Author: Беспалов А.В. Харитонов Н.И.
Tags: химическая технология химическая промышленность автоматика системы автоматического управления и регулирования интеллектуальная техника технология управления оборудование систем управления техническая кибернетика системы управления химические производства
ISBN: 978-5-94628-311-3
Year: 2007
Similar
Text
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ.. .... 11
ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 13
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ............................— . 20
1.1. Значение автоматического управления для развития химической
промышленности на современном этапе.........................20
1.2. Краткий очерк истории развития систем автоматического
управления...............................................^..21
1.3. Особенности управления химико-технологическим процессом... . 25
1.4. Технико-экономический эффект управления. Роль управления
в обеспечении безопасности химического производства и охраны
окружающей среды........................................ 28
1.5. Предмет «Системы управления химико-технологическими
процессами» и его взаимосвязь с другими дисциплинами . 29
Контрольные вопросы........ ........................ . 30
Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ УПРАВЛЕНИЯ ХИМИКО-
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ...................................— • 31
2.1. Основные термины и определения... ..... .........31
2.2. Иерархия управления. Назначение систем управления химическим
предприятием и химико-технологическим процессом.............40
2.3. Принципы управления.................—.-------- 42
2.3.1. Управление по задающему воздействию.. . 43
2.3.2. Управление по возмущающему воздействию.... . 44
2.3.3. Управление по отклонению........«•............. . 47
2.3.4. Комбинированное управление................. 53
2.4. Классификация систем управления................ . 53
2.4.1. По характеру изменения задающего воздействия.... . 54
2.4.2. По числу контуров......................... . 55
2.4.3. По числу управляемых величии.... . 56
2.4.4. По характеру управляющих воздействий.................56
2.4.5. По виду зависимости установившейся ошибки от внешнего
воздействия..............................................57
2.4.6. По энергетическим признакам. . 58
2.4.7. По математическому описанию ... . 58
2.5. Структурные схемы САУ......... . 59
2.6. Функциональная структура САР ... . 60
2.7. Качество процесса управления... . 65
2.7.1. Переходный процесс .... . 65
2.7.2. Устойчивость .... i-wi j .................•*—- 68
2.7.3 Показатели, характеризующие точность регулирования .. . 69
2.7.4 Покиатели, характеризующие быстродействие........... 70
Оглавление
Оглавление
. 73
. 74
2.7.5. Показатели, характеризующие колебательность переходного
процесса........................................................ 70
2.7.6. Интегральные показатели качества регулирования..
2.7.7. Типовые оптимальные процессы регулирования.....
Контрольные вопросы....« ............................. .
Глава 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ.......................76
3.1. Моделирование как метод исследования САУ................. -.76
3.1.1. Математические модели САУ .. •• 78
3.1.2. Декомпозиция САУ........................... >
3.1.3. Составление дифференциальных уравнений
элементов САУ......................................... .......
3.1.4. Линеаризация уравнений.....................
3.2. Динамические характеристики САУ..............................
3.2.1. Использование преобразования Лапласа для анализа САУ ..
3 2.1.1. Свойства преобразования Лапласа....— ..........
З .2.1.2. Передаточная функция звена..................
3.2.2. Временные характеристики......—..............- . .
3.2.2.1. Типовые входные воздействия..
3.2.2.2. Переходная характеристика .__. . -----.
3.2.2.3. Импульсная переходная функция.... ......« .....
3.2.2.4. Рамповая переходная функция..— -..............-
3.2.3. Частотные характеристики.............................. 100
З.2.З.1. Частотная передаточная функция.................... 102
3.2.3 2. Графическое представление частотных характеристик.106
3.2.3.3. Некоторые термины, используемые при частотном анализе
систем управления............................................109
3.2.4. Структурные схемы...................... •• ИЗ
3.2.4.1. Последовательное соединение звеньев .. ........... 114
3.2.4.2. Параллельное соединение звеньев. —........ 115
3.2.4.3. Соединение с обратной связью...................... 116
3.2.4.4. Эквивалентные преобразования структурных схем..... 118
3.3. Типовые динамические звенья....—...................-. —120
3.3.1. Статическое звено нулевого порядка.......... ..121
...122
.. 123
.....124
.....126
...130
.... 134
....138
- ....144
-....149
.....156
161
.....162
.....165
.170
.173
87
89
91
93
95
96
98
98
3.3.1.2. Частотные характеристики....м
3.3.2. Статическое звено первого порядка..
3.3.2.1. Временные характеристики. ....
3.3.2.2. Частотные характеристики.—...
3.3.3. Звено запаздывания...............
3.3.4. Статическое звено второго порядка
3.3.4.1. Переходная характеристика .. .
3.3.4.2. Частотные характеристики..
3.3.5. Идеальное интегрирующее звено ..
3.3.6. Реальное интегрирующее звено.......
3.3.7. Идеальное дифференцирующее звено .
3.3.8. Реальное дифференцирующее звено ....
3.3.9. Неустойчивое звено первого порядка .
3 4. Устойчивость линейных САУ.............—........
3 4 1. Понятия об устойчивости систем автоматического
управления ......................-..................
3.4.2. Устойчивость по Ляпунову............... . ....177
3.4.3. Алгебраические критерии устойчивости .. . - .... 179
З.4.З.1. Критерий Рауса—Гурвица. ......179
3.4.3.2. Критерий Льенара—Шипара.. ... 181
3.4.4. Частотные критерии устойчивости. ... 181
З.4.4 .1. Критерий Михайлова .. ... 181
3.4.4 2. Критерий Найквиста... .183
3.4.5. Понятие о запасе устойчивости.........................189
З.4.5.1. Определение запаса устойчивости по распределению корней
характеристического уравнения системы.................. 190
3.4.5.2. Определение запаса устойчивости по АФЧХ разомкнутой
системы.............................................. ...191
3.4.5.3. Определение запаса устойчивости по логарифмическим
частотным характеристикам разомкнутой системы.......... 193
Контрольные вопросы .................................—_.........193
Глава 4. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ......195
4.1. Объекты управления и их основные свойства.. -...__ ...195
4.1.1. Классификация объектов управления........................195
4.1.1.1. Одномерные и многомерные объекты................ 195
4.1.1.2. Односвязные и многосвязные объекты . ........196
4.1.1.3. Линейные и нелинейные объекты.....................198
4.1.1.4. Объекты с сосредоточенными и распределенными
параметрами.................« ... ........ .. .....198
4.1.2. Свойства объектов управления .... 200
4.1.2.1. Емкость....................................... ...201
4.1.2.2. Самовыравнивание .... .♦ . .................... ...205
4.1.2.З. Запаздывание................................... ...216
4.1.3. Методы определения свойств объектов управления___________223
4.1.З.1. Аналитический метод определения свойств объектов...225
4.1.З.2. Экспериментальное определение динамических свойств
объектов.....................................................226
4.1.З.З. Экспериментальное определение частотных характеристик.240
4.2. Задачи синтеза регуляторов........... ...247
4.3. Основные законы регулирования........................... ...251
4.3.1. Пропорциональный закон регулирования... 252
4.3.2. Интегральный закон регулирования.- ......................259
4.3.3. Пропорционально-интегральный закон регулирования.........261
4.3.4. Пропорционально-дифференциальный закон
регулирования..............................................264
4.3.5. Пропорционально-интегрально-дифференциальный закон
регулирования..............................................267
4.3.6. Позиционные регуляторы.......... 271
4.З.6.1. Двухпозиционные регуляторы .. ...271
4.3.6.2. Трехпозиционные регуляторы.__................. ..276
4.3.7. Регуляторы с прогнозирующей моделью................... ..276
4 3.8. Регуляторы на основе искусственных нейронных сетей....279
4.3.9. Определение оптимальных параметров настройки
промышленных регуляторов.............................. ...281
4 3.9.1. Метод незатухающих колебаний.. .. 282
4 3 9 2. Метод затухающих колебаний........................ 283
173
6
Оглавление
4.3.9.3. Определение настроек регулятора по переходной
характеристике разомкнутой системы регулирования ...284
4.3 9 4. Настройка регуляторов для получения типовых оптимальных
процессов регулирования.............................285
4.3.9.5. Самодиагностика и автоматическая настройка
регулятора...................................... . 286
Контрольные вопросы... — ............. ....289
Глава 5. ИЗМЕРЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ.........................290
5.1. Государственная система промышленных приборов и средств
автоматизации _.................................................. 290
5.2. Основные термины и определения метрологии. ... .........292
5.2.1. Физические величины................. • 294
5.2.2. Единицы физических величин ... - 295
5.2.3. Измерения физических величин... - 296
5.2.4. Средства измерительной техники......... - 298
5.2.5. Принципы, методы и методики измерений . . 308
5.2.6. Условия измерений............«.........*... -311
5.2.7. Результаты измерений физических величин ... -312
5.2.8. Погрешности измерений...................................313
5.2.9. Государственная система обеспечения единства измерений ..318
5.3. Динамические свойства средств измерительной техники.......... ...319
5.3.1. Динамические характеристики......... ... -319
5.3.2. Динамические погрешности............ — ...-.......321
5.4. Измерительные преобразователи.............< ...324
5.4.1. Структура измерительного преобразователя.....- -.327
5.4.2. Надежность измерительных преобразователей . — 328
5.4.3. Промежуточные преобразователи....... ............... ...329
5.4.3.1. Тензометрические преобразователи... —331
5.4.3.2. Емкостные преобразователи......- • 334
5.4.3.3. Пьезоэлектрические преобразователи... —335
5.4.3 4. Индуктивные преобразователи........— — 336
5.4.3.5. Преобразователи этектрнческих сигналов... —338
5.4.4. Нормирующие преобразователи.......................... — 339
5.4.4.1. Токовые нормирующие преобразователи для термопар
и датчиков ЭДС...........................——------ • 339
5 4.4.2. Токовые нормирующие преобразователи
для термопреобразователей сопротивления .... 341
5.4.4.3. Электропневматнческий преобразователь.. —342
5.4 4.4 Токовый унифицированный преобразователь.... . 343
5 4 4.5. Пневматический унифицированный преобразователь. ..345
5.4.5. Аналоговые и цифровые преобразователи ................ 346
5.4 5 I. Цифроаналоговые преобразователи.............— • 347
5.4.5.2. Различные способы аналого-цифрового преобразования -352
5.4.6. Линии связи.................-........................ -359
5.4. 6.1. Пневматические линии связи -359
5.4. 62. Электрические линии связи.... - 360
5.4 6 3 Волоконно-оптические линии связи............... -362
5.5. Измерение электрических величин носителей информации
о состоянии химико-технологического процесса.......................366
Оглавление
7
5.5.1 Уравновешенные и неуравновешенные мосты .. ... 367
5.5.2. Логометры........................................ ...369
5.5.3. Милливольтметры................................... ...371
5.5.4. Цифровые измерительные приборы ... ...372
5.6. Измерение давления................. ... 377
5 6.1. Жидкостные манометры........................... ...378
5.6.2. Деформационные преобразователи давления . ..379
5.6.3. Промышленные преобразователи давления.......... .. 381
5.6.4. Зашита манометров от действия агрессивных, горячих,
загрязненных, кристаллизующихся и вязких сред......... .. 384
5.7. Измерение температуры........................ ...... ..387
5.7.1. Общие сведения об измерении температуры.. ..387
5.7.2. Измерение температуры контактным методом.. ..390
5.7.2.1. Термометры расширения........ ,, ..390
5.7.2.2. Манометрические термометры......... .. 393
5.7.2.3. Термоэлектрические преобразователи .... .. 395
S.7.2.4. Термопреобразователи сопротивления ......... 403
5.7.2.5. Пьезоэлектрические термопреобразователи........410
5.7.2.6. Погрешности измерения температуры контактным методом.410
5.7.3. Измерение температуры бесконтактным методом..........411
5.7.З.1. Теоретические основы измерения температуры по тепловому
излучению...............................................412
5.7.3.2. Яркостные пирометры......................... 416
5.7.3.3. Пирометры спектрального отношения 417
5.7.3.4. Пирометры полного излучения................ 417
5.7.3.5. Погрешности измерения температуры бесконтактным
методом.............................................. .418
5.8. Измерение расхода. ....419
5.8.1. Расходомеры переменного перепада давления.......... 420
5.8.1.1. Измерение расхода по перепаду давления на сужающем
устройстве............................................ 420
5.8.1.2. Измерение расхода с помощью напорных трубок...- ....429
5.8.2. Расходомеры постоянного перепада давления... ... 431
5.8.3. Объемные расходомеры и счетчики .*..._.......... ....433
5.8.З.1. Счетчики с овальными шестернями .. ....434
5.8.3.2. Ротационные счетчики .... ....434
5.8.3.3. Скоростные счетчики ..... ............. , ....435
5.8.4. Измерение расхода на основе тепловых явлений .... .. .436
5.8.4.1. Калориметрические расходомеры ... 436
5.8.4.2. Термоконвективные расходомеры .. ...437
58.4.3. Термоанемометры................................ 438
5.8.5. Электромагнитные расходомеры . 440
5.8.6. Вихревые расходомеры...... 443
5.8.7. Ультразвуковые расходомеры. .. 446
5.8.8. Кориолисовы расходомеры_______________________________448
5.9. Измерение уровня жидкости и сыпучих тел 449
5.9.1. Механические уровнемеры. 450
5.9.2. Гидростатические и пьезометрические уровнемеры ... 452
5.9.3. Кондуктометрические уровнемеры 453
5.9.4. Емкостные уровнемеры .. 454
5.9.5. Фотоэлектрические уровнемеры.................... ... 454
8
Оглавление
5.9.6. Ультразвуковые уровнемеры...........................
5.9.7. Измерение уровня с помощью радиоактивных изотопов
5.9.8. Акустические уровнемеры.............................
5.10. Измерение состава и физико-химических свойств веществ...
5.10.1. Физические газоанализаторы....................
5.10.1.1. Термокондуктометрические газоанализаторы..
5.10.1.2. Термохимические газоанализаторы...... -
5.10.1.3. Термомагнитные газоанализаторы.............
5.10.1.4. Оптические абсорбционные в ИК-области спектра
газоанализаторы.....................................—
5,10.1.5. Оптические абсорбционные в УФ-области спектра
газоанализаторы.........................——•••
5.10.2. Измерение концентрации растворов....
5.10.2.1. кондуктометрические анализаторы ..
5.10.2.2. Потенциометрические анализаторы---
5.10.2.3. Денсиметрические анализаторы..
5.10.2.4. Ультразвуковые анализаторы.
5.10.3. Химические газовые сенсоры...........
...455
....459
. .461
.462
...462
.463
.464
.466
...467
..469
..469
..470
..471
..473
..474
..475
Контрольные вопросы
Глава 6. ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ......р 478
6.1. Динамические характеристики и особенности управления
типовыми процессами и аппаратами химической технологии.................478
6.1.1. Регулирования основных технологических параметров......... ...479
6.1.1.2. Регулирование устройств для перемещения жидкостей н газов.481
6.1.1.3. Регулирование уровня....................-
6.1.1.4. Регулирование давления .. —
6.1.1.5. Регулирование температуры.. . ... - ...
6.1.1.6. Регулирование pH---------—-------------—
6.1.1.7. Регулирование параметров состава и качества ...
6.1.2. Регулирование типовых тепловых процессов......
6.1.2.1. Динамические характеристики паро-жидкостного
теплообменника......................................
....487
....489
....490
....495
....495
6.1.2.2. Динамические характеристики кожухотрубного
паро-жидкостного теплообменника........... ....
6.1.3. Регулирование массообменных процессов...—
6.1.3.1- Управление ректификационной установкой .....
6.1.3.2. Управление процессами в химических реакторах
6.2. Синтез систем автоматического регулирования......
6.2.1. Комбинированные САР..........
6.2.2. Каскадные САР...............................;-
6.2 3. САР с дополнительным импульсом по производной
из промежуточной точки...................................
6.2.4 Регулирование многосвязных объектов ....
6.2.5. Регулирование объектов с запаздыванием
6.3. Технические средства систем автоматического управления
6.3 I Основные разновидности управляющих устройств,
применяемых в системах управления ХТП
...499
.510
..510
.529
..534
..541
..547
..555
..555
...560
...562
...563
Оглавление 9
6.3.2. Автоматические регуляторы прямого и непрямого действия..565
6.3 2.1. Регуляторы прямого действия.......................565
6.3.2.2. Регуляторы непрямого действия............- . .. 567
6.3.3. Построение управляющих устройств с использованием
пневматических средств автоматизации........................ ..568
6.3.3.1. Первый уровень агрегатизации.............. .. 569
6.3 3.2. Второй уровень агрегатизации. ..576
6.3.3.3. Третий уровень агрегатизации .. .. 578
6.3.4. Исполнительные устройства_____________________________ 580
6.3.4.1. Регулирующие органы............... .. 582
6.3.4.2. Исполнительные механизмы....................... ..594
6.3.4.3. Пьезокерамические исполнительные устройства . ..600
6.4. Стадии проектирования систем управления................... 601
6.4.1. Разработка технического задания......... . ..601
6.4.2. Эскизная разработка................................. ..605
6.4.3. Разработка технического проекта . ..605
6.4.4. Разработка рабочего проекта........................... 608
6.4.5. Ввод в действие АСУ ТП, внедрение и анализ
ее функционирования......................................... 608
Контрольные вопросы.. .... ..609
Глава 7. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АСУ ТП В ХИМИЧЕСКОЙ
ПРОМЫШЛЕННОСТИ 611
7.1. Назначение АСУ ТП......... . .611
7.2. Основные функции АСУ ТП............................... 613
7.2.1. Информационная подсистема......................... 613
7.2.1.1. Сбор н первичная обработка информации .613
7.2.1.2. Расчет показателей качества продуктов.„ . ....615
7.2.1.З. Расчет технике-экономических показателей. ...........615
7.2.1.4. Контроль и техническая диагностика ХТП ... .616
7.2.2. Управляющая подсистема........................... 616
7.2.2.1. Регулирование отдельных технологических параметров . ..616
7.2.2.2. Программно-логическое управление.....................617
7 2.2.3. Оптимальное управление............... —..617
7.2.3. Вспомогательная подсистема .. .... ..........617
7.3. Разновидности АСУ ТП....................................617
7.3.1. АСУ ТП в которых все информационные и управляющие
функции выполняются без применения вычислительного
комплекса........................................... t ..618
7.3.2. АСУ ТП с вычислительным комплексом, выполняющим
информационно-вычислительные функции .... ............... 618
’.3.3. АСУ ТП с вычислительным комплексом, выполняющим
функции «советчика» оператора..........................._ ..618
7.3.4. АСУ ТП с вычислительным комплексом, выполняющим
функции центрального управляющего устройства
(супервизорное управление)............................ ..619
7.3.5. АСУ ТП с вычислительным комплексом, выполняющим
функции непосредственного (прямого) цифрового
управления ... ..619
7.3.6 Распределенные АС. У 11)....................................621
10
Оглавление
....623
....623
....623
...624
....624
...624
...624
....624
....625
....625
....630
....630
.....631
....632
...632
......633
....633
.634
....634
....634
....637
...641
......641
....645
7А. Режимы работы АСУ ТП ...............
7.4.1. Автоматизированный режим
7.4.1.1. Ручное управление.
7.4.1.2. Режим «советчика» ...
7.4.1.3. Диалоговый режим ..
7.4.2. Автоматический режим....
7.4.2.1. Супервизорное управление ...........
7.4.2.2. Непосредственное цифровое управление ....
7.5. Обеспечение АСУ ТП.............................
7.5.1. Техническое обеспечение ..
7.5.2. Программное обеспечение............. _.«».....
7.5.2.1. Базовое программное обеспечение....
7.5.2.2. Прикладное программное обеспечение ..
7.5.3. Математическое обеспечение................
7.5.4. Информационное обеспечение ...
7.5.5. Метрологическое обеспечение
7.5.6. Лингвистическое обеспечение----- ---------
7.5.7. Организационное обеспечение .......
7.5.8. Оперативный персонал............
7.6. Надежность функционирования АСУ ТП.....................
7.7. Взаимодействие оператора с техническими средствами АСУ ТП
7.8. Примеры систем управления в химической промышленности...
7.8.1. АСУ ТП подготовки нефти ..........................
7.8.2. АСУ ТП в производстве минеральных удобрений .
Контрольные вопросы....................
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................ 653
ПРИЛОЖЕНИЯ....... „----- 656
Приложение 1
Свойства преобразования Лапласа ... ....656
Приложение 2
Преобразование Лапласа некоторых функций-
Приложение 3
Основные условные обозначения приборов и средств автоматизации
в схемах по ГОСТ 21.404—85. .. . ....658
Приложение 4
Основные свойства комплексных чисел . ..672
Приложение 5
Преобразование Фурье .. -675
Приложение 6
Преобразование Фурье некоторых функций ... 678
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 679
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
.683
ПРЕДИСЛОВИЕ
Химические предприятия, выходящие в настоящее время из кризи-
са, заняты в основном заменой морально устаревшей техники и освое-
нием современных программно-технических средств автоматизации Это
означает, что произошли значительные изменения в технологических
измерениях, в технических средствах управления химико-технологичес-
кими процессами и т. д., а это требует от инженера химика-технолога
знаний как в области теории автоматического управления, так и экс-
плуатации систем управления химико-технологическими процессами.
Перед авторами учебника «Системы управления химико-технологи-
ческими процессами» стояла довольно сложная задача: осознать и ос-
мыслить изменения, произошедшие в системах управления химико-тех-
нологическими процессами за последние пятнадцать лет, и в понятной
и доступной форме изложить их студентам высших учебных заведений,
обучающимся по химико-технологическим специальностям.
Назначение учебника
Ознакомление читателя с современными методами анализа стати-
ческих и динамических свойств технологических процессов как объек-
тов управления, структурой и функциями систем автоматического уп-
равления (САУ), методами и законами управления химико-технологи-
ческими процессами (ХТП), методами анализа и синтеза САУ ХТП,
сведениями о их проектировании, прогнозированием качества функци-
онирования, средствами измерения технологических параметров в хи-
мической промышленности.
Характеристики учебника
В учебнике разобраны основные положения, составляющие содержа-
ние теории автоматического управления. Изложение материала начина-
ется с основных понятий и особенностей автоматического управления
химико-технологическими процессами (сущность автоматического управ-
ления, принципы управления и т. д.) — главы 1 и 2, а заканчивается
сведениями о проектировании и анализом действующих промышлен-
ных систем управления ХТП (главы 6 и 7).
Изложение учебника имеет инженерную направленность (обстоя-
тельное изучение физических и содержательных сторон управления хи-
мико-технологическим процессом не всегда сопровождается строгими
математическими доказательствами), так как в разработке автоматичес-
ких систем диагностики и управления химико-технологическими про-
цессами особое место отводится инженеру химику-технологу. Именно
специалист в области химической технологии формулирует задачи, оп-
ределяет параметры технологического процесса, которые необходимо
ГЛАВА__________________________
ВВЕДЕНИЕ В СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ
ПРОЦЕССАМИ
Нет стремления более естественного,
чем стремление к знанию...
Мишель Монтень
1.1. ЗНАЧЕНИЕ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
ДЛЯ РАЗВИТИЯ ХИМИЧЕСКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ
Наука об автоматических системах управления химико-техноло-
гическими процессами изучает законы их построения и действия,
методы исследования и настройки.
Технический уровень химической промышленности на совре-
менном этапе ее развития во многом определяется уровнем управ-
ления. Без наличия необходимых средств автоматической диагнос-
тики химико-технологического процесса и автоматического управ-
ления им в принципе невозможен технический прогресс в химической
промышленности. Современное химическое или нефтехимическое
производство является высокоавтоматизированным производством.
Информационная мощность крупного химического предприятия,
оцениваемая количеством измеряемых параметров, составляет бо-
лее 1500. Автоматическое управление химическим производством
позволяет значительно увеличить производительность труда и, что
имеет особое значение для химической промышленности, повыша-
ет социальную эффективность труда, т. е. облегчается труд обслужи-
вающего персонала, улучшаются санитарно-гигиенические условия
их работы, повышается культурный и профессиональный уровень
специалистов. На химических предприятиях появились работники,
владеющие компьютерами, специалисты по информационным тех-
нологиям. Автоматическое управление химическим производством
позволяет не только улучшить качество производимой продукции,
снижая ее себестоимость, но и уменьшить отрицательное воздей-
ствие химического предприятия на окружающую среду.
1.2. Краткий очерк истории развития САУ
21
Таким образом, понятия технический прогресс и уровень автома-
тического управления в химической промышленности неотделимы.
Возможности автоматического управления (с использованием
микропроцессорной техники) в химической технологии:
• автоматический пуск и останов химического производства;
• автоматический контроль технологических параметров;
• автоматическое прогнозирование ведения технологического
процесса;
• поддержание заданных (оптимальных) технологических режимов;
• повышение качества производимой продукции;
• повышение производительности технологического оборудова-
ния и увеличение объема производимой продукции;
• снижение затрат сырья, материалов и энергии на производство
единицы продукции;
• безопасное ведение химико-технологического процесса (умень-
шение вероятности нарушения технологического режима, приводя-
щее к нанесению вреда обслуживающему персоналу, оборудованию,
окружающей среде);
• увеличение надежности химико-технологических процессов и
в целом химико-технологической системы (сокращение простоев
оборудования из-за неполадок и увеличение межремонтных сроков
работы технологического оборудования);
• предупреждение загрязнения окружающей среды промышлен-
ными отходами и стоками.
1.2. КРАТКИЙ ОЧЕРК ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
В истории развития САУ можно условно выделить четыре исто-
рических периода:
• греческая и арабская цивилизации (III век до н. э.—1200 год н. э.);
• промышленная революция в Европе (с третьей четверти XVIII века,
хотя корни ее прослеживаются и в начале XVII века);
• начало массовых коммуникаций (1910—1945);
• век освоения космоса, компьютерный век (с 1957 г. по наши
дни).
Простейшие автоматические регуляторы и устройства применя-
лись еще до новой эры. Известно, что системы регулирования с
обратной связью применялись в III веке до нашей эры, например,
для автоматического регулирования уровня воды в водяных часах с
помощью поплавкового регулятора, чтобы повысить точность их по-
казаний. Водяные часы представляют собой два резервуара. В пер-
22
Глава 1. Введение в системы управления ХТП
вом резервуаре водяных часов уровень воды должен быть постоян-
ным, постоянство его и поддерживает поплавковой регулятор. Этот
постоянный уровень обеспечивает постоянство расхода воды во вто-
рой резервуар через трубу, расположенную в днище первого резер-
вуара. Уровень воды во втором резервуаре, таким образом, зависел
от времени истечения воды из первого резервуара. Так был реализо-
ван принцип регулирования с обратной связью. Поплавковые регу-
ляторы использовались для регулирования уровня масла в лампах
для освещения, для дозированного разлива вина.
В средние века применялись центробежные регуляторы хода во-
дяных мукомольных мельниц. В 1657 г. X. Гюйгенс предложил ма-
ятниковый регулятор хода для механических часов. В это же время
были изобретены регуляторы температуры (для поддержания темпе-
ратуры при плавке металлов в печах; в инкубаторах для выведения
цыплят — 1624 г.). В конце XVIII века в Америке регуляторы темпе-
ратуры применяются в химических печах, в производстве стали и
фарфора.
Появление паровых машин приводит к изобретению регулято-
ров давления. В 1681 г. изобретен первый предохранительный кла-
пан для сброса давления пара. К первым промышленным регулято-
рам относят автоматический поплавковый регулятор уровня в паро-
вом котле паровой машины, построенной в 1765 г. И.И. Ползуновым,
и центробежный регулятор скорости для стабилизации угловой ско-
рости вращения вала паровой машины, сконструированный Д. Уат-
том (1788).
Вновь пробуждается интерес к регуляторам уровня. Слесарь То-
мас Креппер за изобретения сливных бачков с регуляторами уровня
в 1775 г. возводится в рыцарское достоинство английской короле-
вой Викторией.
Большой вклад в разработку и создание регуляторов для различ-
ных целей внесли русские ученые И.А. Вышнеградский, Н.Е. Жу-
ковский, А.М. Ляпунов и др.
Исследования И.А. Вышнеградского и Д.К.. Масквелла в облас-
ти устойчивости и качества процессов регулирования положили на-
чало развитию теории автоматического регулирования.
Отправной точкой предыстории теории автоматического управ-
ления можно считать 1868 г., когда Д.К.. Максвелл выполнил пер-
вый строгий математический анализ устойчивости системы управ-
ления с обратной связью. Он исследовал влияние параметров систе-
мы на устойчивость и показал, что система устойчива, если корни
характеристического уравнения имеют отрицательные действитель-
ные значения. Независимо от Д.К.. Максвелла в 1877 г. И.А. Выш-
неградский исследовал устойчивость регуляторов. В 1893 г. А.Б. Сто-
дола впервые вводит понятие постоянной времени системы и пред-
1.2. Краткий очерк истории развития САУ
23
лагает оценивать устойчивость системы по устойчивости характери-
стического уравнения. В 1892 г. А.М. Ляпунов опубликовал в Рос-
сии свое знаменитое сочинение «Общая задача об устойчивости дви-
жения». На Западе теория устойчивости по Ляпунову становится
известной лишь в I960 г. и получает свое признание. В 1892—1898 гг.
английский инженер О. Хевисайд исследует переходные характери-.
стики систем, вводя понятие передаточной функции.
В 1909 г. в России издается первый русский учебник по тео-
рии регулирования Н.Е. Жуковского «Теория регулирования хода
машин».
В 1932 г. американский ученый X. Найквист предложил для оцен-
ки устойчивости систем частотный критерий устойчивости. В 1940 г.
X. Боде исследовал устойчивость замкнутых систем, используя та-
кие понятия, как коэффициент усиления и запас устойчивости по
фазе. Н. Минорский (1922), рассматривая нелинейные эффекты в
замкнутых системах, впервые использует пропорционально-интег-
рально-дифференциальный регулятор. X. Хазен (1934) опубликовал
теорию сервомеханизмов (исполнительных механизмов).
До 50-х годов прошлого века классической теорией автоматичес-
кого регулирования (ТАР) было принято называть теорию устойчиво-
сти и качества процессов в системе объект—регулятор, базирующу-
юся на рассмотрении обыкновенных, преимущественно лйнейных,
дифференциальных уравнений. ТАР тесно соприкасается с теорией
устойчивости движения «в малом» А.М. Ляпунова, но имеет выра-
женную инженерную направленность.
В конце 50-х—начале 60-х годов появляются работы Л.С. Понт-
рягина, Р. Веллмана, Р. Калмана, которые заложили основы совре-
менной теории автоматического управления. Использование матема-
тических моделей не только на стадии проектирования, но и в про-
цессе функционирования систем является одной из характерных черт
современной теории автоматического управления. Важным разде-
лом современной теории автоматического управления является оп-
тимальное (и субоптимальное) оценивание параметров и характери-
стик по экспериментальным данным — идентификация.
Автоматическое регулирование и управление перестает быть ско-
рее искусством и становится наукой с появлением электронной вы-
числительной техники.
Первая электронная вычислительная машина (ЭВМ) была со-
здана в 1945 г. в США под руководством американских ученых
Дж.В. Моучли и Д.П. Эккерта и предназначалась для расчета бал-
листических таблиц (машина была построена по заказу артилле-
рий-ского управления). ЭВМ содержала 18 тысяч электронных
ламп и потребляла 150 кВт. Быстродействующая электронная счет-
ная машина (БЭСМ) была сконструирована в начале 50-х годов
24
Глава 1. Введение в системы управления ХТП
прошлого века в СССР коллективом ученых, во главе которых стоял
академик С.А. Лебедев.
В 1960 г. разработано второе поколение компьютеров с исполь-
зованием полупроводниковой технологии. С 1965 г. начинает разви-
ваться миникомпьютерная технология, а в 1969 г. В. Хофф изобрел
микропроцессор. В 1970—1980-е годы получает развитие идея об
использовании цифровых компьютеров для управления в промыш-
ленности, особенно химической. Основная мотивация такого подхо-
да — развитие ядерной технологии. К 1983 г. появляются первые
персональные компьютеры. Проектирование современных систем
управления при наличии прикладных пакетов компьютерных про-
грамм, включая такие, как ORACLS, Program СС, Control-C, РС-
Matlab, MATRIXx, Easy5, SIMNON и др., становится доступным для
рядового инженера.
Американский ученый Норберт Винер (1894—1964) был одним
из создателей кибернетики (от греч. kibernos — рулевой, кормчий) —
науки об общих законах управления. Кибернетика стала теорети-
ческой базой создания и внедрения автоматизированных систем
управления (АСУ).
Развитие АСУ в химической промышленности СССР (России)
Автоматизированным системам управления, действующим на
российских химических заводах, около 40 лет: именно столько вре-
мени усилиями многочисленных научно-исследовательских инсти-
тутов (ЦНИИКА, ВНИПиСАУ и др.), проектно-конструкторских
институтов (Гипрохим, ОКБА и др.), монтажно-наладочных орга-
низаций (Монтажавтоматика, Оргхим, Оргминудобрения и др.), орга-
низациями Госснаба (Химкомплект, Комплектавтоматика) и специ-
алистами самих химических и нефтехимических предприятий вне-
дрялись АСУ самых разных уровней.
Развитие систем управления ХТП невозможно представить без
Центрального научно-исследовательского института комплексной
автоматизации (ЦНИИКА), созданного в 1956 г. под руководством
проф. Е.П. Стефани и проф. Е.П. Дудникова. Становление систем
управления ХТП наглядно можно рассмотреть на примере развития
одного из химических предприятий.
В 70-е годы прошлого века в СССР была создана крупнейшая в
мире промышленность минеральных удобрений, что привело в свое
время к строительству огромных сернокислотных производств. Имен-
но в эти годы для печей кипящего слоя (КС-200) в цехе обжига
колчедана используется первая АСУ ТП «Куб», в функции которой
входили: централизованный сбор, хранение и представление инфор-
мации по 14 параллельно работающим печам обжига колчедана в
кипящем слое, сигнализация и учет отклонений параметров техно-
1.3. Особенности управления ХТП
25
логического процесса от норм технологического регламента. В 1975 г.
в этом цехе внедряется прямое цифровое управление технологичес-
ким процессом с распределением нагрузок по печам и коллекторам.
В 1980 г. на этом же предприятии в сернокислотных цехах СКЦ-1,
СКЦ-2, башенном сернокислотном цехе обжига колчедана внедря-
ется АСУ ТП «Купол», а в 1987 г. — АСУ ТП «Купол-1», «Купол-2»
для СКЦ (технологические линии СК 28, 41, 42), в которых было
реализовано непосредственное цифровое управление (НЦУ) техно-
логическим процессом.
В 2000—2002 гг. система «Купол» в сернокислотном контактном
производстве модернизирована на новой программно-технической
основе с использованием современных SCADA (Supervisory Control
And Data Acquisition — диспетчерское управление и сбор данных) —
систем и сетевых программируемых логических контроллеров (ПЛК).
Подобным образом шло развитие систем управления в произ-
водствах экстракционной фосфорной кислоты, минеральных удоб-
рений, полимеров и т. д.
1.3. ОСОБЕННОСТИ УПРАВЛЕНИЯ
ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМ ПРОЦЕССОМ
Под химико-технологическим процессом (ХТП) понимают опре-
деленную последовательность процессов (химических, физико-хи-
мических, их сочетаний) целенаправленной переработки исходных
сырья и веществ в продукт. Химическое производство представляет
собой совокупность процессов и операций, осуществляемых в аппа-
ратах и машинах и предназначенных для целенаправленной перера-
ботки исходных веществ и сырья в продукты путем химических пре-
вращений.
Вопросам управления в химической технологии придается осо-
бое значение. Это, в первую очередь, связано со следующими осо-
бенностями ХТП:
1) сложность и высокая скорость протекания ХТП;
2) агрессивность и токсичность перерабатываемых веществ;
3) взрыво- и пожароопасность перерабатываемых веществ;
4) высокие (или низкие) температуры; высокие (сверхвысокие)
давления или глубокий вакуум;
5) высокая чувствительность ряда ХТП к нарушениям техноло-
гического режима и т. д.
Необходимо учитывать и такое важное обстоятельство для уп-
равления: не все технологические параметры (показатели), которы-
26
Глава 1. Введение в системы управления ХТП
ми необходимо управлять в процессе, доступны непосредственному
и непрерывному измерению. Из практики эксплуатации ХТП изве-
стно, что такому измерению трудно поддаются показатели состава и
качества перерабатываемого сырья, а также показатели состава и
качества получаемого продукта. Даже в случае прямого и непрерыв-
ного измерения, например расходов материальных потоков, как сле-
дует из сведения материальных балансов, на крупных химических
предприятиях потери исходного сырья и веществ, конечных про-
дуктов достигают 2,0...2,5 %.
Необходимо также помнить, что управление будет более эффек-
тивным, если выбранный управляемый параметр чувствителен к ус-
ловиям проведения ХТП. Тогда даже небольшие отклонения теку-
щих значений управляемого параметра от заданного вызовут к дей-
ствию систему управления.
Для химико-технологических процессов, осуществляемых в круп-
нотоннажных химических и нефтехимических производствах, харак-
терно запаздывание и параметры (показатели), выбранные для уп-
равления, при изменении условий проведения процесса не могут
изменяться мгновенно. Невозможность прямых и непрерывных из-
мерений параметров (показателей) процесса, отсутствие мгновен-
ной реакции параметров (показателей) процесса на возмущающие
воздействия усложняют систему управления ХТП.
Кроме того, все время необходимо учитывать степень воздей-
ствия химических производств на окружающую среду. В этой ситу-
ации системы управления ХТП должны обеспечить безопасность
химических производств, постоянно контролировать состав и каче-
ство перерабатываемого сырья и веществ, состав и качество конеч-
ных продуктов, окружающей среды.
Исходя из изложенных особенностей ХТП, перечислим функ-
ции, выполняемые устройствами автоматического управления в хими-
ческой технологии.
1. Диагностика оборудования, измерение и контроль технологи-
ческих параметров и определение причин возникновения аварий-
ных ситуаций.
2. Сигнализация (световая и звуковая) при отклонении техноло-
гических параметров от заданных режимов и аварийном состоянии
оборудования.
3. Логическое управление блокировками и защитой; аварийное
отключение (переключение) технологического оборудования.
4. Управление (регулирование) технологическими параметрами.
Современному состоянию работ в области управления соответ-
ствуют системы управления (см. гл. 7), реализуемые посредством
цифровых систем. Цифровые системы могут применяться во многих
1.3. Особенности управления ХТП
27
областях управления, таких как автоматическая сигнализация, бло-
кировка, встроенная линеаризация или компенсация сигнала. Од-
нако основная задача систем управления — управление технологи-
ческим процессом.
Автоматическое регулирование является частным случаем более
общего понятия автоматического управления. Теория автоматичес-
кого регулирования является основой построения первого уровня уп-
равления, а теория автоматического управления — основа всей иерар-
хической структуры информационных процессов управления слож-
ными химико-технологическими объектами.
Теория автоматического управления позволяет изучить свойства
системы, которые принято называть: наблюдаемостью, идентифици-
руемостью, управляемостью и адаптируемостью. АСУ представляет
собой сложную динамическую систему, поведение которой в реаль-
ных условиях требует соответственно сложного математического
описания, больших затрат времени на программирование и т. д.
Поэтому для математического описания АСУ необходима некото-
рая идеализация, следствием которой является получение прибли-
женных результатов. Уточнение их и окончательный выбор пара-
метров системы управления производится с применением средств
математического моделирования и вычислительной техники с пос-
ледующей настройкой параметров регуляторов в реальном масшта-
бе времени (в реальных условиях).
Сущность разработки АСУ заключается в том, чтобы, распола-
гая сведениями о свойствах объекта управления (статических и ди-
намических), а также заданными требованиями к системе управле-
ния в целом (запасу устойчивости, надежности, усилению по мощ-
ности, качеству и т. д.), подобрать соответствующую элементную
базу и составить схему управления, способную действовать в реаль-
ных условиях химического производства в соответствии с постав-
ленными требованиями. Естественно, что этот подход предполагает
наличие сведений об элементах, устройствах, входящих в состав АСУ,
а также то, что они должны рассматриваться во взаимодействии друг
с другом, и при этом вся система управления в целом должна быть
работоспособна и обладать требуемыми свойствами.
Система автоматического регулирования, как правило, предпо-
лагает наличие достаточно сложного логического устройства (авто-
матического регулятора — управляющего устройства, осуществляю-
щего автоматическое регулирование с помощью аппаратурной реа-
лизации алгоритмов управления), вырабатывающего регулирующее
воздействие (в соответствии с требуемым законом регулирования)
на объект управления в результате сравнения текущего значения
регулируемого параметра с заданным.
Управление происходит с заранее заданным алгоритмом.
28
Глава 1. Введение в системы управления ХТП
1.4. ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ УПРАВЛЕНИЯ.
РОЛЬ УПРАВЛЕНИЯ В ОБЕСПЕЧЕНИИ
БЕЗОПАСНОСТИ ХИМИЧЕСКОГО ПРОИЗВОДСТВА
И ОХРАНЫ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ
На сегодняшний день не существует реальных и достаточно ре-
зультативных методов расчета экономической эффективности от
внедрения и эксплуатации АСУ. Из опыта внедрения и эксплуата-
ции АСУ следует, что процесс внедрения АСУ — процесс сложный,
во многом противоречивый, и не всегда сразу же проявляется жела-
емый положительный эффект. Не исключается риск при оплате за-
казчиком расходов на автоматическое управление и получением в
итоге ненадежной и убыточной системы управления. Многие хими-
ческие и нефтехимические производства — производства сложные,
непрерывные, многостадийные, с наличием агрессивных сред, взры-
вопожароопасных зон и т. д. Каков же должен быть уровень автома-
тического управления, какие АСУ нужны собственнику, какой кри-
терий оценки эффективности управления для него является самым
важным? Наиболее распространенным критерием оценки эффек-
тивности управления является прибыль.
Примечание
В 1993 г. исследователями США и Канады было опубликовано сооб-
щение о том, что только треть всех контуров управления на действующих
химических предприятиях работает эффективно. Тогда немногие этому
поверили. Недавнее обследование (2003 г.) более ста тысяч контуров уп-
равления на 350 действующих химических предприятиях США специали-
зированной фирмой Honeywell Process Solutions Phoenix подтвердило эти
данные: плохо или удовлетворительно работают 49 % обследованных кон-
туров управления; 32 % — работают в допустимых пределах отклонений
КПД от заданного; 16 % — не работают из-за забивки регулирующих кла-
панов и только 4,4 % обследованных контуров управления в последние два
года изменяли параметры настройки управляющих устройств.
Уровень автоматического управления химическим предприятием
определяется экономическими условиями. Затраты на автоматичес-
кое управление ХТП могут доходить до 20 % от стоимости основного
технологического оборудования. Практический опыт последних лет
показывает, что внедрение АСУ повышает технико-экономические
показатели производства даже без замены или реконструкции основ-
ных фондов. Экономическая эффективность достигается прежде все-
го за счет основных преимуществ АСУ перед человеком. Теперь для
управления ХТП в оптимальном режиме просто умения, интуиции,
знаний человека недостаточно. Автоматизация технологических объек-
тов управления повышает их технико-экономические показатели
1.5. Предмет «Системы управления ХТП» “ 29
(ТЭП) на 3...5 % при значительном (на 30...40 %) снижении трудоем-
кости получения целевого продукта. Например, на одном из пред-
приятий в производстве аммофоса в результате реконструкции про-
изводства и АСУ была увеличена производительность технологичес-
кого оборудования на 16 %, улучшено качество аммофоса, отмечено
снижение на 10 % выбросов аммиака в окружающую среду.
Автоматическое управление обеспечивает большую степень безо-
пасности, надежности и экономичности работы объектов управле-
ния, что сокращает время простоев технологического оборудования,
предотвращает загрязнение окружающей среды. Усиленно разраба-
тываются системы активного контроля наличия утечек потенциально
опасных сред (газовых, жидких) из технологического оборудования.
Например, разработана новая система контроля, состоящая из кон-
троллера, к аналоговым входам которого подключены газоаналити-
ческие датчики наличия утечек, а к аналоговым и дискретным выхо-
дам — исполнительные устройства (исполнительные механизмы и
регулирующие органы), позволяющие управлять безопасностью ХТП.
К последним достижениям в области управления безопасностью хи-
мических производств можно отнести разработку нейросетевых мо-
делей управления. На выходе нейронной сети в режиме реального
времени рассчитываются значения управляющих воздействий, направ-
ленных на предотвращение отказов технологического оборудования.
В современных условиях информационные технологии становят-
ся важнейшей составной частью ХТП, во многом определяющих хо-
зяйственные риски. Например, для анализа экологической обстанов-
ки, идентификации источника выброса и принятия решения по уп-
равлению качеством атмосферного воздуха разработаны ситуационные
советующие системы на основе алгоритмов нечетких логических рас-
суждений, позволяющие выполнять оперативный анализ состояния
воздушной среды. И если раньше информатизацию рассматривали как
затратную часть бюджета, то сейчас наблюдается тенденция вложения
денег в информационные технологии ради получения прибыли.
t
1.5. ПРЕДМЕТ «СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ»
И ЕГО ВЗАИМОСВЯЗЬ С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ
Основу курса «Системы управления химико-технологическими
процессами» составляет теория автоматического управления, пред-
ставляющая собой точную науку, поскольку она оперирует количе-
ственными характеристиками, базирующимися на математических
моделях.
30
Глава 1. Введение в системы управления ХТП
Для курса «Системы управления химико-технологическими про-
цессами» характерны преемственность и взаимосвязь его с общетео-
ретическими и общеинженерными, а также специальными дисцип-
линами. Курсу «Системы управления химико-технологическими
процессами» предшествует изучение высшей математики, физики,
вычислительной техники и вычислительной математики, примене-
ния ЭВМ в химической технологии, аналитической химии, физи-
ческой химии, электротехники, электроники и электрооборудова-
ния, теплотехники, процессов и аппаратов химической технологии,
обшей химической технологии, включающей в себя такие разделы,
как химические процессы и реакторы, химико-технологические си-
стемы, химические производства и т. д.
В зависимости от цели изучения систем управления химико-тех-
нологическими процессами (специализации обучающегося по на-
правлениям подготовки бакалавра, дипломированного специалиста,
объема подготовки, учебного плана) эта учебная дисциплина может
быть представлена в виде нескольких учебных курсов, например,
«Теория автоматического регулирования», «Технические средства
управления», «Технологические измерения» и т. д. В связи с этим
материал в учебнике излагается исходя из возможных вариантов
преподавания данного предмета.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие возможности открывают системы управления перед химичес-
кой технологией?
2. Перечислите особенности химико-технологических процессов.
3. Каковы функции управляющих устройств?
4. Каково отличие автоматического регулирования от автоматического
управления?
5. Чем определяется уровень автоматического управления в химичес-
кой технологии?
ГЛАВА_______________________
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ УПРАВЛЕНИЯ
ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ
ПРОЦЕССАМИ
Управление без обратной связи все-
гда приводит к катастрофам: важно, что-
бы лица и организации, принимающие
ответственные решения, лично, материаль-
но зависели от последствий этих решений.
Академик РАН
В. И. Арнольд
2.1. ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Управление — это процесс формирования и реализации управля-
ющих воздействий, направленных на достижение некоторой цели.
Объект управления — объект, для достижения результатов функ-
ционирования которого необходимы и допустимы специально орга-
низованные воздействия.
Под технологическим объектом управления (ТОУ) понимают со-
вокупность технологического оборудования и реализуемого в нем
технологического процесса. Под объектом управления (ОУ) в хими-
ческой технологии понимают технологический процесс, осуществля-
емый в определенном аппаратурном оформлении, в котором один
или несколько химико-технологических параметров, характеризую-
щих состояние процесса, поддерживаются на заданном уровне или
изменяются по определенному закону. В химической промышлен-
ности к типовым ОУ относят реакторы, массообменные колонны,
теплообменники, насосы, вентиляторы и другие аппараты и устрой-
ства технологических установок, включая трубопроводы.
Цель управления — достижение желаемых результатов функцио-
нирования объекта. Цель управления формируется вне системы уп-
равления и является входным сигналом системы управления. Для си-
стемы управления одним и тем же объектом цель управления может
быть сформулирована по-разному и может изменяться во времени.
Например, целью управления ректификационной установкой на неф-
теперерабатывающем заводе может быть:
32
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
• получение максимального количества высококачественного
бензина при переработке 1 т нефти;
• получение максимума прибыли при переработке 1 т нефти;
• минимизация энергетических затрат на переработку 1 т нефти
и т. п.
Состояние объекта управления описывается функциями х,(т),
i— 1, 2,п, которые называются параметрами состояния (перемен-
ными состояния). Совокупность параметров состояния образует век-
тор состояния:
х(т) = х„(т)}.
Чтобы перевести объект управления в желаемое состояние, веду-
щее к достижению цели управления, необходимо воздействовать на
некоторые параметры состояния, называемые управляемыми (или
регулируемыми) параметрами. Обозначим их совокупность вектором
Хт) = thCO, Ук:(?)}; к < п.
Управляемые параметры являются выходными сигналами (выхо-
дами) ОУ (рис. 2.1).
В химической технологии к управляемым параметрам можно от-
нести температуру, давление, уровень, pH, плотность, концентрацию
и другие переменные, характеризующие состояние технологического
процесса, к управляющим переменным — расходы теплоносителя, хла-
дагента и т. д. (иногда выражаемые опосредованно через положения
затвора клапана, заслонки, обороты двигателя).
Состояние объекта управления может изменяться в результа-
те воздействий на него двух типов: управляющих и возмущающих
(см. рис. 2.1). Оба типа воздействий являются входными сигналами
(входами) ОУ. В системах управления ХТП управляющие воздей-
ствия представляют собой изменения материальных или энергети-
ческих потоков.
Объект управления является открытой системой и находится в
динамическом взаимодействии с внешней средой. Изменения внеш-
Рис. 2.1. Структурная схема объекта управления
2.1. Основные термины и определения
33
них условий, влияющие на состояние ОУ, называют возмущающими
воздействиями. Вектор возмущающих воздействий:
rf(T) = {d,(T), ..., dc(T)}
Возмущающие воздействия способны вывести ОУ из желаемого
состояния. Это своего рода «вредные» воздействия, нарушающие нор-
мальный ход технологического процесса в объекте управления. Вид,
характер изменения и величина возмущающих воздействий могут ока-
заться определяющими при выборе структуры системы управления.
Возмущающие воздействия делятся на:
• контролируемые и неконтролируемые;
• допускающие и не допускающие стабилизацию.
Контролируемые возмущающие воздействия можно измерить (на-
пример, изменение расхода вещества, подаваемого из одного аппа-
рата в другой, изменение температуры теплоносителя).
Неконтролируемые возмущающие воздействия невозможно или
нецелесообразно измерять непосредственно (например, падение ак-
тивности катализатора, изменение коэффициентов теплопередачи и
массопередачи, изменение давления греющего пара в заводской ма-
гистрали). Наличие такого рода возмущающих воздействий требует
применения САУ с обратной связью.
Возмущающие воздействия, не допускающие стабилизацию, по ус-
ловиям работы невозможно или недопустимо стабилизировать (на-
пример, изменение температуры окружающей среды).
Возмущающие воздействия, допускающие стабилизацию, — это из-
менения тех технологических параметров, которые могут быть ста-
билизированы с помощью специальной аппаратуры или с помощью
системы автоматического регулирования. Как правило, такими тех-
нологическими параметрами являются параметры входящих в аппа-
рат потоков. Например, можно сгладить колебания расхода на входе
в аппарат, установив перед аппаратом ресивер (буферную емкость),
а температуру входного потока можно стабилизировать, установив
перед аппаратом теплообменник с системой автоматического регу-
лирования температуры.
Иногда возмущающие воздействия делят на внешние и внутренние.
Внешним возмущающим воздействием (или просто возмущающим
воздействием) называют воздействие на систему внешней среды.
Например, температура окружающей среды влияет на объект регу-
лирования и может вывести его из желаемого состояния (резкое из-
менение температуры окружающей среды может привести даже к
останову химического реактора).
Внутренние возмущающие воздействия возникают внутри систе-
мы управления. Например, гранулы ванадиевого катализатора, за-
гружаемые в реактор окисления диоксида серы «внавал», образуют
2 Беспалов А. В.. Харитонов Н. И.
34
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
неупорядоченный слой, генерирующий гидродинамические неодно-
родности, что приводит к появлению «температурных пятен», а это
в свою очередь — к изменению активности катализатора, к повы-
шенному его запылению и, как следствие, увеличению гидравличес-
кого сопротивления реактора. Таким образом, каталитический ре-
актор является нестационарным объектом, т. е. его свойства изменя-
ются во времени. Однако при исследовании систем управления проще
рассматривать объекты как стационарные, а влияние изменяющих-
ся свойств объекта на его состояние выражать с помощью внутрен-
них возмущающих воздействий.
С помощью управляющих воздействий система управления влия-
ет на состояние ОУ для достижения цели управления. Вектор управ-
ляющих воздействий:
и(т) = {«1(т), ..., и,„(т)}.
Управляющие воздействия формируются управляющим устройством
(УУ). Формирование управляющих воздействий включает:
• сбор, передачу и обработку необходимой информации;
• анализ информации;
• принятие решений, определяющих управляющие воздействия.
Реализация управляющих воздействий включает передачу управ-
ляющих воздействий и при необходимости преобразование их в
форму, непосредственно воспринимаемую объектом управления.
Примечание
В простейшем случае управляющим устройством является автомати-
ческий регулятор. В более широком смысле под управляющим устрой-
ством можно понимать совокупность персонала и автоматических уст-
ройств, связанных общей задачей управления, которую называют управ-
ляющей системой. Автоматические устройства, входящие в управляющую
систему, по своим функциональным признакам можно подразделить на
устройства контроля и диагностики, сигнализации, блокировки и заши-
ты, регулирования, управления. Сюда же можно отнести и вычислитель-
ную технику.
В любой момент времени состояние детерминированного объек-
та является функцией начального состояния объекта и входных воз-
действий (возмущающих и управляющих):
х(т) = /Мт0), и(т), </(т)}.
Используя введенные термины, можно сказать, что управление —
это определение состояния х(т), обеспечивающего достижение цели,
и управляющего воздействия и(т), которое приведет объект в это
состояние, удовлетворяя при этом ограничениям, которые наклады-
ваются на х(т) и «(т).
2 1. Основные термины и определения
35
Регулирование отличается от управления тем, что желаемое со-
стояние объекта известно {задано) и для достижения этого состоя-
ния необходимо определять только и(т).
Значение управляемого параметра, соответствующее желаемому
в данный момент состоянию ОУ, будем называть заданным значени-
ем и обозначать узд.
Системой автоматического управления (САУ) называется систе-
ма, представляющая собой совокупность объекта управления и уп-
равляющего устройства, взаимодействие которых между собой обес-
печивает процесс управления без участия человека.
Для системы управления входными величинами являются:
• возмущающие воздействия;
• цель управления.
Системой автоматического регулирования (САР) называется со-
вокупность объекта управления и управляющего устройства (назы-
ваемых в этом случае объектом регулирования и регулятором), ко-
торые без участия человека обеспечивают процесс регулирования.
Для системы регулирования входными величинами являются:
• возмущающие воздействия;
• задающее воздействие.
Человеко-машинную систему, обеспечивающую автоматизиро-
ванный сбор и обработку информации, необходимой для оптималь-
ного управления в различных сферах человеческой деятельности,
называют автоматизированной системой управления (АСУ). То есть
АСУ — это система управления, часть функций которой, главным
образом функцию принятия решений, выполняет человек.
Степень участия человека (оператора) в управлении может быть
различной и определяется задачами, стоящими перед системой уп-
равления, наличием разработанных методов управления и техничес-
ких средств управления. Возьмем в качестве примера управление хи-
мическим реактором непрерывного действия. Вывод реактора на ре-
жим, определяемый технологическим регламентом (например, после
капитального ремонта), или останов реактора являются довольно слож-
ными задачами управления и решаются с помощью АСУ, т. е. при
участии человека. После вывода реактора на технологический режим
управление реактором, а также контроль, сигнализация, блокировка
и защита реактора осуществляются системой управления без участия
человека. Тогда можно считать, что на этапе работы реактора в тех-
нологическом режиме система управления является автоматической.
Пример
► Определить входные и выходные переменные изотермичес-
кого химического реактора непрерывного действия как объекта уп-
равления. Выходные переменные — управляемые параметры: тем-
36
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
пература реакционной смеси в реакторе, состав (концентрация)
продукта на выходе из реактора. Входные переменные — управля-
ющие воздействия: изменения расхода греющего пара, подаваемо-
го в рубашку реактора, изменения расхода реакционной смеси.
Входные переменные — возмущающие воздействия: изменения со-
става (концентрации) сырья, изменения давления греющего пара,
изменения температуры окружающей среды.
Пример
► Рассмотрим более подробно процесс, имеющий только одну
регулируемую величину, — широко распространенный в химической
технологии процесс теплообмена (рис. 2.2, а). Для стабилизации
температуры нагреваемого вещества на выходе из теплообменника
(регулируемой переменной) другая переменная, влияющая на нее,
должна использоваться в качестве управляющей. В этом примере
предполагается в качестве управляющей переменной использовать
расход греющего пара, для чего на линии подачи греющего пара
установлен регулирующий клапан с исполнительным механизмом.
Однако температура нагреваемого вещества на выходе из теплооб-
менника зависит не только от положения затвора регулирующего
• • ^вых
Рис. 2.2. Определение входных и выходных переменных процесса теплооб-
мена:
а — фрагмент технологической схемы с теплообменником (/ — первич-
ный измерительный преобразователь температуры; 2 — нормирующий
преобразователь; — сигнал, поступающий в регулятор; 3 — коман-
дный сигнал, поступающий с регулятора на исполнительное устройство 4)\
6 — входные и выходные переменные теплообменника
2.1. Основные термины и определения
37
клапана. Она зависит также от расхода нагреваемого вещества, его
входной температуры, энтальпии пара, величины отложений на стен-
ках теплообменника, температуры окружающей среды и т. д.
Видно, что даже в гаком простом случае, как регулирование про-
цесса теплообмена, можно выделить три вида переменных, свой-
ственных любому процессу регулирования (рис. 2.2, б):
• возмущающие воздействия — изменение температуры нагревае-
мого вещества на входе в теплообменник ZBX, изменение расхода на-
деваемого вещества F;
• управляемая (регулируемая) переменная — температура нагрето-
го вещества на выходе из теплообменника ZBblx;
• управляющее воздействие — изменение расхода греющего па-
ра Л1-
Дополнительная информация
Сигналы. Сигналами называются физические процессы, параметры кото-
рых содержат информацию. Параметры, содержащие информацию, называ-
ются информационными параметрами. Например, электрическое напряже-
ние — сигнал, информационный параметр — амплитуда сигнала. Сигнал на-
зывают аналоговым, если его информационные параметры могут принимать
любые значения в заданном промежутке. Сигнал называют дискретным, если
его информационные параметры могут принимать только дискретные значе-
ния (конечное множество). Измерительный сигнал — сигнал, содержащий ко-
личественную информацию об измеряемой физической величине
Системы. Понятие «система» употребляется в широком смысле, на-
пример система управления. Под системой понимают совокупность эле-
ментов (или устройств), находящихся в различных отношениях и взаимо-
связях между собой и образующих определенную целостность, единство.
Основная характеристика системы — ее структура, под которой понимают
совокупность элементов и связей между ними, определяемую исходя из
распределения функций и целей, поставленных перед системой. Свойства
системы — качества, позволяющие представить систему и выделить ее сре-
ди других систем. Свойства системы можно охарактеризовать совокупнос-
тью качественных и количественных параметров. Свойства системы про-
являются в процессе ее взаимодействия с внешней средой (т. е. с тем, что
находится вне системы). Систему называют изолированной, если у нее нет
внешней среды, или внешняя среда имеется, но система не обменивается с
внешней средой ни энергией, ни веществом. Закрытые системы обменива-
ются с внешней средой энергией, но не обмениваются веществом. Систему
называют открытой, если она имеет внешнюю среду и обменивается с ней
и энергией, и веществом. Объект управления можно определить как от-
крытую систему, следовательно, на объект влияет внешняя (окружающая)
среда, а объект оказывает свое влияние на внешнюю среду.
Интенсивные (качественные) и экстенсивные (количественные) параметры
технологического процесса. Параметры, описывающие локальное свойство, не
зависящее от размера системы (например, температура, давление, химичес-
кий потенциал), называются интенсивными переменными. Параметры, пропор-
циональные размерам системы (такие как объем вещества, количество веще-
ства, количество теплоты), называются экстенсивными переменными.
38
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
Управляемыми параметрами, т. е. выходными параметрами объекта
управления, характеризующими состояние процесса, являются, как прави-
ло, интенсивные параметры. Каждому интенсивному параметру соответ-
ствует свой экстенсивный параметр: температуре — количество теплоты;
давлению — количество газа; уровню — количество жидкости и т. д. Ин-
тенсивные параметры могут изменяться во времени, так как объект обме-
нивается с внешней средой веществом и энергией. Количество вещества
или энергии, проходящее через объект в единицу времени, называют на-
грузкой объекта. Используя это понятие, можно определить возмущающее
воздействие как изменение нагрузки ОУ. Довольно часто регулируемая
переменная в одном технологическом процессе является переменной на-
грузки в другом технологическом процессе.
Изменение интенсивного параметра свидетельствует о нарушении ба-
ланса (материального или энергетического) в технологическом аппарате.
Так, температура — показатель теплового баланса в аппарате; концентра-
ция — показатель материального баланса по компоненту; давление — по-
казатель материального баланса по газовой фазе; уровень жидкости — по-
казатель материального баланса по жидкой фазе.
Чтобы воздействовать на управляемые параметры (интенсивные), не-
обходимо изменять экстенсивные параметры объекта управления. Следо-
вательно, возможные управляющие воздействия — это изменения матери-
альных или энергетических потоков на входе в объект управления или на
выходе из него.
Понятие об интенсивных и экстенсивных величинах впервые ввел в
1813 г. Гегель. Он обратил внимание на различные способы измерения
этих величин. Измерение экстенсивной величины заключается в сравни-
тельном анализе ее с другой, однородной с ней величиной. Например,
можно взять мерный сосуд, с его помощью наполнить резервуар жидко-
стью и подсчитать количество единиц объема, содержащихся в резервуаре.
Процедура измерения интенсивной величины состоит в использовании фун-
кциональной взаимосвязи между интенсивной величиной и изменением со-
пряженной с ней экстенсивной величины. Например, жидкостным термо-
метром измеряют не температуру (интенсивную величину), а объем жид-
кости (экстенсивную величину), иначе говоря, величину, зависящую от
температуры
Пример
► Рассмотрим химический реактор с паровой рубашкой (рис. 2.3),
в которую поступает теплоноситель для подогрева содержимого ре-
актора (реакционной смеси). Запишем для реактора уравнения при-
хода и расхода теплоты:
еЕХ = еА + ев + Ствх + ехР,
Свых = Qc + Qn + Ствых>
где Свх — приток теплоты в реактор; QK — физическая теплота,
пришедшая в реактор с компонентом A; QB — физическая теплота,
пришедшая в реактор с компонентом В; (?Твх — теплота, пришед-
шая с теплоносителем; (?хр — тепловой эффект химической реак-
2.1. Основные термины и определения
39
ции; <2ПЫХ — сток теплоты из реактора; Qc — физическая теплота,
ушедшая из реактора с продуктом С; Qn — потери теплоты в окру-
жающую среду; 0Твых — теплота, ушедшая с теплоносителем.
Уравнение теплового баланса имеет вид:
Свх — Свых — т(-р ~Г~ ’
1 ат
где т — масса реакционной смеси в реакторе; ср — ее удельная
теплоемкость; t — температура в реакторе. Правая часть этого урав-
нения выражает скорость изменения количества теплоты в реакторе
(экстенсивной переменной) через скорость изменения температуры
(интенсивной переменной).
Если приток теплоты в реактор QBX не равен стоку теплоты из
реактора £?вых, т. е. тепловой баланс нарушен, то это приводит либо
к накоплению, либо к убыли теплоты в реакторе:
~ Свых const.
ат
Таким образом, при нарушении теплового баланса температура
в реакторе не является постоянной величиной. Следовательно, из-
менение любого теплового потока, приводящее к нарушению теп-
лового баланса в реакторе, можно рассматривать как возмущающее
воздействие. Для того чтобы получить желаемую температуру в ре-
акторе, некоторые из тепловых потоков изменяют целенаправлен-
но, создавая тем самым управляющие воздействия. Например, в каче-
стве управляющего воздействия можно использовать изменение £2Твх,
изменяя с помощью регулирующего клапана расход теплоносителя
(рис. 2.3).
Рис. 2.3. Схема тепловых потоков в химическом реакторе
40
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
Если приток теплоты в реактор равен стоку теплоты из реактора
Свх ~ Свых ~
то количество теплоты в реакторе не меняется, и температура по-
стоянна. Следовательно, возмущающие воздействия на объект уп-
равления либо отсутствуют, либо скомпенсированы управляющими
воздействиями.
2.2. ИЕРАРХИЯ УПРАВЛЕНИЯ.
НАЗНАЧЕНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
ХИМИЧЕСКИМ ПРЕДПРИЯТИЕМ
И ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМ ПРОЦЕССОМ
В зависимости от объектов управления различают:
• АСУП — автоматизированная система управления предприя-
тием;
• АСУ ТП — автоматизированная система управления техноло-
гическим процессом;
• САР — локальные системы автоматического регулирования.
В АСУП объектом управления является предприятие; в АСУ ТП —
технологический процесс; в локальных САР — механизм, машина,
технологический аппарат.
Управление химическим предприятием осуществляется по мно-
гоуровневому иерархическому принципу.
На нижнем уровне иерархии находятся локальные САР, которые
регулируют отдельные технологические параметры. Локальные САР
входят в состав АСУ ТП и играют роль своеобразных усилителей
управляющих сигналов, формируемых на более высоких уровнях
управления.
Локальная САР состоит из объекта управления (ОУ) и управляю-
щего устройства (УУ), которые взаимодействуют между собой. ОУ
является динамической системой, состояние которой изменяется под
действием возмущающих J(x) и управляющих и(т) воздействий.
При нормальном протекании процесса технологические пара-
метры имеют номинальные значения. Возмущающие воздействия могут
изменять технологические параметры, выводя ОУ из установленно-
го регламентом режима. При регулировании непрерывных ХТП цель
регулирования на нижней ступени иерархии заключается в поддер-
жании определенных технологических параметров на заданном уровне с
помощью УУ.
Условно к управляющему устройству на нижнем уровне иерар-
хии можно отнести средства автоматического контроля (преобра-
2.2. Иерархия управления. Назначение систем управления
41
зователи и измерительные устройства), логические устройства (авто-
матический регулятор или программируемый логический контрол-
лер), технические средства изменения энергетических и материаль-
ных потоков (регулирующие клапаны и исполнительные механизмы).
АСУ ТП находятся на более высоком уровне иерархии. На этом
уровне управления решаются задачи отыскания оптимальных режи-
мов совместно работающих технологических аппаратов, распределе-
ния нагрузки между отдельными технологическими аппаратами с при-
менением управляющих ЭВМ. Системы управления обеспечивают:
• необходимый объем дистанционного контроля, управления и
автоматизации объектов управления;
• сигнализацию о состоянии технологического оборудования и от-
клонении технологических параметров объектов от их номинальных
значений (последние характеризуют нормальный технологический ре-
жим ведения процесса), что позволяет своевременно предупредить пер-
сонал о возможности возникновения аварийного режима работы;
• защиту окружающей среды от вредных воздействий (газовые
выбросы, жидкие стоки и т. д.);
• сбор, обработку (включая фильтрацию измеряемых величин —
выделение полезных сигналов), хранение полной достоверной и свое-
временной информации, представление ее на верхний уровень уп-
равления (АСУП) для просмотра и анализа состояния ХТП;
• улучшение диагностики технологического оборудования и про-
текания ХТП;
• повышение надежности и экономичности работы объектов уп-
равления, что сокращает время простоев технологического оборудо-
вания.
Пример
► Функциональные возможности АСУ производством контакт-
ной серной кислоты.
Система управляет:
• уровнями кислот в сборниках сушильной и абсорбционной ко-
лонн; концентрацией кислоты, подаваемой в абсорбционную колонну;
• расходом кислоты, подаваемой из сушильной колонны в аб-
сорбционную; насосами подачи серы в серную печь
Система осуществляет контроль и диагностику:
• оборудования;
• аварийной сигнализации;
• системы защиты компрессоров, пусковой топки, серной печи
и котла-утилизатора.
Система собирает информацию о технологических параметрах,
таких как:
• уровень в сборниках и резервуарах;
42
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
• температура в контактном аппарате, промывной башне, сбор-
никах кислот, газовом тракте;
• перепад давления в аппаратах и газовых трактах;
• расход газа, воздуха, воды и кислот;
• концентрация кислот.
Следующий уровень иерархии представляют АСУП. На этом уровне
решаются не только задачи управления ХТП, но и экономические
задачи (управление финансово-хозяйственной деятельностью, плани-
рование ресурсов и т. п.). Управление осуществляется с применением
управляющих ЭВМ. Наиболее значимым в современных условиях
ресурсом производства, в том числе химического и нефтехимическо-
го, становится информация. Знания о потребностях рынка и заказчи-
ках, о ценах на сырье, товарные продукты и энергоносители, о ресур-
сах производства и управлении качеством вырабатываемой продук-
ции, о материально-техническом снабжении, об экологических
требованиях и реальной обстановке, о предаварийной или аварийной
ситуации на объектах производства входят составной частью в АСУП.
В мировой практике такой уровень управления называется Enterprise
Resource Planning (ERP) — планирование заводских ресурсов.
Замечание
Исторически сложилось так, что до последнего времени АСУП и АСУ
ТП развивались обособленно и независимо друг от друга. Наиболее харак-
терно это было для программного обеспечения (ПО). В результате каналы
обмена информацией между подсистемами АСУП и АСУ ТП оказались сла-
быми. Но в настоящее время прогресс информационных технологий, глоба-
лизация сети Internet, использование Web-решений начинают затрагивать
промышленную сферу. Ведущие производители средств промышленной ав-
томатизации выпускают новые виды программно-технических средств для
АСУ ТП, основанные на использовании современных информационных тех-
нологий, которые позволяют интегрировать системы верхнего (экономичес-
кого) и нижнего (технологического) уровней. Таким образом, речь идет об
интеграции АСУП и А СУ ТП в единую систему предприятия на основе создания
единого информационного пространства. При этом одной из основных про-
блем создания интегрированных систем управления в рамках химического
предприятия является проблема сопряжения и совместного действия ПО,
традиционно используемого в подсистемах разного уровня.
2.3. ПРИНЦИПЫ УПРАВЛЕНИЯ
В основе построения систем управления лежат некоторые об-
щие принципы управления, определяющие, какую текущую информа-
цию использует управляющее устройство для формирования необ-
ходимого управляющего воздействия.
2.3. Принципы управления 43
2.3.1. Управление по задающему воздействию
В системе управления по задающему воздействию (рис. 2.4, а)
используется информация только о цели управления (или о задан-
ном значении параметра, если речь идет о системах регулирования).
Для такой системы характерна разомкнутая цепь воздействий, т. е.
управляющее устройство оказывает воздействие на объект управле-
ния, но обратное воздействие отсутствует (рис. 2.5, а). В связи с
этим систему, реализующую принцип управления по задающему воз-
действию, называют разомкнутой системой управления.
Достоинством управления по задающему воздействию является
простота конструктивной реализации. Однако качественное управ-
ление на основе этого принципа возможно только тогда, когда объект
управления хорошо изучен и его свойства, а также возмущающие
воздействия остаются постоянными.
Рис. 2.4. Структурные схемы систем автоматического управления:
а — управление по задающему воздействию; б — управление по возму-
щающему воздействию; в — управление по отклонению; г — комбиниро-
ванное управление (ОУ — объект управления; УУ — управляющее уст-
ройство)
44
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
а
б
ОУ
ОС
Рис. 2.5. Управление:
a — без обратной связи; б — с обратной связью (ПС — прямая связь;
ОС — обратная связь)
2.3.2. Управление по возмущающему воздействию
В системе управления по возмущающему воздействию (см.
рис. 2.4, б) кроме информации о цели управления используется
информация о возмущающих воздействиях. Одна из задач управля-
ющего устройства при этом заключается в формировании такого
управляющего воздействия, которое компенсировало бы влияние на
объект управления измеренного возмущающего воздействия. Поэтому
принцип управления по возмущающему воздействию называют так-
же принципом компенсации.
Рассмотрим систему автоматического регулирования температу-
ры реакционной смеси в реакторе, основанную на принципе ком-
пенсации возмущающего воздействия (рис. 2.6). Предположим при
этом, что основным (главным, наиболее сильным) возмущающим
воздействием является изменение расхода компонента А. При измене-
нии расхода FA регулятор 2 формирует управляющее воздействие
(изменяет расход хладагента Гохл), не дожидаясь изменения управ-
ляемого параметра (температуры).
Как и в предыдущем случае, реализация принципа управления
по возмущающему воздействию требует хорошего знания процес-
сов, происходящих в объекте управления. Но качество управления
при этом выше, так как влияние одного из контролируемых возму-
щающих воздействий компенсируется. При этом сама система уп-
равления оказывается несколько дороже из-за затрат на измерение
возмущающего воздействия.
2.3. Принципы управления
45
Рис. 2.6. Пример регулирования температуры в химическом реакторе по
возмущающему воздействию:
1 — датчик расхода; 2 — регулятор; 3 — исполнительное устройство
Что характерно для управления по возмущающему воздействию?
1. Это разомкнутое управление (управление без обратной связи),
что означает отсутствие информации об управляемом параметре (тем-
пературе реакционной смеси в реакторе).
2. Необходимо точно и верно выбрать канал, по которому может
проявиться главное возмущающее воздействие, например, измене-
ние расхода FK компонента А. I
3. Этот принцип нельзя использовать в системах управления
нейтральными и неустойчивыми объектами.
Достоинства такого принципа управления:
а) быстродействие, так как возмущающее воздействие может быть
скомпенсировано до появления рассогласования между текущим
значением регулируемого параметра и его заданным значением;
б) возможность (теоретическая) полной компенсации выбран-
ного возмущающего воздействия;
в) отсутствие проблем, связанных с устойчивостью.
Недостатки:
а) учитываются не все возмущающие воздействия, а только одно,
тем самым не обеспечивается высокая точность управления (осо-
бенно это проявляется при наличии неконтролируемых возмущаю-
щих воздействий);
б) не контролируется результат управляющего воздействия;
в) необходима надежная информация о функциональной взаимо-
связи между расходом степенью открытия клапана и регулируемой
температурой, которая, как правило, не линейна, не всегда точно изве-
стна и может изменяться в процессе функционирования аппарата.
46
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
Пример
► Принципиальная структура системы управления по возмуща-
ющему воздействию представлена на рис. 2.7.
Изменение расхода нагреваемого вещества F (возмущающее воз-
действие) воспринимается первичным измерительным преобразо-
вателем расхода 1 и преобразуется нормирующим преобразовате-
лем 2 в унифицированный сигнал, соответствующий измеренному
значению расхода Рюы. В компенсирующее устройство 3 поступают
заданное значение управляемой переменной и измеренное значе-
ние расхода нагреваемого вещества Fmu. Компенсирующее устрой-
ство вычисляет корректирующий сигнал управления для существу-
ющих значений нагрузки (расхода нагреваемого вещества F) и за-
данного значения управляемой переменной Гзд. В приведенной
схеме управления изменения нагрузки (расхода нагреваемого ве-
щества F) вызывают непосредственно изменение управляющего
Рис. 2.7. Пример регулирования температуры на выходе теплообменника
по возмущающему воздействию:
а — фрагмент технологической схемы с теплообменником (1 — первич-
ный измерительный преобразователь расхода; 2 — нормирующий преоб-
разователь; 3 — регулятор температуры; 4 — исполнительное устройство;
5 — теплообменник); б — структурная схема системы регулирования теп-
лообменника
2.3. Принципы управления
47
сигнала (изменение расхода пара Fn), не дожидаясь изменения уп-
равляемой переменной — температуры на выходе теплообменника
/вых. Вполне очевидно, что такой подход к управлению требует хо-
рошего понимания хода технологического процесса и его особен-
ностей.
2.3.3. Управление по отклонению
В системе управления по отклонению используется информа-
ция о цели управления и отклонении текущего значения управляе-
мого параметра от заданного значения (см. рис. 2.4, в).
Замечание
Принцип управления по отклонению иногда называют принципом
Ползунова—Уатта, а принцип управления по возмущающему воздействию —
принципом Понселе.
Управление по отклонению осуществляется на основе информа-
ции о состоянии объекта управления. Взаимодействие между ОУ и
УУ осуществляется как по цепи прямой связи — от УУ к ОУ, так и
по цепи обратной связи — от ОУ к УУ (см. рис. 2.5, б). Информация
при этом передается по замкнутому контуру (контуру регулирова-
ния), поэтому управление по отклонению называют замкнутым или
управлением с обратной связью. Наличие обратной связи приводит к
созданию своеобразной системы управления, по сути своей пред-
ставляющей фильтр, который должен точно передавать управляю-
щее воздействие (подчиняться в основном управляющему воздей-
ствию) и подавлять возмущающие воздействия.
Замечание
Как это не удивительно, но оптимизация и интенсификация могут
привести к катастрофической потере устойчивости. Устойчивость не теря-
ется, если ввести обратную связь, например, жесткий план с по сбору уро-
жая, вылову рыбы, вырубке леса, охоте и т. п. заменить величиной, про-
порциональной фактически имеющимся в наличии ресурсам х (зерновые,
популяции, лес...), т. е. с = кх. При максимально жестком плане система
теряет устойчивость и самоуничтожается. Введение же обратной связи ста-
билизирует систему и, например, небольшие изменения коэффициента к
(или какие-то другие случайности) не приведут к катастрофе.
Системы управления с обратной связью более широко применя-
ются в химической технологии, чем системы управления по возму-
щающему воздействию, поэтому основное внимание в дальнейшем
будет уделено именно первым.
Упрощенная структурная схема такой системы с обозначением
основных сигналов приведена на рис. 2.8. Прямоугольниками обо-
48
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
Рис. 2.8. Упрощенная
структурная схема сис-
темы управления с об-
ратной связью
значены элементы системы, а стрелками — входные и выходные
величины (или входы и выходы).
Выходной величиной объекта и всей системы регулирования
является управляемая (или регулируемая) величина у(т), зависящая от
управляющего воздействия ы(т) и возмущающего воздействия J(t).
Одним из входов системы регулирования является задающее воз-
действие узд(т), соответствующее желаемому значению регулируемо-
го параметра.
Другим входом системы регулирования является возмущающее
воздействие d(x). Под возмущающим воздействием можно понимать
такое воздействие, которое пытается вывести объект из желаемого
(заданного) состояния. Изменения управляемых (регулируемых) пара-
метров в объекте управления вызываются как управляющими воздей-
ствиями, так и возмущающими воздействиями.
Возмущающие воздействия, приложенные к системе, вызывают
отличие между заданным и действительным значениями управляе-
мой величины. Разность между заданным и действительным значе-
нием управляемой (регулируемой) величины называют ошибкой ре-
гулирования (погрешностью регулирования):
е(т) = узд(т) - у(т). (2.1)
Как правило, задача регулирования непрерывных ХТП заключа-
ется в определении такого значения управляющей переменной, кото-
рое обеспечивает равновесие между всеми переменными, влияющи-
ми на регулируемую величину, и поддерживает заданное значение
последней.
В системах с обратной связью управляющее воздействие рассчи-
тывают в зависимости от рассогласования между действительным и
заданным значениями управляемой переменной, т. е. входной вели-
чиной управляющего устройства является ошибка регулирования.
Рассмотрим замкнутую систему автоматического регулирова-
ния температуры реакционной смеси в реакторе (САР с обратной
связью), схема которой приведена на рис. 2.9. Текущее значение
температуры реакционной смеси в реакторе t измеряется датчиком 7.
Сигнал с выхода датчика, соответствующий измеренному значе-
нию температуры /изм, подается в управляющее устройство 2, где
сравнивается с заданным значением температуры При наличии
2.3. Принципы управления
49
Рис. 2.9. Пример регулирования температуры в химическом реакторе по
отклонению:
1 — датчик температуры; 2 — управляющее устройство; 3 — исполни-
тельное устройство
разности температур (сигнала рассогласования или ошибки) УУ
вырабатывает управляющее воздействие (изменение расхода охлаж-
дающей воды FOXJ1), направленное на уменьшение сигнала рассог-
ласования. Оно стремится устранить отклонение независимо от
причин, вызвавших это отклонение, будь то возмущающее воздей-
ствие, изменение свойств системы управления или несоответствие
между рассчитанным и фактическим управляющим воздействием.
В связи с этим управление по отклонению можно назвать «гиб-
ким». Система управления по отклонению реагирует на изменения
управляемого параметра (температуры реакционной смеси) в ре-
зультате всех возмущающих воздействий, как контролируемых, так
и неконтролируемых.
Что характерно для способа управления по отклонению?
Обратная связь в замкнутой системе управления должна быть
отрицательной', в ответ на повышение температуры реакционной сме-
си в реакторе управляющее устройство должно увеличить расход хла-
дагента, что приведет к уменьшению температуры. Однако в системе
управления может возникнуть и положительная обратная связь: при
повышении температуры в реакторе управляющее устройство будет
уменьшать расход хладагента и тем самым еще больше повышать
температуру в реакторе. Одной из причин возникновения положи-
тельной обратной связи может быть техническая ошибка при созда-
нии системы управления (например, неправильная коммутация ли-
ний связи). Другой причиной является запаздывание в контуре уп-
равления. В результате управляющее воздействие, сформированное
в ответ на низкую температуру в реакторе некоторое время назад и
направленное на повышение температуры, может начать проявляться
50
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
в тот момент, когда температура в реакторе уже будет повышена за
счет возмущающих воздействий.
На рис. 2.11, а показаны возможные графики процесса управле-
ния выходной температуры с помощью контура управления, пред-
ставленного на рис. 2.10. Из рис. 2.11, а видно, как положительная
обратная связь вызывает неустойчивость: при возрастании темпера-
туры /вых (управляемой переменной) регулятор увеличивает расход
пара Fn (управляющее воздействие), что приводит к еще большему
росту температуры 1ВЫХ. На рис. 2.11, б показано действие того же
самого контура регулирования, но с регулятором, уменьшающим
расход пара Fn; при таком управлении очевидно стремление регуля-
тора вернуть регулируемый параметр к заданному значению, т. е.
отрицательная обратная связь обеспечивает устойчивость.
Наличие обратной связи и инерционность процесса теплообме-
на вызывают колебательную реакцию замкнутого контура на возни-
Рис. 2.10. Пример регулирования температуры на выходе теплообменни-
ка по отклонению:
а — фрагмент технологической схемы с теплообменником (1 — первич-
ный измерительный преобразователь температуры; 2 — нормирующий
преобразователь; 3 — регулятор температуры; 4 — исполнительное уст-
ройство; 5 — теплообменник); б — структурная схема системы регули-
рования теплообменника по отклонению
2.3. Принципы управления
51
Рис. 2.11. Переходные процессы в системе регулирования теплообменника:
о — при возникновении положительной обратной связи; б — в результате
действия отрицательной обратной связи; в — колебательные переходные
процессы (1 — статический номинальный режим; 2 — переходный режим)
52
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
кающие нарушения. Характеристики колебательного контура ока-
зывают существенное влияние на качество управления. На рис. 2.11, в
показан типичный процесс колебательного характера. При правиль-
ном управлении колебания измеряемого сигнала (в данном случае
температуры нагреваемого вещества на выходе из теплообменника)
должны устойчиво затухать и заканчиваться возвратом к заданному
значению. Одновременно колебания выходного сигнала управляю-
щего устройства (автоматического регулятора) должны также зату-
хать и сходиться к новому установившемуся значению. По сути сво-
ей колебательный процесс в системе управления с обратной связью
представляет собой реализацию метода проб и ошибок для решения
задачи управления.
Замечание
Житейский пример обратной положительной связи: собака, кусающая
себя за хвост, причем, чем больнее собаке, тем яростнее она пытается уку-
сить себя за хвост
Достоинства способа управления по отклонению (с обратной
связью):
а) учитываются все возмущающие воздействия, оказывающие
влияние на управляемый параметр (температуру реакционной сме-
си в реакторе);
б) требуется минимум информации о процессе (в данном случае
информация только о температуре реакционной смеси в реакторе).
Недостатки:
а) управление по отклонению осуществляется методом проб и
ошибок;
б) в системе управления по отклонению присутствует запазды-
вание, поскольку учитываются все возмущающие воздействия (по
всем каналам изменения расходов компонентов А и В, продукта С,
изменения температуры окружающей среды и т. д. — см. рис. 2.9).
Управление по отклонению инерционными объектами затруднено
из-за отсутствия быстродействия;
в) при определенном сочетании свойств ОУ и УУ система управ-
ления с обратной связью может стать неустойчивой.
Пример
► Принципиальная структура системы управления с обратной
связью процессом теплообмена представлена на рис. 2.10. Цепочка
первичный измерительный преобразователь температуры 1 — нор-
мирующий преобразователь 2 измеряет текущее значение управляе-
мой переменной /вых, преобразует его в унифицированный сигнал и
посылает гизм в управляющее устройство 3 (регулятор), где /изм срав-
2.4. Классификация систем управления
53
нивается с заданным значением управляемой переменной /зд. В ре-
гуляторе 3 в соответствии с принятым законом регулирования выра-
батывается управляющее воздействие, направляемое на объект в виде
изменения положения затвора клапана исполнительного устройства 4,
с учетом знака и рассогласования между измеренным и заданным
значениями управляемой переменной. После того как рассогласова-
ние между управляющей переменной (изменение расхода греющего
пара F^) и переменными нагрузки вызовет отклонение управляемой
переменной /вых, регулятор, находящийся в цепи обратной связи,
начинает немедленно вырабатывать корректирующий выходной сиг-
нал. Как только выданный регулятором корректирующий сигнал
возвращает управляемую переменную Гвых к заданному установлен-
ному значению /зд (е = Гзд — /изм = 0), регулятор начинает поддержи-
вать свой выходной сигнал постоянным и продолжает отслеживать
управляемую переменную Гвых, ожидая другого возмущающего воз-
действия.
2.3.4. Комбинированное управление
Для комбинированных систем управления характерно использо-
вание информации о возмущающем воздействии, задающем воздей-
ствии и управляемом параметре (см. рис. 2.4, г).
Комбинированные системы управления имеют более высокое
качество управления, чем системы, работающие по отклонению,
поскольку информация о значении возмущающего воздействия по-
зволяет устройству управления работать с некоторым предвидени-
ем, т. е компенсировать основное внешнее возмущающее воздей-
ствие, вызывающее нарушение номинального режима, раньше, чем
появится достаточно большое отклонение текущего значения па-
раметра (температуры) от заданного. Комбинированная система
управления обладает точностью и быстродействием.
2.4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Классификация САУ по принципу управления, рассмотренная в
предыдущем разделе, не является единственной. Существует много
других признаков, которые могут быть положены в основу класси-
фикации систем управления. Следует иметь в виду, что важность
того или иного признака, отличающего системы управления, опре-
деляется конкретной задачей, решаемой в процессе анализа или
синтеза САУ. Основанные на каком-то признаке различия систем
управления, существенные при решении одной задачи, могут ока-
54
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
заться совершенно незначительными при решении другой задачи.
Ниже обсуждаются только некоторые из наиболее часто используе-
мых признаков классификации САУ.
2.4.1. По характеру изменения задающего воздействия
В зависимости от характера изменения задающего воздействия
УзД(т) САР с обратной связью подразделяются на три основных клас-
са: автоматической стабилизации, программного регулирования и
следящие системы.
В системах автоматической стабилизации задающее воздействие
представляет собой постоянную величину (см. рис. 2.9 при условии
(д — const). Область применения: непрерывные ХТП, в которых управля-
емый параметр нужно поддерживать на заданном постоянном значении.
В системах программного регулирования (рис. 2.12) задающее воз-
действие является известной функцией времени (изменяется по про-
грамме). Такие системы оснащены программными задатчиками, фор-
мирующими задающее воздействие, изменяющееся во времени. Об-
ласть применения: управление периодическими ХТП.
В следящей системе (рис. 2.13) задающее воздействие представ-
ляет собой неизвестную заранее функцию времени, связанную с
внешним по отношению к системе управления параметром, кото-
рый может изменяться случайным образом. Область применения'.
управление одним технологическим параметром (ведомым), находя-
щимся в зависимости от значения другого технологического пара-
метра (ведущего), изменяющегося произвольно (например, управле-
ние расходом воздуха, подаваемого на горелку, в зависимости от
расхода топлива). К следящим системам можно отнести систему
регулирования соотношения расходов двух веществ; в такой систе-
ме изменение расхода «ведомого» вещества находится в определен-
ном соотношении к изменению расхода «ведущего» вещества.
А
Рис. 2.12. Пример программной САР
2.4. Классификация систем управления
55
Рис. 2.13. Пример следящей САР
По способу организации основные процессы химической техно-
логии делятся на непрерывные, периодические и циклические.
Непрерывные химико-технологические процессы, как правило,
должны быть стационарны, т. е. параметры процесса в каждой точке
технологического аппарата должны оставаться неизменными во вре-
мени (при этом параметры процесса могут изменяться в простран-
стве от одной точки аппарата к другой). Следовательно, основной
задачей автоматических систем регулирования непрерывных про-
цессов является стабилизация технологических параметров.
Для периодических процессов характерно изменение во времени па-
раметров в технологическом аппарате в целом или в каких-либо его
частях, т. е. эти процессы являются нестационарными. Основной за-
дачей автоматических систем регулирования периодических процес-
сов является изменение технологических параметров в соответствии
с заранее заданной программой (программные системы регулирова-
ния) или в зависимости от текущего состояния какого-то другого
процесса (следящие системы регулирования).
Некоторые технологические аппараты работают в циклическом ре-
жиме: переменные, характеризующие состояние процесса, периоди-
чески изменяются. Примером циклического процесса является реге-
неративный теплообмен: насадка поочередно контактирует с горячим
и холодным потоками, передавая теплоту от одного потока другому.
Основное внимание в учебнике уделяется непрерывным ХТП.
2.4.2. По числу контуров
По числу контуров прохождения сигналов САУ делятся на одно-
контурные и многоконтурные. Такое деление относится к структу-
рам систем управления. Одноконтурная система управления — это
замкнутая система управления с одной регулируемой величиной,
56
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
имеющая одну главную обратную связь (с одним контуром управле-
ния). Многоконтурная система управления — это замкнутая система
управления, имеющая помимо одного контура главной обратной
связи другие главные обратные связи (или местные обратные свя-
зи), т. е. это система с несколькими контурами управления.
2.4.3. По числу управляемых величин
По числу управляемых величин САУ делятся но одномерные и
многомерные. Одномерные системы управления имеют одну управ-
ляемую величину, а многомерные — несколько управляемых вели-
чин. Среди многомерных систем управления выделяют системы не-
связанного управления и системы связанного управления. Системы
несвязанного управления используют одноконтурные САР, не свя-
занные между собой. Объединяет эти контуры управления только
общий для них объект управления. В свою очередь системы несвя-
занного управления делятся на зависимые и независимые. В зависимых
системах несвязанного управления процессы управления различными
управляемыми параметрами нельзя рассматривать изолированно друг
от друга, поскольку на изменение одной из управляемых величин
влияют изменения других. В независимых системах несвязанного уп-
равления процессы управления различными управляемыми парамет-
рами можно рассматривать изолированно друг от друга, поскольку
изменение каждой из управляемых величин не зависит от измене-
ния других.
Область применения несвязанного управления', для объектов управ-
ления, в которых практически отсутствует взаимное влияние управ-
ляемых параметров.
Системы связанного управления используют многоконтурные САУ.
Чтобы ослабить присутствующее взаимное влияние управляемых
технологических параметров, управляющие устройства (контролле-
ры), предназначенные для управления различными технологичес-
кими параметрами одного и того же объекта управления, связывают
внешней связью, минуя объект управления.
2.4.4. По характеру управляющих воздействий
В зависимости от прохождения и характера сигнала в системе
автоматического управления они делятся также на непрерывные и
дискретные (прерывистые).
Управление называют непрерывным, если контроллер непрерыв-
но изменяет управляющее воздействие в зависимости от изменения
задающего воздействия и управляемой величины.
2.4. Классификация систем управления
57
Управление называют дискретным, если контроллер вырабаты-
вает управляющее воздействие, принимающее одно из нескольких
возможных значений. Для дискретных (прерывистых) систем харак-
терно, что в них через дискретные промежутки времени происходит
размыкание или замыкание цепи воздействия.
Системы дискретного (прерывистого) управления подразделяют-
ся на импульсные или релейные.
В импульсных системах размыкание цепи воздействий выполня-
ется принудительно и периодически специальным прерывающим
устройством. Импульсные системы содержат импульсные элемен-
ты, способные преобразовать непрерывное изменение входной ве-
личины в дискретную импульсную выходную величину.
В релейных системах размыкание или замыкание цепи воздей-
ствий выполняется одним из элементов системы при непрерывном
значении входного воздействия. Релейные системы содержат реле
или элементы, имеющие релейную характеристику, которая прини-
мает два значения: минимально и максимально возможное.
Замечание
Часто на практике, управляя сложными химико-технологическими
объектами, применяют совместное непрерывное и дискретное управление.
Например, управление температурой пара, вырабатываемого энергобло-
ком, выполняется непрерывным изменением положения регулирующего
клапана подачи воды на впрыск; при сильных изменениях нагрузки бывает
необходимо и переключение в схеме питательных магистралей.
2.4.5. По виду зависимости установившейся ошибки
от внешнего воздействия
Ранее было введено понятие ошибки регулирования (2.1):
е(т) = узд(т) - у(т).
Здесь узд(т) — задающее воздействие; j(t) — управляемый параметр
(выходная величина).
Для установившегося состояния системы уравнение (2.1) при-
нимает вид:
^уСт(^) [л’зд(^)]уст УуСтСО*
По виду зависимости установившейся ошибки ЕуСТ от внешнего
воздействия системы делят на статические и астатические.
Систему называют статической по отношению к внешнему воз-
действию, если при воздействии, стремящемся со временем к неко-
торому установившемуся значению, ошибка тоже стремится к по-
стоянному значению, зависящему от величины внешнего воздей-
58
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
ствия. При наличии возмущающих воздействий статические систе-
мы не могут точно стабилизировать управляемый параметр.
Систему называют астатической по отношению к внешнему воз-
действию, если при воздействии, стремящемся со временем к неко-
торому установившемуся значению, ошибка стремится к нулю неза-
висимо от величины внешнего воздействия.
Одна и та же система автоматического управления может быть
статической по отношению к возмущающему воздействию и астати-
ческой по отношению к задающему воздействию. Системы автома-
тической стабилизации, где задающее воздействие сохраняет посто-
янное значение, обычно бывают астатическими по отношению к воз-
мущающему воздействию, а следящие системы — по отношению к
управляющему воздействию.
2.4.6. По энергетическим признакам
Такие системы регулирования, в которых первичный измери-
тельный преобразователь (чувствительный элемент) воздействует
непосредственно на изменение положения РО (регулирующего орга-
на), называют системами прямого управления (регулирования), а ре-
гуляторы — регуляторами прямого действия. В регуляторах прямого
действия энергия для перемещения РО поступает непосредственно
из объекта управления через первичный измерительный преобразо-
ватель (чувствительный элемент).
Примечание
Реакция РО на первичный измерительный преобразователь в системах
прямого регулирования снижает чувствительность этого элемента и, как след-
ствие, ухудшается качество регулирования.
В системах непрямого (косвенного) управления для перемеще-
ния РО применяются вспомогательные устройства, работающие от
посторонних (внешних) источников энергии.
2.4.7. По математическому описанию
При анализе и расчете систем управления необходима ее мате-
матическая модель, определяющая изменение переменных состоя-
ния системы с течением времени.
Практически все системы управления ХТП не линейны, и их
точное математическое описание представляет собой значительные
трудности. Собственно, и не всегда нужно стремиться к точному
математическому описанию системы, если это не определено прак-
тическими задачами.
2.5. Структурные схемы САУ
59
САУ делят на линейные и нелинейные в зависимости от того, ка-
кие в основе математической модели лежат уравнения (линейные
или нелинейные). Далее линейные и нелинейные системы могут быть
непрерывными, дискретными, дискретно-непрерывными.
Непрерывные системы описываются дифференциальными урав-
нениями; дискретные описываются дифференциально-разностными;
дискретно-непрерывные — обоими видами уравнений. В свою оче-
редь, каждый из названных трех классов подразделяется на под-
классы (см. разд. 3.1.1):
• стационарные системы с сосредоточенными параметрами;
• стационарные системы с сосредоточенными параметрами и
распределенными параметрами;
• нестационарные системы с сосредоточенными параметрами;
• нестационарные системы с сосредоточенными параметрами и
распределенными параметрами.
Системы (их математические модели) могут также разделены на
детерминированные и стохастические.
Если воздействия, приложенные к системе, и параметры модели
являются постоянными или детерминированными функциями пе-
ременных состояния и времени, математическую модель системы
называют детерминированной.
Если воздействия, приложенные к системе, и параметры модели
являются случайными функциями или случайными величинами, ма-
тематическую модель системы называют стохастической.
2.5. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ САУ
Система автоматического управления состоит из отдельных эле-
ментов, выполняющих свои функции так, чтобы управляемая вели-
чина могла быть поддержана на заданном значении или изменяться
по определенному закону. Элементы взаимосвязаны между собой и
в целом образуют структуру САУ. В общем случае под структурой
САУ можно понимать совокупность частей (элементов) системы, на
которые ее можно разбить по определенным признакам, и путей
передачи сигналов между ними.
Различают следующие структуры САУ: алгоритмическая, функ-
циональная и конструктивная.
Под алгоритмической структурой САУ понимают структуру, в
которой каждая ее часть предназначена для выполнения определен-
ного алгоритма преобразования входной величины, причем он яв-
ляется частью алгоритма функционирования всей САУ.
В функциональной структуре САУ каждая ее часть (элемент) вы-
полняет какую-то вполне определенную функцию; эти функции могут
60
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
быть основными, такими как получение информации, ее переработ-
ка, сравнение сигналов, формирование законов управления, или
вспомогательными, такими как передача сигналов, преобразование
формы представления информации. Конечно, такое функциональ-
ное деление САУ условно.
Структуру САУ, в которой ее части (элементы) представляют
собой самостоятельные законченные конструкции, называют кон-
структивной структурой САУ. Графическое изображение структуры
САУ в виде прямоугольников с указанием в них условных обозначе-
ний путей передачи воздействий (сигналов) в виде линий со стрел-
кой в направлении передачи воздействий (сигналов) называют струк-
турной схемой САУ. С точки зрения теории автоматического управ-
ления большой интерес представляет функциональная структурная
схема.
Замечание
В дальнейшем изложении под термином «структурная схема» понима-
ется именно функциональная структурная схема.
2.6. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СТРУКТУРА САР
Функциональная структурная схема системы автоматического
регулирования с одной регулируемой величиной j(t) представлена
на рис. 2.14.
Рис. 2.14. Функциональная схема САР
ОУ — объект управления; ПИП — первичный измерительный преобра-
зователь; НП — нормирующий преобразователь; И ИС — информацион-
но-измерительная система; Р — регулятор; ИУ — исполнительное уст-
ройство; ИМ — исполнительный механизм; РО — регулирующий орган
2.6. Функциональная структура САР
61
Система состоит из объекта управления (ОУ) и управляющего
устройства, к которому можно отнести измерительное устройство
(или информационно-измерительную систему, ИИС), автоматичес-
кий регулятор и исполнительное устройство. В химической техно-
логии ОУ может быть, например, реактор, в котором управляющее
устройство должно поддерживать заданный технологический режим.
Рассмотрим подробно функциональные элементы, входящие в
управляющее устройство.
Первичный измерительный преобразователь (ПИП — чувствитель-
ный элемент, сенсор) предназначен для преобразования регулируе-
мого параметра в сигнал измерительной информации в форме, удоб-
ной для обработки и дальнейших преобразований. Например, тер-
моэлектрический преобразователь, представляющий собой спай двух
разнородных проводников, преобразует температуру в термоэлект-
ролвижущую силу (ТЭДС).
Нормирующий преобразователь (НП) служит для взаимного со-
гласования входящих в систему управления элементов и дистанци-
онной передачи сигналов по каналам связи. Он осуществляет пре-
образование сигнала, полученного от ПИП, в эквивалентный ему
унифицированный сигнал. Возможно преобразование сигнала од-
ной физической природы в унифицированный сигнал той же самой
физической природы (например, преобразование ТЭДС в унифици-
рованный токовый сигнал от 0 мА до 5 мА) или в унифицированный
сигнал другой физической природы (например, преобразование ТЭДС
в унифицированный пневматический сигнал от 20 кПа до 100 кПа).
Полученный унифицированный сигнал соответствует текущему зна-
чению регулируемого параметра и может передаваться не только к
регулятору, но и к вторичному измерительному прибору или на си-
стемы более высокого уровня иерархии.
ПИП и НП являются элементами информационно-измеритель-
ной системы (ИИС).
Сигнал, соответствующий заданному значению регулируемого
параметра узд(т) формируется задающим устройством (на рис. 2.14
не изображено). Величина задающего воздействия может быть по-
стоянной или изменяться по определенному закону.
Примечание
В некоторых случаях задающее устройство конструктивно объединено
с регулятором.
Регулятор (Р) с помощью элемента сравнения определяет откло-
нение текущего значения регулируемого параметра от заданного
значения и формирует командный сигнал в соответствии с заложен-
ным в нем алгоритмом регулирования. Сигнал, формируемый регу-
62
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
лятором, по мощности не всегда достаточен, чтобы управлять ИУ,
поэтому регулятор часто снабжается усилителем мощности.
Устройство автоматической системы управления, воздействую-
щее на технологический процесс в соответствии с полученным от
регулятора командным сигналом, называется исполнительным уст-
ройством (ИУ). Как правило, в нем можно выделить два функцио-
нальных элемента: регулирующий орган и исполнительный меха-
низм.
Исполнительный механизм (ИМ) предназначен для усиления мощ-
ности командного сигнала, получаемого от регулятора, и воздей-
ствия на регулирующий орган (РО).
Примечание
Исполнительный механизм, перемещающий затвор регулирующего
органа, часто называют исполнительным двигателем, или серводвигателем
(сервомеханизмом).
Регулирующий орган (РО) — техническое средство изменения
материального или энергетического потока, влияющего на регули-
руемую величину в ОУ. Это устройство, непосредственно воздей-
ствующее на ОУ для поддержания заданного значения регулируе-
мой величины или изменения ее по заданному закону.
При исследовании динамических свойств системы регулирова-
ния по каналу задающего воздействия (вход — задающее воздей-
ствие узд(т), выход — регулируемая величина у(т), возмущающее воз-
действие отсутствует или является постоянной величиной), систему
автоматического управления удобно изображать упрощенной струк-
турной схемой, представленной на рис. 2.15.
При исследовании динамических свойств системы регулирова-
ния по каналу возмущающего воздействия (вход — возмущающее
воздействие г/(т), выход — регулируемая величина у(т), задающее
воздействие является постоянной величиной) САР обычно изобра-
жают упрощенной структурной схемой, представленной на рис. 2.16.
Для повышения устойчивости и улучшения динамических свойств
системы управления в нее вводят корректирующие устройства (на
рис. 2.14 не показаны). В зависимости от способов подключения
корректирующие устройства делятся на последовательные и парал-
лельные. С помощью последовательных корректирующих устройств
происходит преобразование сигнала ошибки, и в управляющее
уЭД(1)в/<>Е('сМ р | °(т)I ~ b И(т)
Рис. 2.15. Структурная схе-
ма САР по каналу задаю-
щего воздействия
2.6. Функциональная структура САР
63
Рис. 2.16. Структурная схема САР по каналу возмущающего воздействия
воздействие вводятся составляющие, пропорциональные производ-
ной и интегралу от ошибки по времени. Параллельные корректиру-
ющие устройства (местные дополнительные обратные связи) пода-
ют сигнал с выхода элемента на вход одного из предыдущих. Функ-
ции корректирующих устройств могут выполнять компьютеры.
Рассмотрим конкретный пример автоматической системы регу-
лирования уровня жидкости в резервуаре. Принципиально система
регулирования может быть построена, как это показано на рис. 2.17.
Уровень жидкости £(т) зависит от разности управляющего воздей-
ствия — притока и возмущающего воздействия — стока Евых(т).
Если Евх(т) > Евых(т), то уровень жидкости в резервуаре 1 растет.
Если Евх(т) < Евых(т), то уровень жидкости в резервуаре уменьшает-
ся. Величина управляющего воздействия — притока Евх(т) определя-
ется положением затвора регулирующего органа (РО), перемещае-
мого электроприводом (ИМ).
Рис. 2.17. Схема САР уровня жидкости в резервуаре:
РО — регулирующий орган; ИМ — исполнительный механизм (элект-
ропривод); 1 — резервуар; 2 — измерители расхода;.? — алгебраические
блоки извлечения корня; 4— уровнемер; 5 — регулятор; 6— усилитель
мощности
64
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
Сигнал, соответствующий действительному значению уровня
жидкости £(т), измеряется уровнемером 4 [£изм(т)] и сравнивается
с требуемым (заданным) уровнем £зд. Регулятор 5 в зависимости от
величины и знака рассогласования е(т) с помощью электропривода
увеличивает приток жидкости Fbx(t), если е(т) > 0, или уменьшает
приток жидкости Fbx(t), если е(т) < 0, поддерживая равенство FBX(r)
и РвыхСт) при заданном значении уровня £зл. Поскольку приток жид-
кости зависит не только от положения затвора регулирующего орга-
на, но и от других параметров (например, от перепада давления на
РО), для повышения точности регулирования величина £вх(т) из-
меряется и используется при формировании управляющего воз-
действия. Это приводит к появлению местной обратной связи. Изме-
нение стока £вых(т) нарушает материальный баланс в системе, т. е.
является возмущающим воздействием. Измеренное значение £вых(т)
используется регулятором для компенсации этого возмущающего
воздействия. Тем самым в системе используется как принцип уп-
равления по отклонению, так и принцип управления по возмуща-
ющему воздействию. Результатом является комбинированное регули-
рование.
Выходной сигнал некоторых расходомеров 2 пропорционален
квадрату расхода жидкости (см. разд. 5.8.1). Чтобы получить сигнал,
пропорциональный расходу, цепи измерения расходов содержат ал-
гебраические блоки извлечения корня 3.
Обозначив £зд = узд(т) — задающее воздействие, Гвых(т) = г/(т) —
возмущающее воздействие, £(т) = у (т) — выход системы, САУ уров-
ня жидкости в резервуаре можно представить структурной функци-
ональной схемой, изображенной на рис. 2.18.
Рис. 2.18. Функциональная схема САР уровня жидкости в резервуаре:
/ — задающее устройство; 2 — элемент сравнения; 3 — регулятор;
4 — усилитель мощности; 5— электропривод; 6— регулирующий орган;
7 — объект управления (резервуар); 8 — уровнемер; 9, 10 — линейные
расходомеры
2.7. Качество процесса управления
65
2.7. КАЧЕСТВО ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ
Прежде чем приступить к анализу или синтезу системы управле-
ния, нужно выяснить, какими свойствами она должна обладать, и
договориться о том, как измерять ее качество.
1. Система управления должна быть устойчивой и предсказуе-
мым образом реагировать на входные воздействия. Требование ус-
тойчивости является обязательным для всех систем управления, так
как только устойчивая система работоспособна.
2. Все реальные системы подвержены возмущающим воздействи-
ям. Поэтому важную роль приобретает способность системы управ-
ления подавлять возмущающие воздействия.
3. Модель физической системы никогда не является точной.
В связи с этим характеристики реальной системы управления долж-
ны быть малочувствительны к параметрам математической модели,
которая использовалась при синтезе. Кроме того, характеристики
реальной системы управления должны быть малочувствительны к
параметрам объекта управления, которые могут изменяться с тече-
нием времени и в зависимости от окружающих условий (температу-
ры, влажности, давления и др.). Другими словами, система управле-
ния должна быть достаточно грубой (робастной).
2.7.1. Переходный процесс
Система управления постоянно находится в движении, т. е. по
сути своей является динамической системой, так как даже если зада-
ющее воздействие не меняется, возмущающие воздействия суще-
ствуют постоянно и носят случайный характер. Поэтому особый ин-
терес при анализе качества представляет поведение системы управ-
ления во времени.
Примечание
Динамическая система в своем первоначальном значении — это меха-
ническая система с конечным числом степеней свободы, состояние которой
характеризуется ее расположением (конфигурацией) и скоростью измене-
ния последнего, а закон движения указывает, с какой скоростью изменяется
состояние системы. В более широком смысле термин «динамическая сис-
тема» означает произвольную физическую систему, например САУ, движе-
ние которой описывается системой обыкновенных дифференциальных урав-
нений.
Если система управления устойчива, то показатели качества
можно определить по реакции системы на определенный входной
сигнал. Такой метод определения показателей качества называется
прямым.
3 Беспалов А В . Харитонов Н. И.
66
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
Примечание
Существуют также косвенные методы анализа качества управления, на-
пример, по распределению корней характеристического уравнения систе-
мы (см. разд. 3.4.5).
Поскольку заранее не известно, каким в реальных условиях бу-
дет входное воздействие, при анализе качества системы управления
обычно выбирается некоторый типовой тестовый сигнал. Одним из
наиболее распространенных и тяжелых для систем управления ти-
повых тестовых сигналов является ступенчатый (рис. 2.19, а). Если
система управления удовлетворяет требованиям в условиях ступен-
чатого воздействия, она почти наверняка будет нормально работать
и в реальных условиях. Кроме того, системы управления в процессе
эксплуатации подвергаются внешним воздействиям, которые по виду
очень близки к ступенчатому воздействию.
Изменение выходной величины системы во времени с момента
нанесения воздействия до прихода ее в новое установившееся со-
стояние называют переходным процессом, т. е. процессом перехода из
одного установившегося состояния в другое. Протекание переход-
ного процесса определяется динамическими свойствами системы,
входными воздействиями, а также начальными условиями. Пере-
ходный процесс у(т) имеет две составляющие:
У(т) = УсСО + УвынСО- (2-2)
Составляющая ус(т) называется свободным (или собственным)
движением и зависит от свойств системы и начальных условий. Со-
ставляющая увын(т) называется вынужденным движением и зависит
от свойств системы и входного воздействия. Одно и то же входное
воздействие вызывает, в зависимости от динамических свойств сис-
темы, различные переходные процессы.
В случае, когда на систему, находившуюся при нулевых начальных
условиях, оказано единичное ступенчатое воздействие (рис. 2.19, а),
изменение во времени выходной величины системы обозначается
Л(т) и называется переходной функцией, а ее графическое изображе-
ние — переходной характеристикой (об этом подробнее см. разд. 3.2.2).
На рис. 2.19 приведены примеры переходных характеристик:
• апериодический сходящийся переходный процесс (рис. 2.19, б),
в котором наблюдается плавное отклонение выходной величины Л(т)
от первоначального установившегося значения и постепенный пе-
реход в новое установившееся состояние;
• колебательный сходящийся переходный процесс (рис. 2.19, в),
в котором выходная величина колеблется с постепенно затухающей
амплитудой и, в конечном итоге, приходит в установившееся состо-
яние, достигая
2.7. Качество процесса управления
67
3*
Рис. 2.19. Возможный вил переходных характеристик системы регулирования
68
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
• апериодический расходящийся переходный процесс (рис. 2.19, г),
в котором наблюдается непрерывно возрастающее отклонение вы-
ходной величины от установившегося значения;
• колебательный расходящийся переходный процесс (рис. 2.19, Э),
в котором амплитуда колебаний выходной величины со временем
постепенно нарастает;
• колебательный гармонический переходный процесс (рис. 2.19, е),
в котором амплитуда колебаний выходной величины со временем
не меняется (характерен для консервативных систем).
Замечание
На качество и вид переходного процесса в системе управления оказы-
вают влияние как свойства технологического объекта управления, так и
свойства управляющего устройства и степень его воздействия на объект.
Увеличение воздействия управляющего устройства на объект приводит к
тому, что переходный процесс в системе управления изменяется от апери-
одического сходящегося до колебательного сходящегося. При слишком
большом воздействии система может даже стать неустойчивой.
2.7.2. Устойчивость
При синтезе системы управления ключевой проблемой является
обеспечение ее устойчивости.
Строгое определение устойчивости, пригодное на все случаи
жизни, дать очень сложно. При исследовании линейных систем
пользуются двумя определениями, приведенными ниже.
1. Ограниченный вход — ограниченный выход. Система считается
устойчивой, если при ограниченном входном сигнале ее выходной
сигнал также является ограниченным.
Примечание
Ограничения на выходной сигнал накладываются требованиями тех-
нологии. Если ограниченное входное воздействие приводит к такому изме-
нению управляемого параметра, при котором технологический режим ос-
тается приемлемым, то система управления считаются устойчивой. Если же
изменение управляемого параметра приводят к недопустимому технологи-
ческому режиму, то система управления считается неустойчивой.
2. Устойчивость по начальным условиям. Устойчивость определя-
ют по поведению системы управления, выведенной с помощью ка-
кого-то воздействия из состояния равновесия и предоставленной
самой себе после устранения этого воздействия. Система управле-
ния считается устойчивой, если она возвращается к исходному состо-
янию равновесия. Неустойчивая система удаляется от состояния рав-
новесия или совершает вокруг него колебания с нарастающей ам-
2.7. Качество процесса управления
69
плитудой. Если же система приходит в новое установившееся состо-
яние или совершает колебания с постоянной амплитудой, то гово-
рят, что она находится на границе устойчивости. Таким образом, под
устойчивостью понимают способность системы вернуться в исход-
ное равновесное состояние после устранения возмущающего воз-
действия, нарушившего ее равновесие.
Системы являются устойчивыми, если составляющая свободного
движения ус(т) со временем стремится к нулю:
Нгпус(т) = 0.
Устойчивы и, следовательно, работоспособны системы, в кото-
рых имеют место переходные процессы, показанные на рис. 2.19, б, в.
Ограниченно устойчивы системы, в которых наблюдается переход-
ный процесс, изображенный на рис. 2.19, е. Неустойчивы и, следо-
вательно, неработоспособны системы, которым соответствуют пе-
реходные процессы на рис. 2.19, г, д.
Устойчивость является необходимым, но не достаточным усло-
вием пригодности систем управления. Качество систем управления
оценивается также по их поведению в установившемся и переход-
ном режимах с помощью количественных параметров, называемых
показателями качества. Требования к системе управления, сформу-
лированные в виде ее показателей качества, позволяют ответить на
вопрос о том, насколько хорошо система выполняет задачу, ради
которой она была спроектирована.
2.7.3. Показатели, характеризующие
точность регулирования
Различие между желаемой и достигнутой целью управления ле-
жит в основе показателей, характеризующих точность управления.
В случае систем регулирования целью является заданное состоя-
ние объекта регулирования. Следовательно, точность регулирова-
ния определяется разницей между заданным и текущим значением
регулируемого параметра, т. е. ошибкой (погрешностью) регулирова-
ния (2.1):
е(т) = Узд(Т) - J(T).
Максимальная погрешность етах — наибольшее отклонение уп-
равляемого параметра от его заданного значения в процессе управ-
ления после нанесения на объект управления возмущающего воз-
действия. В общем случае величину максимальной погрешности стре-
мятся уменьшить до минимума.
70
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
Статическая ошибка управления е„. Разность между новым ус-
тановившимся значением управляемого параметра и его задан-
ным значением определяет значение статической ошибки управ-
ления
е.„ - е(°°) = lim е(т). (2.3)
Статическая ошибка управления также должна стремиться к
минимуму.
2.7.4. Показатели, характеризующие
быстродействие
Время переходного процесса тпп — это продолжительность пере-
ходного процесса, охватывающего временной интервал от момента
нанесения возмущающего или управляющего воздействия до дости-
жения управляемым параметром нового установившегося значения
с заданной точностью:
|й(т)-/Ц<Д Vt > тпп, (2.4)
где = Л(~)= lim й(т).
Если * 0, то величину Д задают как некоторую долю от нового
установившегося значения, составляющую обычно от 2 % до 5 %,
иногда до 10 %, например, Д = 0,05Л„.
Время переходного процесса в системах регулирования называ-
ют иногда временем регулирования.
Время переходного процесса характеризует быстродействие сис-
темы и, как правило, должно быть минимальным.
Время достижения первого максимума ттах в колебательном схо-
дящемся процессе должно быть минимальным.
2.7.5. Показатели, характеризующие
колебательность переходного процесса
В системе регулирования с обратной связью, находящейся на
границе устойчивости, возникают незатухающие колебания регули-
руемой величины (рис. 2.19, е). Чем устойчивее система, тем быст-
рее затухают колебания в переходном процессе. Следовательно, по-
казатели, характеризующие колебательность переходного процесса,
характеризуют одновременно и запас устойчивости системы.
2.7. Качество процесса управления 71
Степенью затухания у называют отношение разности двух со-
седних, направленных в одну строну амплитуд, Л, и А3, к первой из
них А{:
V=[(Al-A3)/Al]100%. (2.5)
Как следует из выражения (2.5), возможны три типа колебатель-
ных процессов. Если у > 0, то колебания затухают (переходный про-
цесс 2 рис. 2.19, в). Если у = 0, то колебания являются незатухаю-
щими (переходный процесс 5 рис. 2.19, е). Если у < 0, то колебания
расходятся (переходный процесс 4 рис. 2.19, д).
Перерегулирование выражается иногда как отношение амплитуд
колебаний, направленных в разные стороны (например, второй ам-
плитуды — направлена вниз, к первой — направлена вверх):
о = (A2/At)- 100%. (2.6)
Перерегулирование также определяется выражением
с = [(Emax - eJ/Ej • Ю0%. (2.7)
Обычно САР настраиваются так. чтобы перерегулирование со-
ставляло от 10 % до 30 %.
Логарифмический декремент затухания'.
S = 1g (Л,/Л3). (2.8)
Колебательность системы можно охарактеризовать числом ко-
лебаний управляемой величины за время переходного процесса тпп.
Если в системе за время переходного процесса совершено число
колебаний меньше заданного, то система имеет требуемое качество
управления по колебательности.
2.7.6. Интегральные показатели
качества регулирования
Предъявляемые к системе управления требования по точности и
быстродействию, основанные на перечисленных выше показателях
качества, являются противоречивыми и не могут быть удовлетворе-
ны одновременно. Если настроить систему управления так, чтобы
точность регулирования была высокой, то переходные процессы в
ней будут продолжаться слишком долго. Наоборот, настройка сис-
темы управления, повышающая ее быстродействие, увеличивает
ошибки регулирования. Таким образом, оптимальная система регу-
лирования почти всегда основана на компромиссе между точностью
и быстродействием.
72
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
Для совместной оценки точности и быстродействия систем уп-
равления используют интегральные показатели качества регулиро-
вания. В общем случае интегральный показатель качества имеет вид:
J = JZ[e(x), «(т), у(т), фт,
о
где f — некоторая функция ошибки, управляющего воздействия,
регулируемой величины и времени.
Оптимальной считается система управления, которой соответ-
ствует минимальное значение интегрального показателя качества.
Среди интегральных показателей качества регулирования наи-
большую практическую ценность представляют следующие четыре.
Янтеграл от Модуля Ошибки (ИМО)
ИМО = ||е(т)|дт (2.9)
о
используется при имитационном моделировании на компьютере.
Для уменьшения вклада большой первоначальной ошибки и учета
ошибки, появляющейся в дальнейшем, применяется Янтеграл от
взвешенного по Бремени Модуля Ошибки (ИВМО):
ЯБМО = J т |е (т)| dx (2.10)
о
Янтеграл от Квадрата Ошибки (ИКОу.
И КО = Jf2(r)dT. (2.11)
о
Янтеграл от взвешенного по Бремени Квадрата Ошибки (ИВКО)\
И В КО = jTE2(T)dT. (2.12)
о
Оценка качества по ИВМО из рассматриваемых является одной
из наилучших, поскольку с ее помощью проще всего находят мини-
мальное значение интеграла при изменении параметров системы.
Примечание
Верхний предел интегрирования выбирается достаточно произволь-
но, но лучше для практической оценки верхний предел брать равным
времени переходного процесса, т. е. чтобы интеграл стремился к конеч-
ному значению.
2.7. Качество процесса управления
73
Показатели качества выбирают в зависимости от требований,
предъявляемых к системе управления. Система управления обладает
необходимым качеством, если она удовлетворяет заданным услови-
ям качества, а переходный процесс не выходит из области допусти-
мых значений.
2.7.7. Типовые оптимальные процессы
регулирования
Оптимальным процессом регулирования называют процесс, ко-
торый соответствуют минимуму (или максимуму) какого-либо по-
казателя качества регулирования. В зависимости от регулируемого
технологического процесса и возмущающих воздействий наилучшими
могут быть признаны различные по своему характеру процессы ре-
гулирования.
Из устойчивых переходных процессов в качестве оптимального
(удовлетворяющего технологическим требованиям) выбирают один
из трех, приведенных на рис. 2.20:
1) граничный апериодический процесс с минимальным време-
нем регулирования тпп min (рис. 2.20, а);
2) процесс с 20-процентным перерегулированием и минималь-
ным временем первого полупериода колебаний (рис. 2.20, б);
3) процесс с минимальным значением интеграла от квадрата
ошибки (ИКО)тт (рис. 2.20, в).
Для граничного апериодического переходного процесса характер-
но отсутствие перерегулирования, наименьшее воздействие управ-
ляющего устройства на объект и минимальное время регулирования
тпп по сравнению с процессами 2 и 3.
Примечание
Наименьшее воздействие управляющего устройства на объект приво-
дит к наибольшей среди трех оптимальных процессов регулирования мак-
симальной погрешности регулирования етах.
Область применения: при значительном влиянии воздействия,
которое является управляющим для рассматриваемой регулируемой
величины, на другие технологические величины объекта (для кото-
рых оно является возмущающим воздействием), чтобы свести их
отклонение к минимуму.
Для процесса с 20-процентным перерегулированием характерны
большее управляющее воздействие и большее время регулирования
тпп, но меньшая максимальная погрешность регулирования (по срав-
нению с процессом /).
74
Глава 2. Основные понятия управления ХТП
Рис. 2.20. Типовые оптимальные переходные процессы регулирования
Область применения-, при управлении объектами, которые допус-
кают перерегулирование. Минимальное время первого полупериода
колебаний, в котором имеет место наибольшее отклонение регули-
руемой величины от задания, является преимуществом, если осталь-
ная часть переходного процесса, где отклонения от задания уже срав-
нительно невелики, менее существенна.
Для процесса, обеспечивающего минимум интегрального квадра-
тичного критерия, характерны наибольшее управляющее воздей-
ствие, наибольшее время регулирования тпп и наименьшая макси-
мальная погрешность регулирования Етах (по сравнению с процес-
сами 1 и 2), а также значительное перерегулирование (до 40 %).
Область применения: управление объектами, для которых макси-
мальная погрешность регулирования етах должна быть как можно
меньше.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что понимают под управлением?
2. Как можно описать состояние объекта управления?
3. Объясните понятия «управление», «регулирование», «объект управ-
ления», «управляющее устройство».
Контрольные вопросы
4. Каково назначение АСУП, АСУ ТП и локальных САР?
5. Дайте определение САУ.
6. Какими переменными характеризуется объект управления?
7. Каковы основные принципы управления?
8. Объясните сущность понятий «прямая связь» и «обратная связь».
9. Какие воздействия называются возмущающими, а какие — управ-
ляющими?
10. Поясните понятия «качественные (интенсивные) параметры» и «ко-
личественные (экстенсивные) параметры».
12. Сравните управление по отклонению с управлением по возмущаю-
щему воздействию.
13. Что характерно для комбинированного управления?
14. По каким признакам классифицируют системы управления?
15. Чем отличается астатическая система управления от статической?
16. Что понимают под структурой САУ?
17. Из каких функциональных элементов состоит САР?
18. Как оценить качество управления?
19. Что понимают под устойчивостью системы управления?
20. Назовите основные показатели качества управления.
21. Какие показатели качества позволяют одновременно оценивать как
точность, так и быстродействие систем управления?
22. Охарактеризуйте типовые оптимальные процессы регулирования.
ГЛАВ А_______________________
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Никакой достоверности нет в науках
там, где нельзя приложить ни одной из
математических наук, и в том, что не име-
ет связи с математикой.
Леонардо да Вити
Теория, рассматривающая общие принципы построения систем
автоматического управления (САУ) и закономерности протекающих
в них процессов, получила название теории автоматического управ-
ления (ТАУ)
Основными задачами ТАУ являются задачи синтеза и анализа САУ.
Задача анализа (от греч. avaZvoio — разложение, расчленение) —
исследование поведения системы управления с заданными свойства-
ми в различных условиях, например, исследование возникающих в
системе управления переходных процессов.
Задача синтеза (от греч. <rijv0eaio — соединение, составление) —
построение системы управления с наперед заданным поведением
(или функционированием). В результате решения задачи синтеза
определяют состав, структуру и параметры всех устройств САУ, удов-
летворяющей заданным техническим требованиям к устойчивости,
качеству переходных процессов и точности управления в установив-
шихся режимах.
3.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ
КАК МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ САУ
Основу теории автоматического управления составляют матема-
тические модели, отражающие взаимосвязь элементов САУ друг с дру-
гом и с внешней средой. Прежде чем перейти к рассмотрению мате-
матических моделей систем, необходимо пояснить сущность модели-
рования. Как правило, экспериментально исследуют свойства не
3.1. Моделирование как метод исследования САУ
77
реальных систем, а их моделей. Модель — это материальный или мыс-
ленно представленный объект, который в процессе познания (изуче-
ния) используется вместо оригинала (например, химического реакто-
ра), сохраняя его основные свойства и отношения, важные для дан-
ного исследования. Моделирование — построение и изучение моделей
реально существующих систем, а также выполнение эксперимен-
тов на модели вместо прямых экспериментов на реальной системе.
Метод моделирования широко применяется как основной метод науч-
ного познания реальной действительности, являясь в ряде случаев
единственным средством познания сложных систем.
Многообразие исследуемых объектов и ХТП, различных целей и
задач моделирования привело к появлению значительного числа
моделей, разделяемых по способу построения на модели физичес-
кие и абстрактные.
Физическая модель — это материально реализованная система
(например, технологическая установка или аппарат), имеющая ту
же физическую природу, что и моделируемый объект, и предназна-
ченная для проведения экспериментальных исследований с целью
получения информации о моделируемом объекте (например, о ХТП).
В основе физического моделирования лежат теория подобия и
анализ размерностей. Необходимыми условиями физического мо-
делирования являются геометрическое подобие и физическое подо-
бие модели и моделируемого объекта: в сходственные моменты вре-
мени и в сходственных точках пространства значения переменных
величин, характеризующих явления в моделируемом объекте, долж-
ны быть пропорциональны значениям тех же величин для модели.
Замечание
В химической технологии теория подобия включает в себя геометричес-
кое, физическое, гидродинамическое, тепловое, диффузионное подобия.
Физические модели, предназначенные для выполнения экспе-
риментальных исследований в химической технологии, делятся на
три группы: лабораторные установки, пилотные установки и опыт-
но-промышленные установки. В лабораторных условиях решаются
отдельные задачи общего исследования процесса переработки срав-
нительно небольшого количества сырья (материальные ограниче-
ния сведены к минимуму). Размеры пилотных установок изменяют-
ся в достаточно широких пределах, но при этом учитываются все
особенности, характерные для промышленных условий проведения
процесса (наличие примесей в перерабатываемом сырье, работа в
течение длительного времени и т. п.). Если пилотные испытания не
позволяют ответить на все возникающие вопросы о масштабном
переносе, то эксперименты проводят на опытно-промышленных
78
Глава 3. Основы теории автоматического управления
установках. По существу, это промышленные установки в несколь-
ко уменьшенном масштабе (приблизительно 1/10 от размеров, не-
обходимых для обеспечения требуемой мощности производства). Но
даже опытно-промышленные установки не всегда позволяют полу-
чить информацию, надежную и достаточную с точки зрения масш-
табирования. Причина заключается в том, что процессы теплопере-
носа и массопереноса сложным образом зависят от размеров аппа-
ратов, и не всегда удается одновременно удовлетворить всем
необходимым критериям подобия.
Аналоговое моделирование основано на аналогии явлений, имею-
щих различную физическую природу, но описываемых одинаковыми
математическими уравнениями (дифференциальными, алгебраичес-
кими или какими-либо другими). Например, механические и элект-
рические колебания описываются одними и теми же дифференци-
альными уравнениями; поэтому с помощью механических колебаний
можно моделировать электрические, и наоборот. Аналоговое моде-
лирование применяется для замены изучения одних систем изучени-
ем других систем, более удобных для лабораторного исследования.
Так, на электрических моделях можно изучать механические, гидро-
динамические, акустические, химические и другие явления.
Решить проблему масштабного перехода, избежать дорогостоя-
щих экспериментов, сократить время на их проведение возможно,
используя для описания системы абстрактные модели, разновидно-
стью которых являются математические модели
В случае применения математического моделирования открыва-
ются широкие возможности количественного анализа систем управ-
ления с помощью современных математических методов. Другим
важным достоинством математического моделирования является
возможность использования одних и тех же моделей для исследова-
ния систем, имеющих различную физическую природу.
3.1.1. Математические модели САУ
На первом этапе исследования систем автоматического управ-
ления рассматривают их функциональные схемы (как, например, на
рис. 2.18), ограничиваясь качественным описанием. Такое описание
можно отнести к разряду содержательных (или неформальных), и
оно содержит информацию, достаточную для построения функцио-
нальной схемы, служащей для разработки формального (математи-
ческого) описания системы. Для решения задач анализа и синтеза
систем управления необходимы количественные характеристики,
поэтому кардинальным понятием теории систем является матема-
тическая модель (или оператор системы).
3.1. Моделирование как метод исследования САУ
79
Построение любой системы управления обычно начинается с
изучения свойств объектов управления и составления их математи-
ческих описаний.
Под математической моделью (математическим описанием) объек-
та управления в химической технологии можно понимать совокуп-
ность математических уравнений (систему дифференциальных или
конечно-разностных уравнений), отражающих взаимосвязь выход-
ных и входных величин объекта, дополненную ограничениями, на-
кладываемыми на эти величины условиями их физической реализа-
ции и безопасной эксплуатации.
Замечание
Подробно основы моделирования химико-технологических процессов
рассмотрены в [11].
Математические модели обычно строят на основе фундаменталь-
ных законов сохранения массы, энергии, импульса и количества
вещества. При этом в математическую модель не обязательно вклю-
чать большое количество алгебраических или дифференциальных
уравнений, в особенности, с частными производными, если это,
конечно, допустимо. Необходимо помнить, что более сложная мате-
матическая модель может точнее описать реальную физическую си-
стему, однако ее построение и проверка адекватности потребуют
больше экспериментальных данных. Кроме того, использование
сложной математической модели может привести к неоправданным
трудностям при анализе или синтезе системы управления. При со-
ставлении математического описания САУ приходится идти на свое-
образный компромисс противоречивых требований: математическая
модель должна быть простой, но в то же время наиболее полно и
верно отражать свойства реальной системы.
Дополнительная информация
Процесс математического моделирования, т. е. исследования явления
с помощью математического моделирования, подразделяют обычно на че-
тыре этапа
Первый этап: формулирование основных законов, связывающих ос-
новные объекты модели. Здесь требуется глубокое проникновение в изуча-
емое явление и необходимость сформулировать качественные представле-
ния о связях между объектами модели в математических терминах
Второй этап: исследование математических задач, к которым привело
математическое моделирование. На этом этапе необходимо решить прямую
задачу, иначе говоря, при анализе модели получить выходные данные для
их дальнейшего сопоставления с результатами наблюдения изучаемого яв-
ления. Важную роль играют на этом этапе математический аппарат и вы-
числительная техника.
80
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Третий этап: выяснение вопроса о согласовании результатов наблюде-
ний с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюде-
ния, т. е. удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию прак-
тики. Поскольку часто при построении модели некоторые характеристики
не определяются, приходится решать обратные задачи, в которых характе-
ристики модели (параметрические, функциональные) определяются таким
образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точ-
ности наблюдений с результатами наблюдений изучаемого явления. Если
ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить,
то модель не пригодна для исследования изучаемого явления.
Четвертый этап: последующий анализ модели (в связи с накоплением
данных об изучаемом -явлении) и ее уточнение. Однако может наступить
момент, когда выводы, полученные на основе предложенной модели, не
соответствуют нашим знаниям о изучаемом явлении, и тогда необходимо
построить более совершенную модель.
Рассмотрим классический пример, иллюстрирующий характерные эта-
пы построения математической модели: модель Солнечной системы.
Первый этап: наблюдения звездного неба в далекой древности позво-
лили выделить планеты из всего многообразия небесных светил (выделе-
ние объектов изучения).
Второй этап: определение закономерностей движения планет (опреде-
ления объектов и их взаимосвязей являются исходными положениями —
«аксиомами» — гипотетической модели). Модели Солнечной системы под-
вергаются ряду усовершенствований: первая геоцентрическая модель Пто-
лемея, выдвинутая во II веке н.э. (планеты и Солнце вращаются вокруг
Земли), описывает движения планете помощью правил (формул). В 1543 г.
Н. Коперник предлагает новую качественную (но не математическую) ге-
лиоцентрическую модель, полагающую, что планеты вращаются вокруг
Солнца. Но пока еще не существует параметров системы (радиусов ок-
ружностей и угловых скоростей движения), приводящих в соответствие
количественные выводы теории с наблюдениями. Затем (начало XVII в.)
И. Кеплер предлагает кинематическую модель, описывая движение каждой
модели обособленно, не вскрывая причины, вызывающие эти движения.
Третий этап: И. Ньютон (вторая половина XVII в.) предлагает динами-
ческую модель, основанную на законе всемирного тяготения, которая со-
гласуется с кинематической моделью, поскольку из динамической системы
двух тел «Солнце—планета» следуют законы Кеплера.
Четвертый этап: К середине XIX в. выводы динамической модели, объек-
тами которой были видимые планеты, входят в противоречие с накоплен-
ными наблюдениями: движение Урана уклоняется от движения, теорети-
чески вычисляемого. И тогда У. Неверье (1846) расширяет систему наблю-
даемых планет новой гипотетической планетой (названной им Нептуном)
и строит новую математическую модель Солнечной системы, определяя
массу и закон движения новой планеты так, что противоречия с движения
Урана снимаются. Неверье указывает место новой планеты, образно говоря,
кончиком пера, и планету Нептун открывают. В 1930 г. таким же образом —
расхождением теоретической и наблюдаемой траекторий движения — от-
крывают планету Плутон.
3.1. Моделирование как метод исследования САУ
81
Математическая модель должна учитывать все наиболее суще-
ственные особенности объекта управления, важные с точки зрения
его управления, и достаточно полно и верно качественно и количе-
ственно описывать его свойства.
По своей физической сути процессы, протекающие в объекте
управления, делятся на детерминированные и стохастические.
Детерминированными называются такие процессы, в которых
определяющие величины изменяются непрерывно по вполне опре-
деленным закономерностям. При этом значения выходных величин,
характеризующих процесс, однозначно определяются значениями
входных величин. Для математического описания детерминирован-
ных процессов применяют методы классического анализа и числен-
ные методы.
Пример детерминированного процесса: перемешивание реакци-
онной смеси в проточном реакторе с мешалкой, в котором достига-
ется ее равномерное перемешивание.
Зная математическую модель детерминированной САУ, можно
предсказать, как будет изменяться выходная величина системы в
ответ на любое входное воздействие, что очень важно для оценки
работающих и проектирования новых САУ.
Любая САУ осуществляет преобразование информации, т. е. каж-
дой входной величине ставится в соответствие определенная выход-
ная величина. Допустим, что X и Y — множества входных и выход-
ных сигналов детерминированной САУ. Если каждому элементу xg X
ставится в соответствие определенный элемент у е У, то тем самым
задается оператор системы А. Взаимосвязь между входом и выходом
системы может быть записана в виде:
j’(t) = Ях(т): х(т) = Л“'у(т) (3.1)
Операторное уравнение (3.1) считают математической моделью
детерминированной САУ, так как оно устанавливает количествен-
ную взаимосвязь между входом х(т) и выходом Хт) системы.
В подавляющем большинстве случаев операторное уравнение
системы относится к классу дифференциальных уравнений (или экви-
валентных им интегральных уравнений).
Задать оператор системы означает задать правило определения
выходного сигнала этой системы по ее входному сигналу.
Стохастическими называются такие процессы, в которых опре-
деляющие величины являются случайными величинами с опреде-
ленным распределением вероятностей. При этом значения выход-
ных величин, характеризующих процесс, не находятся в четком со-
ответствии со значениями входных величин. Для математического
описания стохастических процессов применяют аппарат теории ве-
роятности и математической статистики.
82
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Пример стохастического процесса: турбулентные течения жид-
костей и газов.
В соответствии с делением процессов, протекающих в объекте
управления, различают детерминированные и стохастические мате-
матические модели.
Замечание
Стохастические математические модели используются также при ана-
лизе больших химико-технологических систем.
САУ можно классифицировать по классам дифференциальных
уравнений, которыми они описываются. Следуя классификации си-
стем управления по математическому описанию, все системы уп-
равления делятся на два основных класса: линейные и нелинейные
(т. е. по виду дифференциальных уравнений, описывающих поведе-
ние системы в динамике). При этом каждый класс систем разбит на
четыре группы: стационарные с сосредоточенными параметрами;
стационарные с сосредоточенными и распределенными парамет-
рами; нестационарные с сосредоточенными параметрами; неста-
ционарные с сосредоточенными и распределенными параметрами
(см. разд. 2.4.7).
Первая группа систем описывается обыкновенными дифферен-
циальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Во вто-
рой группе в системах с распределенными параметрами отдельные
устройства системы (или объект управления в ней) описываются
дифференциальными уравнениями с частными производными.
Если основные переменные ХТП изменяются только во време-
ни, то модели, описывающие такие процессы, называют математи-
ческими моделями с сосредоточенными параметрами и представляют
их в виде обыкновенных дифференциальных уравнений.
Если основные переменные ХТП изменяются и во времени, и в
пространстве, то модели, описывающие такие процессы, называют
математическими моделями с распределенными параметрами и пред-
ставляют их в виде дифференциальных уравнений с частными произ-
водными.
Полная математическая модель включает описание связей между
основными переменными процесса в статическом режиме (стати-
ческая модель) и во времени при переходе из одного режима в другой
(динамическая модель).
Статическая модель. Вначале анализируют физико-химические
закономерности технологического процесса, его целевое назначе-
ние, основные уравнения, которыми можно описать этот процесс и
его особенности. Затем выявляют входные (управляющие и возму-
щающие воздействия) и выходные (управляемые переменные) пе-
3.J. Моделирование как метод исследования САУ
83
ременные процесса. Далее определяют связи между названными пе-
ременными и граничные условия протекания процесса. Статичес-
кая модель содержит уравнение, описывающее поведение объекта в
статическом режиме, т. е. показывает взаимосвязь между входными
и выходными величинами объекта управления:
y=f(u,d), (3.2)
где и — управляющее воздействие; d — возмущающее воздействие.
Это уравнение называется уравнением статики и является алгеб-
раическим или дифференциальным уравнением, содержащим про-
изводные по какому-либо параметру, кроме времени (условие неиз-
менности координат во времени).
Динамическая модель. Построение динамической модели пред-
полагает определение динамических характеристик процесса экспе-
риментально, теоретически или сочетая оба способа. Динамическая
модель содержит уравнения динамики
y=f(u,d,i), (3.3)
устанавливающие взаимосвязь между основными переменными про-
цесса при изменении их во времени (т. е. описывающие поведение
объекта в динамическом режиме), а также ограничения, накладыва-
емые на переменные:
Утт — У — .Утах’
Snin — и — нтах •
Динамическая модель процесса может быть построена в виде
передаточных функций, в виде обыкновенных дифференциальных
уравнений или дифференциальных уравнений с частными произ-
водными, в виде конечно-разностных уравнений, в виде спектраль-
ных характеристик и т. д.
Уравнение статики можно получить из уравнения динамики, если
все входящие в него производные по времени приравнять к нулю.
Дополнительная информация
Наряду с применяемым методом переменных вход—выход в теории авто-
матического управления используется метод переменных состояния, который
оказывается более удобным для исследования таких свойств систем управле-
ния, как наблюдаемость, идентифицируемость, управляемость, адаптируемость.
Наблюдаемость. Измерение, наблюдение — необходимая составная часть
управления. «Наблюдение», «измерение» сопровождается измерением ко-
ординат, параметров и в понятия «наблюдение», «измерение» вкладывает-
ся практически одинаковый смысл. В отличие от понятий «наблюдение»,
«измерение» понятия наблюдаемость и измеримость отличаются различным
содержанием в теории автоматического управления. Под измеримостью по-
84
Глава 3. Основы теории автоматического управления
нимают возможность непосредственного измерения той или иной физи-
ческой величины, а под наблюдаемостью понимают возможность косвен-
ного определения величин на основе измерения некоторых других величин
и использовании априорной информации. Наблюдаемость рассматривают
как в пространстве состояний, так и в пространстве сигналов.
Идентифицируемость. Параметрическая идентифицируемость пред-
ставляет собой возможность определения параметров математической
модели системы или технологического процесса по результатам измере-
ния определенных выходных величин в течение некоторого интервала
времени
Управляемость. Понятие управляемости связано с переходом системы
из одного состояния в другое. Управляемости придают либо структурно-
качественный, либо количественный смысл. Структурно-качественный
смысл управляемости появляется как принципиальная возможность пере-
хода управляемой системы из одного заданного множества состояний в
другое множество состояний за конечное время. При количественном ис-
следовании управляемости рассматривают различные характеристики пе-
реходных процессов при простейших типовых управляющих воздействиях.
Управляемость, как правило, рассматривают применительно к детермини-
рованным процессам (возможно построение стохастических аналогов за-
дач управляемости). Рассматривают управляемость как динамических объек-
тов, не оснащенных регуляторами, так и систем, содержащих множество
замкнутых контуров управления. В любом случае управляемость зависит от
структуры системы, состава органов управления, значений параметров,
располагаемой энергии управления.
Адаптируемость рассматривают как частный случай управляемости
3.1.2. Декомпозиция САУ
Объекты управления химической технологии характеризуются
высокой сложностью и в общем случае являются инерционными,
вероятностными, многомерными, нелинейными, нестационарными
динамическими системами. Они описываются нелинейными диф-
ференциальными уравнениями с частными производными, реше-
ние которых в общем виде получить довольно сложно.
Большинство задач, связанных с исследованием САУ химико-
технологических объектов, решается на основе детерминирован-
ной, одномерной или многомерной, линейной, стационарной ма-
тематической модели с сосредоточенными параметрами. Такая
модель позволяет применять принцип суперпозиции, заключающийся
в том, что каждая входная величина системы создает свою состав-
ляющую выходной величины независимо от изменения других
входных величин. Другими словами, это позволяет рассматривать
поведение САУ отдельно по каждому каналу прохождения сигна-
ла от его входа к его выходу (рис. 3.1). Поэтому естественно жела-
ние описать динамическое поведение САУ линейными неодно-
3.1. Моделирование как метод исследования САУ
85
Рис. 3.1. Схема двухканаль-
ной системы, иллюстрирую-
щая принцип суперпозиции
родными дифференциальными уравнениями с постоянными ко-
эффициентами.
Примечание
Принцип суперпозиции (принцип наложения) — допущение, согласно
которому результирующий эффект сложного процесса воздействия пред-
ставляет собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в от-
дельности, при условии, что последние взаимно не влияют друг на друга.
Принцип суперпозиции строго применим к так называемым линейным сис-
темам. поведение которых описывается линейными соотношениями
Чтобы облегчить математическое описание, САУ разбивают на
отдельные элементы (динамические звенья), получить математичес-
кую модель каждого из которых проще, чем для САУ в целом. Такая
процедура называется декомпозицией
При анализе и синтезе САУ разделяю г на элементы не по функ-
циональному или конструктивному признаку, а по динамическим свой-
ствам, что позволяет разные элементы системы с различными прин-
ципами действия и с различным конструктивным оформлением опи-
сать одинаковыми уравнениями.
Полученные в результате декомпозиции САУ динамические зве-
нья должны быть направленного действия (сигнал в звене идет в од-
ном направлении — только от входа к выходу; сигнал на выходе
звена не оказывает никакого воздействия на сигнал на его входе).
Очевидно, что математическое описание (получение дифферен-
циального уравнения) всей САУ составляется из математических
описаний (дифференциальных уравнений) ее отдельных элементов,
причем стандартные средства автоматики, такие как управляющие
устройства (регуляторы, контроллеры), первичные измерительные
преобразователи (датчики), исполнительные устройства (регулиру-
ющие органы и исполнительные механизмы) и др., имеют заведомо
известные характеристики и описываются известными уравнения-
ми. Совокупность всех уравнений элементов позволяет получить
уравнение системы управления в целом.
Пример: на рис. 3.2, а изображен каскад, состоящий из двух
реакторов. На выходе из второго реактора поставлен насос, а патру-
бок из первого реактора не опущен во второй реактор. Если изме-
нить производительность насоса, то уровень реакционной смеси во
86
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Рис. 3.2. Объект регулирования — каскад, состоящий из двух реакторов:
а — объект по каналу управляющего воздействия можно разбить на де-
тектирующие звенья (см. рис. 3.3); б — объект нельзя разбить на детек-
тирующие звенья. L2 — регулируемый параметр; F2 — возмущающее воз-
действие; F — управляющее воздействие
втором реакторе изменяется, однако это изменение не скажется на
притоке жидкости из первого реактора во второй. В этом случае
система реакторов разбивается на детектирующие звенья (рис. 3.3).
Патрубок на выходе из первого реактора удлинили и поместили во
второй реактор (рис. 3.2, б). Второй реактор перестает быть детекти-
рующим звеном, поскольку изменение уровня реакционной смеси
во втором реакторе при изменении производительности насоса вли-
яет на поступление жидкости из первого реактора во второй. В этом
случае система реакторов не разбивается на детектирующие звенья.
Рассмотрим локальную САУ как линейную систему. В этом слу-
чае уравнение динамики линейной системы и-го порядка представ-
ляет собой неоднородное линейное дифференциальное уравнение с
постоянными коэффициентами, записываемое так:
dny dn-‘y
а„ —— + ।-----—
" dr" dr'
dmx dm-*x
“ dT™ + ^-1 dTzn-l
dy
^r + - + aid7 + o°r =
+ - + bl^- + box.
ат
(3-4)
Рис. 3.3. Структурная схема
объекта (рис. 3.2, а), представлен-
ного в виде детектирующих зве-
ньев по каналу управляющего
воздействия
3.1. Моделирование как метод исследования САУ
87
Решить уравнение (3.4) — значит найти у = /(т) при известном
изменении входного воздействия х во времени.
Замечание
Если правая часть уравнения (3.4) будет равна 0, тогда получим одно-
родное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффи-
циентами.
Для решения любой задачи, связанной с анализом динамики САУ,
необходимо располагать дифференциальным уравнением исследуе-
мой системы. Итак, при составлении дифференциальных уравнений
динамики системы автоматического управления (регулирования) ее
разбивают на динамические звенья и записывают уравнения каждо-
го звена в отдельности. Уравнения всех звеньев представляют собой
единую систему, которую возможно преобразовать к одному урав-
нению, исключая промежуточные переменные.
Такие динамические звенья отличаются друг от друга математичес-
кими зависимостями, связывающими входные и выходные параметры,
и обладают детектирующими свойствами (направленностью действия).
Итак, динамическое звено — это математическая модель системы
управления или любого ее элемента, отражающая определенные
динамические свойства элемента вне зависимости от физической
природы протекающих в нем процессов. Например, с точки зрения
динамических свойств термоэлектрический преобразователь, гидрав-
лическая емкость, электрическая RC-цепь, регулирующий клапан
являются одинаковыми динамическими звеньями, поскольку опи-
сываются одним и тем же дифференциальным уравнением.
3.1.3. Составление дифференциальных уравнений
элементов САУ
Составление дифференциальных уравнений основано, как пра-
вило, на законах сохранения массы и энергии и уравнениях связи
между качественными (интенсивными) и количественными (экстен-
сивными) параметрами. При составлении дифференциального урав-
нения выявляются все факторы, от которых зависит исследуемый
процесс. Как правило, для большого диапазона изменения управля-
емой величины уравнения статики не линейны.
Первый шаг в составлении уравнений динамики элемента систе-
мы управления — выявление физического закона, определяющего
его поведение: закон сохранения массы и энергии, второй закон
Ньютона, другие основные законы физики. Исходное дифференци-
альное уравнение элемента САУ — это, по существу, математичес-
88
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Рис. 3.4. Схема резер-
вуара со свободным
истечением жидкости
кое выражение физического закона, определя-
ющего поведение этого элемента.
Затем, второй шаг — определение факторов,
от которых зависят переменные, входящие в
исходное дифференциальное уравнение, и ус-
тановление аналитических выражений, харак-
теризующих эту зависимость.
Рассмотрим пример (рис. 3.4) — резервуар
со свободным истечением жидкости, где FBX —
объемный расход поступающей в резервуар
жидкости (приток); fBbIX — объемный расход
жидкости на выходе из резервуара (сток); L —
уровень жидкости в резервуаре; V — объем жид-
кости в резервуаре; А — площадь поперечного
сечения резервуара (А = const).
Запишем уравнение материального баланса
резервуара:
(FBX-FBbIX)dT = dr.
(3-5)
Объем жидкости в резервуаре:
dV= d(AL) = AdL. (3.6)
Величина объемного расхода на линии стока определяется уров-
нем жидкости в резервуаре:
Л.ь,х = ovi, (3.7)
где коэффициент а зависит от гидравлического сопротивления и
площади поперечного сечения выходного патрубка. При небольших
изменениях расхода величину а можно считать постоянной
Подставим выражения (3.6) и (3.7) в уравнение (3.5)
ГТ Г~Г Л dL
^вх — L — А
ат
и преобразуем его, получив при этом:
Л dL
a dr
ГГ 1 г
+ 41-арвх.
(3.8)
Как мы уже говорили, реальные системы чаще всего можно опи-
сать нелинейными уравнениями. Действительно, даже в этом конк-
ретном случае статическая характеристика (3.7) не линейна. Жела-
тельно упростить это уравнение, т. е. заменить нелинейное уравне-
ние на линейное. Замена реальной нелинейной характеристики
линейной называется линеаризацией.
3.]. Моделирование как метод исследования САУ
89
3.1.4. Линеаризация уравнений
Линеаризуем нелинейную статическую характеристику рассмот-
ренного выше примера графическим методом (рис. 3.5). Линеариза-
цию проводят относительно некоторого статического режима, в каче-
стве которого удобно использовать номинальный статический режим.
Выберем на графике зависимости £вь|х = f(L) точку с координа-
тами (£0, £вых0), соответствующую заданному (или номинальному)
режиму работы резервуара. То есть £вых0 соответствует Lo в номи-
нальном режиме. Введем обозначения:
д£(т) = £(т)-£0;
(Т ) = FBUX (Т) - ЛыхО = Лых [£ W] - Л>ых (М‘
Величины Д£вых и Д£ называют отклонениями параметров от но-
минальных значений (или приращениями параметров), а уравне-
ния, в которых эти величины используются, называют «уравнения-
ми в отклонениях» (или «уравнениями в приращениях»).
Если отклонения уровня жидкости в резервуаре Д£ и стока жид-
кости ДГВЫХ достаточно малы, то криволинейный участок статичес-
кой характеристики £вых = f (£) в окрестностях точки (£0, FBUx0)
можно заменить прямой линией (касательной или секущей).
Проводя через точку (£0, Гвых0) касательную к линеаризуемой
статической характеристике, в определенных пределах заменяем кри-
волинейный участок статической характеристики на прямолиней-
ный. Рассматриваемый рабочий участок изобразим в новой системе
координат д£ — ДГВЫХ (рис. 3.6).
Запишем уравнение рабочего участка (прямой линии):
^Ых-^ь.хо=Л(1-^о)> (3-10)
Рис. 3.5. Графическая линеаризация
статической характеристики
Рис. 3.6. Линеаризованная
статическая характеристика.
Новая система координат со-
ответствует приращению па-
раметров
90
Глава 3. Основы теории автоматического управления
или, пользуясь обозначениями (3.9),
ДГВЫХ=£Д£, (311)
где к = tga определяет крутизну характеристики (3.11).
Математической основой такого метода линеаризации является
разложение непрерывной функции, дифференцируемой в окрестно-
стях точки (£0, £выхо)' соответствующей заданному (или номиналь-
ному) режиму работы системы, в ряд Тейлора, с ограничением его
линейными членами. Разложим функцию (3.7) в ряд Тейлора:
( AF )
F = F п + ВЬ|Х
* ВЫХ хВЫХ0 J
(£-£0) Jd2FBb.x
1! [ d£2
Ограничив ряд Тейлора (3.12) линейными членами, получим
приближенное уравнение
F - F Л
л вых ' вых 0
_ f С1£вы.х
d£ J.
(£ - £0),
(3.13)
которое окажется тем ближе к точному уравнению, чем меньше бу-
дет отклонение уровня от номинального значения.
Дифференцируя (3.7) по £ и подставляя £ = £0, получим выра-
жение для производной, входящей в уравнение (3.13):
_ Гд(а71)1 1
dl-' )l0 - d£ .z0 2 j
В результате вместо точной, но нелинейной статической ха-
рактеристики (3.7) получаем приближенную, но линейную харак-
теристику:
F - F п = —
л ВЫХ ‘ ВЫХ 0 2
(3.14)
или, используя обозначения (3.9), выражение (3.11):
Д£ = £д£.
Результатом линеаризации явилось уравнение объемного расхо-
да на линии стока в приращениях (или отклонениях), выраженное в
абсолютных единицах, причем каждый член уравнения имеет опре-
деленную размерность.
3.2. Динамические характеристики САУ
91
Замечание /
Довольно часто при исследовании САУ для удобства используют урав-
нения в относительных единицах с безразмерными коэффициентами (или с
коэффициентами, имеющими размерность времени в степени, соответству-
ющей порядку производной, при которой стоит данный коэффициент).
Чтобы дифференциальное уравнение в абсолютных отклонениях при-
вести к уравнениям в относительных единицах, выполняют следующие
операции.
1. Все члены уравнения делят на постоянную величину (например,
номинальное значение, максимальное значение, некоторое начальное зна-
чение данной переменной) с размерностью членов этого уравнения, в ре-
зультате чего каждый член исходного уравнения становится безразмерным.
2. Переходят к относительным единицам. Выбирают постоянное зна-
чение для каждой координаты, каждого приращения, входящего в полу-
ченное уравнение, и к нему относят его приращение.
3 Вводят обозначения относительных единиц и коэффициентов урав-
нения.
Замечание И
При анализе систем управления, элементы которых содержат суще-
ственно нелинейные характеристики, применяют методы нелинейной тео-
рии автоматического управления.
3.2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ САУ
Системы автоматического управления являются динамическими
системами, поэтому их качество оценивается по поведению в двух
режимах работы: установившемся (частным случаем установившего-
ся режима является статический режим) и неустановившемся. или
переходном (динамическом).
Установившийся режим — это реакция системы, остающаяся спус-
тя большой промежуток времени с момента приложения входного сиг-
нала. В установившемся режиме решаются две основные задачи: со-
гласование диапазонов изменения переменных в элементах системы
управления с диапазоном изменения переменных объекта управления
и определение коэффициента усиления управляющего устройства.
Замечание
В установившемся режиме в общем случае регулируемая величина
может быть постоянной (системы стабилизации), изменяться по опреде-
ленному заданному закону (программные системы), изменяться по заранее
не известному закону в соответствии с изменением ведущей величины (сле-
дящие системы). Поэтому установившийся режим называют режимом невоз-
мущенного движения системы.
Переходный режим характеризуется переходом динамической
системы из одного равновесного состояния в другое. Для переход-
92
Глава 3. Основы теории автоматического управления
ного режима формулируются показатели качества управления, со-
ставляется математическое описание процессов, протекающих в
объекте управления, решается задача синтеза структуры управляю-
щего устройства с определением параметров настройки на основе
заданных показателей качества управления, выполняется анализ и
дается оценка работы системы в заданных условиях
Замечание
Переходный процесс в системе определяет возмущенное движение
системы, характеризующее отклонение координат системы и их производ-
ных от установившихся значений при невозмущенном движении системы.
Частному случаю установившегося режима — статическому ре-
жиму — соответствуют уравнения статики системы, а переходному
режиму — уравнения динамики системы.
Элементы САУ ХТП можно представить в виде типовых дина-
мических звеньев, а также их соединений (комбинаций) Понятие
типовых звеньев автоматических систем управления введено и в
инженерную практику, поскольку оно позволяет структурно пред-
ставить систему управления любой сложности в виде набора эле-
ментарных типовых звеньев, определенным образом связанных между
собой. Зная динамические и статические свойства элементарных
типовых звеньев, их характеристики и передаточные функции, мож-
но в значительной степени упростить задачи анализа и синтеза САУ.
При рассмотрении функциональной блок-схемы локальной САУ
выходная величина каждого предшествующего функционального
элемента является входным воздействием последующего функцио-
нального элемента (см. рис. 2.14). Отсюда, как было сказано выше,
следует, что САУ составлена из элементов направленного действия
(или детектирующих элементов), иначе говоря, выходная величина
любого элемента системы зависит от изменения только его входной
величины, а обратное влияние выходной величины непосредствен-
но через рассматриваемое звено на входную величину отсутствует.
Именно возможность раздробления САУ на типовые динамические
звенья направленного действия (декомпозиция) в значительной мере
упрощает исследования поведения рассматриваемых систем в пере-
ходных режимах. Для таких исследований обычно составляют струк-
турную схему системы управления, при этом звено условно обозна-
чают в виде прямоугольника с указанием входных и выходных вели-
чин, а также передаточной функции внутри него.
Замечание
Обращаем особое внимание на то, что при рассмотрении переходных
процессов, протекающих в звене, до начала процесса звено находится в дина-
мическом равновесии, иначе говоря, существуют нулевые начальные условия.
3.2. Динамические характеристики САУ
93
3.2.1. Использование преобразования Лапласа
для анализа САУ
Операционное исчисление — один из методов математического
анализа, получивший широкое распространение для решения раз-
личных сложных задач физики, электротехники, механики, хими-
ческой кинетики, автоматики. В основе метода лежит идея замены
изучаемых функций (оригиналов) некоторыми другими функциями
(изображениями), получаемых из первых по определенным прави-
лам. Одно из таких преобразований носит имя Лапласа (преобразо-
вание Лапласа).
Преобразование Лапласа — математический метод, позволяющий
сравнительно просто решать линейные дифференциальные уравне-
ния. В результате преобразования дифференциальное уравнение в
пространстве оригиналов приобретает форму алгебраического урав-
нения в пространстве изображений, в котором в качестве независи-
мой переменной вместо времени т используется комплексная пере-
менная 5. Применяя к решению полученного алгебраического урав-
нения обратное преобразование Лапласа, находим решение исходного
дифференциального уравнения. Как правило, уравнения переход-
ного процесса в САУ решаются именно этим методом из-за наличия
достаточно полных таблиц преобразований Лапласа. Другая причи-
на широкого распространения преобразования Лапласа — возмож-
ность ввести понятие передаточной функции и получить частотные
характеристики САУ.
Преобразование Лапласа функции/(т) действительной перемен-
ной т определяется соотношением:
F(s) = = JZ(т)е 5Tdr, (3.15)
о
где F(s) — функция комплексной переменной s; У — символ прямо-
го преобразования Лапласа. Функция /(т) называется оригиналом, а
функция F(s) — изображением (по Лапласу).
Функция /(т) действительной переменной т называется оригина-
лом, если она удовлетворяет условиям:
• /(т) = 0 при всех т < 0;
• на любом конечном отрезке [а, Ь] с [0, «>) функция /(т) имеет
не более конечного числа точек разрыва первого рода;
• существуют числа М > 0 и N > 0 такие, что
|/(т)| < MzN\ Vt > 0.
Наименьшее число N, для которого выполняется это неравен-
ство, называется показателем роста функции /(т).
94
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Если функция/(т) является оригиналом, то она может быть пре-
образована по Лапласу, и ее изображение F(s) определяется форму-
лой (3.15).
3.2.1.1. Свойства преобразования Лапласа
1. Линейность
Если функции /|(т) и f2(r) являются оригиналами, изображения
которых f|(5) и F2(s) соответственно, и если величины ct и с2 не
зависят от т и s, то справедливо равенство
(т) + с2/г (т)] = С1 (-5) + c2F2 (л). (3.16)
2. Дифференцирование оригинала
Если функция /(т) и ее производная /'("О являются оригинала-
ми, то справедливо равенство
SP[/'(t)] = 5F(5)-/(O), (3.17)
где /(0) = Дто/(т).
В случае преобразования второй производной:
*[/" (т)] = s2F (а) - sf (0) - f (0). (3.18)
В случае преобразования производной порядка п:
v[f{n} (т)] = snF(s) - s"-‘ f (0) -... - sf^ (0) - /"-* (0), (3.19)
где /(и)(0) = lim — ^Т-.
v ' т-»+о dr”
Таким образом, дифференцированию оригиналов отвечает ум-
ножение изображений на s. Это свойство позволяет сводить реше-
ние линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэф-
фициентами в области оригиналов к решению алгебраических урав-
нений в области изображений.
Чтобы упростить решение большинства задач автоматического
управления, дифференциальные уравнения записывают в отклоне-
ниях от режима, выбранного подходящим образом (обычно — но-
минального), что приводит к нулевым начальным условиям (началь-
ные значения функции и ее производных равны нулю).
Начальные условия — совокупность переменных величин процес-
са (например, температура, концентрация и т. д.) и некоторого их
числа производных в начальный момент времени (т = 0).
3.2. Динамические характеристики САУ
95
Нулевые начальные условия — переменные величины и их произ-
водные равны нулю в начальный момент времени.
Ненулевые начальные условия — хотя бы одно значение из пере-
менных или их производных при т = 0 не равно 0.
3. Интегрирование оригинала
Если функция /(т) является оригиналом и F(s) — его изображе-
ние, то справедливо равенство:
(3.20)
т. е. интегрированию в области оригиналов соответствует деление
изображения на s.
4. Теорема запаздывания
Если функция /(т) является оригиналом и F(s) — его изображе-
ние, то изображение смещенного оригинала $Р[/(т — c)J, где с > 0,
определяется равенством:
й’[/(т-с)]= F(s)e-C\
(3.21)
3.2.1.2. Передаточная функция звена
Передаточная функция показывает, какое действие совершает
звено над входным воздействием, иначе говоря, как изменяется сиг-
нал при его прохождении через звено (систему)
Передаточной функцией звена (линейной стационарной динами-
ческой системы) 1У(5) называется отношение изображения выход-
ного сигнала $Р[у(т)] к изображению входного сигнала У [х(т)] при
нулевых начальных условиях:
(3.22)
Передаточная функция (3.22) полностью характеризует динами-
ческие свойства системы. Если известны передаточная функция си-
стемы и вид входного воздействия, то возможно определить пере-
ходный процесс на выходе системы.
Итак, введение передаточной функции позволяет:
1) определить динамические свойства системы (звена);
2) перейти к частотным характеристикам (и с их помощью оце-
нить устойчивость системы),
3) определить тип звена.
96
Глава 3. Основы теории автоматического управления
(3.23)
Свойства передаточной функции
Передаточные функции устойчивых динамических систем обла-
дают следующими основными свойствами.
1. Передаточная функция W (s) представляет собой дробно-ра-
циональную функцию вида
= N(s) = bmsm + />m_15m~1 4-... 4- V + 60 .
D (5) a„sn + a^s"-1 +... + aj-s + а0
Отметим, что в реальной системе управления степень полинома
знаменателя больше (или равна) степени полинома числителя (л > т).
Замечание
Дробно-рациональная функция представляет собой частное двух мно-
гочленов.
2. Все постоянные коэффициенты b0, bt,..., b„, a0, а{,..., ат пере-
даточной функции W(s) действительны, поскольку они представля-
ют собой функции параметров системы, которые могут быть только
действительны.
3. Приравняв полином знаменателя передаточной функции (3.23)
к нулю, получим характеристическое уравнение системы
D(s) = 0. (3.24)
Корни характеристического уравнения (3.24) называются полю-
сами передаточной функции.
4. Корни полинома числителя передаточной функции называ-
ются нулями передаточной функции.
5. Недействительные нули и полюсы передаточной функции могут
быть лишь комплексно-сопряженными
6. Если все полюсы передаточной функции И^л) [корни уравне-
ния (3.24)] расположены в левой полуплоскости комплексной плос-
кости, то система устойчива.
7. Передаточная функция системы (3.23) перерождается в обыч-
ный коэффициент усиления системы, если 5 = 0.
8. Передаточная функция системы определяется, как отношение
полиномов правой и левой частей дифференциального уравнения
системы.
3.2.2. Временные характеристики
О динамических свойствах системы судят по ее реакции на ти-
повые входные воздействия (единичное ступенчатое, единичное
импульсное, с постоянной скоростью — рамповое и т. д.).
3.2. Динамические характеристики САУ
97
Временной характеристикой звена называют закон изменения
выходной величины звена во времени у(т) в ответ на изменение вход-
ного воздействия х(т) при условии, что до приложения входного
воздействия звено находилось в покое
3.2.2.1. Типовые входные воздействия
Единичное ступенчатое воздействие описывается единичной сту-
пенчатой функцией (функцией Хевисайда):
1(т) =
О при т < 0;
1 при т > 0,
(3.25)
изображение которой по Лапласу $\ 1(т)] = I/л (см. Приложение 2,
№2). График единичной ступенчатой функции (3.25) приведен на
рис. 3.7, а.
Единичное импульсное воздействие описывается единичной им-
пульсной функцией (дельта-функцией Дирйка), которая обладает
следующими свойствами:
0 при т * 0;
°° при т = 0,
(3.26)
J б(т)<1т = 1.
Дельта-функция Дирака относится к классу обобщенных функций
и не имеет графика с точки зрения классического математического
анализа. Ее можно рассматривать как предел последовательности им-
пульсов длительностью Дт и амплитудой 1/Дт при Дт —> 0 (рис. 3.7, б)
Изображение дельта-функции Дирака по Лапласу 5Р[б(т)] = 1 (см.
Приложение 2, № 1).
Рис. 3.7. Типовые входные воздействия:
а — единичное ступенчатое воздействие; б — единичное импульсное воз-
действие: в — единичное рамповое воздействие
4 Беспалов А. В.. Хартоно» Н. И.
98
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Примечание
Обобщенная функция — математическое понятие, обобщающее клас-
сическое понятие функции. В обобщенной функции находит отражение
тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в
точке, а можно измерить лишь ее среднее значение в достаточно малых
окрестностях данной точки. Обобщенная функция служит адекватным ап-
паратом описания распределений различных физических величин, поэто-
му обобщенные функции иногда называют распределениями. Введена впер-
вые в конце 20-х гг. XX века П. Дирйком в его исследованиях по квантовой
механике, где он систематически использует понятие дельта-функции и ее
производных
Единичное рамповое воздействие (воздействие с постоянной ско-
ростью) описывается единичной рамповой функцией:
изображение которой SP[т • 1(т)] = 1/л2 (см. Приложение 2, № 3).
График единичной рамповой функции (3.27) приведен на рис. 3.7, в.
3.2.2.2. Переходная характеристика
Переходная функция — аналитическое выражение отклика звена
на единичное ступенчатое входное воздействие при нулевых началь-
ных условиях:
Л(т) = S’ 1 РК (s) -
(3.28)
Произведение передаточной функции на изображение единично-
го ступенчатого воздействия, стоящее в квадратных скобках, соответ-
ствует изображению переходной функции, S’-1 — символ обратного
преобразования Лапласа. Графическое изображение переходной фун-
кции — переходная характеристика. График изменения выходного
сигнала при ступенчатом входном воздействии, отличающимся по
величине от единичного, называют обычно кривой разгона.
3.2.2.3. Импульсная переходная функция
Импульсная переходная функция (или функция веса) — аналити-
ческое выражение отклика звена на единичное импульсное входное
воздействие при нулевых начальных условиях:
w(t) = S? *[РК (л) • 1].
(3.29)
Графическое изображение импульсной переходной функции —
импульсная переходная характеристика (весовая характеристика).
3.2. Динамические характеристики САУ
99
3.2.2.4. Рамповая переходная функция
Рамповая переходная функция — аналитическое выражение от-
клика звена на единичное рамповое входное воздействие при нуле-
вых начальных условиях:
у(т) = 2?'1 •
s .
(3.30)
Графическое изображение рамповой переходной функции — рам-
повая переходная характеристика.
Переходная, импульсная переходная и рамповая переходная функ-
ции являются частными случаями временных характеристик.
Примечание
Иногда «характеристикой» называют не только графическое, но и ана-
литическое выражение отклика звена на входное воздейств! е В этом смысле
понятия «переходная функция» и «переходная характеристика» являются
синонимами.
Пример
► Найти изображение (по Лапласу) функции Хевисайда:
1(т) =
0, т < 0;
1, т > 0.
Решение. Находим изображение по формуле (3.15):
F(5) = Jl(t)e-STdT = -le-ST
о 5 о
S
Пример
► Найти изображение функции
/(т) = COST.
Решение. Представим/(т) = cost в виде линейной комбинации
функций:
е7 + е 7 lft 1 .
cost =-------= — eJ + —е
2 2 2
изображения которых известны:
Яе-Н = ——, = ——
' ' s-J ' ' s+J
4*
100
Глава 3 Основы теории автоматического управления
Согласно свойству линейности (3.16) получаем:
SP(cost) = #(^eJT + ^е Jx
1111 5
1---+Т-7=-Т—7-
2 s - j 2s + j sz+l
Пример
► Найти изображение функции
/(т) = 4 + 3е-т.
Решение. Функция f (т) является линейной комбинацией функ-
ций, изображения которых известны:
JP(1) = 1; 9р(е-’) = —.
S ' ' 5+1
Согласно свойству (3.16) линейности получаем:
У (4 + Зе-Т) = У [4 •!(?)] + у(3е“т) = 4^ + З-^-р
3.2.3. Частотные характеристики
Реакцию САУ или отдельных ее элементов на гармоническое
входное воздействие выражают с помощью частотных характерис-
тик. В отличие от временных характеристик, получаемых в переход-
ных режимах, частотные характеристики определяют в установившихся
колебательных режимах. Однако частотные характеристики имеют го-
раздо больший смысл, нежели просто описание реакции системы на
гармонический входной сигнал. Они связаны со структурой и свой-
ствами системы управления и широко используются в инженерной
практике как при анализе, так и при синтезе САУ.
Исследование систем управления с использованием частотных
характеристик называют исследованием в частотной области, а ме-
тоды исследования, в которых используются частотные характерис-
тики, — частотными методами.
Частотные методы очень хороши в практическом применении, и
большинство систем управления проектируется именно на основе
различных модификаций этих методов. Отличительной особеннос-
тью частотных методов является так называемая робастность (или
грубость). Это означает, что синтезированная с их помощью систе-
ма управления сохраняет требуемые характеристики, несмотря на
небольшие различия между моделью, на основе которой выполня-
лось проектирование, и реальной системой управления. Такая осо-
3.2. Динамические характеристики САУ
101
бенность имеет существенное значение из-за сложности построе-
ния точной модели реальной системы, из-за изменения параметров
системы при ее функционировании, а также в связи с тем, что мно-
гим системам присущи различного рода нелинейности, осложняю-
щие их анализ и синтез.
Частотные характеристики можно получить как на основе мате-
матической модели САУ, так и экспериментально. Эксперименталь-
ный метод получения частотных характеристик системы, не связан-
ный с определением ее математической модели, обладает рядом
преимуществ. Фактически это означает, что задачу синтеза системы
управления можно решать, располагая только частотными характе-
ристиками в случае невозможности получения математического опи-
сания из-за сложности или малой изученности системы.
Кроме того, одним из распространенных методов проверки адек-
ватности математической модели системы является построение на
ее основе частотных характеристик и сравнение их с частотными
характеристиками, полученными в результате экспериментального
исследования реальной системы.
К достоинствам частотных методов анализа и синтеза систем
управления можно также отнести и то, что они позволяют получить
характеристику системы в целом по характеристикам отдельных эле-
ментов системы независимо от их числа, в то время как анализ во
временной области (т. е. с использованием временных характерис-
тик) практически нецелесообразен для случая четырех и более эле-
ментов.
Частотные характеристики позволяют определить тип регулято-
ра, приемлемого в конкретной системе управления, и сравнительно
просто решить задачу об устойчивости САУ. Они дают информацию
о критической частоте и предельно допустимом усилении регулято-
ра, о запасах устойчивости и полосе пропускания системы управле-
ния. По частотным характеристикам можно также судить о времен-
ных характеристиках, что особенно важно при синтезе систем уп-
равления.
Если на вход устойчивого линейного стационарного динамическо-
го звена подать гармонический сигнал с частотой со и амплитудой Ах
х(т) = sin (сот)- 1(т), (3.31)
то после завершения переходного процесса в установившемся режи-
ме выходная величина динамического звена будет совершать вынуж-
денные гармонические колебания с той же частотой со, но с иной
амплитудой Ау и сдвинутые по фазе относительно входных колеба-
ний на угол ф (рис. 3.8):
.Увын (т) = АУ sin (шт + ф)• (3.32)
102
Глава 3 Основы теории автоматического управления
Рис. 3.8. Гармонические сигналы на входе х(т) и выходе увы„(т) устойчи-
вого линейного стационарного динамического звена в устано-
вившемся режиме
Положительное значение ф в выражении (3.32) означает опере-
жение по фазе, а отрицательное — отставание.
Для данного динамического звена отношение амплитуды коле-
баний выходной величины к амплитуде колебаний входного сигнала
Ау/Ах и фазовый сдвиг ф между колебаниями выходной величины и
входного сигнала зависят только от частоты колебаний со. Опреде-
ляя в установившемся режиме отношение амплитуд Ау/Ах и фазовый
сдвиг ф при разных частотах колебания входного сигнала (0 < со < °°),
можно экспериментально получить частотные характеристики ди-
намического звена.
Зависимость отношения амплитуды выходных колебаний к амп-
литуде входных колебаний Ау /Ах от частоты колебаний со называет-
ся амплитудной частотной (или амплитудно-частотной) характери-
стикой (АЧХ) и обозначается Л(со).
Зависимость фазового сдвига ф между выходными и входными
колебаниями от частоты со называется фазовой частотной (или фазо-
во-частотной) характеристикой (ФЧХ) и обозначается ф(со).
Замечание
В большинстве случаев возбудить гармонические колебания не очень
просто. При экспериментальном определении частотных характеристик
часто используют колебания в виде прямоугольной или трапецеидальной
волны, которые получить проще (см. разд. 4.1.3.3).
3.2.3.1. Частотная передаточная функция
Реакцию системы на гармоническое входное воздействие можно
не только определить экспериментально, но и рассчитать, если из-
вестно математическое описание системы.
3.2. Динамические характеристики САУ
103
Предположим, что гармонический сигнал (3.31) подан на вход
устойчивого линейного стационарного динамического звена, опи-
сываемого дифференциальным уравнением:
+ - + аоУ (т) = Ьт + - + box(z). (3.33)
Передаточная функция ^(s) такого динамического звена име-
ет вид:
= = Vm + - + A) = bmsm + ... + b0
*(5) s"+„. + a0 (s-pj + .^fc-p,,)’
где X(s) и Y (s) — изображения по Лапласу входного и выходного
сигналов; р{, ..., р„ — корни характеристического уравнения
з" +... + а0 = 0, (3.35)
называемые также полюсами передаточной функции. Следует заме-
тить, что для большинства реальных систем п > т.
Изображение входного сигнала по Лапласу равно (см. Прило-
жение 2)'
X(5) = в?[х(т)] = S?[Ax sin (ют) 1(т)] = АхШ . (3.36)
3 + 0Г
Чтобы найти изображение по Лапласу выходного сигнала, умно-
жим передаточную функцию на изображение входного сигнала:
У (5) = [у (г)] = W (5) • X (5) = W (5) . =
5 + (1)
ИЧл)________________• 7 =
(5 - ’ J
(3.37)
Выражение (3.37) можно разложить на простые дроби:
Y (s) = +... + —+ -Ь±1- + ,
•s - Р\ s- рп s - ju s + ум
(3.38)
где ch ..., с„+2 — постоянные величины, которые легко найти при-
равняв правые части уравнений (3.37) и (3.38):
_и/ц)л,ш _a_t (339)
(S - joy)(s + yiD) S - P\ s - pn s - Ju 3 + JCO
104
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Теперь по изображению выходного сигнала (3.38) можно найти
реакцию динамического звена на гармоническое входное воздей-
ствие, выполнив обратное преобразование Лапласа:
у(т) = 5ГЧ_+... + 5Г1 —+JT1 +-Г1 =
\s ~ Рп ) {s + jo))
= clePiX +... + c„ePnX + c„+lejan + ся+2е"у"т = (3.40)
= Ус fc) + Увын fr)>
где ус(т) описывает собственное движение системы, зависящее от
начальных условий, и стремится к нулю, так как все полюсы пере-
даточной функции устойчивой системы имеют отрицательные дей-
ствительные части:
lim ус(т) = lim [qe**1 +... + qe^l = 0, (3.41)
Т >ОО Т—> со L J
а уВЬ1Н(т) описывает вынужденное движение системы в установившемся
режиме, зависящее от входного воздействия:
УВЫн(т) = Сл+1еУшх+с„+2е->-. (3.42)
Чтобы определить значение постоянной величины ся+1, умно-
жим обе части равенства (3.39) на (л — у<о). Получим уравнение
1Г(5)Лх(0 С1(5-У(0) C„($-yw) С„+2(5-ую)
--------—_ _ --------+ ... +-------+ С_. ] +-----;---,
(5 + УЮ) S- Pi S - р„ S + J<£>
которое должно быть справедливым при любом значении s. Поло-
жим 5 = jo>. Тогда уравнение (3.43) дает значение с„+1:
(344)
усо + усо 2у
Умножив обе части равенства (3.39) на (л + у'о) и принимая в
получившемся уравнении 5 = —yto, получим значение с„+2.
(3.45)
Таким образом, с„+1 и ся+2 являются комплексными сопряжен-
ными числами и могут быть записаны в следующем виде (см. При-
ложение 4):
(3.46)
3.2. Динамические характеристики САУ
105
са+2 = A-.|^(_yco)|eya^-/<a) =^jH/(7w)|e-'a*^4 (3.47)
Подставим значения с„+1 и си+2 из формул (3.46) и (3.47) в урав-
нение (3.42):
Увыи(т) = ^|^(У<»)|-
/[ют+ащИЧ/ш)] -7[<OT+arglF(ym)]
V V
(3.48)
2J
и применим к выражению, стоящему в фигурных скобках, формулу
Эйлера:
cos <р + j sin <р = еуш. (349)
В результате получим:
Увын W = Л • | ^ О)| sin [сот + arg W (усо)] =
= Ау (со) sin [сот + ср (со)].
Таким образом, при гармоническом входном воздействии после
завершения переходного процесса выходная величина динамичес-
кого звена также совершает гармонические колебания с частотой,
равной частоте входных колебаний. При этом колебания выходной
величины смещены по фазе относительно колебаний входного сиг-
нала на величину
Ф (со) = arg W (усо), (3.51)
зависящую от частоты входных колебаний со. Отношение амплитуд
выходных и входных колебаний также является функцией со:
А (со) = А}, (со)/Лд. = | Ж(усо)|. (3.52)
Формулы (3.51) и (3.52) показывают, что для определения уста-
новившейся реакции динамического звена с передаточной функци-
ей И7^) на гармонический входной сигнал достаточно знать комп-
лексную функцию IK(усо), получающуюся при замене в передаточ-
ной функции 5 наусо:
^«=ую=^(»- <3'53)
Функция И7(усо) называется частотной передаточной функцией,
или передаточной функцией по Фурье, или [комплексной] частот-
ной характеристикой, и равна по определению отношению изобра-
жения Фурье (см. Приложения 5, 6) выходного сигнала динамичес-
кого звена к изображению Фурье входного сигнала:
^(jco) =
^[Ит)] _ П-М
х(т) А" (усо)
(3.54)
106
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Частотная передаточная функция характеризует динамические
свойства системы и не зависит от характера приложенных к системе
воздействий. С ее помощью можно определить реакцию системы не
только на гармонический входной сигнал, но и на любой другой
входной сигнал, который может быть преобразован по Фурье.
Частотную передаточную функцию можно представить или в виде
суммы действительной и мнимой частей
IF(jw) = Re[Hz (/w)] + j • 1ш[1К(У(о)] = w(co) + j • и (co), (3.55)
или в показательной форме
1Г(» = |H/(y(o)|eyarg’F(yw) = Л(со)еу<р(ш). (3.56)
Функции /и(со) и л(со) называются действительной (или веществен-
ной) и мнимой частотными характеристиками звена, а функции Л(со)
и ф(со) в соответствии с формулами (3.52) и (3.51) — амплитудной
частотной и фазовой частотной характеристиками. Взаимосвязь
между характеристиками определяется следующими уравнениями
(см. Приложение 4):
А (со) = у]т2 (со) + п2 (со), ср (со) = arctg
»(и)
т (со)
/и((о) = Л(со)-cos[cp(co)J, л(со) - H(co)-sin[<p(<o)].
(3.57)
Для каждого фиксированного значения частоты со = со, частот-
ная передаточная функция может быть изображена на комплекс-
ной плоскости радиусом-вектором, длина которого равна Л(со,), а
угол поворота относительно положительного направления оси абс-
цисс равен ср(св,).
3.2.3.2. Графическое представление
частотных характеристик
Существует несколько способов графического представления
частотных характеристик.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ), назы-
ваемая также диаграммой Найквиста, строится на комплексной плос-
кости и представляет собой годограф частотной передаточной функ-
ции при изменении частоты со от нуля до бесконечности. То есть
АФЧХ — это траектория, описываемая на комплексной плоскости
концом радиуса-вектора, модуль и аргумент которого соответствен-
но равны Л(ю) и ф(ш), при изменении частоты со от нуля до беско-
нечности (см., например, рис. 3.22).
3.2. Динамические характеристики САУ
107
Рис. 3.9. Частотные характеристики системы автоматического регулиро-
вания.
АЧХ — амплитудная частотная характеристика; ФЧХ — фазовая частот-
ная характеристика
Амплитудно-частотная характеристика А(ю) и фазово-частот-
ная характеристика <р(со) могут быть построены в линейных декар-
товых координатах (рис. 3.9), но такой способ представления час-
тотных характеристик находит ограниченное применение при ис-
следовании автоматических систем управления.
Весьма удобно использование логарифмических частотных ха-
рактеристик.
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ)
строится в логарифмической системе координат. По оси абсцисс
откладывают частоту в логарифмическом масштабе, т. е. наносят
отметки, расположенные на расстоянии 1gсо от начала координат, а
возле отметок пишут само значение частоты со, выраженное в ради-
анах в единицу времени. Аналогично поступают и с осью ординат:
откладывают Ig^(co), а рядом с отметкой пишут само значение Л(со).
Иногда по оси ординат откладывают величину £(со), выраженную в
децибелах (дБ) и пропорциональную величине 1g 4(со). Соответствие
между 1цЛ((о) в натуральных единицах и £(со) в децибелах выражает-
ся равенством
£ (со) = 101g А2 (со) = 201g А (со). (3.58)
Бел представляет собой логарифмическую единицу измерения,
соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел
соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 бела — в 100 раз и т. д.
108
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Таким образом, величина £(со) характеризует изменение мощности
сигнала при его прохождении через систему.
Децибел равен одной десятой части бела. Так как Л(ш) представ-
ляет собой отношение амплитуд выходного и входного сигналов, а
мощность гармонического сигнала пропорциональна квадрату его
амплитуды, то увеличение Л(ш) в десять раз будет соответствовать
увеличению мощности в сто раз, что равно двум белам или двадцати
децибелам. Поэтому в правой части равенства (3.58) стоит множи-
тель 20.
При построении логарифмической фазово-частотной характерис-
тики (ЛФЧХ) по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмичес-
ком масштабе так же, как при построении ЛАЧХ, а по оси ординат —
<р(со) в радианах (или угловых градусах), т. е. ЛФЧХ строится в полу-
логарифмической системе координат.
При использовании логарифмических характеристик интервалы
между частотами измеряются в декадах или октавах. Декадой назы-
вают интервал, на котором частота изменяется в 10 раз, а октавой —
в 2 раза.
Известно, что 1g 1 = 0, поэтому начало координат при построе-
нии логарифмических частотных характеристик соответствует часто-
те со = 1. Ось ординат может пересекать ось абсцисс в произвольном
месте в зависимости от интересующего нас диапазона частот, напри-
мер, в точке, соответствующей частоте со = 0,005, или со = 0,1, или
со = 100 и т. д. (естественно, исключая точку со = 0, так как 1g 0 = —<=°).
Важно учитывать, что точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс
соответствует значению Л(со) = 1, иначе говоря, прохождению сиг-
нала через систему без изменения амплитуды. Ветвь ЛАЧХ, распо-
ложенная в верхней полуплоскости, соответствует усилению сигна-
ла [Л(со) > 1, т. е. Ау > Лх], а в нижней полуплоскости — ослаблению
сигнала [Л(со) < 1, т. е. Ау < Ял.|.
ЛАЧХ и ЛФЧХ строят либо раздельно, либо в виде совмещен-
ной диаграммы, носящей название диаграммы Боде (по имени уче-
ного, выполнившего фундаментальное исследование в области тео-
рии усилителей с обратной связью).
Логарифмические частотные характеристики широко применя-
ются при анализе и синтезе САУ благодаря нескольким достоин-
ствам.
Кусочно-линейная аппроксимация логарифмических частотных
характеристик, которую без существенной погрешности можно при-
менять в довольно большом диапазоне частот, значительно облегча-
ет их построение. Чтобы построить аппроксимированные таким об-
разом логарифмические частотные характеристики, достаточно оп-
ределить наклоны прямолинейных отрезков и координаты точек их
сопряжения.
3.2. Динамические характеристики САУ
109
Довольно просто построить общие логарифмические частотные
характеристики нескольких последовательно соединенных звеньев.
Для этого на диаграмме Боде сначала строят логарифмические час-
тотные характеристики каждого звена, а затем их складывают, так
как при последовательном соединении звеньев справедливы следу-
ющие соотношения:
1g Л (со) = £ 1g Л,-(со); /=1 (3.59)
ф(<0) = ^фДсй). (3.60)
Замечание
С помощью кусочно-линейной аппроксимации логарифмических час-
тотных характеристик можно составить предварительное суждение о свой-
ствах системы управления в частотной области. Подобная кусочно-линей-
ная аппроксимация особенно полезна при синтезе систем частотными ме-
тодами.
Частотные характеристики системы управления полностью оп-
ределяют ее свойства. Понимание взаимосвязи частотной переда-
точной функции со структурой и свойствами системы управления
чрезвычайно важно для инженера. Компьютерные программы, ис-
пользуемые в настоящее время при анализе и проектировании сис-
тем управления, также предполагают наличие у пользователя неко-
торого представления об общем виде частотной передаточной фун-
кции. Отсутствие ясного представления о частотных характеристиках
может привести к неправильным компьютерным расчетам некото-
рых систем управления.
Поскольку частотные характеристики дают возможность судить
о временных характеристиках, их знание крайне необходимо при
синтезе систем управления с заданными свойствами
3.2.3.3. Некоторые термины, используемые
при частотном анализе систем управления
Для иллюстрации некоторых терминов, применяемых при час-
тотном анализе, на рис. 3.9 показан возможный вид частотных ха-
рактеристик автоматической системы управления.
Показатель колебательности М = Лтах(й))/Л(0) характеризует
склонность системы к колебаниям. Система, показатель колебатель-
ности которой меньше единицы, обладает апериодической переход-
ной характеристикой. Чем больше М, тем слабее затухают возника-
110
Глава 3. Основы теории автоматического управления
ющие в системе колебания, и тем ближе система к границе устойчи-
вости. Таким образом, величина М может служить мерой запаса ус-
тойчивости системы. Как правило, в реальных системах регулирова-
ния 1,1 < М < 1,5. При этом в переходном процессе система совер-
шает быстро затухающие колебания с частотой, близкой к частоте
резонанса.
Резонансной частотой сор называют частоту, при которой АЧХ
имеет максимум:
А (шр) = Лтах (со). (3.61)
Гармонические колебания именно этой частоты претерпевают в
системе наибольшее усиление. Так как резонансная частота близка
к частоте колебаний системы в переходном процессе, она может
служить мерой быстродействия системы (или длительности пере-
ходных процессов).
Полоса пропускания системы — это интервал частот wcpl < со < соср2,
в котором выполняется условие:
к< Л(со)< Лтах (со), (3.62)
где к — положительное действительное число такое, что 0 < к < Ятах(со)
Частоты, соответствующие границам полосы пропускания, на-
зывают частотами среза соср. Если АЧХ равномерно убывает с рос-
том частоты, что характерно для многих систем управления с обрат-
ной связью в разомкнутом состоянии, то нижней границей полосы
пропускания будет частота со = 0, и система будет характеризоваться
лишь одной частотой среза, соответствующей верхней границе по-
лосы пропускания.
Замечание
В зависимости от конкретной ситуации выбор величины к может быть
основан на разных критериях. Наибольшее распространение получила ве-
личина к, определяемая равенством
к = : 201g/t = 201g Лтах (со)- Э,01 дБ (3.63)
J1
Определение к в соответствии с (3.63) означает, что на выходе системы
мощность гармонического сигнала, частота колебаний которого равна час-
тоте среза, будет в два раза меньше, чем мощность сигнала на частоте
резонанса, при условии, что на входе оба сигнала имели одинаковую мощ-
ность. В связи с этим используют термины «полоса пропускания по уров-
ню половинной мощности» и «полоса пропускания по уровню —3 дБ».
Другим распространенным значением величины к, которое использу-
ется при анализе системы управления с обратной связью по частотным
характеристикам разомкнутой системы, является значение к = 1. При та-
ком подходе под частотой среза шср понимается частота, при которой АЧХ
3.2. Динамические характеристики САУ
111
разомкнутой системы равна 1. Определенная таким образом частота среза
системы регулирования в разомкнутом состоянии близка частоте резонан-
са замкнутой системы и косвенно характеризует длительность переходного
процесса тпп. Так как колебания в переходном процессе «хорошо» настро-
енной системы регулирования затухают в течение одного или двух перио-
дов, то справедливо соотношение:
=(1...2)-—= (1...2)-—. (3.64)
^ср
Пример
► Найти частотную передаточную функцию резервуара со сво-
бодным истечением жидкости (см. рис. 3.4), если уровень жидкости
L связан с притоком жидкости в резервуар уравнением:
7’^1 + Д£ = £Г(д£вх), (3.65)
где Д£ — отклонение уровня жидкости в резервуаре от статического
номинального значения; д£вх — изменение притока по сравнению
со статическим номинальным значением; Т и К — постоянная вре-
мени и статический коэффициент усиления, зависящие от площади
сечения резервуара и гидравлического сопротивления стока.
Решение. Преобразуем дифференциальное уравнение (3 65) по
Фурье, воспользовавшись свойством линейности (см. Приложе-
ние 5)‘.
ТгГ
ёд£(т)
dr
+./ [Д£ (т)] = /Г ./ [ Д/^ (т)].
(3.66)
Затем, применяя теорему о дифференцировании, получим ал-
гебраическое уравнение
7>-зг[д£(т)] + аг[д£(т)] = К ^[Д£ю (т)], (3.67)
которое можно представить в виде
./ [Д£(т)] - (Tyco +1) = К ^[Д^ (т)]. (3.68)
Выразив из уравнения (3.68) отношение изображения Фурье
выходного сигнала к изображению Фурье входного сигнала, найдем
частотную передаточную функцию резервуара:
Ифсо) =
4д£(т)] К
.эг[АЛпх(т)] Tyco + Г
(3.69)
112
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Замечание
Сравнив частотную передаточную функцию резервуара со свободным
истечением жидкости с его передаточной функцией
Гй-Я-Л <’’»>
' ’ #[дГ (т)] 7s+1
приходим к выводу: частотную передаточную функцию легко получить из
передаточной функции, заменяя в последней s на ju>.
Пример
► Получить аналитические выражения АЧХ и ФЧХ резервуара
со свободным истечением жидкости. Частотная передаточная функ-
ция резервуара со свободным истечением жидкости получена в пре-
дыдущем примере.
Решение. Для определения АЧХ и ФЧХ по известной частотной пе-
редаточной функции И7(/со) можно воспользоваться двумя способами.
Способ 1. Умножим числитель и знаменатель частотной пере-
даточной функции (3.69) на комплексную функцию (1 — Ты]), со-
пряженную со знаменателем, для того чтобы освободиться в знаме-
нателе от мнимой единицы (см. Приложение 4).
В результате частотную передаточную функцию можно предста-
вить в виде суммы действительной (вещественной) и мнимой частей:
и/(. . К \-Ты] К К Ты
w ' Гео; + 1 1 - Ты] Т2ы2 + 1 Т2ы2 + Г
Откуда
»(Ш) = Ке[Ж(»] = (372)
/10+1
и(со) = 1т[И7(»] = ?^т. (3.73)
Из выражений (3.72) и (3.73) видно, что при изменении частоты со
от 0 до +°° действительная часть частотной передаточной функции т(ы)
принимает только положительные значения, а мнимая часть л(ео) —
только отрицательные. Следовательно, АФЧХ этого звена распола-
гается в четвертом квадранте комплексной плоскости.
Теперь найдем АЧХ и ФЧХ рассматриваемого звена, используя
уравнения (3.57):
А (со) = yjm2 (со) + п2 (со) =
К
у1т2ы2 +1 ’
ер (со) = arctg
я(<°)
/и (со)
= arctg (-Гео) = -arctg (Гео).
(3.74)
(3.75)
3.2. Динамические характеристики САУ
ИЗ
Способ 2. Воспользуемся тем, что частотная передаточная фун-
кция является дробью, числитель и знаменатель которой представ-
ляют собой в общем случае функции комплексного переменного, и
для них можно определить модуль и аргумент. Тогда АХЧ может
быть получена делением модуля числителя на модуль знаменателя
(см. Приложение 4):
А (св) = |Ж (усо)| = 1--^ --I = |-Д~. = -К , (3.76)
Tcoj + 1 |Ло/ + 1| +1
а фазовая частотная характеристика — как разность аргументов чис-
лителя и знаменателя:
<p(w) = агё|^у + 1 J = arg(^) - arg(Twj +1) =
= arctg(О/AQ-arctg(7Ъ/1) = 0-arctg(Tco) = -arctg(Tw).
3.2.4. Структурные схемы
Структурной схемой в теории автоматического управления назы-
вают графическое изображение математической модели САУ в виде
соединения звеньев. Звено на структурной схеме условно обозначают
в виде прямоугольника с указанием входных и выходных величин, а
также передаточной функции внутри него. Точка на линии связи между
звеньями, в которой происходит разветвление линии (один и тот же
сигнал подается на входы других звеньев), называется узлом.
Сумматоры и элементы сравнения изображают в виде круга, раз-
деленного на секторы (рис. 3.10). В элементе сравнения сектор, на
который подается «вычитаемое», затемняют.
Структурные схемы широко используют-
ся при исследовании и проектировании САУ,
так как они дают наглядное представление о
связях между звеньями и преобразованиями
сигналов в системе. На основе понятия пере-
даточной функции в теории автоматического
управления построен аппарат структурных
преобразований, позволяющий найти переда-
точную функцию замкнутых систем управле-
ния, заданных структурными схемами. Сколь
ни была бы сложна структурная схема, ее мож-
но изобразить, используя три основных типа
соединения звеньев: последовательное, парал-
лельное и с обратной связью.
Рис. 3.10. Обозначения
сумматоров и элементов
сравнения на структур-
ных схемах
114
Глава 3. Основы теории автоматического управления
3.2.4.1. Последовательное соединение звеньев
При последовательном соединении звеньев выходная величина
каждого предшествующего звена является входным воздействием
последующего звена (рис. 3.11).
При преобразовании структурных схем цепочку из последова-
тельно соединенных звеньев можно заменить одним звеном с пере-
даточной функцией, равной произведению передаточных функций
отдельных звеньев:
" 'Wn(s)’
(3-78)
где X(s) — изображение по Лапласу входного воздействия; У($) —
изображение по Лапласу выходного сигнала; ^(л), И^л),..., И^(л) —
передаточные функции отдельных звеньев.
Доказательство. Известно, что по передаточной функции звена
(системы) W(s) и изображению ее входной величины X(s) можно
найти изображение выходной величины:
Y(s) = И/(л) Да).
(3.79)
Записав аналогичное (3.79) выражение для каждого звена в струк-
турной схеме, изображенной на рис. 3.11, получим систему уравнений:
Г, (5) =^(5)^(5);
^(5) = ^, (5)^(5);
(3.80)
^(^=^„(5)^(5).
Исключив из системы уравнений (3.80) все промежуточные ве-
личины, придем к следующему равенству:
Г(5) = [^(5)-1Г2(5).....И;(5)]У(5).
(3.81)
Из полученного выражения-(3.81) находим передаточную функ-
цию последовательно соединенных звеньев:
И' (*) = (а). (s)..... Wn (5) = П (4
(3.82)
что, собственно, и требовалось доказать.
Рис. 3.11. Структурная схе- X(s)
ма последовательного со- —► ^Ц(5)
единения звеньев *...
v,(s)
W2(s)
Vi<*>
v(s)
3.2. Динамические характеристики САУ
115
3.2.4.2. Параллельное соединение звеньев
При параллельном соединении на вход всех звеньев подается
один и тот же сигнал, а выходные величины складываются. Структур-
ная схема параллельного соединения звеньев приведена на рис. 3.12.
Систему из нескольких параллельно соединенных звеньев можно
заменить одним звеном с передаточной функцией, равной сумме
передаточных функций, входящих в нее звеньев:
Y fv)
W(5) = X(s) = Wy (5) + {j) + - + Wn (5)’ (3'83)
Доказательство. Для определения передаточной функции И'(з) си-
стемы, состоящей из и параллельно соединенных звеньев (см. рис. 3.12),
запишем сначала выражения, связывающие изображение по Лапла-
су выходной величины каждого звена с изображением входного сиг-
нала системы:
У1(з)=^1(з)2Г(з);
У2(з)=^2(з)Х(з);
(3.84)
Y„(s)=Wn(S)X(s).
Изображение выходной величины системы, т. е. сигнала после
сумматора, равно
Y (з) = (з) + Y2 (з) +... + Y„ (з). (3.85)
Подставив в (3.85) выражения (3.84) для изображений выходных
величин каждого звена, получим
У (з) = № (5)+и/2 (з)+... + и; (з)]х (з).
Рис. 3.12. Структурная схема параллельного соединения звеньев
116
Глава 3. Основы теории автоматического управления
откуда следует
W (5) = (5) + 1Р2 (5) + ... + Wn (5) = £ W, (j),
М
(3.86)
что и требовалось доказать.
3.2.4.3. Соединение с обратной связью
Принято считать, что звено охвачено обратной связью, если вы-
ходной сигнал звена подается на его вход через какое-либо другое
звено. При этом звенья прямой цепи и звенья обратной цепи обра-
зуют замкнутый контур (замкнутую цепь).
Если при прохождении по замкнутому контуру знак сигнала не
изменяется или изменяется четное число раз, то обратную связь
называют положительной. При этом увеличение сигнала на выходе
звена, вызванное каким-либо воздействием, приводит к еще боль-
шему его увеличению за счет действия обратной связи.
Если же при прохождении по замкнутому контуру знак сигнала
изменяется нечетное число раз, то обратную связь называют отри-
цательной. При этом увеличение сигнала на выходе звена за счет
какого-либо внешнего воздействия приводит к его уменьшению за
счет действия обратной связи.
Передаточная функция замкнутой цепи с отрицательной обрат-
ной связью равна дроби, числитель которой — передаточная функ-
ция прямой цепи, а знаменатель — единица плюс произведение пе-
редаточных функций прямой и обратной цепей:
Н*) ^(5
X(s) 1 + СО '
(3.87)
Структурная схема соединения звеньев с отрицательной обрат-
ной связью приведена на рис. 3.13.
Доказательство. Для соединения с отрицательной обратной свя-
зью (см. рис. 3.13) вводим обозначения: ^(л) — передаточная фун-
X(s)
V(s)
Рис. 3.13. Структурная схема соединения звеньев с отрицательной обрат-
ной связью
3.2. Динамические характеристики САУ
117
кция прямой цепи; И2(s) — передаточная функция обратной цепи.
Запишем для изображения выходной величины прямой цепи
r(i) = lT1(5)-[JV(5)-Z(5)], (3.88)
или
Y (s) = (5) X(5) - (5) Z (s), (3.89)
а для изображения выходной величины обратной цепи
Z{s) = W2(s)Y(s). (3.90)
Подставим (3.90) в (3.89) и после простых преобразований полу-
чим искомую передаточную функцию соединения с замкнутой от-
рицательной обратной связью (3.87).
Аналогичным образом можно найти передаточную функцию со-
единения с положительной обратной связью. Передаточная функ-
ция замкнутой цепи с положительной обратной связью равна дро-
би, числитель которой — передаточная функция прямой цепи, а
знаменатель — единица минус произведение передаточных функций
прямой и обратной цепей:
X М I-IZ.M^M-
(3.91)
Структурная схема соединения звеньев с положительной обрат-
ной связью изображена на рис. 3.14.
Если в качестве звена обратной связи применяется статическое
звено нулевого порядка (усилительное звено), то обратную связь
называют жесткой. В частном случае, когда коэффициент усиления
статического звена нулевого порядка в цепи жесткой обратной свя-
зи равен единице, т. е.
W = 1,
(3.92)
обратную связь называют единичной (или стопроцентной).
X(s)
Рис. 3.14. Структурная схема соединения звеньев с положительной обрат-
ной связью
118
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Учитывая (3.87) и (3.92), передаточная функция системы с еди-
ничной отрицательной обратной связью будет равна
1Г(л) =
И1(*)
l + lTjj)’
(3.93)
3.2.4.4. Эквивалентные преобразования структурных схем
При синтезе систем автоматического управления необходимо
выполнять преобразования структурных схем для упрощения струк-
туры системы и приведения ее к виду, удобному для определения
оптимальных параметров настройки регуляторов. Следует иметь в
виду, что разработанные инженерные методы определения оптималь-
ных параметров настройки регуляторов рассчитаны на стандартный
вид структурной схемы САУ, представленной, например, на рис. 2.8,
2.15, 2.16. Следовательно, определив исходную структурную схему
САУ в виде типовых звеньев, соединенных определенным образом,
и найдя их передаточные функции, затем необходимо идти по пути
последовательного упрощения исходной схемы, приводя ее к стан-
дартному виду по правилам эквивалентного преобразования.
Если структурная схема и параметры системы известны, то ис-
пользуя аппарат структурных преобразований, можно найти переда-
точную функцию замкнутой САУ, а затем и ее дифференциальное
уравнение.
Замечание
Аппарат передаточных функций эффективен при исследовании линей-
ных стационарных систем, имеющих сложные структурные схемы.
Некоторые правила эквивалентного преобразования структурных
схем приведены в Приложении 3 в [8].
Дадим несколько пояснений к основным правилам эквивалент-
ного преобразования структурных схем.
Звенья, соединенные последовательно (см. рис. 3.11), можно
представить одним звеном с передаточной функцией, равной про-
изведению передаточных функций последовательно соединенных
звеньев (3.78).
Звенья, соединенные параллельно (см. рис. 3.12), можно пред-
ставить одним звеном с передаточной функцией, равной алгебраи-
ческой сумме передаточных функций параллельно соединенных зве-
ньев (3.83).
Звенья, соединенные по принципу обратной связи (см. рис. 3.13
и 3.14), можно представить одним звеном с передаточной функци-
ей, определяемой по формулам (3.87) и (3.91).
3.2. Динамические характеристики САУ
119
Рис. 3.15. Эквивалентные преобразования структурных схем
Сумматор, расположенный на выходе звена (рис. 3.15, а) с переда-
точной функцией 1F](5), можно перенести на вход звена (рис. 3.15, б).
При этом входной сигнал, изображение которого обозначено X2(s),
нужно подавать на сумматор через дополнительное звено с переда-
точной функцией
Сумматор, расположенный на входе звена (рис. 3.15, в) с переда-
точной функцией 1^(5) можно перенести на выход звена (рис. 3.15, г).
В этом случае входной сигнал, изображение которого обозначено
X2(s), нужно подавать на сумматор через дополнительное звено с
передаточной функцией 1F|(5).
120
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Узел с выхода звена с передаточной функцией Wt(s) (рис. 3.15, д)
можно перенести на его вход, включая в отходящую линию свя-
зи дополнительное звено с той же передаточной функцией W'J.s)
(рис. 3.15, е).
Узел с входа звена с передаточной функцией W'jCs) (рис. 3.15, ж)
можно перенести на его выход, включая в отходящую линию связи
дополнительное звено с передаточной функцией 1/РИ](л) (рис. 3.15, з).
Используя основные правила эквивалентного преобразования
структурных схем, структурные схемы с перекрестными связями
можно преобразовать в структурные схемы без перекрестных свя-
зей, многоконтурные САУ представить одноконтурными, можно
выделить линейную часть в нелинейных системах автоматического
управления.
3.3. ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
Динамические звенья называют типовыми, если изменение про-
ходящего через них сигнала можно описать алгебраическим или
дифференциальным уравнением не выше второго порядка (как пра-
вило, линейным неоднородным дифференциальным уравнением с
постоянными коэффициентами), например:
d2y(x) dy(x) d2x(x) dx(x)
аг -ГТ- + -ST- + o0У (T) = b2 + + box (x),
dx ox dx" dx
или передаточными функциями вида
H/(j) = g?4+ а1Д + а°.
b2s2 +b{s + b0
Кроме того, к типовым динамическим звеньям относят звено
запаздывания с трансцендентной передаточной функцией
W (s) = е-Тзап5.
В основу классификации типовых динамических звеньев могут
быть положены различные признаки.
В зависимости от порядка дифференциального уравнения, или от
порядка передаточной функции, различают динамические звенья:
• нулевого порядка (а2 = = b2 = Ь{ = 0);
• первого порядка (а2 = Ь2 = 0, Ь{ * 0 и (или) Ф 0);
• второго порядка (й2 * 0 и (или) а2 * 0).
В зависимости от поведения в установившемся режиме динами-
ческие звенья разделяют, как правило, на три группы:
3.3. Типовые динамические звенья
121
• звенья статические, или позиционные (Z>0 * 0 и л0 * 0), входной
и выходной сигналы которых в статическом режиме связаны между
собой взаимно однозначной функцией
у = — х = Кх,
а0
называемой статической характеристикой (К — статический коэф-
фициент усиления, или коэффициент передачи звена);
• звенья интегрирующие, или астатические (Ьо * 0 и а0 = 0), вы-
ходной сигнал которых в установившемся режиме пропорционален
интегралу по времени от входного сигнала;
• звенья дифференцирующие, или форсирующие ((>0 = 0 и а0 * 0),
выходной сигнал которых в установившемся режиме пропорциона-
лен производной по времени от входного сигнала.
В зависимости от характера переходного процесса динамичес-
кие звенья бывают апериодические, колебательные, консервативные.
Кроме классификации по вышеперечисленным признакам ди-
намические звенья разделяют также на:
• устойчивые и неустойчивые;
• инерционные и безынерционные (или идеальные),
• минимально-фазовые и неминимально-фазовые.
Смысл используемых здесь терминов станет понятен позже при
знакомстве со свойствами типовых динамических звеньев.
Ниже рассмотрены свойства основных типовых динамических
звеньев. В этом разделе во всех случаях используются следующие
обозначения: у — выходной сигнал (зависимая переменная), т —
время (независимая переменная), х — входное воздействие (вынуж-
дающая функция).
3.3.1. Статическое звено нулевого порядка
Звено называют статическим звеном нулевого порядка (или безы-
нерционным, усилительным, пропорциональным), если его входная
и выходная величины связаны между собой зависимостью:
Яг)=Лх(т). (3.94)
Выходная величина статического звена нулевого порядка про-
порциональна входной величине не только в статическом, но и в
динамическом режиме в каждый момент времени.
Примерами статического звена нулевого порядка могут служить
рычаг (рис. 3.16, а), механические передаточные механизмы, напри-
мер, зубчатая передача (рис. 3.16, б), редукторы, усилители различ-
ных физических величин (электронный усилитель), регулирующие
122
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Рис. 3.16. Примеры статического звена нулевого порядка:
а — рычаг; б — зубчатая передача
клапаны с линеаризованными расходными характеристиками (из-
менение расхода жидкости пропорционально изменению положе-
ния штока регулирующего клапана) и т. д.
Передаточная функция статического звена нулевого порядка яв-
ляется постоянной величиной и равна его коэффициенту усиления
(передаточному коэффициенту) К. Действительно, используя соот-
ношение (3.22), можно получить передаточную функцию статичес-
кого звена нулевого порядка:
W(s) =
= К.
(3.95)
3.3.1.1. Временные характеристики
При подаче на вход статического звена нулевого порядка еди-
ничного ступенчатого воздействия оно передает входной сигнал мгно-
венно, без всяких искажений и запаздывания (другими словами, без
динамического переходного процесса). Правда, может наблюдаться
изменение масштаба (увеличение или уменьшение) входного сигна-
ла Это изменение определяет величина статического коэффициен-
та усиления.
Переходная функция [см. выражение (3.28)]:
л(т) = «р-Чиф).!
I 5
(3.96)
/Г-1(т).
т
о *
Рис. 3.17. Переходная характе-
ристика статического звена
нулевого порядка
Переходная функция Л(т) = 0 при
т < 0 и й(т) = К при т > 0, так как 1 (?) = О
при т < 0 и 1(т) = 1 при т > 0, следова-
тельно, переходная функция повторяет
входную.
Переходная характеристика статичес-
кого звена нулевого порядка приведена
на рис. 3.17.
3.3. Типовые динамические звенья
123
Импульсная переходная функция [см. выражение (3.29)]:
м'(т) = ^-1{И'(5)-1} = АГ-8(т). (3.97)
Рамповая переходная функция [см. выражение (3.30)]:
у(т) = (sV-yl = Хт- 1(т).
I г]
(3.98)
3.3.1.2. Частотные характеристики
Частотная передаточная функция статического звена нулевого
порядка:
И^Сдо) = К. (3.99)
Так как частотная передаточная функция (3.99) содержит только
действительную часть, равную К, а мнимая часть равна нулю, то
амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) статическо-
го звена нулевого порядка может быть изображена на комплексной
плоскости одной точкой на действительной оси на расстоянии К от
начала координат (рис. 3.18).
Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики (АЧХ
и ФЧХ) звена не зависят от частоты и равны:
Л(ш) = |И»| = К, (3.100)
<р (<в) = arctg
ы
(w)
(3.101)
Это означает, что сигналы любой частоты, поступающие на вход
статического звена нулевого порядка, усиливаются в одинаковой мере
без какого-либо фазового сдвига.
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ)
статического звена нулевого порядка, выраженная в децибелах, оп-
ределяется формулой
£(w) = 201gX(<o) = 201g/r.
lm(W(/ro)]
К Re[W(/co)]
----•-----------------►
со= 0... °°
Рис. 3.18. АФЧХ статического звена нулевого порядка
124
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Рис. 3.19. Диаграмма Боде статического звена нулевого порядка
На рис. 3.19 приведена диаграмма Боде для статического звена
нулевого порядка. ЛАЧХ статического звена нулевого порядка пред-
ставляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и располагаемую
относительно нее в зависимости от величины коэффициента усиле-
ния: выше, если К > 1; ниже, если К < 1; ЛАЧХ совпадает с осью
абсцисс, если К — 1. ЛФЧХ статического звена нулевого порядка
при всех частотах совпадает с осью абсцисс, так как фазовый сдвиг
при всех частотах равен нулю (3.101).
3.3.2. Статическое звено первого порядка
Звено называется статическим звеном первого порядка (или инер-
ционным, устойчивым, апериодическим), если его входная и выход-
ная величины связаны между собой дифференциальным уравнением
а1 ^Г + аоУ = ьох> (3.102)
ОТ
или, обозначив К = Ь0/а0, Т = aja^,
Т^ + у = Кх, (3.103)
ат
где Т — постоянная времени (имеет размерность времени) статичес-
кого звена первого порядка.
Примеры статического звена первого порядка показаны на рис. 3.20.
Рассмотрим электрический ЯС-фильтр (рис. 3.20, а). Скорость
нарастания напряжения (/вых на конденсаторе (на выходе ЯС-филь-
тра) определяется силой тока и емкостью конденсатора:
3.3. Типовые динамические звенья
125
уЮ = Е($
Рис. 3.20. Примеры статического звена первого порядка:
а — электрический RC-фильтр; б — термопара; я — термометр расши-
рения; г — резервуар с сжатым газом; <> — резервуар со свободным
истечением жидкости
Из (3.104) находим силу тока
/ = сЁ^4ых. (З.Ю5)
dr
В соответствии со вторым правилом Кирхгофа
/Л + (/вых=(/вх. (3.106)
Подставим в (3.106) выражение для силы тока (3.105) и получим
дифференциальное уравнение для статического звена первого порядка:
RC^. + UBU> =Um. (3.107)
dr
Сравнив дифференциальное уравнение (3.107) с (3.103), нахо-
дим Т — RC, т. е. в электрических системах постоянная времени
равна произведению электрического сопротивления на электричес-
кую емкость.
Рассмотрим другой пример: термобаллон с ртутью термометра
расширения (рис. 3.20, в), быстро погружаемый в горячую жидкость
с температурой /. При этом оговорим следующие допущения: тепло-
126
Глава 3. Основы теории автоматического управления
вая емкость (аккумулирующая способность) стекла пренебрежимо
мала; температура ртути во всем ее объеме постоянна и равна 6.
Составим динамическое уравнение теплового баланса термомет-
ра расширения:
Приход — Расход = Накопление;
kA(t - 6) - 0 = тс^-,
dr
где т — масса ртути; с — удельная теплоемкость ртути; к — коэффи-
циент теплопередачи; А — площадь поверхности теплообмена.
После простых преобразований динамического уравнения теп-
лового баланса (3.108) получим
кА dr
(3.108)
или
(3.109)
Г^ + О = Г.
dx
Величина тс/кА в дифференциальном уравнении (3 109) имеет
размерность времени и называется постоянной времени звена (сис-
темы). Таким образом, постоянная времени представляет собой про-
изведение термического сопротивления \/кА (или А) на тепловую
емкость (аккумулирующую способность) тс (или С).
Замечания
1. Скорость реакции системы (в данном случае производная dO/dx)
обратно пропорциональна постоянной времени
2. Во многих случаях постоянную времени можно определить по вели-
чине сопротивления и емкости без составления динамического уравнения
материального или теплового баланса.
В гидравлических системах постоянная времени рассматривает-
ся как произведение гидравлического сопротивления потоку жид-
кости на величину гидравлической емкости.
Таким образом, постоянная времени системы равна произведе-
нию сопротивления переходу энергии (или вещества) из системы
(или в систему) на емкость системы.
3.3.2.1. Временные характеристики
Получим передаточную функцию статического звена первого
порядка. Для этого преобразуем дифференциальное уравнение (3.103)
по Лапласу, используя свойство линейности (3.16):
ГУ + ^(j) = O(x).
(3.110)
3.3. Типовые динамические звенья
127
Затем, применяя теорему о дифференцировании оригинала (3.17)
к (3.110). получим:
Т[5«(у)-у(0)] + «(у) = К<е(х). (3.111)
Учитывая, что по определению передаточной функции (3.22)
начальные условия являются нулевыми, т. е. у(0) = 0, из (3.111)
получим алгебраическое уравнение вида
5?(у)(7л + 1) = Л'5Р(х). (3.112)
Из (3.112) следует отношение изображений по Лапласу выход-
ной и входной величин:
' ' $ (х) Ts + 1
(3.113)
Переходная функция статического звена первого порядка
Получим переходную функцию статического звена первого по-
рядка, используя (3.28):
Воспользуемся таблицами преобразования Лапласа (см. Прило-
жение 2) и найдем изображение переходной характеристики стати-
ческого звена первого порядка и соответствующий ему оригинал:
й(т) = 9"
-|[ к
l7i + l
11 —
- = К 1-е т
s
т > 0.
(3.114)
Переходная характеристика (рис. 3.21, а) представляет собой
экспоненту, и это означает, что время, необходимое для достиже-
ния нового установившегося значения выходной величины hm, тео-
ретически бесконечно велико (поэтому статическое звено первого
порядка часто называют инерционным звеном первого порядка).
Постоянная времени определяет динамические свойства звена.
Чем больше постоянная времени, тем медленнее протекает пере-
ходный процесс в звене (системе) и тем более полога экспонента, и
наоборот, если постоянная времени — величина малая и в пределе
стремится к нулю, то экспонента уподобляется скачкообразно ме-
няющейся функции (это характерно для статического звена нулево-
го порядка). Допустим, что Т= 0, тогда инерционное звено превра-
щается в безынерционное (статическое звено нулевого порядка) и
переходный процесс в звене протекает мгновенно. Эти рассуждения
128
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Рис. 3.21. Временные характеристики статического звена первого порядка:
а — переходная характеристика; б — импульсная переходная характери-
стика; в — рамповая переходная характеристика
приводят к пониманию физического смысла постоянной времени.
Постоянная времени — мера инерционности звена.
Геометрически постоянную времени можно определить как проек-
цию на ось времени отрезка касательной к экспоненте, заключенного
между точкой касания и точкой пересечения касательной с линией
установившегося значения выходной величины (см. рис. 3.21, а).
Длина этой проекции одинакова для касательных, проведенных к
любой точке экспоненты (например, к точке кривой разгона, соот-
ветствующей началу координат, или -ц). Геометрический смысл по-
стоянной времени очевиден (при т = 0):
Т = (3.115)
Если учесть геометрический смысл постоянной времени, то мож-
но дать следующее определение постоянной времени. Постоянной
времени звена (системы) называется время, в течение которого его
выходная величина достигает нового установившегося значения, если
она меняется с постоянной скоростью, равной начальному значению
после нанесения на вход звена (системы) единичного ступенчатого воз-
действия.
3.3. Типовые динамические звенья
129
Переходная характеристика (кривая разгона) статического звена
первого порядка обладает следующими свойствами:
• новое установившееся значение выходной величины равно ста-
тическому коэффициенту усиления, т. е. hm = К",
• в точке т = 0 скорость изменения выходной величины h рав-
на К/Т\
• касательная к кривой разгона в точке т = 0 пересекает асимп-
тоту в точке т = Т‘,
• величина подкасательной (проекция касательной на асимпто-
ту) равна Г и не зависит от точки проведения касательной;
• за время т = Т выходная величина звена достигает 63 % от своего
установившегося значения = К.
В инженерных расчетах считается, что время переходного про-
цесса статического звена первого порядка приблизительно равно
тпп = 4Т. (3.116)
Импульсная переходная функция статического звена
первого порядка
Импульсная переходная функция, используя (3.29), будет иметь
следующий вид:
и-(т) = г-‘{^(5)1} = 4₽-|1—^-1 = -^е’г, т>0. (3.117)
' ' 1 ' 1 17s + 11 Т
При т = Т получим и'(Т’) = 0,37 К/Т, а при т = 0 н'(О) = К/Т.
На рис. 3.21, б изображена импульсная переходная характерис-
тика (или характеристика веса) статического звена первого порядка.
Примечание
Характеристика веса или весовая характеристика — синонимы импульс-
ной переходной характеристики. Здесь речь не идете весе (mg), хотя термин
пришел из механики и обозначал реакцию механической системы на удар,
зависящую как раз от массы тела. Но в те времена между массой и весом
почти не делали различий. А теперь в словосочетании «характеристика веса»
слово «веса» надо воспринимать просто как имя характеристики.
Рамповая переходная функция статического звена первого порядка
Получим рамповую переходную функцию статического звена
первого порядка, используя (3.30). Иначе говоря, определим реак-
цию статического звена первого порядка на входной сигнал посто-
янной скорости:
у(т) = W)-U = 5Р-4-Д-4-1 = кт{е'т + ±_ Л
I S J I Is + 1 s j 1
т > 0. (3.118)
5 Беспалов А. В., Харитонов Н. И.
130 Г л а в a 3. Основы теории автоматического управления
После того как в процессе изменения выходного сигнала слага-
_ т
емое е г, характеризующее переходную составляющую движения,
окажется пренебрежимо мало (т. е. при т » Т), выходная величина
определяется соотношением
Я*) т т „ т
= т - I VT » / .
А
На рис. 3.21, в изображена кривая отклика на единичное рампо-
вое входное воздействие.
3.3.2.2. Частотные характеристики
Используя передаточную функцию (3.113) статического звена
первого порядка, перейдем к частотной передаточной функции, за-
меняя 5 на jw. Умножим числитель и знаменатель частотной переда-
точной функции на комплексную функцию (1 — Toy), сопряженную
со знаменателем, в результате чего частотную передаточную функ-
цию представим в виде суммы действительной (вещественной) и
мнимой частей:
. К {-Tty К КТы
“ 7до +1 ’ I - Т’су " Т2ы2 + 1 " Т2п2 +1J'
откуда
m ((d) = Re [IT (jw)] = -у*-—-; (3.119)
/ (0 +1
л(о>) = Im |> (»] = (3.120)
Т~ы +1
При изменении частоты колебаний от нуля до бесконечности
действительная часть /л((о) частотной передаточной функции при-
нимает только положительные значения, а ее мнимая часть и(ы) —
только отрицательные. Это означает, что АФЧХ статического звена
первого порядка располагается в четвертом квадранте комплексной
плоскости. Кроме того, анализ выражений (3.119) и (3.120) показы-
вает, что АФЧХ статического звена первого порядка представляет
собой полуокружность с радиусом К/2 и центром в точке (+К/2, у0)
(рис. 3.22).
Действительно, поскольку
л2 ((d) , ,
~^4 = T2(d2, (3.121)
m ((d)
3.3. Типовые динамические звенья
131
Рис. 3.22. АФЧХ статического звена первого порядка
то, подставив (3.121) в выражение (3.119), находим:
( \ к - Кт1 (ы)
л2 (о) т2 (w) + и2 ((d)
(3.122)
Из (3 122) можно записать
т2 (и) + п2 (о) - Кт ((d) = 0.
(3.123)
Если прибавить к обеим частям полученного равенства (К/2)2,
то (3.123) можно преобразовать к уравнению
(3.124)
Учитывая, что л(ш) < 0 для 0 < (D < уравнение (3.124) — это урав-
нение полуокружности с радиусом К/2 и центром в точке (+К/2, у’0) в
четвертом квадранте комплексной плоскости.
Выражение для АЧХ имеет вид;
Л((о) = ^л2
—----2Т~х К2 К2Т2а2
(со) + Л ((D) = I--т +-------7 =
^(rV+i) (rV + i)2
-=4—+т2^2 = I к
т 2(D2 +1 Vr2(D2 + 1
(3.125)
ФЧХ определяется выражением
Ф (w) = arctg[n((D)/w((D)] = arc tg (-Та) = -arctg(T(D). (3.126)
Графики АЧХ и ФЧХ изображены на рис. 3.23.
Из выражений (3.125) и (3.126) следует, что модуль и аргумент
являются функциями частоты. При изменении частоты колебаний ш
5*
132
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Рис. 3.23. АЧХ и ФЧХ статического звена первого порядка
от нуля до бесконечности /п(<в) и л((о) принимают различные значе-
ния, что позволяет построить АФЧХ звена по точкам. Модуль час-
тотной передаточной функции изменяется от К (при ш = 0) до О
(при го = °о), а аргумент (фазовый сдвиг) изменяется от 0 до —л/2.
Таким образом, в статическом звене первого порядка наблюдается
отставание выходной величины от входной.
Частотная передаточная функция статического звена первого
порядка, записанная в показательной форме, имеет вид:
^(уы) = -—Л_е (3.127)
V7'2(d2 +1
ЛАЧХ статического звена первого порядка, если ее выражать в
децибелах, определяется уравнением
201g Л (w) = 20 lg Af - 201g<71 + Т2(й2 =
= 201g К - 201g^1 + (w2/(d2),
где (oc = \/T — частота сопряжения.
Рассмотрим три случая.
Если го < <ос, тогда можно записать (3.128) как
201g A (w) = 201g К - 201g ^1 + {(d2/(d2) =
» 20lgК - 20Igl = 201gК.
(3.128)
(3.129)
Следовательно, ЛАЧХ на частотах со (ос представляет собой
прямую, параллельную оси абсцисс.
3.3. Типовые динамические звенья
133
Если (о » й)е, тогда (3.128) можно записать как
201gH(<o) = 20 Ig A- -201g((o/G)c) (3.130)
Если частота колебаний равна частоте сопряжения w — wc, тогда
из выражения (3.128) находим:
201g>4((Dc) = 201gX-201g>/2 =201gK-3. (3.131)
Если со = 10сос, тогда из выражения (3.128) получаем:
201g Л(10<ос) = 201gAT - 201g 11+^4 =
’ ®с (3.132)
= 201g /Г - 201g VlbT = 201g АГ - 20.
Для ЛФЧХ при аналогичном рассмотрении имеем: при ы « <ос
фазовый сдвиг стремится к нулю; при и »(ас имеет место фазовое
отставание, доходящее до —л/2 и, наконец, при частоте сопряжения
со = о)с = 1/Т фазовый сдвиг равен —л/4. ЛАЧХ и ЛФЧХ, построен-
ные в упрощенном варианте, представлены на рис. 3.24.
Рис. 3.24. Логарифмические частотные характеристики статического зве-
на первого порядка:
I — точные; 2 — приближенные
134
Глава 3. Основы теории автоматического управления
3.3.3. Звено запаздывания
Для любого устройства, например, предназначенного для пере-
дачи или преобразования информации, естественно некоторое за-
паздывание выходной величины на время (обозначим его т.^) отно-
сительно момента поступления информации на его вход. В ряде слу-
чаев запаздывание может быть настолько малым, что им можно
пренебречь, но в химической технологии при наличии многотон-
нажных производств с коммуникациями этот временный сдвиг мо-
жет играть весьма существенную роль.
Звено запаздывания — это такое звено, которое не изменяет вид
входного сигнала (точно повторяет), а лишь задерживает во време-
ни, иначе говоря, если в момент т = 0 входная величина, ранее
неизменная, начинает изменяться по определенному закону, то спу-
стя время запаздывания по такому же закону начнет изменяться
и выходная величина. Время запаздывания называют временем транс-
портного (или чистого) запаздывания. В дальнейшем изложении
употребляется как время транспортного запаздывания.
Замечание
Звену запаздывания соответствует модель идеального вытеснения,
широко применяемая для расчета процессов химической технологии
На рис. 3.25 изображено усзройст во подачи сыпучего вещества в
объект управления. Вещество1из загрузочного бункера 7 поступает
на транспортер 2, а затем пересыпается:® приемный бункер 3 регу-
лируемого объекта. Количество поступающего вещества на транс-
портер регулируется шибером '4., При рабочей длине транспортера /
и скорости его перемещения v время транспортного запаздывания
(3.133)
’’•зап ~
v
Рис. 3.25. Пример звена запаздывания:
1 — бункер; 2 — ленточный транспортер; 3 —
приемный бункер; 4 — шибер дозировки сыпу-
чего вещества
^"вых
3.3. Типовые динамические звенья
135
Если 0 < т < Гил, то у(т) = О, т. е- выходная величина неизменна;
если т > тзап, то выходная величина в момент времени т будет точно
такой же, какой была входная величина в момент времени т — тзап,
т. е. уравнение звена запаздывания имеет вид:
у(т) = х(т - Тзап). (3.134)
Переходная характеристика звена запаздывания изображена на
рис. 3.26, а рис. 3.27 демонстрирует кривую отклика звена запазды-
вания на единичное рамповое входное воздействие.
Явление запаздывания (так называемого транспортного запаз-
дывания) имеет место в объектах управления, когда возмущающее
воздействие, распространяясь в ОУ с конечной скоростью, вызыва-
ет изменение управляемого параметра лишь спустя некоторое вре-
мя. Например, при регулировании уровня жидкости в реакторе воз-
мущающее воздействие в виде изменения расхода жидкости на сто-
роне притока изменяет расход жидкости в трубопровод, по которому
жидкость и подается в реактор. Естественно, что время транспорт-
ного запаздывания зависит от длины и наклона трубопровода.
АФЧХ звена запаздывания получить сравнительно легко. Дей-
ствительно, подадим на вход звена запаздывания гармонический
сигнал с частотой о и с амплитудой Ах и запишем его в комплекс-
ной показательной форме:
х(т) = Лхе>т. (3.135)
Спустя время, равное тзап, на выходе звена появятся колебания
той же частоты о и той же амплитуды (Ау = ЛЛ), т. е.
у(т) = Лл.еМм»">. (3.136)
Если взять отношение колебаний (3.136) и (3.135), то получим
выражение частотной передаточной функции звена запаздывания:
Рис. 3.27. Рамповая переходная ха-
рактеристика звена запаздывания
Рис. 3.26. Переходная характеристика
звена запаздывания
136
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Таким образом, передаточная функция звена запаздывания мо-
жет быть получена заменой в (3.137) у<в на s:
ИДя) = е"”зап
(3.138)
Примечание
Передаточная функция (3.138) звена запаздывания может быть полу-
чена как прямое следствие теоремы запаздывания [см. (3.21)].
Так как АЧХ звена запаздывания равна единице,
Л (<о) = ^ («) = !,
(3.139)
и не зависит от частоты, а ФЧХ пропорциональна частоте с коэффи-
циентом пропорциональности, равным —т^, то АФЧХ звена запаз-
дывания представляет собой окружность с центром в начале коорди-
нат комплексной плоскости и радиусом, равным единице (рис. 3.28).
Фазовый сдвиг звена запаздывания отрицателен и пропорциона-
лен частоте, т. е.
ф((0) = -Тзап<0.
(3.140)
Из ФХЧ (3.140) следует, что звено запаздывания равномерно
пропускает все частоты колебаний при сдвиге фаз, пропорциональ-
ном времени транспортного запаздывания тзап.
При частоте <о = 0 вектор АФЧХ совпадает с положительной
действительной полуосью, а конец его расположен в точке с коорди-
натами (l,j0). С увеличением частоты конец вектора АФЧХ повора-
чивается по окружности по часовой стрелке (поскольку ФЧХ отрица-
тельна). При повороте вектора на 360° он займет первоначальное по-
ложение, при этом приращение фазы равно —2л. Следовательно,
можно записать
ф(<о) = -штзап = -2л.
Это означает, что в исходное положение вектор АФЧХ возвра-
щается при частоте со = При дальнейшем увеличении часто-
ты колебаний вектор АФЧХ занимает исходное положение при час-
тотах 2л/тзап, 4/Тзап, бл/Тзап и т. д. Отрицательная действительная по-
луось совпадает с вектором АФЧХ при частотах л/т.^,, З/т^, и
т. д., при этом конец вектора будет расположен в точке с координа-
тами (—1, у'О). При стремлении частоты к бесконечности (со —> °°)
вектор АФЧХ поворачивается вокруг начала координат бесчислен-
ное число раз.
3.3. Типовые динамические звенья
137
Рис. 3.28. АФЧХ звена запаздывания
Рис. 3.29. АЧХ и ФЧХ звена запаз-
дывания
Таким образом, в звене запаздывания имеет место отставание по
фазе выходных колебаний от входных, пропорциональное частоте
колебаний. Отставание по фазе звена запаздывания будет тем боль-
ше, чем больше время транспортного запаздывания и чем боль-
ше частота входных колебаний.
На рис. 3.29 приведены АЧХ и ФЧХ звена запаздывания.
ЛАЧХ звена запаздывания выглядит так
£(ю) = 201gl = О,
(3.141)
т. е. это прямая линия, совпадающая с осью абсцисс.
А 100
10
1
0,1
001
0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0.5 1
Рис. 3.30. Диаграмма Бодё звена запаздывания
138
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Задаваясь значениями частоты по выражению (3.140) можно по-
строить ФЧХ в полулогарифмическом масштабе
На рис. 3.30 построены ЛАЧХ и ЛФЧХ звена запаздывания.
3.3.4. Статическое звено второго порядка
Статическим звеном второго порядка называется звено, входная
и выходная величины которого связаны между собой линейным диф-
ференциальным уравнением второго порядка:
d v dv
тг + а1а + аоУ = Ьох‘ (3-142>
d-r ат
Обозначив
К — Ь0/а0, Т2 -a-Ja^, 2^Т-а{/а0,
где К, Т, £ — коэффициент усиления, постоянная времени, коэффи-
циент демпфирования соответственно, получим
Т2^- + 2^Т^- + у = Кх. (3.143)
dr ат
В зависимости от значения коэффициента демпфирования раз-
личают следующие статические звенья второго порядка:
> 1 — апериодические',
0 < Q < 1 — колебательные;
£ = 0 — консервативные.
Если £ = 1, то демпфирование называют критическим.
Уравнение колебательного статического звена второго порядка
часто записывают в такой форме:
Wo dT2 w0 dT
+ у = Кх,
(3.144)
где соо — частота свободных колебаний (собственная частота) недем-
пфированной системы.
Примеры апериодического звена второго порядка.
Пример
► Рассмотрим две системы первого порядка, соединенных таким
образом, что выход первой системы является входом второй, напри-
мер, каскад двух реакторов, работающих в режиме идеального сме-
шения (рис. 3.31), в которых выходной переменной является концен-
трация. Структурная схема каскада реакторов приведена на рис. 3.32.
3.3. Типовые динамические звенья
139
Рис. 3.31. Пример апериодичес-
работающих в режиме идеального смешения
У=свых
Если реакция первой системы не зависит от условий во второй
системе, то такие системы являются детектирующими, и для опре-
деления реакции системы в целом достаточно перемножить переда-
точные функции двух систем первого порядка:
I р т I л 2*^ + *
кхк2 и
Т1Т252 +(Г1+Т2)5 + 1’
Пример
► В резервуар с нагретой жидкостью погрузили термометр.
И резервуар, и термометр можно рассматривать как детектирующие
элементы, и чтобы получить общую передаточную функцию систе-
мы, как и в предыдущем примере, достаточно перемножить переда-
точные функции резервуара (передаточная функция статического звена
первого порядка с постоянной времени резервуара Т{) и термометра
(передаточная функция статического звена первого порядка с посто-
янной времени резервуара Г2). В результате получим выражение пе-
редаточной функции системы, аналогичное предыдущему.
Замечание
Хорошим примером последовательного соединения детектирующих
гидравлических элементов может служить ректификационная или абсорб-
ционная тарельчатые колонны, снабженные, например, ситчатыми тарел-
ками с переливом, поскольку уровень жидкости на каждой тарелке изме-
няется при изменении расхода жидкости, поступающей на нее, однако уро-
вень на расположенной ниже тарелке не влияет на величину расхода
жидкости, поступающей с вышележащей тарелки.
140
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Рис. 3.33. Примеры колебательного статического звена второго порядка:
а — электрическая цепь типа колебательного контура RCL; б — U-об-
разный жидкостный дифманометр; в — мембранный исполнительный
механизм (1 — шток; 2 — пружина; 3 — мембрана); г — механический
демпфер
Примеры колебательного звена показаны на рис. 3.33.
Пример
► Получить уравнение динамики и передаточную функцию пнев-
матического мембранного исполнительного механизма с регулиру-
ющим органом (рис. 3.33, в) с учетом силы вязкого трения и инер-
ции его подвижной системы.
Решение. В пространство над мембраной 3 поступает воздух под
давлением р, создавая усилие на мембрану. Под действием этого
усилия она прогибается вниз, перемещая вниз шток 1. Через клапан
проходит жидкость в количестве, зависящем от степени его откры-
тия. Перемещению h штока клапана с затвором препятствует сила
упругости пружины 2, трение штока в сальнике и затвора.
Рассмотрим в качестве входной величины пневматического мем-
бранного исполнительного механизма с регулирующим органом из-
3.3. Типовые динамические звенья
141
менение давления Др, а выходной — перемещение ДА штока с затво-
ром (отсчет ведем в малых приращениях от равновесного состояния).
Если трением и инерцией пренебречь нельзя, то уравнение рав-
новесия сил подвижной системы пневматического мембранного ис-
полнительного механизма с регулирующим органом имеет вид:
F» + Frp + ЛР = F,
где F — входное усилие (равно произведению давления воздуха на
площадь мембраны); FH — сила инерции (равна произведению мас-
сы подвижной системы на ускорение); FTp — сила вязкого трения
(пропорциональна скорости перемещения подвижной системы);
Епр — сила противодействия пружины (пропорциональна ее сжатию).
Подставив соответствующие выражения сил в уравнение равно-
весия, получим дифференциальное уравнение движения штока с
затвором в следующем виде:
d2(AA) d(AA)
dx2 dx
+ сДА = ЛДр,
(3.145)
где т — масса движущихся частей с учетом половины массы пружи-
ны; с — коэффициент жесткости пружины; г — коэффициент тре-
ния; А — площадь мембраны.
Перепишем уравнение (3.145), предварительно разделив обе его
части на с.
md (ДА) rd(AA) А.
----+-------з—- + =
с dx с dx с
(3.146)
Обозначив
mjc = Т2, г/с = 'IT.T, А/с = К,
получим из (3.146) уравнение динамики пневматического мембран-
ного исполнительного механизма (с регулирующим органом) с уче-
том силы вязкого трения и инерции его подвижной системы:
Т2 d (^0 + + да = АГ Др, (3.147)
dx dx
т. е. по сути своей получили уравнение (3.143), где х = Др, а у = ДА.
Для определения передаточной функции воспользуемся свой-
ствами преобразования Лапласа: линейностью (3.16) и дифферен-
цированием оригинала (3.17) (см также Приложение 1):
T2s2¥(&h) + 2£,Ts!jP(&h) + &(&h) = КУ^Ьр),
142
Глава 3. Основы теории автоматического управления
откуда следует отношение изображений по Лапласу выходной и вход-
ной величин:
U #(Др) T2s2 + 2£7s + l
(3.148)
Пример
► Получить уравнение динамики U-образного жидкостного диф-
манометра (рис. 3.33, б), связывающее показания дифманометра h с
измеряемой разностью давлений \р = рг — р2.
Решение. Запишем уравнение равновесия сил, для упрощения
пренебрегая плотностью паров над уровнем жидкости и предполо-
жив, что движение жидкости в трубке дифманометра поршневое, а
падение давления, вызванное трением, пропорционально скорости
потока:
Л, +^р + ^т = Л
где
„ 1 ё2Л
=Р^5—г
2 dr
— сила инерции (р — плотность жидкости, А — площадь поперечно-
го сечения трубки U-образного жидкостного дифманометра);
г . . 32ф 1 dh .
d 2 dr
— сила трения (Артр — потери давления на трение, определяемые по
уравнению Хагена—Пуазейля; у. — динамическая вязкость жидко-
сти; d — внутренний диаметр трубки дифманометра);
FT = Mpg
— сила тяжести, (g — ускорение свободного падения);
F = A(Pl-p2)
— сила, приложенная к жидкости со стороны измеряемого давления.
Подставляя эти выражения в уравнение равновесия сил, получим
р£А d2h 16р£Л dh
, . 2 +~^--r + PgM = ЛА .
2 ат ат
Разделив все члены уравнения на pgA, получим уравнение дина-
мики U-образного жидкостного дифманометра
£ d2A 16ц£ dh . 1
-----т + S =—Др,
2g dr pgd dT pg
3.3. Типовые динамические звенья
143
которое обычно записывают в следующем стандартном виде:
1 d2* К dh , .. , ._ч
-=—=- + -2-—+ Л = АГДр, (3.149)
о>о dt «>0 dr
где £ — коэффициент демпфирования; со0 — частота свободных коле-
баний (собственная частота) недемпфированной системы, рад/с.
Физический смысл ю0 и £ становится очевидным после анализа
решения уравнения (3.149) при единичном ступенчатом изменении
входного сигнала — измеряемого перепада давления. При коэффици-
енте демпфирования 0 < £ < 1 выходной сигнал будет совершать затуха-
ющие колебания (рис. 3.34). Такую систему называют слабо демпфиро-
ванной. При коэффициенте демпфирования £ = О (недемпфированная
система) выходной сигнал представляет собой незатухающие колеба-
ния (синусоидальный сигнал) с частотой а>0 и амплитудой К. Если ко-
эффициент демпфирования £ = 1, то имеет место критическое демпфи-
рование, и жидкость в дифманометре приходит к состоянию равнове-
сия без перерегулирования. При коэффициенте демпфирования £ > 1
изменение уровня жидкости в дифманометре происходит без колеба-
тельного процесса тем медленнее, чем больше коэффициент демпфи-
рования. Такие системы называют сильно демпфированными.
Замечание
Демпфирование (от англ, damping) — физическая величина, отчасти
подобная противодействующей силе, которая препятствует возвращению к
положению равновесия, применяется для характеристики противодейству-
ющей силы, например, маятника с трением или пружины с прикреплен-
ным грузом, помещенным в вязкую жидкость. Коэффициент демпфирова-
ния можно рассматривать как меру величины демпфирования.
Рис. 3.34. Переходные характеристики U-образного жидкостного дифмано-
метра при различных значениях коэффициента демпфирования
144 Глава 3. Основы теории автоматического управления
3.3.4.1. Переходная характеристика
Итак, запишем выражение для передаточной функции (3.148)
статического звена второго порядка:
РК(д)= , , К--------.
' T2s~ + 2£7s + l
Характер переходного процесса, определяемого дифференциаль-
ным уравнением звена, зависит от расположения корней его харак-
теристического уравнения
T2s2 + 2£Ts + l = 0 (3.150)
на комплексной плоскости.
Замечание
Характеристическое уравнение статического звена второго порядка можно
получить, приравняв знаменатель передаточной функции (3.148) к нулю.
Корни характеристического уравнения (3.150) равны:
5,.2 =(Ч±Т?ТТ)/7’. (3-151)
Запишем переходную функцию статического звена второго порядка:
<3152)
Вид переходной характеристики (3.152) статического звена вто-
рого порядка зависит от коэффициента демпфирования
В зависимости от знака дискриминанта (подкоренного выраже-
ния) (3.151) при нахождении оригинала по его изображению (3.152)
можно рассмотреть несколько случаев
Первый случай. При коэффициенте демпфировании £ > 1
оба корня характеристического уравнения (3.150) — действительные
отрицательные: = — ab s2 — —а2. Учитывая это обстоятельство,
выражение (3.152) можно представить как
Л(т) = У ’1|‘7П--w-------\~ (3.153)
' ’ [Т2 (5 + a])(s + a2) 5
Выполнив обратное преобразование Лапласа (см. Приложение 2),
получим переходную функцию статического звена второго порядка
для £ > 1:
h (т) = К . 1 - -2- e ai1 + —ai— e~“2t 1 -1 (т) (3.154)
\ a2 - al а2 - СЦ )
при <Х| * а2.
3.3. Типовые динамические звенья
145
Соответствующая (3.154) переходная характеристика имеет S-об-
разную форму (см. рис. 3.34) и является апериодической. Поэтому
при С > 1 статическое звено второго порядка называют апериодичес-
ким, а систему, по динамическим свойствам аналогичную такому
звену, — сильно демпфированной.
Второй случай. При коэффициенте демпфировании £ = 1
характеристическое уравнение имеет два одинаковых действитель-
ных отрицательных корня:
1
*1 = = -у = -«•
Учитывая это. выражение (3.152) можно представить в виде
(3.155)
Выполнив обратное преобразование Лапласа (см. Приложение 2),
получим переходную функцию статического звена второго порядка
для £ = 1:
Л(т)=АГ 1-(1 + у) -1(т).
(3.156)
Переходная характеристика, соответствующая (3.156), как и в
случае £ > 1, является апериодической. Поэтому при £ = 1 статичес-
кое звено второго порядка также называют апериодическим, а демп-
фирование — критическим.
Третий случай. При 0 < £ < 1 характеристическое уравнение
(3.150) имеет два сопряженных комплексных корня:
,,2.^±7£?»_а±л.
(3.157)
С учетом (3.157) можно представить (3.152) в виде:
Выполнив в (3.158) обратное преобразование Лапласа (см. При-
ложение 2), получим переходную функцию статического звена вто-
рого порядка для 0 < £ < 1:
I ОС 1
I — sinpT + cosP? I 1(т)
(3.159)
146
Глава 3. Основы теории автоматического управления
или
Л(т) = ЛГ
I е •
1----— Sin
рг
Рт + arctg
•1(т).
(3.160)
Переходный процесс, описываемый уравнением (3.160), явля-
ется колебательным, поэтому при коэффициенте демпфирования
0 < £ < 1 статическое звено второго порядка называют колебатель-
ным, а демпфирование — слабым. Частота колебаний в переходном
процессе равна мнимой части корня характеристического уравне-
ния Р, а амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному зако-
ну е“от. Колебательное статическое звено второго порядка нельзя
разбить на другие более простые детектирующие рвенья.
Переходные процессы статического звена второго порядка в
зависимости от коэффициента демпфирования представлены на
рис. 3.35. Причем колебательному звену соответствуют переход-
ные характеристики с коэффициентом демпфирования 0 < £ < 1,
апериодическому звену — переходные характеристики с коэффи-
циентом демпфирования £> 1, при коэффициенте демпфирования
£ = 0 (недемпфированная система) выходной сигнал представляет
собой незатухающие колебания с частотой <о0 и амплитудой К (кон-
сервативное звено).
Из переходной характеристики (3.160) следует, что мнимая со-
ставляющая р корней характеристического уравнения (3.151) явля-
ется круговой частотой колебательного звена, а период колебаний
равен 2л/р.
Рис. 3.35. Переходные характеристики статического звена второго поряд-
ка при различных значениях коэффициента демпфирования
3.3. Типовые динамические звенья
147
Рис. 3.36. Переходная характеристика колебательного статического звена
второго порядка (0 < С, < 1)
Интенсивность затухания колебаний в колебательном звене ха-
рактеризуется отношением соседних амплитуд переходной характе-
ристики, направленных в одну сторону, например, At и А3 (рис. 3.36).
Оценить переходный процесс в колебательном звене возможно, ис-
пользуя показатель называемый степенью затухания колебаний (2.5).
Замечание
В главе 2 этот показатель использовали для оценки качества переход-
ного процесса систем управления.
Перепишем (2.5) в следующем виде:
^ = 1-Л3/Л1 (3.162)
Используя рис. 3.36, первую амплитуду колебаний можно выра-
зить как
Л=^е'аТ1- <3.163)
Третью амплитуду колебаний выразим как
^=^е'аТ2- (3-164)
С другой стороны, период колебаний можно определить как
Г=т2 —тР (3.165)
148
Глав»а 3. Основы теории автоматического управления
Учитывая (3.165), подставим значения амплитуд А} и А3 из выра-
жений (3.163) и (3.164) в (3.162) и получим степень затухания коле-
баний в виде
V = 1 - ехр (-2л а/Р). (3.166)
Из (3.166) видно, что степень затухания определяется отношени-
ем действительной составляющей а комплексных корней характери-
стического уравнения (3.150) к их мнимой составляющей р. Чем бли-
же к единице степень затухания, тем быстрее затухают колебания.
Отношение значения действительной части корней к их мнимой
части называют степенью колебательности'.
ц = а/р. (3.167)
Используя (3.161), выразим степень колебательности ц через
коэффициент демпфирования:
Н = (3-168)
С учетом (3.167) перепишем (3.166) и получим степень затуха-
ния в таком виде:
V = 1 -ехр(-2лц). (3.169)
Чем больше коэффициент демпфирования £, тем больше сте-
пень затухания у и меньше время переходного процесса. Однако
увеличивать коэффициент демпфирования для сокращения тпп можно
лишь до значения £ = 1/V2. Дальнейший рост коэффициента демп-
фирования приводит к апериодическому переходному процессу и
увеличивает время переходного процесса тпп.
Четвертый случай. При коэффициенте демпфирования £ = 0
характеристическое уравнение (3.150) имеет два сопряженных мни-
мых корня:
^,2=±7у (3.170)
Переходная характеристика звена равна:
й(т) =
1Г к
T2s2 +1
= Hl-COSyj-l(T) =
= К(1 - COS(00x) . 1(т),
(3.171)
т. е. переходный процесс представляет собой незатухающие колеба-
ния с частотой (Oq и амплитудой К. Консервативное звено называют
также недемпфированным.
3.3. Типовые динамические звенья
149
3.3.4.2. Частотные характеристики
Перейдем к рассмотрению частотных характеристик статичес-
кого звена второго порядка.
Найдем АФЧХ звена. Для этого в передаточной функции (3.148)
заменим 5 наум и в результате получим:
Т2 С/<о)2 + 2Т^(» + 1 " -Г2(о2 + у2ГС<о + 1 '
к (l-T2a>2)-j2T^ K(l-T2<o2)-j2T^K<o
(1 - Т2<о2) + jlTtp ' (1 - Г2(о2) - j2T& " (i _ Г2Ш2)2 + 47^ V
^(1~Г2(о2) 2T(jK<a
(1 - T2w2 )2 + 4Г Vto2 7 (1 - T2<o2 )2 + 4Г V<o2
= wi(<o) + jn(w).
(3.172)
Найдем АЧХ статического звена второго порядка:
А (<о) = I1K (у<о)| = т------------г =
1 U 71 |(1-Г2<о2) + 2С7>|
=___________К____________
у/(1 Г2(О2)2+(2СГсоУ
(3.173)
Частоту юс = l/Т, как и в случае статического звена первого
порядка, называют частотой сопряжения.
ФЧХ имеет вид:
<р (“) = -arctg777^7’ “ S “с = т ’
ф(со) = -Л - arctg-----Ю > “с = С77-
v 7 I - Т2(й2 т
(3.174)
Таким образом, частотная передаточная функция с учетом (3.173),
(3.174) в показательной форме имеет вид:
__________К__________
^(1-Т2<о2)2 +(2СТ<о)2
exp^-jarctg-j—^-2
(3.175)
На рис. 3.37 изображена АФЧХ статического звена второго по-
рядка, которая начинается (при частоте ю — 0) на действительной
150
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Рис. 3.37. АФЧХ статического звена второго порядка при различных зна-
чениях коэффициента демпфирования
оси' комплексной плоскости в точке {К, уО). Вид АФЧХ зависит от
величины коэффициента демпфирования £.
АФЧХ консервативного звена представляет собой две полупря-
мые (рис. 3.37), первая из которых начинается при частоте колеба-
ний со = 0 на положительной действительной полуоси в точке (Х,у0)
и при возрастании частоты колебаний до ю = <о0 уходит по дей-
ствительной полуоси в положительном направлении в бесконечность.
Вторая полупрямая расположена на отрицательной действительной
полуоси, причем начало полупрямой находится в минус бесконечно-
сти при со = ю0, а ее конец совпадает с началом координат при со = °°.
На рис. 3.38 изображены АЧХ и ФЧХ статического звена второ-
го порядка для различных значений коэффициента демпфирования.
Колебательному характеру переходной характеристики (см. рис. 3.35)
соответствует наличие резонансного пика на АЧХ (рис. 3.38, а) при
резонансной частоте <ор. Отношение максимального значения АЧХ
к ее значению при нулевой частоте получило название показателя
колебательности'.
М = Л(<ор)/Л(0). (3.176)
Если продифференцировать выражение АЧХ статического звена
второго порядка, представленное в виде (3.173), по частоте <о и при-
равнять производную к нулю, то можно получить выражение для
расчета резонансной частоты звена (системы):
(ор=|71-2С2; (3.177)
3.3. Типовые динамические звенья
151
Рис. 3.38. АЧХ и ФЧХ колебательного статического звена второго по-
рядка
Подстановка полученного выражения (3.177) в предыдущие (3.173)
и (3.176) позволяет определить частотный показатель колебательно-
сти как:
М =----......; С < -к- (3.178)
2^1 -2С2
Показатель колебательности (3.178) и степень колебательности
(3.168) связаны равенством:
Л/ = (1 + р2)/2р. (3.179)
Из (3.169) следует, что степень затухания колебаний у связана
со степенью колебательности ц и, следовательно, с показателем ко-
лебательности М.
С уменьшением степени затухания колебаний степень колеба-
тельности ц уменьшается (от ц = °° при у = 1 до ц = О при у = 0),
показатель колебательности М растет (от М = 1 до М = °°), резо-
нансная частота шр (в рассматриваемом диапазоне значений степени
затухания колебаний) примерно равна собственной частоте колеба-
ний недемпфированной системы и0.
152
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Замечание
Неустойчивые колебательные звенья имеют передаточные функции вида
=
К
T2s2 - 2£7i + 1
или IT (s) =
К
T2s2 + 2£7s - 1
На рис. 3.38, а видно, что при уменьшении коэффициента демп-
фирования £ максимум АЧХ увеличивается. Значение частоты, при
котором появляется этот максимум, также увеличивается, прибли-
жаясь к собственной частоте колебаний консервативного звена <о0.
При коэффициенте демпфирования £ = О Л(со0) = °°.
При частоте <о = 0 для различных значений коэффициента демп-
фирования £ все ФЧХ ф(<о) = 0 (рис. 3.38, б). При частоте <о = соо
для различных значений коэффициента демпфирования £ все ФЧХ
<р((й) = —л/2. При частоте ы -»<*> для различных значений коэффи-
циента демпфирования £ все ФЧХ ф(ш) -э —л. Все ФЧХ отрицатель-
ны, т. е. выходные колебания во всем диапазоне изменения частоты
колебаний <о отстают от входных.
Замечание
При £ = О фаза выходных колебаний совпадает с фазой входных коле-
баний в диапазоне частот 0 < <о < <о0. При частоте со = <о0 фаза изменяется
скачкообразно от <р(со) = 0 до ф(со) = —л. В диапазоне частот соо < со < фаза
выходных колебаний отстает от фазы входных колебаний на л.
Анализируя частотные характеристики статического звена вто-
рого порядка, можно сделать такой вывод: при малых частотах вход-
ных колебаний (со = 0) колебательное звено по своим свойствам при-
ближается к статическому звену нулевого порядка, а при больших
частотах входных колебаний практически не пропускает сигнала.
Построение асимптотической ЛАЧХ
Логарифмируем выражение АЧХ (3.173) и получим
L(о) = 201gК - 201g^(1-Г2ш2)2+(2СТ(о)2. (3.180)
Используя выражение (3.180), можно построить ЛАЧХ колебатель-
ного звена в зависимости от величины Тсо (рис. 3.39) при К = 1 для
различных значений коэффициента демпфирования £.
При Ты «с 1 ЛАЧХ асимптотически приближается к функции
Тнча (со) = 201g К - 201g 1 = 201g К, (3.181)
называемой низкочастотной асимптотой, которую в области низких ча-
стот можно использовать вместо точной ЛАЧХ. При К= 1 = 0.
3.3. Типовые динамические звенья
153
Рис. 3.39. ЛАЧХ и ЛФЧХ статического звена второго порядка при различ-
ных значениях коэффициента демпфирования
При высоких частотах (Ты <к 1) ЛАЧХ асимптотически прибли-
жается к функции
£вча (ш) = 20 1g (АГ/Г2) - 40 lg<o, (3.182)
называемой высокочастотной асимптотой, которую в области высо-
ких частот можно использовать вместо точной ЛАЧХ. £вча(<о) пред-
ставляет собой прямую линию с наклоном —40 дБ/дек.
Низкочастотная и высокочастотная асимптоты сопрягаются
при частоте, получившей название частоты сопряжения, в дан-
ном случае
(ос =ы0 =1/Т.
ЛФЧХ для различных значений коэффициента демпфирования £
изображены на рис. 3.39.
Замечание
Когда использование асимптотической ЛАЧХ приводит к слишком
большим погрешностям, можно построить точную ЛАЧХ, используя выра-
жение (3.180).
154
Глава 3. Основы теории автоматического управления
При коэффициенте демпфирования £ > 1 статическое звено второго
порядка становится апериодическим и его можно представить как пос-
ледовательное соединение двух статических звеньев первого порядка:
W = (7’1s + l)(7’2s + l) ’ (3’183)
где 1/7! и 1/?2 являются корнями характеристического уравнения (3.150).
Учитывая (3.125) и (3.128) из передаточной функции апериоди-
ческого звена второго порядка (3.183), получим
L (ш) = 201g К - 201g 7т;2ш2 + 1 - 201g^to2 + 1. (3.184)
Выполним асимптотическую аппроксимацию ЛАЧХ (3.184).
Положим, для определенности, что Т\ < Т2. Частотами сопряже-
ния асимптотической ЛАЧХ являются <ос1 = 1/Т2 и <ос2 = 1/7’1. При
коэффициенте демпфирования £ > 1 ЛАЧХ представляет собой ло-
маную линию, состоящую из прямой, параллельной оси абсцисс и
проходящей от нее на расстоянии, равном 20 IgAf, если <о < <ос1; пря-
мой с наклоном —20 дБ/дек на участке с частотами <ос1 < ю < <ос2;
прямой с наклоном —40 дБ/дек при частоте <ос2 < ю < °° (рис. 3.40).
<р, град
Рис. 3.40. Аппроксимированные ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического стати-
ческого звена второго порядка при £ > 1
3.3. Типовые динамические звенья
155
Учитывая (3.126), из передаточной функции апериодического
звена второго порядка (3.183) находим ЛФЧХ:
<р ((о) = -arctg (7]<о) - arctg (7"2со).
(3.185)
Для построения приближенной ЛФЧХ используем кусочно-ли-
нейную аппроксимацию (см. рис. 3.40). При этом ось частот разде-
ляют на пять интервалов.
При <о = 0 первая составляющая ЛФЧХ
<р, (со) = -arctg7](o = 0.
При (о = 0,1/7"!
<Pj (to) = -arctg 0,1 = -6°.
При со = 10/7]
<Pi (to) = -arctg 10 = -84°.
При со = оо
ср, (со) = -90°.
Это означав!, что на участке частот 0 < со < 0,1/7", первая состав-
ляющая ЛФЧХ апериодического звена второго порядка <р,((о) моно-
тонно уменьшается от 0 до —6°. На участке частот 10/7] < со < °°
первая составляющая ЛФЧХ <р,(<о) уменьшается от —84° до —90°.
Учитывая вышеприведенные выкладки в интервале частот 0 < со <
< 0,1/7], допускаем <р,(со) ~ 0, а в интервале частот 10/7] < со < °°
принимаем <р,(со) = —90°. Поскольку интервал частот 0,1/7", < со < 10/7,
равен двум декадам, то в нем <р,(со) можно аппроксимировать пря-
мой с наклоном —45°/дек.
Подобно можно аппроксимировать вторую составляющую ЛФЧХ
<р2(со) = - arctg (7"2<о)
в интервалах часто!
0 < со < 0,1/7"2;
1/Т"2 < со < 10/7/
Ю/Г2 < co < оо.
Поскольку при последовательном соединении звеньев фазовые
характеристики складываются, ЛФЧХ апериодического звена вто-
рого порядка приближенно выразим в виде суммы аппроксимиро-
ванных составляющих <р,(со) и <р2(со) (на рис. 3.40 изображены пунк-
тирными линиями). Итак, для коэффициента демпфирования £ > 1
156
Глава 3 Основы^теории автоматического управления
б
Рис. 3.41. Аппроксимация апериодичес-
кого статического звена второго поряд-
ка (£ > 1) в виде последовательного со-
единения звена запаздывания и статичес-
кого звена первого порядка
и 0,l/Z’i < Ю/Гз ЛАЧХ апериодического звена второго порядка при-
ближенно представим ломаной линией, состоящей из прямых:
при со < 0,1/Г2 — прямая <р(со) = 0;
при 0,1/Г2 < со < 0,1/7^ — прямая с наклоном — 45°/дек;
при 0, l/7"j < со < Ю/Т^ — прямая с наклоном — 90°/дек;
при 10/Т? < со < 10/7\ — прямая с наклоном —45°/дек;
при со > lO/Z’j — прямая <р(со) = —180°.
Примечание
Иногда прибегают к аппроксимации переходной характеристики апе-
риодического звена аторого порядка (коэффициент демпфирования £ > 1)
(рис. 3.41, а) в виде последовательного соединения звена запаздывания и
статического звена первого порядка (апериодического). Структурная схема
такого соединения представлена на рис. 3.41, б.
3.3.5. Идеальное интегрирующее звено
Звено называют интегрирующим (астатическим, нейтральным),
если скорость изменения его выходной величины пропорциональна
входной величине:
Га^ = х, (3.186)
ат
где Тя — постоянная времени интегрирования.
Можно дать и такое определение интегрирующего звена: выход-
ная величина интегрирующего звена пропорциональна интегралу
входной величины, т. е.
1 Г л
У = у J xdt.
'а о
(3.187)
3.3. Типовые динамические звенья
157
Рис. 3.42. Примеры идеального интегрирующего звена:
а — резервуар с насосом на линии стока, у которого производитель-
ность не зависит от уровня жидкости в резервуаре; б — поршневой гид-
равлический исполнительный механизм; в — электродвигатель посто-
янного тока; г — резервуар с тепловым потоком, не зависящим от тем-
пературы резервуара
Собственно из определения (3.186) и происходит название звена.
Примеры интегрирующего звена приведены на рис. 3.42.
Пример
► На линии стока из резервуара установлен насос, производи-
тельность которого не зависит от уровня жидкости в резервуаре
(рис. 3.42, а). Составить дифференциальное уравнение, связываю-
щее уровень жидкости в резервуаре L с притоком Гвх и стоком
жидкости.
Решение. Если объемные расходы жидкости на линии притока
(Гвх) и стока (ГВЬ1Х) не зависят от уровня жидкости в резервуаре, то
его можно рассматривать как интегрирующее звено (своеобразный
накопительный элемент). Запишем динамическое (дифференциаль-
ное) уравнение материального баланса резервуара, на линии стока
которого установлен насос с постоянной производительностью:
dV = (FBX - FBbIX)dT.
158
Глава 3 Основы теории автоматического управления
Объем жидкости в резервуаре
V = AL.
Тогда
Л — = F - F
' вх * вых ’
где А — площадь поперечного сечения цилиндрического резервуара;
L — уровень жидкости в резервуаре.
Вышеприведенное уравнение можно записать в отклонениях:
где Д£ — отклонение уровня жидкости в резервуаре от статического
номинального значения; Д£вх — изменение объемного расхода на ли-
нии притока по сравнению со статическим номинальным значением.
В результате получаем дифференциальное уравнение интегриру-
ющего звена вида (3.186).
Пример
► Составить дифференциальное уравнение электродвигателя по-
стоянного тока (см. рис. 3.42, в) с независимым возбуждением и не-
большой электромеханической инерцией, если входная величина —
его напряжение U(т), а выходная величина — угол поворота якоря а(т).
Решение. Частота вращения л якоря (ротора) электродвигателя
примерно пропорциональна напряжению U на якоре:
n = kU
Заменим в этом выражении частоту вращения на угол поворота,
используя соотношение:
1 da
п = ---.
2л dr
Получим дифференциальное уравнение интегрирующего звена
вида:
da/dx = Ink U.
Итак, по динамическим свойствам электродвигатель представ-
ляет собой интегрирующее звено.
Замечание
Постоянную времени интегрирования электродвигателя Га — 2пк мож-
но изменить, меняя напряжение, подаваемое на обмотку возбуждения.
3.3. Типовые динамические звенья
159
Воспользуемся свойством преобразования Лапласа — интегри-
рование оригинала (3.20):
$Р(у) = $
5
. о
и запишем передаточную функцию интегрирующего звена:
я (у)
s Tas
(3.188)
Замечание
Статическое звено первого порядка с очень большой постоянной
времени на сравнительно высоких частотах подобно интегрирующему
звену.
Зная передаточную функцию интегрирующего звена (3.188), по-
лучим его переходную функцию:
h(r) = STl
Т
га
4-L
у.
1
~ т х
га
(3.189)
Переходная характеристика интег-
рирующего звена (рис. 3.43) представ-
ляет собой прямую линию, выходящую
из начала координат наклонно к оси
времени под углом, тангенс которого
равен
tga = 1/Га.
Рис. 3.43. Переходная харак-
теристика идеального интег-
рирующего звена
Кривая разгона показывает, что
интегрирующее звено не обладает са-
мовыравниванием, т. е. при небольшом
изменении входного сигнала выходной
сигнал интегрирующего звена начинает изменяться с постоянной
скоростью и никогда не достигает нового установившегося со-
стояния.
Частотную передаточную функцию для интегрирующего звена
получим, заменяя в передаточной функции (3.188) 5 на уо>:
W (до) =
1
T^j
(3.190)
160
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Рис. 3.44. АЧХ (а) и ФЧХ (б) идеального интегрирующего звена
Из (3.190) следует, что модуль АЧХ интегрирующего звена об-
ратно пропорционален частоте колебаний и равен
1
7^(1)
(3.191)
В декартовых координатах АЧХ интегрирующего звена изобра-
жается гиперболой, асимптотически приближающейся к координат-
ным осям (рис. 3.44, а).
Так как выражение частотной передаточной функции (3.190) не
содержит действительной части (Re(co) = 0), то фазовый сдвиг на
всех частотах постоянен (рис. 3.44, б) и равен
<р(щ) = arctg (-оо) = -^. (3192)
Учитывая (3.191) и (3.192), запишем частотную передаточную
функцию интегрирующего звена в показательной форме:
/аы
(3.193)
Анализ выражения (3.193) показывает, что АФЧХ интегрирую-
щего звена (рис. 3.45) совпадает с отрицательной половиной мни-
Рис. 3.45. АФЧХ идеального
интегрирующего звена
мой оси, т. е. lV(j(o) при изменении час-
тоты колебаний ы от 0 до <» (<о — °° в на-
чале координат) меняется по модулю от
—°° до 0, оставаясь всегда мнимой вели-
чиной.
Выражая ЛАЧХ интегрирующего зве-
на в децибелах, получим:
L (ш) = 201g А (щ) = 201g -L- =
1 (3-194)
= 20 lg^- - 201g о.
* a
3.3. Типовые динамические звенья
161
Рис. 3.46. Диаграмма Бодё идеального интегрирующего звена
Зависимость (3.194) представляет собой прямую линию с накло-
ном -20 дБ/дек, пересекающую ось абсцисс при частоте со = 1/73,-
На рис. 3.46 представлена диаграмма Бодё интегрирующего звена.
Для простоты по оси ординат отложен lg/l(to), а по оси абсцисс отло-
жен lgco7a. ЛФЧХ на всех частотах остается неизменной и равной -л/2.
3.3.6. Реальное интегрирующее звено
Динамика реального интегрирующего звена (или нейтрального звена
второго порядка) определяется дифференциальным уравнением вида
TTa^ + Ta^- = x, (3.195)
а dr2 dr
где Ta — постоянная времени интегрирования; Т— постоянная вре-
мени звена.
Передаточная функция реального интегрирующего звена, соот-
ветствующая дифференциальному уравнению (3.195), равна
6 Беспалой А. В.. Хари гопов И. II
162
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Рис. 3.47. Переходная характери-
стика реального интегрирующего
звена
Из выражения (3.196) следует, что
реальное интегрирующее звено мож-
но рассматривать как последователь-
ное соединение идеального интегри-
рующего звена и статического звена
первого порядка.
Инерционность процесса интег-
рирования зависит от постоянной
времени Т. Чем меньше эта перемен-
ная, тем ближе по своим свойствам
реальное интегрирующее звено к
идеальному интегрирующему. На
рис. 3.47 представлена переходная ха-
рактеристика реального интегрирую-
щего звена.
3.3.7. Идеальное дифференцирующее звено
Звено называется идеальным дифференцирующим, если его выход-
ная величина пропорциональна скорости изменения входной величины,
т. е. взаимосвязь между входной и выходной величинами записыва-
ется в виде
гт dx
от
(3.197)
где Тй — постоянная времени дифференцирования. Если входная и
выходная величины дифференцирующего звена имеют одинаковую
размерность, то постоянная времени дифференцирования имеет раз-
мерность времени.
Примером идеального дифференцирующего звена может служить
тахогенератор постоянного тока (рис. 3.48, а), если за его входную
величину примем угол поворота его вала а, а за выходную величину —
выходное напряжение тахогенератора U. Выходное напряжение та-
хогенератора пропорционально угловой скорости, а она, в свою оче-
редь, равна производной от угла поворота, поэтому
и = тй^.
ат
Примечание
Полученное уравнение будет справедливым лишь в том случае, если
используется прямолинейная часть характеристики холостого хода тахоге-
3.3. Типовые динамические звенья
163
Рис. 3.48. Примеры идеального дифференцирующего звена:
а — тахогенератор; б — электрическая СЛ-цепь (Л пренебрежимо мало)
С
yW = Чых(т)
б
нератора, магнитопровод тахогенератора изготовляется с малыми потеря-
ми на гистерезис, а якорь с обмоткой — с пренебрежимо малым омичес-
ким сопротивлением.
Передаточная функция идеального дифференцирующего звена
получается из дифференциального уравнения (3.197):
W(s) = TAs. (3.198)
Зная передаточную функцию идеального дифференцирующего
звена (3.198), запишем его переходную функцию:
Л(т) = 1
иф)-
S
= ИГ1(таз = TdSP-,(l) = Td 8(т). (3.199)
( s)
Кривая разгона идеального диф-
ференцирующего звена представлена
на рис. 3.49. При подаче на вход иде-
ального дифференцирующего звена
единичного ступенчатого воздействия
на выходе звена получается мгновен-
ный выходной импульс с бесконечно
большой амплитудой, соответствую-
щей бесконечно большой скорости
изменения входной величины в мо-
мент подачи входного сигнала.
Частотные характеристики иде-
ального дифференцирующего звена
выражаются следующими формулами.
Частотная передаточная функция
идеального дифференцирующего зве-
на получается заменой в передаточ-
ной функции (3.198) 5 на j(o:
Рис. 3.49. Переходная характери-
стика идеального дифференциру-
ющего звена
6*
164 Глава 3. Основы теории автоматического управления
И7 (jw) = Tdjw,
(3.200)
Re [РГ (»] = 0, Im[iy(yw)] = Тйы.
АЧХ идеального дифференцирующего звена
А (<о) = ^Re2 (w) + Im2 (<о) = ^Таш)2 = 7>. (3.201)
Из (3.201) следует, что АЧХ пропорциональна частоте колебаний
(рис. 3.50).
Фазовый сдвиг идеального дифференцирующего звена постоя-
нен, положителен и при всех частотах равен +л/2 (рис. 3.50):
<р (со) = arctg (+°°) = + л/2. (3.202)
С учетом (3.201) и (3.202) частотная передаточная функция выг-
лядит так:
!R(;w) = rdtoe+27. (3.203)
При изменении частоты колебаний от 0 до о (ш = 0 в начале
координат) АФЧХ идеального дифференцирующего звена (рис. 3.51)
представляет собой прямую линию, совпадающую с положительной
половиной мнимой оси.
Прологарифмируем (3.201) и получим выражение для логариф-
мической частотной характеристики идеального дифференцирую-
щего звена:
£(ы) = 201g Тй + 201g <в. (3.204)
Рис. 3.50. АЧХ и ФЧХ идеального
дифференцирующего звена
Рис. 3.51. АФЧХ идеального диффе-
ренцирующего звена
3.3. Типовые динамические звенья
165
Из (3.204) видно, что ЛАЧХ идеального дифференцирующего зве-
на представляет собой прямую линию с наклоном +20 дБ/дек, пере-
секающую ось абсцисс при частоте колебаний, равной со = 1/7^.
Логарифмические частотные характеристики идеального диффе-
ренцирующего звена представлены на рис. 3.52.
3.3.8. Реальное дифференцирующее звено
Звено называется реальным дифференцирующим, если его выход-
ная и входная величины связаны между собой дифференциальным
уравнением
Т^ + у = Т^, (3.205)
dx dx
где Т — постоянная времени; Тй — постоянная времени дифферен-
цирования.
Из уравнения (3.205) следует, что чем меньше постоянная вре-
мени, тем звено ближе к идеальному дифференцирующему (3.198).
Замечание
Дифференцирующие звенья часто используются в САУ как устрой-
ства, корректирующие динамические свойства системы, чтобы повысить
качество управления.
166
Глава 3. Основы теории автоматического управления
*(т) = ^вх(т)
УСО = ЦыхФ
Рис. 3.53. Пример реаль-
ного дифференцирующе-
го звена: электрическая
СЛ-цепь
Примером реального дифференцирующего звена является элек-
трическая СЯ-цепь (рис. 3.53), где выходной величиной является
напряжение, снимаемое с сопротивления R. Получим дифференци-
альное уравнение электрической СЯ-цепи.
В равновесном состоянии запишем:
(7ВХ = Uc + (3.206)
где UBX — входное напряжение СЯ-фильтра; Uc — напряжение на
емкости; UR — выходное напряжение, снимаемое с сопротивления Я.
Продифференцировав уравнение (3.206) по х, получим
dCBX dCc dUR
—SE-= (3.207)
dr dx dx
Учитывая, что UR = /Я,
dUc 1 dg I f IUR
dr C dx С C R '
где q — заряд на обкладках конденсатора, перепишем уравнение (3.207):
dfrBX UR dUR
dr ЯС dx
или
ЯС^^ + Свых = RC^^. (3.208)
dx dx
Таким образом, для рассматриваемого случая получили уравне-
ние, аналогичное уравнению реального дифференцирующего звена
(3.205), в котором Т = Тй = ЯС.
Передаточная функция реального дифференцирующего звена
может быть получена из дифференциального уравнения (3.205):
(3209)
Замечание
Реальное дифференцирующее звено можно рассматривать как после-
довательное соединение идеального дифференцирующего звена и стати-
3.3. Типовые динамические звенья
167
ческого звена первого порядка. При стремлении постоянной времени Т к
нулю можно получить идеальное дифференцирующее звено с постоянной
времени дифференцирования, равной Тй (рис. 3.48, б).
Переходная функция реального дифференцирующего звена по-
лучена из передаточной функции (3.209):
й(т) = $г‘ = $Р
' TAs Г
Ts + 1 5
(3.210)
~ т е ’
Переходная характеристика реального дифференцирующего звена
(3.210) изображена на рис. 3.54. В момент нанесения единичного
ступенчатого воздействия выходная величина реального дифферен-
цирующего звена Л(т) возрастает до значения TJT. При т -> °° вы-
ходная величина звена Л(т) -» 0. Постоянная времени Т звена явля-
ется подкасательной к кривой разгона.
Частотная передаточная функция реального дифференцирующего
звена:
= (3-211)
Ту со +1
Умножим числитель и знаменатель частотной передаточной функ-
ции (3.211) на комплексную функцию (1 — Туш), сопряженную со
знаменателем, для того чтобы освободиться в знаменателе от мни-
мой единицы. В результате (3.211) представим в виде суммы дей-
ствительной (вещественной) и мнимой частей, откуда выделим:
«(“) = Re[FK(уш)] = t;
Рис. 3.54. Переходная характеристика реального дифференцирующего звена
168
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Рис. 3.55. АФЧХ реального дифференцирующего звена
АФЧХ реального дифференцирующего звена (рис. 3.55) пред-
ставляет собой расположенную в первом квадранте комплексной
плоскости полуокружность радиусом Тй/2 Т с центром в точке с ко-
ординатами (Тй/2Т, JQ). Действительно, при изменении частоты со от
О до +°° и действительная, и мнимая части частотной передаточной
функции принимают только положительные значения. Следователь-
но, АФЧХ этого звена располагается в первом квадранте комплекс-
ной плоскости.
Частотная передаточная функция в показательной форме име-
ет вид:
W (уш) = Tdt° -exp
J'arctg-?-
Tu>
(3.212)
АФЧХ показывает, что при изменении частоты со от 0 до + °°
модуль амплитудно-фазовой характеристики меняется от 0 до неко-
торого конечного значения, равного Тй/Т, а фазовый сдвиг изменя-
ется от +л/2 до 0, причем при частоте сопряжения (ос = \/Т фазо-
вый сдвиг равен +45°. Следовательно, в реальном дифференцирую-
щем звене выходная величина опережает по фазе входную величину.
Аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ приведены ниже:
Л((о) =
Тйы .
л/г2<о2 +1 ’
<р (со) = arctg - arctg (Гео)
(3.213)
(3.214)
На рис. 3.56 изображены АЧХ (3.213) и ФЧХ (3.214) реального
дифференцирующего звена.
3.3. Типовые динамические звенья
169
Рис. 3.56. АЧХ и ФЧХ реального дифференцирующего звена
На рис. 3.57 представлены логарифмические частотные характе-
ристики реального дифференцирующего звена. Асимптотическая
ЛАЧХ реального дифференцирующего звена изображается двумя
Рис. 3.57. Диаграмма Бодё реального дифференцирующего звена
170
Глава 3. Основы теории автоматического управления
прямыми, имеющими общую точку при частоте сопряжения wc = \/Т.
Высокочастотная асимптота (7w » 1) является прямой линией, парал-
лельной оси абсцисс и отстоящей от нее на расстоянии lg(7yT)- Низ-
кочастотная асимптота (Тш -с 1) также является прямой линией,
наклоненной к оси абсцисс под углом +45° (тангенс угла наклона
равен единице).
3.3.9. Неустойчивое звено первого порядка
Звено называется неустойчивым звеном первого порядка (псев-
достатическим первого порядка), если его выходная и входная
величины взаимосвязаны между собой дифференциальным урав-
нением
Т^-у = Кх,
dr
(3.215)
где Т — постоянная времени; К — статический коэффициент
усиления
Передаточная функция неустойчивого звена первого порядка
может быть получена из его дифференциального уравнения
(3.215):
(3216)
Переходная функция неустойчивого звена первого порядка следу-
ет из передаточной функции (3.216):
й(т) = £ 1 И'(s) - = £ 1
г Г 13 X
__2_ .Л =К ст _1
Ts -1 s
(3.217)
5
Рис. 3.58. Переходная характе-
ристика неустойчивого звена
первого порядка
Переходная характеристика неустой-
чивого звена первого порядка изображе-
на на рис. 3.58. С течением времени й(т)
неограниченно возрастает, а это указы-
вает на неустойчивость звена.
Заменив в (3.216) s на уш, получим
частотную передаточную функцию:
К КТш
Т2ы2 + 1 T2tn2 + 1 J’
(3 218)
3.3. Типовые динамические звенья
171
откуда выделим
= Re[(C (»] = --2-J + i;
л(ш) = ImjV (до)] =
(3.219)
(3.220)
С учетом (3.219) и (3.220)
п2 (<о)//л2 (ш) = Т2а>2
(3.221)
или
™ (со),
(3.222)
Из выражения (3.222) следует:
т2 (ш) + и2 (о) + Кт(ы) = 0.
(3.223)
Если прибавить к обеим частям равенства (3.223) (К/2)2, то по-
лучим в итоге уравнение вида
Уравнение (3.224) — это уравнение окружности с радиусом К/2
и центром в точке (—К/2, у'0) т. е. лт(го) = — К/2, а л(ю) — 0. При
изменении частоты w от 0 до +«> действительная и мнимая части
частотной передаточной функции принимают только отрицатель-
ные значения. Следовательно, АФЧХ этого звена располагается в
третьем квадранте комплексной плоскости (рис. 3.59).
Используя (3.219) и (3.220), можно получить АЧХ неустойчивого
звена первого порядка:
4(<o) = /f/7F2wr+7.
(3.225)
Замечание
АЧХ неустойчивого звена первого порядка подобна АЧХ статического
звена первого порядка.
ЛАЧХ неустойчивого звена первого порядка находится по выра-
жению (3.225):
£(ш) = 201g К - 20 ig л/Т2(02 +1.
172
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Рис. 3.59. АФЧХ неустойчивого звена первого порядка
ФЧХ неустойчивого звена первого порядка
<р (со) = -п + arctg (То) (3.226)
при изменении частоты со от 0 до +« изменяется от —л до — л/2
(рис. 3.60).
Рис. 3.60. Диаграмма Бодё неустойчивого звена первого порядка
3.4. Устойчивость линейных САУ
173
3.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ САУ
3.4.1. Понятия об устойчивости
систем автоматического управления
Под устойчивостью понимают способность САУ восстанавли-
вать свое состояние равновесия после устранения возмущающего
воздействия. Различают три типа систем:
• устойчивые системы после устранения возмущающего воздей-
ствия возвращаются в исходное состояние равновесия; в результате
ступенчатого возмущающего воздействия устойчивая система или
апериодически (см. рис. 2.19, б), или совершая затухающие колеба-
ния (см. рис. 2.19, в), переходит в новое состояние равновесия;
• неустойчивые системы после устранения возмущающего воз-
действия апериодически удаляются от состояния равновесия или
начинают совершать расходящиеся колебания; переходные характе-
ристики неустойчивых систем показаны на рис. 2.19, г, д',
• нейтральные системы после устранения возмущающего воздей-
ствия или приходят в состояние равновесия, отличающееся от ис-
ходного, или совершают незатухающие колебания; одна из возмож-
ных переходных характеристик нейтральной системы показана на
рис. 2.19, е.
Устойчивость является одним из главных требований, предъяв-
ляемых к САУ, поскольку определяет ее работоспособность. Иначе
говоря, неустойчивая система принципиально неработоспособна.
Чтобы определить, устойчиво ли состояние равновесия какой-
либо системы, обычно изучают поведение этой системы при малых
отклонениях от положения равновесия.
В общем случае система может быть устойчива при подаче на ее
вход только малых по величине возмущающих воздействий, и на-
оборот, при достаточно больших возмущающих воздействиях она
становится неустойчивой. Следовательно, рассматриваемая система
устойчива «в малом», но неустойчива «в большом». Примером такой
системы может служить шарик, помещенный в чашу (рис. 3.61, г).
При малых отклонениях шарик стремится занять положение на дне
чаши. При больших отклонениях шарик может перейти края чаши,
после чего он уже не сможет вернуться к своему положению равно-
весия на ее дне.
Если линейная система устойчива «в малом», то она будет ус-
тойчива «в большом». Пример такой устойчивой системы дан на
рис. 3.61, а. Края чаши уходят в бесконечность, и шарик всегда
стремится найти состояние покоя на дне чаши. Перевернув чашу,
можно получить неустойчивую систему; шарик, помещенный на ее
174
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Рис. 3.61. Основные понятия об устойчивости:
а — система устойчива «в большом»; б — система нейтральна; в — сис-
тема неустойчива; г — система устойчива «в малом»
вершине, при любом возмущающем воздействии скатывается впра-
во или влево и никогда не займет прежнее положение (рис. 3.61, в).
Система может быть и «нейтральной» (рис. 3.61, б). В этом случае
система после снятия возмущающего воздействия хотя и приходит к
состоянию равновесия, однако это состояние неопределенно и мо-
жет быть любым, т. е. шарик на плоскости может оставаться в лю-
бой ее точке. Системы, в которых одной и той же входной величине
(возмущающему воздействию, выводящему систему из равновесно-
го состояния) соответствует бесконечное множество значений вы-
ходной величины, как, например, положений шарика на плоскости
(рис. 3.61, б), называют также нейтрально-устойчивыми или находя-
щимися на границе устойчивости.
Поведение линейной стационарной системы в общем случае
при наличии внешних воздействий можно описать неоднородным
дифференциальным уравнением вида с постоянными коэффици-
ентами (3.4):
dny d"~1y dy
а„ —— + а„ ----т +... + a, -f- + аау =
п dx" dx"’1 . 1 dx 0Л
L dmx L dm~'x . dx .
= bm----- + bm, ——r- + ... + D, — + baX
dx'" dx”-1 dr 0
или соответствующей передаточной функцией
W (Л = bmsm+ bm_lSm~l+... + biS+by = N(s)
ansn + +... + <Zj5 + fl() D(s)
Следует заметить, что степень т полинома числителя Ms) не
выше степени п полинома знаменателя D(s) для большинства физи-
чески реализуемых систем, т. е. п > т.
3.4. Устойчивость линейных САУ
175
Решение уравнения (3.4) можно представить в виде суммы двух
составляющих (2.2):
где у(т) — выходная величина САУ; увыи(т) — вынужденная состав-
ляющая выходной величины; ус(т) — свободная составляющая вы-
ходной величины.
Первая из этих двух составляющих однозначно связана с изме-
нением входной величины и является частным решением уравне-
ния (3.4).
Для того чтобы система могла правильно отрабатывать задаю-
щее воздействие, т. е. изменение заданного значения входной вели-
чины, необходимо, чтобы переходный процесс, протекающий при
переходе системы из одного заданного равновесного состояния в
другое, был затухающим, т. е. составляющая ус(т) с течением време-
ни должна стремиться к нулю.
Необходимо также, чтобы свободная составляющая ус(т) с тече-
нием времени стремилась к нулю и при возмущающем воздействии
на систему, так как только в этом случае вызванное возмущающим
воздействием отклонение регулируемой величины» у от заданного
значения с течением времени становится равным нулю и равно-
весное состояние системы восстанавливается.
Свободная составляющая изменения выходной величины ус(т)
является общим решением однородного дифференциального урав-
нения, которое характеризует собственные динамические свойства
системы.
Однородное дифференциальное уравнение можно получить из
неоднородного дифференциального уравнения (3.4), заменив его
правую часть нулем:
d"y d"-1y dy -
йл^Г + ал-1^7Т + - + а1^- + соУ = °- (3-227)
dr dx dr
Соответствующее однородному дифференциальному уравнению
(3.227) характеристическое уравнение системы, которое можно по-
лучить, приравнивая знаменатель ее передаточной функции к нулю,
имеет вид:
D(s) = ansn + a^s"-1 +... + axs + a0 = 0. (3.228)
Характеристическое уравнение степени п имеет в общем случае я
корней, некоторые из которых могут быть кратными (т. е. одинако-
выми). Положим, что уравнение (3.228) имеет к одинаковых кор-
ней sk и, помимо того, я — к неодинаковых корней s2, ..., sn _к .
176 Глава 3. Основы теории автоматического управления
Определив все корни характеристического уравнения (3.228),
общее решение однородного дифференциального уравнения (3.227)
можно найти по известному выражению:
Ус (?) = + с2е^ +... + Ce_te^ + (3 229)
+ (СА.О + СА.1Т + — + ск,к-1хк *)е**Т»
где сь с2, ..., ckfi, скк _ j — постоянные интегрирования, которые
находятся из начальных условий.
Корни в общем случае могут быть нулевыми sk = 0, действи-
тельными (вещественными) sk = ак, комплексными сопряженны-
ми ^Л+1 = ак ± j£k.
Из общего решения (3.229) однородного дифференциального
уравнения следует, что переходная составляющая определяется сум-
мой членов, каждый из которых содержит экспоненциальную со-
ставляющую еат, где а представляет собой корень характеристичес-
кого уравнения, если он вещественный, или вещественную часть
этого корня в том случае, если корень комплексный. Число экспо-
ненциальных слагаемых, входящих в выражение переходной состав-
ляющей, равно числу корней характеристического уравнения.
Таким образом, чтобы каждый член выражения ус(т) со време-
нем стремился к нулю, необходимо и достаточно, чтобы все веще-
ственные корни характеристического уравнения были отрицатель-
ными, а в комплексных корнях отрицательной должна быть веще-
ственная часть корня.
Следовательно, корни характеристического уравнения в полной
мере определяют устойчивость САУ.
Итак, линейная система устойчива, если все вещественные кор-
ни и вещественные части комплексных корней характеристическо-
го уравнения отрицательны.
Если хотя бы один корень характеристического уравнения или
вещественная часть одного из комплексных корней положительны,
то система неустойчива. В этих случаях слагаемое переходной со-
ставляющей, соответствующее этому корню, содержит экспоненту в
положительной степени, значение которой со временем беспредельно
возрастает, т. е. теоретически значение регулируемой величины стре-
мится к бесконечности.
Если характеристическое уравнение (3.228) системы имеет толь-
ко один нулевой корень st = 0, а все остальные корни имеют отрица-
тельную вещественную часть, то решение уравнения (3.229) содер-
жит слагаемое
c,ei/T = С/ еОт =
3.4. Устойчивость линейных САУ
177
т. е. свободная составляющая решения с течением времени не зату-
хает, а стремится к некоторому постоянному значению с,-. Следова-
тельно, такая система является нейтрально-устойчивой. О такой си-
стеме говорят также, что она находится на апериодической границе
устойчивости.
Если характеристическое уравнение (3.228) системы имеет толь-
ко одну пару сопряженных мнимых корней (+1 = ±/р„ а все осталь-
ные корни имеют отрицательную вещественную часть, то решение
уравнения (3.229) содержит слагаемые
czeJ/T + = с,- еу₽-т + еме^ = csin(p,T + ф),
где с и ф определяются по постоянным с,- и с,-+1, зависящим от началь-
ных условий. Свободная составляющая решения в этом случае со-
вершает незатухающие колебания. Следовательно, такая система
тоже является нейтрально-устойчивой (находится на колебательной
границе устойчивости). Для линейных нейтрально-устойчивых сис-
тем, характеристическое уравнение которых имеет один корень s, = О,
характерно то, что выходная величина принимает произвольное зна-
чение, например, одному и тому же задающему воздействию соот-
ветствует бесконечное множество значений выходной величины у(х),
следовательно, система управления не справляется со своими функ-
циями.
Замечание
Если характеристическое уравнение линейной системы имеет не один
нулевой корень, а к нулевых корней q = 0, то решение уравнения (3.229)
содержит слагаемое
модуль которого с течением времени стремится к бесконечности.
Если характеристическое уравнение линейной системы имеет к пар
мнимых корней s/l+1 = ±ур,-, то решение уравнения (3.229) содержит сла-
гаемое
(с0 + qt +... + ck_Y т*“‘ )sin (р,- х + ф),
представляющее собой колебания, амплитуда которых стремится к беско-
нечности. Такие системы относят к неустойчивым системам
3.4.2. Устойчивость по Ляпунову
В действительности мы имеем дело почти всегда с нелинейны-
ми, но линеаризованными системами, представленными в виде ли-
нейных приближений (линейных моделей). Теорема Ляпунова гла-
сит, что если линейное приближение нелинейной системы устойчи-
178
Глава 3. Основы теории автоматического управления
во, то и система может быть устойчива, и наоборот, что следует
иметь в виду при рассмотрении реальных линейных моделей.
Анализируя характеристические уравнения системы, Ляпунов
сформулировал следующие теоремы устойчивости для нелинейных,
но линеаризованных систем (т. е. представленных линейными урав-
нениями):
1) нелинейная система устойчива в «малом», если отрицательны
все вещественные части корней характеристического уравнения си-
стемы (ее линейного приближения);
2) нелинейная система неустойчива в «малом», если хотя бы один
корень характеристического уравнения линейного приближения
имеет положительную вещественную часть;
3) если имеется нулевой или чисто мнимый корень, то поведе-
ние реальной системы становится неопределенным, т. е. она может
быть как устойчивой, так и неустойчивой.
Если линейные системы устойчивы в «малом», то устойчивы и в
«большом». Нелинейные системы могут быть устойчивы в «малом»,
но не устойчивы в «большом», т. е. при больших возмущающих воз-
действиях.
Итак, необходимое и достаточное условие устойчивости линей-
ных систем заключается в том, чтобы все корни характеристического
уравнения имели отрицательную вещественную часть, т. е. на комп-
лексной плоскости располагались слева от мнимой оси (рис. 3.62).
Для суждения об устойчивости системы нет необходимости вы-
числять корни его характеристического уравнения. Существуют кос-
венные признаки, называемые критериями устойчивости, которые
позволяют установить расположение корней характеристического
уравнения на комплексной плоскости. Ценность критериев устой-
чивости состоит не только в том, что устраняется необходимость
Левая полуплоскость
(область устойчивости)
Re(s) < О
Правая полуплоскость
lm(s) (область неустойчивости)
Re(s) > О
*«“«5-Ад •
^“«гДб
Re(s)
Рис. 3.62. Расположение корней характеристического уравнения устой-
чивой системы на комплексной плоскости
3.4. Устойчивость линейных САУ 179
вычисления корней характеристического уравнения. Они дают воз-
можность установить, как структура и параметры системы влияют
на устойчивость и как их следует изменить, чтобы система стала
устойчивой.
Так, например, необходимое (но не достаточное) условие устой-
чивости линейных систем заключается в положительном значении
всех коэффициентов характеристического уравнения. Для систем,
описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго
порядков, это условие является необходимым и достаточным.
Замечание
Для систем, порядок уравнений которых выше второго, положитель-
ное значение коэффициентов характеристического уравнения не гаранти-
рует устойчивость системы.
Для оценки устойчивости более сложных систем применяют ал-
гебраические критерии: критерии устойчивости Вышнеградского,
Рауса—Гурвица, Льенара—Шипара и др.; частотные критерии: кри-
терий Михайлова; критерий Найквиста. Эти критерии определяют
необходимые и достаточные условия устойчивости системы.
3.4.3. Алгебраические критерии устойчивости
Алгебраические критерии устойчивости (критерий Вышнеград-
ского, критерий Рауса—Гурвица, критерий Льенара—Шипара) оп-
ределяют устойчивость системы управления по коэффициентам ха-
рактеристического уравнения.
3.4.3.1. Критерий Рауса-Гурвица
Раус предложил критерий устойчивости в виде неравенств, со-
ставленных по особым правилам (алгоритму) из коэффициентов ха-
рактеристического уравнения D(s) - 0 замкнутой системы. Практи-
чески одновременно с Раусом такой критерий предложил Гурвиц,
но с записью алгоритма в виде определителей, поэтому этот крите-
рий часто называют критерием Рауса—Гурвица.
Критерий Рауса—Гурвица может быть сформулирован в фор-
ме, предложенной Гурвицем: если система описывается линейным
дифференциальным уравнением, характеристическое уравнение
которого имеет вид (3.228), то для того, чтобы она была устойчива
(т. е. чтобы все вещественные корни и вещественные части комп-
лексных корней характеристического уравнения были отрицатель-
ны), необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты уравнения
имели бы один и тот же знак, а диагональный детерминант порядка
180
Глава 3. Основы теории автоматического управления
п — 1, составленный из коэффициентов уравнения, и все его диаго-
нальные миноры были бы положительны.
Диагональный детерминант составляется так:
Все диагональные миноры образуются из приведенного детер-
минанта последовательным вычеркиванием последней строки и пос-
леднего столбца предыдущего минора:
-It'
Л1 =ап-1-
Таким образом, чтобы система была устойчива, необходимо:
а„ > 0, а„ _ , > 0, ..., ci > 0, а0 > 0
и
Д„ _ I > 0, Д„ _ 2 > 0, ..., Д2 > 0, Д] > 0.
3.4. Устойчивость линейных САУ 181
Замечание
Каждой матрице А = |aj порядка п с действительными или комплекс,
ными элементами можно однозначно поставить в соответствие действи-
тельное или комплексное число Д = detA, которое называется детерминан-
том или определителем матрицы А.
Минором М„ элемента алА. называют определитель порядка п — 1,
получающийся из Д «вычеркиванием» /-Й строки и к-го столбца.
Частным случаем критерия устойчивости Рауса—Гурвица явля-
ется критерий устойчивости И.А. Вышнеградского.
3.4.3.2. Критерий Льенара-Шипара
Льенар и Шипар предложили критерий, упрощающий критерий
Рауса—Гурвица.
Критерий Льенара-Шипара формулируется так: если все коэф-
фициенты характеристического уравнения (3.228) положительны, то
необходимые и достаточные условия сводятся к тому, чтобы среди
определителей Гурвица Дь Д2, ..., Д„ были положительными или все
определители с четными индексами, или все определители с нечет-
ными индексами.
Итак, необходимым и достаточным условием устойчивости сис-
темы является:
а„ > 0. а„ _ , > 0.> 0, оо > 0,
Д2 > 0, Д4 > 0, Ag > 0, ...
или
а„ > 0, а„ _ , > 0, ..., > 0, а0 > 0,
Д, > 0, Д3 > 0, Д5 > 0, ..
3.4.4. Частотные критерии устойчивости
Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое
применение на практике: во-первых, они позволяют по более простой
передаточной функции разомкнутой системы судить об устой-
чивости замкнутой системы; во-вторых, анализ устойчивости можно
выполнить и по экспериментально найденным частотным характерис-
тикам и, в-третьих, используя частотные характеристики, можно оце-
нить качество переходных процессов в системах управления.
3.4.4.1. Критерий Михайлова
Михайлов первым предложил использовать частотные методы,
развитые в радиотехнике Найквистом, для анализа устойчивости
линейных систем регулирования. Рассмотрим суть этого критерия.
182 Глава 3. Основы теории автоматического управления
Используем для формулировки критерия устойчивости Михайлова
характеристическое уравнение замкнутой системы управления (3.228).
Произведем в характеристическом уравнении (3.228) замену s
на jo. В результате подстановки получим функцию комплексной
переменной
£XJw) = an(jw)n + + ... + a2(jto)2 + + a0, (3.230)
которая может быть представлена в виде суммы действительной и
мнимой частей
D(ju) = Re[ D(ja))] +jlm\D(Ju)] (3.231)
или в показательной форме
/)(Уш) = |Д(»|еу,и8^“).
Функцию D(joj) при фиксированном значении частоты <о можно
изобразить на комплексной плоскости радиусом-вектором, который
называют вектором Михайлова.
При изменении частоты ш от 0 до « вектор Михайлова будет
поворачиваться вокруг начала координат, меняя одновременно свою
длину.
Система, описываемая линейным дифференциальным уравне-
нием с постоянными коэффициентами, будет устойчива, если го-
дограф вектора Михайлова при изменении со от 0 до °° на комплек-
сной плоскости обходит последовательно в положительном направ-
лении, нигде не обращаясь в нуль, п квадрантов, где п — порядок
характеристического уравнения системы (рис. 3.63), т. е. поворачи-
вается на угол, равный п (тс/2). Если годограф вектора Михайлова
проходит через начало координат (рис. 3.64, а), не заходя в очеред-
ной квадрант, то система находится на колебательной границе ус-
тойчивости, совершая незатухающие колебания с частотой, соответ-
lm[D(j<o)]
Рис. 3.63. Примеры годографов
вектора Михайлова устойчивых
систем
Рис. 3.64. Примеры годографов вектора
Михайлова:
а — система четвертого порядка на границе ус-
тойчивости; б — неустойчивые системы чет-
вертого порядка
3.4. Устойчивость линейных САУ
183
Рис. 3.65. Графики функций Re[£)(/(u)l и Im[D(/(o)] вектора Михайлова:
а — для устойчивой системы; б — для системы на границе устойчивос-
ти: в — для неустойчивой системы
ствующей прохождению годографа вектора Михайлова через 0. При
нарушении указанного выше поведения вектора Михайлова — сис-
тема неустойчива (рис. 3.64, б).
Из критерия Михайлова следует, что необходимым и достаточ-
ным условием устойчивости линейной системы является наличие у
многочленов Re[Z</co)] и Im[ вещественных корней и их чере-
дуемость (рис. 3.65, а). Действительно, при ш = 0, 1т[Д(0)] = 0, а
Re[Z>(0)] = = const. Далее, при повороте вектора Михайлова на (л/2),
Re[Z>(jiO])] станет равной нулю, a ImlDOw,)] — положительна. При
повороте вектора еще на (л/2), RelZXjajj)] будет иметь какое-то отри-
цательное значение, а 1т[Д(/ш2)] ~ равна нулю и т. д. Следовательно,
корни Re[£)(j(o)] должны располагаться между корнями Im[D(j(o)].
Если Re[ZXjw)i и Im[D(j(D)] имеют при какой-то частоте равные
корни (рис. 3.65, б), то годограф Михайлова проходит через нуль и
система находится на границе устойчивости. Если корни Re[£>(y<jo)]
и Im[ZX/w)] не чередуются (рис. 3.65, в), то система не устойчива.
Замечание
Применение как алгебраических критериев устойчивости, так и крите-
рия Михайлова возможно в том случае, если известны коэффициенты ли-
нейного дифференциального уравнения системы. Применение этих крите-
риев для исследования линейных систем управления, представляемых урав-
нениями высоких порядков, не вполне оправданно. Кроме того, они сложны
для восприятия из-за отсутствия ясного физического смысла.
3.4.4.2. Критерий Найквиста
Частотный критерий Найквиста позволяет судить об устойчиво-
сти замкнутой линейной системы управления (объект и управляю-
щее устройство соединены по принципу обратной отрицательной
связи, рис. 3.66, с) по виду АФЧХ системы в разомкнутом состоя-
нии (в этом случае объект и управляющее устройство соединены
последовательно, рис. 3.66, б). Первоначально частотный критерий
184
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Рис. 3.66. Структурная схе-
ма САР с обратной связью:
а — замкнутая система (пунк-
тиром показано место возмож-
ного размыкания); б — разом-
кнутая система
Регулятор
б
был сформулирован Найквистом в 1932 г. при исследовании усили-
телей с отрицательной обратной связью (см. гл. 1). Позже Михайлов
обобщил и применил его для исследования устойчивости САР.
Для применения частотного критерия необходимого знать АФЧХ
разомкнутой системы регулирования, которая может быть получена
как аналитически, так и экспериментально.
В частном, но широко распространенном в химической техно-
логии случае устойчивых в разомкнутом состоянии систем управле-
ния частотный критерий устойчивости Найквиста можно сформу-
лировать так: замкнутая система управления устойчива, если она
устойчива в разомкнутом состоянии и при этом АФЧХ разомкнутой
системы не охватывает точку на комплексной плоскости с коорди-
натами (— 1,/0). Если же АФЧХ устойчивой разомкнутой системы
охватывает точку с координатами (—1, J0), то замкнутая система не-
устойчива (рис. 3.67).
Критическая точка (—1, уО) соответствует условию:
^рс (“кр) - U
<Ррс (Юкр) = рад.]
(3.232)
Рис. 3.67. АФЧХ разомкнутой си-
стемы автоматического регулиро-
вания:
1 — замкнутая система устойчива; 2 —
замкнутая система на границе устой-
чивости; 3 — замкнутая система неус-
тойчива
3.4. Устойчивость линейных САУ
185
Частоту, при которой фазовое отставание разомкнутой системы
равно —л рад (-180°), называют критической и обозначают Уси-
ление регулятора при критической частоте обозначают через Лр(шкр),
а усиление объекта — через Ло(шкр). Предельное (максимальное) уси-
ление регулятора можно найти из соотношения:
ЛрС (шкР) = (шкр)-Лр“ (wKp) = 1,
откуда
Если разомкнутая система устойчива и для нее выполняется ус-
ловие
| (3.233)
Фрс (“кр) = -л рад,]
то она будет устойчива и в замкнутом состоянии. Если же для ус-
тойчивой разомкнутой системы Лрс(шкр) > I, то в замкнутом состоя-
нии она будет неустойчива.
Для лучшего понимания физической сути критерия Найквиста
рассмотрим, как возникают в системе регулирования с запаздыва-
нием колебания регулируемой величины. На рис. 3.68 представле-
на система регулирования температуры жидкости. Объект регули-
рования — трубчатый реактор с поршневым движением жидкости.
Рис. 3.68. Система регулирования температуры в объекте с запаздыванием
186 Глава 3. Основы теории автоматического управления
Обозначим температуру жидкости на выходе из трубчатого реактора t2,
а на входе в реактор Температуру /2 можно регулировать подачей
пара, изменяя его расход F. Пар смешивается с основным потоком,
имеющим перед реактором температуру t0.
Трубчатый реактор с поршневым движением жидкости можно
представить звеном запаздывания. Изменение Г1 повторится таким
же изменением /2 на выходе реактора, но через время = F/v, где
Z — длина реактора, as- линейная скорость жидкости в нем.
На рис. 3.69 рассматривается случай кратковременного импульс-
ного изменения температуры t0 поступающей жидкости (рис. 3.69, а).
Изменение температур и t2 после такого воздействия показано на
рис 3.69, б, в. Стрелками обозначена передача сигналов внутри сис-
темы регулирования. Видно, что:
1) изменение /0 мгновенно вызывает изменение tt;
2) поток жидкости переносит импульс теплоты до выхода труб-
чатого реактора, где через время т^ температура t2, изменившись
так же, как отклонится от заданного значения г2зд;
3) отклонение t2 от заданного значения является входным сигна-
лом для регулятора, мгновенно изменяющего расход пара, вслед-
Рис. 3.69. Реакция системы регулирования температуры в объекте с за-
паздыванием на импульсное возмущающее воздействие
3.4. Устойчивость линейных САУ
187
ствие чего температура tx снижается пропорционально ошибке регу-
лирования:
М =^(^зд-^) = ^; (3.234)
4) снижение tx через время проявится в виде снижения (2; и т. д.
Анализируя этот пример, можно сделать несколько выводов.
1. Из-за запаздывания действие регулятора сказывается на регу-
лируемой величине t2 не в момент ее отклонения от заданного зна-
чения, а спустя некоторое время, равное времени запаздывания т:1ап.
2. Возмущающее воздействие (кратковременное импульсное из-
менение температуры) создает в замкнутом контуре регулирования
циркулирующий сигнал (его движение на рис. 3.69 изображено из-
вилистой линией со стрелками). При этом регулируемая величина t2
совершает периодические колебания.
Замечание
Колебания z2 (и ^), как видно из рис. 3.69, б, в, — негармонические
(для рассматриваемого возмущающего воздействия они имеют сложную
форму). В реальных системах управления высокочастотные составляющие
этих колебаний сравнительно быстро затухают, и колебания постепенно
превращаются в гармонические.
3. Колебания регулируемой величины t2 имеют свойственные
данной системе период колебаний и частоту. Эти параметры коле-
баний связаны между собой известным соотношением
Т’кр = 2л/ю.
С другой стороны, для системы, состоящей из трубчатого реак-
тора и пропорционального регулятора (звена запаздывания и усили-
тельных звеньев), период колебаний:
Следовательно
“ban = 71
или
-Ь^зап = Ф(ш) = “Л,
т. е. отклонения выхода системы регулятор—объект сдвинуты от-
носительно отклонений, вызвавших их, на фазовый угол, равный
—л рад. В этом случае
<о = шкр
есть так называемая критическая частота системы регулирования,
зависящая от величины запаздывания т^.
188
Глава 3. Основы теории автоматического управления
4. Характер процесса регулирования зависит от усиления разом-
кнутой системы, иначе говоря, от усиления сигнала при прохожде-
нии через трубчатый регулятор и регулятор. Усилением разомкну-
той системы является отношение отклонения регулируемой величи-
ны t2 (выхода разомкнутой системы) к предыдущему отклонению /2,
которое служило входом регулятора и разомкнутой системы.
Усиление разомкнутой системы можно изменить, изменяя параметр
настройки регулятора К?. Если усиление разомкнутой системы KjK рав-
но единице, амплитуда колебаний не растет и не падает во времени,
а является величиной постоянной (рис. 3.69, в). На рис. 3.69, г пока-
зан характер колебаний /2 для коэффициента усиления разомкнутой
системы (трубчатый регулятор и П-регулятор), меньшего 1. Видно,
что для этого случая колебания затухают. Для усиления разомкну-
той системы, большего 1, колебания расходятся (рис. 3.69, д).
Из рис. 3.69 следует такой вывод: если усиление собственных
колебаний в разомкнутой системе меньше единицы, то колебания
затухают и система устойчива, а если усиление собственных колеба-
ний в разомкнутой системе больше единицы, то колебания расходят-
ся и система неустойчива.
В реальной системе регулирования возникают колебания различ-
ной частоты, которые по-разному усиливаются контуром регулирова-
ния. Частота, на которой фазовый сдвиг разомкнутой системы регу-
лирования равен —л рад (—180°), является резонансной частотой зам-
кнутой системы регулирования. Колебания параметра на этой частоте
в наибольшей мере усиливаются системой регулирования. Если уси-
ление колебаний на резонансной частоте окажется меньше единицы,
то усиление колебаний на любой другой частоте будет еще меньше, и
замкнутая система регулирования будет устойчива.
Рис. 3.70 поясняет влияние фазового сдвига на усиление колеба-
ний в контуре регулирования. Как правило, регулятор в замкнутой
системе регулирования должен создавать отрицательную обратную
связь. Однако при наличии запаздывания в элементах системы регу-
лирования управляющее воздействие сдвигается во времени по от-
ношению к возмущающему воздействию, которое вызвало его. Эф-
фект перехода от отрицательной связи к положительной можно про-
иллюстрировать рис. 3.70, на котором изображены три функции
времени: возмущающее воздействие d, управляющее воздействие и
и сумма возмущающего и управляющего воздействий d + и.
Рис. 3.70, а относится к системе регулирования без запаздыва-
ния. Фазового сдвига при прохождении сигнала через объект регу-
лирования и регулятор нет, а управляющее воздействие и находится
в противофазе по отношению к возмущающему воздействию d. При
и = d, т. е. при единичном усилении разомкнутой системы, отклоне-
ния регулируемой величины должны полностью устраняться.
3.4. Устойчивость линейных САУ
189
d + и
Рис. 3.70. Появление в системе регулирования обратной положительной связи
В системе, которой присуще запаздывание, и сдвинуто по фазе
по отношению к d (на рис. 3.70, б <р = —л/4 рад). В некоторые
промежутки времени и совпадает по знаку с d. Это значит, что если
возмущающее воздействие увеличивает приток (например, тепло-
ты), то управляющее воздействие тоже увеличивает приток. В дру-
гие промежутки времени d уменьшает приток и и также уменьшает
приток. В этом примере и равно d, но из-за сдвига фаз отклонения
регулируемой величины от заданного значения не устраняются, и
d + и (на рис 3.70 изображено пунктирной линией) совершает не-
прерывные колебания.
Фазовый сдвиг в разомкнутой системе может быть различным,
поскольку зависит от частоты. На рис. 3.70, в изображены d и и для
случая, когда фазовый сдвиг разомкнутой системы ср^ = —п рад
(—180°), а ее усиление равно единице. В этом случае и находится не
в противофазе с d, а наоборот, совпадает с ним по фазе. Это означа-
ет, что и не ослабляет действие d, а усиливает его, и суммарный
сигнал оказывается больше исходного возмущающего воздействия.
Таким образом, из-за запаздывания, вместо отрицательной обратной
связи, регулятор создает положительную обратную связь. Если усиле-
ние разомкнутой системы при указанном фазовом сдвиге превосхо-
дит единицу, то возмущение усиливается в системе с каждым пери-
одом колебаний, что приводит к неустойчивости регулирования.
3.4.5. Понятие о запасе устойчивости
Очевидно, что система регулирования не может функциониро-
вать при настройке регулятора на предельное усиление (3.232). В та-
ком случае любое случайное входное воздействие создаст незатухаю-
190 Г л а в a 3. Основы теории автоматического управления
щие колебания регулируемого параметра. Для получения быстрозату-
хающих колебаний усиление регулятора должно быть меньше пре-
дельного значения. Если усиление регулятора при критической час-
тоте выбирают так, чтобы оно составляло определенную долю от пре-
дельного усиления, то тогда говорят о запасе устойчивости по усилению.
3.4.5.1. Определение запаса устойчивости
по распределению корней
характеристического уравнения системы
Поведение системы определяется распределением корней ее ха-
рактеристического уравнения на комплексной плоскости. По сути
своей это косвенный метод оценки качества переходного процесса.
Для устойчивости системы необходимо, чтобы все корни характерис-
тического уравнения находились в левой части этой плоскости. Сле-
довательно, можно констатировать, что в плоскости корней характе-
ристического уравнения границей устойчивости является мнимая ось.
Чем дальше корни характеристического уравнения (3.228) систе-
мы находятся слева от мнимой оси, тем быстрее заканчиваются пере-
ходные процессы в системе. При приближении системы к границе
устойчивости корни характеристического уравнения системы пере-
мешаются на комплексной плоскости по направлению к мнимой оси.
На границе устойчивости один вещественный или два сопряженных
комплексных корня выходят на мнимую ось, а при дальнейшем пере-
ходе системы в неустойчивое состояние они перемещаются в правую
комплексную полуплоскость.
Рис. 3.71. Определение запаса устой-
чивости системы по расположению
корней ее характеристического урав-
нения на комплексной плоскости
Одним из косвенных показателей
качества устойчивых АСУ является
удаленность корней характеристичес-
кого уравнения замкнутой системы,
лежащих в левой комплексной полу-
плоскости, от мнимой оси (рис. 3.71).
Степенью устойчивости Т| назы-
вают абсолютное значение веще-
ственной части ближайшего к мни-
мой оси корня:
т) = min|Re(sft)|.
Примечание
Термин «степень устойчивости» не
является удачным. Величина г) характери-
зует на самом деле не устойчивость, а бы-
стродействие системы, поэтому ее следо-
вало бы назвать степенью быстродействия.
3.4. Устойчивость линейных САУ 191
Наибольший из углов, образованных отрицательной действитель-
ной полуосью и лучами, проведенными из начала координат через
корни характеристического уравнения (см. рис. 3.71), характеризует
колебательность системы. Тангенс этого угла
называется степенью колебательности и является мерой устойчивос-
ти системы.
Для системы, корни характеристического уравнения которой
показаны на рис. 3.71, степень устойчивости равна
n = |Re(51)| = |a1|,
а степень колебательности
= [lm(s2)| = |lm(j3)| = |р2|
|Re(J2)| |Reh)| |«2Г
Если на комплексной плоскости (см. рис. 3.71) провести в левой
полуплоскости прямую, параллельную мнимой оси, на расстоя-
нии л от нее и два луча из начала координат под углами ±у = arctg(p)
к отрицательной полуоси, то в левой полуплоскости получится
шесть областей: области I и II, соответствующие составляющим
переходного процесса системы со степенью устойчивости, мень-
шей т], и степенью колебательности, ббльшей р; область III со
степенью устойчивости, меньшей т), и степенью колебательнос-
ти, меньшей ц; области IV и Усо степенью устойчивости, ббль-
шей т], и степенью колебательности, ббльшей ц; область VI со
степенью устойчивости, ббльшей л, и степенью колебательнос-
ти, меньшей ц.
Следовательно, если требуется, чтобы автоматическая систе-
ма управления имела степень устойчивости больше т] и степень
колебательности меньше ц, необходимо, чтобы все корни харак-
теристического уравнения этой системы располагались внутри об-
ласти VI.
3.4.5.2. Определение запаса устойчивости по АФЧХ
разомкнутой системы
Рассмотрим еще один косвенный метод оценки качества регули-
рования. Если свойства системы задаются ее частотными характе-
ристиками, то запас устойчивости удобно характеризовать удален-
ностью АФЧХ разомкнутой линейной системы управления от точки
Глава 3. Основы теории автоматического управления
Рис. 3.72. Определение запаса устойчивости (по модулю и фазе) по АФЧХ
разомкнутой системы
с координатами (—1,/0) (рис. 3.72). Запас устойчивости может быть
охарактеризован двумя численными величинами: запасом устойчи-
вости по модулю и запасом устойчивости по фазе.
Под запасом устойчивости по модулю подразумевают длину отрез-
ка ДЛ, т. е. расстояние отточки с координатами (—1,у0) (см. рис. 3.72)
до точки пересечения АФЧХ разомкнутой системы с отрицательной
действительной полуосью. Эта величина показывает, насколько дол-
жен увеличиться модуль частотной передаточной функции разомк-
нутой системы при критической частоте, чтобы замкнутая система
оказалась на границе устойчивости:
[^рс(“кр) = 1-Л^;
|фрс(“кр) = -"
(3.235)
Запас устойчивости по модулю называют также запасом устой-
чивости по амплитуде (по усилению).
Под запасом устойчивости по фазе понимают величину угла Аф,
который образуется между отрицательной действительной полуосью
и лучом, проведенным из начала координат с точкой пересечения
АФЧХ разомкнутой системы с окружностью единичного радиуса с
центром в начале координат. Эта величина показывает, насколько
должно увеличиться отставание по фазе в разомкнутой системе, чтобы
замкнутая система оказалась на границе устойчивости. Или, иначе
говоря, запас устойчивости по фазе Аф показывает, насколько долж-
но возрасти запаздывание по фазе в разомкнутой системе на частоте
среза юср при неизменном коэффициенте усиления на этой частоте,
чтобы система оказалась на границе устойчивости:
[Лс (“ср) -
[фрс(юср) = -л + Аф-
(3.236)
Контрольные вопросы
193
3.4.5.3. Определение запаса устойчивости
по логарифмическим частотным характеристикам
разомкнутой системы
Запасы устойчивости по модулю и по фазе можно определить
по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутых устойчивых систем. Если wKp > а>ср
(рис. 3.73), то замкнутая система устойчива, и запасы устойчивости
по модулю А£ в децибелах и по фазе определяются равенствами:
Faz - Lpc (сокр);
|д<р = л + Фрс(Юср).
Рис. 3.73. Определение запаса устойчивости (по модулю и фазе) по логариф-
мическим частотным характеристикам разомкнутой системы
Одно из преимуществ использования запаса по фазе состоит в
том, что определяемая при этом частота среза практически совпада-
ет с частотой затухающих колебаний в замкнутой системе регулиро-
вания и может служить показателем быстродействия системы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Назовите особенности физических и математических моделей.
2. Какими режимами работы можно охарактеризовать динамику САУ?
3. Дайте определение типового динамического звена.
7 Беспалов А. В.. Хартонон Н. И.
194
Глава 3. Основы теории автоматического управления
4. Объясните понятие декомпозиция САУ.
5. Поясните методику составления дифференциальных уравнений эле-
ментов САУ.
6. Зачем необходима линеаризация уравнений и что лежит в ее основе?
7. Почему для анализа и синтеза САУ, а также для исследования ее
динамического поведения используют преобразование Лапласа? Назовите
основные свойства преобразования Лапласа.
8. Что характеризует передаточная функция звена? Каковы ее воз-
можности?
9. Что такое временные характеристики? Для чего они необходимы?
Какие типовые входные воздействия используются для получения времен-
ных характеристик?
10. Для чего необходимы частотные характеристики?
11. Что характеризует частотная передаточная функция? Каковы ее
возможности?
12. Как графически представляют частотные характеристики?
13. Какая взаимосвязь существует между годографом частотной пере-
даточной функции и ЛАЧХ с ЛФЧХ?
14. Какие вы знаете комбинации звеньев?
15. Какие существуют эквивалентные преобразования структурных схем?
16. Приведите примеры типовых динамических звеньев (статических,
интегрирующих, дифференцирующих, неустойчивых, запаздывания).
17. Сравните переходные характеристики типовых динамических звеньев.
18. Сравните амплитудные и фазовые частотные характеристики типо-
вых динамических звеньев (статических, интегрирующих, дифференциру-
ющих, неустойчивых, запаздывания).
19. Дайте понятие устойчивости САУ.
20. Что характерно для линейных систем управления?
21. Как определяется устойчивость системы управления по Ляпунову?
22. Каковы особенности алгебраических и частотных критериев устой-
чивости?
23. Приведите формулировку и поясните физический смысл частотно-
го критерия устойчивости Найквиста для устойчивых в разомкнутом состо-
янии систем.
24. Как можно оценить запас устойчивости САУ?
4Г Л А В A____________________
СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Неужели вы скажете, что он сам со-
бою управил так? Не правильнее ли думать,
что управился с ним кто-то совсем другой?
М.А. Булгаков. Мастер и Маргарита
4.1. ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ
И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Как уже было сказано выше (см. разд. 2.1), объект управления,
являясь составной частью системы управления, представляет собой
динамическую систему, имеющую свои входы: управляющие воз-
действия и(т) — материальные и тепловые потоки, изменяемые с
помощью исполнительных устройств; разнообразные внешние и
внутренние возмущающие воздействия d(t) — изменение состояния
окружающей среды, изменение характеристик исходного сырья и
параметров энергоносителей, изменение состояния технологической
аппаратуры и др. и выходы — управляемые (регулируемые) величины
у(т), характеризующие состояние и протекание ХТП в объекте.
4.1.1. Классификация объектов управления
Классификацию ОУ можно провести по ряду признаков: по ко-
личеству выходных величин в математической модели объекта, по
классу дифференциальных уравнений, по функциональной зависи-
мости (линейной или нелинейной) между выходными и входными
величинами в статическом режиме и т. д
4.1.1.1. Одномерные м многомерные объекты
Одномерный объект — объект управления, математическая мо-
дель функционирования которого содержит одну выходную величину.
Входных величин может быть несколько. Можно представить, что
194
Глава 3. Основы теории автоматического управления
4. Объясните понятие декомпозиция САУ.
5. Поясните методику составления дифференциальных уравнений эле-
ментов САУ.
6. Зачем необходима линеаризация уравнений и что лежит в ее основе?
7. Почему для анализа и синтеза САУ, а также для исследования ее
динамического поведения используют преобразование Лапласа? Назовите
основные свойства преобразования Лапласа.
8. Что характеризует передаточная функция звена? Каковы ее воз-
можности?
9. Что такое временные характеристики? Для чего они необходимы?
Какие типовые входные воздействия используются для получения времен-
ных характеристик?
10. Для чего необходимы частотные характеристики?
11. Что характеризует частотная передаточная функция? Каковы ее
возможности?
12. Как графически представляют частотные характеристики?
13. Какая взаимосвязь существует между годографом частотной пере-
даточной функции и ЛАЧХ с ЛФЧХ?
14. Какие вы знаете комбинации звеньев?
15. Какие существуют эквивалентные преобразования структурных схем?
16. Приведите примеры типовых динамических звеньев (статических,
интегрирующих, дифференцирующих, неустойчивых, запаздывания).
17, Сравните переходные характеристики типовых динамических звеньев.
18. Сравните амплитудные и фазовые частотные характеристики типо-
вых динамических звеньев (статических, интегрирующих, дифференциру-
ющих, неустойчивых, запаздывания).
19. Дайте понятие устойчивости САУ.
20. Что характерно для линейных систем управления?
21. Как определяется устойчивость системы управления по Ляпунову?
22. Каковы особенности алгебраических и частотных критериев устой-
чивости?
23. Приведите формулировку и поясните физический смысл частотно-
го критерия устойчивости Найквиста для устойчивых в разомкнутом состо-
янии систем.
2.4. Как можно оценить запас устойчивости САУ?
4Г Л А В A____________________
СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Неужели вы скажете, что он сам со-
бою управил так? Не правильнее ли думать,
что управился С ним кто-то совсем другой?
М.А Булгаков. Мастер и Маргарита
4.1. ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ
И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Как уже было сказано выше (см. разд. 2.]), объект управления,
являясь составной частью системы управления, представляет собой
динамическую систему, имеющую свои входы: управляющие воз-
действия и(т) — материальные и тепловые потоки, изменяемые с
помощью исполнительных устройств; разнообразные внешние и
внутренние возмущающие воздействия rf(r) — изменение состояния
окружающей среды, изменение характеристик исходного сырья и
параметров энергоносителей, изменение состояния технологической
аппаратуры и др. и выходы — управляемые (регулируемые) величины
характеризующие состояние и протекание ХТП в объекте.
4.1.1. Классификация объектов управления
Классификацию ОУ можно провести по ряду признаков: по ко-
личеству выходных величин в математической модели объекта, по
классу дифференциальных уравнений, по функциональной зависи-
мости (линейной или нелинейной) между выходными и входными
величинами в статическом режиме и т. д.
4.1.1.1. Одномерные н многомерные объекты
Одномерный объект — объект управления, математическая мо-
дель функционирования которого содержит одну выходную величину.
Входных величин может быть несколько. Можно представить, что
Т
196
Глава 4. Системы автоматического управления
Рис. 4.1. Схема резервуара для жидко-
сти (а) и структурная схема динамичес-
ких каналов резервуара (б)
влияние входной величины на выходную величину распространяет-
ся внутри объекта по некоторому воображаемому пути, называемо-
му динамическим каналом. Объект с одним входом и одним выходом
является одноканальным. Пример одномерного объекта — резервуар
(сборник) жидкости (рис. 4.1, а), входными величинами которого
являются приток (приход) FBX и сток (расход) Faux жидкости, а вы-
ходной величиной — уровень жидкости L. Увеличение или умень-
шение FBX (или FBbH) изменяет уровень жидкости L в резервуаре.
При регулировании уровня жидкости в качестве управляющего воз-
действия можно выбрать изменение FBX. Тогда изменение FBbIX будет
возмущающим воздействием. На рис. 4-1, б приведена схема дина-
мических каналов объекта.
Уравнение статики одномерного объекта:
(4.1)
уравнение динамики
i ') (4.2)
Одномерные объекты описываются одним уравнением динами-
ки (4.2), которое в статических условиях сводится к уравнению (4.1).
Многомерный объект — объект управления, математическая мо-
дель функционирования которого содержит несколько выходных ве-
личин. Для многомерного объекта число уравнений вида (4.2) [или
уравнений вида (4.1) в статическом режиме] соответствует числу
выходных величин. Многомерные объекты могут быть односвязны-
ми и многосвязными.
4.1.1.2. Односвязные и многосвязные объекты
Односвязный объект — объект управления, в математической
модели функционирования которого каждая входная величина вли-
яет только на одну входную величину. Иначе говоря, многомерный
односвязный объект — это объект с независимыми выходными величи-
4.1. Объекты управления и их основные свойства
197
нами. Такие объекты разбивают на не-
сколько одномерных объектов и рас-
сматривают независимо друг от дру-
га. Схема динамических каналов
многомерного односвязного объек-
та приведена на рис. 4.2. Такой
объект описывается двумя уравне-
ниями динамики:
Л = У? («iXt); Ji = fi («1 л), (4-3)
а в статических условиях — двумя
уравнениями статики:
d
Рис. 4.2. Схема динамических ка-
налов многомерного односвязного
объекта
Л = // (W1, rf); у2 = f} (и2). (4.4)
Многосвязный объект — объект управления, в котором хотя бы одна
входная величина влияет одновременно на несколько выходных вели-
чин. Иначе говоря, выходные величины многомерного многосвязного
объекта являются взаимозависимыми, что объясняется присутствием в
таких объектах перекрестных связей между параметрами (рис. 4.3).
Примером многомерного (двухмерного — по числу выходных ко-
ординат) многосвязного объекта может служить реактор идеального'
смешения, в котором проводится экзотермическая реакция. В каче-
стве выходных величин можно рассматривать концентрацию про-
дуктов реакции свых и температуру в реакторе t, которые зависят от
пяти основных входных величин (Fm, свх, 1ВХ, Fx, у — расхода реаген-
тов в реактор, их концентрации и температуры, расхода хладагента
и его температуры соответственно). Выходные величины (свьк, /)
реактора подвержены влиянию всех его входных величин. Уравне-
ния динамики такого объекта:
СВЫХ f (^*ВХ ’ СВХ > ^ВХ 5 , У , т) ,
* /вх ,Fx,tx, т).
Рис. 4.3. Схема динамических каналов многомерного многосвязного объекта
198
Глава 4. Системы автоматического управления
Замечание
Прохождение сигналов по каждому динамическому каналу реактора
(см. рис. 4.3) можно выразить своим уравнением динамики или передаточ-
ной функцией.
4,1.1.3. Линейные и нелинейные объекты
Линейный объект — объект управления, в математической моде-
ли функционирования которого все зависимости между величинами
могут быть представлены линейными функциями.
В общем случае необходимым условием линейности объекта уп-
равления (как и любой другой системы) является соответствующая
взаимосвязь между входным воздействием х(т) и реакцией объекта
на это воздействие у(т). Если к объекту, находящемуся в состоянии
покоя, приложить возмущающее воздействие х^т), то на выходе по-
явится реакция у^т). Если при тех же условиях подвергнуть объект
воздействию х2(т), то он даст соответствующую реакцию у2(т). Необ-
ходимым условием линейности является то, чтобы при возмущаю-
щем воздействии Xj(t) +х2(т) объект давал реакцию у^т) + у2(т). Это
положение обычно называют принципом суперпозиции.
Кроме того, линейный объект должен обладать свойством гомо-
генности (однородности). Необходимо, чтобы при изменении вход-
ной переменной в к раз (к = const) реакция (выходная переменная)
объекта изменилась в то же число раз, т. е. оказалась равна Jty(r).
Объект, в котором взаимосвязь между входной и выходной пере-
менными определяется соотношением у — х2, не является линейным,
так как не удовлетворяет принципу суперпозиции. Если входная и вы-
ходная величины связаны соотношением у — ax + b (а = const, b = const),
то объект тоже не является линейным, так как не обладает свойством
гомогенности. Однако в последнем случае объект можно считать линей-
ным в окрестности некоторой рабочей точки (хф у0) относительно ма-
лых приращений Ах и Ду Если х = + Дх и у = у0 + Ду то получим
у - ах + Ь; у0 + Ду = ах0 + аДх + Ь,
и, следовательно, Ду = йДх.
Нелинейный объект — объект управления, в математической мо-
дели функционирования которого хотя бы одна зависимость между
величинами является нелинейной функцией.
4.1.1.4. Объекты с сосредоточенными
и распределенными параметрами
Выходные величины объектов с сосредоточенными параметрами
не зависят от пространственной координаты и имеют в данный мо-
мент времени одно и то же числовое значение в каждой точке внут-
4. L Объекты управления и их основные свойства
199
ри объекта. Примерами таких объектов являются: химический реак-
тор идеального смешения, резервуар со свободным истечением жид-
кости, газгольдер и т. д.
Объекты управления с сосредоточенными параметрами, свой-
ства которых не изменяются во времени, называются стационарны-
ми и описываются обыкновенными дифференциальными уравнени-
ями с постоянными коэффициентами. Дифференциальные уравне-
ния дополняются начальными условиями.
Выходные величины объектов с распределенными параметрами в
данный момент времени имеют разные числовые значения в раз-
личных точках объекта. Основные переменные процесса в объекте с
распределенными параметрами изменяются и во времени, и в про-
странстве. Математическая модель объекта управления с распреде-
ленными параметрами содержит хотя бы одно дифференциальное
уравнение с частными производными. Примерами объектов с рас-
пределенными параметрами являются трубчатые реакторы, массо-
обменные колонные аппараты (ректификационные, дистилляцион-
ные, абсорбционные, экстракционные), кожухотрубные теплообмен-
ники, теплообменники «труба в трубе» и т. д.
Рассмотрим фрагмент кожухотрубного теплообменника, где тем-
пература непрерывно изменяется по длине трубы (температура жид-
кости «распределена» подлине теплообменника). Предполагая, что
стенки труб прогреваются с одинаковой скоростью во всех точках, а
температура нагреваемой жидкости одинакова в любой точке попе-
речного сечения трубы, можно привести упрощенное уравнение теп-
лопередачи от стенки трубы к жидкости в каком-либо рассматрива-
емом сечении трубы (рис. 4.4):
f2(/’ + т)
Ц/+ df.T)
f#. т)
i яе :
Рис. 4.4. Пример объекта с распределенными параметрами (фрагмент трубы
кожухотрубного теплообменника)
200
Глава 4. Системы автоматического управления
где и f2 - температуры нагреваемой жидкости и стенки трубы; v —
скорость жидкости; £ — длина (текущая) трубы теплообменника до рас-
сматриваемого сечения «аа»; t — время; к — постоянный коэффициент.
Из уравнения следует, что выходная величина объекта (темпера-
тура нагреваемой жидкости /,) является функцией двух координат:
временнбй и пространственной.
Динамика объектов управления с распределенными параметра-
ми описывается дифференциальными уравнениями с частными про-
изводными, дополненными начальными и граничными условиями.
Естественно, что решение дифференциальных уравнений с частны-
ми производными сложнее, чем решение обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. Поэтому при построении математической мо-
дели объектов с распределенными параметрами прибегают к такой
процедуре: их разбивают на ряд последовательно соединенных эле-
ментов с сосредоточенными параметрами и каждый из них описы-
вают обыкновенным дифференциальным уравнением.
Примечание
Точность такого описания тем выше, чем больше число разбиений. Сис-
тему с распределенными параметрами можно заменить на несколько после-
довательно включенных КС-цепочек, и такой подход окажется вполне удов-
летворительным и обеспечит необходимую точность. Если сопротивление и
емкость элемента с распределенными параметрами малы по сравнению с со-
противлениями и емкостями других элементов системы, то для аппроксима-
ции достаточно использовать одну или две RC-цепочки. Для аппроксимации
таких объектов с распределенными параметрами, как химический реактор,
теплообменник, абсорбционная насадочная колонна, потребуется от 5 до 10
RC-цепочек (иначе говоря, от 5 до 10 статических звеньев первого порядка).
Как было уже сказано в разд. 3.1, между механическими, элект-
рическими, гидравлическими, тепловыми и другими динамически-
ми системами существует аналогия. Во многих случаях эти системы
описываются однотипными дифференциальными уравнениями, что
указывает на сходство динамических процессов, протекающих в
объектах, и на возможность переноса результатов, полученных для
одних объектов, на объекты другой физической природы.
В дальнейшем в основном будут рассматриваться объекты с со-
средоточенными параметрами.
4.1.2. Свойства объектов управления
Для чего необходимо знать свойства объекта? Чтобы разработать
систему управления, обеспечивающую требуемое качество переход-
ного процесса САУ, т. е. верно выбрать закон регулирования и оп-
ределить оптимальные параметры настройки регулятора.
4.1. Объекты управления и их основные свойства
201
При всем разнообразии объектов управления в химической тех-
нологии наиболее часто встречающиеся из них могут быть разделе-
ны на сравнительно небольшое число типов, обладающих похожи-
ми динамическими характеристиками и основными свойствами:
емкостью, способностью к самовыравниванию, запаздыванием.
4.1.2.1. Емкость
Работа любого управляемого объекта связана с притоком (при-
ходом), стоком (расходом) и преобразованием материальных и энер-
гетических потоков, поэтому емкость является свойством, характер-
ным для всех объектов управления в химической технологии.
Под емкостью объекта (аккумулирующей способностью) обычно
понимают его способность накапливать или сохранять вещество или
энергию.
Накопление вещества или энергии возможно благодаря тому,
что в каждом объекте имеется сопротивление выходу потоку веще-
ства или энергии. Например, если бы не было гидравлического со-
противления сливного трубопровода на выходе из объекта, в кото-
ром регулируется уровень (см. рис. 4.1), жидкость не могла бы на-
капливаться в нем, и объект (резервуар) не обладал бы емкостью.
Объекты управления по числу емкостей подразделяются на од-
ноемкостные и многоемкостные. Одноемкостный объект управле-
ния состоит из одного сопротивления стоку (расходу) вещества или
энергии и одной емкости. К одноемкостным объектам относятся
резервуары и аппараты, в которых регулируется уровень жидкости;
аппараты, в которых регулируется давление газа или пара; теплооб-
менники смесительного типа с непосредственным контактом тепло-
носителя и нагреваемого (или охлаждаемого) вещества; участки тру-
бопроводов, на которых регулируется давление или расход, и др.
Многоемкостные объекты состоят из двух или более емкостей,
последовательно соединенных и разделенных сопротивлениями.
Большинство промышленных объектов управления (ректификаци-
онные и абсорбционные колонны, теплообменники, сложные гид-
равлические системы и др.) являются многоемкостными объектами.
На рис. 4.5 приведены примеры одноемкостных и многоемкост-
ных объектов.
В теплообменнике смешения (рис. 4.5, д) температура воды /вых
регулируется изменением подачи водяного пара Fn. Теплообменник
смешения — это одноемкостный объект. Здесь емкостью является
общая теплоемкость жидкости в теплообменнике, а сопротивление
потоку теплоты, уносимой из теплообменника нагретой водой, за-
висит от гидравлического сопротивления трубы на выходе.
202
Глава 4. Системы автоматического управления
Рис. 4.5. Примеры одноемкостного (а), двухьемкостного (б), многоемко-
стного (в) объектов
Кожухотрубный теплообменник (рис, 4.5, б), где по трубам про-
текает вода, а в межтрубном пространстве — пар, является двухъем-
костным объектом. Этот объект обладает следующими тепловыми
емкостями: пар в межтрубном пространстве, жидкость в трубах.
Сопротивлением здесь является термическое сопротивление метал-
ла труб и трубчатых решеток.
Многоемкостным объектом является, например, ректификаци-
онная колонна (рис. 4.5, в). Так, для ректификационной колонны с
ситчатыми тарелками число ее емкостей определяется числом таре-
лок, а сопротивлениями будут являться сопротивления переливных
труб для перетока жидкости с тарелки на тарелку.
Мерой емкости объекта служит емкость С (называемая иногда
коэффициентом емкости), определяемая соотношением
_ ^(экстенсивная переменная = количество энергии или вещества)
б(интенсивная переменная) q
Емкость можно определить так же как и количество вещества
или энергии, которое необходимо подвести к объекту, чтобы изме-
нить выходную величину на единицу.
Например, для гидравлического резервуара экстенсивной пере-
менной является объем жидкости в резервуаре V, а интенсивной
4.1: Объекты управления и их основные свойства
203
переменной — уровень жидкости в резервуаре L. Запишем выраже-
ние емкости для резервуара:
аи d(4Z)
dZ dZ ’
где А — площадь поперечного сечения резервуара.
Если А * /(Z), то
с-^-л.
dZ
Емкость объекта (4,6) может изменяться с изменением выходной
величины. Например, емкость гидравлического резервуара, площадь
поперечного сечения которого переменна по высоте (конического,
сферического и т. д.), зависит от уровня жидкости в резервуаре.
Емкость теплового объекта (например, химического реактора)
определяется количеством теплоты dQ, приводящим к приращению
температуры в нем на dr
С = = тс₽’ т * /И и ср * Ж
т. е. емкость теплового объекта зависит от массы т и удельной теп-
лоемкости вещества ср, а единица измерения емкости теплового
объекта — Дж/К.
Перепишем выражение (4.6) иначе и продифференцируем по
времени:
а(экст. перем.) = С6(интен. перем.)\
й(экст. перем.) _ й(интен. перем.)
dx dx
Левая часть уравнения (4.7) представляет собой скорость изме-
нения количества вещества или энергии в объекте, равную разности
между потоком вещества или энергии, входящим в объект (прито-
ком) Гвх, и потоком вещества или энергии, выходящим из объекта
(стоком) ZBbIX, т. е, — ZBbIx. Правая часть уравнения (4.7) является
скоростью изменения интенсивной переменной. Для гидравличес-
кого резервуара
— с— — = F -F =^C— = F ~F (С = Л)
dx dx’ dx вх вых dr DS "x 1 h
Из сказанного следует, что чем больше емкость объекта, тем
меньше скорость изменения выходной величины при одном и том
204
Глава 4. Системы автоматического управления
же изменении потока подаваемого в объект вещества или энергии.
Это означает, что емкость характеризует инерционность объекта.
Замечание
Инерционность оказывает фундаментальное влияние на качество уп-
равления в системах управления с обратной связью. Без знания причин
возникновения, характера и величины инерционности невозможно решить,
какой закон регулирования предпочтительнее в данном контуре управле-
ния, и может ли вообще управление с обратной связью достичь поставлен-
ной цели. Выделяют безынерционные и инерционные объекты,. Безынерцион-
ным объектом называется такой объект управления, изменения управляе-
мых параметров которого не отстают от вызвавших их изменений
управляющих воздействий. Безынерционный объект является идеализаци-
ей. Любая реальная система обладает инерционностью'. Однако на практи-
ке объект можно считать безынерционным в тех случаях, когда влиянием
инерционности на поведение объекта можно пренебречь.
Как емкость влияет на качество регулирования?
1. Ошибка регулирования. Рассмотрим систему регулирования с
обратной связью (рис. 4.6). Пусть
Запишем передаточную функцию' системы регулирования по
каналу возмущающее воздействие—ошибка регулирования:
^(Е) _ / л ____(д) _______________
W) 1U 1 + жои(^РМ..........ясу + 1 + ^ед'
Так как емкость входит в знаменатель выражения, то ее увеличе-
ние приводит к уменьшению' модуля ошибки при данном возмуща-
ющем воздействии. Для идеальной системы:
е э 0 Vd(z); У(е) = (s) «'(</), У(d) * 0 => (л) = 0,
т. е. для того, чтобы ошибка регулирования равнялась нулю при
любом возмущающем воздействии, знаменатель передаточной функ-
ции ГРДз) должен быть равным бесконечности. В реальных систе-
Рис. 4,6. Структурная схе-
ма системы регулирования
с обратной связью
4.1. Объекты управления и их основные свойства 205
мах знаменатель передаточной функции ^(з) не равен бесконеч-
ности. Но чем больше модуль знаменателя, тем меньше модуль
ошибки регулирования. Отсюда следует вывод: в системах стаби-
лизации, когда основной задачей регулирования является компен-
сация возмущающих воздействий, большая емкость объекта регу-
лирования является достоинством, так как уменьшает ошибку ре-
гулирования.
Для следящих и программных систем регулирования ситуация
выглядит иначе, поскольку для них важно рассматривать переда-
точную функцию по каналу задающее воздействие^ошибка регули-
рования’
ЛИ- -гм- 1 1
р v ’ RCs + I
С увеличением емкости модуль знаменателя передаточной фун-
кции ^(s) уменьшается, следовательно, ошибка регулирования воз-
растает.
Вывод: в следящих и программных системах регулирования, когда
основной задачей системы регулирования является изменение регу-
лируемого параметра в соответствии с изменяющимся во времени
заданием, большая емкость объекта регулирования является недо-
статком, так как увеличивает ошибку регулирования.
2. Быстродействие. Увеличение емкости С объекта регулирова-
ния приводит к увеличению времени переходного процесса тпп, т. е.
уменьшает быстродействие системы регулирования. Таким образом,
с точки зрения быстродействия большая емкость объекта является
недостатком.
3. Устойчивость. Емкость объекта регулирования влияет на ве-
личину постоянной времени Т и, следовательно, на соотношение
Тзап/Г, взаимосвязь которого с устойчивостью системы регулирова-
ния будет рассмотрена далее в разд. 4.1.2.3, посвященном запазды-
ванию.
4.1.2.2. Салювыравнивание
Состояние объекта может быть нарушено в результате изменения
материальных или энергетических потоков (притока или стока),
т. е. нанесением на объект возмушаюших воздействий. При этом
выходные величины будут увеличиваться или уменьшаться в зави-
симости от того, что окажется больше — приход или расход. По
способности восстанавливать равновесное состояние после нанесе-
ния на объект возмущающего воздействия объекты делят на нейт-
ральные, устойчивые, неустойчивые.
206
Глава 4. Системы автоматического управления
Объекты без самовыравнивания (нейтральные)
Объекты без самовыравнивания называют нейтральными, или
астатическими.
Выходные величины нейтральных объектов не оказывают воздей-
ствия на приток (приход) или сток (расход) вещества или энергии,
т. е. в нейтральных объектах отсутствует внутренняя обратная связь.
При отсутствии возмущающего воздействия нейтральный объект
может находиться в состоянии равновесия при любых значениях вы-
ходной величины. При нарушении равновесия в объекте скорость
изменения выходной величины пропорциональна величине возму-
Рис. 4.7. Схема объекта регули-
рования без самовыравнивания
щающего воздействия, т. е. при нали-
чии не скомпенсированного возмуща-
ющего воздействия статический режим
в нейтральном объекте не возможен.
Примером объекта без самовырав-
нивания является гидравлический ре-
зервуар, изображенный на рис. 4.7.
Жидкость из резервуара откачивается
насосом, производительность которого
не зависит от уровня жидкости в ре-
зервуаре.
Составим уравнение материально-
го баланса резервуара:
где И— объем жидкости в резервуаре, мэ; — приток жидкости (м3/с);
FBblx — сток жидкости (м3/с); t — время, с.
Скорость изменения объема жидкости в резервуаре:
— = F - f
ch “ ВЫ)1'
Принимая площадь поперечного сечения резервуара постоян-
ной по высоте, т. е. А - const, можно записать скорость изменения
уровня жидкости:
% - С..Л <«)
Из (4.8) следует, что скорость изменения уровня жидкости в ре-
зервуаре пропорциональна разности между притоком и стоком жид-
кости. Если - FBblx, то скорость изменения уровня жидкости рав-
на нулю и уровень жидкости постоянен во времени.
Если, например, в момент времени т = 0 (рис, 4.8, о), до которо-
го резервуар находился в статическом режиме (приток FBX 0 был ра-
4. J. Объекты управления и их основные свойства
207
а
б
Рис. 4.8. Поведение объекта регулирования без самовыравнивания при
ступенчатом возмущающем воздействии:
о — изменение расходов жидкости, б' — изменение уровня
вен стоку FBiil.Xi 0), скачкообразно увеличить приток (резко от-
крыть клапан), то при FBblx = const уровень жидкости в резервуаре
начнет возрастать (рис. 4.8, б), что может привести к нарушению
работы объекта.
Передаточная функция объекта, как следует из (4,8), равна:
JF(s) = 1/Лх. (4.9)
Используя выражение передаточной функции (4.9), можно по-
казать, что переходная характеристика рассматриваемого объекта
Д£ (т) = £ (т) - - ^вых) т (4 j 0)
Л
Переходный процесс в нейтральном объекте, соответствующий
ступенчатому изменению расхода жидкости (см. рис. 4.8, о), пред-
ставлен кривой разгона (см. рис. 4.8, б).
Нейтральный объект содержит одно интегрирующее звено, т. е.
передаточная функция нейтрального объекта, которую в общем виде
можно записать следующим образом:
1У(з) =
b„sm + ... + ba
s(a„sn + ... + а0)
exp(-r3anj),
(4.11)
содержит в знаменателе множитель л-.
Примечание
Уровень жидкости в резервуаре можно регулировать, изменяя вруч-
ную проходное сечение клапана на входе в резервуар. В противном случае,
если приход жидкости в резерв.уар будет отличаться от ее расхода
хотя бы на очень малую величину, резервуар в. конце концов либо пере-
полнится жидкостью, либо полностью опорожнится. Таким образом, ней-
тральный объект не может сам прийти в равновесное состояние: он не
208 Глава 4. Системы автоматического управления
имеет естественного состояния динамического равновесия или установив-
шегося режима. Нейтральные объекты нельзя на длительное время остав-
лять без надзора, если они не снабжены САР.
Большинство объектов, в которых регулируется уровень жидкости, от-
носится к нейтральным объектам. Обычно их регулирование не вызывает
трудностей, если особенности этих объектов учтены заранее. Одной из осо-
бенностей является наличие фазового сдвига в объекте. В нейтральных
объектах из-за присутствия идеального интегрирующего звена запаздыва-
ние по фазе возрастает на я/2 рад.
Объекты с самовыравниванием (устойчивые)
Способность объекта прийти после нанесения возмущающего
воздействия в новое установившееся состояние без вмешательства
управляющего устройства называется самовыравниванием (саморегу-
лированием).
Объекты с самовыравниванием называют статическими, или ус-
тойчивыми.
В объектах с самовыравниванием ступенчатое входное воздействие
изменяет выходную величину со скоростью, постепенно уменьшаю-
щейся до нуля. Самовыравнивание является результатом действия
внутренней отрицательной обратной связи в объекте (результатом
влияния выходной величины объекта на приток или сток вещества
или энергии). Чем больше величина самовыравнивания, тем мень-
ше отклоняется управляемый параметр от состояния равновесия,
имевшего место до возмущающего воздействия. Самовыравнивание
способствует стабилизации управляемой величины в объекте и, та-
ким образом, облегчает работу управляющего устройства.
Объект с самовыравниванием на стоке (резервуар со свободным
истечением жидкости) схематически изображен на рис. 4.9.
При ступенчатом возрастании прихода жидкости в резервуар
(рис. 4.10, а) уровень в первый момент времени начнет изменяться с
такой же скоростью, с какой он изменялся бы в объекте без самовы-
равнивания (см. выше), так как расход
FBX -—о (j?) Рис. 4J- Схема объекта с са« мовы равна ванием на стоке жидкости из резервуара еще не начал воз- растать. Одновременно начнет возрастать гид- ростатическое давление в плоскости слив- ной трубы, что приведет к увеличению расхода жидкости на линии стока FKblx. Такое действие, направленное на восста- новление равновесия в системе, называ- ют самовыравниванием. Влияние самовы- равнивания аналогично действию П-ре- гулятора, как бы находящегося внутри объекта (см. разд. 4.3.1).
4.1. Объекты управления и их основные свойства
209
Рис. 4.10. Поведение объекта регулирования с самовыравниванием на стоке
при ступенчатом возмущающем воздействии:
у — изменение расходов жидкости; б — изменение уровня
Зависимость расхода жидкости на стоке от уровня жидкости в
объекте:
^вых
(4.12)
где а — коэффициент, характеризующий геометрию отверстия ис-
течения.
С увеличением FB1!lx величина возмущающего воздействия &.F =
= FM — Хвых уменьшается, следовательно, будет уменьшаться и ско-
рость изменения уровня. По мере приближения FBUX к Гвх скорость
повышения уровня падает. Через некоторый промежуток времени
после нанесения ступенчатого возмущающего воздействия сток вновь
станет равным притоку, рост уровня жидкости L прекратится. Объект
придет в новое установившееся состояние, но при более высоком
значении уровня £„ (рис. 4.10, б).
Выражение (4.12) отражает характерное для устойчивых объектов
действие внутренней отрицательной обратной связи: выходная вели-
чина объекта L влияет на сток вещества
из объекта FBbIx.
Объект с самовыравниванием на при-
токе схематически показан на рис. 4.11.
В резервуар почти до самого дна опуще-
на труба, по которой поступает жидкость.
На линии стока установлен насос, про-
изводительность которого может скачко-
образно изменяться за счет ступенчатого
изменения угловой скорости вращения
асинхронного электромотора — привода
насоса (на рисунке не показан). П.ри рез-
ком увеличении производительности на-
соса расход на линии стока /'вых ступен-
Рис. 4.11. Схема объекта ре-
гулирования с самовыравни-
ванием на притоке
210
Глава 4. Системы автоматического управления
Рис. 4.12. Поведение объекта при ступенчатом возмущающем воздействии:
а — изменение расходов жидкости; 6 — изменение уровня
чато возрастает. Это приведет к плавному понижению уровня и
одновременно к уменьшению подпора в выходном сечении трубы.
С уменьшением подпора начнет возрастать приток (рис. 4.12, а).
Через некоторое время приток и сток уравняются FBX = /?вых, и
тогда уровень жидкости перестанет изменяться, достигнув нового
установившегося значения £„ (рис. 4.12, б).
Замечание
Если на линии стока вместо насоса установить вентиль, т. е. расход
сделать зависимым от уровня L, получим объект с самовыравниванием на
притоке и стоке.
Структурная схема устойчивого объекта первого порядка может
быть представлена в виде интегрирующего звена с передаточной
функцией, равной 1/Га5, охваченного отрицательной обратной свя-
зью (рис. 4.13). В цепи обратной связи находится звено с передаточ-
ной функцией К^. Передаточная функция устойчивого объекта пер-
вого порядка имеет вид
Го5 + Г
(4.13)
Рис. 4.13. Структурная схема, устойчи-
вого объекта регулирования
4.1. Объекты управления и их основные свойства
211
где Ко = 1/К^. — коэффициент усиления устойчивого объекта пер-
вого порядка; То = Та/Кж — постоянная времени устойчивого объекта
первого порядка.
В соответствии с полученной передаточной функцией (4.13), за-
пишем уравнение динамики устойчивого объекта первого порядка:
Т0^ + у = Кох. (4.14)
ат
Переходная характеристика устойчивого объекта первого поряд-
ка получена из передаточной функции (4.13):
Л(т)=£о[|-ехр(-т/Ш (4.15)
Влияние самовыравнивания объекта на переходный процесс по сути
своей аналогично действию управляющего устройства (автоматичес-
кого регулятора). Так, нейтральные объекты, не обладающие само-
выравниванием, самостоятельно не обеспечивают устойчивой рабо-
ты и требуют обязательного применения управляющих устройств.
Причем не каждый регулятор может справиться с задачей управле-
ния такими объектами. Например, применение интегрального регу-
лятора для управления нейтральным объектом (в силу свойств объекта
и регулятора, как это будет показано в этой главе ниже) не позволя-
ет получить устойчивой работы системы управления. Следователь-
но, отсутствие самовыравнивания в объектах усложняет задачу уп-
равления, а его наличие облегчает задачу поддержания выходной
величины объекта на заданном значении.
Замечание
В некоторых объектах самовыравнивание столь велико, что для под-
держания постоянного значения выходной величины объекта можно обой-
тись без установки регулятора. Например, тарелка ректификационной ко-
лонны является объектом с очень большой степенью самовыравнивания,
если входной величиной считать изменение притока жидкости, поступаю-
щей с вышележащей тарелки, а выходной — изменение уровня жидкости
на данной тарелке (например, ситчатой тарелке с переливом). Действи-
тельно, при некотором возмущающем воздействии количество жидкости,
поступившей на данную тарелку, уравняется количеством жидкости, поки-
нувшей ее (за счет испарения и перетока на нижележащую тарелку по слив-
ной трубе, имеющей достаточно большое сечение), при практически неиз-
менном уровне жидкости, определяемом высотой сливной трубы над та-
релкой.
Объекты с отрицательным самовыравниванием
(неустойчивые)
В объектах с отрицательным самовыравниванием (неустойчивых
объектах) изменение выходного параметра, вызванное возмущаю-
щим воздействием, приводит к еще большему неравенству между
212
Гл а в.a 4. Системы автоматического управления
притоком и стоком вещества или энергии, что в свою очередь вызы-
вает дальнейшее изменение выходной величины с постепенно уве-
личивающейся скоростью.
Примерами таких объектов могут служить аппараты, в которых
протекают автокаталитические реакции. Если процессом не управ-
лять, то при положительном автокатализе реакция самоускоряется,
стремительно нарастая, а при отрицательном автокатализе скорость
реакции уменьшается вплоть до ее прекращения. Другим примером
неустойчивого объекта является химический реактор, в котором
протекает экзотермическая реакция (подробнее см. разд. 6.1.3.2).
Предположим, что теплота химической реакции превышает теплоту,
отводимую системой охлаждения реактора. В этом случае температу-
ра в реакторе начнет повышаться, приводя к увеличению степени
превращения реагентов, а увеличение степени превращения реаген-
тов экзотермической реакции приводит к увеличению температуры,
при этом скорость изменения ее растет. Такое поведение объектов,
обладающих отрицательным самовыравниванием, можно объяснить
наличием в них внутренних положительных обратных связей. На
рис. 4.14, а приведена структурная схема неустойчивого объекта пер-
вого порядка. Интегрирующее звено с передаточной функцией, рав-
ной 1/Та5, охвачено положительной обратной связью. В цепи обрат-
ной связи находится статическое звено нулевого порядка с переда-
точной функцией Кж. Передаточная функция неустойчивого объекта
первого порядка имеет вид,:
где Ко = 1/Кж — коэффициент усиления неустойчивого объекта пер-
вого порядка; То = Та/Кж — постоянная времени неустойчивого
объекта первого порядка.
Рис. 4.14. Структурная схема неустойчивого объекта регулирования (а) и
его переходная характеристика (б)
4.1. Объекты управления и их основные свойства
213
В соответствии с полученной передаточной функцией (4.16) за-
пишем уравнение динамики неустойчивого объекта первого порядка:
То^-у = Кох. (4.17)
от
Используя передаточную функцию (4.16), запишем переходную
характеристику неустойчивого объекта первого порядка:
Л(т) = А'о [ехр(т/Го)-1]. (4.18)
На рис. 4.14, б построена кривая разгона неустойчивого объекта
первого порядка.
Самовыравнивание объектов характеризуется степенью (коэффи-
циентом) самовыравнивания р, который определяется следующей за-
висимостью:
р = 1/А0, (4.19)
где Ко — коэффициент усиления объекта.
Под степенью самовыравнивания можно понимать величину, об-
ратную коэффициенту усиления объекта, т. е. отношение измене-
ния входной величины к изменению выходной.
Коэффициент усиления (передачи) объекта, в свою очередь, оп-
ределяется по кривой разгона, как
где Х°°) — значение выходной величины в новом установившемся
состоянии (после переходного процесса); у(0) — значение выходной
величины в начальном установившемся состоянии (до переходного
процесса); М — изменение возмущающего воздействия на входе
объекта.
Переходные характеристики нейтрального, неустойчивого и ус-
тойчивых объектов с различной степенью' самовыравнивания при-
ведены на рис. 4.15.
Рис. 4.15. Переходные характеристики
объектов регулирования: 1, 2, J — ус-
тойчивые объекты (р, = р, > р, > 0),
4 — нейтральный объект (р4 = 0); 5 —
неустойчивый объект (р5 < 0)
214
Глава 4. Системы автоматического управления
Для устойчивых объектов степень самовыравнивания — вели-
чина положительная, т. е. р >0 (кривые 1—3). Кривая 7 (совпада-
ет с осью абсцисс) характеризует объект, обладающий степенью
самовыравнивания р = Управляемая величина не изменяет сво-
его значения при любых возмущающих воздействиях. Это объект с
идеальным самовыравниванием и он не нуждается в управляющих
устройствах.
Кривая 4 характеризует объект, не обладающий самовыравнива-
нием, т. е. нейтральный (р = 0). Кривая 5 характеризует неустойчи-
вый объект (р < 0).
Коэффициент самовыравнивания не является постоянной вели-
чиной, поскольку зависит от нагрузки объекта. Максимальной на-
грузке соответствует максимальный для данного объекта коэффи-
циент самовыравнивания.
Объекты, рассматриваемые выше (устойчивые, нейтральные,
неустойчивые), по виду дифференциальных уравнений могут быть
отнесены к объектам первого порядка.
Объекты химической технологии, динамика которых может быть
описана дифференциальными уравнениями второго порядка, отно-
сятся к объектам второго порядка и могут быть представлены в виде
двух емкостей, разделенных сопротивлением.
Устойчивые объекты второго порядка
Объект, изображенный на рис. 4.16, состоит из двух цилиндри-
ческих аппаратов, соединенных между собой трубопроводом, на
котором установлен вентиль с гидравлическим сопротивлением
Жидкость из второго аппарата отводится самотеком через гидравли-
ческое сопротивление Выходной величиной объекта является
изменение уровня жидкости L2 во втором аппарате. Такую систему
Рис. 4.16. Схема устойчивого объекта второго порядка (двухъемкостного)
4.1. Объекты управления и их основные свойства
215
Рис. 4.17. Структурная схема ус-
тойчивого объекта второго по-
рядка (двухъемкостного)
можно рассматривать как объект
второго порядка. Структурная схе-
ма данного объекта представлена
двумя последовательно соединен-
ными статическими звеньями пер-
вого порядка (рис. 4.17). Переход-
ная характеристика устойчивого
объекта второго порядка показана
на рис. 4.18. Скорость изменения
выходной величины Z2 вначале
увеличивается, так как изменение
Рис. 4.18. Переходная характерис-
тика. устойчивого объекта второго
порядка (двухъемкостного)
притока жидкости из первого ап-
парата во второй Ft растет быстрее, чем сток F2 из второго аппара-
та. Затем скорость изменения Z2 постепенно уменьшается до нуля,
поскольку увеличение уровня во втором аппарате приводит к росту
стока F2, и через некоторое время он компенсирует приток жидко-
сти во второй аппарат.
Примечание
Если гидравлическое, сопротивление Л, очень мало (Я, -э 0), то уро-
вень жидкости во втором аппарате при ступенчатом изменении изменя-
ется практически так же, как он изменялся бы в объекте, состоящем только
из второго аппарата. Такую систему следует рассматривать как. объект пер-
вого порядка.
Нейтральные объекты второго порядка
На рис. 4.19 представлен объект, состоящий из двух цилиндри-
ческих аппаратов, соединенных между собой трубопроводом, на
котором установлен вентиль с гидравлическим сопротивлением R.
Жидкость из объекта отводится не самотеком, как в предыдущем
случае, а насосом, производительность которого не зависит от уров-
ня жидкости, во втором аппарате. Первый аппарат объекта обладает
самовыравниванием, но второй аппарат является нейтральным зве-
ном (сравните с рис. 4.7), поэтому объект в целом нейтрален, и его
передаточная функция соответствует выражению (4.11).
Структурная схема нейтрального объекта второго порядка пред-
ставлена на рис. 4.20, а его переходная характеристика — на рис. 4.21.
При повышении уровня Lt в первом аппарате увеличивается гидро-
статический напор, что приводит увеличению стока F\ жидкости во
второй аппарат. Через некоторое время сток из первого аппарата
216
Глава 4. Системы автоматического управления
Рис. 4.21. Переходная характеристика нейтрального объекта второго по-
рядка (двухъемкостного)
сравнивается с притоком JF, и уровень Zj перестает расти. В началь-
ный момент времени скорость изменения уровня £2 во втором ап-
парате равна нулю, а потом постепенно нарастает за счет увеличе-
ния £), достигая постоянного значения, определяемого разностью
F1 - Л и площадью поперечного сечения второго аппарата.
4.1.2.3. Запаздывание
Транспортное запаздывание
Свойство объектов, проявляющееся в том, что между моментом
нарушения равновесия (входным воздействием) и началом измене-
ния выходной величины проходит некоторое время, называют за-
паздыванием. Запаздывание затрудняет регулирование процесса, и с
ним нельзя не считаться.
4.1. Объекты управления и их основные свойства
217
Во многих системах автоматического управления (регулирова-
ния) приходится иметь дело со значительным запаздыванием, воз-
никающим из-за транспортировки вещества, энергии через трубо-
проводы или иные элементы оборудования. Запаздывание такого
типа носит название транспортного запаздывания.
Замечание
Запаздывание может появляться в результате использования в системе
регулирования периодически действующих приборов, таких как газовый
хроматограф, или цифровая вычислительная машина, включенная в цепь
обратной связи.
Если время транспортного запаздывания составляет то вы-
ходной сигнал в течение тдап после изменения входного сигнала ос-
тается неизменным.
Пример объекта с транспортным запаздыванием показан на
рис. 4.22.
Шибер (регулирующий орган) 1 дозирует сыпучий материал на
движущуюся ленту транспортера 2. Ступенчатое изменение управ-
ляющего сигнала передается на шибер, изменение положения кото-
рого приводит к немедленному изменению расхода сыпучего мате-
риала, поступающего из бункера на ленту транспортера. Однако из-
менение расхода сыпучего материала на выходе транспортера
произойдет не сразу, а через определенное время (время запаздыва-
ния), которое соответствует времени прохождения материала от до-
зировочного устройства до выхода транспортера.
Время транспортного запаздывания можно выразить отношением
Тзап = //«,
где Z — расстояние от места нанесения возмущающего воздействия
(шибера) до места, где фиксируется изменение выходной величины
(датчика); и — скорость прохождения сигнала.
Рис. 4.22. Схема объекта с транспортным запаздыванием:
1 — шибер дозировки сыпучего вещества; 2 — ленточный транспортер
218
Глава 4. Системы автоматического управления
О то т
а в
О ^эл т о т
б г
Рис. 4.23. Реакция объекта с запаздыванием (6, г) на различные входные
воздействия (а, в)
Транспортное запаздывание смещает во времени реакцию на
выходе объекта (рис. 4.23, б, г) по сравнению с входным воздействи-
ем (рис. 4.23, а, в) на величину запаздывания.
При гармоническом, входном воздействии транспортное запаз-
дывание создает сдвиг по фазе между выходной и входной вели-
чинами:
Ф = -т^го. (4.20)
Запаздывание следует рассматривать как неблагоприятное дина-
мическое свойство реальных систем. Чем больше время транспорт-
ного запаздывания, тем труднее управлять процессом.
Минимальным транспортным запаздыванием обладает объект,
работающий при максимальной нагрузке, или объект, через кото-
рый сигнал распространяется с большой скоростью. Например, из-
менение давления или скорости потока жидкости, полностью за-
полняющей гидравлическую систему, распространяется настолько
быстро, что транспортное запаздывание ничтожно мало (за исклю-
чением трубопроводов большой длины).
Рассмотрим уравнения динамики объектов с запаздыванием, их
передаточные функции и переходные характеристики.
Для устойчивого объекта первого порядка с запаздыванием урав-
нение динамики:
То^1 + у(т) = Ал(т-тзап). (4.21)
4.1. Объекты управления и их основные свойства
219
Передаточная функция:
^Ьу^-техр^т^).
/ (Р + 1
(4.22)
Переходная характеристика:
А(т)=^ 1 - ехр[- Т...„Тза" 1 Цт-т^н).
\ ’‘о 7.
(4.23)
Для нейтрального объекта первого порядка с запаздыванием урав-
нение динамики:
ra^r = x(T"T-J’ (4'24)
Передаточная функция:
И/(5) = ^-ехр(-тза11з'). (4.25)
“а5
Переходная характеристика:
(4.26)
'а
Для устойчивого объекта второго порядка с запаздыванием урав-
нение динамики:
г- + + у(т) = Кх(т - тэаг|). (4.27)
dt" от
Передаточная функция:
К К
'(r,s+l)(7;j + l)eX₽*~T”"S'’ (4'28>
при £ > I.
Переходная характеристика:
Л(т) = К I + —expI -^->п-1 + -Д-expI - Т | х
Г]-Г, Ч Tj J Т^-Т^ 1Ч Т2 J
х1(т-тзап), (4.29)
где 7]<2 +
220
Глава 4. Системы автоматического управления
Для нейтрального объекта второго порядка с запаздыванием урав-
нение динамики:
Передаточная функция:
1Г(')=7ДЙО)еХр(-11“’)' <4'31>
Переходная характеристика:
Нт) =
— ехр
• л
т тзап + (т тзан ) _
т J та та
(4.32)
Т
' 1 (т тзап )
Переходные характеристики объектов первого порядка (нейтраль-
ного — 1 и устойчивого — 2) с запаздыванием и объектов второго
порядка (нейтрального — / и устойчивого — 2) с запаздыванием
показаны на рис, 4.24 и рис. 4.25. Структурные схемы объектов пер-
Рис. 4.24. Переходные характеристи-
ки объектов первого порядка с запаз-
дыванием:
/ — нейтрального; 2 — устойчивого
Рис. 4.25. Переходные характеристики
объектов второго порядка с запазды-
ванием:
1 — нейтрального; 2 — устойчивого
X(s)
g "'зап®
X(s)
gT3ans
К У!®)
7s+ 1 '
X(s)
Рис. 4.26. Структурные схемы
объектов первого порядка с за-
паздыванием:
о — устойчивого; б — нейтрального
а
4.1. Объекты управления и их основные свойства
221
а
б
Рис. 4,27. Структурные схемы объектов второго порядка с запаздыванием;
а — устойчивого; о — нейтрального
вого порядка (устойчивого и нейтрального) с запаздыванием, и объек-
тов второго порядка (устойчивого и нейтрального) с запаздыванием
показаны на рис. 4.26 и рис. 4.27.
Переходное запаздывание
Если объект характеризуется несколькими близкими по величи-
не постоянными времени или является объектом с распределенны-
ми параметрами, то в течение некоторого времени после нанесения
возмущающего воздействия выходной сигнал практически не изме-
няется. В этом, случае можно считать, что объект обладает запазды-
ванием, которое в данном случае называют переходным.
В многоемкостных объектах переходное запаздывание возника-
ет при преодолении потоком вещества или энергии сопротивлений,
разделяющих гидравлические, тепловые и другие емкости объекта.
Например, в двухъемкостном объекте (см. рис. 4.19) аппараты
(емкости) разделены гидравлическим сопротивлением R. Если при-
ток /"скачкообразно увеличится, то изменение уровня жидкости во
втором аппарате в течение некоторого времени будет настолько ма-
лым, что окажется меньше порога чувствительности измерительно-
го прибора (уровнемера). То есть измерительный прибор не сможет
в течение некоторого времени обнаружить реакцию' объекта на вход-
ное воздействие. Такое поведение объекта аналогично существова-
нию транспортного запаздывания.
Переходное запаздывание определяется числом емкостей и ве-
личиной переходных сопротивлений. Величина переходных, сопро-
тивлений в процессе эксплуатации промышленных технологичес-
ких аппаратов возрастает. Например, в насадочных колонных аппа-
ратах происходит загрязнение насадки, в тарельчатых колонных
аппаратах — тарелок, что приводит к увеличению гидравлического
сопротивления аппаратов, к неравномерному распределению оро-
шающей жидкости и газа; в теплообменных аппаратах — загрязне-
222
Глава 4. Системы автоматического управления
ние поверхности теплообмена, в гидравлических системах — загряз-
нение (засорение) регулирующих клапанов и трубопроводов и т, д.
В результате переходное запаздывание в объекте увеличивается и
чем оно больше, тем медленнее начальное изменение действитель-
ного значения управляемой величины после появления возмущаю-
щего воздействия.
Реальные объекты включают целый набор динамических эле-
ментов. С повышением порядка объект отвечает на одно и то же
ступенчатое возмущающее воздействие все более медленно. Изме-
нение выходной величины в объектах различного порядка при од-
ной и той же степени самовыравнивания показано на рис. 4.28, а.
Структурная схема объекта третьего порядка представлена в виде
последовательного соединения трех статических звеньев первого
порядка с постоянными времени Th Т2, Т3 (рис. 4.28, б).
При последовательном соединении звеньев транспортные запаз-
дывания суммируются. Однако суммарный эффект последовательно-
го соединения емкостей не столь очевиден. Он может быть аппрок-
симирован реакцией объекта, состоящего из звена запаздывания, сле-
дующего за статическим звеном первого порядка с постоянной
времени, большей любой из постоянных времени отдельных емкос-
тей. Хотя реальный объект может состоять из целой системы эле-
ментов транспортного запаздывания и емкостей, для моделирова-
ния выбирают эквивалентное время запаздывания и постоянные
времени.
б
Рис. 4.28. Переходные характеристики устойчивых объектов (а):
/ — нулевого порядка; 2 — первого порядка (одноемкостного); .? —
второго порядка (двухъемкостного); 4 — третьего порядка {трехъемкос-
тного);
структурная схема трехъемкостного объекта (б)
4.1. Объекты управления и их основные свойства
223
Наличие запаздывания в САУ усложняет задачу регулирования
технологического параметра в объекте. Поэтому запаздывание стре-
мятся уменьшить: устанавливают чувствительный элемент первич-
ного измерительного преобразователя и исполнительное устройство
системы (исполнительный механизм и регулирующий орган) как
можно ближе к объекту управления, применяют малоинерционные
первичные измерительные преобразователи и т. д. Любая САУ рас-
считывается с учетом запаздывания.
Поскольку увеличение времени запаздывания затрудняет управ-
ление (регулирование), а увеличение емкости объекта в целом об-
легчает его, критерием выбора закона регулирования может служить
отношение эквивалентного времени запаздывания к постоянной време-
ни объекта.
4.1.3. Методы определения
свойств объектов управления
Динамические и статические свойства объектов определяют ана-
литическим, экспериментальным и экспериментально-аналитичес-
кими методами.
Аналитический метод заключается в составлении математичес-
кого описания объекта: находят уравнения статики и динамики на
основе теоретического анализа физических и химических процес-
сов, протекающих в исследуемом объекте, учитывая при этом его
конструкцию и свойства перерабатываемых веществ. При выводе
этих уравнений используются законы сохранения вещества и энер-
гии, а также кинетические закономерности процессов химических
превращений, переноса теплоты и массы.
Аналитический метод широко применяют на стадии проектиро-
вания новых технологических объектов, физико-химические про-
цессы которых достаточно хорошо изучены. Он позволяет прогно-
зировать работу объектов в статическом и динамическом режимах с
учетом конструктивных и технологических параметров объекта, од-
нако сопряжен с трудностью решения и анализа составленных урав-
нений и требует проведения специальных исследований для опреде-
ления численных значений коэффициентов этих уравнений. 0 боль-
шинстве случаев точность математического описания реальных
промышленных объектов в значительной степени зависит от упро-
щающих допущений, принимаемых либо из-за отсутствия инфор-
мации о свойствах объекта, либо с целью упрощения сложных мате-
матических выражений.
Экспериментальный метод состоит в определении характеристик
реального объекта путем постановки на нем специального экспери-
224
Глава 4. Системы автоматического управления
мента. Экспериментальный метод позволяет более точно опреде-
лить свойства данного конкретного объекта, чем аналитический
метод. Вместе с тем он требует оснащения исследуемого объекта
экспериментальной аппаратурой и проведения специальных иссле-
дований.
Исследования статических и динамических свойств объекта про-
водят с помощью либо активного, либо пассивного эксперимента.
При использовании активного эксперимента статические харак-
теристики объекта получают так: последовательно изменяют вход-
ную величину х,- по исследуемому каналу и регистрируют установив-
шееся значение выходной величины у, стабилизируя все остальные
входные воздействия, способные оказать влияние на выходную ве-
личину. В ходе эксперимента внимательно следят за стабильностью
источников помех и шумов, регистрируя существенные, произволь-
но возникающие возмущения, с тем чтобы потом исключить их вли-
яние на выходную величину.
Для устранения влияния неконтролируемых помех опыт при
одних и тех же значения входной координаты проводят много-
кратно, и обработку полученных результатов производят методами
математической статистики.
При экспериментальном определении динамических характерис-
тик объекта наносят типовое возмущающее воздействие (единич-
ное ступенчатое, единичное импульсное, единичное рамповое, гар-
монические колебания и др.) и регистрируют изменение выходной
величины объекта у(т). Такой экспериментальный метод определе-
ния динамических характеристик относят к активному. Используя
полученные экспериментальные данные о переходном процессе у(т),
аппроксимируют объект линейным дифференциальным уравнением
с постоянными коэффициентами. Допущения, принимаемые при
таком исследовании:
• объект рассматривается как звено с сосредоточенными пара-
метрами;
• при допустимых изменениях входных величин х(т) изменения
выходной величины у(т) подчиняются принципу суперпозиции',
• динамические свойства объекта не меняются с течением времени.
В пассивном эксперименте используются случайные возмущаю-
щие воздействия, а определение статических характеристик заклю-
чается в нахождении связи между этими случайными величинами и
последующей оценке достоверности найденной связи.
В промышленных условиях, чтобы не нарушить технологичес-
кий режим ведения процесса или правила техники безопасности,
при определении динамических характеристик объекта не наносят
типовые входные возмущающие воздействия на объект создаваемые
искусственно, а определяют статистические характеристики случай-
4.1. Объекты управления и их основные свойства
225
ных процессов на входах и выходах исследуемого объекта с последу-
ющим вычислением по ним динамических характеристик. Естествен-
ные входные воздействия могут представлять собой случайные про-
цессы, причинами которых могут быть магнитные, электрические,
тепловые поля и др. Такой экспериментальный метод определения
динамических характеристик относят к пассивному.
Экспериментально-аналитический метод определения характери-
стик заключается в составлении уравнений, основанном на анализе
явлений, происходящих в исследуемом объекте. Численные значе-
ния коэффициентов полученных уравнений определяются экспери-
ментально на реальном исследуемом объекте. Являясь комбинацией
аналитического и экспериментального методов определения свойств
объектов, этот метод, естественно, учитывает их преимущества и
недостатки.
Замечание
Возможности аналитического и экспериментально-аналитического
методов исследования свойств объектов расширены в связи с интенсив-
ным развитием имитационных методов, имитаторов (тренажеров), разра-
боткой пакетов прикладных математических программ (например, Matlab,
LabView и т. д.), компьютерной техники.
4.1.3.1. Аналитический метод
определение свойств объектов
Математическое описание систем довольно подробно было ос-
вещено' в гл. 3. Тем не менее выделим еще раз основные этапы ма-
тематического описания объектов.
Составление математического описания объектов начинают с
составления уравнений его материального или энергетического ба-
лансов (за бесконечно малый промежуток времени di), выявления
кинетических закономерностей, гидродинамических условий и т. п.
В полученных уравнениях раскрывают значения неизвестных и ис-
ключают промежуточные переменные. Нелинейные дифференциаль-
ные уравнения, которым соответствуют непрерывные статические
характеристики с большим радиусом кривизны, подвергают линеа-
ризации.
Далее в линейной или линеаризованной математической модели
объекта от абсолютных значений входных и выходных величин пере-
ходят к их приращениям. Последние, в свою очередь, заменяют без-
размерными величинами, которые представляют собой отношения
абсолютных приращений величин к номинальным значениям пара-
метров (значениям, используемым при расчете оборудования и тех-
нологических процессов). В качестве таковых обычно используют зна-
чения величин в установившемся состоянии до нанесения возмуша-
Н Беспалом A, Ik. XapinmiOH Ц II,
226
Глава 4. Системы автоматического управления
ющего воздействия. Номинальные значения будем обозначать теми
же буквами, что и сами переменные, но с индексом нуль.
Полученные уравнения приводят к общепринятой форме пу-
тем группирования в левой части всех членов, содержащих выход-
ную величину объекта и ее производные, а в правой части — всех
членов, содержащих входную величину объекта и ее производные.
Эта операция завершается делением всех членов полученных урав-
нений на постоянный коэффициент при безразмерной выходной
величине.
Замечание
Уравнения динамики объектов химической технологии составляются с
приемлемой точностью для ограниченного числа сравнительно простых
объектов с небольшим числом входных и выходных величин (координат).
При большом числе возмущающих и управляющих воздействий, со слож-
ными взаимосвязями (перекрестными и пр.) между входными и выходны-
ми величинами математическое описание объектов усложняется, поэтому
появляются упрощающие допущения, снижающие его точность. Примеры
составления уравнений динамики объектов химической технологии приве-
дены в задачнике [8].
4.1.3.2. Экспериментальное определение
динамических свойств объектов
В химической технологии динамические свойства промышлен-
ных объектов, таких как химические реакторы, экстракторы, абсорб-
ционные, адсорбционные, ректификационные колонны и др., до-
вольно часто исследуют экспериментально.
Технологический объект оборудуется специальными средствами
диагностики, а также специальными устройствами для нанесения
типового входного воздействия известной формы, например ступен-
чатого, и измерения отклика объекта во времени.
Получение временных характеристик
Временные характеристики можно снять на реальном объекте,
оснащая его первичными измерительными преобразователями, из-
мерительными и исполнительными устройствами (рис. 4.29), быст-
Рис. 4.29. Структурная схема ус-
тановки для определения времен-
ных характеристик объекта:
I — объект; 2, 3— измерительные пре-
образователи входной и выходной ве-
личин соответственно; 4 — регистри-
рующий измерительный прибор; 5 —
исполнительное устройство; б — па-
нель дистанционного управления
4.1. Объекты управления и их основные свойства
227
родействие которых значительно превосходит быстродействие ис-
следуемого объекта, -Эксперимент с получением переходных харак-
теристик выполняют чаще всего благодаря относительной простоте
его проведения.
Снятие переходной характеристики (кривой разгона)
Предположим, что объектом испытания является химический ре-
актор непрерывного действия (рис, 4.30, а), и требуется определить
его переходную характеристику по каналу —> Сс. Для определения
переходной характеристики реактор сначала приводят в статический
режим, т. е. стабилизируют исходный режим так, чтобы в момент
времени, принимаемый за начало отсчета, выполнялись условия:
>(0) = const; —-(О) = 0; « 0.
Затем наносят ступенчатое входное воздействие, быстро изме-
нив с помощью исполнительного устройства расход компонента А
(рис. 4.30, б). Момент нанесения ступенчатого воздействия и его
величину фиксируют. Регистрацию изменения концентрации про-
дукта С (выходной величины) у(т) на выходе реактора выполняют
концентратомером (например, кондуктометром) таким образом, что-
бы зафиксировать исходный режим, и до тех пор, пока концентра-
ция продукта С у(т) не примет новое установившееся значение (но-
вый установившийся режим) — рис. 4.30, в.
Рис. 4.30. Экспериментальное определение переходной характеристики
реактора:
а — схема, установки; >5 — ступенчатое изменение расхода компонента
А (входное воздействие); в — изменение концентрации продукта С (пе-
реходная характеристика)
X*
228 Глава 4. Системы автоматического управления
Примечание
С некоторого момента времени должны выполняться условия:
dy
у (т) = const; = О,
ат
за исключением нейтральных объектов, (объектов без самовыравнивания),
для которых условия выглядят иначе:
i 1 dy
j(tJ = о0 + Ojt; - const.
Опыт повторяют несколько раз при разных по величине и знаку
входных воздействиях +FM- 1(т). Переходная характеристика опре-
деляется по результатам каждого выполненного опыта:
А' = Л Ы/^ао
Если абсолютные значения ординат Л,<т) для одного и того же
момента времени существенно не различаются, то это является до-
казательством о допустимости предположения о линейности и ста-
ционарности динамических свойств исследуемого объекта. Если
наблюдается существенное различие /г/т) в различных опытах, то
следует уменьшить возмущающее воздействие и повторить опыты.
Усредненную по результатам п опытов переходную характеристику
я ы
можно использовать для построения математической модели объек-
та методами, изложенными в литературе [25].
Снятие импульсной переходной характеристики
Большие отклонения регулируемых величин от номинальных
значений и продолжительные возмущающие воздействия часто по
технологическим требованиям проведения процесса недопустимы.
В этих случаях на вход промышленных объектов наносят кратковре-
менные импульсные возмущающие воздействия, поскольку при сня-
тии импульсных переходных характеристик отклонение управляе-
мого параметра от заданного режима меньше, чем при снятии пере-
ходных характеристик.
Импульсные возмущающие воздействия наносят или в виде пря-
моугольного импульса (рис. 4.31, а), или волнового прямоугольного
импульса (рис. 4.31, б). Волновой прямоугольный импульс состоит
из двух прямоугольных импульсов, равных по величине, но проти-
воположных по направлению с интервалом по времени, равным. Ат.
Изменение выходной величины все время регистрируется, пока ско-
4.1. Объекты управления и их основные свойства
229
Рис. 4.31. Реакция устойчивых (Г) и нейтральных (2) объектов на возму-
щающие воздействия в виде прямоугольного импульса (о) и
волнового прямоугольного импульса (б)
рость ее изменения не станет равной нулю. При эксперименталь-
ном исследовании объектов, в особенности нейтральных, применя-
ют волновые прямоугольные импульсы (в 1...2 раза увеличивают вход-
ное воздействие по сравнению с прямоугольным импульсом).
Замечание
Если выходная величина объекта зависит от нескольких входных вели-
чин, то при снятии временных характеристик объекта по одному из каналов
остальные входные величины необходимо поддерживать постоянными, что-
бы они не вызывали дополнительного изменения выходной величины объекта.
Экспериментальные полученные переходные характеристики
(кривые разгона) и импульсные переходные характеристики позво-
ляют построить математическую модель исследуемого объекта.
Для практического использования полученная модель должна
быть возможно более простой, но достаточно точно отражать дина-
мические свойства реального объекта. Естественно, что модель не
может в полной мере отражать все динамические свойства реально-
го химико-технологического объекта, но она должна быть работо-
способной (т. е. верно выбраны ее структура и параметры), и, кроме
того, необходимо обосновать выбор критерия приближения модели
к рассматриваемому реальному объекту.
Наиболее распространенные модели устойчивых объектов
• апериодических-.
1) |у^) = _^_ехр(_Тзап^;
230
Глава 4. Системы автоматического управления
К
2) и/(1) = (7^Т|Ж771)ехрН“"а);
(Ts + I)
• колебательных:
4) (у (j) = -гз-т— ехр(~тзап j) ;
Т s + 2t,Ts + 1
• нейтральных:
5) = у^ехрС-т^п*);
6| и/(х) = 7(ЙИ)ехрН»<‘)'
Переходные характеристики устойчивого многоемкостного
объекта с запаздыванием и его упрощенной модели приведены на
рис. 4.32, а, 6; нейтрального объекта с запаздыванием и упрошенной
модели этого объекта приведены на рис. 4.32, в, г соответственно.
Замечание
Аппроксимация — замена одних математических объектов другими, в
том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет
Рис. 4.32. Переходные характеристики:
a — устойчивого миогоем костного объекта с запаздыванием: о — упро-
шенной модели устойчивого многоемкостного объекта с запаздывани-
ем (в виде последовательного соединения звена запаздывания и стати-
ческого звена первого порядка); в — нейтрального многоемкостного
объекта с запаздыванием; г — упрощенной модели нейтрального мно-
гоемкостного объекта е запаздыванием (в виде последовательного со-
единения звена запаздывания и идеального интегрирующего звена)
4,1, Объекты управления и их основные свойства 231
исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта,
сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (на-
пример, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства
которых уже известны).
Определение параметров модели по переходной характеристике
объекта управления
Экспериментальные переходные характеристики (кривые разго-
на) устойчивых объектов второго и более высокого порядка с запаз-
дыванием (или без) имеют характерный S-образный вид (рис. 4.33).
По графику этой экспериментальной кривой разгона определяем
новое установившееся значение выходной величины
= lim й(т),
Г—» «ад
что позволяет найти статический коэффициент усиления объекта К.
Затем проводим касательную в точке перегиба i кривой разгона до
пересечения с осью абсцисс и горизонтальной линией, ордината
которой равна h„. На оси абсцисс получаем величину подкасатель-
ной TRD, а на линии, соответствующей й„ — подкасательную TCD,
Определяем соотношение rCD/TBD. Если отношение TCD/TBD > 0,74,
то объект можно отнести к статическим звеньям второго порядка.
Если отношение rCD/TBD < 0,74, то порядок объекта выше второго.
На рис. 4.33 представлена экспериментальная кривая разгона для
устойчивого объекта второго порядка с запаздыванием. По соотно-
шению rCD/TBD и по графику (рис. 4.34) находим коэффициент дем-
Рис. 4.33. Определение параметров модели объекта по эксперименталь-
ной переходной характеристике
232
Глава 4. Системы автоматического управления
Рис. 4.34. Номограмма для определения параметров модели объекта
пфирования далее определяем' постоянную времени, исходя из
соотношения
TCD =2?Г.
Для полученного значения коэффициента демпфирования £ по
графику (см. рис. 4.34) находим соотношение TAB/TBD, используя
которое, можно рассчитать ГАВ и, в итоге, определить время транс-
портного запаздывания
тзап ~ Т'в ~ ^ДВ
Рассмотрим случай, когда 7cd/^bd < 0,24, тогда порядок объек-
та будет выше второго. На рис. 4.35 представлены полученные экс-
периментально кривые разгона четырех устойчивых объектов пер-
вого, второго, третьего и четвертого порядка.
Рис. 4.35. Переходные характеристики устойчивых объектов разного порядка
4.1. Объекты управления и их основные свойства
233
Для статического объекта, порядок которого выше второго, ис-
пользуют модель вида
(7i+l)
где и — число статических звеньев первого порядка с одинаковыми
постоянными времени Т.
Экспериментально полученные кривые разгона объекта, поря-
док которого п > 2 (см. рис. 4.35), обрабатывают так, как это было
рекомендовано ранее: определяют новое установившееся значение
выходной величины
= Jim Л(т),
t—» ее
чтобы найти статический коэффициент усиления К. По графику
рис. 4.35, проведя касательную в точке перегиба i, определяют от-
ношение (как это было проделано на рис. 4.33), округляют его
до ближайшего меньшего табличного значения (используя данные
табл. 4.1) и находят порядок объекта и. Затем по графику (см. рис. 4.35)
определяют TBD и, используя табличное значение TBD/T для най-
денного порядка и, вычисляют постоянную времени Т. По найден-
ному из графика значению Гвг) и табличному значению ГАВ/ГВО
(данные табл. 4.1) вычисляют ГАВ. Затем' рассчитывают время транс-
портного запаздывания по выражению:
тзап = Гв - ГАВ.
Примечание
Если время запаздывания оказывается очень малым, (или отрицатель-
ным), можно попробовать скорректировать положение касательной, для
того чтобы точно получить т,ап = 0.
Таблица 4.1, Данные для определения параметров передаточной
функции системы по переходной характеристике
п ТлвДво т^т
1 0 0 1 0 0
2 0,264 0,104 2,718 0,282 1
3 0,323 0,218 3,695 0,805 2
4 0,353 0,319 4,463 1,425 3
5 0,371 0,410 5,119 2,100 4
Рассмотрим метод определения параметров модели по переход-
ной характеристике объекта, предложенный В.Я. Ротачем. Этот ме-
тод, как показывает практический опыт, дает приемлемые матема-
234
Глава 4. Системы автоматического управления
тические модели для проектирования систем управления с типовы-
ми аналоговыми регуляторами.
1. Пусть исходные данные об объекте заданы его переходной
характеристикой (на рис. 4.36 она представлена в виде сплошной
линии — кривая /).
2. Модель объекта будем искать в виде передаточной функции
= ---А------ еХр(_Тзап.5). (4.33)
+ 1)(г25 + 1)
Передаточная функция (4.33) является частным случаем переда-
точной функции
/V
(5) = _Иехр(-тзап5), (4.34)
где Ms), D(s) — полиномы.
3. Критерием приближения модели к рассматриваемому реаль-
ному объекту является требование совпадения переходной характе-
ристики объекта й(т) и переходной характеристики модели йм(т) в
точках т ~ 0, т — а также в точке их перегиба i (ей соответствует
момент времени ts), определяемой из условия
Рис. 4.36. Аппроксимация промышленного объекта упрощенными моде-
лями по переходной характеристике:
/ — экспериментальная переходная характеристика объекта" 2 — пере-
ходная характеристика модели (4.3S) объекта; 3 — переходная характе-
ристика модели (4.43) объекта
4.1. Объекты управления и их основные свойства
235
Кроме того, в точке перегиба переходная характеристика объекта
й(т) и переходная характеристика модели Лм(т) должны иметь одина-
ковый наклон. В результате критерий приближения имеет такой вид
М'о) = Мо);
h — h
уст ” ™уст ’
= Л(т>);
с!йм(т) _ йАг(т)
dr dr
Ti Tj
(4.36)
Для определения производной бй(т)/бт переходной характерис-
тики й(т) в точке, где эта характеристика имеет максимальный на-
клон, проводят касательную и находят длину отрезка То, заключен-
ного между точками пересечения этой касательной с осью абсцисс
и линией установившегося значения характеристики йуст. Обозна-
чим b = й(т;)/йуст.
С учетом введенных обозначений, перепишем критерий при-
ближения:
АМ(О) = Й(О);
лм,уст =Ч-СТ;
К, (т Ж. уст =
(4.37)
Теперь рассмотрим аппроксимацию объекта более простой мо-
делью, состоящей из звена запаздывания и статического звена пер-
вого порядка (л = 1):
К
ехр(~тиП4 (4.38)
/ р т 1
Ясно, что К = Луст. Требования, предъявляемые к тому, чтобы
переходная характеристика статического звена первого порядка и
производная от нее в некоторый момент приняли заданные значе-
ния ЬК, К/То, запишем, как:
t I т I I. ' I т I 1
1-ехр —ехр----------- =--
( 7) J 7] Ч TJ Т„
(4.39)
236 Глава 4. Системы автоматического управления
Из выражения (4.39) легко находим постоянную времени мо-
дели:
7]=(1-Ь)Т0. (4.40)
По найденной таким образом постоянной времени 7\ (4.40) вре-
мя т, при котором выполняется условие аппроксимации, определим
по формуле
т = 7)1п(7;Д). (4.41)
Время транспортного запаздывания
ban =*i (4.42)
Перейдем к более сложной модели (4.33), которую можно пред-
ставить и виде последовательного соединения двух статических зве-
ньев первого порядка (п — 1) и звена запаздывания. Запишем ее
передаточную функцию:
^М = (Г»1Х7-;^1)еХ|>(-Т"Д>- <4'43>
Здесь, в (4.43), как и ранее, К = Луст, а переходная характеристи-
ка модели без учета звена запаздывания может быть определена из
таблицы преобразований Лапласа:
= 1 ~ т * т Т1 wf-T^-bexpL-^ . (4.44)
Л 7 1 ~ ' 3 L 1'1/ к '2 )_
Запишем выражения для первой и второй производных:
I fdMT)1 1
К [ dt J.. 7] - Г,
(4.45)
I
К
1
-П - г.
1 Г т'! 1
- ехр + еХр
'1 1'1/ '2
(4.46)
Приравняв выражение (4.46) к нулю, получим условие для опре-
деления координаты точки перегиба i (ts м) (4.35):
(4.47)
4.1. Объекты управления и их основные свойства
237
Итак, в точке перегиба переходная характеристика модели и ее
первая производная определяются выражениями:
(П, м) . 1, 7) ] [
А" I. 7] J Д Т}
i, м
(4.48)
1 рйм(т)
щ ....."
11 Г Им
еХр
rj Ч Л
(4.49)
Введя безразмерные переменные х = Т}/Т2 и у = М/Т15 перепи-
шем выражения (4.47)—(4.49) в таком виде:
f У 1
xexp(-j) = ехр ;
(1 + х)ехр(-у) = 1- 6;
(4.50)
7)
— = е
т
о
Первое и второе соотношения в (4.50) являются системой транс-
цендентных уравнений, решение которой при заданном значении b
позволяет найти значения х и у. Затем по последнему соотношению
в (4.50) находим первую постоянную времени модели 7], что позво-
ляет далее найти и вторую постоянную времени Т2 = хТ\, а также
координату точки перегиба для аппроксимирующей модели = jTt.
Если найденное таким образом значение окажется меньше т15
найденного по переходной характеристике объекта й(т), в модель
необходимо ввести время запаздывания:
тзап = И -tj, м (4.51)
Аналогично можно получить решение для любого значения п в
передаточной функции (4.33).
Примечание
Трансцендентные уравнения — обычно уравнения, содержащие пока-
зательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригономет-
рические функции, т. е. уравнения, не являющиеся алгебраическими. Об-
щих приемов решения трансцендентных уравнений, кроме приближенных,
не существует.
Все вышеприведенные расчеты можно проводить с помощью
номограммы (рис. 4.37). Порядок, использования номограммы сле-
дующий.
238
Глава 4. Системы автоматического управления
Рис. 4.37. Номограмма для определения параметров модели объекта
(по В.Я. Ротачу)
1. По переходной характеристике определяем исходные данные
для выполнения аппроксимации йуст, h„ То.
2. В зависимости от полученного значения b = й(Т[)//!у(.т выби-
раем п.
Замечание
При выборе положения точки перегиба на переходной характеристи-
ке, как, собственно, и при выборе л, допускается некоторая вольность, что
является отражением того факта, что близким переходным характеристи-
кам могут соответствовать сильно различающиеся структуры передаточных
функций.
3. Исходя из найденных значений b и п, по номограмме (см.
рис. 4.37) определяем отношения Г(/Го, Т2/1\, что в дальней-
шем позволяет последовательно определить как постоянные време-
ни Т\ и Г2, так и м.
Пример
► Выберем в качестве упрощенной модели пароперегревателя
последовательное соединение звена запаздывания и статического
звена первого порядка (4.38) и определим, параметры модели по пе-
реходной характеристике пароперегревателя (см. рис. 4.36). Исход-
4.1. Объекты управления и их основные свойства 239
ные данные для расчета, полученные из приведенной переходной
характеристики, следующие:
°C ч
b = 0,3; Т; = 1,23 мин; То =2,1 мин; /и-, = 1---
' т
Из (4.40) и (4.42) находим Tt = 1,47 мин и = 0,71 мин. Сле-
довательно, искомая передаточная функция
Найденной передаточной функции соответствует переходная
функция
Лм (т) = [1 -.e-(T-0’7l)/1'47]. 1 (т - 0,71).
График переходной характеристики Ам(т) модели изображен на
рис. 4.36 штрихпунктирной линией (кривая 2).
Выберем теперь более сложную модель пароперегревателя в виде
последовательного соединения звена запаздывания и трех статичес-
ких звеньев первого порядка (4.33) и определим параметры модели.
Из номограммы (см. рис. 4.37) видно, что при b = 0,3 аппрокси-
мация может быть осуществлена передаточной функцией типа (4.33),
если п > 2. Выбираем п ~ 2. Тогда
5- = 0,43; = 0,42; ^- = 1,16
То ' 'Т} Г,
или
Г5 =0,9 мин, Т2 = 0,38 мин, т5>м - 1,04 мин, тмп =0,19 мин.
Следовательно, искомая передаточная функция выглядит так:
И7 (5) =---------!----------- e-0J9s.
(0,9.? + 1)(0,38j + I)2
Переходная функция, соответствующая этой передаточной фун-
кции, имеет такой вид:
йм (т) = (1,995 + 1,923т) e-W2T -2,995еч'1||т + 1.
График полученной переходной характеристики изображен на
рис. 4.36 штриховой линией (кривая J). Из рисунка видно, что бо-
лее сложная модель точнее отражает поведение пароперегревателя в
переходном режиме. Не следует, однако, забывать, что усложнение
модели объекта регулирования затрудняет расчет САР. Поэтому всегда
нужно искать разумный компромисс между сложностью и точнос-
тью используемых моделей.
240 Глава 4. Системы автоматического управления
4.1.3.3. Экспериментальное определение
частотных характеристик
Выражение (3.32) позволяет обоснованно подойти к экспери-
ментальному определению частотных характеристик объекта управ-
ления. Эксперимент заключается в возбуждении гармонических (си-
нусоидальных) колебаний входной величины по исследуемому ка-
налу, т. е. на вход динамической системы (или динамического звена)
подают гармоническое воздействие с угловой частотой колебаний ш
и амплитудой ЛЛ (см. рис. 3.8)
х(т) = Ах sin сот 1 (т).
В системе (звене) возникает переходный процесс и вынужден-
ные колебания с той же частотой ш. Если система устойчива, линей-
на и стационарна, то спустя какое-то время (через несколько пери-
одов колебаний) переходный процесс будет завершен и останутся
только вынужденные колебания, причем частота их будет равна ча-
стоте входного гармонического воздействия, но амплитуда колеба-
ний и фаза <р отличны от него (см. рис. 3.8). Амплитуда и угол
сдвига фазы <р выходного сигнала по отношению к входному зависят
от угловой частоты колебаний <и (3.32):
Лын (т) = 4,(®)sin [шг + ф(ш)].
Установившиеся выходные колебания сравнивают с входными
колебаниями. По результатам сравнения строят частотные характе-
ристики.
Динамические характеристики, полученные частотным методом,
точнее и надежнее, чем временные, благодаря значительной боль-
шей помехоустойчивости этого метода. В производственных ус-
ловиях, особенно при исследовании пусковых объектов часто не-
возможно избежать значительных помех, искажающих результа-
ты эксперимента, и тогда лучше получать частотные характеристики.
Правда, частотный метод более сложен и трудоемок: необходимо
создать специальное устройство для генерирования гармонических
колебаний.
На рис. 4.38 изображена принципиальная схема подключения
измерительной аппаратуры к объекту для определения его частот-
ных характеристик, позволяющая генерировать синусоидальные вход-
ные колебания различной частоты, измерять амплитуду колебаний
на входе объекта и выходе объекта и сдвиг фазы между этими колеба-
ниями. В состав измерительной аппаратуры входят низкочастотный
генератор периодических колебаний (НГПК) для генерирования вход-
ных колебаний различной формы (синусоидальной, прямоугольной.
4.1. Объекты управления и их основные свойства
241
Рис. 4.38. Структурная схема установки для экспериментального опреде-
ления частотных характеристик объекта управления (ОУ):
НГПК — низкочастотный генератор периодических колебаний; НФЧ —
низкочастотный фазометр-частотомер; ДПВ — двойной пиковый вольт-
метр; преобразователи П1 и П2
треугольной, трапецеидальной), а также одиночных импульсов раз-
личной формы (прямоугольной, треугольной, трапецеидальной);
низкочастотный фазометр-частотомер (НФЧ) для определения час-
тоты и фазы колебаний, которые измеряются с помощью счета им-
пульсов стандартной частоты (100 кГц) за время одного периода при
измерении частоты и за время между двумя смежными прохождени-
ями через нуль кривых входного и выходного напряжений при из-
мерении фазы; двойной пиковый вольтметр (ДПВ) для измерения
амплитуды на входе и выходе системы; преобразователи П1 и П2
для преобразования сигнала на входе и выходе объекта.
Приборы, рассчитаны на напряжение ±100 В и диапазон частот
от 0,001 до 100 Гц.
Относительно формы входных колебаний, подаваемых в иссле-
дуемый объект управления, имеется и такое мнение; синусоидаль-
ные колебания различных частот можно подавать не на все объекты.
Промышленные химико-технологические объекты обладают хоро-
шими фильтрующими свойствами, поэтому для получения частот-
ных характеристик иногда технически удобнее подать на вход ис-
следуемого объекта колебания прямоугольной волны (включение и
выключение регулирующего клапана), треугольной волны (равно-
мерное открытие и закрытие регулирующего клапана) и т.п.
Кривые отношения амплитуды выходного сигнала ууст к ампли-
туде входного сигнала (воздействия) х и сдвига фазы <р между ними
в зависимости от частоты и представляют собой экспериментально
найденные амплитудную Л(ш) и фазовую ф(ш) частотные характери-
стики исследуемого объекта управления.
Из-за трудности формирования гармонических колебаний на вход
объекта чаще всего подают возмущающее воздействие в виде прямо-
угольной волны (рис. 4.39). Для этого периодически (с периодом Т)
изменяют входное воздействие, мгновенно переставляя затвор регу-
лирующего органа из одного положения в другое. Если практически
мгновенная перестановка затвора регулирующего органа невозмож-
242
Глава 4. Системы автоматического управления
Рис. 4.39. Гармонический анализ входного воздействия в виде прямо-
угольной. волны:
Т— период волны; — амплитуда волны; и — амплитуды первой
и третьей гармоник
на, то на вход объекта подают возмущающее воздействие в виде
трапецеидальной волны (рис. 4.40).
В обоих случаях колебания входной и выходной величин отли-
чаются от гармонических колебаний, и для определения частотных
характеристик объекта требуется их дополнительная обработка —
выделение гармонических составляющих колебаний входной и вы-
ходной величин.
Любую периодическую функцию с периодом колебаний Т можно
представить в виде бесконечного тригонометрического ряда Фурье:;
х (т) = + У [ал cos (А; сот) + bk sin (Ахот)],
2 1=1
где ш = 2л/Г.
Рис. 4.40. Гармонический анализ входного воздействия в виде трапецеи-
дальной волны:
Ат — время перемещения затвора регулирующего органа от среднего до
крайнего положения
4.1. Объекты управления и их основные свойство
243
Каждое из выражений, стоящих в квадратных скобках, описыва-
ет гармоническое колебание частотой tok ~ кы, называемое fc-й гар-
моникой:
xk (т) = ak cos + bk sin (fetoz) = Ak sin (Лит + фА). (4,53)
Зная коэффициенты ак и Ьк, можно определить амплитуду Ак и
начальную фазу ср* к-н гармоники:
4 = -jaf+~^, ф* = arctg (ак /Ьк). (4.54)
Коэффициенты ряда Фурье могут быть определены из следую-
щих выражений:
flo=|:fxWd'r; (4-55)
1 о
э
ак - — j х(т)со5(Лнт)дт; (4.56)
* о
9 Т
bk = — J x(r)sin (Лит) dr. (4.57)
‘ о
Ряд Фурье, представляющий собой разложение прямоугольной
волны на сумму бесконечного числа гармоник, имеет вид
——Г sin (сот) +1 sin (Зит) + - sin (5ит) +.,
(4.58)
где 4 — амплитуда прямоугольной волны (см. рис. 4.39).
Для симметричной трапецеидальной волны ряд Фурье можно
записать следующим образом:
4Л0
х(т) = -—— sin (a) sin (сот) + ^5-sin (За) sin (Зит) + р- sin (5а) sin (Зсот) +... .
па
(4.59)
Здесь 4 — амплитуда трапецеидальной волны (см. рис. 4.40), а угол
а определяется по формуле
а = —Дт, (4.60)
где Дт — время перемещения затвора регулирующего органа от сред-
него до крайнего положения.
244
Глава 4. Системы автоматического управления
Из формул (4.58) и (4.59) следует, что первая гармоника прямо-
угольной волны описывается уравнением
ЛА „
Xj (т) = —isin (шт), (4.61)
п
а первая гармоника трапецеидальной волны. — уравнением
44
х (т) = -2- sin (a) sin (шт). (4.62)
ла
Амплитуды первых гармоник равны:
• для прямоугольной волны
4=^; (4.63)
71
• для трапецеидальной волны
4 J „
----sin (а). (4.64)
па
На рис. 4.39 и рис. 4.40 графики первых гармоник изображены
штриховыми линиями, а графики вторых гармоник — пунктирными
линиями.
Определение коэффициентов ряда Фурье для выходных колеба-
ний по приведенным выше формулам (4.55)—(4.57) не всегда воз-
можно аналитически, поэтому на практике часто используют при-
ближенный метод, при котором их подсчет осуществляется не с по-
мощью интегралов, а с помощью конечных сумм.
Для такого вычисления период функции Г= 2п делят на четное
число равных частей и находят значения ординат j(t) для каждой
точки деления (рис. 4.41). При четном числе ординат значения си-
нуса и косинуса по абсолютной величине повторяются в каждом
квадранте и. вычисления упрощаются. Удобно выбирать число орди-
нат, кратное четырем. Очевидно, расчет коэффициентов будет тем
точнее, чем меньше шаг деления. Для определения коэффициентов
первой гармоники л, и Ь} вычисление по 12 ординатам, как прави-
ло, дает вполне достаточную точность. Формулы (4.55), (4.56) и (4.57)
можно заменить в этом случае приближенными формулами:
(4.65)
О ы
и 1 £[л COS^30<!)J. (4 66)
° А=0
bi “ 7 sin(£30°)], (4.67)
° А=0
4.1. Объекты управления и их основные свойства
245
Рис. 4.41. Гармонический анализ выходной величины по двенадцати ор-
динатам
где ук — величина £-й ординаты графика выходных колебаний (см.
рис. 4.41).
Синусы и косинусы углов, кратных 30°, имеют значения 0, ±1,
±1/2 и ±х/з/2. С учетом этого, формулы для вычисления коэффици-
ентов постоянной составляющей и первой гармоники ряда Фурье
по двенадцати ординатам записываются в следующем виде:
= |(j0 + Ji +-- + Jio + Ju); (4.68)
1
Ф - 6
Ь \ < \
JO “ J<5 + 2^2 + ЯО - ±4 - Jd + —(±1 + Jll "Ji "J?)
£
6
1 V3
Ji - Jo + j(jl + Ji - J? - Jn) + y(j2 + j'4 - J8 - Jio)
; (4.69)
(4.70)
Разбивая период функции. Ят) на части, начало периода (точку с
ординатой у0) следует выбирать так, чтобы первая гармоника входных
колебаний имела нулевую фазу (см. рис. 4.41). Сдвиг по фазе между
первыми гармониками выходных и входных колебаний и отношение
их амплитуд (для прямоугольных входных колебаний) будут равны:
<p(wi) = arctg (фА);
(4.71)
п Jaf+ if
=
(4.72)
246 Глава 4. Системы автоматического управления
Для сокращения числа экспериментов при получении частот-
ных характеристик можно не проводить опыты на высоких часто-
тах, а использовать данные, полученные в опытах на низких часто-
тах, выделяя высокочастотные гармонические составляющие. На-
пример, можно найти коэффициенты третьей гармоники ряда Фурье-:
йз = |(Уо “Г: +>4 - Л +>8 ->ю); И.73)
Ьз =|(/1 -Уз + У5 -у7 +>9 - J11)- (4-74)
Фазовый сдвиг между третьими гармониками выходных и вход-
ных колебаний и отношение их амплитуд (для прямоугольных вход-
ных колебаний) для частоты <в3 = Зсо1 будут равны:
ф(шэ) = arctg (я3Д); (4.75)
, , . ЗпJal + bl
(4.76)
4Ло
Замечание
Иногда можно ограничиться разбиением периода обрабатываемой кри-
вой на шесть участков. В этом случае для определения коэффициентов
ряда Фурье используются только шесть ординат (рис. 4.42), и коэффициен-
ты а0, о, и Ь} вычисляются по следующим формулам:
aa “ |(j'o + Tj + Ъ + Уз + +У5); <4-77)
Рис. 4.42. Гармонический анализ выходной величины по шести ординатам
4.2. Задачи синтеза регуляторов
247
= |(д>-bhgU + з,5-у; - л); (4-78)
р,
bi = + у, - у4 - у5). (4.79)
Замечание
Экспериментальные данные о статических и динамических свойствах
объекта управления могут служить исходной информацией для компью-
терной аппроксимации переходного процесса в объекте.
4.2. ЗАДАЧИ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ
При исследовании системы автоматического управления обыч-
но решают одну из двух задач: анализа и синтеза. При анализе струк-
тура и параметры САУ известны, а требуется определить ее поведе-
ние в заданных условиях (например, определить переходные харак-
теристики САУ). При синтезе для заданного объекта управления
требуется построить такое управляющее устройство (УУ), при кото-
ром система удовлетворяет заданным требованиям к качеству уп-
равления. Обе поставленные задачи в значительной степени связа-
ны между собой и имеют много общего.
В задачу синтеза входит выбор структуры и параметров УУ (ре-
гулятора), которые обеспечивают:
• устойчивость САУ;
• необходимую точность воспроизведения задающего воздействия
и компенсацию возмущающих воздействий;
• заданное качество переходного процесса.
Рассмотрим основные этапы решения задачи синтеза управляю-
щих устройств.
На первом этапе формулируется техническое задание на проектиро-
вание на основе анализа возможных режимов работы САУ (установив-
шихся или переходных), возмущающих воздействий, необходимой точ-
ности, ограничений на управляющие и регулируемые параметры, вре-
мени работы системы и др. Затем формируется функциональная схема
САУ, выбирается тип исполнительных, усилительных, измерительных
устройств, вид. используемой энергии и т. д.
На втором этапе разрабатывается структура управляющего уст-
ройства, обеспечивающая выполнение требований, предъявляемых
к качеству регулирования, например:
• статическая ошибка при подаче на вход САУ единичного сту-
пенчатого воздействия не должна превышать допустимого значения
или быть равной нулю;
248
Глава 4. Системы автоматического управления
• максимальное перерегулирование сттах в системе не должно
превышать допускаемого перерегулирования стлоп;
• время переходного процесса тпп не должно превышать допус-
каемого значения;
• максимальное ускорение выходной переменной при заданных
условиях не должно превышать допустимого значения и т. д.
Область допустимых значений прямых показателей качества ре-
гулирования, определенных по переходной характеристике (напри-
мер, перерегулирования ст, статической погрешности е„, времени
переходного процесса тпп), для наглядности можно представить так
называемой «коробочкой Солодовникова» (рис. 4.43).
Именно на этом этапе строятся математические модели элемен-
тов системы регулирования.
Замечание
Сложность второго этапа заключается в том, что нельзя предложить
каких-либо однозначных рекомендаций по выбору структуры УУ. При не-
удачном выборе структуры УУ никакой подбор параметров не позволит
добиться требуемого качества регулирования.
На третьем этапе рассчитываются параметры УУ. Методы расче-
та можно условно разбить на две группы. В первую группу входят
методы, направленные на обеспечение требований к качеству регу-
лирования (см. выше). Во второй группе методов подбор парамет-
ров УУ осуществляется таким образом, чтобы оператор системы как
можно точнее соответствовал желаемому оператору.
На четвертом этапе полученные ранее значения параметров УУ
подставляются в уравнения САУ и проводится ее анализ на устой-
чивость. Если система устойчива, то строится переходная и другие
Рис. 4,43. Область допустимых значений показателей переходной харак-
теристики
4.2. Задачи синтеза регуляторов
249
характеристики системы, по которым можно проверить соответствие
скорректированной системы требованиям, сформулированным в
техническом задании. Если выясняется, что система не удовлетво-
ряет предъявляемым требованиям, то возвращаются ко второму и
третьему этапам.
Пятый этап — аппаратная реализация УУ, результатом которой
явится его принципиальная схема, выстроенная в соответствии с
выбранной структурой и рассчитанными параметрами.
Замечание
В случае реализации УУ, например, на базе микрокомпьютера, фор-
мируют требования к выбору микрокомпьютера, работающего в контуре
САУ в реальном .масштабе времени. Выбор типа компьютера, использу-
емого в системе управления, определяется характером поставленной за-
дачи, объемом данных, подлежащих запоминанию, требуемой скорос-
тью вычислений и т. д. Затем выстраивается алгоритмическое и про-
граммное обеспечение компьютера. Компьютер получает и обрабатывает
сигнал в цифровом (численном) виде, а не в виде непрерывной пере-
менной. В цифровой системе управления обязательно присутствует ком-
пьютер, входной и выходной сигналы которого представлены в виде
числового кода. Преобразование аналогового сигнала, поступающего от
датчика к компьютеру, осуществляет аналого-цифровой преобразователь
(АЦП); выходной цифровой сигнал компьютера, поступающий на ана-
логовое исполнительное устройство, преобразует цифроаналоговый пре-
образователь (ЦАП).
На шестом этапе происходят испытания предложенном САУ.
Обеспечение заданного качества работы САУ в переходном ре-
жиме возможно введением в прямую и обратную цепи САУ диффе-
ренцирующих звеньев.
Обеспечение заданного качества работы САУ в установившемся
режиме возможно ведением в прямую цепь САУ интегрирующих
звеньев.
Ведение в прямую цепь САУ усилителя (статического звена пер-
вого порядка) влияет на качество как переходного, так и установив-
шегося режимов.
Проиллюстрируем, как можно скорректировать переходный ре-
жим САУ введением дифференцирующего звена в цепь обратной
связи САУ.
Предположим, что САУ по своим динамическим свойствам со-
ответствует колебательному звену со слишком малым коэффициен-
том. демпфирования Это значит, что колебания регулируемого
параметра в переходном процессе слабо затухают и продолжаются
недопустимо долго. Требуется, не меняя внутренней структуры САУ,
обеспечить заданное значение коэффициента демпфирования Для
этого в цепь обратной связи введем идеальное дифференцирующее
250
Гл а в.a 4. Системы автоматического управления
Рис. 4.44. Коррекция динамических
свойств объекта с помощью гибкой
обратной связи
звено (рис. 4.44) и найдем нужное значение Тй. Передаточная функ-
ция полученной системы
К
T^+QXJs + l ___________К
, KTos TV + (2СТ + КТ. ).s + I
TV + 2^7У + 1
К
“ T2s2 + + 1 ’
(4.80)
(4.82)
так же как и передаточная функция исходной САУ, соответствует коле-
бательному звену. Из (4.80) видно, что заданное значение коэффициен-
та демпфирования связано с параметрами системы уравнением:
2^Г + КТ. = 2С,33Т. (4.81)
Из (4.81) получаем:
Г J^T + KT. КТ.
2Т <= 2Т
Следовательно, в результате введения в цепь обратной связи САУ
идеального дифференцирующего звена, как следует из (4.82), появ-
ляется возможность увеличить коэффициент демпфирования С, до
необходимого заданного значения, не изменяя внутреннюю струк-
туру САУ.
Изменим целенаправленно динамические свойства САУ, введя в
прямую цепь САУ дифференцирующее звено.
В качестве примера рассмотрим систему, структурная схема ко-
торой представлена на рис. 4.45. Полагая, что объект управления по
динамическим свойствам соответствует колебательному звену с не-
большим значением коэффициента демпфирования С, найдем пере-
даточную функцию замкнутой системы:
Т-? +2С71- + 1
+ T2s2 + 2TJS + 1
(4.83)
4.3. Основные законы регулирования
251
Рис. 4.45. Использова-
ние дифференцирую-
щего звена в прямой
цепи для коррекции
динамических свойств
системы
Из (4.83) получим;.
ККр + KT.s
T2s2 + (2^Г + КТй) s + (А'Л'р + 1) ‘
(4.84)
Подбирая коэффициенты Кр и Td в (4.84), можно целенаправ-
ленно изменять свойства замкнутой системы, в том числе, увеличи-
вая коэффициент демпфирования до необходимого значения.
4.3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Природа всегда рождает законы гораз-
до более справедливые, чем те, которые
придумываем мы.
Мишель Монтень
В разделе 4.2, посвященном синтезу регуляторов, были пред-
ставлены некоторые способы коррекции статических и динамичес-
ких свойств САУ. Используя подобные методы, можно разработать
структуру и найти параметры управляющего устройства, обеспечи-
вающего заданное качество управления данным объектом. Однако
создание регулятора, специально приспособленного для конкретно-
го объекта, является трудоемкой задачей и в большинстве случаев
не требуется. Качество регулирования, близкое к оптимальному,
можно получить с помощью типовых регуляторов, реализующих
«классические» законы регулирования.
Законом действия регулятора (законом регулирования или алго-
ритмом регулирования) называют функциональную взаимосвязь
между погрешностью регулирования е - ум — у и изменением уп-
равляющего воздействия Ди:
Ди(т) = Де(т)]
или
U-UO= f(y^-y),
(4.85)
252 Глава 4. Системы автоматического управления
где w — текущее значение управляющего воздействия; «0 — значе-
ние управляющего воздействия, соответствующее заданному значе-
нию управляемого параметра
К классическим законам регулирования, применяемым в САУ,
относят пропорциональный, интегральный, пропорционально-ин-
тегральный, пропорционально-дифференциальный и пропорциональ-
но-интегрально-дифференциальный законы регулирования, рассмат-
риваемые ниже. Регуляторы, реализующие эти законы, называются
П-регуляторами, И-регуляторами, ПИ-, ПД- и ПИД-регуляторами.
Замечание
Несмотря на разработку «современных» алгоритмов управления (ис-
пользующих методы нечеткой логики, реализованных с помощью нейрон-
ных сетей и др.), более чем в 90 % САУ используются классические законы
регулирования.
4.3.1. Пропорциональный закон регулирования
Пропорциональным называют линейный закон регулирования,
отражающий прямо пропорциональную зависимость между измене-
нием управляющего воздействия и погрешностью регулирования:
Ди(т) = А'ре(т), (4.86)
где Ар — коэффициент усиления, являющийся параметром настрой-
ки пропорционального регулятора.
Примечание
В промышленных П-регуляторах параметр настройки часто представ-
ляют в виде величины Д обратной коэффициенту усиления и выраженной
в процентах:
Д = —100%. (4.87)
Величину D называют диапазоном пропорциональности или полосой пропор-
циональности. Она показывает, какому отклонению управляемой величины
(в процентах от диапазона измерения датчика) соответствует перемещение
затвора регулирующего органа из одного крайнего положения в другое.
Статические характеристики П-регулятора для разных значений Кр
приведены на рис. 4.46. Анализируя их, можно сделать некоторые
выводы о связи между коэффициентом усиления регулятора и
точностью регулирования в статическом режиме, характеризуемой
статической погрешностью е„. Предположим, что для компенсации
некоторого возмущающего воздействия требуется управляющее воз-
действие и,. Для его формирования П-регулятору необходимо, что-
4.3. Основные законы регулирования
253
Рис. 4.46. Статические характеристики П-регулятора при различных ко-
эффициентах усиления Ар
бы регулируемый параметр принял новое значение, отличающееся
от заданного на некоторую величину (величину статической погреш-
ности е„). Чем больше Кр, тем круче статическая характеристика,
тем меньше статическая погрешность. При Кр = 0 (статическая ха-
рактеристика 1 — горизонтальная линия) отклонение текущего зна-
чения параметра от заданного значения не вызывает никакого пере-
мещения затвора регулирующего органа. Это равносильно отсутствию
регулятора, и возмущающее воздействие компенсировано быть не
может. При Ар = «> (статическая характеристика 5 — вертикальная
линия) пропорциональный регулятор не давал бы статической по-
грешности (ем = 0). Однако практически реализовать такой регуля-
тор нельзя. Более того, коэффициент усиления регулятора не дол-
жен превышать некоторого максимально допустимого значения, что
необходимо для обеспечения устойчивости САР. Отсюда следует,
что избавиться от недостатка, присущего пропорциональному зако-
ну регулирования — статической погрешности — принципиально не
возможно. Можно, однако, уменьшить статическую ошибку регули-
рования, увеличивая Кр.
Передаточная функция пропорционального регулятора
= <4-88>
где £(.?) - 5’|е(т)] — изображение по Лапласу ошибки регулирова-
ния; У(х) - #’'[«(т)] — изображение по Лапласу выходного сигнала
регулятора (управляющего воздействия).
254
Глава 4. Системы автоматического управления
Рис. 4.47. Переходные харак-
теристики П-регулятора при
различных коэффициентах
усиления
Из (4,88) следует, что передаточная
функция пропорционального управляю-
щего устройства соответствует передаточ-
ной функции статического звена нулевого
порядка и, следовательно, в динамичес-
ком отношении П-регулятор является
статическим звеном нулевого порядка.
Используя передаточную функцию (4.88),
получим переходную характеристику
П-регулятора:
(4.89)
изображенную на рис. 4.47 для различных коэффициентов усиле-
ния При изменении регулируемого параметра П-регулятор мгно-
венно формирует управляющее воздействие, т. е. является безынер-
ционным.
Частотная передаточная функция пропорционального регулятора
1-Гр(» = Хр. (4.90)
АФЧХ П-регулятора, так же как АФЧХ статического звена нуле-
вого порядка, изображается одной точкой на действительной оси на
расстоянии от начала координат.
Амплитудная и фазовая частотные характеристики П-регулятора
равны:
л₽(ш)= ‘Рр (ш) = а
Если на вход П-регулятора подать гармонические колебания, то
выходная величина его изменяется по гармоническому закону без
запаздывания. Амплитуда выходных колебаний в Кр раз отличается
от амплитуды входных колебаний.
В соответствии со структурной схемой на рис. 3.66 передаточ-
ную функцию разомкнутой системы управления можно записать как
= (4.91)
где И^з) — передаточная функция регулятора; — передаточ-
ная функция объекта.
Частотная передаточная функция разомкнутой системы получа-
ется из (4.91):
= (4.92)
Из выражения (4.92) следует, что коэффициент усиления разом-
кнутой системы можно изменять, меняя коэффициент усиления регу-
4.3. Основные законы регулирования
255
лятора. Действительно, подставляя (4,90) в (4.92), получим частот-
ную передаточную функцию разомкнутой системы в виде
Жрт(»=/ГрИ/0(». (4.93)
На рис. 4,48 изображены АФЧХ объекта регулирования и АФЧХ
разомкнутой системы при разных значениях Кр. При увеличении
коэффициента усиления регулятора (Кр = Kpl > 1) частотная переда-
точная функция разомкнутой системы приближается к точке с ко-
ординатами (—I,уО). Это приводит к уменьшению запаса устойчиво-
сти, увеличению колебательности и времени переходного процесса
(негативное влияние), но зато повышает точность регулирования,
уменьшая статическую и максимальную ошибки регулирования (по-
зитивное влияние). При уменьшении коэффициента усиления регу-
лятора (Лр = Лр2 < 1) частотная передаточная функция разомкнутой
системы отходит от точки с координатами (—1,у0). Это увеличивает
запас устойчивости, уменьшает время переходного процесса, но од-
новременно снижает точность регулирования. Наилучшая настрой-
ка П-регулятора основана, как правило, на компромиссе между бы-
стродействием системы, колебательностью переходного процесса и
точностью регулирования.
Рассмотрим несколько подробнее точность регулирования в ста-
тическом режиме в системе с пропорциональным регулятором.
Предположим, объектом регулирования является аппарат (рис. 4.49),
в котором необходимо поддерживать постоянный уровень жидко-
сти. Регулируемой величиной является уровень жидкости (у = AL),
Рис. 4.48. Влияние коэффициента усиления П-регулятора на характер
изменения АФЧХ разомкнутой системы регулирования
256
Глава 4. Системы автоматического управления
Рис. 4.49. Регулирование уровня в статическом (а) и астатическом (6)
объектах
управляющим, воздействием — изменение стока жидкости (и a Д.РВЫХ),
возмущающим воздействием — изменение притока жидкости (г/ = AFBX).
Структурная схема соответствующей системы регулирования приве-
дена на рис. 4.50, Входом П-регулятора является разность между
заданным и измеренным значением уровня е(т) (ошибка регулиро-
вания), а на выходе регулятора формируется командный сигнал,
который передается на исполнительное устройство и приводит к
изменению управляющего воздействия.
Замечание
При увеличении стока уровень жидкости в баке уменьшается, что учи-
тывается в передаточной функции Чтобы обратная связь в контуре
регулирования была отрицательной, необходимо использовать или регуля-
тор, или исполнительное устройство обратного' действия, т. е. такое уст-
ройство, выходной сигнал которого уменьшается при увеличении входного
сигнала.
Рис. 4,50. Структурная схема системы регулирования уровня в объекте
первого порядка П-регулятором
4.3. Основные законы регулирования
257
Статическую ошибку регулирования можно определить, вос-
пользовавшись свойствами преобразования Лапласа (см. Приложе-
ние 1, № 10):
= lim е (т) = lim sE (s) (4.94)
s~)0
Изображение ошибки регулирования E(s) в системе регулирова-
ния, структурная схема которой приведена на рис. 4.50, определяет-
ся выражением
где первое слагаемое в правой части уравнения характеризует со-
ставляющую ошибки, обусловленную изменением задания, а второе
слагаемое — возмущающим воздействием.
В случае единичного ступенчатого задающего воздействия
КщСО = l/s; в случае единичного ступенчатого возмущающего воз-
действия D(s) - l/s. Учитывая это, подставим (4.95) в (4.94). В ре-
зультате получим уравнение для расчета статической ошибки в сис-
теме регулирования:
е„ = lim
.. 1 _ _____________ _______
[1 + 0 1 + ^рс 0 J 1 + (0) ~ 1 + (0) ’
<4.96)
в котором использовано обозначение Mz(0) = lim И7 (j).
Передаточная функция разомкнутой, системы И^С?) равна про-
изведению передаточных функций всех элементов контура регули-
рования. Для случая, когда все элементы контура регулирования
являются статическими звеньями (см. рис. 4.49, </), передаточная
функция разомкнутой системы может быть представлена рациональ-
ной дробью
^pe0=^ou0^,0^0 =
a„s" + йя_|Л"-1 +... + ats + 1 ’
И0 (0) = <р0,
(4.97)
где Ка = Кои Кщ, — произведение статических коэффициентов уси-
ления объекта регулирования по каналу управляющего воздействия,
датчика и исполнительного устройства.
Передаточную функцию объекта регулирования (см. рис. 4,49, а)
по каналу возмущающего воздействия, т. е. передаточную функцию,
У Бс'Щщдин. А. В., Хд|.т|।ioiioii 11 II
258
Глава 4. Системы автоматического управления
связывающую изменение уровня жидкости в аппарате с притоком
жидкости, можно приближенно записать в виде:
= (4-98)
lli т 1
Подставив (4.97) и (4.98) в (4.96), определим статическую ошиб-
ку в системе регулирования, включающей статический объект регу-
лирования и П-регулятор, вызванную единичными ступенчатыми
задающим и возмущающим воздействиями:
1________^qd
\ + крк0 ~1 + КрК0~
(4.99)
Как видно из (4.99), статическая ошибка системы меньше стати-
ческой ошибки объекта в 1/(1 + КрК0) раз. Однако полностью уст-
ранить статическую ошибку в системе регулирования пропорцио-
нальный регулятор не может.
В случае, когда объект регулирования является астатическим
(см. рис. 4.49, б), передаточная функция разомкнутой системы мо-
жет быть представлена выражением
И'рс « = <РИ/ОЦ (5) И/и, (5) ИЛ, (5) = ———
T^\ans
^(0) = «,
крк0
+ аяЧ5я + ...+ 1)’
(4.100)
где Ко = Кд — произведение статических коэффициентов усиле-
ния датчика и исполнительного устройства; Т3 — постоянная време-
ни интегрирования объекта регулирования по каналу управляющего
воздействия.
Передаточную функцию объекта регулирования (см. рис. 4.49, б)
по каналу возмущающего воздействия можно приближенно запи-
сать в виде:
= = (4.Ю1)
Л-.'
полагая, что постоянные времени интегрирования объекта регули-
рования по каналам управляющего и возмущающего воздействий,
равны.
Подставив (4.100) и (4.101) в (4.96), получим выражение для оп-
ределения статической ошибки в системе регулирования, включаю-
щей астатический объект регулирования и П-регулятор:
£ов = 0-—, (4.102)
4.3. Основные законы регулирования
259
из которого видно, что задающее воздействие не приводит к стати-
ческой ошибке, а статическая ошибка, вызванная возмущающим
воздействием, обратно пропорциональна коэффициенту усиления
регулятора.
4.3.2. Интегральный закон регулирования
Управляющее воздействие, формируемое интегральным регуля-
тором, пропорционально интегралу по времени от ошибки регули-
рования:
ди(т) = -Х|Ё(т)ат,
О
где Ди — изменение управляющего воздействия; е — ошибка регули-
рования; Та — постоянная времени интегрирования.
Постоянная времени интегрирования является параметром на-
стройки И-регулятора. Изменяя Та, можно изменять воздействие
регулятора на объект регулирования.
Замечание
Иногда Та определяют как время изменения выходной величины на
1 % при отклонении входной величины от заданного значения на 1 %.
Интегральный закон регулирования можно записать в другой
форме:
из которой видно, что скорость изменения регулирующего воздей-
ствия пропорциональна ошибке.
Поскольку в написанном законе управления (4.103) однознач-
ной взаимосвязи между Ди и е нет, то и статическая характеристика
И-регулятора отсутствует, но тем не менее довольно часто прибегают
к рассмотрению так называемой псевдостатической характеристики
(рис. 4.51, а). При у = скорость перемещения затвора регулирую-
щего клапана равна нулю, а положение затвора регулирующего кла-
пана может быть любым. Это означает, что И-регулятор прекратил
свою работу и что он не терпит остаточного отклонения (установив-
шейся ошибки регулирования). С другой стороны, если
бДи(т)
у * ум, то —* 0. (4.104)
ат
260
Глава. 4. Системы автоматического управления
Рис. 4.51, Характеристики И-регулятора:
а — псевлостатическая; б — переходные при разных постоянных време-
ни интегрирования
Из (4.104) следует: основное назначение интегрального закона
регулирования — устранение установившейся ошибки регулирования.
Передаточная функция И-регулятора имеет вид:
Если на вход И-регулятора поступил единичный ступенчатый
сигнал е(т) = 1 (т), то выходной сигнал (управляющее воздействие)
будет меняться в соответствии с зависимостью (рис. 4.51, б):
Aw(t) = -U J1 (т) dr = - 1(т). (4.105)
'а О 1 а
Постоянную времени интегрирования можно определить по пере-
ходной характеристике. Координата точки пересечения переходной
характеристики с единичным ступенчатым воздействием позволяет на
оси абсцисс найти величину постоянной времени интегрирования.
Из сравнения переходных характеристик П -регулятора (см. рис. 4.47)
и И-регулятора (см. рис. 4.51, б) видно, что у И-регулятора медлен-
нее нарастает управляющее воздействие при отклонении управляе-
мого параметра от заданного значения. Это приводит к тому, что
максимальная ошибка в системе с И-регулятором больше.
Другим недостатком И-регулятора является создаваемый им фа-
зовый сдвиг, равный при всех частотах — л/2, что, в конечном итоге,
уменьшает устойчивость системы регулирования.
Согласно (3.193) представим частотную передаточную функцию
И-регулятора как
(4.106)
4.3. Основные законы регулирования
261
Рис. 4.52, АФЧХ объекта регулирования и разомкнутой системы регули-
рования с И-регулятором
На рис. 4.52 приведены АФЧХ объекта и разомкнутой
САУ (УрсС/ш) с И-регулятором.
4.3.3. Пропорционально-интегральный закон
регулирования
Для использования преимуществ пропорционального и интег-
рального регулирования в системах автоматического регулирования
широко применяются регуляторы, формирующие одновременно
пропорциональную и интегральную составляющие. Такие регулято-
ры называются пропорционально-интегральными (ПИ-регуляторами).
Взаимосвязь между ошибкой регулирования и управляющим
воздействием, формируемым ПИ-регулятором, описывается урав-
нением
(4.107)
Параметрами настройки ПИ-регулятора (4.107) являются: коэф-
фициент усиления (пропорциональности) Кр и постоянная времени
интегрирования Га или время изодрома Гн.
Структурную схему ПИ-регулятора можно представить в виде
параллельного соединения пропорционального и интегрирующе-
го звеньев (рис. 4.53, а). Другая возможная структура ПИ-регуля-
тора — со взаимозависимыми параметрами настройки — приведена
на рис. 4.53, б. В регуляторах такого типа при настройке коэффици-
ента усиления регулятора Кр изменяется и постоянная времени ин-
тегрирования Та.
262
Глава 4. Системы автоматического управления
Рис. 4.53. Структурная схема ПИ-регулятора:
й — с независимыми параметрами настройки; S— с взаимозависимыми
параметрами настройки
Передаточная функция ПИ-регулятора
(4.108)
Замечание
Если при настройке ПИ-регулятора установить очень большую вели-
чину постоянной времени интегрирования Га, то его действие будет ана-
логично действию П-регулятора, если установить очень малые значения Кр —
действию И-регулятора.
Переходная функция ПИ-регулятора выглядит так:
= кр+™т .l(t) = Up+-₽T L1(t).
\ *a J V 'и у
(4.109)
Переходная характеристика ПИ-регулятора представлена на рис. 4.54.
При отклонении регулируемой величины от заданного значения ПИ-
Рис. 4.54. Переходная характе-
ристика ПИ-регулятора
регулятор сразу же изменяет управля-
ющее воздействие пропорционально от-
клонению регулируемой величины от
заданного значения (пропорциональная
составляющая), а затем постепенно уве-
личивает управляющее воздействие за
счет интегральной составляющей.
Постоянную времени Гн в (4.108)
называют временем изодрома (или вре-
менем удвоения).
Физический смысл времени изод-
рома следует из переходной характери-
4.3. Основные законы регулирования
263
стики (4,109): при т = Т„ интегральная составляющая становится
равной пропорциональной составляющей, а выходной сигнал ПИ-
регулятора достигает значения (см. рис. 4.54)
Ди(Ти) = 2/(р. (4.110)
Таким образом, под временем изодрома понимают время, в те-
чение которого затвор регулирующего органа под действием интег-
ральной составляющей переместится точно так же, как и под дей-
ствием пропорциональной составляющей.
Амплитудно-частотная характеристика ПИ-регулятора:
Ap(a) = KpJu^Z. (4,111)
V 4®
Фазово-частотная характеристика:
Ф (оз) = arctg --J- . (4.112)
На рис. 4.55 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ ПИ-регулятора. При низ-
ких частотах АЧХ ПИ-регулятора стремится к A'p/Tj, ю = 1/Гаш, а на
высоких частотах — к Кр. На диаграмме Боде низкочастотная асим-
птота является прямой линией, наклоненной к оси абсцисс под уг-
лом —45° (тангенс угла наклона равен —1), а высокочастотная асим-
птота является прямой линией, параллельной оси абсцисс. Низко-
частотная и высокочастотная асимптоты сопрягаются при частоте
сйс = 1/7и.
При очень низких частотах фазовый сдвиг ПИ-регулятора равен
—90°, при частоте сопряжения (слс = ]/7"п) фазовый сдвиг ПИ-регу-
лятора равен —45°, а при высоких частотах <pp(w) стремится к нулю.
АФЧХ ПИ-регулятора (рис. 4.56) изображена прямой, параллель-
ной мнимой оси и отстоящей от нее на расстоянии Кр. При частоте
колебаний ш « соответствующая ей точка АФЧХ находится на
положительной действительной полуоси, а при частоте колебаний
ш = 0 прямая уходит в бесконечность.
Влияние параметров настройки ПИ-регулятора на устойчивость
системы регулирования
Интегральное воздействие вносит в систему регулирования от-
ставание по фазе, которое добавляется к фазовому сдвигу объекта
регулирования, в результате чего критическая частота системы по-
нижается. Понижение критической частоты системы приводит к
увеличению времени переходных процессов в системе регулирова-
ния. При большом значении времени изодрома Tit влияние интег-
264
Глава 4, Системы автоматического управления
ральной составляющей на устойчивость незначительно, а устране-
ние остаточного отклонения, возникшего в результате изменения
нагрузки на объект регулирования, требует большого времени.
Уменьшение времени изодрома Та увеличивает влияние интеграль-
ной составляющей, что приводит к быстрому снятию остаточного
отклонения. Оптимальное значение времени изодрома 7], выбира-
ют так, чтобы обеспечить быстрое устранение остаточного откло-
нения, высокую критическую частоту и большой коэффициент уси-
ления.
4.3.4. Пропорционально-дифференциальный закон
регулирования
Качество регулирования в ряде случаев можно повысить, вводя
в закон регулирования составляющую, пропорциональную первой
производной (скорости изменения) входной величины регулятора,
т. е. Д-составляюшую.
ПД-закон регулирования определяется функциональной зависи-
мостью
д«(т) = ^Е(т) + т;^. = ^ е(т)+т;^
которой соответствует передаточная функция
ед = <р + 7^ = хр(1 + т;5).
(4.113)
4.3. Основные законы регулирования
265
Постоянную Та называют временем предварения (КрТП = Td).
Поскольку для ПД-регулятора, как и для П-регулятора, И^(О) =
= Хр * ему присущ недостаток — статическая погрешность е„,
величина которой определяется равенством (4.99).
Структурную схему ПД-регулятора можно представить в виде
параллельного соединения статического звена нулевого порядка и
идеального дифференцирующего (рис. 4.57), формирующих две со-
ставляющих управляющего воздействия: П-составляющую и Д-со-
ставляющую.
Переходная функция ПД-регулятора:
(4.114)
Переходная характеристика ПД-регулятора (рис. 4.58) отлича-
ется от переходной характеристики П-регулятора большим измене-
нием управляющего воздействия Д« сразу же после изменения е(т),
что способствует снижению максимальной ошибки регулиро-
вания.
Наличие в ПД-регуляторе дифференциальной составляющей в
значительной степени повышает эффективность его действия.
Если ошибка регулирования описывается единичной рамповой
функцией (3.27), то рамповая переходная функция ПД-регулятора
имеет вид:
Рамповая переходная характеристика ПД-регулятора показыва-
ет положительный эффект от введения в ПД-закон регулирования
дифференциальной составляющей: сразу же Д-составляющая при-
Рис. 4.57. Структурная схема ПД-
регулятора
Рис. 4.58. Переходная характерис-
тика ПД-регулятора
266
Глава 4. Системы автоматического управления
нимает значение, равное Тл = К^Т(Г Пропорциональная составляю-
щая медленно нарастает по линейному закону
Амплитудно-частотная характеристика ПД-регулятора:
Л(т)= xJl + (7>)2. (4.117)
Фазово-частотная характеристика ПД-регулятора:
(p(<n) = arctg( Та(о). (4.118)
На рис. 4.59 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ ПД-регулятора. Из диаг-
раммы Бодё следует, что АЧХ регулятора на очень низких частотах
равна А'р, а на очень высоких частотах КразТп. На диаграмме Боде
низкочастотная асимптота является прямой линией, параллельной
оси абсцисс, а высокочастотная асимптота наклонена к оси абсцисс
под углом +45° (тангенс угла наклона равен +1), низкочастотная и
высокочастотная асимптоты сопрягаются при частоте шс — 1/Та.
ПД-регулятор вносит в систему опережение по фазе, изменяю-
щееся от 0 при низких частотах, до +л/2 рад на высоких частотах,
откуда следует, что благодаря присутствию Д-составляющей ПД-ре-
гулятор улучшает качество регулирования, уменьшая фазовое запаз-
дывание САУ в целом на +л/2 рад, как бы снижая порядок объекта
на единицу.
При увеличении времени предварения Тп АЧХ и ФЧХ сдвигают-
ся влево. Изменение коэффициента усиления Кр приводит к смеще-
нию АЧХ по вертикали. ФЧХ при этом не меняется.
Рис. 4.59. Диаграмма Б ещё ПД-регу-
лятора
Рис. 4.60. Амплитудно -фазовая частот-
ная характеристика ПД-регулятора
4.3. Основные законы регулирования 267
АФЧХ ПД-регулятора с учетом (4.117) и (4.118) представляет
собой прямую, параллельную мнимой оси и отстоящую от нее на
расстоянии Кр (рис. 4.60).
О выборе величины воздействия по производной
Величина времени предварения Тп может быть выбрана по час-
тотным характеристикам объекта управления. Допустим, что объект
состоит из нескольких последовательно соединенных элементов, пред-
ставляющих собой статические звенья первого порядка, а фазовый
сдвиг ПД-регулятора на критической частоте составляет +л/4 рад,
тогда критическая частота может быть увеличена в 1,5...3 раза. Это
соответствует шкрГп = 1, фактический коэффициент усиления при
этом равен 1,5^.
Предпочтительно, чтобы ПД-регулятор имел большие значения Кр,
поскольку это приводит к. уменьшению остаточного отклонения и
увеличивает быстродействие системы управления.
4.3.5. Пропорционально-интегрально-
дифференциальный закон регулирования
ПИД-закон регулирования включает в себя три вида управляю-
щих воздействий: пропорциональное, интегральное, дифференци-
альное:
Ли (т) = Кре (т) + j е (т) dr + Td (4.119)
6 о ат
Структурная схема ПИД-регулятора может быть представлена в
виде параллельного соединения трех звеньев: статического звена,
нулевого порядка, идеального интегрирующего звена и идеального
дифференцирующего (рис. 4.61).
Передаточная функция ПИД-регу-
лятора:
г х (4.120)
= <Р 1+^ + ГпЛ
\ 1 иJ J
Параметрами настройки ПИД-ре-
гулятора являются: К? — коэффици-
ент усиления; Ги — время изодрома;
Г„ — время предварения. Вполне оче-
Рис. 4.61. Структурная схема
ПИД-регулятора
268
Глава 4. Системы автоматического управления
видно, что ПИД-закон регулирования является наиболее совершен-
ным по сравнению с другими законами регулирования. Если время
изодрома увеличить до бесконечности (Ти —> «*), а время предваре-
ния уменьшить до нуля (Тп 0), то действие ПИД-регулятора будет
аналогично действию П-регулятора (ПИД-регулятор при Тп 0 ана-
логичен ПИ-регулятору, а при Ти ->=о аналогичен ПД-регулятору).
Переходная функция ПИД-регулятора имеет вид:
Л(т)=
1
* а
(4.121)
ИЛИ
й(т) = £р -1(т) + ^-т + А'р7п3(т).
* И
(4.122)
Рис. 4,62. Переходная харак-
теристика идеального ПИД-
регулятора
Переходная характеристика ПИД-ре-
гулятора представлена на рис. 4.62. В на-
чальный момент времени ПИД-регуля-
тор оказывает бесконечно большое воз-
действие на регулирующий орган;
довольно быстро величина управляюще-
го воздействия снижается до значения,
определяемого пропорциональной со-
ставляющей, и затем, как и в идеальном
ПИ-регуляторе, на регулирующий орган
постепенно начинает оказывать воздей-
ствие И-составляющая. Переходная харак-
теристика ПИД-регулятора отличается от
переходной характеристики ПИ-регуля-
тора наличием дельта-функции Дирака.
Амплитудно-частотная характеристика ПИД-регулятора:
1 +1 Гпш - ——
А (ш) =
(4.123)
Фазово-частотная характеристика ПИД-регулятора:
<р(ш) = arctg
(4.124)
На рис. 4.63 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ ПИД-регулятора. На
диаграмме Бодё низкочастотная асимптота является прямой лини-
ей, наклоненной к оси абсцисс под углом —45* (тангенс угла накло-
4.3. Основные законы регулирования
269
Рис. 4.63. Диаграмма Боде ПИД-регулятора: точные (Л 2а) и аппрокси-
мированные (26) ЛАЧХ и ЛФЧХ
на равен —1), на средних частотах — параллельной оси абсцисс (тан-
генс угла наклона равен 0), а высокочастотная асимптота наклонена
к оси абсцисс под углом +45° (тангенс угла наклона равен +1).
ЛФЧХ в области низких частот начинается при —п/2 рад и на
высоких частотах стремится к +л/2 рад. ЛАЧХ симметрична отно-
сительно частоты
(4.125)
при которой она имеет минимум. В этой точке ЛАЧХ касается пря-
мой линии, параллельной оси абсцисс (частот) и отстоящей от оси
абсцисс на расстоянии Х"р. Фазовый
угол на частоте (4.125) равен 0.
Замечание
Настройки ПИД-регулятора, при ко-
торых отношение Т„/Т„ < 4, применяются
редко. Это объясняется слишком большим
изменением Лр(ш) и фр(й>) вблизи частоты
<л = (Г„7’п)“0’5; т. е. система с таким регу-
лятором будет очень чувствительна к раз-
личиям между параметрами модели и па-
раметрами реальной системы регулирова-
ния (будет отсутствовать робастность).
АФЧХ ПИД-регулятора (рис. 4.64)
представляет собой прямую, парад-
270
Глава 4, Системы автоматического управления
дельную мнимой оси и отстоящую от нее на расстоянии Кр. Точке
пересечения АФЧХ с действительной осью соответствует частота
колебаний ш = ф/ТпТ„.
Замечания
Передаточные функции реальных регуляторов отличаются от рассмот-
ренных выше передаточных функций идеальных регуляторов, так как каж-
дой физической системе присуща инерционность и поэтому, например,
нельзя реализовать идеальное дифференцирующее звено. Как правило,
настройку регулятора рассчитывают исходя из передаточной функции иде-
ального регулятора, а различие между передаточными функциями реаль-
ного и идеального регуляторов учитывают с помощью некоторого допол-
нительного динамического звена, относя его к объекту управления.
На рис. 4.65 показаны переходные характеристики некоторого
объекта (О) и систем регулирования, состоящих из того же самого
объекта и регулятора, реализующего один из типовых алгоритмов
регулирования (П, И, ПИ, ПД, ПИД). Переходные характеристики
получены в ответ на ступенчатое изменение возмущающего воздей-
ствия; запас устойчивости всех систем регулирования одинаков. Наи-
большее время переходного процесса тпп и максимальная ошибка Em;w
наблюдаются в системе объект—И-регулятор, а наименьшее время
переходного процесса тП[1 — в системах объект—П-регулятор и
объект—ПД-регулятор. Для переходных процессов в системах с
П-регулятором и ПД-регулятором характерно наличие остаточного
отклонения регулируемой величины от заданного значения. Пере-
ходный процесс в системе объект—ПИ-регулятор заканчивается
позже, чем в системе объект—ПИД-регулятор. По сравнению с ПИ-
регулятором ПИД-регулятор уменьшает максимальную ошибку етах
Рис. 4.65. Переходные процессы в объекте и в системе объект—регулятор
4.3. Основные законы регулирования
271
на 25..,30 %. В системах регулирования с И-регулятором, ПИ-регу-
лятором, ПИД-регулятором отсутствует остаточное отклонение ре-
гулируемой величины от заданного значения.
4.3.6. Позиционные регуляторы
По сравнению с линейными алгоритмами (линейными закона-
ми регулирования) нелинейные алгоритмы распространены в мень-
шей степени.
Из нелинейных алгоритмов регулирования наиболее употреби-
тельны алгоритмы с релейной статической характеристикой: двухпо-
зиционный и трехпозиционный. Автоматические регуляторы, у кото-
рых при непрерывном изменении входной величины регулирующий
орган занимает ограниченное число определенных, заранее извест-
ных, положений, называются позиционными. Входной величиной
позиционного регулятора, как и выше разобранных регуляторов,
является рассогласование е между заданным узд и текущим у значе-
ниями регулируемой величины (е = уи — у), а выходной — управля-
ющее воздействие и. Такие регуляторы можно отнести к группе ре-
гуляторов дискретного действия.
4.3.6,1. Двухпозиционные регуляторы
Выходная величина двухпозиционного регулятора может прини-
мать только два значения: минимальное или максимальное. Для ра-
боты логического устройства в режиме двухпозиционного регулято-
ра требуется выходное устройство ключевого типа (электромагнит-
ное реле, транзисторная оптопара или оптосимистор), которое
используется для управления (включение-выключение) нагрузкой или
непосредственно, или через более мощные элементы, такие как пус-
катели, твердотельные реле, тиристоры или симисторы.
Замечания
I. Позиционные регуляторы иногда называют регуляторами типа «От-
крыто/Закрыто» или «Включено/Отключено».
2. Транзисторная оптопара применяется для управления низковольт-
ным реле (до 30 В). Оптосимистор включается в цепь управления мощного
симистора, может также управлять парой встречно-параллельно включен-
ных тиристоров.
Статические характеристики идеального и с зоной неоднознач-
ности двухпозиционного регулятора приведены на рис. 4.66. Допу-
стим, текущее значение у регулируемой величины меньше задан-
ного ум, т. е. е > 0, тогда выходная величина и регулятора принима-
ет максимальное значение umax. Если е < 0, то выходная величина и
272
Глава 4. Системы автоматического управления
Рис. 4.66. Статические характеристики двухпозиционного (а, б) и трехпо-
зиционного (в, г) регуляторов:
а — идеальная релейная; б — релейная с зоной неодназначности; в —
релейная с зоной нечувствительности; г — релейная с зоной нечувстви-
тельности и зоной неодназначности
принимает минимальное значение «IJljn (рис. 4.66, а). Выходная ве-
личина идеального двухпозиционного регулятора переходит от од-
ного значения к другому скачком при прохождении текущего значе-
ния регулируемой величины через заданное значение.
Таким образом, алгоритм идеального двухпозиционного регули-
рования имеет вид:
И(т) = !"гаах’ е > 0;
' и_,)п, е < 0.
L пип’
У двухпозиционного регулятора с зоной неоднозначности (с ги-
стерезисом) 2Ь выходная величина и изменяется от минимального
значения «min до максимального значения winax при
У = - Ь или е = +Ь
и от максимального значения «тахдо минимального значения игаЬ при
у = уад + b или е = -Ь.
4.3. Основные законы регулирования
273
Реальные регуляторы с увеличением входной величины у сраба-
тывают при большем пороговом значении, а при уменьшении вход-
ной величины у ~ при меньшем пороговом значении. Рассогласова-
ния между двумя пороговыми значениями определяют зону неодноз-
начности 2Ь.
Замечание
Настраиваемую зону нечувствительности в промышленных регулято-
рах называют иногда зоной возврата.
Таким образом, алгоритм двухпозиционного регулятора с зоной
неоднозначности имеет вид:
При изменении у в интервале
узя - b < у < уи + b
величина и может принимать, в зависимости от предыстории, одно
из двух значений (или или umax).
Переход с нижней ветви на верхнюю ветвь статической харак-
теристики двухпозиционного регулятора с зоной неоднозначности
(рис. 4.66, б) реализуется при следующих условиях:
е = b (т. е. у = yw -b);u = Hniin; dy/dt < О,
а переход с верхней ветви на нижнюю ветвь — при следующих
условиях:
е = -Ь (т. е. у = уи + b); и = umax; dy/dr > 0.
У двухпозиционных регуляторов, в зависимости от знака откло-
нения управляемой величины, регулирующий орган или полностью
открыт (приток вещества или энергии максимальный), или полнос-
тью закрыт (приток вещества или энергии равен нулю).
Примеры двухпозиционных устройств: электроконтактный тер-
мометр, электроконтактный манометр, пневматическое реле и др.
Рассмотрим принцип действия двухпозиционного регулятора,
настроенного на «минимум», на примере регулирования уровня
(рис. 4.67). В объект управления (резервуар) / по трубопроводу 2
подается жидкость, а по трубопроводу 10 отводится. На трубо-
проводе 2 установлен регулирующий орган (клапан) 3. Текущее
значение уровня в резервуаре определяется положением чувстви-
тельного элемента регулятора — поплавка 4, соединенного што-
ком 5 с рычагом-контактом 6. Через пружину 9 рычаг-контакт 6
274
Глава 4. Системы автоматического управления
Рис. 4.67. Схема системы регулирования уровня жидкости в резервуаре
двухпозиционным регулятором. Пояснения см., в тексте.
соединен с источником тока. Заданные значения верхнего и ниж-
него уровней определены положением передвижных упоров-кон-
тактов 7 и 8. Пусть уровень жидкости в резервуаре оказался выше
заданного (L > 1ЗЛ), тогда контакт 6 замыкает контакт 7и обмотка
Б электромагнита окажется под напряжением, сердечник 77 мгно-
венно переместится вверх и регулирующий орган закроет доступ
жидкости в резервуар. При понижении уровня жидкости в резер-
вуаре ниже заданного (L < £эл) контакт 6 замкнет контакт 8 и под
напряжением окажется обмотка А электромагнита, сердечник 11
переместится вниз, регулирующий орган откроется и жидкость
начнет поступать в резервуар.
Зона неоднозначности определяется в основном расстоянием
между контактами 7 и <?. Слишком малая величина зоны неодно-
значности вызывает частое переключение регулирующего органа из
положения «открыто» в положение «закрыто», и наоборот, что мо-
жет уменьшить надежность работы регулятора.
На рис. 4.68 изображены, установившиеся колебания выходной
величины и двухпозиционного регулятора в приращениях от за-
данного значения при аппроксимации объекта передаточной фун-
кцией вида
H/(j) = -A-exp(-T3anj).
Г J т 1
4.3. Основные законы, регулирования
275
Рис. 4.68. Переходный процесс в системе регулирования с двухпозицион-
ным регулятором
Характерной особенностью системы регулирования, в которой
присутствует двухпозиционный регулятор, является то, что регули-
руемая величина у совершает устойчивые колебания с постоянной
частотой и амплитудой.
Качество двухпозиционного регулирования характеризуется парамет-
рами автоколебаний, возникающих в системе (объект + регулятор):
амплитудой А, частотой <йкр = 2л/Гкр и смешением а0 среднего значе-
ния автоколебаний относительно заданного значения регулируемой
величины. Названные параметры автоколебаний зависят от величи-
ны запаздывания и емкости объекта, его нагрузки, величины зоны
неоднозначности регулятора и пределов изменения его выходной ве-
личины Ди = umax - umin. Чем меньше амплитуда автоколебаний Л и
смещение я0, тем выше качество регулирования. Частота автоколеба-
ний шкр при этом, не должна быть очень большой. С увеличением
зоны неоднозначности двухпозиционного регулятора качество регу-
лирования ухудшается, уменьшение зоны неоднозначности умень-
шает амплитуду и период автоколебаний. Если к точности регулиро-
вания предъявляются повышенные технологические требования, а
частота срабатывания не ограничена, рекомендуется применять регу-
ляторы с возможно меньшей зоной неоднозначности.
Область применения двухпозиционного регулятора: для регулиро-
вания технологических, параметров в инерционных объектах с боль-
шой емкостью и малым запаздыванием, когда не требуется особой
точности; для сигнализации о выходе контролируемой величины за
заданные границы.
276
Глава 4. Системы автоматического управления
4.3.6.2. Трехпозиционные регуляторы
У трехпозиционных регуляторов помимо двух крайних положе-
ний (открыто и закрыто) регулирующий орган имеет еще одно —
промежуточное (среднее) положение, что способствует более плав-
ному изменению регулируемой величины и сокращению числа сра-
батываний регулирующего органа в единицу времени.
Алгоритм' трехпозиционного регулирования имеет вид:
^max 1 ® > ’
^min — ” ®пмх ’
U -
ит!п ’ Е £min
Трехпозиционный регулятор срабатывает при двух пороговых
значениях enlin и emas.. Если регулируемая величина находится между
этими значениями, а именно в пределах зоны нечувствительности,
которую можно определить как Emax — Emjn выходная величина прини-
мает значение 0. При выходе из зоны нечувствительности за порого-
вые значения ею]я или ЕП1ах выходная величина трехпозиционного ре-
гулятора и мгновенно (скачкообразно) перемещается, в положение wmjn
или положение wmax. Статические характеристики трехпозиционных
регуляторов, как и двухпозиционных, могут иметь зону неоднознач-
ности (см. рис. 4.66). Преимущество трехпозиционного регулирова-
ния перед двухпозиционным: возможность прекращения автоколе-
бательного процесса и достижение равновесного состояния, если
регулируемая величина находится в пределах зоны нечувствитель-
ности, т. е. если соблюдается неравенство
4.3.7. Регуляторы с прогнозирующей моделью
Идея улучшения динамики САУ с помощью регуляторов данно-
го типа заключается в оперативной идентификации модели объекта
управления в регуляторе. Такие возможности реализуются в систе-
мах управления многосвязными объектами.
Замечание
Автоматические регуляторы с прогнозирующей моделью — важное
направление в области алгоритмов управления. Регуляторы с прогнозиру-
ющей моделью — это общее название разных алгоритмических схем регу-
ляторов с моделью в контуре управления (Model Predictive Control — MFC).
Попробуем проиллюстрировать общий принцип работы регуля-
торов с прогнозирующей моделью упрощенной схемой (рис. 4.69).
4.3. Основные законы регулирования
277
Рис. 4.69. Упрощенная струк-
турная схема системы регу-
лирования с прогнозирую-
щей моделью;
ОУ — объект управления; М —
модель объекта; БУ — блок уп-
равления
В этой схеме модель (М) включают параллельно объекту управ-
ления (ОУ). Разность между сигналами выходов объекта управления
у и модели ум зависит от возмущающих воздействий d, действующих
на объект управления, и от неточностей моделирования. Если модель
полностью соответствует объекту управления, то сигнал (у — ум) пред-
ставляет собой оценку возмущающих воздействий, приведенных к
выходу объекта. Блок управления (БУ), вырабатывающий управля-
ющие воздействия и, в этом случае работает как компенсатор возму-
щающих воздействий. Естественно, что в процессе моделирования
возможны ошибки, и тогда управляющее воздействие должно обес-
печить соответствие между выходом объекта у и заданным, значени-
ем узл как при действии возмущающих воздействий, так и наличии
неточной математической модели.
В состав регулятора входят собственно управляющее устройство,
модель, элемент сравнения сигналов объекта управления и модели.
На рис. 4.70 представлено развитие схемы регулятора с прогнози-
рующей моделью.
Блок управления (БУ) на рис. 4.70 видоизменился по сравнению
с рис. 4.69: теперь он представлен схемой «модель 1» (МI) объекта
управления—алгоритм управления (АУ). Модель 1 может отличать-
ся (например, учитывать транспортное запаздывание в объекте) от
основной модели М, при этом контур управления АУ—Ml выраба-
тывает управляющее воздействие, как функции времени. Фильтр (Ф)
обеспечивает робастность системы.
Рис. 4.70. Структурная
схема системы регулиро-
вания с прогнозирую-
щей моделью (в разви-
тии):
АУ — алгоритм управления;
Ml — «модель 1»; Ф —
фильтр
278
Глава 4. Системы автоматического управления
Именно выбор блоков схемы Ml и АУ, способы их взаимодей-
ствия между собой должны привести к реальному алгоритму управ-
ления с прогнозирующей моделью. При постановке задачи управле-
ния, обеспечивающей работу регулятора, необходимо учитывать ог-
раничения разного рода: на выходные переменные объекта, на
положение регулирующего органа.
В системах управления с регуляторами с прогнозирующей моде-
лью очень важно правильно выполнить идентификацию объекта.
Модель объекта можно получить любым традиционным способом:
аналитическим, экспериментальным, экспериментально-аналитичес-
ким (см. разд. 4.1).
В алгоритме управления (см. рис. 4.70) применяют вычислитель-
ные схемы решения задач оптимального и субоптимального управ-
ления. Основными параметрами настройки в регуляторах с прогно-
зом являются: гор