут себя как частицы; сейчас это
единственный известный нам способ описания, применимый к элемен-
элементарным частицам в том виде, как мы встречаем их в природе.
В соответствии с этим квантовая теория поля доминирует в наших
размышлениях о фундаментальных свойствах материи.
Ниже мы вкратце обсудим гармоническое движение и поля в клас-
классической физике. Понятие поля необычайно широко. Оно охватывает
все физические величины, зависящие от координат и времени, на-
например, температуру, электрический потенциал и плотность. Общее
свойство их заключается в существовании равновесного состояния,
а также тот факт, что э случаях, когда отклонение от равновесия
можно считать малым, уже линейные уравнения правильно отража-
отражают основные черты их поведения. Системы, которые описываются
2»

26 Глава I
уравнениями одинаковых типов (эллиптического, гиперболического и
т. д. I3J), проявляют одинаковое динамическое поведение, хотя физи-
физически они могут быть совершенно различными. Квантовая теория
поля имеет дело с гиперболическими уравнениями. Соответственно,
мы можем для первого знакомства рассмотреть простейшую систему
этого типа, а именно колеблющуюся цепочку атомов. В дальней-
дальнейшем мы увидим, что разница между непрерывной линией и дискрет-
дискретной цепочкой весьма невелика. Поэтому мы начнем с последнего
случая, поскольку он ближе к классической механике [4]. В после-
последующем мы концентрируем внимание на формальных сторЪнах задачи,
полагая, что ее физическая сущность знакома читателю.
1.2. Колеблющаяся цепочка атомов. Если, как это изображено
на фиг. I.I, qn означает смещение ге-ro атома цепочки от положе-
положения равновесия. qn — производную от этого смещения по времени и
р—-—а ¦ | ¦ а | а— ¦ | ¦_ a ¦ |
. I ¦ | I в|-| 1*|Ч гН г*"
Чп-г Чп-1 1» Qn+t
Фиг. 1.1. Колеблющаяся цепочка атомов.
Равновесное расстояние между атомами равно а, мгновенное
если гармонические силы, действующие между ближайшими соседями,
носят гармонический характер, то уравнение движения имеет вид
?„ = 22(?я+1-Ь^-1-2?„). A.1)
Здесь мы положили массу атомов равной единице, через 22 обо-
обозначили константу, определяющую силу, действующую между бли-
ближайшими соседями. Макроскопический участок такой цепочки пред-
представляет собой, конечно, систему с меньшей жесткостью. Если
смещение всей цепочки из /V атомов равно Ьх, то сила, стремящаяся
возвратить отдельный атом в положение равновесия, равна лишь
Ьх &/N.
Чтобы сделать систему связанных осцилляторов конечной, мы
замыкаем цепочку из N атомов таким образом, что qi+ftf = ql. За-
Задача, сформулированная в Af уравнениях A-1). может быть решена
посредством введения нормальных координат. Это удобно сделать
при помощи гамильтонова формализма, который будет в дальнейшем
использован и при квантовомеханическом рассмотрении. Легко видеть,
что гамильтониан (энергия) цепочки (здесь ра = qn) равен

Введение
а канонические уравнения Гамильтона имеют вид
дН
что эквивалентно A.1).
Определим нормальные координаты Qs и импульсы Р3 равен-
равенствами п
\JsnJJs_ У -isn Ps /t ox
где в соответствии с периодическими граничными условиями, введен-
введенными выше, 5 принимает значения 5 = 2-kIjN, а / — любое целое
число между —Nj2 и Л//2. Поскольку величины qn вещественны,
сами Qs и Ps комплексны и удовлетворяют соотношениям
<?_, = <?;, P-s = P*s. A.4)
С помощью формулы
N
2 i'" (¦-*•> = ЛГС,,,. A.5)
можно также обратить A.3) и получить
N N
* — 2de -рг- р*— Zie jpjr- (L6)
Подставляя A.3) в гамильтониан, находим с помощью A.4) и A.5)
Таким образом, в нормальных координатах уравнения движения,
вытекающие из гамильтониана A.7), независимы1):
Qs = ~<o2sQs, u), = 22sini, A.8)
что получается также и при непосредственной подстановке A.3)
в A.1). Решение A.8) можно записать в виде
Q. (t) = Q. @) cos u>/ -4- - - ¦ ¦ sin i
n', s
') Читатель самостоятельно проверит, что Qs и Q* можно рассматривать
как независимые переменные.

22 Глава 1
Уравнения A.3) вместе с уравнениями A.8) показывают, что дви-
движение нашей системы представляет собой суперпозицию колебаний
с частотами <os, многие из которых значительно меньше, чем 2
(<s>s'-~Q2Td/N), в соответствии с малой жесткостью всей цепочки,
о которой уже упоминалось выше. Этот хорошо известный факт
служит, например, отправной точкой дебаевской теории теплоемкости
(в противовес теории Эйнштейна). В квантовой механике мы увидим,
что возбужденные состояния осцилляторов Qs с энергиями ш3 во мно-
многих отношениях ведут себя как частицы. Осцилляции рассмотренного
здесь типа представляют собой явление чрезвычайной общности. Они
появляются в виде звуковых волн в твердых телах и жидкостях,
в- виде спиновых волн в ферромагнетиках и в виде поверхностных
волн в ядрах, причем во всех этих случаях возбуждения осциллято-
осцилляторов Qs с энергиями ю^ ведут себя аналогично частицам. По существу
звуковые волны в жидком гелии—это самая близкая из всех извест-
известных механических моделей элементарных частиц.
1.3. Непрерывная колеблющаяся цепочка. Во многих случаях
оказывается целесообразным не разделять цепочку на отдельные атомы
и рассматривать задачу не с микроскопической, а с макроскопиче-
макроскопической точки зрения. Такой подход можно осуществить с помощью
предельного перехода, при котором N—>-оо, в то время как рас-
расстояние между атомами а—*-0, а длина цепочки L = aN остается
постоянной. Это означает, однако, что число степеней свободы си-
системы становится бесконечным и для ее описания необходимо беско-
бесконечное число переменных.
Назовем х— расстояние от начала цепочки1), причем qn->q(x).
В этом пределе мы получаем известное дифференциальное уравнение
в частных производных:
^(x). . A.9)
Величина 2а в A.9) играет роль скорости волны v, так что в рас-
рассматриваемом пределе 2 должна вести себя как Q = vja. Следова-
Следовательно, для того чтобы цепочка, состоящая из бесконечного числа
атомов, имела конечную жесткость, требуется, чтобы силы, действую-
действующие между соседними атомами, были" бесконечно велики. Как след-
следствие, такая цепочка оказывается способной к колебаниям с беско-
бесконечно большими частотами.
Общее решение уравнения A.9), подчиняющееся условию q(x) =
= q(x-{-L) вновь можно получить, выполнив предельный переход
') На самом деле мы положили q (х) = qja'^, так что для конечной
энергии q (x) остается конечным.

Введение 23
над нормальными координатами в A.9). Вводя
, s 2Ы _ . ^
я =— ==—I— —оо <; I < со
И
и используя предел равенства A.5)
N L L
л-1 и О
находим из A.9) уравнения движения для Qk
Qft = _*VQft. A.11)
Таким образом, частота <ой оказывается равной ко, что совпадает
с пределом полученного ранее выражения A.8) для <о^. Отсюда ясно,
что атомная структура цепочки проявляется лишь в области коротких
волн. Введение нормальных координат означает решение дифферен-
дифференциального уравнения в частных производных с помощью разложения
Фурье. Те же результаты можно также вывести из гамильтониана
A.2). который в рассматриваемом пределе имеет вид1)
L
о
A.12)
Поскольку для счетного множества координат Qk гамильтониан A.12)
прямо приводит к уравнению A.11), мы должны обобщить гамиль-
тонов формализм обычной механики таким образом, чтобы получить
уравнение движения для непрерывной координаты q (x). Это можно
сделать, вводя функциональную производную с помощью 3-функцик
Дирака:
A.13)
Первое из этих равенств есть непрерывная форма равенства
dqajdqnl==bna,, а второе получается дифференцированием первого
по х.
Переписывая гамильтониан через канонические переменные р и q
') Мы считаем массу всей цеиочки равири еднниад.

24 Глава 1
мы находим, что уравнения Гамильтона
___дН_ _ дН
Pl~ дщ ' 1i~~ dp,,
обобщаются следующим образом:
A.14)
что согласуется с A.9).
Так как мы будем иметь дело в основном со случаем непрерыв-
непрерывного распределения, который едва ли не проще, чем атомистический
подход, то описанный формальный аппарат будет в дальнейшем часто
применяться. Это позволит нам исключить микроскопические кон-
константы Q, а, N и заменить их макроскопическими постоянными v, L.
Однако в случае некоторых полей, таких как электромагнитное
и поля элементарных частиц, невозможно найти механической
базы, которая могла бы служить отправной точкой при построении
уравнений движения. В этих случаях приходится обращаться к спе-
специальной теории относительности', чтобы получить свойства инва-
инвариантности этих полей. Четырехмерная однородность и изотропия
нашего пространственно-временнбго континуума предполагаются выте-
вытекающими из аналогичных свойств полей всех элементарных частиц.
Говоря на профессиональном языке, инвариантность относительно
неоднородной группы Лоренца есть единственный руководящий прин-
принцип, позволяющий выбрать возможные уравнения поля для описания
элементарных частиц. Эта довольно смелая процедура оказывается
очень плодотворной и вскрывает многие поразительные черты эле-
элементарных частиц. К сожалению, теория представлений группы Лоренца
далеко не элементарна, так что мы не сможем систематически обсу-
обсудить релятивистскую теорию поля. Однако мы будем встречаться
с влиянием теории относительности на наши представления о частицах.
Вследствие условия релятивистской инвариантности, поля приобре-
приобретают замечательные свойства, которыми не обладает ни одна меха-
механическая система. Поскольку теория должна быть инвариантной по
отношению к произвольным пространственно-временным смещениям,
поле не может иметь никакой атомистической структуры и должно
быть непрерывным. Далее, поле должно заполнять все пространство —
время, оно должно существовать всегда и везде и не может быть
устранено внешним воздействием. Таким образом, мы приходим
к новой точке зрения на пространство н вещество. Пространство
заполнено непрерывной основой, образующей поля элементарных
частии; а некоторых отношениях это продолжение концепции эфира

Введение 25
прошлого столетия. Вещество представляет собой просто локальное
возбуждение этой основы, т. е. нечто в своем роде случайное.
Не существует в этом смысле сохранения вещества, и законы, упра-
управляющие его взаимодействиями, вторичны и сложны. Простота при-
природы открывается в уравнениях элементарных полей, которые отра-
отражают ее симметрию и закономерность. Эта картина совершенно про-
противоположна механической, в которой вещество фундаментально и
закон для силы, действующей между его частями, есть первичный
закон природы. Сказанное объясняет, почему современные фунда-
фундаментальные исследования в физике в такой значительной степени
используют квантовую теорию поля, которая концентрирует свое
внимание на изучении свойств поля—основы всех физических явлений.

Глава 2
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
2.1. Собственные значения Н. Для полей, рассмотренных в гл. 1,
было показано, что их уравнения движения аналогичны уравнениям
движения простого гармонического осциллятора или системы связан-
связанных гармонических осцилляторов. Поэтому теперь мы изложим кван-
квантовую теорию гармонического осциллятора в форме, удобной для
дальнейших исследований. Как будет установлено в следующих гла-
главах, квантовомеханическое рассмотрение системы связанных осцилля-
осцилляторов или полей представляет собой непосредственное обобщение
теории этой системы с одной степенью свободы. Более того, уже
в элементарном случае гармонического осциллятора мы сталкиваемся
в простейшей форме с типичными квантовыми свойствами полей.
Наша задача определяется гамильтонианом
tf = l(/;2+a>V). B.1)
Координата q и импульс р являются теперь операторами, подчиняю-
подчиняющимися перестановочному соотношению 1)
I?../»] = *• B.2)
Типичное предсказание квантовой теории заключается в том, что
измерение некоторой наблюдаемой величины не может дать произ-
произвольный результат, но лишь собственное значение оператора, связан-
связанного с этой величиной. Мы должны поэтому искать собственные
значения таких наблюдаемых величин как энергия B.1). К этой задаче
можно подойти с разных сторон. Можно, например, удовлетво-
удовлетворить B.2), представив р в форме дифференциального оператора—Idjdq,
и решить дифференциальное уравнение, к которому приводит задача
на собственные значения, (Н — Е) ф = 0. Но это — не кратчайший
путь, и для нашей цели более удобным оказывается чисто алгебраи-
') В дальнейшем используется система единиц, в которой Д =¦ 1.

Гармонический осциллятор 27
ческий метод. Введем операторы, которые соответствуют амплитуде
классического движения:
или
B.4)
Из B,2) следует, что перестановочные соотношения для а и а+
имеют вид
[a, a] = [af, a+] = 0,
[..^-1. <2-5)
Используя операторы B.4) и соотношения B.5), легко выразить
гамильтониан через а и af:
A) B.6)
Поскольку операторы координаты и импульса q и р не коммутируют
с гамильтонианом, операторы а и af также не коммутируют с ним.
Из B.5) и B.6) следует, что
[Н, а+] = ша+,
[а, Я3 = юа. B>7)
Форма перестановочных соотношений B.7) позволяет сделать
заключение о собственных значениях Н. Применяя их к собственной
функции <[>? оператора Н с собственным значением Е: (Н — Я)ф? = О,
находим
НаЦЕ = (Е — ш)аф?. B.8)
Это равенство показывает, что аф? также является собственной
функцией Н с собственным значением Е — ш. Аналогичным образом
из другого соотношения B.7) следует, что для а+ собственное зна-
значение равно E-f-ш. Отсюда видно, что мы имеем дело с последова-
последовательностью равноудаленных собственных значений Н с интервалом ш.
Однако рассматриваемая последовательность должна быть где-то
ограничена, поскольку произведение afa положительно определено, к
Н не может поэтому иметь отрицательных собственных значений. Это
условие требует, чтобы для определенного состояния ф0 выполнялось
соотношение а% = 0, В этом случав уже невозможно получить

28
Г лава 2
более низкого собственного значения применением а. Из B.6)
видно, что ф0 есть собственная функция Н с собственным • значе-
значением ш/2. Далее, наше условие определяет ф0 однозначно, так что
мы имеем только одну последовательность собственных значений.
Полученные, результаты можно просуммировать следующим образом.
Энергия
Фиг. 2.1. Потенциал гармонического
осциллятора, собственные значения энер-
энергии и волновая функция основного
состояния "
Спектр собственных значений Н показан на фиг. 2.1 и определяется
формулой
Я = ио)-(-— а),
где п— неотрицательное целое число.
B.9)
2.2. Свойства собственных состояний Н. Состояние \, соот-
соответствующее Ео, подчиняется условию
а«|»о = О. B.Ю)
а состояние ф„ с собственным значением Е„ получается я-кратным
применением а+ к ф0:
(|,я = JLL- ф0. B.11)
Здесь (я!)"''1 — точный нормировочный множитель, если ф0 нор-
нормирована. В этом легче всего убедиться методом индукции:
Bл2)

Гармонический осциллятор 29
Используя это равенство п раз, мы придем в конце концов к ра-
равенству / ФЖ *= / Фо+Ь-
Этот метод можно применить для получения явного выражения ф„
как функций пространственной переменной q. Так как в этом пред-
представлении р = — idjdq, то
откуда следует, что нормированная волновая функция основного
состояния имеет вид
«К» W = (?) V"«*. B-13)
Высшие возбужденные состояния получаются теперь применением
дифференциального оператора af = (mq— djdq)Bv>)~41-
Протяженность волновой функции основного состояния по порядку
величины равна о>~'А, что соответствует квантовомеханической флук-
флуктуации Д^ координаты q около нулевой точки, как показано на
фиг. 2.1. Формально мы можем определить эту величину следующим
образом:
f q, B.14)
где q означает среднее значение q. Как легко видеть из равенства B.10)
и эрмитово сопряженного равенства, q равно нулю:
^dq==0. B-15)
Этот результат очевиден также вследствие соотношения ^0 (д) = ф0 (—
Таким же образом находим, что
- 2^. % dq =
С физической точки зрения этот результат представляет собой
прямое следствие соотношения неопределенностей Д^Д^^-'/г- Наи-
Наинизшая энергия не получается локализацией частицы строго на дне
ямы, так как это привело бы к большой величине Ь.р и, следова-
следовательно, к большой величине кинетической энергии. Так как средние
значения координаты и импульса равны нулю, то среднее значение
энергии оказывается равным '/г \{b.pf-\-v? (kq?\. Если это выражение
минимизировать по Д? при ограничении &qАр=1/2, мы найдем, что
его минимум достигается при Д^ = B<i>)~l/* и равен и>/2. Это зна-
значит, что энергетически „наиболее выгодная" ситуация соответствует

30 Г лава 2
величине, близкой к B.16), причем нулевая энергия оказывается равной
не нулю, как в классическом случае, a w/2 '). Квантовомеханическне
флуктуации подобного типа обычно малы, но иногда приводят к макро-
макроскопическим эффектам. Например, они препятствуют затвердеванию
жидкого гелия при нормальном давлении.
2.3. Зависимость движения от времени. Рассмотрев некоторые
квантовые стороны задачи, обратимся теперь к динамическому аспекту,
отражающему классическое гармоническое движение системы. Разви-
Развитие во времени может быть описано в квантовой механике многими
способами [1]. Можно, например, считать операторы постоянными,
а векторы состояний — зависящими от времени, согласно закону
ф (*) = «-«« <|>@) B.17)
(представление Шредингера). Другая возможность заключается в том,
чтобы векторы состояний считать постоянными н применять унитар-
унитарный оператор eiHt к операторам 6. Тогда операторы изменяются со
временем как
6 lHl6-iHt B.18)
(представление Гейзенберга). Это, очевидно, приводит к тем же ожи-
ожидаемым значениям наблюдаемых величин
<{>• (О 6 @) 4> (*) = <!»* @) б (о-МО)
и к тем же физическим следствиям.
Во втором случае временная зависимость операторов такова, что
они подчиняются, классическим уравнениям движения, так как из B.18)
вытекает, что
6(t) = i[H. 6(t)\, B.19)
и коммутатор при этом дает то же выражение, что и скобки Пуас-
Пуассона в классической механике. Поскольку в наших задачах классиче-
классические уравнения будут иметь хорошо известную структуру и способы
их решения легко устанавливаются, мы будем работать в гейзенбер-
гейзенберговском представлении 2). Далее, чтобы сберечь символ ф для обозна-
обозначения операторов поля, мы будем пользоваться в дальнейшем дира-
ковскими 3) обозначениями „бра-" и „-кет", в которых вектор состоя-
состояния и комплексно сопряженный ему обозначаются скобками 1) и (|.
') Тот факт, что грубый анализ, основанный на соотношении неопреде-
неопределенностей, приводит к численно точному результату, является случайным.
Однако этот способ обычно дает правильные по порядку величины значения.
г) Существуют другие полезные представления, в которых часть вре-
временной зависимости содержится в волновых функциях, но здесь мы не будем
к ним обращаться.
3) См книгу Дирака [1], гл. I—III.

Гармонический осциллятор 31
Для детального обозначения векторов состояния можно вписать
в скобки различные индексы. Например, собственные состояния опе-
оператора энергии для гармонического осциллятора могут быть просто
охарактеризованы соответствующим квантовым номером состояния,
т. е. \п), так что уравнение Шредингера записывается в виде
(Н-Е„)[п) = 0.
В элементарной квантовой механике это обозначение соответствует
единому символу г для вектора вместо конкретизации его компонент
в определенной системе координат, т. е. х, у, г.
Последние появляются как скалярные произведения вектора г на
единичный вектор п, направленный вдоль одной из рассматриваемых
осей выбранной системы координат. Так, х — (г • п^). Соответственно
шредингеровская волновая функция <l?n(q) в точке q' координатного
пространства есть компонента состояния \п) в направлении собствен-
собственного вектора |^') оператора^; она задается скалярным произведением
-Ы?') = (<?'| «>• "
Компоненты состояния | п) в другой системе координат образуются
как линейные комбинации из ф„ (qr) аналогично тому, как компоненты
вектора г выражаются через линейные комбинации его компонент
в системе, заданной единичными векторами п,:
X' = Г • IV = 2j (Г " П') (П' * П*' ) = 2 Г' (П1 ' Пх' )•
i "X, у, г I =х, у, г
Например, в импульсном пространстве, в котором задаются соб-
собственные состояния | р') оператора р, мы имеем по аналогии с выше-
вышеизложенным
Ф„ (Р') = О»' I »> = / dq' (Р' | q') {q' | п) = J dq> {p' \ q>) % {q').
Эта формула переходит в обычную запись волновой функции в им-
импульсном пространстве, если подставить
Новые обозначения можно проиллюстрировать на примере произволь-
произвольного оператора 6. Так, уравнение для собственных значений
6 | п) = а | п)
можно переписать, умножая его на {q' |, в форме
или, в эквивалентном виде, как

32^ Глава2
Оператор б является, следовательно, матрицей в некотором частном
представлении. Точно так же, произвольный матричный элемент
(т 161 п) можно переписать как
<и | б | »> = / dq' dq»?m (?') <?' | б | q") ф„ (q").
Все эти общие равенства значительно упрощаются, если выбрать
представление, в котором б — диагональная матрица:
(q'\6\q")=b(q'-q"N(q").
Например, {р' \ q') можно найти следующим образом:
я\я') = я'\яг),
{Р'\ Я\Я') = }{Р'\Я\ Р") {Р" I Я') dp" = q' {p' 1 q').
В импульсном пространстве диагональное представление q записы-
записывается как
где 8' обозначает первую производную от 8-функции. Таким обра-
образом мы получаем
После этих предварительных замечаний можно перейти к изуче-
изучению движения рассматриваемой системы. Согласно B.7), уравнение
движения B.19) для оператора а имеет вид
). B.20)
Его можно непосредственно проинтегрировать:
a(t)=e-ia"a(Q). B.21)
Из этого результата и из эрмитово сопряженного равенства следует,
что координата и импульс оказываются теми же функциями времени,
что и в классической механике:
^^Ы1, B.22б)
Чтобы выявить зависимость от времени для нашей системы в опре-
определенном состоянии |), вычислим величину

Гармонический осциллятор
33
которая представляет собой вероятность нахождения осциллятора
в точке д' в момент времени t. Для состояний | я) эта вероятность,
конечно, не будет зависеть от вре !ени; в нашем представлении это
следует- из B.21). Чтобы получить более интересные сведения, мы
Фиг. 2.2. Движение пакета 1 d }.
Изображены движение центра пакета и его ширина b
Показана также размазывание пакета прн 1=0.
должны рассмотреть суперпозицию состояний | я). В частности, по-
полезно рассмотреть собственное состояние (волновой пакет) | d) неэр-
неэрмитова оператора а:
d\d). B.23)
Покажем, что В этом состоянии вероятность испытывает гармони-
гармоническое изменение во времени, период которого равен классической
частоте ш осциллятора. По аналогии с B.1-3) имеем
B.24)

34 Г лав а 2
т. е. гауссовское распределение, имеющее ту же ширину, что и вол-
волновая функция основного состояния, но сдвинутое от начала коор-
координат на расстояние d. Конечно, это состояние не является (об-
ственным состоянием Н, и наш формализм немедленно дает, что вес
состояния | п) в пакете равен
Используя полноту набора \п), находим, что
lr B.25)
Таким образом, вероятность обнаружения «-го возбужденного
состояния в состоянии \d) подчиняется распределению Пуассона [2]
со средним значением
смещение \2
corf2 /
2 \
флуктуация около нулевого положения/
Мы вскоре увидим, что волновой пакет совершает гармоническое
движение с амплитудой d и частотой ш. Следовательно, основной
вклад в пакет дает возбужденное состояние с энергией, равной '/г <*>* d2,
т. е. состояние с классической энергией колебательного движения
с амплитудой й и частотой <о.
Чтобы выразить | d) через собственные состояния q(t), вспомним,
что согласно B.22) 2)
Отсюда находим для tyd \g' (t)] = (q' (t) | d):
что после интегрирования дает
Ь W @1 ~ «р [— у (<?' — de-Mf] ,
или, после нормировки,
Ь W @1 = ("--гO4 ехр Г— у (Я' — d cos Ы + 2td sin о»О (Чг — d cos «
Р = (|")Vl«"""' m~d cos ш''! • B-28)
') В том случае, когда время в записи оператора не указано, здесь и
в дальнейшем подразумевается, что t = 0, т. е. что а ^ a (t = О) = а @).

Гармонический осциллятор 35
Последнее равенство показывает, что волновой пакет совершает не-
незатухающие колебания с частотой и>, как это изображено на фиг. 2.2.
Для средних значений координаты и импульса имеем из B.28)
(d q(t)\d} = d cos tat,
{d p(t)\d) = —wdsinwt.
Отсюда следует, что состояние | rf) является естественным квантово-
механическим обобщением классического гармонического движения;
оно будет часто использоваться в дальнейшем.
При изучении более сложных систем мы будем придерживаться
трактовки, изложенной выше на примере гармонического осциллятора,
так как характерные черты этой простейшей модели присущи и всем
сложным системам.

Глава 3
СВЯЗАННЫЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
3.1. Собственные значения гамильтониана. Чтобы подойти
к постановке задачи в квантовой теории поля, мы рассмотрим теперь
систему связанных осцилляторов с точки зрения квантовой механики.
Задача, которую мы будем решать, представляет собой обобщение
случая, рассмотренного в гл. 1 (фиг. 1.1), а именно: осцилляторы,
расположенные на замкнутой цепочке, будут связаны теперь не только
со своими соседями, но также и со своим положением равновесия.
Гамильтониан и уравнения движения такой системы можно записать
через обобщенные координаты д„ и импульсы р„:
(<*.!)
если положить здесь вторую независимую частоту 20 равной нулю
мы вновь вернемся к гамильтониану A.2). Как выяснится в дальней-
дальнейшем, в пределе непрерывной линии осцилляторов, гамильтониан A.2)
соответствует случаю поля без массы покоя, тогда как C.1) соот-
соответствует полю с „массой" 20. Как и в гл. 2, мы должны теперь
выписать перестановочные соотношения, которые, согласно общим
правилам квантовой механики, имеют вид
я=1
Чтобы определить собственные значения Н, целесообразно исполь-
использовать новые переменные, определенные в гл. 1 и 2, и в первую
очередь ввести, например, нормальные координаты A.3):
Чя +Л - J^V» ^я ^ //'/a C.3)

Связанные осцилляторы 37
В этих переменных перестановочные соотношения, получаемые
с помощью A.5), имеют вид
Поскольку <7„ и />я — эрмитовы операторы ^я=?+), необходимо
следующим образом обобщить условия A.4):
Подставляя новые переменные в гамильтониан, находим
C.6)
Иначе говоря, в нормальных координатах наши осцилляторы оказы-
оказываются независимыми; в согласии с C.5) мы вводим (как и в гл. 2)
переменные
или
C.7)
C.8)
Заметим, что a_s Ф а* и что мы снова имеем 2N независимых опе-
операторов as, а+, где s=2kI/N и —Nj2 •< / <; JV/2. Перестановочные
соотношения для as и а+ следуют непосредственно из C.4) и C.7):
[«,<.,]=[«;. 4,*.] = о. ("а)
Гамильтониан записывается как сумма членов вида B.6):
и заключения относительно его собственных значений и собственных
векторов можно вывести точно таким же путем как и в предыдущей
главе.

$g Г лава 3
Состояние наинизшей энергии |0) определяется условием
flj|0) = 0 C.11)
для всех s. Ему соответствует собственное значение
ш'- (ЗЛ2)
В общем случае собственное значение дается равенством
где «у пробегает ряд из N неотрицательных целых чисел. Собствен-
Собственный вектор, принадлежащий собственному значению C.13), предста-
представляет собой обобщение B.11):
Тот факт, что собственные значения энергии оказались целыми чи-
числами, помноженными на частоты основных колебаний, уже сам по
себе приводит к мысли о корпускулярной интерпретации теории.
Состояние C.14) обладает свойствами состояния, в котором пг частиц
имеют энергию o>j, п^ частиц — энергию и>2 и т. д. Далее, когда мы
рассмотрим локализованные в пространстве величины, например энер-
энергию или импульс, содержащиеся в определенном объеме, станет оче-
очевидно, что корпускулярные свойства системы в действительности
значительно оСширнее, чем мы их представляем себе в настоящий
момент. Поскольку наша система представляет собой упругие (звуко-
(звуковые) волны, получающиеся кванты называют обычно фононами. Энер-
Энергия этих квантов аддитивна, так что они ведут себя как невзаимо-
невзаимодействующие частицы. Далее, состояние характеризуется лишь числом
частиц в каждом из N типов колебаний с энергиями ms, так что ча-
частицы, принадлежащие к одному и тому же типу, не отличаются
друг от друга. Каждый вид колебаний может содержать произволь-
произвольное число частиц. В силу изложенного частицы подчиняются стати-
статистике Бозе — Эйнштейна, и мы имеем дело с моделью неразличимых
частиц. Оказывается, что эти частицы гораздо больше похожи на
колебания, чем на классические тела, а два любых колебания не
могут быть различимы, если их частоты совпадают-. Утрата частицами,
индивидуальности представляет собой одно из наиболее революцион-
революционных последствий применения квантовой теории к рассмотрению полей.
Мы не будем подробно останавливаться на этой стороне вопроса,
поскольку он обсуждается в большинстве книг по элемеитарной кван-
квантовой механике. Соответствие между элементарными возбуждениями
упругого тела и идеальным бозе-газом служит основой теории теплот

Связанные осцилляторы 39
емкости твердых тел при низких температурах. При этом обычно
предполагается очевидным, что каждому движению с частотой а» соот-
соответствует энергия /)ш. Однако, как мы убедились, необходимо неко-
некоторое математическое исследование, чтобы вывести этот результат
из исходных принципов. Наше предположение о чисто гармоническом
характере сил не всегда, конечно, хорошо соответствует реальной
действительности, но существует ряд систем, обладающих сущест-
существенными чертами бозе-газа.
3.2. Квантовые свойства. Нам остается исследовать, как про-
проявляются в системе связанных осцилляторов такие типичные для осцил-
осциллятора квантовые свойства, как нулевые колебания и энергия нуле-
нулевых колебаний. Из C.12) и C.6) мы видим, что энергия нулевых
колебаний лежит между М20/2 и N (Q2 -\- 2?) '/2; таким образом она
совпадает с энергией Л/ несвязанных осцилляторов, колеблющихся
с основными частотами, лежащими между Л/2д/2 и N (Q2 -|- 2q) */2.
В кристаллической решетке энергия нулевых колебаний играет суще-
существенную роль, но в случае полей элементарных частиц до сих пор на
удалось связать ее с наблюдаемыми эффектами. В последнем случае
она становится бесконечной, поскольку число степеней свободы стре-
стремится к бесконечности. Релятивистская инвариантность требует, чтобы
она была равной нулю, поскольку состояние без частиц должно вы-
выглядеть одинаково для наблюдателей в различных лоренцовых систе-
системах отсчета; существование неисчезающего вектора энергии — им-
импульса нарушает это свойство. Возникающую трудность устраняют,
определяя оператор энергии как И — Ео. Возможно, однако, что
когда-нибудь будет открыт более глубокий смысл этого обстоя-
обстоятельства.
Для нулевых колебаний я-го атома в основном состоянии системы
мы находим, учитывая равенство @|?„|0) = 0:
(ЗЛ5)
s, s'
Иными словами, квадратичная флуктуация равна в точности среднему
значению флуктуации, связанных с частотами u>s. Как и можно было
ожидать, квантовые флуктуации для различных типов колебаний не-
независимы, так что квадратичные флуктуации аддитивны. Флуктуа-
Флуктуации атомов в решетке имеют амплитуду, величина которой лежит
в промежутке между ядерными и атомными размерами. Эти флук-
флуктуации непосредственно наблюдаемы, например, при рассеянии света
или нейтронов. Чем легче атомы и чем слабее силы, действующие
между ними, тем больше амплитуда колебаний. Как уже упоминалось,
они приводят к макроскопическим эффектам в гелии, препятствуя

40 Глава 3
его затвердеванию при нормальном давлении даже при абсолютном
нуле. Хотя в элементарной квантовой механике эти флуктуации хо-
хорошо известны, однако аналогичный эффект в случае полей оказался
несколько неожиданным, и был установлен лишь в период новейшего
развития квантовой электродинамики. Мы отложим детали до сле-
следующей главы, в которой изучаются флуктуационные эффекты при
наличии частиц.
3.3. Вопросы динамики. Для зависимости операторов поля от
времени мы получаем по аналогии с B.20) — B.22) следующие урав-
уравнения:
C.16)
. C.17)
Последнее равенство дает ту же временную зависимость, что и слу-
случай классического решения уравнений A.8). Решение C.17) предста-
представляет собой наиболее общую суперпозицию колебаний с собственными
частотами ms с тем существенным отличием, однако, что коэффи-
коэффициенты разложения теперь являются операторами.
По аналогии с концом предыдущей главы мы можем построить
стандартный волновой пакет, в котором я-й атом при ?=0 смещен
из положения равновесия на dn>. Общее состояние такого рода \d>)
определяется равенством
C.18)
л'
для всех значений s.
Для действительных dn ожидаемое значение координаты в мо-
момент t соотдетствует классическому движению, вызванному начальным
смещением атомов dn, и нулевой начальной скоростью
{d \qn(t)\d)=^{~r dn> cos [s (a - n') — aj]. C.19)
s, n'
Макроскопическую звуковую волну с частотой <as и амплитудой d
можно представить в виде A3.18), при dn принимающих комплекс-
комплексные значения da= deis'n. Называя это состояние |<«v), имеем
as |ш^') = (
и следовательно, оно соответствует распределению Пуассона для
фононов соответствующей частоты со средним числом фононов d2a>s<j2'

Связанные осцилляторы 41
решения, зависящего от времен», находим
а средние положения в этом случае даются простой формулой
{d \qa \d) = dcos(s'n — <os>t). C.20)
Если мы хотим, чтобы такое квазиклассическое движение было
наблюдаемо, необходимо., чтобы смещение d было много больше
амплитуды нулевых колебаний. Последняя, как можно вздеть из C.15),
равна по порядку величины l/(av)' , если все частоты порядка в»,».
Поскольку среднее число фононов равно d2aiS'/2, то указанное условие
означает, что оно должно быть ^> 1. В состодн ш с определенным
числом п' фононов ожидаемые значения всех qn (т. е. (п? \qn\ п'~))
равны нулю. Этот факт обычно формулируется в виде утверждения,
что фазы волн, связанных с фононами, полностью неопределенны.
Б заключение можно сказать, что звуковые волны и фононы
представляют как классический, так и квантовомеханическ'й чспекты
колебательных систем и являются обобщением того, что было най-
найдено нами для гармонического осциллятора.

Глава 4
ПОЛЯ
4.1. Непрерывно связанные осцилляторы. Рассмотрим теперь,
как действуют квантовомеханические методы в пределе непрерывной
цепочки. В пределе М —>оо, а—>0, но при конечном аМ (см. гл. 1)
л
а гамильтониан и уравнения поля приобретают вид
. о]. D.1)
Как упоминалось в гл. 1, даже в непрерывном случае нормальные
координаты образуют счетную последовательность. Поэтому про-
квантуем сперва теорию в этих переменных, а коммутационные соот-
соотношения для непрерывных координат q{x) изучим позднее. Пере-
Переписывая C.3) в форме A.10), при s—>ka
д(х) = L'lh 2 eikxQk, р (х) =
k=~. — со < / < со,
находим, аналогично A.12), выражение для энергии:
«2» = V2Aa + 2S. D.3)
где был использован непрерывный предел A.5):
L
j dxe1 <*-*'>* =^1*-,

Поля 43
Теперь это — сумма по бесконечному числу несвязанных осцилляторов.
В переменных с индексом k перестановочные соотношения C.2)
имеют вид
[Q*. <?*• 1 = \Pk, Pk' ] = 0, D'4)
и, аналогично, соотношения для операторов а и а+, определенных
равенствами C.7), имеют вид
С помощью этих операторов мы можем записать следующее выра-
выражение для энергии:
В соответствии с изложенным в гл. 3 находим, что собственные
значения (Н—Ео) являются целыми кратными величины u>ft. Мы уви-
увидим в следующих главах, что k~ имеет смысл импульса частицы
с энергией ш4. Следовательно, если v—скорость света и Q0 = mc2,
то энергия и импульс квантованного поля связаны таким же соотно-
соотношением, как и в случае релятивистской-частицы.
Непрерывная форма записи легко обобщается на трехмерный слу-
случай. Для механической модели поля смещений, которую мы до на-
настоящего времени имели в виду, трехмерный случай несколько более
сложен, так как поле в этом случае является векторным и имеет
три компоненты. Однако при наличии только одного разрешенного
направления для смещений трехмерной атомной решетки кристалла,
например х, как это показано на фиг. 4.1, мы имеем дискретный
аналог скалярного (эрмитова) поля <j> (x, у, z). Именно этот простей-
простейший случай, как будет показано в дальнейшем, удовлетворительным
образом описывает я-мезоны, если отождествить v со скоростью
света и 20 с массой тс-мезона.
Трехмерная запись C.1) имеет вид1)
D.6)
') Мы будем использовать символ г в качестве сокращенного обозна-
обозначения для трех пространственных координат (хи х3, х3) или х, у, г; (г, t)
для (х, у, z,t) и г для' | г | (т. е. г2 = г2). Кроме того, мы будем часто
записывать (г, 0) просто как г.

44
Глава 4
Фактически мы записали уравнение Клейна — Гордона. Предвосхи-
Предвосхищая будущие обозначения, мы положим величину г» = с равной 1 и
заменим 20 на т.
Фиг. 4.1. Механическая аналогия скалярного поля.
В кубе, «линя сторонн которого равна I, - расположены колеблющиеся ,
расстояние между которыми в положении равновесия равно а. Все атомы колеблются
в одном направлении, выбранном здесь вдоль.оси х.
Трехмерные условия периодичности требуют, чтобы выполнялись
равенства
<j>(x~]-L,'y, z, 0 = ^(*> У + L. z, t) =
= t(x, У. z + L, t) = f(x, у, г, t). D.7)
Эти условия и уравнение движения D.6) можно удовлетворить в
аналогии с C.17), если положить1)
B<oft)'/*
D.8)
') В дальнейшем мы будем для сокращения писать ш вместо
<*' вместо <os, и т. д.

Поля 45
Перестановочные соотношения C.9) обобщаются следующим образом:
¦¦[V41-V...
K<v]=K-°U=0-
Вскоре мы дадим более общий рецепт для отыскания коммутацион-
коммутационных свойств поля. Гамильтониан может быть записан в форме, сход-
сходной с C.10), за исключением того, что сумма no k является теперь
трехмерной:
Итак, мы получили замечательный результат, смысл которого заклю-
заключается в том, что, применяя правила квантовой механики к полю,
подчиняющемуся уравнению Клейна — Гордона, мы получаем систему,
ведущую себя как совокупность неограниченного числа релятивист-
релятивистских бозе-частиц. Точнее говоря, мы получили по аналогии с C.14)
и C.13) состояние
|«к,. «к2. «к,. • • -)^ \П\> П2, Пг, . . .) =
= п-(а1)Пу(а?)"'(аХ)"' ... 10. 0, 0, ...\
являющееся собственным состоянием гамильтониана^// с энергией Ег):
H\nv л2, ..,) =
Поэтому собственные функции удовлетворяют уравнению Шредингера
для неограниченного числа частиц с Энергиями, задаваемыми равен-
равенствами
Поскольку применение оператора af к вектору состояния с я части-
частицами приводит к n -f- 1 частице, af называют обычно оператором
рождения и соответственно а—оператором уничтожения (погло-
(поглощения).
Существуют поля другого типа, гамильтониан которых является
не непрерывным аналогом гамильтониана системы связанных осцилля-
осцилляторов, а аналогом гамильтониана ларморовской прецессии электрон-
электронных спинов. Можно показать, что в этом случае квантование при-
!) К этому выводу и к соответствующему уравнению можно прийти
и непосредственно с помощью перестановочных соотношений D.9).

46 Глава 4
водит к частицам, подчиняющимся статистике Ферми — Дирака.
Рассмотрение таких полей, соответствующих полуцелому спину,
выходит за рамки этой книги. Однако мы хотели бы заметить, что
квантовая теория поля предсказывает экспериментально установлен-
установленную связь спина и статистики.
Грубо говоря, переход к трем измерениям увеличивает число
степеней свободы втрое. Это изменение не столь существенно, как
предельный переход №—>ос, использованный в этой главе.
Наконец, обсудим в общих чертах предел L—>oo, когда нефизн-
ческое граничное условие D.7) исчезает. В этом пределе векторы к
в D.8) образуют плотную последовательность, такую, что kt стано-
становятся непрерывными переменными, изменяющимися от — оо до ос.
Мы будем отмечать это обстоятельство, обозначая операторы уни-
уничтожения и рождения в этом пределе через a (k), af (к). Далее
2 следует теперь заменить интегралом. Так как расстояние между
двумя соседними точками в к пространстве равно 2it/L, то- их плотность
равна (L/2-K и, следовательно, в этом пределе
Эта сумма с соответствующими весами, распространенная на все сте-
степени свободы, входит в большинство вычислений, ведущих к числен-
численным результатам, поэтому мы ввели для нее новое обозначение Q.
к
При переходе к бесконечному числу степеней свободы возникает ряд
вопросов, которые мы с.еЯнас. обсудим..- — ¦•
Прежде всего, поскольку теперь имеется бесконечное множество о>
и они не имеют верхней границы, сумма, определяющая нулевую
энергию
к
расходится. Этой трудности можно избежать, назвав
энергией, поскольку в настоящий момент мы не знаем, что пред-
представляет собой энергия нулевых колебаний поля. Можно было бы
спросить, сходится ли бесконечная сумма D.12) к определенному
пределу. Однако этот вопрос связан с трудными вопросами о свой-
свойствах несепарабельных гильбертовых пространств, к ответу на кото-
которые мы еще не готовы. Читатель должен удовлетвориться тем фактом,
что в случае состояний, включающих лишь конечное число возбу-
возбужденных осцилляторов, применение Н дает конечную сумму.

Поля 47
Что касается другого характерного квантового свойства, а именно
нулевых флуктуация ^(г), то здесь бесконечное число степеней
свободы также приводит к некоторым трудностям. Аналогично B.15)
и C.15) находим
Сумма D.13) расходится. Это лучше всего видно в пределе L —> со,
где мы получаем:
(г)Р - B,f3 / d4 2(k2^m2)l;, - оо. D.14)
Бесконечное значение квадратичной флуктуации связано с тем
фактом, что ^(г) дает состояние с бесконечной нормой, если при-
применить его к любому состоянию с конечной энергией2). Таким обра-
образом, f (г) не относится к операторам в том гильбертовом простран-
пространстве, с которым мы имеем дело. Оказывается, однако, что среднее
значение ф (г) в конечной области пространства имеет конечную ква-
квадратичную флуктуацию. Чтобы убедиться в этом, определим среднее
значение поля фь в объеме Ь3 равенством
фь = Bizb2)~t;' j й3ге-т1/2Ь'ф (г),
откуда
<0 | ф110) = B-)-6*-s f d3k d*r d3r' 2(й е-(' +'' )/26 =
D. IS)"
Последнее выражение показывает, что по мере уменьшения
объема Ь3, по которому производится усреднение, флуктуации поля
становятся все более и более сильными. Поскольку в процессе
усреднения вклад длин волн, меньших размера Ь, исчезает, умень-
уменьшение объема ведет к увеличению общего вклада во флуктуации
поля.
На первый взгляд кажется, что это должно привести к суще-
существеннейшим последствиям. Электромагнитные потенциалы V и А
удовлетворяют уравнению типа D.6) при т — 0. Поэтому для сред-
средней квадратичной флуктуации V мы имеем:
') Уравнение D.14) -представляет собой частный вариант этого утвер-
утверждения для случая вакуумного состояния.

48 Г л а в а 4
что дает чрезвычайно большую величину, если вспомнить, что
в наших единицах1) элементарный заряд е = Djr/137)J/t. Потен-
Потенциал е/4кЬ, создаваемый элементарным зарядом на расстоянии Ь,
оказывается много меньшим, чем .квантовые флуктуации поля, усред-
усредненного по сравнимой области. Можно задать вопрос, как при этих
условиях электрон в атоме водорода может двигаться по орбите,
предписываемой силой, действующей на него со" стороны протона.
Ответ заключается в том, что большинство флуктуации имеет ча-
с1оту—^Ь~1 = те2, которая при ^ -—• 10~ см в 137 раз превосходит
частоту движения электрона в основном состоянии. Флуктуации при-
приводят лишь к высокочастотным вибрациям электрона с малой ампли-
амплитудой, тогда как кулоновское поле действует относительно долгое
время в одном направлении и определяет движение. Легко пока-
показать [2, 3], что амплитуда такой вибрации меньше, чем комптоновская
длина волны электрона, 10~п см. Следовательно, этот эффект сме-
смещает атомные уровни меньше, чем релятивистские эффекты, которые
приводят к размазыванию заряда электрона по области с размерами
порядка комптоновской длины волны электрона. Это будет доказано
для скалярных частиц в гл. 5. Тем не менее, современные экс-
эксперименты устанавливают действие квантовых флуктуации в атоме
водорода с точностью 1 • 10~ч. В мезодинамических приложениях,
которые мы рассмотрим в дальнейшем, роль вакуумных флуктуации
поля особенно велика, так как мезон-нуклонное взаимодействие
гораздо сильнее электромагнитного. Флуктуации непрерывно встря-
встряхивают спии и заряд нуклона, так как гс-мезонное поле существеннее
действует на эти переменные, чем на координаты нуклона, с кото-
которым оно связанр. .
4.2. Вывод уравнений движения из лагранжиана. Мы рас-
рассмотрим теперь вид перестановочных соотношений для непрерыв-
непрерывных переменных f(r) и ф(г). Это даст ключ к общим правилам
квантования. Используя D.8) и D.9), получаем
1ф(г, t), ф{х', t%ml, = l+(r, t), i(rf, 0W = 0,
D.16}
[f(r, t), f(r, t%.t, ib4rr')
Здесь мы воспользовались известным из теории разложений Фурье
фактом, состоящим в том, что следующая сумма представляет собой
эффективно 8-функцию в интервале — L/2 < х < L/2 [4]. В пре-
пределе L—>oo
= ("^-K J" d3***" =83(r). D.17)
') Напомним, что Й = с = 1,

Поля 49
Зто равенство отражает полноту набора экспоненциальных функций
и является непрерывным аналогом A.5). Вид D.16) для непрерывной
формы канонических перестановочных соотношений можно было
предвидеть. Действительно, предел равенства [qv pm] = ibln [т. е.
C.2)] при а->0 имеет вид
где bx,X' равно 1, если х а х' находятся в одной и той же ячейке
пространства и равно нулю в противоположном случае. В пределе
а—у0 отношение Ъхх>/а дает как раз одномерную дираковскую
8-функцию, 8 (х — х'), а D.16) представляет собой трехмерное обоб-
обобщение этого равенства.
Теперь мы можем установить общие правила квантования поля
с помощью формального аппарата функциональной проиаводной и
8-функции. Удобно начать с лагранжиана, из которого уравнения
поля получаются как свойство стационарности интеграла действия
и ' /.
W = fL(f, Yf, ^di^fdtd^r^if, Уф, ф),
t, ' /, -
где Jg — плотность лагранжиана. Накладывая в качестве граничного
условия требование, чтобы произвольная вариация Ьф равнялась нулю
в точках tx и t2, мы получаем с помощью функциональной произ-
производной, введенной в A.13):
= fat f
J J
дФ д(ЧФ)
dt дф ^ дф д($Ф)\
Поэтому эйлеровские уравнения движения имеют вид
д
dj?
dt дф дФ д (УФ)'
С помощью функциональных производных
Ьф дф Ьф дФ д (Уф)
4 9- Хенля, В, Тирринг

50 Г лава 4
уравнения Эйлера приводятся к классической форме,
Ht Ьф (г, О ~~ Зф (г. О ' ^ ' '
Обобщение канонически сопряженной переменной записывается как
Ьф (г, t) '
Для гамильтониана и перестановочных соотношений мы постулируем
в согласии с общими формулами
Н= jd3nr(r, t)f(r, t)—L,
[f (г, t), *(r'. t%^t,=lV{r — r'), D-19)
[ф(г, 0. sKr', OW=l*(r. 0. *(r'. *')W=0.
Таким образом, переход от дискретных к непрерывным переменным
осуществляется посредством замены суммы на интеграл, частной про-
производной на функциональную производную и 8-символа Кронекера
на дираковскую 3-функцию.
Уравнения поля и гамильтониан D.6) строятся из лагранжиана 1)
(t) = f d3r -i [^ _ (УфJ _ да2^2]. D.20)
С помощью A.13) можно убедиться, что канонически сопряженное
поле -(г, t) имеет вид
(. ) H. ) т^Чг-
bq> (Г, t)
поэтому постулированный нами лагранжиан ведет к гамильтониану
D.6) и перестановочным соотношениям D.4) и D.16).
Использование механической аналогии для нахождения уравнений
поля D.6) может показаться неубедительным, если применять ее,
скажем, к полю w-мезонов. Для более систематического вывода суще-
существен лагранжев формализм. Чтобы удовлетворить требованию ло-
ренц-инвариантности, плотность лагранжиана, т. е. величина под зна-
знаком интеграла D.20), должна быть скаляром. Наше выражение по
существу представляет собой самую общую скалярную ¦ форм}',
квадратичную по полю и его производным.
В качестве следующего примера, который мы будем иногда
использовать для противопоставления релятивистскому полю ф, при-
применим лагранжев формализм к полю ф, подчиняющемуся уравнению
Шредингера, Это уравнение первого порядка относительно произ-
') Этот лагранжиан определен не единственным образом, так как его
можно измените путем добавления к нему полной производной по времен».

Поля SI
водной по времени, однако, поскольку поле не является эрмитовым
(i)f ф ф, два уравнения для ф и ф эквивалентны одному уравнению
второго порядка. Применение наших правил к уравнениям первого
порядка требует некоторой осторожности. Чтобы убедиться в этом,
мы вернемся на время к рассмотрению одиночного гармонического
осциллятора. Уравнение движения при ш = 1 для реального опе-
оператора q, q =— q можно заменить на два дифференциальных урав-
уравнения первого порядка для неэрмитовых операторов б и в:
Мы видим, что эрмитов лагранжиан, дающий S = /S и обычное вы-
выражение для энергии, имеет вид
Сопряженные переменные л и i+ равны
и, следовательно, для гамильтониана *) можно записать:
Однако правильные перестановочные соотношения, выведенные из
соотношения [q, q] = I, имеют вид2)
[п\ S] = 2, [6. ё] = [@+, Sf]=0
и значит
Множитель '/г> появляющийся в перестановочных соотношениях для
канонически сопряженных операторов S. и п и (я+ и vr, всегда3)
') fi и @+ — независимые переменные.
2) Мы выбрали эрмитов лагранжиан, поскольку он идентичен прежнему
лагранжиану для гармонического осциллятора. Посредством добавления
члена / (d/dt) (б , S) можно перейти к неэрмитову гамильтониану, приво-
приводящему к правильным уравнениям движения, но перестановочным соотно-
соотношениям [&f, б] = 2, [б, я]=0, [6f, nf] = i. См., например, у Шиффа [4].
3) Это относится, конечно, только к системам рассматриваемого ти-
типа, а именно к системам, описываемым линейными дифференциальными
уравнениями первого порядка по времени.

52 Г л а в а 4
присутствует в том случае, когда при выводе уравнений движения
первого порядка для неэрмитова поля используется эрмитов лагранжиан.
Соответствующий лагранжиан для шредингеровских полей <|> и <|>+
можно записать как
1 = f а*г т [1 (Ф+* - №) - i V •
а уравнения поля, вытекающие из него, имеют вид1)
Операторы обобщенных импульсов тс и rcf, канонически сопряжен-
сопряженные к ф и ф , равны
С помощью перестановочных соотношений
= 4-8» (г —г*).
D.22)
(г), s (г)] «[ф+ (г), я+(г)] = -1
[«КО. «f(Ol = №*('). «(О]==о .
мы получаем
[ф(г, /), 4-f(r', OL/'=83(r-f').
[ф(г, 0. ф(г'. ОЬ=(. = [ф1"(г. 0. tV. Ы=г = 0-
Наконец, гамильтониан равен
Я = J d3r 2^- Щ+ • Щ = / <Рг 2^- (V4»f • Vuf — Vtc ¦ Уф).
При выводе уравнений поля из гамильтониана необходимо соблюдать
осторожность. Только после того как эрмитов гамильтониан явным
образом выражен через канонически сопряженные импульсы к и тс+,
соотношения A.14) дают правильные уравнения поля. Собственные
') Этот случай представляет по существу предельный случай поля
Клейна — Гордона
ф (г, t) = lim ешФ (г, О-

Поля S3
значения энергии можно получить таким же способом, как и раньше 1):
[а
D-23)
Случай шредингеровского поля по существу несколько проще
случая релятивистского поля Клейна — Гордона; в частности, соот-
соотношение между энергией и импульсом для квантов поля имеет здесь
классический вид. В следующей главе мы изучим некоторые различия
между релятивистским и нерелятивистским случаями, которые яе
имеют тривиальной кинематической природы.
1) Поскольку ф — неэрмятов оператор, часть, сызанная с операторами
рождения а?< не необходима.

Глава 5
НАБЛЮДАЕМЫЕ
5.1. Энергия, импульс и угловой момент. Исходя из нашей
механической аналогии, мы рассмотрели пока только две наблюдаемые
величины: полную энергию и амплитуду поля ф (г, t). В непрерывном
пределе последняя не была оператором в том смысле, что примене-
применение ф к состоянию с конечной нормой приводило к состоянию
с бесконечной нормой [см. D.14)]. Таким образом, нам предстоит
обратиться к некоторым другим наблюдаемым для обсуждения свойств
квантованного поля. В классической теории поля существуют опре-
определенные общие способы построения таких величин, как импульс
или угловой момент поля для заданного лагранжиана. В настоящей
главе мы изучим эти и другие наблюдаемые вместе с их коммута-
коммутационными свойствами; следующая глава будет посвящена собственным
состояниям их операторов.
Как и в механике материальной точки, инвариантность лагран-
лагранжиана относительно определенных преобразований обеспечивает суще-
существование соответствующих констант движения. Мы уже сталкивались
с одним примером этого общего принципа, а именно с существова-
существованием энергии. Если, и только если лагранжиан не зависит явно от
времени, энергия D.19) сохраняется. Читатель легко проверит фор-
формулу
EЛ)
где dL/dt не включает неявную зависимость от времени, входящую
через член ^(г, t). Аналогично, если L не зависит от координат г
(примером могут служить лагранжианы, рассмотренные в гл. 4). что
означает инвариантность относительно пространственных сдвигов и
вращений, то мы получаем еще шесть интегралов движения (по од-
одному на каждый параметр рассматриваемой группы). В классической
механике интегралы движения, связанные с инвариантностью (для
сдвигов и вращений это соответственно полный импульс и угловой
момент), являются операторами определенного преобразования. Ин-
Инвариантность классического гамильтониана относительно таких

Наблюдаемые 55-
преобразований обеспечивает равенство нулю скобок Пуассона между
гамильтонианом и операторами преобразований, что означает сохра-
сохранение последних. Это же остается справедливым и в квантовой тео-
теории, где скобки Пуассона заменяются коммутатором. Поэтому импульс
и угловой момент определяются в общем виде как операторы, для
которых коммутатор с любой величиной дает изменение этой вели-
величины при бесконечно малых смещении и повороте.
Здесь необходимо вспомнить, что наша задача еще не инва-
инвариантна относительно вращений из-за кубических условий перио-
периодичности, наложенных на наши поля. Однако инвариантность можно
получить, наложив сферически симметричное граничное условие, на-
например,
ф(г, t) = 0 для r = R. E.2)
Мы будем иметь в виду это условие при обсуждении полного
углового момента. В классической теории твердых тел показано, что
частный вид граничного условия не существен для больших систем
и играет вспомогательную роль при математическом описании. Слу-
Случай, представляющий физический интерес, характеризуется пределом
L—>оо и R—>oo. Соответственно форма граничных условий не
должна входить и не входит в результаты, имеющие физическэе
значение, что соответствует преобладанию объемных эффектов над
поверхностными. Физические результаты всегда будут выводиться
для состояний, в которых поле возбуждено лишь в конечных областях
пространства. Для этих состояний операторы поля на бесконечности
практически равны нулю. Имея это в виду, мы будем в дальнейшем
пренебрегать поверхностными интегралами по бесконечно удаленным
поверхностям.
Для релятивистского и нерелятивистского полей полный импульс
и угловой момент оказываются равными ')
Р — — у J d3r{*\f +
Р = — 4- Г Фг \ъЩ -(- ф
E-3)
*r X V^ V^
= — \ f d4[7zr X Щ + г X
') Эти операторы ограничены условиями эрмитовости и соответствую-
соответствующего поведения при преобразованиях Лоренца. Их можно получить также
по аналогии с классической механикой (см., например, книгу Венцеля [1]).
Здесь мы просто задаем' Р и L и показываем, что они имеют правильные
свойства, присущие этим операторам,

56 Глава 5
С помощью D.19), например, находим
[Р. Ф(г, /)]^
, ),
[L, *(r. OI = /rXV^(r. О. ( }
и аналогичные уравнения для тс (г, t), ф и-т. д. Иными словами ком-
коммутаторы Р и L с оператором поля дают изменения этих величин
соответственно при бесконечно малых смещении и повороте. По-
Поскольку гамильтониан инвариантен относительно этих операций, мы
имеем
[Р, tf] = [L, H] = 0. E.5)
Согласно B.19), это означает, что Р и L не зависят от времени.
На самом деле соотношение E.5) можно также проверить с по-
помощью ¦ уравнений поля. Отсюда нетрудно видеть, что с помощью
уравнения Клейна — Гордона выражения для Р и L можно пре-
преобразовать к бесконечным поверхностным интегралам. Однако про-
простое вычисление показывает, что Р и L не коммутируют; действи-
действительно, перестановочные соотношения между ними такие же, как и
в элементарной квантовой механике:
[Pt, Lj\ = UijhPll, I, j, ft=l, 2, 3 илн x, у, z, E.6)
где e(-yft — полностью антисимметричный тензор третьего ранга, на-
например, е1ЯЗ" = 1 • а ?213 = —!• В действительности существует очень
общая причина, приводящая к E.6). .Нескольку L и Р генерируют
бесконечно малые повороты и смещения, перестановочные соотноше-
соотношения между ними должны быть такими же, как соотношения для
операторов поворота и сдвига. Точно так же можно показать, что
перестановочные соотношения между компонентами L имеют обычную
форму
\к- ty='«//*?*¦ E-7)
Подставляя выражения D.8) или D.3) в E.3), мы получаем с по-
помощью наших обычных методов *)
акк. E.8)
к
Как было установлено ранее, операторы я?ак имеют целые собствен-
собственные значения, откуда мы заключаем, что состояние
*,. пк2, ...)== (at)"'(a+)".-|0>
') Импульс нулевых колебаний -^- V к, появляющийся для поля
к
Клейна — Гордона, равен нулю вследствие симметрии, благодаря которой
для каждой компоненты Щ существует компонента —hi,

Наблюдаемые 57
есть также собственное состояние Р, принадлежащее собственному
значению /iikj-f-я2к2+ .... Наша корпускулярная интерпретация
подтверждается теперь уравнением') E.8), вследствие которого
импульс к оказывается связанным с энергией (o = (&2-j-/n2)'/s. Соб-
Собственные значения импульса являются, следовательно, целыми крат-
кратными величины к. Сходство с задачей о собственных значениях
энергии формально возникает из-за того, что перестановочные соот-
соотношения D.19) и E.4) имеют одинаковую структуру. Следовательно,
собственные значения углового момента также имеют аналогичную
природу. Однако обычные состояния, являющиеся собственными со-
состояниями Р, не будут собственными состояниями L, поскольку Р и
L не коммутируют никогда, за исключением случая Р = 0. Но L и Н
коммутируют так, что мы могли бы найти собственные состояния
одновременно Н и, например, L3.
Чтобы построить такие состояния, следует разложение выполнить
не по плоским волнам (собственным функциям сдвига), а по сфе-
сферическим гармоникам (собственным функциям вращений), так как
именно в последнем представлении мы ожидаем, что оператор, будет
ди1гонален. Чтобы достичь цели, воспользуемся разложением плоской
волны
в'""Г = Т S B*)'?t/? С) Yf (б*<?*> УТ (8г. ?,), E.9)
I, m
где 9fc, срл и 8Г, срг представляют собой углы между векторами к и г
и произвольно направленной осью z, а К" — нормированные сфери-
сферические функции. Функции Ulk (г) удовлетворяют уравнению
и задаются равенствами
Разложение E.9) сводится к известному выражению2)
ао
emr cos о _ 2 B1 -f-1) ilji (*r) P. (cos 8),
/=.0
>) Вследствие этого а^ называют обычно операторами уничтожения
в импульсном (или к-) пространстве в противоположность Ф (г) в координат-
координатном (или г*) пространстве, которые одновременно рождают и уничтожают
частицы.
2) Это. разложение легче всего получить, сравнивая асимптотически
разложения обеих частей равенства после интегрирования с Р; (cos в) d cos 9
(см. [2, 3]).

58 Г лава 6
если г выбрать в направлении оси z. Но поскольку E.9) инва-
инвариантно относительно вращений, оно должно быть справедливо
в общем случае.
Постоянные, входящие в определение U'k, были выбраны таким
образом, чтобы эти функции были нормированы на о-функцию. Это
можно видеть, рассматривая их асимптотическое поведение
и уравнения поля
_ vi (r\ " v] (Г) — lim —
Далее, эти функции и сферические гармоники Y? образуют полную
систему трехмерных функций в том смысле, что
J &к 2 ?/i (r) U[ (г') КГ* Fr<Fr) Kf (9г.«рг-) = S3 (г — г'),
о г, m
Наконец, если ввести разложение1),
оо
7^
Н-ИГ'(9Г, <pr)o
и сравнить его с непрерывным пределом D.8), то можно видеть, что
а[т (k) определяется равенством
С помощью тождества
sin О
') Мы ввели здесь обозначение, которое в дальнейшем будет постоянно
использоваться; оно позволяет сопоставлять величины в дискретном
и непрерывном ^-пространствах. Для первых операторы поглощения
обозначаются как ак или ак т, тогда как в выражениях для вторых мы
будем писать а (к) или а1т (&).

Наблюдаемые 59
получаем теперь перестановочные соотношения
[аш {k), alm. {k')\ = 8H.omm-o (k — k'),
[a!m (*). aVm. (*')] = [atm (*). «г-»' (*')] =0. ( ' )
Можно без труда проверить, что соотношения E.11) следуют из
коммутационных свойств <f>(r, t). '
По аналогии с разложением ф(г, t) по плоским волнам можно
также развить формализм с непрерывной переменной k, как предел
дискретного набора, выделенного с помощью граничного условия E.2);
Из асимптотического разложения V, которое справедливо, только для
значений п или /, много меньших kR (например, при фиксирован-
фиксированных п или / в пределе R->oo), видно, что равенство
требует, чтобы k имело значения k = (n-\-lj2) —//?, где п = 0, 1, 2,
При этих условиях
к 0 ' - ¦
и приведенное выше разложение можно переписать в виде
*, 1, т
-\-?Т*фг. <ргLшеш, .. . E.106)
[ак1т> аЛ'Ут'] = Ъи'Ътт'Ъьл-<
при aklm—>-(~/R)'alm(k). В дальнейшем изложении мы будем исполь-
использовать как дискретную, так и непрерывную форму записи. Для
получения из теории численных результатов, очевидно, более удобна
последняя. Ради удобства справок формулы, позволяющие выполнить
переход из дискретного к непрерывному пространству, собраны
в приложении.
В терминах операторов, введенных в E.106), получаем для инте-
интересующих нас наблюдаемых ')
Н-Ео= 2 al ак 1<>ж».- E.12)
/, IB, * . .
а для L3, используя д?Т(9г, <рг)/д«рг= гтКГ(вг, <рг), имеем
I, in, /г
') Член 2j -к т' появляющийся в случае поля Клейна — Гордона, раве»
т
нулю вследствие симметрии между + т и — т. ,

60 Г лава 5
В новых переменных вакуум определяется равенством
**./.« | 0> == 0. E.14)
В пределе R—>оо (т. е. в случае, когда граничное условие E.2)
должно быть эквивалентно соответствующему условию в импульсном
представлении) условие E.14) совпадает с нашим прежним определе-
определением, поскольку в этом случае новые операторы а представляют
собой линейные комбинации прежних. В новом представлении соб-
собственные состояния частиц с энергиями со получаются применением
оператора а^1т к вакууму. Так
Обращаясь к E.13), мы видим, что эти состояния будут также соб-
собственными состояниями L3, принадлежащими собственному значению
2 mink i т • Величины пк t т . т. е. собственные значения а?( akl
llmllci ' ' ' " '
определяют числа частиц, имеющих энергии и>г, угловые моменты 1{
и третьи компоненты т^ так, что Lb при этом имеет целые соб-
собственные значения. Чтобы построить собственные состояния задан-
заданного полного углового момента, необходимо подобрать соответствую-
соответствующую комбинацию одночастичных состояний. Это можно осуществить
методами, известными из элементарной квантовой механики [4]. Мы
не будем останавливаться на этом в настоящий момент, но позже
выполним эквивалентные этой процедуре преобразования. Существо-
Существование нескольких способов построения собственных векторов Н свя-
связано с тем фактом, что в пределе R—>оо или L—у со Н оказы-
оказывается бесконечно вырожденным. Собственные состояния Lz и Н
представляют собой суперпозиции^ собственных состояний Р с теми же
собственными значениями Н, а коэффициенты совпадают с теми,
которые возникают при переходе от плоских волн к сферическим.
5.2. Четность. Следующий интеграл движения связан с инвариант-
инвариантностью Н относительно дискретного ортогонального преобразования
координат, представляющего собой отражение г—> — г. Поскольку
это преобразование нельзя разложить на непрерывные вращения 2),
связанная с ним сохраняющаяся величина не зависит от углового
момента. Она вводится при помощи обычных рассуждений. Поскольку
подстановка ^>(г, 0~у^>(—г, ¦?) оставляет перестановочные соотно-
соотношения неизменными, должно существовать унитарное преобразование,
эквивалентное этой подстановке
&&% ^1^ 1
') Это означает, что <Р не имеет классического аналога; не существует
бесконечно малого оператора отражения.

Наблюдаемые 61
Аналогично и Н инвариантно относительно подстановки ф(т, t)
—»¦<?(—г, t), вследствие чего мы имеем равенства
означающие, что <^*+ есть интеграл движения. Однако как И, так
и перестановочные соотношения инвариантны также относительно
замены ф(т, t)—>.—?ф(—г. t), так что отражение можно определить
еще и следующим образом:
^-ф(т, t)^Zl= — </>(— г, t), E.146)
причем <^_ также сохраняется. Только в присутствии взаимодей-
взаимодействия можно установить правильные свойства ф при отражении, т. е.
установить, который из двух операторов сохраняется. Например,
если. Н включает член
где р (г) — величина, инвариантная относительно отражения, то
только &+ коммутирует с Н. В этом случае ф называется скаляром.
С другой стороны, член
\ф (г. t). где ^er^ = a
коммутирует только с ?*_ и тогда ф называется псевдоскаляром.
Этот последний случай осуществляется в природе для чг-мезонного
поля.
Операторы <^*± могут быть диагонализованы в представлении
углового момента, но не в импульсном представлении, так как
в нем [<^±, L] = 0. но ^^.Р^Х1 = — Р- Поскольку
КГ(—г)а-КГ(« —9,. Ъ + «) = (—1)' YT (8Г, ?,) = (—1)'*Т (г),
то мы находим явные выражения1)
_ = exp[-te 2 (Л-
2
') Заметим, что ei6ae l6 определяется разложением экспоненты
et6ae-l6 = a + i[6,a]+~[6, ,[6.e]]+ •••
так, что если [в, а+] = 1, то
Фазовый множитель в <^±, остающийся неопределенным при определениях
E.14а) н E.146), выбирается из условия <^± |0)== |-0). При помощи E.14а)
можно также найти, что cf^a^c?1 = ± a_h. -- .

62 Г лав а 5
а из этих выражений
^^ = ОI ант. ^-ашт^-1 — (— l)'+l akln.
Из E.14в) следует, что #>+ равно —1 в степени, равной числу
частиц, имеющих нечетные угловые моменты, а #*_ равно —1 в сте-
степени,- равной числу частиц, имеющих четные моменты. Поэтому
четность есть мультипликативная величина; для нескольких частиц
она представляет собой произведение индивидуальных четностей.
Скалярные частицы имеют только орбитальную четность (—1)', тогда
как псевдоскалярные обладают также внутренней отрицательной
четностью.
5.3. Число частиц и плотность частиц. Другая наблюдаемая
величина, коммутирующая с гамильтонианом, но не имеющая клас-
классического аналога, — это число частиц 1):
A^=2<«h=2«^ft/m. E-15)
Собственные значения этого оператора представляют собой сумму
целых чисел пк (или пк[т), которые мы интерпретируем как число
частиц в состоянии с импульсом к (или угловым моментом с z-kom-
понентой т):
51,| |я»). E.16)
Следовательно, N можно назвать оператором полного числа частиц.
Очевидно,
[И, N] = 0.- E.17)
Это означает, что частицы не рождаются и не исчезают. По суще-
существу мы определяем оператор числа частиц с заданным импульсом
к как Nu= а+аь, так что Л/=2^' поэтому
[NkH] = О, Nk = 0.
Это равенство показывает, что частицы не переходят из состояния
с одним импульсом в состояние с другим; иными словами, частицы,
описываемые рассматриваемым гамильтонианом, не рассеиваются.
Однако для систем, с которыми мы будем иметь дело в дальнейшем,
уравнение E.17) уже не будет справедливым.
Как и другие операторы, рассмотренные ранее, N можно пред-
представить в виде объемного интеграла. Если разбить ф на положи-
') Это уравнение н связанные с ним последующие уравнения должно
всегда пониматься в пределе L ->¦ со или R •+ оо.

Наблюдаемые 63
тельно и отрицательно частотные части:
(~V t).
^-> = <?(+>T, E.18)
r, t), ^>(r'. OL-r = [*'-'('. o. ?~'W, 0U =
то мы найдем, что
В нерелятивистском пределе это выражение в случае шредингеров-
ского поля переходит в более знакомое выражение
N = JVxijiV. О «К1". О- E-20)
В элементарной квантовой механике эту величину полагают равной
единице; иа нашем языке это означает, что рассматриваются толька
одночастичные состояния.
Можно также показать, что квантовомеханическая теорема Эрен-
феста (см. [3]) остается справедливой в нашей общей теории. Если по
анвлогии с квантовой механикой определить положение центра масс
как оператор 1)
(r, Оф(г, Or, E.21)
то, используя D.22), E.3) и интегрируя по частям, получаем
R = *[//. R] = 7^r- E.22)
Таким образом, полный импульс равен полной массе, умноженной на
скорость центра масс. Релятивистский аналог E.22) имеет место лишь
для центра энергий:
/ + 're?!lr' E.23)
E.24)
') Заметим, что [Rlt Pj] =г'5^, как и в* элементарной квантовой механике.

64 Г лав а 5
5.4. Локальные наблюдаемые. До сих пор мы рассматривали
наблюдаемые, которые имели форму интегралов по всему простран-
пространству. При этом по существу предполагалось, что подынтегральное
выражение представляло собой соответствующую локальную плот-
плотность, а интеграл по конечному объему — часть наблюдаемой вели-
величины, содержащуюся в этом объеме. Однако величины, проинтегри-
проинтегрированные по всему объему Lz, могут не коммутировать с f или
билинейными по полю операторами, такими как плотность им-
импульса Р (г). Поэтому состояния, с которыми мы до сих пор имели
дело, не являются, вообще говоря, собственными состояниями таких
локальных величин как плотность импульса. Это станет совершенно
очевидным в следующей главе, где рассматриваются непосредственно
сами состояния.
Для локальных величин имеется существенное отличие между
релятивистским и нерелятивистским случаями, которые мы сейчас изу-
изучим. Если определить число частиц в объеме v как
Nv{t)= fd*rN(r, t), E.25)
То для нерелятивистского поля
N(r, О = ф+(г, *)ф(г, t), E.26)
а для релятивистского —
N{r,t) = — l [р-* (г, О fw (г, t) - f<-> (г, t) f+) (г. О]. E.27)
В нерелятивистском, .случае из перестановочных соотношений D.22)
следует, что
[ЛГ.,(О. ЛГв, (*%_,. = 0 E.28)
независимо от. того, перекрываются объемы vx и v2 или нет. Это
значит, что можно говорить об определенном числе нерелятивистских
частиц, например 1, в любом объеме независимо от того, насколько
он мал или велик. Правда, это число не остается постоянным, по-
поскольку
[Nv(t), Я] = — ¦—• /^г[ф+(г, О?2ф(г, t) — vV(r. ОФ(г. *I*0.
v
н поверхностный интеграл, к которому сводится выписанное выра-
выражение, остается конечным для конечных объемов; однако это озна-
означает только то, что волновой гакет для локализованной частицы
расползается с течением времени. Для релятивистского поля ф пе»
рестановочное соотношение E.28) не имеет места, даже если объе*
мы г»! и v2 не перекрываются. Это происходит из-за дополнительного

Наблюдаемые 65
множителя со"".1, вследствие которого оказывается не равным нулю
коммутатор
[*<+>(г. О. ^-Чг'. О1.(- = 8т-^(+)(г~г') E.29а)
при г ф г'.
Вид этого коммутатора можно найти следующим образом:
A<M(r)=J_Jrf3?_i_L__ = _J_J^ sfn*r
rf/fe rp . E.296)
— CO '
Подстановка & = от sh 8 дает
дг
— CO
Мы видим, таким образом, что коммутатор ведет себя как функция
Ханкеля первого рода НA)Aтг), которая обладает следующими свой-
свойствами 1):
lim Д(+) (г) = lira •=—г,
г->.о **г
Нп,д<+)(г)= -?- (Л-
Поведение этого коммутатора при асимптотически больших г опре-
определяется в E.296) в основном экспонентой е1кг. вычисленной в ком-
комплексном полюсе к = im.
Соответственно для коммутатора локальной плотности jV(r, t)
с плотностью в другой точке пространства г'» взятой в тот же мо-
момент времени t, мы находим
') См. книгу Ватсона [5], гл. 3, 6, 7. Заметим также, что
5 Э. Хенлн, В. Тирринг

66 Глава 5
где
/
Здесь мы использовали алгебраическое тождество
[АВ, CD\ = A\B, C)D + ACIB, ?>Ц-[A C\DB-\-C[A, D]B
и условие
Интеграл для Г+ в той форме, как он приведен здесь, расходится,
однако его можно привести к сходящемуся посредством выделения
нужного числа степеней k в знаменателе за счет дифференцирования
по г. Для больших расстояний |г — г'| характер поведения *)
Фиг. 5.1. Распределение мезонов" вблизи двух неперекры-.
вающнхся объемов f, и v2, разделенных расстоянием s, много
большим комптоновской длины волны частиц/и-'.
так же определяется экспонентой при k == lm. Таким образом, для
рассматриваемого релятивистского поля коммутатор локальной плот-
плотности .Л/(г, О с плотностью, взятой в другой пространственной точке,
но в тот же момент времени [т. е. N(t', t)\, стремится к нулю,
только если точки разделены интервалом |г — г'\~^>m~l. To же
утверждение сохраняется и для чисел частиц, заключенных в двух
непересекающихся объемах vx и v2, как это показано на фиг. 5.1.
Здесь m~l—комптоновская длина волны частицы; например для
те-мезона она равна 1СГ1 см.
Поэтому невозможно утверждать, что один ir-мезон (или другое
определенное число их) находится в объеме, границы которого опре-
определены с точностью порядка 10~13 см или большей. Это было бы
справедливо, только если бы это состояние было собственным

Наблюдаемые 67
состоянием Nv с собственным значением 1 для рассматриваемого объема
и собственным значением 0 для всех соседних объемов, расположен-
расположенных на расстоянии не более чем 10~13 см от первого. Однако вслед-
вследствие некоммутативности таких близлежащих Nv это невозможно.
Лучшее, что можно сделать в релятивистском случае, — это получить
равное нулю собственное значение Nv для тех V, которые отстоят
от объема, содержащего частицу на расстояниях, много ббльших т~1.
Физически это связано с тем фактом, что столь точное определение
границы, Дг-^^/ге, требует использования внешнего поля, частично
содержащего длины волн < т~1. В таком поле могут возникать но-
новые частицы. Вследствие тождественности частиц в теории поля новые
частицы невозможно отличить от старых. Поэтому рассматриваемое
состояние перестает быть. одночастичным.
Таким образом, оказывается, что фундаментальные принципы реля-
релятивизма (? = /гес2) и квантовой теории (?=Av) приводят к важной
модификации наших понятий о частицах. В то время как в нереля-
нерелятивистском пределе они ведут себя как точки и не существует ниж-
нижнего предела для величины объема, в который их можно заключить,
в релятивистской теории поля кванты поля имеют размеры, грубо
говоря, равные их комптоновской длине волны. В этом заключается
начальная причина уменьшения электромагнитных взаимодействий,
когда в рассмотрение включаются длины волн X < т~1. Электрон,
например, ведет себя как заряженная сфера радиуса г—'tn~l, а эффект
меньших длин волн исчезает при усреднении. Поэтому сечение рас-
рассеяния фотонов на электронах для фотонных длин волн < mjl, на-
начинает падать [6]. Аналогичным образом этот же. эффект уменьшает
связь S-электрона в атоме водорода, поскольку размеры электрона
не допускают для него полного использования узкой" сингулярной
части кулоновского потенциала.
Подводя итог, мы можем сказать, что в квантовой теории поля
наблюдаемые ведут себя как соответствующие величины в случае
ансамбля свободных частиц. Вопрос о размерах частиц и другие
свойства локальных величин будут глубже рассмотрены при обсу-
обсуждении типичных собственных состояний в следующей главе.

Глава 6
СОСТОЯНИЯ
6.1. Вакуумное и одночастичное состояния. Состояния, кото-
которыми мы в основном интересовались до сих пор, были собственными
состояниями энергии. Состояние с наинизшей энергией, 10), не со-
содержит частиц и в соответствии с этим называется вакуумным. При-
Применение каждого а+ к @) порождает состояние с одной частицей
с импульсом к. Наиболее общее одночастичное состояние получается
при действии на |0) общей линейной комбинации операторов д+
с различными значениями к. Вместо а* можно также использовать
переменные поля ^<-)(г- 0> определенные по E.18), или, в нереля-
нерелятивистском случае, — переменные ф+(г, t).
Обращаясь к последнему более привычному случаю, мы можем
записать
/A +г, *)|о>. F.1)
Заметим, что введенные ранее одночаСтиЧныё состояния а?|0) или
а1ш\0) представляют собой частные случаи F.1) при
ИЛИ
/(г, о~^1(/-))Т(ег, Ь)е-1Е**,
так как эти состояния будучи собственными состояниями гамильто-
гамильтониана не зависят от времени. Нормировка одночастичного состоя-
состояния F.1) A|1)=1 требует, чтобы
< 1 | 1) = @ | / d3rf* (г, t) ф (г, 0 / dVf (г', tL.f (г', tI0> =
, t)f(r. t) =
=l. F.2)

Состояния
Мы получили нормировочное условие для волновой функции в кван-
квантовой механике, и / действительно играет роль этой величины. Она
появляется во всех случаях, когда вычисляются такие величины, как
плотность энергии Н(т), плотность импульса Р(г) или плотность
числа частиц N (jI). Так,
X / /(г>+(О Л* 10) - ^ *Л') • V/(r)
и аналогично
Р(г) | l> = -g-[/*(r)V/(r) —/(r)V/*(r)l. F.3)
Теперь мы исследуем вопрос, можно ли рассматривать кванты
поля как частицы в том смысле, что они представляют собой объекты,
локализованные в определенной области пространства. Как и в кван-
квантовой механике, в любой данный момент времени можно построить
плотность частиц с произвольным пространственным распределением.
Разумеется, построенное состояние не будет, вообще говоря, соб-
собственным состоянием энергии и импульса, но это замечание относится
и к квантовой механике, где волновой пакет в конечном счете рас-
расползается.
Нет необходимости, чтобы наши нерелятивистские частицы имели
определенный размер в заданный момент времени t; достаточно того,
что существует состояние, для~которого величина /(г, t) отлична от
нуля лишь в произвольно малой области [например, /(г, 0) = 83(r)J.
В этом случае ожидаемые значения плотностей будут, согласно F.3),
равны нулю вне этой области. Мы видим из D.22), что такое со-
состояние является собственным состоянием плотностей, взятых вне
области, соответствующей нулевому собственному значению. Это озна-
означает, что существуют такие состояния, для которых никакой экспе-
эксперимент не может обнаружить каких бы то ни было следов частицы
вне рассматриваемой области, сколь угодно малой. Тем не менее мы
всегда имеем
/V|1> = |1). ¦ F.4)
В частности, легко видеть, что при ? = 0 состояние 11) = ф+(г)| 0)
является собственным значением Nv (хотя и не нормированным) с соб-
собственным значением 1, если v содержит г, и с собственным значе-
') Я(г), Р(г) и 7V(r) являются подынтегральными выражениями для
соответствующих наблюдаемых величии, вычисленных при t» 0.

70 Г лава 6
нием 0 в противном случае]). Чтобы показать это, мы используем
равенство
которое также доказывает, что Nv имеет целые собственные значе-
значения для произвольного объема v.
Свойства состояний релятивистского поля оказываются иными.
Во-первых, в этом случае вакуумное состояние не является собст-
собственным состоянием локальных плотностей //(г), Р(г) или L(r).
Эти величины содержат пропорциональные <fr~' члены, которые при
действии на вакуум приводят к появлению двухчастичного состояния.
С другой стороны, вакуумное среднее от //(г) отлично от нуля:
Мы можем, однако, перераспределить плотностн таким образом,
чтобы гарантировать исчезновение средних вакуумных величин. Это
достигается тем, что все операторы ^(+* ставятся справа от ф ,
так что, например, плотность импульса становится равной
Следует отметить, что указанная процедура не меняет членов
ф{~J, и поэтому вакуумное состояние не становится собственным
состоянием локальных плотностей. Однако описанное переопреде-
переопределение приводит к исчезновению собственной энергии нулевых коле-
колебаний. Все сводится лишь к изменению наблюдаемых величии на
определенные (хотя и бесконечные) неизмеримые числа. Более того,
эти числа являются действительными, вследствие чего эрмитовость
наблюдаемых сохраняется. В дальнейшем мы всегда будем предпо-
') Это состояние не является собственным состоянием И, поскольку
\$ (r,-Q, N] Ф 0, и поэтому оно зависит от времени. Когда у величины Nv
не помечена, зависимость от времени, мы подразумеваем Л'„@).

СостояниА 71
лагать, что наблюдаемые величины, квадратичные по ф, представляют
собой упорядоченные произведения. Это не означает, что вакуумные
флуктуации ф исчезают. Так, (Д^J = @1 ф2\0) по-прежнему задается
суммой D.13), а флуктуация плотности энергии Н(т) после упоря-
упорядочения Н (но не М) также остается отличной от нуля, [Д//(г)]2 —
= @1 Я2 (г) 10), и расходится даже быстрее, чем флуктуация опе-
оператора поля ф. Таким образом, в релятивистской теории никогда
не возможно быть уверенным, что локальная энергия равна нулю. Это
происходит снова вследствие того, что точное определение объема
требует больших импульсов и энергий, при которых в релятивистской
теории возможно рождение частиц. В дальнейшем мы увидим, что
виртуальное существование частиц во всем пространстве представляет
собой одну из наиболее удивительных черт этой теории.
Одночастичные состояния релятивистской теории также обладают
интересными свойствами. Для того чтобы записать нашу произволь-
произвольную линейную комбинацию операторов рождения а? в импульсном
пространстве 2 aufk в пеРеменных ф^~К следует ввести Fk = (
и ее фурье-компоненту F (г), поскольку
__Lf *<-> (Г) еш-г азг
Отсюда при ? = 0 получаем:
к
Условие нормировки
не соответствует обычному, Г dzr \ F (г) |2 = 1, а имеет вид
(о| f d*r<Pr'F* (r) F(г')ф(+) (г)^(-> (гО | О) =
= Lf г (Г) д<+> (Г _ г') F (г') d3rd3r' = i
Последнее равенство представляет собой результат присутствия мно-
множителя о», из-за которого невозможно найти такое пространственное
распределение F(t), чтобы средние значения всех плотностей были
равны нулю вне заданной области. Например, полагая все Д рав-
равными l/L''\ что соответствует пространственной S-функции при г = 0

72 Глава 6
для /(г), но не для F (г), мы получаем для плотности частиц из
уравнения E.27):
Правая часть этого равенства не равна, очевидно, нулю при г Ф О,
поэтому одночастичное состояние, описываемое таким образом, нельзя
считать локализованным; оно размазано на расстояние порядка \jm.
С другой стороны, если в соответствии с /?(г) = 83(г) выбрать /="к"
равным l/L'4 мы получим для ЛГ(г) с помощью перестановочных
соотношений E.18) и E.29а):
— / <0[ ^(+) @)f^-» (г) ^<+) (г) —
Эта величина действительно равна нулю при г Ф 0, так что состоя-
состояние оказывается локализованным в начале координат'). Однако сред-
среднее значение плотности энергии в этом состоянии становится равным
= | {[53 (г)]2 Н- [V*(+) (г)]2 + И(+) (г)]21. F.9)
Основные свойства пространственной зависимости этой функции опре-
определяются величиной e-2mr для г~^>т~1. Это можно понять, рассмо-
рассмотрев частицу, локализованную в начале координат. Всякое измерение
энергии связано с рождением частиц, однако это уже было учтено
при переопределении операторов F.5). Последнее гарантировало, что
в отсутствие реальных (но не виртуальных) частиц, т. е. в случае
вакуумного состояния, среднее значение плотности энергии равно
нулю. Однако благодаря присутствию частицы в начале координат
измерения вблизи этой точки могут привести к новым следствиям.
На расстоянии г < т~х может родиться пара частиц, одна из кото-
которых остается в этой области, тогда как другая аннигилирует с части-
частицей в начале координат. Расстояние, которое может пройти любая
') Наш выбор ^(г) не приводит к нормированному состоянию ['!). За-
Заметим далее, что состояние, описываемое F (г) = Ь3 (г), не является соб-
собственным состоянием iV(r), т. е.
JV <г) [ 1 > Ф const A) для г = 0
в согласии с выводами гл. 5. Однако среднее значение N(r) в этом состоя-
состоянии локализовано.

Состояния 73
виртуальная частица, ограничено условием Д?Дт—I. Поскольку при
рождении пары частиц Д? > 2т, то Дт < B»), и частицы не могут
распространяться далее чем на расстояние Bт) . Поэтому событие
рассмотренного типа влияет на. плотность энергии лишь на расстоя-
расстояниях порядка т~х от начала координат.
Аналогичные вычисления показывают, что Nv имеет только целые
собственные значения, если !>'/• простирается значительно дальше,
чем на длину комптоновской длины волны кванта поля. Мы находим,
что [Nv, ^(-)(г)] Ф ^(>(г)> н0 содержит дополнительный член, про-
пропорциональный ^<-) и усредненный около г на расстояниях порядка
комптоновской длины волны:
[Nv, *м(г)] =
— r')dV], если г внутри v,
'/' если г вне v-
Вектор ^(~Чг)|0) не будет поэтому собственным состоянием Nv.
Тем не менее, если v гораздо больше, чем т~г и F (г) представляет
собой гладкое распределение в объеме ~^2>т~л около средней части v,
то Гd?rF(т)<$>(~^(t)\Q) будет уже собственным состоянием этого Nv.
Поскольку локальные плотности энергии, взятые в разных точках
пространства в один и тот же момент времени, коммутируютх)
([//(г), //(г/)] = 0 при т Ф тг), может показаться, что возможно
построить состояние, в котором энергия точно локализована. Это и
в самом деле может быть сделано, но, как можно показать, такие
состояния не принадлежат к состояниям с определенным числом ча-
частиц. Ввиду этого локальные величины и число частиц представляет
собой взаимодополняющие понятия.
6.2. Двухчастичные состояния. Чтобы получить представление
о некоторых следствиях применения статистики Бозе — Эйнштейна
к квантам поля, мы в заключение изучим интерференционные и флук-
туационные явления. Для простоты обратимся к нерелятивистскому
полю. Результаты для релятивистского поля ф усложняются лишь
дополнительными эффектами, обсужденными выше.
1) Заметим, что упорядочение Н (г) меняет его только на обычное чнсло,
так что его коммутационные свойства остаются неизменными.

74 Г лава 6
Интерференционные эффекты появляются уже в двухчастичных
состояниях. Для нерелятивистского случая наиболее общее состояние
такого типа имеет вид1)
++|> F.10)
и принадлежит собственному значению N, равному 2. Условие нор-
нормировки F.10) записывается как
{2\2) = ftPr^r^^, rj)[/(rlt Г2) + /(г2> г,)] = 1. F.11)
Второй член в F.11) появляется вследствие бозе-статистики для
квантов поля. По существу, мы можем ограничиться рассмотрением
симметричной части / в F.10), поскольку часть, нечетная по гг
и г2, не вносит никакого вклада. Действительно, так как ф+ (ri)
и ф+(г2) коммутируют, то произведение фф (гг)<|)+ (г2) четно по Tj и г2,
и интеграл от него с нечетной функцией исчезает.
С описанными фактами связан ряд специфических свойств, кото-
которые лучше всего проиллюстрировать, вычислив среднее значение N(r).
Мы сделаем это для двухчастичного состояния, для которого /(гг, г2)
имеет вид fx (г^Д^), так что частицы были бы независимы, если бы
они были различимы2). Далее мы положим, что каждая /у(Гу) нор-
нормирована на единицу, т. е. J йъгjf}{rjf = 1, так что правильным
образом нормированная полная волновая функция имеет вид
r\ /t
Гя)-[Ч
где ...
(/,. /,) = ]>'/: (г)/, (г). F.13)
В этих обозначениях
B1N (г) 12) = fd*rld*rjPr'ld>r'2ri (г,) Г2(г2) fx (r;) /2 (rj) X
X[l-h|(/,. ЛI21"' <01ф (г^ф(г2) ф^(г) ф (г) ф+ (гОф+ (гг) I 0> =
= [|/i(r)|2+|/2(r)|2 + (/I. ДШг)/, (г)Н-
4- (Л- /г) Л (г) /а @1 [ 1 + |(Л. /г)!2!- F.14)
Этот результат получен после перестановки всех операторов ф на-
направо и операторов ф+ налево и использования равенства ф|0) =
') Бели это состояние является собственным состоянием гамильтониана,
то оно не зависит от времени, а если нет, то волновая функция задается
выражением F.10) лишь при t = 0. В последующем изложении мы рассма-
рассматриваем этот второй случай.
2) С различными частццами мы встретимся jb следующей главе.

Состояния
75
= @|ф+=0. Мы видим, что если волновые функции ортогональны,
(/р fd—®> T0 плотность числа частиц представляет собой сум ..у
отдельных плотностей
B[iV(r)|2)=j/1(r)f2+|/2(r)|2,
<2\N(r)\Z>/
Л (г)
-*-г
Фнг. 6.1. Интерференционные эффекты в распределении
плотности двух частиц.
В случае а показаны две неинтерферирующие частицы. Случай б соот-
соответствует двуы интерферирующим частицам. В отсутствие интерференции
плотность была бы равна | Л |3+| Л 1г; действительная плотность равна
<2 Г TV <r> | 2>. Видно, что частицы имеют тенденцию к слипанию в ооласти
интерференции.
как и должно быть для независимых частиц (см. фиг. 6.1, а). Такая
ситуация, в частности, имеет место в классическом пределе непере-
неперекрывающихся волновых пакетов, когда частицы можно различить,
прослеживая их траектории. Если, однако, (fv /2) ф 0, то в вы-
выражении плотности появляется интерференционный член, который

tл аба 8
благодаря знаменателю в F.14) приводит к уменьшению плотности
в области, где / не перекрываются, и, следовательно, к увеличению
ее в среднем в области перекрытия. Это изображено на фиг. F.1, б).
Вследствие этого свойства бозоны имеют естественную тенденцию
к слипанию. Таким образом, мы видим, что не только одиночная
частица может интерферировать сама с собой (это — обычный прин-
принцип суперпозиции в квантовой механике), но две тождественные ча-
частицы также могут интерферировать друг с другом. Интерференция,
являющаяся другой формой требования симметрии волновой функции,
180°
f2F)
180°
ISO"
-180'
в
Фнг. 6.2. а — полярные диаграммы для положительных амплитуд
/i С) и /2 (в) в случае гипотетического а — а-рассеяния; бае — рас-
распределение иитенснвности соответственно без учета и с учетом
интерференции.
никогда не появляется между частицами различных полей (см. гл. 7);
она подчеркивает то обстоятельство, что тождественные частицы
представляют собой возбуждения одного и того же поля. Из сказан-
сказанного вытекает один важный вывод относительно рассеяния двух
тождественных частиц. В этом случае интенсивность рассеяния не
является простой суммой интенсивностей обеих частиц, а включает
интерференционный член того же типа, что и в F.14). Если, напри-
например, при рассеянии а-частиц на Не4 амплитуда /, (б) в системе центра
масс велика для рассеяния вперед, амплитуда /2F) должна быть
велика при рассеянии назад, так что полная интенсивность |/|2 =
= |/1-)-/2|2 может быть аномально большой около 90°, как это
показано на фиг. 6.2.

бостоянйМ 7?
6.3. Многочастичные состояния. Другое необычное физическое
явление, непосредственно связанное с вышеизложенными рассужде-
рассуждениями, это флуктуации числа бозонов в объеме v <^Ц L3, содержа-
содержащем определенное число бозонов п. Для независимых частиц распре-
распределение числа частиц в объеме v удовлетворяет закону Пуассона,
так что вероятность обнаружения v частиц в объеме v равна
где v — среднее число частиц в объеме
v=2v- F.15)
v=0
При однородном распределении частиц в нормировочном объеме
число v должно быть равно nv/L3. Для распределения Пуассона
флуктуация числа частиц в объеме v равна
(ДуJ=7 — V2 = 2V2— ? = V, F.16)
v
а это означает, что в случае нормального распределения и в отсут-
отсутствие корреляций квадратичные флуктуации локальной плотности
пропорциональны самой плотности. Это и есть результат для частиц
в классическом рассмотрении.
Что же получается при анализе с точки зрения теории поля? Мы
покажем сейчас, что даже для бозонов, находящихся в ортогональ-
ортогональных состояниях (для которых плотности частиц аддитивны), локаль-
локальные флуктуации плотности частиц не аддитивны. Чтобы получить
этот вывод, мы вычислим в первую очередь v для л-частичного со-
состояния, которое представляется в виде
|я> = / <РггсРг2 .. . <PrJx (г,) /2 (г,) ...
VV^ F.17)
причем х)
(ft- /y) = V
Теми же методами, что и раньше, мы получаем
FЛ9)
') Мы рассматриваем ортогональные /, чтобы отделить изучаемый
эффект от эффекта, обсужденного ранее.

78 Г лава 6
Если каждая функция / выбирается в виде плоской волны /у =
= e'Vr/?a/j, мы имеем
v = 7T. F-20)
как и следовало ожидать. Для среднего значения
N% = J d3rdar'N(r)M(r') = Nv -\~j d3rd3r'tyf (rL+ (rO ф (г) <j> (гО
F.21)
мы находим обычным образом
<i» | Л? 1 я> = i -f. ?' / dVdV/» /; (г') [/, (г) Д (г') 4-Л (г) Л-(г')],
F.22)
и поэтому
(r>r-S[/*r|/,M|.]'
F.23)
где
Первый член в F.23) соответствует результату, полученному ранее,
т. е. уравнению F.16) для распределения в отсутствие корреляций;
два других члена описывают флуктуации, связанные с интерферен-
интерференцией различных частиц. В пределе v=L3 второй член исчезает
вследствие предположения F.18), а последний член равен п, что
можно было предвидеть, так как при этом мы переходим к соб-
собственному состоянию N, для которого (ДА02 = 0. Для плоских волн
последний член равен п (v/L3J = vo/L3; он исчезает при v = const,
Z.3->oo.
Изучим теперь флуктуации плотности частиц в двух предельных
случаях: когда объем v много больше и когда он много меньше
объема, в котором отличны от нуля') функции распределения /;,
представляющие частицы. Если кванты образуются волновыми паке-
пакетами с длиной волны, много меньшей v4\ как показано на фиг. 6.3, а,
то второй член выпадает .из-за ортогональности /. и /кф-- Поле
в этом случае имеет свойства совершенно не интерферирующей си-
системы и не проявляет волнового поведения. В противоположном
') Напомним, что в этом пределе третий член в правой части F.23)
стремится к нулю.

Состояния
79
!.~3
случае больших длин волн v <^_ X = kj , как это показано на
фиг. 6.3,6, если волны плоские, мы получаем, что второй член
а флуктуации оказываются равными
Можно заметить, что при малой средней плотности частиц v
частицы ведут себя как классические. Чтобы проиллюстрировать
a s
Ф и r. 6.3. Флуктуации з предельных случаях.
На фиг. а размеры пакета, представляющего частицу, гораздо меньше объема о,
а на фиг. б—гораздо больше V.
значение добавочного интерференционного члена (т. е. v»), сле-
следует рассмотреть случай большой плотности частиц, v^^>l. В этом
пределе частицы ведут себя как суперпозиция волн с равными
амплитудами и случайно выбранными фазами
л
Интенсивность результирующей волны равна
и поэтому
j-i
F.24)

80 Г лав а 6
В F.24) Re означает действительную часть выражения в скобках.
После усреднения по фазам мы находим для я^>1:
7~= п, Я « 2л2,
P7W F'25)
что согласуется с F.23) х). Такие большие флуктуации происходят
вследствие естественной тенденции бозонов к слиянию. Это действи-
действительно наблюдалось в интенсивных световых лучах, где распределе-
распределение бозонов не подчинялось закону Пуассона [1]. В зависимости от
того, мало или много бозонов имеет достаточную длину волны,
наша система будет проявлять либо корпускулярные, либо волновые
свойства.
!) На самом деле наши частицы соответствуют волнам хс амплитудой
(v/L3I!*, а не с 1, что приводит к замене п на ч в F.25).

Глава 7
ВНУТРЕННИЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
7.1. Поля с двумя внутренними степенями свободы. Кванты
полей, рассмотренные нами до сих пор, вели себя как неразличимые
частицы. Чтобы описать системы, состоящие из различимых частиц,
необходимо ввести несколько полей, по одному на каждый вид
частиц. Частицы могут отличаться такими свойствами, как масса,
спин и направление спина, или даже такими свойствами, как заряд,
т. е. свойствами, не связанными с пространством — временем. Именно
с различием последнего типа мы будем иметь дело в настоящей
главе. Рассмотрим, например, два эрмитовых поля Клейна — Гордона
fi = t\ и f2 = ^>2 и возьмем плотность лагранжиана в виде суммы
¦ 2
[*5
. О. *|(г\ 01 = Й^3(г — г'), G.1)
Эти соотношения описывают систему, образованную двумя сортами
частиц с различными массами. Наши предыдущие выводы, касаю-
касающиеся собственных состояний различных операторов, остаются в силе,
за исключением того, что теперь каждое состояние должно харак-
характеризоваться числом частиц 1-го и 2-го сортов. Например, двухча-
двухчастичное состояние, содержащее по одной частице каждого сорта,
задается выражением
однако f(jv г2) не должна быть теперь симметричной, так как
Поэтому частицы, относящиеся к различным полям, не подчиняются
бозе-статистике, безотлосительно к тому, одинаковы их простран-
пространственно-временные свойства или нет. Соответственно, они не интер-
6 Э. Хенли, В. Тиррииг

82 Г лава 7
ферируют друг с другом и не дают никаких аномальных флук-
флуктуации.
Механическая модель, которую можно сопоставить ваедению двух
полей — это двумерный осциллятор. В этом случае лагранжиан
имеет вид
Если силы, действующие в двух направлениях, равны, т. е. если
<в, = <о2, то появляется новая неэргодическая константа движения,
соответствующая ротационной симметрии задачи. Эта константа
есть угловой момент, направленный перпендикулярно осям 1 и 2.
То же самое происходит и в теории поля, когда две массы в G.1)
равны друг другу. При этом лагранжиан и перестановочные соотно-
соотношения инвариантны относительно подстановки
G.4)
Соотношения G.4) также отражают ротационную симметрию в дву-
двумерном пространстве, однако это пространство не имеет ничего
общего с нашим пространственно-временным континуумом. Тем не
менее исходя из формальной аналогии ф1 и ф2 рассматриваются как
компоненты двумерного векторного поля во „внутреннем простран-
пространстве*, с которым связаны новые константы движения, возникающие
из ротационной симметрии. Эти константы называются „изоспином*
по аналогии с угловым моментом для полей с тремя компонентами.
Мы сейчас приступим к их обсуждению. Так же как и константы,
вытекающие из инвариантности пространственно-времеинбго конти-
континуума, новые константы представляют собой операторы бесконечно
малых преобразований, причем число констант равно числу пара-
параметров группы, оставляющей L инвариантным. Так как группа G.4)
содержит один параметр, мы имеем всего одну константу. Чтобы
найти эту константу, мы последуем обычному методу. Поскольку G.4)
оставляют перестановочные соотношения G.1) инвариантными, должен
существовать унитарный оператор U. связывающий •) <р, и ф'у.
. . , . G-5)
= — ф-L Sin ср -)- ф2 COS ср.
') В теории поля в отличие от элементарной квантовой механики не
всегда справедливо утверждевие, что для каждого преобразования, оста-
оставляющего перестановочные соотношения инвариантными, существует соот-
соответствующий унитарный оператор. Мы не будем, однако, обращать внимания
на эту трудность, связанную с патологическими неэквивалентными пред-
представлениями в кесепарабельиых гильбертовых пространствах. См. работу
Вайтмана и Швебера [1].

Внутренние степени свободы 83
Для бесконечно малых поворотов «р—*-8<р мы полагаем
?/=l + %Q, U"l = l— %Q, Q+ = Q, G.6)
и получаем
№* *
Фактически Q можно построить явным образом из операторов поля;
оно представляет собой обобщение выражения для углового момента
pxq2 — p2q1 в механической, модели G.3):
г-ф\ф,\. G.8)
Легко проверить с помощью G.1), что соотношения G.6) и G.7)
выполняются. Далее, поскольку операторы И, Р и L представляют
собой, подобно лагранжиану, квадратичные формы в компонентах <f>j,
они инвариантны относительно G.5), т. е.
[Q. И] = [Q. Р] = [Q, L] = 0. G.9)
Последнее равенство свидетельствует о том, что Q инвариантно
относительно пространственных смещений и поворотов и, что осо-
особенно существенно, постоянно во времени. Последнее можно непо-
непосредственно проверить, исходя из соотношения
4t (ti*2 - Ф2Ф1) + V • (ф^ф, — ф^ф,) = 0, G.10)
которое показывает, что Q можно свести к поверхностному ин-
интегралу.
Аналогичные соотношения можно получить и для других кон-
констант движения (таких как энергия), которые представляются в виде
бесконечных объемных интегралов. Тот факт, что их временные
производные исчезают, может быть выражен в форме дифференциаль-
дифференциального уравнения непрерывности
Из G.10) следует, что локальная плотность Q(r, t) величины Q
<?(г. П={ф2ф\ — ф,ф2), G.11)
и ток j, определенный равенством
j (г, 0 = (фтУф2 — ф2\ф,), G.12)
удовлетворяют уравнению непрерывности. Отсюда следует, что их
можно интерпретировать как плотность электрического заряда и ток
для данного поля. Подтверждением этой интерпретации служит их
6*

84 Рлава t
поведение при лоренцовых преобразованиях. Плотность Q(t, t) и
ток j преобразуются как четырехвекторы, в противоположность,
например, плотности энергии, которая также удовлетворяет уравне-
уравнению непрерывности. В силу сказанного оказывается возможным
связать электрическое поле с Q(r. t) и j лоренц-инвариантным
образом:
_g" = e[Q(r. t)V~ j- A].
где V — электростатический потенциал, а А — вектор-потенциал.
Конечно, вопрос о том, имеют ли действительно частицы отличный
от нуля заряд е, может быть решен только эмпирических). Оба
случая реализуются в природе. К примеру, Ко и ^-мезоны не свя-
связаны с электрическим полем, а тс+ и 1с~-мезоны связаны. Однако
если частицы заряжены, их связь с электрическим полем должна
осуществляться через ток вида G.12), так как не существует дру-
другой величины, обладающей правильными трансформационными свой-
свойствами и удовлетворяющей уравнению непрерывности.
Собственные значения оператора заряда Q можно установить,
исходя из перестановочных соотношений G.7), которые с помощью
матрицы
'О —1\
О/
записываются более компактно:
2
где в -правой части подразумевается матричное умножение. Введя
такие линейные комбинации полей фл и ф2, которые диагонализируют т2:
к^ &? GЛЗ)
мы получим
[<2. ф+] = — ф+, [Q, +-] = +-. GЛ4)
L = ]> 4
+(г. t). *+(г', 01 = [^-(г. О. *_(г'. t)] = №(r — г').
') Для одного эрмитова поля мы имеем только плотность числа частиц,
которая ве удовлетворяет уравнению непрерывности в присутствии взаимо-
взаимодействия. Следовательно, частицы, связанные с этим полем, должны быть
нейтральными.

Внутренние степени свободы 86
Для этих полей преобразование G.4) превращается в простое умно-
умножение на фазовый множитель *) (градиентное преобразование первого
рода):
Перестановочные соотношения G.14) имеют стандартную форму B.7),
однако поскольку Q не является положительно-определенной вели-
величиной, можно заключить, что Q имеет в качестве собственных зна-
значений как положительные, так и отрицательные целые числа. Мы
видим, что для любого инфинитиземального оператора типа Н, Р, L,
или Q, задача о собственных значениях всегда может быть решена
аналогичным способом. Рассмотренный случай особенно прост, так
как он сводится к диагонализации матрицы 2 X 2, а не дифферен-
дифференциального оператора.
Поскольку нежелательно, чтобы в вакуумном состоянии присут-
присутствовал какой-либо заряд, потребуем, чтобы
Q|0> = 0. G.15)
Следует отметить, что это требование удовлетворяется без упорядо-
упорядочения оператора Q в соответствии с F.5). Из G.14) следует, что
одночастичные состояния ф+ | 0) и ф_ | О) являются собственными
состояниями оператора заряда при собственных значениях —1 и -\-\
соответственно, так что ф_ порождает положительную частицу,
а ф+ — отрицательную. Поскольку Q коммутирует с Р и Н, мы
можем построить состояния, являющиеся собственными состояниями
одновременно обоих этих операторов. Если определить, используя
обозначения D.8), величины
' GЛ6)
ak= B)* ' Pk=
и принять во внимание, что преобразование от av a2 к а, C уни-
унитарно, мы получим
¦¦-2-
V^ 3,У <k'r-'B/)H-ai>~i<k"""~")/)
— Л _ "
к. «Я=[рк. р?3 = 1 -
[«к. «к] = 1Рк. Рк1 = [«к. Рк] = [«к. Рк]= ..- =0,
') Это также показывает, что одиночное эрмитово поле не может быть
заряженным.

86 Глава 7
G.17)
Из G.17) ясно, что собственные значения операторов <*?, <хк (или f3k, pk)
представляют собой числа положительных я+ (или отрицательных л_)
частиц с импульсами к и энергиями <в.
Интересно отметить, что перестановочные соотношения G.7) или
G.14) сохраняются при коммутация ф[(т) или ф+ (г) с оператором
заряда Qv в любом (сколь угодно малом) объеме v:
= f
— Фа. (г), если г внутри v,
О, если г вне „. <718>
Следовательно, заряд, находящийся в произвольно малом объеме,
также имеет целые собственные значения в противоположность опе-
оператору числа частиц, рассмотренному ранее. Точечный характер
кванта заряда отражен также в соотношении [Qv, QV'] = 0 для
произвольных v и v', и не противоречит установленному ранее факту,
состоящему в том, что частицы, соответствующие собственным зна-
значениям N, имеют размеры комптоновской длины волны. Эти частицы
следует представлять себе в виде флуктуирующего облака точечных
заряженных квантов '), занимающих" область с размерами ш~3 2).
В самом деле, <2(г) не коммутирует с полным числом частиц
N = W+ + Л/_ = 2 4 ?
Поэтому состояние ф_(г)j), определенное таким образом, что для
него <2wj) —0 и, следовательно,
Ф- (г) I 0\, если г внутри V,
- 0; еслиг вне v
не будет одночастичным состоянием. Почти во всех экспериментах,
которые возможно осуществить в настоящее время, энергии едва хва-
хватает на возбуждение самых низких собственных состояний Н. Поэтому
') Конечно, не все из иих имеют заряды одинакового знака.
2) Это явление называют иногда Zitterbewegung (.дрожание*). Оно было
обнаружено впервые при решении уравнения Дирака. Обсуждение этого во-
вопроса в рамках квантовой теории поля см. в книге Тирринга [2].

Внутренние степени свободы 87
известные эмпирически частицы соответствуют собственным состоя-
состояниям N и представляют собой дополнительные объекты по отноше-
отношению к квантам заряда.
7.2. Три и более степеней свободы. Ротационная инвариантность
двумерного зарядового пространства может быть обобщена; это обоб-
обобщение находит, например, применение в физике тг-мезонов, где мы
сталкиваемся с тремя различными видами частиц: тс. тс°, тс+-мезо-
нами, описание которых требует использования трех полей. Мы рас-
рассмотрим вначале случай я различных полей с равными массами и
применим его потом ки = 3. В природе нам приходится сталкиваться
с несколькими полями, имеющими одинаковые пространственно-вре-
пространственно-временные свойства. Так, например, Я"-мезоны (jK~, Ко, Ко, К+) соот-
соответствуют четырем бесспиновым полям. В общем случае
. ^(r0l,=r = ^,ft53(r-r'), G.19)
. "МОW = tfy (r). -Mr')l/=,. = 0.
Здесь важно помнить, что все члены в L должны входить с одним
знаком, чтобы отсутствовали отрицательные вклады в энергию ').
Наиболее общее преобразование, оставляющее уравнения G.19) инва-
инвариантными, имеет вид
л
U (Л) <t>tU 'л (Л) = 2' An4>f>~ uu'f =и*и=\., G.20)
где Л не зависит от времени и удовлетворяет условиям 2)
ЛЛ+=1 и Л*=А. G.21)
Таким образом, мы имеем ротационную инвариантность в я-мерном
эвклидовом пространстве. Для поворотов на бесконечно малые углы
8ср (г) вокруг осей г можно записать Л в следующей общей форме 3):
Д*,= «*/+ 2 »Т(OJVj. G.22)
') Частицы с отрицательной энергией разрушают динамическую стабиль-
стабильность системы при наличии взаимодействия.
*) Мы используем следующие обозначения: Т—транспонированный,
* — комплексно сопряженный, + — эрмитово сопряженный.
3) Существуют также крнстанты, связанные с преобразованиями, не при-
примыкающими непрерывно к единице. Они имеют интересный смысл, но обсу-
обсуждение нх выходит за рамки настоящей книги.

88 Глава 7
где 8(р(г) — бесконечно малые: вещественные параметры. Число линейно
независимых матриц J^r) будет определено ниже. Для двух измерений
матрица J" равна it2. Ограничения, накладываемые условиями G.21)
в первом порядке по 8<р, дают
Jt? = ~^1. -АТ^ЗЪ- . G-23)
Поэтому матрицы J* должны быть вещественными и антисимметрич-
антисимметричными. Таким образом, J* имеет га (га—1)/2 линейно независимых
матричных элементов. Иначе говоря, мы можем выбрать такое же
число линейно независимых базисных я X я матриц, удовлетворяющих
G.23), через которые можно выразить любую матрицу, удовлетво-
удовлетворяющую уравнению G.22). Число N параметров, характеризующих
общую матрицу J", равно поэтому га (л—1)/2.
Оператор U для общего бесконечно малого Л снова имеет вид
N
*/= 1 + * 2 8? (г) *(|\ G-24)
г-1
где операторы ?(г) должны быть эрмитовыми вследствие унитар-
унитарности U. Перестановочные соотношения для t следуют из G.20):
itM. ф}\ = — i S ?%$к, [*«'>. Ф}] = -12 дук1к. G.25)
и мы видим, что выражение G.8) можно обобщить следующим
образом: „
fh"Wr G-26)
В силу инвариантности пространственно-временных интегралов дви-
движения относительно преобразования U, мы имеем
и, следовательно, каждый ?(г) сам является интегралом движения.
Легко проверить, что для каждого *(г) существует свой сохраняю-
сохраняющийся ток. В случае двух измерений t равен Q.
Прежде чем заняться построением собственных состояний t(r),
убедимся, что операторы ?(Г) и ?(*\ вообще говоря, не коммутируют.
Из G.26) или непосредственно с помощью G.19) легко убедиться,
что перестановочные соотношения между операторами t<-r) могут быть
получены из перестановочных соотношений для матриц
и

Внутренние степени свободы 89
где в нижней строке уравнение переписано в матричной форме.
Так как скобки [J*(r), сГ^'1] представляют собой антисимметричные
п X л матрицы, их можно представить в виде линейной комбинации
матриц:
[J*\ Л-^С?'/"' G.28)
Подставляя последнее равенство в G.27), находим, что операторы г
удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и мат-
матрицы J*. Таким образом, одновременно диагонализовать можно
только те операторы /<г), которым соответствуют коммутирующие
матрицы ^7"'г). Далее, исходя из G.25), мы можем заключить, что
вообще собственные значения операторов t отличаются численным
множителем от собственных значений матриц J".
В заключение обсудим более детально случай п = 3, который
подходит для описания тс-мезонов. Здесь удобно выбрать анти-
антисимметричные матрицы в виде
0
0
0
0
0
—1
0
1
0
0
0
—1
0
0
0
1
0
0
Они удовлетворяют перестановочным соотношениям
0
—1
0
1
0
0
°\
0/
G.29)
где trsf — антисимметричный тензор. Три оператора t, соответствую-
соответствующие этим матрицам, называются изоспином *). Они удовлетворяют
тем же перестановочным соотношениям, что и операторы вращения
в представлении углового момента /~1:
[*<»¦>, *(*>) =/,
Что же касается Q, мы требуем, чтобы
= 0.
Последнее согласуется с тем, что вакуум представляет собой общее
собственное состояние трех (некоммутирующих) операторов t, по-
поскольку вакуум есть одновременно собственное состояние коммута-
коммутаторов величин t с собственным значением 0. В общем случае можно по-
построить лишь общие состояния одного из ?(г) и t2 = ?A> 2 -j- ?B) 2-^-^3>2.
Выделение определенного направления в изопространстве возникает
в присутствии электрического поля, которое связано с одним из трех
¦) Изоспин часто называют в литературе изотопическим или изобари-
изобарическим спином.

90 Глава 7
сохраняющихся токов. Благодаря этой связи один из операторов ^Г),
например ?C), приобретает смысл электрического заряда. Его соб-
собственные состояния получают, применяя к вакууму линейные комби-
комбинации <1>}, диагонализующие ?C). Такие комбинации имеют вид
(ф-у ± /^2)/2'/г, фъ, причем первые комбинации принадлежат собствен-
собственным значениям ±1 (и описывают и*-мезоны), а последняя соответ-
соответствует собственному значению 0 (и описывает тс°-мезоны). Общие
собственные состояния t2 и ?C) можно построить по аналогии с со-
состояниями углового момента. Положив собственное значение t2 рав-
равным t'(t'-\-\), мы видим, что вакуум характеризуется значением
t' = 0, а одномезонные состояния f'=l. Два мезона могут иметь
t' = 0, 1, 2. Состояние с t' = 0 инвариантно относительно вращений
в изопространстве и поэтому пропорционально скалярному произ-
произведению
А <*Ч № (г0 ^ Ы+*-"' (г 0 *+' (
-h-fi')(r1)f[-)(r2)
Это состояние можно выразить через состояния заряженных частиц
как
и, следовательно, каждая из двух частиц может с равной вероят-
вероятностью быть положительной, отрицательной или нейтральной'). При
вращениях в изотопическом пространстве состояние с /=1 должно
преобразовываться как вектор и поэтому его можно представить
в виде векторного произведения:
') Обозначение Ф^~^ и т. д. представляет собой прямое обобщение E.18)
Заметим, что поскольку ротационная симметрия во внутреннем пространстве
не связана с пространственно-временными свойствами, функция Fa{tit г2)
оказывается независимой от i = 1, 2, 3.

Внутренние степени свободы 91
В частности, состояние с t3 = 0 (& = 3) имеет вид j-| )— | \у
Наконец, состояния с t = 2 преобразуются как симметричный тензор
второго ранга со шпуром, равным нулю:
|Я = 2, f = 2> = f d\ <?r2 [#"> (r,) ?<-> (г2) +
+ *Г' (г,) W (г,) -1VT СО ^ (г2I ^ С-
Эти состояния можно построить и с помощью стандартных формул
для сложения угловых моментов [3]. Заметим, что состояния с ? = 0, 2
четны, а с /=1 нечетны по отношению к перестановке двух частиц.
Следовательно, /7(г1, т^) должна быть четной в первом случае и
нечетной во ьтором по отношению к перестановке тх и г2!) — ре-
результат, существенный для it-мезонного облака, окружающего нуклон.
Заключение: описание различных существующих в природе ча-
частиц хорошо укладывается в рамки теории поля. Более конкрет-
конкретные предсказания для трех тс-мезонов, связанные с симметрией, изо-
изоморфной по отношению к трехмерной эвклидовой группе, будут
играть важную роль в последней части книги. Как будет видно,
эта инвариантность не нарушается сильнейшими взаимодействиями,
обнаруженными в природе, так что рассмотренный выше аппарат
играет важную роль в физике тс-мезонов.
') Как было пояснено выше, части F, имеющие неправильную симме-
симметрию, взаиыоисключаются и в конечный результат не входят.

Часть вторая
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ,
ДОПУСКАЮЩИЕ
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ

Глава 8
ОБЩИЙ ОБЗОР
8.1. Уравнения поля. До сих пор мы рассматривали свободные
поля. Теперь мы перейдем к более интересной задаче, включающей
дополнительный механизм, вызывающий рождение, поглощение и
рассеяние частиц поля. В этой части книги мы опишем несколько
типов взаимодействий, для которых возможны полный анализ и точ-
точные решения. К сожалению, они довольно далеки от физической
реальности и имеют лишь отдаленное сходство с тем, что мы
наблюдаем в природе. Тем не менее их изучение имеет не только
академический интерес, поскольку такие примеры учат нас тому,
с чем мы можем столкнуться в более реальных случаях, не поддаю-
поддающихся детальному исследованию; такой реальный случай — я-ме-
зон-нуклонное взаимодействие — мы рассмотрим в последней части
книги.
В качестве первого примера рассмотрим простой случай поля
с источником p(r, f) в виде заданной функции пространственных
координат и времени:
J5- — V2 + m») f (г, О = р (г, О- (8-1)
Элементарный механический аналог такого рода задачи — это внеш-
внешняя сила / (t), действующая на гармонический осциллятор. Уравнение
движения для этой модели имеет вид
q + m*q = f(t). (8.2)
Как и ранее, для первой ориентировки мы обратимся к классиче-
классическому решению уравнения и лишь после этого рассмотрим кванто-
квантовые аспекты задачи. Мы покажем, что как и одномерную задачу (8.2),
уравнение (8.1) можно решить с помощью функции Грина.
Решая эту задачу, следует помнить, что если источник предста-
представляет собой сумму нескольких частей, то вследствие линейности
уравнений решение будет также суммой решений, соответствующих
95

96 Глава 8
отдельным частям. Поэтому нужно найти лишь решение уравнения-
с точечным источником
G
и тогда полное решение (8.1) можно построить в виде суперпозиции
ф(г, t) = fdt'd*r'O(r—rr. t—t')f>(r', t'). (8.4)
Из уравнения (8.3) легко видеть, что это поле действительно удо-
удовлетворяет уравнению (8.1). Решение (8.3) может быть получено
в виде разложения дифференциального оператора 32/dt2 — V2 по
собственным функциям, что достигается переходом к преобразованию
Фурье:
+ ОО
(8.5)
Подстановка этих выражений в (8.3) дает
V ]-0. (8.6)
S f
—о
или
S= т2Л „•>• (8-7)
т -f-я — л0
Мы видим, что подынтегральное выражение в (8.5) имеет два полюса
на пути интегрирования при Ко = ш = (&2 + т2)'!г и при Ко= — со.
Если при интегрировании не задать характер обхода этих сингуляр-
ностей, наше выражение для функции Грина становится неопределен-
неопределенным. При интегрировании по различным путям мы получаем ответы,
которые отличаются на величину вычетов в этих сингулярностях. Это
является отражением того хорошо известного факта, что решение
линейного неоднородного уравнения неоднозначно, поскольку к нему
всегда можно добавить решение однородного уравнения. Действи-
Действительно, вклады вычетов имеют вид «»(fc-r-»*), т. е. в точности совпа-
совпадают с решением однородного уравнения. Чтобы получить единственное
решение, необходимо задаться определенными граничными условиями.
Для задач, с которыми мы столкнемся в дальнейшем, особое значе-
значение имеют граничные условия, соответствующие путям интегрирования
в комплексной плоскости Ко, изображенным на фиг. 8.1. Мы будем
обозначать эти специальные функции Грина как Дгет и Да v. Их смысл

Общий обзор
97
можно выяснить, рассматривая интеграл по Ко в комплексной пло-
плоскости. Для t, ббльших (меньших) нуля, множитель е~1К** экспонен-
экспоненциально растет (убывает) в верхней полуплоскости и убывает (растет)
-ш
Плоскость Ко
ш
ret
-СО
Плоскость Ко
со
Фиг. 8.1. Контуры интегрирования для функции Грина, соответствующие
двум различным граничным условиям.
в нижней. Замыкая путь интегрирования в верхней или нижней полу-
полуплоскости, мы видим, что Дге' = 0 для t < 0, a i_adV =0 для t > 0 ').
Дге'
Полная функция Грина Дге' задается выражением2)
t > О,
Дге'(г. 0 =
для
) для t < О,
а два решения Дге1 и Да v связаны следующим образом:
Aret(r. O =
r. — О-
(8.8)
(8.9)
С помощью этих функций Грина можно записать общее реше-
решение (8.1) в виде
-r'. t-t')9(r', 0 =
^{r ~t',t- О р (г', t). (8.10)
= -Г' (г, 0 4- / dt
') Легко видеть, исходя из релятивистской инвариантности, что Дге = О
даже при t < г.
2) Как Дге', так и Aadv можно выразить через функции Хаикеля от г2 — t*.
Это легче всего сделать, связав Дге' с Д+; см., например, книгу Тирринга
([2] к гл. 7). Нам, однако, не потребуются эти выражения.
7 Э. Хенли, В. Тирринг

98
Глава 8
Здесь ^in и <j>0Vit—решения однородного уравнения. Их физический
смысл легче всего понять, рассмотрев в качестве примера случай,
когда р (г, t) отличается от нуля только в конечной пространственно-
временной области, ограниченной моментами времени tx и t2. Из дока-
доказанных выше свойств функций Грина следует, что в этом случае j>
совпадает с
при t
р
оа
с фоа при t
Следовательно,
ои
описывает поле, существовавшее до включения источника, а ^
поле, остающееся после того, как источник выключается, как это
Фиг. 8.2. Расположение областей,
в которых Ф соответствует Ф>а и tf>out>
относительно источника р (х, t).
изображено на фиг. 8.2. Для многих проблем оказывается существен-
существенным только член с Дге в (8.10). Это означает, что граничные усло-
условия имеют вид-^ = </>" при t = — со. Хотя нельзя указать какую--
либо принципиальную причину, по которой функция Дге' была бы
лучше Aadv, первая используется чаще, поскольку значительно легче
задать экспериментальные условия при t = — оо, чем определенные
условия в конце при ^ = -)-оо.
Представляет интерес задача другого рода, изучению которой мы
в дальнейшем будем уделять много внимания; она определяется уравне-
уравнением !¦) / щ ч л
г, г', tL>(r', t)- (8-11)
') Этот вид уравнения хорошо известен из обычной квантовой механики,
с тем исключением, что там мы обычно имеем дело с не зависящими от
времени и пространственно локализованными потенциалами вида
7 (г, г', 0=n(N3(')

Общий обзор 99
Здесь V(r, г', t)—обобщенный потенциал, действующий на поле;
в случае связанных осцилляторов он соответствует более сложной
связи, чем просто связь с ближайшими соседями. Уравнение (8.11)
удается решить лишь для некоторых частных видов V, однако во
всех случаях его можно переписать в интегральной форме с помощью
функций Грина:
'f'dVdWfr — T',t — t') X
Vdv(r-r/> t-t')v{v, r", t')f(r". t). (8.12)
Если V стремится к нулю при t—> + оо, то фа и ^>out, определен-
определенные по (8.12), имеют тот же физический смысл, что и в предыдущем
примере.
Оба вида задач встречаются в многочисленных областях физики,
хотя обычно и в несколько более сложной форме. Типичное свойство
систем рассмотренного типа заключается в том, что энергия и импульс
поля в отдельности более не сохраняются. Это следует из того,
что dL/dt и дЦдг не равны теперь нулю, поскольку р или V могут
зависеть явно от t и г и поскольку L содержит теперь добавочные
члены, содержащие р или V. По существу даже число частиц поля
не будет сохраняться, так как (8.1) и (8.11) дают
Наблюдаемые остаются интегралами движения только при определен-
определенных условиях. Например, угловой момент сохраняется только при
сферически симметричном источнике.
8.2. Квантование. Рассматривая квантовую теорию наших двух
случаев, мы последуем обычной процедуре. Лагранжианы каждой из
систем отличаются от лагранжиана свободных полей LQ добавочными
членами, равными соответственно
U = С d3rp (г, t)f(T, t) (8.13)
и
L' = ~ Jrf3rrfV^(r. t)V(r. r'. Оф(г', t). (8.14)
Эрмитовость L' овначает, что V(r, r', t) = V*(r, г', t); мы положим
также, что V(r, r', t)=V(r', r, t). Поскольку L' в обоих случаях
не содержит <f>, канонические перестановочные соотношения остаются
в силе:
; О- t(r'- 01 = '§3 (г — г'). (8.15.)

100 Г лава 8
Чтобы выяснить коммутационные свойства ф ° и фои , рассмотрим
пределы при t —> ± со, когда р и V стремятся к нулю. Поскольку ф
совпадает при этом с ^out и фш, соотношение (8.15) означает, что
[*- (г, - со). F (г'. - оо)] = /83 (г - г').
[Г'(г.оо). ГЧг'.оо)] = /83(г-г').
Операторы ^1п и <?out удовлетворяют однородным уравнениям поля
и могут быть поэтому выражены через не зависящие от времени
операторы Ак и Bk в обычной форме:
Таким образом, наше рассмотрение свободных полей обеспечивает
базу для решения задачи, учитывающей взаимодействия.
Из (8.16) мы заключаем, что А, (А*) и В, (В+) подчиняются
обычным перестановочным соотношениям для операторов уничто-
уничтожения (рождения). Это в свою очередь свидетельствует о том,
что (8.16) выполняется во все моменты времени, а не только в пре-
пределах t—>• ± со. Совместность (8.15) и (8.16) очевидна для первого
in
случая, где ф и <?out отличаются лишь на обыкновенное число.
В общем случае, однако, эквивалентность этих двух перестановочных
соотношений отнюдь не тривиальна и имеет ряд существенных
последствий. В заданный момент t можно, конечно, удовлетворить
перестановочным соотношениям для локальных операторов поля ^>(r, t)
и ^(r, f) обычным образом:
, (8.18)
тг (г, t) = ф (г, О = — 2 / У^У [ак (О *Лт _ е-ь-'at Щ.
к
где операторы ак@ удовлетворяют обычным перестановочным соот-
соотношениям в каждый момент времени:
К (О. К-Щ=Ч,к- <8-19)
Существенно отметить, что соотношения (8.18) и (8.19) вовсе не озна-
означают, что временная зависимость операторов ak совпадает с таковой

Общий обзор 101
у свободных полей. На самом деле это не так, за исключением мо-
моментов времени t—> ± со.
Физ дческая интерпретация наших систем в квантовой теории
основана на тех же соображениях, что и в случае классического
поля. Поскольку при t—>—со потенциал ф совпадает с <j>in, кванты,
рождаемые и уничтожаемые операторами Л+ и А—это те частицы,
которые присутствуют до включения источника. В частности, опера-
оператор числа падающих частиц с импульсом к можно определить как
Nk=AlAk- (8.20)
Поскольку ^1п удовлетворяет уравнению для свободного поля, Nl?
остается постоянным, и его собственные состояния описывают состоя-
состояния поля, когда в начальный момент времени (t—> — оо) имеется
определенное число частиц с импульсом к. Аналогичные соображения
применимы к ^>ои и Nt?, которые соответствуют реальной ситуации
после выключения источника. В любой момент времени, и, в част-
частности, когда источник включен, поле представляется операторами а^(?)
и числом частиц
Nk @ =at (О МО-
Последняя величина не постоянна и в присутствии источника отли-
отличается от N'k. Поэтому собственному состоянию N\? соответствует
флуктуирующее число Nk(t) частиц. Даже состояние, в котором
отсутствуют падающие частицы, не будет собственным состоянием
оператора Nk(t).
Частицы, представляемые Nk(t), обычно называются голыми части-
частицами; при этом в Nk(t}, вообще говоря, входят как реальные, так
и виртуальные частицы. Собственные состояния Nk (t), которые
являются одновременно собственными состояниями //?
@ = y / d3r [*2 + W + т2*2] = 2 (Oflk (О flk (О. (8-21)
называются голыми состояниями. Поскольку А/'к(^) и H0(t) зависят
от времени, соответствующие голые состояния в разные моменты
времени будут различными!). Собственные состояния Nk, которые
одновременно являются собственными состояниями И, называются
физическими состояниями; они соответствуют реальным частицам.
То, что состояния, даваемые оператором Ati(t), представляют.собой
состояния полного гамильтониана, следует попросту из того факта.
') Напомним, что мы работаем в гейзенберговском представлении, в ко-
котором все состояния постоянны, э временная зависимость перенесена на
операторы. .

102 Глава 8
что временная зависимость Ak(t) такая же, как и в случае свободных
полей. Мы увидим это более отчетливо в следующих главах, где Н
будет выражено через операторы Ак. Мы найдем, что Н равно
просто ^АкАкш плюс некоторое число С. Голые состояния трудно
к
получить экспериментально, поскольку обычных энергий хватает
лишь на возбуждение нескольких низколежащих состояний системы.
К примеру, состояние голого вакуума!) 10), определяемое условием
ак(?)|0) = 0, соответствует тому, что .облако" из виртуальных
частиц источника устраняется в момент времени t. Это требует боль-
большого количества энергии, поскольку [ 0) содержит примесь высоко
возбужденных физических состояний.
В наших случаях положение оказывается сравнительно простым,
поскольку мы имеем источник, который может лишь испускать
частицы. В теории с нелинейными членами в уравнениях поля, напри-
например в релятивистской квантовой электродинамике, каждая частица
играет роль источника других частиц. При этом каждая физическая
частица оказывается смесью из частиц всех сортов. В наших теориях
физические состояния состоят из источника плюс определенное число
падающих (или рассеянных) частиц. Они содержат голый источник
плюс определенную конфигурацию голых частиц.
Можно спросить, в какой мере следует придавать физический
смысл виртуальным частицам. Очевидно, что частицы, которые мы
наблюдаем в ионизационной или пузырьковой камерах, всегда пред-
представляют собой физические частицы. Однако виртуальные частицы
существуют постольку, поскольку они приводят к наблюдаемым
эффектам. Мы увидим, что онл вносят вклад в энергию и распреде-
распределение заряда систекш.- Далее,--как выявится в дальнейшем, виртуаль-
виртуальные частицы, присутствующие в момент времени t, могут перейти
в реальные при внезапном выключении источника в этот момент.
В таком случае ф (r, t~\~ bt) оказывается тождественным с ^out (r, t-\-Ъ?)
и с ф (г, t) (ф остается конечной). Поскольку №ut постоянно, обра-
образовавшиеся частицы не исчезают во все последующие моменты вре-
времени и в дальнейшем представляют собой детектируемые частицы.
Таким образом, виртуальные частицы — это частицы, которые появи-
появились бы, если бы источник был неожиданно выключен. Практически
такое явление может иметь место лишь в ограниченных пределах2).
например, при аннигиляции нуклона и антинуклона или при очень
быстрых столкновениях между двумя нуклонами [1—3]. Мезоны,
образующиеся в таких случаях, как раз и представляют собой
') Чтобы избежать излишнего увеличения количества индексов, мы обо-
обозначаем голые состояния как | ), а физические состояния как | }.
2) Для получения всех возбужденных физических состояний источник
должен был бы выключаться бесконечно быстро,

Общий обзор
103
виртуальные частицы из мезонного облака нуклона, которые внезапно
оказываются вне действия источника. Поле <?out в общем случае отли-
отличается от ф1П. Поэтому число частиц, а также их энергии и импульсы
при t—>оо отличаются от своих значений при t—> — со; кроме того,
в обоих случаях эти величины отличаются от соответствующих вели-
ч ш во все остальные моменты времени.
8.3. Матрица рассеяния и волновая матрица. Мы показали,
что применение понятия частицы в случае связанных полей требует
некоторых уточнений. В следующей ниже сводке собраны различные
наборы ортогональных состояний, связанные с различными сортами
частиц.
| in, 0) =
| in, 0) = 0
Я | in, /ik) = Ek|in, nk)
Физические состояния. Они со-
соответствуют одетому источнику
плюс п падающих частиц.
№ut | out, 0) = 2 В1вь I out> 0) = 0 Физические состояния. Они со-
к ответствуют одетому источнику
1 . ..л. плюс п рассеянных частиц.
| out, пк) = —jtjt- (St) I out, 0)
Я | out, nk) = Ек | out, nk)
Голые состояния, соответ-
соответствующие голому источнику
плюс пк (реальных или вир-
виртуальных) частиц.
[//„. ak] = — mak
При некоторых условиях состояния „in" и „он!" не образуют пол-
полного набора (например, когда сила источника достаточна для обра-
образования связанных состояний). В этом случае, чтобы получить пол-
полный набор, следует добавить к состояниям „in" и „out" связанные
состояния. Мы подробно обсудим этот вопрос в соответствующем
месте, а пока в дальнейшем изложении будем считать все наборы
полными, При этом условии они связаны друг с другом через уни-
унитарные матрицы. Элементы этих матриц можно определить как

104
Глава .8
скалярные произведения между состояниями различных наборов. Равным
образом, они могут быть определены как элементы матрицы, кото-
которая преобразует операторы, соответствующие одному набору, в опе-
операторы, соответствующие другому. Например, связь между состоя-
состояниями „in" и „out" устанавливается с помощью так называемой
„S-матрицы" или „матрицы рассеяния", которая играет фундаменталь-
фундаментальную роль в современной теории поля. Ее можно определить как
унитарную матрицу, преобразующую Ak(t) в Bk(t):
(8.22)
Существование такой матрицы вытекает из обычного соображения
о том, что Лк и Вк удовлетворяют одинаковым перестановочным
соотношениям. Далее, они одинаковым образом зависят от времени,
так что 5-матрица от времени не зависит. Из (8.22) мы заключаем,
что
AkS\0, out) = 0, 5|0, out) = jO, in), . (8.23)
следовательно, эквивалентное определение 5-матрицы есть*)
= /in, 0
0\SB
= <out.
in, kx
B'\ln, k,
я I
; j in, k, kn>.
(8.24)
Одно из важных свойств S-матрицы заключается в ее связи с сече-
сечением рассеяния, которая устанавливается ниже. Для систем, в кото-
которых энергия сохраняется, S-матрица связывает лишь состояния с рав-
равной энергией. Удобно записать матричный элемент. 5 между началь-
начальным состоянием-с энергией ш1 и конечным состоянием с энергией iof
в виде
•S/* = 8// — 2^8 (<•>, — <•>,) 7> (8.25)
Из этого соотношения мы находим, что вероятность образования
конечного состояния / Ф i из начального состояния равна
¦П/i = 4^| 8 (ш, — <»,) Тпр. (8.26)
Грубый способ избавиться от неудобной величины 82 заключается
в том, чтобы связать ее с бесконечным временем взаимодействия
в состояниях с определенной энергией. Множитель 8 («>, — шЛ воз-
') Мы полагаем, что все значения к различны, в противном случае нор-
нормировка отличается от той, которая дана в тексте.

Общий обзор 105
никает из выражения Гdt e (<u«~e>/)/ и мы поэтому можем записать,
что
/°° I (<o,-<af) t J*
dte T =8(ш, — <af) j dt.
— o> —oo
Определяя вероятность перехода в единицу времених) Wj( как
получаем следующее „золотое правило":
1^ = 2*8@), — в/)| Tfl \\ (8.27)
Полную вероятность перехода из начального состояния можно за-
записать в виде
S I2 = — 2 Im Tw (8-28>
где последнее равенство следует из свойств (8.22). так как
Эти формальные выражения можно проанализировать более детально,
обращаясь к диагонализации S-матрицы. Практически это дости-
достигается путем определения достаточного числа интегралов движения,
собственные состояния которые являются одновременно собственными
состояниями S. Мы определим оператор проектирования ^<А) на
собственные состояния S (обозначенные через А), рассматривая энер-
энергию отдельно:
Ь}1 = Kg («о,) 8 <М| — М/) 3 ?/?.
а( л_ 1 (8.29)
и запишем
Sfi = Kg (ш,) 8 (<ог — М/)
sin ЬА
5
А (8.30)
') Более удовлетворительный вывод этого соотношения основан на рас-
рассмотрении волновых пакетов. Подробные сведения можно найти в статье
Гелл-Манна и Голдбергера [4].

106 Глава 8
Подставляя последнее равенство в (8.28), находим, учитывая, что
' sin2 8д («О. (8.31)
где 8((и() — фазовый сдвиг при энергии шг. Изложенный формализм
сильно упрощается в случае сферически симметричного источника при
условии, что на одну падающую частицу приходится одна уходящая.
В этом случае S оказывается диагональной в представлении углового
момента, а ш оказывается единственной непрерывной переменной1):
S\k. l, т) = еш1(к)\к, I, /и),
или в терминах операторов рождения
Bklm = S-'A^S = e2iii <*U№, (8.32)
В этом случае мы получаем
оо
^ у.
Далее, если использовать нормировочный объем L3 и релятивистскую
кинематику k dk = id fl?u>, то
Подставляя эти выражения в (8.31) и учитывая, что
мы находим:
?2ш)- (8-33)
') Множитель teg («>i) соответствует нормировке на 3-функцию от энергии
<*, /, т | k'l'm') = «f («) S (« - «') »„.»„„,,,.
Дальнейшие сведения можно найти, например, в работе Липмана и Швин-
гера [5].

Общий обзор 107
Чтобы получить обычное выражение для сечения рассеяния, необхо-
необходимо разделить последнее выражение на падающий поток, т. е. на
число частиц, падающих в единицу времени на единичную площадку,
нормальную к направлению движения (= /fe/mZ.3):
В тех случаях, когда имеет место рождение частиц, собственные
состояния S характеризуются в дополнение к энергии другими непре-
непрерывными переменными. Тогда (8.34) необходимо модифицировать,
но (8.27) и (8.28) по-прежнему остаются справедливыми.
В то время как 5-матрица содержит информацию, соответствую-
соответствующую элементарному фазовому анализу, матрица, связывающая состоя-
состояния „in" с голыми состояниями, соответствует так называемой
„волновой матрице" элементарной квантовой механики. Последняя
содержит информацию относительно детального вида волновой функ-
функции вблизи источника. В теории поля она позволяет получить ответ
на вопрос о распределении виртуальных частиц в физических состоя-
состояниях. Хотя такие задачи в значительной степени представляют чисто
академический интерес, однако они поучительны и будут рассматри-
рассматриваться в следующих главах. Более того, мы увидим, что существуют
важные соотношения между 5-матрицей и волновой матрицей.

Глава 9
СТАТИЧЕСКИЙ ИСТОЧНИК
ИЛ. Интерпретация статического источника. В качестве первого
примера мы подробно изучим случай статического источника р (г, t) =
= gp(r). Предположим, что источник расположен в начале координат,
что он веществен и нормирован:
так что g характеризует силу источника в безразмерных единицах.
В рассматриваемом случае в общее решение (8.10) входит выражение
Если изменить порядок интегрирования, то
СО ., (X
f.,,:et, „ О g'kr / I \2 Г
I at A (r, f) = ^ дд4- т2 == 1~я7 /
-со *
а
\2п/ ir J
lft'r l l^2 r_^dk_ _ „,
6
До тех пор пока изменения порядка интегрирования допустимы, мы
будем получать точно тот же результат и для | d/Aadv(r, t). Эти
результаты эквивалентны утверждению, что Aadv и Aret подчиняются
уравнению
со
J^ir. 0 = — S3(r).
где e-mrjAitcr — функция Грина для оператора (V2 — т?).
Обоснованность перемены порядка интегрирования по Ко и t
в (9.1а) вытекает из смысла, придаваемого статическому источнику.

Статический источник 109
Для тех типов взаимодействий, которые были рассмотрены в гл. 8,
мы требовали, чтобы источник исчезал при t== ±oo. Это, очевидно,
не имеет места в чисто статическом случае. Оказывается, однако,
что при медленном (по сравнению с т~г) включении и выключении
источника получаются те же результаты, что и для статического
источника, и именно в этом смысле уравнение (9.16) оказывается
справедливым. Чтобы доказать это, рассмотрим источник
p(r, /) = ffp(r)«—14 а>0. (9.2)
Если использовать (8.8), то интеграл по времени, появляющийся
в (8.10), становится равным
f Aret (r — г', t — ?) р (г'. О df =
sin«(/ — t')dt' =
е«( для t < 0,
— СО
<*e-at 4- 2a sin <at . . _ &'
даТ_а, для t > 0.
В пределе а—>-0 или фактически при a<^[m уравнение (9.3а)
сводится к
J
Дге' (г — г', t — f) p (r', t') df =
4*| г — г'| ' v '""''
что согласуется с (9.16). Аналогичное уравнение получается в этом
пределе и для Aadv. Таким образом, мы замечаем, что статический
источник можно интерпретировать как источник, медленно включае-
включаемый и выключаемый в течение времени л~1^> м'1', при этом из (9.36)
и (9.16) следует, что
¦ — г', t—t')?(г7)dt'd3r' =
л l r—r' |
- f* (г, t)+g { d*r> 4[г_гЧ р (г'). (9.4)
Таким образом, ф1а=*фоа*; это означает, что источник не рождает
новых реальных частиц и что рассеяние отсутствует. Это свойство

ПО Глава 9 "
связано со статической формой источника и с отсутствием внутрен-
внутренних степеней свободы *)• Тот факт, что процесс включения и выклю-
выключения не создает возмущений (т. е. не приводит к рождению ча-
частиц), соответствует адиабатической теореме элементарной кванто-
квантовой теории, согласно которой возмущение, медленно меняющееся
по сравнению с присущей системе частотой (которая в данном случае
равна т), не приводит к каким-либо переходам.
9.2. Энергия связанной системы. Чтобы исследовать собствен-
собственные состояния полной энергии, мы выразим гамильтониан Н через ф
и с помощью (8.18) получим
>$> — 2gp (r) ф] =
В (9.5) фурье-компонента2) р (г) была обозначена через рк:
(9.6)
а величина, комплексно сопряженная ей — через р*. Можно также
выразить Н через операторы фт. Используя тот факт, что
(_ тг + v2) J Дт (г, t)dt = — 83 (г),
находим:
J dzr d3/ [Vrf" (г, t) Vf + л»УП14~\Т~!\?{ Р (г 0 = / d3rf" (г, 0 р (г).
Вследствие этого равенства появляющиеся в Н перекрестные члены
от произведения $'" и р(г) исчезают3), и мы получаем
//=//in-|-g0, (9.7а)
') Это заключение будет разъяснено в последующих главах.
2) Если р (г) нормировано таким образом, что Г р (г) d3r = 1, то рк без-
безразмерно. Далее, р0 = 1 и в непрерывном пределе р (к) = рк. Фурье-преобра-
зоваиие от рк имеет вид
3) Это можно показать также в импульсном пространстве. В после-
дующем изложении предполагается, что энергия нулевых колебаний вакуума
вычтена из Н.

Статический источник
III
где
(9.76)
„-/nlr-r'l
(9-7.)
То, что $0 окажется постоянным числом, коммутирующим с ф[а,
можно было предвидеть заранее. Поскольку ф[п и ^out зависят
от времени как свободные поля, гамильтониан, выраженный через
Энергия
Энергия
Фиг. 9.1. Спектры собственных значений Но (а) и Н {б).
Энергетический сдвиг между этими спектрами равен g
эти операторы,
мутирующей с
должен сводиться к Н
(in). Заметим, что Н(Хп)
<ln) и некоторой части, ком-
и $0 не зависят от времени,
а Но и Н' зависят. Через операторы, введенные в (8.17), мы полу-
получаем (энергия нулевых колебаний 2 С/г)ш Уже вычтена)
(9.8)
Спектр собственных значений Н имеет, следовательно, ту же форму,
что и для свободных полей, с тем отличием, что он сдвинут вниз
на величину |ёо|- как показано на фиг. 9.1. Эта величина предста-
представляет собой энергию „связи" виртуальных частиц, хотя энергия
взаимодействия Н' никоим образом не есть обычный потенциал. Тот
факт, что энергия физического основного состояния &0 оказалась
меньше нуля, показывает, что взаимодействие в рассматриваемой
задаче принадлежит к широкому классу взаимодействий, понижающих

1/2 Глава 9
энергию основного состояния. Такое понижение всегда имеет место,
когда применима теория возмущений, так как при этом [I]1)
Физически это означает, что благодаря взаимодействию в основном
состоянии возникает возможность перехода к состоянию с более
низкой энергией.
Энергия &0 называется „энергией перенормировки" или иногда
„массой перенормировки". Последний термин должеи быть ясен в свете
последующего изложения, в котором будет использоваться реляти-
релятивистская эквивалентность массы и энергии. Можно считать, что ста-
статический "источник имеет механическую массу Моу$> т. Тогда гамиль-
гамильтониан Н становится равным Но-\- Н' -f- Mo. Голые собственные
состояния (оператора Я0-)-Мо) представляют источник и поле без
взаимодействия. Когда последнее включается, наинизшим физическим
состоянием становится собственное состояние Не энергией М0-^-&0=М.
Масса М есть физическая масса источника; она отличается от меха-
механической массы, обусловленной взаимодействием между источником и
полем. В этом смысле можно также называть собственные состоя-
состояния Но голыми состояниями, а собственные состояния Н— физиче-
физическими состояниями.
Для точечного источника р (г) = 83 (г) мы находим, что рк = 1 и
что энергия ©0 линейно расходится. Однако способа наблюдать эту
энергию, какой бы ни была ее величина, не существует, коль скоро
источник всегда окружен облаком из квантов 2). Поскольку $0—не-
наблюдаема, ее можно вычесть из Н, так что
JS?|in, 0)==(// — 80)|in. 0) = 0. (9.10)
9.3. Связь между голыми и физическими состояниями. Физи-
Физическое реальное основное состояние jin, 0) определяется снова ра-
равенством
Ak\in,0) = 0, (9.11)
и различные собственные состояния гамильтониана получаются по-
повторным применением операторов А^. Эти состояния соответствуют
определенному числу падающих частиц с заданными импульсами.
Однако Ф = фш и Ак= Вк, так что они соответствуют также и
эквивалентной конфигурации уходящих частиц. Поэтому в описывае-
описываемой модели отсутствует рассеяние и рождение частиц.
') Матричные элементы берутся между виртуальными, или голыми
состояниями; можно показать, что для нашей задачи (9.9) приводит к тому
же результату, что и (9.7в).
3) Это станет ясным из дальнейшего изложения.

Статический источник ИЗ
Более глубокого понимания сущности рассматриваемой модели
можно достичь, анализируя вакуумное состояние падающих ча-
частиц | in, 0) в терминах собственных состояний N@). Иными
словами, необходимо рассмотреть конфигурацию виртуальных частиц,
присутствующих в физическом основном состоянии системы в момент
t ¦= Q. Для этой цели мы выразим Ак через ак [определенные равен-
равенствами (8.18)]. Это можно осуществить, подставляя (8.17) и (8.18)
в. (9.4) при / = 0 [для сокращения мы пишем ак вместо ак@)]:
aZ3)/j
Отсюда мы заключаем, что
9 (9.12)
Pk
Таким образом, из (9.11) следует, что
Jk |in, 0>=Xk|in, 0>. (9.13)
Зто равенство имеет ту же форму, что и определение нашего стан-
стандартного волновЪго пакета для гармонического осциллятора B.23).
Задача анализа Jin, 0) в терминах собственных состояний |«к) есть
задача вычисления B.25)J) и, следовательно, в обозначениях п. 2.3
мы получаем
Пш.
№**,. «*. *fc,|in. 0>|а=Дехр(-я^) С*1] , (9.14)
где
Последнее равенство определяет вероятность обнаружения в си-
системе /tkl виртуальных частиц с импульсом kj, Як, виртуальных ча^
стиц с импульсом к2 и т. д. Характер произведения отражает неза-
независимость частиц. Вероятность обнаружения як| частиц с импульсом к1
') Временная зависимость определяется теперь, конечно, Н, а не fi9.
Ц Э. Хеили, В. Тирринг

114 Глава 9
безотносительно к тому, какие числа частиц имеются в состояниях
с другими импульсами, задается суммой по всем оставшимся /ik.:
Иными словами, мы имеем распределение Пуассона для числа внр-
туальных частиц с определенным импульсом. Аналогично по индук-
индукции мы приходим к выводу, что вероятность обнаружения п вир-
виртуальных частиц безотносительно к величине их импульсов равна
ч(«)= 2 IK »k,|in. о>р = «-;;-??.,. (9.i6a)
т. е. вновь дается законом Пуассона. Тот же закон сохраняет силу
и для вероятности обнаружения п частиц в заданной области Д им-
импульсного пространства; в этом случае п равно 2 "ь,- Число п
д •
представляет собой среднее значение квантов поля, которые одевают
источник. Как мы увидим в следующей главе, именно это число ча-
частиц рождается при внезапном выключении источника. Для источника
достаточно малого размера (например, радиуса а ~ 1/^тах <С1 V) мь'
получаем _ „2 i ib „2
rt«f--!nE-^~-f-. (9.16b)
Таким образом, среднее число частиц, окружающих источник, имеет
порядок ^2/4тг. . .
Поучительно выписать разложение физического основного состоя-
состояния по полному набору собственных функций N(t) при ?=0 и
сравнить его с основным состоянием атома водорода. С помощью
(9.13) и (.9.16) мы записываем
к к' B1)
25гхьхк.вК'Ю)-Ь ...1
>к< J
/2Л
(о|in,
L
^/2хкЛ|), (9.17)
\

Статический источник []5
где Хк определены, как в (9.13). Фурье-компонента волновой функ-
функции основного состояния атома водорода —A -J- г|?2)~2 == у^ где
г„ — боровский радиус. В наших обозначениях это состояние запи-
записывается как
fin- 0)=
В противоположность этому результату основное состояние поля
представляет собой смесь состояний с различным числом (от 0 до со)
виртуальных частиц. Флуктуации числа виртуальных частиц выра-
выражаются иногда через понятия рождения и обратного поглощения
источником виртуальных частиц. Эта терминология сходна с ис-
используемой для молекулы Нг", о которой мы говорим, что в ней
Фиг. 9.2. График @ | ф | 0)
вблизи источника.
два протона обмениваются электроном. Виртуальные частицы при-
присутствуют не все время, так что величина e~"^Xk> соответствующая
волновой функции отдельной виртуальной частицы в импульсном про-
пространстве, нормирована не на единицу, а на пе~п < 1. Волновые
функции состояний с несколькими частицами представляют собой
простые произведения, означающие, что частицы не связаны между
собой, кроме как через эффекты, обусловленные статистикой Бозе —
Эйнштейна. Для точечного источника (рк= 1) фурье-компонента вол-
волновой функции )(к "** Рк/(*2 Н~w2) ' ведет себя приблизительно как
e~mr/rh. Вообще мы видим, что ожидаемое значение потенциала
поля <jb(r) в основном состоянии можно представить как
(in, 0|*(r)|in. 0> = S<in- О] ***?!Г* |in, 0> =
-|r-r'lm
= S/
-
так что облако из виртуальных квантов поля покрывает источник
тонкой вуалью протяженностью /~ 1/т, как это показано на фиг. 9.2.

116 Глава 9
(Для ir-мезонов т~ <~10~ си.) Этого требует соотношение неопре-
неопределенностей, так как виртуальные мезоны не могут существовать
дольше чем т~1 и не могут поэтому уходить от источника дальше
чем на расстояние т~1. Разумеется, плотность виртуальных частиц
не обрезается точно на расстоянии т~1, а убывает экспоненциально.
Такое поведение сходно с просачиванием а-частиц в энергетически
запрещенную зону при а-распаде или просачиванием света в плотную
среду при полном внутреннем отражении. Грубо говоря, можно утвер-
утверждать, что все пространство вне источника энергетически запрещено
для виртуальных частиц, но они могут просачиваться в эту область
вследствие соотношения неопределенностей.
Именно облако из частиц, окружающих источник, „обволакивает"
его и приводит к энергетическому сдвигу &0, играющему роль энер-
энергии связи этих виртуальных частиц. Смысл сказанного становится
ясен, если вспомнить, что при вычислениях, приводящих к (9.7),
половина вклада энергии взаимодействия Н' [см. (9.5)] в f§0 сокра-
сокращалась с частью, возникающей из //0. Поэтому мы имеем
(in, O|tfo|in, 0>=|S0|=— i-<in, 0 |//'| In, 0). (9.20)
Это выражение есть „теорема вириала", если назвать Н' потенциаль-
потенциальной энергией. Она утверждает, что полная энергия (равная кинети-
кинетической (//0) -f- потенциальной энергиям) есть кинетическая энергия,
взятая с обратным знаком. Действительно, с помощью (9.14) и (9.20)
мы находим, что среднее значение Но в основном состоянии равно
(in, O|tfo[in, 0>
т. е. как раз среднему значению кинетической энергии (включая
массу покоя виртуальных частиц). Используя понятие потенциальной
энергии в этом широком смысле слова, можно говорить, что вир-
виртуальные .частицы связаны с энергией, превышающей их массу т.
9.4. Флуктуации поля. Для квадратичной флуктуации поля
в рассматриваемом случае остается справедливой формула D.13).
Причина этого заключается з том, что вклад от источника в @| <j>2\ 0)
сокращается с величиной |@|^>j0)|2, не равной теперь нулю. Здесь,
как и в случае нашего стандартного волнового пакета (гл. 3), сред-
среднее значение числа мезонов п~^> 1 означает, что флуктуации поля
меньше, чем его среднее значение. Поэтому можно использовать кар-
картину классического поля. Как мы заметили ранее (см. гл 4), это не
имеет места в случае электрического поля элементарного точечного
заряда, где

Статический источник 117
тогда как флуктуация поля, усредненного в области —' г3, есть вели-
величина Д^~-' 1/г. Среднее число фотонов в объеме Д импульсного про-
пространства, ограниченном Атах и kmla, как видно из (9.16), оказывается
равным
max
dk — *" In *max CQ 22-»
1П <S">
Ял—— f dk — *" In
Для разумных значений kmax и &raIn (например, Amax'—'/ие[>
Am!n'~l/r6) мы получаем при e2/4iz= 1/137, что яд—1/137 <^1.
Однако для заряженных макроскопических тел ситуация всегда ока-
оказывается классической п^> 1. Для мезон-нуклонной системы, как
будет видно в дальнейшем, п--^ 1, причем 1 представляет-собой очень
неудобное для исследования переходное значение.
Для частного вида источника может оказаться, и действительно
оказывается для точечного источника, что п—>оо. В этом случае
вероятность (9.14) обнаружения конечного числа виртуальных частиц
равна нулю. Это означает, что состояния с конечным числом реаль-
реальных частиц ортогональны состояниям с конечным числом виртуаль-
виртуальных частиц. При этом разложение реального состояния в ряд по
состояниям с виртуальными частицами с помощью теории возмуще-
возмущений или каких-либо других методов невозможно; в частности, это
относится и к разложению основного состояния (9.17). Если тем не
менее попытаться выписать ряд теории возмущений, то мы всегда
столкнемся с расходимостями. Эта трудность появляется в реляти-
релятивистских теориях, когда взаимодействия необходимо считать локаль-
локальными. В нерелятивистской теории, где источник може'т иметь конеч-
конечные размеры, эту трудность можно обойти.-
9.5. Несколько источников. Поскольку выражение (9.7в) квад-
квадратично по р, собственные энергии нескольких источников не просто
аддитивны, а включают перекрестные члены. В частности, для двух
пространственно разделенных точечных источников равной силы
P(r) = ^[83(r) + 83(r — гоI (9.23)
мы находим из (9.6), что
^22*^ <924
а из (9.17), что
| 0, 0> = е-*» ехр
где &0 — бесконечная, но постоянная энергия для одного точечного
источника, задаваемая выражением (—g2^)^^!^2), а | 0, 0) — фи-
физическое основное состояние двух источников. Зависимость Ъй{2)

118 Глава 9
от расстояния между источниками г0 имеет вид знаменитого потен-
потенциала Юкавы:). На языке уравнения (9.9) теории возмущений этот
член обусловлен обменом виртуальным квантом между двумя источ-
источниками, а его радиус отражает ограничения, накладываемые на такой
процесс соотношением неопределенностей. Взаимодействие между
двумя источниками появляется, только когда расстояние между ними
есть величина порядка размеров квантового облака. Поэтому невоз-
невозможно определить классическую траекторию виртуальной частицы,
и термин „обмен" следует принимать критически. Реально он озна-
означает лишь существование перекрытия между виртуальными облаками,
принадлежащими двум источникам. Ограниченность рамок, в кото-
которых применимы классические понятия, следует постоянно иметь
в виду при использовании интуитивной картины „обмена". „Потен-
„Потенциальной" энергии между двумя источниками нужно приписать ха-
характер притяжения, поскольку &0 B) < 2&0. Это происходит от того,
что присутствие второго источника на близком расстоянии от пер-
первого открывает возможность для существования новых процессов,
понижающих энергию. Это справедливо, однако, лишь в том случае,
когда g имеет одинаковый знак для обоих источников. Если бы мы
выбрали
Р(г) = ?[83(г) — 83 (г — г0)], (9.25)
то сила изменила бы знак. Последний факт связан с тем очевидным
обстоятельством, что на малых расстояниях один от другого источ-
источники нейтрализуют друг друга, уменьшая |?0B)(. Мы увидим
в следующей части, что для тс-мезон-нуклонной системы ситуация
оказывается несколько более сложной, и в зависимости от спинов и
зарядов нуклонные источники могут иметь одинаковый или противо-
противоположный „мезонный заряд" g. Соответственно обмен мезоном при-
приводит в некоторых состояниях к „потенциалу" притяжения, а в не-
некоторых— к „потенциалу" отталкивания.
В заключение- этого раздела мы отметим, что для N точечных
источников произвольной силы
N
Р (г) =2 ?^(г — rt) (9.26)
мы имеем
') Мы отложим до следующей главы обсуждение вопроса о том, в какой
мере этот член может рассматриваться как потенциальная энергия частиц-
источников.

Статический источник цд
где
к
Таким образом, потенциал
N
есть просто сумма потенциалов между парами источников. Отсюда
ясно, что присутствие других источников не изменяет силу, дей-
действующую между заданной парой. Это справедливо не всегда и свя-
связано с тем фактом, что в рассматриваемой модели отсутствует рас-
рассеяние квантов.
Рекомендуемая литература
Проблема одного или нескольких статических источников
может быть рассмотрена также другими, но эквивалентными изло-
изложенному, способами — например, путем установления унитарного
преобразования, диагонализующего гамильтониан. Этот подход и
обсуждение некоторых дальнейших вопросов читатель может найти
в следующих работах:
1. W e n t z е I О., Quantum Theory of Fields, New York, 1949, p. 47. (Имеется
перевод: Г. Вентцель, Введение в квантовую теорию волновых
полей, М., 1949.)
2. Т о m о n a g a S., Progr. Theoret. Phys. (Kyoto), 2; 6 A947).
3. Van Hove L., Physica, 18, 145 A952).
4. Lee T. D., Phys. Rev., 95, 1329 A954).

Глава 10
РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ
10.1. Общие замечания. В предыдущей главе мы изучили свой-
свойства виртуальных частиц. Теперь исследуем вопрос: при каких обстоя-
обстоятельствах они могут превращаться в реальные частицы. С этой целью
мы выразим операторы „out" через операторы „in*. В согласии с общей
формулой (8.12) связь между падающим („in") и рассеянным („out")
полями задается равенством
ф°« = ?1п _|_ f dh' dt'A (г — г', t — t') p (r', П. A0.1)
где
Д(г, O = Aret(r, 0 —AadV(f. 0 =
г\ е1кт
= ^ sinatf для —оо < t < oo. A0.2)
Соотношение A0.1) можно переписать в импульсном пространстве
с помощью уравнений . -
— г', t — t')p(r', t')d3r'dt' =
»*-''> I,, ft-о (f/> (/) dZr, df, =
S
k
где pk дается выражением
/ A0.3а)
Следовательно,
A0.36)

Рождение частиц 121
Поскольку оператор 5к удовлетворяет уравнению свободного поля,
в него вносит вклад лишь та часть источника, для которой выпол-
выполняется соотношение между частотой и волновым числом для свободной
частицы. Соответственно в обычном пространстве волновые функции
образующихся частиц не будут ограничены только областью, при-
примыкающей к источнику. Пользуясь классической терминологией, можно
сказать, что виртуальные частицы — это частицы, сосредоточенные
в близлежащей к источнику зоне, тогда как реальные испускаемые
частицы покидают источник и переходят в волновую зону. Для ре-
решения проблемы анализа состояний с определенным числом уходящих
частиц в терминах начальных состояний (в частности, для опреде-
определения вероятности обнаружения пкл> пк уходящих частиц с им-
импульсами klt к2, ... для вакуума в начальном состоянии) следует
вновь обратиться к (9.14), поскольку Вк | in, 0)=?pk (u>) Bu)?3)~'/j | in, 0).
где nk соответствует теперь
K
Мы имеем, таким образом, распределение Пуассона для испущенных
квантов в любом интервале импульсов Л со средним числом частиц1)
Можно выписать также разложение, точно аналогичное (9.17), и по-
получить
jin, 0) = S|out, 0> = е-я/2ехр pSxnO»)^] jout, 0), A0.4а)
где
A0.46)
Можно дать явное выражение и для S-матрицы через асимптотические
операторы поля. В случае одной степени свободы S-матрица соот-
соответствует унитарному преобразованию q—*-q, p—*-p-\-d, которое
генерируется eiqd. Теоретико-полевое обобщение этого преобразования
Здесь р (<*) = р (к, ш).

122 Г лав а 10
иадеет вид1)
Г
. (Ю.4г)
С помощью A0.36) матрицу 5 можно выразить через операторы
полей „in" Ак и Ак:
5 = ехр { / J [Хк (ш) At + Xfe (ш) Лк] }. A0.4д)
Читатель сможет без затруднений самостоятельно убедиться, что это
выражение находится в согласии с A0.4а) и что
Вк = SfAwS, Bt = SfAlS.
Если источник р (г, t) сферически симметричен, то вклад в S-матрицу
дают лишь сферически симметричные члены, соответствующие угло-
угловому моменту, равному нулю. Иными словами, если разложить Вк по
операторам, соответствующим определенному угловому моменту ВЫт,
то только Sftoo будет давать вклад в 5-матрицу. Поэтому все частицы
будут порождаться в S-состояниях (с угловым моментом, равным
нулю).
Прежде чем переходить к обсуждению выражений для S-матрицы
при типичных видах р, рассмотрим другой вопрос, который мог воз-
возникнуть. Мы знаем, ..что при зависящем от времени источнике энер-
энергия поля не сохраняется. Какова же энергия; передаваемая или отби-
отбираемая от поля источником? Если мы имеем дело с вакуумом для
падающих частиц, то она равна среднему значению энергии в этом
') Следует соблюдать осторожность, раскрывая явный вид экспоненциаль-
экспоненциальных операторов. Поскольку Вк и Sj не коммутируют, то ехр (Bft -f- B|) Ф
Ф ехр (Вй) ¦ ехр (-Bj), что легко увидеть, разлагая экспоненты. Однако по-
поскольку коммутатор Вк и Bj есть с-число, мы имеем
= ехр B 4/Л ехр CS ) ?
к / \ к / \к, к'
Bi/Л ехр С2 Bkgk ) ехр (%
/ \ к

Рождение частиц 123
состоянии при t—>oo. Ее можно вычислить следующим образом:
(in, 0|Яои' |in, 0>=(in, 0| У^Я^т. 0> =
к
(in, Olout, лк()(оШ, лкг|Я^[ои1, л^)Х
х (out,. e^j In, 0> = У] У]лк.ш|(т, °loutl n*i)\2-
Поскольку I (in, O|out, «k;)B представляет собой распределение Пуас-
Пуассона, мы получаем с помощью F.15)
(in, 0|/yout|in. 0>=ya>ttk=S4-|pi»l2- (Ю-5)
k k
Это означает, что энергия, переданная полю, точно равна энергии
кванта, рожденного источником. В классической теории поля фор-
формулу A0.5) получают, интегрируя dHjdt = — dL/dt в пределах от
t = — оо до t = -\-co. Поскольку p(r, t) — единственный член в ла-
лагранжиане, зависящий явно от времени, то
С классической точки зрения случаю вакуума падающих частиц соот-
соответствует ^1п = 0 (в квантовой механике равно нулю среднее зна-
значение ^ш). Интегрируя по частям, подставляя в последнее равенство
(8.10) и используя (8.9), можно аереписать Д?" в виде
t'pir, t)?(r', ^)-^гДгеЧг —г', t — t') =
= J dt dt'dhdSr'p (Г. t) р (Т'Г) ^ -J- X
X [Дт(г — г', t — О — AaUv(r — г', t — *')]• (Ю.6)
Переходя к импульсному пространству и используя A0.2), мы убе-
убеждаемся в справедливости A0.5). В последнем способе записи A0.6)
мы подчеркнули, что М: связано с разностью между „in"- и „out"-no-
лями, которая обусловливает потерю энергии. Это хорошо известно
из классической электродинамики, которая дает аналогичное выра-
выражение для потери энергии, причем сила лучистого трения опреде-
определяется разностью ф™й = фоха — ^1П (см. [I]). Поскольку для средних
значений поля справедливо классическое уравнение движения и флук-
туационные члены имеют тот же вид, что и для свободных полей.

124 Глава 10
естественно ожидать, что для потери энергии получится классический
результат. Аналогичным образом собственная энергия §>0 статического
источника оказывается равной изменению энергии, получаемому при
выключении или включении источника.
10.2. Частные случаи. Из A0.4) ясно, что частицы порождаются
только в том случае, когда источник содержит частоты > т ]). На-
Например, для точечного источника с периодической зависимостью от
времени
P(r. f) = gb3(r)cosm0?, A0,7а)
и, следовательно,
Рк(Ко) = ?-18<Ч — *о) + »К+*о)]. A0.8а)
так что п в том виде, как оно задано по A0.4в), равно нулю, если
только не выполнено неравенство а>0 > т. Это опять следствие адиа-
адиабатического принципа, согласно которому квазистатический источник
должен мало чем отличаться от статического. Для A0.8а) п стано-
становится '—- j S (о>о—ш)[2 и поэтому бесконечно. Физически это очевидно,
так как подобного рода источник испускает частицы от t = — оо
до / —-{-оо. Чтобы получить конечный результат, допустим, что
источник излучает в течение конечного времени:
p(r, t) — g& (r) e~a I' I cos Ш(/, A0.76)
(Ю.86)
В этом случае число частиц" пропб'рцдоТИльнО" ""времени "действия
источника. Для а <^ т четырехмерная фурье-компонента источника
pk(m) сводится к A0.8а), и можно записать
g2 D-т*IЬ
= -^>- —'—, если шо>/к. A0.9а)
Этот результат может быть получен также посредством вычисления
тока уходящих частиц.
Физический смысл ^ои мы проиллюстрируем, вычисляя его сред-
среднее значение в вакуумном состоянии падающих частиц.. Для сфери-
сферического источника ^ои состоит из сферических волн. Это становится
') Таким образом, статический источник (включаемый и выключаемый
адиабатически) не содержит таких частот.

Рождение частиц 125
очевидным, если использовать разложение E.10) по собственным со-
состояниям углового момента и принять во внимание, что сферический
источник связан только с той частью поля, угловой момент которой
равен нулю:). Далее, в любой момент времени после выключения
источника ^out содержит только уходящие волны, как и следовало бы
ожидать интуитивно. Это утверждение легче всего проверяется для
источника вида A0.76) и пг = 0. При этом Д(г, t) становится
— г~х[Ь(г — t) — b(r-\-t)] и мы находим
(in, 0|fu'(г, *)|1п, 0) =
При больших положительных значениях t остается не равным нулю
только первый член со сферической расходящейся волной.
Возвращаясь к нашему случаю тп Ф 0, мы обнаруживаем, что при
малых значениях а число частиц, рождаемых в единицу времени,
весьма близко к па., а число частиц, рождаемых за время Ы, равно
«а 8/ == -|?- (шо — пг2)''3 Ы, если ш0 > т. A0.96)
Последнее выражение аналогично соответствующему выражению в клас-
классической электродинамике и имеет простую физическую интерпре-
интерпретацию. Как мы видели в гл. 9 [см. уравнение (9.16в)], число виртуаль-
виртуальных частиц, окружающих источник по порядку величины равно g2/47z.
Так как волновое чиело- k равно -скорости v, умноженной на энер-
энергию се, то правую чаСть" равенства" A0.96) 'можно переписать в виде
или
(Число виртуальных частиц) X (Расстояние, на которое могут уда-
удалиться частицы со скоростью v за время It) X (Радиус облака ча-
частиц) .
Поэтому эта правая часть представляет число виртуальных частиц,
которые могут покинуть облако со скоростью v за интервал вре-
времени Ы. Это означает, что коль скоро необходимая энергия полу-
получена, квант от источника покидает облако со своей конечной (соот-
(соответствующей реальной частице) скоростью. В этой интуитивной
картине процесса рождения необходимо иметь в виду, что запас
виртуальных частиц в присутствии поля неограничен, так как они
>) Разложение такого типа мы выполним в следующих главах.

126 Глава 10
автоматически регенерируются источником. Но поскольку время ре-
регенерации есть величина порядка о»-1, то, чтобы получить суще-
существенно большее число частиц, чем имеется в облаке, нужно ждать
дольше, чем это время.
В результате мгновенного события невозможно получить большее
число частиц, чем общее число частиц, содержащихся в облаке, при-
причем это число получается при мгновенном выключении источника. Дей-
Действительно, в этом случае функция -
i (г) для t < О,
,*. Л A0Л°)
для t > О, V '
дает!)
и, следовательно,
что, согласно (9.166), как раз и представляет собой число виртуаль-
виртуальных частиц от источника р (г). Как мы объяснили в гл. 9, этот ре-
результат имеет совершенно общий характер; он может быть исполь-
использован для определения числа виртуальных частиц.
Недостаточное количество виртуальных фотонов в поле элементар-
элементарного заряда является причиной, вследствие которой электрические
процессы протекают столь медленно. Частица с единичным зарядом
и скоростью v яа 1 должна испытать приблизительно 137 жестких
столкновений, прежде чем она „сбросит с себя" фотои, поскольку
этот квант присутствует в облаке, окружающем заряд, в течение
менее чем 1 % всего времени. Поэтому сечение тормозного излучения
в 137 раз" меньше сечения рассеяния. Мы увидим, что тг-мезои-
нуклонные явления приобретают простой смысл, если представлять
нуклон в течение некоторой доли времени распавшимся на нуклон и
те-мезон. Эта доля времени вполне ощутима, также как и вероятность
обнаружения около нуклона более одного мезона. Поэтому почти
каждый раз, когда энергия оказывается достаточной, нуклон испу-
испускает мезон: множественное рождение также представляет собой
довольно частое событие.
') При t < 0 предполагается адиабатическое включение взаимодействия,
т. е. р (г, t) = Hm ?p (r) eat для t < 0.
>о

Рождение частиц 127
Другая интересная идеализация — это источник, внезапно меняю-
меняющий свою скорость !):
(г) для t < О,
(г — vf) для t > О,
и, следовательно,
_. 1о. I2 / 1 1 \2
A0.14)
Два члена в pk (/Со) соответствуют покоящемуся и движущемуся
источнику. Поэтому именно число виртуальных частиц в разности
полей до и после момента t = 0 дает число реальных частиц при
t = co. Это согласуется с нашим предшествующим замечанием, что
все то, что излучается, есть разница между падающим и уходящим
полями („in"- и „out"-полями).
Для т = 0 и сферически симметричного источника формула числа
частиц A0.14) превращается в
о
(со = &, а 8 — угол между v и к). Это дает хорошо известный спектр
тормозного излучения <—dkjk, если рк~1. Для точечного источника
потеря энергии n4k пропорциональна I dk, так что.во всех частот-
частотных интервалах излучается одинаковое количество энергии. В рас-
рассматриваемом случае выражение для п расходится в обоих пределах
интегрирования. Верхний предел легко устанавливается, если взять
протяженный источник, срезающий очень высокие частоты. На ниж-
нижнем пределе интеграл расходится даже для протяженного источника,
так как условие нормировки I </3гр(г)=1 дает ps=0— 1. Эта рас-
расходимость означает, что мы всегда имеем дело с бесконечным числом
квантов низкой частоты (реальных и виртуальных). Для виртуальных
частиц это можно истолковать следующим образом. В случае точечного
источника собственная энергия (в r-пространстве) задается интегра-
') Уравнение A0.12) с релятивистской точки зрения неправильно, так
как в нем опущено лоренцово сокращение источника^ Изменение скорости
может произойти в результате очень кратковременного столкновения (на-
(например, два нуклона сталкиваются при очень высокой энергии). Во всяком
случае v должно быть < 1, иначе даже равномерно движущийся источник
будет излучать (излучение Черенкова).

128 Глава 10
лом '/г \&d3r, где (? — напряженность электрического поля, т. е.
О2/4тс) Г й?3л/8тгг4. Последнее выражение расходится линейно в нижнем
пределе, но сходится в верхнем, что согласуется с выражением (9.2),
поскольку верхний предел в Л-пространстве соответствует нижнему
пределу в л-пространстве, и наоборот. Плотность частиц имеет до-
добавочную степень к в знаменателе или добавочную степень г в числи-
числителе и расходится в обоих пределах, как это видно из (9.22). Бес-
Бесконечность, связанная с инфракрасными квантами, соответствует
поведению кулоновского поля 1/л на больших расстояниях и не исче-
исчезает при размазывании, источника. Соответственно при изменении
асимптотической части кулоновского поля испускается бесконечное
число квантов. Число инфракрасных квантов внутри радиуса Вселен-
Вселенной ') < 1. так что „проблема" несколько академична. Она не воз-
возникает при тфО, так как в этом случае <j>~e~mr/r имеет конеч-
конечный радиус.
') Согласно (9.22),
Взяв за rmin электромагнитный радиус электрона (~ 1 • КГ13 см), мы находим
я=1 для гшах= 10*13в137~1047 см.
^° гВселеиноа'~' ^ см-

Глава 11
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
С БИЛИНЕЙНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
11.1. Общие замечания. В этой главе мы рассмотрим систему,
для которой член, обусловленный взаимодействием, квадратичен
по переменным поля. Общий вид такого члена, как мы убедились
в гл. 8, записывается следующим образом
и включает в качестве специального случая локальный потенциал
V(r, г', ?)~83(г' — г), действующий на поле. Однако существуют
случаи, в которых существенны нелокальные потенциалы вида A1.1),
например, многочастйчная задача в ядерной физике [1]. Далее, не-
некоторые типы линейных связей могут близко соответствовать связи
типа (ИЛ). Например, лагранжиан взаимодействия электромагнитного
поля А с нерелятивистскими частицами заряда е имеет вид
f(r) A1..2)
и содержит член вида A1.1) с
р(г. 0 = 1
В релятивистской теории ситуация сложнее; в частности 8-функция
оказывается размазанной на величину комптоновской длины волны
заряженной частицы. Аналогично можно показать, что релятивистское
псевдоскалярное ч3-взаимодействие *) в мезонной теории содержит
эквивалентный основной член вида A1.1) при
V(r, г', 0 = -fr 53(r —r')p(r, 0. (П.4)
') Читателю, никогда не слышавшему об этом, мы советуем игно-
игнорировать следующее замечание. Лагранжиан для этого случая имеет
вид L' = I ф*ру5ффй3л
9 Э. Хеи.'ш, В. Тирринг

130 Глава 11
где р— нуклонная плотность <Ji* (г) ф (г), а Мо — масса нуклона. При
преобразовании -^-теории появляется также много других членов,
один из которых составит предмет последней части этой книги.
Кроме того, как мы увидим в гл. 13, та часть модели Ли, для кото-
которой решение можно дать в явном виде, тоже эквивалентна A1.1).
В этой и в следующей главах мы будем часто обращаться к электро-
динамике как к примеру теории такого рода. Мы не будем, однако,
изучать эту проблему слишком подробно, ибо ее физические прило-
приложения будут представлять для нас интерес лишь постольку, поскольку
они позволяют легко ввести многие понятия, с которыми мы в даль-
дальнейшем столкнемся в физике it-мезонов. Так, эта модель позволит
нам изучить связанные (возбужденные) физические состояния источ-
источника и явления рассеяния.
Следуя нашему общему подходу, мы сначала найдем решение
уравнений движения с точки зрения классического поля и отложим
квантовомеханический анализ до следующей главы. Мы ограничимся
обсуждением случая, когда V не зависит от t '). Далее, во всех
явных вычислениях мы будем считать для простоты, что V разде-
разделяется на произведение следующего вида 2):
V(u rO = —XP(f)p(r/).
где X — вещественна и р(г) — сферически симметрична. Рассмотрение,
которое мы приведем ниже, можно было бы провести и применяя
общую форму V, но это потребовало бы использования ряда приемов
теории сингулярных интегральных уравнений. Поскольку общий слу^
чай не приводит к каким-либо существенно новым результатам,
представляющим физический интерес, мы не будем анализировать
его детально. Уравнение движения (8.12) можно записать в инте-
интегральной форме, вводя асимптотические поля
'Л'Л'дв'(г-г' t-t')v(r\
') Разумеется, мы сохраним возможность адиабатического включения
и выключения.
2) В следующем уравнении константа связи А. имеет размерность длины
или (энергии). С равным успехом можно было бы ввести безразмерную
константу связи g = lm. Когда А. отрицательна, гамильтониан перестает
быть положительно определенным; при этом, как мы увидим в следующей
главе, могут возникнуть существенные трудности.

Классических теория с билинейным взаимодействием 131
Фурье-преобразование этого уравнения имеет обычный вид линейного
интегрального уравнения. Чтобы получить его, введем четырехмер-
четырехмерную фурье-компоненту 1) поля ф:
ф (к, Ко) = (~^''2 f ф (г. t) е-1 <ит-*в dar du
и трехмерную фурье-компоненту не зависящего от времени источника2)
V(k, k') =
Для поля ф мы ввели четырехмерную фурье-компоненту вместо
трехмерной по той причине, что его зависимость от времени отли-
отличается от зависимости для свободного поля и заранее неизвестна.
Вводя выписанные выше фурье-компоненты вместе с четырехмерными
фурье-компонентами Дге* и Aadv, заданными по (8.6) и (8.7), мы по-
получаем 3)
к'
&} а * (Г ' \а° ' A1-7)
Подобное уравнение можно рассматривать как предел обычного
линейного алгебраического уравнения (которое действительно полу-
получилось бы, если бы мы использовали нормировку на конечный объем 4))
и, следовательно, его можно изучать соответствующими методами.
Для разделяющегося источника уравнение A1.7) содержит X и Кй
') Мы будем использовать в дальнейшем непрерывную (?->оо) норми-
нормировку, но сохраним S -»• A/2*K d3k как символическое обозначение для
к
интегрирования по вепрерыввому спектру и суммирования по дискретному
спектру, когда он существует. Соотношение между непрерывной нормиров-
нормировкой и нормировкой на конечный ящик было разъяснено в гл. 5. Нормирую-
Нормирующий множитель A/2яK/= вместо 1/B7сK выбран из соображений удобства.
Обратное преобразование имеет прн этом вид
Ф (г, 0 = (^)S/s f Ф (к, Ка)
2) Нормировка снова выбрана такой, что для разделяющегося источника,
определенного A1.5), V@, 0)= — К Знак также выбран из соображений
удобства: для локального потенциала V (г, г') ~ В3 (г — г') мы находим, что
V (k, k') зависит только от разности к — к'.
3) Мы ввели U как удобное сокращенное обозначение для указания
пути интегрирования, обсужденного в гл. 8. Подразумевается предел е -*¦ (У,
следовательно, величина Me, где N—любое конечное положительное число,
так же может быть записана как U.
Л) Для этого случая задача рассмотрена в работе [3J.

132
Глава И
как параметры и представляет собой, вообще говоря, линейное соот-
соотношение между ф и ^>in. Однако если для определенных значений
параметров детерминант уравнения A1.7) исчезает, то существует
решение при фт = О или при ^out = 0. Мы увидим позднее, что
решения однородных уравнений (например, ^in = 0) соответствуют
связанным состояниям, тогда как решения неоднородного уравнения
дают состояния, соответствующие рассеянию. В настоящий момент
сконцентрируем внимание на последних. В общем случае решение
A1.7) можно дать только в виде бесконечных рядов, но для V,
имеющего вид A1.5), разложение Фредгольма обрывается на втором
члене. В самом деле, мы находим, что х)
ф(к, *o) =
p(k)=
р (— k) = р* (к) для вещественного источника,
р (к) = р (| к |) для сферического источника.
Это уравнение можно непосредственно проинтегрировать,
получаем
-8а)
и мы
АЛ Г Л —А* Л
ф(к,К0)-ф (k,
-
|p(q)|
A1.9)
Теперь, когда частное решение получено, мы можем вернуться
к более привычному трехмерному разложению Фурье. Чтобы пере-
переписать A1.9) в трехмерном импульсном пространстве, используем
тот факт, что временная зависимость свободного поля ф]п известна.
В качестве непрерывного аналога разложения Фурье (8.16) мы имеем
. О].
""
A1,9.)
где ?ln(+'(k, t) — положительно-частотная часть2)
нальная е
е~ш,
, пропорцио-
пропорцио) (k, t) — отрицательно-частотная, пропорцио-
пропорциоi
нальная еш. Четырехмерная фурье-компонента
, t), определен-
') Мы приводим вычисления только для уравнения с
выполняются аналогичным способом.
2) Это обозначение было введено в гл. 5,
; для *out они

Классическая теория с билинейным взаимодействием 133
ная выше, отлична от нуля лишь при KQ— ± ш и равна
со
ф™ (к, Ко) = ± / *'" (к, 0 eIJW Л =
— оо
Выписывая положительно- и отрицательно-частотные части и исполь-
используя полученные выше результаты, перепишем (Н.9) в удобных мат-
матричных обозначениях !):
^(к.о^Ск^ЖЭГ^Чк', 4+(k^_|kVM(k'.;). (п.ю)
где
к > . A1.11)
Из A1.86) и A1.11) следует, что для вещественного сферически
симметричного источника
^ ^ ¦ (q) I3 ^3g (П.12а)
A1.126)
Мы будем иногда давать A1.10) в сокращенной записи
ф^Цф*", " ' (Ц.Юа)
где уравнение поля (8.11) налагает требование2):
п22_2ш2 = 1/2, A1.13)
в чем нетрудно убедиться. Здесь под со следует понимать диагональ-
диагональную матрицу
(k j ш I к') = Bтг)-3 83 (к — к') ш.
причем в правой части A1.13) подразумевается матричное умноже-
умножение с V (к, к').
') По дважды повторяющимся индексам производится суммирование
в смысле S- Появляющиеся здесь матрицы ие следует смешивать с опера-
k
торами в гильбертовом пространстве квантовой механики.
2) Чтобы различить 'матрицу о> и функцию », мы будем ставить чер-
черточку иад первой из них.

134 Г лава 11
11.2. Связанные состояния. Чтобы определить степень общ-
общности решений A1.7), необходимо еще рассмотреть решение одно-
однородного уравнения. Функция D± (А2), определенная равенствами A1.12),
есть детерминант Фредгольма уравнений A1.7). Как уже упоминалось
ранее, если этот детерминант обращается в нуль при определенном
собственном значении k = kb, то существует решение A1.7) с ^>1п = 0.
Впоследствии мы выясним, когда это действительно имеет место,
а сейчас отметим только, что при этом условии решение имеет вид 1)
ф (k, Ко) = const pW Ь (Ко ± «о»).
к —я„
ИЛИ
f(k, *)= const-I^We***. A1.14)
Эти выражения удовлетворяют A1.7), если
4=1.
т. е. D(kl) = 0. Вскоре мы покажем, что полученное решение пред-
представляет связанное состояние, так что классическое поле, находя-
находящееся в этом состоянии, ведет себя особым образом.
Для того чтобы установить, когда A1.7) имеет решение с ф1а = 0,
следует изучить свойства функции D± (А2). Для вещественных зна-
значений k можно использовать тождество 2)
X ±
A1.15)
которое позволяет разделить D± на вещественную (D^ н мнимую (D)
части
Если р (k) — функция, гладко 3) стремящаяся к нулю при k —> оо,
то, как видно из A1.6), D всегда отлична от нуля для вещественных
значений k. Чтобы изучить аналитические свойства D в комплексной
плоскости, заменим k2 комплексной переменной4) z — x-\-iy. Тогда
') Далее в этой главе и в большей части последующей будет пред-
предполагаться, что величина а (к) сферически симметрична. Иными словами,
(k) o(|k|) = p(*).
Символ Р означает главное значение Коши.
) Мы подразумеваем под этим, что р (А) всюду положительно. Это не
имеет места для пространственного источника р (л), который обрывается
резко при определенном значении радиуса г = /•<>.
*) При этом ± it включено в у.

Классическая теория с билинейным взаимодействием 13$
D+ (А2) и D_ (А2) представляют собой граничные значения функции
1+XSJ?^T 01.17)
при стремлении Z к вещественной оси сзерху и снизу соответстзенно.
Из A1.17) следует, что D(z) аналитична во всей комплексной пло-
плоскости, за исключением разреза здоль положительной вещественной
оси, где мнимая часть претерпевает скачок. Чтобы найти нули функ-
функции D(z), заметим, что функция
Im?>(z) = yX.Q-_J
может быть равна нулю только при у=гО. Поэтому, чтобы опре-
определить нули D(z), достаточно исследозать отрицательную часть
вещественной оси.
В этой области ')
и поскольку к тому же D(± оо)== 1, если2) f (Рд\р(q)\2 < оо, мы
приходим к следующим зозможностям:
1. X > О D не имеет нулей в плоскости с разрезом.
2. X < О D либо имеет один и только один нуль при отрица-
отрицательном вещественном значении х = А*, если
либо вовсе не имеет нулей.
Сформулированные условия изображены графически на фиг. 11.1.
Можно было ожидать заранее, что связанные состояния появляются
лишь при X < 0, так как отрицательный знак соответствует притя-
притяжению, и мы таким образом видим, что принятый нами зид потен-
потенциала допускает лишь одно связанное состояние. Из обычной кзан-
тозой механики хорошо известно, что даже при наличии притяжения
сзязанное состояние не образуется, если потенциальная энергия
слишком мала, чтобы перекрыть кинетическую энергию нулезых коле-
колебаний. Здесь это соответствует случаю, когда X < О, но D@)>0.
') Мы надеемся, что у читателя не возникнет неясностей по поводу
обозначений х = Re (z), у *= Im (г) и г =з (х, у, г).
г) Это условие не выполняется для точечного источника.

136
Глава II
: 11.3. Поведение волновой матрицы Q. Матрица1) 2, преобра-
преобразующая локальные переменные поля в асимптотические, обладает
рядом интересных свойств, существенных для квантовой трактовки
теории. Мы увидим, что при наличии связанных состояний2) ма-
матрица 2 „полуунитарна" в том смысле, что3)
2*2±=1, A1.20)
"° 2±2^ = 1— $, A1-21)
где $$ — оператор проектирования на связанные состояния, коль
скоро какие-то из них существуют. „Полуунитарность" — это явле-
явление, появляющееся только в бесконечномерном пространстве, так
А,>0
D(x)
Фиг. 11.1. Диаграмма D (х)
для отрицательных значе-
значений х и трех возможных
значений X при X, > А2 > Xs
и отрицательных Х2 и Хз.
как для конечной матрицы условие &2+=== ] всегда означает й+2=гг 1.
Для доказательства высказанных предложений мы запишем
2± = 1 + /?±, A1.22)
пгпо \ъ\— к р (У) р* (к)
D±(k2) кг — к'2±и
') Матрицу Q называют иногда в литературе волновой матрицей (см.,
например, статью [6]).
2) Для связанных состояний энергии связи < т. Основное состояние
физического источника не входит в эти рассуждения. Оно всегда суще-
существует, если только источник не неустойчив, но этот случай мы не будем
рассматривать.
3) Из-за наличия матричного умножения, введенного ранее (см. приме-
примечание 1 на стр. 133), величина (к|й±2± |к') не безразмерна. Фактически она
равна Bп)П3(к —к') и единицу в A1.20) и A1.21) следует понимать именно
в этом смысле.

Классическая теория с билинейным взаимодействием
137
так что A1.20) теперь имеет вид
A1.23)
Последнее равенство легко можно проверить явным образом для
разделяющегося потенциала:
| Р
J Bя)з D_ (А'*) D
(ft* —*>а + «
f <*3? Г *lp(g)l2 Mp(y)la 1
-> BгсK L*'2 —?2 —<е A2— ?2 + /eJ
Можно доказать, что и /?_ удовлетворяет тому же соотношению.
Проверка A1.21) производится аналогичным образом и мы на-
находим, что
XJ BяK (?2—
|p(g)|2
При учете A1.16) последний интеграл можно переписать в виде
_\9{k')?*(b) i Г rf r_i i
й*- A'2 + U in J ч ч lD_ (?2) D+
ХР (*>«(*) \ г dx
/1126s
где контур С примыкает к вещественной оси снизу от +оо до 0 и
сверху от 0 до оо. Поскольку D(oo)~>-1, интеграл по кругу беско-
бесконечного радиуса не вносит вклада в A1.26); если прибавить его
к интегралу вдоль вещественной оси, то, как это изображено на
фиг. 11.2, возникает интеграл по замкнутому контуру. Этот инте-
интеграл можно вычислить с помощью теоремы Коши, используя анали-
аналитические свойства D, рассмотренные выше. Если D не имеет полюсов,
то
D_

138
Глава tl
если же она имеет один полюс, то
1/1 1
() 1 2
Ар (*')?*(*) Г 1 1 ,1/1
Как мы видим, возвращаясь к A1.22), первый случай означает, что
(к' | 2+2+ | к) = BtcK 83 (к — кО. A1 -27а)
Фиг. 11.2. Контур интегрирования
для уравнения A1.26).
тогда как второй — что
(к' 12+2+ |к) = BirK83(к—к') — Ub{k') ul{k), . . .A1.276)
причем2)
A1.28а)
Сравнение с'A1.14) позволяет выписать временную зависимость Ub:
Ub(k,t)=Ub{k)e-M. A1.286)
С помощью A1.19) можно очень просто показать, что волновая функ-
функция Ub связанного состояния правильно нормирована. То, что эта
волновая функция действительно представляет связанное состояние.
') D' (fcj) з& dD (x)/dx | 2 и задается уравнением A1.19).
*) Заметим следующее: для того чтобы в A1.28) присутствовал второй
член, Л должна быть отрицательной. Однако, как доказывает уравнение
A1.19), D' (kf) также отрицательна, так что к/D' (й?) всегда положительно.

Классическая теория с билинейным взаимодействием 139
следует из пространственной зависимости фурье-преобразования
Ub (jk). Поскольку А| отрицательно, мы находим
<¦•¦»¦»
и на больших расстояниях от источника эта волновая функция имеет
пространственную зависимость, характерную для связанного состояния:
/j е~\кь\
где величина и>й = (/и2—l^l2)'1 есть энергия связи. Более того,
волновая функция Ub ортогональна к состояниям рассеяния1) в том
смысле, что
^ Q. A1.29)
11.4. Рассеяние. В заключение этой главы мы вернемся к связи
между падающим и уходящим полями. Из A1.10) и аналогичного
равенства для уходящего поля мы получаем2):
=(k | Q_ | k') <j>M oot (k', t) + (k |:2+ | kO ф<~у 0U4k'r -t)t- A1 -30)
Поскольку это уравнение выполняется зо все моменты времени (ф " и
^>out меняются во времени как свободные поля), мы можем отделить
в нем положительно- и отрицательно-частотные части и получить
с помощью A1.20)
,(+)out=sf2 ,(
Так как [^<+)] =ф('~\ второе равенство A1.31) совместно с первым.
') То, что (к ]2± | к') представляют состояния рассеяния, станет ясйо из
п. 11.4. Доказательство ортогональности A1.29) мы оставим в качестве
упражнения читателю.
2) Связанное состояние теперь не учитывается, так как оно не играет
роли в последующих рассуждениях.

140 Глава 11
Важно иметь в виду, что оператор 2t2+ унитарен, независимо от
того, присутствуют или нет связанные состояния. С помощью A1.21)
находим, что
2+_9+0^+/=^A-$J_ = 1, A
Bt2+)f2tQ+ = 2+ A — $) 2 + = 1.
так как член с ^ исчезает вследствие условия ортогональности A1.29).
Если источник, как это и предполагалось, сферически симметричен,
p(k)==p(|k|), то произведение 2t2+ нетрудно диагонализировать.
При этом, как и в случае линейной связи, оказывается связанной
только сферически симметричная часть поля. Это можно продемон-
продемонстрировать, разлагая поле по сферическим волнам, в результате чего Q
становится диагональной по / и от. Матричные элементы 2 между
состояниями | k, I, т) оказываются равными единице при IФ О,
а при / = 0 мы находим (см. гл. 5), что
(?', 0, 01 2+ | к, 0, 0) = ^ f dQk dQk, Kg (?') (k' | 2+ | k) Y°o (k) =
С помощью равенств A1.15) и A1.16) можно переписать A1.33)
в более удобной форме:
(&', 0, 0|2+J/fe, 0, 0) =
s= (ft'. 0. 01 2, | ft. 0, 0)д'/^ • A1.34)
Аналогично,
(ft', 0, 0|2_|ft, 0, 0) = (ft', 0, 012,1ft, 0, 0) ' (*Д =
= (ft', 0, 0|2+|ft, 0, 0) д+ |*^ A1.35)
и, следовательно'),
Qtjj /g P+\fr> ^ O_ QtQ ?>- t
ИЛИ
(ft'. 0, 0 | 2t2+| ft. 0, 0) = Zj-s- 8 (ft — ft') g- j*|> . A1.36)
') Матричное умножение означает теперь A/2я2) Г k2 dk.

Классическая теория с билинейным взаимодействием 141
Поскольку последняя матрица диагональна, соотношение между
„in"- и „out"-полями в этом представлении выглядит особенно, просто.
Если определить фазовый сдвиг Ь (k) равенствомг)
(*', 0. 0|2tQ+|&, 0, 0) = ^8 (? — k')e2i^k\ A1.37)
то
<+)out2«(*y+)in <)out2«(*y-)l«i (Ц.38)
B«K ?2-fta
Эти соотношения будут играть существенную роль в следующей
главе, где мы будем изучать корпускулярный аспект задачи и свяжем
полученные выражения с сечением рассеяния. Здесь же мы хотим
только отметить, что когда размеры источника стягиваются к нулю,
возникает ряд затруднений. Поскольку р(А) равно при этом 1, то
из A1.39), мы находим
Ц? (п.40)
ft->0 Я 4ЯОО
В гл. 12 будет показано, как обойти появляющиеся трудности с по-
помощью предельного перехода.
Как и в теории с линейной по полю связью', в теории с билиней-
билинейным взаимодействием для некоторых видов источников можно найги
аналитическое решение. Здесь мы сталкиваемся с очень интересной
задачей, поскольку оказывается возможным рассмотреть рассеяние на
многих центрах. При этом „потенциальная энергия" не является сум-
суммой потенциалов взаимодействия между парами, как это было в ли-
линейной теории. Обсуждение этих проблем увело бы нас, однако,
далеко в сторону 2).
') Тот факт, что о (k) представляет собой обычный фазовый Сдвиг, сле-
следует из A1.38). Это эквивалентно сделанному выше утверждению, что Q
играет роль .волновой функции" рассеяния. Ее нормировка определяется
условиями A1.20) и A1.21).
2) См., однако, работу Вентцсля [5].

Глава 12
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
С БИЛИНЕЙНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
12.1. Квантование и перестановочные соотношения при нали-
наличии связанного состояния. В первую очередь мы используем полу-
полученные нами результаты, чтобы проверить согласованность переста-
перестановочных соотношений для локальных полей с перестановочными
соотношениями для асимптотических полей. Вообще говоря, такая
Эквивалентность гарантируется адиабатическим принципом, но для
билинейной теории она не так очевидна, как для теории с линейной
связью, в которой локальные и асимптотические операторы поля
отличаются лишь на обычное число. В частности, если мы рассмотрим
сейчас более общую задачу, включающую связанное состояние, кано-
канонические перестановочные соотношения приводят к требованию, чтобы
в дополнение к падающему полю A1.10) ф содержало бы член, пред-
представляющий связанное состояние. Как мы видели в гл. 11 [см. равен-
равенство A1.28в)], пространственная зависимость волновой функции свя-
связанного состояния имеет вид
Ub(T, t)~f rfVp(r')' ,,._,,, «"V
при
так что соответствующие частицы продолжают концентрироваться
около источника в пределе t —*• ± оо, в отличие от частиц, связанных
с ф", которые в конечном счете исчезают на бесконечности. Подход,
который, как мы увидим в дальнейшем, позволяет удовлетворить
перестановочным соотношениям, характеризуется следующим выраже-
выражением (все время используются матричные обозначения, введенные
в последнем разделе):
ф (к, t) = (k | 2+ | к') ф(+ >ltt (к', 0 + Ub (к) фь (t) +
()in /ь*(к)^(О. A2.1)

Квантовая теория поля с билинейным взаимодействием 143
где <j>in — обычный оператор (8.17) для падающего поля и
[Ab, Aw) = [Ab, At] = O. A2.2)
[Аь, At]=l.
Используя эти, а также обычные перестановочные соотношения
для ^>in. можно убедиться, что канонические перестановочные соот-
соотношения удовлетворяются. Они не удовлетворялись бы, если бы члены,
пропорциональные Ub (k), были опущены или рассматривались
как с-числа. Для простоты проведем доказательство при t = 0; из
вывода будет очевидно, что аналогичный способ применим и для
других моментов времени. Из A2.1) и A1.9а) мы заключаем, что
ф (к, 0) = B«)-'А(k | 2 + BШ) -1/' | к') А (к') + Ub (к) Аь BЩ)-'1' +
Г3/'(к | 2_ BШ)-'/а | к') Af (— к')+ U*b (к) At Bv>by'!\
1ф (к. 0) = B*Г* (к | 2+ (I)1 к') А (Ю+ Ub(k) Ab ffi' - A2-3)
- B*)-* (к | 2. (|)"/s! к') Л+ (- кО - и; (к) At (^-y.
В терминах фурье-компонент <j>(k, 0) и ф (к, 0), введенных в гл. 11,
вещественность ^>(г) требует, чтобы выполнялось условие ^>(—к, 0)==
=^+(к, 0), и обычные перестановочные соотношения принимают вид
fo(k, о), f (к\ о)}=[ф (к, 0). Щк; а)]=-о. A2.4)
Эти соотношения выполняются, если
что действительно имеет место, как можно показать с помощью
A1.35). Последнее перестановочное соотношение
. 0). ф+(к. 0)] =
+ 2Ub(к) Ul (к')]B*Г3 = 1Ъ*{к -к') A2.5)
также удовлетворяется [см. A1.276)], но только благодаря введенным
в A2.1) дополнительным связанным состояниям и перестановочным
соотношениям A2.2). Разумеется, если связанные состояния отсут-
отсутствуют, мы просто берем ?/„ = 0 и A2.5) продолжает выполняться.
12.2. Рассеяние. В гл. 11 мы кратко рассмотрели связь между
„in-" и „ouf-полями. Было показано, что эта связь имеет наиболее

144 Г лава 12
простой вид, когда поля описываются через собственные состояния
углового момента. Соотношения' между полями сохраняют свой вид
и в квантовой теории, как это следует из A2.1) и аналогичного
уравнения с ^out. Эта пара уравнений показывает, кроме того, что
переходы из непрерывного в связанное состояние, и наоборот, невоз-
невозможны. Можно переписать A1.37) в виде
Вш (*) = S~lAlm (ft) 5 = Аш (к)
Bto (ft) = S-'ASa (ft) 5 = Ato {k) e'2'6xk)
и отсюда сделать вывод, что !)
= ехр[/ f Л3о(&) 2J(ft) Aoo (ft) dk~j • A2.7)
Из выражения
lm
и аналогичного выражения для №ut следует, что Nla = №at, т. е.
что рождение реальных частиц отсутствует. Только одно состояние,
содержащ е падающую частицу с / = 0, отличается от соответствую-
соответствующего состояния с рассеянной частицей на фазовый сдвиг 28. Падаю-
Падающая плоская волна, представляющая собой смесь собственных состоя-
состояний лагранжиана L, дает уходящую плоскую волну плюс расходящуюся
сферическую волну с амплитудой (e2li—1). Отсюда можно получить
выражение для вероятности перехода, действуя таким же способом,
как и в сл>ч1е квантовой механики одной частицы. Для сечения рас-
рассеяния (8.34) получается обычное выражение
da(k) sin' 5 (k)
du — k*
Обсудим теперь -коротко резонансное рассеяние, представляющее
важное свойство тг-мезон-нуклонной системы. Если исследовать выра-
выражение
1р(*Iж* (l2S)
для значений X, настолько малых, что функция D~l не имеет полюсов,
то при р (?), стремящемся к нулю при больших импульсах достаточно
') Напомним, что
. [Аш (k), Aj,m, (*')] = Ьп,Ьтт,Ь (*-*').

Квантовая теория поля с билинейным взаимодействием
145
быстро, 8—*-0, как при &—>0, так и при k—>oo. Для конечных зна-
значений импульса 8 принимает положительные или отрицательные зна-
значения в зависимости от знака X. Если X отрицательна, а ее величина
возрастает, то начиная с некоторого критического значения D, ста-
становится отрицательной, a Df имеет два полюса, как это изображено
на фиг. 12.1. В этом случае1) фазовый сдвиг проходит через 90° при
Фиг. 12.1. График функции Oj (Л2) для трех отрица-
отрицательных значений константы связи при At > Х2 > к3.
импульсе ?,, величина которого определяется условием Di(fer)=0.
Для импульсов, близких к kr, можно разложить D, (№
где
В этом приближении фазовый сдвиг можно записать как
tgb(k)
Г/2
A2.9а)
') В дальнейшем мы обсудим возможность того, что при возрастании
константы связи возникнет резонанс, сопровождающийся образованием свя-
связанного состояния. Это не имеет места на самом деле для 5-рассеяния,
но может осуществляться Для Р-волн, с которыми мы будем иметь дело
в третьей части книги.
10 Э. Хеали, В. Tuppuur

146 Г лава 12
где
A2.96)
Для производной фазового сдвига по импульсу мы получаем в окрест-
окрестности kr:
¦я- ГА/о»
»'(*) = •
гI-}-(«,.-•)« '
откуда видно, что 8' имеет острый максимум вблизи <ог дляГ<С1«>Л ')•
Очень быстрое убывание 8 в зависимости от k в окрестности значе-
значения k = kr, определяемого условием Di(/fe^) = 0 и называемого резо-
резонансным импульсом, свидетельствует о том, что падающие частицы
в этой области имеют тенденцию оставаться у источника и что время
испускания рассеянных частиц велико по сравнению со временем,
необходимым для того, чтобы частица пересекла источник 2). Это
можно видеть, рассмотрев падающую волну в виде гауссовского
(сферического) пакета:
где vr=kr/m, b2 (t) = b2 -f- i2/m2b2. Разлагая b(k) в окрестности kr
находим для рассеянного волнового пакета:
\uoui(r, ol2 =
dk exp [—(* lr) -ikr-l-^-\-2t(k- кг) 8' (*,)]
где Г = 28 (kr)/vr. Таким образом, мы снова получим гауссовское
распределение, смещенное, однако, по времени на величину Г.
Резонанс такого рода часто называют „виртуальным" или „метаста-
бильным" состоянием с временем жизни порядка Г. Он доминирует
в рассеянии частиц с энергиями, близкими к ют, поскольку соответ-
') Это условие в действительности не выполняется для 5-воли, ио мы
будем продолжать наши рассуждения, как если бы оно имело место.
2) Обсуждение других сторон явления резонанса см. в книге Блатта ц
Зайскопфа [1].

Квантовая теория поля с билинейным взаимодействием
147
ствующий фазовый сдвиг проходит 90°, а сечение рассеяния имеет
в этой области максимум. Подставляя A2.9а) в формулу для сечения
рассеяния, находим
График сечения рассеяния в зависимости от а> вблизи шг приведен
на фиг. 12.2. Выражение A2.10) имеет простую физическую интер-
интерпретацию. Первый множитель — чисто геометрический. Он предста-
представляет собой площадку, перпендикулярную к падающему пучку, со-
состоящему из волн с угловым моментом / = 0 и импульсом к. Второй
множитель выражает вероятность образования частицей с энергией ш
метастабильного состояния, имеющего ширину Г и центр распределе-
распределения по энергии в точке шг. Таким образом, A2.10) показывает, что
при kf^kT рассеиваются только те частицы, которые имеют энергию
и импульс, подходящие для образования связанного состояния.
Фиг. 12.2. Форма зависимости сечения рассеяния от
энергии вблизи резонансного значения юг.
При дальнейшем возрастании \Ц значения к, при которых фазо-
фазовый сдвиг 8 проходит через 90°, приближаются к А = 0, а задержка
распада по времени стремится к со. Последнее значение достигается
при значении а = Х(,1 которое определяется условием D@) = 0. При
еще больших значениях | X | появляется связанное состояние. По-
Поскольку связанное состояние возникает лишь при X < 0 (силы при-
притяжения) и соответствует резонансу при отрицательных энергиях,
фаза Ь оказывается отрицательной при малых энергиях падающих
частиц. Это видно н нз кривой для Х3 на фиг. 11.1.
10*

148 Глава 12
В пределе высоких энергий и для источника конечных размеров
tg&(&) задается первым членом разложения по степеням X (борновское
приближение !)), поскольку D(oo)= 1. С другой стороны, для k->0
поправки к борновскому приближению могут быть заметными, по-
поскольку точный результат отличается от этого приближения множи-
множителем 1/D,(O). Эта величина может даже обращаться в нуль, и это
действительно имеет место для точечного источника. Такое изменение
величины сечения по сравнению с борновским приближением имеет
простую физическую интерпретацию, если рассмотреть упрощенный
вариант электродинамики 2), в котором рассматривается только член
е2А2/2т0 вместо полного лагранжиана A1.2) (и аналогично в ^-тео-
^-теории). В этом случае легко показать, что m — D(Q)mQ есть полная
инертная масса электрона, включающая инерцию электромагнитного
поля, и, следовательно, величины е2/п2 и V/mo представляют собой
сечения рассеяния соответственно в пределе низких и в пределе высо-
высоких энергий. Весь эффект высших приближений по е1 (представляю-
(представляющих виртуальные фотоны) проявляется лишь в изменении инерции.
В области низких частот виртуальные фотоны жестко связаны с за-
зарядом и в соответствии с этим масса оказывается равной т. В высо-.
ких же частотах виртуальные частицы не успевают следовать за
полем, и сечение рассеяния определяется голой массой щ. Этот про-
простой результат типичен для нерелятивистской квантовой электроди-
электродинамики. Релятивистская теория учитывает порождение также вир-
виртуальных пар заряженных частиц, что приводит к эффективному
изменению не только массы, но и заряда электрона (поляризация
вакуума).
При анализе мезонной теории будет удобно ввести перенормиро-
перенормированную константу взаимодействия, такую, чтобы точное выражение
для фазового сдвига, экстраполированное к нефизической энергии
ш = 0, совпало формально с борцовским приближением, вычисленным
с перенормированной константой связи 3). Если эта процедура, которая
могла бы показаться ненужной и произвольной, осуществлена, мы
получаем конечный фазовый сдвиг 5 для всех импульсов даже при
точечном взаимодействии. В релятивистской теории потребность
в таком точечном взаимодействии диктуется требованием лоренц-
инвариантности; после перенормировки результаты оказываются менее
чувствительными к форме источника р (г). Следуя изложенной про-
') Тот факт, что первый член действительно соответствует борновскому
приближению, доказан, например, в работе Блатта [2].
2) То, что А представляет собой векторное поле, не вносит существен-
существенных усложнений.
3) Эту процедуру часто называют .перенормировкой заряда* по анало-
аналогии с подобной процедурой в квантовой электродинамике. См., например,
книгу Швебера, Бете и Гофмана [3].

Квантовая теория поля с билинейным взаимодействием 149
цедуре в настоящем случае, определим Хг равенством
Фиксация переиормированной константы Xr (или эквивалентно
lim 8(?)/&) означает определенную зависимость размера источника
В-Ь-0
от X. Так, зафиксировав определенное конечное значение Хг, мы полу-
получаем следующее выражение для X в пределе точечного источника
(или достаточно малого источника):
X___V 1 0
Это означает, что X приближается к нулю со стороны отрицательных
значении независимо от знака \. Хотя это обстоятельство и не при-
приводит к каким-либо трудностям в задаче с одним источником, однако
при наличии двух или более источников возникает связанное состоя-
состояние с энергией < т. Отсюда ясно, что в теории отсутствует состоя-
состояние снаииизшей энергией. 8 случае модели Ли, которую мы изучим
далее, мы столкнемся с явлением подобного рода; оио приводит
к серьезным трудностям даже в случае одиночного источника.
Через переиормированиую константу связи фазовый сдвиг выра-
выражается следующим образом:
Как уже пояснялось выше, такая форма записи имеет ряд любопытных
свойств. В частности, роль высоких энергий в интеграле, где суще-
существен точный вид р (г), сильно ослаблена, так что интеграл остается
конечным даже в пределе точечного источника. В рассеянии может
обнаруживаться резонанс при некоторой энергии о>г, в окрестности
которой остаются справедливыми уравнения A2.9) и A2.10) при
замене X на X, и D^k2) на Dp(k2).
12.3. Выражение энергии через асимптотические поля. Обра-
Обратимся теперь к задаче о выражении Н через асимптотические поля;
как и в случае линейной скалярной связи, мы найдем, таким образом,
энергию (или массу) перенормировки, иначе говоря, энергию вакуума
падающих частиц. Как будет видно из дальнейшего, фазовый сдвиг о
непосредственно войдет в вычисления.

150 Г лава 12
С помощью уравнения поля (8.11) перепишем гамильтониан
в виде 1)
= 1 J [?
^- j ф (t)V(r, r')
) ** * (к) —
- f (Ю / V (к, к')
A2.12а)
где использовано обозначение ф (к) = ф (к, 0). Подставляя последнее
равенство в A2.3) и вычисляя вторую производную по времени от ф
из A1.9а), мы получаем в матричных обозначениях:
$& [A^Qt + AtuUl A^Qt - AbUwfi X
X [2 ^'/гЛ + Ub ufAb -f- Q _Ш8/2Лf + ?/J «JfMЛ. A2.126)
Используя A1.36) и эрмитово сопряженное равенство, а также A1.29),
можно упростить это выражение следующим образом:
Н= ^1(Л+ШЛ4- ЛШЛ+4- AXmbAb-\-Ab<abAl) =
= J* d*kA* (k) A (k) ш + At Аьщ + Е, A2.12в)
где Е формально равно -я- I <od3& -)—-g- <oft. Рассмотрим кратко связь
этой энергии с энергией вакуума падающих частиц. Помимо этой
константы, Н представляет собой энергию падающих и связанных
частиц. Спектр И в сравнении со спектром свободного поля показан
на фиг. 1-2.3. "
Приведенный анализ был справедлив лишь для вещественных шв,
т, е. для | kl | < т2, поскольку мы считали множитель шь1г веще-
вещественным. При ш| < 0 мы приходим к осциллятору с силой отталки*
ваиия H=y(P2— (Ой<72)> и Дискретный спектр отсутствует2). В част-
') Гамильтониан. A2.12) до сих пор не упорядочен в соответствии с F.5),
так что обычная нулевая энергия Ео невзаимодействующих полей включена
в задачу. Множитель BяK связан с нашим определением матричного умно-
умножения.
2) Формально это напоминает „уходящее решение", поскольку, когда
со4 становится мнимой, состояние содержит член, зависящий от времени
как е"ь. Это сходство не случайно. См., например) статью Ван-Камиена [4].

Квантовая теория поля с билинейным взаимодействием
151
ности, спектр собственных значений не имеет иижией границы и
корпускулярная интерпретация невозможна. Из физических сообра-
соображений ясно, что неприятности начинаются при |а!|—*-т2. При этом
критическом значении импульса полная энергия состояния равна
нулю и бесконечно малое количество энергии может породить бес-
бесконечное .множество частиц в этом связанном состоянии. Эти частицы
могли бы появиться при внезапном выключении источника. Таким
образом, если X уменьшается адиабатически, нестабильность появляется.
Энв}
^Два кванта
Один нванггг*^
/ S
\
Ifie
Знв\
мня
Лоо кванта
Фиг. 12.3. Энергетический спектр в отсутствие (а) и в присут-
присутствии (<?) источника. В последнем случае показано также связан-
связанное состояние.
когда X становится отрицательной, а по абсолютной величине пре-
превосходит некоторое критическое значение, определяемое условием
кь = — т ¦
Поскольку гамильтониан A2.12) не был упорядочен, с точки
зрения A2.12в) представляется, что в отсутствие связанного состоя-
состояния энергия нулевых колебаний точно равна той же энергии для
свободного поля. Таким образом, оказывается, что в теории с пар-
парным взаимодействием (в отличие от линейного статического случая)
не существует перенормировки энергии. В обозначениях гл. 9 мы
как-будто получаем &0 = 0. Однако разность двух бесконечных
(и поэтому неопределенных) членов может быть отличной от нуля,
даже когда они выглядят одинаково, причем результат зависит от
способа перехода к пределу. Чтобы получить однозначный ответ,
мы вычислим разность между энергиями физических вакуумных со-
состояний при наличии источника и без него, используя для норми-
нормировки сферу конечного радиуса; только после этого мы перейдем
к непрерывному пределу. Положим, что связанные состояния отсут-

152 Глава 12
ствуют. Граничное условие уравнения E.9) показывает, что разре-
разрешенные значения k для части поля с / = 0 слегка изменяются
в присутствии источника вследствие фазового сдвига 8. Взяв обыч-
обычные решения в виде стоячих волн, мы найдем, что если возможные
значения импульса k в отсутствие взаимодействия определяются как
sin kaR = 0,
то при наличии источника граничное условие имеет вид
или (для okn
k'n = ka — i^al. A2.13)
Это приводит к изменению собственных значений энергии
и, следовательно, к изменению энергии нулевых колебаний:
<12Л5а>
В непрерывном пределе эта разность остается конечной и равной
k-±b(k), -{12.156)-
Таким образом, энергетический сдвиг или перенормировочная энер-
энергия Ло, связанные с источником, отличны от нуля, поскольку источ-
источник нарушает согласование собственных частот, вызывая таким
образом изменение энергии нулевых колебаний поля. Происхождение
величины ё0 в случае статического источника, описанного в гл. 9,
было иное. Поскольку в этой теории отсутствовало рассеяние, члены
типа A2.15) не давали вклада в энергию. Эффект последнего типа
приводит также к появлению сил, действующих между макроскопи-
макроскопическими телвми, поскольку возможные электрические частоты зависят
от расстояния между ними. Этот любопытный квантовый эффект был
проверен экспериментально [5].
Соотношение A2.15) между фазовым сдвигом и изменением энер-
энергии в конечном объеме показывает, почему притяжение (отталкивание)
дает положительный (отрицательный) фазовый сдвиг. Кроме того,
оно дает способ оценить его величину. Грубо можно представлять

Квантовая теория поля с билинейным взаимодействием 153
себе, что взаимодействие меняет1) величину ш2 на X/V в объеме V,
в котором р Ф 0. Изменение ш2 для низколежащих состояний (й — 1//?)
равно вероятности обнаружения частицы в этом объеме, умноженной
на X/V. Следовательно,
и A2.16)
>(*) ~ \к.
что по существу согласуется с A2.8).
12.4. Виртуальные частицы. Завершая нашу дискуссию теории
с парным взаимодействием, изучим распределение виртуальных частиц.
Имея в виду эту цель, необходимо найти связь между операто-
операторами ак [см. (8.18)], рождающими виртуальные частицы, и опера-
операторами Лк, которыми мы пользовались до сих пор. Эта связь легко
устанавливается из сопоставления (8.18) и A2.3). Пользуясь нашими
матричными обозначениями, мы находим2) (в нашем стандартном
представлении Q± = Qzp), что в отсутствие связанного состояния
а=МгА-\-М*2А*, af = М\а*-\- М2А, A2.17)
М ('АЙЙ-'А + -*а
1 _ _ A2.18)
Л12= -1 (a>V!Q+(o-VJ — ш-'Д2+ш1/2) Btc)~s/j.
Заметим, что оператор уничтожения виртуальной частицы предста-
представляет собой смесь операторов уничтожения и рождения реальных
частиц. Это типично релятивистский эффект; в нерелятивистском
пределе (й|ш|й')—>mb(k — k'), M2==0 и оператор числа квантов3)
Afln=/V. Это означает отсутствие виртуальных квантов, окружающих
источник. В релятивистской теории, напротив, мы имеем облако
виртуальных частиц даже для основного состояния (/Vln = 0).
Распределение виртуальных частиц легче всего получить, обра-
обращаясь для сравнения к одномерному аналогу, который уже помог
нам в этом смысле в случае линейной связи. Для нашей настоящей
модели таким аналогом является простой гармонический осциллятор,
частота которого изменяется от ш2 до ш' =оJ-(-8аJ. Первая из этих
') Что это скорее изменение а>а, а не <о, можно видеть нз соображений
размерности.
2) В этом случае а и А снова связаны унитарной матрицей Л;
a = AAAf, АЛ+ = Л+Л = 1.
3) Согласованность перестановочных соотношений для а, а? и А, А*
требует, чтобы при М2 = 0 выполнялось условие МХМ\ = 1.

154
Глава 12
частот соответствует отсутствию источника и операторам a, af,
тогда как вторая представляет энергию в присутствии источника.
Из B.3) и B.4) мы находим, что величины, соответствующие A2.18),
становятся равными
1 U to Y/. i / »' \'АП
A2.19)
A2.20)
Из A2.17) и эрмитово сопряженного равенства получаем
a |in. 0)=ЛГа+|т, 0),
В одномерном случае Л1 =— ооJ/(о)-)-<о'J и представляет собой
число, тогда как в теории с парным взаимодействием М—матрица.
Чтобы разложить собственные состояния | in, n) гамильтониана, вклю-
включающего член ош2,- по собственным состояниям \п) гамильтониана
без Ваз2, мы используем A2.20) и, произведя обычные преобразова-
преобразования, получаем
1 (!y/( ^ in,0\. A2.21)
По индукции
|(«|ln, 0>|» =
0
. 0>|2 для четных п,
для нечетных п. A2.22)
Величина i@|in, 0)|2 определяется условием S7!»331!- Аналогичный
о
метод применим и в том случае, когда М — матрица в /fe-простран-
стве. Тогда A2.21) и A2.22) показывают, что виртуальные частицы
рождаются только в парах!) и, следовательно, что вероятность обна-
обнаружения нечетного числа виртуальных частиц равна нулю. Простей-
Простейший член имеет вид
1*,.*,= K*i- *2lin- 0)|2=-I|@|in, Q)\*\ki\M\kd\\ A2.23)
К сожалению, явное вычисление М, т. е. аналитическое обращение М2
чрезвычайно громоздко, и мы не будем останавливаться на нем2).
') По этой причине теория с квадратичной связью, обсуждаемая в этой
главе и в гл. 11, называется .теорией с билинейным взаимодействием' (или
просто .парной теорией').
2) Оно было выполнено Клейном и Мак-Кормиком [6]. Эти же авторы
получили замкнутое выражение для случая, когда присутствует более чем
одна пара.

Квантовая теория поля с билинейным взаимодействием 155
Как и следовало ожидать, волновая функция виртуальной пары М
убывает экспоненциально с расстоянием в обычном пространстве
и концентрируется около р на расстоянии т~х.
Чтобы получить выражения, более доступные для толкования,
вернемся к вычислению средних значений наблюдаемых вели-
величин в основном состоянии. Из A2.17) мы сразу находим, что
(in, 0|^(г, 0lin- 0) = 0; это также непосредственно вытекает из инва-
инвариантности гамильтониана относительно замены ф—*—</>. Более
поучительными оказываются билинейные комбинации, такие, как сред-
среднее число виртуальных частиц
я"=<1п, 0| J
= BuK<in, 0[Л(к)(к!ж2гЖ;|к')л+(к')|т, 0) =
= BuKSp M\M2 A2.24)
С помощью A2.18) и A1.22) последнее выражение можно переписать
следующим образом:
я = Т SP (»/?+»"'/?+ + »"'/?+»/?+ — 2R++R+).
Используя явное выражение для R [см. уравнение A1.23)], находим, что
- = _М г d*kd*k' |р(*)|'|Р(*')|» / ¦» ¦ »' 2\ —
4 J Bя)« |?>+(*)|2(*2 — А'2J V»' со )
d*kd>k< |р(*)р|р(*О|».р (Ь,)Г2
<о<о'(«4-«'J ! +(- )[ • A2.25)
Таким Образом, вероятность обнаружения одной пады „(иди.более).
по сути дела равна
ГА Г JO. 11 (*> 1а I2
L 4 J B*)* ш* J '
что весьма близко к результату в случае линейной связи,
1 U С _*!*- 1Р(*'I*12
2 L^ J Bх)з ш* J ¦
за исключением того, что теперь частицы не независимы, а испус-
испускаются парами. Амплитуда вероятности обнаружения возбужденного
поля равна по порядку величины п1', или
Х_ г d3k | р (*) |2 k__ ? k* dk | р (fe) |"
4 J BяK a>2 (8л2) J ш*
0
Из A2.16) видно, что эта амплитуда приближенно равна Г dk 8u>2/u>2,
т. е. точно совпадает с суммой амплитуд вероятностей возбуждения

156 Глава 12
различных типов нормальных колебаний. Для нашего аналога отдель-
отдельного осциллятора мы находим
-if. (SoJ .
п = -—=—, если ш' « ш.
Но в этом случае энергия виртуальных пар не связана простым
образом с @0 какой-либо теоремой вириала. Формально, однако,
из A2.12) и A1.1) вытекает, что в теории с парным взаимодействием
(in, 0|//0Iп, 0) = — (in, 0|I'|in, 0),
и представляется, что $0 обусловлена только изменениями энергии
нулевых колебаний.
Вероятность обнаружения виртуальных пар для источника с гаус-
совским распределением р (г) /—- e-r'tb2 при ширине b^> m~l равна
по порядку величины (Х/*3от2J. Только глубокий потенциал (боль-
(большая. |Х| ) с резкими границами будет давать виртуальные частицы
в заметном числе. В случае кулоновского потенциала е/4ил лишь
крутая его часть в области г^>т~1 играет эффективную роль
в порождении пар. Заменяя его приближенно в этой области потен-
потенциалом нашего типа (Х/~^ ет~1), находим, что вероятность обнаружения
виртуальных пар .~ г2/4и—1%. Виртуальные электронно-позитрон-
иые пары') в кулоновском поле действительно приводят к измери-
измеримому эффекту „поляризации вакуума", поскольку они имеют заряды
и изменяют кулоновское поле в области г < от (~ 10 u см) при-
приблизительно на 1 %. Современная экспериментальная техника позволяет
измерить эти тонкие эффекты с замечательной точностью [7].
Рекомендуемая литература
Wentze! С, He!v. Phys. Acta, 15, 111 A942); Progr. Theor. Phys. (Kyoto),
5, 584 A950).
В I a 11 J. M, Phys. Rev., 72, 461 A947).
Мог pur go C, Touschek B. F., Nuovo Clmento, 10, 1681 A955).
ThlrrlngW., He!v. Phys. Acta, 28, 344 A955).
К 1 e i n A., M с С о г m i c k В. Н., Phys. Rev., 78, 1428 A955).
A r n о u s E., Journ. phys. radium, 17, 107 A956).
') В этом отношении такие пары ведут себя в согласии с вышеизложен-
вышеизложенным описанием, хотя наши вычисления и не применимы к иим непосред-
непосредственно.

Глава 13
МОДЕЛЬ ЛИ: СОСТОЯНИЯ С Q = ±~
13.1. Введение. Модель Ли состоит из поля, линейно связанного
с источником, имеющим одну внутреннюю степень свободы. Эта
степень свободы не является классическим параметром типа коорди-
координаты и имеет всего два собственных значения. В качестве примера
такой величины можно привести заряд нуклона (источника), который
имеет два собственных значения, отличающих протон (/?) и нейтрон (я).
Эта степень свободы была описана в гл. 7; она включается в связь,
вызывающую элементарный процесс п-*->/» + тс~, если называть кванты
поля ir-мезонами. Вообще говоря, если источник имеет более чем
одну степень свободы, задача так усложняется, что ее не удается
решить в явном виде. Мы встретимся с такой ситуацией в третьей
части книги. Однако в модели Ли предполагается, что ir+-мезоны
отсутствуют, так что отсутствует и процесс р -*->-/z-f- тс+. В этом
случае сохранение заряда настолько ограничивает различные воз-
возможности, что задача становится разрешимой. Несмотря на опре-
определенную искусственность, модель Ли отражает важные черты
w-мезон-нуклонных систем. Формально задача имеет много общего
с теорией с билинейным взаимодействием, рассмотренной в последних
двух главах. Мы будем широко использовать эту аналогию, с тем
чтобы избежать повторения формальных манипуляций.
Чтобы описать степени свободы источника, следует ввести новые
динамические переменные. Мы определим операторы x2(t), х+(?),
t_@ —Tt@> определив их действие на голые нуклоны при ^ = 0
следующим образом:
т_ (O)|jt»)= [л). т_@)|я) = 0.
0. A3.1)
Эти операторы не зависят от времени в отсутствие взаимодействия
и при равных массах нуклонов (при этом Но не зависит от опера-
операторов -с). Отсюда в отсутствие взаимодействия гильбертово простран-
пространство есть прямое произведение обычного полевого пространства,

158 Глава 13
умноженное на двумерное пространство. Если в дальнейшем пред-
представлять нуклон в виде (р, п), то операторы ') х оказываются матри-
матрицами 2X2 следующего вида:
/О 1\ /О 0\ /1 <Г
В присутствие взаимодействия операторы х начинают зависеть от
времени, и A3.2) приобретает смысл представления т@) через состоя-
состояния голых частиц при t = 0.' Взаимодействие Н' (х), соответствующее
процессам /&•*-*¦ р-\-к~ между состояниями голых частиц, должно
иметь вид
(х+) X (Оператор рождения) +(t_)X (Оператор уничтожения).
Если мы хотим запретить процесс р •*-^*- /t —f—тг+ для тг-мезона,
описываемого полем Клейна—Гордона, мы сталкиваемся с той труд-
трудностью, что все локальные2) операторы, такие, как ф(г, t), содержат
одновременно операторы уничтожения и операторы рождения.
Поэтому т+ должен- умножаться не только на оператор рождения тг~,
но и на оператор уничтожения тг+ [см. G.16)] и аналогично на х_.
Однако шредингеровское поле ф (г) представляет собой чистый опера-
оператор уничтожения, так что нужный гамильтониан Н' (г) нетрудно
построить. Мы будем исходить из модели, описываемой следующим
гамильтонианом 3):
A3.3)
Член с §0 введен, чтобы отразить разность масс р и п.; он равен
нулю при действии на голое р-состояние и равен |0 для голого ней-
нейтрона. Этот член будет использован для перенормировки энергии
физического «-состояния.
13.2. Перестановочные соотношения и уравнения движения.
Перестановочные соотношения для операторов х нельзя вывести из
') Под -с без индекса будет подразумеваться любой из трех операто-
операторов т+, т_, -с,.
2) В модели Ли [1] обычно вводится нелокальное взаимодействие, по-
поскольку бозоны считаются релятивистскими. Такое взаимодействие выходит
за рамки нашего рассмотрения. Однако во многих существенных чертах
модель, которую мы будем использовать, аналогична оригинальной.
3) Рассматриваемый гамильтониан отличается от шредингеровского
гамильтониана, приведенного в гл. 4, наличием членов с источником, членом $0,
а также добавлением члена mtyfty, представляющего энергию покоя квантов
ноля. Заметим, что g имеет размерность L'1'.

Модель Ли: состояния с Q = ± 4i i59
канонических, однако их можно найти, рассматривая матричное пред-
представление A3.2). Поскольку операторы t(t) получаются из т@)
с помощью унитарного преобразования B.18), для них верны такие же,
как и для т@), перестановочные соотношения вида
4*з(О. *± (*)] = ± *± (Q. A3>4)
Считается, конечно, что Ф(/) и ф+(О коммутируют с t(t) в один
момент времени:
[ф(г, 0, х(О]=[ф+(г, О. *(*)] = <>. A3.5)
а перестановочные соотношения для операторов ф и <J»f имеют обычный
вид (см. D.22)j
[ф(г. 0. t(r'. ^)] = [ф+(г, 0. ф+(г'. 01 = 0. (ld'b)
Используя эти перестановочные соотношения и равенство
1б — [6, И] [см. B.19)], мы выводим уравнения движения
— 4+(г. 0 = (« —?)ф+(г. *) + *Р(г)*-(*). О3-7*)
+(O- A3.76)
В импульсном пространстве эти уравнения переходят в
-4*(к. *) = »^(к. ')+*§ph-W« A3-8a>
-/ф(к. /) = »¦*. 0т-^^|-^+@. A3.86)
где
Полученные дифференциальные уравнения можно заменить эквива-
эквивалентными интегральными уравнениями способом, аналогичным приме-
примененному для получения уравнений (8.4) — (8.10). С помощью запазды-
запаздывающей функции Грина
д-^кл-1 CdK 'w I ° для ^<0>
А (к ¦ '} - 25Г J Л *0 _ . _ и -1 /вй* для ^>0

ЮР Глава 13
и эрмитово сопряженного равенства мы получаем!)
'>-^ , A3.9а)
=ф1п(к, О —/«• /Л'х+р')*-'1"*-''»-^. A3.96)
Для операторов т находим, что
- Л. (О = V- С) + ? / rf»rp (г) «|>* (г,
^(к,
/х+ {t) = Sox+ @ + g f —¦ р* (к) <]> (к. О т3 @. A3.1 Об)
а с помощью A3.7а) и A3.76), что
143 @ = lg f'tfrp (г) [ф (г, 0 т_ @ — ф* (г, 0 х+ (Ol =
/^^г> ОФ(г. О-- . A3.11)
Первые два уравнения также можно записать в интегральной форме,
но мы отложим это на время. Последнее уравнение выражает закон
сохранения заряда, поскольку из.него следует,, что
Q=0. Q = l^—
Иначе говоря, сохраняется только полный заряд (т. е. заряд источ-
источника вместе с зарядом поля). Заряд одного источника или одного
поля в отдельности не сохраняется. Заметим, что оператор Q имеет
') Здесь предполагается, что читатель уже знаком с адиабатическим
принципом, обосновывающим физическую интерпретацию
Vnt(k, *) = +inf(k. О)*1""*
н
ф'п(к. *)=fn(k, 0)*-'"".
Параметр w, появляющийся в экспоненте и w в знаменателе уравнения для
Aret (k, t) следует интерпретировать как один и тот же символ.

Модель Ли: состояния с Q = ±Уг Iff)
полуцелые собственные значения ^ 1/2, соответствующие следующим
голым состояниям частиц1):
О — —— ——
Частица р п пъ~
Уравнения движения A3.7) и A3.10) все еще слишком сложны, чтобы
их проинтегрировать в замкнутой форме. Однако если ограничиться
физическими состояниями частиц (собственными состояниями Q и Я),
то происходят дальнейшие упрощения, поскольку в рассматриваемой
модели эти состояния представляют смесь состояний с п и п-\-1
мезонами.
13.3. Физические нуклоны. Состояние голого протона2) \р) сов-
совпадает с состоянием физического протона:
= |out. р),
о, A3.13)
и оба они являются собственными состояниями И,
Н\р) = 0. A3.14)
Причина этого состоит в том, что не существует другого состояния
с тем же собственным значением Q. Если применить уравнение дви-
движения к \р), то матрица Тд заменяется на 1, и мы получаем два свя-
связанных линейных уравнения. В. последующем изложении мы в первую
очередь будем искать решение этих уравнений через начальные зна-
значения операторов. Затем мы убедимся, что это решение удовлетво-
удовлетворяет правильным перестановочным соотношениям, если постулировать,
что операторы „in" имеют те же коммутационные свойства, что и
операторы без взаимодействия. Для удобства формулировки мы по-
пометим чертой операторы, умноженные справа на оператор проекти-
проектирования на протонное состояние. Это означает, что уравнения, вклю-
включающие операторы с чертой, справедливы лишь при применении
') Истинный электрический заряд равен Q+'/г и имеет целые значе-
значения. Величина Q представляет собой третью компоненту изоспина, она будет
использоваться в последней части книги. Электрический заряд нуклона равен
'/з A + хз). а мезона — Г d3ry+ (г) ^ (г), поскольку мы имеем дело с «-"-мезо-
«-"-мезонами.
2) Такое состояние соответствует в наших прежних обозначениях голому
вакуумному состоянию | 0).. Обозначения \р) и ) п) введены, чтобы различать
внутренние степени свободы.
И Э. Хенли, В. Тиррннг

162
Г лава 13
к протонному состоянию, В частности, т3(У)=1, и мы получаем
следующие фурье-преобразования по времени1) от уравнений A3.9)
и A3.10):
A3.15)
Если исключить т_ (/Со) из третьего уравнения и подставить его
в первое, мы получим уравнение, почти идентичное уравнению A0.7)
парной теории. Значения Ко, для которых уравнение A3.15) имеет
решение, будут давать спектр собственных значений Н для состояний.
Энергия
p+n~
тп
AM
-1/2
Р
i/z
Фиг. 13.1. Спектр собственных
значений гамильтониана A3.3) для
состояний с Q = ± '/г-
получающихся применением т_ и ф1* к \р). Поскольку как *_, так
и ф1" рождают состояние с Q= —1/2, мы ожидаем, что получится
дискретное состояние, соответствующее физическому нейтрону, и не-
непрерывные р-\-'ъ~ состояния, начинающиеся с Ко= т. Обозначая
энергию физического нейтрона через ДуИ, можно подобрать &0 таким
образом, чтобы выполнялось условие стабильности нейтрона ДЖ < т.
Спектр для этого случая изображен на фиг. 13.1. Как и в случае
теории с парным взаимодействием, физический нейтрон должен соот-
соответствовать решению A3.15) с /Со = ДЖ < т при tbfl" = Q2). Отсюда
') Как обычно, мы определяем т_ (/(,,)= I '-(О e~lJ(°l dt.
2) Это обстоятельство представляет интерес с той точки зрения, что
можно представлть себе физическую частицу как нечто отличающееся от
связанного состояния голых частиц. Однако наш пример показывает, что
на рассматриваемом уровне нет фундаментальной разницы между „составной
частицей' и физической.

Модель Ли: состояния с Q — ±'/я /63
мы имеем для величины К0 =
или
4^S ^ 03.16)
При выключенном источнике энергия нейтрона равна §0. По-
Поскольку w >• m и мы предполагаем, что ДМ < ш, то уравнение A3.6)
показывает, что взаимодействие уменьшает энергию нейтрона, как и
в случае статического источника.
13.4. Состояния рассеяния. Решения уравнения A3.15) сК0> m
можно найти так же, как и в теории с билинейным взаимодействием:
В силу A3.16) можно исключить из левой части ненаблюдаемую
величину $0, после чего выражение в скобках переписывается как J)
D_ (Ko) представляет собой граничное значение аналитической функ-
функции комплексной переменной Ко¦== z =¦¦ х -\- 1у. Как и в гл. 11, мы
находим, что D(z) не имеет нулей при х < т. Фактически D(—oo-f-
4-Ю)=1 и dD(x)ldx>\. Поскольку $ы (к, Ко) отлична от нуля
лишьприЛГ0 —/м-{-&2/2/га>/га, мы получаем, что A3.15) имеет нену-
леиое решение для всех Ко > т и для АГ0== ДЖ. Вклад от точки Ко—ДЛ1
будет обозначаться через х"; чтобы удовлетворить перестановочным
соотношениям, следует умножить его на множитель Z , смысл и
величину которого мы вскоре определим. Мы можем суммировать
изложенные положения в виде уравнения
= 2'/г ~?п & (К. - Ш) + g Г
') Добавление величины U к разности w—AM не играет никакой роли,
поскольку AM по предположению меньше т. Это следует из того, что ф+ '" (k, t)
так же зависит от времени, как и свободное поле, Ф+ 1П (к, Ка) ^ 5 {Ка — »)•
11*

164 Глава 13
где — ie B знаменателе соответствует интегрированию A3.10а) с за-
запаздывающей функцией Грина1). Решение для t|>f можно получить
так же, как и в гл. 11, с помощью функции Грина, вводя четырех-
четырехмерную фурье-компоненту ф*(к, Ка). Мы не будем повторять здесь
эту процедуру, а приведем лишь результат2)
* w+(k IQ! к') ++ in *' '> <!3-
A3.19b)
Видно, что т^1 играет ту же роль, что и оператор связанного состоя-
состояния Аь в теории с билинейным взаимодействием, однако величина Ub,
как мы скоро увидим, не нормирована на 1. Аналогичным образом
фурье-преобразование от A3.18) имеет вид
Г.от=г'"?- ОТ+г
при учете того, что
<!ifln(k, /Q~S(W — /Co).
13.6. Полнота. Покажем теперь явным образом, что перестано-
перестановочные соотношения A3.4) — A3.6) выполняются в подпространстве
Q—lj2, если предположить, что т'п и фш удовлетворяют перестано-
перестановочным соотношениям для операторов в отсутствие взаимодействия, и
если Z = D-1(AA1), как это показано ниже. Аналогично уравнениям
A9.Ъ) — A2.5) мы получаем3) _ _.
[ ?]
@).,_(O)[
[ * ^fln(k)P(k)
г
IP(k)|' z 1 Г dz
z 1 Г
"~^ 2та J (г—
c
)()
A3.21)
') Следует отметить, что однородное уравнение для нашего (точного)
решения имеет вид /т_ = — ДуИт_, а не гЧ_ =—§от
2) Здесь подразумевается матричное умножение, определенное в гл. 11.
3) Интересно отметить, что т'Л (t) не коммутирует с ф (г, t). Физически
это объясняется тем, что t'J1 порождает физический нейтрон, а последний
представляет собой протяженную структуру, которая интерферирует с ме-
зониым облаком даже нне источника. Ситуация противоположна случаю го-
голых частиц, точечный характер которых выражается каноническими пере-
перестановочными соотношениями.

Модель Ли: состояния с Q = ±'/г 165
Здесь С — контур, аналогичный части контура на фиг. 11.2; он изо-
изображен на фиг. 13.2; D~1(z) — функция везде аналитическая, за исклю-
исключением разреза вдоль вещественной оси от /га до оо. Для | z | —*¦ оо
У
Фиг. 13.2. Контур интегрирования С
для уравнения A3.21).
она стремится, однако, к 1, так что интеграл по бесконечному кругу
дает вклад, равный
1 Г _*?._,
2Ш J г — К
Отсюда, замыкая контур бесконечной окружностью и обозначая
интеграл по замкнутому контуру символом Ф, получаем
A3.21) =Z-±§^+l Z
h A3.22)
что означает равенство
Z=DW):== Г_аЧ |p(k)p • A3-23)
^к J BuK" (w—ЬМJ
Аналогичные соображения показывают, что
Ub (k) Ul (к') + (к | Q. | q) (q | 2! | к') = B«K §з (к — к')- A3.24)
Эта формула уже знакома нам из теории с билинейным взаимодей-
взаимодействием. Таким образом, равенство
(Р 11Ф (к), ф+ (к') ]! р) = §3 (к — к') A3.25)
удовлетворяется. Также можно проверить и равенствоJ)
Lf dzD~lB) ] = o
2-ni J (г — ДМ) (г — шг) J
— ДАТ
A3.26)
') Доказательство перестановочных соотношений в других частях гиль-
гильбертова пространства не тривиально, но мы не будем им заниматься.

166 Г лава 13
Установив перестановочные соотношения и найдя решения в вы-
выбранном секторе гильбертова пространства, мы обратимся теперь
к обсуждению физического смысла использованных величин. Со-
Состояние физического нейтрона возникает при действии х" на про-
протонное состояние:
Поскольку т^1 имеет временною зависимость — е , то, следо-
следовательно, состояние | in, ri) является собственным состоянием')
Н с собственным значением Д/И, как мы и нашли ранее. Множи-
Множитель Z равен вероятности обнаружения голого нейтрона в состоянии
физического нейтрона:
A3.27)
a Ub(k) — волновая функция виртуального it-мезона при распаде ней-
нейтрона на р-\-п~:
<13-28»
С помощью простых вычислений можно убедиться, что последняя
функция имеет следующие свойства: Ub(k) нормирована, как этого
и следовало ожидать, на вероятность диссоциации нейтрона2):
i^(k)!2=1-Z- ¦¦ A3:20)
Форма записи Ub в виде A3.196) показывает, что виртуальные те-ме-
зоны остаются, вблизи источника на расстоянии (/га— ДЛ1). Далее,
к виртуальным ic-мезонам применима теорема внрнала в той же форме,
что в случае статического источника. Если, например, ДМ = 0, то мы
получаем соотношение между fimt —частью гамильтониана A3.3),
пропорциональной g, и Нт=¦ Г
0=(in. n\H[in, n) — {in, n\Hm\in.
+ (in, n\HM |in. «>+<in. n I^p. in, n)&0 A3.30)
') Это можно также непосредственно проверить с помощью A3.3)
при анализе | in, n) в терминах состояний голых частиц, к обсуждению ко-
которых мы сейчас переходим.
2) Как можно заметить, здесь требуется, чтобы 0<!Z-< 1.

Модель Ли: состояния с Q = ±'/2 167
следовательно,
(in, n\H'mi |in, ra>= — 2(in, n\Hm\in, n).
Тот факт, что перестановочные соотношения для операторов ip, ty+
и х удовлетворяются, показывает, что найденные нами состояния
с Q — —1/2 образуют полный набор. Таким образом, имеется, в ча-
частности, только одно дискретное состояние системы р, «~, именно
<ЫШ. A3.30а)
Формальная причина этого заключается в том, что, как было видно
ранее, величина (Ко — &М) D± (Ко) имеет только один нуль Ко — Д-М.
С увеличением \М радиус Ub(r) растет и достигает бесконечности
при &М = т. В этот момент нейтрон становится неустойчивым') по
отношению к распаду на протон и «-мезон, и исходное дискретное
состояние для Q = — Уг исчезает. В этом случае перестановочные со-
соотношения выполняются при x'f — 0 и физический нейтрон превра-
превращается просто в резонанс в тс-мезон-протонном рассеянии; волновая
функция рассеяния «-мезона |In, p -)-«") сингулярна в к-пространстве;
это означает, что существуют «-мезоны на бесконечном расстоянии
от нуклона.
ТЗ.6.. "Фазовый сдвиг. В заключение этой главы рассмотрим рас-
рассеяние в. системе р-\-к~. Для этого необходимо связать tyfin и (|j+ out.
Предыдущие рассуждения можно было бы повторить и исходя из ty+ out
ч tiu> которое совпадает с т!Г:
7lut (t) = e"^o_ut @) = т L" @. A3.31)
in, n) = |out, n)=\n).
Следовательно,
(к | 2_ | k')^f in (к') = (к | 2+ ! к') ?+ °"' 0О- 0 332)
Как и в теории с парным взаимодействием, для сферического источ-
источника лишь части i|)f out и ij)f in, соответствующие угловому моменту,
равному нулю / = 0, отличаются на фазовый сдвиг' e~2i°,
—t out
Ф = e
') Для ДЛ1 > m наша мвдель давала бы после необходимого переимено-
переименования частиц теоретико-полевое описание а-распада.

168 t лава 13
и по аналогии с A1.31) — A1.38) мы находим, что
_ ___ A3.33)
где
*m
2я (да — Ш)Г
Для ДЛ1 < т и для k—>Q, мы имеем 5(&) < 0, как и в парной теории
при наличии связанного состоянияJ). Если этот резонанс переходит
от отрицательных энергий к положительным, ДМ > т, величина
\\mb(k)lk становится положительной, подобно случаю слабого потен-
потенциала притяжения. В этом случае нейтрон становится неустойчивым,
а время жизни2) его равно Г. Время жизни определяется форму-
формулой A2.9а) и мы находим, что
тT^U')i' ¦ A3*34а>
причем
k2
•- ¦ ¦ ¦§? + «=ДЛГ = «,.. : A3.346)
Как и следовало ожидать по аналогии с парной теорией, перенорми-
перенормированную константу связи можно определить так, чтобы при w = ДЛ4
фазовый сдвиг задавался борновским приближением с перенормиро-
перенормированной константой связи. Тогда
(i3.35)
') Это свойство всегда характеризует связанные состояния. См., напри-
например, книгу Блатта и Вайскопфа [2].
2) При определенных условиях величина
ведет себя как -^e~rt/2 [3]. Если | р (ft) |2 может быть продолжена В коми'
лексную плоскость, так что D также может быть продолжена под разрез,
то мы находим полюс на втором римановом листе при комплексном значении
энергии ДМ -(- гТ, соответствующем неустойчивому нейтронному состоянию.

Модель Ли: состояния с Q = ± '/г 169
где
причем
г ip
A3.36)
Последнее выражение имеет те же свойства, что и аналогичное урав-
уравнение в парной теории. В нашем варианте теории трудности с рас-
ходимостями отсутствуют даже в случае точечного источника, по-
поскольку при высоких энергиях величина w пропорциональна А2.
Конечно, нерелятивистское выражение для энергии не имеет смысла при
очень высоких энергиях. При релятивистском рассмотрении мезонов
(согласно уравнению Клейна — Гордона) A3.35) заменяется на1)
т* J (
03.37)
BлK (о> —
Интеграл в знаменателе расходится в этом случае при больших
импульсах для точечного источника, так что сечение рассеяния обра-
обращается в нуль при малых k. Использование перенормированной кон-
константы связи приводит к появлению лишней степени w' [или и>', если
используется A3.37)] в интеграле A3.36), так что даже для точечного
источника сечение остается конечным в пределе малых импульсов.
В этом случае, однако, возникают трудности, которые могут также
появиться и в нашем нерелятивистском варианте. Именно, из A3.35)
мы находим, что
1 — SrP J BitK (да — ДЛ4)*
g2=
следовательно, для достаточно малого (в обычном пространстве) источ-
источника и конечного (возможно — большого) значения gT величина g2
становится отрицательной, a g — мнимой (в релятивистской теории
в пределе точечного источника g-> — /0). Это эквивалентно неэрми-
товости гамильтониана A3.3). Далее, величина Z, выраженная через
gr, также оказывается отрицательной, что означает отрицательную
вероятность обнаружения голого нейтрона в состоянии физического
') См., например, работу Лн [1]. Множитель Bа>), естественно, возникает
при использовании уравнения Клейиа — Гордона, как мы это видели и раньше.

170 Г лава 13
нейтрона. Для формулировки такой теории [4] требуется введение
индефинитной метрики в гильбертовом пространстве, что выходит за
рамки нашего обсуждения. В теории с обрезанием трудности не воз-
возникают до тех пор, пока размеры источника ограничивают значения
Z {gr) в пределах 0 ¦< Z ¦< 1.
Формально мы находим из A3.33), что предел сечения при высо-
высоких энергиях задается борновским приближением с константой свяви g.
Физическая причина этого, так же как и низкоэнергетическое пове-
поведение, подробно рассматриваются в следующей главе.

Глава 14
МОДЕЛЬ ЛИ: СОСТОЯНИЯ С <? = -!
14.1. Рассеяние. Уравнение Лоу. Для состояний, не рассмотрен-
рассмотренных в предыдущей главе, задача также может быть сведена к инте*
тральным уравнениям для волновых функций виртуальных ic-мезонов.
Такие уравнения невозможно, однако, решить, в общем виде, и поэтому
мы не будем выводить их. С экспериментальной точки зрения волновая
функция виртуальных тс-мезонов не представляет особого интереса;
так как ббльшая часть информации, которую она может дать, недо*
ступна для проверки При современной технике эксперимента. Легче
всего может быть измерено сечение рассеяния, и поэтому следует
сосредоточить усилия на вычислении фазового сдвига как функции
от энергии. Мы рассмотрим сейчас очень важный метод получения
общих свойств фазовых сдвигов, минуя вычисление полной волновой
функции мезонов.
Для простоты мы ограничимся в этой главе случаем ДМ = 0 к
будем обозначать физическое нуклонное состояние (протона или ней-
нейтрона) через \N). Оба физических нуклона имеют тогда-одинаковую -
энергию (массу) ? = 0; интересующая нас величина оказывается
матричным элементом 5-матрицы (8.23):
Уравнение A3.9) и аналогичные уравнения для
ф+'п(к, *) = fout(k, t) 'S— f df el»v-ry №*-(.?) —
— CO
= Ф+ов4(к. 9 — -^P*00 «'"'*_(«) A4.2)
показывают нам, что состояние с падающей плоской волной <]/
представляет собой уходящую плоскую волну с тем же импульсом
t)/oat(k|A/) плюс нечто, связанное с х_ (w). Очевидно, что это должна
быть искомая рассеянная волна.

172 Глава 14
Если состояние |W) относится к протону, мы можем использо-
использовать A3.18) (или аналогичное равенство для операторов „out"), чтобы
вывести явное выражение для *_ (w) | Л/}. Поскольку ^*(К0) пропор-
пропорционально S (/Со) и поскольку
|>+out
<|>+out (к, Ко) = 2i^+oat (к) 8 (АГ0 - w),
мы получаем
D+(w)w
Г
откуда видно, что сферическому источнику соответствует сферически
симметричная рассеянная волна. Сравнивая A4.2) и A4.3) с (8.24),
можно видеть, что ji есть {ехр[2/В(&)]— 1}; это согласуется также
с A3.33).
Вообще можно получить матричный элемент S-матрицы из A4.2),
используя известную зависимость от времени матричных элементов
между собственными состояниями гамильтониана. Так'),
(out,
= (V IfUt (О IV out (k)
= 83(k-k')-(oui
=-83 (k — k') - 27T/S (да — W') ^ -^- (out, Л^-f- ^k, | x_ @) |Л/) =
= 83 (k — k') — 2toS {w — w') T (k1). A4.4)
При выводе A'4.4) мы использовали тот факт, что
(out, W + v \eiHt = (out N-\-n \eiw''
поскольку энергия обоих физических состояний была подобрана равной
нулю. Вообще говоря, Г-матрица есть функция обеих переменных к'
и к, однако вследствие сферической симметрии задачи и сохранения
энергии здесь эта матрица зависит от единственной переменной к'.
') Следует помнить, что ? (г) — сферически симметричный источник, так
что р (k) = p (А).

Модель Ли: состояния с Q = —3/г ПЗ
Соотношение между Г-матрицей и фазовым сдвигом можно найти
из A4.3) или непосредственно из (8.30); оно имеет вид1)
Т-матрица, определенная равенством A4.4), не зависит, конечно, от
времени. Для последующего обсуждения она более удобна, чем
^-матрица, поскольку присущая последней сингулярная часть
в Г-матрице выделена. Таким образом, Г-матрица окажется аналити-
аналитической функцией энергии.
Из A.4.4) следует, что амплитуду рассеяния Т (k) можно получить
из анализа t_|A/) по „ouf-состояниям с энергией w. Используя тот
факт, что ф(к) коммутирует с х_ и что <]/"** | Л/) = 0, мы можем
переписать последнее выражение в следующей форме2)
Bи)•/' J
B*)V:
ь. и -¦
ОО
Ь\ 12 г
A4.5)
/
Уравнение A4.5) называют обычно уравнением Лоу [2] по имени его
автора.
14.2. я~-(-п-рассеяние. В качестве первого применения урав-
уравнения Лоу мы найдем некоторые общие свойства амплитуды тс~ -\- л-рас-
сеяния. Коммутатор в A4.5) содержит перед \п) один член с х+ (t)
и другой с х_ @). Первый из них рождает состояние с 3) Q = '/2;
по существу мы видим из уравнения
') См. также статью Липмана и Швингера [1]. При нашей нормировке
g = f <Pk, a g(E) = \/*mk.
2) Появившийся в A4.5) коммутатор подчеркивает тот факт, что рас-
рассеяние возможно лишь когда источник зависит от динамических переменных.
Для источника в виде с-числа правая часть A4.5) равна нулю в согласии
с нашим прежним результатом. Величина U представляет собой обычную
добавку, обеспечивающую сходимость функции Грина и определяющую поло-
положение полюса в импульсном пространстве.
3) Из равенства [Q, т± (t)] = ± х± (t) мы заключаем, что операторы х+
и х_ меняют собственные значения Q на единицу.

174 Глава 14
что *)
t+(Q|hi. n) = Z'!'\p). A4.6)
Следовательно, соответствующий член в правой части A4.5) стано-
становится равным 2)
'»* Щ^. A4.7а)
где
ёг = <Р I **+ I «> = <« I **- @) I />> = 2V С 4.76)
Оставшийся член из A4.5) рождает состояния с Q = — 3/2, т. е.
состояния с одним уходящим ir-мезоном и нейтроном или с двумя
уходящими тг-мезонами и протоном. Здесь мы должны предположить,
что взаимодействие не меняет формы энергетического спектра и не
существует дискретных состояний с Q = 3/2. При этих предположе-
предположениях указанные состояния имеют энергию > т. Если обозначить
физические состояния с Q = — 3/2 символом [ out, /), то можно пере-
переписать оставшуюся часть коммутатора в виде
(я I x+ @ x_ @) | n) = 2j <я I «'"'*+ @) «-'"' I out, /) (out, t i r_ @) I n) =
i
= $«"'*•¦'I (out. / ] x_ I я > I». A4.8)
где Et — энергия состояния | out, i). Это дает вместе с A4.7)
I2 .... IP tf.)Lf..y I (QMt, f |T-
Первое замечание относится к знаку величины lim 8 (&)/&. Из
А0
A4.9) и A4.4а) следует, что она больше нуля, как для случая при-
притяжения в отсутствие связанного состояния. Причину, по которой
взаимодействие п~-мезона с нейтроном оказывается притяжением,
можно проследить; она оказывается следующей: одиночный нейтрон
испускает тс-мезон, а образовавшийся при этом протон снова по-
поглощает его. Мы видели, что такие процессы понижают энергию
на величину So. Если имеется другой тс~-мезон, эмиссионная и абсорб-
абсорбционная способности нуклона возрастают. Мы уже видели, что
источник испускает бозоны более интенсивно, когда в его окрест-
окрестности- присутствуют идентичные бозоны, вследствие хорошо извест-
') Поскольку | In, я) = | out, я), мы будем писать просто | я), не вводя
добавочного индекса.
2) Величина U в знаменателе A4.7а) может быть опущена, поскольку
полюс при w = 0 лежит в нефизической области.

Модель Ли: состояния с Q = —3/г 175
ного эйнштейновского принципа индуцированной эмиссиих). Этот
процесс понижает энергию таким образом, что выигрыш от энергии
взаимодействия превосходит потерю ее на собственную массу тг-мезона.
Таким образом, взаимодействие уменьшает энергию re-f-ir" по срав-
сравнению с энергией /t-f-ic~ в отсутствие взаимодействия, имитируя
силу притяжения. В том, что такая ситуация приводит к притяжению,
тогда как фазовый сдвиг для системы р~\-ъ~ оказывается отрица-
отрицательным, заключается одна из трудностей в современном толковании
физики тс-мезонов низких энергий.
Сделанные до сих пор утверждения носили точный характер.
Однако решение уравнения A4.9) невозможно получить в замкнутом
виде. Мы получим его в том приближении, когда в сумме по состоя-
состояниям с Q = — 3/2 пренебрегают вкладом от состояний ] out, p-)-2ir~).
Если эти виртуальные процессы с испусканием второго ir-мезона
не учитываются2), то из всей суммы в A4.9) остается лишь член,
пропорциональный величине (out, и-j-ir^ | *_ | я), которую можно
выразить через Т. Получаем3)
') Сходным образом, можно интерпретировать возникновение потен-
потенциала Юкавы как следствие испускания мезонов одним из нуклонов под
действием мезониого поля другого. Индуцированная вероятность испускания
формально возрастает из-за того, что
2) Это приближение будет применяться также и в физике и-мезонов.
Вообще говоря, это слишком грубое приближение, в особенности в области
высоких энергий.- Действительно, сравнивая точное высокоэиергетическое
решение A4.17) с одним из приближенных решений уравнения A4.14), мы
видим, что они могут быть совершенно различными при Z <^ 1. Однако
решение может быть в определенной степени справедливым при малых
энергиях, где оно приближается к правильному пределу.
3) С помощью того же приема мы получаем для p-f-!с~-рассеяиия точ-
точное уравнение
?/ Р (*) I2 r I T (k'\ I2
г Infill г I d*k' \.'КЯ)\
Его точное решение было получено в предыдущей главе:
1L IPWI' ?}>W . A4.5a)
М 1Р(*01'1
а
Вследствие нашей нормировки одиомезоииых состояний
(in, k | Ш, к')' = <ЛЛ | ф+ in (к) ф (к') 1N) = 3» (к — к'),
сумма ^ в A4.9) превращается в непрерывном пределе в J dsk,
i

176 Глава 14
Хотя A4.10) и относится к нелинейным интегральным уравнениям,
его можно решить точно. С этой целью покажем, что Т {k)j\ р (A) p
есть граничное значение функции, аналитической в плоскости w.
Действительно, A4.10) показывает, что функция ф комплексной
переменной z, подчиняющаяся уравнению
& ° dw'\9{k')\*k'm
связана с Г соотношением
]^1т: A4Л2)
Из A4.11) видно, что 1/ф(г) аналитична везде в комплексной пло-
плоскости, за исключением полюса в начале координат и разреза вдоль
вещественной оси от т до оо. На этом разрезе мнимая часть функ-
функции <§> имеет разрыв:
Iim f ^ _ *_ 1 =
г dw' | р (&') \2 k'm I 1 1 \
"I ©(«» + ") I2 '
Поскольку ^(w — ге) — ф*(ш-|-/е), скачок ф непосредственно свя-
связан с р: . .
— / iim
Функция с перечисленными аналитическими свойствами имеет вид
1 _Wgr2 J
1 р
A4.13)
при условии, что gr достаточно мало, чтобы выражение в скобках
не обращалось в нуль при w < m. С последней оговоркой A4.11)
действительно удовлетворяет уравнению A4.13)').
Чтобы связать полученное решение с более привычным материа-
материалом, найдем его и с помощью тех методов, которые мы использо-
использовали в теории с билинейным взаимодействием. Интеграл в A4.11) можно
записать в виде контурного интеграла вокруг разреза (см. фиг. 13.2)
и, далее, дополнить бесконечной окружностью до интеграла по зам-
') Дискуссию однозначности этого решения можно найти в статьях [3, 4J.

Модель Ли: состояния с Q = —3/а 177
кнутому контуру, поскольку ф(г)—>-со при z—>оо. Следовательно,
уравнение A4.11) можно записать в линейной форме:
1 _ g*r . 1 r dz
$(z) г ' 27и J ф (^') (г' — z) '
где С — контур интегрирования, изображенный на фиг. A3.2). Вычис-
Вычисляя интеграл по теореме Коши, мы сразу убеждаемся, что A4.11)
удовлетворяется. Таким образом, мы получаем следующее решение
для T(k) [ср. с A4.12) и A4.13I:
......
K {w' — w-U)w'2\
Вспоминая, что T =— e'8sin о/Dтг2?/я), получаем для фазового сдвига:
(a»' —
A4.15)
Это выражение имеет ту же форму, что и выражение для фазового
сдвига в парной теории при наличии притяжения [см. A2.116)].
Характер решений A4.14) и A4.15) обнаруживает одно важное
свойство уравнения Лоу: поскольку оно включает только физические
состояния, его решения могут быть выражены непосредственно через
имеющую физический смысл, „измеримую" константу связи gr (а не g).
Мы предполагали отсутствие резонансов при отрицательных энер-
энергиях, которые означали бы дискретные состояния с Q = —3/гх)-
Это приводит к ограничению, налагаемому на величину ¦ g*, характер
которого зависит от p(k). При достаточно больших gr (превосхо-
(превосходящих определенный предел) появляется резонанс с. w > m. Нали-
Наличие знаменателя в A4.14) увеличивает фазовый сдвиг, тогда как
в р-{-п~-рассеянии мы имели уменьшение фазового сдвига. По-
Поскольку при малых энергиях неупругие члены в A4.5), соответ-
соответствующие состоянию р-\-2п~, только увеличивают этот эффект,
следует ожидать, что и точное решение также имеет эту особен-
особенность. Таким образом, можно думать, что при низких и средних
энергиях сечение /1 + 1с~-рассеяния должно быть гораздо больше сече-
сечения p-\-iz~ -рассеяния.
Это видно и из сопоставления A4.14) и A4.5а). Последнее
решение для р-\- те" -рассеяния можно получить также, пользуясь
техникой, примененной при вычислении A4.14),
') В этом случае A4.14) было бы решением уравнения Лоу с включен-
включенным в него вкладом от дискретного состояния.
12 Э. Хенли, В. Тирринг

178 Главам
14.3. Поведение T(k) при низких и высоких энергиях. В за-
заключение мы получим из A4.9) и A4.5а) низко- и. высокоэнергети-
ческоё поведение Т (А). С этой целью рассмотрим
! р (Л) р
как функцию w. Член с 2 в уравнении A4.9) регулярен при w < от,
поскольку Ei> m. Первое же слагаемое имеет полюс при w = Q
с вычетом, равным g2r. Поэтому этот член будет главным при w—>0,
т. е.
\imt(k) = ^-. A4.16)
Таким образом, мы получаем для системы п -f- тг~ тот же результат,
что и для системы jp-f-тс" [см. A4.5а)], а именно: при ча» —>¦ 0 точ-
точный результат равен борновскому приближению, вычисленному с пе-
перенормированной константой связи1). В пределе w—>oo можно
заменить знаменатель под знаком 2 в A4.9) величиной —w, если
только сумма сходится достаточно быстро. Вынося множитель \jw
из всего выражения, мы видим, что оставшаяся величина предста-
представляет собой не что иное, как коммутатор при равных временах.
Последний, однако, равен —т3, и мы получаем
=-?<»|-^l»>=?BZ—I). A4.I7)
да->со
Это выражение- е-тановится более прозрачным, если переписать его
В виде
то есть
• [Борновское приближение для t (k) в системе
п -\-"к~\ X (Вероятность обнаружения голого
п в [«))-(-[Борновское приближение для t(k)
в системе р-\-ъ~] X (Вероятность обнаружения
голого р в [«)).
IB этой форме результат аналогичен найденному в случае рассея-
рассеяния в ^системе р-\-к~. По существу уравнение Лоу позволило нам
получить .его, минуя решение уравнения Шредингера.
Физический смысл низкоэнергетических и высокоэнергетических
пределов можно понять, разбивая процесс рассеяния на элементар-
элементарные акты взаимодействия между голыми частицами. Это соответствует
') Здесь все время предполагается, что (р (А) |а можно аналитически
продолжить к нефизнческой энергии w = 0 или k2 = — 2т2.

Модель Ли: состояния с Q = —3/2 /7$
разложению Т по степеням g-. Борновское приближение состоит
в том, что берется наименьшее число процессов. При рассеянии оно
соответствует поглощению начального тс~ и испусканию рассеянного
гс-мезона. При рассеянии л-(-1с~-мезона все процессы должны идти
в обратном порядке по сравнению с процессами, приводящими
Фиг. 14.1. Диаграмма для физического нейтрона.
к р -f-w~-рассеянию. Это иллюстрируется диаграммами1), изобра*
женными на фиг. 14.2. Высшие приближения поддают новые столк-
столкновения гс-мезона и „одевание" нейтрона. Для четвертого порядка g4
это иллюстрируется фиг. 14.3. Представим себе теперь, что энер*
гия внешнего2) тс-мезона растет по сравнению с энергиями виртуаль-
виртуальных мезонов. В этом случае промежуток времени между испуска-
испусканием и поглощением Д7* должен быть чрезвычайно коротким, поскольку
V" м- *-^ ^^~
р п р п
п + я"
Фиг. 14.2. Диаграммы рассеяния я~-мезоиов на протонах
_ . и нейтронах.
он связан с неопределенностью в энергии нуклона Д?, величина
которой определяется энергией внешнего it-мезона (поглощаемого
н испускаемого): Д?Д7^^—wЬТ~- \. Следовательно, для />-}-«"•
¦ рассеяния вклад от диаграммы фиг. 14.4. а будет доминировать по
сравнению с вкладом от других диаграмм, в которых присутствуют
(промежуточные) виртуальные ic-мезоны, как это изображено на
¦ фиг. 14.4, б и в. Высокоэнергетический предел при /?-(-1с""-рассеянии
юпределяется поэтому борновским приближением. Для системы п~\-п~
') На этих диаграммах линии показывают траектории различных голых
¦частиц, причем время течет слева направо. В такой картине физический
'нейтрон выглядит так, как ои изображен иа фиг. 14.1. Эти диаграммы ие
следует понимать слишком буквально, поскольку классическое понятие
траектории неприменимо к виртуальным частицам. Однако они служат хоро-
хорошей иллюстрацией различных членов ряда теории возмущений, когда Н'
ответственно за элементарные процессы испускания (и поглощения) голых
частиц. См. [4].
2) Т.-е. рассеивающегося.

180 ' Г лава 14
рассеяние может происходить таким образом, что в течение некото-
некоторого времени существует голый протон. Таким образом, в пределе
высоких энергий мы имеем как рассеяние на голом нейтроне,
(фиг. 14.5, а), так и рассеяние на голом протоне (фиг. 14.5, б), но
в обоих случаях виртуальные (промежуточные) мезоны не испускаются
p
a
n
6
п р п р п
в
Фиг. 14.3. Диаграммы порядка g* для р-\-«"-рассеяния
(а) и для п -j- я~ -рассеяния (б и в).
и не поглощаются между взаимодействиями с внешним мезоном.
Вклад от процессов последнего рода, изображенных на фиг. 14.5, в,
опять будет мал по сравнению с основными процессами, и мы вновь
получим борновские амплитуды для рассеяния на двух видах частиц,
взятые с весом, пропорциональным соответствующим вероятностям.
Чтобы подойти к вопросу о низкоэнергетическом пределе, рас-
рассмотрим сперва вымышленный случай, когда внешний мезон нг имеет
массы покоя, так что его энергию можно сделать много меньшей
энергии виртуальных тс-мезонов. При таких условиях из соотноше-
соотношения неопределенностей следует, что время между взаимодействиями
с внешней частицей будет много больше времени виртуальных про-
процессов. В случае /?-(-тс~-рассеяния это означает, что после погло-
поглощения внешнего тс-мезона нуклон практически становится физическим

Модель Ли: состояния с Q = —3/г 181
нейтроном, как это изображено на фиг. 14.6. Однако поскольку
поглощение внешнего тс-мезона превращает протон в голый нейтрон,
это может произойти только в течение той доли времени, когда
физический нейтрон (из промежуточного состояния) находится в со-
состоянии голого нейтрона. При наличии двух таких элементарных
n
a
¦г
р
6
п ¦ " р п
в
Ф ит. 14.4. Диаграммы, иллюстрирующие свойства
/?-|-л--рассеяния при высоких энергиях.
процессов (испускание и поглощение внешнего тс-мезона) мы полу-
получаем следующее выражение для сечения рассеяния в рассматриваемом
пределе
(Борновское приближение) X (Вероятность обнаружения голого
нейтрона в состоянии физического нейтронаJ.
То же самое относится и к случаю « + Тс~-Рассеяния- гДе в рассма-
рассматриваемом пределе существенным оказывается вклад диаграмм выс-
высших порядков, изображенных на фиг. 14.7, а, и несущественным —
вклад диаграмм, изображенных на фиг. 14.7,6. Для тФО указан-
указанные заключения остаются справедливыми в пределе w —v 0, но

/82 Глава 14
поскольку это—нефизическая область, то здесь низкоэнергетическое
поведение имеет смысл только в этом экстраполяционном смысле,
Вообще можно утверждать, учитывая способ определения константы g,
что она измеряет силу элементарного взаимодействия между голым
X
Р
а
n
п р п р п р п
в
Фиг. 14.5. Диаграммы, иллюстрирующие свойства л + л~-рассеяния
при высоких энергиях.
Нуклоном и тс-мезоном. С другой стороны, gr определяет силу эле-
элементарного взаимодействия между физическим нуклоном и тс-мезо-
ном1). Это следует из того, что gr = (p\t+g\n). В быстрых про-
процессах мы имеем дело с голыми частицами-источниками и, следова-
следовательно, с константой g; в медленных — с физическими частицами-
источниками и потому — с gr. Поскольку при высоких энергиях
1) Физические и голые гс-мезоны тождественны.

Модель Ли: состояния с Q = —э/г 183
ситуация становится очень сложной1), в общем случае можно изме-
измерить только gr. Даже и эту константу невозможно получить непо-
непосредственно, поскольку энергия w = 0 недостижима экспериментально.
Однако если низкоэнергетические значения фазовых сдвигов можно
л
п
Фиг. 14.6. Диаграммы, иллюстрирующие низкоэнергетический
предел р-\-п -рассеяния.
экстраполировать к этой энергии, или если член в скобках в зна-
знаменателях A4.14) и A4.5а) можно приближенно разложить в ряд
л р п р п
а
_«
N
V
п р при
6
Фиг. 14.7. Диаграммы, иллюстрирующие низкоэнергетический
предел п-)-1с--рассеяния.
по gT для малых, но физических энергий, то возможно и непосред-
непосредственно получить g2T из измерения сечений. Мы рассмотрим этот
вопрос ниже в последней части книги.
') Ясно, что нерелятивистское приближение становится неприменимым
при таких энергиях; кроме того, необходимо принять во внимание рождение
^уклонных пар и отдачу нуклонов.

184 Г лава 14
Время от времени появляются исследования по различным видо-
видоизменениям и обобщениям модели Ли. В одной из модификаций,
предложенной Ван-Ховом, введено ограничение числа степеней сво-
свободы, но допускается существование более одного мезона в облаке,
окружающем физический нуклон. В этом обобщении сохраняется
один тип кванта поля, л0, но разрешаются два процесса
(сила связи ga),
(сила связи gb).
Эта теория имеет ряд преимуществ перед моделью Ли; она допускает
точное решение для связанных физических состояний. Основное пре-
преимущество этой теории для нас заключается в том, что из нее легко
видеть связь между нейтральной скалярной теорией (гл. 9 и 10) и
моделью Ли. Так, если физические массы V к п частиц одинаковы
и f^ gb, то теория сводится к нейтральной скалярной теории, за
исключением дублирования состояний. Подробное обсуждение этой
теории увело бы нас однако слишком далеко в сторону, поэтому
мы отошлем читателя к оригинальным работам Руийгрока и Ван-Хова
[6-8].

Часть третья
ФИЗИКА П-МЕЗОНОВ

Глава 15
ВВЕДЕНИЕ
15.1. Статическая модель. Существует большой ряд физических
проблем, укладывающихся в рамки квантовой теории поля; они могут
быть рассмотрены методами, сходными с изложенными выше или
несколько менее строгими. Прототипом дискретных связанных осцил-
осцилляторов служат атомы в кристалле. Электроны, движущиеся в кри-
кристалле, играют роль возмущений, ли'нейно связанных с атомами.
Однако поскольку необходимо учитывать обратную реакцию кри-
кристалла на электроны, взаимодействие оказывается динамическим, вклю-
включает трансляционные степени свободы электрона, и его нельзя пред-
представить как связь с фиксированным заданным источником. Вытекаю-
Вытекающие отсюда усложнения делают эту „поляронную" проблему [1, 2]
интересной, однако ее невозможно решить точно.
Примером квазинепрерывной механической модели может служить
квантование уравнений движения жидкости [3]. Усложнения в этой
задаче связаны с нелинейностью уравнений гидродинамики, в резуль-
результате которой существуют только приближенные решения, например,
при низких температурах, где квантовые эффекты определяют явле-
явление, и где квазинепрерывная модель дает довольно разумные ре-
результаты [4]. В ядерной физике поверхностные волны в ядре пред-
представляют собой двумерный пример случая, когда существенны
квантовые эффекты [5]. Проблема многих тел в том виде, как она
формулируется в случае бозе-газа или газа Ферми — Дирака из элек-
электронов или нуклонов, также легче всего описывается методами тео-
теории поля [5], хотя на первый взгляд в ней отсутствуют характерные
черты поля. Более того, в пределе высоких плотностей задачу
об электронном газе с кулоновским взаимодействием оказывается
можно истолковать с помощью описанной нами парной теории и
поэтому возможно ее точное решение [8].
Наиболее удивительные применения наши методы находят, однако,
не при изучении каких-либо материальных веществ, а при рассмо-
рассмотрении нематериальных полей, возбуждения которых представляются
нам в виде элементарных частиц. Здесь можно привести много при-
примеров, в том числе квантовую электродинамику и теорию .слабых
взаимодействий". Эти теории имеют то преимущество, что благодаря
достаточно слабой связи физические и голые частицы оказываются
почти идентичными. CJ другой стороны, их систематическое изло-
изложение требует применения теории представлений группы Лоренца и

188 Глава 15
выходит поэтому за рамки настоящей книги. Вместо этого мы
обратимся к приближенной теории тс-мезон-нуклонного взаимодей-
взаимодействия, которая является одной из самых волнующих современных
теорий, поскольку она проникает до наименьших расстояний, исполь-
использованных в любой из сколько-нибудь успешных физических теорий.
В других случаях, упомянутых выше, явления протекают в области
атомных размеров или порядка комптоновской длины волны элек-
электрона; В настоящее время мы совершенно уверены, что испольвуе-
мые нами принципы справедливы в таких областях. Однако физика
тс-мезонов имеет дело с расстояниями порядка 10~13 см, и интересно
отметить, что, по-видимому, концепции теории поля сохраняют при-
применимость и на столь малых расстояниях. Несмотря на большую
проделанную работу, пока еще имеется мало сведений как о полях
внутри этой области, так и о том, необходимо ли вводить понятие
минимальной длины. Эти проблемы находятся в числе тех наиболее
актуальных проблем, которые стоят перед физиками в наши дни.
Теория ir-мезон-нуклонного взаимодействия усложняется двумя
обстоятельствами: 1) не известна вполне определенно точная форма
взаимодействия и 2) структуру физического нуклона образуют, кроме
тс-мезонов, также и другие частицы. Совершенно ясно, например,
что мезонное облако вокруг нуклона содержит также /(-мезоны и
гипероны, антинуклоны и антигипероны. К счастью, возможно при-
приближенно отделить ir-мезонное облако от облаков, создаваемых
другими частицами, поскольку оно простирается на ббльшие рас-
расстояния. Как мы видели раньше, протяженность облака измеряется
по порядку величины комптоновской длиной волны; иными словами,
она обратно пропорциональна массе частицы поля, /(-мезон прибли-
приблизительно в З'/г раза тяжелее я-мезона, и поскольку по современным
концепциям „стДанность" сохраняется, испускание /(-мезона требует
одновременного превращения нуклона в гиперон, что составляет
приблизительно еще одну мезонную массу. Отсюда можно ожидать,
что облако /(-мезонов и гиперонов не простирается более чем на
две девятых "от длины ir-мезонного; это означает, что объем нуклона
на 99% состоит из ir-мезонного облака. Нуклон-антинуклонные
пары имеют еще более короткий радиус. Однако существенная роль
последних может заключаться в том, что посредством промежуточ-
промежуточной пары ir-мезон может превратиться в три ir-мезона1), что приво-
приводит к конечным размерам самого тс-мезона2).
') Два я-мезона запрещены законами сохранения углового момента н
четности.
2) Предположение такого рода было развито Таммом [9]. Этот эффект
давал бы также вклад в х — «-взаимодействие, на существование которого
указывают некоторые данные экспериментов при высоких энергиях. (См.,
например, [10].) Количественные результаты получены совсем недавно, и мы
не будем останавливаться на них.

Введение 189
Эти замечания показывают, что перспективы теории, рассматри-
рассматривающей только ir-мезоны и нуклон, довольно хороши. Эксперимен-
Экспериментальные данные [4] свидетельствуют о наличии у нуклона „отталки-
„отталкивающего керна", в настоящее время еще не изученного; он прости-
простирается приблизительно до 5 ¦ 10~14 см, вне этой области тс-мезоны
вносят главный вклад в структуру нуклона. Положение здесь не
так ясно, как, скажем, в нерелятивистской теории атома водорода.
Поправки к теории атома существенны в области порядка компто-
новской длины волны электрона, т. е. 1/137 радиуса атома водо-
водорода. Ввиду этого формула Бальмера дает очень хорошее прибли-
приближение; поправки, связанные с тонкой структурой, составляют
менее 0,1%. В нашем же случае, видимо, более вероятна точность
порядка 5%.
Даже если ограничиться тс-мезонами и нуклонами, картина
остается еще очень сложной. Причина этого заключается в том, что
в сильно взаимодействующих системах присутствует много вирту-
виртуальных частиц и осуществляются все виды взаимодействий, разре-
разрешенные соображениями инвариантности. Например, нет никакой
причины, по которой не существовало бы сильного т — тс-взаимо-
действия. Это, конечно, будет проявляться также в тс-мезон-нуклон-
ном взаимодействии, поскольку нуклон окружен плотным тс-мезонным
облаком. К счастью, оказывается, что в физике ir-мезонов низких
энергий все эффекты делятся на большие, средней величины и
малые. Большие эффекты имеют общее происхождение, именно: не-
нестабильное возбужденное состояние нуклона. Последнее можно
описать с помощью члена, учитывающего эти взаимодействия; его
мы и используем в дальнейшем. Эффекты средней величины пред-
представляют собой поправки порядка 15% к большим эффектам и обу-
обусловлены тс — ^-взаимодействиями, нелинейными тг-мезон-нуклонными
взаимодействиями, кинематическими поправками и т. д. Поскольку
они в нашей модели не учитываются, мы не сможем делать пред-
предсказания относительно эффектов, не связанных непосредственно
с возбужденным состоянием. В настоящее время развивается тех-
техника расчета эффектов средней величины. Соответствующие методы
являются обобщением методов, которые мы используем в нашей
модели. Наконец, существуют малые эффекты (порядка нескольких
процентов), которые связаны с взаимодействиями странных частиц,
многомезонными силами и т. д. и которые находятся вне современ-
современных теоретических возможностей.
После этих замечаний перейдем к вопросу о точном виде тс-мезон-
нуклонного взаимодействия. Эмпирически известные процессы
р -«-> р -)- it0, р ¦«->¦ п -j- тс+, п ¦*-»• р -f- п~ показывают, 1) что должна
существовать некоторого вида линейная связь, поскольку, например,
квадратичная связь (которую нельзя исключить) должна была бы
привести к рождению мезонных пар, и 2) что связь включает

190 Глава 15
зарядовые степени свободы нуклона. Мы видели в модели Ли, что*
благодаря второму условию допустимо рассеяние даже при фикси-
фиксированном источнике, т. е. при пренебрежении трансляционными
степенями свободы нуклона. Конечно, закон сохранения импульса
требует, чтобы последние включались в рассмотрение элементарного)
процесса, но теория и эксперимент указывают, что во многих физи-
физических явлениях эффект отдачи меньше эффектов, обусловленных
изменением зарядовых степеней свободы. В этом можно убедиться
следующим образом. Процесс испускания и обратного поглощения
виртуального ir-мезона с импульсом к продолжается в течение вре-
времени Д/— со = (fi.2-j-/fe2)~ , где [»— масса тс-мезона. Скорость
отдачи нуклона массы М равна v = k/M, так что флуктуации в по-
положении нуклона, связанные с этим виртуальным процессом, равны
по порядку величины
Дг ~ v м ~ -^- (ft2-+-v-2)~Vl.
Эта неопределенность меньше комптоновской длины волны нуклона —
\jM да 2 • 10~14 см. Соответственно сечение рассеяния, обусловленное
галилеевой инвариантностью и другими эффектами отдачи [13], по
порядку величины равно A/МJ и исчезает при М—>со. С другой сто-
стороны, характерная длина для процесса поглощения и испускания есть
комптоновская длина волны мезона [фактически (|i2-f-A2) ], которая
в семь раз больше нуклонной длины. Эта длина определяет также вели-
величину сечения рассеяния, обусловленного внутренними степенями сво-
свободы. Таким образом, мы чувствуем себя вполне уверенно, прене-
пренебрегая эффектами отдачи для кинетических энергий мезона ^Зр..
В, пределе М—>со имеются только два значения" углового моментаг
которые может иметь мезон, участвующий в элементарном процессе
N—*-iz-\-N. Так как'Неподвижный нуклон не имеет орбитального
момента, а его спин равен '/г> сохранение полного углового момента
предписывает, чтобы испускаемый ir-мезон имел орбитальный момент О
или 1. Поскольку эти два состояния имеют противоположную чет-
четность, испускание может происходить только в одном из них, если
четность сохраняется; какое именно из двух состояний реализуется
в природе, зависит от внутренней четности1) тс-мезона. Эксперимен-
Экспериментальные данные [14] определенно показывают, что эта четность отри-
отрицательна, так что ir-мезон должен испускаться в состоянии с эрби-
тальным моментом /=1. Эта простая Модель фактически в состоя-
состоянии объяснить почти все существенные эмпирические факты. Испу-
Испускание ir-мезона может сопровождаться поворотом нуклонного спина,
поэтому необходимо принять во внимание два сп.шовых состояния
') Она была определена в гл. 5.

Введение J9I
нуклона. Это достигается простым введением, набора матриц Паули1) а,
которые представляют псевдовектор, характеризующий источник
в 2 X 2 спиновом пространстве. В обычном представлении
'О 1\ /0 — Л /1 0N
1 О/1 °»~\1 0/' ~'~\0 —1
Другое свойство тс-мезон-нуклонного взаимодействия заключается
в том, что инвариантность относительно трехмерной ортогональной
группы, которую мы рассматривали в гл. 7, не нарушается при нали-
наличии источника2). Этот факт вполне установлен эксперимен-
экспериментально [И, 12] как в физике тс-мезонов, так и в ядерной физике;
мы будем использовать его как один из руководящих принципов.
Поскольку зарядовое пространство тс-мезонов должно быть связано
с зарядовым пространством нуклонов в силу сохранения полного
заряда (точно так же, как в модели Ли), необходимо ввести понятие
нуклона с двумя зарядовыми состояниями, представляющими протон
и нейтрон. В этом новом 2X2 пространстве мы вводим новый на-
набор матриц Паули т для описания изоспина нуклона, свойства кото-
которого уже знакомы нам из изучения модели Ли.
Наиболее общий вид линейной связи между мезонами и нуклонами,
обладающей описанными выше свойствами, можно получить простым
образом, исходя из свойств инвариантности лагранжиана. Отрица-
Отрицательная внутренняя четность тс-мезона означает, что ir-мезонное поле
меняет знак при отражении пространственных координат. Поскольку
поле ф входит в лагранжиан L' линейно, оно должно быть связано
с источником таким образом, чтобы образовался истинный скаляр,
т. е. чтобы величина L' была четной относительно отражений. Из
этого следует, что связь должна иметь вид3) a-\f. Если теперь
р(г) — сферический источник", то, чтобы обеспечить сохранение угло-
углового момента, следует записать
Как и требовалось, это выражение инвариантно относительно одно-
одновременного вращения виги коммутирует с <&*_ (см. п. 5.2).
В следующем пункте мы. исходя из этого лагранжиана, построим
собственные функции углового момента для тс-мезон-нуклонной си-
системы и увидим явно, что благодаря наличию оператора V тс-мезоны
испускаются только в состояниях с орбитальным моментом, равным
единице.
') Свойства спиновых матриц такие же, как и в элементарной кванто-
квантовой механике; см., например, у Шиффа [15].
2) Это . утверждение не точно; например, оно выполняется только при
пренебрежении электромагнитными силами.
3) Спин а, как и оператор орбитального момента L, является аксиаль-
аксиальным вектором н не меняет знака при отражении. Он связан со спином
нуклона s соотношением s = '/а*

192 Глава 15
Остается ввести „сохранение изоспина", что означает инвариант-
инвариантность относительно вращений в зарядовом пространстве (см. гл. 7).
ir-мезон имеет три зарядовых состояния, тс+, те0 и к~. Поскольку
величины фл (а=1, 2, 3) преобразуются как компоненты вектора
в изотопическом пространстве и поскольку t — единственный другой
вектор, имеющийся в нашем распоряжении, мы получаем окончательно
для статической связи*):
Исходя из предшествующих рассуждений, следует ожидать, что
источник р(г) будет определять эффекты, не включенные особо в A5.2),
например /С-мезонные эффекты или некоторые последствия отдачи.
Поэтому следует ожидать, что источник будет иметь некоторую
структуру с радиусом порядка, может быть, (V^P- или (Vs)^- Будем
предполагать, что источник нормирован на единицу, I p(r)d3r=l.
Это следует помнить, говоря, что константа связи / измеряет силу
ir-мезои-нуклонного взаимодействия. Константа связи определяется
из экспериментов, которые мы рассмотрим в последующих главах.
Из многочисленных приложений теории взаимодействия тс-мезонов
и нуклонов наиболее успешным было приложение к тс-мезон-нуклон-
ному рассеянию. Мы обсудим также электромагнитные явления, кото-
которые качественно объясняются теорией. Наконец, затем мы п^ррйдем
к старейшему по времени приложению теории—ядерным силам. В зна-.
чительной степени они могут быть объяснены с помощью рассмат-
рассматриваемой теории.
15.2. Перестановочные соотношения и уравнений движения.
Решив вопрос о выборе вида взаимодействия, мы тем самым подго-
подготовились к тому, чтобы выписать основные уравнения нашей теории.
Сделаем это в различных представлениях для переменных поля, кото-
которые были введены в гл. б2):
W) J <2к)'*
ъ 2 u^ [«•*»(A) K" <*¦
') В это уравнение введена масса л-мезоиа (х для того, чтобы кон-
константа / была безразмерной. Чтобы различать ^пространство и изотопи-
изотопическое пространство, мы в дальнейшем будем обозначать индексы, относя-
относящиеся к обычному пространству, латинскими буквами, а относящиеся к изо-
изотопическому, — греческими.
2) Чтобы удовлетворялись канонические перестановочные соотношения,
операторы а определены таким образом, что Ф—•—i{a—а+).

Введение 193
Два способа разложения подчеркивают здесь различные аспекты про-
проблемы; каждое из них будет использовано в свое время в последую-
последующих главах. Для того чтобы разложить
по сферическим гармоникам, целесообразно вместо линейных компо-
компонент спина ввести круговые:
7=
У1\1 О/' \0 — IJ' У2\0 О
и аналогично для изоспина
з
где1)
представляют собой операторы, диагоналнзующие ^ . Чтобы разли-
различать линейные и круговые компоненты, мы будем использовать ниж-
нижние (изменяющиеся от 1 до 3) индексы для первых и верхние (про-
(пробегающие значения —1, О, 1) индексы — для вторых. В таких
обозначениях полный гамильтониан нашей модели можно записать
') Операторы Ф±х обозначались в гл. 7 как Ф^. Там же был определен
оператор tM.
13 Э. Хенли, В. ТиррвиР

194 Глава 15
в виде >)
ОС» 1
1
dk(oai"n
/
«=-1 {, ж, « О
т,« О
Здесь, как и в модели Ли, введена константа §0, так что энергия
физического основного состояния может быть выбрана равной нулю.
Это упрощает формулы, приведенные в следующих главах, и не
отражается на физических выводах. Следует отметить, что И' со-
содержит *Лэлько переменные поля с I = 1. Другие переменные входят
только в Но и потому описывают свободные частицы.
Перестановочные соотношения при равных временах имеют обыч-
обычную форму:
[ф, ф) = [ф, ф=[т, f\ = [i, <?] = [o, <j>] = [a, ^'j = [а, т] = 0 в один
и тот же момент времени, A5.6)
Здесь еврт — полностью антисимметричный тензор, который был введен
ранее.
') Как обычно, мы предполагаем, что гамильтониан Н„ упорядочен, и
ограничиваемся реальными источниками р(г). Операторы аа определены
аналогично Фа.

Введение /Я5
Уравнения движения для мезон-нуклонной системы следуют из
A5.5) и A5.6) в соответствии с общим уравнением 6 = i[H, 6]:
= ? '. (О * СО • VP (r),
(О = - j- Ы-i2 f а*гЬ (r-
(t) фа (г, О oaVmP (r) =
Уравнения A5.7) можно переписать в виде интегрального уравнения
обычным способом:
или
Свойства инвариантности, скрытые в гамильтониане, позволяют
выписать несколько интегралов движения. То, что эти величины по-
постоянны, можно доказать с помощью уравнений движения или про-
проверкой их коммутативности с Н. Однако, учитывая подготовленность
читателя, мы перейдем прямо к существу вопроса и получим эти
величины как операторы преобразований, оставляющих Н инвариант-
инвариантным. Сохранение углового момента связано с инвариантностью Н
относительно одновременного вращения г и а. Оператор преобразо-
преобразования ф(г, ?)-*-ф(г', t), где г' связано с г поворотом вокруг оси,
проходящей через начало координат, имеет тот же вид, что и для
свободных полей. Вращение <з на угол 8 вокруг некоторой оси п
определяется оператором
' -Г' _ / A5.11)
13*

196 Г лава 15
Для инфинитиземального поворота на угол 88 оператор U имеет
вид l+i<jnS8/2, и полный сохраняющийся угловой момент равен
[см. E.3)]
A5.12)
Т — ' 2 / d3*fl- (k) k X V
Точно таким же образом оператор одновременного поворота fa и
ха в пространстве изоспина [ср. G.26)] записывается как
Т. = Y
Из других классических констант движения сохраняется энергия, но
не импульс. Это связано с тем, что в задаче отсутствует выделенное
начало отсчета времени, а начало координат фиксировано на находя-
находящемся в нем нуклоне. Далее, сохраняется четность, поскольку для
нашего гамильтониана не существует различия между левой и правой
координатными системами. Явное выражение [см. E.14в)] имеет вид
^_ = ехр Г-Лс 2 (/-h О «L,««J.
L t.m.k J A5.14)
x 1 ^
Наконец, существует одна константа, соязаиная с особой симме-
симметрией рассматриваемой модели и отсутствующая в более строгих
вариантах теории. Если забыть о мезонах с I ф 1 и рассмотреть со-
сокращенный гамильтониан вида
i (A)
то легко заметить, что он инвариантен относительно замены ¦
и а"т (k) ¦«-> а™а (k). Такая перестановка меняет местами J и Т и
оставляет инвариантными перестановочные соотношения. Следовав
тельно, должен существовать постоянный унитарный оператор, осу-
осуществляющий такое преобразование. Мы предоставляем, читателю
найти явное выражение для этого оператора, так как оно не будет
играть особой роли в дальнейшем изложении. Общее следствие
Этой симметрии заключается в том, что для каждого собстиенного

Введение 197
состояния Н, принадлежащего собственным значениям J' и Т' опера-
операторов J и Г, имеется вырожденное состояние с собственными значе-
значениями Т' и f. Аналогично, тс-мезон-нуклонный фазовый сдвиг в
состоянии r='/s. •/=3/г равен сдвигу при Г = 3/2, У= ]/г-
15.3. Сравнение с другими моделями. Если отбросить требова-
требование линейности связи, то можно указать много выражений, обладаю-
обладающих желаемыми свойствами инвариантности, из которых одно из
простейших дается квадратичной связью вида
и=f
ИЛИ
L' = f" 2 /d«rp(r)^(r)^(rr)i.wv A5Л6>
Для точечного источника A5.15) сводится к парной теории, тогда
как выражение A5.16) имеет более сложную математическую струк-
структуру. Последнее включает зарядовые степени свободы источника и
не поддается точному анализу. Мы всегда будем предполагать, что
такие связи составляют малые поправки к основному члену A5.2).
Члены вида A5.15) и A5.16) действительно возникают при попытке
перейти от релятивистского ir-мезон-нуклонного взаимодействия к не-
нерелятивистскому приближению [16—18]. Эксперименты также показы-
показывают, что, как это следует и из A5.15), ir-мезоны взаимодействуют
с нуклонами в ^-состояниях-, но это взаимодействие заметно слабее,
чем взаимодействие A5.2), хотя априорно не существует убедительных
аргументов, почему это должно бы быть верно.
То обстоятельство, что в нашей модели при U вида A5.2) с ну-
нуклоном взаимодействуют только мезоны с орбитальным моментом
/=1', или находящиеся в Р-соСтоянии, приводит к важным количе-
количественным отличиям по сравнению с предыдущими примерами, вклю-
включавшими S-волны. На классическом языке падающий мезон с импуль-
импульсом к и угловым моментом 1 проходит от нуклона на расстоянии ft.
Для импульсов &-^(* это расстояние, конечно, больше радиуса
источника. Можно было бы наивно ожидать, что нуклон не может
испускать мезоны этой энергии, поскольку они должны возникать
в той части пространства, которая не содержит мезонного источника.
С квантовомеханической точки зрения мезоны не локализованы точно
в источнике, однако предпочтительно испускаются мезоны, которые
как бы выходят из близкой к источнику области. Оказывается, что
вероятность испускания (или поглощения) мезона пропорциональна ft2.
Этого и следовало бы ожидать при внимательном рассмотрении гамиль-
гамильтониана Н', который'содержит p(ft)k, а не просто p(ft). Физически
зависимость ft2 возникает следующим образом, В направлении

50 ЮО 150 гОО 250 300
Кинетическая энергия (в лабораторной системе),
350
аи
|"
I 40
I
<3 20
/
/ . 4
- Ж
? ^^
1
If
f
1
1
r
i i
6
\
50 ЮО 150 200 250 300 350
Кинетическая энергия (в лабораторной системе), Мэв
Фиг.. 15.1. Полные сечения рассеяния для л+-мезонов (а)
и гс--мезонов F) на протонах как функции кинетической
энергии в лабораторной системе.
Экспериментальные кривые и точки взяты из работы Андерсона, Давндона
и Крузе 1191- Данные представляют собой результат работы многих авторов,
ссылки на которые приведены в работе [19|. Пунктирная кривая, сшитая
с данными по низким энергиям, пропорциональна четвертой степени
импульса в системе центра масс к. На фиг. а приведена также кривая
величины вк/А1, которая нам понадобится в следующей главе.

Введение
19.
испускания мезоны с угловым моментом 1 образуются на окружности
1
радиуса к~1 с центром, совпадающим с нуклоном. С квантовомеха-
нической точки зрения эти мезоны приходят с площадки размеров
порядка k . Сила взаимодействия пропорциональна той части пло-
площадки, которая находится внутри источника. Если предположить, что
источник имеет радиус ~М~1, где М — масса нуклона, то эта часть
составляет (kjMJ. Энергетическая зависимость эффективной силы
взаимодействия находит отражение, например, в распределении по
Фиг. 15.2. График зави-
зависимости эффективной силы
я-мезои-нуклониого взаимо-
взаимодействия от квадрата им-
импульса те-мезона k.
Непрерывная линия соответствует
резкому обрезанию, пунктирная —
обрезанию Юкавы.
И! и_, 11>сам виртуальных мезонов в нуклонном облаке, которое про-
пропорционально А2/ш3, а не 1/ш3, как в случае скалярной теории. Ана-
Аналогично тс-мезон-нуклонное сечение рассеяния при малых энергиях
пропорционально ft4, поскольку оно включает и испускание и погло-
поглощение. Это обстоятельство иллюстрируется фиг. 15.1; оно находится
в удивительном контрасте с рассеянием 7— *< для которого сечение
начинается с константы, будучи обусловлено испусканием и погло-
поглощением в 5-состоянии.
Увеличение силы взаимодействия начинается лишь при k J>. ра-
радиус» источника (<—'Ж'1), как это изображено на фиг. 15.2. Поэтому
импульс обрезания Агаах~^Ж для фурье-компоненты источника опре-
определяет максимальную силу источника: она оказывается равной
Если размеры источника уменьшаются, максимальная сила его воз-
возрастает. В безразмерных единицах можно ожидать, что разложе-
разложение по / на самом деле совпадает с разложением по fkmadp- Это
соответствует усреднению силы взаимодействия по энергии и дей-
действительно имеет место. В дальнейшем, когда мы будем говорить
о сильной или слабой связях, мы будем иметь в виду соответственно
случаи fkmajp'^> 1 или <^ 1. Что касается формы р(г), то мы будем
пользоваться функцией,' которая гладко стремится к нулю bi

200 Глава 15
радиуса 1/*шах. Поскольку детальный вид р(л) не имеет, вероятно,
физического значения, наибольший интерес представляют результаты,
не зависящие от него. Как мы увидим, при низких энергиях наблю-
наблюдаемые величины зависят, помимо силы взаимодействия, только от
одного параметра, а именно от его радиуса. На практике удобно
использовать резкое обрезание источника в импульсном пространстве:
1 для k < Ашах,
U ДЛЯ Я ^> "'шах*
где kmax'^ 1/(радиус источника)'—'М. Если отсутствие непрерывности
в этом случае приводит к каким-либо неприятностям, можно исполь-
использовать обрезание Юкавы
. /i_\ шах
или гауссово обрезание

Глава 16
ОСНОВНЫЕ ЧЕРТЫ
СТАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
16.1. Классическое описание 1) стационарного движения. В со-
согласии с нашей обычной процедурой обсудим в первую очередь
уравнения движения в том пределе, когда после получения таких
уравнений2) все величины могут считаться коммутирующими чи-
числами. В этом случае векторы вит считаются единичными и опре-
определяют направления спина и изоспина. Уравнения A5.7) — A5.9)
описывают при этом нелинейную классическую систему, и решение
может быть получено только в пределе, когда все величины осцил-
осциллируют с бесконечно малыми амплитудами около своих положений
равновесия. Упростим теперь поставленную задачу, обратившись
к модели без изоспина. В этой модели классические уравнения можно
разрешить точно и мы сможем глубже понять их структуру. При
этом мы будем пренебрегать т, а не 9 по той причине, что, опустив 9,
мы изменили бы размерность константы связи и, следовательно, за-
зависимость соответствующих величин от предельного импульса.
¦ В этом разделе мы рассмотрим решения с.^ш —О, т. е. взаимо-
взаимодействие нуклона с собственным мезонным полем. С аналогичной за-
задачей мы встречаемся в электромагнитной теории. Однако здесь
мезонное поле связано сан, следовательно, с ротационными, а не
Трансляционными степенями свободы. Таким образом, в то время как
основной эффект воздействия собственного электромагнитного поля
на заряженное тело заключается в добавлении некоторой величины
к его инертной массе, соответствующее мезонное поле рождает
момент инерции нуклона. По аналогии с решением электромагнитных
уравнений для поля, сопровождающего равномерно движущийся заряд,
мы получим решения для мезонного поля, следующего за равномерно
вращающимся вектором 9. Эти две теории различны в квантовой
механике, где импульс не квантуется, а момент количества движения
должен быть величиной, равной полуцелому числу й. В квантовой
механике вращение может происходить только с определенными
') При изложении этого вопроса мы близко следуем Паулн [1].
2) В классическом пределе уравнения движения следуют из скобок Пуас-
Пуассона, которые имеют ту же величину, что и соответствующие коммутаторы.

202 Глава 16
частотами, которые определяются моментом инерции мезонного поля.
Если момент инерции мал, энергия этого движения велика. Когда эта
энергия становится больше массы мезона, нуклон испускает мезон;
иначе говоря, возбужденное \ тационное состояние нуклона становится
нестабильным по отношению к распаду на мезон и нуклон в основ-
основном состоянии. Такое движ гие соответствует затухающему враще-
вращению, которое может, однако, поддерживаться, "как это будет видно
ниже, при ^ia Ф 0. Подобные нестабильные возбужденные уровни
Фиг. 16.1. Иллюстрация
к стационарному оешению
задачи о движем спина а.
нуклона были действительно обнаружены экспериментально, и в на-
настоящее время спектроскопия нуклона представляет собой интерес-
интересную новую область физикя.
В качестве переменных в нашей модели выступают зависящий от
времени единичный вектор <з (t) и классическое мезонное поле <j> (г, t).
Они связаны уравнениями
==1. f **«.** df ' ,y , . ,2e'k-rp(k)q(*/)-'k A6.1)
{A J 2гс BтеK o>2 — (Ко + 'sJ г ч ' ч ' v '
V'p(r') V^(r', t). A6.2)
Последнее уравнение показывает, что мезонное поле действует на
спин закручивающим образом. Направление крутящего момента пер-
перпендикулярно градиенту мезонного поля и спину, так что я2 оказы-
оказывается константой. Если бы градиент был постоянной величиной,

Основные черты статической модели 203
мы получили бы- в качестве ргшения вращение, аналогичное движе-
движению волчка в гравитационном поле. Хотя в нашем случае V^ не
имеет заданного определенного значения, можно ожидать, что анало-
аналогичное движение вполне возможно. В соответствии с этим будем
искать решение, соответствующее равномерному вращению а вокруг
трех осей. В качестве предполагаемой формы решения, содержащей
угол 9 и частоты вращения в виде параметров (фиг. 16.1), возьмем
следующее выражение:
О \ / sin 6 cos (ost
ao = ( 0 V a1==( sine Sin mj ), <72=1. A6.3)
, cos 6 / \ 0
Поскольку аг содержит только частоты ± ats, мезонное поле равно
X у,1(? + ,.). =f [*> • ^,(г) + >, • W.,(r)]. A6.4)
где V определяется формулой (Vq^V^ =сЛ:
В зависимости от значения ш- величина Vа либо убывает экспонен-
циально (при и)^ < [»¦), либо осциллирует на бесконечности (при a>s > fi).
В первом случае излучение отсутствует и мы получаем стационар-
стационарную прецессию с ^>ш — 0, которую мы и изучим в первую очередь 2).
Как и в большинстве задач классической теории поля, тщательный
анализ этого случая требует довольно длинных, хотя и простых
алгебраических вычислений.
') В дальнейшем р (г) считается сферически симметричной и веществен-
вещественной функцией, так что н р (к) имеет такие же свойства. Обозначим кон-
константу связи через g, чтобы различать .нейтральную псевдоскалярную" и
-симметричную псевдоскалярную" теории.
2) Величина /« в этом случае не играет существенной роли и может
быть опущена. •

204 Глава 16
Подставляя A6.4) в A6.2) и используя тот факт, что cro-cr1 = i
и Г d?rf (/•) xtXj = bt] f (firf (r) гЦЪ, получаем 1)
x @ = 2 Jj [90 + яг (О) X / dVVp (г) [<г0 • Wo
+ *i • Wmg (/¦)] = ?0 х e,C (to,). A6.6)
Подстановка A6.3) означает, что a (t) = (ms\ cos 9)з0 X *i- Следова-
Следовательно, она удовлетворяет A6.6) при условии, что
ms = C(ms)cosB. A6.7)
Уравнение A6.7) определяет частоту ws для заданного угла S. Выяс-
Выясним теперь условия, при которых A6.7) имеет решение для ms < f*.
Для этого нужно вычислить функцию C(ws).
Если импульс обрезания &шаж значительно больше j», то можно
показать, что главный член в f(a>s) не зависит от ш. Для этого
используем тождество
Первый член разложения дает наибольшую расходимость при
2 А2
max /« с лч
тогда как второй член расходится только линейно и отражает на-
наличие у источника радиуса а:
f$±<fr = Umtx. A6.10)
*) Объяснение обозначений см. в примечании 1 иа стр.- 43.

Основные черты статической модели 205
Остальные члены сходятся, и мы можем поэтому положить р(&)^1.
Собирая получающиеся выражения, имеем
/ К) = ЛГ - Jl^ + Л** - CO?)'''
Вычисления существенно упрощаются, если предположить, что
линейный размер источника много меньше комптоновской длины
волны тг-мезона, т. е. 1/а ^> \х ¦). В этом случае поле состоит
в основном из компонент с большими импульсами и легко может
следовать за сравнительно медленным движением спина. Учитывая
последовательные эффекты запаздывания с помощью разложения
Дге* (г, О = [8 @ + 8" (О -^L + .. .] igl,
мы получаем для A6.4) следующее приближенное выражение:
и, следовательно, уравнение
i ?*xL. A6.13)
Это уравнение представляет собой предельную форму уравнения A6.6),
откуда следует
ш, = 0 или Mf = J^; A6.14)
Таким образом, для достаточно малых значений [1л всегда суще-
существует решение с u>s <[ ц. Это утверждение перестает быть справед-
справедливым в квантовой теории, где угловой момент должен быть полу-
полуцелым. Из того, что нам известно о движении твердого тела в кван-
квантовой механике, можно ожидать, что для получения квантового
результата достаточно дополнить классические вычисления условием
квантования углового момента. Мы увидим в следующей главе, как
это условие возникает в квантовой теории поля. Чтобы получить
соответствие между квантовым и классическим анализом, следует
вычислить сперва энергию и угловой момент для нашего решения,
') Причина, побуждающая нас исследовать не только этот предельный
случай, заключается в то^, что для понимания задачи о рассеянии требуется
знать полное решение.

206
Глава 16
используя формулы предыдущей главы для Н и J и опуская изо-
спнн. Учитывая A6.4), мы имеем после некоторых вычислений ')
Величина $0 выбирается из условия ее равенства энергии2) в стати-
статическом случае (ms = 0). Оставшуюся часть энергии мы назовем ДЕ,
поскольку она представляет собой разность энергий для решения,
соответствующего вращению, и статического решения. Как можно
видеть, для достаточно больших а разность ДЕ > 0; это означает,
что статическое решение оказывается решением с наинизшей энергией.
Для углового момента A5.12) получаем
J 2 +у? J B-еK o?-»l
v /ао-к . а,-к \_
* \ <о? + о.2•-^» j ~~
0.
о
L 2 J
A6.16)
Как и следовало ожидать, компоненты вектора J, параллельные av
сокращаются в силу условия A6.6). Следовательно, полный угловой
момент оказывается постоянным вектором, направленным вдоль оси z.
') Заметим, что Но дает положительный вклад н полную энергию,
а Н' — отрицательный (и больший) вклад.
2) Энергия ?0, как и следонало ожидать, оказывается не занисящей
от 0. Энергия же основного состояния равна нулю.

Основные черты статической модели
207
Для получения более простых результатов перейдем к пределу
а-1]^>(А, что действительно выполняется в я-мезон-нуклонном
взаимодействии. Тогда
За
и, следовательно,
О
О
¦гг sec
A6.17)
dJ
A6.18)
Разность Д? выражается через J как
что соответствует энергии вращения твердого тела с мо- нтом инер-
инерции ^2/D7Г(А2За). Последний обусловлен мезонным полем, следующим
за спином. Величину его можно без труда получить в виде суммы
по всем возможным значениям импульса от произведения
(Вероятность обнаружения мезона) X (Энергия мезона) X
X (Расстояние, на которое мезон может уйти
от источникаJ —
Выражение A6.18) можно использовать для определения энергии
следующего уровня в квантовой теории!). За основным состоянием
(У=1/2)_ следует состояние с У=3/2 с энергией
Таким образом, условие стабильности этого состояния по отноше-
отношению к мезонному распаду шь < ц имеет место только для достаточно
больших значений g2/4n. Причина этого заключается в том, что
только в случае сильной связи мезонное облако оказывается доста-
достаточно плотным, чтобы обеспечить необходимый момент инерции.
Для слишком малых моментов инерции вращение должно быть чрез-
чрезвычайно быстрым, чтобы угловой момент оказался равным единице.
Мезонное облако при этом не выдержит центробежных сил и рас-
распадется. Положение здесь аналогично положению с нейтрон-протон-
нейтрон-протонным взаимодействием, сила которого достаточна только для обра-
образования одного связанного триплетного 5-состояния (дейтрона).
Состояния с большими угловыми моментами разрываются центро-
центробежными силами. В природе мы, по-видимому, сталкиваемся именно
') При этом величину J2 — '/< следует заменить на J{J-j-l) —

208 Глава 16
с этой ситуацией; связь оказывается недостаточно сильной для обра-
образования возбужденного состояния нуклона. Однако на эксперименте
наблюдается гигантский резонанс в мезонном рассеянии при энергиях
мезонов — 2A.. Это явление следует отнести за счет нестабильного
возбужденного состояния, влияние которого на рассеяние будет рас-
рассмотрено в следующем пункте.
16.2. Классический анализ рассеяния. Для ш6 > р. функция
С((вй), заданная уравнением A6.11), становится комплексной. Соот-
Соответственно и наша подстановка A6.3) оказывается неправомерной.
Комплексная частота означает затухание, обусловленное излучением.
Чтобы поддержать движение, введем поле ^in, связанное с пучком
падающих мезонов; тогда прецессия спина нуклона проявится в виде
резонанса при рассеянии.
В качестве <f>in мы возьмем плоскую волну
е~г(ко'г~1О<10. A6.19)
амплитуда которой есть величина порядка
(Нормировочный объем)"'^<
так что высшими степенями по А можно пренебречь. Удобно раз-
разбить ч следующим образом:
* = »„+*!(О, «,(9 = «(»о)«-'•* +*'K)«+let'- A6.20)
Мы хотим, чтобы решение для <г оставалось статическим до того
момента, когда появляется падающая волна'), поэтому <зх будет вели-
величиной- порядка А, и ее высшими степенями мож-нэ пренебречь. Пред-
Представление сг, соответствующее предположению A6.3), имеет вид " "
*о = ( 0 ). *Ы = у( I I' A6-21)
Уравнение поля, включающее ^1п,
ф (г, 0 = ф1а (г. 0 + f / dV Л'Д«* (г - г', t - О , (О • VP (r')
A6.22)
можно рассматривать совершенно аналогично предыдущему, и мы
сразу же приходим к выражению, соответствующему положительно-
частотной части A6.6):
И» W = 2l f A*o X «ад» (k)-{- С (<о0) <т0 X <s К). A6.23)
') Для осуществления этой ситуации необходимо построить ф1п в виде
волнового пакета.

Основные черты, статической модели 209
Первый член в правой части этого равенства представляет собой
вращающий момент, обусловленный падающим полем. Второй член
связан с реакцией поля источника и представляет собой точно то же
выражение, что и раньше. Из A6.23) следует, что только компо-
компонента к0, перпендикулярная к а0, вносит вклад в движение. Выбрав
это направление за направление оси х, находим, что первое слагае-
слагаемое в A6.23) является вектором, направленным по оси у, а второе—
вектором, лежащим в плоскости ху и перпендикулярным к <т (ш0).
Поэтому можно удовлетворить A6.23), приняв
<т (О = Та0 X k0 — р<т0 X (*о X ко) A6.24)
иди же в упомянутой выше координатной системе:
сг(шо)= |ко](
Подставляя это выражение в A6.23), находим
где С(ш0) определяется как
Движение ч сходно с затухающим движением гармонического
осциллятора под действием внешней периодической силы. Пренебрё-"
гая С, мы получаем линейное движение в направлении у, совпадаю-
совпадающее по фазе с вращающим моментом, обусловленным ^ш. Величина С
характеризует влияние соответствующего поля, вызывающего враще-
вращение в направлении х. В результате получается эллиптическое дви-
движение, причем его проекция на направление у не синфазна с ф1П
из-за наличия мнимой части С (фиг. 16.2). Если С становится
настолько большой величиной, что Re [tog — C2(uH)l = 0, то движение
вдоль оси у расходится по фазе с ^>ш на 90°. Для 1/а ^> и>0 это
происходит при
и при этой энергии амплитуда осцилляции достигает максимального
значения. Резонансная частота в точности равна найденной нами
частоте для прецессируклцего решения с cos 8=1.
Чтобы определить сечение рассеяния, вычислим ^(г, t), опре-
определяемый по уравнению A6.22) в пределе г—>оо. Величина ff0
14 Э. Хенли, В. Тирринг

210
Глава 16
порождает только экспоненциально-убывающее поле, а поле, вызван-
вызванное a (uH), осциллирует на больших расстояниях и представляет собой
обычные расходящиеся радиальные волны (к. с. == комплексно
сопряженное):
с-
<. с,
A6.27)
где ks имеет длину ко и направлен ie г. Дифференциальное сечение
рассеяния определяется теперь стандартным способом путем сравнения
падающего и рассеянного потоков:
2<о„
X
X .
К • °о X [»0 X
A6.28)
В противоположность примерам, рассмотренным во второй части
книги, это сечение не изотропно. Оно зависит от относительной
Фиг. 16.2. Иллюстрация к решению
задачи о движении спина в под дей-
действием падающей мезонной волны
"с импульсом к0.
Фазовый сдвиг между прецессирующим спи-
спином ffj и ко обозначен через i.
ориентации трех векторов, k0, ks, в0 и содержит много интересной
информации. Мезоны испускаются преимущественно в направлении
движения спина. Движение, обусловленное падающим мезоном, дает
угловое распределение с пиком в направлении, перпендикулярном
к <70 и kg, в то время как другой член амплитуды, связанный
с реакцией поля, дает излучение преимущественно в направлении
падения. Все это очень ценно для экспериментальной проверки теории,
однако наша классическая схема может неверно воспроизводить эти
тонкие детали. Причина заключается в том, что спин х/2 отличается
от классического углового момента; в частности, его нулевые осцил-
осцилляции равны по порядку его собственной величине (классически

Основные черты статической модели 211
ij2=ii квантовомеханически ог2 = 3). В соответствии с этим мы
не будем опираться на эти предсказания теории и усредним сечение
по направлениям спина:
dQ ~ 4* J
С(<¦>.)
7сов«»+
1]
.Г
5
A6.29;
где k — длина векторов к, и ks, а & — угол между ними.
Если оH и резонансная энергия много меньше а>тах, то
С(а)о) = _± —/_, A6.30)
причем резонансная энергия
а ширина
4fH- A6-32)
Около резонанса сечение рассеяния принимает знакомую форму:
da _8_
dQ — 15
Полученное угловое распределение только- качественно имеет
правильный характер (точный квантовомеханический результат равен
¦ 3 cos2 б). При энергии, равной a>r, полное сечение достигает
максимального значения a=16ir/&r, которое в два раза больше
квантовомеханического значения для резонанса с J=3/2 (см. фиг. 15.1).
Аналогичным образом вычисления такого же рода [2] не дали бы
правильного распределения заряда, если бы мы учли изоспин. Экспе-
Экспериментальные данные согласуются с квантовомеханическими предска-
предсказаниями для резонанса в состоянии J — 3j2 с точностью 5—10%.
Классические вычисления непригодны, таким образом, для сопоста-
сопоставления с результатами измерений. Тем не менее основной факт
низкоэнергетической физики гс-мезонов, а именно существование
резонансного состояния с высшим угловым моментом правильно
предсказывается классической моделью. Так основные черты чс-мезон-
нуклонного взаимодействия можно понять в рамках интуитивной
картины нуклона, окруженного мезонным полем1).
') В нашем классическом случае нуклон имеет J — '/и-
14*

212 Глава 16
16.3. Квантовые аспекты статической модели. Обсудив урав-
уравнения движения в классическом пределе, мы обратимся теперь
к эффектам, связанным с квантовой природой поля, спина и изоспина.
В то время как спин и изоспин, несомненно, принадлежат к области
малых значений квантовых чисел, из двух дополнительных аспектов
описания поля ни один не проявляется в чистом виде в тс-мезон-
нуклонной системе, но оба аспекта необходимы для ее понимания.
В первую очередь мы изучим характерные черты элементарных
процессов, описываемых Нг. Чтобы получить некоторое представление
о свойствах изоспина, используем круговые компоненты [см. A5.4)].
Применение ф\" к голому нуклонному состоянию порождает1)
мезоны п°(ф°), к* (ф1) и к (ф ') и в двух последних• случаях меняет
протон на нейтрон (т~) и, наоборот, (т+) таким образом, что заряд
сохраняется. Мы имеем 2):
r=J_, Тг== п
S*л1 ¦>—D)*i*o+(i)»i-><16'34)
Поскольку величина 2^Л инвариантна относительно вращений
а
в изоспиновом пространстве (т. е. представляет собой скаляр в этом
пространстве), состояния A6.34) должны иметь, как и нуклоны, изо-
изоспин, равный '/2. Фактически коэффициенты при выражениях в пра-
правой части равенства A6.34) являются хорошо известными коэффи-
коэффициентами Клебша—Гордона для сложения изоспина я-мезона (=1)
со спином голого нуклона (='/г) при полном изоспине, равном '/г.
Остальные собственные состояния нуклонного заряда я-мезон-нуклон-
ной системы должны иметь Т = 3/2, Тг= + i/г и быть ортогональны
') Напоминаем читателю, что Ф° === Ф-, ф' = Ф , *¦'=*_.
2) Множитель С/з) играет роль нормировочной постоянной. Относи-
Относительный сдвиг фаз выбран в согласии с К он доном и Шортли [3].

Основные черты статической модели 213
к состояниям с Т = Vz; эти состояния имеют вид1)
3 ~
T
A6.35)
1^
Оставшиеся два состояния с Т = 3/2 есть
з з\ A6-36)
= -g-, Гг == — -jj =! дя ).
Все состояния A6.34) — A6.36) — это собственные состояния Т2 и Тг.
Мы замечаем, что состояния с Г= 1/з. Тх = ± !/г содержат вдвое
больше заряженных, чем нейтральных мезонов, тогда как в состоя-
состояниях с Т = 31%, 7>г=±1/а это отношение имеет обратное значение.
Если усреднить по всем состояниям с T=lJ2 или Т" = 3/2, то легко
видеть, что и0, %+ и «""-мезоны всегда присутствуют в равных
количествах. В этом находит свое выражение изотропия в изотопи-
изотопическом пространстве, обусловленная видом гамильтониана A5.5),
а именно выбором одинаковой константы связи |/| для- всех ком-
компонент <j>a. Из A6.34) следует, что эффективная сила взаимодействия
для испускания заряженного мезона в B)Vl раз больше, чем для ней-
нейтрального. Далее, константа связи для испускания нейтрального я°-
мезона имеет для протонов и нейтронов противоположные знаки. По-
Последнее свойство имеет нетривиальное теоретико-групповое проис-
происхождение и может быть проверено чкспериментально, например, при
изучении упругого фоторождения тс°-мезона на дейтерии (т. -е. когда
конечное состояние ядра имеет ту же энергию, что и начальное).
Волны, соответствующие рождению тс°-мезона на протоне или ней-
нейтроне будут интерферировать, уменьшая или увеличивая вероятности
этих событий в зависимости от относительного знака констант связи.
Как упоминалось в предыдущей главе, зависимость -Н' от импульса
Н' ~6 характерна для взаимодействия в Р-состоянии и будет играть
существенную роль в последующих главах. Аналогично изоспину
при применении Г </3гр (г) <х ¦ V<f> к нуклону возникают только со-
состояния с тем же (что у нуклона) полным моментом, равным 1/г.
Как и ранее, число возможных состояний я-мезон-нуклонной системы
равно шести, что соответствует У=г3/2 и У=1/2. Их можно записать
совершенно аналогично A6.34) и A6.35), если характеризовать
') Мы снова выбираем. фазы в согласии со стандартными коэффициен-
коэффициентами Клебша — Гордона (см. книгу Кондона и Шортли [3]).

214 Глава 16
состояния компонентой орбитального момента я-мезона 1г, равной 1,
О, —1, и компонентой спина нуклона f (вверх) и ^ (вниз)
— 3 / — 3\ — 1+ П
=Y' 4 = -|)=U -1).
Хотя мы находимся в области малых квантовых чисел, класси-
классические свойства сложения угловых моментов уже проявляются
в A6.37). Так, например, в состоянии j/=3/2, /^=1/2) конфигура-
конфигурация | f 0) входит с удвоенным весом по сравнению с конфигурацией
|| 1). С другой стороны, в состоянии |У= l/2, Jz= V2) имеет место
обратная ситуация. В силу сохранения углового момента при испуска-
испускании тс-мезона нуклоном возможны только состояния с J= lJ2\ при
этом A6.37) показывает, что в таком процессе спин нуклона пере-
переворачивается два раза из трех. Этот факт представляет собой кван-
тово-механическое выражение классической прецессии спина, уже
изученной нами.
Аналогом утверждения об отношении чисел заряженных к ней-
нейтральных мезонов служит'утверждение" о сферической"форме"мезон-'
ного облака. Мы видим, что в состояниях с У='/з мезонов с /г =
= ±1 в два раза больше, чем с /г = 0. Поскольку первые мезоны
имеют угловое распределение, пропорциональное */а - sin2 9, а рас-
распределение мезонов с /г = 0 пропорционально cos20, то распределе-
распределение оказывается изотропным в согласии с общей теоремой об от-
отсутствии -у частиц со спином 1/2 квадрупольного момента'). С другой
стороны, состояния с У=3/2. Jz— iJ/2 дают угловое распределение
мезонов —^l-(-3cos29, как это упоминалось в предыдущем пункте.
В заключение этой главы сделаем несколько замечаний относи-
относительно спектра собственных значений Н. Если Н' = 0, спектр имеет
простой вид (см., например, фиг. 12.3). Для Т = У=!/2 мы имеем
нуклон — четырехкратно вырожденное состояние с Е = 0. При
? = [а начинаются одномезонные состояния непрерывного спектра,
') Хотя в данном случае мы вывели это заключение для одного мезона
в нуклонном облаке, оно может быть обобщено на любую систему с J = '/г-

Основные черты статической модели 215
которые могут иметь Т = %, J=1/2; Т=1/2, У=3/2, T=^,J =%.
В общем случае мезоны, связанные с нуклоном в систему с Т или
/=B/i-f-1)/2, появляются при (или выше) энергии ?=«[».
При включении Н' все уровни понижаются '), но предполагается, что
для достаточно малых Н' структура энергетического спектра оста-
остается неизменной. Это означает, что по-прежнему остается четырех-
четырехкратно вырожденное основное состояние |N), которое мы назовем
физическим нуклоном. Над энергетической щелью, равной [*, распо-
расположены теперь состояния непрерывного спектра „физический нук-
нуклон-{-один мезон". Они могут быть получены применением
ф1а (к —> 0, t) к | N). Поскольку оператор ф1п зависит от времени
как eiv4, состояние, получающееся в результате этой операции, дей-
действительно есть собственное состояние Н с энергией [*. Состояния
с несколькими мезонами можно получить, применяя произведение
операторов рождения к основному состоянию.
Можно ожидать, что для достаточно сильных взаимодействий
структура энергетического спектра меняется. Для /, превышающих
некоторое критическое значение, можно найти дискретные состояния
мезон-нуклонной системы, представляющие стабильные возбужденные
уровни физического нуклона. Как мы видели ранее, классическая
картина этих состояний соответствует прецессии нуклонного спина
(или изоспина) и связанного с ним мезонного поля с частотами < [а.
В классическом приближении это происходит при достаточно боль-
больших константах связи (/ > \ьа). В квантовой теории не найдена (за
исключением некоторых приближений) минимальная константа связи,
необходимая для образования связанных состояний. Не удалось даже
доказать, _что. эти дискретные состояния будут всегда иметь энер-
энергию Е > 0, так что основное состояние системы соответствует 7*=.
= У=1/г. Здесь следует опираться на полуэмпирический факт, со-
состоящий в том, что нуклон, который мы наблюдаем в природе, имеет
J=T ='/з и что не существует стабильных изобаров, поскольку
первое возбужденное состояние с У=Г=3/2 лежит уже в области
непрерывного спектра. Опыт приближенного рассмотрения показы-
показывает, что такого поведения и следует ожидать в модели с эмпири-
эмпирической константой связи и обрезанием. В соответствии с этим мы
будем основываться в наших последующих рассуждениях на предпо-
предположении, что энергетический спектр имеет нормальный вид.
') Таково предсказание теории возмущений, поскольку
Eo-En '
а
где ?0 и Е„ — энергии основного и ге-ro состояний соответственно. Мы уви-
увидим, что для основного состояния это утверждение выполняется точно.

Глава 17
ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ
17.1. Точные результаты. В течение длительного времени одной
из основных задач мезонной теории был анализ физического нуклона
в терминах голого нуклона и окружающего его мезонного облака. "Ана-
"Анализ этой задачи завел в тупик, из которого до сих пор не найден
выход; до настоящего времени количественное описание проблемы
отсутствует. С другой стороны, даже если задача была бы решена, ре-
результат имел бы довольно ограниченную ценность. Причина заклю-
заключается в том, что для описания свойств основного состояния оказался
несущественным большой эффект физики тс-мезонов, связанный с резо-
резонансным состоянием нуклона. Для основного состояния одинаково
важны и явление резонанса, и эффекты средней величины как учиты-
учитываемые рассматриваемой моделью, так и лежащие вне ее. Как мы уви-
увидим далее, измеримые величины, относящиеся к основному состоянию,
наша модель предсказывает с точностью только около 50%. По
плодотворности и сложности эту задачу можно сравнить с вычисле-
вычислением основного состояния'лёгких ' ядер" при неточном "анании ядер-
ядерных сил.
Существенным шагом вперед статической мезонной теории был
отказ от рассмотрения свойств физического нуклона. С практиче-
практической точки зрения модель оказалась наиболее подходящей для опи-
описания таких процессов, как тс-мезон-нуклонное рассеяние. Здесь надо
знать лишь определенные матричные элементы в основном состоянии,
а многие величины типа собственной энергии Шо остаются ненаблю-
ненаблюдаемыми. Тем не менее для лучшего понимания проблемы мы дадим
в настоящей главе обзор наиболее существенных известных черт
основного состояния и тех уроков, которые были вынесены в прош-
прошлом из изучения различных приближенных схем. Соответствующие
методы представляют собой содержание последующих пунктов.
В первую очередь изучим структуру важнейших матричных эле-
элементов. Мы уже упоминали, что основное состояние
\N)=\N, in) = |N, out)
четырехкратно вырождено. Эти вырожденные состояния имеют спин
и изоспин, рявные Х1г, и могут быть записаны как \^) ||)

Основное состояние 217
\п\ ), |л|). Матричные элементы между этими состояниями можно
значительно упростить, если использовать трансформационные свой-
свойства, связанные с инвариантностью относительно различных групп.
Тот факт, что рассматриваемые состояния преобразуются как голые
нуклоны при вращениях в обычном и изотопическом пространстве,
можно выразить равенствами х)
<«. У|.'т-']а'. /'> = («. J\ip»-*\ar. Г) A7Л)
для произвольных векторов п и п'. (При классификации состояний
нуклона мы используем индекс а = 1, 2 для изоспина и j = 1, 2
для углового момента.) Далее, поскольку » и t имеют те же транс-
трансформационные свойства относительно вращений, что и J и Т и по-
поскольку нуклонные состояния являются собственными состояниями
этих операторов, мы имеем
=—<»hsl*>.
A72)
При помощи вращений эти соотношения можно обобщить следующим
образом:
(a, y|tp|«', /) = 1г(«, У|^|а'. Г)Ь}у, A7.3)
где rj — число, не зависящее от f$, а и а'. Аналогично
(а, У|о,|а'. /)=-<(«. yiaja'. /)»„.. . A7.4)
где. число t'x должно быть тем же, что и г .вследствие инвариантно-
инвариантности теории к замене J на Т. Одновременное вращение в спиновом
и изоспиновом пространствах дает
<6'1°л|5> = 1а<?'|°л|5). A7.5)
куда входит новая константа t2. Чтобы избежать большого числа
индексов, мы ввели единый индекс ?=1 4 для обозначения
нуклонных состояний.
Таким образом, мы видим, что матричные элементы операторов
J, T, и, т и их произведений между физическими нуклонными со-
состояниями содержат всего" два произвольных параметра хх и х^.
На самом деле они еще не вполне произвольны, а должны удовле-
удовлетворять некоторым неравенствам. Чтобы получить эти неравенства,
') Операторы в, * зависят от времени, но здесь они взяты при t = 0,
как это всегда и подразумевается, если временная зависимость не указана,
Поэтому матричные элементы « и х между голыми состояниями |) представ»
ляют собой обычные матрицы Паули.

218 Глава 17
выразим состояния физического нуклона через голые состояния
|5> = Л(а+, ег. т)|5), A7.6
где „облачающий оператор" R представляет собой инвариантную
комбинацию из и, t и мезонных операторов рождения типа, напри-
например, A6.34). Поскольку физический и голый нуклоны имеют спин
и изоспин, равные */2, угловой момент и изоспин мезонного облака
могут быть равны лишь 0 и 1. Если.приписывать различным частям/?
индексы /, l2, t и tz для обозначения квантовых чисел соответствую-
соответствующих частей мезонного облака, то R будет линейной комбинацией
операторов /?оооо. Ru <»• Raou и Rn u ¦ Таким образом, мы можем
записать, например, основное состояние в виде
+ Я ion | я t) + Лию IР |)Ч- Яшо | Р f).
где все R' содержат только операторы рождения мезонов. Мы обе-
обеспечили пока лишь выполнение необходимого условия, состоящего
в том, что состояние |pf) должно быть собственным состоянием
Тг и J2. Однако в гл. 16 мы научились строить собственные со-
состояния Г и У. Следуя приведенной там схеме, введем операторы
/?оооо. Ru оо. Rooit . Ru и таким образом, что при различных значе-
значениях 1г (или t2) они будут связаны соответствующим вращением.
Оператор R отличается от R' выделением некоторых коэффициентов
Клебша — Гордона, и в терминах R мы получаем
|)Vl [2'41Oo IP1) - Яюоо IP f)] +
A7.7)
Поскольку состояние голого вакуума инвариантно относительно вра-
вращений, матричные элементы
- Cu = ^\Rtl2tBRu2llJl) A7.8)
не зависят от 1г и tz *). Нормировка физического нуклонного состоя-
состояния требует выполнения равенства
=1. A7.9)
¦) Этот общий результат называют обычно теоремой Вигнера—Эккарта.
См., например, Розе [1].

Основное состояние 219
Далее, из симметрии теории относительно замены обычного про-
пространства на изоспиновое следует, что
Clt = Cw A7.10)
так что мы имеем следующие неравенства:
0<Соо<1.
0<С10 = С01<|. A7.11)
0<С„<1.
Постоянные гг нетрудно выразить через матрицы Си. Следует только
вспомнить, что голые нуклонные состояния являются собственными
состояниями операторов t и в, например,
и что операторы Ru « коммутируют с я и т. Поскольку Си не
зависят от 1г и tz, мы можем вычислить любой матричный эле-
элемент. Так
с ijLc -С
3„ 10 3, " A7.12)
Читатель может проверить, что вычисление, например, (рЦз*1] Р f)
приводит к аналогичному результату для г^ Вследствие A7.9) и
A7.10) только два из элементов С независимы и, следовательно,
могут быть выражены через г. Подставляя A7.9) и A7.10) в A7.11)
и A7.12), мы выводим ряд неравенств-типа, например,
<1 <Г<1
A7.13)
— 3-<3r2 + 2ti<5, l+2t, —3tj>0.
Мы не можем получить какие-либо другие точные утверждения.
Однако можно привести довольно убедительные аргументы в пользу
того, что величина С10 должна быть небольшой. Поскольку одиноч-
одиночный мезон имеет l = t=l, состояния, дающие вклад в С10, должны
содержать по меньшей мере два мезона, угловые моменты которых
прибавляются к результирующему значению, равному 1, тогда как
изоспины компенсируются (или наоборот). Поэтому угловой момент
мезонной волновой функции должен быть нечетным'), в то время
') Состояние двух частиц с полным угловым моментом, равным 1, воз-
возникающее при сложении двух моментов, равных 1, иечетио по отношению
к перестановке двух частиц (например, k = k,Xk2). При полном моменте,
равном нулю, получается четное состояние (например, k=ki-k3).

220 Глава 17
как изоспиновая функция четна по отношению к перестановке мезо-
мезонов (или наоборот), и, согласно требованию статистики Бозе — Эйн-
Эйнштейна (которой подчиняются мезоны), радиальная часть волновой
функции должна быть нечетной. Антисимметрия радиальной функции
при учете ее быстрого экспоненциального спадания (например,
ехр(—(kv гг-\-k2, г2)] ехр[—{k2r1 -f- кгг^)\) приводит к тому, что
среднее вакуумное значение, определяющее величину CQl, должно
быть мало. Это утверждение еще усиливается при точном рассмо-
рассмотрении в рамках модели Ли таких состояний, для которых разрешен
обмен более чем одним мезоном [2]. В этой модели С01 <0,01.
В предположении, что Со, пренебрежимо мала, обе величины гх и г2
полностью определяются единственным параметром СХ1 (поскольку
Сэд =1 — ?ц). и мы получаем
8 j A7.14).
r2=l -%Cn = ±(l+2vl).
Важное значение величин tl и ц заключается в том, что они яв-
являются основными величинами, характеризующими состояния физи-
физического нуклона, которые нужны нам для сопоставления теории и
эксперимента. Однако было сделано много попыток получить при-
приближенные выражения для операторов R, также как для их средних
значений. Подобные вычисления иллюстрируют наши общие идеи и
позволяют вычислить tj, Г2 и другие матрицы в некоторых крайних,
но в основном нереальных случаях'). Ниже мы обрисуем основные
черты .различных часто используемых приближений в их применении
к основному состоянию.
17.2. Теория возмущений C]. В теории возмущений константа
связи / и, следовательно, Н' рассматриваются как малое возмуще-
возмущение свободного мезонного поля. При разложении по степеням Н'
(или /) изменение волновой функции основного состояния в первом
порядке связано с возможным присутствием только одного мезона,
который может быть испущен при действии Н'. Например, поскольку
f v г dh «-kvlaopc*), Ач ,.- 1КЧ
72j .„ >/г bt)- A7-15)
В рассматриваемом приближении волновая функция виртуальных ме-
мезонов сходна с функцией для нейтральной модели со статическим
') Читатель, интересующийся только практическими результатами, может
пропустить остальные разделы вастоящей главы.

Основное состояние 221
источником, за исключением множителя k и спиновой и изоспиновой
зависимости, рассмотренной в предыдущих главах. Ясно, что вол-
волновая функция не нормирована (но может быть нормирована) с точ-
точностью до р. Выбор энергии основного состояния за нуль приводит
к тому, что величина $0 оказывается порядка f2 [если только, как
в рассматриваемой теории, матричные элементы (S'| H' |?) равны
нулю]:
A7.16)
2 ^ О Ш2 Р W-
Эта энергия расходится для точечного, источника как кубическая
функция и поэтому она чрезвычайно чувствительна к форме источ-
источника или импульсу обрезания. Мы можем записать также A7.15)
и форме A7.7). При этом вклад вносят только члены, соответствую-
соответствующие Сад и Си, поскольку в нашем приближении в облаке присут-
присутствует не более одного мезона. Далее R^n = 1 и
так что
Поскольку состояние \ pf) не нормировано, равенства A7.9) и A7.13)
неприменимы; из A7.12) мы, однако, получаем, что
Если р (^тахЛ*J > 1 • неравенства A7.13) невозможно удовлетворить
даже приближенно. Это обусловлено тем фактом, что волновая функ-
функция не нормирована с точностью до f2. Очевидно, что подход тео-
теории возмущений справедлив только при -С.п <С 1, и все разложение
по степеням / (точнее по степеням fkmsxj\>.) становится практически
непригодным, если это неравенство не выполняется. Например, Для'
kfiax^M ЭТО ограничивает / величиной <$0,1 и /2/4t ^ 10~3, в то

222 Глава 17
время как из дальнейшего будет видно, что экспериментально
ИГ1..
17.3. Приближение Тамма—Данкова [4—6). В методе Тамма —
Данкова делается попытка исправить некоторые недостатки теории воз-
возмущений. Этот метод сходен с теорией возмущений, так как в нем
предполагается, что число мезонов в облаке ограничено (обычно рас-
рассматривается один мезон), но он отличается от теории возмущений
тем, что уравнение Шредингера в соответствующем подпространстве
решается точно. Метод Тамма — Данкова согласуется с точным реше-
решением по модели Ли для состояний с Q=42. Из A7.7) видно, что
наиболее общая форма основного состояния в рассматриваемом одно-
мезонном приближении имеет вид
1 A7.20)
где qAP — нормировочная константа:
2 3. A7.21)
а /(к)— волновая функция мезона в импульсном пространстве. Если
подставить A7.20) в уравнение Шредингера ')
0, A7.22)
то применение Н' к члену, пропорциональному а+(к)\р), образует
состояния с двумя мезонами или без мезонов. Следуя уже устано-
установленному приближению, мы пренебрегаем двухмезонной амплитудой и
получаем
f с ,/Vf <<** a-ka+(k)p(*)
"" "^ -^ ~^—^—
М B^K Bи)/2 J11' v ;
Отсюда заключаем, что
/iЛЩ A7.24)
') Это можно также рассматривать как вариационную процедуру с проб-
пробным состоянием A7.20). Этот метод будет развит в следующем пункте.

Основное состояние 223
В пределе, например, когда Q = d5k/BnK, уравнение A7.25) пред-
представляет собой интегральное уравнение для величины So. Как можно
было предвидеть, волновая функция /(к) аналогична волновой функ-
функции в модели Ли. В пределе слабой связи
и выражения для /(к) и $0 переходят в соответствующие выражения
теории возмущений. С другой стороны, в более реальном предельном
случае
3 Pr-\k*\
мы получаем (выбирая тот же знак, что и в теории возмущений):
В то время как для малых Р величины Сп, С01 и Сю соответствуют
теории возмущений, в рассматриваемом-противоположном предельном
случае
и, следовательно,
,=4. h-i. (I7-27'
что, как это будет видно позднее, находится в .прекрасном согласии
с экспериментальными значениями.
Поскольку волновая функция физического нуклона нормирована,
неравенства A7.13) в нашем предельном случае выполняются. При
этом неясно, однако, похоже ли полученное решение на точное. Дело
в том, что не существует априорной причины, по которой двухмезон-
ная амплитуда и амплитуды с большим числом мезонов были бы малы
при больших /&max/i*.
17.4. Приближение промежуточной связи Томонагн [7—11].
В методе Томонаги для промежуточной силы связи число мезонов
в облаке не ограничивается. Вместо этого в нем используется статистика
Бозе—Эйнштейна для тс-мезонов и вытекающая из нее тенденция к слипа-
слипанию; кроме того, считается, что все мезоны имеют одинаковые ради-
радиальные волновые функции. С этой точки зрения удобно перейти
к представлению углового момента по уравнению E.10а) '). Тогда,
') Это можно было также сделать в двух последних пунктах.

224 Г лава 17
если разложить мезонное поле по полному набору ортогональных
радиальных функций Fs(k)
s, I, m
A7.28)
2 Fs(k') Fs (А) = 8 (А' — A). J dkF*s (A) Fa. (A) = 8„.,
s ' 0
то рассматриваемое приближение состоит в том, что из всех видов
пробных функций (подлежащих определению с помощью вариацион-
вариационного принципа) оставляется только один, скажем с s = 0. Новые
операторы подчиняются обычным перестановочным соотношениям для
всех значений s:
Кг й1]=»-.!Л-»«- <17-29>
Поэтому гамильтониан можно переписать в виде
«,5,/,Я1,4' A7.30)
a, s, I, m
U Ljk№gbM. A7.31)
В приближении Томонаги сохраняется только член с я=01) благо-
благодаря предположению, что для пробного состояния [ Nt) при s Ф 0
будет as | N}) = 0. Оптимальную форму FQ(k) з& F(Д>) находят посред-
посредством минимизации
ео = <лд//о4-Я'|ЛГ() A7.32)
по отношению к виду F (k) и зависимости | iV^ от операторов рожде-
рождения и уничтожения мезонов а и а*.. При выполнении этой про-
процедуры мы учтем ограничение
1) Поскольку в дальнейшем мы имеем дело только с 1 = 1 и s
индексы I и s у aastm будут опускаться.

Основное состояние
225
Для этого введем неопределенный множитель Лагранжа к'. Такиу
образом, получаем
«/
и для F (k) находим
F[ks—
+A)
A7.33)
где <Jf — нормировочная постоянная, не зависящая от k, а X — не-
неопределенный множитель, связанный с X' соотношением
Минимизируя &0 с этой формой F (k), мы получаем наинизшее соб
ственное значение в виде функции от X. Тогда этот параметр можно
определить путем дальнейших вариационных вычислений, которые
будут проделаны в следующем пункте. Полученный вид F (k) сов*
падает с A7.24) в приближении Тамма — Данкова; при этом, однако,
следует помнить, что число мезонов теперь не ограничено.
Остается определить собственную функцию основного состояния
|ууЛ и энергию &0. которые зависят от 1^ и / и, следовательно,
от л. Упрощенный гамильтониан A7.30), в котором оставлены только
члены с s —0, соответствует девяти осцилляторам (<х=1. 2, 3;
7=1, 2, 3), связанным со спином и изоспином; его диагонализация
представляет собой задачу элементарной квантовой механики. Ее,
однако, невозможно решить в замкнутом виде. Мы столкнулись бы
с этим обстоятельством, даже если бы учитывали усложнения, свя-
связанные только со спином (нейтральная псевдоскалярная теория) или
с изоспинои (симметричная скалярная теория). Чтобы получить неко-
некоторое представление о' проблеме, рассмотрим первый из этих
15 Э. Хенлн, В. Гпррннг

226 Глава .17
случаев ') подробнее. Здесь упрощенный гамильтониан имеет вид2)
;«+«})_ в A7.34)
Возвращаясь к канонически сопряженным операторам р и q с по-
помощью равенств
?)
можно переписать // в виде
A7.36)
где
з
Ч2 — 2 Я2, и
Формула A7.36) подчеркивает формальную аналогию с элементарной
квантовой механикой и соответствует трехмерному осциллятору, свя-
связанному со спином взаимодействием а ¦ q. При этом взаимодействии
не сохраняется четность, так как при отражении системы координат
<з —> в, a q —> — q. Продолжая эту аналогию, мы приходим к вы-
выводу, что основное состояние должно быть смесью состояний с опре-
определенными угловыми моментами S^ и Р>/а3). Это единственные два
состояния, разрешенные при условии, что и спин голого, и спин
физического нуклона равны '/г- Они соответствуют угловому моменту
мезонного облака / = О и / = 1 и имеют вид4) h0 (q) | /V) и
в • qAj (q) | /V). В дальнейшем мы будем, однако, выполнять разло-
разложение не.по этим состояниям, а по состояниям, для которых вектор 9
параллелен или антипараллелен вектору q, поскольку это условие
определяет знак Н'. Вводя операторы проектирования на собствен-
собственные состояния в ¦ ц:
A7.37)
я •
') Чтобы отличать этот случай, заменим / на g, как это было сделано
в гл. 16. _
2) Предполагается, что X вещественна, поэтому g = g*. и F (ft), опре-
определенная уравнением A7.33), тоже вещественна.
3) Теорема о чередовании уровней в центрально симметричном потен-
потенциале применима в данном случае н показывает, что основное состояние
есть действительно состояние с ]— Чг- См. книгу [121.
*) \\

Основное состояние 227
запишем основное состояние в виде
*±S«L+$_*=M]\N). A7.38)
где h± удовлетворяют уравнениям
2«J"rf?[|A+(?)|«4-|A_(g)|a]=l, h+ @) = h_ @) = 0. A7.39)
о
Поскольку оператор *?± инвариантен относительно вращений, со-
состояние A7.38) есть собственное состояние J с собственным значе-
значением 1/2, или J2 с собственным значением ±7г' в зависимости
от того, куда направлен спин \N)— вверх или вниз. Раскрывая
условие H\N)=0 с помощью равенств
<т • А<т • В = А ¦ В +19 ¦ А X В,
находим
—±
A7.40)
Выписанные уравнения второго порядка невозможно решить анали-
аналитически, но предельные случаи их нетрудно исследовать.
При малых значениях g' мы возвращаемся к результату теории
возмущений (так как доминирует Ло), но для больших значений
g' > 0 основным членом становится величина й_: Это можно видеть,
если принять зо внимание, что уравнение A7.40) соответствует,
гармоническому осциллятору, смещенному на величину ± g'/W2
от центра (фиг. 17.1). Поскольку мы рассматриваем только случай
q > 0, то h_ будет гауссовой функцией с вершиной в g'/W* с той
же шириной, что и функция основного состояния, а Л+ должна
держаться как возможно малой. В самом деле, для больших сме-
смещений член ft_/q2 становится пренебрежимо малым и решение в виде
чистого h_ оказывается хорошим приближением. Далее, для смещений,
значительно превосходящих величины нулевых флуктуации —W~'!*,
необходимо лишь малое изменение А_, чтобы удовлетворить гранич-
граничному условию при q = 0. Следовательно, в этом пределе основное
состояние приближенно имеет вид
при
15*

228
Глава 17
Другое решение A7.40), которое в основном состоит из h+, имеет
более высокую энергию. Для малых значений g' эти два решения
переходят в состояния Si/, и Рцг соответственно. Аналогично энергия
Фиг. 17.1. График потенциала V = -^ W2 (q ± J^ j —
Кривая продолжена в нефнэнческую область отрицательных значений q
(пунктирный участок).
одного из 3/2-состояний будет понижаться при включении Н'. В са-
самом деле, рассмотрение центробежного члена по теории возмущений
показывает, что связанный с ним сдвиг над основным состоянием
равен
С ростом g' энергия -приближается к энергии основного состояния,
как это показано, на фиг. 17.2. Конечно, вопрос о том, будет ли
такое состояние устойчивым или же оно будет распадаться на
основное состояние и те-мезоны, можно решить, только принимая
во внимание члены с 5 Ф 0 в A7.30). Задача окажется сходной
с соответствующей задачей в модели Ли, в которой источник, имею-

Основное состояние
229
щий различные энергетические уровни, связан с мезонным полем.
Если энергетические сдвиги, обусловленные взаимодействием для
всех уровней, одинаковы, то первое возбужденное состояние будет
'/г1
\
Фиг. 17.2. Энергия //+*о наинизших состояннй как функция
эффективной силы связи g'¦
Указаны угловые моменты состояний и другие необходимые квантовые
числа.
стабильным, когда его энергия превышает основное состояние менее
чем на ]х. - ....
Возбужденное 3/2-состояние соответствует классическому враще-
вращению спина, рассмотренному ранее. В самом деле, поскольку для
сильной связи X—>0 и, следовательно,
F(k):
k2
"max
то для приведенной выше энергии возбуждения
W*_ 2д
g'2 *max (g2/^^2)
Это прекрасно согласуется с классическим результатом, следующим
из A6.18):
Рассматривая существенные черты основного состояния, мы в первую
очередь отмечаем, что гауссовская форма A7.41) означает, что

230 Глава 17
распределение мезонов подобно распределению Пуассона, как это имело
место и в скалярной теории. Однако q рождает только мезоны
с полным угловым моментом, равным нулю, и поэтому рождается
всегда смесь мезонных пар. В самом деле, если
Чх = Х> Яу — У- Яг = *•
то уравнения
показывают, что Ао (q) и hx (q) всегда рождают смесь пар с iz = ± 1
или 1г = 0. При этом первой возможности соответствует амплитуда,
вдвое большая, чем второй. В нейтральной псевдоскалярной теории
константа г2 отсутствует, а величина хх определяется в пределе очень
сильной связи равенствами
(N, | <т | ЛО = аГ2 {N | / d»q exp [- W (q - -f^f ] X
^!^)- 07.43)
Отсюда видно, что в рассматриваемом пределе величина хг равна 1/3.
Для промежуточных значений g' систему уравнений A7.40) можно
решить лишь с помощью численных методов, которые мы не будем
здесь обсуждать 1).
Возвращаясь к симметричной псевдоскалярной теории, мы можем
легко представить себе, что аналитическое решение в этом случае
найти невозможно. Вследствие .. дололнительных степеней свободы,
которые вносит изоспин, мы получаем вместо. (.17.39) четыре связан-
связанных уравнения для четырех функций й0, ...., Л3 в девятимерном про-
пространстве. Для малых констант связи / получается, однако, резуль-
результат, совпадающий с даваемым теорией возмущений, а для больших
значений / теория переходит в приближение сильной связи, к кото-
которому мы сейчас и обратимся.
17.5. Приближение сильной связи [13—17]. В этом пределе
голый нуклон окружен большим числом мезонов, и нулевые флуктуации
поля много меньше его среднего значения, так что классические вы-
вычисления приобретают определенный смысл. В простейшем подходе,
при котором мы интересуемся преимущественно свойствами основного
состояния, асе виртуальные мезоны считаются принадлежащими
к одному типу, и получающийся упрощенный гамильтониан A7.30)
будет диагонализоваться в пределе больших g.
') См,, однако, статьи [7—11].

Основное состояние 231
Если ввести канонические операторы paf и qaj, как и в A7.35^
то упрощенный гамильтониан приобретает вид
Н' = Но -\- Н — So =
где
Чтобы найти собственные значения Н, воспользуемся (как и в пре-
предыдущем пункте) на время полуклассической трактовкой, при кото-
которой операторы q рассматриваются как обычные числа и определяется
минимум Н(q, p = 0). Тогда мы должны найти наинизшее собствен-
собственное значение 4 X 4-матрицы \Ojqaj. С этой целью заметим, что вра-
вращение в спиновом и изоспиновом пространствах1)
порождает преобразование
¦¦'- '^Vfi.j'^l=\ojQ.j. A7.46)
где (в сокращенной записи)
-\ A7.47)
Мы утверждаем теперь, что матрица q может быть диагонализована
с помощью этого преобразования и покажем это следующим образом.
В первую очередь заметим, что вещественная положительно опреде-
определенная симметричная матрица2) qqT может быть диагонализована
с помощью вещественной ортогональной матрицы А:
QQT = AqqTA~\ A7.48)
Поэтому можно извлечь квадратный корень и получить веществен-
вещественную диагональную матрицу Q с элементами Qaj = QJbXj- Элементы Qa
') Свойства матриц вращения определяются эрмитовостью вит. По
дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование.
*) q1 = траиспоиироваиная ^-матрица.

232 Г лава 17
аналогичны радиальной переменной q в нейтральной теории и поэтому
предполагаются положительными. Матрицу В можно записать с по-
помощью A7.47) в виде
B = Q'1Ag. A7.49)
Легко проверить, что она ортогональна ((^^гф):
BBT = Q~1C?Q~1=1. (.17.50)
Собственные значения Н', пропорциональные собственным значениям
4 X 4-матрицы,
з
S^0* A7.51)
можно найти, используя свойства 6,- = а,тг, а именно:
6?=1, 6t6j6k = — 1. [в,. 6,] = 0.
Отсюда видно, что операторы Qt могут быть диагонализованы одно-
одновременно. Собственные значения 6t равны ± 1, а произведение соб-
собственных значений GfijGx должно быть равно —1. Поэтому четыре
возможных собственных значения A7.51) имеют вид
Q, — Q + Q Q + Q + Q (
Вследствие нашего предположения, что Qt > О, первое из этих чисел
соответствует основному состоянию.
Чтобы найти минимум энергии основного состояния и соответ-
соответствующую форму Qt, минимизируем И по Qt, используя частный вид
потенциальной энергии, получающийся при усреднении по основному
состоянию:
• «j i
Минимум достигается при
0/ = ^ <17-54>
и равен
f-ГГ о / о / О Т ,17 Х&\
2
Основное состояние Н будет содержать гауссову функцию радиаль-
радиальных переменных Qt с центром около их положений равновесия f'jW2,
т. е.

Основное состояние 233
Для того чтобы найти выражение типа A7.41), нужно еще построить
оператор " проектирования на собственное состояние Q^faa] с с°б-
ственным значением — 2Qi- Этот оператор имеет простой вид только
в положении равновесия; он будет полезен в той мере, в какой
ширина гауссовских функций оказывается пренебрежимой по срав-
сравнению со смещениями. Для Qt = f'jW2 мы имеем
}, A7.56)
где е удовлетворяет соотношениям
Поскольку в равновесии
мы видим, что
-ЧшЫ,^-) A7.57)
и есть искомый оператор проектирования. По существу для Q( =
= /'/V^2 мы имеем
Таким образом, в рассматриваемом пределе основное состояние при-
приближенно имеет вид
Поскольку Q, и Ц инвариантны относительно вращений в спиновом
и изоспиновом пространствах, основное состояние A7.58) есть соб-
собственное состояние операторов J и Т с тем же собственным значе-
значением, что и для |ЛА). Член, пропорциональный qafzx<3j, представляет
собой компоненту мезонного облака с / = ?=1; другой член соот-
соответствует l = t = 0. Смешанные члены отсутствуют, и мы получаем
с помощью A7.8) и A7.12)
A7.59)

234
Глава 17
Равенство г, = 0 означает, что средние значения а и -с в основном
состоянии равны нулю. Это можно .проверить непосредственно, по-
поскольку
з
р-1
Так как энергия основного состояния равна нулю, то
<17-60>
где Е'— сумма энергии нулевых колебаний, равной — 9/гИ^, и кине-
кинетической энергии 2»у1/2^в.-' имеющей порядок 3/2W. Для больших /'
можно пренебречь Е' в основном состоянии и найти с помощью
A7.31) и A7.33)
72
о /
i = -—<J тгт = —
где
ш (ш
A7.61)
A7.62)
Чтобы найти оптимальное значение X, мы минимизируем §>0 по К
Используя тот факт, что
находим
Минимальное значение §>0 получается, следовательно, при )i=0
равно
A7.63)

Основное состояние
Таким образом, в пределе сильной связи собственная энергия
оказывается равной одной трети величины, вычисленной по теории
возмущений [13—17]1).
Как и в нейтральной псевдоскалярной теории, первое возбужден-
возбужденное состояние имеет более высокие спин и изоспин, в то время как
состояния, соответствующие другим собственным значениям опера-
оператора <3j\gaj, лежат много выше. Следующим после основного уровня
оказывается 3/2— 3/2-уровень (для него У=7' = 3/2); его энергия пре-
превышает энергию основного состояния на величину
A7-64)
Если бы это состояние было нестабильным, оно приводило бы
к резонансу в рассеянии с 7=Т = 3/2. Мы уже рассматривали этот
вопрос в классическом приближении, и рассмотрим его с квантово-
механической точки зрения в следующей главе. Результаты, полу-
полученные в этой главе, нельзя считать точными даже при f~^>\,
поскольку предполагалось, что все мезоны принадлежат одному
типу (s ==0), и в то же время не было показано, что другими
типами можно пренебречь.
17.6. Численные методы. Был предпринят также ряд попыток
разрешить проблему основного состояния с помощью более сложных
вариационных методов, требующих значительной численной работы
[18—20]. После этих исследований стало ясно следующее. Для малых
значений f1 и femax константы г, и г2 меняются довольно быстро
от своих предельных значений при слабой-связи 1,-1 до предельных
значений, соответствующих сильной связи 0, 1/3. Как только послед-
последний предел достигнут, вся задача оказывается довольно нечувстви-
нечувствительной к точной величине /2 и &тах. Эмпирически, как мы увидим,
наилучшие значения равны2) f^jAtz •—0,2 и &тах Л-/ 5(*. Вариационные
вычисления показывают, что при этих значениях мы не вполне дости-
достигаем предела сильной связи, и экспериментально определенные зна-
значения tj и г2 оказываются равными '/з и lli- Примечательно, что эти
числа соответствуют точному результату теории. С другой стороны,
последний аргумент может быть и не очень существенным, поскольку
') Из A7.16) следует, что
0
а) Не следует смешивать эту величину с перенормированной константой
связи /*/4я 2/

236 Глава 17
мы находимся еще в области, где численные значения чувствительны
к значению (неперенормированной) константы связи и обрезанию.
Суммируя, можно утверждать, что вычисление свойств основного
состояния с реалистичными значениями / и йтах и с точностью,
достаточной для определения согласованности результатов, предста-
представляется крайне затруднительным. В то же время в рамках грубого
физического описания результаты, получаемые при анализе описывае-
описываемой модели, воспроизводят экспериментальные данные для основного
состояния.

Глава 18
РАССЕЯНИЕ П-МЕЗОНОВ
18.1. Введение. Эту главу мы посвятим вопросам рассеяния
¦гс-мезонов на нуклонах. В используемом нами статическом пределе
гамильтониан допускает поглощение и испускание мезонов с един-
единственным угловым моментом, а именно мезонов в Р-срстоянии. Поэтому
только фазовые сдвиги с L = 1 (./ = 1j2 или 3/2) будут отличны от нуля.
Экспериментально [1] установлено, что существуют также отличные
от нуля 5-фазы, равно как и D-фазы, появляющиеся при более
высоких энергиях, но основной вклад в рассеяние в области энергий,
где статическая модель вообще имеет смысл, вносят Р-волны. Эффекты,
связанные с другими фазовыми сдвигами, могут быть учтены в виде
(кинематических) поправок на отдачу, однако это не исчерпывает
всей картины. Из Р-волн оказывается существенным только фазозый
сдвиг с J=3l2- 7*—3/г> поскольку он проходит через регонанс
в области, где статический предел еще сохраняет смысл. Этот
резонанс не является неожиданным с точки зрения классической
модели и модели с сильной связью, которые мы описали выше. Мы"
увидим, что его можно совершенно .естественным образом предсказать
и исходя из уравнении Лоу [2], которыми мы будем пользоваться
при описании рассеяния. Этот метод имеет то преимущество, что он
не требует знания точной формы мезонной волновой функции. Хотя
этот метод не позволяет получить полное выражение для 5-матрицы,
но основные черты рассеяния тс-мезонов можно установить. Еще
более существенным является тот факт, что описанный ниже метод
представляется единственным методом'), не основанным на некон-
неконтролируемых математических приближениях.
18.2. Матрица рассеяния 2). Вывод уравнения Лоу в нашем слу-
случае аналогичен выводу в модели Ли (гл. 14). Дополнительные труд-
') Можно показать, что релятивистские дисперсионные соотношения
сводятся к обсуждаемым ниже уравнениям в пределе бесконечной нуклои-
ной массы и при пренебрежении рождением иуклои-антинуклонных пар.
2) Чтобы не загромождать излишне формулы, мы положим мезонную
массу ц равной 1. Это означает, что все энергии будут измеряться в мезон-
ных массах, а все длины — в единицах комптоиовской длины волны мезона.

238 Глава 18
ности появляются здесь в связи с существованием 36 независимых
состояний Sin, Л/-)-я) нуклона и Р-волнового it-мезона при каждой
фиксированной энергии. Эти состояния можно записать стандартным
образом в виде
|Ш. N + *k) = A%(k)\N)^A*K\N). A8.1)
Для наших целей наиболее подходит разложение поля по переменным,
связанным с угловым моментом AJa(k). Чтобы избежать употребления
слишком большого числа индексов, мы будем часто использовать
в дальнейшем обозначение, введенное в A8.1): будем считать, что
индекс К означает девять возможных состояний по угловому моменту,
изотопическое состояние мезона и одновременно (полу-)непрерывную
переменную k. Вводя величину 5 для четырех возможных нуклонных
состояний, мы можем переписать A8.1) в виде
|in, \А) = А%\%). A8.2)
Обобщение этого обозначения на случай состояния с п реальными
мезонами, которое нам вскоре понадобится, записывается как
; |in, л, 5)s|in, к„ к2, .... к„. ?) = А\х. А\ ... А%нЩ.
Матрица рассеяния связывает состояния „in" и „out". Во введен-
введенных выше обозначениях эта 36X36-матрица равна
S|«'6'.« = <out, k'5'|in, к?) = <!;'|я*.л?|0, A8.3)
Чтобы получить связь между мезонными операторами „in" и1,out",
используем уравнение A5.10), переписанное через операторы, свя-
связанные с угловым моментом,
Через мезонные операторы В в конечном состоянии этот же опера-
оператор записывается в виде
так что в результате (при t = 0)
к @) = В% @) — tfdt е'шУк (О. A8.4)

Рассеяние ^-мезонов 239
где для члена с источником введено сокращенное обозначение
Оператор V эрмитов, Vfc(t) = Vi(t). Подстановка A8,4) в A8.3) дает
— 2-гс/а (<о — a)') (out, К'\' |VK @)|$> =
Й — *')TK-il>Kz. A8.6)
Чтобы получить последнюю формулу A8.6), мы использовали явную
временную зависимость Vк (t) в гейзенберговском представлении
[см. B.18)] и выполнили интегрирование по времени.
Для неупругих процессов $• и Г-матрицы отличаются лишь на
S-функцию, выражающую сохранение энергии:
Sn. Ki = (out. ki. k2 k^. ? | in, k, e> = — 2u/S { V „>, _ ш | x
X(out, K[, Ki K'n. 5'| V, @) | S) si
— ш) Г„, Ki. A8.7)
С помощью уравнений поля равенство A8.6) можно переписать
на поверхности энергии (ш = ш') в виде
.ki = (out. KV\VK\t) = {V\(aK.-i
. о
vk.
I)
oo
— I(V I f e^VK. (t) dt
w Л- A8-8)
Из последней формы записи становится ясной возможность некоторых
упрощений. Мы замечаем, что зависимость Г-матрицы от им-
импульса можно выделить в виде множителя, после чего у нас
остается матрица от спиновых и нзоспиновых операторов между
физическими нуклонами. Такое разделение Г-матрицы есть специадь-

240 Г лава 18
ное свойство статической модели; мы к нему еще обратимся в по-
последующих пунктах.
Продолжая рассуждения, перепишем Г-матрицу упругого рассея-
рассеяния, вводя полный набор промежуточных состояний | out, я), как
это мы делали, рассматривая модель Ли. Если использовать при этом
тот факт, что
ttt. »)-Г'я»'т;гд„ A8.9)
п, Are | 'п
то мы придем к следующему уравнению т):
En + W )¦ A8.10)
Отметим, что во втором члене мезонные индексы в отлнчие от нуклон-
ных поменялись местами.
18.3. Свойства матрицы рассеяния. Из вида уравнения A8.10)
можно вывести некоторые важные заключения.
а. Унитарность. Для случая, когда присутствует один физиче-
физический мезон, выполняющееся всегда условие SfS = 1 можно записать
в явном виде в следующей форме:
= S<ln- K'%'\Sf\n)(n\S}in, KZ) =
Обращение в нуль скобок в A8.11) можно доказать с помощью под-
подстановки A8.10) в разность T*Kl K,v — 7^, ^. Второй член A8.10)
выпадает, а первый дает сумму
S/ тп, к'у Т„, кг тп, ye' Тп, кг _ Оо-/> / о _(Очг* Т CI8 12^
п п
Аналогичным образом можно показать, что и SSf—l. Нелинейный
характер первого члена A8.10) связан с унитарностью 5. Второй
член не дает непосредственно вклада в условие унитарности, однако
') Сумма по п включает как сумму по спиновым и изоспиновым пере-
переменным, так и непрерывное интегрирование по энергии. Таким образом,
S- S /
J T J Т
»¦

Рассеяние л-иезонов 241
он совершенно необходим для обеспечения перекрестной симметрии,
к обсуждению которой мы переходим.
б. Перекрестная симметрия. Перекрестная симметрия Г-мат-
рицы выражается наиболее удобным образом, если рассматривать
отдельно зависимость Т от переменной ш в знаменателе в противо-
противовес зависимости k2p (k) <о~'Ь, известной явно. С этой целью введем
функцию t,
1 Т
i
зависящую от комплексной переменной z и обладающую тем свой-
свойством, что
П'К\и<= I'm tvr.ucb). A8.14)
В физической области величина 1е, появляющаяся [после подстановки
A8.14)] в знаменателе второго члена в A8.13), не играет роли. Она
необходима, однако, для выполнения условия эрмитовости
'те. К'к' {z) = tK.VtKaz) A8.15а)
и перекрестной симметрии Г-матрицы,. которая математически фор-
формулируется следующим образом:
tvK:ue(*) = к-к, i/c (—г). A8.156)
Эта теорема аналитического продолжения проверяется непосредственно
с помощью A8.13). Она не зависит от явного вида Vк и, как можно
показать, справедлива для любой мезон-нуклонной связи, включающей
и поглощение, и испускание мезонов [3] (так, она не выполняется
в модели Ли, но остается в силе для нейтральной скалярной теории
и т. д.). Эта симметрия связана с инвариантностью теории по отно-
отношению к перестановке падающего и рассеянного мезонов в смысле,
который явно определен через уравнение A8.156). Она не имеет
никакой интуитивной основы, поскольку мы имеем здесь дело с соот-
соотношением между физической амплитудой рассеяния и ее значениями
в нефизической области отрицательных энергий. Теоремы A8.15) по
существу связаны с аналитическими свойствами ^-матрицы для веще-
вещественных и комплексных энергий.
в. Полюсы, тонки ветвления и разрезы. Аналитические свой-
свойства матрицы задаются явно уравнением A8.13) и определяются
энергетическим спектром промежуточных состояний п. Сумма по всем
состояниям содержит вклад от основного состояния при ?„ = 0 и
непрерывный спектр от 1 до оо. Поэтому t имеет следующую спек-
спектральную форму:
J dE[ Е-г 1 ЩГ? J' A8
J6 Э. Хенли, В. Тнррннг

242
Глава 18
где первый член связан .с основным состоянием, a F и G предста-
представляют собой весовые функции. Эти функции можно вычислить из
A8.13) и A8.15):
A8.17)
Таким образом, t имеет полюс в начале координат с вычетом /?,
равным
', €/г == S«?/1
A8.18)
где суммирование по С включает четыре физических основных состоя-
состояния. Кроме того, ^-матрица имеет также разрезы от 1 до со и от
Фиг. ¦ 18.1. Сингулярности ^-матрицы в комплексной
¦ ' плоскости г.
—I до —со, как это показано на фиг. 18.1. Разрез вдоль отрица-
отрицательной полуос» возник вследствие перекрестной симметрии; в мо-
модели Ли он поэтому отсутствовал.
18.4. Низкоэнергетнческнй н высокоэнергетический пределы
упругого рассеяния. В нашем случае, как и в модели Ли, можно
определить перенормированную константу связи /, так, чтобы физи-
физически недостижимый предел амплитуды \<к< t уг при z->0 задавался
борновским приближением при замене / на f г. В пределе z—>0 сингу-
сингулярный член Rjz вносит наибольший вклад. Вспоминая определение
A8.5) для Vк, мы видим, что в нашем случае остаются лишь матрич-
матричные элементы от от между фиаическими однонуклонными состояниями.
Они были уже рассмотрены в предыдущей главе; мы находим, что
A8.19)

Рассеяние п-мезонов 243
где матричное умножение (ох)^, и (ох)^ предполагает суммирование Q.
с
Помимо множителя v|, этот результат совпадает с результатом
теории возмущений. В последнем случае матричный элемент можно
а Фиг. 18.2. Диаграммы
для вычисления /^-ма-
/^-матрицы в наинизшем
К К1 ^ порядке теории возму-
"^¦s. _,-' щений.
вычислить с помощью двух (фейнмановских) диаграмм, изображенных
на фнг. 18.2, и мы получаем
что соответствует A8,19) с хг| = 1. Таким образом,.
^U). . A8.20)
Точно так же, как и в модели Лн, интерпретация равенства
lim t = (U) lim tj, H
заключается в том, что время между испусканием и поглощением
внешнего тг-мезона гораздо больше времени всех виртуальных про-
процессов. Нуклон в промежуточном состоянии оказывается поэтому
практически реальным, н мы получаем борновское приближение, за
исключением дополнительного множителя г2. Этот множитель имеет
то же вероятностное истолкование, что и в случае модели Ли.
Константа fT представляет силу взаимодействия различных ком-
компонент физического нуклона, взятых с весами, пропорциональными
вероятности нх появления.
16*

244 t лавй 18
В высокоэнергетическом пределе можно пренебречь величиной ?Л
в знаменателе A8.13) по сравнению с z. Тогда
. »>(out. n\VK,lt)) = ±{l'\lVK,, VK)\b). A8.21)
Это выражение для t совпадает с борцовским приближением, за
исключением того, что матричный элемент берется между физическими
нуклонными, а не между голыми нуклонными состояниями. Иными
словами, в рассматриваемом пределе амплитуда задается борновским
приближением для рассеяния между различными состояниями голого
нуклона, умноженным на амплитуды, с которыми эти состояния
появляются в физическом нуклоне. Эти амплитуды легко можно найти,
исходя из того факта, что за вычетом известной зависимости от
импульса коммутатор в формуле A8.21) пропорционален выражению
e«-'7V' A8-22>
где величина &а^ равна ± 1 в зависимости от четности перестановки
трояки чисел а, C, f относительно конфигурации 1, 2, 3. Таким
образом, с помощью A7.3) мы находим, что в пределе бесконечной
энергии ^-матрица представляется в виде борновского приближения,
умноженного на г,:
A8.23)
Теорема о поведении амплитуды при- нулевой энергии служит, ее-'
роятно, наиболее важным инструментом, позволяющим связать тео-
теорию с экспериментом, высокоэнергетический же предел представляет
чисто академический интерес, так как находится вне области приме-
применимости .модели. Ясно, что в этом пределе пренебрежение отдачей
и рождением пар (и использование источника конечных размеров)
не может иметь смысла.
18.5. Диагоиализация Г-матрицы. Чтобы использовать форма-
формализм, рассмотренный в конце гл. 8, мы займемся сейчас диагонали-
зацией ЗбХЗб-матрицы t. Поскольку при взаимодействии угловой
момент и изоспин сохраняются (т. е. Jaat=Jz=/a; Т™г=Т=Т1п),
мы ожидаем, что диагонализацию удается осуществить посредством
перехода от одномезонных состояний к представлению, в котором
Т2, Тг, J2, Jz диагональныJ). В самом деле, поскольку эти перемен-
') Мы надеемся, что читатель не будет смешивать 7"-матрицу и изо-
изоспин Т.

Рассеяние л-меэонов 245
ные вместе с энергией полностью определяют одномезонные состоя-
состояния, мы имеем
(out, Г', Т'г, У, У^ | in. Т, Tz, J, Л) =
= <in, Т\ f,. /, y;|S|in. Т. Тг, J, J,) =
Чтобы связать фазовый сдвиг 3/г с Г-матрицей, обратимся к ре-
со
зультатам гл. 8. Поскольку здесь G= I dk, множитель Kg(E) в (8.30)
о
равен просто k/w. Далее, можно спроектировать Т-матрицу на
соответствующие состояния J и Т с помощью операторов проек-
проектирования Щ г'):
Tvk; vc = - S ?&•. ыс sin W'r-A , A8.25)
у, т
причем
^ = 5pf ' A8.26)
и
В одномезонном подпространстве Т и J могут принимать только
значения </2 и 3/2. Поскольку bJT и 8Г/ совпадают, получается всего
три различных фазовых сдвига: S^j/,, 8i/, •/, = b,h i/} и Ss/j »/г. Если
ввести для них индексы 1, 2, 3, то S принимает вид, иллюстрируе-
иллюстрируемый фиг. 18.3. Операторы проектирования на' эти подпространства
строятся обычным образом с T = t-j-t/2 и J = l-(-a/22):
A8.28^
') Ср. с равенством A4.4а), которое отличается от A8.25) нормировоч-
нормировочным множителем 4я?2. Сечение упругого рассеяния равно
в — -^-Х8л3й>2А~4|Г|2 = ^j^JT-^ |sin3/re'Vr|2.
JT
г) В то время как Г-матрица постоянна во времени, t и -. зависят от
времени. Здесь используются их значения при t = —со.

246
Глава 18
Нормировочные множители выбраны таким образом, что для одно-
мезонного подпространства
' = KJ$W- "- •0=1. 2, 3. A8.29)
8
12
16 20 24 28 32
3S
Фиг. 18.3. Вид S-ма-
трицы. Все ие диаго-
диагональные матричные эле-
элементы равны нулю, а диа-
диагональные показаны на
рисунке.
/
4
8
12
16
20
24
28
22
36
Матричные элементы t и 1 в одиомезонном подпространстве соответ-
соответствуют просто представлению J= 1 и имеют вид [ср. с A5.12), A5.13)
и E.13)] 0 --
Г в ^ ¦ I ?,ш I Ш> '¦*• 1\ ~ ^ %' I' ' {18>30)
\1П, ;, 4J I 1и | 1П| У*, ч / = t6o^/'Oj5'"aa'>
так что мы получаем, например,
(in, 5, <х/1 о-Aп> • /<in)] in, a'/. О = Я»'(Ч °/°/' —<»/'о/Ю- A8.31)
Возвращаясь к сокращенным обозначениям, запишем матричные эле-
элементы операторов проектирования A8.28) в представлении углового
момента как
- о
; о
i i
0
1 i i
0
$r. e/r=4- ^ 19Vir ~ 3V^ - Звл-0
') Индексы /на означают угловой момент и изоспин мезона соответ-
соответственно.

Рассеяние п-мезонов 247
Мы вскоре встретимся с выражениями $1"^ ,к,, где мезонные индексы
поменялись местами, а нуклонные индексы % и 5' следуют в обычном-
порядке. Поскольку такая операция меняет знак 1 и t, эти операторы
можно выразить в виде линейной комбинации прежних:
Wk. ус- = 2 А(и) {9Щ%; vc- A8-32а>
V
Прямой подстановкой находим, что А имеет вид
7 4 . A8.33)
4
Из таких свойств матрицы А, как Л2=1, Det/l = |,4| = —1,
Sp ^4 = —{— 1, следует, что А имеет собственные значения -f-1, -J-1, —1.
Учитывая сказанное, можно немедленно установить, как ведет себя
Г-матрица в окрестности нулевой энергии. Подстановка A8.29)
и A8.32) в A8.19) дает
Величина Х=:(ХA), Х<2>, Х<3)) есть собственный вектор А с собствен-
собственным значением, равным —1:
Х = (—8. — 2, 4-4).
Чтобы получить величины с простыми аналитическими свойствами,
введем функцию
*(.) —2»«АП«)^1, A8.35)
V
для которой получаем из A8.16) и A8.17)
Г Г1шА'°' С0') , у ^MW
ИЛИ

248
Г лава 18
Отсюда видно, что А'** (г) можно продолжить в комплексную пло-
плоскость, где они имеют следующие свойства:
h{v) (z) = Aw * (**) = 2 Л<И> W А<<° <— *)" A8.37)
Их связь с фазовыми сдвигами, как можно видеть, сравнивая A8.35)
с A8.25), задается равенствами
lim
A8.38)
Связь функций h с полными сечениями определяют соотношения
ImAW a A8
При этом полные сечения в Я-волновом канале дает формула
12тс . ,s
av = -JT Sln V
Это определение таково, что сечение (8.34) для неполяризованной
мишени и определенного значения изоспина равно
1
3"
Следует отметить, что при ш > 2 возможно рождение частиц,
а фазовые сдвиги, описывающие одночастичный канал, становятся
комплексными. Тем не менее равенство A8.39) применимо и в этом
случае, поскольку оно представляет собой следствие общего урав-
уравнения (8.28). Таким образом, уравнения Лоу можно записать в сле-
следующей окончательной форме:
— ш — ie.
—<e —is
в' -(-(л
A8.40)
18.6. Связь уравнений Лоу с экспериментом. В уравнениях
Лоу A8.40) все величины, за исключением константы связи f*r, непо-
непосредственно наблюдаемы — по крайней мере в принципе. Первые
члены в правых частях A8.40) соответствуют борновскому прибли-

Рассеяние п-мезонов 249
жению с перенормированной константой связи; их можно определить
только посредством экстраполяции к нефизической точке ш = 0. Эти
члены отрицательны в 1-м и 2-м состояниях и положительны в 3-м
состоянии, что соответствует отталкиванию в 1-м и 2-м и притяже-
притяжению в 3-м состоянии. Это можно понять, рассматривая фейнма-
новские диаграммы низшего порядка, изображенные на фиг. 18.2.
Поскольку на фиг. 18.2,5 промежуточный нуклон имеет T==l/2, J=l/2'
он вносит вклад лишь в рассеяние в 1-м состоянии. Поэтому вели-
величина о<3) обусловлена полностью процессом, соответствующим
фиг. 18.2, а, и причина притяжения остается той же самой, что
и в случае ли"-рассеяния в модели Ли. На языке теории возмущений
притяжение объясняется тем, что промежуточное состояние имеет
более высокую энергию, чем начальное. С другой стороны, рассея-
рассеяние в 1-м состоянии определяется в основном процессом, изобра-
изображенным на фиг. 18.2,5; во 2-м состоянии из-за противоположных
знаков констант связи риле тс°-мезоном меняется знак вклада от
диаграммы фиг. 18.2, а.
В точных выражениях для амплитуд рассеяния интегралы, вхо-
входящие в A8.40), дают увеличение по сравнению с борновским прибли-
приближением для 3-го состояния и уменьшение — для двух других, по-
поскольку сечение о3 значительно превосходит остальные сечения.
Положение здесь точно такое же, как при рассеянии на короткодействую-
короткодействующем потенциале, где в борновском приближении амплитуда в случае
отталкивания оказывается завышенной, а в случае притяжения — за-
заниженной'). В борновском приближении ЛA1 =:—2А<3>, тогда как
эмпирически известно, что | А | <3^ 1 ^ * |» т- е- в области физических
энергий поправочные члены должны играть существенную роль. Мы
подсчитаем это отклонение от борновского приближения, разлагая
вещественные части интегралов в A8.40) по степеням ш. Если со-
сохранить в этом разложении только наинизший член, то получится
приближение „эффективного радиуса" для фазовых сдвигов2). Таким
образом.
') Исходя из этой аналогии, Вайскопф [4] дал оценку отклонения пере-
нормироваиного борновского приближения в предположении, что логарифми-
логарифмическая производная волновой функции A \Ф\0), слабо зависит от энергии
на радиусе источника. Согласно его решению 3-й фазовый сдвиг достигает
90° при приблизительно правильной энергии, в то время как остальные
фазовые сдвиги остаются малыми.
2) См., например, книгу Блатта и Вайскрпфа [5). Поскольку Im A(u) ~- A3i
то при малых энергиях ею можно пренебречь.

250
t лава 18
1
— о>Га
A8.416)
График величины &3p2(?)X(UI ctg8u/3u) как функции ш должен при
низких энергиях приближаться к прямой линии. При этом отрезок,
отсекаемый этой „кривой Чу и Лоу" на оси ординат при и> = 0,
9
8
7
6
5
4
3
2
,
0
-7
-2
-
N
-S
N
Ч.
N.
N.
N
-
— .
^«
ю
по
0
83,5
775*4.
ТОПа\
ZOQ* *2/7
21Т*2г0
, , , .: i , и^Тг7^'7
7,0
Ш
2,5
Ф.иг. 18.4. График Чу —Лоу A8.416).
Точка пересечения прямой с осью ординат соответствует зД* (/r/<l!c)]. а с осью а6с-
цисс —величине г3. Кривая взята из статьи F|. Ссылки на работы, послужившие источ-
ннкои экеперчмеятальных точек, имеются в этой статье. Проставленные вдодь кривой
числа представляют собой экспериментальные энергии.
равен 4-it//2 и должен быть одинаковым для всех фазовых сдвигов.
К сожалению, на эксперименте 1-й и 2-й фазовые сдвиги слишком
малы, чтобы быть измеренными с достаточной точностью. На фиг.
18.4 приведен график котангенса в средней части A8.416) при
р (k) = 1 и отложены экспериментальные данные 1) для 3-го фазового
') См. статью [6], откуда и взята фиг. 18.4. Экспериментальные точки
собраны из ряда работ, ссылки на которые имеются в этой статье. См.
также статью [7].

Рассеяние я-мезонов 251
сдвига в зависимости от ш. Как видно из фиг. 18.4, эксперименталь-
экспериментальные точки с хорошей точностью укладываются на прямой, пере-
пересекающей ось ординат при
f2
-^¦ = 0,087 ± 0,01. A8.42)
Из уравнений A8.40) следует, что наклон прямой линии равен
массе мезона, умноженной на эффективный радиус г3; он может
быть выражен через интегралы от полных сечений. Как будет по-
показано в следующем пункте, это действительно выполняется с ожи-
ожидаемой точностью. Более того, фазовый сдвиг проходит через 90°
при со = сог= 1/г3«2,1. Из сопоставления с фиг. 15.1 можно видеть,
что это предсказание также выполняется, поскольку полное сечение
тс4" -(-р-рассеяния достигает резонанса при лабораторной кинетической
энергии <—> 190 Мэв, что соответствует в системе центра масс а> ж 2,1.
18.7. Приближенное решение уравнения Лоу. Определив вели-
величину /j! из эксперимента, хотелось бы попытаться найти фазы 8а (со), не
привлекая дополнительных экспериментальных данных. Однако это мож-
можно осуществить, лишь привлекая известные эмпирические факты. Преж-
Прежде всего, как известно, в области применимости нашей модели рас-
рассеяние в основном носит упругий характер. Эти справедливо, грубо
говоря, для со < 2, но мы предположим, что рассеяние остается
упругим при всех энергиях. При этом фазовые сдвиги 8а становятся
вещественными и можно записать
<a = l*J2j4?^- A8.43)
Это приближение равносильно учету в сумме по промежуточным
состояниям только безмезонных и одномезонных промежуточных
состояний*). В этом случае, как и при решений соответствующей*
задачи в модели Ли, полезно ввести функции, обратные Л,
Поскольку А( (z) не имеет нулей для комплексных z (при Im h > 0),
а величина zh(z) остается конечной при 2=0, функция g является
аналитической функцией в комплексной плоскости везде, за исклю-
исключением разрезов вдоль вещественной оси or 1 до оо и от —1
до —со2). Множители в A8.44) подобраны таким образом, что
1) Этот путь не следует смешивать с приближением Тамма—Данкова,
в котором разложение производится по числу мезонов, окружающих голый
нуклон, а не физический. В данном случае разложение включает физические
состояния. Благодаря этому удается получить правильное поведение в об-
области низких энергий.
2) Возможно также существование полюсов на вещественной оси между
—1 и +1. Их значение обсуждали Кастилейо, Далитц и Дайсон (см. [3]
к гл. 14). Мы ие будем останавливаться на изучении этих сингулярностей..

252 Глава 18
gu(Q) = l и, следовательно, по аналогии с A8.16) g можно запи-
записать как :)
Вещественные весовые функции %и и ®а соответствуют мнимым
частям g на положительной и отрицательной вещественных полуосях.
Используя A8.37), т. е. условие gu (z*) = g* (z), легко получаем
из A8.45а), что
ш). A8.456)
= 2/ Im ?u (— ii>) = 2ш®и (Ш).
Далее, из A8.38) находим в одномезонном приближении
и получаем таким образом 5в(ш)- не зная ^в(ш)- С другой стороны,
чтобы определить @а, нужно знать фазовые сдвиги в нефизической
области. Их можно найти из условий перекрестной симметрии A8.37),
которые записываются для функций ga в виде
1 _ гй'и) (— г) 1 .(«)(Р)?(Р)- 1 _р 1 f 18 471
Как и для матрицы A^a^v), собственные значения Bav равны ±1,
а В2= 1.
Уравнение A8.47) определяет лишь \mg~1{—z); для того же,
чтобы определить Img"(—z). необходимо знать также и Re^'~1(—z).
') В общем случае степень z перед интегралом не обязательно должна
быть равна 1. Однако если
оо
/d
то lim gu = const. Это и оправдывает г1; кроме того, это дает также
Z ->• ОО
результат, согласующийся с теорией возмущений.

Рассеяние л-мезонов 253
которую невозможно получить простым образом. Поэтому даже
в одномезонном приближении, оказывается невозможным найти точное
решение. Чу и Лоу [8] предложили, однако, некоторое приближенное
решение, для которого матрица В заменяется матрицей В';
О 1\ f—\ 2 —1\
-1 1 \ = В-Ц-\ 2 -1 ), A8.48)
О О/ V—1 2 —1/
которая отличается от В незначительным численным сдвигом и так же
удовлетворяет условиям
B'2=l. SpB'==l, |Б'| = 1. . A8.49)
В этом приближении задача становится разрешимой относительно gt
и g3, но все еще не для g2. Из A8.47) находим
поэтому A8.456) означает, что
"*" A8.51)
®а(ш) = —д,(ш) =
He существует ясных математических аргументов, доказывающих
обоснованность выражений A8.48). Однако используя эмпирические
фазовые сдвиги, можно показать, что члены, которые были отбро-
отброшены, по крайней мере не велики по сравнению с оставленными.
Поэтому в пределах нашей грубой модели эти результаты могут слу-
служить приемлемой иллюстрацией, хотя получающиеся числа не сле-
следует принимать слишком серьезно. Мы находим:
1 A8.52a)

254 Г лава 18
и, следовательно, разложение по степеням ш дает (при низких энер-
энергиях)
, — ?«
1 -\ I da>' =
4/а 1 ' A8.526)
ДC) (Ш) _ _jlL 1 5— .
1 —Ll ^1 j rfo>'
1
Форма амплитуды рассеяния A*1J знакома нам *) из парной теории
с отталкиванием и из /мс~-рассеяния в модели Ли, а форма ft*3*
сходна с амплитудой рассеяния в случае притяжения в парной теории
или при ля^-рассеянии в модели Ли. Вид этой функции предсказы-
предсказывает резонанс в состоянии 3/2, 3/2 для достаточно сильной связи, что
и наблюдается на эксперименте. Чтобы получить некоторое предста-
представление о резонансной энергии, вычислим эффективные радиусы гх
и г3, предсказываемые A8.52). Тогда радиус г2 можно найти из усло-
условия г2=—4(Г]-)-Гз). которое следует из перекрестной симметрии
A8.37) в применении к A8.41а). Таким путем мы получаем
Другое приближение, несколько отличное от рассмотренного (т. е.
от приближения, получающегося при замене В на В'), состоит в том,
что в уравнениях Лоу A8.40)- оставляют только величину <з3. Мы
покажем вскоре, что в этом случае значение г, приблизительно сов-
совпадает с A8.53), но /-2 = /-i и г3 = — E/4) rv а не — г,; основная
неопределенность, как мы видим, получается для радиуса г2. В обоих
приближениях величины и относительные знаки г, и г3 оказываются
приблизительно одинаковыми. Если предположить, что приближение
эффективного радиуса все еще в какой-то мере справедливо при
резонансной энергии шг, то получается шг =ljr3. В случае прямо-
прямоугольного обрезания, когда
A8.54)
для
мы находим
') За исключением очевидных изменений, связанных с тем, что здесь
мы имеем дело с Р-волновыми мезонами.

Рассеяние л-мезонов 255
При использовании A8.42) экспериментальное значение ш,« 2 дает
Шта* 2» 5. Интересно отметить, что со, точно совпадает с энергией %,
а/2-уровня в пределе сильной связи, которая задается формулой
A7.64):
Ег = -р~г • A8.55)
4^ "Г Щгаах
Если теперь принять во внимание, что, согласно приближению A7.59),
fr = //3, то мы найдем, что Е3=шг. Ширина уровня Г [см. A2.9а)]
равна
А3 /2 8
Г э 2 К - ш) tg 8 = (шг - со) -S. _? т A _ ГзШ)- у (Л) =
= -5-4^р2(&)~1Л- A8-56>
Ширина Г не зависит от обрезания для &г, не слишком близких
к &mai, и имеет ту же форму, что и в случае классического реше-
решения A6.32). Характер сечения в окрестности резонансной энергии
имеет обычный вид, рассмотренный в гл. 15.
18.8. Заключение. В заключение настоящей главы мы разъясним
наиболее существенные черты я-мезон-нуклонного рассеяния. При
низких энергиях, для которых sin 8 ~~/^&3/ш,' мы ожидаем, что сече-
сечение рассеяния должно быть пропорционально
«-/?-?• A8-57)
Это действительно наблюдается экспериментально, как видно из
фиг. 15.1. В этой области „эффективная сила связи" (frk) остается
малой.
Вид сечения рассеяния A8.57) можно пояснить следующим обра-
образом. Рассмотрим ящик объема L3, содержащий мезон с импульсом k
и покоящийся нуклон. Поскольку мезон не локализован, вероятность
его нахождения внутри сферы радиуса ш с центром в точке, где
находится нуклон, равна ~->w~3L~3. Далее, нуклон может испускать
и поглощать мезоны, когда они находятся от него на расстоянии,
меньшем со"'. Эта величина характеризует размеры облака (а не
источника). Поскольку не существует различия между падающим
мезоном и любым из мезонов облака, нуклон может поглотить один
из таких мезонов облака вместо падающего. С другой стороны,
нуклон активен к этому процессу лишь в течение определениой доли
времени А, в том смысле, что существует определенная вероятность
испускания и поглощения мезонов нуклоном.
Если представить историю нуклона графически, как это сделано
на фиг. 18.5, то длины мезонных линий окажутся равными / лг и>~11

еж I' л а в а 18
причем сами линии распределены хаотически, а отношение их длины
к- длине нуклонной линии равно Д. Как мы знаем, согласно'скаляр-
согласно'скалярным теориям, если в течение преимущественной части активного
периода существует один мезон, то А г» Среднее число мезонов
л* ^2/4и. Для Я-волновых мезонов вероятность взаимодействия сильно
зависит от энергии, и в этом случае до тех пор, пока Д< 1, она
равна эффективной силе связи с физическим нуклоном як (f^/4iz\ k2.
Поглощение падающего мезона нарушает сохранение энергии, и
поэтому может длиться лишь -в течение времени /—1/&Е = ш~1.
По прошествии этого времени нуклон должен') испустить обратно
я-мезон-*
Нуклон' Ц—«»"'—Ч
Фиг. 18.5. Диаграмма, представляющая физический нуклон.
мезон с энергией ш, но не обязательно в том же направлении. Такое
событие и составляет процесс рассеяния тс-мезона нуклоном. Поскольку
поглощение и испускание происходят только в результате квантово-
механической флуктуации, разрешенной соотношением неопределен-
неопределенностей, мы не можем сказать, в какой именно момент времени в те-
течение интервала t происходит поглощение и испускание; эти собы-
события могут произойти и в обратном порядке. Амплитуды процессов
этих двух типов (испускание — поглощение, поглощение — испуска-
испускание) интерферируют друг с другом, поскольку промежуточное со-
состояние не контролируется посредством измерений; однако интерфе-
интерференционные члены не меняют порядка величины сечения (за- исклю-
исключением случая 3-го состояния при высоких энергиях, в-окрестности
резонанса). В нашей качественной аргументации отдельные события
можно считать независимыми и перемножать вероятности отдельных
этапов процесса (хотя с точки зрения квантовой механики это и не
вполне .справедливо). Тогда вероятность всего процесса равна
(tj = вероятность)
"^процесса — Ч (попадания мезона в область
мезонного облака нуклона) X Ч (того, что это
произойдет в течение времени, когда нуклон
активен в смысле поглощения или испускания
мезонов) X 1 [испускания (или поглощения)
мезона нуклоном в течение времени ш*1],
') Классическая картина оказывается несколько нелогичной, поскольку
в ней нуклон поглощает мезон только гогда, когда .знает*, что в дальней-
дальнейшем испустит его.

Рассеяние я-меэонов 257
или
^процесса ===
4?Д / \4я /
Сечение рассеяния равно этой суммарной вероятности, деленной на
поток падающих мезонов и умноженной на частоту, с которой мезоны
уходят из облака. Последняя равна скорости мезона k/ш, деленной
на диаметр облака ш. Поскольку поток падающих мезонов (т. е.
вероятность их прохождения через единичную площадку за единицу
времени) равен (&/ш)A/?3), то сечение рассеяния имеет вид
Конечно, сечение ограничено геометрическими размерами об-
облака 1/ш2. Прн превышении этой величины наши рассуждения теряют
смысл, так как отдельные вероятности оказываются при этом больше
единицы. Строгий формальный анализ показывает, что этот предел
достигается лишь в 3-м состоянии и при ббльших энергиях. В той
мере, в какой резонанс в 3-м состоянии доминирует при рассеянии,
справедливы другие простые утверждения относительно сечения,
Смысл энергетической зависимости в окрестности резонанса с точки
зрения вероятностей был рассмотрен в гл. 12.
Угловое распределение мезонов можно получить из соображений,
которые мы изложили после формулы A6.37). Если взять за ось.
квантования направление импульса падающего мезона, то получается,
что J2~ $г= ± '/г и угловое распределение мезонов в состоянии
/= 3/2, Jz = ± >/г оказывается —^1+3 cos2 Ь. Этот результат следует
сравнить с классическим результатом A6.33), согласно которому
угловое распределение тоже имеет пики' для направлений рассеяния
вперед н назад, но сильно сглаженные. Предсказания, связанные
с зарядовой независимостью, можно получить, определяя, какая часть
падающих и рассеянных состояний (например, я~/>) имеет У= Т = 3/2.
Для рассеяния на протонах мы получаем, таким образом, из A6.35)
-о^9 : 2 : *¦
A8.58)
Экспериментальные кривые, изображенные на фиг. 15.1 н 18.6,
показывают, что полученные предсказания выполняются очень хорошо.
Максимум на кривой тс+/?-рассеяния на фиг. 15.1 свидетельствует
о том, что резонанс действительно имеет место в /=3/2 состоянии,
так как в этом случае сечение достигает максимально возможного
значения, равного 8тг/&2.
Использованная нами простая статическая модель предсказывает
также, что фазы 8i/a,»/, 'и 8у„у«=!&2 должны быть равны, отрица-
17 Э. Хенли, В. Тнррннг

258
Глава 18
тельны и невелики:
п 3
А3
— 0,05 —.
Экспериментально эти фазы действительно оказываются малыми, но
они не определены точно.
35
и \л+р—-п+р
— и §п~р—-п°р
и а я~р —- яГ р
О---
30 60 80 120 150
Угол рассеяния (всистеме центра масс), град
180
Ф кг
г. 18.6. Дифференциальное сечение рассеяния для упругого и зарядово-
обмеиного рассеяния тс-мезонэа с энергией 189 Мэв на водороде.
Экспериментальные точки взяты из работы |»1. Кривые пропорциональны выражению
3cosJ»+l и нанесены с отношением 9:2:1, как предсказывает уравнение ,18.58).
Конечно, рассеяние характеризуется и многими более тонкими
особенностями. Например, из A8.28) и A8.32) следует, что Г-ма-
трицу. можно, записать в виде1) а-\-Ь<з ¦ к X к', где к и к' — им-
, пульсы падающего и рассеянного мезонов соответственно. Отсюда
1) Это, кстати, наиболее общая форма амплитуды при сохранении чет-
четности, поскольку а и * могут быть функциями ka и k-k'.

Рассеяние п-мезонов 259
следует, что протоны отдачи могут быть поляризованы в напраиле-
нии, перпендикулярном плоскости рассеяния, поскольку члены а и b
будут складыиаться или иычитаться в заиисимости от напраиления
спина по отношению к плоскости рассеяния. К сказанному следует
добаиить, что, как мы уже отмечали ранее, S-иолноиые фазоиые
сдииги отличны от нуля и станоиятся исе более сущестиенными по
мере приближения энергии к нулю и области ниже резонансной энер-
энергии. Выше резонанса картина рассеяния усложняется эффектами
отдачи, и рассмотренная нами модель постепенно теряет смысл. Тем
не менее, как мы иидим, простая статическая модель может объяс-
объяснить большое число экспериментальных фактов и довольно широком
интериале энергий.
Рекомендуемая литература
L о w F. Е., Phys. Rev., 97, 1392 A955).
Chew Q. F., Low F. E., Phys. Rev., 101, 1570 A956).
Wick О. С, Rev. Mod. Phys., 27, 339 A955).
Chew G. F., Theory of Pion Scattering and Photoproduction „Handbuch
der Physik', Berlin (в печати).
Lehmann H., Syraanzlk K., Zimmermann W., Nuovo Clraento, 1,
205 A955).
С I n i M., F u b i n i S., Nuovo Cimento, 3, 764 A956).
F u b i n i S., Nuovo Clraento, 3, 1425 A956).
17»

Глава 19
СВОЙСТВА НУКЛОНОВ
19.1. Среднее значение поля. Изложенное в предыдущей главе
позволяет углубить наши сведения о свойствах нуклона. Средние
значения некоторых наблюдаемых величин, таких, как число мезонов
в облаке, их зарядовое распределение и их вклад в магнитный
момент нуклона, могут быть выражены через перенормированную
константу связи и сечение рассеяния.
В этом пункте мы вернемся к разложению по плоским волнам,
поскольку большинство наблюдаемых величин иыражается при этом
наиболее удобным образом. Рассмотрим в первую очередь вели-
величину ua(k, t) при t = Q, которая задается формулой A5.10) или
о
k, О.
Взаимодейстиие ^„(к, t) представляет собой „двойник" взаимодей-
взаимодействия, описываемого ураинением A8.5). Для основного состояния
Аа (к) 15) = 0, принимая во внимание гейзенберговскую временною
зависимость оператора a(t)*a(t), мы находим, что
При интегрировании в A9.2) был использован тот факт, что при
адиабатическом иыключении взаимодействия
Urn Г
a>0 •'
dte{ia>+a)t
'>0

Свойства нуклонов 261
Среднее значение мезонного поля равно при этом
Мы получаем, следовательно, тот же результат, который дает тео-
теория возмущений при замене / на /г. Хотя величину <р непосредст-
непосредственно измерить невозможно, полученный результат все же поучителен,
поскольку величина A9.3) связана с ядерными силами на больших
расстояниях (т. е. с одномезонным обменом, см. гл. 21) и с тсЛЛ-рас-
сеянием при приближающейся к нулю энергии.
19.2. Средние значения в основном состоянии. Чтобы изучить
наблюдаемые величины, которые квадратичны относительно поля f,
используем полный набор собственных состояний | out, п) оператора Н
и запишем
о
<5' | а\. (k') at (k)| S) = / dt dt'e1 ^-<a>t') <g' | V\. (k\ t) Va (k, t) \ S> =
Q nq4
~" B«)» 2 {««.')* T (En + ш) (En + ш>)
Здесь мы снова использовали иременнуЧо зависимость гейзенбергов-
гейзенберговских операторов.
Когда промежуточное состояние | out, n) является основным
состоянием, матричные элементы в A9.4) легко можно выразить
через /г. Для других промежуточных состояний выражение в правой
части можно связать с полным сечением. Это делается с помощью
A8.11) и A8.39):
— 2Im TVK,i/c = S T*n, VicTn. е*2*8 К — ш) =
где суммирование в Q' проводится по всем состояниям, за исклю-
исключением основного. Чтобы использовать A9.5), необходимо преобра-
преобразовать операторы проектирования применительно к представлению
т*..—..--

262
Глава 19
в виде плоских волн. В более подробных обозначениях мы имеем
Отсюда следует, что
k'-2VT.<» ¦ k'cr
„..¦ fc'. • k| 6).
-«J.k'«J.k)[?). A9.5a)
Уравнение A9.5) можно переписать в виде
S (S' | ха,» • п' | out. n) (oat, л | *.* • и | 6) » К — o>g) =
=a?FWrt 2 *&'*'.№->•>• A9'5б)
где п и п' — единичные векторы в направлениях к и к'. Умножая
A9.56) на [1/(ш+<«г)][1/(шЧ-шг)] и интегрируя по <од, получаем
(«о'
В качестве первого применения уравнения A9.6) вычислим среднее
число виртуальных мезонов, окружающих нуклон. С помощью A9.6)
находим
(a»,)
Г а R I
J Bл)э"
X J (О
3fr 1 /• d
l
2 ^
A9.7)
В A9.7) не подразумевается суммирования по |?), но величина
не зависит от состояния |?). Первый член соответствует перенорми-

Свойства нуклонов 263
рованному борновскому приближению!), которое отличается от зна-
знакомого нам по второй части книги выражения —p(d3kjwz) множи-
множителем fc2, возникающим из-за того, что теперь мы имеем дело
с Я-волновыми мезонами. Поскольку наш метод относится к физи-
физическим частицам, вместо / появилась величина /г. Интеграл j diog.. ..
представляет вклад высших приближений по рт.
Совершенно аналогичным образом получаем
(«I < *)«. (к) I *> =
а
со
и с соответствующими изменениями
(Я') =
Л а
(?| Va(k)|out, я) (out, п\ Уа (к) | S)
6_ f°dkk*?2(k) Г /г . 1 f° tfa)g
"~" я J ш 4i«o ' Збтс2 J q$2 (q)
Сравнивая A9.8) и A9.9), мы видим, что борновский член (#0)
равен половине члена — С^')> но Двойной интеграл в //0 меньше
половины двойного интеграла в Н'. Отсюда следует „теорема вириала"
Она означает, что взаимодействие Н' делает нуклон динамически
более легким.
19.3. Константы перенормировки и другие параметры стати-
статической модели. Для выяснения других свойств величины $0 следует
сперва обратиться к изучению параметров rj, r2, f2, <лтах, которые
существенны при описании нуклона в рамках статической модели.
1) В дальнейшем мы будем сокращенно писать ПБП.
18*

264
Глава 19
Ряд необходимых для этого соотношений можно получить, интегри-
интегрируя уравнения A9.56) по ш„:
к |
С другой стороны, средние значения можно найти, используя A7.5),
A7.3) и A8.32). Например,
—(в
Хк'кХк-к
A9.12)
Чтобы привести интеграл в (9.11) к виду, удобному для сравнения
с A9.12), используем A9.56)
Собирая результаты и приравнивая коэффициенты при 1, в - I —|—
и я ¦ 1ч • t, мы получаем
1
4°2
a2-2O3
1—Г21
A9.14а)
A9.146)
A9.14b)
В принципе соотношения A9.14) можно йспользовйТь для вычислений
неперенормированной константы связи и констант перенормировки
из наблюдаемых величин. Однако при расчетах возникает трудность,
связанная с тем, что область высоких энергий вносит существенный
вклад в интегралы A9.14), тогда как для этой области рассматри-
рассматриваемая модель не соответствует физической реальности. Взяв, напри-
например, комбинацию а+2б — Зв соотношений A9.14), найдем
J
4 J
da>n
A9.15)
поскольку из A7.13) мы знаем, что (l+2tj — 3r2)>-0. Экспери-
Экспериментально о2 составляет всего несколько процентов от о3 вплоть
до энергий '—'300 Мэв, так что Г о2</шл/[Аир2(Ап)] должен содержать
большой вклад от высоких энергий. Отмеченная трудность отсут-
отсутствует в уравнениях Лоу (гл. 18) для тс-мезон-нуклонного рассеяния
или в выражении для (N), где вклад в интегралы от области высо-

Свойства нуклонов 265
ких энергий подавляется благодаря присутствию одной или более
дополнительных степеней о> в знаменателе.
Тем не менее, если подставить данные по низкоэнергетическому
рассеянию1) в полученные нами соотношения (или в соотношения,
которые мы получим ниже) и оставить вопрос о высоких энергиях
открытым, можно составить достаточно хорошее представление о том,
каковы должны быть величины различных параметров, входящих
в теорию, чтобы она согласовывалась с экспериментами при низких
энергиях. Мы не будем подробно останавливаться на соответствующем
анализе [1], а заметим лишь, что при
/2
^-=0,08 и
-^- = 0,22, ^ = 0,37, Г.С19.16)
С=4,7, г, = 0,58 . I]-/-
удовлетворяется большое число соотношений и неравенств. 'Конечно,
г, и г2 не являются независимыми величинами и в принципе могут
быть вычислены через / и р. Согласно изложенному в гл. 17,
нет ничего несовместного в том, что константы гх и г2 имеют припи-
приписанные им численные значения, если р и /г выбраны в* согласии
с A9.16). Для понимания физического смысла величин х1 и г2 сле-
следует вернуться к соображениям гл. 17. Исходя из значения г, як 0,4,
мы находим, например, что вероятность обнаружения голого протона
(нейтрона) в состоянии физического протона равна 70% C0%).
С другой стороны, поскольку г2 » 0,5, мы заключаем, что вероят-
вероятность обнаружения голого протона со спином, направленным вверх,
и голого нейтрона со спином, направленным вниз, в состоянии физи-
физического протона с Jz = xli составляет 75%.
19.4. Собственная энергия нуклона. Средние значения A9.7) —
A9.9) можно вычислить, используя обрезание A9.16). Знаменатели
в интегралах по dvnn для этих величин оказываются Д9с.таточно
большими, чтобы наиболее существенный вклад вносила область
низких энергий, где 3/2, 3/2-резонанс доминирует в рассеянии. Мы
пренебрегаем поэтому величинами а1 и о2, а вместо о3 подставляем 2/3
измеренного полного сечения взаимодействия п+р. Множитель 2/3
появляется следующим образом. Система ic+/> всегда находится
') В нижеследующих данных использована величина вклада м'езониого
заряда в электромагинтные свойства нуклона. Этот вопрос кратко рассмотрен
ниже. ' ¦ . т »•
19 Э. Хенлн,. В. Тиррннг

266 Глава 19
в изоспиновом состоянии с 7" = 3/2, а ее угловой момент может иметь
два значения: ./—3/2 или J=1B. Вероятность первого из этих
состояний равна 2/3 [см. A6.37)]. При сделанных нами, упрощениях
оставшееся интегрирование по k производится элементарно, и мы
находим
(Л/)«1. A9.17а)
<Я0)»8. <Я0 + Я') = §0 = -11. A9.176)
Основной вклад в A9.17) дает ПБП. а величина поправочных членов
составляет около 20%. Поскольку интеграл по d3k содержит член
с k* в числителе, возникает большой вклад от энергий, близких
к о)тах, в особенности для A9.176). Так как применимость стати-
статической модели при энергиях —^ штах весьма сомнительна, к получен-
полученным числам не следует относиться слишком серьезно. Тем не менее
порядок величин, по крайней мере (Л/), должен быть правильным.
Что это действительно так, можно усмотреть из экспериментальных
данных по аннигиляции протонов с антипротонами, где среднее число
рождаемых тг-мезонов оказывается равным <~5 [2]. Отсюда возни-
возникает следующая возможная картина такого явления. Нуклонные керны
аннигилируют, рождая минимальное число тг-мезонов, равное двум
(если предположить сохранение энергии — импульса) или трем. Два
или три других мезона являются мезонами из облаков двух тяжелых
частиц. Получающееся число находится в хорошем согласии со сред-
средним числом мезонов, вычисленным выше.
Возвращаясь к нашему выражению для &0 [см. A9.8) и A9.9)],
мы можем вывести еще одно поучительное неравенство. Заметим
сперва, что все поправочные члены (под интегралом I du>a\ дают
вклады одинакового знака. Далее, для всех физических энергий ш„
0 < . 1_ . — . ¦\ ., < Л-» A9.18)
откуда, используя A9.14а), получаем
О
TajtHM образом, точное значение Ио лежит в интервале между бор-
новскими приближениями с перенормированной и неперенормирован-
ной константами связи. В пределе сильной связи (или в классическом

Свойства нуклонов 267
случае), когда /2=9/2, мы имели из A7.63)
/
О О
Это — среднее геометрическое от двух указанных пределов.
19.5. Распределение заряда и тока физического нуклона.
Магнитный момент. В заключение вычислим распределение заряда
и тока, связанное с мезонным облаком и приводящее к определен-
определенному магнитному моменту. Эти величины могут быть подробно
измерены (например, с помощью рассеяния электронов на нуклонах
при высоких энергиях) и представляют поэтому особый интерес.
Нам нужно теперь вычислить средние значения (?'|а„< (к') ав (к)|?),
т. е. амплитуды вероятности обнаружения мезонных пар в состоянии
физического нуклона. С этой целью мы воспользуемся уравнением
-~{aa,(k', t), a, (k, t))t_0 = l[H, аа.(к')аЛ(к)] =
= — / (» + ш') аЛ. (к') а. (к) — о., (к') W (к') — аа (к) Va (к). A9.21)
Учитывая, что матричные элементы между стационарными состоя-
состояниями постоянны, поскольку {Ь\[Н, 6]|i-) = Q и что а и V комму-
коммутируют, находим с помощью A9.1):
-1 of
(I) -|- CD
'| Кг, (к') I out, л) (out, л|У„(к)|«)
+ - -—-p—г . A9.22)
и аналогично для эрмитово сопряженной величины
«E'14 м v- <%
. B)(out, я|У.(к)|6)
Шл -f- (!>'
(S/1 У. (к) 1 otq, я) (out, я I У«. (кО | S)
«. (кО | S) 1
19*

268
Глава 19
Используя результаты и обозначения п. 19.2, получаем с помощью
описанных в этом пункте приемов следующий результат:
V\aa.(k')aa(k)\l) = —
X
¦ к) , т„<«-к)т„.<«-к')
1 я
(О и I
, A9.23)
<E'K,(k')*+(k)|$) = -D P,(^(P(^ 0 у
^>("-к;)^(а-Ю ¦«« («• к) у (а • kJ)
¦ * f
Эти формулы позволяют вычислить локальные величины, квадратич-
квадратичные по полю ^. Для плотности тока G.12) jn = — е(ф^ф2 — ^2^i)
находим
X <S'(.в, (k') es(k).H-.«J(— k') a2.(k) +.e, (k') a+ (— k) +
. k, k'
X
a, —
При выводе A9.24) было использовано тождество
Tjff ¦ kx2c • k' + x2c • k'tjff • k = — 2т3сг - k
-r • A9.24)
A9.25)
Можно упростить уравнение A9.24), проинтегрировав его по углам.
Заметим, что
J d4 йЧ'е1 »+*')¦'/ (к — к') (в • к X к') / (»,. ш') =
= V X

Свойства нуклонов 269
Последнее равенство легче всего доказывается, если, рассматривая
y-компоненту, переписать интеграл в форме
При замене переменных У2(к—к') = х и (к-)-к/)=К интеграл
приобретает вид
2 V (V X *)< / (РуиРК-*.^/ (<и, <а') e^* =
2 х
где Fj и F2 — произвольные функции. Член с F2 не вносит вклада,
поскольку применение к нему оператора (V X ff) Дает нуль. Для Fx
мы получаем &
Поэтому A9.24) можно переписать в виде
U| цЗ\Ч J Bя)в ^v (k+k')s
(k+k')s
X
2 1 °°
Л . l f d*n gt — 2g2-f°3
Поскольку интеграл в A9.26) зависит только от |г|, мезонный ток
оказызается перпендикулярным к <з и г в соответствии с направле-
направлением плотности магнитного момента »/(/") (см. фиг. 19.1). Для протона
ток положителен, а для нейтрона ток равен протонному по вели-
величине, но отличается знаком. Из A9.16) следует, что 70% тока обу-
обусловлены ПБП, пропорциональным величине (?|^| $")(?" jV^| ?), кото-
которая вносит вклад на больших расстояниях ~ <з X Ve~2rjr2. Последнее
замечание поясняет качественно известные из опытов по рассеянию
электронов данные [3], согласно которым ток, обусловливающий
наличие магнитных моментов у протона и нейтрона, размазан в про-
пространстве со средним квадратичным радиусом '—0,7- 10 cmxzv12.

270
Глава 19
Подобный же характер имеет и распределение заряда, которое
можно вычислить по аналогичной схеме!):
- в (ф2ф, - trfo =
4 S,(
<6 К-—-О К (к) а2(к>)-а+(-к) аЦ-W)]-
A9.27а)
3/
х
X
9u J ftnp= (*„) («„ + о») (а>п + <¦>') J '
поскольку
k =
к'.
A9.28)
Плотности заряда для протона и нейтрона (|Qx(r)|) также равны,
но противоположны по знаку, причем основной член, связанный
с ПБП, асимптотически ведет себя как е~2г/г2. Равные, но противо-
противоположные по знаку плотности заряда согласуются с простейшей
Фиг. 19.1. Соотношение между
мезонным током и направлением
спина.
картиной, в которой виртуальные процессы р—>ц-\-к+ на—>¦/>-{-я ~
образуют положительно заряженное облако вокруг протона и отри-
отрицательно заряженное вокруг нейтрона. Отсюда следует, что нейтрон,
в целом электронейтральная частица, имеет некоторую электрическую
структуру. В этом отношении он напоминает атом водорода, поло-
положительный внутри и отрицательный снаружи.
¦) Члены, пропорциональные a, (k') V2 (к), V, (к') а2 (к) и т. д., возни-
возникающие из произведений а,а2, i, аз и т. д., в выражении A9.27а) для Q (г)
сокращаются.

Свойства нуклонов
271
Чтобы получить полный заряд, необходимо сложить заряд голого
нуклона с зарядом облака. Представляется разумным предположить,
что первый из них имеет пространственное распределение —р(г) и,
¦следовательно, его можно представить как
При г,, заданном уравнением A9.16), мы получаем О.7р(г) для
физического протона и О,3р (г) для физического нейтрона. Следова-
Следовательно, ожидаемые распределения заряда нуклона, включающие голый
нуклон, имеют радиальную зависимость типа изображенной на
фиг. 19.2. Эксперименты не подтвержают такой картины [3]. В то
время как средний квадратичный радиус распределения заряда в про-
протоне,
равен 0,75 ¦ 10 13 см. как и предсказывает теория, нейтронный ра-
радиус оказывается гораздо меньшим, если не равным нулю. Наиболее
Голый нуклон
-Голый нуклон
Фиг. 19.2. Статистические распределения заряда физических
нуклонов.
правдоподобное объяснение этой загадки в настоящее время заклю-
заключается в том. что заряд тс-мезона сам размазан в пространстве
на расстояние порядка !/4')• Усреднение зарядового распределения
нейтрона на таких расстояниях заметно уменьшит среднеквадратич-
среднеквадратичный радиус, тогда как в случае протона это усреднение не будет
особенно существенным.
') Можно думать, что 'это происходит вследствие я — л-азаимодействка.
См., например, работу [4].

.272 Г лава 19
Полный заряд и полный магнитный момент тс-мезонного облака
можно получить непосредственно из наших результатов. Для заряда
dkk*
4я(о2 I Збя2 J
(k) (ш- 4- шJ '
A9.29)
Поскольку полный заряд, включающий вклад нуклонного распреде-
распределения, равен Q = Q^-\-QN, где
а величина Q для протона и нейтрона должна быть равна I или О,
то уравнение A9.29) представляет собой новое соотношение для г,.
Оно дает также верхний предел для <ити, поскольку заряд мезон-
ного облака не должен превосходить е. Даже если пренебречь
всеми сечениями, кроме з3, при слишком большой величине обреза-
обрезания comaic интеграл j dzk будет слишком большим. Эти соображения
были решающими при определении величин штах и г, способом,
изложенным в п. 19.3. Как и следовало ожидать, член,, соответ-
соответствующий ПБП для QK, равен члену ПБП для (N), умноженному
на 2е/Ъ. [см. A9.7)], поскольку A6.34) показывает, что протон две
трети времени проводит распавшись на «-)-it+ и одну треть —
на р + Л
Для магнитного момента мы получаем с помощью интегрирова-
интегрирования по частям:
е Г
СО '
dkk*P2(
X
L *i
а!а>я Uj — 2о2 ¦
A9.30)
Можно ожидать, что магнитный момент, измеренный в ядерных
магнетонах, окажется равным по порядку величине
(Среднее число мезонов) X (Отношение массы нуклона к мезону).
Последнее обстоятельство связано с тем, что магнитый момент
бесспиновой частицы с /== 1 равен отношению масс, умноженному
на магнетон, связанный с частицей, имеющей спин 7г- Эксперимен-
Экспериментально

Свойства нуклонов 273
так что момент мезонного облака оказывается правильно направлен-
направленным. Однако для экспериментаторов, измеряющих эти величины
с точностью до пяти значащих цифр 1), желательно было бы, конечно,.
сделать более точный расчет. Более тонкий анализ выглядит сле-
следующим образом. Как мы нашли из A6.34), для обоих нуклонов
и вероятность обнаружения заряженного виртуального мезона, и
вероятность, что такой мезон будет иметь /г=1, равны 2/3. Далее
следует принять зо внимание релятивистскую массу мезона (т. е. его
полную энергию <о). При этом следует ожидать, что
Если интерпретировать Л//ш как Г N (k) dk/u>, мы получим из ПБП
в формуле A9.7)
9 я J <о2 4яа>2 '
что составляет половину от ПБП в A9.30). Это объясняется тем,
что при наших вычислениях мы сохраняли в выражении для j только
члены, пропорциональные а+а. С другой стороны, члены аа и afa*
вносят в ПБП вклад такой же величины, так что такой более утон-
утонченный анализ дает результат, отличающийся вдвое от верного2). Если
со
включить теперь вклад от I йшп . . ., то точный результат при учете
1
A9.16) будет иметь вид
1.3 ядерных магнетонов. A9.31)
Это довольно малое значение связано с тем фактом, что боль-
большинство мезонов имеет высокую энергию, так что эффективное
отношение масс равно --— ^1штах.< а не М. Чтобы обсудить смысл
(9.31), введем изовекторную и изоскалярную части <уЦ с помощью
равенства
где, как известно из эксперимента,
«И, = 2.35. 2^ = 0,45.
Мезонное облако вносит в 3lv вклад, равный 1,3 ядерного магнетона,
так что один дополнительный магнетон в 2)?о и всю величину 2№s3)
') Для справок можно обращаться, например, к статьям [5] и [6].
2) Результат теории сильной связи равен правильному ПВП, умножен-
умноженному на 3/4, См. статью [7].
') Заметим, что в пределе сильной связи 2KS = 0, поскольку (а) = О
безотносительно к предположению о вкладе нуклонного керна.

•J74 Глава 19
¦следует объяснять другими явлениями. Возможно, что нужно учиты-
учитывать магнитные моменты голых протонов, антинуклонов, тяжелых
мезонов, гиперонов и т. д. По-видимому, они могуть дать довольно
существенные поправки к величине <уМ. Мы увидим в следующей
главе, что статическая модель не в состоянии правильно предсказать
электромагнитные явления на малых расстояниях (внутри нуклон-
ного керна), и это не должно удивлять нас. В заключение можно
сказать, что только первая цифра магнитных моментов может быть
понята в рамках простой статической модели, и пройдет еще немало
времени, пока мы сможем вычислить остальные четыре измеренные
цифры.
Рекомендуемая литература
Cini M., Fubini S., Nuovo Cimento, 3, 764 A956).
F u b I n i S., Nuovo Cimento, 3, 1425 A956).
Miyazawa H., Phys. Rev., 101. 1564 A956).
Fubini S., T h i r r i n g W., Phys. Rev., 105, 1382 A959).
Salzraan G.p Phys. Rev., 105, 1076 A959).

Глава 20
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
20.1. Выражения для операторов заряда и тока. Электро-
Электромагнитные эффекты представляют собой важное средство для изуче-
изучения тс-мезон-нуклонных систем. Свойства взаимодействия фотонов
с веществом хорошо известны1) и поэтому их можно использовать
для получения дальнейших сведений о структуре нуклона и его взаимо-
взаимодействий с тс-мезонами. Электромагнитные свойства нуклона частично
были уже описаны в предыдущей главе, теперь же мы рассмотрим
фоторождение мезонов и рассеяние фотонов на нуклоне (комптон-
эффект).
Для этой цели в первую очередь следует определить полные
плотности заряда и тока в статической модели. Плотность заряда
состоит из вклада мезонов 2)
Q. (г) =«(&#! — Ф1Ф2) B0.1)
и вклада голого нуклона
QN(r) = e±4p-P(r). B0.2)
При этом предполагается, что пространственное распределение Qv
обусловлено виртуальными частицами, образующими источник3).
Аналогично оператор мезонного тока имеет вид
а оператор тока голого нуклона обусловлен его нормальным (дира-
ковским) моментом и вкладом от других виртуальных частиц. Эта
') Статическая модель предполагает некоторые оговорки, которые
вскоре будут сделаны.
*) В этой главе нам будет более удобно описывать мезонное поле
с помощью плоских волн, поскольку величины QK (г) и )ж (г) потребуется
знать не только в Р-состояниях.
3) Строго говоря, голый нейтрон должен был бы также иметь плотность
заряда со средним значение'м, равным нулю; мы пренебрегаем, однако, этим
эффектом.

276 Глава 20
часть должна выражаться через нуклонные операторы х и а; мы
предположим, что ее дивергенция равна нулю и что следовательно,
Mr.) = VXpw(r), B0.4)
где величина {4^у(г) связана с частью магнитного момента. Ее вид
мы вскоре определим. Единственное свойство тока }N, которое по-
понадобится нам (до тех пор пока этот оператор не будет определен
более детально), это его независимость от операторов порождения и
поглощения мезонов, так что
Сумма рассмотренных выше зарядов и токов не может представлять
полный ток, поскольку соответствующее уравнение непрерывности
Q(r, f)-|_V.j(r, 0 = 0 B0.5)
не выполняется внутри источника. Используя уравнения поля A5.7)
и A5.8) с взаимодействием Н', мы находим
Qx(r, O + V-jx = «/K(O#, —^(O^leW-VpCr) B0.6)
и
QN(r,
= «/p (!¦)*(*)• JVr'I*! @*2 О". 0 —^2@*1 (Г'. 01 Vp (/"О- B0.7)
В пределе точечного источника это дает
где
J7 = */83(г)» Ы9 ifc,(г. /) —-b,(flfcCr. *)]• <20-8>
Таким образом, уравнение B0.5) удовлетворяется, если полный ток
включает „ток взаимодействия) },. Физическая причина, заставляю-
заставляющая нас вводить },, состоит в следующем. Когда протон испускает
тс+ -мезон, превращаясь в нейтрон, заряд QN(r) внезапно исчезает и
переходит от источника к мезонному обляку. Уравнение непрерыв-
непрерывности требует тогда, чтобы существовал ток, переносящий заряд
от нуклона к облаку. При этом существенно, что плотность Р-вол-
новых мезонов равна нулю в начале координат, и поэтому заряд
от нуклона не может быть передан мезонам без специального тока.
В скалярной теории, где Н' пропорционально не и ¦ \ф, а просто f
(т. е. взаимодействуют S-волновые мезоны), уравнение непрерывности
удовлетворяется без тока типа j,.
') Формально этот ток можно получить, вводя комплексные поля и
заменяя V* на V* — 1е\Ф в выражении для //'. Это приводит к появлению
добавки А • j7 в //'.

' Электромагнитные явления 277
Для протяженного источника уравнение непрерывности все еще
не выполняется внутри источника, даже если заменить 53(г) в урав-
уравнении B0.8) на р(г). Мы можем ввести дополнительные [1—2] токи
с тем, чтобы удовлетворить уравнению непрерывности внутри источ-
источника; однако эти токи определяются не однозначно и оказываются
несущественными. На этой стадии необходимо обратиться к реляти-
релятивистской локальной теории, которая в статическом пределе дает три
рассмотренных типа токов. При этом уравнение B0.5) удовлетво-
удовлетворяется для протяженного источника, если проинтегрировать его по
области, содержащей источник1):
j] = O. B0.9)
Суммируя сказанное, можно утверждать, что предсказания ста-
статической модели, касающиеся электромагнитных явлений, должны
быть ие столь определенными, как относящиеся к чисто тс-мезонным
проблемам.
Установив вид нужного нам тока, изучим теперь свойства от-
отдельных его частей. Средние значения jx и <?тс(г) в состоянии физи-
физического нуклона были рассмотрены в предыдущей главе. Поскольку,
однако, эти операторы билинейны по ф, они содержат не только
другие угловые моменты, но, например, интерференционные члены
между S- и Я-волнами или между D- и Я-волнами. Члены этого
типа особенно существенны при электрических дипольных переходах,
при которых требуется изменение четности и углового момента на
единицу. Но так как мы будем иметь дело с фотонами, для кото-
которых длина волны Х_<! 10~13 см или /гр1, !>, 200 Мэв, то разложение
этого члена по мультиполям может оказаться не вполне приемлемым.
Ток }j принципиально состоит в основном только из S-волн2), по-
потому что он равен нулю вне источника, а внутри источника
см.
Другие угловые моменты начинают играть роль в токе jr только npv.
более высоких энергиях фотона.
Относительно тока j^ известно очень немного, поскольку на-
наглядное представление о том, что он равен току дираковской
частицы для голого протона и нулю для голого нейтрона, приводит
к существенному отличию от наблюдаемых магнитных моментов.
1) Это не очень жесткое условие. Оно выполняется даже в отсутствие
тока )]¦
2) Вследствие этого можно также ожидать, что j. не будет вносить
существенного вклада в магнитные, моменты.

273 Глава 20
К счастью, в дальнейшем будет играть важную роль ожидаемое зна-
значение полного тока между физическими состояниями нуклона, а его
можно связать с наблюдаемыми магнитными моментами. Рассмотрим
k-ю фурье-компоненту матричных элементов полного тока j(^j
между состояниями нуклона. Эта величина должна быть полярным
вектором, зависящим только от в, к и т3. Уравнение непрерывности,
согласно которому
k-<5|j(k)|5> = 0.
ограничивает возможный вид матричного элемента') значениями
B0.10а>
В статическом пределе (т. е. при к->0) член в скобках в B0.10а)
соответствует полным магнитным моментам протона и нейтрона. Это
следует из того факта, что
<*« = Urn 4" Г [rXj(r)]«"'ra = -L Urn Vk X fj (r)e^dsr.
При этом мы замечаем, что
/-.m-Jfej*. r,TO_3b+BL. B0.1(и)
Поскольку член ПБП для j,, вне источника пропорционален функ-
функции е~2г/г2 (см. гл. 19) и поскольку другие вклады связаны с ис-
источником, а, следовательно, еще более сконцентрированы около
начала координат, мы ожидаем, что формфакторы Fv и. Fs должны-
быть приближенно равны своим статическим значениям вплоть до
k Sr 22). В дальнейшем мы пользуемся этими значениями. По-
Поскольку среднее значение j^ известно, можно было бы с помощью
B0.10а) дать более детальное определение j^. Однако можно этого
и не делать, поскольку в интересующих нас приложениях мы встре-
встретим только среднюю величину полного тока.
20.2. Амплитуды рождения. Обратимся сначала к процессу
фоторождения мезонов, т. е. к реакции типа -\-\-N ->N -\-ъ. В этом
') Мы рассматриваем величину j(—k), поскольку она удобнее для
дальнейшего обсуждения. Величина
2) Эти формфакторы совпадают с формфакторами в случае рассеяния
электронов на протонах, и анализ экспериментов подтверждает сделанное
в тексте утверждение. См. статью [3].

Электромагнитные явления 279
процессе участвует не только it-мезон-нуклонная система, но и поле
излучения. Для его правильной трактовки следует проанализировать
гамильтониан
где //т—гамильтониан свободных фотонов, a //jnt — гамильтониан
взаимодействия фотонов с заряженными частицами.
Мы не будем входить в детали квантования поля излучения') и
приведем лишь соответствующие основные факты. Свободный гамиль-
гамильтониан //т описывает свободные фотоны — частицы без массы, спин
которых равен единице, но уг-компонента спииа может быть напра-
направлена либо параллельно, либо антипараллельно их импульсу. В раз-
разложении по угловым моментам, как оказалось, отсутствуют одно-
частичные состояния с угловым моментом, равным нулю. Для I Ф О
они могут иметь любую четность. Фотоны с четностью (—1)' назы-
называют электрическими фотонами с мультипольностью /, когда же
четность их равна (—1) + , их называют магнитными фотонами
с мультипольностью /. Гамильтониан взаимодействия имеет вид
Нш = — J>rA(r)-j(r), B0.12)
где вектор-потенциал А (г) построен обычным образом из операторов
рождения и поглощения фотонов.
Наша цель состоит в том, чтобы найти вероятность перехода
из начального состояния f-f-iV в конечное iV-J-тс. Мы вычислим ее
с помощью „золотого правила" (8.27) Ситуация упрощается вслед»,
ствие того, что взаимодействие Hmt — слабое, и поэтому при расчете
по теории возмущений2) в разложении по степеням е2 можно заме-
заменить Тfi на соответствующий матричный элемент от 7/int-
В соответствии с этим получаем
(out.
= e(out. Л/Н-тс jj (— k)|iV)B&rVj. B0.13)
Здесь предполагалось, что начальный фотон имеет импульс к, век-
вектор поляризации г и что его волновая функция нормирована на
') Это квантование аналогично квантованию поля, рассмотренному в этой
книге, с той разницей, что спин фотонов равен 1, и все фотоны поперечны.
См., например, книгу Шиффа D].
г) Взаимодействие гс-мезонов рассматривается .точно*.

280 Глава 20
одну частицу в единичном объеме, так что')
В первую очередь выведем интегральное уравнение для матричного
элемента от фурье-компоненты полного тока ] (—к). С помощью A9.1)
мы получим соотношение, подобное уравнению Лоу2):
(out, W + *k..|J(—k)|W> = <5'|[?.(k').
= {%'\ a..(k<) + / Va (k')«'-' dt, j (— k) | ?> =
<?' l j (— k) | out, n) (out, n 1 У, (k') | S) 1
, o, r(S/l^(k/)|out,ra)(out, я | J <— fc> 1 E> ,
-ГО I ~ En — со — te !~
(S'lH-k)lout, n) (out, я 1^(^I0 ] ,„0 J
Среднее- значение в "однонуклонном состоянии можно легко вы-
вычислить с помощью рассмотренного ранее выражения для j. Исполь-
Используя соотношение
!) Как и в случае атомного фотоэффекта, вектор-потенциал А можно
трактовать как классическое поле. Это дает тот же результат, что и B0.13),
причем с самого начала подразумевается, что матричный элемент по фотон-
фотонным переменным уже вычислен.
2) Напомним читателю, что §' означает суммирование только по со-
а
стояниям непрерывного спектра.

Электромагнитные явления 281
мы находим для коммутаторов:
[в. (к'). h (- кI = [в. (к'). / ^ (*,& - ъФд ^r2 Ф (г) в]
[ал (к'). & (г) Vf2 (г) — fc (г) Vfc (г)] в»" =
Bк' - к> е' (к"к')"Г- (
Чтобы определить среднее значение суммы выписанных коммутато-
коммутаторов в однонуклонном состоянии, можно воспользоваться уравне-
уравнением A9.3). Тогда
<«'I [e« (kO- J (-к)] 15> = ^ff'"^ E'I (^8а> 2- тА, х) X
Соответствующий матричный элемент тока j равен [см. B0.10) при
F (**)¦« Z7 @)]
'| J(-k) |6>=-/«'| а X k (i+2s.gRp + -Ц^- 3»,) |?). B0.17)
Если принять, что энергия мезона о/ = k (как предписывает закон
сохранения энергии), воспользоваться A9.1) и учесть, что из усло-
условия V • А = 0 вытекает к • е — 0, то для амплитуды фоторождения
получается следующее выражение:
<out. V. «t'|"i~.|E. Т.)=—'{E'1 (^¦>("?Г'") X
. Л' Г (€' | Уд (к') \ out, га) (out, га | j (—к) 1 S) .
„ L (Еп — со ie)Ba>')''*
. (V | j (— к) | out, га) (out, га | Ух (к') | ?)
Взяв значения магнитных моментов из эксперимента, мы снова находим,
что однонуклонные члены совпадают с перенормированным борнов-
20 Э. Хенлн, В. Тиррннг

282
Глава 20
ским приближением. Смысл отдельных членов в уравнении B0.18)
следующий. Первый член в правой части существует только для
заряженных мезонов и соответствует поглощению фотона мезоном —
как и при обычном фотоэффекте. Он состоит из двух частей, из
которых первая связана с током j, (пропорциональна к') и соответ-
соответствует поглощению фотона мезоном из нуклонного облака, а вторая
обусловлена током j7 (пропорциональна *) и соответствует поглощению
фотона мезоном в процессе рождения. Оба эти вклада показаны
Фиг. 20.1. Диаграммы, свя-
связанные при изображении
фоторождення заряженных
мезонов со следующими
членами в матричном эле-
элементе: (а) [аа (k'), j« (— к)],
(б) К (к'). И~кI-
графически на фиг. 20.1. При процессе на фиг. 20.1,6' мезоны
рождаются -в основном в S-состоянии, в то время как процесс,
изображенный на фиг. 20.1, а, содержит все угловые моменты, свя-
связанные с запаздывающим знаменателем 1/[(к'— кJ -f— 1 ]. Последний
эффект возникает из-за того, что пространственная протяженность
j^ (lO~13 см) не мала по сравнению с длиной волны фотона, имеющего
энергию, достаточную для рождения реального мезона, так что разло-
разложение по степеням отношения первой нз этих величин ко второй
сходилось бы довольно медленно. Члены, пропорциональные магнитным
моментам, соответствуют поглощению мезона магнитным моментом
нуклона, сопровождающемуся испусканием мезона, как это показано
на фиг. 20.2. Это единственные члены, которые приводят также и
к рождению нейтральных ir-мезонов. Можно было бы ожидать, что
эти члены имеют порядок l/М по сравнению с теми, что изображены

Электромагнитные явления 283
на фиг. 20.1; однако, поскольку Wtp—2Й„ = 4,7, они могут ока-
оказаться сравнимыми с остальными.
Члены, содержащиеся в Q', соответствуют многократным столкно-
л
вениям уже рожденных мезонов. Их вычисление представляет собой
сложную, но разрешимую задачу [4]. К счастью, основную поправку,
связанную с многократным рассеянием, можно найти и не решая
интегрального уравнения B0.18) для амплитуды рождения. В соот-
соответствии с нашими сведениями относительно тс — iV-рассеяния, мы
ожидаем, что многократное рассеяние приведет к возрастанию ампли-
амплитуды в 3-м состоянии и уменьшению амплитуды в других состояниях.
Далее, оказывается, что эти поправки приводят в основном к изменению
членов, обусловленных магнитным моментом нуклона (фиг. 20.2), и
мало влияют на члены, обусловленные фотоэлектрическими эффектами
(фиг. 20,1). Причина этого заключается в том, что при процессе,
изображенном на фиг. 20.1, а, фотон поглощается мезоном, находя-
находящимся на довольно большом расстоянии от источника (в облаке).
Такой мезон имеет поэтому значительную вероятность быть испущен-
испущенным без дальнейших взаимодействий. Что же касается процесса на
фиг. 20.1, б, то здесь рождаются мезоны- в 5-состоянии, испускае-
испускаемые затем без всякого взаимодействия1). С другой стороны, члены,
соответствующие диаграмме на фиг. 20.2, существенно меняются из-за
поправок высших порядков по /. Их можно вычислить, если ввести
ток ]'N, зависящий только от операторов аг и х (но не от мезонных
операторов),
где
h{ k)B^*Xk 2s, *
Согласно определению этого тока, мы имеем
<$' | j (- k) | V) =* {%' | У„ (- к) 15> и [ая (к'), j^ (- к)] = 0.
Следовательно, если j=(j—}'N)-\-}'N> то коммутатор первого члена
с мезонным оператором поглощения aa(W) остается равным B0.15),
и в то же время не вносит вклада в члены, связанные с магнитными
') Можно было бы думать, что рассеяние в 5-состояннн, опущенное
в нашей модели, будет существенно меаять этот вклад и, следовательно,
низкоэнергетическое поведение сечения. На самом деле этого не происходит,
как показали Дрелл, Фридман и Захариазен [6]. Предельная форма сечения,
полученная нами при низких энергиях, остается справедливой н в реляти-
релятивистском случае и известна под названием теоремы Кроля — Рудермана [7].
20»

284
Глава 20
моментами B0.17). Иными словами, амплитуда, обусловленная
частью тока, удовлетворяет следующему интегральному уравнение
_J_<out, Vt ak'|e.(j_j
2(k' — k)o-k'
g>
lV.(k')|out. n)(out, n|j(-k)-j
n — » — «0
•к) — jv(— к),\ out, n) (out, n I V- (k') I 6) 1 )
' V. Г
( }
Уравнение B0.19) совпадает с B0.18) с той разницей, что в нем
отсутствуют члены, содержащие магнитные моменты. Мы уже i
Р
а
р(п)
6
pin)
Фиг. 20.2. Диаграммы,
соответствующие фоторож-
денню нейтральных и_ за-
заряженных мезонов вслед-
вследствие взаимодействия фото-
фотона с магнитным моментом
нуклона.
выяснили, что поправки, связанные с многократным рассеянием, несуще-
несущественны для членов уравнения B0.19), поэтому сохранение только
борцовского приближения должно быть достаточно удовлетворитель-
удовлетворительным. Возвращаясь к току j^, мы в первую очередь замечаем, что
матричные элементы
(out, V, k'|Jj5>
можно непосредственно выразить через амплитуды рассеяния, по-
поскольку они включают лишь матричные элементы 9 и t между
нуклонным состоянием ;; состо' нием нуклон -(-ir-мезон". Чтобы
сделать это явным образом, можно ьоспользоваться разложением по

Электромагнитные явления
собственным состояниям углового момента. и изоспина с помощью
операторов проектирования. При этом матричный-элемент перехода
в 3/2, 3/2-состояние будет сравним с B0.19), в то время как остальные
члены останутся малыми. С помощью A8.6) можно выразить матрич-
матричный элемент
(out, $'. k'K'-kXtlS)
через амплитуды рассеяния. Проще всего это делается в представле-
представлении через плоские волны. При этом следует брать операторы проекти-
проектирования в виде A9.5а) и заменить множитель k{^m)~x в A8.25),
характеризующий плотность состояний, на 4//1
Из этого соотношения сразу получаем'), что
\ vul| S » П м> I С J я \ ¦*/ I ^ / (/ —
2r
,
= fr Г7з П Зз, а. '
X !2k'¦kXe — iar-k'X(kXs)]- B0.19a)
Найденная величина равна члену ПБП из уравнения B0.18), умно-
умноженному на отношение истинной амплитуды рассеяния к ампли-
амплитуде ПБП. Рассматривая }s. мы убеждаемся, что его матричные
элементы несущественны по сравнению с вычисленными нами раньше
главными членами, а именно с B0.19) и B0.19а). Это частично
обусловлено тем, что is не может приводить к конечному 3/2, ^-состоя-
^-состоянию, а частично тем, что 2R -f-3Kn < -j- (Tip—2№„). Поэтому в даль-
дальнейшем мы опустим величину js. Поскольку B0.19а) представляет
собой тогда единственный член2), ответственный за рождение тг°-мезо-
') Напоминаем, что наша новая кинематика такова, что <¦> = k = <¦>' ---
т= (if;'2 +1) , и 53 следует брать именно при этой энергии.
2) На самом деле существует еще небольшая амплитуда рождения я°-мезо-
пов в S-состоянии, связанная с 5'рассеянием и отсутствующая в нашей
модели. '
20 Э. Хеили. 8 Тирринр

286 Глава 20
нов, мы можем связать сечение рождения тс°-мезона непосредственно
с 1с°-мезонным рассеянием:
)- B0-196)
В итоге получается следующее хорошее приближение для довольно
сложной амплитуды рождения:
X Bтс)
X [2к' • к X 8 — let ¦ к' X (к X е)] ОбЛо). B0.20)
20.3. Общие свойства сечения. Сечение фоторождения можно
вычислить с помощью „золотого правила" из амплитуды B0.20).
Результат имеет чрезвычайно громоздкий вид, однако его физический
смысл и основные черты можно понять с помощью простых рассу-
рассуждений. Для изображенного на фиг. 20.1, а процесса рождения
мезона из облака поперечное сечение должно быть по порядку вели-
величины равно
о = (Вероятность попадания фотона в мезонное
облако) X (Вероятность присутствия в этот
момент мезона) X (Вероятность поглощения
фотона мезоном в Р-состоянии) X (Вероятность
выхода мезона из облака в единицу времени)
X (Падающий поток фотонов)" =
Это сечение очень быстро возрастает с импульсом мезона и исчезающе
мало у порога рождения. Вклад тока j7 (фиг. 20.1, б) определяется
таким же путем, но в нем отсутствуют множители к' и к2, поскольку
мезон рождается в 5-состоянии, так что 1)
f2 e? k'
" <20-21б>
') Более точно получается a^k'lta, и эта зависимость отложена на
фиг. 20.3. Около порога рождения <¦> « 1, и разница между этими выра-
выражениями мала.

Электромагнитные явления
287
Энергетическая зависимость этих двух членов иллюстрируется на
фиг. 20.3. Полученные оценки снова отражают характер точного
решения лишь при малых энергиях, когда вероятности невелики.
Вообще пороговое поведение определяется законами сохранения чет-
четности и углового момента. Различные возможности перечислены
в табл. 1. Из нее видно, что линейный рост а, с импульсом пред-
представляет собой проявление псевдоскалярной природы тс-мезона. Для
скалярных частиц основным ниакоэнергетическим процессом было бы
о <' as
',2
14
to
1,6
J,8
Фиг. 20.3. Качественная энергетическая зависимость сечения
рождения мезона из облака нуклона, о (см. фиг. 20.1, а), и сече-
иия рождения, связанного с током взаимодействия <j/
(см. фиг. 20.1, б).
поглощение электрического дипольного фотона мезоном в 5-состоя-
нии, который испускался бы затем в Р-состояиие. При этом порого-
пороговое поведение сечения было бы не — k!, а — k' , как при атомном
фотоэффекте. Разница проявляется также в угловом распределении,
которое изотропно для тс-мезонов, испускаемых в 5-состоянии, и
—^sin26 для Р-волновых тс-мезонов, поскольку угловой момент на-
направлен вдоль импульса фотона.
В окрестности резонансной энергии (о/»—- 2, или при энергии
¦^-квантов 300Afae в лабораторной системе) вклад от изовекторного
тока \v становится существенным. Когда в процессе рождения
20»

288
Глава 20
Таблица 1
Тип %-меэона
Скалярный
я-мезои
Псевдо-
Псевдоскалярный
«•мезон
Электрический диполь (еУ
Магнитный диполь (# =
Электрический диполь (<?
(
Магнитный диполь (# = -
= -!)/= 1,
+ 1) / = 0, J -.
= -1)/ = 0,
т-1>' = 1. J-
J =rs
1
~ 2
J ~~
1
= T
1 3
2 ' 2
1
T
)
3
Зависимость
сечсипя от
импульса
k'*
k'
U'5)
преобладает одно состояние, угловая и энергетическая зави-
зависимости сечения чрезвычайно просты. Так угловое распределение
при 3/2> 3/2-резонансе получается посредством усреднения по двум
возможным спиновым состояниям нуклона в начальном состоянии.
Нз'Клонный спин можно квантовать вдоль направления спина фотона,
а последний можно выбрать параллельным импульсу фотона. Даль-
Дальнейшее усреднение по фотонному спину не дает ничего нового, и
мы получаем [см. A6.37)]- -
Угловой момент
*' Z^~O
Начальное
состояние
117> ^^)
Конечное состояние
Itl)
Относительный
вклад в da/dS
}_f 1 yl |2 , 2
Множитель (х/з) в случае антипараллельных спинов появляется
потому, что начальное состояние находится в состоянии с J=3f2
с вероятностью '/з и в состоянии с J=lj2 с вероятностью 2/3. Тогда
полное угловое распределение для мезонов, порожденных в состоя-
состоянии с У— 3/2 имеет вид
10 |,Л |2 , 2 |„0|2 о , о.Ш2^ B0.22)

Электромагнитные явления
289
Поскольку в состоянии с Т = 3/2, Тг= — Ч2 число нейтральных
мезонов вдвое больше числа заряженных [см. A6.35)], отношение
сечений рождения нейтральных и заряженных мезонов в состоянии
200 250 300 350 400
Энергия фотонов (в лабораторной системе), Мзв
450
Фиг. 20.4. Полные сечения фоторождения те+- и те°-мезонов на протонах
в зависимости от энергии фотона в лабораторной системе отсчета.
Экспериментальные данные по рождению iO-мезонов получены в работах |8j и [9|. Сплош-
Сплошная кривая для фоторождения х«-мезонов соответствует вкладу в сечение B0.19а), обусло-
обусловленному только током jv (см. [81). Данные по рождению *+-мезонов при высоких энер-
энергиях усреднены по работам [10—11|. Низкоэнергетическне данные получены в работе A2)»
Пунктирная кривая произвольна, она проведена по экспериментальный точкам и иллюст-
иллюстрирует ннзкоэнергетнческое поведение (ем. фиг. 20.3).
с T = J—3j2 равно 2. В окрестности резонанса' энергетическая зави-
зависимость сечения, согласно B0.19а), задается выражением
ГГ,
где vi=
B0.23)
20.4. Сравнение с экспериментом. Экспериментальные данные
по полным сечениям фоторождения заряженных и нейтральных мезо-
мезонов приведены на фиг. 20.4. Как резонансное, так и пороговое пове-
поведение качественно согласуются с предсказаниями простой статиче-
статической модели. Для нейтральных мезонов экспериментальное сечение

290
Глава 20
рождения при малых энергиях много меньше сечения рождения заря-
заряженных мезонов; однако при энергии, близкой к резонансной, их
величины сравниваются. Во всей этой области энергий сечение ро-
рождения тс°-мезонов хорошо описывается формулами B0.196) и B0.23).
Сплошная кривая на фиг. 20.4 дает вклад тока jv согласно B0.19а).
Описание рождения тс+-мезонов нуждается в некоторых уточнениях,
связанных в основном с эффектами отдачи [13], но в общем вполне
удовлетворительно укладывается в рамки теории. Вклад добавочных
Фиг. 20.5. Дифференциальное сече-
сечение рождения л°-мезонов с энер-
энергией 300 Мэв в лабораторной системе.
Экспериментальные точки взяты из работ
[9,15, 16]. Пунктирная кривая изображает
функцию 2 + 31п*Э, которая должна давать
угловое распределение при рождении иезо-
НОВ В ЧИСТОМ У=Г = >/2 СОСТОЯНИИ.
Г
0 30 вО 90 120 150 180
Угод рассеяния (о системе центра масс), град
электрических дипольных членов и вклад высших мультиполёй при-
приводит к тому, что сечение рождения и + -мезонов оказывается больше
половины сечения рождения тс°-мезонов, как это должно было бы
быть, согласно соображениям, приведенным в конце предыдущего
пункта. Нйзкоэнергетические данные соответствуют формулам B0.21)
при /?/4тс ss 0,07, что хорошо согласуется с величиной константы
связи, полученной из экспериментов по мезон-нуклонному рассеянию.
Угловое распределение 7с°-мезонов в области резонанса также
хорошо согласуется с нашей моделью и определяется функцией
B0.22). На фиг. 20.5 проводится сравнение с экспериментальными
данными при энергии 300 Мэв. Для тс+-мезонов около порога ро-
рождения модель предсказывает рождение в S-состоянии и, следова-
следовательно, сферически симметричное угловое распределение. Это и имеет
место в пределах экспериментальных ошибок при 175 Мэв B5 Мае
над порогом), как показано на фиг. 20.6. При более высоких энер-
энергиях появляются интерференционные члены от поглощения электри-
электрических и магнитных квантов. Поскольку с последними связана фаза

Электромагнитные явления
291
ехр(/83), интерференционный член быстро меняется в окрестности
резонанса. Это проявляется в сдвиге максимума углового распреде-
распределения из области углов, близких к 180°. в область малых углов
в этой области энергий. Сравнение углового распределения с пред-
предсказанием статической модели приведено иа фиг. 20.6 для энергии
несколько меньшей резонансной, — при 260 Мэв. Таким образом,
теория успешно предсказывает такие тонкие эффекты, как относи-
относительный сдвиг фаз амплитуд электро- и магниторождения.
Фиг. 20.6. Дифференциальные сече-
сечения рождения я+-мезоиов при
175 Мэв (кружки) и при 260 Мэв
(в первом случае точки взяты из
работы [12]).
Данные, относящиеся к высоким энергиям,
взяты из работ [10, llj. Пунктирная кривая
соответствует рождению в чистой 5-состоя-
нни. Кривая высоких энергий взята из ра-
работ [17|.
О 40 30 120 160
Угол рассеяния (в системе центра масс), гр
Учитывая неоднозначность описания электромагнитных явлении
в статической модели и тот факт, что мы пренебрегли взаимодей-
взаимодействием 5-волновых мезонов с нуклонами, следует признать получен-
полученное согласие весьма примечательным ')• В частности, следует под-
подчеркнуть, что фоторождение заряженных и нейтральных it-мезонов
дает два новых независимых способа измерения величины fr, причем
оба получающихся значения согласуются с. величиной, найденной из
it-мезонного рассеяния.
20.5. Комптоновское рассеяние. Другое электромагнитное явле-
явление, для которого существенно 3/2, 3/2-состояние, — это рассеяние
фотонов на нуклонах. Оно представляет собой эффект второго порядка
по величине е, и мы упомянем лишь основные результаты. Нормальное
(томпсоновское) рассеяние включает трансляционные степени свободы
таким же образом, как электронный комптон-эффект. Начзльный
фотон встряхивает протон, который затем испускает рассеянный
фотон. Вследствие большой массы протона это дает исключительно
') При сравнении статической модели с экспериментом все появляю-
появляющиеся в формулах значения энергии предполагаются отнесенными к системе
центра масс.

292 Глава 20
малое сечение —е2/М2—10~31 см2. С другой стороны, из-за нали-
наличия возбужденного состояния нуклона имеется вероятность резонанс-
резонансного рассеяния с возбуждением состояния J—T = 3/2, которое далее
распадается с испусканием рассеянного фотона ')¦ Согласно класси-
классической картине, это означает, что фотон действует на магнитный
момент нуклона, вызывая этим вынужденное вращение нуклонного
спина. Такой эффект дает резонансное рассеяние обычного вида [19]
[ср. с B0.23)]:
"
резонансное тсХ (^ _ щ2 _|_ (Г/2J '
где X—длина волны падающего фотона, или 1/Я,, а ??т — резонанс-
резонансная энергия (— 300 Мэв в лабораторной системе); другие символы
определены в B0.23). Сечение рассеяния много меньше геометриче-
геометрического предела itX2, поскольку возбужденное состояние распадается
преимущественно с испусканием it-мезона (Гх <^ Г), но много больше
сечения томпсоновского рассеяния (е2/М2). Современная эксперимен-
экспериментальная техника позволяет проверить эти предсказания теории, не-
несмотря на малую величину сечений.
Рекомендуемая литература
Chew О. F., Low F. E., Phys. Rev., 101, 1579 A956).
Chew О. F., Theory of Pion Scattering and Photoproduction, „Handbuch
der Physik", Berlin (в печати).
') По поводу' анализа, основанного на статической модели, см. статью
Карзаса, Ватсона и Захариазеиа [18].

Глава 21
ЯДЕРНЫЕ СИЛЫ
21.1. Введение. Классическое вычисление энергии взаимо-
взаимодействия нуклонов. В этой последней главе мы воспользуемся ста-
статической моделью для вычисления дальнодействующей, или внешней
части сил между двумя нуклонами, вызванной „обменом" мезонами.
Хотя исторически потенциал Юкавы знаменовал начало мезонной
теории, проблема ядерных сил не относится к наиболее прозрачным
применениям статической модели. Статический потенциал должен
был бы объяснять все низкоэнергетические свойства двухнуклонной
системы (например, энергию связи дейтрона, его квадрупольный мо-
момент, фазы рассеяния нуклона на нуклоне). Основываясь на сообра-
соображениях о различных формах убывания отдельных частей потенциала,
можно думать, что внешняя часть потенциала обусловлена обменом
одним мезоном и должна поэтому довольно точно предсказываться
статической моделью. Обмен двумя мезонами должен частично опре-
определять взаимодействие на меньших расстояниях и гораздо существен-
иее, чем одномезонный обмен, зависеть от эффектов отдачи "(отсут-
"(отсутствующих в нашей модели) и от структуры Нуклона (т. е. ox..kma%),
С другой стороны, в него должны вносить вклад не только Р-вол-
новые мезоны, но также, например, и мезоны в 5-состоянии, взаимо-
взаимодействие которых с нуклоном соответствует члену $*. Как мы уже
говорили ранее, обмен /С-мезонами дает силы более короткого радиуса,
так что эти эффекты предположительно скрыты в структуре источ-
источника.
Классическая энергия взаимодействия двух источников, разделен-
разделенных расстоянием г0, может быть вычислена способом, аналогичным
описанному в гл. 9. Поскольку энергия пропорциональна р2, а не р.
мы получаем перекрестный член для энергии взаимодействия двух
источников:
р(г. Го) = р(г) + р(г — Го). B1.1)
Поле, соответствующее классическому решению, было найдено в гл. 16
[см. A6.4)] для случая нейтрального псевдоскалярного поля при
наличии одного источника. Легко обобщить это выражение на случай

294 Глава 21
симметричной теории и получить для статических
B1.2а)
где
B1.26)
В присутствии двух источников гамильтониан взаимодействия И'
приобретает вид
Подставляя B1.2) в B1.3), находим, что энергия взаимодействия,
создаваемая первым источником в точке, где находится второй источ-
источник (а и b обозначают два источника) равна
з
$0 B) = Т = р 2 w f р(гОр (г'- г0) (ег. ¦ У,)(в, ¦ Vr) X
Для точечных источников это выражение дает
.. . . -а-1
где ST — энергия взаимодействия двух диполей (тензорные силы).
Для источников конечных размеров поведение энергии взаимодейст-
взаимодействия на больших расстояниях не меняется, но потенциал с 8-функцией
размазывается по области, занимаемой источником, и последний член
в B1.5) переходит в
а-1
При вычислении силы взаимодействия между двумя нуклонами
по теории возмущений вклад в наинизшем порядке дает диаграмма.

Ядерные силы J?96
соответствующая обмену одним мезоном (фиг. 21.1). При этом потен-
потенциал взаимодействия равен
^тя«т*ае BяK ' ^'•'^
«=1
что в точности соответствует потенциалу в классическом пределе.
Основываясь на результатах предыдущих глав, можно ожидать, что
I
\я
I
I
Фиг. 21.1. Диаграмма, изображающая вклад
одномезонного обмена в ядерные силы.
в статической модели потенциал имеет в основном тот же вид, но /
заменяется на fr. В дальнейшем мы увидим, что это действительно
так.
Зависимость от зарядовых переменных потенциала B1.7) заклю-
заключена в произведении тв • т6, которое имеет противоположный знак
в зависимости от тог о, параллельны или актипараллелькы изоспикы
нуклонов. Среднее значение этой величины равно 1 в изотриплетном
состоянии и —3 в изосинглетном состоянии. Можно было заведомо
предвидеть, что силы зависят от относительной ориентации изоспи-
нов, поскольку вероятности обмена мезоном в этих состояниях раз-
различны. Например, два протона могут обмениваться только тс°-мезо-
ном, тогда как в изосинглетном состоянии нуклоны могут обмени-
обмениваться как 7с°-мезоном, так и заряженными мезонами. Соответственно
взаимодействие оказывается более сильным в изосинглетном состоя-
состоянии. Противоположные знаки сил связаны с нашим замечанием отно-
относительно противоположного знака констант связи тс°-мезона с про-
протоном и нейтроном.
Зависимость от спина связана в основном с выражением
('в * го'б * го)/го и отражает перекрытие мезонных облаков, каждое
из которых пропорционально (а ¦ г0). Для типичных ориентации клас-
классических спинов относительно радиус-вектора значения величины
9а ' го'б ¦ го/го показаны на фиг. 21.3. Для различных квантовых
состояний свойства обменных сил иллюстрируются фиг. 21.2 и све-
сведены в табл. 2. Основные свойства сил вытекают из структуры

1
§¦
§
I
1
e
о
С;
100
80
ВО
40
20
0
-20
-АО
-60
-во
-/00
-
i i
as i.o
/
- /г
/
_
Ifi
100-
<ю
20
1-50
$-80
-100^-
~~ 5
Фиг. 21.2. Кривая наиболее дальнодействующей
части ядерного потенциала при /2г/4ъ = 0,08.
а —вклад тензорных сил в аотеициальную эвергию; / — спин,
равный единице, изотриплетные состояния; 2—спин, равный
единице, изосинглетвые состояния.
б— кривая центральных снл; 3—спин, равный нулю, изо-
синглетные состояния; 4 — спин, равный единице, изосин-
глетные состояния; 5 —спин, равный еднвице, изосинглетиые
состояния и спив, раввый нулю, изотриплетные состояния.
а
Фиг. 21.3. Иллюстрация значений S^. = (аа • г0) (яь • г0)/ г\ дли различных
пространственных и
спиновых иуклонных конфигураций (а)
(б) S'T = 0; (в) Sy = - 1.
. = 1;

Ядерные силы
297
дейтрона, который представляет собой изосннглетное, триплетное
по спину состояние, вытянутое вдоль направления спина (положи
тельный квадрупольный момент). Такое состояние соответствует
наиболее глубокой потенциальной яме во втором приближении для
потенциала. В других состояниях также возможно притяжение, но
менее сильное. Последнее утверждение согласуется с тем экспери-
экспериментальным фактом, что полная сила взаимодействия нейтрона с ней-
нейтроном также соответствует притяжению, но не достаточно сильному
для образования связанного состояния.
Таблица 2
Характер одномезонных еил в различных состояниях
Спин
Триплет
Триплет
Синглет
Синглет
Изоспин
Синглет
Триплет
Тринлет
Синглет
Тензорные силы
Сильное
притяжение
Умеренное
отталкивание
Центральные
силы
Умеренное
притяжение
Слабое
отталкивание
Умеренное
притяжение
Сильное
отталкивание
Короткодей-
Короткодействующие силы
Умеренное
отталкивание
Слабое
притяжение
Умеренное
отталкивание
Сильное
притяжение
21.2. Статический потенциал. Квантово-механический анализ.
Прежде чем перейти к вычислению потенциала, следует сделать не-
несколько замечаний. При выводе и использовании потенциала в ста-
статическом пределе подразумевается приближение Борна — Оппенгей-
мера (молекулярное приближение) [1—2]. Иными словами, потенциал
взаимодействия вычисляется для нуклонов, разделенных расстоя-
расстоянием г0, где вектор г0 рассматривается как параметр. Полученный
потенциал затем подставляют в уравнение Шредингера, откуда и
получают свойства нуклон-нуклонной системы. Ясно, что в данном
случае оправдать приближение Борна—Оппенгеймера труднее, чем
в молекулярных задачах, где разложение ведется по величине
(те/М)'ы—'/е- а не по (p/M)'/l—2/з (^ — масса нуклона). Тем не
менее только в статическом пределе возможно удовлетворительно
определить потенциалг), и именно в статическом случае было
•) В этом случае потенциал определяется как не зависящая от энергии
величина, что следует из теории поля. По поводу различных приводимых
нами способов определения см. статью Нншиджимы [3]. Имеет ли .удовле-
.удовлетворительный' в указавиом смысле потенциал отношение к действитель-
действительности, — это совсем другой вопрос. Дискуссию его можно иайти в статье
Чарапа и Фубини [4].

208 Глава 21
выполнено это вычисление по нейтральной скалярной теории в гл. 10.
Очевидно, что в полученном таким образом потенциале отсутствуют
не только поправки порядка р/М, но и поправки, связанные с ну-
клонным импульсом р порядка р/М.
Поправки к B1.7), обусловленные высшими приближениями по f2,
существенны и трудно поддаются учету. К счастью, для больших
расстояний более существенны диаграммы типа изображенных на
}*
Фиг. 21.4. Типичные для ядерных сил процессы, вследствие
которых мы заменяем / на /г.
фиг. 21.4, а их эффект сводится к замене / на fr. Диаграммы
двухмезонного обмена (фиг. 21.5) дают радиус сил, равный '/?• и их
вклад может быть связан с рассеянием мезонов нуклонами.
Мы лишь вкратце наметим путь рассчета этих диаграмм, поскольку
они сильно зависят от мезон-мезонного взаимодействия и от поправок
на неадиабатичность [5].
1 \ /
I L L / \
Фиг. 21.5. Типичные для ядерных скл диаграммы двухмезонного обмена.
Наши результаты будут получены по существу в духе прибли-
приближения Гайтлера — Лондона. Так, для вычисления в первом прибли-
приближении энергии двухиуклонной системы мы используем для каждого
из нуклонов - состояние с невозмущенным мезонным облаком. Такое
состояние можно записать с помощью A7.6) в виде1)
|«.. «». Го> —/?./?,|S.. S,. го). B1.8)
оно является в пределе г0—>оо собственным состоянием полного
гамильтониана2)
Н = Н0+Н' — 2§0. B1.9)
') Для дальнейшего следует помнить, что «одевающий оператор* R
содержит только операторы рождения мезонов и операторы вит. По-
Поскольку операторы в и т, относящиеся к разным нуклонам, коммутируют,
мы имеем [/?<,, /?ft]=0.
2) Точный вид Va (k) задается формулой A9.1). Индексы а, Ь означают,
что берутся операторы аа, ха или eftl т^. Сокращение э. с. означает .эрми-
.эрмитово сопряженная величина".

Ядерные силы 299
где
H' = Ha + H'b = f d?kaa (к) [IVаа (к) + eik-WVab (к)] + э. с.
Теперь мы просто вычислим энергию основного состояния
Для лучшего выполнения этой процедуры воспользуемся нетривиаль-
нетривиальным пробным состоянием, которое содержит примесь состояний
„нуклон—|- падающий тг-мезон". Эти состояния описывают возмуще-
возмущение тс-мезонного облака и соответствуют диаграммам типа изобра-
изображенных на фиг. 21.5. Учитывая, что
(ЛЬ + Н' — 2§0) Ra I t.. 6». го) = {Нь — So) Ra \ *.. Ь. г0). B1.10)
мы получаем
HRaRb\ta, Ей. го) =
= {[ \Н, Ra], «»] + RaH'aRb-{- RbH'bRa~ RaRb{H+ 2So)} | E«. b; r0).
B1Л1)
Двойной коммутатор в рассматриваемом приближении равен нулю.
Он вносит вклад в потенциал более короткого радиуса (^ ]/г) и
соответствует двухмезонному обмену [6—7]. Далее,
. lft, r0), B1.12)
так как все остальные члены содержат справа операторы поглоще-
поглощения. Поскольку a+Va коммутирует с Rb, a a+Vft с Ra, два члена
в B1.12) могут быть сокращены с соответствующими членами
в B1.11) и мы получаем1)
. го> = S / d3* к*. I ^ «I ?> <?». г01 аа (к) | $,. г0)+
Среднее значение а„(к) задается A9.2), и окончательно имеем
) = -(^з J 4? •""'•». • к», • k ]g Vfty (А), B1.14)
') Разделение на множители RaRb I?а, ?О = 15а) |5&) возможно потому,
¦' ' " 15а) и ' '
что IS,,, ?;,) есть прямое произведение

300 Глава 21
что, как и предсказывалось, совпадает с потенциалом B1.4) и B1.7)
при замене константы связи /2 на перенормированную константу f2,
21.3. Сравнение с экспериментом. Зная точное значение вели-
чины потенциала, можно попытаться произвести количественное срав-
сравнение с экспериментом. С этой целью следует принять во внимание
трансляционные степени свободы нуклонов и добавить к потен-
потенциалу B1.7) кинетическую энергию. Двухнуклонная волновая функ-
функция хе ? (г0) определяется, если записать двухнуклонное состояние
в виде
Если | 2) — собственное состояние полной энергии, то у_ удовлетво-
удовлетворяет уравнению Шредингера
^-А^ = ^.ч^ B1Л6)
Чтобы решить это уравнение, необходимо диагонализовать ТР в спи-
спиновом и изоспиновом пространствах. Это проделывае.тся в большин-
большинстве руководств по ядерной физике [8] и приводит к хорошо изве-
известной системе уравнений, связывающих 5- и D-волны для основного
состояния дейтрона. Поскольку наш потенциал B1.11) описывает
только дальнодействующие силы, при г0 < 1 его следует выбирать
полуфеноменологическим образом. Однако квадрупольный момент и
ннергия связи дейтрона чувствительны к виду волновой функции у_
в основном на расстояниях rQ > 1 и могут быть поэтому найдены
с помощью "потенциала B.1.14) с константой связи, взятой из тс-мезон-
нуклонного рассеяния. Тщательное исследование уравнения B1.16) [9]
доказывает, что получить правильные статические свойства дейтрона
очень трудно, если только константа связи не лежит в пределах
0,065 <С/2/4;с^ 0.09. Параметры низкоэнергетического рассеяния,
а именно длина рассеяния и эффективные радиусы в 5- и Р-состоя-
ниях, также согласуются с решением B1.16) при г0 > 1.
Недавно был найден способ, позволяющий непосредственно выде-
выделять из данных по рассеянию нуклонов часть, связанную с обменом
одним те-мезоном. Метод состоит в продолжении сечения рассеяния
к нефизическим энергиям и углам, где промежуточный мезон стано-
становится реальным. В этой нефизической ситуации он может распро-
распространяться на большие расстояния, и амплитуда рассеяния имеет
полюс. Вычет в этом полюсе непосредственно связан с перенорми-
перенормированной константой связи, и экспериментальные данные [10—11] дают
значение /^/4ir = 0,07 ± 0,01 в согласии с величиной, получающейся
из других процессов.

Ядерные силы 301
При более высоких энергиях ситуация становится более сложной-
поскольку начинают играть роль такие зависящие от скорости силы,
как спин-орбитальные. Эти силы, очевидно, выходят за рамки ста-
статической модели. Соответственно и их применение к таким процессам,
как рождение «-мезонов в нуклон-нуклонных столкновениях, весьма
сомнительно, поскольку при энергиях выше порога этого процесса
картина не может быть описана простой статической моделью.
21.4. Заключительные замечания. В заключение мы можем
сказать, что статическая модель представляет собой теорию с довольно
прозрачной математической структурой. Она замечательно успешно
связывает различные данные, касающиеся низкоэнергетических мезои-
иых явлений. Тот факт, что значения перенормированной константы
связи, определенные из рассеяния it-мезонов фоторождения и из
ядерных сил, согласуются с точностью около 15%, показывает, что
квантовая теория поля может проникнуть во внутриядерный мир.
Не следует, однако, обольщаться этим успехом. Модель является
очевидным упрощением реального положения дел. Более точная теория
должна рассматривать нуклоны как квантованное поле и содержать
усложнения релятивистской теории. К сожалению, это означает не
только дополнительные вычислительные трудности; вся математиче-
математическая структура таких теорий неизвестна').
Не вдаваясь в эти вопросы и руководствуясь теорией возмуще-
возмущений, мы можем постулировать простое аналитическое поведение
амплитуды рассеяния. Используя так называемое представление Ман-
дельстама [14], можно вывести уравнения для амплитуды рассея-
рассеяния [15], которые представляют обобщение рассмотренных нами
уравнений Лоу. Они "Содержат не только, все кинематические по-
поправки, но также нуклон-антинуклонные пары, тс— тс-взаимодействие
и т. д. Отсюда возникают дальнейшие точки ветвления и новые
каналы при больших энергиях. Поскольку мы не умеем решать урав-
уравнение Лоу даже в случае связи трех внутренних степеней свободы
it-мезона с нуклоном, ясно, что упомянутые уравнения исключительно
сложны. Однако, пренебрегая мезон-мезонным взаимодействием и
переходя к пределу М —> оо, мы получим уравнения статической
модели, если, конечно, этот предел существует. В этом смысле боль-
большие эффекты, которые правильно предсказываются статической
моделью, вытекают и из более фундаментального подхода. Можно
даже надеяться, что на этом пути удастся вычислить эффекты средней
величины. Конечно, потребуется еще много работы, прежде чем все
усложнения, связанные с релятивистскими эффектами и квантовым
характером теории, будут преодолены.
') За исключением одного нереального случая. См. статьи [12, 13J.

302 Глава 21
Рекомендуемая литература
Taketani M., Mac hid a S.,:Onuma S., Progr. Theor. Phys. (Kyoto),
7, 45 A952).
Brueckner K. A., Watson К. М., Phys. Rev., 92, 1023 A953).
Henley E. M., R u d e г m a n M. A., Phys. Rev., 92, 1036 A953).
Qartenhaus S., Phys. Rev., 100, 900 A955).
Sign ell P. S., Marshak R. E., Phys. Rev., 106, 832A957); 109, 1229
A958).

Приложение
Формулы, собранные ниже, выражают некоторые величины в раз-
различных представлениях, использованных в тексте. Все они одинаково
существенны и отражают различные стороны теории. Координатное
пространство имеет наиболее ясный интуитивный смысл и было
использовано первым вместе с кубическими или сферическими гра-
граничными условиями. Реальный эксперимент не имеет дела с такими
условиями, так что они играют вспомогательную математическую
роль. Соответственно мы быстро перешли к случаю бесконечного
объема и задали определенные начальные условия. Разложение по
плоским волнам диагонализовало энергию, импульс и заряд. В зада-
задачах со сферически симметричным источником импульс не сохра-
сохраняется, но сохраняется момент количества движения. В этом случае
разложение по сферическим волнам приводит к дальнейшему упро-
упрощению проблемы. Употребляются несколько способов определения
переменных поля в различных представлениях. Мы выбрали условие,
что коммутаторы операторов поля точно равны 8-символу Кронекера
для дискретных переменных и 8-функции Дирака для непрерывных.
Преимущеотио этиго условия заключается в том, что выражения для
энергии, импульса и т. д. оказываются суммами или интегралами
без дополнительных численных множителей. Это достигается за счет
появления некоторых множителей в выражениях локальных полей
через эти переменные.

r-пространство
Плоские волны
Дискретный случай:
к = \пх, Пу, пг) -J—
Непрерывный случай:
1 VI С d*k
, . ?» Zi ** J BjcK
к
Сферические волны
Дискретный случай:
Непрерывный случай:
со
к 8
Ф(т)
Поле
Дискретный случай:
с. D.8)
Непрерывный случай:
Г d3ka{k) c<)ii.r-
J Bit)v« B<o)'/'
э. с.
Дискретный случай;
ft, i,m
Непрерывный, случай:
о г,
9. С
Перестаиовочные соотношения
Иг,*), ¦(г\*)]-»1(г-г/)
Дискретный случай:
К.<4<] =
Непрерывный случай:
Дискретный случай:
Непрерывный случай:
»«.«'»*.*'»*.*•

Продолзкение
r-пространство
Плоские волны
Сферические волны
Эиергия
Импульс
_JW
J rf3* a+(k) a (k) k
Имеет сложный вид
Угловой помет
Гамильтониан взаимодействия для х-мезонов в статической модели
f с
J- | d3r»(r)
/ у
m, a 0
/Vf
1^ J
»a?"(*)+8. с

Цитированная литература
К ГЛ А В Е 1
I.Bohr N.. Rosenfeld L., Kgl. Danske Videnskab. Selskab. Mat.-fys.
Medd., 12, 8 A938).
2.-Rosenfeld L., статья в сборнике "Niels Bohr and the Development of
Physics" ed. by W. Pauli, New York, 1955, p. 70. (Имеется перевод:
Нильс Бор и развитие физики, сборник под редакцией В. Паулн, ИЛ,
1958).
3. J e f f г е у s H., Jeffreys В. S., Methods of Mathematical Physics, New
York, 1946, p. 499.
4. Kittel C, Introduction to Solid State.Physics, 2nd ed., New York, 1953,
p. 103. (Имеется перевод: С. Кнттель, Введение в физику твердого
тела, М., 1961).
К Г Л А В Е 2
1. Dirac P. А. М„ The Principles of Quantum Mechanics, 3d ed., New York,
1947, Ch. V. (Имеется перевод: П. А. М. Дирак, Принципы кванто-
квантовой механики, М., 1960, гл. 5.)
2. Margenau H., M u r p h у Q. M-, The Mathematics of Physics and Che-
Chemistry, Princeton, 1943, p. 425.
К Г Л А В Е. 3
1. Schiff L. I., Quantum Mechanics, 2nd ed., New York, 1955, p. 135.
(Имеется перевод: Л. И. Ш н ф ф, Квантовая механика, 2-е нзд., ИЛ,
1959).
К ГЛАВЕ 4
1. Pauli W., статья в сборнике "Niels Bohr and the Development of Phy-
Physics" ed. by W. Pauli, New York, 1955, p. 30. (Имеется перевод: Нильс
Бор и развитие физики, под редакцией В. Паули, ИЛ, 1958.)
2. Thirring W., Principles of Quantum Electrodynamics, New York, 1958.
3 WeltonT. A., Phys. Rev., 74, 1157 A948).
4. S С h i f f L. I., Quantum Mechanics, 2nd ed., New York, 1955, p. 52. (Имеется
перевод: Л. И. Ш и ф ф, Квантовая механика, 2-е изд., ИЛ, 1959).

Цитированная литература 307
к главе в
1. W е п t г е I G., The Quantum Theory of Fields, New York, 1949, p. 8 and
App. I. (Имеется перевод: Г. Вентцель, Введение в квантовую тео-
теорию полей. М., 1957).
2. W a t s о п G. N.. Theory of Bessel Functions, New York, 1944, p. 128. (Имеет-
(Имеется перевод: Г. Н. В а т с о н, Теория бесселевых функций, ИЛ, 1949).
3. Schiff L. I., Quantum Mechanics, 2nd ed., New York, 1955. (Имеется пе-
перевод: Л. И. Шяфф, Квантовая механика, 2-е изд., ИЛ, 1959.)
4. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Квантовая механика, М„ 1948, гл. 4.
5. Wat son О. N.. A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed., New
York. 1958, Ch. 3, 6, 7.
К ГЛАВЕ в
1. Purcell E. M., Nature, 178, 1499 A956).
К ГЛАВЕ 7
1. Wightman A. S., Schweber S. S., Phys. Rev., 98, 812 A955).
2. Thlrring W., Principles of Quantum Electrodynamics, New York, 1958.
3. С о n d о п E. U., S h о r t! e у Q. H., The Theory of Atomic Spectra^ New
York, 1953, Ch. III. (Имеется перевод: Е. Кон до и, Г. Шорт ли,
Теория атомных спектров, ИЛ, 1949, гл. III.)
К ГЛ А В Е 8
1. Lewis H. W., Oppenheimer J. R., Wouthuysen S., Phys. Rev.,
73, 127 A948).
2. Hen Icy E. M., Lee T. D., Phys. Rev., 101, 1536 A955).
3. Koba Z., Take da G., Progr. Theor. Phye. (Kyoto), 19, 269, A958).
4. Gel I-Mann M., Goldberger M. L., Phys. Rev., 91, 70 A953).
5. Lippmann B. A., Sch winger J., Phys. Rev., 70, 48 A950).
К ГЛ А В Е 9
1. Shiff L. I., "Quantum Mechanics", 2nd ed., New York. 1955, p. 153.
(Имеется перевод: Л. И. Ш и ф ф, Квантовая механика, 2-е изд., ИЛ,
1959).
К Г Л А В Е 10 "
I. Thirring W., Principles of Quantum Electrodynamics, New York, 1958,
Ch. 2.
К ГЛ А В E M
1. E d e n R. J., в книге "Nuclear Reactions", ей. by P. M. Endt, M. Demeur,
Amsterdam, 1959, vol.-1, Ch. 1.
2. DysonF. J., Phys. Rev.,. 73, 929 A948).

303 , Цитированная литература
3. Fold у L. L., Phys. Rev., 84, 168 A951У.
4. Drell S. D., Henley E. M., Phys. Rev.. 88, 1053 A952).
5. Wentzel G., Helv. Phys. Acta, 15, 111 A942).
6. Mailer C, Kgl. Danske Videnskab. Selskab, Mat.-fys. Medd., 23, 1 A945).
К Г Л А В Е 12
1. Blatt J. M., Weisskopf V. F., Theoretical Nuclear Physics, New York,
1952, Ch. 8. (Имеется перевод: Дж. Блатт, В. Вайскопф, Теоре-
Теоретическая ядерная физика, ИЛ, 1954, гл. 8.)
2. В 1 a 11 J. M., Phys. Rev., 72, 466 A94?)\
3. Schweber S. S., Be the H. A., de Hoffmann F., "Mesons and
Fields", Evanston, 1955, vol. I. (Имеется перевод: С. Ш в е б е р,
Г. Бете, Ф. Гофман. Мезоны и поля, ИЛ, 1957, т. 1.)
4. Van Kampen N. С, Physica, 24, 545 A958).
5. Sparnaay M. J., Physica, 24, 751 A958).
6. Klein A., McCormik В. Н., Phys. Rev., 98, 1428 A955).
7. Lamb W. E., Retherford R. C, Phys. Rev., 72, 241 A947).
К ГЛАВЕ 13
1. Lee Т. D., Phys. Rev., 45, 1329 A954).
2. В 1 a 11 J. M., W e i s s k о p f V. F., "Theoretical Nuclear Physics", New York,
1952, Ch. 2. (Имеется перевод: Дж. Блатт, В. Вайскопф, Теоре-
Теоретическая ядерная физика, ИЛ, 1954, гл. 2.)
3. G laser V., Kallen G., Nucl. Phys., 2, 706 A956—1957).
4. Kallen G., P a u I i W., Kgl. Danske Videnskab. Selskab, Mat.-fys. Medd.,
30 G), A955).
К ГЛАВЕ 14
1. Lippman В. A., Schwinger J., Phys. Rev., 79, 469 A950).
2. Low F., Phys. Rev., 93, 1392 A955)\
3. С a s t i 1! e j о L., D a ! i t z R. H., D у s о n F. J., Phys. Rev., 101, 453 A956).
4. I da M., Progr. Theor. Phys., (Kyoto) 21, 625 01959).
5. Wick G. C, Rev. Mod. Phys., 27, 339 A955).
6. Ruijgrok T. W., van Hove L., Physica, 22, 880 A956).
7. V a n H о v e L., Physica, 25, 365 A959).
8. Ruijgrok T. W., Physica, 24. 185, 205 A958); 25, 357 A959).
К Г Л' А В Е 16
1. Lee Т. D., Low F, Е„ Pin es D., Phys. Rev., 90, 297 A953).
2. L e e T. D., Pines D., Phys. Rev., 92, 883 A953).
3: К ro n i g R., Th e 11 u n g A., Physica, 18, 749 A952).
4. Ландау Л. Д., Л и ф ш иц Е. М., Статистическая физика, М., 1951, гл. 6.
5. Bohr A., Mottelson В. R., Kgl. Danske Videnskab. Selskab, Mat.-fys.
Medd., 27, 16 A953).
6. H u a n g K., Y a n g С N.. Phys. Rev., 105, 767 A957).

Цитированная литература 309
7. Bardeen J., Cooper L. N.. Schrieffer J. R., Phys. Rev., 108, 1175
A957).
S. Wentzel G., Phys. Rev., 108, 1593 A957).
9. Таим И. Е-, ЖЭТФ, 32, 178 A957).
10. Rod berg L. S., Phys. Rev. Lett., 3, 58 A959).
11. Frazer W. R., Fulco J. R., Phys. Rev. Lett., 2, 365 A959).
12. Be the H. A., Morrison P., Elementary Nuclear Theory, 2nd ed., New
York, 1956. (Имеется перевод: Г. Бете, Ф. М о р р и с о н, Элементар-
Элементарная теория ядра, ИЛ, 1958).
13. Henley E. M., R u derma n M. A., Phys. Rev., 90, 719 A953).
14. Bet he H. A., de Hoffmann F., Mesons and fields, vo). II, Evanston,
1955, sec. 28c; 28d. (Имеется перевод: Г. Бете, Ф. Гофман, Ме-
Мезоны и поля, т. II, ИЛ, 1957.)
15. Schiff L. I., Quantum Mechanics, 2nd ed., New York, 1955, sec. 33.
(Имеется перевод: Шиф.ф Л. И., Квантовая механика, 2-е изд., ИЛ,
1959, § 33.)
16. D у s о п F. J., Phys. Rev., 73, 929 A948).
17. Drell S. D., Henley E. M., Phys. Rev., 88, 1053 A952).
18. Fold y.L. L., Phys. Rev., 84, 168 A951).
19. Anderson H. L., D a v i d о n W. C, Kruse U. E., Phys. Rev., 100, 339
A955).
К ГЛАВЕ 16
I. Pauli W., "Meson Theory of Nuclear Forces", 2nd ed., New York, 1948.
2. Wad a W. W., Phys. Rev., 88, 1032 A962).
3. С о n d о n E. U., Shortley G. H., "The Theory of Atomic Spectra", New
York, 1953, Ch. 2. (Имеется перевод: Е. К о н д о н, Г. Ш о р т л и, Тео-
Теория атомных спектров, ИЛ, 1949, гл. 2.) ¦
К ГЛАВЕ 17
1. Rose М. Е„ Elementary Theory of Angular Momentum. New York, 1957,
p. 85.
2. Haber-Schaim U., Thirring W., Nuovo Cimento, 2, 100 A955).
3. Marshak R. E., Meson Physics, New York, 1952.
4. Тамм И. Е, Joum. Phys. USSR (Сов. фнз.), 9, 449 A945).
5. DancoffS. М„ Phys. Rev., 78. 382 A950).
6. В e t h e H. A., d e Hoffmann F., Mesons and Fields, vol. II, Evanston,
1955. (Имеется перевод: Г. Бете, Ф. Гофман, Мезоны и поля, т. II,
ИЛ, 1957.)
7. Tomonaga S., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 2, 6 A94?);.
8. Lee Т. D., P ines D., Phys. Rev., 92, 883 A953).
9. Lee T. D., Christian R., Phys. Rev., 94, 1760 A954).
10. FriedmanM. H.. LeeT. D, ChristianR, Phys. Rev., 100,1494 A955),
II. Henley E. M., Lee T. D., Phys. Rev., 101, 1536 A956).
12. Sachs R. G., Nuclear Theory, Reading, Mass., 1953, App. I.
13. Pauli W., Dankoff S. M., Phys. Rev., 62, 851 A942).

310 . Цитированная литература
14. Wentzel G., Helv. Phys. Acta, 13, 269 A940); 14, 633 A941).
15. S e r b e r R., D a n с о f f S. M., Phys. Rev., 62, 85 A942).
16. HaHow F., Jacobsohn B. A., Phys. Rev., 93, 333 A954).
17. Pa is A., Serber R., Phys. Rev., 105, 1636 A959); 113, 955 A959).
18. E d e r G-, Nuovo Cimento, 18, 430 A960).
19. Halpern F. R., Phys. Rev., 107, 1145 A967}.
20. Halpern F. R., Sartori L., Nlehimura K-, Spitzer R., Ann.
Phys., 7, 154 A959).
К ГЛАВЕ 18
1. В el he H. A., de Hoffmann F., Mesons and Fields, vol. II, Evanslon,
1955, Ch. ЗВ. (Имеется перевод: Г. Бете, Ф. Гофмаи, Мезоиы и
поля, ИЛ, 1957, т. II.)
2. Low F. E., Phys. Rev., 93, 1392 A955J.
3. QeJl-Mann M., GoJdberger M. L., Pfays. Rev., вв, 1433 A954).
4. W e i s s k о р f V. F.t Phys. Rev., 116, 1615 A959).
5. В 1 a 11 J. M., W e I s s k о p f V. F., Theoretical Nuclear Physics, New York.
1952. (Имеется перевод: Дж. Блатт, В. Вайскопф, Теоретическая
ядерная физика, ИЛ, J954.)
G. Barnes S. W., Rose В., Giacomalli G., King J., Miyake K.,
К i n s ey K.. Phys. Rev., 117. 226 A960).
7. Lindenbaum S. J., Ann. Rev. Nucl. Scl., 7, 317 A957J.
8. С h e w G. F., Theory of Plon Scattering and Photoproduction, Handbuch der
Physik, Berlin (в печати).
9. A n d e г s о n H. L., D a v i d о n W. C, G t i с k s m a n M., К r u s e U. E.,
Phys. Rev., 100, 279 A955).
К Г Л А В Е 19
1. F u b i n i S., T h i г г i n g W:.-Phys. Rev., 105, 1382 A957).
2. S eg re E., Ann. Rev: Nucl. Sd., 8, 127 A958).
3. Hoist ad ter R., Bum! Her F., Yearian M. R., Rev. Mod. Phys., 30,
482 A958).
4. Frazer W. R., Fulco J. R., Phys. Rev. Lett, 2, 365 A959).
5. DuMoiidJ.W. M., Ann. de phys., 7, 365 A959).
6. В 1 a 11 J. M., W e i s s k о p f V. F, Theoretical Nuclear Physics, New York,
1952. (Имеется перевод: Дж. Блатт, В. Вайскопф, Теоретическая
ядерная физика, ИЛ, 1954.)
7. Р a u I i W., D a n с о f f S. M., Phys. Rev., 62, 85 A942).
К ГЛАВЕ 20
1. С а р р s R. H-, S а с h s R. G., Phys. Rev., 96, 540 A954).
2 Capps R. H., Hoi lad а у W. G., Phys. Rev., 99, 931 A955).
3. H о f s t a d t e г R., В u m i 11 e г F., Yearian M. R., Rev. Mod. Phys., 30,
482 A958).
4. Schiff L. t., Quantum Mechanics, 2nd ed., New York, 1955. (Имеется пе-
перевод: Л. И. Ш и ф ф, Квантовая механика, 2-е изд., ИЛ, 1959.)
5. Omnes R., Nuovo Cimento, 8, 316 A958).

Цитированная литература 311
6. Drell S. D., Friedman M. H Zachariasen F., Phys. Rev., Ю4
236 A956).
7. К roll N. M., Ruderman м. д., Phys Rev, 93, 233 A954).
8. Koester L. S., Mills F. E., Phys. Rev>p 105t m0 A957).
9. McDonald W. S., Peterson V. z., Corson D R Phys. Rev., 107.
577 A957).
10. Walker R. L., TeasdaleJ. G., PetersonV Z VetteJ 1 Phys
Rev., 99, 210 A955). "
11. Tolfestrup A. V., Keck J. C, Worlock R. м Phys Rev 99 220
A955).
12. Beneventano M., Bernardini G., Carlson-Lee D., Stopi-
n i G., T a u L., Nuovo Gimento, 4, 323 A856).
13. Moravcsik M. J., Phys. Rev., 104, 1451 A956).
14. Chew G. F., Phys. Rev., 106, 1337 A957).
15. Oakley D. C, Walker R. L., Phys. Rev., 97, 1283 A955).
16. Goldschmidt-Clermont Y,, Osborne L. S., Scott M., Phys.
Rev., 97. 188 A955).
17. Proceedings of the 7th Annual Rochester Conference, New York, 1957, p. 11.
18. KariasW.J, Watson W. K. R-, Zachariasen F., Phys. Rev., 110,
253 A958).
19. Blatt J. M., Weisskopf V. F., Theoretical Nuclear Physics, New York,
1952 (Имеется перевод: Дж. Блатт, В. Вайскопф, Теоретическая
ядерная физика, ИЛ, 1954.)
К ГЛАВЕ 21
1. Born M., Oppenheimer J. R., Ann. d. Phys., 84, 457 A927).
2. Schiff L. I., Quantum Mechanics, 2nd ed.. New York, 1955. (Имеется
перевод: Л. И. Шифф, Квантовая механика, 2-е изд., ИЛ, 1959).
3. Nls'hifima К., Suppl. Progr Theor. Phys. (Kyoto), 3, 138 A956?.
4. CharapJ.'M., Fabini S., Nuovo Cimento, 14, 540 A959); 15, 73 A960).
5 Ma chid a S., To у о d а Т., Suppl. Progr. Theor. Phys. (Kyoto) ,3,106 A956).
6. Culcosky R. E.t Phys. Rev., 112, 1027 A958); 116, 1272 A959).
7. Новожилов К>. В., ЖЭТФ, 32, 1262 A957); 33, 901 A957).
8. Blatt J. M., Weisskopf V. F., Theoretical Nuclear Physics, New York.
1952, ch. 2. (Имеется перевод: Дж. Блатт, В. Вайскопф, Теорети-
Теоретическая ядерная физика, ИЛ, 1954, гл. 2.)
9. 1 w a d а г е J., О t з u k i S., Т a m a g а к i R., W a t a r I W., Suppl. Progr.
Theor. Phys. (Kyoto), 3, 32 A956).
10. Moravcsik M. J.,.Dispersion Relations (ed G. R. Screaton), Edinburgh,
1961.
11. Cziffra P., MacGregor M. H., Moravcsik M. J., Stapp H. P.,
Phys. Rev., 114,880 A959).
12. Thi rri n g W., Ann. d. Phys., 9, 91 A958); Nuovo Cimento, 9, 1007 A958).
13. G I a s e г V., Nuovo Cimento, 9, 1005 A958).
14. Mandelstam S, Phys. Rev., 115, 1741 A959); 115, 1752- A959).
15. Chew G. F. Dispersion Relations (ed. G. R., Screaton), Edinburgh, 1961

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 7
Список обозначений 9
Часть первая
СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ
Г л ава I. Введение 19
1.1. Соотношение между квантовой н классической теориями поля 19
1.2. Колеблющаяся цепочка атомов 20
1.3. Непрерывная колеблющаяся цепочка 22
Глава 2. Гармонический осциллятор . 26
2.1. Собственные значения Н 26
2.2. Свойства собственных состояний Н 28
2.3. Зависимость движения от времени 30
Глава 3. Связанные осцилляторы .... 36
3.1. Собственные значения гамильтониана 36
3.2. Квантовые свойства 39
3.3. Вопросы динамики 40
Глава 4. Поля . : '. 42
4.1. Непрерывно связанные осцилляторы 42
4.2. Вывод уравнений движения из лагранжиана 48
Глава 5. Наблюдаемые 54
5.1. Энергия, импульс и угловой момент 54
5.2. Четность 60
5.3. Число частиц н плотность частиц 62
5.4. Локальные наблюдаемые 64
Глава 6. Состоиния 68
6.1. Вакуумное и одночастичное состояния 68
6.2. Двухчастичные состояния 73
6.3. Многочастичные состояния ,,....... 77

Оглавление 313
Глава 7. Внутренние степени свободы 8!.
7.1. Поля с двумя внутренвнмн степенями свободы 81
7.2. Три и более степеней свободы 81
Часть вторая
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ
Глава 8. Общяй обзор 95
8.1. Уравнения поля 95
8.2. Квантование 99
8.3. Матрица рассеяния н волновая матрица 103
Глава 9. Статический источник 108
9.1. Интерпретация статического источника 108
9.2. Энергия связанной системы ПО
9.3. Связь между голыми н физическими состояниями 112
9.4. Флуктуации поля 116
9.5. Несколько источников 117
Рекомендуемая литература 119
Г л а в а 10. Рождение частиц 120
10.1. Общие замечания 120
10.2. Частные случаи 124
Глава И. Классическая теория с билинейным взаимодействием 129
11.1. Общие замечания 129
11.2. Связанные состоянии ; \ ; . .- 134
11.3. Поведение волновой матрицы Q 136
11.4. Рассеяние 139
Глава 12. Квантовая теория поля с билинейным взаимодействием . 142
12.1. Квантование и перестановочные соотношения при наличии
связанного состояния 142
12.2. Рассеяние 143
12.3. Выражение энергии через асимптотические поля ...... 149
12.4. Виртуальные частицы 153
Рекомендуемая литература. . . . 156
Глава 13. Модель Ли: состояния с Q=±-r- 157
13.1. Введение 157
13.2. Перестановочные соотношения и уравнения движения . . . 158
13.3. Физические нуклоны . 161
13.4. Состояния рассеяния 163

314 Оглавление
13.5. Полнота 164
13.6. Фазовый сдвиг 167
' 3
Глава 14. Модель Ли: состояния с Q = —— 171
14.1. Рассеяние. Уравнение Лоу 171
14.2. я~ -f- л-рассеяние 173
14-3. Поведение Т{к) при низких и высоких энергиях 178
Часть третья
ФИЗИКА П-МЕЗОНОВ
Г л а в a IS. Введение 187
15.1. Статическая модель ...... 187
15.2. Перестановочные соотношения и уравнения движения . . . 192
15.3. Сравнение с другими моделями . .' 197
Глава 16. Основные черты статической модели 201
16.1. Классическое описание стационарного движения 201
16.2. Классический анализ рассеяния 208
16.3. Квантовые аспекты статической модели . 212
Глава 17. Основное состояние 216
17.1. Точные результаты 216
17.2. Теория возмущений 220
17.3. Приближение Тамма — Даикова 222
17.4. Приближение промежуточной связи Томонаги 223
17.5. Приближение сильной связи 230
17.6. Численные методы 235
Г л ава 18. Рассеяние я-мезонов 237
18.1. Введение .- 237
18.2. Матрица рассеяния 237
18.3. Свойства матрицы рассеяния 240
18.4. Низкоэнергетический я высокоэнергетический пределы упру-
упругого рассеяния 242
18.5. Диагоиалнзация Г-матрицы 244
18.6. Связь уравнений Лоу с экспериментом . , 248
18.7. Приближенное решение уравнения Лоу 251
18.8. Заключение 255
Рекомендуемая литература 259
Глав а 19. Свойства нуклонов 260
19.1. Среднее значение поля 260
19.2. Средние значения в основном состоянии 261

Оглавление 315
19.3. Константы перенормировки н другие параметры статиче-
статической модели 263
19.4. Собственная энергия нуклона 265
19.5. Распределение заряда и тока физического нуклона. Магнит-
Магнитный момент 267
Рекомендуемая литература 274
Глава 20. Электромагнитные явления 275
20.1. Выражения для операторов заряда и тока 275
20.2. Амплитуды рождения 278
20.3. Общие свойства сечения 286
20.4. Сравнение с экспериментом 289
20.5. Комптоновское рассеяние 291
Рекомендуемая литература 292
Глава 21. Ядерные силы 293
21.1. Введение. Классическое вычисление энергии взаимодействия
нуклонов 293
21.2. Статический потенциал. Квантово-механический анализ . . 297
21.3. Сравнение с экспериментом 300
21.4. Заключительные замечания 301
Рекомеадуемая литература 302
Приложение 303
Цитированная литература 306