/
Author: Галишникова Т.Н. Ильинский А.С.
Tags: математика задачи по математике интегральные уравнения естественные науки точные науки
Year: 1987
Text
Т. Н. r АЛИШНИКОВА,
А. с. ИЛЬИНСКИЙ
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
,8 ЗАДАЧАХ
ДИФРАКЦИИ
ИЗДА ТЕЛЬСТВО
MOCKOBCKOrO
УНИВЕРСИТЕТА
1987
УДК 518.3
r а л и ш н и к о в а Т. Н., И л ь и н с к ий А. С. Численные методы 11 зада
чах дифракции. М.: ИЗД-ВО Mry. 1987. 208 с.
В книrе изложен метод интеrральны)( уравнеJЩЙ для решеНllЯ двумерных
задач дифракции волн на цилиндрическнх телах. Рассмотрена Дllфракция на
уединенном теле, на решетке тел, на телах в волиоводе. Описаны строrие по-
становки задач теории днфракции, дано обосиованне численных методов, при-
ведены мноrочислеиные примеры решения задач теории дифракции.
Для специалистов по радиофизике и прикладной математике, а также сту-
дентов и аспирантов, изучающих математичеСКl1е модели теории волн.
Ре ц е н з е н т ы: член-кор. АН УССР Л. Н. Литвиненко, кандидат физ.-мат..
наук В. М. Репин
Печатается по постановлению
Редакционно-издательскоrо совета
OCKoBcKoro университета
моноrРАФИЯ
ТАМАРА НИКОЛАЕВНА rАЛИШНИКОВА,
АНАТОЛИй СЕРАФИМОВИЧ ИЛЬИНСКИй
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАх. ДИФРАКЦИИ
Заведующий редакцией С. И. 3 е л е н с к н й
Редактор О. В. С е м е н е н к о
ХудожественныЙ редактор Ю. М. Д о б Р я н с к а я
Технические редакторы Е. И. А б р а м о в а, К. С. Ч и с т я к о в а
Корректоры В. П. К а Д а Д и н с к а я, Н. И. К о н о в а л о в а
ИБ Ng 2621
Сдано в набор 31.03.86. Подписано в печать 10.12.86. Л-66554 Формат 60Х90/lб Бумаrа
тип. N! 2. rарнитура Jlитературная. Высокая печать YCJI. печ. .11. 13,0. Уч.-изд. .11. 14.25.
Тираж 2025 экз. Заказ 346. Изд. N. 4487 Цена 2 р. 50 К.
Ордеиа ,Знак Почета» издательство MOCKoBCKoro университеТа.
103009. Москва, УJl. [ерцена. 517.
Тнпоrрафия ордеиа «Знак Почета> нзд-ва Mry.
119899, Москва. Ленинские ropbl.
1704050000 035
r 14 87
077(02) 87
@ ИздаТСЛЬСТDО OCI(OBCKoro.
уIlIIIlср('итста, 1987 r.
rЛАВА 1
ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОй ВОЛНЫ НА ОДИНОЧНОМ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕМ ТЕЛЕ
Изучение дифракционных задач начнем с рассмотрения ди-
,фракции плоской электромаrнитной волны на одиночном бесконеч
Ном цилиндре, находящемся в однородноЙ среде. В случае Kpyro-
Boro цилиндра радиуса а рассматриваемая задача решается ме-
тодом разделения переменных в полярных координатах r, ер [1
5]. Решение БЫJ10 впервые получено Рэлеем в 1882 r. в виде ряда
по триrонометрическим и цилиндрическим функциям, называемоrо
рядом Рэлея, сходящеrося при всех значениях ka (k ==2п/"л
волновое число, "л длина волны падающеrо поля).
Если ka« 1 (этот случаЙ называется приближением Рэлея), то
ряд сходится достаточно быстро. При ka-;:p 1 сходимость ряда Рэ-
лея может быть улучшена с помощью преобразовання Ватсона
[1, 6], соrласно которому исходный ряд преобразуется в интеrрал
по контуру в комплексной плоскости индекса и вычисляется с
помощью теории вычетов. Получающийся в результате ряд быст-
ро сходится npII ka 1, и из Hero выводятся простые асимптотиче-
ские формулы rеометрической оптики.
При размерах поперечноrо сечения цилиндра, сравнимых с "л,
ряд Рэлея сходится медленно, и для точноrо описания эл,ектромаr-
HHTHoro поля необходимо учитывать достаточно MHoro членов ряда,
что оказывается сложноЙ вычислительной задачей даже при совре-
менном раЗВИТIIИ ЭВМ, поскольку суммирование рядов является не-
корректной задачей. Таким образом, в резонансном CJ1учае, инте-
ресном для практических приложеннй, аналитическое решение в
виде ряда Рэлея является малоприrодным. В этом волновом диа-
пазоне эффективнее оказываются численные методы.
Если рассматривать не только KpyroBble цилиндры, но и ци-
.линдры С произвольным поперечным сечением, что важно ДJ1я
праКТl1ческоrо использования результатов исследования электро-
динамических систем, так как позволяет учитывать допуски в
форме поперечноrо сечения цилиндров, то м,етоды решеНIIЯ этих
дифра,кционных задач MorYT быть только численными.
Направления исследования электродинамических систем, по-
'строение математических моделей, наиболее полно учитывающих
реальные своЙства исследуемых объектов, определяются требова-
Ниями практики. Так, рассеяние и отражение волн сложными пре
пятствиями представляет интерес в первую очередь для специа-
пистов в области радиолокации, занимающихся разработкой и
з
конструированием систем с наперед заданными характеристика
ми рассеяния. При теоретическом изучении дифра,кции электро-
маrнитных волн от сложных объектов прибеrают к разлнчноrо ро-
да моделям, наиболее точно описывающим реальный объект.
К настоящему времени существует MHoro методов, ориентирован-
ных как на нсследоваНllе конкретных задач дифракции волн на
одиночном теле, обладающем определенными электродинамически-
ми н rеометрнческими свойствами, так и на системе тел простой
или произвольной rеометрической формы [5, 7 27} (см. также'
библиоrрафию в работе [22])
Интенсивно развиваются численные методы решения дифрак-
ционных задач, среди которых наиболее универсальным является
метод интеrральных уравнений. В Вычислительном центре MfY
с 60-х [одов ведутся работы по развитию метода интеrральных
уравнений для решения rраничных задач электродинамики. Иссле-
доваЛJfСЬ вопросы дифракции как на замкнутых цилиндрических
телах произвольной формы [28 32], так и на незамкнутых бес-
конечных цилиндрах (так называемых бесконечно тонких экра-
нах) Численным методам исследования дифракционных свойств
незамкнутых цилиндрических поверхностеЙ посвящена MOHorpa-
фия [33], в которой приводится И большая библиоrрафия по осве-
щаемым в работе проблемам.
В ЭТОlI rлаве на модельной задаче дифракции плоской волНы
на цилиндрическом теле подробно проиллюстрируем методику по-
лучения интеrральных уравнениЙ, построение численноrо алrорит-
ма их решения.
1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
1.1.1. Уравнения Максвелла. fраничные условия. Пусть в од-
нородной среДе с диэлектрическоЙ ПРОНИL!,аемостью в и маrнитнои
проницаемостью J..I расположен бесконечный идеально проводящий
цилиндр. Введем декартову систему координат xyz таким обра-
зом, что ось z параллельна образующей цилиндра. Сечение ци-
линдра плоскостью z==o обозначим через Do. контур, оrраничи-
вающий область Do, через 50, 50 кривая Ляпунова [35,
с. 350]. Считаем, что зависимость от времени ехр ( i(J)t). [де i
мнимая единица, (J) уrловая частота, t время. Физические
единицы измеряются в системе единиц 51. В этой rлаве (за ис-
ключением 1.6) рассматриваются установившиеся во времени
волновые процессы, поэтому комплексный временной множитель
ехр ( i(J)t) опустим.
Предположим, что на цилиндр из полупространства х:;;;,..о па-
дает произвольно направленная плоская волна, которая задана в
вИде
&пад== lS o ехр ( iaox+ i oY+ ivoz),
Хпад== о ехр ( iaoX+ il3oY+ iyoz) ,
( 1.1.1 )
[де по определению
ао== k sin <ро cos 80,
o== k sin Ipо sin 80,
(1.1.2)
Vo == k cos (ро,
k == u) l e == 2л/"л..
Здесь сро уrол между осью z и направлением распространения
падающеЙ волны, 80 уrол между отрицательным направлением
оси х и проекцией на плоскость z,-:O направления распростране-
ния падающей волны; уrлы <ро и 80 меняются в пределах O CPo
Л, л./2 80 тr./2. Далее, л длина волны в однородном про-
странстве, k волновое число, k2==a02+ 02+V02; 60 и o
комплексные амплитуды падающей волны.
Обозначим полное поле через & == & (х, у, z), 'к == 'к (х, у, z),
отраженное, ИЛII рассеянное, поле вне цилиндра через
-"отр j;' j;'1!аД Tp 'IJ' -,рП8Д П
== ,.. == IJI, олНое, отраженное и падаю-
щее поля вне цилиндра удовлетворяют однородным уравнениям
МаксвеЛ.1а:
rot Н -+ iroe& == О,
(1.1.3)
rot 6 irof!1t == О.
На боковой поверхности Л идеально проводящеrо цилиндра тан-
rенциа.'Iьная компонента вектора электрической напряженности
ПО.'1ноrо поля обращается в нуль:
[п, &] ==0 на Л,
(1.1.4)
rде n внутренняя нормаль к понерхности А.
1.1.2. Условия излучения. При решении задачи дифракции в
неоrраниченной области для обеспечения единственности рассмат-
риваемой задачи необходимо ввести некоторые дополнительные
оrраНIIчения, определяющие поведение полей на бесконечности
[30]. Если однородное пространство заполнено поrлощающей cpe
даЙ (проводимость среды 0'*0, k комплексное число), то от
компонент рассеяниоrо поля достаточно потребовать стремления
к нулю на бесконечности [31, с. 15]:
@ОТРИ О(+-), (1.1.5)
fЛ отр (r) О ( + ) ,
[де r расстоян\1е от источника до бесконечно удаленной ТОЧК!I
наблюдения. Условие (1.1.5) называют условием оrраниченно
сти [1].
Если среда является изотропноЙ инепроводящей (0'==0, k
действительное число), то для однозначности решения необходимо
потребовать, чтобы амплитуда отраженноrо электромаrнитноrо по
5
ля стрем,умась к нулю на бесконечности как l/r, а фаза отражен-
Horo электромаrнитноrо поля должна быть такой же, как у расхо-
дящейся беrущей волны, т. е. любая поперечная (относительно
направления () составляющая u отраженноrо поля должна удов-
летворять условию
lim r ( ikU ) === о.
,....."" дт
(1.1.6)
Соотношение (1.1.6) называется условием излучения или услови-
ем 30ммерфельда.
Вид соотиошения (1.1.6) не является неиз менным, он конкре-
тизируется в зависимости от области, в которой ищется решение
системы уравнений Максвелла. Если неоrраниченная область не
совпадает со всем пространством, то условия излучения имеют
форму, отличную от условий Зоммерфельда. В последующих rла-
вах при изучении различных дифракционных задач мы будем ус-
ловия излучения (1.1.6) записывать в конкретном виде для каждой
рассматриваемой электродинамической модели.
В двумерном случае условия, обеспечивающие единственность
краевоЙ задачи, аналоrичны условиям оrраниченности (1.1.5) и ус-
Ловиям излучения (1.1.6) Условие (1.1.5) имеет тот же вид, что
и в трехмерном пространстве, а условие (1.1.6) записывается так
I 1, с. 44; 34, с. 509]:
1im Vr ( ..!!!:..... iku ) === О.
,....."" д,
(1.1.7)
1.2. СВЕДЕНИЕ ВЕКТОРНОП ЗАДАЧИ
к ДВУМ СКАЛЯРНЫМ ЗАДАЧАМ
1.2.1. Получение двумерных уравнений rельмrольца. Электро-
маrнитную плоскую волну называют произвольно падающей, ес-
ли все величины аа, Ро, Уа в формулах (1.1.2) отличны от нуля.
Если ,"a O, то волна (1.1.1) называется наклонно падающей. По-
кажем, что векторную задачу дифракции произвольно падающей
плоской волны на идеально проводящем бесконечном цилиндре
можно свести к двум скалярным задачам дифракции наклонно па-
дающей плоской волны.
Будем искать решение системы уравнений Максвелла (1.1.3) в
предположении, что полное поле имеет такую же зависимость от
координаты z, как и падающее, т. е.
6 (х, У, z) == Е (к, у) ехр (iyoZ),
(1.2.1)
(х, у, z) == Н (к, У) ехр (iyoz).
МЫ здесь используем методику, развитую в работе [37] для от-
ражательных плоских решеток. Распишем по координатам систе
5
му (1.1.3) И, учитывая структуру полноrо поля (1.2.1), получим
дН z . Н L' Е О
tyo у т tffie х == ,
ду
aH z + iYoHx + i(r)BEy== О.
дх
дНу дН
+iФвЕ z == О,
дх ду
(1.2.2)
aE z . Е . Н О
tyo и tOJJ! х== .
ду
aE z + . Е . Н О
tyo x tClJfl у== .
дЕ у дЕ х .
HiJfJ.Hz==O.
дх ду
Покажем, что Ех, Е у , Нх, Ну выражаются через величины Ez,
Hz. Для этоrо умножим первое соотношение в (1.2.2) на iOJfl.
пятое соотношение на iVo и полученные результаты сложим.
Поскольку k 2 == (r)2€[.t. имеем
(k 2 2 )Е . aE z + . aHz (1 2 3)
yo x==tyofu tffi!1 . .
Далее, умножим первье соотношение в (1.2.2) на iVo, пятое co
отношение на i(J)B и сложим полученные выражения. Это приве
дет нас к результату вида
(k2 уб) Ну == iyo a z + i(J)B a z . (1.2.4)
Аналоrично если умножить второе уравнение в (1.2.2)
четвертое на i(J)B н сложить результаты, то получим
(k 2 2 ) Н . aH z . aE z
'Y х ==t'Yo t(J)B .
О дх ду
на iyo.
(1.2.5)
Наконец, если умножить второе соотношение в (1.2.2) на iw/-!.
четвертое н а iyo и с.пОЖИть полученные соотношения, это даст
(k2 'Y2) Е == i(J)!1 aH z + iyo aE z . (1.2.6)
о и дх ду
Итак, мы показали, что с помощью формул (1.2.3) (1.2.6)
компоненты Е Х} Е у} Н х} Ну полноrо поля выражаются через KOM
поненты E z . Hz.
В свою очередь компоненты Ez, H z удовлетворяют двумерному
уравнению rельмrольца. Покажем это. Если продифференциро,
llaTb в соотношениях (1.2.2) четвертое выражение по У, пятое
7
по х и вычесть одно соотношение из друrоrо, а также учесть Tpe
дНу дН
тье выражение из (1.2.2), которое дает, что == i(j)eEl'
дх ду
то в результате получим
д 2 Е ?, + д2Е?, + 2 Е . ( дЕу t- дЕж ) О
(j)qt tyo . .
ay'J дх 2 z ду дх
дЕ дЕ
Выразим ........!...... + через Ez. Для этоrо продифференцируем
ду дх
в (1.2.2) первое соотношение по х, второе по У, сложим полу
ченные формулы, а также учтем, что из TpeТbero соотношения
дНу дН
(1.2.2) следует - == i(j)BEz' Все эти преобразования
дх ду
приводят К результату
дЕж дЕ у .
+ == tYoEz'
дх ду
Подставив это выражение в (1.2.7), окончательно получим
д 2 Е ?, + д 2 Е ? + ( k 2 2 ) Е == О.
дх2 д у 2 Уа z
(1.2.7)
(1.2.8)
Таким обр азом, мы показали, что Е? удовлетворяет двумерному
уравнению rельмrольца.
Выведем уравнение, аналоrичное (1.2.8), для компоненты поля
Hz. Продифференцируем в (1.2.2) первое соотношение по У, BTO
рое по х, вычтем полученные результаты один из друrоrо, бу
дем иметь
Поскольку из шестоrо соотношения (1.2.2) следует
== icq.LHz, последнее равенство можно записать в
д 2 Н ?, + r a 2 H z . ( дНу дН \ . ( дЕ дЕ!! )
tYa + ) +t(j)B ==0.
'еду дх ду дх ду дх
дЕ у дЕж ==
дх ду
виде
д 2 Н ?, + д 2 Н ?, i ( ' дНу + дН>: ) + k2H == О
ду2 дх2 Уа ду дх "
(1.2.9)
{'де k 2 ==(()2"/l. Остается выразить через Н. выражение, стоящее в
круrлых скобках в (1.2.9). Для этоrо продифференцируем в
(1.2.2) четвертую формулу по Х, пятую по у, сложим получен
ные результаты и учтем связь между дБх/ду и дБу/дх, задавае
мую соотношением шесть в (1.2.2). В результате получим
дН>: + дНу == iV Н .
дх ду о z
Подставив это выражение в (1.2.9), окончательно имеем
a2H z + a 2 H z + ( k2 2 ) Н == О.
дх2 ду2 'Уа z
Следовательно, если искать решение системы уравнений Макс-
велла в виде (1.2.1), то компоненты полноrо поля Ех, Е у , Нх, Ну
выражаются через компоненты Ez(X, у), Hz(x, у) с помощью со-
отношений (1.2.3) (l.2.6), а компоненты Ez(X, у), Hz(x, у) YДOB
.'Iетворяют уравнениям rельмrо.льца (1.2.8), (1.2.1 О).
1.2.2. rраНИ'lные условия для идеальноrо проводника. На rpa-
нице А идеально проводящеrо тела танrенциальная компонента
веКтора полноrо электрическоrо поля обращается в нуль, т. е.
'[п, (;] ='0 на Л. Распишем это условие по координатам:
(1.2.10)
nyE z nzEy='O,
nzEx nxEz ==0,
nхЕу nуЕх=, О,
rде П=={n х , пу, n z } вектор внутренней нормали к поверхности Л.
Поскольку А имеет образующую, пара.ллельную оси z, то nz==O,
следовательно, из первых двух соотношений (1.2.11) имеем
( 1.2.11 )
Ez==O на Л. (1.2.12)
Третье условие в (1.2.11) преобразуем, используя (1.2.3) и (1.2.6)
и учитывая (1.2.12), получим
n Е п Е п iW!1 aH z п iщ.... aH z
Jt 11 У х === х 2 дх у k 2 У 2
k2 'YO о ду
=== ( п х aHz + n aH z ) ==0 на Л,
k 2 У5 дх у ду
т. е.
aH z + aHz aH z О
nx n!l на А.
дх ду дп
(1.2.13)
Таким образом, ни в волновых уравнениях (1.2.8), (1.2.10), ни
в rраничных условиях (1.2.12), (1.2.13) компоненты поля Ez, H z
не связаны между собой, а Ех, Е у , Нх, Ну выражаются через Ez,
Hz по формулам (1.2.3) (1.2.6). Следовательно, исходная вектор-
ная задача дифракции произвольнои плоской волны на идеально
Пр080дящем бесконечном цилиндре сведена к двум скалярным за
дачам:
а) Ez=l=O, Н z == О (Е по.ляризация).
В этом случае вводим неизвестную волновую функцию полноrо
поля
u (х, у) ='E z (х, у),
9
которая удовлетворяет уравнению
д 2 и д 2 и
+ + (k2 V2) и== О,
дх2 д у 2 О
rраничным условиям
и(х, Y)ls.==O,
а падающее поле имеет вид
ио(х, у) ==Ао ехр ( iaox+ i oy),
rде Ао амплитуда падающей волны.
б) Ez==O, Hz:::f=-D (Н поляризация).
В этом случае вводим неизвестную волновую функцию полноrо
поля
и(х, у) ==Hz(X, у),
удовлетворяющую уравнению
д 2 и + д 2 и + (k 2 'fo) U == О
дх2 ду2 . О
И rраничным условиям
ди(х, у)
дп
I == О,
s.
а падающее поле задается в виде
ио(х, у) ==Ао ехр ( iaox+ i oy),
rде Ао амплитуда падающей волны.
Замечания. Коrда параметры среды и rеометрни преПЯiСТВИЯ
не зависят от одной координаты (в настоящем случае координа-
ты z), а у падающей плоской волны все составляющие волновоrо
вектора k отличны от нуля, то rоВОрЯТ, что рассматривается за-
дача дифракции электромаrнитноrо поля в квазитрехмерном слу-
чае [31]. МЫ спецнально при рассмотрении этой классической за-
дачи дифракции подробно остановились на способе сведения KBa
зитрехмерной задачн к двум скалярным задачам. В дальнейшем
при исс.ледовании друrих дифракционных задач мы на этом во-
просе останавливаться не будем, а сразу будем начинать изложе-
ние с постановки задач дифракции в случае Е- и Н поляризо-
ванных полей. Следует отметить, что друrой способ сведения век-
торной задачи к двум скалярным, н случай произвольноrо паде
ШIЯ к наклонному падению в плоскости z==O, дан в работе [38,
с. lI 12].
Мы оrраничиваемся рассмотрением только тех дифракционных
явлений, исследование которых сводится к скалярным двумерным
задачам. Такая постановка вопроса не лишена практическоrо ин-
тереса и может быть использована для исследования тех дифрак-
!О
ционных задач, в которых протяженность препятствия вдоль OДHO
ro направления не сказывается на исследуемых характеристиках
поля. поэтому ее можно считать бесконечной. Для исследования
дифракционных задач, имеющих существенно трехмерный харак-
тер, требуется привлечение аппарата векторных волновых полей,
что усложняет исследование, поэтому важно выделить, разрабо-
тать и реализовать численные методы решения и с их помощью
полно исследовать тот Kpyr физических моделей, который может
быть описан с помощью двумерных волновых уравнений.
1.3. СВЕДЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
К ИНТПРАЛЬНblМ УРАВНЕНИЯМ
1.3.1. Получение интеrральных уравнений. Предположим, что
на бесконечный идеально проводящий цилиндр наклонно падает
плоская волна
ио (х, у) ==ехр ( iaox+ i oY).
(1.3.1)
rде ао == k cos во. o== k sin во, k 2 == 0028!l. 80 уrол между направле
нием распространения падающей волны и отрицательным напраа-
.r.ением оси х.
В 1.2 мы показали, что данная задача сводится к двум СЮt
лярным задачам. В случае Е ПОJIяризаЦИII. коrда Ez=l=O. а H z == О,
получаем, используя соотношения (1.2.4), (1.2.5) и условие уо==
== о, выражения для компонент полноrо поля через скалярный по-
тенциал и(х, у) ==Ez(X, у) в виде
Ех==Еу==О, Ez==u(x. у),
Н ди(х. у) Н ди(х, у)
х (J)fL ду , 11 WfL дх
(1.3.2)
rде u (х, у) решение уравнения
Лu(х, у) +k 2 u(x, у) ==0
(1.3.3)
с rраничным условием
и(х, Y)/s,==O
(1.3.4)
и условием излучения на бес,конечности (1.1.7) для рассеянно
ro поля иl (х, у) == u (х, у) ио (х, у). Если среда, в которой Haxo
дится цилиндр, ЯJ\ляется поrлощающей (что для дальнейших рас-
смотреннй несущественно), то вместо условий излучения на беско
неЧНОСТIJ (1.1.6) надо потребовать выполнения условий оrраничен
ности на бесконечности для рассеянноrо поля (1.1.5).
В случае Н-поляризации имеем Ez==O, Hz=FO, поэтому полу
чаем из (1.2.3) и (1.2.6) выражение для компонент электромаr
нитноrо поля через скалярный потенциал и(х, у) ==Hz(X, у) в сле
дующей форме:
11
Ex== ди(х. у) , Еу== ди(х, у) (1.3.5)
w8 ду ШВ дх .
Ez Hx Hy==O, Hz==u(x, у),
r де u (х, у) полное ПOJIе, являющееся решением однородно,о
уравнения fельмrольца с rраничным условием
ди(х, у) 1 ==0, (1.3.6)
дп 5,
2 рассеянное поле удовлетворяет условиям излучения (1.1.7).
В дальнейшем будем предполаrать, что решения краевых за-
дач (1.3.3), (1.3.4), (1.1.7) и (1.3.3), (1.3.6), (1.1.7) существуют.
Единственность их доказана, напр имер, в [34].
Сведение краевых задач к интеrральным уравнениям как в
случае E . так и Н поляризаций осуществим с помощью формул
rрина. Обозначим через D область, внешнюю к Do. через SR KPY
rовой контур радиуса R, целиком лежащий в области D, через
D R область с rраницами So и SR. Введем в рассмотрение функ
цию fрина свободноrо пространства g(M, Р), удовлетворяющую
двумерному уравнению fельмrольца
g(M, Р) + k 2 g(M, Р) 2л6 (rM P).
'мр == V (XM XP)Z + (YM Yp)2 (1.3.7)
и условию излучения на бесконечности (здесь 6(х) дельта
функция Дирака). Функция fрина имеет вид
М in (1) k
g( ,P)== Ho ( 'МР),
2
(1.3.8)
rде Ho(l) функция Ханкеля нулевоrо порядка первоrо рода.
Применим в области D R вторую формулу fрина к функциям
g(M, Р) и и(Р), rде и(Р) скалярный потенциал BeKTopHoro
поля, равный Ez(X, у) в случае Е поляризации или H z (х, у) в
случае Н поляризации. Поскольку u (Р) и ди (Р) /дп являются пре
дельными значениями решения краевой задачи в областп DUSo.
то u (Р) и ди (Р)/дп непрерывные функции. Имеем
S ( дU(Р) g(M, P) u(p) ag(M. Р) ) dsp==
дп дп р
SOUSR
s (g(M, P) u(P) u(P) g(M. P»di:p, МЕО Я . (1.3.9)
DR
rде n нормаль, внешняя к области D R . Используя (1.3.3) и
(1.3.7), правую часть в (1.3.9) перепишем в виде
S (g(M, P) u(P) u(P) g(M, P»dTp 2nu(M), МЕО я . (1.3.10)
Dл.
12
Левую часть в (1.3.9) преобразуем, прибавив 11 вычтя В подынтеr-
ральной функции член ikul (P)g(M, Р) и записав потенциал пол-
Horo поля а(Р) в виде суммы U(P)==UI(P)+UO(P), [де ао(Р) и
иl (Р) соответственно падающее и рассеянное поля, в результа
те получим
s ( дUд ) g(M, P) U(P) ag Р» ) ds p ==
s.usR
== s ( дид ) g(M, P) и(P) дe Р) ) ds p +
S.
+ S [( ди P) ikul(P»g(M, P) ( дH<:: Р)
SR
ikg (М, Р») и 1 (Р) + ( ди; P) g (М, Р) дe Р) а о (Р») ] ds p ==
== s ( дид ) g (М, Р) и (Р) дe P) ) dsp +
S'-
+ S( д P) g(M, P) дe P) uo(P»)ds p , MeD R . (1.3.11)
SR
в выводе последнеrо равенства в (1.3.11) учли, что и. (Р) и
.g(M, Р) удовлетворяют условиям излучения (1.1.7). Последний
интеrрал в (1.3.11) можно упростить, если применить вторую фор
мулу [рина к функциям ао(Р) и g(M, Р) в области DoUDR, что
приводит к результату
S ( ди P) g(M, P) дH Р) а О (Р») ds p ==
SR
==2:n:u o (M), MeD o U D R . (1.3.12)
Поскольку R произвольный радиус, то (1.3.9) с учетом (1.3.l0)
,{I.3.12) примет вид
u (М) == S ( ди (Р) g (М, P) и (Р) де(М. P» ) dS p +
211 дп дn р
S.
+ио(М), MeD.
( 1 .3.13)
Формула (1.3.13) позволяет определить полное поле в любой
внутренней точке области D по значениям u (Р) и ди (Р)/дп на
контуре 50 как в случае Е-. так и Н-поляризованноrо полей. Пол-
ное поле u (М) в (1.3.13) представляется в виде суммы HHTerpa-
лов, являющихся потенциалами простоrо и двойноrо слоев с He
прерывными плотностями распреде.ления.
13
Для получения интеrральных уравнений опустим точку М на!
50 и используем свойство непрерывности потенциала простоrо слоя
и теорему о разрыве потенциала двойноrо слоя [34], а также rpa-
ничные условия (1.3.4) или (1.3.6) на So, что приводит К следую
щим уравн,ениям:
....!.... ] ди(Р) g(M, P)dsp== uo(M), МЕ50,Е поляризация;(1.3.14)'
2ft дп
s.
и (М) +....!.... r u (Р) дg(М. Р) ds p == и о (М), М Е 50' Н-поляризация.
2 2л J дп р
5,
(1.3.15),
Итак, при дифракции плоской волны на идеально проводящем
металлическом цилиндре в случае Е поляризации получаем интеr-
ральное уравнение первorо рода (1.3.14) относительно неизвест-
ной функции ди (Р)/дп 15,. В случае Н поляризации получаем ин-
теrральное уравнение BToporo рода (1.3.15) относительно неизвест-
ноЙ функции u (Р) 15,'
1.3.2. Исследование интеrральных уравнений (1.3.14) и (1.3.15)..
Поведение ядра интеrральноrо уравнення (1.3.14) определяется'
соrласно (1.3.8) поведением функции Ханкеля Но(l) (krMP). Извест-
но, что g (М, Р) == i; H ) (krMP) имеет особенность типа:
ln (1IrMP) при совпадении aprYMeHToB. Действительно,
g(M, P)== Hb 1 ) (krMP)== iл JO(krMP) ..!!:.. No(krMP)'
2 2 2
[де Jo(z) функция Бесселя нулевоrо порядка, No(Z) функ-
ция Неймана нулевоrо порядка. Поскольку J o (1) 1, а
'" k
'1tN o (z)==2J o (z) ( IП.....:...+с ) 2 ( I)k ( ) 2k
2 (kl) 2 т
k l rn l
c 0,577215664901532. постоянная Эйлера, особенность функ-
ции rрина (1.3.8) при rMP O определяется особенностью функ-
ции No(krMP) и имеет порядок 1п (llrMP) Характер этой особенно-
сти таков, что
5 5 I g (М, Р) 12 ds M ds p < 00,
5, S,
(1.3.16)
т. е. ядро интеrральноrо уравнеНIIЯ (1.3.14) име€т интеrрируемую
особенность. Следовательно, уравнение (1.3.14) является интеr-
ральным уравнением первоrо рода с квадратично-интеrрируемыM
ядром.
Рассмотрим ядро интеrральноrо уравнения (1.3.15). Оно яв-
ляется нормальной производной функции rрина свободноrо про-
14
оСтранства, которую, используя соотношения
Hb l ) (z) == H\I) (z),
dx
(1.3.17)
== cosa+ cos ,
дп р дх р ду
тде cos а, cos 13 направляющие косинусы внутренней нормали
:к 80, можно записать в виде
де (М, р) == aHb l ) (k, мр) kH(I) ( kr ) д, мр ==
дп 2 дп I мр дп
Р Р Р
in k
== [(хм Xp) cos а + (Ум Yp) cos ] (J 1 (ktMP) + iN 1 (krMP»'
2 'МР
(1.3.18)
I<оrда Me:So, Ре:50 и M=I=P, функция ag(M, Р)/дnр определена
и непрерывна. Если Мс==Р, Ме:5 0 , Pe:So, то в формуле (1.3.18)
.появляется неопределенность, так как J1(0)c==0, а NI(О)с== оо.Од
нако можно по казать '[39, с. 300; 34, с. 349], что для контура So
с иепрерывно меняющейся кривизной (а мы рассматриваем слу
чай, коrда 50 кривая Ляпунова и для нее это требование спра-
ведливо) ядро (1.3.18) интеrральноrо уравнения (1.3.15) имеет
предел при P M и этот предел определяется кривизной контура
.50 в точке М, т. е.
1 . Jg(M, Р) 1 . cosvpM 1 ( М)
1т == 1т xo,
Р......М дп р Р......М 'РМ 2
(1.3.19)
rде хо(М) кривизна контура 80 в TOQKe М, '\JPM уrол между
.........
вектором МР и внутренней нормалью в точке М. Будем предпо
.лаrать, что функция хо(М) оrраничена на контуре 80.
Если доопределить функцию ag (М, Р) /дпр при М == Р, положив
дg М, M) == x o( M ) , ( 1.3.20 )
п м 2
то ПОЛУQенная функция ag(M, P)jaпp (для нее мы сохраним обо-
значение ag(M, Р)/дnр) будет непрерывной при всех значениях
Me:So. А для непрерывной функции ag(M, Р)/дпр имеет место
соотношени,е типа (1.3.16), т. е. мы показали, что интеrральное
уравнение (1.3.15) является интеrральным уравнением Фредrо.пь-
ма BToporo рода.
Итак, при дифракции плоской волны на идеально проводящем
цилиндрическом теле для Н-поляризованноrо поля ero значение
на rранице 50 удовлетворяет интеrральному уравнению, к которо-
:му применима вся теория Фредrольма.
15
1.3.3. Эквивалентность краевых задач и интеrральных уравне-
ний. Интеrральные уравнения (1.3.14) и (1.3.15) получены в пред-
положении, что соответствующие краевые задачи (1.3.3), (1.3.4).
(1.1.7) и (1.3.3), (1.3.6), (1.1.7) имеют решения. Известно, что эти
решения единственны [34] . Поскольку интеrральные уравнения
(1.3.14) и (1.3.15) являются прямым следствием краевых задач и
получены из формул fрина, это означает, что они разрешимы при
любой правой части, т. е. при любом падающем поле. При этом
решения интеrральных уравнений MorYT быть не единственны.
Для эквивалентности краевых задач и интеrральных уравнений
необходимо доказать единственность решений интеrральных ypaB
нений (1.3.14) и (1.3.15).
Рассмотрим сначала интеrральное уравнение (1.3.15). Это
IIнтеrральное уравнение Фредrольма BToporo рода. Соrласно аль-
тернативе Фредrольма [40, с. 19] либо это уравнение имеет един
ствеНное решение при любой правой части, либо соответствующее
однородное уравнение имеет по крайней мере одно нетривиальное
решение. Во втором случае выполнения альтернативы Фредrо.lJЬма
существует ненулевое решение однорОДНоrо интеrральноrо урав-
нения
u(М)+....!.... r U(p) ag M. P )dsp==O, МЕ8 0 .
11: . пр
5.
(1.3.21)
Покажем, что уравнение (1.3.21) имеет ненулевое решение, ес-
ли k 2 является собственным значением следующей внутренней за-
дачи Дирихле:
Ди (х, у) +k 2 v (х, у) ==0 в Do,
(l.3.22}
v (х, у)l 5. == о.
Действительно, будем искать решение краевой задачи (1.3.22) 11
виде потенциала двойноrо слоя
v(M)==....!....t.f1{p) a g (M, Р) М р , MED o ,
11: J дп р
s.
(1.3.23>
с непзвестнои плотностью f1(P). В (1.3.23) опустим точку М на
rраницу 80 и учтем скачок потенциала двойноrо слоя и rранич-
ные условия в (1.3.22), в результате получим уравнение для на-
хождения плотности f1 (р) потенциала двойноrо слоя v (М):
Jl (Р) + ....!.... S f1 (р) дg , Р) ds p === О, (1.3.24)
11: р
5.
аналоrичное уравнению (1.3.21)
Итак, если уравнение (1.3.21) или (что то же самое) ypaBHe
ние (1.3.24) имеет ненулевое решение, то имеет ненулевое реше-
ние внутренняя задача Дирихле (1.3.22), т. е. k 2 является ее соб
16
ственным знаL[ением. Иными словами, при частотах, являющихся'
резонансными для области Do, интеrра.%ное уравнение (1.3.15)
имеет неединственное решение. Для однозначной разрешимости
уравнения (1.3.15) и при этих значениях k 2 ero решение должно
быть подчинено дополнительному условию [36 37] для идеально
проводящеrо тела полное электромаrнитное поле должно обра-
щаться в нуль внутри тела. Таким образом. при резонансных ча-
стотах необходимо исключить из реше.ния собственные колебания
в облает!! Do.
Чтобы получить это условие, применим формулу [рина к ре-
шению задачи (1.3.3), (1.3.6), (1.1.7) и функции [рина g(M, Р),
задаваемой формулой (1.3.8), в области DR' поместив полюс М
внутрь области Do и устремив R к бесконечности. В результате
имеем
I S дg(М. Р) .
u (Р) д ds p == и о (М), М Е Do.
2n пр
s.
(1.3.25}
Полученное условие (1.3.25) является необходимым дополнитель-
ным условием, исключающим из решения интеrральноrо уравне-
ния (1.3.15) собственные функции первой краевой задачи для об-
ласти Do, оrраниченной контуром 50.
Таким образом, мы показали эквивалентность краевой задачи
(1.3.3), (1.3.6), (1.1.7) и интеrральноrо уравнения Фредrольма ВтО-
poro рода (1.3.15) при частотах, не являющихся резонансными для
обл аст и Do.
Рассмотрим теперь (1.3.14) интеrральное уравнение перво-
[о рода. Покажем, что при частотах, не резонансных для области
Do. интеrральное уравн-ение (1.3.14) имеет единственное решение.
Действительно, рассмотрим однородное уравнение
S /J(P)g(M, P)dsp===O, MES o .
s.
(1.3.26)'
соответствующее уравнению (1.3.14). Покажем, что при нерезо-
нансных частотах уравнение (1.3.26) имеет только нулевое реше-
НИе. Построим потенциал простоrо слоя W (М):
w (М) == S /J (Р) g(M, Р) ds p .
5.
(1.3.27)
Леrко ВИдеть, что W (М) удовлетворяет следующей внешней крае-
вой задаче:
tlW(M) +k 2 W(M) ==0 в D,
W(M) ==0 на 50.
Кроме Toro, W (М) удовлетворяет условиям излучения. Постав-
ленная таким образом краевая задача имеет только нулевое ре-
шение, следоватедьно, W (М) == 0 всюду в области D, а значит,
W+(M) ==0. тде w+ (М) значение W (М) на внешней стороне
(1.3.28)
lT
контура 50. Поскольку W (М) непрерывная ФУНКЦИЯ при пере
ходе через контур 50, то W (M) ==0, rде W (M) значение
W (М) на внутренней стороне контура 80, следовательно, W (М)
удовлетворяет внутренней задаче Дирихле в области Do для ypaB
нения rельмrольца, т. е.
W(M) +k 2 W(M) ==0 в Do,
(1.3.29)
W (М) == О на 50.
Если Do нерезонансная область, то W (М)' == 0 в области Do. Дa
лее, поскольку нормальная производная потенциала ПрОСТОro слоя
'терпит разрыв при переходе через контур 80, то
дW+ aW
==2Лfl(Р), PeS o '
дп дп
W+==W ==o, получаем из (1.3.30)', что I1(Р) == О
(1.3.30)
:Учитывая, что
На 80.
Итак, мы показали, что при нерезонансных частотах OДHOpOД
ное уравнение (1.3.26) имеет только нулевое решение, следова-
тельно, интеrра.льное уравнение (1.3.14) имеет единственное ре-
шение. Значит, при не резонансных для области Do частотах Kpae
вая задача (1.3.3), (1.3.4), (1.1.7) и интеrральное уравнение перво
ro рода (1.3.14) эквивалентны.
Замечание. Если для электромаrнитноrо поля вне тела Do в за-
висимости от поляризации ввести формальное представление в ви
де потенциала простоrо или двойноrо елоя с неизвестной плотно
,стью, то, удовлетворяя ИСКОмое поле rраничным условиям на 50,
получим интеrральные уравнения относительно ПЛОТНОСТИ распре-
деления потенциала. Поскольку эти уравнения получаются не как
следствие краевых задач, то вопросы существования их решений
требуют специальноrо исследования. Такие исследования проводи-
.lНCь Мюллером [43], который указал частоты, при которых инте-
{'ральные уравнения разрешимы. ,
Вопросам построения интеrральных уравнений, разрешимцх
для Bcero частотноrо диапазоиа, посвящены работы [44 46\.
в этих работах электромаrнитное поле ищется в виде линейной
комбинации потенциалов простоrо и двойноrо слоев, зависящих от
волиовоrо числа и HeKoToporo положительноrо параметра. Полу-
чены условия существования и единственности решений интеrраль
ных уравнений для всех частот.
1.4. ЧИСЛЕННЫЯ МЕТОД РЕШЕНИЯ ИНТEfРАЛЬНЫJC. УРАВНЕНИЯ
В 1.3 краевые задачи (1.3.3), (1.3.4), (1.1.7) и (1.3.3), (1.3.6),
(1.1.7) сведены .к решению эквивалентных интеrральных ypaBHe
ний Фредrольма nepBoro (1.3.14) или BToporo (1.3.15) рода. Для
построения численноrо решения этих интеrральных уравнений ис
пользуем интерполяционный метод Крылова Боrолюбова [47], oc
18
нованный на замене интеrральноrо уравнения системой линейных
алrебраических уравнений.
Известно, что нахождение решения Ilнтеrральноrо уравнения
Фредrольма первоrо рода является некорректной задачей. При
приближенном чнсленном ero решении путем сведения к системе'
линейных алrебраических уравнений мы получаем, вообще rOBo-
ря, плохо обусловленную систему, все элементы матрицы которой
имеют одинаковый порядок, поэтому для построения численноrо
алrоритма необходимо использовать один из возможных реrуля-
ризирующих алrоритмов решения некорректных задач [ 48] В дан-
ном случае в силу лоrаРИфМllческой особеННОСТII ядра уравнения
(1.3.14) (см. п. 1.3.2) можно ожидать, что диаrональные Э.J]емен
ты матрицы алrебраич,еской системы будут превосходить по аб-
солютной величине остальные элементы, что и обеспечит достаточ-
но хорошую обусловленность матрицы системы. Это и составляет
основную идею метода самореrуляризации[ 49 50]. КОТОРЫЙ мы
будем использовать для решения интеrральноrо уравнения Фред-
rольма первоrо рода (1.3.14).
у интеrральноrо уравнения BToporo рода (1.3.15), как было по-
казано в п. 1.3.2, ядро имеет при совпадении aprYMeHTa устрани-
мую особенность, а численное решение интеrральноrо уравнеНШI
Фредrольма BToporo рода с непрерывным ядром не вызывает
принципиальных трудностей.
1.4.1. Выбор контура интеrрирования. Для построения числен-
Horo алrоритма решения уравнений (1.3.14) и (1.3.15), обладаю-
щеrо достаточной точностью при различной форме контура 50.
важно так аппроксимировать интеrральный оператор, чтобы Ва-
риации контура не сильно влияли на точность аппроксимации.
Для замкнутых контуров кажется естественным на первый взrляд
выбрать в качестве параметра интеrрирования полярный уrол.
Однако если ,форма контура 50 достаточно вытянутая, то для на-
хождения решеиия интеrральноrо уравнения с требуемой точно-
стью необходимо на участках, rде кривизна контура быстро Me
няется, шаr интеrрирования выбрать достаточно мелким, что мо--
жет быть совершенно изЛишним на друrих участках интеrрирова-
ния. К тому же полученная система линейных алrебраических
уравнений будет иметь высокий порядок, что вызовет дополнитель-
ные с.ложности пр!! численном 'ее решении. Осуществление числен-
Horo алrоритма с переменным шаrом интеrрирования для произ-
вольноrо контура является труднореализуемым на практике.
Трудность же интеrрирования по длине дуrи контура 50 за-
к.лючается в том, что для произвольноrо контура 50 координаты
точек М и р невозможно выразить через длину дуrи без вычисле-
ния квадратур. При практическом решении интеrральных уравне-
ний удобно ввести вспомоrате.1ЬНЫЙ контур L. составленный из от-
резков прямых линий, парабол и окружностей таким образом, что-
бы связь между координатами точек на этом контуре и длиной
дуrи установилась с помощью простых соотношений, а форма кон-
тура была бы достаточно близка к форме 'контура 50.
19'
Пусть r==rO (ер) уравнение контура 50 в полярной системе
координат с центром в некоторой точке О, лежащей внутри обла
сти Do, оrраниченной контуром 50. Выбрав контур L таким, для
которorо леrко получить зависимость ПQ.rIярноrо уrла ер как функ
цию l длину дуrи на контуре L, т. е. <p==<p(l) , мы там же MO
.жем получить параметрическое задание контура 50 как функцию
длины дуrи l контура L:
r==ro(rp(l)) ==R(l),
x==R (l)cos ep(l), y==R(l)sinqJ(l).
(1.4.1)
При этом элемент дуrи ds контура 50 связан следующим образом
,с параметром интеrрирования dl:
ds == V R2 (l)( ср' (l»)2 + (R' (l))2 dl == аУ (l) dl.
Обозначив неизвестную функцию в уравнениях
(1.3.15) через Il (l), мы можем написать оба уравнения
.образной форме:
(1.4.2)
(1.3.14),
в едино-
1 J L
(lM)f1(lM)+ ким, lp)aY(lp)f.1(lp)dl p ==F(lM),
2п
о
(1.4.3)
тде [о длина вспомоrательноrо контура L, а (lM), K(lM, [р),
F (lM) определяются из сопоставления уравнения (1.4.3) с ypaB
нениями (1.3.14) и (1.3.15). При этом CJIедует иметь в виду, Ч';О
J.1 (О) == Il (Lo).
1.4.2. Сведение интеrральноrо уравнения к системе JJИlfейных
алrебраических уравнений. Для численноrо решения интеrрально-
ro уравнения (1.4.3) используем метод Крылова Боrолюбова,
соrласно которому неизвестная функция аппроксимируется кусоч-
но-постоянной функцией, а интеrральное уравнение сводится к ал-
reбраической системе линейных уравнений. Разобьем контур L
точками [о, [), .., lN==lo на N частей, функцию f.I. (l) на кажд'ом
отрезке [l" [;+1] будем считать постоянной щ. Тоrда интеrральное
уравнение (I.4.3) можно переписать в следующем виде:
N I 1;+1
(lM) ((lM)+ 2 f1j S K(lM' lp)aJ(lp)dlp==F(lM)' (1.4.4)
i O 1 i
Соrласовывая решение в N средних точках отрезков [l;, [Н1], по-
лучим систему линейных алrебраических уравнений относительно
Ч, j==O, 1, N l:
N I
у Ktjf.J.j==FI, i==O, 1,
i O
N I,
(1.4.5)
20
11+1
Ко == S к (li+I/2,
2п
1.
1
/p)QJ (/p)dl p ,
i =t= i,
(1.4.6)
Отрезки
висимости
уравнения
нии 1.)
Замечание. Сведение интеrральноrо уравнения к системе ли
нейных алrебраи еских уравнений сделано при априорных пред
положениях относительно поведения искомой функции, что (l)
мало меняется на некотором отрезке Ы. ДЛЯ бо.лее точноrо при
ближения искомой функции сеточной функцией желательно BЫ
,брать t!.l достаточно малым, чтобы допустить быстро меняющиеся
функции. С друrой стороны, учет лоrарифмическоrо поведения яд-
ра в интеrральном уравнении (1.3.14) и необходимость получения
хорошо обусловленной матрицы в снстеме (1.4.5) требуют шаr ин-
теrрирования выбрать достаточно большим. Обычно в практиче-
.ских расчетах оптима.льный шаr разбиения дl, или порядок мат-
рицы N, выбирается путем чнсленноrо эксперимента с целью по-
лучения решення с требуеМОl[ точностью.
Кроме Toro, необходимо иметь в виду, что для решения KOH
кретных физических задач нужно создавать эффективные числен
ные алrоритмы, дающие результаты с заданной точностью на
крупных сетках, поэтому наиболее целесообразным являетсЯ ис
пользование метода интеrральных уравнений для решения задач
дифракции на телах, размеры которых соизмеримы с д.линоЙ вол
ны падаlOщеrо поля. Метод интеrральных уравнений для малых
по сравнению с длиной волны тел может быть не эффективен, по
СКОЛЬКУ приводит К плохо обусловленным системам линейных ал-
rебраических уравнений.
1.4.3. Вычисление элементов матрицы системы линейных алrе
6раических уравиений. Как показали результаты вычислительноrо
эксперимента, точность аппроксимации интеrральноrо оператора
существенно влияет на точность получаемых численных результа
тОВ. В свою очередь точность аппроксимации интеrральноrо опе
ратора зависи.т от порядка матрицы, точности вычисления ее эле.
ментов, которая определяется ИСПОJIьзуеМЫ:\1И квадратурными
ФОРМУJlами I! ТОЧНОСтЬю ВЫЧJ!С.'Iения подынтеrральных функций в
соотношениях (1.4.6), (1.4.7).
Остановимся сначала на вопросе вычисления элементов MaT
рицы для системы (1.4.8) при и) == о, что соответствует интеr
ральному уравнению (1.3.14). Поскольку ядро !lнтеrра.пьноrо ypaB
нения имеет лоrарифмическую особенность при совпадении apry-
21
1.
'+1
Kil== '(l;)-t- S к (li+l/2, lp)QJ(lp)dl p ,
2п
li
Fi==F(liH), li+'/,==1/2(li+l li), (1.4.8)
[l/, ll+l] MorYT быть выбраны различной длины в за
от кривизны контура L и от поведения правой части
F (l). (Подробнее о численном методе с м. в приложе-
(1.4.7)
ментов (см. п. 1.3.2), для более точноrо вычисления элементов мат-
рицы необходимо выделить особенность в явном виде. Как показа
ли результаты вычислительноrо эксперимента при решении раз
личных классов дифракционных задач, получение устойчивоrо
решения системы алrебраичеСl<ИХ уравнений во MHoroM заВIIСИТ
от способа аппроксимации интеrральноrо опер&тора. ПодробнеЕ'
на этом вопросе мы остановимся в rл. 3, а сейчас отметим сле-
дующее: при счете как диаrональных элементов матрицы, содер-
жащих подынтеrральную функцию с лоrарифмической особенно.
стью, так и недиаrональных элементов, являющнхся интеrралом'
от реrулярных функций, лоrаРИфМllческий член, входящий в ядро,
выделим в явном виде. Для этоrо запишем ядро К (lM, [р) В фор-
мулах (1.4.6), (1.4.7) в виде:
K(lM.
[ in л: 1
[p) JO(krMP) N o (krMP) ln +
2 2 P
чr (! р' l м) 1
+ In 1п ч' (lp, 'м),
'мр
(1.4.9).
[де
{ llp [MI,
Ч!(lр, [M) Lo llp IMI,
если l[p lMI< Lo.'2,
если IlP lMI>Lo/2, (1.4.10}
[де Lo длина контура L.
Выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (1.4.9) ,.
имеет при Р--+М предельное значение
lim [ Jo (krMP) "::' N o (krMP) ln +
р......М 2 2 'мр
+ In 'I'(lp. [м) ] ==...!!!:.... + lп c.
'мР 2 k
[де с постоянная Эйлера, следовательно. оно является реrуляр
ноЙ функцией и при численном интеrрированин ero используются
квадратурные формулы с rарантированной точностью. Иитеrрал
от последнеrо лоrарифма, входящеrо в (1.4.9), вычнсляется в яв
ном ВИДе. Действительно, предположим, что :J (1) мало меняетсw
на участке интеrрирования. Если IIp [м I < Lo/2, то
(1.4.11)
1.
1+1
S lnl[p li+I/21C!7(lp)dlp==
1/
== с!7 (li+I/2) [(li+l li+I/2) (ln Ili+l li+I/21 1)
(li li+1/2) (In Ili [,+]/21 1 )].
(1.4.12)
Если IIp [м I > Lo/2, ТО интеrрал вычисляем сл,едующим образом:
22
ll+1
J Iп(Lо l/р /i+\j2I)2Т(lр)dlр==
l i
== sign (1/ li+l/2) &'! (//+1/2) [(Lu 1/1+1 1;+1/21) х
х (lп (Lo 1/1+1 [i+1/21) 1) (Lo \1/ li+1/21)X
х (1п (Lo \[ i li+1/21) 1). (1.4.13)
Для тех элементов матрицы, у которых I/M /i+Y21 Lo/2, ин
теrрал на участке [li' [/+1] разбивается на сумму двух интеrра
лов по участкам [/j1 1/+.J и [1/+,/" l j + l ] и используются нужное co
отношение в (1.4.10) и формулы (1.4.12) и (1.4.13).
Ядром интеrральноrо уравнения Фредrольма BToporo рода при
дифракции Н-поляризованноrо поля на цилиндре, что COOTBeTCT
вует (М) 1/2 В уравнении (1.4.3), является нормальная произ
водная функции rрина свободноrо пространства, которая (см.
п. 1.3.2) имеет устранимую особенность. В результа11е получается
интеrральное уравнение с непрерывным ядром, поэтому для BЫ
числения элементов матрицы (1.4.6), (1.4.7) системы уравнений
(1.4.5) можно использовать обычные ,квадратурные формулы с за-
данной точностью, а соотношения (1.3.18), (1.3.20) ЯВJ1яются pac
четными формулами для вычисления нормальной производной
функции rрина свободноrо пространства во всех точках KOHTY
ра 50.
В формулах (1.4.6), (1.4.7) можно использовать неравномерный
шаr разбиения, отрезки [l j1 1i+1] MorYT быть выбраны различной
длины в зависимости от кривизны контура L и от поведения пра
вой части в интеrральном уравнении. Как следует из мноrочислен
ных методических расчетов, проведенных при решении типичных
задач электродинамики, в тех CJlучаях, коrда размеры попереч
Horo сечения возбуждаемоrо цилиндра соизмеримы с длиной па-
дающей волны, 10 20 точек разбиения на одну длину волны OKa
зывается достаточно для Toro, чтобы rарантировать 1 % точности
вычисления искомоrо решения.
Следует отметить, что существуют и теоретические мажорант-
ные оценки зависимости точности решения от числа точек разби
еНIIЯ и порядка аппроксимации неизвестной функции. Они, как
правило, сильно завышены, поскольку при выводе теоретических
оценок мы должны учесть все, в том числе и самые экзотическl-'.
случаи. Поэтому при практических вычислениях обычно приб
тают к экспериментальному определению точности по внутреннсй
сходимости метода.
1.4.4. О стандартной проrрамме для решения систем линейных
алrебраических уравнений 'с произвольной комплексной матрицей.
Матрица системы уравнениЙ (1.4.5) является комплексной, эле
менты которой произвольны для произвольноrо контура 50. Для
решения таких систем с одной или несколькими праВbIМИ частями
созданы стандартные проrраммы r51 52]. в основу созданных
23
алrОРIlТМОВ положен метод )I(ордана с выбором rлавноrо элемен
та по строке. Алrоритмы реаJlИзованы таким образом, что не тре-
буется хранения в оперативной памяти ЭВМ всей исходной матри-
ЦЫ. Матрица системы насчитывается и обрабатывается построчно.
Это дает возможность решать алrебраичеСК!Iе с[[стемы с комплеI{С-
ной ПОЛНОЙ матрицей достаточноrо BbIcoKoro порядка. Проrра'vIМЫ
включены в fосфонд алrоритмов и проrрамм, для удобства чита-
телю текст и инструкция пользователю для ОДНОЙ из проrрамм
[51] приведены в приложении 2.
1.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИArРАММ НАПРАВЛЕННОСТИ
РАССЕянноrо ПОЛЯ
Полное электромаrнитное поле в случае E и Н-поляризации в'
любой точке области D может быть вычислено с помощью соот-
ношения (1.3.13), если решены интеrральные уравнения (1.3.14)
или (1.3.15). В большинстве практических задач основным яв-
ляется ВЫЧIlслени,е характеристик поля в дальнеЙ зоне. Ниже бу-
дут получены формулы Д.Т[я расчета диаrраммы направленности
рассеянноrо поля.
Запишем интеrральное представление (1.3.13) для рассеянноrо'
поля иl(M)==u(M) иo(M), учитывая rраН!iчНые условия (1.3.4)
или (1.3.6). В результате получим соотношеиия для рассеянноrо.
по.ля в любой точке М ED в следующем виде:
ul(M)== S ди(Р) g(M, P)ds p , Е-поляризация;
2n дл
50
(1.5.]).
1 S ag (М. Р) Н
и 1 (М) == и (Р) д ds p , -поляризация,
231: пр
5,
(1.5.2),
rде ди(Р)/дп и и(Р) соответственно решения уравнений
(1.3.14) и (1.3.15). .
Получим формулы д.'IЯ расчета в дальнеи зоне диаrраммы на-
правленности по полю. Для этоrо введем цилиндрическую систе-
му координат р, <р. Z. Пусть М точка наблюдения, rM==peM. rде
.р расстояние от точки М до начала координат, ,ем ==
=={cos ер, sin ер} единичнЫЙ вектор, направленный на точку M
qJ уrол между вектором ем и осью Х. В предпо.ложении, что
kp 1, будем искать представление для поля при I 'м I I 'р 1.
Известно, что для функции HO(l) (z) при z----'Jo-OO справедлива:
асимптотическая формула:
V i(z 1!/4)
H&I)(Z) е
" vz
(1.5.3)
Далее, можно показать, что
'мр == V(XM Xp)2 + (YM Yp)2 p (rp, ем)
( 1.5.4);
24
при IrMI»lrpl (см., например, формулу (100.5) в [1]). Из (1.5.3)
:и (1.5.4) для функции fрина g (М, Р) == ЩI) (krMP) следует
2
аСIlмптотическое представление при р--+оо:
( М Р ) ... f 1t ej(kp+rc/4) lk(ep.rM)
е, V 2kp
(1.5.5)
Используя (1.5.5), несложно получить при I 'м 1» I (р I и k I 'м I 1
-формулу для вычисления де(М, Р) /дпр при р>-+оо:
ag(M, Р) ik "' r 1t ( П е ) i(kp+rc/4)e lk(rp.eM)
дп р V 2kp р, м ·
(1.5.6)
Соотношения (1.5.5) и (1.5.6) дают возможность выписать
диаrраммы направленности по полю в случаях E и Н поляриза-
ций. ДеЙствительно, подстаВIIВ (1.5.5) в (1.5.1), будем иметь для
рассеЯIIноrо поля в дальней зоне представление (при p oo):
ul(M)"' '1 /" :t ei(kp+ТI/4) r ди(Р) e jk(rp.eM)dsp. (1.5.7)
21t V 2kp J дп
S.
Назовем диаrраммой направленности по полю в случае Е-по-
.r:rяризаЦIfИ вел ИЧIШУ
F (Ч')== S ди(Р) e jk(rp.eM)ds
Е дп р р,
50
( 1.5.8)
тде au(P)jan решение интеrральноrо уравнения (1.3.14).
Аналоrично, подставнв (1.5.6) в (1.5.2), получим следующую
формулу для вычисления рассеянноrо поля в дальней зоне (при
р--+оо) В случае Н-поляризации:
Ul(M) .i!!.....", f n eiIkP+ТI/4) S u(Р)(пр, eM)e jk(rp.eM)dsp. (1.5.9)
2тt V 2kp
s.
Назовем диаrраммой направленности по полю в случае Н-по
.r:rяризации соотношение
Fн(Ч')== J u (Р)(П р , eM)e jk(rp.eM)dsp.
50
(1.5.10)
еде и(Р) решение ИН'rerральноrо уравнения (1.3.15).
Соотношения (1.5.8) и (1.5.10) представляют собой удобные
форму.1Ы для расчета диаrрамм направленности рассеянноrо по
.ля в случаях E и Н-поляризаций.
25
1.6. ДИФРАКЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЯ НИТИ,
ДВИЖУЩЕАСЯ ВБЛИЗИ МЕТАЛЛ ИЧЕскоrо
ЦИЛИНДРИЧЕскоrо ТЕЛА
в этом параrрафе изложенную методику применим для иссле-
дования задачи о дифракЦIIOННОМ из.лучении * Под дифракцион-
ным излучением мы будем понимать соrласно работе [541 Kpyr
явлений, возникающих при равномерном движеиии источника по-
ля вблизи различных оптических неоднородностей. Известно [54],
если вблизи траектории заряженной нити, !{Qторая движется рав-
номерно и прямолинейно, поместить некоторое тело, то произойдет
рассеяние собственноrо поля заряда и возникнет импульс элект-
ромаrнитноrо излуч-ения, что приводит к уменьшению кинетиче-
ской энерrии свободно движущеrося заряженноrо тела. Эффект
дифракционноrо излучеНIIЯ иrрает важную роль в ускорительной
технике и при создании ряда элеl{Тронных приборов.
Исследованию задач дифракционноrо излучения посвящено
большое число работ, среди которых работы [54 561 содержат
большой список публикаций по этой тематике. Достаточно ПQ.1I-
но исследовано дифракционное излучение зарядов, ДВИЖУЩJlХСЯ
вблизи бесконечных периодических структур, полуплоскости, OT
KpblToro конца ПЛОСкоrо волновода, щели в плоском экране [55
60]. rораздо менее изучен эффект днфракционноrо излучения от
одиночных тел, исследовано лишь влияние тонкой металлической
ленты и KpyroBoro цилиндра на дифракционное излучение при
движении вблнзи этих объектов заряженной нити [бl 62].
R.aK будет показано ниже, решение задач дифракционноrо из
лучения тесно связано с решением задачи дифракции электромаr-
нитных волн на заданном теле или системе тел. Остановимся по-
дробно на задаче дифракционноrо излучения заряженной нити,
движущейся вблизи металлическоrо цилиндра произвольноrо се.
чения, в предположении, что обратное влияние излучен'ия на нит!>
отсутствует JI скорость нити остается неизменной. Это справедли-
во в случае, коrда кинетическая энерrия нити значительно пре-
восходит энерrию дифракциошrorо излучения.
1.6.1. Постановка задачи. Вывод интеrралъноrо уравнения.
Пусть вблизи металлическоrо цилиндра произвольноrо попереч-
Horo сечеНия Do со скоростью v равномерно движется заряженная
НИть (рис. 1.1). Предполаrаем, что вектор скорости движения ни-
ти направлен перпендикулярно образующей цилиндра. MrHoBeH-
ная плотность заряда, переносимоrо нитью, в точке r описывается
функцией
р==роб(r а vt),
(1.6.1)
т. е. в момент времени t == О положение нити определяется р адиу-
сом-вектором а. Здесь ро линейная плотность заряда нити,
(х) дельта-функция Дирака.
· Результаты, изложенные в этом параrрафе, получены авторами совместно
с Л. Н. Лнтвиненко и С. Л. ПРОСВИРIIИНЫМ [53].
26
Собственное поле равномерно
движущейся заряженной IIИТИ
можно представить следующим об
разом [49]:
Н == i .ЕЕ.. sign ( (а, r) a ) Х
о 1 С а
i ( (v.r) vt) ki' I (a.r) ----а I
х J е v v а dOJ,
'"
( 1.6.2)
IJ
р
)(
Рис. 1.1
'"
Ео == :0 S [i 7 y : sign ( (a r) a ) ] х
oo
l..!...( (v.r) vt) ki' I (a.r) a I
х е v tI а d(J),
rде С скорость света в свободном пространстве, (J) частота,
.k==(J)/C, ==v/c, у== V l 2 / , i z единичный вектор оси z, v==
== I v 1, а== I al расстояние от плоскоЙ траектории движения ни-
ти до начала координат; знаком (,) обозначено скалярное про
изведение двух векторов.
При движении заряженной нити вблизи металлическоrо цилин
дра возникает поле дифракционноrо излучения, источником KO
Toporo являются наводимые на поверхности цилиндра переменные
TOКlI. Полное поле излучения Н в силу однородности рассматри
ваемой модели в направлении оси z имеет единственную ОТJIИЧ
ную от нуля компоненту Н z. Запишем полное поле Н в виде сум-
мы собственноrо поля заряжеННОСТII движущейся НIIТИ НО и поля
дифра кционноrо излучен ия Н 1:
H Ho+Hl.
Представим z-ю компоненту поля НI следующим образом:
'"
H 1Z == S U1(X, у; OJ)е iwldю. (1.6.4)
""
Рассматриваемая задача дифракционноrо излучения состоит в
ОТЫСК2.НI1И решения уравнения rельмrольuа
Ul(X, y)+k2Ul(X, у)==о (1.6.5)
относительно спектральной плотности иl (х, у) поля дифраrщи-
OHHOI'O излучения (при фиксированном ю), удовлетворяющеrо на
поверхности цилиндра rраНИЧНblМ условиям 2 ro рода
27
ди! (х, у)
дп
дио(х, у)
дп
на So
(1.6.6)
и условиям излучения на бесконечности, при этом ио (Р), учиты-
В ая соотношения (1.6.2), имеет вид
ио(Р)== O sign Ca'a fp ) a) ехр (i : (v'lJrp) kyl \a'a fp ) al}.
( 1.6.7)
Интеrральное уравнение для спектральной плотности и, (Р)
поля дифракционноrо излучения получим аналоrнчно тому, как
это сделано в 1.3, используя при выводе вторую формулу rрина
и фундаментальное решение двумерноrо уравнения rельмrольца,
задаваемое соотношением (1.3.8). Учитывая, что условиям излу-
чения удовлетворяют как иl (Р), так и g(M, Р), получим
1 \ [ 'aUt(P) ag(M, Р) ]
иl(M)== g(M,P) д и 1 (Р) д dS p ,MED,(1.6.8)
2п . пр пр
s.
rде D область, внешняя к области Do; n нормаль, внешняя
к той области, в котороЙ ищется решение, т. е. направлена внутрь
области Do.
Учитывая rраничное условие (1.6.6). интеrр альное представле-
ние для спектральноЙ плотности иl (Р) заПllшем следующим обра
зом:
1 S ag(M, Р) 1 S aUo(P)
и 1 (М) == и 1 (Р) д ds p g (М, Р) д dsp, М Е D.
2" пр 2п пр
s. s.
(1.6.9)
В соотношении (1.6.9) опустим точку М на контур So, учтем раз-
рыв первоrо рода потенциала двойноrо слоя и непрерыв сть при
переходе через So потенциала простоrо слоя, в результат будем
иметь
1 (М)+ 1 S (p) ag(M, P) d
и 1 и 1 д sp
2 2п пр
s.
== ) ( М P ) auo(Pl ds М ES o '
2 g , дп р,
п р
s.
(1.6.10)
Итак, исходная краевая задача (1.6.5) (l.6.6) сведена к pe
шению интеrральноrо уравнения Фредrольма BToporo рода с та-
ким же ядром, как и в уравнеНI!И (1.3.15), к решению KOToporo
в 1.3 сведена задача дифракции Н-поляризованной плоской
волны на идеально проводящем цилиндре. Уравнения (1.3.15) и
(1.6.10) отличаются правыми частями, которые зависят от спосо-
ба возбуждения цилиндрическоro препятствия. В уравнении
(1.6.10) правая часть I1меет более сложный вид.
28
Получим формулу для вычисления ПРОИЗВОДИОЙ дио (Р) /дпр.
входящей в правую часть уравнения (1.6.10). Имеем
д ) ==(np, v)uo(P)==nPUo(P)[i (V(v, r p » + k: (v(a, r p »],
rде V оператор набла, определя,емыЙ формулой V == ix +
дх
д . I д '.' . .
+ lyT 1" Ix, I y , Iz орты прямоуrольнои системы !\Oop
ду д1.
дипат. Таким образом получаем, что
дио (Р) (Р) ( ( . (u k а ) )
дn р == и о Пр, t V + у 7 .
(1.6.11)
1.6.2. О реализации численноrо алrоритма решения интеrраль
Horo уравнения. Интеrралыюе уравнение (1.6.10), как и ypaBlle
ние (1.3.15), решается сведением к системе линейных алrебраи-
ческих уравнений. Для выЧисления элементов матрицы (1.4.6),
(1.4.7) используются расчетные формулы (1.3.18), (1.3.20)', полу
ченные для Чllсленноrо решения IIнтеrральиоrо уравнения (1.3.15).
В исследуемой задаче правую часть CllcTeMbI линейных алrебран-
ческих уравнениЙ запишем в следующем виде:
1 S дио (lp)
F& == 2" g (/&+1/2, [р) дп р Q/ (lp) dl p ,
L
(1.6.12).
rде L вспомоrаТeJIЬНЫЙ контур, [о, [], ., lN ТОIJКи ero раз-
биения, lн'I.== (li+l Ц/2 (см. п. 1.4.1), Э'(l) определяется из со-
отношения (1.4.2).
Для численноrо интеrрирования в (1.6.12) перепишем F j :
N 1
Р& == S g (l&+1/2, [р) ди; ([р) l! (1 р) dl p ,
2п пр
/=-о t.l j
(1.6.1З}'
rде ill,== [Н! [,. На каждом участке разбиения дlj по формулам
(1.4.8), (1.4.10) подынтеrральную функцию представим в виде
суммы реrулярной части и части, содержащей лоrарифмическую
особенность; интеrралы от реrулярной части ядра вычисляются с
помощью формул численноrо интеrрироваНIIЯ по небольшому чис-
лу узлов, а интеrрал от слаrаемоrо, имеющеrо лоrарифмичсскую
особенность, ВЫЧlIсляется в явном виде по формулам (1.4.12),
(1.4.IЗ)
Решив иитеrральное уравненне (1.6.10), найдем по формуле
(1.6.9) при заданной частоте w спектральную плотность и) (М)
поля дифракционноrо излучения в любой точке М области D, а
с помощью соотношения (1.6.4) определим поле дифракционноrо
излучения Н в области D.
29
1.6.3. Основные характеристики дифракционноrо излучения.
НаиБОЛЬШI!Й !!нтерес представляет изучение спектральных харак-
теристик ДI!фракционноrо излучения заряженной нити: диафраr-
Mbl направленности спектральных компонент поля и спектральной
мощности излучения. Для получения расчетных формул в ЦИЛIIIIД-
Рllческой системе координат р, <р z (см. 1.5) воспользуемся
асимптотическими формулами (1.5.5), (1.5.6), подставив их в ин-
'теrральное представление (1.6.10), в результате придем к соотно-
шению
U 1 (М) .. /' I ei(kp+1I/4)x
V 81tkp
х J [
5.
дио(Р)
дп р
iku ( Р ) ( П е )] e ik(rp.eM) ds
1 р, М р,
(1.6.14)
rде ем единичный вектор, наП}Jавленный на точку наблюдения
М; и,(Р) решение интеrральноrо уравнения (1.6.10); ио(Р)
собственное поле движущейся нити, описанное формулами
( 1.6.7), (1.6.11).
Если ввести функцию
и (ер) == s [ д on ) iku 1 '(P) (Пр, ем)] e ik(rp,eM) ds p , (1.6.15)
5,
то диаrрамма направленности поля дифракционноrо излучения
N (ср) на частоте (J) может быть найдена по формуле
N(cp)==
I U (<p)1
тах IU<p)1
О ф 2л;
(1.6.16)
Определим спектральную мощность дифракционноrо излуче-
ния F", следующим образом:
211
F (J) == f S(J)p I р dcp,
11 p ao
( 1.6.17)
тде S",p радиальная компонента усредненной по времени плот-
ност!! потока энерrии дифракционноrо излучения на частоте 00,
определяемая формулой
с с
S(J)P I aO == Re [Е 1 ы, нroo]p I p ao == I Иу (М)I p aO. ( 1.6.18)
8л 81t
Здесь Е,,,,, Н,., электрическая и маrнитная напряженности поля
дифракционноrо излучеНIIЯ на частоте ш; * знак комплексноrо
соп ряженая.
.:зо
Используя (1.6.14), (1.6.15)
F" переппшем в впде
(1.6.18), формулу (1.6.17) для
S I U (ер) 12 dep.
О
ФизическиЙ анализ обычно проводят, используя специальные
нормировки. Для этоrо полаI'аlOТ ро/с== 1 в формулах (1.6.7),
(1.6.9), (1.6.10), (1.6.11), (1.6.15) Спектральную мощность диф
ракционноrо излучения F" в (1.6.19) нормируют на усредненную
по времени мощность спектральной составляющей собственноrо
электромаrнитноrо поля ДВllжущейся заряженной нити, которая
переНОСIIТСЯ в направлении двнжеНIIЯ НI!ТИ на единицу ее длины:
2
F ) == Ро
8Л 'V(J)
F
Ю
с
(1.6.19),
64;t2k
Поэтому нормированная спектральная мощность дифракционноrо
излучения Р ы , учитывая, что ро/с== 1, имеет вид
:ас
F(j)== F ) == y S IU(ep)12dep. (1.6.20)
F (jJ 8л:
о
Замечание. При вычислении диаrраммы направленности и(ср)
интеrрирование по контуру So, как это сделано в п. 1.4.1, заменя
ется интеrрированием по L.
1.6.4. Анализ численных результатов при движении заряжен-
ной нити вблизи цилиндров KpyroBoro, квадратноrо, прямоуrоль-
Horo и эллиптическоrо поперечных сечений. Разработанный
выше алrоритм численноrо решения интеrральноrо уравнения
(1.6.10) был реализован на языке Алrол-rдр дЛЯ ЭВМ
БЭСМ-6. С целью проверки ПрOI"раммы решены задачи о дифрак
ционном излучении при движении нити вблизи KpyroBoro метал
лическоrо цилиндра и металлической ленты. Найденные распреде
ления тока, мощность дифракционноrо IIзлучения, диаrрамма на-
правленности сравнивались с соответствующими характеристика-
ми, полученными независимым образом с помощью метода разде
ления переменных для KpyroBoro цилиндра и метода моментов
для решения парных интеrральных уравнений, коrда препятствие
представляет собой металлическую ленту. Это позволило опти
мальным образом выбрать число узловых точек и их расположе
ние на контуре инте,рирования.
Для мллюстрацни Toro, каКIIМИ должны быть параметры алrо-
ритма, приведем результаты решения задачи о дифракционном
излучении при движении заряженной нити вблизи бесконечно TOH
кой металлической ленты в одном частном случае. Возьмем ==
==vjc==0,5. Для решения интеrральноrо уравнения (1.6.10) беско
нечно тонкая лента заменял ась полосой прямоуrольноrо попереч-
Horo сечения толщиной h и шириной 1. На рис. 1.2 показаны pac
31
4
[(/1/
2
2
4
Б kl/2
.,0,8 О,Ч
о
0,4 0,8 '2X/l
'Рис. 1.2. Распределение тока на леи-
'те. ==O.5; kl== 10; kh 0,25
Рис. 1.3. Зависимость мощности
спектральной составляющей дифрак-
ционноrо излучения 'Р", от kl для ци-
линдра квадратноrо поперечноrо се-
чения. 1 13==0,25; 2 p O,5;
3 р==О,75.
положение ленты относительно траектории ДВIIжения нити и си-
стема координат. Численное решение задачи как в данном слу-
чае, так и далее удобно искать в предположении, что траектория
движения нити почти касается контура So. Если препятствие на-
ходится на некотором расстоянии от траектории, то поле дифрак-
ционноrо излучеиия леrко найти, учитывая соответствующее ос-
.лабление пектральных составляющих собственноrо подя заря-
жеиной ннти (1.6.7) На рис. 1.2 показано распределение тока
на ленте: сплошная кривая получена с помощью решения интеr-
ральноrо уравнения (1.6.10), штриховая независимым образом
с помощью cTpororo решения методом моментов парных интеrраль
ных уравнений [46]. В данной конкретной задаче ВСПО'моrатель-
HbIlr контур L взят совпадающим с So и разбю на 88 I1нтервалов:
по 35 интервалов на широких сторонах прямоуrОЛЬНI1ка и по 9
на УЗКIIХ. Yr.loBbIe ТОЧКII взяты в качестве точек деления. Диаrо-
нальные элементы матрицы вычислялись с помощью обобщенной
формулы СIIМПСОlIа, oCTa.r:lbHble по обобщенной формуле сред-
ннх прямоуrольников с небольшим числом узлов интеrрирования.
Результаты решения задачи двумя разными методами совпа-
дают достаточно хорошо, что позволяет rараНТIIрОIЗi1ТЬ высокую
точность определеНIIЯ диаrрамм направлеННОСТI! и энерrетических
.характеристик полеЙ.
Рассмотрим некоторые физические результаты исследования
дифраКЦl10нноrо излучеlI!lЯ заряженной НIIТИ, движущейся вблизи
метаЛЛI1ческоrо цилнндра прямоуrольноrо, квадратноrо, I<pyroBoro
и ЭЛЮIПТIIческоrо сечеН!lЙ.
На рис. I.З показана зависимость МОЩНОСТII спектральной со-
ставляющей дифракционноrо излучения ['", .1ЛЯ с.'lучая квадрат-
22
Horo поперечноrо сечения цилиндра
()т ero размера 1 при различных
значениях . С увеличением CKOpO
СПI нити мощность днфракцион-
Horo излучения быстро растет, а
спектр излучения становится более
равномерным. На рис. 1.4 представ- 0,5
лена зависимость мощности Дl!
фракционноrо излучения р", для
KpyroBoro цилиндра от ero раДI1уса
а. Излучение сосредоточено в срав-
нительно узком частотном интер
вале и значительно слабее по мощ
ности, чем для квадратноrо бруса.
Только при релятивистских CKOpO
(:тях, т. е. скоростях, близких к CKO
рости света, спектр нити излучения
имеет значительную ширину
Сравнение соответствующих кривых
на рис. 1.3 и 1.4 показывает, что
форма препятствия сильно сказывается на
HOI'O из.'Iучения и характере ero спектра.
7,5'
1
J
J
2
Б \/(а
"
Рис. 1.4. Зависимость мощности
спектральной составляющей ди-
фракционноrо излучения F" от
ka д.ля цилиндра KpyroBoro по-
перечноrо сечения. 1 13 0,25;
2 13 0,5; 3 13 0,75
величине дифракцион-
((,)
1,5
[
l/
L 2
0,5 0,5
2
\!\JVVv\1 7
3
о 2 Ц , Щ2 О 2
Ц ;: kh/2
Рис. 1.5. Зависимость мощиости
спектральной составляющей дифрак
циоиноrо излучения F;" от kl при
kh 1 для цилиндра прямоуrольноrо
поперечноrо сечения. 1 I3 O,25;
2 jJ O,5; 3 jJ O,75.
2 Зак. ЗjG
Рис. 1.6. Зависимость МI.ЕЦности
спектральной составляющей дифрак-
Ционноrо излучения Р", от kh для
цилиндра прямоуrольноrо попереч
Horo сечеиия. 1 kl l' jJ О 25.
2 kl I, jJ 0,5; 3 kl 2,
O,25; 4 kl 2. I3 O,5
33
/'
/ "
, /
I ·
-/
/ "
i I
\ f
\"
1'=0'
Рис. ].7. Диаrраммы направленности дифракционноrо излучения, возника
ющеrо при Движении заряженной иити вблизи цнлнндра, поперечное сече-
ние KOToporo эллипс с полуосями а и Ь, при ==O,5 и ka== 1:
1 kb ==1; 2 kb == 0.75; 3 kb O.5; 4 kb ==0,25; 5 kb ==0,1
На рис. 1.5 и I.G приведены зависимости спектральной мощно
сти дифракционноrо излучения при движении заряженной нити
вблизи прямоуrольноrо металлическоrо бруса. При фиксирован-
ном kh== 1 при 13==0,25; 0,5; 0,75 (соответственно кривые 1, 2, 3)
в случае, коrда траектория движения нити параллельна широкой
стороне бруса (рис. 1.5), увеличение ero ширины 1 в среднем Ве-
дет к ослаблению дифракционноrо излучения: излучение при дви
жении нити вблизи металлической ленты значительно сильнее
[56 57]. Если металлическиЙ брус расположен так, что траекто-
рия движения нити параллельна узкой стороне бруса, то резуль
таты расчета представлены на рис. 1.6. В этом случае спектраль
ная мощность дифракционноrо излучения с ростом параметра kh
быстро устанавливается на уровне величины, соответствующей
металлической полуплоскости конечной толщины. Спектральная
мощность излучения в основном определяется размером rрани.
34
/
I
,
\
\
\
,
"
"-
......
......
.....
,
'" ,/
, ./'
............_ -
Рис. 1.8. Дllаrраммы направленности ДlIфршщионноrо излучения, возникаю-
щеrо при движенни заряженной нити вблизи цилиндра прямоуrолыIrоo по-
перечноrо сечения при 0.5 и M 2:
l kl O.l: 2 kl O.5: З kl l; 4 kl 2
бруса h, возле которой движется заряженная нить, и скоростью
движения f3.
Остановимся теперь иа анализе диаrрамм направленности по-
ля дифракциоиноrо излучеиия, рассчитанных по формуле (1.6.16)
и построенных в полярной системе координат. На рис. 1.7 приве-
дены результаты для эллиптическоrо ЦIlлиидра при различных
размерах полуосей эллипса а и Ь. При ka==kb эллипс вырожда-
тся в Kpyr, соответствующая диаrрамма направленности изобра-
жеиа кривой 1. Уменьшение kb при фиксированном ka приводит
к тому, что при Ь/а==О,1 диаrрамма направленности становится
близкой 'к диаrрамме, создаваемой полем дифракционноrо излуче-
ния ври движении нити вблизи металлической бесконечно тонкой
ленты. Незначительная несимметрня в ДlIаrрамме относительно
rоризонтальной оси объясняется тем, что препятствие имеет ко-
нечную толщину.
На рис. 1.8 приведены диаrраммы направленности дифрак-
ЦlIонноrо излучения, возникающеrо при движенни заряженной
2.5
'"
"
э.,
.....................--........
"-
)
....../
<:>
"
э.,
.1 jI
-<:
=':S:bcO
t; cll
O:::C:::I::
==:=
==:I: О
8 1 В ::=
g:ag:a::r::I:\.O
со: .......а
o.. ;;:;c:o
g;:Eell
:I: = о:: >,са.
а; о.. О
:JS ! ==
::;:с: o..
::;:[;J:=g-c
ctJ::S:: .....-
Е-- "' 11
"'е g-i'J
ti ggZ I
:= '1: с: u ",.
. О := ..
....::;:;:;::=:fO
....... ::1 с::... 1--. о.
....: @ С:= g 11
. O;
t 2 I
p.t:(So:IC
0"' 0 . :o
= а;:;:с
="':ЕО::
Q) 0:0..
"tio..cO:
= '"
c..X(I]C'Q:Q)
С Q) С>.:>'
"' =t:(Q)
=,,===С)
'" :=:=
:д= зе
::;:0=;:(0
::;: L. '" =
2.ot:(:= 11
'- o..
е;;' ф"' l
t::1:::: с \о О 11
g:a t::
." О .J;( '"
f:=Q.
.-&s:=o 11
$2 == ::i"'....
. с'а J::;O..rt:
= а '5 е 11 I
р. t = = >,a:l.
. о I I
:= L. = 111
t:ta.>::IZ
B C)
= O;
"''''=0
'-':,:с:....
0:=\00
==11'=
=", t!'
111 О := 111
"'0:1...,,-
0:1 :=111
= g
ci':::: t::
== := О ..
==0'<1'
:;s @g!
:E>,:E.a
:;i a = 11
о..=соа....
j:.." rI') \D
0:= 06 I
t::1:::; II'"
= а.> "'-са. с-.;
ф:g с=ci
....: := ; '" о.. 11
;:(t:t"'-C..,
.:.: t:t ..,
i5.gj I
Il.-&c",=
нити вБЛIIЗИ Ц[[линдра прямоуrольноrо поперечноrо сечения. При
kl==O,1 (кривая 1) форма днаrраммы направленности близка к
кривой 5 рис. 1.7, т. е. близка к диаrрамме в случае, Коrда пре
пятствие есть беСI\:онечно тонкая лента. Сравнение кривой 5
рис. 1.7 и кривой 1 рис. 1.8 показывает, что наличие ребер у пrе
пятствия мало влияет на форму дrrаrраммы направленности. При
kh==kl (КрIlвая 4) поперечное сечение препятствия является KBaд
ратом, соответствующая диаrрамма становится более сложной и
существенно отличается по форме от диаrраммы направленности,
создаваемой полем Дllфракционноrо излучения при движении нити
вБЛИЗI( ЦIIлнндра KpyroBoro сечения (ср. с кривой 1 рис. 1.7)
Рис. 1.9 1.11 показывают изменение дIlаrраммы направлен
HOCТII N (ер) при движении заряженной НИТII вБЛИЗIl прямоуrоль
Horo ЦIIЛIIl!дра в случае, KorAa толщина бруса h фIIКСllрована, а
меняется ero ширина [. При ==O,5 и kh==O,2 кривые 1 на рис.
1.9. 1.11 соответствуют kl==4; 6; 8, а кривые 2 на тех же рисун-
ках соответствуют kll== 1, а остальные параметры не меняются:
==O,5; kL==4; 6; 8. Увелrнение ширины бруса ведет к усложне
ЮlIО диаrрамм направленности, они становятся более изрезан
НЫМII. ЭТО можно объяснить, анализируя спектральный состав и
структуру собственноrо поля заряженной нити. Высокочастотные
составляющие собственноrо поля экспоненциально убывают с
удалением от траектории движения нити. Поэтому ВЫСОI{Qчастот
ная часть спектра днфракционноrо излучения может возникнуть
только в СЛУ'lае, коrда препятствие находится в непосредственной
близости к траектории и имеет большое сечение рассеяния для
соответствующих спектральных составляющих собственноrо поля.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хёнл х., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир,
1964.
2. Кин" Р., J' Тай цэунь. Рассеяние и дифракция элекrромаrиитных волн.
М.: ИЛ, 1962.
3. Уэйт д. Р. ЭлектромаrНИТIIое излучение ИЗ цилиндрических систем.
М.: Соnетское радио, 1963.
4. Иваltов Е. А. Дифракция электромаrнитных вол[) на двух телах. М.:
Наука и теХНlIка, 1968.
5. Васанов Р. Б., КаЦенеленбаум Б. З. Основы теории дифракции. М.:
Наука, 1982.
6. Свешников А. r., Тихонов А. Н. Теория Фуикций комплексной перемен-
ной. М.: Наука, 1979.
7 Дьяконов Б. П. Дифракция электромаrнитных волн иа KpyroBoM ци
линдре в однородном полупростраистве. ИЗБ. АН СССР. Сер. rеофизиче-
ская, 1959,',J\I'g 9, с. 1332 1343.
8. Дьяконов Б. П. Асимптотические выражения для электромаrнитных по-
лей цилиндрической иеОДИОрОДНОСТlI. Изв. АН СССР. Сер. rеофизическая,
1960, Ng 7, с. 954 958.
9. Фельд Н. Н., Фельд С. Я. Возбуждение импедаисноrо цилнидра произ-
вольной системой токов. Радиотехннка и электроника, 1978, 23, JlJ'g 10,
с. 2212 2215.
10. Чечетка В. В., Федоренко А. И. Рассеяние плоскоЙ волны на состав-
IЮМ цилиндре. Раднотехника и электроника, 1980, 25, .t-.'2 8, с. 1602 1606.
7'
37
11. ИсаЙКUII А. В., ЯрЫi:UII А. П. Дифракция плоской волны на ЦИЛИНД[Jе
с нмпедансной неоднородной поверхностью. Радиотехника и электроника,
1982, 27, J\"Q 3, с. 604 605.
12. ЧумачеllКО В. П. К вопросу о дифракции электромаrиитных воли на
ребристых цилиндрнческих поверхностях. Изв. вузов. Радиофизика, 1979,
22, NQ 12, с. 1480 1484.
13. ИсаЙКUII А. В., ЯрыеUII А. П. Дифракция плоской волны на пластине
с меняющимся по поверхности импедансом. Радиотехника и электроника,
1976,21, NQ 10, с. 2201 2203.
14. Мошuнскuй А. В. О рассеянии плоской ТМ-волны на двух параллель.
ных произвольно ориентированных эллиптических цилиндрах, металлических
леитах и их комбииациях. Радиотехника и электроника, 1970, 15, .NQ 7,
с. 1355 13б2.
15. Иванов Е. А., МОШUflСКUЙ А. В. О распределении ПЛОТНОСТIl тока на
элементах расссившощей структуры из двух параллельных цилиндров, лент н
их комбинаlЩЙ. Радиотехника 11 электроника, 1970, 15, NQ 7, с. 1363 1373.
16. МалаКШUliов Н. П., Ерихов В. r Результаты решения днфракционных
задач методом ЭКIJИIJалеIlТНЫХ источников. В ки.: Теория дифракции и рас-
пространения волн. Т. 3. Труды VH Всесоюзноrо симпозиума по дифракции к
распространеНIIЮ волн. М., 1977, с. 243 246.
17. Ерuхов В. Т., МалаКШUllов Н. П. Метод эквивалентных источников в
задаче дифракции на экранах конечноЙ толщины. В кн.: Волны и дифрак-
ция. Т. 1. Краткие тезисы докладов УIII Всесоюзиоrо симпозиума по дифрак-
ции и распространеиию волн. М., 1981, с. 247 250.
18. Малакшuнов Н. П., rpuxoa в. Т., Тармаш В. н., Еёоров А. Н. Чис-
ленное решеНlIе некоторых задач прикладнон элеIlтродинамики с применением
методов аппроксимации и оптнмиэации. В кн.: Сборник научно-методиче-
ских статей по ПРИIlладной электродинамике. Вып. 4. М.: Высшая школа.
1980, с. 68 94.
19. Попов r Я. Об одном приближенном способе решеиия интеrральноrо
уравнения дифракции электром аrнитных волн на полосе конечной ширины.
ЖТФ, 1965, 35, .NQ 3, с. 381 389.
20. Поповuдu Р. С., Каркашадзе д. д.. Мтuулuшвилu К. А. Решение за-
дач дифракции иа Te. ax сложной конфиrурации методом компоновки. В кн.:
ТеОРllЯ дифракцни 11 распространения волн. Т. 3. Труды VH Всесоюзноrо сим-
позиума по дифракции и распространению волн. М., 1977, с. 83 85.
21. Поповuоu Р. С., Цверuкмаэашвuли З. С. Решение двумерных задач
дифракции на телах и системах тел сложной формы методом неОрТОI'ональных
рядов. В кн.: Теория дIlфракции и распросrранения волн. Т. 3. Труды VH
Всссоюзноrо симпозиума по дифракции и распростраиению волн. М 1977,
с. 63 66.
22. Панасюк В. В., Саврук М. П. Наэарчук З. Т Метод сннrулярных ин-
теrральиых уравнений в ABYMCPlIblX задачах днфракции. Киев: Наукова
думка, 1984.
23. Свешнuков 11. Т., Ильиllский А. С., Павлов А. Л. Дифракция плоскоЙ
волны произвольноЙ поляризации lIa произвольном цилиидре в иеоднородной
среде. U кн.: Вычислительные методы н проrраммирование. Вып. 20. М.:
Изд-во Mry, 1973, с. 94 105.
24. Ильинскuй А. С., Павлов А. Л., СвеШltuков А. r Численное решение
задачи днфракции на неоднородном оrраииченном теле. В ки.: Вычисли-
тельные методы и проrраммирование. Вып. 16. М.: Изд-во Mry, с. 116 124.
25. Millra R. А пumеr[са1 approach 10 the dеtеrmiпаtiоп еlесtrоmаgпеtiс
scattering charac!eristics о! pcrfect сопduсlоrs. 'ЕЕЕ Trans. Апtеппаs апd
Propagation, 1969, АР-57, р. 2064 2065.
26. ВаСUЛ/Jев П. Н., Каменев В. r Возбуждение идеально пр.оводящеrо
MHororpaHHoro тела. В кн.: Теория дифракции и распростраиения волн. Т.2.
Труды VII Всесоюзноrо СИМПОЗJlума по дифракции и распространению волн.
М., 1977, с. 182 185.
27. Кеванuшвuлu r ш., Сuкмашвuлu З. И., Цасарейшвuлu А. П. К тео-
рии дифракцни электромаrнитных волн на двух цилиндрах. Изв. вузов.
Радиофизика, 1979, 21, N 1, с. 91 99.
38
28. Несмеянова Н. И. Дифракция на проводящих цилиндрах. Научный от-
чет И2 55 3Э (453). М.: Вычислительный центр Mry, 1970.
29. Ильинский А. С., Кравцов В. В., Косич Н. Б. Численное исследование
дифракции плоскоrо поля на двух цилиидрах. В кн.: ВЫ'lИслительные ме-
тоды и проrраммирование. Вып. 16. М.: Изд-во MrV, 1971, с. 109 115.
30. Кравцов В. В. Интеrральные уравнения в задачах дифракции. В кн.:
Вычислительные методы и проrраммирование. Вып. 5. М.: Изд-во MrV,
1966, с. 260 293.
31. Дмиrриев В. И. Дифракция произвольноrо электромаrиитноrо ПОЛЯ на
цилиндрических телах. В КН.: Вычислительные методы и проrраммирование.
Вып. 5. М.: Изд-во Mry, 1966, с. 253 259.
32. Дмитриев В. Н. Электромаrнитные поля в неоднородных средах.
М.: Иэд-во MrV, 1969.
33. Захаров Е. В., Пи. tенов Ю. В. Численный анализ дифракции радио-
волн. М.: Радио и связь, 1982.
34. Тихонов А. н., Самарский А. А. Уравиения математической физики.
М.: Наука, 1972.
35. Свешников А. r Прннцип излучеиия. ДАН СССР, 1950, 73, N2 5,
с. 917 920.
36. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теорни волноводов. М.:
Мир, 1974.
37. Vaп deп Berg Р. М. Diffrасtiоп (Ьеоту of а reflection grаiiпg. Арр!.
Sci. Res., 1971, 24, N 4, р. 261 293.
38. Шестопалов В. П., Литвиненхо Л. Н., Масалов С. А.. Солоzу6 В. r.
Дифракция волн на решетках. Харьков: Изд-во xrv, 1973.
39. Петровский И. r Лекции об уравнениях с частными лроизводными.
М.: rИФМJI, 1961.
40. Петровский И. r Лекцин по теории интеrральных уравнений. М.:
Наука, 1965.
41. Васильев Е. Н., Каменев В. r О численном решении внешней электро-
динамическоЙ задаqи для Идеально проводящеrо тела. Изв. вузов. Радно-
физика, 1970, 13, 2 5, с. 732 738.
42. Свеш/iUКОВ А. r., Ильинский А. С. Четыре лекции по численным мето-
дам в теории дифракции. Ленинrрад: Изд'во лrv, 1972.
43. МiШеr С. Grundprobleme der mаthетаtisсhеп Theorie elektroтagneti-
scher Schwingungen. Веrliп G6Шпgеп НеidеlЬеrg: Springer, 1957.
44. I(пauff W., Kress R. А modified iпtеgrа! еquаtiоп тethod for (Ье e!ectric
boundary value problem for (Ье vector He!тholtz equation. Numer. Treat.
Integral Еquаtiопs. WorksllOp, Oberwolfach, 1980, р. 157 170.
45. Kress R. OIl the ехistепсе of а sо!utiоп (о а singular iпtеgrа1 equatiol1
in еlесtrошаgпеliс leflection. J. Math. Апаl. and Appl., 1980, 77, N 2,
р. 555 566.
46. Kress R. Оп Ьоuпdаrу integra! equation тethods in stationary electro-
таgлеtiс rеflесtiоп. Lect. Notes Math., 1981, 846, р. 210 226.
47. I(анторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшеrо аиа-
jIИза. М.: ПIФМЛ. 1962.
48. Тихонов А. Н., Арсенин В. Н. Методы решения иекорректных задач.
М.: Наука, 1979.
49. Д.Ащтриев В. И., Захаров Е. В. О численном решении некоторых ин-
тсrральных уравненнй 1 рода. В кн.: Вычислительные методы и проrрамми-
рование. Вып. 10. - М.: Изд-во MrV, 1968, с. 49 54.
50. ДМдтрисв В. Н., Захаров Е. В. Дифракция плоскоrо электромаrнитно
ro поля на идеально проводящей полосе, поrружеиной в слоистую среду.
Изв. АН СССР. Серия физика Земли, 1967, N2 5, с. 62 70.
51. rалишникова Т. Н., ИЛЬUl-! И. В. Стандартная проrрамма решения
комплексноЙ системы лииейных алrебраических уравнеНИII с нескоЛl>КИМИ лра
выми частями методом Жордана. В ннформациоНl!ОМ бюллетене: Алrоритмы
и лроrраммы ЮНИЦ. М., 1980, NQ 3 (35), с. 25 (Иив. N2 11004228).
52. Кокотушкин r А., rалишltuкова т Н. Стандартная лроrрамма решеНИlI
комплсксной системы линейных алrебраических уравнеНIIЙ с одной правоЙ ча-
39
стью методом Жордана. В информационном бюллетене: Алrоритмы 11 про-
rpaMMbl ШПИЦ. М., 1980, "'Ъ 3 (35), с. 26 (Инв. .N2 ПО04229).
53. rалuшникова Т. Н., Ильинский А. С., Литвиненко Л. Н., Просвuр
нин С. Л. Дифракционное излучение заряженной нити, движущейся вблизи ме-
талличеCI<оrо цилиндра. В кн.: Вычислительиые методы и проrраммирова-
lIие. Вып. 36. М.: изд-вомrу, 1982, с. 185 193.
54. Болотовский Б. М., Воскресенский r В. Дифракциониое излучен не.
УФН, 1966, 88, N2 2, с. 209 251.
55. Болотовский Б. М., Воскресенский Т. В. Излучение заряженных частиц
в периодических структурах. УФН, 1969,94, N2 3, С. 377 416.
56. Шепопалов В. П. Дифракциоииая электроника. Харьков: Внща шко-
Jla, 1976.
57. Литвиненко Л. Н., Просвuрнuн С. Л., Титаренко А. Ю. Днфракциои-
lIое излучение модулиропаниоrо электроиноrо потока, движущеrося вблизи ще-
Jlи в экране конечной толщины. Харыюв, 1976 (П[Jепринт I Институт радио-
фИЗJIКИ и электроникн АН УССР, .N2 73).
58. Днестровский Ю. Н., KOcTo,llapoB д. П. Излученне МО.1улиропанноrо
пучка заряженных частиц при пролете через круrлое отверстие в плоском ЭК-
ране. ДАН СССР, 1959, 124, N2 4, с. 792 795.
59. Белобров А. В., Литвиненко Л. Н., Просвuрнuн С. Л. Электромаrнитное
излучение заряженной частицы, пролетающей сквозь отверстие в металлическом
экране конечноЙ толщины. Вестиик XapbKoBcKoro универснтета. Сер. Радио-
физика н электроника, 1979, 180, N2 8, с. 49 52.
60. Авдеев Е. В., Воскресенский Т. В. Излучение заряженной нити, дви-
жущейся равномерно вблизи rребенчатоЙ структуры; общее решение. Радио-
техника и электроника, 1967, 12, N2 3, с. 469 478.
61. Белобров А. В., Литвиненко Л. Н., Просвирнuн С. Л. Дифракц!юнное
излучение нити, движущеЙся вблизи металлнческой ленты. ДАН УССР.
Сер. А. ф[IЗlIко-математические и технические науки, 1978, N2 2, С'. 159 162.
62. Литвиненко Л. Н., Просвирнин С. Л., Титаренко А. Ю. Дифракцион-
ное излу'[еНlIе J.lодулированноrо элеКТрОИНоrо пучка, движущеrося вблизи TOH
кой метаЛЛllческой ленты. Изв. вузов. Радиофизика, 1976, 19, .N'2 1.
с. 149 155.
[,ЛАВА 2
ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОй ВОЛНЫ НА ЦИЛИНДРЕ
С ПРОВОДЯЩЕfI ИЛИ ПРОЗРАЧНОй СРЕДО"
Метод интеrральных уравнений успешно может быть приме
нен для построения численных алrоритмов исследования задач
Дl!фраlЩIIИ плоской волны на бесконечном !!мпедансном или ди
электрическом цилиндре с произвольным поперечным сечением.
Внекотором простейшем случае такие задачи мо\"ут быть решены
аналитически, например, при дифракции плоской волны на KPY\"O
вом диэлектрическом цилиндре искомое решение представля
ется в виде ряда по цилиндрическим функциям (см. [1, с. 254; 5,
rл. 1]), который сходится очень медленно. Если же сечение ци
линдров произвольное, то для решения задач в такой постановке
используются численные методы.
При исследовании задач дифракции электромаrнитных волн
на телах, иэrотовленных из металла с конечной проводимостью,
на поверХНОСТI1 дифраrируемоrо тела ставятся rраничные усло
вия Леонтовича. Если же дифраrируемое тело является беско
нечным цилиндром, то, как и в rл. 1 для идеально проводящеrо
случая, нами будут получены дЛЯ E и Н поляризованных полеЙ
интеrральные уравнения Фредrольма 2 ro рода, ядра которых за
висят от импеданса металла и функции [рина свободноrо прост
ранства и ее норм альной производноЙ.
Рассмотрим теперь задачу дифракции плоской волны на oд
нородном диэлектрическом цилиндре. Такая задача может быть
сведена либо к двумерному ннтеrральному уравнению по площа
ди поперечноrо сечения цилиндра с ядром, являющимся функциеи
исто', ника Bcero пространства (как это сделано в работах [2 5]),
либо к системе одномерных интеrральных уравнении, содержащей
IIнтеrралы по контуру поперечноrо сечения цилиндра (см. [43,
rл. 1; 6 11]). В первом случае мы сталкиваемся с необходимо
стью аппроксимации интеrральноrо оператора в большом числе
узлов и решением получаемых при этом линейных алrебраических
систем BbIcoKoro порядка. Во втором случае ядра системы !lHTe
rральных уравнений по контуру поперечноrо сечения цилиндра
существенно сложнее, чем в первом случае, и зависят как от раз-
ности функций [рина для внутренней области, ЯВJlяющейся об
ластью поперечноrо сечения цилиндра, и для внешней к ней об
ласти, так и от разности первых и вторых нормальных пронзвод
ных этих функций [рина. Однако анализ ядер, полученных в oд
номерных интеrральных уравнениях, позволил выделить содер-
жащуюся в них лоrарифмическую особенность и построить эф
41
фективные алrоритмы их вычисления. Поэтому при численной реа-
лизации система двух одномерных интеrральных уравнений ока-
зывается предпочтительнее по сравнению с двумерными инте-
rральными уравнениями.
Для изучения более сложных задач дифракции на одном I!ЛИ
нескольких импедаНСНbIХ ИЛИ диэлектрических телах, находящих-
ся как в свободном пространстве, так и в неоднородной среде,
развиваются 11 реализуются друrие алrоритмы численноrо иссле-
дования [12 15].
2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ.
ПОЛУЧЕНИЕ ИНТErРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
НА ИМПЕДАНСНОМ ЦИЛИНДРЕ
Рассмотрим стационарную задачу дифракции произвольно па.
дающей плоской волны (1.1.1) на бесконечном хорошо проводя.
щем ЦИЛ!lндре. Предполаrаем, что ЦИЛIIНДР выполнен из материа
ла с такой высокоЙ проводимостью, что на поверхности ЦIIЛШIД-
ра справедливы IIмпедансные краевые условия [16], причем ха-
рактеристики среды не зависят от координаты z, направленной
вдоль образующей цилиндра. Как и в rл. 1, через Do обозначим
поперечное сечение цилиндра, оrраниченное контуром So, через
D область, внешнюю к Do.
Эта задача сводится к нахождению в области D векторов
комплеКСНbIХ амплитуд полноrо электромаrнитноrо поля 6 (х, у, z)
и '!(х, у, Z), удовлетворяющеrо в области D системе уравнениЙ
Максвелла (1.1.3) и на 50 rраничным условиям Леонтовича.
Если падающее поле плоской волны зависнт от трех коорди-
нат х, у, z (см. (1.1.1), а дифраrируемое тело является беско-
нечным цилиндром с конечной проводимостью, то рассматривае-
мую трехмерную задачу дифракции не удается CBeC1'll к двум
скалярным двумерным задачам, как это сделано в rл. 1 для иде-
ально проводящеrо цилиндра. Поэтому в настоящей rлаве мы бу-
дем рассматривать дифракцию поля наклонно падающей плоской
во.пны (см. п. 1.2.1), заВl!сящеrо от двух координат х 1I У, для
случаев как Е-, так l! Н-поляризациЙ.
2.1.1. Е поляризация. Преобразование импедансных rраничных
условии на поверхности ЦИЛlшдра к скалярным rраничным усло-
виям TpeTbero рода. Пусть на бесконечный в направлении оси z
хорошо проводящий цилиндр падает плоская E-ПОЛЯРllзованная
волна вида
Епад (х, у) == ехр ( iaox+ i oy),
нпачх, у) == Но ехр ( iaox+i oy).
(2.1.1)
rде ao==kcos8 0 , o==ksineo, 80 уrол между направлением рас-
пространеиия плоской волны и отрицательным направлением оси
х; Ео, Но комплексные амплитуды падающей волн",_
42
Поскольку падающее поле и rеометрия препятствия не зави-
OIТ от координаты z, то полное и рассеянное поля также не будут
заВIIсеть от координаты z.
Будем искать полное поле Е (х, у), н (х, у), являющееся реше-
нисм системы уравнений Максвелла
rot Н (х, у) + iweE(x, у) ==0,
(2.1.2}
rot Е(х, y) iw!lH(x, у) ==0,
удовлетворяющее импедансным rраничным условиям Леонтовича
[п, E]== WI(n, [п, НП,
(2.1.3)
l i V (J)!-t
rде W 1 == V 1 импеданс металла; !ll 11 а, ero Mar-
2 4na 1
нитная проницаемость lt проводимость; n нормаль, внешняя
к области п, а также удовлетворяющее условиям излучения на
бесконечности, обеспе'lИвающим отсутствие волн, приход.ящнх
из бесконечности, за исключением падающей.
В случае E-ПОollяризации компоненты векторов Е (х, у) и
Н (х, у) электромаrнитноrо поля выражаются через Е. (х, у) ==
==и(х, у) следующим образом (см. п. 1.3.1)
Е,,(х, у) ==Еу (х, у) ==Hz(x, у) ==0,
н (х у) == raи(x, у) fH (х у)== ди(х, у) (2.1.4)
х , ыр. ду '. у' wf.t дх '
нричем и(х, у) удовлетворяет двумерному уравнению rельм
rодьца
ди(х, y)+k 2 u(x, у) ==0. (2.1.5)
Покажем, что rраничные условия (2.1.3) можно преобразо-
вать к виду, устанавливающему на 50 связь между u (х, у) н
ди(х, у)/дп. Для 3Toro, используя тождество для двойноrо BeK
TopHoro ПРОllзведенltя [а, [Ь, сп == Ь (а, с) c (а, Ь), перепишем
(2.1.3) в Вllде
[п, Е]== W,{п(п, H) Н}. (2.1.6)
Распишем условие (2.1.6) по координатам, учитывая, что
Е== {О, о, E z }, Н =={Нх, Ну, о}, п=={п х , n у , О},
получим
[п, EJx==nyEz== W1{n x (nxHx+nyHy) Hx},
[п, Е]у== nxEz== W,{ny(nxHx+ nyHy) Hy}.
УМНОЖI-IМ первое соотНошение в (2.1.7) на n у , второе
и сложим полученные выражения, имеем
(п x 2 +ni)E z == W 1 (nуН х пхНу).
(2.1.7)
на nx
43
Заменив Ez, Нх, Ну через функцию и(х, у) и ее произВодные,
используя соотношения (2.1.4), предыдущее равенство перепи.
шем следующим образом:
) . W 1 ( ди(х. у) + ди(х,
у == t N Х
OO дх ду
'-== i W! ди (х, у)
ClJf.t дп .
При выводе (2.1.8) мы учли, что пx2+п/ I.
Итак, rраничные условия Леонтовича (2.1.3) для Е поляри-
308aHHoro поля эквивалентны rраничным условиям TpeTbero рода
и(х,
у) п \
у) ==
(2.1.8)
ди. (х. у) i(J)f.t ( ) О
u х у ==
дп W 1 ' .
(2.1.9)
Условие (2.1.9) можно переписать в друrом виде, если ввести им-
педанс свободноrо пространства W== Y / e (W== 120л Ом в систе-
ме 5I), а также учесть, что k 2 == ш 2 ЕfL. В результате ПОЛУЧIIМ
ди(х, у) . k W ( ) О
t U Х у ==
дп W 1 ' .
(2.1.10)
Итак, векторную задачу дифракции Е поляризованной наклон-
Но падающей плоской волны на бесконечном цилиндре, облада-
ющем конечной проводимостью, свели к скалярной двумерной
задаче дифракции с rраничнымн условиями TpeTbero рода (2.1.10)
на поверхности цилиндра.
2.1.2. Н поляризация. Преобразование импедансных rраничных
условий Леонтовича к скалярным rраничным услосиям TpeTbel"O
рода. Пусть плоская волна вида (2.1.1), падающая на бесконеч-
ный хорошо проводящии цилиндр, Н поляризована. 8 случае
Н поляризации компоненты векторов Е (х, у) и Н (х, у) электро-
маrнитноrо поля, уДовлетворяющеrо системе уравнений MaKcBek
ла (2.1.2), выражаются через Hz(x, у)==и(х, у) следующим обра-
зом (см. п. 1.3;.1):
н.,,(х, у)==Ну(Х, y)==Ez(x, у) ==0,
Е ( ) i ди(х, у) Е ( ) i ди(х, у)
х х, у == ,х, у == - ,
у
(2.1.11)
rде и(х, у) решение однорОДНоrо уравнения rельмrольца
(2.1.5) .
Покажем, что rраничные условия Леонтовича (2.1.3), связы
вающие на 50 векторы Е(х, у) и Н (х, у), можно записать и для
случая Н-поляризованноrо поля в виде скалярных rраничных
ус.ювий TpeTьero рода для u (х, у) и ди (х, у) /дп. Для этоrо BOC
пользуемся условием (2.1.3) в форме (2.1.6). Поскольку Е==
44
=={Ех, Еу, О}, H {O, О, Hz}, п {пх, п у , О}, то (п, Н) o, поэтому
(2.1.6) запишется так:
[п, E] W1H. (2.1.12)
Векторное произведение [п, Е] является вектором, направленным
по оси z. Учитывая (2.1.11), напишем
[ П , Е ] ==n Е n Е ( ди(х, yj
z х у 11 х (J)8 дх n z +
+ ди(х, у) п ) == ди(х, у)
11 (2.1. 13)
ду <UE дп
'Следовательно, (2.1.12) перепишем в виде
ди(х, у) + W1U (Х, у) == о
OJE дп
.или
ди(х, у) ik W 1 u (х, у) == О. (2.1.14)
дп W
Таким образом, при дифракции E или Н поляризованной на-
клонно падающей плоской волны на бесконечном импедансном
цилиндре краевая задача для системы уравнений Максвелла с
rраничным условием Леонтовича на поверхности цнлиндра сведе-
на к решению скалярной двумерной задачи, искомая функция в
которой удовлетворяет уравнению rельмrольца и rраничному ус-
ловию TpeTbero рода.
Для удобства изложения в дальнейшем запишем условия
{2.1.10) и (2.1.14) в общем виде
ди (х, у)
дп
iau (Х, у) == О,
(2.1.15)
rде
{ kW /W l' Е-поляризация;
a
kW l/W' Н поляризация.
2.1.3.Вывод интеrральноrо уравнения. Интеrральное уравнение,
к решению KOToporo сводится рассматриваемая краевая задача
дифракции наклонно падающей плоской волны на импедансном
ЦИЛиндре, получим тем же способом, который использовали в
п. 1.3.1. Как и в случае идеально проводящеrо цилиндра, полное
поле и(х, у) можно представить в виде суммы потенциалов про-
cToro и .двойноrо слоев с непрерывиыми плотностями распределе-
ния (см. (1.3.13»:
U(M)== S [ ди(Р) g(M, P) и(P) a g <:, Р) ] dsp+uo(M), (2.1.17)
2п дп пр
5.
(2.1.16)
rде g (М, Р) функция rрина свободноrо пространства (1.3.8).
45
в случае Е поляризации полное поле и(х, y)==Ez(X, у), а
и о (Х, у) == E aA (Х. у). Для Н поляризованноrо поля u (Х, у) ==
== Н ., (Х, у), и о (Х, у) == H Z (х, у). В обоих случаях можно пола
raTb, что ио(х, у) имеет вид
rде амплитуду
венно.
Интеrральное уравнение для u (Р) получается, если точку М
опустить на 50 и учесть непрерывность потенциала простоrо слоя
и разрыв потенциала двойноrо слоя при переходе через So, а
также rраНl1чные условия (2.1.15). в результате приходим к сле
дующему интеrральному уравнению BToporo рода:
1 1 S [ дg(М Р). ]
и(M) + д ' tag(M,P) u(P)dsp==uo(M), (2.1.19)
2 2п пр
50
ио(х, у) ==exp( iaox+i oY),
падающей волны взяли равной 1,
(2.1.18)
что несущест
ядро KOToporo определяется не только функцией [рина свободно
[о пространства и ее нормальной производной, но также зависит
от параметра ia, входящеrо в rраничные условия (2.1.15).
В случае Н-поляризации для реальноrо металла в сантимет
ровом, миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах волн па
раметр a==kW 1 /W«I, поэтому для численноrо решения интеrраль
Horo уравнения (2.1.19) можно использовать метод возмущений
[16, 3.5]. Получающееся при ЭТОм интеrральное уравнение явля
ется фредrольмовым и ero численное решение не вызывает допол
НIIтельных сложностей по сравненню с I1зложенным в rл. 1 MeTO
дом. Для Е полярнзованноrо поля, коrда параметр a==kW/WI 1,
применение получающеrося при этом интеrральноrо уравнения
(2.1.19) требует дополнительноrо исследования.
9 2.2. ВЫВОД ИНТПРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИй ПРИ ДИФРАКЦИИ
ПЛОСКОй ВОЛНЫ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ЦИЛИНДР!!'
2.2.1. Постановка задачи. Рассмотрим стационарную задачу
возбуждения диэлектрическоrо цилиндра полем наклонно пада-
ющей плоской волны (2.1.1). Будем обозначать через D i попереч
ное сечение цилиндра, So контур, оrраничивающий область D i .
а через De внешнюю к D i область. Пусть область D i xapaKTe
ризуеТС5I параметрами ei, /--li, k i == (() v Бifli , а область De COOT
ветственно параметрами ее, !le, ke==(i)V eel!e Задача состоит в
нахождении неизвестных полей Ее, Не в области De и H i . Е ; В
области D i , удовлетворяющих однородным уравнениям Максвел
ла (2.1.2), rраничным условиям на поверхности 50, обеспечиваю-
щим непрерывность танrенциальных составляющих электрическо
ro и маrнитных полей при переходе через rраницу
[п, Ei] Is.== [n, Ее] 150'
[п, H,]\s.== [n, Не] 15.. (2.2.1)
46
тде Hi.f" E i . e полные поля. Кроме Toro, для рассеянных полей
'He Hnaд, Ее Епад в области De должны выполняться условия
излучения.
В случае, Коrда падающее поле E или Н поляризовано, по
ставленная задача (2.1.1), (2.1.2), (2.2.1) сводится к решению
скалярной задачи, состоящей в определении в области Di,e неиз
вестной функции Ui,e (к, у), являющейся продольной компонентой
полноrо поля Ei,e В случае Е-поляризации или Нц в случае Н по
.ляризации, удовлетворяющей однородному уравнению rельм-
rольца
щ,е (к, у) + ki.eUt,e (х, у) == о
(2.2.2)
-соответственно в областях D i или De.
Остановимся на вопросе, как записываются rраничные условия
(2.2.1) для скалярной задачи. Рассмотрим Е поляризацию.
В этом случае Е == {О, О, u (х, у)}, н == { ди( х. у)
(й/1 ду
(й/1
ди(х, у)
дх
, о}
Поскольку п=={n х , п у , о}, то
[п, Е]=={nуи(х, у), пxи(x, у), О}.
Если умножить х ю координату вектора [п, Е] на nу, у-ю на n",
и результаты сложить, то первое rраничное условие в (2.2.1) в
скалярном виде запишется так:
Ui (х, у) 150 == и е (х, у) I So'
(2.2.3)
Вектор [п, Н] имеет отличную от нуля z ю компоненту, т. е.
[п, н] == f о, о, ди(х. у) nу + ди(х, у) nх } == { О, О, ди(х, у) } ,
(й/1 ду <iJ11 дх <iJf.t дп
поэтому второе rраничное условие в (2.2.1) в скалярной форме
имеет вид
f.ti
дщ(х, у) I 1
дп SO==
дие(х, у)
дп
/So
(2.2.4 )
в случае Н поляризации Е== { ди ; у)
Н == {О, О, u (х, у)}, следовательно
[ Е] { О О i дп (х, у) i
п n ' n
, " Ы8 Х дх we у
== { О. o, ди(х, у) }
<ое дп
Таким образом, первое rраНИЧНое условие в (2.2.1) перепишем
в виде
ди(х, у) О }
W8 дх ' ,
ди(х. у) } ==
ду
Ei
дUi(Х. у)
дп
I 1 дие(х, у)
5. == дп
Is.
(2.2.5)
47
Наконец, [п, Н]=={nуи(х, у), nхи(х, у), О}, поэтому, умножив х-ю
координату вектора [п, Н] на nу, у ю на n х и сложив получен-
ные результаты, придем к соотношению, аналоrичному (2.2.3).
Итак, rраничные условия (2.2.1), сформулированные для BeK
торных полей рассматриваемоЙ задачи, в скаJIЯРНОМ случае имеют
вид
и; (х, у) Is. == и, (х, у) 15..
(2.2.6)
aUi(X, у) I ди,(х. у) i
Р; :== Ре
дп s. дп s.
rде pi== l/f.Lj, Ре== l/f.Le для Е-поляризации и pi== l/ei, Ре== l/€e
В случае Н !lОляризации.
Теперь окончате.ПЬНО сформулнруем полученную краевую зада
чу для скалярных полеЙ: наЙТII решение Ui,e (х, у) однородноrо
уравнения rельмrольца (2.2.2) в облаСТII D i или De, rде
Иц (х, у) полные электромаrнитные поля, удовлетворяющие на
50 rраИIlЧНЫМ условиям (2.2.6), а поле
и е (х, у) иo (х, у) ==и е (х, y) exp ( iaox+i oY)
удовлетворяет условию излучения.
Единственность решения сформулированной выше краевой за
дачи доказана в работе [2].
2.2.2. Получение системы интеrральных уравнений. Введем в
рассмотрение две функции rрина gi,e (М, Р), дЛЯ каждой из KO
торых во всей плоскости справедливо одно из уравнений rельм-
rол ьца
Agi.e(M, P)+k 2 i ,egi.e(M, Р)== 2Jtб(М, Р)
(2.2.7)
и условие излучения на бесконечности. Эти функции rрина имеют
вид
[i1t
gi.. (М, Р)== ТНдl) (ki..fMP).
(2.2.8)
rMP== V(XM Xp)2 + (YM Yp)2.
Применив в области D i к функциям и, (Р) И gi (М. Р) вторую
формулу rpIIHa и используя (2.2.2), (2.2.7), ПОJlУЧИМ соотношение,
ПОЗВО.'1яющее определить поле и, (М) в области D i по значеииям
и, (Р) и JUi(P)/Jnp на 50:
и,(м) == 2 S [ и,. (Р) дgl Л:; Р) gi (М, Р) д ) ] ds p , М Е D,.
s.
(2.2.9)
n нормаль, внутренняя к D i .
Аналоrично тому, как сделано в п. 1.3.1, можно получить ин
теrральное представление для поля и е (М) В области De:
48
ие(М) == r r ди,,(Р) ge (М, Р) Ие (Р) a g e <:. Р)
2п J дп пр
5.
MEDe,
] ds p + и о (М),
(2.2.10)
которое выражает поле и е (М) В De через и е (Р) И дИ е (Р) ;дп на So.
Для получения ннтеrральных уравнений опустим в формулах
(2.2.9), (2.2.10) точку М на контур So. Учитывая при переходе
через rраницу непрерывность потенциала простоrо слоя и разрыв
потенциала двойноrо слоя, имеем
Uj(M)== S [ Щ (Р) af!'<:. Р) gi (М, Р) дщ(Р) ] dsp,
2 2п пр дп
s.
(2.2.11)-
+ ие(М) == ;n 5 [ ди <:) ge(M, Р) иe (Р) age ; Р) J ds p + и О (М),
5.
MES o '
Сложив соотношения, входящие в (2.2.11), и учитывая rранич
ные условия для поля (2.2.6), получим
u,(М) S щ (Р) [ ag,(M, Р) age(M, Р) J dsp +
2n дп р дп р
5.
+ !
2п
s.
ди, ( Р)
дп
[gi(M,P) :: ge(M,P)]dsp==uo (M), МЕ5 о .
(2.2.12)
Таким образом, мы получили одно интеrральное уравнение для
нахождения на 50 неизвестных функций Иi (iМ) И ди; (М) /дп.
Для вывода BToporo интеrральноrо уравнення проднфферен
цируем соотношеНI!Я (2.2.9) и (2.2.10) по внутренней к So HopMa
ли, точку М опустнм на 50 и учтем свойства нормальных произ
водных потенциалов двойноrо и простоrо слоев. В результате
получим
ди,.(М) == S [ Ui(P) a2g,(M. Р) ag,(M. Р) дu,(Р) ] ds
2 дп м 2n дпмдпр дn м дп р р,
S,
1
2
дие(М)
дп м
S[
5.
ди,(Р)
дn р
age(M. Р)
дп м
(2.2.13)
ие(Р) a 2 g,(M. Р) ] dsp
дпмдп р
дио(М)
д ,Ме5 о ,
п м
Наконец, сложив соотношения, входящие в (2.2.13), и приняв во
внимание rраничные УСЛОВИЯ (2.2.6), имеем
49
( 1 + ...!!!..... ) ди;(М) r и, (Р) [ a2g,(M, Р) a 2 g e (M, Р) ] М р -,
2 Ре дn м 2л: J дnмдn р дпмдп р
s.
+ S
2л
s.
дщ(Р) [
дп р
ag,(M, Р) !!..!.....
дn м Ре
age(M, Р) ] дио(М)
дn м ds p == дп м ,MeS o '
(2.2.14)
Итак, мы получили систему интеrральных уравнений относи
'тельно неизвестных функций Иi (Р) и aUi (Р) /дпр на 50 следую
щеrо вида:
и, ( M ) r и.. ( Р ) [ ag,(M, Р) r age(M, Р) ] d +
, 2л: J . дn р дп р Sp
S.
+ S ди (P) [ gi (М, P) .E::.ge (М, Р) ] dsp == и о (М),
2л; l пр; Ре _
S.
(2.2.15)
a 2 g e (M, Р) ] d
дnмдп р Sp +
( 1 + J!..!... ) дщ(М) S Ui (Р) [ a2gi(M, Р)
2 \ Ре дп м 2:11 дпмдп р
S,
+....!...... r дщ(Р) [ agi(M, Р) ...!!..!.... 'age(M, Р) ] dsp== дио(М) , МЕ5 о .
2л; J дп р дn м Ре дп м дп м
s.
Система интеrральных уравнений вида (2.2.15) получена в
работах [6 8]. В работе [9] доказана единственность решения си
стемы интеrральных уравнений (2.2.15) в классе функдий с He
прерывной в смысле [ельдера производной. Поtкольку система
(2.2.15:) является системой интеrральных уравнений Фредrольма
BToporo рода, то из единственности решения системы следует ero
существование в рассматриваемом классе функций. А из сущест-
вования и единственности решения для системы (2.2.15) следует
существование решения исходной краевой задачи. Таким образом,
показана эквивалентность сформулированной в п. 2.2.1 краевой
задачи и системы интеrральных уравнений (2.2.15)
Решив систему (2.2.15), по формулам (2.2.9), (2.2.10), прини-
мая во внимание rраничные условия (2.2.6), найдем искомое поле
во всех точках как области Di, так и области De.
2.2.3. Исследование ядер системы интеrралъных уравнений
(2.2.15). Ядра системы интеrральных уравнений (2.2.15) опреде-
ляются разностью функций [рина gi(M, Р) и ge(M, Р), их пер-
вой и второй нормальными пронзводными. Исследования, прове-
денные в п. 1.3.2, показывают, что функции gi,e (М, Р) имеют ло-
rарифмическую особенность при совпадении aprYMeHToB, а их
нормальные ПрОJiЗводные в точках М, Р MorYT быть доопределены
так, что agi,e(M, Р)/дпр будут непрерывнымИ во всех точках
S С ag,(M Р) age(M, Р)
rладкоrо конту р а ледовательно ядра '
о. , дn р дп р
50
и ag,(M, Р) .!!.!.... дgе(М, Р)
дп,'И Ре д1l м
р'
ми. Ядро gt (М. Р) ge (М, Р) имеет, как это можно показать-
Ре
помощыо выкладок, аналоrично приведенным в п. 1.3,.2, oco
бенность типа ( 1 J!.!.... ) 1n
Ре 'мр
a 2 g ' ( M Р )
Рассмотрим ядро ,.
дпмдп р
являются реrу.тJЯРНЫМИ функция
a 2 g e (M, Р)
дпмдп р
Поскольку
:z НЬ О (z) == HP) (Z),
(2.2.16)
dH1(z)
dz
HdI)(z) H 1) (2)
2
То
a 2 g, (М, Р) a 2 g e (M. Р) [ ag,(M. Р) age(M. Р) ]
дпмдп р дп м д1l р дп м д1l р дп р
== [ ( - kН(!) (k.rMP) + k Н(!) (k r MP ) ) д,мр ] ==
2 дп м '1 L е l е дп р
in [ дНР) (k"MP) aHP)(ke'MP) ] д,мр
== ki +ke +
2 дп м дп м дп р
д 2 т мр
+ [ kДР) (k;rмp) + kД1I) (k"rMP)] дпмдп р
in [ aHII) (k,r MP ) a(kir MP ) дНj1)(k е r мР ) a(ktr MP ) ]
== ki +ke Х
2 a(k"MP) дп м r7(ke r MP) дп м
P
Х д МР + [ ktHjl) (k,rMP) + keHjI) (kerMP)]
ПР дпмдп р
in {[ Hal)(k"MP) H l)(k,rMP) 2 Hbl ) (kerMP) H O (ke'MP) ]
== k +ke Х
2 I 2 2
ar MP дтмр a 2 r M P }
х д д 1l + [ kДР) (k,rMP) + kjfP) (kerMP)] дп дп ==
11м Р М Р
[ k2 k 2 . k 2
== ......!... НЬ О (k;rMP) + ......!.. H I)(kirMP) +..!.!!:..........!..... На\) (k rMP)
22 22 22 е
i1t k; (1) ] дтмр ar MP
H2 (krмp) +
2 2 е дп м дп р
[ i1t in ] a2rMP
+ kДjI) (ktrMP) + kДР) (ke'MP) д д . (2.2.17}
2 2 11м пР
51
Поведение функций H! (Z) при Z--+O определяется поведением
N 1 ,2(Z), так как J 1 ,2(0) ==0, поэтому
fu n k О
2H! (krMP)"' 2NJ.2( 'МР) при 'МР--+' (2.2.18)
Кроме Toro, используя известные разложения для функций / т (z)
и Nm(z) [17]:
о>
J Z ( --=--- ) т ( I)k ( ) 2k
т ( ) 2 kl r(т+k+l) 2 '
k O
(2.2.19)
Nm(z)== Jm(z) (lпf +с)
<х> k т+k
...!... ( ...:... ) т ( l)k ( ",:", ) 2k ( ...!...+ 1... )
1t 2 k!(т+k)! 2 i i
k O i l i l
m l
1... ( ...!.... ) т ,...., (т k I)! ( --=--- \ 2k
1t 2 k! 2 )
k O
т==O,1,2,...,
можем записать, что поведение N 1 . 2 (z) при малых значениях Z
.определяется членами
2 ( z ) 1 2
N 1 (z) Jl(Z) \п +с + ...,
1t 2 1t Z
(2.2.20)
2 ( z ) 1 ( 2 ) 2
N2(z) J2(Z) ln 2 +c 7 +
в соотношениях (2.2.20) имеются члены вида J 1,2 (z) \п z, которые
стремятся к нулю при z........o (это можно показать, используя пра-
вило Лопиталя для нахождения пределов и первое из разложений
(2.2.19». Таким обр азом, мы получили, что соотношение (2.2.20)
можно переписать так (УЧИТЫРая J 1,2 (о) ==0):
1 2
N 1 (z) + . . . I
1t Z
(2.2.2\)
1 ( 2 ) 2
N2(Z) '.'
Учитывая вышеприведенное, мы можем особеиность соотноше-
ния (2.2.17) при 'мр--+О выписать следующим образом:
д 2
д д (е/ (М, Р) ee (М, Р»
n м Пр
52
[ 2 k2 k 2
1п +........:...ln N2 (kirMP) +
2 k,r MP 2 ke'MP 2 2
k; n ] дтмр д,мр
+ 22 N2 (kerMP) дn м +
+ [ ; kINl(kirMP) fk,Nl(kerMP)] д !: :p "'"
[ k2 k 1 k? 2 k 2 2 ]
е I lп + k 22 е Х
2 r мР 2 i 'МР 2 k; T p
д,мр д,мр [ 1 k 1 ] д2,мр
x + ki + e
дn м дn р kj'MP ke'MP дnмдn р
k; k7 1 д,мр д,мр
lп
2 'мр дпм дn р
(2.2.22)
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский В. В. Электродинамика и распространение радиоволн.
М.: Наука, 1978.
2. Куnрадзе В. д. rраничные эадачи теории колебаниЙ и интеrральные
уравнения. М. Л.: rиттл, 1950.
З. Дмитриев В. И., Барышникова И. А., Захаров Е. В. Аномальные элект-
ромаrнитиые поля пластовых тел. Л.: Недра, 1977.
4. Richтond J. Н. Scattering Ьу а dielectric cylil1der of arbitrary cross
section shape. ШЕЕ Transaction оп Antennas and Propagation, АР IЗ, 1965,
N 3. р. 334 341.
5. Дмитриев В. И. Дифракция плоскоrо электромаrнитноrо поля на ци-
линдрических телах, расположенных в слоистой среде. В КН.: Вычислитель-
иые методы и проrраммирование. Вып. 3. М.: Изд-во Mry, 1965, с. 307
316.
6. Сивов А. Н. О сведении двумерной эадачн дифракции на телах про-
извольноЙ формы К двумерным интеrральным уравнениям BToporo рода. Ра-
диотехника и электроиика, 1968, 13. N2 8, с. 1494 1497.
7. Захаров Е. В. 1\ дифракции плоскоrо электромаrнитноrо поля на одно-
родном цилиндрическом теле, поrруженном В слоистую среду. ИЗВ. АН
СССР. Физика Земли, 1969, .N 1, с. 57 62.
8. Захаров Е. В., Котик И. п., Сивов А. Н. Об одномерных интеrральных
уравнениях BToporo рода для задач дифракции электромаrнитных волн на ци-
линдрических телах. В кн.: Вычнслительные методы и проrраммирование.
Вып. 13. М.: Изд-во Mry, 1969, с. 177 188.
9. Захаров Е. В. О единственности и существоваиии решеlШЙ II1пеrралы1хx
уравнений электродинамики неоднородиых сред. В ки.: Вычислительные ме-
тоды и проrраммироваиие. Вып. 20. М.: Изд-во Mry, 1975, с. 37 49.
10. Солодухов В. В., Васильев Е. Н. Дифракция плоской электромаrнит-
ной волны на диэлектрическом цилиндре с произвольной формой поперечноrо
сечення. ЖТФ, 1970, 40, N2 1, с. 47 53.
11. Васильев Е. Н., Солодухов В. В. Дифракция иаклонно падающей
электромаrнитнои волны на диэлектрическом цилиндре произвольноrо попереч-
иоrо сечения. В ки.: Вычислительные методы и проrраммирование. Вып. 20.
М.: Изд-во МП". 1973, с. 144 157.
12. Кеванишвили r т., Сик,uашвили З. И., Цаzарейшвили А. П., Цан-
деков М. Н. РассеЯllllе плоской электромаrнитной волны на системах, состав-
53
ленных из конечноrо количества цилиндров. В кн.: Теория дифраКllIlИ и'
распространения волн. Т. 3. Труды VII Всесоюзноrо симпозиума по дифрак-
ции и распространению воли. М., 1977, с. 243 246.
13. КеваНUШ8UЛU r Ш., Сuкмашвuлu З. Н., Цаеарейшвuлu А. П. К тео-
рии дифракции электромаrнитных волн иа двух цнлиндрах. ИЗD. вузов.
Радиофизика, 1978, 21, N 1, с. 91 99.
14. Зарuдзе Р. с., Ломuдзе r В. Дифракции на диэлектрическом теле вбли
ЗI! rраНIIЦЫ раздела сред. В кн.: XIV Всесоюзная конференция по распро
странениlO радиоволн. Тезисы докладов. М.: Наука, 1984, с. 2бl 263.
15. Даутов О. Ш. Применение функциональных уравнений для решенНf[
задач возбуждения диэлектрических тел. В кн.: Прикладная электродина
мика. Сборник научно.методических статей. Вып. 2. М.: Высшая школа.
1978,с. 112 1]9.
16. Ильинский А. с., Слепян Т. Я. Колебания и волны в электродинами
ческих системах с потерями. М.: Изд-во MO/, 1983.
17 Корн Т., Корн Т. Справочник по матемаТI!l{е для научных работни
ков и ннженеров. - М.: Наука, 1968.
rЛАВА 3
ДИФРАКЦИЯ ВОЛН НА ИМПЕДАНСНОМ ЦИЛИНДРЕ
В I1рямоуrольном ВОЛНОВОДЕ
с ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩИМИ СТЕНКАМИ
в данной rлаве исследуем распространение установившихся
колебаний в нереrулярных волноводах. Нереrулярность волново
да может быть вызвана изменением ero поперечноrо сечения, ани
зотропными свойствами заполняющей ero среды, наличием BHYT
ри волновода мет.аллическоrо, диэлектрическоrо или какоrо-либо
друrоrо включения и т. д. Полн.ая электродинамическая задача о
распространении электромаrнитных колебаний в нереrулярных
волноводах приводит к необходимости решать краевую задачу
для системы уравнений Максвелла. В большинстве случаев COOT
ветствующая задача не IIMeeT аналитических решений, поэтому в
теории волноводов развиваются численные методы. Математиче-
ские методы решения водноводных задач прежде Bcero зависят от
типа нереrулярности. НаIlболее распространенным методом иссле-
дования нереrулярных волноводов с медленно меНЯЮЩIIМИСЯ па
раметрами является метод поперечных сечений, в котором Kpae
вая задача для уравнения в частных ПрОИЗI30ДНЫХ сводится к бес
конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
В работах [1, 2] краевая задача для системы уравнений MaKC
велла с помощью метода, аналоrичноrо методу [алеркина, сво-
дится к конечной системе обыкновенных линейных дифференци
альных уравнений. При этом как приближенное, так и точное ре-
шения удовлетворяют энерrетическим соотношениям, из которых
следует сходимость приближенноrо решения к точному. На базе
работ [1, 2] строится общий алrоритм для исследования YCTaHO
вившихся электромаrнитных колебаний в волноводах, форма бо-
ковой поверхности которых существенно отличается от поверхно
СТII реrулярноrо волновода [3 (}]. Широко используется неполный
метод fалеркина для расчета частично заполненных волноводов.
Если заполнение волновода таково, что rраница раздела двух
сред наклонна и протяженна, то применением неполноrо метода
rалеркина [10] задача дифракции сводится к системе обыкновен
ных дИ'фференциальных уравнений, для решения которой разра-
ботан метод направленной ортоrонализации [11], дающий устой
чивые результаты [10, 12]. Успешно для расчета таких задач при-
меняется и метод интеrральных уравнений [1 ]. Исследование
уrолковых и друrнх неоднородностей с некоординатными rраница
ми успешно осуществляется с помощью метода полуобращения
[14].
55
в технИ!<е СВ Ч широко используются устройства, основой KO
торых являются волноводы, содержащие различные настроечные
элементы [15]. Такие волноводные устройства MorYT применяться,
например, в качестве преобразоватслей типов волн, трансформа
торов, управляемых фазовращателей, коммутаторов, оrраничнте
леЙ мощности. Настроечными элементами MorYT служить диэлект
рические или металлические стержни с произвольной фОрМОll и
размерами поперечноrо сечения или система таких стержней, раз
личные диафраrмы, диэлектрические ступеньки, плаЗ lенные или
ферритовые включения и т. д. Учет влияния таIШХ HeOДHopOДHO
стей требует знания их электродинамических характеристик во
всем диапазоне измеиения их параметров.
Расчет волноводных трансформаторов представляет собой
сложные, но актуальные задачи, решение КОТОРЫХ, естественно,
может быть получено только численными методами и привлекло
внимание мноrих специалистов [5, rл. 1; 16 47j.
В Mry на протяжении ряда лет успешно развивается для ис
следования волноводных трансформаторов метод rалерюша.
Этот метод использован для расчета конкретных систем, erO при
менение полностью обосновано [48 52]. Для исследования пrо
стейшеrо трансформатора, состоящеrо из волновода с хорошо
проводящим включением, может быть успешно применен и метод
ннтеrральных уравнений.
Следует отметить, что ставшая уже классической задача днф-
ра кции волн на металлическом стержне нсследовалась еще
Л. Левиным [17] и Ю. Швинrером [19]. Но методы, развитые в
[17, 19], позволяют получить результаты с высокой точностью
лишь для KpyroBbJx цилиндрических стержней малоrо радиуса
и достаточно удаленных от иоковой стенки, коrда распределение
тока на ЦИJIИндре близко к постоянному. Тонкие стержни pac
сматриваются и в работе [18]. В. И. Вольманом и А. r. Саркись
янцем [47] построено решение, приrодное ДJ1Я более толстых ин-
ДУКТИВНЫХ KpyroBbIx штырей, но при этом радиус цилиндра ro
не может быть достаточно большим (2rо/а О,3-7--0,35, rде а
размер широкой стенки волновода). В работе В. А. Петленко и
Н. А. Хижняка [37] рассматривается задача рассеяния электро
маrнитных волн также тонкими ПРОВОДЮIкаМ1I, но их положение
в прямоуrольном волноводе может быть произвольным. Получено
асимптотическое выражение для тока в тонком проводнике для.
любой, в том числе и резонансной ero длины. Поскольку в работе
[37] результаты получены в предположении, что раДIlУС проводни
ка мал по сравнению с ero длиной, то метод, развитый в [37],
дает более точные результаты для длинных ПРОВОДНlIКОВ, чем для
коротких. r. ш. Кеванишвили [22] методом ортоrонализации pe
шена задача дифракции основной волноводной волны H 10 на ин
дуктивном стержне круrлоrо поперечноrо сечения, находящеrося
в прямоуrольном волноводе. В этой работе. в отличие от [17],
снято оrраничение на отношение радиуса цилиндра rG к ДЛlJне
волны'), (ro/'),«I), которое имело место в [21]. В работе [22] зада
56
ча решена для любоrо значения электрическоrо радиуса стержня
при условии, что стержень обладает бесконечной проводнмостью.
А. В. Мошинским И В. К. Березовским [24] при помощи функции
f'рина для прямоуrольноrо волновода, записанной в терминах
flОЛНОВОДНЫХ мод, дается новое решение задачи о дифракции
электромаrнитной волны на круrлом цилиндре в прямоуrольном
волноводе, приrодное для расчета при любом радиусе цилиндра
и месте ero включения. Работа G. de. Long [23] посвящена при
менению метода интеrральных уравнений при изучениv. рассеян
Horo и прошедшеrо полей при дифракции волн типа LE и LM на
идеально проводящем цилиндрическом препятствии в прямоуrоль
ном волноводе, коrда сечение цилиндра произвольно. Возможно
сти применяемоrо в этой работе метода проиллюстрированы на
примерах расчета коэффициентов отражения и прохождения от
.eMKocTHoro и индуктивноrо штырей с попереЧI:IЫМ сечением KBak
рат, треуrольник или Kpyr.
Метод интеrральных уравнений в применении к решению вол
новодных задач дает хорошие численные результаты исследова
нин дифракции волн на цилиндрическом препятствии произволь
Horo по j<онфиrурации и размерам поперечноrо сечения [53, 54].
В отличие от рассматриваемых в предыдущих r лавах задач диф
ракции элеI<Тромаrнитноrо поля на цилиндре, наХОДящемся в
свободном пространстве, коrда ядра интеrральных уравнений яв
ляются явно заданными аналитическими функциями с явной ло
rарифмической особенностью, при решении задач дифраКЦИII в
BO.:1!-IOводных областях функция rрина, учитывающая влияние
стенок волновода, имеет более сложный вид и представляется,
как правило, в виде спектральноrо разложения, сходимость и oco
бенность KOToporo надо исследовать, и r лавное, разработать эф
фективный алrоритм их вычисления.
В данной rлаве на примере задачи дифракции электромаrнит
Horo поля на цилиндре в прямоуrОvlЬНОМ волноводе иллюстриру
ются возможности метода интеrральных уравненнй.
3.1. ТИ ПЫ ВОЛ Н 8 прямоуrол ЬНОМ вол НОВОДЕ
3.1.1. Поперечно электрические и поперечно-маrнитные HOp
маЛЬflые волны в прямоуrольном волноводе. Рассмотрим прямо
уrольный волновод с идеально проводящими стенками. Обозна
чим через Е и f! диэлектрическую и маrнитную проницаемости
однородной среды, заполняющей волновод. Выберем систему KO
ординат xyz так, чтобы волновод был реrулярен вдоль оси z.
Обозначим через а и Ь размеры поперечноrо сечения Dl волново
да по осям х и у соответственно (а>Ь). Хорошо известно [55,56],
что в реrулярном цилиндрическом волноводе существует система
нормальных волн {&;''n н ' 'Н H}, которую можно выразить через
электрический П Е и маrнитныЙ П Н векторы rерца, направленные
по оси Z. Получим выражения для компонент этих волн в случае
прямоуrольноrо волновода.
57
Рассмотрим сначала волны, которые выражаются через Mar-
нитный вектор [ерца Л Н == П (х, у, z) i z . Электромаrнитное поле че-
рез вектор Л Н записывается следующим образом (см. [34, rл. 1])
&::n (х, у, z) == icu!-t rot ИН (х, у, z),
X n (х, у, z) == graddiv ИН (х, у, z) + k 2 П Н (х, у, z), (3.1.1)
rде П Н (х, у, z) для прямоуrольноrо волновода имеет вид [571
ПJ-J (х, у, z) == Фтп (х, у) eHv mn 2
(3.1.2)
А л;т nn
Фтп(Х, у)== mпCOS X cos у,
а Ь
V m" == ( П а т ) 2 + . ( N Ь п ) 2
Утn== k2 Лтп, '"
т, n==о, 1, 2,
, т 2 + n 2 =FO,
Аmn пока произвольные константы. Знак корня у Уmn выбира-
ем так: если k2 л-тn>о, то Reyтn>O; если k2 Лтn<О, то
1т Утn>О. Знак + или в экспонент,е соответствует волнам, рас-
пространяющимся соответственно в положительном ИJJИ отрица-
тельном направлениях оси
Функция П Н (х, у, z) удовлетворяет трехмерному уравнению
[ельмrольца
L\П Н (х. у. z) +k 2 П Н (х. у. z) == о,
(3.1.3)
rраничному условию на стенках волновода
дП" (х. У, z)
== о,
дп
(3.1.4)
а вычисленное по формулам (3.1.1) электромаrнитное поле удов-
летворяет системе уравнений Максвелла (1.1.3) и rраничному yc
ловию 8, (х, у, z) == О на , что соответствует предположению о
идеальной проводимости стенок волновода.
Функции 'Фтn (х. у) собственные функции второй краевой
задачи для оператора Лапласа в плоской области п., соответст-
вующие собственным значениям J.тп:
L\'ljJтn(X, у) +Лтn'фmn (х, у) ==0,
д1!Jтn(x,y) I ==0.
дп S,
(3.1.5)
Здесь Sl контур, оrраничивающий сечение D 1 ; n внутренняя
нормаль к области D!.
Коэффициенты А тn в (3.1.2) выберем из условия нормиронки
таким образом, чтобы
58
. I V.чiФтп (х, у) 12 d't == 1,
о,
(3.1.6)
{ д. д. }
rде Vxy== .х' .y
дх ду
.ftxy1jJтn (х, у) == grad 'I1mn (х, у).
ми можно показать, что
двумерный вектор набла,
Непосредственными вычисления
А п== "11 ( 2 Bпo)(2 :6mo) , т 2 +п 2 +О. (3.1.7)
т 1v Лтn аЬ
Формулы для электромаrнитноrо поля (3.1.1) можно записать
через собственные функции ЧJтп (х, у) В виде
& n (х, у, z) == (iU>f! [V .чЧJrnп (х, у), i z ]) e,HYmnz
(3.1.8)
'Jt п (х, у, z) == (::1: iУтпVхg'Фтп (х, у) +- лтп'Фтп (х, у) i z ) e-:J:.iУтпZ
Запишем электромаrнитные волны (3.1.8) следующим образом:
& n (х, у, z) == (e n (х, у) + S n (х, у)) e:r.iYтnz
(3.1.9)
'Jt п(х,у, z) == (=1: h n (х, у) +- 'Ч n (х, у)) e:tiVmnz
rде
e n (х, у)== iU>fl [Vх!/'Фтп(Х' у), i z ], S n (х, у) = О,
(3.1.10)
h n(x, у) == iУтпVхg'Фmп (х, у), 'Ч:';п(х, у)== лт,,'/Jтп (х, у) i z .
Волны
{ Jf ( ) 'Утп' h Jf ( ) i vmnz }
е тп х, у е ,тп х, У е ,
(3.1.11)
{e n(X,y)e iVтnZ h n(x,y)e iVmnZ}
являются поперечными составляющими рассматриваемых HOp
MaJIbHbIX волн, распространяющихся соответственно в положитель
ном и отрицательном направлениях оси z.
Полученные электромаrнитные волны вида (3.1.1) ИJIИ (3.1.8),
имеющие нулевую Z ю компоненту электрическоrо поля (см.
(3.1.10)), называются поперечно-электрическими (ТЕ) или Н вол
нами, или волнами маrнитноrо типа.
Выпишем компоненты электромаrнитноrо поля для Н mn-ВОЛН
(верхний Н и нижний тп индексы опустим):
1" . А :лn:лт . :лn -:J:.iy Z
(9'" ( Х У Z ) == t 1,)11 COS X Sln У е тn
% " mn r Ь а Ь
L".&. ( . А :лт .:лт :лn -:J:.iv z
(9.&. Х У z)== t U>f1 sш хсоs уе тп
у" тr, а а Ь '
59
0:- (х, у, z) == О,
(3.1 .12)
cv,ж ( ) . A :n:m . 11т пn :l:i'l' 2
JlI x,y,z ===Ft тп Vтllsш хсоs уе mn,
" а а Ь
t:Vx . А :п:n пт. пп :l:iv Z
,:п,у (х, у, z) == =F t тп ь VтnCOS x SШ Ь уе тп
91-;- (х, у, z) == [( пат ) 2 + ( :п ) 2 J А тll COS 11,; Х COS 11; ye:ti'l'mn2
Здесь верхний знак соответствует волнам, распространяющимся
в положительном направлении оси z, а нижний в отрица
тельном.
Волна H 1Q , получающаяся из (3.1.12) при m 1, n o и назы-
ваемая основноЙ волновод ной волной, имеет компоненты:
0-; (х, у, z) == 0;' (х, у, z) == 91: (х, у, z) == О,
0;- (х,' у, z) == iOOJl V sin : х e:l:i'l'lo z ,
V r
f1l:l:(x,y,z)===Fi .2..... V . k2 ( .2:.. ) 2sin x ef:i'l'10Z, (3.1.13)
" аЬ а а
{fti-(x, у, z) == .. I 2 Ь cos х ef:i'I'I0 2 ,
а V а а
'\'10== Vk2 (л/а)2.
Рассмотрим 1'еперь волны, которые выражаются через элект.
рический вектор [ерца П Е (х, у, z) П Е (х, у, z) i z . В этом случае
электромаrнитное поле записывается так:
6;п(Х' у, z)== graddiv П Е (х, у, z) + k 2 П Е (х, у, z),
(3.1.14)
91;п (х, у, z) == iюиоt П Е (х, у, z),
rде ПЕ(х. у, z) для прямоуrольноrо волновода имеет вид [57]:
п Е (х, у, z) == ЧJтп (х, у) e:f:i'l'тn z
( ) В . пт . пn
<Ртп х, У == тnS1П Х S1П у,
а Ь
../" 2 ( пт ) 2 ( ЛN ) 2
Уmп== у k .Лпtn7 л тn == + ь
т. п 1, 2, ..., В тn константы, которые определили позже.
Знак корня у 'Утn опреде.ляется так же, как это сделано у Н-волн.
Функция П Е (х. у. z) удовлетворяет уравнению (3.1.3) и rранич.
ному условию на стенках волновода ПЕ(х, у, z) o, а выражен-
60
ное через ПЕ(х, у' z) поде (3.1.14) УДОВ.'Iетворяет системе ypaBHe
ниЙ Максвелла (1.1.3) И на усдовию 6,='0.
Функции <ртп (х, у) собственные функции первой краевой
задачи ддя оператора Лапласа в обдасти D 1 , соответствующие
собственным зн ачениям Лтп:
Асртп(.\:, у) +Лтп<ртп (х, у) ='0,
(3.1.15)
СРтп (х,у)! 5. == О.
Коэффициеиты НОРМИРОВКИ В тn , так же как и для Н.волн, выбе
рем из условия вида (3.1.6):
IVХуСРтn(Х,у)!2d-r== 1, (3.1.16).
о,
т. е. В тn ПОДОЖИМ равными
В тn == .. / 4 , т, п == 1,2,
У лтnаЬ
(3.1.17),
Эдектромаrнитное поле (3.1.14) выразим через функции
сртn (х, у) следующим образом:
G (х, у, z) == (::1: iyтn V ху<Рmп (х, у) + Лтпq>тn (х, у) i z ) e:l: 1VтnZ ,
(3.1.18}
."Е ( ) . [ ( ) . ] --:ti'l'тnz
"'тn Х, У. Z == l<ОБ V ху'Ртn Х, У ,Iz е
Запишем электромаrнитные волны (3.1.18) так:
&:т (х. У. z) == (:::!:: е;'n (х, у) + s n (х, у» ежi'l'тn Z ,
Х;n (х, у, z) == (Ь;'n (х, у) + 'fJ;n (х. у» ежiVтпZ
(3.1.19)
rAe
e n (х, у) == iyтnVxy<Pтn (х, у), s;n (х, у) == Лmnq>тп (х, у) i ,
(3.1.20).
b (x,y)== i<ОБ[VхуСРтn(Х,У), i z ], 'I'J (x,y)==o.
Волны
{е;n (х, у) ei'l'тn Z Ь;п (х, у) ei'l'mnz },
(3.1.21):
{ е:т (х. у) e iVтnZ h;'n (х, у) e iVmnz }
являются поперечными составдяющими рассматриваемых HOp
мальных волн, распространяющихся соответственно в положи-
тельном и отрицательном направлениях оси z.
Полученные электромаrнитные волны, определяемые формула
ми (3.1.14) или (3.1.18), имеющие нулевую z ю компоненту Mar-
нитноrо поля, называются поперечно-маrнитными (Т М) или
Е-волнами, или волнами электрическоrо типа.
61
Поля нормальных волн в реrулярном волноводе полны в том
'смысле, что любое решение однородных уравнений Максвелла
представимо в виде суперпоэиции полей TE и ТМ волн [561. Си
стема нормальных волн в реrулярном волноводе ортоrональна,
l1ричем
s ([H ;,E,
О.
1 0000Y' ,т' т, n' n, Н-волны,
. н Е тп
Н т '';' ], i z ) dT <il8Уrnll, т' т, n' n, Е волны,
О в остальных случаях,
(3.1.22)
{ WIlYm", т' т, n' n, Н волны,
*l/,E . *"
Ет,n,], IJd. -<il8Yтn' т '= т, n n, Е волны,
О в остальных случаях,
s ([E /,
о.
тде Утn * !сомплеКС!IO-сопряженное к Утn.
3.1.2. Продольно электрические и продольно-маrнитные волны
в прямоуrольном волноводе. В предыдущем пункте мы получили
Сl1стему нормальных электромаrнитных волн в прямоуrольном вол
новоде, которые выражаются через вектор rерца, направленный
вдоль оси z. Если цилиндр направлен вдоль оси х, то удобно BBe
сти вектор rерца, направленный по оси х. Рассмотрим типы волн,
,которые выражаются через направленный по оси х вектор rерца.
Пусть ли (х, у, z) == П Лl (х, у, z)i x вектор rерца, rде
п'l1 (х, у, z) -Фтп (х, у) e:r.iVmnZ (3.1.23)
V '\ ml! ( П а т ) 2 + ( П Ь n ) 2
Ут" k 2 Л тп , 110
т== 1, 2, n==О, 1, 2,
выражается чер,ез функции фтn (х, у) вида
. пm :лп
'Фтп (х, y) АтпsIП x Cos у.
а Ь
Знак корня у 'Утп В (3.1.23) выбираем так же, как и дЛЯ H или
Е волн: если Il2 Лп1П>О, то Re'Vmn>O; если k2 Лmn<О, то
1т 'Утn>О. Знак У экспоненты в (3.1.23) выбирается + для волн,
распространяющихся в положительном направленин оси z и
для волн, распространяющихся в отрицательном направлении
оси z.
Функция П М (х, у, z) удовлетворяет трехмерному уравнению
rельмrольца (3.1.3) и следующему rраничному условию на CTeH
ках волновода :
(3.1.24)
П М (х, у, z) == О при х == О, х== а,
(3.1.25)
дПМ(х, У. z)
ду
'=0
при У'= О, У Ь;
62
а функции фтn (х, у) собственные функцин для оператора Л a
пласа краевой задачи
.;j;mп (х, у) + Лmп 'тn (х, у) == О,
дф (х. у)
ду
дф(х, у)
дп
== о при у==О, у==Ь,
f(x, у) ==0 при х==О, х==а.
(3.1.26)
Пронзвольные коэффициенты А тn в (3.1.24) выберем позже.
Получающиеся в результате TaKoro выбора вектора [ерца
электромаrНIIтные волны {& п (х, у, z), X n (х, у, z)} .вида
J::'M ( ) . t ( ;!; ( ) :l::i'l'mn Z ' )
тп х, у, Z == t<Of! ro 'УIПn Х, У е J x ,
(3.1.27)
Ж п(Х, у, Z)== (graddiv+ k 2 ) ( тn(X, y)er.iV тn Z i x ).
т == 1, 2,
п==О, 1, 2,
удовлетворяют систем уравнений аксвелла и rраннчному усло
вию б ==О на .
Запишем G;;:n(X, у, z) в (3.1.27) в внде
& n (Х, у, z) == iilll1 [V xyz (\Ртn (х, у) er.iVmnz ), i x ] ===
== irol1 [(Vxy\Prnn (х, y)::f:: iyтn1Pmn (х, у) 1.1,)' Ix] e HVmnz ===
== iЩ! ( raf[ , у) iz::f: iy т n1Pтn (х, у) ig) e:f: iV тn 2 (3.1.28)
Аналоrнчно преобразуем 'Н n (Х, у, z):
X п (х, у, z) == (graddiv + k2)( mn (Х, у) er. i 'l'тn 2 i x ) ==
== grad (v xyz, 1i'mn (х, у) e:t.i'VmnZ i x ) +- k2 тn (х, у) etivmnZ ix ===
== grad ( дФт х, у) e:t.i V mn 2) + k2 mn (х, y)er.IVmnz Ix===
[ ( д2 ) д 2
== дха + k 2 'Фтn (х, у) ix + дхду 'Фтn (Х, у) iy :1::
. д.;k ( ) . ] :!:1'I'mnz
::f:: 'Yтn 'Утn х, У 12 е
дх
(3.1.29)
Анализ формул (3.1.28) (3.1.29) показывает, что полученные
электромаrнитные волны имеют равную нулю х ю составляющую
электрическоrо поля. Эти волны называются продольно электри,
ческими или LЕ волнами [58 59]. В дальнейшем у волн этоrо ти-
па вместо BepXHero нндекса «М» будем писать индекс «LE».
63
Как и в п. 3.1.1, выделим в BOJIHaX (3.1.28) (3.1.29) попереч-
:ные составляющ!!е. Это нам потребуется далее при формулировке
условий излучения. Запишем LЕ волны следующим образом:
LE ( ) ( LE ( ) t LE ( » :l:iy Z
mn х, у, z == =t= е тп х, у + тn х, У е тn_
(3.1.30)
7LE ( ) ( h LE ( ) LE ( ) iV Z
."тn Х, у, Z == тn Х, у ::f:: 1)тn Х, у) е тп
rдe
LE ."""'
С тn (х, у) == (J)!lУrnп'фтп (х, у) 'У'
t LE ( x у) == i(J)1I дфrnn(Х,У) i
':I mn ' r ду z,
(3.1.31)
h;'; (х, у) == ( ::2 + k 2 ) Фmп (х, у) ix + д:;У 1Ртп (х, у) i y ,
LE ( ) . д ,1; ( ) .
"lmn Х, у == 'Утп ----д-;"" 'Уmn х, У Iz.
Волны
{ LE ( ) i"Vтnz h LE ( ) iYmnZ }
e mrL х, у е , тn Х, У е ,
(3.1.32)
{e (x, y)e iyтnZ , h (x,y)e iYmnZ }
ЯВЛЯЮТСЯ поперечными составляющими LЕ волн, распространяю
щихся соответственно в положитеJIЬНОМ и отрицательном направ
-леннях оси z.
Выпишем проекцни LЕmn ВОЛН на координатные оси (опустив
индексы) :
g: (х, у, z) == О,
f':!: ( ) --т-- A . nm nп :1: 'у Z
(<) у x,y,z ==--т--U>f!Утn тnSlП ХСOS У е 'mn
а Ь
f':t ( ) . A 1tл. nm . nn i:iV Z
0z x,y,z ==lW/l mп Sln X Sln Y е тn
Ь а Ь
(3.1.33)
( n2m2 ) nm nп .
жt(х,у,z)=-==А тll k2 sin xcos y ei:'"V тn z
а 2 а Ь
nm:tn nm . пn :f: 'у Z
",,:!: ( х У Z ) == A COS X sln y е L тп
у " тп а Ь Q Ь
fJt-; (х, у, z) == ::t iyт)l тn :лm cos 31т Х cos у ef:i"V rnn Z
а а Ь
т==I,2,..., n==О,I,2,....
64
Волна LEIO получается из (3.1.33) при т== 1, n==О и имеет сле-
дующие компоненты:
&; (х, у, z) == О,
0; (х, у, z) == =+= Wf1Yl0AI0 sin""::"x efiVтn.Z
а
g-;- (х, у, z) == О,
т; (х, у, z) == :410 (k2 :: ) sin ; х et'Vтnz,
(3.1.34)
ж-; (х, у, z) == О,
ж-; (х, y/z) == :i:: {УI0:4 10 cos.2:. х e:tivтn z
а а
Сравнение амплитуд у H10 и LЕ10 ВОЛН показывает, что эти вол-
ны будут совпадать, если коэффициенты А 10 и A10 связаны между
собой следующим образом:
А 10 == + i A lO Jvl0'
а
(3.1.35)
{'де
{
а 2
AI0== ,
n аЬ
V n2
"10 == k 2 ;
a
верхний и нижний знаки соответствуют волнам, беrущим в пOJIО-
жительном или отрицательном направлениях оси z.
Рассмотрим теперь типы продольных волн, которые выражают-
ся через электрический вектор rерца, имеющий лишь одну нену-
.левую компоненту по оси х. Пусть ПЭ (х, у, z) ==П Э (х, у, z)ix
вектор rерца вида
П Э ( z) ( ) 1:iVтnz
х,у, ==qJmпx,ye
(3.1.36)
тn == ( П а т ) 2 ..;... ( :!t b n ) 2
Утn== V k2 '}..mл' /1, I
т==О, 1, 2,
n== 1, 2,
.rде <Ртn (х, у)
вой задачи
собственные функции оператора Лапласа крае-
д<ртn(Х, у) +Лт тn (х, у) ==0,
(3.1.37)
тn (х, у) д тn (х, у) == о при х == О, х == а,
дх дп
fPтn (х, у) == о при у == О, У == ь
;3 Зак. 346
65
и имеют вид
пт. nл
СРтn (х, у) == В тn COS Х S1П У.
а ь
(3.1.38)
В тn произвольные постоянные. Знак корня у 'Утn выбирается
так же, как в формулах (3.1.23). Функция П Э (х, у, z) удовлет
воряет трехмерному уравнению rельмrольца (3.1.3) и следующе-
му rраничному условию на стенках волновода :
П Э (х, у, z) ==0 при у==О, у==Ь.
дП Э ( Х У Z )
. , == о П р и х== О х==а.
дх '
(3.1.39)
в результате TaKoro выбора вектора [ерца электромаrнитные
волны
G n (х, у, z) == (graddiv + k 2 ) ( тn (х. у) e:f:l'l'mnz i x ),
"1Р Э ( ) . t ( ( ) :!: /'1' mn z . )
UЪтn х, у. z ==t(й trо !ртn Х. у е Ix.
(3.1.40)
m==О. 1,2,
.n==1.2,
удовлетворяют системе уравнений Максвелла, rраничному усло-
вию 6, == о и MorYT быть записаны CJIедующим обр азом (см.
(3.1.28) (3.1.29»):
Э [ ( д2 2 ) . a 2 q>mn(x, у) .
Gmn (х, у. Z) == , дх 2 + k !ртп (х, у) Ix + дхду 111 +
+ . д ( ) . ] ::H'I'mnZ
''Утn СРтn х, У Iz е
дх
(3.1.41}
'fj>Э ( ) . [ д(j)тn (х, у) . + . ( ) . ] :tI'I'mnZ
' тn Х, IJ, Z == HЙB ду 12 'УтnСРпт Х. У 111 е
Полученные электромаrнитные волны (3.1.41) имеют равную
нулю х-ю составляющую MarHIJTHOrO поля. Эти волны называют
ся продольно маrнитными или LМ-волнами [58 59]. В дальней
тем у волн этоrо типа вместо BepXHero иидекса «Э» будем пи-
сать «LM».
Выделим, наконец, у LМ-IЮЛН поперечные составляющие, запи
сав их для этоrо в виде
.J:'LM ) LM ( ) f:LM ( ) :!:1'l'mnZ
тп (х. у, Z == (е тп х. у + тn Х. У е
'lPLM h LM ) LM ) :1: /'I'тn z
' тn (Х, у, z)== ( + тn (Х, у +Т)тn (Х. У е
(3.1.42)
rде
LM ( д2 2 ) . д 2 .
е тn (Х, у) == + k qJrnn (х, у) Ix + д д Ч>тn (Х. у) I!/.
дх. х у
66
t LM ( ) . д' ( ) .
'етn х, У == 'Vтn <Ртn х, У 12'
ах
LM .
Ь тn (х, у) == (йВУтn'Ртn (х, у) I y ,
LM ( ) . а<Ртn(Х. у) .
llтn х, У =-= (()G 12'
ау
(3.1.43)
:Волны
{e ":: (х, у) е'V/nлz
{e; (х, у) e iyтnZ
h; (х, у) eiVmnz },
b; (х, у) e i"тnZ}
(3.1.44)
ЯВЛЯЮТСЯ поперечными составляющими LМ волн, распространяю
щихся соответственно в положительном и отрицательном направ
леНIIЯХ осн Z. Полнота системы LE и LМ-волн следует из пол-
ноты TE и ТМ волн для прямоуrольноrо волновода [56], т. е.
любое электромаrнитное поле в волноводе представляется при по-
мощи двух векторов rерца, имеющих лишь по одной отличной
от нуля компоненте.
. 3.2. ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАrнитных. ВОЛН
НА ЦИЛИНДРЕ В прямоуrольном ВОЛНОВОДЕ
с точки зрения практических ПРllложений представляет инте
рес векторная трехмерная задача ДllфраКЦIIИ основной волновод
ной волны H JO на цилиндре, находящемсл в реrулярном прямо
уrольном волноводе. Покажем, что трехмерную задачу можно CBe
сти к двумерной задаче.
3.2.1. Постановка задачи. Пусть имеется прямоуrольный вол-
новод с идеально проводящимн стенками, реrулярный вдоль оси
.z, с размерами поперечноrо сечения по осям х и у, соответствен-
но равными а и Ь (а>Ь). Предположим, что поперек волновода,
параллельно одной из ero стенок, расположен проводящий ци
ЛИНД[J так, что основания ero находятся на стенках волновода. Про-
извольное поперечное сечение цилиндра будем обозначать через
Do, а rладкий контур, ero оrраничивающий, через 50. Предполо-
жим, что электромаrнитное ПOJlе в волноводе возбуждается пада
ющей из oo ВOJIной н]о.
Математическая задача сводится к отысканию решения систе-
.мы уравнений Максвелла:
rot 'к (х, у, Z) == i(UB & (х, у, Z),
rot & (х, у, z) == i(U!1 'н (х, у, z),
(3.2.1)
в, Il диэлектрическая и маrнитная проницаемости заполняю
щей волновод среды, удовлетворяющеrо на стенках волновода yc
ловию
[п, <Ъ] ==0,
(3.2.2)
з*
67
на поверхности цилиндра
импеданснаму rраничному уславию
[п, &]== WI[n, [п, 2t]].
(3.2.3)'
rде W 1 импеданс металла, из KOTaporo изrатавлен стержень,
W l i V (J)!J.l
1 / .
l' 2 4Л;0'1
(3.2.4)
rде 0"1 И J!1 праводимость и маrнитная проницаемость металла.
Предположим, что на бесконечности выполняются условия излуче
ния, обеспечивающие отсутствие приходящих из бесконеЧНОС1И
волн, за исключением падающей. Мы воспользуемся так называе-
мымн парциальными условиями излучения, которые для областек
волноводноrо типа сформулираваны А. r. Свешниковым [60] и в.
рассматриваемой задаче имеют вид
со Н
[ & (х, У, z) } == R n { erтДI (х, У) } e i'Vтnz +
X(x,y,z) hтn(x,y)
т.lI O
m'+n'*О
..,
+ R;т { е;n (х, у)\ e iVтnz + А { еъ,(х. У) } e''V'oz, 2 -< Zl' (3.2.5).
ьтn(х, у)! Ь 10 .(Х,У)
m,n 1
<D
T lI { e n (х, у) } ei"/тnZ +
Ь тп (х, у)
[ 6 (х, У, z) } ==
'Н(х, У, z)
т,п O
т,+n'*О
<D
+ Т В { е;zn (х, у) } e i'l'тnZ z ........
т1l ь Е ( ) . zz,
rn.n 1 тn х, У
(3.2.6)-
rде {e ,nH (х, у) eiVmnZ, h;' i (х, у) еi'VтllZ} поперечные составляющие пря-
мых Е- и Н-валн волновода; { e;'n(X,y)e l'VmnZ, b (x, y)e l"/тnZ}.
{e n(x, у) e i"/тnZ, h n(X, У) е jVтnZ}:::"па перечные составляющ ие об-
ратных Е-и Н волн валновада ; Уrnn == V k 2 ( л;; ) 2 ( 11: ) 2 пос-
таянные распространения, k волновое число (см. (3.1.11),
.(3.1.21»; А амплитуда падающей волны; 21 и 22 сечения вол-
новода плоскастями, перпендикулярными оси 2 и выделяющими
область волновода, содержащую металлический стержень. Далее,
R;,-п Н и т;,-: неизвестные амплитуды отраженных и прошедших
валн в реrулярных частях волновода, совокупность котарых назы-
Вают полнай матрицей рассеяния нереrулярноrа участка. Часто
важна определить не конфиrурацию электромаrнитнаrо поля внут-
ри нереrулярноrо участка волновода, а лишь амплитуды атражен-
ных и прошедших валН.
68
3.2.2. Дифракция волны Н 10 па
индуктивном стержне. Рассмот-
рим случай, коrда цилиндр рас-
положен параллельно узкой стен-
ке волновода (рис. 3.1) и векто-
ру электрическоrо поля основной
волноводной волны HIO (3.1.13).
Такой стержень называется ин-
дуктивным.
Учитывая расположенне ци-
линдра в волноводе и независи-
мость от у поля падающей на ци-
линдр волны HIO, будем искать
решение системы уравнений Мак-
свелла (3.2.1) не зависящим от
у, Т. е. в виде
'1
Рис. 3.1. Индуктивный стержень в
прямоуrольном волноводе
cs (х, у, z) == Е (х, z),
1t (х, у, z) == Н (х. z).
Поскольку ajay ==- O, то система уравнений Максвелла
пишется по координатам следующим образом:
дНу . Е
== t«)e х.
az
дН х дН :: == i(j)eE.
az дх у
дНу . Е
== t«)e z'
дх
дЕ у '..1-/
==t«),.....x,
az
дЕ х дЕ:: . Н
==t«)/! ,
az дх у
дЕ у ...1-/
== t(i)f-U' Z'
дх
(3.2.7)
(3.2.1) за-
(3.2.8)
Из четвертоrо и шестоrо уравнений в (3.2.8) следует
Н дЕ у
х i<ofJ. az'
H:z== дЕ у .
iШ/k дх
Подставляя (3.2.9) во второе уравнение (3.2.8), получим
д 2 Е у + д 2 Е у + k 2 E y == О, (3.2.10)
az 2 дх 2
rде k 2 == (J)2E1.t.
(3.2.9)
69
Аналоrично из первоrо н TpeTbero уравнений (3.2.8) следует
Е == дНу
х i(J)f, az'
Е == дНу
Z iwe дх'
(3.2.11)
Подставляя (3.2.11) в пятое ур авнение (3.2.8), получим
д 2 Н у + д 2 Н у + k 2 H == О.
az 2 дх 2 У
(3.2.12)
Таким образом, мы получили, что Е у н Ни удовлетворяют ДBY
мерным уравнениям rельмrольца, остальные компоненты поля BЫ
ражаются через них.
Рассмотрим теперь rраничные условия. На стенках волновода
должно выполняться условие [п, Е] ==0. При х==О и х==а вектор
п=={:!::1. О. О}, поэтому вектор [п, Е] имеет проекции на оси у и
Z, равные
[п, Е]у== :1=.E z .
[п, E]z== :1=.Е у ,
(3.2.13)
из равенства нулю которых следует
Е дНу aH IJ == О
Z == i())e дх iIJJe дп '
Еу==О
(3.2.14)
при х==О JI х==а.
На боковой стенке при у==О и у==Ь п=={О. :1=.1, О} и вектор
[п, Е] имеет проеКЦИII на оси х и z, равные
[п, Е]х== :1=.Ez, [п, E]z== :1=.Ех, (3.2.15)
которые должны равняться нулю. Поскольку мы IIщем решение,
не зависящее от У, т. е. д/дy O, то Ex==Ez==O при O y b, а это,
в свою очередь влечет из (3.2.11) и (3.2.12) равенство нулю Ну
всюду внутри волновода, т. е.
E,,==Ez==Hy O. (3.2.16)
Рассмотрим rраничные условия на поверхности цилиндра. По
скольку п=={n", О, n z }. Е=={О, Е у , О}, Н=={Нх, О, H z }, то rраничное
условие (3.2.3) в проекциях на оси координат х 11 Z запишется
так:
Учитывая
зом:
70
nzEy== Wlnx(nxHx+nzHz)+WlHJ"
nхЕу== WlnZ (nхНх +nzHz) + W1Hz.
(3.2.9), равенства (3.2.17) перепишем следующим обра
(3.2.17)
n Е ( п 2 дЕ!! n n дЕ у дЕ у )
z 11 i(J)f1 "az Х Z дх az'
п"Е == ( nxn z дЕу n2 дЕ у + дЕ у ) .
у i(J)1-' aZ 2 дх дх
Умножив первое равенство в (3.2.18) на n2, второе на
n х и сложив полученные результаты, будем иметь
Е == ( n дЕц +n дЕ!! )
11 j(J)1-' Z az Х дх
(3.2.18)
ЛИ
Е == дЕ!!
11 iwl-' дп'
(3.2.19)
при этом учли, что nх2+ n z 2 == 1. Условие (3.2.19) можно преобра-
зовать к виду, аналоrичному (2.1.10):
дд Y i k :1 Еу == О, (3.2.20)
rде W== l'Jl/e импеданс среды, заполняющей волновод.
Итак, мы получили, что в прямоуrольном волноводе при ди-
фракции волны H 10 на индуктивном стержне электромаrнитное
поле имеет отличными от нуля компоненты Нх, Hz, Еу. Компонен
ты Н х и H z выражаются с помощью соотношений (3.2.9) через
Еу, а Е у удовлетворяет двумерному уравнению rельмrольца
(3.2.10), условию Еу==О при х==О, х==а и краевому условию тре-
Tbero рода (3.2.20) на поверхности стержня. Для однозначной раз-
решимости получающейся скалярной задачи мы ДOJIжны поставить
соответствующие (3.2.5) (3.2.6) скалярные условия излучения
для поля Е у.
В рассматриваемом случае дифракции волны НlO на ИНДУКТIIВ-
ном стержне дифраrированное поле содержит лишь Н та-ВОЛНЫ
(т == 1, 2, .), поэтому векторные условия излучения (3.2.5)
(3.2.6) в данном случае примут вид
с>о { Н { Н }
{ G(X'Y'Z) } ==L Rt o е п;;о(Х'У) } е iVтОZ+А e (x,y) e'V""\Z<Zl'
Ж (х, У, Z) т 1 h rno (х, У) hlO (х, у) (3.2.21)
{ G (х, у, z) } == T o { e o (х, у) } ivтoz z Z2' (3.2.22)
Ж (х, У, z) h тo (х, у)
т 1
Поскольку мы получили скалярную задачу для компоненты элек-
трическоrо поля Е у , то условия излучения в скалярном виде мож-
но получить IIЗ условия (3.2.21) (3.2.22), выделив в них компо-
Н
ненту Еу. Для ЭТоrо выпишем в явном виде е то поперечную
составляющую электрическоrо поля Нто ВОЛНЫ. Учитывая (3.1.2),
(3.1.7), (3.1.10), получим
71
е Н о (х, у) == i(i)f.1 [V ху'Фто (х, у), i 2) == {ФI1 nт А то sin nт Х. i", (3.2.23)
т а а'
Y
а 2 2
А то == .
п 2 т 2 аЬ
Подставляя (3.2.23) в (3.2.21), (3.2.22), условия излучения можно
записать в виде
Еу (х, z) == t R m V : siп п: х e l'l'mz +
m 1
(
2 . n .
+ А 1 Sln X e''I',z, Z -< 21'
а а
(3.2.24)
Ey(x,z)== i: Т т У : sin n; xe''I'mZ, Z Z2'
т 1
rде
Y
. а 1 н
Rm == lU>f.1 R тo .
пт ь
Т . а V+ Т Н
==tu>f.1 О
т nm Ь т.
(3.2.25)
А 1 == i(i)f.1..:!.... .. / 1 А, У,n==Уто'
а V Ь
Итак, при дифракции волны H lo на индуктивном стержне в
прямоуrольном волноводе векторная трехмерная задача дифракции
сведена к следующей скалярной задаче относительно функции
Е у (х, z) == и (Х, z). Найти решение уравнения rельмrольца
ди (х, z) + k 2 и (Х, z) == О
(3.2.26)
во внутренней области плоокоrо волновода вне цилиндра, удов-
летворяющее условию
и(х, z) ==0 при х==о, х==а
(3.2.27)
на стенках волновода и импедансному rраничному
ди (х, z) . k W ( ) О
t и х Z ==
дп W 1 '
на поверхности цилиндра (на контуре so). а также
условиям излучения:
условню
(3.2.28)
парциальным
<х>
и (х, z) == 1:Rтq> )(x)e ''I'mZ + A 1 q>\1) (х) ei'l'.z, z -< ZI'
т-=<l
72
и (х, z) == Е ТrnЧJ ) (х) e ivтz , z 22.
т==1
(3.2.29)
Y
(1) 2 .. пт
СРт (х)== .SIП х.
а а
т==1,2,
!I
Зная решение задачи
(3.2.26) (3.2.29), с помощью
формул (3.2.9) и (3.2.25) вычисля
ются полное электромаrнитное по- Рис. 3.2. Емкостный стержень в пря
ле в прямоуrольном волноводе и моуrольном волноводе
коэффициенты матрицы рассея
ния.
Замечание 1. Если ИНДУКТИВНЫЙ стержень является идеально
проводящим, что соответствует 0'1 == 00, W 1 ==0, то из (3.2.19)' полу
LlaeM, что rраничное условие на поверхности цилиндра (3.2.28)
имеет вид Е у (х, z) == и (х, z) == О.
Замечание 2. В формулах (3.2.24), (3.2.29) выделен сомножи
теЛl> V для Toro, чтобы выполнялось следующее условие
нормировки:
у
а а ( , I ) 2
S [q> )(x)]2dx == 5 v : siп п: х dx== 1.
о о
3.2.3. Дифракция воJlны Н 10 на емкостном СТержне. PaCCMOT
рим задачу дифракции волны Н 10 на цилиндре, расположенном
параллельно широкой стенке волновода (рис. 3.2) и перпендику
лярно вектору электрическоrо поля волны Н 10. Такой цилиндр Ha
зывается емкостным. Чтобы в данном случае векторную трехмерную
задачу свести к скалярной, будем искать решение в виде про-
ДОЛЫiO электрических (LE) волн (см. п. 3.1.2), т. е. будем искать
электромаrнитное поле, имеющее по оси х такую же зависимость.
как 11 LЕlп ВОЛНЫ, т. е. в виде
x(x, у, z) ==0,
С;у(х. У. z)==Ey(Y. z)siп"'::"х.
а
.g2(X, У. z)==Ez(Y, z)siп"'::"х.
а
( 3.2.30)
SCж(х, У. z)==H)t(Y, z)siп х,
а
73
91 у (х, у, z) HIJ (у, z) cos Х,
а
;}tz(X, у, z) Hz(Y, z)cos....::.x.
а
Распишем по координатам систему уравнениЙ Максвелла, учиты-
вая вид ис.комоrо э.лектромаrнитноrо поля (3.2.30) и положив 13==
==л/а. Получим
aH z (У, z) ; дНу (У. z) == О,
ду az
дН х (У. z) + Hz (у, z) i(j)eE y (у, z),
az
дН х (У. z)
HIJ (у, z) + iooeE 1 (у, z),
ду
aE z (У, z) дЕ у (у, z) . Н ( )
toof! х у, z ,
ду az
Ez(Y. z) ==i(J)!1Hy(Y, z),
Ey(Y, Z)==iw,..Лz(У, z).
Покажем, что Е у (у. z), Ez (у, z), Н у (у, z), Н::! (У. z)
ся через Н х (у, z). Из шестоrо соотношения (3.2.31)
(3.2.31)
выражают-
получаем
Еu(у, z) iCil!1 Hz(Y, z).
Подставив (3.2.32) во второе уравнение (3.2.31), имеем
Н ( Z ) дНх(у. z)
z у, k2 2 az
Из (3.2.32), учитывая (3.2.33), следует
Е ( Z ) i<O!1 дН х (У. z)
у у, k2 132 az
ВыраЗI!В из пятоrо соотношения (3.2.31)
Е iOJ!1 Н )
z(Y, z) У(У, z
и подставив в третье соотношение (3.2.31), получим
Н ( Z ) Р дН х (У. z)
у у, k 2 2 ду
Из (3.2.25), учитывая (3.2.36) , следует
Е ( ) iOJ!1 дН х (У. z)
z у, Z == k2 132 ду
(3.2.32)
(3.2.33)
(3.2.34)
(3.2.35)
(3.2.36)
(3.2.37)
74
Подставив в четвертое соотношение (3.2.31) выражения
и (3.2.37), имеем
д 2 Н х (у, z) + д 2 Н" (у, z) + ( k2 A2 ) H ( Z ) ==O.
д у 2 дz 2 t' х У,
(3.2.34'
(3.2.38)
Итак, получили, что НХ (У, z) удовлетворяет двумерному уравне-
нию re.nьмrольца (3.2.38), а остальные компоненты электромаr-
HHTHOI"O поля Е у , Ez, Ну, H z выражаются через НХ с помощью со-
отношений (3.2.33), (3.2.34), (3.2.36), (3.2.37).
Рассмотрим теперь rраничные условия. Вектор G на стенках
волновода при X O и X а соrласно (3.2.30) равен нулю. При
y О, y Ь условие 0 O переходит в условие Ez O, которое бу-
дН х дН
дет выполняться, если ==::I:: == О. Следовательно,
ду дп
дН х == О при !J == О, У == Ь. (3.2.39)
дп
На поверхности цилиндра мы потребовали выполнения импеданс
ных rраничных условий (3.2.3). В рассматриваемом случае
G=={O, @1/' @z}, it=={fJt x , Ж у , Stz},.n=={O, п у , п,}.
поэтому условие (3.2.3) в проекции на ось х имеет вид
ny<Sz(X, у, z) nz0y(X, У, Z) WId6'x(X, у, z). (3.2.40)
Условие (3.2.40) можно переписать в следующем виде, учитывая
(3.2.30), (3.2.34), (3.2.37):
i(J)J..L ( п дН" (у, z) + п дН х (у, z) ) == w Н ( z)
k2 2 У ду z az 1 х У,
или
iwft дН х (у, z) == W 1 H x (у, z),
k2 2 дп
связывающем НХ (у, z) и дНх(у, z)/an на контуре 50. Если ввести
импеданс заполняющей волновод среды W 1'!1/е , то условие
(3.2.41) примет вид, аналоrичный (2.1.14):
(3.2.41}
дН" (у, z) i (k2 2) НХ (у, z) == О.
дп kW
(3.2.42)
Замечание. Если стержень в ВO.JIноводе идеально проводящий
(CJI OO, WI O), то условие (3.2.42) примет вид дНх(у, z)/an O.
Сформулируем теперь условия излучения для поля Нх (у, z).
Полное поле Н (х, у, z), 6 (х, у, z) мы выразим через волны
LE 1n (п O, 1, 2, .), поэтому в условиях излучения (3.2.5)
(3.2.6) останутся лишь волны типа H 1n , Eln' Запишем в paCCMaT
риваемом случае дифракции НIO-волны на емкостном цилиндре
условия (3.2.5) (3.2.6) для ,ж(х, у, z), положив m 1. ПОЛУЧIIМ
75
'"
Jt (х, У, z) == r R h (х, у) e l"lnZ +
II O
...
+ 1: Rrпhfn (х, у) e l'\'lnZ + Aei'l'l.'h (x, у), z -< Zl'
1Iе<1
(3.2.43)
...
'lt (х. У, z) == Е T hf :(x, у) elVlBZ +
п....О
'"
+ r Trпhrn (х, у) ei'l'In Z , Z Z2'
11--1
Вычислим по формулам (3.1.10) и (3.1.20) ФУНКЦИИ h!nH,E(X, у):
h H1 ( ) . п А . 1t пn.
ln Х, У == t Уlп lп SIП xcos b y'lx
а а
. nn А п. пn .
' 'У1п 1п сos Х SIП у. J y ,
Ь а Ь
(3.2.44)
Ь Е ( ) . nn В . п nn.
ln х, у == t(J)8 1пSIП ХСOS У'lх+
Ь а Ь
+ . п в п. пп .
'ОО8 111 cos Х SlП у. J y .
а а Ь
Поскольку (см. (3.2.20» .тх (х, у, z) ==Нх (у, z) sin лх/а, то, под-
ставив (3.2.44) в (3.2.43) и взяв х ю компоненту поля .т(х, у, z),
а также выделив зависимость 'lt х (х, у. z) по х, получим
Нх(У, z)== t Rn V 2 b(jon сos :nl у e l'I'nz+
11=-0
+ Р . / 1 e1voz z -< Z l
V Ь ' ·
(3.2.45)
OO
Н ( Т 2 15 0n пn i'1'n z
х у, z)== L n ь cosb ye I Z Z2'
п O
rде Rn и т n неизвестные коэффициенты отражения и прохожде-
ния, связанные с коэффициентами матрицы рассеяния Rr,jH,
Т[пН следу ющим об разом:
Rn == V 2 15 0п (iYln : A1"R (1 боп) iu>eB 1n :п R ).
(3.2.46)
76
Т п ==- "' r ь ( iVlf! A 1п Tfп (1 Boп) iroeB 1 n nп Тfn ) .
У 2 б м а Ь
р === iVI0 -vь АА 10 . Уn === Уlп,
а
()Оп символ Крон.екера.
Замечани е. В формулах (3.2.45) выделен сомножнтель
V(2 боп)IЬ для Toro, чтобы выполнялось условие нормировки
s [ v 2 б оtJ COS :п у] 2 dy === 1.
о
в дальнейшем будем обозначать
(2) ( ) { 2 б оn пп
Cj)tJ у === cos y, n==-О, 1,2,
Ь Ь
Покажем теперь, как по значениям коэффициентов отражения
и прохождения Rn и т n для скалярной задачи рассчитать коэффи-
циенты матрицы рассеяния Tfп, Ri'n (n==о, 1, 2, ), R , Tr,
(n== 1, 2, ...) для векторной задачи.
Используя соотношения (3.1.22) и представление (3.2.43) для
полноrо поля it: (х, у, z), можем написать
J [it: (х, у, z), efп' (х, у) iYlf Z];lx dy ===
D,
R H А 2iy1OZ .....
=== (J)!l'Yln In ro!lYlOuno е ,z ZI'
S [Х(х, у, z), er: (х, у) eiYIIIZ]zdx dy === (J)eY пR , z -< ZI'
D,
' I V ) Н' iy Z ] А d У Н
J А (х, у, Z , el n е ln r"x у === Cйf.1ylп 111' Z ZZ'
D,
( 3.2.47)
5 " В' iy Z ] d d · Т Е
["10 (х, у, z), el п (х, у) е ln Z Х у == roeYln In, Z Z2-
D,
Но поле 'н (х, у, z) в левой части соотношении (3.2.47) можно
записать в друrом виде через Н" (У, z) с помощью соотношений
(3.2.30), (3.2.33), (3.2.36):
it:(x, у, z)==='нж(х, у, z)i,,+Xg(x, у, z)iy+X.z(x, у, z)iz===
==Н,,(у, Z)SiП Х'iЖ+НlI(У' z}cos.!!:...x.iy+Hz(y, z)cos x,i.==-
а а а
77
==H x (y,2)sin....::.x.i x +
а k 2 2
дН х (У. z) [[.
+ COS X.lz,
k 2 2 az а
дНх(у. z) Jt
cos Х iy +
ду а
n
== .
а
(3.2.48)'
Поскольку
[К (х. у, z), e ' (х, у) i'l'lпZ]z ==
==("х(х. у, z)e II(x, y) "y(x, у, z)e x(x, y»e i 'V 1п z , (3.2.49)
Н' )
rде J'8x (х, у, z), J'8 y (х, у, z) получены в (3.2.48), а elп,x(x, У ,
e y(X. y) проекци!! на оси х и у поперечных составляющих
электрическоrо полп комплексно-сопряженных нормальных Hln'
волн волновода, которые в явном виде записываются так (см.
(3.1.10), (3.1.2), (3.1.7»:
Н' д ) . зtn А зt . зtn
eln.x(x, у)== iЩ! 'ф\fl(Х' у ==tffi!1 lпСОS ХSШ У,
ду Ь а Ь
(3.2.50)
Н* ( ) . д ( ) . зt А . зt пn
eln,y х, у ==l<iJ/l ч\п х, У == tffi!1 lпSlП ХСОS У,.
дх а а Ь
А ==' /" (2 6 по ) 2 л == ( ",::,, ) 2 L ( ) 2
lп V аЫ. 1 ,, ' lп а I Ь
то левую часть первоrо из соотношений (3.2.47) с учетом пред
ставления (3.2.45) для Н х (у, z) и (3.2.48) (3.2.50) можно преоб-
разовать к виду (промежуточные выкладки ввиду их rромоздко-
сти, но не сложности опускаем)
s [Н (х, у, z), e ' (х, у) /"lnZ]zdxdy==
D.
== i(J)/lR п A 1 "
\ / 2 6110 [ ..::... + (1 6 rю ) ( Jt b n ) 2 ]
Ь 4 а k 2 2
ffi!1АУl0бllое2i'V..Z .
(3.2.51)
Здесь А амплитуда падающей Н IО ВОЛНЫ, связанн ая с ампли-
тудой Р падающеи волны в ска.1ЯРНЫХ условиях излучения
(3.2.45) соотношением (3.2.46). Сравнивая первое равенство в
(3.2.47) и (3.2.51) н сократив члены, обусловленные падающей
волной, получим выражение для коэффициентов матрицы рассея-
ння R 1n H через R n :
R H iRnAJпab
In
4Yln
v
2 6 по
Ь
[ : +
(1 бnо)
k2 2
( пьn ) 2]. (3.2.52)
78
А == V 2(2 6пo) == V k2 л 'А == ( ) 2 + ( ) ' 2
. 111 Ь " 'У111 111, 111 Ь
а hln а
== , п==О, 1,2,
а
Сомножитель (1 6 п о), стоящий в квадратных скобках во BTO
ром слаrаемом, обращается в нуль, если n== О. Это связано с тем,
что выражение д.ля Ну(У, z)== дНх(у, z) записывается в ви
k2 2 ду
де ряда
'"
лn R . ЛN j'V 2
Н (У, z)== nSIП уе n,
у k 2 2 Ь Ь
1I 1
Z<Z1'
не содержащеrо члена при n==О.
Аналоrичным образом получаем связь между остальными KO
эффициентами матрицы рассеяния .Rfn. T , Tfn и коэффициен
там и отражения и прохождения Rn и Т п:
Rrn== iRnВ1nлпа ... / 2 б/!о [ 1 + ] ,
4WB V Ь _ а k2 fl2
(3.2.53)
V
4
В
111 аЬЛln '
n==1,2,
Tf'n == iTIIA1llab ... ( !2 б llО [ +
4Yln У Ь а
+ (1 6nо) ( ) 2 ] , п == О, 1, 2,
k 2 2 Ь
Tfn == iТnВ1nлпа; .. / 2 6110 [ 1 + ] , n== 1, 2,
4<08 V ,Ь а k 2 fl2
(3.2.54)
(3.2.55)
Итак, при дифракции Н lО ВОЛНЫ на емкостном стержне в пря
моуrольном волноводе векторная трехмерная задача дифракции
сведена к следующей скалярной задаче относительно функции
u(у, z) == Нх (у, z). Найти решение уравнения rельмrольца
ди (у, z) + k 2 u (у, z) == О
(3.2.56)
во внутреиней области плоскоrо волновода вне цилиндра, удовлет
.воряющеrо условию
ди(у.z) о при у==О,у==Ь
дп
(3.2.57)
79
на стенках волновода и импедансному rраничному условию
ди(у, 2)
дп
i :;;. (k2 2)u(y, z)== О
(3.2.58)
на поверхности цилиндра 50, а также парциальным условиям из
лучения:
""
у (у, z) == !: Rпcp ) (у) e i'VnZ + Рсрь2) (у) e iVoZ , z -< Z1'
n o
(3.2.59)
00
и (у, z) == L TпCP ) (у) /v n Z Z Z2'
n o
rде
r 2 6 n
ср(2) (у) == 1 / по cos у.
n V Ь Ь
(3.2.60)
Зная решение задачи (3.2.5б) (3.2.59), с помощью формул
(3.2.30), (3.2.33), (3.2.34), (3.2.36), (3.2.37) вычисляется полное
электромаrнитное поле вне цилиндра в прямоуrольном волноводе,
а по формулам (3.2.52) (3.2.55) вычисляются коэффициенты
матрицы рассеяния.
3.3. СВЕДЕНИЕ КРАЕВОП ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ
ЭЛЕКТРОМАrнитноrо ПОЛЯ НА ЦИЛИНДРЕ
В ПЛОСКОМ ВОЛНОВОДЕ К ИUТErРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ
3.3.1. Индуктивный цилиндр. Рассмотрим в плоскости xz за
дачу дифракции электромаrнитноrо поля на параллельном оси у
цилиндре с произвольным поперечным сечением Do, оrраниченным
rладким контуром 50. Предположим, что цилиндр выполнен из
металла с конечной проводимостью, cTeHKII волновода идеально
проводящие. Ось z направим вдоль плоскоrо волновода, ось х
поперек волновода. Ширину волновода обозначим через а. Pac
смотрим более общиЙ, чем в 3.2, случай возбуждения волново
да. Будем возбуждать волновод точечным источником, располо
женным в точке Ма (Ха, Zo). или произвольной нормальной волной
номера то, падающей на цилиндр слева из бесконечности. Если
рассматриваемой плоской задач,е в трехмерном случае соответст-
вует векторная задача дифракции волны н.о на индуктивном
стержне, то то== 1 и заряженная нить отсутствует.
В соответствии с полученными в 3.2 результатами мы будем
рассматривать двумерную :краевую задачу в следующей математи-
ческой постановке. Найти полное поле U (х, z) ==Еу (х, z), удовлет-
воряющее двумерному уравнению rельмrОJ1ьца
dU(X, z)+k 2 u(x, z)== 2л:о(х хо, z Zo) (3.3. )
80
в области D, представляющей собой внутренность волновода, ис
,ключая цилиндр со следующими rраничными условиями:
и(О, z) ==и(а, z) ==0
на стенках волновода и
(3.3.2)
дu (х. z) . ( ) О
UJ.U Х Z ==
дп "
kW
a==
W 1
(3.3.З)
на контуре 50, и удовлетворяющее парциальным условиям излуче
ния, которые сформулируем в виде раз..ложения решения на бесКо
вечности в ряд по собственным функциям поперечноrо сечения пло
cKoro волновода:
<п
и (х, z) == и о (х, z) + L Rт<p ) (х) e iVmZ, z -< 21'
т 1
(3. З.4)
о>
и(х, z)== I: Tтcp {(x)eiVmZ, 2 Z2'
т l
cp I)(X)== .../ 2 sin пт х,
п у а' а
(3.з.5),
iV Z
и о (:с, z) == AICP (х) е то
rде ио (х, z) нормальная беrущая волна плоскоrо волновода
номера то с амплитудой A 1 ; 21 и Z2 сечения плоскоrо волново-
да, выделяющие о бласть, сод ержащую неоднородность и точечный
источник; Ут== Vk2 (л;m/а)2 ПОстоянные распространения нор-
мальных волн плоскоrо реrулярноrо волновода. Ветвь корня при
вычислении 'Ут выбирается так, чтобы ImYm>O; если Im'Ym==O, то.
Re 'Ут>О. Такой выбор ветви корня обус..ловлен временной зависи
мостью ехр ( i(iJt). В условиях излучения (3.3.4) через Rm J[ т т
обозначены неизвестные ,коэффициенты отражения и прохождения,.
подлежащие определению.
Функции cpт(l) (х) В (3.3.5) ортонормированные собственные
функции поперечноrо сечения волновода, т. е. удовлетворяют на
[О, а] уравнению
cp ' (х) + Лп/Р ) (х) == О
(3.3.6}
с rраничными условиями на стенках волновода
<p ) (О) == <p ) (а) == О
(З.З.7}
и ус..ловию
а
S (cp ) (х»2 dx == 1,
о
81
а
J q:> )(x)q:> I)(x)dx== О, n*m,
о
'Лт== (nm/а)2 соответствующие собственные значения.
Получим из условиЙ излучения (3.3.4) соотношения, которые
нам потребуются в дальнеЙшем. Для этоrо обозначим через
С т (2) И С т + (2) коэффициенты разложения функции u (х, 2) по
собственным функциям поперечноrо сечения волновода COOTBeTCT
.венно при 2"';21 и 2 22:
(3.3.8)
/1
с;; (2) == S u (х, z) ЧJ ) (х) dx, 2 -<: ZI'
о
(3.3.9)
а
c;t (z) == f u (х, 2) ЧJ (х) dx, z 22'
О
.Между коэффициентами Cт (2), Crn+(Z) И Rm, Т т существует про
стая зависимость:
c ( z ) == А е iУт2 б + R e i"rnZ
т 1 т.то 111 ,
z<, ZI'
(3.3.10)
+ ( ) Т iYm2 ........
с т 2 == те , z.;::; zz,
'fде б т . т . символ Кронекера. Принимая во внимание .(3.3.10), из
.условиЙ (3.3.4) следует
с;;' (z) + iyтc;' (z) == 2iA1Yтii'тz<'\т,m.. z -< ZI.
(3,3.11)
+' . +.
с т (z) tYmcт (z) == о, z Zz.
Для вывода интеrральноrо уравнения, к решению KOToporo
сводится краевая задача (3.3.1) (3.3.4), введем функцию fрина
незаполненноrо волновода gl (М, Р). удовлетворяющую HeOДHO
родному уравнению rельмrольца (3.3.1) всюду внутри волновода,
rраничному условию первоrо рода
gl (М, Р) ==0 на l;,
(3.3.12)
а также условиям иэлучения, обеспечивающим отсутствие волн,
приходящих из бесконечности. Функция [рина аналитически пред-
ставляется в виде ряда по функциям cpт(l) (х) следующим образом
[34, rл. 1, с. 532; 61]:
'" (!) ( (1) ( Х
(М P) \" 'Р т хм) 'Р т р) PmlzM zpl
gl . n е.
Рт
т 1
(3.3.13)
Рт== iyrn== VЛfll kZ, л т ==(пт/а)2.
-82
Ветвь корня у Ут выбирается так же, как и в условиях И3.lIучения.
чтобы ImYm>O; если ImYm==O, то ReYm>O. Ряд (3.3.13) состоит
из конечноrо числа беrущих волн при Лm<k 2 и бесконечноrо чиc.nа
затухающих волн при Лm>k 2 . Точки Лт ==k 2 являются точками воз-
ЮIкновения новых волноводных распространяющихся rармоник.
Ряд (3.3.13) при ZM*-Zp сходится равномерно и абсолютно в си-
лу оrраниченности собственных функциЙ ЧJ ) (х) и наличия экс-
поненциальноrо множителя. При ZM ==Zp ряд сходится условно (не
абсолютно) [34, rл. ], с. 532]
Интеrральные уравнения получим, ПРllменяя вторую формулу
rpllHa в области f5, представляющую собой подобласть D, оrрани-
ченную сечениями ZI и Z2, К функциям u (Р) и gl (М, Р). Учитывая
(3.3.2), (3.3.4), (3.3.12), имеем (выкладки аналоrичны проведен
ным в п. 1.3.])
и(M)== r [ ди(Р) gl(M, Р)
2л J Lan
So
ag} ; Р) u (Р)] ds p +
i i1' Z. I
+ gl (М, Mo) Al'VтOe то g ) (М),
n о
(3.3.14)
rде
g (M)== J gl(M, Р)ЧJ (Р)dsр.
2===2(
(з.з.]5)
n внешняя к области f5 нормаль, МЕд. При получении соот-
ношения (3.3.14) мы учли, что
S gl(M. Р)б(М. M o )d'1'p==gl(M, М о ).
D
[де б (х) делыа функция Дирака. Формула (3.3.14) позволяет
определить поле в любой внутренней точке области D по значени-
ям u (Р) и ди (Р) jJn на контуре So. Если волновод возбуждается
только точечным источником, то пос.леднее слаrаемое в правой
части (3.3. ]4) отсутствует. Если же волновод возбуждается толь-
ко нормальной волной, то в (3.3. ]4) отсутствует слаrаемое
gl (М, Мо).
Для получения из (3.3.]4) интеrральноrо уравнения надо ис-
пользовать rраничные условия (3.3.3). Выразим из (3.3.3)
u(P)\s. через дu(Р)/дп\sо. Исключив в (3.3.]4) значение
и (Р) I So' опустим точку М на контур So и воспользуемся свой-
ством непрерывности потенциала простоrо слоя и теоремой Ляпу-
нова Таубера о скачке потенциала ДвоЙноrо слоя, в результате
чеrо получим следующее интеrральное уравнение относительно не-
известноЙ функции ди (Р)/дп 150:
ди(М) + r ди(Р) [ ( М Р) + дg1;:и, Р) ] dsp==
2ct дп 2л:.J дп g l' ct Пр
s.
83.
== Fl(M), М Е8 0 ,
М М i А еу т Z. I
F 1 ( )==gl(M, O) lУтое О еО (М).
то
(3.3.16)
(3.3.17)
Если из (3.3.3) выразить au(P)/an/s o через u (P)ls.. поставить
это выражени,е в (3.3.14) и опустить точку М на 80, то получим,
ИСП 1ЬЭУЯ свойства потенциалов, интеrральное уравнение относи
'Тельно u (P)ls., аналоrичное (2.1.19):
+:и(М) + 2 S U(p)r дel1 ; Р) iagl(M, Р)] ds p ==
s.
== F 1 (М), М е 80' (3.3.18)
Формулу (3.3.17) дЛЯ FI(M), задающую правые части получен
ных интеrральных уравнений (3.3.16), (3.3.18), можно переписать
11 более наrлядном виде, если учесть конкретный вид функции
rрина p,ery лярноrо волновода (3.3.13) и ортонормированность
(3.3.8) системы функций cpm(l) (х) на отрезке [О, а]. В результате
.имеем
FI (М) ==gl (М, М() +ио(М).
(3.3.19)
Если цилиндр является идеально проводящим, что COOTBeTCT
вует W1==O (а==оо), то из интеrральноrо уравнения (3.3.16) полу
чаем в этом случае интеrральное уравнение Фредrольма первоrо
рода, аналоrичное уравнению (1.3.14):
1 S ди(Р)
еl(М' P)dsP== gl(M, Mo) иo(M),
.2n дп
s.
М е 80' (3.3.20)
'3.3.2. Емко тиыА стержень. Рассмотрим в плоскости YZ задачу
дифракции поля точечноrо источника, расположенноrо в точке
МО (уо, Zo), или волноводиой волны номера по на цилиндре с про
извольным поперечным сечением Do, оrраниченным rладким конту-
ром 50. Предполаrаем, что цилиидр изrотовлен из металла с ко-
нечной проводимостью, стенки волновода идеально проводящие.
Предполаrаем также, что цилиндр параллелен оси х, ширину вол
новода обозначим через Ь. Если рассматриваемой плоской задаче
в трехмерном случае соответствует векторная задача дифракции
волны H 10 на емкостном ст,ержне, то по==О и заряженная НlHЬ OT
сутствует.
Математичеоки задача сводится к нахождению решения
и(у, z)==Hx(y, z), удовлетворяющеrо двумерному уравнению
rельмrольца
ди(у, z)+(k2 2)и(y, z)== 2л;б(у уо, Z Zo),
(3.3.21)
( ==лlа, а размер широкой по оси х стенки волновода) в обла-
сти D, представляющей собой внутренность волновода, исключая
84
цилиндр. со следующими rраничными условиями:
ди(О. z)l дц(Ь, z) o
дп дп I
на стенках волновода и
(3.3.22)
ди (у. 2) . ( ) О
tGи у, z == ,
дп.
(k 2 2) W 1
а==
kW
(3.3.23)
на контуре So, а также уДовлетворяющеrо парциальным услови-
ям излучения, записанным в виде разложения решения на беско-
нечности в ряд по собственным функциям поперечноrо сечения
плоскоrо волновода qJ 2) (у) (см. п. 3.2.3):
со
и (у, z) == Уо (У, z) + 1: RftqJ ) (у) e ivnz, Z -< zlt
/1==0
(3.3.24)
'"
и (У. z) == I: T'JCP 2) (у) e'i;,z z Z2'
п==О
. / 2 б о пn
cp ) (у)== v ь п cOSb Y '
(3.3.25)
i'l' z
и о (У. z) == Ре по rp(2) (у),
по
rде 6nо символ Кронекера; ИО (у, z) возбуждающая волновод
нормальная беrуща я волна плоскоr о волновода номера ПО с ам-
плитудой Р; Уп == v k 2 2 (пn/Ь)2 постоянные распростране-
ния нормальных волн плоскоrо реrулярноrо волновода. Посколь
ку зави имость от времени ехр ( i())t), то ветвь корня п..ри вычис.
лении '\''' выбирается так, чтобы Imyn>O; если Imyn==O, то
Re ,\,n>О. В (3.3.23) обозначены через Rn и Т n неизвестные коэф-
фициенты отражения и прохождения.
В (3.3.25) функции cp ) (у) собственные функции поперечно-
ro сечения волновода, удовлетворяющие на отрезке [О, Ь1 урав-
нению
rp ) (у) + Лftrp ) (У) == О
(3.3.26)
с rраничными условиями на стенках волновода
rp J (О) == cp ) (Ь) == О
(3.3.27)
и условиям нормировки и ортоrональности
ь
J (cp 2) (у»2 dy == 1,
о
85
ь
5 ЧJ (у) rp ) (у) dy == О, т =F n,
о
1 п == (лnjЬ)2 соответствующие собственные значения.
Если построить аналоrиtlные (3.3.9) коэффициенты разложения
фУНКЦИIl и (у, z) по функциям ЧJ J (у), то они будут удовлетво-
рять соотношениям (3.3.10), (3.3.11).
BB€дeM в рассмотрение функцию fрина незаполненноrо BO-i1Но-
вода g2 (М, Р) I удовлетворяющую уравнению
(З.3.28},
g2(M, Р)+ (k2 2)g2(M, Р)== 2л:t'\(М, Мо)
(3.3.29)
всюду внутри волновода, rраничному условию BToporo рода на
ag 2 (M, Р) o ( 3330 )
дп' . .
а также условиям излучения. Аналитическое представление для
g2(M, Р) аналоrично (3.3.13), а именно
"" (2) (2)
(М Р) Ч'п (ум) Ч'п (Ур) PnIZM ZpJ
g2 . л е
Рп
n O
(3.3.31}.
Рп== iyn === Vin+ 2 k2. i п ===(лn/Ь)2.
Ряд (3.3.31) состоит из конечноrо числа беrущих и бесконечноrо.
числа затухающих волн. Характер сходимости ряда (3.3.31) таков
же, как и у ряда (3.3.13).
Для получения IIнтеrральноrо уравнения при мени м вторую
формулу fрина к функциям g2 (М, Р) И и(у, z) в области 15. По
скольку имеют место соотношения (3.3.21), (3.3.22), (3.3.24).
(3.3.29) I (3.3.30) I будем иметь интеrральное представление для
поля u (М), аналоrичное (3.3.14):
(М) 1 S I дu(Р) (М Р) ag2 (М, Р) (Р)] d +
u === l gt . . д и sp
2п дп пр
So .
+ Е 2 (М), М Е В,
Е 2 (М) ==g2 (М, Мо)+ио(М),
(3.3.32)
(3.3.зз),
rде n внешняя к области l5 нормаль.
Из интеrральноrо представления (3.3.33) получается интеrраль-
ное уравнение Фредrольма 2 ro рода, если точку М опустить на
контур 50 и использовать rраничные условия (3.3.23), следующеrо
вида:
+и(М)+ J u(Р) [ дg2 ; Р) i g2(M. Р)] ds p ==
S.
== F 2 (М), М Е 50'
(3.3.34}
86
зналоrичное (2.1.19) и (3.3.18). Если цилиндр, находящийся в
волноводе, является идеально проводящим, то уравнение (3.3.34)'
переходит при ==o в уравнение, аналоrичное (1.3.15), вида
1 I S ag2(M, Р)
и(М) + и (Р) д ds p === F 2 (М), М Е 80' (3.3.35)
2 2л пр
s.
3.3.3. Энерrетическое соотношение. Во мноrих задачах электро
динамики конечной целью является исследование интеrральных
характеристик поля. В задаче рассеяния волн на цилиндре в вол-
новоде представляет интерес определить коэффициенты отраже
ния Rn и прохождения Т п , которые удовлетворяют опреде.ленному
энерrетическому соотношению внутри волноводной системы.
Предположим, что постоянная k 2 является комплексной, при-
чем 1т k 2 >O, что соответствует предположению о наличии поrло-
щения в среде, заполняющей волновод. Применим в области i5
вторую формулу [рина к функциям u (М) и и* (М) и, приравняв
мнимые части, получим, используя (3.3.1) (3.3.3) или (3.3.21)
(3.3.23), а также (3.3.9) (3.3.ll),
Imk 2 i lu(x, z)l2d't' 2nlmu(Mo)+ у Re'\'т I с;); 12 +
v .
D
+ Е Reyт Ic;1 2 + Уто Ic;o A/'\'m021 12 + а S 'и (х, z)l2ds== Уто I A ll2
m=Fтo 50
(3.3.36)
для индуктивноrо стержня и
Im(k2 2) 5 lи(y, z) 12d't' 2n 1т u (МО) + L Reilc 12 +
D
+}: ReVпlc;12+'\'пolc;. pivпoZlI2+ S lu(Y, z)1 2 ds===yп o I P I 2
n'=no So
(3.3.37)
для eMKocTHoro стержня. В соотношениях (3.3.36), (3.3.37) сумми-
рование идет по множеству т или n таких, что k 2 (лт/а)2>О
или k2 (л./а)2 (лn/Ь)2>О, т. е. соответствующая m ИJШ n-я
rармоника в волноводе является распространяющейся. Соотноше-
ния (3.3.36) и (3.3.37) представляют собой закон сохранения энер-
rии внутри ВОи'lНОВОДНОЙ системы и являются одновременно удоб-
ным критерием правильности проводимых расчетов.
3.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЯ rРИНА РErУляРноrо ВОЛНОВОДА
Функции [рина незаполненноrо волновода (3.3.13), (3.3.31),
удовлетворяющие на rранице волновода нулевому условию Дирих-
ле ИЮI Неймана, имеют при совпадении aprYMeHToB особенность
1п l/rMP. Это можно показать, если использовать отличное от
87
)(
М(Х,1)
5
o (I./Q ХО' zo)
3
(i) (2а + Хо, 10)
х=а
2
е ( Xo, Zo)
4
@ ( 2a + Xo,Zo)
6
e( 2a J(D'zO)
8
@( I./Q+ xo,Zo)
Рис. 3.3. Расположение зарядов при построении Функцин rри-
на плоскоrо волновода методом отражеиий
(3.3.13), (3.3.3 1) представление для них, построенное, например,.
методом отражений [62, с. 357; 63, с. 753].
3.4.1. Метод отражений. Рассмотрим сначала функцию rрина
ДЛЯ задачи Дирихле в полосе {О..,;:х..,;:а. OO<Z<OO}. Пусть источ-
ник расположен в точке Р (хо, ZO), точка наблюдения М имеет ко-
ординаты (х, Z) (рис. 3.3), точки М, РЕ{О..,;:х..,;:а, oo<z<oo}.
Обозначим расстояние между точками Р, М через ,. Введем ли-
нейный заряд 1 противоположноrо знака в зеркально-симметрич-
ной относительно плоскости х== а точке (2а хо, zo), расстояние
от TO'IKI! (х, z) до точки (2а хо, zo) обозначим через '1.
Рассмотрим функцию
(1) iл Н (I) k Н (I) k )
gl (', '1) == ( о (,) о ( '1 ).
2
(3.4.1)
88
Если точка наблюдения (х, z) лежит в плоскости z==a, то '=='1 и
gP) ('1' (1) == о, т. е. функция g\l) (', (1) удовлетворяет нулевому
условию Дирихле на плоскости z== а. Единственная особенность,
имеющаяся в полосе {O x a, oo <z<oo}, находится в точке
расположения источника (хо, Zo) при ,==0 и является особенностью
лоrарифмическоrо типа (см. п. 1.3.2) При '1==0 особенность Ha
ходится за пределами рассматриваемой полосы, rде представле
ние (3.4.1) не применимо.
Функция g\l) (', (1)' удовлетворяющая условию Дирихле
g l) (', (1) ==0 при х==а, не удовлетворяет этому условию при
х== О. Произведя отражение относительно плоокости х== О, получим
заряды противоположноrо знака в точке 2 с координатами
( xo, zo) и расстоянием '2 до точки (х, z) и в точке 4 с коорди-
натами ( 2a+xo, 20) и расстоянием '4 до точки (х, z). Получен-
ная функция
(2) ( )
gl " '1' '2' '4 ==
i1t [н (1) (1) k Н (1) ) H (I) k 1
== о (k,) НО ( (1) + о (k'4 О ( , )
2
(3.4.2)
УДОВ.lJетворяет нулевому условию Дирихле при х==О, но условие
при х==а окажется невьшолненным. Снова проводим отражение
относительно плоскости х==а, получаем заряды 3,5 в точках
(2а+хо, zo) и (4a xo, 20). Процесс продолжается неоrраниченно,
приводя к бесконечному числу отражений источника (хо, Zo) от-
носительно плоскостей х==О, х==а. ПО lJожительные заряды нахо-
дятся в точках с координатами (х +2nа, Zo), отрицательные за-
ряды в точках (2na xo, zo), n==О, :::!:: 1, ::t2,
В результате мы получили функцию [рина
о>
gl(M, Р)== i; lH&I)(kV(x xo 2пa)2+(z zo)2)
n==
H I) (k t' (х + xo 2пa)2 + (Z ZO)2)] , (3.4.3)
удовлетворяющую нулевому условию Дирихле при х==О, х==а и
имеющую при х==хо, z==zo лоrарифмическую особенность.
Знакопеременный ряд (3.4.3) сходится медленно (63, с. 756].
Действительн о, при I п 1---+00
Y (x xo 2пa)2+ (Z ZO)2 2lпla::f:: (x xo),
-v (х + Xo 2па)2 + (Z Zo)2;::::- 21 п 'а + (х + хо).
При больших значениях kna (пусть для определенности n>О) за-
меним функцию Ханкеля ее асимптотическим значением по фор
муле (1.5.3), учитывая, что e in / 4 ==Y( получим
H I) (. V(x xo 2пa)2 + (Z ZO)2)
89
H&l) (k У(Х+ xo 2пa)2+ (Z ZO)2) =:::
... / . 1 (eik(2пa x+xo) e,k(2na X Xu)] 0=0
V щkпа
== ... / 4i! e{k(2пa x) sin kxo.
V nkna
Таким образом, при п>О ряд (3.4.3) аппроксимируется рядом
( о>
i е Шna
2 e ikx sin kx -==--.
nka t'n
п l
,который сходится условно (не абсолютно). Аналоrично по.лучает
ся при п<О. Следовательно, ряд (3.4.3) также сходится условно
со скоростью 1/-Уn, т. е. очень медленно.
Задача нахождения функции fрина, удовлетворяющей HeOДHO
родному уравнению [ельмrольца (3.3.1), нулевому условию Ди-
рихле на rранице и условию излучения на бесконечности, имеет
единственное решение, поэтому представления (3.3.13) и (3.4.3)
совпадают. Следовательно, и функция [рина вида (3.3.13) имеет
лоrарифмическуlO особенность при совпадении aprYMeHToB.
Метод отражений можно .применить и для построения функции
[рина g2(M, Р) в полосе {O y b, oo<z<OO}, удовлетворяющей
на rранице полосы нулевому условию Неймана, при этом заряд в
зеркаJIьно симметричной точке надо брать TorO же знака. В pe
зультате по.лучим
00
g2(M, Р)==..!!!:.... [Hbl)(kV(y yo 2пb)2+(Z Zo)2)+
2 ""-1
П== со
+ Hb 1 ) (k V (у + Yo 2пЬ)2 -t (z Zo)2),
(3.4.4)
имеющую лоrарифмическуlO особенность при совпадении aprYMeH
тов. Функция (3.4.4) удовлетворяет нулевому условию Неймана
ag 2 (M, Р)/дпр==О при у==О, у==Ь. Действительно, рассмотрим
g l) (М, Р) == i; [нь 1 ) (kr) + нъ 1 ) (kr 1)]'
(3.4.5)
Достаточно показать, что ag 2 (1)(M, P)Janp==O при Ур==Ь. Имеем
ag l) (М. Р) [Hb 1 '(kr) + нь 1 ) (kr 1 )] ==
дn р 2 дур
iл l l- kH (l) (k ) дr kH (I) (k ) arl J -
=== 2' 1 r ду р 1 r 1 дур '
( 3.4.6)
90
Поскольку Прll Ур==Ь имеем r==rl, а также
дr У Уа
дур y'(y yo)2+(z zo)2'
(3.4,7)
== у +Yo 2Ь
дур V(Y+Yo 2b)2+(Z ZO)2'
то, подставив (3.4.7) в (3.4.6), получим, что дg 2 (1) (М, Р)/дпр==О
при у==Ь. Следоваreльно, и функция (3.4.4) удовлетворяет нуле-
вому условию Неймана. В силу единственности решения задачи
о нахождении функции [рина представления (3.3.31) и (3.4.4)
совпадают, т. е. функция (3.3.31) имеет также лоrарифмическую
особенность при совпадении aprYMeHToB.
Ряды (3.4.3), (3.4.4) сходятся очень медленно, поэтому в вычис-
лительной практике используются ряды (3.3.13) и (3.3.31), кото-
рые имеют лучшую сходимость. Но ряды (3.3.13), (3.3.31) ввиду
их лоrарифмической особенности при совпадении aprYMeHToB схо-
дятся медленно, коrда расстояние между точками М и Р мало.
В 3.5 будут построены алrоритмы вычисления функций [рина,
содержащие быстро сходящиеся ряды.
3.4.2. Применение формулы суммирования Пуассона для по
строенип ВОЛНОВОДной функции rрина. с помощью формулы сум-
мирования Пуассона [63, с. 757]
00 а) ф
1: t (2пп) == 2 1 л; J t (т) e ivc d.
(3.4.8)
n;::::: сю
V== CO oo
из разложений (3.4.3), (3.4.4) можно получить разложения
(3.3.13), (3.3.31). Проиллюстрируем использование формулы сум-
мирования Пуассона на примере волноводной функции [рина
./Jl (М, Р) дЛЯ первой краевой задачи. При этом нам потребуются
следующие интеrралы [63, с. 393, 762]:
'"
.
211 J
eik(X Xa)
dk == eiKlx xal
k 2 K 2К '
ф
(3.4.9)
00 00
H (I) k i S j '
о ( " rol) == dKx
л;2
oo CXI
е Ц Kx(x xa)+Kz(Z 20))
2 2 dK 2 ,
k2 Kx K2
Ir rol == v (x xo)2 + (Z ZO)2
Способ, каким обходятся полюсы при вычислении интеrралов
(3.4.9), укажем ниже.
Итак, нам нужно вычислить интеrра. под знаком суммы в пра-
вой части (3.4.8), т. е.
1== S e lVT[H&I)( k --{(X Xo : а)2 +(Z Zo)2)
...
H&I) (k V (х + Xo : а) 2 + (Z ZO)2 ) ] d't". (3.4.10)
Используя вторую формулу в (3.4.9), соотношение (3.4.10) для
I перепишем так:
. "" ... dЗ I [](х (x xo :a )+Kz(Z z,) ]
l== S dK r dKx r e lvT { е 2 2
J J
co .......00 ......(1)
I [Кх (x+xo :а ) +Kz(z zo) J
е } d't" ==
k 2 к 2 к 2
11 z
... со
== 2... S el KZ(I Zo) dK z J eiK1/' Х
1&2 k 2 к 2 к 2
. х z
.......аа .......(1)
00
Х sin(KxXo)dK x J e ivte IKxTa/1!d't".
oo
(3.4.11)
при этом мы учли, что e l](xro е'КхХо == 2i siп (КхХо)' Интеrрал
ПО't берется, так как [64, с. 681]
...
б (х хо) == 211& 5 e l(J)roel(J)Xd(J),
""
поэтому
1 == S .. e'Kz(Z ZO)dKz 5 .. elK,r sin (КхХо) 6 ('1 Кжа/1&) dKx. (3.4.12)
.. k2 K2 K
х z
aa co
(использовали, что 6 ( x) == 6 (х)'. [64, с. 679]). Интеrрал по Кх
также можно взять, если учесть, что [64. с. 679; 34, rл. 1. с. 266]
6(v+K /n)== : б (Kx ( '1; )).
ь
S f (х) б (x хо) dx == f (х о ). хо Е [а, Ь].
а
92
:JmK Z
,
контур С
Re K Z
Рис. 3.4. Выбор контура интеrрирования в преобразовании Пу-
ассона при построении функции rрина плоскоrо волновода
получим
00
1 4 I / . 1& УХ о 5
== rrcvxaSln
а а
iKz(Z zo)
( n2,, )
k2 K2
'а 2 z
dKz. (3.4.13)
ф
Оставшиися интеrрал по Kz берется, если контур интеrрирования
С взять в плоскости Kz. как на рис. 3.4. Такой выбор контура С
обусловлен тем, чтобы точка х==хо, z==zo была только источником,
т. е. чтобы от нее волны раСХОДИЛJIСЬ. Используя первую формулу
в (3.4.9), перепишем 1 следующим образом:
1 41&i 11tvx / a' r nvxo
== r SIn
а а
V ТC'v"
ilz z.1 k'
й"
е
11 n2v2
k2
а 2
(3.4.14)
Следовательно, разложение для gl СМ, Р) имеет вид
00
gl(M,P) == :
eilz zll VkL... ( 7 )2
ri1tvx/a sin 1tVXo
а
v== oo
Vk ( :V )2
со
1& L { [ " 1t v x / a . ( пvxo )
е sш
а а
Y 1
. / . 1&УХ О ]
+е JЛхаsш х
IIZ zol V k2 ( ) 2
Х е \ а }
V k 2 ( :" ) 2 ==
93
V 2
1tV \
k2 ( )
iIz 201
е
1 / ( :1\/ ) 2
I k"
\ а
== 2;i
,, I
. 1tVX . 1tVXo
Sln Sln
а а
00
. :ltVX _ nvxo
S\n Sln
а а
e "vIZ Z.1
(3.4.15)
== L
а
\/ I
Pv
rде Pv== iУk2 (лv/а)2, т. е. мы ПОЛУЧI1ЛИ представление
(3.3.13) для gl (М, Р).
Аналоrично с помощью формулы суммирования Пуассона мож
110 нз представлеНJlЯ (3.4.4) получить (3.3.31) для волноводной
функции g2 (М, Р) ВТОРОЙ краевой задачи.
3.5. ПОСТРОЕНИЕ ллrоритмов ВЫЧИСЛЕНИЯ
ФУНКЦИЙ rРинл НЕ3ЛПОЛНЕнноrо ВОЛНОВОДА
Чтобы ПОСТРОНТЬ алrоритмы вычисления функций rрина неза-
полненноrо волновода, или функций ИСТОЧНIIка. неоБХОДIiМО лоrа
рифмическую особенность выделить в явном виде. Поступим сле
дующим образом: Ilсследуем поведение членов ряда у gl,2 (М, Р)
при тех значениях индексов суммирования т или п, которые СООТ-
ветствуют затухающим rармоникам, Т. е. (л.m/а)2 k2>О для
g\ (М, Р) или (Jtп/b)2 1J2>O. f]2==k2 2 для g2(M, Р). Обозначив
(1.2)
ЭТИ члены ряда через а т(l1) , имеем
m(I) ( x ) т(1) ( х )
а(l)==л't' т М Т т Р
т r(лm/а)2 k2
У(пт/а)Z k'IZм 2рl
е
л-m V k'a'
1 lz M Z p l
а nZm 2
е
«р!,:) (XM)lpr ) (Х р )
==n
,
.,
k 2 a 2
п2т 2
2 2 пn V Т]"Ь'
«p )(YM)Ip , )(Ур) 1 IZM zpl
a 2) == Jt r е ь :t"n.
V f)2b2
1
п 2 п 2
(3.5.1)
Поскольку
1
(1 + x)!/2 == 1 + 2" х + о (х),
1
(I+X)I/2== 1 2x+o(x).
(3.5.2)
то соотношение (3.5.1) можно заПIlсатf, следующим образом:
:94
а(1)==а CP )(XM)CP )(Xp) [ l k2a2 +o ( )] х
т т 2 п 2 т 2 тЗ
f rtm ( ' k2a2 ( 1 ) ) }
хехр l +0 IzM zpl ==
l а 2п 2 т 2 та
(1) ( ) (1) ) л:m
<Рт хм <Рт (Х р IZM zpl О ( 1 )
==а е а + .
т тЗ
(21 ( ) (2) ( ) тrn
а(2)==Ь СРп УМЧ'п Ур e "'""/J"IZM Zpl +o ( ) .
n n пЗ
Введем в 'рассмотрение [функции gl,2 (М, Р)вида
(3,5.3)'
'"
(1) ( ) m(I) ( ) 11т IZM Zpl
Ч'11I ХМ Т т Х р е .й
т
'\.---,
gl(M, Р)==а
т-==I
00 (2) ( ) (2) ( ) IZM 2pl
g2(M,P)==bL ЧJ п УМпЧJn Ур е ь
п:=1
(3,5А}
Ряды, входящие в (3.5.4), можно просуммировать (см. (2.50) в
[17] и [65, с. 56]) Суммирование рядов (3.5А) и построение алrо-
ритмов расчета ФУНКЦИЙ fрина удобнее проводить в системе KO
ординат x'y'z', связанной с xyz соотношениями
x'==x a/2, y'==y b/2, z'==z. (3.5.5)
В системе координат x'y'z', выбранной так, что центр ее О' на-
ходится внутри цилиндра, удобнее записывать в полярных )шор-
динатах уравнение контура 50 при реализации на ЭВМ числен-
Horo алrоритма рассматриваемой задачи дифракции, Просумми-
ровав ряды (3.5.4), получим
00 . пт ( , а ) , пт ( , а ) roп' .
S1Л XM+ S1Л Xp+ 12M 2pl
gl (М, Р) == 2 а 2 а 2 е й
т
т-==I
+ In [
11 " п"
sin 3 (хм + Хр+ а) + Sh2 IZ M 'Zp I
2а 2а
11 " 11"
sin 2 (XM Х р )+ Sh2 lZM Zp I
2а 2а
] +In '1'. (М. Р).
(3.5.6)
rде через Ч'I (М. Р) дЛЯ сокращения записи обозначено выраже-
ние, стоящее в (3.5.6) в квадратных скобках под знаком лоrа-
рифма, Аналоrнчно
95
"" nп ( , Ь ) n n ( f, Ь )
COS b Ур+"'2 cOSb Ум+Т lz z 1
g2 (М, Р) == 2 е ь
n
n !
== 21п2+ IZ I z I'+ IПЧ'2(М'Р)'
ь 2
(3.5.7)
тде
Ч'2 (М, Р) =--=
х
л " л,.
sh Z IZ M zp 1+ sinZ (YM Ур)
2Ь 2Ь
х
(3.5.8)
11 " П"
Sh2""2b' ZM zp 1+ Sin2""2b (Ум + Ур +Ь)
Отметим, что построенные функции (3.5.6) и (3.5.7) есть функ
'ЦИИ источника первой и второй краевых задач для уравнения
Лапласа в полосе { oo<z<oo, a/2-<.x-<.aI2} и { oo<z<oo,
b/2-<.y-<.b/2} соответственно и имеют при совпадении aprYMeHToB
-лоrарифмическую особенность [6, rл. 1, с. 191]:
01 (М, Р)== gl (М, Р) gl (М, Р)==
со ,'31m'
[ 2:л: pтlzM 2p I 2 /2 M Zp I ]
e e Х
аРт n
т l
х sIn (X ! + а/2) sin nт (x -t- aj2),
а а
(3.5.9)
О 2 (М, Р) == g2 (М, P) g2 (М, Р) ==
ф . !'In 1/ z' I
[ 2л p I Z M 2 p l 2 ь-- м р ] Х
== e п
ЬРп n
n .
:л: п ( , Ь ) п п ( , + ь )
Xcos у + COS !J .
ь р 2 Ь м 2
(3.5.10)
Ряды в формулах (3.5.9), (3.5.10) сходятся равномерно и
абсолютно со скоростью l/п З . Используя (3.5.6) (3.5. 10), пред-
ставим исследуемые функции rрина g. (М, Р), g2 (М, Р) В виде
1
g 1 (М, Р) == G 1 (М, Р) + 1 n ч' 1 (М, Р),
2
(3.5.11)
g2(M,P)==a 2) +О 2 (М, Р) 21п2 + Iz:W Z I + 1п Ч'2(М' Р).
Ь 2
Соотношения (3.5.11) являются эффективными алrоритмами
для вычисления функций rрина плоскоrо нсзаполненноrо волново
96
.да для первой и второй краевых задач. Эти алrоритмы обладают
мноrими преимуществами по сравнению с записями (3.3.13),
{3.3.Зl): во-первых, ряды входящие в (3.5.11), имеют высокую
скорость сходимости, BO BTOpЫX, лоrарифмическая особенность
выделена в явном виде. Кроме Toro, ряды в (3.5.11) можно по-
член но дифференцировать, скорость сходимости рядов в
,g1.2(M, Р) /дпр будет ljn 2 .
д
Остается рассмотреть выражения ----дi! lп %,2 (М, Р) при
р
P M. Имеем
..!.. д д lп '1"1 (М, P)
2 пр
:=2... 1п [ Sin 2 (x:w+ x + а) + Sh2 Iz:W Z \ J +
2 дпр 2а 2а
+ Iп [ 1 ] 1/2 (3,5.12)
дпр n" n"
sin2 (XM xp)+sh2 2а IZM zpl
Первое слаrаемое в этой формуле реrулярно при Р--+М, а второе
слаrаемое ведет себя при P M следующим образом:
1 . д 1 [ . 2 11 ( . . ) h 2 11 l ' , I ] 1/2
1т д ПS1П XM Xp +s ZM Zp
P M пр 2а 2а
.......lim д д lп [ ( (x:w x ) ) 2 + ( Iz Z I ) 2 ] . 1/2
Р...М пр 2а 2а
lim д д lп ===lim д д lп ==...!..хо(М), (3.5,13)
Р--+М пр n'MP р...м пр 'мр 2
тде Хо (М)
.Jlоrично
кривизна контура 50 в точке М (см. (1.3.19.». Ана-
д д lп '1"2 (М, Р) ==
пр
==...!... ln r sh2 \х' x' I +sin2 (y' y') ] I +
2 дп Р 2Ь м Р 2Ь м р
+ д д lп [ Sh 2 (x X ) +siп2 (у:W + y +b) ] 1 (з.5.14)
2
Второе слаrаемое в (3.5.14) реrулярно при Р--+М, а предел
nepBoro так же, как в (3.5.13). вычисляется и равен (I/2)xo (М)
Итак, для численноrо решения интеrральных уравнений, ядра
которых зависят от gl,2(M, Р) и дgl,2(М, Р)/дпр, построены алrо
ритмы эффективноro вычисления ядер. В расчетных формулах
построенных алrоритмов лоrарифмическая особенность ядер BЫ
делена в явном вид . используемые в них ряды сходятся ДOCTa
точно быстро, при вычислении нормальной производной функции
4 Зак. 34б 97
rрина указан способ устранения неопределенности прн P M.
превращающей ag 1 . 2 (M, Р)/дпр в непрерывную на So функцию.
Численное решение интеrральных уравнений (3.3.16), (3.3.18),
(3.3.34) с выделенноЙ лоrарнфмической особенностью у ядра не
вызывает дополннтельных трудностеЙ и может быть проведено
по схеме, описанной в 1.4.
3.6. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
3.6.1. Методические исследования результатов численноrо экс-
перимента. Методические исследования проведем на примере
классической задачи дифракции электромаrнитноrо поля на Kpyr-
лом цилиндре в волноводе [17 19]. Эта задача имеет важное
практическое значение, поскольку Kpyr лые стержни являются pe
альными и широко распространенными настроечными элемента.
ми [15]. Кроме Toro, это весьма интересная теоретическая задача"
на которой удобно оценить возможности метода.
Пусть волновод, содержащий индуктивный стержень, возбуж-
дается точечным ИСТОЧНIIКОМ, находящимся в точке Мо(Хо, Zo).
Будем искать решение интеrральноrо уравнения
1 f ди(Р)
gl(M,P)dsp== gl(M,Mo),
2л:. дп
s.
(3.6.1 }
являющеrося частным случаем уравнения (3.3.20). Путем вычис
лительноrо эксперимента представляет интерес оценить точность
получаемых результатов в зависимости от порядка решаемой си-
стемы линейных алrебраических уравнений и точности вычисле'
ния элементов матрицы.
Начнем методические исследования с ответа на вопрос, кото-
poro слеrка косну л ись В п. 1.4.3.. Поскольку ядро интеrральноrо
уравнения (3.6.1) имеет лоrарифмическую особенность при совпа.
дении aprYMeHToB, то при вычислении диаrональных элементов
матрицы, к решенню которой сводится интеrральное уравнение,
необходимо для вычисления g\ (М, Р) использовать алrоритм
(3.5.11), в котором лоrаРИфМJlческая особенность выделена в яв-
ном виде. К:оrда же вычисляем недиаrональные элементы мат-
рицы, то функция rрина в этом случае является реrулярной, по-
этому естественным является желание использовать соотношение'
(3.3.13) Но, как показывают численные исследования, это чрева-
то рядом нежелатеJJЬНЫХ последствий. Во-первых, при вычислении
элементов матрицы, находящихся на перВОЙ побочной диаrонали,
ряды, входящие в (3.3.13), сходятся медленно, поскольку расстоя-
ние между точками М и Р мало. Во-вторых, рЯд в (3.3.131) будет
также медленно сходиться при вычислении некоторых элементов'
матрицы в случае дифракции волн на цилиидре, поперечное сече-
ние KOToporo имеет узкую и вытянутую форму, например эллипс
с сильно различающимися полуосями. В обоих этих случаях для
суммирования рядов с заданной точностью необходимо УЧJlтывать.
98
большое число членов ряда, что приводит к неоправданному YBe
личеНIJЮ премени счета и потере точности. Кроме Toro, как пока
зали численные эксперименты, использование при счете недиаrо
нальных элементов вместо формулы (3.5.11) формулы (3.3.13)
Ведет к получению неустойчивых результатов. Проиллюстрируем
это на пр и мере.
Пусть точка Ма, в которой находится точечный источник, pac
положена на оси z' слева от цилиндра на расстоянии а, равном
ширине волновода. Положим ra/a==0,025; kra==0,03125. Контур ин
теrрирования разобьем на N == 30 частей. Интеrралы при вычисле
нии днаrональных элементов матрицы будем считать по обобщен
ной формуле Симпсона, остальные по обобщенной формуле
средних прямоуrольников. КОЛIIчество интервалов разбиения при
вычислении интеrралов в формулах типа (1.4.6), (1.4.7) будем
задавать целочисленным массивом
Q =={ql. q2,
qN},
(;).6.2 )
тде ql количество интервалов разбиения при вычислении диа-
('ональных элементов матрицы, q2 при вычислении элементов
первой побочной диаrонали, qз при вычислении элементов вто-
рой побочной днаrонали и т. д. Учитывая замкнутость контура
50 и характер зависимости ядра от точек М и Р, определяемый
.rMP, следует в массиве Q задавать q2== qN, qз==qN \ И т. д.
.возьмем Q=={8, 3, 2,1, ,1, 2, 3 . Ряды в (3.5.11) и (3.3.13)
будем суммировать с абсолютной точностью Е== IO 4. Получим два
распределения тока на цилиндре при одних и тех же значениях
.исходных электродинамических параметров и одном и том же
:разбиении контура. Кривая 1 рис. 3.5 соответствует току, полу-
ченному в случае, Коrда при вычислении как диаrональных, так
и недиаrональных элементов матрицы используется алrоритм
(3.5.11) для вычисления функции [рнна, а кривая 2 рис. 3.5 со-
,ответствует току, при расчете KOToporo диаrональные элементы
матрицы вычислялись с использованием алrоритма (3.5.11) дЛЯ
Й\ (М, Р), а в недиаrональных элементах gl (М, Р) вычислялась
по формулам (3.3.13) с одной и той же точностью Е== 10 4. Кривая
2 рис. 3.5 сильно ОСЦlIллирует, имеет rлубокие провалы в центре
{)свещенной области и в теневой части цилиндра. Попытки ста-
билизировать получающнЙся ток путем увеличения числа точек
шшроксимации искомоrо решения, а также за счет увеличения
точности вычисления элементов матрицы не приводят к успеху
Кривая 1 рис. 3,5 имеет, в отличие от кривой 2, плавный харак-
тер с максимумом в центре освещенной области. Этот ток устоЙ-
ЧllВ К изменению входных параметров (кривая 3.), а именно при
N==50, Q=={34, 20, 15, 10,5,4,3,2, 1, 1,2,3,4,5, 10, 15, 20}
ток сохраняет свой плавныЙ характер и мало отличается от кри-
вой 1 (на рис. 3.5 соответствующее значение тока обозначено пунк-
тиром). Отметим, что соответствующие системы линейных алrеб
раических урапнений решались с точностью, превосходящей точ.
ность вычисления матричных элементов. Следует также отметить,
4*
<;9
1 : ls
о
60
50
'10
30
20
10
О
'](
2:тr r 'р'
Рис. 3.5. Распределение тока на цилиндре: кривые 1, 3 получе
ны при использовании только алrоритма (3.5.11) для вычисле
IIИЯ функции [рина, кривая 2 при ИСПОJlЬЗ0вании алrорит
мов (3.3.13) и (3.5.11)
что коэффициенты отражения и прохождения, рассчитанные по
токам 1, 2, 3 рис. 3.5, одинаковы с точностью до трех значащих
цифр. Это н естественно, поскольку коэффицненты отражения и
прохождения являются ннтеrральными характеристиками токов.
Исследовались матрицы систем линейных алrебраических
уравнений, соответствующие кривым 1 и 2 рис. 3.5. Диаrональные
элементы матриц ВЫЧНСЛЯЛIIСЬ по одним 1\ тем же формулам 11,
естественно, совпадают. Различаются у матриц недиаrональные
элементы, причем максимальное отличие соответствующих эле
ментов не превосходит lO 4 абсолютной точности суммирова
ния рядов. На рис. 3.6 приведены значения деЙствительноЙ части
элементов матрицы, находящихся на l-й побочной диаrонали
(мнимые части, соответствующие конечному числу распространя
100
ющихся rармоник в функции rрина, как и должно быть, одина
ковы). Плавная кривая соответствует значениям элементов по-
бочной диаrонали матрицы, с которой решение системы линейных
алrебраических уравнений дает плавный ток, а ломаная . COOT
ветствует осциллирующему решению. Отметим, что поrрешность
вычисления элементов на побочной диаrонали равна заданной
точности е== IO 4. Такое поведенне элементов матрицы сохраняет
ся и для второЙ побочной диаrонали (рис. 3.7), при этом несколь
ко уменьшается амплитуда колебаний. И столь незначительное
отличие в матрицах решаемых систем ведет к получению сильно
ОТЛI1чающихся токов как по характеру, так и по значению. Этот
факт можио объяснить тем, что для получения устойчивых rезуль-
татов иужно равномерно аппроксимировать интеrральный опера-
тор на всем контуре интеrрирования независимо от положения
точек М и Р на контуре So.
Проведем теперь исследование точности получаемых резуль-
татов в зависимости от порядка решаемых систем и от точности
числеиноrо интеrрирования элементов матрицы системы ypaBHe
ний. В табл. I приведены результаты методических расчетов для
модуля тока на So для различных значений уrла <р, отсчитывае
Moro от оси х' против часовой стрелки, а также коэффициентов
отражения и прохождения при ka== 3,OI ; ,о/а==О,О25, [де '0
радиус цилиндра. Положение точечноrо источника обусловливает
равенство нулю коэффициентов отражения и прохождения при
четном т, поэтому I С2+ I == I C2 I == О. в табл. I с высокой точ-
ностью посчитано решение, приведенное в I-M столбце таблицы,
с ним будем сравнивать друrие решения получаемых систем .'Iи
нейных алrебраических уравнений.
Сравнение результатов счета (см. столбцы 6 и 7 табл. 1) по
казывает, что от точности вычисления диаrональных элементов
матрицы существенно зависит точность решения, поэтому шаr
численноrо интеrрирования при счете этих элементов должен
быть достаточно мелким. Первую побочную диаrоиаль и уrловые
элементы матрнцы также нужно вычислять с высокой степенью
точности, остальные же элементы матрицы достаточно посчитать
по квадратурным формулам с одним узлом (см. столбцы 1 4
табл. 1).
Итак, на точность решения системы при небольших значениях
kro большее влияние оказывает не количество точек аппроксима-
ции искомоrо решения, а точность вычисления элементов матри-
цы. Следовательно, требуемая точность численных результатов
может быть достиrнута путем решения системы лииейных алrеб-
раических уравнений HeBbIcoKoro порядка. Получаемые при этом
значения коэффициентов отражения и прохождения имеют по-
rрешность, не превосходящуlO 0,5%. С увеличением kro ток, на-
водимый на теле, начинает осциллировать (см., например,
рис. 3.8, 3.9), поэтому N количество точек аппроксимации НС-
KOMoro решения нужно увеличивать, сохраняя высокую точ-
ность вычисления диаrонаJ1ЬНЫХ элементов, а также элементов
101
ReAl,j
0.185'1O 2
/
,
I '
, I
I ,
, r
l'
, ,
"
v
"
1
, k
, ,
, r
I r
I r
, r
1 ,
"
l'
N
о 775'lO 2
.'
А I ,з
AH 2,H
А ц
Рис. 3.6. Значения действительных частей элементов матрицы в
зависимости от их иомера, стоящих на первой побочной дна-
rонали. Сплошная кривая соответствует плавному току, пунк-
тирная осциллирующему току
ReA. .
(,]
02Cj.1O
"
"
"
, ,
1,
I 1
11
. I
'\ .,
\ I '1
'1
\ I
\.
"
о. 24' 70 2
Ан
,
AH 1, N Ац
Рис. 3.7. Значения действительных частей элементов матрицы
в зависимости от их номера, стоящих иа второй побочной ДHa
rонали. Сплошная кривая соответствует плавному току, пунк-
ТИРl:lая осциллнрующему току
( :: I j
о
20
12
4
j
?
О п'J2 ']( !р
60
40
Рис. 3.8. ЗаВИСIIМОСТЬ от частоты модуля наводимоrо тока на KpyroBoM ИН
дуктивном цилиндре в волноводе при ro/a O,025:
l ka I,05It; 2 ka I,9n; 3 ka 2,951t; 4 ka 2,g9n; 5 kа 3,оl1'(;б kа
3.14 п; 7 ka 4,5 п; 8 ka 4,99 1'(; 9 ka 5,OI п; IО kа 5.З5 п; 11 ka 6.5 п;
12 ka 6.99 п
l й и 2 й побочных диаrоналей и равные им уrловые элементы
матрицы. Заметим, что время счета задачи по данным 8 ro столб-
ца табл. 1 7 мин на ЭВМ БЭСМ 6. а по данным из l ro столб-
ца 30 мин.
Из проведенных методических исследований можно сделать
следующий вывод. Поскольку для применения интерполяционноrо
метода предполаrается. что ток мало меняется на шаrе интеrри-
рования (такое предположение о характере тока полностью соrла-
суется с физическим представлением о нем), то получение плав-
Horo по характеру распределения тока на цилиндре достиrается
103
J :: Is
о
БО
'](
f
20
О,
Рис. 3.9. Зависимость от частоты модуля наводимоrо тока на KpyroBoM ин-
дуктивном цилиндре в волноводе при ,о/а 0,25:
1 ka 1,05 11:; 2 ka 2.95 11; 3 "а 2,99 л:; 4 kй 3.01 л:; 5 IIa 3,14 11; 6 ka==4,5 11
за счет высокой равномерной точности аппроксимации интеrраль-
Horo оператора На каждом шаrе интеrрирования, т. е. за счет
высокой точности вычисления элементов матрицы системы. Это в
свою очередь достиrается прн помощи построения эффективноrо
алrоритма вычисления функции [рина, oCHoBaHHoro на выделении
лоrарифмической особенности в явном виде. Следует особенно
подчеркнуть важность правильноrо выделения особенности у
функции [рина, поскольку от этоrо существенно зависят точность
получаемых результатов и время счета задачи. Далее, если зва.
104
чительно изменить пара метры волноводной системы или форму
контура, оrраничивающую поперечное сечение цилиндра, то про
цесс получения конкретных численных результатов необходимо
начин ать с методических исследований, обеспечивающих такой
подбор параметров численноrо расчета (число точек аппроксима-
ции HCKoMoro решения, массив Q, точность суммирования рядов,
входящих в ядро), при котором достиrается требуемая точность.
3.6.2. Результаты численноrо исследования волноводных си-
стем. Как и в п. 3.6.1 , будем рассм атривать волновод и содер-
жащиЙся в нем индуктивный цилиндр, возбуждаемые точечным
источником. Предложенный численный метод на основе ИIIтеrраль
ных уравнений позволяет рассчитывать истинное распределение
тока на цилиндре, обусловленное взаимодействием с неоднороД-
ностыо ближнеrо поля, создаваемоrо точечным источником, и поля
в дальнеЙ зоне с учетом распределения тока на цилиндре. Кроме
Toro, на основе исследования токов наш метод позволяет рас-
сматривать более сложные модели тех же элементов с учетом
допусков в форме поперечноrо сечения цилиндров, как например
зллипсоидальной формы цилиндры или цилиндры, поперечное
сечение которых есть пластина с закруrленными концами.
Проведем численное исследование конкретных волноводных
систем. На рис. 3.10 приведена частотная зависимость коэффици-
ентов отражения и прохождения для ro/a == 0,025, а на рис. 3.11
та же зависимость для KpyroBoro цилиндра большеrо радиуса,
ro/a==0,25. Точечный источник, как уже отмечалось выше, Haxo
ДИТСЯ слева от цилиндра на оси z' на расстоянии а, поэтому рав-
ны нулю коэффициенты отражения и прохождения при т-четном.
Если для сравнения рассмотреть пустой волновод, то коэффнци
енты I С т :!: I в данном случае будут иметь вид
У 2 Isin п 2 т I
Ic:f:l==n y'" (3.6.3)
т а k 9 (nтla)9 '
поэтому при т четном коэффициенты I cm:i: I будут также рав-
ны нулю, а остальные коэффициенты отражения и прохождеНI!Я
будут представлять монотонную функцию k. Наличие тела BHYT
ри волновода обусловливает появление резонансов, которые ста-
новятся тем rлубже, чем больше размеры тела. При переходе че-
рез критические частоты k Kp , для которых !lfm == V k 2 (nт/а)\!
обращается в нуль, появляются новые распространяющиеся rap-
моники в волноводе, при этом происходит перераспределение
энерrии по rармоникам, что соответствует резкому изменению
коэффициентов отражения и прохождения в районе критических
частот. Поскольку при четном т новые появляющиеся rармоники
имеют нулевое значение коэффициентов отражения и прохожде-
ния, в этих критических частотах не наблюдается резкоrо изме
нения характера коэффициентов I cm:i:1 На приведенных рисунках
значения искомых величин в точках критических частот заменены
на значения, соответствующие ka== (k Kp + 10 4.)a.
105
+ E:
\=:
t.,'"
\=:
Ln
"-
;;J-'
'",,,,
.
...:::
<:r :.=>
...............)(
...
I
'"
;"
\=:
t::>
r
<11
:.:
:=
:=
:r'
о
Е-о
U
:=
о
....
о
:=
:r'
Q)
:r'
О
Е-о
tI:
о;
О
1::
:=
:=
::f
:.:
<11
Q,
-&
\=:
Ln
:=
Q,
1::
tI:
:=
:<:
QJ
':!
о
><
о
Q,
1::
k
Ос,
:s:
t>:
:s:
:с
QJ
""
....,
o
о
!Qo
Р 11
X
::f
[
-&1::
'"
04)
:':с..
':!
..Q:c
Е-о:=
::E::r
:s:
u
:с::Е
!QO
<11 '"
"'о
....
10:>'
<I1t:1.
:с :.:
Е-о
о::;:
Е-о о
U о::
<11",
::r:=
....
О:':
>.
C':i
:s:
<.J
:>: со
0..0::
\=:
'
. .
k:
:::,--
.
. . .
................. .
. .
.
.
.
+L,E: -.;
1
""
,
<->
i
1
J
""
+ J
i
i t{
<:::1
<::f
-"с
'"
:4
:s:
=:
:r
о
..
u
:s:
о
..
о
=:
:r
...
:r
о
..
''''
1>:
о
:s:
:s:
::f
:.:
'"
а.
-во
:=
а.
1>:
=-
:S:.
о>
<:(
;Е
о
х
о
а.
::
10:
:=
:J::"
'"
:Е
'"
Q.
5
ci
:<: .....
::f
:<: :s:
-Вос:>.,
-Вo
'"
о '"
О::с:>.,
,Q =:
.. =
<J t;:
3
::
::;!
о
'" IQ
'" О
..
10::>'
..
;;
::r:,;:
..
=
<':i!J
:,;:
.;
:=",
t:l.:I"
1 : 1 s
. о
БО
-40
20
.....
............
...........
..........
................
о
тr:
3:л:
2Jt
4Jr
/'
БJf
1т
Рис. 3.12. Зависимость от частоты модуля наводимоrо тока на Kpyro-
вом индуктивном цилиидре в цеитре освещеиной области (кривая 1)
и в тени (кривая 2) при то/а 0,025
\ аи\
дп IS
а
за
20
70
о
:Л:(
2'у/
[\ //
...."'" .....
3:л: ljл
2:Л:
I
I
11
11
'1
J 1,......
I '............. .....
'-.. '......
б7r 7л {(а
Рис. 3.13. Зависимость от частоты модуля наВQдимоrо тока на кру-
rOBOM индуктивном цилиидре в центре освещенной области (кривая 1)
и в тени (кривая 2) при rola 0,25
Из рис. 3.11 следует, что при ro!a==O,25 и ka 3n почти вся
"Знерrия отражается, поле практически не просачивается за ци
линдр, так «ак на этом частотном интервале коэффициент про
хождения ничтожно мал. При этом интересно отметить, что на
частоте, соответствующей ka 1,39:n, и отраженное поле становит
ся малым (точка ka 1,39n является локальным минимумом для
коэффициента отражения), вся энерrия источника идет на воз
.буждение стоячих волн, и волновод с телом становится эквива
лентным открытому резонатору. Резонансные свойства сохраняют
-СЯ, если вместо KpyroBoro цилиндра взять цилиндр, поперечное
.сечение KOToporo представляет собой пластину с закруrленными
концами, которая образована двумя полукруrами Toro же радиу
-са ro, раздвинутыми на расстояние d o . В табл. 2 приведены для
:двух значений kd o велнчины модуля коэффициентов отражения и
прохождения в окрестности точки ka == 1,39:no Заменив ПJlастиНУ
эллипсом с полуосями относительно осей z' и х' соответственно
.й' и ы И изменив таким образом кривизну видимой части контура,
получаем картину размазывания резонансной кривой в OKpeCTHO
,сти резонансной частоты (см. табл. 3). Отметим, что невидимая
часть контура практически не влияет на значение Icт+l.
Как изменяется ток, наводимый на KpyroBoM цилиндре, в за
1JИСИМОСТИ от частоты, показано на рис. 3.8 при ro/a==O,025 н на
Таблица 1
н. о/о 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 7 В
Н. 50 30
8В, 50. 40 41. 30. 44. 20, 34, 20 34. 20. 15,
30, 20. 15 211. 15. 1, 44, 30, 20 44, 30, 1 44,20,1 10,1, 10, 1. 10.5.4,3.
Q о. о .15, 0...1' 1,... . 01; 30 "0,1, ..,,1, 2,1, . о,.
20. 30, 15, W. 30 1, 20, зо .211 10,20 10, 20 1,2, 3,
411. 50 4,5
'1'==0 34,076 34,073 34,075 34,075 34,075 34,075 34,089 34,124
. 'I'==п./5 31,860 31,857 31,857 31,857 31,857 31,858 31 ,853 31.855
rJ>
.t5 <р==2п/5 29,001 28,991 28,989 28,982 28,932 28,989 28,952 28,895
.......
.g <р==З3t /5 33,002 32 , 997 32,995 32,989 32,989 32,995 32,964 32,900
<р==4п/5 44,890 44,901 44,905 44,915 44,916 44,906 44.949 45,019
<р п. 51,751 51,770 51,780 51,793 51,793 51,780 51.871 52,036
I с'" 0,90110 0,90114 0.90115 0,90117 0,90117 0,90115 0,90124 0,90139
Ict\ 0,74901 0,74902 0,74902 0,74902 0,74902 0,74902 0,74902 0,74901
'cal 8,31067 8,31032 8,31025 8,з1010 8,31010 0,31025 8,30953 8,30861
.lcYI 1,11688 1,11641 1,11632 1,11612 1,11611 1,11632 1,11535 1,11405
109
рис. 3.9 при (o/й O,25. При пере
ходе через критические частоты ток
меняется достаточно резко, что'
можно видеть из результатов pac
чета (сравним кривые 4 н 5 рис. 3.8
и кривые 3 и 4 рис. 3.9). С увели
чепием радиуса цилиндра ток CTa
новится более осциллирующим.
На рис. 3.12 и 3.13 представле
ны картины изменения модуля тока,
наВОДlIмоrо на цилиндрах KpyroBo
ro се'!ения, в зависимости от час
тоты в центре освещенной области
(кривая 1) и в тени (кривая 2)..
Размеры волноводной системы для
результатов рис. 3.12 взяты (о/а==,
0,025, а для результатов рис. 3.13
(o/a O,25. Как и следовало ожи
дать, в области критических частот
плавный характер кривых резко Ha
рушается. В теневой области при:
(о/а 0,25 значение наводимоrо TO -
ка по сравнению с освещенной об
ластью незначитсльно.
Сохраняя прежней удаленность
точечноrо источника от rрани
цы Шlлиндра, исследуем наводимый ток в случае, коrда ПОПереч
ное сечение цилиндра есть такая же пластина с закруrленными
концами, результаты JJсследоваНIIЯ которой приведены в табл. 2.
На рис. 3.14 при ka 1,25п показана зависимость модуля тока
при изменении общей длины пластины d d o + 2ro. Для сравнения
КР lвая 1 рис. 3.14 представляет ток на KpyroBoM цилиндре, что
соответствует do O. Все ПрИБодимые на рис. 3.14 крпвые пмеют
максимумы в центре освещенноЙ области, совпадающие по абсо
лютной величине. С увеличением длины пластины уменьшается
значение тока в теневой части ЦlIлиндра, кривые тока становятся
более УЗКИМII, и уже при d/a 1,25, что соответствует кривой 4,
ток ОТЛllчается от нуля лишь в небольшой области цилиндра,.
раСIlоложенной против точечноrо источника. Соответствующие
значения коэффициентов отражения и прохождения приведены в
табл. 4.
Отметим, что такой о-образный характер тока позволяет ап
проксимировать искомую функцию с кусочно постоянным шаrом.
Для получения кривых 2, 3, 4 рис. 3.14 ток на участке контура,
преДставляющеrо из себя полуокружность, находнщуюся против
точечиоrо источника, аппроксимировался по 25 точкам, на прямо
линейных участках брал!! по 10 точек, а в теиевой части KOHTY
ра 9 точек Итоrо, порядок полученной системы N 54. Воз
можность расчетов с кусочио-постоянным шаrом ПОЗВОЛЯет pac
I g ls
о
Erh
20
70
Рис. 3.14. Зависимость модуля
наводимоrо тока на цилиндре с
сечением в виде закруrленноrо
прямоуrольника для различных
ero размеров при hla 0,25; ka
I,25п:
l dlh l: 2 r!!h 1.4; 3 dlh 3:
4 d/h 5
110
Таблица 2
kd. 0,0625:1 1,875:1
ka
\c"11 I I't\ 1'11 I I ,t 1
1,35п 0,569313 O,67.10 3 0,569316 0,17 .10 '
1,39п 0.022848 О, 70.10 3 0,022845 О ,20 .10 '
1,4п 0,157836 O,71.1O 3 0,157833 0,21 . 1O .
1,43п 0,5з1868 О, 73. 1O 3 0,531864 О ,23.1O '
Таблица 3
"а, О,З4З75п "a, 1.251t
"Ь, О,ЗI25:1 "ыо.зI25:1
1')1 I 1'+ 1 1')1 I 1 ct I
I
1,З5п 0,55378 О , 8 . 1 о з 0,325309 О , 21 . 1O .
1,39п 0,038944 О ,82 .1O . 0,270886 О ,23.1O '
1,4п 0,1739з5 О, 84 .10 З 0,405473 0,23.1O '
1,4Зn 0,547763 O,86.1O ' 0,775068 О, 24.1O '
Таблица 4
I
1')1
I 'tl
0,25
0,35
0,75
1,25
2,28091
2,28438
2,28512
2,28417
0.08324
0,03846
0.001929
0,0000464
,сматривать Достаточно длинные по сравнению с длиной волны
пластины без эначительноrо увеличения порядка систем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Свешltи1Сов А. Т. К обоснованню метода расчета распространення элект-
pOMarHHTHblx колебаннй в нереrу.llЯРНЫХ волноводах. ЖВМ н МФ, 1963,
3, N2 2, с. 314 326.
2. Свешников А. Т. К обоснованню метода расчета нереrулярных волно-
водов. ЖВМ н МФ, 1963, З, N2 1, с. 170 179.
3. Свешников А. Т., ИЛbUnС1Сий А. С., Котик И. П. Распространенне коле-
баний в нереrулярных волноводах с боковой поверхностью сложной формы.
В кн.: Вычислительные методы н проrраммирование. Вып. 3. М.: Изд-во
Mry, 1965, с. 329 363.
4. Свешников А. Т., ИЛbUltС1СиiJ А. С. Метод нсследования плоских волно-
водов с импеданснымн rраничными условиями н резкнм нзменением: боковой
111
поверхностн. В кн.: Вычислительные методы и лроrраммироваиие. Выл. 1З. -
М.: Изд-во Mry, 1969. с. 27 3З.
5. Ильинский А. С., Свешников А. Т. Методы исследования иереrУJJЯРИЫХ:
ВОЛИОВОДОВ. ЖВМ и МФ. 1968, 8, N"оз 2, с. 36З 373.
6. И льиНСI';иu А. С. Распространение электромаrнитиых волн в иереrуляр-
ных волноводах перемениоrо сечения. М.: Изд-во Mry, 1970.
7. Свешников А. Т., Волков Б. И., Секерж-Зенькович С. Я. К изrибу вол-
новодов. В КН.: ВЫЧИCJIительные методы н проrраммироваиие. Вып. 5.
м,: Изд-во MrY, 1966, с. 210 226.
8. Свешников А. Т.. Ильuнский А. С. Расчет волноводноrо перехода слож
НоН формы. ЖВМ и МФ, 1963, З, М 3, с. 477 488.
9. Ильинский А. С. Распространение электромsrннтиых колебаний в нере-
rулярном волноводе сложноi< формы. В ки.: Вычислительные методы н'
прorраммированне. Вып. 5. М.: ИЗД-DО Mry, 1966, с. 227 252.
10. Ильuнский А. С., Слеnян Т. Я. Колебания и волны в электродннами-
ческих системах с потерями. М.: Изд-во Mry, 1983.
11. Быков А. А.о Ильинский А. С. Решеиие краевых задач для линейных
систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом направлеиной ор-
тоrонализщии. ЖВМ и МФ, 1979, 19, З, с. 631 639.
12. Быков А. А., Ильинский А. С. Прямой численный метод исследованвя'
электродинамическнх свойств полоrо дизлектрическоrо трансформатора в вол-
иоводе. Радиотехиика и электроиика, 1982, 27, N2 9, с. 1706 1710.
13. Ильинский А. С. Воронцов А. А. Метод ннтеrральных уравиеиий в за-
даче о дифраКЦ!IИ волн на иаклонной rранице раздела двух сред в волново-
де. В КН.: Вычислительные методы н проrраммнроваине. ВЫП. 28. М.:
Изд-во Mry, 1978, С. 177 194.
14. Шестопалов В. П., Кириленко А. А. Масолов С. А. Матричные урав-
иения типа свеРТКII в теорнн дифракцнн. Киев: Наукова думка, 1984.
15. ФельдштеЙIl А. Л., Явич Л. Р.. Смиронов В. П. Справочник ло эле
ментам ВОЛНОВО;I.ной техникн. М.: Советское радио, 1967.
16. Никольскuй В. В. Вариациониые методы для внутреииих задач элект
родинамикн. М.: Наука, 1967.
17 Левин Л. Совремеиная теория волноводов. М.: ИЛ, 1954.
18. ЛеIJUН Л. Теория волноводов. М.: Радио и связь, 1981.
19. Швинzер Ю. Неоднородности в волноводах. В кн.: Зару6ежиаJf
радноэлектроника, 1970, лr 3. М.: Советское радио, С. 5 103.
20. Пиротти Е. Л., Кравченко В. Ф., Хижняк Н. А. Рассеяние электромаr-
нитных волн на неодиородностях лравильиой формы в цилиидрическом волно-
воде. В кн.: Материалы семинара по числениым методам решения внутрен-
них краевых задач электродинамики, вып. 9 (35). М.: Изд. ЦНИИ «Элект-
роника:>, 1971, С. 105 115.
21. Пиротти Е. Л., Кравченко В. Ф., Хижняк Н. А. Расчет трансформато--
ра полых сопротивленнй D прямоуrольном волноводе, использующеrо неодно-
родности правильной формы. В кн.: Материалы семииара ПО числеИНЫIIf
методам решеr!Ия внутреиних краевых задач электродииамики, вып. 9 (35).
М.: Изд. ЦНИИ «Электроинка:., 1971, с. 1l6 127.
22. Кеванuшвилu r Ш. Дифракция волны HIO на индуктивном стержие.
Раднотехника и электроника, 1975, 20, N2 9, с. 181O 1817.
23. G. de Jong. ScatteTing Ьу а perfect1y сопduсtiпg cylindrical obstacle iIt
а rесtапgulаr waveguide. Iпl. J. Еlесtrопiсs, 1972, 32, N 2, р. 153 167.
24. Мошинскuй А. В., Березовский В. К. CTporoe решеиие задачи о рас-
сеяиин волны Н 10 на круrовой цилиидрической иеоднородиости в прямоуrоль-
ном волноводе. Радиотехника и электроиика, 1977, 22, Н2 7, с. 1350 1354.
25. Березовский В. К, Мошинский А. В. Анализ электродннамических ха-
рактеристик прямо тольиоrо волновода с идеальио проводящей цилиндрнче-
ской неоднородностью. РадиотеХИlIка и электроника, 1980, 25, Н2 6.
с. 1153 1159_
26. МОШUНСКUЙ А. Б. Электродинамический аиализ стержнсвоrо держателя
ДЛЯ активных СВЧ-элементов в прямоуrольном волиоводе. Радкотехника
и электроника, 1980, 25, H 3, С. 487 498.
112
27. Баранова В. Ф., Раевский С. Б., РудО1lCова Л. Т Расчет волноводно
ro резонатора, перестраиваемоrо металлическим стержнем. Радиотехника
и электроника, 1975, 20, М 12, с. 2621 2625.
28. КнuшевскаJl Л. В., КОТОВ М. н., Ярмалuс М. М. Распределение свч-
элеКТРI1ческоrо поля внутри и снаружи полупроводниковоrо стержня, поме-
щеиноrо в прямоуrолыIйй волновод. Радиоте:ШIlка I! электроника, 1980,
25, N2 1, с. 197 199.
29. Курашов i\. Т Сосредоточенная иеодиородность в мноrоволновом вол-
новоде. Радиотехника и электроиика, 1981, 26, N2 7, с. 1405 1413.
30. Быков А. А., И льuнский А. С. Численный анализ диэлектрических ре-
зонансов в волноводе. Радиотехиика и электроника, 1982, 27, N2 9,.
с. 1830 1833.
31. Боzданов Ф. Т., Кеванuшвuлu Т. Ш. Ближнее поле дифракции волны.
Н \0 на диэлектрической ступеньке. Радиотехника и электроника, 1983, 28,
N2 7, с. 1432 1434.
32. Боzданов Ф. Т. Дифракция волны Н\О на симметричиых диэлектриче-
ских стержнях коиечной длины. Изв. вузов. Радиофизика, 1983, 26, N2 2,
с. 246 250.
33. Боzданов Ф. r. Дифракция волиы Н\О иа симметричных диэлектриче-
ских стержнях конечной длины. Со общ. АН rccp, 1983, 110, N2 1, С. З3 36.
34. Боzданов Ф. Т Дифракция волны Н 1 0 на произвольиом диэлектриче-
ском стержне. Радиотехника и электроника, 1983, 28, N2 5, с. 876 880.
35. Нuкишов В. Н. Яровой r П. Расчет распределения СВЧ-поля в при-.
моуrольном волноводе, содержащем полупроводниковый стержень. Радио-
техиика и электроника, 1982, 27, N2 11, с. 2133 2139.
36. Петленко В. А., Хижняк Н. А. Рассеяние электромаrнитных волн иде..
альио проводящими телами в прямоуrольном волноводе. Изв. вузов. Радио
фнзнка, 1978, 21, N2 9, 1325 1331.
37. Пет ленко В. А., Хижняк Н. А. Резонансное рассеяние электромаrнит.
ных волн тонкими проводниками в прямоуrольном волноводе. Изв. вузов.
Радиофнзика, 1981. 24, .N2 4, с. 472 480.
38. Коробкин В. А., Хижняк Н. А. Волноводно-диэлектрический резонане
диэ.lектрическоrо образца в прямоуrольном волноводе. Изв. вузов. Радио-
физика, 1978, 21, N2 4, с. 558 565.
39. Велиев Э. И., Коваленко А. Т., Хлопов Т. И., Шестопалов В. П. Экспе-
риментальиое исследование электродинамических свойств незамкнутоrо цилинд.
ра в прямоуrольном волноводе. Радиотехиика и электроника, 1983, 28,.
N2 6, с. 1038 1042.
40. Велиев Э. И. Днфракцня волноводиой Н l0 -волны на KpyroBoM цилинд-
ре с продольноЙ щелью, размещеином виутри прямоуrольноrо волновода.
В кн.: Теория дифракции и распространения волк. Т. 2. Труды УН Всесоюз-
Horo симпозиума по дифракции и распространению волн. М., 1977, с. 228.
41. Кураев А. А., Слепян r Я., Слепян А. Я. Дифракция Н\о-волны на
резонаНСIIОЙ диафраrме в Ilрямоуrольном волноводе. Изв. вузов. Радиофи-
зика, 1980,23, N2 9, с. 1085 1091.
42. rальченко н. А., rальченко r А., Ларцев Н. К, Мuхалевскuй В. С.
Дифракция волны LM 10 на тонком нндуктивном штыре в прямоуrольном ВOJI-
новоде, частично заполненном днэлектриком. В ки.: Теорня дифракции к
распространения волн. Т. 1. Труды УН Всесоюзноrо симпозиума по дифрак-
ции и распространению волн. М., 1977, с_ 222 225.
43. rруцяк В. И., Коробкин В. А. Резонансное рассеяние волн иа некоор-
дннатных диэлектрическнх ВКЛЮ1Jеииях прямоуrольноrо волновода. В кн.:
Волны и дифракция. Т. 3. Краткие тезисы докладов VIH Всесоюзиоrо симпо-
зиума по дифракцин и распространеиию волн. М., 1981, с. 251 253.
44. Труцяк В. И., Коробкuн В. А. Особенностн числеИНОI'О решения за-
дачи днфракции волн на диэлектрической неоднородности волноводиоrо трак-
та. В ки.: Волны и дифракцня. Т. 2. Краткие тезисы докладов VHI Все-
союзиоrо симпозиума по днфракции и распространению волн. М., 1981,
с. 200 203.
45. Капилевuч Б. Ю. Диэлектрический цилиидр в прямоуrольном волново
де. Радиотехника, 1978, 33, N2 4, с. 98 100.
113.
46. Бравер И. М., rарб Х. Л. Рассеяние Н1о-волны на проводящем стерж-
'1Iе с полупроводниковым контактом в прямоуrОJIЬНОМ волноводе. Радно-
техника и электроника, 1982, 27, ,)\,"2 2, с. 253 261.
47. В()ль.чан В. И., Саркисьянц А. r. Днфракцня волны H 10 на толстом ин-
.дуктнвном штыре. Радиотехника, 1975, зо, N2 6, с. 43 52.
48. Ильинский А. С., Кравцов В. В., Свешников А. r Метод rалеркина
в задачах о рассеянии волн в полых системах. Вест инк Моек. ун-та, Фи-
зика. Астрономия, 1968, М 5, с. 69 74.
49. Ильинский А. С., Свешников А. r. Прямые методы исследования вол-
новодных систем. В кн.: Вычислительные методы и проrраммирование.
Вып. 13. М.: Изд-во Mry, 1969, с. 3 26.
50. Ильинскиil А. С., КраБЦОВ В. В., СвешниКО/J А. r Интеrральные урав-
нения первOI'О рода в задачах о расееянии волн в полых направляющих си-
стемах. Вестник Моск. ун-та. Физика. Астрономия, 1968, N 6, с. 19 26.
51. Ильинский А. С., Кравцов В. В., СвешниlCов А. [. Расееяние электро-
маrнитных волн в полых иаправляющих системах. В кн.: Вычнслительиые
методы и проrраммирование. Вып. 13. М.: Изд-во MfY, 1969, с. 34-----40.
52. Котщ, И. П. Численное исследование волноводноrо трансформатора.
В кн.: Вычислительные методы и проrраммнрованне. Вып. 13. М.: Нзд-во
Mry. 1:969, с. 4 66.
53. Ильинскиil А. С., rалuшнuкова т. Н. Исследование задач днфракции
в волиоводах методом интеrральиых уравненнй Фредrольма. В кн.: Вычи-
слительные методы н проrраммнрование. Вып. 20. М.: Изд-во Mry, 1973,
с. 22 37.
54. rалuшникова т Н., ИЛbUllскuil А. С. Исследование задач дифракцнн
иа проводящих телах в волноводе. В ки.: Теория дифракции и раепростра-
нения волн. Т. 1. Труды УI Всесоюзноrо симпозиума по дифракции н распро-
странеиию волн. М. Ереван, 1973, с. 437-----441.
55. Тихонов А. Н., Са.чарский А. А. К теорни возмущения радиоволно-
водов. Вестник Mry, 1948, N 7, с. 39 60.
56. Са.чарскuй А. А., Тихонов А. Н. О представленин поля в волноводе
.В виде суммы ТЕ- и ТМ,волн. ЖТФ, 1948, 18, N 7, с. 959 970.
57. Вайнштейн Л. А. Электромаrннтные волны. М.: Советское радио,
1957.
58. EzopoB Ю. В. Частично заполненные прямоуrольные волноводы.
М. Советское радио, 1967.
59. Chatterjee S. К.. Chatlerjee R. DieIectric loaded waveguides а re-
view о! theoretical solutions. The Radio and E1ectronic Епgiпееr, October,
1965, р. 195 205; December, 1965, р. 359 363.
60. Свешников А. r. Принцип предельноrо поrлощення для волновода.
ДАН СССР, 1951, 80. N 3, с. 345 347.
61. Вольман В. Н., Мартынов Л. М. Приближенное аналнтнческое выра-
жение функции rрина для прямоуrольноrо волновода. Радиотехника и
электроника, i982, 27, М 6. с. 1086 1088.
62. Будак Б. М., Са.чарскuй А. А., Тихонов А. Н. Сборннк задач по ма-
тематнческон физике. М.: Наука. 1972.
63. Морс Ф. М., Фешбах [. Методы теоретнческой физики. Т. 1. М.:
ИЛ, 1958.
64. Корн r Корн т Справочник ПО математике для научных работннков
и инженеров. М.: Наука, 1968.
65. rрадштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интеrралов, сумм, рядов и
.произведеннiI. М.: rиФмл, 1963.
rЛАВА 4
ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАrнитноrо ПОЛЯ
НА ПЕРИОДИЧЕСКОй СТРУКТУРЕ
ИЗ ЦИЛИНДРОВ ПРОИЗВОЛЬНоrо
ПОПЕРЕчноrо СЕЧЕНИЯ
Теории дифракции волн на периодических структурах посвя-
щено большое число работ [l 6; 1 о; 14, r л. 3]. Интерес к этим
задачам связан с широким исследованием днфракционных реше
ток в технике физическоrо эксперимента, антенной технике, при
кладной электронике, раДИОфИЗИJ<е, акустике и друrих отраслях
науки. В ранних работах исследованы достаточно полно предель-
ные СJlучаи, коrда длина волны HaMHoro больше периода решетки
[7 10]. а также коротковолновая асимптотика [11]. Для этих
двух крайних областей частотноrо диапазона подробно исследова
ны периодичеСJ<ие ленточные струнтуры и решетки круrлых ци-
линдров.
Построение решений в заМJ<НУТОЙ аналитичеСJ<ОЙ форме может
быть получено в оrраниченном числе случаев для решеток спе
циальноrо вида, например для решеток из идеально тонких лент,
ширина которых равна полупериоду решетки [6]. Поэтому в нас-
тоящее время интенсивно развиваются прямые численные и чис-
ленно-аналитические методы решения задач дифракции волн на
периодичеСJ<ИХ структурах. Успешно развивается численно-анали-
тический метод полуобращения оператора, опирающийся на воз
можность выделения и аналитическоrо обращения части оператора
дифракционной задачи. В результате использования метода полу-
обращения исходные функциональные уравнения заменяются на
такие уравнения, численное решение которых HaMHoro эффектив
нее первоначальных уравнений. В зависимости от обращаемой
части оператора разработаны различные варианты метода полу
обращения, позволившие получить строrие решения задач диф
ракции на различных периодических структурах. Результаты этих
исследований, опубликованные в разное время в мноrОЧИСЛенных
статьях, систематически изложены в моноrрафиях [1 3; 14, rл. 3],
в которых приведена и обширная библиоrрафия цитируеМbIХ ра-
бот. Численные алrОРИТМbI, построенные по методу полуобраще
ния, имеют достаточно сложный вид, который компенсируется их
высокой эффективностью, так как каждЫЙ из них создан и ориен-
тирован для решения специальноrо класса дифракционных задач.
В ряде работ нспользуемый численный метод решения опре-
деляется rеометрией рассматриваемых структур. С помощью ме-
тодов теории вычетов решается задача дифракции плоской волны
на бесконечной решетке плоских, бесконечно ТОНJ<ИХ пластин ко-
нечной ширины, которая, в отличие от работы [6]. может быть
115
порядка длины волны [12]. Если пластины полу бесконечные, то
успешно работает метод Винера Хопфа [13]. Бесконечная сис-
тема широких (по сравнению с длиной волны) металлических
лент исследовалась в работе [14], в которой найдено асимптоти-
ческое представление решения в случае, коrда длина волны мно-
ro меньше как ширины пластины, так и периода рассматриваемой
решетки.
Метод сшивания, определяющий характеристики поля, рассеян
'Horo бесконечной эквидистантной решеткой плоских волноводов,
развивается в работах [15 16]. В работах [17 21] для нахож-
дения электромаrнитноrо поля, создаваемоrо периодической струк-
турой из цилиндров круrлоrо и произвольноrо поперечных сече.
ний, расположенной как в однородном, так и внеоднородном
пространствах, используется метод неортоrональных рядов, за-
R.7JючающиЙся в представлении решения в виде разложения по
полной системе неортоrональных функций с неизвестными коэф-
фициентами, которые находятся по методу коллокации. Методом
.ортоrонализации исследована дифракционная решетка в работе
.(22] ,
Интенсивно развиваются численные методы исследования не
только сквозных дифракционных решеток, но и отражающих
идеально проводящих и импедансных периодических поверхностей
[23 28], а также периодических структур более сложной конфи-
турации [29 33]. Успешно развивается для исследования перио-
дических структур метод интеrральных уравнений, который, яв-
ляясь прямым численным методом, является существенно более
универсальным и позволяет исследовать в резонаисном частотном
диапазоне периодические структуры с раЗJIИЧНОЙ конфиrурацией
.элементов.
В задачах исследования дифракции волн на периодических
структурах одной из первых работ, в которой метод интеrраль-
ных уравнений использован как аппарат для построения числен-
'ных решений в достаточно широком диапазоне частот, является
работа В. П. Шестопалова с соавторами [34], rде рассмотрена
задача дифракции плоской BOJlНbl на периодической системе Kpyr-
лых цилиндров. В это же время появились работы [35-------36], в
которых методом интеrральных уравиений исследовались интеr-
ральные характеристики поля для решеток типа эшелетт, а также
для решеток, состоящих из цилиндров круrлоrо и квадратноrо
поперечных сечений.
В работах [37 40], выполненных в Mry, метод интеrральных
уравнений получил свое дальнейшее развитие для периодических
структур из цилиндров произвольноrо поперечноrо сечения, для
периодических структур из полубесконечных прямоуrольных вол-
НОВОЛ,ов, связанных через отверстия в бесконечно тонком экране
с полупространством, для решеток из волноводов, расположенных
на цилиндре.
116
f 4.1. ДИФРАКЦИЯ ПЛОСI(ОП волны НА БЕСКОНЕЧНОП РЕШЕТI(Е
4.1.1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу дифракции нак-
лонно падающей плоской волны на эквидистантной решетке, об
разованной бесконечными цилиндрами произвольноrо поперечно-
то сечения. Предположим, что цилиндры выполнены из металла
ос конечной проводимостью, а решетка находится в свободном
пространстве, характеризуемом параметрами Е, [.t ero диэлект
рической и маrнитной проницаемостями. Выберем начало декар-
товой системы координат ХУ2 внутри одноrо из цилиндров, кото-
рому присвоим нулевой номер. Ось х направим параллельно об-
разующей цилиндров, ось у вдоль решетки, ось z перпенди
кулярно плоскости ху (рис. 4.1). Цилиндры образуют периодиче
,скую структуру вдоль направления оси у, период которой обозна
чим через Ь. Контуры сечений D m ЦИЛИндров плоскостью х==о
занумеруем в порядке возрастания оси у и будем обозначать S.,.
(m==О, ::t 1, :1:2, .). Будем предполаrать, как и в предыдущих
rлавах, что Sm кривые Ляпунова.
Падающее из полупространства z>o поле плоской волны
ио (у, z) имеет вид
ио(у, z) ==А exp(ikysineo {kzcoseo),
(4.1.1)
rде А амплитуда падающей волны, 80 уrол между отрица
тельным направлением оси z и направлением падения плоскои
волны, k волновое число. Падающее поле ио (у, 2) удовлетво
ряет условиям периодичности
llо(У+Ь, z) ==eikbsln8uo(y, z)
для любых У и z. Периодические условия типа
f (у+ Ь, z) == eltf (у, z)
называются условиями Флоке с па-
раметром t. Следовательно, падаю-
щее поле плоской волны 1l0(У, z)
удовлетворяет условиям Флоке с
параметром t==kb sin8.
Математически задача дифрак
ции поля плоской волны на перио-
дической структуре ставится сле
дующим образом: вне периодиче-
ской структуры определить реше-
ние однородиоrо уравнения rельм-
rольца
1l(M) +k 2 u(M) ==0
(4.1.4)
с импедансными rраничными усло-
виями на решетке
( 4.1.2)
( 4.1:З)
!J
z
Рис. 4.1.
117
дu(Р) iau (Р) == О,
дп
(4.1.5)
удовлетворяющее условиям излучения на бесконечности, обеспе
чивающим отсутствие волн, приходящих из бесконечности, за
исключением падающей. Условия излучения запишем в форме
парциальных условий излучения, аналоrичных условиям для вол
новода, впервые введенным в [60, rл. 3]:
00
u(y,z)==uu(y,z) + L RI1(t)еlrnZ'Фп(f,у), Z Z2' (4.1.6)\
n== Ci"
OD
и(у, z)== !: TI1(t)e ir1Jz1jJп(t, у), Z<ZI'
п== CXI
rде {'Фп (t, у)} ортонормированная на отрезке [ b/2, Ь/2]
зипериодическая система функций
( t ) I iЛ У А == t + 2м
'Фп , У == vь е п, п Ь
KBa
(4.1.7)
rll==y'"k2 A Imrll>O;
Imfn==O, Refn>O;
Zl И Z2 сечения, параллельные плоскости ху, выделяющие об
ласть, содержащую решетку; Rn и ТN неизвестные коэффици-
енты отражения и прохождения. В rраничных условиях (4.1.5)
коэффющент a==kW/W! для Е-поляризованноrо поля и a==kW!/W
для Н-поляризованноrо поля, rде W импеданс свободноrо
пространства, в котором расположена решетка, W 1 импеданс
металла, из KOToporo выполнены элементы решетки.
Система функций {'ФI1(t, у)} является решением следующей
ираевой задачи для линейноrо дифференциальноrо уравнения вто-
poro порядка по У:
"",11"(/' у)+А n 2 'Фпf/(t, у) ==0,
фl1(t, у+Ь) ==еit-фп(t, у).
Отметим, что функции фп (t, У) определены при oo <у<оо и на
всеЙ оси у удовлетворяют условиям Флоке с параметром t.
Поскольку падающее поле удовлетворяет условию квазиперио-
дичности с параметром t== kb siп е и решетка эквидистантна по
оси у, полное поле также должно удовлетворять условию Флоке
(4.1.8)
и(у+тЬ, z) ==eimtu(y, z),
(4.1.9)
поэтому достаточно определить решение в пределах одноrо пе
риода Ь вдоль оси У, например при m==О в полосе D=={ b/2<;y<;
<;Ь/2; oo<z<oo}.
118
В [11] показано, что при дифракции поля плоской волны на
решетке существует единственное решение уравнения rельмrоль-
да, удовлетворяющее условию Флоке. При этом предполаrается,
что решетка находится в среде с поrлощением, т. е. 1т 8=#=0
(1т J.l == О), и требуется оrраниченность рассеянноrо поля при
I z [--+00. Если среда без потерь, то вместо условий оrрапиченно-
сти следует потребовать выполнения условий излучения, которые
сформулированы в форме (4.1.6). Итак, в среде без потерь задача
(4.1.4) (4.1.6) имеет единственное решение, удовлетворяющее
условию Флоке (4.1.9).
4.1.2. Вывод интеrральных уравнений. Введем функцию rрина
G(M, Р), удовлетворяющую во всем пространстве уравнению
rельмrольца
G(M, P)+k 2 G(M, Р)== 2лб(М, Р),
(4.1.10)
условиям квазипериодичности (условиям Флоке) и соответствую
щим условиям излучеНIIЯ. Ее можно записать в виде
ею
О(М, Р)== i; H&I)(kJ/(ZM Zp)2+(YM YP+тb)2)e iтt,
т;::::;; c;a
(4.1.11)
тде НоО)(х) функция Ханкеля первоrо рода, (Ум, ZM), (Ур,
Zp) координаты точек М и Р соответственно. Функция rрина
(4.1.11) удовлетворяет следующим условиям Флоке, которые мы
будем использовать при выводе интеrральных уравнений:
О(Ум, ZM, Ур, zp)==:eilG(yM' ZM, ур+Ь, Zp),
G (Ум, ZM, Ур, Zp) == e itG (Ум + Ь, 2м, Ур, Zp),
(4.1.12)
O(YM' ZM. Ур, 2p)==rit G(YM+b, ZM' Ур, Zp),
дум дум
a (Ум. 2м. Ур. 2 р ) == e it G (Ум, 2м. Ур + Ь, 2р).
дур дур
Соотношения (4.1.12) леrко проверить. Действительно, спра-
ведливость первоrо равенства в (4.1.12) следует из преобразова-
ний
G (Ум. ZM, Ур + Ь, Zp) ==
са
iп.
2
H I) (kV(2M 2p)2 + (Ум + mb Yp b)2 ) e {тt==
т <XI
."
== i; H&1)(kV(ZM 2p)2+(YM+(m 1)b Yp)2)e irnt.
т== co
119
Сделаем замену индекса суммирования, введем т'==т I, тоrда
G (Ум, ZM, Ур + Ь, Zp) ==
<х>
L Hb l ) (k V(ZM Zp)2 + (Ум .+. m'b Yp)2) e i(m'+I)t ==
i
2
т':;;:: сю
== о (Ум, ZM, Ур, Zp) r il ,
что и требовалось показать. Второе соотношение в (4.1.12) прове-
ряется аналоrично, а ДЛЯ проверки третьею и четвертоrо соотно-
шений необходимо воспользоваться первой формулой в (2.2.16).
Функцию rрина (4.1.11) с помощью ФОРМУЛЫ суммирования
Пуассона (см. п. 3.4.2) преобразуем к более удобному для ВЫЧИС-
лительных экспериментов виду
CD
G (М, Р) == i: L
еiЛn(ум ур) /rnlzM Zpl
r n
(4.1.13).
n== 1XI
л n == t+ b 2nп , [/!== V k2 Л 1т [ n > о;
Imrn==O, Rern>O,
КОТОРЫЙ и будем использовать в дальнейшем.
Получим интеrральные уравнения. Обозначим через l5 область,
представляющую собой подобласть D и оrраниченную контурами
50, боковой поверхностью условноrо волновода У== :t bj2 и сече-
ниями Z == ZI, Z == Z2, определенными ВЫше. В области 15 применим
вторую фОРМУ.'1у rрина к функциям и(М) и о(м, Р), получим
S [и (Р) L\G (М, Р) G (м, Р) L\u (Р)] d. р ==
D
S [ И(Р) да(м,Р) G(M,P)?!:J P) ] dSp,
дп р дп
s. U!l== b/2U bI2UZ,UZ.
(4.1.14).
rде ME15, n внешняя к l5 нормаль. Учитывая (4.1.12), (4.1.13),
а также направление нормали П, интеrралы по участкам контура,
совпадающим с боковой поверхностью условноrо волновода (у==
== b/2Uy==b/2), в сумме дадут нуль. В силу условий излучения
и прннимая во внимание ортоrональность функций {'Фn и, У)} на
отреЗl<е [ b/2 y b/2] при любом t, интеrрал по сечению Z==ZI
в (4.1.14) обратится в нуль, а
S [ u (Р) да (М, Р) O(M, Р) ди (Р) ] dsp ==
дп р дп
z.
S [ да (М, Р) дио (Р) ]
== ио(Р) дп р O(M, Р) дп ds p == 2лuо(М). (4.1.15),
2,
120
Итак, получается интеrральное J!1редставление для искомоrо
полн u(М) в любой точке области 15, а учитывая произвольность
сечений ZI и Z2, В любой точке области D следующеrо вида:
и (М) ==и о (M)
дО (М, Р) a(M, P) aU(P) ] ds p , MED.
дп р дп
(4.1.16)
S [и (Р)
s.
Далее, опустим точку М на контур So и используем свойства
потенциалов простоrо и двойиоrо слоев, в результате получим
...!...и(M) S [ а(м,р) ди(Р) и(P) дО (М, Р) j . dsp==
2
s.
==и о (М), М Е So.
( 4. 1. 17)
Выразим сначала и(Р) на So через дu(Р)jдп на So из rраничных
условий (4.1.15) и подставим в (4.1.17), получим интеrральное
уравнение относительно дu(Р)jдп на So:
ди(М) + S ди(Р) [ а(м. P)+ дО (М. Р) ] dsp==
a дп 2л дп ct дп р
s.
== иo (М), М Е So.
(4.1.18)
Если выразить ди (Р) /дп на So через u (Р) на So и подставить в
(4.1.17) I то получим интеrральное уравнение относительно и (Р)
lIа So
...!...и(М) + S u(Р) [ дО (М, Р) iaG(M. Р) ] dsp ==
2 2n дп р
s.
==ио(М), MES o , (4.1.19)
аналоrичное уравнениям (2.1.19), (3.3.18), (3.3.34), получающимся
при исследовании задач дифракций поля плоской волны на импе-
.дансном цилиндре в свободном пространстве и волны H 10 на ин-
дуктивном и емкостном стержнях в прямоуrольном волноводе.
В частном случае, коrда решетка состоит из идеально прово-
дящих цилиндров И падающее поле Е-поляризовано, то в уравне-
нии (4.1.18) коэффициент i/ao=O и оио переходит в интеrральное
уравнение Фредrольма первоro рода, аналоrичное получеиным
ранее (1.3.14), (3.3.20):
1 S ди(Р)]
а(М. P)dsp== uo(M), MES o '
2п дп
s,
(4.1.20)
Если на решетку из проводящих цилиндров падает Н поляризо-
121
ванное поле, тоrда в уравнении (4.1.19) положим а==О И это
уравнение переходит в ннтеrральное уравнение Фредrольма BTO
poro рода:
1 1 f aG (М. Р)
u(M)+ и(Р) dsp==uo(M), MES o , (4.1.21)
2 2п . дп р
s,
аналоrичное (1.3.15), (3.3.35).
С помощью формулы (4.1.16), дающей представление поля в
любой точке области [5, можно вычислить коэффициенты отраже-
ния и прохождения, входящие в условия излучения (4.1.6), KOTO
рые являются амплитудами плоских волн, распространяющихся
или экспоненциально затухающих при удалении от решетки. Ko
личество распространяющихся от решетки rармоник и уrол OTpa
жения определяются соотношением между уrлом падения плоской
волны, волновым числом k и периодом решетки. Учитывая орто-
нормированнасть на отрезке [ b/2 y< Ь/2] системы функций
{'Фп(t, у)}, имеем
bj2
тnи)== { J и(у, Z)lz ZI(j! (t,"'y)dy} e irnz "
bj2
(4.1.22)
bj2
Rn(t) == { s (u(у, z) uo(Y, z»lz z.(j! (t, Y)dy}e/ rnz ..
b!2
Расnространяющиеся от решетки rармоники определяют поле в
дальней зоне, в то время как затухающие rармонИI\И иrрают cy
щественную роль вблизи решетки.
Замечание. Если периодическая структура состоит из идеально
проводящих элементов, имеющих «ребра», то для единственности
решения дифракциониой задачи необходимо потребовать выпол
нения условий Мейкснера на «ребре» [41]. Оно заключается в
требовании конечности потока энерrии электромаrнитноrо поля,
проходящеrо через любую конечную поверхность в окрестности
ребра. Это равносильно условию
S и дц* pd(j! ---+ О при р --+ О равномерно по ЧJ,
дп
С р
rде С р конечная поверхность, окружающая ребро. Исходя из
этоrо условия, можно показать, что в окрестности ребра ни одна
из составляющих электромаrнитноrо поля Е. Н не может B03
растать быстрее, чем p I+'t"('t'>O) при р---+О [36, rл. 1]. Для идеаль
но проводящеrо клина, например, компоненты поля, параллельные
ребру, имеют порядок О (р2fЗ), а остальные имеют особенность
О (р ljЗ) при р---+О.
122
4.2. длrоритмы ВЫЧИСЛЕНИЯ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОR
функции ПИНА И ЕЕ НОРМДЛЬНОR производноп
В ядра интеrральных уравнений (4.1.18), (4.1.19) входят
функция fрина (4.1.13), удовлетворяющая условиям Флоке, и ее
нормальная производная. Как леrко видеть из представлени
(4.1.11), функция rрина G (М, Р) имеет лоrарифмическую осо-
бенность при совпадении aprYMeHToB (см. п. 1.3.2), которую для
построения численноrо алrоритма решения полученных интеr-
ральных уравнений (4.1.18), (4.1.19) необходимо выделить в яв-
ном виде. Как и в rл. 1, можно показать, что нормальная произ-
водная исследуемой функции rрина особенности не имеет и в
точках совпадения aprYMeHToB может ,быть доопределена значе-
нием кривизны контура. Полученная при этом функция становится
непрерывной, однако ряды, входящие в ее представление, сходят
ся плохо, поэтому необходим алrоритм эффективноrо вычисления
aG (М, Р) /дпр.
4.2.1. Алrоритм вычисления квазипериодической функции fри-
на. Обозначим через а п члены ряда функции G (М, Р) в представ-
лении (4.1.13). Исследуем поведение а п при больших значениях п.
Будем считать п таковым, что как а п , так и a п соответствуют за-
тухаюшим rармоникам. Для удобства исследуемые члены ряда
:запишем в виде
[ i t+:tI (YM YP) V c+ rcn ')2 k2IZM 2PI
:п е е
all+a n==b ([(t+2л:n)IЬр k2)1/2 +
t 2nп -1/ ( t 21tn ) 2
' (YM YP) r ""'""ь k' IZM Zpl ]
е е
+
([(t 2лп)JЬ]2 k2)1/2 .
(4.2.1)
Используя при Ixl<l соотношения (l+x)1/2==I+xj2+0(x 2 ),
(1 +x) 1/2== l xI2+0(x2), мо жно написать
ir n == 1 / ( t + 2лn ) 2 k2 == 2л:n ... r (1 + ) 2 k ==
V ь ь V \ 2л:n 4п 2 п 2
== 2 n (1
'ir n ==
t +о ( I ))
2лn n 2
, f ( t 2лп ) 2 k2 == ( 1 + о ( ..J..... ) ) ;
V ь ь 2л:n п 2
(4.2.2)
[( t+ 2:пп ) 2 k2 ] 1/2 == +0 ( .....!..... )
ь 2л:n 4:п 2 n 2 п 3
[ ( t 2:пп ) 2 k2 J 1/2 == + + о ( .....!..... ) .
ь 2лn 4л: 2 п 2 п 3
123
"
с точностью до членов ПОрЯДКа п 2 выражение (4.2.1) запишется
следующим образом:
а п + a n==2:. [ ех р ( i (YM YP) IZM Zpl +
ь ь ь
. 2пn 2nn I ( ь еь )
+t (YM yp) IZM Zp) +
ь ь 2nn 4n 2 n 2
+ехр (i + (YM Ур)++ IZM Zpl
i 2nn (YM yp) 2 1tn IZM Zpl )( + )J +o ( ) ==
ь ь 2nn 4n 2 п 2 n 3
( , t )[ Ch(i 2:n (YM Yp) +IZM Zpl)
== ехр t (YM YP) +
ь ' n
sh ( IZM zpl i 2лn (ум ур» ) ]
+ ь ь х
2п n 2
Х ехр ( 2nn I z м Z р I ' ) + о ( ) . ( 4.2.3)
ь \ п З
Поскольку
sh (x:t iy) == sh х cos y:t i ch х sin у,
ch (x:t iy) == ch х cos y:t i sh х sin у,
то (4.2.3) можно переписать так
an+a п==exp (i +(УМ Yp») х
2пп
[ t СOS ь (YM У р ) ( 2nn )
Х chblzM Zpl n ехр blzM Zpl
2nn
t sinb(YM Yp) ( 2nn )
ishblzM Zpl п ехр blzM Zpl +
2пn
t t COS Ь (УМ Ур) ( 2nn )
+ sh lzM Zpl ехр IZM Zpl
2п Ь па Ь
2пn
t t sin Ь (YM Ур) ( 2пn )]
i ch lzM zpl ехр IZM Zpl +
2п Ь n 2 Ь
+o( ).
( 4.2.4)
124
Полученное соотношение (4.2.4) дает представление о xapaK
тере поведения членов ряда функции [рина (4.1.13), наrлядно'
демонстрируя, что лоrа рифмическая особенность функции G (М.
Р) определяется членами ряда типа
2nn
cos т (ум У р ) ( 2nп )
ехр IZM Zpl .
n \ Ь
Используя (4.2.4), преобразуем так функцию [рина (4.1.13), что.
построенные при этом ряды будут иметь скорость сходимости
О (IJn 2 ), а лоrарифмическая особенность у G (М, Р) будет явно.
выделена.
Для сокращения записи введем обозначения
2nп
'" cos (y y)
R 1 (M, Р)== ь n м р ехр ( 2:n IZM Zpl), (4.2.5).
n l
R 2 (M,
2nп
'" sin (y Y )
ь м р
Р)== .
n
n l
( 2nn \
ехр b\ZM Zpl).
(4.2.6)
Эти ряды можно просуммировать [17; 65, rл. 3], обозначив их
суммы соответственно Фl (М, Р) И Ф2 (М, Р):
n
Фl(М' Р)== lп 2+--ь IZM Zpl
...!....ln [ sh2 IZM Zp I +sin 2 (YM YP) ] ;
2 Ь Ь
(4.2.7)'
Ф2 (М, Р) == arc tg
IZM 2pl .2n
е ь sinb(YM Yp)
12M 2pl 2n
l e ь cos (y y)
ь м р
(4.2.8)
Итак, если записать функцию [рина в виде
о(м, Р)==
== {а(м. P) exp(i+(YM YP») [Ch+\ZM ZpIRl(M, P)
i sh +IZM ZP I R 2 (м, Р)]} +
+ехр (i + (YM YP») [ch + IZM Zpl Фl (М, P)
ish+lz,\1 zрIФ2(М, P)J. (4.2.9)
125
"
то ряд, стоящий в фиrурных скобках (обозначим ero О, (М, Р))
и имеющий вид
aI)
О 1 (М, P) L
[ . iЛп(ум ур) irnlZM zpl
In е е
Ь r n
п:::;;; ao
( t 2лn )
ch blzM zpl i (qM Yp)
п
. t 2пп ]
e'b(YM YP) TlzM zpl ,(4.2.10)
будет сходиться СО скоростью О (1 /п 2 ) и представлять собой ре-
)'улярнуlO функцию, а особенность явно выделена и сосредоточена
в слаrаемом
ехр (i+(YM YP)) сh+IZм ZрIФ1(М, Р).
Представление (4.2.9) и есть алrоритм вычисления функции rри-
на (4.1.13).
4.2.2. Алrоритм вычисления нормальной производной квази
периодической функции rрина. Будем строить алrоритм вычисле-
ния дО (М, Р) janr, исходя из представления (4.2.9) для О (М, Р).
При дифференцировании (4.2.9) появляются члены порядка п 1,
поэтому необходимо улучшение сходимости получающихся при
этом рядов. Продифференцируем соотношение (4.2.4), в котором
представлено разложение члена ряда функции [рина О (М, Р) с
точностью n 2, оставив лишь члены ряда порядка n I, в результате
получим
д д [ /. t )
дп р (а n + a n) дn р ехр \ t Ь (Ум Yp) х
( 2лп t .
ch i (у м У р ) I Z M Z P I ) 2ЛII
Х . Ь п Ь e bIZM ZPIJ+
t i!...(!lM YP) д [ . sh (+IZM Zpl i п (!lM' YP))
+ eb х
2л дп р п 2
2';; I ZM ZPI ] ( 1 )
Х е +0
п 2 .
(4.2.11)
Выражение (4.2.11) существенно упрощается, если сократить в
нем подобные члены, имеем
д p (а" + a п) ехр (i т (Ум Yp)) х
]26
{ [ 2л.'1 ]
t д cos (ум Ур) 2': fzM 2pl
Х ch lzM 2pl е
Ь дп р n
2пп
. t д l Sinb(YM YP) 2 n 'ZM ZPI ]} ( 1 )
tsh lzM Zpl a е +0
ь Пр п п 2
(4.2.12}
Обозначим через R (М, Р) ряд, общий член KOToporo 'n (М, Р)
есть (4.2.12), т. е.
<о
R(M, Р)==Е ',,(М, Р).
n 1
(4.2.13)
УЧИТЬ1вая (4.2.12) и (4.2.13), а также (4.2.7), (4.2.8), запишем
нормальную производную С помощью ряда, CKOpOCTI? сходимости
KOToporo О (IJn 2 ) :
д p а(м, Р)== [ д p а(м, P) R (М, Р)] +
+ ехр (i +(YM YP») {ch +IZM Zpl д p Фl(М' P)
' sh IZM Zрl д д Ф2 (М, р) } . (4.2.14)
ь пр
Соотношение (4.2.14) представляет собой эффективный алrо
ритм вычисления нормальной производной функции rрина. Bxo
дящее в (4.2.14) выражение да(м, Р)/дпр использует форму за
писи G (М, Р), задаваемую соотношением (4.1.13), а ряд, стоящий
в квадратных в (4.2.14), сходится со скоростью O(IJn 2 ).
Построив алrоритм эффективноrо вычисления функции rрина
(4.2.9) и ее нормальной производноЙ (4.2.14), численное решение
интеrральных уравнений (4.2.18), (4.2.19), к которым сведена
задача дифракции поля плоской волны на периодической CTPYKTY
ре, может быть найдено с помощью метода, изложенноrо в
п. 1.4.2.
4.3. ДИФРАКЦИЯ ПОЛЯ ТОЧЕчноrо ИСТОЧНИКА
НА БЕСКОНЕЧНОй РЕШЕТКЕ
В этом параrрафе рассмотрим задачу дифракции электромаr
нитноrо поля, создаваемоrо точечным источником, на периодиче
ской структуре. В отличие от задачи дифракции поля плоской
волны на решетке, рассмотренной в Э 4.1, поле точечноrо источ
ника не удовлетворяет условию периодичности (4.1.3). Чтобы
свести задачу дифракции поля точечноrо источника на решетке во
всем. пространстве к решению задачи дифракции внутри одноrо
127
1<анала Флоке, мы используем преобразование, введенное в рабо-
те [42]. С помощью этоrо щ>еобразования исходная задача сво-
дится к определению решения в пределах одноrо периода, но не
для caMoro IICI<OMOro решения, а для ero спектральноrо образа.
Учитывая периодичность rеометрии структуры, для образа полу
чается задача с условиями Флоке, что позволяет применять чис
ленные методы, развитые для решения задач днфракции плоскоЙ
волны на периодической структуре. Интеrральные характеристики
излучения выражаются через образ искомоrо решения, т. е. для
определения диаrраммы направленности, создаваемой решеткой,
не надо производить обратноrо преобразования, что является
несомненным преимуществом рассматриваемоrо метода. Учет ло-
кальной струюуры падающеrо поля позволяет уточнить rраницы,
в пределах I<OTOpbIX справедлива аппроксимация падающеrо поля
полем плоской волны.
4.3.1. Постановка задачи и вывод интеrральных уравнениЙ.
Рассмотрим периодическую структуру, состоящую из цилиндров
произвольноrо сечения D т , оrраниченноrо контуром Sm, rде Sm
кривые Ляпунова (т O, :1:: 1, :1::2,. .). Сохраним принятые в
п. 4.1.1. обозначения, а также выбранную систему координат.
Предположим, что Э.'1ектромаrнитное поле возбуждается цилинk
ричеСI<ИМ источником, находящимся справа от решетки и прохо
дящим через точку Мо (уо, Zo).
Задача дифракции поля точечноrо источника на периодической
структуре состоит в отыскании вне периодической структуры ре-
шения неоднородноrо уравнения rельмrольца отиосительно пол-
Horo поля
.Llu (М) + k 2 u(M) 2лб (М, Мо)
( 4.3.1 )
с условиями на решетке (4.1.5), удовлетворяющеrо условиям из-
лучения на бесконечности. Аналитический вид условий излучения
сформулируем позже.
Сведем задачу дифракции во всем пространстве к задаче диф-
ракции в полосе D { b/2 y b/2, oo<Z<oo}, для этоrо рас-
смотрим преобразование (см. [42; 10, rл. 3]):
а:>
U (t, у, z) I и (у + тЬ, z) e iтl,
(4.3.2)
m::::;;;;;; oo
которое любой функции и(у, z), определенной во всем простран-
стве и принадлежащей L 2 ( oo, 00) по у при каждом фиксирован-
ном Z, ставит в соответствие функцию U (t, у, z), удовлетворяю-
щую условиям Флоке (4.1.9):
U(t, у+тоЬ, z)==e iтol L и(у+тЬ, z)e ;mt eimotU(t, у, z). (4.3.3)
т::::::::;: x
в силу соотношения (4.3.3) для определения и (у, z) во всем
пространстве достаточно определить U (1, у, z) в 'полосе D. Функ-
.128
ции и (У, z) и U (t, У, z) связаны между собой соотношением
[ 43]
211
и (У, z) == S U (t, У, z) dt.
2п
о
(4.3.4)
Функция И (t, У, .2:) удовлетворяет уравнению
6. у Ри, У, z)+k 2 U(t, У, z)==
""
== 2n Е (j(y yo+mb)6(z zo)e iтt.
(4.3.5)
m:;;;;z oo
rраничным условиям (4.1.5) на поверхности решетки и условиям
излучения, которые сформулируем следующим образом. PaCCMOT
рим сечения ZI и .2:2 полосы п, выделяющие область, содержащую
источник и элемент решетки по. Функцию U (t, У, z) при .2:-<.2:1 И
Z .2:2 можно записать в виде
...
U(t, У, z)== Е Tn(t)e lrn2Wn(t, У), Z<ZI'
п CJ)
(4.3.6)
'"
U(t, у. z)== Bn(t, z)'i>n(t, у)==
п iXI
'"
I (B (t, z) + R n и) e 1rnZ ) 'i>n (t, у), z Z:l'
п== C\CI
в формулах (4.3.6) коэффициенты ВпО (t, z) известны и опреде-
ляются точечным источником, Bn(t, .2:) неизвестиые коэффици
енты отражения полноrо поля, Tn(t) и Rn(t) иензвестные коэф-
фициенты прохождения и отражения соответственно полноrо и
рассеянноrо полей. Велнчииы r n И функции 'Рn (t, У) определены
в (4.1.7).
Решение задачи (4.3.5) с условиями (4.1.5), (4.3.3), (4.3.6)
существует и единственно [16].
Для вывода интеrральноrо уравнения используем функцию
rрина О(М, Р) вида (4.1.11). При меняя в области fj вторую фор-
мулу rрина к функциям И (t, у, z) и G (М, Р), получим интеrраль-
ное представление дЛЯ И(t, М), аналоrичное (4.1.16):
И(t. М)== 2 S r о(м, Р) дU Р)
8.
да (М, Р) j
U(t, Р) dSp+G(M, мо), м Е D,
дп
rде n внутренняя к Do нормаль. Из (4.3.7) неоднократно нами
:5 звк. 34б
(4.3.7)
129
применявшимся способом получаются интеrральные уравнения
Фредrольма BToporo рода относительно неизвестной функции
ди (t, М) jan на 80 вида
....!...... aU(t. М) + r aU(t, М) [ а(м, p)+ дa(M, P) ] ds p ==
2<z дп 2зt J дп а дп р
s.
== a(M, мо), м Е 80
(4.3.8)
или относительно неизвестной функции и (t, М)
+ии, М)+ 2 SU(t, M)[ дa, P ) iaG(M, P)].ds p ==
s,
== G (М, Мо), М Е 80'
!'(4.з.9)
При i/a==O интеrральное уравнение Фредrольма BToporo рода
(4.3.8) переходит в интеrральное уравнение первorо рода, COOT
ветствующее задаче дифракции Е-поляризованноrо поля на решет
ке идеально проводящих цилиндров. Если же на решетку из
идеально проводящих цилиндров падает Н поляризованное поле,
то соответствующее интеrральное уравнение получается из (4.3.9)
при а== О. Алrоритм численноrо решения интеrральных уравнений
(4.3.8), (4.3.9) таков же, как и для рассмотренных ранее задач.
4.3.2. Диаrрамма напраВJlенности ПОJlЯ точеqноrо источника.
Характеристики рассеянноrо поля в дальней зоне определяются
коэффициентами Т n (1) И Rn и), соответствующими распространя
ющимся rармоникам в УС 10ВИЯХ (4.3.6). Рассмотрим электромаr
нитное поле при Z ZI. В этой области в соответствии с (4.3.4),.
(4.3.6) имеем [52]
2п а> 2n
и(у, Z)== S U(t, у, z)dt== \1 \ Тn(t)е irп(t)Z'Фn(t, y)dt==
2л 2п .
о п ", О
1
2зt
а> 2п(n+l)
S Tп(t' 2nn)e irп(t' 2M)Z'ljJn(t' 21tп, y)dt', (4.3.10);
n ", 2nп
rде t'==t+2nn. Введем переменную оо<л.<оо С помощью COOT
ношений
[ t:+2nl' n==l, 1>0,
Ь'А == t I п == о,
t' 2л/, п == /, 1 > О,
тоrда выражение (4.3.10) можно переписать следующим обра
зом:
(4.3.11)
130
ао
и (У, z) == S т (л) е ir(,Л)Zе'1-.!I dл,
211:
O>
rде
r (л) == у k2 ')..2.
r УЬТ п (ЛЬ 2лn), 2м < ль 2л: (п + 1), n> О,
Т (л) == ! V-Б т u (ЛЬ), о < ль < 2л,
УЬТ п (ЛЬ+2лn), 2лn<ЛЬ< 2л(n+ 1), п >0.
(4.3.12)
(4.3.13)
(4.3.14)
Для определения характеристик излучения поля в дальней зоне
перейдем в (4.3.12) к полярным координатам
у == r sin <Р, Z == r cos ЧJ, лJ2 < <r < ...!. л,
2
(СУ, 2) 12 < Zl}
(4.3.15)
и с помощью метода стационарной фазы получим асимптотическое
представление для u(r, ер) при , oo, rде u(r, <р) имеет вид
О>
U (r, ер) == s т (л) eir( у k' 1-.'co s!j)+1-.sinq» d'Л.
'"
(4.3.16)
Напомним, что метод стационарной фазы [44, с. 64; 45. с. 297]
используется для вычисления интеrралов вида
'"
f (r) == S g (л) e irhO ..) dл,
o:>
(4.3.17)
r де r .большое полож ительное чнсло, h (л) вещественная
функция вещественноrо переменноrо. Пусть -,: единственная
стационарная точка функции h('Л.), т. е. h'(i)==o, oo<i<oo.
Тоrда
f (r) == [ 211: ] 1/2 g (Х) eirh( >+,п/4 ( 1 + о ( ) )
rh" (л) r
при
h/l ( ) > о и
f (т) == [
2n ] 1/2 g(1.) e1rhQ.Hln/4 ( 1 +0 ( ...!... ))
rh/l (л) r
при h" (Л) <о.
в нашем случае (см. (4.3 .16»
h(л)== Уk2 л2 сosер+лsiпер,
5.
(4.3.18)
(4.3.19)
131
h' ( л ) == л сosср + siп
.yk3 ,,8 ер,
h" ( л. ) k l COS ер
(k2 ')..2)3/2
Так как Icosepl == cos<p при л/2<rp<3n/2, непосредственной
подстановкой убеждаемся, что h' (i) == О, rде I== k sin ер. Поскольку
h(j,) ==k, h"{i) == 1/(k cos 2 <р),
'То представление (4.3.16) для поля и (r, <р) примет вид
u (r, ер)== [ k:;CP ]1/2 т 0...== k siп <р) ехр (ikr in{4) (1 + о ( +) ) ==
== [ ] 1/2 Т (1...== k sin <р)( k cos <р) Х
2nrk
Х ехр {ikr in{4} ( 1 + о ( +- ) ) . (4.3.20)
Таким образом, при r..-+oo прошедшее сквозь решетку поле пред
ставляет собой цилиндрическую неоднородную волну, расходя
щуюся от периодической структуры.
Будем называть функцию FT(<p)== kcosqJT(ksin<p) диаrрам
мой прошедшеrо поля по потенциалу. В силу соотношений
(4.3.14) диаrрамма направлеииости прошедшеrо поля определя
ется распространяющимися rармониками для и (t, у, z) :
i Vb ( k cos <р) Т п (kbsin qJ 2лn), 2пn" kb siп <р < kb,
Fr (<р) == I V ( k cos <р) То (kb siп <р), 0< kЬsiп <р < 2п, (4.3.21)
уь ( kcos <р) Т n (kbsin <р + 2лn), kb < kЬsiп <р < 2Лf1,
,. [ kb ] 2 Ь [А]
rде n == , п{ < <Р < 3п{2, kb < kb sin <р < k , целая
.. 2n
часть числа А.
АнаJюrнчное представление можно получить для полноrо отра-
женноrо поля. Если обозначать через FR(<p) диаrрамму направ-
ленности отраженноrо полноrо поля, ТО она будет иметь вид
I V k cos <РВ п (kЬsiп <р лn), 2лn < kЬsiп <р <kb,
уь k cos <р Во (kb siп <р), О -< kb sin <р < 2л,
t VbkсosерВ fI(kЬsiП<р+2лn), kЬ<kЬsiпrp< 2пn,
( 4.3.22)
FR(<p) ==
132
rде л/2< <л/2. Для рассеянноrо поля диаrрамма направлен-
ности F RO ( ) соответственно запишется так
( VЬkсos<рRп(kЬsiП<р 2л:n), 2лn -< kbsin<p< kb,
Fk (ЧJ) == I V k cos Ip Ro (kb sin ЧJ), 0-< kb sin <2л:,
Vb k cos Ip R п (kb sin + 2л:n), kb < kb sin qJ < 2nn,
(4.3.23)
rде л:j2 < qJ < лj2.
4.3.3. Энерrетическое соотношение. Получим основное энерrе-
тнческое соотношение исследуемой задачи дифракции. Покажем,
что полный поток отраженной н прошедшей энерrии в областях
Z ZI и Z Z2 выражается через распространяющиеся rармоники
поля и (t, у, z). Для этоrо применим в области q), представляю-
щей полосу {ZI Z Z2, oo<y<oo}, за исключением элементов
решетки, вторую формулу [рина к функциям и(у, z) и и. (у, z),
получим
J (и(у, 2) И.(У, 2) И.(У, z)дu(у, z»d-т:==
QO
1: S (и(у, 2) ди" ' 2) и.(у, z) ди Z» ) ds т +
т== oo Sm
QO
+ S (и (у, 2) ди. ' 2)
и" (у, z) ди (у, 2) ) \ dy +
дп Z %L
O>
+ 5 00 С И (у, z) ди. (у; 2) и. (у, 2) ди (у, 2» )\ dy, (4.3.24)
ф
rде Sm элемент решетки. Преобразуем левую часть равенства
(4.3.24), используя (4.3.1), (4.3.4),
S (и (у, z) Ди. (у, z) и. (у, z) и (у, z» d'f ==
== J 2л(и.(у, z) и(у, z)б(у уо, z zo)d1:==
21'C
== 2i S 1т И (/, уо, zo) dl.
о
( 4.3.25)
,Преобразуем теперь правую часть равенства (4.3.24), для это-
[о рассмотрим сначала
133
... .., Ь/2+тЬ
S U (у, z) ди* (у. z) I dy ==' (' u (у, z) ди. (у. 2) I dy =='
дп z z, J az z z,
o:> т o:> b/2+тb
Ь/2 2t1 2t1 ..,
r 1 S S ди. (t', у, 2) I
== J (2п)2 eiт(t t.) и (t, у, z) az z z. dl dl' dy.
4/2 О О m a>
Поскольку [34, rл. 1, с. 270]
а>
() (t t') ==' \1
2п
eiт(t t')
,
т== CIO
70 предыдущее соотношение преобразуем следующим образом:
..,
S ( ) ди' (У. z) I d 1 r S и (1 ) ди* (t. у. 2) d dt
и у, z у ==' J ' у, z у =='
o:> О b/2
2п <о
== S L 8,,(/, z)
о n a>
дB (1, 2)
az
Iz z, dt.
(4.3.26)
Из (4.3.6) следует, что
Bn(t, z)==,B (t, z)+Rn(t)e!rnZ,
дB (1, z) . о
==' trnBn (t, Z),
aZ
· О.
дд п (t, z) дВ п и. 2) . r . R 8 (/) irnz
t n n е
az aZ
==ir Ifn.(t, z) ir [B (t, z) B .(t, Z)]==,
о.
. . . . . о. дВ п и, 2)
== trnBn(t, z)+ trnBn (t, z)+ .
aZ
(4.з.27)
Учитывая (4.3.27), перепишем (4.3.26) в виде
CD
S и (у, z) ди* (у. z) I dy ==
дп Z Z,
a>
2t1 00
==' 2 1 п S { ir IBII(t, zll)12+Bn(/, Z2) [ir B .(t, z)+
о n ""
дB 8 (t, z)
+
az
j dt.
z z,J
(4.3.28)
134
АналоrllЧНО можем написать, что
CI>
S и. (у, z) ди (У. z) I dy ===
дп z z.
'"
211 (J)
=== S \" B (t, z) дВ п (t. z) I dt ===
2п az Z Z,
О п ",
211 CI> О
1 S . 1 . aBn(t,z) irz ]
== BfI(t, z) +irnRII(t)e п dt==
2п . az z z.
о п CI>
211 а:>
== ;п ! B и, z2)[ ir,.B (t,z)+irlL(Bn(t,z) B (t, z))]z z.dt===
о fI o<J
21'1 O<J
== r [ irIlIBn(t, Z)12
2л: .
о п ",
. С . о aB (t.z) )]
Bn(t, z) trnBfI(t, z) az .z zz dt.
(4.3.29)
.далее, друrое слаrаемое, входящее в правую часть (4.3.24), MO
]Кем аналоrичным образом преобразовать к виду
'"
S [ ( ) ди* (у, z) . ( ) ди (у, z) J - d
u у, z u у, z y
дп дп z z,
'"
'"
== S [ и (у, z) ди* (у, z) и' (у, z) ди (у, Z) j dy==
дz az z z,
21'1 O<J
=== 2 1 п S L [ir 1 Т п 1 2 .Hr 111 Т п 12) dt.
о п '"
(4.3.30)
Итак, два последних слаrаемых в правой части (4.3.24) пре
.образовали к следующему виду:
..,
S [ и (у, z) ди* (У, z) и. (у, z) ди (у, z) J . dy +
дп z
'"
'"
+ 5 [ и (у, z) ди" ' 2) и' (у, z) ди (у, z) J dy ==
дп z z.
oo
12.5
2n '"
== ;п s { [ ir ITnI2 irnITnI2 ir IBn(t, 2.)12+
О " '"
( . . О. дB . «, z) ) 1 . t
+8,,(t, 22) trnBn (t, 2)+ trn!Bn(t. z.)! +
aZ 2 Ж.
+B (t, 22)(irn8 .(t, 2) дB и. z) )\l J} dt. (4.3.31)
Можно показать, что входящая в (4.3.24) сумма запишется
так
CI>
S [ ( ) ди. (У, z) · ( ) ди (У, Z) ] ds
u у, 2 и У. 2 rn
дп дп
"' <X)Sm
21С
== S S I дU (t, Р) 1 2dsdt,
n ct дп р
о S.
(4.3.32)
rде (х параметр, входящий в rраничные условия (4.1.5). ПОk
ставим в (4.3.24) соотношения (4.3.25), (4.4.31) и (4.3.32), при
равняем мнимые части и после некоторых преобразований полу
чим основное энерrетическое соотношение
2л:
s { [RernIBn(t, Z2) Ifn(t, 22)12+
О n EN'(t)
+Rer n ITnI2++ 51 дU( пY' z) \2 ds} dt==
s.
2п 21С
== J 1т и (t, Мо) dt + 2 5 Re r n ! B (t, 2.) 1 2 dt. (4.3.33)
о О nEN'(t)
В формуле (4.3.33) суммирование идет по множеству N' (t), т. е.
пEN' (t), если k2 n2>O, следовательно, N' (t) множество
целых индексов, соответствующих номерам пространственных pac
пространяющихся rармоник. При любом kb число распространяю-
щихся rармоник конечно и не зависит от t. Параметр t опреде-
ляет конкретные номера распространяющихся rармоник.
4.4. АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ЗАДАЧИ
ДИФРАКЦИИ ПЛОСКОR ВОЛНЫ НА РЕШЕТКЕ
4.4.1. Решетка из KpyroBblx ЦИЛИНДРОВ. Е поляризация. Числен
ное изучение задачи дифракции Е поляризованной плоской волны
на бесконечной решетке идеально проводящих KpyroBblx цилинk
ров начнем с исследования вопроса о взаимном влиянии элемен
136
1
o,s
о
']( 'f
:1["/2
Рис. 4.2. Сравненне распределення HOpMHpoBaHHoro тока на
однночном KpyroBoM цилиндре (крнвая 1) прн t O. kro 3.1 с
распределением HOpMlIpOBaHHoro тока на решетке из KpyrJlых
цилиндров (Е-поляризация):
2 bl,. 20; з Ь/,. 40; 4 b/,o 60. 5 Ь/,. 100
тов решетки [46]. Была прослежена зависимость наводимоrо на
решетке тока (решения интеrральноrо уравнения (4.1.20)) от раз-
меров периода решетки Ь. Получаемые результаты сравнива.'JИСЬ.
с током на одиночном цилиндре. В процессе расчетов было уста-
новлено такое расстояние между элементами решетки, начиная с
KOToporo между ними мало взаимное влияние и распределение
тока близко к распределению тока на одиночном цилиндре. Расче-
ты проводилиеь при kro==3,1, rде ro радиус KpyroBoro элемента
решетки. Раесматривался случай нормальноrо падения (t==O)
137
:плоской BOJIНbI справа на решетку, т. е. центр освещенной области
на цилиндре находится при <р==0. На рис. 4.2 представлена зави-
симость наl30ДIIмоrо тока Ь/ТО при фиксированном То. Приводимый
на рис. 4.2 ток НОрI\lИро аН, т. е. дается зависимость от <р величи-
ны р«(р) == lau(cp)/anl/lau/an(cp==O) I .кривая 1 рис. 4.2 для ОДИНОI)-
Horo цилиндра взята из работы [2, rл. 1]. При Ь/то==20 (кривая2)
взаIlмное влияние элементов решетки сказывается достаточно
сильно, это видно по характеру тока вблизи уrла ср==л/2. Еслн
ВД!30е увеЛИЧIIТЬ период, взяв Ь /То == 40 (кривая 3), то взаимное
влияние элементов все еще чувствуется, правда, в меньшей мерЕ',
и лишь при Ь/ТО == 100 (кривая 5) можно считать, что цилиндры
расположены на таком расстоянии друr от друrа, что они между
собой не взанмодейсшуют. Следует заметить, что такое исследо-
вание является ОДllовремеllНО и тестом для проверки правильно-
сти проводимых расчетов для бесконечной решетки. Время счета
на ЭВМ БЭСМ-6 при Ь/то==20 не превосходит 7 мин, а при
b/ro== 100 возрастает до 35 мин. Это связано с характером квази-
периодической функции [рина (4.1.13), у которой с увеличением
периода при фиксированных t, k возрастает количество распрост-
раНЯЮЩIIХСЯ rармоник, поэтому при больших значениях периода
решетки целесообразнее использовать для вычисления функции
[рина представление (4.1.11) в виде ряда по функциям Ханкеля.
В. и. Дмитриевым и С. Н. Воеводиной предложен алrоритм
для расчета периодических структур, состоящих из конечноrо чис-
ла элементов [47, 48]. Этот алrоритм реализован ими в случае,
коrда решетка СОСТОВТ из KpyroBbIx цилиндров [47], что дало
возможность сопоставить результаты расчета бесконечной и KOHe'l-
ной периодических структур. Проведем это сравнение при HOp
мальном пал.еНIIИ плоской волны на решетку, т. е. при t== kb sin е ==
== о.
Заметим, что предложенный в настоящей работе метод интеr
ральных уравнений с функцией [рина, определенной формулой
(4.1.13), при kЬ==2лп (п== 1,2, .) и нормально падающей плос
кой волне применять нельзя, так как соответствующие 'Уn обра
щаются в н y,'Ib , что означает наличие беrущих вдоль решетки п-х
rармоник. Чистоты, при которых выполняется соотношение kb==
== 2лп, называются критическими. Проведем сравнение результа-
тов как при частотах, далеких от критических, так и в OKpeCTHO
'сти критических частот.
Пусть kЬ==л, то/Ь==О,25, т. е. коэффициент заполнения s==
==2то/Ь==О,5. На рис. 4.3 приведены кривые модуля тока (1) и ero
aprYMeHTa (2) при ДIlфракции нормально падающей плоской.
волны на бесконечной решетке. Полученный ток совпадает с rpa-
Ilческой точностью с током, наводимым на 1 О-м цилиндре в ре-
шетке из 20 элемеНТОD, который приводится на рис. 2 в работе
[47]. В даином случае решетку из 20 элементов можно считать
бесконечной, поскольку дальнейшее увеличение числа цилиндров
не В,llIяет НЗ величину TOI<a на 10-м Э.lементе. Следовательно,
для расчета конечных структур при частотах, далеких от крити-
1:38
ческих, можно пользоваться мето-
.дами, р<:звитыми для анализа бес-
конечных решеток, что часто ока-
ЗЫВ(jется более экономичным, а IIНO-
rда и единственно возможиым спо-
собом решеНIIЯ.
Для расчета бесконечных струк-
тур Прll КР"ТIIческих частотах за-
меннм l<рнтичесКУЮ частоту k Kp на
kKp:tE 11 устремим Е к нулю. Как
показывают численные результаты
для s 0.25. приведенные на pI1c.4.4.
при kro Jt/4 E (кривая 1) и kro==
==Jtj4+ ' (кривая 2), rде Е==О,Оl,
паВОДIIМ ые токи достаточно сильно
отличаются ДРУI' от друrа. При
.E== 10 4 (кривая 3) и Е== 10 4
(кривая 4) токн близки друr к дру-
ry в освещенной части цилиндра и
ОТЛИ'lаются в ero теневоЙ части. Проведем сравнение этих токов с
раСС'IИТ<lННЫМИ для конечных решеток и представленными в рабо-
те [47] на рис. 4, которые для удобства изложения мы приведем
иа рис. 4.5.
На рис. 4.5 кривой I представлен ток на IO-M цилиндре в ре-
шетке нз 20 элементов при krо==л/4, (о/Ь==1/8, а «х» обозначены
значеНJlЯ тока на 60-м цилиндре в решетке нз 120 элементов при
тех же значениях kro, rolb. Кривой 2 на рис. 4.5 представлен ток
на 10-M цилиндре в решетке из 20 элементов при krо==л/4+0,04;
ro/b== 1/8. Этот ток праКТI1чески совпадает с током, рассчитанным
для бесконечиой решетки и обозначенным на рис. 4.5 штрихпунк-
тирной линией. Таким образом, модели конечной из 20 элементов
и бесконечной решеток хорошо совпадают вне областн критиче
ских частот. Если на рис. 4.5 перенести кривые З. 4 рис. 4.4. саот-
ветственно обозначив их пуиктиром (3) нли кружочкамн <О>,
то сравнение этих результатов с результатами, обозначенными
< х > для решетки из 120 цилиндров, выявляет различие между
ними в теневой части цилиндра. Следовательно, решения для
конечной и бесконечной решеток в окрестности критических час-
тот сильно отлнчаются.
Рассмотрим при нормальном падении плоской волны (t==O)
зависимость от параметра х == Ь/'Л наводимых на бесконечноЙ pe
тетке токов при различных значениях КОЭффl!циента заполнения.
АнаJюrичные результаты исследования для коэффициентов отра-
жеI!ИЯ и прохождения даны в работе [2], в которой задача диф-
ракции решена методом полуобращения оператора. Поэтому ме-
тодом интеrральных уравнений просчитывались КОЭффИIlиенты
.отражения и прохождения лишь с целью проверки правильности
реализации алrоритма. Например, проводилось сравнение с ре-
зультатами, ПрIШСДСННЫМИ в [2] на рис. 54, для KpyroBbIx решеток
139
J
7l
2
'J(
2"
f]
1C"/z
1(1'
Рис. 4.3. Модуль тока (1) !I ero
aprYMeHT (2) на круrовой ре-
шетке (Е-поляризация) при t O;
kb п, (о/Ь 0,25
I иu f"
ап 10
I ии \ .
iJn S
о
]
о ...fll и о
S
2
о
0,7
(}
7[ 'f'
о
']( 'f
'oll1 0,125
Рис. 4.4. Модуль тока на Kpyro
вой решетке (Е-поляризация)
при t O; 'olb O,125:
1 kr. п/4 10 '; 2 kr. п/4 +IO ';
kr. 1(/4 10 '; 4 kr.: п/4 +10 '
Рис. 4.5. Модуль тока при
иа конечной решетке:
I ток на 10.м цилиндре в решете из 20 зле.
ментов, Х Х x ток на БО-м цилиндре в решетке
из 120 злементов:при kr. 1(/4; 2 TOK на 10.", ЦИ.
лкндре в решетке нз 20 злементов npH kr. л!-l+
+10--'; бесконечная решетка, t O; kr.
:r./4+10--z; kr. п/4 JO---'; о о о о kr.
л/4+1D ' (Е.поляризация)
при коэффициентах заполнения s== 0,25; 0,5; 0,75. Имеет место
совпадение с точностью до трех значащих цифр.
На рис. 4.6 приведена зависимость от х тока при 5== 0,25;
t O. При х==0,2; 0,4 (кривые 1, 2) линии тока идут плавио, имея
максимумы в центре освещенной области и минимум в тени. При
х == 0,7 (I<ривая 3) максимум из центра освещенной области нем но-
ro сместился, а при х== 0,9 (кривая 4) образуется достаточно rлу-
бокий локальный минимум в центре освещенной области, значение
KOToporo совпадает с локальным максимумом в тени, а макси-
мальное значение тока оказывается на обращенных друr к друrу
участках цилиндров. При х== 1,4 (кривая 7) ток имеет ярко выра-
женный максимум в центре освещенной области, а в тени наблю-
даются «всплески». Кривые 5 и 6 рис. 4.6 соответствуют значе.
ниям х:== 1 5.10 З/п и х== 1 + 5.10 3/л. На рис. 4.7 при тех же
значениях х приведен ток для 5==0,5. При х==О,2; 0,4; 0,7 (кривые
1, 2, 3) ток сохраняет тот же плавный характер, что и для s==
==0,25. При х==О,9; 1 5.10 ЗJn; 1 +5. J(}---З/ п ; 1,4 (кривые 4, 5, 6, 7)
140
\ :: \s
()
20
о
- ; II ц О
..... ... ...
о
15
r; h Х.1
J
Рис. 4.6. Модуль тока на бесконеч-
ной KpyroBoil: решетке при s O,25;
t О (Е-поляризация):
1 j( 0.2; 2 j( 0.4; 3 j( 0.7: 4 j(
0.9; 5 j( 1 5.IО '/Л; 6 x l+
+ 5.1O 'lп; 7 j( 1,4
\ oa l \..
ап s
о
5
з
20
о
о Ий
О
15
70
5
о
:ff 1
Рис. 4.7. Модуль тока на бесконеч
ной круrовой решетке пр" s O,25;
t O (Е-поляризация):
1 j( 0.2; 2 )( 0,4; 3 j( 0.7: 4 x
0.9; 5 к I 5.IО '/л; 6 )( 1+
+5.IO 3/:rr. 7 х 1.4
ОСЦИЛЛЯЦИИ тока выражаются более резко, становятся существен
ными перепады в амплитуде распределения модуля тока. Наибо
лее наrлядно продемонстрирована зависимость тока от 5 на
рис. 4.8. Кривые 1,2,3 рис. 4.8 для трех различных значений
коэффициентов заполнения s == 0,25; 0,5; 0,75 при х == 0,5 показы
вают, что с ростом 5 увеличивается на цилиндре область, rде Ha
водимый ток мал, а те «всплески», что наблюдались при s== 0,25;
х== 1,4 (кривая 4) для значений 5==0,5; 0,75 при х== 1,4 (кривые
5, 6), IIревращаются в ярко выраженные резонансы.
4.4.2. Решетка из KpyroBblx цилиндров. Н-поляризация. XapaK
теристики поля в дальней зоне, рассчитанные по методу интеl'
ральных уравнений (рис. 4.9), сравннвались с приведенными в
работе [2] на рис. 54, б результатами расчета коэффициента про-
хождения I То I для решетки KpyroBblx цилиндров при s == 0,25; 0,5;
141
5
26,?
, \
O)2Jr
Рис. 4.8. Модуль тока на бесконеч-
ной круrовой решетке, t O (L по.1Я-
риэация). При x 0.5:
I ' 0,25; 2 s 0,5; 3 s 0,75; при
)C I.4:4 s O,25; 5 s O.5; б s 0,7
I %: Is
о
20
о
о "'111 и о
О
75
70
Рис. 4.9. Зависимость коэффнuиента;
прохождения от х для бесконе4ноii
круrовоЙ решетки при t O (Н-по
ляризаuия):
1 s 0,25; 2 5 0,5; 3 5 0,75
'То I
: 2 11
../ , '
I .----<;:- . .:-.
- '- 1'1
3 V'
0,5
о
']('1
о
2 J!
0,75 в широком диапазоне изменения параметра х. Имеет место
совпадение трех значащих цифр.
Проведем численный анализ токов на решетке при дифракции
нормально падающеЙ плоскоЙ Н-поляризованной волны [49]. На
рис. 4.10 приведена зависимость распределения тока на поверхно
сти цилиндра при различных значениях параметра % в случае,
коrда коэффициент заполнения s ==0,25. При О <х< 1 коэффи
циент прохождения близок к едииице, т. е. при такой частоте при
5==0,25 решетка является практически прозрачной. Соответствую
щее распределение тока на цилиндре имеет небольшие перепады
по амплитуде на всем контуре S причем ток в теневой части
цилиндра сравним по абсолютной величине с током в освещенной
области (кривые 1, 2, 3, соответствующие %==0,2; 0,7; 0,9 на
рис. 4.10) Вблизи критической частоты, т, е. при x==1 10 4,
%==1+10 4 (кривые 4, 5), перепады в амплитуде становятся более
значительными, минимум тока достиrается на обращенных друr
к друrу участках цилиндров. В теневой же части цилиндров ток
по абсолютной величине даже превосходит значение тока в цeHT
ре освещенной области. Далее, при %==1,4 зиачение ITol YMeHЬ
142
i и 'IS
о
lul s
о
2 '1
1,5 3
'1
2
fj
2
7
0:-
J( 'f
Рис. 4.10. Модуль тока иа беско-
нечной круrОБОЙ решетке при s
0,25; t О (Н-поляризация):
1: x o,2; 2 >< 0.7; з х. 0.9; 4 ><
1 10 '; 5 x. 1 + 10 '; б х 1,4; 7
1.9
о
1(/ 'р
Рис. 4.11. Модуль тока на бесконеч-
ной круrовой решетке при 5 0,5;
t О (Н-поляризация):
1 х. 0,2; 2 x. 0,7; 3 х 0.9; x.
1 5.10 З/л; 5 х. 1+5.10 З/Л; 6 ><
1.4
шается до 0,851, поведение тока также сильно меняетоя по cpaB
нению с током при х< 1 в теневой части цилиндра амплитуда
тока становится существенно меньше, чем на освещенной области,
ПОЭТОМУ и решетка становится менее прозрачной для энерrии
электромаrнитноrо поля при этой частоте (кривая 6). При даль-
нейшем увеличении х значение I То I возрастает, а при х 1 ,9 дoc
тиrает CBoero максимальноrо значения I То I 0,991. Значение
тока (кривая 7) в теневой части снова становится значительным
и даже превосходит по абсолютной величине ток в центре осве-
щенной области, максимальное значение тока достиrается на об-
ращенных друr к друrу учаСТl<ах цилиндров. Итак, в области
частот, хараl<теризующихся ВЫСОКИМ значением коэффициента
прохождения, характер токов таков, что абсолютная величина ero
в теневой части достиrает значительной абсолютной величины.
Пусть s 0,5 (рис. 4.11) При х== 0,2 ток очень медленно меня-
ется на I<онтуре 50 (I<ривая 1), максимум ero достиrаетс-я в цент-
ре освещенной области, в тени наблюдается небольшой «всплесю>.
При x 0,7 (кривая 2) маl<СИМУМ тока смещается, в центре осве-
143
'Iи I
So
lиl s
о
l{
j
'\ j
6 / V
J \
5 "
, I ·
, I '
'1 I I I
I I I
I I ,
l' ,
I I \
I \
2 \
:тr
!f
6
5
.7
'1
о
']( 'f
f]
Рис. 4.12. Модуль тока на беско-
нечной круrовой решетке при s
O,75; t O (Н-поляризация):
I x ::I,4; 2 x !).75; З х I IО '; 4
х == 2 IO '
11ис. 4.13. Модуль тока ,на
бесконечной круrО80Й решетке
при s O,75; t O (Н-поляризация):
I K 1.9; 2 K==2,1: 3 x 2 lo '
IЦенной области образуется провал у функции распределения TO
ка, «всплеск» в тени увеличивается. Коrда %==0,9,1101:::::1, т. е.
для прозрачной решетки функция тока (кривая З) похожа на
кривую 7 рис. 4.10 и имеет также локальные максимумы в центре
освещенной области, в тени и на обращенных друr к друrу участ
ках цилиндров, напоминая по внешнему виду синусоиду. При х==
==1 5.10 3/п (кривая 4) и %==1+5.10 3/n (кривая 5) токи близки
в освещенной части цилиндра и заметно отличаются в тени. Pac
пределение токов имеет максимум в центре освещенной области
и светлое пятно в тени. В случае х== 1,4 (кривая 6) функция pac
пределения тока приобретает более сложный характер: на обра
щенных друr к друrу участках цилиндров ток меняется очень
медленно, такой же характер функция тока имеет и на освещен
ной части цилиндров, а на остальных участках контура 50 ток
меняется достаточно быстро.
Рассмотрим случай «rустой» решетки при s==O,75 и проследим
изменение тока в зависимости от (рис. 4.12). При %==0,4 (кри
вая 1) ток на контуре имеет плавный характер. При %==0,75
(кривая 2), I<оrда решетка становится прозрачной, функция pac
пределения тока похожа на кривые 7 и 3 рис. 4.1 О и 4.11 COOT
ветственно. Вблизи точки скольжения, т. е. при %== 1 10 4, ток
имеет осциллирующий характер (кривая З). Количество осцилля
144
ций увеличивается вблизи второй
критической частоты при x 2
10 4 (кривая 4)
Представляет интерес cpaB
нить функции распределения TO
ка до и после точки скольжения
и в окрестности ее. На рис. 4.13
даны распределения токов для
s 0,75 при x 1,9 (кривая 1),
x 2,1 (кривая 2) и x 2 10 4
(кривая З). При x 1,9 и x 2,1
функции токов имеют биения в
теневой части цилиндров, в цe
лом же перепады по амплитуде '7
незначительны. Вблизи резонанс
ной частоты ток меняется более
резко как вблизи центра OCBe
щенной области, так и в тени, а
на обращенных друr к друrу
участках цилиндров наблюдают-
ся биения более значительные,
чем на соответствующих участ
ках кривых 1, 2.
Относительно «rycTblx» реше-
ток следует сделать следующее
замечание. Вблизи I(ритических
частот все элементы матрицы
системы линейных алrебраиче
ских уравнений, к решению кото-
рой сводится интеrральное ypaB
пение, необходимо вычислять с достаТQlЧНО высокой точностью,
тобы получить устойчивое решение рассматриваемой задачи при
IIзменении входных параметров (например, порядка решаемой
системы линейных алrебраических уравнений).
На рис. 4.14 приведено изменение тока в зависимости от коэф
фициента заполнения при фиксированной частоте. Кривые 1,2,3,
соответствующие 5 0,25; 0,5; 0,75, получены при x 0,5, что co
ответствует ча.стоте, при которой от решетки распространяется
одна волна (п О). Кривые 4, 5,6 для 5 0,25; 0,5; 0,75 получены
при X 1,4, что соответствует трехволновой области частот (п О,
::t 1). Анализ токов показывает, что с ростом 5 И Х функции тока
становятся более сложными, поэтому для получения результатов
с требуемой точностью как в мноrоволновой области частот, так
и при расчете «rустых» решеток необходимо решать системы BЫ
cOKoro порядка.
3aA-tечан.uе. Если коэффициент заполнения решетки 5 близок к
ее периоду Ь, то метод интеrральных уравнений в такой реализа
ЦИИ, как описано выше, применять не следует. Это связано с тем,
что при приближении источника к rранице канала Флоке в функ
6 Зак. 34б
lul s .
о
2
D
I
J(
,.
'f
Рис. 4.14. Модуль тока на бесконеч-
ноЙ круrовой решетке при t O
(Н-поляризация). Для x 0,5:
1 5 0.25; 2 5 0.5; 3 5 0.75. для
х 1,4: 4 s 0,25; 5 5 0.5: 6 s 0.75
145
IТоl
0,5
b h
d II ий
о
СЕ'кр
2
2,5 iP
Рис. 4.15. Зависимость коэффициента прохождения 'ТОI от х для беско-
нечной решетки 113 прямоуrолыIхx брус ев при t O, d/b O,75 (Е-поляр
зация) :
1 I/b O; 2 I/b O.25; З I/Ь О.5; 4 llb O.75; 5 llb 1
дии rрина начинает сказываться отраженный источник, который
будет находиться близко к rранице условноrо волновода, но в co
седнем канале Флоке. В этом случае необходимо дополнительное
выделение получающейся особенности у функции [рина.
4.4.3. Решетка из прямоуrольных цилиндров. Е поляризация.
Рассмотрим случай нормальноrо падения и==о) плоской Е-поля-
ризованной волны на решетку цилиндров прямоуrольноrо попе
речноrо сечения [50]. Размеры поперечноrо сечения по осям у и
z обозначим соответственно h, [. Решетку из прямоуrольных ци-
линдров можно рассматривать как систему конечных волноводов
длины 1, ширина которых d==b h. Обозначим через %кр == V k2
n 2 {d'l. первую критическую частоту волновода, т. е. при
%<%нр волновод является запредельным, при %КР< % < V k 2
4 n 'l.jd 2 в волноводе распространяется одна rармоника. Числен-
но исследуем частотную завнснмость коэффициента прохож
дения нулевой rармоники I То I и распределение тока на решет
ке при различных размерах поперечноrо сечения элементов
решетки.
Исследуем зависимость I Тоl от х для фиксированноrо значения
dJb == 0,75 при изменении rлубины решетки I/Ь. ДЛЯ I/Ь == о; I/Ь ==0,5;
I/Ь ==2 эти результаты известны и приведены в [2] на рис. 73.
Анализ численных результатов, приведенных на рис_ 4.15, показы
вает, что при I/Ь == О (решетка из лент, кривая 1) кривая с ростом
х на интервале 0<%< 1 монотонно возрастает. Такой характер
кривой сохраняется и при I/Ь ==0,25 (кривая 2), но она идет ниже
кривой 1, т. е. уменьшается количество энерrии, прошедшей сквозь.
14б
.1 То I
п,5
1
: '+,
<Ркр
Рие. 4.16. Зависимость коэффици-
.ента прохождеиия ITol от х для
бесконечной решетки из прямоуrоль-
ных брусьев при t O, d/b 0,75
(Е-поляризация) :
1 I/b 1,25; 2 l/b 2
;e*(z)
<Р/(р
0,5
<р
о
2 ( 7/Ь
Рис. 4.17. Завиеимость от rлубины
решетки положения первой точки
MaKCHMaJlbHoro прохождения энерrии
сквозь решетку из прямоуrольных
цилннДров (Е-поляризация) при t
o, d/b 0,75
решетку. При l/Ь == 0,5 характер кривой 3 меняется, ПОЯВJ1ЯЮТСSl
при Х>ХНР точки ПОJ1ноrо прохождения энерrии, в которых
1 т 01 == 1, и точки J10кальноrо минимума. С увеличением [/Ь, т. е. при
[/Ь==О,75; 1; 1,25; 2 (кривые 4,5 рис. 4.15 и кривые 1,2 рис.4.16),
точка, в которой 1 Tol впервые принимает значение, равное 1, сме-
щается влево, стремясь к Хкр, На интервале Хкр<Х< 1 появляют
ея новые точки полноrо прохождения энерrии, кривые приобре-
тают осциллирующий характер, а при Х<Хнр кривые с увеличе
нием [/Ь все больше прилеrают к оси Х, т. е. начинает сказывать-
ся запредельный характер волиовода. При переходе через ХI<Р
(кривая 5 рис. 4.15 и кривые 1,2 рис. 4.16) коэффициент 'ТОI
резко возрастает, поскольку в волноводе появляются беrущие пе
реносящие энерrию rармоники.
ЕСJ1И изобразить rрафически при d/b==O,75 изменение х*
точки 1-ro максимума, в которой вся энерrия проходит сквозь pe
шетку, в зависимости от [/Ь, то получится кривая, представленная
на рис. 4.17. Эта кривая монотонно убывает с увеличением 1,
асимптотичеСКIl стремясь к Хир. При увеличении ширины волново
да d, соответственно при уменьшении Хкр, как пока
зывают численные эксперименты, кривая будет аналоrична приве-
денной на рис. 4.17, сохранит свой монотонно убывающий харак-
тер, но пойдет ниже, асимптотически стремясь к 1-й критической
частоте получающеrося волновода.
-6*
147
При !l == О решетка из п рямоуrольных брусьев вырождается в
ножевую решетку, для котороЙ 1<кр==О,5. Поэтому при h==O и [
таких, что ножевую решетку можно рассматривать как систему
волноводов, прошедшее поле при 1«0,5 должно быть мало, а в
окрестности 1<==0,5 коэффициент прохождения должен резко воз
растать. Эти выводы хорошо соrласуются с известными результа
тами расчета ножевых решеток (см. кривую 3 рис. 22 в работе
[2]) .
На рис. 4.18 4.22 дано распределение ТОка на элементе pe
шетки при различных размерах ero поперечноrо сечения при HOp
мальном падении плоской волны. В силу симметрии получаемых
результатов распределение тока приводится лишь на половине
контура 50. Через М и N на рис. 4.18 4.22 обозначены центры
освещенной и теневой частей цилиндра. rрафически представлено
распределение тока при тех частотах, которые являются экстре
мальнымн для кривой частотной зависимости коэффициента про-
хождения нулевой rармоннки. Для hJb==0,25 на рис. 4.18 4.20
представлен наводимый на элементах решетки ток соответственно
при [/ ь == 1; 1,25; 2. Все токи имеют особенность в окрестности yr-
ловых точек. На рис. 4.18 4.20 ток 1 соответствует тем значе
НШIМ параметров, при которых I То 1== 1. Леrко видеть, что харак-
тер рассматриваемых токов ОДIшаков, лишь с увеличеиием rлуби-
ны решетки [ растет амплитуда тока на участке Ее, а на I1еред
ней и задней стенках решетки амплитуда тока, сохраняя ero xa
рактер, измеияется незначите.1ЬНО. Максимальное значение модуля
амплитуды наводимых на 50 токов достиrается в центре обращеи
ных друr к друrу участков цилиндров. Для сравнения кривые 2
на рис. 4.l8 4.20 соответствуют токам в точках l ro локальноrо
минимума кривых частотной зависнмости коэффициента прохож
дении, представленных на рис. 4.l5 4.l6. Снова характер тока
одинаков для всех трех рассматриваемых rлубин решетки, а с
увеличением [ увеличиваются перепады амплитуды на стороне
Ее. Токи 3 на рис. 4.18 4.20 соответствуют тем х, при KOTOpbIJL
кривые I То(х) I ВО второй раз достиrают максимальноrо значе-
ния, paBHoro единице. Токи 3 резко отличаются по характеру по
ведения от ТОIЮВ 1. В отличие от токов 1 токи 3 имеют минимум
в середине стороны Ее, который почти не изменяется с увеличе-
нием [. На рис. 4.20 дополнительно при [/Ь ==2 приведены распре-
деления токов в точке 3-ro максимума при 1<==0,9 (кривая 4) и
3-ro минимума при 1<== 0,96 (кривая 5).
Если увеличить ширину щелей в решетке и рассчитать анало-
rичные приведенным на рис. 4.l5 4.16 кривые, а потом сравнить
поведение токов в экстремальных точках с изображенными на
рис. 4.18 4.20, то опять характерное поведение токов сохранится.
При [/b==l на рис. 4.21 4.22 для h/b==O,2; 0,15 изображены токи
1 и 3, соответствующие точкам полноrО прохождения энерrии, а
токи 2 получаются при таком наборе, Коrда кривая частотной за
ВИСИМОСТII I ТО I от х имеет локальный минимум.
4.4.4. Решетка из наклонных прямоуrольных ЦИЛИНДРОВ. E no
143
I : IJ
D
75
I
I
,
,
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
/
/
70
5
м
L Ф
Mdll
b D
I
\
\
\
\ /
, .......
в
с
So
N
Рис. 4.18. Модуль тока на бесконечной решетке прямоуrо.IIЬИЫХ цилиид
ров (Е-поляризация) при t::O; h/b O,25; l/Ь:: 1:
I .X -= 0,76; kd:: 1,16 n: 2 к... 0,84; kd -= 1,26:1; 3 х :: 0.935; kd-=I,4 11
\ : \s
о
20
Ф ,
M
bLb
u l'
D
10
/
/
I
I
, /'5
...... /
I
I
I
I
\
,
....
15
5
о
/"
8
J Q
Рис. 4.19. Модуль тока на бесконечной решетке прямоуrольных цилинд'
ров (Е поляриэация) при t O; h!b O,25; [/b 1,25:
1 _X ,=&0.14; 2 х 0,8; 0.9
1 Is I
I
О I
,
20 I
I
I
I
15 I
I
I
I
I
I
10 )
\
\ \
\
, ,
5 " )
l
b II
N м
О А о
О h i I
м В
'--
\
\ /
:f;:- ,
/ 5 I
\
..
\
\
'............ 2
с
N
J'o
Рис. 4.20. Модуль на бесконечной решетке прямоуrОJlЬНЫХ цилиндров
(Е-поляризация) при t O; h/b 0,25; [/b 2:
\ ')( O,7; 2. x O.74: З ')( О,78; 4 x O,9; 5 х О,9б
l : ls'
о
15
,
I
I
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
J
I
./
70
:s
.0
м
' 8
. M
b
:111,
о
I
I
,
I
I
I
I
I
\
,
\
\
........
с
N
So
7
2
/\"' ............. I
/ , l
/ .."
/
/
в
Рис. 4.21. Модуль тока на бесконечноii решетке прямоуrольных цилинд-
ров (Е-поляризация) при t O; Mb 0,2; [/b 1:
1 х 0.72; kd 1,15211; 2 х 0.8; kd I.28 л; З х 0.94; kd 1.50 Л
I g ls ,
о I hfE
,
,
, с в ::111
, ъ M
, о
,
,
15 ,
, \
,
, \;
, I
I \
I 1
I \
10 I
/
./
5
о
м
3
8
с
N
S[]1
Рис. 4.22. Модуль тока На бесконечноii решетке ПРlIмоуrольных ЦНЛННД
ров (Е полярнзация) прн t O; hfb 0.15; lfb=-I:
1 х 0,7; kd 1.19 л; 2 и =- 0,78; kd 1,326 л; Э х 0.92; kd=-l,564 л.
I То I
5
,,
I
I
\1
I
&
2
j
J:
Рис. 4.23. Зависимость коэффициента прохождения от х при h// O.008;
[/b O,5; t O (Е поляризация) для различных уrлов наклона элементов
решетки из прямоуrопьных цилиндров:
1 Ф )[/2; 2 Ф о; з Ф 1t/З; 4 'Ф л/6
Jlяриэация. Будем рассматривать теперь решетки, составленные из
цилиндров прямоуrольноrо поперечноrо сечения, которые повер
нуты BOKpyr своей оси на произвольный одинаковый уrол Ф (рис.
4.23) {51]. В частном случае при 'Ф о получаются перllоднче
ские решетки волноводноrо типа, для численноrо исследования
которых может быть использован метод интеrральных уравнений,
что и сделано в предыдущем пункте, или метод сшивания, KOTO
рый называют также методом частичных областей [36, rл. 1].
Метод частичных областей базируетс,я на использовании получен
Horo с помощью разделения переменных представления поля в
каждой частичной области. Например, внутри решетки из цилинд-
ров прямоуrольноrо поперечноrо сечения используется представ
ление поля по волноводным rармоникам, а вне решетки по
системе функций, удовлетворяющих условию Флоке. Требованне
выполнения условий непрерывности полей на общих rраницах час-
тичных областей приводит к бесконечной системе линейных алrеб
раических уравнений для неизвестных амплитуд собственных волн
[15]. В общем случае невозможно найти точное решение беско
нечной системы уравнений, поэтому оrраничиваются приближен
ным решением, например, с помощью методов усечення [2].
Если элементы решетки повернуты на уrол 'Ф, причем размеры
поперечноrо сечения и уrол наклона элементов решетки таковы,
что между ними нельзя выделить участка волновода, метод сши
вания областей применить не,'!ьзя. Для исследования решеток
154
типа «жалюзи», составленных из бесконечно тонких лент и накло
ненных под таким уrлом, что между элементами решетки обра
зуется волноводный канал, использовался метод частичноrо обра
щения оператора, при этом обращается часть оператора, COOTBeT
ствующая задаче дифракции на решетке из наклонных полуплос
костеЙ [2; 14, rл. З]. В отличие от работы [2], в которой решетка
типа «жалюзи» рассматривалась в свободном пространстве, в
работе (14, rл. 3] эти решетки рассматриваются в кусочно.одно
родной среде. Решетки из наклонных цилиндров прямоуrольноrо
поперечноrо сечения ранее не рассматривались. Метод интеrраль
иых уравнений позволяет рассчитывать периодические структуры
из цилиндрических элементов с 'lIрямоуrольной формой попереч
Horo сечения при произвольном уrле наклона элементов решетки.
Начнем изучение периодических структур из наклонных прямо
уrольных брусьев с предельноrо случая, коrда толщина брусьев
мала. Рассмотрим случай нормалъноrо падеНИЯ плоской волны на
решетку t=== О. ДЛЯ исследования решеток из бесконечно тонких
пластин разработан ряд специальных аналитических и численных
методов. Например, ленточные решетки, для которых ширина ще
ли и ленты одинакова, исследованы методом факторизации [6],
а ленточные решетки с произвольным соотношением между ши
риной щели и ленты, а также ножевые решетки исследованы Me
тодом частичноrо обращения оператора [2; 14, rл. 3]. На рис. 4.23
приведены результаты вычислительноrо эксперимента методом
интеrральных уравнений при h/l=== 0,008, коrда элементы решетки
можно уже считать идеально тонкими. В случае {/Ь ===0,5 резуль
таты совпадают с известными [2, 6] для ленточных (1jJ==n:/2
кривая 1) и ножевых (1jJ===0 кривая 2) решеток. На рис. 4.23
приведены результаты для решеток из тонких лент при 'IJ===л:j3
(кривая 3) и 'Ф==n:/6 (кривая 4). Поскольку при 0<ф<:n:/6 между
элементами решетки образуется волноводная область, этот резуль
тат можно получить и друrими методами (например, [2]), чеrо
нельзя сказать о случае 1jJ==n:/З. Кривые 3,4 имеют характерные
изломы вблизи целочисленных значений х, соответствующих кри
тичеСI<ИМ частотам канала Флоке.
Рассмотрим решетку из прямоуrольных брусьев конечной тол
щины. Пусть h/l==O,125; b/l==I,I. В зависимости от утла 'Ф между
элементами решетки образуются мноrоволновои, одноволновой.
запредельные волноводы либо вообще волноводная область будет
отсутствовать. При О 1jJ..;;л:/2 аrссоs(lIЬ)=='Фкр между элемен
тами решетки будет волноводный канал шириной d == Ь cos 'IjJ h
и Д.пиной а=== { b sin -ф. На рис. 4.24 приведены частотные зави
симости амплитуды нулевой прошедшей rармоники для различных
уrлов 'IjJ. Размеры структуры таковы, что 'Фкр 65036' Через
х Ф , . обозначены точки возникновения i-й распространяющейся
кр.
волны в волноводном канале, образующемся между элементаМIf
решетки, при заданном уrле 'IjJ. Кривая 1 ПрIf 'Ф==о имеет резкие
перепады амплитуды для прошедшеrо поля вблизи критических
частот как для решетки, так и для волноводноrо канала.
155
,то,
:). в
" ", у-::
С(/ А
'lJ
Ij
о
1
" /.
''"'
,
I
I
,
I
I
,
,
,
,
(
I
I
I
I
./
0,5
{'\ 6-
I \
\ f ,
'-..../ l ' J , {\ / ' Л\
, I It.. J ' .... "'I
,', '/'
,2 i \ /' 1
\f/ v
!l
3
/ --<
,........,/ "\.
// 4 \... ....
/ 1 2
,....---.......
r ....,
"....--4 ....
/ '............
3
ц ;р
..
"'1/0 Q
О?:р, 1 "Р,з
PI5
....
ё :: 1
450
a:' p,1 il'''P,1
Рис. 4.24. Зависимость коэффициеита прохождения от х при h/I O,125;
ьп== 1,1; t==O (Е поляризация) для различных уrлов наклона элементов
решетки IIЗ ПрЯМоуrольНЫХ цилиндров:
1 1р == О"; 2 1р == 450; э ,р==640; 4 ,p==750
Пусть Ф == 450 Исследование задачи дифракции плоской волны
на получающейся решетке проведем, используя приближения reo..
метрической оптики. Падающая волна по законам rеометрической
оптики порождает систему преобразованных волн. При 'IjJ==45 0
часть падающеrо поля, отражаясь от стенки DA, а затем от CTeH
ки Ее, уходит в заднее полу пространство в направлении, парал
лель нам оси z. Также появляется плоская волна, беrущая вдоль
решетки. Кроме Toro, часть падающеrо поля прямо проходит за
решетку. Следовательно, при -ф==45 0 значительная часть энерrии
проходит сквозь решетку, что подтверждается численными ре-
зультатами на рис. 4.24 кривой 2. Эта кривая резко меняется
вБЛИЗl-l критических частот для периодической структуры. Крити
ческие же частоты для волновода не влияют на ее характер. Это
связано с тем, что волноводный тракт при ф==45 0 значительно
уже и короче (a/d:::::O,202) , чем при -ф==оо (a/d:::::O,975) , ВОЛНОВОk
ная rармоника внутри получающеrося волноводноrо канала не об.
разуется. Увеличивается диапазон частот, при котором волновод
запредельный.
Посмотрим, как меняется частотная зависимость модуля амП
ЛIIТУДЫ дЛЯ нулевой, прошедшей за решетку rармоники, если уrол
156
наКJIOна элементов решетки взять блнзким к 'ФI(Р' Пусть ф 640
Для получающеrося KopoTKoro участка волноводноrо канала
(a/d 0,0317) имеем ",М' \ :::::: 1,5397, т. е. П р и "'< ",61' \ волновод
кр, кр
'является запредельным. При 'Ф 640 большая часть падаю
щеrо поля отражается в полупространство z> О. Это подт
верждается в рассматриваемом диапазоне частот не только зна-
чением модуля амплитуды нулевой прошедшей rармоники, пред-
ставленным криоой 3 на рис. 4.24, но и получающимися при этом
численными расчетами амплитуд, распространяющихся от решетки
волн высшеrо типа. Прошедшее за решетку поле при 'Ф 640 зна-
чительно меньше, чем при ф оо и 'Ф 450.
Возьмем теперь 'Ф>'Фкр, Пусть ф 750 Волноводноrо канала
пр!! таком уrле наклона элемента решетки не образуется. Если
подсчнтать ",75' 1 для условноrо волновода, который образуется
кр,
продолжением сторон состаоляlOЩНХ решетку элементов, то для
TaKoro условноrо волновода "' :\:::::: 3,444, т. е. почти во всем рас-
сматриваемом диапазоне частот условный волновод является
запредельным, что очень хорошо иллюстрирует кривая 4
рис. 4.24. Решетка с уrлом наклона элементов 'Ф 750 является
практически отражающим экраном для падающеrо Е поляризо
BaHHoro поля. При 'Ф л/2 мы не приводим численных результатов,
так как в этом случае практически вся падающая энерrия OTpa
жается от решетки и этот эффект проявляется еще сильнее, чем
при 1j;==75° Прll ф==л/2 кр!!вая частотной зависимости для амп-
ЛIIТУДЫ нулевой прошедшей rаРМОНIIКИ практически совпадает в
рассматриваемом диапазоне частот с осью ".
Рассмотрим случай более «редкой» решетки. Сохраняя преж
ними размеры поперечноrо сечения элементов решетки (h/l ==
==0,125), возьмем b/l==I,5. Для такой решетки фкр==аrсsiп2/3.
Чтобы между элементами решетки не образовалось волноводноrо
канала, положим Ф ==450 Если для получающеrося условноrо BOk
новодноrо канала вычислить критические частоты, то получим
1 :::::: 0,8016. Рассмотрим для более полноrо детальноrо ана-
лиза частотные зависимости модуля амплитуды не только для
нулевой, прошедшей сквозь решетку rармоники I То 1, но и для
I Т :1:11. На рис. 4.25 в зависимости от х == ЬfЛ, представлены эти
кривые. Для такОй периодической структуры прошедшее поле
слаrается из переотраженных от решетки волн, а также из волн,
прошедших за решетку сквозь зазоры между ее элементами. По-
скольку в рассматриваемой структуре волноводные каналы не
,образуются, на характер кривых влияют лишь критические для
решетки частоты, вблизи которых наблюдается резкое изменение
поведения кривых. В создании дифраrированноrо поля при х> 1
принимают участие не только нулевые, но rаРМОНИI<И высшеrо
типа. Как показывают кривые, представленные на рис. 4.25, про-
шедшее За решетку поле имеет сложный характер, энерrия пере
распределяется между беrущими от решетки основной волноЙ 11
.волнами более высоких номеров.
157
'!О 1, /7;1
7
ь
dll
I
0,5
1/ <Е
о
45.
а?Кр,1
'150
,!кр,2
цsО
<Екр, 3
Рис. 4.25. Зависимость коэффициентов ITol. IT:tI\ от % при h/l 0,125;
bll 1,5; ф оо; { o (Е-поляризация) для решетки из наклонных прямо-
YI"0.1bHblX брусьев
Анализ наводимых на элементах решетки токов дает возмож-
ность более полно описать явления дифракции плоской Е-поля-
ризованноЙ волны на рассматриваемых решетках. На рис. 4.26
4.30 изображены распределения токов на элементах решетки при'
различных частотах и rеометрии решетки. Там, rде распределе-
ние тока имеет симметрвческиЙ характер (см. рис. 4.26 и 4.29),
приводим rрафики распределения тока лишь на половине конту-
ра 50. Прн '1'==0 кривые 1 и 2 рис. 4.26 соответствуют тем значе-
ниям х:, при которых I То 1== 1. Ток на передней и задней стенках
элементов решетки практически совпадает, а на стороне Ее име-
ет характер беrущеЙ волны. При х:== 1,25, коrда значение I ТО I не
является экстремальным, ток на фронтальной стенке цилиндра
HaMHoro больше, чем на задней, а на стороне Ее вблизи точки
В наблюдается провал (кривая 3) При '1' ==450 характер тока ус-
ложняется (рис. 4.27), симметрия токов на 50 IIсчезает, на сторо-
не DA ток имеет осцилляции. При 'ф == 75 Р (рис. 4.28) вблизи точки
е, находящейся в тени, ток, хотя и имеет выброс, но незначитель-
ный по абсолютной величине. Расположение элементов решетки
при '1'==75,0 таково, что почти на всей теневой части контура 50
амплитуда наводимоrо тока незнаЧIIтельна. Этот факт хорошо
соrласуется с тем, что при рассматриваемых частотах почти все:
158
H ls
о
10
I
1
I
I
I
1
,1
I
J
I
I
,'"
8
,6
2
о
м
п '
Ем
b :
II
,
,
L
I
I
,
\
\
...........
с
N
So
,
\
\
\ ",,'"
'...../
8
Рис. 4.26. Распределение токов иа элементе решетки прямоуrольноrо
сечения при Ml O,125; ba 1.1; ,p oo; t O (Е-поляризация):
;t x O,7; 2 x O.94; 3 x I,25
' : IJ
.
I
15
I
I
I ;+111.
I
, и.
Ю I
I
5
о
А
8
п
А So.
Рис. 4.27. Распределение токов на элементе решетки прямоуrольноrо сече
НIlЯ при Jlll 0,125; b/l I.I; 'Ф 450; t O (Е-поляризация):
1 х 0.7; 2 x 0.94; 3 х 1.25
1 :: l s
.
t 18,]
75 I
I
I
I
I
,
I
I
70
5
п
J
ь
п
&
\
l
,
в
и
" ,
/', ,
I \ 1
I \ I
:!?
I
)
!,. D AS o ,
Рис. 4.28. Распределение токов на элементе решетки прямоуrольноrо сече-
ния при Щl 0.125; b/l l.l; 'Ф 750; t O (Е-поляризация):
1 )( O,7; 2 O.94; З х 1,25
\ : \s
о
70
"
8 I
I
3 I
L ---/
Б.
ч
2
о
м
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
1
ьПJ
4 А
N UM
С D
lP
h
I
I
I
,
,
I
I
\
\
\
\
,
\
,
"-
'.... ....
А
8
II
N
$0
Рис. 4.29. Распределеиие токов иа элементе решетки прямо-
уrольноrо сечения при h/l O,125; b/l l.l; \jJ n/2; t O (Е-
поляризация) :
1 )( 0,7: 2 х 0.94: 3 x I.25
23
I
I
I
I
7S ,
I
I 25
I I
, I
I
I I
I , I
70 I I I
, I I
\ I I
I , I
, , 1
, , I
, I
j \ I
\ I
, I
, I
\ I
, I
\ I
"
о
,4 в
QA
I
I
I
I
I
" I
I \ I
\ I
\..,.;
.............................. ......"",
с
/J
S.
Рис. 4.30. Распределение токов на элементе решетки прямоуrОЛЬноrо се-
чения при 1!П О.125; bll 1.1; ,, 2,75; t O (Е поляризация):
I Ф 45'; 2 '" 75";
падающее поле отражается от решетки. При 'Ф==п/2 (рис. 4.29)
особенно характерна связь между значением тока на задней CTO
роне решетки ве и коэффициентом про хождения I То 1. Малая
абсолютная ве.'Iичпна тока на стороне ве связана с отражатель
ной способностью рассматриваемой решетки. Если зафиксировать
частоту 1<==2,75 и сравнить распределение тока (рис. 4.30) при
1JJ==45° (кривая 1) и 'IjJ==75 0 (кривая 2). то на стороне DA ток для
обоих рассматриваемых уrлов наклона элементов решетки имеет
ОСЦИЛЛИРУЮЩИЙ характер.
Отметим, что основные закономерности поведения волновых
полей для решеток из прямоуrольных наклонных брусьев прп
произвольном yr ле наклона в резонансном частотном диапазоне
соrласуются С закономерностями, отмеченными для решеток нз
TOHКIIX лент. Это свидетельствует об УСТОЙЧИВОСТИ основных xa
рактеРИСТIIК решеток при малом изменении толщины.
Для получения распределения тока на So с достаточной точ
ностью сравнивались результаты решений комплексных систем
линейных алrебраических уравнений 48 и 80 порядков. Поскольку
полученные результаты отличаются лишь в 3 M знаке, для нахож
дення решения с ТОЧНостью до 1 % достаточно решнть систему
уравнений 48 ro порядка.
.162
5
,...."I
bI: и o
h
о
(!кр
1t/ ч
1l'/2 ()
Рис. 4.31. Зависимость коэффициентов отражения и прохождепия от уrл1t'
падеНIIЯ плоской волны (Е-поляризация) для решеток с квадратной формой
поперечноrо сеченпя (ПУlIктирные ЛIIНIIИ) и круrлых (сплошные линии) ци-
линдров при kb 1,5 л:; hib 0,2
4.4.5. Зависимо.сть электродинамических характеристик решет -
ки от формы поперечноrо сечения ее элементов. В предыдущих
пунктах мы рассматривали случай нормальноrо падения плоской
волны На периодическую структуру. Исследуем теперь зависи-
мость коэффициентов отражения и прохождеиия от УI"ла паДения
плоской волны в случае Е поляризации. Возьмем решетку цилинд-
ров квадратНоI"О поперечноI"О сечения с параметрами: h/b ==0,2;
kb == 1,5л:, rде '! сторона квадрата. Обозначим через 8 кр УI"ол,
равный arc siп 1/3, характеризующийся тем, что при 0 8 8KP
рассеянное поле имеет лишь одну нулевую распространяющуюся
rармонику, прн e KP <8<nj2 рассеянное поле имеет уже 2 распро-
страняющиеся rapMoHIIKH, соотвеТСТВУЮЩIIе п==О, 1. Параметр
'Уn при t KP ==kbsin8 KP 11 п== 1 обращается в нуль. На рис. 4.31
приведена зависимость коэффициентов отражения I Ro I и прохож
дения I То I для рассеянноI"О поля от УI"ла падения плоской волны
для решетки с квадратной формой поперечноI"О сечения цилинд-
ров ,(пунктирные линии) 11 для сравнения сплошной линией пока-
заны соответствующие зависимости для решетки КРУI"лых цилинk
ров с радиусом ro==lt/2. Прll 8==8 кр кривые имеют характерные
\:IЗЛОМЫ. в целом же по абсолютной величине для решеток IIЗ ци
лнндров С квадратным и круrлым поперечным сечением величины
IRo I и I То I близки, т. е. в рассматриваемом случае поле в даль-
ней зоне слабо чувствует форму элементов решетки.
Получающиеся при этом токи существенно зависят от попереч-
Horo сечения цилиндров, образующих решетку. На рис. 4.32 для
случая HopMa.'1bHOI"O падения плос[<ой волны (t == О) приведены
токи, rде кривая 1 соответствует наводимому току на KPYI"OBOM
цилиндре, а кривая 2 току на ЦIlлиндре с квадратным попе-
речным сечением. Заметим, что кривая 1 имеет плавный харак-
163
1 :: 1$
о
22
15
22 22
22
70
' '
О А и о
афп
о
1[
5
А
в
с
о
'1
А J a
Рис. 4.32. Модуль тока на решетке из цилиндров Kpyrnoro (кривая 1) и
квадратноrо (кривая 2) поперечных сечений при t O (Е-поляризация) при
kb I,5 л; 1!/b 0,2
1'ер, у нее в центре освещенной области наблюдается небольшоЙ
провал, максимум тока несколько смещен, минимум достиrается
в тени. ТоК 2 для квадраТНоrо цилиндра состоит из 4 частей, по
скольку В области уrлов у тока имеется особенность, которая
хорошо вырисовывается. Отметим, что при исследовании задач
дифракции Е поляризованной плоской волны на решетке IIЗ ци-
линдров С ребрами особенность у искомоrо тока в окрестности
ребер не tlыделялась, тем не менее метод интеrральных уравне-
ний позволяет рассчитывать значение токов достаточно точно.
Используемая при этом кусочно постоянная аппроксимация тока
на всем контуре поперечноrо сечения цилиндра существенно уп-
рощает матрицу системы линейных алrебраических уравнений,
не влияя на качество получаемых результатов.
Приводимьrе на рис. 4.31 4.32 численные результаты интерес-
ны еще и с той ТОЧКИ зрения, что наrлядно подтверждают хорошо
известный Ф акт, что по полю в дальней зоне нельзя однозначно
восстановить распределение тока в излучателе.
На рис. 4.33 показано получающееся распределение тока,
если размеры поперечных сечений цилиндров увеличить в 2 раза,
т. е. взять hjb == 0,4. Становятся более существенными перепады по
амплнтуде в распределении тока: увеличивается провал в центре
освещенноЙ области для тока, наводимоrо на KpyroBoM цилиндре,
уменьшается амплитуда токов 1 и 2 в теневой части решетки, а
164
оп I J о
24
5 {C 8 :-111
D А Ц О
11Ш
О 'л 'f
А 8 С D А 50
24
75
Рис. 4.33. Модуль тока на решетке из цнлиндров круrлоrо (кривая 1) и
квадратноrо (кривая 2) поперечных сечений при t O (Е-поляризация) при
kb 1,5it; 1!/b O.4
на обращенных друr к друrу участках цилиндров токн меняются
очень резко. Отметим, что при расчете решеток с квадратной фор
мой поперечноrо сечения цилиндров бралось по 9 точек аппрок
симацпи I!CKOMOro тока на каждой стороне квадрата (N 36)
4.4.6. Исследование поведения токов в окрестности точек резо
нанса для решеток И3 прямоуrольных цилиндров (Н поляриза
ция). Основная трудность численноrо решения рассматриваемой
краевой задачи для Н поляризованноrо поля заключается в том,
что rраница облаСТII имеет уrловые точки, в окреСТНОСТIl которых
дифференциальные свойства решения понижаются, поэтому pac
пределение тока на поверхности дифраrирующеrо тела с кусочно
rлаДI{ОЙ поверхностью ЧIlсленно изучено недостаточно. Знание
поведения токов для широкоrо диапазона параметров периодиче
екой структуры с идеально проводящими элементами и характер
ero изменения в окрестности резонансных точек позволяют, наПРII
мер, объяснить закономерности поrлощеНIIЯ тепловой энерrии в
периодических структурах с элементами, обладающими конечной
проводимостью, поскольку тепловые потери MorYT быть рассчита-
ны, в частности, методом возмущений [10, rл. 3; 26; 27].
Численные результаты, приведенные на рис. 4.34, 4.35, рас-
считаны при таких параметрах идеально проводящей решетки,
165
IU/ s
о
2
/
lrВd
с о
J I I 1:)'
А r [] l' r()
Рис. 4.34. Модуль тока на решетке из цилиидров прямоуrольноrо попереч-
Horo сечения (Н поляризация) при x 0.5; 1/h 2; h/b 0.65 для различны!\:
уrлов падеНИR плоской волны: 1 e oo; 2 e 500; 3 e 750
I Tol, I Ro I
BO '
h Ь
о
'](/, fJ
'Л/ ч
Рис. 4.35. Зависимость коэффициен-
та отражения Ro и прохождения
То от уrла падеиия плоской волны
на решетку из прямоуrольных ии-
линдров (Н-поляризация) при x
0,5; l/h 2; h/b 0,65
IRo/,1 T()I
е I? и о
Рис. 4.36. Зависимость коэффициен-
тов отражения Ro и прохождения
То от уrла падения плоской волны
на решетку из квадратных цилинд-
ров (Н-поляризация) при x 1,9;
/z/b 0,65
коrда рассеянное поле во всем диапазоне yr лов сканирования:
имеет лишь одну распространяlOЩУЮСЯ rармонику. остальные за-
тухают. Как показали вычислительные эксперименты [53], 'наводи-
мые токи при изменении уrла е меняются мало (рис.
4.34), зависимости IRol. ITQI от е (рIIС. 4.35) имеют плавный ха-
166
рактер, без аномалий. При рассматриваемой поляризации поля
плоские волноводы конечной длины, образуемые элементами pe
шетки, пропускают одну волноводную волну, соответствующую
п О, поэтому поле за решеткой значительно почти во всем диа-
пазоне уrлов 8.
Если увеличить параметр х, то количество распространяющих-
ея от решетки rармоник будет зависеть от уrла сканирования 8.
На рис. 4.36 приведена зависимость I Rol, I Tol от 8 для решетки
из квадратных брусьев при x I,9; h/b 0,65. Характер этих кри-
13ых по сравнению с приведенНЫМИ на рис. 4.35 существенно ус-
.ложнился, стал более осциллирующим и ток (рис. 4.37), поведе-
ние KOToporo усложняется с увеличением уrла падения плоской
волны. Значения токов, приводимых на рис. 4.37, даны вдали от
резонансных точек кривых зависимости I Ro 1, I То I от 8. Как меня-
ется значение тока в окрестности уrлов возникновения новых
распространяющихся rармоник, проиллюстрируем на решетке из
квадратных брусьев (fI/Ь О,б5) при x 1,3. Для такой структуры
зависимость I Ro I и I то I от 8 ПрIlведена на рис. 4.38. У этих
кривых имеются 2 критических уrла 8 на интервалах (130, 140) и
(320, 33"), при переходе через которые меняется распределение
энерrии поля по rармоникам. На рис. 4.39 при 8 130 и 8 140
ПрИВедеНЫ распределения токов для решеток из квадратных и
круrлых брусьев. Характер тока не только резко меняется при
переходе через критические уrлы, но и существенно зависит от
формы контура 50. Этот же вывод подтверждается и прiшеден-
НЫМII на рис. 4.40 результатами ЧIIсленных расчетов токов при
8 320 и 8 330
Заметим, что в окрестности уrловых точек контура 50 ток рас-
-считан достаточно точно. Это подтверждается результатами вы-
ЧIIслительноrо эксперимента при N 40 и N 80, rде N коли-
чество точек аппроксимации искомоrо тока на контуре 50.
4.5. АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ЗАДАЧИ
ДИФРАКЦИИ ПОЛЯ ТОЧЕчноrо ИСТОЧНИКА НА РЕШЕТКЕ
Аналоrия между полученными интеrральными уравнениями
при дифраКЦШI поля плоской волны I!ЛИ точечноrо источника на
пеРИОДIlческой структуре, а также существование большоrо коли-
чества численных результатов исследования различной конфиrу-
рации периодических структур, возбуждаемых точечным источ-
НИlюм, дают возможность количественно и качественно оценить
получаемые результаты при дифракции на решетке поля точеч-
Horo источника. Действительно, плоскую волну можно ИНтерпре-
тировать как точечный I1СТОЧНИК, находящийся на таком расстоя-
нии от дифраКЦlюнноrо объекта, что затухающие rармоники ero
не достиrают и ПО.Т'lе вБЛИЗII тела дифракции определяется беrу-
щими волнами. Если взять размеры периодической структуры и
параметр t таковыми, чтобы у точечноrо источника распростра
вялась одна rармоника, то можно сравнить численные результа
167
2
2
'"
I \
h ""
ЧJ А
1 D
ь [ [)
(\
I \
1\1\
I \ \
: , I
I , I \
I , I \
( \
: \ I \
, \ I ,
, 'v I
, ,
, I
, ,
, I
,
I
I
lиl.r
о
fJ
А
в
с
D
" --::-
Рис. 4.37. Распределение тока на элементе решетки нз цилнндров квад-
paTHoro сечения (Н-поляризация) при x 1,9; h{b==O,65 для различных
уrЛОD падения плоской волны: 1 8 OO; 2 8==400
IRol ,1 Тоl
r'
Вf(a
ь h
Рис. 4.38. Зависимость коэффициен
та отражения Ro и прохождения
ТО ОТ уrла падения плоской волны
на решетку из квадратиых цилинд
ров (Н-поляриэация) при x 1,9;.
h(b==O,65
]U's
о
ц
3
tз00
с
о
2
\
,
i
,
I
,
\
о
А
в
с
о
А So
Рис. 4.39. Распределение тока при x 1,3 (Н-поляризация) на элементе
решетки из цилиндров квадратноrо сечения ДJ1Я h/b 0,65:
1 в 130; 2 в 14° и ЦИЛИliдрОll Kpy..onoro сечени>! прн 2roJb O.65: 3 {) 130;
4 o 140
lul '-
So
з
I
,
I
I
I
I
I
I
I
,
I
I
I I
, I
\ I
\ ,
\ ,
\ ,
\
\
h иo
H8
t: D О
ч
2
I
I
,
о
А
в
I
С
I
D
I "11'
А 50
Рис. 4.40. Распределение тока при x 1,3 (Н-поляризация) на элементе
решетки из цилиндров квадратноrо сечения для 1!/b O,65:
I в 32'; 2 е 330 и цилиндров KpyroBoro сечеllИ>I при 2r,{b 0,65: з е З20;
4 8 330
'Ты прн: дифракции на решетке полей плоской волны и точечноrо
источника. Как СJJедует из иредставления для квазипе
риодической функции [рина (4.1.13), характеризующей
поле точечноrо источника, модуль амплитуды первой распростра
няющейся rармоники равен лЬ/k, следовательно, зту нормировку
надо учитывать при сравнении с известными численными резуль-
TaTaMI'! задачи дифракции плоской волны на периодической
'структуре (см., например [2]), которые получены в предположе-
нии, что амплитуда падающей волны равна единице. Параметр
( связан с уrлом падения плоской волны е соотношением t==
== kb sin О.
Сравнение результатов проводилось для решетки из ЦИЛlIНд
ров прямоуrольноrо поперечноrо сечения, размеры KOToporo ' и
[. Как r:оказывают численные эксперименты при (==0, ХО == О, zо:;;;..л.,
коэффициенты прохождения соответствуют результатам, приве-
денным на рис. 70 в [2]. Для t«KP, rде t Kp значение параметра
(, соответствующее возникновению новой распространяющейся
rаРМОНIlКИ, как показывают численные эксперименты задачи диф-
ракции полей точечноrо источника и плоскоЙ волны на периоди-
ческоЙ структуре существенно различны.
Рассмотрим результаты численноrо исследования задачи диф-
ракции E-ПОЛЯРИЗ0ванноrо поля, создаваемоrо точечным источни-
ком. Будем исследовать диэrраммы направленности, при этом,
коrда источник находится внутри решетки, будем рассматривать
диаrраммы направленности для полноrо прошедшеrо F T (О) и OT
раженноrо F R (О) по.lJей, но как только источник выходит за преде-
лы решетки, следует рассматривать и диаrрамму направленности
для отраженноrо рассеявноrо поля F R O (8) В последующих расче
тах положение точечноrо источника выбрано таким образом, что
диаrраммы направленности получаются симметричными относи-
тельно оси z, поэтому приведены результаты расчетов для отра.
женноrо поля при О-<О<n/2, а для прошедшеrо при п/2<8-<n.
4.5.1 Решетки И.J цилиндров KpyroBoro и квадратноrо попереч
ных сечений. Пусть решетка из KpyroBbIx цилиндров характеризу
ется следующими значениями параметров: kb== 1,51n; ro/b==1/2/4.
При kЬ==I,5л будет дано критическое значение tKp kbsineKp,
8 кр == атс sin 1/3. В области OKP <8<8 кр дифраrированное отра-
жениое поле содержит одну распространяющуlOСЯ и бесконечное
число затухающих при удалении от плоскости z O rармоник.
Аналоrично при Л Окр<tI<л + Окр прошедшее поле будет также
иметь одну распространяющуюся rармонику. При 'переходе через
e Q у дифраrированноrо поля появляется вторая распространяю-
щаяся rармоника, т. е. область л/2<0<л 8кр, Л+Окр<0<3л/2
для прошедшеrо поля является двухволновоЙ, а для отраженноrо
поля двухволновой является область 8кр<Н<n/2, л/2<8< Окр,
Заметим, что точечный источник мы не можем поместить на
rранице уrловоrо волновода, взяв yo O,5b, так как в этом слу-
чае у квазипериодической функции [рина источники, наХОДЯЩIIе-
:-1
ся в нулевом и минус первом каналах Флоке, совпадут и особен
ность в точке источника у функцю! [рина удвоится. Алrоритм.
разработанный в 4.2 д.'1Я вычислеНIIЯ функции [рина, такое по
ложение точечноrо источника не предусматривает.
Рассмотрим сначала диаrрамму направленности, создаваемую
точечным источником, находящимся на оси z внутри решетки,
положив yo== O,49b, 20==0 (рис. 4.41). Отраженное и прошедшее
поля совпадают и незначительны по абсолютной величине, так
как коэффициент заполнения решеТКII s==V2/2 достаточно велик.
Картина поля в дальней зоне проста, диаrраммы направленности
имеют плавный характер, без интерференционных максимумов,
лишь при переходе через критический уrол наблюдаются скачки.
которые называются «анома,'1ИЯМИ Вуда». На рис. 4.41 и далее
диаrраммы направленности IFRI. IFT/, IFROI приводятся в по
лярной системе координат, пунктиром приводится диаrрамма для
отраженноrо рассеянноrо поля / F RO /. Если изменить положение
точечноrо источюша, поместив ero на оси 2 на расстоянии р==,2Ь
от решетки, то получаемая диаrрамма направленности изображе
На на рис. 4.42. Решетка становится практически отражающей,
прошедшее за нее поле мало. Для уrлов / в I <в кр , коrда в дaH
ном направлении распрострнняется одна волна, диаrраммы Ha
правлеННОСТII не имеют интерференционных экстремумов, которые
появляются лишь в двух волновой области уrлов.
Изменим частоту возбуждающеrо поля, положив kb ==2,Оlл:.
При таком соотношении параметров появляются два критических
уrла: 8 КР ,I == arc sin(0,01j2,01) и е кр ,2==' arc siп( 1,99/2,01), близкие к
00 н 900 соответственно. Это сказывается на характере дифракци
oHHoro IlОЛЯ. При lel <вКР,1 отраженное поле имеет 3 распростра
няющиеся rаРМОНИКIi с номерами n==о. + 1. При Окр" <8<в кр ,2 и
вKP,2<в< 8KP.1 отраженное поле имеет 2 распространяющиеся
rармоники, соответствующие 11==0, 1. Наконец, при 8 КР ,2<8<л:/2
и тt/2<в< 8KP.2 от решетки отражаются 3 распространяющие
ся rармоники, соответствующие п==О, 1. 2. Аналоrичный xa
рактер имеет и прошедшее за решетку поле. В целом диаrрамма
(рис. 4.43) носит изрезанный характер, что объясняется интерфе
ренцией волн, отражаЮЩIiХСЯ от решетки. В окрестности крити
ческнх уrлов наблюдаются аномалии Вуда. Большая часть энер
rии отражается от решетки и лишь незначительная ее часть про
никает за решетку.
При таком расчете зависимости IFTI, IFRI. IFROI от 8, приве
денной на рис. 4.44, по сравнению с результатами на рис. 4.42
удаленность точечноrо источника от решетки сохранили прежней,
а коэффициент заполнения решетки взяли равным 0,1, т. е. pac
смотрим более редкую решетку. Это сразу оказало влияние на
величину прошедшеrо поля IFTI оно возросло и стало сравни-
мым с I F R 1. Если же теперь взять решетку из бесконечных ци
линдров с квадратным поперечным сечением, причем размер CTO
раны квадрата h выбрать таким образом, чтобы коэффициенты
172
1350
O
e=oo
СУ
450
0,4
0,3
eKr>
0,3
0,1
О
0,1
0,3
0,5
Рис. 4.41. Диаrрамма направленности поля точечноrо источника на решет.
ке KpyroBblx цилиндров (Е-поляризация):
У. == 0.49Ь. Z. == о; kb == 1,511; r.lb ==У2;""4
1550
е кр
*
20
о
IFrI
т
3
5
Рис. 4.42. Диаrрамма направленности поля точечноrо источника по решетке
KpyroBblx цилиндров (Е-поляризация):
и. == о, ZO == ro + 2Ь: kb == 1,5 п; r.lb ==У'2 14
&L
о
I1 кр , 2
IF;-I
li кр ,1
I I
3
о
з
5
Рис. 4.43. Дпаrрамма направленности поля точечноrо источника на решетке
KpyroBblx ЦИЛI1ВДрОВ (L'-поляризация):
.Уо О, ZO То + 2Ь; kb 2,01 :тr; 'о/Ь 1''2/4
о
crc 2Ь 1<
-/
3
з
5
рис. 4.44. Диаrрамма направленности поля точечноro источника на решетке
KpyroBbIx цилиндров (Е-поляризация):
Уо O, Za. Та + 2Ь, "Ь [,5 л; То/Ь 0.\
hфо
5
I I
L/5"
з
d Kp
5
з
о
J
5
Рис. 4.45. Диаrрамма направленности поля точечноrо источника иа решетке
квадратных цилиндров (Е-поляризация):
У, О, 2. h/2 + 2Ь; kb 1,5 :п; h/b 0,2
I си I
laп s
а
15
' 1 ' .
O
ro
[J'"
70
5
о
4
в
с
D
1\,50
Рис. 4.46. Модуль тока для круrовой (1) н квадратноЙ (2) решеток при
t O (Е-поляризация):
kb 1,5:п; 2r,/b 0,2; h/b 0,2; У. О, 20 '. + 2Ь
'0
"'"
"
Q)
4 СО Ь
. <с>
о..
"
Q)
:;r-
I.I...Q:
а
'"
><
:а
;>,
Q.
:.::
..,
:.::
...
..,
:;r- 3
..,
Q.
'"
==
'"
:.::
:.:
==
:>"
О
...
u
:.:
о
<-.
О
==
:>"
..,
:>"
О
...
D::
С:;.!:О
g Ш 11'
'" о
:.::.: ..
.... Q. ..
u"".o
о":'"
:::t:O
== O
I
11
ё-!
== о
"':.: 11
::;; OQ
::;;::(
'"
с.......... Ы
O
:.: 11
t::i><.o
:а ';;
r--:i:
[it
'<1't:i
'" "'
. са ...:
:':II
P.=
заполнеНllЯ s == Jz/b полученной и рассмотренноЙ на рис. 4.44 кру-
rовоЙ решеток совпали, то результаты численных расчетов пока-
зывают близость днаrрамм направленности для решеток из Kpyr-
лых и квадратных цилиндров (см. рис. 4.45), т. е. форма элемен-
тов решеТКII мало влияет на поле в дальней зоне. Характер же
наВОДИМОI'О тока существенно зависит от формы элементов, pe
шетки, что подтверждается приведенныыи на рис. 4.46 численны-
ми результатами при t==O.
Диаrрамма направленности поля, создаваемоrо точечным нс-
ТОЧНlIКОМ, при небольших значениях коэффициента заполнения
s слабо зависит от формы контура 50 не только для дифракци-
онных, но и для излучающих антенных решеток, коrда источник
11 аХОДIIТСЯ внутри периодической структуры. На рис. 4.47 даны
диаrраммы направленности, создаваемые полем точечноrо источ-
ника, НаходЯЩИМСЯ на оси У вБЛИЗII rраницы канала Флоке
(Уо== O,49b; Zo==O) , для рассмотренных выше решеток из Kpyr-
лых (кривая 1) и квадратных (КРlJвая 2) цилиндров. Отраженное
н прошедшее поля, как и следовало ожидать, совпадают и также
мало зависят от формы контура So.
Характер диаrраммы направленности, количество у нее диф-
ракционных лепестков определяются не только значением kb, но
и, как показали вычислительные эксперименты, величиной р
расстоянием от решетки до точечноrо источника. В одноволновой
области уrлов при любых значениях р интсрференцнонных лепе-
CTI<OB не наблюдается. С увеличением р днаrрамма направлен-
НОСТII усложняется лишь в мноrоволновой области. Для решеток
из KpyroBbIx ЦИЛIIНДРОВ это подтверждается числеННЫМII резулЬ-
татами, представлеННЫМII на рис. 4.48 и 4.49. При p==b ro, коrда
точечныЙ IН':ТОЧНИК находится вблизи rраНIЩЫ канала Флокс
(yo== O,49b; zo==b), диаrрамма направленности (рис. 4.48) имеет
3 лепестка как для отраженноrо, так и для прошедшеrо за решет-
ку поля, причем 2 из них лежат во мнorОВОЛНОВой области уrлов.
При p==2b ro (рис. 4.49), коrда y{)== O,49b, zo==2b, Дllаrрамма
направленности имеет уже 4 лепестка, причем 3 из них лежат во
мноrоволновой уrловой области. Если и далее увеличивать р, то
диаrрамма направленности становится более изрезанной и для ее
построеНIIЯ неоБХОДIIМО брать достаточно мелкий шаr по уrлу 8.
4.5.2. Решетки из цилиндров прямоуrольноrо поперечноrо се-
чения. В задаче возбуждения периодической структуры точечным
источником представляет интерес исследовать зависимость коэф-
фициентов отражения и прохождеllИЯ от положения точечноrо не-
Т04НИI.;а. Это делается с целью установить такое минимальное
расстояние между ТОчечным источником и решеткой, при котором
как ток на элементах решетки, так и поле в дальней зоне будут
определяться лишь распространяющимися rармониками, т. е.
'установнть rрающы, в пределах IЮТОРЫХ оправдана аппроксима-
ЦJIЯ п адающеrо ПОJIЯ полем J:ЛОСКОЙ волны.
Исследуем зависимость коэффвциентов отражения и прохож-
дения от удаленности точечноrо источника от решетки цилиндров
7 Зак. 34б
177
о
b
V .
5
......II КР
3
5
Рис. 4.48. Дизrрамма направленности поля точечноrо источника на решетке
круrлых цилиндров (Е-поляризация):
kb 1,5 л; 2r.Jb 0,2; У. 0,49 Ь; 2. Ь
ro
er
11; 2Ь 5
-1 \
*
3
5
Рис. 4.49. Диаrрамма нзпраВJlенностн поля точечноrо источника на решет
ке KpyrJlbIx ЦНJlНIIДРОВ (E-ПОJlяризация);
kb 1,5 л; 2r./b 0,2; У. 0,49 Ь, 20 2Ь
прямоуrольноrо поперечноrо сечения длиной l и шириной h, Ко-
торые образуют систему конечных волноводов длиной l и шири-
ной d== b h, постоянные распространения которых '\'n==
== Vk2 (nn/d)2, n== 1, 2, . Обозначим через Р прямую, па-
раллельную rраннце канала Флоке, задаваемую уравнением у==
== O,49b. Будем перемещать точечный источник вправо по р,
за начало отсчета возьмем точ!<у пересечения Р с осью у. Если
источиик находится внутри решетки, то будем рассматривать ко-
эффициенты отражения и прохождения нулевой rармоники для
полноrо поля, т. е. ITol и IВоl Коrда источник находится вне ре-
шетки, следует рассматривать коэффициент отражения и для рас.
сеянноrо поля IRol.
Положим t== О. Рассмотрим решетку при следующем соотноше-
нии параметров: kb==n/2; /1/['=0,125; kd==0,375n. При таком COOT
ношении между параметраМII, характеризующими решетку, вне
ее распространяющейся будет одна волна и конечные волноводы
являются запредельными. На рис. 4.50 приведена зависимость
коэффициентов отражения и прохождения от положения точеч
Horo источника на Р Результаты pacLleToB показывают, что I Тоl
'и I Ro I не зависят от положения
точечноrо источника, если он
.удален от решетки на расстоя IВоl,IRо/,Iт;,/
ние, большее Л/2. При этом раз А
меры конечноrо волновода TaKO
вы, что коrда источник находится
в центре ero, энерrия практиче-
ски не выходит за пределы pe
шетки, коэффициенты отражения
полноrо поля I Во I и прохожде
ния I То I близки к нулю. При пе
ремещении источника из центра
волновода вправо по Р коэффи
циент прохождения остается
близким к нулю, т. е. такая KO
нечно-волноводная решетка явля
.ется практически непроницаемой
для Е-поляризованноrо поля.
Если решетка такова, что как
вне периодической структуры,
так и внутри конечных волново
дов распространяется одна вол- (}
на, например прн kЬ==I,5л;
hjl==O,125; kd== 1,125л, то стаби-
лизация рассеянноrо и прошед
шеrо полей наступает при t==O в
случае, коrда точечный источник
удален от решетки на 3/4/-"
(рис. 4.51). Если t==kb sin 120,
т. е. распространяющаяся от ис
'7*
ЧЬ
;;е
з h . .1
2
1т.,1
\.
2
J
2zo/1
Рис. 4.50. Зависимость коэффициен-
тов отражения и прохождения для
решетки нз прямоуrольных цилИlЩ-
ров полноrо и рассеянноrо полей ОТ
положения на !Z точечноrо НСТО"-
ника (Е-поляризация):
t, о; kb 7t/2; h/l 0.125; kd 0.375 :тt
1'1'0
IRoi,IBoIYol
17;,1
1801
I
Ь t dl
I
h ·
Т/,
.1
'1
х
о
з
2lo/L
Рис. 4.51. Зависимость коэффициен
тоо отражения и прохождения для
решетки 113 прямоуrольных цилинд-
ров полноrо и рассеянноrо полей от
положения на :Z точечноrо источни
ка (Е поляризация):
t O; kb I.G 11; 1111 O,125; kd I,125 n
2
ITo/ ,1 Ro/.1 8 0/
I Тоl
о 2 3
2zo/L
Рис. 4.52. Зависимость коэффициен-
тов отражения и прохождения для
решетки из прямоуrол ных цилинд-
ров полноrо и рассеЯ!l!Iоrо полей от
положения на 9! точеЧ!lоrо ИСТОЧllИ-
ка (Е-поляризация):
е 120; kb 1.5 n; t 1,5 It sin 12"; h{l
0,125; kd 1,12511
точника волна падает на решеТI<У под уrлом 8== 120, то стабилиза
ЦIlЯ рассеянноrо и прошедшеrо полей также наступает при удале
нии источника от решетки на 3/4').. (рис. 4.52).
Положим G == 190, т. е. ВОЗl>мем ero близким к 0 кр "" arc sin 1/3'.
При этом еще будет сохраняться одноволновой характер распро
страняющеrо от решетки поля. Но вслеДСТВllе близости t к t KP .
как видно из результатов расчета, приведенных на рис. 4.53-.
прошедшее 11 рассеянное поля зависят от положения точечноr<>
источника до тех пор, пока он не будет удален от решетки на
расстояние, не меньшее, чем 5л. Это связано с влиянием на диф
раrированное поле критических уrлов.
Итак, для реш.еток конечных вuлноводов, у которых как BHYT
ри, так н вне решетки распространяется одна волна вне зоны
влияния КРI1Тllческих уrлов, достаточно удалить точечныЙ источ
ник на расстояние 3/4').. от решетки, чтобы работала модель пло
СКОЙ волны. Для решеТКII плоских запредельных волноводов KO
нечной волны такое расстояние уменьшается до ')../2.
Для периодической структуры, характеризуемой параметрами
kЬ==I,5л; ////==0,125; h/b==O,25, была прослежена заВНСIIМОСть
Дllаrрамм н аправленности от положения точечноrо НСТОЧН!Iка,.
аналоrичная результатам рис. 4.48, 4.49 для KpyroBbJx решеток,
но более подробная. Поместив точечный истОЧНI!К почти в цeHT
ре конечноrо волновода (yo== O,49b; zo==O), получаем совпада
IOщие отраженное 11 прошедшее поля (рис. 4.54), характер диа
[рамм сходен с приведенными на рllС. 4.47, тот же плавныЙ xa
рактер hрIlВОЙ всюду, за ИСКJIюченнем а кр , rде наблюдается «aHO
маЛIIЯ Вуда».
180
\Ro 1, I т,,1 ,IBo I
2
h
h
17;;1
1
''\ ,.... ........ ,.-- ........
' """"'IRo' '''''--........
о
3
s
7 2zo/ l
Рис. 4,53. Зависимость коэффициентов отражения и прохождения для ре-
шетки из прямоуrольных цилиндров ПОЛllоrо и рассеянноrо полей от по-
ложення на g; точечноrо источника (Е-поляризация):
e 19'; kb I,5 п; t 1.5 л sin 190; hj/ o,125; kd 1,125 л
l Id
н
х
h fl.
> ,
'15'
J( 6 к р
6кр
8
6
'f
2
о
2
'f
6
Ii
Рис. 4.54. Диаrрамма направленности поля точечноrо ИСТО'IШII<а на [1('.
шетке прямоуrолЬНЫХ цилиндров (Е-поляризация):
kb 1,5 л; hj/ 0.125. hjb 0,25; У, О.49Ь. 2, О
! x
н
h fr, .1
Б
#50
Jr t1 кр
4
1350
8
4
Б
8
10
Рис. 4.55. Диаrрамма направленности поля точечноrо источника на ре-
шетке прлмоуrольных цилиндров (Е-поляризация):
kb I.5 11: h!l 0.125; h{b O.25: Yo O..j9 Ь. 20 1{2
br
x
h . ,i'
6
'150
зr /1 кр
t1KF
8
Б
4
8
7[,
Рис. 4.56. ДиаI'рамма иаправленности поля точечноrо источника на ре-
шетке прямоуrольиых цилиндров (Е-поляризация):
kb 1.5 :r. h/l 0,125; h{b 0,25; У. 0,49 ь; 2zo/1 1,05
Качественный характер диаrрамм мало меняется, если источ-
ник сдвинуть по ::е до конца конечноrо волновода (рис. 4.55),
лишь возрастает отраженное поле и уменьшается прошедшее
сквозь решетку. Кап только источник вышел за пределы решетки
даже на небольшое расстояние р==о,оЗ75Л- (рис. 4.56), как и для
решеток из цилиндров KpyroBoro и квадратноrо поперечных сече-
ний, начинают возникать интерференционные явления. Достаточ-
но четко интерференционный максимум вырисовывается, если
удалить точечный J\СТОЧНИК на р==О,25л (рис. 4.57). При дальнеЙ-
шем увеличении р интерференционная картина усложняется
182
11>
I
Z;). Х
.
4
h !
. .
.1
IfRI
7350
/I. p
ц
о
2
ч
Рис. 4.57. Диаrрамма направленностн поля точечноrо источника иа ре-
шетке прямоуrольных цилиндров (Е-поляризацин):
kb 1.5 п; h/l 0,125; h/b 0,25; и. 0,49 Ь, 2z./1 4/3
! , z
h tl.
lI.p
5
J
о
PIIC. 4.58. Дllаrрзмма НSПР,1IIJIСIIIIО('ТII ПОJIII TfJ'IC'IIIOI"
III('TKC npHMoYI'UJIi>lII X ItllJIIIIIJtlHH1 (/:-IIOJllIрIl.laltllll):
kb.. 1,5 п; 11/1 о.l:lб; ',/b . О.2п; У.' 11,.111/'; 2z,/I . I,!i
1( е кр
5
, X
h tl. "
5
3
5
Рис. 4.59. Днаrрамма напраВЛСIIНОСТН поля точечноrо источника на ре-
шетке прямоуrольных цилиндров (Е-поляризация):
kb 1,5 11; h/l 0,125; h/b 0,25; Уо 0.49 ь; 2z.!l 1,9
{ " ;r
h H.
5
5
3
3
5
Рис. 4.60. Диаrрамма направленности поля точечноrо источника на ре-
шетке прямоуrольных ЦНЛИИДРОIJ (Е.поляризация):
kb 1,511; h/l 0,125; h/b 0,25: У. 0.19 Ь; 2zo/b 2
ht! d
I( хО
h L l
*
.1
5
зr акр
3
5
Рис. 4.61. Диаrрамма направленности поля точечиоrо источннка на pe
шетке прямоуrольных цилиндров (Е полярнзация):
kb 1,5 п; h/l 0.125; h/b 0,25; У. о; 2:Z0/b 2
(рис. 4.58 соответствует р==О,375л, рис. 4.59 р==0,675л.
рис. 4.60 р==О,7Бt.). На рис. 4.61 построена .J.иаrрамма направ
ленности при р ==0,75л., но в ОТ,lIlчие от результатов, приведенных
на pllC. 4.60, точечный IIСТОЧННК помещеll на оси z.
Как и следовало ожидать. при тех значениях утла в, коrда в
данном направлеНI1И от решетки распространяется одна волна.
диаrраммы не имеют интерференционных лепестков. Дальнейшее
уда.пеНllе от решетки точечноrо источника будет соответствовать
тому, что в одноволновом Дllзпазоне уrлов Дllаrраммы направлен
ности Ет, Еяо стабилизируются и будут таковы, как если бы пе
риодическая система возбуждалась одной падающей волной.
В двухволновоil области уrлов диаrраммы направленности CTa
новятся более изрезаННЫМI! по мере удаления от решеТКlI ТОlJеч
Horo IIсточника.
В заключение рассмотрим решетку из прямоуrолыIхx цилинд
ров Прll таком соотношении параметров, что частота для получа
ющейся СlIстемы конечных волноводов является близкой к KpI1TII
ческой. Tal\Ile исследования представляют интерес в теории OT
крытых резонаторов. Пусть kl===3л; kЬ===l,5л. Возьмем kd===
==л+О,2. 1O 5л. При такой частоте волноводная решетка ЯlJляется
одномадовой. При kd==:rt О,2.10 5л: волноводы, образующие pc
шетку, являются запредельными. В обоих случаях, коrда ТО'IСЧ-
ный источник находится в центре конечноrо волновода, отраЖ('II
ное и прошедшее поля совпадают (рис. 4.62). Это связаllО с 'l't'M,
что ДЛIlна пластин оказывается недостаточной для фОРМII!,!)II:!-
Н1IЯ волноводных типов волн. Чтобы проявился З;JIlР<'!Т<'.'II,III,11'r
I Hi,
*
Q.,
"" р.
'"
, :с
.....
'"
:.::
:s:
:с
:т
О
....., ....
u
:s:
- .ц.. '"
--<::
о
'-
О
5= о
QJ":":" 11
g tI: CI
Е-- а t.I
D::
"'::s:'"
oa.
r::;",o
"': I
t::J 1: g li
U
a:li:
",:Od
a:I о.. I
",0::(0
0.:Ж:--:
r::;:S:'"
ctll:;d
:C:S: 11
",::ft:
::;::: 11
::;-"..,
ctI:a
е-:з i:
"',--",
6' 11
. :O:
fd е- i:
:.c
"
о..В:;;:
характер ВОЛНОВОДНОЙ решетки, необходимо увеличить ДЛIIНУ
пластин, чтобы энерrия была сосредоточена внутри периодической
структуры и не выходила за e пределы.
4.6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОТЕРЬ ЭНЕрrии ЭЛЕКТРОМАrнитноrо
ПОЛЯ НА rРЕБЕНЧАТОЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЯ СТРУКТУРЕ
В 4.4, 4.5 численно исследованы задачи ДlIфраКЦИIl электро-
маrнитноrо ПОJIЯ на решетках из идеально проводящих элемен-
тов. [лавное внимание при их изучении было сосредоточено на
НССJlедовании дифракционных свойств и резонансных явлений.
При этом подробно изучено поведение электромаrнитноrо поля в
дальнеЙ зоне, распределение токов на элементах решетки. В то
же время весьма важный вопрос о поrлощении энерrии в перио-
дических структурах, элементы IЮТОрЫХ обладают конечноЙ про
водимостью, остается малоизученным, поэтому в данном пара-
rрафе l>ассмотрим задачу дифракции волн на решетках, элементы
которых об.'lадают свойствами реальноrо металла [26, 27, 28,
54 .56].
В 4.1 мы получили интеrральные уравнения (4.1.18), (4.1.19),
к решению которых сводятся задачи дифракции плоских ВОЛII на
решетках с элементами конечной проводимости (a=,;iooo). Учет
нендеальности элементов решетки осуществлен за счет постанов-
ки на ее поверхности импедансных rраничных условиЙ. Ниже бу-
дет показано, что при дифракции H-ПОЛЯРИЗОllаюIOI"O ноли lIa бес
конечной решетке характеристики тепловых потеРI) выражаются
через решение интеrральноrо уравнения Фредrольма 11 рода
(4.1.19).
Заметим, что при выводе интеrральных уравнений, к решеНIIЮ
которых сведены задачи дифраIЩИl1 электромаrНIIТlIоrо поля на
импедансных периодических структурах, мы I1рСДIIОJIШ'ЗСМ, что
контуры Sm кривые Ляпунова (m O, + 1, .). Если же кон-
туры Sm имеют уrловые точкн, то, вообще i'ОВОрЯ, в них условие
(4.1.5) не определено. ХарактеРIIСТНКИ тепловых потерь в этом
случае MorYT быть вычислены, например, методом возмущений
[10, rл. з; 26 27, 55, 57], исходя из РСШСIIIШ зидачи дифракции
H-ПОЛЯРl!зованной электромаrннтной волны на идеально про ВО-
дящей бесконечно!. решетке.
Исследуем потери энерrии электромаrнитноrо поля на rребен
чатой периодической структуре с КОНСЧllOi'l ПРОВОДIIМОСТЬЮ. Ре-
зулыаты работ, проводнмых о последнсе время [26, 27, 28], пока-
зывают, что интерес к этим :JаД:l'lам обусловлен возможностью
снижения тепловых потерь в раЗЛIIЧНЫХ устройствах СВЧ, если
использовать в качестве направляющих систем ДJIЯ электромаr
нитных волн rребеlJlIатые l!ерlIОДlIчеСКllе структуры. Для теХНIIКИ
СВЧ представляет БОJlI,uюii IIIlТерес уменьшение тепловых потерь
за счет ОППlмнзаЦНII IIрОфНЛН волноведущих систем. ДJlЯ прове
дения исследований в этом направлении метод интеrральных
уравнений наиболее эффективен.
181
4.6.1. Постановка задачи. Вывод интеrральноrо уравнения.
Рассмотрим задачу дифракции Н поляризованной плоской волны
(4.1.1) на rребенчатой периодической структуре с произвольной
достаточно rладкой формой rофра. Будем искать решение одно-
родноrо ур авнения rельмrольца (4.1.4) относительно полноrо
поля и(у, z) ==нх(у, z) в пре.'щоложении, что на «rребнях» 2 т
выполняются импедансные I"раничные условия (4.1.5), rде ((==
==kW1/W, W и W 1 импедансы металла и свободноrо простран-
ства соответственно, k волновое число. На дне структуры Q,
которое выберем IIдеально проводящим и расположенным на пло-
скости ху, искомое полное поле удовлетворяет rраничным усло-
виям BToporo рода, т. е.
ди(у z)
.. ==Оприz==О. (4.6.1)
дп
На бесконечности для поля U (У, z) u (У. z) потребуем выполне-
ния условий излучения, rде
u (у, z) == ао (У, z) al (у, z) (4.6.2)
В (4.6.2) поле иl (У. z) есть отраженная от плоскости z==O падаю-
щая плоская волна ао (у, z), т. е.
UI(Y, z)==Aexp(ikysin8o+ikzcos8 o ). (4.6.3)
Поле иl (У, z) при z== О удовлетворяет условию Неймана (4.6.1)
Для получения интеrральноrо уравнения введем в рассмотре-
ние функцию rрина go(M, Р) в полуплоскости z O, удовлетво-
ряющую неоднородному уравнению [ельмrольца (4.1.10) и усло-
ВIIЮ
ago(M. Р)
== о при z == О,
дn р
(4.6.4)
условиям Флоке и излучения на бесконечности. Функция rрина
go(M, Р) леrко получается из функции g(M, Р) вида (4.1.13)
зеркальным отражением относительно плоскости z==o J[ имеет
вид (см. п. 3.4.1)
00
iAn(YM YP) . r I . r + I
е [е' n ZM Zpl + е' IIIZM 'Р],
[ п
(4.6.5)
i1t
go(M, P)==
ь
п== O')
rде А п и r n определены в (4.1.13) НепосреДСТIЗеннымн вычисле-
ниями, аналоrичными проведенным в п. 3.4.1, провсряется выпол-
нение rp аничных условий (4.6.4).
Из инвариантности задачи по отношеНIIIО к сдвиrу вдоль оси
у на период можно оrраничиться рассмотрением решения внутри
полосы шириной Ь. Полное поле и (у, z) будем искать в классе
функций, удовлетворяющих условию Флоке (4.1.9)
Для получения интеrральноrо уравнения в области D, пред-
ставляющей собой подобласть нулевоrо канала Флоке и оrрани-
188
-ченной контурами РО, Q, , Zl
(рис. 4.63), применим вторую
ФОРМУJIУ [рина к функциям
go(M, Р) и и(у, z) ii(y. z).
В силу условий Флоке контурные
интеrралы по дадут нуль, в си
лу условий излучения обратится
в нуль интеrрал по rранице Z==Z2,
1 в силу выполнения rраничных
условий BToporo рода для функ
ций go(M, Р), и(М), и-(м) при
z==Ообратится в нуль интеrрал по
контуру Q. В результате получим
!/
Е
---Т
по J2 I
i Z'o 171
о z. z
.Q I Z
L
[
Рис. 4.63.
2 S r д(и(M)д и(M)) go(M, P) (и(M) и(M» х
g!.
х agO ;P) ]dsp===U(M) U(M), ME D ,
n внешняя к 15 нормаль. Если же прнменить вторую формулу
l'рина в области Ь, оrраниченной контурами 20 и Qo (рис. 4.63),
к функциям go(M, Р) и и(М), то получим
1 r r ди (М) ag o (М, Р) ]
2п J I дп go(M, P) и(M) дп р dsp==O, MED, (4.6.7)
d'. -
( 4.6.6)
-так как интеrрал по контуру Qo обратится в нуль в силу условий
dii(M)/dп==dgo(M, Р)/дпр==О при z==o. Учитывая (4.6.7), инте
тральное представление (4.6.6) примет вид
2 S [ дU д <:) go(M, P) и(M) agO :; Р) ] ds p ==
[1;.
===и (M) и(M), М Е D .
( 4.6.8)
Опустив точку М на контур 21], получим интеrральное уравнение,
анаJIоrичное (4.1.19):
+и (М) + 2 J [ agO :; Р) iag o (М, Р)]и (Р) ds p ===
g!.
===ио(М)+и.(М), ME.!L o .
(4.6.9)
Решение интеrральноrо уравнения (4.6.9) леrко получить из ре-
шения интеrральноrо уравнения (4.1.19), сложив ero в точках,
симметричных относительно оси у. Как и в предыдущих rлавах,
решение IIнтеrральноrо уравнения сводится к решению системы
.линейных алrебраических уравнении, разрешимость которой еле.
IН9
дует из известной теоремы Функциона.lьноrо анализа (см. напри.
мер, [58, с. 330]).
4.6.2. Потери энерrии электромаrнитноrо поля в периодически)!:
структурах. Мощность тепловых потерь gJ энерrии электромаrиит-
Horo поля на период структуры определяется следующим образом
[59, с. 319]:
tp == + Re S ([Е, Н.], n)ds,
:J!.
(4.6.10)
n внутренняя к !:е о нормаль. Поскольку Н =={Н Х , О, О}, Е==
=={О, Е у , E z } 11 из СlIстемы уравнений Максвелла Е== rotH..
tOJB
то координаты Е у , E z следующим образом выражаются через Нх:
Е ( ) aHx(y,z) Е ( ) aHx(y,z) 6 \.
У y,:Z . , z y,:z . . (4. .11,.-
IOJe az /ЮВ ду
УЧllТывая (4.6.11), перепишем (4.6.10) в виде
== ....!..-Re \[ Ey(y,:z)H:(y,z)nz(Y,z)+
2 .
:,;:.
+ Ez (у, z) Н: (у, z) nу (у, z)] ds p ==
1 j [ 1. ( дН (у z)
== Re Hx(y,:Z)1 х, пz(y,z)+
2 t \
:J!. '
+ aHx(y,z) ( ) \ Id 1 R S 1 Н . ( ) aHx(y,z) d
nу у, Z ) sp е х у, Z sp.
ду 2:R. IOJВ дп (4.6.12)
Из rраничных условий (4.1.5), rде k==<оУЦ.t, W==-УJ.t/е, a==kW1/W,
следует, что aHx/aп==iaH x , поэтому (4.6.12) окончательно запи-
шем в таком виде
&) ==+ Re W 1 S I Нх (у, z)1 2 ds p ,
'''.
(4.6.13)
rде Нх(у, z) ==и(у, z) решение интеrральноrо уравнеиия (4.6.9),
W J вмпеданс металла.
Прll исследоваНlIИ потерь энерrни электромаrнитноrо поля на
rрсбенчатой периодической структуре величину потерь flJ норми-
руют на мощность тепловыХ потерь gJo падающей волны в пло-
скости с тем же импедансом на интервале, равном периоду Ь.
Поскольку на рассматриваемую периодическую rребенчатую
структуру падает Н поляризованная волна, вектор Н которой
имеет вид
Нх(у, z) ==А ехр (ikysin 8o ikzcos 80),
во уrол падения плоской волны, то в преломлеиной и отражен-
190
ной от плоскости z==O волнах вектор Н запишется следующим об
разом:
H TP 0== АОТР ехр (iky sin еО ТР + ikz cos е ОТР ),
H P == АПР ехр (ik 1 y sin е пр iklZ cos е пР ),
rде величины с индексом «отр» И «пр» соответствуют отраженным
и прошедшим волнам, k 1 ==00 181/-11 . По закону Снеллиуса [60, с. 99]
имеем
е Отр 0== е о , siпеПР/siпео==k/k 1 . (4.6.15)
Поскольку 9'0 выражается через Нхпр аналоrичным (4.6.13) обра
зом, т. е.
(4.6.14)
Ь/2
ff'l O ==+ReW 1 5 IH P12dsp,
/2
( 4.6.16)
-то, учитывая (4.6.14), перепишем (4.6.16) в виде
Ь(2
ff'lO==+ReW 1 f IА ПР I2ds р ,
b/2
(4.6.11)
хде Апр имеет следующий явный вид [60, с. 101]:
2
АПР ==
1 + . / 8 "1,! 81ft1 8!! sin 2 8
V erft t' 1 sin 2 80
2
1 + .. ( 1 (W 1 /W)2 sin 2 80
W V 1 sin280
Поскольку А ПР не меняется на отрезке [ b/2, Ь/2], тЬ 9'0 вычис-
ляется явно.
4.6.3. Численные результаты. Методом интеrральных уравнений
были проведены численные исследования rребенчатых структур
с прямоуrольной и полукруrовой формами rофра. В качестве Tec
тов были взяты расчеты задачи дифракции на импедансной: rpe
бенке с бесконечно тонкими rребнями, полученные с помощью
метода возмущений [27]. На рис. 4.64 Прli У ==kb == 1,57, /-1==l/b== 1
представлены зависимости коэффициента ==9'/9'0 от 80 для
h/l==O,I; 0,04 (кривые 1, 2 метод интеrральных уравнений).
Кривая 2 близка к кривой 3, соответствующей h/l ==0 и рассчи
танной методом возмущениЙ; кривые 4 (h/l==0,04 метод инте
rральных уравнений) и 5 (hil==O метод возмущений) рассчи
таны дЛЯ У==2,2; 11==0,71. Приведенные на рис. 4.64 численные
результаты демонстрируют точность расчетов, полученных раз
личными методами. Заметим, что методом интеrральных ypaBHe
191
(4.6.18)
"-
}
z'
о
Ц5
90, f)
Рис. 4.64. Зависимость коэффициен-
та 13 НОрМИрО[JашIl.Н потерь энерrИ!i
элеl\тромаrнитноrо поли от yr ла па-
дения плоской волны Во. Для kb
1,57; l/b 1:
1 h/l 0.1; 2 h!l 0.04; З h/l О. для
kb 2.2; I/b 1,71; 4 I!:I O.O'I; 5 ,./1 o
lи I
50
t иo
;{r,::rв:
lщ
1
о
А
Рис. 4.65. Распределение тока на
rребенчатой структуре с прямоуrоль
ноЙ формой rофра при kb 1,57;
llb 1:
I h/I 1.05; fj О'; 2 h/l 0.05;' 6 40";
3 h/I 0.02; В О"; 4 h/I 0.02; '6 40"
инн при J.а.:1ьнейшем уменьшеНJlИ параметра h можем получить
неустойчивый результат. Например, если при У==I,57, ==l
взять h;l O,02, то соответствующие значения КОЭффlIЦllента (OT
меченные * на рис. 4.64) располаrаются далеко от кривой 3. Этот
факт помоrают оБЪЯСНIПЬ наводимые на «rребнях» токи, пред-
ставленные на рис. 4.65. Для у== 1,57, !J.== 1, JLjl==O,05 при 80==00,
400 токи устоЙчивы (I<ривые 1, 2). Эта устойчивость сохраняется
и npll h/l O,02; 8==00 (КрIlвая 3), а уже при 8==400 получается
осциллирующий ток ОСЦJIЛЛЯЦШI TOI<a вызваны тем, что в соот-
ветствующей системе Лllнеiшых алrебраических уравнений при
малом шаrе уравнения получаются близкими к линейно заВIlСИ-
мым. Прнведенные на рис. 4.64, 4.65 расчеты показывают эф-
фективность метода Iштеrральных уравнений, коrда отношеннr.
h/l конечно.
На РIIС. 4.66 для прямоуrольной формы rофра конечной тол-
ЩIШЫ представлена заВIIСНМОСТЬ == [71/[710 от 80. Кривые 1, 2, 3
посчитаны при у л, !J. O,65 дЛЯ значений параметра h/l 1; 0,05;
0,25. Для ЭТIlХ параметров структуры от решеТКII под любым.
уrлом распространяется лишь одна rармоника. Кривые, монотot'-
192
.ft
2
r o
1UUt.
Q
45
90
Рис. 4.66. Зависимость коэффициен-
та нормироваllllЫХ потерь энер-
rии электромаrнитноrо поля от yr-
ла падения плоской волиы 80. Для
kЬ л; [jb O,65:
1 h!l 1; 2 h/l 0,5; 3 h!l 0.25. Для
h/l 0,25; l/b 0.65: 4 kb 1.05 п; 5
kb l.l :те
Л'
<101 1J.0
О V то
1 2
0,5
r
(J
Ч5
90
о
РilС. 4.67. Зависимость коэффициен-
та от уrла пад.ения п. оскоi! вол-
ны 80. Для 2rolb O,5:
l kb I.57; 2 kb 2.2; З kЬ I.05п
но убывая, стремятся к нулю пр" 80--+900 При фиксированной
толщине rребня hjl 0:= 0,25 8 случае I-L == 0,65 для значений У == 1,05n;
1,1л: заВIlСЮ1ОСТь от 80 предстаВ.lена кривыми 4, 5. На этих час
тотах при изменении во наблюдаются аномальные "зменения ко-
эффrЩИЕ:'нта в окрестности точек возникновения новых распро-
страняющихся от решетки rармоник (точек скольжения) Прн
подходе к этим точкам происходит накопление энерrии, часть KO
торой расходуется на возникновение новых rармоник. В окрест-
ности критических частот резко меняется и величина тока (см.
п. 4.4.6)
На рис. 4.67 приведены численные результаты для rофриро-
ванной структуры с полукруrовой формоЙ rофр а при У == 1,57; 2,2;
1,05л (кривые 1, 2, З) для 2ro/b==O,5. Кривые 1, 2 имеют доста-
точно полоrий характер, уменьшение потерь энерrии наблюдает-
ся для уrлов 8>600 Кривая 3, как и кривая 4 рис. 4.66, имеет
ту же точку скольжения " в ее окрестности резко меняется.
Рассмотренная методика позволяет рассчитывать периодиче-
ские структуры с произвольной формоЙ rофра и проводить выбор
формы, обеспечивающей МИНIIМУМ потерь.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шестопалов В. П. Метод задачи Римана rильберта в теории дифрак--
ции и распространения волн. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1971.
193,
2. Шестопалов В. Л., Литвиненrro Л. Н., Масалов С. А., Сол(}zуб В. Т.
Дифракция волн на решетках. Харьков: ИЗД-ВО Харьк. ун-та, 1973.
3. Литвиненко Л. Н., Лросвирнuн С. Л. Спектральные операторы рассея-
ния в задачах дифракции волн иа плоских экранах. Киев: Наукова думка,
1984.
4. AAlureu Н., rалиндо В., Ву Ч. Теория и аflализ фазироваflНЫХ антен-
ных решеток. М.: Мир, 1974.
5. Нефедов Е. И., Сив(}в А. Н. Электродинамика периодических струк-
тур. М.: Наука, 1977.
б. Вайнштейн Л. А. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Со-
ветское радио, 1966.
7. Вайнштейн. Л. А. К. электродинамической теории решеток. В кн.:
Электроника больших мощносте(l. N2 2. М.: Изд-во АН СССР, 1963,
с. 26 56.
8. Сивов А. Н. Падеиие плоской электромаrнитной ВОЛНЫ на плоскую
решеп<у (случай, KorAa вектор Н параллелен проводам). Радиотехннка и
электроника, 1961,6, N2 1, с. 58 66.
9. Тарапов И. Е. Задача дифракцин на решетке из произвольных профи-
лей. ЖВМ и МФ, 1965, 5, N2 5, с. 883 893.
10. Астаnенко В. М., Мйлюжинец r Д. Дифракция звуковой волны иа
частой периодической решетке. Акустический журнал. 1970, 16, вып. 3,
с. 354 363.
11. Солоzуб В. r Дифракция плоской волны на ленточной решетке в
случае коротких длнн волн. ЖВМ и МФ, 1972, 12. N2 4, с. 974 989.
12. Kent W'. Н., Lee S. W. Diffraction Ьу ап iпfiпitе array of paral!e!
strips. J. Math. PIJYs., 1972, 13, N 12, р. 1926 1930.
13. Нобл Б. Метод Винера Хопфа. М.: ИЛ. 1962.
14. Нефедов Е. И., Фцалковскuй А. Т Асимптотическая теория дифракции
электромаrнитных uолн на конечных структурах. М.: Наука, 1972.
15. ВиfiичеllКО Ю. Л., Захарьев Л. Н., Леманский А. А.. Туманская А. Е.
К. задаче дифракции электромаrнитной волны на решетке плоских волново-
дов. Радиотехника н электроника, 1970, 15, М 1, с. 58 66.
16. Ильинский А. С. Численные метоДЫ исследоваиия задач дифракции
иа периодичеСI(ИХ структурах и в неоДНОрОДНЫХ средах. Автореф. дис...
доктора физ.-мат. наук. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974.
17. Коnалейшвuлu В. п., Лоnовuдu Р. С., Цверuкмазашвuлu З. С. ДИ.
фракция на бесконечной решетке из ЦИЛИflдрических элементов произвольноrо
сечения. Сообщения АН [ССР, 1972.68. N2 2, с. 321 324.
18. Копалейшвилu В. Л., Лоn(}вuди Р. С., Талаквадзе r М., Цверuкмаза-
швuлu З. С. Дифракция на снстеме специальной формы «решетка в ре-
шетке». В кн.: Труды молодых научных работников Тбилисскоrо {'осудар-
cTBeHHoro университета. Сер. физ.-мат. и естеств. наук, N 2. Тбилиси, 1974,
с. 93 107 .
19. Копалейшвuли В. Л., Лоповuдu Р. С., Талаквадзе Т М., Цверuкмаза-
швuлu З. С. Решение задачи дифракции методом моделирования. В КН.:
Труды молодых иаучиых работников Тбилисскоrо roc. ун-та. Сер. фИЗ.'мат.
и естеств. наук, М 2. Тбилиси, 1974, с. 108 121.
20. Поnовuдu Р. С. ЦверuкмаэаШ8UЛU З. С. Дифракционное поле бесконеч-
ной Мllоrослойной решетки в ближней зоне. Радиотехника и электроника,
1978, 23, М 6, с. 1294 1297.
21. Зарuдзе Р. С., Талаквадзе Т. М. Численное исследование резонаlIСНЫХ
.свойств металлодиэлектрической решетки. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та,
1983.
22. Кеван.ишвuлu r ш., Цаzарейшвuлu О. Л. Метод ортоrонализации [J
теОрllИ дифракции на решетке из цилиндров. Радиотехника и электроника,
1976, 21, М 3, С. 498 506.
23. Ильuнский А. С., Попов О. Б. О ПрНМОМ: методе в задачах дифракции
на rлаДК!lХ неоrраНllченных волннстых поверхиостях в неоднородных cpeдax.
ЖВМ и МФ, 1979, 19, N'2 2, с. 426 443.
194
24. Вайнштейн Л. А., Суков А. И. Дифракция на периодической (волни
стой) поверхности. М., 1984. (Препринт/Институт раднотехники и электро
III!КИ АН СССР: М 8 (380)).
25. Илытский А. С., Фоты r Численный метод расчета периодических
структур. В кн.: Некоторые вопросы ЧlJслеIlноrо а1fализа. Труды научно
исследовательскоrо ВЫЧlIслительноrо центра MOCKoBcKoro roc. ун-та 11 Буда-
пештскоrо университетскоrо вычислительноrо центра. Будапешт, 1977, с. 25 32.
26. Слепян Т Я., Слепяlt А. Я. Дифракция плоской волны lIа не идеаль-
но проводящей rребенке. Известия вузов. Сер. РаДИОф'1эика, 1980, 23,.
N2 11, с. 1330 1341.
27. Слепян r я. Поrлощение энерrии элеl(ТрнчеСКII-ПОЛЯР1JЗованной пло-
ской волны при отражении от rребенки сиеидеальной провол;нмостью.
Письма в ЖТФ, 1979,5, вып. 21, с. 1316 1319.
28. rалишникова Т Н. Метод интеrральных уравнеииiI в задачах дифрак-
ции волн На решетках. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит. математнка
и кнбериетика, 1984, Ne 3, с. 22 28.
29. Виниченко Ю. П., Захары в Л. Н., Леманскuй А. А., Поляltский Н. И.,
Туманская А. Е. Характеристики раскрыва решетки волноводно,стержневоrо
типа. Радиотехника н электроника, 1975, 20, N2 9, с. 1804 1809.
30. Тринев А. 10., Ильинский А. С., Котов 10. В., ЧепурнbtХ И. П. Ха-
рактеристики излучеЮIЯ периоднческой структуры из волноводов произвольно-
ro поперсчноrо сечеиия. Радиотехника и Э,lсктроиика, 1979, 24, ,N'e 7,.
с. 1291 1300.
31. Ильиltский А. С., Трубников С. В. Исследование резонансных ямений
в фазированиой антенной решетке с диэлектрическими вставками. Известия
вузов. Сер. Радиофизика, 1979, 22, N2 11. с. 1383 1391.
32. ИЛIJuнский А. с., Трубнuков С. В. Расчет фазнроваНI!ОЙ антенной ре-
шетки волноводно-щелевоrо типа прямым проекционным методом. В кн.:
Числениые методы Э.1еКТРОДllиаМНКII. М.: Изд-во Mry, 1980, с. 26 54.
33. Полуботко А. М., Степанов В. А. О компенсации дифраrированноrо по-
JIЯ в решетке из плоских волноводов с неоднородностями. Изв. вуэов. Ра-
ДИОфl!знка, 1979, 22, ,N'e 1 О, с. 1255 1264.
34. А1асалов С. А., Солоzуб В. Т., Шестопалов В. П. Дифракция ПЛОСКОЙ
волны на решетке из брусьев круrлоrо сечения. Харьков, 1972. (Пре-
принт/Инснпут радиофизики 11 электронИ1Ш АН УССР: !\'!! 15).
35. Van den Berg Р. М., Voorman О. J. Diffrасtiоп Ьу а grating of суНп.
ders with ап arbitrary CI'OSS section. AppI. Sci. Res., 1972, 26, N 3 4,
р. 175 182.
36. Van deп Ве, g Р. м. Diff raction theory of а ref 1есtiоп grаtiпg.
Appl. Sci. Rcs., 1971, 24. N 4, р. 261 293.
37. rалuшн.икоаа т Н., ИЛIJuн.ский А. С. Численное решение задачи ди-
фракции произвольноrо полSl на решетке цилиндров ПРОИЗВОЛblюrо сечения.
В ки.: Вычислительные методы и проrраммированне. Вып. 24. М.: Изд-во
Mry, 1975, с. 235 249.
38. И льиltскш2 А. С., Репин В. М. О методе интеrральноrо уравнения в
задаче днфракции lIа периодических структурах. В КI!.: Вычислительные
методы и проrраммирование. Вып. 24. М.: Изд-во Mry, 1975, с. 249 262.
39. Воронцов А. А., Ильuнский А. С. Метод интеrральных уравнений в
задачах об электромаrинтной связи объемов через отверстия. В КII.: Чис-
ленные методы электродинамики. М.: Изд-во Mry, 1979, с. 53 70.
40. Воронцов А. А., Ильинский А. С. Методы интеrральных уравиеннй при
исследовании математических моделей выпуклых антенных решеток. В ки.:
Вычислительные методы и проrраммнрование. Вып. 36. М.: Изд-во Mry,
1982, с. 95 125.
41. Mexiпer J. TIle behavior of electromagnetic fie1ds at edges. Tech.
Rpt. ЕМ-72, New York: 1nst. Math. Sci., New York University, 1954.
42. ИЛIJинский А. С. Метод исслеДоваНIIЯ зада1f дифракции волн на перио-
дической структуре. ЖВМ и МФ, 1974, 14, N2 4. с. 1063 I067.
43. ЛuдсlCUЙ В. Б. Разложение по собственным функциям уравнений с
периодическими коэффицнентами. В кн.: Тuтч,\tарш Э. И. Раэложения по
195
собственным функциям, связанные с .J:ифференциальны 1И уравнениям![ 11 по-
рядка. Т. 2, прилож. VIII. М.: ИЛ, 1961.
44. Эрдейu А. Асимптотические разложения. М.: rиФмл, 1962.
45. Cl>IUpHOB В. И. Курс высшей математики. Т. 3. Ч. 2. М.: Наука,
1974.
46. fалишнuкова Т Н., Ильинскuй А. С. ИсслеДОllание токов в задаче
ДI!фракции плоской волны на решетке цилиндров (Е-поляризация). В кн.:
Прямые 11 обратные задачи теории антенн. М.: Изд-во Mry, 1976, с. 24 38.
47. Воеводин.а С. Н., Дмитриев В. И. Дифракция на конечиой решетке
KpyroBblx цилиндров. В кн.: Прямые и обратные задачи теории антенн.
М.: Изд-во Mry, 1976, с. 76 93.
48. Воеводина С. Н. Чнёленное исследование задач дифракции на конеч-
ных периодических структурах. Автореф. дис... кандидата физ.-мат. наук.
М.: Изд-во Mry, 1977.
49. Ильинский А. С., fалиШliикова Т Н. Исследование распределения TO
ков иа решетке круrлых цилиндров (Н-поляризация). в ки.: Вычиелитель-
ные методы и проrраммирование. Вып. 28. М.: Изд-во Mry, 1978, с. 61 69.
50. fалuшникова Т. Н., И льиliский А. С. ИселедоваЮlе резонансных свойств
.дифракциоииых полей плоской решеткн из прямоуrольиых брусьев на основе
анализа распределения токов. В кн.: Вычислительные методы и проrрамми
рование. Вып. 32. . М.: Изд-во Mry, 1980, с. 44 55.
51. fалиШНllIщва Т Н., ИЛl>инскuй А. С. Исследование дифракцни плоскоЙ
волиы иа решетке из наклонных прямоуrольных брусьев. В кн.: Чиеленные
методы электродинамики. М.: ИЗkВО Mry, 1979, с. 15 29.
52. И льиliСКUй А. С. Плоская задача возбуждения прозрачной периодиче-
ской етруктуры точечным источником. В кн.: Бычиелительиые методы и
проrраммнрование. Вып. 24. М.: Изд-во Mry, 1975, с. 220 235.
53. fалиШliикова Т Н., Ильинский А. С. Исследование поведеиия токов
в окрестпосТil точек реэонаиса для периодическоЙ решетки. ИЗБ. вуэов.
РадИОфllзнка, 1984, 27, N 12, с. 1597 1600.
54. Альховскuй Э. А., lf льинскuй А. С. О влиянии rофра на коэффициент
затухання основноЙ IЮЛНЫ в rофрированном волноводе. В кн.: Прямые I1
обратиые задачи теорни антенн. М.: Изд,во Mry, 1976, с. 176 179.
55. Заруба/-lОВ В. В., Ильинский А. С. Спектральный метод расчета поrон-
ных потерь в проводниках ОДИНО'lной и связанных микрополосковых ЛIIИИЙ пе.
реда'lИ. Модель бесконечно тонкой полоски. Радиотехника и электроника,
1985, 30, N 1, с. 55 62.
56. Альховскuй Э. А., Ильинскuй А. С., ТрОШUIi r И. Расчет коэффици-
ента фаэы и коэффициента затухания электромаrнитных волн в круrлом ro-
.фрированном волноводе. Радиотехника и электроника, 1975, 20,.N 11,
с. 2250----=2255.
57. Никольский В. В. Электродинамика и раепространение волн. М.:
Наука, 1978.
58. Вулих Б. З. Введение 11 функциональный анализ. М.: Наука,
1967.
59. ВUfЮ2радова М. Б., Руденко О. В., СУХОРУКОВ А. П. Теория воли.
-М.: Наука, 1979.
60. ФедороCJ Н. Н. Основы электродииамики. М.: Высшая школа, 1980.
ПРИЛОЖЕНИЕ /
О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ
ИНТЕrРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Рассмотрим численные методы решения интеrральных уравне-
[шй теории дифракции. Одномерные пнтеrральные уравнения тео-
рии дифракции можно заПIIсать в виде интеrральных уравнений
первоrо и BToporo рода. Рассмотрим сначала алrоритмы решения
интеrральных уравнений BToporo рода
U (SM) + S u (sp) К (SM' sp) ds p =со t (SM)' SM е SO' (1)
S.
Кривую 50 считаем замкнутой rладкой кривой с непрерывноЙ кри-
визной, ядро K(SM, sp) непрерывноЙ, заданной на множестве
50Х50, периодической по каждому aprYMeHTY функцией. Рассмот-
рим уравнение (1) как операторное уравнение в банаховом про-
странстве СР (50) непрерывных периодических на 50 фунrщий с
нормоЙ Ilull==maxlu(s)j Из теории потенциала следует, что
5 ES,
уравнение (1) непрерывно обратимо, если контур 50 оrраничивает
нерезонансную область.
Введем на контуре 50 сетку {so, SI, . , SN ==so}. Обозначим h i ==
==Si Si l, h N == шах h i . i =со 1,2, , N Зададим на каждом
1S;;:)S;;;N
интервале характеристическую функцию
( ) { 1, если se(li l,si),
q>i S
О. если S (Si l.Si)'
Набор функций {q>i(S)} примем за базисные функции при построе-
пии приближеНlIоrо решения интеrральноrо уравнения (1), рас-
сматриваемоrо в классе СР (SO). Линейную оболочку функций
qJi(S) обозначим через HN. Приближенное решение уравнения (1)
N
будем искать в пространстве Н N В виде u N (5) == r aiq>i (5). Функ-
i l
ции u N (s) не принадлежат пространству ФУНКЦИЙ СР (50), поэтому
расширим область определения уравнеНlIЯ (1). Если мы будем
рассматривать уравнение (1) на множестве измеримых и orpa ни-
ченных в существенном функций с НОРМОЙ Ilu (5)11[.",
ess sup \ U (s) \ . то простр анство Н N является подпростра "ст-
seS.
ВОм Lco, при этом дЛЯ ФУНКЦИЙ u (s) из класса непрерывных функ-
ций С(5 0 ) выполняется равенство Ilu (s)llc(s,) == Ilu (s)llL,,, УрааlIе-
ние (1) на множестве Loo имеет не более одноrо решения, Н, слсдо-
вательно, теорема о разрешимости ннтеrраЛЫIOrо уравнения ('np:!-
ведлива на множестве Loo, причем уравнение (1) имеет HCIlPCPt.I"-
ное решение. Запишем уравнение (1) на множестве Со<> IJ OllPP:I-
197
торном виде
и+Ки== t, и, fELoo.
Оператор К (К: Loo---+Loo) вполне непрерывен, а оператор
непрерывно обратим.
В пространстве СР (So) введем последовательность операторов
сужения {Т N}. Выберем на So систему узлов {t j }, so<t l <51 <t 2 <
<tN<SN==SO. Для любой функции t(t) ECP(So) оператор TN
ставит еЙ в соответствие значения функции t (t) в узлах:
т Nt (') == {f (ti)}7 1' Оператор Т N отображает пространство
CP(So) на N MepHoe линейное пространство столбцов XNERN
Введем в RN норму: IIxNII == тах IX k I Для любой функции
l k N
(2)
(E+К) I
f(t)ECP(So) имеем
lim max It(t;)/==maxlt(t)l,
N Ф l i N tE5.!
если тах I tj tj II---+0. Это означает, что последовательность опе
j
раторов сужения T N , действующих из CP(So) в RN, paBlIoMepHo
оrраничена, т. е. 11 Т NII <Сl. Если на множестве Н N ввести норму
lIuNII==max luN(s)1 == шах IUil. то пространство HN и множество
sE5, l i N
столбцов RN будут ИЗ0метричными конечномерными пространст
вами и Т NuN == {a;}t' 1 . ЛюбоЙ непрерывной функции f поставим
в соответствие fN по правилу:
N N
t N == r f (ti) <Р; (t) == L (Т Nf);fP, «).
i 1 i l
Приближенное решение интеrральноrо уравнения (1) опреде
лим из системы линейных уравнений
TNuN(SM)+TN S K(SM,SP)uN(Sp)dsp==TNf(SM)' (3)
5.
Система уравнениЙ (3) и является реализацией метода Крыло
ва Боrолюбова. Пусть u(s) решение уравнения (1). Приме
няя оператор сужения к уравнению (1), получим
Т NU (SM) + т N f к (SM' sp) U (sp) ds p == Т Nt (SM)'
5.
Для разности u иN имеем уравнение
т N (и (SM) UN (SM» + т N S К (sM. sp) (и (5р) u N (sp» ds p == О. (5)
5.
ТаК как решение уравнения (1) существует, то для функции u(s)
N
можно построить аппроксимант И! (s) == Ui!fi (5). rде и; ==
(4)
' l
198
S{
== S u(s)ds. Уравнение (4) можно перепнсать следующим
h,.
Si l
образом:
т N (и[ (SM) u N (SM) + т N S К (sM' sp)(u/ (sp) u N (sp)) ds p ===
s.
===TN S K(SM.Sp)(U(sp) u[(sp»dsp.
S.
(6)
Таким образом, уравненне (3) эквивалентно уравнению (6).
Покажем, что уравнение (3) имеет решение. Уравнение (3)
эквивалентно уравнению
TNuN(SM)+T N S K(SM,Sp)UN(Sp)ds p + J K(SM,Sp)UN(Sp)dsp
s. s.
s К (sM' sp) u N (sp) ds p === Т Nf (SM)
S.
или
u N (SM) + S к (SM. sp) u N (sp) ds p + т N S К (SM, sp) u N (sp) ds p
s. s.
5 K(SM,Sp)uN(sp).dsp==TNt(SM)'
s.
в операторном виде предыдущее уравнение можно переписать
следующим образом:
uN+KuN+TNKuN KuN==TNf. (7)
В силу определения оператора сужения IIT NKu N KuNIIL", ---+ о
при N--+oo для любоrо uNEHN. Следовательно, найдется такой 1I0
мер N o , начиная с KOToporo II(Е+К) IIIIIТNК КII q<l.
Уравнение (7) можно рассматривать как уравнение для суммы
операторных выражений А+В, rде А==Е+К, B==TNK K. Соrлас
но основной теореме об обратном операторе для суммы операто
ров [1] имеем, что оператор А +В обратим при условии
IIBIlIIA III<l и 11 (A+B) 'II IIA III (l IIВlIIIA ll1) I. Следователь
но, операторное уравнение (7) обратимо дЛЯ N> N о. а уравнение
(3) также обратимо. начиная с N o . Тем самым и уравнение (6)
разрешимо и
II(E т NК) I II<II(E К) I"( 1 q) l ==с 2 .
I\(u[ uN)1I == "(Е Т NK) lT NK (и u/)II<
< с 2 11 Т NIIIIKII "и щll Сзllu и/Н.
(8)
Оценка (8) имеет место в силу равномерной оrраниченности опе
199
ратора сужения. Используя результаты теории аппроксимации [2].
имеем, что Ilu u/IIL", < hllull w \
'"
Для сходимости аппроксиманта в норме C(So) неоБХОДl1МО по
требовать, чтобы решение исходноrо уравнения прин адлежало
классу функций, удовлетворяющих условию Липшица [3]. Таким
образом, сходимость приближенноrо решения u N к точному требу
ет, '!Табы решение уравнения (1) обладало некоторой rл адкостью.
Как правило, ядро К (SM, sp) И правая часть таковы, что решение
обладает достаточным числом производных. В этом случае можно
применить аппроксимацию функции u(s) на So с помощью локаль
ных сплаЙн-функций, обладающих большой rладкостью. При этом
исходное уравнеllие можно рассматривать в пространстве C(SO).
Описанный метод нашел широкое применение при решении ин
теrральных уравнений задач электродинамики [4, 5]. В американ-
ской литературе [5] он получил название метода момеllТОВ.
Для интеrральных уравнениЙ первоrо рода применнма та же
схема построения приближенноrо решения. Однако обосиование
метода требует некоторой моднфикации. ОНа связана с тем, что
интеrральные уравнения первоrо рода имеют лоrаРИфМllческую
особенность при совпадении aprYMeHTOB. Обоснование метода ап
проксимации и коллокации для IIнтеrральных урав[{ешrЙ nepBoro'
рода на замкнутом контуре So приведено в работе [6]. Изложим
лишь схему решения. Приближенное решение уравиения
i к (SM' sp) u(sp) ds p == f (SM)' sM Е So,
S.
(9).
ищется в KOHe'IНOMepHoM пространстве Н N В Вllде u N (s) ==
N
== Е aiqJi (s). Коэффициенты а; определяются из условия соrласо
{ \
вания в точках {t;}f l: 5 K(tj,Sp)uN(sp)dsp==j(tj), j== 1, ,N
s.
Эти соотношения дают систему линейных алrебраических ypaBHe
ний
N
raiAj,==fj, fj==f(tj), j==l, ,N,
{ \
5 i
A,j=='\K(tj,SP)\{!i(Sp)dsp== ' K(tj, Sp) ds p . (10)
s. Si l
При вычислении элементов матрицы A ji несобственные интеrралы
вычнсляются аналитически, а интеrралы от реrулярных функций
вычисляются с заданной точностью. Для обоснования метода Tpe
буется доказать разрешимость системы (10) 11 получнть оценку'
сходимости.
200
Двумерные задачи теории дифракции на разомкнутых тонких
-экранах [7], ряд плоских задач электростатики [8]. контактные за
даЧIl теории упруrости [9] сводятся к решению линейноrо синrу-
лярноrо ypabheHI-IЯ первоrо рода с лоrарифмической особенностью
ядра
1
S[lnlx 61 +N(х, )Jq>ШdS==f(х), /<x<l. (11)
l
В теоретическом плане это уравнение исследовано достаточно
полно. Во мноrих работах, начиная с [10], проводится исследова
ние разрешимости уравнения в различных ФункционаJlЬНЫХ про
страllствах. Классы функциональных llространств должны быть
выбраны так, чтобы решение интеrральноrо уравнения порождало
решение соответствующей краевой задачи дифракции на тонком
экране. Эти классы MorYT быть выбраны различными способами,
однако во всех случаях они должны обеспечить условие на ребре
[11] Рассмотрим решение (11) в классе Lp( /, [) измеримых,
интеrрируемых по Лебеrу функций ер (s) на интервале ( l, 1),
l.,;;;:р...;;: 2. При этом условии решение интеrральноrо уравнения
обеспечивает выполнение УСЛОВИЯ на ребре в задачах дифракции
на тонких экранах. В работе [12] доказана теорема единственно
сти для уравнения (11). к которому сведена задача дифракции
на тонком экране. Для задач дифракции на тонких экранах фун-
даментальное значение имеет следующая теорема о разрешимо-
сти уравнения (11)
Теорема 1. Пусть ядро уравнения N (х, s) ЕС! ( l, [) Х С! ( l, [),
уравиение (11) может иметь лишь единственное решение в клас-
се функций Lp( l, [), l.,;;;:р<4/З, тоrда для любой ФУНКЦИIl f(X)E
Е Wql ( l, [), q>4/З, решение уравнения (11) существует и при
надлежит классу Lp( l, l), l.,;;;:р<4/З. Для решения уравнения
(11) имеет место оценка: 11(fIILp( I.I) < Clltllll" H.I)'
Пр!! построении конечномерных аппроксимациЙ Иliтеrральноrо
-оператора с лоrарифмичеСl\ОЙ особенностью требуется обеспечить
реrулярнзирующие свойства конечномерноrо оператора. Ниже
предлаrается схема аппроксимации Иl!теrральноrо оператора, co
ответствующая общей абстрактной схеме прнближенноrо решения
операторных уравнений [1], достаточно эффективная для праl\ТИ
ческой реализации.
Введем на отрезке { l, 1] сетку {Xi}Ni O, ! XO<Xl <
<XN /. Определ!!м оператор сужения Т лr. ставящнЙ в ('OOТlICT
ствие каждой функции t из W q l ( l, 1) столбец ее 3!1a'lCIIJJi'l 11 Y:I-
лах Xj: t N Тл,f o==.{t (Xi)}f o' Уравнепне (11) З[\Jl1l1lI('М 11 ()lIl'pll
торной форме А<р== {, А: L p ( l, l)--+W q ! ( /. [).
:.!II!
Для любой функции qJ(x)ELp( I, 1) определим аппроксими-
рующий оператор А н , действующий из Lp( l, l) в Wql( l, 1)
следующим образом: ANqJ ==SNT NAqJ, rде SN линейный оператор
продолжения, определенный как оператор из RN+I в W ql ( l, 1),
ставящий в соответствие каждому элементу ун ERN+l функцию
fEWql( l, [). Ядро оператора SN пусто: N(SN) =={О}. Оператор AN
поточечно аппроксимирует исходный оператор А на решении ypaB
нения (11) в силу однозначной разрешимости уравнения (11), т. е.
IIАNIp АIpIl--+О при N--+oo. Для операторов А и Ан справедлива
следующая теорема [13].
Теорема 2. В силу поточечной сходимости оператора Ан к А
найдется такое ба и такой номер N o , начиная с KOToporo уравнение
А н ; == fб (12):
разрешимо при любых {j для 6<60, rде
Ilf f II ( I.I) < б; " { Е W ( l, 1).
При этом для любоrо компактиоrо в L p ( l, 1) множества М
( ОЕ М) имеет место условие УСТОЙЧИВОСТ!f: IIANIPIlWI ( I.I)
q
mll.vlkp( I.I) , rде q,EMc::L p ( l, [), m>О и не зависит от N.
Из условия устойчивости следует оценка
1
11 qJ qJllLp( I.r) <: (IIANq> Aq>IIW ( I.,) + Ilfб fllw H.,)' (13)
Функцию fб всеrда можно представить в виде f6==SNfN, fN==
=={fo, .. ,fN}, rде {; точные значения правоЙ части в узлах сет-
ки {Xj}. в силу свойств оператора SN функция SNfN обладает дo
статОЧНОЙ rладкостью, обеспечивающей принадлежность решения
уравнения (12) локально компактному в L p ( l, 1) множеству М.
В пространстве L p ( l, 1) введем последовательность конечно-
мерных подпространств {Н н}, предельно плотных в L p ( l, 1),
образованных кусочно постоянными фИН!fТНЫМИ на интервале
( l, 1) функциями. Введем на отрезке [ l, 1] сетку I==Хl <Хо<
<х\ < .., <XN<XN+I == 1, h i ==Xi Xi \, h N ==..о тах h i . Точки сетки
O';;;i';;;N
для O-<.i-<.N совпадают с узлами, на которых определен оператор
т N. Набор функций ер; (х) образует базис в конечно-мерном под
пространстве HN. ДЛЯ функций (x)EMc::Wql ( l, 1) c::Lp( I, 1).
имеет место аппроксимация [2]:
II Ip NIIL p ( I./) <: ChNII;Pllwl( 1 /)' rде с не зависит от N, а функция
q .
epN (х) является проекцией ;(Х) на HN:
N ",.
qJN (х) == Т N;P (х) == aiqJi (х), а, == 5 (х) dx,
h,
' O Xi 1
11;P cpNllLp( /.I) == sup 11(p vliLpH./).
vEHN
202
Рассмотрим уравнение (12) на множестве функций ЕН N вида
N
V == Е V,((>i (х). Покажем, что уравнение
i O
АNv==fб (14)
имеет решение для любой функции [6 при любом N, начиная с не-
KOToporo N o . Уравнение (13) эквивалентно уравнению
AN (V ((>N) ==AN(q; 'lJN) ==F (15)
Для правой части уравнения (15) в силу условия устойчивости
(13) имеет место оценка
1
IIAN (q> <pN)llwl ( II ) < 11((> q>NIILI( I.I).
2' т
Следовательно, при N.......oo правая часть в уравнении (14) стремит
ся к нулIO, а в силу нормальной разрешнмости уравнения (12)
найдется такой номер N o . начиная с KOTOpOro уравнеН11е (15). а
следовательно и уравнение (14), разрешимо при любоЙ правой
части.
В силу свойств оператора продолжения SN уравнение ANIp
SNT лrА<р эквивалентно следующеЙ системе линейных уравнений:
N I&k
Vk ;k 5 [IпIХi sl +N(Xi.S)]'lJk(s)ds"""fi, (16)
k O "'k l
x I==I, xN==I, i==O, ,N.
Обозначив через
"'k
1 J .
Aik ==
h k
[lnlxi 1 +Ni(Xi.S)]d .
Xk l
запишем систему уравнений (16) в стандартной форме
N
I: и ik o=li, i ==0, . N.
k O
Поскольку система (16) эквивалентна системе (15). то для нее
имеет место теорема разрешимости при любой правой части, а в
силу предельной полноты последовательности подпространств
{Н N} имеет место теорема о сходимости v к Т N-;P В норме прост-
ранства Н N.
Схема вычислений, рассмотренная в данной работе, нашла ши-
рокое применение в численном решении интеrральных ураВllеllllЙ
с лоrарифмической особенностью [7, 14].
:lO:1
ЛИТЕРАТУРА
TpeHOi!UH В. А. Функциональный анаЛIIЗ. М.: Наука, 1980.
Мар"ук r И., Аzошков В. И. Введение в проекционно-сеточные мето-
ДЫ. /I\.: Наука, 1981.
3. 3авьялов Ю. С., Квасов Б. И.. Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-
функций. М.: Наука, 1980.
4. Дмитриев В. И., Захаров Е. В. Метод решения задач электродинамики
неоднородных сред. ЖВМ и МФ, 1970, 10, N 6, с. 1458 1464.
5. Haring/on Я. F. Field computa liоп Ьу тотеп! met!10ds. New York,
1968.
G. Воронин В. В.. Цецохо В. А. Численное решенне нвтеrрал ноrо уравне-
ния первоrо рода с лоrарифмнческой особенностью методом интерполяции и
коллокации. ЖВМ и МФ, 1981, 21, М 1, с. 40 5З.
7. Захаров Е. В., Пименов Ю. В. Численный авализ дифракции радноволн.
М.: Радио 11 связь, 1982.
8. Хапаев М. М. (мл.) Численное обращеНllе некоторых IIllтеrральных опе-
раторов первоrо рода. ДУ. 1981, 17, ;'JЪ 7, с. 1328 1339.
9. Ворович И. И.. Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические сме-
шанные задачи теории упруrости. М.: Наука, 1974.
10. Garleтan Т Abclesche Inlegralgleichung mil Копslапlеп Grenzetl.
Matll. Zeit., 1922, 15, 111 120.
11. Ильинский А. С.. rусейнов Э. А. Исследование ннтеrрал ноrо уравнеНlIЯ
линеЙноrо вибратора. В КlI.: Методы вычислительной электродинамики. М.:
Изд,во Mry, 1981, с. 39 46.
12. Трико.IfИ Ф. Интсrральные уравнения. M.: ИЛ, 1960.
13. Иванов В. В. ТеОрllЯ приБЛllженных методов и ее прнмеllение к чис-
ленному решению СIlнrулярных интеrральных уравнений. Киев: Наукова дум-
ка, 1968.
14. Ильинский А. С., Бережная И. В. Исследование распределения 70ка в
СJlстеме ПРОИЗВО.1ЬНО раСПОJl0жеНIIЫХ вибраторов. В кн.: ВЫЧlIслнтеЛl>!!ые ме.
70.1Ы и проrраммирование. Вы п. 20. М.: Изд-во Mry, 1973, с. 263-----269.
ПРИЛОЖЕНИЕ2
СТАНДАРТНАЯ проrРАММА РЕШЕНИЯ
КОМПЛЕКСНОй СИСТЕМЫ ЛИНЕйНЫХ
АлrЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИй С НЕСКОЛЬКИМИ
ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ
Назначение. Стандартная nporpaMMa предназначена для pe
шения системы линейных алrебраическнх уравнений Ах == Ь с
комплексной (полностью заполненной) матрицей А и несколькими
правыми частями.
Математическое описание. В основу реализованноrо алrоритма
решения комплексной системы линейных алrебраических урав-
нений положен метод Жордана с выбором rлавноrо элемента по
строке [1]. Матрпца наСЧllтывается и обрабатывается построчно.
В процессе работы проrраммы матрица приводнтся к единнчной,
а на месте правых частей получается искомое решение. Проrрам
ма написана на языке Алrол и отлажена в системе ОС
ДИСПАк. ВО время эксплуатации nporpaMMbI в Mry на ЭВМ
БЭСМ-б pe-шаJIИСЬ I{Qмплексные системы до 200 порядка.
204
Литература
Воеводип В. В. Численные методы алrебры (теория и алrо
ритмы). М.: Наука, 1966.
Использование
СЛАУМ (N, М, Р, Х);
Параметры
N порядок комплексной матрицы А (тип: целый);
М КОЛl1чество правых частеii (тип: целый);
Х массив размерности [1 : 2х Мх N], в котором размещается
решение системы (тип: вещественный). Если обозначить решение
системы х == (х\ (1), , XN(I)}, rде индекс i означает решение CIICTe
мы с матрицей А и i-й правой частью, l..;:;:i..;:;:M, то в результате
работы СЛАУМ решение в массиве Х запишется следующим об-
разом:
X[l):==Rexl(1), X[2):==Imxl(I),
Х[З): == Re xz(1), Х[2 Х МХ N): == 1т XN(M).
F процедура оператор вычисления строки расширенной MaT
рицы. Процедура F пишется пользователем проrраммы и зависит
от двух формальных napaMerpoB, т. е. F (1, О), rде 1 номер
вычисляемой расширенной строки матрицы (тип: целый). входит
в список значений процедуры;
D массив размерности [1: 2х (N+M)) (тип: вещественный),
в список значений не включается. В массив D заПllсывается стро-
ка раСШlIренной маТРIlЦЫ А. Вычислительный алrоритм в проце-
дуре F должен быть орrанизоваи таким образом, чтобы при I M
обращении к процеДуре F из процедуры СЛАУМ в массив D за-
писывалась I я строка расширенной матрицы, т. е.
D[ 1] : == Re al(, D[2) == 1т аIl,
D[2XN): ==lmaIN, D[2XN+l) ==Reb((,
D[2x (N+M)]: == 1т Ь(М.
Здесь {Ь(', , b N [}, 1 ..;:;:i..;:;:M, вектор правых частей рассматри
ваемой системы уравнений.
Внешние устройства нет.
Внешние проrраммы нет.
Текст nporpaMMbl
PROCEDURE C:\AYM(N, М, F, Х);
VALUE N,M; 1NTEGER N,M; PROCEDURE F; ARRAY Х;
BEGIN REAL Р7, Q7, U9, U10;
INTEGER N8, К7, К8, К9, М7, М8, М9, 1, 11, JI, 17, Ю, J;
INTEGER ARRAY R9[I:N); ARRAY A[I:2X(N+M)],
В [l:ENТlER( (N+M) Х (N+M)j2) J;
N8: N+M; К7: 0; R7: ENТlER «N+M) Х (N+M)j2);
I: I; БI5:В[II: 0; 1: I+I;
IF I<R7 THEN GOTO 515 ELSE 1:-= 1;
Б17:R9[I1 : o; ': 1+ 1;
IF kN THEN GOTO 617;
Ж:К7: К7+1; K8: К7 I; K9: 2xК7; M7: N8 K8;
F(К7, А);
()
]F 1 <К7 THEN BI:GlN I: 1;
618:R7: R9[1]; U9' A[2XR7 1]; UlО: А[2ХЮ];
A[2XR7 1]: A [2Х 1 1); A[2xR.7]: A [2х 1]; A[2X1 I]. И9;
AI2XI]: UIO; 1. I+1.
IF 1<К7 THEN GOTO БI8 ENO;
FOR 1: К7 STEP 1 UNТ1L N8 00
BEGIN 11: 2XI; P7: Q7: 0;
FOR J7: 1 STEP 1 UNТlL К8 00
BEG1N M8: «J7 I)XM7+I K8)X2; J1: 2XJ7;
Р7: P7+B [M8 lj XдrJl lj B [М8] хА [J1];
Q7: Q7+B[M8] XA[J1 11 +B[M8 I] XA[J1) ENO;
A[I1 I] A[I1 1] P7; A[J1J: A(lIJ Q7 END;
U : o; R7' КY I; I: КY I.
БI9:1: I+ 1; U 'o: (А[2Х 1 IJ) t2+ (A[2XJ]) t2;
IF U10>U9 THEN BEGIN R7: I; U9: U10 ENO;
1F I<N THEN GOТO БI9 ELSE R.9[КY]: R.7;
Р7: И9; U9: A[2XКY]. U10: A[2XКY I]; A[2XКY I]: A[2XR.7 IJ;
А[2ХК7]: А[2хЮ]; Ar2XR7 I]: U10; A[2XR7]: U9;
FOR. 1: 1(7+ I STEP 1 UI\'rtL N8 00
BEGIN 11: 2X 1; Q7: (A[II I] XA[K9 1] +A[11] XA[K9J )/Р7;
А (11): (А[11] XA[K9 I] A[K9] XA[I1 I] )/Р7; A[I1 I]: Q7 END;
1: 1; J1 : R.9 [К7] К7;
Б21.М9: 2Х«I I)ХМ7+1); R7: M9+2XJ1; И9: В[М9 1];
И10: В(М9];
B[M9 IJ: B[R7 I]; IЗ[М9]: В[R.7J; В[Ю 1]. И9; В[Ю] U10; 1: 1+1;
1Р I<кY THEN GOTO 621;
FOR I: 1 STEP 1 UNТlL К8 00
FOR. J7: КY+ 1 STEP 1 UNTIL N8 00
BEGIN M8: 2x «(I I) ХМ7+Л К8); M9: 2X( (I I) хМ7+ 1);
Jl : 2хЛ; В [M8 1]: В [M8 I ] B[M9 1] xA[J1 1] +В[М9] хА[Jl];
В [M8]: B[M8] B [М9] XA[Jl I] B [M9 I] XA[J1] ENO;
FOR. 1: 1 STEP 1 UNТlL К8 00
FOR J7: КY+1 STEP 1 UNTIL N8 DO
BEGIN M8: 2X «1 1) х и.\7 1) +Л К7); M9: 2x «(I I) XM7+J7 K8);
B[M8 1]. B[M9 1]; B[M8]: B[M9] ENO;
FOR. 1: K7+1 STEP 1 UNТlL N 8 DO BEGlN
BEGlN M8: 2x «(К7 2) х (M7 I)+N8 2XКY+ 1);
II: 2X1; B(M8 IJ: A[II I]; B(M8]: A[I1] ENO;
IF Ю<N THEN GOTO )l\;I: N I;
Б22:R7: R9 [1];
FOR J: 1 STEP 1 UNТlL 2хМ DO
BEGlN M8: (I I) Х 2XM+J; М9: (Ю 1) X2xl\HJ;
И9: В[М8]; B[M8]: B[M9j; В[М9]: И9 END;
1: I I; 1F 1>0 THEN GOTO 622;
FOR 1: J STEP 1 UNTIL М 00
FOR. J: I STEP J UNTIL N ОО
BEGlN M8: 2x(I J) XN+2XJ; ,\1.9: 2x (J I) хМ+2Х1;
X(M8 IJ: B[M9 I]; X[M8]: B[M9] END END;
оrЛАВЛЕНИЕ
r л а в а 1. Дифракция плоской полны на ОДИНОЧНОМ цилиндрическом
идеально проподящем теле 3:
1.1. Постановка задачи 4
1.1.1 Урапнения Максвелла. rраничные условия (4). 1.1.2. Условия
излучения (5)
1.2. Сведение векторноЙ задачи к двум скаЛЯРНЫ;;1 задачам 6,
1.2.1. Получение двумерных уравнениЙ rельмrольца (6). 1.2.2. rpa-
иичные условия для идеальноrо проводника (9)
1.3. Сведение краепых задач к интеrральным уравнениям 11
1.3.1. Получение иитеrральных уравнений (11). 1.3.2. Исследование
интеrральных уравнеиий (1.3.14) и (1.3.15) (14). 1.3.3. Эквнвалент-
иость краевых задач и интеrральных уравнений (16)
1.4. Численнын метод рсшения интеrральных уравиений . 18'
1.4.1. Выбор контура интеrрнрования (19). 1.4.2. Сведение инте-
rральноrо уравнения к системе линейиых алrебраических уравнеиий
(20). 1.4.3'. Вычисление элементов матрицы системы линейиых алrе-
браических урапнеиий (21). 1.4.4. О стандартной nporpaMMe для
решения систем линейных алrебраических уравнений с произвольной
комплексной 11атрицеЙ (23).
1.5. Вычисление диаrрамм направленности рассеянноrо поля 24'
1.6. Дифракционное излучение заряженноЙ нити, движущейея вблизи
металлическоrо цилиндрическоrо тела 26
1.6.1. Постаиовка задачи. Вывод интеrральноrо уравнения (26).
1.6.2. О реализации числеиноrо аЛl-оритма решения интеrральноrо
уравнения (29). 1.6.3. Основные характеристики дифракционноrо из-
лучения (30). 1.6.4. Анализ ЧИС. енных резу лыатов при движении
заряженной НИТI! вб.1НЗII цилиндров KpyroBoro, квадратноrо, прямо-
уrольноrо и Э"1липтическоrо поперечных сечений (31)
Литература 37
r л а в а 2. Дифракция плоской полны на цилиидре с проводящеА или
прозрачной средой 41
2.1. Постановка задачи дифракции. Получение интеrральных уравнений
на импедансном цилиидре 42
2.1.1. Е-поляризация. ПреобразоваНllе импедаисных rраничных усло-
вий иа поверхности цилиндра к с!<алярным rраничным условиям
треп>еrо рода (42). 2.] .2. Н ПОЛЯрlВаIllIЯ. Преобразоваиае импе-
дансных rраничных условиЙ Леонтовича к скалярным rраничным
условиям TpeTbCro рода (44). 2.1.3. Вывод интеrральиоrо уравнения
(45)
2.2. Вывод интеrральных уравнений при дифракции плоской волны иа
диэлектрическом цилиндре. . . . 46
2.2.1. Постановка задачи (46). 2.2.2. Получение системы IIнтеrраль-
ных уравнений (48). 2.2.3. Исследоваllне ядер системы интеrральных
уравненнй (2.2.15) (50)
Литература 53
r л а в а 3. Дифракция волн на импедаисном цилиидре в прямоуrольном
волиоводе с идеально ПрО80ДЯЩИМИ стенками 55
3.1. Типы воли в прямоуrОЛЬflОМ волноводе 57
3.1.1. Поперечно-электрические и поперечно-маrнитные нормалыlЫС
волиы в прямоуrольном волноводе (57). 3.1.2. Продольио-электри-
ческие и продольно.маrнитные BOпIIbI в прямоуrолыlOМ DОЛIIОВОДС
(62)
3.2. Дифракция электромаrиитных волн на цнлиндре в прямоуrОЛI.IIOМ
волноводе . . fi1
3.2.]. Постановка задачи (67). 3.2.2. Дифракция nOJlllld "111 11:
дуктивном стержне (69). 3'.2.3. Дифракция волны H 10 на емкостном
стержне (73)
Сведение краевой задачи дифракции электромаПll!тноrо поля на
цилиндре в плоском IJO.1новоде к интеrральному уравненню 80
3.3.1. ИИДУКТlШный ЦИЛIlIЦР (80). 3.3.2. Емкостный стержень (84).
3.3.3. Энерrетнческое СООТllошение (87)
Исследование функций rpllHa реrулярноrо волвовода 87
3.4.1. Метщ отражеНlIЙ (88). 3.4.2. Примененне формулы суммиро-
наНlIЯ Пуассона ДЛЯ построеllИЯ волноводной функЦlШ rpl!Ha (91)
ПОСТРQенис алrОРIIТМОВ вычисления функций rрина незаполнеиноrо
волновода 94
Чнсленные результаты 98
3.6.1. МетодичеСliIIС исследования результатов численноrо экспери-
мента (98). 3.6.2. Резул таты числеНIIоrо исследования ВОЮlOводных
CllcTeM (105)
Литература
[ JI а в а 4. ДИф[Jакция элеiпромаrнитноrо поля иа периодической CTPYK
туре из цил индроп ПРОИЗВОЛЫlOrо поперечноrо сечеиня 115
4.1. Дифракция плоскоi'I IJОЛНЫ на беСКОllечной решетке 117
4.1.1. Постановка задачи (117). 4.1.2. Вывод ИlIтеrральных урав-
нений (119)
4.2. Алrоритмы ВЫ'lllслеНШI квазипеРИОДIlческой функции rрина и ее
нормаЛЬНО!1 ПРОНЗВОДIIОЙ ] 23
4.2.1. Алrоритм ВI,IЧllслеШIЯ квазипериодической Фувкции [рнна
(123). 4.2.2. АлrОрlIТМ IШ'lислеНIIЯ IIормалыIйй ПРОИЗВОДIIОЙ квазн-
перИОДIl'lеской ФУIIКЦИИ rplllIa (1.26)
4.3. ДифраКIIIIЯ ПО.1Я точечноrо источника на беСКОllечной решстке 127
4.3.1. ПUСТаIIовка задаЧII и вывод интеrральных уравнениЙ (128).
4.3.2. Диаrрамма IlапраВЛСННОСТl1 поля точеЧIIОI'О IIСТОЧIIIll\а (] 30)
4.3.3. ЭнерrеТIIЧССI;ое СООТlIошение (] 33)
. 4.4. АналlIЗ ЧИС.1СIIIlЫХ результатов задачи дифракции плоской волны
на решетке . . . . . . . . ] 36
4.4.1. Решетка из KpyroBbIx цилиндров. Е -поляризаIIИЯ (136) 4.4.2.
Решетка IIЭ KpyroBbIx III1ЛИНДрОВ. Н-поляризация (] 41). 4.4.3. Ре-
шетка нз прямоуrольных НIIЛИНДрОВ. E-ПОЛЯРl!зация (146). 4.4.4. Ре-
шетка IIЗ наКЛОНIIЫХ примоуrольных ЦIIЛИНДРОВ. Е-поляризация
(148). 4.4.5. ЗаI3НСII мость элеКТРОДIlllамических ха рак теристик ре-
шетки от формы поперечноrо сечення ее Э.l0IСI!ТОП (163). 44.0.
Исследование пове.'1СНIIЯ токов в окрестности точек резонанса для
решеток из прямоуrо.1ЬНЫХ цилиндров (Н ПО.1ярнзаuия) (165)
. 4.5. Анализ ЧИСJlенных результатов задачи ;lIIфраКЦИI! ПОЛЯ ТО'lечноrо
источника На решетке 167
4.5.1. Решетки нз ЦИJlИНДР08 KpyroBoro и KBi1.,paTHoro попе[Jечных
сечений (171,). 4.5.2. Решетки из цилнндров прямоуrолыlrоo попе.
речноrо сечсння (177)
4.6. Исследование потерь энсрrин злектромаI"ИНТНOI'О поля на I"ребенча-
той псрНО,щческоii структуре 187
4.6.1. Постановка за;\<lЧII. Вывод интеrрал ноrо У[JавнеНIIЯ (188).
4.6.2. Поте[JИ ЭIlерrlIII "JлсктромаrНIпноrо ПОЛfl n пеРllOДIIЧССКIIХ
структурах (190) 4.6.3. Численные результаты (19])
Литература 193
3.3.
3.4.
3.5.
3.6
ПриложеннС'
ненчй
о численных методах решения иитеrральиых ypaB
197
Литература 20L
При Л О Ж е и I1 С 2. Стандартная nporpaMMa решении комплексной систе
мы ,1инеЙных алrеuраических уравнений с неско, ькими правыми частями 20';