УДК 517.9
МЕТОД ФАКТОРИЗАЦИИ^)
Л. Инфелъд и Т. Е. Халл
Метод факторизации может дать прямой ответ на вопрос о задачах на
собственные значения, важных для физиков. Идея, лежащая в основе метода, заключается
в рассмотрении пары дифференциально-разностных уравнений первого порядка,
эквивалентных данному дифференциальному уравнению второго порядка с граничными
условиями. Для широкого класса таких уравнений метод позволяет немедленно
найти собственные значения и установить рабочий процесс для получения
нормированных собственных функций. Эти результаты получаются просто при использовании
таблицы, содержащей шесть возможных типов факторизации. Тот же рабочий процесс
используется для вычисления вероятностей переходов. Метод так обобщен, что его
можно применять к задачам, решаемым методами теории возмущений.
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Введение
1.1. Характеристика метода факторизации
МЕТОД
§ 2. Теория факторизации
2.1. Стандартная форма
2.2. Определение и основная идея; теорема 1
2.3. Сопряженность операторов; теорема 2
2.4. Граничное условие; теорема 3
2.5. Условия, налагаемые на А, для существования решения; теорема 4
2.6. Нормировка; теорема 5
2.7. Решения
§ 3. Техника факторизации
3.1. Типы факторизации
3.2. Искусственная факторизация
ПРИМЕРЫ
§ 4. Факторизация типа A и общие замечания
4.1. Присоединенные сферические гармоники
4.2. Присоединенные сферические гармоники как задача класса II
4.3. Обобщенные сферические гармоники
4.4. Функции Гегенбауэра
4.5. Симметричный волчок
4.6. Сферические гармоники Вейля со спином
4.7. Уравнение магнитного полюса
4.8. Потенциалы Пёшля — Теллера
4.9. Гипергеометрические функции
§ 5. Факторизации типа B и C
5.1. Вырожденные гипергеометрические функции
5.2. Потенциал Морса
5.3. Система тождественных осцилляторов
5.4. Функции Бесселя
§ 6. Факторизации типа D
6.1. Линейный осциллятор
6.2. Вещественное скалярное мезонное поле
6.3. Комплексное скалярное мезонное поле
6.4. Многокомпонентная теория вещественного поля
6.5. Гармонический осциллятор; обобщение
6.6. Вещественные скалярные мезонные поля и нуклоны
6.7. Дальнейшее обобщение задачи об осцилляторе
6.8. Заряженные скалярные мезонные поля и нуклоны
l) Infeld L., Hull Т.Е., The factorization method, Reviews of Modern Physics,
23, (1951), № 1, 21—68.

§ 7. Факторизация типа Е
7.1. Задача Кеплера на гиперсфере
7.2. Задача Кеплера в пространстве с постоянной отрицательной кривизной
7.3. Потенциал Меннинга — Розена
7.4. Потенциал Розена — Морса
7.5. Полиномы Якоби
§ 8. Факторизации типа F
8.1. Задача Кеплера
8.2. Новая рекуррентная формула для кеплеровских функций
8.3. Обобщенная задача Кеплера
8.4. Дираковские радиальные функции
8.5. Осциллирующий ротатор
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
§ 9. Матричные элементы типа A
9.1. Сферические гармоники
9.2. Обобщенные сферические гармоники
9.3. Случай, когда подинтегральное выражение содержит три сферические
гармоники
§ 10. Матричные элементы типа B
10.1. Функции Морса и двухатомные молекулы
§11. Матричные элементы типа D
11.1. Гармонический осциллятор
§ 12. Матричные элементы типа F
12.1. Алгебраические рекуррентные формулы для интенсивностей
12.2. Операторная рекуррентная формула для интенсивностей
12.3. Замечания к пп. 12.1 и 12.2
12.4. Некоторые интегралы и проблема нормировки
12.5. Обобщение на дираковские матричные элементы
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 13. Процедура аппроксимации
13.1. Возмущения типа F
13.2. Эффект Штарка
ЗАМЕЧАНИЯ
§ 14. Взаимосвязь между типами факторизации
§ 15. F-уравнение Трусделла
§ 16. Таблица факторизаций
Литература
§ 1. Введение
В этой работе рассмотрена новая техника решения краевых задач
о собственных значениях в том виде, в каком они чаще всего
встречаются в волновой механике и теории Максвелла. Особое внимание
уделено квантовой теории, где область применений весьма широка.
Чтобы пояснить идею, положенную в основу метода факторизации,
мы кратко коснемся вопроса, который часто обсуждается: аналогии
между уравнениями Максвелла и Дирака. И в том, и в другом случае
речь идет о системах линейных уравнений с частными производными
первого порядка. Оба уравнения лоренц-инвариантны. Заметим
попутно, что для максвелловских уравнений линейность — это
сверхупрощение, которое приводит к трудностям с бесконечной собственной
энергией. Однако если рассматривать в дальнейшем только регулярные
решения, то можно пренебречь этим затруднением.
Максвелловским и дираковским уравнениям исторически
предшествовали скалярные теории полей. Дираковской теории
предшествовала теория Шредингера, которая была широко использована при
решении квантовомеханических задач. Скалярные теории полей приводят

к одному дифференциальному уравнению в частных производных
второго порядка, содержащему оператор Лапласа или Даламбера. Эти
имена говорят о том, что изучение таких скалярных уравнений было
важной главой в математике XIX столетия. Эти уравнения привели
к теории потенциала, к полиномам Лежандра, Лагерра, Якоби, Чебы-
шева и Эрмита, а также к функциям Бесселя; все они образуют часть
математической физики, которая была завершена, когда на смену
теории скалярного поля пришли теории векторных, тензорных и спинор-
ных полей.
Таким образом, техника решения максвелловских и дираковских
систем уравнений моделировалась на скалярных теориях. Это особенно
хорошо видно в случае максвелловских уравнений. Обычно там вводят
векторный и скалярный потенциалы и получают четыре уравнения того
же типа, что и в скалярной теории. Если речь идет о применении теории
Максвелла к волноводам с прямоугольным или круговым поперечными
сечениями или к антеннам, то видно, как граничные условия приводят
нас в конце концов к совокупности обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка. Ситуация в волновой механике во многих
отношениях даже проще. Там граничные условия более тесно связаны
с самим дифференциальным уравнением, и они обычно сводятся к
однозначности и квадратичной интегрируемости.
Таким образом, как в электромагнитной, так и в квантовой теориях
мы приходим к уравнениям типа
Здесь г(х,т) —функция, характеризующая данную частную задачу.
Мы предположим, что т — неотрицательное целое число
/я = 0, 1, 2, ...,
которое появляется в процессе разделения переменных; его величина
ограничена краевыми условиями. В большинстве случаев граничные
условия требуют, кроме того, чтобы % имело дискретные значения
Таким образом, типичная задача о собственных значениях может быть
представлена в виде решетки точек в (I, т) -плоскости
Для каждой линии, связывающей точки решетки и параллельной
оси т, существуют %г. Для каждой точки решетки существует функция
уТ(х), удовлетворяющая некоторым граничным условиям.
До сих пор речь шла об идее, близкой каждому физику-теоретику;
она является краеугольным камнем математических исследований
физических задач.
1.1. Характеристика метода факторизации. В классическом методе
решения краевой задачи сначала находят общие решения
дифференциального уравнения, а затем определяют особые значения^, при
которых эти решения удовлетворяют граничным условиям; таким образом
получаются функции уТ(х), относящиеся к каждой точке решетки.
Эти функции могут быть нормированы и затем использованы,
например, для вычисления вероятностей переходов.

Метод факторизации охватывает и унифицирует исторический
подход. Этот новый метод позволяет непосредственно получать
собственные значения и устанавливает рабочий процесс для получения
нормированных функций. Тот же рабочий процесс может быть использован
и для вычисления вероятностей переходов.
Метод факторизации рассматривает непосредственно исходные
дифференциальные уравнения первого порядка, либо, если задано
дифференциальное уравнение второго порядка, его заменяют
эквивалентной парой уравнений первого порядка
Эти уравнения могут быть получены из таблицы, содержащей все
возможные типы факторизации. Есть только шесть возможностей, но даже
они не являются независимыми. Если из таблицы найдена подходящая
факторизация, то собственные значения и рабочий процесс для
получения собственных функций могут быть выписаны немедленно.
Таблица может быть использована для других целей. Например,
если собственные значения уже известны, то возможные
потенциальные функции могут быть найдены из таблицы.
Какова область применения этого метода? Обратимся к волновой
механике. Здесь есть несколько «чистых» задач, причем под «чистыми»
мы будем понимать задачи, которые допускают точное решение без
использования теории возмущений или численных методов. Все эти
чистые задачи сразу могут быть решены и к тому же единым путем
с помощью метода факторизации. Следует отметить, кроме того, что
каждый из шести типов факторизации имеет физический смысл в
теории Максвелла, в квантовой теории или в той и другой.
Однако «чистота», если иметь в виду явления, представляющие
интерес, встречается редко. В науке и в ее технических применениях
число «нечистых» случаев вокруг каждого чистого случая постоянно
растет. Поэтому интересно отметить, что метод факторизации может
быть так обобщен, что позволяет рассматривать задачи теории
возмущений. В некоторых случаях, например при исследовании эффекта
Штарка, этот метод приводит к решению быстрее других методов.
Метод факторизации был впервые предложен Шредингером [41].
С тех пор его идеи были существенно обобщены [21, 22, 24, 25, 27, 28,
32, 42, 43, 46]. Однако эти идеи встречаются в более ранних работах,
у Вейля [51, стр. 231] при рассмотрении сферических гармоник со
спином и у Дирака [9] при рассмотрении углового момента и задачи о
гармоническом осцилляторе. В более позднее время иной вариант метода
факторизации был дан Инуи [29].
Если усвоены основные идеи § 2, то почти любой раздел этой
работы становится доступным.
МЕТОД
§ 2. Теория факторизации
В этом разделе мы будет исходить из предположения, что
уравнение факторизовано, а затем на основании пяти теорем перейдем к
рассмотрению вытекающих отсюда следствий. Мы увидим, что
факторизация уравнения позволяет немедленно выписать искомые собственные
значения и нормированные собственные функции.

В следующем разделе будет показано, как осуществляется
факторизация данного уравнения. Эта задача фактически будет сведена
к использованию таблицы, содержащей только шесть общих типов
факторизации. Такая таблица со многими важными частными случаями
дана в конце статьи.
Таким образом, этот и следующий разделы содержат только идею
и технику метода факторизации, на которых основаны примеры,
рассматриваемые в остальных разделах статьи. После изучения § 2
читатель может приступить к чтению почти любого последующего раздела,
не теряя непрерывности изложения.
2.1. Стандартная форма. Для систематизации предложенной
процедуры рассматриваемое уравнение всегда будет преобразовываться
к стандартной форме
(2.1.1)
где параметр m = m0, лго + 1, пг0 + 2, ...; здесь будет принято
то = О, но мы увидим, что это предположение не влияет на
окончательные результаты.
Такое преобразование возможно, если в исходной форме
функции /?, р неотрицательны и р/р всюду существует.
Преобразование, связывающее эти уравнения [6, стр. 250], имеет вид:
(2.1.2)
2.2. Определение и основная идея; теорема 1. Мы скажем,
что уравнение (2.1.1) допускает факторизацию, если оно может быть
заменено любым из двух следующих уравнений:
(2.2.1а)
(2.2.1Ь)
где
(2.2.1с)
Зависимость у от х здесь не указана. Позже (п.3.1) будет
рассмотрено, как находятся {±)Нт и L (т) в данной задаче.
Следует отметить, что (2.2.1а) может быть получено из (2.2.1Ь),
если переставить операторы Н и заменить т на т + 1 всюду, кроме
функции у(Х, т).
Теперь может быть установлена основная идея метода
факторизации.
Теорема 1. Если у(Х,т) —решение данного
дифференциального уравнения, то
(2.2.2а)
(2.2.2Ь)
также являются решениями, соответствующими тому же
значению К, но другим т в соответствии с приведенными
формулами.
Следовательно, если имеется одно решение, то можно,
используя операторы //, перейти к другим решениям с меньшим или боль-

шим значением т. Продолжая этот процесс, можно получить
лестницу решений, относящихся к фиксированному %.
Для доказательства умножим (2.2.1а) на H//m+1, a (2.2.1Ь) на
{+)Нт. В результате получим
(2.2.3а)
(2.2.3Ь)
Сравнивая (2.2.3а) с (2.2.1Ь), убеждаемся, что у(Х,т + \)1 как это
было указано выше, является решением нашего уравнения, в
котором т заменено на т + 1. Аналогично у{%,т — 1) —решение
уравнения, в котором т заменено на т — 1.
Теперь можно интерпретировать уравнения (2.2.1) в соответствии
с определением: если сделать один шаг вверх, а затем один шаг
вниз по лестнице (или наоборот), то получается исходное решение,
но умноженное на К — L(m-\-\) [или на % — L(m)]. Конечно, с
помощью (2.2.2) можно дойти до решения, которое тождественно равно
нулю; этот важный случай, не нарушающий теоремы 1, будет
рассмотрен в теореме 4.
В ограниченном смысле уравнения (2.2.2) эквивалентны исходно*
му дифференциальному уравнению (2.1.1) или (2.2.1). Ограничение
заключается в том, что, согласно интерпретации (2.2.2), нам следует
рассматривать только квадратично интегрируемые решения (2.1.1).
Из-за вероятностной интерпретации волновой функции в квантовой
механике мы будем искать только те решения, которые
удовлетворяют этому условию. (Однако мы пока не делали различия между
функциями, удовлетворяющими и не удовлетворяющими этому
условию; наша теорема справедлива в обоих случаях.)
2.3. Сопряженность операторов; теорема 2.
Теорема 2.
если ср/ обращается в нуль на концах интервала и подинтег-
ралъное выражение непрерывно на интервале.
Доказательство очевидно. Наша теорема означает, что
операторы Н взаимно сопряжены.
2.4. Граничное условие; теорема 3. Нас будут интересовать
дифференциальные уравнения, коэффициенты которых имеют
сингулярности только на концах области изменения независимой переменной.
Действительно, в п. 3.1 будет показано, что всегда, когда возможна
факторизация, можно выбрать область с такими свойствами.
Следовательно, квадратичная интегрируемость решения зависит только от
поведения решения вблизи конечных точек, и поэтому условие
квадратичной интегрируемости является, по существу, граничным
условием. Изучая поведение решения и соответствующих операторов И
вблизи конечных точек, можно установить следующую теорему для
каждого из 6 общих типов факторизации, найденных в п. 3.1:
Теорема 3. Если у(%,т) — квадратично интегрируемая
функция на всей области изменения х и L(m) — возрастающая
функция от т(т^>0), то операция И (2.2.2а) увеличения т дает
функцию, такэюе квадратично интегрируемую и обращающую-

ся в нуль в конечных точках. Если L (т) — убывающая
функция от т (0<^т), то операция Н (2.2.2Ь) понижения т дает
функцию, также квадратично интегрируемую и
обращающуюся в нуль в конечных точках.
Теорема справедлива при более слабых, но более сложных
условиях, однако для наших целей приведенный выше результат
достаточен. Неправильно было бы утверждать, что оператор Н никогда
не влияет на интегрируемость; например, пользуясь терминологией,
которую мы введем позже, можно сказать, что для решений класса I
плохо ведущее себя у(Х, / + 1) может быть превращено в хорошо
ведущее себя у (X, I) = (+>//*+iy (X, / + 1).
Теорема 3 должна быть доказана для каждого типа факторизации,
но доказательства во всех случаях одинаковы.
2.5. Условия, налагаемые на X, для существования решения;
теорема 4. Рассматриваемые задачи можно разбить на два класса.
Класс I характеризуется тем, что L (т) — возрастающая функция т.
Мы увидим, что это обычно приводит к конечной лестнице решений,
относящихся к /гг = 0, 1, 2, ..., / для каждого дискретного ряда
значений Х/(/ = 0, 1, 2,...) параметра X.
Решения класса II возникают, если L{m) —убывающая
функция т. Тогда обычно получается бесконечная лестница решений,
относящихся к /я =/, / + 1, / + 2, ... для каждого значения \г{1 =
= 0, 1, 2, ...) параметра X.
В каждом классе один конец у(Х/5 l) лестницы может быть
получен простой квадратурой, а другие решения—с помощью (2.2.2).
В тех случаях, когда X не дискретно, по-прежнему имеет место
рекуррентная формула (2.2.2), но нет соответствующей исходной
функции y(^i, /). Возможен также случай, когда L (т) является
константой. В этом случае вновь получаются только рекуррентные формулы.
Уравнение Бесселя приводит к единственному важному примеру этого
типа, который будет рассмотрен в п. 5.4.
Теорема 4, определяющая X, как функцию /, будет доказана
для задач класса I. Для класса II доказательство в основном такое же.
Теорема 4. Если L(m) — возрастающая функция1) целого
числа т для 0<^т<^.М и \ не больше большего из двух значений
L(M), Z(7W+1), то необходимым условием для квадратичной
интегрируемости является выполнение соотношения
где I — целое число, а т = 0, 1, 2,...,/.
Для доказательства предположим, что у(Х, т) „хорошее", т. е.
интегрируемое, решение. Тогда на основании теоремы 3 у(Х, /7z+l) =
= (-)///7г+1у(Х, /гг)также является „хорошим" решением (или нулем) и
обращается в нуль в конечных точках. Поэтому можно записать
Обычно М = оо и L (М) = оо.

где (а, Ь) — вся область изменения х. Здесь использованы теорема 2
и (2.2.1а). Аналогично
Поскольку L (т)—возрастающая функция от т, продолжая это рассужде»
ние, мы достигнем некоторого значения т, обозначенного, например,
через /+1, для которого получается противоречивое неравенство
если не выполняется условие 1)
т. е.
(2.5.1)
На основании (2.2.1а) мы получаем
Это условие выражает А через /, являющееся одним из возможных
значений т. Другие значения т должны быть меньше /. Так
получаются искомые собственные значения X.
В п. 2.7. будет использовано (2.5.1) совместно с (2.2.2) для на«
хождения собственных функций; пока же только известно, что для
X, не больших максимального из двух значений L (М) и / (М + 1),
условие (2.5.1) является необходимым для существования
собственных функций класса I.
Соответствующая теорема для решений класса II утверждает:
если L(m) — убывающая функция целого числа т дляО^т^М
и X <; /, (0), то необходимое условие для существования
квадратично интегрируемых решении заключается в выполнении
равенства
где I — целое число, а т= I, / + 1, 1 + 2, ....
Условие, аналогичное (2.5.1), имеет вид
Наконец, следует отметить, что если т0, введенное в п. 2. lf
не выбрано равным нулю, то теорема 4, очевидно, требует, чтобы
не /, а \1 — т\ было целым числом.
2.6. Нормировка; теорема 5. Если выполняются условия теоре-
мы 3, можно так подобрать операторы, чтобы была обеспечена
не только квадратичная интегрируемость, но и нормировка собствен*
ных функций.
Вместо (2. 2. 1) запишем
*) Если X > L (М) и L (М + 1)» то дискретный спектр для X отсутствует. Такая
ситуация возникает для неограниченных энергетических уровней кеплеровской за*
дачи (см. п. 7.2 и § 8).

и вместо (2. 2. 2)
(2. 6.1а)
(2. 6.1b)
Здесь
для задач класса I,
для задач класса II.
Новые обозначения указывают на зависимость решений от /, а не от X.
Тогда, повторяя рассуждения, приведенные для доказательства
теоремы 4, получим
Следовательно, если функция Г/ нормирована, то будут нормированы
и другие У™.
Отсюда:
Теорема 5. Определенные выше операторы SB сохраняют
нормировку собственных функций, если эти функции
нормируемы.
В дальнейшем для обозначения нормированных решений наших
уравнений будут использованы прописные буквы.
2.7. Решения. Теперь можно показать, как находятся
собственные значения и нормированные собственные функции уравнения, если
это уравнение может быть факторизовано, т. е. если для заданного
г(х,т) известны k(x,m) и L(m).
Рассмотрим подробно задачу класса I. В этом случае L (т) —
растущая функция т, и представляет интерес только тот случай,
когда X не больше максимального из двух значений L(M) и L(M-\-l).
По теореме 4 собственные значения
Кроме того, теорема 4 говорит, что соотношение
(см. 2.5.1) является необходимым условием существования
нормируемых собственных функций. Следовательно,
(2.7.1)
где С — константа, определяющаяся, если это возможно, из условия
Оговорка если возможно необходима, так как заранее не известно,
является ли функция У\ квадратично интегрируемой. Нам известно
лишь, что при выполнении этого условия равенство (2.7.1) имеет
место. (В большинстве случаев (2.7.1) можно так нормировать,
но оказывается, что иногда необходимо наложить дальнейшие
ограничения на некоторые параметры задачи.)

Другие нормированные решения тогда определяются из
соотношения
(2.7.2)
Рис. 1 представляет графически обычную ситуацию. Решения
дифференциального уравнения (2.1.1) зависят от двух параметров /, т\
каждой паре значений (/, т) соответствуют два решения. Если
решение хорошо ведет себя, оно изображено точкой на рис. 1. Только
те решения, для которых />/гг, могут удовлетворять граничным
условиям, так как только в таком случае L (I -f 1) — L (т + 1) >0.
Решения, расположенные вдоль линии т = 1, получаются немедленно
простой квадратурой (2.7.1). От каждого из них лестница позволяет
Рис. 1. Каждая точка изображает
решение класса I. „Известные
решения" находятся по формуле (2.7.1),
остальные — по формуле (2.7.2).
Рис. 2. Каждая точка изображает
решение класса II. „Известные
решения" находятся по формуле (2.7.3),
остальные — по формуле (2.7.4).
опуститься вниз к другим решениям, относящимся к тому же
значению X = Z(/ + 1). Они получаются с помощью (2.7.2).
Обычная для задач класса II ситуация изображена на рис. 2.
Здесь l^m, если решения должны хорошо себя вести, так как
только в этом случае L (I) — L (т) >0. (L (т) — теперь убывающая
функция от т.) Теперь
(2.7.3)
где С — константа, определяемая, если это возможно, из условия
нормировки
Другие нормированные решения находятся из соотношения
(2.7.4)
В зависимости от того, является ли L(m) растущей или
убывающей функцией от т, задача относится к классу I или классу II. Если
/ и т меняются при факторизации ролями, то задача класса I
переходит в задачу класса II или наоборот. Другими словами, фактори-

зация, которая приводит к рекуррентным соотношениям, связывающим
в схеме рис. 1 различные /, очевидно, эквивалентна факторизации
класса II. Поэтому различие между классами I и II является не
свойством собственных функций, а скорее свойством самой факторизации.
Будет показано, что для сферических гармоник (п. 4. 1) полезно
знать обе факторизации, в то время как для большинства других
задач существенна только одна факторизация, а именно та, которая
дает физически правильную нормировку.
§ 3. Техника факторизации
Теперь мы вернемся к вопросу о том, как осуществляется
факторизация. Мы хотим выяснить, какие k(x,m), L(m), если они
существуют, соответствуют заданному г(х,т).
В следующем параграфе будет выяснено, сколько существует
различных типов факторизации. После того как будет показано, что
существует шесть типов, для факторизации достаточно будет
установить, частным случаем какого из этих шести типов является
данное г (х, т).
В п. 3.2 техника факторизации дополняется введением
„искусственной факторизации". Эта идея обычно позволяет решить даже
такую задачу, в которой зависимость г(х,т) от т отличается
от возможных типов1).
3.1. Типы факторизации. Если в факторизованных уравнениях
(2.2.1) выполнить указанные операции, то, сравнивая результат
с исходным уравнением (2.1.1), получим
(3.1.1)
Вычитание дает
(3.1.2)
Это, очевидно, необходимое условие, которому должны удовлетворять
k(x,m) и L(m). Оно также достаточно, так как любые k(x,m)
и L(m), удовлетворяющие этому условию, на основании (3.1.1)
однозначно определяют г(х, т), а следовательно, приводят к уравнению,
факторизация которого известна.
Найдем все k(x,m) и L(m), удовлетворяющие равенству (3.1.2).
Отметим прежде всего, что есть одно тривиальное решение, которое
после краткого исследования будет оставлено в стороне. Оно
получается при
1) Формулы, явно выражающие k (x, m), L (т) через г (х, т), были даны в [24].
Они имеют вид
d
k (x, m) = [2г (х, т — \) — 2г (х, т)}-1 -^ [г (х, т — 1) + г (х, т)],
L(m)= — [г (х, т — 1) -f r (x, m)]/2 — k2 (x, т).
Конечно, критерием возможности факторизации является независимость L (т)
от х. Из этих формул, однако, не следует возможность искусственной
факторизации.

где f (т) — произвольная функция т. Дифференциальное уравнение
(2.1.1) в этом случае приобретает вид
Общее решение этого уравнения представляет собой линейную
комбинацию sin^1/2x и cosX1/2^:, и операторы Н образуют только другие
линейные комбинации. Шредингер [42] дал исчерпывающее
исследование этой задачи. Он показал, как искусственные граничные условия
в задаче о колеблющейся струне могут быть при некоторой
настойчивости рассмотрены с помощью метода факторизации, но этот метод
не подходит для решения таких задач. (Граничные условия названы
„искусственными" в противоположность „естественным" граничным
условиям квадратичной интегрируемости, используемым в квантовой
механике.)
Рассмотрение более полезных решений (3.1.2) начнем с
исследования решения
k (л:, т) = k0 + mkx, (3.1.3)
где k0 и kx зависят только от х. Подставляя это выражение в (3.1.2)
и используя штрих (') для обозначения дифференцирования по ху
окончательно получим
\{т + I)2 (k\ + k\) + 2(т + 1) (kokx + k'Q)\ -
- [т2 (k\ + k[) + 2m (kokt + k'o)] = L(m)-L(m+\). (3.1.4)
Отсюда следует, что наиболее общим решением будет
где 1 — зависящая от т и х функция с периодом по т, равным
единице. В дальнейшем понадобятся значения L(m) только для
целочисленного т, поэтому можно положить
1 =/(*),
где f (х) — произвольная функция х. Поскольку выражение для L(m)
должно быть справедливым при всех значениях т и L(m) является
функцией только от /тг, каждый коэффициент при различных степенях т
в правой части должен быть постоянным. Не теряя общности
рассуждений, можно положить f(x) = 0 и считать
(3.1.5а)
(3.1. 5Ь)
где а, Ь, с — константы. Это дает
(3.1.6)
Решения (3.1.5) (если а Ф 0) имеют вид
(A) *i = *<*«*(* +Р). (3.1.7а)
k0 = са ctg а (х + р) + d/sin а (х + /?),
(B) kx = ia, ko = cla + dexp(— lax) (3.1.7b)
или (если а = 0)
(C) kx=l/x, ko= bx/2+ d/x, (3.1.7c)
(D) kx=0, ko = t?x+d, (3.1.7(1)

где d, р— произвольные константы. (Можно было бы вместо х во
всех этих решениях записать х-\-р, но такое обобщение, за
исключением случая А, тривиально.)
Четыре полученных решения не независимы: В, С, D можно
рассматривать как предельные случаи А. Однако каждый частный
случай настолько важен, что заслуживает отдельного рассмотрения.
Каждый из случаев А — D определяет с помощью (3.1.3) одну
функцию k(x, т) и на основании (3.1.6) —одну функцию L(m), а они
в свою очередь определяют с помощью (3.1.1) одну функцию г(х, т).
Эти решения вместе с двумя другими возможными факторизациями
(которые сейчас будут найдены), а также ряд важных частных случаев
даны в таблице!), помещенной в конце этого сообщения. В таком
виде они пригодны для иллюстрации результатов п. 2.7. Частные
случаи подробно рассмотрены в § 4—8.
Теперь можно показать, что добавление высших степеней т
в (3.1.3) не приводит к новым результатам. Если попробовать выбрать
k(x, т) = k0 -f mk1 + m2k2,
то вместо (3.1.4) получим
т? (4£2) + т2 {Щ + 6kxk2 + 2k'2) +
+ т (2k\ + Ak\ + 4k0k2 + 6kxk2 + 2k[ + 2kf2) +
+ члены, не содержащие т = L (m) — L(m + 1).
Решать уравнение относительно L (m) не надо. Коэффициенты при
каждой степени т в левой части уравнения должны быть постоянными.
Следовательно, первый коэффициент дает £2 = const,
поэтому k2 = const.
Затем из второго коэффициента следует kx = const, если к2Ф0.
В таком случае третий коэффициент дает £0 = const.
Теперь видно, что для k2 Ф 0 существует только одно тривиальное
решение, рассмотренное в начале этого пункта. Предложенное
обобщение не дает новых решений.
Аналогичным способом можно показать, что дальнейшие обобщения
в этом направлении также не приводят к новым решениям. Однако
это доказательство теряет силу, если предположить, что k(x, m)
содержит бесконечное число степеней т.
Можно все же найти полезное обобщение в другом направлении.
Выберем
k(x, m) = /г-г/т + ko + mkv (3.1.8)
Тогда вместо (3.1.4) получим
— т2 (k\ + k[) — 2т (kQkx + k'Q) — 2k0k-1/m — k2_xlm2 —
— (такое же выражение с т+1 вместо т) +
\) = L(m)-L(m+ 1). (3.1.9)
После умножения (3.1.9) на т(т+ I)2 левая часть превращается в
полином относительно т плюс один член иного типа:
— k2_xlm.
Следовательно, (3.1.9) удовлетворяется только при условии, что
1) Там, где это удобно, в таблице добавлены / (х) или константы.

Случай q = 0 можно не рассматривать, так как он приводит к уже
рассмотренным решениям. Следовательно,
k0 = const,
поскольку kok_x — константа. Случай k0 Ф О можно не рассматривать,
так как тогда kx также должно быть постоянной величиной и
получилось бы „тригонометрическое" решение. Поэтому мы рассмотрим
только случай ko = O. В этом случае
k\ + k[ = -a\
Постоянное значение ku удовлетворяющее этому уравнению, вновь
ведет к «тригонометрическому» решению. Появляются два новых типа
факторизации:
(E) kx=aciga (x+p), ko = O, k-X = q, (3.1.7 е)
(F) &i = l/x, &0 = 0, k-x=q (3.1.7 f)
и оказывается, что
(a = 0 для F). (3.1.10)
Функции k(x, m), L(m) и г(х,т), соответствующие типам Е и F, и их
частные случаи приведены в таблице, причем частные случаи изучены
в § 7 и 8.
Непосредственная проверка показывает, что дальнейшее
обобщение, если только взять конечное число отрицательных степеней т
в разложении k(x, т), не приводит к новым факторизациям.
Конечно, тип F можно рассматривать как предельный (при а—>0)
случай типа Е. Поэтому всего имеется шесть возможных типов
факторизации, некоторые из которых сами являются предельными случаями
двух основных типов; позже будет показано, что и эти два основных
типа тесно связаны между собой.
Стивенсон [46] первым нашел приведенные выше типы
факторизации. Он использовал иной метод и нашел три других типа
факторизации, которые, однако, могут быть сведены к рассмотренным в этой
статье.
Наконец, следует отметить, что для всех шести типов k(x,m)
и г(х,т) фактически имеют свойства, необходимые для доказательства
теоремы 3.
3.2. Искусственная факторизация. В дальнейшем иногда
необходимо будет обращаться к приему, известному под названием
искусственной факторизации. Это необходимо, если заданная функция R(x, m)
не совсем подходит к одному из шести основных типов. Различие
всегда зависит от того, каким образом т входит в R(x, m).
Есть три возможности, которые могут осуществиться одновременно,
но они будут исследованы отдельно. Для определенности будет
рассматриваться только задача класса I.
Первая возможность заключается в том, что R(x, m) имеет вид
R(x} m) =r(x, m)+f(m),
где г(х, т) соответствует одному из стандартных типов, a f(m)
—произвольная функция от т. Для рассмотрения такого примера положим
и затем перейдем к решению нового уравнения

Для нормируемых решений X'=Z(/ + 1), причем можно
опускаться по лестнице до решения Y™, которое относится к собственному
значению X = L (I + 1) — f (т). В действительности, если опускаться
по лестнице, изменяется А, а не X''.
Вторая возможность состоит в введении новой функции г (х, т, р,),
относящейся к стандартному типу (если [л рассматривать как параметр)
и удовлетворяющей условию
r(x, m, m) = R(x, m).
Тогда можно решить уравнение
и получить решение УГ(р), зависящее не только от т и X = Z.(/ +1),
но и от {л. Искомое решение в таком случае просто равно Yim(m).
Зависимость этого решения от т частично определяется лестничными
операторами, но окончательно она устанавливается в конце
лестничных операций, когда мы полагаем {л = /7г.
Третья возможность возникает, если
R (х, т) = R (х) = г (х, т) для т = р.
Тогда искомое решение получается из решения более общего
уравнения [с г(х, т)\ для частного значения т, равного /?.
Если прямая факторизация невозможна, то все же может оказаться
возможной искусственная факторизация, причем осуществление такой
факторизации теперь основано на определенной процедуре: из списка
типов факторизации выбирается r(x, m), зависимость которого от х та
же, что и для заданного R(x, m). С помощью изложенных выше методов
зависимость от т обычно может быть приведена к виду, при котором
факторизация осуществляется и может быть найдено решение.
§ 4. Факторизация типа А и общие замечания
Прежде чем приступить к рассмотрению первого общего типа
факторизации, хотелось бы сделать несколько замечаний, относящихся ко
всем типам факторизации.
Каждый тип содержит некоторое число частных случаев, которые
легко получить путем соответствующего выбора параметров, входящих
в общий тип; мы выделим те, которые чаще всего встречаются в физике,
и покажем в каждом случае, как легко может быть получено решение
задачи методом факторизации.
Там, где это необходимо, будет дана ссылка на литературу, в
которой дается физическая интерпретация наших результатов; будет
выяснено, что в некоторых случаях задача впервые была решена методом
факторизации. Мы хотим представить наши результаты в форме,
наиболее удобной для физиков, поэтому при изучении известных задач
обозначения будут изменены по сравнению с теми, которые
применялись в предыдущих разделах при общем исследовании. По этой же
причине нормировка, осуществляемая операторами гипергеометрической
функции (в п. 4.8), будет отличаться от нормировки в других примерах;
мы имеем в виду вычисление интенсивностей в одном из следующих
разделов (12.5), где удобней использовать обычное определение этих
функций.
Таблица, помещенная в конце этой работы, содержит г(х, т)
и соответствующие функции k(x,m), L(m). Все трудности решения
проблемы собственных значений сводятся к нахождению в таблице под-

ходящей функции г(х, т) и использованию соответствующих k(x, m),
L(m) для того, чтобы выписать собственные значения и нормированные
собственные функции на основании указаний § 2. Таблица включает
также ссылки на те места текста, где даны эти решения для наиболее
важных примеров.
На основании формул (3.1.1), (3.1.3), (3.1.6) и (3.1.7а) мы
получаем первый общий тип факторизации. Согласно
(4.0.1)
факторизация осуществляется с помощью
k (х, т) = (т + с)а dga(x-\- р) + d/sina(x + р),
(4.0.2)
где а, с, d, р — постоянные. Для удобства в качестве 1 = f (х) (п. 3.1)
вместо нуля выбрано а2с2.
Теперь можно было бы использовать результаты п. 2.7, чтобы
выписать собственные значения и нормированные собственные функции
соответствующего дифференциального уравнения, но эти результаты
зависят от того, является ли L (т) возрастающей или убывающей
функцией от т, и, следовательно, от того, будет ли а вещественным
или чисто мнимым. Поэтому будут даны решения только для частных
случаев.
Первый пример будет рассмотрен подробнее, чем последующие.
4.1. Присоединенные сферические гармоники.
Дифференциальное уравнение, удовлетворяемое присоединенными сферическими
гармониками, имеет вид
(4.1.1)
где т= 0, 1, 2,... и 0<й<тг.
Подстановкой (п. 2.1)
(4.1.2)
приведем это уравнение к стандартной форме. Таким образом, Y
является функцией плотности для присоединенных сферических
гармоник Р. Уравнение (4.1.1) приобретает вид
(4.1.3)
Потенциальная функция в этом уравнении относится к типу Л
(4.0.1), если в последнем положить
а=1, с=— , rf=0, /? = 0, х=Ь
и заменить X на A +-j- • Следовательно, факторизация осуществляется
с помощью соотношений

L(m) —возрастающая функция от т, поэтому задача относится
к классу I и собственные значения
Таким образом,
где / = 0,1,2,... и />яг, а соответствующие нормированные
решения имеют вид
(4.1.4а)
(4.1.4b)
Равенства (4.1.4) определяют собственные функции уравнения
Лежандра. Позже будет показано, что такое представление решения
получается методом факторизации не только быстро, но и в более
удобной форме. Существенно, что сохраняется физический смысл
соответствующей нормировки.
В дальнейшем понадобится рекуррентное соотношение для
растущего т1)
(4.1.4с)
Конечно, заранее не известно, удовлетворяет ли Ytl граничным
условиям. Однако, после того как Y/ найдено, сразу же видно, что
все функции Y™ удовлетворяют граничным условиям. Если бы Ytl не
существовало, то из общей теории следовало бы, что вообще не
существует нормируемых собственных функций.
Из (4.1.3) следует, что для отрицательных т
Исследование свойств лестничных операций вблизи т = 0
показывает, что эти операторы могут быть использ.ованы для получения
собственных функций с отрицательными значениями т. В результате
спуска по лестнице к этим значениям оказывается, что
4.2. Присоединенные сферические гармоники как задача
класса II. Если вместо X ввести /(/ + 1) и заменить — т2 на А, то
уравнение (4.1.1) примет вид
/ = 0, 1, 2, ... .
Попытаемся теперь осуществить такую факторизацию этого
уравнения, которая позволила бы увеличивать и уменьшать параметр /,
оставляя одновременно вновь введенное А неизменным.
1) Операторы в (4.1.4) тесно связаны с операторами орбитального углового
момента. Если через Lz, Lv обозначить две первые компоненты углового момента,
то [37, стр. 4391

Теперь нормальная форма получается, если положить
(4.2.1)
Кроме того, заменим Я на Я, сохранив символ Р для нормированных
соответствующим образом решений. Тогда уравнение приобретает вид
(4.2.2)
Это вновь уравнение типа А (4.0.1), но с a = i, e = 0, /? = /n/2, d = 0
и с х, т, замененными на г, /. Следовательно, факторизация
осуществляется с помощью
k(z, l) = lthz,
L(l) = -l\
Поскольку L (/) — убывающая функция от /, факторизация относится
к классу II, и основание лестницы получается, если положить X = — /2
при некотором значении /, обозначаемом через т. Тогда А = — т2,
где /-/и = 0, 1, 2,....
Соответствующая лестница нормированных решений,
удовлетворяющих граничному условию (квадратичной интегрируемости на
интервале — оо, оо), состоит из функций
где
(4.2.3а)
(4.2.3Ь)
Для дальнейших ссылок эти выражения на основании (4.2.1)
удобно переписать в таком виде:
(4.2.4а)
(4.2.4Ь)
Между Р и Y есть существенная разница. Если Р представить как
функцию от 0, то
Другое существенное различие заключается в нормировке. Y
нормировано так:
(4.2.5)
в то время как
что соответствует условию

При вычислении матричных элементов сферических гармоник (п.9.1)
мы увидим, как может быть найдена связь между этими нормировками.
Вероятностной интерпретации волновых функций при рассмотрении
физических задач соответствует нормированное Y, поэтому желательно
так подобрать константы в (4.2.4), чтобы нормированной была
функция Г, а не Р (или Y).
4.3. Обобщенные сферические гармоники. Обобщенные
сферические гармоники являются решениями уравнения
где т, как и прежде, — неотрицательное целое число, а у —
произвольный положительный параметр. Это уравнение приводится к
стандартной форме
(4.3.1)
с помощью подстановки
Используя тип А при а = 1, с = у— 1, d = p = 0, получим
решения класса I:
где т не может быть <; — , если у =£ . [Решения для
отрицательных т можно получить из соотношения
при Х = /(/ — 2Т).]
Эта решения сводятся к решениям, которые были получены в п.4.1
для Т = ~2~ • Для Т — 1 получаются радиальные функции свободной
частицы в сферическом пространстве. Это частный случай задачи,
рассматриваемой в п. 7.1.
Задача класса II (см. п. 4.2) получается с помощью подстановки
приводящей к уравнению
(4.3.2)
Его решения имеют вид

Р?л и У™л существенно отличаются друг от друга; между ними
существует такая же разница, как между Р и Y в двух предыдущих
разделах.
4.4. Функции Гегенбауэра. Функции Гегенбауэра могут быть
определены с помощью дифференциального уравнения [53, стр. 329]
Если положить
то получим стандартную форму
(4.4.1)
Это уравнение типа Л, но решать его следует так, как это описано
в п. 3.2: ввести параметр искусственной факторизации
Это приводит к равенствам
и решениям, имеющим вид
кроме того, Yim = YT \ если положить \f = \-\-(m—\f.
Следует подчеркнуть, что YT относится к собственному значению
/_^ = 0, 1, 2,... ,
т. е. к
4.5. Симметричный волчок. Волновое уравнение симметричного
волчка играет существенную роль в изучении простых молекул.
Согласно Деннисону [7, стр. 310], волновая функция
где 0, ср, ф —углы Эйлера, а /С, М — целые числа. Первый
множитель в этом выражении удовлетворяет уравнению
где
Если сделать подстановку
то получим уравнение
(4.5.1)

которое можно отождествить с уравнением типа Л, если в последнем
положить а = 1, с = —, ^ = — /С, /7 = 0. Факторизация
осуществляется с помощью
поэтому решения имеют вид
Они соответствуют собственным значениям
J -\М\, /_|/С| = 0, 1, 2,...,
так что
4.6. Сферические гармоники Вейля со спином. Шредингеров-
ская квантовомеханическая теория приводит к одному амплитудному
уравнению второго порядка. Теория Дирака объясняет спин и
приводит к паре уравнений первого порядка, определяющих спиновые
компоненты собственных функций. В этом разделе и в п. 8.4 такая пара
уравнений будет рассматриваться непосредственно с помощью метода
факторизации. Идея заключается в таком преобразовании этих
уравнений, при котором они сами собой становятся факторизованными.
После разделения переменных Вейль [51, стр. 230] получил
следующие уравнения для зависимости компонент волновой функции от
азимутального угла:
(4.6.1)
где т — заданное целое число, a k должно быть определено.
Теперь легко видеть, что, вводя новые функции
(4.6.2)
складывая и вычитая уравнения (4.6.1), получим
Эти уравнения, однако, в точности совпадают с уравнениями (4.2.4),
если положить

где С — константа, зависящая от нормировки; поэтому искомые решения
имеют вид (см. [42]):
причем k должно быть целым, не меньшим т. Мы рассматривали
только положительные т, но ясно, что
Решения можно получить и другим методом, если ввести
(4.6.3)
Тогда (4.6.1) приобретает вид
(4.6.4)
Откуда
(4.6.5а)
(4.6.5Ь)
Но это уравнения типа А са=1, с=/> = 0 и о!=+
соответственно. Решения для &2 = (/-|-1)2 имеют вид
(4.6.6)
Используя (4.6.3), можно получить /, g; нетрудно убедиться в том,
что
4.7. Уравнение магнитного полюса. Дирак [8] первым ввел
волновое уравнение для электрона, движущегося в поле неподвижного
магнитного полюса. После разделения переменных он получил
следующее уравнение:
где т, — целое число, а А должно быть найдено. Положив

получим уравнение
(4.7.1)
относящееся к типу А с а= I, с = р= 0, d = — и ^, замененным
на . Поэтому собственные значения будут
/=0, 1,2,... .
Это выражение совпадает с результатом, полученным Таммом [48].
Решения в точности совпадают с F в (4.6.6).
4.8. Потенциалы Пёшля — Теллера. В п. 5.2 будет рассмотрена
потенциальная функция, предложенная Морсом для объяснения
наблюдаемых вибрационных энергетических уровней и энергий диссоциации
двухатомных молекул. Были предложены другие потенциальные
функции, приводившие к тем же самым собственным значениям энергии, но
содержавшие более двух параметров, имеющихся в потенциале Морса;
благодаря этому они могут быть согласованы с большим числом
спектроскопических данных. Две такие функции были предложены Пёшлем
и Теллером, причем, как мы сейчас покажем, каждая из них
представляет собой частный случай типа Л, так что можно немедленно
написать решения. Фактически мы кратко покажем, как тип А (а затем
и тип В) позволяет находить такие потенциальные функции.
Первое уравнение Пёшля — Теллера имеет вид
Если положить а = 2а, с=0, rf = 2g-a, х = г, р = — г0, то
потенциальная функция типа А принимает вид
(4.8.1)
причем можно соответственно отождествить ш -\- g -\- \, т — g + 1
с v, [х, так что 2пг + 2 = \х -\- v.
Факторизация осуществляется с помощью соотношений
Следовательно, рассматриваемая задача относится к классу I и
собственные значения
1= пг + п, п= 0, 1,2,. . . .
Это означает, что
л=0, 1,2,....
в соответствии с результатами Пёшля и Теллера. Нормированные
собственные функции равны

где
при условии т + >|g"|.
Мы ввели п потому, что с физической точки зрения параметр т
в потенциальной функции можно рассматривать как заданную константу
и искать собственные функции, относящиеся к различным / (или п).
Собственные функции занимают одну строку на рис. 1 и
перенумерованы слева направо индексом п= О, 1, 2,... . (Напомним, что сами
т, I не обязательно должны быть целочисленными, в то время как их
разность п есть целое число.)
Второе уравнение Пёшля — Теллера имеет вид
Положив a=2ia, с = О, d = 2lga, x=r и /? = —г0, найдем, что
потенциальная функция типа Л принимает вид
(4.8.2)
и можно соответственно отождествить т -\- g, m — g с — v, а, так
что 2т = [а — v.
Факторизация осуществляется на основании соотношений
что соответствует задаче класса II. Таким образом,
I = т — п, /г = 0, 1, 2,... <; /тс.
В этом случае для заданного т существует только конечное число
собственных значений
л = 0, 1,2,...
и решений
где
при условии g <С — т, т. е. v^>— .
4.9. Гипергеометрические функции. Гипергеометрическая
функция F (а, Ь, с, г) удовлетворяет дифференциальному уравнению
[53, стр. 283]
(4.9.1)

Это уравнение можно факторизовать четырьмя различными способами.
Однако оказывается, что результаты будут, по существу, совпадать
с результатами предыдущего раздела; поэтому факторизация будет
использована только для получения некоторых рекуррентных
соотношений, необходимых для вычислений дираковских матричных
элементов в п. 12.5.
Уравнение (4.9.1) можно привести к стандартной форме с помощью
подстановки
Мы получим
(4.9.2)
Если теперь рассмотреть уравнение
(4.9.3)
то проблема сводится к уже рассмотренной в п. 4.8 задаче с
факторизацией
Здесь увеличение т на 1 соответствует увеличению каждого из
параметров а, Ь, с на 1.
Можно было бы рассмотреть уравнение
(4.9.4)
с факторизацией
которая приводит к рекуррентным формулам для растущего или
убывающего на единицу с. Эта факторизация эквивалентна шрединге-
ровской [43].
Если теперь рассматривать (с — I)2 во втором члене (4.9.2) как
X —член, сохраняющий постоянное значение на лестнице, то
стандартная форма будет получаться с помощью подстановки

Мы получим
(4.9.5)
где т вводится как в предыдущих примерах. Вновь, как в п. 4.8,
причем эта факторизация приводит к рекуррентным относительно а
формулам.
Наконец, другая стандартная форма может быть получена, если
(а + Ъ — с)2 в третьем члене (4.9.2) будет оставаться постоянным
и играть роль X. Подстановка
дает (со вставленным т) уравнение
(4.9.6)
и получается факторизация с изменяющимися а и с:
Операторы, изменяющие а и с, могут быть выражены через
переменные F и г. Одновременно можно так подобрать нормирующий
множитель, чтобы постоянный член в разложении F был равен единице.
Если положить /72=0, то получаются следующие рекуррентные
формулы:
(4.9.7)
Конечно, имеются и другие дифференциально-разностные
соотношения первого порядка, но приведенные выше являются основными и все
другие могут быть получены из них. Это справедливо, так как пока не

нарушаются ограничения, указанные в (4.9.7), можно найти
такое произведение операторов, которое будет переводить F(a, Ь, с, г)
в F(a-\-a, й + |3, с+у, z), где а, р, у— целые числа; это произведение
к тому же может быть представлено одним оператором первого
порядка, если расширить и использовать исходное уравнение (4.9.1) для
обращения операторов двукратного дифференцирования, когда они
встречаются, в операторы первого порядка.
Кроме того, отсюда следует, что, если не нарушены указанные
ограничения, то сумму гипергеометрических функций F(a, b, с, г)
можно представить в виде 0F(a, b, с, z), где 0 — дифференциальный
оператор первого порядка. Такая сумма равна линейной комбинации
F(a, b, с, z) и F(a+1, 6+1, c+l, z). В п. 12.5 будет показано, что
матричные элементы могут равняться такой сумме и что z и некоторые
параметры могут быть комплексными; поэтому для вычислений важно
иметь возможность уменьшать число гипергеометрических функций,
а приведенная выше идея систематизирует способы этого уменьшения.
Такое рассуждение может быть применено к произвольным
смежным решениям задачи о собственных значениях, которая может быть
факторизована. Поэтому уместно задать вопрос: «когда такие
рекуррентные соотношения сами дают непосредственную факторизацию
исходного уравнения?»
На этот вопрос можно ответить следующим образом. Отметим,
что преобразование (2.1.2) дифференциального уравнения к
стандартной форме является единственным. Это означает, что как только X
(параметр, который должен оставаться постоянным на лестнице)
выбран, то г(х,т) определяется однозначно. Для определенной таким
образом функции г(х, т) существует не более одной факторизации.
Поэтому нельзя, например, получить факторизацию уравнения Ле-
жандра, в котором мы хотим изменить т на 2 для фиксированного X,
хотя и существуют дифференциальные операторы первого порядка,
связывающие Yf с Г^+2.
Аналогичная ситуация имеет место в случае гипергеометрического
уравнения: как только выбрано X [в (4.9.3), А равно (а— Ь)2] и
введено т, факторизация уже определена. Однако в случае
гипергеометрического уравнения существует больше возможностей в выборе X,
которые могли бы представить интерес. Например, возникает вопрос:
можно ли произвести факторизацию, соответствующую
одновременному уменьшению а и увеличению b на 1; возможно, она могла бы
соответствовать выбору А = (а + Ь)2 или просто X = с.
Будет показано, что такая факторизация существует и что
а = — (с — 1)2/2 — (а + Ъ — с)2/2. (4.9.8)
Однако эта задача относится к типу Е, и поэтому она будет
отложена до п. 7.5.
Вопрос о связи между фундаментальными типами А и Е будет
окончательно рассмотрен в гл. 14.
§ 5. Факторизации типа В и С
Из формул (3.1.1), (3.1.3), (3.1.6) и (3.1.7b) или (3.1.7с) могут
быть получены два следующих общих типа факторизации:
Тип В [после замены —la на а и добавления —а2с2 к L (т)}
г (х, т) = —d2 ехр (2ах) + 2ad [т + с + ^ ехр (ах), (5.0.1)
k (х, т) = d ехр (ах) —т — с,

Тип С [после замены d на с и добавления Ь/2 к L(m)\
(5.0.2)
Оба эти типа будут изучаться совместно, так как некоторые
задачи, относящиеся к типу В, можно также рассматривать как задачи
типа С, и обратно; но в каждом случае одна из этих факторизации
будет искусственной. Наш первый пример — вырожденное
гипергеометрическое уравнение — будет рассмотрен подробно обоими метрдами.
Как и следует ожидать, обе совокупности решений отличаются только
нормировкой. Каждый из последующих примеров будет рассмотрен
только таким методом, который приводит к физически правильной
нормировке. К счастью, этот метод в каждом случае оказывается
наиболее непосредственным.
В дальнейшем, в § 8, будет показано, что вырожденное
гипергеометрическое уравнение можно рассматривать как задачу типа F.
5.1. Вырожденные гипергеометрические функции. Уиттекер и
Ватсон [53] рассматривают уравнение
(5.1.1)
Здесь вместо их k подставлено s + , чтобы избежать смешения
этого параметра с функцией k(x, m), осуществляющей факторизацию.
Для факторизации, которая предусматривает введение операторов,
изменяющих s, мы в качестве X рассмотрим — т2. Подстановки
(5.1.2)
приводят (5.1.1) к нормальной форме:
(5.1.3)
Эта задача относится к типу В (5.0.1) с а=1, с = 0,
d = -к- и с т, А, соответственно замененными на s, — т2.
Следовательно,
k (x, s) = (ехр х)/2 — s,
L(s)= - s2.
L (s) — убывающая функция от s. Рассмотрим случай, когда наименьшее
значение s равно т (заменяющему / в теореме 4); тогда наши
обозначения согласованы с (5.1.3). Теперь найдем квадратично
интегрируемые решения
Этими решениями будут
(5.1.4а)
(5.1.4Ь)
(5.1.4с)

причем
(5.1.5)
Положив s = k— , z = expx и отметив чертой, что наша
нормировка отличается от нормировки Уиттекера и Ватсона, получим
Выразив (5.L4) через W и z, найдем
(5.1.6а)
(5.1.6Ь)
(5Л.6с)
Здесь условие нормировки имеет вид
Теперь обратимся к нашей задаче, считая s параметром,
входящим в (5.1.1) и сохраняющим постоянное значение (как X при общем
обсуждении в § 2), и найдем факторизацию, которая
предусматривает существование оператора, изменяющего т.
Подстановки
z = yV4, W(z)~(y/2)WV(y) (5.1.7)
приводят к новой нормальной форме
(5.1.8)
Это уравнение не совсем типа С (5.0.2). Чтобы произвести
искусственную факторизацию, можно записать
(5.1.9)
где sf = s + + (т — [х)/2. Это модифицированное уравнение уже
точно относится к типу С с Ь = 2~,с = [х— > пРичем оно
переходит в (5.1.8) при \ь = т. Факторизация осуществляется с помощью
следующих соотношений:

Единственно возможными квадратично интегрируемыми решениями,
относящимися к заданному
будут
где
(5.1.10а)
(5.1.10Ь)
Наконец, для получения искомого решения (5.1.8) просто положим
в Vf{\>.) (а = т и I = s. Следовательно, 5 должно быть целым числом,
не меньшим, чем т.
Используя (5.1.7), получим формулы для соответствующих
функций W:
(5.1.11а)
(5.1.lib)
(5.1.11с)
где нормировка имеет вид
поэтому нельзя поставить знака равенства в
(5.1.12)
Нельзя положить \i = m в (5.1.11), так как каждый шаг вверх
или вниз по лестнице изменяет т, в то время как [х остается
постоянным и совпадает только с последним (на лестнице) значением т, как
в (5.1.12).
Наконец, следует отметить, что (5.1.9) может быть отнесено
и к типу С cft = y, c = fi— 1/2, но такой выбор b не приводит к
интегрируемым решениям.
5.2. Потенциал Морса. Морс [34] предположил, что радиальная
часть ядерной волновой функции (умноженной на г) для двухатомной
молекулы удовлетворяет уравнению
(5.2.1)
где М — приведенная масса двух атомов, Е — энергия, D — „глубина"
потенциальной функции и У — ротационное квантовое число.
Константы а и D должны быть определены сравнением
экспериментальных данных с выражением (5.2.3) для уровней энергии. Независимая

переменная здесь и = г — г0, где г — межъядерное расстояние, а г0—то
значение г, для которого потенциал минимален. Переменная и
изменяется на интервале (—г0, сю), но в достаточно хорошем приближении
можно принять, что областью изменения будет (—оо, оо), так как
в этом случае R будет чрезвычайно мало вблизи точки г=0.
Примем, что в первом приближении 7 = 0. Тогда, если положить
то (5.2.1) принимает вид
(5.2.2)
Это вновь уравнение (5.1.3). Конечно, здесь 5 — не целое число,
но достаточно потребовать, чтобы 5 — т = v = 0, 1, 2,.. . . Тогда
(5.2.3)
в соответствии с результатом Морса. Отметим, что имеется только
конечное число энергетических уровней. Для произвольно
заданного s число уровней меньше 5+1.
Поскольку ^ постоянно, для получения решений было бы
естественно использовать рекуррентные формулы (5.1.11) с изменяющимся яг
(или v). Однако соотношения (5.1.4) с изменяющимся s обеспечивают
физически правильную нормировку (если правильно истолковано а
в dx = —adti). В таком случае для получения Rsm мы отправляемся
от „решения" /?™ и поднимаемся (с помощью искусственной
факторизации) на v ступеней по лестнице с изменяющимся s до
Кроме того, нам понадобится (5.1.4) для вычисления интенсивностей
в п. 10.1.
Рассмотренный выше потенциал был применен Морсом, Фиском и
Шиффом [35] в задаче о дейтроне. Однако для решения их задачи
нельзя использовать метод факторизации, так как г0 для дейтрона
настолько мало, что мы не можем считать интервал (—оо,оо) областью
определения и. Границы применимости сделанных предположений
исследованы Д. тер Хааром [20].
5.3. Система тождественных осцилляторов. Шредингер [42]
получил уравнение для системы тождественных (одномерных)
осцилляторов Планка. После отделения сферических гармоник на (s — 1)-мерной
гиперсфере он получил уравнение
(5.3.1)
для радиальной собственной функции. В этом выражении квадрат
радиуса-вектора обозначен через

где xk — координата k-то осциллятора.
С помощью подстановки
приведем (5.3.1) к стандартной форме
(5.3.2)
Это уравнение типа С с b = —2, с = s/2 — , если осуществить
искусственную факторизацию, положив X' = А + 2п — 5 -|- 3.
Факторизация приводит к решениям класса I
относящимся к X' = 4/ + 3. Следовательно, Ф? — нормированная
собственная функция, отвечающая собственному значению X = 4/ — 2n^s.
Конечно, факторизация, дающая рекуррентные формулы с
изменяющимся / (или X), может быть осуществлена тем же способом, что
и факторизация, которой соответствует изменяющееся k в п. 5.1.
Операторы, приводящие к такой факторизации, будут увеличивать или
уменьшать / на единицу, а следовательно, а на 4. Эти результаты
в основном совпадают с результатами, полученными Шредингером.
5.4. Функции Бесселя, Последний пример факторизации типа С,
который мы рассмотрим, весьма важен ввиду особых свойств
функции L(m).
Уравнение для плотности функций Бесселя имеет вид
(5,4.1)
Факторизация его осуществляется с помощью соотношений
Так как L(m) — ни возрастающая, ни убывающая функция от т,
отсутствует ключевая функция. Мы получаем только известные
рекуррентные формулы 1)\
где
*) Однако можно получить явные выражения для решений, если т —
полуцелое число. Очевидно, для
другие функции Бесселя с полуцелым индексом могут быть получены из этих
решений путем повторного применения рекуррентных соотношений.

в обозначениях Уиттекера и Ватсона [53]. Рекуррентные соотношения
сохраняются и для других решений уравнения Бесселя, данных Уит-
текером и Ватсоном.
§ 6. Факторизации типа D
Из формул (3.1.1), (3.1.3), (3.1.6) и (3.1.7d) можно получить
четвертый общий тип факторизации. Факторизация, соответствующая
(6.0.1)
осуществляется с помощью соотношений
(6.0.2)
где bud — константы.
Задача о гармоническом осцилляторе может быть решена с
помощью такой факторизации. Однако в этом случае непосредственное
применение техники, рассмотренной в предыдущих параграфах и
использованной во всех других примерах, приводит к излишне сложной
искусственной факторизации. Причина этого заключается в том, что
для осциллятора функция г(х, т) не зависит от т. Если т не входит
в потенциальную функцию, то возникает только одна лестница
решений, причем каждая функция на лестнице относится к различным
собственным значениям \. С другой стороны, примененный выше
способ приводит к бесконечному числу лестниц, каждому значению \
соответствует одна лестница и каждому значению т — одна функция
на лестнице, а в задаче об осцилляторе эти лестницы оказываются
тождественными.
В этой главе, чтобы избежать вырождения, мы введем слегка
видоизмененный процесс факторизации. Этот модифицированный
вариант проще, и фактически метод факторизации возник при такой
трактовке гармонического осциллятора (см., например, [9], стр. 133).
Область применения метода, как показывает этот случай, шире,
чем указывалось до сих пор. Она охватывает много задач,
возникающих при так называемом вторичном квантовании. На нескольких
примерах будет показано, как рассматриваемый метод может быть
применен к таким задачам, однако область его применения шире, чем
указывают эти примеры. Будет установлено, что этот метод легко
может быть так обобщен1), что позволит рассматривать не только
поля, но и источники. Это обобщение произведено в два этапа
в пп. 6.5 и 6.7. Рассмотренные здесь примеры сформулированы и
интерпретированы более полно в „Квантовой теории полей" Вент-
целя [50].
6.1. Линейный осциллятор. Уравнение Шредингера для
осциллятора имеет вид
(6.1.1)
где в обычных обозначениях.
Теперь опишем в общих чертах модифицированную теорию
факторизации, которой удобнее всего пользоваться при решении этой
задачи. Уравнение (6.1.1) не зависит от т, поэтому существенное из-
J) Джонсон и Липпманн [30, 31] использовали другое обобщение [10, стр. 136],
п. 6.1, чтобы рассмотреть как в релятивистской, так и в нерелятивистской теории
задачу о движении заряженной частицы в однородном магнитном поле.

менение заключается в том, что теперь используется факторизация,
которая позволит увеличивать и уменьшать А1).
Уравнение (6.1.1) можно записать в одном из двух видов
(6.1.2а)
(6.1.2b)
где
(6.1.2с)
Действуя на (6.1.2а) оператором (~>// и на (6.1.2b) оператором
(+)//, получим аналог теоремы 1:
Операторы Ш// увеличивают или уменьшают X на 2.
Кроме того, в соответствии со второй частью теоремы 4, мы
находим, что нельзя бесконечно уменьшать величину X. Лестница будет
иметь „основание", если
Х = 2ЛГ+1, N=0, 1, 2, ..., (6.1.3)
а ключевая функция удовлетворяет уравнению
и в результате соответствующей нормировки имеет вид
(6.1.4а)
Другие решения могут быть получены из первого с помощью
соотношений
(6.1.4Ь)
(6.1.4с)
Все эти собственные функции ортогональны и нормированы, т. е.
В трех следующих разделах эти результаты будут использованы
в задачах, возникающих в теории мезонных полей. Отметим, имея это
в виду, что (6.1.2Ь) и, следовательно, (6.1.1) можно записать в виде
((-)#(+)# + 1) ф = Ц. (6.1.5)
Таким образом, все наши результаты следуют из одного лишь этого
уравнения.
6.2. Вещественное скалярное мезонное поле. Гамильтониан
вещественного скалярного мезонного поля в вакууме имеет вид [50,
стр. 33]
(6.2.1)
где сод = с([х2 + k2yi2^>0 и k — вектор, декартовы компоненты
которого кратны целому числу 2тг//, а / — длина ребра куба периодично-
J) Идея увеличения и уменьшения X, а не /и встречается в методе Шредин-
гера [41, 42] даже в тех случаях, когда т входит в уравнение.

сти [50, стр. 27]. Операторы ри , qu удовлетворяют соотношениям:
(6.2.2а)
(6.2.2Ь)
Теперь свяжем с каждым вектором k одномерное пространство
с координатой ЕЛ, где \ь изменяется от —оо до +оо, и введем
представление
(6.2.3)
где
Легко проверить, что соотношения (6.2.2) удовлетворяются.
Подставив (6.2.3) в (6.2.1), получим
(6.2.4)
Слагаемые гамильтониана, относящиеся к каждому k, зависят каждое
от одного отдельного k-то переменного, поэтому можно разбить нашу
задачу на бесконечное число одномерных задач. Уравнения Шредин-
гера, относящиеся к каждому k, приобретают вид
Сравнивая с формулами (6.1.5), (6.1.3), немедленно получаем
Отбросим теперь энергию, отвечающую N = 0. Получим
(6.2.5)
Собственные функции могут быть получены на основании (6.1.4).
Таким образом, задача о вещественном скалярном, или
нейтральном, мезонном поле эквивалентна задаче об осцилляторе с Зоо
степенями свободы.
Выражение
(6.2.6)
символически представляет решение уравнения Шредингера
В выражении (6.2.6) каждая функция нормирована точно так же,
как в п.6.1, причем подразумевается, что

где ф, ф' соответственно характеризуются наборами
6.3. Комплексное скалярное мезонное поле. Гамильтониан
комплексного скалярного мезонного поля имеет вид [50, стр. 51]
(6.3.1)
Отличие этого гамильтониана от гамильтониана в предыдущем
пункте состоит в том, что pk , Цк уже не удовлетворяют условиям (6.2.2а).
Однако они удовлетворяют условиям (6.2.2Ь). Физически это
означает, что заряд уже не равен нулю, так что решения будут
представлять поле заряженных мезонов.
Теперь с каждым k следует связать две пространственные
координаты £й, т|Л и ввести операторы
Если положить
(6.3.2)
то равенства (6.2.3Ь) удовлетворяются и гамильтониан (6.3.1)
приобретает вид
(6.3.3)
Отдельные гамильтонианы, относящиеся к каждому k,
независимы, так как они выражаются через независимые (при разных k)
переменные %k , Tik , поэтому нашу задачу можно разбить на одномерные
задачи с шредингеровскими уравнениями типа
Снова, как и в п.6.1,
Обозначения N{k+) и N{k ) появились в связи с тем, что разность
рассматривается как величина, пропорциональная полному заряду;
7V&+) — число положительно заряженных мезонов с импульсом %k и
N{^ — число отрицательно заряженных мезонов с импульсом — %k
[50, стр. 53].

6.4. Многокомпонентная теория вещественного поля. В
качестве последнего применения формул, данных в п. 6.1, кратко коснемся
многокомпонентной теории, для которой гамильтониан имеет вид
(6.4.1)
где
Эту задачу можно рассмотреть методом, описанным в п. 6.2.
Единственная разница заключается в появлении индекса а. Таким образом,
по аналогии с (6.2.3) вводим
где
Тогда (6.4.1) приобретает вид
(6.4.2)
Одномерное уравнение Шредингера этой задачи имеет вид
(6.4.3)
Следовательно,
(6.4.4)
6.5. Гармонический осциллятор; обобщение. До сих пор была
использована только простая факторизация (6.1.2). Эта факторизация,
как уже было указано, не сильно отличается от общего типа (6.0.2),
приведенного в начале этого параграфа. Сразу же видно, как можно
обобщить нашу факторизацию. Если константу d в (6.0.2) считать
любым вещественным числом, не равным нулю, то просто будет
сдвинуто начало отсчета и не получится ничего нового. Однако, если
допустить для d и комплексные значения, например (3, то мы увидим
в следующем пункте, что одно лишь это допущение позволит учесть
эффект источников в (нейтральном) мезонном поле.
Теперь перейдем к рассмотрению следствий, вытекающих из
нового определения операторов
(6.5.1)
Введем также (и это существенный шаг) новые операторы, комплексно
сопряженные приведенным выше:
(6.5.2)

Если попытаться осуществить факторизацию с помощью двух
первых операторов, то легко установить, что они позволяют записать
уравнение
(6.5.3)
в одной из двух форм
(6.5.4)
Операторы (6.5.2) позволяют записать уравнение
(6.5.5)
в одной из двух форм
(6.5.6)
Уравнение (6.5.3) для ф отличается от (6.5.5) для ф* только
знаком члена с первой производной; во всех других членах коэффициенты
вещественны.
Теперь можно применить к (6.5.4) и (6.5.6) метод факторизации,
но эти факторизации следует рассматривать совместно. Причина
этого в том, что (+>// и (~W уже не являются сопряженными
операторами; поэтому теперь аналогом теоремы 2 будет соотношение
и доказательство теоремы 4 для (ненормированных) решений класса II
основано на использовании следующего результата:
Отсюда следует, что собственными значениями будут
N = 0, 1, 2,..., (6.5.7)
а нормированные собственные функции имеют вид
(6.5.8)
Теперь нормировка означает, что

Если операторы Н из п. 6.1 теперь обозначить через Ш//0, то
Тогда (6.5.3) можно переписать на основании уравнений (6.1.1), (6.1.5)
в виде, удобном для использования в следующем пункте:
(6.5.9)
Факторизованной формой этого уравнения является (6.5.4), а (6.5.6) —
это факторизованная форма уравнения
(6.5.10)
Таким образом, каждое из двух последних уравнений дает все
полученные результаты (6.5.7), (6.5.8).
6.6. Вещественные скалярные мезонные поля и нуклоны.
Результаты предыдущего пункта теперь будут применены к мезонному
полю с источниками. Простейшая теория взаимодействия нейтрального
мезонного поля с нуклонами рассматривает только бесконечно
тяжелые нуклоны, характеризующиеся одной и той же константой связи.
Гамильтониан имеет вид
(6.6.1)
Здесь Н° — гамильтониан (6.2.1), а Н' имеет вид [50, стр. 41]
(6.6.2)
Параметр связи g имеет размерность электрического заряда; V'= /3—
объем куба, a kxn — скалярное произведение вектора k и вектора
положения п-то нуклона.
Теперь вместо qu введем в соответствии с (6.2.3) операторы )£
Оператор Н' приобретает вид
где
Таким образом, полный гамильтониан на основании (6.2.4) имеет
вид
(6.6.3)
Слагаемые гамильтониана, относящиеся к различным k, зависят
от различных переменных, поэтому задача сводится к решению
уравнения Шредингера
(6.6.4)
Сравнив это уравнение с (6.5.9) и используя (6.5.7), мы можем
выписать собственные значения

Последний член содержит бесконечную собственную энергию нуклона
и „потенциальную функцию Юкавы" [50, стр. 45].
Выражение рЛ й может быть разделено на две части:
Первая часть не зависит от положения нуклонов, поэтому, введя
мы получим окончательное выражение
содержащее только энергию мезонов и энергию взаимодействия
нуклонов.
Конечно, собственные функции получаются из формул (6.5.8).
6.7. Дальнейшее обобщение задачи об осцилляторе. Теперь
рассмотрим следующее и (последнее) обобщение задачи об
осцилляторе. Допустим, что d в (6.0.2) — оператор, возможно, комплексный.
В следующем пункте мы увидим, как это обобщение позволит учесть
наличие источников в заряженном мезонном поле.
Прежде всего переопределим операторы
(6.7.1)
Здесь р, как и ранее, — комплексное число, но у, у*— операторы,
полностью независимые от операторов (±)//°. Операторы у могут быть
неэрмитовыми, но они должны коммутировать.
Вновь, как и в п. 6.5, можно записать две пары факторизованных
уравнений. Они имеют вид
(6.7.2а)
(6.7.2Ь)
Поскольку у, 7* коммутируют друг с другом и с (±)//°, можно
повторить рассуждения, приведенные в п. 6.5. Теперь результаты
будут отличаться только тем, что собственные значения и
собственные функции — операторы (или матрицы), так как они зависят от ?, Т*-
Собственные значения будут
(6.7.3)

где / — единичный оператор (или матрица). Собственные функции
будут иметь вид
(6.7.4)
где Л, Л* —нормирующие множители.
Несмотря на аналогию с п. 6.5, имеются и некоторые отличия.
Одно из них заключается в том, что А и ф, как отмечалось ранее,
являются операторами. Второе заключается в том, что в этом случае ф*
нельзя рассматривать как величину, комплексно сопряженную ф;
несмотря на это, она играет, такую же роль, как и ф* в п. 6.5.
Действительно, можно, как прежде, показать, что
(6.7.5)
Эти выражения являются операторами, так как они зависят от 7, Т*>
но если
то все интегралы (6.7.5) будут равны / и можно сказать, что
собственные функции нормированы.
Для использования в следующем пункте отметим, что (6.7.2а) —
факторизованная форма уравнения
(6.7.6)
а (6.7.2Ь)— факторизованная форма
(6.7.7)
и поэтому результаты (6.7.3), (6.7.4) следуют из этих уравнений.
6.8. Заряженные скалярные мезонные поля и нуклоны. Теперь
результаты предыдущего пункта будут использованы для
рассмотрения заряженного мезонного поля с источниками. Вновь простейшая
теория взаимодействия предполагает, что нуклоны неподвижны, но
теперь, поскольку заряд должен сохраняться, необходимо учесть
возможность изменения состояний нуклонов [50, стр. 55].
Собственные функции протон-нейтронных состояний могут быть
представлены с помощью
Оп для нейтронного состояния п-то нуклона,
In для протонного состояния п-то пуклона.
Введем операторы у„, ?л , удовлетворяющие условиям

Если элементарный заряд положить равным единице, то оператор
заряда
так как
Следовательно, собственные значения еп равны 0 и 1.
Гамильтониан, представляющий взаимодействие мезонного поля
с нуклонами, в этом случае имеет вид [50, стр. 57]:
где g — комплексное число. Взаимодействием мезонов и кулонова поля
протонов мы пренебрегаем.
Выразив на основании (6.3.2) qk через <±WJ(=t:)Zjjj и использовав
(6.3.3) в качестве гамильтониана без взаимодействия, получим для
полного гамильтониана выражение
(6.8.1)
где
Таким образом, мы получаем задачу о собственных значениях
Уравнение для ^* можно получить, заменив в (6.8.1)
или
Наша новая задача существенно отличается от задачи,
рассмотренной в п. 6.6, где мезонное поле было нейтральным. В
рассматриваемой задаче, поскольку ^п и Т«/ не коммутируют, когда п = п',
нельзя осуществить переход к бесконечному числу одномерных задач.
Эту трудность можно устранить следующим образом. По аналогии
с п. 6.6 запишем
(6.8.2)
(6.8.3)
Если теперь предположить, что первое выражение равно нулю, а это
возможно при отбрасывании членов, соответствующих собственной
энергии, то можно отделить различные части гамильтониана. Мы полу-

чим уравнения типа
(6.8.4)
Мы предположили, что (6.8.2) равно нулю, чтобы свести нашу задачу
к этим уравнениям, но именно это допущение не позволяет решить
полученные уравнения. Действительно, два первых уравнения
совпадают с (6.7.6), и возможность осуществления факторизации (6.7.2а)
уравнения (6.7.6) зависит от коммутативности (Зу и р*?*. Два
последних уравнения совпадают с (6.7.7).
Таким образом, наше предположение дает возможность
использовать факторизацию (6.7.2), положив
и т.д.
Следовательно, парциальные собственные значения таковы
Таким образом, полная добавочная энергия, появляющаяся из-за
взаимодействия нуклонов, равна
(6.8.5)
Эта добавочная энергия является оператором и может быть
представлена диагональной матрицей. Например, для двух нуклонов
координатная система, в которой (6.8.5) приводится к диагональной форме,
может быть представлена собственными функциями
ОА + Л/з; 0^ — 1 г12\ OJ2 + O2I1, OlI2~O2Iv

Подобным образом могут быть рассмотрены и другие случаи.
Разделение переменных в гамильтониане и возможность факт°ризации
зависят от предположения о коммутативности, т. е. от пренебрежения
членами, соответствующими собственной энергии. Наше рассуждение
показывает также, что выражения, которые не содержат членов,
отвечающих собственной энергии, могут быть только второго порядка
малости.
Несколько проще положение в кемеровской теории [50, стр. 64].
Там уравнение Шредингера имеет вид
(6.8.6)
где
Вновь предполагая коммутативность, можно уравнение (6.8.6) разбить
на уравнения, которые даже проще рассмотренных в п. 6.7, так как
они соответствуют частному случаю т=Т*- Действительно мы
немедленно получаем
(6.8.7)
Наш метод аналогичным образом может быть распространен на
другие более сложные случаи, но его применимость основана на
возможности разделения переменных в гамильтониане и последующей
факторизации каждой части; каждый шаг в этом направлении
возможен, если только ? коммутирует с у*.
§ 7. Факторизации типа Е
Из формул (З.1.1.), (3.1.7е), (3.1.8) и (3.1.10) мы получаем
последний общий тип факторизации. Факторизация, соответствующая
r(x,m) = — m(m + l) a2 /sin2 a(x + p)— 2ад ctg а {х + /?), (7.0.1)
осуществляется с помощью соотношений
k{x, т) = та ctg а (х + р) + д/т,
L (т) = а2т2 — д2/т2.
Возможно, наиболее удивительной чертой факторизации этого
типа является то, что он содержит наиболее гибкие из всех наших
функций L (т). Мы увидим, что соответствующие собственные
значения могут быть использованы для получения молекулярных
энергетических уровней, поэтому различные виды г (х, т) представляют интерес
как возможные потенциальные функции.
Относительно примеров, рассматриваемых в дальнейшем, следует
отметить, что первые два из них были первоначально рассмотрены
методом факторизации.

7.1. Задача Кеплера на гиперсфере. Шредингер [42] рассмотрел
очень интересную задачу о водородоподобном атоме в сферическом
пространстве. Он получил уравнение
(7.1.1)
соответствующее потенциалу I/~ctgx. Областью изменения jc(=
является интервал (0, тс), а
где /? — радиус гиперсферы.
Положив Y = sinxS, получим стандартную форму
(7.1.2)
относящуюся к типу Е (7.0.1) с а = 1, <7 = — v, /? = 0.
Решения класса I имеют вид
Им соответствуют собственные значения
или
Все собственные значения дискретны, так как L (т) не имеет
конечного верхнего предела.
При R —> со этот спектр стремится к боровским энергетическим
уровням. Для Z—>0 спектр приближается к очень плотному, но
дискретному спектру свободной частицы в сферическом пространстве.
В п. 4.3 была сделана ссылка на соответствующие результаты как на
частный случай обобщенных сферических гармоник.
Подстановки
позволяют рассмотреть нашу задачу как задачу типа А с
искусственной факторизацией, которая приводит к рекуррентным соотношениям
с изменяющимся /, т. е. решениям класса II. Этот результат, по
существу, совпадает с результатом, полученным Шредингером [42].
Однако мы не будем касаться этих вопросов до рассмотрения в § 14
связи между типами факторизации А и Е.
Хотя рассмотренная выше задача была впервые решена методом
факторизации, Стивенсон [45] вскоре показал, явно используя
непрерывность и ограниченность решений, что эта задача может быть
решена другими методами.
7.2. Задача Кеплера в пространстве с постоянной
отрицательной кривизной. Интересно сравнить задачу п. 7.1 с аналогичной
задачей в „открытой" (или милновской) вселенной с постоянной отрица-

тельной кривизной. Мы покажем, что соответствующий спектр состоит
из конечного числа (большей частью отрицательных) энергетических
уровней в дополнение к сплошному спектру.
Уравнение имеет вид [28]
(7.2.1)
Оно соответствует потенциалу 1/ — (cth х — 1); параметры v, X были
определены в п. 7.1. Теперь х изменяется в области (0, сю).
Для получения стандартной формы положим Y=shxS. Тогда
(7.2.2)
Это уравнение типа Е с а = I, р = 0, q = — v и л, замененным на
л — 1—2v. Поэтому факторизация осуществляется с помощью
соотношений
Для m<v1/2 L(m) — возрастающая функция от т\ поэтому мы
получаем решение класса I
Они соответствуют собственным значениям
а /0 — наибольшее целое число, удовлетворяющее условию /0 + 1<V/2.
Таким образом, существует конечное число дискретных
энергетических уровней
Для m^>v112, L (т) — убывающая функция от т, поэтому следует
ожидать, что появятся решения класса II, связанные с
соответствующими X. При более детальном исследовании обнаруживается, однако,
что эти „решения" не могут удовлетворять граничным условиям.
Таким образом, остается только конечное число дискретных
энергетических уровней. Это число /0 + 1 ^ v1/2 = (^/а)1/2, где а —
радиус первой боровской орбиты водородоподобного атома. Приняв
# = Ю28 см, найдем, что /0 — большое число порядка 1018. Самый
высокий дискретный энергетический уровень лежит между — 3&2/2(л/?2
и &2/2(л^2, поэтому он может быть как положительным, так и
отрицательным.
Можно также показать с помощью обычных методов, что для
всех Е^>Ъ2/2\ь£>2 существует непрерывный спектр. Соответствующая
искусственная факторизация типа А (с изменяющимся /) получается
в результате подстановок U = shll2xS, z = In th(x/2).

7.3. Потенциал Меннинга — Розена. Меннинг и Розен [33]
предположили, что уравнение 1)
может быть использовано для изучения двухатомных молекул вместо
уравнения Морса (5.2.1). Их уравнение можно записать в виде
(7.3.1)
где v = [А + Р(р — 1)]/2р, а=\/2р. В этой форме мы узнаем
уравнение типа Е с /7 = 0, <7=—v, т = $ — 1 и с ау замененным на la.
Мы получаем результаты, аналогичные тем, которые были получены
в предыдущем пункте, так как
Из соотношения A=Z(/ + 1) окончательно получаем для собственных
значений в соответствии с результатами Меннинга и Розена
Здесь <у=/+1_р=0, 1,2,..., vo\ ^0<И-Р(Р-1)]1/2-Р-
Соответствующие нормированные собственные функции могут быть
получены из
где следует положить / = г; + (3 — 1, т= $ — 1 после того, как
выполнены все операции. Так как (3 — константа, нас будет
интересовать только одна функция для каждого /, а именно функция
с т= р— 1.
7.4. Потенциал Розена — Морса. В статье „О колебаниях
многоатомных молекул" Розен и Морс [38] показали, что удобно ввести
новое точное решение уравнения Шредингера. Они рассмотрели
уравнение
Если теперь в уравнении типа Е положить р = —ъ/2а и затем
заменить а на la, то получим следующее дифференциальное
уравнение:
(7.4.1)
2) Состояния с положительной энергией для этого потенциала были ранее
исследованы Эккартом [14].

и соответствующую факторизацию
k (х, т) = та thax + q Im,
В таком случае для решения уравнения Розена — Морса
необходимо решить задачу, относящуюся к указанному типу Е, но для
определенного значения т; т должно удовлетворять условию
() g
Для рассматриваемого случая существуют только решения
класса II, относящиеся к
-q2/l2, l2y\q/a\.
Если т — l=n, то для фиксированного т существует только
конечное число собственных значений, определяемое из условия
Оказывается, что в обозначениях Розена и Морса
Соответствующие собственные функции получаются из
выражений
если положить т = [—g -f (g2 + 4Cyi2]/2g, l = m — n, a = \/d,
q=B/2gid.
7.5. Полиномы Якоби. Полиномы Якоби имеют вид [47, стр.61]
(7.5.1)
и удовлетворяют дифференциальному уравнению
Для получения стандартной формы положим
Тогда
(7.5.2)
и решения могут быть получены из решений предыдущего раздела,
если положить т=п + (а-\- р)/2, а = 1, q = {о2 — Р2)/4. Равенство
X =— (а2 + Р2)/2 означает, что рассматривается только простая лестница
с / = (а +Р)/2. Это значение / ограничено условием l2y>\q/a\.
Параметр т не фиксирован в отличие от предыдущего раздела, поэтому
теперь существует бесконечное множество собственных функций,

обозначаемых индексом п = О, 1,2,... и относящихся к каждому
фиксированному значению /.
Условие нормировки решений имеет вид
Если гипергеометрическую функцию в (7.5.1) записать в виде
F(a, b, с, z'), то X принимает вид
(4.9.8)
Выраженные через а, 6, с, zr операторы, изменяющие п, дают новые
рекуррентные формулы для гипергеометрических функций; оператор
увеличения п уменьшает а, одновременно увеличивая b (см. п. 4.9).
§ 8. Факторизации типа F
Последний общий тип факторизации может быть получен из
формул (3.1.1), (3.1.7f), (3.1.8) и (3.1.10). Факторизация,
соответствующая
г(л\ т) = -2qlx-m{m + \)/x\ (8.0.1)
осуществляется с помощью соотношений
k (x, m) = mix + qIm,
8.1. Задача Кеплера. Радиальное уравнение в нерелятивистской
задаче об атоме водорода имеет вид
(8.1.1)
где / = 0,1,2,..., единица длины равна и
в очевидных обозначениях.
Подстановкой
(8.1.2)
вводим плотность радиальной функции, причем (8.1.1) приобретает вид
(8.1.3)
Это уравнение относится к типу F (8.0.1) с q = —\ и т, замененным
на /. Решения класса I, относящиеся к
(8.1.4)
имеют вид
(8.1.5а)
(8.1.5Ь)
где оператор имеет вид
(8.1.6)

В дальнейшем мы будем ссылаться на это выражение. Нам
понадобится также рекуррентная формула, соответствующая увеличению /:
(8.1.5с)
Вместо Х = — 1/(/г + I)2 было использовано (8.1.4), чтобы п было
главным квантовым числом в обычном обозначении. В таком случае мы
немедленно приходим к боровской формуле
Если Х = 1//г2^>0, то выражение А— L(/-f-l) всегда будет
положительным и лестница решений не будет иметь верха, и поэтому п
не ограничено целочисленными значениями. Однако рекуррентные
формулы (8.1.5Ь), (8.1.5с) все же справедливы, если заменить п на in.
Формулы (8.1.5) предусматривают нормировку
т. е.
Она совпадает с нормировкой, необходимой для вероятностной
интерпретации волновых функций. Следовательно, факторизация
оказывается естественной для этой задачи.
Для решения задачи Кеплера обычно сначала вводят новую
независимую переменную, содержащую энергию. Если использовать
(8.1.4) и положить
г=2гЩл
то уравнение (8.1.3) принимает вид
совпадающий с (5.1.1) для п = s -\-\l2, 1 = щ — 1/2; следовательно,
решения тогда имеют вид (5.1.6). Это решения типа В,
соответствующие факторизации Шредингера [41]. Нельзя считать нормировку этих
решений наиболее удобной, однако эта факторизация представляет
значительный интерес, так как получаемые с ее помощью
рекуррентные соотношения могут быть истолкованы на основании метода Трус-
делла, тогда как (8.1.5) не допускают такой трактовки (см. § 15).
8.2. Новая рекуррентная формула для кеплеровских функций.
На диаграмме рис. 3 можно подниматься или опускаться с помощью
операторов Ш, введенных в п. 8.1, или можно двигаться назад или
вперед поперек лестниц при / = const с помощью интерпретированных
должным образом операторов шредингеровского типа.
Теперь мы рассмотрим новую рекуррентную формулу, которая
позволит перемещаться направо вдоль горизонталей / = const. Для
этого введем новую функцию
Эта функция определяется с помощью той же рекуррентной
формулы (8.1.5Ь), что и соответствующая функция Rln. Разница заключается
только в том, что ключевые функции теперь выбираются в виде
(8.2.1)

Конечно, Rln(s) не ортогональны и не являются решениями нашего
дифференциального уравнения, но они имеют следующее важное
свойство:
(8.2.2)
Теперь можно найти оператор, который позволит превратить /?ln(s)
Рис. 3. Каждая точка изображает решение задачи Кеплера. Одни
решения находятся по формуле (8.1.5), другие — по формулам (8.2.1),
(8.2.2), (8.2.3).
в /?JLh(s) и из которого наши решения могут быть получены с
помощью формулы (8.2.2). Действительно, оказывается, что
где (8.2.3)
Мы докажем эту теорему по индукции: легко видеть, что из
(8.1.6) и (8.2.3) следует, что
Операторы S6 и О коммутируют, поэтому, используя (8.1.5Ь),
(8.2.3) и приведенные выше уравнения, найдем
Следовательно, если (8.2.3) справедливо для квантового числа /, то
оно справедливо и для / —1. Непосредственно можно проверить, что
(8.2.3) справедливо и для 1 = п — \\ таким образом теорема
установлена.
Итак, с помощью (8.2.3) можно перемещаться направо поперек
лестниц при / = const. Этот результат является основой для вычис-

ления большого класса матричных элементов, содержащих кеплеров-
ские функции, которые будут рассмотрены в § 12. Существенная
разница между методом О-оператора и методом Шредингера, в
котором изменяется параметр энергии, заключается в том, что О-оператор
коммутирует с функциями, зависящими от г, дифференцированием
и (что особенно важно) с интегрированием по г.
8.3. Обобщенная задача Кеплера. В п. 8.4 будет показано, что
решение радиальной части дираковских уравнений для электрона
может быть выражено через обобщенные функции Кеплера, поэтому
мы представим необходимые результаты в удобной форме.
С математической точки зрения необходимое обобщение тривиально.
Мы считали п и I в выражениях, полученных в пп. 8.1 и 8.2, целыми.
Однако теорема 4 была основана на более слабых ограничениях,
предполагавших, что только разность между п и / есть целое число; поэтому
все наши результаты останутся справедливыми, если заменить п на
/г + ти^на^ + 7> где f — произвольная константа. В частности,
решения уравнения
(8.3.1)
обладают следующими нужными нам свойствами:
(8.3.1а)
(8.3.1Ь)
(8.3.1с)
где
(8.3.Ы)
(8.3.2а)
(8.3.2Ь)
(8.3.2с)
Приведенное выше обобщение не совсем тривиально, так как
теперь возможно, что п = 0. Таким образом, существует решение
Ю~1, что не имеет аналога в обычной задаче Кеплера. Кроме того,
с помощью этих операторов могут быть найдены другие решения для
/ = —1, так как операторы (с / = 0) уже не сингулярны.
8.4. Дираковские радиальные функции. Радиальные функции
задачи Кеплера, рассматриваемой в дираковской теории, являются
решениями системы [2, стр. 312]

где k — вспомогательное квантовое число, которое должно быть
целым положительным или отрицательным, но не равным нулю, Ео = цс2 —
энергия покоя.
Если ввести обозначения
и положить ar = x (тогда независимая переменная будет содержать
энергетический параметр) то мы получим
(8.4.1)
Теперь положим
(8.4.2)
тогда уравнения (8.4.1) в точности совпадают с (8.3.1Ь) и (8.3.1с) для
/ = 0 при условии, что мы отождествим
Последнее условие приводит к известной формуле
п = 0, 1,2, ... . (8.4.3)
Для /г=0 подстановка (8.4.2) не может быть использована; в этом
случае необходимо произвести особое исследование, так как е = 7/1 k |
(поскольку е^>0). Легко проверить, обратившись к (8.4.1), что в этом
случае существуют только следующие решения, удовлетворяющие
граничным условиям:
Эти результаты автоматически вытекают из окончательных формул
для решений, имеющих вид
(8.4.4а)
(8.4.4Ь)
Здесь осталось определить только нормировочную константу С.
Эти решения должны удовлетворять условию

Функции £> нормируемы; следовательно, это условие дает
где
Лин [32] показал, что
(8.4.5)
поэтому окончательно нормирующий множитель имеет вид
(8.4.6)
Остроумный метод Лина заключается в следующем. Введем
обозначения
Тогда легко проверить, что
где
поэтому, применяя теорему 2, получим
или
Так как /?«+{ = О, каждая часть должна быть независимой от / и,
следовательно, равной \/(п -\- f)2, поэтому
Определив п -\- ^ из (8.4.3), мы получим, как и требовалось, (8.4.5).
Выражения (8.4.4) могут рассматриваться как решения и при
£> к2, если заменить #+т на in + ii, где п — теперь величина
неограниченная. В п. 12.5 будет показано, что нормировочная
константа имеет вид
(8.4.7)
если квадрат модуля соответствующего собственного дифференциала
пропорционален числу электронов, приходящихся на единичный
интервал скоростей. В этом случае для R\t+i\ нет ключевой функции,
аналогичной (8.3.1а), поэтому следует дополнительно выяснить, как
должны быть нормированы эти функции. Этот вопрос рассмотрен
в п. 12.5.

8.5. Осциллирующий ротатор. Дифференциальное уравнение для
осциллирующего ротатора имеет вид [44J
(8.5.1)
где а —данный положительный параметр.
Если положить аг = х и т = - (/ + 1/2) + ((/ + 1/2)2 + а)1'2, то
уравнение (8.5.1) превратится в (8.3.1) и решения (нормированные по
г) приобретают вид
они соответствуют собственным значениям X = — а2/(п -f т)2» т- е- зна-
чениям
(- X)i/2 = а/[п -1-1/2 + ((/ + 1/2)2 + а)
/= -1,0, 1, 2, ... <л —1.
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
§ 9. Матричные элементы типа А
Четыре следующих параграфа посвящены вычислению некоторых
интегралов, значения которых зависят от собственных функций,
рассмотренных в предыдущих параграфах. Эти интегралы определяют
вероятности переходов в квантовой механике.
Мы хотим показать, как ключевая функция и рекуррентные
соотношения, получаемые методом факторизации, позволяют быстро
находить соответствующие матричные элементы.
9.1. Сферические гармоники. Для вычисления матричных
элементов со сферическими гармониками необходимо выразить cosOKf
и sin bYf в виде линейных комбинаций смежных решений, так как
с помощью этих выражений, свойств ортогональности и нормировки
можно вычислить интегралы типа
(9.1.1)
где р и q — целые числа, и выполняется условие
m — mr = —q, — q + 2,..., q.
Отметим, что решения класса I (4.1.4) уравнения присоединенных
сферических гармоник удовлетворяют физически правильному условию
нормировки (4.2.5). Для нахождения выражений, необходимых при
вычислении (9.1.1), сначала необходимо так подобрать константы в
(4.2.4), чтобы рекуррентные соотношения класса II сохраняли ту же
нормировку.
Введем такое а™, чтобы
Таким образом, а™ — поправка к нормировке

Теперь можно переписать (4.2.4) при помощи Y™:
(9.1.2а)
(9.1.2Ь)
Остается только найти отношение Т
Рис. 4. Решения У^^1 можно получить из У™, двигаясь по каждому
пути при помощи соответствующих операторов.
Легко показать, что это отношение не зависит от индекса т. Для
доказательства сравним результаты перемещений, осуществляемых
с помощью наших операторов вдоль двух путей, показанных на
рис. 4. Действительно, можно записать (при перемещении по пути 1)
либо (при перемещении по пути 2)
После выполнения указанных операций мы найдем, что правые части
приведенных выше выражений равны, если только
(9.1.3а)
что и требовалось доказать.

Приравняв правые части в выражениях
и использовав известные выражения (4.1.4а) для К/ и Yil+i, можно
легко найти величину
(9.1.3Ь)
Теперь нетрудно найти формулы, которые будут использованы
при вычислении матричных элементов.
Подставив (9.1.3) в (9.1.2), получаем
(9.1.4а)
(9.1.4Ь)
Сложив эти равенства и разделив на 2/ -\- 1, получим первое из
искомых выражений
(9.1.5а)
Для представления sin ft У/72 запишем
Разделив на корень, стоящий слева, и использовав (9.1.5а), получим
(9.1.5Ь)
По формулам, выражающим Y™ через К/72""1, аналогично получим
(9.1.5с)
Формулы (9.1.5) вместе с условием
достаточны для вычисления матричных элементов типа (9.1.1).
9.2. Обобщенные сферические гармоники. Выводы
предыдущего пункта легко можно использовать для решения уравнения
обобщенных сферических гармоник, приведенного в п. 4.3.

Результаты получаются следующие:
9.3. Случай, когда подинтегральное выражение содержит три
сферические гармоники. Теперь покажем, как с помощью метода
факторизации можно вычислить величину
тх = т2 + тъ. (9.3.1)
Этот интеграл (с другой номировкой функций) был вычислен Гаун-
том [17}., причем подобные задачи были ранее рассмотрены Адам-
сом [1]. На практике такие интегралы встречались, например, в
работе Эльзассера [15] о происхождении земного магнитного поля.
На основании формул (4.1.2) и (4.1.4) и теоремы 2 имеем
(9.3.2)
Применив эту формулу 1Х — т1 раз, легко найти общий член в
получающемся ряду интегралов. После несложных преобразований
получаем
(9.3.3)

Верхние индексы по крайней мере у одного Y в каждом
произведении должны быть больше соответствующих нижних индексов,
и, следовательно, все интегралы будут обращаться в нуль, если не
выполняется условие
Из (9.1.5 Ь), (9.1.5 с) и соотношения
следует, что
причем скобки содержат только константы. Используя свойство
ортогональности функций К, легко убедиться, что все интегралы в (9.3.3)
будут обращаться в нуль, если не выполняются условия
Л + h + h = четное число,
Можно подытожить правила отбора, сказав, что числа / должны быть
равны сторонам треугольника с четным периметром.
Правила отбора должны удовлетворяться, если (9.3.1) не равно
нулю. Однако благодаря тому, что различные члены в (9.3.3) могут
сокращаться друг с другом, интеграл может быть равен нулю даже,
если правила отбора удовлетворяются. Один такой особый случай
был найден Бёрдом [3]:
Остается вычислить интеграл типа
Для этого нам понадобятся две формулы приведения. Первая
получается из соотношения
которое следует из (4.1.4Ь). Используя способ, аналогичный тому,
который был применен для нахождения (9.3.2), получим
(9.3.4)
Применив эту формулу /2 — а раз, мы сводим задачу к нахождению
(9.3.5)

Формула приведения для этого интеграла может быть получена, если
уравнение (4.1.3) сначала умножить на sin^fl, а затем
проинтегрировать дважды по частям. Тогда
(9.3.6)
Затем
Поэтому, используя (9.3.6), получим
(9.3.7)
В интеграле (9.3.5)
/ — т = /3 — Л + ^2= четное число,
поэтому, применив (9.3.7) (1г — 1г-{-12)/2 раз, можно свести (9.3.5)
к известному интегралу
Используя (9.3.4), (9.3.7) и значение приведенного выше
интеграла, мы получим для /х = а + Р
(9.3.8)
где
П = л(л-2)(л-4)...(2 или 1), (0)!! = (-1)!! = 1.

Комбинируя (9.3.8) с (9.3.3) и с выражением для Р\\ , окончательно
получим
(9.3.9)
если тх = т2 + тг.
В работе Эльзассера [15] встречаются также выражения вида
тг + т2 + тъ =0, (9.3.10)
которые могут быть сведены к выражениям, встречающимся в
предыдущей задаче. Действительно, рассмотрим выражения
Умножив слева эти равенства соответственно на т3РТ33 и —т2Р™*
и сложив их, мы получим формулу, которая показывает, что (9.3.10)
может быть представлено в виде суммы двух интегралов вида
ml = пг2 + тъ.
Можно вновь применить доказательство, приведенное для обоснования
формулы (9.3.2), и получить результат, фактически совпадающий
с (9.3.3), за исключением того что тг должно быть заменено на тг—\у
а К — на Р. Из-за того что теперь подинтегральное выражение
содержит Я, а не К, в условии (9.3.8) следует заменить 1г на 1г—\.
Теперь правила отбора требуют, чтобы / были равны сторонам
треугольника с нечетным периметром. Очевидно также, что (9.3.10)
равно нулю, если т2=тъ и /2 = /3-
Наконец, следует отметить, что методы, использованные в этом
пункте, могут быть применены для вычисления любого интеграла типа
если выполняется условие

§ 10. Матричные элементы типа В
10.1. Функции Морса и двухатомные молекулы. Наша
следующая задача — вычисление интеграла
Функции Usm определены равенствами (5.1.4), поэтому этот интеграл,
согласно п. 5.2, пропорционален вероятности перехода между двумя
вибрационными состояниями двухатомной молекулы. Влияние вращения
не учтено.
Подобно тому, как это было сделано в п. 5.2, можно ввести
обычные квантовые числа v и v':
^ — т = v, 5 — #г'= v'.
Тогда наш „интеграл интенсивности" можно обозначить так:
(10.1.1)
Без потери общности можно положить т'<^т (или v<v').
Приближенное вычисление этого интеграла для двух первых полос (v = 0,
v' = l, 2) было выполнено Данхемом [11].
Наше вычисление (10.1.1) распадается на четыре части и, хотя
рассуждение может показаться длинным, мы убедимся, что в каждой
части используются одни и те же идеи.
Сначала покажем, что
т'<т.
Используя (5.1.4) и теорему II, мы получим
(10.1.2)
(10.1.3)
Свойство ортогональности, которому удовлетворяют И„, позволяет
заменить внутри скобок ^ на s—l. Теперь оператор будет действовать
на Usm \ поэтому
Если применить это доказательство s — m раз, то в итоге получим
выражение, аналогичное (10.1.3):

которое обращается в нуль в силу ортогональности и определения
(5.1.4а). Следовательно, (10.1.2) доказано.
Вторая часть нашего доказательства заключается в установлении
и использовании другой формулы приведения. Очевидно,
Последний интеграл обращается в нуль на основании (10.1.2), и мы
можем использовать (5.1.4с), чтобы получить формулы приведения
Применяя эту формулу s — т = v раз, получим
(10.1.4)
Кроме того, продолжая предыдущие рассуждения, мы получим
(10.1.5)
Первый интеграл в правой части обратился в нуль в силу
определения (5.1.4а), а оставшийся может быть вычислен при помощи
соответствующей рекуррентной формулы.
Эта формула получается следующим образом:

Первый интеграл в правой части вновь равен нулю в силу
определения (5.1.4а). Эту формулу приведения можно теперь применить
s—тг раз и получить (если s<^m) соотношение
(10.1.6)
Но на основании (5.1.4а),
(10.1.7)
Собирая результаты (10.1.4)—(10.1.7), мы, наконец, получим
искомую формулу
Если мы положим m = s — v, mr =s — v', чтобы конечный
результат выражался через физическую константу 5 (см. п. 5.2) и квантовые
числа v и v', то для v<v' получим
(10.1.8)
§11. Матричные элементы типа D
11.1. Гармонический осциллятор. Из рекуррентнцх
соотношений (6.1.4) для собственных функций гармонического осциллятора мы
немедленно получаем
Эта формула позволяет вычислить вероятности переходов, так как
функции ф ортонормированы. Действительно,
[(7V+l)/2p/2, если N'=N+1,
[7V/2]1/2 , если N' =N- 1,
0 в остальных случаях.
Таким же способом из соотношения
может быть найден матричный элемент момента.
Этот способ использования рекуррентных соотношений (6.1.4) для
вычисления матричных элементов был применен даже раньше, чем для
получения самих решений (см. [9], стр. 135).
§ 12. Матричные элементы типа F
В дальнейшем нам понадобится интеграл
определяющий в шредингеровской теории атома водорода
интенсивность спектральных линий. Здесь R — решение (8.1.5). Величина этого
интеграла вычислялась неоднократно. Впервые его вычислили для
частных случаев Шредингер [40, стр. 99], используя производящую функцию

полиномов Лагерра. Уиллер [52] недавно применил этот метод к
общему случаю переходов между дискретными состояниями. Эпштейн [16]
для решения этой же задачи использовал теорию гипергеометрических
функций, в то время как Эккарт [13] вычислил этот интеграл
непосредственно. Гордон [19] рассмотрел не только переходы из
дискретного в дискретное состояние, но и переходы из дискретного состояния
в состояние сплошного спектра, а также из одного состояния в другое
состояние сплошного спектра.
Мы хотим показать, что каждый из операторов SB и О, входящих
в рекуррентные формулы § 8 для радиальных функций, приводит
к рекуррентной формуле для самого интеграла при условии, что по
крайней мере одна из волновых функций представляет связанный
электрон. Метод О-оператора затем будет так обобщен, что позволит
вычислить более сложные дираковские матричные элементы.
12.1. Алгебраические рекуррентные формулы для интенсив-
ностей. Нетрудно проверить, используя (8.1.5) и (8.1.6), что
(12.1.1)
Умножая (12.1.1) слева на rRln , справа — на Rlnr и интегрируя,
получим
так как /?„, Rlnr ортогональны и их произведение обращается в нуль
при г = О, оо. В таком случае мы имеем
Переставив п и пг, получим
(12.1.2)
где
Наш вывод (а следовательно, и этот результат) справедлив и для
„дискретно-сплошных" переходов, если заменить п на in.
Это алгебраические формулы, выражающие пару интенсивностей
через следующую пару, стоящую выше в схеме рис. 3.
Теперь могут быть вычислены все интенсивности, если определена
исходная точка; для этого естественно выбрать пару интенсивностей
на верхушке пг лестницы:
где
(12.1.3а)

(Мы условимся, что пг всегда относится к дискретному спектру.)
Метод вычисления других выражений приведен в п. 12.4. Результат
таков:
(12.1.ЗЬ)
или для дискретно-сплошных переходов
(12.1.3с)
Теперь можно на основании (12.1.3) вычислить пары
интенсивностей путем последовательного применения (12.1.2); для наиболее
важных интенсивностей требуется при этом лишь небольшое число шагов.
12.2. Операторная рекуррентная формула для интенсивностей.
Теперь будут использованы результаты п. 8.2 для нахождения
рекуррентных относительно пг соотношений для интенсивностей.
Действительно, непосредственно из (8.2.3) следует, что
или
(12.2.1)
где
а функция, с помощью которой вычисляется интенсивность, имеет
вид
Необходимая для этих соотношений исходная точка определяется
выражением
(12.2.2а)
или
(12.2.2Ь)
Вывод формул (12.2.2) указан в п. 12.4. Вторая исходная точка,
которая может понадобиться, определяется выражением

Это выражение несколько сложней, но все же довольно просто может
быть найдено из формул п. 12.4.
Используя равенства (12.2.1) и (12.2.2а), можно найти
которые на основании (8.2.2) дают интенсивности. Аналогичным путем
из (12.2.2Ь) можно найти
12.3. Замечания к пп. 12.1, 12.2. 1) Совокупность значений
квантовых чисел, для которых необходимо найти интенсивности,
определяет, какой из двух изложенных выше методов должен быть
использован. Алгебраический метод (12.1.2) проще, в то время как
(12.2.1) может быть применен для вычисления матричных элементов
более общего типа
Это обстоятельство окажется существенным при рассмотрении дира-
ковских матричных элементов в следующем разделе.
2) Пример вычисления.
Для вычисления
можно использовать (12.1.3Ь). Это дает
Из (12.1.2) следует
Вторая возможность заключается в использовании (12.2.2).
Действуя на это выражение оператором
и затем полагая 5 = , получим приведенное выше значение для /j^J,
совпадающее с выражением Кондона и Шортли [5] для перехода
2s — пр.
3) Изложенные выше методы приводят к явному виду интеграла
интенсивности, за исключением переходов между двумя состояниями
сплошного спектра. Например, при помощи (12.1.2), (12.1.3) и
известных связей между смежными гипергеометрическими функциями могут
быть установлены методом индукции результаты, полученные
Гордоном [19].

12.4. Некоторые интегралы и проблема нормировки. Следует
еще показать, как находятся исходные точки, данные в пп. 12.1 и 12.2.
Для этого рассмотрим интеграл
(12.4.1)
причем будем различать два случая:
Случай I. Дискретно-дискретный. Из (8.1.3) и (8.1.4) следует:
После двухкратного интегрирования первого члена по частям, получим
Следовательно,
//г — преобразование Лапласа функции rlRln, поэтому (см. [4], стр. 170)
jRln = r~l [вычет {exp(sr) /п} при s = —l/n].
Коэффициент при самой низкой (/+1) степени г оказывается равным
С ехр (- г/п)/(21 + 1)!. (12.4.2)
Но в силу (8.1.5)
Используя (8.1.5а) и (8.1.6), можно легко найти коэффициент при г/+1;
он имеет вид
(12.4.3)
Сравнивая (12.4.2) с (12.4.3), находим С. Таким образом,
(12.4.4)
В таком случае
Следовательно,
(12.2.2а)

Положив I = п' и s = l/n', получим
(12.4.3b)
Случаи II. Дискретно-сплошной. Оказывается, в этом случае
(12.4.5)
а обратное преобразование дает
(12.4.6)
где контур должен быть выбран так, как это показано на рис. 5.
В таком виде радиальная функция для положительных энергий впер-
Рис. 5. Контур на s-плоскости для решения (12.4.6) задачи Кеплера.
вые была дана Шредингером [39]. Условие нормировки может быть
записано в виде ([2], стр. 291)
Для конечных значений г вклад в этот предел равен нулю, поэтому
можно подставить в это выражение асимптотическое значение Ri,v
Последнее находится путем разложения на каждой половине контура
подинтегральног о выражения (12.4.6) по убывающим степеням г.
Первые члены в каждом разложении являются комплексно сопряженными
и их сумма, оказывается, имеет вид:
где с1 — аргумент Г(/ + 1 — in). Значение С мы получим, используя
условия нормировки. Окончательно получаем
(12.4.7)
Отсюда могут быть найдены соответствующие исходные точки,
совпадающие с (12.1.3с) и (12.2.2Ь).

12.5. Обобщение на дираковские матричные элементы. Теперь
мы хотим найти формулы, необходимые для вычисления матричных
элементов, которые содержат в своих подынтегральных выражениях
дираковские радиальные функции. В п. 8.4 было найдено, что эти
функции являются линейными комбинациями обобщенных кеплеров-
ских функций из п. 8.3. Поэтому дираковские матричные элементы
являются комбинациями интегралов
(12.5.1а)
(12.5.1b)
где V (г) — возмущающий потенциал, а /, // = 0, — 1. Обобщенная
рекуррентная формула для О-оператора (8.3.2Ь), (8.3.2с) позволяет
увеличивать пг в этих интегралах и не зависит от вида V О), поэтому
задача сводится к нахождению выражений для исходных функций,
соответствующих In и Iin предыдущего пункта.
Если предположить, что V (г) = гр ехр ( — qr), где р и q —
константы1), то остается лишь найти
(12.5.2а)
(12.5.2b)
а затем положить t = p -f- 7' или /? -[- т' + 1 и # = <7/# + sa'la.
Новой особенностью является то, что дифференциальное
уравнение для / уже не первого порядка. Вместо прежнего уравнения мы,
действуя как в п. 12.4, получим
Случай I. Дискретно-дискретный.
Общее решение этого уравнения, сходящееся при больших и, имеет
вид
(12.5.3)
Производя почленно обратное преобразование, находим, что В = О,
если /? удовлетворяет граничным условиям. Затем, сравнивая коэффи-
1) Это потенциал достаточно общего типа, позволяющий включить все
интегралы, рассмотренные, например, Халмом [23] при вычислении релятивистского
коэффициента внутренней конверсии для радия С.

циенты точно так, как это было сделано в п. 12.4, убеждаемся, что А
имеет такое значение, при котором
(12.5.4а)
Случай II. Дискретно-сплошной. В этом случае удобно
использовать обозначения и некоторые результаты, приводимые Уиттекером
и Ватсоном ([53], гл. XVI), поэтому, заменив п + 7 на in -\- г? в (12.5.3)
(при В = 0) и выполнив почленно обратное преобразование, мы
получаем, что
где a = arg Г(/ + ^ + 1 + in+ *l)- Нормировка, как в п. 12.4,
приводит к значению Л, при котором
(12.5.4Ь)
Равенства (12.5.4) определяют исходные точки для матричных
элементов с обобщенными кеплеровскими функциями, если заменить t на
р + ?' или р + 77 + 1 и п на Я1а + sa'la.
Наконец, можно найти решения дираковских уравнений для
энергий, превышающих Ео. Ранее было указано, что для этого достаточно
заменить п -\- 7 на in + l^ в (8.4.4) и показать, что С, определяемое
(8.4.7), —нормировочный множитель.
Будем исходить из того, что условие нормировки имеет вид
с £ = 1/(/г + ?)• Нам необходимо только асимптотическое выражение
для волновых функций. Оно может быть представлено через
асимптотические выражения, найденные в этом пункте для нормированных /?:
Мы получаем

где cj и а2 — несущественные фазовые множители. Интегралы от
членов с косинусами встречались уже раньше, и условие нормировки
приводит, в конце концов, к значению
(8.4.7)
Таким образом, для вычисления дираковского матричного
элемента мы используем (8.4.4) с соответствующим С и выражаем
искомый интеграл в виде линейной комбинации интегралов типа (12.5.1).
Эти интегралы могут быть получены из (12.5.2) и (12.5.4) с помощью
О-оператора (8.3.2Ь, с) и определения (8.3.1а). В итоге получается
линейная комбинация гипергеометрических функций. Эта комбинация,
как было выяснено после получения уравнений (4.9.7), может быть
сведена в конце концов не более чем к двум г) гипергеометрическим
функциям перед тем, как будут сделаны вычисления.
Обычно для нормировки собственных функций по энергии
собственные дифференциалы записывают в виде
Эта нормировка приводит [18] к следующей физической
интерпретации волновых функций:, они представляют поток электронов с
энергией Е, при котором за единицу времени через большую сферу,
построенную вокруг силового центра, проходит одна частица.
Вероятности переходов в таком случае должны быть пропорциональны
числу электронов, приходящихся на единичный интервал энергии.
Наша нормировка согласована с нормировкой по скорости в обычной
задаче Кеплера, поэтому вероятности переходов пропорциональны
числу электронов, приходящихся на единичный интервал скоростей.
Для перехода от нашей нормировки к более обычной следует просто
умножить волновую функцию на
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 13. Процедура аппроксимации
Теперь мы покажем, как можно обобщить методы, изложенные
в §§ 2 и 3, для рассмотрения задач с возмущением.
Идея заключается просто в следующем: мы пытаемся
удовлетворить основное дифференциально-разностное уравнение (3.1.2) с
точностью до членов данного порядка относительно малого параметра е
с помощью подстановок
Когда эти функции найдены, они позволяют вычислить на основании
(3.1.1) соответствующую возмущенную потенциальную функцию
*) Для получения быстро сходящихся рядов может оказаться необходимым
ввести преобразование, которое удваивает это число (см. [23]).

Тогда таблица, содержащая функции k, L иг, позволит
рассматривать задачи с возмущением точно так же, как мы рассматривали
задачи без возмущений в предыдущих главах- Если рассмотренная
выше процедура выполнена, то приближение нулевого порядка
приводит в точности к одному из типов A...F. Приближение первого
порядка требует, чтобы
(13.0.1)
где штрих (') обозначает дифференцирование по х. Это уравнение
затем должно быть решено относительно функций (1)£ и (1)Z,
связанных с каждой из функций ^k и (0)Z. Однако наше новое уравнение,
в отличие от уравнения нулевого приближения, линейно относительно
независимых функций, поэтому s ничем не ограничено при выборе
пробного решения в виде
(13.0.2)
В таком случае каждый из типовA...F порождает бесконечное
число задач с возмущением, которые могут быть факторизованы.
Приближение второго порядка требует, чтобы удовлетворялось
следующее линейное относительно ^ k и <2) L уравнение:
(13.0.3)
и т. д. для приближений высших порядков.
Идеи, используемые при решении этих новых дифференциально-
разностных уравнений, не отличаются от идей, изложенных в § 3,
но легко видеть, что сложность вычислений увеличивается с ростом
порядка и сложностью возмущения, поэтому следует выяснить, при
каких обстоятельствах следует отдать предпочтение приведенной выше
процедуре по сравнению со стандартной процедурой аппроксимации.
Стандартные методы дают выражения для поправок к
собственным значениям и собственным функциям через матричные элементы,
поэтому формулы, рассмотренные в §§ 9—12, пригодны для
нахождения этих поправок. Формулы § 12, однако, более сложны, чем формулы
§§ 9—11, и можно ожидать, что наш новый метод окажется наиболее
подходящим для вычисления возмущений в задачах типа F. Это
действительно так, и мы этим способом в п. 13.2 рассмотрим эффект Штарка.
Новый метод был детально проверен также с помощью известных
результатов для задач типа А (вращающаяся полярная молекула
в электрическом поле) и типа С (ангармонический осциллятор); но
в этих случаях метод факторизации значительно сложней, во всяком
случае для приближения второго порядка, которое было рассмотрено.
Кроме преимущества нового метода при решении задач типа F,
есть две другие причины, объясняющие, почему в некоторых случаях
ему следует дать предпочтение даже в задачах типов А—Е.
Во-первых, нам не нужно знать возмущенную собственную функцию для
приближения какого-то порядка до того, как найдены собственные
значения следующего порядка; мы просто выражаем собственные
значения через (°)L, WL, (2)L,.... Во-вторых, наши возмущенные
собственные функции представлены не в виде разложения по невозмущенным
собственным функциям; они сразу же могут быть получены из клю-

чевой функции, являющейся замкнутым, легко нормируемым
выражением.
13.1. Возмущения типа F. Теперь мы рассмотрим возмущения
в задачах типа F, т. е. примем
(13.1.1)
Мы умышленно хотим найти факторизацию возмущенной задачи
(до первого порядка), которая является значительно более общей,
чем это необходимо для рассмотрения эффекта Штарка. Это позволит
нам лучше понять характерные черты метода. Затем мы используем
эти результаты для вычислений во втором порядке и, наконец, в
следующем разделе применим их к эффекту Штарка.
Используя приведенное выше выражение для (°)&(#, т), подставим
(13.0.2) в (13.0.1); мы хотим найти те ki9 которые удовлетворяют
полученному уравнению. Нам понадобится дать только краткое
описание первого шага на пути отыскания этого решения: левая часть
нашего уравнения должна быть функцией только от тп\ поэтому нам
известно, что коэффициенты при каждой степени m в левой части
уравнения, умноженного на (m+\)t+x, должны быть постоянными.
Подобным же образом могут быть собраны в левой части степени (пг+1)
после умножения всего выражения на т*+!. Получившиеся в
результате такой операции коэффициенты при каждой степени также должны
быть постоянными. Если коэффициенты при отрицательных степенях
в каждом из этих случаев должны быть константами, то легко видеть,
что
&i=0 для /<—2
и £_2 и £_! должны быть постоянными.
Это упрощение позволяет решить (13.0.1) относительно ^L(m),
но мы должны сначала найти, так сказать, антиразность
Иначе говоря, мы хотим найти f t (m).
Хотя может быть найдена общая формула для ft{tn), нам
необходимо знать только два факта о fi(m). Первый— 7И#0, очевидно,
является рядом по положительным степеням пг, причем наивысший
показатель степени равен (/ + 1). Второй —либо все степени четные,
либо все нечетные. Это следует из сравнения уравнения
(пг + I)1 + mi =ft{m + \)- ft(m)
с результатом, полученным заменой пг на (—пг—1) в этом же
уравнении, т. е. с
{-ту + (- т -I)1 = А(-т) - ft{-m~ 1).
Мы получаем
fi(-m - 1) _ fi{-m) = (_ i)/+i [(щ + 1)' + щ}\ =
Если пренебречь тем обстоятельством (которое ни в коем случае
не является существенным для нашего исследования), что fi(^i)
определена только с точностью до произвольной функции от х и пг

с периодом, равным единице относительно т то можно сделать
вывод, что
М-т) = (-\)1+1А(т).
Следовательно, fi(m) содержит только четные степени ?п, если /
нечетно, и только нечетные степени, если / четно.
Теперь мы из (13.0.1) получим равенство
в котором первый член в правой части определяется из (13.1.1)
и (13.0.2). Если теперь подставить
и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях т в обеих
частях, то получим для kt систему дифференциальных уравнений
первого порядка. Первые три уравнения имеют вид
Уравнение, содержащее а0, как и в § 3, ничего не дает, поэтому
без потери общности можно положить а0 = 0. Остальные уравнения
имеют вид
где скобки содержат постоянные, зависящие от коэффициентов
в fii171)- Последние два уравнения выглядят просто:
Прежде чем приступить к решению этой специальной системы
уравнений, мы покажем, что
и, следовательно, (13.1.2)
Этот результат не является неожиданным, если заметить, что kt
с нечетными / определяются уравнениями, число которых совпадает
с их числом kiy в то время как kt с четными / должны
удовлетворять уравнениям, число которых на единицу больше числа этих kr
Для доказательства рассмотрим случай с четным s. Тогда из
последнего уравнения получаем
где Сь обозначает постоянную интегрирования в уравнении,
содержащем а;. (Если ^ — нечетное число, мы решаем только второе
из последних уравнений и поступаем, как в нижеследующем
доказательстве.) В таком случае, рассматривая уравнения, содержащие

as-i, а^_3,..., можно последовательно найти ks_2, ks_4,... . Нетрудно
показать, что k0 содержит только члены вида
l/Xs+1, l/Xs,..., l/X2, X, X2, X3,...
Однако этот результат противоречит первому и третьему
уравнениям, если не выполняется (13.1.2).
Найдем теперь полное решение для специального случая. Примем,
что s = 3; наши дифференциальные уравнения тогда приобретают вид
Общие решения этих уравнений приводят к
относящимся к
Здесь Ct —постоянные интегрирования в уравнениях с at в правой
части.
Произведем до конца расчеты во втором приближении для
следующего частного случая (который является достаточно общим для
задачи, рассматриваемой в следующем разделе):
относящиеся к
(13.1.3)
Коэффициенты при степенях т в разложении <2) k(x, m)
удовлетворяют уравнениям, подобным уравнениям для коэффициентов
в Wk (x, т). Сравнивая (13.0.3) с (13.0.1), мы видим, что разница
заключается только в наличии членов, содержащих вклад от Wk2(x,m),
который следует добавить к некоторым из уравнений для W kt (x),
чтобы получить уравнения для W kt(x).
Нам понадобится разложение <2> k (х, т) до /гг5. Можно найти
частное решение; оно имеет вид
где р£ взяты вместо аь использованных в первом приближении; [3_2
и все постоянные интегрирования положены равными нулю, поэтому

наше решение не является наиболее общим. Этому решению
соответствует
(13.1.4)
где
Теперь можно любым способом (искусственным или каким-нибудь
иным) выбирать а/? (3£ в ^г и (2)/\ Таким образом, можно
отождествить нашу возмущенную потенциальную функцию с заданной
потенциальной функцией и, используя соответствующие возмущенные k
и Z, затем выписать для данного возмущения собственные значения и
нормированные собственные функции.
13.2. Эффект Штарка. В качестве примера на применение формул,
полученных в предыдущем пункте, мы рассмотрим дифференциальное
уравнение
(13.2.1)
где г —малый параметр. Таким образом, член 2sxf мал по сравнению
с другими членами в той области, где / заметно отличается от нуля.
Когда £ = 0, задача относится к типу F, поэтому собственные
значения нулевого порядка
Причем п — т + 1 — целое неотрицательное число.
Члены первого порядка относительно возмущения получаются из
сравнения (13.1.1) с 2х. Мы видим, что должны положить
и записать
т. е. искусственно объединить член га2т(т + 1)/3 с X. В этом случае
поправка к собственным значениям получается из условия
Тогда с точностью до членов первого порядка малости
где п — т + 1 — целое неотрицательное число.
Для получения собственных функций в этом приближении нам
необходимы
Тогда
(13.2.2)

Для того чтобы получить члены второго порядка относительно
возмущения, следует приравнять нулю выражение для ^г(х, т)
в (13.1.4). Мы положим
так как у = 8 = 0; тогда
и, поскольку это выражение должно быть равно нулю, следует
произвести искусственную факторизацию, положив
т. е. это значение для [32 следует вводить только после того, как
выполнены лестничные операции.
Для нахождения собственных значений можно сразу подставлять
это значение [32. Постоянный член в {2)г(х,т) равен нулю, поэтому
мы можем вновь ввести приведенное выше У и из
окончательно получим
(13.2.3)
Приведенные выше величины а2, рб1 р4 и введенная при
искусственной факторизации величина (32 могут быть использованы для
нахождения собственных функций в приближении второго порядка по е.
Теория эффекта Штарка приводит к следующей паре уравнений
([2], стр. 403):
(13.2.4)
причем задача заключается в нахождении собственных значений и
собственных функций при условии, что в каждое уравнение входят одни
и те же X, р.
Сравнивая (13.2.4) с (13.2.1) и используя (13.2.3), можно получить
искомые собственные значения. Сначала положим в (13.2.3) 2#= —1 — р
и п = пг, а затем — в (13.2.3) 2q = — 1 + Р и п= п2, после чего,
исключая р из полученных таким путем уравнений, найдем
Собственные функции с q, выраженным через (3, могут быть
получены только искусственным путем, если учесть, что q зависит от [3,
а, следовательно, от т. Аппроксимированные в первом приближении
собственные функции могут быть получены из (13.2.2).
ЗАМЕЧАНИЯ
§ 14. Взаимосвязь между типами факторизации
Мы уже упоминали несколько раз о связи между факторизациями
типов А и Е. Поскольку типы В, С, D являются предельными
формами типа Л, а тип F—предельная форма типа Е, эта связь
означает, что все наши факторизации взаимосвязаны. Теперь мы хотим
установить в явном виде связь между А и Е.

Для иллюстрации достаточно рассмотреть частный случай типа Е\
(14.0.1)
Факторизация определяется выражениями
k (х, т) = т th х + q/m,
L (m) = — т2 — q2/m2.
I (т) _ возрастающая функция от т при m2^q, и поэтому следует
ожидать, что решения будут относиться к классу I. Ключевая
функция может быть представлена в виде
Yi ~ ch'+Ъсexp (qx/(l + 1)),
но эта функция не удовлетворяет граничным условиям, и поэтому для
m2^q не существует решений.
Если tn2^>q, то L (т) — убывающая функция от т, и мы ожидаем
возникновения решений класса II с ключевой функцией
Y} ~ ch-' х exp (—qx/l),
относящейся к собственному значению
\ = -l2-q2/l2, m — t=0, 1, 2, ... (14.0.2)
Эта ключевая функция удовлетворяет граничным условиям, когда
I2^>q, и поэтому может быть нормирована. Кроме того,
последовательное применение оператора, приводящего к увеличению т, будет
Рис. 6. Каждая точка изображает такое решение уравнения (14.0.1),
для которого существует интеграл (14.0.4).
продолжать порождать функции, удовлетворяющие граничным
условиям. Поэтому собственные функции могут быть представлены
точками на рис. 6, на котором каждая лестница простирается до
бесконечности.
Эта же задача может быть решена с помощью факторизации
типа Л. Введем для X величину (14.0.2). Тогда осуществима фактори-

зация с изменением /, сохраняющая т фиксированным. Мы используем
формулы п. 2.1, чтобы с помощью подстановок
ввести новую нормальную форму
Если теперь с помощью соотношения q = q'l ввести искусственный
параметр q', то уравнение приобретает вид
(14.0.3)
т. е. превращается в уравнение типа А. Конечно, теперь / заменяет
т в общем рассуждении, приведенном в § 2. Факторизация (14.0.3)
осуществляется с помощью соотношений
7 (/) — возрастающая функция от /, поэтому следует ожидать решений
класса I, относящихся к собственным значениям
(Здесь т играет ту же роль, что и / в общем обсуждении.)
Ключевая функция имеет вид
Эта функция может быть нормирована для 0<z<> при условии, что
Кроме того, нетрудно видеть, что, применяя операторы для получения
Flm путем опускания по лестнице от F™ на т — I ступеней вниз, мы
получим функцию, которая ведет себя вблизи г = 0, как
Следовательно, для того чтобы Flm удовлетворяло граничным
условиям, должно выполняться неравенство
или
Поэтому собственные функции могут быть представлены точками,
изображенными на рис. 7.
В данном случае ограничения, накладываемые на /, менее строги,
чем в случае, которому соответствует рис. 6. Это объясняется тем,

что граничные условия для F менее строги, чем для Y.
Действительно, мы требуем, чтобы существовал интеграл
(14.0.4)
При переходе к z и F это означает, что должен существовать
интеграл
Ясно, что это условие накладывает на F более сильные
ограничения, чем условия, в действительности накладываемые на F, т. е. чтобы
существовал интеграл
(14.0.5)
Таким образом, мы видим, что, за исключением дополнительного
ряда решений, появление которого на рис. 7 обусловлено в данном
Рис. 7. Каждая точка изображает такое решение уравнения (14.0.3),
для которого существует интеграл (14.0.5). Нижний ряд решений не
имеет аналога на рис. 6, так как в этом случае граничное условие
слабее.
случае более слабым граничным условием, оба рассуждения дали
просто факторизации класса I и класса II одной и той же задачи.
Аналогичным путем может быть установлена связь между факто-
ризациями типов В и F. Задача Кеплера, как это было отмечено
в конце п. 8.1, была рассмотрена Шредингером как задача типа В,
в то время как мы использовали более естественный подход типа F.
Выбор факторизации в квантовой механике должен зависеть от того,
какой подход приводит к нормировке, имеющей физический смысл.
Уравнение для сферических гармоник было решено в п. 4.2 как
задача класса II; использованная там факторизация относится
не к типу Е, а к типу А только потому, что общий тип Е
факторизации включает частный случай (когда # = 0), являющийся также
частным случаем типа А.

Наименование
уравнения
Общего типа А
Присоединенные сферические
гармоники
Присоединеннце сферические
гармоники
Обобщенные сферические гар-
Обобщенные сферические
гармоники
Функции Гегенбауэра
Функции симметричного
волчка
Гармоники со спином,
магнитный полюс
Пёшля — Теллера,
гипергеометрическое
Пёшля — Теллера,
гипергеометрическое
Гипергеометрическое
Гипергеометрическое
Общего типа В
Вырожденное
гипергеометрическое Морса

Ссылка на текст
4.0.1
4.1.3
4.2.2
4.3.1
4.3.2
4.4.1
4.5.1
(см. также
14.0.3)
4.6.5,4.7.1
4.8.1
4.9.3
4.8.2
4.9.5
4.9.4
4.9.6
5.0.1
5.1.3, 5.2.2

Наименование
уравнения
Общего типа С
Вырожденное
гипергеометрическое
Система тождественных
осцилляторов
Бесселя
Общего типа D
Гармонического осциллятора,
мезонного поля
Нейтрального мезонного поля
с источниками
Заряженного мезонного поля
с источниками
Общего типа Е
Задача Кеплера на
гиперсфере
Задача Кеплера в
пространстве с постоянной
отрицательной кривизной
Меннинга — Розена
Розена — Морса, Якоби
Общего типа F
Задачи Кеплера
Обобщенной задачи Кеплера
Осциллирующего ротатора
Техника, предложенная Трусделлом и рассматриваемая в
следующем параграфе, не может быть применена к факторизациям типов
Е или /; однако она может быть применена к факторизациям,
соответствующим типам А и В.
§ 15. F-уравнение Трусделла
Трусделл ([49], стр. 8) рассмотрел класс специальных функций,
которые имеют следующие общие свойства:
а) они удовлетворяют обыкновенным линейным
дифференциальным уравнениям второго порядка;
б) они удовлетворяют обыкновенным линейным разностным
уравнениям второго порядка;
в) с подходящими весовыми функциями они образуют полные
совокупности ортогональных функций на соответствующем интервале;
г) они удовлетворяют линейным дифференциально-разностным
соотношениям.

Ссылка на текст
5.0.2
Искусственная 5.1.8
Искусственная (здесь 5.3.2
5 — константа)
0 (см. обсуждение) 5.4.1
6.0.1
Модифицированная 6.1.1
трактовка
Модифицированная 6.5.3,6.5.5
трактовка
Модифицированная 6.7.2
трактовка
7.0.1
7.1.2
7.2.2
7.3.1
7.4.1,7.5.2,
см.также 14.0.1
8.0.1
8.1.3
8.3.1
См. обсуждение 8.5.1
Метод факторизации, как мы видели, обычно начинается с замены
дифференциального уравнения второго порядка парой
дифференциально-разностных соотношений первого порядка, т. е. свойство а)
заменяет парой свойств г). Мы показали, как сразу же после этого шага
могут быть выписаны собственные значения и нормированные
собственные функции и как в некоторых случаях могут быть вычислены
соответствующие матричные элементы. Фундаментальным свойством
метода является то, что он дает только те результаты, которые
представляют интерес в обычных физических задачах, — он не дает общих
решений исходного дифференциального уравнения.
Трусделла интересует более общая задача установления «общей
теории, которая мотивирует, открывает и координирует не связанные
по внешнему виду соотношения между обычными специальными
функциями» ([49], стр. 7). Эти соотношения включают известные
разложения, формулы для n-й производной, представления производящих
функций, представления определенных и контурных интегралов и ин-
тегро-разностные соотношения. В качестве исходной точки он избрал

соотношение типа г), и его первый шаг заключался в приведении
этого соотношения путем изменения обеих переменных к виду
названному им F-уравнением.
Единственное условие того, что рекуррентное соотношение,
полученное методом факторизации, может быть сведено к .Р-уравнению,
заключается в том, что функция k(x, m) должна быть линейной относительно т.
Это означает, что техника Трусделла может быть применена к
рекуррентным формулам, относящимся к факторизациям типов Л, В, С, D.
Мы видели в предыдущем разделе, что факторизации типов Е и F
с равным успехом могут быть рассмотрены как факторизации типов
А и В, поэтому все рассмотренные в настоящей работе факторизации
приводят к Р-уравнениям и таким образом служат исходными
пунктами для применения результатов, полученных Трусделлом.
В связи с этим Даффом [12] был детально исследован один
частный результат. Он использовал очевидную формулу
для получения п-й производной от всех нормированных собственных
функций, рассмотренных в настоящей работе. Конечно, правая часть
определяется с помощью ключевой функции.
§ 16. Таблица факторизации
Подробное теоретическое объяснение того, как следует пользоваться приводимой
таблицей, дано в § 2 и п. 3.2. Шаги, которые следует сделать, чтобы решить методом
факторизации данное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка,
кратко говоря, заключаются в следующем: 1) Преобразовать данное уравнение к
нормальной форме (2.1.1) с помощью (2.1.2). 2) Найти получившееся г(х, т) в табл. 3.
Отыскать ссылку в последнем столбце. Эта ссылка обычно приводит к искомому
решению; если нет, то соответствующие k(x,m) и L(m) должны быть использованы
для получения собственных значений и нормированных собственных функций, как
указано в п. 2.7. Может понадобиться обобщение шага 2 и переход к искусственной
факторизации в соответствии с п. 3.2.
В таблице буквы а, Ъ, с, d, К, р, q, |3, Y или v обозначают константы. Для
согласования с обычными обозначениями переменная х иногда заменяется на г, у, z, б, q
или £, а параметр т иногда заменяется на /, М, п или s.
Благодарности
Нам приятно поблагодарить за полезную критику профессора
A. Ф. С. Стивенсона, который внимательно следил за подготовкой
метода факторизации во всех ее фазах. Мы также весьма
признательны г. Дж. Кеннеди за помощь при подготовке § 6 и профессору
B. Опечовскому за его ценную критику этого параграфа.
Другие сотрудники университетов в Торонто и Британской
Колумбии всячески проявляли готовность оказать помощь при решении
различных задач, возникавших во время подготовки настоящей работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Adams J. С, Collected Scientific Papers, Cambridge University Press, Tedding-
ton, 1900, Vol. II.
2. Bethe H., Handbuch der Physik, Verlag. Julius Springer, Berlin, 1933, Vol. XXIV/1;
русский перевод: Бете Г., Квантовая механика простейших систем, ОНТИ, 1935.
3. Bird J., M. A. thesis, Toronto, 1949.
4. Churchill R. V., Modern Operational Mathematics in Engineering, McGraw-Hill
Book Company, Inc., New York, 1944.
5. Condon E. U. and Short ley G. H., Theory of Atomic Spectra, Cambridge Uni-

versity Press, Teddington, 1935, p. 133; русский перевод: Кон дон Е., Шорт-
л и Г., Теория атомных спектров, ИЛ, М., 1949.
6. Courant R. and H i 1 b e r t D. Methoden der Mathematischen Physik, Verlag.
Julius Springer, Berlin, 1931, Vol. I; русский перевод: Курант Р. и
Гильберт Д., Методы математической физики, Гостехиздат, М., 1951.
7. Dennis on D. M., Revs. Modern Phys., 3, 280 (1931).
8. Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc. (London), A 133, 60 (1931).
9. Dirac P. A. M., Principles of Quantum Mechanics, Clarendon Press, Oxford, 1935;
русский перевод: Дирак П., Основы квантовой механики, ОНТИ, 1937.
10. Dirac P. A. M., Principles of Quantum Mechanics, Clarendon Press, Oxford, 1947;
см. перевод 4-го издания: Дирак П., Основы квантовой механики, Физматгиз,
М., 1960.
11. Dunham J. L., Phys. Rev., 34, 438 (1929).
12. Duff G. F. D., Can. J. Math., 1, 379 (1949).
13. Eckart C, Phys. Rev., 28, 927 (1926).
14. Eckart C, Phys. Rev., 35, 1303 (1930).
15. Elsasser W. M., Phys. Rev., 69, 106 (1946).
16. Epstein P. S., Proc. Nat. Acad. ScL, 12, 629 (1926).
17. Gaunt J. A., Roy. Soc. London, Phil. Trans., A 228, 151 (1929).
18. Gaunt J. A., Roy. Soc. London, Phil. Trans., A 229, 163 (1930).
19. Gordon W., Ann. Physik, 2, 1031 (1929).
20. ter Haar D., Phys. Rev., 70, 222 (1936).
21. Hull Т. Е., Ph. D. thesis, Toronto, 1949.
22. Hull Т. Е. and Infeld L., Phys. Rev., 74, 905 (1948).
23. Hulme H. R., Proc. Roy. Soc, A 138, 643 (1932).
24. Infeld L., Phys. Rev., 59, 737 (1941).
25. Infeld L., Trans. Roy. Soc. Can., 36, Sec. 3,7 (1942).
26. Infeld L., Phys. Rev., 72, 1125 (1947).
27. Infeld L., Proc. Symposia Applied Math., Am. Math. Soc, 1950, Vol.11, p. 58.
28. Infeld L. and Schild A., Phys. Rev., 67, 121 (1945).
29. Inui Т., Prog. Theor. Phys., 3, 168 and 244 (1948).
30. Johnson M. H. and Lippmann B. A., Phys. Rev., 76, 828 (1949).
31. Johnson M. H. and Lippmann B. A., Phys. Rev., 77, 702 (1950).
32. Lin С. С, Phys. Rev., 59, 841 (1941).
33. Manning M. F. and Rosen N., Phys. Rev., 44, 953 (1933).
34. Morse P. M., Phys. Rev., 34, 57 (1929).
35. Morse, Fisk and S с h i f f, Phys. Rev., 50, 748 (1936).
36. Poschl G. and Teller E., Z. Physik, 83, 143 (1933).
37. R о j a n s k i V., Introductory Quantum Mechanics, Prentice-Hall, Inc., New York,
1938.
38. Rosen N. and Morse P. M., Phys. Rev., 42, 210 (1932).
39. Schrodinger E., Ann. Physik, 79, 361 (1926).
40. Schrodinger E., Wave Mechanics, Blackie and Son, London, 1928.
41. Schrodinger E., Proc. Roy. Irish Acad., A46, 9 (1940).
42. S chr 6 dinger E., Proc. Roy. Irish Acad., A46, 183 (1941).
43. Schrodinger E., Proc. Roy. Irish Acad., A47, 53 (1941).
44. S о m m e r f e 1 d A., Atombau und Spectrallinien, Vierweg Sohn, 1929, Vol. II,
pp. 24—32; русский перевод: Зоммерфельд А., Волновая механика, ч. И,
ОНТИ, 1933.
45. Stevenson A. F. С, Phys. Rev., 59, 842 (1941).
46. Stevenson A. F. С. (не опубликовано).
47. Szego G., Orthogonal Polynomials, Am. Math. Soc, New York, 1939, Colloquium
Publications XXIII; русский перевод: Сегё Г., Ортогональные многочлены, ИЛ,
М., 1962.
48. Та mm L, Z. Physik, 71, 141 (1931).
49. Т г u e s d e 11 С, A Unified Theory of Special Functions, Princeton University Press,
Princeton, 1948.
50. W e n t z e 1 G., Quantum Theory of Fields, Interscience Publishers, Inc., New York,
1949; русский перевод: Вентцель Г., Введение в квантовую теорию волновых
полей, ГТТИ, 1947.
51. Weyl H., The Theory of Groups and Quantum Mechanics, E. P. Dutton and
Company, Inc., New York, 1931.
52. Wheeler J. A., Proc. Roy. Irish Acad., A50, 3 (1944).
53. Whit taker E. T. and Watson G. N., Modern analysis, Cambridge University
Press, London, 1946; см. перевод 4-го издания: Уиттекер Е. Т. и Ватсон Г. Н.,
Курс современного анализа, ГТТИ, 1934.