Author: Иродов И.Е.  

Tags: общая механика   механика твердых и жидких тел   механика   физика   механика деформируемых тел   механика жидкостей и газа   физические законы  

ISBN: 978-5-9963-0063-1

Year: 2010

Similar

Физические принципы квантовой теории

Численные методы в задачах дифракции

Физико-химическая и релятивистская газодинамика: сборник статей

Основы теории автоматического управления. Часть 3. Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы

Text 
                    
ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

И.Е.Иродов

МЕХАНИКА
основные
законы

10-Е ИЗДАНИЕ

Рекомендовано

учебно-методическимобъединением
в области «Ядерные физика и технологии»

в качестве учебного пособия
для студентов физических специальностей

высших учебных заведений

Москва

БИНОМ. Лаборатория знаний

2010

m


"УДК
ББК

531
22.2
И83

Иродов и. Е.

И83

Механика. Основные законы
изд.

309

-

М.:

с.: ил.

-

БИНОМ.

/

И. Е. Иродов

Лаборатория

знаний,

- 10-е
2010. -

(Технический университет. Общая физика).

ISBN 978-5-9963-0063-1
в

книге

рассмотрены

основные

законы

как

(ньютоновской), так и релятивистской механики

-

нерелятивистской

законы движения

и законы сохранения импульса, энергии и момента импульса. На

большом количестве примеров и задач показано, как следует приме­
нять

эти

законы

при

решении

различных

конкретных

вопросов.

Для студентов физических специальностей вузов.

УДК
ББК

531
22.2

По вопросам приобретения обращаться:
«ВИНОМ. Лаборатория знаний.

(499) 157-52-72, e-таН: binom@Lbz.ru
http://www.Lbz.ru

ISBN 978-5-9963-0063-1

© БИНОМ.

Лаборатория знаний,

2010

m


Содержание

Предисловие.

5
6
7

Система обозначений

Введение

.

Глава

1. ОСНОВЫ кинематики.
§ 1.1. Кинематика точки .
§ 1.2. Кинематика твердого тела.
§ 1.3. Преобразование скорости и

9
9
16
ускорения

при переходе к другой системе отсчета.
Задачи.
Глава

§
§
§
§
§

2. Основное уравнение динамики
2.1. Инерциальные системы отсчета .
2.2. Основные законы ньютоновской динамики.
2.3. Силы.
2.4. Основное уравнение динамики .
2.5. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции.

Задачи.

Глава

§
§
§
§
§

3. Закон сохранения импульса
3.1. О законах сохранения
3.2. Импульс системы .
3.3. Закон сохранения импульса .
3.4. Центр масс. Ц-система .
3.5. Движение тела переменной массы.

Задачи.
Глава

4. Закон сохранения энергии .
§ 4.1. Работа и мощность
§ 4.2. Консервативные силы. Потенциальная энергия.
§ 4.3. Механическая энергия частицы в поле
§ 4.4. Потенциальная энергия системы.
§ 4.5. Закон сохранения механической энергии системы
§ 4.6. Столкновение двух частиц .
§ 4.7. Механика несжимаемой жидкости
Задачи .
Глава 5. Закон сохранения момента импульса
§ 5.1. Момент импульса частицы. Момент силы
§ 5.2. Закон сохранения момента импульса .
§ 5.3. Собственный момент импульса.
§ 5.4. Динамика твердого тела .
Задачи .

24
28
36
36
40
45
48
51
57
68
68
70
73
77
82
85
93
93
98
108
112
117
126
136
143
157
157
163
169
173
189

m


Содержание

4
Глава

6. Колебания.
§ 6.1. Гармонические колебания
§ 6.2. Сложение гармонических колебаний
§ 6.3. Затухающие колебания
§ 6.4. Вынужденные колебания .
Задачи .
Глава 7. Кинематика специальной теории
относительности .
§ 7.1. Трудности дорелятивистской физики
§ 7.2. Постулаты Эйнштейна.
§ 7.3. Замедление времени и сокращение длины
§ 7.4. Преобразования Лоренца.
§ 7.5. Следствия из преобразований Лоренца.
Задачи .
Глава 8. Релятивистская динамика.
§ 8.1. Релятивистский импульс.
§ 8.2. Основное уравнение релятивистской динамики.
§ 8.3. Закон взаимосвязи массы и энергии
§ 8.4. Связь между энергией и импульсом частицы .
§ 8.5. Система релятивистских частиц .
Задачи .
Приложения

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

Движение точки в полярных координатах.
О задаче Кеплера

.

Доказательство теоремы Штейнера.
Греческий алфавит
Основные единицы СИ в механике
Формулы алгебры и тригонометрии
Таблица производных и интегралов

.
.

Некоторые сведения о векторах.

224
224
229
233
243
247
255
262
262
266
269
273
277
285
293
293
295
297
298
298
299
299
300

Единицы механических величин в системах СИ
и СГС

10.
11.
12.
13.

200
200
207
211
214
218

Десятичные приставки к названиям единиц.
Некоторые внесистемные единицы
Астрономические величины.

Физические постоянные

Предметный указатель.

.

.

301
302
302
303
303
304

m


ПреДИСlIовие

....

Цель этой книги

-

сосредоточить внимание на основных законах

механики (законах движения и законах сохранения импульса, энер­
гии и момента импульса), а также показать, как следует применять
эти законы при решении различных конкретных задач. При этом ав­
тор стремился помочь студентам, приступившим к изучению физики,

начать вырабатывать в себе необходимую для будущего специалиста
культуру физического мышления, а также определенную смелость в

самостоятельном подходе к решению проблемных задач.
Книга содержит две части: ньютоновская механика
релятивистская механика

(7-8

(1-6

главы);

главы). В первой части законы механи­

ки рассматриваются в ньютоновском приближении, т. е. при скоро­
стях движения, значительно меньших скорости света, во второй
при

скоростях,

сравнимых

со

скоростью

-

света.

В каждой главе сначала излагается теория соответствующего во­

проса, а затем на ряде наиболее поучительных и интересных в физиче­
ском отношении

примеров и

задач показывается,

дить к их решению. Задачи (их около

90)

как следует подхо­

тесно связаны с основным

текстом, часто являются его развитием и дополнением, поэтому работа
над

ними

не

менее

важна,

чем

изучение

основного

текста.

Курсивом выделены важнейшие положения и термины. Петит ис­
пользуется для примеров и задач, а также для материала повышенной
трудности (этот материал при первом чтении можно безболезненно
опустить).
В настоящем издании сделаны некоторые изменения чисто техни­

ческого характера, внесены небольшие дополнения и уточнения,
также

исправлены

замеченные

а

опечатки.

Книга как учебное пособие рассчитана в основном на студентов
первых курсов вузов с расширенной программой по курсу общей фи­
зиKи. Она может быть полезной и студентам старших курсов, а также
преподавателям

вузов.

и. Иродов

m


Система обозначений
Векторы обозначены жирным прямым шрифтом (например г,
же буква светлым шрифтом
Орты

е<р,

п, "t -

та

означает модуль вектора.

единичные векторы:

i, j, k ер,

(r, F)

F);

орты декартовых координат х, у, г;

ez -

орты

цилиндрических

координат

р,

<р,

г;

орты нормали и касательной к траектории.

Средние величины заключены в угловые скобки

( ),

например (V),

<Н).

Символы А,
А

-

d, 8

перед величинами означают:

приращение величины, т. е. разность между ее конечным и на­

чальным значениями, например Аг

-

А

- г1 , АU

= И2

-

U1 ;

убыль величины, т. е. разность между ее начальным и конеч­

-

ным значениями, например -Аг

= гl

дифференциал, например

d 8-

= Г2
-

Г2' -АU

= U1

-

U2;

dr, dU;

элементарное значение величины, например 8А

-

элементар-

ная работа;
00

- -

-

знак пропорциональности, например Е 00 а 2 ;
величина порядка ... , например l - 10-4 м.

Производная по времени от произвольной

функции обозначена

df/dt или точкой над функцией (i).
Системы отсчета обозначены курсивными буквами К, К', ц.
Ц-система
жущаяся

-

это система отсчета, связанная с центром масс и дви­

поступательно

по

отношению

к

инерциальным

системам

(ее же называют системой центра инерции). Все величины в Ц -систе­

ме отмечены сверху значком - (тильда), например р, Е.

m


Введение

Механика

-

это раздел физики, в котором изучается движение

тел в пространстве и времени. Тот факт, что механические явле­
ния протекают в пространстве и времени, находит свое отражение

в любом механическом законе, содержащем явно или неявно про­
странственно-временные соотношения
ки

-

расстояния и промежут­

времени.

Положение тела в пространстве может быть определено только
по отношению к каким-либо другим телам. Это же относится и к
движению тела,

т.

е.

к изменению его положения с течением вре­

мени. Тело (или система неподвижных друг относительно друга
тел), которое служит для определения положения интересующего
нас

тела,

называют

телом

отсчета.

Практически для описания движения с телом отсчета связыва­

ют какую-нибудь систему координат, например декартову. Коор­
динаты тела позволяют установить его положение в пространстве.

Так как движение происходит не только в пространстве, но и во

времени, то для описания движения необходимо отсчитывать так­
же и время. Это делается с помощью часов того или иного типа.

Совокупность тела отсчета и связанных с ним координат и син­
хронизированных между собой часов образует систему отсчета.
Понятие системы отсчета является фундаментальным в физике.
Пространственно-временное описание движения при помощи рас­

стояний и промежутков времени возможно только тогда, когда вы­
брана определенная система отсчета.
Пространство и время сами являются физическими объектами,

как и любые другие, однако неизмеримо более важными и сущест­
венными. Чтобы изучить свойства пространства и времени, нужно
наблюдать движение тел, которые в них находятся. Исследуя ха­
рактер движения тел, мы тем самым познаем и свойства простран­
ства

и

времени.

Опыт показывает, что, пока скорости тел малы по сравнению со
скоростью света, линейные масштабы и промежутки времени оста­
ются неизменными при переходе от одной системы отсчета к дру­
гой, т. е. не зависят от выбора системы отсчета. Это нашло свое вы­
ражение в ньютоновской концепции абсолютности пространства и
времени. Механику, изучающую движения тел именно в этих слу­
чаях, называют ньютоновской.

m


Введение

8

При переходе же к скоростям, сравнимым со скоростью света,

обнаруживается, что характер движения тел радикально меняет­
ся. При этом линейные масштабы и промежутки времени уже за­
висят от выбора системы отсчета и в разных системах отсчета бу­
дут разными. Механику, основанную на этих представлениях, на­

зывают

релятивистской.

Естественно,

что

релятивистская

механика является более общей и в частном случае малых скоро­
стей переходит в ньютоновскую.
Реальные движения тел настолько сложны, что, изучая их, не­

обходимо отвлечься от несущественных для рассматриваемого дви­
жения деталей (в противном случае задача так усложнилась бы,
что решить ее практически было бы невозможно). С этой целью ис­
пользуют понятия (абстракции, идеализации), применимость ко­
торых зависит от конкретного характера интересующей нас зада­
чи, а также от той степени точности, с которой мы хотим получить
результат. Среди этих понятий большую роль играют понятия ма­

териальной точки и абсолютно твердого тела.
М атериальная точка

-

это тело, размерами которого в усло­

виях данной задачи можно пренебречь. Ясно, что одно и то же тело
в одних случаях можно рассматривать как материальную точку, в
других

же

-

как

протяженное

тело.

Абсолютно твердое тело, или, короче, твердое тело,
стема материальных точек,

-

это си­

расстояния между которыми не меня­

ются в процессе движения. Реальное тело можно считать абсолют­
но твердым, если в условиях рассматриваемой задачи его деформа­
ции пренебрежимо малы.

Механика ставит перед собой две основные задачи:

1.

Изучение различных движений и обобщение полученных ре­

зультатов в виде законов движения

-

законов,

с помощью кото­

рых может быть предсказан характер движения в каждом конк­
ретном

2.

случае.

Отыскание общих механических свойств, т. е. общих теорем

или принципов, присущих любой системе, независимо от конкрет­
ного рода взаимодействий между телами системы.
Решение первой задачи привело к установлению Ньютоном и

Эйнштейном так называемых динамических законов, решение же
второй задачи

-

к обнаружению законов сохранения таких фунда­

ментальных величин, как энергия, импульс и момент импульса.

Динамические законы и законы сохранения энергии, импульса

и момента импульса представляют собой основные законы механи­
ки. Изучение их и составляет содержание этой книги.

m


rllaBa 1
ОСНОВЫ кинематики

....

Кинематика

-

это раздел механики, где изучаются способы

описания движений независимо от причин, обусловливающих
эти движения. В этой главе рассмотрены три вопроса: кинемати­
ка точки, кинематика твердого тела, преобразование скорости и
ускорения при переходе от одной системы отсчета к другой.

§ 1.1.

Кинематика точки

Существует три способа описания движения точки: вектор­
ный, координатный и естественный. Рассмотрим их последова­
тельно.

Векторный способ
В этом способе положение интересующей нас точки А задают
радиусом-вектором

r,

проведенным из некоторой неподвижной

точки О выбранной системы отсчета в точку А. При движении
точки А ее радиус-вектор меняется в общем случае как по модулю,

так

времени

t.

и по

направлению,

т.

е.

радиус-вектор

r

зависит от

Геометрическое место концов радиуса-вектора

r

на­

зывают траекторией точки А.
Введем

понятие

скорости

Пусть за промежуток времени

А переместилась из точки
(рис.

1.1).

1

точки.

I1t

1

точка

в точку

2

Из рисунка видно, что век­

тор nеремещения

I1r

точки А представ­

О

ляет собой приращение радиуса -векто­

ра

r

за время

I1t: I1r = r2 - rl.

Рис.

Отноше­

1.1

ние

I1r / I1t называют средним вектором скорости <v> за время
I1t. Вектор <v> совпадает по направлению с I1r.
Определим вектор скорости
ни как предел отношения

v

точки в данный момент време­

I1r / I1t
.

при

I1r

dr

I1t

dt

I1t

v=llffi-=-.
Ы~O

~ О, т. е.

(1.1)

m


Глава

10
Это значит, что вектор скорости

v

1

точки в данный момент вре­

мени равен производной от радиуса-вектора

r

по времени и на­

правлен по касательной к траектории в данной точке в сторону

движения точки А (как и вектор dr). Модуль вектора v равен*

v =Ivl =Idr/dtl .
Движение точки характеризуется также ускорением. Вектор
ускорения

точки

со

а определяет

скорость

изменения

вектора

скорости

временем:

а =

dv/dt,

(1.2)

т. е. равен производной от вектора скорости по времени. На­

правление вектора а совпадает с направлением вектора
приращением вектора
ляется

аналогично

v

за время

модулю

dt.

вектора

Модуль вектора а опреде­
у.

Пример. Радиус-вектор точки зависит от времени

где А и В
рение

v

а

-

dv -

t по закону

постоянные векторы. Найдем скорость

v

и уско­

точки:

= dr / dt = А + Bt,

а

= dv / dt = В = const.

]dодуль вектора скорости

V

Таким образом,
рость

v

= -vг2
v- = . JА2 + 2 ABt + В 22
t
зная зависимость

r(t),

.
можно найти ско­

и ускорение а точки в каждый момент времени.

Возникает и обратная задача: можно ли найти
зная зависимость от времени ускорения

v(t)

и

r(t),

a(t)?

Оказывается, для получения однозначного решения этой за­
дачи

одной

зависимости

знать начальные условuя,

тор

*

ro

a(t)

недостаточно,

а именно скорость

необходимо

vо

точки в некоторый начальный момент

t

еще

и радиус-век­

=

о. Чтобы в

Заметим, что в общем случае
V

'* dr / dt.

Idrl '* dr, где r - модуль радиуса-вектора r и
r меняется только по направлению (точка движет­
const, dr = О, но Idrl '* о.

Например, если

ся по окружности), то r

=

m


Основы кинематики

11

этом убедиться, рассмотрим простейший случай, когда в про­
цессе движения ускорение точки а =

Сначала определим скорость точки

промежуток

dv

=

до

t,

adt.

времени

const.
v(t). Согласно (1.2),

за

элементарное приращение скорости

dt

Проинтегрировав это выражение по времени от

t

=

О

найдем приращение вектора скорости за это время:

t

f

Д v = adt = at.
о

Но величина дv
найти

v,

это еще не искомая скорость

-

необходимо знать скорость

времени. Тогда

v = Vo

+ дv,

vо

в начальный момент

или

v = Vo

+ at.

Аналогично решается вопрос и о радиусе-векторе

Согласно

за промежуток времени

(1.1),

v. Чтобы

dt

r (t)

точки.

элементарное прира­

vdt. Интегрируя это выражение с
учетом найденной зависимости v(t), определим приращение ра­
диуса-вектора за время от t = О до t:
щение радиуса-вектора

dr

=

t

f

дr

= v( t )dt = v о t + at 2/2 .
о

Для нахождения самого радиуса-вектора
знать еще положение точки

Тогда

r = ro + дr,

ro

r (t)

необходимо

в начальный момент времени.

или

r=ro +v ot+at 2 /2.
Рассмотрим,
некоторым

углом

льной скоростью
камень

например, движение камня, брошенного под

=

g,

горизонту

vo.

движется

рением а

к

с

нача-

Если считать, что

постоянным

gtj2

--

уско­

то его положение отно­

сительно точки бросания
деляется

с

(ro

= О) опре­

радиусом-вектором

о

2

r=vot+gt /2,

Рис.

т. е. в данном случае

r

1.2

представляет собой сумму двух векто-

ров, что показано на рис.

1.2.

m


Глава

12

Итак, для полного решения задачи о движении точки
определения ее скорости

мени

и положения

r

недостаточно знать зависимость

-

мо знать и

ro

v

начальные условия,

т.

е.

1

-

в зависимости от вре­

a(t),

но еще необходи­

скорость

Vo

и положение

точки в начальный момент времени.

В заключение напомним, что в СИ единицами длины, скоро­
сти и ускорения являются соответственно .метр (м), .метр на

секунду (м/с) и .метр на секунду в квадрате (м/с 2 ).
Координатный способ
В этом способе с выбранным телом отсчета жестко связыва­
ют определенную систему координат (декартову, косоугольную
или криволинейную). Выбор той или иной системы координат
определяется рядом соображений: характером или симметрией
задачи, постановкой вопроса, а также стремлением упростить

само решение. Ограничимся здесь * декартовой системой коор­
динат

х,

у,

г.

Запишем проекции на оси Х, У,

Z

радиуса-вектора

r (t),

ха­

рактеризующего положение интересующей нас точки относите­

льно начала координат О в момент

х =

x(t);

У =

y(t);

t:
z = z (t).

Зная зависимость этих координат от времени

-

закон дви­

жения точки, можно найти положение точки в каждый момент

времени, ее скорость и ускорение. Действительно, спроециро­
вав

(1.1)

и

(1.2),

например, на ось Х, получим формулы, опре­

деляющие проекции векторов скорости и ускорения на эту ось:

v х = dx/dt,
где

dx -

проекция вектора перемещения

(1.3)

dr

на ось Х;

(1.4)
где

dv х -

проекция вектора приращения скорости

dv

на ось х.

Аналогичные соотношения получаются для у- и z-проекций со-

*

в приложении

1

рассмотрено движение точки в полярных координатах.

m


Основы кинематики

13

ответствующих векторов. Из этих формул видно, что проекции
векторов скорости и ускорения равны соответственно первой и
второй производным координат по времени.

Таким образом,

зависимости

по существу,

x(t), y(t), z(t),

полностью определяют движение точки. Зная их, можно найти
не только положение точки, но и проекции ее скорости и уско­
рения, а следовательно, модуль и направление векторов

v

и а в

любой момент времени. Например, модуль вектора скорости

I

2

2

2

V ='\jV x +V y +V z '
направление же вектора

v

задается направляющими косинуса­

ми по формулам

cos у

cos а =V X /V,
где а, р, у

-

углы меду вектором

v

=

Vz /V,

и осями Х, У,

Z

соответст­

венно. Аналогичными формулами определяются модуль и на­
правление

вектора

ускорения.

Кроме того, можно решить и ряд других вопросов: найти
траекторию точки, зависимость пройденного ею пути от време­
ни,

зависимость

скорости

от

Решение обратной задачи

положения

-

точки

и

пр.

нахождение скорости и закона

движения точки по заданному ускорению

-

проводится, как и

в векторном способе, путем интегрирования (в данном случае
проекций ускорения по времени), причем задача и здесь имеет
однозначное решение,

если кроме ускорения заданы еще и на­

чальные условия: проекции скорости и координаты точки в на­

чальный момент.

«( Естественный»

способ

Этот способ при меняют тогда, когда траектория точки изве­

стна заранее. Положение точки А определяют дуговой коорди­
натой

1-

расстоянием вдоль траектории от выбранного нача­

ла отсчета О (рис.

1.3).

При этом произвольно устанавливают

положительное направление отсчета координаты

1

(например,

так, как показано стрелкой на рисунке).
Движение точки определено, если известны ее траектория,

начало отсчета О, положительное направление отсчета дуговой
координаты

1и

закон движения точки, т. е. зависимость

l(t).

m


Глава

14
С1(,орость то"ч'1(,U. Введем единичный вектор

1

связанный с

't',

движущейся точкой А и направленный по касательной к траек­
тории в сторону возрастания дуговой координаты

о

(рис.

1.3).

о
Рис.

Рис.

1.3

Очевидно, ЧТО't'
тор скорости
рии,

l

поэтому

v

-

1.4

переменный вектор: он зависит от

l.

Век­

точки А направлен по касательной к траекто­

его

можно

представить

I

v

=и,~,

так:

I

(1.5)

где

v't = dl/dt - проекция вектора v на направление вектора 't',
причем V't величина алгебраическая. Кроме того,
IV'tI=lvl=v.
УС1(,ореnие то"ч'1(,U. Продифференцируем

dv

dv't

dt

dt

a=-=--'t'+V

(1.5)

по времени:

d't'

(1.6)

-.

't dt

Затем преобразуем второе слагаемое этого выражения:

V

d't'

-

't dt

=и

d't' dl

--

't dt dt

=и

2

d't'

-

't dl

Определим приращение вектора

=и

2

d't'

(1.7)

-.

dl

't' на участке dl (рис. 1.4).

Можно строго показать, что при стремлении точки

2

к точке

1

отрезок траектории между ними стремится к дуге окружности с

центром в некоторой точке о. Эту точку называют центром кри­
визны траектории в данной точке, а радиус р соответствующей

окружности

-

радиусом кривизны траектории в той же точке.

m


Основы кинематики

15

Как видно из рис. 1.4, угол Ба = Idll/p = 1&'(1/1, откуда

1&t/dll
причем при

dl

~ О d't'..l 't'. Введя единичный вектор и нормали

к траектории в точке
пишем

= 1/р,

последнее

1,

направленный к центру кривизны, за­

равенство

в

векторном

d't'/dl =
Подставим

(1.8)

в

виде:

и/р.

(1.8)

и полученное выражение в

(1.7)

(1.6).

В результате найдем

а

dv't

=--'t'

v2

(1.9)

+-и.

р

dt

Здесь первое слагаемое называют тангенциальны,м ускоре­
ние,м, второе

-

нор,мальны,м ускорение,м. Таким образом, пол­

ное ускорение а точки может быть представлено как векторная
сумма тангенциального и нормального ускорений.

Проекции вектора а на орты 't' и И, как видно из

а. =

(1.9),

dV't/dt,

равны

(1.10)

]dодуль полного ускорения точки

где

.

V -

производная

модуля

скорости

по

времени.

Пример. Точка А движется по дуге радиу­
сом р (рис.

1.5).

висит от дуговой координаты

по закону v

= k.Jl, где k -

l
по­

стоянная. Найдем угол а между
векторами

скорости

полного

точки

координаты

l.

А

Ее скорость за­

ускорения

как

и

функцию

,,

a-r

V

,,

р,

1

',1

~O

Рис.

1.5

m


Глава

16
Из рис.

tg

а

=

1.5

видно, что угол а можно определить по формуле

а n / а 't. Найдем а n И

в нашем случае

а

't

= V 2/ р = k 2 l / р.

v't

= v,

поэтому тангенциальное ускорение

dv

dv dl
dl dt

tg

dv
dl

=-=--=-v.
dt

а
в результате

a't. Нормальное ускорение

аn

Учитывая зависимость

§ 1.2.

1

а

't

=

v

от

l,

получим

k2
hk.Jl = - .
2vl
2
k

= 2l / р.

Кинематика твердого тела

Теория движения твердого тела помимо самостоятельного

значения играет важную роль еще и в другом отношении. С
твердым телом, как известно, может быть связана система от­
счета,

служащая

для

пространственно-временного

описания

различных движений. Поэтому изучение характера движения
твердых тел равносильно, по существу, изучению движений со­
ответствующих систем отсчета. Результаты, которые мы полу­

чим в этом параграфе, будут неоднократно использоваться в да­
льнейшем.
Различают пять видов движения твердого тела:

2)

льное,
ние,

4)

вращение вокруг неподвижной оси,

движение вокруг неподвижной точки

1)

поступате­

3) плоское движе­
и 5) свободное дви­

жение. Первые два движения (поступательное и вращение вокруг
неподвижной оси) являются основными движениями твердого

тела.

Остальные

виды

движения

твердого

тела,

оказывается,

можно свести к одному из основных движений или к их совокуп­

ности (это будет показано на примере плоского движения).
В данном параграфе рассмотрены первые три вида движе­
ния и вопрос сложения угловых скоростей.

Поступательное движение
Это такое движение твердого тела, при котором любая пря­
мая, связанная с телом, все время остается параллельной свое-

m


Основы кинематики

17

му начальному положению, например вагон, движущийся по

прямому участку пути; кабина колеса обозрения и др.
При поступательном движении все точки твердого тела со­
вершают за один и тот же промежуток времени равные переме­

щения. Поэтому скорости и ускорения всех точек тела в дан­

ный момент времени одинаковы. Это обстоятельство позволяет
свести

изучение

поступательного

движения

твердого

тела

к

изучению движения отдельной точки тела, т. е. к задаче кине­
матики

точки.

Таким образом, поступательное движение твердого тела мо­
жет быть полностью описано, если известны зависимость от
времени радиуса-вектора

r(t)

любой точки этого тела и положе­

ние последнего в начальный момент.

Вращение вокруг неподвижной оси
Пусть твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной в данной

системе отсчета оси

00',

совершило за время

dt

бесконечно ма­

лый поворот. Соответствующий угол поворота будем характе­

ризовать вектором

направление

d(f),

модуль которого равен углу поворота, а

совпадает

с

осью

00',

причем так, что направление поворота

отвечает

nравuлу

правого

винта

по

отношению к направлению вектора

о'

dq>

d(f)

__r"d<p

. . . <"-

1.6).

(рис.

~

--

...... ......

......

Теперь найдем элементарное пере­
мещение любой точки А твердого тела
при таком повороте. Положение точ­
ки А

зададим

r,

радиусом-вектором

проведенным из некоторой точки О на
оси вращения.
мещение

(рис.

1.6)

Тогда линейное пере­

конца

радиуса-вектора

связано с углом поворота

r
d<p

о
Рис.

1.6

соотношением

Idrl
или

в

векторном

= r

sin Э d<p ,

виде

dr

= [d(f),

r].

(1.11)

m


Глава

18

1

Отметим, что это равенство справедливо лишь для бесконеч­

но малого поворота
малые

повороты

Другими словами, только бесконечно

dcp.

можно

рассматривать

Кроме того, введенный нами вектор
ному

свойству

векторов

-

как

dcp

векторному

*

векторы.

удовлетворяет основ­
сложению.

В

самом

деле, пусть твердое тело совершает два элементарных поворота

dCPl

и

вокруг разных осей, проходящих через неподвижную

dCP2

точку о. Тогда результирующее перемещение

dr

произвольной

точки А тела, радиус-вектор которой относительно точки О ра­
вен

r,

можно

представить

так:

где

(1.12)
т. е. два данных поворота

и

вороту на угол

вокруг оси, совпадающей с век­

тором

dcp

dcp

=

(dCPl
dCPl + dCP2

dCP2)

эквивалентны одному по­

и проходя щей через точку о.

Заметим, что при рассмотрении таких величин, как ради­
ус-вектор

r,

скорость

v,

ускорение а, не возникал вопрос о выбо­

ре их направления: оно вытекало естественным образом из при­
роды самих величин. Подобные векторы называют полярными.

В отличие от них векторы типа
вают

с

направлением

Введем

векторы

dcp,

вращения,

угловой

Вектор угловой скорости

I

w
fI)

=

направление которых связы­

называют

скорости

аксиальными.

и углового ускорения.

определяют как

(1.13)

dq>/dt,

где

dt - промежуток времени, за который тело совершает по­
ворот dcp. Вектор w совпадает по направлению с вектором dcp и
представляет собой аксиальный вектор.

*

Как следует из рис.

1.6,

для конечного поворота на угол ~<p линейное переме­

щение точки А

I ~r I = r sin~ . 2 sin (~<p/2).
Отсюда сразу видно, что перемещение ~r нельзя представить как векторное

произведение векторов ~<p и

поворота

d<p,

r.

Это возможно лишь в случае бесконечно малого

в пределах которого радиус-вектор

r

можно считать неизменным.

m


Основы кинематики

19

Изменение вектора

w

со временем характеризуют вектором

углового ускорения р:

dЮ/dt·1

I f3 =

(1.14)

Направление вектора р совпадает с направлением

при­

dw -

ращения вектора ш. Вектор р, как и ш, является аксиальным.
Единицей угловой скорости в СИ является радиан в секунду
(рад/с), а единицей углового ускорения

-

радиан на секунду в

квадрате (рад/с 2 ).
Представление угловой

скорости

и углового

ускорения

в

виде векторов оказывается чрезвычайно плодотворным, особен­
но при изучении более сложных движений твердого тела. Это
дает возможность во многих случаях получить большую на­
глядность, а также резко упростить как анализ движения,
и

соответствующие

так

расчеты.

Запишем выражения для угловой скорости И углового уско­
рения и проекциях на ось вращения

положительное направ­

Z,

ление которой свяжем с положительным направлением отсчета
координаты

(рис.

1.7).

<р

-

угла

поворота

Тогда проекции ОО z и

f3z

-

правилом

векторов

w

правого

и р на ось

винта

опре­

Z

деляются формулами

ОО z =

(1.15)

d<p/dt,

(1.16)
Здесь ОО z и

f3z -

величины алгебраические. Их знак характе­

ризует направление соответствующего вектора. Например, если

ОО z

> О,

то направление вектора

направлением оси

Z;

если же ОО z

w

совпадает с положительным

< О,

то направление вектора

w

противоположно. Аналогично и для углового ускорения.
Таким образом, зная зависимость <р
вращения тела, по формулам

(1.15)

найти

угловое

угловую

скорость

И

и

закон

(t) -

(1.16)

можно

ускорение

в

каждый момент времени. И наоборот, если известны

зависимость

начальные

угол <Ро

найти

углового

условия,

т.

е.

ускорения
угловая

от

времени

скорость

000

и
и

Рис.

1.7

в начальный момент времени, то можно

w(t)

и <р

(t).

m


Глава

20

1

Пример. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
<р
at - bt 2 /2, где а и Ь - некоторые положительные посто-

=

янные. Найдем характер движения этого тела.

Согласно

(1.15)

и

(1.16),

= а - bt; f3z = -Ь = const.

Шz

(f3z < О) ,

Отсюда видно, что тело, вращаясь равнозамедленно
останавливается в момент

to

= а/Ь,

а затем направление вра­

щения (знак Ш z ) изменяется на противоположное.

Отметим, что решение всех задач на вращение твердого тела
вокруг неподвижной оси аналогично по форме задачам на пря­
молинейное движение точки. Достаточно заменить линейные

величины Х, V х И ах на соответствующие угловые <р,
мы

получим

щегося

все

закономерности

и

соотношения

и

roz

для

Pz'

и

вращаю­

тела.

Связь между линейными и угловыми величинами
Найдем скорость

v

произвольной точки А твердого тела, вра­

щающегося вокруг неподвижной оси

00'

с угловой скоростью (О.

Пусть положение точки А относительно некоторой точки О оси
вращения характеризуется радиусом-вектором
пользуемся формулой
промежуток времени

(1.11),
dt. Так

Iv
о'

(рис.

1.8).

Вос­

поделив ее на соответствующий
как

dr/dt

=

v

и

d<p/dt

= (о, то

~ [юr], I

т. е. скорость
ш

r

v

(1.17)
любой точки А твердого

тела, вращающегося вокруг некоторой оси
с угловой скоростью (о, равна векторному
произведению (о на радиус-вектор

r

точки

А относительно произвольной точки О оси

1.8).
вектора (1.1 7) v

вращения (рис.

Модуль

v =
о

где р
Рис.

1.8

-

= шг sin Э,

или

шр,

радиус окружности, по которой

движется точка А.

m


Основы кинематики

21

Продифференцировав

(1.17)

ускорение а точки А: а =

а =

по

[dwjdt, r]

[(3r]

времени,

+ [ш,

найдем

drjdt],

полное

или

= [w[wr]].

(1.18)

В данном случае (ось вращения неподвижна) (311 ш, поэтому
вектор

[(3r]

Вектор же
вектора

а

представляет собой тангенциальное ускорение а,.
это нормальное ускорение а n • Проекции

[w[wr]] на

орты

"t'

n

и

равны:

а

n

=

2

(о

р.

Отсюда модуль полного ускорения

а = ~a: + а ~ = p~p2 + (04 •
Плоское движение твердого тела
Это такое движение, при котором каждая точка твердого
тела

движется

в

плоскости,

параллельной

некоторой

непо­

движной (в данной системе отсчета) плоско­

сти. При этом плоская фигура Ф, образован­
ная сечением тела этой неподвижной плос­

костью Р (рис.

1.9),

в процессе движения все

время остается в этой плоскости, например

цилиндр, катящийся по плоскости без ско­
льжения (но конус в подобном случае совер­
шает уже более сложное движение).

Рис.

1.9

Положение твердого тела при плоском движении однознач­
но определяется положением плоской фигуры Ф в неподвиж­
ной плоскости Р. Это позволяет свести
изучение

плоского

движения

твердого

тела к изучению движения плоской фигуры

в

ее

у К

плоскости.

Пусть плоская фигура Ф движется в

своей

плоскости

Р,

неподвижной

К-системе отсчета (рис.
ние

фигуры

Ф

на

1.10).

в

Положе­

плоскости

определить, задав радиус-вектор

можно

r o про-

извольной точки О' фигуры и угол <р

х

О
Рис.

1.10

m


Глава

22
между радиусом-вектором

r',

1

жестко связанным с фигурой, и

некоторым фиксированным направлением в К -системе отсчета.

Тогда плоское движение твердого тела будет описываться дву­
мя

уравнениями:

q> = q>(t).
Если за промежуток времени
(рис.

1.10)

dt радиус-вектор r' точки А
d(f), то на такой же угол повер­

повернется на угол

нется и любой отрезок, связанный с фигурой. Другими слова­

ми, поворот фигуры на угол

d(f)

не зависит от выбора точки О'.

А это значит, что и угловая скорость

w фигуры

тоже не зависит

от выбора точки О', и мы имеем право называть
ростью

твердого

тела

v

Найдем скорость

как

w угловой ско­

такового.

произвольной точки А тела при плоском

движении. Введем вспомогательную К' -систему отсчета, кото­
рая жестко связана с точкой О' тела и перемещается поступате­
льно относительно К-системы (рис.
перемещение

dr

dro -

Тогда элементарное

точки А в К -системе можно записать в виде

dr
где

1.10).

=

dro + dr',

перемещение К'-системы (точки О'), а

щение точки А относительно К' -системы.

dr' -

переме­

Перемещение

dr'

обусловлено вращением тела вокруг неподвижной в К' -системе
оси, проходящей через точку О'; согласно

(1.11), dr' = [d(f), r'].

Подставив это выражение в предыдущее и разделив обе части

полученного равенства на

dt,

найдем

v = Vo

+ [wr'],

(1.19)

т. е. скорость любой точки А твердого тела при плоском движе­

нии* складывается из скорости
тела и скорости

v'

=

[wr'],

v о произвольной точки О' этого

обусловленной вращением тела во­

круг оси, проходя щей через точку О'. Подчеркнем еще раз, что

v' -

это скорость точки А относительно поступательно движу­

щейся К' -системы отсчета, жестко связанной с точкой О'.

*

Заметим, что формула

(1.19) оказывается справедливой

и для любого сложно­

го движения твердого тела.

m


Основы кинематики

23

Иначе говоря, плоское движение твердого тела можно представить

как

совокупность

двух

основных

видов

движения

-

поступательного (вместе с произвольной точкой О' тела) и вра­
щательного (вокруг оси, проходящей через точку О').
Покажем, что плоское движение можно свести к чисто вра­
щательному.

Действительно,

при

плос-

ком движении скорость v о произвольной У К
точки О' тела перпендикулярна вектору
(1),

а это значит, что всегда найдется та-

кая точка М, жестко связанная с телом *,

скорость которой

Из условия О

v

= О в данный момент.

= v о = [(I)r~]

можно найти

положение точки М, т. е. ее радиус-век-

тор r~ относительно точки О' (рис. 1.11).

О

х

Этот вектор перпендикулярен векторам
(1)

и

v о'

его

направление

векторному произведению

Рис.

1.11

соответствует

vо

= [ (l)r~]

,

а модуль

rм

=

v о / m.

Точка М определяет и положение соответствующей оси (она
совпадает по направлению с вектором (1). Движение твердого

тела в данный момент времени представляет собой чистое вра­
щение вокруг этой оси. Такую ось называют .мгновенной осью
вращения.

Положение мгновенной оси, вообще говоря, меняется со вре­
менем. Например, в случае катящегося по плоскости цилиндра
мгновенная ось в каждый момент совпадает с линией касания
цилиндра

и

плоскости.

Сложение угловых скоростей
Рассмотрим движение твердого тела, вра-

В

щающегося одновременно вокруг двух пересе­

кающихся

осей.

Сообщим

некоторому

телу

вращение с угловой скоростью (1)' вокруг оси

ОА (рис.

1.12)

и затем эту ось приведем во

вращение с угловой скоростью (1)0 вокруг оси

ОБ, неподвижной в К-системе отсчета. Най­
дем результирующее движение тела в К-сис­

СОО

о
Рис.

1.12

теме.

*

Точка М может оказаться и вне тела.

m


Глава

24

1

Введем вспомогательную К' -систему отсчета, жестко связан­
ную с осями ОА и ОВ. Ясно, что эта система вращается с угло­
вой скоростью (00' И тело вращается относительно нее с угловой
скоростью (О'.

За промежуток времени

dt

тело совершит поворот

оси АО в К' -системе и одновременно поворот

d'Po

d'P'

вокруг

вокруг оси ОВ

вместе с K'-системоЙ. Суммарный поворот, согласно
есть

d'P

=

d'Po

+ d'P'.

Разделив обе части этого

(1.12),
равенства на dt,

получим

(о = (00

+ (О'.

(1.20)

Таким образом, результирующее движение твердого тела в
К -системе представляет собой чистое вращение с угловой ско­
ростью (О вокруг оси, совпадающей в каждый момент с векто­

ром (О и проходя щей через точку О (рис.

-

щается относительно К-системы

1.12).

Эта ось переме­

она поворачивается с угло­

вой скоростью (00 вместе с осью ОА вокруг оси ОВ.
Нетрудно сообразить, что даже в том случае, когда угловые
скорости (О' и (00 не меняются по модулю, тело будет обладать в

К-системе

(1.14),

угловым

ускорением

за плоскость (рис.

1.12).

(3,

направленным,

согласно

Вопрос об угловом ускорении

твердого тела более подробно рассмотрен в задаче

1.10.

И последнее замечание. Поскольку вектор угловой скорости
(О удовлетворяет основному свойству векторов

-

векторному

сложению, (О можно представить как векторную сумму состав­

ляющих на определенные направления, т. е. (О

= (01

+ (02 + ... ,

где все векторы относятся к одной и той же системе отсчета.

Этим удобным и полезным приемом часто пользуются при ана­
лизе

сложного

движения

твердого

тела.

§ 1.3. Преобразование скорости и ускорения
при переходе к друrой системе отсчета
Приступая к изучению этого вопроса, напомним, что в рам­

ках ньютоновской механики длина масштабов и время счита­

ются абсолютными. Любой масштаб одинаков в разных систе­
мах отсчета, т. е. не зависит от движения. Это же касается и те­
чения

времени,

которое

также

одинаково

во

всех

системах.

m


25

Основы кинематики

Постановка вопроса. Имеются две произвольные системы

отсчета К и К/, движущиеся определенным образом относите­
льно друг друга. Известны скорость V и ускорение анекоторой

точки А в К -системе. Каковы соответствующие значения V/ и а/
этой точки в К/-системе?
Рассмотрим последовательно три наиболее важных случая
движения одной системы отсчета относительно другой.

К/ -система

1.

движется

поступательно

по

отношению

к

К-системе. Пусть в К-системе начало отсчета К/-системы ха­
рактеризуется

ние

-

r o'

радиусом-вектором

а

ее

векторами V o и а о . Если положе­

1.13).
мени

r,

то

r

=

r o + r/

ускоре­

I
I
I
I

(рис.

Пусть далее за промежуток вре­

dt

и

IK'

к

ние точки А в К -системе определяется

радиусом-вектором

скорость

А

точка А совершит в К -системе

элементарное перемещение

dr.

Это пере-

мещение складывается из перемещения

dro вместе с К/-системой и перемещения
dr' относительно К/-системы, т. е. О
dr = dr o + dr/. Разделив данное выраже­
ние на dt, получим следующую формулу

Рис.

1.13

преобразования скорости:

I

V

Продифференцировав

= Vo

(1.21)

+

v/·I

(1.21)

по времени,

найдем формулу

преобразования ускорения:

Iа = ао + a/·I

(1.22)

Отсюда видно, в частности, что при ао

=О

а

= а/,

т. е. при

движении К/-системы без ускорения относительно К -систе­
мы, ускорения точки А в обеих системах отсчета будут одина­
ковы.

2.

К/-система вращается с постоянной угловой скоростью

w

вокруг оси, неподвижной в К -системе. Возьмем начала отсчета

К - и К/-систем
(рис.

1.14,

в

произвольной

точке

О

на оси

вращения

а). Тогда радиус-вектор точки А в обеих системах от­

счета будет один и тот же:

r == r/.

m


Глава

26
а)

1

б)

ro

ro

о
Рис.

1.14

Если точка А неподвижна в К'-системе, то это значит, что ее
перемещение

dt обусловлено только по­
воротом радиуса-вектора r на угол d<p (вместе с К' -системой) и
равно, согласно (1.11), векторному произведению [d'P, r].

dr

в К -системе за время

Если же точка А движется относительно К' -системы со ско­
ростью у', то за время

щение

v'dt

(рис.

dt она совершит
1.14, а) и тогда

dr

+ [d'P, r] .

v'dt

=

дополнительное переме­

Разделив это выражение на

dt,

(1.23)

получим следующую форму­

лу преобразования скорости:

Iv
где

v

и у' -

=

у' + [юг] , I

(1.24)

скорости точки А в К- и К'-системах отсчета соот­

ветственно.

Теперь перейдем к ускорениям. В соответствии с

ращение

dv

вектора

v

за время

dt

(1.24)

при­

в К-системе должно склады­

ваться из суммы приращений векторов у' и [юг], т. е.

dv
Найдем
у' =

const,

dv'.

Если

=

dv'

точка

+ [ю, dr] .
А

движется

(1.25)
в

К'-системе

с

то приращение этого вектора в К-системе обусловле­

но только его поворотом на угол
равно, как и в случае с

r,

d'P

(вместе с К' -системой) и

векторному произведению

[d'P,

у'].

В этом нетрудно убедиться, совместив начало вектора у' с осью

вращения (рис.

1.14,

б). Если же точка А имеет ускорение а'

m


Основы кинематики

27

в К' -системе, то за время
льное приращение

a'dt
dv'

Подставим

и

(1.26)

dt

вектор

получит еще дополните­

и тогда

=

a'dt + [dcp, v'] .

dt.

(1.26)

в равенство

(1.23)

выражение разделим на

v'

(1.25)

и полученное

В результате найдем следующую

формулу преобразования ускорения:

а = а'

где а и а'

-

+ 2[wv'] + [w[wr]]

(1.27)

,

ускорения точки А в К- и К'-системах отсчета. Вто­

рое слагаемое в правой части этой формулы называют "орuо.лu­
совы.м. (или поворотным) ускорением а кор , а третье слагаемое
осесmре.м.umе.льuы.м.

ус"ореиие.м.

= 2[ wv']

а кор

*

а ос :

а ос

,

-

= [w[wr]]

(1.28)

•

Таким образом, ускорение а точки относительно К-системы

равно сумме трех ускорений: ускорения а' относительно К'-си­
стемы,
рения

кориолисова ускорения

а кор

и

осестремительного

уско­

а ос •

Осестремительное

ускорение

аос = - со 2 р, где р -

можно

представить

в

виде

радиус-вектор, перепендикулярный оси

вращения и характеризующий положение точки А относитель­
но этой оси. Тогда формулу

(1.27)

можно записать так:

а = а' + 2[wv'] - со 2 р

1

3.

(1.29)

.1

К'-система вращается с постоянной угловой скоростью

вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью

w

vo и

ускорением ао по отношению к К -системе. Этот случай объеди­
HяeT два предыдущих. Введем вспомогательную S-систему от­

счета, которая жестко связана с осью вращения К' -системы и
перемещается поступательно в К -системе. Пусть

v

и

vs -

ско­

рости точки А в К- и S-системах отсчета, тогда в соответствии с

(1.21) v = vo + vs. Заменив vs, согласно (1.24), выражением
v s = v' + [wr], где r - радиус-вектор точки А относительно про-

*

Осестремительное ускорение не следует путать с нормальным ускорением.

m


Глава

28

1

извольной точки на оси вращения К/-системы, получим следу­
ющую формулу преобразования скорости:

1v

= у/ + уо + [шг]

Аналогичным образом,

(1.30)

·1

(1.22)

используя

и

(1.29),

найдем

формулу преобразования ускорения:

а = а/ + ао + 2[ шv/]

1

-

ш2р

(1.31)

.1

Напомним, что в последних двух формулах у, у/ и а, а/

-

скорости и ускорения точки А соответственно в К-и К/ -систе­
мах

отсчета,

vо

и

ао

-

скорость

К/-системы в К-системе,

r -

и

ускорение

оси

вращения

радиус-вектор точки А относите­

льно произвольной точки на оси вращения системы, р

-

ради­

ус-вектор, перпендикулярный оси вращения и характеризую­

щий положение точки А относительно этой оси.
Пример. Диск вращается с постоянной угловой скоростью (а) вокруг

собственной оси, укрепленной на столе. По диску движется
точка А с постоянной относительно стола скоростью V. Най­
дем скорость V / И ускорение а / точки А относительно диска в
момент, когда радиус-вектор, характеризующий ее положе­
ние

по

отношению

к

оси

вращения,

Скорость V/ точки А, согласно

v' = v -

[(а) р]

=

О, ибо v

= const.

р.

(1.24),
.

Ускорение же а' найдем с помощью

случае а

равен

(1.29),

Тогда а'

учтя, что в данном

= -2[(a)v'] + oip.

подстановки в эту формулу выражения для

а'

= 2[V(a)]

v'

После

получим

_ ro2 p .

Задачи

1.1.

Радиус-вектор, характеризующий положение частицы М относи­
тельно неподвижной точки о, меняется со временем по закону

r = Asinrot + Bcosrot, А и В - постоянные векторы,
A..l В; ro - положительная постоянная. Найти ускорение

причем
а части­

цы и уравнение ее траектории у(х), взяв оси Х и У совпадающими
по направлению с векторами А и В соответственно и имеющими
начало в точке о.

m


Основы RинемаТИRИ

р е

m

29

е н и е. Продифференцировав

r

по времени дважды, полу­

чим

т. е. вектор а все время направлен к точке О, а его модуль пропор­
ционален расстоянию частицы до этой точки.
Теперь найдем уравнение траектории. Спроецировав

r

на оси Х и

У, получим

х
Исключив

rot

= Asinrot,

у

= Bcosrot.

из этих двух уравнений, найдем

у

Это уравнение эллипса, А и В
оси (рис.

1.15,

-

его полу­

где стрелкой показано на­

правление движения частицы М).
х

Рис.

1.2.

Перемещение и путь. Частице в момент t

=

1.15

О сообщили скорость

v o' после чего ее скорость стала меняться со временем t по закону
v =vo(1 -t/т:), где т: - положительная постоянная. Найти за пер­
вые t секунд движения: 1) вектор перемещения ~r частицы;
2) пройденный ею путь В.
Ре

m

е н и е.

1.

рировав это уравнение

~r

2.

(1.1), dr = vdt = v o(l -t/т:)dt. Проинтег­
по времени от О до t, получим

Согласно

= v o t(l

-t/2т:).

Путь в, пройденный частицей за время

t,

равен

t

J

= v dt,

S

о

где

v -

модуль вектора

_ 1

v.

В данном случае

1- {v o(1 -

v-v о 1-t/т:-

vо(t/т:

t/т:), если t ~ т:,
-1),

если t ~ т:.

m


Глава

30

>

Отсюда следует, что при t

1

't интеграл для вычисления пути необ­

ходимо разбить на две части: от О до 't И от 't до

t.

Проведя интег­

рирование для обоих случаев, получим

_ { Vo t( 1 - t/2't), если t ~
В -

1

2

2vo't[1 + (1 -t/'t) ],

s

На рис.
мостей

1.16

v (t)

линиями

стей от

't,

если

~ 't.

t

показаны графики зависи­

и в

(t).

Здесь же штриховыми

показаны

графики

vх

t проекций

зависимо­

И ~x векторов V и

~r на ось Х, направленную вдоль вектора

VO·

Рис.

1.3.

1.16

Трамвай движется прямолинейно от остановки А до следующей
остановки В с ускорением, изменяющимся по закону а
где а о и Ь

-

положительные постоянные, в

-

= ао

-ЬВ,

расстояние от оста­

новки А до трамвая. Найти расстояние между этими остановками
и

максимальную

скорость

трамвая.

Реш е н и е. Сначала найдем зависимость скорости от расстояния

В. За промежуток времени

dt

приращение скорости

dv = adt.

При­

ведем это выражение к виду, удобному для интегрирования, вос­

пользовавшись тем, что

v dv

dt = dB/V.

= (а о

Тогда

-Ьв)ds.

Проинтегрировав это уравнение (левую часть
вую

-

от О до

v,

пра­

от нуля дО В), получим

-

Отсюда видно, что расстояние между остановками, т. е. значение

Во' при котором

v =

найдем из условия

О, есть Во

dv/dB

=О

= 2а о /Ь.

Максимальную скорость

или, проще, из условия максимума

подкоренного выражения. Отсюда значение Вт' соответствующее

v Maкc ' определяется как Вт = ао/Ь и
1.4.

V MaKC

= ао/Гь.

Частица движется в плоскости Х, у из точки с координатами х =

=

у

ные,

=

i

о со скоростью V
и

j -

= ai + bxj,

где а и Ь

-

некоторые постоян-

орты осей Х и У. Найти уравнение ее траектории у(х).

m


Основы кинематики

31

Реш е н и е. Запишем приращения у- и х-координат частицы за
промежуток времени dt:

= Ьх,

где V y

= а.

Vx

Взяв их отношение, получим

dy

= (b/a)xdx.

Интегрируем это уравнение:
х

у = J(b/a)xdx =(Ь/2а)х 2 ,
о

т. е. траекторией точки является парабола.

1.5.

Закон движения точки А обода колеса, катящегося равномерно по
горизонтальному пути (ось х), имеет вид
х
где Ь и

ro -

= Ь (rot

у

- sin rot);

= Ь (1

- cos rot ),

положительные постоянные. Найти скорость V точки

А, путь в, пройденный ею между двумя последовательными каса­
ниями

полотна

дороги,

а

также

модуль

и

направление

вектора

ускорения точки А.
Реш е н и е. Скорость V точки А и пройденный ею путь

s

опреде­

ляются следующими формулами:

V= ~v~ + V:

= bro.J2(1

- cosrot)

= 2brolsin (rot/2)1,

t1
S

J dt = 4Ь [1 - cos(rot /2)] ,
V

1

о

где

t1

-

промежуток времени между двумя последовательными

касаниями. Из уравнения у

rot1

= 2п.

Поэтому

s

=

= y(t)

находим, что

y(t 1 ) =

О при

8Ь.

]dодуль ускорения точки А

а = ~a~

+

а: = Ьro 2 •

Покажем, что вектор 3, постоянный по модулю, все время направ­

лен к центру колеса

-

точке с. Действительно, в К '-системе от­

счета, связанной с точкой С и перемещающейся поступательно и
равномерно относительно полотна дороги, точка А движется рав-

m


Глава

32

1

номерно по окружности с центром в точке с. Поэтому ускорение

точки А в К/-системе направлено к центру колеса. А так как
К/-система движется равномерно, то вектор а будет таким же и
относительно

1.6.

полотна

дороги.

Тангенциальное и нормальное ускорения. Точка движется замед­
ленно по окружности радиуса

r

так, что ее тангенциальное и нор­

мальное ускорения в каждый момент равны друг другу по моду­

лю. В начальный момент точке была сообщена скорость
скорость

v

v o.

Найти

и модуль полного ускорения а точки в зависимости от

пройденного пути в.

Ре m е н и е. По условию, dv/dt

= _v 2 /r. Представив dt как ds/v,

преобразуем исходное уравнение к виду

dv / v = - ds / r .
Интегрирование этого уравнения с учетом начальной скорости
приводит

к

следующему

результату:

-8/ r

V =V o е

в данном случае

I a't" I ==

.

а n' поэтому модуль полного ускорения

а = г2 а n = г2 V 2/ r, или
а

1.7.

2 / ) -28/ r
26 ( V o
= "'1Гn
r е
.

Точка движется по плоской траектории так, что ее тангенциаль­

ное ускорение a't" = ао, а нормальное ускорение а n = ы 4 , где а о и
Ь - положительные постоянные, t - время. В момент t = О точка
начала двигаться с нулевой начальной скоростью. Найти радиус
кривизны

р

траектории

точки

и

модуль

ее

полного

ускорения

в

зависимости от пройденного пути в.

m е н и е. Элементарное
dv = a't"dt. Проинтегрировав это
Пройденный путь s = a ot 2 /2.
Р

е

приращение

уравнение,

Радиус кривизны траектории, согласно
222

как р

=v / аn = ао / ы ,

(1.10),

скорости

получим

точки

v = aot.

можно представить

или

Р

= а 3о /2Ьв.

Модуль полного ускорения

а

= ~2
a't"

+ а n2

2•
= а о ~1 + (4Ьв 2/ 3
а о)

m


Основы кинематики

1.8.

33

Частица движется равномерно со скоростью

траектории у =

kx 2 ,

v по параболической
положительная постоянная. Найти

где k -

модуль ускорения частицы в точке х

=

о.

Реш е н и е. Продифференцируем дважды уравнение траектории
по

времени:

у = 2kxi,

У = 2k(i 2 + хх).

Так как частица движется равномерно, то это значит, что ее уско­

рение во всех точках траектории чисто нормальное и в точке х

=

О

совпадает с производной У в этой точке. Имея ввиду, что в точке

х

= О величина I i I = V, получим

а = (У)х=о = 2kv 2 •
Заметим, что в приведенном способе решения мы обошли вычис­
ление радиуса кривизны траектории в точке х

=

о, который обыч­

но бывает необходимо знать для определения нормального ускоре-

ния (а n = v 2/p).
1.9.

Вращение твердого тела. Твердое тело вращается вокруг непо­

движной оси с угловым ускорением
ный вектор, <р

-

где

130 -

постоян­

угол поворота тела из начального положения.

Найти угловую скорость

при <р

13 = 130 cos<p,

roz

тела в зависимости от угла <р, если

о она была равна нулю.

=

Реш е н и е. Выберем положительное направление оси

вектора

(1.15)

130.

как

Согласно

d<p/roz ,

(1.16), droz = f3 z dt.

Представив

dt

z

вдоль

по формуле

преобразуем предыдущее уравнение к виду

rozdro z = f3ocos<pd<p.
Интегрирование этого уравнения с учетом начального условия

(roz = О при <р = о) дает ro~ /2 = f30sin <р.
Отсюда

z

График зависимости

рис.

ro z ( <р)

показан на

1t
O~----~~----~<р

Из него видно, что с ростом

1.17.

угла <р вектор (i) сначала увеличивается,
совпадая

130 (roz >

по

о),

направлению

достигает

с

вектором

максимума

при

Рис.

1.17

m


Глава

34
<р
<р

1

= п/2 и затем начинает уменьшаться, обращаясь в нуль при
= п. После этого тело подобным же образом начинает вращаться

в противоположном направлении
совершать колебания около

(ooz < О).

В результате тело будет

= п/2

положения <р

с амплитудой,

равной п/2.

1.10.

Круглый конус с радиусом основания
о)

о'

r

и высотой

h

катится без

скольжения по поверхности стола,

как показано на рис.

I

Верши­

1.18.

на конуса закреплена шарнирно

точке О на уровне точки С

v

-

цент­

ра основания конуса. Точка С дви­
жeTcя с постоянной скоростью

===============:::::::::::::::/
Рис.

Реш е н и е.

1.18

1.

Согласно

1)
2)

угловую скорость (1) конуса;

его угловое ускорение р.

(1.20),

(1)

= (1)0 + (1)',
00'

где (1)0 и (1)' -

= v /h ,

00'

= r /h.

угло­

и ОС соответственно.

Модули векторов (1)0 и (1)' легко найти с помощью рис.

Их отношение 000/00'

v.

Найти относительно стола:

вые скорости вращения вокруг осей

000

в

1.18:

= v /r .

Отсюда следует, что вектор (1) совпа­

дает в каждый момент с образующей конуса, которая проходит
через точку касания А.
Модуль вектора (1)

00

2.

= ~oo~

+

00,2

= (v/r)~1

+ (r/h)2.

Угловое ускорение р конуса, согласно

вектора (1) по времени. Так как (1)0

р

(1.14), есть
= const, то

производная

= d(l)/dt = d(l)' /dt.

Вектор (1)', оставаясь постоянным по модулю, поворачивается во­

круг оси

00'

с угловой скоростью (1)0. Его приращение за проме­

жуток времени
ном виде

dt равно по модулю Id(l)'1 = oo'ooodt, или в вектор­
d(l)' = [(I)o(l)']dt. Таким образом,
р

Модуль этого вектора

1.11.

= [(1)0(1)']

•

f3 = v 2 /rh.

Преобразования скорости и ускорения. Горизонтально располо­
женный стержень вращается с постоянной угловой скоростью (1)

m


35

Основы кинематики

вокруг вертикальной оси, укрепленной на столе и проходящей

через один из концов стержня. По стержню движется небольшая
муфта. Ее скорость относительно стержня меняется по закону
у'

= br,

где Ь

постоянная,

-

r -

радиус-вектор, характеризую­

щий расстояние муфты от оси вращения. Найти:

1)

ускорение а муфты относительно стола в зависимости от

угол между векторами

2)

Реш е н и е.

v

Согласно

1.

v

v

скорость

и

r;

и а в процессе движения.

(1.24),

= br + [cor] .

Модуль этого вектора v = r~b 2 + 002.
Ускорение а находим по формуле

а'

(1.29),

где в нашем случае

= dv'/dt = Ь 2 r .

Тогда

а

= (ь 2

Модуль этого вектора а

2.

-

(02)r

+ 2b[cor]

= (Ь 2 + (02) r

•

.

Для определения угла а между векторами

их

cos

скалярным

а

= уа /va.

произведением,

из

v

и а воспользуемся

которого

следует,

что

После соответствующих преобразований получим

cos

а = 1 / ~1 + (0о/ь)2.

Отсюда видно, что в данном случае угол а остается постоянным
при

движении.

m


r.naBa 2
Основное уравнение динамики
т

§ 2.1.

Инерциалъные системы отсчета
Закон инерции

В кинематике, где речь идет лишь об описании движений и
не затрагивается вопрос о причинах,

ния,

вызывающих эти движе­

никакой принципиальной разницы

между различными

системами отсчета нет, и все они в этом отношении равноправ­

ны. Совершенно иначе обстоит дело в динамике
нии законов движения.
различие
одного

между

класса

при изуче­

Здесь обнаруживается существенное

разными

систем

-

системами

отсчета

по

отсчета

сравнению

и
с

преимущества

другими.

В принципе можно взять любую из бесчисленного множест­
ва систем отсчета. Однако законы механики в разных системах
отсчета имеют, вообще говоря, различный вид и может оказа­
ться, что в произвольной системе отсчета законы даже совсем

простых явлений будут весьма сложными. Естественно, возни­
кает задача отыскания такой системы отсчета, в которой зако­

ны механики были бы возможно более простыми. Такая систе­
ма отсчета, очевидно, наиболее удобна для описания механиче­
ских явлений.

Для решения этой задачи рассмотрим ускорение материаль­
ной точки относительно некоторой произвольной системы от­

счета. Какова причина этого ускорения? Опыт показывает, что
этой причиной могут быть как действие на данную точку ка­
Kиx-To определенных тел, так и свойства самой системы отсче­

та (действительно, относительно разных систем отсчета ускоре­
ние в общем случае будет различным).

Можно, однако, предположить, что существует такая систе­
ма отсчета, в которой ускорение материальной точки целиком
обусловлено только взаимодействием ее с другими телами. Сво­
бодная материальная точка, не подверженная действию ника­
ких других тел, движется относительно такой системы отсчета
прямолинейно и равномерно, или, как говорят, по инерции.

Такую систему отсчета называют инерциальноЙ.

m


Основное уравнение динамики

37

Утверждение, что инерциальные системы отсчета существу­
ют, составляет содержание первого закона механики

-

закона

инерции Галиле,я-Ньютона.

Существование инерциальных систем отсчета подтверждает­
ся опытом. Первоначальными опытами было установлено, что
такой системой отсчета является Земля. Последующие более
точные опыты (опыт Фуко и все аналогичные ему) показали,
что

эта

система

отсчета

не

совсем

инерциальная

*,

а

именно:

были обнаружены ускорения, существование которых нельзя
объяснить действием каких-либо определенных тел. В то же
время наблюдения над ускорениями планет показали инерциа­
льность

гелиоцентрической

центром Солнца и
время

системы

«неподвижными»

инерциальность

отсчета,

звездами.

гелиоцентрической

связанной

с

В настоящее

системы

отсчета

подтверждается всей совокупностью опытов.

Любая другая система отсчета, движущаяся равномерно и
прямолинейно относительно гелиоцентрической системы, яв­
ляется также инерциальноЙ. Действительно, если в гелиоцент­
рической системе отсчета ускорение тела равно нулю, то оно

равно нулю и в любой другой из этих систем отсчета.
Таким образом, существует не одна, а бесчисленное множе­
ство инерциальных систем отсчета,

движущихся относительно

друг друга прямолинейно и равномерно. Системы отсчета, дви­
жущиеся с ускорением относительно инерциальных систем, на­
зывают

неинерциальными.

О свойствах симметрии пространства и времени. Важной
особенностью инерциальных систем отсчета является то, что по
отношению к ним пространство и время обладают определен­
ными свойствами симметрии. А именно: опыт убеждает, что в
этих системах отсчета пространство однородно и изотропно, а
время однородно.
Однородность и изотроnность пространства заключаются
в том, что свойства пространства одинаковы в различных точ­

ках (однородность), а в каждой точке одинаковы во всех на­
правлениях (изотропность).

*

Заметим, что во многих случаях систему отсчета, связанную с Землей, можно
считать практически инерциальноЙ.

m


Глава

38

2

Однородность вре,м,ени заключается в том, что протекание фи­
зических явлений (в одних и тех же условиях) в разное время их

наблюдения одинаково. Иначе говоря, различные моменты вре­
мени эквивалентны друг другу по своим физическим свойствам.

Заметим, что по отношению к неинерциальным системам от­
счета

пространство

является

неоднородным

инеизотропным.

Это значит, что если какое-либо тело не взаимодействует ни с
какими другими телами,

то тем не менее его различные поло­

жения в пространстве и его различные ориентации в механиче­

ском отношении не эквивалентны. То же самое относится в об­
щем случае и ко времени, которое будет неоднородным (в неи­
нерциальных

системах),

т.

е.

его

различные

моменты

не

эквивалентны. Ясно, что такие свойства пространства и време­

ни вносили бы большие усложнения в описание механических
явлений. Так, например, тело, не подверженное действию со

стороны других тел, не могло бы покоиться: если его скорость в
некоторый момент времени и равна нулю, то уже в следующий

момент тело начало бы двигаться в определенном направлении.

Принцип относительности Галилея
Для инерциальных систем отсчета справедлив принцип от­
носительности,

согласно

которому

все

инерциальные

систе,м,ы

по свои,м, ,м,еханически,м, свойства,м, эквивалентны друг другу.
Это значит, что никакими механическими опытами, проводи­
мыми «внутри»

данной инерциальной системы, нельзя устано­

вить,

эта система отсчета или

покоится

движется.

Во всех

инерциальных системах отсчета свойства пространства и вре­
мени

одинаковы,

одинаковы

также

и

все

законы

механики.

Данное утверждение составляет содержание nрин,циnа от­
н,осuтельн,остu Галuлея

-

одного из важнейших принципов

ньютоновской механики. Этот принцип является обобщением
опыта и подтверждается всем многообразием приложений нью­
тоновской механики к движению тел, скорости которых значи­
тельно

меньше

скорости

света.

Все сказанное достаточно ясно свидетельствует об исключи­
тельности свойств инерциальных систем отсчета, в силу кото­
рых именно эти системы должны, как правило, использоваться

при изучении механических явлений.

m


Основное уравнение динамики

39

Преобразоваиия Галилея
Найдем формулы преобразования координат при переходе
от одной инерциальной системы отсчета к другой. Пусть инер­

циальная

система К'

скоростью

движется

относительно

V

со

уК

другой

А

инерциальной системы К. Выберем

оси координат Х', У',
параллельно

Х, У,

Z

Z'

К' -системы

соответствующим

осям

К-системы так, чтобы оси

Х' и Х совпадали между собой и
были направлены вдоль вектора
(рис.

2.1).

Взяв

за начало

времени момент,

V

~---'...;......,..=~~--

z

Z' /

Х

/

--х'

/'

отсчета

Рис.

2.1

когда начала коор-

динат О' и О совпадали, запишем соотношение между радиуса­

ми-векторами

r'

и

r

одной и той же точки А в К'- и К-системах:

r'
и,

кроме

=

r -

t'

=

vt

(2.1)

того,

t.

(2.2)

Здесь подразумевается, что длина отрезков и ход времени не
зависят от состояния движения и,

следовательно,

одинаковы в

обеих системах отсчета. Предположение об абсолютности про­
странства и времени лежит в самой основе представлений нью­

тоновской механики, представлений, основанных на обширном
экспериментальном

материале,

относящемся

к

изучению

дви­

жений со скоростями, значительно меньшими скорости света.

Соотношения

(2.1)

и

(2.2)

представляют собой nреобрааова­

пия Галилея.

В координатах эти преобразования имеют вид

I х'

=

х - Vt,

Продифференцировав

(2.1)

у

,

=

у,

t' = t.1

по времени,

(2.3)
найдем классиче­

ский закон преобразования скорости точки при переход е от од­
ной инерциальной системы отсчета к другой:

(2.4)

m


Глава

40

2

Дифференцируя это выражение по времени с учетом того,

что
во

V

=

const,

всех

получаем а' = а, т. е. ускорение точки одинаково

инерциальных

системах

отсчета.

§ 2.2. Основные законы ньютоновской динамики
Изучая на опыте различные движения, мы обнаруживаем,
что

в

инерциальных

системах

отсчета

всякое

ускорение

тела

вызывается действием на него каких-либо других тел.

При

этом степень влияния (действия) каждого из окружающих тел
на состояние движения интересующего нас тела А

это во­

-

прос, на который в каждом конкретном случае может дать от­
вет

только

опыт.

Влияние другого

тела (или

тел),

вызывающее

ускорение

тела А, называют сuлой. Итак, причиной ускорения тела явля­
ется действующая на него сила.

Одной из важнейших характеристик силы является ее мате­
риальное происхождение.

Говоря

о силе,

мы

всегда неявно

предполагаем, что в отсутствие посторонних тел сила, действу­

ющая на интересующее нас тело, равна нулю. Если же обнару­
живается, что сила действует, мы ищем источник в виде того
или

иного

конкретного

тела

или

других

тел.

Все силы, с которыми имеет дело механика, обычно подраз­
деляют на силы, возникающие при непосредственном контакте

тел (силы давления, трения), и силы, возникающие через по­
средство

создаваемых

взаимодействующими

телами

полей

(силы гравитационные, электромагнитные). Заметим, однако,
что такое подразделение сил имеет условный характер: в сущ­
ности и при непосредственном контакте силы взаимодействия

обусловлены также наличием тех или иных полей, создавае­
мых молекулами или атомами тел. Таким образом, все силы
взаимодействия между телами обусловлены в конечном счете
полями. Вопрос о природе сил взаимодействия выходит за рам­
ки механики и рассматривается в других разделах физики.

Масса. Опыт показывает, что всякое тело ~оказывает сопро­
тивление» при любых попытках изменить его скорость

-

как по

модулю, так и по направлению. Это свойство, выражающее сте­
пень неподатливости тела к изменению его скорости, называют

инертностью. У различных тел оно проявляется в разной степе-

m


Основное уравнение динамики

41

ни. Мерой инертности служит величина, называемая массой.

Тело с большей массой является более инертным, и наоборот.
Введем понятие массы т, определив отношение масс двух
различных тел по обратному отношению ускорений, сообщае­
мых

им равными

силами:

(2.5)
Отметим, что такое определение не требует предварительно­
го измерения самих сил. Достаточно лишь располагать крите­
рием равенства сил. Например, если на два различных тела,
лежащих на гладкой горизонтальной плоскости, последовате­
льно подействовать одной и той же пружиной, ориентировав ее
горизонтально

и

растянув

на

одну

и

ту

же

длину,

то

можно

утверждать, что в обоих случаях влияние пружины на каждое
тело

одинаково,

другими

словами,

одинакова

и

сила.

Таким образом, сравнение масс двух тел, на которые дейст­
вует одна и та же сила, сводится к сравнению ускорений этих
тел. Взяв некоторое тело за эталон массы, мы имеем возмож­
ность сравнить массу любого тела с этим эталоном.
Единицей массы в СИ является, как известно, килограмм (кг).
Как показывает

опыт,

в рамках

ньютоновской

механики

масса обладает следующими двумя важнейшими свойствами:

1)

масса

-

величина аддитивная, т. е. масса составного

тела равна сумме масс его частей;

2)

масса тела как такового

меняющаяся

при

его

-

величина постоянная, не из­

движении.

Сила. Вернемся к опыту по сравнению ускорений двух раз­

личных тел под действием одинаково растянутой пружины.
Тот факт, что в обоих случаях пружина была растянута одина­

ково, позволил нам высказать утверждение об одинаковости
действия пружины, или силы со стороны пружины.

С другой стороны, сила является причиной ускорения тела.
'Ускорения же различных тел под действием одной и той же оди­
наково растянутой пружины разные. Наша задача так опреде­

лить силу, чтобы, несмотря на различие ускорений разных тел в
рассматриваемом опыте, сила была бы одной и той же.
Для этого прежде всего надо выяснить: что является одина­
ковым в данных опытах? Ответ очевиден: произведение та.

m


Глава

42

2

Эту величину и естественно взять за определение силы. "У"читы­
вая, что ускорение
совпадающим

по

-

вектор, будем считать и силу вектором,

направлению

с

вектором

ускорения

а.

Итак, в ньютоновской механике сила, действующая на тело

массы т,

определяется как

произведение та.

Оправданием

именно такого определения силы, кроме соображений наиболь­
шей простоты и удобства,

послужила дальнейшая проверка

всех вытекающих из него следствий.

Второй закон Ньютона
Изучая на опыте взаимодействие различных материальных

точек с окружающими телами, мы обнаруживаем, что та зави­
сит от величин, характеризующих как состояние самой мате­
риальной точки, так и состояние окружающих тел.

Это является весьма существенным физическим фактом, ле­

жащим в основе одного из наиболее фундаментальных обобще­
ний ньютоновской механики: произведение массы материаль­
ной

точки

на

ее

ускорение

является

функцией

положения

этой точки относительно окружающих тел, а иногда также
и функцией ее скорости. Эту функцию обозначают

F

и называ­

ют силой. Именно в этом и состоит фактическое содержание

второго закона Ньютона, который кратко формулируют обыч­
но так: произведение массы материальной точки на ее ускоре­
ние равно действующей на нее силе:

I та F·I

(2.6)

=

Это уравнение называют уравнением движения материаль­
ной точки.

Сразу же подчеркнем, что второй закон Ньютона и уравне­
ние

(2.6)

получают конкретное содержание только после того,

как установлен вид функции

F -

зависимость от определяю­

щих ее величин, или, как говорят, закон силы. "У"становление
вида этой зависимости в каждом конкретном случае является

одной из основных задач физической механики.
Определение силы как та, лежащее в основе уравнения

(2.6),

обла­

дает тем исключительным достоинством, что законы сил при этом ока­

зываются очень простыми. Правда, переход к изучению движений с

релятивистскими скоростями показал, что законы сил потребовалось

m


Основное уравнение динамики

43

бы модифицировать, сделав их сложным образом зависящими от ско­
рости материальной точки. Теория стала бы громоздкой и запутанной.
Существует,

однако, простой выход из этого затруднения,

если

дать несколько иное определение силы, а именно: сила есть про извод­
ная импульса р материальной точ,ки по времени, т. е.
нение

dp/dt,

и урав­

записывать в виде

(2.6)

dp/dt = F.
в ньютоновской механике это определение силы тождественно та,

так как р

ту, т

=

= const

и

dp/dt =

та. В релятивистской же механи­

ке импульс, как мы увидим, зависит от скорости материальной точки

более сложным образом. Но важно другое. При таком определении

силы (как

dp/dt)

законы сил, оказывается, остаются теми же и в реля­

тивистской области. Так что простое выражение данной силы через
физическое окружение изменять не потребуется при переходе к реля­
тивистской механике. Это обстоятельство мы учтем в дальнейшем.

Единицей силы в СИ является ньютон (Н). Ньютон

-

это

сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м! с 2 •
О сложении сил. На всякую материальную точку в данных
конкретных условиях действует, строго говоря, всего только

одна сила

F,

модуль и направление которой определяются рас­

положением этой точки относительно всех окружающих тел, а

иногда также и ее скоростью.
удобно эту силу

F

представлять как суммарный результат дей­

ствия отдельных тел, или сил
если

тела,

друга

и

других

являющиеся

поэтому
тел,

то

И тем не менее часто бывает

не

F l' F 2 •••

источниками

меняют

своего

Опыт показывает, что

сил,

не

влияют

состояния

от

друг

на

присутствия

сила

F=F 1 +F 2 +···,
где

Fi

-

сила, с которой действовало бы на данную материаль­

ную точку

i-e

тело в отсутствие других тел.

Если это так, то говорят, что силы

F l' F 2 •••

подчиняются

nринциnу суnерnозиции. Такое утверждение надо рассматри­

вать как обобщение опытных фактов.

Третий закон Ньютона
Во всех случаях, когда в опыте участвуют только два тела А

и В и тело А сообщает ускорение телу В, обнаруживается, что и

m


Глава

44

2

тело В сообщает ускорение телу А. Отсюда мы заключаем, что
действия тел друг на друга имеют характер взаи,м,одеЙствия.

Ньютон постулировал следующее общее свойство всех сил
взаимодействия

-

третий закон Ньютона: силы, с которы,м,и

две ,м,атериальные точки действуют друг на друга, всегда рав­
ны

по ,м,одулю

и

направлены

в

противоположные

стороны

вдоль nря,м,ой, соединяющей эти точки:

(2.7)
Это значит, что силы взаимодействия всегда появляются nа­
ра,м,и. Обе силы приложены к разны,м, материальным точкам и,

кроме того, являются силами одной природы.
Закон

(2.7)

распространяется на системы из произвольного

числа материальных точек. Мы исходим из представления, что
и в этом случае взаимодействие сводится к силам попарного
взаимодействия между материальными точками.

В третьем законе Ньютона предполагается,

что обе силы

равны по модулю в любой момент времени независи,м,о от дви­
жения точек.
представлению

вий

-

Это утверждение соответствует ньютоновскому
о

мгновенном

распространении

взаимодейст­

предположению, которое носит название nринциnа даль­

нодействия ньютоновской механики. Согласно этому принци­
пу, взаимодействие между телами распространяется в простра­

нстве с бесконечно большой

скоростью.

Иначе говоря,

если

изменить положение (состояние) одного тела, то сразу же мож­
но обнаружить хотя бы очень слабое изменение во взаимодей­

ствующих с ним телах, как бы далеко они ни находились.
В действительности это не так

-

существует конечная мак­

симальная скорость распространения взаимодействий, которая
равна скорости света в вакууме. Поэтому третий закон Ньюто­
на (а также и второй) имеет определенные пределы применимо­

сти. Однако при скоростях тел, значительно меньших скорости
света, с которыми имеет дело ньютоновская механика, оба за­
кона выполняются с очень большой точностью. Свидетельством
этому являются хотя бы расчеты траекторий планет и искусст­
венных спутников, которые проводятся с «астрономической»

точностью именно с помощью законов Ньютона.

m


45

Основное уравнение динамики

Законы Ньютона являются основными законами механики.
Они позволяют, по крайней мере в принципе, решить любую
механическую задачу; кроме того, из них могут быть выведены
и

все

остальные

законы

механики.

В соответствии с принципом относительности Галилея зако­
ны механики одинаковы во всех инерциальных системах отсче­

та. Это значит, в частности, что уравнение

(2.6)

будет иметь

один и тот же вид в любой инерциальной системе отсчета. Дей­
ствительно, масса т материальной точки как таковой не зави­

сит от скорости, т. е. одинакова во всех системах отсчета. Кро­
ме того, для инерциальных систем отсчета одинаковым являет­

ся и ускорение а точки. Сила

F

тоже не зависит от выбора

системы отсчета, поскольку она определяется только взаимным

расположением и скоростью материальной точки относительно
окружающих тел, а эти величины, согласно нерелятивистской
кинематике,

в разных

инерциальных

системах отсчета одина­

ковы.

Таким образом, все три величины, т, а и
уравнение

(2.6),

F,

входящие в

не меняются при переходе от одной инерциа­

льной системы отсчета к другой, а следовательно, не меняется
и само уравнение

(2.6).

Другими словами, уравнение та =

F

uнварuантно относительно преобразований Галилея.

Силы

§ 2.3.

Чтобы свести нахождение закона движения частицы к чисто
математической задаче, необходимо прежде всего
ствии с уравнением
силу,

т.

е.

в соответ­

знать действующую на частицу

(2.6) -

зависимость

-

силы

от

определяющих

ее

величин.

Каждая такая зависимость получена в конечном счете на осно­
вании обработки результатов опыта и, по существу, всегда опи­
рается на уравнение

(2.6),

как на определение силы.

Наиболее фундаментальные силы, лежащие в основе всех
механических явлений,- это силы гравитационные и электри­

ческие. При ведем выражение для этих сил в самом простом

виде, когда взаимодействующие массы (заряды) покоятся или
движутся С малой (нерелятивистской) скоростью.
Сила

гравитационного

двумя материальными

притяжения,

точками,

действующая

между

в соответствии с законом все-

m


Глава

46
мирного

тяготения

пропорциональна

произведению

масс

2

то­

чек т 1 и т 2 , обратно пропорциональна квадрату расстояния

r

между ними и направлена по прямой, соединяющей эти точки:

(2.8)

где

у

-

гравитационная

постоянная.

Фигурирующие в этом законе массы называют гравитаци­
онными в отличие от инертной массы, входящей во второй за­
кон Ньютона. Из опыта, однако, установлено, что гравитацион­

ная и инертная массы любого тела строго пропорциональны
друг другу. Поэтому можно считать их равными (т. е. выбрать

один и тот же эталон для измерения обеих масс) и говорить
просто

о

массе,

которая

выступает

как

мера

инертности

тела

или как мера гравитационного действия.

Кулоиовская сила, действующая между двумя точечными
зарядами

ql

и

q2'

(2.9)
где

r -

расстояние между зарядами,

k -

коэффициент пропор­

циональности, зависящий от выбора системы единиц. В отли­
чие от гравитационной силы кулоновская сила может быть как
силой притяжения, так и силой отталкивания.

Заметим, что закон Кулона

(2.9)

перестает выполняться точ­

но, если заряды движутся. Электрическое взаимодействие дви­

жущихся зарядов оказывается сложным образом зависящим от
их движения. Одну из частей этого взаимодействия, обусловлен­
ную движением, называют магнитной силой (отсюда и другое
название данного взаимодействия

-

электромагнитное).

При

малых (нерелятивистских) скоростях магнитная сила составляет
пренебрежимо малую часть электрического взаимодействия и

оно с высокой степенью точности описывается законом

(2.9).

Несмотря на то, что гравитационные и электрические взаи­

модействия лежат в основе всего бесчисленного разнообразия
механических явлений, анализ явлений, особенно макроскопи­
ческих, оказался бы весьма сложным, если бы во всех случаях

m


Основное уравнение динамики

47

мы исходили из этих фундаментальных взаимодействий. Поэ­
тому удобно ввести другие, приближенные, силы (которые в
принципе могут быть получены из фундаментальных сил). Это

необходимо для того, чтобы упростить математически задачу
настолько, чтобы ее можно было практически решить.
С этой целью вводят, например, следующие силы.
Однородная сила тяжести:

F = mg,
где т

-

масса тела,

Упругая сила

-

g -

(2.10)

ускорение свободного падения*.

сила, пропорциональная смещению мате­

риальной точки из положения равновесия и направленная к
положению

равновесия:

F =
где

r -

-хг,

(2.11)

радиус-вектор, характеризующий смещение частицы

из положения равновесия; х
зависящий от

~ упругих»

-

положительный коэффициент,

свойств той или иной конкретной

силы. Примером такой силы является сила упругой деформа­

ции при растяжении (сжатии) пружины или стержня; в соот­
ветствии с законом Гука

F =

'ИАl, где д.l

-

величина упругой де­

формации.

Сила трения скольжения,
данного

тела

по

поверхности

возникающая при скольжении
другого

тела,

(2.12)
где

k -

коэффициент трения скольжения, зависящий от при­

роды и состояния соприкасающихся поверхностей (в частно­
сти, от их шероховатости);

Rn

-

сила нормального давления,

прижимающая трущиеся поверхности друг к другу. Сила

F

на­

правлена в сторону, противоположную направлению движения
данного

*

тела

относительно

другого.

Заметим, что в отличие от силы тяжести вес Р

-

это сила, с которой тело дей­

ствует на опору (или подвес), nеnодвuжnую относительно данного тела. На­
пример, если тело с опорой (подвесом) неподвижны относительно Земли, то вес
р совпадает с силой тяжести. В противном случае вес Р

= m(g

-

а), где а­

ускорение тела (с опорой) относительно Земли.

m


Глава

48

2

Сила сопротивления, действующая на тело при его поступа­
тельном движении в газе или жидкости. Эта сила зависит от
скорости

v

тела относительно среды, причем направлена проти­

воположно

вектору

у:

F
где

=

(2.13)

-kv,

положительный коэффициент, характерный для дан­

k -

ного тела и данной среды. Этот коэффициент зависит, вообще
говоря,
случаях

от скорости и,
его

можно

§ 2.4.

однако при малых скоростях во многих

практически

считать

постоянным.

Основное уравнение динамики

Основное уравнение динамики материальной точки пред­
ставляет собой не что иное, как математическое выражение
второго закона Ньютона:

(2.14)
Уравнение

(2.14)

есть,

по

существу,

дифференциальное

уравнение движения точки в векторном виде. Его решение

-

основная задача динамики материальной точки. При этом воз­
можны

1.

две

противоположные

постановки

Найти действующую на точку силу

F,

задачи.

если известны мас­

са т точки и зависимость от времени ее радиуса-вектора

2.

r(t).

Найти закон движения точки, т. е. зависимость от времени

ее радиуса-вектора
щая на нее сила

F

r(t),

если известны масса т точки, действую­

(или силы Fд и начальные условия

рость уо и положение

ro

-

ско­

точки в начальный момент времени.

В первом случае задача сводится к дифференцированию
по времени, во втором

-

к интегрированию уравнения

Математическая сторона этого

вопроса достаточно

r(t)
(2.14).

подробно

была рассмотрена в кинематике точки.
В зависимости от характера и постановки конкретной зада­

чи решение уравнения

(2.14)

проводят или в векторной форме,

или в координатах, или в проекциях на касательную и нормаль

к траектории в данной точке. Выясним, как записывают урав­
нение

(2.14)

в последних двух случаях.

m


Основное уравнение динамики

49

в проекциях на оси декартовых координат
Записывая обе части уравнения
У,

z,

(2.14)

в проекциях на оси Х,

получим три дифференциальных уравнения вида

dv y

dv z -р ,

т--=Р,
dt
у

где Рх ' Ру '

Fz

-

проекции вектора

помнить, что эти проекции

F

т---

dt

на оси Х, У,

(2.15)

z

z. Необходимо

величины алгебраические: в зави­

-

симости от ориентации вектора

F

они могут быть как положите­

льными, так и отрицательными. Знак проекции результирую­
щей силы

F

определяет и знак проекции вектора ускорения.

Проследим на конкретном примере, в чем заключается стан­

дартный подход к решению задач с помощью уравнений
Пример. Небольшой брусок

массы

т

скользит вниз

по

(2.15).

наклонной

плоскости, составляющей угол а с горизонтом. Коэффициент
трения равен

k.

Найдем ускорение бруска относительно плос­

кости (эта система отсчета предполагается инерциальноЙ).
Прежде всего следует изобразить силы, действующие на брусок. Это сила тяжести
ная

сила

mg,

нормаль­

со

стороны

R

реакции

плоскости и сила трения

2.2),

F тр

11

/

(рис.

,/

направленная в сторону, про­

/
......

......

тивоположную движению бруска.

......

......

......

.."."".
Х

После этого свяжем с системой от­
счета ~ наклонная плоскость» систе­

му координат Х, У,
ря,

z. Вообще гово­

систему координат

ентировать

как

можно

угодно,

ори-

однако

во

Рис.

2.2

многих случаях выбор направления осей диктуется характером движения. В нашем случае, например, заранее известно

направление движения бруска, поэтому наиболее целесооб­

разно оси координат расположить так, чтобы одна из них сов­
падала с направлением движения. Тогда задача сведется к ре­

шению только одного уравнения

как показано на рис.

2.2,

(2.15).

Итак, выберем ось Х,

обязательно указав при этом ее по­

ложительное направление (стрелкой).
И только теперь приступим к составлению уравнений

слева

-

(2.15):

произведение массы т бруска на проекцию его уско­

рения ах и справа

-

проекции всех сил на ось х.

m


50

Глава

2

Тогда

в данном случае

gх

= g sin а, R x = О

mа х

= mg sin а -

и

F TPX

= -F

TP ,

поэтому

Fтp.

Так как брусок движется только вдоль оси Х, то это значит,
согласно второму закону Ньютона, что сумма проекций всех

сил на любое перпендикулярное оси Х направление равна
нулю. Взяв в качестве такого направления ось У (рис.

2.2),

получим

= mg cosa,

R

Fтp

= kR = kmg cosa.

В результате

mа х

= mg sin а -

kmg cos а.

Если правая часть этого уравнения окажется положительной,

то ах

> О,

а это значит, что вектор а направлен вниз по на­

клонной плоскости, и наоборот.

в проекциях на касательную и нормаль к траектории

в данной точке
Записывая обе части

У!-

't _

__ \

~~~--

\
Рn \

\_------Рис.

где Рт. и

(2.14)

't' И П (рис.

в проекциях на подвижные орты

2.3)

и используя полученные ра-

\

нее выражения

\
\
\
\
\

и нормального ускорений, получим

(1.10)

для тангенциального

и2
т-=Р,
р

(2.16)

n

2.3

Fn

-

проекции вектора

F

на орты 't' и п. На рис.

проекции положительные. Векторы

F.

и

Fn

2.3

обе

называют танген­

циальной и нормальной составляющими силы

F.

Напомним, что направление орта 't' выбирают в сторону воз­
растания дуговой координаты

l,

а направление орта п

-

к цен­

тру кривизны траектории в данной точке.

Уравнениями

(2.16)

удобно пользоваться, если заранее изве­

стна траектория материальной точки.

m


51

Основное уравнение динамики

Пример. Небольшое тело А соскальзывает с вершины гладкой сферы
радиуса

r.

Найдем скорость тела в момент отрыва от поверхно­

сти сферы, если его начальная скорость пренебрежимо мала.
Изобразим силы, действующие на тело А (это сила тяжести

mg

и нормальная сила реакции

запишем уравнения

(2.16)

циях на орты 'т и

(рис.

n

R),

и

в проек­

2.4):

dv
. (\
= mg sш
>::1,
dt
v2

т

-

т

-

= mg

r

cos Э - R.
Рис.

2.4

Здесь индекс 't несуществен, поэтому мы его опустили.
Преобразуем первое уравнение к виду, удобному для интегри­

рования. Воспользовавшись тем, что

dt = dl/v = rdЭ/v,

где

элементарный путь тела А за промежуток времени

dl -

перепишем

первое

уравнение

vdv = gr sin

в

виде

Э dЭ.

Проинтегрировав левую часть этого выражения от О до

правую

dt,

v,

от О дО Э, найдем

-

v 2 = 2gr(1 -cos Э).
в момент отрыва
принимает

R =

вид

V
где

v

О, поэтому второе исходное уравнение

2

= gr cos Э,

и Э соответствуют точке отрыва. Исключив

следних

двух

равенств,

cos

Э из по­

получим

v = )2gr/3.

§ 2.5. Неинерциалъные системы отсчета.
СИЛЫ инерции
Основное уравнение динамики
в неинерциальной системе
Ранее

было

отмечено,

что основное

уравнение динамики

справедливо только в инерциальных системах отсчета. Между
тем имеется много случаев, когда решение интересующей нас

задачи необходимо получить в неuнерцuалъных системах (на-

m


52

Глава

2

пример, движение математического маятника в ускоренно дви­

жущемся

вагоне,

движение

спутника

относительно

поверхно­

сти Земли и др.). Поэтому возникает вопрос: как следует изме­
нить

основное

уравнение

динамики,

чтобы

оно

оказалось

справедливым и для неинерциальных систем отсчета?
С этой целью возьмем две системы отсчета: инерциалъную

К -систему и неинерциалъную К/-систему. Пусть известны мас­
са т частицы, сила

ющих

тел,

и

F,

действующая на нее со стороны окружа­

характер

движения К/-системы

относительно

К-системы. Рассмотрим достаточно общий случай, когда К/-си­
стема вращается с постоянной угловой скоростью

w

вокруг оси,

перемещающейся поступательно с ускорением а о относительно

К -системы. Воспользуемся формулой преобразования ускоре­

ний

(1.31).

Из нее следует, что ускорение частицы в К/-системе

(2.17)
где

v/ -

скорость частицы относительно К/-системы, р

-

ради­

ус-вектор, перпендикулярный оси вращения и характеризую­

щий положение частицы относительно этой оси.

Умножив обе части

(2.17)

на массу т частицы и учтя, что в

инерциальной системе отсчета та =

1

F,

получим

та' = F - тао + тro2р + 2т[v'ю] ·1

(2.18)

Это и есть основное уравнение динамики в неинерциалъноu
системе отсчета,
скоростью

w

которая вращается с постоянной угловой

вокруг

оси,

перемещающейся

ускорением а о . Из него видно, что даже при

поступательно

F

=

с

О частица бу­

дет двигаться в этой системе с ускорением, в общем случае от­

личным от нуля, причем так, как если бы на нее действовали
некоторые

силы,

соответствующие

последним

трем

членам

уравнения

(2.18). Эти силы назвали силами инерции.
Уравнение (2.18) показывает, что введение сил инерции

по­

зволяет сохранить по форме основное уравнение динамики и
для неинерциальных систем: слева

-

произведение массы час­

тицы на ее ускорение (но уже по отношению к неинерциальной
системе отсчета), справа
словленной действием

-

силы. Однако кроме силы

окружающих

тел (силы

F,

обу­

взаимодейст-

m


53

Основное уравнение динамики

вия), необходимо учесть и силы инерции
мые в правой части уравнения

-

остальные слагае­

(2.18).

Силы инерции
Перепишем уравнение

(2.18)

в таком виде:

(2.19)
где

(2.20)

-

поступательная сила инерции, обусловленная поступатель­

ным движением неинерциальной системы отсчета;

I F цб =
-

тш 2 р I

(2.21)

центробежная сила инерции;

IF KoP = 2т[v'ш], I
-

(2.22)

сила Кориолиса, или кориолисова сила инерции. Последние

две силы обусловлены вращательным движением системы от­
счета.

Мы видим, таким образом, что силы инерции зависят от

свойств неинерциальной системы отсчета (а о , Ш о )' а также от
расстояния р и скорости v' частицы в этой системе отсчета.
Если, например, неинерциальная система отсчета движется
поступательно (по отношению к инерциальной системе отсче­
та), то в этой системе на свободную частицу действует только
одна сила

(2.20),

направление которой противоположно ускоре­

нию ао данной системы отсчета. Вспомним, как при резком

торможении вагона сила инерции бросает нас вперед, т. е. в
сторону,

противоположную

вектору

ао •

Другой случай: система отсчета вращается с угловой скоро­
стью ш вокруг неподвижной оси, и тело А покоится в этой сис­
теме (например, вы сидите на горизонтальном вращающемся
круге аттракциона

~колесо смеха»).

На тело А кроме силы

взаимодействия с окружающими телами действует центробеж­
ная сила инерции

(2.21),

направленная от оси вращения вдоль

m


54

Глава

2

радиуса-вектора р. Пока тело А покоится относительно круга

(v'

= О), эта сила компенсирует силу взаимодействия. Но как

только тело придет в движение, т. е. появится скорость

v',

начнет действовать и сила Кориолиса
торой определяет векторное

(2.22), направление ко­
произведение [v'w]. Заметим, что

сила Кориолиса появляется в дополнение к центробежной
силе инерции,

действующей независимо от того,

покоится

тело или движется во вращающейся системе отсчета.

Ранее было отмечено, что система отсчета, связанная с зем­
ной поверхностью, во многих случаях может считаться практи­

чески инерциальноЙ. Однако существует ряд явлений, истолко­
вание которых в этой системе отсчета невозможно без учета ее
неинерциальности.

Известно, например, что ускорение свободного падения тел
относительно поверхности Земли имеет наибольшее значение у
полюсов. Уменьшение этого ускорения по мере приближения к
экватору объясняется не только несферичностью Земли, но и
возрастающим действием центробежной силы инерции.

Или

такие явления, как отклонение свободно падающих тел к вос­
току, размыв правых берегов рек в северном полушарии и ле­

вых берегов

в южном, вращение плоскости качания маятни­

-

ка Фуко и др. Подобные явления связаны с движением тел от­
носительно

поверхности

Земли

и

могут

быть

объяснены

действием сил Кориолиса.
Пример. Поезд массы т движется по меридиану на широте <р со скоро­

стью

v'.

Найти силу

R'

бокового давления, с которой поезд

действует на рельсы.

в системе отсчета, связанной с Землей
(она вращается с угловой скоростью (О),
составляющая
пендикулярная

ускорения
плоскости

поезда,

пер­

меридиана,

равна нулю. Поэтому и сумма проек­
ций сил, действующих на поезд в этом

направлении, также равна нулю. А это
значит,

(рис.

силой
Рис.

2.5

что

сила

Кориолиса

F KOP

2.5) должна уравновешиваться
R бокового давления, действую­

щей на поезд со стороны правого по
ходу

движения

рельса,

m


55

Основное уравнение динамики

т. е.

F KOP = -R.

По третьему закону Ньютона, поезд будет дей­

ствовать на этот рельс в горизонтальном направлении с силой

R' = -R. Следовательно, R' = F KOP = 2m[v'(I)] .
R' равен R' = 2mv'0) sin <р.

Модуль вектора

Следующий простой пример показывает, как

«возникают»

силы инерции при переходе от инерциальной системы отсчета
к неинерциальноЙ.
Пример. На поверхности стола находится горизонтальный

свободно

вращающийся

диск п,

вокруг

вертикальной оси с постоянной
угловой скоростью
ком

висит

шарик

поведение

Над дис­

массы

2.6,

показано на рис.
рим

(1).

этого

т,

как

а. Рассмот­
шарика

в

б)

",

К -системе отсчета, связанной со

столом

(она

предполагается

инерциальной), и в К '-системе,
связанной с вращающимся дис­

. . . . ......

/ /

I

\

(
I

",

I
\

инерциальной

К -системе

/

"

на

" ......

шарик действуют две силы: сила
тяжести

и

сила

натяжения

\

Ь FкoP п"!

\

ком.

В

.....

---_
Рис.

........

...- ",

/

и'

2.6

со

стороны нити. Эти силы компенсируют друг друга, и шарик
покоится.

В неинерциальной К '-системе шарик движется равномерно

по окружности с нормальным ускорением 0)2 р , где р -

рас­

стояние от шарика до оси вращения. Легко убедиться, что это

ускорение обусловлено действием сил инерции. В самом деле,
в К '-системе помимо указанных выше двух сил, компенсиру­
ющих друг друга, действуют еще центробежная сила инер­
ции и сила В:ориолиса (рис.
на нормаль

n

2.6,

б). Взяв проекции этих сил

к траектории в точке нахождения шарика,

за­

пишем

где учтено, что в данном случае

v' = о)р.

Тогда а ~

= О) 2 р.

Особенности сил инерции
Подводя

итог,

перечислим

важнейшие

особенности

сил

инерции, отличающие их от сил взаимодействия:

m


56

Глава

2

Силы инерции обусловлены не взаимодействием тел, а

1.

свойствами самих неинерциальных систем отсчета. Поэтому на
силы инерции третий закон Ньютона не распространяется.

Эти силы существуют только в неинерциальных системах

2.

отсчета

-

это необходимо твердо помнить во избежание недора­

зумений. В инерциальных системах отсчета сил инерции вообще
нет, и понятие сила в этих системах отсчета применяется только

в ньютоновском смысле

3.

-

как мера взаимодействия тел.

Все силы инерции, подобно силам тяготения, пропорцио­

нальны массе тела. Поэтому в однородном поле сил инерции,
как и

в поле сил тяготения,

все тела движутся с одним

и тем

же ускорением независимо от их масс. Это весьма существен­
ный факт с далеко идущими последствиями.
Принцип эквивалентности
Тот факт, что силы инерции, как и силы тяготения, пропорциональ­
ны массам тел, приводит к следующему важному заключению. Пред­

ставим себе, что мы находимся в не которой закрытой лаборатории и не
имеем возможности наблюдать внешний мир. Допустим, кроме того,
что мы не знаем, где находится лаборатория: в космическом простран­
стве или, скажем, на Земле. Замечая, что все тела независимо от их

массы падают в лаборатории с одинаковым ускорением, мы не можем
на основании только этого факта установить, чем вызвано это ускоре­
ние

-

полем

тяготения,

ускоренным

поступательным

движением

са­

мой лаборатории или, наконец, обеими этими причинами вместе. Ника­
кие опыты по свободному падению тел в такой лаборатории не могут от­
личить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции.

Эйнштейн высказал предположение, что вообще никакими физиче­
скими

опытами

невозможно

отличить

однородное

поле

тяготения

от

однородного поля сил инерции. Это предположение, возведенное в по­
стулат, и составляет содержание nринциnа эквивалентности сил тя­

готения и сил инерции: все физические явления в однородном поле тя­
готения происходят совершенно так же, как и в соответствующем
однородном поле сил инерции.

Глубокая аналогия между силами инерции и силами тяготения по­
служила отправным пунктом при построении Эйнштейном общей тео­
рии относительности, или релятивистской теории гравитации.

В заключение необходимо отметить, что любую механиче­
скую задачу можно решить в инерциальной и неинерциальной

системах отсчета. Выбор той или иной системы отсчета обычно
диктуется или постановкой вопроса,

или стремлением полу-

m


Основное уравнение динамики

57

чить решение возможно более простым путем. При этом часто

наиболее удобно пользоваться именно неинерциальными систе­
мами отсчета (см. задачи

2.9 - 2.11).
Задачи

2.1.

Основное уравнение динамики. Брусок массы
ске массы

сти (рис.
вен

k.

m2,

которая лежит на гладкой горизонтальной плоско­

2.7).

Коэффициент трения между бруском и доской ра­

К доске приложили горизонтальную силу Р, зависящую от

времени по закону

1)

m 1 находится на до­

F

= at,

где а

-

постоянная. Найти:

момент времени t o, когда доска начнет выскальзывать из-под

бруска;

2)

ускорения бруска а 1 и доски а 2 в процессе движения.

Реш е н и е.

1.

Запишем основное уравнение динамики для брус­

ка и доски, взяв положительное направление оси Х, как показано
на

рисунке:

(1)
По мере возрастания силы

F будет расти

и сила трения Ртр (вначале она является
силой трения покоя). Но Ртр имеет пре­

дел Ртр.макс

= km 1 g.

Пока этот предел не

--------

достигнут, оба тела будут двигаться как
одно целое с одинаковыми ускорениями.

Рис.

Когда же сила Ртр достигнет предела, до-

--х

~

2.7

ска начнет выскальзывать из-под бруска, т. е.

а2 ~ аl·
Подставив сюда выражения для а 1 и а 2 из
Ртр

= km 1g,

с учетом того, что

получим

где знак равенства соответствует моменту

2.

(1)

t

t o• Отсюда

Если t ~ t o' то

если же

t

~

t o,

аl

то

= kg = const,

m


58

Глава

2

TI
I

t
Рис.

Рис.

2.8

2.9

Графики зависимостей а 1 и а 2 от t показаны на рис.

2.2.

В

а

установке

= 300

(рис.

наклонная

2.9)

плоскость

2.8.

составляет

угол

= 11 = %. Коэф­
k = 0,10. Массы

с горизонтом. Отношение масс тел т 1 1т 2

фициент трения между телом т 2 и плоскостью

блока и нити пренебрежимо малы. Найти модуль и направление
ускорения
ния

тела т 1 ,

если

система пришла в

движение

из

состоя­

покоя.

Реш е н и е. Здесь сразу же возникает вопрос, связанный с на­
правлением силы трения, действующей на тело т 2 • Без ответа на
этот

вопрос

нельзя

записать

основное

уравнение

динамики

для

тела т 2 в проекциях и задача становится неопределенноЙ.

Будем рассуждать так: в отсутствие силы трения тело начало бы
скользить по наклонной плоскости, допустим, вверх. Ясно, что
«включение»

силы трения не

может

изменить направления дви­

жения, а только уменьшит ускорение. Таким образом, направле­
ние силы трения, действующей на тело т 2 , будет определено, если
найти

(k =

направление

ускорения

этого

тела в

отсутствие трения

о). С этого мы и начнем.

Запишем основное уравнение динамики для обоих тел в проекци­
ях, взяв положительные направления осей Х 1 и Х 2 , как показано

на рис.

2.9:

где Т

сила натяжения нити. Сложив почленно левые и правые

-

части этих уравнений, получим
а

х

=

11- sша
g.
11 + 1

Подставив в это выражение 11

= 21з И а = 300, найдем ах> о, т. е.

тело т 2 начнет двигаться вверх по наклонной плоскости. Следова­
тельно, сила трения, действующая на это тело, направлена в про-

m


Основное уравнение динамики

59

тивоположную сторону. С учетом этого обстоятельства снова запи­
шeM

уравнения

движения:

откуда

11 - sin а - k cos а
---'-------- g = 0,05g.
11+1

а'х

2.3.

Через блок (рис.
которой висят

2.10) перекинута нерастяжимая
грузы 1 и 2 массами m 1 и m 2 со­

нить, на концах

ответственно. Блок начали поднимать вверх с
ускорением

ао

относительно

поверхности

зем­

ли. Полагая, что нить скользит по блоку без
трения, найти ускорение а 1 груза
но

поверхности

1

относитель­

земли.

2

Реш е н и е. Выберем положительное направ­
ление оси Х вверх и запишем для обоих грузов
основное уравнение динамики в

эту

проекциях

на

Рис.

ось:

2.10

(1)

(2)
Эти уравнения содержат три неизвестных: а 1х , а 2х и т. Для со­
ставления
связью

где а'

-

третьего

между

уравнения

воспользуемся

кинематической

ускорениями:

ускорение груза

1

относительно блока. Сложив почленно

левые и правые части этих равенств, получим аl

+ а2 = 2а о ,

или в

проекциях на ось Х

(3)
Решив совместно уравнения

(1), (2)

и

(3),

найдем

Отсюда видно, что при заданном а о знак а 1х зависит от соотноше­
ния

масс

m1

и

m 2•

m


Глава

60

2.4.

2

Небольшая шайба движется по наклонной плоскости, коэффици­
ент трения которой
угол

наклона

k = tg

плоскости

а, где а

к

горизонту.

Найти зависимость скорости

v

от угла <р между вектором

(рис.

2.11), если в
v = v o и <р = п/2.

/

Хl
Рис.

-

v

шайбы

и осью Х

начальный момент

Реш е н и е. Ускорение шайбы вдоль

2.11

плоскости определяется составляющей
силы тяжести на эту плоскость

F Tp = kmg cosa.

В нашем случае

Fтp

= mg sin а

Fх
k

= tg

= F x = mg sin

и силой трения

а, поэтому

а.

Найдем проекции ускорения на направление касательной к траек­
тории и на ось х:

тат;
та х

= F x cos <р - Fтp = mg sin а( cos а -1),
= F x - Fтp cos <р = mg sin а (1 -cos <р).

Отсюда видно, что ат;

= -ах,

а это значит, что скорость

v

и ее про­

екция V x различаются лишь на некоторую постоянную С, не зави­

v = -v х + С, где v х = V cos <р. Постоянную
начального условия v = V o , откуда С = v o. В резуль­

сящую от времени, т. е.
С находим из
тате

получим

v = v o/(l + cos
С ростом времени <р ~ о и

2.5.

v

~

<р).

v o/2.

Тонкий однородный упругий шнур массы т и длины
а)

т

от

т

нутом

состоянии)

имеет

lo (в нерастякоэффициент

упругости х. Склеив торцы, шнур положили

на гладкую

горизонтальную

плос­

кость, придали ему форму окружности и

раскрутили

до угловой

скорости

ro

во­

круг вертикальной оси, проходящей че­
рез

его

шнура

центр.
в

этом

Найти

силу

натяжения

состоянии.

Реш е н и е. Мысленно выделим малый
Рис.

2.12

элемент шнура массы от, как показано

на рис.

2.12,

а. Этот элемент движется

по окружности под действием силы, представляющей собой гео­
метрическую сумму двух векторов, каждый из которых равен по

m


Основное уравнение динамики

61

модулю искомой силе натяжения Т (рис.
гласно

основному

уравнению

8тО)

= (т/2п)

Учтем, что 8т
щемся

Тогда

и

2

б). Поэтому, со­

динамики,

= Т 8а.

r

= l/27t,

r

2.12,

(1)
длина шнура во вращаю­

l -

состоянии.

примет вид

(1)

тО)

2

l

/4 7t 2 = Т •

(2)

с другой стороны, по закону Гука,

= и(l

т
Исключив

l

из

(2)

и

получим

(3),

Т

=

(3)

- lo).

иl о

2

4п и/тО)

2

-1

•

Заметим, что в случае нерастяжимого шнура (и ~

т

2.6.

=m0)2 lo

(0)

/ 47t 2.

Интегрирование уравнений движения. Частица массы т движется
под действием силы

r(O)

и скорость

цы, т. е.

1) F
2) F
Здесь

v(O) -

F.

В момент

t = О известны ее радиус-вектор

начальные условия. Найти положение части­

ее радиус-вектор

r,

в зависимости от времени

= Fosin O)t, r
= -kv,
r

(О)

=

О,

v(O) =

(О)

=

О,

v(O) = v o•

Fo -

постоянный вектор, о) и

k -

t,

если:

О;

положительные постоян­

ные.

Реш е н и е.
HoM

случае

1.

Согласно основному уравнению динамики, в дан­

ускорение

dv/dt

= (Fo/m) sin O)t.

Отсюда находим элементарное приращение вектора скорости
за время

dt

и затем приращение этого вектора за время от О до

v(t) - v( О)

dv
t:

t

J

= (Fо / т ) sin O)t dt.
о

Учитывая, что

v(O) =
v( t)

О, после интегрирования получим

= (1

-

соэ

O)t)Fо / тО).

m


Глава

62

2

Теперь найдем

dr - элементарное перемещение, или приращение
радиуса-вектора r частицы за время dt: dr = v(t) dt. Приращение
же радиуса-вектора за время от О до t

t

r(t) - r(O)

= (Fo/mro)J (l-cos rot) dt.
о

в результате интегрирования находим

r(t)

= (rot

где учтено, что
На рис.

2.13

vx(t)

торов

r

и

r

(О)

о.

=

показаны графики зави­

симостей

v

- sin rot)F o /mro 2 ,

и х

(t) -

проекций век­

на ось Х, выбранную в на­

правлении движения частицы,

Рис.

направлении вектора

2.13

е.

в

В этом случае ускорение

2.
dv/dt

т.

F о.

= -(k/m )v.

Для интегрирования этого уравнения перейдем к скалярной фор­
ме

-

к

модулю

вектора

v:

dv/dt

= -(k/m)v.

Интегрирование этого уравнения (с учетом начальных условий)

дает

ln( v / v o ) = - (k / т) t.

После потенцирования возвращаемся к

векторной форме:

V

= vOe-kt/m •

Последнее уравнение интегрируем еще раз (и также с учетом на­
чальных условий):

t

r

=

Jv dt = (1 - е

-kt /

т ) тv о / k .

о

На рис.

2.14

показаны графики скорости

и пройденного пути

s

в зависимости от

времени t (в нашем случае

s = r).

t
Рис.

2.14

m


Основное уравнение динамики

2.7.

63

Частица массы т движется в некоторой плоскости под действием
постоянной по модулю силы

направление которой поворачива­

F,

ется с постоянной угловой скоростью 00. В момент t

О скорость

=

частицы равна нулю. Найти модуль скорости частицы как функ­

t,

цию времени

а также путь, проходимый частицей между двумя

последовательными

остановками.

Реш е н и е. Свяжем с данной плоскостью систему координат х,
у, взяв ось Х в направлении, которое имел
вектор силы в момент
да

основное

=

t

уравнение

О (рис.

2.15).

динамики

в

у

Тог­

/

проек­

/

циях на оси Х и У будет иметь вид

/
/

,..., /~=~~-

mdv х / dt = F cos oot,
mdvy/dt = F sin oot.

-

Проинтегрировав эти уравнения по време-

ни с учетом начального условия V (О)

=

О
Рис.

получим

Vx

х

О,

= (F /тоо) sin oot,

Vy

2.15

= (F /тоо)(1 -cos oot).

Модуль вектора скорости частицы

V

= ~V~ + V: = 21 sin(oot/2)IF/moo.

Отсюда видно, что скорость V обращается в нуль через промежу­
ток времени

At,

который можно найти из условия

ooAt / 2 = п.

Поэ­

тому искомый путь
At

S

=

J dt = 8F /тоо2 •
V

о

Заметим, что траектория частицы имеет вид циклоиды.

2.8.

Автомашина движется с постоянным тангенциальным ускорени­
ем а-т: по горизонтальной поверхности, описывая окружность ра­

диуса

R.

Коэффициент трения между колесами машины и поверх­

ностью равен

k.

Какой путь

s

пройдет машина без скольжения,

если начальная скорость ее была равна нулю?
Реш е н и е. По мере увеличения скорости будет расти как нор­

мальное, так и полное ускорение машины. Движение будет про­
исходить без скольжения, пока необходимое полное ускорение
будет обеспечиваться
значение этой силы

силой трения.

F MRKC = kmg,

где т

Максимально

-

возможное

масса машины. Поэто-

му максимальное значение полного ускорения (согласно основ­
ному уравнению динамики та
а макс

= F)

= kg.

(1)

m


Глава

64

2

С другой стороны,

(2)
где

v -

скорость

машины

в

момент,

когда

ее

ускорение

максимально возможным. Эта скорость и искомый путь

s

станет

связаны

формулой

(3)
Выразив

v

из

(1)

и

(2)

s

=(R/2)~(kg/a1J2

и подставив в

(3),

получим

-1.

Нетрудно видеть, что решение имеет смысл при а');

2.9.

< kg.

Неииерциальиые системы отсчета. Спутник движется в экватори­
альной плоскости Земли с запада на восток по круговой орбите ра­
диуса

r.

Пренебрегая

ускорением,

обусловленным

Земли вокруг Солнца, найти ускорение а

'

движением

спутника в системе от­

счета, связанной с Землей.
Реш е н и е.

v

\

инерциальная

\

v'
n
т

система

, FкOP

Fцб

Пусть К

(по

условию)

отсчета,

в

которой

ось вращения Земли покоит­
ся,

а К'

-

неинерциальная

система отсчета, которая свя­

I
I

зана с Землей и вращается с
угловой скоростью

Рис.

-

2.16

ro

относи­

TeльHo К -системы.

Нас интересует ускорение а' спутника в К '-системе. Для этого
прежде всего изобразим все силы, действующие на спутник в этой
системе отсчета: силу тяготения
бежную силу инерции F цб (рис.

F, силу Кориолиса F кор и центро­
2.16, вид со стороны Северного по­

люса).
Теперь воспользуемся уравнением

(2.18),

считая а о

=

О (по усло­

вию). Спутник движется по окружности в К '-системе, поэтому за­
пишем уравнение

(2.18)
та'

где F

в проекциях на нормаль

=F

- 2mv'ro - mro 2 r,

n

к траектории:

(1)

= утМ /r 2 , т и М - массы спутника и Земли. Остается
v' спутника в К '-системе.
(1.24) в скалярном виде

найти скорость
формулой

v' = v - ror,

Для этого воспользуемся

(2)

m


65

Основное уравнение динамики

где

v-

скорость спутника в К-системе. Эту скорость можно опре­

делить с помощью уравнения движения спутника в К -системе:

mv 2 /r = утМ /r 2 •
Решив совместно уравнения

и

(1), (2)

а' = уМ (1 -

O)r

r2

(3)

(3),

получим

ГrJ2.

~yм

В частности, а' = о при r = ~yM / 0)2 = 4,2 ·104 км. Такой спутник
называют стационарным: он неподвижен относительно поверхно­

сти Земли.

2.10.

Небольшая муфта массы т свободно скользит по гладкому гори­
зонтальному стержню, который вращают с постоянной угловой
скоростью ш вокруг неподвижной вертикальной оси, проходя­
щей через один из его концов. Найти горизонтальную составля­
ющую силы, действующей на муфту со стороны стержня в мо­

мент, когда она находится на расстоянии

r от оси вращения. (В

начальный момент муфта находилась непосредственно около оси

и имела пренебрежимо малую скорость.)
Реш е н и е. Рассмотрим движение

R

муфты во вращающейся системе отсче­
та,

жестко связанной со стержнем. В

этой системе отсчета муфта движется
прямолинейно, а это значит, что иско­
мая

сила

R

уравновешивается

Кориолиса (рис.

2.17,
R

силой

вид сверху):

Рис.

= -FкоР = 2т[шv']

2.17

•

Задача, таким образом, сводится к нахождению скорости
ты относительно стержня. Согласно

dv '/ dt

(1)

v' муф­

(2.19),

= F цб / т = 0)2 r .

dt = dr /v'. Тогда
получим v 'dv' = 0)2 r dr. Проинтегрировав последнее уравнение с
учетом начальных условий (v' = О, r = О), найдем v' = O)r, или в
Преобразуем это уравнение, имея в виду, что

векторном

виде

v'
Подстановка

(2)

в

(1)

= О)Г.

(2)

дает

R

= 2тО) [шг]

.

m


Глава

66

2.11.

2

УСТОЙЧИВОСТЬ движения. Небольшая муфта М может скользить
без трения по гладкому проводу, изогнутому В форме полуок­
ружности радиуса

r

(рис.

2.18).

Систему при­

вели во вращение с постоянной угловой ско­

ростью о) вокруг вертикальной оси
ти

угол

8-0'

соответствующий

00'.

Най­

устойчивому

положению муфты.

Реш е н и е. Рассмотрим поведение муфты в
системе отсчета, связанной с вращающимся
проводом.

mg
Рис.

Движение муфты

будет определяться проекцией

вдоль

провода

результиру­

F'[

ющей силы на направление 0pTa't' в точке М.

2.18

Из рис.

F'[

2.18

= FцБСОS 8- -

видно, что

mg sin 8-,

где справа записаны проекции центробежной силы инерции и

силы тяжести. Учтя, что Fцб
щее

выражение

= m0)2 r sin 8-, перепишем предыду­

так:

(1)
Из условия равновесия

(F'[

= О)

найдем два значения угла

при которых оно возможно: sin 8-0

8-0'

= О и cos 8-0 = g / 0)2 r . Пер­

вое условие может быть осуществлено при любых значениях

0),
второе же - только при g /0)2 r < 1. Таким образом, при малых
о) существует только одно положение равновесия в нижней
точке (8-0 = О); при больших же о) ( о) >~g/r) возможно и дру­
гое

положение

равновесия,

определяемое

вторым

условием.

Для устойчивости определенного состояния равновесия необхо­
димо, чтобы сила

F'[

при выведении муфты из положения равно­

весия (в любую сторону) была направлена обратно
нию равновесия. Другими словами, знак

F'[

-

к положе­

должен быть проти­

воположным знаку отклонения А8- от равновесного угла

При малом отклонении

d8-

от угла

8-0

возникающая сила

жет быть найдена как дифференциал выражения

в нижнем положении равновесия

8F'[

00

(8-0

(1 - g/0)2 r )d8- •

8-0.

8F'[

мо­

(1):

= О)
(2)

m


Основное уравнение динамики

67

Это положение равновесия будет устойчивым, когда выражение,

стоящее в скобках, отрицательно, т. е. при ro < ~g jr.

В другом положении равновесия (cos Э О
8F-г;

00 -

= g j ro 2 r)

Siп 2 Э о dЭ.

Видно, что это положение равновесия (если оно существует) все­
гда устойчиво.
Итак,

пока

существует

лишь

нижнее

положение

равновесия

(при ro < ~g jr), оно всегда устойчиво. При появлении же друго­
го положения равновесия (когда ro > ~g jr) нижнее положение,
согласно (2), становится неустойчивым и муфта сразу переходит
из нижнего положения в верхнее, которое всегда устойчиво.

m


rllaBa 3
Закон сохранения импульса

....

§ 3.1.

О законах сохранения

Любое тело (или совокупность тел) представляет собой, по су­
ществу, систему материальных точек, или частиц. Если система
с

течением

времени

изменяется,

то

говорят,

что

изменяется

ее

состояние. Состояние системы характеризуется одновременным
заданием положений (координат) и скоростей всех ее частиц.

Зная законы действующих на частицы системы сил и состо­
яние системы в некоторый начальный момент времени, можно,
как показывает опыт, с помощью уравнений движения пред­
сказать ее дальнейшее поведение, т. е. найти состояние систе­

мы в любой момент времени. Так, например, решается задача о
движении планет Солнечной системы.
Однако детальное рассмотрение поведения системы с помо­
щью уравнений движения часто бывает настолько затруднитель­
но (например, из-за сложности самой системы), что довести ре­
шение до конца представляется практически невозможным. А в
тех случаях, когда законы действующих сил вообще неизвест­
ны,

такой подход оказывается в принципе неосуществимым.

Кроме того, существует ряд задач, в которых детальное рассмот­
рение

движения

отдельных

частиц

просто

и

не

имеет

смысла

(например, описание движения отдельных молекул газа).
При таком положении естественно возникает вопрос: нет ли

каких-либо общих принципов, являющихся следствием законов
Ньютона, которые позволили бы иначе подойти к решению зада­
чи и помогли бы в какой -то степени обойти подобные трудности?
Оказывается, такие принципы есть. Это законы сохранения.
Как уже было сказано, при движении системы ее состояние из­
меняется со временем. Существуют, однако, такие величины,
которые обладают весьма важным и замечательным свойством

сохраняться во времени. Среди этих сохраняющихся величин
наиболее важную роль играют энергия, импульс и момент им­
пульса. Эти три величины имеют важное общее свойство адди­
тивности: их значение для системы, состоящей из частей, взаи-

m


Закон сохранения импульса

69

модействие которых пренебрежимо мало, равно сумме значе­

ний

для

каждой

из

частей

в

отдельности

(впрочем,

для

импульса и момента импульса свойство аддитивности выполня­

ется и при наличии взаимодействия). Именно свойство адди­
тивности и придает этим трем величинам особую роль.
Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса имеют,

как выяснилось впоследствии, весьма глубокое происхождение, связан­
ное с фундаментальными свойствами времени и пространства

-

одно­

родностью и изотропностью. А именно: закон сохранения энергии связан
с однородностью времени, а законы сохранения импульса и момента им­
пульса

-

соответственно с однородностью и изотропностью пространст­

ва. Сказанное следует понимать в том смысле, что перечисленные зако­
ны сохранения можно получить из второго закона Ньютона, если к нему
присоединить соответствующие свойства симметрии времени и простран­

ства. Более подробно обсуждать этот вопрос мы, однако, не будем.

Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса
относятся к числу тех фундаментальных принципов физики,

значение которых трудно переоценить. Роль этих законов осо­

бенно возросла после того, как выяснилось, что они далеко вы­
ходят за рамки механики и представляют собой универсальные
законы природы. Во всяком случае, до сих пор не обнаружено
ни одного явления, где бы эти законы нарушались. Они безо­
шибочно «действуют» и в области элементарных частиц, и в об­
ласти космических объектов, в физике атома и физике твердо­
го тела и являются одними из тех немногих наиболее общих за­
конов, которые лежат в основе современной физики.

Открыв возможность иного подхода к рассмотрению различ­
Hыx механических явлений, законы сохранения стали весьма
мощным

и

эффективным

инструментом

исследования,

кото­

рым повседневно пользуются физики. Эта важнейшая роль за­
конов сохранения как инструмента исследования обусловлена
рядом

1.

причин:

Законы сохранения не зависят ни от траекторий частиц,

ни от характера действующих сил. Поэтому они позволяют по­

лучить ряд весьма общих и существенных заключений о свой­
ствах различных механических процессов, не вникая в их дета­

льное рассмотрение с помощью уравнений движения. Если, на­
пример,

выясняется,

что

такой-то

процесс

противоречит

законам сохранения, то сразу можно утверждать: этот процесс

невозможен, и бессмысленно пытаться его осуществить.

m


Глава

70

2.

3

Тот факт, что законы сохранения не зависят от характера

действующих сил, позволяет использовать их даже тогда, когда

силы вообще неизвестны. В этих случаях законы сохранения яв­
ляются единственным и

незаменимым инструментом

исследова­

ния. Так, например, обстоит дело в физике элементарных частиц.

3.

Даже в тех случаях, когда силы в точности известны, за­

коны сохранения могут оказать существенную помощь при ре­

шении многих задач о движении частиц. Хотя все эти задачи

могут быть решены с помощью уравнений движения (в этом от­
ношении из законов сохранения мы не получим никакой до­

полнительной информации), привлечение законов сохранения
очень часто позволяет получить решение наиболее простым и
изящным путем, избавляя нас от громоздких и утомительных
расчетов. Поэтому при решении новых задач обычно принято
придерживаться

следующего

порядка:

прежде

всего

один

за

другим применяют соответствующие законы сохранения и, то­

лько убедившись, что этого недостаточно, переходят затем к
решению

с

помощью

уравнения

движения.

Изучение законов сохранения начнем с закона сохранения
импульса.

§ 3.2. Импульс системы
Импульс частицы
По определению, импульс частицы *
р

где т и

v -

=mv,

ее масса и скорость. Воспользовавшись понятием

импульса, запишем основное уравнение динамики

(2.6)

в иной

форме:

I dp/dt

=F,

I

(3.1)

т. е. nроизводная импульса материальной точки по времени
равна действующей на нее силе. В частности, если
р

= const.

*

Другое название этой величины

-

F == О,

то

количество движения.

m


71

3акон сохранения импульса

Заметим, что в неинерциальной системе отсчета сила

(3.1)

F

в

включает в себя не только силы взаимодействия данной

частицы

с

другими

"У"равнение

(3.1)

телами,

но

и

силы

позволяет найти приращение импульса час­

тицы за любой промежуток времени,
мость силы

F

dt

если известна зависи­

от времени. Действительно, из

элементарное

времени

инерции.

приращение

есть

dp

Fdt.

=

импульса

(3.1)

частицы

за

следует, что
промежуток

Проинтегрировав это выражение по

времени, найдем приращение импульса частицы за конечный

t:

промежуток времени

(3.2)
Величину, стоящую в правой части этого уравнения, назы­

вают и,мnульсо,м силы. Таким образом, приращение импульса
частицы за любой промежуток времени зависит не только от
значения силы, но и от продолжительности ее действия, или,
другими

словами,

равно

F

В частности, если

импульсу

=

const,

из-под интеграла и тогда Р2

-

силы

за

то вектор

Рl =

это

F

время.

можно вынести

Ft.

Рассмотрим пример на использование уравнения
Пример. На частицу, которая в момент t
вует

сила,

F

в

течение

О имела импульс ро, дейст-

промежутка времени

зависящая

= at(1 -t/'t) ,

вектор.

=

Найдем

от

где а

времени

-

импульс

t

(3.2).

't

как

постоянный
р

частицы

после окончания действия этой силы.
Согласно

(3.2),
"с

J

Р = ро + Fdt = ро + a't 2 /6 (рис. 3.1).

Рис.

3.1

о

Импульс системы
Рассмотрим про из вольную систему частиц. В общем случае
частицы этой системы могут взаимодействовать как между со­

бой, так и с телами, не входящими в данную систему. В соот­
ветствии с этим силы взаимодействия между частицами систе­

мы называют внутренни,ми, а силы, обусловленные действием

m


72

Глава

других

Ясно,

тел,

что

условно

-

не

входящих

такое

в

разделение

-

данную

систему,

сил

внутренние

на

3

внешними.

и

внешние

оно целиком зависит от выбора интересующей нас

системы частиц. Заметим также, что в неинерциальных систе­
мах

отсчета

к

внешним

силам

относятся

и

силы

инерции.

Теперь введем понятие импульса системы как векторную
сумму

импульсов

ее

отдельных

частиц:

(3.3)
где
мы

Pi - импульс i-й частицы. Заметим,
- величина аддитивная, т. е. импульс

что импульс систе­
системы равен сум­

ме импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимо­

действуют они между собой или нет.
Найдем физическую величину, которая определяет измене­
ние импульса системы. Для этого продифференцируем

(3.3)

по

времени:

Согласно

(3.1),
dPi /dt =

где

F ik

LF

+

ik

F

i ,

k.

u

силы, деиствующие на l-Ю частицу со стороны других

-

частиц системы (внутренние силы);

Fi

сила, действующая на

-

эту же частицу со стороны других тел, не входящих в рассмат­

риваемую систему (внешние силы). Подставив последнее выра­
жение

в

предыдущее,

получим

dp/dt
Двойная сумма справа

=

LLF

-

ik

i

+

LF

i

•

k
i
это сумма всех внутренних сил. В

соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия
между

частицами

системы

попарно

противоположны по направлению.

одинаковы

по

модулю

и

Поэтому результирующая

сила в каждой паре взаимодействия равна нулю, а значит, рав­
на нулю и векторная сумма всех внутренних сил. В результате

последнее уравнение принимает следующий вид:

I dp/dt
где F BHem

-

=

Fвнеш ,

I

результирующая всех внешних сил, F внеш =

(3.4)

LF

i •

m


3акон сохранения импульса

"У"равнение

(3.4)

73

означает: nроизводная импульса системы

по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действу­
ющих

на

частицы

системы.

Как и в случае одной частицы, из уравнения

(3.4)

следует,

что приращение импульса системы за конечный промежуток
времени

t

есть

Р2 - Рl

t

=

JF внеш dt ,

(3.5)

О

т.

е.

приращение импульса системы равно импульсу результи­

рующей всех внешних сил за соответствующий промежуток
времени.
внешних

И

здесь,

и

в

F BHem

-

результирующая

всех

сил.

"У"равнения
так

конечно,

(3.4)

и

(3.5)

неинерциальной

справедливы как в инерциальной,
системах

отсчета.

Следует

только

иметь ввиду, что в неинерциальной системе отсчета необходи­
мо учитывать и действие сил инерции, играющих роль внеш­
них сил, т. е. под
F вз

+ F ин ,

где F вз -

действия, а

F ин

В этих уравнениях надо понимать сумму

F BHem

-

результирующая всех внешних сил взаимо­
результирующая всех сил инерции.

§ 3.3. Закон сохранения импульса
Прежде всего введем понятие замкнутой (или изолирован­
ной) системы. Так называют систему частиц, на которую не
действуют никакие посторонние тела (или их воздействие пре­
небрежимо мало). Другими словами, система замкнута, если
внешние силы отсутствуют. Очевидно, что понятие замкнутой
системы
системам

имеет

смысл

отсчета,

только

поскольку

по
в

отношению

к

инерциальным

неинерциальных

системах

от­

счета всегда действуют силы инерции, играющие роль внешних

сил. Понятие замкнутой системы является естественным обоб­
щением понятия изолированной материальной точки и играет
весьма важную роль в физике.

Согласно уравнению

(3.4),

импульс системы может изменя­

ться под действием только внешних сил. Внутренние силы не
могут изменить импульс системы. Отсюда непосредственно вы­
текает

закон

сохранения

импульса:

m


74

Глава

3

импульс замкнутой системы частиц остается постоянным,
т.

е.

не

меняется

со

временем:

Г-IP-=-L-P-i-(t-)-=-c-on-s-t---'.I

(3.6)

При этом импульсы отдельных частиц или частей замкну­
той системы могут меняться со временем, что и подчеркнуто в

последнем выражении. Однако эти изменения всегда происхо­
дят так, что приращение импульса одной части системы равно

убыли импульса оставшейся части системы. Другими словами,
отдельные часчти замкнутой системы могут только обменива­
ться импульсами. Обнаружив в некоторой системе приращение
импульса,

можно утверждать,

что это приращение

произошло

за счет убыли импульса в окружающих телах.
В этом смысле уравнения

(3.4)

и

(3.5)

следует рассматривать

как более общую формулировку закона сохранения импульса,
формулировку, в которой указана причина изменения импуль­

са у незамкнутой системы

-

действие других тел (внешних

сил). Сказанное справедливо, разумеется, только по отноше­
нию

к

инерциальным

системам

отсчета.

Импульс может сохраняться и у незамкнутой системы при
условии,

что

результирующая

всех

внешних

Это непосредственно вытекает из уравнений

сил

равна

(3.4)

и

нулю.

(3.5).

В

практическом отношении сохранение импульса в этих случаях

представляет особый интерес, ибо дает возможность получать
достаточно простым путем ряд сведений о поведении системы,
не

вникая

в

детальное

рассмотрение

процесса.

И еще. У незамкнутой системы может сохраняться не сам
импульс Р, а его проекция Р Х на некоторое направление х. Это

бывает тогда, когда проекция результирующей внешней силы
F внеш на направление Х равна нулю, т. е. вектор F внеш перпен­

дикулярен ему. Действительно, спроецировав уравнение

(3.4),

получим

dp х / dt = F внеш х
откуда следует, что если
при движении

F виеш х == О,

(3.7)

,

то р х

= const.

Например,

системы в однородном поле сил тяжести сохра­

няется проекция ее импульса на любое горизонтальное направ­
ление, что бы в системе ни происходило.

m


Закон сохранения импульса

Пример

1.

75

Движущаяся частица распалась на две частицы с импуль­

сами Рl и Р2' угол между которыми равен

8.

Найдем модуль

импульса р распавшейся частицы.
/'

Подобного рода вопросы проще все­

/'

го решать с помощью треугольника

импульсов (рис.
ражает

са: р

=

закон

Рl

3.2),

который вы­

сохранения

+ Р2.

импуль­

Остается воспользо­

ваться теоремой косинусов,
сразу

можем

записать,

р = ~p~

+

и мы

что

Рис.

p~ + 2РIР2 cos8.

3.2

в этих рассуждениях предполагалось, что система замкну­
та. Если же она находится под действием каких-то внеш­
них

сил,

то под импульсами р,

Рl

И Р2

надо

понимать те

значения этих величин, которые они имели непосредствен­
но до и после распада, а сам процесс распада считать проте­

кающим за очень малое время. Последнее необходимо для
того, чтобы импульс внешних сил за время распада был
пренебрежимо мал.

При мер

2.

Человек массы

m 1 находится

на узком плоту массы

m2'

ко­

торый покоится на поверхности озера. Человек совершил

перемещение Аг' относительно плота и остановился. Сопро­
тивление воды пренебрежимо мало. Найдем соответствую­
щее перемещение АГ 2 плота относительно берега.
В данном случае результирующая всех внешних сил, дей­
ствующих на систему человек

-

плот, равна

нулю, поэто­

му импульс этой системы меняться не будет, оставаясь рав­
ным

нулю

в

процессе

движения:

= О,

m 1 v 1 + m2v2
где

vl

и

v2 -

скорости человека и плота относительно бере­

га. Но скорость человека относительно берега можно пред­
ставить в виде

v1

= v2 + v',

где

носительно плота. Исключив

v' -

v1

скорость человека от­

из этих двух уравнений,

получим

v2 =-

m1
v'.
m 1 +m2

Умножив обе части на

dt,

найдем связь между элементар­

ными перемещениями плота

dr 2

и человека

dr'

относитель-

m


Глава

76

3

но плота. Такая же связь будет, очевидно, и для конечных
перемещений:

Отсюда видно, что перемещение плота ~r2 не зависит от ха­

рактера движения человека, т. е. не зависит от закона

v'(t).

Подчеркнем еще раз: закон сохранения импульса выполня­

ется только в инерциальных системах. Это, однако, не исклю­
чает случаев, когда импульс системы сохранялся бы и в неи­
нерциальных системах отсчета. Для этого достаточно, чтобы в
уравнении

(3.4),

справедливом и в неинерциальных системах

отсчета, внешняя сила

F виет

(она включает в себя и силы инер­

ции) была равна нулю. Ясно, что такое положение может осу­
ществляться лишь при специальных условиях. Соответствую­
щие случаи довольно редки и имеют частный характер.
Теперь покажем, что если импульс системы сохраняется в одной

инерциальной К -системе отсчета, то он сохраняется и в любой другой
инерциальной К '-системе. Пусть в К -системе

LmiV i = const.
Если К '-система движется относительно К -системы со скоростью
У,
Vi

то

скорость

= v~ + У,

i-й

где v~

-

частицы

в

К-системе

можно

представить

как

скорость этой частицы в К '-системе. Тогда выра­

жение для импульса системы можно преобразовать к следующему
виду:

LmiV~ + Lm i V = const.
Вторая сумма в этом равенстве не зависит от времени. А это зна­
чит, что и первая сумма
тоже

не

зависит

от

-

импульс системы в К'-системе отсчета

времени,

т.

-

е.

Lmiv~ = const.
Полученный результат полностью соответствует принципу относи­
тельности Галилея, согласно которому законы механики одинаковы во
всех

инерциальных

системах

отсчета.

Рассуждения, которые привели нас к закону сохранения им­
пульса, целиком опирались на справедливость законов Ньюто­
на. В частности, предполагалось, что материальные точки зам­

кнутой системы взаимодействуют между собой попарно и это
взаимодействие подчиняется третьему закону Ньютона. А как

m


3акон сохранения импульса

77

обстоит дело в случае систем, не подчиняющихся законам Нью­
тона, например в системах с электромагнитным излучением?

Ответ на этот вопрос дает опыт, который со всей убедитель­
ностью показывает, что закон сохранения импульса оказывает­

ся справедливым и для таких систем. Однако в этих случаях в
общем балансе импульса необходимо учитывать не только им­
пульсы частиц, но и импульс, которым обладает, как выясня­
ется

в

электродинамике,

само

электромагнитное

поле.

Таким образом, опыт показывает, что закон сохранения им­
пульса, надлежащим образом, обобщенный, представляет со­
бой фундаментальный закон природы, не знающий никаких
исключений. Но в таком широком понимании он уже не явля­
ется следствием законов Ньютона, а должен рассматриваться

как самостоятельный общий принцип, являющийся обобщени­
ем опытных фактов.

§ 3.4.

Центр масс. Ц -система
Центр масс

В любой системе частиц имеется одна замечательная точка
С, называемая центром масс, которая обладает рядом интерес­
ных и важных свойств. Ее положение относительно начала О
данной системы отсчета характеризуется радиусом-вектором

.

,.,--- ..............

(3.8)
где

mi

и

ri

частицы,
(рис.

-

mi

масса и радиус-вектор i-й

т

масса

всей

...... ......

.

,

•

\\
\
\

\
\

с·)

.

системы

3.3).
о

/
/
/
/

./

Рис.

3.3

Пример. Покажем, что центр масс системы из двух частиц с массами

m1

и

m2

находится на прямой, их соединяющей, в точке С,

которая делит расстояние между этими частицами в отноше­

нии II : l2

= m2 : m 1 •

m


Глава

78

3

r 1 , r 2 , r C - радиусы-векто­
ры
частиц
1, 2 и точки С
(рис. 3.4). Тогда положения этих
Пусть

частиц относительно точки С ха­
рактеризуются

радиусами-векто­

рами

Рис.

После подстановки в эти равенства согласно

r c = (m 1 r 1 + m 2 r 2 )/(m 1 + m 2 )

Отсюда следует, что векторы

(3.8)

3.4
выражения

получим

r{

и

r 2 коллинеарны

(причем

r{t .,1..r2), значит точка С лежит на прямой, проходящей через
3.4). Кроме того, модули этих векторов, т. е.
расстояния l1 и l2' обратно пропорциональны массам частиц.
частицы (рис.

Следует заметить, что центр масс системы совпадает с ее
центром тяжести. Впрочем, это утверждение справедливо лишь
в том случае, когда поле сил тяжести в пределах данной систе­
мы

можно

считать

однородным.

Теперь найдем скорость
ференцировав

(3.8)

Vс

центра масс системы. Продиф­

по времени, получим

Если скорость центра масс равна нулю, то система как целое
покоится. Это вполне естественное обобщение понятия покоя
отдельной материальной точки. Скорость же

Vс

приобретает

смысл скорости движения всей системы как целого.

Из последней формулы с учетом

Ip=mvc·1

(3.3)

следует, что

(3.10)

т. е. импульс системы равен произведению массы системы на
скорость

ее

центра

масс.

m


3акон сохранения импульса

79

Уравнение движения центра масс
Понятие центра масс

позволяет придать уравнению

(3.4)

иную форму, которая часто бывает более удобной. Для этого до­
статочно

(3.10)

подставить в

(3.4)

и учесть, что масса системы

как таковой есть величина постоянная. Тогда получим

dVc
dt

т-- =F виеш ,

где F виеm -

(3.11)

результирующая всех внешних сил, действующих

на систему. Это и есть уравнение движения центра масс систе­
мы

-

одно из важнейших уравнений механики. Согласно это­

му уравнению, центр масс любой системы частиц движется
так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в
этой точке и к ней были бы nриложены все внешние силы.
При этом ускорение центра масс совершенно не зависит от
точек

приложения

внешних

сил.

Далее, из уравнения

dVc /dt == О,

(3.11) следует, что если F виеш == О, то
V с = const. Таков, в частности, случай

а значит,

замкнутой системы (в инерциальной системе отсчета). Кроме
того, если
р =

Vс

=

const,

то, согласно

(3.11),

и импульс системы

const.
Таким образом, если центр масс системы движется равно­

мерно и прямолинейно, то это означает, что ее импульс со­

храняется в nроцессе движения. Разумеется, справедливо и об­
ратное

утверждение.

Уравнение

(3.11)

по форме совпадает с основным уравнени­

ем динамики материальной точки и является его естественным

обобщением на систему частиц: ускорение системы как целого

пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно
пропорционально суммарной массе системы. Напомним, что в
неинерциальных системах отсчета результирующая всех внеш­

них сил включает в себя как силы взаимодействия с окружаю­
щими

телами,

Пример

1.

так

и

силы

инерции.

Покажем, как можно иначе решить задачу с человеком на
плоту (см. пример
ем

2

на с.

75),

если воспользоваться поняти­

центра масс.

m


Глава

80

3

Так как сопротивление воды пренебрежимо мало, то резу­
льтирующая всех внешних сил, действующих на систему

человек

-

плот, равна нулю. А это значит, что положение

центра масс данной системы в процессе движения человека

(и плота) меняться не будет, т. е.

где

r1

и

r2 -

радиусы-векторы,

характеризующие положе­

ния центров масс человека и плота относительно некоторой

точки берега. Из этого равенства найдем связь между при­
ращениями

векторов

r1

r 2:

и

Имея в виду, что приращения

L\r1 и L\r2 представляют собой

перемещения человека и плота относительно берега, при­
чем

Пример

2.

L\r1

= L\r2 + L\r',

найдем перемещение плота:

Человек прыгает с вышки в воду. Движение прыгуна в об­
щем случае имеет весьма сложный характер. Однако если
сопротивление воздуха пренебрежимо мало, то можно сра­
зу утверждать, что центр масс прыгуна движется по пара­

боле, как материальная точка, на которую действует посто­
янная

Пример

3.

сила

mg,

где

т

-

масса человека.

Замкнутая цепочка, соединенная нитью с концом оси цент­
робежной

машины,

равномерно

вращается вокруг вертикальной оси
с угловой

При

скоростью

ro

(рис.

3.5).

этом нить образует угол Э с

вертикалью. Как ведет себя центр
масс цепочки?
Прежде всего ясно, что при равно­
мерном вращении центр масс цепоч­
ки

Рис.

3.5

не движется в

вертикальном на­

правлении. Отсюда следует, что вертикальная

составляющая

натяжения Т нити компенсирует силу тяжести

силы

mg (рис. 3.5,

справа). Горизонтальная составляющая силы натяжения по­
стоянна по модулю и все время направлена к оси вращения.

Отсюда следует, что центр масс цепочки (точка С) движется

m


3акон сохранения импульса

81

по горизонтальной окружности, радиус которой р легко най­

ти с помощью уравнения

mro2 р
где т

-

(3.11),

записав его в виде

= mg tg Э,

масса цепочки. При этом точка С все время находит­

ся между осью вращения и нитью, как показано на рисунке.

Ц-система
В тех часто встречающихся случаях, когда нас интересует
лишь относительное движение частиц внутри системы,

а не ее

движение как целого, наиболее целесообразно пользоваться си­
стемой отсчета, в которой центр масс покоится. Это позволяет
значительно

упростить

и

анализ

явления,

и

соответствующие

расчеты.

Систему отсчета, жестко связанную с центром масс и пере­
мещающуюся

поступательно по отношению к инерциальным

системам, называют системой центра масс или, кратко, Ц-сис­
темой.

Отличительной особенностью Ц-системы является то, что
полный импульс системы частиц в ней всегда равен нулю
это непосредственно следует из формулы
ме

Vc

=

(3.10),

-

ибо в Ц-систе­

о. Другими словами, любая система частиц как целое

покоится в своей Ц -системе.

Для замкнутой системы частиц ее Ц -система является инер­
циальной, для незамкнутой

-

в общем случае неинерциальноЙ.

Необходимо отметить, что Ц -система играет существенную
роль в физике. Это обусловлено рядом несомненных преиму­
ществ, которые дает ее применение во многих ситуациях. В да­

льнейшем мы будем обращаться к этой системе отсчета неодно­
кратно (в теории столкновений частиц, в динамике твердого

тела и др.).
Система из двух частиц. Пусть массы частиц равны т 1 и т 2 ,
а их скорости в исходной К -системе отсчета

-

v1

И V 2 соответ­

ственно. Найдем импульсы этих частиц вЦ-системе.
Будем помечать все величины вЦ-системе сверху значком

-

(тильда). Тогда искомые импульсы можно записать так:

m


Глава

82

Vс -

где

После

Vс

3

скорость Ц -системы относительно К -системы отсчета.
подстановки

= (т 1 v 1

+ т2 v2 ) /

в

(т 1

эти

формулы

+ т 2 ),

выражения

для

V С,

получим

Видно, что импульсы обеих частиц в Ц-системе одинаковы

по модулю и противоположны по направлению: Рl = -Р2. ЭТО
так и должно быть, поскольку суммарный импульс частиц в
Ц -системе всегда равен нулю.
Полученные результаты справедливы независимо от того,
замкнута эта система или нет,

а также независимо от наличия

взаимодействия между частицами.

§ 3.5.

Движение тела переменной массы

Имеется много случаев, когда масса тела изменяется в про­
цессе движения за счет непрерывного отделения или присоеди­

нения вещества (ракета, реактивный самолет, платформа, на­
гружаемая на ходу, и др.).
Наша задача: найти уравнение движения такого тела.
Рассмотрим решение этого вопроса для материальной точки,
называя ее для краткости телом. Пусть в некоторый момент

t

масса движущегося тела А равна т, а присоединяемое (или отде­
ляемое) вещество имеет скорость

u

относительно данного тела.

Введем вспомогательную инерциальную К -систему отсчета,

скорость которой такова же, как и скорость тела А в данный мо­
мент

t.

Это значит, что в момент

t

тело А покоится в К-системе.

Пусть далее за промежуток времени от
приобретает в К-системе импульс

mdv.

t

до

t

+ dt

тело А

Этот импульс тело А по­

лучит, во-первых, вследствие присоединения (отделения) мас­
сы

8m,

которая приносит (уносит) импульс

вследствие действия силы

F

8m . u,

и, во-вторых,

со стороны окружающих тел или

силового поля. Таким образом,

mdv

=

Fdt ± 8m·u ,

где знак плюс соответствует присоединению массы,

нус

-

вив

±8m

а знак ми­

отделению. Оба эти случая можно объединить, предста­

в виде приращения

dm

массы тела А (действительно,

m


3акон сохранения импульса

83

в случае присоединения массы

dm

= +8т, а в случае отделения

= -8т). Тогда предыдущее уравнение примет вид

dm

mdv

=

Fdt + dm ·u.

Разделив это выражение на

u -

получим

m* =F+ТtU,

I
где

dt,

(3.13)

I

скорость присоединяемого (или отделяемого) вещества

относительно

рассматриваемого

Это уравнение

является

тела.

основным уравнением

динамики

точки переменной массы. Его называют уравnеnuем Мещер­
ского. Будучи полученным в одной инерциальной системе от­
счета,

это

уравнение

в

силу

принципа

относительности

спра­

ведливо и в любой другой инерциальной системе. Заметим, что
если система отсчета неинерциальна, то под силой

F

следует

понимать результирующую силу как сил взаимодействия дан­
ного

тела

с

окружающими

телами,

Последнее слагаемое уравнения

силой:

R

=

(dm/dt)u.

так

и

(3.13)

сил

инерции.

названо реактивной

Эта сила возникает в результате действия

на данное тело присоединяемой (или отделяемой) массы. Если

масса присоединяется, то
правлению

dm / dt < О

с

вектором

и вектор

R

dm / dt > О
u; если

и вектор
же

R

масса

совпадает по на­
отделяется,

противоположен вектору

то

u.

Уравнение Мещерского по своей форме совпадает с основ­
ным уравнением динамики материальной точки постоянной
массы: слева

ва

-

-

произведение массы тела на ускорение, спра­

действующие на него силы, включая реактивную силу.

Однако в случае переменной массы нельзя внести массу т
под

знак

дифференцирования

и

представить

левую

часть

уравнения как производную по времени от импульса,

mdv/dt

:;t:

ибо

d(mv)/dt.

Обратим внимание на два частных случая:

1.

Если

u

= О, т. е. масса при соединяется или отделяется без

скорости относительно тела, то
мает

R

= О и уравнение

(3.13)

прини­

вид

dv
m(t)- =F,
dt

(3.14)

m


Глава

84
где

3

масса тела в данный момент времени. Это уравнение

m(t) -

определяет, например, движение платформы, из которой сво­

бодно высыпается песок (см. задачу

2.

Если

u = -v,

3.7,

п.

1).

т. е. присоединяемая масса неподвижна в вы­

бранной системе отсчета или отделяемая масса становится не­
подвижной в этой системе, то уравнение

гой вид:

(3.13)

принимает дру­

или

m(dvjdt) +(dmjdt)v =F,

d

-(mv) =F.
dt

(3.15)

Иначе говоря, в этом частном случае
действие силы

F

менной массой.

-

и только этом

-

определяет изменение импульса тела с пере­
Данный случай реализуется,

например,

при

движении платформы, нагружаемой сыпучим веществом из не­

подвижного бункера (см. задачу

3.7,

п.

2).

Рассмотрим пример на применение уравнения Мещерского.
Пример. Ракета движется в инерциальной К -системе отсчета в отсут­
ствие внешнего силового поля, причем так, что газовая струя

испускается с постоянной относительно ракеты скоростью
Найдем зависимость скорости

v

u.

ракеты от ее массы т, если в

момент старта ее масса была равна то.
В данном случае

F =
dv

О и из уравнения

(3.13)

следует

= udm/m.

Проинтегрировав это выражение с учетом начальных усло­

вий, получим

v = -u ln

(т о/т ),

(1)

где знак минус показывает, что вектор

v

(скорость ракеты)

противоположен по направлению вектору
что скорость ракеты в данном случае
времени сгорания топлива:

v

u. Отсюда видно,
(u = const) не зависит от

определяется только отношени­

ем начальной массы то ракеты к оставшейся массе т.

Заметим, что если бы вся масса горючего была одновременно
выброшена со скоростью

u

относительно ракеты, то скорость

последней оказалась бы иной. Действительно, если ракета
вначале покоилась в выбранной инерциальной системе отсче­
та, а после одновременного выброса всего горючего приобрела

m


85

3акон сохранения импульса

скорость У,

то

из

ракета-горючее

о
где

(u +

У)

закона сохранения

импульса для

системы

следует

= тУ + (то

-m)(u + У),

скорость горючего относительно данной систе­

-

мы отсчета. Отсюда

v
Скорость

= -u( l-т/т о ).

(2)

ракеты в этом случае оказывается меньше, чем в

v

предыдущем (при одинаковых значениях отношения то/т).
В этом нетрудно убедиться, сравнив характер зависимости

v

от то/т в обоих случаях. С ростом то/т в первом случае
(когда вещество отделяется непрерывно) скорость
согласно

(1),

v

ракеты,

растет неограниченно, во втором же (когда ве­

щество отделяется одновременно) скорость У, согласно
стремится

к

пределу,

равному

(2),

- u.

Задачи

3.1.

Частица с импульсом
Пусть а и Ь

1)

ри)

= а + t (1 -

Tи вектор

2) F(t)

-

p(t) движется под действием силы F(t).
постоянные векторы, причем а ..1 Ь. Полагая, что:

F

at) Ь,

где а

положительная постоянная, най­

-

в те моменты времени, когда

= а + 2tb

и р(О)

= ро'

где ро

-

F.lp;

вектор, противоположный

по направлению вектору а, найти вектор р в момент

окажется повернутым на

Реш е н и е.

1.

Сила

900

t o, когда он

по отношению к вектору ро.

F = dp/dt = (1 - 2at)b,

т. е. вектор

время перпендикулярен вектору а. Следовательно, вектор
перпендикулярен вектору р в

при Ь в выражении для

t2

= 1/ а.

p(t)

F

все

будет

когда коэффициент

обращается в нуль. Отсюда

Соответствующие значения вектора

F1 = Ь,
2.

те моменты,

F

F

t1

=О

И

равны:

F2 = -Ь.

Приращение вектора р за промежуток времени

dt

есть

dp = Fdt.

Интегрируя это уравнение с учетом начальных условий, находим

t

J

р - ро = Fdt = at + bt 2 ,
о

где, по условию, ро противоположен вектору а. Вектор р окажется
перпендикулярным вектору ро в момент

момент р

t o,

когда

at o

= ро.

В этот

= (ро/а)2ь.

m


Глава

86

3.2.

3

Орудие массы т соскальзывает по гладкой наклонной плоскости,
составляющей угол а с горизонтом. В момент, когда скорость ору­
дия оказалось равной

v,

произвели выстрел, в результате которо­

го орудие остановилось, а вылетевший в горизонтальном направ­

лении снаряд «унес»
стрела

"[".

равна

реакции

R

импульс р. Пусть продолжительность вы­

Найти

среднее

за

это

't

р

значение

силы

со стороны наклонной плоскости.

Реш е н и е. Здесь система орудие
время

время

эта

система

получает

-

снаряд незамкнутая. За

приращение

импульса,

равное

Изменение импульса системы обусловлено действием двух

- mv.

внешних сил: силы реакции

R

плоскости) и силы тяжести

mg.

(она перпендикулярна наклонной
Поэтому

р

<R> тора R.
где

mg't

= mv = <R>'t + mg't,

среднее за время

Это

't

соотношение

значение век­

очень

представить графически (рис.

3.6).

ного

что

рисунка

сразу

значение модуля

<R>

видно,

полезно

Из дан­
искомое

определяется форму­

лой
Рис.

3.3.

<В>

3.6

= (р sin а + mg't COS а) / "[".

Закон сохранения импульса. Две тележки, каждая массы М, дви­
жутся друг за другом по инерции (без трения) с одинаковой ско­

v o.

ростью

На задней тележке находится человек массы т. В неко­

торый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью

u

относительно своей тележки. Какой стала скорость передней те­

лежки?
Реш е н и е. Импульс всей системы в результате того, что чело­
век перепрыгнул из задней тележки
ся,

в переднюю

1,

не изменит­

поэтому

(2М
где

2

vl

и

v2 -

+ m)vo = MV2 + (М + m)vl'

конечные скорости тележек.

Аналогично запишем баланс импульсов для задней тележки с че­
ловеком (до и после перепрыгивания):

(М
где

(v2 + u) -

лотна

+ m)vo = MV2 + m(v2 + u),

скорость спрыгнувшего человека относительно по­

дороги.

m


Закон сохранения импульса

87

Из этих двух уравнений следует, что

У1

3.4.

= уо

+

тМ

(т +М)

2

u.

На краю покоящейся тележки массы М стоят два человека, каж­
дый массы т. Пренебрегая трением, найти скорость тележки по­
сле того, как оба человека спрыгнут с одной и той же горизонта­
льной

2)

скоростью

u

относительно

тележки:

1)

одновременно;

друг за другом. В каком случае скорость тележки будет больше

и во сколько раз?
Реш е н и е.

1.

Согласно закону сохранения импульса,
Му'

где у'

-

+

2т(у'

скорость тележки, (у'

= О,

+ u)

+ u) -

скорость человека (обе ско­

рости относительно полотна дороги). Отсюда
у'

2.

В

этом

спрыгнул

случае
один

=-

2т
М+2т

необходимо

человек,

записать

два

уравнения.

Когда

то

(М +т)у'+т(у'+

где у' -

u.

u) =0,

скорость тележки с оставшимся вторым человеком. Ког­

да же спрыгнул другой человек, то
(М

где у" -

+

= Му" + т(у" +

т)у'

u),

скорость пустой тележки.

Исключив из последних двух уравнений у', найдем

"
v =-

(2М
(М

+ 3т)т
u.
+ т)(М + 2т)

Отношение скорости тележки

1)

случае

2)

к скорости

v' в

случае

равно

v"

m

v'

2(М+т)

- =1 +
3.5.

v" в

Центр масс.

> 1.

Через блок перекинут шнур, на одном конце которо­

го находится лестница с человеком, а на другом конце

вешивающий груз массы М (рис.

3.7).

-

уравно­

Человек, масса которого т,

m


Глава

88

3

совершил вверх перемещение ~r' относительно лестницы и оста­
новился. Пренебрегая массами блока и шнура, найти перемеще­
ние центра масс этой системы.

Реш е н и е. В системе отсчета, связанной с осью блока, положе­
ние центра масс данной системы характеризуется радиусом-векто­
ром

rc = [Mr1 + (М - m)r2 + тrз ]/2М,
где

r 1, r 2

и rз

-

радиусы-векторы центров

масс уравновешиваю-

щего груза, лестницы и человека

-

все относи­

TeльHo некоторой точки О выбранной системы
отсчета. Отсюда перемещение центра масс сис­
темы

~rc

= [M~rl

+

(М

-

т )~r2

+

т~rз ]/2М,

~r'
где ~rl' ~r2 и ~rз

-

перемещения уравновеши­

вающего груза, лестницы и человека. Имея в
виду,

что

М
М-т
Рис.

получим

3.7

в

результате

~rc

= (т/2М )~r'.

Таким образом, перемещение центра масс всей системы совпадает
по

направлению

с

перемещением человека относительно

лестни­

цы, и полученный результат не зависит от характера движения
человека.

3

а м е ч а н и е. На первый взгляд может показаться, что данная

система «замкнута~, т. е. результирующая всех внешних сил рав­

на нулю, и центр масс системы не должен переместиться. Однако
это не так. Когда человек начинает подниматься, он действует на
лестницу с дополнительной силой, направленной вниз. В резуль­
тате натяжение шнура возрастает и внешняя сила, действующая

на систему со стороны подвеса, окажется больше суммарной силы
тяжести. Поэтому результирующая всех внешних сил будет на­
правлена вверх

-

она и обусловливает перемещение вверх центра

масс всей системы.

3.6.

Ц-система. Две небольшие шайбы, массы которых т 1 и т 2 , связаны
между собой нитью длины

l

и движутся по гладкой горизонтальной

плоскости. В некоторый момент скорость одной шайбы равна нулю,

m


3акон сохранения импульса

а другой

3.8,

-

v,

89

причем ее направление перпендикулярно нити (рис.

а). Найти силу натяжения нити в процессе движения.

а)

Рис.

3.8

Реш е н и е. Перейдем в систему центра масс

-

Ц-систему.

В этой системе отсчета шайбы движутся по окружностям вокруг
центра масс С (рис.

3.8,

б), поэтому искомая сила

(1)
где

v1

скорость шайбы массы

-

m 1 , II -

радиус окружности, по

которой она движется. Подобное выражение можно было бы, ко­
нечно, записать и для другой шайбы

Найдем значения
что отношение

это несущественно.

и и 1 • В примере на с.

показано,

= m2/ml.

этих двух

II

II /l2

-

Кроме

77-78 было
того, II + l2 = l. Из

соотношений следует

(2)
Далее,

скорость

у'

Vc = m2v/(m1 + m2).

= v1

-

VC.

в

нашем

случае

v1 = О

И

Поэтому модуль вектора У 1

(3)
Эта величина в процессе движения остается постоянной.
После подстановки

3.7.

(2)

и

(3)

в

(1)

получим

Движение тела переменной массы. Железнодорожная платформа
в момент

t =

силы тяги

F.

О начинает двигаться под действием постоянной

Пренебрегая трением в осях, найти зависимость от

времени скорости платформы

v(t),

если:

m


Глава

90

1)

3

платформа нагружена песком, который высыпается через от­

верстие в ее дне с постоянной скоростью

j.l

(кг/с), а в момент

t = О

масса платформы с песком равна то;

2)

на платформу, масса которой то, в момент

t = О начинает вы­

сыпаться песок из неподвижного бункера так, что скорость по­
грузки постоянна и равна

j.l

Реш е н и е.

1.

нение

имеет вид (то -

(3.13)

кг/с.

В этом случае реактивная сила равна нулю и урав­

dv

= F,

j.lt)dv /dt

= Fdt/(m o -

откуда

j.lt).

Проинтегрировав это уравнение с учетом начальных условий, по­
лучим

2.

Здесь горизонтальная составляющая реактивной силы (а только

R = j.l( -v), где v - скорость
(3.13) приводится к виду (3.15),

эта составляющая нас и интересует)

платформы. Поэтому уравнение
или

d(mv)

= Fdt.

Интегрирование с учетом начальных условий дает

mv
где т

= то

+ j.lt.

= Ft,

Отсюда

v = Ft/(m o +j.lt).
Полученные в обоих случаях выражения справедливы, разумеет­
ся, лишь в процессе разгрузки (или погрузки) платформы.

3.8.

Ракета поддерживается в воздухе на постоянной высоте, выбрасы­
вая вертикально вниз струю газа со скоростью

1) сколько

u.

Найти:

времени ракета сможет оставаться на этой высоте, если

начальная масса топлива составляет l1-Ю часть ее массы (без топ­
лива);

2)

какую массу j.l(t) газов должна ежесекундно выбрасывать раке­

та, чтобы оставаться на постоянной высоте, если начальная масса
ракеты (с топливом) равна то.

Реш е н и е.
мет

1.

В данном случае

dv /dt

=О

и уравнение

(3.13)

при­

вид

mg + (dm/dt)u

= О,

m


Закон сохранения импульса

или

после

91

разделения

переменных

dm/m = -(g/u)/dt.

(1)

Интегрирование этого уравнения дает

ln(m/m o ) = -(g /и )t.

(2)

Отсюда

t = (u/g)ln(mo/m) = (u/g)ln(1 + 11),
где учтено, что

2.

11 = (то -

Из уравнения

(1)
~

т )/т.

предыдущего пункта следует, что

= -dm/dt = (g /и )т,

где т находим из (2): т
~

= тое -gt/u.

В результате

= ( g /u) то е-gt/u .

По такому закону ~ меняется со временем в течение промежутка
времени, найденного в п.

3.9.

1.

Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально
вверх в однородном поле тяжести. Первоначальная масса ракеты

(с топливом) равна то. Скорость газовой струи постоянна и равна

u

относительно

найти скорость
подъема

ракеты.

v

Пренебрегая

сопротивлением

ракеты в зависимости от ее массы т и времени

t.

Реш е н и е. Запишем уравнение движения ракеты

(3.13) -

воздуха,

-

уравнение

в проекциях на вертикальную ось с положительным на­

правлением

вверх:

dv
dm
m-=-mg-u--.
dt
dt
Перепишем это уравнение так:

d
dm
m-(v + gt) = -и-,
dt
dt
откуда

d(v + gt) = -и dm/m.
Проинтегрировав с учетом начальных условий последнее уравне­
ние,

получим

v + gt = -и ln(m/m o ).

m


Глава

92

3

Искомая скорость ракеты

v = и ln(mo/m) - gt.
3.10.

Космический корабль массы то движется в отсутствие внешнего
силового поля с постоянной скоростью

v o.

Для изменения на­

правления движения был включен реактивный двигатель, кото­

рый стал выбрасывать струю газа с постоянной относительно ко­
рабля скоростью

u,

причем вектор

u

все время перепендикуля­

рен направлению движения корабля. В конце работы двигателя
масса корабля стала равна т. На какой угол изменилось направ­
ление движения корабля за время работы двигателя?
Реш е н и е. Найдем приращение вектора скорости корабля за

промежуток времени

dt

и учитывая, что

dt.
F =

Умножив обе части уравнения

dv
Здесь
тору

dm < о.

v

(3.13)

на

о, получим

= udm/m.

Так как вектор

u

все время перпендикулярен век­

(скорости корабля), то модуль вектора

v

не изменяется и

I = v o. От­

остается равным своему первоначальному значению: vl
сюда следует, что угол поворота
ляется

da

вектора

v

за время

dt

опреде­

как

da =Idvl/v o =(u/vo)ldm/ml.
Проинтегрировав это уравнение, найдем

а

= (u/vo)ln(mo/m).

m


rllaBa 4
Закон сохранения энергии

....

§ 4.1.

Работа и мощность
Работа

Пусть частица под действием силы

ние по некоторой траектории
сила

1-2

F

(рис.

совершает перемеще­

4.1).

В общем случае

в процессе движения частицы может изменяться как по

F

модулю, так и по направлению. Рассмотрим элементарное пе­

ремещение

в пределах которого силу

dr,

F

можно считать по­

стоянной.

Действие силы
ной,

равной

Fdr,

которую

где а

-

называют

=

и

в

dr

характеризуют величи-

произведению

другом

dr.

Ее

виде:

F cos ads = Fsds,

угол между векторами

F

и

dr,

ds = Idr I - элементарный путь, F s - про­
екция вектора F на вектор dr (рис. 4.1).
Итак, элементарная работа силы F на
БА
Величина БА

ду векторами
вектор

dr)

2

элементарной

на перемещении

F

представить

Fdr

на перемещении

скалярному

работой силы
можно

F

F

и

Рис.

4.1

перемещении

dr

= Fdr = Fsds.

(4.1)

алгебраическая: в зависимости от угла меж­

dr

(или от знака проекции

Fs

вектора

F

на

она может быть как положительной, так и отрицате­

льной и, в частности, равной нулю (если

F..ldr, т. е. F s = О).
Суммируя (интегрируя) выражение (4.1) по всем элементар­
ным участкам пути от точки 1 до точки 2, находим работу
силы F на данном пути:

А

2

=

2

fFdr =

f Fsds.

1

1

(4.2)

m


Глава

94

Отметим следующее важное обстоятельство: формула

4

(4.2)

справедлива не только для частицы, но и вообще для любого

тела (или системы тел). Надо только иметь в виду, что под
(или
силы

dr

ds) следует понимать перемещение точки nриложения
F. Игнорирование этого обстоятельства зачастую приво­

дит к ошибочным результатам.
Выражению

(4.2)

можно придать наглядный геометриче­

ский смысл. Изобразим график

как функцию положения

Fs

частицы на траектории. Пусть, например, этот график имеет

вид, показанный на рис.

Из рисунка видно, что элемен-

4.2.

тарная

работа

площади

БА

численно

заштрихованной

полоски,

а работа А на пути от точки
ки

2 -

21 s

s.

-1

При

осью
Рис.

s

этом

площадь

до точ­

1

и

2

и осью

фигуры

над

берется со знаком плюс (она

соответствует

4.2

1

площади фигуры, ограничен­

ной кривой, ординатами

O~~~----~~----~~

равна

положительной

рабо­

те), а площадь фигуры под осью

s -

со знаком минус (она соответствует отрицательной работе).
Рассмотрим несколько примеров на вычисление работы.

Работа упругой силы
Работа упругой силы

F

=

-xr,

r - радиус-вектор части­
4.3, а). Переместим частицу

где

цы М относительно точки О (рис.

М, на которую действует эта сила, по произвольному пути из
точки

F

1

в точку

2.

Найдем сначала элементарную работу силы

на элементарном перемещении

БА =
Скалярное произведение

dr

на вектор

вектора

r.

r.

Fdr = -xrdr.
r dr

Эта проекция

Поэтому

r dr
БА

=

dr:

r dr

(dr) r'
равна dr = r

где

(dr) r

-

проекция

приращению модуля

и

= -xrdr = -d(xr2 /2) .

Теперь вычислим работу данной силы на всем пути, т. е.
проинтегрируем последнее выражение от точки

1

до точки

2:

m


Закон сохранения энергии

95

А =

-!2d(2]

2

хг

= ХГ1

2

2

1

2

ХГ2

_

•

(4.3)

2

Работа гравитационной (или кулоновской) силы
Пусть в точке О (рис.
вой центр
силой

F,

-

4.3,

б) находится неподвижный сило­

материальная точка, действующая на частицу М с

которая как для гравитационного, так и для кулонов­

ского взаимодействий может быть представлена в виде

F
где а

-

=(ajr 2 ) e r

,

соответствующая постоянная (-"{т1т2 или kQlQ2)' r -

расстояние от точки О до частицы М,

а)

er

орт радиуса-вектора

-

б)

1
/

1

2

/

/

/

I

2

/

/

/

/

/'

Г2

/
/

/

I

/
'/

О

/

Г2

/
/
'/

О
Рис.

4.3

Элементарная работа этой силы на перемещении
БА

вектора

r,

dr

2

=Fdr =(ajr )erdr.

Скалярное произведение
модуля

r.

erdr

=

dr,

т. е. равно приращению

поэтому

БА

= adrjr 2 = -d(ajr).

Работа же этой силы на всем пути от точки

1

до точки

2
(4.4)

m


Глава

96

4

Работа однородной силы тяжести
Запишем эту силу в виде
ной оси
(рис.

F

= -mgk, где

орт вертикаль­

k -

Z,

положительное направление которой выбрано вверх

4.4).

Элементарная работа силы тяжести на перемещении

dr
БА

= Fdr = -mgkdr.

Скалярное произведение
на орт

равная

k,

kdr =dz

kdr

=

(dr)k'

где

проекция

(dr)k -

dr

приращению координаты г. Поэтому

dz -

и
БА =

-mgdz = -d (mgz).

Работа данной силы на всем пути от точки

А

до точки

1

2

2

=-

Jd(mgz)=mg(zl -г2).

(4.5)

1

Рассмотренные силы интересны в том отношении, что их ра­

z

2

бота, как видно из

не

зависит от формы пути между точ­

KaMи

1

и

2,

ложения
важная

а зависит только от по­

этих

точек.

особенность

присуща,

k

(4.3)-(4.5),

однако,

Эта

весьма

данных

не

всем

сил

силам.

Например, сила трения этим свой­

mg

1

ством

не

обладает:

работа

этой

силы зависит не только от положе­

Рис.

ния начальной и конечной точек,

4.4

но и от формы пути между ними.

До сих пор речь шла о работе одной силы. Если же на части­
цу в процессе движения действуют несколько сил, результиру­

ющая которых

F

результирующей

F 1 +F 2 + ... , то нетрудно показать, что работа
силы F на некотором перемещении равна ал­

=

гебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в от де­
льности на том же перемещении. Действительно,

m


Закон сохранения энергии

97

Единицей работы в СИ является джоуль (Дж). Джоуль
работа силы в

1

Н на пути

1

1

это

м (при условии, что направление

силы совпадает по направлению с перемещением), или
=

-

1

Дж =

Н·м.

МОЩНОСТЬ
Для характеристики скорости, с которой совершается рабо­
та, вводят величину, называемую мощностью. Мощность, по

определению,

-

это работа, совершаемая силой за единицу

времени. Если за промежуток времени
боту

Fdr,

dt

сила

F

совершает ра­

то мощность, развиваемая этой силой в данный мо­

мент времени, есть Р =

Fdr/dt.

Учитывая, что

dr/dt

=

v,

полу­

чаем

Ip =Fv·1

(4.7)

Таким образом, мощность, развиваемая силой

F,

равна ска­

лярному произведению вектора силы на вектор скорости, с ко­

торой движется точка приложения данной силы. Как и работа,
мощность

-

величина алгебраическая.

Зная мощность силы

F,

можно найти и работу, которую со­

вершает эта сила за промежуток времени
ставив

подынтегральное

Fdr = Fvdt = Pdt,

выражение

t.

В самом деле, пред­

в формуле

(4.2)

в

виде

получим

t

J

А = Pdt.
о

Единицей мощности в СИ является ватт (Вт), равный джо­
улю в секунду (Дж/с).

в заключение обратим внимание на одно весьма существен­
ное обстоятельство. Когда говорят о работе (или мощности), то
необходимо в каждом конкретном случае четко указывать или
представлять себе, работа какой именно силы (или сил) имеет­
ся в виду. В противном случае, как правило, неизбежны недо­
разумения.

m


Глава

98

4

§ 4.2. Консервативные силы.
Потенциальная энергия
Консервативные силы
Если в каждой точке пространства на помещенную туда час­
тицу действует сила, то частица находится в поле сил. Так, на­
пример, частица может находиться в поле сил тяжести, в поле

упругих сил, в поле сил сопротивления (в потоке жидкости,
газа) и т. д.
Поле, остающееся постоянным во времени, называют стаци­

онарным. Стационарное поле в одной системе отсчета может
оказаться нестационарным в другой системе отсчета. В стацио­
нарном силовом поле сила, действующая на частицу, зависит
только

от

ее

положения.

Работа, которую совершают силы поля при перемещении ча­
стицы из точки

1

в точку

2,

зависит, вообще говоря, от пути

между этими точками. Вместе с тем имеются стационарные си­

ловые поля, в которых работа, совершаемая над частицей сила­
ми поля, не зависит от пути между точками
дающие

таким

u

своиством,

называют

1

и

2.

Силы, обла-

консервативными

*.

Это свойство консервативных сил можно сформулировать и иначе:
а

силы поля являются консервативными, если

в стационарном случае их работа на любом

2
1

замкнутом пути равна нулю. Чтобы убедиться в этом, разобьем произвольный замкну­
тый контур на две части:

1 а2

и 2Ы (рис.

4.5).

Тогда работа А на замкнутом пути
Рис.

4.5

Нетрудно сообразить, что А 2ы

А так
А 1а2

как

= А 1ь2 ,

в

нашем

случае

= -А 1ь2 ,

работа не

поэтому

зависит

пути,

т.

е.

то В результате и оказывается, что работа на произволь­

ном замкнутом пути действительно равна нулю: А

*

от

=

о.

Их называют также nотенцuальнымu.

m


Закон сохранения энергии

99

Все силы, не являющиеся консервативными, называют не­

консервативными. К числу неконсервативных сил относятся,
например, силы трения и сопротивления. Работа этих сил зави­
сит, вообще говоря, от пути между начальным и конечным по­
ложениями частицы (и не равна нулю на любом замкнутом
пути).

Поле центральных сил
Всякое силовое поле вызывается действием определенных

тел. Сила, действующая на частицу М в таком поле, обусловле­
на взаимодействием этой частицы с данными телами. Силы, за­
висящие только от расстояния между взаимодействующими ча­
стицами и направленные по прямой, проходящей через эти час­
тицы,

называют

являются

силы

центральными.

гравитационные,

Примером

кулоновские

и

последних
упругие.

Центральную силу, действующую на частицу М со стороны

частицы О, можно представить в виде

(4.8)
где

'(г)

фукнция,

-

зависящая

при

данном характере взаимодействия то­

r -

лько от

ми;

er

расстояния между частица­

единичный вектор, задающий

-

направление

радиуса-вектора

частицы

М относительно частицы О (рис.

4.6).

Оказывается, центральные силы яв­
ляются консервативными. Для дока­
зательства этого утверждения найдем

сначала

работу

центральной

силы

о
Рис.

в

4.6

случае, когда силовое поле вызвано наличием одной неподвиж­

(4.8) на
erdr = dr -

ной частицы о. Элементарная работа силы

нии

dr

есть БА =

вектора

r

dr

(см. рис.

F dr

на вектор

4.6),

f (г) е r dr.

=

er

1

проекция

или на соответствующий радиус-вектор

то БА = '(г)

ном пути от точки

Так как

перемеще­

Работа этой силы на произволь­

dr.

до точки

А 12

2

2

=

Jf(r)dr.
1

m


Глава

100
Полученное

выражение

зависит только

от

4

вида функции

{(г), т. е. от характера взаимодействия и от значений Г 1 и Г2 -

начального и конечного расстояний между частицами М и О.
От пути оно никак не зависит.
Обобщим полученный результат на стационарное силовое
поле, вызванное наличием совокупности неподвижных частиц,

действующих на частицу М с силами

F l' F 2' ••• '

каждая из кото­

рых является центральной. В этом случае работа результирую­
щей силы при перемещении частицы М из одной точки в дру­

гую равна алгебраической сумме работ отдельных сил. А так
как работа каждой из этих сил не зависит от пути, то и работа
результирующей силы также не зависит от пути.

Вывод: поскольку центральные силы обладают таким свой­
ством,

они

являются

консервативными.

Потенциальная энергия частицы в поле
То обстоятельство, что работа консервативных сил в случае
стационарного поля зависит только от начального и конечного

положений

частицы,

дает

возможность

ввести

чрезвычайно

важное понятие потенциальной энергии.

Представим себе стационарное поле консервативных сил, в
котором мы перемещаем частицу из разных точек Р i В некото­
рую фиксированную точку о. Так как работа сил поля не зави­
сит

от

пути,

то

остается

зависимость

ее

только

от

положения

точки Р (при фиксированной точке О). А это значит, что дан­
ная работа будет некоторой функцией радиуса-вектора
Р. Обозначив эту функцию

U(r),

r

точки

запишем

о

А ро

=

JFdr

= U(r).

(4.9)

р

Функцию

1
2

U(r)

называют потенциальной

энергией частицы в данном поле.

Найдем работу сил поля при перемеще­
нии

частицы

(рис.

4.7).

пути,

О

из

точки

1

в

точку

2

Так как работа не зависит от

выберем

путь,

проходящий

через

точку о.
Рис.

4.7

m


3акон сохранения энергии

Тогда работа на пути

или с учетом

101
может быть представлена в виде

102

(4.9)

А 12

2

=

JF dr

=

И1

И2 •

-

( 4.1 О)

1

Выражение,

стоящее

справа,

есть

убыль *

потенциальной

энергии, т. е. разность значений потенциальной энергии части­
цы в начальной и конечной точках пути.

Таким образом, работа сил поля на пути

1 - 2

равна убы­

ли потенциальной энергии частицы в данно,м поле.
Очевидно,

частице,

находящейся в точке О поля,

всегда

можно приписать любое наперед выбранное значение потенциа­
льной энергии. Это соответствует тому обстоятельству, что ра­
бота сил поля определяет лишь разность потенциальных энер­
гий в двух точках, но не их абсолютное значение. Однако как
только фиксирована потенциальная энергия в какой-либо точ­
ке,

значения

ее

во

всех

определяются формулой
Формула

(4.10)

остальных

точках

поля

однозначно

(4.10).

позволяет найти выражение

U(r)

для любого

стационарного поля консервативных сил. Для этого достаточно
вычислить работу, совершаемую силами поля на любом пути
между двумя точками, и представить ее в виде убыли некото­
рой функции, которая и есть потенциальная энергия

*

U(r).

Изменение какой-либо величины Х можно характеризовать либо ее прираще­

нием, либо убылью. Приращением величины Х называют разность конечного
(Х 2 ) и начального (Х 1 ) значений этой величины:
приращение /1Х = Х 2 - Х 1 •

Убылью величины Х называют разность ее начального (Х 1 ) и конечного (Х2 )
значений:

убыль Х 1 - Х 2

= -/1Х,

т. е. убыль величины Х равна ее приращению, взятому с обратным знаком.
Приращение и убыль

-

величины алгебраические: если, например, Х 2

< Х1 ,

то приращение отрицательно, а убыль положительна.

m


Глава

102

4

Именно так и было сделано при вычислении работы в полях
упругой и гравитационной (кулоновской) сил, а такдже в одно­
родном поле сил тяжести [см. формулы
формул

сразу

видно,

что

потенциальная

(4.3)-(4.5)].
энергия

Из этих

частицы

в

данных силовых полях имеет следующий вид:

1)

в поле упругой силы

и(г)

2)

=

(4.11)

в гравитационном (кулоновском) поле материальной точки

и(г)

3)

хг2 /2;

= а/г;

(4.12)

в однородном поле сил тяжести
И(г) =

(4.13)

mgz.

Еще раз отметим, что потенциальная энергия

U -

функция,

которая определяется с точностью до прибавления не которой
произвольной постоянной. Это обстоятельство, однако, совер­
шенно несущественно, так как в формулы входит только раз­

ность значений

U

в двух положениях частицы. Поэтому произ­

вольная постоянная, одинаковая для всех точек поля,

выпада­

ет. В связи с этим ее обычно опускают, что и сделано в трех
предыдущих

выражениях.

И еще одно важное обстоятельство. Потенциальную энергию
следует относить не к частице, а к системе взаимодействующих

между собой частицы и тел, вызывающих силовое поле. При
данном

характере

взаимодействия

потенциальная

энергия

взаимодействия частицы с данными телами зависит только от
положения

частицы

относительно

этих

тел.

Потенциальная энергия и сила поля
Взаимодействие

частицы

с

окружающими

телами

можно

описывать двумя способами: с помощью сил или с помощью по­
тенциальной энергии. В ньютоновской механике оба способа
используют одинаково широко. Однако первый способ обладает
несколько большей общностью, так как он применим и к таким
силам, для которых нельзя ввести потенциальную энергию (на­
пример, к силам трения). Второй способ применим только в
случае

консервативных

сил.

m


3акон сохранения энергии

Наша

задача

-

103

установить

связь

между

потенциальной

энергией и силой поля, точнее, определить поле сил

данной потенциальной энергии
частицы

в

F(r)

по за­

как функции положения

U(r)

поле.

Мы уже знаем, что при перемещении частицы из одной точ­

ки стационарного поля консервативных сил в другую работа,
которую производят силы поля, может быть представлена как
убыль потенциальной энергии частицы в данном поле, т.

А 12

= U 1 - U 2 = -I1и.

щению

dr,

Это относится и к элементарному переме­

а именно: БА =

-dU,

или

= -dU.

Fdr

(4.14)

I

Имея ввиду, что Fdr = F s ds, где ds = drl
путь, РВ

проекция вектора

-

уравнение

(4.14)

F

dr,

перепишем

= -dU,

убыль потенциальной энергии в направлении nере­

-dU -

мещения

на перемещение

элементарный

в форме

Fsds
где

е.

dr.

Отсюда

(4.15)
dr

т. е. проекция силы поля

правление перемещения

вектора

-

в данной точке на на­

равна с обратным знаком производ­

ной потенциальной энергии
вол д/ Bs

F -

U

по данному направлению. Сим­

частной производной

подчеркивает, что произ­

-

водная берется по определенному направлению.

Перемещение

dr

можно взять в любом направлении, в част­

ности вдоль координатных осей Х, У,

z. Если перемещение dr,

например, параллельно оси Х, то его можно представить так:

dr = idx,

где

i -

орт оси Х,

Тог да работа силы

где РХ

-

F

dx -

приращение координаты х.

на перемещении

проекция вектора

F

на орт

dr,

i

параллельном оси Х,

(а не на перемещение

dr,

как в случае Р В ). Подставив последнее выражение в уравнение

(4.14),

получим

Р Х =-дИ/дх,

m


Глава

104

4

где символ частной производной означает, что и(х, у, г) при
дифференцировании должна рассматриваться как функция од­
ного аргумента х, остальные же аргументы должны оставаться

при этом постоянными. Ясно, что для проекций Ру и

ния будут аналогичны уравнению для

Fz

уравне­

F х.

Итак, взяв с обратными знаками частные производные фун­
кции

на

F

U

по х, у и г, мы найдем проекции Рх ' Ру и

орты

= Fх i

и

i, j

Отсюда

k.

+ F у j + F z k,

легко

найти

и

Fz

вектора

сам

F

вектор:

или

F

= -

(ди i + ди j + ди kJ .
дх

ду

( 4.16)

дг

Величину, стоящую в скобках, называют градиенто.м ска­
лярной фукнции

U

и обозначают

grad U

или

vu. Мы будем по­

льзоваться вторым, более удобным, обозначением, где

V

(~Ha­

бла») означает символический вектор или оператор
t7

v

Поэтому

VU

•

д

. д

k д

=1-+J-+ - .
дх

ду

(4.17)

дг

формально можно рассматривать как произве­

дение символического вектора

V

на скаляр и.

Таким образом, связь между силой поля и потенциальной
энергией как функцией координат можно представить в следу­
ющем

компактном

виде:

( 4.18)
т. е. сила поля

F

равна со знако.м .минус градиенту потенциа­

льной энергии частицы в данной точке поля. Формула

позволяет, зная функцию

U(r),

восстановить поле сил

(4.18)
F(r).

Пример. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид:
а) U(х, у)

б)

U(r)

точки

= -аху,

= ar,

где а

где а

-

-

постоянная;

постоянный вектор,

r -

радиус-вектор

поля.

Найдем соответствующее каждому случаю поле сил:
а

) F

дU.)
= - ( -дU.1 + ) = а (.
Yl + Х).)
дх

ду

;

m


3акон сохранения энергии

105

б) представим функцию

F

=-

U

в виде

U

= ахх + ауу + azz;

.
k)
1 +ди.
- ) +ди
- kJ =- (
a x.l+a y )+a
(-ди.
z
дх
ду
дг

тогда

=-а.

Смысл градиента станет нагляднее и яснее, если ввести по­
нятие

эквипотенциальной

-

поверхности

поверхности,

всех точках которой потенциальная энергия
же значение.
своя

Ясно,

эквипотенциальная

Из формулы

(4.15)

имеет одно и то

U

что каждому значению

во

U

соответствует

поверхность.

следует, что проекция вектора

F

на лю­

бое направление, касательное к эквипотенциальной поверхно­
сти в данной точке, равна нулю. Это значит, что вектор

F

нор­

мален эквипотенциальной поверхности в данной точке. Далее,

возьмем перемещение дв по нормали к эквипотенциальной по­
верхности в сторону уменьшения и, тогда ди

(4.15), F s >0,
и. А так как

т. е. вектор

F

F

<О

и, согласно

направлен в сторону уменьшения

противоположен по направлению вектору

то мы приходим К выводу, что градиент

U -

VU,

это вектор, на­

правленный по нормали к эквипотенциальной поверхности в

сторону возрастанаи,я потенциальной энергии и.

Сказанное поясняет рис.
сящийся

к

двумерному

4.8,

отно-

случаю.

Иt

и2

из

Ц,

На

нем изображены система эквипотенци­

алей (и 1

< U 2 < U 3 < U 4)'

/'vu

а также гра­

диент потенциальной энергии
ответствующий вектор силы

VU

F

и со­

в точке

А поля. Полезно подумать, какими бу­
дут

векторы

этих

двух

величин,

на­

пример в точке В данного поля.
в заключение заметим, что можно

Рис.

4.8

говорить о градиенте не только функции и, но и любой другой
скалярной функции координат. Понятие градиента широко ис­
пользуется в самых различных разделах физики.

Поиятие поля
Опыт показывает, что в случае гравитационных и электро­
статических взаимодействий сила

F,

действующая на интересу­

ющую нас частицу со стороны окружающих тел, пропорциона-

m


Глава

106
льна массе (или заряду) частицы, причем сила
представлена

случае

в

виде

произведения

двух

F

величин,

4

может быть
например

в

тяготения

(4.19)

F=mG,

-

где т

масса частицы,

некоторый вектор, зависящий

G -

как от положения частицы, так и от свойств окружающих тел.

Это открывает возможность иной физической интерпрета­
ции взаимодействия, связанной с понятием поля. А именно: го­
ворят, что интересующая нас частица находится в поле, созда­
ваемом окружающими ее телами и характеризуемом вектором

Или, иначе, считают, что в каждой точке пространства

G (r).

вокруг этих тел (источников поля) создаются такие условия
(вектор

G),

при которых частица, помещенная в эти точки, ис­

пытывает действие силы
рактеризуемое
нем

частица

Вектор

G

G(r),

или

(4.19),

причем считают, что поле, ха­

существует безотносительно к тому, есть в

нет

*.

называют напряженностью поля. Напряженность

электрического поля обозначают Е. Сила
точечный заряд

q

гичный

т. е.

(4.19),

F,

действующая на

в электростатическом поле, имеет вид, анало­

F

=

qE.

Далее в этом параграфе мы будем пользоваться величинами
т и

G,

чить

т. е. рассматривать гравитационное поле. Чтобы полу­

соответствующие

соотношения

для

электростатического

поля, достаточно заменить в формулах т и

G

на

q

и Е.

Одно из важнейших свойств полей заключается в том, что
поле, образованное несколькими источниками, равно сумме по­
лей, созданных каждым из них. Точнее, напряженность

G

ре­

зультирующего поля в произвольной точке

(4.20)
где

Gi

-

напряженность поля

i-ro

источника в этой же точке.

Эта формула выражает nринциn суnерnозuцuu (или наложения)
полей.

*

Пока мы остаемся в рамках статики, понятие поля может рассматриваться

как чисто условное (формальное), введенное лишь для удобства описания яв­
лений. Однако при переход е к переменным полям выясняется, что понятие
поля имеет глубокий физический смысл: поле есть физическая реальность.

m


3акон сохранения энергии

Обратимся

(4.19),

к

формулу

107

потенциальной

(4.14)

эрегргии

можно записать так:

лив обе части на т и обозначив отношение

частицы.

mGdr
U lm

Согласно

= ~U. Разде­

через <р, полу­

чим

Gdr

=

-d<p,

( 4.21)

или

2

JGdr =<Р1 -<Р2·

(4.22)

1

Функцию <р

(r) называют потенциалом поля в точке с радиу­
сом-вектором r.
Формула (4.22) позволяет найти потенциал любого гравита­
ционного и электростатического поля. Для этого достаточно

J

вычислить интеграл G dr по произвольному пути между точ­
KaMи 1 и 2 и представить полученное выражение в виде убыли
некоторой функции, которая и есть потенциал <р (r). Так, по­
тенциалы гравитационного поля точечной массы т и кулонов­

ского поля точечного заряда

q

определяются, согласно

(4.12),

формулами

<ргр =

<р КУЛ =

---rymlr,

kq I r .

( 4.23)

Заметим, что потенциал <р, как и потенциальная энергия,
может быть определен только с точностью до некоторой произ­
вольной постоянной, также совершенно несущественноЙ. Поэ­
тому ее обычно опускают.
Итак, поле можно описывать или в векторном виде
в скалярном <р

(r).

G(r),

или

Оба способа адекватны. Практически же ока­

зывается, что второй способ описания поля (с помощью потен­
циала <р) в большинстве случаев значительно удобнее, и вот по­
чему.

1.

Зная <р

энергию

U

(r),

можно немедленно вычислить потенциальную

и работу сил поля А:

U =

2.

(4.24)

т<р,

Вместо трех компонент векторной фукнции

G(r)

проще за­

давать скалярную функцию <Р( r).

3.

Когда поле создается многими источниками, потенциал <р

рассчитывать легче, чем вектор

G:

потенциалы

-

скаляры, их

m


Глава

108

4

можно просто складывать, не заботясь о направлении сил. Дей­
ствительно, согласно

(4.20)

и

(4.21),

q>(r)

=

L q>i (r),

Таким образом

где

( 4.25)

потенциал, создаваемый i-й частицей в данной точке

q>i -

поля.

4.
поле

И наконец, зная функцию

G(r)

q> (r),

можно легко восстановить

как

G

( 4.26)

= -Vq>.

Эта формула непосредственно следует из

(4.18)

§ 4.3. Механическая энергия частицы в поле
Кинетическая энергия
Пусть частица массы т движется под действием некоторой

силы

F

(в общем случае сила

F

может быть результирующей

нескольких сил). Найдем элементарную работу, которую совер­

шает эта сила

ду, что

F

на элементарном перемещении

F = т dvjdt

и

dr = vdt,
БА

dv

Имея в ви­

запишем

=Fdr =mvdv.

Скалярное произведение
вектора

dr.

vdv = v(dv)v,

где

(dv)v -

проекция

на направление вектора у. Эта проекция равна

приращению модуля вектора скорости. Поэтому

dv vdv = v dv и

элементарная работа

БА =mvdv =d(mv 2 j2).
Отсюда видно, что работа результирующей силы

F

идет на

приращение некоторой величины (стоящей в скобках), кото­
рую называют кинетической энергией:

(4.27)

m


3акон сохранения энергии

109

Таким образом, приращение кинетической энергии частицы
при

элементарном

перемещении

равно

(4.28)

dК = БА,
а при конечном перемещении из точки

I К2

-К 1 =А 12 ,

1

в точку

2

(4.29)

I

т. е. приращение кинетической энергии частицы на некотором

nеремещении равно алгебраической сумме работ всех сил, дей­
ствующих на частицу на том же nеремещении. Если А 12

> О,

то К 2

> К l ' т. е. кинетическая энергия частицы увеличивается;
если А 12 < О, то кинетическая энергия уменьшается.
Уравнения (4.28) и (4.29) справедливы в инерциальных и
неинерциальных
действующих

ких-то

тел

системах

на

(сил

отсчета.

рассматриваемую

взаимодействия),

В последних
частицу

со

необходимо

кроме
стороны

сил,
ка­

учитывать

и

силы инерции. Поэтому под работой в этих уравнениях надо
понимать алгебраическую сумму работ как сил взаимодействия,

так

и

сил

инерции.

Полная механическая энергия частицы
Согласно

(4.28),

приращение кинетической энергии частицы

равно элементарной работе результирующей

F

всех сил, дейст­

вующих на частицу. Что это за силы? Если частица находится
в

интересующем

нас

стационарном

поле

консервативных

сил,

то на нее действует консервативная сила F п со стороны этого
поля. Кроме того, на частицу могут действовать и другие силы,
не имеющие отношения к данному силовому полю. Назовем их

стороnnими силами

F стор.

Отметим, что сторонние силы могут

быть и консервативными, и неконсервативными. Существенно,
повторяем, только одно
ресующего

нас

чтобы они не являлись силами инте­

-

силового

поля.

Таким образом, результирующая

F

всех сил, действующих

на частицу, может быть представлена как сумма

F = F п + F стор •

Работа этих сил идет на приращение кинетической энергии ча­
стицы:

I1К

= А сп + А стор '

m


Глава

110
где Асп -

гласно

работа сил поля, Астор -

4

работа сторонних сил. Со­

работа сил поля равна убыли потенциальной

(4.10),

энергии частицы: А сп = -/1и. Подставив это выражение в пре­
дыдущее и перенеся /1и влево, получим

+ /1и = /1( К + И) = А стор •

/1К

Отсюда видно, что работа сторонних сил идет на прираще­
ние К

+ и.

Эту величину

ной энергий

-

-

сумму кинетической и потенциаль­

называют полной механической энергией час­

тицы в поле и обозначают Е:

(4.30)
Заметим, что полная механическая энергия Е, как и потен­
циальная

и,

определяется

с

точностью

до

произвольной

постоянной.

Итак, из предыдущих двух уравнений следует, что прира­
щение полной механической энергии частицы в стационарном
поле консервативных сил при перемещении ее из точки
ку

2

1

в точ­

можно записать в виде

I Е2

-Е 1 = А стор '

I

(4.31)

т. е. приращение полной механической энергии частицы на не­

котором пути равно алгебраической сумме работ всех сторон­

них сил, действующих на частицу на том же пути. Если
А стор

> О,

то полная механическая энергия частицы увеличива­

ется, если А стор

< О,

то уменьшается.

Пример. Тело массы т бросили со скоростью

vo с

обрыва высотой

h

над

поверхностью воды. Найдем работу, которую совершила сила
сопротивления
упало

на

со

стороны

поверхность

воды

воздуха,
со

при

скоростью

условии,

что

тело

v.

Если рассматривать движение тела в поле сил тяжести, то

сила сопротивления со стороны воздуха будет сторонней и,
согласно уравнению

=

mv 2

(4.31), искомая
/2 - (mvg /2 + mgh) или
А стор

= m(v 2 -

2
V o )/2

работа А стор

= Е2

- Е1

=

- mgh.

Интересно, что полученная величина может оказаться не то­

лько отрицательной, но и положительной (это зависит, на­
пример, от характера ветра в процессе падения тела).

m


3акон сохранения энергии

111

Итак, полная механическая энергия частицы может измени­

ться под действием только сторонних сил. Отсюда непосредст­
венно вытекает закон сохранения механической энергии час­
тицы: если сторонние силы отсутствуют или таковы, что не

совершают работы в течение интересующего нас вре,м,ени, то
полная

,м,еханическая

энергия

частицы

в

стационарно,м,

поле

консервативных сил остается постоянной за это вре,м,я:

1Е =

К +и

=

(4.32)

const .1

у же в такой простейmей форме закон сохранения энергии
позволяет достаточно легко получать ответы на ряд важных во­

просов без при влечения уравнений движения, что часто сопря­
жено

с

проведением

громоздких

и

утомительных

расчетов.

Именно это обстоятельство и превращает законы сохранения в
весьма действенный инструмент исследования.
Проиллюстрируем возможности и преимущества, которые дает

применение закона сохранения

(4.32),

на следующем примере.

Пример. Пусть частица движется в одномерном стационарном поле,

где ее потенциальная энергия И(х)
имеет вид, как на рис.

4.9. Если
сторонние силы отсутствуют, то
полная

механическая

можно

в

процессе

движения

просто ответить,

Е1

и

например,

на следующие вопросы.

1.

Е2

энергия час­

тицы в данном поле, т. е. Е, не изменяется

и

О

ХО Х 1

Определить, не решая основного

уравнения динамики,

скорость ча-

стицы

от

в

зависимости

ее

х

Ха

Рис.

4.9

координаты.

Для этого достаточно знать, согласно уравнению

(4.32),

конк­

ретный вид потенциальной кривой И(х) и значение полной
энергии Е.

2.

Установить область изменения координаты х частицы, в

которой она может находиться при данном значении полной
энергии Е.

Ясно, что в область, где и>Е, частица попасть не может, по­
скольку потенциальная энергия

U

частицы не должна превы­

шать ее полную энергию. Отсюда сразу следует, что при Е

(рис.

4.9)

=

Е1

частица будет двигаться или в области между коор-

m


Глава

112

4

динатами Х 1 и Х 2 (совершает колебания), или прав ее координа­
ты Х З • Перейти из первой области во вторую (или обратно) час­
тица не может: этому препятствует nотенцuальный барьер,

разделяющий обе области. Заметим, что когда частица дви­
жется в ограниченной области поля, то говорят, что она запер­
та в nотенцuальной яме (в нашем случае
Иначе ведет себя частица при Е

=

между Х 1 и Х 2 ).

-

Е 2 (рис.

для нее до­

4.9):

ступна вся область правее координаты Х О • Если в начальный
момент частица находилась в точке Х О ' то в дальнейшем она

будет двигаться вправо. Полезно самостоятельно проследить,
как будет меняться при этом кинетическая энергия частицы
в

зависимости

от

ее

координаты

Х.

§ 4.4. Потенциальная энергия системы
Собственная потенциальная энергия системы
До сих пор мы ограничивались рассмотрением поведения од­
ной частицы с энергетической точки зрения. Теперь перейдем к

системе частиц. Это может быть любое тело, газ, какой-то ме­
ханизм, Солнечная система и т. д. Рассмотрим систему, между
частицами которой действуют одни лишь центральные силы,
т. е. силы, зависящие при данном характере взаимодействия
только

от

расстояния

между

частицами

и

направленные

по

прямой, проходя щей через эти частицы.

Покажем, что независимо от системы отсчета работа всех
этих

внутренних

сил

при

переход е

системы

частиц

из

одного

положения в другое может быть представлена как убыль неко­
торой функции, зависящей при данном характере взаимодейст­
вия

только

от

относительного

расположения

частиц

системы,

т. е. от ее конфигурации. Эту функцию называют собственной
потенциальной энергией системы (в отличие от внешней потен­
циальной энергии,

характеризующей взаимодействие данной

системы с другими телами).
Сначала возьмем систему из двух частиц

1

алгебраическую сумму элементарных работ сил
рыми

эти частицы взаимодействуют.

К -системе отсчета за время
ния

dr 1

и

dr 2 •

dt

и

2.

F1

И

Определим

F 2'

С кото­

Пусть в произвольной

частицы совершили перемеще­

Тогда соответствующая сумма работ этих сил

m


3акон сохранения энергии

"У"читывая, что
перепишем

F2

=

113

-F1

предыдущее

Величина,

(согласно третьему закону Ньютона),

уравнение:

стоящая в скобках,

иное, как перемещение частицы

нее, перемещение частицы
занной с частицей

2

1

1

представляет собой

относительно частицы

не что

2,

точ­

в К/-системе отсчета, жестко свя­

и перемещающейся вместе с ней поступате­

льно относительно исходной К -системы отсчета. Действительно,

перемещение

dr 1

частицы

1

в К -системе отсчета может быть

представлено как перемещение

ной с частицей

2)

dr 2

К/-системы отсчета (связан­

плюс перемещение

но этой К/-системы, т.

drl частицы 1 относитель­
е. dr1 = dr2 + drl. Отсюдаdr1 -dr2 = drl и

Полученный таким образом результат весьма замечателен:
алгебраическая сумма элементарных работ пары сил взаимо­
действия в произольной К-системе отсчета оказывается всегда

равной элементарной работе, которую совершает сила, действу­
ющая на одну частицу,

в

системе отсчета,

где

другая частица

покоится. Иначе говоря, работа БА 1 ,2 не зависит от выбора исходной К -системы отсчета.

Сила

действующая на частицу

F l'

1

со стороны частицы

2,

является центральной, а значит и консервативной. Поэтому ра­

бота данной силы на перемещении

dr1 может

быть представле­

на, согласно

1

в поле

(4.10), как убыль потенциальной энергии частицы
частицы 2 или как убыль потенциальной энергии взаи­

модействия рассматриваемой пары частиц:

где и 12 -

функция, зависящая только от расстояния между

этими частицами. При конечном же перемещении

Рассмотрим теперь систему из трех частиц. (Полученный в
этом случае результат легко обобщить и на систему из произво­
льного числа частиц.) Работа, которую совершают все силы

m


Глава

114
взаимодействия при перемещении всех частиц,

4

может быть

представлена как алгебраическая сумма работ всех трех пар

сил

взаимодействий:

А = А 1 ,2

+ А 1 ,з + А 2 ,з.

Но

для

каждой

пары этих сил А ik = - д.и ik' поэтому

где Uсоб мы

собственная потенциальная энергия данной систе­

частиц:

Так как каждое слагаемое этой суммы зависит от расстоя ния между соответствующими частицами, то очевидно, что соб­
ственная потенциальная энергия данной системы зависит от от­

носительного расположения частиц (в один и тот же момент),
или, другими словами, от конфигурации системы.

Подобные рассуждения справедливы и для системы из любо­

го числа частиц. Поэтому каждой конфигурации систе,мы час­
тиц nрисуще свое значение собственной потенциальной энер­
гии и работа всех внутренних центральных (консервативных)
сил при из,менении этой конфигурации равна убыли собствен­
ной потенциальной энергии систе,мы:

I
где
мы

U 1 соб
в

И

U2

Авнутр

соб -

начальном

и

= U1

соб -и 2 соб = -д.и соб'

I

( 4.33)

собственная потенциальная энергия систе­
конечном

состояниях.

Таким образом, суммарная работа внутренних центральных
сил

не

зависит

конфигурации

1

от

того,

как

конкретно

к конфигурации

2.

система

переходит

от

Данная работа определяет­

ся исключительно самими конфигурациями системы. Все это
позволяет дать более общее определение консервативных сил:
консервативны,ми называют силы, зависящие только от кон­

фигурации систе,мы и су,м,марная работа которых не зависит

от «пути»

перехода, а определяется только начальной и ко­

нечной конфигурация,ми систе,мы.

Собственная потенциальная энергия системы

-

величина не

аддитивная, т. е. она не равна в общем случае сумме собствен­
ных потенциальных энергий ее частей. Необходимо учесть еще

m


3акон сохранения энергии

115

потенциальную энергию взаимодействия

U БЗ

отдельных частей

системы:

U соб
где и n -

=

LU n +и вз'

(4.34)

собственная потенциальная энергия n-й части систе­

мы.

Следует также иметь ввиду, что собственная потенциальная
энергия системы, как и потенциальная энергия взаимодейст­
вия каждой пары частиц, определяется с точностью до произ­
вольной постоянной.
В заключение приведем полезные формулы для расчета собствен­
ной потенциальной энергии системы. Прежде всего покажем, что эта

энергия может быть представлена в виде

(4.35)
где

Ui

-

потенциальная энергия взаимодействия i-й частицы со всеми

остальными частицами системы. Здесь сумма берется по всем части­
цам

системы.

Убедимся в справедливости этой формулы сначала для системы из
трех частиц. Выше было показано, что собственная потенциальная

энергия данной системы

U соб

= U 1 2 + U 13 + U 23.

П реобразуем эту сум­

My следующим образом. Представим каждое слагаемое U ik в симмет­
ричном виде:

U ik

= (U ik

+ U ki )/2,

так как ясно, что

U ik

= U ki.

Тогда

Сгруппируем члены с одинаковым первым индексом:

Каждая сумма в круглых скобках представляет собой потенциаль­
ную энергию
тому

Ui

последнее

взаимодействия i-й частицы с остальными двумя. Поэ­
выражение

можно

переписать

U соб =1/ 2 (и 1 +и 2 +U З )

так:

3

=1/2

LU p
i =1

что полностью соответствует формуле

(4.35).

Обобщение полученного результата на произвольную систему оче­
видно, так как подобные рассуждения не зависят от числа частиц, со­
ставляющих

систему.

m


Глава

116

4

Для системы, взаимодействие между частицами которой имеет гра­

витационный или кулоновский характер, формулу

(4.35)

можно пре­

образовать и к другому виду, воспользовавшись понятием потенциала.
Заменим в

Ui

= m i <i>i'

потенциальную энергию i-й частицы выражением

(4.35)
где

mi

-

масса (заряд) i-й частицы, а <i>i -

потенциал, со­

здаваемый всеми остальными частицами системы в точке нахождения
i-й частицы. Тогда

(4.36)
Если массы (заряды) распределены в системе непрерывно, то сум­
мирование

сводится

к

интегрированию:

(4.37)
где р

-

объемная плотность массы (заряда),

dV -

элемент объема.

Здесь интегрирование проводится по всему объему, занимаемому мас­
сами (зарядами).

«(Внешняя»

потенциальная энергия системы

Рассмотрим случай, когда система находится во внешнем
стационарном поле консервативных сил. В этом случае каждая

частица системы будет характеризоваться своим значением по­
тенциальной энергии

Ui

в данном поле, а вся система

-

вели­

чиной

U виеш =

Lu

( 4.38)

i •

Эту величину мы и будем называть «внешней»
ной энергией системы в отличие от U соб -

потенциаль­

собственной потенци­

альной энергии, зависящей только от взаимодействия частиц

системы между собой.

Согласно

(4.10),

убыль потенциальной энергии каждой час­

тицы во внешнем поле равна работе силы данного поля на соот­
ветствующем перемещении, поэтому убыль U внеш всей системы
равна Авнеш -

алгебраической сумме работ всех сил внешнего

поля, действующих на все частицы системы:

А виеш = -/).и виеш •

( 4.39)

m


3акон сохранения энергии

117

Получим полезную формулу для вычисления внешней потен­

циальной энергии системы, находящейся в однородном силовом
поле. Пусть, например, это поле тяжести, где на i-ю частицу си­
стемы действует сила

mig.

данной частицы, согласно

В этом случае потенциальная энергия

(4.13),

есть

migz i ,

где

вертикаль­

Zi -

ная координата частицы, отсчитанная от не которого произволь­

ного уровня о. Тогда потенциальная энергия всей системы во
внешнем однородном поле (собственная потенциальная энергия
нас сейчас не интересует) может быть записана так:

Сумма, стоящая в скобках, в соответствии с

(3.8)

есть не что

иное, как произведение массы т всей системы на вертикаль­
ную

координату

Lт

i Zi

сать

в

гс

центра

е.

данной

= тг с· Поэтому выражение для
окончательном

потенциальная

системы,

е.

U виет можно перепи­

энергия

(4.40)

= mgzc,
системы

во

внешнем

однородном

поле тяжести равна произведению массы т системы на
вертикальную

т.

виде:

u виет
т.

масс

координату

Приращение величины

гс

ее

U виет

центра

g

и на

масс.

при перемещении системы рав-

но

11и виет = mgl1z с
где 11г с

-

( 4.41)

,

приращение вертикальной координаты центра масс

данной системы частиц.

§ 4.5. Закон сохранения механической энергии
системы

Диссипативиые силы
Помимо разделения всех сил на внешние и внутренние (в за­
висимости от выбора системы частиц), силы, как мы уже зна­
ем,

принято

подразделять

на

консервативные

и

неконсерва­

тивные (в зависимости от их природы).

m


Глава

118
к
силы

неконсервативным

силам

относятся

4

диссиnативные

это силы трения и сопротивления. Любая диссипатив­

-

ная сила может быть представлена в виде

( 4.42)

F = -k (v)v,
где

v -

скорость данного тела относительно другого тела (или

среды), с которым оно взаимодействует;

k(v) -

положительный

коэффициент, зависящий в общем случае от скорости и. Сила
всегда

направлена

противоположно

вектору

F

v.

В зависимости от выбора системы отсчета работа этой силы
может быть как положительной, так и отрицательной. Однако,
как мы сейчас покажем и что будет важно для дальнейшего,

суммарная работа всех внутренних диссиnативных сил в сис­
теме
мы

величина всегда отрицательная независимо от систе­

-

отсчета:

ДИС
А ВНУТР

< О.

(4.43)

Переходя к доказательству, отметим прежде всего, что внут­
ренние диссипативные силы в данной системе встречаются по­

парно, причем в каждой паре, согласно третьему закону Ньюто­
на,

они одинаковы по модулю

нию.

Найдем

элементарную

и противоположны по направле­

работу

произвольной

диссипативных сил взаимодействия между телами

1

и

2

ме отсчета, где скорости этих тел в данный момент равны

Учтем, что
льно тела

2,

F2 = - F1 ,

V1 - V2

а также то, что

F1

=V

-

скорость тела

1

пары
в систе­

v1 и

V 2:

относите­

= -kv. Тогда выражение для ра­

боты преобразуется:

Отсюда видно, что работа произвольной пары внутренних
диссипативных

сил

взаимодействия всегда отрицательна,

а

значит, и суммарная работа всех пар внутренних диссипатив­
ных сил также всегда отрицательна, причем в любой системе
отсчета.

m


3акон сохранения энергии

119

Кинетическая энергия системы
Согласно
частицы

I1K i = A

(4.28),

равно
i •

приращение кинетической энергии каждой

работе

всех

сил,

Поэтому работу А,

действующих

на

частицу:

которую совершают все силы,

действующие на все частицы системы, при изменении ее состо­

яния, можно записать так: А = LA i =

LM

i =

I1LK i' или

(4.44)
где К

суммарная кинетическая энергия системы.

-

Итак, приращение кинетической энергии системы равно ра­

боте, которую совершают все силы, действующие на все час­
тицы

системы:

(4.45)
Заметим, что кинетическая энергия системы

-

величина ад­

дитивная: она равна сумме кинетических энергий отдельных
частей системы независимо от того, взаимодействуют они меж­

ду собой или нет.
Уравнение

(4.45)

справедливо как в инерциальных, так и в

неинерциальных системах отсчета.

Следует только помнить,

что в неинерциальных системах отсчета кроме работ сил взаи­
модействия необходимо учитывать и работу сил инерции.

Собственная механическая энергия системы
Только что было показано, что приращение М кинетиче­
ской энергии системы равно работе, которую совершают все
силы,

действующие

на все частицы системы.

силы на внешние и внутренние,

а внутренние,

Разделим

эти

в свою очередь,

на консервативные и диссипативные. Тогда предыдущее утвер­
ждение

можно

А 17"
L.ll}.

записать

так:

коне
дне
= А внеш + А внутр = А внеш + А внутр
+ А внутр
•

Учтем, что работа внутренних консервативных сил равна,

согласно

(4.33),

темы: A:;~p

убыли собственной потенциальной энергии сис­

= -I1U еоб.

I1K + I1U еоб

Тогда

= I1K(K + U еоб) = А внеш + А::;тр .

(4.46)

m


Глава

120

4

Введем понятие собственной ,м,еханической энергии систе-

*

v

,м,ы, или, короче, ,м,еханическои энергии, как суммы кинетиче-

ской и собственной потенциальной энергии системы:

(4.47)
Очевидно, энергия Е соб зависит от скоростей частиц систе­
мы, характера взаимодействия между ними и конфигурации
системы. Кроме того, энергия Е соб , как и потенциальная энер­

гия Исоб' определяется с точностью до прибавления несущест­
венной произвольной постоянной и является величиной неад­

дитивной, т. е. энергия Е соб не равна в общем случае сумме

энергий ее от дельных частей. В соответствии с

Е соб
где Е n -

=

LE

n

(4.47)

+U вз '

(4.48)

собственная механическая энергия n-й части систе­

мы, Ивз -

потенциальная энергия взаимодействия ее отдель­

ных частей.

Вернемся

(4.47)

к

уравнению

Перепишем

его

с

учетом

в виде

I д.Е соб

-

(4.46).

=

А внеш + А ::;тр

(4.49)

приращение собственной ,м,еханической энергии систе,м,ы

равно алгебраической су,м,,м,е работ всех внешних сил и всех

внутренних диссиnативных сил.
Уравнение

(4.49)

неинерциальной

справедливо как в инерциальной, так и в

системах

отсчета.

Следует

только

иметь

в

виду, что в неинерциальной системе отсчета необходимо учи­
тывать и работу сил инерции, играющих роль внешних сил,
т. е.

под Авнеш надо

понимать

алгебраическую

сумму работ

внешних сил взаимодействия и работу сил инерции.

Закон сохранения механической энергии
Этот закон непосредственно вытекает из уравнения

(4.49)

и

формулируется так: ,м,еханическая энергия за,м,кнутой систе-

*

в отличие от полной механической энергии, о которой речь пойдет ниже.

m


3акон сохранения энергии

121

мы частиц, в которой нет диссиnативных сил, сохраняется в
nроцессе движения, т. е.

IЕ соб =К +И соб =const·1

(4.50)

Такую систему называют консервативной *. При движении
замкнутой консервативной системы сохраняется именно меха­

ническая энергия Е соб' кинетическая же и потенциальная в об­
щем случае

изменяются.

Однако эти изменения происходят

всегда так, что приращение одной из них в точности равно убы­

ли другой: дК = -дИ соб. Это положение справедливо только в
инерциальных

системах

Из уравнения

(4.49)

отсчета.

следует, что если замкнутая система не

консервативна, т. е. в ней имеются диссипативные силы, то ме­

ханическая энергия такой системы, согласно

(4.43),

убывает:

(4.51)
"У"меньшение механической

энергии обусловлено тем,

что

она расходуется на работу против диссипативных сил, действу­
ющих в системе. Однако такое объяснение является формаль­
ным, поскольку оно не раскрывает физической природы дисси­
пативных

сил.

Более глубокое осмысливание этого вопроса привело к фун­
даментальному выводу о существовании в природе универсаль­

ного закона сохранения энергии: энергия никогда не создается
и не уничтожается, она может только переходить из одной
формы в другую или обмениваться между отдельными частя­
ми материи. При этом понятие энергии пришлось расширить

введением
ской)
гия,

-

понятий

о

новых

формах

ее

(помимо

механиче­

энергия электромагнитного поля, химическая энер­

ядерная

и

др.

"У"ниверсальный закон сохранения энергии охватывает, та­
ким образом,

и те физические явления, на которые законы

Ньютона не распространяются. Поэтому он не может быть вы­
веден из этих законов, а должен рассматриваться как самостоя-

*

С достаточно хорошим приближением замкнутой консервативной системой
можно считать Солнечную систему.

m


Глава

122

4

тельный закон, представляющий собой одно из наиболее широ­
ких обобщений опытных фактов.
При уменьшении механической энергии замкнутой системы
всегда возникает эквивалентное количество энергии других ви­

дов, не связанных с видимым движением. В этом смысле урав­

нение

(4.49)

можно рассматривать как более общую формули­

ровку закона сохранения энергии, в которой указана причина
изменения механической энергии системы.
В частности, механическая энергия может сохраняться у не­
замкнутых систем, но это происходит лишь в тех случаях, ког­

да, согласно уравнению

(4.49),

уменьшение этой энергии за

счет работы против внутренних диссипативных сил компенси­
руется поступлением энергии за счет работы внешних сил.

Полная механическая энергия системы
во

внешнем

поле

Если интересующая нас система частиц находится во внеш­

нем стационарном поле консервативных сил, то часто бывает
удобно пользоваться другим

выражением

энергии этой системы, отличным от

для механической

(4.47).

В данном случае внешние силы, действующие на частицы
системы,

можно разделить на силы со стороны внешнего поля

(внешние силы поля) и все остальные внешние силы, не относя­
щиеся к данному внешнему полю (внешние сторонние силы).
Соответственно работа А виет внешних сил может быть представ­
лена как алгебраическая сумма работ
внешних

сторонних

внешних сил поля и

сил:

А

виет =

А

СП

виет

+

АСТОР

виет·

Но работа внешних сил поля, в свою очередь, может быть
представлена, согласно

(4.39),

как убыль внешней потенциаль­

ной энергии, а именно A~:eт = -I1и виет. Тогда

А виет

= -I1и виет + А ~:~~ .

Подставив это выражение в формулу

(4.49),

получим

(4.52)

m


3акон сохранения энергии

123

Величину, стоящую слева в скобках, называют полной ,м,еха­
нической энергией Е систе,м,ы во внешнем стационарном поле
консервативных

сил:

(4.53)
В отличие от собственной механической энергии

(4.47)

пол­

Haя механическая энергия включает в себя помимо суммарной
кинетической и собственной потенциальной энергии еще и по­
тенциальную энергию системы во внешнем поле
С учетом

(4.53)

уравнение
АЕ
L.l

Из уравнения

(4.54)

=

можно переписать так:

(4.52)

А стор

виет

U виеш.

ДИС
+ А виутр
•

(4.54)

вытекает закон сохранения полной ме­

ханической энергии системы, находящейся во внешнем стаци­
онарном поле консервативных сил: если на систе,м,у частиц не

действуют внешние сторонние силы и нет внутренних дисси­
nативных

сил,

то

полная

,м,еханическая

энергия

систе,м,ы

остается постоянной:

IЕ
Простейшим

=

Е соб

+ U виет

=

примером подобной

(4.55)

const.
системы могут

служить

два небольших тела, соединенные друг с другом пружинкой
(упругая гантель). Если эта система движется в поле тяжести в
отсутствие сопротивления воздуха (т. е. нет внешних сторон­
них сил), то меняются ее кинетическая энергия К, собственная
потенциальная энергия

U соб

И внешняя потенциальная энергия

Uвиет ' однако алгебраическая сумма этих трех величин будет
оставаться постоянной.
Другой при мер

-

это система Земля-Луна в поле тяготения

Солнца. В процессе движения этой системы также изменяются

К,

Uсоб

И

U виеш'

но их алгебраическая сумма сохраняется посто­

янной.

В заключение остается отметить, что уравнение

(4.54)

вы­

полняется как в инерциальной, так и в неинерциальной систе­
мах отсчета, закон же сохранения полной механической энер­

гии

(4.55) -

только в инерциальноЙ.

m


Глава

124

4

Еще о роли новых понятий
Для правильного понимания вопросов, связанных с измене­
нием и сохранением механической энергии, необходимо еще раз

обратить внимание на особую роль таких новых понятий как
сторонние силы и собственная ,механическая энергия систе,мы.

1.

Во многих случаях без введения понятия сторонних сил в

nринциnе

невозможно

рассмотрение

поведения

частицы

или

системы с энергетической точки зрения. В каждой конкретной
задаче следует четко уяснить себе какие силы являются сто­
ронними, ибо работа именно сторонних сил определяет пр ира­

щение механической энергии частицы в поле

(4.31)

и прираще­

ние полной механической энергии системы в поле

(4.54),

со­

вмстно с работой внутренних диссипативных сил.

2.

Говоря о механической энергии системы, необходимо в

каждом конкретном случае четко различать

-

о какой именно

энергии идет речь: о собственной ,механической энергии Е соб
или О полной ,механической энергии Е во внешнем поле. Их

приращения определяются разными формулами:

(4.49)

и

(4.54)

соответственно. Это разные энергии. Во втором случае (система
во внешнем поле) энергия Е включает в себя внешнюю потен­
циальную энергию в интересующем нас поле
К сожалению,

(4.53).

собственную и полную энергию обычно не

различают или путают, что, естественно, приводит к досадным

недоразумениям и грубым ошибкам (даже в формулировке за­
конов изменения и сохранения механической энергии). Приняв
во

внимание указанные

предостережения,

мы

тем

самым

уже

гарантируем себе корректный подход к решению соответствую­
щих

вопросов.

Связь между энергиями в К- и Ц-системах отсчета
Прежде всего установим эту связь для кинетических энергий
системы. Пусть в К -системе отсчета кинетическая энергия инте­

ресующей нас системы частиц равна К. Скорость i-й частицы

можно представить как V i =
стицы вЦ-системе, а

VС

-

Vi + V С ,

где

Vi -

скорость этой ча­

скорость Ц -системы относительно

К -системы отсчета. Тогда кинетическая энергия системы

2
(v)2
-2
у2
_"miV i
V"
"m i С
K _"miV i _"mi V i + С
-L..J 2
-L..J
2
-L..J 2 + CL..Jmivi +L..J
2 .

m


3акон сохранения энергии

125

Так как в Ц-системе центр масс покоится, значит, согласно

(3.9),

Lт

i

= О И предыдущее выражение примет вид

Vi

I к = к + 1/2 т
где К

= 1/2

LmiV~

в Ц-системе, т

Равенство

(4.56)

суммарная кинетическая энергия частиц

-

-

va, I

масса всей системы.

(4.56)

выражает теорему Кёnuга: кинетическая

энергия систе,м,ы частиц складывается из су,м,,м,арной кинети­
ческой энергии К в Ц-систе,м,е и кинетической энергии, связан­

ной с движение,м, систе,м,ы частиц как целого. Это важный вы­
вод, и он неоднократно будет использоваться в дальнейrпем
(в частности, при изучении динамики твердого тела).
Из формулы

(4.56)

следует, что кинетическая энергия сис­

те,м,ы частиц ,м,ини,м,альна в Ц-систе,м,е. В этом еще одна осо­

бенность Ц -системы. Действите~ьно, вЦ-системе
тому в

(4.56)

Vс

=

О, поэ­

остается только К.

Перейдем к механической энергии Е соб системы. Так как

собственная потенциальная энергия системы
ко от конфигурации системы, то значение

U соб
U соб

зависит толь­
одинаково во

всех системах отсчета. Добавив Uсоб в левую и правую части ра­

венства

(4.56),

получим формулу преобразования собственной

механической энергии Е соб при переход е от К- к Ц-системе:

I Е соб

- - +U

где Е = К

=

Е + 1/2 т V а,

I

(4.57)

соб. Эту энергию называют внутренней ,м,еханиче-

ской энергией систе,м,ы.
Пример. На гладкой горизонтальной плоскости лежат

две небольшие шайбы, каждая массы т, ко­
торые соединены между собой невесомой пру­
жинкой. Одной из шайб сообщили начальную
скорость V o (рис.

4.10,

вид сверху). _Найти

внутреннюю механическую энергию Е
системы

в

процессе

этой

движения.

Так как плоскость гладкая, то система в про­

цессе движения будет вести себя как замкнутая. Поэтому ее механическая энергия Е соб

Рис.

4.10

и скорость

Vc

центра масс будут сохраняться, оставаясь равными тем значе-

m


Глава

126

4

ниям, которые они имели в начальный момент: Е соб = mvg /2
и V c = v o /2. Подставив эти значения в формулу (4.57), полу­
чим

Е

= Е соб

-2т

2

2

V c /2 = mv o /4,

где учтено, что масса системы равна 2т. Внутренняя энергия

]Е связана с вращением и колебанием данной системы,
причем в начальный момент ]Е была равна только энергии
вращательного

движения.

Если система частиц замкнута и в ней происходят процес­
сы,

связанные

(4.57)

с

изменением

механической

энергии,

то

из

следует, что д.Е СОб = д.Е, т. е. приращение собственной

механической энергии относительно произвольной инерциаль­
ной системы отсчета равно приращению внутренней механиче­

ской энергии. При этом кинетическая энергия, обусловленная
движением

системы

частиц

для замкнутой системы

Vс

как

=

целого,

не

меняется,

так

как

const.

В частности, если замкнутая система консервативна, то ее
механическая энергия сохраняется во всех инерциальных сис­

темах отсчета. Этот вывод находится в полном соответствии с
принципом относительности Галилея.

§ 4.6. Столкновение двух частиц
Предварительные сведения
Рассмотрим различные случаи столкновения двух частиц, ис­
пользуя в качестве инструмента исследования только законы со­

хранения импульса и энергии. При этом мы увидим, что законы
сохранения позволяют сделать ряд весьма общих и существен­
ных заключений о свойствах данного процесса вне какой-либо
зависимости от конкретного закона взаимодействия частиц.
Попутно покажем, какие преимущества дает Ц -система, ис­

пользование которой, как будет видно, значительно упрощает
анализ

процесса

и

многие

расчеты.

Хотя мы будем говорить о столкновении частuц, необходи­
мо

сразу

же

оговорить,

что

все

последующие

рассуждения

и

выводы в равной степени относятся и к столкновению любых
тел. Надо только иметь в виду, что вместо скорости частицы
следует брать скорость центра масс каждого тела, а вместо ки-

m


3акон сохранения энергии

127

нетической энергии частицы

-

ту часть кинетической энергии

каждого тела, которая характеризует его движение как целого.

Прежде чем перейти к рассмотрению теории столкновений,

приведем несколько важных и полезных соотношений для сис­
темы из двух частиц в ее Ц -системе отсчета.

В конце

§ 3.4

были получены выражения

(3.12)

для импуль­

са каждой частицы в Ц-системе. Запишем эти выражения в та­
кой форме:

(4.58)
где V 1 и V 2 -

скорости частиц в исходной системе отсчета,

Jl -

nриведенна,я масса системы,
т

1т2

(4.59)

Jl = ---=----=-т1 +т2
где

т1

и

т2

Из формул
стеме

-

массы

(4.58)

одинаковы

частиц.

видно, что импульсы обеих частиц в Ц-си­

по

модулю

и

противоположны

по

направле­

нию, причем модуль импульса каждой частицы

(4.60)
где v ОТН

= 1v 1

- V 21

-

скорость одной частицы ~относительно

другой».

Теперь обратимся к кинетической энергии. Суммарная ки­
нетическая энергия обеих частиц вЦ-системе

Ta~ как, согласно

(4.59),

11т 1

+ 11т 2

=

11Jl,

то выражение

для К примет следующий вид:

( 4.61)
Если частицы взаимодействуют друг с другом, то механиче­
ская энергия частиц вЦ-системе

- -

Е =К +и,

m


Глава

128
где и

-

4

потенциальная энергия взаимодействия данных час­

тиц.

В дальнейшем при рассмотрении столкновений частиц будем

считать:

1)
2)
3)

исходная К-система отсчета инерциальная,
система из двух частиц замкнутая,
импульсы (и скорости) частиц до и после столкновения

соответствуют достаточно большим расстояниям между ними;
при этом потенциальной энергией взаимодействия можно про­

сто пренебречь.
Кроме того, величины, относящиеся к системе после столк­
новения, будем отмечать штрихом, а величины вЦ-системе

-

значком,... (тильда) сверху.
Перейдем к существу вопроса. Различают три типа столкно­

вения частиц: абсолютно неупругое, абсолютно упругое и про­

-

межуточный случай

неупругое.

Абсолютно неупругое столкновение
Это такое столкновение, в результате которого обе частицы
~слипаются» и далее движутся как единое целое. Пусть две ча­
стицы, массы которых

m1

и

m2,

имеют до столкновения скоро­

сти V 1 И V 2 (в К-системе). После столкновения образуется части­
ца с массой

тоновской

m 1+m 2 ,

что следует из аддитивности массы в нью­

механике.

Скорость

v'

образовавшейся

частицы

можно найти из закона сохранения импульса:

Ясно, что скорость
В Ц-системе

v'

этот

равна скорости центра масс системы.

процесс

выглядит

наиболее

просто:

до

столкновения обе частицы движутся навстречу друг другу с

одинаковыми импульсами р, а после столкновения образовав­
шаяся частица оказывается неподвижноЙ. При этом суммарная
кинетическая энергия К частиц целиком переходит во внут­

реннюю энергию

Q

образовавшейся частицы, т. е. К

да с учетом формулы

(4.61)

=Q.

Отсю­

найдем

2

Q = JlV ОТН

2

(4.62)

m


3акон сохранения энергии

129

Таким образом, величина

Q

для данной пары частиц зависит

только от их относительной скорости.

Абсолютно упругое столкновение
Это такое столкновение, в результате которого внутренняя
энергия частиц не меняется, а поэтому не меняется и кинетиче­

ская энергия системы. Рассмотрим два частных случая: лобо­
вое и нелобовое упругие столкновения.

1.

Лобовое столкновение

-

обе частицы до и после столкно­

вения движутся по одной и той же прямой. Пусть до столкно­
вения скорости частиц в К-системе отсчета равны V 1 и V 2 (час­
тицы движутся или навстречу друг другу, или одна частица до­

гоняет

другую).

Каковы

скорости

этих

частиц

после

столкновения?
Рассмотрим этот процесс сна­

'"
Рl

чала вЦ-системе, где до и после

столкновения обе частицы име-

импульсы
того,

так

после

по

(рис.
как

столкновения

то, согласно

(4.61),

кинетическая

одинакова,

""
Р2
Рис.

Более

суммарная

•

""
Рl

направлению

4.11).

'"
Р2

..........- - - -

ют одинаковые по модулю и про­
тивоположные

..

как

и

..

после

4.11

энергия

их

до

частиц

приведенная

до

и

масса,

импульс каждой частицы в результате стол­

кновения изменит только направление на противоположное, не

меняясь при этом по модулю, т. е. P~ =

-Pi , где i

=

1,2.

Послед­

нее относится и к скорости каждой частицы вЦ-системе:

Теперь найдем скорость каждой частицы после столкнове­

ния в К-системе отсчета. Для этого используем формулы преоб­
разования скоростей при переходе от Ц- к К-системе, а также
предыдущее равенство. Тогда

V ,i =
где

Vc

-

VС

-,i =
+V

VС

-i =
-V

VС

-

(V i

-

V)
С

=

2VС

-V i ,

скорость центра масс (Ц-системы) в К-системе отсче­

та; эта скорость определяется формулой

(3.9).

Итак, скорость

i-й частицы в К -системе после столкновения

(4.63)

m


Глава

130
где

i

=

имеет

1, 2.

4

В проекциях на произвольную ось х это равенство

вид

и;х = 2 V Сх

(4.64)

- V ix •

в частности, если массы частиц одинаковы, то легко убеди­
ться, что частицы в результате столкновения просто обмениваются

2.

скоростями,

Нелобовое

т.

е.

,

Vl = V2

,

V2 = vl.

И

столкновение.

Ограничимся случаем,

когда

одна из частиц nох;оumся до столкновения. Пусть в К-системе
отсчета частица массы

m1

с импульсом Рl испытала упругое не­

лобовое столкновение с покоивmейся частицей массы

m2•

Како­

вы возможные импульсы этих частиц после столкновения?
Рассмотрим этот процесс также сначала вЦ-системе. Здесь,
как и в предыдущем случае, обе частицы в любой момент вре­
мени до и после столкновения имеют одинаковые по модулю и

противоположные по направлению импульсы. Кроме того, им­
пульс каждой частицы не изменится по модулю в результате
столкновения:

-,

р

-

=р.

Однако направление разлета ча­
стиц теперь будет иным. Оно будет
составлять

с

правлением

первоначальным

движения

угол Э

(рис.

закона

взаимодействия

4.12),

на­

некоторый

зависящий от
частиц

и

их взаимного расположения в про­

Рис.

4.12

цессе

столкновения.

Найдем импульс каждой части­
цы в К -системе отсчета после столкновения. С помощью фор­
мул преобразования скоростей при переходе от Ц - к К -системе
получим:

p~ =mlv~ =m 1 (VC +Y~) =m 1 Vc +p~,
p~ =m2v~ =m 2 (VC +Y~) =m2
где

Vс -

Vc +p~,

( 4.65)

скорость Ц -системы относительно К -системы отсчета.

m


3акон сохранения энергии

131

Сложив отдельно левые и правые части этих равенств с учетом

того,

что

-,

Рl

= -

-,

Р2'

получим

как и должно быть в соответствии с законом сохранения импульса.

Построим теперь векторную диаграмму импульсов. Сначала

изобразим вектор Рl отрезком АВ (рис.

4.13),

затем векторы p~

и р;, каждый из которых представляет собой, согласно
сумму

двух

(4.65),

векторов.

Заметим, что это построение спра­
ведливо вне зависимости от угла э.

Отсюда следует,

4.13)

может

окружности

что точка С

находиться
радиуса

р

с

(рис.

только

на

центром

в

точке О, которая делит отрезок АВ

на

две

части

АО: ОВ = тl

в

отношении

A~==~~==p,==~~B
1

: т2. Более того, в расРис.

сматриваемом случае (частица массы

4.13

т 2 покоится до столкновения) эта окружность проходит через

точку В

-

где и 1 -

конец вектора Рl' так как ОВ = р. Действительно,

скорость налетающей частицы. А так как в нашем

случае и 1 = и отн ' то, согласно

(4.59)

и

ОВ = f.lV ОТН = Р

(4.60),

.

Таким образом, для построения векторной диаграммы импу­
льсов, соответствующей упругому столкновению двух частиц
(одна из которых первоначально покоилась), необходимо:

1)

изобразить отрезок АВ, равный импульсу Рl налетающей

частицы;

2)

через точку В

-

конец вектора Рl

-

провести окружность

т2
--"':::""--Рl'

(4.66)

радиуса

р

= f.lV

ОТН

тl +т2

m


Глава

132

АО :

центр которой

отношении

точка О

ОВ =

m1

:

4

делит отрезок АВ на две части в

m2 •

Эта окружность есть геометрическое место точек всех воз­
можных положений вершины С треугольника импульсов АВС,
стороны АС и СВ которого и представляют собой возможные
импульсы частиц после столкновения (в К-системе отсчета).
В зависимости от соотношения масс частиц точка А
ло вектора Р1

-

нача­

может находиться внутри данной окружности,

-

на ней или снаружи (рис.

4.14,

а, б, в). При этом во всех трех

случаях угол -9 может принимать все значения от О до п. Воз­
можные значения угла рассеяния налетающей частицы Э 1 и
угла разлета частиц е будут такими:

а)
б)
в)

m1 < m2
m1 = m2
m1 > m2

где Э 1 макс

-

О
О
О

< -91 :::;; 1t
< -91 :::;; п/2
< -91 :::;; Э 1макс

е

>

п/2,

е = п/2,
е

<

п/2,

предельный угол. Он определяется формулой

sin Э 1макс = т 2 / т 1 ,
так как (см. рис.

4.14,

(4.67)

в)

sin Э 1макс = ОС' / АО = ОВ / АО = т 2 / т 1 •
Кроме того, обнаруживается еще один интересный факт. В

последнем случае (т 1

> т 2) под одним и тем же углом -91 воз­
можно рассеяние частицы m 1 как с импульсом АС, так и с им­
пульсом AD (рис. 4.14, в), т. е. в этом случае решение неодно­
значно. Аналогично обстоит дело и с частицей m 2 •
И наконец, из той же векторной диаграммы импульсов мож­

но найти связь между углами -91 И э.
Этим исчерпываются сведения, которые можно получить о
данном процессе,
импульса

а)

и

исходя из одних только законов сохранения

энергии.

б)

в)

Рис.

4.14

m


3акон сохранения энергии

133

Мы видим, таким образом, что уже сами по себе законы со­
хранения импульса и энергии действительно позволяют сде­
лать ряд важных заключений о свойствах рассматриваемого

процесса. При этом особенно существен тот факт, что эти свой­
ства имеют общий характер, т. е. не зависят от рода взаимодей­
ствия

частиц.

Следует, однако, обратить внимание на одно принципиаль­
ное обстоятельство. Векторная диаграмма импульсов, в основе
которой лежат законы сохранения импульса и энергии, давая
нам

полную

картину

после столкновения
ный,

-

-

всех

возможных

случаев

разлета частиц

результат сам по себе весьма существен­

совершенно не говорит о том, какой из этих возмож­

ных случаев реализуется конкретно. Для установления этого

необходимо обратиться к более детальному рассмотрению про­
цесса столкновения с помощью уравнений движения. При этом

выясняется, например, что угол рассеяния Э 1 налетающей час­
тицы зависит от характера взаимодействия сталкивающихся
частиц

и

от

nрицелъного

шения в случае т 1

> т2

nара,м,етра

*,

неоднозначность

же

ре-

объясняется тем, что один и тот же

угол рассеяния Э 1 может реализоваться при двух значениях
прицельного параметра,

причем независимо от закона взаимо­

действия частиц.

Указанное обстоятельство представляет собой очень харак­
терную и принципиальную черту законов сохранения вообще.
Законы сохранения никогда не дают и не могут дать однознач­
ного ответа на вопрос о том, что произойдет. Но если, исходя

из каких-либо других соображений, можно указать, что и,м,ен­
но должно произойти, то законы сохранения дают ответ на во­
прос, как это должно произойти.

Неупругое столкновение
Это такое столкновение, в результате которого внутренняя энергия
разлетающихся частиц (или одной из них) изменяется, а следователь­

но, изменяется и суммарная кинетическая энергия системы. Соответ­

ствующее приращение кинетической энергии системы принято обо­
значать

*

Q.

в зависимости от знака

Прицельный параметр

-

Q

неупругое столкновение называ-

это расстояние между прямой, вдоль которой на­

правлен импульс налетающей частицы, и частицей, с которой происходит

« столкновение •.

m


134

Глава

ют ЭКЗ0энергеmuческuм

(Q >

(Q <

О) или эндоэнергеmuческuм

4

О).

В первом случае кинетическая энергия системы увеличивается, во вто­

ром

уменьшается. При упругом столкновении, разумеется,

-

Q

= о.

Наша задача: найти возможные импульсы частиц после неупругого
столкновения.

Этот вопрос наиболее просто решается вЦ-системе. Согласно усло­
вию, приращение суммарной кинетической энергии системы в данном
процессе

К'-К =Q.

(4.68)

Так как К'"* К, то, согласно (4.61), импульсы частиц после столк­
новения изменятся по модулю. Импульс каждой частицы после столк­

новения р' легко

К'

найти,

заменив К' в

(4.68) его выражением

= р,2 /2fJ.. В результате получим
(4.69)
Теперь

с

рассмотрим

тот

же

вопрос

К-системе отсчета, где частица массы
импульсом Рl

тиц

возможных

после

с

испытывает столкновение с

nокоящейся частицей массы
деления

m1

в

m2.

случаев

столкновения

Для опре­

разлета

здесь

также

час­

по­

лезно воспользоваться векторной диаграм-

Рис.

мой импульсов. Ее построение аналогично

4.15

тому, как это было сделано для упругого
столкновения. Импульс налетающей чаСТИЦЫРl =АВ (рис.

4.15)

делят

точкой О на две части, пропорциональные массам частиц (АО: ОВ

m1

:

=

m 2 ). Затем из точки О проводят окружность радиуса р' [см.

(4.69)].

Эта окружность является геометрическим местом точек воз­

можных положений вершины С треугольника импульсов АВС, сторо­
ны АС и СВ которого равны импульсам соответствующих частиц после
столкновения.

Отметим, что теперь в отличие от упругого столкновения точка В (ко­
нец вектора Рl) не лежит на окружности, а именно: при
находится внутри окружности, а при
вует

последнему

случаю

-

Q<

О

-

Q >

вне ее. Рис.

эндоэнергетическому

О эта точка

4.15

соответст­

столкновению.

Порог. Есть много неупругих столкновений, в которых внутренняя

энергия частиц способна изменяться только на совершенно определен­
ную величину, зависящую от свойств самих частиц (таковы, напри­
мер, неупругие столкновения атомов и молекул). Несмотря на это, эк­
зоэнергетические столкновения

(Q >

О) могут происходить при сколь

m


3акон сохранения энергии

135

угодно малой кинетической энергии налетающей частицы. Эндоэнер­

гетические же процессы

(Q <

О) в таких случаях обладают порогом.

Порогом называют минимальную кинетическую энергию налетающей
частицы, начиная с которой данный процесс становится энергетиче­
ски

возможным.

Итак, пусть нам необходимо осуществить такое эндоэнергетическое
столкновение, в котором внутренняя энергия частиц способна полу­

чить приращение не меньше некоторого значения

1

QI. При каком усло­

вии такой процесс возможен?

Этот вопрос наиболее просто решается также вЦ-системе, где ясно,
что суммарная кинетическая энергия К частиц до столкновения во

всяком случае должна быть не меньше IQI, т. е. К ~ 1
Q 1. Отсюда следу­
ет, что существует минимальное значение К мин = 1Q 1, при котором
кинетическая энергия системы целиком пойдет на увеличение внут­
ренней энергии частиц, и частицы после столкновения остановятся в
Ц-системе.
Рассмотрим этот же процесс в К -системе отсчета, где частица мас­

сы т 1 H~eTaeT на покоящуюся частицу массы т2. Так как в Ц -систе­
ме при К мин частицы после столкновения останавливаются, то это зна­
чит, что в К-системе при соответствующей пороговой кинетической

энергии К 1пор налетающей частицы обе частицы после столкновения
будут двигаться как единое целое, причем с суммарным импульсом,
равным импульсу Р1 налетающей частицы, и кинетической энергией

p~ /2 (т 1 + т2). Поэтому

А так как К 1 пор = p~ /2т 1 , то, исключив p~ из этих двух уравне­
ний, получим

IQ 1.

К 1пор

(4.70)

Это и есть та пороговая кинетическая энергия налетающей части­
цы, начиная с которой данный эндоэнергетический процесс становит­
ся

энергетически

возможным.

Заметим, что формула

(4.70)

играет большую роль особенно в атом­

ной и ядерной физике. С ее помощью определяют как порог различ­
ных

эндоэнергетических процессов,

гию

IQI.

так и

соответствующую им

энер­

m


Глава

136

4

§ 4.7. Механика несжимаемой жидкости
в этом разделе механики изучают законы движения жидкости

как сплошной (непрерывной) среды. Плотность жидкости прак­
тически не зависит от давления, поэтому жидкость будем считать
несжимаемой средой, плотность которой везде одинакова.

Для кинематического описания движения (течения) жидко­
сти обычно используют метод Эйлера: в интересующей нас сис­
теме отсчета задается поле скоростей жидкости, т. е. зависи­
мость скорости
ра

r

v

и времени

каждой точки жидкости от ее радиуса-векто­

t.

Во многих случаях, когда сила трения между отдельными

слоями текущей жидкости пренебрежимо мала, жидкость мож­
но считать идеальной (без внутреннего трения).

Линии и трубки тока
Мысленно проведем в движущейся жидкости линии так,
чтобы касательные к ним в каждой точке совпадали по направ­
лению с вектором

v.

Эти линии называют линиями тока. Их

проводят так, чтобы густота, т. е. число линий, пронизываю­
щих

единичную

площадку,

перпендикулярную

линиям

ной точке, была пропорциональна модулю вектора
того,

этим

линиям

приписывают

направлением вектора

v.

направление,

v.

в

дан­

Кроме

совпадающее

с

Полученная картина дает наглядное

представление о направлении и модуле вектора

v

в разных точ­

ках жидкости, т. е. о характере ее движения. Там, где скорость
больше, линии тока гуще, и наоборот (это доказывается ниже).
При стационарном течении, когда

v

не зависит от

t,

картина

линий тока остается неизменной и линии тока совпадают с тра­
екториями

частиц

жидкости.

Поверхность, образованная линиями тока, которые проведе­
ны через все точки замкнутого контура,

называют трубкой

тока. При стационарном течении жидкости ее частицы при

своем движении не пересекают трубку тока.

Уравнение неразрывности струи
Рассмотрим жидкость, текущую внутри некоторой трубки
тока

-

такой, что скорость движения частиц жидкости одина­

кова во всех точках произвольного сечения данной трубки. Тог-

m


3акон сохранения энергии

137

да за промежуток времени дt сквозь

сечение

площади

пройдет

8

объем

жидкости 8vДt. Поскольку жидкость
несжимаема,

сечениями
(рис.

масса жидкости между

И

81

82

трубки

тока

будет оставаться неизмен­

4.16)

ной. Значит, объем жидкости, проте­

кающей сквозь сечения

81

и

82

за

Рис.

время дt, должен быть одинаковым.

4.16

Отсюда следует, что 8 1 и 1 = 8 2 и 2 • Другими словами, для не­
сжимаемой жидкости величина 8и в любом сечении одной и
той же трубки тока одинакова:

I8и =const·1

(4.71)

Это соотношение называют уравнением неразрывности струи.

Уравнение Бернулли
Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости в од­
нородном поле сил тяжести. Покажем, что с помощью энергетического

подхода

можно

получить

весьма

важное

соотноше­

ние между некоторыми параметрами текущей жидкости.

С этой целью выделим мысленно часть жидкости, которая в
момент

t

заполняет объем узкой

трубки тока между нормальны­

ми сечениями

1

t +

К моменту

и

2

(рис.

4.17).

дt эта часть жид­

кости переместится вдоль трубки

тока в

направлении

сечения,

показанном на рисунке двойной

стрелкой, и окажется между се-

чениями

l'

и

Рис. 4.17

2'.

Согласно уравнению

(4.54),

приращение полной механиче­

ской энергии этой части жидкости за время дt

дЕ - A~:~~
где A~:~~

-

,

(4.72)

работа, которую совершают силы давления (они и

есть в данном случае сторонние). При этом силы давления, пер-

m


Глава

138

4

пендикулярные выделенной трубке, работы не совершают. Ра­

боту будут совершать только силы давления, действующие в се­
чениях

1

и

Эта работа равна

2.

в силу неразрывности струи

мы между сечениями

1-1'

и

S 1 I1Z 1 = S 2 I1Z 2
2-2' одинаковы

= I1V, т. е. объе­
и

(4.73)
Течение жидкости стационарно, поэтому полная механиче­
ская энергия части жидкости трубки тока между сечениями

l'

и

2

не меняется. Значит, приращение энергии Д.Е рассматри­

ваемой части жидкости можно представить как разность энер­

гий элементов

где

р

-

и

2-2'

плотность

1-1':

жидкости.

Приравняв, согласно
лучим после
следующее

(4.72), выражения (4.73) и (4.74), по­
сокращения на 11V и перегруппировки слагаемых

уравнение:

Так как сечения

1

и

2

взяты произвольно, то

I pv 2 /2 + Р + pgh

= const ,

I

(4.75)

где все величины относятся, по существу, к одной и той же ли­
нии тока. Для разных линий тока эта константа, вообще гово­
ря, будет своей.

'Уравнение

(4.75)

называют уравnеnием Берnул,л,u. Несмот­

ря на то, что это уравнение получено для идеальной жидкости,
оно

достаточно

стей,

хорошо

внутреннее

выполняется

трение

которых

и

для

реальных

(вязкость)

жидко­

сравнительно

мало.

Рассмотрим два при мера на применение уравнения Бернул­
ли.

m


3акон сохранения энергии

Пример

1.

139

В случае горизонтальной линии тока величина

h

одинакова

и уравнение Бернулли примет вид

pv 2 /2 + Р

= const,

(4.76)

т. е. давление больше в тех точках, где скорость меньше.

Скажем, в горизонтальной трубке с изменяющимся вдоль
оси

сечением

(4.71),

(рис.

в сечении

82'

4.18)

скорость

течения,

v

будет больше, чем в сечении

согласно

81'

а зна­

чит, давление р слева больше. Именно перепад давления и
будет создавать ускорение а жидкости, которое направлено
вправо. Заметим, что ход графиков

v, р

тора

движения

а

не

зависят

от

направления

и направление век­
жидкости.

v,p

h

----1--1) l

( " )t - I

81
Рис.

Пример

2.

Рис.

4.18

4.19

Рассмотрим истечение идеальной жидкости через малое от­

верстие

в боковой стенке или дне широкого открытого со­

2

суда (рис.

4.19).

Все линии тока проходят через отверстие,

начинаясь у свободной

поверхности

жидкости,

где ско­

рость пренебережимо мала (сосуд широкий). Поэтому по­
стоянная в законе Бернулли будет одна и та же у всех ли­
ний тока. Применим уравнение

(4.75),

тока

от уровня, на котором на­

1-2

и будем отсчитывать

ходится малое отверстие

pgh + ро
где ро

точке

2.

2.

h

например, к линии

Тогда

= pv 2 /2 + ро,

атмосферное давление,

v -

скорость течения в

Отсюда

v = .J2gh.

(4.77)

Это формула Торричелли. Видно, что при истечении через

малое отверстие жидкость имеет скорость, которую приоб­
ретает тело, свободно падающее с высоты

h.

Для реальных

жидкостей скорость истечения будет меньше из-за вязко­
сти

жидкости.

m


Глава

140

4

Вязкость
Всем реальным жидкостям в той или иной степени присуще
внутреннее трение, или вязкость. Рассмотрим движение жид­
кости, скорость

отдельных слоев которой зависит только от

v

поперечной координаты

z

(рис.

Обобщение результатов

4.20).

опыта приводит к выводу, что сила трения

F тр'

действующая

между слоями движущейся жидкости, может быть представле­
на следующей формулой:

F тр = 111 ди / дг 1s,
где

11 -

(4.78)

коэффициент внутреннего трения, или вязкость,

-

ве­

личина, зависящая от природы и состояния жидкости (напри­
мер, от температуры); ди / дг

градиент модуля скорости (он

-

характеризует крутизну графика зависимости

v

S -

от г);

пло­

щадь интересующей нас поверхности раздела между слоями

(эта поверхность перпендикулярна оси

Формула

(4.78)

означает, что жидкость, находящаяся над
поверхностью

z
1

и1

2

У

_.
I

i

Z).

S

(рис.

4.20),

действу-

ет на жидкость под поверхностью

S

с

силой Ртр (вправо), а нижняя часть

F'тp-

жидкости

действует

на

верхнюю

S---г---l-~~ часть с той же по модулю силой Р тр '

РП

но

влево.

Из рис.
Рис.

кости

4.20

чем через точку

4.20

вдоль

видно, что сила вяз­

поверхности

денной через точку

2,

1,

S,

прове-

будет меньше,

поскольку крутизна графика и(г), а значит,

и градиент ди / дг в точке

2

Приведем значения вязкости

больше.

11

для некоторых жидкостей при ком­

(20 ОС), мПа·с:
вода ........ 1,0
2
глицерин . . . 8,5·10

натной температуре

масло касторовое .... 1,0·10
ртуть

3

. . . . . . . . . . 1,6

Ламинарное и турбулентное течения. Особенностью лами­
нарного (слоистого) течения является его регулярность. Напри­
мер, при ламинарном течении в прямолинейной трубе частицы
жидкости движутся вдоль прямолинейных траекторий, парал­

лельных оси трубы. Однако при достаточно больших скоростях
ламинарное течение становится неустойчивым и переходит в

m


3акон сохранения энергии

141

турбулентное, при котором частицы жидкости совершают нере­

гулярные беспорядочные движения, что приводит к интенсив­
ному перемешиванию между слоями движущейся жидкости.
Такие

быстрые

и

нерегулярные

изменения

происходят

вследствие неустойчивости ламинарных течений при опреде­

ленных условиях. Характер течения зависит от значения без­
размерной величины

-

чиС/l,а РеЙnО/l,ьдса:

(4.79)

Re = pvl/11 ,

l -

где р

плотность жидкости,

ка,

характерный размер,

v -

При малых значениях числа

характерная скорость пото­

11 Re

вязкость.
наблюдается ламинарное те­

чение. Но, начиная с некоторого критического значения

Re,

ламинарное течение переходит в турбулентное. Если в качестве
характерного размера, например для круглой трубы, взять ее

Re

радиус, то критическое значение

~

1000

(для воды).

Течение жидкости в трубе круглого сечения
Пусть вязкая жидкость течет в прямой трубе радиуса

R.

Те­

чение стационарное, линии тока параллельны оси трубы. Ско­
рость жидкости равна нулю у стенок трубы и максимальна на
ее оси. Найдем сначала зависимость скорости жидкости от рас­
стояния до оси, т. е.
Выделим
ский

объем

длины

l

ускорения,

(г).

мысленно

цилиндриче­

жидкости

радиуса

(рис.

элементы

v

4.21).

r

и

Поскольку все

жидкости
сумма всех

движутся

без

внешних

сил,

приложенных к любому объему жид-

кости, равна нулю. На боковую поверхность

выделенного

цилиндра

действует сила трения, равная
этого цилиндра

рых равна (Рl

-

Рис. 4.21

111 dv /dr 1 21trl. На основания

силы давления, алгебраическая сумма кото2
Р2 )пг •

-

Течение стационарное, поэтому эти две взаимно противопо­

ложные силы должны быть равны по модулю друг другу:

(4.80)

m


Глава

142

4

v уменьшается с ростом расстояния r от оси трубы,
поэтому dv/dr <О и Idv/drl =-dv/dr. Тогда уравнение (4.80)
Скорость

можно

переписать

так:

-dv

=

Рl - Р2 rdr.
2ytl

= R)

Интегрируем его с учетом того, что у стенок (г
о

-Jdv

Рl - Р2
2ytl

v

v

=О

:

Jrdr.

R
r

в результате получим:

( 4.81)
График этой зависимости и(г) показан на рис.

Теперь найдем поток
кости,

т.

е.

где

4.22,

объем

Q

жид­

жидкости,

протекающей через поперечное

сечение трубы за единицу вре­

мени (м 3 /с). Объем жидкости,
ежесекундно протекающей че­
Рис.

рез

4.22

уса

элементарное

(г,

r + dr),

кольцо

dQ

ради­

= и·2пг dr.

Подставив сюда выражение и(г)
из формулы

(4.81)

и проинтегрировав по т, найдем

Q -_

Рl

- Р2
2ytl

R4

Это формула ПуааеЙля. Видно, что поток
но зависит от радиуса трубы

-

( 4.82)

п.

Q

особенно силь­

в четвертой степени. На этой

формуле, в частности, основан один из экспериментальных ме­

тодов определения вязкости

yt

жидкостей.

m


3акон сохранения энергии

143

В заключение определим мощность сил вязкости при стаци­

онарном течении жидкости в данной трубе. Воспользуемся сле­
дующими соображениями.

Кинетическая энергия текущей в

трубе жидкости остается неизменной, поэтому алгебраическая
сумма мощностей сил давления и сил вязкости должна быть

+ Рвя.зк = о. Отсюда Рвя.зк = -Рдавл И задача
сводится к вычислению Рдавл = v dF, г де dF - сила, создавае­
равна нулю: Рдавл

J

мая перепадом давлений на торцах цилиндрического слоя сече­

нием 2пг

dr.

Значит,

Рдавл

R

=

Jv (Рl - Р2 )2пг dr.
о

После подстановки выражения
учетом

(4.82)

(4.81)

и интегрирования с

получим

Таким образом, искомая мощность сил вязкости

(4.83)
где,

напомним, Рl

> Р2 .

Пример. При перепаде давлений Рl - Р2 = 10атм = 106 Па и потоке
жидкости Q = 1,0 м 3 jc модуль мощности сил вязкости, со­
гласно (4.83), равен 106 ·1,0 = 1 МВт. Это дает представление
о той мощности, которую приходится затрачивать при созда­

нии в трубопроводах стационарного течения жидкости.

Задачи

4.1.

Работа и мощность. Камень массы т бросили с поверхности земли
под углом а к горизонту с начальной скоростью V o. Пренебрегая
сопротивлением воздуха, найти мощность силы тяжести через

t

секунд после начала движения, а также работу этой силы за пер­
вые

р е

t

m

ния V

секунд движения.

е н и е. Скорость камня через t секунд после начала движе­

=

Vo

+ gt.

Мощность, развиваемая силой тяжести в этот мо­

мент,

Р

= mgv = m( gv о

2

+ g t).

m


Глава

144
в нашем случае

+ а) = -gv o sin а,

gv о = gv o cos ( n/2
Р

4

поэтому

= mg (gt -v o sina).

Отсюда видно, что при t

< t o = (v o / g ) sina мощность Р <
t >t o , наоборот, Р > о.

О, а при

Работа силы тяжести за первые t се­
кунд

t

J

А = Р dt = mgt(gt/2 -v o sina).
о

Рис.

4.2.

Графики

4.23

зависимостей

показаны на рис.

Р( t)

и А( t)

4.23.

Консервативность сил поля. Имеются два стационарных силовых
поля:

-

1) F = ayi; 2) F = axi

+ byj,

где

орты осей Х и У; а и Ь

i, j -

постоянные.

Консервативны ли силы этих полей?
Реш е н и е. Найдем работу силы каждого поля на пути от неко­

1 (х 1 ,

торой точки

1)

8А

2) 8А

Уl) до некоторой точки 2(х 2 , У2):

= Fdr = ayidr = ау dx,
= (axi + ЬуН dr = ах dx + Ьу dy,

А =а

Х2

У2

Хl

Уl

Jх dx + Ь Jу dy.

в первом случае интеграл зависит от вида функции у(х), т. е. от
пути, поэтому первая сила неконсервативная. Во втором случае

оба интеграла не зависят от пути, они зависят только от коорди­
нат начальной и конечной точек пути.
сила

4.3.

Следовательно,

вторая

консервативная.

Потенциальная энергия частицы в поле. Сила, действующая на
частицу

в

F = a(yi +

некотором

хН, где а

-

поле

консервативных

постоянная,

i

и

j -

сил,

имеет

вид

орты осей Х и У. Найти

потенциальную энергию И (х,у) частицы в этом поле.
Реш е н и е. Вычислим элементарную работу силы

щении

dr

и представим ее, согласно

рой функции

u.

(4.14),

F

на переме­

в виде убыли некото­

Эта функция и есть, по определению, потенциа­

льная энергия частицы в данном поле. Итак,

8А

= F dr = а ( у dx + х dy) = - d (- аху ).

Отсюда U(х, у)

= -аху + const.

m


3акон сохранения энергии

4.4.

145

О разных подходах к решению. Шарик массы т подвесили на
упругой невесомой нити, жесткость которой х. Затем шарик под­
няли так, чтобы нить оказалась в недеформированном состоянии,

и без толчка отпустили. Найти максимальное удлинение Х m нити
В

процессе

движения

шарика.

Реш е н и е. Рассмотрим три эквивалентных способа решения,
основанных на энергетических соображениях.

1.

Исходим из уравнения

(4.29):

приращение кинетической энер­

гии шарика должно быть равно алгебраической сумме работ всех
сил, действующих на него. В нашем случае это сила тяжести
упругая сила со стороны нити Fупр

=

хх, где Х -

mg

и

удлинение нити.

В начальном и конечном положениях шарика его кинетическая

энергия равна нулю (ясно, что при максимальном растяжении
нити шарик остановится), поэтому, согласно

Ат.яж

+ Аупр =

(4.29),

сумма работ

о, или
Х

mgX m +

m

J(-xx)dx = mgx

m -

xx~ /2 = о.

о

Отсюда Х m

2.

= 2mg/x.

Можно рассматривать шарик в поле тяжести Земли. При таком

подходе следует говорить о полной механической энергии шарика

в поле тяжести Земли. Приращение этой энергии, согласно

(4.31),

равно работе сторонних сил. В данном случае сторонней силой
надо считать силу упругости, приращение же полной механиче­

ской энергии шарика равно приращению только его потенциаль­

ной энергии в поле тяжести Земли. Поэтому
Х

m

J(-xx)dx = -xx~ /2.
о

Отсюда тот же результат для х m •
Заметим, что можно было бы поступить и наоборот, т. е. рассмат­
ривать шарик в поле упругой силы. Тогда роль сторонней силы

играла бы сила тяжести. Полезно убедиться, что и в этом случае
результат будет тем же.

3.

И наконец, можно рассматривать шарик в поле, образованном

совместным действием и силы тяжести, и упругой силы. Тогда
сторонние силы отсутствуют и полная механическая энергия ша­

рика в таком поле остается постоянной в процессе движения, т. е.
д.Е

= М + д.и = о.

При переходе шарика из начального положе-

m


Глава

146
ния

д.и

В

конечное

(нижнее)

= д.и тяж + д.иупр = О,

М

= о,

а

следовательно,

4
и

или

-mgx m +

2
ХХ m

/2 = о.

Результат опять тот же.

4.5.

Небольшое тело массы т поднимается с нулевой начальной скоро­
стью с поверхности земли под действием двух сил: силы

ющейся с высотой подъема у по закону

F = - 2mg( 1 -

положительная постоянная, и силы тяжести
силы

F

mg.

F,

меня­

ау), где а

-

Найти работу

на первой половине пути подъема и соответствующее при­

ращение потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли. Поле
тяжести

предполагается

однородным.

Реш е н и е. Сначала найдем весь путь подъема. В начале и кон­
це пути скорость тела равна нулю,

поэтому равно нулю и прира­

щение кинетической энергии тела. Согласно
гебраической сумме работ А силы
д.К

= о,

то и А

=

F

(4.29),

М равно ал­

и силы тяжести. А так как

о. Учитывая, что положительное направление

оси У взято вверх, запишем

h

h

А = J(Fy -mg)dy =mgJ(1-2ау)dу =mgh(1-ah) =0.
о

Отсюда

h =

Работа силы

о

1/а.
на первой половине пути подъема

F

h/2

AF

h/2

J Fydy = 2mg J(1 - ау) dy = 3mg /4а.
о

о

Соответствующее приращение потенциальной энергии

д.и

4.6.

= mgh/2 = mg /2а.

Потенциал и напряженность поля. Найти потенциал и напряжен­
ность гравитационного поля,

сы М и радиуса

R,

созданного однородным шаром мас­

в зависимости от расстояния

r

до его центра.

Реш е н и е. Сначала определим потенциал поля, создаваемого
тонким однородным сферическим слоем вещества массы т и ра­

диуса а. Для этого найдем потенциал
рый создает элементарный пояс
Если масса этого пояса

dm

dS

d<p

в точке Р

(r >

данного слоя (рис.

а), кото­

4.24,

а).

и его точки находятся на расстоянии х

m


3акон сохранения энергии

147

а)

б)

~м---+---~--~P

Рис.

от точки Р, то

d<p = -ydm/ х.

O~----~-------r~

4.24

Учитывая, что

dm = 1/ 2т

sinЭdЭ, по­

лучаем

d<p = - ут sinЭ dЭ.

(1)

2х

Далее,

х2

из

теоремы

=а2 +r 2

-

косинусов

(для

А ОАР)

следует,

что

2 ar соsЭ. Взяв дифференциал этого выражения,

найдем

х

Преобразуем

dx = ar

sinЭ dЭ.

(1) с помощью (2) к видуd<р

(2)

= 1/2 (ут/ ar)dx

и проин­

тегрируем это уравнение по всему слою. Тогда

r+a

J dx = _ утr •

<Рвне = - ут

2ar r-a

(3)

Таким образом, потенциал в точке Р вне тонкого однородного
сферического слоя таков, как если бы вся .масса этого слоя была

сосредоточена в его центре. Если же точка Р находится внутри
слоя

(r <

а), то предыдущие расчеты остаются в силе вплоть до

интегрирования. Теперь пределы интегрирования по х будут от
а

- r

до а

+

r.

В результате

<Рвнyrpи

= - ут / а,

(4)

т. е. потенциал внутри слоя не зависит от положения точки Р,

а следовательно, он одинаков во всех точках внутри слоя.
Напряженность поля в точке Р, согласно

д<р
Gr

=-

Br

{-ym/r 2

=

О

(4.26),

вне слоя,

внyrpи слоя.

m


Глава

148
Графики зависимостей

</> (r)

и

G (r)

рического слоя показаны на рис.

4

для тонкого однородного сфе­

4.24,

б.

Обобщим полученные результаты на однородный шар массы М и
радиуса
лы

(3)

Если точка Р находится вне шара

R.

(r >R),

то из форму­

следует

</>вне

= -уМ /r.

Если точка Р находится внутри шара

(5)
(r < R),

то потенциал в этой

точке

где

</>1 -

потенциал от шара радиуса

радиусами от

r

до

</>1
Потенциал

</> 2'

Согласно

R.

= -у

центре

где dM
и

потенциал от слоя с

(5),

M(r/R)3

r

М

= - y -3r

2

R

создаваемый слоем, одинаков во всех точках внут­

ри этого слоя. Проще всего
в

r, </>2 -

</>2

вычислить для точки, находящейся

слоя:

= 3 (М / R 3 ) r 2 dr - масса тонкого слоя между радиусами r

r + dr.

В результате

(6)
Напряженность поля в точке Р, как следует из

/

G = _ д</> = {-УМ r 2
r
Br
-уМ/R 3

УМ

7

Графики зависимостей

r

и

(6),

при r ~ R,
при

</> (r)

однородного шара радиуса
на рис.

Рис.

(5)

и

R

r ./
"=::: R

G (r)

•

для

показаны

4.25.

4.25

m


Закон сохранения энергии

4.7.

149

Космические скорости. Показать, что кинетическая энергия К 2 ,
которую необходимо сообщить телу для удаления его за пределы
земного тяготения, в два раза превыmает кинетическую энергию

К 1 , необходимую для выведения этого тела на круговую орбиту
искусственного спутника Земли (вблизи ее поверхности). Сопро­
тивлением воздуха и вращением Земли пренебречь.
Ре

m

е н и е. Найдем скорость V 1 тела, движущегося по круговой

орбите. Согласно основному уравнению динамики,

mv 12 /R = mg,
где т

масса тела,

-

радиус орбиты, приблизительно равный

R -

радиусу Земли. Отсюда

= .JgR = 7,9 км/с.

V1

Это первая космuческая скорость.

Для того чтобы тело могло преодолеть поле тяготения Земли, ему
необходимо сообщить вторую космuческую скорость V 2 • Ее можно
найти из закона сохранения энергии: кинетическая энергия тела

вблизи поверхности Земли должна быть равна глубине потенциа­
льной ямы в этом месте. Последняя равна приращению потенциа­

льной энергии тела в поле тяготения Земли между точками
и

r2 =

r1 = R

00. Таким образом,

mv:/2 = утМ /R,
где М

-

масса Земли. Отсюда

V2

Следовательно,

4.8.

= ~2yM / R = .J2gR = 11 км/с.

V2

= v 1 .J2 и К 2 = 2К 1 •

Решение в неинерциальной системе отсчета. Плоскую жесткую
спираль из гладкой проволоки, расположенную в горизонтальной

плоскости,
скоростью

вращают

ro

с

постоянной

угловой

вокруг неподвижной вертикаль­

ной оси О (рис.

4.26).

По спирали скользит

небольmая муфта М. Найти ее скорость
носительно

спирали

как

функцию

v'

от­

расстоя­

ния р от оси вращения О, если муфта начала

двигаться от этой оси со скоростью v~.

Рис.

4.26

m


Глава

150

4

Реш е н и е. Этот вопрос наиболее целесообразно решать в систе­
ме отсчета, связанной со спиралью. Известно, что приращение ки­

нетической энергии тела равно алгебраической сумме работ всех
сил, действующих на тело. В нашем случае из всех сил работу бу­

дет совершать только центробежная сила инерции. Все остальные
силы (сила тяжести, сила реакции со стороны спирали и сила Ко­
риолиса) перпендикулярны скорости у' муфты, поэтому работы не
совершают.

Согласно уравнению

(4.29),
_V ( 2 )

m(v,2
где т

-

тельно

масса муфты,
данной

dr -

спирали.

J

/2 = mro 2 pdr,

ее элементарное перемещение относи­
Так

как

скалярное

произведение

pdr = p(dr)p = pdp, то интеграл равен mro 2 р 2/ 2 , откуда
V

4.9.

,

2 2
= ~,2
V o + ro р .

Система частиц. Три одинаковые заряженные частицы, каждая
массы т и с зарядом

q,

поместили в вершины углов равносторон­

него треугольника со стороной а. Затем частицы одновременно
освободили и они стали симметрично разлетаться под действием
кулоновских сил отталкивания. Найти:

1)

скорость каждой части­

r между ними; 2)

цы в зависимости от расстояния

работу А 1 , кото­

рую совершили кулоновские силы, действующие на каждую час­

тицу при разлете их на очень большое расстояние друг от друга.
Реш е н и е.

1.

Данная система замкнутая, поэтому для нее при­

ращение кинетической энергии равно убыли потенциальной, т. е.

откуда

V
Видно, что при
дельному

2.

r

= ~2kq2(r

-

а )/mra.

~ 00 скорость каждой частицы стремится к пре­

значению

Работа всех сил взаимодействия при изменении конфигурации

этой системы равна убыли потенциальной энергии системы:

А

= U1

- И2

= 3kq 2/ а,

m


3акон сохранения энергии

151

где учтено, что в конечном положении и 2

=

о. Тогда искомая ра­

бота

А1

3

= А / 3 = kq 2/ а .

(*)

а м е ч а н и е. Следует обратить внимание на одну часто встре­

чающуюся ошибку при решении подобного рода задач. Рассуж­
дают так: в начальном положении потенциальная энергия каж­

дой частицы в поле других двух равна 2kq 2/ а, а в конечном нуль. Отсюда искомая работа А 1 = 2kq 2/ а. Как видно, получен­
ный результат отличается вдвое от (*). Почему?
Ошибка здесь в том, что поле, в котором перемещается каждая
частица, нестационарное (ведь другие две частицы тоже переме­
щаются друг относительно друга), поэтому работа сил такого
поля не может быть представлена как убыль потенциальной
энергии

4.10.

частицы

в

поле.

На гладкой горизонтальной плоскости находятся два бруска с
массами

m1

сти х (рис.

и

m 2,

4.27).

соединенные между собой пружинкой жестко­
Брусок

переместили

2

влево на небольшое расстояние х и отпус­
тили. Найти скорость V c центра масс сис­

темы после отрыва бруска

1

от стенки.
Рис.

4.27

Реш е н и е. При распрямлении пружинки на систему будет
действовать некоторая горизонтальная сила

F

со стороны стен­

ки. Импульс этой силы при водит К возникновению импульса си­

стемы. После отрыва бруска

1

от стенки импульс системы меня­

ться не будет, и мы можем записать:

(1)
где учтено, что в момент отрыва бруска
Поскольку точка приложения силы

F

1

его скорость V 10

=

о.

неподвижна (в процессе ее

действия), эта сила работы не совершает. 3начит, механическая
энергия системы в процессе движения будет оставаться неизмен­
ной и равной своей первоначальной величине. В момент отрыва

бруска

1

потенциальная энергия первоначально сжатой пружи­

ны целиком переходит в кинетическую энергию бруска

2:
(2)

m


Глава

152
Исключив V20 из равенств

Vc

(1)

и

4

получим

(2),

= x~xm2 /(m 1 + m2).

Заметим, что нечто подобное происходит при начале движения,
например, автомашины: импульс сил трения сообщает импульс
автомашине, а внутренний источник энергии (топливо)
тическую

4.11.

кине­

-

энергию.

Внутренняя механическая энергия системы. Система состоит из
двух шариков с массами

m1

и

m2'

которые соединены между со­

бой невесомой пружинкой. Шарикам сообщили скорости
соответственно,

v1

И V2

после чего система начала двигаться в однород­

ном поле сил тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воз­
духа и считая, что в начальный момент пружинка не деформи­
рована и

v 1 ..1 v 2

, найти внутреннюю механическую энергию дан­

ной системы в процессе движения.
Реш е н и е. Внутренняя механическая энергия системы

-

это

ее энергия Е в Ц-системе. Здесь Ц-система движется с ускорени­
ем

g,

поэтому в этой системе отсчета на каждый шарик действу­

ют две внешние силы:

mig

сила тяжести

и сила инерции

-mig.

Суммарная работа этих внешних сил равна нулю (в Ц-системе),

а следовательно, энергия Е изменяться не будет. Чтобы ее най­
ти, достаточно рассмотреть начальный момент, когда пружинка

еще не деформирована и энергия Е равна только суммарной ки­
нетической энергии К о вЦ-системе. Воспользовавшись форму­

лой

4.12.

(4.61),

получим

Столкновение частиц. В К-системе отсчета частица
налетает на покоящуюся частицу
тицы равен

q.

2

массы

m2.

1

массы

m1

Заряд каждой час­

Найти минимальное расстояние, на которое они

сблизятся при лобовом ~ соударении», если кинетическая энер­
гия частицы

1

вдали от частицы

2

равна К 1.

Реш е н и е. Рассмотрим процесс столкновения отдельно в К- и
Ц -системах отсчета.

1.

В К -системе в момент наибольшего сближения обе частицы

будут двигаться как единое целое со скоростью V, которую мож­
но

определить

из

закона

сохранения

импульса:

m


3акон сохранения энергии

где Рl -

153

импульс налетающей частицы: Рl = ~2тlKl.

Из закона сохранения энергии следует, что

где приращение потенциальной энергии системы!1U
Исключив

v

из этих двух уравнений, найдем

= (1 + т 1 1т 2 )kq 2 1 К 1 •

rМИН

2.

= kq2 Ir МИН.

ВЦ-системе решение наиболее просто: здесь суммарная кине­

тическая энергия частиц идет целиком на приращение потенци­

альной энергии системы частиц в момент их наибольшего сбли­
жения:

= !1U,

к

где, согласно

(4.61),

-

К

Отсюда легко найти

4.13.

= fJ.v 12 /2 = К 1 т2 l(m 1 + т2)' !1U = kq 2 Ir МИН.

rМИН.

Частица массы т 1 с импульсом Рl испытала упругое столкнове­
ние с покоившейся частицей массы т 2 •

Найти импульс р{ первой частицы по­
сле столкновения, в результате которого

она рассеял ась под углом Э к первонача­
льному

направлению

движения.

Реш е н и е. Из закона сохранения им­

пульса (рис.

4.28)

Рис.

находим

4.28

(1)
где Р2

-

импульс покоившейся частицы после столкновения.

Из закона сохранения энергии следует, что К 1
и К

2-

= К { + к 2'

где К {

кинетические энергии первой и второй частиц после

столкновения. Преобразуем это равенство с помощью соотноше­

ния К

= р2 12т к виду
(2)

Исключив Р22 из (1) и (2), получим
,
Рl

= Рl

cos

Э ± ~COS2 Э + (т: 1т:
1+

1
т2 т

1

-1)

.

m


Глава

154
Если

4

m 1 < m2' то физический смысл имеет только знак плюс пе­

ред корнем. Это следует из того, что при этом условии корень бу­
дет больше, чем

cos

Э, а так как Рl

это модуль вектора, то он

-

не может быть отрицательным.

Если m 1
нем

> m2'

то физический смысл имеют оба знака перед кор­

ответ в этом случае неоднозначен: под углом Э импульс

-

рассеянной частицы может иметь одно из двух значений (это за­
висит от относительного расположения частиц в момент соударе­

ния). Последний случай соответствует векторной диаграмме, по­
казанной на рис.

4.14.

Какую часть
сы

m1

11

4.14,

6.

своей кинетической энергии теряет частица мас­

при упругом рассеянии под предельным углом на покоя­

m 2? Здесь m 1 > m 2•

щейся частице массы

Реш е н и е. Пусть К l' Рl И К 1. 'Рl

кинетическая энергия и

-

импульс налетающей частицы до и после рассеяния. Тогда

(1)
т.

е.

задача сводится

к

нахождению от­

ношения Рl / Рl .
Воспользуемся

векторной

диаграммой

импульсов, соответствующей предельно­

А

му углу Э 1пр (рис.
Рис.

Из прямоуголь­

ного треугольника АСО следует, что

4.29

Рl,2

4.29).

= ( Рl

-

- )2

Р

-

- 2

Р

= Рl2

- 2 Р1Р'

откуда

(2)
После подстановки

4.15.

Атом массы

m1

(2)

в

(1)

получим

испытал неупругое столкновение с покоившейся

молекулой массы

m2•

После соударения обе частицы разлетелись

под углом Э друг к другу с кинетическими энергиями К 1. и к

2

соответственно, причем молекула оказалась в возбужденном со­
стоянии

-

величину

ее внутренняя энергия увеличил ась на определенную

Q.

Найти

Q,

а также пороговую кинетическую энергию

атома, при которой возможен переход молекулы в данное воз­

бужденное состояние.

m


155

3акон сохранения энергии

Реш е н и е. Из законов сохранения энергии и импульса в этом
процессе

следует:

K 1 =K{+K 2 +Q,
2
,2
,2 2 "
(\
Р1 = Р1 + Р2 + Р1Р2 cos ~,
где штрихами отмечены величины после соударения (второе со­
отношение

сразу

следует

из

треугольника

импульсов

согласно

теореме косинусов). Воспользовавшись формулой р2

= 2mК,

исключим К 1 из этих уравнений. В результате получим

Q =(m2/m1 -1)K 2 +2~(m2/m1)К{К2СОSЭ,
К 1пор =IQ l(m 1 + m 2 )/m 2 •

4.16.

Распад частицы. Частица с импульсом РО (в К-системе) распа­
лась на лету на две частицы с массами

лилась энергия

m1

и

m2•

При этом выде­

энергия распада (она перешла в кинетиче­

Q -

скую энергию). Построить векторную диаграмму импульсов для
этого процесса и найти с помощью нее возможные импульсы Р1 и
Р2

возникших

частиц.

Реш е н и е. Наиболее просто этот процесс выглядит в Ц-систе­
ме:

здесь распадающаяся частица покоится,

а частицы распада

разлетаются в противоположные стороны с одинаковыми по мо­

дулю импульсами Р1

= Р2 = р.

Энергия расп~а Q целиком пере­

ходит в суммарную кинетическую энергию К возникающих час­
тиц. Поэтому

где

~

-

приведенная

масса системы

возникших

частиц.

Найдем импульсы возникших частиц в К-системе. Воспользо­

вавшись формулой преобразования скоростей при переход е от
Ц- к К-системе, запишем:

Р1

= m1 v 1 = m1 ( V с + v1) = m1 V с + 1)1'

Р2 = m 2v 2 = m 2 (VC
причем,

согласно

импульса, Р1

+

С

этих

помощью

векторную

(рис.

4.30).

Р2

закону

+ У2) = m 2 V c + 1)2'

сохранения

= Ро·
формул

диаграмму

построим
импульсов

Изобразим сначала отре-

зок АВ, равный импульсу ро. Затем

в

А
Рис.

4.30

m


Глава

156

4

радиусом р проведем окружность с центром в точке О, которая
делит отрезок АВ на две части в отношении

m 1 : m2.

Эта окруж­

ность и есть геометрическое место точек всех возможных поло­

жений вершины С треугольника импульсов АВС.

4.17.

Открытый сверху цилиндрический сосуд высотой

h

заполнен до­

верху идеальной жидкостью. В дне сосуда открыли малое отвер­
стие, площадь которого в

Считая

11 » 1,

11

раз меньше площади сечения сосуда.

найти, через какое время вся жидкость вытечет из

сосуда.

v1,

Реш е н и е. Скорость

с которой будет опускаться уровень

жидкости в сосуде, не постоянна. Поэтому сначала найдем время

dt,

за которое убыль высоты уровня равна

dt

- dx:

= - dx/v 1 •

Теперь найдем связь между

v1

(1)

и высотой уровня х. Для этого

воспользуемся уравнением неразрывности струи
нием Бернулли

1 -

(4.71)

и уравне­

Запишем последнее для двух сечений:

(4.75).

когда уровень находится на высоте х, и

2 -

на выходе из

отверстия. Тогда оба уравнения будут иметь вид

= V2,

11Vl

v: /2 + gx = v: /2.

(2)

Здесь учтено, что давление р в обоих сечениях одинаково (атмо­
сферное). Из уравнений

(2),

имея в виду, что

11 » 1,

получим

(3)
Подставив

(3)

в

(1)

и проинегрировав, найдем

о dx

t

= -11J .J2iX = 11~2h / g .
h

4.18.

2gx

Вязкость. Вычислить силу трения, испытываемую прямой тру­
бой длины

l = 100 м с радиусом круглого сечения R = 25 см при
стационарном течении воды, поток которой Q = 5,0 м 3 /с. Вяз­
кость воды 11 = 1,0 мПа·с.
Реш е н и е. Искомую силу трения найдем с помощью формулы

(4.78).

Для этого надо сначала вычислить производную

ражения

(4.81)
F

тр

при

= 11

вы­

r = R. В результате получим

dv 21tRl
dr

или с учетом формулы

Ртр

dv/dr

= 11 (Рl

- Р2 )2R 21tRl,
411l

(4.82)

= 811lQ/R

2

=64Н.

m


rllaBa 5
Закон сохранения момента импульса

....

§ 5.1.

Момент импульса частицы. Момент силы

Анализ поведения систем показывает, что кроме энергии и
импульса существует еще одна механическая величина, с котоu

рои также связан закон сохранения,

-

это момент импульса

*.

Что это за величина и каковы ее свойства?
Сначала возьмем одну частицу. Пусть

r -

радиус-вектор,

характеризующий ее положение относи-

тельно некоторой
системы

отсчета,

точки
а

-

р

О

выбранной

ее

импульс

м

в
р

этой системе.
Моментом импульса частицы А отно­

сительно точки О (рис.

5.1)

называют

вектор М, равный векторному произве­
дению

r

векторов

и

р:

1м = [гр]

·1

Рис.

5.1

(5.1)

Из этого определения следует, что М является аксиальным

вектором. Его направление выбрано так, что вращение вокруг
точки О в направлении вектора р и вектор М образуют право­
винтовую систему. Модуль вектора М равен

м
где а

-

угол между

r

тельно точки О (рис.

и р,

= rp sin а = lp,
1 = r sina -

(5.2)
плечо вектора р относи­

5.1).

Уравнение моментов
Выясним, какая механическая величина ответственна за из­
менение вектора М в данной системе отсчета. Для этого про­
дифференцируем

(5.1)

по времени:

dM/dt =[dr/dt,p]+[r,dp/dt].

*

Используют также названия момент количества движения, механический
момент, угловой момент или просто момент.

m


Глава

5

равен скорости

v

158
Так как точка О неподвижна, то вектор

dr / dt

частицы, т. е. совпадает по направлению с вектором р, поэтому

[dr/dt,

р]

=

о.

Согласно второму закону Ньютона,

dp/dt

=

где

F,

равно­

F -

действующая всех сил, приложенных к частице. Следовательно,

dM/dt = [rF] .
Величину, стоящую в правой части

N

этого уравнения,

силы

5.2).
Рис.

Вектор

F

называют моментом

относительно

точки

Обозначив ее буквой

N,

О

запишем

(5.3)

5.2

N,

как и М, является аксиальным. Модуль этого век­

тора, аналогично

(5.2),

равен

(5.4)

N =lF,
где

плечо вектора

1-

(рис.

F

относительно точки О (рис.

5.2).

Итак, производная по времени от момента импульса М час­
тицы относительно некоторой точки О выбранной системы от­
счета равна моменту

N

равнодействующей силы

F

относитель­

но той же точки О:

(5.5)

IdM/dt =N·I

Это уравnеnuе момеnтов. Заметим, что если система отсче­
та является неинерциальной, то момент силы

N

включает в

себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инер­
ции (относительно той же точки О).
Из
если

уравнения

N ==

о, то М =

моментов

const.

(5.5),

в частности,

следует,

что

Другими словами, если относительно

некоторой точки О выбранной системы отсчета момент всех
сил, действующих на частицу, равен нулю в течение интересу­
ющего нас промежутка времени, то относительно этой точки
момент импульса частицы остается постоянным в течение это­
го

времени.

m


3акон сохранения момента импульса

Пример

1.

159

Некоторая планета А движется в поле тяготения Солнца С
(рис.

5.3).

Относительно какой точки гелиоцентрической

системы отсчета момент импульса данной планеты будет
сохраняться во времени?
Для ответа на этот вопрос прежде

всего необходимо установить, ка­
кие силы действуют на планету А.
В данном случае это только сила

F

тяготения
Так

как

со

при

стороны

движении

Солнца.
планеты

направление этой силы все время

проходит через центр Солнца, то

Рис.

последний и является той точкой,
относительно

которой

момент

силы

F

все

5.3

время

равен

нулю, и момент импульса планеты будет оставаться посто­
янным. Импульс р планеты при этом будет меняться.
Пример

2.

Шайба А, двигаясь по гладкой горизонтальной плоскости,
упруго

отскакивает

5.4,

(рис.

от

гладкой

вертикальной

стенки

вид сверху). Найдем точку, относительно которой

момент импульса шайбы будет оставаться постоянным в
этом

процессе.

На шайбу действуют сила тяжести,
сила реакции со стороны горизонта­

льной плоскости и сила реакции

R

со стороны стенки в момент удара о

нее. Первые две силы уравновеши­
вают друг друга, остается сила

R.

Ее момент равен нулю относительно

любой

точки,

лежащей

действия вектора

R,

на

линии

а значит, отно-

Рис.

сительно любой из этих точек мо­

5.4

мент импульса шайбы будет оставаться постоянным в дан­
ном

Пример

3.

процессе.

На горизонтальной гладкой плоско­
сти находятся неподвижный верти­

кальный цилиндр и шайба А, соеди­
ненная с цилиндром горизонтальной
нитью

АВ

Шайбе
рость

У,

(рис.

сообщили
как

5.5,

вид

сверху).

начальную

показано

на

ско­

рисунке.

(с)
в

Рис.

•
5.5

Есть ли здесь точка, относительно которой момент импульса

шайбы будет оставаться постоянным в процессе движения?

m


Глава

160

5

в данном случае единственная некомпенсированная сила,

действующая на шайбу А,

это сила натяжения

-

F

со сто­

роны нити. Нетрудно видеть, что точки, относительно ко­

торой момент силы

F

в процессе движения был бы все

время равен нулю, здесь пет. А следовательно, нет и точ­

ки, относительно которой момент импульса шайбы оста­
вался бы постоянным.
Этот пример показывает, что не всегда существует точка,
относительно которой момент импульса частицы оставался

бы постоянным.

'Уравнение моментов

(5.5)

позволяет получить ответ на два

вопроса:

1)

найти момент силы

N

относительно интересующей нас

точки О в любой момент времени
от времени момента импульса
же

t,

M(t)

если известна зависимость
частицы, относительно той

точки;

2)

определить приращение момента импульса частицы отно­

сительно точки О за любой промежуток времени, если известна
зависимость от времени момента силы

действующего на

N(t),

эту частицу (относительно той же точки О).
Решение первого вопроса сводится к нахождению производ -

ной по времени от момента импульса; т. е.
равна, согласно

(5.5),

dM/dt,

искомому моменту силы

N.

которая и

Решение вто­

рого вопроса сводится к интегрированию уравнения
ножив обе части этого уравнения на

dt,

получим

(5.5). 'Ум­
dM = N dt -

выражение, которое определяет элементарное приращение век­

тора М. Проинтегрировав это выражение по времени, найдем
приращение вектора М за конечный промежуток времени

t:

(5.6)

Величину, стоящую в правой части этого уравнения, назы­

вают импульсом момента силы. Таким образом, приращение
момента импульса частицы за любой промежуток времени рав­
но

импульсу

момента

силы

за

это

же

время.

Рассмотрим два примера.

m


3акон сохранения момента импульса

Пример

1.

161

Момент импульса частицы относительно некоторой точки

меняется со временем t по закону M(t) = а + bt 2 , где а и
Ь - некоторые постоянные векторы, причем а 1.. Ь. Найдем
момент силы N, действующий на частицу, когда угол меж­
ду векторами N и М окажется равным 450.
Согласно

(5.5), N = dM/dt = 2bt,
вектор N все время совпадает

т. е.

по

направлению

с

Изобразим векторы
торый момент

вектором

Ь.

N

и М в неко­

N

t (рис.

5.6).

Из этого рисунка видно, что угол
2
а
450 в момент t o' когда а Ы О •

=

=

Отсюдаt о = ~a/b и N = 2~a/b . Ь.
Пример

2.

Рис.

Камень А массы т бросили под уг-

лом к горизонту с начальной скоростью

v o.

5.6

Пренебрегая со­

противлением воздуха, найдем зависимость от времени мо­

мента импульса камня
(рис.

M(t)

относительно точки бросания О

5.7).

За промежуток времени

dt

момент импульса камня относи­

dM = Ndt = [r, mg]dt.
/2 (см. стр. 11), то dM = [vo,mg]tdt.

тельно точки О получит приращение

Так как r

= vot

gt 2

+

Проинтегрировав это выражение с учетом того, что в

мент

M(t)
но,

t

=О

М(О)

= О,

получим

= [v о' mg] t 2/2. Отсюда вид­

mg

что направление вектора М

остается

неизменным

движения

мо-

в

процессе

(вектор М направлен

за плоскость рис. 5. 7).

O%~~~~~~~~~~~'/
Рис.

5.7

Момент импульса и момент силы относительно оси
Возьмем в интересующей нас системе отсчета произвольную

неподвижную ось
оси

Z

z. Пусть относительно некоторой точки О на

момент импульса частицы А равен М, а момент силы,

действующий на частицу,

-

N.

Z

Моментом импульса относительно оси

Z

называют проекцию на эту ось вектора М,
определенного

относительно

точки О данной оси (рис.
вводят

понятие

момента

произвольной

5.8).

силы

Аналогично

относительно

о

Рис.

5.8

m


Глава

162
оси. Их обозначают соответственно

что М z и

Nz

Mz

и

N z•

Далее мы увидим,

не зависят от выбора точки О на оси

z.

Выясним свойства этих величин. Записав уравнение
проекциях на ось

5

в

(5.5)

получим

Z,

(5.7)
т. е. производная по времени от момента импульса частицы от­

носительно оси

Z

частности, если

равна моменту силы относительно этой оси. В

N z == О,

то

Mz

const.

=

Другими словами, если

момент силы относительно некоторой неподвижной оси

Z

равен

нулю, то момент импульса частицы относительно этой оси оста­
ется постоянным. При этом вектор М может и меняться.
Пример. Небольшое тело массы т, подвешенное на нити, равномерно
движется по горизонтальной окружности

Z

(рис.

5.9)

под действием силы тяжести

mg

и силы натяжения Т со стороны нити. От­
носительно
тела

--

точки

NI --

вектор

плоскости с осью
нии тела вектор

N
т

-

--~--

Рис.

О

момент

находится в одной

Z

и нитью, и при движе­

NI

под действием момента

силы тяжести все время поворачивает­

ся, т. е. меняется. Проекция же Мг оста­

-'

mg

ется при этом постоянной, так как вектор

N

5.9

перпендикулярен оси

Z

Найдем теперь аналитические выражения для
трудно

видеть,

ций на ось

Z

что

импульса

эта

задача

сводится

векторных произведений

к

и

Nz =

Mz

и

N z•

нахождению

[rp]

и

о.

Не­

проек­

[rF].

Воспользуемся цилиндрической системой

z

координат

(рис.

eq>

5.10)

р,

<р,

г,

связав

орты ер, е<р,

ez '

с

частицей

А

направленные в

сторону возрастания соответствующих коор­
динат. В этой системе координат радиус-век­
тор

r

и импульс р частицы записывают так:

где Рр' Р<р'

Рис.

5.10

Pz -

проекции вектора р на соот­

ветствующие орты.

Из

векторной

алгебры

m


3акон сохранения момента импульса

163

известно, что векторное произведение

[rp]

можно представить

определителем

eq> e z

ер

М

= [rp] =

р

о

Рр

г,

Pq> P z

откуда сразу видно, что момент импульса частицы относитель­

но оси

Z

(5.8)
где р

расстояние частицы от оси

-

ние к виду,

более удобному для практических применениЙ.

Имея ввиду, что Р q> =

mv q> = mpO)z,

M z = mр
где

O)Z

ется

-

получаем

2

радиус-вектор

(5.8)

(5.9)

O)z'

проекция угловой скорости

Аналогично
оси

Преобразуем это выраже­

Z.

0),

С которой поворачива­

частицы.

записывается и момент силы относительно

Z:

(5.10)
где

F q> -

проекция вектора силы

на орт

F

Обратим внимание, что проекции

Mz

и

Z,

относительно которой

зависят от выбора точки О на оси

определены векторы М и

N.

eq>.

Nz

действительно не

Кроме того, видно, что М z и

Nz -

величины алгебраические, их знаки соответствуют знакам про­

екций Р q> и

§ 5.2.

F q> .
Закон сохранения момента импульса

Выберем произвольную систему частиц. Введем понятие мо­
мента импульса данной системы как векторную сумму момен­
тов

импульсов

ее

отдельных

частиц:

(5.11)
где все векторы определены относительно одной и той же точки

О заданной системы отсчета. Заметим, что момент импульса

m


Глава

164
системы

-

5

величина аддитивная: момент импульса системы

равен сумме моментов импульсов ее отдельных частей незави­

симо от того, взаимодействуют они между собой или нет.
Выясним,

какая

величина определяет

изменение

импульса системы. Для этого продифференцируем

момента

по вре­

(5.11)

мени: dM/dt = LdM i /dt. в предыдущем параграфе было пока­
зано, что производная

dM i /dt

равна моменту всех сил, действу­

ющих на i-ю частицу. Представим этот момент в виде суммы мо­

ментов внутренних и внешних сил, т. е. N~

Здесь первая сумма

-

+ N i.

Тогда

это суммарный момент всех внутрен­

них сил относительно точки О, вторая сумма

-

суммарный мо­

мент всех внешних сил относительно той же точки О.
Покажем, что су,м,марный ,мо,мент всех внутренних сил от­
носительно любой точки равен нулю. Действительно, внутрен­
ние силы

-

это силы взаимодействия между частицами данной

системы. По третьему закону Ньютона, эти силы попарно оди­
наковы по модулю,

противоположны по направлению и лежат

на одной прямой, т. е. имеют одинаковое плечо. Поэтому мо­
менты сил каждой пары взаимодействия равны по модулю и
противоположны

по

направлению,

т.

е.

уравновешивают

друг

друга, и значит, суммарный момент всех внутренних сил все­
гда

равен

нулю.

В результате последнее уравнение принимает вид
I

где N внеm -

dM/dt = N виеш'

(5.12)

I

суммарный момент всех внешних сил, N виеш =

'Уравнение

(5.12)

LN

i •

утверждает: nроизводная ,мо,мента и,мnуль­

са систе,мы по вре,мени равна су,м,марно,му ,мо,менту всех внеш­

них сил. Разумеется, оба момента, М и

N,

здесь определены от­

носительно одной и той же точки О заданной системы отсчета.
Как и в случае одной частицы, из уравнения

(5.12)

следует,

что приращение момента импульса системы за конечный про­
межуток времени

t

М 2 -М 1

t

=

JN виеш dt ,

(5.13)

О

m


Закон сохранения момента импульса

т.

е.

приращение

момента

суммарного момента всех

промежуток

времени.

И

165

импульса

системы

равно

импульсу

внешних сил за соответствующий

здесь,

конечно,

оба момента,

М

и

N виеш , определены относительно одной и той же точки О вы­
бранной системы отсчета.
Уравнения

(5.12)

и

(5.13)

справедливы как в инерциальной,

так и в неинерциальной системах отсчета. Только в неинерциа­
льной системе отсчета нужно учитывать и действие сил инер­
ции, играющих роль внешних сил, т. е. под N виеm В этих урав­
нениях следует понимать сумму N вз

+

N ии , где N вз -

ный момент внешних сил взаимодействия, N ии -

суммар­

суммарный

момент сил инерции (относительно одной и той же точки О сис­
темы отсчета).
Итак, мы пришли к важному выводу: согласно уравнению

(5.12),

момент импульса системы может изменяться под дей­

ствием только суммарного момента всех внешних сил. Отсюда
непосредственно вытекает и другой важный вывод

-

закон со­

хранения момента импульса: момент импульса замкнутой сис­
темы частиц остается постоянным,
менем,

т.

е.

не меняется со вре­

причем это справедливо для момента импульса, взятого

относительно любой точки инерциальной системы отсчета.

Таким образом, в инерциальной системе отсчета момент им­
пульса замкнутой системы частиц

(5.14)
При этом моменты импульса отдельных частей или частиц
замкнутой системы могут изменяться со временем, что и под­

черкнуто в последнем выражении. Однако эти изменения все­
гда происходят так, что приращение момента импульса одной

части системы равно убыли момента импульса ее другой части
(конечно, относительно одной и той же точки системы отсчета).
В этом смысле уравнения

(5.12)

и

(5.13)

можно рассматри­

вать как более общую формулировку закона сохранения момен­
та импульса, формулировку, в которой указана и причина из­
менения момента импульса интересующей нас системы

-

дей­

ствие других тел (через момент внешних сил взаимодействия).
Сказанное, разумеется, справедливо только по отношению к
инерциальным

системам

отсчета.

m


Глава

166

5

Подчеркнем еще раз: закон сохранения момента импульса
имеет

место

только

по

отношению

к

инерциальным

системам

отсчета. Однако это не исключает случаев, когда момент импу­
льса системы сохраняется и в неинерциальных системах отсче­

та. Для этого достаточно, чтобы согласно уравнению
оно справедливо и в неинерциальных системах

(5.12) - а
отсчета сум­

марный момент всех внешних сил (включая и силы инерции)
был равен нулю. Такие ситуации реализуются довольно редко
и соответствующие случаи имеют весьма частный характер.

Закон сохранения момента импульса играет такую же важ­
ную роль, как и законы сохранения энергии и импульса. Уже

сам по себе он позволяет сделать во многих случаях ряд суще­
ственных заключений о свойствах тех или иных процессов, со­
вершенно не вникая в их детальное рассмотрение. Проиллюст­
рируем

сказанное

на

таком

примере.

Пример. Два одинаковых шара насажены на гладкий горизонтальный
стержень,

могут

по

которому

скользить

(рис.

они

5.11).

Шары сближают и соединяют
нитью.

Затем всю установку

приводят во вращение

вокруг

вертикальной оси, предостав­

ляют ее самой себе и пережиРис.

5.11

гают нить.

Шары, естествен­

но, разлетаются к концам стержня. Угловая скорость установки

при

этом

резко

уменьшается.

Наблюдаемый эффект является прямым следствием закона
сохранения момента импульса. Данная установка ведет себя,
по

существу,

как

замкнутая:

внешние

силы

компенсируют

друг друга, силы трения в оси предполагаются пренебрежимо
малыми.

Для

количественной

оценки

изменения

угловой

скорости будем считать, что масса всей установки практиче­
ски

сосредоточена в

шарах,

а их

размеры

достаточно

малы.

Тогда из равенства моментов импульса шаров относительно

точки

С в

именно

начальном и

2т [r1 v 1]

конечном состояниях

= 2т [r2 v 2]

угловая

скорость

а

, следует

Отсюда видно, что с увеличением расстояния
вращения

системы,

установки

r

шаров от оси

уменьшается

(как

m


3акон сохранения момента импульса

l/r2 ).

167

И наоборот, если бы расстояние между шарами умень-

шалось (под действием каких-либо внутренних сил), угловая
скорость установки увеличивалась бы. Этот эффект имеет об­
щий характер, и его широко используют, например, фигури­
сты

и

гимнасты.

Обратим внимание на тот факт, что конечный результат со­
вершенно не зависит от характера внутренних сил (здесь

-

это силы трения между шарами и стержнем).

Особый интерес представляют случаи, когда момент импуль­
са М сохраняется для незамкнутых систем, у которых, как из­
вестно, импульс р меняется со временем. Если относительно не­
которой точки О выбранной системы отсчета суммарный мо­

мент внешних сил

N внеш ==

О В течение интересующего нас

промежутка времени, то, согласно

(5.12),

момент импульса си­

стемы относительно точки О сохраняется за это время. В незам­
кнутых

системах

такой

точки,

вообще

говоря,

может

и

не

быть, что следует прежде всего выяснить для каждого конкрет­
ного

случая.

Пример

1.

Система Земля-Луна, движущаяся в поле тяготения Солн­
ца, является незамкнутоЙ. Ее импульс все время меняется

под действием сил тяготения со стороны Солнца. Здесь, од­
нако, имеется одна точка, относительно которой момент сил
тяготения, действующих на данную систему, все время ра­

-

вен нулю,

это центр Солнца. Поэтому можно сразу утвер­

ждать, что момент импульса системы Земля-Луна относите­
льно центра Солнца остается постоянным.
Пример

2.

На гладкой горизонтальной плоскости лежит стержень ОВ,

который может свободно враща­
ться вокруг неподвижной верти­
кальной

оси,

проходящей

его конец О (рис.
стержня

5.12).

попадает,

через

В конец В
застревая,

шайба А, скользившая по плоскости,

И

вся

щаться

система начинает

как

единое

целое

вра­

вокруг

Рис.

точки о.
Ясно,
сил,

что

5.12

система шайба-стержень незамкнутая:

уравновешивающих

друг

друга

в

кроме

вертикальном

на­

правлении, со стороны оси в процессе удара будет действовать горизонтальная сила, а после того, как стержень нач-

m


Глава

168
нет

вращаться,

возникает

еще

одна

сила

со

стороны

5

оси,

благодаря которой центр масс системы будет двигаться по
окружности. Но обе силы проходят через точку О, а следо­
вательно, момент этих внешних сил относительно точки О
все время равен нулю. Отсюда вывод:

момент импульса

данной системы будет оставаться постоянным относительно
точки о.

в более ограниченном случае у незамкнутых систем может
сохраняться не сам момент импульса М, а его проекция на не­

которую неподвижную ось

z. Это бывает тогда, когда проекция

суммарного момента

всех внешних сил на эту ось

N виет

нулю. В самом деле, записав уравнение
ось

z,

Здесь

в проекциях на

Mz

и

N

виетz -

N виет z •

z:
N

M iz

и

N iz

сительно оси

-

Z

(5.15)

момент импульса и суммарный момент

внешних сил относительно оси

виет

(5.16)

= '"
L..J Nl"z,

z

момент импульса и момент внешних сил отно­
для

Из уравнения

i- й

(5.15)

частицы системы.
следует, что если относительно некото­

рой неподвижной в данной системе отсчета оси

Nвиет z

равна

получим

dМ z / dt =

где

(5.12)

Z

==

Z

проекция

О, то момент импульса системы относительно этой оси

сохраняется:

(5.17)
При этом вектор М, определенный относительно произволь­
ной точки О на этой оси, может меняться. Например, если сис­
тема движется в однородном поле тяжести, то суммарный мо­

мент всех сил тяжести относительно любой неподвижной точ­
ки

О

перпендикулярен

вертикали,

любой вертикальной оси N виет z

а

значит,

== О и M z

=

относительно

const,

чего нельзя

сказать о векторе М.
Рассуждения, которые приводят к закону сохранения мо­
мента

импульса,

целиком

опираются

на

справедливость

зако­

нов Ньютона. А как обстоит дело в системах, не подчиняющих-

m


3акон сохранения момента импульса

169

ся этим законам, например в системах с электромагнитным из­

лучением, в атомах, ядрах и др.?
"У"читывая громадную роль, которую играет закон сохране­
ния момента импульса, в физике понятие момента импульса

расширяют на немеханические системы (которые не подчиня­
ются законам Ньютона) и постулируют закон сохранения мо­
мента импульса для всех физических процессов.

Такой расширенный закон сохранения момента импульса

уже не является следствием законов Ньютона, а представляет
собой самостоятельный общий nринциn, являющийся обобще­
нием опытных фактов. Наряду с законами сохранения энер­
гии и импульса закон сохранения момента импульса является

одним из фундаментальных законов природы.

§ 5.3.
в

§ 5.2

Собственный момент импульса

было установлено, что момент импульса М системы

изменяется только под действием суммарного момента
внешних сил; именно этот вектор

N

N

всех

определяет поведение век­

тора М. Теперь рассмотрим некоторые наиболее существенные
свойства этих величин и те важные выводы, которые из них
вытекают.

Суммарный момент внешних сил
Как и момент каждой силы, суммарный момент сил зависит, вообще говоря, от выбора точки, отно­
сительно которой его определяют. Пусть

-

суммарный

точки О, а

N' -

момент

сил

N
Fi

относительно

r o (рис. 5.13).
N'.

и

Радиусы-векторы
жения силы

O~---.:~_ _

относительно точки О', ра­

диус-вектор которой

связь между

N

ri

и

r;

Найдем

связаны соотношением

Поэтому выражение для

N

Рис.

точки прило­

ri

=

r; + r o

5.13

(рис.

5.13).

можно записать в виде

или

IN =N' + [roF] ,1
где F =

LF

i

-

(5.18)

результирующая всех внешних сил.

m


Глава

170
Из формулы

(5.18)

видно, что если

F

5

= о, то суммарный мо­

мент внешних сил не зависит от выбора точки, относительно
которой его определяют. Таков, в частности, случай, когда к
системе

приложена

пара

Пример. К телу в точках

1

сил.

и

приложены две одинаковые по модулю

2

и противоположно направленные силы

F1

И

щие вдоль одной прямой (пара сил). Пусть
тор, проведенный из точки
момент

N

в точку

не действую­
радиус-век­

2.

Найдем суммарный

+ F2 =

О, поэтому согласно

этой пары сил.

Здесь результирующая сила

(5.18)

1

F 2'
r 12 -

момент

N

F = F1

этой пары сил не должен зависеть от выбора

точки О, относительно которой его определяют. Воспользо­

вавшись этим, выберем в качестве точки О точку
льно нее момент силы

N
Модуль вектора
где

l -

N

1

(относите­

равен нулю), тогда

F1

= [r12 F 2 ].

равен, как нетрудно сообразить,

N = lF,

плечо пары, т. е. расстояние между прямыми, вдоль

которых действуют силы, а

:модуль каждой силы.

F -

Интересной и важной особенностью в этом отношении обла­
дает Ц -система (напомним, что эта система отсчета жестко свя­
зана с центром масс системы частиц и перемещается поступате­

льно по отношению к инерциальным системам). Так как в об­
щем

случае

Ц-система

является

неинерциальной,

то

результирующая всех внешних сил должна включать в себя

кроме внешних сил взаимодействия

F вз

И силы инерции

F ИН.

С

другой стороны, вЦ-системе система частиц как целое покоит­

ся, а это значит, согласно
виду

(5.18),

Ц-систе,м,е

(3.11),

что

F

=

F вз

+ FИН

=

о. Имея в

мы приходим к следующему важному выводу: в
су,м,,м,арный ,м,о,м,ент

всех

внешних

сил,

включая

силы инерции, не зависит от выбора точки о.
И другой важный вывод: в Ц-систе,м,е су,м,,м,арный ,м,о,м,ент

сил инерции относительно центра ,м,асс всегда равен нулю:
ИН -о
Nс
- .

(5.19)

в самом деле, сила инерции, действующая на каждую части­
цу системы,

Fi

=

-m i ао,

где ао

-

ускорение Ц-системы. Поэто­

му суммарный момент всех этих сил относительно центра масс С

m


3акон сохранения момента импульса

171

Согласно (3.8), Lmiri =mrc , а так как в нашем случае

r c =0,

то и N~H

=0.

Собственный момент импульса
Как и момент сил, момент импульса системы зависит, вооб­
ще говоря, от выбора точки О, относительно которой его опре­
деляют. При переносе этой точки на расстояние

новые радиусы-векторы частиц
мулой

ri

=

r; + r o .

r;

ro

(рис.

связаны со старыми

5.13)

ri

фор­

Поэтому момент импульса системы относи­

тельно точки О можно представить так:

или

I М = М' + [ro р] , I
где М'

-

(5.20)

момент импульса системы относительно точки О', а

Р = LPi -

полный импульс системы.

Из формулы

(5.20)

следует, что если полный импульс систе­

мы Р = о, то ее момент импульса не зависит от выбора точки о.
А этим как раз и отличается Ц -система, в которой система час­
тиц как целое покоится. Отсюда мы приходим к третьему важ­
ному выводу: в Ц-системе момент импульса системы частиц
не зависит от выбора точки, относительно которой его опре­
деляют.

Этот момент называют собственным моментом импульса
системы и обозначают М.

-

Связь между М и М
Пусть М

-

момент импульса системы частиц относительно

точки О К -системы отсчета. Так как собственный момент им­

пульса :м: вЦ-системе не зависит от выбора точки О', возьмем
точку О' совпадающей в данный момент с точкой О К -систе­
мы. Тогда радиусы-векторы каждой частицы в обеих системах

отсчета будут одинаковы в этот момент

(r;

= r i ), скорости час­

тиц связаны формулой

(5.21)

m


Глава

172
где

Vс -

5

скорость Ц -системы относительно К -системы. Поэто­

му

(5.22)
Первая сумма в правой части этого равенства есть собствен­
ный момент импульса М. Вторую сумму в соответствии с фор­

мулой

(3.8)

представим как

всей системы,
р

-

rc -

m[rc Vс],

или

[rc р],

где т

-

масса

радиус-вектор ее центра масс в К-системе,

суммарный импульс системы частиц. В результате

I M=M+[rcp], I

(5.23)

т. е. момент импульса М системы частиц складывается из ее
собственного момента импульса М и момента

[rc р],

обуслов­

ленного движением системы частиц как целого.
Возьмем, например, однородный шар, скатывающийся по
наклонной плоскости. Его момент импульса относительно не­
которой точки этой плоскости складывается из момента импу­

льса, связанного с движением центра масс шара, и собственно­
го момента импульса, обусловленного вращением шара вокруг
собстенной оси.

(5.23),

Из формулы

в частности, следует, что если центр

масс системы покоится (импульс системы р = О), то ее момент
импульса М

-

это собственный момент импульса. С этим слу­

чаем мы уже знакомы. В другом крайнем случае, когда М = О,
момент импульса системы относительно некоторой точки опре­
деляется

только

моментом,

связанным

как целого, т. е. вторым слагаемым

с

движением

(5.23).

системы

Так, например, ве­

дет себя момент импульса любого твердого тела, совершающего
поступательное

движение.

Уравнение моментов вЦ-системе
В

§ 5.2

было отмечено, что уравнение

(5.12)

справедливо в

любой сист_еме OTc~eTa. ~начит, оно справедливо и вЦ-системе.
Поэтому

dM/dt =N,

где

N-

суммарный момент внешних сил в

Ц -системе.

Так как Ц-система в общем случае неинерциальная, то в

_
N

входит помимо моментов внешних сил взаимодействия и мо-

m


3акон сохранения момента импульса

173

мент сил инерции. С другой стороны, в начале этого параграфа

(см. с.

175)

было показано, что момент сил

Nв

Ц-системе не за­

висит от выбора точки, относительно которой его определяют.
Обычно в качестве такой точки берут точку С

-

центр масс си­

стемы. Целесообразность выбора именно этой точки в том, что
относительно ее суммарный момент сил инерции равен нулю,
поэтому следует учитывать только суммарный момент внеш­
них сил взаимодействия

N с.

И так,

I dM/dt =N c , I

(5.24)

т. е. производная по времени от собственного момента импуль­
са системы равна суммарному моменту всех внешних сил взаи­

MoдeйcTBия относительно центра масс данной системы.

В частности, если
мент

В

импульса

N с == О,

системы

проекциях

на

системы, уравнение

ось

(5.24)

то М =

сохраняется.

проходящую

Z,

N

Cz -

через

центр

масс

имеет вид

dМ z /dt = N
где

т. е. собственный мо­

const,

(5.25)

Cz'

суммарный момент внешних сил взаимодействия от­

носительно неподвижной вЦ-системе оси

центр масс. И здесь если

§ 5.4.

N

Cz

Z,

проходящей через

== О, то М z = const.

Динамика твердого тела

Движение твердого тела в общем случае определяется двумя
векторными уравнениями. Одно из них
центра масс

(3.11),

другое

-

-

уравнение движения

уравнение моментов вЦ-системе

(5.24):
mdVc/dt=F;

dM/dt =N c .

(5.26)

Зная законы действующих внешних сил, точки их приложе­
ния и начальные условия, можно с помощью этих уравнений
найти как скорость, так и положение каждой точки твердого

тела в любой момент времени, т. е. полностью решить задачу о
движении

тела.

Однако

несмотря

на

кажущуюся

простоту

уравнений

(5.26),

решение их в общем случае представляет со-

m


Глава

174

5

бой весьма трудную задачу. И прежде всего это обусловлено

тем обстоятельством, что связь между собственным моментом
импульса М и скоростями отдельных точек твердого тела в
Ц-системе оказывается сложной, за исключением немногих ча­

стных случаев. Мы не будем рассматривать эту задачу в общем
виде (она решается в общей теории) и ограничимся в дальней­
шем

только

отдельными

частными

случаями.

Но прежде при ведем некоторые соображения, прямо выте­
кающие из вида самих уравнений

(5.26).

Если мы будем пере­

носить силы вдоль направления их действия, то ясно, что не
изменяется ни их результирующая

F,

мент

тоже не изменятся, а сле­

Nc.

При этом уравнения

(5.26)

ни их суммарный мо­

довательно, не изменится и движение твердого тела. Поэтому
точки

приложения

внешних

правления действия сил

-

сил

можно

переносить

вдоль

на­

прием, которым постоянно пользу­

ются.

Равнодействующая сила
В тех случаях, когда суммарный момент всех внешних сил
оказывается перпендикулярным резуль­

тирующей силе, т. е.

N .1 F,

все внешние

силы могут быть сведены к одной силе

N

F,

действующей

вдоль

определенной

прямой. В самом деле, если относитель­
но некоторой точки О суммарный мо­

N .1 F, то всегда можно найти
кой вектор ro..l N (рис. 5.14), что при
данных N и F
мент

Рис.

5.14

та­

за­

N=[roF] .
При этом выбор
го вектора

r o неоднозначен: прибавление к нему любо­
r, параллельного F, не изменит последнего равенст­

ва. А это означает, что данное равенство определяет не точку
~приложения» силы

F

соответствующих

(рис.

5.14): l

=

F,

а линию ее действия. Зная модули

векторов,

можно найти плечо

l

N

и

силы

F

N /Р.

Таким образом, если

N .1 F,

систему сил, действующих на

отдельные точки твердого тела, можно заменить одной равно-

m


175

3акон сохранения момента импульса

действующей сuлой

F

силой, которая равна результирующей

-

и создает момент, равный суммарному моменту

них

N

всех внеш­

сил.

Таков, в частности, случай однородного силового поля, на­
пример поля тяжести, в котором действующая на каждую час­

Fi

тицу сила имеет вид

= тi

g.

в этом случае суммарный мо­

мент сил тяжести относительно любой точки О равен

Стоящая в круглых скобках сумма, согласно

mrc '

где

т

-

масса тела,

rc -

радиус-вектор

(3.8),

равна

его центра масс

относительно точки О. Поэтому

N

= [mr с ,g] = [rс , mg] .

Это значит, что равнодействующая

mg

сил тяжести прохо­

дит через центр масс тела. Обычно говорят, что равнодействую­
щая

сил

тяжести

~приложена»

к

центру

масс

тела или

к

его

центру тяжести. Ясно, что момент этой силы относительно цен­
тра

масс

тела

равен

нулю.

Условия равновесия твердого тела
Тело будет оставаться в состоянии покоя, если нет причин,
вызывающих его движение. Согласно уравнениям

(5.26),

для

этого необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1) результирующая

всех внешних сил, приложенных к телу,

должна быть равной нулю, т. е.

F=
2)

LF

виеш =0;

i

суммарный момент внешних сил относительно любой точ­

ки тоже должен быть равен нулю, т. е.

N=

LN

i

виеш =0.

Эти условия должны быть выполнены в той системе отсчета,
где тело покоится. Если система отсчета неинерциальная, то
кроме внешних сил взаимодействия надо учитывать и силы

инерции. Это же относится и к моментам сил.

m


Глава

176

5

Теперь перейдем к рассмотрению четырех частных случаев

движения твердого тела:

2)

плоское движение,

3)

1)

вращение вокруг неподвижной оси,

вращение вокруг свободных осей,

4)

особый случай движения тела с одной неподвижной точкой (ги­
роскопы).

1.

Вращение вокруг неподвижной оси

Найдем сначала выражение для момента импульса твердого

тела относительно оси вращения
шись формулой

(5.9),

где

00'

(рис.

5.15).

Воспользовав­

запишем

mi

и

Pi -

масса и расстояние от оси вра­

щения i-й частицы твердого тела, ш г

-

его

угловая скорость. Обозначив величину, стоя­
щую в круглых скобках, через

1,

получим

(5.27)
Рис.

где

1-

5.15
момент инерции твердого тела относительно оси

00':

(5.28)
Момент инерции твердого тела зависит, как нетрудно ви­
деть, от распределения масс относительно интересующей нас
оси и является величиной аддитивной.

Вычисление момента инерции тела проводится по формуле

где

dm

и

dV -

расстоянии

r

масса и объем элемента тела, находящегося на

от интересующей нас оси

Z;

Р

-

плотность тела в

данной точке.

Моменты инерции некоторых однородных твердых тел отно­

сительно оси

Zc'

проходящей через центр масс тела, приведены

в следующей таблице (здесь т

-

масса тела):

m


177

3акон сохранения момента импульса

Ось

Твердое тело
Тонкий стержень
длины

l

Сплошной
радиуса

цилиндр

R

Тонкий диск
радиуса

R

Шар радиуса

R

Момент

Zc

инерции

Перпендикулярна стержню

1/12 ml 2

Совпадает с осью цилиндра

1/2mR 2

Совпадает с диаметром диска

1/2mR 2

Проходит через центр шара

2/5mR 2

Вычисление момента инерции твердого тела произвольной

формы относительно той или иной оси представляет собой, вооб­
ще говоря, довольно кропотливую в математическом отношении

задачу. Однако в некоторых случаях нахождение момента инер­
ции значительно упрощается,

Штейнера: момент инерции
равен моменту инерции

1с

1

если воспользоваться теоремой

относительно произвольной оси

относительно оси

Zc'

Z

nараллельной

данной и проходящей через центр масс С тела, плюс произведе­
ние массы т тела на квадрат расстояния а между осями:

11 =

1 с + та 2 .1

(5.29)

Доказательство этой теоремы дано в приложении

Таким образом, если известен момент инерции
дение

момента

инерции

1

элементарно.

1с'

то нахож­

Например,

инерции тонкого стержня (массы т и длины

l)

3.
момент

относительно

оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его ко­
нец,

равен

1

1 =-ml
12

2

1
(-l J =-ml.
2

+т

2

2

3

Уравнение динамики вращения твердого тела (ось враще­
ния неподвижна). Это уравнение легко получить как следствие

(5.15),

если продифференцировать

(5.27)

по времени, тогда

(5.30)

m


Глава

178

Nz

где

5

суммарный момент всех внешних сил относительно

оси вращения. Из этого уравнения, в частности, видно, что мо­
мент

инерции

1

определяет

инерционные

свойства

твердого

тела при вращении: при одном и том же значении момента сил

Nz

тело с бульшим моментом инерции приобретает меньшее уг­

ловое ускорение р z •
Напомним, что моменты сил относительно оси

-

величины

алгебраические: их знаки зависят как от выбора
положительного направления оси

Z

(совпадающей

с осью вращения), так и от направления ~враще­
ния» соответствующего момента силы. Например,

выбрав
(рис.
Рис.

5.16

положительное

5.16),

направление

Z

мы задаем и положительное направле­

ние отсчета угла <р (оба эти направления связаны

правилом правого винта). Если некоторый момент
ет»

оси

N iz

«враща-

в положительном направлении угла <р, то этот момент счи­

тается положительным, и наоборот. А знак суммарного момен­
та

Nz

в свою очередь определяет знак

углового ускорения на ось

z.

Интегрирование уравнения
вий

-

(5.30)

pz -

проекции вектора

с учетом начальных усло­

значений ООО z и <ро в начальный момент времени

-

по­

зволяет полностью решить задачу о вращении твердого тела во­

круг неподвижной оси, т. е. найти зависимость от времени уг­

ловой скорости и угла поворота, ООz(t) и

Заметим, что уравнение

(5.30)

<p(t).

справедливо в любой системе

отсчета, жестко связанной с осью вращения. Однако если сис­
тема отсчета неинерциальная, то момент сил

Nz

включает в

себя не только моменты сил взаимодействия с другими телами,
но

и

моменты

сил

инерции.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела (ось
вращения неподвижна). Имея в виду, что скорость i-й частицы
вращающегося

твердого

тела

vi =

Р

i

00,

запишем

К = Lmiv~ /2 = (LmiP~) 002/2,
или,

короче,

К

1

2

=-100 ,

(5.31)

2

m


3акон сохранения момента импульса

где
его

1-

179

момент инерции тела относительно оси вращения, (о

угловая

скорость.

Пример. Диск

1

(рис.

5.17)

вращается вокруг гладкой вертикальной

оси с угловой скоростью
диск

-

2,

(1)1.

z

На него падает

вращающийся с угловой скоростью

Вследствие трения между ними оба дис­

(1)2.

ка через некоторое время начинают враща­

ться как единое целое. Найдем приращение

1

кинетической энергии вращения этой систе­
мы,

если

моменты инерции

дисков

относи­

тельно оси вращения равны соответственно

11

и

12.

Рис.

5.17

Сначала найдем установившуюся угловую скорость вращения.
Из закона сохранения момента импульса системы относитель­

но оси

z

следует, что l 1 Юз.z

+ 1 2 oo 2z =(11 + 1 2 )ooz,

откуда

(1)
Заметим, что Юз.z' 002z И OOz окажется, что OOz
вектор

(1)

> О,

величины алгебраические. Если

то это значит, что соответствующий

совпадает с положительным направлением оси

Z,

и

наоборот.
Приращение кинетической энергии вращения этой системы

Заменив OOz его выражением

АХ - -

(1),

получим

1112
(
_ 00 )2
2( 11 + 12) юз. z
2z •

(2)

Знак минус показывает, что кинетическая энергия системы
уменьшается.

Обратим внимание на то, что полученные результаты

(1)

и

(2)

весьма похожи по форме и по смыслу на случай абсолютно
неупругого столкновения (см. с.

128).

Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг не­
подвижной оси. В соответствии с уравнением

(4.49)

работа всех

внешних сил, действующих на твердое тело, равна прираще­

нию только кинетической энергии тела, так как его собствен­
ная потенциальная энергия при этом не меняется. Таким обра-

m


Глава

180

зом, 8А

=

dK или, согласно (5.31), БА

совпадает

с

осью

Но согласно

вращения,

(5.30), Idro z

=

d(Iro2 /2). Так как ось Z

=

2

2

ro = ro z

то

N z dt.

5

и

Подставляя это выражение

в последнее уравнение для 8А и учитывая, что

rozdt

=

d<p,

полу­

чаем

БА =

Работа БА

величина алгебраическая: если

-

одинаковые знаки, то 8А
ны, то БА

<

(5.32)

N z d<p.

>

Nz

и

d<p

имеют

О; если же их знаки противополож­

о.

Работа внешних сил при повороте твердого тела на конеч­
ный угол <р равна

(5.33)
в случае, если

А

N z = const,

выражение

(5.33)

упрощается:

= N z <р.
Таким образом, работа внешних сил при вращении твердого

тела вокруг неподвижной оси определяется действием момента

Nz

этих сил относительно данной оси. Если силы таковы, что

их момент

Nz =

2.

О, то работы они не производят.

Плоское движение твердого тела

При плоском движении центр масс С твердого тела движет­
ся в определенной плоскости, неподвижной в данной К -системе
отсчета, а вектор его угловой скорости

w

все время остается

перпендикулярным этой плоскости. Последнее означает, что в
Ц -системе твердое тело совершает чисто вращательное движе­
ние вокруг неподвижной в этой системе оси, проходя щей через
центр

масс

тела.

Вращательное же движение

определяется уравнением

(5.30),

твердого

тела

которое, как было отмечено,

справедливо в любой системе отсчета.
Таким образом, мы имеем следующие два уравнения, опи­
сывающие

плоское

движение

тас

=F;

твердого

тела:

1 c~z = N Cz'

(5.34)

m


3акон сохранения момента импульса

где т

-

N Cz
сил -

-

и

масса тела,

F-

181

результирующая всех внешних сил,

Ic

момент инерции и суммарный момент всех внешних

оба относительно оси,

проходя щей через центр масс

тела.

При этом следует помнить, что момент
только

внешние

силы

взаимодействия,

N Cz

включает в себя

несмотря

на

то

что

Ц -система в общем случае является неинерциальноЙ. Это свя­
зaHo с тем, что суммарный момент сил инерции равен нулю как

относительно центра масс, так и относительно любой оси, про­
ходящей через эту точку. Поэтому его можно просто не учиты­

вать (см. с.

173).

Заметим также, что угловое ускорение

Pz'

а следовательно,

Ш z и <р одинаковы в обеих системах отсчета, так как Ц -система
движется поступательно относительно инерциальной К -систе­
мы

отсчета.

Интегрируя уравнения

можно найти зависимости

(5.34) с учетом начальных условий,
r c (t) и <p(t), определяющие положе­

t.

ние твердого тела в любой момент

При решении задачи о движении несвободного твердого тела
необходимо использовать еще одно, дополнительное, условие,
определяющее

ограничения

движения

имеющимися

связями.

Оно дает кинематическую связь между линейным и угловым
ускорениями.

Пример. Однородный цилиндр массы т и радиуса

r

скатывается без

скольжения по наклонной плос­
кости,

составляющей

горизонтом (рис.

угол

5.18).

а

с

Найдем

сэ:

уравнения движения цилиндра.

Стандартный

подход

к реше­

х

нию подобных задач состоит в
следующем. Прежде всего уста­
навливают

силы,

действующие

на данное тело, и точки их при-

ложен ия

mg -

(в

нашем

сила тяжести,

случае

R -

это

Рис.

5.18

норма-

льная составляющая силы реакции со стороны наклонной

плоскости и

F TP

-

сила трения покоя). Затем выбирают поло­

жительные направления оси х и угла поворота <р (лучше всего
эти направления взять сразу согласованными, так чтобы зна-

m


Глава

182
ки ускорений асх и
зано на рис.

5.18

f3z

5

были одинаковы), например, как пока­

справа. И только после этого записывают

уравнения движения

(5.34)

в проекциях на выбранные таким

образом положительные направления х и <р:

тасх

= mg sina -

1 с f3z = rFтp.

Ртр'

Кроме того, условие отсутствия скольжения определяет еще
кинематическую

связь

между

ускорениями:

Совместное решение этих трех уравнений дает возможность

найти ускорения ас и

13,

а также силу

F тр.

Часто уравнение моментов записывают относительно .мгновенной

оси О (см. рис.

5.18).

Правомерность такого подхода заранее не оче­

видна и требует доказательства в связи с особыми свойствами мгно­
венной оси. Доказательство основано на использовании соотношений

(5.12)

и

(5.23).

С помощью них мы действительно приходим к уравне­

нию, которое формально можно было записать и сразу:

1 о f3 z

= rmg sin а,

где 10 = 1 с + mr 2 , согласно теореме Штейнера.
Как это ни удивительно, приведенное уравнение справедливо не то­
лько относительно мгновенной оси, но и любой другой оси, параллель­
ной мгновенной и лежащей на наклонной плоскости. Причем во всех

случаях, т. е. независимо от положения оси,

r -

это и.менно радиус

(цилиндра, шара) и ничто другое.

:Кинетическая энергия при плоском движении
твердого

тела

Пусть тело совершает плоское движение внекоторой инер­

циальной К -системе отсчета. Чтобы найти его кинетическую
энергию в этой системе, воспользуемся формулой

(4.56).

Вхо­

дящая в эту формулу величина К в данном случае представля­

eT

собой кинетическую энергию вращения тела вЦ-системе во­

круг оси, проходящей через центр масс тела. Согласно
2
К = 1 е ro /2, поэтому сразу можно записать

к

2
тУе

+------"-

2

(5.31),

(5.35)

m


3акон сохранения момента импульса

где

Ic -

183

момент инерции тела относительно оси вращения,

проходя щей через его центр масс, (о

т

-

Vс -

его масса,

-

угловая скорость тела,

скорость центра масс тела в К -системе от­

счета. Таким образом, кинетическая энергия твердого тела
при плоско,м, движении складывается из энергии вращения в
Ц-систе,м,е и энергии, связанной с движение,м, центра ,м,асс.

3.

Свободные оси. Главные оси тела

Если твердое тело привести во вращение и затем предоста­

вить самому себе, то направление оси вращения в пространст­
ве, вообще говоря, будет меняться. Для того чтобы произволь­
ная

ось

вращения

тела

сохраняла

свое

направление

ным, К ней необходимо приложить определенные

неизмен­

силы.

Рассмотрим этот вопрос более подроб­

ro

но на следующем примере. Пусть середи­

на С однородного стержня жестко скреплена с осью вращения так, что угол меж­

ду стержнем и осью равен Э (рис.

N

Найдем момент

5.19).

внешних сил, которые

необходимо приложить к оси вращения,
чтобы при вращении стержня с угловой
скоростью

Согласно

w ее

направление не менялось.

(5.12),

этот момент

N

=

Таким образом, чтобы определить

dM/dt.

N,

сна­

Рис.

5.19

чала надо найти момент импульса стерж-

ня М, а затем его производную по времени.
Момент импульса М проще всего определить относительно

точки с. Мысленно выделим элемент стержня массы от, нахо­
дящейся на расстоянии

r

от точки с. Его момент импульса от­

носительно этой точки оМ =

[r, omv],

где

v -

скорость элемен­

та. Легко видеть, что вектор оМ направлен перпендикулярно
стержню (рис.

5.19),

бора элемента от.

причем его направление не зависит от вы­

Поэтому суммарный момент импульса М

стержня совпадает по направлению с вектором оМ.
Заметим, что в данном случае вектор М не совпадает по на­
правлению с вектором

w!

При вращении стержня вектор М будет также вращаться с
угловой скоростью ш. За промежуток времени

dt

вектор М по-

m


Глава

184
лучает
рис.

приращение

5.19,

dM,

модуль

которого,

как

видно

5

из

равен

IdMI = м sin (n/2 --9 )codt,
или в векторном виде
него выражения на

dM = [шМ]dt.
dt, получим
N =

[шМ]

Поделив обе части послед­

.

Таким образом, действительно, для удержания оси враще­
ния в неизменном направлении к ней необходимо в данном слу­
чае приложить момент

заны на рис.

5.19).

N

некоторых внешних сил

F

(они пока­

Однако нетрудно видеть, что если

-9 = n/2,

то вектор М совпадает по направлению с вектором ш, и в этом

случае

N == О,

т. е. направление оси вращения будет оставаться

неизменным без внешнего воздействия.
Ось вращения, направление которой в пространстве остается

неизменным без действия на нее каких-либо сил извне, называ­

ют свободной осью тела.
В общей теории доказывается, что для любого твердого тела
существуют три взаимно перепендикулярные оси,

проходящие

через его центр масс, которые могут служить свободными ося­
ми. Их называют главными осями тела.
Нахождение главных осей тела произвольной формы

-

В

математическом отношении сложная задача. Однако она очень
упрощается для тел, обладающих той или иной симметрией,
ибо положение центра масс и направление главных осей обла­
дают в этом случае той же симметрией.
Например, у однородного прямоугольного параллелепипеда
главные оси проходят через центры противоположных граней.

Если тело обладает осью симметрии (однородный цилиндр, ко­

нус и др.), одной из его главных осей является ось симметрии,
в качестве же остальных осей могут служить две любые взаим­
но перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела и

перпендикулярные его оси симметрии. Таким образом, у тела у
осевой симметрией фиксирована только одна из главных осей.

у тела же с центральной симметрией (например, у однородного
шара) главными осями являются три любые взаимно перпенди­
кулярные

оси,

проходящие

через

центр

тела,

-

ни

одна

из

главных осей не фиксирована относительно тела.

m


3акон сохранения момента импульса

185

Важной особенностью главных осей является то, что при
вращении тела вокруг любой из них его момент импульса М
совпадает по направлению с угловой скоростью
ся

wи

определяет­

как

(5.36)

м =1ш,
где

1 --

момент инерции тела относительно данной главной

оси*. Причем М не зависит от выбора точки, относительно ко­
торой его определяют (здесь предполагается, что ось вращения
неподвижна) .
Наиболее просто убедиться в справедливости

(5.36)

можно

для случая однородного тела с осевой симметрией. Действите­

льно, согласно

(5.27),

момент импульса твердого тела относите­

льно оси вращения М z = 1СО г (напомним, что М z -- это проек­
ция вектора М, определенного относительно любой точки на
этой оси). Но если тело симметрично относительно оси враще­
ния, то из соображения симметрии сразу следует, что вектор М
совпадает по направлению с вектором

w

и, значит, М = 1ш.

Еще раз отметим, что в общем случае (ось вращения не сов­
падает ни с одной из главных осей,

хотя и проходит через

центр масс тела) направление вектора М не совпадает с векто­
ром

w

и связь между этими векторами носит сложный харак­

тер. Это обстоятельство является причиной сложного поведе­
ния

вращающихся

твердых

4.

тел.

Гироскопы

Гироскопом называют массивное симметричное тело, враща­

ющееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симмет­
рии.

Рассмотрим

поведение

гироскопа

на

примере

волчка.

Опыт показывает, что если ось вращающегося волчка наклоне­
на к вертикали,

то волчок не падает, а совершает так называе­

мое nрецессиО1l1l0е движение (nрецессuю)

--

его ось описывает

конус вокруг вертикали с некоторой угловой скоростью ш',

причем оказывается: чем больше угловая скорость со вращения

волчка, тем меньше угловая скорость прецессии со'.

*

3аметим, что соотношение

(5.36) справедливо и относительно осей,

параллель­

ных главным осям тела и не проходящих через его центр масс.

m


Глава

186

5

Такое поведение волчка-гироскопа можно легко объяснить с

(5.12),

помощью уравнения моментов

со

»

если только принять, что

со' (это условие, кстати, поясняет, что имеется в виду под

большой угловой скоростью гироскопа). Действительно, момент
импульса М прецессирующего волчка относительно точки опо­

ры О (рис.

5.20)

пульса М@,

можно представить в виде суммы момента им­

обусловленного вращением волчка вокруг своей

оси, и не которого добавочного момента импульса М', вызванно­
го прецессией волчка вокруг вертикальной оси, т. е.

Поскольку ось волчка совпадает с одной из его главных
осей, то, согласно

(5.36),

М@ = [(1), где

[ -

момент инерции вол­

чка относительно этой оси. Кроме того, ясно, что чем меньше
угловая скорость прецессии, тем меньше и соответствующий

момент М'. При со
ях

»

со' во всех практически интересных случа­

М@» М', поэтому результирующий момент импульса М

почти совпадает с М@ как по модулю, так и по направлению,
можно

считать,

-

что

М

= [(1).

Зная поведение вектора М, мы найдем и характер движения
оси

волчка-гироскопа.

Но поведением вектора М управляет уравнение моментов

(5.12). Согласно ему,
(рис. 5.20) получает

момент импульса М относительно точки О
за время

dt

приращение

(5.37)

dM=Ndt,
совпадающее

N -

по

направлению

с

вектором

моментом внешних сил относительно

той же точки О (в данном случае это мо­
мент силы тяжести

но, что

dM .1

mg).

Из рис.

5.20

вид­

М. В результате вектор М

(а следовательно, и ось волчка) будет пово­
рачиваться

вместе

с

вектором

N

вокруг

вертикали, описывая круговой конус с уг­

лом полураствора э. Волчок-гироскоп бу­
дет
Рис.

5.20

прецессировать

вокруг

вертикальной

оси с некоторой угловой скоростью (1)'.

m


3акон сохранения момента импульса

187

Найдем связь между векторами
ку,

модуль

приращения

N,

вектора

М и ю'. Согласно рисун­

dt есть
IdMI = м siпЭ·ш' dt, или в векторном виде dM = [w'M]dt. После

подстановки этого выражения в

М

(5.37)

[ю'М] =

за

время

получим

(5.38)

N.

Из этого уравнения видно, что момент силы

угловую

скорость

прецессии

ю'

мгновенное устранение момента

N

(а не

N

определяет

ускорение!).

Поэтому

приводит к мгновенному ис­

чезновению и прецессии. В этом отношении можно сказать, что

прецессия не обладает инерцией.
Заметим, что момент сил

N,

действующий на гироскоп, мо­

жет иметь любую природу . Для обеспечения регулярной пре­
цессии (постоянной угловой скорости ю') важно только, чтобы
вектор

N,

не меняясь по модулю, поворачивался вместе с осью

гироскопа.

Пример. Найдем угловую скорость прецессии наклонного волчка мас­

сы т, вращающегося с большой угловой скоростью 00 вокруг
своей оси симметрии, относительно которой момент инерции

волчка равен
от

точки

[.

Центр масс волчка находится на расстоянии

l

опоры.

Согласно

(5.38), oo'[oosin

Э

= mgl sin

вертикалью и осью волчка (рис.
00'

Э, где Э

5.20).

угол между

-

Отсюда

= mgl / [00.

Интересно, что величина 00' не зависит от угла наклона Э оси
волчка. Кроме того, полученный результат показывает, что 00'
обратно пропорциональна 00, т. е., действительно, чем больше
угловая

скорость

волчка,

тем

меньше

угловая

скорость

его

прецессии.

Гироскопический

момент.

Рассмот­

рим эффект, возникающий при вынуж-

F

IF'
I
I

денном вращении оси гироскопа. Пусть,
например,

U -образной

ось

гироскопа

укреплена

подставке, которую мы бу­

дем поворачивать вокруг оси

5.21).

в

00'

F

(рис.

Если момент импульса М гироско­

па направлен вправо, то при таком пово­

роте за время

dt

вектор М получит при-

Рис.

5.21

m


Глава

188
ращение
Согласно

мент сил
мент

N

5

dM - вектор, направленный за плоскость рисунка.
(5.37), это означает, что на гироскоп действует мо­
N, совпадающий по направлению с вектором dM. Мо­

обусловлен возникновением пары сил Р, действующих

на ось гироскопа со стороны подставки. Ось же гироскопа в со­
ответствии с третьим законом Ньютона будет действовать на

подставку с силами Р' (рис.

5.21).

Эти силы называют гироско­

пическими; они создают гироскопический момент

N'

= -

N.

За­

метим, что в данном случае гироскоп не обладает способностью
противодействовать изменению направления его оси вращения.
Появление гироскопических сил называют гироскопическим

эффектом. Подобный гироскопический эффект, связанный с
возникновением

гироскопического

давления

на

ПОДIIIИПНИКИ,

наблюдается, например, у роторов турбин на кораблях при по­
воротах

и

качке,

у

винтовых

самолетов

при

Проследим

of

виражах

действие

пического

момента

гироскопа,

ось

рамкой (рис.
но

которого

5.22)

подставки.
щить

оси

т.

п.

гироскопримере
вместе

с

может свобод­

поворачиваться

зонтальной

на

и

вокруг

00'

гори­

u -образной

Если подставке сооб­

вынужденное

вращение

во­

круг вертикальной оси, как пока­
зано на рисунке вектором ш', то
момент импульса М гироскопа по­

лучит
Рис.

dM 1

5.22

словлено моментом

-

за

dt

приращение

вектор, направленный за

рисунок.

N1

время
Это

приращение

обу­

пары сил, действующих на ось гироско­

па со стороны рамки. Гироскопические силы, действующие со
стороны оси гироскопа на рамку, вызовут поворот последней

вокруг горизонтальной оси

00'. При этом вектор М получит
дополнительное приращение dM 2 , которое, в свою очередь,
обусловлено моментом N 2 пары сил, действующих на ось гиро­
скопа со стороны рамки. В результате ось гироскопа будет по­
ворачиваться так, что вектор М будет стремиться совпасть по
направлению с вектором ш'.

m


3акон сохранения момента импульса

189

Таким образом, за промежуток времени

dt момент импульса М
dM = dM 1 + dM 2 = (N 1 + N 2 ) dt .

гироскопа получает приращение

При этом на рамку действует гироскопический момент

Составляющая этого момента N~ = рамки вокруг горизонтальной оси
N~ =

00',

N1

вызывает поворот

другая составляющая

противодействует повороту всей системы вокруг

-N 2

вертикальной оси (в отличие от предыдущего случая).
Гироскопический

эффект

лежит

в

основе

разнообразных

применений гироскопов: гирокомпас, гироскопический успоко­

итель качки корабля, гироскопический стабилизатор и др.
Задачи

5.1.

3аконы сохранения момента импульса и энергии. Доказать, что
полная механическая энергия Е планеты,

движущейся вокруг

Солнца по эллипсу, зависит только от его большой полуоси а.
Найти выражение для Е, если известны массы планеты и Солнца
(т и М), а также большая полуось а эллипса.
Реш е н и е. Воспользуемся законами со­
хранения

момента

импульса

и

энергии.

Точка, относительно которой момент им­
пульса планеты сохраняется,

Солнца.

Поэтому для

планеты (рис.
рости

5.23),

это центр

положений

1

и

2

в которых вектор ско­

перпендикулярен

можно

-

2а

радиусу-вектору,

Рис.

записать

5.23

(1)
Из закона сохранения полной механической энергии Е следует,

что для тех же положений планеты

mv:
2

mМ

mv~
2

mМ

---у-- =---у--.

r1

Решив совместно уравнения

r1

и

(1)

и

(2),

(2)

r2
выразим, например,

v 1 через

r 2:
2уМ r2
v 12 = --'---

r1

+ r2 r 1

m


Глава

190

5

и наконец, находим формулу для полной энергии Е как

Е

= K(v 1 ) + U(r1 ) = -уmМ /(r1 + r 2 ).

Учитывая, что r 1

+

r2

= 2а,

= -уmМ /2а.

Е

5.2.

Частица

1

массы

m1

налетает на покоящуюся частицу

имея вдали от частицы
параметр

(рис.

l -

5.24).

получим окончательно

2

массы

m2,

кинетическую энергию К о и при цельный

2

плечо вектора импульса относительно частицы

Заряд каждой частицы равен

q.

2

Найти наименьшее

расстояние, на которое сблизятся частицы, если:

Реш е н и е.

1.

Условие

m1

«:

m2

означает, что частица

2

в про­

цессе взаимодействия будет практически оставаться в покое. Век­
тор силы, действующей на частицу
частицы

2,

1

относительно покоящейся

сохраняется. Тогда

где слева

-

момент импульса частицы

вдали от частицы

мент

Рис.

-

-

в мо­

сближения,

когда

а справа

5.24).

Из закона сохранения энергии следует

5.24
Ко

где К

наибольшего

(рис.

r..lp

2,

1

=К

2

+ kq / rмин

,

кинетическая энергия частицы

1

в момент наибольшего

сближения. Решив эти два уравнения (с учетом связи р и К), по­
лучим

k 2 [
rмин =-q-1+

(1)

2К о

2.

В данном случае уже нельзя считать, что частица

2

покоится в

процессе взаимодействия. Решение наиболее целесообразно прове­
сти в Ц-системе, где картина .соударения» выглядит так, как по­

казано на рис.

5.25.

Система из двух частиц предполагается зам­

кнутой, поэтому ее собственный момент импульса сохраняется:

(2)

m


3акон сохранения момента импульса

191

где учтено, что в момент наибольшего

r 12 .lp.

сближения

Кроме

того,

на

основании закона сохранения энергии

-

-

=К

КО

-

-

где К о и К
ские

-

энергии

2

+ kq / r мин

(3)

,

суммарные кинетичечастиц

вЦ-системе,
Рис.

когда частицы находятся далеко друг

от

друга

и

в

момент

5.25

наибольшего

сближения. Из уравнений

(2) и (3) получим то же выражение (1),
только в нем вместо Ко будет стоять К о' причем в данном случае
(частица

2

первоначально покоилась), согласно

m2
------'=---- к о

(4.61),

•

m 1 +m2

Заметим, что при m 1 ~ m 2 величина К о : : : К О И выражение для
r мин будет полностью совпадать с (1).

5.3.

Небольшой шарик подвесили к точке О на легкой нерастяжимой
нити длины

l.

Затем шарик отвели в сторону так, что нить откло­

нилась на угол Э от вертикали, и сообщили ему начальную ско­
рость V o перпендикулярно

вертикальной

плоскости,

в

которой

расположена нить. При каком значении V o максимальный угол

отклонения нити от вертикали окажется равным

90 0 ?

Реш е н и е. На шарик в процессе движения действуют две силы:
сила тяжести и сила натяжения нити. Нетрудно видеть, что отно­

сительно вертикальной оси
этих сил М z

==

L z = const,
l sin

-

проходящей через точку О, момент

о. Следовательно, относительно данной оси момент

импульса шарика

где т

Z,

масса шарика,

Э·

v-

или

mv o

= lmv,

(1)

его скорость в положении, при кото­

ром нить составляет прямой угол с вертикалью.
Шарик движется в поле тяжести Земли под действием сторонней

силы

-

силы натяжения со стороны нити. Эта сила все время

перпендикулярна вектору скорости шарика и поэтому работы не
совершает. Отсюда следует, что, согласно уравнению

(4.31),

меха­

ническая энергия шарика в поле тяжести Земли сохраняется:

mv~/2 = mv 2 /2 + mg l соэ Э,

(2)

m


Глава

192
где

правая

жению

часть

равенства соответствует

поло­

нити.

Решив совместно уравнения

(1)

и

(2),

получим

= ~2gl jcos э.

Vo

5.4.

горизонтальному

5

На жестком проволочном полукольце радиуса
свободно

вращаться

ной оси АВ (рис.

r o'

которое может

вокруг

5.26),

вертикаль­

находятся две

одинаковые небольшие муфточки. Их со­

1

1

единили

нитью

ние

Затем всей установке сообщили

1-1.

угловую

и

установили

скорость

самой себе,

0)0

и,

в

положе­

предоставив

ее

пере жгли нить в точке А.

Считая, что масса установки практиче­
ски сосредоточена в муфточках, найти ее
угловую скорость в момент, когда муф­

точки соскользнут (без трения) в крайнее
Рис.

5.26

нижнее положение

2-2.

Реш е н и е. Пусть в нижнем положении расстояние муфточек от
оси вращения

r

и угловая скорость установки

0). Тогда из законов

сохранения энергии и момента импульса относительно оси враще­
ния

следует,

что

r
где

h -

2г.,2
VJ

-

r о2

0)02

= 2 gh ,

разность высот верхнего и нижнего положений муфточек.

Здесь учтено, что в нижнем положении, как и в верхнем, скорость
муфточек

относительно

Кроме того, из рис.

проволочного

5.26

полукольца равна

нулю.

видно, что

222

ro

=r

+h .

Решив совместно эти три уравнения, получим

о) = 0)02 [1 + 1+ (~J2J.
roO)o
5.5.

Гладкий стержень свободно вращается в горизонтальной плоско­
сти с угловой скоростью

оси О (рис.

1.

5.27),

0)0

вокруг неподвижной вертикальной

относительно которой его момент инерции равен

На стержне около оси вращения находится небольшая муфта

m


3акон сохранения момента импульса

массы т,
нитью.

193

соединенная с этой осью

После

пережигания

нити

mr

m
стержня. Найти скорость v' муфты О ~==~r=::::::m~=~=::!::]
муфта

начинает

скользить

вдоль

относительно стержня в зависимости
от ее расстояния

r

Рис.

до оси вращения.

5.27

Реш е н и е. У данной системы в процессе движения сохраняют­
ся

кинетическая

энергия

и

момент

импульса

относительно

оси

вращения. Отсюда следует, что

2
1000
где

= 1002 + mv 2 ,

2 2
v 2 =v ,2 + oor

(рис.

1000

= (1 + mr 2 ) 00 ,

Из этих уравнений

5.27).

получим

v' = 000 r / ~1 + mr 2/1 •
5.6.

Горизонтально летевшая пуля А попала, застряв, в вертикальный
однородный

стержень массы

т

и длины

lo,

верхний конец которого укреплен в шарнире

О (рис.

5.28).

Пуля имела импульс р и попала

в стержень на расстоянии

l

от точки о. П рене-

брегая ее массой, найти:
приращение

1)

l

импульса

системы

пуля

с

-

стержень за время движения пули в стержне;

2)

угловую скорость, которую приобретет стер-

A-......I..---tР

жень, с учетом собственного момента импульса пули, равного М и совпадающего по направ­
лению с вектором р (пуля вращается вокруг

Рис.

5.28

направления ее движения).

Реш е н и е.

1.

Система пуля

стержень незамкнутая: помимо

-

сил, уравновешивающих друг друга, в процессе движения пули в
стержне возникает горизонтальная составляющая силы реакции в

точке О со стороны оси. Действие этой составляющей и вызовет
приращение

импульса системы:

д.р
где

Vc -

скорость

= mvc

-

р,

центра стержня

после

застревания

пули.

Так как все внешние силы проходят через точку О, то за время
движения пули в стержне момент импульса системы будет остава­
ться постоянным относительно любой оси, проходящей через эту
точку. Взяв ось перпендикулярной к плоскости рисунка, запишем

lp=100,

m


Глава

194
где

1 -

ro -

момент инерции стержня относительно выбранной оси, а

угловая скорость стержня непосредственно

пули

в

5

после

остановки

нем.

v с = ror, r -

Из этих уравнений с учетом того, что

расстояние от

точки О до центра стержня, получим

= (3l/2l o -l)p.

!lp

Отсюда видно, что знак приращения

l/lo.

В частности, при

= 2/3

l/lo

!lp

зависит от отношения

величина!lр

= О,

т. е. импульс си-

стемы не изменится за время движения пули в стержне. Это зна­
чит, что в данном случае горизонтальная составляющая реакции

в точке О отсутствует.

2.

В этом случае момент импульса системы относительно точки О

также будет оставаться постоянным за время движения пули в
стержне, поэтому, согласно

(5.23),

м: + [lp]

= М.

Слева записан момент импульса пули от­

носительно точки О, а справа

импульса стержня (с пулей) непосредст­

lp

венно

после

(на рис.
Рис.

момент

-

5.29

5.29

остановки

пули

в

стержне

все три вектора расположе­

ны в горизонтальной плоскости).

Найдем вектор М, когда стержень (с пулей) приобретет угловую

скорость (О. Возьмем малый элемент стержня массы
щийся на расстоянии

r

dm,

находя­

от точки о. Его момент импульса относи­

тельно точки О равен

dM = [r, dmv] = dm . r
где
ние

vпо

2(0

= (m(O/lo)r 2dr ,

скорость данного элемента. Проинтегрировав это выраже­
всем

элементам,

получим

М

2
= mlo(O/3.

Таким образом,

М

+ [lp] = ml o2 (0/3.

Из этой формулы, согласно рис.

5.29,

получим

ro = 3 ~ М 2 + l 2 р 2 / ml o2 .
С помощью того же рисунка можно найти и направление вектора
(о (угол а).

m


3акон сохранения момента импульса

5.7.

195

Динамика вращательного движения. Однородный сплошной ци­
линдр массы то и радиуса

R

может без трения

враrцаться вокруг неподвижной горизонтальной

5.30).

оси О (рис.

На цилиндр в один ряд плотно

намотан тонкий нерастяжимый шнур длины

l

и

массы т. Найти угловое ускорение цилиндра в
зависимости от длины х свешиваюrцейся части

шнура.

Считать,

что

скольжения нет

и

х

центр

масс намотанной части шнура находится на оси
цилиндра.

Реш е н и е. Воспользуемся уравнением момен­

тов

(5.15)

Рис.

5.30

относительно оси о. Для этого найдем момент импульса

системы относительно данной оси М z и соответствуюrций момент
сил

N z•

Момент импульса

Мz

= [О)г

+ Rmv

= (т о /2

2

+ m)R О)г'

где учтено, что момент инерции цилиндра [

= moR 2/2 и

v

= O)zR

(отсутствие скольжения шнура). Момент внешних сил тяжести
относительно оси О

Nz

= Rmg

хл.

Продифференцировав Мг по времени и подставив
уравнение

моментов,

dM z /dt

и

Nz

в

получим

2mgx
lR (то + 2т)

5.8.

На гладкой горизонтальной плоскости лежит однородный диск
радиуса

ro•

На него осторожно опустили другой такой же диск,

предварительно сообrцив ему угловую скорость 0)0. Через сколько
времени оба диска будут враrцаться с одной и той же угловой ско­
ростью, если коэффициент трения между дисками равен

k?

Реш е н и е. Сначала найдем установившуюся угловую скорость
враrцения 0). Из закона сохранения момента импульса следует,
что

[0)0
где

[ -

= 2[0),

момент инерции каждого диска относительно обrцей оси

враrцения. Отсюда

О)

= 0)0/2.

m


Глава

196

5

Теперь рассмотрим поведение одного из дисков, например нижне­
го. Его угловая скорость меняется под действием момента
трения. Вычислим

N.

N

сил

ДЛЯ этого выделим на верхней поверхности

диска элементарное кольцо с радиусами

r, r + dr.

Момент сил тре­

ния, действующих на данное кольцо, равен

где т

по

r

-

масса каждого диска. Проинтегрировав это выражение

от О до

r o'

получим

Согласно уравнению

го диска на

(5.30), приращение угловой
величину doo происходит за время

скорости нижне­

dt = (1/ N) doo = (3r o /4kg )doo.
Интегрируя это уравнение по
мое

000/2,

находим, что иско­

время

t

5.9.

от О до

00

= 3roooo /8kg.

Плоское движение твердого тела. Однородный цилиндр находит­
ся

на горизонтальной

между ними равен

k.

доске

(рис.

5.31).

Коэффициент трения

Доске сообщили ускорение а в горизонталь­

ном направлении перпендикулярно оси цилиндра. Найти:

1)

ускорение оси цилиндра в отсутствие скольжения;

2)

предельное значение

скольжение

еще

Реш е н и е.

1.

направления Х и

5.31,
Рис.

5.31

a IIp '

при котором

отсутствует.

Выбрав положительные

<1',

как показано на рис.

запишем уравнение движения оси

цилиндра и уравнение моментов в Ц -сис­
теме относительно этой оси:

где т и

оси,

r -

1 -

масса и момент инерции цилиндра относительно его

радиус цилиндра. Кроме того, отсутствие скольжения

цилиндра дает кинематическую связь ускорений:

а

-

ас

= JЗr.

Из этих уравнений находим а с

= а /3.

m


Закон сохранения момента импульса

2.

Определим из предыдущих уравнений значение силы трения

Ртр '
Ртр

обеспечивающей

= mа/3 .

kmg.

качение

цилиндра

без

скольжения:

Максимально возможное значение этой силы равно

Отсюда

а пр =

5.10.

197

Однородный шар радиуса

3kg.

r начинает скатываться без скольже­

ния с вершины сферы радиуса

R

(рис.

5.32).

Найти угловую ско­

рость 00 шара после отрыва от поверхности сферы.

Реш е н и е. Прежде всего заметим, что
угловая

скорость

шара

после

отрыва

от

поверхности сферы изменяться не будет.
Поэтому задача сводится к нахождению
ее

значения

Запишем
шара

в

в

момент

уравнение

момент

отрыва.

движения

центра

отрыва:

Рис.

mv 2/( R + r)
где

v-

5.32).

Скорость

v

-

соответству­

можно найти из закона сохра­

энергии:

mgh
где

cos э,

скорость центра шара в момент отрыва, Э

ющий угол (рис.
нения

= mg

5.32

[ -

= mv 2 /2

+

[00

2

/2,

момент инерции шара относительно оси, проходящей че­

рез его центр. Кроме того,

v = oor,

h

= (R + r)( 1

- cos Э ).

Из этих четырех уравнений получим

00

5.11.

= ~10g (R + r)/17r 2 •

Конический маятник. Тонкий однородный стержень массы т и
длины

l

вращается с постоянной угловой скоростью 00 вокруг

вертикальной
(рис.

5.33).

оси,

проходящей

через

его

точку

подвеса

О

При этом стержень описывает коническую поверх­

ность с некоторым углом полураствора Э. Найти Э, а также мо­
дуль и направление силы реакции

R

в точке о.

Реш е н и е. Рассмотрим систему отсчета, вращающуюся вокруг
вертикальной оси вместе со стержнем. В этой системе отсчета на
стержень действует кроме силы тяжести

mg

и силы реакции

R

m


Глава

198
еще

центробежная

сила инерции

5

F цб.

Так как стержень покоится в данной си­
стеме отсчета,

т.

е.

находится

в

состоя­

нии равновесия, то это значит, что резу­

льтирующий момент всех сил относите­

льно
Fцб

всех

любой
сил

точки

равны

и

результирующая

нулю.

--~

mg

Относительно точки О момент создают

только сила тяжести и

центробежные

силы инерции. Из равенства моментов
Рис.

5.33

этих

сил

1/2mgl sin
Вычислим

N цб.

Э

следует

= N цб.

(1)

Элементарный момент сил инерции,

действует на элемент стержня

dx,

который

находящийся на расстоянии х

от точки О, равен

Проинтегрировав это выражение по всей длине стержня, полу­
чим

(2)
Из

(1)

и

(2)

следует, что

cos Э

= 3g 12оо 2 l.

(3)

Найдем модуль и направление вектора

R.

В системе отсчета, где

стержень вращается с угловой скоростью 00, его центр масс (точ­
ка С)

движется

по

горизонтальной

окружности.

Поэтому из

уравнения движения центра масс

кальная составляющая вектора
ная составляющая
аn

-

R.l..

(3.11) сразу следует, что верти­
R есть R 11 = mg, а горизонталь­

определяется уравнением тап

= R.l..'

где

нормальное ускорение центра масс С. Отсюда

R.l..
Модуль вектора

R

= 1/2mm2l sin э.

(4)

есть

m


3акон сохранения момента импульса

а его направление

угол Э' между вектором

-

определяется формулой
т. е. вектор

R

cos

Э'

= mg / R.

и вертикалью

R

Интересно,

что Э'

-

'* Э,

не совпадает по направлению со стержнем. В этом

легко убедиться, выразив

Э'

Отсюда видно, что

Э' через

Э:

cos

= ~9+7 cos 2 Э .

Э'

cos

cos

4соsЭ

cos

рис.

199

> COS

Э, т. е. Э'

<

Э. Это и показано на

5.33.

Заметим, что равнодействующая сил инерции

= R 1..

через точку С, а ниже. Действительно Fцб
формулой

(4),

а результирующий момент

F цб

N цб

-

проходит не

И определяется
формулой

(2).

Из этих формул следует, что плечо вектора F цб относительно точ­

ки О равно 2/з l

Э (рис.

5.33).

Гироскоп. Волчок массы т, ось которого составляет угол Э

5.12.
с

cos

вертикалью,

прецессирует

вокруг

верти­

кальной оси, проходящей через точку опо­
ры о. Момент импульса волчка равен М,

расстояние от его центра масс до точки О
есть
ра

Найти модуль и направление векто­

l.

F -

горизонтальной

составляющей

силы реакции в точке о.
р е

m

рость

е н и е. Согласно

(5.38),

угловая ско-

F

прецессии

о
00'

= mg l/ М.

Рис.

Центр масс волчка движется по окружности.
вектор

F

направлен так, как показано на рис.

5.34

Следовательно,

5.34

(этот вектор

поворачивается вместе с осью волчка).
Из уравнения движения центра масс

(3.11)

получаем

moo,2 l sin Э = Р.
в результате

Заметим, что если бы точка опоры волчка находилась на глад­

кой плоскости, то волчок прецессировал бы с той же угловой
скоростью,

но

вокруг

центр масс волчка

-

вертикальной

точку С на рис.

оси,

проходящей

через

5.34.

m


rllaBa 6
Колебания

....

§ 6.1.

Гармонические колебания

Кинематика гармонических колебаний
Гармоническими называют колебания, в которых интересу­
ющая нас величина х (например, линейное или угловое смеще­
ние из положения равновесия) изменяется со временем

t

по за­

кону

1

х = а cos ( 0)0 t + а),

(0)0 t

+ а) -

(6.1)

1

где а

-

0)0 -

циклическая (круговая) частота колебаний. Эта частота

амплитуда,

фаза, а

связана с периодом Т и линейной частотой

0)0 = 2n/Т =

и

начальная фаза,

-

v

как

2nv.

(6.2)

Обратим внимание на различие наименований циклической
u
u
-1 ,а v, Г Ц ( герц.
)
линеинои частот: 0), с

Продифференцировав

(6.1)

по времени, найдем скорость х и

"
х

ускорение

х = -ао)о

х

=

sin (0)0 t + а) = ао)о cos (0)0 t + а + n/2),

-aO)~ cos (0)0 t + а)

=

aO)~ cos (0)0 t + а + n).

(6.3)
(6.4)

Из этих выражений видно, что скорость х и ускорение х так­
же изменяются по гармоническому закону с амплитудами ао)о

и aO)~ соответственно. При этом скорость опережает смещение
х по фазе на n/2, а ускорение - на n, т. е. находится в противо­
фазе со смещением х. На рис. 6.1 приведены графики зависи­
мостей

x(t), x(t) и x(t) для случая а = о.

Сопоставив

(6.4)

и

(6.1),

..
2
видим, что х = -0)0 х, или

х + O)~ х = О ·1

1

(6.5)

m


Колебания

Это

201

дифференциальное

уравнение

осцuллятора.
держит две

(6.1) *

Его решение

произвольные

•

••

называют уравnеnием гармоnuч,еСJ(,ого

х /
.....
j ..

со-

х

-

/

постоянные:

t

а и а. Для каждого конкретного коле­
бания они
условиями

стью ХО

определяются

-

начальными

смещением

ХО

и

t

в начальный момент
хо

=acos

скоро­

=

О:

Рис.

Х о = -асоо

а,

6.1

sin а.

(6.6)

Отсюда находим искомые постоянные:

(6.7)
Обычно

(--1t, + n).

рассматривают

Уравнение для

tga

только

значения

а

в

интервале

удовлетворяется двумя значениями

а в этом интервале. Из этих значений следует взять то, при ко­
тором получаются правильные знаки у

cos а

и

sin а

в

(6.6).

Рассмотрим два примера на роль начальных условий.
Пример

1.

Колебания совершаются по гармоническому закону, гра­
фик которых приведен на рис.

6.2

(два случая:

1

и

2).

Вы­

ясним, каковы начальные условия в обоих случаях и как
они отражаются на характере ко-

лебаний.

х

в случае

хо

>О

1

начальное смещение

=о

и скорость х о

(напом­

t

ним, что производная характери­

зует наклон графика х( t) в дан­
ной точке). При этом амплитуда

колебаний а

= хо•

В случае же

2 х о > О и х о < о.

Амплитуда а, согласно
Пример

2.

(6.7),

Рис.

будет больше хо.

Частица совершает колебания по закону

t

=

О хо

<О

и хо

> о.

6.2

(6.1)

и в момент

Найдем интервал возможных значе­

ний начальной фазы а.

*

Заметим, что решение

(6.1)
sin O)Dt + В cos O)ot,
R е { ае I(Шоt+U)} .

х = А
х=

может быть представлено и в ином виде, например
где

А

и

В

постоянные,

или

как

m


Глава

202
Из

(6.7)

следует, что в данном случае

а

tg

>

6

о. Значит, а

может находиться в первом или третьем квадрантах, т. е. в

интервалах (о,
ками

и

cosa

1tj2) или (-п, - 1tj2). Сопоставив это со зна­

sina

из

(6.6),

приходим к выводу, что возмо­

жен только второй интервал (-п,

- 1tj2).

Динамика гармонических колебаний
Для определения характера движения механической систе­
мы

нужно,

ния

исходя

энергии,

из

законов

составить

оно приводится к виду

динамики

уравнение

(6.5),

или

движения

закона сохране­
системы,

и

если

то можно однозначно утверждать,

что данная система является гармоническим осциллятором, ча­

стота 000 которого равна корню квадратному из коэффициента

при х. Рассмотрим несколько примеров и затем обобщим полученные

результаты.

Грузик на пружине. Пусть грузик массы т, подвешенный на
невесомой пружине жесткости х, совершает вер­

тикальные колебания (рис.
ло

mg =

0j-х

оси

хд,z, д,z

положении

Х

в

-

растяжение пружины в этом по­

динамики, mх

= mg х

mg

6.3

нение

х(х

равновесия,

+ д,z) = -хх,

+ (xjm)x

Из сопоставления с
Рис.

Возьмем нача­
где

ложении. Тогда, согласно основному уравнению

-

Х

О

6.3).

(6.5)

гармонического

или

= о.
видим, что это урав­

осциллятора,

колеблю-

щегося около положения равновесия с частотой 000 и периодом
Т, равными

(6.8)
Математический маятник.

Материальная точка массы т,

подвешенная на нерастяжимой нити длиной

Z,

совершает коле­

бания в вертикальной плоскости (рис.

Здесь удобнее всего

использовать уравнение динамики

проекции на орт "t',

6.4).
(2.16) в

направление которого совпадает с положительным направлени­

s

ем отсчета дуговой координаты

(величина алгебраическая, на

рисунке изображен момент, когда

s>

мем в положении равновесия

в точке о.

-

о). Начало отсчета

s

возь­

m


Колебания

203

Имея в виду, что
екция

силы

s

= l3,

натяжения

ms = ml3 = -mg sin3,

s = l-9

и что про­

= о,

запишем:

F't

или

00

3 + (g j l) sin 3
Из сопоставления с
уравнение,

вообще

уравнением

= о.
видим, что это

(6.5)

говоря,

не

гармонического

является

осциллятора,

поскольку в нем вместо смещения

-9

стоит

sin-9. Однако при малых колебаниях, когда
sin -9 ~ 3, уравнение совпадает с (6.5):

Рис. 604

00

-9 +(gjl)-9 =0,
откуда следует, что частота 000 и период Т математического ма­
ятника, совершающего малые колебания, равны
000

= ~g j l ,

Т = 2 nJiТi.

(6.9)

Физический маятник. Это твердое тело, совершающее коле­

бания вокруг неподвижной оси, жестко свя­
занной с телом. Рассмотрим колебания под
действием силы тяжести (рис.

6.5).

Выберем

положительное направление отсчета угла
против часовой стрелки (ось

Z

3

направлена к

нам). Тогда проекция момента силы тяже­
сти на ось
и

Z

уравнение

запишется как М z
динамики

жения твердого тела

= -mgl sin 3

вращательного

(5.30)

дви­

примет вид

00

13
где

1 -

= -mgl

sin-9,

момент инерции тела относительно оси О,

Рис.

6.5

l -

расстоя­

ние между осью О и центром масс с. Ограничимся рассмотре­

нием малых колебаний, при которых
вии

предыдущее

уравнение

можно

sin 3

~

записать

-9.

При этом усло­

так:

00

3 +(mglj1)3 =0.

m


Глава

204

6

Колебания будут гармоническими с частотой (00 и периодом
Т, равными
(00

= ~mglj 1,

Т = 2n.JI jmgl.

(6.10)

Такую же частоту и период имеет математический маятник
длины

lпр =

(6.11)

1 jml,

которую называют nриведенной длиной физического маятника.

Точку О' (рис.

6.5),

которая находится на прямой, проходя­

щей через точку подвеса О и центр масс С, и отстоит от точки О
на расстоянии lпр' называют центром качания физического ма­

ятника. Центр качания О' обладает замечательным свойством:
если маятник

перевернуть и заставить совершать малые коле­

бания вокруг оси О', то период колебаний не изменится. На
этом свойстве основано определение ускорения свободного па­
дения

с

помощью

оборотного

маятника:

экспериментально

устанавливают положения двух ~сопряженных» точек (осей) О

и О', малые колебания вокруг которых происходят с одинако­
вой частотой. Это значит, что расстояние
(00

и lпр' из формулы
Общие выводы.

(00

00' = l пр.
= ~g jlпр находим g.

Определив

Рассмотренные примеры относятся к сво­

бодным колебаниям без трения, которые происходят в системе,
предоставленной самой себе после того, как она была тем или
иным

способом

выведена

из

состояния

равновесия.

Можно

утверждать, что свободные колебания любого осциллятора в от­
сутствие трения будут гармоническими, если действующая в
нем сила (или момент силы) является квазиуnругой, т. е. си­
лой, направленной к положению равновесия и зависящей от
смещения из этого положения линейно.

Именно квазиупругий характер силы (или момента силы)
служит и критерием малых колебаний.
Кроме того, частота и период свободных колебаний без тре­
ния зависят только от свойств самого осциллятора в отличие от

амплитуды колебаний и начальной фазы, которые определяют­
ся

начальными

условиями.

Рассмотрим еще один пример на малые колебания.

m


Колебания

205

Пример. Частица массы т совершает колебания в силовом поле, где ее
потенциальная

U

энергия

= Uo(l -cos ах)

,

зависит

где ио и а

-

от

координаты

х

как

постоянные. Найдем часто­

ту 000 малых колебаний частицы около положения равнове­

сия х

= о.

Согласно основному уравнению динамики,

тх

= Fх = -

=-

аи / ах

Так как колебания малые,
уравнение

можно

привести

Отсюда следует, что

000

а Uо

то
к

sin

sin

ах.

ах ~ ах

и предыдущее

виду

= a~и о/т.

Энергия гармонического осциллятора.

Рассмотрим этот во­

прос на примере материальной точки массы т, колеблющейся
под действием квазиупругой силы

Fх =

-их. Потенциальная и

кинетическая энергии частицы имеют в данном случае такой
вид:

(6.12)

Из этих соотношений видно, что значения И и К сдвинуты

друг относительно друга по фазе на

n/2:

когда И максимальна,

К минимальна, и наоборот. При этом полная энергия сохраня­
ется:

Е = И

+К

= ха

2

/2

2

2

= та 000

/2,

(6.13)

где учтено, что oo~ = 'К/т. Принимая во внимание (6.13), фор­
мулы (6.12) можно переписать так:
И = Е cos 2 ( 000 t + а),
Графики зависимостей

U(t)

к = Е sin 2 ( 000 t + а).
и

K(t)

даны на рис.

6.6.

(6.14)
Из ри­

сунка видно, что в процесс е колебаний происходит переход по­
тенциальной энергии в кинетическую и обратно. Это иллюстри­
рует и рис.

6.7.

m


Глава

206

Рис.

Рис.

6.6

6

6.7

Средние (за период колебания) значения потенциальной и
кинетической энергий одинаковы, и каждое из них равно Е/2:

(6.15)

<И> = <К> = Е/2,

поскольку известно*, что средние (за период) значения квадра­
тов синуса и косинуса равны

1/2.

Отметим в заключение, что, согласно

ний осциллятора Е

00

а2 •

(6.13),

энергия колеба­

Это весьма существенный факт, и его

неоднократно придется учитывать в дальнейшем.

Энергия и уравнение движения
"У"равнение движения колебательной системы можно полу­
чить не только из уравнений динамики, но и из закона сохра­

нения энергии Е (иногда это бывает удобнее). Для этого нужно
составить выражение для энергии Е, продифференцировать его

по

времени

Е =

const.

и

потребовать,

чтобы

dE/dt

=

О,

поскольку

Это и приведет к искомому уравнению.

Важно отметить, что колебательная система будет гармони­

ческим осциллятором лишь при условии И

00

х 2 , т. е. когда по­

тенциальная энергия пропорциональна квадрату смещения из
положения равновесия. Это условие, кстати, является и ~энер­
гетическим»

*

критерием малых колебаний.

Это сразу следует из тождества sin 2 <р + cos 2 <р = 1, усредняя которое в преде­
лах периода 2п получим <sin 2 <p) + <cos 2<p) = 1. Так как разница между sin<p и
cos<p заключается только в сдвиге фаз на 1t /2, мы находим, что
<sin2<p) = <cos 2<p) = 1/2.

m


Колебания

207

Пример. Пусть в колебательной системе и

= ах 2

и К

смещение из положения равновесия, а и JЗ

к

уравнению

гармонического

где х

-

положительные

= и + к = const

постоянные. Убедимся, что условие Е
дит

-

= JЗ х• 2 ,

приво­

осциллятора.

Продифференцировав Е по времени, получим

dE / dt

=2

Отсюда следует, что

а

xi + 2 JЗii = О

i + (а/JЗ)х = о.

Это и есть уравнение гар­

монического осциллятора с частотой

§ 6.2.

•

000

= ~а/JЗ.

Сложение гармонических колебаний

Сложение колебаний одного направления
Векторная диаграмма. Решение ряда вопросов значительно
облегчается и становится наглядным, если изображать колеба­
ния графически с помощью вектора-амп-

литуды а, вращающегося с угловой скоро­

стью со против часовой стрелки. Если в мо­
мент

t

= О вектор а образует с осью Х угол

а (рис.

6.8),

х

то проекция вектора а на ось

Х изменяется со временем по гармониче­
скому закону

(6.1).

Такой способ представ­

Рис.

Х

6.8

ления колебаний, называемый векторной диаграммой, удобно
использовать при сложении колебаний одного направления.
Сложение колебаний. Рассмотрим два случая, когда частоты
двух складываемых колебаний одинаковы или мало отличают­
ся

друг

1.

от

друга.

Случай, когда СО1 = ~ = со. В этом случае результирующее

смещение

х = Х1

+ Х2

=а1

cos(cot + а1)

+а2

cos(cot + а2).

(6.16)

Каждое из складываемых колебаний можно представить с
помощью векторов а 1 и а 2 , сумма проекций которых на ось Х

равна проекции суммы векторов а 1

+ а2 =

а (рис.

6.9).

Посколь­

ку векторы а 1 и а 2 вращаются с одной и той же угловой скоро­
стью со, с той же угловой скоростью вращается и вектор а. Зна­
чит результирующее колебание является тоже гармоническим
и

имеет

вид

х = а

cos (cot + а),

(6.17)

m


Глава

208
где а и а находим из рис.

6

6.9:
(6.18)

tg

а

а1 sin а1 + а2 sin а2
= ---=-----=-----=-------==а1

Разность фаз

(6.19)

cos а1 + а2 cos а2

в данном случае не зависит от времени и рав-

8

на

(6.20)
Из рис.

6.9

и формулы

видно, что амплитуда а резуль­

(6.18)

тирующего колебания существенно зависит от разности фаз

При сложении синфазных колебаний
при сложении же «противофазных»

(8 = О)

8.

а максимально,

колебаний

п) а мини­

(8 =

мально:

Поскольку энергия колебаний Е

00

а 2 , то при сложении ко­

лебаний одного направления Е, как и амплитуда а, существен­
но зависит от разности фаз

8,

достигая максимума при сложе­

нии синфазных колебаний и минимума при сложении ~проти­
вофазных»

(6.18)

колебаний. Из-за наличия последнего слагаемого в

энергия

представлена

т. е. Е

результирующего

как

'* Е 1 + Е 2

сумма

энергий

колебания

не

может

складываемых

(за исключением случая, когда

2. Случай, когда IC0 1

- со 2 1

«

быть

колебаний,

8=

п/2).

СО 1 и со 2 • Здесь также результи­

рующее колебание записывается форму­
лой

(6.18)

и справедлив рис.

6.9.

Но по­

скольку теперь векторы а 1 и а 2 вращают­
ся

с

немного

скоростями,

отличающимися
модуль

угловыми

результирующего

вектора а будет медленно изменяться от
х

о

Рис.

6.9

а макс до амин, причем сам вектор а враща­

ется с угловой скоростью, близкой к CO:t. и
~.

Результирующее

является
же можно рассматривать как

колебание уже

гармоническим,
гармоническое,

однако

но с

его

не
все

медленно

и

m


Колебания

209

периодически меняющейся амплитудой. Такие колебания назы­
вают биениями. Они показаны на рис.

6.10

для случая а 1 = а 2 •

х

Рис.

6.10

Амплитуда колебаний описывается той же формулой
но в данном случае входящая в нее разность фаз

8

(6.18),

зависит от

времени:

Промежуток времени между соседними моментами, когда

амплитуда

а

(рис.

За это время разность фаз

6.10).

максимальна,

называют

8

nериодо,м

биений

1'6

изменяется на 2п (это

следует и из векторной диаграммы). Значит,

1~ - 00111'6

= 2п.

Отсюда период и частота биений:

1

2п

1'6 -1 ~ - ~ 1-1 V2 -v11 '
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Сначала рассмотрим случай, когда частоты складываемых
колебаний одинаковы. Пусть координаты х и у частицы изме­
няются

по

закону

х

=acos oot,

у

=bcos(oot + 8).

(6.23)

Можно показать, что траекторией час­

тицы при этом является эллипс (рис.

6.11),

вид которого определяется отношением ам­

плитуд а и Ь и разностью фаз

8.
х

Некоторые частные случаи:
а)

8=

О, тогда у =

(bja)x,

т. е. частица

движется по прямой в первом и третьем

квадрантах (рис.

6.12,

а);

Рис.

6.11

m


Глава

210
в)

6

г)

х

Рис.

б)

8=

6.12

п, тогда у = -(Ь/а)х и частица движется тоже по пря­

мой, но во втором и четвертом квадрантах (рис.

6.12,

б);

в) 8 = п/2. В этом случае х 2 /а 2 +у2 /ь2 =1, т. е. частица дви­
жется по эллипсу, полуоси которого а и Ь совпадают с осями
координат. При а = Ь эллипс превращается в окружность. Так
как колебания вдоль оси У происходят с опережением по фазе

на п/2 относительно колебаний по оси Х, то сначала у и лишь
затем х достигают максимальных значений. Это значит, что
движение
(рис.

г)

частицы

6.12, в);
8 = 3п/2.

будет

происходить

Это то же, что и

8

фазы на 2п несущественно (рис.

по

часовой

стрелке

= -п/2, поскольку изменение

6.12,

г).

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы и относятся как целые числа, то тра­

yi

ектории

результирующего движения

имеют

более сложные формы. Их называют фигура­
---I-------I-----I-~x

ми Лиссажу. Одна из этих фигур показана

на рис.

6.13,

она соответствует отношению

частот Ш у : ш х =
Рис.

6.13

3 : 2.

И последнее: при сложении взаимно пер­

пендику лярных колебаний полная энергия

Е = [_Х-=-12х_2_ + Х 22у2 J + т2 ( х. 2 + у. 2) = Е х + Е у'

(6.24)

т. е. складывается из энергий каждого колебания (в отличие от
сложения колебаний одного направления). Согласно

(6.13),

эта

энергия

(6.25)

m


Колебания

211

Затухающие колебания

§ 6.3.

Уравнение затухающих колебаний
в любой реальной колебательной системе есть силы сопро­
тивления (трения), действие которых приводит к уменьшению
амплитуды и энергии колебаний. Такие свободные колебания
называют

затухающими.

Будем исходить из основного уравнения динамики, полагая,
что на частицу массы т действует кроме квазиупругой силы

(-их) сила сопротивления, пропорциональная скорости части­

цы,

Fх =

-гх, где r -

коэффициент сопротивления (величина

размерная). Тогда уравнение движения будет иметь вид

-=

тх

-их

-

.

Т'Х,

(6.26)

или

(6.27)
где 2В = r /т, co~ = 'К/т. Отметим, что СО о -

это частота свобод­

ных колебаний без трения. Частоту СО о называют собственной

частотой осциллятора, а В
Уравнение

(6.27)

-

коэффициентом затухания.

при условии В

< СО о

описывает затухающие

колебания. Его решение имеет вид

Iх
где а о и а

-

=

а о е - ~t

постоянные,

График функции

(6.28)

(6.28)

определяемые начальными условия­

ми х (О) = х о и х(О) = хо, со'

I oi

cos ( со' t + а), I

-

=

частота затухающих колебаний:

Jю~ ~2.
-

I

показан на рис.

(6.29)
6.14

для случая ХО

>О

и хо > о. Видно, что эта функция не периодическая. Тем не менее
величину Т =

2п/со' принято называть периодом затухающих

колебаний:

(6.30)
Множитель а = аое -~t перед косинусом в (6.28) называют
амплитудой затухающих колебаний (пунктир на рис. 6.14).

m


Глава

212

6

Е

t
Рис.

Рис.

6.14

6.15

Энергия затухающих колебаний

Е

Эта энергия складывается из потенциальной и кинетической:
= хх 2 /2 + тх 2 /2. После подстановки сюда выражений х (t) и

x(t), соответствующих затухающими колебаниям (6.28), полу­
чим зависимость E(t), которая графически показана на рис. 6.15.
Уменьшение энергии колебаний обусловлено работой силы сопро­
тивления. Мощность этой силы равна -гх· х = -гх 2 , тогда

dE /dt
Таким образом,

dE / dt < О,

При малом затухании (Р

= -гх 2 •

кроме тех моментов, когда х = О.

«

(00) зависимость

E(t)

становится

практически экспоненциальной:

Е --Е ое -2J3t •

(6.31)

Отсюда убыль энергии в единицу времени

-dE/dt

= 2РЕ.

(6.31 *)

Характеристики затухания
Кроме коэффициента р затухание характеризуют и другими
величинами:

1. Вре,мя релаксации 't' - это время, за которое амплитуда
колебаний уменьшается в е раз. Из выражения а = аое -J3t вид­
но,

что

't'

2.

= l/Р.

(6.32)

Л огариф,мический декре,мент затухания. Его определяют

как

m


Колебания

213

a(t)
(t + Т)

A=ln
а
где Т

=~T,

(6.33)

период затухающих колебаний. Из предыдущих двух

-

формул следует, что

(6.34)
где

Ne

литуда

число колебаний за время

-

уменьшается

в

е

'[',

в течение которого амп­

раз.

«

При малом затухании (~

(00) А характеризует относитель­

ное уменьшение амплитуды колебаний за период. Это следует
из

(6.33),

поскольку в этом случае

А = ln а + 8а

= ln (1 +

а

Кроме того, при ~

«

8а J~ 8а .
а

(6.35)

а

(00 относительное уменьшение энергии

колебаний за период, согласно

(6.31*),

равно 8Е / Е = 2~T = 2А,

откуда

А

3.

= 8Е/2Е.

(6.36)

Добротность осциллятора. По определению,

(6.37)
При малом затухании (~

Q

«

(00)' когда справедливо

~ 2пЕ/ 8Е.

(6.36),
(6.38)

Пример. Найдем добротность осциллятора, у которого амплитуда сме­
щения уменьшается в

Поскольку

Q

и т. Пусть д.t

= 1[/ л = 1[ /
-

11

раз через каждые

N

колебаний.

fЗт, задача сводится к определению

f3

время, за которое амплитуда уменьшается в

11 раз, тогда 11 = е/З Ы и f3д.t = ln 11. Кроме того, Т = д.t/ N. После
подстановки выражений для

чим

Q

f3

и т в исходную формулу полу­

= nN /ln 11.

В заключение отметим, что при достаточно большом затуха­
нии (~ ~ (00) система совершает апериодическое движение: вы-

m


Глава

214

6

веденная из положения равновесия, она возвращается в это по­

ложение, не совершая колебаний.

§ 6.4. Вынужденные колебания
Уравнение вынужденных колебаний
Свободные колебания реальной колебательной системы яв­
ляются, как мы выяснили, затухающими. Чтобы возбудить в
такой системе незатухающие колебания, необходимо компен­
сировать потери энергии, обусловленные силами сопротивле­
ния (трения). Это можно осуществить, воздействуя на систему
переменной внешней силой Р, изменяющейся

и практически наиболее важном случае
закону

F х = F m cos oot.

-

-

в простейшем

по гармоническому

Возникающие при этом колебания и на­

зывают вынужденными.
Теперь на колеблющуюся частицу будут действовать одновре­

менно три силы: квазиупругая (-их), сила сопротивления (-гх) и
внешняя, вынуждающая (РХ ). Согласно основному уравнению
динамики,

mх = -их -гх

+ F m cos oot,

(6.39)

х + 2 Р х + ш~ х = f m COS oot,

(6.40)

или в более удобной форме

I
2

где 2Р=г/m, 000 =х/m, { т =Рт/m.
Опыт показывает, что по истечении некоторого времени (с

момента начала действия вынуждающей силы) в системе устанавливаются гармонические коле б ания

*

u

с частотои вынуждаю-

щей силы, но отстающие по фазе от последней на 'Р:

1х

*

Решение уравнения

(6.40),

= а cos (oot - q»·1

(6.41)

как доказывается в математике, представляет со­

бой сумму общего решения однородного уравнения (когда правая часть равна
нулю) и частного решения неоднородного:
х aoe- f3t cos (ro't + а)

=

+ а cos (rot - <р).

Нас будет интересовать только частное решение, соответствующее установившим­
ся колебаниям. Общее решение однородного уравнения описывает затухающие ко­
лебания, которые по истечении некоторого времени практически исчезают.

m


Колебания

215

Наша задача

определить постоянные а и <р. Для этого про­

-

дифференцируем

и

дважды по времени:

(6.41)

х =

-aoosin(oot

х

-аоо2 cos (oot - <р)

подставим

=

выражения

-<р)

для

=aoocos(oot
=

х

и

(6.40). Сумма трех гармонических
(6.40) должна быть равной функ­
ции f т cos oot. Учитывая фазовые
сдвиги
вим

между

это

.

х,

х

..

и

равенство

х,
с

для случая 00

< (00).
(или

в

исходное

функций

в

части

Щ3аоо

I
I
I
I
I
I

6.16,

в скобках на

уравнение

левой

помощью

этой диаграмме указаны

хождения»

..

х

пред ста-

векторной диагра,м,мы (рис.

(6.42)

аоо2 cos (oot - <р + п)

.

х,

-<р+ п/2),

(усн:орение)

« проис­

(смещенuе)

аоо~

аоо2

соответствие)

векторов, модули которых имеют

Рис.

6.16

размерность ускорения. Из этой
диаграммы

а 2 (оо~ -

002 ) 2

по

теореме

+ 4 f32 002 а 2

I

Пифагора

следует,

что

= ' ; , откуда

а = f т ~(ro~ - ro

2)2

/

+ 4[32 ro2

•

(6.43)

Из этой диаграммы видно, что отставание смещения по фазе
на <р от вынуждающей силы определяется как

(6.44)
Формулы

(6.43)

и

(6.44)

показывают, что амплитуда а коле­

баний и отставание смещения по фазе на <р от вынуждающей

силы определяются свойствами самого осциллятора (000' f3) и
вынуждающей силы

(fт'

(0), но не начальными условиями.

Резонанс
На рис.

6.17

приведены графики зависимости амплитуды вы­

нужденных колебаний от частоты вынуждающей силы а( (0) для
трех коэффициентов затухания. Видно, что а(оо) имеет макси­

мум при частоте, которую легко найти из условия

da / doo = О

(до-

m


Глава

216

6

статочно найти экстремум подкоренно­

го выражения). Эту частоту называют
резонансной:

(6.45)
а существование

ды а
Рис.

6.17

-

максимума

амплиту­

явление,м резонанса. Соответ­

ственно приведенные на рис.

6.17

гра-

фики принято называть резонансны,ми кривы,ми.

Выражение для амплитуды при резонансе получим, подста­

вив

в

(6.45)

(6.43):
а макс =

{т

(6.46)

---;:::::::/2===2=
2В" ш о -В

Чем меньше затухание системы, тем более ярко выражен ре­
зонанс. Явление резонанса играет огромную роль в физике и

технике. Его используют, если нужно усилить колебания, и,
наоборот, всячески избегают, если резонанс может привести к
нежелательным усилениям колебаний.

Зависимость фазового сдвига <р от частоты 00 показана на
рис.

6.18

тухании

(для двух коэффициентов затухания). При слабом заоо рез

~

000'

равно п/2 (см. рис.
На рис.

6.19

и

значение

<р

при

резонансе

практически

6.16).

дан график зависимости средней (за период)

мощности вынуждающей силы от ее частоты <Р(ш». Заметим,
что <Р(ш»

= тах при 00 = 000 независимо от коэффициента зату­

<р

<Р>

1

-------

1

"2

о)

Рис.

6.18

о

0)0

Рис.

о)

6.19

m


Колебания

217

хания р. Важным параметром резонансной кривой <Р(ш», ха­
рактеризующим «остроту»

резонанса, является ее ширина Аш

на половине «высоты». Можно показать, что при малом затуха­

нии (р

«

(00) «острота» резонанса, т. е. отношение 000/ Аш, рав­

но добротности осциллятора:

шо/Аш=Q.

(6.47)

Энергия вынужденных колебаний
Интересно проследить, как зависит энергия Е осциллятора,

совершающего
как Е = и

+ К,

установившиеся

колебания,

от

времени.

то

Е

хх 2 /2 + тх 2 /2

=

=

=та2[ш~ соs 2 (шt -q» + ш2 Siп 2 (шt -q»]/2,
2
где учтено, что х = тшо. График зависимости
00

> 000

Так

показан

на

рис.

(6.48)

для

E(t)

случая

6.20.

Колебания энергии Е будут тем

Е

меньше, чем ближе частота 00 к
000' и при 00 = 000

будет

Ео

=
В

зависеть
2 2
та 000

энергия Е не
от

времени

t:

Ео

/2 = const.

установившихся

колеба­

дающей силы за период будет
компенсировать

потери

о

/

n', ,

энер-

гии в системе за счет работы
сил сопротивления.

<р=n/2

./'- --, x(t),

/',

ниях при 00 =f:. 000 работа вынуж­

Рис.

-- -

./

/ 2n mt

6.20

Мощность

же вынуждающей силы в каждый момент будет равна модулю
мощности сил сопротивления только в случае 00 = 000 • В против­
ном случае эти мощности будут равны по модулю только в
среднем

за

период.

Пример. Найдем

среднюю

за

период

мощность

<Р>

вынуждающей

силы, необходимую для поддержания среднего значения ки­
нетической энергии на уровне <К> у осциллятора с коэффици­

ентом затухания ~.

m


Глава

218

6

Согласно закону сохранения энергии, <Р> должно быть равно
модулю

среднего

значения

мощности

силы

сопротивления:

<Р>= I<-r х...х> I = <rx·2 >.
Так как х 2 = 2К 1т, то ri 2 = 2(r Im)K = 4fЗК и <Р> = 4fЗ<К>.
Задачи

6.1.

Свободные колебания без трения. Идеальная жидкость объемом
налита в U-образную трубку (рис.

сечения канала

S.

6.21)

V

с площадью поперечного

Найти период малых колебаний

жидкости.

l

О Реш е н и е. Эту задачу наиболее просто решать с
помощью дуговой координаты

l.

Проецируя все

силы, действующие на жидкость, на орт 'Т' полу­
чим,

..

т1

согласно

-

силы

6.21

..

единственной

mI р

= V,

динамики

где справа записана
некомпенсированной

силы тяжести, действующей справа на

элемент жидкости длины

что

уравнению

= F't (2.16), m l = -рgS ·2l,

проекция

Рис.

основному

2l.

Отсюда, имея в виду,

получаем

i" + (2gSIV)l = о.
Значит, oo~ = 2gS IV и т = 1t~2V I gS.
6.2.

Крутильные колебания. Горизонтальный диск с моментом инер­
~

ции

относительно его оси укреплен в центре

1

тонкого упругого стержня (рис.

6.22).

При пово­

роте диска на него действует момент упругих

D

= -Dq>,

сил М z

где

D -

коэффициент кручения.

Найти частоту 000 и амплитуду <Рm крутильных

колебаний, если в начальный момент диск повернули

Рис.

Реш
000

6.22
е

н

на угол <Ро из положения

равновесия и

сообщили ему угловую скорость Фо.
и

е.

Из

уравнения

движения

Iф

= -пЧ'

находим

= ~ D I 1 . Амплитуду колебаний проще всего найти из того, что

энергия колебаний (Е

=

и

+ К)

здесь будет сохраняться. Значит,

энергия в начальный момент будет равна энергии при максималь­
ном

отклонении

из

положения

равновесия:

m


Колебания

219

Отсюда <Рm = ~q>~ + (1/ п) <p~.
Заметим, что выражение для потенциальной энергии (и

= Dq>2/ 2 )

следует из ее определения, а именно: убыль величины

равна ра­

U

боте упругой силы (в данном случае ее момента):
q>

J

И(О) - И( <р) = м zdq>.
о

в положении равновесия

6.3.

(q> =

=

О) полагаем И(О)

о.

Физический маятник. На каком расстоянии х от центра С надо
подвесить тонкий однородный стержень длины

чтобы период

l,

его малых колебаний был наименьшим?
Реш е н и е. Согласно

(6.10),
ятника Т = 2п~I /mgx, где 1 тельно

1

= 1с +

искомой
2
тх ,где

точки

1с -

период колебаний физического ма­

момент инерции стержня относи-

подвеса.

По

теореме

Штейнера,

момент инерции относительно центра масс

с. Подставив это выражение в формулу для Т, получим

т = 21t~(l/12x + x/l)l/g.
Период Т будет наименьшим при условии

dT /dx =

О (или при ра­

венстве нулю производной от подкоренного выражения):

-l/12x 2 + l/l

откуда х

6.4.

= О,

= l/J12.

Однородный стержень положили на два быстро вращающихся
блока (рис.
ние

l

6.23).

Известны расстоя­

между осями блоков и коэффи­

циент трения

k

между стержнем и

с

блоками. Показать, что стержень бу­
дет

совершать

гармонические

х

коле­

бания. Найти их период.
Рис.

6.23

Реш е н и е. Согласно основному уравнению динамики,

(*)

m


Глава

220

6

Отсутствие вращения стержня означает, что алгебраическая сум­
ма моментов всех сил, действующих на стержень, равна нулю. От­
носительно точки О (начала отсчета координаты х)

(R 1
Найденное отсюда
т

(R 1 - R 2 )

= о.

подставим в

(*)

и после сокращения на

получим

х
Это

000

R 2 )l/2 + mgx

-

есть

уравнение

+ (2kg л)х = о.

гармонического

осциллятора

с

частотой

= ~2kg jl и периодом Т = 1t~2l / kg .

Заметим, что вращаться блоки должны достаточно быстро, чтобы
при всех положениях стержня было обеспечено трение скольже­
НUЯ.

6.5.

Найти период малых колебаний системы (рис.
блока

R,

6.24),

если радиус

его момент инерции относительно

оси вращения

1,

масса грузика т и жест­

кость пружины х. Нить по блоку не сколь­
зит,

трения

в

его

оси

нет.

Реш е н и е. Выбрав положительные на­
правления координаты х и угла <р (для бло­
ка), запишем уравнения движения грузика

и блока:
Рис.

где ~l

-

6.24

mх

= mg

- F,

l<р

- Rx(x

+ ~l),

растяжение пружины в положении равновесия. Учтем

также кинематическую связь ускорений: х
Исключив

F

= R(mg

000

+ Rm)x

=

- mх) - Rx(x

mg = ~l, и
-Rxx, или

В положении равновесия

мет вид (l/R

=R

<р.

из первых двух уравнений, получим

lx/R

Отсюда

= RF

+ ~l).

предыдущее уравнение при­

= ~XR 2/( 1 + mR 2) И период колебаний

m


Колебания

6.6.

221

В гладком горизонтальном желобе находятся два цилиндра масса­
ми

m1

и

m2,

соединенные пружиной же­

сткости х (рис.

Левому цилиндру

6.25).

толчком сообщили вдоль желоба нача­
льную скорость V 1 • Найти:

1) частоту

ко­

лебаний системы в процессе движения;

2)

энергию и амплитуду колебаний.

Реш е н и е.

1.

Рис.

6.25

Пусть в некоторый момент координаты центров

цилиндров Х 1 и х 2 • Тогда

(1)
где

l -

расстояние между центрами цилиндров при недеформиро­

ванной пружине, х

-

ее деформация. Запишем уравнения движе­

ния обоих цилиндров в момент, когда пружина растянута (х

>

О),

тогда

где справа записаны проекции упругой силы со стороны пружи­
ны, действующие на каждый цилиндр. Разделим первое уравне­
ние

на

где

fJ. -

m 1,

второе

-

на

(1),

вычтем

из

второго

первое:

равна Х, поэтому

i

2.

и

приведенная масса системы. Левая часть этого уравне­

ния, согласно

откуда

m2

0)0

+ (x/fJ.)X = О,

= ~x/fJ..

Механическая энергия системы, согласно

где Е

(4.57),

- механическая энергия вЦ-системе, она и является
мой энергией колебания системы: Е = Е кол • Итак,

иско­

(2)
Остается найти Е и

vC •

В нашем случае (трения нет) энергия Е бу­

дет сохраняться; значит, она равна кинетической энергии левого

цилиндра в начальный момент: Е

=

mv: /2.
1

m


Глава

222

6

Сохраняться будет и импульс системы по той же причине, т. е.

После подстановки выражений для Е и V c в

= J.lv 12 /2,

Е кол

Из формулы Е кол

6.7.

J.l

(2)

получим

= m 1 m2/(m 1 + m2)·

= ха 2/2 находим амплитуду колебаний:

Затухающие колебания. Найти добротность математического ма­
ятника длины

l = 50 см, если за!1t = 5,2
ний уменьшается в 11 = 4,0 ·104 раз.

мин его энергия колеба­

Реш е н и е. Прежде всего выясним, можно ли в данном случае

пользоваться формулой

(13

«

и 13

000). Если Е

(6.31), справедливой для малого затухания
e-2J3t , то из условия задачи следует, что 11 ~ e 2J3At

00

= ln 11/2!1t = 10,6/624 = 0,017

здесь действительно

13

«

с -1, а 000

= ~g jl = 4,4

с -1, т. е.

000.

Добротность в данном случае

Q

6.8.

= n/JЗТ ~ 000/213 = (!1tjln

В начальный момент t

чем х о

= 1,3 ·102.

О смещение осциллятора равно х о , при­

о. Найти начальную скорость Х О , при которой данное

>

смещение

окажется

осциллятора

равно

Реш

и

а

=

11)ji7l

е

= аое - J3 t.

н

е.

равным

амплитуде,

если

время

't.

Амплитуда смещения

изменяется

клоны графиков х( t) и а( t) в момент

6.9.

по

закону

Смещение в момент t = О равно амплитуде (х о = а)

лишь в том случае, если начальная скорость Х О

хо =-JЗХо

релаксации

t =

= da/dt,

т. е. на­

О одинаковы. Отсюда

=-xo/'t·

Вынужденные колебания. Показать, что при малом затухании

13

«

000

отношение амплитуды а т колебаний при резонансной час­

тоте к амплитуде а о при очень малых частотах равно добротности
осциллятора.

13 « 000 амплитуда а т , согласно (6.46), равна
а т = f m /213000' а при 00 ~ о амплитуда а о = f m /oo~. Их отношение
Реш е н и е. При

ат / ао

= 000/213

~

00/213 = 2n/2JЗТ = n/А = Q.

m


Колебания

223

Видно, что для систем с малым затуханием это отношение (а зна­

чит, и

6.10.

Q)

может быть очень большим.

Под действием вынуждающей силы

Fx

= Fm

СОВ O)t осциллятор со­

вершает установившиеся колебания по закону х

= а СОВ (O)t

- <р).

Найти работу вынуждающей силы за период.
Реш е н и е. При установившихся колебаниях работа вынужда­

ющей силы за период Т равна работе сил сопротивления с обрат­
ным

знаком:

A F = -Асопр = -<Рсопр>Т = - <-rx . х>Т =
. 2 2
= ra 2 о)2<Sln
(o)t - <р»Т = 2nfЗmа 0).
Здесь <Р сопр> -

средняя мощность сил сопротивления, а кроме

того, принято во внимание, что средний квадрат синуса за пери­

од равен

Из векторной диаграммы видно (см. рис.

2fЗаО)

<р. Поэтому выражение дЛЯ

1/2.
= 1т sin

AF

AF

6.16),

что

примет вид

= naFm sin <р.

m


r"aBa 7
Кинематика специальной теории
относительности

......

§ 7.1. Трудности дорелятивистской физики
Специальная теория относительности, созданная Эйнштей­
ном в

1905

г., означала пересмотр всех представлений класси­

ческой физики и главным образом представлений о свойствах
пространства и

времени.

Поэтому данная

теория

по

своему

основному содержанию может быть названа физическим учени­
ем о пространстве и времени. Физическим потому, что свойства
пространства и времени в этой теории рассматриваются в тес­
нейшей связи с законами совершающихся в них физических

явлений. Термин

« специальная»

подчеркивает то обстоятельст­

во, что эта теория рассматривает явления только в инерциаль­

ных

системах

отсчета.

Мы начнем этот раздел с краткого обзора дорелятивистской
физики
привели

и
к

остановимся
появлению

на

истоках

теории

тех

трудностей,

которые

относительности.

Основные представления дорелятивистской физики
Напомним сначала те представления о пространстве и вре­
мени, которые связаны с законами Ньютона, т. е. лежат в осно­
ве ньютоновской механики.

1.

Пространство, имеющее три измерения, подчиняется ев­

клидовой геометрии.

2.

Наряду с трехмерным nространством существует не­

зависимое от него время (независимое в том смысле, в каком
три измерения пространства не зависят друг от друга).

Но

вместе с тем время связано с пространством законами движе­

ния.

Действительно,

время

измеряют

часами,

в

принципе

представляющими собой любой прибор, в котором использует­
ся тот или иной

периодический процесс, дающий масштаб

времени. Поэтому определить время безотносительно к како­
му-либо периодическому процессу, т. е. вне связи с движени­
ем,

невозможно.

m


Кинематика специальной теории относительности

3.

225

Размеры твердых тел (масштабы) и промежутки време­

ни между данными событиями одинаковы в разных системах
отсчета. Это соответствует ньютоновской концепции абсолют­
ности пространства и времени, согласно которой их свойства
считаются не зависящими от системы отсчета
и

время

4.

одинаковы

Признается

для

всех

систем

справедливость

-

пространство

отсчета.

закона

инерции

Гали­

лея-Ньютона, согласно которому тело, не подверженное дей­
ствию со стороны других тел, движется прямолинейно и рав­
номерно. Этот закон утверждает существование инерциальных
систем отсчета, в которых выполняются законы Ньютона (а
также принцип относительности Галилея).

5.

Из этих представлений вытекают преобразования Гали-

лея,

выражающие

пространствен-

К

но-временнэю связь любого события в
разных

инерциальных

системах

от-

У

+к'

1
V ..
- - ;- - - - - -

У 1

счета. Если К'-система отсчета дви-

1
1
1

жется относительно К-системы со

скоростью
счета

V

(рис.

времени

7.1)

и начало от-

соответствует

мо­

.,А
1

1
1
1

L _ _ _ _ _ ......IX'
_ _ _ __
10'

О

Х

менту, когда начала координат О' и

Рис.

7.1

О обеих систем совпадают, то*
х' = х

- Vt;

у' =у;

t' =t.

(7.1)

Отсюда следует, что координаты любого события относите­
льны, т. е. имеют разные значения в разных системах отсчета;

момент же времени, когда событие произошло, одинаков в раз­
ных системах. Последнее означает, что время течет одинако­

вым образом в разных системах отсчета. Это обстоятельство ка­
залось столь очевидным, что даже не оговаривалось как специ­

альный постулат.

Из

(7.1)

непосредственно

вытекает

закон

преобразования

(сложения) скоростей:
у' = у-

где у' и у -

V,

(7.2)

скорости точки (частицы) в К' - и К -системах отсче­

та.

*

Здесь и в дальнейшем мы ограничимся только двумя пространственными ко­
ординатами: х и у. Координата

z ведет себя во всех отношениях так же, как у.

m


Глава

226

6.

Выполняется

nринциn

относительности Галилея:

7

все

инерциальные системы отсчета эквиваленты друг другу в ме­
ханическом
этих

отношении, все законы механики

системах

отсчета,

или,

другими

одинаковы

словами,

в

инвариант­

ны относительно nреобразований Галилея.

7.

Соблюдается nринциn дальнодействия: взаимодействия

тел распространяются мгновенно, т. е. с бесконечно большой
скоростью.

Эти представления ньютоновской механики вполне соответ­
ствовали всей совокупности экспериментальных данных, имев­

шихся в то время (заметим, впрочем, что эти данные относи­
лись к изучению движения тел со скоростями, значительно ме­

ньшими

скорости

света).

В

их

пользу

говорило

и

весьма

успешное развитие самой механики. Поэтому представления
ньютоновской механики о свойствах пространства и времени
стали считаться настолько фундаментальными,

что никаких

сомнений в их истинности ни у кого не возникало.
Первому

испытанию

подвергся

принцип

относительности

Галилея, который, как известно, касался только механики

-

единственного раздела физики, достигшего к тому времени до­

статочного развития. По мере развития других разделов физи­
ки,

в частности оптики и электродинамики,

возник

естествен­

ный вопрос: распространяется ли принцип относительности и

на другие явления? Если нет, то с помощью этих (немеханиче­
ских) явлений можно в принципе различить инерциальные си­
стемы отсчета и в свою очередь поставить вопрос о существова­

нии главной, или абсолютной, системы отсчета.
Одно из таких явлений, которое, как ожидали, по-разному
протекает

в

разных

системах

отсчета,

-

это

распространение

света. Согласно господствовавшей в то время волновой теории,
световые волны должны распространяться с определенной ско­

ростью по отношению к некоторой гипотетической среде

«< све­

тоносному эфиру»), о природе которой, правда, не было едино­

го мнения. Но какова бы ни была природа этой среды, она не
может покоиться во всех инерциальных системах сразу. Выде­

ляется одна из инерциальных систем

-

абсолютная

-

та са­

мая, которая неподвижна относительно «светоносного эфира».

Полагали, что в этой

-

и только этой

-

системе отсчета свет

распространяется с одинаковой скоростью с во всех направле-

m


Кинематика специальной теории относительности

227

ниях. Если некоторая инерциальная система отсчета движется
по отношению к эфиру со скоростью У, то в этой системе отсче­

та скорость света с' должна подчиняться обычному закону сло­
жения скоростей
Это

(7.2),

т. е. с' = с

предположение

оказалось

У.

-

возможным

проверить

на

опыте, который и был осуществлен Майкельсоном (совместно с
Морли).

Опыт Майкелъсона
Цель этого эксперимента заключалась в том, чтобы обнару­
жить «истинное»
использовано

30

движение Земли относительно эфира. Было

движение

Земли

по

ее

орбите

со

скоростью

км/с. Идея эксперимента состояла в следующем.
Свет от источника

перпендикулярных

(рис.

S

7.2)

посылался в двух взаимно

направлениях,

отра­

жался от зеркал А и В, находящихся на
одинаковом расстоянии

1 от

и возвращался в точку

S.

сравнивалось

время

путей

SBS.

SAS

и

источника

S,

в этом опыте

прохождения

светом

c-v

Предположим, что установка вместе с

S

Землей движется так, что ее скорость
относительно эфира направлена вдоль

V
SA

• c+v •
Рис.

/

А

7.2

(в момент проведения опыта). Если скорость света подчиняется

обычному закону сложения скоростей

(7.2),

то на пути

рость света относительно установки (Земли) равна с
обратном пути с

+

-

У. Тогда время прохождения пути

1
1
--+--с-У

2l

SA

ско­

У, а на

SAS

1

с 1-(У /с)2

с+У

На пути же

на с' = ~c2

-

SBS скорость света относительно установки рав­
у 2 (рис. 7.2), и время прохождения этого пути
tl..

2l

2l

1

с ~1-(Y /с)2

Из сравнения выражений для t

11

и tl.. видно, что свет должен

проходить оба пути за разное время. Измерив разность времен

m


Глава

228

t 11 - t .1'

7

можно определить скорость установки (Земли) относи­

тельно эфира.

Несмотря на то, что ожидаемая разность времен была чрез­
вычайно мала, установка была достаточно чувствительной, что­
бы эту разность надежно обнаружить (это достигалось с помо­
щью очень чувствительного интерференционного метода).
Тем не менее результат опыта оказался отрицательным: раз­

ность времен не была обнаружена. Конечно, случайно могло ока­
заться, что в момент проведения опыта Земля покоилась относи­
тельно эфира. Но тогда через полгода, например, скорость Земли
относительно эфира достигла бы
та через

полгода

по-прежнему

60
не

км/с. Однако повторение опы­
дало

ожидаемого

результата.

Более точные опыты того же рода, поставленные позднее,
также подтвердили первоначальный результат.

Отрицательный результат опыта Майкельсона противоречил
тому,

что ожидалось на основании преобразований Галилея

(преобразования скоростей). Он показал также, что нельзя об­
наружить движение относительно эфира, что скорость света не

зависит от движения источника света (ведь источник движется
по-разному относительно эфира в разные времена года).
В пользу того, что скорость света не зависит от скорости ис­

точника, говорят и некоторые астрономические наблюдения (на­
пример, над двойными звездами), а также другие опыты, по­
ставленные позднее специально с целью проверки этого факта.

К началу ХХ в. в теоретической и экспериментальной физи­
ке сложилась своеобразная ситуация. С одной стороны, теоре­
тически были предсказаны различные эффекты, выделяющие
из множества инерциальных систем главную (абсолютную). С
другой стороны, настойчивые попытки обнаружить эти эффек­

ты на опыте неизменно оканчивались неудачей. Опыт неуклон­
но подтверждал справедливость принципа относительности для

всех явлений, включая и те, к которым теория считала его за­
ведомо

неприемлемым.

Был сделан целый ряд попыток объяснения отрицательного
результата опыта Майкельсона и аналогичных ему в рамках нью­

тоновской механики. Однако все они оказались в конечном счете
неудовлетворительными. Кардинальное решение этой проблемы
было дано лишь в теории относительности Эйнштейна.

m


Кинематика специальной теории относительности

229

§ 7.2. Постулаты Эйнштейна
Глубокий анализ всего экспериментального и теоретическо­
го материала, имеющегося к началу ХХ в., привел Эйнштейна
к пересмотру исходных полжений классической физики, преж­
де всего представлений о свойствах пространства и времени.

В результате им была создана специальная теория относитель­
ности, явившаяся логическим завершением всей классической
физики.

Эта теория принимает без изменения такие положения нью­
тоновской механики, как евклидовость пространства и закон
инерции Галилея
изменности

-

Ньютона. Что касается утверждения о не­

размеров

твердых

тел

и

промежутков

времени

в

разных системах отсчета, то Эйнштейн обратил внимание на
то, что эти представления возникли в результате изучения дви­

жений тел с малыми скоростями, поэтому их экстраполяция в

область больших скоростей ничем не оправдана, а следователь­
но, незаконна. Только опыт может дать ответ на вопрос, како­

вы их истинные свойства. Это же относится к преобразованиям
Галилея и к принципу дальнодеЙствия.
В качестве исходных позиций специальной теории относите­

льности Эйнштейн принял два постулата, или принципа, в по­
льзу которых говорит весь экспериментальный материал (и в
первую очередь опыт Майкельсона):

1)
2)

nринциn относительности,
независимость скорости света от скорости источника.

Первый постулат представляет собой обобщение принципа
относительности Галилея на любые физические процессы: все
физические явления протекают одинаковым образом во всех
инерциальных системах отсчета; все законы природы и урав­
нения, их описывающие, инвариантны, т. е. не меняются, при

переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Другими словами, все инерциальные системы отсчета эк­
вивалентны (неразличимы) по своим физическим свойствам;
никаким опытом нельзя в принципе выделить ни одну из них
как

предпочтительную.

Второй постулат утверждает, что скорость света в вакуу­
ме не зависит от движения источника света и одинакова во
всех

направлениях.

m


Глава

230

7

Это значит, что скорость света в вакууме одинакова во всех
инерциальных системах отсчета. Таким

образом,

скорость

света занимает особое положение в природе. В отличие от всех
других скоростей, меняющихся при переходе от одной системы
отсчета к другой, скорость света в пустоте является инвариант­

ной величиной. Как мы увидим, наличие такой скорости суще­
ственно

изменяет

представления

о

пространстве

и

времени.

Из постулатов Эйнштейна следует также, что скорость света
в вакууме является предельной: никакой сигнал, никакое воз­
действие одного тела на другое не могут распространяться со
скоростью,

превышающей скорость света в вакууме.

Именно

предельный характер этой скорости и объясняет одинаковость
скорости света во всех системах отсчета. В самом деле, согласно

принципу относительности, законы природы должны быть оди­
наковы во всех инерциальных системах отсчета. Тот факт, что

скорость любого сигнала не может превышать предельное значе­
ние, есть также закон природы. Следовательно, значение пре­
дельной скорости

-

скорости света в вакууме

-

должно быть

одинаково во всех инерциальных системах отсчета: в против­
ном случае эти системы можно было бы отличить друг от друга.
В частности, наличие предельной скорости автоматически
предполагает

ограничение

скорости

движения

частиц

величи­

ной с. Иначе эти частицы могли бы осуществлять передачу сиг­
налов (или взаимодействий между телами) со скоростью, пре­
вышающей предельную. Таким образом, согласно постулатам
Эйнштейна,

значение

всех возможных

в природе

скоростей

движения тел и распространения взаимодействий ограничено

величиной с. Этим отвергается принцип дальнодействия ньюто­
новской механики.
Все содержание специальной теории относительности выте­
кает из этих двух ее постулатов. В настоящее время оба посту­
лата Эйнштейна, как и все следствия из них, убедительно под­
тверждаются всей совокупностью накопленного эксперимента­
льного

материала.

Синхронизация часов
Прежде чем делать какие-либо выводы из этих постулатов,
Эйнштейн тщательно проанализировал представления о спосо­
бах измерения пространства и времени. В первую очередь он

m


Кинематика специальной теории относительности

231

обратил внимание на то, что физической реальностью обладает
не точка пространства и не момент времени, когда что-либо

произошло, а только само событие. Для описания события в
данной системе отсчета нужно указать место, в котором оно
происходит,

и

момент

Положение точки,

времени,

когда

оно

происходит.

в которой происходит событие, может

быть определено с помощью жестких масштабов методами евк­
лидовой

геометрии

и

выражено

в

декартовых

координатах.

Ньютоновская механика в этом отношении пользовалась впол­

не реальными приемами сравнения измеряемых величин с об­
разцовыми

эталонами.

Соответствующий момент времени можно определить с по­
мощью

часов,

помещенных

в

ту

точку

системы

отсчета,

где

происходит данное событие. Однако такое определение уже не
является

удовлетворительным,

друг с другом события,

когда

нам

надо

сопоставить

происходящие в различных местах,

или, что то же самое, сравнить время для событий, происходя­
щих

в

местах,

удаленных

от

часов.

Действительно, чтобы сравнить время (показания часов) в
различных точках системы отсчета, прежде всего необходимо
установить способ, как определить общее для всех точек сис­
темы отсчета время. Другими словами, надо обеспечить син­
хронный ход всех часов данной системы отсчета.

Синхронизировать часы, помещенные в различные точки си­
стемы отсчета, можно только с помощью каких-нибудь сигна­
лов. Наиболее быстрые сигналы, пригодные для этой цели,
это световые или радиосигналы,

-

распространяющиеся с извест­

ной скоростью с. Выбор именно этих сигналов обусловлен еще и
тем, что их скорость не зависит от направления в пространстве,
а

также

одинакова

во

всех

инерциальных

системах

отсчета.

Далее можно поступить следующим образом. Наблюдатель,
находящийся, например, в начале координат О данной системы
отсчета, сообщает по радио: «Передаем сигнал точного времени.

Сейчас по моим часам время to~. В момент, когда этот сигнал до­
стигнет часов, находящихся на известном расстоянии

О,

t

=

их

устанавливают

t о + r / с,

так,

чтобы

они

r

от точки

показывали

время

т. е. с учетом времени запаздывания сигнала. По­

вторение сигнала через определенные промежутки времени даст

m


Глава

232

7

возможность каждому наблюдателю установить синхронный ход
его часов с часами в точке о. В результате такой операции мож­
но утверждать, что все часы данной системы отсчета показыва­

ют в каждый момент одно и то же общее время.
Существенно отметить, что определенное таким образом вре­
мя относится лишь к той системе отсчета, относительно кото­
рой синхронизированные часы покоятся.

Соотношения между событиями
Обратимся к вопросу о пространственных и BpeMeHHbIx соот­
ношениях между данными событиями в разных инерциальных
системах

отсчета.

У же в ньютоновской механике пространственные соотноше­

ния между различными событиями зависят от того, к какой си­
стеме отсчета они относятся. Например, две последовательные
вспышки лампочки в движущемся поезде происходят в одной и
той же точке системы отсчета, связанной с поездом, но в раз­
ных точках системы отсчета,

связанной с полотном дороги.

Утверждение, что два разновременных события происходят в
одном и том же месте или на таком -то расстоянии друг от дру­

га, приобретает смысл только тогда, когда указано, к какой си­
стеме

отсчета

это

утверждение

В противоположность этому

относится.

BpeMeHHbIe соотношения между

событиями в ньютоновской механике считаются не зависящи­
ми от системы отсчета. Это значит, что если какие-нибудь два
события происходят одновременно в одной системе отсчета, то
они являются

одновременными

и

во всех других

системах от­

счета. Вообще промежуток времени между двумя данными со­
бытиями считается одинаковым во всех системах отсчета.
Легко, однако,
так

-

убедиться, что в действительности это не

одновре,менность (а следовательно, и течение времени)

является nонятие,м относительны,м, приобретающим смысл
только тогда, когда указано, к какой системе отсчета это поня­

тие относится. Покажем с помощью простого рассуждения, что

два события, одновременные в одной системе отсчета, в другой
системе

отсчета

оказываются

неодновременными.

Представим себе стержень АВ, движущийся с постоянной
скоростью

V

относительно К -системы отсчета. В середине стер-

m


Кинематика специальной теории относительности

жня

находится

-

цам
(рис.

лампочка

в точках А и В

7.3).

лампочка

Пусть

О

в

дала

вспышку света.

О,

по

кон­

фотоэлементы

-

некоторый

233
А

О

В

V

~/,@$;мt///$///.&Y

..

К

момент

кратковременную

Рис.

Так как скорость рас­

7.3

пространения света в системе отсчета, связанной со стержнем

(как и во всякой инерциальной системе отсчета), равна с в обоих

направлениях,

то

световые

импульсы

достигнут

равноуда­

ленных от О фотоэлементов А и В в один и тот же момент вре­
мени (в системе отсчета «стержень») и оба фотоэлемента срабо­
тают

одновременно.

Иначе обстоит дело в К -системе. В этой системе отсчета ско­
рость световых импульсов в обоих направлениях равна также
с,

однако

проходимые

ими

пути

различны.

Действительно,

пока световые импульсы идут К точкам А и В, последние пере­
местятся вправо (рис.

7.3)

и, следовательно, фотоэлемент А сра­

ботает раньше, чем фотоэлемент В.
Таким образом, события, одновременные в одной системе от­
счета, не являются одновременными в другой системе отсчета,
т. е. одновременность в отличие от представлений ньютонов­

ской механики является понятием относительным.

А это в

свою очередь означает, что время в разных системах отсчета те­
чет

неодинаково.

Если бы в нашем распоряжении имелись мгновенно распро­
страняющиеся сигналы, то события, одновременные в одной
системе отсчета, были бы одновременными и в любой другой
системе. Это непосредственно следует из только что рассмот­
ренного примера. В этом случае течение времени не зависело

бы от системы отсчета и можно было бы говорить об абсолют­
ном времени, которое фигурирует в преобразованиях Галилея.
Таким образом, преобразования Галилея, по существу, исходят
из предположения,

помощью

что синхронизация часов осуществляется с

мгновенно

распространяющихся

сигналов.

Однако

таких сигналов в действительности нет.

§ 7.3.

Замедление времени и сокращение длины

в этом параграфе мы рассмотрим три важнейших следствия,
которые вытекают из постулатов Эйнштейна,

-

это равенство

m


Глава

234
поперечных

счета,

размеров

замедление

движущихся

тел

в

разных

хода движущихся часов

и

системах

сокращение

дольных размеров движущихся тел, а затем (в

§ 7.4)

7

от­

про­

обобщим

полученные результаты в виде соответствующих формул преоб­
разования

координат

и

времени.

Приступая к решению этих вопросов, напомним прежде все­
го, что под системой отсчета подразумевается тело отсчета, с
которым связаны координатная сетка и ряд неподвижных оди­

наковых часов, синхронизированных между собой. Предпола­
гается, что во всех инерциальных системах отсчета координат­

ные сетки и часы проградуированы одинаковым образом. Это
можно осуществить только с

помощью эталонов длины

и

вре­

мени, реализованных также одинаковым образом во всех систе­
мах

отсчета.

Для этого достаточно использовать какой-либо природный
периодический процесс,
длины,
волн,

так

и

времени,

дающий естественный

например

одну

из

масштаб как

монохроматических

испускаемых определенными атомами,

неподвижными в

данной системе отсчета. Тогда в этой системе отсчета эталоном
длины можно взять длину волны, а эталоном времени

ветствующий

период

колебания.

С

помощью

этих

-

соот­

эталонов

можно построить эталон один метр как определенное число
данных длин волн и эталон одна секунда как тоже определен­
ное число периодов данных колебаний (заметим, что в настоя­
щее время так и сделано).
Аналогичную операцию можно проделать в каждой инерци­
альной системе отсчета, используя одну и ту же монохромати­
ческую волну одних и тех же атомов, неподвижных в каждой

из этих систем отсчета. Основанием для этого служит то, что,
по принципу относительности, физические свойства покоящих­
ся атомов не зависят от того, в какой инерциальной системе от­
счета

они

покоятся.

Реализовав в каждой системе отсчета эталоны длины и вре­

мени, можно перейти к решению такого фундаментального во­
проса, как сравнение этих эталонов в разных системах отсчета,
или,

другими

времени

в

словами,

этих

к

сравнению

размеров

тел

и

течения

системах.

m


Кинематика специальной теории относительности

235

Равенство поперечных размеров тел
Начнем с вопроса о сравнении поперечных размеров тел в
разных

инерциальных

системах

отсчета.

Представим себе две инерциальные систе­

мы отсчета К и К', оси У и У' которых па­
раллельны друг другу и перпендикулярны

направлению движения одной системы от­

7.4),

носительно другой (рис.

причем нача-

ло отсчета О' К' -системы движется по пря­
мой,

проходя щей

через

начало

отсчета

О К-системы. Установим вдоль осей У и У'
стержни ОА и О'А', являющиеся эталона-

о'

о
Рис.

Х,Х'

7.4

ми метра в каждой из этих систем отсчета. Представим себе да­

лее, что в момент совпадения осей У' и У верхний конец левого
стержня сделает метку на оси У К-системы. Совпадет ли эта
метка с точкой А

верхним концом правого стержня?

-

Принцип относительности позволяет сразу ответить на этот

вопрос: да, совпадет. Если бы это было не так, то с точки зрения
обеих систем отсчета один из стержней оказался бы, например,
короче другого и, следовательно, имелась бы возможность экс­
периментально отличить одну из инерциальных систем отсчета

от другой по более коротким поперечным размерам. Однако это
противоречит

принципу

относительности.

Отсюда следует, что поперечные размеры тел одинаковы во
всех инерциальных системах отсчета. Это означает также, что

при указанном выборе начал отсчета К' - и К -систем координа­
ты у' и у любой точки или события совпадают, т. е.
у' = у.

(7.3)

Это соотношение представляет собой одно из искомых преоб­
разований координат.

Замедление времени
Наша следующая задача

-

сравнить течение времени в раз­

ных инерциальных системах отсчета. Как уже говорилось, вре­
мя измеряется часами,

причем под часами имеется в виду лю­

бой прибор, в котором используется тот или иной периодиче­
ский

процесс.

Поэтому

в

теории

относительности

принято

m


Глава

236

7

обычно говорить о сравнении хода идентичных часов в разных
инерциальных

системах

отсчета.

Наиболее просто этот вопрос можно решить с помощью сле­
дующего мысленного (т. е. в принципе возможного) экспери­
мента. Возьмем световые часы

-

стержень с зеркалами на обо­

их концах, между которыми «бегает»

короткий световой им­

пульс. Период таких часов равен интервалу времени между
двумя последовательными моментами, когда световой импульс
достигает

в

в'

v

'/

/

Далее, представим себе две инерциальные

световые часы АВ неподвижны в К' -системе

\

l

/

\

и ориентированы перпендикулярно направ-

\

\\

// Y~V_2

лению ее движения относительно К -системы

(рис. 7.5). Проследим за «ходом» этих часов

\ /

\/

ЛГ

А

Рис.

В системах отсчета К' и К.
в К' -системе часы неподвижны и их пе­

7.5

риод

д,t о
где

=2l/c,

расстояние между зеркалами, с

l -

стержня.

сительно друг друга со скоростью У. Пусть

\

/

конца

'системы отсчета К' и К, движущиеся от но\

/

определенного

в"

/ \'
/ \

~/

"
'{J/

какого-то

скорость света.

-

В К-системе, относительно которой часы движутся, расстоя­
ние между зеркалами также

l,

так как поперечные размеры тел

одинаковы в разных инерциальных системах отсчета. Однако
путь светового
иным

-

импульса в

этой

зигзагообразным (рис.

распространяется

от

нижнего

системе

7.5):

зеркала

отсчета будет

уже

пока световой импульс
к

верхнему,

последнее

переместится на некоторое расстояние вправо и т. д. Поэтому

световой импульс, чтобы вернуться к нижнему зеркалу, прохо­

дит в К -системе больший путь, причем с той же скоростью с.
Значит, свету понадобится на это больше времени

-

больше,

чем когда часы неподвижны. Другими словами, период движу­
щихся часов удлинится

-

с точки зрения К-системы отсчета

они будут идти .медленее.
Обозначим период движущихся часов через д,t в К -системе.

Из прямоугольного треугольника АВ'А' (рис.

7.5)

следует, что

l2 +(vд,t/2)2 = (сд,t/2)2 , откуда

д,t

= (2l/c)/ ~1

-(У /с)2

.

m


Кинематика специальной теории относительности

А так как

2l/c

237

= д,t о , то

~-----------------,

(7.4)
где В

= v /с, v --

скорость часов в К-системе.

Отсюда видно, что д,t

> д,t о'

т. е. одни и те же часы в разных

инерциальных системах отсчета идут по-разному: в той системе
отсчета, относительно которой часы движутся, они идут мед­

леннее, чем в системе отсчета, где они покоятся. Другими сло­

вами, движущиеся часы идут медленнее, чем nох:оящиеся. Это
явление называют замедлением времени.
Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с те­
лом, в котором происходит какой-либо процесс, называют соб­

ственным временем этого тела.

Его обозначают д,t о • Как следует
из

(7.4),

собственное время са-

i1t
Ato

4,0

мое короткое. Время д,t того же
процесса в другой системе отсче­
та зависит от скорости
стемы

относительно

тором

V

этой си­

тела,

происходит

в

ко­

процесс.

3,0

I
J

2,0

--

1,0

Такая зависимость особенно си­

~
~

~

льно проявляется для значений
скорости

V,

сравнимых со скоро­

стью света (рис.

о

0,2

7.6).

0,4

0,6

0,8

1,0

J3=V/c
Рис.

7.6

Пример. Часы движутся в К -системе отсчета прямолинейно и равно­

мерно со скоростью

v.

В начальный момент t

=

О их показания

совпадали с часами К -системы. На сколько секунд отстанут

движущиеся часы за время t
К-системы), если:

2) v =

4/5 С, где с

Пусть в момент

= 60 мин (это время по часам
1) v = 1800 км/ч (реактивный самолет);
- скорость света в вакууме?

t по часам К -системы движущиеся часы по­

казывали t o' причем, согласно (7.4), t o = t~1 _(v/c)2, тогда
искомое

время

t -t o

=t(I-~I-(v/c)2).

m


Глава

238

v«
( v / с )2 ~ 1
При

1.

~1

-

с,

-

согласно

1/2 ( V /

с )2 И

формуле

t - tо

бинома

7

Ньютона

= 1/2 ( V / с ) 2 t = 5 . 1 О -9 с.

2. t - t o = 2/5 t = 24 мин.
Таким образом, в отличие от ньютоновской механики тече­
ние времени в действительности зависит от состояния движе­

ния. Не существует единого мирового времени, и понятие «про­
межуток времени между двумя данными событиями» оказыва­
ется относительным. 'Утверждение, что между двумя данными
событиями прошло столько-то секунд, приобретает смысл толь­
ко тогда, когда указано, к какой системе отсчета это утвержде­
ние

относится.

Абсолютное время ньютоновской механики является в тео­
рии относительности приближенным понятием, справедливым
только при малых (по сравнению со скоростью света) относите­

льных скоростях систем отсчета. Это сразу следует из
видно из рис.

7.6:

при

V

«

с

b.t

~

и

(7.4)

b.t o.

Итак, мы пришли к фундаментальному выводу: время в сис­

теме отсчета, движущейся с часами, течет медленнее (для
наблюдателя, относительно которого данные часы движутся).
Это относится и ко всем процессам, протекающим в движущих­
ся относительно наблюдателя системах отсчета.
Естественно, возникает вопрос: заметит ли наблюдатель в

К'-системе, движущейся относительно К-системы, что его часы
идут медленнее, чем часы К-системы? Нет, не заметит. Это сра­

зу же следует из принципа относительности. Если бы К'-на­
блюдатель тоже обнаружил замедление времени в своей систе­
ме отсчета, то это означало бы, что для обоих наблюдателей

К' и К
тем

время течет медленнее в одной из инерциальных сис­

-

отсчета.

Из

этого

они

заключили

бы,

что

инерциальных систем отсчета отличается от другой
воречии

-

с

принципом

-

одна

из

в проти­

относительности.

Отсюда следует, что эффект замедления времени является
взаимным,

симметричным относительно обеих инерциальных

систем отсчета К и К'. Иначе говоря, если с точки зрения К-сис­
темы медленнее идут часы К' -системы, то с точки зрения К' - си­
стемы, наоборот, медленнее идут часы К-системы (причем в том
же отношении). Это обстоятельство указывает на то, что явление

замедления

времени

является

чисто

кинематическим.

Оно

m


Кинематика специальной теории относительности

239

представляет собой обязательное следствие инвариантности ско­
рости света и никак не может быть приписано какому-либо из­
менению в свойствах часов, обусловленному их движением.
Формула

сразу же нашла экспериментальное подтверждение,

(7.4)

объяснив ~загадочное» на первый взгляд поведение мюонов при про­
хождении земной атмосферы. Мюоны

- это нестабильные частицы,
которые самопроизвольно распадаются в среднем через 2·10-6 с (это
время

измерено

в

условиях,

когда они

неподвижны

или

движутся

с

малыми скоростями). Мюоны образуются в верхних слоях атмосферы
на высоте

20-30

км. Если бы время жизни мюонов не зависело от их

скорости, то, двигаясь даже со скоростью света, они не смогли бы про­
ходить путь больше чем

Однако наблюдения показывают, что значительное число мюонов
все-таки достигает земной поверхности.

Это объясняется тем, что время 2·10-6 с -

это собственное время

(~to) жизни мюонов, т. е. время по часам, движущимся вместе с мюо­
нами. Время же по земным часам должно быть, согласно

(7.4),

гораздо

больше (скорость этих частиц близка к скорости света) и оказывается
достаточным, чтобы мюоны могли достигнуть поверхности Земли.

В заключение несколько слов о «парадоксе часов», или ~па­
радоксе близнецов». Пусть имеются двое одинаковых часов А и
В, из которых часы А неподвижны внекоторой инерциальной
системе отсчета, а часы В сначала удаляются от часов А и затем
возвращаются к ним.

Предполагается,

что в начальный мо­

мент, когда часы находились вместе, они показывали одно и то
же

время.

С ~ точки зрения»

часов А движущимися являются часы В,

поэтому они идут медленнее и по возвращении отстанут от ча­

сов А. С ~ точки же зрения» часов В, наоборот, движутся часы

А, поэтому по возвращении отстанут именно они. Явное проти­
воречие

-

в

этом

суть

~парадокса».

В действительности в этих рассуждениях допущена принци­

пиальная ошибка. Эта ошибка касается рассуждения с «точки
зрения» часов В, так как система отсчета, связанная с этими ча­

сами, является неинерциальной (она сначала удаляется с уско­
рением, а затем приближается), и мы не имеем права в данном
случае использовать результаты, относящиеся только к инерци­

альным

системам отсчета.

Детальный расчет,

выходящий за

m


Глава

240
рамки

специальной теории относительности,

показывает,

7

что

часы, движущиеся с ускорением (в нашем случае часы В), идут
медленнее,

поэтому

при

возвращении

отстанут

именно

они.

Лоренцево сокращение
Пусть стержень АВ движется относительно К -системы от­
счета

(рис.

с

7.7)

постоянной

скоростью

и длина стержня равна

V
lo

в

системе отсчета К', связанной со стер­

- определить длих ну l данного стержня в К-системе.

•

Рис.

жнем. Наша задача
Проделаем

7.7

мысленный

для

этого

эксперимент.

следующий

Сделаем

на

оси Х К-системы метку М и установим около нее часы. Зафик­
сируем по этим часам время пролета

I1t о

стержня мимо метки

М. Тогда можно утверждать, что искомая длина стержня в
К-системе

l = Vl1t o •
Для наблюдателя, связанного со стержнем, время пролета
будет иным. Действительно, для него часы, показавшие про­

летное время

I1t о'

движутся со скоростью

вают «чужое» время. «Свое» время

дателя будет, согласно
из

(7.4),

V, а значит, показы­
пролета I1t для этого наблю­

больше. Это время он может найти

соотношения

lo = Vl1t.
Из этих двух уравнений, с учетом

(7.4),

получим

или

(7.5)
где В =

V / с.

Длину

lo,

измеренную в системе отсчета, где стер­

жень неподвижен, называют собственной длuноЙ.

m


Кинематика специальной теории относительности

241

Таким образом, продольный размер движущегося стержня

оказывается меньше его собственной длины, т. е.

Это яв­

l < lo.

ление называют лоренцевым сокращением. Заметим, что данное

сокращение

относится

только

l/lo

к продольным размерам тел (раз­

1,0

i"""'- ~

мерам в направлении движения),

установлено,

не

меняются.

........

0,8

поперечные же размеры, как было
Срав­

'" '\

0,6

\

нительно с формой тела в системе
отсчета, где оно покоится, его фор-

0,4

\

ма в движущейся системе отсчета
может

сплющенная

в

0,2

как

характеризоваться
направлении

дви­

о

0,2

жения.

(7.5)

Из формулы
степень

скорости

v.

зависит

0,6

Рис.

от

Эта зависимость осо-

нимых со скоростью света (рис.

1.

1,0

7.8

бенно существенно проявляется для значений скорости

Пример

0,8

J3=V/c

следует, что

сокращения

0,4

\

V,

срав­

7.8).

Стержень, собственная длина ко­
торого

lo = 5,0

дольном

стью

V

м, движется в про-

направлении

относительно

отсчета.

со

2
3
,
. 4,

скоро­

К -системы

При каком значении

V

V

tI

L-_---'-,_ _...1.'- - - - ' , - - -

О

123м

длина стержня в К -системе будет

l = 3, О

5м

Рис.

7.9

м (эта ситуация показана

на рис.

7.9)?

Чтобы наблюдать такое сокращение длины, скорость стер­

жня, согласно (7.5), должна быть V = c~1
Пример

2.

_(l/lO)2

= 4/5с •

Стержень А движется мимо неподвижного в К -системе отсчета стержня В со скоростью

как показано на рис.

7.10.

v,

Оба А =====l===::::Jo.....:v:....._

стержня имеют одинаковую соб-

ственную длину
к -системе
времени

lo.

отсчета

At

между

Найдем в

промежуток
моментами

[:1

В

========::::;::======::::J

[:1

lo
Рис.

7.10

совпадения левых и правых концов стержней.

m


Глава

242
Длина

l

движущегося

= lo~1

_(v/c)2,

в

К -системе

стержня

А

7

равна

и С помощью рис. 7.10 нетрудно сообра­

зить, что искомый промежуток времени

Пример

3.

Две частицы, двигавшиеся в К-системе отсчета по одной

v = 4/5 С, попали в непо­
движную мишень с промежутком времени !1t = 5 . 1 О -9 С
прямой с одинаковой скоростью

(в данной системе отсчета). Каким было собственное рас­
стояние между частицами до попадания в мишень?

l = v !1t.
(7.5),

Расстояние между частицами в К -системе отсчета

Поэтому искомое расстояние, согласно формуле

lo

= v!1t/ ~1

_(V/C)2

= 2 М.

и так, в разных инерциальных системах отсчета длина одно­
го и того же стержня оказывается различной. Иными словами,

длина

-

nонятие относительное, имеющее смысл только по

отношению той или иной системы отсчета. "У"тверждение, что
длина тела столько-то метров, не имеет смысла, пока не указа­

но, к какой именно системе отсчета отнесена эта величина.

При малых же скоростях (У

но из рис.

7.8, l

~

«

с), как следует из

(7.5)

и вид­

lo и длина тела приобретает практически аб­

солютный смысл.
Необходимо отметить, что лоренцево сокращение, как и за­
медление времени, должно быть взаимным. Это значит, что
если мы будем сравнивать два движущихся относительно друг
друга стержня,

собственная длина которых одинакова,

то с

«точки зрения» каждого из этих стержней длина другого стер­

жня будет короче, причем в одинаковом отношении. Если бы
это было не так, то имелась бы возможность экспериментально
отличить

инерциальные

стержнями,

что,

однако,

системы

отсчета,

противоречит

связанные

принципу

с

этими

относитель­

ности.

Это говорит о том, что лоренцево сокращение является так­
же чисто кинематическим эффектом

-

в теле не возникает

каких-либо напряжений, вызывающих деформацию.

m


Кинематика специальной теории относительности

243

Подчеркнем, что лоренцев о сокращение тел в направлении
их

движения,

равно

как

и

замедление

времени,

представляет

собой реальный и объективный факт, отнюдь не связанный с
какими-либо иллюзиями наблюдателя. Все значения размеров
данного тела или промежутков времени,

полученные в разных

системах отсчета, являются равноправными (все они ~правиль­
ные»). Трудность понимания этих утверждений связана исклю­
чительно с

нашей

привычкой,

основанной

на

повседневном

опыте, считать понятия длины и промежутков времени абсо­
лютными понятиями, когда в действительности это не так. По­
нятия
как

длины

понятия

и

промежутка

движения

§ 7.4.

и

времени

столь

же

относительны,

покоя.

Преобразования Лоренца

Теперь нам предстоит решить фундаментальный вопрос о

формулах

преобразования

координат

и

времени

(имеются в

виду формулы, связывающие координаты и моменты времени

одного и того же события в разных инерциальных системах от­
счета).
Преобразования Галилея? Напомним, что эти преобразова­
ния основаны на предположениях, что длина тел не зависит от
движения и время течет одинаково в различных инерциальных

системах отсчета. Однако в предыдущем параграфе было пока­
зано, что в действительности это не так: течение времени и
длина тел зависят от системы отсчета

-

выводы,

являющиеся

неизбежным следствием постулатов Эйнштейна. Поэтому мы
вынуждены отказаться от преобразований Галилея, или, гово­
ря точнее, признать, что они

-

лишь частный случай каких-то

более общих преобразованиЙ.
Возникает задача отыскания таких формул преобразования,
которые, во-первых, учитывали бы замедление времени и ло­
ренцево сокращение (т. е. были бы в конечном счете следствия­
ми постулатов Эйнштейна), и, во-вторых, переходили бы в пре­

дельном случае малых скоростей в преобразования Галилея.
Перейдем к решению этой задачи.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К'.
Пусть К' -система движется относительно К -системы со скоро­
стью

v.

Направим координатные оси обеих систем отсчета так,

m


Глава

244

к

+к'

как показано на рис.

I

У

О

о'

вектору

I
I
I
I _ _ _ __

~

р х
Рис.

оси Х и Х'

7.11:

совпадают и направлены параллельно

-y~-----~A
I V
I
..
I
L
I _____

7

х'

7.11

V,

а оси У и У' параллельны

друг другу. Установим в разных точ­

ках обеих систем отсчета одинаковые
часы

и синхронизируем их

-

отдель­

но часы К -системы и от дельно часы

К' -системы.

И наконец,

возьмем за

начало отсчета времени в обеих системах момент, когда начала

координат О и О' совпадают (t = t' = О).
Предположим теперь, что в момент времени

t (в К-системе)

в точке с координатами х, у произошло некоторое событие А,
например вспыхнула лампочка. Наша задача

наты х', у' и момент времени

t'

-

найти коорди­

этого события в К'-системе.

Вопрос относительно координаты у' был уже решен в начале
предыдущего

(7.3)],

что у'

параграфа,

= у.

где

было

показано

[см.

формулу

Поэтому сразу перейдем к нахождению коор­

динаты х' события. Координата х' характеризует собственную
длину отрезка О'Р,

неподвижного в К'-системе (рис.

7.11).

Длина же этого отрезка в К-системе, где отсчет про изводится в
момент

t,

равна х

- Vt.

Связь между этими длинами дается

формулой (7.5), согласно которой х - Vt = х' ~1 - ~2 • Отсюда

х' =(х - Vt)/~1-~2.

(7.6)

с другой стороны, координата х характеризует собствен­
ную длину отрезка ОР, неподвижного в К -системе. Длина же

этого отрезка в К' -системе, где измерение проводится в мо­
мент

t',

х' + Vt'

=

равна

х'

+ Vt'.

Учитывая

опять

(7.5),

получим

x~1-~2, откуда

х =(х' + Vt')/~1-~2.

(7.6')

Полученные формулы позволяют также установить и связь

между моментами времени

t

и

t'

события А в обеих системах

отсчета. Для этого достаточно исключить из

(7.6)

и

(7.6')

х' или

х, после чего найдем:

m


Кинематика специальной теории относительности

Формулы

(7.3), (7.6), (7.6')

и

(7.7)

245

называют nреобрааоваnu­

ямu Лореnца. Они играют фундаментальную роль в теории от­

носительности. По этим формулам осуществляется преобразо­
вание координат и времени любого события при переходе от од­
ной инерциальной системы отсчета к другой.

И так, преобразования Лоренца при переходе от К-к К' -сис­
теме

имеют

вид:

x-Vt

х' = ----;:::==

у'

~1_p2

=у

,

t-хV/с 2

t = --;::::===--

;

~1_p2

а при обратном переходе от К'- к К-системе

х

где р =

=

V /с, V -

х'

+Vt'

у

----;::===_

~1_p2

= у';

t

-

t' + х'У /с 2

=-----;:::===_-

~1_p2

(7.8)

(7.9)

скорость К'-системы относительно К-системы.

Следует сразу же обратить внимание на симметрию (одина­
ковый вид) формул

и

(7.8)

(7.9),

что является следствием пол­

ного равноправия обеих систем отсчета (различный знак при

V

в этих формулах обусловлен лишь противоположным направ­

лением движения систем К и К' относительно друг друга).
Преобразования Лоренца сильно отличаются от преобразова­
ний Галилея

(7.8)

и

(7.9),

(7.1),

однако последние могут быть получены из

если в них формально положить с = 00. Что это зна­

чит?
В конце предыдущего параграфа было отмечено, что в осно­

ве преобразований Галилея лежит допущение о синхронизации
часов с помощью мгновенно распространяющихся сигналов. Из
этого обстоятельства вытекает, что величина с в преобразовани­
ях Лоренца играет роль скорости тех сигналов, которые испо­

льзуют для синхронизации часов. Если эта скорость бесконечно
велика, то получаются преобразования Галилея; если же она
равна скорости света, то

-

преобразования Лоренца. Таким об­

разом, в основе преобразований Лоренца лежит допущение о

m


Глава

246

7

синхронизации часов с помощью световых сигналов, имеющих
предельную

скорость.

Замечательной особенностью преобразований Лоренца является то, что при У«
лея

(7.1).

с они переходят * в преобразования Гали-

Таким образом, в предельном случае

V

«

с законы

преобразования теории относительности и ньютоновской меха­
ники совпадают. Это означает, что теория относительности не

отвергает преобразований Галилея как неправильные, но вклю­
чает их в истинные законы преобразования как частный слу­
чай, справедливый при У«

с. в дальнейшем мы увидим, что

это отражает общую взаимосвязь между теорией относительно­
сти и ньютоновской механикой

-

законы и соотношения тео­

рии относительности переходят в законы ньютоновской меха­
ники в предельном случае малых скоростей.

Далее, из преобразований Лоренца видно, что при У> с под­
коренные выражения становятся отрицательными и формулы

теряют физический смысл. Это соответствует тому факту, что

движение тел со скоростью, большей скорости света в вакууме,
невозможно. Нельзя даже пользоваться системой отсчета, дви­
жущейся со скоростью

V

=

С; при этом подкоренные выраже­

ния обращаются в нуль и формулы также теряют физический
смысл. Это значит, что, например, с фотоном, движущимся со
скоростью с, принципиально не может быть связана система
отсчета. Или иначе: не существует такой систе,мы отсчета,

в которой фотон был бы неnодвижны,м.
И наконец, необходимо обратить внимание на то, что в фор­
мулы преобразования времени входит пространственная коор­
дината. Это важное обстоятельство указывает на неразрывную
связь
речь

между
должна

пространством
идти

не

едином пространстве
зические

*

и

отдельно

-

временем.
о

Другими

пространстве

и

словами,

времени,

а

о

вре,мени, в котором протекают все фи­

явления.

Строго говоря, необходимо еще, чтобы

xjc

«

t,

т. е. чтобы времена распро­

странения световых сигналов на расстояния, фигурирующие в рассматривае­

мых задачах

(xjc),

были малы по сравнению с интересующими нас промежут­

ками времени. При этом условии можно считать, что сигналы распространя­
ются практически мгновенно.

m


247

Кинематика специальной теории относительности

§ 7.5. Следствия из преобразований Лоренца
Понятие одновременности
Пусть в К-системе отсчета происходят два каких-то собы­

тия: А 1 (х 1 , Уl' t 1 ) И А 2 (х 2 , У2' t 2 ). Найдем интервал времени
между этими событиями в К/-системе, движущейся со скоро­
стью

V

вдоль оси Х, как показано на рис.

муле преобразования времени

(7.8),

7.11.

Согласно фор­

искомый интервал времени

(7.10)

Отсюда следует, что события, одновременные в К-системе

(t 2

=

t 1 ), не одновременны в К/-системе (t

2 -t 1 "* О).

Исключе­

нием является случай, когда оба события происходят в К-сис­

теме одновременно в точках с одинаковыми значениями коор­
динаты х (координата у может быть различной).

Итак, одновременность

-

nонятие относительное: то, что

одновременно в одной системе отсчета, в общем случае не одно­
временно в другой системе отсчета. Говоря об одновременности
событий, необходимо указывать систему отсчета, относительно
которой эта одновременность имеет место. В противном случае
понятие
разного

одновременности
рода

теряет

недоразумения

и

смысл

и

могут

возникнуть

«парадоксы».

Пример. «Парадокс) стержня и трубки. Сквозь неподвижную в К -сис-

теме отсчета трубку АВ

длины

а)

lo пролетает стер-.А

в'

А

В

жень
А 'в /, собственная
длина которого равна 2l

~'~:::l:=:lo:::_:rl'
~y~ ;,1.==lo==~i)..1
.....
- .

Скорость

б)

0•

стержня

тако­

ва, что его длина в К -сис­

теме равна длине трубки,

l = lo

(рис.

некоторый
жень,

7.12,

а), и в

момент стер-

пролетая

Рис.

7.12

сквозь

трубку, целиком в ней уместится. Однако «с точки зрения
стержня» лоренцево сокращение вдвое претерпевает трубка
(рис.

7.12,

б), поэтому стержень (длины

трубке (длины

lo/2).

2l o)

не поместится в

Есть ли здесь противоречие?

m


Глава

248

7

Противоречия нет, и вот почему. ~ с точки зрения трубки»
концы пролетающего стержня совместятся с концами трубки
одновременно. ~C точки же зрения стержня» совпадения кон­
цОВ (А с А', В с В') произойдут не одновременно: сначала сов­

падут концы В и в' (рис.

7.12,

б), а затем, через некоторый

промежуток времени, концы А и А'.

Из относительности понятия одновременности следует, что

часы К' -системы, расставленные вдоль оси Х' и синхронизиро­
ванные между собой в этой системе отсчета, в К -системе будут
показывать разное время. В самом деле, возьмем для простоты

момент, когда начала координат О и О' обеих систем отсчета
совпадают

t

=

t'

и

часы

в

этих

точках

показывают

одно

время:

= о. Тогда в К -системе в точке с координатой х часы К -си­

cTeMы показывают в этот момент время
мы в этой точке

-

иное время,

формуле преобразования времени

t'

=

t

= О, часы же К' -систе­

t'. Действительно,
(7.8),

согласно

-хV /с 2 ~1_p2 .
Отсюда видно, что в момент

t

=

О

(в К-системе) часы К'-системы будут
показывать разное время, зависящее

от

координаты

х

(местное

Это показано на рис.

7.13,

время).

а. Относи­

тельно К' -системы картина будет об­
ратной (рис.
Рис.

обеих инерциальных систем отсчета.

(7.10)

видно, что для одновременных в К-систе­

ме событий знак разности
ния -(Х 2 - Х 1

б), как и должно

быть в соответствии с равноправием

7.13

Из формулы

7.13,

t~ - t~

определяется знаком выраже­

Следовательно,

в разных системах отсчета

(при разных значениях скорости

v) разность t ~ - t ~ будет раз­

)V.

личной не только по модулю, но и по знаку. Последнее означа­

ет, что порядок событий А 1 и А 2 может быть любым (как пря­

мым, так и обратным).
Сказанное, однако, не относится к причинно-связанным со­
бытиям. Порядок следования таких событий (причина ~ след­
ствие) будет одинаков во всех системах отсчета. В этом легко
убедиться из следующего рассуждения. Рассмотрим, например,

m


Кинематика специальной теории относительности

249

выстрел

со­

-

событие А 1 (хl'

t 1 ) и попадание пули в мишень -

бытие А 2 (х 2 ,

t 2 ), предполагая, что оба события происходят на
оси Х. В К -системе отсчета t 2 > t 1 скорость пули v и пусть для
определенности Х 2 > Хl' причем ясно, что Х2 - Хl = V (t 2 -t 1 ).
После подстановки этого равенства в формулу

Величина,

(7.10)

получим

стоящая во второй круглой скобке числителя,

всегда положительна в связи с тем, что

V <

с (даже при

v

= с

,

когда причинно-следственная связь обусловлена максимально
возможной скоростью передачи сигналов или взаимодействий).

Отсюда следует, что если
дования

то И

t 2 > t l'

причинно-следственных

инерциальных

системах

t ~ > t ~,

событий

т. е. порядок сле­
одинаков

во

всех

отсчета.

Лоренцев о сокращение
Расположим неподвижный в К' -системе стержень вдоль оси

Х', т. е. вдоль направления движения этой системы отсчета от­
носительно К -системы.

Пусть

длина стержня

в К' -системе

l о = х ~ - х ~ (собственная длина).
В К-системе, относительно которой стержень движется, его

длину определяют как расстояние

l

между координатами Х 2 и

Х 1 его концов, взятыми в один и тот же момент
пользовавшись преоборазованиями Лоренца

(t 2

(7.8)

=

t 1 ). Вос­

для коорди­

нат х' и х, запишем

откуда

(7.11)
Таким образом, длина

l

движущегося стержня оказывается

меньше его собственной длины

lo'

и в разных инерциальных

системах отсчета она будет иметь свое значение. Этот результат
полностью согласуется с полученным ранее

(7.5).

m


Глава

250

7

Из определения длины следует, что относительность длины
данного

стерjКНЯ

является

тия

одновременности.

тела

-

в

следствием

Это

jКe

относительности

относится

и

к

форме

поня­

любого

его размеры в направлении ДВИjКения TaKjКe различны

разных

инерциальных

системах

отсчета.

Длительность процессов
Пусть в точке с координатой х/ К/-системы отсчета протека­
ет некоторый процесс, длительность которого в этой системе

/).t о = t ~ - t 1.

(собственное время процесса). Найдем длитель­

ность данного процесса

/).t = t 2 -t 1 В К-системе, относительно

которой К/-система ДВИjКется.
Воспользуемся с этой целью преобразованиями Лоренца для
времени. Так как процесс происходит в точке с фиксированной

координатой х/ К/-системы, то наиболее удобно использовать
формулы

(7.9):

или

(7.12)
Отсюда видно, что длительность одного и того jКe процесс а
различна в разных инерциальных системах отсчета. В К -систе­

ме его длительность больше

(/).t

> /).t о),

а следовательно, в этой

системе отсчета он протекает медленнее, чем в К/-системе. Это
вполне согласуется с результатом, относящимся к ходу одних и

тех jКe часов в разных инерциальных системах отсчета,

мулой

-

фор­

(7.4).
Интервал

Относительный

характер

пространственных

промеjКУТКОВ отнюдь не означает,

и

BpeMeHHbIx

что теория относительности

вообще отрицает существование каких бы то ни было абсолют­
ных величин. В действительности дело обстоит как раз наобо­
рот. Задача, которую ставит перед собой теория относительно­
сти, заключается в наХОjКдении таких величин (и законов), ко­
торые

не

зависели

бы

от

выбора

инерциальной

системы

отсчета.

m


Кинематика специальной теории относительности

251

Первой из этих величин является универсальная скорость
распространения взаимодействий, равная скорости света в ва­
кууме. Другой, также весьма важной инвариантной величиной

является интервал S12 между событиями
го

определяется

t 12

-

и

2,

квадрат которо­

как

I B~2
где

1

=

c2t~2 -1~2 = шv,

(7.13)

промежуток времени между событиями, l12 -

яние между двумя точками,

2
2
бытия (l12 = Х12

2

рассто­

в которых происходят данные со-

2

+ У12 + г12)·

В инвариантности интервала можно легко убедиться, вычис­

лив его непосредственно в К' - и К -системах отсчета. Воспользо­
вавшись

,

= У12

У12

преобразованиями

,

И г12

= г12'

Лоренца

(7.8)

и

учитывая,

что

запишем:

= С

2 2
2
t 12 - Х12.

Таким образом, действительно, интервал является величи­
ной инвариантной. Иначе говоря, утверждение «два события
разделены таким-то интервалом S»
тер

-

имеет абсолютный харак­

оно справедливо во всех инерциальных системах отсче­

та. Инвариантность интервала играет фундаментальную роль в
теории относительности и служит весьма эффективным инстру­

ментом при анализе и решении многих вопросов (см., напри­

мер, задачу

7.4).

Типы интервалов. В зависимости от того, какая составляю­
щая

в

интервале

преобладает,

пространственная

менюiя, соответствующие интервалы называют:

венноnодобными

(l12

> ct 12)'

(ct 12

вре­

nространст­

времениподобными

Кроме этих двух типов интервалов существует

светоnодобный

или

( ct 12 > l12 ).
еще третий -

= l12 ).

Если интервал между двумя событиями пространственнопо­

добный, то всегда можно найти такую К' -систему отсчета, в ко­
торой оба события происходят одновременно (t~2 = О):

m


Глава

252

7

Если же интервал времениподобный, то всегда можно найти

такую К' -систему отсчета, в которой оба события происходят в

одной точке (Ц2 = О):
С
в случае

2 2
2
2,2
t 12 -l12 =с t 12 •

пространственноподобных

интервалов l12

> ct 12 ,

т. е. ни в одной системе отсчета события не могут оказать влия­
ния друг на друга, даже если бы связь между событиями осу­
ществлялась с предельной скоростью с. Иначе обстоит дело в
случае времениподобных или светоподобных интервалов, для

которых l12 ~

ct 12 •

Следовательно, события, разделенные време­

ниподобными или светоподобными интервалами, могут быть
причинно-связанными

друг

с

другом.

Преобразование скорости
Пусть в К -системе в плоскости Х, у движется частица со
скоростью

v,

проекции которой их и и у • Найдем с помощью пре­

образований Лоренца

(7.8)

проекции скорости этой частицы и ~

и и~ в К'-системе, движущейся со скоростью
на рис.

V,

как показано

7.11.

Для этого проведем расчет по следующей схеме:

и'у

dy'
dt'

Продифференцируем выражения

(7.8)

и'х

dx'
dt'

dx'/dt
dt'/dt

dy'/dt
dt'/dt
для х', у' и

t'

по вре­

мени t и результаты подставим в предыдущие формулы для и~
и и ~. После несложных преобразований получим

и'х

где В =

V /с.

и

х

-V

и'у

иy~1-B2
1-V х V/с 2

(7.14)

Отсюда скорость частицы в К'-системе

~(иx

_V)2

+и~(1-B2)

1-V х V/с 2

(7.15)

m


Кинематика специальной теории относительности

253

Эти формулы выражают релятивистский закон nреобразо­
вания скорости. При малых скоростях

(V«

с и

v

«

с) они пе­

реходят, как нетрудно убедиться, в формулы преобразования
скорости ньютоновской механики:

и х' =
или

в

векторном

и у' =

v х -V,·

v у'

виде

v' =v- v.
Обратим внимание на то, что последняя формула оказывается

справедливой

только

в

ньютонов-

ском приближении; в релятивистской
же

области

здесь

нет

она не

имеет

простого

смысла

закона

К ~K'

у

y'1

-

: V.
1

сложения

1

скоростей. В этом можно легко убеди­

1

ться хотя бы на таком примере. Пусть

1

вектор скорости

v

оси

Х,

т.

е.

имеет

= О и и у = и. Тогда, соглас­

проекции

vх

но

проекции скорости этой час­

(7.14),

v'

у

1

частицы в К -системе

перпендикулярен

v

1

1

10'

,-----,,-L=_~_~_=_=_~_~_=_~_~_=-

о

__

х х'
Рис.

7.14

тицы в К'-системе:

и~ = - V;

(7.16)

Это значит, что в данном случае

(v..l

оси Х)

v ~ -проекция

скорости уменьшается при переходе к К' -системе, и ясно, что

v'

"* v - V

(рис.

7.14).

Рассмотрим еще один пример использования формул преоб­
разования скорости
также задачу

при движении двух частиц (см.

(7.14) -

7.7).

Пример. Пусть две релятивистские частицы движутся в К -системе от­
счета навстречу друг другу по одной прямой с одинаковой

скоростью

v.

Найдем:

системе отсчета;

2)

1)

скорость сближения частиц в этой

их относительную скорость.

Прежде всего необходимо уточнить, что понимается под каж­
дой из этих скоростей.

1.

Скорость сближения

-

это скорость, с которой изменяется

(уменьшается) расстояние между частицами в данной системе

m


7

Глава

254
отсчета. В нашем случае она просто равна

2v,

рость может быть и больше скорости света

-

причем эта ско­

это ничему не

противоречит.

2.

Под относительной скоростью имеется в виду скорость, с
которой одна из частиц движет­

IK'

к

ся в системе отсчета, связанной с

I
I
I

J и ..

1
Рис.

--..

другой частицей и

V

перемещаю­

.2

щейся поступательно по отноше­

х

бы найти эту скорость, выберем

нию к исходной К-системе. Что­
ось Х вдоль направления движе­

7.15

ния частиц. Свяжем с одной из

частиц, например частицей

1,

которая движется в положите­

льном направлении оси Х, К'-систему отсчета (рис.

7.15).
Тогда задача сводится к нахождению скорости частицы 2 в
этой системе отсчета. Подставив в формулу (7.14) для vх-про­
екции скорости v х = - v, V = v, получим

v

,
х

=-

2v

1+(v/c)2

.

Знак минус означает, что в данном случае частица

2

движет­

ся в отрицательном направлении оси Х' К '-системы отсчета.

Следует отметить, что даже в том случае, когда обе частицы
движутся с максимально возможной скоростью

рость v~ не может превзойти с

-

v

~ с,

ско­

это сразу видно из послед­

ней формулы.

И наконец, проверим непосредственно, что релятивистские

формулы преобразования скоростей соответствуют утвержде­
нию второго постулата Эйнmтнейна относительно неизменно­
сти

скорости

Пусть вектор

С2

=

света

с

С

во

имеет

всех

инерциальных

в К-системе

системах

проекции

сх

и

отсчета.

Су'

т.

е.

С ~ + С ~. Воспользуемся формулой (7.15), преобразовав в

ней подкоренное выражение следующим образом:

После этого нетрудно получить, что и' = с. При этом, конеч­
но, вектор с' в К'-системе будет иметь в общем случае другое
направление.

m


255

Кинематика специальной теории относительности

Задачи

7.1.

Преобразование длины.

В К-системе

движный стержень длины

ориентированный под углом

Э

его длину

= 450

к оси ох (рис.

l = 100 см,
7.16). Найти

отсчета находится непо­

l'

и соответствую­

щий угол Э' в К '-системе, движущейся относительно К -системы
со скоростью
р е

где

V =

с/2 вдоль оси ох.

е н и е. Длина стержня в К'-системе

m

13 = V / с.

Имея в виду, что ~x

l'

= l соэ Э и ~y = l sin

Э, получим

= l ~1 - 13 2 соэ 2 Э = 94 СМ.

Угол Э' в К '-системе найдем через тангенс:

tgЭ' = ~y' =
~y
= tgЭ = 1,155.
~x' ~x~1 - 132 ~1- 132
Отсюда Э'

Следует обратить внимание на то, что получен­

= 490.

ные результаты не зависят от направления скорости К '-системы:
она
или

7.2.

может
в

двигаться

или

в

положительном

направлении

оси

х,

противоположном.

Собственная длина. Стержень движется вдоль линейки с некото­

рой постоянной скоростью. Если зафиксировать положение обоих
концов

стержня

одновременно в сис-

теме отсчета, связанной с линейкой, у К
то

разность

~Xl

= 4,0

их

концов

отсчетов

по

линейке

I

I

м. Если же положение обозафиксировать

одновре-

х'

I

'------'"I=_~_~_~-=--"~"'""-=~~_.- ___

О

о'

х

той же линейке ~X2
лить собственную
его скорость
р е

m

где

13 -

v

= 9,0 м. Опреде­
длину lo стержня и

V.,

I
I
I

менно в системе отсчета, связанной
со стержнем, то разность отсчетов по

y,tк'

Рис.

7.16

относительно линейки.

е н и е. В первом случае

скорость стержня (в единицах скорости света).

m


Глава

256
Во втором же случае

7

это измеренная в системе отсчета, свя­

lo -

занной со стержнем, длина участка движущейся линейки, собст­
венный размер которого (участка) равен Ах 2 • Поэтому

Из этих формул легко найти, что

lo
или

7.3.

= ~AXl . АХ2 = 6,0 м,

v :::

0,75с.

Преобразование времени. Две нестабильные частицы движутся в
К -системе отсчета по некоторой прямой в одном направлении с

одинаковой скоростью

v = 0,990с. Расстояние между
l = 12 м. В некоторый момент

частицами в

этой системе отсчета

обе частицы

распались одновременно в К '-системе отсчета, связанной с ними.
Найти:

1)

промежуток времени между моментами распада обеих

частиц в исходной К -системе отсчета;

2)

какая частица распалась

позже в К -системе.

Реш е н и е.
событие

1,

1.

Пусть распад частицы, двигавшейся впереди,

а распад частицы, двигавшейся сзади,

Тогда, согласно преобразованиям Лоренца

(7.9)

-

событие

2.

для времени,

(х{ - X 2)V/C 2

~1

t 1 -t 2 =
где учтено, что

t{ = t 2 (по

ственное расстояние

но lo = l/ ~1

условию). Разность (х{

1 -(v/c)
Так как

гавшаяся

3

(t 1

-

t 2)

впереди,

-

(7.5),

> О,

то t 1

> t 2;

распалась

= 2,0

,

t1 - t 2

(t 1

=

оно рав-

мкс.

другими словами, частица, дви­

позже.

а м е ч а н и е. Нередко эту задачу решают так: согласно

,

это соб­

Поэтому
lv/ с 2
-----=---=-2

2.

- х2)

между частицами. Согласно

lo

_(v/c)2.

_(V/C)2

-

t 2 ) - ( х1 - Х 2 ) V / с

~1 _ (v / с) 2

(7.8),

2

= О,

откуда

m


257

Кинематика специальной теории относительности

Полученный результат отличается от приведенного выше и являет­
ся неверным. Дело в том, что мы не имеем права разность Х 1 -

заменить на

ибо Х 1 и Х 2 -

l,

Х2

это координаты событий (распадов),

происшедших в К -системе в разные моменты времени. Расстояние
же

l

между частицами в К -системе равно, по определению, разно­

сти координат частиц, зафиксированных одновременно.

7.4.

Найти расстояние, которое пролетела в К -системе отсчета неста­
бильная частица от момента ее рождения до распада, если ее
время жизни в этой системе отсчета д.t
время жизни д.t о

= 2,2

= 3,0

мкс.

Реш е н и е. Воспользовавшись формулой
рость

V

мкс, а собственное

(7.12),

найдем ско­

частицы и затем искомое расстояние как

Другой способ решения основан на использовании инвариантно­
сти

интервала:

где квадрат интервала записан слева в системе отсчета, связанной

с самой частицей, а справа
ется тот же результат для

7.5.

в К -системе отсчета. Отсюда получа­

l.

Эффект Доплера. В К -системе отсчета находится неподвижный
приемник Р (рис.
скоростью

S

V

7.17).

К нему со

приближается источник

световых сигналов. В системе от­

р

счета, связанной с источником, сиг­
налы

испускаются

периодически

с

частотой УО (собственная частота). С

'--_-=-=-=-=-'-=-=-=-'-=-=-=-:....:-=-:::t=-=~- __

О

о'

х

х'

какой частотой V будет воспринимать
эти сигналы приемник Р?

Рис.

7.17

Реш е н и е. Промежуток времени между двумя последователь­

ными сигналами (импульсами) в К '-системе, связанной с источни­
ком, равен То

V,
но

= 1/у о .

Так как эта система движется со скоростью

то соответствующий промежуток времени в К -системе, соглас­

(7.12),

будет больше:

m


Глава

258

7

Расстояние между соседними импульсами в К -системе

л

= сТ

= (с

- VT

- V)T

= (с

Т

- V)

о

.

~1 - [32

= с / л,

Поэтому воспринимаемая приемником частота V

V

= Vo

~1 - [32

(1)

•

1 - [3

(2)

Если источник приближается (как в нашем случае), то V

< Vo

же удаляется, то V

[3

чае знак

ложный).

2,5

I

2,0

I

формула

1,5

1/

1,0
0,5

v

v/v o

Зависимость

7.18.

от

[3

Полученная

для частоты V соответст­

(2)

Как видно из приведенного вывода,
эффект Доплера является следстви­
ем двух явлений: замедления хода

,/

движущихся часов [корень в числи­

v'
-0,8

если

вует продольному эффекту Доплера.

I

/

v

> v o'

(в этом слу-

меняется на противопо­

показана на рис.

j

или

теле формулы

-0,4

о

Удаление

0,4

J3=V/c

Сближение

Рис.

и ~уплотнения»

(или разрежения) импульсов,
занного
между

7.18

(2)]

с

изменением

источником

и

свя­

расстояния
приемником

[это учтено в первом равенстве фор­
мулы

(1)].

Заметим, что в нерелятивистском случае Т

=

ТО, поэтому формула

для эффекта Доплера не содержит корня ~1 - [32 (вместо него сто­
ит единица):

V

= v o/(l -[3)::::: v o(l + V /с).
Рассмотрим попутно более общий слу-

::iJ

S ",~::-::---,----,--------=P=-,.

Vcosa

чай: в К -системе вектор скорости V ис-

точника составляет угол а с линией на­
блюдения, как показано на рис.

Рис.

7.19

В этом случае в формуле
заменить

v = Vo

V

~1 - [32
1 - [3cos

а

на

V cos а.

(1)

7.19.

достаточно

Тогда

•

m


Кинематика специальной теории относительности

В частности, при а

= п/2

259

наблюдается поперечный эффект Допле­

ра

при котором воспринимаемая приемником частота

V

оказывается

всегда меньше собственной частоты V O•

7.6.

Соотношения между событиями. На рис.
грамма

пространства

-

времени.

б

ровая точка) характеризует некото-

5

рое событие

4

его координату и мо-

мент

времени,

когда

ло.

Рассмотрим

соответствующие

оно

три

произош­

события,

мировым

точкам

А, В и с. Убедиться, что между эти­

ми событиями имеют место следую­
щие

в

с
3
2
1

А

о

1

2

соотношения:

событий

АВ

Тип интервала

время

c/).t o ,
Времениподобный
П ространственно-

АС

подобный

ВС

3

4

Рис.

Собственное
Пара

изображена диа-

~=сt,м

Каждая точка этой диаграммы (ми-

-

7.20

Светоподобный

м

б

5

7

7.20

Возможность

расстоя-

причинно-

следственной

ние

/).х о'

м

связи

A~B

4

-

-

4

Нет

О

C~B

О

Х,М

У к а з а н и е: воспользоваться инвариантностью интервала.

7.7.

Две частицы движутся в К -системе отсчета под прямым углом
друг к другу, причем первая частица со скоростью

V 1,

а вторая

-

со скоростью V 2 • Найти скорость одной частицы относительно дру­
гой.
Реш е н и е. Возьмем оси координат К-системы, как показано на

рис.
цы

2

7.21.

Свяжем с частицей

1

К'-систему, тогда скорость части­

в этой системе отсчета и есть искомая скорость. С помощью

формулы

(7.15),

положив

V

= V1

И Vx

= О,

получим

m


Глава

260
к

к'.
I
I
I
I
I

1
1

Заметим, что по классическому закону
сложения скоростей,
V2
V1

•

---

2

------х'

О

Х

Рис.

7.8.

7

7.21

Преобразование

направления

скорости.

Частица

К -системе со скоростью

к +К'

v

движется

в

под углом Э к

оси х. Найти соответствующий угол Э' в

I
I

К '-системе, движущейся со скоростью У,

о

,--~_..-..",,--~~--

о'

х

--

х'

как показано на рис.

Реш е н и е. Пусть в К-системе проекции
вектора

Рис.

7.22

v

равны V x и

vY •

Тогда для угла Э

можно записать следующее соотношение:

tgЭ
В К '-системе с учетом формул

= Vy/V x •

(7.14)

получим

tgЭ'=v~/v~ =Vy~1-(32/(vx
После подстановки

7.22.

Vх

= V cos Э

(\,
tg",

=

и

Vy

-V).

= V sin

sin Э~l - (32
cos Э - V /V

Э найдем

.

Как видно из этой формулы, закон преобразования углов для ско­
рости иной, нежели для отрезков (см. задачу

7.9.

7.1).

Стержень, ориентированный параллельно оси Х К-системы отсче­
та, движется в этой системе со скоростью V в положительном на­

правлении оси У. Найти угол Э' между стержнем и осью х' К '-си­
стемы, перемещающейся со скоростью

V

относительно К -системы

в положительном направлении ее оси х. Оси Х их' совпадают,
оси У и У' параллельны друг другу.
Реш е н и е. Пусть в некоторый момент концы стержня совпада­

ют с осью Х в К-системе. Эти два события, одновременные в К-си­
стеме, будут неодновременными в К '-системе. Согласно

(7.10),

они произойдут через промежуток времени

m


Кинематика специальной теории относительности

где Ах
нец

261

собственная длина стержня. 3а это время правый ко­

-

стержня

окажется

«выше»

левого

на

Ау' = v~At',

где

v~ = v~l - f32 [см. (7.16)]. Таким образом, в К '-системе данный
стержень будет повернут против часовой стрелки на некоторый
угол

3',

который можно определить по формуле

где Ах' = Ах ~ 1 - f3 2 - проекция стержня на ось Х' в К '-системе,
f3=V/c.
7.10.

Релятивистское преобразование ускорения. В К-системе дви­
жется частица со скоростью

v

и ускорением а. Найти ускорение

этой частицы в К '-системе, которая перемещается со скоростью

V

в положительном направлении оси Х К -системы. Рассмотреть

случаи, когда частица движется вдоль следующих осей К -систе­

2)

У.

Реш е н и е.

1.

мы:

1)

Х;

3апишем каждую проекцию ускорения частицы

в К '-системе таким образом:

а

,
Х

dv~
dv~
1
=--=-----

dt'

dt dt~dt

Воспользовавшись первой из формул

(7.14)

и последней из

(7.8),

получим после дифференцирования

а'у

2.

= о.

Аналогичные расчеты приводят к следующим результатам:

a~
в этих формулах

= о,

f3 = V / с.

m


rllaBa 8
Релятивистская динамика

....

§ 8.1.

Релятивистский импульс

Напомним сначала два основных положения ньютоновской
механики об импульсе:

1)

импульс частицы определяется как р =

mv,

где масса т

частицы считается не зависящей от ее скорости;

2)

импульс замкнутой системы частиц сохраняется во време­

ни в любой инерциальной системе отсчета.
Теперь обратимся к релятивистской динамике. Оказывается
(это будет видно уже из простого примера, который мы сейчас
рассмотрим), для замкнутой системы из релятивистских час­
тиц закон сохранения ньютоновского импульса не выполняет­

ся. Возникает альтернатива: отказаться или от ньютоновского
определения импульса, или от закона сохранения этой вели­
чины.

Учитывая громадную роль, которую играют законы сохра­
нения, в теории относительности за фундаментальный прини­
мают
дят

*

именно

закон

выражение

для

сохранения
самого

импульса

импульса

и

уже

отсюда нахо­

*.

Возникает естественный вопрос: как же закон сохранения импульса может

представлять какую-либо ценность, если импульс определяют именно так,
чтобы он сохранялся? Для ответа на этот вопрос представим себе частицу, ко­
торая при своем движении сталкивается с другими частицами. Рассмотрев

первое столкновение, определим импульс так, чтобы выполнялся его закон со­
хранения в данном столкновении. Но при последующих столкновениях поло­

жение изменится: мы уже будем знать импульсы частиц, участвующих в этих
столкновениях, и теперь закон сохранения импульса (если он действительно

есть) будет выполняться уже не по определению, а в силу глубинных законов
природы.

Опыт показывает, что так определенный импульс действительно подчиняется
закону сохранения. По крайней мере до сих пор не обнаружено ни одного явле­
ния, где бы этот закон нарушался.

m


263

Релятивистская динамика

Покажем прежде всего, что требование, чтобы закон сохра­

нения импульса выполнялся в любой инерциальной системе от­
счета, и учет релятивистского преобразования скоростей при
переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой при­
водят к выводу,

что масса частицы должна зависеть от ее ско­

рости (в отличие от ньютоновской механики). Для этого рас­
смотрим абсолютно неупругое столкновение двух частиц

-

си­

стема предполагается замкнутой.
а)

б)

в К-системе

в К1 -системе

у

v

-- ----

х

Рис.

2

~и'

8.1

Пусть внекоторой инерциальной К -системе отсчета навстре­

чу друг другу движутся две одинаковые частицы
ковой скоростью V O' но под углом а к оси Х (рис.

1 и2с
8.1, а).

одина­
В этой

системе отсчета суммарный импульс обеих частиц, очевидно,
сохраняется: до и после столкновения он равен нулю (образо­
вавmаяся частица,

как

следует

из

соображений симметрии,

оказывается неподвижноЙ).
Выясним, как будет обстоять дело в другой инерциальной
системе отсчета. Для этого выберем сначала две системы отсче­

та: К l-систему, движущуюся вправо со скоростью V 1x ' И К 2-СИС­
тему, движущуюся влево со скоростью v 2x (рис. 8.1, а). Ясно,
что частица

1

в К l-системе и частица

2

в К 2-системе движутся

только вдоль оси У, причем с одинаковыми по модулю скоро­

стями, которые мы обозначим и.
Рассмотрим картину столкновения в К l-системе (рис.

б), где частица

1

скорости частицы

8.1,

имеет скорость и. Найдем у-составляющую

2

в этой системе отсчета, обозначив ее и'. Эта

частица, как было сказано, движется со скоростью и вдоль оси
у в К 2-системе и, кроме того, вместе с К 2-системой перемеща­
ется влево со скоростью

V

относительно К l-системы. Поэтому,

m


Глава

264
согласно
теме

(7.16),

у-составляющая скорости частицы

2

8

в К l-сис­

равна

(8.1)
Запишем у-составляющие импульсов обеих частиц в К l-сис­

теме: т 1 и и т 2 и'. Согласно

(8.1),

и' <и, поэтому легко видеть,

что закон сохранения импульса в его обычной (ньютоновской)
формулировке не выполняется. Действительно, в нашем случае
т1 =

т 2 (частицы одинаковые) и, следовательно, у-составляю­

щая суммарного импульса частиц до столкновения отлична от

нуля, а после столкновения равна нулю (образовавшаяся части­
ца будет двигаться только вдоль оси Х).
Потребуем, однако, чтобы закон сохранения импульса вы­

полнялся и В К 1 -системе, т. е. положим, что т 1 и
да с учетом

(8.1)

= т 2 и'.

Отсю­

получим

т2 =ml/~1-(v/c)2.
При а ~ О (рис.

8.1)

и ~ О и т 1 представляет собой массу

покоящейся частицы; ее обозначают то и называют массой по­
коя. Скорость же
рости

v

частицы

V
2

при этом условии оказывается равной ско­
относительно частицы

1.

Поэтому послед­

Hюю формулу можно переписать так:

(8.2)
где т

-

~Macca»

движущейся частицы

(напомним, обе частицы одинаковые). Ве­
личину

т

называют

релятивистской

массой. Она, как видно из формулы

(8.2),

больше массы покоя и зависит от скоро­
сти частицы (рис.
о

с

v

8.2).

релятивистская масса одной и той же
частицы различна

Рис.

8.2

Другими словами,

ных

системах

в разных

инерциалъ­

отсчета.

В отличие от релятивистской массы масса покоя то части­

цы

-

величина инвариантная, т. е. одинаковая во всех систе­

мах отсчета. По этой причине именно масса покоя является

m


265

Релятивистская динамика

характеристикой частицы. В дальнейшем, однако, мы будем
использовать и релятивистскую массу т, имея в виду при этом,

что т представляет собой просто сокращенное обозначение от-

ношения т о / ~1 - (v / с) 2, И не более. Использование реляти­
BиcTcKoй массы продиктовано только стремлением упростить
ряд выводов, рассуждений и расчетов.

Массу же покоя то будем называть в дальнейшем просто
массой.
Теперь сделаем последний шаг

--

напишем выражение для

импульса релятивистской частицы. С учетом
записывают

в

(8.2)

этот импульс

виде
г-------------------------,

р

=mv =

mov

.

~1-(v/c)2

(8.3)

Это и есть релятивистский импульс частицы. Опыт под­
тверждает, что так определенный импульс действительно под­

чиHяeTcя закону сохранения независимо от выбора инерциаль­
ной системы отсчета.

Отметим, что при

v

«

с из

(8.3)

следует ньютоновское определение

импульса: р

=

v, где то не зави­
v. На рис. 8.3 по­

то

сит от скорости

казаны для сравнения графики за­

висимостей релятивистского Р рел И
ньютоновского

тицы

от

ее

РН

импульсов

скорости.

час­

весьма

1

Различие

между обоими импульсами стано­
вится

2

значительным

о

по

Рис.

8.3

мере приближения скорости части­
цы

к

скорости

Пример

1.

света.

В современных гигантских ускорителях протоны ускоря­
ются до скоростей,

0,0003 %.

отличающихся от скорости света на

Найдем, во сколько раз релятивистская масса

таких протонов превышает их массу (покоя).

Согласно (8.2), т/то = 1/ ~1 -

(32,

где

(3

= v / с. Так как (3

мало отличается от единицы в данном случае, то подкорен-

m


Глава

266
ное

выражение

следует

представить

в

8

виде

1 - f32 = (1 + f3)( 1 - f3) ~ 2 (1 - f3).
Тогда искомое отношение

Пример

2.

Выясним, при каких значениях скорости частицы ее нью­

тоновский импульс отличается от релятивистского на
на

1%;

10%.

Из условия 11 = (р - р н ) / р = 1 - ~ 1 v/

с

I

= v11 (2 - 11) =

(v / с ) 2

получим

{0,14 при 11 = 0,01,
0,45 при 11 = 0,10.

Использование нерелятивистской формулы для импульса

гарантирует точность не хуже

10%

при

v/c

~

1%

при

v/c

~

0,14

и не хуже

0,45.

§ 8.2. Основное уравнение релятивистской
динамики

Согласно принципу относительности Эйнштейна, все законы
природы должны быть инвариантны по отношению к инерциа­
льным системам отсчета.

Другими словами,

математические

формулировки законов должны иметь один и тот же вид во

всех этих системах отсчета. В частности, это относится и к за­
конам

динамики.

Однако, как показывает более детальное рассмотрение, уже
основное уравнение динамики Ньютона та =

F

не удовлетворя­

ет принципу относительности Эйнштейна. Преобразования Ло­
ренца при переходе к другой инерциальной системе придают
ему совершенно иную форму.

Чтобы удовлетворить требованиям принципа относительно­
сти, основное уравнение динамики должно иметь другой вид и
лишь при

v

«

с переходить в ньютоновское уравнение. Этим

требованиям,

как

доказывается

удовлетворяет

уравнение

в

dp/dt = F,

теории

относительности,

(8.4)

m


267

Релятивистская динамика

где

F -

сила, действующая на частицу. Данное уравнение по

виду полностью совпадает с основным уравнением ньютоновской
динамики

Однако физический смысл здесь уже другой:

(3.1).

слева стоит производная по времени от релятивистского импу­

льса, определяемого формулой

(8.3).

Подставив

в

(8.3)

(8.4),

по­

лучим

~[
mov
J-F
dt ~1-(vjc)2 - .

(8.5)

Это и есть осnовnое уравnеnие релятивистской диnамики.
В таком виде уравнение динамики при водит к сохранению

импульса
(и

«

для

свободной

частицы

и

при

малых

скоростях

с) принимает форму основного уравнения ньютоновской

динамики (та =

F).

Кроме того, именно в таком виде основное уравнение дина­
мики оказывается инвариантным по отношению к преобразова­
ни ям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу отно­

сительности Эйнштейна. Не останавливаясь на способе доказа­
тельства этого,

отметим

только,

что при

переходе от

одной

инерциальной системы отсчета к другой необходимо принять,
что сила

F

преобразуется по определенным законам. Другими

словами, сила
риантная,

в

F

в теории относительности

разных

системах

отсчета

ее

-

величина неинва­

числовое

значение

и

*
направление будут различны.
Из основного уравнения релятивистской динамики следует

неожиданный вывод: вектор ускорения а частицы в общем слу­
чае не совпадает по направлению с вектором силы
показать, запишем

(8.5)

F.

Чтобы это

в такой форме:

d(mv)jdt = F,

*

в отличие от ньютоновской механики, где силы абсолютны, в теории относи­
тельности проекции силы, перпендикулярные направлению вектора относите­

льной скорости систем отсчета, различны в разных системах. Эти проекции
имеют максимальные значения в той системе отсчета, где частица в данный
момент покоится:

F; = F х ,

F~ = Fу

~1

- (v /

с )2 •

m


Глава

268
где т

-

8

релятивистская масса частицы. Выполнив дифферен­

цирование

по

времени,

получим

(dm/dt)v + m(dv/dt) = F.

(8.6)

Это выражение графически представ­
лено на рис.

8.4.

Таким образом, действи­

тельно, вектор ускорения а в общем слу­
чае не коллинеарен вектору силы

F.

Вектор ускорения а совпадает по направле­
нию с вектором
Рис.

1)

8.4

если

F.lv

вектор скорости

v = const,

и уравнение

(8.5)

F

только в двух случаях:

(поперечная сила). При этом

v

по модулю не меняется, т. е.

принимает вид

moa/~1-(v/c)2 =F,
откуда ускорение

2) если F

11

v (продольная сила). В данном случае уравнение (8.5)

можно записать в скалярном виде. Выполнив в его левой части диффе­
ренцирование

по

[

времени,

~1

то

получим

moV 2/ с 2

_(V/C)2 + (1 _(V/C)2)3/2

Jdv

_ F

dt - ,

откуда ускорение (в векторном виде) есть

Нетрудно заметить, что при одинаковых в обоих случаях значени­
ях силы

F

ускорение,

и скорости
чем

Основное

v

поперечная сила сообщает частице большее

продольная

уравнение

сила.

релятивистской

динамики

найти закон действующей на частицу силы

F,

если известна за­

висимость от времени релятивистского импульса
гой стороны, найти уравнение движения частицы
вестны действующая сила и начальные условия
и положение

ro

p(t),
r(t),

-

а с дру­
если из­

скорость

vо

частицы в начальный момент времени.

В качестве примеров на применение уравнения
служить задачи

позволяет

(8.5)

могут

8.1-8.3.

m


269

Релятивистская динамика

§ 8.3. Закон взаимосвязи массы и энергии
Кинетическая энергия релятивистской частицы
Определим эту величину таким же путем, как и в ньютонов­
ской механике, т. е. как величину, приращение которой равно

работе действующей на частицу силы. Сначала найдем пр ир а­

щение кинетической энергии

F

на элементарном пути

dK частицы
dr = v dt:

под действием силы

dK =Fvdt.
Согласно основному уравнению релятивистской динамики

(8.4), Fdt = d(mv) = dm . v + mdv,

-

где т

релятивистская мас­

са. Поэтому

dK =v(dm·v+mdv)
где

vdv = v dv
ее

к

2

dm +mvdv,

(см. с.

пользуя формулу
ведем

=и

112). Это выражение можно упростить, ис­
(8.2). Возведем эту формулу в квадрат и при­

виду

т

2 2
с

=т

2

v

2

2

+тос

2

Найдем дифференциал этого выражения, имея в виду, что т
и

с

-

постоянные

величины:

Если разделить это равенство на 2т, то его правая часть сов­

падет с выражением для

dK,

отсюда следует

(8.7)
Таким образом, приращение кинетической энергии частицы
пропорционально приращению ее релятивистской массы. Ки­
нетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее ре­

лятивистская масса т =

то. Поэтому, проинтегрировав

(8.7),

получим

К =(т -то)с

2

,

(8.8)

m


Глава

270

8

или

(8.9)
где

13 = v / с.

Это и есть выражение для релятивистской кинети­

ческой энергии частицы. Оно сильно отличается от ньютонов­
ского тои 2 /2. "У"бедимся, что при малых скоростях
1) вы­

(13 «

ражение

переходит в ньютоновское. Для этого воспользу­

(8.9)

емся формулой бинома Ньютона, согласно которой

1

~1-J32
При
этого

13«

ряда

2

8

можно ограничиться первыми двумя членами

1
и

=(1_ 1-'А2 )-1/2 = 1 + -1 132 + -3 134 +... .

тогда

К =тос

2 2

13 /2

=тои

2

/2.

Таким образом, при больших скоро­
КреJI

кинетическая

определяется

1,0

I
V

..- F"'"
о

стях

0,2

/ KB~ ",
V ...... ~

0,4 0,6 0,8

I

1,0

P=V/c
Рис.

8.5

энергия

частицы

релятивистской

форму­

лой (8.9), отличной от тои 2 /2 . Заме­
тим, что (8.9) нельзя представить и в
виде ти 2 /2 , где т - релятивистская
масса.

На рис.

8.5

показаны для сравне­

ния графики зависимостей от

тивистской

Крел

И

13

реля-

ньютоновской

Кн

кинетических энергий. Их различие особенно сильно проявля­
ется в области скоростей, сравнимых со скоростью света.
Пример. Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить ско­
рость частицы с массой то от

0,6

до 0,8с? Сравним получен­

ный результат со значением, вычисленным по нерелятивист­
ской формуле.

Искомая работа в соответствии с формулой

(8.9)

равна

m


271

Релятивистская динамика

Соответствующая же работа, по нерелятивистской формуле,

Различие между обоими результатами весьма значительное.

Закон взаимосвязи массы и энергии
Прежде

(8.8)

всего

перепишем

полученное

выше

соотношение

в такой форме:

тс

2

=тос

2

+ К,

(8.8 ')

где т

-

релятивистская масса частицы (тела). Мы уже знаем,

что К

-

это кинетическая энергия частицы. Две остальные ве­

личины

-

тоже энергии. Но каков их физический смысл?

Глубокий анализ этого вопроса привел Эйнштейна к весьма

важному выводу: т о с 2 -

это общая внутренняя энергия тела, из

каких бы видов она ни состояла (кинетическая, электрическая,
химическая и др.). Эту энергию назвали энергией покоя Е о :

IE o =m oc 2 ·1

(8.10)

Величину же тс 2 , равную сумме т о с 2

+ К,

назвали полной

энергией Е тела (частицы):

IЕ

=

тс 2 = т о с 2 + К.

(8.11)

Во избежание недоразумений обратим внимание на то, что в
полную энергию Е не включена потенциальная энергия тела во
внешнем силовом поле, если таковое действует на тело.

Вернемся, однако, к соотношению

(8.10).

Как выяснилось,

оно выражает один из наиболее фундаментальных законов при­
роды

-

закон взаимосвязи (пропорциональности) массы то и

энергии покоя Е о тела.
Мы видели, что масса тела, которая в нерелятивистской ме­
ханике выступала как мера инертности (во втором законе Нью­
тона) или как мера гравитационного действия (в законе все­
мирного тяготения), теперь выступает в новой функции

-

как

мера энергосодержания тела.

m


Глава

272

8

Изменение энергии покоя тела сопровождается эквивалент­

ным изменением его массы 11т о

=

I1Е о / с 2, и наоборот. При

обычных макроскопических процессах изменение массы тел ока­
зывается чрезвычайно малым, недоступным для измерений. Это
можно

Пример

проиллюстрировать

1.

2.

примерах.

Пружину жесткости х

= 1,0 кН/см сжали на !1l = 1,0 см.
При этом пружина приобрела энергию и = x(!1l)2/ 2• Эквива­
лентное

Пример

на следующих

приращение

При нагревании

гию

Q

= те p!1t,

емкость воды,
увеличение

-

массы

л воды от О до

где ер

= 4,2

100

ос ей сообщают энер­

Дж/(г -Х)

-

удельная тепло­

разность температур. Соответствующее

!1t -

массы

!1т о
Обычно

1

ее

воды

= Q/e 2 = 0,47 _10-10

кг.

и это нетрудно видеть из этих двух примеров

изменение массы тела лежит далеко за пределами точности эк­

сперимента. Однако уже в астрономических явлениях, связан­
ных,

например,

с

излучением

звезд,

изменение

массы

пред­

ставляет собой весьма внушительную величину. В этом можно
убедиться на примере излучения Солнца.
Пример. Из астрономических наблюдений установлено, что количест­
во энергии, которое приносит на Землю солнечное излучение
за

1

с на площадку

1

чам, составляет около

2

, перпендикулярную солнечным лу1,4 кДж/(с-м 2 ). Это позволяет вычис-

м

лить суммарную энергию, излучаемую Солнцем за

где

расстояние от Земли до Солнца.

R -

1

с:

Следовательно,

Солнце ежесекундно теряет массу

!1т о

= Р / е 2 = 4,4 -10 9 кг / с.

Величина грандиозная с точки зрения земных масштабов, од­
нако по сравнению с массой Солнца эта потеря ничтожно
мала: !1т /т
2 _10-21 с- 1 .

о

о =

Совершенно иначе обстоит дело в ядерной физике. Именно
здесь впервые оказалось возможным

экспериментально прове-

m


273

Релятивистская динамика

рить И подтвердить закон взаимосвязи массы и энергии. Это
обусловлено тем, что ядерные процессы и процессы взаимного

превращения элементарных частиц сопровождаются весьма бо­
льшими изменениями энергии, сравнимыми с энергией покоя

самих частиц. Но к этому вопросу мы еще вернемся в

§ 8.5.

§ 8.4. Связь между энергией и импульсом частицы
Ясно, что полная энергия Е и импульс Р частицы имеют раз­

ные значения в разных системах отсчета. Оказывается, однако,
что существует величина

некоторая комбинация Е ир, кото­

-

рая является инвариантной, т. е. имеет одно и то же значение в

разных системах отсчета. Эта величина есть Е 2
димся,

что

это

Р 2 е 2. 'Убе­

так.

Воспользовавшись формулами Е

Е2 -

-

= те 2 и р = mv, запишем
2

2 2 =
Р е

2 2
т е

тое

2 2 2 =
-т v е

4

[1 - ( v / е )2] ,

1-(v/e)2
или

после

сокращения

-р

Тот факт, что скорость

2

е

2

(8.12)

v

в правой части сократилась, озна2
2 2
чает независимость величины Е - Р е
от скорости частицы,
а следовательно, и от системы отсчета. Другими словами, вели2 2
u
Е2

- р е деиствительно является инвариантом и имеет
одно и то же значение т ~ е 4 во всех инерциальных системах

чина

отсчета:

(8.13)
Этот вывод чрезвычайно важен:

он позволяет,

как будет

видно из дальнейшего, во многих случаях резко упростить ана­
лиз

и

решение

различных

вопросов.

При ведем еще два полезных соотношения, с которыми при­
ходится часто встречаться. Первое:

Iр

=

mv

=

Ev/e 2 , I

(8.14)

m


Глава

274

8

- связь между импульсом и кинетической энергией К
частицы; его легко получить, подставив в (8.12) Е = тос 2 + К,
второе

тогда

(8.15)
Последнее соотношение при К

новское: р = ~2т о К , а при К

»

«

т о с 2 переходит в ньюто­

т о с 2 приобретает вид р = К/с.

Пример. Считая, что энергия покоя электрона равна

0,51

МэБ, вычис­

лим:

1) импульс* электрона с кинетической энергией, равной его
энергии

2)

покоя;

кинетическую энергию электрона с импульсом

где

с

--

скорость

Согласно

1.

0,51

МэБ/с,

света.

(8.15),

при

К = то с 2

получим Р =

.J3тос =

= 0,9 МэБ/с.
2.

Этот вопрос можно решить также с помощью

можно и проще, воспользовавшись

К

=Е

-тос

2

/2224
= 'JP
с + тос

(8.15).

Но

(8.12):

-тос

2

= 0,21

МэБ.

Рассмотрим весьма интересный вопрос о возможности суще­

ствования частиц с нулевой массой покоя (то = О). Из формул

Е =

тос

2

,

~1-(и/c)2

р

следует, что частица с массой то =

тои

=

---;::::====
~1-(и/c)2

О может иметь энергию и

импульс в том и только в том случае, если она движется со ско­

ростью света с. При этом обе последние формулы принимают

вид о/о. Однако это не означает неопределенности энергии и
импульса такой частицы. Дело в том, что обе эти величины,
оказывается,

не зависят от скорости,

причем связь между им­

пульсом р и энергией Е дается формулой

(8.14),

(8.16)

р = Е/с.

*

где и = с, т. е.

Заметим, что в настоящее время импульсы релятивистских частиц выражают

в единицах энергия/с (с

-

скорость света). Например, если энергия выражает­

ся в МэБ (1 МэБ=1,6·10- 13 Дж), то импульс -

в МэБ/с. Использование такой

единицы импульса заметно упрощает многие расчеты.

m


275

Релятивистская динамика

Таким образом, согласно теории относительности, существо­
вание частиц с нулевой массой возможно, причем эти частицы

могут двигаться только со скоростью с. Это движение не есть
результат предшествующего ускорения, а вообще единственное
состояние, в котором такие частицы могут существовать. Оста­
новка подобной частицы равносильна ее поглощению (исчезно­
вению). Как сейчас известно, такими частицами являются фо­
тон и, по-видимому, нейтрино.

Преобразования импульса и энергии
Пусть частица движется со скоростью
та. Из формулы

(7.13)

v = dl/dt

в К-системе отсче­

следует, что элементарный интервал между дву­

мя событиями, которые происходят с частицей, есть

Имея в виду это выражение, представим проекции импульса и
энергию

частицы

_

Рх

-

в

следующем

то

виде

dx .

cdx _

~ 1 _ (v / с ) 2 cdt - т о с ds '

Е=

то с 2

~1 - ( v / с ) 2

cdt
cdt

dy

= тос-;

Ру

ds

= тос c 2 dt .

Из инвариантности то, с и интервала

ds

ds

сразу следует, что при пе­

ре ходе к другой инерциальной системе отсчета Р Х и Ру преобразуются

подобно

dx

но времени

и

dy,

т. е. подобно координатам х и у, а энергия Е

-

подоб­

t.

Поскольку координаты и время входят в преобразования Лоренца

(7.8)

линейно, мы выделили в предыдущих выражениях для Р и Е

одинаковую часть (тос). Тогда можно сделать следующее сопоставле­
ние:

Р Х ~x,

Ру ~y,

Е/с 2 ~t.

Делая эту замену в преобразованиях Лоренца

(7.8),

получим сразу

искомые преобразования импульса и энергии:

Р ~ _ Р х - EV / с 2
- ~1 -(V /с)2'

,

Ру

= Ру'

Е' _

-

Е - РХ V

~1-(V/C)2 '

(8.17)

m


Глава

276
где

V -

8

скорость К/-системы относительно К-системы.

Эти формулы выражают закон преобразования проекций импульса
и энергии частицы при переходе от К-к К/-системе.

Запись формул в более компактном виде
в настоящее время все формулы релятивистской механики приня­

то записывать в более компактном виде с помощью использования сле­

дующих сокращенных обозначений:
1) величины те 2 и ре обозначают

просто т и р, их соответственно

выражают в энергетических единицах (например, в МэВ);

ют

2)
13:

все скорости выражают в единицах скорости света и обознача

JЗ=v/е;

3)

-

(8.18)

часто встречающийся множитель 1/ ~1 - 132 обозначают у

-

ло­

ренц-фактор:

(8.19)
Эти обозначения резко упрощают как вид самих формул, так и все
преобразования и расчеты. Приведем основные формулы релятивист­
ской динамики в этих обозначениях:
релятивистский импульс

(8.3)
(8.20)

кинетическая

(8.9)

и полная

(8.11)

энергии:

(8.21)

(8.22)
связь между энергией и импульсом

Е2

-

Р

2

р

(8.12)-(8.15):

= то2=.lПV,

(8.23)

= ЕР,

(8.24)

р = ~K(K + 2т о )

(8.25)

m


277

Релятивистская динамика

преобразования импульса и энергии

р~

=

~x - fЗ~
1-

f3

=

(8.1 7):

у( р х - fЗЕ)

,
(8.26)

Е' = Е - fЗРх = у(Е - fЗР х ) •
~1 - fЗ2

§

8.5.

Система релятивистских частиц

Об энергии и импульсе системы
До сих пор мы ограничивались рассмотрением поведения од­
ной частицы. В отличие от динамики одной частицы построе­
ние динамики системы частиц в теории относительности явля­

ется гораздо более сложной задачей. Тем не менее и в этом слу­
чае можно установить ряд важных общих законов.
Если нас интересует движение системы как целого, то, от­

влекаясь от внутренних процессов в системе и пренебрегая ее
пространственной протяженностью, систему можно считать од­
ной материальной точкой

-

частицей. Поскольку это так, сис­

тему релятивистских частиц как целое можно характеризовать

полной энергией Е, импульсом р, массой покоя М о и утверж­
дать, что полученные ранее выражения справедливы и для сис­
темы

частиц

как

целого.

Остается выяснить, что следует понимать под полной энер­
гией Е, импульсом р, массой покоя М о системы как целого.

В общем случае, если система состоит из взаимодействующих
релятивистских

частиц,

ее

полная

энергия

(8.27)
где

m i c2

-

полная энергия i-й частицы (напомним, что в эту ве­

личину не включается энергия взаимодействия с другими части­

цами);

W -

суммарная энергия взаимодействия всех частиц сис­

темы.

В

ньютоновской

механике

W

представляет

собой

циальную энергию взаимодействия частиц системы

-

потен­
величи­

ну, зависящую при данном характере взаимодействий только

m


Глава

278
от конфигурации

системы.

В

релятивистской

8

же динамике,

оказывается, не существует понятия потенциальной энергии

взаимодействия частиц. Это обусловлено тем обстоятельством,
что само понятие потенциальной энергии тесно связано с пред­

ставлением о дальнодействии (мгновенной передаче взаимодей­
ствий). Являясь функцией конфигурации системы, потенци­
альная энергия в каждый момент времени определяется отно­
сительным

расположением

частиц

системы

в

этот

момент.

Изменение конфигурации системы должно мгновенно вызвать
изменение и потенциальной энергии. Так как в действитель­

ности этого нет (взаимодействия передаются с конечной скорос­
тью), то для системы релятивистских частиц понятие потенци­
альной энергии взаимодействия не может быть введено.
В общем случае написать выражение для энергии взаимо­
действия

W,

а следовательно, и для полной энергии Е системы

взаимодействующих релятивистских частиц не представляется

возможным. Это же относится и к импульсу системы, так как в
релятивистской динамике импульс не является величиной, не­

зависимой от энергии Е. Так же сложно обстоит дело и с мас­
сой М О системы, о которой в общем случае можно сказать толь­
ко одно:

это масса в системе отсчета,

где данная механическая

система как целое покоится (т. е. вЦ-системе).
Вследствие указанных трудностей построение динамики си­
стемы релятивистских частиц ограничено сравнительно немно­

гими простейшими случаями, на двух из которых мы и остано­

вимся. Это система из невзаuмодействующuх релятивистских
частиц и важный в практическом отношении случай столкно­
вения

двух

частиц.

Система иевзаимодействующих частиц
В данном случае полная энергия Е и импульс Р обладают ад­
диTиBHыMи свойствами и для системы их можно представить в
виде

(8.28)
где

mi

и

Pi -

релятивистская масса и импульс i-й частицы сис­

темы. Так как взаимодействий в данном случае нет, то скоро-

m


279

Релятивистская динамика

сти всех частиц постоянны, а следовательно, постоянны во вре­

мени полная энергия и импульс всей системы.
Введем понятие энергии покоя Е О системы частиц как полную

энергию ее вЦ-системе, где суммарный импульс Р

= L Рi =О

И

система как целое покоится. Таким образом,

(8.29)
где

Ei

-

полная энергия i-й частицы в Ц-системе. Это значит,

что в энергию покоя входит кроме энергии покоя каждой час­
тицы и их кинетическая энергия К i

-

E i =moic

вЦ-системе:

2-

+K i ·

Это же относится, очевидно, и к массе покоя системы:

М О =Ео/с

2

.

(8.30)

Отсюда, в частности, следует, что масса покоя системы не
равна

сумме

масс

покоя

отдельных

частиц,

а

именно:

М о > Lm oi ·
Введение энергии и массы покоя системы (Е о и М О ) позволя­
ет рассматривать систему невзаимодействующих релятивистu
u
Е"
ских частиц как одну частицу с полнои энергиеи
= L..J т i с 2 ,

импульсом Р =

L Pi' массой покоя М О

что выражения

(8.12)

и

Е2

-

(8.14)

= Е О / с 2 И утверждать,

справедливы и для системы час­

тиц:

р

22м2
с

Р =
где

V -

=

О С

•
= lllV,

2

EV/c ,

(8.31)
(8.32)

скорость системы частиц как целого, т. е. скорость

Ц-системы. Эту скорость, согласно
таком

4

(8.32),

можно представить в

виде:

(8.33)

m


Глава

280

8

m i - релятивистская масса l-И частицы системы. Заметим,
что (8.33) по форме совпадает с соответствующим нерелятивист­
ским выражением (3.9) для скорости центра масс системы.
где

Столкновение двух частиц
Рассмотрим процесс столкновения происходящим в два эта­

па: сначала образование некоторой составной частицы А * и за­
тем ее распад на какие-то в общем случае другие частицы:

в процесс е сближения частиц А 1 и А 2 взаимодействие между
ними может становиться не малым, и формулы

(8.28)

теряют

свою применимость. Однако после того, как возникшие части­
цы разойдутся на большое расстояние друг от друга, эти фор­
мулы

опять

применимы.

В данном случае можно показать, что сумма полных энер­

гий двух исходных частиц (когда они находятся настолько да­
леко друг от друга, что их взаимодействие пренебрежимо мало)
равна полной энергии составной частицы. Это же относится и
ко второй стадии процесс а

-

распаду. Другими словами, мож­

но показать, что для этого процесс а оказывается справедливым

закон сохранения полной энергии в таком виде:

(8.34)
"У"бедимся, что это именно так, на следующем простом при­
мере.

Представим себе столкновение двух одинаковых частиц

}
JX 2/'

•

Рис.

8.6

2,

рая составная частица. Пусть частицы до

1~,

•

и

в результате которого образуется некото-

к'

к

1

столкновения

движутся

навстречу

друг

другу в К -системе с одинаковыми скоро­
стями

V

•

х'

v,

как показано на рис.

8.6.

Рас­

смотрим теперь этот процесс в К' -систе­
ме,

движущейся влево со скоростью

V

относительно К-системы. Так как в К-си­
стеме скорость каждой частицы перпен­

дикулярна

вектору

V,

то,

согласно

m


281

Релятивистская динамика

(7.14),

обе частицы в К/-системе имеют х-компоненту скорости,

равную

v. Такую же скорость в К/-системе будет иметь и образо­

вавшаяся частица,

релятивистскую массу которой обозначим

m*. Из закона сохранения импульса до и после столкновения
получим для х-составляющей импульса 2m(v')V =m* V, где
и/

-

скорость каждой частицы в К/-системе. Отсюда

2m(и/) =m* ,
т.

е.

сумма релятивистских масс исходных частиц равна реля­

тивистской массе образовавшейся частицы. Аналогично дело
обстоит и в К -системе. Действительно, при очень малом значе­

нии скорости

V

ская масса т *

скорость

v / практически

равна и, а релятивист­

- массе покоя т ~ образовавшейся частицы, так

что в К -системе

2m(и)=m~.
Отсюда видно, что масса покоя образовавшейся частицы бо­
льше суммы масс покоя исходных частиц. Кинетическая энер­
гия

исходных

частиц

претерпела

превращение,

в

результате

которого масса образовавшейся частицы превысила суму масс
исходных

частиц.

Итак, мы показали, что вследствие сохранения импульса си­
стемы сумма релятивистских масс

исходных частиц равна ре­

лятивистской массе образовавшейся частицы. Это же, очевид­
но, относится и к полной энергии. Поэтому можно утверждать,

что сохранение полной энергии в форме

(8.34)

действительно

имеет место для рассматриваемых стадий этого процесса.
Применение закона сохранения энергии к ядерным процес­

сам позволило, как уже говорилось в

§ 8.3,

экспериментально

проверить справедливость одного из фундаментальных законов
теории

относительности

-

закона

взаимосвязи

массы

и

энер­

гии. Рассмотрим примеры.
Пример

1.

Энергетический выход ядерных реакций. Возьмем ядер­
ную

реакцию

типа

m


Глава

282
где слева

-

исходные ядра, справа

-

ядра

-

8

продукты ре­

акции. Применим к этой реакции закон сохранения пол­
ной энергии:

Имея ввиду, что полная энергия каждой частицы может

= т о с 2 + К, где то - масса по­

быть представлена как Е

коя соответствующего ядра, К
гия,

перепишем

где К 12 И К 34 -

предыдущее

-

его кинетическая энер­

равенство

так:

суммарные кинетические энергии ядер до

и после реакции. Отсюда

Левая часть этого равенства есть приращение суммарной
кинетической энергии ядер данной системы

-

то, что на­

зывают энергетически,м выходо,м ядерной реакции и обо­
значают

Q.

Итак,

Эта величина может иметь любой знак

в зависимости от

-

характера той или иной ядерной реакции. Таким образом,
энергетический выход ядерной реакции определяется раз­
ностью

суммарных

масс

покоя

ядер

до

и

после

реакции.

Бсе величины, входящие в это соотношение, могут быть эк­
спериментально
стью,

тем

измерены

самым

можно

с

достаточно

проверить

и

высокой

само

точно­

равенство.

Рассмотрим конкретную ядерную реакцию:

Измеренные массы покоя этих ядер (в атомных единицах
массы

а. е. м.)

равны

соответственно

4,0024

а. е. м. Отсюда нетрудно подсчитать, что сумма масс

7,0160, 1,0078

и

покоя ядер в результате ядерной реакции уменьшилась на

0,019
931,4

1 а. е. м. соответствует энергия
Q = 0,019·931,4 МэБ = 17,7 МэБ. Этот

а. е. м. Учитывая, что

МэБ, найдем

результат с большой точностью совпадает с данными экспе­
римента.

m


283

Релятивистская динамика

Пример

2.

Распад частицы. Пусть покоящаяся частица А 1 самопроиз­
вольно распадается на частицы А 2 и Аз. Согласно закону со­
хранения полной энергии,

Е1

= Е 2 + Ез •

Так как полная энергия каждой частицы Е = т о с 2
2

т1 с
где К 2з -

+ К,

то

= (т 2 + тз) с 2 + К 2З'

суммарная кинетическая энергия образовавших­

ся частиц. Эту энергию называют энергией распада

Q.

Та­

ким образом,

2
Q=[т 1 -(т 2 +т з )]с.
Поскольку

Q -

величина существенно положительная, са­

мопроизвольный

распад

частицы

возможен

только

при

условии

т. е. если масса покоя первичной частицы больше суммы
масс возникающих частиц. В противном случае самопроиз­

вольный распад невозможен. Эксперимент полностью под­
тверждает

этот

вывод.

Рассмотрим, например, распад 7t-мезона. Эксперименталь­
но установлено, что заряженные 7t-мезоны распадаются на

мюон и нейтрино:

7t

~

J.l + v.

Согласно табличным данным,

массы покоя этих частиц (в единицах массы электрона)
равны соответственно

273,2, 206,8

и о. Отсюда следует,

что масса покоя в результате распада уменьшается на

66,4

электронной массы. Так как массе покоя электрона соот­

ветствует энергия

Q = 66,4·0,51
ветствии

с

МэВ

0,51
= 34

МэВ, то энергия данного распада
МэВ, что находится в точном соот­

результатами

эксперимента.

Тот факт, что в результате столкновения частиц и последую­
щего затем распада составной частицы полная энергия системы

(а значит, и ее импульс) не меняется, приводит к другому важ­
ному выводу: величина Е 2 - р2 с 2 для системы будет инвариан­
тной не только по отношению к разным инерциальным систе­
мам отсчета, но и для указанных выше стадий процесс а столк­
новения.

m


Глава

284
Пусть,

например,

две

релятивистские

частицы

8

испытали

столкновение, в результате которого образовалась новая части­
ца с массой покоя М О • Если в К-системе отсчета полные энер­
гии частиц до столкновения равны Е 1 и Е 2 , а их импульсы
соответственно Рl

и Р2'

то

мы

сразу можем записать,

-

что при

переходе от К-системы (до столкновения) к Ц-системе (после
столкновения) будет выполняться следующее равенство:

(Е 1 +Е 2 )2 -(Рl +Р2)2 = M~c4 ,
\,

v

(8.35)

"-.r-------'

I

Ц - система

К - система

где учтено, что вЦ-системе образовавmаяся частица покоится.
2 2
...
И
Е2

-

нвариантность величины

р

с

дает нам незаменимыи

инструмент при изучении различных процессов распада и стол­
KHoBeHия релятивистских частиц, с помощью которого чрезвы­

чайно упрощается как анализ самих процессов, так и соответ­
ствующие

расчеты.

Пример. В К -системе отсчета частица массы то с кинетической энер­
гией К налетает на другую, покоящуюся, частицу той же

массы. Найдем массу М о и скорость

V

составной частицы,

06-

разовавшейся в результате столкновения.

Воспользовавшись инвариантностью величины Е 2

-

р2 с 2, за­

пишем

Е

2

-

2

Р С

2

2 4
= М оС
,

где левая часть равенства относится к К-системе отсчета (до
столкновения), а правая

-

к Ц -системе (после столкнове­

ния). В данном случае Е = К + 2m о с 2 • Кроме того, согласно
(8.15), р2 с 2 = К(К + 2m о с 2 ). Поэтому
(К

+ 2m о с 2 ) 2 -

К(К

2 4
+ 2m о с 2 ) = м оС
•

Отсюда

Скорость 06разовавшейся частицы
мы. Согласно

V

-

это скорость Ц -систе­

(8.32),

= рс 2/ Е = С ~ К j( К + 2т о С 2 ).

m


285

Релятивистская динамика

Задачи
Внимание! В задачах

8.4-8.11

значения, приведенные в конце

использованы сокращенные обо­

кращенные записи величин ре и те

8.1.

(например, р и т

§ 8.4
2

-

это со-

).

Движение под действием продольной силы. Частица массы т на­
чала двигаться под действием постоянной силы
мость

Ре

m

скорости

частицы

от

Найти зависи­

времени.

е н и е. Умножим обе части уравнения

d(

F.

moV

l~1-(v/e)2

(8.5)

на

dt,

тогда

J = Fdt.

Проинтегрировав это выражение с учетом того, что в начальный

момент

V

= О, получим mov/~1
v (t)

=

~1

-(v/e)2

= Ft. Отсюда

Ft/m o
.
+ (Ft/m oe)2

Сравним полученное выражение с ньютоновским. Согласно второ­

= F /т

му закону Ньютона, а

и скорость V H

предыдущее выражение для скорости

Отсюда видно, что
ствительная

v < VH

скорость

'

V

v(t)

т. е. дей-

v

частицы

с

= Ft/m o .

Поэтому

можно представить так:

растет со временем медленнее, чем

VH'

причем

при

V ~ е (рис.

8.7).

Интересно,

что

t

~ 00

импульс

скорость

частицы

при этом будет расти линейно со
временем: из уравнения
следует, что р

= Ft.

dp/dt = F

В этом харак­

t

терная особенность релятивистского движения:

в то время как ско-

Рис.

8.7

рость частицы стремится к опреде-

ленному пределу (т. е. практически устанавливается), импульс
частицы

продолжает

расти.

m


Глава

286

8.2.

8

Движение под действием поперечной силы. Релятивистская час­
тица

массы

то

с

q

зарядом

движется

в

постоянном

однородном

магнитном поле, индукция которого В. Движение происходит по
окружности радиуса р в плоскости, перпендикулярной вектору В.

Найти

импульс

и

круговую

частоту

обращения

частицы

по

окружности.

Реш е н и е. В данном случае частица движется под действием
силы Лоренца

F ..1 v,

F

= q [vB] ,

где

то модуль скорости частицы

принимает

v = const

и уравнение

(8.5)

вид

= q[vB] ,

та
где т

скорость частицы. Так как

v -

релятивистская масса частицы. Имея в виду, что а пред­

-

ставляет собой нормальное ускорение, равное по модулю v 2 / р, перепишем предыдущее уравнение так:
пульс

mv 2/ р = qvB.

Отсюда им-

частицы

р

= mv = qpB.

(1)

Видно, что произведение рВ может служить мерой релятивистско­
го

импульса частицы.

Период

обращения частицы по окружности Т

круговая частота обращения о)

= 2n/Т = v/p.

= 2np/v,

Учитывая

откуда

(1),

полу­

чим

о)

= qB/m.

Значит, круговая частота о) зависит от скорости частицы: чем бо­
льше

скорость

частицы,

а

следовательно,

масса т, тем меньше частота

(v

«

е.

при

зависит

8.3.

ее

релятивистская

Однако при малых скоростях

с) т ~ то и
о)

т.

0).

и

= qB /т о = const,

нерелятивистских

от

скорости

скоростях

частота о) практически

частицы.

Релятивистский протон с импульсом ро влетел в момент t
ласть,

где

имеется

не

поперечное

напряженностью Е, причем

однородное

Po.lE.

=

электрическое

О в об­
поле

с

Найти зависимость от времени

угла э., на который протон будет отклоняться от первоначального
направления

движения.

m


287

Релятивистская динамика

Реш е н и е. Выбрав оси координат (Х
вдоль вектора Е), запишем уравнение

- вдоль вектора ро' У (8.4) в проекциях на эти

оси:

dpx / dt
где е
ру

-

= о,

заряд протона. Из этих уравнений следует, что рх

= eEt,

= ро'

или

~ 1 _ ( v / с ) 2 = еЕ t .

(1)

Взяв отношение последних двух равенств, найдем

Интересно отметить, что в отличие от нерелятивистского случая

здесь V x уменьшается со временем. Чтобы в этом убедиться, возве­

дем оба равенства
и

правые

(1)

в квадрат и затем сложим отдельно их левые

части:

222

mo(v x +v y )

--------::2-

l-(v/c)

2

2

= р о + ( eEt ) .

Заметив, что v~ + v: = v 2 , получим

(~)
V

2 _ (

-

1

p~ + (eEt)2
тос
2 2

+

Подставив это выражение в первое из

,,1 +
I

J-

1

(1),

.
найдем

с

(тос/ ро)

2

+ (eEt/ ро)

2 '

т. е. действительно, V x уменьшается с ростом

8.4.

t.

Симметричное упругое рассеяние. Релятивистский протон с кине­
тической энергией К испытал упругое столкновение с покоив­

шимся протоном, В результате чего оба протона разлетелись сим­
метрично относительно первоначального направления движения.

Найти угол между направлениями разлета протонов после столк­
новения.

m


Глава

288

8

Реш е н и е. При симметричном раз­
лете протонов их импульсы и энергии

должны

быть одинаковы

(импульсы

по модулю). Это сразу видно из тре­

-

угольника импульсов (рис.

8.8),

выра­

жающего закон сохранения импульса.

р

Рис.

Из этого треугольника, согласно тео­
реме

8.8

р2

Воспользовавшись формулой
К'

-

косинусов,

= 2р,2 + 2р,2 COS 8,

(8.25)

следует,

что

откуда

и учитывая, что К

= 2К',

где

кинетическая энергия каждого протона после столкнове­

ния, найдем

р2 = К(К + 2т о ) = 4 К + 2т о .
К'(К' + 2т о )

р,2
Здесь то

-

К + 4т о

масса протона. После подстановки этого выражения в

cos 8

формулу для

получим

cos 8 = К j(K + 4т о ).
Заметим,

8 = 900,
8.5.

что

в

отличие

от

нерелятивистского

случая,

когда

8 < 900.

здесь

Рассеяние фотона на электроне. Фотон с энергией Е испытал рас­

сеяние на покоившемся свободном электроне. Найти энергию Е'
рассеянного фотона, если угол между направлениями движения

рассеянного и налетающего фотонов равен э.
Реш е н и е. Воспользуемся законами сохранения энергии и им­
пульса. В данном процессе

Ке

=Е-

~
р

Е',

ре

где Ке и Ре

-

р',
кинетическая энергия и

импульс электрона отдачи, р и р'
импульсы

фотонов.

(рис.

налетающего

и

-

рассеянного

Из треугольника импульсов

8.9),

следует,

Рис.

=Р -

согласно теореме косинусов,

что

8.9

m


289

Релятивистская динамика

Т ак как р

где те

= В,

Р

'

= в,

и

масса электрона, то после несложных преобразований

получим

в

8.6.

, = - - - - - - - в- = : - - - 1 + 2(в/т е ) sin 2( 3/2)

К методу встречных пучков. Два протона движутся навстречу
друг другу с одинаковыми кинетическими энергиями К (в К -сис­
теме отсчета). Найти кинетическую энергию К' одного протона в
К '-системе отсчета, где другой протон покоится.

Реш е н и е. Воспользуемся инвариантностью величины Е 2

_

Р2,

записав ее в К -системе (она здесь является одновременно и Ц -сис­

темой), а также в К '-системе:

где

то

масса покоя протона. Отсюда

К'

= 2К(К

+

Например, для протонов (то ~

К'

2т о )/т о .

1

ГэВ) при К

= 50

ГэВ величина

= 5· 10 З ГэВ. Возможность получения такого большого «выиг­

рыша» в энергии лежит в основе метода встречных пучков.

8.7.

Энергетическая схема ядерной реакции. Частица А 1 с кинетиче­
ской энергией К 1 налетает на покоящееся ядро А 2 (в К -системе от­

счета). В результате реакции образуются ядра Аз и А 4 :

Массы частиц равны соответственно т 1 , т 2 , тз, т 4 • Изобразить
энергетическую схему ядерной реакции для случаев:

а) (т 1

+ т2) > (тз + т 4 ),

б) (т 1

+ т2) < (тз + т 4 ).

Найти для второго случая пороговую кинетическую энергию К lпор
налетающей частицы в К -системе отсчета.

Реш е н и е. Из закона сохранения полной энергии следует, что в
Ц-системе

m


Глава

290
б)

а)
Е

Е

Рис.

-

-

где К 12 и К З4 -

сле

К З4

реакции.
-

8

8.10

суммарные кинетические энергии частиц до и по-

Обозначив

приращение

кинетической

энергии

К 12 через Q, запишем предыдущее выражение так:

Величину

Q

называют энергетическим выходом ядерной реакции

или, короче, энергией реакции.

Энергетическая схема ядерной реакции показана на рис.

Q >

В случае а эффект будет положительным,

8.10.

О: суммарная кине­

тическая энергия увеличивается за счет уменьшения суммы масс

покоя частиц системы. В случае б

наоборот.

-

В последнем случае, как видно из рис.

возможна лишь при условии К 12 ~

8.10,

IQI,

б, ядерная реакция

где знак равенства соот-

ветствует пороговому значению энергии К 12. При нерелятивистских

скоростях,

К 12

согласно

(4.16), К 12
2

= J.lV 2 /2,
OTH

т2

m 1V 1

т2

т 1 +т 2

2

т 1 +т 2

Отсюда, имея ввиду, что К 12 ~ 1 Q 1 и к 1

К1 •

= К 1 пор' получим

IQ 1.

К 1пор

8.8.

или

По роговая энергия. Релятивистская частица массы т налетает на
покоящуюся частицу массы М. В результате столкновения возни­
кают

частицы

с

массами

т1,

т2 ,

•••

по

схеме

m


291

Релятивистская динамика

Найти пороговую (минимальную) кинетическую энергию Кпор на­

летающей

частицы,

необходимую

для

осуществления

данного

процесса.

Реш е н и е. Прежде всего ясно, что о пороговой энергии может
идти речь только в том случае, когда сумма масс возникших частиц

превышает сумму масс первичных частиц. Чтобы найти Кпор ' воспо­

льзуемся инвариантностью величины Е 2

Р 2 • Запишем эту величи-

-

=

Кпор в системе отсчета, где частица М
2
2
- 2
покоилась, и после столкновения - вЦ-системе: Е - Р
Е ,или
ну до столкновения при К

=

Здесь учтено, что вЦ-системе кинетическая энергия возникших
частиц равна нулю на пороге реакции, поэтому их полная энергия

равна просто сумме масс отдельных частиц. Из последнего урав­
нения

находим

(т 1

К пор

8.9.

+ т 2 + ... ) 2 -

(т

+ М) 2

2М

Найти пороговую энергию фотона для рождения пары электрон

-

позитрон в поле покоящегося протона, если массы покоя электро­

на и позитрона равны то, а протона

-

МО •

Реш е н и е. Воспользуемся инвариантностью величины Е

2

-

Р

2

и запишем ее до взаимодействия в системе отсчета, где протон по­
коится, а после взаимодействия

-

в Ц-системе. При пороговом

значении энергии Е налетающего фотона

(Еиор

2

+ М о) -

2

Еиор

= (М О + 2т о ) 2 •

Отсюда

Еиор

= 2т о (1

+ т о / М о).

Видно, что для рождения пары необходимо, чтобы энергия фото­
на была больше 2т о (этого требует закон сохранения импульса).

8.10.

Энергия частиц в Ц-системе. Фотон с энергией Е в лабораторной
системе отсчета налетает на неподвижную частицу А, масса ко­
торой равна то. Найти:

2)

1)

скорость Ц-системы этих двух частиц;

энергию фотона и частицы А в данной Ц -системе.

Реш е н и е.

1.

Согласно формуле

JЗс

(8.32),

скорость Ц -системы

= р/Е = Е/(т о + Е).

m


Глава

292

2.

Из преобразования

8

для энергии следует, что в Ц-систе­

(8.26)

ме энергия фотона

где
р

f3 c -

=Е

скорость Ц-системы (в единицах с). Подставив сюда

И выражение для
_
Е

=

f3c

из предыдущего пункта, получим
Е

~1 + 2Е/т о

.

Частица А движется вЦ-системе со скоростью

f3 = f3 c , поэтому ее

полная энергия вЦ-системе

~1 + 2Е/т о
в правильности полученных формул можно убедиться, восполь­

зовавшись инвариантностью величины Е 2

-

Р 2 при переходе от

лабораторной к Ц -системе отсчета:

8.11.

Распад движущейся частицы. Релятивистский 7t-мезон массы то
распался на лету на два у-фотона с энергиями Е 1 и Е2 (в К -системе
отсчета). Найти угол е между направлениями разлета этих фото­
нов.

Реш е н и е. Исходя из инвариантности величины Е 2
пишем ее до распада в Ц-системе, а после распада в

-

р2, за­

К-систе-

ме:

где Рl И Р2

-

импульсы фотонов. Преобразуем правую часть это­

го уравнения, учитывая, что Рl = ~ И Р2 = Е2. Тогда

откуда

.

е

то

2

2~~E2

Sln-=

•

m


Приnожения
т

1.

Движение точки в полярных координатах

в полярных координатах р, <р положение точки А на плоско­
сти определено,

если заданы ее расстояние р от начала отсчета

О и угол <р между радиусом-вектором р точки и выбранным на­

правлением
(рис.

1,

началом отсчета угловой

00' -

координаты <р

а).
а)

б)

А
Рис.

Введем единичные векторы

1
орты ер

-

и е<р, связанные с

движущейся точкой А и направленные в сторону возрастания
соответствующих координат р и <р, как показано на рис.

1,

а.

В отличие от ортов декартовой системы координат орты ер и

е<р -

подвижные (при движении точки А они меняют свое на­

правление). Найдем сразу же их производные по времени

-

они понадобятся ниже. При движении точки А за промежуток

времени

dt

угол

(рис.

d<p

оба орта повернутся в одну сторону на один и тот же

1,

б) и получат приращения:

Разделив оба выражения на

.

ер

=

.

<ре <р

,

dt,

.

е <р

получим

= -

.

<ре р

,

(1)

где точка сверху над буквой означает дифференцирование по
времени.

Теперь найдем скорость и ускорение точки А, записав ее ра­
диус-вектор

р

в

виде

(2)

m


294

Приложения

Скорость точки

том

v.

Продифференцируем

"

=ре р

"

(3)

+p<peq>.

Отсюда видно, что проекции вектора
и

eq>

а модуль

= р,

вектора скорости

Ускорение точки а.
раз,

v

на подвижные орты

равны

vр

еще

по времени с уче­

(1):
v

ер

(2)

v q>

v =

= р <р,

(4)

-v1"р 2 + р 2 <р" 2 •

Продифференцировав

(3)

по времени

получим

Учитывая

(1),

после несложных преобразований найдем

(5)
т.

е.

проекции

вектора

"

"2

ар =Р-Р<Р

,

а

на

орты

ер

""

и

""

eq>

имеют

вид

1d(2")
Р <р.
Р dt

aq> = 2 Р<Р+Р<Р = - -

(6)

Основное уравнение динамики в полярных координатах.
Основное уравнение динамики та =
ные орты ер и

мулами

eq>

F

в проекциях на подвиж­

легко получить сразу, воспользовавшись фор­

(6):
(7)

где

Fр

и

F q> - проекции вектора F на
орты ер и eq> (рис. 2). На этом рисунке
Рр <о, а Fq> >0.
~_.L.....-_.L--_--o'
Рис.

2

m


295

Приложения

О задаче Кеплера

2.

в задаче Кеплера рассматривается вопрос о движении части­
цы в центральном поле сил, убывающих обратно пропорциона­
льно квадрату расстояния от центра поля. Этому закону подчи­
няются силы

ными

гравитационного

точками

(или

притяжения

телами,

между

обладающими

материаль­

сферической

симметрией), а также кулоновские силы между точечными за­
рядами.

В таком поле потенциальная энергия частицы и = - аl р, где

-

а

постоянная,

центра

поля.

когда а

> О,

на

частицу

центру

р

-

расстояние

Рассмотрим

от

случай,

т. е. сила, действующая
массы

поля

т,

направлена

(притяжение).

к

Какой

вид будет иметь траектория частицы

в полярных координатах р (<р), если

OL---.L...-------4m----O'

при <р = о р(О) = Ро, а скорость части­
цы

перпендикулярна

ру и равна и о (рис.

Рис.

радиусу-векто­

3

3)?

Для решения этой задачи обычно используют законы сохра­
нения энергии и момента импульса. В полярных координатах р
и

<р

из

этих

1

законов

(.2

12т р

где Е и М

-

следует:

2.2)

+р <р

2·
тр <р =М,

-аlр=Е,

полная механическая энергия и момент импульса

частицы относительно точки О

-

центра поля. Обе эти величи­

ны легко найти из начальных условий.

Решение данных уравнений проводят следующим образом.
Сначала в первом уравнении переходят от дифференцирования
по времени к дифференцированию по <р

-

это можно сделать с

помощью второго уравнения: dt = ( тр 2 1М) d<p. Затем разделя­
ют переменные

виду

р и <р,

d<p = f (р) dp.

т.

е.

приводят полученное выражение к

И наконец, интегрируют это уравнение с уче­

том начальных условий. Результат интегрирования и дает ис­

комое решение р (<р).
Мы не будем здесь воспроизводить довольно громоздкий ход
решения этих уравнений (при желании его можно найти почти в

m


296

Приложения

любом курсе теоретической физики или механики). Ограничим­
ся

лишь

анализом

полученного

р( <р)
где а =

=
а

решения,

Ро

+ (1 -

а)

cos <р

которое

имеет

вид

,

(1)

2

a/mpovo.

Из математики известно, что уравнение

определяет кри­

(1)

вую второго порядка. В зависимости от значения параметра а

это может быть эллипс (окружность), парабола или гипербола.

1.

Сразу видно, что при а =

1

величина р не зависит от <р,

т. е. траекторией является окружность. Такую траекторию час­

тица будет иметь при скорости

v o'

равной

(2)

2.

Для всех значений параметра а, при которых р конечно

вплоть до <р

следует из

= п,

(1),

траектория будет иметь форму эллипса. Как

при <р

= 7t
р( п) = ро /(2а

-1) .

Отсюда видно, что р( п) будет конечным лишь при 2а
т.

е.

при

скорости

Vo

<v

н'

VH =

3.

> 1,

где

~2a/mpo .
Если же 2а =

(3)

1,

т. е. Vo =VH' то

эллипс вырождается в параболу

-

час­

тица обратно не вернется.

4.

При

Vо

>V н

траектория

будет

иметь форму гиперболы.

Все эти случаи показаны на рис.

4.

Следует обратить внимание на то, что
для эллиптических орбит центр поля
совпадает с одним из фокусов эллипса:
при V о

Vo
Рис.

4

> VI

<V1
-

-

С задним фокусом, а при

С передним.

Заметим, что уравнение

(1)

описыва­

ет, например, траектории планет Сол-

m


297

Приложения

нечной системы (при этом а = уmМ, где М

-

масса Солнца).

Применительно к движению космических аппаратов скорости

v1

И V II являются соответственно первой и второй космически­

ми скоростями. Ясно, что их значения зависят от массы тела,
являющегося

3.

источником

поля.

Доказательство теоремы Штейнера

т е о р е м а: момент инерции

1

твердого тела относительно

произвольной оси О равен моменту инерции

1с

сительно

проходящей

оси

центр масс

расстояния

С,

тела,

а

параллельной

данной

и

плюс произведение массы

между

этого тела отно­
через

т тела на квадрат

осями:

1

=

1с

+mа

2

.

д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть положе­
ние

i-ro

элемента твердого тела относи-

тельно осей О и С характеризуется векто-

рами

О

Pi и P~, а положение оси С относи­

тельно

оси

плоскость

О

-

вектором

которого

осям О и С).

а

(рис.

5,

перпендикулярна

Воспользовавшись связью

между этими векторами

(Pi = P~ + а), пре­

образуем выражение для момента инер-

Рис.

5

ции тела относительно оси О следующим образом:

или

в правой части этого равенства первая сумма представляет
собой момент инерции тела

1с

относительно оси С, а последняя

сумма просто равна mа 2 • Остается показать, что средняя сумма
равна

нулю.

Пусть

r; -

радус-вектор

i-ro

элемента тела относительно цент­

ра масс, тогда относительно последнего суммарный вектор, со-

m


298

Приложения

гласно (3.8),

Lmir;

=0. Но P~ -

это составляющая вектора r;,

перпендикулярная осям О и с. Отсюда ясно, что если суммарный
вектор равен нулю, то сумма его составляющих в плоскости, пер­

пендикулярной осям О и С, также равна нулю, т. е. LmiP~ =0.
Теорема, таким образом, доказана.

4.
А, а

в,

L\,

альфа

1,

бета

К, х

-

каппа

L,

гамма

Л, А

-

ламбда

Т, 't -

дельта

М,

эпсилон

N,

V -

ню

Ф, <р

-

фи

дзета

8,

~

-

кси

Х, Х

-

хи

О, о

-

омикрон

'Р, У -

пи

О,

-

f3 -

Г, у

-

8 -

Е, Е -

Z,

~

-

11 - эта
8,8, Э - тет а
Н,

5.
Секунда

вершается
ния,

Греческий алфавит

t

J.l -

П,1t

Р, р

йота

-

мю

У,

ро

-

о' -

сигма
тау

u -

ипсилон

пси

ro -

омега

Основные единицы СИ в механике

- это промежуток времени, в течение которого со­
9 192 631 770 колебаний электромагнитного излуче­

соответствующего

переходу

между

двумя

определенными

сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.
Эталон времени и частоты состоит из атомно-лучевой трубки с
пучком атомов цезия и радиотехнического устройства, которое

дает набор электрических сигналов фиксированной частоты. Се­

кунда приблизителъно равна
Метр

-

это длина,

1/86400 средних солнечных суток.
равная 1 650 763,73 длин волн в вакууме

оранжевой линии атома криптона-86 (линии, соответствующей

переходу между уровнями 2РI0 и

5d 5

данного атома). Эталон

для воспроизведения метра представляет собой комплекс аппа­
ратуры, включающей интерферометры для точного измерения

длин. Метр приблизителъно равен
земного

1/40 000 000

доле длины

меридиана.

Килограмм

-

это масса платино-иридиевого эталона, храня­

щегося в Международном бюро мер и весов (в Севре, близ Пари­

жа). Масса эталона близка к массе 1 дм 3 чистой воды при 4 ОС.

m


299

Приложения

6.

Формулы алгебры и тригонометрии

Корни квадратного уравнения ах 2 + Ьх + с

=О :

-Ь ± ~b2 -4ас
2а

Некоторые приближенные формулы. Если а ~

(1 + а) n ~ 1 + па;

1,

еа ~ 1

+ а;

sin а ~ а;
cos а ~ 1 - а 2/2;

ln(1 +

а)

tga

~ а;

то

~ а.

Основные тригонометрические формулы:

. 2
Sln

sin

а

+ cos 2

cos 2 а = cos

Функция

= 1;
2tg~ ;
1 -tg а
. 2 (а)
Sln
- = 1 - cos а .
22'

а = 1/~1 + ctg 2a;

sin 2 а = 2 sin

7.

а

2

а
а

cos

а;

•

2

- Sln

tg2a =

cos 2 (~) = 1 + cos а .
2'
2
а;

sin( а ± fЗ) = sin

а

cos f3 ± cos

cos( а ± fЗ) = cos

а

cos f3

=+=

;
sin а sin f3 •
а

sin f3

Таблица производных и интегралов
Производная

2

l/х

-1/х

#

1/(2#)

хn

Х

е nХ

Функция

Производная

sin

х

cos

cos

х

-sin

х

х

tgx

l/cos 2 Х

nе nХ

ctgx

-1/sin 2 х

аХ

aXlna

arcsin

х

1/~I-x2

lnx

l/х

arccos

х

-1/~1 - х 2

u(х)

vu' -v' и
v2

--

v(x)

n-l

Х

Х

arctgx

1/(I+х 2 )

arcctgx

-1/(I+х 2 )

m


Приложения

300

8.

Некоторые сведения о векторах

Скалярное произведение векторов:

аЬ

= Ьа = abcosa;

а (Ь

+ с) = аЬ + ас.

Векторное произведение векторов:

[аЬ]

[а, Ь
Смешанное,

или

I [ab]1 = аЬ sina;

= -[Ьа];

+ с] = [аЬ] + [ас].

векторно-скалярное,

произведение

трех

векторов является скаляром и численно равно объему паралле­
лепипеда,

построенного

а [Ьс]

на

этих

= Ь [ са] = с [ аЬ] ;

векторах:

а [Ьс]

= - Ь [ ас] = - а [ сЬ] .

Двойное векторное произведение:

[а[Ьс]] =Ь(ас)

= -с(аЬ).

Произведение векторов. Если

где ер е 2 , е з

-

координатные орты (взаимно перпендикуляр­

ные и образующие правую тройку), то

еl

е2

[аЬ] = аl

а2

Ь1

Ь2

Правила дифференцирования векторов, зависящих от неко­
торой скалярной переменной

d
dt
d
-(аа)
dt

da db
=-+-;
dt dt
da
da
=-а+а-;
dt
dt

-(а+Ь)

t:
d
dt

da
dt

db
dt

-(аЬ) =-Ь+а-;

d
-[аЬ]
dt

db] .
= [da
-Ь ] + [ аdt
dt

m


301

Приложения

9.

Единицы механических величин в СИ
и системе СГС
Отношение
ед. СИ

Единица
Величина

СИ

СГС

ед. СГС

102

Длина

м

см

Время

с

с

1

Угол

рад

рад

1

Площадь

М

Объем

М

Скорость

м/с

Ускорение

м/с

Частота колебаний

Гц

Круговая частота

колебаний

с

2

2

104

см 3

106

см/с

102

см

3

2

-1

см/с

2

102

Гц

1

-1

1

с

Угловая скорость

рад/с

рад/с

1

Угловое ускорение

рад/с 2

рад/с 2

1

Масса
Плотность

Сила

кг

кг/м 3
Н

г

103

г/см 3

10-3

дин

105
2

10

Давление

Па

Работа, энергия

Дж

эрг

107

Вт

эрг/с

107

кг,м/с

г,см/с

105

Мощность
Импульс

дин/см

Импульс силы

Н·С

дин,с

105

Момент силы

Н,м

дин,см

107

кг,м 2 /с
2

г,см 2 /с
2

Момент импульса
Момент инерции
Импульс момента

КГ'М

Н,м,с

107

Г'см

107

дин,см,с

107

силы

m


302

Приложения

10.

Десятичные при ставки к названиям единиц

(10 -2 )
-3
милли (10 )

Т-

тера (1012)

с-

г-

гига (109)

М

М-

мега (106)

мк

к-

кило (103)

Н

-

нано

(10 -6 )
(10 -9 )

г-

гекто (102)

П

-

пико

(10

дека (101)

ф-

фемто

а-

атто

да

-

деци

д-

(10 -1 )

санти

-

-

микро

-12

)
(10 -15 )

(10 -18 )

-9

- нанометр (10 м),
кН - килоньютон (103 Н),
МэВ - мегаэлектрон-вольт (106 эВ),
-6
мкВт микроватт (10
Вт).

Примеры: нм

11.
Длина

Некоторые внесистемные единицы
-10

.. . . . . . 1 А (ангстрем) = 10
м
1 а. е. (астрономическая единица) ~ 1,5-1011 м
1 св. год (световой год) ~ 0,95-1016 М
1 пк (парсек) ~ 3,1_1016 м
. 1 сут (сутки) = 86 400
1 г (год) = 3,11-107 С

Время.

Масса

Сила

с

. . . . . . . 1 а.е.м. (атомная единица
= 1,66-10-27 кг
1 т (тонна) = 103 кг
. . . ..

.. 1

кгс (килограмм-сила)

массы)

= 9,81

Давление . . . . . 1 бар = 105 Па (точно)
1 атм = 1,013-105 Па
1 мм рт. ст. (торр.) = 133
Энергия. .
Мощность

=

Н

Па

. 1 эВ = 1,60-10-19 Дж
1 Вт-ч = 3,6-103 Дж

. . . . . 1

л. с. (лошадиная сила)

= 736

Вт

m


Приложения

303

12.
Космическое
тело

Астрономические величины

Масса, кг

Средний
радиус,

Средний радиус орбиты,

м

Солнце

1,99·1030

6,96.108

Земля

5,98·1024

6,37.106

1,50·1011

Луна

7,35·1022

1,74.106

3,84.108

13.

м

-

Физические постоянные

Скорость света в вакууме

с

= 2,998 ·108 м/с

Гравитационная постоянная

у

= 6,67 ·10-11

Ускорение свободного падения

= 9,807 м/с 2
N А = 6,022 ·1023 моль -1

Постоянная Авогадро

Элементарный заряд

Масса покоя электрона

g

е

1 602 ·10-19 Кл
{
= 4:80.10-10

СГС Э

те = {0,911 ·10-30 кг
0,511

Удельный заряд электрона

м 3 / (кг ·с 2 )

~

МэБ

= { 1,76 ·10

те

11

Кл/кг

5,27 ·1017 СГСЭ

Масса покоя протона

тр

Атомная единица массы

1 а. е.

= 1,673 ·10-27

кг

м. = {1,660 ·10-27 кг
931,4

МэБ

m


ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

200

Амплитуда

-

затухающих колебаний

Биения

209

Вектор аксиальный

-

перемещения

полярный

Вес

18

9

18

47

Время релаксации

-

211

собственное

Вязкость

140

Гироскоп

185
104

Градиент

212

237

Движение апериодическое

вращательное
плоское

213

17

21

поступательное

16

тела переменной массы

82

Декремент затухания логарифмический

Диаграмма векторная

-

207
131

импульсов векторная
пространства

-

времени

259

Динамика гармонических колебаний
Длина приведенная

-

213

202

204

собственная

Добротность

240
213

~идкость идеальная
Задача Кеплера

136

295

Закон взаимосвязи массы и энергии
всемирного тяготения

Гука

первый
третий

42

37
44

сохранения импульса

-

45, 46

47

Ньютона второй

-

271

момента импульса

73, 74
165

111, 121
Законы сохранения 68-70
Замедление времени 236, 237
энергии

m


Приложения

305

69

Изотропность пространства

Импульс

70

момента силы

160, 165
релятивистский 265
силы 71
системы 72
Интервал 251
времениподобный 251
- пространственноподобный 251
- светоподобный 251
Килограмм (эталон)

298

Кинематика твердого тела

-

16

гармонических колебаний
точки

200

9

Колебания вынужденные

214

гармонические

200
затухающие 211
малые 203, 204
свободные 204
Координата дуговая 13
Кривые резонансные 216
Линия тока

136
Лоренц-фактор 276
Масса

41

покоя

-

264

приведенная

127
релятивистская 264

Маятник математический

-

202

оборотный

204
физический 203
Метр (эталон) 298
Момент гироскопический
импульса

157

относительно оси

-

системы

силы

-

163

163

собственный

инерции

188

1 71

176

158

относительно оси

угловой

Мощность

163

157
97

m


Приложения

306
Напряженность поля

106

Одновременность

232, 247
Однородность времени 38
- пространства 37
Опыт Майкельсона 227
Оси тела главные 184
- - свободные 184
Ось вращения мгновенная

23

Парадокс близнецов

239
Параметр прицельный 133
Пара сил 170
Период биений 209
- колебаний 200
- - затухающих 211
Плечо импульса 157
- пары 170
- силы 158
Поверхность эквипотенциальная
Поле стационарное

Порог

105

98

134, 135

Постулаты Эйнштейна

Потенциал

229

107

Потенциальный барьер
Преобразования
Лоренца

112
Галилея 39

245

импульса и энергии релятивистской
скорости

-

275

25, 26

релятивистской

ускорения

252

25, 27

Прецессия гироскопа

185

Принцип дальнодействия

44, 226
относительности Галилея 38
- Эйнштейна 229
суперпозиции 43, 106
эквивалентности 56
Приращение 6, 101
Работа

93

гравитационной силы

95

однородной силы тяжести

96

при вращении твердого тела
упругой силы

180

94

m


Приложения

Резонанс

307

215, 216

Секунда (эталон)
Сила

298

42, 43

внешняя

72

внутренняя

71

гироскопическая

188
гравитационная 46
диссипативная 117, 118
инерции центробежная

53

204
консервативная 98, 117
Кориолиса 53
кулоновская 46
Лоренца 286
нормальная 50
потенциальная 98
равнодействующая 174
реактивная 83
сопротивления 48
сторонняя 109, 124
тангенциальная 50
трения 47
тяжести 47
упругая 47
центральная 99
квазиупругая

Симметрия пространства и времени
Синхронизация часов

Система замкнутая
консервативная
отсчета

37

230, 231

73
121

7

гелиоцентрическая

37
36
неинерциальная 37
центра масс 81
Скорости космические 149
Скорость точки 9
угловая 18
- - прецессии 185
- центра масс 78
-

инерциальная

Сложение колебаний одного направления

-

взаимно перпендикулярных колебаний

Событие

207
209

231

m


Приложения

308

240, 249

Сокращение лоренцев о

Столкновение абсолютно неупругое

-

128

129
лобовое 129
нелобовое 130
неупругое 133-134
упругое

экзоэнергетическое
эндоэнергетическое

134
134

Схема энергетическая ядерной реакции

289

125
Теорема Штейнера 177, 297
Течение ламинарное 140
- турбулентное 140
Трубка тока 136

Теорема Кёнига

Убыль

6, 101

Уравнение Бернулли

138

вынужденных колебаний

214

гармонического осциллятора
движения центра масс

201

79

динамики вращения твердого тела
затухающих колебаний

177

211

Мещерского

83
моментов 157, 158
- вЦ-системе 172, 173
неразрывности струи 137
ньютоновской динамики основное

релятивистской динамики
Ускорение

48
основное 267

10

кориолисово
нормальное

27
15

осестремительное
тангенциальное
угловое

27
15

19

Условия начальные

-

равновесия

Фаза

10, 48, 178, 201
твердого тела 175

200

210
Формула Пуазейля 142
- Торричелли 139
Фигуры Лиссажу

Центр качания

-

кривизны

204

14

m


Приложения

-

масс

309

77

Ц -система

81

Частица с нулевой массой

274

Частота затухающих колебаний

-

211

216
собственная 211
Часы «световые» 236
Число Рейнольдса 141
резонансная

Энергия внутренняя механическая
вынужденных колебаний

125

217

гармонического осциллятора

205

затухающих колебаний

212
кинетическая 108, 119, 125
- твердого тела 178, 182
- релятивистская 269, 270
механическая 120, 124
покоя 271
полная механическая 110, 122-124
пороговая 290
потенциальная 100, 112
- «внешняя» 116
- собственная 112-114
собственная механическая 119, 120
ядерной реакции 290
Эффект гироскопический 185
Доплера 257
поперечный 259
- продольный 258

m


Серия «Технический университет.

"Учебное издание

ИРОДОВ Игорь Евгеньевич

МЕХАНИКА. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ

Ведущий редактор Б. Копылов
Художник Н. Лозunская

Компьютерная верстка В. Н осеnко

Подписано в печать 12.11.09. Формат 60x90 1 j16
Гарнитура Школьная. Бумага офсетная. Печать офсетная
"Уел. печ.Л.

19,5.

Тираж

2000

экз. Заказ

Издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний •.
Адрес для переписки:

125167, Москва, пр. Аэропорта, 3.
Телефон: (499) 157-52-72. E-mail: binom@Lbz.ru
http://www.Lbz.ru

m