Б. М. ЛЕВИТАМ, И. С. САРГСЯН
ОПЕРАТОРЫ
ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ
И ДИРАКА
щ
МОСКВА «ПАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 9 S 8

ББК 22.162
Л36
УДК 517.984
Левитап Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Ли-
увилля и Дирака.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.— 432 с.
ISBN 5-02-013751-0
Излагаются основные вопросы спектральпой теории оператора
Штурма — Лиувилля и одномерного оператора Дирака, а именно:
асимптотика собственных зпачений и собственных функций,
разложения по собственным функциям, исследование спектра,
асимптотическое распределение собственных значений, вычисление регу-
ляризоваппых следов, решение обратных задач.
Может служить введением в общую спектральную теорию
самосопряженных операторов в пространстве Гильберта.
Для научных работников — математиков и физиков-теоретиков,
занимающихся проблемами спектральной теории, а также для
аспирантов и студентов старших курсов математических
специальностей университетов.
Библиогр. 92 назв.
Рецензент
доктор физико-математических наук М. В. Федорюк
л 1702050000-117 v,} g8
053(02)-88
ISBN 5-02-013751-0
©Издательство «Hay на».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1988

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Частьпервая. ОПЕРАТОР ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ . 9
Глава I. Спектральная теория в регулярном случае . . 9
§ 1. Основные свойства оператора 9
§ 2. Асимптотика собственных значений и
собственных функций 12
§ 3. Теория Штурма о нулях решений .... 21
§ 4. Периодическая и антипериодическая задачи . . 26
§ 5. Доказательство теоремы разложения методом
интегральных уравнений 30
§ 0. Доказательство теоремы разложения в
периодическом случае . . 45
§ 7. Доказательство теоремы разложения методом
контур пого интегрирования 48
Указания к литературе 52
Глава II. Спектральная теория в сингулярном случае 53
§ 1. Равенство Парсеваля па полуоси 53
§ 2. Круг и точка Вейля 60
§ 3. Интегральное представление резольвенты ... 67
§ 4. Функция Вейля — Титчмарша 76
§ 5. Доказательство равепства Парсеваля в случае
всей прямой 83
§ 6. Решения Флоке (Блоха) 92
§ 7. Разложения по собственным функциям в случае
периодического потенциала 95
Указания к литературе 99
Глава III. Исследование спектра 100
§ 1. Дискретный или точечный спектр 100
§ 2. Исследование спектра в случае суммируемого
потенциала .♦..«.» 105

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Преобразование основного уравнения .
§ 4. Исследование спектра в случае q(x) ->— оо
Указания к литературе
Глава IV. Распределение собственных значений
§ 1. Интегральное уравнение для функции Грина
§ 2. Первая производная функции G(x, ц; \х) .
§ 3. Вторая производная функции G(x, rj; \i) .
§ 4. Дальнейшие свойства функции G(x, r\\ \i) .
§ 5. Дифференцирование функции Грина по пара
метру
§ 6. Асимптотическое распределение собственных зна
чений
§ 7. Разложение по собственным функциям при неог
раниченно растущем потенциале ....
Указания к литературе
ИЗ
110
121
122
122
129
131
134
137
142
149
152
Глава V. Уточнение асимптотики собственных значений и
формулы следов 153
§ 1. Асимптотические формулы для специальных ре»
тений 153
§ 2. Асимптотические формулы для собственных
значений 157
§ 3. Вычисление сумм Sk(t) 160
§ 4. Другая регуляризация следов. Вспомогательные
леммы 102
§ 5. Формулы рогуляризовапных следов в случае
периодической задачи 109
§ 0. Формула регуляризовапного первого следа в
случае разделенных краевых условий . . . . 174
Указания к литературе 179
Глава VI. Обратные задачи 180
§ 1. Определение и простейшие свойства операторов
преобразования 181
§ 2. Операторы преобразования с краевым условием
в нуле 182
§ 3. Вывод основного интегрального уравнения . . 18S
§ 4. Разрешимость основного интегрального
уравнения 105
§ 5. Вывод дифференциального уравнения . . . . 198
§ 6. Вывод равенства Парсеваля 201
§ 7. Обобщение основного интегрального уравнения 207
§ 8. Случай пулевого краевого условия . . . . 210
§ 9. Восстаповление классической задачи . . . . 211
§ 10. Обратная периодическая задача 217
§11. Определение регулярного оператора по двум
спектрам .... 221
Указания к литературе
232

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Часть вторая. ОДНОМЕРНЫЙ ОПЕРАТОР ДИРАКА 234
Г л а в а VII. Спектральная теория в регулярном случае 234
§ 1. Определение оператора и его основные свойства 234
§ 2. Асимптотические формулы для собственных
значений и собственных вектор-функций .... 238
§ 3. Доказательство теоремы разложения методом
интегральных уравнений 244
§ 4. Периодическая и аптипериодическая задачи . 254
§ 5. Вычисление следа 201
Указания к литературе 2GG
Глава VIII. Спектральная теория в сингулярном случае 267
§ 1. Доказательство равенства Парсеваля па
полупрямой 267
§ 2. Круг и точка Вейля 273
§ 3. Интегральное представлеготе резольвенты.
Формулы для функций р(Х) и m(z) 279
§ 4. Доказательство теоремы разложения в случае всей
прямой 286
§ 5. Решения Флоке (Блоха) 295
§ 6. Самосопряженность систем типа Дирака . . . 297
Указания к литературе , . 302
Глава IX. Исследование спектра 303
§ 1. Спектр в случае суммируемых коэффициентов 303
§ 2. Преобразование основной системы .... 308
§ 3. Случай чисто точечного спектра 313
§ 4. Другие случаи спектра 319
Указания к литературе 322
Глава X. Решение задачи Копти для нестационарной
системы Дирака 323
§ 1. Вывод формулы для решения задачи Коши . . 323
§ 2. Задача Гурсы для ядра решения задачи Коши 328
§ 3. Оператор-матрица преобразования .... 330
§ 4. Решение смешанной задачи па полупрямой . . 339
§ 5. Решение задачи (1.1), (1.2) при £ < 0 . . . 343
§ 6. Асимптотическое поведение спектральной
функции 346
§ 7. Уточнение теоремы разложения 359
Указания к литературе 365
Глава XI. Распределение собственных значений . . . 366
§ 1. Интегральное уравнение для матрицы-функции
Грина 366
§ 2. Асимптотика матрицы G' {х, £; /ц) при jn ->• оо 377

ft ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Дальнейшие свойства матрицы G(x, £; X) . . 387
§ 4. Вывод двусторонней асимптотической формулы 395
Указания к литературе 4()2
Глава XII. Обратная задача на полупрямой по
спектральной функции 403
§ 1. Постановка вопроса. Вспомогательные
предложения 403
§ 2. Вывод основного интегрального уравнения . . 407
§ 3. Разрешимость основного интегрального уравнения 412
§ 4. Вывод дифференциального уравнения .... 415
§ 5. Вывод равенства Парсеваля 418
Указания к литературе 422
Список литературы 423
Именной указатель 429
Предметный указатель 430

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая монография посвящена спектральной
теории оператора Штурма — Лиувилля и одномерного
оператора типа Дирака. Для этих двух конкретных классов
обыкновенных дифференциальных операторов, имеющих
многочисленные приложения, излагаются основные
проблемы спектральной теории линейных операторов.
Монография состоит из двух частей.
Первая часть (гл. I—VI) посвящена спектральной
теории оператора Штурма —- Лиувилля как в
регулярном, так и в сингулярном случаях. В гл. I излагаются
основные результаты классической задачи Штурма —-
Лиувилля: асимптотика собственных значений и
собственных функций, теоремы разложения по собственным
функциям. В этой главе рассмотрепа периодическая
задача Штурма — Лиувилля. В гл. II изучается задача
Штурма — Лиувилля на полупрямой и на всей прямой.
Доказывается знаменитая теорема Г. Вейля о круге и
точке, выводится теорема разложения, изучается
резольвента. Глава III посвящена исследованию спектра
оператора Штурма — Лиувилля при различных
предположениях о потенциале. В гл. IV изучается асимптотическое
распределение в среднем собственных значений в случае
чисто дискретного спектра. В гл. V вычисляются регу-
ляризовапные следы для классического оператора
Штурма — Лиувилля в различпьтх случаях краевых условий.
В гл. VI изложены основпые результаты о
восстановлении оператора Штурма — Лиувилля как по спектральной
функции, так и по двум спектрам.
Вторая часть монографии (гл. VII—XII) посвящена
пгектралыюй теории дпфферепцпалыгых уравпеиий
первого порядка (одномерный аналог системы Дирака).
Содержание этих глав апалогичпо содержанию гл. I—VT.

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
Монография предназначена в первую очередь лицам,
желающим углубить свои знания в области
спектральной теории обыкновенных дифференциальных
операторов. Впрочем, книга может оказаться полезной и
специалистам, так как в ней содержится ряд вопросов,
которые ранее в монографической литературе не
излагались.
Мы падсемся, что эта книга может служить
введением в спектральную теорию линейных самосопряженных
операторов в пространстве Гильберта.
Авторы благодарны М. В. Федорюку, прочитавшему
рукопись и давшему ряд цепных советов, которые
авторами были использованы.
Б. Левитан, И. Саргсян

Часть первая
ОПЕРАТОР ШТУРМА -ЛИУВИЛЛЯ
Глава I
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ В РЕГУЛЯРНОМ СЛУЧАЕ
§ 1. Основные свойства оператора
1. Пусть L есть линейный оператор, определенный на
некотором множестве элементов. Элемент у¥=0
называется собственным для оператора L, если Ly = Яг/, при
этом число % называется соответствующим собственным
значением.
Одним из простейших операторов, часто встречаю
щпхся в приложениях, является оператор вида
Lsss—T* + Q(x)%
dx
где q{x) будем считать действительной и вначале
непрерывной функцией па некотором интервале [а, Ъ]. Для
этого оператора упомянутое выше множество элементов
(функций) у(х) определяется очевидными условиями
дифферепцируемости, а также некоторыми условиями на
концах интервала [а, Ь].
Важнейшие краевые условия для оператора L
следующие:
I у (a) cos а + у' (a) sin а = О,
y(b)cos$ + y'(b)sm$ = 0,
где ос и Р- произвольные действительные числа,
TI У(а)=*У{Ь), у'{а)=у'{Ъ).
Одпой из осповпых долой этой кпиги является
изучение следующей краевой задачи:
Ly(x) = -y" + q{x)y = Ky, (1.1)
y(a)cosa + y'(a)a\na = 0,
y{b)cos$ + у' (b)sin$ = Q,

Ю ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
которая в литературе известна под названием задачи
Штурма — Лиувилля. Задача Штурма — Лиувилля
называется регулярной, если интервал [а, Ъ] конечен и
функция q(x) на этом интервале суммируема. В противном
случае, т. е. если либо интервал [а, Ь] бесконечен, либо
функция q(x) на [а, Ь] не суммируема (либо и то и
другое), задача Штурма — Лиувилля называется
сингулярной.
Заметим, что к виду (1.1) приводятся более общие
уравнения второго порядка
У* +Р(х)у' + {1(х) + %г(х)}у = 0, (1.3)
где функция г(х) положительна на [а, Ь]. Если
предположить, что р{х) имеет непрерывную первую
производную, a r(x) —непрерывную вторую производную, то
уравнение (1.3) приводится к каноническому виду
с помощью подстановки
ОС
l = $V7Jfidtt г1(1) = Ф(х)у(х)1 (1.4)
а
Ф(х)^РгЩехр1±§р(1)м).
При этом интервал [а, Ь] преобразуется в иптервал [0, л],
а краевые условия (1.2) своего вида не меняют.
Преобразование (1.4) пазывается преобразованием
Лиувилля.
2. Итак, рассмотрим краевую задачу (1.1), (1.2).
Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что
а = 0 и b = п.
Действительно, подстановка t = -г—— л преобразует
иптервал [а, Ь] в иптервал [0, л], пе меняя при этом
вида краевой задачи (1.1), (1.2).
Если при некотором А,4 рассматриваемая краевая
задача имеет нетривиальное решепие у(х, Xi)^0, то число
А,1 называется собственным значением, а
соответствующее решение у(х, Ki) — собственной функцией краевой
задачи (1.1), (1.2).

§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА
11
Лемма 1.1. Собственные функции у(х, Xi) и у{х, Х2),
соответствующие различным собственным значениям,
ортогональны, т. е.
л
j у(х> Юу (х> К)dx = о, К^К-
о
Доказательство. Пусть ](х) и g (х) —
непрерывные, дважды дифференцируемые функции. Положим
Lf^f(x)-q(x)f(x).
Дважды интегрируя по частям, получим тождество
п п
J Lf-g (x) dx = Wn {/, g) - W0 {/, g) + j / (x) Lg dx, (1.5)
0 0
w и <л-АПх) 8{x) I
Пусть ](x)-^y(x, Xi) и g(x)^y(x, ^2). Из краевые
условий (1.2) следует, что W0{f, g) = WAf, g) = 0.
Поэтому из (1.5) получаем, что
я
(^i — Ю)у (*, К) у (х, Ю = °»
о
и так как Xi ^Х2, то лемма доказана.
Лемма 1.2. Собственные значения краевой задачи
(1.1), (1.2) действительны.
Дока з ательств о. Пусть Xi = и + iv —
комплексное собственное значение. В силу действительности
функции q(x), а также действительности чисел а н [5,
число X2 = Xi = u — iv есть также собственное значение
с соответствующей собственной функцией у(х, Xi). Тогда
на основании предыдущей леммы имеем
п
)\y(x,Ki)?dx=>0,
о
откуда следует, что у(х, Х{)= 0.
В дальнейшем нам понадобится следующая хорошо
известная теорема, доказательство которой можно найти,
например, в монографиях Б, М. Левитан, И. С. Саргсяп
[1] или Титчмарш [1].

12 ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Теорема 1.1. Если q(x) — непрерывная функция
в интервале [а, Ъ\, то для любого а существует
единственное решение ц)(х, X), а^х^Ь, уравнения (1.1) такое,
что ф (а, X) = sin а, Цх (а, X) = — cos a.
Для каждого фиксированного х е [а, Ь] функция
Ф (х, X) является целой функцией от X.
§ 2. Асимптотика собственных значений
и собственных функций
1. Положим c\g а = —h, clg [} = #*). Тогда краевые
условия (1.2) перепишутся в виде
у'(0)-%(0)=0, у'(п) +Ну (п)=0. (2.1 J
Обозпачим через ф(#, Я) решепие уравнения (1.1),
удовлетворяющее начальным условиям
Ф(0,Л)=1, ф*(0Д) = Л, (2.2)
а через яр(д:, X) —решепие того же уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям
Ч>(0Д) = 0, ^(0Д) = 1. (2.3)
Лемма 2.1. Обозначим X = s2. Тогда
ф (#э Я) = cos &г -| sin sx +
X
+ -i- J sin {s(x — т)} g (т) ф (t, X) ch, (2.4)
0
ft!
ф (a-, X) = ^-r + -i- [ sin {s (x - t)} q (т) ip (т, Я,) Л. (2.5)
О
Доказательство. Докажем равенство (2.4). Так
как ф(#, X) удовлетворяет уравпепиго (1.1), то
X
\ sin {s (x — т)} д (т) ф (т, X) &% =
J sin {5 (я — т)} ф^ (т, X) dx + s2 j sin {s (x — т)} ф (т, К) di.
0
X
*) Предполагаем пока, что ни /?, ни II по равны оо. Случаи,
когда одно тгз этих чпсел пли пол равны оо, будут рассмотрены
ниже.

§ 2. АСИМПТОТИКА СОБСТВ. ЗНАЧЕНИЙ И ФУНКЦИЙ 13
Далее, интегрируя первый интеграл правой части два
раза но частям и учитывая условия (2.2), находим
х
J sin {s (x — т)} q (т) ф (т, X) dx =
о
= ■— h sin sx + 5ф (х, X) ■— s cos sx,
т. о. равенство (2.4). Равенство (2.5) доказывается
аналогично.
Лемма 2.2. Обозначим s = с + it. Тогда существует
«и > О такое, что при \s\ > s0 справедливы оценки
Ф(я, %)^0(е^х), г])(я, b)=0(\s\~leU]*), (2.6)
а точнее
Ф (х, X) = cos s х + О (-7—г),
,„д,-^ + 0(£). (2'7)
Все оценки выполняются равномерно по х при О ^ # < я.
Доказательство. Положим ф(#, Я) = е№/(д;).
Тогда из равенства (2.4) получаем
/ (х) = I cos sx H sin ssU-ltl* +
+ J- Г sin {<? [x _ T)} e-UI(x-t)g (T) у (Т) ^Т.
0
Пусть p, = max Г/(#)|- Тогда из последнего равен-
ъ<х<п
X
ства следует и. ^ 1 + -w- + -rjr \ | g (t) | йт, и значит,
о
«*<(1 + ттт)(1-т7г1^<х>1^
при условии, что знаменатель дроби положителен. Это
я
заведомо имеет место при | s | > J | q (т) | dx и, следо-
о
ватолыю, оценка (2.6) для ф(,т, X) доказана. Для \\)(х, X)
оценка (2.6) доказывается аналогично с помощью равеп-
-1

14 ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
ства (2.5). Оценки (2.7) получаются подстановкой
оценок (2.6) в интегралы равенств (2.4) и (2.5).
Разумеется, общие асимптотические разложения для
ф(х, X) и ty(x, X) как функций от s могут быть получены
путем повторения этого процесса.
2. Займемся теперь выводом асимптотических формул
для собственных значений и собственных функций. Из
этих формул, в частности, будет следовать существование
бесчисленного множества собственных значений.
По-прежнему предположим вначале, что h Ф °° и Н Ф
Ф<х>. При любом X функция ф(#, X) удовлетворяет,
очевидно, первому из краевых условий (2.1). Поэтому мы
определим собственные значения, если подставим
функцию ф(#, X) во второе краевое условие (2.1).
Согласно лемме 1.2 собственные значения
действительны, т. е. Ims = t = 0. Поэтому первая из оценок (2.7)
принимает вид
<р(я, X)==cos^ + 0(5-1). (2.8)
Далее, дифференцируя равенство (2.4) но х и используя
оценку (2.8), нетрудно получить оценку
ф* (х, Ц = — s sin sx + О (1). (2.9)
Теперь, подставляя значения функций ф(#, X) и фя(#, Я)
из оценок (2.7) и (2.9) во второе краевое условие (2.1),
для определения собственных значений получим
следующее уравнение:
-s-smsK + O(l) = 0. (2.10)
Для больших s уравнение (2.10), очевидно, имеет
решения и корни лежат вблизи от целых чисел. Отсюда уже
следует существование бесчисленного множества
собственных значений.
Покажем, что начиная с некоторого достаточно
большого целого п вблизи каждого п лежит только один
корень уравнения (2.10). С этой целью продифференцируем
левую часть уравнения (2.10) по 5, что возможно в силу
формулы (2.4) (заметим, что в левой части уравнения
(2.10) выражение 0(1) на самом деле в силу теоремы 1.1
есть аналитическая функция от X). Мы получаем
—я5 cos sn + 0(1). Нетрудно убедиться, что это
выражение при s, близких к большим целым числам, не может
равняться нулю.

§ 2. АСИМПТОТИКА СОБСТВ. ЗНАЧЕНИЙ И ФУНКЦИЙ 15
Пусть sn есть п-й корень уравнения (2.10). Из
теоремы Штурма (см. § 3 этой главы) и асимптотических
формул для собственных функций следует, что sn должно
находиться вблизи п, а не какого-либо другого целого
числа. Другое доказательство этого утверждения, не
опирающееся на теорию Штурма, можно получить следующим
образом.
Как уже отмечалось выше, собственные значения суть
корни уравнения ф(я, X) + #фх(я, X) = со (X) = 0.
Положим X — sz. Тогда со(Я)= (di(s). Из формулы (2.4)
следует, что (Di(s) есть целая функция s. Далее, из
асимптотических формул (2.8) и (2.9) следует, что для sin ns ¥=0
(ui(s) = -Hs sin snll + О(Ы"1)}. (2.11)
Возьмем в s-плоскости круг DR радиуса Jl = N+ 1/2,
где N — натуральное число. В силу теоремы Руше и
асимптотической формулы (2.11) внутри круга DR число
нулей G)i(s) равно числу нулей функции s sin от, т. е.
равно 2(Л7+1). Функция 0)1(5) четна, поэтому можно
рассматривать только ее положительные нули. Каждому
положительному нулю o)i(s) соответствует собственное
значение, т. е. число собственных значений sh, которые
меньше N + 1/2, равно N+1. Отсюда следует, что в
асимптотической формуле для sn
sn = n + o{i). (2.12)
В самом деле, пусть sn = тп + о (1), тп¥=п. Тогда,
с одной стороны, число собственных значений sk, которые
меньше sn, равно п+1 (к = 0, 1, ..., п). С другой
стороны, в силу предыдущего в круге радиуса тп + 1/2 дол-
жпо быть 2(тп+1) нулей функции id4(s), т. е. число
собственных значений sk, которые меньше sn, равнялось
бы тп + 1 Ф п + 1. Полученное противоречие доказывает
справедливость формулы (2.12).
Положим sn = n + 8n. Тогда уравнепие (2.10) примет
вид
(7i + e„)sine„n + O(l) = 0.
Отсюда следует, что sin6nn = 0(п~*), т. е. 6п = 0(гг*).
Таким образом, для больших п корни уравпепия (2.10)
имеют вид
sn = n + 0{n~l). (2.13)

16 ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Асимптотическую формулу (2.13) можно значительно
уточнить, если предположим, что коэффициент q(x)
уравнения (1.1) имеет ограниченную производную. В самом
деле, дифференцируя равенство (2.4) по х, а затем
подставляя значения ф(#, X) и фх(#, Ц во второе из
краевых условий (2.1), после несложных преобразований
получим
(s + В) sin sn + A cos sn = 0, (2.14)
где
я
А = h + Н + \ jcos st -\—гsin s%\q (т) ф(т, Я) di,
о
я
в = т" + J fsin 5Т + "тЬ (т) ф (т> я) йт-
о
В силу оценки (2.8) выражения для А и В принимают
вид
я я
А = /г + Я + -1. Г q (т) dr + -|- J g (т) cos 2sr dx + 0 f -jA
о о
я
S = -i-jg(T)sin25T^T + o(-j-l
о
Так как, по предположению, q(x) имеет ограниченную
производную, то, интегрируя по частям, получим
я я
\ q (т) cos 2sr dx = О Lj-\ J q (т) sin 2sr di = О (-U.
о о
Следовательно, для А и В получаем выражения
A^h + II + h. + O^) U±^^ q^dA 5 = 0(т)-
Поэтому уравнение (2.14) можно записать в виде
tg sk =(h + H+hi + 0(l/s))/(s + 0(l/s)).
Полагая снова sn = n + бп, получим
« V и2

§ 2. АСИМПТОТИКА СОБСТВ. ЗНАЧЕНИЙ И ФУНКЦИЙ 17
откуда
и, зпачит,
гЛес = -|-(л+Я + 4-}д(т)л1
Предполагая, что q(x)^ С2[0, я], можно доказать более
точную асимптотическую формулу:
Sn = n + ± + lj. + o(±), (2-15')
где с{ — постояппая величипа.
Пользуясь формулой (2.15), получим асимптотические
формулы для собственных функций <$(х, Я,п)~ фЛ#).
Подставляя в формулу (2.4) вместо функции ср(х, X) ее
выражение из (2.8) и пользуясь дифферепцируемостыо
функции q(x), получаем
Ф (хг X) = cos sx -\ sin sx +
х
+ — sin{.9(# — %)} cos sx • q (т) dr + #(—) =
о ^ s '
X
, u . , sin sx f / ч 7 , n [ 1 \
+ _ sin sx + -^J ? (т) dt + <9 (-И.
= cos sx
Подставляя сюда sn вместо s, в силу формулы (2.15)
получаем
Ф (#, ^п) = Фп (ж) = cos ш: — — sin тгя + — sin nx +
где р (ж) = — Сж + й,+ i- Г 9 (т) dr.
о
Б. М. Левитан. И. С. Саргсян

18 ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Чтобы получить асимптотическое разложение
нормированных собственных функций, рассмотрим интеграл
л л л
Ып = ] фп (#) dx = 1 cos2 гайд; Н ] Р (^) sin 2nxdx + ОI-^).
оо о
В силу дифференцируемости функции [}(#)
л
f Р(^)яш2/гл:йл: = о(-^-).
о
Поэтому al = ^ + 0(—], откуда — = }/" —|l+
+ ^(т)|« Следовательно, для нормированных
собственных функций имеет место следующая
асимптотическая формула:
^п (ж) = — фп (я) = 1/ — cos га + £-^ sin тгж | + О ( -у ).
ап г л ^ и j \ n J
3. Разберем теперь случай h = °°, Н Ф «> (случай /г ¥=
=т^ оо, Я = оо с помощью подстановки £ = я — ж сводится к
рассматриваемому). Первое краевое условие (2.1)
принимает вид i/(0) = 0.
Функция г|э(#, Я,) из н. 1 настоящего параграфа
удовлетворяет этому условию. Поэтому в рассматриваемом
случае мы определим собственные значения, если
подставим функцию i|)(#, X) во второе краевое условие (2.1).
Дифференцируя равенство (2.5) по х, получаем
х
г|ъ (х, К) = cos sx + J cos {s (x — т)} q (т) г|) (т, Я) ch.
о
Поэтому из второго краевого условия (2.1) следует
л
cos sn + J cos {s (лГ — t)} g (t) ij) (t, X) dx +
0
+ Н Цн + J. j sin {S (я - т)> q (t) г|> (т Д) Ц = 0.
* 0 '
Из этого равенства в силу оценок (2.7) для if>(.z, X) но-

§ 2. АСИМПТОТИКА СОБСТВ. ЗНАЧЕНИЙ И ФУНКЦИЙ 19
лучаем
я
cos sk Н ] cos {s (я — т)} q (т) sin sxdx[+
о
+ д2^! + оЩ=а0. (2.16)
Предполагая снова, что д(^) имеет ограниченную
производную, получаем
п л
q(x)cos{s(jt — T)}sin5Tdr = ^^-J д(т)йт + о(—)'
о о
Поэтому уравнение (2.16) принимает вид
C0SOT + *Е!" {я + 4- J ?<*)<**} + tf(-±.) =
- cos *я + //х ^ + О (4г) = 0. (2.17)
Из этого уравнения видно, что при больших 5 его
корни должны быть близки к числам вида п + 1/2, где п —
целое число. Кроме того, так же как и прежде,
доказывается, что начиная с некоторого достаточно большого
целого п вблизи каждого числа п+ 1/2 лежит только один
корень уравнения (2.17).
Положим sn = п + -у + 8п. Тогда из уравнения (2.17)
следует
clg(/i + 4+ б")я = - *8*пЯ = - НхЦп + 4") + 0(п~*),
откуда получаем, что 6„ = HJn{n+ 1/2) + 0(гг2) ц, зна-
*п = п + 4" + #iM (и + 4") + °(^~2)>
чнт
где Я1 = Я + i-Jff(T)
dr.
Теперь, подставляя значение sn в равенство (2.5), для
собственных функций ty(x, A,w)—ipn(#) получаем следую-

20 ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
щую асимптотическую формулу:
Для нормировочпого коэффициента oQ1 получаем формулу
Поэтому нормированные собственные функции в
рассматриваемом случае имеют вид
М*) - \ *.(*) = У1 sin [п + \)х + О (-1).
4. Наконец, разберем случай h = o° и Я = оо. Это
означает, что краевые условия (2.1) принимают вид у(0) =
= 1/(я) = 0 и поэтому функция г|)(#, Я) из предыдущего
пункта должна еще удовлетворять условию о|э(я, Я) = 0.
Из (2.5) следует
sin sk + j sin {5 (я — т)} q (т) i|> (т, Я) dt = 0
о
или
sin&Ttjl + J COS5T-(/(t)iJ)(T, ^)ЙТ| —
— cos 5Я j sin sx • g (т) if (т, Я) eft = 0.
о
В силу оценки (2.7) для г|)(ж, Я) из последнего
уравнения следует (при предположении, что q(x) имеет
ограниченную производную)
S11) 5Я
— -z-cossn \ q(x)dx + Of—) =
с
= sin sn cos 5я + О
s
(-f)-O. (2.18)
Это уравнение того же вида, что и уравнение (2.10).
Поэтому поступая так же, как и в п. 2, мы установим,
что корни уравнения (2.18) лежат вблизи целых чисел
и что начиная с некоторого достаточно большого целого п

§ 3. ТЕОРИЯ ШТУРМА О НУЛЯХ РЕШЕНИЙ 21
вблизи каждого п лежит только один корень. Поэтому
корни sn уравнения (2.18) имеют вид
*»=>'+£ +о Ш, c = -wU{r)dx- (2Л9)
о
Подставляя значение sn в (2.5), для собственных
функций ty(x, Xn)~tyn{x) получаем асимнтотическую формулу
^n(^) = (sin пх)/п + 0(\/п2),
а для нормированных собственных функций — формулу
vn (#) = V2/n sin пх + О (1/п).
§ 3. Теория Штурма о нулях решений
Глубокое исследование распределения нулей
собственных функций привело Штурма к другому доказательству
существования бесчисленного множества собственных
значений краевой задачи (1.1), (1.2).
Чтобы ориентироваться в результатах настоящего
параграфа, рассмотрим простейшую краевую задачу
*/"+я*/ = о, у'(0) = у'(п)=о.
Здесь собственные функции суть
фо(я)= 1, q>i'(#}= cos x,
Ф2•(#) = cos 2х, ..., фа (х) = cos пх, ...
Соответствующие собственные значения суть
Ло — U, Ai ^ 1 , Аа — ^ , . . ., Лп = W, ...
Собственные функции расположены в порядке
возрастания собственных значений и счет их начат с нуля.
Непосредственно видно, что нули собственных функций
обладают следующими двумя свойствами:
1°. п-я собственная функция внутри интервала [0, я]
имеет ровно п нулей.
2°. Нули п-й и (тг+1)-й собственных функций
перемежаются, т. е. между любыми двумя
последовательными нулями п-й собственной фупкции лежит нуль (п+ 1)-й
собственной функции.
Оказывается, что эти свойства собствеппых функций
имеют место и в общем случае.

22 ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Основной в этом круге вопросов является следующая
фундаментальная теорема Штурма.
Теорема 3.1. Пусть даны два уравнения:
и" +g(x)u = 0, (3.1)
и" + Л (я) i; = 0. (3.2)
Если g(x)<h(x) во всем интервале [а, Ь], то между
каждыми двумя нулями любого нетривиального решения
первого уравнения заключен по крайней мере один нуль
каждого решения второго уравнения.
Доказательство. Умножая уравнение (3.1) па
v, a (3.2) на и и вычитая, получим
и"и - v"u = -1L {u'v — v'u) = {h (x) - g {x)} uv. (3.3)
Обозначим последовательные нули и через xi и х2. Тогда,
интегрируя тождество (3.3) в пределах от х^ до #а,
получим
и (х2) и (х2) — и' (х±) и (хх) = j {h (x) — g (x)} и (х) и (х) dx9
xi
Предположим, что v в интервале (хи х2) в нуль пе
обращается. Не нарушая общности рассуждений, можно
предположить, что и> 0 и и > 0 внутри интервала
[хи х2]. Следовательно, в последнем равенстве правая
часть положительна. Так как но предположению и(х)>
> 0, то в точке #! функция возрастает. Следовательно,
и'(х[)>0 (и'(xt) не может равняться нулю, ибо из
теоремы единственности решения уравнения (3.1) в этом
случае следовало бы и(х)^0, что мы исключили). По
аналогичным соображениям и'(х2)<0. Поэтому
u'(x2)v(x2)— ur(xl)u(xi)< 0, и мы пришли к
противоречию. Теорема, доказана.
Следствие. Любое решение уравнения
у" +g(x)y = 0, -oo^a^x<b< + ooi (3.4)
при g(x)< —m2 <0 может иметь не более одного нуля.
Доказательство. В самом деле, уравнение у" —
— mly = 0 имеет решение ешх, которое нигде в нуль не
обращается. Поэтому па основании теоремы любое
решение уравнения (3.4) не может иметь больше одного
нуля в любом конечном интервале.

§ Л. ТЕОГИЯ ШТУРМА О НУЛЯХ РЕШЕНИЙ
23
Теорема 3.2 (теорема сравнения). Пусть
и(х) есть решение уравнения (3.1), удовлетворяющее
начальным условиям
и (а) = sin a, u'(a)= — cos а, (3.5)
a v(x) — решение уравнения (3.2) с теми же
начальными условиями. Кроме того, пусть g(x)<h(x) во всем
интервале [а, Ь].
Если и(х) в интервале а<х^Ь имеет m нулей,
то и(х) в том о/се интервале имеет не меньше чем m
нулей и к-й нуль v(x) меньше к-го нуля и(х).
Доказательство. Обозначим через xt
ближайший к точке а (но отличный от этой точки) нуль
функции *) и(х). На основании предыдущей теоремы
достаточно доказать, что v (x) имеет по крайней мере один
пуль внутри интервала [а, хЛ]. Предположим противное.
Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что
и(х)>0 и и(х)>0 внутри интервала [а, хЛ]. Так как
гг(^1)=0, то в окрестности точки хЛ функция и(х)
убывает. Следовательно, ^'(.г^^О. Интегрируя тождество
(3.3) в пределах от а до хи получим
и' (xi) v 0ri) — ) V1 (x) ~~ 8 (x)) u (x)v (x) dx-
a
Так как в интервале [а, х{] по предположению и(х)>
> О, и(х)>0, a h(x)> g(x), то в последнем равенстве
правая часть положительна. Выражение же слева <0,
и мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Пусть ср(х, Я)—функция, введенная в § 2.
Рассмотрим уравнение ф(;г, Я)=0, а^х^Ь. Очевидно, что
корни этого уравнения суть функции от X. Докажем, что
эти функции непрерывны. Справедлива
Лемма 3.1. Если х0, а<х0<Ь, есть нуль функции
ф(#, К0), то любому достаточно малому числу е>0 со-
*) Наименьший нуль существует, так как нетривиальное
решение у (х) линейного дифференциального уравнения имеет
только изолированные пули. Действительно, допустим, что х0 ф оо есть
предельная точка нулей х\, х2, ..., хщ ... некоторого решения
дифференциального уравнения. Тогда у(х0) =0в силу непрерывности
у (х0) — у (хп)
У{х). Далее __ =0. Переходя к пределу (гс->оо), мы
о п
получим у'(х0) = 0, т. е. у{х) == 0.

24 гл. т. сляктрллъпля теория, гегулярпый случай
ответствует такое число б > О, что при |Л —Я01 <б
функция ф(х, X) имеет в точности один нуль в интервале
\х — Х0\ < 8.
Доказательство. Нуль х0 решения ф(#, Х0)
уравнения (1.1) есть простой нуль, так как, если бы
Фя (#о» ^о) ^ О» Т0 из теоремы единственности решения
задачи (1.1), (3.5) следовало бы, что ф(#, Л0)^0.
Значит, фя (х0, Х0) ф 0, и для определенности положим, что
Ф* (x0i ^о) > 0- Пусть е > 0 — настолько малое число, что
Ф*(#, ^о)>0 во всем интервале \х — #01^£. Тогда
ц)(х0 — г, Х0)<0 и q)(x0 + s, Х0)>0. Далее, в силу
непрерывности фас (#, ^) относительно Я (согласно теореме
1.1 ср(х, X) является целой функцией X) существует
такое б > 0, что для \Х — Х0\^8 функция Ц)х(хгХ) также
останется положительной во всем интервале \х — х0\^г.
Следовательно, монотонно возрастающая фупкция
ф(^, X), очевидно, не может иметь двух нулей в этом
интервале. Если, кроме того, выбрать б настолько
малым, чтобы при \Х — Х0\<8 функция q>(x0 — s, X)
оставалась отрицательной, а ц)(х0 + г, X) — положительной
(в силу непрерывности Ц)(х, X) относительно X это
возможно), то этим будет доказано утверждепие леммы:
решение ср(х, X) при |А, —Х01<6 имеет в точности один
нуль в интервале [х0 — е, х0 + е].
Из этой леммы следует важное
Следствие. При изменении X решение ц>(х, X)
только тогда может потерять нуль или приобрести
новый, если оно войдет внутрь интервала или выйдет
оттуда через краевые точки а и Ь.
Следующая теорема Штурма доказывает
существование бесчисленного множества собственных зпачений.
Теорема 3.3 (теорема осцилляции).
Существует неограниченно возрастающая
последовательность собственных значении Ао» Ai, Аг» • • •» Ап» • • •
краевой задачи (1.1), (1.2). При этом собственная функция,
соответствующая собственному значению %т имеет
ровно тп нулей в интервале а< х < Ь.
Доказательство. Пусть <р(х, X) есть решение
уравнения (1.1), удовлетворяющее начальным условиям
(3.5). В силу теоремы 3.2 при возрастании X число
нулей функции (р(х, X) не убывает. Пусть \q(x)\<c при
а<х<Ь. Сравпим уравнение (1.1) с уравнением у" +
+ (X + с) у = 0. Решение этого уравнения, удовлетворяю-

§ 3. ТЕОРИЯ ШТУРМА О НУЛЯХ РЕШЕНИЙ
25
идее начальным условиям (3.5), есть функция
у = sin а • ch {(— X — с)1/2 (х — а)} —
- cos а • (-Я - с)"1/2 sh {{-X - с)1/2 (х - а)}.
При достаточно больших по абсолютной величине
отрицательных значениях X эта функция, очевидно, в нуль
не обратится. Поэтому, пользуясь снова теоремой 3.2,
убеждаемся, что ф(#, X) при достаточно больших но
абсолютной величине отрицательных значениях X в нуль
не обращается.
Выбирая для сравнения уравнение у" +(Х — с) у = О,
видим, что при X положительном и неограниченно
возрастающем число нулей решения tp(x, X),
расположенных в интервале [а, Ь], неограниченно растет,
Рассмотрим уравнение ср(.г, Я)=0. Из леммы 3.1
следует, что корни этого уравнения непрерывно зависят
от X. С другой стороны, в силу теоремы 3.2 при
возрастании X каждый нуль функции ф(#, X) передвигается
влево, а через точку а нуль выйти не может, так как
число нулей не убывает. В силу следствия леммы 3.1
новые нули входят через точку Ъ. Пусть \х0 есть первое
значение параметра X, для которого ф(Ь, р,0)=0. Такое
значение, очевидно, найдется. Пусть jlxx — второе
значение параметра X, для которого ф(Ь, jiii) = 0 и т. д.
Последовательность чисел JlXo, u-i, fx2, • •., M>m, ... обладает
чем свойством, что функция ф(#, \хт) имеет внутри
интервала [а, Ь] ровно т нулей, причем ф(Ь, \хт)=0. Если
sin $ = 0, то второе из краевых условий (1.2)
выполняется (первое выполняется благодаря (3.5)) и,
следовательно, числа \хт суть собственные значения. Поэтому
в этом случае теорема доказана.
Пусть теперь sinfl^O и пусть и(х),
v(x)—функции, рассмотренные в теореме 3.2. Тогда
= Wv-uv')' + u, {h {x) _ g {x)}> 0^ (3G)
Поэтому функция и2{ — I монотонно возрастает во
всяком интервале, где v не обращается в пуль. Пред-

26 ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
положим, что и(х) и и(х) имеют одинаковое число
нулей внутри интервала [а, Ь].
Обозначим через xv ближайший к точке Ъ нуль
функции и{х). Покажем, что при xv^x^b не может быть
нулей функции v(x). В самом деле, в силу теоремы 3.2
между а и xv лежат но крайней мере v нулей функции
v(x). Если бы и(х) обращалась в нуль при xv<:X^b,
то во всем интервале [а, Ъ] она имела бы больше нулей,
чем функция и(х), вопреки нашему предположению.
Интегрируя соотношение (3.6) в пределах от xv до
ft, получим
в» (Ь) \±§- -^}>и> Ы \Щ- - Щ\ = 0.
к ' { и (b) v (Ь) ) ^ v v/ J и (xv) v (xv) j
Следовательно,
Примем ц)(х, X') за и(х), а у(х, X") —за v(x), где
um < А/< Я" < u.m+i. На основании неравенства (3.7)
функция <$'(Ь, Я)/ф(6, X) в интервале (\хт, \xm+i)
монотонно убывает. Так как ф(Ь, ^tm) = Ф(Ь, |xm+i) = 0, то она
должна убывать от +<» до — оо. Поэтому внутри
интервала (\хт, \хт+1) найдется одно значение Хт1 для
которого ф'(Ь, Ят)/ф(Ь, Хт)= — ctg р, т. е. выполняется
второе из условий (2.1). Значит, Хт есть собственное
значение, а ф(#, Хт) внутри (а, Ъ) имеет столько же нулей,
что и ф(#, \хт), т. е. т.
§ 4. Периодическая и антипериодичеекая задачи
1. Рассмотрим уравнение
y"+{k-q(x))y = 0, (4.1)
в котором q(x) есть действительная периодическая
функция с периодом a: q(x + a)=q(x). В связи с
периодичностью функции q(x) естественно рассматривать
краевые задачи для уравнения (4.1) при следующих
краевых условиях:
У(0)=у(а), у'(0)=у'(а), (4.2)
?/(0) = -j/(a), у'(0)=-у'(а). (4.3)
Задача (4.1), (4.2) называется периодической, а
задача (4.1), (4.3) — антипериодической или полуперио-

§ 4. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ И АНТИПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧИ 27
дической. Нетрудно проверить (используя тождество
Грина), что обе эти задачи являются самосопряженными.
Обозначим через ср(х, К) и $(х, X) решения
уравнения (4.1) при начальных условиях ф(0, Х) = '0/(0, Х) = 0,
ср7(0, Я) = '&(0, Л)=1. Обозначим через у(х, К)
собственную функцию задачи (4.1), (4.2) или (4.1), (4.3),
соответствующую собственному значению Я. Так как у(х, К)
есть решение уравнения (4.1), а ф(#, X) и #(#, X) —
линейно независимые решения этого уравнения, то
у(х, A,)=CV&(ar, Я)+С2ф(.т, Я), (4.4)
где Ct и С2 — постоянные числа. Подставляя выражение
(4.4) в краевые условия (4.2), получим
Cfi(a, Я)+С2ф(а, Х)=Си С$'(а, Я)+С2ф'(а, Я)=С2,
откуда следует
С1[0(а1Я)-1] + СаФ(а, Л) = 0, 1
С1гГ(а,Я) + С2[Ф'(аД)-1] = 0. J
Чтобы система (4.5) имела нетривиальное решение,
необходимо и достаточно условие
| О («, X) - 1 Ф (а, X)
О' (а, X) Ф' (а, %)-1\
0. (4.6)
Так как для уравнения (4.1) определитель Вронского
постоянен и
ИЧф(яД), Ф(я, А,)} =
= ф'(а\ Я)0(ж, Я)-ф(ж, Я)О'(ж, А,)= —1,
то из (4.6) следует, что ф'(а, Я)+0(а, Я)—2 = 0.
Поэтому собственные значения периодической задачи (4.1),
(4.2) суть корни уравнения /Г(А)=2, где /Г(Я) =
= 0(а, Х)+ф'(а, X).
Лпалогично доказывается, что собственные значения
антипериодическои задачи (4.1), (4.3) суть корни
уравнения F(K)= —2.
Действительность собственных значений
периодической и антипериодической задач доказывается
аналогично тому, как это было сделано в § 1.
2. Кратность собственных значений. В
отличие от задач для уравнения (4.1) при разделенных
краевых условиях, в периодической и антипериодическои
задачах собственные значения могут оказаться кратны-

28 ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
ми (не выше второй кратности). Следующая лемма дает
весьма простой критерий кратности собственного
значения.
Лемма 4.1. Для кратности собственного значения
Х° периодической (антипериодической) задачи
необходимы и достаточны условия:
fl(a, Г)=ф'(а, Г)=1, О'(а, Я°) = ф(а, Я°)=0
(4.7)
(О(а, Г)=ф'(а, Г)=-1, Ф'(а, Г)=Ф(а, Г)=0).
Доказательство. Необходимость. Пусть Я0 есть
кратное собственное значение, например, периодической
задачи (4.1), (4.2). Тогда при этом значении Х°
существуют два линейно независимых решения yi(x, Х°) и
Уг{х, Х°) уравнения (4.1), удовлетворяющих краевым
условиям (4.2). Любое другое решение уравнения (4.1)
есть линейная комбинация решений yi(x, Х°) и у2(х, Х°)
и поэтому также удовлетворяет краевым условиям (4.2).
В частности, это верпо для рсшспий $(х, Х°) и ф(,г, Х°).
Поэтому
ф(а, Яв) = Ф(0, Г)-1, Ф'(а, Яв) = «'(0, Я°) = 0,
ФК Я°)=ф(0, Яв)=0, ф'(а, Г) = ф'(0, Г) = I
п, следовательно, выполняются условия (4.7).
Достаточность. Пусть выполняются условия (4.7).
Тогда
О (а, Я°) = 1=0(0, Г), О'(а, Г) = 0 = Г(0, Г),
Ф(а, я°) = 0 = ф(0, Г), ф'(а,Г)=1 = ф'(0, Х°)
и, следовательно, д(;к, Х°) и ф(#, Я0) удовлетворяют
краевым условиям (4.2) и поэтому являются
собственными функциями периодической задачи.
Для антипериодической задачи доказательство
аналогично.
Замечание. Чтобы убедиться, что собственное
значение периодической или антипериодической задачи
кратно, достаточно проверить вторую часть условия
(4.7), т. е. *'(а, Г) = Ф(а, Г)=0.
В самом деле, если это так, то из постоянства
определителя Вронского следует $(а, Х°)ср,(а, А°)=1. Кроме
того, имеем ф'(а, А,°)+0(а, Х°)=±2. Поэтому ф'(а, Х°)
и О (а, Х°) суть корни квадратного уравнения Х2 + 2Х +

§ 4. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ И АПТИПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧИ 29
+ 1 =(Z=F 1)2 = 0, откуда следует, что ,&(а, А,°) =
-ф'(а,Г) = ±1.
Не столь просто доказывается, что условие
кратности собственного значения связано с нулями функции
F(X)-2(F(X)+2).
Теорема 4.1. Число Х° является кратным корнем
уравнения f(A,)zF2 = 0 тогда и только тогда, когда
Ф(а, Г) = #>, Г)=0. (4.8)
Доказательство*). Если выполняются условия
(4.8), то, в силу замечания к лемме 4.1, Ф(а, Я°) =
= Ф'(а, Г)=±1.
Запишем тождество Вронского в виде
__ о'ф = 1 _ ф'0 = 1 _ ± {(ft + ф')2 - (ft - ф')2}. (4.9)
Так как ф(я, X) и ft'(а, X) при Х = Х° в силу условия
(4.8) имеют корень, то произведение ф(а, Я) ft(а, X) при
Я = Х° имеет кратный корень. Следовательно, правая
часть тождества (4.9) при X = Х° также имеет кратный
корень. Но правая часть равна
4 [2 - (0 + ф')1 [2 + (0 + Ф')] + ^ (О - Ф')2. (4.10)
Функции -©(а, Я) и ф'(а, X) при Х = Х° равны либо +1,
либо —1, поэтому их разность ft(a, X)— ф'(а, X) при
Х = Х° имеет корень, значит, (ft — ф')2 в точке Я = Х°
имеет кратный корень. Тогда из (4.10) следует, что и
функция [2 — (ft + ф')][2 + ('& + ф')] при Х = Х° имеет кратный
корень. Но если Х° есть собственное значение, например,
периодической задачи, то 2 + (ft + ф') = 4 и поэтому
2 — (т} + ф') = 2 —F(X) при Я = Я° имеет кратный корень.
Наоборот, пусть F'(X°)=Q, т. е. Л° является кратным
корнем уравнения F(X)=±2. Дифференцируя основное
уравнение (4.1) по Я, получим (для обеих функций
Ф(я, X) н •& (ж, X))
Для функций ф(ж, Я) и ft (ж, Я)
—^— - 0t —^ = 0, (4.12)
*) В^ дальнейшем часто вместо ф(а, Я), ф'(я, Я), ft (а, Я),
$'(«, Я) будем соответственно писать <р, ф', г1), ft'.

30 ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
так как начальные условия для ф(#, X) и $(х, X) при
х = 0 от X не зависят. Определим теперь ду/дХ как
решение неоднородного уравнения (4.11) при начальных
условиях (4.12). Метод вариации произвольных
постоянных приводит к формулам
дф (х, X) __
к
= J {Ф (I X) О (х, X) - ф (ж, Я) 0 (6, Я)} Ф (|, X) Л (4.13)
о
W(а, Я) ^
= j {ф (6, X) 0 (Ж, X) - Ф (х, Я) О (I, Я)} О (S, X) <%. (4.14)
О
Дифференцируя (4.13) по х, будем иметь
дф' (ж, Я)
ж
= j {ф (5, Я) О' (ж, X) - Ф' (хг X) Щ, Щ Ф (I, X) d%. (4.15)
О
Теперь, полагая в формулах (4.14) и (4.15) х = а, а
затем суммируя их и учитывая, что О (а, А,)+ф'(а, Я) =
= F(X), получим
dF(X) _
а
= j {ft'cpU Х)-(д-ф') О (I, X) Ф (|, Х)-<?№ (IX)} dl. (4.16)
О
Пусть УХ = s = o + it. В силу леммы 2.2 имеем
О = cos as + О(\s\-V), О' = -s sin as + О(еа(),
Ф^*-1 sinas + 0(|s|-V'), ф' = соза5 + 0(|5|-1еа').
Поэтому при больших \Х\
F(X)=2cosas + 0(\s\-ieat).
При действительных Я и X ->■ +°° функция F(^)
колеблется между ±2. При X ->■ — <*> число s = &Y|A,| чисто
мнимое и F(X)~ 2сЪаУ\Х\ -> +°°. Из этого вытекает, что

§ 4. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ И АНТИПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧИ 31
существует по меньшей мере один нуль Х0 функции
F(X) — 2, но не вполне ясно, принимает ли на самом
деле F(X) значения ±2 правее точки Х0. Это следует
из дальнейшего анализа.
Пусть X— такая точка, что — 2<F(X)<2. Тогда
fl2 + ф'2 + 2%' < 4 = 4фср' - срО').
(О - ф')2 = (О + ф')2 - 4#ф' < 4 - 4V =
= 4(1-дф,)=-4ф#'.
Отсюда следует, что ф^О, д'^О, причем ф и д' имеют
противоположные знаки.
Преобразуем формулу (4.16) к виду
а
^ = -фД^д)-^'ф(ед)}2^-
о
-4~%+*')2jW^- <4Л7>
о
Правая часть этого равенства отлична от нуля, а ее
знак противоположен знаку ф(а, X). Поэтому F(X) не
может иметь в такой точке ни максимума, ни минимума.
Отсюда следует, что если Р/(Х0)Ф01 то F(X) монотонно
убывает от значения 2 при X = Х0 до тех пор, пока не
достигнет значения —2 при некотором |х0. В общем
случае кривая y = F(X) пересекает прямую у = — 2 в
точке |1о, в исключительных случаях, однако, может иметь
место и касание.
Итак, вслед за \х0 в общем случае появляется еще
один нуль jiii функции F(X)+2, затем нуль Xi функции
F(X) — 2 и т. д. Таким образом, в общем случае
Яо < JlIo < \ii < Xi < Х2 < \Х2 < \Хз < . . .
Из приведенного рассуждепия вытекает также, что ф > О
При Х0<Х< \Х0 И ф<0 При JLli < X < Х{ И Т. Д.
Предположим теперь, что Х° — нуль функции F(X)—2
выше первого порядка. Тогда О + ф' = 2 и если ф Ф О,
то из формулы (4.17) получаем
а
~ - - Ф J (О (IЛ) - ^9(6. *)}' dl Ф О,
О

32 ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
ибо подынтегральная фупкция не может тождественно
равняться нулю. Отсюда следует, что если dF/dX = 0, то
ф(а, Я°) = 0. Аналогично, если *&'Ф0, то, как следует
нз формулы (4.16),
а
о
Поэтому, если dF/dX==0, то О'(а, Я°) = 0.
Итак, если V есть нуль функции F(X)~2 выше
первого порядка, то ф(а, Х) = '&/(а1 V) = 0 и, следовательно,
Х° есть кратное собственное значение. Теорема доказана.
В заключение этого пункта покажем, что у функции
F(X)±2 не может быть нулей выше второго порядка.
Дифференцированием еще раз по X уравнения (4.11)
и начальных условий (4.12) мы для функций ^(х, X)
и ф(#, X) получим следующую задачу:
* +{X-g(x)}g| = -2|,
дх2ох2 1 *v n д)? дХ
д2У (О, X) = 0 д\ (О, X) e 0
Решая эту задачу методом вариации произвольных
постоянных, для функций Ц)(х, X) и #(#, X) получаем
выражения
д2ц> (х, X) ^
дХ2,
х
= 2 J {& (хЛ) Ф (IД) - Ф (*, Я,) § (I, Я)} а-*|^> d6, (4.18)
О
дЧ (х, X) ^
дА,2
ж
= 2 j {» (х, Я) Ф (6, X) - Ф (х, X) 0 (g, Щ Э-Ц±Я dl. (4.19)
Теперь дифференцируя формулу (4.18) по х и
суммируя с формулой (4.19), полагая # = а, находим (исполь-

§ 4. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ И АНТИПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧИ 33
зуя условия (4.7))
о
а I
— =F 2 J d£ J {Ф(Б, Я)« (*f Л) — * (£f A,)q>(*f Л)}«(Й
о о
(в последнем преобразовании использованы формулы
(4.13) и (4.14)).
Так как правая часть последнего равенства не равна
нулю, то функции F{X)-±2 не могут иметь нулей выше
второго порядка. Кроме того, в нуле второго порядка
функция F(Vj имеет максимум (минимум), так что,
например, точка V не может быть нулем второго порядка.
3. Нули собственных функций. Рассмотрим
для уравнения (4.1) две вспомогательные задачи:
»(0)=у(а) —0, (4.20)
г/'(0) = */» = 0. (4.21)
Обозначим через v{ < v2 < v3 < ... собственные
значения задачи (4.1), (4.20), а через т0 < т4 < т2 < ...—
собственные значения задачи (4.1), (4.21). Очевидно, что
vn суть нули функции ф(а, К), а тп — нули функции
Ъ'(а, X).
Теорема 4.2. В каждом из интервалов [j.i0, \x{],
(?ч, ^2), [^2, !^з], (^з, Я4) ..., называется лакунами,
содержится по одному члену yk и xh (к = 1, 2, 3, ...),
а число т0 ^ (—°°, Я0].
Доказательство. Из тождества (4.9), т. е.
тождества
— Ф(а, Л) О'(a, ty =
= 1 - Т<[д <а' ^ + ф' <а' ^ - [^ <а' Я) - ф' <а' Л)И>
при Я = vA следует
[Ф(а, гл) + ф'(я, v*)]2 = 4 + [fl(fl, vJ-ф'К v,)]2^4
и аналогичное неравенство имеет место при Я = rft, Jfc =
= 0, 1, 2, ... Поэтому vft и rft могут попадать только в
указанные в формулировке теоремы интервалы.
Покажем, что в каждую лакуну не может попасть
более одного vk(xk). Сошлемся на теорему Штурма (тео-
3 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян

34 ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
рема 3.1): функция ф(я, vn) имеет в интервале (0, а)
точно га— 1 нулей. Так как ф'(0, vn)= 1, то q/(a, vn)> О
при га четном и ф'(а, vn)<0 при га нечетном. В силу
тождества Вронского О (a, гп)ф'(я, vn)=l, и поэтому
F(v„) = -»(a, v„)+9'(a, v„)=0(a, v„)+Ш(а, vn)^2,
если га четное, и F(vn)^—2, если га нечетное. Отсюда
следует, что в одну и ту же лакуну не могут попасть
vn и Vn+i. Аналогичное заключение справедливо и
относительно Хп-
Остается показать, что в каждую лакуну, кроме
тривиальной (—°°, Ко], действительно попадает по одному
из чисел vn и т„, а в тривиальной лакуне лежит только т0.
Рассмотрим два последовательных корня К' и К"
функции F2(K)— 4, между которыми F (К) > 2 или
F(K)<~-2. В силу формулы (4.17) Ф(а, K)F'(K)<0 как
при К = К', так и при Я = Я". Так как F'(A,') и F'(a,")
имеют противоположные знаки, то <р(а, А/) и ф(я, К")
также имеют противоположные знаки и поэтому ф(а, К)
имеет хотя бы один нуль в интервале (К', К"). Но
больше одного, как мы видели, не может быть.
Далее, v{ не может лежать в интервале (—1°°, К0].
В самом деле, ф(#, К) при больших отрицательных К
больше нуля. Поэтому, если бы ф(а, К) обращалась в
нуль на интервале (—°°, К0], то эта функция могла бы
быть положительной на интервале (К0, \х0). По
аналогичной причине То лежит в интервале (~-°°, К0]. В самом
деле, при больших отрицательных К 'О1'(а, К)> 0.
Поэтому, если бы первый нуль функции §'(а, К) лежал в
интервале [jj,0, [ii], то $'(а, К) не могла бы быть
отрицательной на интервале (^0, [io) (напомним, что ф и О'
имеют противоположные знаки, причем ф(а, К) на
интервале (Ко, [io) положительна). Теорема доказана.
Теорема 4.3 (о нулях собственных
функций). Пусть т)о(ж), f)i(x)i Цг{х), . ..— собственные
функции периодической задачи, a |i(#), b(^), ...—
собственные функции антипериодической задачи. Тогда
1° т]о(я) не может иметь нулей на интервале [0, а];
2° r\Zm+i(x) и г\2т+г(х) имеют в точности 2т+2 ну-
ля на интервале [0, а), т = 0, 1, 2, . ..;
3° £2rMi(#) и |2п.+2(^) имеют в точности 2т+1 нуля
на интервале [0, a), m = 0, 1, 2, .. .
Замечание. В пунктах 2° и 3° речь идет об
интервале [0, а), а не об [0, а], ибо если х = 0 есть нуль

§ 4. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ И АНТИПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧИ 35
периодического (антипериодического) решения, то х = а
также нуль и следует учитывать только один нуль.
Доказательство. Так как ср(х, vt) не имеет
нулей на интервале (0, а) и А0 < v4, то г\0(х) может иметь
па [0, а] не более одного нуля. Но в силу периодичности
Цо(х) должна иметь четное число пулей на [0, а].
Поэтому г\0(х) пет пулей в [0, а) и в силу периодичности
нет нулей в [0, а].
Рассмотрим теперь r\2m+i(x). Имеем v2mM<A2w+i<
<v2m+2. Далее, фупкция q(x, v2w+i) имеет в [0, а)
2т+ 2 нуля, а <ф(х, v2m+2) имеет в [0, а) 2т+1 нуль.
Поэтому по теореме сравнения Штурма r\2m+i(x) имеет
в [0, а) не менее 2т + 1 и не более 2т + 2 нуля. Но в
силу периодичности краевого условия r\2m+i{x) должна
иметь четное число нулей, т. е. 2т + 2 нуля на
интервале [0, а). Для г\2т+2(х) и ^п(х) доказательства
аналогичны. Теорема доказана.
Заменим в уравнении (4.1) q(x) на q(x + t), где
t — действительное (любое) число. Функция q(x+t)
также периодическая с тем же периодом, что и q(x).
Легко видеть, что вместе с г\(х) (£>(х)) собственными
(с теми же собственными значениями) будут и
функции r\(x + t) (£>(x + t)). Если f(x) есть периодическая
или антипериодическая с периодом а функция, то при
любом действительном t функция f(x + t) обладает тем
же свойством. Поэтому r\n(x + t), п = 0, 1, 2, ...,
образуют полную систему периодических собственных
функций с собственными значениями Ао, Ai, А2, ..., а
£n (x + t) — полную систему антипериодических
собственных функций с собственными значениями \хи jn2, jli3, ...
Итак, при замене q(x) на q(x + t) собственные
значения периодической и антипериодической задач, а
следовательно, и функция F(X) не меняются. Однако
собственные значения вспомогательных задач (4.1), (4.20)
и (4.1), (4.21) vk = vh(t) и rh = rh(t) зависят от t,
оставаясь внутри соответствующих лакун.
Теорема 4.4. При изменении t (достаточно от 0
до a) vk(t) и тА(£), к = 1, 2, 3, . . ., заметают всю лакуну.
Доказательство. Мы уже отмечали, что vh(t)
" Th(t) не могут выходить за пределы лакун. Так как
Vh{t) — непрерывная функция, то достаточно показать,
что границы лакун достигаются.
Пусть xQ — какой-либо нуль функции l2h+i(x) и пусть
* = я0. Тогда Q = l2k+i(xQ)= ~l2k+i(x0 + a) = 01 т. е. функ-
3*

36 гл. I. спектральная теория. Регулярный сличай
ция b/t+i(^o + ^) есть собственная функций; Дале@?
%2h+i(x) имеет в интервале (xQl xQ + a) Ik нулей. По»
этому ^2h+i(x) есть собственная функция {задачи (4,1),
(420) и ей соответствует собственное значение v2fe+i(^o).
Следовательно, v2/i+i(^o)— М^+ь Аналогично,
рассматривая функцию ^2h+2(x), докажем, что v2ft+1(£) достигает
\i2k+2- Для v2?lf2(£) рассуждения аналогичны. В случае
Th(t) доказательство также аналогично, но теперь
соответствующие равенства достигаются, когда t есть нуль
т)'п(я)-
Замечание. Можно показать, что т0{t) имеют
конечную нижнюю грань, т. е. заметают не всю
тривиальную лакуну (—°°, а).
Следствие. Если q (x) — гладкая периодическая
функция, то собственные значения антипериодической
задачи — (ц,2/г, jj^+i), к = 1, 2, 3, . .., имеют такое же
асимптотическое разложение, что и v2k+i, а собственные
значения периодической задачи — (X2h-ii h2h), k =
= 1, 2, 3, ...,— такую же асимптотику, что и v2h-
Доказательство. В самом деле, если q(x)
достаточное число раз дифференцируема, то можно
доказать (см. гл. V), что для vn справедливо
асимптотическое разложение
п п
где числа а{ выражаются в виде интегралов по
интервалу (0, а) от полиномов, зависящих от q(x) и ее
производных. Если q (x) — гладкая периодическая функция,
то числа at для q(x + t) не зависят от t. Отсюда и из
теоремы 4.4 следует утверждение следствия.
§ 5. Доказательство теоремы разложения
методом интегральных уравнений
1. В § 2 и 3 мы доказали двумя различными
методами существование бесконечного множества
собственных значений. Метод § 2 восходит к Лиувиллю, а § 3 —
к Штурму. В связи с этим краевую задачу
y"+ib-q(x)}y = 0, (5.1)
z/(0)cos a + у'(0) sin a = 0, (5.2)
у (я) cos $ + у' (я) sin p = 0 (5.3)

§ 5. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
37
называют задачей Штурма — Лиувилля. Однако ни
Штурм, ни Лиувилль не смогли доказать полноты
собственных функций. Это было сделано В. А. Стекловым.
В настоящее время существует несколько методов
доказательства полноты системы собственных функций,
среди которых наиболее важными являются метод
интегральных уравнений (или метод функции Грина),
метод контурного интегрирования и метод конечных
разностей. В настоящем параграфе будет изложен метод
интегральных уравнений, а в § 7 — метод контурного
интегрирования. Желающим ознакомиться с методом
конечных разностей рекомендуем монографию Б. М.
Левитана, И. С. Саргсяна [1].
Вернемся к задаче (5.1) —(5.3). Пусть X —
фиксированное комплексное число. Обозначим через и(х, X)
решение уравнения (5.1), удовлетворяющее начальным
условиям
и (О, X) = sines, u'(О, Х) = —cos a,
и через v(x, X)—решение того же уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям
v (я, X) = sin p, v' (я, X) = —cos p.
Если и(х, X) и и(х, X) линейно независимы, т. е. если
и(х, X) не есть собственная функция задачи (5.1) —(5.3)
(если u = cv, то и удовлетворяет краевым условиям и
(5.2), и (5.3), следовательно, является собственной
функцией), то определитель Вронского W{u, и) Ф 0. И
наоборот, если для некоторого X определитель Вронского
равен 0, то и = си, и, значит, и есть собственная
функция. Таким образом, собственные значения задачи
(5.1) — (5.3) совпадают с нулями определителя
Вронского. Так как в рассматриваемом случае коэффициент при
первой производной в уравнении (5.1) равен нулю, то
в силу известной формулы Лиувилля W{u, и] от х не
зависит: W{u, v) = (o(X).
Введем функцию
^^j^u(x1X)u(tiX), я<*,
^ju(t1X)u(x1X), x^t.
G{%, t\ X) называется функцией Грина краевой задачи
(5.1) — (5.3). Она по х и t симметрична и при
действительных X действительна.
G(x,t;l)

38 ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Покажем, что функция
y(x,k) = $G(x,t;k)f(t)dt, (5.4)
О
называемая резольвентой, есть решение уравнения
y"+iX-q(x))y = f{x) (5.5)
(где ]{х)Ф0— непрерывная функция), удовлетворяющее
краевым условиям (5.2) и (5.3). В самом деле, в силу
определения функции G(x, t; X) функцию (5.4) можно
переписать в виде
у{х' %) = SWрж» *-) j м(*. ВД9# +
^ о
+ u(x1X)$v(t,X)f(t)dt\. (5.4')
Поэтому
v"(x,k)§u(t,K)f(t)dt +
О
л
+ и" (х, X) j у (t, X) f (t) dt + и (x, X) и (x, X) f (x) —
X
_^(*Д)^Д)/Ц^
+ u(x, X)]v{t, X)f(t)dt\ + f(x) = {q(x)-X}y{x1 X)+f(x),
T.e.y"+{X-q(x))y = f(x).
Непосредственно проверяется, что функция у(х, X)
удовлетворяет краевым условиям (5.2) и (5.3).
Итак, если X не есть собственное значение
однородной задачи (5.1) —(5.3), то неоднородная задача (5.2),
(5.3), (5.5) разрешима при любой функции f(x) и
решение дается формулой (5.4). Напротив, если
X—собственное значение однородной задачи, то неоднородная
задача, вообще говоря, неразрешима.

§ 5. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ 39
Если X не есть собственное значение однородной
задачи, то неоднородная задача (5.2), (5.5) имеет
единственное решение. В самом деле, разность двух решений
неоднородной задачи есть, очевидно, собственная
функция однородной задачи и в силу принятого
предположения она тождественно равна нулю.
Можно предположить, что X = О не является
собственным значением. В противном случае выберем
фиксированное число т] и рассмотрим краевую задачу
y'4{(Hr,)-gW}i/ = 0,
у (0) cos а + г/ (0)sin a = 0,
у (я) cos р + уг (я) sin р = 0.
Собственные функции у этой задачи те же, что и у
задачи (5.1) —(5.3). Все собственные значения
сдвинутся вправо на т]. Очевидно, что можно подобрать т] так,
чтобы для новой задачи число 0 не являлось уже
собственным значением.
Положим G (х, t; 0) = G (x, t). Тогда функция
л
y(x) = $G(x,t)f(t)dt
о
есть решение уравнения у" — q{x)y = f(x),
удовлетворяющее начальным условиям (5.2), (5.3). Перепишем
уравнение (5.5) в виде
у" -q(x)y = f(x)-Xy.
На основании предыдущего можно утверждать, что
задача (5.2), (5.5) эквивалентна интегральному уравнению
л л
y(x) + X^G(xit)y(t)dt=iJG(x,t)f(t)dt
о о
В частности, однородная задача (/(#)= 0) эквивалентна
интегральному уравнению
л
y(x)+X^G(x,t)y(t)dt = 0. (5.6)
о
2. Обозначим через Я,0, А,4, Я2, ..., А,п, ... совокупность
всех собственных значений задачи (5.1) —(5.3) и через
vq(x)> vi(x), vz(x), ..., vn(x), ...— соответствующие нор-

40 ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
мированные собственные функции. Рассмотрим ядро
vn (х) vn (£)
Я(*,Б) = 2
п=0 %п
В силу асимптотических формул для собственных
значений, полученных в § 2, ряд для Н(х, £) сходится
абсолютно и равномерно и, следовательно, ядро Н(х, £)
непрерывно. Рассмотрим теперь ядро
Q(x, I) = G(x, I) + Н(х, I) = G(x, t) + 2 v»{*)v»ll).
n=Q n
Оно, очевидно, непрерывно и симметрично.
По известной теореме теории интегральных
уравнений всякое симметрическое ядро Q(x, £), не равное
тождественно нулю, имеет по меньшей мере одну
собственную функцию*), т. е. существует число А,0 и функция
и(х)Ф 0, удовлетворяющие уравнению
я
u(x) + l0lQ(x,l)u(l)dl = 0. (5.7)
Таким образом, если покажем, что ядро не имеет
собственных функций, то получим, что Q(x, |)=0, т. е.
в{хЛ)--±°»Ц!*®. (5.8)
n=0 n
Из этого разложения уже легко получить полноту
собственных функций. Из уравнения (5.6) следует, что
Je (x, l) vn (l) dl = -±vn (x), поэтому J Q (x, I) vn(l)dl=0,
о n о
т. е. ядро Q(x, £) ортогонально ко всем собственным
функциям краевой задачи (5.1) — (5.3).
Пусть и(х) есть решение интегрального уравнения
(5.7). Покажем, что и(х) ортогональна ко всем vn(x).
*) См. И. Г. Петровский [1, с. 68].

§ 5. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 41
В самом деле, из уравнения (5.7) следует
я я (л \
О = §и(х)ип (х) dx + Х0 j vn (x)uQ (x, I) и (£) dl \dx =
о о lo
я я (я
= j и (я) yn (x) dx + \] и (l)\\ Q (x, I) vn (x) dx\ dl =
о о lo j
я
= j и (х) vn (x) dx.
О
Отсюда следует
я я
0-u(a;) + \J^(*16)»(E)d£ = M(a;) + ^Je(a?l6)«(£)rf6t
О О
т. е. и(х) есть собственная функция краевой задачи
(5.1)— (5.3). А так как и(х) ортогональна ко всем vn(x),
то и(х) ортогональна самой себе, поэтому и(х)^0 и,
следовательно, Q(x, £)^0. Итак, формула (5.8)
доказана.
Теорема 5.1 (теорема о разложении).
Если f(x) имеет непрерывную вторую производную и
удовлетворяет краевым условиям (5.2), (5.3), то f(x)
разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд
Фурье по собственным функциям краевой задачи (5.1) —
(5.3):
/ (х) = S anvn (х), ап = / (х) vn (х) dx. (5.9)
Доказательство. Положим
f"(x)-q(x)f(x) = h(x).
Тогда в силу (5.4) и (5.8) имеем
я
/(*) = Jc(*,6)ft(6K =
О
П=0 п п п=0

42 ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Из ортогональности и нормированности функций vn(x)
следует, что
я
ап = 1 / (х) vn (х) dx.
о
Теорема 5.2. Для каждой функции f(x) с
интегрируемым квадратом в интервале [0, п] имеет место
равенство Парсеваля
7 °°
\f(x)dx= S 4. (5.10)
Доказательство. Если /(х) удовлетворяет
условиям теоремы 5.1, то равенство (5.10) следует
непосредственно из равномерной сходимости ряда (5.9). В самом
деле,
Я со ^
J f (х) dx = S *п J / (х) vn (x) dx = 2 а2п. (5.11)
о п=о 0 п=о
Распространение равенства Парсеваля на произвольные
функции с интегрируемым квадратом осуществляется с
помощью приема, сущность которого заключается в
следующем.
Пусть f(x) — произвольная функция с
интегрируемым квадратом в интервале [0, л]. Как известно,
можно указать последовательность дважды (даже
бесконечно) дифференцируемых функций Д(#), сходящуюся в
среднем квадратичном к f(x). Можно считать, что
функции fk(x) в окрестностях точек х = 0 и х = п
тождественно обращаются в нуль. Поэтому в силу (5.11)
имеем
f {fk (*) - h (х)У dx = 2 WP - а™) \ (5.12)
о п==0
я
где а(п) = J fk (x) vn (x) dx. Если к, Z -> °°, то левая часть
о
(5.12) стремится к нулю. Значит, и правая часть
стремится к нулю. Из неравенства Коши — Буняковского
следует, что
\an-a™\^\$[f(x)--fk(x)]4x\ .

§ 5. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 43
Поэтому из сходимости fk(%) в среднем к f(x) следует
lim а^ = ^п, п = 0, 1, 2, ... Обозначим через N > О фик-
сированное целое положительное число. Из (5.12)
следует
2 la(nk) - а(я0)2 < f {/* (ж) - /г (*)}2<Ь.
п=0 О
Полагая здесь Л -> °°, получаем
2 {а„ - 4Р )2 < f {/ (х) - /, (*)}2^,
откуда, если положить теперь N ->- °°, следует
2 Wn - 4>0}2 < 1 {/(*) - Л ИГ <**•
Из этого неравенства, в частности, следует (и из нера-
оо
венства Минковского) сходимость ряда 2 ап- Так как
2 4-EU40}»
2 {«п —fl^llfln + e^)
?г=о
<
/ <*> \1/2 / со \1/2
< SK-ei?!' 2К + 4/Ч2 '
\п=0 У \П=0 /
оо оо
то из предыдущего следует, что 2 1ап )2_>- 2 ап при
п=0 п=0
Z->oo. С другой стороны, из сходимости в среднем ft(x)
к f(x) следует
я я
о о
Поэтому, переходя к пределу (при Z -> оо) в равенстве
]/?(ж)йж = 2 Un0)2, получаем равенство (5.10). Тео-
о ™=о
рема доказана.
3. Возвратимся к формуле
я
y(x,X) = $G(x,t;X)f(t)dt, (5.13)

44 ГЛ. 1. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
правую часть которой мы назвали резольвентой. Мы
знаем, что резольвента существует для всех X, которые
не являются собственными значениями. Покажем теперь,
как получить разложение в ряд Фурье для резольвенты,
если известно разложение функции f(x).
Так как функция у(х, X), определенная формулой
(5.13), удовлетворяет краевым условиям (5.2), (5.3),
то интегрируя по частям, находим
л
) {г/ (х, X) — q (х) у (х, X)} ип (х) dx =«
о
л
= J Wn (x) — q (х) ип (х)} у (х, X) dx =
о
л
= — К J У (хг X) ип (х) dx=z — Xndn (Я). (5.14)
о
Пусть
У {х, Х) = 2 dn (X) ип (х), ап= / (х) ип (х) dx.
71=0 J
Так как у(х, X) удовлетворяет уравнению у" Л-
+ {X — q(x)}y = f(x), то, в силу (5.14), имеем
л
Яп = J {*/" + № — ? (х)] у} ип (х) dx = — Xndn (X) + Xdn (X),
о
откуда dn(X) = an/(X — Ап). Следовательно, разложение
резольвенты имеет вид
Л оо
y(x,X)=)G (х, Ц X) / (*) Л = 2 Г=1Г ^п {х)- (5Л5)
0 гг=о п
Из этого разложения можно получить важную
формулу. Подставляя в правую часть значение ап =
л
= J f(t) vn (t) dt, находим
о
Л оо Л
J G (x, t;X)f(t)dt=2 j^£ j* / (t) vn (t) dt,

§ 6. ПЕРИОДИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ 45
откуда, в силу произвольности функции /(£), следует
»п И vn (О
П * „\ V vn W vn W
n=0
Полагая здесь t = x, интегрируя по х в пределах от О
до я и учитывая нормированность собственных
функций vn(x), получим
Я оо
f G (х, х; z)dx = y, —V- (5-16)
Положим N (к) = 2 1 (/V (Я)—число собственных
0<Кп<\
значений Яп, меньших X). Тогда равенство (5.16)
примет вид
Я оо
§G(x,x\z)dx=§j^£. (5.17)
о о
Это равенство называется формулой Карлемана.
§ 6. Доказательство теоремы разложения
в периодическом случае
Для доказательства разложимости функций,
удовлетворяющих периодическим условиям, в ряд по
собственным функциям краевой задачи
y"+{k-q(x)}y = 0, (6.1)
У(0)=у(п), у'(0)=у'(я) (6.2)
можно было бы и здесь, как и в § 5, основываться на
асимптотических формулах для собственных значений и
собственных функций, предварительно получив более
точные приближения для них. Однако этот путь был бы
очень длинным. Вместо этого воспользуемся тем, что
рассуждения § 2 полностью применимы также и здесь,
если только будет доказана равномерная и абсолютная
сходимость ряда
со
2 V^p^. (6.3)
'т

46 ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
В силу теоремы 4.1 и асимптотических формул (2.15)
и (2.19) получаем представление о собственных
значениях Хп задачи (6.1), (6.2), а именно: Хп/п2 -> 1.
Поэтому для доказательства равномерной и абсолютной
сходимости ряда (6.3) достаточно доказать ограниченность
собственных функций vn(x).
Для простоты доказательства исключим случай
двукратного собственного значения. Положим X = s2 и
перепишем уравнение (6.1) в виде у" + s2y = q(x)y.
Применяя метод произвольных постоянных, получаем
у (^ X) = сг sin sx + c2 cos sx +
+ — \у (t, X) q (t) sin s (x — t) dt.
Постоянные Cj и с2 определяются с точностью до
постоянного множителя из соотношения
с2 = сх sin sk + с2 cos sk -\ 1 у (t, X) q (t) sin s (к — t)
dt.
Выберем Cj и с2 таким образом, чтобы функция
у(х, X) была нормирована: J у2 (х, X) dx = 1. Тогда
о
у{х, X) при Sn = Хп будет нормированной собственной
функцией. В самом деле, так как двукратные корни
исключены, то Хп ни при каком п не равно
собственному значению \хп (см. § 4); поэтому ни одно решение
уравнения у" +'{Х — q (х) }у = 0 (кроме тривиального
решения у = 0) не может обращаться в нуль на концах
интервала. Отсюда заключаем, что для всякого отличного
от ип(х) решения у, для которого у(0)= г/(я), можно
найти такое с, чтобы vn(0)~ су(0) = vn(n)— су(л) = 0,
а тогда vn (х) — су (х) == 0. Следовательно, для s% = Хп
нормированная функция у(х, X) тождественна с
нормированной собственной функцией.
Теперь, применяя неравенство Коши — Буняковского,
получаем
ny(tlX)q(t)sms(x-t)dt\ <jV(f, *0<ft- §q2(t)dt^C.

§ 6. ПЕРИОДИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
47
Следовательно,
у(х, Х)= ci(s)sinsx + c2((s)cos sx + 0(s~l).
Перенося 0(s-1) в левую часть, возводя в квадрат и
интегрируя, получим
л
j{y(xl%)-0[l-)fdx =
О
л л
О О
- <*[т + °Ш + *[т + °(т)1 + **°(т)- (6-4)
Далее,
(Л \ 2 Л Л
о /о о ^ J \ /:
Так как числа ct и с2 входят в равенство (6.4)
симметрично, то можно считать, например, что \сА > |с21.
Тогда, полагая т] = (c2/Ci)2 ^ 1, будем иметь с\ ( -у +
+ т)— + Of —J )<С1 + 0( —). Это неравенство
показывает, что cY (а вместе с ним и с2) ограничено. Но этим
доказана и ограниченность собственных функций. Итак,
доказано, что ряд (6.3) сходится равномерно и
абсолютно. Теперь все выводы предыдущего параграфа остаются
в силе. В частности, имеет место формула
G(*,*) = -2
vn (*) vn (О
П=0
X,
п
Теорема 6.1. Каждая непрерывная функция f{x),
имеющая непрерывную вторую производную, может быть
разложена в ряд по собственным функциям задачи (6.1),
(6.2), если она удовлетворяет краевым условиям (6.2).
Доказательство дословно совпадает с
доказательством теоремы 5.1.

48 ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
§ 7. Доказательство теоремы разложения
методом контурного интегрирования
ПриведехМ сначала формальные рассуждения.
Предположим, что разложение по собственным
функциям вида (5.9) уже обосновано. Тогда, как показано
в § 5, резольвента у{х, X), определенная по формуле
(5.4), допускает разложение по собственным функциям
(5.15) и удовлетворяет уравнению (5.5). Решив это
уравнение, мы сможем, как это следует из (5.15),
определить члены разложения функции f(x), найдя
вычеты в полюсах функции у(х, X). Как показано в § 5,
п. 1, нули функции со(Х) совпадают с собственными
значениями задачи (5.1) —(5.3) и поэтому простые.
Пусть v(x, %п) = кпи(х, %п). Из краевых условий
вытекает, что постоянная кп конечна и отлична от нуля.
Следовательно, функция у(х, X) при % = %п имеет вычет
я
J^^u(x,K)\u{t,K)f{t)dt.
о
Приведенные формальные рассуждения показывают,
что должно иметь место разложение вида
оо п
/ (*) = 2 ШГ\и {х> К) Iи (i' К) f (i) dL
п=о v п' 0
Общий метод, который мы ниже используем, состоит
в следующем: функция у(х, X) определяется по
формуле (5.4); интегрируя ее по расширяющимся контурам
комплексной плоскости Я, получаем в пределе функцию
f(x); стягивая же контур интегрирования к
действительной оси, на которой расположены особенности
у(х, X), получаем разложение f(x) в ряд по
собственным функциям.
Теорема 7.1. Пусть функция /(^£^(0, я).
Тогда при 0 < х < я разложение по собственным функциям
краевой задачи (5.1) — (5.3) ведет себя в отношении
сходимости так же, как и обычный тригонометрический ряд
Фурье. В частности, это разложение сходится к -rr{f(x +
+ 0) + f(x — 0)}, если функция f(x) имеет
ограниченную вариацию в окрестности точки х.

§ 7. МЕТОД КОНТУРНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 49
Доказательство. Рассмотрим интеграл
С
(у(х, X) определяется по формуле (5.5х)), который
берется по замкнутому контуру С в плоскости X,
описываемому следующим образом. Пусть X = s2; верхняя
половина контура соответствует четверти границы
квадрата в плоскости s, образованной отрезками прямых
(5 = 0+ U)
1 1
t = n + -7T1 0^.О^П + -7Г-.
Нижняя половина контура строится симметрично
верхней относительно действительной оси. Легко видеть, что
интеграл (7.1) равен конечной сумме ряда по
собственным функциям. В самом деле, внутри контура
интегрирования находится лишь конечное число собственных
значений, т. е. конечное число полюсов функции у(х, X).
Тогда в силу известной теоремы теории вычетов
интеграл (7.1) равен сумме вычетов в полюсах функции
у(х, X), а последние являются членами разложения
функции f(x).
Рассмотрим случай sin а Ф О, sin [5 =7^0. Согласно
лемме 2.2 на упомянутых выше отрезках границы квадрата
и(у, Х)= cos sy •sincc + 0(|5|-1e<y),
v(x, X) = cos s(n - x) • sin p + О(|$|-1е'(я-*)),
и' (у, X) = — 5 • sin sy • sin a + О (ety),
z/ (x, X) = 5 sin s (я - x) • sin p + О (еНл~х)).
Тогда о)(Я) = 5 sin sn • sin a -sin [5 + 0{etJl). На тех же
отрезках Isin 5jtI > Аегя и, следовательно,
1 1
' + °Ur)}-
со (Я) 5 sin 5Я-sin a-sin p
Отсюда
и (д, X) и (у, Ц _ cos {s (jt — ж)} cos sy
со (Я) ~~ s sin sn + ^
4 Б. М. Левитан, И, С, Саргсян

50 ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
И
Fcos {s (к — х)} cos sy
s sin sk
f(y)dy +
+ ol^§e«v-*)\f{y)\dy\.
Пусть 0 < б < х\ тогда последний член в этой формуле
преобразуется к виду
0 НЬг + О -V [f(y)\dy].
Ввиду того, что dk/ds = 2s, этот член приводит к
появлению в интеграле (7.1) слагаемого
J \fmdv\o(-±r)\ds\ =
= 0{fe-e«|-^|] + 0 | |/(*/)|J.
I'c J U-6 J
Второй член, стоящий справа в этой формуле, может
быть сделан сколь угодно малым за счет б; первый же
член при фиксированном б стремится к нулю, когда
п ->- «J, ибо он имеет вид
О
-4
± jVa^| + oU J
«4
-fl(.+l)
da\
0Ш + 0(е-Щ
Аналогичное исследование может быть проведено отно-
сительно другого слагаемого в у(х, Я), в котором #<
^ у < я. В итоге получаем, что интеграл (7.1) равен
2n*J J
cos [s (я — х)] cos у
s sin sk
f(y)dy +
с vo
+
f ^^^Гп^^"/^^^^^1)- (7-2)

§ 7. МЕТОД КОНТУРНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 51
Первый член в этой формуле в точности совпадает с
выражением, которое мы получили бы в
соответствующей задаче при разложении f(x) в ряд Фурье по
косинусам, и, следовательно, равен частной сумме ряда
Фурье по косинусам. Этот факт, конечно, легко
проверить и непосредственно с помощью теории вычетов.
Отсюда уже следует рассматриваемая теорема о связи
между разложением по собственным функциям и
разложением в ряд Фурье. Если sin а = 0 или sin [5 = 0,
теорема 7.1 доказывается аналогично.
В том случае, когда f(x) обладает ограниченной
вариацией в окрестности точки х, установленный выше
результат легко получить непосредственно, не
привлекая теории рядов Фурье. Прежде всего имеем
cos {s (к-х)} cos sy = t e«*-*)+ty | = t
sinsrt 1 Ptn i i° S
и, следовательно, та часть выражения (7.2), где 0^
< у < х — б, стремится к нулю, как и ранее. При х —
— б < у ^ х имеем
cos {s (я — х)} cos sy
smsrt
^ e~is(n~x) {i + 0 (g-2/(rt-*))} e-isy fr + 0 (g-2fy)} _
2ie~isn {l + О (e~*tn)} ~~
=—4* ieis{x~y) i1 + ° (e~26t)}t
если б<я — х. Член, который содержит 0(e~26t),
приводит, как и прежде, к слагаемому, стремящемуся к
нулю. Главный член в (7.2) доставляется интегралом
X X
~W J eU(X~V)f (y)dlJ = --kf(x~ °) 1 е^-УЫу +
x—6 х—Ь
X
+ 4г I eU(x~y) {f(x~°)-f &» dv =
x-6
X
= /(*-<)) ±^~ + 4r J e**-*> {f(x-0)-f Ш dy.
2s
x~ О

52 ГЛ. I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАИ
Первое слагаемое -^г / (х — 0) дает после интегри-
л
рования -7г/(# — 0), что и требовалось. Интеграл от
второго члена дает 0(e'bt\fk\'"i) и, следовательно,
стремится к нулю. Далее, так как f(x) имеет ограниченную
вариацию, можно положить f(% — 0) — f(y) = g(y)—h(y),
гДе g(y) и h(у)— положительные, монотонно
убывающие функции, стремящиеся к нулю при у ->• х. По
второй теореме о среднем
* 1
J Re {ei8(*-v)} g (у) dy = g (x — 6) J Re {eul*-v)} dy =*
x~6 x-6
I
= g (x - 6) Re J eisl*-v4y = О {*(fgT8)}-
Этот член доставляет в (7.1) слагаемое
J°(-£T^rI)rf|X1 = c>{sr(;r"6)}'
которое может быть сделано сколь угодно малым за
счет б. Подобным же образом исследуем члены,
содержащие h(y), а также те члены, где у>х. Это
завершает доказательство теоремы.
Указания к литературе
§ 1—2. Преобразование общего уравнения второго порядка
к каноническому виду (1.1) и асимптотические формулы для
собственных значений и собственных функций являются
классическими и в основном принадлежат Лиувиллю.
§ 3. Результаты этого параграфа классические и были
получены Штурмом.
§ 4. Существенные результаты данной теории были
установлены Гамелем [1], Хауптом [1] и Титчмаршем [4]. См. также Го-
гейзель [1].
§ 5. Результаты этого параграфа являются классическими.
Систематически функцию Грина к изучению краевых задач начал
применять Гильберт [1]. Отметим, что теоремы полноты и
разложения для классической задачи Штурма — Лиувилля впервые
доказал В. А. Стеклов '[1].
§ 6. См., например, Гогейзель [1].
§ 7. Идея применения контурного интегрирования к
доказательству теорем разложения восходит к Коши. Этот параграф
написан на основе п. 1.9 монографии Титчмарша [1]. О других
методах доказательств теоремы разложения см. монографию Б. М.
Левитана, И. С. Саргсяпа [1].

Глава II
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
В СИНГУЛЯРНОМ СЛУЧАЕ
§ 1. Равенство Парсеваля на полуоси
1. Как отмечалось в § 1 гл. I, задача Штурма —Лиу-
вилля называется сингулярной, если либо интервал [а, Ь\
бесконечен, либо функция q(x) на интервале [а, Ь] не
суммируема (либо и то и другое). В этом параграфе мы
получим теорему разложения для сингулярной задачи,
рассматривая ее как предел регулярных задач.
Начнем с рассмотрения того случая, когда интервалом
является полуось [0, о°), а функция q(x) непрерывна в
каждом конечном интервале 0 ^ х < Ъ. Итак, рассмотрим
уравнение
у" +{X-q(x)}y = 0, 0^*<°о. (1.1)
Обозначим через а произвольное действительное число,
через у(х, Я) —решение уравнения (1.1),
удовлетворяющее начальным условиям
у (О, К) = sin а, у' (О, X) = —cos а. (1.2)
Очевидно, что у(х, Я) удовлетворяет краевому условию
у (О, X)cosa + y'(0, X)sina = 0. (1.3)
Обозначим через Ъ произвольное положительное число
(в дальнейшем Ъ будет неограниченно расти), а через
Р — произвольное действительное число, и присоединим
к задаче (1.1), (1.3) краевое условие
у(Ъ, k)cos$ + y'(b, X)sinp-=0. (1.4)

54 гл. и. спектральная теория, сингулярный случай
Задача (1.1), (1.3), (1.4)—это регулярная задача
Штурма — Лиувилля. Обозначим через %п, ъ собственные
значения этой задачи, а через уп,ь(х) = у(х, %п,ъ)—
соответствующие собственные функции, удовлетворяющие
начальным условиям (1.2). Если /(#)^j?2(0, Ъ) иа^ь =
ъ
= ) Уп,ъ{х) dx, то в силу равенства Парсеваля (5.10)
о
гл. I (в данном случае нормированные собственные
функции vn (х) = —— уп%ъ (х)) имеем
ап,ъ J
Ъ /Ъ \2
I
f(x)dx = 2-М \f(x)yn,b(x)dx). (1.5)
о n==i a",b \о
Если ввести монотонно возрастающую функцию скачков
рьт = - 21У-, *<ot
Ь<кпЪ<0 ^п,Ъ
то равенство (1.5) можно записать в виде
Ъ оо
\f{x)dx= j F*{X)dpb(X), (1.6)
о
b
где F (%) = j / (x) y(x,X)dx.
Мы покажем, что равенство Парсеваля для
сингулярной задачи (1.1), (1.3) получается из равенства (1.6)
при Ъ ->■ оо. С этой целью докажем лемму.
Лемма 1.1. Для любого положительного числа N
существует такое постоянное положительное число А =
= A(N), не зависящее от Ь, что
У{ръ(Щ= 2 -£- = Ръ(Ю-Ръ(-Я)<А, (1.7)
~N -NO^^N ап,Ъ
т. е. в каждом конечном интервале изменения X вариация
функций рь(Я) равномерно (по Ъ) ограничена.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай
sin а Ф 0. Так как в области —N ^X^N, (Xx^a (а —

§ 1. РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ НА ПОЛУОСИ 55
произвольное положительное фиксированное число),
функция у(х, X) непрерывна, то в силу условия т/(0, Х) =
= sina существует столь малое положительное число h,
что для |Х| <N
I h v2
1^^у(ххХ)(1х\ >—sin2a. (1.8)
Если теперь к функции
}l/fe2 0<*<к,
'% ^^^tv%
применить равенство (1.6), то, используя (1.8), получим
h оо / h \2
J fh{x)dx = -i- = J -1 J y(Xl %)dx\ dpb(A,)>
0 —oo * 0 '
N , h ,2
N I 0 J
> 4 sin2 a • J йРь (*) = 4" sin2 a • ^ь (Ю -рь(- N)}%
откуда следует неравенство (1.7).
В случае sina = 0 получим оценку (1.7), применив
равенство Парсеваля (1.6) к функции
(l/h\ 0^x<ht
/л(ж) = к *>*.
Лемма доказана.
Покажем теперь, что, используя лемму 1.1 и
известные теоремы о предельном переходе под знаком
интеграла Стилтьеса, можно получить равенство Парсеваля для
задачи (1.1), (1.3).
Пусть вначале функция fn{x) обращается в нуль вне
интервала 0 ^ х < п, п< Ь, имеет непрерывную вторую
производную и удовлетворяет краевому условию (1.3).
Применяя к этой функции равенство Парсеваля (1.6),

56 ГЛ. II. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
получаем
\fl{x)dx= j K{X)dpb(X), (1.9)
О
n
где Fn (К) = J /n (ж) г/ (ж, Я) йж.
о
Так как обе функции fn(x) и у(х, X) удовлетворяют
краевому условию (1.3) и в окрестности точки Ъ
функция fn(x) тождественно равна нулю, то из тождества
Грина следует, что
ъ
Fn {Ц = — — J /n (х) {у" (хг Ц — q (х) у (х, X)} dx =
о
ь
= y J У (х, Я) {/п (ж) — q (x) /п (ж)) d#.
о
Поэтому для произвольного конечного N>0
|M>W
П
(х) — q(x)fn(x)\ dx) dpb(X)<C
\k\>N 'о
w j Jy ^' ^ ^ ^ ~~q ^ fn ^ dx\dpb ^'
p- j j J У (хЛ) [fn (x) - q (x) fn (ж)] dx\ dpb {I) =
П
т^ J 1/пИ-г И /n И)2 я**
i
-oo ' 0
о
Из этой оценки и равенства (1.9) получаем
п N I
lft{x)dx- f Fn(X)dpb(X)\<
О -N I
n
<^§{fn(x)-q(x)fn(x)}2dx. (1.10)
0
В силу леммы 1.1 множество монотонных функций
{рь(Я)> (-IV^Kff) ограниченно. Поэтому можно вы-

§ 1. РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ НА ПОЛУОСИ
57
брать последовательность {bh}, для которой функции рь{Х)
сходятся к монотонной функции р(Я).
Переходя в неравенстве (1.10) к пределу по
последовательности bh, получаем неравенство
п N
\fl(x)dx- f Fl(K)dp(X)
—N
<
lb
■^ J ifn {x) — q {x) fn (x)}2 dx.
<
о
Наконец, полагая в этом неравенстве #-*«>, получаем
П 00
\fn{x)dx = § Fl(l)dp(X),
0 —оо
т. е. равенство Парсеваля для функций,
удовлетворяющих указанным выше условиям.
Пусть теперь f(x) — произвольная функция с
интегрируемым квадратом: f(x)^ i?2(0, oo). Как известно,
можно указать последовательность функций {fn(x)),
удовлетворяющих предыдущим условиям (т. е. равных нулю вне
интервала [0, п], удовлетворяющих краевому условию (1.3)
и имеющих непрерывную вторую производную) и
условию
оо
lim \{f{x)-fn(x)fdx = 0.
П-»оо Jj
Так как
оо
J {fn (x) — /m И}2 dx-+0, п,т-+ оо,
то
j {Fn (Я) - Fm (Х)У dp (X) = j {/n (x) - fm (x)}2 dx -> 0.
В силу полноты пространства функций с интегрируемым
квадратом (относительно монотонной функции р(^)) из
последнего равенства следует существование предельной

58 гл. п. спектральная теория, сингулярный случай
функции F(X), удовлетворяющей равенству Парсеваля:
ОО 00
^f(x)dx = \ F*(X)dp(X).
О —оо
Остается показать, что при п-> оо функции
п
FnW = li{x)y{xx%)dx
о
сходятся в среднем к F(k).
Пусть g (x) — другая функция с интегрируемым
квадратом и G(x) построена по g(x) так же, как F(X) по
}(х). Очевидно, что
ее оо
J {/И-*(*)}«*х= j" {F(k)-G(k)fd9(k).
О —оо
Полагая теперь g(x) = f(x) при 0^х<п и g(x)==0 при
х > п, получаем
оо оо
J {F (К) - Fn (К)У dp (К) = j f (х) dx^O, в -> О,
— оо П
что и доказывает сходимость в среднем Fn(X) к F(k).
Итак, нами доказана
Теорема 1.1. Пусть f(x)^2?z(0, оо). Существуют
не зависящая от функции f(x) монотонно возрастающая
функция р(Х) и функция F(k) (обобщенное
преобразование Фурье функции f(x)) такие, что имеет место
равенство
оо оо
\f{x)dx=* J F2Ck)dp(k).
О —оо
Функцию р(Я) часто называют спектральной
функцией. В дальнейшем увидим, что функция р(Х) может
определяться неоднозначно.
Функция F(k) является пределом в среднем
квадратичном последовательности непрерывных функций
п
Fn(h) = § /(х)у(х,Х)(1х, т. е.
о
оо
lim f {F(l)-Fn(K)¥dp(l) = 0.

§ 1. РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ НА ПОЛУОСИ 59
В последующем изложении это равенство сокращенно
будем писать в виде
п
F(I) = I-i-m \ f(x)ij{x,%)dx.
П-»оо q
2. Пусть f(x), gWe^fO, оо) я F{1), С(Я)—их
преобразования Фурье. Очевидно, что функции /0е)±?0е)
имеют своими преобразованиями Фурье функции
F(K)±G(l). Поэтому
ОО 00
j {/ (*) + 8 (*)F dx = j {F (Я) + G (Я)}2 ф (Я),
О —оо
ОО 00
j {/ (*) - g MY dx = j {^ (Я) - G (Я)}* dp (Я).
О — оо
Вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем
ОО ОО
$f(x)g(x)dx= J F(X)G(X)dp(K). (1.11)
О —оо
Это равенство называется обобщенным равенством Пар-
севаля.
Теорема 1.2 (теорема разложения). Пусть
f(x)^3?2(0, oo)_ непрерывная функция ({Х£<°°) и
интеграл
ОО
J" F (Я) у (я, Я) ф (Я)
— ОО
сходится абсолютно и равномерно по х в каждом
конечном интервале. Тогда
ОО
/(*)= j /чя)г/(*,Я)ф(Я). (1.12)
— ОО
Доказательство. Пусть g(x) есть непрерывная
функция, равная нулю вне конечного интервала [0, п].
В этом случае равенство (1.11) запишется так:
\i{x)g(x)dx- J F(X)\$g(x)y(x,k)dx\dp(X).
О —оо lo J
В последнем интеграле в силу абсолютной сходимости

60 ГЛ. II. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
можно изменить порядок интегрирования, и мы получим
п п i оо \
]f{x)g (х) dx = \g (х) j F (К) у (х, К) dp (A) dx.
О 0 l-oo J
В силу произвольности непрерывной функции g(x),
оо
а также непрерывности f(x) и J F (к) у(х, А)йр(Я)
— оо
(непрерывность последней функции следует из
предполагаемой равномерной сходимости интеграла) получим
оо
/(*)=]" F(K)y(x,X)d9(K),
—оо
что и требовалось доказать.
§ 2. Круг и точка Вейля
1. В этом параграфе мы по-прежнему рассматриваем
интервал [0, оо) и функцию q{x), непрерывную в каждом
конечном интервале.
Пусть F(x) удовлетворяет уравнению
у"+{К-д(х))у = 0 (2.1)
и G(x) удовлетворяет тому же уравнению с V вместо X.
Если Ъ — фиксированное число, то в силу тождества (1.5)
гл. I
ъ ъ
(V _ К) J F (x) G (x) dx = \{F (x) [q (х) G (х) - G" (х)] -
о о
— G (x) [q (x) F (х) — F" (x)]} dx =
ъ
= - j V (х) G" (х) - G (x) F" (x)} dx =
= W0{F,G}-Wb{F,G}. (2.2)
Если, в частности, X = и + iv, X' = \_= и — iv, то в силу
действительности q(x) имеем G(x) = F(x), и поэтому из
(2.2) следует, что
ь
2v$\F (x) |2 dx = iW0 {F± 7} - iWb {F, F). (2.3)
о

8 2. КРУГ И ТОЧКА ВЕЙЛЯ
т
Обозначим через ф(я) = ф(;г, X) и 0(#) = d(;z, К)
решения уравнения (2.1) с начальными условиями (ее —
действительное число)
ср (0) == sin а, ф' (0) = —cos а,
0(0) = cos а, ft' (0) = sin а.
Так как в уравнении (2.1) член с первой производной
равен нулю, то в силу известной формулы Лиувилля
вронскиан постоянен и, следовательно, ЖДф, О} =
= W0{q>, О} = sin2 a + cos2 а = 1. Поэтому общее решение
уравнения (2.1) с точностью до постоянного множителя
можно представить в виде {>(#)+ 1у(х).
Рассмотрим те решения, которые в точке х = Ъ
удовлетворяют условию
{f>(b)+lcp(b)}cos$ + W{b) + l4)'(b)}sm$ = 0 (2.4)
с действительным р. Из этого условия определим I:
j ft(b)ctgft + ft'(b) /0//ч
Ф (b) ctg р + <р' (Ь) * ^'^
Если Ь фиксировано и ctg [J принимает все значения
от —оо до +оо? то Z описывает в комплексной плоскости
окружность Сь. Заменим ctg [J на комплексную
переменную z и положим
Точке Z = oo соответствует z = — ф/(Ь)/ф(Ь)_1_ Поэтому
центру круга Сь соответствует точка z = —ф'(Ь)Лр(Ь).
Подставляя z в формулу для Z, определяем, что центр Сь
находится в точке —Wbift, ф}/И^ь(ф, ф). Далее,
Ф' (Ь)} _ J_ . (д>'(Ъ) _ &_(Ь)\ 1_ ,*Мф, Ф>
»2 *
.Ф(Ь)|
Так как W0{cp, ф}=0, то в силу (2.3) последнее
выражение имеет тот же знак, что и и. Итак, доказана
Лемма 2.1. Если у>0, то верхней z-полу плоскости
соответствует внешность круга Сь.
Так как точка —,&/(Ь)/ф/(Ь) лежит на окружности Сь
(при z = 0), то для радиуса гъ круга Съ получим

62 ГЛ. II. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
выражение
П
Г (b) Wb fa» ф)
ф#(ь) *Мф>ф)
*Мф. ф}|
== 2у||фИ|26^ . (2.G)
Далее, в силу леммы 2.1 Z находится внутри круга Сь,
если lmz<0, т. е. если i(z — z)>0.
Разрешая (2.5) относительно z и подставляя в
неравенство i (z — z) > 0, получаем
| ftp'(ft)+<>'(&) _ ^W + gWl^o
| /<р(Ь)+0(Ь) 7ф(Ь)+Ф(Ь) J '
откуда находим, что
* [UI2ШФ, ф} + lWb{(p, & + Twb{®, ф) + Wb{®, Щ -
= iWb{® + /ф, Ф +Тф) > 0.
Поэтому, полагая в тождестве (2.3) F = '& + lq), получаем
ъ
2v J | О (х) + lq> (х) |2 dx < *W0 {ft + /ф, О + Zip},
о
Так _как ИМ0, #} = ИМф, ц\ = 0, а_ Ш#, ф) =
= И^Ф, *) = 1, то W0{® + /ф, О + /Ф> = Z - Z = 2Пт Z.
Таким образом, Z находится внутри Сь, если у > 0 и
ь
о
Тот же результат получается в случае и < 0 (пользуемся
неравенством lmz>0). В обоих случаях знак ImZ
противоположен знаку и. Следовательно, если Z находится
внутри Съ и 0 < Ъ' < Ь, то
Ь' Ь
j | & (х) + 1<р(х) |2 Ar< j| О (о:) + /Ф (х) \*dx<- ^-Z.
о о
Поэтому Z лежит также и внутри CV. Значит, если Ь'<
< Ь, то CV содержит Сь. Отсюда следует, что при Ъ ->■ °°
круги Сь сходятся либо к предельному кругу, либо к пре-

§ 2. КРУГ И ТОЧКА ВЕЙЛЯ
63
дельной точке. Пусть т = т(X) — предельная точка или
любая точка предельной окружности. Тогда для любого Ъ
ь
^\Ъ(х) + тц(х)\Ых^-1-1^.
о
Значит,
оо
jl 0 (х) + тер (х) |2 Жр< - ]В^И}Л (2.7)
о
Итак, имеет место
Теорема 2.1. Для всех недействительных значений
X существует решение уравнения (2.1)
ty(x, Х) = '&(х1 Х) + т(Х)ср(х1 X)
с интегрируемым квадратом на интервале [0, оо).
Функция ty(x, X) называется решением Вейля.
В случае предельного круга гь стремится к конечному
пределу при Ь -> оо. Поэтому из (2.6) следует, что
ср(х,Х)^ ^(О, о©), т. е. в этом случае каждое решение
уравнения (2.1) принадлежит пространству i?2(0, оо).
Естественно возникает вопрос: зависит ли
классификация предельного круга и предельной точки от
выбранного частного значения Х0 или она зависит от
оператора —d2/dx2 + q(x)'! Ответ дает следующая
Теорема 2.2. Если каждое решение уравнения (2.1)
для некоторого комплексного XQ принадлежит классу
i?2(0, oo)? то и для произвольного комплексного X
каждое решение уравнения (2.1) принадлежит классу
3?2(0, оо). Иначе говоря, если для некоторого
недействительного Х0 имеет место случай предельного круга, то
этот случай имеет место и для произвольного
недействительного X.
Доказательство. Пусть два линейно
независимых решения ф и \f> уравнения —yf/ + q(x)y = X0y1 где
1тХ0¥=0, принадлежат классу i?2(0, оо). Пусть % —
произвольное решение уравнения — у" + q(x)y = Ху.
Запишем это уравнение в виде
- у " + q (x) у = Х0у + {Х- Хо) у.
Умножая ф в случае необходимости на постоянную,
чтобы ТУ{ф7 г|)} = 1, и применяя формулу вариации достоян-

64 ГЛ. II. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
ных, получаем
%(х) = с1ср(х) + с2^(х) +
X
+ (Я- - К)) (ф (*) Ф (*) - ф (0 * (*)} ос (0 л, (2.8)
с
где с, с1? с2 — постоянные. Если использовать обозначе-
fr 11/2
ние || % (х) ||с == | J | % (t) f dt\ и если М таково, что
Wq>(x)Wc<M, Щ(х)\\с<М для всех х ^ с, то неравенство
Коши — Буняковского дает
||{ф(а:)г|>(0-ф(*Ж*)}х(*)1*<
С
<м{\у(х)\ + \у(х)\}\\х(х)\\с.
Применяя это неравенство к формуле (2.8), а затем
применяя неравенство Минковского, получаем
h(x)\\c< {\Cl\ + \с2\}М + 2\X-X0\M2h(x)\\c.
Если с настолько велико, что IA, — К0\М2 < 1/4, то
\%{х) |с < 2{|cil + \с2\)М. Так как правая часть этого
неравенства не зависит от х, то ^(^^^(О, с»), и теорема
доказана.
Полезное достаточное условие того, чтобы для
оператора ~d2/dx2 + q(x) имел место случай предельной точки,
доставляет
Теорема 2.3. Если q(x)>— kx2, где к—некоторая
положительная постоянная, то для оператора —d2/dx2 +
+ q(x) имеет место случай предельной точки.
Доказательство. Покажем, что уравнение Ly ^
s — у" + q(x)y = 0 не имеет двух линейно независимых
решений из класса 3?2(0, оо). Предположим, что ср(х)—
действительное решение уравнения Ly = 0, и пусть
ф(#)еi?2(0, оо). Из равенства ср" (х) = q{x)<${x)
получаем (с>0)
XX X
J гщи) dt = j ^) ф2 №> _ А j ф2 w л>
ее с
Интегрируя по частям и используя то обстоятельство,
что ф(а:)^572(0, оо), докажем существование постоян-

!§ 2. КРУГ И ТОЧКА ВЕЙЛЯ 65
ной ki такой, что
_Фчуи + |(^^_2|ф^Ф(о^<^ (29)
^ с
Пусть Н (х) = \ 2 dt. Тогда используя неравен-
с
ство Коши — Буняковского, получаем
с I Ч '
ос
^k2H(x)$q2(t)dt. (2.10)
с
Таким образом, в силу (2.10) из (2.9) следует, что
существует постоянная к3 такая, что
_ ф'(»)ф(») + Я(х) - /с3Я1/2 (х) < Л,.
X
Если Н(х)-+оо при £->°°, то из последнего неравенства
со' (х\ cd (дЛ 1
следует, что 2 >-~-Н(х) для всех достаточно
a; z
больших ^. Это означает, что функции Ц)(х) и ф' (х)
имеют одинаковый знак для больших х, а это противоречит
тому, что cp(;r)^i?2(0, °°). Таким образом, Я (я)
остается конечной, так что
[
{фЦО^Жоо. (2.11)
С
Предположим, что Ц)(х) и г|)(х)—два линейно
независимых решения уравнения Lz/= 0 из класса i?2(0, <»),
т. е. предположим, что для L имеет место случай
предельного круга. Можно предполагать, что эти решения
действительны и что ИМф, г|)} = 1. Тогда из определения
И^ф, i|)} следует равенство
Ф(*)!Ш-*(*)2^-4,
В силу неравенства (2.11) и неравенства Коши —
Буняковского левая часть этого равенства интегрируема на
5 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян

66 ГЛ. II. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
интервале (с, °°), а правая часть, очевидно, неинтегри-
руема. Следовательно, случай предельного круга не может
иметь места. Теорема доказана.
2. Для данного р функция 1 = 1{%) есть аналитическая
функция от Я. Она даже мероморфна с полюсами на
действительной оси. В самом деле, в силу (2.4) полюсы 1(Х)
суть нули функции ф(Ь, X)cosP + q/(b, X)sinp. Эти нули
суть собственные значения оператора —d2/dx2 + q(x) в
конечном интервале [а, Ь] и, следовательно, простые.
Из рассуждений предыдущего пункта следует, что для
данного % область Z-плоскости, покрытая кругом Съ,
убывает с возрастанием Ъ. Поэтому семейство аналитических
функций l(k) = l(k, b, Р) равномерно ограничено в
каждой ограниченной области, лежащей целиком в верхней
(нижней) Х-полуплоскости. В силу известной теоремы
теории аналитических функций это семейство
нормально*) (т. е. из каждой бесконечной последовательности
можно выбрать равномерно сходящуюся
подпоследовательность) в каждой из упомянутых областей.
Если при некотором недействительном К имеет место
случай предельной точки (в силу теоремы 2.2 то же
самое справедливо и для всех других недействительных X),
то, как легко видеть, семейство функций Z(X) имеет
единственный предел т(%), который является аналитической
функцией в силу теоремы Вейерштрасса.
В случае предельного круга семейство 1{%) имеет не
единственный предел. Из нормальности семейства
следует, что можно выделить неограниченно возрастающую
последовательность чисел bk и последовательность чисел
Рь так, что предел Hm Z(A,, bk, Pft) == т(Х) существует в
fc-»oo
каждой из Х-полуплоскостей и является аналитической
функцией. Числа т{%), очевидно, лежат на предельных
окружностях.
Положим ifb(#, h) = ft(x) + lq>(x), l = l(X, b).
Справедлива _j
Лемма 2.2. Для каждого недействительного %
Ь оо
о о
*) См. А. И. М а р к у ш е в и ч [1, с. 294].

§ 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 67
Доказательство. Очевидно, что
фь(я, Л) = ф(ж, X) + [l(X)-m(l)]q)(x, Я),
где ф(я, Х)е^2(0, оо).
В случае предельного круга 1(Х)-^ т(Х), поэтому
ipb (ж, X)->i|)(^, X), и в силу того, что ф(#, Х)е«2?2(0, °°),
ь ь
J I ^ь (ж, Я) |2 da: ->- J | г|э (.г, Я) |2 dr.
о о
В случае предельной точки, согласно (2.6),
|Z(A,) — т/г (Я) К гь = 2у||ф(^ X) |а da: I , 17=^0.
Так как гъ ->- О, то i|)b(#, Я)->1|)(а:, Я) и, кроме того,
ь
J | {Z (А,) - т (Щ ф (я, К) fdx^
о
ь / ь \-i
= | Z (X) — т?г (Я) |2 j | ф (х, Ц |2 dr < 4у* J | Ф (а:, Я) |2 da; .
Поэтому и в этом случае
ъ ъ
о о
Лемма доказана.
§ 3. Интегральное представление резольвенты
Пусть f(x)^3?2(0, °°). Положим (X —
недействительное число)
X оо
Ф (х, X) = ф (ж, X) J Ф (г/, Ц / (г/) d» + Ф (х, Я) j> (у, К) / (у) dy,
О х
где ф(#, Я) и ty(x, Я)—функции, определенные в § 2,
5*

68 ГЛ. II. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Если f(x) — непрерывная функция, то
х
Фх (х, X) = Цх (х, X) j Ф (у, X) / {у) dy +
О
со
+ q>x(*,*)J ty(yA)f(y)dy,
X
X
Ф" (х, X) = f (х, X) j' Ф (г/, Я) / (у) dy +
О
оо
+ Ф" (*, *) j Ф (У, ^) / (у) dy + W (х, X) Ф (х, X) -
X
- Ф' (х, X) ф (х, X)} / (х) = {q (х) - X} Ф (х, X) + / (х),
так как
Ф (х, Щ' (х, X) — q/ (х, X) -ф (ж, Я) = PFX {ф, яр} =
==PF fro irt = | sina c°sa + ™(X)sina| ,
о it» VI |„__cosa sina — m (Я) cos a I
Таким образом, Ф" (х, Х) + {Х- q(x)}0(x, X) = f(x).
Кроме того,
оо
Ф(0Д) = Ф(0Д)|гр(уД)/(у)^,
О
оо
Фх(0Д) = фх(0Д)|ф(уД)/(у)^,
О
так что Ф(;г, Я) удовлетворяет краевому условию
Ф (О, X) cos а + Ф* (О, Я) sin a = 0.
Пусть Яп>ь и <$п,ъ{х)~ собственные значения и
собственные функции краевой задачи (1.1), (1.3), (1.4).
Пусть 1(Х) и i|)b(^, X) имеют то же значение, что и в § 2.
Положим
|я|эь(ж, 2)ф(г/, z), у<ж,
ь(Ж,К2)""1ф(^«)фь (»,«), »>*,
ь
Rz%bf = J* Gb (ж, у; 2) / (г/) dy, 2 = u + iu.

§ 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 69
Полагая
&
ап = \ч1,ъ{х)йх% (3.1)
о
получаем (см. гл.I, § 5)
оо Фп.Ь (*) j / (У) Фп,Ь (У) <*У
Rztbf= 2"
ь
j£(£^) j/fe)(p(l/)X)d у[фь(Х), (3.2)
где функция рь(Я) определена в § 1 этой главы.
Лемма 3.1, Для каждого недействительного z и
фиксированного х
оо
||£^М|яфь(Л)<^ (з.З)
— оо
Доказательство. Полагая в первой части
равенства (3.2) /(*/) = фп, ь(г/)/ап и учитывая определение
чисел ап из (3.1), в силу ортогональности собственных
функций фп> ь(х) получаем
ъ
\- Gb (х, у; z) фп>ь (у) dy = —-^~— (3.4)
*п ^ ап Г "~ An,b)
а,
'1 о
Теперь, применяя равенство Парсеваля к функции
Gb(x, у; z) (рассматривая ее как функцию от у) и
учитывая (3.4), находим, что
ъ
j \Gb(x, V,z)\*dy =
о
Утверждение леммы следует из этого равенства, так как
в силу леммы 2.2 интеграл слева сходится.

70 ГЛ. IT. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Следствие 1. Пусть функция р(Я) имеет то же
значение, что и в § 1. Тогда
оо
I
Ф (х, X)
dp(X)<tf,
(3.5)
с той же константой К, что и в неравенстве (3.3).
Доказательство. В самом деле, для
произвольного а > 0 из (3.3) следует, что
а
I
ф (х, Я)
2-Я
dpb(X)<K.
Полагая здесь сначала Ъ ->■ оо, а затем а ->■ оо?
получаем (3.5).
Следствие 2. Справедливы неравенства {а > 0)
—а
I
dp (Я)
■< оо
_j*-M' J|*-xi
■ 1,
dp (Я)
< оо.
(3.6)
Доказательство. Действительно, если sin ос ^0,
оо
то полагая в (3.5) х = 0, получаем | —-—Ц<оо,
— оо
откуда при любом а>0 следуют (3.6).
Если sin a = 0, то, дифференцируя (3.4) по х,
получаем
ь
^ J Гх Gh (*, /У; *) фп.5 Ы <2у - ^^1^^
ь)
Отсюда, в силу равенства Парсеваля, находим
ь
' |Ф' (*, %) I2
j|| Gb(x, у; z) |2 dy = J |^>|2 фь(X).
Теперь, поступая аналогичным образом, нетрудно
получить (3.6) и в этом случае.
Лемма 3.2. Пусть J(x)^3?2(0, оо) и
Rzj= §G(x,y; z)f(y)dy,

§ 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 71
где
\г|) {х, z) ф (у, z), г/ < я,
Сг (х, у: z) = \ , ч
притом ф(.х, z) w \f>(#, 2) имеют прежние значения
{см. § 2). Тогда
2 = и + £у.
Доказательство. При каждом Ь > О из (3.2) в
силу равенства Парсеваля следует
f I #г,ь/ (о:) |2 d* = 2 „ \ |2 f / (») ЧЧ* М dp
J n=i<\z-Ktb\2\J0 J
^2^i \\f(y)yntb(y)dy\ =Az]f(y)dy.
n=l ~^ <o l ' 0
Пусть a > 0 — фиксированное число. Если a<b, то
a Ь Ь
j | Д1>ь/ (z) |2 cb < j | Яг,ь/ (ж) |2 ds < ± j f (*/) <fo.
0 0 0
a oo
Устремив 6 к oo? получаем \ | Rzf |2 dx ^ —2 ] Z2 (*/) d#,
о о
и так как а — произвольное число, то лемма доказана.
Теорема 3.1 (интегральное
представление резольвенты). Для каждой функции ]{х)^
^2?2(0, оо) и каждого недействительного z справедливо
равенство
где
Rzf=^{xl%2[{%)d9{%), (3.7)
— 00
П
F (X) = bi-m J / (х)<ф(х, X)dx.
Доказательство. Допустим вначале, что функция
1(х) = fn(x) обращается в нуль вне конечного интервала

72 ГЛ. II. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
[О, п], удовлетворяет краевому условию (1.3) и имеет
непрерывную вторую производную. Пусть Ъ > п и а —
произвольное положительное число. Положим
Рп{Ц = ) fn{x)q>(x,X)dx.
Тогда вторую часть равенства (3.2) можно переписать
в виде
оо
■"2,ь/„= J y=Tx Фь(Л)
—оо
—а а оо
— и и оо»
J+J+Jjh^W^(X)./i + /i + /i. (з.8)
—оо —а а '
Оценим теперь Д. В силу (3.2) имеем
Л = J — d9b (Л) =
2-Я,
Ф&,ь (*)
Afc,b
<-а aI(«-4b)
/п(у)фА,ьЫ^<
<1
ф!.ь (*)
а/2
X
г w
х
2 ^5 J /n(«) ФМ (x)dx
Далее, интегрируя два раза по частям, получаем
2\1/2
(3.9)
IV
J /n (ж) ф&,& (ж) б/Ж =
О
п
. (*
= — -— 1 /п(ж){фл|Ь(ж) —д(ж)фй,ь(^)Ыд; =
о
п
= - г- f {/»(*)- з (*)/И1 фм(*) <**• (3-10)

§ 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 73
Так как в силу леммы 3.1 первая сумма в правой части
(3.9) сходится, то, учитывая равенство (3.10), из (3.9)
находим
/ (П ]2\1/2
11<К1/2Т\ 2 ^Ulfn(x)-q(x)f(x)]totb(x)dx\ .
vo
Поэтому в силу неравенства Бесселя
/ п ч 1/2
Ii<^[jyn(x)-q(x)fn(x)\2dx) =£-.
Точно так же доказывается, что /3 ^ С/а. Из этих
оценок следует, что /j и /3 стремятся к нулю при а ->- °°
равномерно по Ь. Поэтому можно воспользоваться
обобщенной теоремой Хелли, и мы из равенства (3.8)
получим (см. для сравнения доказательство теоремы 1.1)
RJ_ ^J^»dpm. (З.Ц)
— 00
Если f(x) — произвольная функция с интегрируемым
квадратом на [0, °°), то, как известно, можно указать
последовательность функций {/п (х)}™, удовлетворяющих
предыдущим условиям и при п-+°° сходящихся к j(x)
в среднем квадратичном. В силу равенства Парсеваля
последовательность преобразований Фурье Fn(X) функций
fn(x) сходится также в среднем квадратичном (по мере
р(А,)) к преобразованию Фурье функции /(#), которое
обозначим через F(K). Поэтому в силу следствия 1
леммы 3.1 и леммы 3.2 можно в равенстве (3.11) перейти к
пределу при п ->- °°, и получим утверждение теоремы.
Замечание. С помощью аналогичных
рассуждений можно получить формулу
оо оо
j Rz (/) g (x) dx = j *Шт dp (Я), (3.7')
*) Сходимость RZ) bfn к Rzfn следует из первой части леммы 2.2.
Заметим, что, начиная с этого места, рассматриваются р(А,)>
отвечающие тем последовательностям bh и рл, для которых
lim ЦЬ, bft, f>h) = m(X) (см. § 2).

74 ГЛ. II. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
где
71
F (к) = 1 • i • m \ / (х) ф (.г, Я) их,
П-»оо ф
П
6? (Я) = 1 • i • m \ g (х) ф (я, Я) dx.
7i->oo q
Теорема 3.2. Пусть f(x) удовлетворяет условиям/,
Iе. f(x),{f"(x)-q(x)i(x)}eS?*(0, со).
2°. /(0) cos a + /'(0) sin а = 0.
х
3°. lim W{/, Е%) = 0, где Я*(х) = f Ф (жД)ф(Л) (М=0).
ЗСН.ОО +0
ОО
Положим g (X) = J / (г/) £\ (г/) йг/. Гогда
о
оо
/0*0= J ф(^Д)^(Я),
—оо
причем последний интеграл сходится абсолютно.
Доказательство. Если /(х) обращается в нуль
вне конечного интервала, то меняя порядок
интегрирования, получаем
X оо
g (К) = J F (I) dp (Ц, F (I) = J / (*) Ф (х, X) dx.
О О
Эта формула для g(k) остается в силе и в общем случае,
ввиду сходимости преобразований Фурье в среднем.
Поэтому формулу (3.7) можно записать в виде
D 4 \ Ц> \*i %) dg (X)
,/_ JiGi
2-Я
Последний интеграл в силу леммы 3.1 сходится
абсолютно. Пусть h(X) определяется по Lf = f"(x)—q(x)f(x)
так же, как g(i) no f(x). В силу условия 3° и тождества

§ 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 75
Грина
оо
h (X) = j {/»(х) - q (х) / (х)) Е% (х) dx =
с
оо ( X \
= — J / (х)\ ) [1ф (х, \х) dp (fx) \ dx.
о l-i-o J
Если 1(х) обращается в нуль вне конечного интервала, то
h (X) = - J ixF (jx) <2p (|x) J I* dg (|i). (3.12)
о +о
Эта формула остается в силе и в общем случае, ибо
х
j [Хф (х, [х) dp (fx) <= S72 (0, оо).
+о
В самом деле,
ъ ( %
о 1+0 J
Отсюда (а < Ь)
J J \мр (я, fx) dpb ([х) | efcr < j fx2dpb (fx).
О 1+0 J +0
Полагая вначале Ъ ->■ °°, а затем а ->- °°, получим
сделанное утверждение. Теперь, дифференцируя (3.12),
получим
dh(X) = -Xdg(X), dg(X)=-dh(X)/X. (3.13)
оо
Так как в силу условия 1° интеграл J ср(х, X) dh(X)/X
— оо
сходится абсолютно, то благодаря (3.13) абсолютно схо-
оо
дится и интеграл J (р(х, X) dg(X). Поэтому теорема 3.2
— оо
следует непосредственно из теоремы 1.2.

76 ГЛ. II. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
§ 4. Функция Вейля — Титчмарша
С помощью интегрального представления резольвенты,
полученного в § 3 (теорема 3.1), можно получить
полезные формулы для функций р(Х) и m(z). Функцию р(Х),
введенную в § 1, мы назвали спектральной функцией
рассматриваемой краевой задачи. Формулу для р(Х) можно
положить в основу при определении спектра оператора
Штурма — Лиувилля (см. гл. III). Функция же m(z),
введенная в § 2, называется функцией Вейля —
Титчмарша. Спектральная функция р(Х) и функция Вейля —
Титчмарша тесно связаны между собою, и, как будет
видно ниже, каждая из них выражается через другую.
Предварительно докажем несколько вспомогательных
лемм.
Пусть ty(x, X)—функция, рассмотренная во втором
параграфе (см. теорему 2.1).
Лемма 4.1. Для любых фиксированных
недействительных X и Xf имеет место равенство
limW{ty{x,X),y(z, V)} = 0.
JC-»oo
Доказательство. Функция $(х, %)+l(k)<p(x, К)
удовлетворяет краевому условию (2.4). Поэтому
Wb{ft(x, X) + l(X)q>(x, К), О (ж, V) + l(k')<p{x, А/)} = 0.
Отсюда следует, что
Wb{$(x, X) + [l(K)-m(K)]<f{x, X), $(х, Г) +
+ [1(%')- т(У)]<р(х, К')} =0,
т. е., более подробно,
Wb{ty(x, k),$(х, %')) + [l(X)-m(%)] Wb{(p(x, К), ф(ж, V)} +
+ [l(V)-m(K')]Wbty(x, К), ф(ж, %')) +
+ [1(Х)~ m(\)][l(k')- m(%')]Wb{(f(x, X), ц>(х, Х')} = 0.
(4.1)
В силу тождества (2.2) имеем
ИЪ{Ф(*Д), !>(*,*')} =
ъ
= (К' - К) J Ф (х, К) ф (*, k') dx + W0 {Ф (хг %)t г|> (хг X')}.
О

§ 4. ФУНКЦИЯ ВЕЙЛЯ — ТИТЧМАРША 77
Поэтому при Ъ -> °° на основании теоремы 2.1
W6 {Ф (ж,», ф (х, X')} = О 11 Ф (х,Х) I2 Ц + 0(1).
В случае предельной точки
\l(X)-m(X)\^rb = Ы$\у(х,Х)\г*х\ ,
так что
lim [I (X) - т (X)] Wb {Ф (ж, I), $(х, Я')} = О,
Ь-»оо
Это равенство остается также в силе в случае
предельного круга, если 1(Х)-+ т(Х), так как в этом случае инте-
ъ
грал J |ф(^, X)\2dx остается ограниченным. Аналогично
о
оцениваются остальные слагаемые равенства (4.1), и
лемма доказана.
Лемма 4.2. В обозначениях леммы 4.1 имеем
оо
|ф(х, К)$(х, X') dx = m {%lr_mK{%']. (4.2)
О
Доказательство. В силу тождества (2.2)
ъ
{Хг — X) j i|> (ж, А,) -ф (ж, Я') йж =
о
= Т^о {ф (гс, А,), яр (а, А,')} - И^ {ф (*, А,), я)) (я, Г)}. (4.3)
Используя условия (2.3), находим, что первый член
справа равен
[cos a + m (X) sin a] [sin а — тгг (А/) cos а] —
— [cosa + т?г(A/)sin a] [sin a— m(X)cos a] = m(X)~ т(Х').
С другой стороны, в силу леммы 4.1 второй член справа
в равенстве (4.3) стремится к нулю при Ъ -*■ °°. Поэтому
(4.2) следует из (4.3), если в последнем перейти к
пределу при Ъ ->• со.

78 ГЛ. П. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЯ
Б частности, при %' = X, X = u + iu из (4.2) следует
оо
J|*(x,X)|»Ar--I»ijM, (4.4)
О
так что в формуле (2.7) на самом деле имеет место знак
равенства.
Лемма 4.3. При фиксированных щ и и2 и б -> О
j — Im {т (и + Щ du = 0 (1). (4.5)
ui
Доказательство. Пусть sina^O. В силу (3.7)
(при х = 0) и равенства Парсеваля
оо оо
fn>(y,s)l'<fr= f , *Р3^ 2. z = « + fo. (4.6)
«J J (и— А) +У
0 —оо
Если sin a = 0, то следует предварительно доказать, что
преобразованием Фурье функции dG(x, у; z)Jdx является
функция фх (#, X)/(z — k). Это обстоятельство следует из
(3.4), если продифференцировать обе части по х, а затем
перейти к пределу при Ъ ->■ °°. Полагая потом # = 0,
снова получаем формулу (4.6).
Из формул (4.4) и (4.6) следует
оо
-1т{т(и + Щ} = 8 f dpУ , .
— оо
Интегрируя последнее равенство по и в пределах от и^
до и2, находим
Г - 1т{т{и + *8)}du = b\du f ^^
It. —oo
(u-xr + tf
Пусть (a, Ь) —конечный интервал, причем а<щ, b>
> иг. Тогда в силу (3.6)
8\du\ dp{» ,=Q(i), ef^f—^L_ = 0(i).
J J (и-*)2 + 62 W' J J(«-X)2 + 62 W
ut —оо и^ b

§ 4. ФУНКЦИЯ ВЕЙЛЯ — ТИТЧМАРША 79
Далее, имеем
и2 Ь Ь (и2-Щ6
иг a v л; ~ а (их-Л,)/в ~
и лемма доказана.
Теорема 4.1. Пусть концы интервала А=(Я, Я + А)
сг/ть точки непрерывности функции p(k). Тогда
р (Я + А) - р (к) = — lim Г {— Im [m (и + Щ]} du. (4.7)
я 6->o i
А
Доказательство. Пусть f(x)ig(x)^S>2(0,oo) и
обращаются в нуль вне конечного интервала. В силу
формулы (3.7')
оо оо оо
О —оо —оо
где а (А) = J F (X) G (Я) dp (Я). По формуле обращения
А
Стилтьеса
о (А) = — lim Г {- Im Ф (и + f б)} Л. (4.8)
6->0 А
А
(I.
Далее, имеем
оо
Im Ф (и + iS) = J g (x) dx Im | j [О (ж, и + f 6) +
о vo
+ m (u + 18) ф (хх и + i6)] ф (у, и + i6) /(у) dz/ +
oo
+ J" [* (у, и + *6) + то (и + i8) ф (y, u + гб)] x
X ф(жг и + i&)f(y)dy\.
Функции ф(#, и), '&(^, и), /(^) и g(;r) действительны.
Поэтому из этого равенства, соотношения (4.8) и леммы
4.3 следует
о (Д) = -L lim Г {— Im [тп (и + i6)]\ F (и) G (и) du. (4.9)
п 6-»o J
А

80 ГЛ. II. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЯ
Выбирая j(x) и g(x) надлежащим образом, можно
добиться того, чтобы F(u) и G(u) отличались сколь
угодно мало от единицы в фиксированном интервале А (см.
доказательство леммы 1.1). Поэтому из (4.9) и леммы 4.3
следует формула (4.7).
Теорема 4.2. Для каждого недействительного z
справедлива формула
оо
m(z) = -ctga+ f ^М. (4.10)
—ОО
Доказательство. Из формулы (3.7) в силу
произвольности функции f(z) следует
сю
g(*,y;z)- ^Ф(Х',Х1У'Х)»(Х). (4.11)
— сю
С другой стороны, по определению,
J [ft (s, z)+ m(z)y(x, z)]q>(y, z), y^x,
(*, у; z) - J [0 ^ z) + m {z) ф ^ z)]v{XtZ)t y> Xt
Поэтому в силу условий (2.3) из (4.11) следует
сю
G (0, 0; z) = {cos a + m (z) sin a} sin a = j^ZT ^P Mi
т. е. формула (4.10).
Заметим, что формула (4.7) следует из (4.10) в силу
формулы обращения Стилтьеса.
Формула (4.10) позволяет исследовать
асимптотическое поведение функции Вейля — Титчмарша m(z) при
\z\ -*■ 00.
Рассмотрим уравнение
у" +{k~q(x)}y = 0 (4.12)
па полупрямой [0, °°) при краевом условии
у (0) cos a + у' (0) sin a = 0. (4.13)
Если sin а Ф 0, то краевое условие (4.13) можно переписать

§ 4. ФУНКЦИЯ ВЕЙЛЯ — ТИТЧМАРША 81
в виде
y'(0)-hy(0) = 0, ft = -ctga. (4.14)
Формула (4.10) получена при краевом условии (4.13),
поэтому функции m(z) и р(к) обозначим соответственно
через ma(z) и pa(z). Если спектральную функцию р(А,)
при краевом условии (4.14) обозначим через рл(^), то,
как легко убедиться (в силу определения р(А,), см. § 1),
между р«(Я) и рл(А,) имеет место соотношение: ра(А,) =
= P/i(A,)/sin2a. Поэтому формулу (4.10) можно записать
в виде
оо оо
ma(Z) = -ctga+ j _=/>+_ j _. (4.15)
— оо —оо
С другой стороны, для рл(А,) при К ->■ +оо справедлива
асимптотическая формула (см. Б. М. Левитан, И. С. Сарг-
сян [1], с. 397)
Ра (*) = 4 ^1 - h + Р^ (- °°) + * (!)• (4Л6)
Эта формула позволяет вывести асимптотическую
формулу для ma(z) при Ы ->■ оо. Справедлива следующая
Теорема 4.3. При Ы->■ ©о ^ б < argz < я — 6, где
б > 0 — фиксированное число, справедлива
асимптотическая формула
ma (z) = _ ctg а - -J^ + -^f- + о (-L). (4.17)
|/z sin а z sin а \ z /
Доказательство. Предположим сначала, что
точка Я = 0 является точкой непрерывности функции рл(А,)
и рл(0) = 0. Интегрируя по частям, получаем
С dph (Я) _/ С d[ph(X)-ph (-<*>)] ^ 9h (Я) - ph (- оо)
J 2~Я ~ J 2-Я """ 2-Я
— оо —оо
_|,И»-М--)д__М^ + .(4.). (4.,8)
— оо
Снова интегрируя по частям pi используя формулу (4.16),
6 Б. М. Левитан, И. С. Слргсяи
0
—оо

82 ГЛ. II. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
находим
ОО ОО СО
Г dph Щ ^ С d [рд (Ц - 2 УШ + h - p/t (-00)] 2 Г^УХ
J 2-Х J 2-Я Я J Z— Я
0 0 0
_ °°
_Pha)-2VlJn+h-ph(-oo)\00 С о(1) ^ г
2-А* 1о J (2-Л)2 У
— й + Р/Л— °°)
йЧ-Н.<4Л9)
2 у2
так как, в силу условия теоремы б < arg z < я — б, б > О,
функция 1/z — £2 (в комплексно!! ^-плоскости) —
аналитическая функция в верхней полуплоскости, включая
действительную ось, за исключением точки t = Vz, в которой
имеет простой полюс, расположенный над действительной
осью, и поэтому с помощью вычета в точке t = Уя легко
вычисляется интеграл
ОО ОО ОО
2 CdYi= 2 С dt __ 1 Г
dt
Z t Л d Z-
0 —00
= 2ni res ъ = 2m 7= = ~.
Тогда из формулы (4.15), в силу равенств (4.18) и
(4.19), получаем
та(z) = - ctgа - [- с]*« + о(±\ (4.20)
у z sin о: V 2 /
т. е. формулу (4.17).
При h = 0, т. е. а = я/2, формула (4.20) принимает
совсем простой вид: тя/2 (z) = — —-^ + 0[— ]•
При а = 0 функция Вейля — Титчмарша 7n0(z)
связана с mn/2(z) равенством т0 = — \.lmnjz{z), и поэтому
7тг0(2)== ~^У2 + о(1).
Пусть теперь точка % = 0 есть точка разрыва
функции рнСк) п пусть скачок в птой точке равен а0. Положим
p{k) = Ph{k) — a0Q(k), где 9 (Я) есть функция Хевисай-
да, т. е.
(О, Ж О,
9 (К) = ,
U, Я>0.

§ 5. РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ В СЛУЧАЕ ВСЕЙ ПРЯМОЙ 83
Очевидно, что р(—°°) = рл(—°°) и р(Я) в нуле
непрерывна и поэтому в силу формулы (4.16) при К ->- +оо
Р М = 4 ^1 - h + ?h (- °°) - ао + о (1).
Тогда, аналогично предыдущим вычислениям,
ОО ОО <Х) ОО
Г dPh (X) _ г apjxi , . Г mv _ Г Л) , ао _
— с»
и, следовательно, асимптотическая формула (4.20)
остается в силе. Теорема доказана.
§ 5. Доказательство равенства Парсеваля
в случае всей прямой
Рассмотрим снова уравнение
y"+{X-q(x)hj = 0, (5.1)
предполагая теперь, однако, что х изменяется в
интервале (—°°, °°) и q(x)—непрерывная в каждом конечном
интервале функция.
Обозначим через ф(#, К) и ^(х, К) решения
уравнения (5.1), удовлетворяющие начальным условиям
Ф(0Д) = 0, Ф;(0Д) = 1, (5.2)
О(0,Л) = 1, ^(0Д) = 0. (5.3)
Пусть [а, Ь] — произвольный конечный интервал.
Рассмотрим краевую задачу, определяемую уравнением (5.1)
и краевыми условиями
у (a) sin a + yf (a) cos a = 0,
(5.4)
у (b) sin [J + у' (b) cos fi = 0,
где а и р — произвольные действительные числа.
Пусть Xi, Я2, . .., Яп, . • •— собственные значения, а
Z/i (#) 5 уЛх)ч • • •» 2/п (#), • • •— соответствующие ортонор-
мированные собственные функции этой задачи. Так как
ср(#, Я) и ${х, Я)-™линейно независимые решения
уравнения (5.1), то
Уп(х) = ап(р{х1 Хп)+$п$(х, К).
6*

84 гл. и. спектральная теория, сингулярный случай
Пусть f(x)^2?2(a, b). Тогда в силу равенства Пар-
севаля
f(x) [апф (х, Кп) + pnd (х, К)] dx\ =
а п==1 (а J
(? Г (г I2
*=1 la J n=l ^ J
+ 22 апРп J /(х) ф(х, Я") dx )j{x)b (х, К) dx. (5.5)
Если ввести функции скачков со скачками в
собственных значениях задачи (5.1), (5.4)
5а.ь(*) =
Ч]а,Ь (Ц =
UbW
I 2 ап при Я>0,
I — 2 ап при Я < О,
[ о>яп>я
f 2 апРп При ^>0,
— 2 &n$n При ^<0,
0>Хп>Я.
[ 2 Р» при Х>0,
|- 2 № при х<о,
то равенство (5.5) можно записать в виде
lf(x)dx= J Н/(*)ф(*Д)Ц dga,bW +
оо ( Ь
+ 2 j Ц/(а:)ф(ж,А,)Лг| К / (ж) 0 (*Д) AcUr)a,bW +
+ j Н/(*Ж*Д)<Ц<%».ь(Ь). (5.5')
Лемма 5.1. Для любого положительного N существу-
ет такое положительное число А^А (N), не зависящее

§ 5. РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ В СЛУЧАЕ ВСЕЙ ПРЯМОЙ 85
от а и Ь, что
V [рц(Ь)]<А, t, / = 1,2, (5.6)
где
Pli = £а, Ь, Pl2 = р21 = У]а, Ь, р22 = £а, Ь. (5.7)
Доказательство. Чтобы доказать неравенства
(5.6), достаточно взять г = /, так как
\Jn(Р12(Щ<Jr{?u(N)-9ll(-N) + р22(ЛГ)-р22(- N)}.
(5.8)
Положим ф(ж, ^) = г|)1(ж, X), Ф(;г, Я) = г|)2(#, Я). Тогда в
силу (5.7) равенство (5.5') примет вид
Ь оо 2
]f(x)dx= j S ^(Х)^(А,)ф..(А,), (5.9)
где
ь
Fi (X) = { / (я) я|н (ж, A,) dr, i = 1, 2.
а
Далее, так как функции ifi ~~х) (ж, Я) (i, /b = 1, 2)
непрерывны по совокупности переменных (х, X) и в силу
начальных условий (5.2) и (5.3) ^ _1) (О, X) = 6^ (6^= 1
при г = /с, 6гА = 0 при i¥=k), то для любого
положительного е > 0 и данного N > 0 существует такое /г- > 0, что
\^-1)(x,X)~bih\<s, (5.10)
для 0^x<h и Ш ^7V.
Пусть ^(я)—дважды непрерывно дифференцируемая
неотрицательная функция на интервале [а, Ь],
обращающаяся в нуль вместе со своей первой производной вне
интервала [0, h] и нормированная так, что
h
$gh{x)dx-l. (5.11)
о
Применяя равенство Парсеваля (5.9) к функциям
S(h'1)(o:) (к = 1, 2), получаем
h N 2
Jlsi*~1)(*)l2^> j 2 GM^WPyW, (5.12)
0 _Н U-I

86 ГЛ. II. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
h h
где Gik (К) = j^_1) (x) <Pi (я, X)dx = ±$gh (х) г^"1^, Щх.
о о
Отсюда, в силу оценок (5.10) и равенства (5.11), имеем
l-e<G«(X)<l+-e, i = l,2; |6У12(А,)|, |С21(А,)1<е.
(5.13)
Поэтому из неравенства (5.12), полагая там к = 1,
получаем
J rf (*)<**> J С121(Я)ф11(Я) +
0 -2V
+ 2 J C11(X)Cai(X)dPia(X)+ j ^(Я)ф22(Я)>
2V N
> J ^(^PnW-2 j |СП(Я)||С2^)11Ф12М|,
-N ~N
откуда, в силу (5.13) и (5.8), следует, что
h N N
\gl(x)dx^ j (l-e)»dPll(*)-2 j e(l + e)|dpia(X)| =
0 -W -W
= (1 - e)2 {Pll (#) - Pll (- ЛГ)} - 2e (1 + e) \/ <p» W} ^
>(l-e)2{Pn(^)-Pll(-A0}-
-e(l + e){Pll(7V)-Pll(-7V)+P22(iV)-P22(-iV)} =
= (l-3e){Pll(iV)-Pll(-iV)}-e(l + e){P22(iV)-P22(-7V)}.
(5.14)
Аналогичным образом, полагая в (5.12) к = 2, а затем
используя неравенства (5.8) и (5.13), находим, что
h
J | g;(x) |2 efcr>(1 - 3e) {P22 (TV) - p22 (- N)} -
b
-e(l + e){Pll(i\r)-Pll (-#)}. (5.15)
Теперь, суммируя неравенства (5.14) и (5.15), получаем
N
>(1 - 4е- 8*){Рп(TV) -Pll(-iV) + p22(iV) - р22 (- ЛГ)>,

§ 5. РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ В СЛУЧАЕ ВСЕЙ ПРЯМОЙ 87
что (если е > 0 подобрать из условия 1 — 4е — е2 > 0)
доказывает оценку (5.G) для функций ри(Я) и р22(Я) и тем
самым лемму.
Покажем теперь, что используя лемму 5.1 и известные
теоремы о предельном переходе под знаком интеграла
Стилтьеса, из равенства (5.4) можно получить равенство
Парсеваля в случае всей прямой.
Теорема 5.1. Пусть j(x)^3?2(—°°, оо). Существуют
не зависящие от функции f(x) монотонные ограниченные
в каждом конечном интервале функции |(Я) и £(Я) и
функция с ограниченной в каждом конечном интервале
вариаций г\(Х) такие, что справедливо равенство
Парсеваля
оо оо
j f(x)dx = j F*(K)dl(%) +
— оо —оо
оо оо
+ 2 j F(k)G(\)dv](l)+ j* G2(?i)^(?i)t (5.16)
— 00 —ОО
где
n
F (X) = lim J / (x) ф (хг X) dx,
n-^oo _n
n
G(K)= lim f j(x)®(x,X)dx.
Матрица \}\X i<>)l) называется спектральной
матрицей.
Доказательство. Пусть вначале функция /п{х)
обращается в нуль вне интервала [—тг, тг], имеет
непрерывную вторую производную и удовлетворяет краевым
условиям (5.4). Применяя равенство Парсеваля (5.5),
получаем (считая а > —тг, Ъ < тг)
» ~ (П ,2
J fn(x)dx= 2 J fn(x)yh(x)dx\ . (5.17)
Так как обе функции fn(x) и yk(x) удовлетворяют
краевым условиям (5.4) и в окрестностях точек а и &
функция f(x) тождественно равна пулю, то интегрируя

88 гл. и. спектральная теория, сингулярный случай
два раза по частям, получаем
п п
J fn(x)yh(x)dx^ — —\^ fn(x){y'k(x) — q(x)yh(x)}dx =
-n h -n
n
= — — J {fn(x) — q(x)fn(x)}yh(x)dx.
Отсюда следует, что
^2
2 \ /n(a:)yft(a.)da;|<
*Pi» l-n J
<-T 2 [fn(*) — Q(x)fn(x)]yk(x)dx\<:
"T 2 I [/» И — ? (ж) /n И] 0* («) <Ц =
f1 /.=11:„ i
n
= -2- {fn(x) — q(x)fn(x)]2dx.
JLl J
r —П
Из этой оценки и равенства (5.17) получаем
? (? I2|
1 fn{x)dx- 2 М /л(аОЫ*)<М <
n
< 4" f i/n (*) - ? (*) /n (*))" Ac. (5-18)
tl •/
Г —П
Далее, имеем
{П \2
\ fn{x)yh{x)dx\ =
-n J
~ 2 f /n (x) [а,Ф (a:, Xft) + № (x, K)] dx\ =
м- м-
= j FS (MdEa|b W + 2 j Fn(A,)6n(A,)dr)aib(A,) +

§ 5. РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ В СЛУЧАЕ ВСЕЙ ПРЯМОЙ 89
где
п п
Fn {Ц = J /п (#) Ф (#, X) dx, Gn (X) = J /n (я) * (x, X) dx.
—n —n
Тогда неравенство (5.18) можно переписать в виде
п ц
J fn (х) dx-\ [Fl {%) dbfi (Ц + 2Fn (X) Gn (X) d4a>b (К) +
-i*
+ Gi(\)di;aib(%)}
<
п
4» 1 {f"n{x)-q(x)U{x)\4x. (5.18')
В силу леммы 5.1 множество функций {\а,ъ(Х)} и
{t>a,ъ(Х)}, —ix^X^ix, ограничено, а множество {ч]а,ъ(Х)},
—\i^X^\x, ограничено и имеет равномерно
ограниченную вариацию. Поэтому можно выбрать
последовательности ak и bkl для которых при ak->— <», Ък ->- +оо
функции SafeibftW»llafe>bfeW И £ah,bh(k) СХОДЯТСЯ СООТВеТ-
ственно к функциям Ъ>(Х), г\(Х) и £(Я). Переходя в
неравенстве (5.18х) к пределу по последовательностям ak и
bk, получаем
п ц
j fn (x) dx - j" {Fl (X) dl (X) + 2Fn (X) Gn (X) dr\ (X) +
-П — JJ,
+ Gl(\) <%(%)}
71
4- f(£(*)-g(*)/«(*)}a<fr.
Наконец, полагая здесь \х ->■ °°, находим
П oo
J/»(*)<** = j {^(X)JI(^)-
—П —oo
+ 2Fn (X) Gn (I) dr\ (X) + G\ (X) dl (X)}t
т. е. равенство (5.16) для функций fn(x),
удовлетворяющих указанным условиям.
Распространение равенства Парсеваля на
произвольные функции класса i?2(—°°, <*>) осуществляется с
помощью обычных приемов.
Пусть f(x), g(x)^&2(-°°, oo) и функции Ft(X) и
G^X) построены по функции g(x) так же, как F(X) и
G (X) по f(x). Очевидно, что функции f(x)±g(x) имеют

90 ГЛ. И. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
своими преобразованиями функции F(X)±Fi(X) и G(X)±
± Gi (X). Поэтому
оо оо
J {/ (х) + g {x)Y dx = J {F (X) + Fx (X)f <% (X) +
—oo —oo
oo
+ 2 j {F (X) + F, (X)} {G (X) + G, (X)} йц (X) +
— oo
оо
+ j* {G(X) + G1(X)fd^(X),
— oo
oo oo
j {f(x)-g(x)Ydx= J" {F(X)-F1(X)fdUX) +
— oo —oo
oo
+ 2 J {F (X) - Fx (X)} {G (X) - Gx (X)} d4 (X) +
—oo
oo
+ J {G(X)-G1(X)Y-dt(X).
— oo
Вычитая из верхнего равенства нижнее, находим
оо о© оо
j f(x)g(x)dx= j F(X)F1(X)dl(X) + f {F(X)G1(%) +
+
Fi M G (X)} dr\ (X) + j G (X) G± (X) dl (X). (5.19)
Это равенство называется обобщенным равенством Пар-
севаля.
Теорема 5.2 (теорема разложения). Пусть
f(x)^S>2(~°°, оо)—непрерывная на всей оси функция и
интегралы
оо оо
j F (X) Ф (.г, Я) # (Я), j F (X) И (х, X) di\ (X),
(5.20)
j G (А) <р (ж, X) di\ (X), j G (Я) Ф (ж, X) d£ (Я)
— оо —оо
сходятся абсолютно и равномерно по х в каждом конеч-

§ 5. РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ В СЛУЧАЕ ВСЕЙ ПРЯМОЙ 91
ном интервале. Тогда имеет место равенство
00 ©О
— OO —00
OO OO
+ j G(k)<p{x,X)di\(X)+ j G{X)b(x,X)d£(\). (5.21)
— OO —OO
Доказательство. Пусть g(x) есть непрерывная
функция, равная нулю вне конечного интервала [—п, п].
В этом случае обобщенное равенство Парсеваля (5.19)
запишется так:
§ f(x)g(x)dx = j F(X)\§ g(x)<p(x,X)dx\dl(X) +
—П —00 (— П J
oo С П \
+ J F (I) j g (x) Ф (ж, X) Ц dri (X) +
— oo {— n J
oo ( n Л
+ j едМ £(ж)Ф(хД)^Ut)(^) +
— 00 [-П j
oo С П ^
+ I едН £(*)0(*Д)<Ц«(Х).
В интегралах правой части этого равенства, в силу
абсолютной сходимости интегралов (5.20), можно изменить
порядок интегрирования, и мы получим
п
J / (x) g (x) dx =
—п
П ( оо оо
= j g (x) j* F (К) Ф (ж, X) <$ (Я) + j F (X) О (ж, Я) А] (X) +
—П I—оо —оо
оо оо • 1
+ j G (Я) гр (ж, Я) Л| (Я) + J G (Я) О (ж, Я) dl (Я) <fcc.
— ОО —ОО J
В силу произвольности непрерывной функции g(x), а
также непрерывности функции j(x) и интегралов (5.20)
(последние как функции от х непрерывны благодаря
предполагаемой равномерной сходимости) утверждение
теоремы следует из последнего равенства.

92 ГЛ. II. СПЕКТР А ЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
§ 6. Решения Флоке (Блоха)
Рассмотрим уравнение
у"+{%-д(х))у = 0, (6.1)
в котором q(x) есть действительная периодическая
функция с периодом a: q(x + a) = q(x) для любого
действительного х.
Как мы уже знаем (см. § 4, гл. I), в связи с
периодичностью функции q(x) естественно рассматривать
краевые задачи для уравнения (6.1) при следующих
краевых условиях:
У(0) = у(а), у'(0) = у'(а), (6.2)
i/(0) = -*/(«), у'(0) = -у'(а). (6.3)
Задачу (6.1), (6.2) мы называли периодической, а
задачу (6.1), (6.3) — антипериодической.
Обозначим через ф(#, X) и ^(х, X) решения уравнения
(6.1), удовлетворяющие начальным условиям
Ф(0Д) = 0, Ф'(0Д)=1, (6.4)
О(0Д)=1, 0'(О,Х) = О. (6.5)
Так как из этих условий следует, что ИЧО, ф} = 1, то
решения ф(#, X) и ^(х, X) линейно независимы и,
следовательно, любое решение уравнения (6.1) имеет вид
у (х, X) = с$ (х, X) + с2ф (х, X),
где с4 и с2 — произвольные постоянные. Поэтому между
решениями уравнения (6.1) и двумерными векторами
( СЛ
С = I I существует взаимно однозначное соответствие:
Положим у(х + а, Х) = уа(х, X). Так как q(x) —
периодическая (с периодом а) функция, то уа(х, X) также
является решением уравнения (6.1), причем
У а (0, Х) = у (а, X) = eft (а, X) + с2ф (а, Я),
У а (0, X) = у' (а, X) = eft' (а, X) + с2ф' (а, X).
Поэтому уа{х, Х) = у(х + а, Х)++Т(а} Х)С, где матрица
п 1\-(®(аЛ) 4>(«,W\

§ 6. РЕШЕНИЯ ФЛОКЕ (БЛОХА)
93
Матрица Г (а, X) играет важную роль в теории
периодической задачи и называется матрицей монодромии.
Очевидно, что у(х + па, X) ■<-> ТпС для любого п.
Найдем собственные значения и соответствующие
собственные векторы матрицы монодромии (/ — единичная
матрица 2X2):
|Г(аД)-х/|~|*-* ф,^х| = х2-/^)и + 1 = 0,
F(l) = $(a,X) + (p'(a,%).
Поэтому для собственных значений матрицы Т(а, X)
получаем формулу
% = ±.{F{%)± У>(*)-4). (6.6)
ПОЛОЖИМ ДЛЯ Я^( —оо( Х0)
K+(l) = ±{F(%)-VF*(l)-4},
x~(l) = ±{F(k) + У>(А,)-4}
(6.6')
причем здесь берется арифметическое значение корня.
Для прочих К функции к* (к) определяются с помощью
аналитического продолжения. Очевидно, что для Не
е(—°°, Я0) |х+(А,)1<1, |х~(Я)1>1. Эти же неравенства
справедливы для всех Я, не принадлежащих интервалам
[Я0, \i0], [jlxi, Xi], [Я2, jli2], ... Последнее утверждение будет
видно из дальнейшего анализа в этом пункте.
Выбирая собственные векторы матрицы Г (а, X) в
виде е+ = ( +)ше~~ = ( _), получим ($ —к+)+цт+= 0,
откуда
т*и_т+, ^=i. = f-«-//■«-« (6.7)
и аналогично
m-w = m-=je^±|ZuEl; (6.8)
т±(Я) совпадают с функциями Вейля — Титчмарша (см.
ниже).
Из определения собственного вектора следует, что
Те± = к±е± и, следовательно,
Тпе± = {к±)пе±. (6.9)

94 ГЛ. II. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Рассмотрим при фиксированном комплексном 'к
следующие решения уравнения (4.1):
^+ (х Д) = ft (х, X) + m+ф (х Д),
(6.10)
я|г (я, Я) = Ф (#, Я) + т~ф (#, Я).
Функции ty+(x, X) и i|r(;r, Я) называются решениями
Флоке {Блоха).
В силу уравнения (6.9)
ГУЧ*. Х) = Ц±(х + па, Х) = (к±)п^±{х, X).
Таким образом, для того чтобы решения Флоке были
ограничены на всей числовой прямой, необходимо и
достаточно чтобы выполнялись условия \к±(Х)\ = I. Из
формулы (6.6) видно, что при действительных Я*) это
выполняется, если IF (А,) 1^2. Если же |F(A)I>2, то
одно из Ix*! больше 1, а другое — меньше 1, и решения
неограничены.
Положим
%±(хЛ) = (х±)Гх/аЪ±(*Л). (6-И).
Тогда
%± (х + па, X) = (и*) -*'*-»•$* (х + па, X) =
= (х±)-^±(а:, Х) = %±(х} X),
т. е. %±(х, X) суть периодические функции с периодом а.
Из представления (6.11) следует, что
Поэтому, если число X таково, что Ы+1<1, и,
следовательно, Ы~1>1, то i|)+(;r,A)^i?2(0, oo) для этого
значения Я, а i|r(;r, Х)^3?г\—°°, 0), т. е. функции ^{х, X)
суть решения Вейля.
Выше мы видели, что Ы+1<1 для Х^(—°°, Я0),
а 1х-|>1. Поэтому ф+(д;Д)е ^(0, ~) и г|г(^> Х)е=
^^(-оо, 0) для этих Я. При аналитическом
продолжении функций ^(х, X) это остается в силе. Отсюда, в
частности, следует сделанное выше утверждение о I >c± I.
При действительных X в зонах, где |F(A)I<2,
ty+(x, Х) = ^~(х, Я), ибо к+ и к~ комплексно сопряжены.
*) При действительных Я функция F(k) также действительна
в силу действительности функции д(х) в уравнении (6.1).

§ 7. СЛУЧАЙ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА 95
Если же \F(X)\ > 2, то ^(х, X) действительны. Эти X не
могут соответствовать ни периодическим, ни
антипериодическим решениям.
Остается разобрать случай F(X) = ±2. Если F(X) = 2,
то к* = 1, а если F(k) = —2, то к± = — 1. В первом
случае г|)+(^, Я) = г|)"(^, Х) = %±(х, Я), во втором случае
^+(х, Х) = (-1)х/а%+{х, X) = einx/n%+(x, Х) = ^~(х, Я), т. е.
получаем только одно решение Флоке, которое является
периодической функцией.
Если соответствующее Я(|ы) есть кратный корень
уравнения F(X)==2 (F(X) = — 2), то, как было выше
показано, второе решение есть периодическая
(антипериодическая) функция. Если же Я (|ы) есть простой корень, то
можно показать, что второе решение имеет вид ^)(х,Х) +
+ хр(х, Я), где р(х, Я) —периодическая
(антипериодическая) функция.
§ 7. Разложение по собственным функциям
в случае периодического потенциала
Рассмотрим уравнение
y" + {k-q(x)}y=0 (7.1)
на всей прямой, предполагая, что q(x)-~ действительная
периодическая функция с периодом a: q(x + a)=q(x).
Пусть ц)(х, X) и $(х, X) имеют те же значения, что и в
предыдущем параграфе. Тогда, в силу теоремы 5.2,
справедлива общая формула разложения
оо
— оо
4- [g (X) О (Ж, Я) + h (I) Ф (х, Я)] <М (Я)}, (7.2)
оо со
где g(X) = J / (ж) ф (ж, X) da:, h(X)= J /(ж)О(д;, Л)йж.
— оо —оо
Теорема 4.1 дает формулу (4.7), выражающую
спектральную функцию р(Я) через функцию Вейля — Титчмар-
ша т(Х). Имеют место аналогичные формулы,
выражающие элементы §(Я), г\(Х) и £(Я) спектральной матрицы
через функции Вейля — Титчмарша т+(Х) и т~(Х) (см.

96 ГЛ. II. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Б. М. Левитан, И. С. Саргсян [1] § 8, гл. II):
I (Я) = ± lim Г - Im {"»"(» + «)-"'+(»+«Д)| dUf
Г, (X) - * lim f - Im lm-(u+i6) + m+(u+il>)\ d (? 3)
2jxe^oJ \m-(u + ib)-m+(u+i8) \ K '
Wk) =4- lim f-Im( _ * + ,...}du,
31 6->o J I m (и + го) — m* (и + го) J
где А =(Я, Я + Д).
Введем обозначения
E = (K |io)U(Xi, |ii)U(X2, |i2)U..., p(X) = r4-F2(?t),
знак перед корнем выбирается в согласии с
аналитическим продолжением, определенным в § 6.
В силу формул (6.7) и (6.8), из выражений (7.3)
следует
dt(\) (-Ф'(*Д)/(яр(Ь)), Хе=Я,
^ 10, ХсеЕ,
d4 (I) f{<p' (а, X) - 0(а, Я)}/(2яр(Я)), ^g£,
^ 10, ^е£,
<*£(« (ф(аД)/(яр(Я)), ЯееЯ,
^ 10, ЯсеЯ,
Подставляя эти значения в формулу (7.2), получаем
оо
кх)=4- П* м * (*> *> ф' («»я> - ^ м ф (*. v *' («. *>+
+ [fc(Я)ф(х, X) + g(l)V(х, Ц] Ф(".Ц-<К«.Ц}j|_, (у./,)
где звездочка над интегралом означает, что
интегрирование ведется по спектру, т. е. по множеству Е (в
интервале (Я0, \Ло) корень р(Х) берется со знаком «+», а при
прохождении следующих интервалов спектра знаки р(Х)
чередуются, что соответствует аналитическому
продолжению корня).
Из разложения (7.4) можно вывести разложение в
базисе функций Флоке ^(^Д), которое часто оказывается
предпочтительнее.

§ 7. СЛУЧАЙ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА 97
Можно предположить, не нарушая общности, что Х0 =
= 0. В противном случае в уравнении (7.1) следует
заменить X на Х + Хо, а потенциал q(x) — на д(х) + К0.
Предполагая, что Х0 = 0, заменим К на х2. Тогда формула
(7.4) примет вид
оо*
f(x) = ±§[h (х2) 0 (х, х2) Ф' (а, х2) -
о
- g (К) ф (я, х2) §' (а, х2) + [/* (х2) Ф (х, х2) +
+ g (х2) О (s, х2)] *'(а' ^2) ^ # (g' *2) } 17=fpf (?-5)
Так как Я = 0 есть простой корень уравнения F(\)~-
— 2 = 0, то при х -> 0 функция 4 —F2(x2) имеет корень
точпо второго порядка. Поэтому функцию У4 — F2(x2)
естественно продолжить нечетно на отрицательные х.
Далее, так как х — нечетная функция, а остальные
члены в формуле (7.5) четные, то формулу (7.5) можно
переписать в виде
оо*
/ (х) = J- J [h (х2) О (х, х2) Ф' (а, х2) -
—оо
- ё (Я.) Ф (ж, х2) *'(а, х2) + [/i (х2) ф (х, х2) +
+ g(х3) о (,, x9)J Ф'(*.*2)~»к*2)1 *** . (7.G)
^ J у 4 - F8 (х2)
Покажем, что формулу (7.6) можно записать в более
компактном виде:
/ (х) = ± j Я (х) if. (x, х) -^Д— х dx, (7.7)
оо
где Н (х) = J / (у) ij) (г/, х) dy, -ф (ж, х) = г|)+ (а?, х2).
— оо
Действительно,
оо
-L f Я (x)i|)(x, х) Ф(^!1—xdx =
ОО / ОО* х
=~* [1 (у) {I *(х'и) *^ х) vI-VmU хп dy~ (7*8)
7 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян

98 гл. и. спектральная теория, сингулярный случай
_ Далее, так как, в силу формул (6.7), (6.8) и (6.10),
ty+(x, x2) = i]r(.z, х2), то, используя выражения (6.10),
имеем
Ф(я, иЖ», х) = ^+(.г, х2)ф-(т/, х2) =
= [0(я, х2)+™+(*2)ф(*, х2)][0(г/, х2) + лгг-(х2)Ф(г/, х2)] =
= 0(я, x2)d(j/, x2) + fl(;z, х2)ф(г/, x2)w~(x2) +
+ т+(к2)<р{х, х2)#(*, х2)+тгг+(х2)т-(х2)фОг, х2)ф(г/, х2).
Тогда, учитывая выражения для яг^х2) из (6.6'),
получаем
ф (*, х) ф (у, х) ^т^== - О (*. *2) * (У» *2) J^T, +
К4-^2(и2) К4-^2(х2)
, ф'(я> х2) — 0(а, х2) г а / о\ / ох ,
+ XJLJ ^ U / [О (^ Х2) ф (^ Х2) +
+ д(^Х2)ф(^,Х2)]-
/4-**(х2)
-ф (*, "Х», х») J^*' *\ + 4 1Ф' (*• **) - * (*, X2)] X
V4-F2(k2) г
X [г1) (ж, х2) ф (г/, х2) — О (г/, х2) ф (а:, х2)].
Последнее слагаемое правой части нечетно, поэтому
при подстановке в формулу (7.8) оно вклада не дает. Эти
вычисления показывают, что формулы (7.6) и (7.7)
эквивалентны.
Равенство (7.7) можно записать в символическом
виде:
4" J Ф(*. *)Ш *> у 4-^(1') **** = 8{Х~У)'
где б(#)— фупкция Дирака.
Так как функция ф (как функция от К)
положительна в интервалах (Х2п, Цап) п отрицательна в интервалах
(ji2n-i, A,2«-i) и если ф(я, Я,), ф'(я, Я,),* А (я, \) и *'(л. Ь)
обозначим соответственно через ф, ф', О и О', то
формулу (7.4) (с учетом определения области интегрирования,

УКАЗАНИЯ К ЛИТЕРАТУРЕ
90
т. е. множества Е) можно переписать в виде
- Г <р (х, %) А (X) + -g- (ф' - G) № (*, %)h (*) +
+ Ф(*Д)*(Л)]}^. (7.9)
Чтобы получить равенство Парсеваля, умножим
формулу (7.9) на /(#') и проинтегрируем по ж от —со до °°.
В результате имеем
00 / оо Ц2П оо Чп-Л
f f^dx = 421-2 I W2w-^2w +
Под интегралом стоит обычная положительная
квадратичная форма, так как во всех интервалах
интегрирования
~4ф* '- (<р' - 0)2 = 4 (V - ф&') - (О + ф')2 =
= 4-(д + ф,)2^0.
Указания к литературе
§ 1. Результаты этого параграфа принадлежат Вейлю [1] — [3].
Другое доказательство дал Титчмарш [1]. Изложенное здесь
доказательство равенства Парсеваля было предложено Б. М. Левп-
тапом [1] и независимо Левипсоном [3] — [4] и Иосидой [1].
§ 2. Результат о круге и точке принадлежит Вейлю [2].
Теоремы 2.2 и 2.3 изложены авторами на основе § 2 гл. IX
монографии Коддипгтопа и Левинсона [1]. Теорема 2.3 принадлежит Титч-
маршу [5], более общий результат был получен Левипсоном [2],
а также Сирсом и Титчмаршем [1].
§ 3. Интегральное представление резольвенты впервые было
доказано Вейлем [2]. Изложенное здесь доказательство
принадлежит Б. М. Левитану [1]. Теорема 3.2 получена Б. М. Левитаном
[1]. Аналогичные теоремы были у Вейля и Титчмарша.
§ 4. Формула (4.7) принадлежит Титчмаршу [1].
§ 5. Основной результат этого параграфа принадлежит Вейлю
1"3]« Другое доказательство равенства Парсеваля дал Титчмарш [1].
Изложенное доказательство принадлежит Б. М. Левитану [1].
§ 6. Результаты этого параграфа классические; см., например,
Магнус и Винклер [1].
§ 7. См. Титчмарш [2]. Здесь приведено другое доказательство.
7*

Глава III
ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
§ 1. Дискретный или точечный спектр
Спектром, соответствующим задаче для оператора
Штурма — Лиувилля в случае полупрямой [О, °°),
называется множество, дополнительное к множеству точек,
в окрестности которых спектральная функция p(k)
постоянна. В случае всей прямой (—°°, °°) спектр есть
дополнение к множеству точек, в окрестности которых
все функции £(Х), г](Х) и £(Х) постоянны. Очевидно,
спектр есть замкнутое множество.
В этих определениях предполагается, что функции
р(Я), £(М, ч(М и £(М Для соответствующих задач
однозначно определены.
Точечным или дискретным спектром называется
множество всех точек разрыва спектральной функции р(А,) —
в случае полупрямой и функций |(Х), г)(Я), £(Я)— в
случае всей прямой.
Непрерывным спектром называется множество точек
непрерывности спектральной функции р(Я),
принадлежащих спектру.
Аналогично и в случае всей прямой.
Точки в дискретном спектре называются также
собственными значениями, а решения задачи,
соответствующие таким точкам, называются собственными
функциями.
Эта глава посвящена исследованию спектра.
Рассмотрим на полупрямой задачу
y"+{K-q(x))y = 0, (1.1)
i/(0)cosa + i/'(0)sina = 0. (1.2).

§ 1. ДИСКРЕТНЫЙ ИЛИ ТОЧЕЧНЫЙ СПЕКТР 101
В этом параграфе будут указаны некоторые
достаточные условия для дискретности спектра задачи
(1.1), (1.2).
Лемма 1.1. Для дискретности спектра задачи (1.1),
(1.2) достаточно, чтобы при каждом фиксированном X
любое решение уравнения (1.1) имело конечное число
нулей на полупрямой [0, °°).
Доказательство. Рассмотрим поставленную
задачу на конечном интервале [0, Ь], т. е. к задаче (1.1),
(1.2) присоединим краевое условие у (b) cos р + г/'(ft) sin р =
= 0. Из теоремы осцилляции Штурма (теорема 3.3 гл. I)
при условии леммы следует, что число собственных
значений Nb(X) задачи на конечном интервале [0, ft]
остается ограниченным в каждом конечпом интервале
равномерно по ft. Так как задача (1.1), (1.2), т. е. задача на
полупрямой [0, °°), есть предел задачи па [0, ft], то
очевидно, что спектр предельной задачи дискретен.
Замечание. Из теоремы сравнения Штурма
(теорема 3.1 гл. I) следует, что условие леммы 1.1 заведомо
выполняется, если
q(x)-++°° при х-++°°. (1.3)
В самом деле, при фиксированном X найдется такое
х = х%, что при х > Хь выполняется неравенство X — q(x)<
< 0. Тогда в силу той же теоремы сравнения Штурма
любое решение уравнения (1.1) в интервале (хх, °°)
имеет не более одного нуля, а в интервале (0, хк) число
пулей конечно.
Оказывается, что условие леммы 1.1 выполняется при
значительно менее ограничительном условии, чем (1.3).
Л именно, имеет место следующая
Лемма 1.2. Пусть q(x) удовлетворяет следующим
условиям:
1°. q(x) ограничена снизу, т. е. существует такое
постоянное число с > 0, что для всех х
q(x)>-c. (1.4)
2°. При любом со > 0
ос+й)
Hm J q(x)dx = oo. (1.5)
Тогда при каждом фиксированном X любое решение
уравнения (1.1) имеет конечное число нулей на полу-

102 ГЛ. III. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
прямой (0, °°), и, следовательно, в силу леммы 1.1,
спектр задачи (1.1), (1.2) дискретен.
Замечание. А. М. Молчанов доказал, что при
выполнении условия (1.4) условие (1.5) является
необходимым и достаточным условием дискретности спектра
задачи (1.1), (1.2). Из леммы 1.2 следует достаточность
условия (1.5). Необходимость этого условия
доказывается с помощью методов, которых мы в этой книге не
касаемся (см. А. М. Молчанов [1] или И. М. Глаз-
ман [1]).
Доказательство. Сначала заметим, что, не
нарушая общности рассуждений, можно предполагать, что
q(x)>0. (1.C)
Предположим, что при некотором X = Хд > 0 найдется
решение уравнения (1.1) у = у(х), которое имеет
бесконечное число нулей di < а2 < а3 < ... < ап < ...
Пусть со — малое положительное число, такое, что
со < 1/ (Я0 + 1). Выберем TV настолько большим, что для
x>N
j q(t)dt>(i,(X0 + l), (1.7)
X
что возможно в силу условия (1.5). Далее, выберем п
настолько большим, что ап >N, и затем m> n настолько
большим, что ат — ап> со. Если со увеличить, то в силу
(1.0) условие (1.7) будет выполняться для тех же
самых х. Поэтому, не нарушая общности, можно
предполагать, что ат — аге = Рю, где Р — целое число.
Перепишем уравнение (1.1) при Х = Х0 в виде
у" ={g(^)-Uy.
Умножим обе части этого уравнения на у и
проинтегрируем в пределах от ап до ат. Интегрируя левую часть по
частям, получим
ат ат ат
- j [У' (t)]2 dt= j q (t) у2 (t) dt-\\ f (t) dt. (1.8)
an an an
Оценим первый иптеграл правой части. Для этого
представим его в виде
ат р an+h(*
j?(W)*-2 j q{t)y*{t)dt,
an ft==1 an+(fe-i)(u

§ 1. ДИСКРЕТНЫЙ ИЛИ ТОЧЕЧНЫЙ СПЕКТР
Из теоремы о среднем и условия (1.7) следует
an+h(o
j g(0i/2(0^>(\+l)z/2(^K
an+(h-l)(0
an + (k — l)(o< lh < an + &o).
Поэтому
Ц q№4*)dt>
103
p
2
h=l
<*m
>(*0 + 1) S t (Eft) CO = (Я0 + 1) j if (t) dt -
an+m
-(^, + 1)2 1 [</2(0-г/2(Ы]^.
fc=l an+(/i-i)(o
Далее, имеем
\y2(t)-f(tk)\ = 2
j y'(u)y(u)du
lh
<
(1.9)
<[ J z/2 (u) du + j [г/' (u)]2 du <!
Eft Sft
an+k(o an+k(a
^ J y2(u)du+ J [г/' (гг)]2йа.
an-f(ft-i)o) an+(ft-i)co
Поэтому из (1.9) следует
J q(t)y2(t)dt>(h + 1) J »8(0*~
-(\ + l)S f j f(u)du\dt-
<xn + ftco / а„+йю ч
(я0 + 1)2 j j to'(")№# =
ft=i an+(ft-i)© Un+(ft-i)G) J

104 ГЛ. III. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
= (К + !) ]' y2(t)dt-(\ + 1)(0 j if{t)dt -
-(Я0 + 1)о) j [y'(t)\4t. (1.10)
Из (1.8) и (1.10) получаем
- j [»'(*)]2Л>
ап
ат ат
> {1 - (Х„ +1) о} j у3 (о * - (\ +1) со j [У' (О]2 л,
ап
т. е.
{1 - (Я0 + 1) со} j {j/2 (0 + [у' (О]3} Л < О,
что невозможно, так как (Я0 + 1)со<1. Лемма доказана.
Теорема 1.1. Если Я0 есть точка дискретного
спектра и ф(#, Я0)—соответствующая собственная функция,
то ц(х,%0)^&2(0, оо).
Доказательство. В обозначениях леммы 4.1
гл. II имеем
а
f П Ф С*Л) Ф (», Я) фь (Я)] dff < j ф2 (я, Я) фь (Я) < А/,
о 1а ) а
где a<b, M — фиксированное положительное число.
Полагая вначале Ъ ->■ оо, а затем а ->■ оо? получим
оо
J [f Ф (ж Д) Ф (УЛ) dp (А,)} ф < ТкГ.
Пусть интервал А содержит только один скачок
функции р(Я), который обозначим через d(k0). Из последнего
неравенства получим
оо
о
и так как ср(#, Я0) не равно тождественно нулю, то
теорема доказана.

§ 2. СЛУЧАЙ СУММИРУЕМОГО ПОТЕНЦИАЛА
105
§ 2. Исследование спектра
в случае суммируемого потенциала
1. В дальнейшем понадобится следующая
Лемма 2.1. Пусть функции h^x), h2(x), gi{x)L
gz(x) неотрицательны на интервале [0, X] и пусть hi{x)
и h2{x) непрерывны, a gi{x) и g2{x) интегрируемы на
этом интервале. Если при 0 < х < X
X
К (*)> К (х) < С + j {h, (s) gl (s) + \ (s) g2 (s)} ds, (2,1)
0
где С — постоянная, то справедливы неравенства
M*)t K(^)<CexA] [8l(L) + g2(t)]dt}r 0<я<Х. (2.2)
lo
Доказательство. Положим
X
У (х) = j {К (*) gl (s) + h2 (s) Si Щ dst (2.3)
0
y' (x) = Лх (ж) gl (x) + Ла (ж) g2 (x). (2.3')
Умножим первое из неравенств (2.1) на gi(x), а
второе—на gz{x), и суммируя, в силу (2.3) и (2.3'),
получим
yf(x)<C{gi{x) + g2{x)} + y(x)lgi(x) + gi{x)}.
Последнее неравенство можпо переписать в виде
^ Ы*)охр
■J (ffl(«) + &(*)}&
<
< C[g1 (х) + g%(ж)] exp I- J [gl (s) + £2 (s)] ds\.
Интегрируя это поравепство в пределах от 0 до х,
находим
у (х) охр I — J [gx (s) + g2 (s)] ds\ <
I 0 J
< С - С охр I -1 [gl (s) + g% (s)] ds\.

106 ГЛ. III. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
Отсюда
у (х) < Сехр J [gl (s) + g2 (s)] ds\ - С. (2.4)
Неравенства (2.2) следуют непосредственно из (2.1) и
(2.4) в силу (2.3).
2. Пусть ср(х, Я)—решение уравнения (1.1),
удовлетворяющее условиям ф(0, Я) = sin os, q/(0, Я) = — cos a.
Переписывая уравнение (1.1) в виде у" + Ху = q(x)y,
полагая К = s2 и применяя метод вариации произвольных
постоянных, получим
/ «х . sin sx
Ф (х1 А) = cos sx • sin a cos a +
х
+ ~ f sin {s (x — t)} q (t) Ф (t% X) dt. (2.5)
о
Пусть 5 = o + ir, т^О. Обозначим фА(^, Я)==ф(#, Я)е~тх.
Тогда из (2.5) следует
Ф>1 (^ Я) = е~тх cos sx • sin a — е~хх * cos а +
+ _L j e-t(«-o sin {, (Ж _ *)} ? (i) ф1 (f t %) dt.
О
Так как |coss#I, Isins^l ^ етх, то из последнего
равенства следует неравенство
X
| ф1 (х,Д) |< 1 + -jTj- + ттг J13 (0 ф/Л *.) | Л.
О
Применяя лемму 2.1 (полагая h2 (x) = g2 (#)™ 0), отсюда
получаем
-L-Jl^OI^J.' (2.6)
Так как потенциал суммируем, т. е. q(x)^3?(0, «>),
то из последнего неравенства следует, что ф4(х, Я)
ограничена для 0 ^ х < оо при Ы > р > 0, т > 0.
Рассмотрим сначала действительные положительные
значения s. Тогда при s^p функция ф^-г, Я) ограни-

§ 2. СЛУЧАЙ СУММИРУЕМОГО ПОТЕНЦИАЛА Ю7
чена. Поэтому из формулы (2.5) при х ->- оо получаем
/ л ч . sin sx
Ф (а:, А) = cos sx • sin a cos а +
оо
+ -у j sin {a (я — 0}-?(0ф(^ ty<^ —
о
оо
— ] sin {б* (ж — £)} • q (t) ф (Z, X) ей =
= \i (X) cos &z + v (X) sin &r + о (1), (2.7)
где обозначено
оо
[г (X) = sin а — 4" J sin ** • ? W Ф (f» Я) л» (2-8)
о
оо
v (Я) = - £^ + ± j cos rf • 2 (О Ф (*, X) dt. (2.9)
О
Так как интегралы в формулах (2.8) и (2.9) равномерно
сходятся при s^p>0, то \х(Х) и v(X) являются
непрерывными функциями 5.
Аналогично, если $(х, X)—решение уравнения (1.1),
удовлетворяющее условиям тЭ (О, Я) = cos а, "©'(О, Х) =
= —sin а, то при а: -> оо
А1 (ж, X) = \ii(X)co$sx + vl(X)sinsx + o(l), (2.7')
где
оо
р>1 (X) - cos а — -j- \ sin ^ • q (t) ft (*, Я) Л, (2.8')
о
оо
l(X) = -^+-f Jcosrf-g^ft^XJd^ (2.9')
v
х ч ' S ' S
о
Далее, дифференцируя (2.5) по #, имеем
Ф* (#, X) = — 5 sin &с • sin а — cos &с • cos а +
+ j cos {s(;z — t)}-q (t) Ф (*, X) dt. (2.10)

108 ГЛ. III. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
Оценивая эту функцию так же, как это было сделано
выше, получаем, что при х -+ °°
фх (•£, Ц = — s\i (К) sin sx + sv (К) cos sx + o(l). (2.10')
Аналогично
®'х (#, Я) = — su^ (Я) sin sx + svx (Я) cos sx + о (1).
Далее, ^{ф, $} = ИМф, Ф) = 1. Поэтому имеем
Шф, #} = W{\x(k)cos sx + v (k)sm sx +
+ о(1), \ii(k)co$x + v1('k)smsx + о(1)} =
= s{|i(X)v1(^)-|x1(X)v(^)+o(l)} = l.
Так как правая часть равенства s(n(A,)v1(A,) —
— \ii(k)v(X)} + o(l)= 1 от х не зависит, то получаем
»х (A,) vt (A,) — |Xi (^) v (А,) = 1/УяГ. (2.11)
Из этой формулы, в частности, следует, что фупкции
jix(X) и v(k) пе могут обратиться в нуль для одпого и
того же X.
3. Рассмотрим теперь комплексные значения s. При
фиксированном положительном т из формулы (2.5) при
х -> оо следует
1 e-isx
Ф (х, К) = -д- e~*s* sin a + -тр— cos а + О (е"тх) —
ос
— -^ \ е-»«<*-Од (*) ф (*, I) dt +
о
+ ОI J е-*(*-01 g (0 ф (*, X) | d* ].
Так как 1ф(£, %)\ =0(еи), то (полагая, например,
О И e-^-t) \q{t)y (t ,Я,)| dt) =
+ О \exx j | q (t) | Л = о (ехх).
«—6

§ 2. СЛУЧАЙ СУММИРУЕМОГО ПОТЕНЦИАЛА Ю9
С другой стороны,
оо / оо \
j e-is(x-t) ф) ф (t, К) dt = ОI ехх j | q (t) \dt\=o (ета).
Поэтому
Ф(ж, ?0 = e-i8*{M(?0 + o(l)}, (2.12J
где
оо
М (X) = -1 sin a + jrs cos а — ij f ele«g (0 Ф (*, Я) ей. (2.13)
о
Если воспользоваться формулой (2.10), то получим
ф; fa X) = - ise"isx {M(К) + о(1)}. (2.14)
Аналогично
О (ж, \) = e~isx{Ml(X) + o(l)}1 (2.12')
где
оо
Мх (к) = 4г cos а - ij sin а — -^ j eMg (t) 0 (*, Я) <й. (2.13')
о
4. Мы располагаем теперь всеми вспомогательными
средствами для исследования спектра оператора
Штурма — Лиувилля в случае q (x) e SB (0, °°). Пусть Ъ > 0.
Рассмотрим в интервале [0, Ь] краевую задачу
y"+{X-q(x)hj = 0,
у (0) cos а + у' (0) sin а = 0, (2.15)
y{b)cos$ + y'(b)sin$ = 0.
Начнем с исследования отрицательного спектра. Из
формул (2.12) и (2.13) следует, что для каждого
фиксированного Я0<0 число корней уравнения ср'(Ь, %) = 0 в
интервале — °°<А,^Я0 ограничено равпомерно по ft.
Поэтому число точек роста функции рь(Х) (определение
функции рьСк) см. § 1 гл. II) в иптервале (—°°, Х0]
ограничено равномерно по 6, и, значит, предельная функция
р(Я) обладает этим же свойством. Для случая, когда
г/(ж)->0 при х -»- оо, этот факт легко следует из теории
Штурма (см. замечание после доказательства леммы 1.1).

но
ГЛ. III. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
Если число нулей функции у(х, 0) на полупрямой
[0, о°) конечно, то число отрицательных собственных
значений также конечно. В самом деле, в этом случае из
теоремы осцилляции Штурма следует, что для любого
Ь > 0 задача (2.15) имеет ограниченное число
отрицательных собственных значений.
Итак, доказана
Теорема 2.1. Если q{x)^9? (0, оо)? то для
отрицательных X спектр задачи (1.1), (1.2) дискретен и
снизу ограничен.
В следующей лемме указывается простой достаточный
признак конечности числа нулей функции q(x, 0).
Лемма 2.2. Если (1 + x2)q(x)^ i?(0, оо), то
функция у(х, 0) имеет на полупрямой [0, °°) конечное число
нулей и, следовательно, число отрицательных
собственных значений конечно.
Действительно, как известно *), если (1 + х2) q (x) e
ej?(0, oo), то существует такая фундаментальная
система решений у{ п у2 уравнения у" — q(x)y = 0, что
limy1(x) = 1, lim {у2 (х) — х) = 0. Так как ф(л, 0)^
= Ciyi{x) + C2y1{x), то lim <р(х, 0) = оо, если С2ф0, или
lim ф (х, 0) = 1, если С2 = 0. И в том и в другом случае
Х->оо
ф(.г, 0) имеет конечное число нулей на полупрямой
[0, оо). Лемма доказана.
Рассмотрим теперь положительный спектр. Так как
в силу (2.11) функции |i(^) и v(k) не могут обратиться
в нуль для одного и того же значения Я, то |х2(Я) +
+ v2(X)>0. Поэтому, полагая
—5 \Щ—-7- = sin б (Я), —2 У-Щ—__cos6(X),
формулу (2.7) можно записать в виде (при я-^оо)
<р(я, ^) = [^(^) + v2(^)]1/2sin[^ + 6(X)] + o(l). (2.16)
Если предположить, что
(l + ^Jff^eS7^, оо) (2.17)
(от этого условия мы в последующем избавимся), то
дифференцируя (2.5) по я, после несложных преобразо-
*) См. Степапов В. В. Курс дифференциальных
уравнений.— М.: Физматгиз, 1959.

§ 2. СЛУЧАЙ СУММИРУЕМОГО ПОТЕНЦИАЛА 1Ц
ваний получим
Ф: (*, Я) = ^- {[^ (X) + v2 (Я)]1'2 sin [sx + б (X)] 1 + о (1).
(2.18)
Обозначим через ft большое положительное число и
примем для простоты, что в краевой задаче (2.15) р = 0
(случай произвольного действительного р
рассматривается аналогично). Тогда положительные собственные
значения задачи (2.15) определяются из уравнения
sin[sb + 6(A,)] = o(l). (2.19);
Пусть Si — положительный корень этого уравнения.
Заметим, что б (к) = 0(1). Тогда
sj> + б (Хх) = тл + о (1), Хг = s\. (2.20)
Пусть s2 — следующий за st корепь уравнения (2.19).
Тогда либо
s?b + б (Х2) = тп + о (1), Х2 = si (2.21)
либо
s2b + 6{kz) = (m+l)n + o(l). (2.22)
Покажем, что случай (2.21) невозможен. В самом деле,
если бы равенство (2.21) имело место, то из теоремы
Ролля вытекало бы, что уравнение cps (ft, X) = 0 имеет
корень £3, заключенный между Si и s2 и, следовательно,
удовлетворяющий условию s3b + б(Я3) = тп + 0(1), что
невозможно в силу асимптотической формулы (2.18).
Вычитая из равенства (2.22) равенство (2.20) и прп-
иимая во внимание непрерывность функции б (Я),
получим для двух последовательных собственных значений
Xi и %2 задачи (2.15) формулу
*2-*1=-г + °(т)' *? = *«> i = 1,2. (2.23)
Теорема 2.2. Если q(x)^2>(0} оо), Я>0 и А>0,го
р(Л+А)-р(Л)=4 f ./-г 2 ^ 5—Г> (2-2/0
г. е. в интервале (0, оо) спектр задачи (1.1), (1.2) /гв-

112 ГЛ. III. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
Доказательство. Обозначим через %ltb, A2,ь, ...
..., Хп,ъ, ... собственные значения задачи (2.15), а через
ф(#» ^1,ь), ф(^> ^2,ь), ..., ф(#, Хп,ъ), ...—
соответствующие собственные функции. Предположим сначала, что
Q{x) удовлетворяет условию (2.17). Тогда в силу
определения функции рь(Я) и асимптотических формул (2.23)
имеем (sn, ъ = УК, ь)
9(Х+А)-9т ^ '
о
*-i b
>^ntb<b+A {Sn+ib _ §пъ) j ф2 {Xi Kb) dx
т. .2.
0
К4ь<ы* ы^ь + $пь) | j ф2 (Я) M dx + o (1)
0
Из асимптотических формул (2.7) следует, что
ъ
-у j ф2 (х, К.ь) dx = ^ fn2 (Ktb) + v2 (Кп.ъ)] + о (1).
о
Поэтому
Pb(X + A)-Pb(l)
^~ ^ !0 г„ап—ч . ,t2n—гг + о(1)|(Яп+1>ь—Яп>ь).
Переходя в этом равенстве к пределу при Ъ ->■ °°
получим утверждение теоремы для случая, когда #(#)
удовлетворяет условию (2.17).
Пусть теперь условие (2.17) не выполняется. Положим
'•<Ht
q (x), О^х^п,
х^>п.
Функция qn(%), очевидно, удовлетворяет условию (2.17).
Поэтому, обозначая через рп(Я), [АП(Я), v„(X) функции,

§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
ИЗ
соответствующие функции qn(%), имеем
1 Г dl
Переходя в этом равенстве к пределу при п -> °°,
получим формулу (2.24). Теорема доказана.
§ 3. Преобразование основного уравнения
В некоторых случаях уравнение (1.1) с
неограниченно растущим потенциалом q(x) можно путем
подходящей замены преобразовать к другому виду,
допускающему вывод асимптотических формул.
Предположим сначала, что X — действительное число,
а функции q(х) и q" (х) непрерывны. Введем
обозначения
I(Х) = J {X _ q(*)}!/« Л% n(x) = {X-q{*)}ШУ-
Тогда
dr\ c?r| dx __
dl ~~ dx d%
<?'(*)
4 tt-tfO
•) I 1 =
:*)>s/44 u-<?(*)>1/a ~~
?'(«)
<*-«м>-"*-Гй^йрт
г/,
d|2 1 <*ж 4
<?" (ж)
+
U-<?(*)}5/1
9'2 (*)
+
4 lX-ff(*»3/4
1Х-в(х)}1/а"
Поэтому уравнение (1.1) преобразуется к виду
f + " +
?" (*)
4 а-д(*)>2
+
<?'2 (*)
16 II.-
а-9(»)Г
4 = 0. (3.1)
Это уравнение того же вида, что и (1.1), но в
уравнении (3.1) коэффициент при т] в последнем члене при
больших X оказывается малым.
8 Б. М. Левитан, И, С. Саргсян

114 ГЛ. III. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
Из уравнения (3.1) следует, что всякое его решение
г) = ф(§) удовлетворяет интегральному уравнению
<P(l)-<P(0)cos£ + q>'(0)sin£ —
I
-fsin(S-T)' ^W Б ^W \{d (g2)
где т = £(£)• ^T0 УР&впение можно использовать для
получения асимптотических формул для <р(£).
При недействительных Я или при q(x)>X функция
|(#) принимает недействительные значения, и поэтому
формула (3.2) содержит интегралы вдоль комплексных
путей. Нет, однако, необходимости вводить подобные
интегралы, так как можно получить аналогичное уравнение
с действительной независимой переменной, причем
такой переменной оказывается непосредственно х. Для
получения указанного уравнения предположим, что (7(0)==
= 0 (этого всегда можно добиться соответствующим
выбором пачала координат в плоскости К). Положим затем
*(*)-{*-* (*»1/4 М[К-« {х)]~1/2 5-} - ё- (3-3)
Тогда
р (*) = {* - ч (*»1/4 ■£{[* - 7 (х)]-ы % -
[Я-?(*)]5/4
J dx2
.Л
1 д" (х) , _5_ _ ?"_(*)_
4 [*-*(*)] ^ Ю [Я-<7(*)]2Г
В силу (1.1) и (3.3), имеем
X
/= f sin {&(*)-&(*)}—££Ц-л-
J l*V / *V // {■k—q(t))lli
X
= | Sin {g (*) - | (t)} А {[Я - q (t)]-1" -g.} Л +
0
X
+ J sin {I (x) - I (*)} {X - 7 (i)}3'4 ydt Э/, + /,

§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ Ц5
Интегрируя /i два раза по частям, получим
1Х = {sin Ц (х) - I (t)] [К - q (f)]~1/2 ^-}l +
X
+ JcosiS(^)-E(0l4rc/' =
= - V (0) Я"1/2 sinЪ(х) + ц (x) - i) (0) cos I (x) - /2.
Поэтому г[(х) = ц(0)соб1(х)+ T|'(0)Ar1/2siii|(s) + /, т. е.
ц(х) удовлетворяет интегральному уравнению
11 (х) = т] (0) cos I (х) + У-jJ- sin I (x) +
х
+ $ 8iii{l(x)-l(t)}A(t)\\(t)dt, (3.4)
где
1 7" (0 5 t/'2 (Q
U-<?(m3/2 10 tt-g(0)
В формулах (3.4) и (3.5) при ImX>0 предполагаем,
что 0<argA,<ft, а в тех случаях, когда q(t) изменяется
от 0 до °°, предполагаем, что arg{A, — q(t)} изменяется
от argA, до я.
Лемма 3.1. Пусть q(x) монотонно стремится к
бесконечности U ПуСТЬ При X -> оо
q'(x) = 0{[q{x)Y), (3.6)
где с — некоторое фиксированное число, удовлетворяющее
условию 0<с<3/2, и q" (х) сохраняет знак для
больших х. При этих предполооюениях интеграл
оо
l\R{x)\dx (3.7)
о
сходится равномерно по % в каждой области, в которой
X - q (х) > б > 0 для 0 < х < оо.
Действительно, в силу оценки (3.6)
х
®-dt-Q\\ «Ч«? dt
5/2 l •' {<! (<)}5/2""C
-0([q(i)r^\xx) = 0(l).

Иб ГЛ. III. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
Кроме того, имеем
* 2,
XQ XQ
Лемма следует из последних двух оценок в силу (3.5).
§ 4. Исследование спектра в( случае #(#)->—°°
Теорема 4.1. Пусть q(x)<0, q'{x)<0 при х>0,
q {x) = 0(qc(x)) при х->°°, #(^)~^—°° и <l" (Х)
сохраняет знак для больших х. Если интеграл
оо
l\q{x)\~ll2dx (4.1)
расходится, то спектр задачи (1.1), (1.2) непрерывен и
заполняет всю числовую ось (—°°, +°°).
Доказательство. Заметим, что из условий
теоремы вытекает сходимость интеграла (3.7). Поэтому из
уравнения (3.4) при положительных X следует, что
tj (х) = т) (0) cos I (х) + г]' (0) Х~1/2 sin I (x) +
оо
+ J sin {I (x) -1 (t)} R (t) т| (t) dt + о (1).
0
Отсюда, полагая ц(х) = {% — q(x)}l/iq)(x, К), где ср(х, X)
имеет то же самое значение, что и в § 2, получаем
<р(я, X)=^{X~q(x)}-i/4\x(X)cosl(x) +
+ у(Х)Бт1(х)+о(1)}, (4.2)
где
р. (X) = Х1П sin a —
оо
- j sin I (t) ■ R (t) {X - q (t)}Vi 4>(t,X)dt, (4.3)
0
,«4 q'(0)sma cos а ,
vW = —m jm +
oo
+ \ cost(t)-R(t){X - q(t)}l!i y(t, X) dt. (4.4)
0
Аналогично, если ®(х, X)— такое решение уравнения

§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА В СЛУЧАЕ q(x)-*-oo Ц7
(1.1), что О(0, Я) = cos а, О'(О, X)'= sin a, то
О (аг, X) = (А, - g (ж) }"1/4{[xt (ЭДсоз £ («J+
+ Vt(X)sinS(a:);+o(l)}f (4.5);
где \ii(X) и Vi(X) получаются из \i(X) и v(X) заменой
sin a, —cos a и cp(t, X) соответственно на cos a, sin a и
0(*f X).
Из приведенных рассуждений следует также, что
интегралы в формулах (4.3) и (4.4) сходятся
равномерно по X и, значит, \х(Х) и v(X) представляют собой
непрерывные функции X.
Далее, дифференцируя (3.4), находим
Я' (х) = {X-q (x))lh [X'll2v! (0) cos I (x) -
- tj (0) sin l(x)+l cos {I (x) - I (*)} R (t) tj (t) dt\.
0 J
Поэтому поступая, как и выше, получаем
■±{И-д(х)]ш<р(х,Щ =
= {%-д (х)}& [v (%) cos I (х) - р (к) sin I (х) + о (1)],
откуда в силу (4.2) и (3.6) следует
Ф'(ж, %)={Х-д{х)У'Ъ(Х)со$Ъ(х)-
-ц(Я,)зш1(а:)+о(1)}. (4.6)
Аналогично
Ъ' (х, Х)=: {К- qWHv^cosUx)-
-Hi'(X)sin6(*)+o(l)}. (4.7)
Таким образом,
lim W {Ф, 0} = ^ (X) vx (К) - цх (Я) v (к) = W {Ф, #}*=„ - 1.
0С-»ОО
Следовательно, \х(Х) и v(X) при положительных X не
могут обратиться в нуль для одного и того же
значения X.
Приведенные выше рассуждения нуждаются в
некотором видоизменении при X < 0. Однако можно выбрать
#о так, чтобы при х > х0 выполнялось неравенство
X — g(.r)>0, и повторить все предыдущие рассуждения
уже для интервала (х0, оо). В результате придем к тому

118 ГЛ. III. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
же заключению о поведении функций н.(Х) и v(k) при
КО.
Вычислим сначала спектр для случая X > 0. Пусть
Ъ > 0 произвольно. Рассмотрим краевое условие
Ф(Ь, X)cosj3 + cp'(b, ^)sin p =0. (4.8)
Если sin [J =7^ 0, то при Ь ->■ оо (4.8) можно переписать,
пользуясь (4.2) и (4.6), в виде
v(A,)cos|(b)-|i(X)sing(6) = o(l). (4.9)
При sin [J = 0 получаем
|i(X)cosg(b) + v(X)sin6(b) = o(l). (4.9')
Анализ обоих последних уравнений одинаков.
Рассмотрим уравнение (4.9'). Полагая
перепишем уравнение (4.9') в виде
sin {£(6, X)+©(X)}=o(l). (4.10)
Пусть Xi и %2 — два последовательных
положительных корня уравнения ф(Ь, Х) = 0 (или, что то же
самое,— уравнения (4.10)). Пользуясь асимптотической
формулой (4.2) и рассуждая аналогично тому, как при
анализе уравнения (2.19),можно показать, что £(Ь, Х2)~
— £(Ь, A,i) = л + о(1). Поэтому, в силу определения
функции %(х, X),
ъ
j {V^-q(t) - Vh-q(*)}dt =
о
X2— Xj
, 2—\ , dt=*n + o(i). (4.11)
Далее,
h Ь
Г <» Г d«
J 2 lA. - (7 (П J"
(Я2-^)|
J 2 /Xt - q (0 ( ]A2 - 9 (0 + JA, - g (*)}
<
x2-xt г d, (r dt_

§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА В СЛУЧАЕ q(x)-*-oo Ц9
Отсюда и из (4.11) вытекает, что
Ъ \ -1
dt
К
— ыы - и
(4.12)
Покажем теперь, что при Ъ -> °°
rln4(2^U, Я)}
Уя-<7(0
Л =0(1). (4.13)
Действительно, рассмотрим интеграл с синусом (интеграл
с косинусом оценивается аналогично). Так как £(£, Ц =
t
= ] У Я — q (и) du, то
о
ь
('sin2g(t, Я)^ =
Jyx-ffU)
Ь S(b,X)
о о
IJl/2 Л >|
J +J + --- гНто*1' т, = |(а)- (4Л4)
О Я/2 '
Если г] возрастает, то и t возрастает, а следовательно,
{^ — ^ (^) }-1 убывает. Поэтому
(А+1)я/2 (й + 1)Я/2
I rHV)*-" Г' m я] J |*in2T,|Al-
Ья/2 Я — q \{к + 0) -тН йя/2
1
Я —g
(* + 0)-j-
, 0<О<1.
При возрастании числа к последнее выражение
монотонно убывает, и оценка (4.13) следует из разложения
(4.14), представляющего собой знакопеременную сумму.
Из оценок (4.13), асимптотической формулы (4.2) и

120 ГЛ. III. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
расходимости интеграла (4.1) вытекает, что
/ Ъ v -1 Ь
(Jyf=f)J §V2(t^)dt = ^(X) + v*(X) + o(l).
Отсюда и из формулы (4.12) заключаем, что при Я>0,
Д>0
2
^п+3,Ь ^п,Ъ
Х<Хп>Ь<Х+А {к+1ъ _ Кь) J ф2 (г> ^ dt
О
= 4" 2 („2,. - ' 2,. . + О (*)) ( Wl.b - М
Я х<яп>ь«л,+д \1* (Vb) + V (VO J
и-д
-■if -
м-д
, .2W + v2(X)'
т. е. при % > 0 спектр непрерывен.
Если Л<0, то выбирая £0 так, что X — q(t)>0 для
£ > х0, и заменяя в асимптотических формулах всюду
ъ ъ
j {Я — g (*)} Л на J {Я — g (*)} dtr
о *о
придем к прежнему результату. Теорема 4.1 доказана.
Теорема 4.2. Если выполнены все условия
теоремы 4.1, но интеграл (4.1) сходится, то спектр задачи
(1.1), (1.2) дискретен и имеет единственную предельную
точку на бесконечности.
Доказательство. Из сходимости иптеграла (4.1)
и определения функции \ (х, X) следует, что при х ->- <*>
х
I (X, Я) - Ъ(Х, 0) = J {[Я - q (*)]!/* - [- g (t)]^} dt =«
J
kdt
0{l-qW1/2+{-Q(t)}
■i
0 Д-*(')}1/8+1-в(»)}1/я
< oo.

УКАЗАНИЯ К ЛИТЕРАТУРЕ
121
Поэтому мнимая часть функции \(х, X) ограничена
равномерно в каждой конечной области Х-плоскости, в
частности, в каждом конечном интервале действительной оси.
Далее, из формулы (4.2) следует, что интегралы
оо
] Ф2 {х, X) dx равномерно ограничены в каждом конечном
о
интервале изменения действительной переменной X.
Допустим, что в некотором конечном интервале
(X, i + A) спектр содержит бесконечное множество
точек. Очевидно, в этом случае должна существовать
последовательность неограниченно возрастающих
положительных чисел Ъи Ъ2, ..., bh, ..., так что число
собственных значений ХП}Ь]г в интервале (X, Х + А)
неограниченно растет вместе с к. Поэтому в силу ограниченности
оо
интегралов J cp2 (t, X) dt сумма
о
росла бы неограниченно при к ->■ оо, что противоречит
лемме 1.1 гл. П.
Указания к литературе
§ 1. Лемма 1.1 принадлежит Б. М. Левитану [1], а лемма 1.2—
Б. М. Лешггапу и 11. С. Саргсяпу [1].
§ 2. Результаты этого параграфа в существенном принадлежат
Вейлю [1], см. также Титчмарш [1]. Изложенный здесь способ
вычисления функции рЩ принадлежит Б. М. Левитану [1].
§ 3. Результаты этого параграфа принадлежат Титчмаршу [1].
§ 4. Теоремы 4.1 и 4.2 принадлежат Титчмаршу [1].
Изложенное здесь доказательство этих теорем принадлежит Б. М.
Левитану [1].

Глава IV
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
§ 1. Интегральное уравнение для функции Грина
1. Из результатов гл. III мы знаем, что если у
оператора Штурма — Лиувилля
Ly = -y" +q(x)y, a<x<b, (1.1)
функция q(x) снизу ограничена и стремится к +оо цри
х -*- а или х ->■ Ъ (или и то и другое), то спектр оператора
L дискретен (в предположении, что хотя бы одна из
краевых точек сингулярна, при этом если одна из
краевых точек регулярна, то в ней необходимо задать
краевое условие).
В настоящей главе будет дано другое доказательство
дискретности спектра оператора L для случаев: 1) а =
= — оо? fr = +oo} 2) а = 0, Ь = оо. На функцию q(x),
кроме условия q(x)->+oo (при #->±«>), будут наложены
дополнительные условия, которые позволят не только
доказать дискретность спектра у оператора L, но и
получить асимптотическую формулу для функции N (X) =
= 2 1»т. е. для числа собственных зпачений Хп при
Так как по предположению функция q(x) спизу
ограничена, то, не нарушая общности рассуждений, можно
предполагать, что для всех х из интервала (я, Ь)
выполняется условие q(x)>l.
Мы рассмотрим подробно случай всей прямой, т. е.
случай я = — оо, Ъ = +оо. Изменения, которые пеобходимо
внести в случае полупрямой, несложны и будут кратко
указапы в конце § G.

§ i. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ГРИНА 123
Положим при фиксированных х и и. > О
* = {Q (*) + и}1/2, g (я, rj; и.) = — ехр (- | г - п | х) (1.2)
и рассмотрим интегральное уравнение
G (х, т); [i) =
оо
= g (*, л; и-) — j" s- («, I; и) [? (6) - д (-r)] g (5, л; и) <& (1.3)
—сю
Ниже будет показано, что уравнение (1.3) при
достаточно больших \i может быть решено с помощью метода
итеращтй и решение есть функция Грина оператора (1.1).
Единственность функции Грина следует из теоремы
2.3 гл. П.
2. Обозначим через X банахово пространство числовых
функций А {х, ц) (-оо <х, т| < +<*>) с нормой
оо ( оо 1
И(^)|Ц- = J J \A(x,4)\2d4\dx
— оо V—со J
и определим в пространстве X оператор N формулой
оо
NA (ж, т|) = j ? (*, 5; ц) [9 (I) - 9 (*)] А (I, ti) dl, (1.4)
— оо
где функция g(#, £; \x) определяется формулой (1.2).
В дальнейшем важную роль будет играть следующая
Лемма 1.1. Пусть q(x) удовлетворяет условиям:
Г \q{l)-q(^)\^Kqn(x)\l-x\ при |я-£|^1, (1.5)
где К>0, О < а < 3/2 — постоянные числа.
2° ?(6)ехр(_-|-|*-£1 /eF))<* лри |*-Б|>1,
(1.6)
где В — постоянное число.
Тогда для достаточно больших \i оператор N —
сжимающий, т. е. \\Ш < 1,

124 ГЛ. IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Доказательство. Положим
NA (х, т)) = М (хг т)) =
= f g№iV)lq{l)-q(x)]MliUdl +
+ J g№;v)lq{l)-q(x)]A(lvu(%^
\х-1\>1
= а (хг л; И-) + Р (хх Ti; V)- (*-7)
Тогда
|Л/(#, Tj)! < lot (a;, r\; \i)\ + If* (я» tj; [x)|,
д/2^, ri)^2{a2(^, л; v>)+F(*> л; и)Л
Далее,
а2 (хл n; fi) <
<( J gfeEsrtlffUJ-gHll^^^ldE]1. (1.8)
l|*-6Ki J
В силу условия (1.5) при \х~ £| ^ 1 имеем
( I ^,^)k(£)-?(*)IHU,ri)|^Y<
\|*-£1<1 /
<W J ?•(*)£(*, &;i01*-£11^(5, л) |d|
\|x-|Ki
Подставляя значение фупкции g(x, Е-; п.) из (1.2),
получаем
J \x-l\q^(x)g(xll; |i)H(S,4)l« =
|х-Ч1<1
= 4" I |^-S|1+el*-SrVWx-1+V"'x
l*-6Ki
Xexp(-x|a:-S|)IH(S,Il)|dE. (1.9)
Так как и = {g(.z) + u.}1/2, то при u. -> +°°
9eMx-2+i = 0(|i-s), (1.10)
где 5 > 0, ибо в силу 0 < а < 3/2 можно найти такое
е < 1, что £ = 1 — a + е/2 будет положительным числом.

§ i. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ГРИНА 125
Тогда из оценок (1.8), (1.9) и (1.10) следует
а2(*,я; i*)<4;( J l*-EreH(St п)1#У =
_К2 С \А& тр| - С \А(1\у)\ „, М1,.
^ |*-6I<1 ,л Ъ| |*-&'Ui 5
Иптегрируя неравенство (1.11) по ж в пределах от —оо
до +°о, после очевидной замены переменных и
перестановки пределов интегрирования (используя также
неравенство Коши — Буняковского) получаем
оо
) а2 (хг т); \i) d# ^
<£ 1 U 1 fTji Jl^+«.n)l-№+^TOI&k
r Ju|<i l ' |u'Ki l ' ^-oo )
oo oo
' Nlul^l1 ' / -oo * -oo
Интегрируя теперь это неравенство по т] в пределах от
—оо до +оо, находим
"а(*, Л5 |а)Их<С|х-2ЧЩя, Л)11*. (1-12)
где С — постоянное число.
Оценим теперь 1ф(.г, г\; \х)\\х при [г->+°°. В силу
определения р(.г, г\\ \х), т. е. из (1.7), имеем
Р to л; F1) = j г to 5; и-) ff (£)л (£. л) ^ —
- g to J г (ж, Б; ц)л(g, n)dg = px + р8.
i«-6i>i
Из оценки (1.6) и формулы (1.2) получаем (поступая
так же, как и при оценке а (.г, г\\ \х))
X J e 2 | Л (ж + /i^T])!^'.
|u|>l
N'<i

126 ГЛ. IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Теперь интегрируя это неравенство по х, получаем
оо оо
j Pf(а:, Л; и) Лг < Ц1Г"^1 § \А(х} Л)|»Аг,
— ОО —00
откуда повторным интегрированием, теперь по п,
находим, что при [г -> +оо справедлива оценка
«М*. л; \л)\\х^с^\\а{х, т\)\\х, (1.13)
где С — постоянное число, а г — сколь угодно большое
положительное число.
Аналогичная оценка справедлива и для Ир2(я,Ц\ п.)"*-
Тогда из (1.7) в силу оценок (1.12) и (1.13) для
NA(x, r\) при \х -> +оо получаем следующую оценку:
1Ш(я, ц)\\х^С[1-Ч\А(х, т\)\\х,
— что и доказывает лемму.
Замечание. Введем в рассмотрение банаховы
пространства ХЧ\ Х(т) и Х[х) (р > 1, т — произвольное
действительное число), элементами которых являются
числовые функции А (х, ц) (—°°<х, п<+°°), а нормы
определяются соответственно следующим образом:
IЛ (х, л) f(p) = sup ] \А(х, Л) \Pdri, (1.14)
А2 -оо<х<оо J^
IIА(г, т])||2д.(т) = J j |Л(^, T])|VT (r))*lUr, (1-15)
1Л (х, 1!) f (т) = sup f | 4 (x, Л) |23" (л) *i. (1.16)
Ai ~oo<oc<oo J:^
Легко видеть, что лемма, аналогичная лемме 1.1,
имеет место во всех этих банаховых пространствах.
3. Рассмотрим снова интегральное уравнение (1.3),
которое можно записать, используя оператор N, в виде
G(x, n; \i) = g(x, n; \i)-NG(l, ц; п.). (1.17)
Так как при достаточно больших и. оператор N
сжимающий во всех рассмотренных выше пространствах
Банаха, то если функция g(x, п; \х) принадлежит
одному из этих пространств, то уравнение (1.17) может быть
решено с помощью метода итерации и решение
принадлежит тому же пространству.

g i. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ГРИНА 127
В следующих леммах указываются достаточные
условия для того, чтобы функция g(x, r\; \х) принадлежала
соответственно пространствам Х^ (р >> 0), X, Х[1/2) и
Х(-т)(т>0).
Лемма 1.2. Если д(#)>0, то функции g(x, v\; ц) и
g', {х, ц; [х) принадлеокат пространству Х(2Р) (р >> 0).
Доказательство. В самом деле, из определения
функции g{x, tj; п.), т. е. из равенства (1.2), следует
СО ОО ОО
du
pVV
т. е. g(x, ц; [iJsX^, Для функции g^(.z, ту,
^доказывается аналогично.
оо
Лемма 1.3. Если выполняется условие \ q~~^2 (x)dx<C
•—оо
< оо, то g(x, r\; \х) принадлежит пространству X.
Доказательство. Действительно, для \х > 0 в.
силу (1.2) имеем
оо оо
2g'^2 (xy
откуда, в силу условия леммы, следует, что g(x, tj; |x)^Z.
Лемма 1.4. .Если гсрм |я-и|<1 функция q(x)
удовлетворяет условию qi^q"1 (х)<С, где С —
постоянное число, то g{x, T|; u.) e Xi1/2).
Доказательство. Из (1.2) следует
оо
J № ^OtfOl)^ J" ^.exp{-2|a:-Tilx№+
-оо |х-г]К1
+ f 2ilJ-exp{-2|a;-)||x}di| = a(j;) + b(a;).
4%
|зс-1Н>1
Из условия леммы следует
sup а (х) < sup J е-**\х-чЩ = sup J e-Wlda < оо.
x x ix-T)i<i * iui<i

128 ГЛ. IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Далее, при \х — ц\>1 в силу условия (1.6) имеем
q (т)) g2 (х, r\; ^)<Cexp{—-|-|a:-ri| /Jxj.
Поэтому поступая так же, как и при получении оценки
для а(х), получаем sup Ь (я) < оо, что вместе с
аналогично
ной оценкой для а(х) и доказывают утверждение леммы.
Лемма 1.5. Пусть для \х — к\\^1 выполняется
условие q{x)q~i('x\)<C, тогда g^n(x, ц; \i) e Х[~1/2\
Доказательство. В самом деле, при цФх
~ = к2 g(x, л; И-)=-2" и езФ (— и I * — т1 |).
Поэтому лемма доказывается так же, как и лемма 1.4.
Лемма 1.6. Если q(x) удовлетворяет условиям
1° g(a?)g-10i)<C,(lrc-^l<l),
2° {q(x))-z/2-2x^2?(~oo, ос),
то функция g(x, т|; \i) принадлежит пространству Х{~х\
Доказательство. Положим
оо
J g2(x, л; v) 9~"2Х (л) *1 = J f О*, л; и) q~2x (л) ^л +
— ОО |3C-rj|^l
+ J g2 (я, л; И-) 9~2t (Л) ^Л = а(х) + Ь (х).
|зс—тц>1
Из определения функции g(#, tj; |i) и в силу условия
1° леммы при \х>1 имеем (la: — rjI < 1)
Поэтому
«0*0 < С«Г(2Т+1) (x) J ехр { — 2 | д; — т| | УдЩ } ^Л <
Ix-TlUl
<С{г/(а:)}-(2Т+3/2),
в силу чего и на основании условия 2° леммы а(х)^
бЕ^-оо, оо).
Далее, при \х — г\\ > 1
#2(ж, л; fi)g~T(r))^Cexp(--2l^~r||x).
оо
Поэтому b(x)^.C e~2UKdu = С^"2* и, значит, Ъ{х)
i
также принадлежит 3? {—°°, °°). Следовательно, а(я) +
+ /?(.г)^с29(—оо} оо)? что и доказывает лемму.

§ 2. ПЕРВАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ G(x, r|; ц) 129
§ 2. Первая производная функции G(x, tj; \x)
Дифференцируя формально уравнение (1.3) по ч\,
получаем
сю
—сю
Далее, заменив в уравнении (2.1) G^(x, ц; п.) на
К(х, r\; п.), получим интегральное уравнение
К(х, и; и.) = £л(Я' Л; И-) —
сю
- J g (х, I; V) [q (I) - q (*)] К (l, т); ц) Ц. (2.2)
— сю
В силу леммы 1.2 g^x, r|; [x) e Поэтому из леммы
1.1 следует, что К (х, г\; \х) <= Х[р\ Нетрудно проверить
также, что при х\'Фх функция К(х, г\; \х) есть
непрерывная функция по т).
Проинтегрируем уравнение (2.2) по к\ в пределах от
— оо до т):
Tj
j К(х, tj; jx) d-п = g(x, n; ц) —
— CX)
- J g(x,l;v)[<l(l)-<l (*)]{$ Kfa^rtdrudt. (2.3)
— OO ^—-СЮ J
При г) = x функция gr\ (x, r|; \i), а следовательно,
и К(х, r\; п.), имеет разрыв первого рода, что не
препятствует применению формулы Ньютона — Лейбница.
Существование интеграла справа в (2.3), а также
законность изменения порядка интегрирования следует из
того, что К(х, т); \i) e Х{?}\
Уравнение (2.3) совпадает с уравнением (1.3).
Поэтому из единственности его решения следует, что
J К (я* П? №)dr\ = G(x, ту, jx), откуда дифференцированием
— сх>
по т) получаем, что при г\фх К(х, r\; \i) = в'ц(х, у\; и).
Э Б. М. Левитан, И. С. Саргсян

130 ГЛ. IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ
Поэтому уравнение (2.2) можно записать в виде
бч|(я, л; н-) — g'vix, л; ^) =
оо
= - j «Г (ж, 6; И) [? (£) — q (x)] g'4 (l, ц; ц) dg -
— СО
оо
— ) g(x, I; ji) [g (|) — g (ж)] (Gj, (£, T|; ц) - ^ (£, t|; }x)} rig.
— oo
(2.4)
Применяя оценки, аналогичные тем, что были
использованы при доказательстве основной леммы 1.1, можно
показать, что функция
оо
I (ж, т|; \i) ■= — j g (х, I; \i) [q (1) — q (x)] g^ (£, T|; \l) d£
— oo
непрерывна по т). Для этого достаточно проверить, что
несобственный интеграл, определяющий l(x, r\; jlx),
сходится равномерно по т), что следует из условия (1.6).
Решая теперь уравнение (2.4) с помощью итераций,
нетрудно показать, что функция Сл (x~r\\ \i) — gn (x, tj; \i)
непрерывна по г). Поэтому G^(x, t\; \i) имеет такие же
разрывы, что и gr\(x, v\; \i), которая имеет единственный
разрыв при г\ = х. В самом деле,
я'лОг. л; и-) =
2" ехР (— (Л — х)х)» Л > х,
1 , , ч , x = {g(*) + (i}i/2.
— -у ехр {— (ж — т|) х}, т|<х,
Поэтому
«Гл (^» Л; И-) 1л=х+о — «Гл (*, Л; И) |ti=*-o = — 1. (2.5)
Таким образом, функция Gn (x, tj; ji) непрерывна по г\
всюду, кроме точки т| = ж, в которой она имеет разрыв
первого рода, причем
G'n (х, х + 0; \i) — G^ (х, х — Ofji) = — 1. (2.6)

§ 3. ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ G(x> т|; ц) 131
§ 3. Вторая производная функции G(x, ц; ц)
В § 2 было доказано, что функция б^ (ж, tj; u.)^X(2p)
(для любого р>1), непрерывна по т] при т]=^=х и
удовлетворяет уравнению (2.1), которое можно привести к
виду (см. уравнение (2.4))
2 (х, i\;\i) = l (х, л; И-) —
оо
- $ g (*, 6; у) [g (I) - g (*)] S7 (6, ч; [*) <*5, (3.1)
—oo
где
^ (ж, л; и-)= сл К л; и-) — £л (*» л; и-)»
оо
Z (ж, т|; ц) = J g (ж, I; ц) [q (I) - q (x)] g\ (\, т|; ц) d£. (3.2)
— ЭО
Дифференцируя формально (3.1) по г], получаем
^л(ж» л; и) = глК л; и-) —
оо
- J g (x, I; ц) [g (g) - g (ж)] <?; (£, т|; ц) c/|. (3.3)
— OO
Далее, снова пока формально, дифференцируя (3.2) по
у\ и используя (2.5), получаем (у\Фх)
i'n (*, л; и) = * (*, л; и-) [? (л) - g (*)] -
оо
— j g («, £; (*) [g (6) — g («)] £™ (6. л; ji) d5 = m (ж, ц; ц).
— оо
Рассмотрим теперь интегральное уравнение
М (ха т|; и.) = т?г (ж, т|; и.) —
оо
- j * (ж, 6; ц) [д (I) - д (ж)] м (6,11; ц) d£. (3.4)
—оо
Покажем, что /га (ж, т|; u.)<= Х^~1/2). Отсюда и из
леммы 1.1 будет следовать, что решение уравнения (3.4)
9*

132 ГЛ. IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
также принадлежит Х[-"2\ Имеем
т (х, n; H-) = £ (я, ч; F0 \q (л) — 3 (*)] -
— f g (я, g; fx) [g (g) — q (x)] g'm (g, 4; u.) dg -
— 1 g(x, g; \i) [q (g) - q (x)] g^(g, T|; u^gEEE^ + ^-f^.
11-л1>1
Из условий (1.5) и (1.6) нетрудно вывести, что
тт^еХ^, а значит, и тг^ Х[~~л/2). Рассмотрим теперь
т2. Предполагая, что выполняется условие леммы 1.5,
т. е. условие q(x)q~x(r\)< С при \х — rjl^l, получаем
га29~1/2(чХ
< f g (х, g; и.) | g (g) - q (x) | бН^1*д-1/2 (л) x dg <
|Р-Л|<1
< С fo) j £ (*, g; Fi) | q (g) - 9 (*) | *HS-**dg,
IS л1<1
x = [g(g)+jx]1/a,
где C(ji)—некоторая постоянная, зависящая только
ОТ |Л.
И, наконец, используя (1.6), для т3 получаем оценку
»ь<г1/2(п)<
< С (ц) j * (x, g; ц) | д (g) - д (ж) | e<-i/*>l6-r.l*d!.
Поэтому (х = [д(ё)+|л]1/2)
(та + т3)?~1/2(лХ
оо
< С (fx) j g (x, l;n)\q (I) -q(x)\ e-i/2lE-4l*d|.
— OO
Интеграл справа можно оцепить, как при доказательстве
леммы 1.1. В результате легко доказывается, что
т(х, г,; |д)<= Х(Г1/2).
Теперь покажем, что М{х, г\\ ц,), т. е. решение
уравнения (3.4) (которое по доказанному принадлежит
Х(Г1/2)) при х\Фх равняется G"m(x, ч; \i) — g^ (x, ту, \i).
Действительно, интегрируя уравнение (3.4) по г\ в пре-

§ 3. ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ G(x, тр. И) 133
делах от т]0 до т], получаем
л л
М (ж, г|; jx) с?г| = \ т (х, п; [i) dr\ —
% %
- J £ (ж, Е; (i) [9 (6) - ? (ж)] J м (Е, л; ц) ^ «■ (3.5)
Далее, из уравнения (3.1) следует
& (ж, л; и-) — =2" (а;, л0; и-) = 1 (^ л; и-) — * (ж, л0; и-) —
оо
- J г («, I; и) [<? (I) - s (*)] {2 (£. л; и) -
— оо
-ЗХЛо;,!)}^. (3.6)
Если показать, что
j /ti (ж, п; ц) *i = / (.г, л; и) — / (.г, л0; м)> (3-7).
то из единственности решения уравнений (3.5) и (3.6)
будет следовать, что
л
J М(х, л; [a) ch] = i? (ж, л; Н-) — 5" (ж, ii0: [х),
\
т. е.
М (х, п; |х) - 2^ (ж, п; [х) = G^ (ж, л; Н-) — §лл (ж» Л J И-)-
(3.8)
А так как g"m(x, л; у) существует при х\Фх, то из (3.8)
следует, что для и Ф х существует функция G^ (ж, п; ^х) и
G'Ux, л;ц)еХ(Г1/2).
Таким образом, осталось доказать равенство (3.7).
Из условия (1.6) легко получить, что функцию
оо
l(x, i\; ц) = — J g(a:f g; |i) [g (£)—?(a:)] ^ (£, i1; ji) dg (3.9)
— oo
можно дифференцировать под знаком интеграла. В
самом деле, выберем п настолько большим, чтобы точка п
попала в интервал (—га, и), и представим 1(х, г); [х)

134 ГЛ. IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
в виде
{— П П 00\
- оо — П П )
X [q (I) — q (x)] g'^ (I, ti; \i) d\ = lx+l2 + Z3.
Интегралы U и Z3 можно дифференцировать под
знаком интеграла, так как после дифференцирования
получаются абсолютно и равномерно сходящиеся интегралы,
что легко следует из условия (1.6), 12 есть интеграл в
конечных пределах, и его дифференцирование не
вызывает затруднений. Следовательно, дифференцируя (3.9)
но г] и используя (2.5), получаем
4 (*, л; v) = g (*, л; v) [q (л) — q Ш —
— J g{x, \\ и) к (£) — q (*)] g"m (£, т); |i) d£ = т (хх r\; fi).
— оо
Поэтому
л
j т (х, л; ц) dt\ = I (х, Г); ц) — Z (я, т|0; и),
%
что совпадает с равенством (3.7), и утверждение
доказано.
§ 4. Дальнейшие свойства функции G(x, rj; |ш)
1. Кроме свойств, установленных выше, функция
G(#, т); и,) обладает еще другими важными свойствами,
которые будут выведены в этом параграфе.
Лемма 4.1. Функция G(x, ц; \х) для цФх
удовлетворяет дифференциальному уравнению
G"m (*, л; v) = {q (л) + ^} g (х, л; и-)- (4Л)
Доказательство. В силу определения функции
g(x, r\] \х), т. е. (1.2), непосредственным вычислением
легко убедиться, что она удовлетворяет уравнению
£Vi = fe (x) + и) S- Поэтому уравнение (3.4) с учетом (3.8)

§ 4. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ G(x, r\\ ц) 135
можно записать в виде
Сщ (х, Г); fi) — [д (я) + [1] g (х, г); fi) =
= {?(л) —д(*)}г(я, л; и) —
J г (*, S; I*) [д (£) - д (*)J G^ (g, ц; \i) dg,
откуда следует, что
^{дМ+^Г1-
= «Г - j * (*, Б; |i) [q (I) - q (x)] G"m {q (r\) + [x}"1^.
Сравнивая это уравнение с (1.3), на основании
единственности решения заключаем, что G'rm {g (л) + М}1 = £>
что совпадает с уравнением (4.1). Лемма доказана.
Лемма 4.2. Функция G(x, у; \х) симметрична от-
носителъно переменных х и у, т. е.
G(x, у; |i) = G(y, x; fx). (4.2)
Доказательство. Пусть х и у — две различные
точки прямой, причем пусть для определенности х<у.
Рассмотрим интеграл
оо
/ = j (G (у Л; V) <?« (x,l,V)-G (х, I, v) G\% (у, £; ц)) d£,
— С»
существование которого следует из того, что (тел1
и GggeX7(1/2), что нами отмечалось в предыдущих
параграфах.
Положим
X у оо
7 = 1 +1 + J F ^ 5; ч) Gii (*. 6; м) -
I— оо X У )
- G (х, I; ус) G\% {у, I; ц)] dl ^ I, + /2 + 78.
Так как
G(y, I; V)G{i(x, I; p)—G(x, g; |i)G«(y, 6, ц) =
= -^F [G (p, 5; И-) &i (*, 5; м-) — с (ж, g; ц) £s (у, 1; у)]»

136 ГЛ. IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
ТО
I± = G (у, х; ii) G't (х, Ъ\ ii) k=x_0 - G (x, x\ у) G\ (у, £; у) |E=,e,
^а=%, I/; И) б&я, £; fi) |Б=У - G (х, у; [i) G{ (у, £; у) |Б=У_0-
- G (у, х\ fi) Gg (ж, £; jx) |Б=зс+0 + G (x, s; ii) Gg (г/, g, ii) |Б=Х,
h-G {x, y; ii) Gg (y, I- ii) \z=y+0 - G {y, y; ii) Cg (x, g; ii) |Б==У.
Складывая эти равенства и учитывая (2.6), получаем
I = G(y, x; \l)-G(x, у; и,),
что и доказывает равенство (4.2), так как из уравнения
(4.1) следует, что 1 = 0.
2. Если функция q(x) ограничена снизу и lim q(x) =
= +°о, то оператор Штурма — Лиувилля имеет
дискретный спектр и единственную функцию Грина для всех |ii
вне спектра (см. § 1 гл. III).
Выше было показано, что решение интегрального
уравнения (1.3) функция G(x, к\\ \i) удовлетворяет всем
условиям функции Грина оператора Штурма — Лиувилля.
Следовательно, в силу единственности функции Грина
G(x, ti; \x) есть функция Грина. Из гл. II известно, что
функция Грина G(x, ч\; \х) выражается через решения
^i(x, M^)e^2(—°°, 0), г|)2(я, \i)^2>2(0, °°), которые в
случае q(x)-++<*> при Ы ->■ °° определяются в
существенном однозначно.
Из интегрального представления резольвенты (см.
гл. II, § 3) следует, что для любой функции f(x)^
GE^2(_oo, oo)
00 оо
G{x, у; v)f(y)dy= 2 Г 1., »
Л n=i ^ + ^1 (4.3)
оо
ап = J /(#)фп(я) <&С.
-«со
Здесь ?w — собственное значение, а
уп(х)—соответствующая собственная функция оператора Штурма —
Лиувилля, т. е.
— Ц)'п(х) -\-q(x) фп (х) = КЦп (я).

§ 5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА 137
§ 5. Дифференцирование функции Грина по параметру
1. Из лемм 1.1 и 1.3 следует, что если q~3/2(x)^
^3?{—°о, оо)? то функция G(x, т); ji)^Z, т. е.
оо ( оо \
J | J G2 (х, т|; [i) dm dx<,oo. (5.1)
— ЭО [ — OO J
Если же д_3/2(^)ё«27(—оо? oo)f той (5.1) может не иметь
места.
Предположим, что для некоторого натурального т > О
q-™2+2x){x)^3? {-<*>, оо). (5.2)
В этом случае естественно рассмотреть итерации
функции G{x) (х, т); jlx) и надеяться, что такая итерация будет
ядром Гильберта — Шмидта, т. е. выполняется (5.1).
Из интегрального разложения функции Грина (см.
гл. II, § 3) следует, что ее итерации с точностью до
знака совпадают с соответствующими производными по \х.
Мы подробно изучим G^^T];^), что соответствует"
первой итерации. Случай высших производных
(итераций) изучается аналогично, и мы ограничимся в этом
случае лишь формулировкой окончательного результата.
Из уравнения (1.3) следует
оо
Gl = il- J g»lq(l)-Q{x)]GdZ-
— оо
оо
- J glq№-q{x)]Gl<%. (5.3)
— оо
Если q~1/2(x)^ «£?( — оо, оо)? то из леммы 1.6 следует,
что функция g(x, т); ji), а следовательно, в силу леммы
1.1, и G(x, rj; \х) принадлежит пространству Х(_1), т. е.
оо / оо \
i' j G2(x, т|; н-)д-2(л)йл\dx<oo. (5.4)
— оо V. —оо J
Так как G(x, т); \х) симметрична относительно х и
т), то условие (5.4) можно записать в виде
оо ( оо Л
I J 6Р(т|, ж; ц)д-а(т])<*П dz<oo. (5.5)
— оо i —оо J

138 ГЛ. IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Более того, из леммы 1.1 (и последовательных
приближений) следует, что при \х -> °°
(1 ( г 1 V/2
МП G^(^x;ii)[q(if])+ii]-^dy]\dx\ =
\ —00 V — oo J у
/ OO / OO x ^
= 0( f f g2 (*' ^: ">*)\dx )■ (5.6)
Положим
OO
a (x, n;\i)= ) gl {x, I; \x) [q (I) — g (ж)] G (£, ц; ц) d£. (5.7)
— OO
Лемма 5.1. Пусть q(x) удовлетворяет условиям:
1° \q{l)-q{x)\^Aqa{x)\%-x\ для |*-g|^l, где
Л >0 и 0<а< 3/2 — постоянные числа;
2° qiDq^W^B для \х —£1^1, В —постоянное
число;
3° g2(£)exp{--|-|£-£| Kg^j Эля |я-|1>1, где
С — постоянное число;
4° функция q'1/2{x)^^(-ooi оо).
Тогда функция а(х, rj; jlx) , определенная равенством
(5.7), принадлежит пространству X, г. е.
OO f 00 \
J M а2 (ж, «п; fx) dr| \dx<oo. (5.7')
-оо I —oo J
Действительно, запишем а(х, ц; \х) в виде
os (#, tj; \i) =
OO
= j gl (x, 6; ц) [g (g) + Ц] '^[Г G (5, ri; V) d£.
— OO
Оценивая этот интеграл аналогично тому, как это мы
делали, доказывая лемму 1.1, докажем (5.7'). Более
того, рассуждая как при доказательстве леммы 1.1, и
используя оценку (5.6), нетрудно получить оценку
И*, л; n)ii* = o(iiG(sf л; \ь)Ыч\)+\А^)х =
= o{\\g{x,4-v)[q{4)+\x]-4x). (5.8)

§ 5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА 139
2. Непосредственно проверяется, что если q~1/2(x)^
^S?{-°°, оо), то ql(x, r\; \i) ее X.
Учитывая (5.7), уравнение (5.3) перепишем в виде
G'\L = g\L — «(#, л; [О —
оо
- J * (*, 6; ц) [q (I) -q (*)] Gl (I ц; ц) dg. (5.3')
—оо
Решая это уравнение методом итераций, получаем
Gl (*> л; и-) = «£ (*» л; и-) — а (*» л; ^) + Р (*» л; и-)» (5-9)
причем из леммы 1.1 следует, что при и. -*- °°
Так как ||gl — os|Z<Jg^Ц* + |a|z, то оценку (5.10)
можно записать в виде
IIP(^,ri;fi)U = o(||g;|U + ||aU). (5.11)
Покажем, что
II а (я. ^ И-)к = o(\gl{x, ц\ (х)Цх). (5.12)
Оценка (5.12) будет следовать из оценки (5.8), если
покажем, что при \х ->■ +°°
ЦйГ(ж, ti; p)[q{r\) + рГ1]? = o(\gl(x, r\; [i)|z). (5.13)
Непосредственное вычисление дает
оо
!*<*■* ">Ь-с1ййТ«*' <5-14)
— ОО
где С — постоянное число.
Далее, используя условия 2° и 3° леммы 5.1, получаем
\\g(x, r\) (*)[g(ti) + M-]-1!U =
f f? 1
= J J g2 (я, л; (*) [g(n) + »*] 2^}d^ =
—оо I—oo
= f If lSf±JLMdr\+ f g2(x' ^ !A)dTildx<

140 ГЛ. IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
<
<
ОО / ОО %
ОО | ОО \
+ С2 J J exp [— и Vq(x) + \ь] du\ dx
~oo 'i J
oo oo
— oo —oo
oo
<с'1ы5Т^- (5Л5>
Очевидно, что оценка (5.13) следует из оценок (5.14)
и (5.15). Следовательно, оценка (5.12) доказана. Теперь
из оценок (5.11) и (5.12) получаем оценку
IIP (я» % И-) 11-х: = oQglix, и; \i)\\x). (5.16)
Из уравнения (5.9) в силу оценок (5.12) и (5.16)
следует оценка
\\g'm{z, л; у)Ik<!«£(*, л; v)\U(i + o(i)). (5.17)
Вернемся к уравнению (5.3'). Перепишем его в виде
ОО
g'vt = G'u + а + J" g (х, I; ц) [q (I) — q {x)] Gl (I, ti; ц) dg.
— oo
Беря норму и оценивая норму интеграла по лемме 1.1,
получаем оценку I £д Ik < | б£ Ik + о(||£д1к) + o(ll^lk),
откуда
llfikfo Л; ^)lk<||^(x, ti; li)||z(1 + o(l)). (5.18)
Из оценок (5.17) и (5.18) заключаем, что при \i-+ +°°
IIG'» (х, л; v) Ik = II gy, (х, л; v) Ik (i + о (l)), (5.18')
т. е. hm f-£ г- = !•
ц-*оо И ^ (я?, Г); fx)|z
3. Сформулируем без доказательства результат в
общем случае, охватывающий итерации высших порядков.
Теорема 5.1. Пусть функция q(x) удовлетворяв!"
условиям 1° и 2° леммы 5.1 и, кроме того, условиям

§ 5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
141
3° для натурального т>0 q-3/2~2x (х)(= 5? (—°°, °°);
4° gx+1(t)expf-±\x-l\ УТЩ<Сдля \х-\\>\,
где С — постоянное число.
Тогда —-G (х, л; \i) e X и при \х -+ °°
—^G(x, г,; и,)
да
■g(z, л; v)
(1 + о(1)). (5.19)
Так как в силу равенства (4.3)
00 оо
J ^{G(:r'11;tx)}-(p"(ll)rfT1=(-l)4! 2 „ *1 {1+1.
то из равенства Парсеваля следует
Jj^e^rtJVwJ^^,, (5-20)
откуда
ОО / ОО
— ЭО V — ОО
— G (ж, п; (а)
1 =° 2
dn Жг = У (т!) .^(т!)*^.
I ^" П О- ц\2Т + 2 v ' 1
Поэтому асимптотическую формулу (5.19) можно
записать в виде (при и. -+■ оо)
(т!)г5х.
dxg
^ц1
ОО / ОО
■\\\
— ОО —ОО
фТ
g(x, n; |ы)
drjd.r. (5.21)
Вычислим интеграл правой части формулы (5.21).
Полагая в известном равенстве
1 Г еШ 1 e~^ ,^П
л J^cr + p2 P
ji = х = {q(x + \i)}l/2, t = I.2: — т)|, получаем (см. (1.2))
рга|эс-тЦ
£ (л, г,; ,х) = J. ехр (— | д; - п I х) = »Г j ~-
da.
</ (ж) + \i
Теперь, дифференцируя эту формулу т раз по (i,

142 ГЛ. IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
получаем
оо
—rSKx> Л; И') = —9^— 7-2 Т7ТТйа- (5.22)
— оо
Поэтому, в силу равенства Парсеваля, отсюда следует
da
I {£'<*• ^I^-tsH с?
откуда, на основании (5.22) и (1.2), вытекает
J Й?'<*« * ^ *• = (2т +1)1 a„+1g(».^|i)h^-
— ОО "
(т!)2.1-3-5-...-(4т+1) 1 "(5 23)
22t+2 (2т + 1)! {q (х) + fi}2t+3/2 V '
Из асимптотической формулы (5.21) в силу
последнего равенства окончательно получим, что при \х ->- °°
оо
оо п
с _ У 1 (4т+ 1)11 Г <te
Т ~ J} (Яп + ^)2t+2 ~ 2"+2 (2т + 1)! j^ t? И + Ц}2Т+3/2 '
(5.24)
§ 6. Асимптотическое распределение собственных
значений
1. В этом параграфе, используя тауберову теорему
М. В. Келдыша (см. Б. М. Левитан, И. С. Саргсян [1,
гл. 14, теорема 4.3]), из асимптотической формулы (5.24)
получим асимптотическую формулу для распределения
собственных значений. Эта формула приводится в
следующей основной теореме главы:
Теорема 6.1. Пусть функция q(x) удовлетворяет
условиям теоремы 5.1. Введем монотонную функцию
G(X) = mes{q(x)<%}
и положим г|) (К) = (* (А, — v)l/2 do (v).
о
Предположим, что существуют положительные
константы а и р такие, что для достаточно больших X вы-

§ 6. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 143
полняются следующие неравенства:
ая|)(Я)<Ь|/(Я)<И)(Я). (6.1)
Тогда при % ->■ °° справедлива асимптотическая
формула
N(k) =
-2 l^^J(^-v)1/2rfa(v) = 4 J ^-ffW>1,i^-
K<b о g(*)<b
Доказательство. Полагая о (А,) = mes {g (x) < А,},
имеем
Г <fo ^_ Г do (К) (г>2)
Jto {g (X) + ^1)2^ + 3/2 J (x + ^2t + 3/2 • V • )
Покажем, что
оо оо / % ч
Г ^ст(Я) _ Г (2т+ 2) С dk f da (v)
J a + ю2Т+3/2 ' г (2т + 3/2)r (!/2) J (x + i^)2T+21J a - v)i/2 j *
(6.3)
В самом деле, меняя порядок интегрирования, имеем
ОО < % ч ОО / ОО ч
Г * Г dg<», Uf fr(у) [(*-»>"*Ч (6.4)
Далее,
oo oo
Га-уг1/2а=з Г *-1/2^
J (X + H)2X+2 J (t + v + ц)2т+2
0
oo
Л f.
v)2t + 3/2 J (
(^ + v)2t+3/2J (l + s)2t+2
Отсюда в силу известных формул для интегралов Эйлера
получим
ОО
С (Х-у)-1'* ,} = Г (2т+ 3/2) Г (1/2)
J(X + li)2X+2 r(2T + 2)(v + u)2x+3/2'
V
что вместе с формулой (6.4) доказывает формулу (6.3).

144 ГЛ. IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
%
Обозначим -ф (А,) = J (A, — v)1/2 do(v). Тогда
о
dty (X) = 1 f (X - v)"1/2 do (v) d%.
0
Поэтому формулу (6.3) можно записать в виде
оо оо
С da (Я.) _ 2Г(2т + 2) Г <Ц> (X) ,f, ^
J а + м)2х+з/2 Г(2т + 3/2)Г(1/2) J^+|1)2x+2- * ">
— оо О
Из асимптотической формулы (5.24) и из (6.2) в
силу (6.5) следует (при и.-^°°)
оо
„ (4т+ 1)!! 2Г(2т + 2) С ^ Щ
^ ~ 22т+2 (2т + !), Г (2т + 3/2) Г (1/2) J a + ^2x4-2-
Подставляя сюда значения эйлеровых функций Г(р),
получаем
оо
±f_j£W (6.6)
О
По определению Sx = 2 (^n + f1) 2Т 2- Полагая JV (^) =
п=1
= 2 1» ^х можно записать в виде
оо
о = С dN (X)
1 j(^ + H)2X+2'
Поэтому из (6.6) окончатгельно получим формулу
оо оо
Г dN(X) 1 Г ^Щ f67)
J (X + [i)2X+2 ~ я J (я, + ^)2T+2' l * У
В силу условия (6.1) к асимптотической формуле
(6.7) применима тауберова теорема М. В. Келдыша, на
основании которой из (6.7) следует асимптотическая фор-

§ 6. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 145
мула (^->оо): N (К) ~ — г|> (А,), или в развернутом виде
ЛГ(Я,)~1 J {X-q(x)f2dz, (6.8)
и теорема доказана.
2. В настоящем пункте получим формулу, из которой,
с одной стороны, в частном случае будет следовать
'формула (6.8), с другой стороны, используя эту формулу в
следующем параграфе, мы докажем теоремы о
сходимости и суммировании разложений и
дифференцированных разложений по собственным функциям оператора,
Штурма — Лиувилля функций, растущих на
бесконечности как многочлен.
Теорема 6.2. Пусть т и р — натуральные числа.
Предположим, что имеет место условие
4°° для \х-1\ >1
qx+1 (l) qv (x) exp {- ± \х - g | Vq{x)\ < Я,
и пусть остальные условия теоремы 5.1 выполняются в
том же виде. Тогда наряду с асимптотической формулой
(5.19) справедлива и асимптотическая формула
т+р
\х(р)
dx+v II
Доказательство. Докажем формулу (6.9) для
случая т = 0, р = \. Доказательство в общем случае
вполне аналогично, однако связано с несколько более
громоздкими вычислениями.
Из уравнения (5.3) получаем (умножая на q(x))
q(x)Gl =
оо
= </(«)^— J" q{?)g'Ax> S;^)[?(S) —д(ж)]С(6, л; \i)dl~-
— оо
оо
- j q (x) g (x, l; ц) g(l)~£lx) q (I) Gl (|, Л; ц) сЦ. (6.10)
— С»
Ю Б. М. Левитан, И. С. Саргсяи

146 ГЛ. IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Положим
оо
а(х, ц; ц)= J q(x)gl(x, £; ji) [g(ж) — 9 (£)] G (g, tj; (i)d£.
—oo
Тогда, как и при доказательстве леммы 1.1, можно
показать, что Иа(#, tj; и.)Нх = o(WG(x, т|; |л)И^). Далее, из
той же леммы и уравнения (1.3) следует, что
WG(x, ц; \x)Wx = 0(\\g(x, п; п.)Их). Поэтому На (ж, п; (х)Нх =
= o(llg(;£, п; п.)И*). Непосредственным вычислением
нетрудно установить оценку
Ufa Л; V)\\x = 0(\q(x)gl(x, т); u,)||z),
что с предыдущей оценкой приводит к оценке
!«(*> л; rt Ik = о (II ?(*)«£(*, л; h.)IU).
Из этой оценки и уравнения (6.10) аналогично выводу
равенства (5.18') следует
|| q (х) Gl (х, п; (х) \\х = I q (х) gl (x, rj; и) \\х (1 + о (1)),
что и доказывает формулу (6.9) при т = 0, р = 1, так
как
||gp(^)G^(^, rj; ц)1х =||С^(яг, т); [х)|х(Р).
Теорема 6.3. Пусть q(x) удовлетворяет условиям
теоремы 6.2. Введем монотонную функцию а(Х) =
= mes{q(x)<%} и положим
а,
b(V=±\(b-vf2v™de(v), (6.11)
о
и пусть i|)p(A,) удовлетворяет неравенствам (6.1).
Тогда при К ->- оо
2«(»р)~| J g2p(x){X-?(^)}1/2^, (6.12)
где
оо
а(р)= j ^Р(ж)ф2(а;)^, (6.13)

§ 6. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 147
(i фп(^)—собственная функция, соответствующая
собственному значению Хп.
Доказательство. Заменяя в равенстве (5.20)
число т числом т + р, получаем
оо
Г OL!l G (х, ti; и)! dti = (т + р)! У Ф" {*\ ._,_ .
Теперь, если умножим обе части этого равенства на
qzp(x) и проинтегрируем по х в пределах от — °° до +«>,
а затем используем асимптотическую формулу (6.9) и
равенство (6.13), то получим, что при ц, -»- оо
~ я(р)
«т + р)\г 2
я=1(^+и)а(т+,,)+»
b2HHI^(w)
drj? dx.
Отсюда в силу (5.23) (полагая там х + р вместо т)
получаем
оо
„ (ii + ip+W Г 2!^i£) ^ (6 14)
22(х+р)+2(2т + 2р+1)! J (g (х) + ^2(т+р)+3/2 '
— ОО
Поступая так же, как и при получении равенства
(6.8) из (5.24), в рассматриваемом случае из (6.14)
приходим к равенству (при \х -*• оо)
ОО ОО
J (Х + ^а(т+р)+я я J № + n)2<t+p)+2' ^ '
— оо —оо
гДе ХрМ^ 2 ЯпР\ а функция i|)P(A,) определяется фор-
мулой (6.11). Тогда асимптотическая формула (6.12)
следует из (6.15) в силу теоремы М. В. Келдыша.
Теорема доказана.
Формула (6.8) является, очевидно, частным случаем
формулы (6.12) (соответствует случаю р = 0).
10*

148
ГЛ. IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
3. Случай полупрямой. Аналогичные
результаты могут быть получены в случае полупрямой [0, оо).
Пусть функция q(x) определена на полупрямой [0, °°)
и удовлетворяет условиям (1.5), (1.6) и условию 2°
леммы 5.1. Рассмотрим оператор
1{У)=-У" +<1{х)У, х>0, (6.16)
y'(0)-hy(0) = 0. (6.17)
Здесь h — произвольное постоянное число.
Вначале выясним, как выглядит для этого случая
аналог функции g(x, r\; \х). Пусть к2 = q(x)+ \i (\х>0) и
Х(х) = ch кх + h%~i sh x.
Рассмотрим функцию
go(x, Ц', (х)
{к + НГ1Х(ц)е-
{к + к)-1Х(х)е
—XT]
Г|> X.
(6.18)
Нетрудно проверить, что функция go(x, и; \х) удов-
ь\
летворяет уравнению ^ = {q(x) + ц} g0 и условиям
дц
(К
кдц
л=о
= 0,
дц
П=х+0
дц
-1.
ц=х—о
С помощью функции g0(x, и; \х) можно составить
интегральное уравнение, аналогичное уравнению (1.3),
и доказать затем существование функции Грина
G0(x, л; \х) для оператора (6.16), (6.17).
Чтобы в этом окончательно убедиться, нужно
посмотреть, как оценивается функция gQ(x% л; \х). Из
(6.18) следует
go (*, л; м<) =
^(1 + 4г) **-*»{! +О
2к \ к
е(х-у\)*[\ + оЦ.
н>х,
откуда легко следует, что при и, -> °°
^о(^ Л; ц) = ^-еНх-л1«{1 + о(1)} = g(*, н; [л){1 + о(1)}.
Это представление дает возможность распространить
полученные ранее результаты на случай полупрямой.
Заметим только, что в случае полупрямой в формулах (6.8)
и (6.12) коэффициент перед интегралом 1/я следует
заменить на 1/(2л).

§ 7. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРИ НЕОГРАНИЧЕННОМ ПОТЕНЦИАЛЕ 149
§ 7. Разложение по собственным функциям
при{ неограниченно растущем потенциале
Рассмотрим задачу на полупрямой [0, оо)
y"+{%-q(x)hj = 0, (7.1)
z/(0)cosa+z/'(0)sina = 0. (7.2)
Пусть q(x) удовлетворяет условиям теоремы 6.2 и,
кроме того, для больших х удовлетворяет неравенству
q(x)>ax\ (7.3)
где а и б — некоторые положительные константы.
Известно, что если выполняется условие (7.3)
(точнее, если q(x)-++oc при х-++\<х>), то собственные
функции Ц)п(х) задачи (7.1), (7.2) быстро убывают. Так,
например, если q(x) растет на бесконечности со скоростью
многочлена, то собственные функции фп(^) убывают
быстрее, чем е~с1х], где с > 0 — любая константа. Поэтому
при любом 5 > 0 существуют интегралы
оо
а{п) = J q (х) фп (х) dx < + оо, (7.4)
о
и для построения ряда Фурье нет нужды от разлагаемой
функции требовать интегрируемости квадрата.
В настоящем параграфе, используя асимптотическую
формулу (6.14), мы докажем некоторые теоремы о
сходимости и суммировании разложений и
дифференцированных разложений по собственным функциям задачи
(7.1), (7.2) функций, растущих при х ->- оо как
многочлен.
Предварительно докажем несколько лемм.
Лемма 7.1. Пусть д(х) удовлетворяет условиям
теоремы 6.2 и условию (7.3). Тогда при \х -> оо
2 a(„s) = 0(ц«+1+2/в), & = К. (7.5)
Доказательство. В силу условия (7.3) имеем
о (I) == mes {q (х){< К} ^ mes {ах6 < %} = (К/а)1/б = CV/6.
Положим as (к) = \ vsdo(v), где .9 — некоторое фиксиро-
0
ванное число. Тогда, используя обозначения § 6, формулу

150 ГЛ. IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
(6.15) (заменяя там т + р + 1 на р, а 2р на s) можно
записать в виде (в случае полупрямой)
оо оо оо
J (^ + W2P ^ J (^ + fA)2P-l/2 J (^ + [1}2Р + 1/2 ' К ' )
о о о
Из оценок (7.6) для ол(к) получим оценку as(X)< CV+1/e,
в силу чего из (7.7) следует неравенство
оо оо
J (X 4- и)» J
Xs+1/6dX
U + H)2P J (Jt+|i)ap+1/a
•J-
ts+1dt
^p-s-l/o-i/2 J (1 + 4)2P+l/2 ^2
A2p-e-l/6-l/2 J a _|_ ^2P+l/2 IL2P-S-l/6-l/2 '
и, значит, подавно
(ц+1)2
dxs (%)
i
2Ч«« <CLt4p-2S-2/6-l. 7.8)
м-2
С другой стороны,
(й+1)2
J
и2
'^ >-4r{xs[(^ + l)2]-Xs(^)}. (7-9)
(Х + ц2)2р ц*»
Из оценок (7.8) и (7.9) следует оценка (iin — УК):
X. [(И + I)2] - Is (И2) = 2 а^ < Cii«+»/e+i,
М,<|%<М,+1
что и требовалось доказать.
Пусть функция f(x) суммируема в каждом конечном
интервале и пусть существует такое положительное
число 5, что
оо
§f(r)q~s{x)dx<oo. (7.10)
о
оо
Положим S (х, \i) = 2 спфп (я), сп = J / (я) фп (х) dx.
йп<м. 0
Лемма 7.2. ^слгг функция f(x) удовлетворяет
условию (7.10), а функция q(x)— условиям леммы 7.1, то

§ 7. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРИ НЕОГРАНИЧЕННОМ ПОТЕНЦИАЛЕ 151
при \х -*• оо справедлива оценка
|Ы + 1
V {S (я, и.)} = О ((л«+1/а+1/в). (7.11)
Лемма 7.3. Пусть выполнены условия леммы 7.2 и,
кроме того, функция q(x) в каждом конечном интервале
имеет суммируемую k-ю производную. Тогда при \i ->- оо
справедливы оценки
1^ | dhS fo И) | = 0(^+^+1/2+1/6), & = 1, 2, . .
(7.12)
Пользуясь оценками (7.11) и (7.12), можно доказать
следующие теоремы (см. гл. VII и VIII монографии
Б. М. Левитана, И. С. Саргсяна [1]):
Теорема 7.1. Пусть функция q(x) удовлетворяет
условиям теоремы 6.2 и условию (7.3), а функция f(x)
суммируема в каждом конечном интервале и
удовлетворяет условию (7.10). Тогда в каждой точке
непрерывности f(x) для %>s + 1/2 + 1/6 имеет место равенство
/ 2 \ X
lim 2 1 £■) Спфп(я) = /(ж),
^°°цп<ц \ М- /
оо
°п = J / (x) фп (%) dx,
о
т. е. средние по Риссу (порядка >s + l/2 + l/6)
разложения функции f(x) no собственным функциям
оператора Штурма — Лиуеилля в каждой точке непрерывности
функции f(x) стремятся к f(x).
Теорема 7.2. Пусть f(x) и q(x) удовлетворяют
всем условиям теоремы 7.1 и, кроме того, q(x) имеет
суммируемую в каждом конечном интервале (к — 1)-ю
производную, a f(x)—суммируемую к-ю производную.
Тогда в каждой точке непрерывности функции fh) (x) для
т > s + k + 1/2 + 1/6 имеет место равенство
lim 2 U-^)Xcntfh4*) = flk4*),
т. е. средние по Риссу порядка >s + к + 1/2 + 1/6
производной к-го порядка разложения функции f(x) no
собственным функциям оператора Штурма — Лиуеилля в
каждой точке непрерывности функции fh) (x) стремятся
к значению fh) (x).

152
ГЛ. IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Теорема 7.3. Пусть функция q(x) удовлетворяет
условиям теоремы 7.1 и пусть на интервале (О, «>)
существуют операторы g°j = j{x), &} = Г'(х)-д(х)}(х),
«S72/, ..., 2?к], которые удовлетворяют следующим
условиям:
1° {S*/ (х)}х=0 cos а + {&Ч (х)}'х=0 sin а = 0;
2° S,if(x) = o\exTf
J Vq (s) ds
Lo
3° {2{f(x)}' = ofexp
/g(*)<fe
тг/?и а: —>- oo;
при x -> oo
(в условиях Г—3° всюду i = 1, 2, ..., A: — 1);
4° существует такое положительное число s, что
{#V(*)}a?~e(*)<te<°°.
Тогда, если к >
2 ^ 26 ^ 4
? го равномерно в
каждом конечном интервале имеет место равенство
сю
f(x)= 2 Спфп(*).
п=1
Теорема 7.4. Пусть выполнены все условия
теоремы 7.3 а, кроме того, функции q(x) и f(x) имеют
суммируемую в каждом конечном интервале пг-ю
производную. Тогда, еслик^>\
, то в каждой
_ 2 ^ 26 ^ 4 ^ 2 '
точке непрерывности функции /(w) (x) имеет место
равенство /("О (х) = 2 ^пфгГ И
Указания к литературе
Впервые асимптотическое поведение N(X) получено де Ветом
и Мандлем [1], которые использовали вариационные теоремы
Куранта. Титчмарш [2] к этой задаче применил метод Карлемана и
получил асимптотическую формулу для N(k) при менее
ограничительных условиях на потенциальную функцию q(x) (в указанной
работе рассмотрен случай двух переменных, однако метод этой
работы применим также и в случае одной переменной).
Полный ряд для функции Грина использован Б. М. Левитаном
[21]. Применение оценок взвешенного следа функции Грина к
вопросам разложения по собственным функциям при
неограниченно растущем потенциале принадлежит Б. М. Левитану (см.
также Б. М. Левитан, И. С. Саргсян [2]).

Глава V
УТОЧНЕНИЕ АСИМПТОТИКИ
СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И ФОРМУЛЫ СЛЕДОВ
§ 1. Асимптотические формулы
для специальных решений
1. Рассмотрим уравнение
~~У" +q(x)y=hy, -oo<£<oo, (1.1)
в котором q(x) бесконечно дифференцируемая функция.
Будем искать решение уравнения (1.1) в виде
( х }
у(х,Х) = ехр \l\xx + \ o(t, \i)dt\, \i = ]/Х (1.2)
Подставляя выражение (1.2) в уравнение (1.1),
получим для функции о(#, и.) дифференциальное
уравнение первого порядка:
o' + 2iiw + o2-q{x) = 0. (1.3)
Пусть *)
оо
2 а, (х)
Подставляя разложение (1.4) в уравнение (1.3) и
сравнивая затем коэффициенты при одинаковых степе-
*) Чтобы показать, что разложение (1.4) действительно
является асимптотическим при \\i\ ->■ оо5 следует изучить в этом
разложении остаточный член. По поводу этого вопроса отсылаем
читателя к монографии В. А. Марченко [1, гл. I, § 4]. Заметим, что
число точных членов в разложении (1.4) зависит от порядка
гладкости потенциала д(х).

154 ГЛ. V. УТОЧНЕНИЕ АСИМПТОТИКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
нях (2i\x), получим для определения функций Gk(x)
следующие рекуррентные соотношения:
Gi(x)=q(x), G2{x) = -q'(x),
От (х) =
тп—2
= — (4-i (х) — 2 Om-j-i (x) Gj (х), m = 3, 4, ... (1.5)
j=l
Из этих формул, в частности, следует
<Тз (я) = 3" (*) - Чг (я), ст4 (ж) = -д777 (ж) + 4д (ж) д7 (ж),
(1.6)
G5{x)=q(lY)(x)-5q'2(x)-6q(x)q" (x)+2q3(x) и т. д.
Из формул (1.5) и (1.6) видно, что если q{x) —
действительная функция, то все коэффициенты Gk(x) также
действительны. Если q(x)—периодическая
(почти-периодическая) функция, то коэффициенты Gk{x) также
периодические (почти-периодические).
При К Ф 0 формула (1.2) дает два линейно
независимых решения:
ух(х, X) = ехр|ф,ж+ §o(t, \i)dt\, (1.7)
у2(х, X) = ехр|— щх + J G(t, \i)dt\. (1.77)
I о J
Значение корня УК выбирается следующим образом:
если К < 0, то УК = \х = it, т > 0. Для других К значение
корня определяется аналитическим продолжением.
2. В случае гладкого периодического потенциала q(x)
формулы (1.4), (1.5) могут быть обоснованы независимо
от предыдущего. При этом будет показано, что решения
(1.7), (1.77) совпадают с решениями Флоке (см. гл. II,
§6). Рассмотрим более общий случай конечнозонных и
бесконечнозонных потенциалов, необязательно
периодических.
Сперва предположим, что g(x) есть конечнозонный
потенциал. Как известно, конечнозонный (N-зонный) по-

§ 1. АСИМПТОТИКА СПЕЦИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 155
тенциал определяется границами зон спектра*)
Ао < Ai < JlXi < %z ^ М'г ^ • • • ^ Aw < [In,
iV числами vk^[Xk, |xj, & = 1, 2, ..., iV, и iV знаками
ga = ±. Для N-зонного потенциала функции Вейля —
Титчмарша записываются в виде (см. Б. М. Левитан [9],
гл. VIII)
щт,Ц1 + 1Щ (18,
где
R (X) = (I - Ь0) 1J (Я - Л*) (X - |ik), Р (Ц = П (* - v.),
fc = l /1=1
Решения Вейля имеют вид
г^К Л) = 9(ж, Х)+т?г1(Х)фК Я), (1.9)
Ь(х, Я) = 8(ж, Л)+тгг2(Я)ф(ж, X), (1.9')
причем для X из верхней полуплоскости tyi(x, %) ^
е2"(0, ос), г|)2(^ я)^5?2(-ос, 0), а в (ж, X) и <p(s, X),
как и прежде, являются решениями уравнения (1.1),
удовлетворяющими начальным условиям
Ф(0, Я) = 67(0, Я) = 0, <р'(0, Л) = 6(0, Х)=1.
Положим
я|)1 (я, Я) = ехр | щх + ) gx (t, \i) dn, pi = ]/\
Для функции Gi(£, |x) имеет место уравнение (1.3) и,
кроме того, она удовлетворяет начальному условию
щ + о± (0, [i) = г|)1 (0, X) = тг^ (X) = т1 (fx2).
В силу (1.8) niidx2) при достаточно больших ||х|
разлагается в бесконечный ряд по степеням \х~\ Поэтому
это же справедливо и в отношении функции Gi(0, \х).
*) Потенциал q(x) называется конечнозонным, если
существует такое конечное число N, что \ij = Xj для всех / > N.

156 ГЛ. V. УТОЧНЕНИЕ АСИМПТОТИКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Заменим теперь в уравнении (1.1) q(x) на q(x+T),
где т ^ R1 — параметр. Тогда функция Вейля — Титчмар-
ша преобразуется, однако останется вида (1.8) (числа
vk заменятся на vft(x), см. Б. М. Левитан [9], гл. VIII,
§ 2). Покажем, что функция о{(х, \х) заменится на
Oi(x + r, \x). В самом деле, обозначим через tyi(x, т; jlx)
решения Вейля (Флоке) для уравнения
-y" + q(x+T)y = Xy, (1.10)
и пусть
щх + \ ог (t, т; u.) dt\, \i = V^X. (1.11)
о J
Функция Вейля — Титчмарша т^{%\ X) для
уравнения (1.10) по-прежнему разлагается в бесконечный ряд
по степеням и.-1. Поэтому, как и прежде, для функции
Oi(£, т; ji) также имеет место бесконечное разложение
вида
°°
2 а, (х, т)
^W"' (1Л2)
причем коэффициенты ок(х, т) определяются из
рекуррентных соотношений (1.5), в которых q(x) заменена на
q (х + т). Поэтому
ok(x, т) = ок(х + т), Gi(x, т; \i) = Gi(x + r1 ji). (1.13)
Из (1.12) и (1.13) при т = 0 следует
•■('■rt-^l^ {Ш)
причем коэффициенты ok(x) ряда (1.14) определяются
по формулам (1.5) и для достаточно больших \\х\ ряд
сходится.
Из (1.2), (1.4), (1.11) и (1.14) следует, что
4>i(s, Ь)=УЛх, М- (1.15)
Аналогично доказывается, что
ф2(я, Ь) = Уг{ъ М- (1.15х)
Если потенциал q(x)—бесконечно зонный (с
единственной предельной точкой лакун на бесконечности,

§ 2. ФОРМУЛЫ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 157
см. Б. М. Левитан [9], гл. IX), в частности периодический,
то для недействительных jj, функция Вейля — Титчмар-
ша может быть представлена асимптотической формулой
с конечным числом точных членов. Поэтому функция
о(х, [i) также допускает такое представление.
§ 2. Асимптотические формулы
для* собственных значений
1. Рассмотрим задачу
-у" +q(x)y=Xy, 0<*<я, (2.1)
y'(0)-hy(0) = 0, у'(л)+Ну(л)=0, /г¥=оо? ИФ<*>. (2.2)
В этом параграфе действительность потенциала q{x),
а также чисел h и Н можно не предполагать.
Обозначим собственные значения задачи (2.1), (2.2)
через Хо < Xt < Х2 < . -. < кп < ... Известно несколько
методов вывода асимптотических формул для собственных
значений задачи (2.1), (2.2) (в случае достаточной
гладкости потенциала q(x)). Все эти методы, так или иначе;
основываются на асимптотических формулах для
фундаментальной системы решений уравнения (2.1). Мы
используем асимптотическую формулу (1.4).
Чтобы несколько упростить вычисления, ограничимся
вначале случаем h = II = 0. Затем будут рассмотрены
некоторые другие случаи.
Пусть у{(х, \х) и у2(х, \i) имеют значения (1.7) и
(1.7'). Тогда функция
z (х, (х) = уг (х, (х) У2 (0, (х) — Уh (x, I1) Уг (°, V),
очевидно, удовлетворяет граничному условию z'(0, jlx) = 0.
Поэтому собственные значения задачи (2.1), (2.2) (при
h = Н = 0) суть корни уравнения
У\ (я, (а) У2 (°> Iх) — У2 (я, (х) Уг (°. I1) = °»
или с учетом (1.7) и (1.7') (в результате несложных
вычислений) имеем
ехр \2i\in + J [o(t, u.) — c{t, — u.)] dt\ = x(|x), (2.3)
где
T (\\\ = [— Ф + g (лт — и)1 [ф + о (0, [x)1 /o /\
w [ф, + а (я, pi)] [- ф + a (0, - pi)]" V*-*;

158 ГЛ. V. УТОЧНЕНИЕ АСИМПТОТИКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Функция т(|х) допускает асимптотическое разложение
оо
'<">-« +2 i£r <2'5)
где rk — постоянные числа.
Из (2.3) и (2.5) (с учетом (1.4)) получаем
уравнение
A (2^)2;+1 • . ,
= In т (iik) = 2nik + 2 т^тт- (2-6)
Здесь a2j+1 = J a2j+i (я) cfo:, a bj — постоянные, \xh = УХк *).
о
Далее, так как т(—\х)= 1/т(|х), то если \xh есть корень
уравнения (2.3), то — \xh также является корнем этого
уравнения. Отсюда следует, что в правой части
равенства (2.6) \хк содержится только в нечетных степенях.
В самом деле, заменяя в уравнении (2.6) \хк на — \хк,
а к на —/с, получим уравнение
_2я^ + 2*2-^ = -2яЛ+ 1-^h- (2-6')
Складывая теперь равенства (2.6) и (2.6'), получим
откуда, так как |ift -> °°, следует, что b2j = 0, / = 0, 1, 2, ...
Следовательно, равенство (2.6) можно записать в виде
„ 1 у Si+i _, 1 у(-1)Чч! ,?~
Так как м*"*00» то из (2.7) следует |ift = к + 0(1/к).
Подставляя это в (2.7), получим
[1к = к+ (ai-bl)/k +О (1/к2).
*) То, что при больших к главный член асимптотики \ik есть
к, следует, например, из асилштотической формулы для решения
уравнения (2.1), удовлетворяющего начальному условию у' (0) = О
(см. гл. I, § 2).

§ 2. ФОРМУЛЫ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 159
Снова подставляя в (2.7) и повторяя этот процесс для
\xk, получим асимптотическое разложение вида
оо
причем числа c2j+i не зависят от & и в конечном счете
выражаются через числа a2j+i» ok(0) и ak(n).
Замечание. В случае периодического потенциала
q(x) а (я, |х) = а(0, \х). Поэтому из (2.4) следует, что
т(\х)=1. Отсюда вытекает, что в случае периодического
потенциала q(x) и h = Я = 0 числа c2j+1 зависят только
от чисел a2j+i (являются полиномами от этих чисел).
2. Рассмотрим теперь случай краевых условий г/(0) =
= г/(я) = 0. В этом случае уравнение для собственных
значений vk имеет вид
01 (я, v)-i/a(n, v) = 0
или, если подставить сюда формулы (1.7) и (1.7'),
exp \2nivk + \ [o(t, vk) — G(t, — vh)]dt\ = 1.
Рассуждая, как прежде, отсюда получим асимптотическое
разложение
ОО
v* - * + 2 $& (2-9)
причем коэффициенты c2j+1 разложения (2.9) суть
полиномы относительно чисел
я
a2j+i = J ^2j+i (ж) dfe. (2.10)
о
Пусть теперь q(x) — гладкая периодическая функция
и vh(t)— собственные значения задачи (£<= Д1)
-y"+q(x+t)y = Xy, г/(0)=г/(я) = 0.
В случае гладкой периодической q(x)
я я
J a2j+i {x + t)dx = J o2J+1 (x) dx = a2j+1.
о о
Поэтому в асимптотической формуле (2.9) для vk(t)
правая часть от t не зависит. Используя это, получим асимп-

160 ГЛ. V. УТОЧНЕНИЕ АСИМПТОТИКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
тотическое разложение для собственных значений
периодической и антипериодической задач.
Обозначим через Х0, Х2, М-2, •. • собственные значения
периодической задачи, а через Хи jlx±, X3, н.3, • •.—
собственные значения антипериодической задачи. В силу
теоремы 4.4 гл. I, если t пробегает интервал (0, я), то
vk(t) полностью заметает к-ю лакуну (Xh, \xh). Поэтому
справедливы асимптотические формулы
оо
ОО
Kk-ъ (X2ft-i = 2 (2Л—l)^+lf (2Л2)
причем коэффициенты c2j+1 в разложениях (2.11) и (2.12)
те же, что и в разложении (2.9). Поэтому в случае
бесконечно дифференцируемого периодического потенциала
q(x) для любого натурального к сходится ряд
оо
Sh(t) = <+ 2№n + n£-2v£(*)l (2.13)
Сумма Sh(t) ряда (2.13) называется регуляризованной
оо
суммой ряда Я0 + 2 (^п + Ип) или регуляризованным
77 = 1
следом оператора (?*, где Q = —d2/dz2 + q(x) (при
периодических краевых условиях).
Очевидно, что Sh(t) при каждом фиксированном t
есть функционал от q(t) и производных от #(£)• В
следующем параграфе указан метод вычисления
функций Sk(t).
§ 3. Вычисление сумм Sk(t)
Цель настоящего параграфа — дать явные выражения
для сумм Sh(t), по крайней мере при малых к.
Из формул (1.8), (1.8'), (1.9), (1.9'), (1.7), (1.7') и
(1.5) следует (в случае конечнозонного потенциала q(x))
21 PUT = ^°' Я)-^(°' К) = 2^ + о(0, ц)-
оо
- <х (0, - [л) = 2*ц - 4*|i 2 (- W "I'J , I* = /*•

§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ S h(t)
161
Разделив обе части этого равенства на 2i\i, разложив
R(k) и Р(Х) на множители, получим тождество
V?)
N
п
t
->x-*)i
оо
1/2
— 1V
°Ч+1 (°)
;=о
(2ц)
2J + 2
(3.1)
Теперь, логарифмируя тождество (3.1) и разлагая
логарифмы в ряды, получим
_J_yj_KV_j_y|j_
2„fi»Uv 2,&n
>•**'-
2 f У (- ivg^+i(0)Y _ _L f v / iv g^+i (°)N
Сравнивая в последнем тождестве коэффициенты прн
[х-2, |i~4, иг6, ... и принимая во внимание равенства (1.6),
получим тождества
N
К+ 2(^ + ^-2^) = д(0),
N
К + 2(М + и! - 2v?) = - -i-ff'(O) + <z2(0),
>5 + 2 W + 1*5 - 2vJ) = 4 <z(IV) (0) - i| д'2 (0) -
3 ,™,„ 15 ,.- <3-2>
J=l
-■f'7(0)r/(0) + -|-{?3(0)+-f ?2(0) и т. д.
Если q(x) заменить на q(x + t), t^R\ то в
последних формулах vk следует заменить па vh(t), a q(0) — на
11 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян

162 ГЛ. V. УТОЧНЕНИЕ АСИМПТОТИКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
q(t). В результате получим
N
3 = 1
N
В случае бесконечнозонного бесконечно
дифференцируемого потенциала q(x) формулы (3.3) с N = <*>
остаются в силе. Проще всего это можно обосновать,
аппроксимируя бесконечнозонный потенциал конечнозонными
(см. Б. М. Левитан [9], гл. IX).
Замечание. В случае потенциалов ограниченной
гладкости формулы (3.2) справедливы до тех пор, пока
имеют смысл правые части этих формул.
§ 4. Другая регуляризация следов.
Вспомогательные! леммы
1. В настоящем и следующем параграфах предлагается
другая регуляризация следов и другой метод их
вычисления. Этот метод наиболее просто реализуется в случае
периодической задачи. Метод основан на двух леммах,
доказательству которых посвящен настоящий параграф.
Лемма 4.1. Пусть числа А,п, га = 1, 2, ...,
подчиняются асимптотике
+ 0(-Jtt), P>0, (4.1)
причем коэффициенты си с3, ... от п не зависят. Тогда
функция
ОО
/(*) = 2 (cosVXt — cos nt) (4.2)
на интервале [0, я] имеет непрерывные производные до
порядка 2р включительно*).
*) Под производной в точке t = 0 (я) понимается предел
производной справа (слева).
■2v}(t)]=q(t),
(3.3)
- 2vJ (*)] = -4-9" (0+ ?'(') и т. д.

§ 4. ДРУГАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ СЛЕДОВ 163
Доказательство. Положим
сп с„
П " R "Г я3 + • • • "Г и2р + 1 *
И 7Г
УХ = и + Лг + рп, Рп == О (-^tV
Тогда
cos УЯП^ — cos nt =
= cos (п + Лп) £ cos pnt — sin (га + Ап) t sin pn£ — cos nt =
= cos (га + Лп) £ — cos nt + rn (t), (4.3)
rn (t) = cos (« + Лп) t [cos pn£ — 1] — sin (n + An) t sin pnt.
Очевидно, что rn(t) = 0(l/nZp+2) и сумма ряда R(t) =
oo
= 2 rn(t) имеет непрерывные производные до порядка
n=l
2/? включительно. Из (4.3) следует
оо оо
2 (°os к Яп£ — cos nt) = 2 [°os (п + Лп) £ — cos nt] +
+ R(t) = J(t) + R(t).
Покажем, что функция J(t) на интервале [0, я]
бесконечно дифференцируема. Имеем
оо
J (?) = 2 [cosrc£(cos 4n£ — 1) — sin nt sin Ant] =
n=l
£l £, Akt2k £, £, ^2k + l^+l
=^cosnt 2(- *)ftw"n2sin *'2 (- *)ft (w2fc+i)i e
oo oo
oo oo
- 2 ("^ЖТЖ 2 4nft+1sm/rf = /,(0 + J2(t). (4.4)
Законность изменения порядка суммируемости следует из
оценки
Л„ = 0(1/л). (4.5)
И*

1G4 ГЛ. V. УТОЧНЕНИЕ АСИМПТОТИКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Обозначим через N произвольное натуральное число
и положим
N оо
Ji (о = 2 (- i)ft w 2 л»"cos nt +
fc=l V У* n=l
оо оо
+ 2 (-i)"w2^cos^-/i1)(o + 42)(o-
fe=iV+l V '* n=i
В силу оценки (4.5) существует и непрерывна
производная d2NJ(i\t)/dt2Na Функция J(i\t) является
конечной линейной комбинацией функций вида
t
2k V1 COS nt
S-^nr-. *>L />L
n=i w
которые на интервале [0, я] бесконечно
дифференцируемы, что следует из известного разложения
оо
^ sin nt я — t п . , ^
П=1
Так как Л7" было выбрано произвольно, то бесконечная
диффереыцируемость Ji{t) доказана. Бесконечная диф-
ференцируемость J2{t) доказывается аналогично. В этом
случае следует использовать бесконечную дифференци-
руемость функций вида
оо
t2h+i >y sin и*
1 Л 2j+i •
п=1 п
2. Чтобы несколько упростить дальнейшие
вычисления, будем предполагать, что в асимптотическом
разложении (4.1) р может быть произвольным. Это
соответствует бесконечной дифференцируемости потенциала q(x).
Для произвольного натурального N положим
W = nN + A[V~2 +... + Affi + а™
N — четное, (4.6)
W - п» + A[V2 +...+ A№+1)/tn-* + а™,
N — нечетное. (4.6')

§ 4. ДРУГАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ СЛЕДОВ
В этих равенствах
165
(N)__ |0(/г-2), N — четное,
п [О (га-3), N — нечетное,
оо
так что в любом случае ряд А,0 + 2а>г сходится. Сум-
71=1
му этого ряда в случае четного N, т. е. целого N/2,
принято называть регуляризованной суммой ряда А0 /2 +
оо
П=1
Лемма 4.2. Пусть имеет место асимптотическое
разложение (4.1) с произвольным натуральным р и пусть
функция f(t) определена равенством (4.2). Тогда
Г в случае четного N
/№ ( + 0) = (- 1)W2 j J ctf0 - 4 4$), (4.7)
2° в случае нечетного N
/W ( + 0) = (- 1)М«-|-С№ (4.8)
Доказательство. Чтобы избежать громоздких
вычислений, дадим доказательство леммы для случаев ./V = 4
и /V = 3. В общем случае доказательство аналогично, но
более громоздко.
Пусть сперва N = L Положим УАП = п + рп. Тогда,
в силу (4.6),
An cos ]/An£ — га4 cos га* =
= (га4 + А[А)п2 + 44) + «п}) cos (га + рп) * - га4 cos nt =
= (га4 + 4[4)га2 + 4(24) + о44)) (cos nt cos pn£ — sin nt sin pn£) —
_ (W4 + 44)raa + Af + c44)) cosra* +
+ (44)ra2 + 44) + o44)) cosra* = (ra4 + ^V +
+ 44) + c44))
. j^ZL/2 , j^/4 t O^ l
Ы-ж* + £* + о(£)
31 " '5!
+ (44V + 4(4) + au)) cos^ e
cosra£
sin nt\ +

166 ГЛ. V. УТОЧНЕНИЕ АСИМПТОТИКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
= (4V + Af + с44)) cos rc* + {Bfn2 + 5(24)) i2 cos nt +
+ Cft* cos nt + (Dfnz + /?(a4)n + Dfn-1) t sin rei +
+ {E^n + £(„4)b-i) i3 sin nt + F^iTH* sin nt + ti^\t).
(4.9)
В тождестве (4.9) коэффициенты А, 5, С, Z), Z£, F суть
полиномы от переменных с1? с3, ..., из асимптотического
разложения (4.1), а Фп (О = 0{п~2) при п-^оо.
Обозначим теперь через т] и е два малых
положительных числа ц < е. Через g^z(t) обозначим четную
бесконечно дифференцируемую функцию, равную нулю как
внутри интервала (—т), г\), так и вне интервала (—8, е),
а в остальном произвольную. Обозначим через / целое
положительное число и разложим функцию Pgntt(t) в ряд
Фурье по косинусам и в ряд Фурье по синусам:
е
с
Н ^ cos nt • \ ^^)Е (s) cos rcs с/5,
е
^^Л,е (*) = ^ sin ^ * ] s^r\,B (s) sin 7г^ ds.
n=i ^
Дифференцируя эти равенства первое 2ft раз, второе
(2ft+1) раза и полагая затем £ = 0, получим тождества
П = 1
2 (— l)ft ft2ft J 5^Л|в (5) COS VS ds =
0, если ft >> 0,
8
2" J 5^Л,е (5) ^t если ^ = 0i
(4.10)
2 (— l)fe ^+1 J ^>л,е (*) sin «* ^ = 0e (4.11)
n=i ^
Умножая тождество (4.9) на gn, e(0> интегрируя и
суммируя по п, получим (используя (4.10) и (4.11) и учи-

§ 4. ДРУГАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ СЛЕДОВ 167
тывая (4.2)) тождество
2 (^п COS Y^n t — П* COS fit) g^ e (t) dt =
8 8
= J /(IV) (0 *4le (*)*=- -f J ^ + ^ + tiCi}) X
X gV (0 Л + f ( 2 a(n4) cos nt J ^,е (0 d* +
^ \n=i /
+ J (Dft + 44)^3 + F[*¥) 2 -^ вгл.в (t) dt +
8
+ $tyM(t)g^(t)dt. (4.12)
oo
В последнем интеграле правой части ф(4) (t) = 2 фп4)(0«
Так как g^t(t) в интервале (т), е)—произвольная
функция, то из тождества (4.12) для t<^(r\, г) следует
оо
/dv) (t) = -± (44) + f-B[V + wf) + 2 ^ cos nt +
+ {Dft + E{4)t* + F^tb) -2^=1 + *Ф(4) (*)•
Полагая в этом тождестве t ->• +0, получим
/(1У)(+о)=2^4)-4л-
т. е. формулу (4.7) при iV = 4.
Пусть теперь N = 3. Тогда
Яп/2 sin У%^ — ns sin nt = — (A^n + A^ri'1) sin rc£ +
+ (B[3)n + Bfn-i) t2 sin nt + (C^V + Cf) t cos л* +
+ D[s)t3 cos nt + *q£8)(f), Фп3)(0 = 0(w-2).
Используя тождества (4.10) и (4.11), аналогично преды-

168 ГЛ. V. УТОЧНЕНИЕ АСИМПТОТИКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
дущему получим
оо
t->+on=1 п
"Т 2 '
т. е. формулу (4.8) при N = 3.
3. В случаях периодической и антипериодической
задач асимптотические формулы для собственных значений
выглядят так (см. формулы (2.11), (2.12)):
/V, V^=2rc + ^ + -^+ ..., (4.13)
2» ' (2/г)3
l/Xan-i, /[х^ = (2п - 1) + л-^-, +
сз
2w —1 " (2/г— 1)
Используя известные разложения
хз оо
Ci sin2ra£ я— 2t
+ ..
^J 2/г
n=i
и полагая
оо
(4.14)
2 sin (2/г— 1)* я П<^/<Г я
_ 2/г-! =Т' и<^Т'
/(£) = 2 (C0S V^2n * +COS V^[X2n ^— 2 COS 2?^},
n=i
CO
g(t) = 2 {cos V\jn-i* + cos V\*>2n-it — 2 cos (2/г — 1) t],
11=1
можно получить, аналогично предыдущему, следующие
формулы:
1°. В случае асимптотического разложения (4.13)
/<">( + 0) =
2(-1Н2^-т«
{_ip+1)/2£.Aw.1)/2,
, TV — четное,
TV — нечетное.
(4.15)
2°. В случае асимптотического разложения (4.14)
«*я,( + 0)~
2 (- 1)»Л У а2^ь N - четное,
n-i (4.16)
(_ j)(w+i>/2 * Л^'+п/г, iV - почетное.

§ 5. СЛУЧАЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ 169
Числа А/у/2, A{N\1)/2, сгп определяются так же, как
выше. Отличие первой формулы (4.15) от первой
формулы (4.16) связано с тем обстоятельством, что в разло-
оо
жепии Фурье 2 апcos (2п — 1) tr в отличие от разложе-
71 = 1
оо
ния Фурье 2 flncos2?2£, отсутствует свободный член.
п=О
§ 5. Формула регуляризованных следов
в случае периодической задачи
1. Рассмотрим уравнение
-у"+Я(х)У = Ъу, (5.1)
в котором q(x)^C°° (0, я), q(x + n)=q(x) при
периодических
У(0) = у(п), у'(0) = у'(п) (5.2)
п аптипсрподических
У(0) = -У(п), у'(0) = -у'(п) (5.3)
краевых условиях.
Пусть числа Я0, ЯА, jlx±, Я2, fx2, .. • ^л » & = 1, 2, ...,
iV = l, 2, ..., имеют то же значение, что и в предыдущем
параграфе. Положим в случае четного N
оо
+ 2 {^ + |4/»-2[(2n)w + ilW(2ii)w-»-|-...+^>]},
П = 1
D VI MJV/2 , .N/2
ItN=Jj 1Л2П_1+ \12п-1 —
71=1
- 2 [(2п- 1)" + А™(2п- lf~*+ ...+ А®\]1
Числа SN и RN называются регуляризо ванными следами
периодической, соответственно, антипериодической задач.
Проблема заключается в выражении чисел SNj RN
в виде функционалов от q(x) и ее производных.
Рассмотрим подробно случай антипериодической задачи.
Изменения, которые следует внести в наши рассмотрения в
периодическом случае, будут очевидны.
2. Чтобы использовать лемму 4.2, надо уметь
вычислять производную /(JV)(+0). Имея в виду эту задачу,

170 ГЛ. V. УТОЧНЕНИЕ АСИМПТОТИКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
изучим вспомогательную смешанную задачу
u(x,0) = f(x), ff- |<=o — 0. (5.5)
гг(0, t) = и (я, £), *4(0, 0 = ^х(я, 0- (5.6)
Здесь f(x) — гладкая антипериодическая функция, т. е.
f(x + я) = —/(^).
Обозначим через qVi-i(#), Ф^п-i (#)» и = 1, 2, ..., орто-
нормированные собственные функции антипериодической
задачи (5.1), (5.3), соответствующие собственным
значениям Я2п-1, jw-i.
Решая задачу (5.4) —(5.6) методом Фурье, получим
u(x,t) = 2 \cosVhn-it-q>7n-i(x) \ f(s)q>7n-i(s)ds +
+ cosyV2n-i*^2~n-i(z) J f(s)q>tn-i(s)ds\- (5.7)
о J
С другой стороны, решение этой задачи можно
представить в виде (см. Б. М. Левитан, И. С. Саргсяы [1],
гл. VI)
и (х, t) = -j{f(x+t) + f(x- t)} +
x+t
+ -тг J w(x,t,s)f (s) ds. (5.8)
x-t
В проверке, очевидно, нуждается только условие (5.6).
Так как q(x) есть периодическая функция, то вместе
с и(х, t) функция и(х + л, t) также является решением
уравнения (5.4) и удовлетворяет начальному условию
(5.5). Поэтому
и(х + л, 0) = /(#+ л) = — f(x).
Следовательно, — и(х + л, t) удовлетворяет уравнению
(5.4) и начальным условиям (5.5). Из единственности
решения задачи (5.4), (5.5) следует и(х + я, t) = — u(x, t),
откуда, очевидно, следуют краевые условия (5.6).

§ 5. СЛУЧАЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ 171
Итак, получено два выражения для решения задачи
(5.4) —(5.6), а именно (5.7) и (5.8). Тогда, в силу
единственности решения этой задачи, справедливо тождество
2 UosVX2n_1t'^n_1(x) f {s) (pw-i (s) ds ~\-
71=1 l о
n \
+ cos yV2n-i* • q4n-i (%) J / (s) ytn-i (s) ds\ =
0 J
x + t
= ±{f(x + t) + f(x~t)} + -j j w(x,t,s)f(s)ds. (5.9)
x-t
В силу произвольности функции f(s) из (5.9) следует
тождество
71=1
2 {cos VKn-it • ф2п-1 (я) фап-i (s) +
+ COS Vl*>2n-lt • ф2^-1 (ж) ф2п_1 (5)] =
^_ (б(^ + t - s) + 8(х - t - s)} + i- w(x, t, s),
0^x-t^s<^x + *<я, (5Л°)
[О для прочих s из интервала (0, я),
где б (х)— дельта-функция Дирака.
Покажем, что в рассматриваемом случае
антипериодической задачи тождество (5.10) остается в
существенном в силе, по крайней мере для небольших t,
независимо от условий х — t>0, x + t^n. Этим периодические
(антипериодические) краевые условия существенно
отличаются от других краевых условий.
Пусть, например, х —1<0, x + t^n. Выберем
антипериодическую функцию /(s) следующим образом: на
интервале (х — t, 0) она равна нулю, а на интервале
(0, я — (t — x)) не равна нулю (и произвольна). Для
такой f(s) правая часть тождества (5.9) равна
x+t
1 1 (
-у / (х + t) + -у J w (я, t, s) f (s) ds.
0
Поэтому в тождестве (5.10) правую часть следует заме-

172 ГЛ. V. УТОЧНЕНИЕ АСИМПТОТИКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
нить на
{1 1
О для других 5 е [0, я].
Если х — t>0, а я + £ > я, то правую часть в
тождестве (5.10) следует заменить на
(5.10")
(1 1
-у б (ж — t — 5) + -7Т- w (х, t, s), 0 ^ х — t < s < я,
О для других 5G[0, я].
Если д(^) = 0, то Я2п-1 = [x2n-j_j= 2^г— 1, qVt_i(^) =
= ]/ —sin (2n — 1) ж, фа^-i (х) = у — cos(2rc — 1)ж, и
тождества (5.10) принимают такой вид:
оо
— 2d cos (2w — 1) t [sin (2?г — 1) х sin (2?г — 1) s +
n=l
+ cos (2n — l)s cos (27г — 1) x] =
f-i-[8(* + t-s) + 8(x —t-s)],
\0^.x — t<C.s<.x + t <]я,
i-6(r+ * —*), ^_^<0,
0<5<^ + £<!я,
-^ 8(;r— £ — s),
(5.11)
x + £>я,
0 =
^<^<я.
Вычитая из тождества (5.10) тождество (5.11),
полагая s =■ х и интегрируя по х в пределах 0 ^ х ^ я,
получим тождество
оо
/(*)= 2 {COS}/^.^ + COS j/^n-i* ~
эх
— 2 cos (2/г — 1) *} == -у J и; (ж, *, ж) Же. (5.12)
о
В монографии Б. М. Левитана [9] показано (гл. VIII,
§ 3), что справедливо асимптотическое разложение
w(x,t,x)= 2 Аи-1 (*) *2/l+1,
fc=0
(5.13)

§ 5. СЛУЧАЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ 173
где A2h+i(x) суть полиномы относительно q(x) и ее
производных:
Ai (*) = — y q №f
Аз (х) = — 48 q" № — "16 q2 №<
+ q (x) q" (x) + g3 (x) — g'2 (х)] и т. д.
Из разложения (5.13) видно, что значения при £ = 0
производных функции w(x, t, x) по переменной t четного
порядка равны нулю. Из (5.12) следует для /(/)
[0, N —- четное,
/W(+0) = h f (5.14)
— iv! j %(л;)&, iv — нечетное.
* о
Из равенства (5.14) и тождеств (4.15) и (4.16) следует
Теорема 5.1. Пусть потенциал
q(x)—периодический (с периодом п\ и бесконечно дифференцируем.
Тогда
1° все регуляризованные следы RN
антипериодической задачи равны нулю:
Д* = 0, # = 1,2,..., (5.15)
2° для нечетных N справедливы формулы
я
Л$>+1)/2 = (- 1)<N+1)/2 ^ §А»{х) dx, (5.16)
о
3° для регуляризо ванных следов SN периодической
задачи справедливы тождества (N — четное)
Sjsi = Х0 + 2j {Х2п + \^2п —
- 2 [(2nf + A™ (2n)N-> +...+ А^}} =
= Х^ + ±.А%1 (5.17)
Замечание. С помощью формул (5.16) можно
последовательно вычислять коэффициенты си с3, ...
асимптотического разложения собственных значений.

174 ГЛ. V. УТОЧНЕНИЕ АСИМПТОТИКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
3. С помощью формул (3.2), (5.15) и (5.17) можно
получить формулы для регуляризоваыыых следов задачи
~y" + q(x)y = Xy, y(0) = y(n) = 0 (5.18)
в случае гладкого периодического потенциала q(x).
Обозначим собственные значения задачи (5.18) через
Vu v2, v3, ... Мы уже знаем, что коэффициенты
асимптотических разложений для vtn и Яп, \in одни и те же.
Поэтому
оо
2 S lv?" - [и* + А™п"- + ...+ АШ =
71=1
оо
= 2 2 {v™ - [(2n)N + А[^ (2nf-> +...+ Affi\} +
П=1
оо
+ 2 2 {v^ii- [(2«- lf+AiN\2n-lf->+. .. +Л?2]) =
П=1
oo
= 2 lC/a+ ^;/2- 2 [(2n)'v+ 4N) (2п)^"2 + ... +4$]) +
71=1
oo
+ 2 {^^ + ^1-2[(2n-lf+A[N\2n-l)N-4A^]}-
n=i
oo
- 2 № + tf'• - 2vw«) =
71=1
oo
= *T + 4 4$ - 2 № + ^ - 2v?'«).
71 = 1
§ 6. Формула регуляризованного первого следа
в случае разделенных краевых условий
1. Рассмотрим краевую задачу
у" + q(*)y = by, о<х<п, (6.1)
zy'(0)-%(0) = 0, */'(я)+#*/(я) = 0. (6.2)
Здесь q(x) есть гладкая (непериодическая)
действительная функция, h и Я — действительные числа.
Обозначим через Я0 < Я4 < Я2 < ... < Яп < • •.
собственные значения задачи (6.1), (6.2). В § 2 настоящей главы
было показано, что имеет место асимптотика V kn =

§ 6. СЛУЧАЙ РАЗДЕЛЕННЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ 175
С1 , С3
= п Н Н—| + ... Поэтому можно аналогично преды-
га
дущему определить регуляризацию суммы Х0 + 2 ^™-
71 = 1
Проблема состоит в том, чтобы выразить эти суммы
как функционалы от q{x), производных q(x) и чисел h
и Я. Можно применить и в этом случае метод, развитый
в предыдущем параграфе. Однако учет краевых условий
(6.2) вносит значительные сложности. Существуют
другие методы. В этом параграфе изложим один из них,
ограничившись вычислением первого следа, т. е. суммы
оо
^о+2 (К — п2 — 2сг).
п=1
Пусть q(x)^C2(0, я), а числа А и Я не равны
бесконечности. В § 2 гл. I при сделанных предположениях
была получена следующая асимптотическая формула для
собственных значений:
УК=п+ £ + О(^), (6-.3)
где
e = ±\h + H + ±-§q(x)dx\ (6.4)
Из формулы (6.3) следует, что
Хп = п* + с + ОШ. (6.5)
Поэтому сходится ряд
оо
*о+ 2 (*»- "2-с)< оо. (6.6)
Ряд (6.6) называется регуляризоеанным первым
следом для задачи (6.1), (6.2), и цель настоящего
параграфа — найти его сумму.
2. Обозначим через ц>(х, X) решение уравнения (6.1),
удовлетворяющее начальным условиям ср(0, X) = 1,
фх(0, X) =/г. Тогда собственные значения Хп являются
корнями целой аналитической функции фх(я, X) + Яф(я, X).
Поэтому
Ф^ (я2 X) + Яф (я2 X) = АФ (X), (6.7)

176 ГЛ. V. УТОЧНЕНИЕ АСИМПТОТИКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
где Ф (X) = JJ (1 —— ) и А — некоторая постоянная ве-
личина, которая будет определена позже*).
Мы изучим асимптотическое поведение обеих частей
равенства (6.7) при больших отрицательных Я = — \х.
Сравнивая затем коэффициенты при одинаковых
степенях п. слева и справа, получим, в частности, значение
суммы (6.6).
Положим **)
ф (- ю - II (1 + -f) - (i + -Д-) V, + к) shnX" -
где
2
П = 1 * Я
-^(Xo+rt^di)^ (6.8)
ООо ОО / 2 Л \
Ci-fnf, ♦M-ni-^l (6.9)
Изучим асимптотическое поведение г|)(и,) при больших
положительных и.. С этой целью рассмотрим 1пг|)(п,):
In -ф (р,) = 2 ]п I1
п=1 \
2 1
п=1 ч V+"
оо оо
оооо /2 \ Ъ °° °°
— 224^ --24-2
я==1 V [х + /г /
Дальнейшие оценки основаны на следующей лемме.
Лемма 6.1. £"с^1г \п2 — Кп\ < а, го
2i^f<i^. (6.Ю)
*) Отсутствие экспопспциальпых множителей следует из
теоремы 28 гл. I монографии Б. Я. Л е в и н а [1].
00 / 2 \
**) В силу равенства sin z = z JJ 1 — .
n=i \ n л J

§ 6. СЛУЧАЙ РАЗДЕЛЕННЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ 177
Доказательство. В самом деле,
„ti (И"»*)* ^ „^>+»T^~ J (^ + *2)*
ОС
dt ^ я ah
(1 + t2)h ^ 2 ^ft-1/2'
и лемма доказана.
В силу оценки (6.10) имеем
ОО ОО | 9 I " ~~
о 1 V \п -К\
id & id (u, 2\fe ^ 2 ^ мЛ~1/2 "
fe==2 n=i VM- -t-» ; k=2 r
2 °°
Далее^
2 оо я 2 оо
П ~~~ Лп ^ П П С У^
оо оо °° / 2 \ 2
(6.12)
Так как sup|A,„ — re2 — с|?г2<оо, то из оценки (6.10)
следует
°° / 2 \ 2
Поэтому в силу (6.11), (6.12) и (6.13) получим
оо оо
n=i Р + п г п=1
(6.14)
Как известно,
оо
^l(x + n2 2VJT 2ji 2yjl 2ц+^е >■
1^ Б. М. Левитан, И. С. Саргсяи

178 ГЛ. V. УТОЧНЕНИЕ АСИМПТОТИКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
CJT 1 /
Тогда из (6.14) следует Inг|э(ц) = —р. + — \s% — \ +
+ 4-с) + 0(ц-3/2)г где
2 "j ' -\Р У*
ОО
^=2(^п-п2-с). (6.15)
Следовательно,
* (|1) = ехр fiW + £ h " к + "И+ ° (^3/2))=
= 1 + Щ^ + 7 (* - к + i + ¥) + °^"3/2)- (6Л6)
В силу (6.16) из (6.8) следует
1 п лУ» (-,/—, 1
3. Изучим теперь асимптотическое поведение функции
фх(я, X) + Л"ф(я, Я) при больших отрицательных К = — ri,
пользуясь интегральным уравнением Лиувилля. Чтобы
упростить вычисления, будем предполагать, что h = О,
а функция д(^) такова, что J q(x)dx == 0. Тогда, согласно
о
формуле (2.4) гл. I, имеем
X
ф (я, — ii) = ch }/^;г Н — \ (/ (t) sh ( 1/^(о;— £)]ф(^» — \*)dty
Отсюда, используя оценку (2.7) гл. I, получаем
Ф (*Ч - И) = т е711^ (1 + 0 М}. (6.18)
Далее,
Ф* (я, — V) =
= "Kjx sh ]/"[u: + j q (t) ch { ]/]i (x — *)} ф (*, — l*)dt.

УКАЗАНИЯ К ЛИТЕРАТУРЕ 179
Поэтому
фа (Я, — Ц) =
= _*_ enY» J/- + _J_ [g(0) + g(jt)] + 0(^1)J. (6.19)
В силу (6.18) и (6.19) имеем
Ф* (я, — ц) + Яф (я, — |л) =
в -1. ея/Л | /£ + я + ^i- [g (0) + q (я)] + О (,i-i)}. (6.20)
Из равенств (6.7), (6.17) и (6.20) следует, что ЛС4 = я,
т. е. Л=я/С\. Поэтому из (6.17) и (6.20) получим
н + ^[«(0) + зН] + OGi-1) -
= ¥ + ^(^ + т+4с) + 0*-')-
Сравнивая коэффициенты при 1/V jlx и учитывая (6.4),-
находим?
Указания к литературе
§ 1. Представление решения в виде (1.2) использовалось во
многих работах. Изучение асимптотического разложения (1.4)
проведено В. А. Марченко [1]. Представление решения в виде (1.2)
и асимптотическое разложение (1.4) в случае периодического
потенциала широко используются в исследовании периодической
задачи для уравнения Кортевега — де Фриса (см. В. Е. Захаров,
С. В. Манаков, С. П. Новиков и Л. П. Питаевский [1]).
§ 2. Примененный здесь метод аналогичен методу,
использованному в монографии В. А. Марченко [1].
§ 3. Рассмотренные в этом параграфе формулы следов в
случае периодического потенциала впервые были получены Хохштад-
том [1]; см. также Маккин, Мербек [1]. В непериодическом ко-
нечнозониом случае — Б. А. Дубровиным [1]. Изложенный здесь
метод принадлежит Б. М. Левитану [91.
§ 4—5. Впервые первый след для периодической и
антипериодической задач вычислен в книге Магнуса, Винклера [1].
Использованный нами метод основан на работе Б. М. Левитана [8].
§ 6. Впервые регуляризованпый след для классической задачи
Штурма — Лиувилля вычислили И. М. Гельфапд и Б. М. Левитан
[2]; см. также И. М. Гельфапд [1], Б. М. Левитан [4], Б. М.
Левитан, И. С. Саргсян [1], Л. А. Дикий [1].
12*

Глава VI
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Под обратными задачами спектрального анализа
понимают задачи восстановления линейного оператора по
тем или иным его спектральным характеристикам.
Такими характеристиками могут быть спектры (при
различных краевых условиях), спектральная функция,
данные рассеяния и др.
Первый существенный результат в этом направлении,
который послужил важным толчком в дальнейшем
развитии теории обратных задач, был получен в 1929 г.
В. А. Амбарцумяном [1].
Теорема В. А. Амбарцумяна. Обозначим через
Х0 < Ki < %2 < • • • собственные значения задачи (0 ^ х ^ я)
-y"+q(x)y-%y, у'(0) = у'{п) = 0, (I)
где q(x)—действительная непрерывная функция.
Если Кп = п2, п = 0, 1,2,..., то q (х) = 0.
Первым из математиков, обративших внимание на
важность этой теоремы Амбарцумяна, был шведский
математик Борг. Он же выполнил первое подробное
систематическое исследование одной из важных обратных
задач, а именно обратной задачи для классического
оператора Штурма — Лиувилля вида (I) по спектрам
(Борг [1]). Борг показал, что в общем случае один спектр
оператора Штурма — Лиувилля его не определяет, так
что результат Амбарцумяна является исключением из
общего правила. В той же работе Борг показал, что два
спектра оператора Штурма — Лиувилля (при различных
краевых условиях) однозначно его определяют.
О дальнейшем развитии теории обратных задач см.
«Указания к литературе» в конце главы.

§ 1. СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 181
§ 1. Определение и простейшие свойства
операторов преобразования
Пусть Е — линейное топологическое пространство, А
и В — линейные (не обязательно непрерывные)
операторы из Е в Е. Пусть Ei и Е2 — замкнутые
подпространства в Е.
Определение. Линейный обратимый оператор X,
определенный во всем Е и действующий из Е{ в Е2,
называется оператором преобразования для пары
операторов А и В, если он удовлетворяет следующим двум
условиям:
1°. Оператор X и обратный ему оператор Х~1
непрерывны в Е\
2°. Имеет место операторное тождество
АХ = ХВ или А=-ХВХ-\ (1.1)
Докажем две простые полезные в дальнейшем леммы.
Лемма 1.1. Пусть у^^Е^ есть собственный вектор
оператора В, соответствующий собственному значению %\
т. е. Вц)к = А,фь Тогда г|^ == Хц)к есть собственный вектор
оператора А, соответствующий тому же собственному
значению X, т. е. Atyk = Ад|)я.
Доказательство. В силу первого из
уравнений (1.1)
Atyk = AXq>k = ХВць = X{k<pk} = ХХф^ = Я'фл..
Лемма 1.2. Пусть в пространстве Е заданы три
линейных оператора А, В и С и три замкнутых
подпространства Еи Е2 и Е3. Обозначим через XAiB оператор
преобразования для пары операторов А и В,
действующий из Е2 в Е3, через XBt c обозначим оператор
преобразования для пары В и С, действующий из Е{ в Е2. Тогда
оператор преобразования для пары А и С, действующий
из Е{ в Е3, задается формулой
Ха, с — ХА) вХв, с.
Доказательство. В силу определения
операторов преобразования AXAj в = ХАл ВВ, ВХВ с = Хв, СС. Из
второго уравнения следует В = ХВССХВ]С. Подставляя
ото выражение в первое уравнение, получим
АХА в = ХАВХВССХВ>С или АХАВХВ>С = ХА>ВХВСС.

182
ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Последнее уравнение означает, что оператор XAt вХВу с
есть оператор преобразования для пары А и С. То, что
этот оператор действует из Et в Es, очевидно.
§ 2. Операторы преобразования с краевым условием
в нуле
В этом параграфе пространство Е есть пространство
комплекснозначных функций f(x), (Х#<°°,
непрерывных и имеющих непрерывную первую производную. На
рост функций на бесконечности никаких ограничений не
накладывается. Топология в Е определяется с помощью
равномерной в каждом конечном интервале сходимости
функций и их первых производных.
Пусть А = —d2/dx + q (х), В = —d2/dx2 + г(х), где q (x)
и г(х), О ^ х < °°,— непрерывные комплекснозначные
функции.
В этом параграфе рассмотрим два случая.
Случай 1. Пространство Е — то же, что было
определено выше. Е{ есть подпространство функций f(x)
из Е, удовлетворяющих краевому условию
/'(0) = ^/(0), (2.1)
где hi — произвольное конечное комплексное число. Е2 —
подпространство Е, состоящее из функций f(x),
удовлетворяющих краевому условию
f'(0) = hf(0), (2.1')
где h2 — также произвольное конечное комплексное число.
Теорема 2.1. Оператор преобразования Х = ХАуВ,
отображающий Е{ в Е2, можно реализовать в виде
X
Xf(x) = f(x)+ \к(х, t)f(t)dt. (2.2)
о
Ядро К(х, t) оператора (2.2) является решением
задачи
lCx{x, t) -q(x)K(x, t) = Ки(х, t) -r(t) K(x, *), (2.3)
X
К (x, x) = h2-h1 + j§ [q (s) - r (*)] ds, (2.4)
0
[K't(x,t)-h1K(x, t)]t=0 = 0. (2.5)

§ 2. ОПЕРАТОРЫ С КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ В НУЛЕ 183
Наоборот, если функция К(х, t) есть решение задачи
(2.3), (2.4), (2.5), то оператор X, определенный
формулой (2.2), является оператором преобразования для пары
операторов А и В и действует из Е{ в Е2.
Доказательство. Дифференцируя (2.2), получим
X
(Xf)' = /' (х) + К(х, x)f(x) + j* К'х(х, t)f(t)dt. (2.6)
О
Так как по условию Xf(x)z=Ez, a f(x)s=Eu то полагая
в (2.6) х = 0, находим
(X/)Ur=MX/)*=o =
= h2f (0) = /' (0) + К (0, 0) / (0) = {h, + К (0, 0)} / (0).
Отсюда следует, что
К(0, 0) = /г2-^. (2.7)
Теперь, дифференцируя (2.6) еще раз, получим
(Xf)" = f (х) + **£*L f(x) + K(x, х)Г (х) +
X
+ Кх (х, t) \t=x f (x) + J Кхх (х, t) f (t) dt.
0
Следовательно,
A(Xf)--(Xf)' + q{x)(Xf) =
= -/" (*)-/ (*) -^ К (х, х)-К (x, x) f (x)-K'x (x, t) \t=xf(x) +
X
+ Я (*) / (*) - J [ K*x (*, t) - q (x)'K (x, t)]f(t) dt. (2.8)
0
Преобразуем теперь X(Bf) при помощи интегрирования
по частям. Имеем
X(Bf) = -f(x) + r(x)f(x) +
X
+ $K(x,t)[-f'(t) + r(t)f(t)]dt =
о
= -f{x) + r(x)f(x)-K(x, x)f(x) + K(x, 0)/'(0) +
+ K't (xx t) \t=x f (x) - K't (x, t) |t=0 / (0) -
X
-l[K"„(xlt)-r(t)K(xlt)]f(t)dt. (2.9)
0

184
ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Приравнивая (2.8) и (2.9) и учитывая произвольность
функции f(x), получим
Кх (хх t)-q (х) К (xt t) = К"п (х, t)-r (t) К (х, t),
[^;^,o-^(^oL-=o = o,
2±K(x1x) = q(x)-r(x). (2.10)
Из (2.7) и (2.10) следует (2.4).
Итак, мы показали, что если оператор
преобразования X может быть реализован в виде (2.2), то его ядро
К(х, t) является решением задачи (2.3), (2.4), (2.5).
Наоборот, если К(х, t) является решением этой задачи,
то построенный с его помощью по формуле (2.2)
оператор X является оператором преобразования для пары
операторов А и В и отображает Е{ на Е2. Чтобы
убедиться в этом, достаточно повторить в обратном порядке
приведенные выше вычисления.
Таким образом, для завершения доказательства
теоремы следует показать разрешимость задачи (2.3), (2.4),
(2.5). Прежде всего заметим, что можно ограничиться
рассмотрением случаев г(х)^0, /^ = 0 или А2 = 0. Чтобы
показать это, используем лемму 1.2. В самом деле, пусть
А = -d2/dx2 + q(x), B = -d2/dx\ С = -d2/dx2 + r(x).
Пусть Е^ есть подпространство Е, состоящее из функций
f(x), удовлетворяющих краевому условию /'(0)== Ai/(0),
Е2 — подпространство функций, удовлетворяющих
условию /7(0) = 0 и, наконец, Ег — подпространство функции,
удовлетворяющих условию /' (0) = h2f (0). Пусть
известно, что оператор преобразования ХА>В, отображающий Е2
на Е31 и оператор преобразования Хв> с, отображающий Ех
на Е2, имеют вид
X
XA,Bf (x) = /(*) + j Kx (х, t) f (t) dtx (2.11)
0
X
Xs,cf (x) = / (x) + J K2 (x, t) f (t) dt. (2.12)
0
Тогда, согласно лемме 1.2, XAt c = XAt BXB> c есть
оператор преобразования для пары операторов А, С и
отображает Е{ на Е3. Покажем, что оператор ХА> с также
представляется в виде (2.2). В самом деле, из (2.11) и (2.12)

§ 2. ОПЕРАТОРЫ С КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ В НУЛЕ
следует
XA,cf (х) = ХА,вХв,сКХ)==ХА,В
185
f(x)+ \к2(х, s)j(s)ds
о
f(x) + ^K2{x,s)f(s)ds +
}
+
\Kx{x,t)
f(t) + $K2(t,s)f(s)ds\dt =
=/(«)+ j K2 (x, t) + K1(x, t)+ } Кг (x, s) K2 (s, t) ds \f(t)dt.
о L t J
Итак, пусть А = — d2/dxz + q(x), В = —dz/dx2, ht или
h2 равно нулю. Покажем, что оператор Хл> в
представляется в виде (2.2). Рассмотрим случай 7^ = 0. Случай
hi = 0 аналогичен и даже проще.
В силу того, что было показано выше, надо показать
разрешимость задачи
К"хх (*, t)-q (х) К (я, t) = Ки (х, t), (2.13)
X
K(x,x) = -h1 + ±§q (s) ds, (2.14)
[K't(x,t)-h1K(x,t)]t^ = 0.
(2.15)
Предположим вначале, что q(x) дифференцируема.
Переходя к переменным \ = x + t, п = я — £, мы для
функции N (I, т|) = КI s-i—), —2"-Ч получим задачу
^(?,4) = -^(LT!!p(i^).
(2.16)
N(1,0) = -^ + ^ ]q(s)ds, (2.17)
о
[N't (6, г]) - < (&, г]) - 7hiV (g, г])]|=т1 = 0. (2.18)
Теперь интегрируя (2.16) по ц в пределах от 0 до г],
получим
N'l (S. Л) - ^6 (S, 'I) Uo = ~ Т j"« (ЦИ ^ (5. «) <*«•

186
ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
' I 1
Из условия (2.17) следует, что Л^ (£, л) h=o = 4" 9 (£/2).
Поэтому
ЛГб(5,л) = —|-Jg(4^)iV(5,a)rfa+|-g(|-).(2.19)
О
Далее, интегрируя это уравнение по | в пределах от т]
до |, находим
Т] О
Вычислим ЛГ(г], т)). Из (2.18) и (2.19) следует
2ЛГе (5, г]) |6=ч = [htN (I, т,) + iVg (g, г]) + < (£, Л)]Е=Ч =
О
откуда получаем
[eh*N (л, г,)]' - 1 Л4 Гд (|) - | g (3±^) ЛГ (т,, а) Ах].
Интегрируя это равенство в пределах от 0 до ц и
принимая во внимание (2.17), находим
ЛГ(Л,Л) =
^-V^ + 4 ^M j> j(Z (4)-Я^Ц, a)cfaldp.
о L о J
Итак, функция iV(£, r\) должна удовлетворить
интегральному уравнению
лг(Б,л)-
i л i
i.
4
л о
. j dp J g (ф) N (p, a) da + i | g (|)ax-V"M
+
+ ye
1 -лхя Г ftxP
J
«.4
P
■Jff(^)^(P,a)da
dp. (2.20)

§ 2. ОПЕРАТОРЫ С КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ В НУЛЕ 187
Наоборот, если функция Л^(|, г|) удовлетворяет
интегральному уравнению (2.20) и q(x) один раз
дифференцируема, то с помощью непосредственной проверки
можно убедиться, что она является решением задачи
(2.16), (2.17), (2.18).
Уравнение (2.20) является интегральным уравнением
типа уравнения Вольтерра. Поэтому его решение
единственно и существование решения может быть доказано
с помощью метода последовательных приближений.
Предположение о дифференцируемости несущественно, так
как непрерывную функцию можно аппроксимировать
гладкими и затем перейти к пределу. Полученная таким
образом предельная функция К{х, t) будет ядром
оператора преобразования.
Случай 2. Пространство Е то же самое, что и в
первом случае; Е{ = Е2 — подпространство Е, состоящее
из функций f(x), удовлетворяющих краевому условию
/(0) = 0. Формально это краевое условие соответствует
краевому условию (2.1) при hi = <». Очевидно, что
случай hi = оо не охватывается рассмотренным выше.
Пусть А и В — два оператора того же вида, что -и
прежде. Так же как и в первом случае, можно
предполагать, не нарушая общности, что В = —d2/dx2. Оператор
преобразования X = XAj B снова ищем в виде
X
Xf(x) = f(x)+\N(x,t)f(t)dt.
о
Для ядра N(x, t), рассуждая аналогично
предыдущему, нетрудно получить задачу
N"xx (x, t)-q (x) N (x, t) = N'tt {хг t),
iVK0) = 0,
X
N{x[x) = C + j]q(s)dsl
0
где C = N(0, 0) произвольно.
Разрешимость и единственность решения этой задачи
можно доказать так же, как и в предыдущем случае,
сводя задачу к интегральному уравнению.

188 ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
§ 3. Вывод основного интегрального уравнения
1. На полупрямой 0^#<°° рассмотрим две задачи:
-у"Мч{х)у = Ьу, (3.1)
0(0)= 1, 0'(О) = Л, (3.2)
где q(x) и h действительны, причем h¥=ooi и не
возмущенную задачу
-iT-ty, 1/(0)= 1, у'(0) = 0. (3.3)
Пусть р(А,) — спектральная функция задачи (3.1),
(3.2). Обозначим через р0(Х) спектральную функцию
невозмущенной задачи (3.3); р0(?0 явно вычисляется:
Обозначим через ф(я, X) решение задачи J3.1), (3.2).
Решение же задачи (3.3) суть функция cos УХх. Поэтому
с помощью оператора преобразования для пары
операторов —d2/dx2 + q(x) и —d2/dx2 получаем следующие
формулы:
х
ф(жД) = cos УХх + § K{x,t)cos Vxtdt, (3.4)
о
X
cos УХ х = ф (х, X) + J* H (x, t) ф (t, X)dt. (3.5)
oj
В этих формулах К(х, t) и Н(х, t) — непрерывно
дифференцируемые функции.
2. Вначале приведем нестрогий вывод основного
интегрального уравнения обратной задачи. Затем этот
вывод будет обоснован. Нестрогий вывод основан на
символических равенствах
оо
J q(x2X)q)(s1X)dp(X) = 8(x —s), (3.6)
— оо
оо
J cos УХ х- cos yXsdp0(X) = 6(x-s), (3.7)
о
где б (х) — дельта-функция Дирака.
Заметим, что равенства (3.6) и (3.7) являются
символическими записями обобщенных равенств Парсеваля

§ 3. ВЫВОД ОСНОВНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 189
(см. формулу (1.11), гл. II)
со со
ijf(x)g(x)dx= j F(K)G{X)dp(X)
соответственно для задач (3.1), (3.2) и (3.3).
Из формул (3.6) и (3.5) следует, что для 0<s<x
j ф (х, К) cos Y^ sdp (X) = 0.
подставляя в это равенство вместо ф(#, X) правую часть
равенства (3.4), получим (0 < s < х)
0
00 Г - -
= J cos Yx х cos Y^ s +
— oo L
x "1
+ j К (x, t) cos ]/I t cos ]/I sdtl dp (X) =
о J
oo oo
= J cos YXxcos YXsdo(X) + J cos У^Хясов Yhsdp0(k) +
— oo 0
X Г oo "1
+ j#OM) j cos Yx t cos YXs do (X)\dt +
0 L-oo J
X Г oo "1
+ { К (x, t) j cos l/X t cos YXs dpQ (X) dt =
о Lo J
x
= F (x, s) + б (x — 5) + j # (ж, *) F (*, s)dt + К (x, s) =
о
= F (x, s) + К (x, s) + \K (x, t) F (t, s) dt,
о
где
ст(Л) =
pM-PoM. ^>0,
1Р(Я), ко,
CO
F (x, s) = j cos /X ж • cos /J, s do (K). (3.8)

190 ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Итак, мы показали (пока нестрого), что ядро К(х, t)
оператора преобразования удовлетворяет интегральному
уравнению
х
F(x,s) + K(x,s) + §K(x,t)F(t,s)dt = 0, 0^s<^x, (3.9)
о
где F(x, s) определяется формулой (3.8). Уравнение
(3.9) при каждом фиксированном х является
интегральным уравнением типа Фредгольма, в котором роль
неизвестной функции играет К(х, s), a х играет роль
параметра.
Приведенный выше вывод уравнения (3.9),
разумеется, нестрог хотя бы уже потому, что пока неясно,
существует ли в каком-либо смысле интеграл (3.8).
Лемма 3.1. Пусть
N
Fn{^,u)= j cos ]/Xxcos ]/гХг/йа(Я).
— oo
Зафиксируем х и обозначим через g(y) гладкую
финитную функцию, носитель которой содержится в интервале
(0, х). Тогда
X X
lim j FN(x,y)g(y)dy + ( К (х, у) g (у) dij +
оо ( х Л
+ lim j g (У) j К (х, t) FN (t, y) dt\ dy = 0.
JV-^oo о U J
Доказательство. Для каждой гладкой финитной
функции g(y), в силу теоремы 1.2 гл. II,
N Гоо ч
lim f ^(x,X)\\g(y)^(yiX)dy\dp(k) =
f (r 1
= lim \g(y)\ \ ф(яД)ф(уД)Ф(А)рУ = £(я).
^~0 I-oo J
Так как, по условию, при фиксированном х носитель g(y)
(т. е. suppg(z/)) содержится в (0, х), то g(x) = 0.
Следовательно,
lim f g (у) М ф (х, X) ф (у, К) dp (Я) dy = 0.

§ 3. ВЫВОД ОСНОВНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 191
Поэтому, в силу формулы (3.5),
оо | N |
lim fgG/)M ц(х,Х) cos YX у dp (X)\ dy =
Л"*00 О l-ao j
7 \Nc 1
= lim \ g(y)\) ф {x, X) ф (y, X) dp (X)\ dy +
JV->oo
dt\ dy
+ lim ^g(y)HИ(y,t)\ J (p(x,X)<p(tA)dp(X)
lim ГII (у, t) g (y) dy \ ф (x, X) ф (t, I) dp (k)\ dt
ь. —OO
)H(y,x)g(y)dy = 0,
так как H(y, x) = 0 при у > х.
Далее, используя (3.4), имеем
N N
j ф (х, X) cos Yx у dp (X) = \ cos YX x cos Y^ydp (X) +
+ j Я (я, Ш j cos |/*Я £ cos YXydp (X)\dt =
0 l~°o J
= J cos YX я cos Ж COS
— OO —OO
x ( N \
+ J К (x, *)M cos l/*X x cos уТу ф0 (Л) J Л +
0 l-oo J
ос Г JV \
+ ^ K(x,t)\\ cos "j/Tzcos Y7Xyda{X)\dt.
0 l-oo J
Умножая обе части этого тождества на g(y), интегрируя
по у и переходя к пределу (N ->■°°), находим
оо X
lim J g (г/) Fjy (ж, г/) dy + j # (ж, у) g (у) dy +
iV->oo
uw ■ Л. 1
+ lim j g (y) f Я (x, t) FN{t, y) dt\dy = 0,
IV-» oo
что и требовалось доказать.

192 ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Из доказанной леммы следует, что интегральное
уравнение (3.9) заведомо имеет место, если
последовательность функций FN(x, у) при N -> °° в каждой
конечной точке (х, у) сходится к пределу F(x, г/),
оставаясь ограниченной в каждой конечной области (х, у)-
плоскости (ограниченно сходится). Мы увидим ниже,
что это всегда так. Пока что отметим, что нетрудно
указать такие примеры функций р(Х), для которых FN(x, у)
сходится равномерно (а значит, и ограниченно) в
каждой конечной области {х, у)-плоскости.
Лемма 3.2. Последовательность функций FN(x, у)
ограниченно сходится.
Доказательство. Из теоремы 1.2 гл. II следует,
что последовательность функций
N
Ф^ (#, У) = j ф (я, X) ф (у, X) dp (X) —
— оо
N
— [cos /Xxcos YXydpQ(X) (3.10)
о
ограниченно сходится. Запишем формулу (3.5) в виде
cos Vtae = (/* + #*) ср. Применив к равенству (3.10)
оператор (1Х + Нх) (1У + Ну), получим
N
\ cos уХ х cos у X у dp (X) —
— оо
N
— j* (1Х + Нх) (1У + Ну) cos VXx cos VXydp0(X) =
о
N (У _ 1
= FN(x,y) — ) cos ]/T.z|j #(?/, 5) cos VXsds\dp0(X) —
— ) cos V^X г/1 j H(x,s) cos YXsds\dp0(X) —
— jj j#(a:,s)cos V^$ds||j H(y, s) cos ]^Х5^|бгр0(Я).
о lo J U ;
(3.11)
Левая часть этого тождества, как уже отмечалось выше,
ограниченно сходится. Поэтому это же верно и для пра-

§ 3. ВЫВОД ОСНОВНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 193
вой части. Но второе, третье и четвертое слагаемые
правой части ограниченно сходятся соответственно к
т'т(х,у)
Н(у,х), Н(х,у), J H(x,s)H(y,s)ds,
о
поскольку являются обычными интегралами Фурье
дифференцируемых функций. Поэтому первое слагаемое
справа в (3.11), т. е. последовательность FN(x, у),
ограниченно сходится. Лемма доказана.
Теорема 3.1. Ядро оператора преобразования
К(х, у) удовлетворяет интегральному уравнению
X
К(х,у) + F{x,y) + §K(x,t)F(t,y)dt = 0, 0<г/<х,
о
(3.12)
в котором F(x, у) есть предел при N ->■ оо функций
N
FN (х, у) = J cos Vx x cos
— oo
где
а(Я)=:Р ; * ^
1р(Я), Я<0.
Если q(x) имеет на интервале [О, °°) непрерывные
производные до порядка п, то функция F(x, у) имеет в
области х ^ у ^ 0 непрерывные частные производные до
порядка (п+ 1).
Доказательство. Первая часть теоремы была
уже доказана выше. Остается доказать утверждение
о дифференцируемое™.
Из интегрального уравнения (2.20) нетрудно
вывести, что если q{x) имеет производные до порядка п, то
функция К(х, у) для х ^ у имеет частные производные
до порядка (п + 1). Будем теперь считать в
интегральном уравнении (3.12) К(х, у) известной функцией.
Относительно F(x, у) уравнение (3.12) является уравнением
типа Вольтерра и может быть решено с помощью
последовательных приближений. Полученный таким образом
для F(x, у) ряд можно почленно дифференцировать
(п+ 1) раз.
13 б. М. Левитан, И. С. Саргсян

194 ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Замечание. Положим
N
Фн(х) = \ cos Vkx do(X), 0(x) = lim<bN(x).
Тогда для х > у > О
F {х,у) =\{Ф(х + у) + Ф(х-у)), (3.13)
/? (я, х) = | {Ф (2а:) + Ф (0)}. (3.14)
Из (3.14) следует, что если F(#, у) для ж ^ г/ имеет
непрерывные частные производные до порядка (n+i),
то Ф(х) для х^О имеет непрерывные производные до
порядка (n+i). Из (3.13) следует обратное
утверждение.
3. Нам понадобится в дальнейшем следующее простое
свойство спектральной функции p(X).
Теорема 3.2. Пусть f(x)— произвольная финитная
функция класса ,2?2(0, °°). Положим
оо
Е (X) = J / (х) cos ]/"Я ж dx.
о
оо
j Ег (I) dp {X) = 0, (3.15)
— оо
го /(#) = 0.
Доказательство. В силу формулы (3.5)
оо ( Л "j
Е(Х) = f /(ж) ф(я, Я) + J Я (я, 0 ф(*, К) dt\ dx =
о I о j
оо оо
= J g(x) ф (ж, Я) dx, g{x) = f (x) + j tf (t, x) / (0 dt.
0 X
Поэтому Е(К) есть ф-преобразование Фурье функции
g(x). Из равенства Парсеваля
]g*(x)dx= J Я»_(Х) ^р(Х)

§ 4. РАЗРЕШИМОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 195
оо
и равенства (3.15) следует, что J g' (х) dx = 0, и, следо-
о
вательно, g(x) = О, т. е.
оо
f{x) + $H(t,x)f(t) = 0. (3.16)
X
Так как f(x) — финитная функция, то в интеграле (3.16)
интегрирование на самом деле ведется в конечных
пределах. Поэтому уравнение (3.16) есть уравнение типа Воль-
терра и, следовательно, f(x)= 0.
§ 4. Разрешимость основного интегрального уравнения
1. В предыдущем параграфе было показано, что для
того, чтобы монотонно возрастающая функция р(Х)
являлась спектральной функцией задачи (3.1), (3.2) с
действительной и п раз дифференцируемой функцией q(x),
необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
1°. Положим
<t(X)-(pW--|vX *>°-
1р(Я), КО,
N
Фя(ж)= j cos V% х da (X).
— ОО
Последовательность функций On(x) при N ->■ оо
ограниченно сходится к функции Ф(х), причем Ф(х) на
интервале [0, оо) имеет непрерывные производные до
порядка (п + 1).
2°. Пусть f(x)—произвольная финитная функция
класса i?2(0, оо) и
оо
E(k) =j70z)cos Vlxdx.
о
оо
Если j Е2 (X) dp (Я) = 0, mo f (х) з= 0.
— ОО
В этом и следующем параграфе будет показано, что
условия 1° и 2° не только необходимы, но и достаточны
для существования краевой задачи вида (3.1), (3.2) с п
раз непрерывно дифференцируемой функцией q(x).
13*

196 ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Итак, пусть р (К) — монотонно возрастающая функция,
удовлетворяющая условиям 1° и 2°. Положим
Ф (х) = lim Ojv (re), F (x, у) = \{Ф{х + у) + Ф (x - у)}
и рассмотрим семейство интегральных уравнений
х
К(х,у) + F(x,y) + j K(x,t)F(t,y)dt = 0, 0<г/<^<оо.
о
(4.1)
Теорема 4.1. При каждом фиксированном х>0
интегральное уравнение (4.1) имеет единственное
решение К(х, у) = Кх(у).
Доказательство. Следует показать, что при
каждом фиксированном х > 0 однородное уравнение
х
g(y) + lF(t,y)g(t)dt = 0 (4.2)
О
имеет лишь тривиальное решение. Допустим, что это не
так, т. е. существует функция g(y)^ 3?2(0, °°), g(y)^0,
удовлетворяющая уравнению (4.2). Умножая обе части
уравнения (4.2) на g(y) и интегрируя по у в пределах
от 0 до х, получим
J Г (у) dy + f j F (t, у) g (t) g (y) dt dy = 0.
0 0 0
Подставляя вместо F(t, у) соответствующий предел и
меняя местами интегралы и предел (что легко обосновать),
получим
X оо ( X X \
]>(1/)Ф + J \$$g(t)g(y)eoaVbt<iosVkydtdy\dp(\)-
— оо \0 0
оо / X X
-J\^g(t)g{y)cosVKtcosVbvdtdy d(| /b) = 0.
0*0 0 '
(4.3)
Последний интеграл в силу равенства Парсеваля для
X
обычных интегралов Фурье равен J g2 {у) dy. Поэтому pa-

§ 4. РАЗРЕШИМОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1Й7
венство (4.3) можно записать в виде
оо ( х у-
j ttg(y)cosVbydy\ dp(l) = 0
-оо lo J
pi в силу условия 2° g(y)^ О, что и требовалось.
2. Из интегрального уравнения (4.1) непосредственно
следует, что функция К(х, у) имеет по у столько же
частных производных, сколько их имеет F(x,y).
Исследование дифференцируемости функции К(х, у) по х более
сложно. Оно может быть проведено с помощью
следующей леммы.
Лемма 4.1. Пусть дано интегральное уравнение
1
h(t,a) + \H{t,s\ a)h(s,a)ds = g(t; a), (4.4)
о
в котором ядро H(t, s; а) и свободный член g(t; а)
являются непрерывными функциями параметра а и
независимой переменной t. Тогда, если при а = а0 однородное
уравнение имеет лишь тривиальное решение, то в
некоторой окрестности точки а0 решение h(t, а) уравнения
(4.4) есть непрерывная функция t и а. Если H(t, s; a)
и g(t\ а) имеют m непрерывных производных по а, то
столько же непрерывных производных по а имеет и
решение h(t, a).
Доказательство. Положим
H(t, s\ a)=-H(t, s; aQ)+ Ht(t, s\ a)^H0 + Hu
причем \H{(t, s; a) I < 8, если а находится в некоторой
малой окрестности точки а0. Уравнение (4.4) можно
записать в символическом виде:
g = h + H0h + Hxh.
Применяя к обеим частям этого равенства оператор
(/ + #0) -1, получим
(/ + II0) ~lg = h+(I + H0) "'ЯЛ (4.5)
Так как норма оператора (I + Н0)~1Н{ может быть
сделана сколь угодно малой, то уравнение (4.5) можно
решать методом последовательных приближений, откуда
следует непрерывность функции h(t, а). Для
доказательства дифференцируемости следует выделить из
функции //(£, s; а) отрезок ряда Тейлора, т. е. положить

198 ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
// = //„ + #„ где
111 I
H0-H(t,s;a0) f^jV^ (a-a0)+ ...
^ т! дат Ua/ "'
Применим доказанную лемму к уравнению (4.1).
Заменим в этом уравнении у на ху и t на xt. Тогда получим
уравнение
1
К (х, ху) + F (х, ху) + х \ К (х, xt) F {xt, ху) dt = 0,
о
т. е. интегральное уравнение с ядром xF(xt, ху) и
свободным членом F(x, ху). Так как F(x, у)— непрерывная
функция, то из леммы следует непрерывность функции
К(х, у) по совокупности переменных. Из той же леммы
следует, что К(х, у) имеет столько же частных
производных, сколько и функция F(x, у).
§ 5. Вывод дифференциального уравнения
В предыдущем параграфе по заданной монотонной
функции р(А,), удовлетворяющей условиям 1° и 2°, была
определена функция К(х, у). Положим (по аналогии
с формулой (3.4))
х
Ф (х, X) = cos Y% х + \к (ж, t) cos У К t dt. (5.1)
о
Функция ф(ж, X) удовлетворяет начальным условиям
Ф(0, Я)=1, Ф'(0, Я) = #(0, 0)=-F(0, 0)=h. (5.2)
В следующей теореме содержится существенная часть
решения обратной задачи по спектральной функции.
Теорема 5.1. Пусть К(х, у) удовлетворяет
интегральному уравнению (4.1). Тогда функция ф(ж, X),
определенная формулой (5.1), удовлетворяет
дифференциальному уравнению
-У" +q(x)y = Xy (0<*<oo), (5.3)
где
q(x) = 2-±K(x,x). (5.4)
Доказательство. Сперва предположим, что
функция F(x, у) имеет вторые непрерывные частные произ-

§ 5. ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 199
водные (что в прямой задаче соответствует
существованию у функции q(x) первой производной). Тогда
функция К(х, у) также имеет непрерывные вторые
производные. Дифференцируя дважды по х тождество (0 < у <
^ х < со)
J(x, у) = F{x, у) + К(х, у) + j K(x, t)F{t, y)dt, (5.5)
о
учим
т" т?" , г?" , dK (х, х) г т, . ч w ,
Jхх = Fxx + #хх + Jr~^t + К (*» Х) Fx +
X
F + $K'xx(x,t)F(t,y)dt = 0. (5.6)
О
получим
dx
дК (х, О I
+
t=x
о
5а:
Дифференцируя тождество (5.5) по у, получим
х
/у = F'v + К'у + j" tf (ж, О F; (*, г/) dt = О, (5.7)
о
X
J'yy = * w + #w + J # (*, t) F'yy (t, у) dt = 0. (5.8)
о
Так как F (ж, у) = -у {Ф (ж + г/) + Ф (х — у)}, то
Fv(x, 0) = 0, F'yy = F^. Из (5.7) тогда при у = 0 следует
<(;г, 0) = 0. (5.9)
Заменяя в тождество (5.8) Fyy на Ffi и интегрируя
затем дважды по частям, получим
у flff (*, t) 1
•'г/У — **УУ "Ь ^2/2/ "I" ^ (^> Я) ^х
F +
г/у — £ уу т АХуу ~ iX \^> ^у х ж ^
X
+ JK"tt(x,t)F(t,y)dt. (5.10)
6
Из (5.5), (5.6), (5.10) и (5.4) после очевидных
сокращений следует тождество (0 ^ у ^ х < «>)
■/L — Jyy — q(x)J = Кхх — К'уУ — q(x)K +
X
+ J {Кх (х, t) - K"tt (х, t) - <? (.г) К (х, 0) ^ (', У) ^ = О,
(5.11)

200
ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
т. е. функция Кж (х, у) — К"уу (х, у) — q (x) К (х, у)
удовлетворяет однородному интегральному уравнению. Тогда
в силу теоремы 4.1
KxX-K'yy-qK = 0, 0<*/<;z<oo. (5.12)
Так как
±K(x,x) = ±-q(x), K(0,0) = h, |f|y=0=0, (5.13)
то оператор Xf(x) = f (x) + J K(x, t)f(t)dt является
о
оператором преобразования для пары операторов
— d2/dx2 + q(x) и ~-d2/dx2 (см. § 2). Поэтому функция
ф(#, X), определенная равенством (5.1), удовлетворяет
уравнению (5.1) и начальным условиям у(0) = 1, у'(0)=*
= h = —F(0, 0). Итак, если F(x, у) имеет непрерывные
вторые производные, то теорема 5.1 доказана.
Допустим теперь, что F(x, у) имеет только первые
непрерывные производные. Тогда К(х, у) также имеет
только первые непрерывные производные, и поэтому
тождество (5.5) можно дифференцировать только один раз.
Чтобы обойти эту трудность, приблизим функцию
Ф(х) равномерно в каждом конечном интервале дважды
непрерывно дифференцируемыми функциями Фп(х),
причем так, что при любом N < о°
N
lim \\ф'п(х)-Ф'(х)\<1х = 0.
Положим
Fn (*, У) = \ {Фп (Х + У) + Фп (X - */)}.
Тогда при каждом фиксированном х и достаточно
больших п интегральное уравнение
X
Fn (х, у) + К„ (.г, у) + j Кп (х, t) Fn (t, у) dt = 0,
о

§ 6. ВЫВОД РАВЕНСТВА ПАРСЕВАЛЯ 201
разрешимо, причем (см. доказательство леммы 4.1)
Кп(х, у)-* К(х, у), — Кп(х, у)-+ — К(х, у),
— Кп(х,у)-+ — К(х,у).
С другой стороны, как уже было доказано, фупкция
х
фп (х, К) = cos V\ x + j Kn (х, t) cos VI t dt (5.14)
0
удовлетворяет уравнению
У" + {ъ-2±Ки(х,х)}у = 0 (5.15)
и начальным условиям
Фп(0Д) = 1, фп (0, X) = ЛГП (0, 0). (5.16)
Переходя в (5.14), (5.15) и (5.16) к пределу, получим,
что функция (5.1) удовлетворяет уравнению
у" + {*—2£хК(х,х)}у = 0
и начальным условиям #(0)=1, у' (0) = К(0, 0).
§ 6. Вывод равенства Парсеваля
1. В § 4 и 5 по заданной монотонной функции р(Я),
удовлетворяющей условиям 1° и 2° § 4, мы определили
уравнение вида (5.3) и число h из краевого условия.
Остается убедиться в том, что исходная функция р(К)
действительно является спектральной функцией
построенной краевой задачи. Для этого достаточно показать, что
имеет место равенство Парсеваля, т. е. для произвольной
фипитпой гладкой функции f(x) имеет место равенство
оо оо
j" f (х) dx = J Я (I) do (X), (6.1)
где
F(X) = $f(x)<p(rak)dx. (6.2)

202 ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
2. Пусть F(x, у) определяется формулой (3.8), К(х,у)
есть решение уравнения (4.1) и
X
ср (х, X) = cos У\ х + j К (х, t) cos Vltdt,
о
cos VI х = ф (я, X) + J Я (ж, *) ф (*, X) Л.
о
Лемма 6.1. Имеет место тооюдество
t
II (х, t) = F(x, t) + \K{t, u)F(x,u)du, 0<£<s. (6.3)
6
Доказательство. Предположим вначале, что
F(x, t) имеет непрерывные вторые производные. Тогда
К(х, t) также имеет непрерывные вторые производные и
удовлетворяет уравнению (5.12)
K'xx-q(x)K = K"tt (6.4)
и условиям (5.13)
х
Щ=о=0, K(x,x) = h + ±§q(s)ds. (6.5)
о
Функция II (х, t) есть ядро оператора преобразования
Хв.а, где
Bf--% f(0) = 0;
Aj = -£{ + q(x)U f(0) = hf(0).
dx
Поэтому II (х, t) удовлетворяет уравнению (см. § 2)
H"xx^Jl"n-q(t)H (6.6)
и условиям
X
(#', —hH)t=0= 0, II(х, х) = -h—j Jq(e)ds = -K(.г,ж).
(6.7)
Таким образом, чтобы доказать лемму, следует
показать, что правая часть (6.3) является решением задачи

§ 6. ВЫВОД РАВЕНСТВА ПАРСЕВАЛЯ 203
(0.6), (6.7). Положим
t
N (х, t)=F(x, t) + \ К (*, и) F (х, и) du.
о
Тогда N(x, 0) = F(x, 0) и так как F\ (ж, 0) = 0, то
N\ (х, 0) - F't (х, 0) + К (0, 0) F (х, 0) = WV (я, 0).
Поэтому 7V(;r, £) удовлетворяет первому из условий (6.7).
Покажем, что N(x, t) удовлетворяет и второму условию
(6.7). В самом деле, в силу (4.1)
х
N (х, х) = F (х, х) + J К (х, и) F (x, u)du = — К (х, х).
о
Остается показать, что N(xr t) удовлетворяет уравнению
(6.6). Имеем
N'lt = F;t + dJL£JlF + K(t,t)F't +
t
+ К\ \u=t F+l K"n (t, и) F (х, и) da,
о
Кх - Fix + К (/, t) F'v \u=st - Ки \u=t F +
t
+ j Kuu{t, u)F(x, u)du.
0
Вычитая из нижнего уравнения верхнее и принимая во
внимание (5.4), получим
t
Кх - N"n = -q(t)F(x, t) + j (Ки - К) F(х, и) du =
о
t
= —Q(t)N(x, t) + q(t)§ K(t, u)F(x, u)du +
о
t
+ \ (Ки — Ю p(*,u)da
0
или, в силу (6.4),
t
N'L - N'u + q(t)N~§ [K'L - K'u + q (t) K] F (x, u) du=0.

204 ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Итак, в случае, когда F(x, t) имеет вторые
производные, лемма доказана. Случай, когда F(x, t) имеет только
первые производные, исследуется с помощью предельного
перехода (как в § 5).
3. Докажем теперь равенство Парсеваля. Пусть ](х) —
произвольная финитная функция и
оо оо f
F(X) = J f(x) ф (x, X)dx = § f(t) cos VI t +
о о I
t \ oo
+ §K(t, s) cos VXsds\dt = § g(t) cos Vltdt, (6.8)
0
где
g{t) = f(t)+\K(s,t)f(s)ds. (6.9)
i
Функция g(t) также финитная и гладкая. Равенство (6.8)
означает, что F(X) есть cos-преобразование Фурье
функции g(t). Поэтому, в силу (3.8),
оо
|Р(Ь)ф(Я) =
—оо
СО СО (X)
= IF* М d {т VI) + j *'* (*) do (X) = ] f (t) dt 4-
0 ~co 0
oo foo 1 /oo \
+ \ da(X)U g(t)cos Yitdt\\\ g(x)cos Vlxdx\ =
-oo lo J U J
CO OO OO
= \ g* (t) dt + J j F (x, t) g (x)g (t) dx dt.
0 0 0
Далее, в силу уравнений (6.3) и (4.1), имеем
оо
§F{x,t)g(t)dt =
о
оо ( оо \
= §F(x,t)\f{t) + §K(u,t)f(u)du\dt =
-]/(*) IjP (ж, t) + $K {t, и) F (х, и) du \dt -

§ 6. ВЫВОД РАВЕНСТВА ПАРСЕВАЛЯ 205
/ (t) F (х, t) + i К (t, и) F (х, и) du\ dt +
oo ( t \
+ J/(0 \F{z, t) + \K(t,u)F(x,u)du\dt==
x I 0 J
X oo
= \j{t)H(x, t)dt-ijf(t)K(t,x)dt.
Поэтому
oo
oo oo ( x \
= J g* (t) dt + \ g(x) j H(x, t)f(t)dt\ dx -
о о lo I
oo (oo \
— ]g{x)\\ K(t, x)f(t)dt\dx^
о li J
oo oo /oo л
= §g*(t)dt + $f(t)\ f Я (x, t) g (x) dx\ dt -
о U
oo (oo
g(x)\\ K(l, x)j{t)dt\dx. (0.10)
0 \x J
В силу (6.9)
OO
$K(x,t)f(t)dt = g{x)-f(x). (6.11)
Покажем, iito
oo
§H(x,t)g(x)dx = f(t)-g(t). (6.12)
0
Положим
t
f(t) + $K(t,s)f(s)ds = {I + K)f.
0
По определению (/ + К)™1 = / + Я, поэтому (/ + Z*)~1==
= 1 + Я*, где К*, Я* — сопряженные операторы.
Равенство (6.9) можно записать в виде g*~f + K*f, поэтому

2(36
ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
f = (I + K*)~ig = g + H*g, что совпадает с (6.12). Из
(6.10), (6.11) и (6.12) следует
ОО ОО СЮ
J F2 (I) dp (К) = §ff(t)dt + ]f (t) {/ (t) - g {t))\dt -
~°° 0 0
oo oo
-I gi?){g{x)-f{x)}dx = \f{t)dt,
т. е. равенство Парсеваля, что и требовалось доказать.
Основные результаты § 4—6, т. е. решение обратной
задачи для оператора Штурма — Лиувилля по
спектральной функции р(Я), сформулируем в виде теоремы.
Теорема 6.1. Для того чтобы монотонно
возрастающая функция р(Х) являлась спектральной функцией
задачи вида (3.1), (3.2) с п раз непрерывно
дифференцируемой функцией q(x), необходимы и достаточны
следующие условия:
1°. Последовательность функций
cpjv (х) = j cos VX x do (k)f
где
а(Я) = 1р(Я), Ж 0,
ограниченно сходится (в каждом конечном интервале)
к функции Ф(#), причем предельная функция Ф(х) на
интервале [0, <») имеет непрерывные производные до
порядка {п+{) и Ф(+0) = -й.
2°. Из равенства
j £2(Я)ф(Я) = 0,
где Е(Х) есть cos-преобразование Фурье произвольной
финитной гладкой функции /(#), следует, что f(x)=0.
Замечание. Условие 2°, очевидно, выполняется,
если точки роста функции р(Х) имеют хотя бы одну
конечную предельную точку.
В случав дискретного спектра условие 2° можно
заменить эффективным достаточным условием. Обозначим че-

§ 7. ОБОБЩЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 207
рез А,4 < Х2 < . . . < Хп < .. . ->- оо точки роста функции
р(Х) и через N (X) — число чисел ХП1 меньших числа X.
Можно показать, что условие 2° выполняется, если
Пт(ЛГ(А,)/А,) = 0#
§ 7. Обобщение основного интегрального уравнения
1. До сих пор, изучая обратную задачу, мы
предполагали, что невозмущенным оператором является простейший
оператор Штурма — Лиувилля
iy = -v\ г/'(0) = о, о <*<«>.
Однако полученные в предыдущих параграфах
результаты можно легко обобщить, взяв в качестве
невозмущенного оператора произвольный оператор Штурма —
Лиувилля А 0:
А*у = -у" +q*(x)y, y'(0)=hoy(0), 0<*<<х>, (7.1)
где q0 (х) — фиксированная действительная непрерывная
(или имеющая непрерывные производные) функция, /го-
действительное число.
Пусть А — другой действительный оператор
Штурма — Лиувилля:
Ay = -y"+q(x)y, y'(0)=hy(0), 0<*<«>. (7.2)
Обозначим через ф0(#, X) решение задачи
— У* + % (я) У = ty, Фо (°> х) = !» Фо (0, *<) = К
а через ф(#, X) — решение задачи
-у" +Ч{х)У = Ху, Ф(0Д)=1, Ф'(0Д) = Л.
Тогда, как показано в § 2, справедливы формулы
ос
Ф (*, Ц = Фо (*, *) + J А(*> 0 Фо Ci *) Л, (7.3)
6
к
Ф0 (ж, X) = ф (ж, Я) + ] 40 (я, г) ф (t, X) dt. (7.4)
о
Пусть ро(Х) и р(Х) суть спектральные функции
операторов А0 и А. Равенства Парсеваля для операторов А0 и А

208 ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
эквивалентны символическим формулам
оо
j Фо (*, ь) Фо (г/. к) Ф0 (*■) =б (х — у)> (7-5)
— оо
оо
j" Ф (х, I) Ф (у, Ц dp (I) = б (х - у), (7.0)
— сю
где б (х) — дельта-функция Дирака.
Используя формулы (7.3), (7.4), (7.5) и (7.6) и
рассуждая (вначале формально), как и в § 3, нетрудно
вывести для ядра А(х, у) интегральное уравнение (0 < у ^
< х < °°)
X
А (х, у) + F (х, у)+$А (я, t) ¥ (*, у) Л = 0, (7.7)
о
в котором
оо
F (*, У) = j Фо (*, >0 Фо (У, *) d {p (?v) - р0 (Я)}. (7.8)
—оо
Строгое обоснование уравнения (7.7) следует из
ограниченной сходимости последовательности функций
N
Fn (*, У) - j Фо (*, Ь) Фо Ол *) <' {Р М ~ Ро (*<)}, (7.9)
— оо
которая, в свою очередь, следует из тождества
N
Рк(х,У)= J Фо(^Д)Фо(». ^)d\PW —4 ^j-
— оо
iV
— j Фо с*. ^) Фо (у, ^ «/{по м - ~- уц
— оо
и формулы
X
Фо (j;' ^) ^ c°s Ук х + j ^o Cr> о c°s ^^ * ^-
о
2. Теперь ясно, как решать обратную задачу в случае,
когда в качестве невозмущенного оператора взят
оператор (7.1), т. е. произвольный оператор Штурма — Лиу-

§ 7. ОБОБЩЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 209
билля на полупрямой. Сформулируем соответствующий
результат.
Пусть задана монотонно возрастающая функция р(Я),
удовлетворяющая следующим условиям:
1°. Последовательность функций (7.9) ограниченно
сходится, причем предельная функция F(x, у) для х^у>0
имеет (п+l) непрерывных частных производных.
оо
2°. Из равенства \ Е2 (X) dp(X) = 0, где
—оо
оо
Е(Х) = \f{x)y,(x,X)dx
о
и f(x)—произвольная гладкая финитная функция,
следует, что f(x)= 0.
Рассмотрим интегральное уравнение (7.7), в котором
F(x, у) онределена в условии 1°. Из условия 2° следует,
что интегральное уравнение (7.7) разрешимо при
каждом X < оо.
Далее, можно показать, аналогично § 5, что решение
уравнения (7.7)— функция А (х, у)— удовлетворяет
дифференциальному уравнению
Кх — q(x)A = А'уУ — q0 (Х) А, (7.10)
где
q(x)= q0(x)+ dA(x, x)/dx. (7.11)
При х = у = 0 из уравнения (7.7) получаем Л (0, 0)==
= —F(0, 0), поэтому
х
A{x,x) = -F (0, 0) + ± J {q (s) - q0 (s)) ds.
0
Еще одгтим следствием уравнения (7.7) является условие
■{A't-haA)t^o = 0. (7.12)
X
Изложим ср (,х, X) = ф0 (х, X) + J А (.х, t) cp0 (£, A,) dt. Из
о
(7.10) и (7.12) следует, что Ц)(х, X) удовлетворяет
уравнению —у" + q(x)y = Ху и краевому условию
ф'(0, Я,)=Лф(0, Я,), где h = h0-F(0, 0). То, что р(Ь)
действительно является спектральной функцией постро-
1* Г>. 1VI. Лонитап, И. С. Саргсни

210 ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
енной задачи, следует из равенства Парсеваля, которое
может быть получено па основании тождества
t
В (х, t) = F(x,t) + §A (t, и) F (х, и) du
о
с помощью рассуждений, аналогичных использовапным
в § 6.
§ 8. Случай нулевого краевого условия
Случай нулевого краевого условия не охватывается
предыдущими результатами. Рассмотрим задачу на
полупрямой [0, оо)
-V"+q(x)y=bV, (8.1)
т/(0)= 0, (8.2)
где q(x)— действительная непрерывная функция.
Пусть s(x, X)—решение уравнения (8.1),
удовлетворяющее начальным условиям 5(0, Я)=0, s'(0, Я)=1.
Обозначим через р(Х) (—-<*> <Х < °°) соответствующую
задаче (8.1), (8.2) спектральную функцию, т. е.
монотонно возрастающую функцию, для которой при любой
финитной гладкой функции f(x) имеет место равенство
Парсеваля
оо оо оо
j f (ж) dx= J F2 (X) dp (X), F {X) = J / {x) s (x, X) dx.
0 —°o 0
Невозмущенная задача в рассматриваемом случае имеет
вид
-У" =ЪУ, 1/(0) = 0.
Для нее s0(x, X) = sin УКх/П, р0(%)= 2Х3/2/(Зл), Х>0,
Ро(Ь)=0, А,<0.
Оператор преобразования для случая нулевого
краевого условия рассмотрен в § 2 (случай 2). Из свойств
оператора преобразования следует формула
X
s{x> Я) = !Н^р + ]"#(*, t)™^dt.
Повторяя формальный вывод, проведенный в § 3,
нетрудно для ядра N(x, t) вывести ел едущее интегральное

§ 9. ВОССТАНОВЛЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ 211
уравнение:
х
F (х, y) + N (х, у) + [ N (х, t) F (t, у) dt = 0, (8.3)
О
0^у^х<С оо,
(8.4)
где
оо
F(x,y)- Jsin^bsin^^aW,
— оо *
a{X) = \p(i), ж о.
Если последовательность функций
N _
<Ы*)= §с°*У\х~1с1в(Х) (8.5)
— оо
ограниченно сходится, то интегральное уравнение (8.3)
на самом деле имеет место.
Наоборот, если задана монотонно возрастающая
функция р(Я), удовлетворяющая условиям
1°. Последовательность (8.5) ограниченно сходится.
2°. Из равенства \е2{Х)(1р(Х) = 0, где
Е(Х)= \f(x)*iny}xd*,
о УХ
{(х)— финитная гладкая функция, следует, что f(x) = 0,
то результаты предыдущих параграфов о разрешимости
обратной задачи очевидным образом переносятся на
случай нулевого краевого условия.
§ 9. Восстановление классической задачи
Пусть q(x)— действительная непрерывная на
интервале [0, я] функция, h и Н — действительные числа.
Классической задачей Штурма — Лиувилля (при
разделенных краевых условиях) называется задача
-У" + q (х)у = Ху (0 < х < я), (9.1)
W'(0)-Ay(0)-0, (9.2)
y'(n)+Hy(n)-Q. (9.3)
14*

212 ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Обозначим через ц)(х, X) решение уравнения (9.1),
удовлетворяющее начальным условиям ф(0, Я) = 1,
ф'(0, Х) = h. Очевидно, что ф(^, X) при любом X
удовлетворяет краевому условию (9.2). Поэтому собственные
значения нашей задачи суть корни Хп уравнения
q/ (я, X) + #ф (я, X) = О,
а соответствующая собственная функция tyn(x) равна
ц)(х} Хп) (п = 0, 1, 2, ...). Положим
п
ап = J ф2 (х, Хп) dx.
о
Числа ап называются нормировочными числами.
В гл. I доказано, что собственные функции,
соответствующие различным собственным значениям,
ортогональны, и для произвольных функций f{x)^3?2(0, я)
и g(x)^ i?2(0, я) имеет место равенство Парсеваля
я
J / (х) g (x) dx =
о
°° 1 Г Г
n
о
Из этого равенства нетрудно усмотреть, что для клас
сической задачи Штурма — Лиувилля спектральная
функция р(Х) есть функция скачков и определяется
равенством
Таким образом, спектральная функция классической
задачи определяется двумя последовательностями чисел
{XJ и {ап}. Вторая последовательность состоит из
положительных чисел, в первой последовательности лишь
конечное число чисел может быть отрицательным. Набор
величин {Хп, an}nLo» определяющих спектральную
функцию £>(%) по формуле (9.5), будем называть в
дальнейшем спектральными характеристиками задачи (9.1),
(9.2), (9.3).
Повторяя рассуждения § 3—6, нетрудно получить не-
обходимые и достаточные условия разрешимости обратной

§ 9. ВОССТАНОВЛЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ 213
классической задачи. Само собой разумеется, что в этом
случае в качестве невозмущенной спектральной функции
р0(А,) следует взять не 2УАУл, а спектральную функцию
простейшей классической задачи Штурма — Лиувилля
-V" =Ъ>У, */'(0)=*/» = 0, О^х^п.
Для этой задачи спектральная функция р0 (Я)
определяется следующим образом:
I4-+ 2 4- *>°.
[о, а,<о.
Сформулируем без доказательств три теоремы,
которые доказываются вполне аналогично теоремам § 3—6.
Теорема 9.1. Пусть {кП1 ап}п=0 суть спектральные
характеристики задачи (9.1), (9.2), (9.3), причем
функция q(x) имеет на интервале [О, я] m непрерывных
производных. Положим
f (xi у) = —cos vK x cos У К у +
о
сю
+ 2d \ — cos v^n x cos у kn у cos nx cos пу\ .
71=1 ^ П >
(9.6)
Функция F (х, у) для О < у ^ х < я имеет
непрерывные частные производные до (т+1)-го порядка
включительно.
Теорема 9.2. Пусть последовательность {^п, ап}п=0,
Хп -*■ °°, osn > 0 обладает следующими свойствами:
1°. Функция F(x, у) имеет непрерывные частные
производные до (т+ 1)-го порядка включительно.
2°. Из равенств
я
J / (х) cos VK х dx = О, п = 0, 1, 2, ...,
о
где f(x)—произвольная гладкая функция, следует, что
j(x)^0.
При выполнении условий 1° и 2° интегральное
уравнение
F(x,y) + K(x,y) +
х
+ j £(*,*)*■(*, у)Л-0, 0<j/<s<n, (9.7)

214 ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
имеет единственное решение, причем функция К(х, у)
для О ^ у ^ х ^ я имеет непрерывные частные
производные до (т+ \)-го порядка включительно. Далее, функция
X
ф (х, X) = cos VI х + j К (х, t) cos У Т. t dt (9.8)
о
удовлетворяет уравнению
-у» + 2^К(х1х)у = Ц, 0<*<я,
и начальным условиям
i/(0)= 1, j,'(0)=* = £(0,0)=-F(0,0).
Замечание. Мы знаем ^см. гл. I, формула (2.12)),
что если q(x)^ 3?(0, я), то УЯП = п +_о(1). Поэтому, как
известно*), система функций {cos ]/ап х}%=о в
пространстве С(0, я) полна и, следовательно, условие 2° заведомо
выполняется.
Теорема 9.3. При условиях теоремы 9.2 для
произвольных /(^e^fO, я) и g{x)z= j?2(0, я) шяеег .место
равенство Парсеваля (9.4). Функция ф(#, Я)
определяется равенством (9.8).
оо
Теорема 9.4. Яг/сгь У1П = гс + б„, ^ 8* < °°, ос„ -=
2
_ h о (1) гг выполняются условия 1° гг 2° теоремы 9.2.
Тогда функции ф(#, Я„) попарно ортогональны и
я
J ф2(^» ^п)^ = On-
О
Доказательство. Пусть ряд
оо "
2 спф (я, К), где сп = — 1 / (х) ф (ж, К) dx,
п=о п 0
равномерно сходится. Покажем, что в этом случае сумма
этого ряда равна f(x). Обозначим сумму ряда через s(x).
Из равенства Парсеваля (9.4) и предположенной равно-
♦) В. Я. Левин [1, с. 547].

§ 9. ВОССТАНОВЛЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ 215
мерной сходимости ряда следует, что
л л
J / (х) g (х) dx = ]s (x) g (x) dx,
о о
и так как g(x)— произвольная функция, то s(x)=](x).
Пусть, в частности, !(х)=ц)(х,Хк) при некотором
фиксированном к. Так как ф(;г, X) удовлетворяет уравнению
вида (9.1) и краевому условию вида (9.2), то из формулы
Грина следует
л
сп {к) = — ф (х, Хк) ф (ж, К) dx =
О
_ Ф'(Я> К) Ф (Я> Ч) - ф' (Я> Ч) Ф (Л> ^п)
Из формулы (9.8) следует, что
<р(яДп)=0(1), ф'(яДп)=0(УГп6п).
Поэтому Cn(fc) = 0 —^=У+0(^1), и, следовательно,
\ V К/
оо
ряд 2 сп(к)ц>(х1 ^п)сходится абсолютно и равномерно. По
доказанному
оо
Ф (я, К) = 2 Сп (/с) ф (я, А^). (9.9)
Известно, что система функций cos УХпх минимальна
(усиленно линейно независима)*). В силу формулы (9.8)
система функций <$(х, Хп) также минимальна. Поэтому
из разложения (9.9) следует
л
J Ф (хх К) ф (хх Хп) dx = 0 (п ^ /г),
о
л
J Ф2 (х, h) dx^ak,
о
что и требовалось показать.
*) Б. Я. Левин [1, с. 547].

216
ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Теорема 9.5. При условиях теоремы 9.4 отношение
ф'(я, ЯГ1)Лр(я, Яп), п = 0, 1, 2, . .., не зависит от п, т. е.
функции ф(#, Яп) удовлетворяют классическому
краевому условию вида (9.3).
Доказательство. Из доказанной
ортогональности функций ф(#, Яп) и тождества Грина следует (при
п ¥= тп)
ф'(я, Яп)ф(я, Ят)— ф'(я, Яш)ф(я, Яп)= 0. (9.10)
Если для некоторого п имеем ф(я, Яп) = 0, то из (9.10)
следует, что ф(я, Ят)=0 для всех т. Пусть ф(я, Хп)¥=0.
Из (9.10) тогда следует
ф' ("> К) = ф' ("> Ю = с
Ф(л, Лп) ф(л, Хт)
что и доказывает лемму.
Теорема 9.6. Для того чтобы последовательности
{kn}n=o и {a^J^Lo являлись спектральными
характеристиками некоторой краевой задачи вида (9.1), (9.2),
(9.3) с бесконечно дифференцируемой функцией q(x),
необходимо и достаточно, чтобы имели место бесконечные
классические асимптотические разложения:
г— я„ а. тт ЬЛ Ъ.
п * п п~
(9.11)
Доказательство. Необходимость
асимптотических разложений (9.11) легко следует из результатов
§ 2 гл. I.
Для доказательства достаточности следует, в силу
теоремы 9.2, убедиться в бесконечной дифференцируемое™
функции
оо
s (х) = ^ I— cos "К^п # cos пх\
па иптервале 0 ^ х < 2я.
Обозначим через N произвольное натуральное число.
Если в выражение для s(x) подставить асимптотические
разложения (9.11), то, с одной стороны, выделятся ряды
функций, которые можно N раз почленно
дифференцировать, а с другой стороны — выделятся произведения по-

§ 10. ОБРАТНАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА 217
линомов от х — ряды вида
оо
'V1 sin nx
n=i п
(2& + l<W + 2),
2°-^ (2k<N + 2).
п=1 п
Таким образом, остается показать, что сумма этих рядов
на интервале 0 ^ х < 2я бесконечно дифференцируема.
Дифференцируя первый ряд 2к раз, а второй — (2к— 1)
оо
раз, получим с точностью до знака ряд 'V Sltl nx, сумма
^■" п
п=1
которого, как хорошо известно, на интервале 0 < х < 2я
равна (я — х)/2. Но эта функция на интервале 0<х<
< 2я, очевидно, бесконечно дифференцируема.
§ 10. Обратная периодическая задача
1. В этом параграфе будем предполагать, что функция
q(x) в уравнении
— г/" +q(x)y=Xy, 0 < х < я, (10.1)
является действительной гладкой периодической (с
периодом я) функцией. Рассмотрим для уравнения (10.1)
три краевые задачи:
A. у(0)=у(л), »'(<>)=»'(я).
B. у(0)=-у(я), У'(0)=-У'(п).
C. у(0)=у(п) = 0.
Первая краевая задача {(10.1)+ А) называется
периодической, вторая — {(10.1)+В} — антипериодической
(или полупериодической), и, наконец, третья —
{(10.1)+С) — задачей с закрепленными концами.
Обозначим через ср(яД) и 'О(хД) решения уравнения
(10.1), удовлетворяющие начальным условиям
ср (0, К) = Г (0, К) = 0;, ср' (0, X) = О (0, К) = 1.
Далее, положим
FCk)=q>'(n, Я)+0(л, %).
F (X) есть целая аналитическая функция экспоненциаль-

218
ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
ного типа, порядка 1/2. Она называется функцией Ляпу-
нова или дискриминантом Хилла.
Обозначим собственные значения задачи (10.1)+А
через Ко < %2 ^ ^2 < К ^ Щ < • • ., собственные значения
задачи (10.1)+ В — через Я4 ^ \ii < Я3 < \xs < . . . и
собственные значения задачи (10.1)+С — через vt < v2 <
< v3 < . . .
Известно, что все эти числа можно расположить в
одну строку:
h < X, < Vi < |xt < Х2 < v2 < \x2 < .. . (10.2)
Нетрудно показать, что собственные значения задачи Л
суть корни уравнения F(X)=2, задачи В — корни
уравнения F(X)= — 2, а задачи С — корни уравнения
ср(я, Х) = 0 (см. гл. I, § 4). Кроме того, имеют место
асимптотические разложения
г— яЛ ал m г— я ал
/яп = ге + ^ + 4-+..., /i*» = » + -£- + -£- + •••>-
п п п п
(10.3)
причем число точных членов в разложениях (10.3)
зависит от порядка гладкости периодической функции q(x).
Так как в разложениях (10.3) коэффициенты в
асимптотических рядах совпадают, то из (10.2) следует, что числа
vn подчиняются той же самой асимптотике (10.3).
2. Рассмотрим теперь вопрос о восстановлении
уравнения (10.1), т. е. функции q(x) по функции Ляпунова.
Итак, пусть задана функция Ляпунова. Для ее
задания достаточно задать либо последовательность чисел Х0,
Х2, М*2, А,4, (х4, . . ., либо последовательность чисел Х{, \ii, Х3,
\х3, . . ., ибо справедливы разложения
F(X)-2 = n(K-Vnh^-^:,
F(X) + 2 = n П Ьг^. **'"+* ~*.
V ' n~i(2Az+l)2 (2n+i)'
Спрашивается: как построить уравнение вида (10.1),
функция Ляпунова которого совпадает с заданной
функцией F(X)? Увидим, что таких уравнений (т. е. функций
q(or)) существует бесчисленное множество.
Интервалы [Xk, ,ufe] называются лакунами. В каждой из
лакун выберем по произвольной точке vh: Xk ^ vh < [ik.
Последовательность чисел vk подчиняется асимптотике

§ 10. ОБРАТНАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА 219
(10.3) п, следовательно, может служить спектром задачи
с закрепленными концами (если краевые условия С
имеют вид z/(0)=0, у' (я) + Ну (я) = 0, НФ°°, то главный
член асимптотического разложения vn есть (п+1/2)2).
Для однозначного определения уравнения вида (10.1)
кроме спектра следует еще задать нормировочные числа
а„. Покажем, что по спектру и функции Ляпунова можно
определить (неоднозначно) нормировочные числа. С этой
целью выведем формулу для нормировочных чисел ап.
Пусть X и ji Ф % — два числа. Обозначим у(х, Я)=г/,
ср(х, [x)==z. Тогда имеют место уравнения
—у" + q(x)y = A,z/, — z" + q(x)z = \xz.
Первое уравнение умножим на z, второе — на у и вычтем
из второго уравнения первое. Получим (y'z — z'y)' =
= (u. — K)yz. Интегрируя, будем иметь
| Ф (.г, X) ф (х, 1У) dx = Ф'(".ЦФ(я,1х)-Ф(я,ЦФ>(Я,|х)>
о
Переходя к пределу при \х -> Я, получим
л
J ф2 (т, Я) da: = ф' (я, Я) ф (я, К) — ф (я, X) ф' (я, Я),
о
где штрих означает производную по х, а точка —
производную по К. Из последней формулы при X = v„ следует
л
an = J ф2 (#, vn) dx = ф' (я, vn) ф (пх vn). (10.4)
о
Так как ф(я, Я)=я JJ —^—» то> если заДан спектр vn,
известны также величины ф(я, vn). Поэтому из формулы
(10.4) следует, что если известен спектр, то для
определения нормировочных чисел ап достаточно знать
величины ф' (я, vn). Покажем, что по функции Ляпунова
величины ф'(я, vn) определяются (неоднозначно). По
определению функции Ляпунова
?Ы=ф'(л, v„) + fl(n, Vn). (10.5)
Далее, из постоянства вронскиана следует
ф'(я, vn)d(tt, vn) — ф(я, v„)0'(n, vn) =
= ф'(я, vn)*K vn)=l. (10.6)

220
ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Из (10.5) и (10.6) следует, что величины ф'(я, vn) и
/&(я, v„) суть корни квадратного уравнения г — F(vn)z +
+ 1 = 0. Поэтому
Ф' (я, v„) = \ F (Vn) ± \ /*,2Ы-4, (10.7)
причем при заданной функции Ляпунова F(k) (а не
уравнения) знак перед корнем можно выбирать
произвольно.
Итак, для любого выбора чисел vn в лакунах и любого
выбора знаков в формуле (10.7) существует уравнение
вида (10.1). Остается показать, что функция Ляпунова
F (к) построенного так уравнения совпадает с исходной
функцией F(k).
Наряду с уравнением (10.7) имеет место уравнение
Ф' (я, vn) = -1- F Ы ± \- Vf1 Ы - 4. (Ю.7')
Из уравнения (10.7) следует
W (я, vn)-^-F (Vn)]2 = 4" F* (v-) ~ *'
откуда выводим F(v„) = (ф'2(я, vn)+l}/q/(K, v„). Точно
так же из (10.7') выводим F(vn) ={ф'2(я, v„) + 1}/
Ар'(я,Vn). Поэтому
F(vn) = F{vn), /г =1,2,... (10.8)
Положим F(K) = 2 cos 1/Хп + /(Я), F(k) = 2 cos УХп + f {X),
где f(k) и f {%) суть целые аналитические функции, для
которых справедливы оценки
f(X) = О(е*Щ/fXl), J(k) = 0(е*Щ /|Т|).
Из (10.8) следует /(vn)= f (vn). Поэтому из известных
интерполяционных теорем*) следует, что f(A,)=/(А,),
а значит, F(X)^F(X).
В заключение отметим, что результаты этого
параграфа нельзя рассматривать как полное решение обратной
периодической задачи Штурма — Лиувилля. Для полного
решения следует дать удовлетворительное описание
множества функций Ляпунова**).
*) См., например, Б. Я. Л е в и н [2].
**) Такое описание дано в работе В. Л. Марченко,
И. В. Островский [1].

§11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА ПО ДВУМ СПЕКТРАМ 221
§ 11. Определение регулярного оператора
по двум спектрам
1. Вывод формулы для нормировочных
чисел. Рассмотрим дифференциальное уравнение
-v" + q(*)v = bv, (ii.i)
в котором q(x) (О < х ^ я) — действительная
непрерывная функция. Присоединим к уравнению (11.1) краевые
условия
г/'(0)-/ч/(0)=0, у'{п)+Ну(п) = 0, (11.2)
y'{0)-h2y(0)=0, г/'(я)+#г/(я)=0, (11.3)
где hu h2 и Н — действительные числа, hi Ф h2.
Обозначим через Ко < Ki < К2 < • • •*, [х0 < [Xi < [х2 < . . .
собственные значения задач (11.1), (11.2) и (11.1), (И.З)
соответственно.
Далее, обозначим через ф(ж, X) и г|)(£, X) решения
уравнения (11.1), удовлетворяющие начальным условиям
ср(0Д)=1, Ф,(0Д)=Л1| ф(0Д)=1, ф/(0Д)=й2.
Собственные значения краевых задач (11.1), (11.2) и
(11.1), (11.3) совпадают соответственно с нулями
функций
Ф1(А,)=ф'(я, А,)+#ф(я, К),
(11.4)
Ф2(А,)=г1),(я, А,)+#г|)(я, Я).
Очевидно, ф(х, А,п)—фп(^) есть собственная фупкция
краевой задачи (11.1), (11.2). Как и прежде, число
п
ап == \ ф^ (х) dx называется нормировочным числом. В этом
о
пункте выведем формулу, с помощью которой можно
определить числа ап по известным двум спектрам
{К}п=о и {rf=o задач (11.1), (11.2) и (11.1), (11.3).
Тем самым решение обратной задачи по двум спектрам
будет сведено к уже исследованной обратной задаче по
спектральной функции.
Положим /(#, X)=rty(x, X)+#г(А,)ф(£, X) и потребуем,
чтобы /'(я, Я)+///(я, К)=0. Из последнего уравнения
следует
mm_ ^(яа) + щ(кЛ) - Фа(Х)
Ч; Ф'(я, Х) + Яф(л, X) Фх Ш"

222 ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Из этой формулы видно, что т(Х) является мероморф-
ной функцией, причем ее полюсы и нули совпадают
с собственными значениями задачи (11.1), (11.2) и
соответственно задачи (11.1), (11.3). С другой стороны, из
формулы Грина следует
п
(Я — (л) j f(x, Я)/(ж, \i)dx =
о
= /'(О, Л)/(0, v) - /(О, X) f (О, (i) = (h, - К){т {%) - т{у)).
Полагая и. = Я, получим
эх
I
|/(ЖД)|2^ = (/11-/г2)^^).
Из этой формулы следует, что если й4 > h2 (hi < h2),
то функция т(к) отображает верхнюю полуплоскость на
себя (на нижнюю полуплоскость). Поэтому нули и
полюсы функции т(%), т. е. собственные значения задач
(11.1), (11.2) и (11.1), (11.3), перемежаются.
Снова применяя формулу Грина, получим
(Я — Яп) J / (х, Я) ф (х, Яп) йж =
о
= /' (О, Я) ф (О, К) - /(О, Я) ф/ (0, Я„) = К - hx.
С другой стороны,
я
(Я —- Яп) J / (ж, Я) ф (ж, Яп) их =
о
я
= (Я — Яп) J i|) (ж, Я) ф (.х, Яп) dx —
о
я
Ф (Я) С
— Ф" Мф^-щ] Ф(х» Л)ф(ж1 K)dx = h2 — hi.
1 о
Полагая здесь Я ->■ Яп, получим
а„ = (йх - /г2) ф; (?д/ф2 (jg. (И .5)
Формула (11.5) в дальнейшем играет важную роль.
Используя элементарные свойства функций Ф4(Я) и Фг(Я),

§ И. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА ПО ДВУМ СПЕКТРАМ 223
докажем, что из формулы (11.5) следует формула
оо
\~hi T7' Ч~К
ОСп —
П'-^ч (и.6)
Рп ~~ кп k==Q \ik — ^n
где символ JX (ниже и 2j ) означает, что в бесконечном
произведении (сумме) пропущен член с номером п.
Хорошо известно, что функции Oi(A,) и Ф2(^),
определенные в (11.4), суть целые аналитические функции
половинного порядка и поэтому с точностью до постоянных
множителей определяются своими нулями
к=о \ Ak 1 h^o \ rhJ
где Си С2 — постоянные числа. Из этих формул и (11.5)
следует
а _^ h*~hi Ci "ГТ ^k T\f ^k ~ ^n
№п ~ кп С2 и^о ^k k=^o ^k ~~ ^n
Поэтому, чтобы получить формулу (11.6), нужно
показать, что
£Й£--1. (11.7)
U2 ft=o Кк
Заметим, что, как следует из асимптотических формул
для решения уравнения (11.1) (см. § 2, гл. I),
Нт Ф1(Х)/Ф2(А,) = 1, т.е.
и»£-П(1-тП(1-^Г-
.-»-оо С2 /1=0 \ Kk I \ Pk I
ft ОО ОО л л
= ^П НтП £=£-1. (И-8)
Докажем теперь, что
Hm ft £^Г = Нт ( 1 + %=%)- 1. (И.9)
Из известных асимптотических формул для собственных
значений задачи Штурма — Лиувилля (см. § 2, гл. I)
следует, что Xk = к2 + О (1), \ih = к2 + 0(1). Поэтому
Xh— fife = 0(1) и ряд 2d
fc=0

Расходится равномерно

224
ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
в окрестности точки X = —°°. Следовательно, в
бесконечном произведении (11.9) можно перейти к пределу в
каждом члене, т. е.
a,-»-oo/i==o \ ^k K 1
Из этого равенства и равенства (11.8) следует (11.7).
2. Асимптотическая формула для чисел
ak. Пусть заданы две последовательности собственных
чисел {К}п=о и {\in}n=o задач (11.1), (11.2) и (11.1),
(11.3). Если q(x)— достаточно гладкая (дважды
дифференцируемая) функция, то имеют место асимптотические
формулы (§ 2, гл. I)
п п3 \п J
а° = 4" Г1 + Н + ~Т J q ^ ds '
f — \ q(s)cls\, и, следовательно,
(11.10)
где а0 ■= 4" \К + н + -т- \Q (s) ds)' ao = —\h2 + H +
а'о-*о = ~(К-К)фО- (li.ii)
Возводя равенства (11.10) во вторую степень, получим
2 ' 3
/г \ /г
(11.12)
jxn = rc2 + 2a; + 4- + °f-ir).
/г \ п J
2 г» ' '2 о '
причем с0 = а0 + 1ах, с0 = а0 + Ааг.
Для вычисления асимптотики чисел ап воспользуемся
формулой (И.6). Прежде всего отметим, что разность
h<> — /г, может быть вычислена на основании формулы
(11.11). Вывод асимптотики для чисел ап не прост, и мы
разобьем его на несколько этапов.

§ 11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА ПО ДВУМ СПЕКТРАМ
225
а) Рассмотрим бесконечное произведение Wn =*
П 1 +7^ Г~ )• Логарифмируя, получим lnYn =
h=0
/ \
= i In 1 + —^—г— . Из асимптотических формул
(11.12) для Kk и \xh следует, что при достаточно больших
п Ф к | (Xk — \xk)I {\xk — К) I < С In (здесь и в дальнейшем С
обозначает не обязательно одну и ту же постоянную
величину). Разлагая логарифмы под знаком суммы в
степенные ряды, получим
k=0 р=1
(-pp-i/X-^V
(11.13)
Лемма 11.1. Пусть \цк-^Кк\<а (к = 0, 1, 2,...).
Тогда
Г
/i=0
Vk
н-
С In П/П, /7 = 1,
Сар/пр р>2.
(11.11)
Доказательство. Имеем
2'
k=0
ч-н
н-к
•<^2
k=0
\н-к\р'
Нетрудно видеть, что сумма справа имеет при больших п
тот же порядок, что и сумма интегралов
П — 1 оо
dx \ dx
I
+
Эти интегралы оцениваются следующим образом:
"F1 dx ^ С "f1 dx ГО (In и/га), р = 1,
J (^-^p^»" J (/i^-*)" lO(l/i»p). Р>1;
оо со
I
г> -I 1
х" - 11п
„it (^^_)P
2 1/Нп
/."«
О
х—п -f1
In п\
Эти оценки доказывают лемму.
15 б. М. Левитан, И, С. Саргсян

22G
ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Продолжим изучение In Ч^п. Из оценок (11.14)
следует, что
оо оо
7t=0 ?J=3
(-d1-1 (h-н^
Ph~~K
оо оо
. V 1 V'
Р--3 7i=0
„з
<сЖ5-с5Ж$-°№
р=3
Поэтому
оо оо
V' Ч - Н 1 V / h~H "
taT-2^=^-i-ili5^l+o^]. («.ад
б) Итак, нам следует изучить асимптотическое
поведение сумм справа в равенстве (11.15). Первую сумму
запишем в виде
Х5 ОО / / ч
** Lb -
+ 2
^ H ~ ^ Fl0 ~" К ft^i ^ ~" ^
oo
+ 2 [(** - M/<) - 2 («o - <)]Г 1
b
/i=i
+
Мь - К К
оо
2 [(%h — Мл) — 2(ао — «о)] =
fe=i
= 50 + 2 (a0 - a,',) ^ + S2 + 53, (11.16)
где введены очевидные обозначения. Из формул (11.10)
следует
Sn =
h-Vo
ОО
^з = — 2 [(Ий - Я/<) — 2 (в0 — «о)]
^+°(£
V7i /i=l
f- [(fi» - К) - 2 (я0 - a,;)] = 4 + О (4'
где /1 = £'[|1,4-Я„ -2 (а0 - ^)].

I U. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА ПО ДВУМ СПЕКТРАМ 227
в) Рассмотрим теперь сумму S2:
Н [Ч - Н - 2Оо - ОЬОо ~ со)
ft=1 ^п(ИА— К)
s, = 2'
+
+
"п-^о V
1
К ~ ^-V
Из формул (11.12) для чисел Xk и (xft следует, что
Н [(К ~ Ы - 2 (а0 - ai)] - (с0 - с0) = О (к'1).
Поэтому
у' н [(К - н) -2 (%-%)]-(со - с'о) <
^ К (^к" К) ""
h=l
с_
2
п
Следовательно, Sz ■=-
£2'
Sy f О
/i=i
fcUlft-^u|
°ш
со~го с , oLl
Из асимптот-
веских формул для S0, S, и £3 и формулы (11.1G) следует
со
- Л + """'?'° + 2 (a„-fl;) + ApL^ + оЩ. (11.17)
/Г Л№ у ге-
Л.чучнм теперь поведение суммы Si. Очевидно
1
1 & н-к к *+*.
;.|.0(й-2)-хп
1
СО ОО ОО
^ А* - яп "а° Й (** - xnf & (* - *„)« о (*») +
+ 2V
2«п / 1
0 + °ь
А2 - >..
** (*'-*«)
"]2
&=1
г - я.
п 1+-
к %п
кг{к'-К),
15*

228
ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Мы использовали простое тождество —-—= 1 — х А -—
1 + х ' 1 -\- х'
оо
Используя теперь очевидную оценку "V : =
£i *а(*2-*»)я
— 0\ — )п лемму 11.1, получим
оо оо
г) Рассмотрим теперь вторую сумму в разложении
(11.15). Из асимптотических формул (11.12) нетрудно
вывести, что
оо
4-2'
fc=o
Н - %п
оо
= -2{a,-aQ)'^ \ ъ+0(±). (11.19)
Поэтому из (11.17), (11.18) и (11.19) следует
inYn=i±^ +
2 (а0 — а0) +
оо
2'-
ft=i ь~-К
оо
-[4а'0(а0-а'0) + 2 (а0 - а0)2] 2 ,,а \ ч2 + 0("т)-
(11.20)
Изучим теперь поведение суммы 2'(&2 — ^п) Р (р = 1» 2).
С этой целью введем в рассмотрение известную формулу
со
1 I X
2^- = -[с18яП-
Ь=1'
лУх)2Ух
(11.21)
и рассмотрим подробно случай /? = 1. Положим 1/Хп =
п + г, где £ = -~ + "^ + 0(^г)- Из (11.21) следует
V_i_
_1_
2Я.
г^с1вя/^+?=л;

§ ii. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА ПО ДРУМ СПЕКТРАМ
229
2п
J_
2ri
Я Ctg 8 1
2 (п + е) 2пг + в5
-МЗ-
1 яе (2^г + е) cos яе — 2 (гс + е) sin яе
2 2е (гс + е) (2^г + е) sin яе
„2,
Аналогично доказывается, что
оо
Поэтому из (11.20), (11.22) и (11.23), после
элементарных преобразований, следует
1п¥„ = -1-[л + Мо-Я0 + 4(ао-«о)2 +
+ — (ао — а'о)
+ 0 Mr.
Итак,
¥„ = 1 + -j [A + (х0 - Х0 + 4 (я0 - *0')2 +
Рассмотрим теперь в формуле (11.6) множитель
(h2 — ui)/([xn — Кп). Из асимптотических формул (11.12)
и формулы (11.11) имеем
\-\
K — h.
К-К 2(а'0-а0) + (с'0- cQ)/n* + О (п ~3)
\~\
1
со-со
2 К - ао) L 2 К - ао) *
Так как в силу формул (11.10) и (11.11)
K~hi я со-со _ ао + а0
+ 0!
, ai-ai
1" / X
2К-ао) 2' 2«~ао) 2 -о о
то окончательно для чисел <хп получаем асимптотическую

230
ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
формулу
а,,
где
+
я
~2~
5 + \ (ао
а0) — а0 -
+ 0
а
+
(11.24)
s = мо — яо + 2 [(и* — Ьь) — 2 («о — «о)1-
Замечание 1. Формулой (11.24) можно
пользоваться, начиная с достаточно больших п. Для небольших
п числа ап следует вычислять непосредственно по
формуле (11.6). Разность h2 — }iy определяется из равенства
(11.11). Заметим еще, что из перемежаемости
последовательностей \^"}^=о и {м-и}?Т=о следует положительность
всех чисел ап.
3 а м е ч а и и е 2. Если в асимптотических формулах
(11.10) заданы дальнейшие члены, то аналогично можно
вычислять дальнейшие члены в асимптотическом
разложении чисел ап. Однако вычисления становятся намного
более громоздкими.
3. Достаточные условия разрешимости
обратной задачи по двум спектрам.
Результаты предыдущих двух пунктов этого параграфа не
только дают процедуру восстановления классического
оператора Штурма — Лиувплля по двум возрастающим
последовательностям действительных чисел, но позволяют
также указать необходимые и достаточные условия для
того, чтобы существовало уравнение вида (11,1), для
которого эти последовательности являются спектрами при
условиях (11.2) и соответственно (11.3).
Теорема 11.1. Пусть заданы две
последовательности действительных чисел, удовлетворяющие следующим
условиям:
1°. Числа Кп и \хп перемежаются, т. е. Х0 < [г0 < К <
< jii < Х2 < и-2 < . . . (или р,0< ^0< [A4< A,i< [х2< Х2< . . .) •
2°. Выполняются асимптотические формулы (11.10),
причем а^ф а0.
При выполнении этих условий существует абсолютно
непрерывная функция q(x) и числа hu 1гг и Н такие, что
{XJ есть спектр задачи (11.1), (11.2), a {\ij — спектр
задачи (11.1), (11.3).

§ 11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА ПО ДВУМ СПЕКТРАМ 231
Доказательство. Пусть заданы две
последовательности чисел IX п) и {jun} с указанными выше
свойствами. Определим по формуле (11.6) последовательность
чисел {ап}. Для этой последовательности имеет место
асимптотическая формула (11.24). Рассмотрим функцию
«w-ririi
\in ~ X
По условию ее нули и полюсы перемежаются и,
очевидно, при X ->■ — °° т(к)-+ — i/ {ho — fei). Поэтому
со
"<Х)—^+2м^- <"•25,
причем все ап одного знака. А так как ап > 0 при
больших п (см. формулу (11.6)), то все ап > 0.
В § 8 было показано, что по числам {Хп} и {aj можно
однозначно определить абсолютно непрерывную функцию
q(x) и числа hh Я, причем последовательность {Кг}п=о.
является последовательностью собственных значений
задачи (11.1), (11.2).
Определим число h2 из уравнения /г2 = hx + п{а0 — а0),
и пусть {т }~=0 есть последовательность собственных
значений восстановленного по {Хп} и {ап} уравнения
(11.1) при краевых условиях
J/'(0)-ft2j/(0)=0, т/»+#1/(л) = 0
(числа h2 и II были определены выше). Если покажем,
что хп — jLin (п = 0, 1, 2, ...), то теорема будет
полностью доказана.
Обозначим через ср(#, Я) и if>(#, I) решения
(восстановленного по {Xj п {а„}) уравнения вида (11.1) при
начальных условиях
ф(0, Ь)=1, ф'(0, ^=^5
г|з(0Д)-1, ^(0Д)=й2.
Тогда полюсы и нули функции
т( ' ~~~ ([/(лД)-|- /Уф(яа)
совпадают с числами (AJ и {rj соответственно. Как по-
казаио выше, числа {X J и {т„> перемежаются и при X -*■
•>+оо, т(А)-+—1. (3 другой стороны (см. формулу

232
ГЛ. VI. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
4 = ^^ResmM|^n.
С-\ К~К + Ъоа^~К) (11,26)
Из^ формул (11.25) и (11.26) следует, что т{Х) =
= m(X)/(h2 — 7^) и, следовательно, тп = |in, что
полиостью доказывает теорему.
Замечание 3. Из § 2 гл. I знаем, что для
существования асимптотических формул (11.10) следует
потребовать существования второй абсолютно непрерывной
производной у функции q(x). Поэтому в решении
обратной задачи имеется разрыв в необходимых и достаточных
условиях (так как удалось доказать при наличии
асимптотики (11.10) абсолютную непрерывность только первой
производной функции q(x)). Для устранения этого
разрыва следует более детально изучить асимптотику чисел
ah. Здесь мы этого делать не будем, отослав читателя
к работе Б. М. Левитана, М. Г. Гасымова [1].
Указания к литературе
§ 1. В линейной алгебре оператору преобразования
соответствует подобие (линейная эквивалентность) матриц.
Понятие оператора преобразования для дифференциальных
операторов возникло в связи с теорией операторов обобщенного
сдвига впервые у Дельсарта: см. Дельсарт [1], [2], Б. М.
Левитан [3], [4], Дельсарт, Лионе [1]. Термин «оператор
преобразования» был предложен В. А. Марченко [3]. Во французской
литературе принят термин «трапемутация»: см. Дельсарт, Лионе [l].
Общее определение оператора преобразования заимствовано нами
из статьи Дельсарта, Лионса [1].
§ 2. Мы уже отмечали выше, что идея оператора
преобразования впервые возникла у Дельсарта. Он рассмотрел частный
случай дифференциальных операторов: см. Дельсарт [2]. В общем
виде формула (2.2) впервые была выведена А. Я. Повзнером [J].
Вывод интегрального уравнения (2.20) заимствован из
монографии В. А. Марченко [2].
§ 3. Впервые основное иптегралыюе уравнение обратной
задачи по спектральной функции было получено в работе И. М. Гель-
фанда, Б. М. Левитана [1]. Этой работе предшествовала важная
работа В. А. Марченко [3], в которой была доказана однозначная
определенность оператора Штурма — Лиувилля по спектральной
функции.
(И.6)),
Поэтому

УКАЗАНИЯ К ЛИТЕРАТУРЕ
233
§ 4—7. Основные результаты этих параграфов впервые были
опубликованы в работе И. М. Гельфанда, Б. М. Левитана [1]. Здесь
приведены частично другие доказательства. Другой подход к
обратным задачам см. в работах М. Г. Крейпа [1] — [7]. В работе
И. М. Гельфанда, Б. М. Левитана [1] между необходимыми и
достаточными условиями разрешимости обратной задачи имелся
разрыв в одну производную.
Теорема 6.1 без разрыва в необходимых и достаточных
условиях впервые была доказана другим методом М. Г. Крейном [41.
§ 8—9. Результаты этих параграфов впервые опубликованы в
работе И. М. Гельфанда, Б. М. Левитана [1].
§ 10. Первым периодической обратной задачей Штурма — Лиу-
вилля занимался И. В. Станкевич [1]. Ему же принадлежат
изложенные результаты и метод. Другой подход к обратной
периодической задаче Штурма — Лиувилля см. в монографии В. А.
Марченко [2].
§ 11. Теорема единственности классического оператора
Штурма— Лиувилля по двум спектрам принадлежит Боргу [1]; см.
также работы Левинсона [1] и Б. М. Левитана, М. Г. Гасымова [1].
Исследование разрешимости классической обратной задачи
Штурма — Лиувилля по двум спектрам с указанием достаточных
условий впервые проведено в работе Б. М. Левитана [4]. Другой
подход к этой задаче, которому мы в основном следовали в § 11,
имеется в работе Б. М. Левитана, М. Г. Гасымова [1]. В последней
работе рассматриваются также достаточные условия разрешимо*-
сти обратной задачи Штурма — Лиувилля по двум спектрам на
полупрямой.
М. Г. Крейн разработал оригинальный метод для решения
обратных задач, в том числе и по двум спектрам; см. его работы
[1]-[3].

Часть вторая
ОДНОМЕРНЫЙ ОПЕРАТОР ДИРАКА
Глава VII
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ В РЕГУЛЯРНОМ СЛУЧАЕ
§ 1. Определение оператора и его основные^ свойства
1. Рассмотрим матричное уравнение
™»в-(-0. »)• "м-(';$ ;::!:!)• *.(*>-*.«.
притом Pik{x) (£, & = 1, 2)—действительные функции,
определенные и непрерывные на интервале [0, л], к —
параметр.
Уравнение (1.1) эквивалентно системе двух
совместных обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка
У г + Рп (х) Ух + Pi2 (•*) У г = ^/i> „ 2\
— У1 + Р21 {х)У1 + Р22 {*) У г = ^2-
В том случае, когда Рп(х) = Ри{%)— О, рп(х)= V(x)+ т,
Ргг {%) = F (я) — ?ft, где I7(я) — потенциальная функция,
а т — масса частицы, система (1.2) в релятивистской
квантовой теории известна под названием одномерной
стационарной системы Дирака.
Обозначим через Н = Н(х) гладкое ортогональное
преобразование двумерного пространства. Как известно,
всякое ортогональное преобразование в двумерном
пространстве имеет в фиксированном ортогональном порми-

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА II ЕГО СВОЙСТВА 235
рованном базисе матрицу вида
/coscp(x)—sinrp(x)
II [X) I sin ф ^ cos ф ^
Легко видеть, что матрицы В и Н коммутируют, т. е.
ВН = НВ. Положим у = H(x)z. Тогда, подставляя это
значение у в (1.1) и умножая обе части полученного
уравнения слева на Н~\ получаем
Н~'В £ (Hz) + H^PHz = H^UIz
или
Вычислим матрицу Q(x)^H~1B j^H + Я-1 PH. Имеем
-In d %T_((f' (x)
H~lB^-H=
1ГЛ PH =
йл=1'0 Ф'(*))'
Pn cos2cp-!-p]2sin29+p22sm29 P12cos 2ф+ тг (P22"~^ii)sin2cp
I
4P12cos 2ф+"2 (r22~"^n)sin 2cP Pnsin2cp—P12sin 2cp+p22cos2cp
Поэтому матрица Q имеет вид
9 ('х') — i / \ * \
\ч <712 И ?22 И
I Ф'-l Pn cos2 Ф + Рг2 s5n 2'f-f р,,., sin2 Ф vv2 pos 2<р + — (р2> — 2?1Х) sin 2ф
I P13 cos 2ф + — (р22 - pxl)sin 2ф ф' + 2J1L sin2(p - pi2 sin 2ф + р22 соз2Ф
Функцию Ц){х) выберем так, чтобы #i2 (#) = (). Тогда
jPi2 (^) cos 2ф (я*) + у {^22 (■*") — Ри (^)} siR 2ф (^) = 0.
Отсюда, если ^ц(^)^/^з(^), то *)
2 ЬР1г(*)-7>а2(*>'
*) Если р\\{х) ^ /?22(^), то ср(я) = я/4. В других случаях
сведение системы: (I.J) к системе (1.4) требует дополнительных
исследований.

236 ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
и матрица Q(x) принимает вид
Поэтому уравнение (1.3) можно переписать в виде
( 0 l\dz t (р(х) 0 \ « ,, /ч
(-1 o)s + ( о г(*))*-и (*-4)
Выберем теперь функцию ф(я) так, чтобы spur(?(x)==
= qii(x)+q22(x)=0, т. е. 2ф'(ж) + Рн(ж) + р22(ж)= 0.
Отсюда
X
Ф (*) = — 4" J {Pu (*) + />12 (*)} ds-
о
Тогда уравнение (1.3) примет вид
(.1 !)s+(;g :?«)->' (^
Уравнения (1.4) и (1.5) мы будем называть в
дальнейшем каноническими видами уравнения (1.1) (или
системы (1.2)). При исследовании различных вопросов
спектральной теории уравнения (1.1) удобно
пользоваться тем или другим каноническим видом. Так, например,
при исследовании асимптотического поведения
собственных значений и собственных вектор-функций, а также
вопросов разложения произвольной вектор-функции по
собственным вектор-функциям уравнения (1.1) (при
наличии некоторых однородных краевых условий в точках
0 и я) удобно пользоваться каноническим уравнением
(1.4). А при изучении таких вопросов, как, например,
асимптотическое распределение собственных значений
уравнения (1.1), заданного на бесконечном интервале,
а также обратной задачи удобно пользоваться
каноническим уравнением (1.5).
2. Итак, рассмотрим краевую задачу для уравнения
(1.1), предварительно приведя его к каноническому ви-
ДУ (1.4):
У2-{Ь+РН}уг = 0, у[ + {Ь + г(х)}у2 = 0, (1.6)
У! (0) sin а + ?/о (0) cos а = 0, (1.7)
2/i(n)sinp + y2(n)cos$ = 0. (1.8)

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА И ЕГО СВОЙСТВА 237
Будем предполагать, что функции р(х) и г(х)
непрерывны на интервале [0, я].
Пусть при некотором Х0 рассматриваемая краевая за-
/ 7 \ __ [ух(хЛо)\
дача имеет нетривиальное решение У \х> Ао) ~ I у /х,% ))'
В этом случае число Х0 называется собственным
значением, а соответствующее решение у(х, Х0)—собственной
вектор-функцией.
Лемма 1.1. Собственные вектор-функции у(х, Xi)
и z(x, X2), соответствующие различным собственным
значениям ii¥=X2, ортогональны, т. е. (ут=(Уи Уг))
л я
J yTz dx = ) {y± (x, X±) z± (xr Х2) + у2 (х, Х±) z2 (х, Х2)} dx = 0.
Доказательство. Так как у(х, А,4) и z(x, Х2)
являются решениями системы (1.6), то
Уг — {К + Р (х)} Ух e Of z2 — {К + Р (х)} zx = °>
Ух + {К + Г(Х)}У2 = 0, z[ + {Х2 + r{x)}z2 = 0.
Умножая эти уравнения соответственно на zu —z2, —z/i
и z/2, а затем суммируя, получаем
—х {Ух (*, К) Z2 (Xi К) — У2 (*. К) ZX (*. К)} =
= (К — К) {Ух (*. К) ZX (Х, К) + У2 (Х, К) Z2 (*. К)}'
Теперь, интегрируя это равенство в пределах от 0 до я,
находим
л
(А,х — К2) J z/T (х, Х±) z (x, X2) dx =
о
= {Ух (*» К) Ч (*, К) — У2 (*, К) Zx (х> ^г))?-
Правая часть этого равенства равна нулю в силу краевых
условий (1.7) и (1.8). Лемма доказана.
Лемма 1.2. Собственные значения краевой задачи
(1.6)\ (1.7), (1.8) действительны.
Доказательство предоставляем читателю (см.
лемму 1.2 гл. I).

238 ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
§ 2. Асимптотические формулы для собственных значений
и собственных вектор-функций
1. Займемся теперь выводом асимптотических формул
для собственных значении и собственных вектор-функций
краевой задачи (1.6), (1.7), (1.8). Из этих формул, как
это было и в случае задачи Штурма — Лиувилля, в
частности, будет следовать существование бесчисленного
множества собственных значений.
При выводе асимптотических формул для собственных
значений и собственных функций задачи Штурма —
Лиувилля в § 2 гл. I, существенно были использованы
интегральные уравнения (2.4) и (2.5) гл. I для
фундаментальной системы решений уравнения Штурма —
Лиувилля. В случае системы Дирака можно также выписать
формулы, аналогичные формулам (2.4) и (2.5), и
провести дальнейшие рассуждения в том же плане. Однако
здесь мы предлагаем другой метод. При изучении
асимптотического поведения собственных значений и
собственных вектор-функции системы Дирака очень удобно
привлекать так называемые операторы-матрицы
преобразования, вывод и некоторые применения которых даны
в § 3 гл. X. Здесь мы приводим только определение этих;
операторов и окончательный их вид.
Пусть А и В — два линейных дифференциальных
оператора, Еп и Е2 — два линейных функциональных
пространства.
Определение. Линейный непрерывный оператор
X, отображающий пространство Е{ в Е2, называется
оператором преобразования, если он удовлетворяет условиям:
Г. АХ = ХВ.
2°. Существует непрерывный обратный оператор Х~{.
Пусть А и В имеют вид
где Ри(.т)ч rh(,r) (к --= 1, 2)— действительные и
непрерывные функции на интервале [0, л].
Пусть Е{ и Е2 суть совокупности непрерывно
дифференцируемых вектор-функций f(x) и g(x), удовлетворяю-

§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 239
щих краевым условиям
/1(0)siriT + /2(0)cosT-0,
(2.2)
gi(0)sin6 + g2(0)cos6 = 0,
где "f и б — произвольные действительные числа.
Как показано в § 3 гл. X (замечание), в этом случае
оператор-матрицу преобразования X можно задать в виде
X
X {/ (*)} = R (х) / (х) + J К (х, s) / (s) ds, (2.3)
О
где R(x) и К(х, s)~ непрерывно дифференцируемые
матрицы второго порядка, притом R(x) имеет вид
*(*) = («<*> Р(*>А
v > \— Р {х) а (х)у
а функции а(х) и $(х) вычисляются явно (K=sec(6—ч)):
а (,г) = — sin I— spur [/I — В] dx + arcsin — |,
о
111 1
Р (я) = — cos Jt,- spur [Л — В\ dx + arcsin —
* о
(2.4)
2. Обозначим через ср(я, Я) решение системы (1.0),
удовлетворяющее начальным условиям
cpi (0, X) = cos а, ср2 (0, X) = —sin a. (2.5)
Очевидно, что ф(х, Я) удовлетворяет краевому условию
(1.7). Рассмотрим задачу (1.6), (2.5) при р(х)= г(х)= 0.
Как нетрудно убедиться, в этом случае (обозначаем
решение этой задачи через ^(х, Я))
ifi {xi М= cos {kx — а),
(2.6)
^ (-Л А.) = sin (Ах1 — а).
Применим теперь оператор-матрицу преобразования
к решению задачи (1.6), (1.7). Система (1.6) имеет вид
А1У = [ dx \y = hj. (2.7)
\ dx /
С другой стороны, вектор-функция ф(х*, Я), определенная

240 ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
равенствами (2.G), является решением уравнения
\ dx J
Так как я|)(х, X) является решением уравнения В^ = А,г|),
то в силу определения оператора-матрицы
преобразования X имеем
А{Х{^} = ХВЛЦ) = ХЩ} = Щф},
т. е. ф = Х{г|)} есть решение уравнения А{{ц)} — Хц>. Итак,
если г|э(#, X) есть решение уравнения (2.8), то ф(х, Х) =
= X{ty(x, X)} есть решение уравнения (2.7). В
рассматриваемом случае Pi(x)=—Р{х), г{(х) =—г(х), р2(х) =
= г2 (х) = 0. Следовательно, spur [At — В{] = — [р (х) +
+ г(х)]. Кроме того, так как краевые условия (2.2)
теперь заменяются краевым условием (1.7), то 4 = 8, так
что к = 1. Поэтому в силу (2.4) для а(х) и $(х)
получаем выражения
(м- 1
а (х) = cos | y ] [р (т) + г (т) ] dx j,
* о '
P(a-) = sin Ц-|[р(т) + г(т)]<*т .
(2.9)
0
Из (2.3) для решения ф(х, А,) задачи (1.6), (2.5)
получаем
х
ф (х, Х)= R (х) я|) (ж, X) + J Z (ж, 5) if (5, Я) ds,
о
откуда, учитывая выражение матрицы R(x) через
функции а(х) и $(х), их значения из (2.9), а также явный
вид вектор-функции г|з(х, X) из (2.6), для компонентов
q>i(x, X) и ф2(#, X) вектор-функции ф(х, X) получаем
следующие формулы:
<Pi (*» ^) = cos {I (х, X) — °) +
х
+ J {ки (s» s) cos fis — °0 + ^12 (z> 5) sin (^ — а)} ds, (2.10)
о
ф2 (ж, Я) = sin {£ (х, X) — а} +
ос
+ J {^2i (х> s) cos (^ —сс)—7Г22 (х, s) sin (Xs — а)} ck2 (2.11)

§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 241
где
X
1{х,%) = и-^\ [р(т) + г(т)] dx, (2.12)
о
а Кц(х, s) (i, j = 1, 2)— элементы матрицы-ядра К(х, s)
из (2.3).
Лемма 2.1. При \Х\ ->■ °° равномерно по х [при 0<
^ х ^ я) справедливы оценки
ф1 (#, А,) = cos {£ (#, А,) — а) + О (X"1),
ф2 (х, X) = sin {I (х, X) — а) + О (Аг1),
^- Фх (х, Х) = —х sin {£ (х, Х) — а} + О (1),
^т ф2 (я, А,) = ж cos {£ (х, X) — а} + О (1).
(2.13)
(2.14)
Доказательство. Для получения оценок (2.13)
достаточно интегралы, входящие в формулы (2.10) и
(2.11), интегрировать по частям, что возможно в силу
дифференцируемости функций K{j(x,s). Оценки же (2.14)
доказываются аналогично, если сначала
продифференцировать равенства (2.10) и (2.11) по X. Лемма доказана.
Лемма 2.2. Собственные значения краевой задачи
(1.6), (1.7), (1.8)— простые.
Доказательство. Так как ф(х, X) удовлетворяет
краевому условию (1.7), то для определения собственных
значений рассматриваемой задачи нужно подставить
значения функций (fi(x, X) и фг(я, X) в краевое условие (1.8)
и найти корни этого уравнения. Положим
D (X) = ф4 (я, X) sin (J + ф2 (я, X) cos (J,
тогда
Пусть Хо — двукратное собственное значение, а
(f°(x,X0)—одна из соответствующих собственных вектор-
функций. Тогда одновременно должны выполняться уело-
dD(K) л
вия £>(Я0)= 0 и -5^ = 0> т-е
ф! (я, К)sin P + Ф2 (я, К)cos P = °«
— <pj (я, А,0) sin р + — ф° (я, Х0) cos p = 0.
1С Б. М. Левитан, И. С. Саргсян

242 ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Так как sin [i и cos [} одновременно не обращаются в нуль,
то из последних двух равенств следует
й(п,У^-Ф>,Ч%^ = 0. (2.1Г,,
Теперь, дифференцируя систему (1.6) по Я, имеем
ду2\' ду
(ОиЛ' ду, (2ЛС>
Умножая уравнения систем (1.6) и (2.16) соответственно
ду, ду
на -грг, — ^Г, — г/t и у2, суммируя, а затем интегрируя по
х в пределах от 0 до л, получаем
л
Г ду ду \л с*
{ Vi {х, Ц j^ —У2 (х, Ц д^)0 = J \у\ ('»>•) + У2 (•?', *)] <?*•
Полагая здесь Я, = К0 и учитывая, что в силу (2.10) л
(2.11)
д< (*. *„)
<Д
зф°2(*л0)
0,
~-0 дК
и используя равенство (2.15), получаем соотношение
п
|Пф?(*А)12 + (ф2>А)}2]^'==
о
о, , уУа(^п) ггоГтт п*р;(*л)__0
= ф1 (^) ло) «^ ф2 ^ ' °^ ~oi ~~ '
откуда следует, что ф? (х Д0) = ср^ (я, \) = 0, т.е.
q:°(^r, Х0)= 0, что невозможно. Лемма доказана.
3. Как уже отмечалось выше, собственные значения
краевой задачи (1.6), (1.7), (1.8) совпадают с корнями
уравнения
(fi(n, I) sin [J + ф2(я, Я) cos p = 0.
Подставляя сюда значения функций cpi(jr, l) и ср2(я, Я)
из оценок (2.13), получаем
sin(Xn-0)+O(^-1)-0, (2.17)

§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 243
где в силу (2.12)
t) = Р - а - у j" {^ (т) + г (т)} dr. (2.18)
о
Для больших Ш уравнение (2.17), очевидно, имеет
решения и они, как нетрудно видеть, имеют вид (этот
факт доказывается так же, как и в случае оператора
Штурма — Лиувилля в § 2 гл. 1)
пкп — 0 = пп + бп.
Подставляя эти значения в уравнение (2.17), находим,
что sin6n == 0{п~^), т. е. 8п = 0(п~1). Поэтому для
собственных значении получаем следующую асимптотическую
формулу:
К— ~±"+°(~)> (2.19)
где число и определяется формулой (2.18).
Если предположить, что функции р(х) и г(х) из
системы (1.6) дифференцируемы, то формулы (2.19) можно
значительно уточнить, а именно, можно выписать
следующие члены разложения:
К^± + п+С^+С^ + о^). (2.20)
Пользуясь формулой (2.19). получим
асимптотические формулы для собственных вектор-функций ср(.г, Кп)
Ti(-r, К)= u,i(jr), ф2(.г, Х„) = vn{x),
а именно:
ип(х) = cos(5* — ос)+ О (/г М,
(2 21)
X
где In = I (х, К) = >ч^ — 4" J {Р (т) + г (т)} dx-
о
Чтобы получить асимптотическое разложение
нормированных собственных вектор-функций, рассмотрим
интеграл
a?i = J {м£(я) + v2n(x)} их = я + Of—J.
о
10*

244 гл. vii. спектральная теория, регулярный случай
Следовательно, нормированные собственные
вектор-функции имеют вид
§ 3. Доказательство теоремы разложения методом
интегральных уравнений
1. В настоящем параграфе покажем, что, как и в
случае оператора Штурма — Лиувилля, можно доказать
полноту собственных вектор-функций системы Дирака
на конечном интервале методам интегральных уравнений.
Будем искать решение системы
Vi-fr + rWyx-fAx), (3.1)
yi + {X + r(x)}ya = -fa(x) (3.2)
(/ (х) ^ 0 — непрерывная вектор-функция),
удовлетворяющее краевым условиям
у{ (a) sin a + у2 (a) cos a = 0, (3.3)
у,(Ь)sin р + уг(Ь)cos р = 0. (3.4)
Пусть X — фиксированное комплексное число.
Обозначим через ф(х, X) решение системы (1.6),
удовлетворяющее начальным условиям
q)i(a, X) = cos а, ф2(а, Х) = — sin а, (3.5)
а через i|:(x, А,) —решение той же системы,
удовлетворяющее начальным условиям
гМй, A,)=cosp, \|;2(&, Я)= — sin р. (3.6)
Если ф(х, А,) и if (ж, А,) линейно независимы, т. е.
если ф(х, X) не есть собственная вектор-функция (если
ф(х, ?i) = Caf(x, Я), то ф(х, Я) удовлетворяет и краевому
условию (3.4) и, следовательно, является собственной
вектор-функцией), то определитель Вронского
Фх (*, X) Ф2 (*, >„) I
И^ф, я|)} =
0.
Наоборот, если для некоторого Я определитель
Вронского W{cp, if}= (J, то ф{^? %) = С$(.х, X) и, значит, ф(#, X)

§ 3. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 245
есть собственная вектор-функция. Таким образом,
собственные значения краевой задачи (1.6), (3.3), (3.4)
совпадают с нулями определителя Вронского W{q>, г])}, если
рассматривать последний как функцию от X.
Докажем, что И^{ф, ф} от х не зависит. Имеем
ф2 — {^ + Р (*)} Ф1 = О, Ь — & + Р (х)} $i = °> 3 „
Ф1 + {^ + г(х)}щ = О, $[ + {X + г(х)}^2 = 0.
Умножая эти уравнения соответственно на i|)i, — if2, — ф4,
ф2 и суммируя, получаем
(фЖ — ФЖ — ^Ф1 + Ф1Ф2) (я. ^ = 0,
т. е.
-j-x (фЛ — ф2%) (я, Я,) = -jj T7 {Ф, я|)} = 0,
что и доказывает утверждение. Значит, И^{ф, if} зависит
только от Я: И^{ф, if}^ со (Я).
=(:;)
Введем обозначения: для матрицы и = \
Транспонированную матрицу обозначим через ггт, т. е. и* = (гг±, гг2).
Поэтому в силу правила умножения матриц имеем
u^v = (и2, w2) f J- 1 = и^ + u2v2,
Пусть вектор-функции ф(х, Я) и if (я, А,) имеют
прежние значения, а со(Я)= МЧф, if}. Положим
(т-^^(*Д)фТ(</Д)> У<х,
С(х,уЛ)=Г[Х) (3.8)
G(x, у; X) называется матрицей Грина,
Покажем, что вектор-функция
ъ
y(x1X)=iJG(x,y;X)f(y)dy (3.9)
а
(где /(#)— та же вектор-функция, что и в системе (3.1),
(3.2)) есть решение системы (3.1), (3.2),
удовлетворяющее краевым условиям (3.5), (3.4).

246 ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Действительно, по определению, имеем
G(x, у; X) =
1 /Фх (*, а) я|)1 (у, а) фх (ж, а) %
3(A) \ср2 (.Г, Х)^(У, А) %(Х, А)Я|)2
(У, А)
(?/, а)
1
Ф^У, A)^(;r, а) Ф^?/, А) ^ (ж, а)
х СО (А) \ф2 (у, А) Я|51 (Ж, А) ф2 (У, А) Я|52 (*, А)
Поэтому
G (х, у; X) / {у) =
' _1_ /Ч(*' w ^i(?/' ^ ^ -I- ^ (*> л) ^^' м /2(у)
| о) (а) \ч2(х, а) ^(у, а) ^(у) + Ф2 (х, К) Щу, д) f2(y)
1 / ф,№, А) Ч\[х, А) ^(У) + Фх (у, Я) гр2(аг, А) /2(уГ>
,1(у) + ^(уЛ)%(хЛ)^2{у)
У
х.
СО (А)
/фх(У, *.)%(*, А)/1
\Ф2(У, А)^(:Г, А)/х
У<Х.
Следовательно, полагая [wTi;] (у) = ^ (г/) v{ (у) + и2 (у) v2 (у),
из (3.9) получаем
у1 (х, Я,) =
СО (А)
t
(хД)|[Фт/](г/)^
+
ь >
+ Ф1 (хД) f [^/] (г/) dy , (ЗЛО)
У-z (-Л *•)
^щ-{^(^Д)|[ф7](г/)^ +
+ ф2(^'Д) j [фт/](у) ^ • (3.11)
Дифференцируя равенство (3.10) по х, находим
у[ (х, X) =
/ х Ъ
ti (*, *) J [ф71 (у) ^г/ + <pi (*, *) j [l>7] (г/) ^ -
и а)
Ф1 (Х, ^) И1! (*> *■) /] И + ^2 (*, Ц U [Х)\ +
+ i|>i (ж, Я,) [фг (х, I) /j (.х) + ф2 {х, X) /2 (х)]

§ 3. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 247
Подставляя сюда значения функции фх (х, X) и г^ (х, X)
из системы (3.7), имеем
!>2(*Д) |[фт/](г/)^ +
а
+ Ф2 (ж, A,) J [фт/] (У) Л/ - ^щ {Ф1 (ж, Я,) i|>2 (ж, Я,) -
х )
-(f2(x,K)^(x,l)}h^)- (3-12)
Учитывая равенство (3.11) и тот факт, что
q>i(#, Я,)ф2(#, Я-)— ф2(#, Л,)if>±(л:, Х) = W{<$, г|:}= со (Л),
равенство (3.12) можно переписать в виде
у[ (х, Я) = — {Я + г (ж)} г/2 (х, Я) — /2 (.г),
что совпадает с уравнением (3.2). Аналогично
доказывается выполнимость уравнения (3.1). Значит, вектор-
функция (3.9) есть решение системы (3.1), (3.2).
Непосредственно проверяется, что она удовлетворяет и
краевым условиям (3.3), (3.4). Утверждение доказано.
Итак, доказана
Теорема 3.1. Если X не есть собственное значение
однородной краевой задачи (1.6), (3.3), (3.4), то
неоднородная система (3.1), (3.2), (3.3), (3.4) разрешима при
любой вектор-функции f(x) и решение дается формулой
(3.9) (так называемой резольвентой). Напротив, если X
есть собственное значение однородной краевой задачи
(1.6), (3.3), (3.4), то неоднородная система (3.1), (3.2),
(3.3), (3.4), вообще говоря, неразрешима.
Если X не есть собственное значение однородной
краевой задачи, то неоднородная система имеет
единственное решение. В самом деле, разность двух решений
неоднородной задачи есть, очевидно, собственная вектор-
функция однородной задачи, и в силу принятого
предположения она тождественно равна нулю.
Можно предположить, что число X = 0 не является
собственным значением. В противном случае выберем
фиксированное число rj и рассмотрим краевую задачу
У2 — {(^ — Л) + Р (х)} Vi = °> У\ И sin а + У2 (а) c°s a =0,
у[ + {{X — г\) + г (х)} у2 = 0, уг (Ъ) sin p + У2 (Ъ) cos р = 0.

248 ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Собственные вектор-функции у этой задачи те же,
что и у задачи без т], а все собственные значения
сдвинутся на т]. Очевидно, что можно подобрать г| так,
чтобы для новой задачи число нуль не являлось уже
собственным значением.
Положим G(x, у\ 0)=С(х, у). Тогда, по
доказанному, вектор-функция
y{x) = \G{x,t)f{t)dt
есть решение системы
Уъ — Р (х) Ул. = /i (*)• y'i + r (х) У2 = — U (х)>
удовлетворяющее краевым условиям (3.3), (3.4).
Перепишем систему (3.1), (3.2) в виде
А.
dX ly = f(x) + by. (3.90
На основании предыдущего можно утверждать, что
система (3.1), (3.2), (3.3), (3.4) эквивалентна системе
интегральных уравнений
ъ
y(x)=iJG(x,t){f(t) + ly(t)}dt
а
ИЛИ
ъ ъ
y(x)-b$G(x,t)y(t)dt = $G(x, t)f(t)dt = g(x).
а а
В частности, однородная краевая задача (1.6), (3.3),
(3.4) эквивалентна системе интегральных уравнений
ъ
y(x) — X^G(x, t)у (t) dt = 0. (3.13)
а
2. Обозначим через Я0, X±i, Я±2, ..., Я±п собственные
значения краевой задачи (1.6), (3.3), (3.4), а через
v0(x)1 v±i(x), v±2{x), ..., v±n(x), ...— соответствующие
нормированные собственные вектор-функции, и
рассмотрим ядро-матрицу
Н(хЛ)= 2d —5 • (3-14)

§ 3. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 249
В силу асимптотических формул, полученных в § 2,
ряд для Н(х, £) вне каждой окрестности диагонали
х = \ сходится равномерно. Далее, из ограниченности
sin пх
П= —оо
частичных сумм ряда ^ следует ограниченность
частичных сумм ряда (3.14), и поэтому его можно
почленно интегрировать.
Рассмотрим теперь ядро-матрицу
Q(z,Z) = H(x,t)-G(x,Z) = -G(x,l)+ 2 "п{Х\""®.
Легко видеть, что ядро Q(x, |) непрерывно, так как
Н(х, £) и G(x, £) всюду, кроме диагонали \ = х,
непрерывны, а на диагонали имеют один и тот же скачок:
G(x,x + 0) — G{x,x — 0) = H(x,x + 0) —
-H(x,x-0)=[_l J);
Кроме того, ядро Q(x, |), удовлетворяет условию
Q(x, |) = <?T(£, х). Это условие обеспечивает
самосопряженность интегрального оператора с ядром Q(x, |).
Поэтому всякую матрицу, удовлетворяющую этому
условию, будем в последующем называть самосопряженным
ядром.
По известной теореме теории интегральных
уравнений всякое самосопряженное ядро Q(x, |), не равное
тождественно нулю, имеет по крайней мере одну
собственную функцию, т. е. существуют число Я0 и вектор-
функция и(х)Ф0, удовлетворяющие уравнению
ъ
и (х) + Х0 J Q (х, I) и (£) dl = 0. (3.15)
а
Таким образом, если покажем, что ядро Q(x, %) не
имеет собственных вектор-функций, то получим Q(x, £) = 0,
т. е.
G(x,l)= 2d Г • (ЗЛ6)

250 ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Из уравнения (3.13) следует, что
ъ
^G(x,l)vk(l)dl = ^-vh(x). (3.17)
а
Вычислим теперь интеграл
\Q{x,l)vh{l)di = q{x)=lyqq^.
В силу определения матрицы Q(x, £) имеем
ъ ъ
q (х) = J Н (х, 1) vh (I) dt-$G (.r, 1) ок (I) dt (3.18)
а а
С другой стороны, каждый член ряда (3.14) имеет вид
1 Ы „т /tx _ ± (Vm <*) "ш Ф Vn & vn2 (Е)\
к п {) п (У ~ *„ и2 (х) ,nl (I) vni (х) vn2 (i); •
Поэтому, если обозначим
г (1гл (х)\
то. в силу ортонормированности собственных вектор-
функций vn(x), получим
ъ
hi (x) = y~] \vki (х) v2kl (I) + vhl (x) vfi2 (I)} dl = j- vkl (x),
a
Ь
К (X) = — J 1^2 (X) Vkl (I) + Vk2 (x) V2k2 (£)] <%>=— Vk2 ^'
b
т. e. h(x)= vk(x)/Kh. Тогда в силу (3.17) и (3.18)
получим
ъ
q (х) = j Q (х, I) vk (I) dl = {-hvk (v) -±vh (x) = 0, (3.18')
a
т. е. ядро Q(x, I) ортогонально ко всем собственным
вектор-функциям краевой задачи (1.6), (3,3), (3.4).
Пусть п(х) — решение уравнения (3.15). Покажем,
что и(х) ортогональна ко всем vn(x). В самом деле, из

§ 3. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 251
уравнения (3.15) следует (#=(?«))
ъ
Щ (*) + ^0 I fell (*» £) М1 (5) + ?12 (*> £) "2 (5)} <£ = 0>
а
Ь
м2 (х) + ^0 J {q21 (х, I) и, (I) + </22 (яг, |) м2 (£)} d£ - 0.
а
Умножая первое из этих уравнений на vni(x), а
второе— на vn2(x), и затем интегрируя по х в пределах от
а до Ь и, наконец, суммируя, получим
J uT(x) vn(x) dz + X0§ и (I) J<?T(x, I) vn(x) dx\dl = 0.
a a [a J
(3.19)
Так как Q(x, |) = <?т(|, ж),тов силу (3.18')
ь ь
\ <?т (х, I) Vn (x) dx^[o (l, r) i>n (.г) Ах = 0.
а а
Ъ
Поэтому из (3.19) следует, что | ит (.г) уп (я) йг = 0.
а
Тогда, в силу определения матрицы Q(x, с), заключаем
ь ъ
и (х) + К f Q (х, I) и (I) dl = и (х) — Л,0 f G (т, £) dl = 0,
т. е. и(х)—собственная вектор-функция краевой задачи
(1.0), (3.3), (3.4). А так как и(х) ортогональна ко всем
собственным вектор-функциям vn(x), то и(х)==0 и,
следовательно, Q{x, |) =0.
Теорема 3.2 (теорема разложения). Если
f(x) имеет непрерывную производную и удовлетворяет
краевым условиям (3.3), (3.4), то f(x) разлагается в
абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по
собственным вектор-функциям краевой задачи (1.0), (3.3),
(3.4):
(#), где ап= \ f (x)vn(x)dx. (3.20)
Доказательство. Положим
/о (х) — р (х) /х (х) = hx (x), /i (х) + г (х) /а (х) == h2 (x).

252 ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Тогда, в силу формулы (3.9'), имеем
/ (х) = J G (х, I) h (6) dl, h (x) = ^ j*j),
или, используя выражение для G(x, £) из (3.16),
oo ^ сю
/(*)= 2 м^о—J &Tu)MS)d£— 2 Mn^.
7l=—oo n a n=—oo
Далее, из этого равенства следует, что
с»
f(x)= 2 anvl{x).
П= —OO
Умножая это равенство справа на vn(x), а затем
интегрируя в пределах от а до Ъ, в силу ортонормировапности
собственных вектор-функций г;п(;г) получаем
ъ
an = \f(x)\vn(x)dx. (3.20')
a
Теорема доказана.
Теорема 3.3. Для каждой вектор-функции f(x) с
интегрируемым квадратом в интервале [а, Ь]
справедливо равенство Парсеваля
ъ
lf(x)dx= 2 a*, f(x) = fl(x) + fl(z). (3.21)
Доказательство. Если f(x) удовлетворяет
условиям предыдущей теоремы, то равенство (3.21) следует
непосредственно из равномерной сходимости ряда (3.20).
В самом деле, умножая разложение (3.20) слева на
Г(х), а затем интегрируя в пределах от а до Ь, в силу
(3.20') получаем
ь ъ
J f\x) /(х) dx = \ f (x)dx =
a a
oo Ь oo
= 2 ^n J /т (ж) г;п (ж) da; = 2 am
n=—с» а П= —oo
т. е. равенство (3.21).

§ 3. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 253
Распространение равенства Парсеваля на
произвольные вектор-функции класса 3?г{а, Ь) осуществляется с
помощью обычных приемов.
3. Возвратимся к формуле (3.9). Как уже
отмечалось, правая часть этой формулы называется
-резольвентой. Мы показали, что резольвента существует для всех
Я, которые не являются собственными значениями
краевой задачи (1.6), (3.3), (3.4). Покажем теперь, как
получить разложение в ряд Фурье для резольвенты, если
известно разложение f(x).
Вектор-функция у(х, Я), определенная по формуле
(3.9), удовлетворяет краевым условиям (3.3), (3.4).
Поэтому, интегрируя по частям, получаем (см. (3.9'))
ъ
J (#у(*, h)Tvn{x)dx =
а
Ъ
= J I [у 2 — Р (я) У A vn\ — [y'i + г (х) у A vn2] dx -=
а
= {У2 fa К) Vni (X) — У\ (X, Я) Vn2 (х)}Ъа —
ь
— ) [[vnl + r{x)vn2\y% — [vn2 — p(x)vnAy1}dx =
а
Ъ
= К \ vTn (х) у (х1 Я) dx = Xndn (Я). (3#22)
а
Г т
Пусть у (х, Я) == 2 dn (Я) vn (x), an= f (x) vn (x) dx.
Тогда из системы (3.9') и равенства (3.22) следует
ь ъ
ап = \ f (x) vn (x) dx = J (By(x, h)Tvn (x) dx—
а а
Ъ
— Я J yT (х, Я) vn (x) dx = (Яп — Я) dn (Я).
а
Отсюда dn (Я) = a J (Яп — Я). Следовательно, разложение
резольвенты имеет вид
оо
у(хЛ)= 2 T~=rVn^x)- (3,23)
п= — оо п

уЛ*)Г
254 гл. vii. спектральная теория, регулярный случай
§ 4. Периодическая н антипериодическая задачи
Рассмотрим задачу на собственные значения для
системы
или, в развернутом виде,
Ьh + Р (*) Ух = ^Уъ —y'i + г (х) у2 = Ху2. (4.1)
Предположим, что коэффициенты этой системы, т. е.
функции р(х) и г(х), суть действительные гладкие
периодические функции с периодом а, т. е. р(х + а) = р(х),
г(х + а)=г(х) для любого действительного х.
В связи с системой (4.1) рассмотрим следующие
краевые условия:
0i(O)=0i(a), Ы0) = уа(а), (4-2)
У.(0)=-у,(а), уо(0) = -у2(а). (13)
Краевая задача (4.1), (4.2) называется
периодической, а краевая задача (4.1), (4.3)—антипериодической.
Наряду с задачами (4.1), (4.2) и (4.1), (4.3) будут
полезны также задачи для системы (4.1) при краевых
условиях
01 (0) = 01 (я), (4.4)
Уг(0) = у*(*). (4.4')
Обозначим через ф (х X) = ( °Pl *' | и О (т, X) =
^ v ' 7 \Ф2(^, A)/ v ' 7
„ , . N I решения системы (4.1), удовлетворяющие
"О12 '^' ^//
начальным условиям
Ф1(0, X) = fl2(0,^ = 0, q>2(0, Ь) = <40, Ь)=1- (4.5)
В силу системы (4.1) имеем
"Ф, d»l ха ,a (/i"6)
Умножая эти уравнения соответственно на —f>i, —0, cpi

§ 3. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ II АНТИПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧИ 255
и ф2, а затем их суммируя, получаем
f| (Ф! (х, X) <К (х, X) - ф2 (х, К) Ь, (х, I)} = 0.
Поэтому
q>i{x, К)$2{х, А,)-ф2(я, ^)Oi(a:, Я,)= const = -1. (4.7)
Таким образом, решения ф(х, К) и f} (я, К) линейно
независимы и образуют базис решений системы (4.1).
Предположим, что Ко есть собственное значение
задачи (4.1), (4.2), а у(х, К0) есть соответствующая
собственная вектор-функция. Тогда найдутся такие
постоянные числа d и С2, что
У (х, Ко) = С\ф (х, Ко) + С2и (х, Ко),
или в координатах
yi{x, ^0) = С1ф1(ж, X0)+C,0i(^, Хо),
Уг(ж, ^0)=С1ф2(л:, Х0)+С2'62(Ж, Я0).
В силу краевых условий (4.2) и начальных условпй
(4.5) из последней системы находим
C2 = Ciq>i(a, Х0)+С201(а, Х0),
(4.8)
d - С^2(а, А0)+ C2f]2(a, Я0).
Чтобы система (4.8) алгебраических уравнений
имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно,
чтобы обращался в нуль определитель этой системы, т.е.
(с учетом равенства (4.7))
= Ф1 («, ^Мя, К)
— ф2 К ^о) ^1 К К) — 1 + Ф2 К \)) + ^1 («, К) =
= Ф2(Л, \)) + М^ ^0)-2 = 0.
Таким образом, собственные значения перподическо13[
задачи (4.1), (4.2) суть корни уравнения
в4(а, К)+ч>г(а, К)=2. (4.9)
Аналогично доказывается, что собственные значения
антипериодичеекой задачи (4.1), (4.3) суть корни
уравнения
fli(a, Я)+фа(а, X)- — 2. (4.10)

256 ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
В случае периодической (антипериодической) задачи
собственные значения могут быть кратными (не выше
второй кратности). В отличие от задачи Штурма — Лиу-
вилля, функции Ь^х, Я) и ф2(х, Я) колеблются как в
сторону положительных, так и в сторону отрицательных
Я. Поэтому для системы (4.1), как и в случае
разделенных краевых условий, спектр простирается от —°о
до +оо.
Аналогично тому, как в случае задачи Штурма —
Лиувилля, доказывается
Лемма 4.1. Для кратности собственного значения X
периодической (антипериодической) задачи необходимы
и достаточны условия
в4 (а, Я) = ф2 (а, Я) = 1, #2 (а, Я) = ср4 (а, X) = О
(4.11)
(fli(a, Я) = ф2(а, Я) = — 1, «2 (а, Я) = ф1(а, Я)=0).
Замечание. Достаточно проверить только вторую
часть условий (4.11). Действительно, если €2(а, А,) =
= ф1(а, Я)=0, то из постоянства вронскиана (равенства
(4.7)) следует, что ф2(#, Я)'в,1(а, Я) = 1. Кроме того, так
как X — собственное значение, то fti(a, Я) + ф2(а, Х) =
= ±2 и, значит, тЭДа, Я) и ф2(а, Я) суть корни
квадратного уравнения X2 ± 2Х + 1 = 0, откуда следует, что
вДа, Я)=ф2(а, Я)=±1.
Как и в случае задачи Штурма — Лиувилля,
кратность собственного значения не столь просто связана с
нулями функции
F(K)T2 = til(a, Я)+ф2(а, Я)+2.
Теорема 4.1. Точка X является кратным корнем
уравнений ^(Я)1*1 2 = 0, если и только если
«2 (а, £)=ф1(а, Я) = 0, (4.12)
т. е. X является кратным собственным значением.
Доказательство. Если выполняются условия
(4.12), то, в силу замечания к лемме 4.1, ^(а, Я) =
= ф2(а, Я)=±1. Далее, равенство (4.7) можно записать
в виде
- ф10а = 1 - ср^, = 1-4 {(*i + Ф2)2 - (»i - ФЛ-

§ 3. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ И АНТИПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧИ 257
Если выполняются условия (4.12), то правая часть
последнего равенства в точке X = X имеет кратный корень,
так как левая часть обладает этим свойством. Но
правую часть можно записать в виде
Т<Г2 - (*i + ЧЬИ [2 + (»i + Фа)]} + 4 (*i - <?*?'
Так как ^(а, Я)=ф2(а, X), то (Oi — ф2)2 в точке Х = Х
имеет кратный корень. Следовательно, это же верно и
для [2 — (di+ ф2)] [2 + ('01 + ф2)]. Но если X есть
собственное значение, например, периодической задачи, то
второй множитель 2 + (©i + ф2) =^_4 и, значит, функция
2 — (©1 + ф2) — 2 — F(X) при X = X имеет кратный корень.
Наоборот, пусть F'(X) = 0, т. е. X является кратным
корнем уравнения F(X)=±2. Дифференцируя уравнения
(4.6) по X, имеем
-Л + <**>-*> 1 - ф- - ssi+ir <*> - м-rf - *2>
дфг (О, Ц дф2 (О, Ц 34^(0,*,) д#2(0, Ц
0А, ~~ 0А, ~ ' 0Х ~" дА, '
Поэтому, решая эти задачи для вектор-функций дц>/дХ и
д$/дХ методом вариации произвольных постоянных,
находим
7Г = <Pi (*> я) j Фт (Б, *) ^ (6, *) <*6 - «1 (*, *) j Ф2 (6, *) <*6,
о о
X х
^ = ф2 (*, *) j Фт (5, Я) О (g, Л) dg - #2 (х, Я) J ф* (g, Я) dg,
О О
(4.13)
^ = ф1 (х, Я) j fl2 (g, Я) dg - дх (х, Я) j Фт (1, Я) О (|, Я) dg,
О О
х х
ж2 - Ф2 (х, Я) j <И (I, Я) dg - 0а (а-, Я) j Фт (g, Я) Ь (g, Я) dg,
О
17 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян

258 ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
где фт0 = Ф1Ф1 + ф2#2, Ф2= Ф1+ Фг- Из равенств (4.13) при
х = а следует (F(X) = Oi(a, Х) + ф2(а, X))
а
^=(ф2-*1)|фТ(1.^)^(5, *)« +
+ ф1 j О* (g, Л) dg - 02 J Ф* (|, Я) dg (4.14)
О О
(здесь и в дальнейшем ф(а, Я), Ф(а, Я) обозначим
через ф и О).
Пусть теперь — 2<F(X)< 2. Тогда
(»i + ф2)2 = *i + Ф2 + 2^1ф2 < 4 = 4 (ФА - ф^,),
(«I ~ Фа)2 = (в| + Ф2)2 - 4в1фа =
= (Oi + ф2)2 — 4 — 4ф!«2 < — 4ф102.
Поэтому ф4 и 02 отличны от нуля и имеют
противоположные знаки.
Тождество (4.14) преобразуем следующим образом:
dF(X)
dX
а
= <p,J (of (i, *) + ^^ *1 (5, я.) ф1 (I, я) - ^ ф»(б, x)}dg+
а
+ Ф1J {^ (5, Л) + ^^i fl2 (|, Я) ф2 (|, Л) - £ф! (|, X)}d|-
= Ф1 | {*! (6, Л-) + Н^ Ф1 (5, Ц <$ +
а а
+ iz^iM J<p?(6. *)<$ + Ф2 jka м
1 А П
О О
^2
+ \^ ф2 (6, *)}" dl + Ц^ j ф« (I, Я) <$. (4.15)
1 * о
Правая часть этого тождества отлична от нуля, а ее
знак совпадает со знаком ф1# Поэтому F(X) в точке, в
которой F2 (X) < 4, не может иметь ни максимума, ни ми-

§ 3. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ И АНТИПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧИ 259
нимума. Поэтому, если F{X) = 2 и F'(X)<0 в некоторой
точке Я, то F(X) убывает до тех пор, пока она не
достигнет значения —2. Так как F(X) колеблется в обе
стороны изменения Я, что следует из асимптотических формул
для di(x, X) и ф2(#, X) (аналогичных формулам (2.13)),
то, в отличие от задачи Штурма — Лиувилля,
собственные значения периодической и антипериодической задач
для системы (4.1), перемещаясь, распространяются в обе
стороны до бесконечности, т. е.
. . .< Х-2 < Х-1 < JX-2 < JX-i < Х0 < Х{ <
< М^о ^ щ < Я2 ^ Х3 < м-2 < М^з < ...
Здесь ко, Я±1, Я±2, ... — собственные значения
периодической задачи, a [x0l [i±i1 [л±2, ... — собственные значения
антипериодической задачи.
Предположим теперь, что X = X есть нуль функции
F(X)—2 второго или более высокого порядка. Тогда,
если предположить, что q)i(a, Я)^0, то из_формулы (4.15)
получим противоречие с тем, что F' (Я) = 0. Поэтому
q)i(a, Я)=0. Аналогично доказывается, что Ф2(а, Я) = 0.
Поэтому Oi(a, Я)ф2(а, Х)= 1,_р1(а, X)— 2 = — ф2(а, Я) —
= —1/0±(а, Я), откуда [^(а, Я)— I]2 = 0, т. е. 04(а, Я) =
= 1 и, значит, ф2(а, Я) = 1.
Таким образом, условия
01 (а, X) = ф2 (а, Я) = 1, *2 (а, Я) = <pt (а, Я) = 0 (4.16)
необходимы для появления у функции F(X)—2 нуля
второго порядка. Как следует из формулы (4.14), они
также и достаточны.
Аналогично доказывается, что необходимые и
достаточные условия появления кратного корня у функции
F(X)+ 2 имеют вид
«i(a, Я)=ф2(а, Х)=— 1, 02(0, A,)=<pi(a, Я)=0. (4.17)
Покажем, что функция F(X)—2 не может иметь
нулей выше второго порядка.
Дифференцируя уравнения (4.6) два раза по Я,
получаем следующие задачи относительно вектор-функций
17*

260 ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
дЧ/дУ? и д2ц/дХ2:
h + {Р (х) - Ц—£ = 2-зЛ
дЧ, дЧ0 д$а
11+{г(^)-Я}_| = 2ж2,
д\(0, X) дЧ2(0, X)
дХ2, дХ2,
о,
д3ф, д2ф0 дфл
dzc^2 V ' дХ2 д^
д\ю, X) _а2ф2(о, х) п
Эти задачи решаются методом вариации
произвольных постоянных. Для наших целей достаточно иметь
выражения для компонентов d2di/dk2 и <92ф2/<9Х2:
д\ (*, X) __
д)? ~~~
О / lxf/*V5' Я) a /t in МАЧ /* 1x1,76
о
— 2*х {х, I) j |—^— ф1 (ж, Я) + —^ ф2 (|, Я,)] dlt
д\0 (х, X)
дХ2
2ф2 (ж, X) J |—^ ■&! (|, Л) + —^— §2 (|, Я,) Jdg—
о
— 2fl2 (ж, Я) J ( —^— фх (g, Я,) + —^— ф2 (6, Я.) j dg.

§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ СЛЕДА 261
Полагая в этих формулах х — а, учитывая условия
(4.16) и суммируя, получим
d2F (Я)
<tt2
о
о
Если вместо д(р/дХ и д*д/дХ подставить их выражения
из равенств (4.13), то в результате после несложных
вычислений получим
d^t = _ J dl J{^ (g, К) ф1 (*, Я) - ^ (г, Я) ф1 (£, Щ*М-
о о
о I
~ W {Ъ± (g, X) Ф2 (*, X) - tt2 (*, К) ф1 (£, Я)}2 й.
о о
Правая часть этого равенства отрицательна, и
поэтому <PF (X)/dX2 \K=z£ Ф О, что и требовалось доказать.
Исходя из условий (4.17), аналогично проводится
доказательство в случае антипериодической задачи.
Теорема доказана.
§ 5. Вычисление следа
0<х<п, (5.1)
1. Рассмотрим краевую задачу
u'(x)-{p(z) + Mv(x) = 0,
v'(x)+{q(x) + X}u{x)=0,
и (0) cos a + и (0) sin a = 0, (5.2)
u(n)cos$ + v(n)sin§ = 0, (5.3)
где р(х), я(х)^С1(0, л), a а и (J — действительные
числа.
Обозначим через {^п}п°=-оо собственные значения
краевой задачи (5.1) — (5.3). Как было указано в § 2 этой
главы, при сделанных предположениях для достаточно

262 ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
больших п имеет место асимптотическая формула
К = с0 + п+С-±+О (^), (5.4)
где
л
с0 = р - а + i- J{p (x) + q (х)} dx, (5.5)
о
а значение с4 вычислим ниже.
Из формулы (5.4) следует, что ряд
оо
$Х = К + 2 (К + h-n — С0)
п=1
сходится. Этот ряд называется регуляризованным следом
одномерного оператора Дирака. Если предположим, что
функции р(х) и q(x) таковы, что
c0 = ±§{p(x) + q(x)}dx+$-u = Of (5.6)
О
то в этом случае вместо ряда SK получаем ряд
оо
^=2 К, (5.7)
П=—оо
который называется следом оператора Дирака.
Цель этого параграфа — найти SjJ. Мы докажем, что
справедлива формула
Si = \ {[? (0) - р (0)] cos 2а + [q (я) - р (я)] cos 2р}. (5.8)
2. Легко видеть, что решение системы (5.1),
удовлетворяющее условию ^(0, Я) =—sin а, у(0, Я) = cos a,
удовлетворяет системе интегральных уравнений
X
и (х, Я) = sin (kx — a) — J u (s, Я) q (s) sin Я (x — s) ds +
0
x
+ j v (s, Я) p (s) cos Я (x — s) <2s, (5.9)
0
x
v (x, Я) = cos (Ял — a) — J у (s, Я) p (5) sin X(x — s)ds —
0
x
— J u(s, Я) q{s) cos Я {x — s) ds. (5.10)
0

§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ СЛЕДА 263
Очевидно, что функции и(х, X) и и(х, К) удовлетворяют
также краевому условию (5.2).
Решая систему (5.9), (5.10) методом
последовательных приближений, получим (при больших Ш)
и (х, Я) = sin {ц {х) + Хх — а} + ±и {х, Ц + О МЛ (5.11)
v(x9K) = cos{y](x) + U- а} + -I V(x, Я) + <эЦД (5.12)
где
U {х, К) = -£- {р (х) — q (x)} sin {r\ (х) + кх — а} +
+ 4" & (°)"~ 3 (°)> sin {Ч И + ^ + а> -
— Т J & №~ q (s№ ds'cos ^ № + ^~~ аЬ
о
4" {Р (х) — 9 (*)} cos{t) (х) + %х — а} +
х
+ -^-){р {*) — <! (*)}2 ds» sin {т) (ж) + %х — а},
о
ас
о
Собственные значения краевой задачи (5.1) — (5.3)
являются корнями уравнения
и (я, X)cos$ + v{n, X)sinp = 0. (5.13)
Поэтому, используя выражения (5.11) и (5.12), из
уравнения (5.13) получим
\g%n = — tg{r\(n) — а + 0} —
^ 4"л 2, Л „ , R,ftP(0) - Ч(0)] sin2a-
А 4 cos {т] (л) — а + Р} t
- [р (я) - 9 (я)] sin 2P - 4" j IP (s) - д (s)]2 ds\ + 0(±}

264 ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Подставив Хп = п + бп вместо К, находим
^=- 4" fow-а + р>+п+-т+^й* <5Л4>
где
1 1 Г
1 4я cos2 {г] (я) - а + р} 1 ^v у tfV л н
~[p(0)-e(0)]sin2a+-|-J[p(s) —g(5)]a&L (5.15)
В силу условия (5.6) из формулы (5.14) следует
*» = » +-г+ 0 ("£-)' (5Л6>
причем
«1 = й" {1р (л) ~ ? (я)] sin 2Р ~ [^(0) _ q (0)1 sin 2а +
.1
+ 4-|[р(*)-в(*)]а*. (5-17>
о '
3. Обозначим левую часть равенства (5.13) через
Ф(Я), т. е. положим
Ф(Л)=в(я, X)cos|} + z;(k, X)sinp. (5.18)
Собственные значения задачи (5.1) — (5.3) являются
нулями функции Ф(Х). Кроме того, Ф(К) есть целая
аналитическая функция, поэтому ее можно разложить в
бесконечное произведение:
•ю-^-'Ш'-сМ1-!:)' <519)
где А есть некоторая постоянная величина, которая
будет определена позже. Сходимость бесконечного
произведения легко следует из асимптотической
формулы (5.16).
Изучим асимптотическое поведение обеих частей
равенства (5.18) при больших мнимых X = i\i. Затем,
сравнив коэффициенты при одинаковых степенях \х слева и
справа, получим, в частности, значение суммы 5^.

§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ СЛЕДА 265
Из равенств (5.2), (5.6), (5.11) и (5.12) следует
и (я, щ) cos Р + v (я, i\i) sin р =
p(jt)7g(jT) cos 2(5 + р(0)7?(0) cos 2a] +
P(K)-g(n)s.n2p_p(0)-?(0)sin2a +
= T^{i + i
+ 7
+4I^(s)-^s)}2Js]} + °(-^)- (5-2°)
С другой стороны, в силу известного равенства
in z = z И 1 —
sin
n=i
из (5.19) следует
*™-*(*-1)Ш1-£>{1-£
sh я|х
п *+SW
AB(v-\)s±^y(v), (5.21)
где
^о «=i
^п^-п
Изучим асимптотическое поведение функции if>(jii)
при больших [I. С этой целью рассмотрим In г|: (jx):
in ^ (fx) = — 2 24-
1 п + КпК_п - г> (Яп + К_п)
n=i й=1
оо оо
= -24-2
Легко установить, что
л2 + |*2
« + А,ПХ_П--*|А(ХП + Л,_Я)>>
2 | 2
-242
ft=2 п=1
"2 + M_n-^(^n+?i_n)^
n24v
°(^)-

266 ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Далее, в силу известной формулы
n-i »+^ " ^ V 2|i 2|ia+t4* '
получаем (используя формулу (5.16))
оо
Поэтому In я]; (ц) = ^L + -L 2 (*п + *-п) + О (4Л 0т-
сюда следует
с»
1Ф)-1 + -^ + -jr 2(**+*-«) + о(^-).
Подставив выражение я|:([х) из последнего равенства в
(5.21), получим
Ф О» - ^ ^ {« + -f «1" - i Jm Ц + О (А). (5.22)
Теперь, сравнив равенства (5.20) и (5.22), получим
формулу (5.8), а также равенство АВ = п, т. е. А = л/В.
Указания к литературе
§ 1. Канонический вид (1.4) системы двух уравнений первого
порядка был предложен И. С. Саргсяном [1], а (1.5) — М. Г. Га-
сымовым [1].
§ 2. Результаты этого параграфа в основном принадлежат Гур-
вицу [1]. Применение операторов преобразования принадлежит
Б. М. Левитану и И. С. Саргсяну [1].
§ 3. Полнота системы собственных вектор-функций для
системы двух уравнений первого порядка была доказана Гурвицем [1].
Применение метода интегральных уравнений принадлежит
Б. М. Левитану и И. С. Саргсяну [1].
§ 4. Результаты этого параграфа аналогичны соответствующим
результатам для оператора Штурма — Лиувилля; см. Титчмарш [1].
§ 5. След вычислил Э. Абдукадыров [1].

Глава VIII
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
В СИНГУЛЯРНОМ СЛУЧАЕ
§ 1. Доказательства равенства Парсеваля
на полупрямой
1. Как и в случае оператора Штурма — Лиувилля,
рассмотренного в гл. II, в этом параграфе получим те_о-
рему разложения и докажем равенство Парсеваля для
сингулярного оператора Дирака, рассматривая его как
предел регулярных задач.
Рассмотрим тот случай, когда интервалом является
действительная полуось [0, °°).
Итак, изучим задачу (0 ^ х < <»)
»;-{*+?! (*)}»!=of (l.i)
Л + {* + ?«(*)}У« = 0, (1.2)
где коэффициенты qi{x) и q2{x) непрерывны в каждом
конечном интервале [О, Ь].
Обозначим через ф(#, К) решение системы (1.1),
(1.2), удовлетворяющее начальным условиям (а —
произвольное действительное число)
(pi(0, Я) = cos а, ф2(0, А) = — sin а. (1.3)
Очевидно, что <р(х, X) удовлетворяет краевому условию
i/i(0, Я) sin a + г/2 (О, Я) cos a = 0. (1.4)
Далее, обозначим через Ъ произвольное положительное
число (в дальнейшем Ъ будет неограниченно расти),
а через р — произвольное действительное число и присо-

268 ГЛ. VIII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
единим к задаче (1.1), (1.2), (1.4) краевое условие
j/i(ft, k)sin$ +y2{b, A,)cos(5 = 0. (1.5)
Задача (1.1), (1.2), (1.4), (1.5)-—регулярная задача.
Обозначим через Хп,ъ собственные значения, а через
фп,ь(#)= ф(#» кп,ъ) — соответствующие собственные
вектор-функции этой задачи, удовлетворяющие начальным
условиям (1.3). Тогда, если f{x)^3?2(§, °°), a
ъ
а2п,ъ = J {ф?(я, К,ъ) + ф1(^, ?чь)} Аг,
о
то в силу равенства Парсеваля (см. формулу (3.20)
гл. VII)
\{fl(x) + ft(x)}dx= 2 ^\\f(*)Vntb(x)dz\. (1.6)
£ n=-oo an,b IJ j
Если ввести монотонно возрастающую функцию
скачков
о<*-п,ь<ь ап*ь (1-7)
Рь(*) = -Рь(-*) (*<<>),
то равенство Парсеваля (1.6) можно записать в виде
j \fl (*) + ft (*)} dx= J F* (Я) ф6 (Я), (1.8)
О —оо
Ь
где F (X) = J /т (ж) ф (ж, X) dx.
о
Ниже покажем, что равенство Парсеваля для задачи
(1.1), (1.2), (1.4) получается из равенства (1.8) при
Ь -*■ оо. Справедлива
Лемма 1.1. Для любого положительного числа N
существует такое постоянное положительное число А =
= -4(iV), не зависящее от Ъ, что
\/{Рь(Ь)}= 2 -4- = Рь(^)-рй(-^)<^
Доказательство этой леммы проводится в точности
так же, как это делалось при доказательстве соответст-

§ 1. РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ НА ПОЛУПРЯМОЙ 269
вующей леммы для оператора Штурма — Лиувилля (см.
гл. II, лемма 1.1).
Покажем теперь, что, используя лемму 1.1 и
известные теоремы о предельном переходе под знаком
интеграла Стилтьеса, можно получить равенство Парсеваля для
задачи (1.1), (1.2), (1.4).
Пусть вначале вектор-функция fn(x) обращается в
нуль вне интервала [0, /г], п<Ь, имеет непрерывную
первую производную и удовлетворяет краевому условию
(1.4). Применяя к этой вектор-функции равенство
Парсеваля (1.8), получаем
П 00
1 ifm(х) + f2n(х)} dx = J П(X) d9b (X), (1.9)
О —оо
где
ъ
Fn^) = \fr{x)y{xA)dxm (1.10)
Так как ф(#, Я) удовлетворяет системе (1.1), (1.2), то
(PiOz, Я) = -у [<pi —?i(*)<PiL
ф2 (я, К) = — [— Ф1 — Q2 (*) Фг]-
Поэтому из (1.10) находим
ъ
Fn (Ц = -i- J /1Я (х) [фз (ж, Я) — Sl (ж) фх (ж, Я)] dz +
о
ъ
+ "Т J ?2п № 1~" ф* ^' Л)"" д* ^ ф2 (*' ^ ^
о
Далее, в силу того, что обе вектор-функции /п(#) и
<р(х, Я) удовлетворяют краевому условию (1.4), a f(x) в
окрестности точки Ъ тождественно равна нулю,
интегрируя интегралы последнего равенства по частям, для
Fn{h) получим выражение
ъ
Рп (Ц = -J- J {<Pl (*• Х) 1/2П (*) — ?1 (*) /in («)] +
О
+ Фа (*. ^) [— /in (ж) — q2 (x) /2я (ж)]} **.

270 ГЛ. VIII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Поэтому для произвольного конечного N > 0 и в силу
равенства Парсеваля (1.8) имеем
ь
\K\>N IM>iV 'о
+ ф2 (ж, К) I — /in — q2 (х) /2Я) ] <£г | фь (X) <
СО / Ь
<^Г J |J [ф1(«Д)1/зя—?1 («)/»} +
+ ф2 (х, х) {—fin — q2 (x) /2n) ] dx\ dpb (Ц =
= ^Г JU/in-ffiH/i»]2 + [fin + ?2(*)/2п]2 ^.
Из этой оценки и равенства (1.9) следует неравенство
п N
J {fin (x) + fin (x) )dx- I Fl {%) dPb (X)
-JV
n
<
<^Г jl[/2»-gi(*)/i»]*+ [f'in + q2(x)Un]2}dx. (1.11)
0
В силу леммы 1.1 множество монотонных функций
{р6(Я)}, —N ^X<N ограниченно. Поэтому можно
выбрать последовательность bh такую, что функции р6/1(^)
сходятся к монотонной функции р{Х). Поэтому,
переходя в (1.11) к пределу по последовательности bh,
получаем
п N I
[ {/!»(х) + fin (х)} dx- J F* (I) dp (X) <
< ^r j If/in — ?i («) /in]2 + [/in + g2 (*) /2n]2l <**•
0
Наконец, полагая здесь N -*- °°, находим
n оо
j (/In И + & (*)} dx=l Fl (>.) dp (Я),

§ i. РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ НА ПОЛУПРЯМОЙ 271
т. е. равенство Парсеваля для вектор-функций fn{x),
обращающихся в нуль вне конечного интервала,
имеющих непрерывную первую производную и
удовлетворяющих краевому условию (1.4). Распространение равенства
Парсеваля на произвольные вектор-функции класса
3?2(0, оо) осуществляется в точности так же, как и в
случае оператора Штурма — Лиувилля (гл. II, § 1).
Итак, нами доказана
Теорема 1.1. Пусть вектор-функция f{x)^
^S?2(§, ©о). Существуют не зависящая от f(x)
монотонно возрастающая функция р{Х), — <х> < я < <*>, и
функция F(K) (обобщенное преобразование Фурье вектор-
функции f(x) no собственным вектор-функциям
оператора Дирака, т. е. задачи (1.1), (1.2), (1.4)) такие, что
имеет место равенство
оо с»
J 1/? (х) + й (*)) dx = J F2 (A,) dp (k). (1.12)
О —°°
Функция Р(К) является пределом в среднем
квадратичном последовательности непрерывных функций
71
рп (Л) = J {/х (х) фх (х, Я) + /2 (х) ф2 (х, Щ dx,
о
оо
т. е. lim f {F{k) — Fn(X)}2dp(k) = 0.
2. Пусть вектор-функции f(x) и g(x) принадлежат
классу 2?2(0, оо), a F{X) и G(A,)-—их преобразования
Фурье. Очевидно, что f(x)±g(x) имеют своими
преобразованиями Фурье функции F(k)±G(k). Поэтому в силу
(1.12)
оо оо
J {[/i + 8if (*) + [П + £2]2 (*)} dx = J {F + G}2 (Л) dp (X),
6 —оо
оо оо
I {f/i - fil2 И + I/i - £2]2 (г)} Ac = J {F - G}2 (*) dp (X).
О —оо
Вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем
оо оо
1 {/i • ёх + U • £2} (*) dx = J F (К) G (Я) dp (%). (1.13)

272 ГЛ. VIII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Равенство (1.13) называется обобщенным равенством
Парсеваля.
Теорема 1.2 (теорема разложения). Пусть
f(x)^S?2(0, oo)_ непрерывная вектор-функция (0^х<
<00)> ф(#> М и F(k) имеют прежние значения, а
интегралы
оо оо
J F (X) ф1 (х, X) dp (X), j" F (X) ф2 (х, Я) ф (X) (1.14)
— ОО —ОО
сходятся абсолютно и равномерно по х в каждом
конечном интервале. Тогда
оо
/iW= \ F(X)(p1(x1X)dp(X)f
/3(z) = j F(X)y3(x,X)dp(X).
Доказательство. Пусть g(x)—непрерывная
вектор-функция, равная нулю вне конечного интервала
[О, п]. Тогда (1.13) запишется так:
J {fiSi + /2ft} (х) dx =
— оо lo J
В последнем интеграле, в силу абсолютной сходимости,
можно изменить порядок интегрирования и переписать
все равенство в виде
о IL
U{x)- \ F(K)<p1(x,K)dp(K)\g1(x) +
+
U(x)- J F(X)<p2(x,X)dP(K)
g2(x)\dx= CL
В силу произвольности g{x), а также непрерывности
f(x) и функций (1.14) (непрерывность последних
следует из предполагаемой равномерной сходимости
интегралов (1.14)), коэффициенты при gi(x) и gi(x) под
знаком последнего интеграла равны нулю. Теорема
доказана.

§ 2. КРУГ И ТОЧКА ВЕЙЛЯ
27S
§ 2. Круг и точка Вейля
В этом параграфе по-прежнему рассматривается
интервал [0, о°), а функции qi(x) и д2(#) предполагаются
непрерывными в каждом конечном интервале.
Если для некоторого комплексного значения Я0
каждое решение ф(я, Я0) уравнения
1У={-°1 о)"Й + (о1 я2(х))у = хоУ
удовлетворяет условию
с» оо
j |ф(*, Wd*=J { 1 Ф1 (Ж, Я0) |а + |фя(я, K)f}dx<oor
О О
т. е. ф(я, Х0)<= 3?2(0, оо), то говорят, что для оператора
L имеет место случай предельного круга в
бесконечности; в противном случае для L имеет место случай
предельной точки в бесконечности. Чтобы оправдать это*
определение, необходимо показать, что эта
классификация зависит только от оператора L и не зависит от
выбранного частного значения К0. Этот факт в данном
случае доказывается в точности так, как в случае оператора
Штурма — Лиувилля (гл. II, теорема 2.2). Однако этого
делать не будем, так как в § 6 этой главы будет
доказано, что для оператора Дирака при сделанных выше
предположениях относительно функций qi{x) и g2(#)
имеет место только случай предельной точки.
Пусть ф(я, Я) имеет прежнее значение, а $(х, А,) —
решение системы (1.1), (1.2), удовлетворяющее
условиям
^(О, #)=sina, 02(0, К) = cos a. (2.1)
Теперь, если F(x) и G(x) — решения системы (1.1),
(1.2), соответствующие % и А/, то
*2
(},' — %) I FT(x)G(x)dx =
= f [Fi (*) [G2 + qx (x) Cj + F2 (x)\[- G[ + q2 (x) G2] +
xi
IS б. М. Левитан, И. С. Саргсян

274 ГЛ. VIII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
+ G, (х) [- F2 - qx (x) Fx] + G2 [F[ - q2 (x) G2]} dx =
X2
«= j £ W{F, G) (x) dx = WX=X2{F, G) - Wx=Xi {F, G}, (2.2)
В частности, если Я' = Я, то из (2.2) следует, что
WX{F, G)^Fi(x)G2(x)— F2(^)Gi(^)=const. Таким
образом, Шф, 0}= 1. Значит, ф(х, Я) и #(#, Я)—линейно
независимые решения системы (1.1), (1.2), и поэтому
общее решение системы можно представить в виде
«(ж, Х)+кр(х, Я).
Рассмотрим те решения, которые в точке х = Ъ
удовлетворяют краевому условию
«!(&, я)+гф1(&, a,)>cosp+wa(6, я)+/ф2(&, я)Ьтр = о.
(2.3)
Из этого условия определим I:
I
*г(Ъ, Wctgp + Oa(b, X)
Фх(&, Mctgp + q>a(b, Я)*
Для комплексных Я знаменатель правой части этого
равенства не равен нулю, так как собственные значения
регулярной задачи действительны. Поэтому если ctg (J
заменить на комплексную переменную я, то Z = Z (Л,, z)
есть мероморфная функция от Я, регулярная в верхней
и нижней полуплоскостях. Значит, имеем
J = ЦК, ж) = _ yi(6tX), + q)>(6tX) . (2-4)
Действительной оси z-плоскости соответствует
некоторая окружность Съ в Z-плоскости. Точке I = <*>
соответствует точка 2 = —ф2(Ь,_Я)/ф!(Ь,^Я), а центру круга
соответствует точка z = —ф2(6, Я)/ф1(й, 20- Значит, центр
круга находится в точке (заметим, что ф(6, Я)=» ф(й, Я))
Фх №, Я) ф2 (&, Я) - Ф2 (6, Я) Фх (&, V
Далее,
Im
f __ Ф,№. Ц) J_ . J Ф2 (ft, Я) __ Ф2 (ft, Я) |
1 ф1 (6, X)} 2 * | Ф1 (ft, X) ф1 (Ь, X) J
1 . Ф2 (ft, Я) Фх (ft, Я) — Ф2 (Ь, Я) Фх (6, Я)
2 | Ф2 (Ь, Я) |

§ 2. КРУГ И ТОЧКА ВЕЙ ЛЯ 275»
Если Л' = Л, X = u + iv, то в силу (2.2) (тогда G(x) =
= F(x)) из последнего равенства следует, что
ь
<* (ь w\ J (cpi(*' х) ф1(*' Х) + ф2 <*» ^ % <*' *•)} d*
Это равенство показывает, что если i; > О, то верхней
г-полуллоскости соответствует внешность круга С&.
Вычислим теперь радиус круга Сь. С одной стороны,
точка —©2(6, Я)/ф2(Ь, Я) (при z = 0) лежит на
окружности Сь, а с другой стороны, как уже отмечалось, центр-
круга находится в точке (2.5). Поэтому радиус круга
равен
Гь =
ъг (Ь, М ф2 (ft, ц - ft2 (6, х) фх (6, X) ft2 (6, X)
Фх №. Я,) Ф2 (Ь, X) - Ф2 (6, X) Фх (6, X) Ф2 <6» *)
Отсюда, используя (2.2) и тот факт, что W{cp, д}= 1,
находим
гь = тпмШф(агД)1аАс) • (2-6>
Далее, I находится внутри Съ при v > О, если Im z < 0,
т. е. если i(z — z)>0. Поэтому, разрешая (2.4)
относительно z, получаем
*Ф,(Ь, Ц + Оа(Ь, К)
. J *Т2 ^» ^ 1" v2 ^' Л; *Ф2 (6, М + #2 (&i М |
М- /гп (h IX J. А ,* ^ + Гф1(Ь,Х) + »1(Ь|Х,)>0'
откуда следует, что
*{[%(&, A,) + 0i(6, Я)][7фа(Ь, Я) + #2(&, X)] —
— [ftpl(6, X) + fl1(6, Я)][/ф2(Ь, Я) + 02(&, Я)]>>0. (2.7>
Теперь, полагая в (2.2) % = u + iv, V = u — iv, G(x)=*
= F(x), находим
ь
2v$\F (x) fdx = i {F, (0) F2 (0) - F2 (0) F, (0)} -
0
- J {*"i(b)^i (*)-*". (6)^(6)}. (2.8>
18*

276 ГЛ. VIII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Поэтому, если F(x) = $(x1 X)+Z(p(#, Я), то из (2.8) имеем
b
2v J | ф (я, Я) + Zcp (я, Я) |2 Же = гИ7 {fl + /ф, О + Щ \1 (2.9)
о
Отсюда в силу (2.7) получаем
ь
2v J | * (ж, Я) + Zq) (ж, Я) |2 <fe < гРГ{* + /ф, Ъ + Щх=<>.
о
С другой стороны, в силу условий (1.2) и (2.1),
W{Q, «}_0 = ИЧф, ф},=о = 0;
ичФ, «u = m«, фи0 = 1.
Поэтому
W0 + /ф, 0 + Z9}= Z — Z = 2* Im Z. (2.10)
Тогда из (2.9) следует, что
ь
j | О (ж, Я) + гФ (ж, Я) |а Лс < — i^i. (2.11)
о
Тот же результат получается в случае v < 0
(пользуемся неравенством lmz>0). В обоих случаях знак Im Z
противоположен знаку и.
Рассуждая аналогично, легко показать, что Z лежит
на окружности Съ в том и только в том случае, когда
ь
\ | Ф (я, Я) + 1ц> (я, Я) |2 dx = — i^i. (2.12)
о
Далее, если Z лежит внутри С6 и 0 < Ь' < Ь, то
Ъ' Ь
о о
Поэтому Z лежит также и внутри Сь#. Значит, если
й' < ft, то Сь содержит Сь. Отсюда следует, что при
Ъ -> оо круги С6 сходятся либо к предельному кругу С«>,
либо к предельной точке т^. Если Съ сходится к кругу,
то его радиус Гоо=Нтг6 положителен, и из (2.6)
следует, что ф(#, Я)^2?2(0, оо). Если т== /тг(Я)— любая точ-

§ 2. КРУГ И ТОЧКА ВЕЙЛЯ
277
ка на Соо, то т лежит внутри любого круга Съ для &>0.
Следовательно, в силу (2.11),
ъ
j | ft (х, X) + ту {х, X) |2 dx < - -^L,
о
и, полагая Ъ ->- °о, получаем, что 0 + /ф^«272(0, <*>).
Те же соображения имеют место, если Съ сходится к
точке moo. Поэтому, если ImA^O, то всегда существует
решение системы (1.1), (1.2) класса i?2(0, °°). В случае
Сь^-Соо все решения-—из класса 3?2{0, °°) при 1тХ¥=0,
так как таковы решения ф и © + #кр, и это
отождествляет случай предельного круга со случаем существования
окружности Соо. Соответственно случай предельной точки
отождествляется со случаем существования точки т^.
В случае Съ-^т^ имеем limr6 = 0, и из (2.6) следует,
что ф(я, X)^3?2(Q, °°). Поэтому в этом случае имеется
только одно решение из класса «^(О, <*>). В случае
предельного круга I лежит на Съ тогда и только тогда,
когда выполняется (2.12). Следовательно, I лежит на С»
оо
тогда и только тогда, когда и J |ft + lq>\2dx=—ImZ. Поэто-
о
му в силу (2.9) и (2.10) из (2.11) следует, что I лежит
на С», в том и только том случае, когда
lim W {ft {х, X) + Zcp (х, X), ft (я, X) + Ц (х, X)} = 0.
Я-»оо
Итак, нами доказана следующая
Теорема 2.1. Если 1шЯ¥=0, а у(х, X) и ft (я, А,) —
линейно независимые решения системы
У г — {^ + ?i (х)} У г = 0, у[ + {X + q2 (х)} у2 = 0,
удовлетворяющие начальным условиям
ф!(0, X) = cos а, ф2(0, Х)=— sin а,
ft,(0, Я) = sin а, ft2(0, А) = cos а,
го решение г|)(х, A,) = ft(;r, Я) + /ф(х, Я) удовлетворяет
краевому условию
{О,(6, Л)+/ф4(Ь, A))cos£+{ft2(&, Л)+йр2(Ь, A)}sin£ = 0
в гол& ^ только том случае, когда I лежит на окружности
Съ комплексной l-плоскости, имеющей уравнение
W{ty, г|:)ж=ь = 0. Если Ъ ->- <», го С6 стремится либо к пре-

278 ГЛ. VIII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
дельной окружности Ссо, либо к предельной точке пг^.
В первом случае все решения системы принадлежат
классу 3?2(0, оо). Во втором случае в точности одно
линейно независимое решение из класса 3?2(0, °°), если
1тЯ=^0. Кроме того, в случае предельного круга точка
лежит на предельной окружности С» тогда и только
тогда, когда lim Wx {if), if>} = 0.
ЭС-» С»
Замечание. В случае предельной точки, если I —
любая точка на С6, то I стремится к предельной точке
Шоо, и это имеет место независимо от выбора [} в
краевом условии (2.3). В частности, это имеет место, когда
р = 0 и, таким образом, предельная точка определяется
равенством
m-w--J£w- <2-13>
Положим i|)b(#, X) = 'Q(x, h)+lb(p{x, Я). Справедлива
Лемма 2.1. При 1тЯ¥=0 и Ъ ->- °°
Ь оо
фь (х, Я) -> я|) (я, Я), J | ф5 (х, Я) |2 Жг-* j | ф (ж, Я) |2 Ас.
о о
Доказательство. Очевидно, что
Фй(ж, Л)=я|?(ж, Я)+{/(Я, &)— ш(К)}ц)(х, Я),
где ф(ж, Я)^2>2(0, оо), а т(К)— точка предельной
окружности (как отмечалось выше, в § 6 будет доказано,
что для системы Дирака имеет место только случай
предельной точки).
В силу формулы (2.6) имеем
\l(Kb)-mW\^2rb = \\v\§\y(x,X)fdx) .
Поэтому, так как п -* 0 при Ъ -* °°, то фь(ж, Л)-*- *ф(д:, Я)\
Далее,
ь
J | {ЦК I) —т (Щ Ф (*Д) |2 Ас=
о
ъ I ь \-i
= 11 (Я, Ъ) — т (Я) |2 j | Ф (х, Я) |2 cte < lv2 j | ф (ж, Я) |2 cfe I ,
о \ о /
Следовательно, при Ъ -+ °о и i; = 1тЯ ^ 0
& оо

§ 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 279
§ 3. Интегральное представление резольвенты.
Формулы для функций р(1) и m(z)
Пусть вектор-функции я|:(я, X) и ф(я, X) имеют
прежние значения. Положим
G (х, у; X)
Ц(х, Я)ф*(г/, Я), у<х,
1ф (х, X) у (у, X), у>х,
или более подробно
G (х, у; X) =
((Уг(х> Х)Чг(у, X) Ч>1{х,Х)<Р2(у, X)
^2 (*, X) Фх {у, X) Ц>2 (х, X) Ф2 (у, X)
f^1(^1X)^1(y9X) Ч1(х,Х)Ц2(у1Х)
(3.1)
{У<х),
1\Ф2(*, Х)ур1(у1 X) Ф2 (*, Я) % (*/, Я)
(3.1')
(У>х).
Пусть f{x)^ j?2(0, oo). Покажем, что вектор-функция
Ф(х, X), определенная равенством
Ф(х,Х) = ^(х1У;Х)1(у)ауя
о
удовлетворяет системе
Уг — & + ?i (*)} Уг = + /i (*),
г/i + {^ + ?2 (*)} #2 = — /2 (*)
(3.2)
(3.3)
и краевому условию (1.4). В силу определения матрицы
G(x, у; X) имеем
Фг (х, X) = г|)х (х, X) j Фт (г/, Я) / (г/) Л/ +
о
оо
+ Ф1^Д)|^(У> Vf(y)dy, (3.4)
X
X
Ф2 (я, X) = г|)2 (я, Я) j Фт (г/, Я) / (у) dy +
о
оо
+ ф2(жД)|^(г/Д)/(г/)^. (3.5)

280 ГЛ. VIII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАИ
Дифференцируя (3.4) по х, получаем
ф!(*д) =
ОС оо
= % (*, Я) j Фт (у, Я) / (у) dy + ф! (х, Я) j Г О/, Ц / (У) dy +
О зс
+ Ч>1 (ж, Я) [фт (Ж, Я) / (ж)] - ф1 (х, Я) [Г (х, Я) / (х)].
Так как if (ж, Я) и ф(я, Я) являются решениями системы
(1.1), (1.2), то подставляя значения функций i|)i(#, Я) в
9i(#, Я) из (1.1), (1.2) в последнее равенство и
учитывая (3.5), находим
Ф'Л*, Я) = ~{Я+ q2(x)} L2(x, Я) f Ф»(у, Щ(у)йу +
+
ф2 (ж, Я) j ^т (уf Я) / (У) <М + {^ (*t Я) ф2 (хг Я)
— ^2 (ж, Я) ф1 (х, Я)} /2 (х) = — {Я + д2 (ж)} Ф2 (ж, Я) — /2 (ж)
т. е. удовлетворяется второе уравнение системы (3.3)
(здесь учитывалось, что Wiy, я|;} = 1). Аналогичным
образом проверяется, что Ф(х, Я) удовлетворяет и первому
уравнению из (3.3).
Далее, из (3.4) и (3.5) следует, что
оо
Фх (0Д) = Ф! (0, Я) JV 0/, Я) / (у) dz/,
О
оо
Ф2 (0, К) = ф2 (0, Я) j Г (у, X) f (у) dy,
о
так что Ф(х, Я) удовлетворяет краевому условию (1.4).
Обозначим через Я0, Я±1, Я±2, ..., Я±п, ... собственные
значения, а через ф0(#), Ф±1(#), Ф±г(^), ..., Ф±п(#), .. .—
соответствующие собственные вектор-функции краевой
задачи (1.1), (1.2), (1.4), (1.5). Пусть 1(1, Ъ) и if»(ж, Я)
имеют то же значение, что и в § 2. Положим
(% (я, Я) Фт (г/, Я), у<х,
Gblx'V>V = \<pb{XtK)tf{j,,%), у>х,
ъ
Rz,bf = $Gb(xxy;z)f(y)dy. (3.6)

§ 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 281
Ъ
Тогда, полагая еще а„ = J | уп{х) |2 dx (где |фп|2 a
о
s 1фш12 + 1фпг!2), в силу разложения (3.23) гл. VII
получаем
ь
д..ь/-- 2 а.?Г(*1 , jV(y)<Fn(y)<fr-
nf^oo an(Z-^7l) £
оо , Ь ч
-- J -^Йт1 П/*Ыф(»Д)^ Фь(Ч (3.7)
—оо ^0 '
где рь(Я) имеет то же значение, что и в § 1.
Лемма 3.1. Для каждого недействительного z и
фиксированного х справедлива оценка
во
Л-ТЗГ-РМ^)<С, (3,8)
— оо
причем постоянную С можно выбрать не зависящей от Ъ.
Доказательство. Полагая в формуле (3.23)
гл. VII /(у)=* фп(#), получаем
ь
Поэтому, в силу равенства Парсеваля, имеем
Ь оо 0 °°
что в силу определения матрицы Gb(x, у; z)
равносильно равенству
х Ъ
\%(xiz)\^\4)(y,z)\"dy + \4>(x,z)\^\^b(y1z)\^dy =
о х
- fJffiHrF-**(*)•
— <ю
откуда и следует оценка (3.8) в силу леммы 2.1.

282 ГЛ. VIII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Следствие 1. Пусть р(Я) имеет то же значение,
что и в § 1. Тогда справедлива оценка
оо
Г 'Ф^'У ф (*) < С (3.9)
с той же константой С, что и в оценке (3.8).
Доказательство. В самом деле, при
произвольном а из (3.8) следует
\-^fd9b(l)<C.
%} Z — А
Полагая здесь сначала Ь ->- °°, а затем а ->- °°, получим
оценку (3.9).
Следствие 2. #/ш любом а > О
—оо а
Доказательство. Действительно, так как фщ(0)
и фпг(О) не могут одновременно обращаться в нуль, т. е.
I ф (О, К) I2 =^=0, то полагая в (3.9) я = 0, получаем
оо
Г dp (X) ^
\ —-—~т < °°» откуда и следует сделанное утверждение.
J I* —X|
— оо
Лемма 3.2. Пусть f(x)^&2(0, <*>) и z = u + iv.
Тогда справедлива оценка
оо оо
§\RJ\*dx^±§\f(y)\*dy,
О О
где
оо
О
а матрица G(x, у; z) определяется по формуле (3.1).

§ 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 283
Доказательство. При произвольном Ъ > О из
(3.7), в силу равенства Парсеваля, следует
ь м / ъ
г °° [ с* I2
у n=-ooan|z—^nl l^ J
^ 2 ^ К(у)ф»(0)<Ц =-7"Jl/^)l2^-
Если a — фиксированное положительное число и а < Ъ, то
о ь ь
JI Д*.ь/12 is < j I Д*,ь/12 Ac < -j j | / (У) |2 <fo.
0 0 0
Полагая здесь b ->- oo и учитывая произвольность числа a,
получим утверждение леммы.
Теорема 3.1 (интегральное
представление резольвенты). Для каждой вектор-функции
/{х)^«2?2(0, °°) и каждого недействительного z
справедливо равенство
00
RJ = _ j Ф(«,х)^а) ф (Х) (ЗЛ0)
—оо
п
где F(X) = l-i-m [/т (ж) ф (ж, %)dx,
П-юо q
Доказательство. Пусть вначале f(x) = fn{x)
обращается в нуль вне конечного интервала [0, п],
удовлетворяет краевому условию (1.4) и имеет непрерывную
первую производную. Пусть 6>/г и jx- произвольное
положительное число. Положим
Ъ п
Fn (k) = J fl (х) ф (х, X) dx = \ /„ (х) ф (ж, X) da:,
о о
Тогда равенство (3.7) можно переписать в виде
R
, F <P(«,X)M*) ^
2,ь/п = — J ^zr^ dPb W
—oo
OH p. oo
— OO —II II
(3.11)

284 гл. viii. спектральная теория, сингулярный случай
Оценим теперь 71# В силу (3.7) имеем
1Л1-
-м-
J
Ф(*. WFn(M
dpb(X)
%(*)
1<М*)|2
J /я (X) <(h (X)
dx
<
члк<=-|1«*|*-Ч18
)'1д„4{!йм%(1,4)"а-
(3.12)
Так как вектор-функция wh(x) есть решение системы
(1.1), (1.2), то
П .г»
) й (х) ФА (х) dx = — J {/nl (ж) [фй2 (ж) — ?1 (ж) Фм (ж)] +
о Vft о
+ /п2 (*) [— Ф*1 (х) — g2 (*) ФА2 (х)]} dx.
Теперь, интегрируя последний интеграл по частям и
учитывая, что fn(x) и q>n(x) удовлетворяют краевому
условию (1.4), а }п(х) вне интервала [0, п] обращается в нуль,
получаем
п п
J /п {х) Фй (х) dx = у- J {фА1 (ж) [/^2 (ж) - ?! (ж) /щ (ж)] +
о h в
+ Ф^2 (х) [— /ni (ж) — д2 (ж)/п2 (ж)]} dx.
Так как в силу леммы 3.1 первая сумма правой части
(3.12) ограничена, то учитывая последнее равенство, из
(3.12) получаем
1ЛК
С1/2
2 4 U«(*)<p*(*)4 ) %> (злз>
где/г„(а;)= , . Тогда в силу неравен-
ства Бесселя из (3.13) следует
с»* (с У/3 с,
\I1\<£y-[]\K(x)fdxJ --i.

§ 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 285
Точно так же доказывается, что 1/31 <C2/(Ji. Из этих
оценок следует, что h и 12 при \х ->- °° стремятся к нулю
равномерно по Ъ. Поэтому можно воспользоваться
обобщенной теоремой Хелли, и из равенства (3.11) получим
формулу
оо
Rzfn = - J JZT£ <*Р(Я)- (ЗЛ4>
—00
Формула (3.10) для произвольной вектор-функции
f(x) из класса «^(О, °°) получается из (3.14) в точности
так же, как при доказательстве теоремы 3.1 гл. II.
Теорема доказана.
Из формулы (3.10) легко следует
Теорема 3.2. Для каждого недействительного z
справедлива формула (Imz0=^O)
m
оо
(z) - m (z0) = j (j±-t - pi-rj dp (X), (3.15)
и если К и \х — точки непрерывности функции р(Я), та
имеет место формула (т>0)
р (X) — р (у) = — lim f {— Im [m (a + it)]} da. (3.16)
Доказательство. В силу произвольности вектор-
функции f(x) из формулы (3.10) следует
оо
G {х, у;,)..]" ФСМ^.Ц ф (Я)# (з.17>
—оо
Поэтому
оо
G (х, y;z) — G (x, у, z0) = J <pxq>£ L±-g — jjj^j) dp (Я.).
— 00
В этом равенстве слева и справа стоят матрицы. Значитг
равны соответствующие элементы этих матриц.
Приравнивая элементы, стоящие на пересечении первой строки
и первого столбца в силу (3.1') и определения
произведения я|)(;г, Я)фт(г/, Я), а затем полагая х = у = 0 и учи-

286 гл. viii. спектральная теория, сингулярный случай
тывая начальные условия (1.3) и (2.1), получаем
tcosa+m(z) cos a] cos а — [cosa+m(z0) cos а] cosa=
с»
— оо
что и доказывает формулу (3.15).
Докажем теперь формулу (3.16). Пусть z = а + ix.
Из формулы (3.15) следует
л, (гс гг\ _ signT rn{z) — m (z) _ if \r\d
dp(W
(X - a)2 + t2
Тогда в силу формулы обращения Стилтьеса отсюда
следует, что если X и \х суть точки непрерывности р(Я),
то
р (X) - р (!л) = _ lim f % (а, т) da. (3.18)
С другой стороны, в силу (2.13) m(z) = m(z). Поэтому
х (а, Т) д JSLI. " О - * М = ggl im {/уг (,)}. (3.19)
ЭХ di\ ЗХ
При т>0 формула (3.16) следует из (3.18) и (3.19).
Теорема доказана.
§ 4. Доказательство теоремы разложения
в случае всей прямой
Рассмотрим снова систему
yi — ^+ffi (*)}»! = О,
Уг + {^ + g2W}^2:=0,
предполагая теперь, однако, что х изменяется в
интервале (—°°, °°), а qi(x) и q2(х) — непрерывные функции в
каждом конечном интервале. Обозначим через ф4(#, X)
решение системы (4.1), удовлетворяющее начальным
условиям
Фи (О, Я)=1, ср12(0, А,)-0, (4.2)
а. через ф2(#, X)— решение той же системы с начальны-

§ 4. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ ВСЕЙ ПРЯМОЙ 287
ми условиями
Фи (О, Я) = 0, ф,.(0, Я)=1. (4.2'}
Пусть [а, Ь] — произвольный конечный интервал.
Рассмотрим краевую задачу, определяемую системой (4.1)
и условиями
i/i (a) sin а + уг {a) cos а = О, „ _
i/i(&)sin p + i/2(&)cosp =0,
где аир — произвольные действительные числа.
Пусть Хо, Я±1, Я±2, ..., Я±п, ...— собственные значенияг
а Уо{х), y±i(x), ..., у±п{х), ...— соответствующие
собственные вектор-функции этой задачи. Так как решения
системы (4.1) q>i(x, К) и ф2(#, Я) линейно независимы, та
yn{x)=$n4t{x, K)+1n(pz{x, In).
Далее, ввиду того, что рассматриваемая задача
однородна, то, не нарушая общности рассуждений, можно счи-
ь
тать, что IjJj, 1т(п1<1. Положим а% = J |уп(х) |2 dx»
а
Если /(^JG^lfl, Ь], то применяя равенство Парсеваляг
получим
\\yn{x)\2dx= 2 -W\f(x)yn{x)dx\ =
в 2 "Т /Т №пФ1 (*f ^) + Тпф2 (*. К)] dx\ =
П=-00 аП |д J
- 2 §{|/т(^)ф1(^Дп)Ц +
+ 2 2 j^ К/т^^^д^Ц Н/т(^)ф2^дп)Ц +
+ 2 ^ ]/Т(^)ф2(^>п)^ . (4.4)

288 гл. viii. спектральная теория, сингулярный случай
Введем обозначения:
Ри.[-.Ы(Ь)= 2 4 (*>°).
Pll,[a,b] (k) = — Pll,[a,b] (— Я), Я <J О,
Pi..[-.b]W= 2 -^Г- (*><>),
Pl2,[a,b] (^) = — Pl2,Kb] (— Я), Я < О,
Pal,[a,b] М = Pl2,[ofb] (^),
Р«2.[«.Ь](*)- 2 "ТТ (^>°Ь
0<Хп<Я, ап
Ра2,[о,ь] (^) = — Р22,[о,ь] (— ^)» Я ^ 0.
Тогда равенство Парсеваля (4.4) можно записать в виде
Ъ °° 2
\\f(x)\2dx = (' 2 ^(Х)^(Я)фЩа,ь](Х), (4.5)
где
ь
Fi (Я) = j /т (х) фг (ж, Я) <fc, i = 1, 2. (4.6)
а
Лемма 4.1. Для любого положительного числа N су-
ществует такое постоянное положительное число А =
= A(N), не зависящее от а и Ь, что
V К\[а,ы(Ь)}<4, *, / = 1,2.
—N
Доказательство. Так как функции cptj(х, X)
(I, 7 = 1, 2) непрерывны по совокупности переменных х
и А, и в силу начальных условий (4.2) и (4.2')
ф« (0, Я) = б«, бу = 1, i = j; б« = 0, г ^ /,
то для любого положительного 8 и данного N
существует такое число й > 0, что
\щ{х, Х)-8ц\ <е (4.7)
для O^x^h и Ш <N.

§ 4. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ ВСЕЙ ПРЯМОЙ 28Э
Пусть fh (х) = . / v — неотрицательная вектор-
функция, притом /л2(^) = 0, а /м(#) обращается в нуль
вне интервала [0, h] и нормирована так, что
h
lfhx{x)dx=l. (4.8)
о
Положим (i=* 1, 2)
h h
Fhi (^) = J fh (x) (pi (x, X) dx = j fhl (x) <pu (х, X) dx.
о о
Тогда в силу (4.7) и (4.8) находим
l-e<FM(^)<l + e, 1^Л2 (A) I < е, Ш<#. (4.9)
Далее, применяя равенство Парсеваля (4.5) к вектор-
функции U{x), получаем (на протяжении доказательства
леммы индекс [а, Ь] у функций pijt [а, ы(>-) будем опускать)
h N
ifhi(x)dx> f Fl1(^)dp11(X) +
0 -N
N N
+ 2 j FM (Я) F,2 (Я) ф1Я (Я) + f ^2 (X) dp22 (X) >
-iV -IV
-JV -iV
Из (4.9) следует, что
k
\il1{x)dx>
> f (l-e)»dPll(A,)-2 j *(l + e)\dPl2(X)\=I1 + I2.
-N -N
(4.10)
Вычислим теперь интегралы 1{ и /2. Очевидно, что
/i = (l- z)4Pii(N)-Pii(-N)}. (4.11)
Далее,
/я = -2е(1+е) \/{р1Я(*)>. (4.12)
—jv
19 б. M. Левитан, И. С. Саргсян

290 ГЛ. VIII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Так как
2 V {Pi2 (Щ < Pii (N) - Pll (- N) + р22 (N) - р22 (- N)
—N
(4.13)
то из соотношений (4.10) — (4.13) следует, что
Л
J Hi (x) dx>(l- 3e) {Pll (N) - Pll (- N)} -
0
-B(l + 8){p22(7V)-p22(-7V)}. (4.14)
Пусть вектор-функция gh (x) = I , * I удовлетворяет
тем же условиям, что и вектор-функция fh{x), но с за-
h
меной ghi(x) на ^(я)» т. е. ghi(x) = 0, )gh2(z)dx=l.
о
Тогда, поступая так же, как и выше, получаем
неравенство
h
j Ax(*) dx>(l- Зе){р32 (N) - р22(- tf)} -
О
-b{1 + b){Pii(N)-Pii(-N)}. (4.14')
Теперь, суммируя неравенства (4.14) и (4.14'), находим
h
$[jhi(x) + gh2(*)}dx>
о
> (1 _ 48 - е)2 {Pll (N) - рп (- N) + р22 (ЛГ) - р22 (- N)},
откуда (если число 8 > 0 подобрано из условия 1 — 4е —
— е2 > 0) и следует утверждение леммы для функций
Ри(Л) и р22(А) в силу монотонности этих функций.
Утверждение леммы для функции р12(А) следует из
неравенства Коши — Буняковского. Лемма доказана.
Покажем теперь, что, используя лемму 4.1 и
известные теоремы о предельном переходе под знаком
интеграла Стилтьеса, из равенства (4.5) можно получить
равенство Парсеваля для системы (4.1), т. е. справедлива
Теорема 4.1. Пусть f(x)^S>2(0, °°). Существуют
не зависящие от вектор-функции f(x) монотонные, огра-

§ 4. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ ВСЕЙ ПРЯМОЙ 291
ничейные функции рц(А), р22(Я) и функция с
ограниченной в каждом конечном интервале вариацией р42(?0
такие, что справедливо равенство Парсеваля
2
j 1 / (х) |2 dx = J _ 5 Fi М ^ W <*Р« (Я)> (4Л5>
2
где Fi(X) = l«i-m i /т(х)фг(^г, Я) eta, i = 1, 2.
Доказательство. Пусть вначале вектор-функция
fn{x) обращается в нуль вне интервала [—п, п], п<
<тт(Ы, \b\), имеет непрерывную первую
производную и удовлетворяет краевым условиям (4.3). Применяя
к fn(x) равенство Парсеваля (4.4), получим
п оо / Ь \Ъ
\\fn{x)\*dx= ^\\\fn{x)yh{x)dx\. (4.16)
-n A=-°° ak la '
Так как в окрестностях точек а ж Ъ вектор-функция fn (х)
тождественно равна нулю, то интегрируя по частям,
находим J
ь ь
J fl (x) yk (x) dx = у- J /nl (ж) [ум (х) — д2 (ж) yftl (x)] dx —
a k a
Ъ
— — J /п2 (ж) [г/fti (ж) + g2 (x) yk2 (x)] dx =
a
Ь
= X" J f [/n2 W — ?1 (Ж) /щ (Ж)] yftl (Ж) +
k a
+ [— f'ni (х) — q2 (х) /пя (ж)] рля (ж)} cte.
Отсюда, в силу равенства Парсеваля, следует
ib |2
Ч\>»
1
fb
~2- 2 Т7 [{/n2W-gi(^)/ni(^)}^i(x) +
+ {— /ni (ж) — g2 (ж) /n2 (ж)} z/ft2 (ж)] dx]2
19*

292 ГЛ. VIII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАИ
(г
<Л 2 -V [(/п2И — qi(x)fm{x)}yhl(x) +
+ [—fni {х) — q2 (х) /п2 (ж)} Уы (х)\ dx}2 =
п
= Л 1 ( [/п2 И - ?1 (X) fni {Х)]2 +
+ [/ni (^) + q2 [x) fn2 {x)]2} dx.
Из этой оценки и равенства (4.16) находим
\\\fn(x)\*dx- V "И f А*) У* (*)<**<
1-п -ц«Ч<ц «ft ^ J I
п
<Л f {[fni{x)-q1{x)fnl{x)Y +
—n
+ [fni(x) + g2(^)/n2(*)]2Mx. (4.17)
Далее, имеем
2 Т fl(x)yh(x)dx\ =
2 ~W\fn(x) [РпФх (*, ^) + Yft<Pa (*, **)] Ц =
-U<:kfe^H ^fc la
2 Fni{fy Fnj(k) dpij^atfWt
, * J=l
где /'ni (A,) = j jfn (#) фг (^, А) Лг (j = 1, 2). Поэтому
pact
венство (4.17) можно переписать в виде
п Ч1 2 I
J |/n(*)№- j .2 ^ni(A.)/?TniWdpii,[afb]W <
-и г^=1
<
4, j l[fn2(x)-qi(x)fm(x)]2 +
—n
+ [/»i И + q2 (x) /„, (*)]Ч dx. (4.18)

§ 4. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ ВСЕЙ ПРЯМОЙ 293
В силу леммы 4.1 множество монотонных функций
Рп, [а, ь](Я) (—|я^Ж|д), 1 = 1, 2, ограничено, а
множество Pi2r[a,b](^) ограничено и имеет в каждом конечном
интервале ограниченную вариацию равномерно по а и Ъ.
Поэтому можно выбрать последовательности {ak} и {bk},
ДЛЯ КОТОРЫХ При CLk-+— <», Йл-^+оо фунКЦИИ р«, [а, Ь] (А,)
сходятся соответственно к рц(Х). Переходя в
неравенстве (4.18) к пределу по {ah} и {bh}, получим
J I in (х) |2 dx - J 2 Fni (X) Fnj (X) dPij (X)
<
7t
+ [/ni (ж) + q2 (x) /n2 (x)]2} dor.
И, наконец, полагая здесь (x -* °°, получаем
71 °° 2
J I/n(ж)r-&={ 2 Fni(Я)Fnj(Л)dPii(Я),
~n -oo *.i=i
т. е. равенство (4.15) для вектор-функций fn{x),
удовлетворяющих указанным условиям.
Распространение равенства Парсеваля на
произвольные вектор-функции класса i?2(0, oo) осуществляется с
помощью обычных приемов. Теорема доказана.
Пусть f(x) и g(x)^S?2(—oo, oo), а функции Gi(X)
(/ = 1, 2), построены по g(x) так же, как F«(A.) по f{x).
Очевидно, что вектор-функции f(x)±g(x) имеют своими
преобразованиями Фурье соответственно F{(X)± Gt(A,)
(г=» 1, 2). Поэтому
оо
I |/(z) + *(*)|a<fo:-
—с»
с»
- J 2 [Fi (I) + Gi (Щ [Fj (К) + Gj (Щ dPij (K)f
oo
J \f{x)-g{x)fdx =
— OO
с» о
= j" . 2 [ft (*) - Gi {%)] [^ (Л) - G, (Щ dPi} (I).
, г J=l

294 ГЛ. VIII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем
с» с» 2
j f (х) g{x)dx= J 5 F* (К) G, (Я) dp„ (A). (4.19)
— с» —с» г*Э—I
Это обобщенное равенство Парсеваля.
Теорема 4.2 (теорема разложения). Пусть
f(x)^2"2(—<x>, оо)— непрерывная вектор-функция (—оо ^
<£<оо)? у{(х, X), F{(K) (i = l, 2) имеют прежние
значения, а интегралы
Fi (Я,) Ф;- (х, К) d9ij (X), U 1 = 1, 2, (4.20)
сходятся абсолютно и равномерно по х в каждом
конечном интервале. Тогда
со
2
2
/(*)= J .2 ^Мф*(*Д)Ф«(Ь).
Доказательство. Пусть g(я) — непрерывная
вектор-функция, равная нулю вне интервала [—п, п]. Тогда,
применяя к вектор-функциям f(x) и g(x) обобщенное
равенство Парсеваля (4.19), получаем
j f(x)g(x)dx= j J F*W 1 ?ТЙФ;(^Д)^UpiiW-
~П — CO *iJ—1 l—П J
В правой части этого равенства в силу абсолютной
сходимости можно изменить порядок интегрирования.
Тогда имеем
оо
2
J g*(x)f(x)dx = j **(*) J .? ^МфН*Д)Ф^М р.
Утверждение теоремы следует из этого равенства в силу
произвольности непрерывной вектор-функции g(x), а
также непрерывности f(x) и интегралов (4.20)
(непрерывность последних следует из предполагаемой равномерной
сходимости). Теорема доказана.

§ 5. РЕШЕНИЯ ФЛОКЕ (БЛОХА) 295
§ 5. Решения Флоке! (Блоха)
Рассмотрим систему
V* + Р (*) Уг = ЬУи —Уг + г {х) у2 = Ху2. (5.1)
Обозначим через ф(#, X) и в(#, X) решения системы
(5.1), удовлетворяющие начальным условиям
Ф1 (О, X) = 02 (0, X) = 0, ф2 (О, X) - Ъ (О, Я) = 1.
Очевидно, эти решения линейно независимы, и поэтому
любое решение у(х, X) системы (5.1) представляется
в виде
у(х, Х) = с$(х, Х)+с2ц(х, X),
где с{ и с2 — произвольные постоянные.
Таким образом, между решениями системы (5.1) и
двумерными векторами С = I с I существует взаимно
однозначное соответствие: у(х, Х)++С.
Предположим, что коэффициенты системы (5.1) р(х)
и г(х) суть периодические функции с одним и тем же
периодом а. Тогда вектор-функция уа{х, Х) = у(х + а, X)
также является решением системы (5.1). Из определения
уа{х, X) следует, что
У а (0, Х) = у{а, M = ci*(a, Я) + с2ф(а, Я),
т. е.
z/i(a, Я) = сА(а, Я)+с2ф!(а, Я),
У2(а, Х) = с1в,2(а, Я)+с2ф2(а, Я),
или
0.(*. Я) = */(* + <*, Х)^ТС,
где матрица
Т = Т{а,Х) = ^а(а, X) Фя(в, X)j-
Матрица Г, как и в случае уравнения Штурма — Лиувил-
ля, называется матрицей монодромии. Очевидно, что для
любого натурального п
у(х + па, X) = Т^С.

206 ГЛ. VIII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАИ
Найдем собственные значения и собственные векторы
матрицы монодромии Г. Имеем
l^x К Х) — к Фх(а, Х)\
I ^2 (<*' *•) Ф2 (а' W — * I
х/| =
= x2-F(fyx + l = 0,
где iJT(^) = e,i(a, Я)+ф2(а, Я). Следовательно,
собственные значения матрицы Т есть числа
хТ=-1{^(Я)±/^(Я,)-4}. (5.2)
Собственные векторы матрицы Г зададим в виде
в+-(»+*)' в""(»-(Л))'Тогда изРавенства Ге' =
= и+е+ имеем
di(a, Х) + ш+(Х)ц){{а, А,)=х+,
откуда, используя еще выражение для %+ из равенств
Ф — д — к F2 (Я) — 4
(5.2), находим *) /тг+ (Я) =— -—=- и анало-
m Ф2-^+ W(M-4
гично т~Щ = — ±—п -.
v J 2фх
Далее, так как Те± = ^±^±, то для любого п
Тпе± = {к±)пе±. (5.3)
Рассмотрим следующие два решения системы (5.1):
Ц+{х, Х) = Ъ{х, Х) + тп+(Х)(р{х, Я),
$-(х, Х) = $(х, X)+m-(X)q(x, X).
Эти решения называются решениями Флоке (Блоха)
системы (5.1). В силу уравнений (5.3), имеем
Тп^{х, Х) = $±(х + па, Х) = (к±)п^±(х, X). (5.4)
Поэтому решения ^(х, X) ограничены на всей числовой
оси в том и только том случае, если I >c± I = 1. Для
действительных X это имеет место в силу (5.2) при \F(X)\ <
^ 2. Если же \F(X) I > 2, то одно из чисел х* по модулю
больше 1, а второе — меньше 1, и, следовательно,
решения ^(х, X) неограничены.
*) Здесь #i(a, X), Ф2(а, X), q>i(a, X) и ф2(«, X) обозначены
соответственно через $i, $2, ф1 и фг.

§ 6. САМОСОПРЯЖЕННОСТЬ СИСТЕМ ТИПА ДИРАКА 297
Положим х±(^ %)=s(}i±)~x/a^±(x9 Я). Тогда в силу
(5.4)
УГ(х + па, Х) = {х±)-х/а~п$±{х + па, Х) = {х±)~х/аЦ±{х, X).
Следовательно, функции х±(ху X) суть периодические
функции с периодом а. Итак, ^(х, Х) = (к±)х/ах±{^, А,).
Поэтому, если число X таково, что |к+1 < 1 и,
следовательно, |к~|>1, то для такого значения X
вектор-функция ^(х, X) принадлежит пространству J2?2(0, °°),
а г|г(я, Х)^3?2(—°°, 0), т. е. ^(х, X) суть решения
Вейля системы (5.1), а т* (X) — функции Вейля — Титч-
марша соответственно на (0, °°) и (—°°, 0).
§ 6. Самосопряженность систем типа Дирака
1. Рассмотрим оператор, определенный на вектор-
функциях у (х) = I у (д.) 1, 0 <; я<оо, порожденный
дифференциальным выражением первого порядка вида
ц»)=\ t: (6.i)
I — "5i + в (х) уг + г (х) у2
и краевым условием
у, (0) cos а + г/2 (0) sin а = 0. (6.2)
Коэффициенты р(х), q(x) и г(х) будем считать
непрерывными в каждом конечном интервале. В качестве
области определения 3){1) оператора I возьмем
непрерывные финитные вектор-функции с непрерывными первыми
производными, удовлетворяющие условию (6.2).
Непосредственно из определения сопряженного и
самосопряженного операторов следует, что для
доказательства самосопряженности симметрического оператора А
достаточно показать, что если некоторый элемент х е
е^5(Л*), то же2)(4), т. е.
д>(А*) = д>(А). (б.з)
Чтобы доказать равенство (6.3), нужно иметь подробное
описание области 3)(А*).
Для оператора I типа Дирака (6.1) это удается, и на
основании такого описания можно дать достаточное уело-

298 гл. viii. спектральная теория, сингулярный случай
вие самосопряженности оператора Т (замыкания
оператора I) в терминах коэффициентов р{х), q(x) и г(х).
2. В дальнейшем изложении важную роль играет
следующая
Лемма 6.1. Пусть f(x) — непрерывная функция,
удовлетворяющая условиям:
1°. f(x) в интервале (а, Ь) абсолютно непрерывна.
2°. f(x)^&2(a, Ъ).
3°. /(а) = /(й)-0.
Пусть h(x) — произвольная функция из класса
2?г{а, Ь).
Если для произвольной функции /(#),
удовлетворяющей условиям 1°, 2° и 3°,
ъ
\f{x)h{x)dx = Of (6.4)
а
то почти всюду h (x)' = const.
Доказательство. Вначале дадим характеристику
класса функции, удовлетворяющих условиям 1°, 2° и 3°.
Положим f (t)=a'k(t). Тогда
х
f(x) = §X(t)dt. (6.5)
а
Поэтому из условия 3° следует, что
ь
J Я (t)dt = 0. (6.5')
а
Наоборот, если функция К (t) из класса i?2(a, Ъ)
удовлетворяет условию (6.5'), то функция /(#),
определенная равенством (6.5), удовлетворяет условиям 1°, 2° и 3°.
Если теперь функция h(x)^2?*(a, Ь) не
удовлетворяет условию (6.5х), то можно подобрать такое
постоянное число Со, что функция
К(х) = к(х) — с0 (6.6)
будет удовлетворять этому условию. Действительно, для
определения числа с0 получим уравнение
ъ ъ
J h±(t) dt=\h(t) dt — c0(b — a) = 0. (6.7)
a a

§ 6. САМОСОПРЯЖЕННОСТЬ СИСТЕМ ТИПА ДИРАКА 299
Вернемся к равенству (6.4). Его можно записать
в виде
ъ
§X(x)h(x)dx = 0.
а
Используя (6.5), перепишем последнее равенство в виде
ъ
^X(x)h1(x)dx = 01 (6.8)
а
где hi(x) имеет вид (6.6), притом с0 определяется из
уравнения (6.7). Полагая теперь в (6.8) Х(х) = ^(х),
что возможно, так как К(х) удовлетворяет условию
(6.5'), получим
ь
J h\ (x) dx = 0,
откуда следует, что почти всюду hi(x) = 01 т. е. h(x)=sc0l
что и требовалось доказать.
3. Пусть I означает оператор, определенный в
пункте 1. В следующей лемме дается описание области
определения £D(l*) сопряженного оператора I*.
Лемма 6.2. Область определения 3)(1*)
сопряженного оператора Z* состоит из вектор-функций z (х) =»
= [z (#)]> удовлетворяющих следующим условиям:
1°. Zi{x), z2{x)ez&2{0, oo).
2°. Zi(x), z2(x) абсолютно непрерывны в каждом
конечном интервале.
3°. l(z) = z* = I * е= S2 (О, оо), /гг. е.
z2 + р (х) zx + q (х) z2 = zteE З?2 (О, оо),
— z[ + q (x) z± + г (х) z2 = z$e 3?2 (О, оо).
4°. z1(0)cosa + z2(0)sina = 0.
Доказательство. Согласно определению
сопряженного оператора Z*, если у(х)^2)(1) и z{x)^£D(l*),
то найдется такая вектор-функция z*(x)^3?2(0, oo)t Что
имеет место равенство ((у, z) = yf*z = yizi + y2z2)
J (ly, z)dx = ] (y, z*) dx,

300 ГЛ. VIII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
или в развернутом виде
00
J \[v% + p{x)vi + q(x)y^\z1 +
о
оо
+ [—y'i + q{x)y1 + r (x)у2] z2) dx = ) {y^l + y^dx. (6.9)
о
Предположим сначала, что у2(х)=*0. Тогда равенство
(6.9) примет вид
оо оо
J Ь (*)>А + [— У1 + Я. (*) уЛ z%) dx = j y±z*dx. (6.10)
Интегрируя по частям, получаем
оо оо Г х
J p{x)y1{x)z1(x)dx = — ]у[{х)\ \ p{t)z±(t)dt
О О L0
о» оо Г ос
j q (х) у± (х) z2 (x) dx= — §y[ (х) [ J q (t) z2 (t) dt
dx,
dxf
dx>
\ Ух (*) zi (*) dx = — j y[ (x) j z\ (t) dt
о о Lo
В силу этих равенств (6.10) можно переписать в виде
I y'i (х) \z2(x) + j [p (t) Zl (t) + q (t) z2 (t) - zl(t)] dt\ dx = 0,
0 l 0 )
откуда, на основании леммы 6.1, следует
X
Ч (*) = \ [- Р (t) z1 (t) - q (t) z2 (t) + z*(t)] dt + e%. (6.11)
0
Предполагая теперь z/i(£) = 0, из равенства (6.9)
аналогичным образом получим равенство
х
Ч (х) = j" [р (t) Zl (t) + г (t) z2 (I) - z\ (t)] dt + ev (6.12)
0
Из представлений (6.11) и (6.12) следует, что век-
(zi(x)\
тор-функция z (х) = I z (Xj I удовлетворяет условиям 2

§ 6. САМОСОПРЯЖЕННОСТЬ СИСТЕМ ТИПА ДИРАКА 301
и 3°, а также существование пределов Zi(+0) = Ci,
22(+0) = с2.
Рассмотрим теперь произвольные вектор-функции,
удовлетворяющие краевому условию (6.2). Интегрируя
левую часть равенства (6.9) по частям, получаем
оо
J [[У*+ Р(*)У1 + ff (*Ы*1+[— yi + q{x)y1 + r{x)y2\z2\dx^
о
оо
= j l[4 + p{x)z1 + q{x)z2]y1 +
о
+ [— z'i + Я (я) z± + г (х) z2] у2) dx +
оо
+ У*(0) zt (0) - Vl (0) z2 (0) = j (yizl +y.2z*2) dx. (6.13)
0
Так как, по доказанному,
Z*(z)= ( z2 + P(x)zi + <l(x)z2,
I—*i + 4(x)zi + r{x)z2,
то из (6.13) следует
у2(0)г1(0)-^(0)22(0) = о. (6.14);
В силу (6.2) г/i (0) /г/2 (0) = — tga. Подставляя это
выражение в (6.14), получаем для вектор-функции z(x)
условие 4°. Лемма доказана.
Используя лемму 6.2, можно получить следующую
замечательную теорему.
Теорема 6.1. Если коэффициенты системы (6.1)
непрерывны в каждом конечном интервале, то оператор Z,
замыкание оператора Z, самосопряжен.
Доказательство. Покажем, что оператор Z* на
своей области определения 3){1*) симметричен. Отсюда
будет следовать, что
j*S(l*) * = /♦*. (6.15)
С другой стороны, для симметрического оператора I
всегда имеет место включение
l**s=l*. (6.16)
Из (6.15) и (6.16) следует, что 1** = 1*, т. е.
самосопряженность оператора Z*. Далее, для любого
симметрического оператора А (с плотной областью определения)
А** = Ау где А — замыкание оператора А (см. Н. И. Ахие-

302 ГЛ. VIII. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
зер, И. М. Глазман [1], с. 127 и 148). Поэтому 1 = 1*
и, следовательно, оператор I самосопряжен. Таким
образом, остается доказать симметричность оператора Z*.
Пусть у = {у ]и z =\z \ei3) (Z*). На основании
леммы 6.2 yi(x)zz(x), y2{x)zi(x)^S>2(01 «>). Поэтому
найдется такая последовательность ап ->■ °°, что
Km y± (an) z2 (an) = 0, Km y2 (ап) %х (ап) = 0. (6.17)
П-ЮО ПНкэо
Далее, на основании тождества Грина имеем (снова
используя результаты леммы 6.2)
(г/, Z* (Z))x=an - (Z* (*/), Z)x==an =
IV
4(^l»Z2)-^r(Z1^2)
d£
= */i («n) z2 {an) — zx (an) y2 (an).
Переходя в этом равенстве к пределу, в силу (6.17)
получаем
(y,l*(z)) = (l*(y),z)
для любых у, z^2)(l*), что и требовалось доказать.
Теорема 6.1 показывает, что для системы (6.1),
коэффициенты которой непрерывны в каждом конечном
интервале, не может быть случая предельного круга (т. е.
индексы дефекта (0, 0)).
Указания к литературе
§ 1. Основной результат этого параграфа, т. е. теорема 1.1,
впервые получен Контом и Сангреном [1]. Изложенное здесь
доказательство принадлежит И. С. Саргсяну.
§ 2. Результаты этого параграфа принадлежат Титчмаршу [4]
и Маклеуду [1]. Следует, однако, отметить, что если
коэффициенты р(х) и г(х) непрерывны в каждом конечном интервале, то, как
показано в § б этой главы, может иметь место только случай
предельной точки.
§ 3. Интегральное представление резольвенты получено
Б. М. Левитаном и И. С. Саргсяном [1]. Остальные результаты
этого параграфа принадлежат Титчмаршу [4] и Маклеуду [1].
§ 4. Теорема 4.1 имеется в работе Титчмарша [4]. Лемма 4.1 и
изложенное здесь доказательство теоремы 4.1 принадлежат
Б. М. Левитану и И. С. Саргсяну [1].
§ 5. Результаты этого параграфа аналогичны соответствующим
результатам для оператора Штурма — Лиувилля и публикуются
здесь впервые.
§ 6. Теорема 6.1 принадлежит Б. М. Левитану. Независимо
аналогичная теорема была получена В. В. Мартыновым [1].

Глава IX
ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
§ 1. Спектр в случае суммируемых коэффициентов
Рассмотрим задачу
Л-{*+?! (*)}»! «О, (1.1)
у; + {^ + <72 (*)}*/i = О, (1.2)
уг (0) cos а + у2 (0) sin а = 0 (1.3)
на полуоси [0, °°) в предположении, что коэффициенты
qi{x) и q2(x) принадлежат классу 2"(0, °°).
Обозначим через ф(я, К) решение системы (1.1), (1.2),
удовлетворяющее начальным условиям
<Pi(0> Я) = — sin а, ф2(0, Я) = cos а. (1.4)
Перепишем систему (1.1), (1.2) в виде (с заменой у
на ф)
Ц)[ — Яф2=д1(^)ф2, (1.1')
4'i + h41 = —q2(x)4>i- (1.2')
Считая правые части системы (1.1'), (1.2') известными
и применяя метод вариации произвольных постоянных,
находим
х
<Pi fa Ц = sin № — a) + J {ф2 (s, X) qx (s) cos X {x — s) —
о
— ф2 (s, Л) q2 (s) sin Я (а; — s)} ds, (1.5)
«
Ф2 (я, X) = cos (Xx — a) — J {ф2 (s, Я) gx (5) sin X (x — s) +
0
+ Ф1 (5> ty 4% (s) cos ^ (x ~ s)} <&• (1-6)

304 ГЛ. IX. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
Пусть Я = о + ix (т > 0). Положим
q>i(*. k) = hi(x)exxJ ф2(я, k)=h2(x)e™. (1.7)
Тогда из формул (1.5) и (1.6) следует
х
hi (х) == £~тзс s*n (^ ~~ а) + J fe (5) #i (5) cos k(x — s) —
о
— ^i (s) Ъ (s) sin ^ (х — 5)} eT(s~x)ds,
А2 (а:) = е-™ cos (kx — а) — J {h2 (s) q± (s) sin Я (x —■ s) +
о
+ К (s) Я2 (s) cos к (x — s)} e^s-x4s.
Так как I sin (Ал; — a) I ^ eTX, \cos(kx —a)\ ^ exx, то
переходя в последних формулах к абсолютным величинам,
получим
\h1(x)\1\h2(x)\<:l+){\h1(s)\\q2(s)\ + \h2(s)\\q1(s)\}ds.
о
Поэтому применима лемма 2.1 гл. III, и мы получим
IM*)I, I^W|<expH[|?1(5)| + |g2(5)|JdA
А так как, по условию, qi{x), g2(^)e«27(0, °°), то из
последней оценки следует, что вектор-функция h(x)
ограничена при х£=[0, °°), 1Я|^р>0 и тХ).
Следовательно, в силу (1.7) для больших х
ф1(*, Я) = 0(е~), ф2(*, А) = 0(е™). (1.8)
Рассмотрим сначада действительные значения Я.
Тогда в силу (1.8) функции q>i(x, Я) и ф2(#, Я) ограничены.
Поэтому из формул (1.5) и (1.6) при х-+°° нолучаем
оо
фх (х, Я) = sin (kx — а) + J {ф2 (я, Я) q1 (s) cos Я (a: — s) —
о
— фх (5, Я)д2 (^) sin Я (я — s)} <2s +
+ 0\$l\qi(s)\ + \b(s)\]ds\
\х )
= ix (Я) cos kx + v (Я) sin Я# + о (1), (1.9)

§ 1. СПЕКТР В СЛУЧАЕ СУММИРУЕМЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ 305
оо
ф2 (х, X) = cos (Хх — а) — j {ф2 {s, X)q1 (s) sin X (x — s) +
о
+ Ф1 (5> ty q2 (s) cos Я (x — s)} ds +
+ 0^l\q1(s)\ + \q2(s)\]ds\^
= v (X) cos Xx — [x (Я) sin Яя + о (1), (1.10)
где
(.i (Я) = — sin а +
+ J {ф2 (si ty q± (s) cos Xs + фх (s, X) q2 (s) sin Xs) ds, (1.11)
0
v (X) = cos a +
oo
+ ) (фг (sj ty Qi is) sin ^5 ~~ Ф1 (5» ^) #2 (s) cos ^5} ^5- (1-12)
0
Так как интегралы в формулах (1.11), (1.12) сходятся
равномерно по Я, то функции ц (X) и v(X) являются
непрерывными.
Аналогично, если $(х, X)— решение системы (1.1),
(L2), удовлетворяющее условиям
i|>i(0, X) = -cos a, ^(O, Я) = — sin а, (1.4')
то
Ь(х, X)=l{X)cosXx + v)(X)smXx + o(l), (1.13)
1|>2(я, X) = Ti(A)cos^-^(X)sin^ + o(l), (1.14)
где
1[(Х) = — cos а +
оо
+ 1 {^2 (si ^) #i (5) cos hs + ^/(s, Я) q2 (s) sin ta} ds, (1.13')
о
г) (Я) = — sin a +
со
+ J {i|?2 (s, ^) ?1 (s) sin A-s — if^ (s, A) g2 (s) cos Is) ds. (1.14')
0
Тогда в силу (1.9), (1.10), (1.13) и (1.14) имеем
Wiff, ф>»|1(Я.)т|(Х) —v(X)|(X) + o(l). (1.15)
20 б. М. Левитан. И. С. Саогсян

306 ГЛ. IX. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
Так как в силу условий (1.4) и (1.4') Шср, ^}х==0 = 1, то
из (1.15) следует, что
|i(M4(M-v(X)6W = l. (1.16)
Из этого равенства следует, что \i(v) и v(X) не могут
обратиться в нуль для одного и того же значения X.
Рассмотрим теперь комплексные значения X. При
фиксированном положительном т из (1.5) при х-+-о° следует
е-гХх e-ikx
<рх (я, X) = ^— cos а g— sin а + О (е~хх ) +
•Y j е-ы*-* {ф2 (*, X) 9l (s) - гф1 (s, Я) g2 (s)} ds +
2
о
+ О J е-^-) | ф2 (s, Я) 9l (s) - j?1 (s, Я) ga (s) | «fc|. (1.17)
Далее, с одной стороны, в силу (1.8) при х-*-°°
О J «-«*-> | Ф8 (s, Я)дх (*) - |ф1 (в, Я) q2 (s) | ds =
= ОIJ «-«*-»> [ 19l (s) | + | q2 (s) | ] ds\ =
вх(х-2б) j [!?!(«)! +|ga(s)|]d« +
0 J
+ О y* J [ | ?x (*) | + | gf (^) | ]ds\ = о (***),,
а с другой стороны,
| e-iM*-.) {фа (Sj я) ?1 (,) _ ф1 (в| Я) <?2 (в)} ds =
=оИ[|?1(«)|+|?2(«)|]4=<'И»
и поэтому из равенства (1.17) при ж-*-°° имеем
<Pi(*. Я) = е-<Х1Ш1(Я) + о(1)}, (1.18);

§ 1. СПЕКТР В СЛУЧАЕ СУММИРУЕМЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ 30?
где
m s
2 2Г
д^ (я) = _•!"«»« +
+ 4" J еш (Ф2 (*, *) ?i (*) - «Ф1 (*, *) 42 (*)} ds. (1.19>
О
Аналогично из (1.6), а также из аналогичных формул
для решения if(#, К) получим оценки
ф1(ж,Х)=-е-ЛвШ,(Л) + о(1)},
i|)i(^X) = e-^{iV1(^)+o(l)}, (1.20J
г|)2(^Д)-е-^{^2(Я) + о(1)},
где
Л/Г ,«ч sin a cos а
Ж2 (А) = т я
2*
4" j *Ш 0<Р2 (5> Х) 3i (5) + Ф1 (5> ^) 9з (*)} <*Ч
^l(x)e_s^ + ^? +
+ 4 j «<Xe {^2 («• *) 3i (^) - ^i (5, *) д2 («)} <&. (1-21)
о
лт ,*. sin а cos а
^2 W = g S
— 4" J *'*' (**2 (*. Я) 3i (*) + *i (*. Л) 92 (*)} ds.
о
Теорема 1.1. Если коэффициенты q^ix) и q2{x)
принадлежат классу 3?(0, «>), то спектр задачи (1.1),
(1.2), (1.3) непрерывен и заполняет всю ось (—°°, °°.
Доказательство. Пусть в*(ж, X) = i|;(#, А,) +
+ яг(А)ср(#, А) —то решение системы (1.1), (1.2),
которое принадлежит 2?2(0, °°). Тогда, используя формулы
(1.18) и (1.20), имеем
^i{xJK) = e^{Ni{K)+m{X)Mi{k) + o{l)},
®2{x,l) = e-iXxW2{X)+m{X)M2{X) + o{l)}.
Так как для каждого недействительного К существует
только одно решение системы (1.1), (1.2), принадлежа-
20*

308 ГЛ. IX. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
щее «2?2(0, °°), то, очевидно, что ф(я, Я) и ф(я, Я) не
принадлежат 3?2(0, °°). А так как, по предположению,
Ф(я, X)^i?2(0, °°), то должно быть
Далее, заметим, что если Я стремится к действительному
лределу (т. е. т-*-0), то из формул (1.19), (1.21), (1.11),
(1.12), (1.13') и (1.14') следует
Мг (Я) -+ \ {tu (Я) + iv (Я)}, Nx (Я) -> 4 ft (*) + «Л (Л)},
Следовательно, lim m (Я) = — , !j, . Поэтому для
действительных Я
Im m (Я) = ^ 5— •
(A2U)+V(X)
И так как |я (Я) и v (Я) не обращаются в нуль для одного
и того же значения Я, то 1т/тг(Я)—непрерывная
функция на всей оси (—°°, °°). Тогда в силу формулы (3.16)
гл. VIII имеем
а,+д
1 Г di
р(Я + А)~р(Я) = 4- |
51 -jj ^(W + v2^)'
что и доказывает теорему.
§ 2, Преобразование основной системы
В некоторых случаях систему
yi-{* + ?i(*)}y. = 0, (2.1)
*/; + U + <?2 (*)}*/! = 0 (2.2)
с неограниченно растущими коэффициентами qi(x) и
q2{x) можно путем подходящей замены преобразовать к
другому виду, допускающему вывод асимптотических
формул.
Предположим, что Я — действительное число, a q{ (х)
и q2{x) — дважды непрерывно дифференцируемые функ-

§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ 309
ции. Положим
X
а (х) = f {[X + ?1 (*)] [I + q2 (*)]}V* ds, (2.3)
6
iz(^) = F(o:, k)y2{x),
v{x) = G(x, Ь)у*(х)-Р-1(х, k)yt{x),
где
(2.4)
fx + ?n (*)11/4 f' (ж, X)
Тогда
dw du dx t „9 r t x dx Fx t F '
d^==dx-'d^= [Fx^ + Ь^] ^^-*У* + -* ^
Отсюда у2 = \— — ~^гУц "F-« Подставляя это выражение
|/2 в (2.2), получим
dx а' *х , гл . / \i a
Ш~Г~Т"У* + {1 + ?»(*)} 0i = °'
или, в силу (2.3), (2.4) и (2.5),
Та = ^ ^ - 11Г & + 52 (*)> 01 = G02 - ^Vi => i> (z). (2.6)
Далее, имеем
откуда, в силу (2.2), находим
y'i = -£-F<*' + G'xFf -{GF[k + q2 (x)] - F'JTX\ J/i-
Подставляя это выражение г/i в (2.1) и учитывая
первое из равенств (2.4), получим
(2.7)
Так как в силу (2.3) и (2.5) коэффициент при и равен
— 1, а при г/i равен нулю, то (2.7) принимает вид
с'
dv "x /о о\
_ = — и + -т-тг w. (2.8)
da a'F ч 7
du
da

310 ГЛ. IX. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
Значит, система (2.1), (2.2) преобразуется, согласно
равенствам (2.6) и (2.8), к виду
Ш = "> £ = -u + R(x,X)u, (2.9)
G'x (х, X)
где R (х, К) = g, ( р ^ Я), или, используя (2.3) и (2.4),
более подробно,
R(x ?.)., q"^x) i&
4 [X+ «!(*)]* [*+*«(*)] 4 [Х + ^ (*)] [Л + <?2 (*)]2
5^ ^i («J 1 0! («) ?2 (*)
16 [X + ^ (*)]3 [Я + ?2 (*)] 8 [X + д± (x)f [X + д2 (х)]
7 Я.» \х)
+ 1б" [X+qi(x)]ll+q2(x)] • (2Л0>
Лемма 2.1. 2?с/ш вектор-функция ц(х) является
решением системы (2.9), т. е.
^ = %, -^ = -г]1 + Л(*ДК, (2.11)
го она удовлетворяет системе интегральных уравнений
Tli (#• ^) = "Hi (0) cos а (#) + т)2 (0) sin а (#) —
X
— J т^ (5, Я) Р (5, Я) sin [а (s) — а (х)] ds£ (2.12)
о
т)2 (х, К) = — т^ (0) sin а (#) + г|2 (0) cos а (#) +
X
+ J ть (s, Я) Р (5, X) cos [a (s) — а (х)] ds, (2.13)
о
где
Р (х, Я) = R (х, Я) а' (a;) = G'x (x, K)/F (x, I). (2.14)
Доказательство. В самом деле, в силу второго
уравнения из (2.11) и (2.14) имеем
X
\ т)1 (s, К) Р (s, X) sin [a (s) — а (х)] ds =
о
= J j-^f a' (s) + т)! (5, Я) а' (s)j sin [а (s) — а (х)] ds =

§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ 311
х
С* Wyi
= 1 -р- a! (s) sin [a (s) — а (х)] ds +
о
X
+ J rj! (s, Я) a' (s) sin [а (s) — а (х)] ds. (2Л5)
о
Интегрируя первый интеграл правой части (2.15) по
частям, а затем используя первое уравнение из (2.9) и еще
раз интегрируя по частям, находим
х
-^- sin [a (s) — а (х)] da (s) =
о
X
= т)2 (0) sin а (х) — \ -р- cos [a (s) — а (х)] da (s) ~
о
= т)2 (0) sin а (х) — гц (х, К) + щ (0) cos а (х) —
X
— J rjjL (s, Я) sin [а (s) — а (х)] da (s);
о
Уравнение (2.12) следует из (2.15) в силу последнего
равенства. Уравнение (2.13) доказывается аналогично.
Лемма 2.2. Пусть qi(x) и q1(x) — монотонные
функции и выполняется одно из условий:
1°. Ях(х)>0, q2{x)<:Q, q'i(x)>0, q[(x)<0 и при
я-^оо qx{x)-*- +oo, qz{x)-*— °°.
2°. gi(^)^0, q2(x)>Q, q'i(x)<0, q'2(x)>0 и при
x-+<x> qi(x)->—oo, q2{x)-*- +°°.
3°. qi{x), q2(x)>0, q[(x), &(х)>0 и при х-+<*
q,{x), q2(x)-++°°.
4°. qi(x), q2(x)<0, qi(x), q2(x)<0 и при x-+°°
qi(x), q2(x)-+-<*>
и условия
5°. q[ (x) = 0{\qi(x)\% q*{x) = 0{\q2{x)\% (2.16)
где 0 < с < 3/2.
6°. qx (x) и q2 (x) сохраняют знак для больших х.
Тогда интеграл
оо
§\P(x,X)\dx (2.17)

312
ГЛ. IX. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
сходится равномерно по % в каждой области \К + qi{x)\t
\K + q2(x)\ >8>0 для 0 <х<оо.
Доказательство. В силу равенств (2.10), (2.14)
и (2.3) имеем
Р(хЛ)
М*)
4 [Я + дх (*)]3/2 [X + я2 И]
я"2 М 5
1/2
[gjW]2
Чь+ч И]1/2 [* + ч W]3/2 16 I* + ^И]5/2 № +^2И]1/2
01 (ж) 02 (ж)
К и]2
(2.18)
Очевидно, что для доказательства леммы достаточно
показать, что каждое из слагаемых выражения (2.18)
интегрируемо на полуоси [0, °°).
Пусть выполняются условия 1°, 5° и 6°
(доказательство в остальных случаях проводится вполне
аналогично). Тогда в силу (2.16) имеем
1
(?!<*))
{чу w}6/2 {ч Щ
1/2
dx= О
ч[(х)
»1/2
dx\.
Так как, по условию, q2 (х) — монотонная функция, та
применяя теорему о среднем к последнему интегралу,
получаем (Х0 < | < X)
[в!(*)Г
К (*)}'" {<?2 <*>}
1/2
dx = 0
(а (1)ГШ f ^^
= О [q;1/2 (g) 9Г3/2 (*)]f0 = 0(1). (2.19)
Аналогично получаем оценку
Wa(*)}a
i
A. «г (*)#*(*)
Ac = 0(1).
(2.20)
Далее, используя опять теорему о среднем, а затем ин-

§ 3. СЛУЧАЙ ЧИСТО ТОЧЕЧНОГО СПЕКТРА
313
тегрируя по частям, находим
х т х
?iW
q\*{?)q\*(x)
.1/2 ,
^=^(1)U
(*)
«/2(*>
dx
Поэтому в силу оценок (2.16) и (2.19) заключаем, что
х
Г «г (*)
.1 #»(*)#*(*■
Аналогично убеждаемся, что
■da; = 0(1).
i
?2(*)
3/2 1
#» (*)«?*(*>
■da; = 0(1).
(2.21)
(2.22)
И, наконец, используя оценку (2.16) и теорему о
среднем, получаем оценку
л.
J
ч\ (*) Ч (*)
,3/2 ,
j в?'»(«)^•(*:
dx = 0
л.
9i(«)
«f2^)^2 <*
r3/2-c i
d;r
= 0 [{qa (l)}c-S/2qZ1/2 (x) |fJ = 0 (1). (2.23)
Сходимость интеграла (2.17) следует из оценок (2.19) —
(2.23) в силу (2.18). Лемма доказана.
§ 3. Случай чисто точечного спектра
Цель настоящего параграфа — установить некоторые
достаточные условия для дискретности спектра задачи
Vi-{b + qi (*)} 2/2 = 0, (3.1)
у; + {Ь + ?я(*)}У1 = 0, (3.2)
у± (0) cos а + у2 (0) sin а = 0 (3.3)
на полупрямой [0, °°).
Теорема 3.1. Если qi(x) и q2(%) удовлетворяют
условиям 1°, 5°, 6° или 2°, 5°, 6° леммы 2.2, то задача
(3.1), (3.2), (3.3) имеет чисто точечный спектр.

314 ГЛ. IX. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
Доказательство. При 1тЛ>0 предполагаем, что
О < arg Ж я, а в тех случаях, когда q^x) или q%(x)-+
->—оо, предполагаем, что и arg {X + qt (x)} и argU +
+ q2(x)) изменяются от arg Я до я. Поэтому
4- arg X < arg {К + qx (х)}г/\ arg {Я + q2 (x)}1/2 < -f.
Отсюда следует, что мнимая часть функции
х
О
положительна. Далее, при выполнении условия 1° или 2°,
ограниченном % ж х-+ °° имеем
х
а (х) ~ i j {?! (s) g2 (s)}i/ads,
о
так что e~ia{x) ->■ °° при ж ->■ °°. Пусть | (х, Я) = т) (#, A,)Va(x>.
Тогда из (2.12) и (2.13) следует, что
1г (х, Я) = г\г (0) eiaW cos a (x) + r\2 (0) eia(*> sin a (я) —
— J Ei (s, Ц g»)-« P (5, A,) sin {a (5) — a (я)} d*\
о
Ъ2 (x> Ц = — r\± (0) 6?ia<*> sin a (x) + r\2 (0) eia<x> cos a (x) +
л
+ J4i (5, Я) ei{a(*>-a(-)> P (<?, A,) COS {a (5) — a (x)} US.
0
Отсюда, в силу неравенств \е**{х) sin a (ж) I < 1,
|£*a(*> cos a^j | <^ ^ следуют неравенства
I Ex I, |i2l<hi(0)| + K(0)| + ^i(s'A)llp(s'Ws>
О
и, значит, согласно лемме 2.1 гл. III, которая применима
в силу леммы 2.2,
IU |S2|<{hi(0)| + h2(0)|}expj]|P(S)A)|^j.

§ 3. СЛУЧАЙ ЧИСТО ТОЧЕЧНОГО СПЕКТРА 315
Следовательно,
гь(*Д)|, |л2(*Д)|<
< {| % (0) + | ть (0) |} exp IJ | Р (*, Я) | ds\ | е-«*) | =
= О (в-*«(*)) = О (е-1™***). (3.4)
Далее, при фиксированном X, 1тЯ>0 и при ж-^°° из
(2.12) следует
Tli (*, Ь) = \ Л1 (0) e~ia(3C) — 4" Л2 (0) e~ia(x) + О (e-Ima(3C>) +
о
+ О К | TJi (*, Я,) 11 P(S, X) | e-lm[a(,)-a(*)] Ц. (3.5)
В силу (3.4) имеем
0 Н 1% 11 ^ I e-Imta(»)-a«] ds\ = О I j | iP | e-lm[a(*)-2a(5)] <& 1 =
!x x—6 \
j e-lm[a(*)-2a(*-e>] j* [ p | rf Л +
0 0 )
+ 0Llma(x) j |Р|Ц. (3.6)
Так как
a (ж-8)=-a (ж)- f {[ИйМЦИйШ1^,
то
— Im [a (#) — 2a (# — 6)] =
X
= Im a (x) - 2 Im j {[X + ?1 (*)] [Я + q2 (s)]}1'* ds.
Поэтому
exp {-Im [a (x) - 2a(ж - 6) ]} =* о (elm a(x)), x -> oo.

316 ГЛ. IX. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
Следовательно, используя еще лемму 2.2, из (3.6) при
х -*■ °о получаем оценку
0 jhi(*, fy||^(s, ^le-Mow-owi^l^o^imoCsO). (3.6')
С другой стороны, в силу леммы (2.2), при я-*- °° имеем
оо
J Т1х (5, Я) Р (5, К) *-*[*<*>-*<•>] & =
О
= О Llma(x) j | р ^ X) | & = о (eIma(»>). (3.7)
Благодаря оценкам (3.6') и (3.7), равенство (3.5) можно
переписать в виде
Л1 (*. М = e~ia(x){M+ (X) + о(1)>, (3.8);
где
оо
М+ (Ц = ^- - ^JL + -^ j" Лх (s, Я) Р (s, X) еМ ds.
О
(3.9)
Аналогичным образом из равенств (2.13) получаем
4z{x, l)=e-iaix){N+(h) + o{l)}, (3.10)
где
оо
Я+ М = ^Р~ + ^Р- + \ J Чх (*. *) ^ (*. *) *ia(s) &.
О
(3.11)
Теперь, если Ima(;r)-^—°о при х ->■ оо и,
следовательно, е7'а(*) -> оо? то, поступая таким же образом, как и
выше, равенствам (2.12) и (2.13) придадим вид
г\,{х, %)=eia{x)W-{X)+o(l)}, (3.12)
Л2(«, X) = ^e(x){iV-(X)+o(l)}f (3.13)

§ 3. СЛУЧАЙ ЧИСТО ТОЧЕЧНОГО СПЕКТРА 317
где
оо
м- щ = 5i£L + h^L _ ^_ J % (S) i) р (s, K) е-щ.) dSt
о
(3.14)
00
х- (л.) = 3i^L - IbJ£L + 4- J лх («, *) * («, *.) «-ia(«>^-
О
(3.15)
Обозначим через ф(я, X) решение системы (3.1),,
(3.2), удовлетворяющее условиям
<Pi(0, Я) = —sin а,
(3.16)
ф2(0, Х) = cos а,
а через ty(x, X) — решение, удовлетворяющее условиям
,ф1(0, Х) = —cos а,
(3.17)
of>2(0, А,) = — sin а.
Далее, так как из (2.4) следует, что
11l(0) = F(0)j/2(0),
il*(0)=-G(0)jb(0)-F-4(0)MO),
то в силу (3.16) имеем
T)I(0) = F(0)cosa, (318'V
Ti2(0) = F-1(0)sina+G(0)cosa.
С другой стороны, благодаря (2.4)
Ф.Ог, X)=G(x, X)y\i{x, X)-F(x, X)r\t(z, %),
(3.19)
Ф,(ж, A-) = F-'(z, X)ti,(a;, X).
Поэтому, используя (3.8) и (3.10), для решения <р(ж, Я-)
получаем следующие асимптотические формулы при х -*•
-*• оо (знак + означает, что рассматривается случай, когда
Ima(i)-* +oo при х -*■ оо):
Ф+ (ж, Я) = е~тх) [GMt {Ц - FN$ {%) + о(1)), (3.20)
Ф+ (х, X) = e~iaix) \F~lM$ (Ц + о(1)К (3.21)

318 ГЛ. IX. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
где в силу (3.18') и (3.19), используя (3.9) и (3.11),
м* (*)=4г \~ F~l (0) sin а+[iF (°)~~ G (°н cos а +
+ j Ф+ (*, к) Р (s, К) F (s, I) el"W ds\, (3.20')
JV+ (I) = -|-p'-1(0)sina— [^(0) — G(0)] cos a +
oo I
+ j Ф^ (5, Я) Р (*, Я) F (5, Я) ^a<s> <fe . (3.21')
0 I
Аналогичным образом для решения ip (а:, Я) получаем
следующие асимптотические формулы при #->оо:
^ (я, Я) = <ria(3C) {GMj (Я) - /Wj (Я) + о (1)}, (3.22)
iM*. Я) = e-mx){F~lMUty + о(1)К (3.23)
где Af J (Я) и Л"J (Я) получаются соответственно из М$ (Я)
и АГф (Я) заменой sin a, cos a и Ф* (я, Я) соответственно
на cos a, —sinа и if>2(#, Я).
Пусть #(#, Я)=г|)(л:, Я) + т+(Я)ф(^, Я) —то решение
системы (3.1), (3.2), которое принадлежит классу
J?2(0, oo). Тогда, используя асимптотические формулы
(3.20), (3.21), (3.22) и (3.23), получаем
* 1 (*, *) = Ф+ (*, ^) + ™+ (Я) Ф+ (ж, Я) = e~ia(x) [GM% -
- FN% + т+ (Я) [GM+ - FN+] + о (1)1,
^2 (*, *) = ^2+ (*. Я) + т+ (Я) Ф+ (х, Я) =
= e~ia{x) [F^Mi + т+ (Я) F'XM% + о (1)1.
Так как Ф^, Я)^=2?2(0, °°), то из последних двух
формул следует, что
+ m M+ G(x,X)M+(X)-F(x,X)N+(X)
т+ (Я) = 2- = — hm 1 ^г •
М+ х-оо G (ху X) М+ (X) - F (х, X) N+ (X)
(3.24)
Подобные формулы имеют место и в случае, когда
Ima(x)-^—оо с заменой в (3.24) т+(Х),М^^ (Я), N^(X)

§ 4. ДРУГИЕ СЛУЧАИ СПЕКТРА
319
соответственно на т (Я), Му^Ск), Лгф>ф(Х), где
последние две функции получаются из формул (3.14) и (3.15)
так же, как функции Mytty(X) Ny^(k) были получены из
формул (3.9) и (3.11).
Пусть К — фиксированное действительное число.
Согласно условию 1° леммы 2.2 qi(x) монотонно стремится
к +°°, a qz{x)-*— ©о. Сначала предположим, что для всех
х Х + qi(x)>01 a Х + q2(x)<0. Тогда функция <х(х) —
чисто мнимая, так что а(х)= \a(x)\ein/2. To же самое
предположим при выполнении условия 2°. Тогда, как
легко видеть, F(x, Л) = \F{x, X) \ein/\ G(x, Х)=»
= \G(x, X) \e~inn. Следовательно, из (3.20') следует, что
функция е"ыиМ% (X) действительна. Аналогичным
образом доказывается, что функции М%{Х\ N^(X), М^(Х)
становятся действительными, если каждую из них
умножить на егя/4 или е~гя/4.
Итак, установлено, что на самом деле функция
~гп/*Му (X) действительна и непрерывна на всей
действительной оси. Так как, кроме того, My (X) регулярна в
верхней ^-полуплоскости, то по принципу симметрии
Мф {X) — целая функция. Аналогично можно заключить,
что — также целая функция. Следовательно, в силу
формулы (3.24), т+(Х) — мероморфна. Собственные
значения совпадают с ее полюсами, и, следовательно, спектр
точечный. Аналогично разбираются остальные случаи.
С тем же успехом все предыдущие рассуждения
можно провести и в том случае, когда при д4(д;)->+оо?
Цг{х)->—оо или при qi(x)-*—оо? д2(#)_>.+оо
неравенства X+qi(x)>0, X+q2(x)<0 или %+ q{(x)<0, Х +
+ q2(x)>0 выполняются не для всех х. Очевидно, чта
тогда можно выбрать такое Х0, что при всех х > Х0 и
фиксированном действительном X выполняются
неравенства Х + qi(x)>0, Х + q2(x)<0 (в случае условия 1°) и
неравенства Х + qi(x)<0, Х + q2(x)>0 (в случае
условия 2°), и после этого все предыдущие выводы можно
повторить для интервала (Х0, °°). Теорема доказана
полностью.
§ 4. Другие, случаи спектра
В этом параграфе проведем дальнейшее исследование
спектра задачи (3.1), (3.2), (3.3). Пусть вектор-функции
<р(#, X) и г|)(д:, X) имеют прежние значения. Обозначим

320
ГЛ. IX. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
через т)<р(д;, X) и щ(х, X) решения системы (2.11),
которые получаются из формулы (2.4) заменой в них у(х)
соответственно на ц>(х, X) и г|)(;г, X). Тогда в силу (3.16)
ж (3.17) из формул (3.18) следует
W0)=-F(0)cosa, (41
Л2ф(0) = С(0)со8а + ^-1(0)8та,
W0)==--^(0)sina,
W0) - -G (0) sin a + F-1 (0) cos a.
Далее, из формул (3.19) для ф(0, X) и г|)(0, X)
получаем следующие выражения:
ф1(0, X) = G(0)ti„(0)-F(0)tiw(0),
<р,(0, Я,) = ^-1(0)л.ф(0),
^(0, ^)=G(0)^i*(0)-F(0)^(0), (44)
fc(0, X) = F-'(0)r,1(t(0).
Б силу условий (3.16) и (3.17) имеем W{q>, г|)} = 1.
Поэтому, используя выражения (4.3) и (4.4), получаем
Шф, t} = W0)rb(0)-W0)W0) = Wrb, %> = 1-
(4.5)
Теорема 4.1. Если д{(х) и q2(x) удовлетворяют
условиям 3°, 5° и 6° или 4°, 5° ^ 6° леммы 2.2, го спектр
задачи (3.1), (3.2), (3.3) непрерывен и заполняет всю
ось (--00, °°).
Доказательство. Пусть X — фиксированное
действительное число. Так как в силу условий 3° и 4°
леммы 2.2 функции qi(x) и q2(x) при х -*■ оо одновременно
стремятся или к +°° или к —°°, то предположим сначала,
что для всех х одновременно или X + qi(x), X + q2(x)>0,
или X+qi(x), X + q2{x)<0. В обоих случаях получаем,
что обе функции а(х) и F(x, X) (см. формулы (2.3) и
(2.5)) действительны. Значит, lma(^)==!0. Поэтому из
оценки (3.4) следует, что \г\{(х, X) I и 1г]2(#, Я) I
ограничены. С другой стороны, условия теоремы обеспечивают
сходимость интеграла (2.17). Тогда формулы (2.12) и
(2.13) можно переписать в виде (при х-*- °°):
T]i (я, А,) =* pi (Я) sin a (ж) + v (Я) cos a (я) + о (1), (4.6 J
т)г(я, Х)= \x(X)cosa{x)~v(X)sina(x)+ о(1), (4.7)
где
оо
1-1 (*) = 'Пг (0) + I Лх (*. *) Р (*. *) cos a (s)ds- (4-8)

§ 4. ДРУГИЕ СЛУЧАИ СПЕКТРА 321
оо
v (X) = ii! (0) — J тц (5, X) Р (s, X) sin a (s) ds. (4.9)
о
Так как интегралы в формулах (4.8) и (4.9) сходятся
равномерно по X, то \х(Х) и v(X) являются непрерывными
и ограниченными функциями от X.
Далее, в силу асимптотических формул (4.6) и (4.7)
из равенства (4.5) следует, что при х ->■ оо
Wlrjcp, щ] = [i^(X)v(p(X)~ \i<p(X)v$(X) + 0(1)= 1,
где [i(p> у(Х) и v<p,${X) получаются из формул (4.8) и
(4.9) с помощью замены v}i(x) и т)2(;г) соответственно
на F(x, Х)ц2{х, Я), F(x, Я)ф2(я, X) и {G(s, Я)<р2(я, Я,) —
-F-'fo A,)q>i(s, Я)}, {G(sf X)ip2(x, Я)-/?-1 (я, Я)*ф£(яг, Я)}.
Следовательно, при х -*- оо
Ш (Я)% (А*) ~ РЧ> (^) v* (Я) = 1,
и поэтому ни функции [1<р(Х), гф(Я), ни функции щ(Я),
v^(X) не могут обратиться в нуль для одного и того же
значения а.
Далее, из формулы (3.20') в силу (4.1) и (4.2) имеем
Mt (Я.) = -|- 1*Чхф (0) - П«ф (0) + J т]1„ (*, Ц Р (а, Я) е*«<«> ds\,
или, используя выражения (4.8) и (4.9),
Аналогично получаются формулы
Тогда согласно (3.24) для т+(к) получаем формулу
И| (X) + v« (X) |i* (X) + v» (X) *
Следовательно, Im #г+ (X) = . И, авало-
^W + vJU)
21 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян

322
ГЛ. IX. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
гично Im т- (к) = . В обоих случаях
^W + vJU)
Im га (А,)—непрерывная и ограниченная функция Я..
Поэтому утверждение теоремы, т. е. непрерывность спектра,
следует из формулы (3.16) гл. VIII, так как согласно
этой формуле
р(К + А)-р(Я)= +— f — ^— .
Теорема доказана.
Указания к литературе
§ 1. Результаты этого параграфа принадлежат Конту и Сангре-
ну [2]. Параграф написан на основе их работы.
§ 2, 3, 4. Эти параграфы написаны на основе работы Руса
и Сангрена [1]. Данное здесь изложение результатов Роса и
Сангрена принадлежит Б. М. Левитану и И. С. Саргсяну [1].

Глава X
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА
§ 1. Вывод формулы для решения задачи Коши
В этой и последующих двух главах при изучении
различных вопросов спектральной теории системы Дирака
будем пользоваться каноническим видом (1.5) гл. VII,
а именно:
/ 0 i\dy (р(х) q(x)\
Рассмотрим задачу Коши для нестационарной системы
Дирака
. ди , / 0 1\0и, (р{х) q(x)\
/Ul(x, t)
u(x, 0) = /(*), (1.2)
где p(x) и q(x)— действительные функции,
определенные на всей числовой оси и суммируемые в каждом
конечном интервале*), а вектор-функция f(x) —
действительна и непрерывно дифференцируема.
Введем обозначения
п ( ° *\ nf \ (р{х) q{xA
*-(_! oh 0<*>-U> -р(.)>
*) В зависимости от обстоятельств в дальнейшем на функции
р(х) и q(x) будут накладываться различные условия гладкости.
21*

324
ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
Тогда задачу Коши (1.1), (1.2) можно переписать в виде
t9£ + B*L + Qiz)u-0, (1.1')
и(х, 0) = f(x).
(1.2')
Рассмотрим сначала задачу (1.1х)» (1-2') при
предположении, что p(x)=q(x) = Q (<?(#) —0), т. е. задачу
гдА^А + вд-^Л^о, «•(*,<))-/<*). (1.3)
дх
Эта задача эквивалентна двум независимым задачам
относительно компонент и\ (х, t) и и\ (х, t)
вектор-функции и°(х, t), а именно
|2„0
д*и\
2,0
и
ди*
-3 = ^ u°1(x,0) = f1(x), -£
dt
д2и°
дх
д2и»
-^ = -|, u°(x,0) = f2(z),
dt
дх'
dt
dj^
dt
t=o
= */.(*), (1-4)
f=0
= ih(x). (1.5)
Решая задачи Коши (1.4) и (1.5) по методу Далам-
бера, получаем следующие решения этих задач:
и\(х, t) = 4"{/i(^ + f) + */«(* + *)> +
+ -Y{fi(x-t)-ift(x-t)}t
u°2(x,t)=-j{-iU(x+t) + f2(x+t)} +
+ -Y{ifi(x-t) + U(x-t)}.
Следовательно, решение задачи (1.3) дается формулой
u° (x, 0=4 \НЦх + t) + H*f(x - *)}, (1.6)
где
*-ц э. *ч: -о-
Рассмотрим теперь неоднородную задачу с
однородными начальными условиями
. ди (х, t)
dt
Bd-^^ = g(x,t), и(х,0) = 01 (1.7)

§ 1. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ 325
где g(x, £) —дифференцируемая вектор-функция. Эта
задача также распадается на две независимые задачи
относительно компонент ui(x, t) и й2(х, t), а именно:
л2~ л2~
о и о иг
-ч2 *-* l 8t + вх1
df
дх*
М*.0) = 0, %-
t=0
dt ^ дх1
= — tgi (x% 0),
df
дх*
1 dt дх%
М*.0) = 0, ^
t=0
= — if 2 (ж, 0).
(1.8)
(1.9)
Так как решение задачи
задается формулой
х+1
t x+tf-x)
v(x,t) = -Y \ k(x)d% + Yjfa ) h(s,x)ds,
X-t О K-(t-T)
то применяя эту формулу к задачам (1.8) и (1.9), для
их решений получаем
i
иг(х, t)=*-YJj{—ig1(x+t — i:,%) + g2(x+t — т, т) —
о
— ig1(x — t + x9x) — g2(x — t + т, т)}dx%
t
М*, t) = -Y){—gi{*+ t — x,x) — ig2(x + t — x,x) +
o
+ gi(x — t + x,x) — ig2(x — t + t, x)}\dx.
Значит, решение задачи (1.7) задается формулой
t
и(х, t) = —^§[Hg(x+t — xJx) + lTg(x — t + x, х)} dx.
о
(1.10)

326 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
Вернемся к задаче (1.1х), (1.2х). Перепишем ее в виде
*S + 5e = -e(*M*, *), u(x,0) = f(x). (1.11)
Полагая g(x, t)^—Q(x)u(x1 t) и считая g(x, t)
известной, а затем учитывая, что решение задачи (1.11) есть
сумма решений задач (1.3) и (1.7), в силу (1.6) и (1.10)
находим
и (х, 0 = 4 {Hf(x + *) + НЧ(Х ~ *)1 +
t
+ -j- \ {HQ (x + t — x) и (x + t — t, t) +
о
+ HTQ(x — t + x)u(x — t + t, x)}dx
или, заменяя переменную интегрирования,
и (*. t) = 4" №f(x + *) + #*/(*- t)} +
+ у J HQ(s) u(s, x + t — s) ds +
x
+ T 1 H^ ^ и ($, s — я + *) ds. (1.12)
x-f
Таким образом, для решения задачи (1.1'), (1.2')
построена эквивалентная ей система интегральных
уравнений (1.12). Эти уравнения являются интегральными
уравнениями типа уравнения Вольтерра и поэтому могут
быть решены методом последовательных приближений.
Пусть щ{х, t) определяется по формуле (1.6). При
к > 1, к = 1, 2, 3, ..., положим
x+t
uk (x, t) = ^ \ HQ (s) щ-х (s, x -т t — v) ds +
x
X
+ y J Ят<? (.s) u, _,(*,*-* + *) is. (1.13)
Тогда из равномерной сходимости последовательных
приближений, доказательство которой опускаем, следует, что

§ 1. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ К01ДИ 327
решение уравнения (1.12) определяется равенством
оо
и{х, t)= 2 uh{x, t). (1.14)
fe=0
Покажем, что каждую из вектор-функций uh(x, t),
к = 1, 2, 3, ..., можно представить в виде
x+t
Щ (*, t) = \ J Wk (x, t, s) f (s) ds% (1.15)
x-t
где Wh(x1 t, s) — матрица второго порядка.
Действительно, при к = 1 в силу (1.6) и (1.13) имеем
x+t
ui(«, *)=4" IЯ(?(5)*я/(*+^+ ят/(2*—^—*яй* +
X
+ х JЯТ(?(5) *я/(2*-* + *) + #7 о* - о) л.
0С-*
Меняя здесь переменную и учитывая, что HQH =*
= HTQHT = 0, получаем
x+t
т. е. формулу (1.15), если обозначим
W, (х, *, s) = ± {#<? (^Ц^) Ят + Ят(? (5^|=1) Я).
Допустим теперь, что для /с — 1, 2, ..., п—-1 формула
(1.15) уже доказана. Докажем ее для к=*п. Полагая в
(1.15) к — п— 1 и подставляя выражение для wn-i(#, 0!
в (1.13), находим
X+t ( X+t
ac-t-r t x-\ri л
un (я, t)=4" j #<?(*) J ^«-i(*. *+ *-** т)Лт)Л ds+
« /2s-(«-0 I
+ -fjV<?(s) j WW*, *-*+*,•*)/(т)*с cfc.

32,8 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
Меняя здесь порядок интегрирования, получаем
x+t / (эс+*+т)/2
Ms, *) = 4 J T J HQ(s)Wn^1(s1 х + t-s,s)ds+
x-t * эс
(я-*+Т)/2 ч
+ \ J #T<? (s) !¥«_! (s1s — x+t1s)ds\f (т) йт,
эс-f i
т. е. опять получаем (1.15), если выражение в фигурных
скобках под знаком последнего интеграла обозначим через
Wn(x, t, т).
Итак, формула (1.15) доказана для любого п.
Теперь подставляя выражения uk(x, t), /c = 0, 1, 2, ...,
в равенство (1.14), получаем, что решение задачи (1.1),
(1.2) задается формулой
и(х, t) = ±.{Щ(х +t) + HTf(x-t)} +
x+t
+ -L J W(x,t,s)f(s)ds, (1.16)
X-t
где W(x, t, s) = S Wh{x, t,s).
§ 2. Задача Гурсы для ядра решения задачи Коши
Рассмотрим опять задачу Коши (1.1), (1-2). Выясним,
каким условиям должна удовлетворить матрица-ядро
W(x, t, s), чтобы вектор-функция и(х, t), определенная
формулой (1.16), давала решение задачи (1.1), (1-2).
Покажем, что для матрицы-ядра W(x, t, s) получается
задача Гурса.
Пусть решение задачи (1.1), (1.2) задается
формулой (1.16). Из этой формулы следует, что начальное
условие (1.2) выполняется автоматически.
Обозначим через и(х, t; /) решение задачи (1.1),
(1.2), и пусть уже известно, что вектор-функция
и(х, t\ /) представляется формулой (1.16). Далее, обо-
значим (/ — единичная матрица 2Х 2) Tt=—ilj£> Дс =
= B-^ + Q(x). Докажем, что имеет место равенство
Вхи(х, t; f) = u(x, t; Bxf). (2.1);

§ 2. ЗАДАЧА ГУРСЫ ДЛЯ ЯДРА W (я, s, t) 329
В самом деле, нетрудно убедиться, что левая и
правая части этого равенства удовлетворяют одной и той
же задаче Коши
Bxv(x, t) = Ttv(x, t), v(x, 0)=*Bxf(x). (2.2J
Поэтому равенство (2.1) следует из единственности
решения задачи (2.2).
Следовательно, уравнение (1.1) можно записать в виде
Ttu(x, t; f)=u{x, t; Bxf). (2.3J
Из определения оператора Tt и формулы (1.16) следует
Ttu{x,t\f) = — ilj^u(х, t; /) =
= -l-[Hf (х + t)- HTf (x-t)}-
— \{W{x, t,x+t)f(x+ t) — W(x, t, x—t)f(x—t)} —
x+t
-4- J W't(x,t,s)f(s)ds. (2.4)
x-t
С другой стороны, в силу определения оператора Вк и из
(1.16) имеем
и (х, t; Bxf) = i- [HBf (x + t) + ETBf{x - t)\ +
+ i- [HQ(x + t)f(x +t) + H*Q{x-t)f(x-t)} +
+ y{W(x> f'x+ t)Bf(x+ t) — W(x, t,x—t)Bf(x—t)} —
x+t
--§■ J {Ws(x,t,s)B-W(x, t,s)Q(s)}f(s)ds. (2.5)
X-t
Так как вектор-функция f(x) произвольна, то в силу
равенства (2.3) в выражениях (2.4) и (2.5)
коэффициенты при /(#+£), f(x — t) и подынтегральные
выражения должны совпадать (коэффициенты при производных
/' (x + t) и /' (х — t) взаимно уничтожаются). Итак,
приравнивая коэффициенты при f(x + t) и f(x — t) соответ-*
ственно, получаем
-iW(x, t, x + t) = HQ(x + t)+W(x, t, x+t)B,
-iW(x, t, x-t) = IPQ{x-t)-W{x, t, x-t)B,

330 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
или, учитывая, что В + И = #т, В — И = — i#,
Т7(я, *, x + t)HT = iHQ(x + t)9
(2.6);
JFfo *, x-t)H=iHTQ(x-t).
Теперь, приравнивая подынтегральные выражения,
получаем
iW\ (х, t, s) - W'8(х, t, s)B = W(x, t, s)Q(s). (2.7)
Уравнение (2.7) совместно с условиями на
характеристиках (2.6) для матрицы-ядра W(x, t, s) определяют
задачу Гурса.
Из равенств (2.6) следует, что W(x, 0, x)=*iQ(x).
Поэтому, если матрица Q(x) нормирована так, что (?(0) =
==0, то
W(0, 0, 0) = 0. (2.8J
§ 3. Оператор-матрица преобразования
Пусть Е есть пространство двухкомпонентных комп-
лекснозначных вектор-функций /(х), 0 < х < «>,
непрерывных и имеющих непрерывную первую производную.
На рост вектор-функций на бесконечности никаких
ограничений не накладывается. Топология в Е определяется
с помощью равномерной в каждом конечном интервале
сходимости вектор-функций и их первых производных.
Далее, пусть А{ и А2 — линейные (не обязательно
непрерывные) операторы-матрицы (2X2) из Е в Е,
а Е{ и Е2 — замкнутые подпространства в Е.
Определение. Линейный обратимый оператор
(матрица (2X2)) X, определенный во всем Е и
действующий из Е{ в Е2, называется оператором (матрицей)
преобразования для пары операторов (матриц) А{ и А2,
если X удовлетворяет следующим двум условиям:
1°. Оператор (матрица) X и обратный ему оператор
(матрица) X"1 непрерывны в пространстве Е.
2°. Имеет место операторно-матричное тождество
А,Х^ХАг. (3.1J
В этом параграфе рассмотрим три случая.
1. Случай 1. Пусть пространство Е — то же, что
было определено выше, а пространства Et = Е2 — подпро-

§ 3. ОПЕРАТОР — МАТРИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 331
■х)-1ш)'
странство вектор-функций f(x) = I . At удовлетворяю
\J2\X)J
щих краевому условию
/»(0)-ЛД(0), (3.2)
где h — произвольное конечное комплексное число.
Рассмотрим операторы-матрицы
О 1\ d
1 " I- 1 0) dx
(р(х) q(x)\ d
d
где р(х) и g (x) — непрерывные комплекснозначныв
функции.
Теорема 3.1. Оператор (матрица) X,
отображающий Ei на Еи можно реализовать в виде
X
Xf(x) = f(x) + $K(x, t)f(t)dt. (3.3)
о
Ядро-матрица К(х, t) оператора (3.3) является
решением дифференциального уравнения
ВКХ(я, t) + K't(x,t)B = —Q(x)К(х, t) (3.4)
и удовлетворяет условиям
К(х, х)В-ВК(х, x) = Q(x), (3.5)
К(х,0)ВН = 0% Я-Q). (3.6)
Наоборот, если ядро-матрица К(ху t) есть решение
задачи (3.4), (3.5), (3.6), то оператор (матрица) X,
определенный формулой (3.3), является оператором
(матрицей) преобразования для пары операторов (матриц) А{
и А2 и действует из Et в Еи
Доказательство. Из определения операторов-
матриц At я X имеем
Ai {Xf (*)} = Bf (x) + Q(x)f (x) + ВК (х, х) f (x) +
к
+ j [ВК'Х(х, t) + Q(х)К (х, t)} f (t) dt. (3.7)

332 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
С другой стороны, из определения X и А2 следует
х
хiAJ(x)} = Bf {х)+\к(х, t)Bf (*)dt.
о
Интегрируя последний интеграл по частям, получаем
* Ш (*)} = Bf (*) + К (х, х) 5/ (х) -
X
— К (х% 0) S/ (0) - j Zj (ж, t) Bf (t) dt. (3.8)
о
Приравнивая равенства (3.7) и (3.8) (в силу (3.1)) и
учитывая произвольность вектор-функции /(#), получим
(приравнивая подынтегральные выражения)
ВК'Х (z, t) + Q (х) К (х9 t) = -K't (x, t) В,
т. е. уравнение (3.4).
Теперь приравнивая коэффициенты при /(#), находим
Q{x) + BK(x, x) = K(x, х)В или
ВК(х, х)-К{х, x)B = -Q{x). (3.9)
И, наконец, должен быть равен нулю член,
содержащий /(0) в выражении (3.8), ввиду отсутствия подобного
члена в (3.7). Итак,
К(х, 0)5/(0) = 0. (3.10)
Очевидно, что / (0) = I , ] е= Я удовлетворяет краевому
условию (3.2). Поэтому из (3.10) следует, что
К(х,0)ВН = 0, т. е. условие (3.6).
Мы показали, что если оператор X может быть
реализован в виде (3.3), то его ядро, т. е. матрица К(х, t),
является решением задачи (3.4) — (3.6). Наоборот, если
матрица К(х, t) является решением задачи (3.4) — (3.6),
то построенный с ее помощью по формуле (3.3) оператор
X является оператором преобразования для пары
операторов At и А2 и отображает £4 на Е{.
Таким образом, для завершения доказательства
теоремы следует показать разрешимость задачи (3.4) — (3.6).
Сначала видоизменим начальное условие (3.6).
Если положим
/К1г(х90) К12(х,10)\
к(х>°)=[к21(х;о) к22(х,о))>

§ 3. ОПЕРАТОР — МАТРИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 333
то условие (3.6) означает
(Кг1(х,0) * (*,0)\/ о iwi\
_ /-K12(x,0) + hKn{x,0)\
= [ K22(x,0) + hK21{x,0))==0>
т. е. Ки{х, 0)-=hKu(x, 0), К22(х, 0)=hK2i(x, 0).
Поэтому, если положим Кп(х, 0) = (pt(;r), K2i(x, 0) = ф2(а;),
где ф (х) = I . . I — пока (временно) неизвестная
вектор-функция, то начальное условие (3.6) примет вид
K(x,0) = ^(x))(i,h)^<p(x)H* =
<<?1{х) hy1(x)
„,<„ *ф,(.,У-Я^ <ЗЛ1>
так как
)M-i
— Лфх (ж) + Лфх (я)
£(*,о)вя-^ф;(х) *„;<,})(_;;)(!)-
— Лф2(*) + Лф2(*)У
Вернемся к задаче (3.4) —(3.6). Сначала рассмотрим
задачу (3.4), (3.6). Если учесть (3.11), то следует
рассмотреть задачу
ВК'Х (х, t) + K't (x,t)B=* — Q (x) К (*, t), (3.12)
К{х, 0) = #(*). (3.13)
Для решения этой задачи поступим так же, как и при
решении задачи (1.1'), (1.2') § 1. Рассмотрим сначала
задачу (3.12), (3.13) при предположении, что Q(x) = 0,
т. е. задачу
ВК% (ж, t) + K°t' (x, 0^ = 0, К0 (х, 0) = Я (ж). (3.14)
Эта задача эквивалентна четырем независимым задачам
относительно элементов К\$ (х, t) (£, / = 1, 2) матрицы
К°(х, t), которые имеют один и тот же вид:
и™ ■— Щ\ = 0, и (х, 0) = / (х), щ (х, 0) = g (x).
Решая каждую из этих задач методом Даламбера, для

334 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
решения задачи (3.14) получаем формулу
КЦх% t) = ±{H(x + t) + BH(x + t)B) +
+ ±{H{x — t) — BH{x — t)B), (3.15)
в справедливости которой можно убедиться и
непосредственной проверкой.
Рассмотрим теперь неоднородную задачу с
однородным начальным условием
ВК'Х(z, t) + K't (x, t)B = G(x, t), К(х, 0) = 0. (3.16)
Эта задача также распадается на четыре независимые
задачи относительно элементов Ку(х, t) (г, / = 1, 2)
матрицы R(x, t), и они все одного типа:
и'х — Щ% = g(x, t), и(х, 0) = 0, щ (х, 0) = /(х).
Решая эти задачи по известной формуле (см. решение
задач (1.8) и (1.9) § 1), для решения задачи (3.16)
получаем
К (х, t) =
x+t
= 4" J {~5G(T' x + t — x) + G(x, x + t — x)B}dx +
x
X
+ T I (G(T' t — x + x)B — BG{x, t-x + x)}dx. (3.17)
x-t
Вернемся к задаче (3.12), (3.13). Полагая G(x, t)=*
^—Q(x)K(x1 t) и считая G(x, t) известной, а затем
учитывая, что решение задачи (3.12), (3.13) есть сумма
решений задач (3.14) и (3.16), в силу (3.15) и (3.17)
находим
К(х, t)=±{H(x +t) + BH(x + t)B} +
+ -L{H(x-t)-BH{x-t)B} +
x+t
+ y J Q(s){BK(s, x + t — s) + K{s,x + t — s)B}ds +
x
X
+ -j f Q(s){K(s, t — z + s)B — BK(s, t-x+s)}ds. (3.18)
x-t

§ 3. ОПЕРАТОР — МАТРИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 335
Таким образом, для решения задачи (3.12), (3.13)
построено эквивалентное ей интегральное уравнение (3.18).
Это уравнение является интегральным уравнением типа
уравнения Вольтерра и поэтому может быть решено
методом последовательных приближений.
Пусть К0(х, t) определяется по формуле (3.15). При
п ^ 1, п — 1, 2, 3, ..., положим
Кп {х, t) =
x+t
= у j Q(s){BKn^1(s1x + t - s) + Kn-l(s1x + t-s)B}ds+
x
X
+ - J Q (s) {Kn-i (s,t — x + s)B — BKn-y. {s,t — x +s))ds.
x-t
(3.19)
Покажем, что каждую из матриц Кп(х, t), n*=*l, 2,
3, ..., можно представить в виде
Кп (х, t) =
x+t
в т I (Мп (х> *'5) вн (5) + Nn ^ **5) н (5) в} ds> (3-20)
ос—t
где Мп(х1 t, s) и Nn(x1 t, s) — матрицы, зависящие
только от Q(x).
Действительно, при тг = 1, в силу (3.15) и (3.20),
имеем
#i(M) =
x+t
= 4 f <?(s){##(2s-a;-*) + #(2s-a;-*)S}ds +
X
+ Т I (?(*){#(2s + * — 0s,— £#(2s + z — *)}&.
x-t
Заменяя в этих интегралах переменную интегрирования,

336 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
приведем их к виду
*i <*.«)- 4 7 {Q (i±Ftl) -Q ^тЩвн ^ds+
x-t
cc+t
+4 j {<? (£±f±i) + <? f111^)} # w**.
т. е. к формуле (3.20) при п — 1, если положим
Допуская, что для тг = 1, 2, ..., к—1 формула (3.20)
уже доказана, можно доказать ее и для п=*к. Но этого
делать не будем из-за громоздких, хотя и элементарных
вычислений.
Из равномерной сходимости последовательных
приближений следует, что решение интегрального уравнения
(3.18) определяется равенством
оо
К (х, t)= 2 Кп (х, t).
п=0
Теперь, подставляя сюда выражения Кп(х, £), n = 0, 1,
2, ..., получаем, что решение задачи (3.12), (3.13)
задается формулой
К(*> *) = у №(х + *) + ВН(Х + *)S> +
+ *-{H(x-t)~ ВН(х -t)B} +
x+t
+ 1 j {Л/ (я, *, 5) S# (5) + N (ж, *, 5) Я (5) 5} d.9, (3.21)
x-t
оо оо
где М (х, t,s)= S М„ (ж, U s), N (х, t,s)= 2 Nn(x, t, s).
n=l n=l
В решении (3.21) задачи (3.12), (3.13) пока остается
неизвестной матрица Н(х), точнее, вектор-функция <р(х).
Для ее определения используем условие (3.9), т. е. ра-

§ 3. ОПЕРАТОР — МАТРИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 337
венство
К(х, х)В~ВК{х1 x) = Q(x).
Подставляя сюда значение К(х, х) из формулы (3.21) г
находим
1 {Н {2х) + BE (2х) В}В-±В{Е {2х) + ВН {2х) В} +
+ ±-{Н(0)-ВЕ(0)В}В-±В{Н(0)-ВЕ(0)В} +
+ 1 j {М(х, х, s)BH(s) + N{x1x1s)H(s)B}ds = Q{x)»
о
Так как В2 = —1 (/ — единичная матрица), то члены,
содержащие #(0), взаимно уничтожаются, и поэтому
последнее уравнение принимает вид
Н{2х)В-ВН{2х) =
2Х
= QP) + J {Wx (я, s) BH{s) + W± (x, s)H(s) B] ds, (3.22>
о
1 — 1
где W± (x, s) = -j M (x, x, s), Wx (x, s) = -^ N (x, x, s).
Заменяя в уравнении (3.22) 2x на х, имеем
H(x)B — BH(x) =
X
= <?(f) +j[W(x,s)BH(s) + W(x,s)H(s)B}ds.
О
Из этого уравнения, в силу определения матрицы #(#),
следует система интегральных уравнений для компонент
q>i(x) и ф2(я) неизвестной вектор-функции ф(#):
х
<Pi (я) = Р (-J) + Лф2 (х) + J {a (ж, s) фх {s) + Ъ {х, s) ф2 (s)}dsf
о
ф2 (х) =
я
= "" ^ (I" J ~" ^^1 ^ + J iC (Х> ^ Ф1 (5) + ^ (*> *) Ф2 (*)} &•
О
22 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян

338 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
2. С л у ч а й 2. Пространство Е — то же самое, что
и в первом случае; Е{ = Е2 — подпространство
пространства £, состоящее из вектор-функций f(x)=z[f1(x\}t
удовлетворяющих краевому условию /i(0) —0. Формально
это краевое условие соответствует краевому условию
(3.2) при h = оо. Очевидно, что случай ft = oo не
охватывается рассмотренным выше.
Пусть А{ и А2— операторы-матрицы того же вида,
что и в первом случае. Оператор-матрицу
преобразования X снова ищем в виде
ас
Xf(x)=f(x)+$K(x, t)f{t)dt. (3.23)
о
Для ядра К(х, t), рассуждая аналогично
предыдущему, получаем следующую задачу:
ВК'Х (ж, t) + K't(x,t)B = -Q (x) К (х, t)f (3.24)
ВК {х, x)-K{x,x)B^—Q (x), (3.25)
К1± (х, 0) = К21 (х, 0) = 0. (3.26)
3. С л у ч а й 3. Пространство Е — то же самое, что
и в случаях 1 и 2. Е{ и Е2 — подпространства
пространства Е, состоящие из вектор-функций /(#),
удовлетворяющих соответственно краевому условию
/2(0) = /г1/1(0) и /,(0)-fc,/i(0),
где hi и h2 — произвольные конечные комплексные числа.
Пусть операторы-матрицы 4t и 42 имеют вид
Оператор-матрицу преобразования X в этом случав ищем
в следующем виде:
Я
Xf (х) = R(x)f(x)+\b (xx t)f(t) dtt (3,27)
о

§ 4. РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ НА ПОЛУПРЯМОЙ 339
где R (х) имеет вид # (*) = (JJ J^ J J*}), притом
if 1
— у I г(т)<2т + arcsin— ,
о '
$(х) = — cos I — -^ ] r{x)dx + arcsin—L
* о '
r (s) = Pi (*) + ?i (*) — £2 (*) — ^2 (*).
(1 + ^(1 + ^)
*~~ 1 + АЛ #
Ядро оператора-матрицы преобразования L(a;, £)
является решением следующей задачи:
BL'X(x, t) + L't (x, t)B = L(x, t) Q2 (x) - Qx (x) L(x, t),
BL(x,x)-L(x,x)B = R(x)Q2(x)-Qt(x)R(x)-BR'(x)t
L(x,0)BH = 0, Я = (л*).
§ 4. Решение смешанной задачи на полупрямой
Пусть матрица Q(х) = [д(*)—I {х)) и вектор-функция
/(ж) — I / /х\) определены на полупрямой [0, °°) и их
элементы абсолютно непрерывны. Продолжим
матрицу Q(x), т. е. функции р(х) и q(x), на отрицательную
полуось с сохранением класса, а в остальном как
угодно, а вектор-функцию f(x)—пока неопределенным
образом (в дальнейшем мы уточним способ ее
продолжения).
Рассмотрим смешанную задачу на полупрямой
. ди иди , ^ , ч
и(х, 0)-/(*),
и2(0, *)-йИ|(0, t) = 0.
(4.1)
(4.2);
(4.3)
22*

340 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
Согласно формуле (1.16) решение и(х, t) задачи
(4.1), (4.2) можно представить в виде
и (a, 0 = j \Hf(x + t) + H*f(x - t)} +
x+t
+ 1 j W(x,t,s)f(s)ds. (4.4)
x-t
Рассмотрим теперь применение операторов
преобразования к продолжению решения уравнения (4.1) на
отрицательную полуось. Будет показано, как выразить
решение и(х, t) в точке — х в виде линейного оператора
лад и (s, t) при 0 ^ s ^ х.
Пусть операторы Lj и Ь2 при х>0 имеют вид
т -( ° О д . (р1-*) я(-х)\ — в д л-П( т\
Т -( ° 1)д +(Р{Х) q{x)) — Bd 4-0(т)
L2~Ul 0)Tx+[q(x) -р(х)) = *Тх+(^Х>-
Предположим, что матрица Q(x) продолжена в нуле
непрерывно, т. е.
<?(-0) = <?(+0). (4.5)
Обозначим через X оператор преобразования (для пары
операторов Ь{ и L2), отображающий пространство Sh
абсолютно непрерывных вектор-функций f(x),
удовлетворяющих краевому условию /г (0) — fe/4 (0) = 0, на
пространство Sh>
Пусть вектор-функция и+(х, t) является решением
смешанной задачи (4.1), (4.2), (4.3) на полупрямой
[0, «>). В силу условия (4.3) при каждом фиксированном
t u+(x, t)^&h, поэтому к и+(х, t) можно применить
оператор X. Продолжение решения и+(х, t) на
отрицательную полуось определим по формуле
и(-х, t)=u~{x, t) = X{u+(x, t)}, (4.6)
т. е. в силу (3.3)
х
и" (я, t) = u+ (x, t) + J К (х, s) u+ (s, t) ds. (4.7)
о
Покажем, что и~(х, t) удовлетворяет уравнению (4.1)
на отрицательной полуоси. В силу определения операто-

§ 4. РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ НА ПОЛУПРЯМОЙ 341
pa Lu для этого нужно показать, что
M"~(M)l = -*ifr. (4.8)
Так как и+(х, t)^8h при каждом фиксированном t,
то в силу определения оператора преобразования X и
условия LiX = XL2 имеем
Ь,Х{и+(х, t)}=XL2{u+(x, t)}. (4.9)
Согласно равенству (4.6) левая часть (4.9) совпадает с
левой частью уравнения (4.8). Вычислим правую часть
равенства (4.9). В силу уравнения (4.1), которое можно
переписать в виде L2{u+(x, t)} — —idu+fdt, имеем
Из (4.8) очевидным образом следует, что оператор X и
оператор дифференцирования d/dt коммутируют, поэтому
из последнего равенства в силу (4.6) получаем
XL2 {u+ (х, t)]=-t±X {и+ (х, t)} = -i 2l£,
т. е. совпадают и правые части равенств (4.9) и (4.8),
что и доказывает справедливость равенства (4.8).
Докажем теперь, что продолжение решения и+(х, t)
на отрицательную полуось непрерывно вместе с первой
производной по х. В самом деле, полагая в формуле
(4.7) х = 0, получаем
и-(-0, ^) = гг+(+0, 0, (4.10)
т. е. непрерывность продолжения.
Далее, используя явный вид операторов Lu L2 и X,
равенство (4.9) в силу (4.6) можно переписать в виде
Bd-£ + Q(-x)u- = Bd-£. + Q(x)u+ +
+ ^К{х,г){вЩ1± + Q(s)u(s, t))ds.
О
Полагая здесь х = 0, получаем
s!iii^L„+<>(-0)*(-0''>=

342 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
откуда в силу (4.5) и (4.10) следует
ди (— X, t)
дх
^-L, (4.11)
|ЭС=0 ОХ |ЗС=0
т. е. в нуле непрерывна и первая производная по х.
Формулу (4.7) можно использовать для продолжения
начальной вектор-функции f(x). Действительно, полагая
в этой формуле х = 0 и учитывая начальное условие
(4.2), находим
х
/(-*) = / (x) + \К (х, s) / (s) ds. (4.12)
О
Непрерывность продолжения f(x) на отрицательную
полуось следует из этой формулы, если положить х = 0,
а непрерывность производной f(x) следует из (4.11) при
Вернемся теперь к смешанной задаче (4.1), (4.2),
(4.3).
Если х > t ^ 0, то решение этой задачи совпадает с
решением задачи (4.1), (4.2) и, следовательно, дается
формулой (4.4).
Если 0<x<t, то нужно использовать продолжение
вектор-функции f(x) на отрицательную полуось по
формуле (4.12), притом следующим образом: интервал
интегрирования (х — t, х + t) в формуле (4.4) разбиваем на
интервалы (x — t, 0) и (0, x + t), а затем в интеграле
по интервалу (х — t, 0) переменную интегрирования s
заменяем на —s, а значение f(—s) — по формуле (4.12).
Аналогично заменяем значение f(x — t) в формуле (4.4).
Тогда после несложных преобразований для решения
задачи (4.1), (4.2), (4.3) при 0<x<t получаем
следующую формулу:
и (x,t) = 4 (#/ (*+*) + #7 (* ~ *)} +
x+t t-x
+ 1 J W(z,t,8)f(8)d8 + ± j W{x%t,s)f{s)dS%
о о
где
W (x, t, s) =
t-x
= H*K (t-x,s) + W (*, t,-s)+ j W {xx t9—%) К (т, s)dx.

§ 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ (1.1), (1.2) при t < 0 343
§ 5. Решение задачи. (1.1), (1.2) при f<0
Рассмотрим снова задачу (1.1), (1.2), однако
предполагая теперь, что t < 0. Положим t = —т, т > 0. Тогда
уравнение (1.1) примет вид
гЩ^ = ВдЩ=*± + <1{Х)и{х,-х). (5.1)
Обозначим Е = I . л ) и положим
и(х, —t) = Ev(x, т). (5.2)
Подставляя это выражение и(х, —т) в (5.1), получим
гЕ дх = ВЕ ~^Г + 3 (*) ^ (*» т)'
Умножая обе части этого уравнения слева на — 2? и
учитывая, что Е2 = /, —ЕВЕ =* 5, находим
-'ё~5Й + &<а:>1;' Qi = ~EQE. (5.3)
Начальное условие (1.2) в силу (5.2) преобразуется
к виду
!>(*, 0)-Я/(*), (5.4)
что совместно с уравнением (5.3) определяют задачу
Коши для v(x, т). Так как задача (5.3), (5.4) такого
же вида, что и задача (1.1), (1.2), то применяя формулу
(4.4), имеем
v(x, т) = i [HEf(x + т) + HTEf(x-x)} +
эс-К
+ j J ^о(*»*. s)Ef(s)ds. (5.5)
Теперь, умножая обе части этого равенства слева на Е
и учитывая, что ЕНЕ = Ят, ЕНТЕ — Я, а затем полагая
т = — £ и возвращаясь к вектор-функции ^(#, £) согласно
(5.2), получаем
и(х, t) = | {Я/(я + 0 + Ят/(* - *)} +
2
x-t
+ 4 J И^а, *,*)/(*)&, (5.6)
эс+t
где
ТГ(я, *, s) = #W0(*, -*, s)#. (5.7)

344 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
Займемся теперь выводом уравнения для матрицы-
ядра W(x, t, s). Согласно формуле (2.7) матрица
W0(x, т, s) (cm. (5.5)) удовлетворяет уравнению
dWn (х, т, s) dWn (x, т, s)
* °,т Ц^ В = W0(z,x, s)Q1(s).
Заменяя здесь т на — t и учитывая, что Qi{s) = —EQ(s)Er
имеем
dWn (х, — *, 5) dWn (х, — f, s)
-i ° dt ° ds }B=-W0(x£-tlS)EQ(s)Ef
откуда, умножая обе части один раз слева, а затем
справа на Е и учитывая, что BE = — ЕВ, в силу обозначения
(5.7) получаем
iW't (x, t, s) - W's (х, t, s)B = W(x, t, s) Q {s). (5.8>
И, наконец, в силу (2.6) для W0(x, т, s) имеем
следующие условия на характеристиках:
WQ(x, т, x + x)HT = iHQi(x + x),
W0{x, т, х-%)Н = Ш^,(х-%).
Заменяя здесь т на — £, умножая обе части этих условий
слева и справа на Е и учитывая обозначение Q{ = —EQEf
а также (5.7), для W(x, t, s) получаем условия на
характеристиках
W(xt t, x+t)HT = -iHQ(x + t),
(5.9)
W{x, t, x-t)H = -iHQ{x-t).
Теперь, сравнивая задачи Гурса (2.6), (2.7) и (5.8),
(5.9) и пользуясь единственностью решения этой задачи,
заключаем, что W(x, t, s) = —W(x, t, s). Тогда формула
(5.6) принимает вид
и(х, t)=\ [Hf(x + t) + HTf(x - t)} +
x+t
+ 1 J W{xxt,8)f{s)d8,
x-t
т. е. снова получаем формулу (1.16).
Резюмируя все результаты § 1—5, приходим к
следующей теореме, играющей важную роль при
исследовании асимптотического поведения так называемого спект-

§ 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ (1.1), (1.2) при t < О 345
рального ядра (в частности — спектральной функции
р(Л)) и разложения (точнее, уточнения теоремы
разложения) по собственным вектор-функциям оператора
Дирака, заданного на бесконечном интервале.
Теорема 5.1. Пусть р(х) и q(x)—действительные
функции, определенные на полупрямой [О, °°) и имеющие
суммируемые первые производные в каждом конечном
интервале, a f(x) — действительная вектор-функция того
же класса, удовлетворяющая в нуле условию /2(0) —
— Mi (0) = 0, где h — произвольное действительное число.
(и (z, t)\
Тогда решение и (х, t) = I , I задачи
— idJ:-{ ° М— + [р(х) q{xAu = B — 4-0(x)u
(5.10У
и{х, 0) = /(я), и2(0, 0-*И|(0, 0 = 0 (5.11):
задается формулой:
Г. При \t\ <x
и(х, 0 = 4 [Hf(x + t) + H*f(x - t)} +
x+t
+ A Г W(x,t,s)f(s)ds, (5.12)
где xi.t
*-(-! \\ *-[\ ".')< <s-13>
а матрица второго порядка W(x, t, s) является
решением дифференциального уравнения
tW't (*, t, s) - W's (x, t,s)B = W[x% t, s)Q(s),
удовлетворяющим следующим условиям на
характеристиках:
W(x, t, x + t)HT = WQ(x + t),
W(x, t, x-t)H = iHTQ(x-t).
2°. При 0<x<t решение строится следующим об-
разом: продолжим матрицу Q(x) на отрицательную
полуось с сохранением класса, а в остальном как угодно,
а вектор-функцию f(x)—no формуле
х
f(-x) = f(x)+$K(x,s)f(s)ds, (5.14)
о

346 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
где матрица второго порядка К(х, s) есть решение задачи
ВКХ(я, s) + K's (x, s)B = K{x, s)Q(—s) — Q (s)К (х, s)t
К (х, х)В-ВК {х, x) = Q{x)-Q (— х), К (*, 0) я(* ) = 0.
Тогда решение и (х, t) определяется формулой
и(*. t)=±{Hf{x +t) + HTf(x-t)} +
x+t t-x
+ | J W(x,t,s)f(s)ds + ± J W(x,t,s)f(s)ds,
о о
где W(x, t, s) выражается через W(x, t, s) явно.
§ 6. Асимптотическое поведение спектральной функции
1. Рассмотрим задачу
U })£+($-;8)»-»». <6Л>
1/2(0Д)-^(0Д)=0, (6.2)
где р (х) и q (x) — действительные функции,
определенные на полупрямой [0, «>) и суммируемые в каждом
конечном интервале, a h — произвольное действительное
число.
Наряду с задачей (6.1), (6.2) рассмотрим задачу
_*£.=( ° л*± № 9(*)\и^вэи Q(x)
dt \—1 0J дх \q{x) —p{x)J дх ^ v ' '
(6.3)
и{х, 0) = /(*), (6.4)
где / (х) = ( * {х) 1 — действительная вектор-функция,
определенная и непрерывно дифференцируемая на
полупрямой [0, о»), удовлетворяющая условию
/i(0)-u/i(0) = 0. (6.5):
Продолжим функции р(х) и q(x) на всю числовую
ось с сохранением класса, а в остальном как угодно,

§ 6. АСИМПТОТИКА СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 347
а вектор-функцию f(x) — по формуле (5.14), т. е. по
формуле
ос
/(-*) = /(*) + §K(x,s)f(s)ds.
в
Обозначим через <р (ж, Я) = ( ^ *' ^ ] решение
уравнения (6.1), удовлетворяющее начальным условиям
<Pi (О, Я)=1, фг(0, k) = h. Очевидно, что ф(я, %)
удовлетворяет условию (6.2).
Положим теперь /(я) = ф(#, Я) и рассмотрим задачу
(6.3) — (6.5). С одной стороны, решение этой задачи при
UI <х задается по формуле (5.12), т. е. формулой
и (х, 0 = 4" ^Яф (х + * Д) + ^ТФ (х — *> Щ +
x+t
+ 4" J W(x,t,s)<p(s,K)ds, (6.6)
а с другой стороны, решая эту задачу методом Фурье,
убеждаемся, что ее решение задается формулой
и(*. *) = ф(*. к)еш. (6.7)
Тогда, в силу единственности решения задачи (6.3) —
(6.5), приравнивая правые части формул (6.6) и (6.7),
находим тождество
Ф(я, К) еш = -±-[Hq>(x+t,'k) + Н\(х - *, Я)} +
x+t
+ 4" I ^(s, *, *) Ф (*Д) &• (6.8)
Пусть 8 произвольное положительное число.
Обозначим через ge(t) функцию, удовлетворяющую условиям:
1°. ge(£)—четная и обращается в нуль вне интервала
( — 8, 8).
2°. gt(t) имеет кусочно непрерывную производную.
Пусть г|)е(£) — преобразование Фурье функции ge(t),
т. е.
8
iM*)=> \gt{t)eiUdt. (6.9)

348 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
Предположим, что х > е (случай х < е изучается
аналогично). Умножая обе части тождества (6.8) на g(t}
и интегрируя по t в пределах от —8 до 8, а затем в
правой части полученного тождества заменяя переменную
в первых двух интегралах и меняя порядок
интегрирования в третьем интеграле, в силу обозначения (6.9)
получаем
Ф (s, ty 1|з8 (Я) =
SC+8
= yj {HgB(s — x) + HTgB(x — s)}q>(s,h)ds +
ас—8
ОС+8 | 8 i
+ [ J W(x,t,s)gB(t)dt\<f(s,K)ds. (6.Ю)
ас—8 '|эс—s\ )
Так как по условию ge(t)-— четная функция, то
используя еще явный вид матриц Я и #т из (5.13), находим
-у [HgB(s — х) + HTge(x — s)} = iBg9(x — s).
Теперь, учитывая и обозначения
X (х, s)= f W (х, t, s) gs (t) dt, „ ш
\x—s\ * * '
H (x, s; e) = iBgz (x — s) + %e (x, s),
тождество (6.10) можно переписать в виде
ЭС+8
Ф (х, К) % (К)= j H (х, s; в) Ф (*, Я) ds. (6.12)
ас—8
2. Пусть f(x)e= 2?2(0, оо). Как известно (см. теоремы
1.1, 1.2 гл. VIII), при данном h существует неубывающая
ограниченная в каждом конечном интервале непрерывная
слева функция р(Я), Яе(-оо} оо), порождающая
изометрическое отображение пространства вектор-функций
^(0, оо) На пространство ^{ра» (—оо, оо) по формулам
оо
F(X) = |/т(ж)ф(ж, K)dx,
0 (6.13)
оо
/(*)= J F{l)<p{x,K)dp(b),

§ 6. АСИМПТОТИКА СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 34$
где интегралы сходятся в метриках пространств
^{ра)>(—°°» °°) и 3?2(0, оо) соответственно и
справедливо равенство Парсеваля
оо оо
J | / (ж) |3 dx = J F2 {X) dp (X). (6.14>
О —оо
Кроме того, если g{x)& i?2(0, °°), a G(X)
определяется по g(x) так же, как F(X) no /(#), то в силу формулы
(1.13) гл. VIII имеет место обобщенное равенство
Парсеваля
оо оо
J f (х) g(x)dx = j F (I) G (%) dp (X). (6.14'>
0 —oo
Введем следующую терминологию:
1°. Функцию р(Я), как и прежде, будем называть
спектральной функцией задачи (6.1), (6.2).
2°. Матрицу второго порядка
к
0 (х, s; К) = \ ф (#, (х) фт (s, fx) dp (fx) (6.15)1
о
будем называть спектральным ядром задачи (6.1), (6.2).
В этом параграфе мы получим формулы
асимптотического поведения при \Х\ -*■ °° спектрального ядра
Ф^, s; Я), откуда будет следовать асимптотическая
формула для спектральной функции р(Я) при \Х\ ->■ «>, так
как
0 (0, 0; Я) = Q J,)p(b). (6.16>
Вернемся к тождеству (6.12). Если
(ЕЛЛ Я \
#(*,s; e) = u я12 (я, s;e),
V 21 22/
#il (*» *'• гЛ
Hi2(x, S\ E))S
то положим Hi(x, s; e) = „ # L Тогда тождество
(6.12) означает, что для любого #^0 функции
Фг(#, Я)г|)е(Я), г = 1, 2 (компоненты вектор-функции
ф(#, Я)'фе(Я)), являются преобразованиями Фурье
вектор-функций, равных соответственно #*(#, 5; е) при
\х— s| < e и равных нулю при \х — s| > е. Поэтому,.

350 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
^сли /(#)<= i?2(0, oo), то в силу обобщенного равенства
Парсеваля (6.14') имеем (i = 1, 2)
j Фг (*, Я.) ^8 (I) F (К) ф (X) = j Я! (х, s; e) / (s) ds,
—оо О
или в матричной форме
оо оо
j Ф (х, Я) F (Я.) ip, (Я) dp (Я) = J # (ж, s; e) / (s) ds. (6.17)
—оо О
Лемма 6.1. Если матрица Q(x) суммируема в
каждом конечном интервале и если (x0l x{)—произвольный
интервал действительной оси, то существует постоянная
C = C(x0lxi) такая, что для всех x1s^(x0yxi) и для
есех а справедлива оценка
а+1
V {е*(*,*;Я)}<С, *,Л = 1,2,
а
где Qih(x, s\ X)— элементы матрицы Q(x, s; X).
Доказательство. Пусть функция ge{t)
определяется равенством
feW~l 0, 1*1 >е.
Тогда
^)=]g*(t)eiUdt = s(^p)\
—8
Если для произвольного а положим gs{t, a) = gz{t)eia\ то
% {К «)-}*. (t, a) eiMdt = г{^^0)\ (6.18)
—6
Поэтому из тождества (6.12) в силу (6.18) на основании
равенства Парсеваля (6.14) следует
—оо
оо
= §\Н{х, s;e, о) |pis, (6.19)

§ 6. АСИМПТОТИКА СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 351
где ||Я||2 — норма Гильберта — Шмидта матрицы Я, т. е.
сумма квадратов элементов Я, притом Я (я, s\ е, а)
определяется равенствами (6.11), где ge(t) заменена на
gt(t, а). Так как ge(t) финитна, то матрица Н(х, s; е, a)
тоже финитна и в силу суммируемости Q(x) суммируема
и ||Я(я, S] е, а) II2. Поэтому интеграл, стоящий в правой
части равенства (6.19), существует. Тогда, полагая
в (6.19) 8 = 2, имеем
](^^У\^Л)\^Р(Х)<с
— 00
и, значит, тем более,
а+1
с sin4 а-а)! ф (a.t Я) |2 ф (Л) < Ct (620)
t/ (л — а)
Далее, так как при 0<#^1 имеем (sin^)/^> 2/я, то
из (6.20) следует
а+1
J ф?(х, X) dp(%)<£ С = Си I- 1, 2% (6.21)
а
что доказывает лемму для элементов Вц(х, s; Я), i = 1, 2,
матрицы 0(я, 5; Я) при s = х. Утверждение леммы для
этих же элементов при s Ф х следует из оценки (6.21)
в силу неравенства Коши — Буняковского. Для элементов
6«(#, s; К) при ъФ] доказательство леммы завершается
аналогично.
Следствие. При условиях леммы 6.1 и для всех а
справедлива оценка
р(а + 1)—р(а)<С.
Доказательство. Эта оценка следует из оценки
(6.21), если в ней положить i = 1, х = 0 и учесть, что
<Pi(0, Я)=1.
3. Как отмечалось выше, в этом параграфе мы
получим асимптотические формулы при |Х| ->• °° для
спектрального ядра 0(я, s; X) и спектральной функции р(Я)
задачи (6.1), (6.2). Будет показано, что в этих
асимптотических формулах главными членами соответственно
являются спектральное ядро 0*(я, s; Л) и спектральная
функция р*(Х) более простой задачи, а именно, задачи

352 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
i(6.1), (6.2) при Q(x) = О, т. е. задачи
(-5 5)1" = ^ 0<*<оо, (6.22)
М0)-%.(0) = 0. (6.23)
Вычислим спектральную функцию р*(к) и тем самым
спектральное ядро 9* (х, s; %) этой задачи. Для этого
воспользуемся определением спектральной функции, данным
в § 1 гл. VIII.
Присоединим к краевому условию (6.23) условие
yt(b)-HVl(b)=0, (6.24)
где Ъ — произвольное положительное число, а Я —
произвольное действительное число, и вычислим собственные
значения краевой задачи (6.22) —(6.24).
Обозначим через if (я, X) решение уравнения (6.22),
удовлетворяющее начальным условиям
гМ0Д)=1, ф2(0Д)=й. (6.25)
Задача (6.22), (6.25), как легко убедиться, распадается
на две независимые задачи относительно компонент
*tyi(x, X) и г|)2(#, X) вектор-функции ty(x, X), и решения
этих задач задаются формулами
i|)i (х, X) = cos Хх — h sin Хх,
(6.26)
фг {х, X) = sin Хх + h cos Xx.
Так как ty(x, X) удовлетворяет краевому условию
(6.23), то для определения собственных значений краевой
задачи (6.22) —(6.24) нужно подставить выражения
функций if>i(#, X) и г|)2(^, X) из (6.26) в краевое условие
(6.24). Имеем
sin ХЪ + h cos Xb — Н cos Я& + hH sin Я& = О,
(l + hH)smXb + (h-H)cosXb = 0. (6.27)
Если положим
1+hH
COS О) = г г
V(i + h*)(l + H*)
то уравнение (6.27) можно будет переписать в виде
sin (Xb + со) = 0, откуда
ХПш ъЪ + о) = ля, гг = 0, ±1, ±2, ...,

§ 6. АСИМПТОТИКА СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 353
т. е.
^ = л-JL + .£., л = о, ±1, ±2, ... (6.28)
Далее, легко вычисляется, что
ъ
ад,ь = j {*i («, *»,ь) + *' (*, Чь)1 ^ = (1 + h2) Ъ.
о
Поэтому, согласно определению спектральной функции
рь(^) (см. § 1, гл. VIII), имеем
pSw—J*(i4W Я<°-
Преобразуем рь (М првг Я > 0 (для X < 0 —
аналогично). Используя формулы (6.28), находим (при &->«>)
р* (Я) = 7X72 2 "У = Я(! + А2ч 2 Т" =
*>ntb*
—12-х 2 АЯ">
*(* + *2>o<j£j<X ' Я^ + Л2)'
Таким образом, спектральная функция р*(Я) краевой
задачи (6.22), (6.23) имеет вид
P*W=r77TTrv (6-29)
а спектральное ядро
А,
е* <*•5; х>=ndVfc») I *{xt ^ ^т (5? ^dvL* (6,29,)
Из определения 0*(#, 5; Я) непосредственно следует
Лемма 6.2. При а -> с» равномерно для всех
положительных значений х и s имеют место оценки
ауг{Ъ*к{х,8\\))<С, *,Л = 1,2,
а
где 0jfc (#, 5; Я) — элементы матрицы 8* (я, 5, Я).
23 б. М. Левитан, И. С Саргсян

354 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
4. Преобразуем равенство (6.17). Для этой цели,
подставляя выражение F(X) из (6.13) в (6.17), а затем
меняя порядок интегрирования в левой части, что возможно
в силу следствия из леммы 6.1 и теоремы Фубини,
получаем
J П Ф (х, Я) Фт (*, Ц ^е (*) dp (Щ f (s) ds =
О I—oo J
оо
= J H (x, s; е) f (s) ds*
о
Отсюда, благодаря произвольности /(s), следует
тождество
оо
J ф (ж, К) фт (5, X) % (X) dp (X) = Н (xt s; e),
— ОО
которое, в силу обозначений (6.11) и определения
0(я, s\ К), т. е. (6.15), можно переписать в окончательном
виде
оо
j iM*W (jc, s; Л,) =
«—оо
{ ££& (X - S) + %е (х, S), | X — S |< в,
= 10, |*-.|>е. (О0>
Выпишем тождество, аналогичное тождеству (6.30),
для 0*(я, s\ Я). Как легко следует из задачи (2.6), (2.7)
при (?(#)= 0 решение этой задачи, т. е. W(x, t, s),
тождественно равно 0. Поэтому из (6.11) получаем, что
%е{х, s)=0. Следовательно, в рассматриваемом случае
тождество (6.30) принимает вид
7 (iBge(x — 5), [я — s|<e,
j %(Я)4в*(^^Д) = {0) |*_,|>в. (6-30,)
Вычитая из тождества (6.30) тождество (6.30'), находим
j г|>84 {9 {х, *; Л)- 6* (г, *; Я)}=
о, |*-«|>е. (b'dl)

§ 6. АСИМПТОТИКА СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 355
Займемся преобразованием правой части тождества
(6.31). С этой целью положим
1
а (х, s;X) = \ W {х, *, s)'emdt. (6.32)
\x-s\
Из этого равенства и равенства (6.9), в силу равенства
Парсеваля для классического преобразования Фурье,
с учетом обозначения (6.11) получаем
оо
-т^ J ipe {Ц а (ж, 5; Я)^Я = хе (ж, ^).
—00
Это равенство позволяет тождество (6.31) переписать
в виде
оо
j Цг(Х)с1хФ(х,8-Л) = 0, (6.33)
—00
где
Ф (х, s;X) =
= 6 (х, s; X) — 6* (х, s; X) — JL Г а (х, s; X) dX. (6.34)
о
Тождество (6.33) и тауберовы теоремы для интегралов
Фурье дают возможность изучить поведение
спектрального ядра 0(#, s; X) при \Х\ -^ оо.
Предварительно докажем две леммы.
Лемма 6.3. Если матрица Q(x) суммируема в
каждом конечном интервале, то при любых фиксированных
х и s и для всех а справедливы оценки
а+%
V {Фгь(х,8;Щ<С, i, к = 1, 2, (6.35)
а
где Фгк(х, s; X)—элементы матрицы Ф(х, s; X). Оценки
(6.35) имеют место равномерно в каждой конечной
области изменения х и s.
Доказательство. Для доказательства леммы
достаточно получить оценку (6.35) для каждого элемента
матрицы правой части равенства (6.34). Для элементов
матриц 6 (х, s; X) и В*(х, s; X) оценка (6.35) следует из
лемм 6.1 и 6.2.
23*

356 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
Из определения матрицы а(х, s\ X), т. е. равенства
(6.32), в силу суммируемости матрицы W(x, t, s) (что
следует из суммируемости Q(x)) и известной леммы Ри-
мана — Лебега, получаем, что в каждой конечной области
изменения переменных х и s справедливы равенства
lim aik (x, s; К) = 0, £, к = 1, 2.
Следовательно, при а ->- °°
а+1 ( к } ail1
V J aih (x, s; v) dv = j | aik(x, s; v) dv\ = о (I).
° lo ) a
Лемма доказана.
Лемма 6.4. Если матрица Q(x) равномерно в
каждом конечном интервале удовлетворяет условию Дини, то
при любых фиксированных х и s справедливы равенства
х
lim J aik(x1 s; v) dv = 0. (6.36)
Равенства (6.36) имеют место равномерно в каждой
конечной области изменения переменных х и s.
Доказательство. Из определения матрицы
а(х, s; К) следует
% к ( г )
J aik (х, s; v) dv = j J Wik (x, t, s) eivtdt\ dv =
—X -\ \\x-s\ J
-I
Wih{x,t,s)^dt. (6.37)
\X-s\
Так как по условию Q{x) удовлетворяет условию Дини,
то этим свойством обладает и матрица W(x, t, s).
Поэтому утверждение леммы, т. е. равенства (6.36), следует
из (6.37). Лемма доказана.
Теперь докажем основную теорему параграфа.
Теорема 6.1 (асимптотическое
поведение спектрального ядра). Если матрица Q(х)
равномерно в каждом конечном интервале удовлетворяет
условию Дини, то при каждых фиксированных х и s и
при К ->■ °° справедлива асимптотическая формула
6(я, s] Я) — 8(я, s; ~К) =
= 9*(ж, s; Л)-в*(ж, s; -Я) + о(1). (6.38)

§ 6. АСИМПТОТИКА СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 357
Доказательство. Обозначим через (/, g)
скалярное произведение векторов / и g, т. е. положим (/, g)=s
Пусть / и g — произвольные постоянные двухкомпо-
нентные векторы. Тогда из равенства (6.33) следует
с»
J *М*)<МФ (*,*;>.)/,*Н0. (6.39)
— с»
При s = х и g = / очевидно, что (Ф(#, 5; Я)/, g) —
монотонная функция от Я. Поэтому из тождества (6.39), в
силу тауберовой теоремы В. А. Марченко (см. Б. М.
Левитан, И. С. Саргсян [1], гл. 14, теорема 4.2), следует
формула
lim {(Ф (х, х; Я) /, /) - (Ф {х, х; - Я) /, /)} = 0. (6.40)
При s Ф х рассмотрим монотонную функцию от Я
(Ф(а, х; Я)/, /)+ 2(Ф(а, s; Я)/, /) + (Ф(*, *; Я)/, /)
и снова применим указанную тауберову теорему
В. А. Марченко. В результате, в силу формулы (6.40),
получаем
lim {(Ф (х, s; Я) /, /) - (Ф (ж, s; - Я) /, /)} = 0.
Теперь, преобразуя квадратные формы к билинейным, из
последнего равенства получим
lim {(Ф (a, s; Я) /, g) - (Ф (х, s; - Я) /, g)} = 0.
И так как векторы / и g произвольны, то из последнего
равенства следует
lim {Ф (я, s; Я) — Ф (х, s; — Я)} = 0,
А,-»оо
откуда, в силу формулы (6.34), при Я -*■ °° получаем
9 (а, 5; Я) — 0 (a, s; — Я) = 0* (а, 5; Я) - 0* (х, s; — Я) +
к
+ "2я J а (^» 5» v) ^v + ° (!)•
-А,
Утверждение теоремы, т. е. формула (6.38), следует
из последней асимптотической формулы в силу леммы 6.4.
Теорема доказана.

358 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
Теорема 6.2. При условиях теоремы 6.1 и при
% -*■ оо справедлива асимптотическая формула
р(Л)-р(-Л) = -^_) + 0(1). (6.41)
Доказательство. Формула (6.41) следует из
формулы (6.38) в силу равенства (6.16) и равенства
0* (0, 0; X) - 0* (0, 0; - X) = (i h2) f2% a. .
v v ' U h2) я (1 + Л2)
Формула (6.41) дает асимптотическое поведение
нечетной компоненты спектральной функции р (X). Чтобы
выяснить асимптотическое поведение самой спектральной
функции р(Я), достаточно, очевидно, найти асимптотическое
поведение ее четной компоненты. Имеет место следующая
Теорема 6.3. При условиях теоремы 6.1 и при
% -> оо справедлива асимптотическая формула
р(Я)+р(-Ь) = о(1). (6.42)
Доказательство. Из тождества (6.31), в силу
равенства (6.11), при х = s = 0 имеем
оо
j ъ (*) 4 (еп (о, 0; к) - е*п (о, о; %)} =
— оо
8
- J WfO.f.O) *.(*)#.
о
Так как 9И(0, 0; Х)= р (Л) ,8^(0, 0; К) = -т^—*, то
из последнего равенства, в силу тауберовой теоремы
В. А. Марченко следует
р(Я) + р(-Я) =
= |ТГ4-<Ж(°' + °' 0) —TF(0, —0, 0)} + о(1),
откуда и получаем формулу (6.42), так как, в силу (2.8),
Щ0, 0, 0)=0.
Из теорем 6.2 и 6.3 следует
Теорема 6.4. Пусть выполнены условия
теоремы 6.1. Тогда при \Х\ -> °° справедлива асимптотическая
формула
PW= К% ^ + 0(1)-
я(1 + & )

§ 7. УТОЧНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ 359
§ 7. Уточнение теоремы разложения
В этом параграфе мы дадим уточнение теоремы
разложения по собственным вектор-функциям задачи (6.1),
(6.2), т. е. дадим доказательство теоремы о
равносходимости разложений по собственным вектор-функциям
задачи (6.1), (6.2) и простейшей задачи (6.22), (6.23) для
произвольной вектор-функции с интегрируемым
квадратом на полупрямой. Заметим, что если в задаче (6.22),
(6.23) h = О, то из формул (6.26) получаем, что
, . х /cos %х\
гр (х, А) = I . . I, и потому в этом случае для вектор-
функции из класса S?2(0, °°) разложение по собственным
вектор-функциям оператора Дирака сравнивается с
разложением в обычный интеграл Фурье.
1. В предыдущем параграфе мы получили тождество
(6.12), т. е. тождество
ЭС+8
Ф (х, X) я|)8 (X) = ) Н (х, s; e) cp (s, X) ds, (7.1)
где
Я (х, s; г) = iBgB {x — s)+ f W (x, t, s) gs (t) dt. (7.2)
!*-*!
Пусть /(#) — произвольная вектор-функция класса
i?2(0, оо). Обозначим через F(X) обобщенное
преобразование Фурье вектор-функции f{x), т. е. положим
сю
F(k)=$f(x)<p(x,K)dx. (7.3)
о
Из тождества (7.1) следует, что функции фДя, X)tye{X)
и ф2(#, Х)уре(Х), т. е. компоненты вектор-функции
ф(я, Я)г|)е(Я), при каждом фиксированном х являются
обобщенными преобразованиями Фурье соответственно
вектор-функций, равных
Н12 (я, s; г)) \Н22 (ху s; е)
при х — 8 < s < х + е и равных нулю вне этого
интервала. Поэтому в силу обобщенного равенства Парсеваля

360 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
(6.14') из тождества (7.1) и равенства (7.3) следует
равенство
оо х+г
j Ф (х, X) F (X) 1|>£ (X) dp (Х) = j H (х, s\ 8) / (s) ds. (7.4)
— 00 Ж—8
Введем в рассмотрение вектор-функцию
S (х, X) = j F (X) Ф (я, X) dp (X). (7.5)
о
Тогда равенство (7.4) принимает вид
оо я+е
j г|>£ {X) dKS (х, X) = j H (х, s; г) f (s) ds. (7.6)
—оо х—г
Для дальнейших целей найдем новое представление
вектор-функции S(x, X). Подставляя значение функции
f (X) из (7.3) в (7.5), а затем меняя порядок
интегрирования, получаем
оо | X
S (х, X) = j J Ф (х, X) Фт (s, X) dp (X)} / (s) ds,
о 'о
так как (/т(5)ф(5Д))ф(^, ^)==:(ф(^Д)фт(^ X))f{s), в чем
можно убедиться непосредственным вычислением. Теперь,
используя определение (6.15) спектрального ядра
9 (я, s; Я), для S(x, X) получим следующее окончательное
представление:
оо
S (х, X) = J 9 (яг, 5; Я) / (5) ds. (7.7)
о
Выпишем формулу, аналогичную формуле (7.6) для
простейшей задачи (6.22), (6.23). Вектор-функцию
S*(x, X), аналогичную S(x, X) для этой задачи, в силу
(7.7), можно определить формулой
оо
S*(x, X) = J 9* (х, s; X)f(s) ds, (7.7')
о
где матрица 9* (я, s; X) определяется равенством (6.29').
Далее, исходя из тождества (6.30') и поступая так же,

§ 7. УТОЧНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ 361
как и при выводе равенства (7.6), получаем
оо х+г
(' % (I) d^S* (х, I) = iB } ge(x-s)f (s) ds. (7.8)
— с» Ж—8
Теперь, вычитая из равенства (7.6) равенство (7.8) и
учитывая выражение (7.2) для матрицы Н(х, s; e),
приходим к равенству
оо
j b(b)<k{S(*A)-S*(x,X)} =
— оо
эс+е Г е \
= j* И TF(a;, *, *)&(*)* /(*)*• (7-9)
Я—8 l|X—s| J
Лемма 7.1. £Ъш матрица Q(x) суммируема в
каждом конечном интервале, то при любом фиксированном х
и при а ->- о© справедливы оценки (к = 1, 2)
а-ы а+1
V{Sh(x,K)}= J \F(K)\-\<fh(xtK)\dp(K)=o(l). (7.10)
Оценки (7.10) имеют место равномерно в каждом
конечном интервале.
Доказательство. Из определения S(x,X), т. е.
из (7.5), в силу неравенства Коши — Буняковского
следует (к = 1,2)
а
/а+1 \1/2 /а+1 \ 1/2
<( ||^(Х)|»ф(Ы И |фк(хД)|аф(Х)1 .
Оценки (7.10) следуют из этих неравенств, так как, с
одной стороны, в силу леммы 6.1,
а+1
J \<pk{x,b)?dp(X)<C,
а
а с другой стороны, благодаря равенству Парсеваля,
оо оо
J |F(b)|*dp(A,) = j|/(z)|2cfe<oo,

362 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
то очевидно, что при а -*- °°
а+1
j |^(Я)рф(Л) = 0(1).
а
Лемма доказана.
Лемма 7.2. Равномерно на всей полупрямой (О, °°)
7л лг/?гг а -> <*> справедливы оценки
а+1
V K(*,A)} = o(l), ft = 1,2. (7.11)
а
Оценки (7.11) непосредственно следуют из
определения S*(х, К) в силу явного вида ,6*(#, s; %).
2. Займемся теперь преобразованием правой части
равенства (7.9). Меняя порядок интегрирования в правой
части, это равенство перепишем в виде
оо
J b(b)dx{S(x,X)-S*{x,X)} =
—оо
8 tX+t *
= -j-U§ W(x,t,s)f (s) ds\ ge(t) dt. (7.12)
Пусть
8 Гэс + f \
a(x, X) = j j W(*, *, *)/(*)& вш&. (7.13)
~e Ice—t I
Тогда, применяя равенство Парсеваля для классического
преобразования Фурье, из равенств (7.13) и (6.9)
получаем
8 /Я+f \ оо
J J W(x,t,s)f(s)ds\ge(t)dt = ^r ^ fy{X)a{x,X)dk.
Поэтому равенство (7.12) принимает вид
оо
\ y£(l)dxR(x,l) = 0, (7.14)
— оо
где
х
R (х, X) = S(x, X) - S* (х, Я) — -L j a(s, v) dv. (7.15)
о

§ 7. УТОЧНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ 363
Лемма 7.3. Если матрица Q(x) суммируема в
каждом конечном интервале, то при каждом фиксированном
х и при а ->- с» справедливы оценки
а+1
V {Як(*Д)} = о(1), А: = 1,2. (7.16)
а
Оценки (7.16) имеют место равномерно в каждом ко-
печном интервале.
Доказательство. Так как вариация суммы не
превосходит суммы вариаций слагаемых, то для
доказательства оценок (7.16) достаточно показать, что эти
оценки имеют место для каждого слагаемого суммы (7.15).
Для слагаемых S(x, X) и S*(x, X) оценки (7.16)
совпадают с оценками (7.10) и (7.11).
Далее, из определения а(х, X), т. е. (7.13), на
основании леммы Римана — Лебега следует, что limafe(x, X) = 0,
V-юо
к = 1, 2. Поэтому при а ->- <*>
а+1 (Х ] а+1
У \[ah(x,v)dv\= [ |aft(s, v)|dv = o(l).
а lo J a
Лемма 7.4. Пусть матрица Q(x) суммируема в
каждом конечном интервале. Тогда при любом
фиксированном х справедливы равенства
lim f ah(x, v)dv = 0, & = 1, 2. (7.17)
Равенства (7.17) имеют место равномерно в каждом
конечном интервале.
Доказательство. Положим
x+t
b(x,t)= j T7 (ж, *, s) / (5) ds.
зс-t
Тогда из (7.13) следует, что
8
а (Ж, Л) = J ft (x, t) eiMdt.
—8
Поэтому
X 8
j a (ж, v)dv = 2 J Ь(ж, *)5^Л,

364 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИРАКА
откуда и следуют равенства (7.17) в силу дифференци-
руемости Ъ(х, t) no t. Лемма доказана.
Теорема 7.1 (теорема о
равносходимости). Пусть /(я)е= «^(О, оо). Если матрица Q{x)
суммируема в каждом конечном интервале, то равномерно в
каждом конечном интервале имеет место равенство
lim {[S (z, l) — S (х, — I)] — [S* (х, X) — S* (я, — Щ = О,
т. е. разность между разложением вектор-функции f(x)
в обобщенный интеграл Фурье по собственным вектор-
функциям задач (6.1), (6.2) и (6.22), (6.23) стремится
к нулю равномерно в каждом конечном интервале.
Доказательство. В силу леммы 7.3 к равенству
(7.14) применима тауберова теорема Б. М. Левитана (см.
Б. М. Левитан, И. С. Саргсян [1], гл. 14, теорема 4.1), на
основании которой
lim {R (х, X) — R (я, — Щ = О,
т. е., согласно равенству (7.15),
lim {[S (я, X) - S (х, — X)] - [S* (х, Я) — S* (я, - Щ =
к
= -г- lim \ a (x, v) dvf
—л
откуда и следует утверждение теоремы в силу леммы 7.4.
Теорема доказана.
Теорема 7.1 дает окончательное решение вопроса о
сходимости разложения по собственным вектор-функциям
оператора Дирака для вектор-функций с интегрируемым
квадратом на полупрямой (0, °°). Действительно, если
в задаче (6.22), (6.23) положить h = 0, то разложение
в обобщенный интеграл Фурье по собственным вектор-
функциям этой задачи есть разложение в обычный
интеграл Фурье, ибо, как отмечалось в начале параграфа, при
h = 0 собственными вектор-функциями этой задачи
являются i|)(#, Х) = [ • « )• Следовательно, при h — О
теорему 7.1 можно сформулировать так:
Теорема 7.2. Пусть /(ж)е^2(0, °°) и
выполняются условия теоремы 7.1. Тогда разность между
разложением вектор-функции j(x) no собственным вектор-функ-

УКАЗАНИЯ К ЛИТЕРАТУРЕ
365
циям одномерной системы Дирака и разложением в
обычный интеграл Фурье стремится к нулю равномерно в
каждом конечном интервале.
В частности, из теоремы 7.2 следует
Теорема 7.3. Пусть выполняются условия
теоремы 7.1. Тогда в каждой точке х0, где выполняются
локальные условия разложимости вектор-функции f(x)
в обычный интеграл Фурье, имеет место равенство
lim {S (x0J X) — S (х0, — Щ = / (s0),
А,->оо
т. е. разложение вектор-функции f(x) в обобщенный
интеграл Фурье по собственным вектор-функциям
одномерной системы Дирака в точке х0 стремится к
значению f(x0).
Указания к литературе
§ 1, 2. Результаты этих параграфов принадлежат И. С. Сарг-
сяну [41.
§ 3. Оператор-матрица преобразования для различных
канонических видов системы Дирака построена в работах Тола и Прат-
са [1], Б. М. Левитана и М. Г. Гасымова [1], И. С. Саргсяна [4].
§ 4. Продолжение решения одномерной системы Дирака дано
в работе Б. М. Левитана, И. С. Саргсяна [3].
§ 5. Результаты этого параграфа принадлежат И. С. Саргся-
ну [4].
§ 6, 7. Результаты этих параграфов принадлежат И. С. Сарг-
сяну [2] — [3]. Приведенные здесь доказательства в § 1, 2, 6, 7 в
случае канонического вида М. Г. Гасымова принадлежат Г. В. Ди-
хампнджии [1].

• Г л а в а XI
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
§ 1. Интегральное уравнение
для матрицы-функции Грина
1. Рассмотрим систему Дирака на всей числовой
прямой (—°о, ©о)
Tll — ( 0 l)dy (p(x) q(x)) .
Обозначим через G(x, £; Я) матрицу-функцию Грина
оператора L, а через go(x, £; Я) — матрицу-функцию
Грина оператора L с «замороженными» коэффициентами,
т. е. системы
UJ)g+(t'S-;S)'-»»- -~<5<~. («.о
Матрица д0(#, \\ Я) явно вычисляется и имеет вид
„ I* ъ-\\—( ^ И + Я - g (*) - х sgn (x - Е)у-*|х-61
^o^s^;-^(a:)__xsgn(a:_?) _р(л:) + я ; 2к *
где х = к(^Я)={/И+д2И-^1/2.
Матрицу G(#, £; Я) будем искать по методу «парамет-
рикс» Гильберта, т. е. покажем, что G(x, £; Я) есть
решение интегрального уравнения
G(x, |;Я) =
оо
= g0 (x, g; X) + J G (л, I; Л) {<? (ж) - <? (г))} g0 (x, л; Я,) Л],
—оо
(1.1)

§ 1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ МАТРИЦЫ ГРИНА 367
где матрица g0(x, £; Я) была определена выше, a Q{x) =
= (Р _ q )• Ниже будет показано, что уравнение (1.1) при
больших М может быть решено методом итераций.
Обозначим через ||Л|| норму Гильберта — Шмидта мат*
/2 \1/2
рицы А = (a^)i j==1, т. е. положим \\А \\ = 2 I atj I2
Тогда из определения матрицы g0(x, |; Я) следует, что
Ы*, 6;Я)11=е-х|^ (1.2)
Далее нам понадобится след матрицы ^т g0 (х, 6; Я) |^==х*
После элементарных вычислений получаем
2. Ближайшая цель — получить равномерную по х и £
на всей числовой оси (—«>, °°) асимптотику для
IIG(#, I; щ\\ при pi ->■ оо, где G(x, |; X)— решение
интегрального уравнения (1.1).
Предположим, что матрица Q(x) удовлетворяет
следующим условиям:
1°. При \х-\\ < 1
№{*)- Q{l)}Q~a{x) \\<А\х- 61, (1.4)
где -4 > О, 0 < а < 2 — постоянные числа.
2°. При к-61 ^ 1
11<?(*)||2^#||<?(Ш2, (1.5)
где В > 1 — постоянное число.
3°. При \х — Ц >1
11^ (S) II < -К ехр {с„ 1а: — 61 [р1 (ж) + g» («)]f/»>, (1.6}
где К>0, 0 < с0 < 1 — постоянные числа.
4°. Сходится хотя бы один из интегралов
оо оо
J \p(x)\-1dx, j \q{x)\-4x*). {1.1}
*) Суммируемость ^(ж)!"1 или |д(я)|-"! потребована ради
простоты. Можно было бы потребовать суммируемость \р(х) |~гили
\q(x) |~г при некотором г > 0. В этом случае надо было еще
«итерировать». Окончательные асимптотические формулы (4.9)
остались бы при этом справедливыми.

568 ГЛ. XI. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Как было отмечено выше, уравнение (1.1) будем
решать методом итераций. При к> 1 положим
ёи (я, ё; Ь) =
оо
= j gk-i (Л, 5; *) {<? (х) - Q (1)} g0 (х, г,; X) А). (1.8)
—оо
Тогда из уравнения (1.1) следует, что
G(*,S; ^) = «ro(«. 5; я) +
оо
+ 2 «г* (ж, Б; Я) = £0 (ж, 5; Я) + g (х, I; X). (1.9)
Оценим теперь ||gA(#, £; Я) II при Я = fyx и (i ->■ «>. Так как
при этих оценках понадобится оценка ядра
К0(х, Л; А) = «?(*)- <?(r))}goK г); X),
то вначале оценим последнее. Имеем
\\к0{х, л; щ)\\ =
= IK<?(*)~ QMyQ-WQ-Wgoix, л; *»*>II <
<1К^И-^(л)>^вИН11^"в(«)1М1йГо(ж> л; WII, (1.Ю)
где число а — то же самое, что и в условии (1.4). Теперь,
учитывая, что \\Qa(x)\\ < 2а{р2{х)+ q2(x)+ у?}аП = 2а%а{х),
в силу (1.2) и (1.4) из (1.10) при \х — г|1 ^ 1 получим
\\К0(х, л; *|i)|| <А1ка(х)\х — лк-^'^'. (1.11)
Применяя здесь неравенство уе~Ьу < с, верное при всех
у ^ 0 (с — постоянная, зависящая от б, а б > 0 — сколь
угодно малое число), получаем
\\KQ(x, л; i[i)\\<A0Ka-i(x)e{6-i)^x)]x^\ Is —т|| < 1.
(1.11')
Оценим теперь ||i£0(#, Л5 Ч*)П ПРИ \х — л! > 0- Имеем
И*о(*, л; ^)||<{||(?и1| + ||(?(л)1|}11?о(£, л; *и)П.
Используя (1.6) и неравенство ||<?(я)Ц < У2к(х), отсюда
получаем
|| К0 (х, г,; щ) 1 < К/»-^х-*\ | ж _ г, | > 0. (1.12)
Применяя неравенство г/ * < с, верное при всех у > 0
и для произвольного г (с — постоянная, зависящая от 6i

§ 1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ МАТРИЦЫ ГРИНА 369
и г), находим
№<*.*WI<*.£g£f#.,v-4*,M<
<_£. (..«,-.)«№-« |*_п|>1. (1.12')
иг (ж)
Здесь было использовано, что \х — г||>1. Из оценок
(1.11') и (1.12') для \\К0 (я, т); ф,)|| получаем
А -в х(х)|х-л|
у1т~— ^ , |x-ii|<l,
П ЛГ0 (я:, tj; щ)\\<
тг (1-13)
I хг(*)
где
Я0 = min (1 — 6, 1 — с0 — 6J < 1. (1.14)
Отметим, что из неравенств (1.13) следует, что в силу
произвольности г при всех х и г] ядро К0(х, т|; г»
удовлетворяет неравенству
IК0 (х, Л; Ф)»< со*""1 (*) е-^*»*-41. (1.15)
Перейдем теперь к оценке итераций gk{x, |; jjx) = gft.
По определению, т. е. в силу (1.8), имеем
Si = J £о (Л» & г» {<? (ж) — Q {ц)} g0 (я, л." ty) *1 +
+ J £о (л. Е; *(*) {<? (*) — <? Ш g0 (*. л; ф) dn = sri + л-
|*-Т)|>1
(1.15')
Переходя к нормам в силу (1.2) и первого из (1.13) имеем
ц^-А. Г e-«-iie-v*-^_ (1Л6)
v ' |x-ril<:i
Согласно условию (1.5) при \х — ц\ < 1
{р2{ц) +q2(4)V/2>y~B'{p2(x) + д2(я)}1/2, £' = £-'< 1
Поэтому x(r|)={/?2(r|)+g2(r|)+fi2}1/2>yFx(^) и,
следовательно, из (1.16) следует
II 'II ^ Ло Г -BMx){\x-r\\+\r\-l\\ /л ла'\
4 ' |oc-tiU1
24 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян

370 ГЛ. XI. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
откуда, так как \х — к\\ + \к\ —- £| > \х —- ||, получаем
т\<Лг-е-
|Х-Т1|<1
со
Л ^(В^б)**)!*-!! j* g-6*(*)|*-nid _
— ОО
__ Ао -(В1-б)к(эс)|х-^1
е
6к2~а (х)" *
оо
ибо J exp{—6x(x)|^-i1|}di1 = ^^. Итак,
—ОО
II ' / t • ч II С1 -(В-6)и(эс)|*-Ц
X (Ж)
где Bi < 1, а б — малое положительное число.
Оценим теперь ||gi||. Согласно (1.15), переходя к
нормам и используя (1.2) и второе из неравенств (1.13) f
имеем
х (я) «/
откуда, так как (не нарушая общности) к(х)>1>
>У1/Б = УБ' (где 5>0 согласно условию (1.5)),
находим
X (Х) . «^ ,
Тогда, поступая так же, как и при оценке интеграла
(1.16'), для || gil получаем оценку
ift(x,bwi<4-^"(J'i"e),""w- <u8>
хг (ж)
Следовательно, в силу (1.17) и (1.18), из (1.15) для
\\gi(x, 1; щ)\\ получаем
UA^ 5; *n)ll<
х2~а (*) кг (ж)

§ 1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ МАТРИЦЫ ГРИНА 371
где г —- произвольное положительное число, 0 < Bt < 1,
а б — сколь угодно малое положительное число.
Перейдем теперь к оценке g2{x, £; щ)и По
определению
g2 (х, I; щ) =
= j* Si (л, Б; *» {Q (*) — Q (л)} £о (*> л; щ) dx\ +
|х-ЛК1
+ J Si (Л, Б; щ) {Q (х) — <? (11)} g0 (х, r|; f jx) dr| = g2 + g"r
|0C-Y1|>1
(1.20)
Переходя к нормам и воспользовавшись неравенствами
(1.13) и (1.19), получаем
v y |эс-г|К1 "
+ -т-т— е ; ^Л = А + А-
(1.21)
Оценим 1г и 12 в отдельности. Для оценки Л
заметим, что в силу того, что х(г])> Vfi' к(х) при |# — г]| < 1,
Г/ ^ А[ С -В0х(ас)|*-л1 "^В'^ -б)и(х)Щ-£|
v ' 1х-лИ1
Учитывая еще, что Bi = min(S0, V.B'), получаем
, А"г С -B1(B1-6)H(x){|«-Til+|i|-B|>
V ' |х-лК1
так как в силу того, что Bi < 1, имеем В{ > В^В^ —- б).
Из последнего неравенства, в точности так же как и при
получении оценки (1.17), следует
/' < с2 HB^-ej-ejxc*)!*-*! fl 22,
1 ^ х2(2-а) (я) • V ■ ;
Так как и(т))> ViF%(:r) при U-r)! < 1, для 1\ получаем
24*

372 ГЛ. XI. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
отсюда, опять воспользовавшись неравенством yhe~*v < с,
находим
к1» J l*-»)la
Xr (or)
Из неравенств (1.22) и (1.23) для \g%\ (см. (1.21))
получаем оценку
1 а' |<- с^ -,-IBi(Bi-e)-el»*t*)l*-6> ,
I Sallys 2(2_a) e -+•
■x"w_<4(*)
+ _!з_е-[В1(вх-б)-в]|Я-|1>
хг (ж)
Оценим теперь g2 из равенства (1.20). Из его
определения, в силу оценок (1.13) и (1.19), следует
' |3C-Tll>l К У "
А2 С -Ввк(х)[Х-п\ 8-(Д1-»)И-И . .
х (х). J, кг(т))
+
|x~tiI>1
г" г" г'
ii и У2 оцениваются так же, как и ^2» ив результате
получаем оценку того же вида, что и (1.23). Поэтому для
1 £21| имеет место оценка
Объединяя эту оценку с (1.18), для второй итерации
g2{x, |; щ) получаем следующую оценку:
1*(*6*)1<зв4й.Чвд-ч-"мм +
хг (ж)
Повторяя рассуждения, с помощью которых были
получены оценки (1.19) и (1.25) соответственно для первой
и второй итераций gi(x7 |; i\x) и g2(#, |; ф), Для ^-й ите-

§ 1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ МАТРИЦЫ ГРИНА 373
рации gk{z, £; щ) по аналогии можем написать
неравенства
с'е-В*х(х)\х-1\ с''е-В*\х-Ъ\
ift(^6;W»<V^)(x) +JL7n~> (1'26)
где 5*=В\ -{В\"1+ ВкГ2+ ... + 1)6, притом б -
произвольное сколь угодно малое положительное число, и
очевидно, что б можно подобрать столь малым, чтобы В*> 0.
До сих пор число г было произвольным. Выберем его
так, чтобы сходился интеграл
с»
Т7-;<+оо. (1-27)
х (х)
Теперь выберем к0 столь большим, чтобы выполнялось
неравенство к0(2 — а)> г. После выбора числа к0 из
оценки (1.26) для итерации gkoixi £; Щ) получаем неравенство
си
Ун^ЪЩ^-^-е-1»*-*. (1.28)
" ° " нт (х)
3. Начиная с номера к0 будем оценивать итерации
иначе. Сначала видоизменим оценку (1.13). При
\х— у\\ < 1 согласно (1.11) имеем
и JT / ■ Ml ^ A *g+g (*)!*-Л lfl+g р-х(*)1*-Л1 <-
^ \ —(1—в)к(ж)|ж—-nl /,| oQ\
<х«<*>|х-Ч|-1+вв • (1-^)
Так как по предположению к (х) > 1, и, кроме того, из
определения к{х) следует, что к(х)> \х, то, выбирая еще
число о > 0 так, чтобы а = а — 1 + а<1, из (1.29)
получаем
j* --(1-6)|3C-Tll
1^,(^,Т,Ф)11<^ ■ .. . |*-П|<1. (1-30)
Далее, из оценки (1.12) следует, что при \х— г\\ > 1
||А:0(X, Т], *ц)< Ах кГ+а(х), х_ ,, г+а ^
Я ^(l-^-e^HOOIx-ril ^» ^-(l-eo-ei)!*-1!!
< ц V (^) U-ti|r+0 ^Л5 J?W

374 ГЛ. XI. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Отсюда и из (1.30) для К0(х, r\; i\x) получаем оценку
-л!
15' l*-*l|<l*
1*о(*. 45 ф)||<
А'е-****-4*
, |ж —т)|>1,
J уГ (х)
где
S0 = min(l-6, 1 — со — б4)< 1, (1.32)
число г выбирается из условия (1.27), а о > 0, а < 1.
Теперь оценим || gkQ+1 (x, I; щ) |]. По определению
gko+1(x, £; щ) = j gko(r\, g; щ)К0(х, ц; щ)йх\ +
|Я-Т11<1
+ j gk0 Ob I; Щ) К0 (х, r\; i\i) йц = 1г + 12* (1.33)
l*-iil>i
Переходя к нормам и используя неравенства (1.28) и
(1.31), получаем
откуда, в силу того, что и(т])> УВ'%(х), следует
А*{Ув')гс с -в0|«-л1 , „,
< .a,
Г в-*1*-л1
/Я )'съ ™,, *, Г e—e|«—"Hi
где s = B0 — S*.
Для получения окончательной оценки ll/JI выясним
соотношения между некоторыми константами, входящими
в неравенство (1.34).
Во-первых, из способа получения оценки (1.31)
следует, что постоянную В0 мы вправе брать именно по
формуле (1.32), совпадающей с формулой (1.14). Этого
можно добиться за счет постоянных А* и К*. С другой

§ 1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ МАТРИЦЫ ГРИНА 375
стороны, так как £* > 0 и S* < Ви а В, < S0, то #* < В0.
Поэтому е = Во — S* > 0.
Теперь полагая
оо
^4* Г е-г\х-к\\
—оо
неравенство (1.34) можно переписать в виде
Ш\<-^---ае-т1х-1К (1.35)
К (X) \1° Ч
Оценим теперь 12 из равенства (1.33). В силу оценок
(1.28) и (1.31) имеем
fxCTxr (a:) J иг (г))
|ac-Ti|>l ч "
ЦаИг (а:) J
—оо
оо
Отсюда, полагая N = Z* J е ° ' йт|, получаем
—оо
оценку
|/Л<^* -В*,х-11. (1.350
Из (1.35) и (1.35') для gh0+i{x, 5; ija) получаем
Очевидно, что, повторяя приведенные выше оценки,
для (к0 + р)-и итерации gft0+p(#, Si.'M') легко установить
оценку
и* ^ ?-/„М!<^ Ch<> (м + N)p r-B*\*-t\ м^

376 ГЛ. XI. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ
оо
Рассмотрим ряд 2 18kn+p (#, I', щ) ||. Подставляя
сюда значения \\gko+p(x, £; tfx)| из (1.36), получим
Последний ряд, очевидно, сходится при больших \i.
Следовательно, имеет место оценка
оо
равномерно по л: и g на всей числовой оси (—°°, °°).
Для получения нужной оценки \\G(x, g; i(i)ll остается
рассмотреть сумму
*0-i
2 Ш*Л\Ш (1.38)
Так как I < /с0, то в силу выбора числа /с0, т. е.
неравенства к0(2 — а)<г, главным членом в оценках (1.26)
является первый член. Иначе говоря, при всех х и g
справедливы оценки
Поэтому для суммы (1.38) получаем оценку
2 Ui{x, I; ^)|<-l_e-^*M-«t (1.39)
z=i к w
равномерную по i и ^ на всей числовой оси (—°°, °°).
Тогда из равенства (1.9), в силу оценок (1.37) и (1.39),
получим при \х ->■ оо
|| G (я, g; i\L) — g0(x, g; *»||<
< с е-в*х(х)\х-ъ\ , g* g-B*ix-8l
^ х2~а (ж) хг (ж)
равномерно по х и £ на всей числовой оси ( —°°, °°). Из
этой оценки следует нужная в дальнейшем оценка для
№(х, g; щ)\\ при [х-^ оо и равномерная по х и g на всей
числовой оси (—°°, °°), а именно (используем значение

§ 2. АСИМПТОТИКА МАТРИЦЫ G' (я, & i[i) ПРИ jx-»oo 377
\go(x, 1; ifx)H из равенства (1.2))
|С(хЛ;1»||<в-«-|1 +
Итак, нами доказана следующая
Теорема 1.1. Если матрица Q(x) удовлетворяет
условиям 1°—4°, то для решения G(x, |; i|x)
интегрального уравнения (1.1) тг/щ \х ->■ ©о справедлива оценка
(1.40), равномерная по х и % на всей числовой оси
(-оо, оо).
§ 2. Асимптотика матрицы G^ (#, |; /ji) при [Л —>■ °°
Цель настоящего параграфа — получить равномерную
по х и \ на всей числовой оси (—<», °°) асимптотику для
матрицы G^ (#, £; г'|л) при \х ->-°о. Из этой оценки легко
будет следовать асимптотика для следа матрицы
G\x. (#> £; i[x)r которая будет играть исключительно
важную роль при получении асимптотической формулы для
распределения собственных значений.
Для дальнейших оценок часто понадобится значение
IJ£on(#> 5; щ)\* После элементарных вычислений
получаем
Отсюда, принимая во внимание определение %{х), имеем
\^g0{xyb W)\<\x-I\e-"W-*. (2.1)
Дифференцируя уравнение (1.1) по ц, получаем
£ G (х, I; щ) = ^ g0 (x, g; щ) +
ОО
+ J G (т), g, i» {Q (х) - Q (г])} ± g0 (*, л; tv) dr\ +
—во
оо
С Я
+
J ^G^^\i^){Q{x)-Q{vi)}gQ{x,%iii)dr\, (2.2)

378 ГЛ. XI. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Введем обозначения
&(x>l->V)=jfiG{x,l;tv), (2.3)
h te 6; v) =
со
= J g (л, 1; ДО W (*) - Q (л)} ^ s„ (*. л; W *ь (2.4)
—oo
Тогда уравнение (2.2) можно записать в виде
2 (*, i' Iх) = щг £о (** 6; *и) + h (*. 6; I*) +
оо
+ \ 2 (л, g; (х) {<? (*) - Q (л)} г о (*, л; Ф) dtj. (2.5)
—00
Уравнение (2.5) будем решать методом итераций.
Положим
h {*, 5; к) =
оо
= J {^ ^о (л, I; W + *„ (л, 5, |*)} {<? (*) - <? (л)} х
— оо
X g0(x, r\; i\i)dr\r (2.6)
а для к > 2
J* (a;, g, Я) =
оо
= J h-x (л, 6; и) {<? (*) - <?(л)} s0 (*, л; *и) <*л- (2.7)
—оо
Тогда
оо
2 (х, g; ц) = ^- g0 (ж, £; * ц) + 2Л (*» & f1)- (2-8)
Мы предполагаем, что матрица Q{x) удовлетворяет
условиям 1°—4° предыдущего параграфа. Тогда в силу
неравенств (1.4) и (2.1) при \х — т]|^1 имеем
{<? («) - <? (л)} gjj&> (ж. л; щ) J <
<|{<?(^)-<?(л)}<?-,гМ11<?аы11|г^(^ л;щ)\<
< Л1 х - л |2 ха (ж) в-*<*>'*-ч1 < ^А_ в-"-«*<*>1*-'«. (2.9)
х (ж)

§ 2. АСИМПТОТИКА МАТРИЦЫ в' (эс, & щ) ПРИ д-х» 379
Поступая аналогично тому, как при получении оценки
(1.12'), в силу (2.1) и условия (1.6) при \х — т)|>0
получаем неравенство
<^е-(1-с0-ь1)«т*-п\
хг (х)
где г — произвольное положительное число, a 6i — сколь
угодно малое положительное число.
Объединяя (2.9) и (2.10), имеем
{<?(*)-<?(*))}§
\{Q(x)-Qm^g0(x,i\;iu)
<
(_i* -b„«*>I*-.. |я_л|<11
к2'а (х)
К -Bx(x)|x-tiI , . л
(2.11)
хг (я)
где
В0 = min (1-6, 1 - со - 6Л < 1. (2.12)j
Оценим теперь U0(x, £; pi)II. По определению имеем
k (^» 5»" ^) =
= J G (л, £; щ) {Q (х) — <? (к))} ^ g0 (я, т|; i\i) dr\ +
|ас-т]К1
J G (л, g; jfx) {<? (x) — <? (л)} ^ gQ (x, r\; щ) dr\ =
+
|я-тЦ>1
=г; + с (2.13)
Переходя к нормам и используя (1.40) и (2.11), получаем
%2~а (х) '
|*-Ц|
...•L.*2-°(n) ^^j Л +
+ Г _£L „-вчл-a ло „~ v<*>'*-^ ^ =
jx-^Ul
'(ч)
и2-а (ж)
s/1 + /2 + /3. (2.14)
Теперь оценим интегралы 1и 12 и 13 в отдельности.
Интеграл Л совпадает с интегралом (1.16), поэтому в силу

380 ГЛ. XI. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
(1.17) для h получаем
_^ л-(В0-б)и(*)|ж-61
/1<3^Г№в'вд". (2.15)
Далее, интеграл h отличается от первого интеграла
правой части неравенства (1.21) лишь тем, что число В*
заменено числом Bi — б. Поэтому поступая так же, как и
при получении неравенства (1.22), находим
где В, = min {£0, £*У£*'}.
Оценим, наконец, /3. Так как %(т))>1, а<2, то из
определения 13 следует, что
1,<С-Л, Г е~^*-ПС^^
, «Л л (т|)
а последний интеграл отличается от второго интеграла
правой части неравенства (1.21) лишь тем, что число В*
ваменено числом Si— б. Поэтому, в силу оценки (1.23),
имеем
Со г-(*1-б)1*-*'
%г(х)
..^ — о , (2.17)
где Sj имеет то же самое значение, что и в (2.16).
Следовательно, в силу неравенств (2.15), (2.16) и
(2.17), из (2.14) для \l'Q\ получаем
г г'"
IIСII < ° в-св-в)х(*мх-в1 + ±о_ ечв-в)|х-а (2.18)
где В = min Ш0, 5J.
Для оценки IIZ0(#, |; М<)Н нужно оценить еще /0. Так
как к(х)>11 то из (1.40) и (2.11) и определения h
легко следует
| % | < _El_ f e-Bolx-t,,e-B*|,1-il^ < ■$- <Г(В-в)|*-£|.
xrW|*-Vi Х (а:)
В силу этой оценки и (2.18) для k(x, |; р.) получаем

§ 2. АСИМПТОТИКА МАТРИЦЫ g' (эс, £", г[х) ПРИ р,-»оо 381
окончательно
xd "(a:) ИГ(я)
(2.19)
Перейдем к оценке итераций ZA(ar, g; \i) для /с>1.
По определению (см. (2.6))
h (*, Е; |х) =
|эс-л1<1
+
J (И" + Z°) (4, ^ !Х) {(? (Ж) ~ ^ (Л)} g° {X' Л; ^ ^ +
J {J|r + lo) (ч. S; и) {<? (*) - <? (л)} ^о (*, л; *ц) ^ =
|х-л1>1
s/;+ £. (2.20)
Переходя к нормам и используя (2.1), (1.13) и (2.19),
получаем
|Й|<-А_ f «-B-'**w,,|i,-6|e^^A,+
х1-***). J. Kr(ri)
(2.21)
Для оценки Л поступим следующим образом. Используя
—б,у
неравенство #е <СС и учитывая неравенство х(т))>
> Vfi'x (ж), находим
т ^ К С -в0х(»)1»-л| -(l-e^/FxCaOfo-a ,
^^^^ J, * * йХ[*
Очевидно, что б4 можно подобрать так, чтобы (1—в1)УД#а
= В;<50. Тогда
, ^ ^о С -ВрК(я){|зс-л1+|т1-||> -(во-Во)и(я)|ж-Щ
4 ' |в-Л|<1

382 ГЛ. XI. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
А'0 -в'0х.(х)\х-Ъ\ 7 -(в0-В„)и(зс)|зс-г1
<
J е-{в0-в0)«шх-щ ^
— оо
х2~а (х)
Х3~а (х)
Здесь было использовано неравенство \х — ril + lrj — || ^
^ \х — £| и учтено равенство
? е-(*о-*;)*(*>|*-1 d _ _2_^ 1 в в. 0
J 5 — В*(х) °
Итак, для h получена оценка
/ < С' е-в'от-* п22)
г^х*-*(х)е ' (ы""'
Оценим теперь /2. В силу неравенства х(г])> У В'к (х)
имеем
г ^ Л2 Г -В0»е(*)1*-Л1 -(В-б)/Б'х(Л)1п-11 ,
72%2(2-а)(х) J * * ^.
Оценивая /2 так же, как и /1? получаем
7-<*.(.-»> + ! (я)* • (2-23>
И, наконец, для интеграла /3 аналогично тому, как
при получении оценки для интеграла 10 равенства
(2.13), получаем
3 кг (х)
Объединяя (2.22) и (2.23) с последней оценкой, для
j|Zi| в силу (2.21) находим
м<_Л_.-Ь~* + £_,-4-«ш (2.24)
Для оценки первой итерации h(x, |; \х) согласно
обозначению (2.20) осталось оценить ||Zi||. Так как
%(#)>!, то из неравенств (2.1), (2.19) и (1.13) и из

§ 2. АСИМПТОТИКА МАТРИЦЫ в' (эс, £; ЗД ПРИ Д-*оо 383
определения /х легко следует
Объединяя эту оценку с неравенством (2.24), для первой
итерации li(x, |; [х) получаем
Для оценки последующих итераций lk(x, £; pi) при
/с ^ 2 заметим следующее. Рекуррентные соотношения
(2.7) для 1к(х, |; ji) при & ^ 2 совпадают с
рекуррентными соотношениями (1.8) для gk(x, g; ifx) при ifc>l.
Поэтому можем пользоваться оценками (1.26).
Теперь из рекуррентных соотношений (1.8) и (2.7)
следует, что если при оценке Hgi(#, |; i\i)W исходили из
(1.2) для Wg0(x, |; i(i)H, то при оценке IIZ2(#, Z; (i)H нужно
исходить из (2.25) для \\h(x, |; jxll. Поэтому, поступая так
же, как и при получении неравенства (1.25), т. е. оценки
для l\g2{x, |; i(x)ll, для IIZ2(;r, g; |х)Н получаем
I *2 (х, £; ц)«< ^Skn e-*-™*»*-" + ^ е-^^а,
где число 5 получается из 50 так же, как число Bi в
неравенстве (1.25) из В0.
По аналогии для к-ш. итерации lk(x, £; jx) получаем
|М*. g;|i)l<
- С" ехр {- [В'1-1 - (5*-2+ ... + 1)б]х(г)|ж-5|] +
: хй(2-а)+1
с:
+ -^.ехр {- [В""1 - (5ft"2 + ... + 1) б] | х - 111.
к (я)
Выберем теперь к0 столь большим, чтобы fc0(2 — а) +
+1 > г. Дальше, рассуждая в точности так, как при
получении (1.40), и имея в виду равенство (1.9), т. е.
равенство
G{x, 1; Z|x) = g0(*, I; 4*) + g(*i £; ijx),

384 ГЛ. XI. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
получаем следующую важную для дальнейшего оценку:
^G{x,l; tv) — j^g0(x9l\iv)
щ;8(**Ъ1Щ)
<
^ _^*_ е-вМх-ц _£*_ в-^|х-й (2.2б)
к*~а(х) кт{х) v
Итак, доказана следующая
Теорема 2.1. Пусть матрица Q (х) удовлетворяет
условиям 1°—3° предыдущего параграфа. Тогда для про-
изводной по [I С?й (х, g; i\i) решения G(x, g; К)
интегрального уравнения (1.1) при \х -*• °° справедлива оценка
(2.26), равномерная по х и g «а всей числовой оси
(-оо, оо).
Оценка (2.26) позволяет доказать важную для
дальнейшего лемму.
Лемма 2.1 (основная лемма). Пусть матрица
Q(x) удовлетворяет условиям 1°—3° предыдущего
параграфа и, кроме того, условию
5°. При больших \х\ выполняется условие
cxa<p2(x)+q2{x)<Cxa,
где а > 2, с>0 и С>0 — постоянные числа.
Тогда при г = щ и [i ->■ оо справедлива
асимптотическая формула
оо оо
1 s"«й<"• *■■ •> *~ I (/m^m'-V*• <2'27>
— ОО —00
Доказательство. В силу равенства (1.9) имеем
G(x, g, i|x) = g0(s, g; *» + £(£, g; ijx).
Поэтому
sp ^Г G (Х) ^; ^ = sp а]Г ^о (*' ^; ^ + SP-^T ^ (*> & ^)-
Полагая здесь g = а: и интегрируя по х, получаем
оо оо
J sp -^ G (x, x; щ) dx — j sp ^ g0 (ж, ж; щ) dx =
оо
= J sp -g-j g (ж, x; щ) dx. (2.28)

§ 2. АСИМПТОТИКА МАТРИЦЫ в' (*, |5 ЗД ПРИ ц->оо 38$
Пусть g (я, ж; i\i)
ё1г (*• И) *12 (*> И»)
^21 <*» ^ ^22 <*'
Тогда
<
-оо I I —с» I
оо оо
—оо —оо
В силу этого неравенства из (2.28) получаем
оо оо {
J sp IjT ^' *; *'Ll)й:г "~ J sp 0j? ^' *; ^d* ^
— оо — оо |
со
< j [^(ж, *;ifi)|cte. (2.29>
— СО
Согласно равенству (1.3)
оо оо
I sp|°<*,*;.•,)<**- J {*£??£?&* fc <2•30,
— ОО —ОО
С другой стороны, в силу оценки (2.26),
я II С С
g(x, х;1ц) < * + 2
ф в V». ~. -г-/ || -* кз-о {х) ■ хг {а:) .
или, учитывая выражение для х(х)= {p*(x) + q2(x)+ ^}1/2,
|<
с, с„
<:
{р2 (*) + Я2 (х) + ilT~a)h + (Р3 (*) + 92 И + f2}r/2 *
Так как по условию 0 < а < 2, а число г > 0 —
произвольное, то из последнего неравенства следует
j£g(x,x;in)
<
{р2И + д2(*) + и2}(3-а)/2
(2.31)
25 в. М. Левитан, И. С. Саргсян

386 ГЛ. XI. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Из неравенства (2.29) в силу (2.30) и (2.31) следует
оо оо
I *?iG («. *•- wd* - _J w (xf ffiw+ It*dx
oo
<cj>2(*>4v(*74v}(3-°)/2' (2-32)
Положим
oo
м(fA) = Г ^м + а'ю &,
■м-Ь
w,... . i,
1JU
—oo
(*) + 9* (*) + ^><»-«)/« *
Сходимость этих интегралов следует из условия 5°.
Из неравенства (2.32) следует, что для доказательства
леммы достаточно показать, что при \х ->■ <»
N(\i)/M(\i) = 0{lfyt), 6>0. (2.33)
Докажем (2.33). В силу условия 5° леммы имеем
оо
Отсюда с помощью подстановки сха = \хЧ2 получаем
N( ч^ 4 Г t^~a^dt _ С1
w^aYTv*-a-2fai (1 + *2)(з~а)/2 ^-«-2/а* ^'м;
Поступая аналогично, для М(\х) получаем
оо
М<"»21 (с,-+,У -^-iAf (2-35)
Из неравенств (2.34) и (2.35) следует
AM = о (-±-\
мм U2-°r
что и доказывает (2.33), так как 0<а<2.

§ 3. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА МАТРИЦЫ G(cc, £; Я) 387
§ 3. Дальнейшие свойства матрицы G(x, £• Я)
Цель этого параграфа — доказать, что решение-
G(x, !■; Я) интегрального уравнения (2.1), т. е.
G{x,l\X) = g0{x,l\K) +
оо
+ J G(ri, 6, X) {<? (х) - Q Ш g0 (х, л; Я) rfi, (3.1>
—оо
есть матрица функции Грина оператора
Ly^B^ + Q(x)y, -oo<z<oo, (3.2)
где
*-(.:;)•«<*>-(:£-;£)• <«>
Доказательство этого утверждения содержится в
следующих трех леммах, в которых предполагается, что матрица
Q(x) удовлетворяет условиям 1°—4° § 1.
В дальнейшем понадобится следующая
Теорема 3.1. Обозначим через X банахово
пространство матричных функций А(х, £), — °°<;r, £ < °°,.
с нормой
оо
\А(х,1Цх= fsup <j \\A(x,t)\dl
— 0О<Я<оо _то
где \\А (х, £) II — норма Гильберта — Шмидта матрицы
А(х,Ъ).
Рассмотрим в пространстве X оператор N, определяв-
мый равенством
оо
NA (х, 1) = j А (г), |) {<? (х) - Q (г,)} g0 (x, ti; *ц) Л], (3.3>
—оо
где матрица g0(x, т|; Я) имеет прежнее значение.
Если матрица Q(x) удовлетворяет условиям 1°—3°
§ 1, го для достаточно больших \х оператор N является
сжимающим в пространстве X, т. е. WNW < 1.
Доказательство этой теоремы проводится в точности
так же, как и леммы 1.1 гл. IV.
Замечание. Рассмотрим снова интегральное
уравнение (3.1), которое в силу (3.3) теперь можно перепи-
25*

388 ГЛ. XI. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
сать в виде
G(x, 6; K) = go(x, I; X) + NG(x, g; Я). (3.4)
Так как, согласно теореме 3.1, при достаточно
больших \х (К = щ) оператор TV есть сжимающий оператор
в пространстве X то уравнение (3.4) имеет единственное
решение в пространстве X (которое может быть
получено с помощью метода итераций), если только матрица-
функция go(x, |; X) принадлежит пространству X.
Теперь перейдем к доказательству основных свойств
матрицы G(x, £; Я).
Лемма 3.1. Для всех \Фх матрица G(x, {•; X) удов-
летворяет уравнению
B±G(x, I; К) = {M-Q(£)}G(x, g; Я), (3.5)
где I— единичная матрица второго порядка.
Доказательство. Перепишем интегральное
уравнение (3.1) в виде
со
= J go (Л. 1; Я) {Q (х) - Q Щ g0 (x, т); X) dr\ +
— во
оо
+ J {G (л, |; X) - g0 (ц, g; Я} {<? (х) - <? (л)} g0 (х, Л; X) А].
— ОО
(3.6)
Введем обозначения
&(х, 1; %) = G(x, %; X)-g0(x, g; Я), (3.7)
ОО
i (*, I; Ц = J g0 (л, 6; Я) {<? (ж) - Q (л)} ft (х, л; Я,) di\. (3.8)
—оо
В этих обозначениях уравнение (3.6) запишется в виде
&(х,1-Л) = ЦхЛ-А) +
ОО
+ J" 2 (л, I; Я) {<? (*) - <? Ш g0 (х, л; Я) dr\. (3.9)
—ОО
Вычислим -q?Hxi S; ^). Для этого заметим, что
матрица go (ж, I; M при | == # имеет разрыв, притом
g0(x, I; Я) U=3C+0 -^о(о:, |; Я) U=*-0 = ~В~1 = 5, (3.10),

§ 3. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА МАТРИЦЫ G(cc, 1; A.) 389
где матрица В — та же, что и в уравнении (3.5).
Поэтому, дифференцируя равенство (3.8) по \ и учитывая
(3.10), получаем
-jL I (х, |; X) = В-1 {Q (х) - Q (£)} g0 (x, £; X) +
+
— 00
j *gfly *>{(?(ж)_Q(ii)}^(^ ^ %)^ (3Л1)
— 00
Докажем, что -^r Z(#, £; Я)е X, т. е.
sup \\-Ll(x,l;X)\dt<oo. (3.12)
— оо<эс<:оо
•"•00
Так как, по определению, gQ{x, |; Я) является матрицей-
функцией Грина уравнения (1.0) с «замороженными»
коэффициентами, то при | Ф х
B-^g0 (х, t;X) + Q (*) g0 (x, 1; X) = Xg0 (x, I; X\ (3.13)
откуда
± g0 (x, g; X) = B-1 {XI - Q (x)} g0 (x, |; X).
Используя это равенство, уравнение (3.11) можно
переписать в виде
± I (х, |; X) = В'1 {Q (х) - Q (I)} g0 (х, 1; X) +
СО
+ В-1 J {Xi-Q(4)}g0(4,£M{Q(x)-Qmg0(z,4;W4.
—oo
Переходя к нормам, отсюда получим
J-^ Цх, I, *,)(< V2\{Q{x)-Q{l))g0{x, |, Х)\ +
oo
+ V2 J И {Я/ — <? (П)} ёГ01 - И {<? (or) — <? ("Л)} £Г01| ^Л-
—00
Теперь, используя оценки (1.13) и поступая так же, как
и в § 1, для 1 4(#, 5» ^)|| получаем оценку
|£'<*Д;чК-Й
с1_е-в0и(*)1*-и , _£j_e-B0i*-ii
(х) хг (ж)

390 ГЛ. XI. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Следовательно,
— 00 ' '
откуда и следует (3.12). Итак, lt(x, I; l)el,
Рассмотрим интегральное уравнение
оо
+ j М (т,, £; к) {Q (х) - Q (Л)} g0 (x, щ к) drj. (3.14)
— ОО
Так как оператор
оо
NM (х, g; X) = j М (г,, g; Я) {<?(*) - <? (г,)} g0 (х, т); X) *i,
— СО
согласно теореме 3.1, для достаточно больших \х (Х=*1\х)
есть сжимающий оператор, а по доказанному 1% (х, £; Я) е
Ш X, то, в силу замечания после теоремы 3.1, уравнение
(3.14) для достаточно больших [i имеет решение, притом
единственное и принадлежащее пространству X.
Итак, решение интегрального уравнения (3.14)
М(х, £; Я) существует и принадлежит пространству X,
Далее, из явного вида матрицы go{x, £; Я) следует,
что при |->—оо матрица go (я, £; Я)-^0. Тогда из
определения матрицы /(я, |; X) следует, что и матрица
1(х, £; Я)-* 0 при | ->—°°. Поэтому, интегрируя
уравнение (3.14) по £ в пределах от — оо до £, находим
6
j Л/(ж, t;X)dt = l{x,l;b) +
— 00
+ f j M (r,, «; Я) Л {Q (х) - Q (л)} *0 (ж, Л! *) *1-
— оо (.—оо J
Теперь, сравнивая это уравнение с (3.9) и пользуясь
единственностью решения этих уравнений, заключаем,
что имеет место равенство
|
&(х, £;Я)= j ilf (ж, t;K)dt.
—оо

§ 3. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА МАТРИЦЫ G(x, 1; 71) 391
Значит, матрица 3? {х, g; X) имеет производную по g при
всех g, притом 2?%{х, g; X) = М(х, g; X). Следовательно,
в уравнении (3.14) матрицу М(х, g; X) можно заменить
на 9?\ (#, \\ Я). Тогда, подставляя значение Ц (х, g; X) из
(3.11) в (3.14) и учитывая (3.7) и (3.8), приходим к
уравнению
G'l (*, 6; Я) = g'ol (х, g; X) + В-1 {Q (х) - Q (g)} g0 (x, g; Я) +
оо
+ J G| (л, g; я) {«? (Ж) - <? (Л)} f0 (ж, л; *) ^-
— оо
Умножая теперь обе части этого уравнения слева на В и
учитывая уравнение (3.13), получаем
BG[ {х, g; X) -{KI-Q (g)} g0 (x, g; X) +
оо
+ j 5С|(т,Д;Л){(?(х)-<?(т1)}^Кг,;Л)йг1
—оо
ЕЛИ
{XI - Q (I)}-1 ВО'г (х, Ь X) = g0 (х, I; X) +
оо
+ j {XI - Q (S)}-1 5Gg (т,, |; X) {<? (ж) - <? (г))} g0 (я, tj; X) di\.
— оо
Сравнивая последнее уравнение с (3.1) и пользуясь
единственностью решения этих уравнений, заключаем, что
{XI - Q (Щ-1 ВО'ъ (х, |, X) s G (х, Ь X),
т. е. получаем уравнение (3.5). Лемма доказана.
Лемма 3.2. При ^ = х матрица G(x, g; X) имеет
разрыв, причем
G(x, g; X)U=x+0-G{x, g; X) U=*-0 = -Я"1 = В.
Доказательство. Действительно, так как матрица
Z(x, g; X) = G{x, g; X)-g0(x, g; Я),
как было доказано выше, имеет производную по g при
всех g, значит, она по g всюду непрерывна.
Следовательно, матрицы G(x, g; X) и g0(x, g; X) имеют одинаковые
разрывы по g. Поэтому утверждение леммы следует из
равенства (3.10).

392 ГЛ. XI. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Лемма 3.3. Матрица G(x, £; X) обладает свойством
G(x, у\ X) = G*(y, x;1),
где G* — сопряженная матрица.
Доказательство. Согласно (3.5) имеем
BG'% (у, |; I) = {!/-<? (g)} G (у, £; К).
Переходя здесь к сопряженным матрицам и учитывая,,
что (АВ)* = В*А*, получаем
G*i Q/, £; Я) 5* = G* (у, £; X) {XI - <? (Щ.
Так как 5* = —#, то это уравнение принимает вид
- G?(y, Ъ-Л)В = G* (у, 6; Я) {Я/ - Q (£)}.
Теперь, умножая это уравнение справа на G(x, g; X)f
а уравнение (3.5) слева на G*(y, |; X) и вычитая одно
из другого, находим
G\' (у, I; X) BG {х, I; X) + G* (у, £; X) ВС'г (х, fc Я) = О,
т.е. -^{С*(»,6;Я)ДС(Ж|Б;Я)}в0-
Пусть х<у. Интегрируя последнее равенство по £ в
пределах от -оо до оо? а затем разбивая интервал
интегрирования на три интервала: — °°<£^#, х^^^у и
у ^ | < оо,— получаем
О = . j ^ {G* 0/, 6; X) 5G (*,& Я)} dg +
•"ОО
+ §-щ{0* (у, 1Л) BG(x,i; Щ% +
х
оо
+ J^ {G* (у, |; X)BG (х, I; к)} dg^ /х + /2 + /,. (3.15)
Как отмечалось выше, из явного вида матрицы
go(x, |; Я) следует, что при Щ ->■ оо матрица go(«,i;A,)-^
-»-0. Тогда из уравнения (1.1) следует, что этим свой-

§ 3. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА МАТРИЦЫ G(x, 1; Л) 393
•ством обладает и матрица G(x, |, X). Следовательно,
/, = G*(y, I; X)BG(x, |; X) U=*_„ =
= G*(y, x; X)BG(x, x-0; X),
h = G*(y,y-0;X)BG(x,y;X)-
- G* (y, x,~X) BG (ж, x + 0; X),
/3 = -G*(i/, I; X)BG(x, t; X)\^v+a =
= -G*(y,y + 0;X)BG(x,y;X).
Складывая эти равенства и учитывая (3.15), получаем
G*(y,x,l)BiG(x, x-0; X)-G(x, х + 0; Х)} +
+ {G*(y,y- 0;i) - G* (у, у + 0; X) }BG (x, у;Х) = 0. (3.16)
Используя утверждение леммы 3.2, т. е. равенства
G(x,x-0;X)-G(x,x + 0;X) = +B-\
G*(y,y-0;X)-G*(y,y + 0;X) = -B-\
из (3.16) находим
G* (г/, х\ X)ВВ-1 - B-'BG{х, у; К) = 0,
т. е. G(x, у; X) = G(y, x\ Я), что и требовалось доказать.
Леммы 3.1, 3.2 и 3.3 показывают, что G(x, £; X)
удовлетворяет всем условиям матрицы-функции Грина
оператора
Ly^B^L + Q(x)yi -oo<z<oo.
Из единственности матрицы Грина оператора L следует,
что G(x, |*Д) — решение интегрального уравнения (3.1) —
единственная матрица-функция Грина оператора L.
Теорема 3.2 (о дискретности спектра).
Если матрица Q(x) удовлетворяет условиям 1°—4° § 1,
то спектр оператора L дискретен.
Доказательство. Для доказательства теоремы,
очевидно, достаточно показать, что матрица Грина
G(x, £; X) оператора L является ядром Гильберта —
Шмидта, т. е. показать, что сходится интеграл
оо оо
j j \\G(x, t;w)fdxdt<oo. (3.17)

394 ГЛ. XI. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
В силу оценки (1.40) имеем (при jx-> оо)
°Г °Г оо оо ,
-oo-oo -oo-oo I
+ J^Г^ e-»o«™*-* + A. e-V*M* dx dl
* (*) nr(x) J ь
или, раскрывая скобки,
oo oo
J JIG (x, |; ДО p Ac dg< J J e-^*)l*-«l dx dl +
—oo —oo
— oo —oo x '
Я-(1+В0)к(х)\х-1\
—oo '
Я°° -lBo+*<-x№-ll
ft- dxdl +
к (x)
— oo
+ 2(7 A j ] ^ dr dg - J /fc. (3.18)
A=l
Для доказательства (3.17) достаточно доказать
сходимость каждого из интегралов, входящих в равенство
(3.18). Все эти интегралы однотипны, поэтому
достаточно доказать сходимость одного из них. Докажем
сходимость первого. Имеем
оо оо
/j = j dx j e-2x(*>l*-SI dl =
— 00 —OO
dx
~~ J *(*) J {p*(*) + *a(*)+|i2}1/a <+0°#
Последний интеграл сходится в силу условия 4°,

§ 4. ДВУСТОРОННЯЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА 395
§ 4. Вывод двусторонней асимптотической формулы
1. В этом параграфе мы докажем основную теорему
главы, в которой будет выведена двусторонняя
асимптотическая формула распределения собственных значений
оператора
Li/ = S~| + Q(x)y, -оо<я<оо.
Предварительно докажем несколько лемм.
Лемма 4.1. Пусть матрица Q(x) удовлетворяет ус-
ловию 4° § 1, т. е. сходится хотя бы один из интегралов
оо оо
j \р(х)\-Чх, j \д{х)\-Чх.
—ОО —ОО
Положим (при К > 0)
* w=4- I ^2 - ^2 <*> - ф (^)>1/2 <** -
Р2(*)+д2(эс)<*2
и о|)(—Я) = —\|)(Х). Тогда при z = i\i имеет место равенство
ОО 00
Г ДЧ>(М _ Р р2 («) + 92 (х) , ,, ..
J Q—f - J {/ (х) + g* (Ж) _ z*}3/2 **" <4Л>
— ОО —ОО
Доказательство. Положим о (v) = mes ip2 (x) +
+ q2 (x) < v). Тогда, очевидно, при К > О
*2
Ч> (± Я,) = ± — f (^ - v2)i/2 At (v). (4.2)
о
Рассмотрим левую часть равенства (4.1). Имеем
J a-*)2 J a-*)a J а-*)2*
Теперь, вычисляя значение йг|)(Я) из равенств (4.2) и
подставляя его в интегралы правой части последнего

396 ГЛ. XI. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
равенства, находим
оо О Я,2
Г *КЦ ^^1 f \d% С da(v)
J (я-,)2 л J a_2)2J (^_v)i/2 +
— оо —оо % О
оо X2 оо Я2
J_ С XdX Г dfg(v) 1 Г Хс?Я Г rfg (X)
X2
J_ f ЫХ f dff(v)
Меняя порядок интегрирования в интегралах правой
части и затем суммируя, получим
оо оо оо
Г *Ш_. ±- f d(T(v) f «$ + *> Л. (4.3)
—оо О ]Л^
Вычислим внутренний интеграл. Полагая z = щ и
заменяя переменную Я = (v + f)1/2, имеем
9 Г Ш2 + 22) ,, f <2 + У-Ц2 ,.
1J а2-22)2а2-г)^ d ZJ ftvt?F
у v о
Непосредственное интегрирование дает
оо
9 Г <2 + V — Ц2 if _ V
j(*2 + v + fl2)2fl!f-It(v+^2-
Следовательно, интеграл (4.3) принимает вид
оо оо
Г *Н*> - Г vda^ г = щ (4 4)
— со О
Далее, так как o(v)== mes {p2(x)+ q2(x)< v}, то
оо оо
J {р2 (х) + 92 (х) - г}*'* йХ ~ J (v - 22)3/2* * '
— оо О
Равенства (4.4) и (4.4') доказывают утверждение леммы.

§ 4. ДВУСТОРОННЯЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА 397
2. Пусть матрица Q(x) удовлетворяет условиям 1°—-4°*
§ 1. Тогда, в силу теоремы 3.2, оператор
Ly^B^ + Q(x)yf -оо<*<оо,
имеет дискретный спектр. Обозначим через Я0, К±и ^±2,.. -
..., Я±п, ... собственные значения оператора L и положим
iv+(x)= 2 1, #-(*) = 2 1.
Лемма 4.2. Пусть матрица Q{x) удовлетворяет
условиям 1°—4° § 1. Тогда для недействительных z
справедливо равенство
оо оо
— с» —оо '
г5* ^^-U.w, л<о.
Доказательство. Пусть фп(х) = — нор*
\ Фп2 W/
мированная собственная вектор-функция оператора L,
соответствующая собственному значению А,п, т. е.
<%($„ (ж)
L(Pn (*) ^ 5 "Г + <? (*) Фп (*) = ^пФи (X)
И
оо
J {фп1 {х) + фп2 (ж)} da; = 1. (4.5)
Тогда известно (см. (3.17), гл. VIII), что
матрица-функция Грина оператора L допускает представление (для
недействительных z)
ОО m
g (*, у; г) = ^ ^ - z »* (4-6^
где
П=—оо 7l
, . т , . /Фи (*) Фм (»> Ф« (*) Фп2 (У) \
фл^)фп(У)=(Фп2(,)Фп1(!/) Фг}2(,)Фп2(,);. (4.7>

398 ГЛ. XI. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Из равенства (4.6) следует, что
±G{x,y;z)- У Ф"(а:)<Р"Ы,
dz к ,у «is» (к-*г
Поэтому, учитывая (4.7), получаем
sV-g;G(x,x;z)= ^
(К-*Г
Интегрируя это равенство по х в пределах от —°° до °о и
учитывая (4.5), находим
оо
I
sv^G(x,x;z)dx= ^ pT=TY
откуда и следует утверждение леммы в силу определения
функции N(X).
Из основной леммы 2.1 в силу лемм 4.1 и 4.2 следует
Лемма 4.3. Пусть матрица Q{x) удовлетворяет ус-
ловиям основной леммы 3.1. Тогда при z = £jx и \i -*• °°
справедлива асимптотическая формула
оо оо
С dN(X) Г <ЖД.)
J (%-zf~ J a-Z)2'
— ОО — 00
^5e функции N(X) и г|)(Я) имеют прежние значения.
Сформулируем теперь основную теорему главы. Для
удобства и полноты в формулировке теоремы приведем
все условия, которые накладываются на матрицу Q(x),
и дадим снова определения всех функций, участвующих
в формулировке теоремы.
Теорема 4.1. Рассмотрим оператор
Ly^B^+Q(x)y = Xy,
'у1 (*)
,Уг (*)
*deB = [_i J, Q(z)-(qlx) _р{х)).
уМ=\у2Ы)> -°°<х<°°*

§ 4. ДВУСТОРОННЯЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА 39$
Пусть матрица Q{x) удовлетворяет условиям (II • II
означает норму Гильберта — Шмидта):
1°. Для |я-£|<1
\\{Q(x)-Q(l)}Q^(x)W^Ai\x-l\1
где Ai>0, 0<a<2 — постоянные числа.
2°. Для \Х-Ъ\<1
\\Q(x)\\<AzWQ{l)h
где А2 > 0 — постоянное число.
3°. Для \х-%\>1
\\Q{l)\\<Asexp{c0\x~l\\\Q{x)\\},
где А3 > 0, 0 < с0 < 1 — постоянные числа.
4°. Для достаточно больших \х\
cxa<\\Q(x)W2<Cx«,
где с>0,ООма>2 — постоянные числа.
Тогда справедливо
Утверждение 1. Спектр оператора L дискретен*
Обозначим через %0, К±и А,±2, ..., А,±п, ... собственные
значения оператора L и положим
N(%) =
#-(*) = - 2 1, ^<0,
Л,<Я,п<0
м, кроме того,
(4- j* ^2—^2 («) - ?2 (*))1/2 ^ л > °*
Ра(*)+д2(х)<&2
-4 j {W-p« (ж) - д» («)}!/« ete, КО.
Р2(л)+д2(л)<х2
Предположим, что существуют константы а и Ъ такиег
что для достаточно больших \Х\ выполняются тауберовы
условия
аг|) (Я) < Ъ|/ {К) < Ьф (Я). (4.8);
Гогда справедливо

400 ГЛ. XI. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Утверждение 2. При А,->+°° {соответственно
Я-^—°о) имеют место асимптотические формулы
P2(x)+q4x)<X2
(4.9)
Доказательство. Если выполняются условия
1°—4°, то утверждение 1 теоремы следует из теоремы 3.2.
d другой стороны, при условиях теоремы справедлива
лемма 4.3, согласно которой имеет место асимптотическая
•формула при z = щ и \х ->■ оо
оо оо
С dN(X) Г <ЖА,)
— С» — 00
К этой асимптотической формуле, благодаря условиям
(4.8), применима тауберова теорема типа Келдыша
(см. А. Г. Костюченко, И. С. Саргсян [1], гл. X,
теорема 3.1), из которой следует, что А^(Х) ■— "ф(Я) как при К -*-
-*■ +°°, так и при X ->■ —°°, что и доказывает утверждение 2.
Замечание 1. Если оператор L задан в виде
то в этом случае формулы (4.9) принимают вид
N+(X), N_{X)~± f {Х2-/г(^)}1/2&,
где h(x)=-g- {р (х) — г (х)}2 + q2 (х).
Замечание 2. Пусть оператор L задан на
полупрямой [0, оо) и имеет вид
^-Ul oJ-5 + ( 0 g(*)j*' »<*> = №<*>>
»2(0)-%i(0) = 0,
тогда справедливы асимптотические формулы
~4 I {м--71рЮ-я(х)]*}Шй*- (4-Ю)
i{p(*)-9(3C)>2<a2
4

§ 4. ДВУСТОРОННЯЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА 401
Замечание 3. Формулы (4.9) и аналогичные им
формулы, приведенные в замечаниях 1 и 2, показывают,
что при выполнении условий 1°—4° положительные и
отрицательные собственные значения имеют одинаковые
распределения. Это, конечно, не всегда так. Ниже
приводим теоремы, которые утверждают этот факт. К
сожалению, методы доказательств этих теорем выходят за
рамки настоящей книги, поэтому ограничимся только их
формулировками, отослав читателя к монографии А. Г. Ко-
стюченко, И. С. Саргсяна [1].
Обозначим через N[a, b\ L] количество точек спектра
оператора L, лежащих в интервале (а, Ъ), и пусть
оператор L имеет вид (—°° < х < о°)
Теорема 4.2. Пусть X{ (x) ^ X2 {%) — собственные
значения матрицы Q(x). Обозначим
л/W = -!- J №-K(*)]fr-K(*)]}1/2dx
и предположим, что выполняются следующие условия:
1°. sup Х1(х)^.с<С.оо, lim Х2 (х) = + ос.
—оо<ОС<<оо |х|-»оо
2°. sup
\x~t\<l
ч% (х) — ч% (0
/(|*-*|)
:c{l+min[|M*)UM*)|]}.
где 1(х) — непрерывная в ( — °°, °°) функция, /(0) = 0, а
с — постоянная.
3°. lim ЛГ"х (Я) f Жг = 0.
/0 1. 77— М[Х (1+6)] ,
4 . lim lim —L ,',,*—- = 1.
б^о ^+00 М(%)
Тогда непрерывный спектр оператора L ограничен
сверху и при % ->- +°° справедлива асимптотическая
формула (Ь — верхняя грань непрерывного спектра)
N+(X)^N[b + l, X; Ц = М(Х){1 + о{1)}1
т. е. при X ->■ +°о
26 б. М. Левитан, И. С. Саргсян

402 ГЛ. XI. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Как видно из формулировки теоремы, здесь
допускается и наличие непрерывного спектра.
Теорема 4.3. При тех же обозначениях hi(x) и
Х2(х) пусть
и выполняются следующие условия:
h(x)>—c>
Qi (*) — q{ (t)
1°. inf %2{x)>—c> —oo, lim Ях (x) = —oo.
—oo<k<oo |зс1-»оо
2°. sup
lx-t|«a
f(\x-t\)
< с {1 + min [ | Ях (x) |, | Я2 (a:) |]},
где /(ж) — непрерывная в (—°°, °°) функция, /(0) = 0 —
постоянная.
3°. lim M_1 (Я) Г da; = 0.
■<ч I
4°. Mmia^^ + ^-l.
Тогда непрерывный спектр оператора L ограничен
снизу и при К ->■ —°° справедлива асимптотическая фор~
мула (&i — некоторое число)
N_(X) = N[%, Ь4; £] = ЛВД{1 + о(1)>,
г. е. при Я ->■ —оо
Указания к литературе
Результаты этой главы принадлежат И. С. Саргсяну [5].
Формулы (4.10) принадлежат Г. В. Дихаминджии [2]. Теоремы 4.2 и
4.3 принадлежат М. Отелбаеву [1]. Полные доказательства
формул (4.10), а также теорем 4.2 и 4.3 даны в монографии А. Г. Кос-
тюченко, И. С. Саргсян [1].

Глава XII
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА НА ПОЛУПРЯМОЙ
ПО СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
§ 1. Постановка вопроса. Вспомогательные предложения
1. Рассмотрим краевую задачу
Bd£ + Q(x)y = Xy, 0<*<oo, */ = (Ч (1-1)
Ы0) = 0, (1.2)
где
в( о i\ 0(x)=s(pI*) flW\
Будем предполагать, что /?(#) и g(^)
—действительные функции, непрерывные в каждом конечном
интервале полупрямой [0, °о).
Обозначим через <р(яД)= (ф*^)) решение
уравнения (1.1), удовлетворяющее начальным условиям
<Pi(0, Я) = 0, ф2(0, Я) = -1. (1.3)
Пусть f(x) — произвольная вектор-функция из класса
j?2(0, °°). Если положим
п
О
то, согласно теореме 1.1 гл. VIII, существует не
зависящая от f(x) монотонно возрастающая функция р(^),
—°°<Я<°°, называемая спектральной функцией задачи
26*

404 ГЛ. XII. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА НА ПОЛУПРЯМОЙ
(1.1), (1.2), такая, что имеет место равенство
{равенство Парсеваля)
оо сю
\f(x)f(x)dx = JiP(b)dp(X), (1.4)
0 —сю
оо
где lim J {F {),) —Fn{K)}2dp(X) = 0.
— ОО
В этой главе будет рассмотрен вопрос о
восстановлении краевой задачи (1.1), (1.2) по ее спектральной
функции р(Я,).
2. В дальнейшем понадобится следующая
Лемма 1.1. Если у(х, X) — решение уравнения (1.1)
с начальными условиями (1.3), то существует матричная
функция К(х, t) такая, что справедлива формула
( sin %х \ р / sin %t \
Ф (х, К) = ^_cos Хх + )К (х, t) [_ cos xt dt, (1.5)
О
притом К(х, t) является решением задачи
ВК'Х (х, t) + K't(x,t)B = -Q (x) К (х, t), (1.6)
ВК(х, х)-К(х, x)B=-Q(x), (1.7)
Кп(х, 0) = K2i(x, 0) = 0. (1.8)
И наоборот, если матрица-функция К(х, t) является
решением задачи (1.6) — (1.8), то вектор-функция у(х, t),
определенная формулой (1.5), есть решение уравнения
(1.1) с начальными условиями (1.3).
Доказательство. Для доказательства леммы
применим оператор преобразования, построенного в § 3
гл. X. Пусть имеются операторы-матрицы
действующие из Е в Е (Е — пространство
вектор-функций f(x), непрерывных и имеющих непрерывную первую
производную), a Ei = E2 — подпространство £, состоящее
из вектор-функций /(#), удовлетворяющих краевому
условию /i(0) = 0.
В п. 2 § 3 гл. X мы показали, что оператор
преобразования X (для пары операторов At и А2), отображаю-

§ 1. ПОСТАНОВКА ВОПРОСА 405
щий Ei на Еи можно реализовать в виде
х
Xf(x) = f(x) + \K(x,t)f(t)dt, (1.9)
о
где ядро К(х, t) является решением задачи (1.6) —(1.8)
или, что то же самое, задачи (3.24) —(3.26) гл. X.
Пусть qv^Z?! есть собственный вектор оператора A2l
соответствующий собственному значению Я, т. е. А2срх =
= Яфя. Тогда фл = Хсря есть собственный вектор оператора
Аи соответствующий тому же собственному значению X.
В самом деле, так как в силу определения оператора
преобразования AiX = XA2l то
А^к = AiX<pk = ХА2<рк = ХХ<рк = Ал|)л. (1.10);
Теперь собственным вектором для оператора А2 =»
= В—, принадлежащим подпространству Еи является
вектор-функция
Поэтому, согласно (1.10), ф(я, X)=*Xs(x, X) есть собст-
венный вектор оператора А± = В — + Q(x), т. е., в силу
(1.9),
X
Ф (х, X) = s(x,X)+ j" К (я, t) s (t, X) dt, (1.12)
о
т. е. получена формула (1.5). Лемма доказана.
Замечание. Если в предыдущих рассуждениях
операторы А{ и А2 поменять ролями, то вместо формулы
(1.12) получим формулу
х
s (х, X) = (p(x,X)+ j L (x, t) ф (t, X) dt, (1.13)
о
где ядро L(x, t) является решением следующей задачи:
BL'X(a, t) + L't (х, t)B = L(a, t)Q(*), (1.14)
BL(x, x)-L(x, x)B = Q(x), (1.15)
Ln{x, 0) = L2i(x, 0) = 0. (1.16)

406 ГЛ. XII. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА НА ПОЛУПРЯМОЙ
3. Как уже отмечалось в п. 1, в этой главе будет
рассмотрен вопрос о восстановлении краевой задачи (1.1),
(1.2) по ее спектральной функции р(Я).
Выясним теперь, каким условиям должна
удовлетворять спектральная функция р(Я). Справедлива
Лемма 1.2. Пусть g(x)— произвольная финитная
вектор-функция из класса 2?2(0, °°). Положим
оо
G{X) = ^gT(x)s{x1X)dx. (1.17)
о
Тогда, если
оо
j Gs('k)dp(X) = 0, (1.18)
— ЭО
то g(x) = 0.
Доказательство. Из формул (1.13)и (1.17)
следует, что
оо
G(X)= ^ gT(x)s(x,X)dx =
о
оо С X ^
= j* gT (х) Ф (*, Я) + J L{z, *) Ф (*. Я) dt\dx =
о I о J
оо f оо 1
= j \gT (x) + jY (t) L (t;x) dt Ф (ж, Я) dx.
О К x )
Следовательно, функция G (К) есть ^-преобразование
вектор-функции
оо
h'l(x) = gc(x)+^gt(t)L{t,x)dt,
X
компоненты которой финитны и принадлежат i?2(0, °o).
Поэтому, в силу равенства Парсеваля (1.4),
оо оо оо
j G2 (К) dp (X) = j h? (x) h (x) dx = \ [h\ (x) + h\ (x)} dx.
—oo 0 0
Отсюда, если выполняется условие (1.18), получаем, что
hi(x) = h2(x) = 0, т. е.
оо
g-*(x)+ $gT(t)L(t,x)dt = 0.
X

§ 2. ВЫВОД ОСНОВНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 407
Так как g(x)— финитная вектор-функция, то в
интеграле последнего уравнения интегрирование на самом деле
ведется в конечных пределах, и поэтому мы имеем
уравнение типа Вольтерра. Следовательно, g{x)=0. Лемма
доказана.
§ 2. Вывод основного интегрального уравнения
Пусть p(?w)—спектральная функция задачи (1.1),
(1.2). Непосредственным вычислением легко убедиться,
что функция р0 (Я) = — X является спектральной функцией
задачи (1.1), (1.2) при Q(x)=0. Положим
<г(Я)~р(Я)_1ь, (2.1)
г r( sinU \ /[l-cosA.*]M\
о о '
(2.2)
Лемма 2.1. Интеграл
oo
j c(x,X)c'1(y,l)da(K) = f(x,y) (2.3)
— 00
существует и матрица-функция f(x, у) имеет
непрерывную вторую производную fxy(x,y), притом
fly(x,y) = F(x,y) = L(x,y)+)L(x, t)U(у, t)dt, (2.4)
о
F(x,y) = ±{F(x + y,0) + F(\x-y\,0) +
+ B[F(x + y,0)-F(\x-y\,0)]B}. (2.5)
Доказательство. Интегрируя обе части равенства
(1.12) по х от 0 до х (с учетом (2.2)) и меняя в правой
части порядок интегрирования, имеем
х
c(x,l)= \Q>(x,t)q>(t,X)dt, (2.6)
где i
X
Ф(М) =
/ + j L (и, t) du, t^.x,
t
0, t > x%
I — единичная матрица (2X2).

408 ГЛ. XII. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА НА ПОЛУПРЯМОЙ
Из (2.6) на основании равенства Парсеваля получаем,
что при у ^ х
оо оо
j с (х, к) ст (у, X) dp (Я) = f Ф (х, t) Фт (у, t) dt =
— оо О
У V У УХ
= j dt + j dt ] U {и, t)du+\dt^L {и, t) du +
о о t о t
ух у
+ J dt j L (и, t) du \ U (v, t) dv. (2.7)
0 t 4
Далее, если Q{x)^0, формула (2.7) в этом случае
принимает вид
°° /1 \ у
{С(*Д)с>Д)фМ = J Л, (2.8)
— оо О
так как в этом случае р (Я) = р0(Я)=-—Я, a L(x, £) = 0.
Теперь, вычитая из равенства (2.7) равенство (2.8)
и учитывая обозначение (2.1), получаем
оо У У
J с (х, К) ст (z/, Я) do (I) = j Л j LT (и, t) du +
— оо 0 t
ух ух у
+ J dt$L(u,t)du + § dt \ L (и, t) du J LT (у, *) dy.
Of 0 t *
Из этого равенства следует, что правая часть, а потому
и матрица-функция /(#, у) имеют непрерывную вторую
производную и справедлива формула (2.4).
Далее, используя уравнение (1.4), нетрудно
убедиться, что матрица-функция F(x, у) удовлетворяет
уравнению
BF*(x,y) + F'v(x,y)B = 0. (2.9)
Кроме того, из равенства (2.4) следует, что
F{x, 0) = L(x, 0). (2.10)
Выведем теперь линейное интегральное уравнение,
которому удовлетворяет при каждом фиксированном х
ядро К(х, у) оператора-преобразования (1.9).

§ 2. ВЫВОД ОСНОВНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 409
Теорема 2.1. Матричная функция К(х, у) при у<х
удовлетворяет линейному интегральному уравнению
х
F (х, у) + К{х,у) + \к (х, s) F (s, у) ds = 0, (2.11)
О
где F(x, у) определяется формулами (2.3) и (2.4) т. е.
F{x,y) =
= ЛТу J 1 - sin Xx/X ) (1 - cos Ц)1К - sin Ху/Х) da (X),
— ОО
притом о(Х) = р(Х) — Х/п.
Доказательство. Докажем сначала, что при
Ъ < у < а<х вектор-функции
х у
<ф (Я) = J ф (t, X) dt и со (X) = j / (£, Я) Л
a Ь
ортогональны по мере ф(Я), т. е. что
оо
J гИЯ)со(А)ф(Я) = 0. (2.12)
—оо
В самом деле, применяя формулу (1.13), имеем
у
(u(X) = §sT(t,X)dt =
ъ
у у t
= j фТ {U X)dt+ J Л J фТ(5, Я) LT(^, 5) ds =
Ъ ЬО
У by
= j Фт (t, X)dt + j фт (s, Я) ds j LT (t, s) dt +
b Ob
2/ у
+ J фт(5,Я)Й5 j LT(t,s)dt,
b s
т. е. вектор-функция со (Х) есть фт-преобразование Фурье
матрицы функции, равной нулю вне интервала (й, у).
С другой стороны, я|)(Я) есть ф преобразование Фурье
функции, равной нулю вне интервала (а, х). Так как
интервалы (&, г/) и (а, я) не пересекаются, то равенство
(2.12) непосредственно вытекает из равенства Парсеваля.

410 ГЛ. XII. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА НА ПОЛУПРЯМОЙ
Далее, в силу (1.5) и (1.11) имеем
х
<ф(Я) = |ф(г, X)dt =
а
х а ( х \
= f s (t, X) dt + J К К {t, т) dt\ s (т, X) dx +
a 0 U J
+ j НХ(^т)йЫтД)й.
Поэтому равенство (2.12) примет вид
оо /05 \ ty \
j Us(ttX)dt\Usr*(t,X)dt\dp(X) +
-оо la J lb J
+ J Ktf(*, t)s(t>X)dt j^(a)Wp(4 = 0, (2.13)
где
la
H (x, t) = { л
(2.14)
l°-
t>x.
При (?(#)==() равенство (2.7) принимает вид (в этом
случае р0 (Я) = Я/я, а К(х, £) = 0, следовательно, и
Н{х, t)^0)
-1 J П5(^Д)Ц1[^(^Д) JdX = 0.
Теперь, вычитая это равенство из (2.13) и учитывая (2.1),
получим
J us{t, X)dt j\s'r(t1X)dt\da(X) +
\a ) \b
CX> |CX)
+ \ \§H(x,t)s (t, X)dt U sT (t, X) dt\ do(X) +
-oo 'o J U )
оо /с» Л ( У Л
+ -£- j К tf (я, *) * (*, Я) & j j S* (i, Л) Л\dX = 0. (2.15)
-оо 'о > Ъ >

§ 2. ВЫВОД ОСНОВНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 411
Преобразуем каждое из слагаемых этого равенства.
В силу определения матрицы-функции j{x, г/), т. е. (2.3),
с учетом (2.2) получаем
j \]s(t,s)dt [fsT(£, s)dt\do(X) =
= f(x1y)-f(x,b)-f(a1y) + f(a1b). (2.16)
Далее, применяя равенство Парсеваля и учитывая (2.14),
третье слагаемое равенства (2.15) преобразуем к виду
00 (°° 1 (у )
-i- f К Н(х, t)s(t,X)dt\ \[s4t, tydt \dX =
-oo 'о ' U '
V У x
= \H{x,t)dt = ]dt \K(x,t)d%. (2.17)
Ъ b a
Рассмотрим, наконец, второе слагаемое в равенстве (2.15).
Так как Н(х, х) = 0, a Ht (x, t) ограничена, то интегрируя
по частям, а затем меняя порядок интегрирования и
учитывая (2.3), получим
оо foo \ ty \
f К Н (х, t) s(t, X) dt\\ J s* (t, X) dt\ do(Я) =
-oo U J lb J
X
= -[H't(x,t){f(t,y)-f(t,b)}dt.
0
Отсюда, интегрируя снова по частям интеграл правой
части и затем меняя порядок интегрирования, получим
выражение
х
-$H't(x,t){f(t,y)-f(t,b)}dt =
О
х s
= $ds$K (s, t) [f't (t, у) - ft (t, b)] dt. (2.18)
a 0
В силу (2.16), (2.17) и (2.18) равенство (2.15) примет
вид
/ (*. У) -f{x%b)-f (a, у) + / (a, 6) +
X 8 УХ
+ §ds$K (s, t) [ft {i, y) - /, (*, b)] dt + j dt j K(s, t) ds = 0.

412 ГЛ. XII. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА НА ПОЛУПРЯМОЙ
Дифференцирование этого равенства один раз по х, а
затем один раз по у дает
х
а2* (~ т.\ С я2
07 (*, У)
дх ду
о
+ \к{х, t)^bJldt + К(х, у) = О,
откуда, в силу обозначения (2.4), получаем
х
F(x, у) + К(х, у) + J К(х, t)F(t, y)dt = 0,
о
т. е. уравнение (2.11). Теорема доказана.
§ 3. Разрешимость основного интегрального уравнения
Ядро (оно и есть свободный член) F(x, у)
интегрального уравнения
х
F(x, у) + \к{х, t)F(t, y)dt + K(x, t) = 0 (3.1)
о
выражается непосредственно через спектральную
функцию р(К) рассматриваемой краевой задачи по формуле
оо
F (*- У) = э&у J с (*• я)сТ fo> л)d {р W - т}' <3'2>
—оо
/ л\ /[1 — C°S А,я]М \ -л-
где с(х, а) = 11 __ . .. I. Поэтому, решив
интегральное уравнение (3.1) (в этом параграфе будет доказано,
что при каждом фиксированном х оно имеет единственное
решение), восстановим ядро оператора
преобразования К(х, t) и вместе с ним, в силу равенства (1.7), т. е.
равенства Q(x) = K(x, х)В — ВК(х, х), потенциальную
матрицу Q(x) и, следовательно, краевую задачу (1.1),
(1.2) по ее спектральной функции р(Х). Из
единственности решения интегрального уравнения (3.1) вытекает и
единственность восстановленной краевой задачи с
данной спектральной функцией.
Теорема 3.1. Пусть функция р(Я) удовлетворяет
следующим условиям:
1°. Если g(x) — произвольная финитная вектор-функ-
оо
ция из класса i?2(0, °°) и j G2 (A) dp (I) = 0, где

§ 3. РАЗРЕШИМОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 413
G(X) = j>(х)s(х, X)dx, s(х, I) = (_fong 4 mo g(x) =
0
2°. Матричная функция
oo
f(x,y)= j c(x,X)c*(y,X)<le(ty,
— oo
где
имеет непрерывную вторую производную fxy{x, y) = F (%ч у).
Тогда при каждом фиксированном х^О интегральное
уравнение (3.1) имеет единственное решение К(х, г/),
непрерывное по обеим переменным.
Доказательство. Согласно альтернативе Фред-
гольма разрешимость интегрального уравнения (3.1)
будет доказана, если покажем, что соответствующее
однородное уравнение
X
g(y) + §g(t)F(t,y)dt = 0, 0<z/<*, (3.3)
О
не имеет ненулевых решений.
Сначала предположим, что функция g{y), О^у^х,
удовлетворяет следующим условиям:
а) *(а) = 0,
б) g'(у) непрерывна в интервале 0<у^х.
Теперь, умножая уравнение скалярно на g(y) и
интегрируя в пределах от 0 до х, находим
00 XX
J (g (У), g (У)) dy + f j (g (t) F (t, y), g (y)) dt dy =0.
0 0 0
Учитывая (3.2) и интегрируя второй интеграл последнего
равенства по частям, в силу условия а) и (2.2) получаем
X оо оо
§(g(y),g(y))dy+ J G>(X)dp(X)-± §G*(X)dk = 0, (3.4)
О —oo —oo
X X
где G (X) = j g' (у) с {у, X) dy = §g (у) s (у, X) dy. Но соглас-
0 О

414 ГЛ. XII. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА НА ПОЛУПРЯМОЙ
но равенству Парсеваля
оо X
— оо О
поэтому из (3.4) заключаем, что
оо
J б»(Х)ф(Я) = 0,
— оо
откуда, в силу условия 1° теоремы, следует, что g{y) = 0.
Пусть теперь g(y)—функция, непрерывная в
интервале [0, #], не удовлетворяющая условиям а) и б). Тогда
существует последовательность gn{y), удовлетворяющих
условиям а) и б), сходящаяся к g(y) в смысле нормы
3?2(0, х). Поэтому имеем
оо
Km J Gl(X)dp(X) = 0. (3.5)
Далее, так как gn{y)~* g{y) в смысле нормы .2?2(0, х),
то Gn(X)-*- G(X) равномерно на каждом интервале [—а, а].
Тогда из (3.5) имеем также
а а
О = lim J G2n {I) dp {к) = J G2 (Я) ф (Я)
n-*°° -а -а
и в силу произвольности числа а
оо
J G2 (Я) dp (X) = О,
—оо
откуда, в силу условия 1° теоремы, снова g(y) = 0.
Теорема 3.2. Для того чтобы монотонно
возрастающая функция р(Я) была спектральной функцией
краевой задачи вида (1.1), (1.2) с непрерывной матри~
цей-функцией Q(x), необходимо и достаточно, чтобы вы*
полнялисъ следующие условия:
1°. Если g(x)—произвольная финитная вектор-функ*
ция из класса 2?2(0, °°) и
оо
j G*(l)dp(k) = 0,
— оо
оо
где G (К) = J gT (x) s (x, k) dx, mo g (х) = 0.
о

§ 4. ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 415
2°. Матричная функция
оо
/(*,*,) = J с(*Д)с*(уДм{р(Ь)-£)
— оо
имеет непрерывную вторую производную fxy (x, у) =
==F(x, у), притом Fn(x, b) = F2i{x, 0) = 0.
Доказательство. Необходимость условий 1° и 2°
доказана в леммах 1.2 и 2.1. Для доказательства
достаточности этих условий построим интегральное уравнение
(3.1), в котором матрица-функция F(x, у) определена
формулой (3.2). По теореме 3.1 интегральное уравнение
(3.1) при любом х^О имеет единственное решение
К(х, у), которое непрерывно по обеим переменным, так
что матрица-функция
Q{x) = K(x, х)В-ВК{х, х) (3.6)
существует и непрерывна. Теорема доказана.
§ 4. Вывод дифференциального уравнения
В предыдущем параграфе по заданной монотонной
функции, удовлетворяющей условиям 1° и 2° теоремы
3.2, была определена матрица-функция К(х, у). Положим
(по аналогии с формулой (1.12))
X
Ф (я, K) = s(x,X)+ J К (х, t) s (t, X) dt. (4.1)
о
Теорема 4.1. Вектор-функция ц>(х, Я),
определенная формулой (4.1), удовлетворяет дифференциальному
уравнению
Л|? + <?(^)Ф = ^Ф (0<*<оо), (4.2)
где матрица-функция Q(x) определена формулой (3.6).
Доказательство. Сначала предположим, что
F(x, у) имеет непрерывные производные Fx и Fy. Тогда
нетрудно показать, что К(х, у) также имеет
непрерывные производные Кх и Ку. Поэтому из тождества
X
I(x, y)=F{x, у) + К (х, у) + \K(x,t)F(t, y)dt = 0 (4.3)
О

416 ГЛ. XII. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА НА ПОЛУПРЯМОЙ
следует, что
В1Х (х, у) = BF'X {х, у) + ВК'Х (х, у) + ВК (х, х) F (х, у) +
х
+ ^BK'x(x,t)F(t,y)dt^Ot (4.4)
О
j'y(x,y)B^F'y(x,y)B + Ky(x,y)B +
X
+ J" К (х, t) F'y(t, у) В dt ==0. (4.5)
О
Так как К(х, 0) = —F(x, 0), то из (2.10), в силу
(1.16), имеем, что Кп(х, 0) = K2i(x, 0) = 0. С другой
стороны, из явного вида F(x, у) следует, что F(x, z/) =
= FT(y, х). Поэтому Flx (0, у) = FT12 (0, у) = 0,
следовательно,
K(z,0)BF(0, y) = 0. (4.6)
Теперь, заменяя в интеграле (4.5) Fy(t, у) В на
—BFt(t,y) (в силу уравнения (2.9)), а затем
интегрируя по частям и используя равенство (4.6), перепншем
(4.5) в виде
I'y(x, y)B = F'y(x, y)B+ Ky(x, y)B-K(x, x)BF(x, у) +
X
+ $K't(x,t)BF(t,y)dt^0. (4.7)
О
Умножая тождество (4.3) слева на Q(x) и суммируя
с тождествами (4.4) и (4.7), получим тождество
В1Х (х, у) + 1'у (х, y) + Q (х) I {х, у) = 0,
откуда, в силу (4.3), (4.4), (4.7) и (2.9), вытекает, чта
ВК'Х (х, у) + К'у (х, у)В + Q(x)K (x, у) +
х
+ §{ВК'Х (х, t) + K't (x, t)B + Q(x)K(x, t)\ F (t, у) dt = 0.
О
Это однородное интегральное уравнение относительно
матрицы-функции
ВК'Х(х, у) + К'у(х, y)B + Q{x)K(x, у)
совпадает с уравнением (3.3), и поэтому
ВКХ(х, у) + К'у (х, y)B + Q(x)K(х, у) = 0. (4.8>

§ 4. ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 417
С другой стороны, как мы видели выше, К(х, у)
удовлетворяет условиям (см. (3.6))
К(х, х)В-ВК{х, x) = Q(x), (4.9)
Кп{х, 0) = K2i{x, 0) = 0. (4.10)
Поэтому, в силу леммы 1.1, вектор-функция ф(#, Я),
определенная формулой (4.1), удовлетворяет
дифференциальному уравнению (4.2).
Таким образом, если F(x, у) имеет непрерывные
производные Fx (х, у) и Fy (x, у), то теорема доказана.
Теперь предположим, что F(x, 0) только непрерывна.
Тогда матрица-функция
эс+6
F6(x,Q)=± j F(t,0)dt
X
непрерывно дифференцируема. При б ->■ 0, очевидно,
F&(x, Q)-+F(x, 0) равномерно в каждом конечном
интервале. Поэтому при достаточно малом б уравнения
х
F6(х, у) + К6(х,у) + § Кб{х, t)F6(t, y)dt = 0, 0<у<xt
о
где
Рь(х, у) = ^{F6(x + у, 0) + F6(\x- y\, 0) +
+ B[F6(x+y,0)-F6(\x-y\,0)]B},
имеют единственные решения, причем
hmK6(x, у) = К(х, у)
6->0
равномерно в каждой конечной области изменения
переменных х ж у. Кроме того, согласно предыдущему,
вектор-функции
ее
Фб (х, X) = s (х, I) + J Кь (х, у) s (t, Ц dt
о
удовлетворяют уравнениям
В% + Яь{х)\у = \у%
27 в. М. Левитан, И. С. Саргсян

418 ГЛ. XII. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА НА ПОЛУПРЯМОЙ
где Qu(x) = Kq(x, х)В — ВК6(х, х), и начальным условиям
<Рб(0Д)=(_1].
Совершая в этих формулах предельный переход при
3 ->• 0, приходим к доказательству теоремы.
§ 5. Вывод равенства Парсеваля
1. В § 3 и 4 по заданной монотонной функции р(Я),
удовлетворяющей условиям 1° и 2° теоремы 3.2, мы
построили краевую задачу вида (1.1), (1.2). Для
окончательного решения обратной задачи остается доказать, что
функция р(Х) действительно является спектральной
функцией построенной краевой задачи. Для этого
достаточно показать, что имеет место равенство Парсеваля,
т. е. для произвольной финитной вектор-функции g(x)
из класса S?2(0, °°) имеет место равенство
с» оо
$g*{x)g{x)dx = J G*(K)dp(k)t (5.1)
где
G(k) = §g4x)<p(x9b)dx. (5.2)
2. Пусть матричная функция F(x, у) определяется
формулой (3.2), К(х, у) есть решение интегрального
уравнения (3.1), а вектор-функция ф(х, X) определяется
формулой (4.1), т. е.
90
ф (Ж> X) = s (х, X) + j К (я, t) sit, X) dt. (5.3)
о
/ sin %z\
Если из (5.3) s (x, X) = I cos fa] выразим через ф (х, X),
то получим
98
s(x, *) = Ф (я, X) + \b(x, у) у {у, X) dy. (5.4)
о
Лемма 5.1. Для ядра L(x, у) имеет место
тождество
у
V (х, y) = F(y,x) + ]K (у, s) F (s, х) ds. (5.5)

§ 5. ВЫВОД РАВЕНСТВА ПАРСЕВАЛЯ 419
Доказательство. Предположим, что матричная
функция F(x, у) имеет непрерывные производные
F'x(x, у) и F'y(x, у) (в общем случае лемма
доказывается предельным переходом, как и в теореме 4.1). Тогда
К(%, у) удовлетворяет уравнению (4.8) и условиям (4.9),
(4.10), a LT(x, у) есть решение задачи
В± V(х, У)+^ЬТ(х, y)B-Q(у)U(х, у) = 0, (5.6)
BLT(x, x)-D{x, x)B=Q(x), (5.7)
LT11(x,0) = Ll2(x,0) = 0. (5.8>
Введем обозначение
v
H (х, y) = F (у, х)+$К (у, s) F (s, х) ds. (5.9)
О
Полагая здесь г/ = 0, получим #(#, 0) = F(0, x). С
другой стороны, Fh(0, x) = Fi2(0, x) = 0, следовательно^
Н{х, у\ удовлетворяет условию (5.8). Далее, из (5."9):
и (4.3) имеем
X
Н (х, х) = F (х, х) + J К (х, s) F (s, x)ds = — К (х, х),
о
т. е. Н(х, у) удовлетворяет и условию (5.7).
Остается проверить, что Н(х1 у) удовлетворяет
уравнению (5.6). Из (5.9) имеем
ВН'У (х, у) = BF'y (у, х) + В К (у, у) F (у, х) +
у
+ §BK'y(y,s)F(s,x)ds9
о
И'х(х, y)B = F'x(у, х)В-К (у, у) BF(у, х) +
v
+ \K'a{y,s)BF(s,x)dx.
О
При вычислении Нх(х1у)В под интегралом F'x(s,x)B
заменено, в силу уравнения (2.9), выражением
— BFS (5, х), а затем выполнено интегрирование по
частям и учтено равенство (4.6).
27*

420 ГЛ. XII. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА НА ПОЛУПРЯМОЙ
Из последних двух равенств, в силу формул (2.9;,
(3.6) и (4.8), следует
ВН'у(х, у) + Н'х(х, y)B-Q(y)H(x, у) =
у
= j [ВК'у(у, з) + К'.(у, s)B-Q(y)K(у, s)} F(s,x)ds = 0,
о
т. е. Н(х, у) удовлетворяет уравнению (5.6). Лемма
доказана.
3. Перейдем теперь к выводу равенства Парсеваля
(5.1).
В силу формулы (4.1) из (5.2) имеем
оо
G (X) = J gT (х) Ф {х, X) dx =
о
= jV(*) Uix, Я) + $K(x,t)s{t,X)dt\dx =
оо / оо \
= fUl)+ J f (T) if (T, 0 dT 5 (*, X) & =
оо
= §h*(t)s(t,k)dt, (5.10)
о
где
оо
feT (f ) в ^ГТ ф + j £Т (Т) К (Т> f ) ^Т. (5.Ц)
f
Используя равенство Парсеваля по мере р0(Х) = п/Х
оо оо
f G2(X)d(-M = JV(*)/j(*)^,
— оо 0
из (5.10) в силу (3.2) имеем
оо оо оо
j в»(X)dp(X)- J e»(X)d(£) + J <?(М^[р(Ч-т]-
—оо —оо —оо
оо оо Гоо I
= lb?(x)h{x)ux+ I nh^{x)s(x1X)dx X
О —°° L0 J

X
§ 5. ВЫВОД РАВЕНСТВА ПАРСЕВАЛЯ 421
■ОО -1 ОО
§h4(t)s(t,l)dt\dL(l)--^\=§h?(x)h(x)dx +
оо г с»
+ 1Л*{х) Ш Is (ж'W' k)d[p {к) ~ т)
О ■ °о
h(t,%)dt\dx =
= j feT (ж) ft (ж) dr + j feT (ж) F (x, 0 fe(f) йж Л.
о о
Рассмотрим интеграл
ОО ОО ( ОО |
\Ks{x)F(x, t)dx = j £TW + j К(т, x)dx\F(x, t)dx =
= §g*(x)F(x, t)dx+ jV(^) П К (х, s) F (s, t)ds\dx =
о о lo J
= j g*(x) \f(x, t) + l К (x, s)F(s, t) ds\ dx =
0 I 0 )
= ^ gT(x)\F(x11) + \k(x, s) F ($, t) ds\ dx +
0 I 0 J
oo { x i
+ ^ grF(x){F(x1 t) + §K(x, s)F(s1 t)ds\dx.
t i о )
Поэтому из равенств (5.5) и (4.3) следует, что
оо t оо
J ftT (x) F (x, t)dx= j* gT (x) LT (ж, t) dt — j* gT (x) К (х, t) dx.
oof
Следовательно,
oo oo
j G2 (k) dp {I) = j h7 (x) h (x) dx +
— oo 0
oo ( x
+ UJgT(y)LT(y^)dy\h(x)dx-
о lb J
oo Гоо \ °°
J f gT{u) к(У. *) dy\h(x) dx = J Ks{x)h{x) dx +

422 ГЛ. XII. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА НА ПОЛУПРЯМОЙ
оо f оо \
+ J «Р (я) К LT (х, у) h {у) dyldx —
о U J
сю (со
— U$gT(y)K(y,x)dy\h(x)dx.
О U
Из (5.11) имеем
оо
j Г (у) К (у, х) dy = ft' (х) - g? (х),
X
ОО
j U (г/, х) h (у) dy = g{x) — h (x).
X
Поэтому получаем
оо
j" G*(X)dp(l) =
— оо
оо оо
= J йт (х) h (x) dx + j gT (x) {g (x) — h (x)} dx —
о о
оо оо
- j {fcT (x) - gT {x)} h (x) cte = jV (x) g (x) dxt
о о
т. е. равенство Парсеваля (5.1).
Указания к литературе
Результаты этой главы принадлежат М. Г. Гасымову в
Б. М. Левитану [1] и подробно публикуются впервые здесь.
Глава по просьбе авторов написана М. Г. Гасымовым.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ*)
Абдукадыров Э.
1. Вычисление регуляризованного следа для системы Дирака /
Вестник Моск. ун-та. Серия мат., мех.—1967.— № 4.—
С. 17—24.
Амбарцумян В. А.
1. Uber eine Frage der Eigenwerttheorie / Zeitschr. fur Phy-
sik.— 1929.- Bd. 53.- S. 690-695.
Ахиезер Н. И., Глазман И. М.
1. Теория линейных операторов в гильбертовом
пространстве.—М.: Наука, 1966.
Борг Г. (Borg G.)
1. Eine Umkehrung der Sturm — Liouvillschen Eigenwertaufga-
be / Acta Math.—1946.—Bd. 78, № 1.—S. 1—96.
В ей ль Г. (Weyl H.)
1. Uber gewohnliche lineare Differentialgleichungen mit singu-
laren Stellen und ihre Eigenfunktionen // Nachr. Acad. Wiss.
Gottingen. Math. Phys. Kl.— 1909.— S. 37—64.
2. Uber gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularitaten
und die zugehorigen Entwicklungen willkurlichen Funktio-
nen U Math. Ann.— 1910.— Bd. 68.— S. 220—269.
3. Uber gewohnliche Differentialgleichungen mit singularen
Stellen und ihre Eigenfunktionen // Nachr. Acad. Wiss.
Gottingen. Math. Phys. KL— 1910.— S. 442—467.
де В е т и Мандль (de Wet J. S. and M a n d 1 F.)
1. On the asymptotic distribution of eigenvalues // Proc. Roy.—
Soc— 1950.— Ser. A200.— P. 572—580.
Гамель (Н a m e 1 G.)
1. Uber die lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit
periodischen Koeffizienten // Math. Ann.— 1913.— Bd. 73.—
P. 371—412.
Га с>ым ов М. Г.
1. Обратная задача теории рассеяния для системы уравнений
Дирака порядка 2п // Труды Моск. мат. о-ва.—1968.—
Т. 19.—С. 41—112.
Гасымов М. Г., Левитан Б. М.
1. Обратная задача для системы Дирака // ДАН.—1966.—
Т. 167, № 5.— С. 967—970.
*) Список литературы содержит лишь те работы, на которые
имеются ссылки в книге.

424
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Гельфанд И. М.
1. О тождествах для собственных значепий
дифференциального оператора второго порядка / УМН.—1956.—Т. 11,
№ 1(67).-С. 191-198.
Гельфанд И. М., Левитан Б. М.
1. Об определении дифференциального уравнения по его
спектральной функции.— Изв. АН СССР, Сер. мат.—1951.—
Т. 15.— С. 309—360.
2. Об одном простом тождестве для собственных значений
дифференциального оператора второго порядка Ц ДАН
СССР.- 1953.- Т. 88- С. 593-596.
Гнльберт (Hilbert D.)
1. Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integral-
gleichungen. I / Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. Math.
Phys. KL— 1904.— S. 49—91.
2. To же. II II Там же.— 1905.— S. 213—259.
3. To же. Ill II Там же.— 1905.— S. 307—338.
4. To же. IV И Там же.— 1906.— S. 157—227.
5. То же. V / Там же.— 1906.— S. 439—480.
6. То же. VI И Там же.— 1910.— S. 355—477.
Глазман И. М.
1. Прямые методы качественного спектрального анализа
сингулярных дифференциальных операторов.—М.: Физматгиз,
1963.
Гогойзель Г.
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.; Л.:
ОНТИ, 1937.
Гурвиц (Hurwitz W. А.)
1. An expansion theorem for a system of linear differential
equations of the first order // Trans. Amer. Math. Soc— 1921.—
V. 22.— P. 526-543.
Дельсарт (Delsarte J.)
1. Sur une extension de la formule de Taylor / J. Math. Pures
et appl.— 1938.— V. 17.— P. 213—230.
2. Sur certaines transformation fonctionelles relative aux
equations Kneaires aux derivees partielles du second ordre /
С R. Acad. Sci. Paris.—1938.—V. 206.—P. 178—182.
3. Une extension nouvelle de la theorie de fonction presqueperio-
diques de Bohr / Acta Math.—1939.—V. 69.—P. 259.
Дельсарт, Лионе (Delsarte J., Lions J.)
1. Transmutations d'operateurs differentieles dans le domaine
complexe / Comment. Math. Helv.—1957.—V. 32.—P. 113—
128.
Дики и Л. А.
1. Дзета-функция обыкновенного дифференциального
уравнения на конечном отрезке // Изв. АН СССР. Сер. мат.—
1955.— Т. 19.— С. 187—200.
Д и х а м hi джия Г. В.
1. Некоторые вопросы спектральной теории одномерного
оператора Дирака: Дис. на соискание степени канд. ф.-м. наук/
Тбилисский государственный университет, мех.-мат. ф-т.—
Тбилиси, 1978.
2. О двусторонней асимптотике числа собственных значений
дифференциальных операторов // Сообщ. АН ГССР.— 1976.—
Т. 81, № 1.—С. 25—28.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
425
Дубровин Б. А.
1. Периодическая задача для уравнения Кортвега — де Фриза
в классе конечнозонных потенциалов // Функцион. анализ
и его прил.— 1975.— Т. 9, № 3.— С. 41—51.
Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаев-
ск и й Л. П.
1. Теория солитонов. Метод обратной задачи.— М.: Наука,
1980.
Иосида (Yosida К.)
1. On Titchmarsh — Kodaira's formula concerning Weyl —
Stone's eigenfunction expantion // Nagoua Math. J.—1950.—
V. 1.— P. 49-58.
Келдыш М. В.
1. Об одной тауберовой теореме / Труды Мат. ин-та им.
B. А. Стеклова АН СССР.- 1951.— Т. 38.— С. 77—86.
Коддингтон, Левин сон
1. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.— М.:
ИЛ, 1958.
Конт, Сангрен (С о n t S. D., Sangren W. С.)
1. An asymptotic solution for a pair of first order equations II
Proc. Amer. Math. Soc— 1953.— V. 4.—P. 696—702.
2. An expansion theorem for a pair of singular first order
equations II Ganadian J. Math.— 1954.— V. 6.— P. 554—560.
Костюченко А. Г., Саргсян И. С.
1. Распределение собственных значений.—М.: Наука, 1979.
Крейн М.Г.
1. Решение обратной задачи Штурма — Лиувилля / ДАН
СССР.— 1951.— Т. 76, № 1.— С. 21—24.
2. Определение плотности неоднородной симметричпой струны
по спектру ее частот / ДАН СССР.—1951.—Т. 76, № 3,—
C. 345-348.
3. Об обратных задачах для неоднородной струны / ДАН
СССР.— 1952— Т. 82. № 5.— С. 669—672.
4. О переходной функции одномерной краевой задачи
второго порядка / ДАН СССР.-1953.— Т. 88, № 3.- С. 405-
408.
5. О некоторых случаях эффективного определения плотности
неоднородной струны по ее спектральной функции // ДАН
СССР.— 1953.- Т. 93, № 4.- С. 617-620.
6. Об одном методе эффективного решения обратной краевой
задачи / ДАН СССР.— 1954.— Т. 95, № 6.- С. 767-770.
7. Об определении потенциала частицы по ее б'-функции.—
ДАН СССР.- 1955.- Т. 105, № 3.— С. 433-436.
Л ев п н Б. Я.
1. Распределение корней целых функций.—М.: Гостехиздат,
1956.
2. Интерполяция целыми функциями экспоненциального
типа / Труды физико-технического ин-та низких температур
АН УССР.— 1959.— Вып. 1.— С. 83—92.
Левпн'сон (L e v i n с о n N.)
J. The inverse Sturm — Liouville problem /f Math. Tidsskr. В.—
1949.— P. 25—30.
2. Criteria for the limit-point case for second-order linear
differential operators / Casop. pestov. math, fys.— 1949.— V. 74.—
P. 17—20.

426
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
3. A simplified proof of the expansion theorem for singular
second-order differential equations // Duke Math. J.— 1951.—
V. 18.— P. 57—71; 719—722.
4. The expansion theorem for singular self — adjoint differential
operators / Ann. of Math.— 1954.— V. 59.— P. 300—315.
Левитан Б. М.
1. Разложение по собственным функциям дифференциальных
уравнений второго порядка.—М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
2. Доказательство теоремы разложения по собственным
функциям самосопряженных дифференциальных уравнений /
ДАН СССР.— 1950.— Т. 73.— С. 651-654.
3. Исследование функции Грина уравнения Штурма — Лиу-
вилля с операторным коэффициентом / Мат. сб.— 1968.—
Т. 76(118).—С. 239—270.
4. Вычисление регуляризованного следа для оператора
Штурма — Лиувилля / УМН.—1964.—Т. 19(115), № 1—С. 161—
165.
5. Операторы обобщенного сдвига.— М.: Наука, 1962.
6. Операторы обобщенного сдвига.—2-е изд.—М.: Наука. 1973.
7. Об определении дифференциального уравнения Штурма —
Лиувилля по двум спектрам // Изв. АН СССР. Сер. мат.—
1964.— Т. 28, № 1.— С. 63—78.
8. Регул яризованные следы и условия гладкой периодичности
потенциала уравнения Штурма — Лиувилля / Сиб. мат.
журн.— 1981.— Т. 22, № 2.— С. 137—148.
9. Обратные задачи Штурма —Лиувилля.—М.: Наука, 1984.
Левитан Б. М., ГасымЬв М. Г.
1. Определение дифференциального уравнения по двум
спектрам / УМН.—1964.—Т. 19, № 2(116).—С. 3—63.
Левитан Б. М., Саргсдн И. С.
1. Введение в спектральную теорию.— М.: Наука, 1970.
2. Некоторые вопросы теории уравнения Штурма —
Лиувилля / УМН.— I960.— № 1(91).— С. 3—98.
3. О продолжении решений одномерной системы Дирака /
ДАН СССР.— 1965.— Т. 165, № 6.- С. 1241-1244.
Магнус, Винклеф (Magnus W., Winkler W.)
1. Hill's Equation.— New York: Interscience Wiely, 1966.
Маккин, Мербек (Mackean H. P., Moerbekc P. van)
1. The spectrum of Hill's Equation // Invention math.— 1975.—
V. 30 — P. 217—274.
Маклеуд (М а с 1 e о d R.)
1. Some problems in the theory of eigenfunctions:
Thesis.—Oxford, 1966.
Маркушевич А. И.
1. Теория аналитических функций.— М.; Л.: Гостехиздат. 1950.
Мартынов В. В.
1. Условия дискретности и непрерывности спектра в случае
самосопряженной системы дифференциальных уравнений
первого порядка // ДАН СССР.-1965.— Т. 165, № 5.—
С. 996-999.
Марченко В. А.
1. Спектральная теория оператора Штурма — Лиувилля.—
Киев: Наукова думка, 1972.
2. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения.— Киев:
Наукова думка, 1977.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
427
3. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора
второго порядка // ДАН СССР.—1950.— Т. 72, № 3.—
С. 457-460.
4. Некоторые вопросы теории одномерных линейных
дифференциальных операторов второго порядка. I // Тр. Моск.
мат. о-ва.— 1952.— Т. 1.— С. 327—420.
5. II.— Там же.— 1953.— Т. 2.— С. 3—83.
Марченко В. А., Островский И. В.
1. Характеристика спектра оператора Хилла / Мат. сб.—
1975.— Т. 97, № 4.— С. 540—606.
Молчанов А. М.
1. Об условиях дискретности спектра самосопряженных
дифференциальных уравнений второго порядка / Тр. Моск.
мат. о-ва.— 1953,— Т. 2.— С. 169—199,
Напмарк М. А.
1. Линейные дифференциальные операторы.— М.: Наука, 1969.
О т е л б а е в М.
1. Распределение собственных чисел оператора Дирака.— Мат.
заметки.- 1973.— Т. 14, № 6.- С. 843-852.
Петровский И. Г.
1. Лекции по теории интегральных уравнений.—М.: Гостехиз-
дат, 1948.
Повзнер А. Я.
1. О дифференциальных уравнениях типа Штурма — Лиувил-
ля / Мат. сб— 1948.— Т. 23(65).— С. 3—52.
П р а т с, Тол (Prats F., Toll J. S.)
1. Connections of Phas shiff and potential for the Dirac
equation / Phys. Rev.— 1959.— V. 113, № 1.— С 363-372.
Рос, Сан грен (RoosB. W., S a n g r e n W. C.)
1. Spectra for a pair singular first order differential equations /
Proc. Amer. Math. Soc— 1961.— V. 12.—P. 468—476.
Саргсян И. С.
1. Теорема о полноте собственных функций обобщенной
системы Дирака / ДАН Арм. ССР.—1966- Т. 42, № 2.—
С. 77—82.
2. Асимптотическое поведение спектральной матрицы
одномерной системы Дирака // ДАН СССР.—1966.—Т. 166,
№ 5.— С. 1058-1061.
3. Разложение по собственным функциям одномерной системы
Дирака II ДАН СССР.- 1966.- Т. 166, № 6.- С. 1292-1295.
4. О решении задачи Коши для одномерной системы Дирака //
Изв. АН АрмССР. Сер. мат.—1966.—Т. 1, № 6.—С. 392—
436.
5. Двусторонняя асимптотика числа собственных значений не-
полуограниченного оператора Дирака // Изв. АН СССР. Сер.
мат.— 1972.— Т. 36, № 6.— С. 1402—1436.
Сире, Т и т ч м а р ш (Sears D. В., Т i t с h m a r s h E. С.)
1. Some eigenfunction formulae / Quart. J. Math.— Oxford,
1950.— V. 1.— P. 165—175.
Станкевич И. В.
1. Об одной обратной задаче спектрального анализа для
уравнения Хилла // ДАН СССР.— 1970.- Т. 192, № 1._ с. 34-37.
С т е к л о в В. А.
1. Задача об охлаждении неоднородного стержня // Сообщ.
Харьк. мат. о-ва.— 1896.

428
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Титчмарш
1. Разложения по собственным функциям, связанные с
дифференциальными уравнениями второго порядка: В 2-х т.—
М.: ИЛ, I960.—Т. 1.
2. Разложения по собственным функциям, связанные с
дифференциальными уравнениями второго порядка: В 2-х т.—
М.: ИЛ, 1961.—Т. 2.
3. On the uniqueness of the Green's function associated with a
second-order differential equations // Canadian J. Math.—
1940.— V. 1.— P. 191—198.
4. Eigenfunction problems with periodic potentials / Proc. Roy.
Soc— 1950.— Ser. A 203.— P. 501—514.
5. Some eignefunction expansion formulae / Proc. London Math.
Soc- 1961.— V. 11.- P. 159-168.
X ay п т (H a up t 0.)
1. Uber lineare homogene Differentialgleichungen. 2: Ordnung
mit periodischen Koeffizienten / Math. Ann.—1919.—
Bd. 79.— S. 278-285.
Хохштадт (HochstadtH.)
1. On the determination of Hill's equation from its spectrum /
Arch. Rat. Mech. Anal.— 1965.— V. 19.— P. 353—362.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абдукадыров Э. 266
Амбарцумян В. А. 180
Ахиезер Н. И. 301
Борг Г. 180, 233
Вейль Г. 60, 76, 99, 121
де Вет Ж. С. 152
Винклер В. 99, 179
Гамель Г. 52
Гасымов М. Г. 232, 233, 266, 365,
422
Гельфанд И. М. 179, 232, 233
Гильберт Д. 52
Глазман И. М. 102, 302
Гогейзель Г. 52
Гурвиц В. А. 266
Дельсарт Ж. 232
Дикий Л. А. 179
Дихаминджия Г. В. 365, 402
Дубровин Б. А. 179
Захаров В. Е. 179
Иосида К. 99
Келдыш М. В. 142, 144, 147, 400
Коддингтон Е. А. 99
Конт С. Д. 322
Костюченко А. Г. 400, 401, 402
Крейн М. Г. 233
Левин Б. Я. 176, 214, 215, 220
Левинсон Н. 99
Левитан Б. М. 11, 37, 52, 81, 96,
121, 142, 151, 152, 155, 156, 157,
162, 170, 172, 179, 232, 233, 266,
302, 322, 357, 364, 365, 400, 422
Лионе Ж. 232
Магнус В. 99
Маккин Г. П. 179
Маклеуд Р. 302
Манаков С. В. 179
Мандль ф. 152
Маркушевич А. И. 66
Мартынов В. В. 302
Марченко В. А. 153, 179, 220,
232, 233, 357
Мербек П. 179
Молчанов А. М. 102
Новиков С. П. 179
Островский И. В. 220
Отелбаев М. 402
Петровский И. Г. 40
Пптаевский Л. П. 179
Повзнер А. Я. 232
Пратс Ф. 365
Рос Б. В. 322
Сангрен В. Ч. 322
Саргсян И. С. И, 37, 52, 81, 96,
121, 142, 151, 152, 170,179,266,
302, 322, 357, 364, 365, 400,
401, 402
Сире Д. Б. 99
Станкевич И. В. 233
Стеклов В. А. 52
Степанов В. В. 110
Титчмарш Е. Ч. 11, 52, 99, 121,
266, 302
Толь Ж. С. 365
Хаупт О. 52
Хохштадт Г. 179

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Антипериодическая задача для
оператора Дирака 254
— — — — Штурма —
Лиувилля 26, 217
Асимптотика собственных
значений оператора Дирака 243,
262
— — — — Штурма —
Лиувилля 17, 19, 21, 36, 160, 168, 216
• функций оператора
Дирака 243, 244
— — Штурма —
Лиувилля 18, 20, 21
— спектрального ядра
оператора Дирака 356
— спектральной функции
оператора Дирака 358
Вейля — Титчмарша функция 76
Грина матрица-функция 245
— функция 37
Дискриминант Хилла 218
Задача Штурма — Лиувилля 10,
36
■ классическая 211
регулярная 10, 54
— — — с закрепленными
концами 217
сингулярная 10, 53
Канонический вид оператора
Дирака 236
Карлемана формула 45
Конечнозонный потенциал 154,
155
Кратность собственных
значений оператора Дирака 256
_ _> Штурма —
Лиувилля 28, 29
Лакуны в спектре 33, 218
Лиувилля преобразование 10
Ляпунова функция 218
Матрица монодромии для
оператора Дирака 295
_ _ Штурма —
Лиувилля 93
Нормировочные числа 212, 221,
224
Нули собственных функций 24,
34
Одномерная система Дирака
нестационарная 323
стационарная 234
Оператор преобразования 181
—, матрица преобразования 238,
330
Периодическая задача для
оператора Дирака 254
— — Штурма —
Лиувилля 26, 217
Предельная точка для
оператора Дирака 273, 276
_ _ Штурма —
Лиувилля 63, 64
Предельный круг для оператора
Дирака 273, 276
_ _ Штурма —
Лиувилля 62, 63

ПРЕДМЕТНЫЙ
Равенство Парсеваля для
оператора Дирака 252, 271, 291
— — Штурма —
Лиувилля 42, 58, 201
обобщенное для
оператора Дирака 272
— _ _ Штурма —
Лиувилля 59, 90, 294
Регуляризованный след
оператора Дирака 262
— Штурма — Лиувилля
160, 161, 169, 173
Резольвента оператора Дирака
253, 283
Штурма — Лиувилля 38,
58, 67, 71
Решения Флоке (Блоха)
оператора Дирака 296
— — Штурма —
Лиувилля 94
Самосопряженное ядро 249
Собственные значения
оператора Дирака 237
Штурма — Лиувилля 9,
10, 100
— функции оператора Дирака
237
[АЗАТЕЛЬ 431
Спектр оператора Дирака
307
дискретный 313, 393
непрерывный 307, 320
Штурма — Лиувилля 100
— дискретный 100, 102,
110, 120
— — непрерывный 100,
111, 116
точечный 100
Спектральная матрица 87
Спектральная функция
оператора Дирака 349, 403
Штурма — Лиувилля 58-
Спектральное ядро 349, 356
Спектральные характеристики
212
Теорема В. А. Амбарцумяна 180
— разложения для оператора
Дирака 244, 251, 272, 294, 364,
365
— — Штурма -—
Лиувилля 41, 47, 48, 59, 90
— осцилляции Штурма 24
— сравнения Штурма 23
— Штурма 22

ЛЕВИТАН Борис Моисеевич
САРГСЯН Ишхан Сарибепович
ОПЕРАТОРЫ ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ И ДИРАКА
Редактор М. М. Горячая
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор В. И. Кондакова
Корректоры О. А. Бутусова, Г. И. Сурова
ИБ № 32441
Сдано в набор 28.08.87. Подписано к печати 13.04.88. Формат 84X108/32
Бумага тип. № 1. Гарнитура обыкновенная новая. Печать высокая
Усл. печ. л. 22,68. Усл. кр.-отт. 22,68. Уч.-изд. л. 24,85. Тираж 4100 экз
Заказ № 1028. Цена 5 руб.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства «Наука»
630077 г. Новосибирск 77, ул. Станиславского, 25