Континуальная теория дислокаций - Эшелби Дж.

Author: Эшелби Дж.

Tags: физика молекулярная физика

Year: 1963

Similar

Теория дислокаций

Молекулярные системы. Часть 3. Теория строения и взаимодействия с излучением. Полуклассическая теория взаимодействия молекул с излучением

Молекулярная теория магнетизма

Молекулярная физика

Text

КОНТИНУАЛЬНАЯ
ТЕОРИЯ
ДИСЛОКАЦИИ

SS2..G
9^
Дж. Эшелби

КОНТИНУАЛЬНАЯ
ТЕОРИЯ
ДИСЛОКАЦИЙ
Перевод с английского
А. Л. РОЙТБУРДА
Под редакцией
Б. Я. ЛЮБОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва I 963
Редакция литературы по физике
Предисловие редактора перевода
Развитие физики твердого тела за последние десятилетия
характеризуется концентрацией внимания исследователей на
вопросах, связанных с изучением дефектов строения кристал-
лических решеток и влияния последних на свойства изучаемых
веществ. Особенно ярко указанное положение проявилось
в бурном развитии теории дислокаций. Дислокации, перво-
начально введенные в науку как гипотетические несовершен-
ства строения решеток кристаллов, объясняющие их малую
прочность по сравнению с теоретическим значением, в на-
стоящее время нужно рассматривать как реальные объекты,
свойства которых детально изучаются методами теоретической
и экспериментальной физики.
Исследование дислокаций, и в первую очередь развитие их
теории, идет, грубо говоря, по двум основным направлениям,
которые условно можно назвать микроскопическим и макро-
скопическим (континуальным). Первое направление включает
работы, посвященные изучению геометрических свойств дисло-
каций в различных кристаллических решетках. Исследования
такого типа позволяют подойти к решению вопроса о пове-
дении под действием механических нагрузок кристаллов с раз-
личным взаимным расположением атомов в решетке. Второе
направление исследований ставит своей целью изучение пове-
дения дислокаций и других дефектов строения кристалличе-
ских решеток в рамках механики сплошных сред. Преиму-
щество развития теории в этом направлении заключается
в возможности непосредственного использования методов
теории упругости при условии их некоторой модификации.
Весьма эффективными в этом отношении оказываются также
общие методы теории поля. К сожалению, до настоящего
времени не удалось установить атомное строение ядер дисло-
каций, что крайне усложняет анализ их поведения. Однако
ряд сведений об особенностях различного рода дефектов,
6
Предисловие редактора перевода
в том числе и дислокаций, можно получить, рассматривая
свойства соответствующих континуальных моделей.
Описанное положение вещей позволяет нам рекомендовать
советскому читателю перевод ряда работ известного англий-
ского ученого Дж. Эшелби, внесшего своими трудами цен-
ный вклад в континуальную теорию дефектов строения кри-
сталлических решеток. Название предлагаемой книги несколько
уже, чем ее содержание, однако оно оправдывается исклю-
чительно важной ролью, которую играют дислокации в фор-
мировании свойств кристаллов.
Книга открывается обзорной статьей Эшелби, состоящей
из трех частей. В первой части описывается общий метол
построения континуальных моделей реальных дефектов кри-
сталлических решеток и обсуждаются способы количествен-
ного рассмотрения их упругих полей. Во второй части весьма
оригинально излагается способ расчета внутренних напряже-
ний, обусловленных наличием дефектов решетки различных
типов. Особый интерес представляет § 5, лосвящепный опи-
санию способов оценки энергии взаимодействия систем на-
пряжений и соответствующих сил. В третьей части статьи
дается ряд применений общей теории к рассмотрению раз-
личных типов дефектов (точечных дефектов, дислокаций,
поверхностных и объемных дефектов). Несмотря на то что
статья Эшелби опубликована в 1956 г., она не утратила
актуальности, так как содержит сжатое изложение основ
теории дефектов решетки. Некоторые сведения о более позд-
них исследованиях в указанной области можно найти в обзо-
рах [I, 2]. Следует отметить работу [3], в которой в замкну-
том виде получено выражение для энергии взаимодействия
двух центров дилатации, находящихся на больших расстоя-
ниях, а также работы [4—6], посвященные дислокационной
теории двойникования. В последнее время получило развитие
рассмотрение динамических свойств дислокаций методами,
заимствованными из общей теории относительности и гео-
метрии [7, 8].
В двух следующих работах Эшелби дается решение задачи
о поле упругих напряжений, возникающих внутри изотроп-
ного тела в результате деформации находящейся в нем эл-
липсоидальной области (при условии отсутствия окружающего
материала эта деформация считается однородной). В этих
работах весьма удачно применена теория потенциала (по поводу
Предисловие редактора перевода
7
последней см., например, [9, 10]). Следует отметить, однако,
что в плоском варианте указанной задачи очень эффективным
оказывается метод конформных отображений [11], о котором
Эшелби не упоминает. Использование этого метода позволяет
решить ряд задач, близких к рассмотренной Эшелби и пред-
ставляющих интерес в связи с анализом термодинамики и
кинетики бездиффузионных фазовых превращений [12—14].
Кроме статей самого Эшелби, в книгу включена работа,
написанная им совместно с Франком и Набарро, и (в качестве
дополнения) статьи де Вита, а также Хеда и Томсона. В работе
Эшелби, Франка и Набарро и в недавно опубликованной
статье Хеда и Томсона содержится описание способа расчета
равновесных положений взаимодействующих дислокаций, на-
ходящихся под действием полей напряжений. Эти проблемы
приобрели в последние годы большое значение в связи с раз-
витием способов непосредственного изучения дислокационной
структуры материала и ее изменений под действием нагрузок.
При помощи химических, рентгеновских и электронно-микро-
скопических методов (см., например, [15, 16]) можно с доста-
точной точностью установить положения дислокаций. Опыт
показывает, что эти дефекты часто располагаются в виде
упорядоченных групп, причем иногда последние являются
линейным рядом дислокаций, упирающимся в какое-либо пре-
пятствие. Такие скопления (pile-up) [17] можно использовать
для экспериментальной проверки макроскопической теории
дислокаций. Действительно, если допустить, что при фор-
мировании скоплений отдельные дислокации закрепляются
па своих местах, например, вследствие образования вокруг
них облаков примесных атомов [18], то путем сравнения
результатов расчетов, основанных на континуальной теории
дислокаций, и данных опытов, проведенных после снятия
внешней нагрузки, можно составить представление о досто-
верности выводов такой теории. Конечно, в том случае,
когда дислокации закреплены недостаточно прочно, задача
усложняется и приобретает характер кинетической. Рассма-
триваемый вопрос интересен также с точки зрения теории
пластической деформации и разрушения. Сказанное выше
показывает, что в современной континуальной теории дисло-
каций вопрос о расчете равновесных конфигураций этих
дефектов в различных условиях должен занимать видное
место. В статье Эшелби, Франка и Набарро изложено первое
8
Предисловие редактора перевода
оригинальное решение проблемы о равновесии линейных
рядов дислокаций. Последующее развитие теории шло как
в направлении замены дискретного распределения дислокаций
непрерывным [19], так и по линии усовершенствования и
обобщения метода Эшелби, Франка и Набарро. Недавно
опубликованная работа Хеда и Томсона принадлежит ко вто-
рому направлению, по нашему мнению более перспективному.
Наконец, в статье де Вита, которую, как указывает сам
автор, можно рассматривать как дополнение к обзору Эшелби,
открывающему настоящую книгу, собраны сведения о полях
напряжений дислокаций и их энергий. Она представляется
весьма полезной главным образом для справок по указанным
вопросам.
В целом приводимый в книге материал, хотя и не исчер-
пывает темы, позволяет составить представление о состоянии
континуальной теории дефектов решетки, в особенности
дислокаций, и проследить основное направление исследований
в данной области. Успешное развитие работ этого направле-
ния должно помочь в ликвидации неясных мест, еще имею-
щихся в теории поведения материалов под нагрузкой, фазо-
вых превращений в твердых телах и т. п.
Б. Я. Любов
ЛИТЕРАТУРА
1. Инденбом В. Л., в сборнике „Некоторые вопросы физики
пластичности кристаллов’, Изд во АН СССР, М., 1960, стр. 117.
2. Инденбом В. Л., Орлов А. Н., Усп. физич. наук, 26, 557
(1962).
3. Лифшиц И. М., Т а н а т а р о в Л. В., ФММ, 12, 331 (1961).
4. К о с е в и ч А. М., ФТТ, 3, № 11, 3263 (1961).
5 Косевич А. М., П а с т у р ЛА., ФТТ, 3, № 4, 1290 (1961).
6. Косевич А. М.. П астур Л. А., ФТТ, 3, № 9, 2890 (1961).
7. Hollander Е. F., Чехосл. физич. журнал, 10В, № 6, 409;
№ 7, 479, 551 (1960).
8. Н о 11 a n d е г Е. F., Чехосл. физич. журнал, 12В, № 1, 35 (1952)
9. Мюнц Г., Интегральные уравнения, М. — Л., 1934.
10. Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала,
М. — Л., 1946.
11. Му схе лиш вили Н. И., Некоторые основные задачи мате-
матической теории упругости, Изд-во АН СССР, М., 1949.
Предисловие редактора перевода 9
12. Л ю б о в Б. Я., Р о й т бу р д А. Л , ДАН СССР, 120, № 5, 1011
(1958).
13. Любов Б. Я., Р о й т б у р д А. Л., ДАН СССР, 131, № 2, 303
(1960).
14. Любов Б. Я., Ройт бур д А. Л., ДАН СССР, 131, № 3, 552
(1960)
15. М е а к I n I. D„ W 11 s d о г f Н. G. F„ Trans. AIME, 218, 631
(1960).
16. Орлов Л. Г., Усиков М. П., У т е в с к и й Л. М., Усп. физич.
наук, 26, 109 (1962).
17. М е а к I n I. D., W 11 s d о г f Н. G. F., Trans. AIME. 218, 745
(1960).
18. Рожанский В. Н., Инденбом В. Л., ДАН СССР, 136,
№ 6, 1331 (1961).
19. Lelb fried О., Zs. Phys., 130, 244 (1951).

КОНТИНУАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
ДЕФЕКТОВ
Дж. Эше лб и
J. D. Е s h е 1 b у, Solid State Physics, v. 3, New York, 1956, p. 79
I. ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Дефекты решетки и континуальная теория
Некоторые несовершенства строения кристалла [1] (между -
узельные и примесные атомы, вакансии, дислокации и т. п.)
присутствуют в его решетке практически всегда. При вве-
дении какого-либо из несовершенств, вообще говоря, сме-
щаются атомы, расположенные во всех узлах решетки.
Очевидно, в кристалле конечной величины нельзя в явном
виде учесть смещение каждого атома, поэтому ббльшую
часть кристалла приходится рассматривать как сплошную
среду (континуум). Однако точное положение атомов в тех
областях, где приближенное описание в рамках континуаль-
ных представлений недостаточно, в некоторых случаях
не играет существенной роли и может быть учтено путем
введения соответствующих параметров в решения задач для
сплошной среды.
Аналогом кристалла, содержащего несовершенство, в ме-
ханике сплошных сред является упругое тело, находящееся
в напряженном состоянии, не созданном поверхностными или
объемными силами. Таким образом, для развития „конти-
нуальной теории дефектов кристаллической решетки” можно
воспользоваться методами обычной теории упругости, допол-
ненными представлениями о внутренних напряжениях; при
этом следует считать, что в отличие от остаточных напря-
жений, встречающихся в инженерной практике, внутренние
напряжения способны перемещаться в среде. Такие подвиж-
ные „фигуры деформации” рассматривались Бэртоном [2]
и Лармором [3] еще в период увлечения упругой моделью
эфира. Дальнейшее развитие представлений в этой области
явилось результатом возросшего в последние годы интереса
к проблемам физики твердого тела.
Настоящий обзор посвящен изложению некоторых основ-
ных принципов континуальной теории дефектов кристалли-
12
Дж. Эшелби
ческих решеток, которые иллюстрируются примерами, выбран-
ными так, чтобы они отражали специфические особенности
изучаемых явлений. Конечно, едва ли можно ожидать, что
континуальная теория даст ответы на вопросы, отно-
сящиеся к более тонким деталям поведения дефектов кри-
сталлического строения (например, сведения об энергии
взаимодействия двух расположенных вплотную точечных
дефектов). С другой стороны, континуальная теория нередко
предстает в невыгодном свете вследствие того, что ее огра-
ничения более очевидны, чем пределы пременимости других
приближенных методов, используемых для описания твердых
тел; между тем эта теория иногда дает хорошие результаты
даже в случаях, которые с точки зрения ее применимости
представляются предельными.
§ 2. Основные идеи и обзор рассматриваемых вопросов
Только некоторые свойства дефектов кристаллической
решетки находят отражение при континуальном рассмотрении
и могут быть описаны в этом приближении. Теория упругости
изучает соотношения между деформацией тела и энергией,
содержащейся в нем самом и окружающей среде. Поэтому мы,
по существу, должны ограничиться анализом деформаций и
энергетических изменений, связанных с наличием дефектов.
Первая проблема, которая здесь возникает, — отыскание
способа описания дефектов при помощи их континуальных
аналогов. Для некоторых типов дефектов эту задачу можно
успешно решить при помощи специальных для каждого дан-
ного случая приемов (см. § 4,а). Можно также развить
общую теорию, основанную на представлении о „функции
источника" внутренних напряжений, связанной с внутрен-
ними деформациями таким же соотношением, каким в элект-
ростатике заряд связан с электрическим полем (см. § 4,6).
Весьма близко к такому рассмотрению описание внутренних
напряжений через непрерывное распределение дислокаций
(см. § 9,г).
При перемещении дефекта 5 в теле, изображенном на
фиг. 1, деформация и энергия упругих напряжений изме-
няются. Одновременно изменение формы внешней поверхности
тела передается грузу W и пружине Р и меняет их потен-
циальную энергию.
Континуальная теория дефектов
13
Форма тела связана с положением в нем дефекта весьма
сложным образом. При перемещении дефекта его упругое
поле не перемещается вместе с ним как целое, так как это
привело бы к нарушению краевых условий на поверхности
тела. Часто бывает удобно разделить поле упругих искаже-
ний на две части — одну, которая перемещается вместе
с дефектом как целое („поле в неограниченной среде")
и другую — дополнительное поле, обеспечивающее удовлет-
ворение краевых условий („мнимое поле", или „поле изобра-
жения"). Мы увидим ниже, что поле изображения часто
Фиг. 1. Схематическое изображение тела,
содержащего дефекты S и Т и находяще-
гося под воздействием окружающих тел
(груза W и пружины Р).
играет неожиданно важную роль. Это положение сходно
с имеющим место в задачах электростатики, рассматри-
вающих заряд в ограниченной среде, диэлектрическая про-
ницаемость которой достаточно велика, чтобы поле факти-
чески было локализовано в пределах среды, в противопо-
ложность случаю заряда в пустоте, где неудобные для
вычисления интегралы берутся по поверхности бесконечно
большого радиуса.
В общем случае для описания дефекта недостаточно ука-
зать его положение: так, например, форма дислокационной
петли может изменяться. Пусть а, р, ... — ряд параметров
(который может быть и бесконечным), однозначно характе-
ризующий конфигурацию дефекта. Как упругая энергия
тела £уПр. так и потенциальная энергия Ева любого внешнего
воздействия зависят от указанных параметров. Физический
смысл имеют не столько Еупр и Е вп по отдельности, сколько
их сумма — полная энергия [4—6]:
^-полн ~ ^упр (а> Р> • • •)“I- ^-ВН (а’ •••)
14
Дж Эшелби
Если параметры могут изменяться (в определенных пре-
делах), то для нахождения равновесных условий следует
искать минимум не £упр или Евв, а полной энергии Еполв.
В сущности, разделение полной энергии на £упр и Ева пред-
ставляет собой не более чем искусственный прием, удобный
для расчетов. Рассмотрим, например, дислокацию в образце,
деформированном в машине для растяжения за счет натя-
жения винта. Эту систему можно рассматривать как дефект
в теле (образце), подверженном действию внешних сил, или
как дефект в составном теле с собственными напряжениями
(образец и машина как целое).
С термодинамической точки зрения Е„оли также играет
первостепенную роль. В адиабатических условиях свойства
неизолированной системы могут быть описаны, если известна
ее энтальпия, а в изотермических — если известен термоди-
намический потенциал •). Хотя обычно энергия Еупр рассматри-
вается как „чисто механическая" величина, она, строго говоря,
представляет собой внутреннюю энергию тела в адиабати-
ческом случае или его свободную энергию в изотермическом
случае [7, 8J. Отсюда следует, что Еполн — энтальпия или
термодинамический потенциал системы, так как эти величины
введены специально для обозначения внутренней или сво-
бодной энергии тела плюс энергия окружающей среды, хотя
формально рассматриваются как характеристика самого тела.
Если принять эту более общую точку зрения, то можно по-
лучить некоторые термодинамические сведения на основании
изучения температурной зависимости Е„ол„ (в рамках упругой
модели эта зависимость определяется тепловым расширением
и изменением упругих констант с температурой).
В теории упругости для бесконечно малых деформаций
выполняется принцип суперпозиции двух или более полей.
Соответственно выражение для .Сполн состоит из членов, ха-
рактеризующих „собственную энергию" отдельных полей,
квадратичных относительно деформаций, и членов, выра-
жающих энергию взаимодействия этих полей и содержащих
попарные произведения соответствующих деформаций. Часто
’) В соответствии с принятой в отечественной литературе тер-
минологией функция, именуемая в оригинале „свободной энергией
Гиббса", в переводе названа „термодинамическим потенциалом",
а „свободная энергия Гельмгольца" — просто „свободной энер-
гией".— Прим, перев.
Континуальная теория дефектов
15
удобнее иметь дело именно с энергией взаимодействия,
а не с £полн, особенно в тех случаях, когда члены, соответ-
ствующие „собственным энергиям", формально имеют беско-
нечно большую величину. Если даже такое затруднение
возникает, можно отбросить бесконечно большие слагаемые
и найти простое выражение для членов, характеризующих
взаимодействие упругих полей (см. § 6).
В соответствии с принятыми в аналитической механике
и термодинамике понятиями мы будем называть величину
Г(а) = _^лн
обобщенной силой, сопряженной с параметром а. Условие
равновесия определяется равенством нулю обобщенных сил,
соответствующих параметрам, которые принимаются за неза-
висимые переменные. В задачах теории неравновесных со-
стояний обобщенные силы, являющиеся производными от
свободной энергии, определяют движущую силу процессов.
Это дает ориентировочные данные для кинетических расчетов
скорости приближения системы к равновесию. Однако исполь-
зуемые при этом методы выходят за рамки теории сплош-
ных сред.
Если для определения положения дефекта достаточно
задать его декартовы координаты х, у, z, то величину
F = — (— — — \Е
’ ду dz) полн
можно назвать силой, действующей на дефект, в более узком
смысле этого понятия. Часто удобно разделить F на сле-
дующие составляющие. Рассмотрим силу, действующую на
дефект S (см. фиг. 1).
1. Если 5—единственный дефект в теле и W и Р
отсутствуют, то энергия £полн (= £упр) изменяется с положе-
нием дефекта. Так как в однородном теле существование F,
очевидно, связано с наличием поверхности, можно говорить
об этой величине как о „мнимой" силе или „силе изобра-
жения" F7, в соответствии с терминологией, принятой
в электростатике. Поверхность внутренней полости О также
вносит вклад в величину мнимой силы. Полость будет соз-
давать силу изображения, даже если она заполнена мате-
риалом с другими упругими константами, чем в остальном
16
Дж. Эшелби
теле, В общем можно сказать, что сила F7 обусловлена
неоднородностью среды, так как любое тело можно рас-
сматривать как бесконечную среду, упругие константы ко-
торой равны нулю вне определенной области.
2. Если ввести в тело еще один дефект Т, то сила,
действующая на S, изменится и станет равной F' -|- F7; можно
назвать Fr силой, с которой Т действует на S.
3. Далее, если прилагаются поверхностные нагрузки
(например, IF и Р), то сила F становится равной F7 —|— F7 P Fe.
Велнчину F£ можно рассматривать как силу, с которой дейст-
вуют на S поверхностные нагрузки или какой-либо внеш-
ний механизм, ответственный за появление этих нагрузок.
4. Если х, у, z — координаты, определяющие положение
полости или области неоднородности О, то зависит
от х, у, z и можно говорить о F как о силе, действующей
на неоднородность.
Результаты § 5,а приводят к простым выражениям для
F£ и Fr (см. § 5,6). В § 6 вычисляется сила, действующая
на неоднородность. В § 7 выводится выражение для силы,
возникающей на сингулярности или неоднородности, которое
обобщает полученные ранее результаты на случай конечных
деформаций. Для бесконечно малых деформаций это выра-
жение определяет F7 аналогично силам F£ и Fr, что допол-
няет результаты § 5,6.
В качестве первой иллюстрации упомянутых выше сообра-
жений рассматривается известное представление точечного
дефекта как сферы, вставленной в геометрически несовпа-
дающую с ней полость. В этом случае важную роль играют
эффекты изображения. Они дают существенный вклад
в объемные изменения, связанные с наличием дефектов. Учет
эффектов изображения необходим для получения интуитивно
очевидного вывода, согласно которому однородное распре-
деление плотности дефектов приводит к однородному макро-
скопическому расширению тела, содержащего точечные де-
фекты (см. § 8,а). В § 8,6 рассмотрено влияние точечных
дефектов на рентгеновскую интерференционную картину
макроскопически деформированного кристалла. Члены, свя-
занные с существованием сил изображения, также дают
ощутимый вклад в энергию твердых растворов, вычисляемую
в рамках теории упругости (см. § 8 в). В § 8,г проводится
уточнение модели точечного дефекта путем учета влияния
Континуальная теория дефектов
17
анизотропии кристалла, а в § 8,д дефект рассматривается
как неоднородность строения решетки.
Анализу некоторых частных аспектов теории дислокаций
посвящен § 9 (существует несколько очень хороших обзо-
ров общей теории такого типа дефектов; см., например,
[9—11]). В § 9,а дан формальный вывод выражения для
энергии взаимодействия петли дислокации с полем напряже-
ний. Некоторые эффекты изображения, в частности вопрос
о винтовой дислокации в стержне, исследуются в § 9,6.
Выявляющиеся при этом неожиданные особенности влияния
сил изображения представляют интерес в связи с изучением
свойств металлических „усов“. Движение дислокаций (см.
§ 9,в)—одна из наименее ясных проблем теории, однако
в настоящее время этот вопрос не имеет большого практи-
ческого значения. Наконец, в § 10 рассматриваются некоторые
проблемы, относящиеся к поведению неоднородностей ре-
шетки большого масштаба.
II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
§ 3. Основы теории упругости
Для того, чтобы более ясно представить себе основы
обычной теории бесконечно малых деформаций, которой мы
в основном и будем заниматься, лучше всего исходить из
общей теории конечных деформаций. Поскольку некоторые
полученные нами результаты справедливы в общем случае
конечных деформаций, мы сначала приведем простую фор-
мулировку основных положений теории конечных деформа-
ций при произвольном соотношении между напряжением
и деформацией.
В дальнейшем использованы следующие обозначения.
Повторяющийся индекс, принимающий значения 1, 2, 3, озна-
чает, что по этому индексу производится суммирование;
индексы, разделенные запятой, означают дифференцирова-
ние по соответствующей координате:
। । du, d2ui
—en+e22 + e33, — uh jk — dxj dXk ,
Pl], j — Pn, 1 H- Pi2, 2 + Pi3, 3-
2 Дж. Эшелби
18
Дж Эшелби
Символ 8Zy принимает значения 1 или 0, в зависимости от
того, равны или нет / и J. Символ равен 1, если пере-
становка ijk чисел 1, 2, 3 является четной, —1, если эта
перестановка нечетная, и 0 во всех остальных случаях.
Наиболее наглядный способ описания конечной деформа-
ции, возникающей под действием объемных и поверхностных
сил в среде, которую удобно представлять себе в виде
прозрачного желе, заключается в следующем Вообразим, что
пространство разделено на малые кубики прямоугольной
координатной сеткой xt и в нем расположены нити, совпа-
дающие с этой сеткой. После деформирования мате-
риала вставленная сетка совпадет с криволинейной системой
а
Фиг. 2. Конечная деформация.
координат х1 (фиг. 2,а), а форма и размер любой малой
ячейки (которая до деформации была кубической) непо-
средственно характеризуют деформацию в окрестности
выбранной ячейки.
Рассмотрим вектор и, связывающий точки х( и xt неде-
формированной и деформированной координатных сеток.
Континуальная теория дефектов
19
причем будем считать, что xr — xv х2 = х2, х3 = х3. Этот
вектор, очевидно, представляет собой конечное смещение
частицы материала, первоначально находившейся в точке xz.
Поскольку смещение является вектором поля, его можно
рассматривать как функцию прямолинейных xt или криво-
линейных xt координат. Обозначим через u(xz) вектор,
начинающийся в точке xt, а через u (xz) — вектор, оканчи-
вающийся в точке xz.
Тогда соотношения
, . ~. du (xz) du (XZ)
u (Xz) = U (X,). --
1 1 1 dxj dxj
при
xz = xz
просто выражают тот факт, что каждый вектор и связывает
точки xz и xz, имеющие одинаковые координатные числа.
Следовательно, математически нет необходимости различать
лагранжевы xz и „вставленные" xz координаты. Пусть ut—
компоненты вектора и вдоль единичных векторов ip i2, i3
недеформированной координатной системы
U = ит1т = «1’1 4- «2’2 4- «з’з-
Малый кубик с ребрами eip ei2, ei3 (фиг. 2, б) после
деформации превращается в ячейку деформированной коор-
динатной системы, имеющей форму параллелепипеда с реб-
рами ееР ее2, ее3, где
ei QXi (хт^т 4-u) 4~ «m,l)’m* (3.1)
Для построения теории упругости необходимо из ez
(или urr,tl) образовать величину,которая могла бы служить мерой
деформации и в то же время не зависела от ориентировки
элементарной ячейки. Очевидно, в качестве характеристики
деформации могут служить шесть скалярных произведений
• е; —«1,/4-«/, 14-«,п> г«т,;4-^у.
так как они определяют длины ребер (eg/j, ...) и углы
между ними [arc cos^gju/g'^g^)- • и, следовательно, позво-
ляют найти истинную форму и размер ячейки, но не ее
2*
20
Дж. Эшелби
ориентацию. Вместо величин обычно используют компо-
ненты деформации
М- (3.2)
Удалим весь материал, окружающий элементарную ячейку,
и приложим к ее поверхности силы, обеспечивающие сохра-
нение формы, размера и ориентировки ячейки. Пусть е2ру—
сила, действующая па грань ячейки, нормалью к которой
перед деформацией являлась положительная ось Xj. Тогда
числа p,j. определяемые путем разложения вектора Ру по
осям ip i2, i3
Р/ — Plj^l = Plj^l + Pljh Рз/з-
являются компонентами несимметричного тензора напряжения
Буссинека [12]. Уравнение равновесия ячейки, как легко
показать, имеет вид
^- + /, = 0. . (3.3)
где
есть объемная сила, приходящаяся на единичную ячейку
деформированной (или, что все равно, недеформированной)
координатной сетки. Рассмотрение величины работы, про-
изведенной при малой дополнительной деформации тела,
показывает, что
где W— плотность упругой энергии, рассчитанная на еди-
ничную ячейку.
В линейной теории бесконечно малых деформаций [7]
(которой мы и будем пользоваться, если специально не ого-
ворено иное) в тензоре деформации пренебрегают членами
второго порядка
ei]~'2^ui, uj,ii (3-5)
и принимают, что W является квадратичной формой от
V7 = -g- c^/це^е^. (3-6)
Континуальная теория дефектов
21
Индексы упругих констант cijkl имеют ту же симметрию,
что и в произведении е^ек1, т. е. I и J, k и I, а также (ij)
и (kl) можно менять местами без изменения Таким
образом, тензор напряжения симметричен:
Pij — Pji — cijkieki — cijkiuk, /• (З-7)
Кроме того, в изотропной среде
PiJ — ^emm\}-\~^V-el)- (3-8)
Условие равновесия в отсутствие объемных сил имеет вид
= (3.9)
а при наличии объемных сил
^.; + Л = 0- (З-Ю)
В случае изотропной среды уравнение равновесия (3.10)
можно записать для смещения и
p.V2u (X yj grad divu-}-f = 0. (3.11)
Определение поворота, который в сочетании с деформа-
цией etj переводит куб с ребрами eiv ei2, ei3 в параллелепи-
пед с ребрами ееР ее2, ее3, в случае конечных деформаций
представляет довольно сложную задачу. Однако в линейной
теории поворот просто вычисляется как половина ротора
смещения
— 1
— ~2 Zljk и),
Удобнее представить поворот антисимметричным тензором
j ui,iP (3-12)
Оба приведенных определения связаны соотношениями
1
ыгу — — — — ~2
Для последующих приложений удобно выразить поворот
не через а непосредственно через ez и iz. Если ez и 1г
отличаются лишь на бесконечно малую величину, значение
вектора iT X et представляет собой угол, на который надо
повернуть вектор ip чтобы он совпал с вектором е,. На-
правление вектора ix X ei является осью поворота. Тогда
22
Дж. Эшелби
величина */2 (h X 4-Ь X е2)И3 представляет собой х3-ю
компоненту среднего поворота ребер eij и ei2, принадле-
жащих грани элементарного куба, нормалью к которой
является i3 (фиг. 2, б). Действительно, можно положить,
что
“> = у (h X 4-i2 X е2 + >з X е3), (3.13)
так как тогда на основании (3.1)
о>3 — u>i2 = -g- (ij X ei 4- k X е2) i3 = 1 Bi, 2)
в соответствии с ранее данным определением (3.12).
Из соотношений (3.5) и (3.12) получаем
^i),k~eki,) ek],i или <01,й== ziijeki,j- (3-14)
Тензорные поля elf и могут представлять собой
деформацию и поворот поля упругого смещения только
в том случае, если они удовлетворяют условиям (3.14). Но
этих условий недостаточно: чтобы обеспечить существова-
ние смещений, линейный интеграл
Q
—<ot(P) = — J zuiekltldxk, (3.15)
p
определяющий разность поворотов в точках Р и Q, не должен
зависеть от пути интегрирования, соединяющего эти точки.
Для этого требуется, чтобы ротор подынтегрального выра-
жения был равен нулю, т. е.
S/y = 0, (3.16)
где
^ij^epq> ~ elkme]lnelil, nitf (3.17)
В теории упругости непосредственно доказывается, что
равенство нулю Sy в какой-либо области является необхо-
димым и достаточным условием существования смещения в этой
области.
Рассмотрим в недеформироваином материале узкую трубку
с осью, параллельной оси х3. Величина ч)313^х3 определяет
относительный поворот двух поперечных сечений трубки,
отстоящих друг от друга на расстоянии dx3. тогда как w3>1
Континуальная теория дефектов
23
и ш312 характеризуют кривизну трубки относительно осей х,
и х2. Поэтому можно назвать ш(>у тензором кривизны.
Здесь целесообразно дать сводку некоторых элементар-
ных теорем и преобразований, которые понадобятся нам
в дальнейшем.
Если (nz, Сц, рц} и (п', е'^, p'tj)—две совокупности
величин, связанных соотношениями (3.5) и (3.7) и удовлет-
воряющих уравнению (3.9), то, очевидно,
Р1}е'и = Р'чеИ = Piiu'i.i = P'ijui.J = MX j = (P'iJui\ г
(3.18)
Следовательно, дивергенция вектора
Vj = PlJU'l — P'ijUl (3-19)
равна нулю. Тогда в соответствии с теоремой Гаусса имеем
J VjdSj= J" VjdSj-, (3.20)
i, i2
это соотношение справедливо для любых двух поверхностей,
которые могут быть преобразованы одна в другую путем
деформирования таким образом, чтобы в процессе дефор-
мирования поверхности не пересекали сингулярности функ-
ции Vj. Через dSj мы сокращенно обозначили величину tijdS,
где n.j — нормаль к поверхности, dS — элемент поверхности.
В частности, если функция Vj в пределах £ не имеет син-
гулярности, то
j" v/ dS/ = 0. (3.21)
Если материал однороден (С/;*/, т = 0), то разность между
упругим полем и', р'^ и полем, смещенным на небольшое
расстояние вдоль оси удовлетворяет уравнениям теории
упругости. Следовательно, в соотношениях (3.19) — (3.21)
можно заменить ц', р'^ на п' (, р'1} г
Если p.j, р'1} удовлетворяют уравнению (3.10), а не
(3.9), то
I
(теорема взаимности Бетти; см. [13, 14]).
24
Дж. Эшелби
Укажем также на соотношение
f Рце'ц dv = f P^i. j dv = f {(PiSt), dv =
= J р/ун'( dS. + J f.u\ dv, (3.22)
выполняющееся при единственном условии
а7./-ЬЛ = ° и <7 = 4(“'/,/ +“'лО-
Здесь р и е'.у не должны удовлетворять каким-либо до-
полнительным требованиям и могут быть никак не связаны
между собой. В частности, эти величины не обязательно
должны представлять собой тензоры напряжений и дефор-
мации для данного материала. При и' — х{ соотношение(3.22)
принимает вид
J Ptidv = j fpc{dv. (3.23)
z
В однородной изотропной среде или материале с кубической
решеткой ри = ЗКеи, где К — модуль объемного расшире-
ния. В этом случае мы имеем следующее выражение для
изменения объема, вызванного объемными силами с плот-
ностью f и поверхностными усилиями Т:
= [ г • TdS-l--^ f г frfw, (3.24)
о/\ J о/\ J
Если f и Т равны нулю, то Д V = О даже при условии,
что тело находится в состоянии внутреннего напряжения,
т. е. рц =А 0. В дальнейшем нам потребуется также теорема
Стокса, которую мы сформулируем в несколько необычной
форме: для замкнутой поверхности
fw...j_ldSj = fw...mimdSl. (3.25)
£ £
Приведенную формулировку можно получить, применяя тео-
рему Стокса в ее обычном виде к величине или
применяя теорему Гаусса к телу, образованному в резуль-
тате малого смещения поверхности В вдоль оси xt.
Континуальная теория дефектов
25
§ 4. Классификация внутренних напряжений
а. Дислокации Сомилианы. Чтобы от кристаллической
решетки с дефектами перейти к ее континуальной модели,
необходимо поставить в соответствие каждому виду дефек-
тов определенное состояние континуума с внутренними
напряжениями. Для краткости будем говорить о таких
состояниях внутреннего напряжения, как о „сингулярностях".
Большинство сингулярностей, представляющих физиче-
ский интерес, являются частными случаями дислокации
общего типа, описанного Сомилианой [15]. Чтобы построить
дислокацию Сомилианы, мысленно проведем в упругом
теле поверхность С, ограниченную контуром с, и сделаем
разрез вдоль этой поверхности. Сообщим каждой паре
соседних точек, лежащих на противоположных краях раз-
реза, относительное смещение d (фиг. 3), выбрасывая мате-
риал там, где края разреза налагаются друг на друга.
Фиг. 3. Дислокация Сомилианы.
Заполним оставшиеся щели дополнительным материалом и
склеим части тела вдоль разреза. В результате материал
остается в состоянии внутреннего напряжения. Напряже-
ние РцП] {n.j — нормаль к поверхности С) не претерпевает
скачка при переходе через поверхность разреза, но другие
компоненты напряжения р1} и деформации е,у не обязательно
должны быть непрерывны. Физически очевидно (это может
быть доказано математически [15, 16]), что, зная d как
функцию положения точки иа поверхности С и граничные
условия на внешней поверхности тела, мы полностью опре-
деляем результирующее состояние внутреннего напряжения.
Если d — достаточно гладкая функция, то напряжение и
деформация конечны во всем пространстве, за исключением,
может быть, точек, принадлежащих с.
Постоянство d соответствует дислокациям, обычно рас-
сматриваемым в теории твердого тела, —дислокациям
Вольтерра 1-, 2- и 3-го типов [17]. Если d — г X ч>, где г —
26
Дж Эшелби
радиус-вектор точки, а в>— некоторый постоянный вектор,
то получаем дислокации Вольтерра 4-, 5- и 6-го типов.
В физических приложениях эти типы дислокаций находят
применение в качестве континуальных аналогов границы
кручения и наклонной границы, построенных из рядов
дислокаций, которые в духе используемого приближения
необходимо заменить непрерывным распределением дисло-
каций бесконечно малой величины.
При построении модели точечного дефекта выберем С
в виде сферической поверхности малого радиуса и зададим
вдоль нее соответствующее распределение d. Если одно-
врёменно устремить радиус сферы к нулю и увеличить d
так, чтобы смещение на фиксированном расстоянии от по-
верхности сферы оставалось конечным, то получим точечную
сингулярность в математическом смысле этого понятия. Для
многих целей математическая точечная сингулярность является
адекватным представлением физического точечного дефекта.
В качестве простого примера можно принять смещение d
постоянным и направленным по радиус^ сферы С. В этом
случае дислокация Сомилианы строится следующим образом.
Вырежем из матрицы сферу, изменим ее радиус, прибавляя
или удаляя материал, и снова вставим в матрицу. Такая
несовпадающая с размером полости сфера — общепринятая
модель внедренного или замещенного атома.
Упругое поле сингулярности целесообразно разложить
на две части; поле, которое создавала бы сингулярность
в бесконечной среде (и?0, р“), и „поле изображения"
р1^), которое выбирается так, чтобы величины и!ь
удовлетворяли условиям, налагаемым на поверх-
ности содержащего сингулярность реального тела конечного
размера.
Если мы зададим смещение § на поверхности разрывов
Сомилианы, то упругое поле изменится и вместо
«I = (xk) + u'i (xft), Ри = pTj (xft) + pli) (xfc) (4.1)
примет вид
+ Еа), Ptj=P?j(xk—
(4.2)
Континуальная теория дефектов
27
Поле в бесконечной среде при этом испытывает жесткое
смещение, но изменение поля изображения имеет более
сложный характер и может быть найдено только в резуль-
тате решения соответствующей краевой задачи. Чтобы опре-
делить точный вид р^, необходимо наложить условие,
что величина должна стремиться к нулю на бесконеч-
ности, по крайней мере как г~2 в трехмерном и как г~1
в двумерном случае.
б. Тензор несовместности. Способ, при помощи кото-
рого мы ввели поле напряжений, соответствующее данному
дефекту, аналогичен методу, используемому в электроста-
тике, где исходят из постулата, что поле точечного заряда
имеет вид ег/г3. Однако к построению электростатики можно
подойти и иным путем, а именно исходить из представления
о плотности заряда, являющейся „источником” поля, и
определить последнее при помощи уравнения Пуассона. При
таком развитии теории поле точечного дефекта можно
найти, принимая, что распределение плотности заряда опи-
сывается 8-функцией. Нечто в этом роде может быть сде-
лано и. в случае упругого поля. Для тела в состоянии
внутреннего напряжения находим „функцию-источник внут-
реннего напряжения", которая определяет внутренние напря-
жения, если указаны соответствующие граничные условия
на поверхности тела.
В инженерной практике состояние внутреннего напряже-
ния исследуют так: вырезают часть материала и смотрят,
как деформируются вырезанный и остающийся материалы.
Можно следующим образом схематизировать этот про-
цесс [6, 14]. Выберем в теле малый кубический элемент и
вырежем его. Форма и размеры вырезанного кубика будут
изменяться, т. е. он самопроизвольно претерпевает некото-
рую деформацию etj. Повторяя эту операцию в каждой
точке тела xk, мы получим поле деформации elJ(xk), кото-
рое характеризует состояние внутренней деформации. (Оче-
видно, e,j равна по величине и противоположна по знаку
деформации, связанной с внутренним напряжением законом
Гука.) В отличие от поля деформации, создаваемой внеш-
ними силами, etj, вообще говоря, не удовлетворяет условиям
совместности (3.16). Наиболее ясно это видно, если про-
рести предыдущие рассуждения в обратном порядке.
28
Дж. Эшелби
Разрежем свободное от напряжения тело на элементар-
ные кубики и придадим каждому из них постоянную дефор-
мацию e*j так, чтобы поле имело непрерывную
первую и вторую производную, но в других отношениях
было бы произвольным. Для такого поля в общем случае
(^л) О’ Прилагая к поверхностям этих элементов соот-
ветствующие силы, снова вернем им первоначальную куби-
ческую форму и размер и склеим их друг с другом. Удалим
затем объемные силы, обусловленные включением в тело
поверхностных сил. Это приведет к появлению дополнитель-
ной деформации e'tJ, для которой (е'тп) = 0. Теперь в теле
присутствуют напряжения, которые связаны законом Гука
с деформациями Если тело снова расчленить,
каждый элемент испытает самопроизвольную деформацию
еа =еч + е'ч- для КОТ°Р°Й 5</(emn) = 5o(Cn)^°-
Если к внутренней деформации добавляется деформация,
вызванная внешними силами и поэтому равная производной
от смещения, то величина S^, очевиднЪ, не изменится. Сле-
довательно, в этом смысле „тензор несовместности0 раз-
деляет деформацию на внутреннюю и внешнюю. Действи-
тельно, для внутреннего напряжения является функцией-
источником. Другими словами, задав S,y(r) как функцию
положения точки, мы можем в принципе найти деформацию,
разрешив уравнение
— eikmejineia, тп = (4.3)
относительно ekl. Решение этого уравнения имеет вид
. . 1г sij (г') — smm (г') 6/у
ен^) = -ц- —-------i----п-----— dv
' 4л J | г — г |
при условии, что или по крайней мере нормальная
компонента S^n-j равна нулю на границе тела. (Это следует
из решения подобной задачи в общей теории относитель-
ности [18].) Решение, хотя и менее изящное, возможно даже
в случае, когда указанное граничное условие не удовлетво-
ряется.
К любому указанному решению можно добавить общее
решение уравнения а именно ^ = 1/2(и? у + к° /)
при произвольном и°г Следовательно, полное определение
Континуальная теория дефектов
29
состояния внутреннего напряжения при заданном S(;(r) осу-
ществляется следующим путем. Находим какое-либо реше-
ние е1} уравнения (4.3). При помощи закона Гука рассчиты-
ваем напряжения ptj, соответствующие деформациям etj.
Далее определяем необходимые для их создания объемные
силы fi = — Pij,j и поверхностные усилия p^iij. Обычными
методами теории упругости вычисляем создаваемую равными
по величине и противоположными по знаку силами дефор-
мацию удовлетворяющую условию совместности. Иско-
мыми внутренними напряжениями будут те, которые полу-
чаются из деформации + в соответствии с законом
Гука.
Такие расчеты упрощаются, если ввести функцию на-
пряжения = которая связана с р1} так же, как де-
формация etj связана с S^:
Pi] elk:neJlnX.kl, mn‘ (4.4)
Ясно, что для любого Xfei имеет место равенство р^ j = 0.
Саузвелл [19] и Кузьмин [20] непосредственно показали, что
справедливо и обратное утверждение, а именно любой сим-
метричный тензор с дивергенцией, равной нулю, может быть
представлен в виде (4.4), если выполняется одно из следую-
щих ограничений: х12 = Хгз — Хз1 — 0 (форма Максвелла) или
Хи = Х22 = Хзз= 0 (форма Мореры [13]). Для изотропного
случая Кренер [21] упростил задачу и получил соотношение,
непосредственно связывающее тензор несовместности и функ-
цию напряжения
V%-=2p(s0+T^Sm„18z;);
здесь с — коэффициент Пуассона. Кренер [22] рассмотрел
также случай анизотропной среды. Упругую энергию тела
с собственными напряжениями можно выразить формулой
у J KjjSijdv
плюс определенные поверхностные члены, которые исчезают,
если на поверхности тела Sijtij = O [21, 23].
Исходя из заданного состояния несовместной деформа-
ции мы можем построить по образцу (3.2) тензор
= \ (4.5)
30
Дж. Эшелби
Рассматривая gtJ как метрический тензор, связанный
с нашей обычной евклидовой координатной системой, мы
при его помощи определим геометрию, которая в общем
случае может быть не эвклидовой, а римановой. Критерием
этого служит равенство или неравенство нулю тензора Ри-
мана, образованного из gtJ. В трехмерном пространстве, где
тензор Римана четвертого ранга Rprst имеет только шесть
независимых компонент, удобнее вместо него использовать
тензор второго ранга Slj=etpri.jstRprst [24], который, как
можно показать, при выполнении (4.5) тождествен St], опре-
деляемому выражением (3.17). Экарт [25] показал, что
переход к римановой геометрии в этом случае имеет про-
стой физический смысл. Длина дуги в неевклидовой геоме-
трии вдоль какой-либо кривой с, проведенной в теле, опре-
деляется выражением
\{gi]dxidx^\ (4.6)
Эта величина по существу представляет собой истинную
длину вырезанного из тела тонкого искривленного стержня,
Фиг. 4. Прямоугольный контур, находящийся
во внутренне напряженном состоянии (я), и тот же
контур после релаксации внутренних напряжений
в результате разрезания (б).
для которого с является осью и в котором прошла релак-
сация внутренних напряжений. Если мы возьмем замкнутый
прямоугольный контур ABCD (фиг. 4, а) и вычислим
длину (4.6) вдоль каждой из его четырех сторон, то обна-
ружим, что в общем случае sAB =£ sCD, sBC ф sDA. Следова-
тельно, чтобы в петле, образованной из тонкой нити мате-
Континуальная теория дефектов
31
риала, вырезанной из тела, напряжение полностью релакси-
ровали, ее необходимо разрезать (например, у точки А,
фиг. 4, б). Положение концов разреза определяется векто-
ром АА'.
Это имеет прямое отношение к проведенному Франком [26]
рассмотрению контура Бюргерса в кристалле с дислокацией.
Мы проводим контур в „хорошем" материале, окружающем
„плохой". При каждом перемещении на одно межатомное
расстояние вдоль контура в реальном кристалле мы делаем
соответствующий шаг в совершенном кристалле, служащем
для сравнения. Когда в реальном кристалле мы возвращаемся
в исходную точку, в сравнительном кристалле еще остается
некоторый отрезок пути до начальной точки контура (не-
вязка контура). При желании можно обойтись без специаль-
ного кристалла для сравнения. Вырежем из реального кри-
сталла тонкую петлю, заключающую в себе контур, и раз-
режем ее. Мы получили совершенный кристалл, хотя и
имеющий странную форму, но способный служить в качестве
сравнительного кристалла, в котором уже построен контур
Бюргерса и щель АА' прямо указывает невязку контура.
Каков физический смысл Выражение (3.15) дает раз-
ность поворотов в конечных точках кривой, приведенной
в области, где 5^ = 0. Рассмотрим замкнутую кривую с,
охватывающую область, в которой 0. В общем случае
интеграл (3.15) не равен нулю. Используя теорему Стокса,
а также соотношение (3.17), мы можем вычислить его ве-
личину
Д‘°/ = — f SlindSm,
с
|де С — поверхность, ограниченная кривой с. Сначала рас-
смотрим состояние плоской деформации, когда S33 есть
единственная неисчезающая компонента тензора Stj. Далее,
пусть 533 = 0 везде, за исключением малой области вблизи
источника, так что S33 = ш8 (Xj) 8 (х2); тогда
—— J S^dS^ — u.
с
Полученное выражение описывает состояние внутренней де-
формации, которое возникает, если из материала вырезать
клин с углом и) у вершины и соединить края разреза
32
Дж. Эшелби
(фиг. 5, а). Физически такая сингулярность соответствует
наклонной границе зерен с углом ш, оканчивающейся в источ-
нике. Следовательно, S33 определяет число наклонных гра-
ниц, оканчивающихся на единице площади. В более общем
случае Stj характеризует поток дислокаций Вольтерра 4-,
5- и 6-го типов, т. е. число наклонных границ и границ
кручения, которые заканчиваются на единице площади.
Можно получить и точное соотношение, однако очевидно,
Фиг. 5. Соотношение между краевой
и клиновидной дислокациями.
что S,] не может служить адекватной мерой плотности дис-
локаций в кристалле, которые создают разрыв смещения,
но не приводят к вращению. Тождество Бианки 5^=0
выражает тот факт, что дислокация Вольтерра любого типа
не может заканчиваться в среде.
Краевая дислокация может быть получена, если вырезать
щель с параллельными краями, а затем соединить ее края.
Это можно сделать, удалив клин из материала и вставив
вместо него клин с тем же углом сходимости таким обра-
зом, чтобы вершина его была смещена относительно началь-
ного положения (фиг. 5, б). Следовательно, чтобы описать
дислокацию, расположенную в начале координат, мы должны
положить
•>33 — fonst дх2
Если принять, что наклонные дислокации и дислокации кру-
чения Вольтерра аналогичны проводникам с током, то крае-
вые и винтовые дислокации можно считать подобными близко
Континуальная теория дефектов
33
расположенным проводникам, по которым течет ток в про-
тивоположных направлениях [27]. В § 9, г мы еще вернемся
к описанию внутреннего напряжения при помощи дислокаций.
§ 5. Энергия упругого взаимодействия
а. Энергия взаимодействия между системами напря-
жений. Предположим, что в теле, ограниченном поверхно-
стью Ео, имеются две системы внутренних напряжений S
и Т. Источники одной из них, S, целиком лежат внутри
поверхности Е, источники другой, Т, расположены вне Е
(фиг. 6). Если Es— полная упругая энергия тела, когда
Фиг. 6. Схема расположения источников
внутренних напряжений и поверхностей
интегрирования.
и нем присутствуют лишь напряжения S, а Ет — полная
упругая энергия, связанная с системой напряжений Т, то
при наличии обеих систем S и Т упругая энергия тела мо-
жет быть представлена как Es-\- Ет-\- Eas(S, Т). Здесь
£вз (S, Т) = 1 f _|_ рт^ dv
есть, по определению, энергия взаимодействия между S и Т.
Отметим, что в силу соотношения (3.18) оба слагаемых
и интеграле равны. Объемный интеграл можно преобразо-
вать в поверхностный, если учесть, что как вне поверх-
ности Е, так и внутри ее одну из двух рассматриваемых
3 Дж. Эшелби
34
Дж. Эшелби
деформаций можно выразить через смещение. Действительно,
в области // деформацию ejj можно представить как
*/2(Mf y + /)• а Деформацию в области / записать как
^2(“Г/Н" и1) i) (н0 не наоборот). Отсюда получаем
Евз (S, Т)= J pstJ jdv-i- J pij uf } dv.
I и
Так как, согласно уравнению равновесия (3.9), р^и{ f =
= (pSjufy j, то по теореме Гаусса первый член преобра-
зуется в
/ P/Х dSj-
I
а второй принимает вид
J pTrfdSj— f pIijufdSJ.
Знак минус соответствует предположению, что пу- в соотно-
шении dSj — tijdS является внешней нормалью к поверх-
ности £. Интеграл по поверхности Ео обращается в нуль,
потому что на поверхности тела pTl.nj = Q. Следовательно,
мы получаем выражение для энергии взаимодействия между S
и Т в виде интеграла по поверхности, разделяющей эти
системы внутренних напряжений [6]:
Евз (S. Т)= f (pf. ит - Ртч dSr (5.1)
Из вывода выражения (5.1) следует, что выбор поверхности £
произволен, если она лежит в области одновременного су-
ществования и ир аналитически это означает, что
в области, заключенной между двумя возможными положе-
ниями поверхности S, дивергенция подынтегрального выра-
жения равна нулю.
Обозначим через p7tj и напряжение и смещение, вы-
званные не источником внутренних напряжений, а поверхност-
ными усилиями р^Пр в этом случае смещение и7 определено
во всех точках тела. Таким образом, в формуле для упру-
Континуальная теория дефектов
35
гой энергии тела слагаемое, выражающее энергию взаимо-
действия, имеет вид
£вз (S- Т) = f Pfj “i, jdV = f (Pfj uTl), J dv = f Pu “l dSj
-
и равно нулю, так как p^n.j—0 на поверхности тела. Та-
ким образом,
в выражении для упругой энергии член,
отвечающий взаимодействию между внут-
ренними и внешними напряжениями, pa-
вен нулю.
Зная упругую энергию тела, можно при помощи теоремы
Кастильяно или связанных с нею теорем [14] найти реакцию
тела на внешние силы. Поэтому физический смысл сформу-
лированного вывода (5.2) заключается в том, что реакция
тела на внешние силы не зависит от того, имеются ли в нем
внутренние напряжения [28].
Это не означает, конечно, что взаимодействие между
внешними и внутренними напряжениями вообще отсутствует:
помимо упругой энергии, в рассмотрение необходимо вклю-
чить потенциальную энергию внешнего механизма, создаю-
щего внешние напряжения. Можно показать, что действи-
тельно полная энергия взаимодействия не равна нулю и
для ее определения следует воспользоваться выражением (5.1),
в котором Т соответствует внешнему напряжению. Требо-
вание, чтобы поверхность Е служила границей, разделяющей
системы напряжений S и Т, очевидно, в этом случае озна-
чает, что поверхность X должна лежать внутри Хо, но ох-
ватывать все источники S. В частности, можно положить
Х = Х0. Тогда
£B3(S. Л = - J PTljusldSj.
Полученная величина Eaa(S, Т) действительно определяет
искомую энергию взаимодействия в том случае, если она
обладает тем свойством, что разность EB3(S", Т)—EB3(S', Т)
равна разности энергий всей системы в двух различ-
ных состояниях внутреннего напряжения S' и S" при
одном и том же внешнем напряжении Т, поскольку она зави-
сит от перекрестных членов, содержащих S' и Т или S" и Т.
3*
36
Дж. Эшелби
Энергия системы состоит из упругой энергии тела и
потенциальной энергии механизма, создающего усилия на его
поверхности. Первое слагаемое, как мы видели, не вносит
вклада в энергию взаимодействия. С другой стороны, изме-
нение потенциальной энергии равно отрицательному значе-
нию работы, произведенной внешними силами при переходе
от S' к S", т. е.
— f pTlAuT — ^T')dSr
£
Эта величина равна разности ED3(S", Т)— EB3(S', Т), кото-
рую можно вычислить при помощи соотношения (5.1). Сле-
довательно, формула (5.1) в общем случае определяет энер-
гию взаимодействия между внутренним напряжением S и по-
лем внутреннего или внешнего напряжений, или же, если ее
несколько обобщить, того и другого вместе. Действительно,
вместо (5.1) можно написать
cB3(s, т)= J{(Pfy+^)4-P[7(«f+^)}dsr
где иУ, p^j — любое упругое поле, не имеющее сингуляр-
ностей внутри Е; поэтому в силу (3.21) введенные дополни-
тельные члены не меняют величины £’B3(S, Т). Иными сло-
вами, вместо поля и$ можно использовать любое другое
поле, которое внутри Е имеет одинаковые с ним сингуляр-
ности. В частности, мы можем положить — — и' и по-
лучить обычно применяемое соотношение
£B3(S. Т)= j'^p^uj — p^jU^dSj-, (5.3)
£
здесь и и'— смещение в бесконечной среде и мнимое
смещение, упоминавшееся в § 4.
Если можно найти фиктивное распределение объемных
сил внутри Е, которое создает такое же напряжение на
поверхности Е и вне ее. как и действительный источник
внутреннего напряжения, находящийся внутри S, то, исполь-
Континуальная теория дефектов
37
зуя теорему Гаусса, можно свести (5.1) к объемному инте-
гралу
Евз (S, Т) =. — J Is • ur dv, (5.4)
который берется по области, расположенной внутри S.
Эти результаты тесно связаны с функцией Грина для
граничных задач теории упругости [13]. Предположим, что
для некоторой точечной сингулярности в точке Р мы полу-
чили явное выражение для энергии, имеющее вид
£вз(5- Т") = ?(«[• PTtj в точке Р)- (5-5)
Комбинируя это выражение с (5.1), получаем формулу для
вычисления ср в точке Р по заданным поверхностным уси-
лиям. Очевидно, и* является соответствующей функцией
Грина. Подобным образом, рассматривая (5.5) совместно
с (5.3), мы легко найдем ср при помощи „функции Грина для
бесконечной среды" и“, если известны усилие и смещение
на поверхности. Так, например, из выражения (8.9) выте-
кает формула Мак Дауголла |13] для определения дилата-
ции тела через усилия на его поверхности, а вычисление
энергии взаимодействия бесконечно малой дислокационной
петли и внешнего поля (см. § 9, а) позволяет легко получить
соотношение Лориселла для определения скалывающих на-
пряжений при заданных условиях на поверхности [13].
б. Сила, действующая на сингулярность. На основа-
нии вышесказанного мы можем легко получить выражение
для силы, действующей на сингулярность S со стороны
другой системы напряжений Т (при этом понятие силы ис-
пользуется в том смысле, как оно определяется в § 2).
Сила, действующая в направлении хг, очевидно, равна
f __ ]jm Евз (S', Р) Двз (Si Г)
1 е->0 £
где S' обозначает сингулярность, образовавшуюся из S
в результате ее смещения на расстояние е вдоль xt. Чтобы
найти упругое поле сингулярности S', сдвинем поле S как
38
Дж. Эшелби
целое и изменим его так, чтобы оно продолжало удовлетво-
рять граничным условиям на поверхности тела. Отсюда
Kf = «f — ewf 1u'f
Pu = Pu~*Pu.i+p'tr
Поле p'tj свободно от сингулярностей в пределах S и
согласно (3.21) не вносит вклада в энергию взаимодейст-
вия EB3(S, Т).
Таким образом, из (5.1) непосредственно следует, что
^z = (5.6)
г
Разлагая поле сингулярности S на поле в бесконечной среде
и поле изображения и применяя к последнему соотноше-
ние (3.21), находим
Fi~ f (р™^ pTjttf'^dSj- (5.7)
£
Полученные результаты справедливы, если поменять местами
индексы S, Т или оо, Т:
Fi= f tfj. iuSi — PquI i)dSr= (5-8)
£
= J tfj. 1UT PTjuTi.i)dSj. (5.9)
Действительно, разность между (5.6) и (5.8) на основа-
нии (3.25) и (3.18) равна нулю:
f (Pv“z-/’oKD,zd5/ = f — /’f/O,/5z =
I I
= У{pti)uSi,) psi)uTi,
£
(Мы предполагали, что zz| однозначно на поверхности S;
случай, когда это условие не выполняется, обсуждается
в работе [6].) Выражение (5.9) следует из (5.8) в силу ра-
венства нулю, как и выше, членов, обусловленных наличием
Континуальная теория дефектов
39
мнимого поля. Любое из выражений для Ft дает силу изо-
бражения, если uTt, pTtj заменить полем изображения id, р1{..
Это следует из довольно громоздкого развития изложенных
здесь положений [6] или более просто может быть получено
на основании выводов § 7.
§ 6. Энергия взаимодействия между напряжением
и неоднородностью
Предположим, что упругие константы тела, которое под-
вергается действию заданных на его поверхности So усилий,
меняются от точки к точке, так что с^г — определенная
функция положения точки. Пусть при неизменных поверх-
ностных усилиях упругие константы изменились и описы-
ваются теперь другой функцией (новые значения вели-
чин отмечены штрихами). Упругая энергия в результате
изменения упругих свойств тела возрастает на величину
8£уП₽=4 f (P'ije'ij-Pijeij')dv^ <6Л)
= i f Pu(ai~“i)dSr (6-2)
io
Внешние силы при этом произведут работу —8ДВН, равную
удвоенной величине (6.2). Следовательно,
(ЕуПр Дци) — ^'упр ~ ~2 ^*вн- (6.3)
Половина работы внешних сил рассеивается, а половина
идет на увеличение внутренней энергии тела.
Выражение (6.1) может быть записано в форме
8£упр {Pljelj ~P4eij) dv~lf gljekm dV‘
(6.4)
Действительно, разность между (6.1) и (6.4) можно при
помощи (3.18) преобразовать в выражение
i f(p'ij-Pij)(ui-ui)dSr
io
40
Дж. Эшелби
которое равно нулю в силу заданного граничного условия
Ptfli — P'iA;- Можно также написать, что
Чпр = Т f (S'ljkm - Sljkm) P’ljPkm аг>- (6‘5)
если от деформаций перейти при помощи соотношения
etj = sijkmPkm к напряжениям ptj.
Чтобы получить %,-компоненту эффективной силы, дей-
ствующей на неоднородность, нужно, очевидно, положить
с'цкт(хг х2’ хз) = сцкт(х1~&> х2’ хз> вычислить измене-
ние энергии (6.4) и, поделив его на —е, устремить е к 0.
Таким образом,
El= ~2 J” Cljkm, leljekm ~~2 j" {(Cljkmeljekm\ I
— ^ijk^u, tekm} dv = f(Wa — pl}eih dv.
ше. W — плотность упругой энергии. Второй член можно
записать как — р1^и1 — {Ptjui, i), p поскольку ptji j =
Тогда, применяя теорему Гаусса, получаем [6]
f (W^-p^dSj. (6.6)
Как будет показано в § 7, выражение (6.6) определяет
также силу, действующую на неоднородность со стороны
внутренних напряжений, при условии, что в качестве So
берется поверхность, разделяющая неоднородность и источ-
ник внутреннего напряжения.
Согласно соображениям, приведенным в § 2, соотноше-
ние (6.3) означает, что изменения энтальпии и внутренней
энергии при адиабатическом процессе или изменение термо-
динамического потенциала и свободной энергии при изотер-
мическом равны по величине и противоположны по знаку.
Для термодинамической системы, в которой для описания
деформации достаточно задать удельный объем V, в адиабати-
ческих условиях существует определенное соотношение между
энтальпией Н и внутренней энергией Е
h=e—v(~\ ;
\dV]s’
Континуальная теория дефектов
41
в изотермическом случае ему соответствует соотношение
G = F — v(4^)
\dV )т
между термодинамическим потенциалом О и свободной энер-
гией F. Если Е и F—квадратичные функции V, то Н——Е,
G =— F. Соотношение (6.3) представляет собой обобщение
этих результатов на более сложный случай упруго дефор-
мированного тела и является следствием того, что плотность
упругой энергии квадратичным образом зависит от деформаций.
§ 7. Тензор энергии-импульса упругого поля
Для силы, действующей на упругую сингулярность или
неоднородность, можно получить общее выражение [6], ко-
торое охватывает предыдущие результаты и, кроме того,
справедливо в случае конечных деформаций и произвольного
вида соотношений между напряжениями и деформациями.
Чтобы полученное выражение было верно для произвольной
связи между напряжениями и деформациями, необходимо
использовать полные смещения и напряжения, так как для
нелинейных систем подразделение упругих величин на части,
соответствующие внешним и внутренним напряжениям, мни-
мым силам и т. п., теряет всякий смысл.
Начнем с простого случая тела, на поверхности кото-
рого So действуют усилия и которое содержит сингуляр-
ность S, т. е. источник внутренних напряжений или упругую
неоднородность. Временно предположим, что смещения бес-
конечно малы.
Сначала найдем изменение упругой энергии тела Еупр при
смещении S на малое расстояние е в положительном напра-
влении оси хг. Мы можем осуществить это в две стадии:
1) в каждой точке (хр х2, хз) заменим значение ср(хр х2, х3)
любой величины, связанной с упругим полем, на cp(xj— е,
х2, х3); 2) значения измененной таким образом функции ср
на поверхности выберем так, чтобы они снова удовлетворяли
граничным условиям. На первой стадии изменение упругой
энергии, очевидно, будет
84пР=-е f ^^+0(е2)=
= — е JuZdSi + OCe2), (7.1)
Io
42
Дж. Эшелби
где W — плотность энергии. Если предположить, что по не-
которым причинам величина W или ее производные не могут
быть определены в любой точке внутри Ео, то SFynp можно
вычислить, фиксируя значения ср и сдвигая So на расстоя-
ние е в отрицательном направлении оси х}. Очевидно, что
величина 8ЕупР равна взятому с соответствующим знаком
интегралу от W по объему, который на фиг. 7 показан
Фиг. 7. Схем а, иллюстрирующая выбор
области интегрирования при расчете
величины Ь£уПр- «
в виде незаштрихов энной площади; это снова приводит к вы-
ражению (7.1). Из расчета, основанного на рассмотрении фиг. 7,
следует, что заштрихованная площадь не дает вклада в искомую
величину. Таким образом, в случае сингулярностей, для ко-
торых W формально принимает бесконечно большие значе-
ния, мы искусственно исключаем последние.
Если вначале смещения на поверхности были равны и(,
то в конце первой стадии они будут составлять ut—
-|-О(е2). Пусть после завершения второй стадии смещения
равны и«он. Подобным образом, если начальные усилия на
поверхности были РуПр то после окончания первой стадии
они будут (рц — epijil)nj-{-O(e.2), а на протяжении второй
стадии они составляют —eplf Р'цПу где р'ц И3‘
меняются в процессе приспособления к граничным условиям,
причем характер этого изменения зависит от степени „жест-
кости" внешнего воздействия. Во всяком случае, р'^ имеет
величину порядка е. Таким образом, на второй стадии в теле
сосредоточивается энергия
ВЕ'у2’р = f Plj - ut + eut J dS} + О (e2). (7.2)
Континуальная теория дефектов
43
Рассмотрим теперь изменение Евн. Поверхностные усилия
изменяются от p^rij до p^tij 4- О (е), а каждая точка поверх-
ности перемещается на расстояние и1!0" — (порядка е).
Следовательно,
8Е н = - f Plj («'»" - «,) 4- О (е2) (7.3)
И
8(^вн + ^упр) — е J" (Р/jut, 1 — WK^dS] 4- О (е2).
So
К счастью, выражение и'<он—ut. не поддающееся вычисле-
нию и приводящее к появлению в формулах (7.2) и (7.3)
членов порядка е, которыми нельзя пренебречь, обращается
в нуль при суммировании. Таким образом, для силы в на-
правлении Х| имеем выражение
Л = — ^о6"18(£упР + ^вН) = J О*78!/ — Ptftii'ddSj.
Разумеется, мы могли бы аналогичным образом рассма-
тривать смещение сингулярности параллельно оси х2 или х3.
Следовательно,
Fl= [(W^-p^dS,, (7.4)
х
причем в качестве £ принимается поверхность тела £0. Вы-
ражая W и ptj через ctjkl и легко показать, что дивер-
генция подынтегрального выражения Wfl— равна
нулю, если m = 0, т. е. в случае однородного материала.
Следовательно, интеграл (7.4) можно брать по любой по-
верхности 2, которая получается из £0 путем деформирова-
ния, не затрагивающего областей, в которых mz не опре-
деляется или упругие константы изменяются от точки к точке.
Таким образом, £ может быть любой поверхностью, охваты-
вающей, но не перерезающей неоднородность или источники
внутренних напряжений.
Полученный результат непосредственно обобщается на
случай, когда, помимо (или вместо) сил, обусловленных
44
Дж. Эшелби
поверхностными усилиями, на сингулярностьS действует сила,
связанная с присутствием вне Е источников внутренних на-
пряжений. Величина йупр + ^вн не изменится, если опреде-
лить Еупр как упругую энергию в пределах Е, а Евн — как
сумму упругой энергии, сосредоточенной в области между Е
и £0, и энергии, обусловленной внешним воздействием. Теперь
можно повторить предыдущий расчет, выбирая в качестве
поверхности „тела" поверхность Е и трактуя внешнюю от-
носительно Е область как механизм, создающий поверхност-
ные усилия на Е. Такое рассмотрение вполне законно, так
как при выводе выражения (7.4) не накладывалось никаких
ограничений на характер внешнего воздействия, за исключе-
нием требования непрерывности: изменение порядка е какой-
либо одной из величин р^п}, uL, Ева вызывает изменение
того же порядка двух других величин. Очевидно, снова по-
лучается выражение (7.4), причем Е — любая поверхность,
отделяющая сингулярность S от поверхностных усилий и
источников внутренних напряжений, которые трактуются как
источники' сил на поверхности.
Если источники внутренних напряжений вне Е отсутствуют
и энергия Евн равна нулю, то выражение (7.4) дает мнимую
силу, действующую на S и возникающую вследствие наложе-
ния граничных условий или в результате наличия какой-либо
неоднородности в области II (см. фиг. 6), поскольку в наших
рассуждениях не было сделано никаких оговорок, исключаю-
щих последние. Граничные условия, для которых £^„ = 0,
могут быть сформулированы следующим образом: на неко-
торой части Ео поверхностные усилия равны нулю, на осталь-
ной части этой поверхности смещения постоянны. Для слу-
чая, когда граничное условие имеет вид на всей
поверхности Ео, соотношение (7.4) сводится к
Fi= f WdSt\
i»
можно сказать, что изменение энергии при малом смещении
есть просто результат перемещения периферийного упругого
поля S внутри и вне Ео на первой стадии (см. фиг. 7). Со-
гласование смещений с граничными условиями на второй
стадии не приводит к дальнейшим энергетическим изменениям.
Предполагалось, что на первой стадии все упругое поле
смещается. Это, в частности, означает, что изменяются упру-
Континуальная теория дефектов 45
гие константы: cijkl (хр х2, х3) —> с^к1 — е, х2, х3). Сле-
довательно, даже когда в пределах области, ограниченной
поверхностью Е, нет источников внутренних напряжений, то
сила Ft не равна нулю, если внутри этой области имеются
упругие неоднородности. Выражение (7.4) определяет в этом
случае силу, действующую на неоднородность, в соответ-
ствии с (6.6). Если внутри Е имеются как источники вну-
тренних напряжений, так и неоднородности, то Ft пред-
ставляет суммарную силу, причем нельзя разделить указанные
две составляющие.
Выражение (7.4) справедливо также для конечных дефор-
маций и произвольного вида связи между напряжением и де-
формацией, если xt считать лагранжевыми координатами,
a Pfj интерпретировать как конечные смещения и компоненты
напряжения Буссинека, определенные в § 3. Величину dSj
следует рассматривать как элемент поверхности перед де-
формацией. Доказательство этого положения дословно со-
впадает с приведенным выше, за исключением того, что
равенство нулю дивергенции подынтегрального выражения
в (7.4) теперь следует из соотношения
dW{tim,n) dW
dxi ^ui,j
которое справедливо, если W зависит только от uifj и не
зависит явно от xt.
Итак, интеграл
F,= f PjtdS}, (7.5)
£
где
Р)1 = Wbjl Pljul, V
дает силу, действующую на все источники внутренних на-
пряжений и упругие неоднородности в области I (см. фиг. 6).
Сила Ft вызвана поверхностными усилиями на Ео, источ-
никами внутренних напряжений в области II, а также обу-
словлена мнимыми эффектами, связанными с гранич-
ными условиями или наличием упругих неоднородностей
в области II.
В случае линейной теории бесконечно малых деформа-
ций упругое поле можно разложить на отдельные члены.
46
Дж. Эшелби
которые мы обозначим индексами оо, I, Т, Е. Первые соот-
ветствуют сингулярности S в бесконечной среде, вторые
обусловлены эффектами изображения, третьи—действием дру-
। их источников внутренних напряжений и четвертые — внеш-
ними силами (£):
ui = + и' + и] + «f. Plj = pf. -н р'^ -]- рТ. +
Тогда
Fi^F't-YF^Fl,
где
F? = f * = '• E. T.
i
Чтобы проверить это, необходимо только убедиться с по-
мощью (3.18) и (3.25), что соответствующий перекрестный
член в (7.5), например
(Л. Г> = * У = '-Е- Т.оо.
£
равен (К, X) и равен
~2 J (и*рЧ. i рИиЦ №
£
Это выражение равно нулю в силу (3.21), если только
ни под одной из величин X. Y не подразумевается оо. Член
(со, оо) исчезает в виду ограничения, наложенного на
в § 4. Таким образом, мы получили, как указывали в § 5,
обобщение полученных там результатов на случай мнимых
сил.
Функция есть пространственная часть канонического
тензора энергии-импульса не зависящего от времени упругого
поля. Представляет интерес построить полный четырехмер-
ный тензор в общем случае поля, зависящего от времени.
Уравнение движения во „вставленной" системе координат
(см. фиг. 2) можно получить, заменяя в (3.3) силы на
ft — put. В соответствии с (3.4)
•— л— "s-----Ь (7.6)
dxj dui j 1 di r 1 J '
Контиш/амная теория дефектов
47
Это уравнение движения вытекает из лагранжиана
A.= ^pii2—р
для свободного упругого поля при учете внешних сил
ft, которые не входят в лагранжиан. Применяя методы
теории поля [29]. мы можем построить тензор энергии-им-
пульса
Т. = -^-и. у—Ы.,
v- dult л ч*’
(т), Х=1, 2. 3, 4; x4 = Z; w4 = 0).
Его компоненты имеют вид
ТП = PH~i ^П- | Р«2. (7.7)
si= 7^/4 — — Pijui> — = Puiui, i-
Если среда однородна, то выполняется закон сохранения
dgt
+ = (7.8)
dxj 1 dt j i 1.1’ ' >
здесь Г44 — плотность энергии и Sj — вектор потока энер-
гии [13]. Плотность „полевого импульса“ gt отличается от
плотности истинного импульса Ot = put. Мы можем дать
следующее формальное истолкование этой величины. Рас-
смотрим воображаемую частицу, способную двигаться через
среду, и в качестве ее обобщенных координат xt(t) возьмем
величины хр х2, х3, соответствующие точке „вставленной“
координатной сетки на фиг. 2, а, с которой частица сов-
падает в момент времени t. (Конечно, форма координатной
сетки изменяется со временем.) Уравнение движения частицы
имеет вид
4-^—(7-э>
dt oxi dxt
где Т (Хр Xf) — кинетическая энергия частицы и Qt — обоб-
щенная сила, действующая на нее. В частности, можно ото-
ждествить частицу с малым элементом упругой среды, скажем,
с элементарной ячейкой на фиг. 2, б. При движении такой
ячейки х; — 0. Это, однако, не означает, что ее обобщенный
48
Дж. Эшелби
импульс dT(xt, xi)/dxl равен нулю. В действительности, как
легко показать, импульс будет e3p(«z-|-uizzIjZ), т. е. е3 (Oj-f-gj).
Таким образом, плотность полевого импульса есть разность
между истинным импульсом и- обобщенным импульсом эле-
ментарной ячейки, когда движение среды отнесено к коор-
динатной системе, деформируемой вместе со средой. Уравне-
ние (7.8) принимает теперь вид
еэ ^(Gi + gi) езрйпиП1 . = ез {Л _|_ Pnj у) [8Л(. + un> J. (7.10)
Здесь е3[/п + Рл/,/)—декартовы компоненты силы, дей-
ствующей на элементарную ячейку за счет приложенных
объемных сил и со стороны окружающей среды. Множитель
[8Л(- -|- чп J переводит их в компоненты обобщенной силы.
С учетом (7.6) и (7.8) уравнение (7.10) можно преобразовать
к виду
[Pi + Si) (Pij Tjt) = fn $nt + un, i)-
Если существует область v, вне которой возмущение отсут-
ствует, то интегрирование дает
4 / (Ог + gl)dv = ff„ (bni + f) dv, (7.11)
V V
т. e. скорость изменения суммы истинного и полевого им-
пульса равна сумме обобщенных внешних сил, действующих
на все элементарные ячейки. Представляет интерес случай,
когда fn есть производная от потенциала, зависящего только
от абсолютного положения элементарной ячейки (и от вре-
мени), так что fn = dVjd (х(--[- tz(). Подынтегральное выра-
жение в правой части (7.11) просто равно dV(dxi и, сле-
довательно, если потенциал V равен нулю вне области v,
то интеграл обращается в нуль. Так, если упругое поле
изменяется, например, в результате взаимодействия между
движущимися в нем наэлектризованными частицами, то изме-
нение импульса можно вычислить непосредственно, заменяя
плотность истинного импульса О(. плотностью фиктивного
импульса — gj [30].
Некоторые положения теории поля получают простую
интерпретацию в случае упругого поля, если считать, что —
Континуальная теория дефектов 49
„вставленные” (лагранжевы) координаты. Иными словами,
величины ut играют здесь двоякую роль: они представляют
собой и независимые переменные поля и действительное
смещение материала. Так, например, необходимость введения
в соответствие с законом сохранения момента количества
движения определенных „спиновых” членов тесно связана
с тем обстоятельством, что при вычислении соответствующих
моментов плечом служит х(- -ф- ui< а не xt.
Эти результаты относятся к однородной среде, когда L
не зависит явно от xt. В среде с внутренними напряжениями
и упругими неоднородностями мы имеем для статического
случая в отсутствие объемных сил
• (7-12)
Правая часть непосредственно зависит от xt, если W рас-
сматривается как функция независимых переменных xk и иг, k.
Уравнение (7.11) тесно связано с выводом соотношения (7.4).
Однако имеются определенные трудности при использовании
(7.12), которые были обойдены в нашем методе. В простей-
ших случаях методы, изложенные в этом параграфе, могут
быть распространены на динамические задачи (см. § 9, в).
III. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ
§ 8. Точечные дефекты
а. Искажение кристалла. В качестве простой модели
замещенного или внедренного атома возьмем сферу („вклю-
чение”), вставленную в сферическую полость несколько
отличного размера в бесконечно большом блоке („матрице”)
упругого материала.
Очевидно, смещение и30 должно-иметь сферическую сим-
метрию и не возрастать с расстоянием от включения. Дей-
ствительно
сг 1
u“ —cgrady, (8.1)
где константа с — мера „мощности” дефекта.
Выражение (8.1) имеет ту же форму, что и выражение,
описывающее поле вокруг заряженной частицы. Таким обра-
зом, divuxl = 0, У2ця —0 и уравнение (3.11), очевидно,
4 Дж. Эшелби
50
Дж. Эшелби
удовлетворяется при f — 0. Второе решение u = const г
также удовлетворяет уравнению (3.11), так как в этом слу-
чае div u = const и V2u = 0. Сумма указанных решений
представляет собой общее решение уравнения второго по-
рядка по г, к которому приводится уравнение (3.11) для
случая сферической симметрии. Следовательно, (8.1) — един-
ственное решение, которое удовлетворяет нашим условиям.
Соответствующее напряжение будет

(8-2)
Это следует из (3.8) и равенства нулю дивергенции и ротора
смещения. Если дефект введен в любую точку внутри замкну-
той поверхности Ео, проведенной в бесконечной матрице, то
элемент поверхности dS с нормалью п смещается и прохо-
дит объем u°° • n dS. Объем, ограниченный поверхностью So.
возрастает на величину
W = Ju*>- ndS = c f^-dS = 4nc, (8.3)
где второй интеграл просто равен телесному углу, под кото-
рым видна поверхность So из точки, где находится дефект.
Заметим, что изменение объема существует, даже если
в матрице divu;Q = 0.
Допустим, что (8.1) есть решение уравнения упругости,
справедливое для всех г, хотя фактически оно неприменимо
к точкам внутри включения. Формально можно записать, что
V2u°° = — с
= —с?2(Д = 4кс8(г)
= — с grad V2 1 = 4тгс grad В (г).
Из (3.11) следует, что данное смещение ц°° может быть
вызвано объемными силами, плотность которых
f = — 4тсс (Х+ 2|i) grad 8 (г).
(8.4)
В декартовых координатах grad 8 (г) имеет компоненты
(4. <&- ж-)««
Континуальная теория дефектов
51
и (8.4) формально представляет три равные „двойные силы
без момента1' [13], направленные под прямыми углами друг
к другу (см. фиг. 8, а).
Если рассматривать So как свободную поверхность тела,
то необходимо добавить к смещению 11“ мнимое смещение uz,
вызванное поверхностными силами — PTjnj' распределенными
по So. Полное решение задачи возможно получить лишь
в простейших случаях, но всегда мы можем найти измене-
ние объема ДУ7, связанное со смещением и1. Согласно (3.24)
и (8.2),
2р. с ди?
(85>
Г»
Так как —однородная функция степени —2, интеграл
(8.5) равен взятому со знаком минус удвоенному интегралу
(8.3) и
. 2(1—2а)
ДУ7 = 4тгс \ ,
1 +о
где о — коэффициент Пуассона. Полное изменение объема
ДУ = ДУ00 4- ЪУ' = 4ксу, (8.6)
где
7_3 ! —° ЗЛ4-4и 18 71
Мы могли бы найти ДУ и непосредственно из (3.24), под-
ставляя в (3.24) выражение для объемных (8.4) и поверх-
ностных сил и принимая во внимание, что
J г • {grad 8(r)} dv = f = — B(r)|^-tto = — 3.
Здесь ДУ' составляет довольно значительную долю ДУЛ
равную половине при о — ’/з 11 4/г> ПРИ ° — V-i- В отличие
от ДУ“ это изменение объема обусловлено действительной
дилатацией матрицы, хотя в общем случае мы не можем
рассчитать, как распределена эта дилатация.
Энергию взаимодействия точечного дефекта с другой
системой внутренних или внешних напряжений Т можно
определить, используя результаты § 5. Например, замечая,
4*
52
Дж. Эшелби
что выражение (8.4) может быть записано в форме
f=; — AV7C grad 8 (г), (8.8)
из (5.2) получаем
Евз — &VK J иг • grad 8 (г) dv —
= — ДУМ J" 8 (г) div ur du = ДУр7", (8.9)
где рт—гидростатическое давление, оказываемое на дефект
со стороны поля Т. В частности, два точечных дефекта
рассмотренного здесь типа взаимодействуют только через
мнимые поля, так как divu“=0 [31].
Если в теле имеется N дефектов, то изменение его
объема будет равно 4t.~(cN . Мы можем также сделать не-
которые заключения относительно изменения формы тела,
содержащего большое число дефектов, если в какой-то мере
в ущерб строгости рассмотрения совершим переход, кото-
рый в электростатике соответствует переходу от системы
точечных зарядов к их непрерывному распределению [32].
Пусть дефекты рассеяны по всему телу со средней плот-
ностью п дефектов на единицу объема.
Сначала рассмотрим сферу. Из предыдущего обсуждения
и соображений симметрии почти очевидно вытекают следую-
щие выводы. Когда сфера составляет часть бесконечной
среды, то при введении дефектов относительное увеличение ее
объема равно 4тгсп, а поверхность остается сферической, если
не учитывать мелкой ряби, имеющей масштаб среднего рас-
стояния между дефектами, т. е. порядка п~'1г. Между дефек-
тами дилатация равна нулю. Если сфера вырезана из матрицы,
она подвергается дополнительному относительному измене-
нию объема 4лсп(7—1), на этот раз связанному с одно-
родной дилатацией материала. Поверхность остается сфери-
ческой, если, как и в предыдущем случае, не учитывать
ряби. Мы можем суммировать эти результаты следующим
образом:
1) 11“ или и7 в отдельности вызывают изме-
нение объема без изменения формы. (8.10)
2) и“ и и7 вместе вызывают изменение объема
без изменения формы. Относительное изменение
объема составляет 4izcyn. (8.11)
Континуальная теория дефектов
53
3) Между дефектами имеется однородная дила-
тация 4тгс(7— 1)п, которая в 7/(7—1) раз меньше
дилатации, получающейся из общего изменения
объема тела. (8.12)
Попытаемся теперь показать, что положения (8.11) и
(8.12) остаются справедливыми для тела произвольной формы,
чего нельзя утверждать относительно (8.10). Если тело,
ограниченное поверхностью 20, включено в бесконечную
матрицу, то
""W=<=S|7E^. (8.13)
m
Для точки, находящейся вне поверхности Хо и достаточно
удаленной от нее, так что расстояние до ближайшего де-
фекта велико по сравнению со средним расстоянием между
дефектами, смещение приближенно определяется выражением
U°° (г) = cnf |r —r'|3 (8-14)
В соответствии с обычным приближением, принимаемым при
переходе от дискретного к непрерывному распределению
дефектов, будем считать, что приведенное выражение для
смещения справедливо вплоть до поверхности So. Поле сме-
щения описывается выражением(8.14), имеющим туже форму,
что и выражение для электростатического поля равномерно
распределенного заряда плотностью 4лс«, заполняющего
поверхность Ео. Таким образом, вызванная дефектами дефор-
мация Ео, очевидно, не является однородным расширением.
Прямое вычисление мнимых усилий —PTjnj в каждой точке
поверхности £0 с последующим расчетом поля смещения,
созданного в теле свободной поверхностью, по-видимому,
неосуществимо. Поэтому мы воспользуемся косвенным под-
ходом к решению задачи. Согласно (8.4), выражение (8.13)
можно записать в виде
иТ = - (г ~r^’
m
где t/Zy(r) — значение «z(r) в том случае, когда в начале
координат действует единичная точечная сила, направленная
54
Дж. Эшелби
вдоль осн Xj. Таким образом,
и™ = 4т.с~(пК J Utj (г — r') dv =
~4т.с-[пК J Uy (г— r')tijdS.
Это показывает, что вне поверхности Ео смещение ц°° можно
рассматривать как результат действия на элемент dS поверх-
ности Ео объемных сил 4г.^спК dS, сосредоточенных в слое,
прилегающем к этому элементу, и направленных вдоль нор-
мали к поверхности.
Выполним теперь следующую последовательность
операций:
1) Наметим в бесконечной среде поверхность Ео
предполагаемого тела.
2) Введем распределение дефектов внутри So, что
приведет к изменению размеров и формы Ео.
3) Приложим к каждому элементу поверхности Sq
объемные силы —4^cnKndS. Теперь Ео снова примет
размер и форму, отвечающие первой стадии.
4) Отрежем недеформированную матрицу, удаляя
материал вплоть до слоя объемных сил, не затрагивая,
однако, его самого. При этом внутри Ео ничего не из-
менится. Теперь Ео—истинная поверхность тела, но
подверженная гидростатическому сжатию 4т.^спК, так как
слой объемных сил стал теперь поверхностной нагруз-
кой. Поверхность So пока имеет размеры и форму,
которыми она обладала на первой стадии.
5) Устраним гидростатическое сжатие. Тело испы-
тывает однородную дилатацию 4^сп.
Смещение, обусловленное слоем объемных сил, очевидно,
равно —и°° как внутри Ео, так и в матрице. После третьей
или четвертой стадий смещение равно и°° — и°°, а после
пятой стадии оно составляет Так как эти смеще-
ния отличаются на величину однородного расширения и =
~4/зтсТсгег- мы имеем
4 —
и7 = -олтспг — и°°, (8.15)
о 44
Континуальная теория дефектов
55
откуда следует, что смещение и7 неоднородно. Обусловлен-
ная им дилатация, однако, постоянна, так как и“ =—grade?,
где <?—потенциал однородного заряда, заполняющего So
и имеющего плотность сп. Таким образом, divu3° =— V2<?=
= 4лсп и div и7 = 4лсп —1). Выражение (8.14) позволяет
также получить приемлемую величину для „макроскопиче-
ского" смещения (включая мнимые члены) точек внутри тела.
Определим макроскопическое смещение в точке как дей-
ствительное микроскопическое смещение, усредненное по
сфере радиусом R, большим по сравнению с расстоянием
между дефектами. Исходя из того, что (8.14) — потенциаль-
ная функция, легко показать [32], что определенное таким
образом макроскопическое смещение равно
где тт — радиус-вектор, соединяющий интересующую нас
точку с дефектом. Если радиус R достаточно велик, то
первый член будет стремиться к нулю, так как он пропор-
ционален радиусу-вектору центра тяжести большого числа
точек, выбранных случайным образом. Второй член можно
заменить интегралом, поскольку расстояние между дефектами
мало по сравнению с любым гт. Этот интеграл определяется
выражением (8.14), причем сфера радиусом R исключена
из объема, по которому производится интегрирование; однако
исключенная при интегрировании часть пропорциональна
гравитационному притяжению к центру однородной сферы,
т. е. равна нулю. Таким образом, для точек внутри тела
выражение (8.14) дает макроскопическое смещение, не вклю-
чающее мнимые члены.
Так как мнимое смещение, определяемое выражением
(8.15), получается из сглаженной функции иет, нет необхо-
димости производить усреднение, чтобы получить макроско-
пическую величину смещения. Действительно, мы можем
пойти дальше. Если бы при вычислении мнимых нагрузок
— P^jni М1Л исходили 113 точного выражения (8.13) вместо
выражения (8.14), дающего сглаженное смещение, то результат
отличался бы лишь на члены, испытывающие заметные
флуктуации на расстояниях порядка расстояния между дефек-
тами. Согласно принципу Сен-Венана, эта разница должна
56
Дж. Эшелби
ощущаться только на глубине того же порядка; в объеме
материала сглаженное и несглаженное смещения и7 должны
совпадать.
Складывая макроскопическое мнимое смещение и сме-
щение в бесконечной среде и используя (8.15). мы в конеч-
ном итоге получаем следующее выражение для однородного
расширения, связанного с полным макроскопическим сме-
щением:
— — 4
11 = 11°°—и7 -- -^пчспг. (8.16)
О
Таким образом, наше рассмотрение подтвердило, что для
тел несферической формы положения (8.11) и (8.12) остаются
в силе, хотя (8.10) перестает быть справедливым.
Теперь легко разобрать более общий случай, когда плот-
ность дефектов является неоднородной функцией положе-
ния п (г). Разобьем тело на элементарные кубики, в каждом
из которых п почти постоянно. Каждый кубик испытывает
однородную дилатацию 4^7 сп (г). В сплошном теле это
расширение стеснено, что приводит к искажениям и внут-
ренним напряжениям. Проблема идентична задаче об упру-
гом состоянии неравномерно нагретого тела, если темпера-
туру Т отождествить с п, а линейный коэффициент теплового
расширения а — с одной третью изменения объема за счет
одного дефекта. Следовательно,
4
Т(г) — п(г), а = -н-л7С.
О
Для некоторых задач мы можем воспользоваться методами,
уже развитыми для расчета термических напряжений [14].
Здесь мы рассмотрим одну простую задачу, представляющую
определенный физический интерес [33]. Предположим, что
тонкий поверхностный слой массивного тела насыщен де-
фектами (например, в результате облучения), так что п есть
функция глубины и уменьшается до нуля на расстоянии,
малом по сравнению с размерами тела. Пусть п на поверх-
ности имеет значение ns. Расширение элементарного слоя
у поверхности не испытывает противодействия в направле-
нии, нормальном к поверхности, но не может происходить
параллельно поверхности. Следовательно, свободное расши-
рение еп — е22 — е33 — 4^7 cns должно быть дополнено де-
Континуальная теория дефектов 57.
формацией е'^, для которой е'п = е'2 = — е33 и р'3 — 0. (Мы
выбрали ось х3 вдоль нормали к поверхности.) Путем не-
сложного расчета можно получить, что полное удлинение
в перпендикулярном к поверхности направлении равно
. , 1+а
С33 “Ь e33 — С33 1 — а ’
а напряжение (сжатие, если с > 0) в плоскости, касательной
к поверхности, составляет 4ir-ycnJ.[£,/3(l—о)](Д—модуль Юнга).
Следовательно, при определении при помощи рентгеновских лу-
чей расстояния между плоскостями решетки, параллельными по-
верхности, должно получиться значение постоянной решетки,
отличающееся в (1—|—<з)/(1—о)~2 раза от того, которое наблю-
далось бы для тела с однородной плотностью дефектов ns. Если
пучок рентгеновских лучейпроникаетнаглубину,накоторойп(г)
существенно отличается от ns, или если дефекты распределены
в поверхностном слое, толщину которого нельзя считать малой
по сравнению с размерами тела, то необходим детальный расчет
с привлечением теории термических напряжений и рентге-
новской дифракции. Для пластины, где плотность дефектов п
определяется только глубиной и симметрична относительно
средней плоскости, и для цилиндра, в котором п зависит
только от расстояния от оси, имеем
4=1+а_^_ &
е 1— ° п 1— °
Здесь es — удлинение у поверхности в направлении ее нор-
мали, е — относительное изменение радиуса или толщины,
ns — концентрация дефектов у поверхности, п — средняя
концентрация дефектов. Отношение (8.17) принимает вычи-
сленное выше значение при ns п и приближается к еди-
нице, если ns стремится к п.
б. Влияние точечных дефектов на рентгеновскую ди-
фракцию. В § 8, а мы считали очевидным, что изменение
постоянной решетки, определенной рентгеновским методом,
при однородном расширении кристалла за счет дефектов
совпадает со значением, найденным по изменению макроско-
пических размеров. Одно время возникло сомнение в
58
Дяс. Эшелби
правильности сформулированного выше тезиса [34], но, no-
видимому, этот интуитивно полученный результат верен
[32, 35, 36].
Справедливость указанного положения подтверждается
расчетами Хуан Куня [37]. Хуан Кунь рассмотрел сфериче-
ский кристалл, содержащий однородное случайное распреде-
ление дефектов, и принял для смещения узлов решетки
выражение (8.13). Он нашел изменение положений рентге-
новских рефлексов, соответствующее изменению объема,
равному в расчете на один дефект ДУ” [см. (8.3)]. В своих
расчетах Хуан Кунь не учитывал мнимых эффектов, но его
результаты могут быть использованы при рассмотрении
сферы, подверженной однородному гидростатическому давле-
нию, подобранному так, чтобы скомпенсировать мнимые силы,
которые в случае сферы эквивалентны однородному всесто-
роннему сжатию. Удаление сжатия, очевидно, приведет к оди-
наковому изменению рентгеновской постоянной решетки и
геометрических размеров сферы: обе рассматриваемые вели-
чины умножаются на -у. Для тела несферической формы
значение условно сходящихся сумм типа (8.13), используе-
мых в расчете Хуан Куня, зависит от формы кристалла
и пренебрежение мнимыми силами приведет к более слож-
ному искажению результата, чем простая потеря множителя 7.
Метод Хуан Куня довольно трудно распространить на
общий случай, так как он основан на том, что смещение
в точке гго, обусловленное присутствием дефекта в точке г„,
зависит только от разности гт — г„. Это положение пере-
стает быть справедливым при наличии мнимых сил. Поэтому
мы, основываясь на результатах Миллера и Рассела [34],
еще раз с несколько иных позиций рассмотрим вопрос
о соотношении между изменениями измеряемой рентгенов-
ским методом постоянной решетки кристалла и его макро-
скопических размеров.
Предположим, что а,, а2, а3 — базисные векторы совер-
шенной кристаллической решетки, а ЬР Ь2, Ь3 — векторы
соответствующей обратной решетки. Пусть атомы кристалла
расположены в точках г = Lfl.^ где Lt— целые числа, а мак-
симумы рассеяния находятся в точках k — hlbl обратного
пространства, где ht — целые числа. Если кристалл искажен,
то узлы решетки передвигаются в соседние точки (Z-z Д/.;) az,
а максимумы рассеяния смещаются в точки (ht A/zz) bz.
Континуальная теория дефектов
59
Миллер и Рассел вывели следующее соотношение между ДЛ;
и AZ,z:
ДЛ/5^Ау + Л/5ДА/А7 = О, (8.18)
справедливое для малых целых ht. Суммирование произво-
дится по всем точкам кристаллической решетки, а начало
координат помещается в центре тяжести кристалла. Если
принять, что при описании смещения узлов решетки можно
использовать выражение для макроскопического смещения
(8.16), то мы получим
4
ДА.£ = -g- irf CtlL^
Тогда из равенства (8.18) непосредственно следует, что об-
ратная решетка подвергается однородному сжатию, равному
по величине и противоположному по знаку однородному рас-
ширению кристаллической решетки; другими словами, отно-
сительные изменения постоянной решетки и линейных раз-
меров кристалла действительно равны друг другу. Замена
сумм интегралами, которую мы производим, используя (8.14)
вместо (8.13), в рассматриваемом частном случае, по-видимому,
оправдана. Такую замену нельзя произвести, если рассчи-
тывается влияние дефектов на форму линии рентгеновской
интерференции и распределение интенсивности между точками
обратной решетки. Пренебрежение мнимыми членами привело
бы к неоднородной деформации обратной решетки, и между
изменением рентгеновской постоянной решетки и макро-
скопической деформацией кристалла не существовало бы
простой связи. Учет этих членов здесь, как и в других слу-
чаях, не только является физически оправданным, но и упро-
щает рассматриваемую проблему.
Если сферический кристалл радиусом R содержит один
дефект, расположенный на расстоянии £ от центра, то можно
показать [32], что
ДУх=-|
где ДУо—геометрическое изменение объема, а ДУх—та же
величина, полученная на основании рентгеновских измерений.
Чтобы избежать громоздких расчетов, основанных на теории
упругости, мнимыми эффектами пренебрегают. При Е = 0
ДУх — 2,5ДУс.
60
Дж. Эшелби
Миллер и Рассел первоначально основывались на этом ре-
зультате. Однако если дефект отстоит от центра
более чем на 3/4 расстояния до поверхности сферы, то AVx
меньше, чем ДУа- Действительно, если принять, что вели-
чина £2 равна ее среднему значению по сфере 3/5 R2, то
ДУх = IWq. Следовательно, при равномерном распределе-
нии дефектов внутри сферы геометрическое расширение
должно быть равно расширению, измеренному рентгеновским
путем. Очевидно, это равенство сохраняется и после введе-
ния мнимых членов.
в. Твердые растворы. До сих пор мы могли трактовать
точечный дефект просто как центр дилатации. Чтобы рас-
смотреть твердые растворы, мы должны связать мощность с
центра дилатации с параметрами модели „сферы в полости“.
Это просто осуществить, когда упругие свойства сферы и
матрицы одинаковы. Пусть Унесов = V) — Уй—разность между
объемом сферы Vt и объемом полости Vh перед тем, как
сфера вставляется в полость. Легко представить себе такой
случай, когда величина Унесов отрицательна, т. е. мы можем
считать, что сфера свободно вложена в полость. Эту кон-
фигурацию можно рассматривать как недеформированное
тело, к которому применимо выражение (3.24). Если соеди-
нить поверхности сферы и полости и склеить их, то мы
получим тело в состоянии внутреннего напряжения. Согласно
(3.24), объем материала при этом не изменится. Следовательно,
исключенный пустой объем Унесов должен быть сбалансиро-
ван равным уменьшением объема, заключенного внутри гра-
ничной поверхности матрицы [13, 38]. Таким образом, если
включение и матрица характеризуются одинаковыми упругими
константами, то мы имеем просто
^несов’
Уцссов
Если материал матрицы и включения различен, то из
(3.23) следует только, что для составного тела интеграл по
объему от гидростатического давления равен нулю, и воз-
никает необходимость в более полном расчете. Можно
было бы решить общее уравнение упругости, наложив усло-
вие сопряжения поверхностных усилий и смещений на гра-
нице между матрицей и включением. Однако предлагаемый
Континуальная теория дефектов
61
нами метод менее громоздок и, кроме того, позволяет не-
посредственно получить необходимые для дальнейшего све-
дения относительно упругой энергии дефекта.
Когда включение помещено в полость, общая граница
между включением и матрицей будет, очевидно, занимать
положение, промежуточное между поверхностями полости и
включения до сопряжения. Пусть LVh и — соответственно
изменение объема полости и включения. Включение, оче-
видно, подвергается однородному гидростатическому давле-
нию; его упругая энергия определяется выражением
(8.19)
В бесконечной матрице смещение задается выражением (8.1).
Прямой расчет с использованием (8.2), (3.8) и (3.6) показы-
вает, что плотность энергии на расстоянии г равна
Интегрируя, получаем отсюда энергию внешней области сферы
объемом Vh:
„ _ 32^с»
т~ ЗУЛ *
Но AVft—это как раз значение ДУ°°, связанное с с выра-
жением (8.3). Следовательно,
_2 (AVft)»
‘-'ш — 3 Hn vh (O.2U)
Можно представить себе, что полость расширяется за счет
внутреннего давления. Сравнение выражений (8.19) и (8.20)
показывает, что изменение объема полости и внутреннее
давление связаны так же, как изменение объема твердой
сферы и внешнее давление, если „эффективный объемный
модуль при расширении полости' принять равным 4/зНт 1^9].
Так как внутреннее давление в полости должно быть равно
внешнему давлению на включение, мы имеем
4 п _ /г д^
3 yft — Vl •
или, с точностью до членов первого порядка, просто
4
62
Дж. Эшелби
Из соотношения ДУЛ — ДУ, = Унесов следует
ДУл^ДУ'я=4;гс = —н“^-. (8.21)
Здесь
„л__
* 3Kt
т. е. выражение для 7' имеет ту же структуру, что и (8.7),
но зависит от объемного модуля включения и модуля сдвига
матрицы. Предположим, что соотношение (8.6) существенно
не изменится при наличии неоднородного включения. Тогда
(8.21) дает
ДУ Танеева
Из (8.19) и (8.20) находим полную энергию дефекта
' = + (8.22)
Будем рассматривать Es как „собственную энергию" дефекта
в отличие от энергии его взаимодействия с другими систе-
мами напряжений, в частности созданными другими дефек-
тами.
Рассмотрим разбавленный твердый раствор замещения
металла в металле Л12. Пусть йр Й2 — атомные объемы
этих металлов. Если в кристалле, содержащем W атомов М2,
заменить CN из них атомами Мг, то его объем станет рав-
ным Л(й2-f-C/V ДУ, где ДУ—объемное расширение, обус-
ловленное одним атомом Л4Р Таким образом, если 7 = 7'
(одинаковые упругие константы растворителя и растворен-
ного вещества), то для рассматриваемой упругой модели
растворенных атомов
Й(С) = 22 + С(У,-Ул).
!
Если /И, и М2 имеют одну и ту же кристаллическую струк-
туру, то, по-видимому, целесообразно положить
Й, = ^У,. Q2=kVh. (8.23) i
Тогда
2(С) = СЙ14-(1 — С) й2 + (й— 1)(Й1 —22)С. (8.24)
Континуальная теория дефектов
63
Задача определения k выходит за рамки континуальной тео-
рии. Выбрав k — 1, получаем закон аддитивности атомных
объемов:
S (С) = 4- (1 — С) Q2,
что в линейном приближении равносильно аддитивности
атомных радиусов (закон Вегарда)
г(С) = Сг14-(1—С)г2.
(8.25)
В том же приближении при смещении вдоль оси составов
на диаграмме состояния сплавов относительная степень из-
менения постоянной решетки (\jr)(drldC) имеет неизменную
величину
По-видимому, нет особых оснований принимать Л=1.
Например, было бы соблазнительным считать радиус полости
или включения равным расстоянию между ближайшими со-
седями в соответствующем металле. Для гранецентрированной
кубической решетки это дало бы k = 3 ]/ 2/я и привело
к нарушению справедливости равенства (8.25). При обсужде-
нии вопроса об энергии сплавов мы примем й=1; в каче-
стве оправдания этого допущения может служить прибли-
женное выполнение закона Вегарда.
Если растворенное вещество и растворитель имеют раз-
личные упругие константы, то, учитывая (8.21), получаем
a(O = s2+-Xc(Vz-vA).
При k — 1 это дает
г(С) = Сг 14- (1 —С) r24~fiC,
где
₽ = зГ (кГ “ кг)(г’ “ г2>
Следовательно, в зависимости от того, будет ли величина 'р
положительна или отрицательна, действительные значения г (С)
должны лежать выше или ниже значений, предсказываемых
законом Вегарда [40, 41]. Фридель |41] показал, что это
положение качественно выполняется, и провел также коли-
чественное сопоставление.
64
Дж. Эшелби
Теперь рассмотрим упругую энергию сплава. При доба-
влении каждого последующего растворенного атома энергия
сплава возрастает на величину Es [см. (8.22)] плюс энергия
взаимодействия с мнимыми полями всех предшествующих
атомов. Мнимое гидростатическое давление равно величине
—К ДУ7, умноженной на число дефектов в единице объема.
Так как мнимое давление линейно возрастает с концентра-
цией, то отнесенная на один атом средняя энергия взаимо-
действия с мнимыми полями равна */г К ДУ ДУ7. Полагая
в (8.23) А=1, легко найти энергию, приходящуюся на один
атом сплава
Е (С) = ESC [ 1 - • (8.26)
Свободная энергия на атом будет
F(p) = E(p)-TSm,
где SCM—'конфигурационная энтропия смешения. Энтропия
—dFjdT слагается из энтропии смешения и дополнительного
члена
е дЕ(С)
— дТ~'
где величину Д5 можно оценить, предположив, что Е зави-
сит от Т только через температурное изменение упругих
констант, входящих в (8.26) [42, 43]. Фридель [42] нашел
хорошее согласие между теоретическими и эксперименталь-
ными величинами Е и Д5 для сплава AuNi.
Если растворитель и растворенное вещество имеют почти
одинаковые упругие свойства, то в (8.26) можно положить
7 — у'. Кроме того, Es будет иметь одинаковую величину
как при внедрении атома в матрицу М2, так и наобо-
рот, при внедрении М2 в Мг. Тогда формула
Е(С)^-^-62С(1_С) (8.27)
будет справедлива как при С 1, так и при (1—С)<^1;
следовательно, ее можно считать и приемлемой интерполя-
цией в область промежуточных составов. Выражение (8.27)
описывает простую параболическую зависимость от состава,
предсказываемую химической теорией сплавов. Входящая
Континуальная теория дефектов
65
в формулу постоянная зависит от упругих констант, атом-
ного объема и значения несовпадения е, равного относитель-
ному изменению постоянной решетки с составом.
На основании (8.27) можно дать формальный вывод пра-
вила Юма-Розери, согласно которому растворимость резко
ограничена, если | е | превосходит 15%. Согласно химической
теории сплавов [44], на диаграмме температура — состав
имеется куполообразная двухфазная область с максимумом
при С = */и и значении Т, для которого величина kT равна
половине коэффициента при С(1—С) в выражении (8.27)
(k — постоянная Больцмана). При наличии области существо-
вания непрерывного ряда твердых растворов температура Т
должна быть меньше температуры плавления сплава Тт. Это
дает
При разумных значениях постоянных получаем, что предель-
ное несовпадение |е| примерно равно 15% [42]. Более изящно
подобный результат можно получить при помощи теории
плавления Лейбфрида [45], которая непосредственно дает,
что kTrrJy.Q — 0,042. Иначе эту величину можно записать
как RT^I^Vм, где./?— газовая постоянная, VM—молярный
объем. В этой форме мы можем связать правило Юма-Ро-
зери с двумя другими эмпирическими правилами. Правило
Ричарда (см. [46]) гласит, что энтропия плавления примерно
равна /?, так что величину ftZ^/p.2 можно приравнять скры-
той теплоте плавления единицы объема, поделенной на мо-
дуль сдвига. Брэгг [47] заметил, что эта величина для многих
металлов близка к 0,034. При = 1,5 для двух указанных
значений /г7'т/р2 величина | е | составляет соответственно
14,5 и 13%.
г. Точечные дефекты в анизотропной среде. Два то-
чечных дефекта, рассмотренные в § 8, а, не взаимодействуют
друг с другом, если не считать косвенного взаимодействия
через мнимые поля. Это положение справедливо при выпол-
нении двух довольно специальных условий: 1) энергия вза-
имодействия пропорциональна дилатации, обусловленной одним
дефектом в точке нахождения другого; 2) дилатация, связан-
ная с каждым дефектом (в отсутствие мнимых членов),
равна нулю.
Б Лж. Эшелби
66
Дж. Зшелби
Условие (1) может быть нарушено, если выбрать менее
симметричный дефект. В модели „сферы в полости" вместо
несовпадающей сферы можно рассматривать эллипсоид или,
более абстрактно, заменить равные двойные силы, изобра-
женные на фиг. 8, а, неравными (фиг. 8, б). При равной ве-
личине горизонтальных сил фиг. 8, б представляет модель
а 6
"ф и г. 8. Пересекающиеся двойные силы.
внедренного атома )бглерода в железе. Для этого случая
вместо (8.4) можно написать
f> = ~a4 ^8(г)-
Повторяя рассуждения, приведшие от (8.8) к (8.9), по-
лучаем
£вз = — al}uTh } = — a^j. (8.28)
Последнее равенство вытекает из требования, что силы,
плотность которых равна не должны давать крутящего
момента. Отсюда следует симметрия тензора atj. Взаимо-
действие теперь зависит не от дилатации, а от более общей
линейной комбинации компонент деформации или напряжения,
создаваемых источником Т, с которым взаимодействует
дефект.
Вместе с тем, если мы отбросим ограничение относи-
тельно изотропности среды, то второе условие уже не бу-
дет удовлетворяться, даже если взять симметричную систему
сил, представленную на фиг. 8, а.
Рассмотрим более детально материал с кубической ре-
шеткой, содержащий точечный дефект, поле которого имеет
Континуальная теория дефектов
67
кубическую симметрию. Уравнения равновесия в этом слу-
чае имеют вид
С44?Ч + (С12 + М-Г- + * ^гг+Л = 0 (8.29)
о х у
и два уравнения, подобных написанному; здесь — упру-
гие константы cZ;ftz в обычной сокращенной записи [7]. Ве-
личина
d = Сц Cj2 — 2с44
в случае изотропной среды обращается в нуль. Чтобы опре-
делить поле дефекта, мы можем потребовать, чтобы сме-
щение уменьшалось с расстоянием и имело кубическую сим-
метрию, или, что равносильно, решать уравнение (8.29) при ft,
заданных выражением (8.4). Если выбрать второй путь, то
мы сразу видим, что энергия взаимодействия с системой на-
пряжения Т определяется соотношением (8.9), причем пере-
ход от (8.8) к (8.9) справедлив и для случая кубической
решетки. Коэффициент AV в выражении (8.8) по-прежнему
представляет собой полное изменение объема, обусловленное
дефектом; это следует из выражения (3.24), которое спра-
ведливо и для кубической решетки. (Объемный модуль
К = сп 2с12.)
Поле дефекта можно было бы просто найти дифферен-
цированием, если было бы известно смещение, вызванное
точечной силой'в кубической среде. К сожалению, упругое
поле точечной силы в среде, отличной от изотропной или
гексагональной, не может быть получено точно [48, 49],
что существенно мешает решению какой-либо нетривиальной
трехмерной задачи теории упругости в анизотропной среде.
Таким образом, приходится довольствоваться приближенным
решением.
Запишем ctJ в виде ctj — c°tj -ф- с'у, где с01}. удовлетво-
ряет условию изотропии —с°12—2с“4 = 0. Если рассма-
тривать c'{j как малую величину, можно решить (8.29) с уче-
том (8.8) методом последовательных приближений. С точ-
ностью до членов второго порядка дилатация определяется
выражением [50]
ДР7</ 15 d х1+х2 + лз~
₽“(г) = ^Ь(г) + -^-о--------------р-----—I- (8-30)
си 8к сп ' >
5*
68
Дж. Эшелби
Величина зависит от способа выделения изотропной со-
ставляющей из ctj. Лифшиц и Розенцвейг [48J ограничились
„слабой анизотропией" и фактически приняли с^ — сп. При
использовании метода усреднения, предложенного Лейбфри-
дом [51], получаем, что
cii = 5" (сп + 2с12 + 4^44)-
Для большинства материалов, видимо, нет способа предста-
вить Сц так, чтобы величина. с'[}. была существенно меньше с°^.
Хорошее приближение достигается, если заменить в (8.30)
на X—|— 2 р., где X и р — коэффициенты Лямэ для поликри-
сталлического материала.
Величина ДУ°° находится интегрированием (8.30) по всему
пространству; таким образом, она просто равна коэффици-
енту при В (г). (Второй член исчезает при усреднении по
всем направлениям.) Легко показать, что ДУ. ДУ7 и ДУ00
связаны соотношением (8.6), где 1 — т. е. у имеет
значение, вычисленное при помощи усредненных констант
изотропного тела.
Из (8.30) и (8.9) вытекает выражение для энергии взаи-
модействия между двумя такими дефектами, для которых
ДУ = ДУ( и ДУ = ДУ2
„ 15d Г
^вз 8^2" ^2 уг >
где
г—расстояние между дефектами, а (/, т, п) — направляю-
щие косинусы соединяющей их прямой. Как функция угла Г
имеет максимум в направлении [100], минимум в направле-
нии [111] и седловую точку в направлении [110]. Следова-
тельно, каковы бы ни были знаки ДУР ДУ2, d, имеется на-
правление, вдоль которого взаимодействие дефектов пред-
ставляет собой притяжение.
Обобщая рассуждения, проведенные в § 8, а, можно по-
казать, что однородное распределение дефектов обусловли-
вает однородную макроскопическую дилатацйю. Однако вслед-
ствие наличия второго члена в (8.30) утверждение о том,
Континуальная теория дефектов
69
что дилатация между дефектами однородна, уже не является
строго справедливым. Это не относится, однако, к вычисле-
нию энергии сплава, поскольку при усреднении по всем
узлам упомянутый член обращается в нуль, если только
атомы не занимают относительно друг друга упорядоченных
положений.
д. Точечные дефекты как неоднородности. При рас-
чете „мощности" точечного дефекта в § 8, в на основе мо-
дели сферы в полости мы рассмотрели общий случай, когда
сфера и окружающий ее материал имеют различные упругие
константы. В этой модели дефект является одновременно
источником внутреннего напряжения и упругой неоднород-
ностью в том смысле, как это рассматривалось в § 6. До
сих пор мы пренебрегали взаимодействием дефектов как не-
однородностей. В соответствии с линейной теорией упру-
гости эту сторону поведения дефекта можно рассматривать
отдельно от его действия как источника напряжений. Таким
образом, мы теперь рассмотрим точно совпадающую с по-
лостью сферу из материала с константами X', р/, вставлен-
ную в среду с константами X, р. Пусть в однородной среде
поверхностные силы создают однородную деформацию
Если в среду вставлена сфера, то, согласно (6.4), изменение
полной энергии будет
Евз = у / {(*•'— Х)еТе' + 2 — I1) eTije'i/} dv-
Здесь — деформация во включении, а интеграл берется толь-
ко по сфере (так как вне ее упругие константы не меняются).
Можно показать, что деформация е'^ однородна [50]. Де-
формация е’ц представляет собой линейную функцию е7^; на
основании соображений симметрии эта функция должна быть
изотропной, например
= + (8.31)
так что
£вз= -1 й {Л(ег)2-|- }; (8.32)
Здесь S — объем, который при конкретных расчетах можно
для удобства положить равным объему, приходящемуся на
70
Дж. Эшелби
атом, Л и М имеют размерность упругих констант и могут
бить вычислены. Их отношение является определенной функ-
цией X, [х, X', р/, но было бы преувеличением возможностей
выбранной модели полагать, что это соотношение удовле-
творяется, если, например, применить (8.32) к рассмотрению
взаимодействия вакантного узла решетки с полем напряже-
ний. Лучше трактовать Л и М как независимые константы,
которые в принципе могут быть определены по макроско-
пическим упругим константам материала, содержащего боль-
шое число дефектов. Действительно, при постоянной внеш-
ней нагрузке нормальная плотность упругой энергии
'/jk (ег)2 -р- [см. (6.3)[ изменяется на —пЕвя, где п —
число введенных дефектов в единице объема. Следовательно,
кажущиеся упругие константы равны
^'каж “1“ СЛ, Ркаж Р “I- СМ,
если С—атомная концентрация дефектов.
Мы считали деформацию однородной, но можно при-
менять (8.32) и в случае неоднородного поля при усло-
вии, что оно слабо меняется на расстоянии порядка размера
включения. Таким образом, сила, действующая на неодно-
родность со стороны поля напряжения Т, равна
Ft = S (Ле% 4- 2Л4е[.} е}. (8.33)
Хотя мы вывели это выражение для частного случая, когда
деформация вызвана внешними приложенными силами,
оно должно выполняться также, если — внутреннее на-
пряжение, вследствие того, что выражение (6.6) [из которого
фактически было получено выражение (8.33)[ совпадает с об-
щим выражением (7.4), охватывающим все случаи.
Соотношение (8.32) имеет такой же вид. как и (8.28),
если считать Оу линейной функцией eTtj. Расчет показывает,
что в то время как внутри сферы возмущение е'.. — е^.,
которое обусловлено присутствием сферической неоднород-
ности, имеет постоянное значение, задаваемое выражением
(8.31), вне сферы это возмущение совпадает по форме с по-
лем напряжения, вызванным силами типа представленных на
фиг. 8, б. Следовательыю, можно говорить, что приложен-
ное поле „индуцирует" сложный точечный дефект в неодно-
родности, а затем вызывает действующую на него силу.
Континуальная теория дефектов
71
Для двух точечных дефектов 1 и 2, находящихся на рас-
стоянии г, мы получим из (8.32), (8.2), (8.6):
Евз = —6S (Mj AV? + М2 AV?) ,
где смысл принятых обозначений очевиден, и посредством
дифференцирования найдем силу, направленную вдоль г:
F = —362 [All AV? + М2 AV?} -А-. (8.34)
Когда мы определяли силу, вычисляя интеграл (6.6) по по-
верхности, окружающей дефект 1, мы могли ожидать, что
полученное выражение будет соответствовать лишь первому
члену в (8.33). Однако детальный расчет показывает, что
имеется и второй член, соответствующий мнимой силе, дей-
ствующей на дефект 1, благодаря присутствию сферической
неоднородности 2, так что выражение (8.34) является пра-
вильным.
§ 9. Дислокации
а. Энергия взаимодействия. Чтобы провести формаль-
ный расчет энергии взаимодействия поля напряжения S ди-
слокационной петли с другим полем напряжения Т, не исполь-
зуя явного выражения для поля дислокации, по-видимому,
необходимо сделать три следующих допущения:
1. При обходе любого контура с, охватывающего дисло-
кационную линию, смещение изменяется на постоянный век-
тор b
с
2. Если г — радиус-вектор, проведенный из любой фикси-
рованной точки на дислокационной линии, то
lim r«f(r)=O.
r->0
3. Интеграл
равен нулю даже в тех случаях, когда он берется по по-
верхности, ограничивающей объем, пересекаемый дислока-
ционной линией. Предположение 1) выражает характерную
72
Дж. Эшелби
особенность дислокаций. Допущение 2) исключает другие
линейные сингулярности, например непрерывный ряд центров
дилатации [13], совпадающий с дислокационной линией, в то
время как 3) говорит об отсутствии объемных сил вдоль
дислокации. Допущение 2) обеспечивает сходимость интеграла,
входящего в 3), даже если напряжения становятся бесконеч-
ными в точках пересечения дислокаций с поверхностью.
Пусть С — поверхность, ограниченная дислокационной
линией. Воспользуемся выражением (5.1), причем в качестве
поверхности интегрирования Е, тесно „обволакивающей" С,
выберем поверхность, состоящую из поверхностей и S2,
параллельных С и соединенных трубкой т, осью которой
Фиг. 9. Выбор поверхности интегрирования
при вычислении энергии взаимодействия.
является линия дислокации (фиг. 9). Когда радиус трубки т
стремится к нулю, второй член в интеграле (5.1), вычисляе-
мом по поверхности трубки, исчезает в силу предположе-
ния 2), так как pTtj полагается непрерывным в окрестностях
трубки. Разбив трубку на большое число малых сегментов,
убедимся, что первый член в (5.1) также исчезает при умень-
шении диаметра трубки т в силу условия 3) и непрерыв-
ности итг В выражении для энергии остаются члены, соот-
ветствующие интегрированию по S, и S2. Первый член в (5.1)
не вносит никакого вклада (в силу непрерывности pstj и uj"
на поверхности С); остающийся член дает
Двз (S, Т) = f (- рг.и?) dSj = btf рт. dSj. (9.1)
Xl + Ej
так как при переходе через поверхность С испытывает
скачок bt.
Пусть форма петли изменилась в результате того, что
ее малый отрезок, имеющий длину I и направление s, по-
Континуальная теория дефектов
73
лучил смещение g. При этом к С добавляется новый эле-
мент поверхности; Is X § есть произведение его площади
и нормального вектора; соответствующее изменение энер-
гии (9.1) будет равно
^вз ($• — ^lPTlj^jklSh^V
Следовательно, мы можем рассматривать величину
= &kj ^iPTijsk
как силу, действующую на единицу длины дислокации [52,
53]. Для бесконечной краевой или винтовой дислокации, па-
раллельной оси х3, (9.2) приводит к известным результатам
Fl = bp^, F,2~— bpTn (краевая дислокация), (9.3)
Fl = bp'!a, Р2~ — bPis (винтовая дислокация). (9.4)
В первоначальном расчете Келера [54] было получено не-
правильное значение численного множителя, входящего в вы-
ражение для Fx в (9.3), что, конечно, не играет роли, если
ограничиться рассмотрением равновесия при FI = 0. Метод
Келера сводится к вычислению интеграла (7.5) при прене-
брежении членом РцЧ^ [. Поэтому результат зависит от формы
поверхности S. Метод Рида и Шокли [55] эквивалентен вы-
числению того же выражения, но при пренебрежении чле-
ном Результат при этом также зависит от выбора S,
но верен для взятой авторами поверхности (две параллель-
ные плоскости, расположенные выше и ниже плоскости
скольжения). Лейбфрид [56] впервые ясно показал, что члены,
отражающие взаимодействие между внешними и внутренними
напряжениями в выражении для внутренней энергии, равны
нулю. Как следует из его результатов, выражение (5.1) дает
правильное значение силы, действующей на дислокацию
вследствие наличия поверхностных усилий или другой ди-
слокации, но не за счет точечного дефекта. Эта трудность
была в дальнейшем преодолена [5, 6].
Подробное обсуждение взаимодействия между различными
конфигурациями дислокаций можно найти в работах [9, 10].
Блин [57] получил выражение для энергии взаимодействия
двух дислокационных петель в виде линейного интеграла.
Набарро ]58] составил решение уравнения Пайерлса —
Набарро для двух краевых дислокаций и однородного внеш-
74
Дж. Эшелби
него напряжения. Он показал, что внешнее напряжение в этом
случае должно иметь такую же величину, какая, согласно соот-
ношению (9.3), необходима для того, чтобы при равновесии
суммарная сила, действующая на каждую дислокацию, была
равна нулю. Поскольку это один из немногих случаев, когда
можно установить прямую связь между теорией упругости
и приближенным атомным рассмотрением, по-видимому, имеет
смысл кратко обсудить решение соответствующей задачи
для винтовых дислокаций, для которых анализ довольно
прост.
Смещение вокруг винтовой дислокации в бесконечной
изотропной среде везде параллельно дислокационной линии
(которую мы примем за ось z); в декартовых и полярных
координатах оно имеет величину
Ь , у 60
чт = -к— arctg — = -5— • (9-5)
& х 2тг v '
Согласно условию Пайерлса — Набарро напряжение и сме-
щение в атомных плоскостях, прилегающих к плоскости
скольжения, должны удовлетворять соотношению
pb . 4r.w /n
где a — расстояние между атомными плоскостями, парал-
лельными плоскости скольжения.
Как известно, выражение (9.5), полученное на основании
только теории упругости, само по себе удовлетворяет соот-
ношению (9.6). Действительно,
dw [ib cos 6 ub . „л
Pzv — P- ~а~ —----5--------= — A— Sln 20,
ГгУ г ду 2л r 4r.y
что совпадает с (9.6) при y = lj2a.
Согласно (9.4), две винтовые дислокации, находящиеся
на расстоянии 2/ друг от друга, взаимодействуют с силой
p^/W. Поэтому они должны удерживаться на своих местах
приложенными напряжениями —Пусть дислокации
расположены в вершинах А(1, 0), В(—I, 0) треугольника
АВС, причем С(х, у) — произвольная точка. Исходя из
свойств треугольника, легко убедиться, что смещение и
напряжение в точке С, обусловленные обеими дислокациями
Континуальная теория дефектов
75
и приложенными напряжениями, будут
®(*. y)==ic~ 4^ry+wo’ (9Т>
Pzy (x. у) = (sin 2A + sin 2B) — , (9.8)
где w0 — произвольная постоянная. Мы покажем, что если
несколько видоизменись это решение, полученное только на
основании теории упругости, то оно будет удовлетворять (9.6).
Для этого необходимо найти соотношение между синусами
углов 2А, 2В и 2С для некоторого заданного значения у.
Соединив вершины треугольника АВС с центром описанного
вокруг него круга, получим три смежных треугольника, об-
щие стороны которых равны радиусу окружности R — l cosec С
и заключают углы 2А, 2В и 2С. Сумма площадей этих тре-
угольников должна быть равна 1у — площади треуголь-
ника АВС. Отсюда сразу получаем
sin 2 А sin 2В -|- sin 2С = (1 — cos 2С),
или
sin 2Л + sin 2В 1 fl i 1 • Го (s' i У
-------у-----------+ sin [2 (C + arctg
Если
а ________________________________________
У — 2 [1 — (a/2/)2]'/s — Уо’
го множитель (1/у2|- l/P)h равен 2/а, так что (9.7) и (9.8)
удовлетворяют (9.6) на плоскости у — у0 (вместо требуемой
плоскости у = 1/га) ПРИ условии, что мы припишем w0 ве-
личину —G [arctg (у0//) -|- (Уо/01 в верхней полуплоскости, и,
чтобы сохранить асимметрию, равное и противоположное
значение в нижней полуплоскости. Таким образом, решение
Пайерлса получается из континуального решения задачи упру-
гости просто путем удаления полосы у = ± у0, сужения
щели до величины а и сдвига верхнего полупространства
относительно нижнего на постоянную величину. Следова-
тельно, в рамках приближения Пайерлса — Набарро мы нашли
состояние, при котором каждый атом находится в равно-
весии под действием приложенных сил, равных силам, тре-
76
Дж. Эшелби
бующимся для удержания дислокаций в равновесии согласно
континуальной теории упругости.
б. Мнимые эффекты. Исследование взаимодействия ди-
слокаций и свободных поверхностей тела обычно требует
довольно громоздких расчетов. Начнем с задачи о винтовой
дислокации в цилиндре. Расчет в этом случае прост, но при-
водит к довольно неожиданному результату. Оказывается,
что мнимые силы не всегда заставляют источник внутрен-
него напряжения двигаться в направлении к поверхности.
Рассмотрим винтовую дислокацию, находящуюся в точке
х — 5, У = 0 (фиг. 10, а) изотропного бесконечного цилиндра,
поверхность которого х2-| y2=AJ2 свободна от напряжений.
Если ограничиться рассмотрением состояния антиплоских
деформаций'), то, как легко убедиться, смещения вокруг
этой дислокации имеют вид
^ = Aarctg_L__±.arctg-----У__. (9.9)
х Г
Формула (9.9) состоит из выражения типа (9.5), описываю-
щего смещение вокруг дислокации в точке (5, 0) и подоб-
ного же выражения противоположного знака для дислокации
в точке (/?2/£, 0). В данном случае „мнимое смещение" пред-
ставляет собой смещение, создаваемое мнимой дислокацией,
расположенной в точке изображения, как это имеет место
в подобной задаче электростатики. Мнимая сила напра-
влена по радиусу от мнимой дислокации и обратно пропор-
циональна расстоянию от нее. Эту силу удобно представить
в виде
= ~(9-Ю)
где
W = 1п (Л>2 — S2)- (9.11)
Зависимость (9.11) представлена на фиг. 10,6 (кривая /);
очевидно, при £ — 0 дислокация находится в нестабильном
*) Антиплоская деформация соответствует напряженному состоя-
нию в цилиндрическом теле неограниченно большой длины, возникаю-
щему вследствие действия нагрузок, направленных по образующим
цилиндра и постоянных вдоль цилиндра. — Прим. ред.
Континуальная теория дефектов
77
равновесии и, будучи выведена из этого состояния, стремится
покинуть цилиндр.
Однако приведенный расчет, основанный на предположе-
нии, что стержень бесконечен и деформированное состояние
Фиг. 10. Поведение винтовой дислокации в цилиндре.
антиплоское, не отвечает действительности. На любое
сечение цилиндра действуют усилия, которые имеют равную
пулю равнодействующую, но дают крутящий момент отно-
сительно оси цилиндра. Величина этого момента, как легко
показать [59], равна
М — £2). (9.12)
Следовательно, для стержня конечной величины, вырезанного
из бесконечного цилиндра, смещения лишь в том случае со-
храняют вид (9.9), если на его концах имеются соответст-
вующим образом распределенные усилия [60], так что (9.10)
представляет собой в действительности сумму мнимой силы
и силы, обусловленной усилиями на торцах цилиндра. Чтобы
найти истинную мнимую силу в цилиндре, свободном от
78
Дж. Эшелби
действия каких-либо поверхностных усилий, необходимо из-
бавиться от силовых пар на концах цилиндра. Их удаление
приводит к кручению стержня, величина которого (на еди-
ницу длины) равна
»®=-г!4-=-я?(1-Я <9ЛЗ>
-2
с некоторыми поправками на концах стержня, которыми,
однако, можно пренебречь, если его длина во много раз
больше диаметра. В том, что винтовая дислокация в цилиндре
вызывает его кручение (или, точнее, в обратном положении:
кручение цилиндра приводит к возникновению в нем винто-
вой дислокации), можно наглядно убедиться, разрезав тол-
стостенную резиновую трубку в длину вдоль радиальной
плоскости. При кручении трубки образуется видимая винто-
вая дислокация, которую можно закрепить, смазав края раз-
реза резинЬвым клеем.
Полное поле упругих смещений можно найти, складывая
поле (9.9) и поле, связанное с кручением (9.13). Отсюда
можно получить истинную мнимую силу. Легко показать,
что выражение (9.11) следует заменить на
W - [1п (^ - В2) - (7?2 7?2)2 ] • (9.14)
Для случая, когда кручение предотвращено, упругая энер-
гия уменьшается с увеличением !•. Если теперь допустить
возможность кручения, то высвободится часть энергии, ко-
торая также уменьшается по мере увеличения £, причем
вначале довольно быстро. В результате энергия W как
функция $ сначала растет, а затем уменьшается (фиг. 10, б,
кривая 2). Теперь мнимые силы удерживают дислокацию
в центре цилиндра. Только в том случае, когда дислокация
в силу каких-то причин сместится примерно на половину
(точнее, на 0,54) расстояния от поверхности, мнимые силы
будут стремиться вытолкнуть ее из стержня.
Эти результаты могут иметь некоторое применение при
изучении металлических „усов" (нитевидных кристаллов).
Согласно существующим теориям [61 — 63], формирование
ните видных кристаллов, растущих у вершины, по-видимому,
связано с наличием в них винтовой дислокации, тогда как
Континуальная теория дефектов
79
кристаллы, растущие у основания, могут быть свободны
от дислокации. Как видно из фиг. 10, б (кривая 2), осевая
винтовая дислокация, если она существует в кристалле,
должна быть стабильна относительно очень больших сме-
щений из осевого положения. Выражение (9.13) показывает,
что в этом случае должен существовать легко наблюдаемый
поворот кристаллической решетки по мере продвижения
вдоль оси нитевидного кристалла. Например, при $ = О,
4> = 3 • 10 см, R— 10-4 см кручение составляет примерно
50° на 1 см.
Довольно просто рассчитать, как должен быть изогнут
или закручен нитевидный кристалл, чтобы дислокация была
вытеснена из него. Например, внешняя пара сил М' вызы-
вает касательное напряжение, пропорциональное расстоянию
от оси, так что сила, действующая на дислокацию, пропор-
циональна 5. Это можно учесть, добавив в (9.14) член
что при малых М' приводит к сглаживанию мак-
симумов на кривой 2 (см. фиг. 10, б) и смещению их
к центру. При
М' = ~у.Ы? (9.15)
максимумы сливаются в начале координат (кривая 3 на
фиг. 10, б). Для больших значений М' начало координат
становится положением неустойчивого равновесия и дисло-
кация вытесняется из стержня. Все вышесказанное приме-
нимо, если знак М' таков, что внешний момент производит
кручение, которое стремится скомпенсировать кручение,
вызванное самой дислокацией. [Как показывает сравнение
выражений (9.12) и (9.15), момент М' должен уничтожить
только половину кручения, обусловленного наличием дисло-
кации.] Действие пары сил противоположного знака должно
приводить к углублению минимума на кривой 2 на фиг. 10, б
и более прочному закреплению дислокации на оси цилиндра.
Таким образом, в идеальном случае диаграмма напряжение —
деформация при кручении нитевидного кристалла, содержа-
щего винтовую дислокацию, должна иметь вид, предста-
вленный на фиг. 10, в. Горизонтальный участок соответ-
ствует исчезновению кручения ) в тот момент, когда $
*) Здесь речь идет о суммарном кручении, слагающемся из (9.13)
и кручения, создаваемого моментом ЛГ.—Прим, перев.
80
Дж. Эшелби
при выходе дислокации из кристалла внезапно изменяется
от 0 до R. Аналогично может быть рассмотрено поведение
дислокации при других типах нагружения *).
Задача о винтовой дислокации, расположенной вдоль оси
конечного цилиндра, полностью решена с учетом влияния
концов цилиндра [64]. Для длинного цилиндра (стержня)
эти расчеты подтверждают, что влияние концов не имеет
существенного значения. Наоборот, для очень короткого
цилиндра (диска) мнимое поле, так сказать, полностью обу-
словлено торцевым эффектом. На расстояниях от дисло-
кации, превышающих толщину диска, компоненты напря-
жений pzy и ргх почти равны нулю. Соответственно силы
взаимодействия между двумя винтовыми дислокациями в пла-
стине становятся близкодействующими, в противоположность
взаимодействию в неограниченной среде, где силы взаимо-
действия обратно пропорциональны первой степени расстояния
между дислокациями.
Келер [54J рассмотрел задачу о краевой дислокации,
параллельной оси кругового цилиндра. Пусть фиг. 10, а
изображает теперь краевую дислокацию с вектором Бюр-
герса, направленным вдоль оси х. Согласно расчету Келера,
Fjc = 2it(l—с) /?»/£ — £ ' (9-16)
Величина Fx как раз равна силе, вызванной краевой
дислокацией, лежащей в точке изображения, хотя истинное
мнимое поле имеет более сложный характер.
В действительности Келер решил задачу о дислокации
в бесконечном цилиндре, находящемся в плоскодеформи-
рованном состоянии.
Как и в случае винтовой дислокации, на концах стержня,
вырезанного из цилиндра, имеются не равные нулю усилия,
удаление которых должно изменить выражения для Fx.
Однако эти усилия не дают результирующего момента или
равнодействующей, и, следовательно, согласно принципу
*) Автор признателен проф. Эдеру за указание ошибки в варианте
фиг. 10, в, опубликованном в работе [59]. Проф. Эдер замети/
также, что в этой же работе в правой части выражения (4) потерян
множитель 2, что приводит к ошибкам в 2 или ‘/g раза в неко-
торых последующих формулах,
Континуальная теория дефектов
81
Сен-Венана, удаление их приводит лишь к небольшим эффек'
там на концах стержня. За исключением этих незначитель-
ных эффектов, напряженное состояние, обусловленное краевой
дислокацией в длинном цилиндре, совпадает с состоянием,
полученным из предположения о плоской деформации, и
выражение (9.16) правильно определяет величину мнимой
силы, приходящейся на единицу длины дислокации. Здесь
нет аналогии с рассмотренным ранее поведением винтовой
дислокации; краевая дислокация в стержне всегда стремится
покинуть его. Очевидно, смешанная дислокация будет при-
тягиваться к оси нитевидного кристалла или отталкиваться
от нее в соответствии с относительной величиной ее вин-
товых или краевых компонент.
Взаимодействие дислокаций с плоскими границами все-
сторонне обсуждалось в работах Хеда (65, 66]. При этом
граница может представлять собой свободную или закреп-
ленную поверхность тела, на которой имеются касательные,
но отсутствуют нормальные напряжения, или разделять
области, имеющие различные упругие константы.
в. Движение дислокаций. Одно время казалось, что
в теории пластичности важную роль может играть динами-
ческое поведение дислокаций. Ориентировочно можно ска-
зать. что динамические свойства движущихся дислокаций
проявляются в тех случаях, когда кинетическая, энергия воз-
мущения при прохождении дислокации сравнима с энергией
связанных с ней упругих деформаций. В настоящее время
представляется вероятным, что в реальных случаях силы
трения, действующие на дислокацию, препятствуют реали-
зации этого условия.
Равномерное движение дислокаций обсуждалось несколь-
кими авторами [67—72]. Особенно прост случай винтовой
дислокации в изотропной среде. В состоянии антиплоской
деформации смещение w удовлетворяет уравнению
^_+^. = 0, (9.17)
дх2 1 бу2 v '
если чю не зависит от времени, а в противном случае
уравнению
d2w . d2isi 1 d2tv „
~dx2~'~^dv2 c2htr~~-r
Q Дж. Эщелбц
82
Дж. Эшелби
здесь с — (р./р)'\ р — плотность. Для упругого поля дисло-
кации, движущейся равномерно вдоль оси х со скоростью и,
смещение ни = <р (х — vt, у) описывается уравнением
д2и/ . 1 d2w _n R / v2V/s q .»
дх2 + ₽2 dy2 ~0, P—t1 c2) ’ t9'18)
Таким образом, если смещение
w = v> (x, у) (9.19)
удовлетворяет уравнению (9.17), то
•w = w у) (9.20)
удовлетворяет уравнению (9.18). Если принять, что смеще-
ние (9.19) описывается выражением (9.5), то соответствую-
щее смещение (9.20) все еще имеет свойство, характерное
для винтовой дислокации, а именно при обходе точки х — vt
по замкнутому контуру смещение w возрастает на Ь. Поле
движущейся дислокации выводится из поля неподвижной
дислокации приданием последнему „лоренцевского сокраще-
ния" . При этом поле продолжает удовлетворять условию
Пайерлса (9.6). Лейбфрид и Дитце [70] рассмотрели винто-
вую дислокацию, движущуюся в средней плоскости пластины
со свободными поверхностями. Для полной энергии при
скорости v они установили „релятивистское" соотношение
^ — -Екин + ^пр + Впот--^' <9-21)
Г
Энергия складывается из кинетической и упругой энергий
континуума и потенциальной энергии атомных сил, удовле-
творяющих в плоскости скольжения соотношению (9.6).
Эти результаты можно представить в более общем виде.
Если поле неподвижной дислокации удовлетворяет обобщен-
ному соотношению типа (9.6), например
Ргу (Х- ± 4 °) = f [W (Х’ Т а) ~ W (Х- °)] ’
то этот закон справедлив и в случае претерпевшего сокра-
щения поля движущейся дислокации. Для этого более общего
закона продолжает выполняться соотношение (9.21), даже
если плоскость скольжения не проходит через середину пла-
стины, причем поверхности пластины могут быть как сво-
Континуальная теория дефектов 83
водными (d-w/dy — О'), так и закрепленными (тг/ = О). Дока-
зательство приведенного утверждения просто и не требует
знания функции w(x, у) в явном виде. Назовем соответ-
ственными точку (х—Х, у) поля неподвижной дислокации
•w = 'w(x, у) и точку (х — рх, у) поля движущейся дислокации
w = te)(x/p, у). (Мы выбрали t равным 0.) Очевидно, что
в соответственных точках следующие пары величин равны:
I 11 ш IV V VI
Поле неподвижной дислокации W dw ду dw дх (grad w)2 dy dx
Поле движущейся дислокации W dw ду 1 dw ₽ дх (grad w)2 c2 dy dx 0
Предполагается, что линейные элементы в столбцах V
и VI ограничены соответственными точками. Столбец IV
отражает „релятивистскую" инвариантность лагранжиана,
что вытекает из II и III, так как w = —v(d‘w/dx').
Столбцы I и II показывают, что оба решения одновременно
удовлетворяют или граничному условию т» = 0, или d'w/dy = 0
и что в обоих случаях ргу вдоль плоскости скольжения есть
одна и та же функция ш. Таким образом, если в обоих
случаях определенный закон сил выполняется для статиче-
ского поля, то он справедлив и для поля, претерпевшего
лоренцевское сокращение. Потенциальная энергия на единицу
длины плоскости скольжения зависит только от изменения w при
пересечении плоскости скольжения, так что, учитывая I и VI,
имеем fnoi — р£пот- Таким образом, полная энергия равна
= {р (grad w)2 4- pw2} dx dy -]- ph„0T-
Интеграл можно преобразовать, используя столбец IV, в ре-
зультате чего получаем выражение
_ £° . v2
~ р с2р

6*
84
Дж. Эшелби
в котором интеграл вычисляется для статического случая.
Интегрируя по частям и используя (9.17), приведем инте-
грал к виду
1
+оо
/dw . I
XP^d*\ ,
у=-¥а
Однако на основании расчетов Формана и Набарро ’) при-
веденный интеграл как раз равен —fnm. так что мы при-
ходим к равенству (9.21). При а, стремящемся к нулю,
энергия Гпэт становится пренебрежимо малой по сравнению
с fynp, и мы формально получаем результат, найденный
Франком [68] для чисто упругого случая.
Поведение краевой дислокации в изотропной среде или
любой дислокации в анизотропной среде обнаруживает
„осложненное релятивистские эффекты" [68] вследствие
существования нескольких скоростей звука.
Обратимся теперь к рассмотрению свойств дислокаций
при неравномерном движении. Набарро [73] предложил общий
метод расчета упругого поля дислокационной петли, про-
извольным образом меняющей свою форму. Полученный им
результат имеет относительно простую форму для двумерной
задачи о винтовой дислокации, центр которой движется
произвольным образом [6, 74]. Если центр в момент t нахо-
дится в точке х = 5 (т), у = т; (т), то смещение будет
, ь
w(x- у,
[(у — т,) L—(л — S)rj] du
J (х — 5)2 + (у — п)2 s
со
где s2 = c2(t— т)2— (х— 5)2— (у — ig)2 и т0 — корень урав-
нения s2 = 0, меньший t.
Для поддержания такого неравномерного движения
требуется существование системы внешних напряжений, соот-
ветствующим образом изменяющихся во времени и про-
‘) В работе [9] на стр. 360 необходимо, рассматривая случай
антиплоской деформации, положить о = 0.
Континуальная теория дефектов
85
странстве. В простых случаях это поле можно вычислить^
задавая определенные условия в центре дислокации. Напри-
мер, мы можем потребовать, чтобы в этой области удовле-
творялось условие Пайерлса — Набарро [74, 75], или исхо-
дить из условия, что сила, с которой дислокация действует
сама на себя, уравновешивается силой, вызванной внешним
полем [74]. В любой момент поле в точке, расположенной
па дислокации, слагается из приложенного поля и поля,
обусловленного действием всех других точек дислокации.
Вследствие того что время распространения упругого воз-
мущения имеет конечную величину, движение в данный момент
зависит от предыстории, охватывающей предшествующий
интервал времени порядка максимального размера дислока-
ционной петли, деленного на скорость звука. Поэтому
уравнение движения дислокации представляет собой инте-
гральное уравнение, дающее внешнее поле, необходимое для
поддержания заданного движения. Чтобы решить более инте-
ресную задачу, а именно определить закон движения по
известному полю внешних сил, необходимо обратить это
интегральное уравнение.
Грубо говоря, прямолинейное движение бесконечной
винтовой дислокации описывается таким же уравнением,
что и движение ньютоновской частицы, имеющей массу
(р7»2/4к) 1п (/?/а) под действием силы F~bpzy, где ргу—при-
ложенное напряжение; А* — расстояние порядка размера
искаженной области, окружающей дислокацию. Предположим,
что движение начинается в момент t = 0 и приводит к моно-
тонному возрастанию расстояния от дислокации до исходной
точки; в этом случае Так, например, дислокация,
которая начинает перемещаться под действием силового
импульса, а затем движется свободно, будет замедляться,
так как ее эффективная масса возрастает. В случае коле-
бательного движения с частотой ш имеем R — с/ю.
При рассмотрении динамических свойств винтовой ди-
слокации можно использовать электромагнитную анало-
гию [74, 75]. Если дислокация параллельна оси z, то един-
ственными отличными от нуля характеристиками упругого
ноля будут ^-компонента смещения, т. е. w, и напряжения
Ргх' Ргу Рассмотрим электромагнитное поле, для которого
£ =/7=Н =0
л Z
86
Дж. Эшелби
И все указанные величины не зависят от z. Введем опре-
деления
dw Нг Еу Ех
= Pzx~=~^'
Здесь р. — модуль сдвига и р— плотность. Мы отождествляем
скорость сдвиговых волн с = (р/р)/г со скоростью света и
используем систему единиц Хэвисайда для величин, харак-
теризующих электромагнитное поле.
Электромагнитная энергия преобразуется в сумму плот-
ностей упругой и кинетической энергий, а вектор Пойн-
тинга — в вектор потока упругой энергии. Аналогом дисло-
кации с вектором Бюргерса является линейный заряд, равный
ft/p’/i на единицу длины. Сила, действующая на неподвижный
заряд, точно соответствует силе, действующей на стацио-
нарную дислокацию. Сила Лорентца, действующая на дви-
жущийся заряд, переходит в силу, перпендикулярную на-
правлению движения дислокации и имеющую величину
F = pbvV. (9.22)
где <0 — скорость дислокации и V — скорость среды вдоль
оси z „вблизи центра дислокации" (чтобы избежать особен-
ности на линии дислокации, мы
можем принять скорость V рав-
ной скорости смещения w, усред-
ненной по области малого ра-
диуса, центр которой совпадает
с дислокацией). Набарро [75]
раскрыл физический смысл силы
Лорентца для движущейся дисло-
кации. Проиллюстрируем это на
следующем схематическом при-
мере.
Пусть в пластине единичной
толщины движется со скоростью v
цепочка близко расположенных
винтовых дислокаций с плот-
ностью п на единицу длины (фиг. 11). Вследствие их дви-
жения области материала, расположенные выше и ниже пло-
скости скольжения, будут скользить относительно друг друга
Va
v
Фиг. 11. К расчету силы
Лорентца, действующей на
цепочку дислокаций.
Континуальная теория дефектов
87
в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, со
скоростью
Va — Vb = bnv. (9.23)
Эффективная скорость движения среды в плоскости сколь-
жения V = ’/2(Va-|- Vft); она может иметь любые значения,
не противоречащие соотношению (9.23). Кинетическая энер-
гия, отнесенная к единице длины и ширины пластины, равна
Т= 1 PV2a (1 — х) +1 pVlx = | р (у — 1 bnv^ -\-pbnvVx.
Если расстояние х возрастет на 8х при неизменных v и V,
то некоторый внешний источник должен произвести работу
ST = pb-vnV 8х. Следовательно, мы можем сказать, что
имеется препятствующая вертикальному смещению сила
F = pb-vVn, действующая на п дислокаций [или сила (9.22)
на каждую дислокацию].
Заменим винтовые дислокации в цепочке краевыми.
Материал выше и ниже плоскости скольжения теперь будет
двигаться параллельно направлению скольжения со скоро-
стями Vа и Уь. Дословно повторяя приведенные выше рас-
суждения, мы получим силу Лорентца (9.22), действующую
на краевую дислокацию. Теперь V есть скорость среды
в направлении скольжения и сила F по-прежнему перпен-
дикулярна плоскости скольжения. Эта сила Лорентца, дей-
ствующая на цепочку краевых или винтовых дислокаций,
соответствует силе, получаемой при интегрировании тензора
энергии-импульса (7.7) по контуру, охватывающему еди-
ничный отрезок цепочки.
Пузырек воздуха, движущийся относительно жидкости,
создает в ней возмущение, которое может служить моделью
дислокации. Чтобы проанализировать это положение, пред-
положим, что пузырек неподвижен, а поток жидкости обте-
кает его. Рассмотрим частицу, принадлежащую критической
линии тока, которая разветвляется у поверхности пузырька
иа две линии. Частица разделяется на две части, которые
обходят пузырек сверху и снизу и в разное время покидают
его поверхность; в результате, обойдя пузырек, обе части
исходной частицы будут снова лежать на критической линии
тока, но находиться друг от друга на некотором расстоянии,
равном „вектору Бюргерса". Можно показать, что этот
88
Дж. Эшелби
„вектор Бюргерса" равен отношению циркуляции к скорости
потока. Таким образом, возникающая подъемная сила равна
„силе Лорентца" (9.22). Подъемная сила преставляет собой
„реальную" силу; если же мы удалим пузырек, оставляя
полость с той же циркуляцией, то сила приобретает „фик-
тивный" смысл и соответствует силе, действующей на
дислокацию.
На основании весьма общих соображений [76] можно
показать, что на электрон, движущийся со скоростью и через
изотропный поток электромагнитных волн, действует задер-
живающая сила
F = — lacW (9.24)
где W — плотность энергии электромагнитного поля, а — се-
чение томсоновского рассеяния и a = 4/3. Если считать а
заданной постоянной, то можно применить те же сообра-
жения к лцнейному заряду, движущемуся в потоке электро-
магнитных волн, изотропном в плоскости ху, и, следова-
тельно, к соответствующей задаче теории дислокаций.
В результате мы должны снова получить выражение (9.24),
где F в данном случае — задерживающая сила, действующая
на единицу длины линейного заряда или дислокации, о—рас-
сеивающая площадь на единицу длины, а а составляет
не 4/3, а 3/2 вследствие перехода от трех к двум измерениям.
То же выражение должно быть справедливо для вин-
товой дислокации в трехмерном потоке звуковых волн, если
мы уменьшим а, чтобы учесть то обстоятельство, что плот-
ность энергии „антиплоских" звуковых волн составляет
только часть общей плотности энергии W. Лейбфрид [45]
рассмотрел соответствующую задачу для краевой дисло-
кации. Он получил при этом выражение (9.24) с а —1/10.
Принимая о равным по порядку величины b и отожде-
ствляя W с энергией тепловых колебаний, он нашел задер-
живающую силу, которая достаточно велика, чтобы при
любой разумной величине приложенного напряжения дви-
жение дислокации происходило со скоростью и, составляю-
щей малую долю с.
Набарро [75] дал критический анализ теории Лейбфрида.
При теоретическом рассмотрении не обязательно задаваться
поперечным сечением рассеяния упругих волн на винтовой
Континуальная теория дефектов
89
дислокации; его можно найти, используя электромагнитную
аналогию. В отличие от сечения рассеяния электрона это
сечение зависит от длины рассеиваемых волн и примерно
пропорционально длине волны. В связи с этим необходимо
видоизменить соображения, использованные для получения
соотношения (9.24). Было найдено, что F стремится к нулю
по крайней мере как ц/с. В электромагнитной аналогии при-
нимается, что закон Гука справедлив и для больших дефор-
маций и что атомной структурой материала можно прене-
бречь. Однако в действительности область искажения вблизи
центра дислокации может действовать как рассеивающее
, препятствие с поперечным сечением порядка ft для волн
вблизи вершины дебаевского спектра, но имеющим меньшую
величину для больших длин волн. Это должно привести
к силе, описываемой выражением (9.24), но с коэффициен-
том а, по-видимому, меньшим, чем в теории Лейбфрида.
Согласно данным Гранато и Люке [77], из экспериментов
по внутреннему трению в германии следует, что величина а
лежит в пределах 0,015 < а < 0.12.
г. Непрерывное распределение дислокаций. После
замены дислокаций в кристаллической решетке их конти-
нуальной моделью в некоторых случаях представляется целе-
сообразным совершить следующий шаг и рассматривать тело,
содержащее большое число дислокаций как среду с непре-
рывно распределенными дислокациями. Следуя Наю [78],
мы можем определить тензор а^, ij-tt элемент которого
равен сумме проекций на ось х, векторов Бюргерса всех
дислокаций, пересекающих единичную площадку, перпенди-
кулярную оси Xj. Суммарный вектор Бюргерса дислокаций,
охватываемых контуром с, будет
Ь,— J a.lfdSp (9.25)
с
где С — поверхность, ограниченная контуром с. Введенный
таким образом тензор представляет собой лишь удобное
описание распределения дислокаций. Необходимо связать
эту характеристику с деформацией решетки и состоянием
внутреннего напряжения. Так как внутреннее напряжение
в принципе однозначно описывается тензором несовместности,
мы должны быть в состоянии выразить Stj через а.ц.
90 Дж. Эшелби
Соответствие между указанными величинами было устано-
влено Кренером [79]. Вместе с тем, связанная с Stj рима-
нова геометрия не дает адекватного описания непрерывного
распределения дислокаций. Кондо [80] и Билби с сотрудни-
ками [81] получили изящную интерпретацию непрерывного
распределения дислокаций, привлекая представления нери-
мановой геометрии. Мы дадим упрощенный набросок этой
теории, основываясь непосредственно на понятии контура
Бюргерса.
Пусть сравнительный кристалл имеет простую кубиче-
скую решетку с элементарной ячейкой, характеризуемой
в соответствии с обозначениями § 3 векторами eip ei2, ei3
(величина е не обязательно должна быть бесконечно малой).
Возможность проведения сопоставления контуров, построен-
ных в сравнительном и реальном кристаллах, подразумевает,
что каждому шагу, равному вектору eii в сравнительном
кристалле, можно сопоставить определенный шаг [например,
eei (Р)| в соответствующей точке (Р) реального кристалла.
Величину еДР) можно выразить через 1Р
e/(P) = JDiy(P)iy (9.26)
и обратно
1г = (Р) еу (73) при (9.27)
В случае дискретного распределения дислокаций контур
Бюргерса строится в „хорошем" кристаллическом материале,
который, по определению, представляет собой область,
где может быть установлена справедливость тождества (9.26).
Если мы переходим к непрерывному распределению дислока-
ций, то должны отказаться от понятия „хорошего" кристалла,
как и вообще от представлений, связанных с кристалличе-
ской решеткой. Тогда (9.26) непосредственно определяет
соответствие между тройкой векторов еу в некоторой точке
континуума (представляющего реальный кристалл) и тройкой
векторов iy в соответствующей точке другого континуума
(отвечающего сравнительному кристаллу). Для простоты мы
будем использовать не вполне последовательную двойствен-
ную точку зрения, согласно которой ееу представляют собой
векторы решетки реального кристалла, но величина е доста-
точно мала по сравнению с размерами контура Бюргерса,
так что сумму межатомных шагов в решетке можно заме-
нить интегралом.
Континуальная теория дефектов
91
Проведем замкнутый контур с в реальном кристалле.
Элемент пути, соединяющего точки и xt~^dxi, равен
вектору iidxz, а сумма
J dxt
с
равна нулю. Можно явно представить этот интеграл как
сумму межатомных шагов в реальном кристалле, выразив iz
через ez
f EiJ(P)eJ(P)dxl.
С
Сумму соответствующих шагов в сравнительном кристалле
можно найти, заменяя вектор еу отвечающим ему в сравнитель-
ном кристалле вектором iy. Следовательно, вектор Бюргерса
контура определяется выражением
b = f EijkPyi/dXi,
С
при помощи теоремы Стокса этот контурный интеграл пре-
образуется в интеграл по поверхности С, ограниченной кон-
туром с
Ь ~ b f ei>il 1 dSfr
c
Сравнивая полученное выражение с формулой (9?25), на-
ходим, что
ajk — I-
Дивергенция ayftft равна нулю, так что выбор поверхности С
произволен. Мы получили континуальную аналогию извест-
ного правила, согласно которому дислокация не может
заканчиваться в материале. Вектор Бюргерса, связанный
с элементом поверхности dSk, равен
db = ayftiydSft.
Локальный вектор Бюргерса, по определению, есть вектор
в реальном кристалле, который соответствует вектору Бюр-
герса в сравнительном кристалле. Чтобы его найти, нужно
заменить iy на ej = Djp\p
db' = ajkDjih dSk.
92
Дж. Эшелби
Если записать элемент поверхности как антисимметричный
тензор dSn:n, так что dSk = — 1/гЕ*тл ^тп' т0 компо-
ненты db', как легко найти, будут иметь вид
dbp = dSmn,
где
Tpmn^^D)p\Emhn-En),m}. (9.28)
Теперь предположим для простоты, что ez и 1г отли-
чаются на бесконечно малую величину и по аналогии с (3.1)
напишем
DU ~
Отсюда Еу = 8^ — Uи, согласно [82],
atj = — Zmjp^lm,p- (9.29)
Мы можем также выразить поворот через ег и 1г при
помощи (3.13). Это дает
“у = 4 ~ иД> или ~ ~ ^kijUir
Если рассматривать еер ее2, ее3 как ребра искаженной
ячейки в реальном кристалле, то величины
*у = | (ez еу - 8iy) = 1 (Ut] + и}1) (9.30)
целесообразно назвать компонентами деформации. Такова
точка зрения Кренера [79], который полагает, что кристалл
с непрерывным распределением дислокаций находится в со-
стоянии „несимметричной деформации", характеризуемом
тензором Lfjj (вместо ut j в случае выполнения условий
совместности). Из UtJ можно получить симметричную дефор-
мацию и поворот, которые, однако, уже не связаны между
собой соотношением (3.14). Вместо него для случая несов-
местной деформации имеет место соотношение
Хд = г = ау — -g- атт^и — &jmpelm, р- (9.31)
[Для его вывода надо записать дисторсию в (9.29) как
U 1т — е1т -ф- ш/т, представить ш1т как вектор и учесть, что
amni==—Тензор несовместности, соответствующий
Континуальная теория дефектов
93
деформации (9.30), легко найти, действуя оператором
eikg(dldXg) на (9.31):
Skj = elkg (“<7 — Y ч-
Это выражение Кренер [79] привел к полностью симметрич-
ному виду
„ _ i 1
— 2 ^g^i}. д' 2 е*Ла«.
Можно показать, что обе формулы тождественны в силу
соотношения k = 0. Зная aZy, можно найти Stj и, следо-
вательно, определить напряжения, если, согласно Кренеру,
принять, что они связаны с деформацией (9.30) законом
Гука. Очевидно, при равномерном распределении дислокаций
(aZj й = 0) напряжения отсутствующ
Величина (9.31), как и в случае совместных деформаций,
дает меру поворота тройки векторов ev е2. е3 при ее пере-
мещении по решетке. Эта величина соответствует тензору
кривизны, введенному Наем [78], который получил выраже-
ние (9.31), но для случая, когда членом, содержащим emZ> р,
можно пренебречь. В полном виде формулу (9.31) вывел
Кренер [79], но дал ей несколько иную интерпретацию.
Когда aZj=0 и, следовательно, 5Zy = 0, (9.31) сводится
к обычному соотношению совместности (3.14), определяю-
щему градиент поворота. Таким образом, в общем случае
(9.31) дает поворот решетки, обусловленный присутствием
дислокаций или любой совместной деформации, созданной объ-
емными или поверхностными силами. Вместе с тем Кренер
полагает, что деформацию можно разложить на совместную
и несовместную части и что последнее слагаемое в (9.31)
относится только к несовместной части. Из его формули-
ровки следует, что тензор v.^ равен нулю, если вц = 0,
и является мерой поворота, обусловленного только дисло-
кациями.
Ясно, что величина Оц—может служить характе-
ристикой того, в какой мере не удовлетворяется условие
(3.14), необходимое для совместности деформаций и пово-
рота, подобно тому, как SZ/- характеризует степень выпол-
нения более жестких условий совместности для деформаций.
Мы можем дать этому положению следующее физическое
94
Дж. Эшелби
толкование. Выделим в материале тонкий прямой стержень
и вырежем его. Вследствие релаксации внутреннего напря-
жения стержень приобретает кривизну и кручение, опре-
деляемые соотношением х' ==е . е . . Если мы уничтожим
j L mjр mt, р J
содержащиеся в нем дислокации, то стержень подвергается
дальнейшему искривлению и кручению
х" =— (а..-----i- а 8..).
j‘ \ lj 2 'пт ij)
Рассмотрим теперь связь между геометрией кристалла
с непрерывно распределенными дислокациями и неримановой
геометрией. (При этом мы не будем больше полагать,
что Оц лишь на малую величину отличается от о,у.) Смысл
понятия эквивалентности двух векторов е, (Р) и е, (Q),
находящихся соответственно в точках Р и Q, не вызывает
сомнений. В более общем случае мы можем сказать, что
векторы А (Р) = at (Р) е( (Р) и A (Q) = at (Q) ef (Q) эквива-
лентны, е£ли ах (Р) = av (Q), а2 (Р) — а2 (Q), а3 (Р) = а3 (Q).
Очевидно, А(Р) и A(Q) образуются из равных векторов
сравнительного кристалла при преобразовании (9.26). Пусть
At — прямоугольные координаты вектора А; тогда
А = A fa — а(е( =
и Ak = atDik. Умножая справа и слева это равенство на Ekj
и принимая во внимание соотношение (9.27), получаем, что
at = AkEkj. Тогда условие az(P) = af(Q) принимает вид
Ak(P)EkJ(P) = Ak(Q)EkJ(Q).
Если Р и Q — соседние точки с координатами и Xj-J-dXp
то, обозначив
Ai(Q)-Al(P) = dAi.
приходим к соотношению
или, используя (9.27),
dAm = — L™i Аь dxt, (9.32)
где
Lki ~ DjmEkj, i-
Континуальная теория дефектов 95
В дифференциальной геометрии подобное (9.32) соотно-
шение, показывающее, какие векторы в соседних точках
координатной сетки (многомерной) можно считать эквива-
лентными, называется линейной связью с коэффициен-
тами L^i. В римановой геометрии тензор L™i симметричен
по k и I. (В рассматриваемой в § 4 геометрии с точностью
до членов первого порядка L™i = etm, k + emk, i — ем.т-) Гео-
метрия решетки с непрерывным распределением дислокаций
является более сложной ввиду того, что — несимметрич-
ный тензор. Действительно, его антисимметричная часть
(тензор кручения) xl2(L!ki — как раз равна локальному
вектору Бюргерса плотности дислокаций [см. (9.28)].
§ 10. Поверхностные и объемные дефекты
Если при постоянной внешней нагрузке изменяются
упругие константы материала, так что вместо одной функ-
ции координат упругие свойства тела описываются другой
функцией, то, как мы видели в § 6, половина произведен-
ной внешними силами работы идет на увеличение внутрен-
ней упругой энергии тела. Поскольку эта оценка основана
на сравнении равновесных состояний тела до и после изме-
нения упругих констант, она не позволяет ничего сказать
о том, что произошло с недостающей половиной энергии.
Эта энергия могла быть рассеяна или перейти в кинети-
ческую или поверхностную энергию. Указанный результат"
применим не только к точечным дефектам (см. § 8), но и
к неоднородностям решетки большего масштаба, в част-
ности к трещинам и границам, разделяющим области с раз-
личной кристаллографической ориентировкой.
Трещину можно трактовать как узкую область, где
угругие константы равны нулю, а распространение тре-
щины—как изменение распределения упругих констант.
Согласно предложенному Гриффитсом критерию распростра-
нения трещины, при малом увеличении размера трещины
должна освобождаться энергия, ранная результирующему
увеличению поверхностной энергии. В соответствии с (6.3)
это означает, что при постоянной нагрузке увеличение
поверхностной энергии должно быть равно увеличению
упругой энергии. Наоборот, предположим теперь, что тело
96 Дж. Эшелби
деформировано путем задания на части его поверхности
постоянных смещений при отсутствии нагрузок на остальной
поверхности. Тогда при любом изменении упругих констант
величина ВЕвн равна нулю, и критерий распространения
трещины будет состоять в том, что увеличение поверхностной
энергии должно быть равно уменьшению упругой энергии
[83, 841.
Ввиду того, что границы зерен и двойников представляют
собой системы дислокаций, в деформированном материале
они испытывают действие сил [10]. Имеется также другая,
менее очевидная, причина возникновения таких сил: даже
в однородном материале граница фактически представляет
собой место стыка областей с различными упругими констан-
тами. При переходе через границу меняется ориентировка
кристаллографических осей, и, следовательно, изменяется
система упругих констант СцЫ. В этом более широком
смысле материал является неоднородным.
Силу, с которой поле напряжений действует на элемент
границы, ’рассматриваемой как ряд дислокаций, можно
определить, применяя формулу (9.2) к каждой из дисло-
каций, составляющих границу. В простых случаях это можно
сделать непосредственно. На фиг. 12, а схематически изобра-
жен эксперимент Паркера и Уошберна [85] по исследова-
нию движения малоугловой границы между зернами. Нагру-
женная с одного конца балка содержит наклонную гра-
ницу АВ, характеризующуюся углом ш. Если граница
смещается на расстояние dx влево, то нагрузка опускается
на <s>dx и потенциальная энергия уменьшается на величину
Wwdx. Таким образом, сила, действующая на границу,
имеет величину Wu> и направлена влево. Если бы нагрузка
действовала вверх, то сила имела бы противоположное на-
правление.
На фиг. 12, б представлен случай, отличный от разобран-
ной довольно искусственной схемы. Здесь АВ обозначает
не границу зерен, а стык областей с различными упругими
константами. Допустим, что модуль Юнга Е' области, рас-
положенной справа от АВ, меньше модуля Юнга Е области,
находящейся слева. В расчете на единицу длины балка
справа является более гибкой, чем слева. Когда стык частей
балки перемещается влево, балка в целом становится более
гибкой и точка приложения нагрузки опускается, что при-
Континуальная теория дефектов
57
водит к уменьшению потенциальной энергии. Если приложен-
ная сила направлена вверх, а не вниз, то движение гра-
ницы влево приводит к подъему конца балки, так что потен-
циальная энергия нагрузки снова уменьшается. Таким, образом,
в представленном на фиг. 12, б случае сила, действующая
на границу, не меняет своего направления при изменении
Ф и г. 12. Схема деформации балки под
действием груза при различной физиче-
ской природе границы АВ.
направления нагрузки на обратное (в отличие от силы,
действующей на границу, изображенную на фиг. 12, а).
Согласно (6.3), величина силы
(£упр + Дн) — 2" dx (Ю-1)
Используя элементарную теорию изгиба балок, можно найти
смещение точки приложения нагрузки как функцию х;
в результате получаем выражение
р М* / i 1\
F= 2FUr-F-J-
где Л4 — изгибающий момент в точке х, / — момент инер-
ции поперечного сечения балки. [Строго говоря, граничные
условия, необходимые для того, чтобы соотношение (6.3)
7 Дж. Эшелби
98
Дж. Эшелби
было справедливо, не вполне точно выполняются у закреп-
ленного конца балки, но в рамках элементарной теории
изгиба это не меняет результата расчета.]
Предположим теперь, что вместо нагрузки W приложена
внешняя пара сил М, приводящая к кручению балки вокруг
ее оси. Величина кручения на единицу длины в двух частях
балки будет различной и составит MIDp и- Mlty.', где D —
крутильная жесткость при р.= 1. Общее кручение балки
у нагруженного конца равно
а _ М (х L — x\
е--о
В данном случае Евн =— Л10-|-const. Отсюда, исполь-
зуя (10.1), получаем эффективную силу, действующую
на стык
Эти результаты можно применить для рассмотрения более
реального случая, когда упругие константы cijkl различны
по обе стороны от границы зерен. При этом принимается,
что эффективные модули изгиба и кручения анизотропных
балок, вырезанных из одного и того же кристалла, но
несколько различающихся по ориентировке, равны соответ-
ственно Е, Е' и р., р/.
В общем случае элемент границы между зернами или
двойниками испытывает действие двух сил, а именно силы FD,
обусловленной тем, что граница представляет собой ряд
дислокаций (или, что эквивалентно, обусловленной измене-
нием формы кристалла при движении границы), и силы F^,
возникающей в результате того, что граница представляет
собой стык двух областей кристалла, имеющих различную
кристаллографическую ориентировку. Помимо различия в ве-
личине между этими силами имеется качественное различие:
при изменении приложенных напряжений на обратные
сила FD меняет направление на противоположное, а сила FK
не меняет.
Можно ожидать, что обычно сила FD намного превос-
ходит силу FR и затушевывает ее роль. Однако в явлении
двойникования кварца, исследованном Томасом и
Вустером [86], действие Fe обнаруживается в полной мере.
При превращении кристалла кварца в дофинейский (или
Континуальная теория дефектов
99
электрический) двойник его внешняя форма не изменяется,
а внутренняя кристаллическая структура соответствует пово-
роту решетки на 180° вокруг псевдошестерной оси. Таким
образом, возникновение дофинейского двойника внутри
кристалла приводит к появлению области упругой неодно-
родности, не сопровождающемуся возникновением внутрен-
них напряжений.
В соответствии с опытом Томас и Вустер показали, что
в этом случае сила FR является аналогом силы FD в экс-
перименте Уошберна — Паркера. Они нашли, что в подверг-
нутом кручению за счет приложений пары сил кварцевом
стержне граница двойника движется (при достаточно высо-
кой температуре) в направлении, определяемом знаком раз-
ности (р. 1 — р/ *) в выражении (10.2), но не зависящем от
знака приложенной пары. Величина (р.-1 — р/-1) может быть
как положительной, так и отрицательной, в зависимости от
ориентировки кристаллографических осей стержня.
Томас и Вустер провели расчет силы, которая дей-
ствует на единицу площади границы неоднородности
в произвольном поле напряжений. Следуя их рассмотрению,
мы пренебрежем как возможными скачками компонент напря-
жений при переходе через границу, так и тем обстоятель-
ством, что движение границы само по себе приводит к изме-
нению распределения приложенных напряжений. Тогда,
опуская штрих у рц, можно записать выражение (6.5)
следующим образом:
^упр = "2 J (Si jkm Si Jkm) Pl J Pkm
Если элемент границы смещается на расстояние 8S в напра-
влении х;, то он проходит объем d-и = (AS'о£п;, где nt —
нормаль к dS. Тогда BEynp = d® bslJkmpupkm, где bsijkin
есть разность значений sijkrn со стороны положительной и
со стороны отрицательной нормали к границе. Следовательно,
сила, действующая на единицу площади границы, предста-
вляет собой нормальное давление
ЪЕ
dS 6£ &SiJkm PijPkmnl‘ (Ю.З)
Здесь коэффициент при «г имеет форму плотности упругой
энергии для материала с фиктивными упругими констан-
7*
100
Дж. Эшелби
тами В отличие от истинной плотности энергии эта
величина может быть положительна в одних точках и отри-
цательна в других. В равновесии граница двойника должна
совпадать с поверхностью, разделяющей область положи-
тельных и отрицательных значений „энергии0, следова-
тельно, Ff = 0.
Томас и Вустер доказали это экспериментально, иссле-
дуя кварцевую пластину, находящуюся в сложно-напряжен-
ном состоянии. В своей теории они в соответствии с прин-
ципом Ле Шателье справедливо использовали условие макси-
мума упругой энергии. В подобной работе Степанов [87]
минимизировал энергию. При этом форма границы полу-
чается правильно, но сдвойникованная и несдвойникованная
области меняются местами.
Интересно сравнить величины FD и Ffl для границ зерен
или двойников в металле. Пусть о — разориентировка,
р — характерная компонента напряжения, s — характерная
компонент^ тензора Относительное изменение $ при
переходе через границу по порядку величины равно о. Тогда
FD~u>p и в соответствии с (10.3) FRup2s~шр2/р., где
р. — некоторый упругий модуль. Следовательно, FR[FD имеет
тот же порядок, что и величина р/р., которая обычно мала.
ЛИТЕРАТУРА
1. Seitz F., в книге „Imperfections in Nearly Perfect Crystals*
ed. by W. Shockley, New York, 1952, Ch. 1.
2. В u r t о n С. V., Phil. Mag. [5], 33, 191 (1892).
3. Larmor J., Phil. Trans. Roy. Soc., A190, 205 (1897).
4. В i 1 b у B. A., Proc. Phys. Soc., A63, 3 (1950).
5. Peach M. O., Journ. Appl. Phys., 22, 1359 (1951).
6. E s h e 1 b у J. D., Phil. Trans. Roy. Soc., A244, 87 (1951).
7. Sokolnikoff I. S„ Mathematical Theory of Elasticity, New
York, 1946.
8. Green A. E., Z e r n e r W., Theoretical Elasticity, London —
New York, 1954, p. 72.
9. N a b а г г о F. R. N., Adv. Phys., 1, 269 (1952).
10. Read W. T., Jr., Dislocations in Crystals, New York, 1953.
(Имеется перевод: Рид В., Дислокации в кристаллах, М., 1957.)
11. Seeger А., в книге Handbuch der Physik, 3 Aiifl., Berlin, 1955,
S. 383.
12. Brillouin L., Les Tenseurs en Mechanique et en Elasticitfe,
Paris, 1949, p. 246.
Континуальная теория дефектов
101
13. Love А. Е. Н., Mathematical Theory of Elasticity, London, 1952-
(Имеется перевод: Л я в А., Математическая теория упругости,
М, —Л., 1935.)
14. Timoshenko S., О о о d 1 е г J. N., Theory of Elasticity, New
York, 1951.
15. S о m I g 11 a n a C., R. C. Accad. Lincei, sci. fis. mat. e nat., 23
(1), 463 (1914); 24 (1) 655 (1915).
16. О e b b i a M., Ann. Mat. Рига Appl., 7, 141 (1902).
17. V о 11 e г г a V., Ann. Ёс. Norm. Sup., 24, 400 (1907).
18. Eddington A. S., Mathematical Theory of Relativity, New
York, 1923, p. 128. (Имеется перевод: Эддингтон А., Мате-
матическая теория относительности, Харьков — Киев, 1933.)
19. Southwell R. V., Phil. Mag. [7], 30, 253 (1940).
20. Кузьмин Р. О., ДАН СССР, 49, 326 (1945).
21. К г б п е г Е„ Zs. Phys., 139, 175 (1954).
22. Kroner Е., Zs. Phys., 141, 386 (1955).
23. S о u t h w e 11 R. V., Proc. Roy. Soc., A154, 4 (1936).
24. McConnell A. J., Applications of the Absolute Differential
Calculus, London, 1936, p. 154.
25. Eckart C., Phys. Rev., 73, 373 (1948).
26. Frank F. C., Phil. Mag. [7], 42, 809 (1951).
27. К г б n e r E., Proc. Phys. Soc., A421, 55 (1955).
28. Southwell R. V., Theory of Elasticity, London — New York,
1936.
29. Wenzel O., Quantum Theory of Fields, New York, 1949.
30. В r e n i g W., Zs. Phys., 143, 168 (1955).
31. Bitter F„ Phys. Rev., 37, 1526 (1931).
32. E s h e 1 b у J. D., Journ. Appl. Phys., 25, 255 (1954).
33. В 1 n d e r D., S t u r m W. J., Phys. Rev., 96, 1519 (1954).
34. Miller P. H„ Jr., Russell B. R., Journ. Appl. Phys., 23, 1163
(1952).
35. M 111 e r P. H., Jr., Russell B. R., Journ. Appl. Phys. 24, 1248
(1953).
36. Teltow J., Ann. Phys., 12, 111 (1953).
37. Huang K., Proc. Roy. Soc., A190, 102 (1947).
38. Seitz F., Rev. Mod. Phys., 18, 384 (1946).
39. Zener C., Phys. Rev., 74, 639 (1948).
40. П и н e с Б. Я., Journ. of Phys. (СССР), 3, 308 (1940).
41. Friedel J., Phil. Mag. [7], 46, 514 (1955).
42. Friedel J., Adv. Phys., 3, 446 (1954).
43. M a c h 11 n E. S., Trans. AIME, 200, 592 (1954).
44. Cottrell A. H., Theoretical Structural Metallurgy, London,
1954. (Имеется перевод: Коттрелл А., Строение металлов
и сплавов, М., 1961.)
45. L е i b f г i е d О., Zs. Phys., 127, 344 (1949).
46. Darken L. S., Gurry R. W„ Physical Chemistry of Metals,
New York, 1953.
47. Bragg W. L., Symposium on Internal Stresses, Institute of
Metals, London, 1947.
48. Лифшиц И. M„ Розенцвейг Л. Н., ЖЭТФ, 17, 783 (1947).
49. Kroner Ё., Zs. Phys., 136, 402 (1953).
102
Дж. Эшелби
50. Е s h е 1 b у J. D., Acta Metallurgica, 3, 487 (1955).
51. Le lb fried G., Zs. Phys., 135, 23 (1953).
52. P e a c h M. О., К о e h 1 e r J. S., Phys. Rev., 80, 436 (1950).
53. N a b a г г о F. R. N., Phil. Mag. [7], 42, 213 (1951).
54. Koehler J. S., Phys. Rev., 60, 397 (1941).
55. R e a d W. T., S h о с к 1 e у W., Phys. Rev., 78, 275 (1950).
56. L e 1 b f r 1 e d G„ Zs. Phys., 126, 781 (1949).
57. В 11 n J., Acta Metallurgica, 3, 199 (1955).
58. Nabarro F. R. N., Proc. Phys. Soc., 59, 256 (1947).
59. E s h e 1 b у J. D., Journ. Appl. Phys., 24, 176 (1953).
60. M a n n E. H., Proc. Roy. Soc., A199, 376 (1949).
61. F r a n к F. C., Phil. Mag. [7], 44, 854 (1953).
62. E s h e 1 b у J. D., Phys. Rev., 91, 755 (1953).
63. Sears O. W., Acta Metallurgica, 3, 361 (1955).
64. E s h e 1 b у J. D„ S t г о h A. N., Phil. Mag. [7], 42, 1401 (1951).
65. H e a d A. K., Phil. Mag. [7], 44, 92 (1953).
66. H e a d A. K., Proc. Phys. Soc., B66, 793 (1953).
67. Frank F. C., Rept. Conf, on Strength of Solids, London,
1948, p. 48.
68. F r a n к F. C., Proc. Phys. Soc., A62, 131 (1949).
69. E s h e 1 b у J. D., Proc. Phys. Soc., A62, 307 (1949).
70. Leibfried G„ Dietze H. D„ Zs. Phys., 126, 790 (1949).
71. В u 11 о u g h R., В 11 b у B. A., Proc. Phys. Soc., B67, 615 (1954).
72. Saenz A. W., Journ. Rat. Meeh. Analys., 2, 83 (1953).
73. Nabarro F. R. N., Phil. Mag. [7], 42, 1224 (1951).
74. E s h e 1 b у J. D„ Phys. Rev., 90, 248 (1953).
75. N a b а г г о F. R. N., Proc. Roy. Soc., A209, 278 (1951).
76. Л а н д а у Л., Л и ф ш и ц Е., Теория поля, М., 1961.
77. G г а п a t о A., L й с к е К., Technical Report, Contract No
DA-36-039; SC 52623, Pt II, Brown University, 1955.
78. N у e J. F., Acta Metallurgica, 1, 153 (1953).
79. К г о n e r E., Zs. Phys., 142, 463 (1955).
80. Kondo K., Proc. 2nd Japan Natl. Congr. Appl. Meeh., 1952
(1953), p. 41.
81. В i 1 b у В. А., В и 11 о и g h R., Smith E., Proc. Roy Soc., A231,
263 (1955).
82. В11 b у В. A., Rept. Conf. Defects Crystalline Solids, Univ.
Bristol, 1955, p. 124.
83. Griffith A. A., Phil. Trans. Roy. Soc., A221, 163 (1920).
84. О г о w a n E., Welding Journ., 34, 157 (1955).
85. Parker E. R., Washburn J., Trans. AIME, 194, 1076 (1952).
86. T h о m a s L. A., W о о s t e r W. A., Proc. Roy. Soc., A20S (1951).
87. Степанов А. В., ЖЭТФ, 20, 438 (1950).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПОЛЯ УПРУГИХ НАПРЯЖЕНИЙ,
СОЗДАВАЕМОГО ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫМ
ВКЛЮЧЕНИЕМ, И ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ
С ЭТОЙ ПРОБЛЕМОЙ
Дж, Эшелби
J. D. Е s h е 1 b у, Proc. Roy. Soc., А 241, № 1226, 376 (1957)
Предполагается, что некоторая область внутри изотропного
твердого тела претерпевает самопроизвольное изменение формы,
которое в случае отсутствия окружающего материала выража-
лось бы известной однородной деформацией. Вследствие наличия
окружающего материала как в деформируемой области, так и во
внешней среде возникают напряжения. Результирующее поле этих
упругих напряжений весьма просто найти при помощи последова-
тельно проводимых мысленных разрезов в материале, деформирования
и склеивания. В частности, если рассматриваемая область предста-
вляет собой эллипсоид, то деформация внутри нее однородна и
может быть выражена через табулированные эллиптические инте-
гралы. В этом случае можно решить и другую задачу: пусть эллип-
соидальная область в неограниченной среде характеризуется упру-
гими константами, иными, чем в остальном материале; требуется
определить, как наличие этой неоднородности исказит приложенное
ноле напряжений, однородное на больших расстояниях от упомя-
нутой области. Показано, что для получения ответа на ряд вопро-
сов, представляющих физический и технический интерес, доста-
точно знать только относительно простое поле упругих напряжений
внутри эллипсоида.
§ 1. Введение
В физике твердого тела встречаются задачи, сводящиеся
к рассмотрению положения, при котором однородная упру-
гий среда искажается вследствие наличия области, претер-
певшей изменение формы или характеризуемой иными значе-
ниями упругих констант, чем в остальном материале. Неко-
торые такие задачи допускают решение в случае области
произвольной формы, другие могут быть решены только
и том случае, когда указанная область представляет собой
эллипсоид. К счастью, именно эллипсоидальная форма
104
Дж. Эшелби
оказывается приемлемой при рассмотрении большого числа
конкретных вопросов. Целью настоящей статьи является
развитие простого метода решения задач такого типа.
Если в кристалле образуется двойник, то материал ока-
зывается во внутренне напряженном состоянии, так как
наличие окружающей среды препятствует естественному
изменению формы двойниковой области. Подобное положе-
ние возникает также в тех случаях, когда некоторая область
внутри кристалла изменяет свою свободную форму вследст-
вие термического расширения, мартенситного превращения,
выделения фазы с другой элементарной ячейкой или по
какой-либо иной причине. Приведенные примеры являются
частными случаями описанной ниже общей проблемы теории
упругости.
Проблема вычисления напряжений, возникающих как
следствие превращения. Некоторая область („включение”),
находящаяся в бесконечно протяженной изотропной упругой
среде, претерпевает изменения формы и линейных размеров,
которые в отсутствие сопротивления окружающей среды
(„матрицы”) сводились бы к известной однородной деформа-
ции. Следует определить поле упругих напряжений во
включении и в матрице.
Будем решать эту задачу при помощи мысленных сечений
материала, деформирования и склейки краев разрезов.
Вырежем изменившуюся область и извлечем ее из матрицы.
Благодаря этому становится возможным осуществление сво-
бодной деформации. Приложим к границе извлеченной
области поверхностные усилия, выбранные так, чтобы вос-
становить ее исходную форму, вложим ее в полость, обра-
зовавшуюся в матрице, и соединим материал в местах раз-
резов. Теперь напряжения равны нулю в матрице и имеют
известное постоянное значение во включении. Приложенные
поверхностные усилия при этом оказываются сосредоточен-
ными в некотором слое и могут рассматриваться как объем-
ные силы, распределенные по поверхности раздела матрицы
и включения. Для отыскания полного решения нашей задачи
этот слой нейтрализуется наложением слоя, характеризуе-
мого тем же распределением, но противоположным знаком
объемных сил; введенное таким путем дополнительное поле
упругих напряжений вычисляется интегрированием выра-
Определение поля упругих напряжений
105
жения для поля, которое создается силой, приложенной
в точке.
До сих пор ничего не говорилось о форме рассматри-
ваемой области. Ниже мы покажем, что в случае эллипсои-
дальной формы включения напряжения внутри него одно-
родны. Это обстоятельство позволяет использовать проблему
о напряжениях, возникающих при превращениях, как удоб-
ную переходную ступень к решению ряда задач теории
упругости иного типа. Наложим на все твердое тело одно-
родное поле напряжений, подобранное так, чтобы оно точно
нейтрализовало напряжения во включении. В этих условиях
удаление свободного от напряжений включения, которое
приводит к образованию полости, не подверженной действию
напряжений на поверхности, представляет собой просто
формальную операцию. Теперь нужно решить задачу об
искажении однородного поля напряжений эллипсоидальной
полостью. В более общем случае следует считать, что при-
ложение однородного поля не приводит к уничтожению
напряжений во включении. Тогда напряжения не будут свя-
заны с деформациями законом Гука, так как часть дефор-
мации обусловлена неупругим двойникованием или другим
превращением, с которым не связаны какие-либо напряжения.
Однако закон Гука справедлив для некоторого гипотети-
ческого материала, которым можно условно заменить веще-
ство испытавшей превращение эллипсоидальной области.
При этом будем считать, что гипотетический материал пре-
терпевает ту же полную деформацию, что и реальное веще-
ство, но чисто упругую. Таким образом, возникает необхо-
димость решения сформулированной ниже задачи.
Проблема неоднородности. Пусть вещество в эллипсои-
дальной области, находящейся в твердом теле, имеет иные
упругие константы, чем в остальной среде (в частном слу-
чае, если упругие константы в эллипсоиде равны нулю, его
следует рассматривать как полость). Следует определить,
как приложенные однородные напряжения искажаются такой
неоднородностью на больших расстояниях от нее.
Деформацию внутри включения или неоднородности можно
выразить через табулированные эллиптические интегралы.
Нетрудно определить также поле упругих напряжений на
больших расстояниях от искажающей области. Сложнее найти
106
Дж. Эшелби
упругое поле в промежуточных точках, но во многих слу-
чаях оно не нужно для решения задачи. Зная только одно-
родную деформацию внутри эллипсоида, можно найти следую-
щие величины, представляющие физический интерес:
1. Поле упругих напряжений вдали от включения.
2. Все компоненты напряжений и деформаций в точке,
расположенной вне включения непосредственно у его поверх-
ности.
3. Полную энергию поля упругих напряжений в матрице
и во включении.
4. Энергию взаимодействия поля упругих напряжений,
обусловленного включением, и поля, вызванного иными при-
чинами.
5. Поле упругих напряжений на большом расстоянии от
неоднородности.
6. Все компоненты напряжений и деформаций в точке,
расположенной вне неоднородности вблизи ее поверхности
(это решает проблему о концентрации напряжений у неод-
нородности).
7. Энергию взаимодействия неоднородности с полем
упругих напряжений.
8. Изменение макроскопических упругих констант мате-
риала при введении в него небольшого числа эллипсоидаль-
ных неоднородностей.
Величины (1)—(4) можно найти и для включения произ-
вольной формы [(1) и (4) — тривиальным путем; (2) и (3)
в том случае, когда можно вычислить необходимые инте-
гралы]. Нахождение этих величин, разумеется, отличается
от задач, рассмотренных Набарро [1] и Кренером [2], кото-
рые считали включение отделенным от матрицы. Величины (5)
И (8) можно найти только при эллипсоидальной форме не-
однородности.
Много частных случаев перечисленных проблем уже рас-
сматривалось ранее. В работе Робинсона [3] даны ссылки
ца более ранние исследования; см. также [4, 5]. Наш анализ
является не только несколько более общим (мы рассматри-
ваем сдвиговые превращения и искажения произвольных
касательных напряжений эллипсоидальными неоднородно-
стями), но, по-видимому, проще и непосредственнее ведет
к цели, чем рассмотрение при помощи классических мето-
дов, Мы нигде не вводим эллипсоидальны^ координат и не
Определение поля упругих напряжений
107
отыскиваем подходящих функций напряжений или соответ-
ствующих напряжений и смещений на поверхности рассмат-
риваемых областей. По существу, если не считать некоторых
применений, мы даже не используем уравнения равновесия
теории упругости.
§ 2. Включение произвольной формы
Будем пользоваться обычной системой индексов. По по-
вторяющимся индексам производится суммирование, причем
они последовательно принимают значения 1, 2, 3; индексы,
следующие после запятой, обозначают дифференцирование
по соответствующим координатам
_ &и1 . ... _
Ui’ i dxj ’ ^,lk dxi дхь ‘
В изотропной среде упругое смещение «z, деформация е1} и
напряжение р^ связаны соотношениями
+ (2Л)
Plj = ^emm\j+2V-elj' (2-2)
где X и [1 — коэффициенты Лямэ. Если определенная сово-
купность характеристик упругонапряженного состояния выде-
ляется при помощи дополнительного индекса (например, и^,
еП’ Pl])' т0 подразумевается, что указанные величины свя-
заны соотношениями (2.1) и (2.2). Часто удобно разделить
тензор второго ранга на скалярную и так называемую
девиаторную часть
Ар
где
/ ‘ fтт и 'flj — fl) "з f^lp
Таким образом, например, (2.2) можно записать в форме
р = Зхе, % = 2ц'еу (2.3)
и наоборот Р , 'РЦ е = -н~, ец — 'ъ—- Зх Ч 2р.
108
Дж. Эшелби
Труднее найти из (2.2) в зависимости от р^. Для двух
тензоров ftj и gtj также можно привести удобное соотно-
шение

в котором отсутствуют перекрестные члены. Таким образом,
плотность упругой энергии можно записать как
1 1 1 / р1 'Рц 'Р1, \
2" Pijeij — 2" “Ь 'еЧ 'eij} ~ “2 \ 2fi ) (2 4)
Следуя Робинсону [3], назовем „свободной от напряже-
ний" однородную деформацию е^, которую претерпевает
включение в результате превращения в отсутствие матрицы.
Основная наша задача заключается в определении „стеснен-
ной деформации" во включении, которая возникает вслед-
ствие превращения, протекающего при наличии матрицы,
а также вследствие деформации в матрице; их же мы тоже
обозначим через е^. Пусть 5—поверхность раздела матрицы
и включения, nt — внешняя нормаль к ней и dSl — ntdS —
произведение нормали и элемента поверхности 5. Последо-
вательно осуществим действия, указанные во введении.
1. Извлечем включение из матрицы и позволим ему пре-
терпеть „свободную от напряжений" деформацию еТ.. При
этом потребуем сохранения значений упругих констант ве-
щества. Пусть
представляет собой напряжение, обусловленное деформа-
цией efj и связанное с ней законом Гука. На данной стадии
напряжения во включении и внутри матрицы равны нулю.
2. Приложим к поверхности включения усилия, равные
— PTijnp При этом включение опять приобретет форму и
размер, существовавшие до превращения. Вложим извлечен-
ную часть обратно в матрицу и склеим по поверхности S.
После указанной операции поверхностные усилия превратятся
в слой объемных сил, распределенных по S.
3. Пусть произойдет релаксация этих объемных сил или,
что равнозначно, введем дополнительные силы -|-рТцП^ дей-
ствующие на S. Теперь тело не подвержено действию внеш-
Определение поля упругих напряжений
109
них сил, но находится в состоянии внутреннего напряжения
вследствие осуществления превращения во включении.
Так как смещение в точке г, которое вызвано силой Flt
приложенной в точке г', равно [6]
! Fj 1 d2 r
г )~7 4лр. |r — r'। 16л|л (1—a) dxtdxt Г I’
(2.5)
суммарное смещение в материале на стадии 3 составляет
4(г)=—r')rfS*; (2-6)
$
здесь а — коэффициент Пуассона. Целесообразно рассма-
тривать состояние материала после завершения стадии 2 как
состояние, в котором смещение равно нулю. Действительно,
в указанном состоянии напряжения и деформации в матрице
равны нулю, и, хотя включение от них не свободно, его
геометрическая форма совпадает с существовавшей до пре-
вращения. Тогда и^ представляет собой истинные смещения
в матрице и включении. Соответствующая деформация
в матрице или включении имеет вид
еЕ=4 («£,+«£<)
откуда напряжения в матрице в соответствии с законом Гука
составляют
С другой стороны, даже перед стадией 3 включение подвер-
жено действию напряжения — pTijt так что для напряжения
внутри него справедливо соотношение
Р1ц = Р& - РТц = * (*С - еГ) + 2И (2.7)
В (2.7), согласно нашим обозначениям, р^ есть напряжение,
соответствующее по закону Гука деформации во вклю-
чении.
Используя теорему Гаусса и равнозначность результатов
действия операторов d/dxt и —д/дх[ на |г — г'|, можно
записать (2.6) в форме
= 16 ^(1 —а) РР$. ijk ~ Pik% (2-8>
по
Дж. Эшелби
где
V V
представляют собой соответственно ньютоновский и бигар-
монический потенциалы поля тяготения вещества единичной
плотности, заполняющего объем V с поверхностью S. Оче-
видно,
72ф = 2ср,
Г — 8л внутри S, (2.9)
V.t=2V^=| 0 вм s
В общем случае необходимо знать как ф, так и <р. Однако
если интересоваться только дилатацией в материале, то до-
статочно знать лишь потенциал
<2-“>
Если eTL. — чистая дилатация, равная то
С 11 —|— О’ ’Г
— 3(1 —а) е ^.Ч‘
Приведенный результат получен Крумом (см. [1]). В этом
случае дилатация во включений равна ег(1 ~(-а)/3(1—а),
а в матрице она отсутствует. Например, вследствие противо-
действия матрицы расширение включения при а = */3 со-
ставляет 2/3 величины, соответствующей свободной дефор-
мации.
Вторая производная потенциальной функции, удовле-
творяющей уравнению = — 4-р, скачкообразно меняется
на величину ДИ = — 4л Др при пересечении поверх-
ности (с нормалью иг), при переходе которой плотность
меняется на Др [7] ’). Отсюда следует, что для точек, лежа-
’) Это положение более известно в следующей формулировке:
величина скачкообразного изменения притяжения при прохождении
двойного слоя равна его моменту. В нашем случае — у, i есть потен-
циал двойного слоя с поверхностью S, обладающего единичным
моментом, направленным вдоль оси х/, a tp, ij — соответствующая
сила.
Определение поля упругих напряжений
111
щих вблизи поверхности S с наружной и внутренней ее сто-
роны, справедливо выражение
<р ^(вне S) — ®₽ (внутри S) — 4nnirij. (2.11)
Проводя аналогичные рассуждения относительно функции ф, у,
которая является потенциалом для случая плотности, равной
— 2®у/4к, получаем
Ф, цы (вне) — Ф.tjki (внутри) = (2.12)
Соотношения (2.11), (2.12) и (2.8) позволяют по напряже-
ниям и деформации для точек вблизи поверхности внутри
включения найти значения этих величин в точках, располо-
женных вблизи поверхности вне его, не решая внешнюю
задачу.
Легко показать, что
ес (вне) — ес (внутри) — у 'f—g еТ---~i__'eTijninj
и
(вне) = 'е? (внутри) + yj-y reTjkn.п^п. - ге^пкп[ —
it 1 1 — 2а , r * 1 1 4- а т ( 1 s, \
eiknkni + 3(1—0) ejknjnk\l У 1 — о е \П1П1 ~~ У М ‘
(2.13)
Как уже указывалось, величины с индексами С, а также
с индексами Т связаны соотношением (2.2). Таким образом,
каждую сторону этих равенств в отдельности или обе одно-
временно можно выразить через напряжения. Это решает
проблему (2).
Удобную форму записи выражения для и? получаем,
учитывая, что (2*. 5) можно представить в виде
F, Г (х, — х',) (х / — x'f)
16кр (1 - a) t7z = Т7~РТ [(3 - 4а) Вц-Р ' |rli\./|2 V •
(2.14)
Подставляя (2.14) в (2.6) и используя теорему Гаусса для
перехода к интегралу по объему, находим
, р ,р du f/i, р du
“/ Ф = 16^(1—a) J 7®“ ® = 8п(1—а) J 72 g4k ®’
v * • у
(2Л5)
112
Дж. Эшелби
где г и l = (Zlt /2- 4)—соответственно длина и направляю-
щие косинусы линии, проведенной из элемента объема dv
в точку наблюдения х и
flJk = О - 2о) + W ~ + Щ1к. (2.16)
glJk = (1 - 2о) (8^ + W; - + 3ZzZ/ft. (2.17)
Для точек х, удаленных от включения, все величины, за
исключением dv, можно вынести за знак интеграла; при этом
получим выражение
ис ____ VPjkfijk — VejkSijk & ig)
ui W ~ 16лр.(1 —a)r« — (1 — а) Г2 ’ 1 '
где теперь г — расстояние точки х от включения и 1 — на-
правление линии, проведенной в эту точку. Это решает про-
блему (1).
Плотность упругой энергии во включении равна
где е1^— деформация, связанная законом Гука с напряже-
нием plt.. Согласно (2.7), упругая энергия во включении
равна
IMWr"»)*1 (219)
V
а в матрице
-1 f piju?dSj=~if Ри<dSj=~i f piieudv-
S S V
(2.20)
Первое выражение определяет работу, затрачиваемую на
создание упругого поля при приложении к поверхности S
соответствующих сил; знак соответствует направлению нор-
мали от включения в матрицу. Второе выражение является
следствием непрерывности смещений и нормальных усилий
при переходе через S. Третье выражение вытекает из тео-
ремы Гаусса, уравнения равновесия — 0 и условия
симметрии pr.j = Pj.. Полная упругая энергия в матрице и
рК|ПЮчении
Д = —( Р1иеТн dv, (2-21)
упр 2 J гц Ч ' '
¥
Определение поля упругих напряжений ИЗ
В частном случае, когда представляет собой одно-
родное расширение, мы непосредственно из (2.10) и (2.21)
получаем
Е —2ц (сг12 ~Ь °)
£упр — (е ) 9 (1 _ О) •
Это, как указал Крум (см. [1]), справедливо для любой
формы полости.
Энергия взаимодействия упругого поля с другим
полем и-А [8, 9] равна
£„.™= f <2-22>
X
Здесь интеграл берется по поверхности S, охватывающей
включение. Пусть S проходит непосредственно вблизи по-
верхности 5. Так как uct и нормальные напряжения не испы-
тывают разрыва при пересечении поверхности S, выраже-
ние (2.22) можно преобразовать в интеграл по поверхности,
расположенной внутри поверхности непосредственно вблизи
нее и, следовательно, к объемному интегралу по включению
£ВЗаИм= f
V
Второй член в подынтегральном выражении равен —Рце^‘>
таким образом,
£взаим = -/ PTijeHdV = - f Pu^J^^-f PtjuTidSr
V V *
(2.23)
Выражение (2.23) является решением проблемы (4).
Тот же результат получается путем вычисления интеграла
(2.22) по сфере большого радиуса, причем используется
выражение (2.18), справедливое для отдаленных точек.
К счастью, нас интересует только деформация е7^, а не
Действительно, последнее выражение в (2.23) формально
указывает работу, произведенную против внешнего поля при
расширении включения, рассматриваемого как жесткое тело,
до конечной формы, определяемой eTtj. Последнее положение
не очевидно, так как включение не является жестким и его
f) Дж. Эшелбл
114
Дж. Эшелби
окончательная форма описывается смещением и9, которое
может быть весьма сложным J).
Если считать, что включение может перемещаться в мат-
рице, как это принимается в упругой модели атома растворен-
ного вещества в твердом растворе замещения, то величина
р ____ д£Взаим
(2.24)
представляет собой „силу", действующую на включение,
положение которого определяется вектором Ez.
Обозначим через £пр изменение внутренней энергии
в результате протекания превращения во включении, извле-
ченном из матрицы. Рассмотрим энергию

упр
Будем считать значения X, р., х адиабатическими и допустим,
что стесненная деформация осуществляется без возникновения
теплового потока. В этих условиях величину Е можно с одинако-
вым основанием толковать как изменение энтальпии включения,
изменение энтальпии тела (включения и матрицы) или изменения
внутренней энергии тела и нагружающего механизма, рассмат-
риваемых как единая термодинамическая система. Аналогично
можно интерпретировать величину Е и для изотермических про-
цессов, только внутреннюю энергию следует заменить сво-
бодной энергией, энтальпию — термодинамическим потенциа-
лом и взять соответствующие этому случаю значения X, р, х.
Ввиду того, что проблемы (5) — (8) допускают решение только
в случае эллипсоида, их обсуждение мы отложим до § 4.
В качестве простого примера использования выражения
(2.18) рассмотрим вопрос об определении поля на большом
расстоянии от петли дислокации, вектор Бюргерса которой
параллелен положительному направлению оси х3. Пусть
площадь, охватываемая петлей, равна А, и она лежит в пло-
скости хгхг. Для создания петли следует вставить в мате-
риал дополнительный слой, имеющий площадь А и толщину Ь.
Это можно осуществить, например, следующим путем:
вырежем диск площадью А и толщиной h, придадим ему
*) Оно вызывает, например, подушкообразную или бочкообраз-
ную дисторсию кубического включения (см. работу [10|).
Определение поля упругих напряжений
115
остаточную деформацию е?3 = b[h, что приведет к увеличению
высоты на b и вставим диск обратно в полость. В выра-
жении (2.18) следует в данном случае положить V — Ah,
е33 — b[h и другие составляющие тензора ет^ равными нулю.
Таким образом, получим
„ __ bAgt зз
и>~ 8?= (1 — а) г2 •
Пусть теперь вектор Бюргерса лежит в плоскости петли,
например вдоль оси Xj. Придадим диску остаточный сдвиг
e^3 — bl2h, вследствие чего верхняя и нижняя поверхности
диска получат относительное смещение, равное Ь, и вставим
его обратно в матрицу. В пределе (при й->0) получим
в плоскости петли разрыв смещения, равный Ь. Полагая
V = Ah, е[3 = — b/2h и другие компоненты равными
нулю, из (2.18) находим выражение
ui = ЬА л г > (2-25)
* 4л (1 — о) г2 4 '
которое совпадает с выражением, полученным Набарро [11].
Может показаться, что противодействие матрицы должно
уменьшать относительное смещение поверхностей диска до
величины, меньшей Ь. Это действительно имеет место в пре-
деле при h—>0. В справедливости выражения (2.25) можно
убедиться, подставляя в (2.23) соотношение х!гАЬ\
это дает £взаим = — т- е- правильное выражение для
энергии взаимодействия такой петли [12].
Путем тех же рассуждений можно найти поле вдали от
петли произвольной формы, охватывающей площадь А с нор-
малью п, и вектором Бюргерса Ь{. Энергия взаимодействия
для любого значения рД равна —Ь1р^пЛ. С помощью вы-
ражения (2.23) можно показать, что
и из (2.18) следует
и = Abinkgl}k
1 8л (1— а) г2*
Имеется более общая связь нашей задачи с теорией дисло-
каций. „Свободные от напряжений" деформации во вклю-
чении всегда можно считать следствием пластической
8* •
116 Дж. Эшелби
деформации. Рассмотрим дислокации (с одинаковыми векто-,
рами Бюргерса), образующие петли, лежащие в системе равно-
отстоящих параллельных плоскостей. Пусть эти дислокации
расширяются, начиная с размера, равного нулю. Если век-
торы Бюргерса дислокаций лежат в указанных плоскостях,
то при этом имеет место сдвиг, если же они ориентированы
в перпендикулярном направлении, то происходит расшире-
ние. (В последнем случае перемещение дислокаций не имеет
характера консервативного движения.)
Если деформация протекает во включении, удаленном из
матрицы, то петли дислокаций будут как бы „уходить"
в свободное пространство. Если же включение находится
в матрице, то дислокации будут размещаться по поверх-
ности S, отделяющей включение от матрицы. При этом S
станет поверхностью разрыва дислокации Сомилианы [13,
14]. Такой обобщенный тип дислокации характеризуется на-
личием переменного разрыва непрерывности смещения
при пересечении поверхности S. В нашей модели это про-
является как существование зазоров и областей взаимного
проникновения вещества, которые возникнут, если мы попы-
таемся вставить испытавшее превращение включение в по-
лость в матрице, не придав ему предварительно исходной
формы. Легко видеть, что в точке х'. поверхности S сме-
щение dt имеет значение 112еТ^х'р таким образом, проведя
некоторые преобразования, можно показать, что наше выра-
жение для и1; согласуется с результатами Сомилианы.
§ 3. Эллипсоидальное включение
При рассмотрении упругого поля внутри включения
удобно принять, что величины lt в выражениях (2.16) и (2.17)
являются направляющими косинусами линии, проведенной
из точки наблюдения х = (хг хг, х3) = (х, у, z) к элементу
объема dv. При этом изменится знак интегралов в (2.15).
Сначала проинтегрируем по элементарному телесному углу
dw (1), центральная линия которого проходит в направлении
l=(Zp Z2, Z3) = (Z, т, п), а вершина лежит в точке х.
В результате получаем r(l)dw вместо dv/r2. Таким образом,
8к|х (1 — о) ц/ (х) ~~ejn f г (1) g.Jk (1) dto (1). (3.1)
Определение поля упругих напряжений
117
Выражение (3.1) дает смещение в точке х, выраженное через
интеграл по углу, причем интегрирование производится по
полярным координатам г — г(1, т, п) точек поверхности S.
которая рассматривается из точки х.
Можно более непосредственно перейти от выражения
(2.6) к (3.1), если в (2.14) использовать равенство г-1 =
— применить теорему Стокса в форме
J w.., jttdSj= J «у... i,i dSi
S S
и принять во внимание, что dw = niridS/r3.
В случае эллипсоида
X2 । у2 । Z2 _ 1
Д2 И" b2 -I- сг — 1
г(1) определяется как положительный корень выражения
(х + rZ)2 (у + гт)2 (лг 4- гл)2 _ .
а2 Ь2 "г" .с2 ’
что дает
1х । ту , nz . х2 у2 г2
~~a2'~V2 ' 'с2'’ е 1 I2 'с2'"
Знак перед квадратным корнем, очевидно, выбран правильно,
так как е > 0 для точек х, расположенных внутри эллип-
соида. В любом случае при подстановке (3.2) в (3.1) этот
член можно опустить, так как он четен относительно 1,
тогда как член giJk нечетен. Для сохранения преимуществ
тензорной записи введем „вектор"
. __ Z , _____ т . _____ л
А1 —Л2 — '^2- А3—р-*
Тогда
wf W = Я \ f (3.4)
1 4 ' 8л (1 —a) J g 4 '
4л
118
Дж. Эшелби
и деформация
4я
однородна и определяется только формой эллипсоида. То же
положение справедливо и в случае анизотропной среды, что
подтверждает гипотезу Франка J). Легко показать (см., на-
пример, [8]), что выражение (2.5) нужно заменить следующим:
где функции направления Dtj в общем случае не могут быть
представлены в замкнутой форме. Повторение приведенной
аргументации приводит к выражению, подобному (3.4), но
с функциями gtjk, которые уже не даются соотношением (2.17).
Связь между „стесненной" и „свободной от напряжений"
деформациями удобно выразить в форме
е? = S,, ет . (3.6)
it limn mn ' 7
Из симметрии задачи ясно, что обладает некото-
рыми свойствами упругих констант орторомбического кри-
сталла с осями, параллельными осям эллипсоида, хотя со-
отношения вида S1122 = 522ц 3Десь не имеют места. Коэф-
фициенты, связывающие изменения объема и сдвиг (5ni2,
5n23, 523ц ...) или один сдвиг с другим (5122з ...), равны
нулю. Фактически деформация (3.5) равна нулю, если
хотя бы одна из величин Z, ш, п в подынтегральном выра-
жении возводится в нечетную степень. Используя способ
сведения поверхностных интегралов типа J* Plm2^n2k dw/g
к простым интегралам [15], получим
Sim = Qa2Iaa+IUa,
51122 = Q&Iab Ma’ (3.7)
51212 — Q ~2 (Д2 + аЬ + Я &)•
*) Frank, частное сообщение.
Определение поля упругих напряжений
119
где
Q 3 п —. 1 J_ Q I р _L
8г. (1— о)’ 8я(1 —°)’
е I2 da>
2ъаЬс [ т»ч л .
J (а- + и) Д
о
Гаа= f Л — = 2каЬс [ ,
аа J л4 g J (а2 -р «)2 А
о
(3.8)
г г Iх т2 da> __ 2 С du
ab~J ~ Ъ naDC J (а2 + и) (Ь2 + и)Л
о
при
Д = (С2 и)*/2 (й2 И)‘А (с2 и)-/,_
Остальные коэффициенты находятся одновременной цикли-
ческой перестановкой (1, 2, 3), (а, Ь, с) и (Z, т, п). Инте-
гралы Ia, 1Ь и 1С являются коэффициентами в выражении
для ньютоновского потенциала внутри эллипсоида, напол-
ненного веществом единичной плотности:
<? = (о2 — х2) 1а + (й2 — у2) Ib +-1- (с2 — г2) 1С.
Мы имеем J) [16]
, ___ 4каЬс
а~ W — b^lat — c2)'1*

____ 4-nabc I b (а2 — с2)'^
с ~ [bx — c2)(a2 — c2)'^ j ы ’
(3-9)
где F=F(6, k) и fi = £(0, k) — эллиптические интегралы
первого и второго рода с амплитудой и модулем, равными
соответственно
(с2
1-;
k_ (q2-bx)'k
(а2 — с2)'11
Здесь принято, что а > b > с.
) Осборн [17] приводит кривые зависимости этих величин
рт b/а и cja, причем в его обозначениях Ia = L, 1^ — М, = N,
120
Дж. Эшелби
Соотношения
/о + 4 + /с = 4к, (3.10)
(З-И)
^оа + ^ + с2/ос=/о (3-12)
следуют из интегралов по ш, если использовать определе-
ние g, даваемое выражением (3.3), и соотношение l2-j-m2-j-
n2 = 1. Далее, если представить произведение (а2 -|- и)-1 X
Х(й2-|-и)_1 в выражении для 1аЬ в форме суммы соответ-
ствующих слагаемых, то получим 3(а2 — Ь2)1аЬ = 1ь — 1а.
Таким образом, если 1а и 1С найдены из (3.9), то легко
определить
lb = ^-Ia-Ic.
Остальные интегралы находятся из соотношений
<313>
4-7С
1аа = ^-1аь~1ас (3.14)
и аналогичных соотношений, получающихся в результате
упомянутых выше циклических перестановок.
В случае сплющенного сфероида (а = b > с), для кото-
рого
, , 2r.a2c ( с с (. с2 VZsl
/„=/.,=----------^{arccos-----— * —Та! (• (3.15)
° ь (в2_с2)»/г I а а\ а2) | v
соотношение (3.13) неприменимо, но аналогичные выраже-
ния для 1Ьс и 1ас сохраняют свою форму. Из формул,
дающих выражение 1аа и 1аЬ через интегралы по и, ясно,
что I — 3/о6, и, следовательно, можно воспользоваться
соотношением (3.14). Для вытянутого сфероида (й = с<а)
получим
, , 2лас2 ( а (а2 , VA . а )
К = Т=----------[-=-—1| —arcch — >. (3.16)
Остальные недичины можно наИти аналогичным путем,
Определение поля упругих напряжений
121
В случае эллиптического цилиндра (х2/а2у2/#2 = 1,
с->оо) приходим к простому результату
_ Ы> _ 4Дд __0
д + fc’ b~a + b’ гс-—и-
Г _____ 1 __ . J ____________ 4л __
‘аь —3(д + 6)2’ ‘аа За2 ,ab’ bb ЗЬ2 аЬ' ’ ''
При этом 1Ш, 1Ьс и 1СС равны нулю. Однако из (3.7) сле-
дует, что по существу представляют интерес произведения
указанных величин и с2. Из (3.12) и (3.13) получим
<^ = 4 4- c2Ibc = ^Ib, (3.18)
Однородный поворот о)С = '/2 (цС t J во включении
можно представить в виде
О>/7 = ^lljkejk> (3.19)
аналогичном соотношению (3.6). Отличны от нуля только
компоненты П1212, П2323, П3131, причем, например,
Пз131 — — П1331 — —°8и С'' (3.20)
Эти результаты справедливы только в координатной системе,
оси которой параллельны главным осям эллипсоида. В слу-
чае любой другой системы координат соотношения сохра-
няют форму (3.6), (3.19), а новые коэффициенты Stjkl,
11^1 должны быть найдены при помощи обычных законов
преобразования тензоров.
Проблемы (1)—(4), сформулированные § 1, решены для
включения произвольной формы (см. § 2). Упрощение
задачи заключается только в том, что вследствие однород-
ности е^. внутри включения выражение (2.21) принимает
вид
1 4
£уп₽ = - У ВД- V = I (3-21>
а выражение (2.23) записывается как
£ВЗаим = — VPtjeTij’
(3.22)
122
Дж. Эшелби
если приложенное поле р^ также однородно. Непосредст-
венно вне включения поле можно найти из (2.13), исполь-
зуя следующие выражения для компонент нормали к поверх-
ности эллипсоида в точке х, у, z:
х ~______у _ г
a3h’ n2~~b*h*
_ v*2 v2 g2
(3.23)
Как мы видели, обычно достаточно знать упругое поле
внутри включения, непосредственно вне и на большом рас-
стоянии от него. Поле в любой точке вне включения можно
найти из (2.8), если известны потенциалы <р и ф. Выраже-
ние для <р известно [16]. Дирихле [18] вычислил внешний
потенциал эллипсоида для случая, когда взаимодействие
обратно пропорционально расстоянию в степени р. Резуль-
таты Дирихле справедливы только для 2 р < 3 и не
включают случай бигармонического потенциала (р — 0).
Однако расчет силы, равной — grad ф, которая нас только
и интересует, справедлив и при последнем условии.Дирихле
получил следующий результат:
/Uu du
(а* + и)& '
дф
dy
где
а2 + и Ь3 4- и с3 -|- и
и К — положительный корень уравнения t/(u)=0. Интеграл
в приведенных выражениях можно свести к эллиптическому
теми же подстановками, что и при преобразовании потен-
циала <р (детали см., например, в работе Бирда и Фридмана
[19]). Для внешних точек <р и ф выражаются соответственно
полиномами первой и второй степени по №, у2, z2 с коэф-
фициентами в форме интегралов типа (3.8) с той разницей,
что нижним пределом является не 0, а X. Эти коэффициенты
можно выразить через интегралы (3.9) с аргументом
б — arc sin
(а3^с3)Ч‘
(а2 + А)'/«
Определение поля упругих напряжений
123
и модулем
(Л»_ с»)*/. •
Они зависят от х, у, z через X.
§ 4. Эллипсоидальная неоднородность
Проблемы, связанные с наличием в материале эллипсои-
дальной неоднородности, решаются способом, который уже
был рассмотрен в § 1. Наложим однородную деформа-
цию на упругое поле е^., вызванное эллипсоидальным
включением с произвольной деформацией ет1}. В этих усло-
виях деформация на поверхности включения определяется
суммой rfj-htfj- Так как деформации не связаны с ка-
кими-либо напряжениями [см. выражение (2.7)], однородное
напряжение во включении определяется путем применения
закона Гука не к величине а к величине — Сц.
В обозначениях (2.3) деформация во включении
е = ес + еА. 'eLj = 'е^ + 'еА, (4.1)
а напряжения в нем
р = Зх (ес + еА — еГ), ’pt] = 2р ('«£ _|^ 'еА _ (4 2)
Возьмем эллипсоид, имеющий такую же форму и размер,
как непревращенное включение, и представим себе изотроп-
ный материал с упругими константами Хр р.р х1=Х1-[~2/3р,1,
иными, чем в матрице и во включении. Подвергнем этот
эллипсоид деформации (4.1). Если последняя операция соз-
дает в нем напряжения (4.2), то таким путем включение
можно заменить этим эллипсоидом при условии непрерыв-
ности смещений и поверхностных усилий на границах
раздела. Мы всегда можем выбором Xj, р, обеспечить пра-
вильные значения напряжений. Необходимо только, чтобы
удовлетворялись соотношения
(ес-j-еА) = Ti (ес-f-еА — ет), (4.3)
Hi (,£5 + 'ец) = Н ('</ + '*IJ — (4.4)
124
Дж. Эшелби
Действительно, если задано однородное приложенное поле efj
и упругие константы неоднородности, то соотношения (4.3)
и (4.4) позволяют, после исключения при помощи соот-
ношения e^j — выразить eTtj через е^, Хр Соот-
ношения (4.3) и (4.4) не так просты, как кажутся на первый
взгляд, ввиду того, что ес и 'е^ зависят от ет и ’е^.
Однако так как в случае деформаций сдвига Stjkl = 0, если
ij^kl, то для касательных составляющих решение полу-
чается непосредственно
ет -_______р,~р'1 _____(4 5}
13 2 (р., — р.) S.3,3 + F 13‘ 1 >
С другой стороны, для определения е[г е^, е[3 следует
совместно решить три уравнения:
(X. — X) 5 ет + 2 (р. — р.) S,. пп ет + Хег + 2ре[. =
v 1 / mmpq PQ 1 V 1 г/ ЧРЧ PQ * 1 г Ч
= (Х—Xj)^4-2(p —Pj)^, //=11, 22. 33.
(При суммировании по pq остаются только компоненты е^,
е22’ e33' так как> напРимеР> *^1112 — 0.)
Из хода наших рассуждений ясно, что найденная таким
путем величина е1^ является „свободной от напряжений"
деформацией определенного превращенного включения, кото-
рым при данном приложенном поле можно заменить
неоднородность, не вызывая при этом изменения напряжений
или смещений в какой-либо точке. Назовем эту воображае-
мую превращенную область „эквивалентным включением".
Вне включения упругое поле ut, etj, является суммой
приложенного поля trf, е.^., р^ и поля и^, е^, р^ эквива-
лентного включения. Удобно считать последнее полем,
„обусловленным" неоднородностью. Оно является мерой воз-
мущения приложенного поля неоднородностью и может быть
найдено из ет^ методами, описанными в § 2 и 3. В част-
ности, поле в удаленной от неоднородности точке получается
непосредственно из (2.18). Внутри неоднородности полная
деформация составляет
X 7, • V2 Г Т
е —---------ет ге —-----£_---Г ет
« —*1 Ч |Л — н О'
(4.6)
Определение поля упругих напряжений
125
как следует из (4.3), (4.4). Поле непосредственно вне неод-
нородности можно найти из (2.13) и (3.23).
Вопрос о взаимодействии поля напряжений и упругой
неоднородности обсуждался в других работах автора [8,9].
Сейчас нам нужен только следующий результат. Если исход-
ные упругие константы х, р тела, подверженного действию
поверхностных усилий, заменить произвольными функциями
положения х*(х), р*(х) при сохранении указанных усилий,
то полная энергия системы увеличится на величину
= {(x-x*)ee4-2(|x-|x’)^/</}d®, (4.7)
где etj, e*j — деформации до и после изменения упругих
констант. Под полной энергией мы понимаем сумму упругой
энергии и потенциальной энергии нагружающего механизма.
Величина /^заим- п0 определению, представляет собой энер-
гию взаимодействия приложенных напряжений и неоднород-
ности, описываемой неоднородными упругими константа-
ми х*. р*. Увеличение упругой энергии вследствие указан-
ного изменения констант равно
= ^-взаим" (4-8)
Выражение (4.7) справедливо также, если представляет
собой деформацию, возникающую вследствие внутренних
напряжений, или деформацию, обусловленную жесткими
захватами машины для механических испытаний, но тогда
вместо (4.8) следует писать
Д£ = + Е_ (4.9)
В нашем случае область изменения упругих констант
ограничена внутренней частью эллипсоида и eljt e*j здесь
однородны. Таким образом, согласно (4.8) и (2.3),
^41 за им 2 V {(* — *i) (еА-^ес) + 2 (р — р0 X
X 'rfj ('efj + '£fy)} = — j V (*еАег + 2р'еА'еТ) =
= -±VpAe7. <4Л0>
где V — объем эллипсоида. Это решает проблему (7). Сле-
дует отметить, что энергия, определяемая выражением (4.10);
126
Дж. Эшелби
равна половине энергии (3.22) для эквивалентного вклю-
чения. Физически это можно интерпретировать следующим
образом. Выражение (4.10) остается приближенно справед-
ливым, если pfj есть медленно меняющаяся функция поло-
жения. Сила, действующая на неоднородность, которая рас-
сматривается как упругая сингулярность, описывается выра-
жением (2.24). Величина Ft определяется только полем
сингулярности в удаленных точках и совсем не зависит
от того, является ли это поле постоянным (внутренние
напряжения) или просто „индуцировано“ в неоднородности
упругим полем. Наличие множителя г/2 показывает, что
дело обстоит именно таким образом. Действительно, если
e^j является линейной функцией ef., то величина ЕВзаим’
определяемая выражением (4.10), изменяется с положением
точки вдвое быстрее, чем в случае = const.
Эффективные объемные упругие константы материала,
содержащего равномерное распределение эллипсоидальных
неоднородностей (которые не обязательно должны иметь
одинаковую форму и ориентировку), можно вычислить сле-
дующим путем. Рассмотрим образец, имеющий единичный
объем. Пусть Ео— упругая энергия образца, если неодно-
родности отсутствуют и определенные поверхностные усилия
создают в нем однородные напряжения р^п. Если мы вве-
дем неоднородности, поддерживая поверхностные усилия
неизменными, то упругая энергия увеличится на величину
— 2 ^взаим(РтЛ)’ равную сумме энергий взаимодействия
всех неоднородностей с напряжениями р&п [ср. выраже-
ние (4.8)]. Так как Ео и £взаим представляют собой квад-
ратичные функции p^n, можно написать
"2 SljklP^jPkl = ^0 2 ^взаим(^тп) 0-И)
Здесь siJk[— условные упругие константы, которые можно
было бы определить, вычисляя работу, проделанную при
приложении данного типа нагрузки. Чтобы найти отдельные
компоненты si]kl, положим, например, р^ = 1, р^ = 1
(pfj — 0 при других значениях I, j} и получим $1122 и т. д.
Обычно эффективные постоянные sijhl анизотропны. Это
несправедливо лишь в том случае, когда эллипсоиды пред-
Определение поля упругих Напряжений 127
ставляют собой сферы или когда их ориентация изменяется
случайным образом. Эффективные упругие модули cZyftZ
можно найти из соотношения cijklski.„n — &lrrftjn. Их нельзя
получить непосредственно, приравняв правую сторону соот-
ношения (4.11) величине г/2 так как это соотно-
шение получено для случая постоянной нагрузки. Мы должны
рассмотреть единичный объем, в котором имеются определен-
ные однородные макроскопические деформации вследствие на-
личия жесткого каркаса, сохраняющего поверхностные смеще-
ния фиксированными при введении неоднородностей. Это
приводит к выражению
ClJkietjekl ~ 2 ^взаим (етп)- (4.12)
Для выяснения причины различия в знаке ср. (4.8) и (4.9) *).
§ 5. Обсуждение затронутых вопросов
Выше было показано, каким образом задачи, перечис-
ленные в § 1, могут быть решены для эллипсоида. Полное
решение для общего случая очень громоздко, поэтому здесь
мы рассмотрим только несколько специальных примеров.
Для сферы радиусом а из (3.10), (3.11) и симметрии
задачи непосредственно получаем
!a = fb = fC = ^- И faa = fbb = Vab= ••• = •
Стесненная деформация внутри превращенной сферы
выражается через „свободные от напряжений" дефор-
мации e^j следующим образом:
ес — аеГ, 'е^ = P'rfj,
где
1 1 + а а 2 4 —5а
Р = Т5-Т=Т-
’) Неправильная оценка этого положения привела к ошибке
в предыдущей статье автора [20]. Чтобы ее исправить, нужно из-
менить знак правой части выражения для Д£ на стр. 488. Кроме
того, справа в выражении (4) этой статьи пропущен множитель г-8.
128
Дж. Эшелби
В случае сферической неоднородности с упругими констан-
тами Zj, fij в приложенном поле еА. эквивалентная деформа-
ция eTt] дается выражением
ет — Ае.А, 'ет.. = В'
I] I]
где
__ х, — х ___х — Xi 4|л -|- Эх
(х — х,)а — х х 4Ц-1-ЗХ, ’
о__ V-1—V-
(р —р,)Р —р ’
Энергия взаимодействия определяется следующим образом ’):
Евэа™ ~ "2 V { 9? рАрА + 2JT PJJ pAj}'
При помощи (2.13) легко найти напряжения непосредственно
вне однородной сферы. Они равны
Р = РА~ T=^B'Ptjninr
'ри = (1 + +
+в'рЪп1п&г~
-зтгй)-л^(пл-у8«)-
В частности, мы нашли напряжения у поверхности сфери-
ческой полости (х, — О, р-! = 0), искажающей однородное
поле рА.-,
Ри = TZTga {О-°)(рп~РиМ— pAk+
+ pAknjпкп1п!- apAkпJnkbи + рА {пЛ ~ \l)} •
Выражение, данное Ландау и Лифшицем [21], ошибочно,
так как полученные из него поверхностные усилия РцП1 не
обращаются в нуль.
’) В статье [20] допущена ошибка; выражения для В, F (К! = 0)
F (Д' = со) на стр. 104 следует умножить на 4р/ЗА'.
Определение поля ynpyiux напряжений
129
Согласно рассуждениям, приводящим к (4.7), плотность
энергии в теле, содержащем неоднородные сферы, общий
относительный объем которых равен V, составляет
4 {i t1 + Av) рАрА+'pA/PAi}
и, следовательно, эффективные упругие константы составляют
X __ [Л
хэфф - 1 _|_ Лг? ’ 1 + Bw
Так как мы пренебрегаем взаимодействием сфер, эти выра-
жения будут справедливы только для малых V, и можно
с равным основанием написать
*8фФ=’е(1 —Иэфф^р-О—я®).
Устремив pt к нулю или бесконечности, мы получим
известный результат для материала, содержащего сфери-
ческие полости [22] или жесткие и несжимаемые сферические
включения [23]. Для произвольных хр Pj выражение для хЭфф
согласуется с соответствующим результатом Браггемана [24].
В полученное Браггеманом [23] выражение для рэфф не
входит коэффициент Пуассона матрицы, так что оно вряд ли
верно. Это выражение выведено путем рассмотрения возму-
щения неоднородного упругого поля в сфере, искажаемой
чистым кручением, когда сферическое включение помещено
в ее центр. Это, очевидно, не характерно для неоднород-
ности, расположенной в произвольной точке сферы. Восполь-
зовавшись известной аналогией [25] между проблемами
упругости и вязкости, мы можем рассматривать рэфф как
эффективную вязкость суспензии жестких сфер в жидкости,
имеющей вязкость р, при условии, что pt = оо, о = */2. Это
дает выражение Эйнштейна рЭфф = (1 -|-2,5г»)р. Кинч [26]
рассмотрел, при каких значениях v это выражение ста-
новится неточным вследствие взаимодействия сфер. Такое
же ограничение, очевидно, налагается и на формулы для
*афф> Рафф"
Проблема эллипсоидального включения, претерпевающего
простой сдвиг, представляет интерес в связи с изучением
двойникования и мартенситного или другого бездиффузион-
ного превращения. Допустим, что эллипсоидальная область
объемом V претерпевает чисто сдвиговое превращение, при
9 Дж. Эшелби
130
Дж. Эшелби
котором е[3 = eJ'j — единственная не равная нулю компо-
нента e^j. Тогда формулы (3.21) и (2.7) приводят к следую-
щему выражению для полной упругой энергии в матрице и
включении:
Гупр = (е;з)2, (5.1)
где
7 = 1 2S1313. (5-2)
Величина 2рУ (е[3)2 представляет собой энергию, необходи-
мую для возвращения включения к его исходной форме
в отсутствие матрицы. Вместе с тем это есть энергия, ко-
торая возникает, если включение во время превращения на-
ходится в воображаемой жесткой матрице. Таким образом,
можно считать 7 мерой степени приспособляемости (аккомо-
дации) матрицы к условиям, создавшимся вследствие пре-
вращения во включении. Эта величина характеризует также
распределение полной упругой энергии между матрицей и
включением. Действительно, из (2.19) и (2.20) следует
Энергия в матрице_____1 — у
Энергия во включении у ’
так что в случае хорошей аккомодации матрицы (малые 7)
ббльшая часть энергии сосредоточена в матрице. Из (2.7)
можно также найти отношение действительных напряжений
во включении к напряжениям, которые имели бы место,
если бы превращение осуществлялось в жесткой матрицу:
Для сплюснутого сфероида имеем
2 — о 1а 2 „ с2 .
7 = т—“ — "о Q —г 9 (4" — 3/„),
1 1 — а 4л 3 а2 — с2 v а'
где 1а определяется выражением (3.15). Для сферы 7 =
= (7 — 5о)/15(1 — о), для иглы (6 = с<^а), 7 = */2. При
с яь; 1/3 значения для сферы и иглы почти одинаковы.
Если включение представляет собой тонкую пластинку
в форме эллипсоида, у которого ось с много меньше осей
а и Ь, то мы получаем
с
Определение поля упругих напряжений
131
где имеет следующие значения:
*>*• *=(.--£)*. r=i.
„ _ £<*> I__’___L E(k)~k'2K(k) (5 3)
k' 1 — a k'
Ь>а. * = (1-^)*. *'=£.
2— а .
71 = ~ vTi-Г » Л — О,
1 4(1 — а)
здесь E(k) и K(k)— полные эллиптические интегралы.
Отсюда следует, что в случае очень тонкой пластинки у стре-
мится к нулю и имеет место полная аккомодация. Если
действует сдвиг е^, а не е^, вследствие чего появляется
тенденция к деформации пластинки в ее плоскости, то по
мере уменьшения толщины пластинки соответствующий коэф-
фициент аккомодации 1 —2S1212 стремится к единице и ак-
комодация отсутствует. Мы можем сравнить эти результаты
со случаем, когда представляет собой чистую дилатацию;
тогда, как следует из § 2, для любой формы включения
^упр — 2Р^ (еГ)2 g (ill 0) *
В жесткой матрице энергия должна составлять (’/г) «V (еГ)2 и,
следовательно, коэффициент аккомодации всегда равен
2(1—2с)/3(1—о), или !/з> если 0=1/з-
Как грубую иллюстрацию возможности использования
этих результатов рассмотрим образование мартенсита в же-
лезе. Зинер [27], проведя термодинамический анализ про-
цесса, показал, что превращению каждого моля вещества
соответствует упругая энергия, равная 290 кал. Допустим,
что при превращении происходит объемное расширение на
5% и сдвиг на 10°, так что ет= 0,05, — 0,009!). Легко
’) Впоследствии автор отметил (см. стр. 141), что здесь до-
пущена арифметическая ошибка. Принятой величине сдвига отве-
чает ef3 = 0,14. Соответственно все последующие расчеты в этом
абзаце следует исправить. Это приводит, в частности, к величине
отношения толщины к диаметру кристалла, на 2 порядка меньшей,
чем указано в данной статье. — Прим, перее.
9*
132
Дж. Эшелби
видеть, что полная упругая энергия равна сумме значений,
соответствующих чистому расширению и чистому сдвигу.
При р.= 8-10п дин{см2, а = ]/4 и объеме V, равном мо-
лярному объему, не зависящая от формы энергия дилатации
составляет 25 кал. Для энергии сдвига остаются 265 кал.
Величина 2pV (ef3)2 равна 1900 кал. Если превращенная
область имеет форму эллипсоида, то коэффициент аккомо-
дации 7 = 265/1900 = 0,14. Значение 7 позволяет судить
о форме включения. Например, если включение представляет
собой круговой диск, то (5.3) показывает, что отношение
его толщины к диаметру должно быть равно 0,08. При наличии
приложенной силы изменение свободной энергии, связанное
с превращением, уже не будет равно Еупр, а составляет
£упр -1- ДВЗаим- В рассмотренном нами случае поворота соот-
ношение (3.22) дает
£Взаим~8 • 1°~9(—7зРЛ)-^3‘ 10~Хз Кал)МОЛЬ.
если приложенное поле измеряется в дин/см2.
В случае полости выражения (4.3) и (4.4) для эллипсо-
идальной неоднородности упрощаются и имеют вид
— рГ — — пЛ /к 41
Мы рассмотрим только этот случай.
Допустим, что эллипсоидальная полость искажена про-
стым сдвигом e/'=S/2p.. Полагая p.j = O в (4.5) и используя
обозначение (5.2), мы сразу получаем эквивалентную „де-
формацию, свободную от напряжений0
Энергия взаимодействия
= = <5-6>
Если считать ось с эллипсоида очень малой, то получаем
эллипсоидальную трещину. Из (5.3) следует, что при с—>0
величина V/7 остается конечной, и энергия взаимодействия
с приложенными напряжениями сдвига S равна
02
^взаим = .
Определение поля упругих напряжений
133
Рассмотрим, далее, смещение краев трещины. Если ве-
личина с конечна, то смещение точки xt у края полости
составляет
плюс смещение и&, обусловленное приложенным полем.
Предположим, что и& — 0 в плоскости трещины. Если
найти и? из (3.6) и (3.19), перейти к пределу с-»0 и
использовать (5.5), то получим, что в плоскости трещины
и% = 0, wf = axi,
а = тг
(1—2a)tef3
4(1 — а) art '
(5-7)
где знаки и „—“ относятся соответственно к верхнему
и нижнему краю трещины. Таким образом, трещина накло-
нена на угол а, но остается плоской. Относительное смеще-
ние ее краев везде параллельно оси хг и имеет эллипсои-
дальное распределение.
В теории дислокаций имеется проблема, тесно связанная
с теорией сдвиговой трещины. Под влиянием напряжений
pA' = S из источника, лежащего в начале координат в пло-
скости хгх2, распространяются петли дислокаций, которые
накапливаются около эллиптического барьера, пока их
собственные напряжения не скомпенсируют поле источ-
ника. Каково распределение петель, находящихся в равно-
весии (на каждую из них действуют другие петли и прило-
женные напряжения)? В предельном случае большого числа
петель с малыми векторами Бюргерса задача о трещине и
задача о распределении дислокаций совпадают [28]. Если
вектор Бюргерса дислокаций, распространяющихся из источ-
ников, параллелен оси xv то в тех местах, где дислока-
ции проходят через ось х1г они являются чисто краевыми,
а число их на отрезке dxt равно dx{ (хР х2 = 0)/k дхр
В местах пересечения с осью х2 дислокации являются чисто
винтовыми, а их плотность составляет дДг/1(х1 = О; х2)/\дх2.
Энергия взаимодействия дислокационных петель описы-
вается выражением (5.6). На рисунках край линейных скопле-
ний дислокаций часто изображают загибающимся вверх или
134
Дж. Эшелби
вниз; из замечаний, сделанных в связи с выражением (5.7),
следует, что это не соответствует действительной картине.
В качестве другого примера рассмотрим сфероидальную
полость (Ь = с) в материале, подвергнутом действию простого
растяжения Т. Если ось а совпадает с направлением Т, то,
чтобы найти энергию взаимодействия, нужно знать только
Из компонент е?. отличны от нуля еЛ, = —— ое^..
IJ J 11 ОО 11
Из (5.4) получаем
(5.9)
__ (1 - $33-^>2з)-2oSl3_____
(1 — ^зз — S23) (1 — Su) — 2S|3S3|
Здесь использована сокращенная запись S11 = Sun, S13=S1133.
Если же ось а образует прямой угол с направлением Т,
то нужно знать только Отличные от нуля приложенные
деформации суть еД, = =так что находим
ет ет _ 1 +° „А
33 «22— 1 + S23_S33 «33-
ет I „Т — (1—g)(l —5ц)—2aS3, .
«33 -I- «22 — (1 _ S33 - S22) (1 - s„) - 2S13S31 e33
или
eT — reA
«33 4«33‘
Энергия взаимодействия соответственно
1 T2
£взаим(11) = —(5.10)
1 72
£B3a.IM(±) = - 2 V^' (5Л1)
где Е — модуль Юнга.
Если направление Т остается неизменным, а полость
изменяет свою ориентировку от параллельной к перпендику-
лярной, то энергия взаимодействия меняется от значения (5.10)
до значения (5.11). Какая ориентация — параллельная или
поперечная—энергетически более выгодна, зависит от того,
сплюснут или вытянут сфероид. Случай вытянутого сфероида
можно рассматривать как иллюстрацию ориентирующего
Определение пбля упругих напряжений
135
поздействия приложенных напряжений на двойные вакансии
и металле1). Для о/с = 2, а=*/з имеем е=2,24, С = 5,88.
При а—>0 числитель в выражении для е становится
равным 1—2а, а знаменатель стремится к 0, как
мтг(1—2а)/4с(1—а2). Произведение еУ в (5.10) остается
конечным, и в соответствии с результатом Зака [29] мы
получаем, что энергия взаимодействия для плоской трещины
при растяжении равна —8с3(1—а2) Т^Е.
Полная деформация у поверхности полости +
согласно (5.4), дается правой частью соотношения (2.13),
где ес, 'е^ следует заменить на ет, ’е^.. Нормаль опреде-
ляется выражением (3.23), а концентрацию напряжений
можно найти из (2.3). Для сфероида при растяжении соотно-
шения (5.8) следует дополнить соотношением
а (5.9) — соотношением
О ^11) е11 ~ *^12 (е22 “Ь езз) oe33‘
Эти результаты применимы к общему случаю трехосного
напряженного состояния, симметричного относительно поляр-
ных осей сфероида, поскольку для приложенных деформаций
—- лА р& — f — рА —— О
*22 *33 °*1Г *12--*23— *31 V
мы можем рассматривать а как некоторое число, не связан-
ное с коэффициентом Пуассона (величина а, неявно входя-
щая в S/j, должна, конечно, быть равна коэффициенту Пуас-
сона). Концентрация напряжений около эллипсоида при
сдвиге находится подобным же образом из (5.5).
Двумерные задачи, включая случай бесконечного эллип-
тического цилиндра, можно рассмотреть аналогично, исполь-
зуя (3.17) и (3.18). Энергия взаимодействия на единицу длины
^взаим = 2"
где А — площадь поперечного сечения цилиндра. Переход
к пределу Ь—>0илиа—>0 в этом случае легко осуществить.
') A. Seeger, частное сообщение.
136
Дж. Эшелби
и мы получаем известные результаты для трещин, лежащих
в плоскости деформации растяжения или сдвига. Другой
простой случай — трещина, соединяющая точки х—+а,
у — 0, искаженная однородным напряжением — S. До и
после возникновения трещины имеет место состояние анти-
плоских деформаций, при котором смещение везде перпенди-
кулярно к плоскости ху. Энергия взаимодействия и отно-
сительный сдвиг краев трещины соответственно составляют
£взаИМ =-----2{Г и A«3 = -jr(a2 —*2) • (5.12)
Несколько авторов вывели приближенные выражения
для уменьшения энергии при возникновении трещины (или
ряда дислокаций, соответствующего трещине) в предполо-
жении, что вблизи трещины, в области, имеющей линейные
размеры порядка ширины последней, приложенные напряже-
ния фактически релаксируют до нуля. [В том же смысле
мы можем t сказать, что в (5.10) или (5.11) „свободный от
энергии" объем полости отличается от ее геометрического
объема множителем е или С] Этот метод дает правильные
результаты, но логическое обоснование указанного положе-
ния неясно. Если приложенные напряжения поддерживаются
постоянной внешней нагрузкой, то при появлении трещины
упругая энергия несколько увеличивается [ср. (4.8)].
В то же время нагружающий механизм расходует вдвое
больше энергии. Таким образом, уменьшение полной энергии
(—Двзаим) численно равно увеличению упругой энергии.
Если приложенные напряжения вызывают внутреннюю дефор-
мацию или тело деформировано жесткими зажимами, то
упругая энергия (теперь полная энергия), очевидно, умень-
шается [ср. (4.9)]. Однако даже в этих условиях уменьше-
ние энергии не просто локализовано в области, окружающей
трещину. Последнее легко показать для случая трещины
при антиплоской деформации [см. (5.12)]. В эллипсоидальных
координатах £, т;, определяемых соотношениями
х = a ch £ cos tj, у = a sh £ sin vj,
смещение записывается следующим образом:
и3—ch £sin т]. (5.13)
Определение поля упругих напряжений
137
Если значение £ достаточно велико для того, чтобы гипербо-
лический синус можно было считать равным косинусу, то
получаем состояние однородного сдвига
yS aS , е . , ..
«3 = ^- = —sh^sitiT], (5.14)
п то время как усилие на кривой £ = const пропорционально
dujdt и, следовательно, исчезает на граничном эллипсе,
определяющем трещину. Энергия в маленьком прямоуголь-
нике d^dtj около точки £, т; равна V2P {(^«з/^)2 4“
-|- (du3/df])2} db dr^. Если мы вычислим эту энергию, исполь-
зуя величину смещения при наличии трещины и без нее
(см. соответственно (5.14) и (5.13)], то мы найдем, что
изменение плотности энергии ДЕ в любой точке вследствие
появления трещины составляет
ЕЕ dbdrq = ~ cos 2т; dt. (5.15)
Можно сказать, что имеет место релаксация напряжений
между гиперболами т; = 1/4к, 71 —3/4и и их концентрация
пне этой области. Интеграл от (5.15) по любому эллипсу,
фокусы которого совпадают с концами трещины, точно
равен нулю. Осуществляя соответствующую деформацию
эллипса, можно найти кривую, ограничивающую область,
внутри которой „релаксация" энергии положительна или
отрицательна. Попытка оценить таким путем энергию взаимо-
действия приводит не только к ошибке в знаке (которую
можно исправить на основании общих соображений), но и
к неправильному численному значению искомой величины.
Проблема жесткой и несжимаемой эллипсоидальной не-
однородности также относительно проста, так как (4.3) и
(4.4) сводятся к соотношению
Используя аналогию с решением Гудье [25], мы можем
найти искажение характера медленного течения вязкой
жидкости при погружении в нее деформируемого эллипсоида.
Мы должны только положить а = ’/2 в матрице и рассматри-
вать |л, ut, etj, рц соответственно как вязкость, скорость,
138
Дж. Эшелби
скорость деформирования и напряжение. Плотность энергии
равна половине скорости диссипации энергии на единицу
объема. Используя (4.11) или (4.12), можно определить вяз-
кость разбавленной суспензии эллипсоидов. В случае твердых
включений £взаим > 0 и, следовательно, вязкость увеличи-
вается. Далее, из выражения (4.11) следует, что вискози-
метр, работающий при фиксированной нагрузке, создает
меньшую скорость деформирования и, следовательно, будет
меньше рассеивать энергию, а из (4.12) видно, что при
постоянной скорости движения жидкости нагрузка вискози-
метра должна быть больше, чтобы обеспечить заданную
скорость деформирования.
Для отдельного эллипсоида, погруженного в жидкость,
возрастание скорости диссипации энергии, очевидно, вдвое
больше £взаим Б соответствующей задаче теории упругости.
Вычисления значительно упрощаются вследствие того, что
при а = ]/2 в соотношении (3.7) R — 0 и еА, ет, ес также
равны нулю. Можно, например, легко проверить выражение
Джеффри [30] для диссипации энергии, обусловленной сплюс-
нутым сфероидом; это выражение было улучшено Эйзен-
шитцем [31]. Чтобы найти вязкость при дисперсном распре-
делении сфероидов, необходимо определить, какую они
принимают ориентировку. По аналогии с задачей теории
упругости можно думать (хотя это не доказано), что в ко-
нечном итоге сфероиды ориентируются так, что дости-
гается минимум диссипации энергии. Это утверждение
согласуется с гипотезой, выдвинутой Джеффри [30] и экс-
периментально проверенной Тэйлором [32].
ЛИТЕРАТУРА
1. N abarro F. R. N., Proc. Roy. Soc., А175, 519 (1940).
2. Kroner Е., Acta Metallurgica, 2, 301 (1954).
3. Robinson К., Journ. Appl. Phys., 22, 1045 (1951).
4. Шапиро Г. С., ДАН СССР, 58, 1309 (1947).
5. Sternberg Е., Eubanks R. A., Sadowsky М. А.,
Journ. Appl. Phys., 22, 1121 (1951).
6. Love A. E. H., Theory of Elasticity, Cambridge, 1927. (Имеется
перевод: Л я в А., Математическая теория упругости,
М. — Л., 1935.)
7. Poincare Н., Theorie du Potentiel Newtonien, Paris, 1899.
8. Eshel by J. D., Phil. Trans., A244, 87 (19aL).
Определение поля упругих напряжений
139
9. Esh el by J. D., в книге „Solid State Physics", vol. 3, New
York, 1956, p. 79. (См. стр. 11 настоящей книги.)
10. Cochardt A. W., Schoek G., Wiedersich H., Acta
Metallurgica, 3, 533 (1955).
11. Nabarro F. R. N, Phil. Mag. [7], 42, 1224 (1951).
12. Nabarro F. R. N., Adv. Phys., 1, 269 (1952).
13. Somig liana C., R. C. Accad. Llncei [5], 23 (1), 463 (1914).
14. Somigliana C., R. C. Accad. Lincei [5], 24 (1), 655 (1915).
15. Routh D. J., Analytical statics, vol. 2, Cambridge, 1892, p. 121.
16. Kellogg O. D., Potential Theory, Berlin, 1929.
17. Osborn J. A., Phys. Rev., 67, 351 (1945).
18. Dirichlet G. L., Verb. K. Preuss. Akad. Wiss, Werke, Bd. 1,
1839, S. 383.
19. Byrd P. F., Friedman M. D., Handbook of elliptic integrals,
Berlin, 1954, S. 4.
20. E s h e 1 b у J. D., Acta Metallurgica, 3, 487 (1955).
21. Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Механика сплошных сред,
M. — Л., 1953, стр. 659.
22. Mackenzie J. К., Proc. Phys. Soc., В63, 2 (1950).
23. Н a s h i n Z., Bull. Res. Coun. Israel, C. 5, 46 (1955).
24. Bruggemann D. A. G., Ann. der Phys., 29, 160 (1937).
25. G о о d i e r J. N., Phil. Mag. [7], 22, 678 (1936).
26. К у n c h G. J., Proc. Roy. Soc., A237, 90 (1956).
27. Zener C., Trans. ATME, 167,513 (1946).
28. L e i b f r i e d G., Zs. angew. Phys. 6, 251 (1954).
21). Sack R. A., Proc. Phys. Soc., 58, 729 (1946).
30. Jeffery G. B., Proc. Roy. Soc., A102, 161 (1922).
31. Eisenschltz R., Zs. phys. Chem., A163, 133 (1933).
32. Taylor G. I.. Proc. Roy. Soc., A103, 58 (1923).
УПРУГОЕ ПОЛЕ
ВНЕ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ
Дж. Эшелби
J. D. Eshel by, Proc. Roy. Soc., A 252, № 1271, 561 (1959)
В настоящей статье дополнены результаты опубликованной
ранее работы. Болес подробно рассматривается поле упругих напря-
жений, обусловленных включением или неоднородностью. Для вклю-
чения общего вида вместо использовавшегося ранее бигармониче-
ского потенциала применяется гармонический потенциал, опреде-
ленным образом распределенный по поверхности. Поле упругих
напряжений вне эллипсоидального включения или неоднородности
может быть выражено через гармонический потенциал сплошного
эллипсоида. Полученное решение задачи позволяет, в частности,
найти поле -скоростей вокруг равномерно деформируемого эллип-
соида, погруженного в вязкую жидкость. Найденное ранее выра-
жение для упругой энергии эллипсоидальной области, претерпев-
шей сдвиговое превращение, обобщено на случай, когда указанная
область характеризуется иными упругими константами, чем осталь-
ное пространство. В приложении дана схема общего метода вычи-
сления бигармонических потенциалов.
§ 1. Введение
В предыдущей статье автора [1] был разработан метод
нахождения напряжений, возникающих в упругом теле, если
область внутри него (включение) претерпевает измене-
ние формы, которое в отсутствие окружающего материала
характеризовалось бы однородной деформацией. Было пока-
зано также, что результаты, полученные при рассмотрении
напряжений, обусловленных включением, могут быть исполь-
зованы для нахождения возмущения, вызванного в однород-
ном поле напряжений присутствием эллипсоидальной полости
или области, имеющей иные упругие константы, чем окру-
жающий материал. В работе [1] подчеркивалось, что для
расчета упругого поля внутри включения не требуется опре-
делять поле вне него и что, зная только внутреннее поле,
Упругое поле вне эллипсоидального включения 141
можно получить важные сведения. Соответственно вопрос
об определении поля вне включения и неоднородности за-
трагивался лишь попутно. В данной работе внешняя задача
рассматривается более подробно.
Сначала мы покажем (см. § 2), что бигармонический по-
тенциал, введенный в работе [1], при обсуждении включения
произвольной формы может быть заменен гармоническим
потенциалом, определенным образом распределенным по по-
верхности. В § 3 смещение, обусловленное эллипсоидальным
включением, выражается через гармонический потенциал
сплошного эллипсоида и приводится к виду, удобному для
численных расчетов напряжения. В приложении описан об-
щий метод вычисления бигармонических потенциалов; для
эллипсоида получено явное выражение.
Следует отметить, что в § 2 статьи [1] допущена ариф-
метическая (но не принципиальная) ошибка.
§ 2. Включение произвольной формы
В работе [1] была решена следующая задача. В беско-
нечной однородной и изотропной среде включение, ограни-
ченное поверхностью <$, претерпевает изменение формы, ко-
торое в отсутствие окружающего материала представляло бы
собой некоторую однородную деформацию еТл, требуется
найти упругое поле внутри и вне S.
Было показано, что искомое значение равно смеще-
нию, которое создается слоем объемных сил, распределен-
ных по поверхности 5 и имеющих величину рт^п^ dS на каж-
дый элемент поверхности dS, где — напряжение, свя-
занное с деформацией законом Гука. Смещение в точке г,
вызванное точечной силой F(-, приложенной в точке г', равно
где
1 В,, 1 д2
---Те—гГ—|г —г'. (2.1)
V 4atfx | г — г | 16rcfx (1—a) dXidXj 1 1 4 '
Следовательно.
«f (г) = f dSp^U^ (г - гЭ. (2.2)
5
142
Дж. Эшелби
Подставляя (2.1) в (2.2) и преобразуя поверхностный инте-
грал в объемный, получаем
иС1 ~ 16лр(1—a) pTjk^, Ijk — 4^Г PTik4, k' (2-3)
где
р= j* Iг—V| и Ф= / 1Г~(2.4)
V V
Здесь интегралы берутся по объему V, ограниченному по-
верхностью S.
Гармонический потенциал <р и бигармонический потен-
циал ф обладают следующими свойствами:
— 8т. внутри 5,
О вне 5. (2’5)
Величины
<?; ф; ф,/. Фи/- Фил (2-б)
непрерывны при переходе через <$, тогда как <р_ (у. и цк1
претерпевают разрывы
Т, ij (вне) — <p,z у (внутри) = 4тогяу,
Фи/м (вне) —(внутри) = ( '
где П( — внешняя нормаль к поверхности <$.
В приложении указан метод, при помощи которого опре-
деление сводится к задаче обычной теории потенциала.
В свою очередь смещение иД можно выразить через <р и до-
полнительную гармоническую функцию следующим образом.
Выражение (2.3) можно записать, введя гармонический
вектор В[ и гармонический скаляр р (метод Папковича —
Нейбера):
< = в1 - 471^)- ^тВт + ₽), г. (2.8)
причем
4^ = — ^*,
4^₽ = ^(^АЛ-Ф,^)- (2’9)
Для доказательства того, что р есть гармоническая функция,
можно воспользоваться соотношением
V2 (pq) = pV*q + q^p -|- 4pt nlqt m.
Упругое поле вне эллипсоидального включения
143
Определение р сводится к стандартной задаче теории
обычного гармонического потенциала. Производная по нор-
мали от р вблизи поверхности S равна
-£- = ₽, Л = (W. k + Xj4, km — Ф, jkm) nmPTjk 4^ «
При пересечении поверхности S величина <plfcm возрастает
скачком на 4iwfcnm, тогда как <pift и ивменяются не-
прерывно. Следовательно, соответствующее увеличение про-
изводной д$[дп равно
S’ (вне) — ~3/Г <ВНУТРИ) = Plk\!nk • (2.10)
Так как р уменьшается до нуля вдали от включения, выра-
жение (2.9) означает, что р является потенциалом притяже-
ния слоя вещества, распределенного по поверхности вклю-
чения с плотностью — PTjkxinkl^‘^‘"
§ 3. Эллипсоидальное включение
Если включение ограничено эллипсоидальной поверхно-
стью
V2 22
Ч- —-I- — = 1
а2 ' b2 ' с2
то его гармонический потенциал равен
СО
, Г U du ..
<f = nabc J —, (3.1)
где
у2 —2
67(о)=1---------------гЛ---------, (3.2)
a2-j- и b2 + и с2 + и ' '
Д = (С2 _|_ „)'/« (£2 _|_ U)‘/S (С2 _|_ u)’\ (3.3)
Для точки вне включения К — наибольший корень уравнения
7 (к) = 0, а для точки, лежащей внутри включения, к = 0.
В приложении выведено аналогичное выражение для
[см. (П. 1)]. Таким образом, формально задача о включении
полностью решена. Однако, чтобы сделать возможными чи-
сленные расчеты, целесообразно найти выражение для про-
изводных от непосредственно через <р. Рассмотрим функции?
/ = —Ф.1?.
144
Дж. Эшелби
которая входит в (2.9) как коэффициент при р^. Эта функ-
ция—гармоническая вне и внутри включения, уменьшается до
нуля на бесконечности, и, согласно (2.7), ее производная
по нормали к поверхности претерпевает разрыв на поверх-
ности S:
~ (вне) — — (внутри) = 4кХ1п2.
Функция
S = -Иц?, 2 Л'2?. !•
используемая в гидродинамической теории вращающегося
эллипсоида, так же как и функция /, является гармониче-
ской и обращается в нуль на бесконечности. Скачок ее про-
изводной по нормали при переход; через S равен
^£.(вне)—(внутри) —4л (х1п2—х2я1) = 4лх1п2^1 —
Последнее равенство получается, если учесть, что нормаль
к эллипсоиду в точке хг имеет следующие компоненты [см.
работу [1], выражение (3.23)]:
х, х2 х3
п1 — ~• «2 = ТгТ- • «3 — —Нг >
1 a2h 2 b2h 3 с2Л
вследствие чего Ь2х1п2 = а2х2п1. Следовательно, гармониче-
ские функции f и ga2l(a2 — Ъ2) тождественны, так как они
одинаковым образом ведут себя на бесконечности и имеют
на поверхности эллипсоида равные скачки производных по
нормали. Тдким образом,
/ = (*1?. 2 — *2<Р, 1)
и, следовательно,
, а2 , Ь2
Ф. 12 — а2~Ь2 1 + ,Ь2 — а2 Х^-2’
Аналогично,
Ь2 с2
Ф, 23 = £2_с2 ХъЧ, 2 Н- (Л_1)2 Xl2T', 3’
С2 а2
Ф, 31 = 72_а2 Л'Лз /72_____с2 Х^‘ !"
- 1 у f* ’ Cf V
Упругое поле вне эллипсоидального включения 145
Требование равенства (ф,ц), t и (ф, zfc),; приводит к тожде-
ству
(й® — с2) *i?, аз + (с2 — в2) х2<р, 31 + (о2 — ft2) Х& 12 = О,
которое может быть доказано независимо.
Для определения ф1П можно было бы рассмотреть функ-
цию Xj<Pi — ф, 11 аналогично f и сконструировать гармони-
ческую функцию, производные по нормали от которой испы-
тывают скачки Лкх-^, но этот способ довольно трудое-
мок [2]. Однако в действительности нет необходимости
определять ф1П, ф(22 и ф133, так как производные третьего
порядка, которые входят в соотношение (2.3), могут быть
выражены через четыре величины <р, ф>12, ф123, ф>31. Если I,
J, k не все равны друг другу, мы имеем тривиальные со-
отношения ф, 112 = (ф, 12), j и т. д. В противном случае можно
воспользоваться соотношением
Ф, ш — 2?, 1 — (ф, 12), 2 — (Ф, 1з1 з>
и двумя аналогичными соотношениями, которые получаются
дифференцированием соотношения У2ф = 2<р.
Указанным путем мы от (2.8) приходим к соотношению
₽£ — 41 д
8л (1 — о) «с = ai_bl- (о2х2<р, 1 — Ь2хЛ 2) +
, «33 — 41 д , а 2 ч
-+ C2_ea (с *1?. з — « *3?, 1) —
— 2 {(1——
-4(1 - б)(ф. 2 + С[3?( 3)+^?. (3.4)
где
₽ = (°2х2% 1 — ^1Ф, 2) + fc2_3C2 (й^зФ, 2 — с2х2'Р, з) Ч~
2ег
Ч- С2_e2 (c2jciT, з °2д:з?. 1)"
Выражения для и£ и и£ получаются циклической перестанов»
кой индексов (1, 2, 3) и чисел (а, Ь, с).
1Q Дж. Эщелбд
146
Дж. Эшелби
Гармонический потенциал может быть представлен в виде
где
Л = (д2_|_Х),/*. В = (й24-Х),/*. С = (с2 4-X)1/j, fl>6>c,
I —(а2—с2'}1* k = -^^-,
(a с), n (а2_с2}ч, > « (al _c2)./a
и F, E—эллиптические интегралы модуля k и аргумента
6 = arcsln (IfА). Необходимое для нахождения «?, е^. и
дифференцирование выполняется при помощи соотношений
dF _ 1 / дЕ 1 IB
д1 2 АВС ’ дХ 2 A3C ’
2х д>. 2у dX 2z
дх Ah ’ Фу Bh ’ dz Ch
где Л2 = - 4- л4 + Bi 1 z3 C* '
Из (3.1) следует, что при нахождении первой производной
от <р величину X можно рассматривать как постоянную.
В конечном итоге X следует положить равной наибольшему
(положительному) корню уравнения
X3 — а24-ЖХ — N = Q, (3.5)
где
£ = г2—Я2.
М = а2х2 -|- Ь2У2+с2^2 а2Ь2 — с2а2 — Ъ2с2 4- г2/?2,
Л/=й262С2(4 + ^4_^-_1)
\а2 1 Ь3 1 сг )
при
R* = a2 + b2+c2, r2=x24-y24-z2.
§ 4. Обсуждение
Поле вне однородного включения, испытавшего превра-
щение, находится путем подстановки соответствующих зна-
чений в соотношение (3.4^.
Возмущение внешнего поля.
Упругое поле вне эллипсоидального включения
147
вызванное эллипсоидальной неоднородностью, рассчитывается
при помощи введения величин e?j для „эквивалентного вклю-
чения", которые находятся на основании известного выра-
жения для невозмущенного поля е^ (см. соотношения (4.3)
и (4.4) в работе [1]). Тем же способом можно рассмотреть
эллипсоидальную неоднородность, упругие константы кото-
рой например, анизотропны. Для этого необходимо
лишь заменить соотношения (4.3) и (4.4) в работе [1] шестью
соотношениями:
СЧЫ (еЬ + еч) = Х (еС + еА - (С& + elJ ~
(4-1)
и решить их относительно е71}. На первый взгляд может по-
казаться, что не имеет особого смысла решать задачу для
анизотропной неоднородности, когда мы не можем учесть
анизотропию матрицы. Однако этот результат был исполь-
зован Кренером [3] при анализе упругих констант анизотроп-
ной составной системы (см. также [4]).
Обратимся к рассмотрению другой задачи, которую можно
решить при помощи эквивалентного включения. Пусть эллип-
соидальная область подверглась в результате превращения
деформации еТТ и, кроме того, ее упругие константы от-
личны от констант матрицы (материал включения не обяза-
тельно должен быть изотропным). С точки зрения настоящей
работы не существенно, имелось ли различие в значениях
упругих констант в исходном состоянии или оно возникло
в ходе или после превращения. Для краткости мы будем
обозначать подобное включение через £*, а через Е обо-
значим обычное включение, имеющее такие же упругие кон-
станты, как и матрица, и претерпевающее вследствие пре-
вращения деформацию еТ^. Допустим, что перед превраще-
нием форма Е и Е* была одинаковой. После превращения
можно заменить Е на Е* таким образом, чтобы сохранилась
непрерывность смещения и напряжения на поверхности вклю-
чения. При этом, находясь под воздействием окружающей
среды, действительное включение Е* и эквивалентное ему Е
должны иметь одинаковую конечную форму и создавать
одинаковые напряжения. Последнее требование записывается
10*
148
Дж. Эшелби
следующим образом:
^=х^-сГ)8о+2г С) <4-2) \
или, если включение изотропно,
р1 = х (ес — ет) = х* (ес — ет*),
'P\i 2р. ('₽<) - %) = 2Р* ('ес - 'eft; (4.3)
обозначения соответствуют § 2 работы [1]. Здесь харак-
теризует конечную форму Е или £*, а еТ. или el^ пред-
ставляет собой часть деформации е^, которая не приводит
к появлению напряжения. Заменив на Sk[mnemn (см. соот-
ношение (3.6) работы [1]), мы сведем (4.1) к системе урав-
нений, из которой можно найти если elj и c*jkl заданы.
Упругое поле вне включений определяется выражением (3.4),
куда нужно подставить полученные значения еТл напряжение
внутри включения непосредственно задается соотноше- .
нием (4.2) “"или (4.3). Упругая энергия, сосредоточенная
в матрице и включении, вычисляется соответственно при по-
мощи выражений (2.20) и (2.19) работы [1], в которых ет^
нужно заменить на еТ*. Полная упругая энергия равна
Если в е1.* отличны от нуля только недиагональные ком-
поненты, то определение и из (4.3) упрощается. На-
пример, мы можем обобщить полученный в работе [1] (см.
стр. 130) результат, который был использован при анализе
процесса образования мартенсита [5—7]. Пусть в матрице
с упругими константами р, х эллипсоидальная область
с упругими константами р*, х* претерпевает превращение,
которое описывается деформацией сдвига с единственной
отличной от нуля компонентой ef*. В этом случае
£УПР = 2^(^)2 (4.4)
и
Энергия в матрице _ ц® (1 — -() .
Энергия во включении Н? ’ ' ’ '
где
‘ 7Р- + (1— 7)F* ’
Упругое поле вне эллипсоидального включения
149
Здесь 7 — коэффициент аккомодации, определенный выра-
жением (5.2) работы [1]. При хорошей аккомодации (малое
значение 7) величина Еу(|р очень мало зависит от изменения
соотношения между р. и р*. хотя последнее существенно
влияет на распределение энергии между матрицей и вклю-
чением, характеризуемое отношением (4.5). Действительно,
если р*/р возрастает от 72 Д° 2, то отношение (4.5) увели-
чивается в 4 раза, а величина £упр, определяемая выраже-
нием (4.4), — лишь в (1 —Т)/(1 — УгТ) Раз- При расчетах 7
принимается, что значения о для включения и матрицы одина-
ковы. Поскольку включение испытывает чистый сдвиг, выра-
жения (4.4) и (4.5) не зависят от к*, как это следовало бы
ожидать. В том случае, когда компоненты ef*, е^*, е^* не
равны нулю, необходимо решать систему алгебраических
уравнений. Робинсон [8] подробно рассмотрел случай,
когда el* представляет собой чистую дилатацию.
Если включение абсолютно жесткое —>00), то мы
\ IJRl f
получаем, согласно (4.1),
<4-6>
т. е. стесненная деформация равна свободной elj, или,
пользуясь инженерной терминологией, отдача отсутствует.
Другими словами, задача сводится к определению упругого
поля вне эллипсоидальной поверхности, на которой заданы
смещения
Величина Ц- не является совершенно произвольной линейной
функцией Х[, так как если деформация е^ задана, то еГ.
находится из (4.6) и определяется соотношением (3.19)
работы [1]. Наличие такой связи обусловлено тем, что на
жесткое включение Е* не должна действовать результирую-
щая пара сил, поскольку включение Е не было подвержено
такому воздействию. Чтобы получить произвольное значе-
ние ш?., необходимо к жесткому включению приложить
соответствующую внешнюю пару сил. Эдвардс [9] рассмо-
трел упругое поле вокруг вставленного в среду эллипсо-
ида, которому сообщен небольшой произвольный поворот без
изменения его формы. Даниель [10] решил задачу об
150
Дж. Эшелби
определении упругого поля вне эллипсоидальной поверхности,
на которой задано смещение (4.7) при независимых и
В статье [1] указывалось (см. стр. 137), что решение
задачи теории упругости о возмущении однородного поля
напряжений, вызванном жестким эллипсоидальным включе-
нием, можно использовать при исследовании родственной
задачи о медленном течении вязкой жидкости. Подобным же
образом результаты, полученные при рассмотрении претер-
певшего превращение жесткого включения, можно применить
для. решения следующей задачи. Пусть эллипсоид, находя-
щийся в жидкости с вязкостью р, подвергается стационар-
ному изменению формы, описываемому тензором скорости
деформации еТ*., иначе говоря, пусть длина полуосей эллип-
соида меняется со скоростью а — е^, ... и т. д., а угол
между осями изменяется со скоростью ваЬ — 2е^*, ...;
требуется определить скорость движения жидкости. Решим
(4.6) относительно полагая а — !/2 в соотноше-
ниях (3.7) работы [1], определяющих величину Под-
ставляя найденные значения е^. в соотношение (3.4) и при-
нимая a — получаем искомую скорость up.
Некоторые авторы (см. работу Робинсона [8] и ссылки
в этой работе) при решении задач, связанных с эллипсои-
дальным включением или неоднородностью, применяли эллип-
соидальные координаты. Интересно сравнить этот подход
с методом, описанным в работе [1] и в настоящей статье.
Очевидно, что для постановки задачи и ее формального ре-
шения нет необходимости вводить эллипсоидальные коорди-
наты. Если требуется найти лишь напряжения вне эллипсоида
непосредственно вблизи его поверхности, то мы, зная Ь/а
и с)а, вычисляем Sllki при помощи таблиц эллиптических
интегралов или соответствующих кривых [11]. Деформа-
ции либо заданы, либо могут быть найдены путем реше-
ния системы уравнений (4.1) или (4.2), если известны еЛ
или eJJ. На основании полученных значений elj и <5.^. можно
определить в точках внутри включения и с помощью
соотношения (2.13) работы [1] найти напряжение и дефор-
мацию непосредственно вне эллипсоида. Без труда находятся
также упругая энергия, энергия взаимодействия и поле вдали
Упругое поле вне эллипсоидального включения
151
от включения [см. работу [1], соотношения (2.21); (3.22),
(4.10) и (2.18)]. Если вычисления прекращаются на этом
этапе, то использование эллипсоидальных координат, по-
видимому, не дает дополнительных преимуществ.
Чтобы найти упругое поле в произвольной точке внешней
области, необходимо подставить соответствующее значе-
ние еГ. в (3.4) и произвести громоздкое, но не сложное диф-
ференцирование. В конечном итоге требуется определить X
из уравнения (3.5), которое сводится к квадратному, если
интересующая нас точка лежит на одной из координатных
плоскостей (если эллипсоид представляет собой сфероид, то
это уравнение является квадратным и для произвольной
точки х, у. z). Например, если рассматриваемая точка лежит
на оси х, то мы имеем просто Х = х2— о2. При необходи-
мости исследовать поле в произвольной точке можно при-
бегнуть к таблицам Эмде [12] или Янке и Эмде [13], где
значения Х/Z. табулированы в зависимости от Mfi? и N/L3.
Если же нужно получить только общую картину поля
напряжений вокруг эллипсоида, то можно просто задать
тройки значений х, у, X, вычислить с помощью уравнения
(7(Х)_0 [см.(3.2)] соответствующее значение z и повторить
эту процедуру для других выбранных значений х, у, X.
Следует признать, что, за исключением простейших слу-
чаев, вычисление внешнего поля представляет собой трудо-
емкую задачу. Реальная ценность наличия решения для трех-
осного эллипсоида состоит главным образом в том, что оно
даже в общем случае позволяет сравнительно легко опре-
делить ряд полезных величин (например, упругую энергию
и энергию взаимодействия, поле внутри включения и вдали
от него, напряжение на внутренней поверхности матрицы);
кроме того, при его помощи могут быть получены решения
ряда более специальных задач.
Использование эллипсоидальных координат не упрощает
расчеты внешнего поля. Если в нашем распоряжении уже
имеется трехмерная эллипсоидальная координатная сетка (по-
строенная для соответствующего значения fe), то мы можем
локализовать точки относительно эллипсоида, не решая куби-
ческого уравнения. В противном случае, чтобы получить
эллипсоидальные координаты точки, соответствующие извест-
ным декартовым, необходимо найти все три корня уравне-
ния (3.5). Выражения для напряжений при этом несколько
152
Дж. Эшелби
усложняются; они имеют вид эллиптических функций эллипсо-
идальных координат, которые появляются при использова-
нии локальной системы взаимно перпендикулярных осей, парал-
лельных касательным к координатным линиям в рассматри-
ваемой точке. Такой выбор осей, пб-видимому, не дает
особых преимуществ, за исключением точек на поверхности
эллипсоида, однако и в этом случае, как мы видели, реше-
ние может быть получено гораздо более простым способом.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Метод расчета бигармонических потенциалов
Если в подынтегральную функцию выражения (2.4) для ф
ввести равный единице множитель, представив его как
— -ч) (xi — x'i) _'3 — 2xix'i+г'2
|г^г'|* — |г — г'Iя
то мы получим
'2 .
г dv
|г-г'| •
В этом выражении интегралы представляют собой гармони-
ческие потенциалы твердых тел, ограниченных поверхно-
стями S и имеющих переменную плотность р (г) = х,,
Р (г) = г2-
В работах Феррера [14] и Дайсона [2] показано, как рас-
считать гармонический потенциал твердого эллипсоида, плот-
ность которого пропорциональна полиному от х, у, z (на
стр. 10 работы [14] в выражении для потенциала тела с рас-
пределением плотности, пропорциональным х, потерян мно-
житель 2). На основании результатов этих работ получаем
, . f ( 1 d (UW \ 1 LPu) . т
ф = т.аЬс J { (-g-j -Т-д- } du. (П. 1)
На первый взгляд кажется, что первое слагаемое может быть
отброшено при тривиальном интегрировании. К сожалению,
хотя подстановка нижнего предела дает нуль, при подста-
новке верхнего предела получается бесконечно большая вели-
чина. Е действительности же два члена в подынтегральном
‘ Упругое поле вне эллипсоидального включения 153
выражении в (П. 1) при больших и ведут себя соответственно
как и —так что для обеспечения сходимости
их надо рассматривать совместно. Однако формально мы
можем рассматривать интеграл от первого члена как не
зависящее от х, у, z бесконечное число, т. е. положить
ф—[— const =—-ficabc I —д— (П. 2)
л
и дифференцировать по х{, не принимая во внимание не-
определенную составляющую, обусловленную изменением
верхнего предела. (Нижний предел не дает вклада, так как
здесь (7 = 0.) В результате мы получаем правильное выра-
жение для <pi{. Дирихле [15] вывел выражение для потенциала
твердого эллипсоида, соответствующего притяжению, обратно
пропорциональному р-й степени расстояния; это выражение
справедливо при 2<^р<3. Если мы положим р = 0 (би-
гармонический случай), то получим расходящийся интеграл
(П. 2). Адамар [16] указал способ выделения „конечной части"
из расходящихся интегралов некоторых типов. Применяя его
к правой части выражения, получаем соотношение (П. 1).
ЛИТЕРАТУРА
1. Е s h е 1 b у J. D., Proc. Roy. Soc., А241, 376 (1957). (См. стр. 103
настоящей книги.)
2. Dyson F. W., Quart. Journ. Pure Appl. Math., 25, 259 (1891).
3. Kroner E., Zs. Phys., 151, 504 (1958).
4. Hershey A. V., Journ. Appl. Meeh., 21, 1 (1954).
5. Christian J. W., Acta Metallurgies, 6, 379 (1958).
6. Kaufman L., Acta Metallurgies, 7, 216 (1959).
7. Christian J. W., Acta Metallurgies, 7. 218 (1959).
8. Robinson K., Journ. Appl. Phys., 22, 1045 (1951).
9. Ed war d es D., Quart. Journ. Pure Appt. Math., 26, 270 (1893).
10. Daniele E., Nuovo Clm. [6], 1, 211 (1911),
11. Osborn J. A., Phys. Rev., 67, 351 (1945).
12. Em de F., Tables of Elementary Functions, Leipzig, 1940.
13. Jahnke E., Em de F., Tables of functions, New York, 1943.
(Имеется перевод: Янке E. и Эм де Ф., Таблицы -функций,
М. — Л., 1949.)
14. Ferrers N. М., Quart. Journ. Pure Appl. Math., 14, 1 (1877).
15. Dirichlet O. L. Verh. K. Preuss Akad. Wiss. Werk'e., Bd. 1,
1839, S. 383.
16. Hadamard J., Lectures on Cauchy’s problem, New Haven,
1923, p. 133.
РАВНОВЕСИЕ
ЛИНЕЙНЫХ РЯДОВ ДИСЛОКАЦИЙ
Дж. Эшелби, Ф. Франк и Ф. Набарро
J. D. Е s h е 1 b у, F. С. Frank, F. R. N. Nabarro, Phil. Mag., 42,
№ 327, 351 (1951)
Дан метод определения равновесных положений ряда одинако-
вых дислокаций, находящихся в общей плоскости скольжения, под
влиянием данных приложенных напряжений. Положения дислокаций
определяются значениями корней системы ортогональных полино-
мов. Детально рассматривается случай скопления системы свобод-
ных дислокаций у фиксированной дислокации под влиянием прило-
женных напряжений. Результирующее распределение напряжений,
созданных скоплением, сравнивается с напряжением, необходимым
для образования трещины со свободно скользящими краями.
§ 1
При описании пластического поведения твердого тела
на основе представления о дислокациях возникает сле-
дующая проблема [1—2,4]. Пусть ряд одинаковых дислокаций
лежит в плоскости скольжения. Какие положения займут эти
дислокации при комбинированном воздействии взаимного
отталкивания и сил внешнего поля, являющихся в общем
случае функцией положения на плоскости скольжения?
Так как дислокации (которые считаются бесконечно
длинными и параллельными) отталкивают друг друга с силой,
обратно пропорциональной расстоянию между ними, задача
не изменится, если их заменить рядом линейных зарядов,
а приложенные напряжения — электрическим полем. Эта
задача электростатики была использована Стильтьесом [5]
(см. также [6]) для иллюстрации свойств нулей ортогональ-
ных полиномов. В настоящей статье мы покажем, каким
образом свойства классических ортогональных полиномов
можно использовать для рассмотрения задачи теории дисло-
каций-
Равновесие линейных рядов дислокаций
155
Стильтьес решил задачу, минимизируя потенциальную
энергию зарядов. Мы будем исходить из представления ,
о силе, действующей на дислокацию. Оба подхода равно-
значны.
§ 2
Пусть имеется бесконечная прямолинейная дислокация,
параллельная оси z и проходящая через точку х = xt. Пусть,
далее, плоскостью скольжения является плоскость у — 0.
Рассмотрим напряжения сдвига рху, pyz в плоскости сколь-
жения. Если дислокация является чисто винтовой, то рху = 0,
pyz^=0. Если же она чисто краевая, то рху^=0, руг = 0.
В любом случае отличная от нуля компонента напряжений,
которая действует в точке х плоскости скольжения, опре-
деляется соотношением
Р = —— • (1)
г х Xi 4
Для винтовой дислокации А — As = рй/2к, а для краевой
А = Ае = рй/2к (1 —с) [7]. Здесь р.—модуль сдвига, а — коэф-
фициент Пуассона и b— величина вектора Бюргерса Ь,
который равен изменению вектора смещения при обходе
вокруг линии дислокации. Для краевой дислокации в ани-
зотропном материале А = КЬ^к, где К — некоторая функция
упругих констант [8].
На единицу длины винтовой дислокации действует сила,
равная bpyz, где руг — полное напряжение у ее центра,
исключая напряжение, созданное ею самой. Аналогично, на
краевую дислокацию действует сила Ьрху. Если в точках
.\'р х2, .... хп имеется п дислокаций одного типа, каждая
из которых находится в равновесии, то должны иметь место
уравнения
п
= /=1>2.............(2)
i^j
здесь Р(х)— соответствующая компонента приложенных
напряжений в точке х, т. е. ху-компонента для краевой
п уг-компонента для винтовой дислокации.
Соотношения (1) и (2) применимы к любому ряду парал-
лельных одинаковых дислокаций, лежащих в общей плоскости
156
Дж. Эшелби, Ф. Франк и Ф. Набарро
скольжения. Если ф— угол между линией дислокации и век-
тором Бюргерса, то
А — As cos ф Ае sin ф,
р (х) = Руг (х) cos ф 4- Рху (х) sin ф,
так как винтовая и краевая составляющие не взаимо-
действуют друг с другом. Поэтому во всех случаях для
каждой дислокации должны удовлетворяться следующие
условия: компоненты в направлении b сил, действующих
в плоскости у = 0 со стороны других дислокаций, и соот-
ветствующие компоненты приложенных напряжений должны
уравновешиваться.
Удобно выбрать единицу измерения напряжений так,
чтобы Л=1. Условие равновесия запишется тогда в форме
Х-^=Т7 + ^(^) = °> 2.....п. (3)
i*j 1 ‘
Определим х( как корни полинома
/ = П(х —х,). (4)
i=i
Функция f имеет важное для решения нашей задачи свой-
ство, заключающееся в том, что ее логарифмическая произ-
водная равна напряжениям, обусловленным всеми дислока-
циями:
п
г_=у 1 ..
/ -fej х —xt-
l=\
Если /-я дислокация отсутствует, то напряжение равно
f__________1_
/ X — X] •
(5)
Значение выражения (5) при х = х} получаем двойным диф-
ференцированием числителя и знаменателя:
(х — Xj)f'(x)— f(x) _ 1 f"(x})
(x-xy)/(x) — U
Равновесие линейных рядов дислокаций
157
Условия (2) теперь можно записать в виде
1 Г(ху)
2 f (xj) +
/(<,) = О
P(xy) = 0
7=1. 2...П. (7)
Рассмотрим дифференциальное уравнение
/"(х)-|-2Р(х)/'(х)-Н(л. х)/(х) = 0. (8)
Допустим, что можно выбрать функцию q(n, х) так,
чтобы уравнение (8) имело решение в форме полинома
п-й степени, все корни которого действительны и различны.
Если q не имеет полюса, совпадающего с каким-либо из
этих корней, то условия (7) удовлетворяются и задача
решена.
В физической задаче может представлять интерес случай,
когда некоторые дислокации „заперты" в фиксированных
положениях [9]. Если указывается, что дислокация „заперта"
в положении х = ха, то подразумевается, что она лежит
в поле напряжений р (х) = const 8' (х — ха), где 8' — произ-
водная 8-функции Дирака. Дислокация находится в равно-
весии при х = ха, где /?(ха) —0. Далее, так как вели-
чина р' (ха) имеет бесконечное отрицательное значение,
равновесие устойчиво и наложение дополнительных напря-
жений приводит лишь к бесконечно малому сдвигу положе-
ния равновесия. На другие дислокации поле напряжений р (х)
не влияет, поэтому удобно опустить р(х) в выражении для
приложенных напряжений и считать, что одна из дислокаций
„заперта" в точке ха.
Допустим, что, кроме п „свободных" дислокаций, имеются
дислокации, запертые в точках хя+1, хя+2....х„. Равно-
весные положения свободных дислокаций можно найти, счи-
тая напряжения, создаваемые запертыми дислокациями, частью
приложенных напряжений, так что уравнение (8) принимает
вид
/' + q (п. х)/=0.
(9)
В этом случае мы предполагаем, что q имеет полюс при
каждом ха, так как отношение f'/f здесь не должно обра-
щаться в нуль.
158
Дж. Эшелби, Ф. Франк и Ф. Набарро
Решение будет иметь форму (4), и /'// Даст напряжения,
обусловленные только свободными дислокациями. Если сде-
лать подстановку
F(x) = f(x) П (х — ха).
а.—п^ 1
то уравнение (9) можно записать в форме
F" 4- 2PF' + (”’ х)— F = 0, (10)
а
где
Q (и. X) _
П (х —ха)
= q (п. х) — 2Р (х) х_Лп — S S (х-ха) (х-х₽)
а а Р
и а, р принимают значения п-|- 1, п-\-2.......v. В нулях
xv х2.......хп условия (7) удовлетворяются (свободные
дислокации), тогда как в нулях хп+1, хп+2.....xv послед-
ний член в (10) имеет конечное значение вследствие наличия
исчезающего множителя в знаменателе, и второе условие (7)
(с заменой F на /) не удовлетворяется (запертые дислока-
ции). Величина F'fF представляет собой напряжения, соз-
данные запертыми и свободными дислокациями.
Решив таким путем частную задачу, нужно проверить,
устойчиво ли полученное распределение дислокаций. Усло-
вие устойчивости состоит в том, что производная по х пол-
ного напряжения в месте расположения свободной дислокации
(исключая ее собственные напряжения) должна быть отри-
цательной, т. е.
lim ----------ЬР(х)1<0.
х->х} dx I F(A) х — XJ v 'J
После некоторых преобразований получаем условие
/(x) = Q —Р2 —Р'>0
(И)
ДЛЯ х = хг, х2, ...» хп. Здесь I(х)—„инвариант" уравне-
ния (10), которое можно привести к виду
v"-|-/(x)v = 0 (12)
Равновесие линейных рядов дислокаций
159
подстановкой
v = F exp (J* Р dx
(13)
Функция v имеет те же корни, что F, и, кроме того, воз-
можно, дополнительные. Границы области, в которой I < О,
обычно можно найти следующим образом. Допустим, что v
имеет нуль (который может лежать на бесконечности) в этой
области. Так как v" имеет тот же знак, что и -и, кривая f(x)
вогнута и в этой области не может иметь других нулей. В
частности, если I < 0 для х > х' и v—>0 при х->оо, то
F не имеет нулей при х > х'.
Легко видеть, что v'/v дает полную величину напряже-
ний, обусловленных свободными и запертыми дислокациями,
плюс приложенные напряжения.
§ з
Проиллюстрируем описанный выше общий метод на при-
мерах задач, представляющих физический интерес.
1. Ряд из п дислокаций находится под нулевыми напря-
жениями, но две внешние дислокации заперты в точках
х= ± L. Если L— 1, то уравнение (9) имеет вид
/// + 2{^т + ттт}х)/ = 0;
если же принять, что
п(п— 1) — 2
то оно запишется в виде
(1—х2) Г — 4х/' + {(п— 1)п — 2}/ —0.
Решением этого уравнения является функция f = Pn_\(x) —
первая производная полинома Лежандра (п—1)-й степени.
Таким образом,
f = p'n_^y F=(L^-x^f = P,n-l^]nj^.
В обычных единицах напряжения, действующие на одну из
запертых дислокаций, равны
ЛГ"(1) . 1 , А
F'(1) Лп^п *) L '
160
Дж. Эшелби, Ф. Франк и Ф. НабаррО
Корни полинома Рп_\(х) вплоть до п— 1=8 даны в работе
Копали [11].
2. Ряд из га свободных дислокаций находится под дей-
ствием внешних напряжений, пропорциональных х. Такие
однородно меняющиеся напряжения существуют вблизи центра
балки, закрепленной на концах и однородно нагруженной. Мы
имеем Р = х (dP/dx), где dPjdx — const. Результирующую
силу, действующую на дислокацию, можно рассматривать как
обусловленную полем с потенциальной энергией
у —____!_£х2 ML.
2 dx
„Потенциальные ямы“ этого типа могут существовать
в реальных кристаллах вследствие присутствии различных
дефектов [12]. Если выбрать в качестве единицы длины
величину l/j/dP/dx, то уравнение для F (— f) принимает
вид
• F" — 2xF'\-QF = G.
При Q = 2ra уравнению (10) удовлетворяет полином Эрмита
га-й степени Нп (х). Инвариант / = 2га -|- 1 — х2 положите-
лен при | х | < ]/2га 1 и отрицателен при других значе-
ниях х. Приведенному уравнению удовлетворяет функция
v = Hn (х) ехр (—1/2 х2), так что, повторяя соображения, из-
ложенные после соотношения (13), получаем, что все дисло-
кации лежат в области |х| < )Л2га-[-1 (см. также приложе-
ние, § П. 2). В обычных единицах длины и напряжений
и все дислокации распределены в области
Г (2га+ 1) Л
V dPjdx
3. Ряд из га — 1 свободных дислокаций, расположенных
вдоль положительной части оси х, находится в равновесии
под комбинированным влиянием запертой дислокации в начале
координат и однородных напряжений, стремящихся передви-
нуть их в отрицательном направлении. Этот случай детально
рассмотрен в § 4.
Равновесие линейных рядов дислокаций
161
4. Две запертые дислокации, как в случае 1, на которые
действуют такие же напряжения, как в случае 3. Задача при*
водится к уравнению, встречающемуся в теории иона молеку-
лярного водорода. По этому вопросу имеется обширная лите-
ратура, 13—15], в которой, однако, отсутствует общее обсу-
ждение решений в форме полиномов. Каки следует ожидать,
здесь имеется п решений, совпадающих с корнями полино-
мов порядка п, так как мы можем расположить 0, 1,2, ..., п
дислокаций в интервале—L < х < L и остальные в обла-
сти L < х.
§ 4
В упомянутом выше случае 3 величина Р(х) постоянна;
пусть она равна, например, —т0. Тогда уравнение (8) при-
нимает вид
Г + 2(^-то)/'+9/ = О.
Если в качестве единицы длины принять величину '/2t0
и положить q — (n—1)/х, то оно запишется следующим
образом:
хГ + (2-х)Г + (п-1)/ = 0. (14)
Этому уравнению удовлетворяет функция А„(х)— первая
производная полинома Лагерра n-й степени. Таким образом,
в обычных единицах длины и напряжений
Расстояние между дислокациями совпадает с расстоянием
между узлами радиальной волновой функции атома водорода
в ns-состоянии.
Инвариант уравнения (14) имеет вид / = пх-1— J/4; он
положителен, если х < 4п. Приведенному уравнению удо-
влетворяет функция v — xLn (х) ехр (—’/г х)- так что все
корни f должны лежать в области х < 4п. Нижняя граница
для наибольшего корня получена в приложении (см. § П. 1).
Так как
п-1
Ln(х) = — А!(А + 1)1(Я2А_ !)[ ’> (15)
k-o
здесь нет отрицательных корней.
11 Дж. Эшелби
162
Дж. Эшелби, Ф. Франк и Ф. Набарро
Если значение х мало по сравнению с п, то можно
пренебречь J/4 по сравнению с njx, и приведенное уравне-
ние v" lv — 0 примет вид
v" J_.% = 0
1 X
с решением
•о — УxJT {У4пх}.
(16)
Таким образом, вблизи от начала положение Z-й дислокации
определяется соотношением х где Jt есть Z-й корень
функции Бесселя Свободная дислокация, ближайшая
к закрепленной, находится в точке x1^3,G7/n. Так как
для больших I, число I дислокаций, находящихся
между началом ряда и точкой х, равно
1^-^Упх,
Возвратимся к обычным единицам напряжений и длин;
тогда х заменяется на 2тох/Л, и мы получаем следующие
приближенные результаты для больших п.
Длина плоскости скольжения, занятой дислокациями.
Число дислокаций между 0 и х:
. 2 Г 2пт0Х
1 п V А
(18)
Расстояние между запертой и ближайшей свободной дис-
локацией:
/Z=l,84 —. (19)
Разность между величиной L, определяемой соотноше-
нием (17), и истинным расстоянием между запертой и наиболее
далекой свободной дислокацией, скажем L', можно оценить
из неравенства
0,55п-с/" < L~~l— < 2,56/г-Ч
получаемого комбинацией результатов § П. 1 и неравенства,
приведенного Сегё [5], В дальнейшем мы будем считать
Равновесие линейных рядов дислокаций
163
длиной ряда дислокаций величину L (а не точное значение L')i
Соотношение (18) справедливо в том смысле, что если
1 т0 отношение определяемого им значения I к пра-
вильному значению приближается к 1 при п—>оо. Факти-
чески даже при 1~п соотношение (18) верно с точностью
до множителя 4/тг, а при малых I верно с точностью до сла-
гаемого порядка 1 (если п велико). Наши результаты спра-
ведливы, если величина d превышает несколько межатом-
ных расстояний (для очень малых расстояний от дислокаций
выражение (1) неточно [3]). Если мы перемещаемся вдоль
оси х, то скачок Д смещения при пересечении плоскости
скольжения изменяется на Ь при каждом прохождении дисло-
кации. Таким образом, кривая Д=Д (х), по существу, является
ступенчатой, но, согласно (17) и (18), она близка к гладкой
кривой
Д = (20)
(Предполагается, что п велико и мы находимся на не слиш-
ком большом расстоянии от начала координат.)
Рассматривая коэффициенты при х”-1 и х"-2 в соот-
ношении (16), мы находим, что
= 0-
Таким образом, центр тяжести свободных дислокаций на-
ходится в точке х — иЛ/2т0 = тогда как центр тяжести
всех п дислокаций находится в точке х —(и—1) Л/2т0.
Из коэффициентов при х и х° получаем, что
Л У~ = (и— 1)V
-*1
Согласно соотношению (1), эта величина представляет собой
напряжения у запертой дислокации, созданные свободными
дислокациями. Таким образом, полное напряжение, действую-
щее на запертую дислокацию, равно пт0. Это также следует
из уравнения (14), которое дает f (0)lf (0) = >/2(и—1);
последнюю величину следует умножить на 2т0, чтобы перейти
к обычным единицам. Коттрелл [10] получил этот результат
путем рассмотрения виртуальной работы.
Характер напряжений т вне запертой дислокации (х < 0)
также представляет физический интерес [1]. Для рассмотре-
11*
164
Дж. Эшелби, Ф. Франк и Ф. Набарро
ния этого вопроса удобно изменить знак х; тогда дислока-
ции будут лежать на отрицательной части оси х. Наиболее
важна область, в которой х имеет величину порядка L, или,
в приведенных единицах, где 2-0/Л=1, х — п. В указанных
единицах решение (16) с измененным знаком х запишется в виде
и = const - у/j (у), у — ]/4пх,
что является хорошим приближением при х <<^ 4п. Полные
напряжения равны отношению v'lv, для которого мы имеем
v'
v
п /о (у)
X 1Лу) ’
х<^4п.
Из известных свойств функций Бесселя следует, что l0/I1 -> 1
при у —> оо и /с//г -+ 2/у при у —> 0, так что v'/v — }/и/х,
если 1/4и х 4п и v'/v=llx, если х<^1/4п, или
в обычных единицах
(21)
Последнее выражение означает, что влияние закрепленной
дислокации преобладает в точках, расположенных к ней
ближе, чем ближайшая свободная дислокация. В приложении
показано (см. § П. 3), что
Эти соотношения позволяют определить пределы отклонения
величины т/т0 от простого выражения )/Л/х для данного х;
соответствующие кривые приведены на фиг. 1 и 2.
Для больших х
т = т0 + п^, или X<^-L- (23)
Л “О -Л
как это следует из неравенства
nA
х -|- L
Равновесие линейных рядов дислокаций
165
которое в свою очередь вытекает из неравенства 0 < | хг| < L.
Выражение (23) показывает, что на больших расстояниях
Фиг. 1. Касательные напряжения перед скоплением дислокаций.
Кривые 1 соответствуют верхней границе, кривая 3—нижней границе (КL/x), най-
денным из выражения (22). Кружками представлены точные значения, вычисленные
при помощи полинома (15) для л = 10. Для сравнения показаны вычисленные по
формуле (24) напряжения, обусловленные трещиной длиной 4Z. (кривая 2).
напряжения равны сумме приложенных напряжений и напря-
жений, обусловленных всеми дислокациями, которые следует
рассматривать как собравшиеся в начале координат.
Зинер [16] сравнил полосу скольжения с трещиной и
рядом дислокаций; интересно сопоставить результаты этого
166
Дж. Эшелби, Ф. Франк и Ф. Набарро
параграфа с данными для трещины, приведенными Стар-
ром [15]. Старр получил следующее выражение для беско-
нечно узкой двумерной трещины длиной I, расположенной
вдоль оси х от х = 0 до х = — I, в том случае, когда
Фиг. 2. Касательные напряжения перед рядом из 10 дислокаций,
образующих скопление.
1 и 2 — верхний и нижний пределы, вычисленные по формуле (22); 3 и 4 — верхний
и нижний пределы по формуле (П.9). Кружками представлены точные значения,
вычисленные при помощи полинома (15). Напряжение монотонно спадает при уве-
личении х; вогнутость кривых обусловлена тем, что по оси ординат вместо т/т0 отло-
жена величина т/т0 VL/X.
содержащее ее тело подвергается действию однородных
напряжений сдвига рху — т0. Напряжение в плоскости у — 0
вне конца трещины дается точной формулой
т __ 2 * ____ Г I / j . х 1 х2 .
— /х(х-Н) ~т 4х \ ’ I 2 F '
(24)
Если трещина не бесконечно узкая, а имеет у края радиус
кривизны р, то формула (24) справедлива только при
Равновесие линейных рядов дислокаций
167
х р. При этом т/т0 достигает максимума вблизи х = р
и падает до нуля при х — 0. Для больших расстояний от
трещины имеем
’ <25>
Скачок смещения при пересечении оси х, т. е. относи-
тельное смещение краев трещины, дается точным выражением

которое приводится к виду
х < 0. |х|<4.
(26)
если мы не слишком удаляемся от конца трещины.
Для удобства сравнения упругие константы были выра-
жены через b и А [см. (1)], хотя в задаче -о трещине,
конечно, не фигурирует вектор Бюргерса. Величина А при-
нята равной ее значению для краевой дислокации, т. е.
Л|л/2к(1—о). Можно показать, что последние четыре выра-
жения применимы и к трещине в анизотропной среде, если
положить А = ЬК/2п. Если же положить А == 6р./2л (значе-
ние, соответствующее винтовой дислокации), то они будут
охватывать также и случай трещины в изотропном теле
в состоянии антиплоской деформации, причем т0 и т пред-
ставляют собой уг-компоненты напряжения. Следовательно,
эти выражения можно использовать, чтобы сравнить трещину
при плоской (антиплоской) деформации с рядом винтовых
(краевых) дислокаций.
Сравнение выражений (22) и (24) или (20) и (26) пока-
вывает, что в определенной области значений х ряду дисло-
каций длиной L соответствует трещина длиной 4L (см. фиг. 1).
Следует отметить, что вблизи начала координат откло-
нения величины напряжения, созданного дислокациями и
трещиной с конечной кривизной конца, от значения т0]/Л/х
имеют противоположные знаки.
Из (23) и (25) видно, что для дислокаций величина
t— т0 на больших расстояниях уменьшается, как 1/х, тогда
как в случае трещины она уменьшается, как 1/х2, т. е.
таким же образом, как и в случае группы положительных
168
Дж. Эшелби, Ф. Франк и Ф. Набарро
дислокаций, расположенной вблизи группы такого же числа
отрицательных. Очевидно также, что ряд дислокаций соот-
ветствует только одному концу трещины. Это наводит на
мысль, что лучшим изображением трещины была бы сле-
дующая группировка дислокаций; запертая положительная
дислокация, п свободных положительных дислокаций, п сво-
бодных отрицательных дислокаций, запертая отрицательная
дислокация. Слиянию свободных дислокаций препятствует
приложенное напряжение, а запертые дислокации не дают
им разойтись и определяют длину эквивалентной трещины
(см. фиг. 4 в работе [16]). Метод, развитый в настоящей
статье, не позволяет найти положения равновесия в такой
группе дислокаций.
§ б
Полином F имеет физический смысл и при комплексном
значении аргумента. Пусть Z = х Тогда для ряда вин-
товых дисЛжаций смещение tv и напряжение в точке (х, у)
в изотропном случае будут определяться соотношениями:
<р + itv — In F (Z),
. _ pb F' (Z)
Руг ~Г 1Рхг 2г. F (Z) ‘
Здесь <р — электростатический потенциал в соответствующей
задаче Стильтьеса о линейных зарядах. Эти результаты
следуют из того, что для отдельной винтовой дислокации,
расположенной в начале координат,
b * У
W = —arctg^.
Для ряда краевых дислокаций результаты несколько
сложнее, так как задачу о плоских деформациях или напря-
жениях нельзя решить при помощи одной комплексной пере-
менной. Для изотропного случая имеем
(Pxx + Pyy) + -TZ^ = -2'O'.
Рху + J 1 (Рхх — Руу) = °' + 1уО",
где
О (Z) = Д In F(Z), А = ?
v ' 2л (1-Q1
Равновесие линейных рядов дислокаций
169
и ш—вращение. Результаты следуют из значения —Л у In г,
которое имеет функция Эри для краевой дислокации, рас-
положенной в начале координат [18].
ПРИЛОЖЕНИЕ
§ П. 1
Приведенное уравнение задачи, рассматриваемой в § 4,
имеет вид
1,'+(т-т)г’=°- (И-1’
Пусть X = х„_! — наибольший корень V. Можно условиться,
что -V > 0 для х > X. Выберем постоянную $ > X. Мы
можем записать (П. 1) в форме
и" К2© = g (х), (П. 2)
где
= £(*)=«(! “4) °(Х)-
Решение неоднородного уравнения (П. 2), которое удовле-
творяет условию v(X) — 0, имеет вид
u(x) = zlsinX(x — АЭ-1-Х-1 J* sinX(X — x')g(x')dx',
х
где А — произвольная постоянная; отсюда
и(х 4“у) = 1 J sinX(x' — X)g(x')dx'.
х
Поскольку левая сторона этого соотношения положительна,
функция g(x’) также должна быть положительной, по край-
ней мере в части области интегрирования, и
£<Х4-у.
До сих пор величина £ была произвольной. Теперь попы-
таемся выбрать ее так, чтобы получить возможно более
точную информацию о X, имея в виду, что К — функция Е.
170
Дж. Эшелби, Ф. Франк и Ф. Набарро
Пусть
тогда
— (п-3)
1 + т ? 7
и тен более
Х>4„(1-Т2_^). (П.4)
Правая сторона неравенства (П. 4) имеет минимум при
<р = так что
Х>4я[1-3(|)%я-’л].
Несколько более точно нижний предел можно найти,
минимизируя правую часть неравенства (П. 3).
§ П. 2
Применяя тот же метод к полиномам Эрмита, которые
встречаются в § 3, получаем следующую оценку для наиболь-
шего корня:
X > /2п 4-1 [1 — У 2к (2га 4-1 )-’/<].
§ п.з
Если изменить знак х, то уравнение (П. 1) примет вид
и"---— v — 4 v; (П. 5)
х 4 ’ '
оно имеет точное решение
v — (га — 1) xL'n (— х) ехр у х, (П. 6)
где произвольный коэффициент выбран из соображений
удобства. Если бы в правой части уравнения (П. 5) стоял
нуль, то оно имело бы два независимых решения
®1 = >Л(У). ®2 = УК1(У).
где _____
у—У 4пх.
Легко проверить, что в начале координат ® и имеют
одинаковую величину и одинаковую первую производную.
Равновесие линейных рядов дислокаций 171
Решая (П. 5) как неоднородное уравнение обычным путем
и используя соотношение
(П. 7)
получаем
®=уЛ(у)4-^-1Л(у)в«"-/с1(у)^]. (п. 8)
где использованы обозначения
О
х
сЖ — J y'K1(y')'u(x')dx', \)' = уЛпх'.
о
Член у[ ]/8п и его первая производная обращаются в нуль
н начале координат, так что, решая интегральное уравне-
ние (П. 8), мы должны получить точное решение (П. 6).
Дифференцируя (П. 8), найдем
f (ЛкзЗГ + Кос7)-
Исли записать (П. 8) в форме
г,=__________уЬ____________
l—yUM + K^/bnv ’
то получим, снова используя (П. 7),
у' _________________ 2п1в 1
У уЦ \ "I у 8п10)'
Находя верхний и нижний предел значений ff/V, мы полу-
чаем верхний и нижний пределы значений v'/v. Наиболее
простое приближение следующее. Так как d(x) есть моно-
тонно возрастающая функция х, мы имеем
0 < v < f У'71 dx' = •
О
откуда, используя соотношение у/2 — у/0— 2/р получаем
172
Дж. Эшелби, Ф. Франк и Ф. Набарро
Эту оценку, конечно, можно улучшить. Используя рекур-
рентное соотношение для функций Бесселя и то обстоятель-
ство, что если т
монотонно уменьшается,
дующие неравенства:
4>i.
п, то с увеличением у отношение Iт/1п
стремясь к единице, получаем сле-
max
2 1
у /1 у '
При помощи этих неравенств можно вывести из (П. 9) более
слабое условие в форме, не содержащей функций Бесселя
1 +-?-+^L'
2nv ' у ' 16и2
Обозначение, стоящее слева, показывает, что мы должны
выбрать ббльшую из двух величин 2/у и 1. Выражение (22)
в тексте следует из того, что в обычных единицах
. . Г X yv' т .
► * = -г ’ =
L •
ЛИТЕРАТУРА
1. F г a n k F. С., Report of Pittsburgen Conference on Plastic Defor-
mation in Crystals, Washington, 1950.
2. К u I h m a n n D., Proc. Phys. Soc., 64, 140 (1951).
3. Nabarro F. R. N., Proc. Phys. Soc., 52, 34 (1940).
4. Nabarro F. R. N., Some Recent Developments in Rheology,
London, 1951, p. 38.
5. S11 e 11 j e s T. J., Acta Math., 6, 321 (1885).
6. SzegO G., Orthogonal Polynomials (Amer. Math. Soc. Collo-
quium Publications), 1939, p. 136.
7. Burgers J. M., Proc. Kon. Ned. Akad. v. Wet., 42, 293 (1939).
8. E s h e 1 b у J. D„ Phil. Mag., 40 [7], 903 (1949).
9. Cottrell A. H., Rep. Conf, on Strength of Solids, London,
1948, p. 30.
10. С о 11 г e 11 A. H., в книге „Progress in Metal Physics”, London,
1949. (Имеется перевод: „Успехи физики металлов”, т. 1, М.,
1956, стр. 155.)
11. К opal Z., Astrophys. Journ., 104, 61 (1946).
12. М о 11 N. F., N а b а г г о F. R. N., Rep. Conf, on Strength of
Solids, London, 1948, p. 1.
13. Wilson A. H., Proc. Roy. Soc.. Al 18, 617, 635 (1928).
14. Teller E., Zs. Phys., 61, 458 (1930).
15. H у 11 e г a a s E. A., Ann. Inst. Henri Poincare, 7, 121 (1937).
16. Zener C., Fracturing of Metals (Symposium American Society
for Metals), Cleveland, 1948, p. 3.
17. S t а г г A. T., Proc. Camb. Phil. Soc., 24, 489 (1928).
18. К о e h 1 e г J. S., Phys. Rev., 60, 397 (1941).
ДОПОЛНЕНИЕ

КОНТИНУАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
СТАЦИОНАРНЫХ ДИСЛОКАЦИЙ
Р. де Вит
R. de Wit, Solid State Physics, v. 10, New York, I960, p. 249
I. ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Общие замечания
Настоящая статья посвящена некоторым вопросам „кон-
тинуальной теории стационарных (неподвижных) дислокаций",
и создании которой принимали участие различные исследо-
ватели. В частности, особое внимание уделено работам
Кренера [1] в указанной области. Эту статью можно рас-
сматривать так же, как дополнение к обзору Эшелби [2],
посвященному обсуждению более общих вопросов континуаль-
ной теории дефектов решетки.
Теоретические представления, обсуждаемые в настоящей
статье, основываются на классической теории упругости,
которая в свою очередь базируется на законе Гука — экспе-
риментально установленном положении, справедливом в ка-
честве первого приближения для малых деформаций в сплош-
ной среде. Дислокационная теория расширила рамки старой
теории упругости, включив в рассмотрение среду, деформи-
рованную в исходном состоянии, т. е. тела, в которых
имеются внутренние напряжения даже в отсутствие внешних
действующих на эти тела сил. Можно отметить своеобраз-
ную цикличность в развитии представлений в этой области.
Когда была раскрыта атомная природа вещества, выяснилось,
что закон Гука следует заменить более точным, основанным
па учете реальных сил расчетом взаимодействия между
атомами, расположенными в узлах кристаллической решетки,
т. е. разработать более совершенную теорию упругости.
Однако такой подход, очевидно, очень сложен и не привел
к сколько-нибудь заметным успехам. Вместе с тем развитие
атомной теории вещества привело к возникновению пред-
ставления о дислокациях и других дефектах кристаллической
решетки, которые вызывают внутренние напряжения в теле.
176
Р. де Вит
Чтобы при расчете этих напряжений можно было применять
математические методы, снова используется представление
о континууме.
Исходя из изложенного, необходимо ясно представлять
себе строгие рамки, ограничивающие область применимости
теории. Вряд ли следует ожидать, что излагаемые здесь
результаты могут привести к правильным выводам, если
в рассматриваемом явлении определяющую роль играет
атомная структура вещества, как это имеет место, например,
в том случае, когда дислокации или другие дефекты решетки
сближаются на расстояния, сравнимые с межатомными. Это
ограничение необходимо всегда иметь в виду, особенно
потому, что континуальное приближение иногда дает хорошие
результаты даже в предельных случаях. В тех случаях,
когда не имеет существенного значения точное описание
свойств и поведения материала в областях, где неприменима
континуальная теория, их можно учесть, придавая соответ-
ствующие значения параметрам, входящим в континуальное
решение. Разумеется, при определении этих значений исходят
из теоретических соображений, выходящих за рамки кон-
тинуальной теории.
Другим ограничением рассматриваемой теории является
допущение изотропности среды. Хотя почти все мате-
риалы в определенной степени анизотропны, изучение эффек-
тов анизотропии серьезно ограничено теми математическими
трудностями, которые возникают при учете этого обстоя-
тельства. Поэтому общая единая теория анизотропных тел
пока еще отсутствует. К счастью, многие результаты мало
зависят от эффектов анизотропии.
В заключение следует сказать, что в настоящей статье
значительное место уделено выводу выражений для энергии
дислокаций и применения этих общих формул к некоторым
частным случаям. Часть V можно рассматривать как сводку
выражений для собственной энергии дислокаций, имеющих
особую геометрическую форму.
§ 2. Обзор рассматриваемых вопросов
В части II содержится обзор основных соотношений
классической теории упругости, необходимых для понимания
дислокационной теории. Вначале даются совершенно общие
Континуальная теория стационарных дислокаций
177
выражения, которые затем конкретизируются для изотроп-
ного случая.
В части III в принятой в настоящей статье унифициро-
ванной форме излагаются результаты ранних работ по теории
дислокаций и обсуждаются определения дислокации, исполь-
зуемые различными исследователями. Выводятся формулы
Бюргерса для смещений и Пича и Келера для напряжений,
возникающих в изотропной среде вследствие присутствия
единичной дислокации произвольной формы. Приводится
компактная форма записи классических уравнений совмест-
ности теории упругости.
В части IV рассматриваются некоторые аспекты крене-
ровской континуальной теории дислокаций и внутренних на-
пряжений [1], которая оказалась весьма плодотворной и
позволила преодолеть ряд математических трудностей, воз-
никающих в рассматриваемой области. В теории Кренера
используется тот же подход, что и в электромагнитной
теории Максвелла. Формулируются уравнения поля и вводятся
готенциальные функции, которые приводят к неоднородным
бигармоническим уравнениям. Этот подход можно рассмат-
ривать как задание внутренних напряжений при помощи
„функции источника”, аналогично уравнениям Пуассона
в теории электромагнетизма. Дислокации представляют опре-
деленный тип источника внутреннего напряжения, если вы-
брана соответствующая функция источника. Наконец, выра-
жение для энергии дислокационной линии может быть за-
писано через двойной линейный интеграл, подобно формуле
Неймана для индуктивности линейного проводника. Даны
различные математические формулировки этого выражения,
одна из которых особенно проста. В этой части прово-
дится аналогия между дислокационной теорией и магнетоста-
тикой.
В части V полученные выражения применяются для рас-
чета энергии различных геометрических конфигураций дис-
локационной линии. Сначала обсуждается случай прямой
дислокации и предлагается грубый способ трактовки ядра
дислокации. Затем рассматриваются круговая и цилиндри-
ческая дислокации. На этих примерах показано, что полез-
ной является не только аналогия с магнетостатикой, но
что иногда можно с успехом воспользоваться и частными
результатами расчетов индуктивности.
12 Дж. Эшелби
178
Р. де Вит
II. ОБЗОР ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 3. Основные уравнения теории упругости
а. Общие уравнения. При изложении общей теории мы
будем пользоваться декартовыми координатами. Если при
рассмотрении частных случаев более удобно использовать
иную координатную систему, мы получим соответствующие
уравнения просто путем преобразования координат. Примем
обозначения, используемые Сокольниковым [3]; тогда де-
картовы координаты фиксированной точки среды будут
xt (1—1,2, 3), а радиус-вектор определится как
r = xiel (1 = 1, 2, 3),
где е( — единичные базисные векторы вдоль координатных
осей. Здесь используется запись, предложенная Эйнштейном,
т. е. принимается, что по повторяющимся индексам произво-
дится суммирование. Абсолютная величина радиуса-вектора
равна
г = (х1х^‘.
Компоненты смещения будем обозначать через ut (не-
мецкие авторы часто используют символ sz). Дифферен-
цирование ut по пространственной координате будем записы-
вать как ultj, так что
Компоненты тензора деформации, следуя [3], определим как
eU = С3-1)
если только существуют непрерывные однозначные смеще-
ния и,. Заметим, что —симметричный тензор. Компоненты
напряжений обозначим через а компоненты объемной
силы, отнесенной к единице объема, — через ft. Мы можем
теперь записать условие трансляционного равновесия тела
в форме
°//./+Л = ° (/,/=1,2,3) (3.2)
Континуальная теория стационарных дислокаций 17&
или, если выписать уравнения полностью,
dg|| I dg12 I 0°18 | f ___Л
дхх дх2 ' дхъ
d°2i । да22 [ двгв । / _л
дхх + дх2 + дх2 +/2 —и>
d°8i । до32 . does । f __л
дхх * дх2 * дх2 * •'3
Условие равновесия относительно поворота имеет вид
=
т. е. Сц— симметричный тензор.
Связь между напряжением и деформацией берется в форме
обобщенного закона Гука, выражающего пропорциональность
между этими величинами [3]
aij = cijkiekf (3-3)
Используя соотношение (3.3), мы ограничиваем свое рас-
смотрение рамками линейной теории упругости. Они могут
оказаться несправедливыми, если упругие деформации велики,
например, вблизи дислокации. При более строгом рассмотре-
нии необходимо использовать нелинейную теорию упругости,
микроскопическую атомную теорию или теорию пластичности.
В общем случае введенные выше упругие константы clikl
могут изменяться от точки к точке. Они постоянны в од-
нородном упругом континууме, который служит наилучшим
макроскопическим приближением при рассмотрении моно-
кристалла. Справедливость соотношения (3.3) обсуждалась
Хантингтоном [4], который показал также, каким образом
упругие константы можно получить на основании общих
соображений или из результатов измерений, и дал сводку
значений этих величин. Из симметрии и etj следует
cljkl~ cflkl— cljlk‘ (3-4)
Поэтому из (3.3) и (3.1) вытекает, что
aij— cijkiuk, f (3-5)
Таким образом, условия равновесия (3.2) могут быть запи-
саны в виде
cljkluk, i/Ч- fi — 0. (3.6)
12*
180
Р. де Вит
Упругую энергию единицы объема, которая называется
также упругим потенциалом, Сокольников [3] записывает
в форме
==~2°ijeij~'2cijkieijekf (3-7)
Если W — однозначная непрерывная функция el)i то отсюда
следует, что
cljkl~ скЩ- (3-8)
Полная упругая энергия куска материала получается путем
интегрирования (3.7) по его объему V
E = fwdV=±-f ci/eiJdV, (3.9)
v v
где элемент объема dV = dxx dx2 dx3.
б. ИзотрЬпный случай. Можно показать, что в случае
изотропного материала система упругих констант cl}kl сво-
дится к двум независимым константам [3]. Если ввести кон-
станту Лямэ X и модуль жесткости О (иногда называемый
модулем сдвига р), то упругие константы можно выразить
следующим образом:
cljkl — ^1 iftkl Ч- (3.10)
где SZy — дельта-символ Кронекера. Для изотропной среды
закон Гука (3.3) принимает вид
с^у = Хел/Ду-|-20е;у. (3.11)
§ 4. Тензорная функция Грииа
а. Определение и применение. Чтобы проинтегрировать
дифференциальное уравнение упругости (3.6), обычно вводят
тензорную функцию Грина Uy, аналогичную функции Грина
в электростатике. В электростатике функция Грина пред-
ставляет собой потенциал точечного заряда. Подобным об-
разом тензорная функция Грина UZy(r) определяет смеще-
ние и, (г) в точке г, вызванное точечной силой, действую-
щей в начале координат и направленной вдоль X/. Таким
Континуальная теория стационарных дислокаций
181
образом, тензорная функция Грина определяется уравне-
нием [5]
^*m.v(r)+wa)=o (4-п
и граничным условием, согласно которому Uобращается
в нуль на бесконечности. Здесь 8 (г) — 8 (xt) 8 (х2) 8(х3)—
дельта-функция Дирака. Она имеет то свойство, что для
любой функции f интеграл по объему V, содержащему г,
J 8 (г - г') / (г') dV = / (г). (4.2)
v
Отсюда можно непосредственно написать решение уравне-
ния (3.6) для всех точек пространства
(Г) - f и*1П (г - г') fm (г') dV'. (4.3)
где интегрирование производится по всему пространству.
Действительно, при помощи (4.1) и (4.2) получаем
CljklUk,lj <Г> = f CUklUkm,lj <Г — г') fm (Г') dV' =
- - J (Г - г') fm (г') dV' = - (г).
Мы можем ограничить область интегрирования в (4.3),
используя теорему о дивергенции. Чтобы сформулировать
эту теорему в принятых здесь обозначениях, рассмотрим
область объемом V, ограниченную поверхностью <S. Внешняя
нормаль элемента поверхности dS имеет компоненты dSt.
В обозначениях настоящей статьи теорема о дивергенции
записывается так:
J'TldV=fTdSl. (4.4)
v s
Здесь V и <S соответственно объем и поверхность области
интегрирования; Т может быть тензором любого ранга.
Из (4.4) и (3.8) следует, что
J Cijkl (И Uhm, Vj' (r — r') — Utm (r — r') uk, 14- (r')dV’ =
V
= f Cljkl («') ukm. г (Г — r') — Uim (r — r') Uk, f (r')J dSj,
s
182
Р. де Вит
где ut j, = ди^дх'.. Это соотношение является аналогом
теоремы Грина в электростатике. Принимая во внимание
(4.1), (3.6) и (3.5), получаем
f I— И/ (г') М (г — r') + Uim (г — Г') ft (г')] dV =
V
= f [«i (r') r (r — r') — Ulm (r — r') aiy (r')J dS'j.
s
Если г лежит внутри V, то в соответствии с (4.2)
«т (Г) = f Ulm (Г — Г') fi (Г') dV' —
V
— f cl)tllU km> г (r-r')-Ulm{r-r')cl}(r')] dS’j. (4.5)
s
Это выражение по существу совпадает с (4.3), но со сле-
дующим видоизменением. Вклад в величину смещения ит,
обусловленный точками г вне области V, в (4.3) учиты-
вается частью интеграла, взятой по области вне V, а в (4.5) —
интегралом по поверхности S. Выражение (4.5) может быть
использовано в случае тела конечного объема.
б. Вычисление. Существует несколько способов нахо-
ждения тензорной функции Грина. По-видимому, наиболее
прямо к цели ведет метод Лейбфрида [6], в котором исполь-
зуется преобразование Фурье. Дадим следующее определение
фурье-образа от Ukm:
= f Ukm{r)e~^dV, (4.6)
где интегрирование производится по всему пространству.
Отсюда
Ukm (г) = (2<3 f Utm(k) dVk. (4.7)
Из (4.6) и (4.1) следует, что
Cljkfil^J^km (Ю ~ Cl]kl J ktkjUkm (г) e_£k r dV =
= ~^kif икт,и(г)е-^аУ =
= f M(r)e-,k'rdV = 5inl. (4.8)
Континуальная теория стационарных дислокаций
183
Второе равенство получается путем интегрирования по ча-
стям; интегралы по поверхности отсутствуют, так как тен-
зорная функция Грина обращается в нуль на бесконечности.
Задача вычисления тензорной функции Грина теперь сво-
дится к решению уравнения (4.8) для Ukm и подстановке
найденного результата в (4.7). Намеченную программу можно
полностью выполнить в случае изотропной среды, для ко-
торой clJkl задается выражением (3.10). В этом случае (4.8)
принимает вид
(>- + G)^^m + G^/m = V
Умножая обе части уравнения на kt и суммируя по индексу/,
находим
(X + 2G)^ftt/ftm = Ara.
Полученное соотношение совместно с предыдущим дает
или
A-)-G
A + 2G
-‘kHl I QhiTJ —»
у? I u Im — °im’
Г J /ы 1 Г ^km А G kkkm
ukmW~ q [ k2 A-J-2G k* J
Учитывая, что из интеграла
1 г efk r
тс2 J А4

путем дифференцирования получаем
J_ Г г __
п2 J A4 uvk~r, km
И
jfk-r
a2 — r,pp’
находим интеграл (4.7)
Ukm (г) 8лО рр А + 2G Г-*"2]' ^-9)
Очевидно, как и требуется, Uкт стремится к нулю на бес-
конечности.
184
Р. де Вит
III. ПЕРВЫЕ РАБОТЫ ПО ДИСЛОКАЦИОННОЙ ТЕОРИИ
§ 5. Определение дислокации
Дислокация представляет собой определенный тип линей-
ного дефекта в кристалле, который в других отношениях
может быть совершенным. Дислокацию можно определить
различными способами, три из которых мы здесь обсудим.
У
Фиг. 1. Краевая дислокация, перпен-
дикулярная плоскости чертежа и на-
правленная от нас, с контуром Бюр-
герса и вектором Бюргерса.
Дислокация характеризуется некоторой величиной, вектором
Бюргерса, который обычно обозначается Ь. Задание величины
и направления этого вектора составляет существенную часть
определения дислокации.
1. Первое определение основывается на понятии контура
Бюргерса, который в свою очередь характеризуется следую-
щими свойствами. Контур, проведенный в образце, должен
целиком лежать в „хорошем" материале кристалла. Этот
контур сравнивается с идентичной последовательностью меж-
атомных шагов вдоль соответствующего контура в совер-
шенном кристалле. Если контур в образце охватывает ди-
слокацию, то он не замкнут. Положительное направление
дислокации можно выбрать произвольно. Тогда, если контур
Континуальная теория стационарных дислокаций
185
Бюргерса обходит дислокацию в направлении правого винта,
то вектор Бюргерса определяется как невязка контура Бюр-
герса, т. е. вектор Бюргерса направлен от начала к концу
контура Бюргерса (фиг. 1 и 2).
Такое определение вектора Бюргерса обратно тому, ко-
торое использовали Рид [7], Верма [8] и сам Бюргерс [9],
Фиг. 2. Винтовая дислокация, выходящая из
кристалла в точке А, с контуром Бюргерса
и вектором Бюргерса.
но совпадает с определением, данным Билби [10] и Крене-
ром [1].
2. Предыдущее определение может быть получено в ма-
тематической форме независимо от атомной структуры кри-
сталла. Контуру Бюргерса при этом соответствует линейный
интеграл от упругих смещений. Этот интеграл равен нулю,
если он охватывает „хороший" материал, и имеет отличное
от нуля значение, если охватывает дислокацию. Вектор
Бюргерса тогда определяется как „исчезающая невязка"
bt = у dut = у у dXj.
т г
(5-1)
Линейный интеграл берется по контуру, охватывающему
дислокацию, в направлении, соответствующем движению
186
Р. де Вит
правого винта (фиг. 3). Наш выбор знака совпадает с при-
нятым Фриделем [12], Эшелби [2] и Кренером [1], но про-
тивоположен определению Набарро [11].
Это определение приводит к затруднению при использо-
вании обычной теории упругости, изложенной в части II.
Фиг. 3. К определению знака
дислокации "общего вида.
Дело в том, что если инте-
грал (5.1) не равен нулю, то
смещения иг не могут быть
непрерывными однозначными
функциями. Если в материале
присутствуют дислокации, то
смещения следует считать раз-
рывными или многозначными.
Поэтому определение (3.1) те-
ряет смысл в некоторых частях
материала, где вследствие на-
личия источников внутреннего
напряжения функции ut не
определены полностью. Вместе
с тем ut сохраняет смысл смещения, непрерывно меняюще-
гося от точки к точке. Поэтому мы вынуждены принять
другое определение для е1}-, которое дается следующими
соотношениями:
du^^dXj,
+₽/,)=₽?/• <5'2)
Здесь dut уже не обязательно является полным дифферен-
циалом. Например, это условие не выполняется в точках
вблизи дислокации, где смещения расходятся. Данное опре-
деление сводится к (3.1), если — полный дифференциал,
как, например, в отсутствие дислокаций или в хорошем
материале. Более подробное обсуждение смысла ut и etj
в этих условиях проведено Кренером [1] и Эшелби [2].
3. Наконец, можно наглядно представить себе дислока-
ции, рассмотрев следующий процесс. Сделаем в материале
разрез вдоль поверхности S, опирающейся на замкнутую
кривую С (см. фиг. 3). Положительное направление нор-
мали п к поверхности S связано с направлением кривой С
правилом правого винта. Если отрицательную сторону раз-
реза S сместить на расстояние Ь, удерживая положитель-
Континуальная теория стационарных дислокаций
187
ную сторону на месте, мы получим дислокацию вдоль кри-
вой С (фиг. 4). Конечно, можно смещать и положительную
сторону разреза на — Ь, фиксируя отрицательную сторону.
Фиг. 4. Создание дислокации в упругой среде
при помощи разреза вдоль поверхности S.
Такое определение дислокации обратно данному Зееге-
ром [5] и совпадает с определениями Пича и Келера [13],
а также Кренера [1].
Путем вычисления линейного интеграла (5.1) можно по-
казать, что последнее определение дислокации эквивалентно
двум первым. Можно показать также, что результат преды-
дущего построения зависит только от выбора кривой С,
но не поверхности S.
Теперь можно записать смещения, вызванные дислока-
цией, при помощи выражения (4.5), где в качестве поверх-
ности S берутся обе стороны упомянутого выше разреза,
а в качестве V — объем всего пространства за вычетом
бесконечно малого объема между разрезами. При этом
{О вдоль положительной стороны S,
bt вдоль отрицательной стороны S
или иначе
— bt вдоль положительной стороны S,
п о
О вдоль отрицательной стороны о.
Подстановка любого из приведенных соотношений в (4.5)
дает один и тот же результат. В дальнейшем предполагается,
что объемные силы отсутствуют
Л(Н = о.
188
Р. де Вит
При равновесии напряжения на обеих сторонах разреза
должны быть равны по величине и противоположны по
знаку, так что интеграл от последнего члена в (4.5), взятый
по одной стороне разреза, взаимно уничтожается с интегра-
лом по другой стороне. Тогда выражение для смещений,
обусловленных дислокациями, сводится к виду
ит (г) = ^1 У cijkl^km, I' (г Г7) =
£
f Cijkl^km, I (r f7) (5-3)
5
где интегрирование по поверхности разреза производится
только один раз.
Тензорная функция Грина Ukm расходится при стремле-
нии аргумента к нулю, что для изотропного случая наглядно
видно из (4.9). Поэтому ит в (5.3) может претерпевать
разрывы при пересечении поверхности S. Действительно,
смещение на этой поверхности скачком меняется на вели-
чину bt. Чтобы смещение ит, задаваемое соотношением (5.3),
было непрерывным и однозначным, можно ограничить об-
ласть, где оно определено, объемом И, как это указано
выше, т. е. оставить в материале воображаемый разрез
по S и принять, что ит не может пересекать поверхности S.
При этом условии можно использовать определение (3.1)
деформации е^. Так как согласно вышеизложенному поверх-
ность S произвольна, мы можем не беспокоиться о значе-
ниях, которые принимает ец на поверхности S. Соответ-
ствующий способ нахождения etj будет рассмотрен в § 7.
§ 6. Формула Бюргерса
Бюргерс [9] вывел ставшую впоследствии широко из-
вестной формулу для смещений, вызванных дислокацией
в изотропной среде. Его вывод основывался на некоторых
интуитивных соображениях. Окончательный результат выра-
жался через телесный угол и линейные интегралы. Поста-
раемся получить результат Бюргерса, исходя из формулы (5.3).
Обозначая
R = г — г
(6.1)
Континуальная теория стационарных дислокаций
189
и используя (3.10) и (4.9), получаем
ит (Г) = J { WjR, ppm + ° ppj + bfij,nR, PP^ ~
- т+й- ™+° W+№, } dS’’
или, группируя члены,
Mr) = - f b,R,ppmdSj-f-
s
+ g“7 J [*m^, ppj aSj + btR, ppi dSm] Ц-
s
+ iw f lbjRppm-bkRkmJ}dSj. (6.2)
s
Используя теорему Стокса, это выражение можно запи-
сать через линейные интегралы. Чтобы сформулировать тео-
рему в принятых нами обозначениях, введем оператор пере-
становок с компонентами
е123 — е231 — е312 — 1 •
е132 ~ е321 — е213 = 1 •
все другие компоненты равны нулю. Можно показать, что
этот оператор представляет собой полностью антисимметрич-
ный тензор. Теорему Стокса теперь можно записать следую-
щим образом:
^UkT.jdS^ §Tdlk, (6.3)
s с
где интегрирование производится по поверхности S и по
ограничивающей ее кривой С, а Т — тензор любого ранга.
Можно показать, что
^Ij^klm — \fijm ^Im^jl’ (6-4)
Это позволяет дать иную формулировку теоремы Стокса:
У dlk = J eljkeklmTjd$l ==
c s
= $V\mdSi-TtdSm}. (6.5)
190
Р. де Вит
Так как в (6.1) R,i = — R,r, из (6.5) следует, что
4lnfilR. рр — J" ppi dSm b[R, ppm rfS/],
c s
^kirfin^-, ml ^k — J" mil &$п ^nR. mln ^i]-
C S
Изменяя некоторые немые индексы и подставляя полу-
ченные выражения в (6.2), найдем
ит (г) 8п У PPj dSj “I- 8л £kl,rfil^, рр dl-k •+
s с
Ч- X | 20 ^kin^nR, ml ^к• (6-6)
С
Если обозначить
Х i = xi xi’ (6-7)
то абсолютная величина радиус-вектора равна
R^fX^)'*. (6.8)
откуда вытекают следующие тождества:
^.рр~ R •
R.ppk
„ _ xi*
• lJ ~ R R3
2Xk
R3 •
(6.9)
Подставляя их в (6.6), получаем
Первый интеграл определяет телесный угол Й с верши-
ной в г, опирающийся на поверхность S, ограниченную
Континуальная теория стационарных дислокаций
191
контуром С:
р К j dS j 1 г* f
f R.M4S,. (6.11)
5 Л
В векторной записи (6.10) принимает вид
u(r)=_ ье_____L (£ bXdr______1 чо г bXR di'
U(JJ 4л 4л У R 4п X-|-2G V j R
С с
(6-12)
В такой окончательной форме результат был представлен
Бюргерсом. Знак минус в (6.12) следует из нашего опре-
деления вектора Бюргерса.
Поскольку величина опирающегося на поверхность S
телесного угла, как известно, зависит лишь от границы С
этой поверхности, смещение ит полностью определяется
формой дислокационной линии С. При третьем способе
определения дислокации (см. § 5) разрез можно делать
произвольно. Более того, два последних члена в (6.12)
являются непрерывными однозначными функциями положения
(второй член — вследствие того, что он пропорционален
вектор-потенциалу линейного тока в магнитостатике, а
третий — вследствие того, что он представляет собой гра-
диент). Однако телесный угол Й изменяется на при обходе
вокруг линии дислокации С, так что (см. фиг. 3)
du = — "4 ^й = Ь.
Это согласуется со вторым определением дислокации (см. § 5);
сохраняя воображаемый разрез, можно телесный угол также
сделать непрерывной однозначной функцией координат точки.
§ 7. Формула Пича и Келера
Используя формулу Бюргерса, Пич и Келер [13] вывели
формулы, выражающие напряжения вокруг дислокации через
линейные интегралы. Для этого они сначала выразили
телесный угол через линейный интеграл, а затем подставили
выражение для смещения в (3.1) и (3.11). Наиболее трудная
часть задачи — найти выражение для телесного угла через
192
Р. де Вит
линейный интеграл. Однако оказалось, что сравнительно
легко представить градиент телесного угла линейным инте-
гралом. Это делается при помощи теоремы Стокса и соот-
ношения
7?,/w=-8k8(R). (7.1)
Тогда, если мы проведем разрез S так, чтобы точка г
нигде не лежала на S, то на основании (6.5) и (6.11)
If *wRPPidl*=i}. (7.2)
С S
Для последующего изложения мы введем новую упругую
константу т, обратную коэффициенту Пуассона, определив
ее следующим образом:
q X G , 20 лт
т — 2—— или X = т_2’ U-3)
тогда
X + О _ 1 т
X + 2G ~"2 т—1 •
Используя полученные соотношения и (6.11) и меняя
местами I и т, можно записать (6.6) в виде
ui <г> = — ЧГ + i f рр dl'k +
С
+i T^i f d,'k-
c
Отсюда, принимая во внимание (7.2), получаем
ui, j (r) = f [ zjkfiiR, ppi + £ikfii^, ppj +
c
+ m _ 1 EtaW mi/] d^-
Подстановка этого выражения в (3.1) дает
eij (r) = f [— 2" l + £ikfijR, l £ikfil^, j
c
“ ^Jkfil^,l\pp 4" m__j z/.Zy]
Континуальная теория стационарных дислокаций 193
Используя (6.4), можно следующим образом переписать
удвоенное выражение, стоящее в круглых скобках:
№. m \?jkl + elkl ==
t>nR. m i^Jkl^llp^pmn I ^ikl^ljp^pmni
= №. m [(»/&₽ - ^jphiKmn + <Wbp - 8/₽Sfty) epmnl =
№. m l^ij^krnn ^klSjmn ®Л/^лглЬ
Следовательно, имеем
fy(r) gjj [ R.mpp^ifkmn 2 2 ^Л/^лгл^Н-
С
4~ m — I ^krnriR, mlj] dlkt
откуда для дилатации получаем выражение
ерр (r) 8п m — 1 $ №kmnR. mpp^lf
с
Подставляя оба последних выражения и X из (7.3) в (3.11),
имеем
°i) (г) ~ 4Я” ["2" R, mpp (sJmn dlf Н- ейпл ^?Л”
С
+ Чтп (R. mij -\jR, трр) Щ (7.4)
Мы получили формулу Пича и Келера. Хотя сами авторы
записали свой результат более подробно, можно показать,
что он совпадает с нашим, если подставить (6.9) в (7.4) и
выписать подробные выражения для всех компонент напряже-
ния. Знак минус в нашем выражении обусловлен принятым
определением вектора Бюргерса.
Можно показать, что напряжения (7.4) представляют,
собой непрерывную однозначную функцию координат даже
в отсутствие разреза S. Это вытекает из того, что произ-
водная от й, определяемая соотношением (7.2), есть непре-
рывная и однозначная функция, так как она пропорциональна
вектор-потенциалу, используемому в магнитостатике.
13 Дж- Эшелби
194
Р. де Вит
§ 8. Выражение для энергии дислокации
Подставляя приведенные выше выражения для etj и
в формулу (3.9), в принципе можно рассчитать энергию
деформаций, сосредоточенную в объеме материала, содер-
жащем одну или более дислокаций. Однако Кренер нашел
значительно более изящный способ определения энергии при
помощи теории, в которой используются потенциальные
функции, аналогичные соответствующим функциям в магни-
тостатике. Его теория будет обсуждаться в части IV.
Здесь мы обсудим различие между собственной энер-
гией дислокации и энергией взаимодействия двух дислока-
ций. Рассмотрим материал, содержащий две дислокации А
н В, которые создают напряжения и cfj и деформации
и ен- Так как мы ограничиваемся линейной теорией
упругости, общие напряжения и деформация в материале
представляют собой сумму величин, обусловленных каждой
дислокацией
=atj + afj'
еИ =etj + eH-
Следовательно, на основании (3.9) общая энергия будет
£=Н °А‘нл'+11°‘ен‘п'+1 №rf,+°A‘A)dV-
V V V
Согласно (3.8), оба члена в последнем интеграле равны.
Полученный результат можно интерпретировать следующим
образом: первые два интеграла представляют собой собст-
венную энергию каждой дислокации, последний указывает
энергию их взаимодействия.
Таким образом, собственная энергия дислокации дается
выражением
Es = ^^lielidV,
v
где Су и etj—соответственно напряжения и деформации,
вызванные самой дислокацией. Энергия взаимодействия двух
дислокаций определяется как
Ej = £ dV,
v
Континуальная теория стационарных дислокаций 195
где cZy — напряжения, вызванные одной дислокацией, a e(j —
деформации, обязанные своим происхождением другой.
Последнее выражение можно рассматривать, кроме того,
как энергию дислокации, создающей деформацию в поле
внешнего напряжения cfy.
Можно выразить энергию дислокации как интеграл по
поверхности разреза, фигурирующей в третьем определении
дислокации (см. § 5). Допустим, что дислокация лежит
в поле внешнего напряжения с/у-. Тогда, принимая во вни-
мание (3.1), можно написать, что энергия
Ei = J °,-;иг, jdV^f [(с,.j — c^jU^dV.
V V
Если объемные силы отсутствуют, т. е. /z = 0, то из (3.2)
следует, что
°а.г = °;
используя (4.4), имеем
E/ = f OtjUi dSj.
s
Если опять принять упомянутый выше разрез за поверх-
ность S и объемом V считать все пространство, за исклю-
чением объема, ограниченного краями разреза, то получим
E, = bl f a^dSj. (8.1
s
Здесь интегрирование производится по поверхности S.
§ 9. Уравнения совместности
Если должны существовать непрерывные однозначные
функции «р то определение (3.1) налагает некоторые огра-
ничения на значения ei}-. Легче всего эти ограничения уста-
новить следующим образом. Определим поворот в точке
как
1
eiklul, k-
13*
196
Р. бе Вит
Тогда, как следует из (3.1), между о>( и е1п существует
соотношение
п k’
если эти функции получены из непрерывных однозначных
смещений ut. Однако сам поворот, изменение которого
между точками Р и Q равно
Q
(Q) — (Р) = f eitlelni k dxn,
p
должен быть непрерывной однозначной функцией положения.
Для этого необходимо, чтобы приведенный выше интеграл
не зависел от пути или чтобы ротор подынтегральной функ-
ции обращался в нуль:
— ^j.nnein. km = °- (9-1)
Эти соотношения дают необходимые и достаточные условия
для существования смещений ut. Они не удовлетворяются,
если функции u.t не определены однозначно, как, например,
вблизи источников внутреннего напряжения. Следуя Кренеру,
мы можем назвать левую часть соотношения (9.1) „несов-
местностью деформации11. Эта терминология аналогична той,
в которой выражение y обозначается как „ротор век-
тора V/. Пользуясь ею, можно сказать, что уравнения сов-
местности указывают на равенство нулю несовместности
деформации.
Существует другая форма для выражения несовмест-
ности тензора, которая получается, если использовать соот-
ношение (6.4), а именно
&lkfy nn^ln, km ^Ikfi j.nri^pq, knfipfiqn
^Ikl^j-nn^pq, km (~npr~rql ^pq^lri) '
= - Mtq ~ Wkr) - Wmp) Tpq. k n ~
Qiftkm Tppi k,n =
= Tjl, kk + Tkk, Ij-(Tjk, kl + Tkl, Jk) + (Tkl. kl-Tkk, It) §1]-
(9.2)
Если Ttj заменить на etj, то равенство нулю этого выра-
жения эквивалентно соотношению (9.1).
Континуальная теория стационарных дислокаций
197
IV. ТЕОРИЯ КРЕНЕРА
§ 10. Введение
Кренер [1] разработал изящную теорию, позволяющую
определять напряжения, энергию и кривизну в материале,
обусловленные наличием источников внутренних напряжений,
в первую очередь дислокаций. Рассмотрим те разделы тео-
рии Кренера, которые приводят к выражению для энергии
дислокации. Более подробное обсуждение многих относя-
щихся к этой проблеме вопросов можно найти непосредст-
венно в превосходной работе Кренера.
В своей теории Кренер широко использовал аналогию
между магнитостатикой и дислокационной теорией, отмечен-
ную еще ранее Пичем и Келером [13]. Эта аналогия отчасти
обусловлена общностью свойств вектора и тензора. Как
известно, любой вектор, который обращается в нуль на
бесконечности, можно разложить на градиент и ротор
?, i~\~eiJkAk, J- (Ю-1)
Подобным образом, Кренер [1] показал, что любой сим-
метричный тензор второго ранга, обращающийся в нуль на
бесконечности, можно разложить на две части, которые он
назвал „деформацией" и „несовместностью"
~ ~2 (Ъ, /+ ty, l) eikleJmn^n, km> (Ю.2)
гЛе верхним индексом 5 отмечена симметричная часть.
Из (3.1) следует, что etj представляет собой „деформа-
цию к/“, которая служит основой классификации Кренера.
Предыдущее соотношение легко доказать путем повторного
применения выражения (10.1).
Запишем
Л/ = a.] t + SikPij, k’
alJ — bl'i ej.iinAln, m>
так что
j 4- Jk eikleJn,nAln, mb-
Пусть
k~Ci-
откуда
Ту = aJt t 4~ Ct, j — etkle'jmnAln, km’
14 Дж. Эшелби
198
Р. де Вит
Кроме того, пусть
«/4-сг = Тг
Тогда вследствие того, что симметричная часть тензора
несовместности равна несовместности симметричной части
тензора, отсюда вытекает (10.2).
Векторным тождествам, согласно которым ротор гра-
диента и дивергенция ротора равны нулю, а именно

eijk^k, Ji — 0
(Ю.З)
соответствуют тензорные тождества, согласно которым
несовместность деформации и дивергенция несовместности
равны нулю
2 ^IkF/mn VPl, nkm ~Н <Рп, tkni) 0’
^ik^jmn^ln, kml == 0-
Из (10.1) и (10.3) следует, что при условии
^,/ = 0
Vt можно записать как
Кроме того, если
^л = 0. ]
то Vt можно записать как )
= eijk^k, j- '
(Ю.4)
(Ю.5)
(10.6)
Подобным образом, из (Ю.2) и (10.4) вытекает, что если
ТО Т[] можно если же 31к1 записать как кт — 0. 1, , 2 (?». /+'?/.»)> (Ю.7)
7м,/ = 0,
то (10.8)
7f; = eikISjanA[nt km.
Континуальная теория стационарных дислокаций 199
Эти утверждения выполняются, если все функции равны
нулю на бесконечности. Теорема (10.7) уже обсуждалась
в § 9 при рассмотрении eZ/..
§ 11. Обзор магнитостатики
В связи с рассмотрением теории Кренера полезно дать
обзор магнитостатики. В принятых обозначениях (исполь-
зуется рационализированная система единиц MKS) магнито-
статические уравнения Максвелла имеют вид
^k,i = Jp (ИЛ)
Bz,z = 0. (11.2)
где Н( — напряженность магнитного поля, Jz — плотность
тока, Bt — магнитная индукция. Для изотропной среды
н,=А. (1,.3)
Чтобы решить эту систему уравнений, исключим сначала
подставляя (11.3) в (11.1)
Zijk^k, j = (11-4)
Иа основании (11.2) и (10.6)
&k = BklmA.n, I’ (11-5)
где А1П называется вектор-потенциалом. Это дает для (11.4)
eiJkshlmArn, jl V'Jf
Применяя (6.4), получаем
Aj,ij Ai,jj = P-Jf (11-6)
Возьмем теперь краевое (или так называемое калибровочное)
условие
= (11-7)
Это условие всегда может быть удовлетворено, в чем не-
трудно убедиться следующим образом. Предположим, что
мы нашли решение Ai уравнения (11.6), которое не удовле-
творяет условию (11.7). Тогда, в силу соотношений (10.3),
функция
А1 ~ A‘i + ?, i
(П-8)
14*
200
Р. де Вит
при подстановке в (11.5) будет давать те же значения Bt,
что и А'{. Теперь если (11.7) выполняется для At, то
A'i, f+f, fz = °’
или
<Р.и = — Ai.r
Решение этого уравнения имеет вид
. , 1 г А. г ) ,т/,
—R------dV-
Таким образом, поскольку функция А' известна, мы мо-
жем вычислить ф. Найдем затем при помощи (11.8) функ-
цию Af, которая удовлетворяет условию (11.7). Уравнение (11.6)
при этом приобретает вид
А1.П = ~^1- (1Е9>
Решение уравнения (11.9), обращающееся в нуль на беско-
нечности, запишется как
(П.Ю)
Из (11.1) и (10.3) следует, что
Л,/ = °- (11.11)
Это уравнение непрерывности, согласно которому поле тока
соленоидально,. т. е. линии тока нигде не обрываются, а об-
разуют замкнутые петли. Проводя интегрирование по частям
и убедившись, что поверхностный интеграл исчезает на бес-
конечности, получаем из (11.10) и (11.11)
А..<г)=Ила') (|) Н Атг2‘гг' =°-
в согласии с краевым условием (11.7).
§ 12. Теория внутренних напряжений Кренера
а. Уравнения поля Кренера. Свою теорию Кренер осно-
вывал на уравнениях поля, которые получаются, если учесть,
что уравнения совместности (9.1) не всегда удовлетворяются,
т. е. в общем случае имеем уравнение
^ikfijrnn^ln, km Hip
(12.1)
Континуальная теория стационарных дислокаций 201
где определяется соотношением (5.2). Функция tUj есть
функция источника поля деформации, которая равна нулю
в „хорошем" материале. Она может описывать любой источ-
ник внутренней деформации, в частности дислокации. Кре-
нер назвал -Цц „тензором несовместности". В отдельных слу-
чаях является известной функцией положения, и задача
состоит в определении е^. Тогда уравнение (12.1) соответ-
ствует уравнению (11.1) в магнитостатике, где плотность
тока Jt является источником напряженности магнитного
поля Ht.
Если, кроме того, материал находится в равновесии
в отсутствие объемных сил, то мы имеем
о/Л/ = 0, (12.2)
что соответствует (11.2). В изотропной теории связь между
деформацией и напряжением устанавливается выражением
(3.11), разрешая которое относительно и используя (7.3),
получаем
еи = i (°Ч ~ * <12-3>
что соответствует (11.3).
Чтобы решить эту систему уравнений, сначала исклю-
чим etj, подставляя (12.3) в (12.1) и учитывая тождество (9.2),
°ij. kk^~°kk, и М °kk. «) §ij
m 1 (°kk, lj °kk, Ipij) =
Воспользовавшись уравнением (12.2), полученное уравнение
можно свести к
°ij, kk + m | 1 (°ЛЛ. lj °kk. ifilj) = ZG'Tlij’ (12-4)
что соответствует (11.4). Задача теперь сводится к совмест-
ному решению системы уравнений поля (12.2) и (12.4).
б. Функция напряжения. На основании (12.2) и (10.8)
можно записать
alj ^ikl^jmtfilln, km’
где фгл — симметричный тензор, называемый функцией на-
пряжения. Приведенное соотношение отвечает выражению
202
Р. де Вит
(11.5). Для последующего удобнее ввести, следуя Кренеру,
другую функцию напряжения уц, определенную следующим
образом:
^=2g(Zv + ^tZ^8v),
так что
°»7 = — 20W;пп fan + X.PP*in\ km (12-5a)
Это выражение можно рассматривать также как аналог
соотношения (11.5). Воспользовавшись тождеством (9.2),
получим
°ij — [Xi;. kk + Хл/г, lj (l.jk, ki + Хы, jk) +
+ (Xw, ы — Ум, II) *ij + (7м. lj — Хм. гД/)]. (12.56)
откуда следует, что
°kk = [xfcz, ki j Хлл, и] •
При помощи приведенных соотношений из (12.4) получаем
уравнение
X//. kkll kill ~I- Х/г/. jklD ~Н
77Z 1
—Н m _|_ 1 Хл/’ kt ij Ч । Xaz> ki.nnfiij Vi]' .(^2.6)
соответствующее (11.6).
Краевое условие выберем в форме
7ij.) = °‘ (12.7)
соответствующей (11.7). Покажем, что это всегда может
быть сделано. Предположим, мы нашли решение урав-
нения (12.6), которое не удовлетворяет (12.7). Тогда в силу
(10.4) функция
хо=х;у+4(^,/+ъл) (12-8>
при подстановке в (12.5а) даст те же значения что и Z'^.
Теперь, если (12.7) выполняется для у у, то
Континуальная теория стационарных дислокаций
203
или
Vi.jj + ty, ii~~ty'i],i‘
Решением этого уравнения, как легко доказать при помощи
(7.1), является
(г)= 8^ J [Хи, г (г'1 а ty.ii, г Сг') R, kk\ dW
Так как функция известна, отсюда можно вычислить <pz.
Мы можем затем использовать (12.8), чтобы найти функ-
цию которая удовлетворяет условию (12.7). Следова-
тельно, (12.6) заменится уравнение:!
7.1 j, kku — (12-9)
соответствующим (11.9). Решение этого уравнения, обращаю-
щееся в нуль на бесконечности, имеет вид
Tij Ч, (г') R dV'-, (12.10)
что соответствует (11.10).
Из (12.1) и (Ю.4) следует
^.•7=0, (12.11)
что аналогично (11.11). Мы получили уравнение непрерыв-
ности, которое указывает на соленоидальность тензора не-
совместности. В случае дислокации это означает, что ди-
слокации не могут заканчиваться в материале, а должны
образовывать замкнутые петли. Интегрируя по частям (12.10)
и (12.11) и принимая во внимание обращение в нуль по-
верхностного интеграла на бесконечности, получаем
в согласии с краевым условием (12.7).
Наконец, чтобы найти напряжение, мы можем воспользо-
ваться выражением (12.56), которое при учете (12.7) дает
о,у=2О^Х/у, м + m _ f (Xt*,!/ Хм, lA/)]- (12.12)
§ 13. Аналогия между магнитостатикой
и теорией Кренера
Подобным образом в точной аналогии с магнитостатикой
может быть построена вся теория внутренних напряжений.
При этом можно прямо пользоваться указанным в табл. 1
204
Р. де Вит
соответствием между величинами, фигурирующими в магнито-
статике, с одной стороны, и теорией дислокаций — с другой.
Таблица I
Соответствие между магнитостатикой и дислокационной
теорией
Магнитостатика Теория дислокаций
Г радиент tp, i Ротор etjkAk, i Напряженность магнит- ного поля Н/ Магнитная индукция В; Плотность тока У/ Проницаемость у. Вектор-потенциал А[ Ток / Деформация ’/2 (<pz, у + ;) Несовместность — zlklzjmnAln, km Деформация eZy Напряжения azy Тензор несовместности Упругие константы G, m Функция напряжения //у Вектор Бюргерса bt
Например, выражение для энергии (3.9) соответствует
выражению
Е = ~ f B^dV,
V
а (8.1)—выражению
Et = I f BtdSit
s
которое определяет энергию тока / в замкнутом контуре С,
ограничивающем поверхность S, во внешнем поле В(. Вос-
пользовавшись (11.5) и теоремой Стокса (6.3), получим
E^I^Atdl^ (13.1)
с
Если вектор-потенциал Д- создается другим током /', теку-
щим по проводнику С, то
u-I' С dli
= (13.2)
с
в соответствии с (11.10). Таким образом, (13.1) преобра-
зуется в выражение
С С'
Континуальная теория стационарных дислокаций
205
которое дает энергию взаимодействия двух токов / и /',
Если мы введем коэффициент взаимной индукции
(13Л>
с с
то энергия взаимодействия запишется как
Ei = II'M. (13.5>
Собственную энергию проводника с током можно найти,,
отождествляя С и С'; тогда М обратится в коэффициент
самоиндукции (обычно обозначаемый через L). Вводя мно-
житель */2, мы получим
ES=^^PM. (13.6>
Как будет показано ниже, каждому из приведенных выра-
жений электромагнитной теории соответствует аналогичное
выражение в теории дислокаций.
§ 14. Приложения к дислокациям
а. Тензор несовместности. Теория Кренера в виде,
в котором она до сих пор излагалась, применима к любому
виду внутренних напряжений. В последующей мы специально
рассмотрим дислокации.
Для случая дислокации тензор несовместности 73^ легче
всего получить при помощи введенного Кренером тензора,
плотности дислокаций а.^, который определяется из соотно-
шения
О4-О
Здесь Ьп есть суммарный вектор Бюргерса дислокаций, пе-
ресекающих произвольную поверхность с, так что пред-
ставляет собой плотность дислокаций, имеющих вектор Бюр-
герса в направлении Xj и пересекающих плоскость, перпен-
дикулярную к направлению xt. Согласно (5.1), (5.2) и теореме
Стокса (6.3) мы можем записать (14.1) также в виде
bn = £ dun = £ ^>lndxt = £ ezwp/n> k dSt,
T T 0
/
206 Р, де Вит
откуда получаем уравнение поля
к = atn-
Это уравнение эквивалентно (12.1), так как функция источ-
ника а1п создает поле которое, согласно (5.2), тесно
связано с полем деформации etj. Эквивалентность можно
показать более наглядно, если приведенное выше уравнение,
записать в виде
e'lklsjmni‘ln, km e'j:nnain, m-
Симметричная часть левой стороны полученного соот-
ношения совпадает с левой частью уравнения (12.1), т. е.
’ij = -(e/A.Z (14-2)
В случае единичной дислокации имеет характер
^-функции Дирака. Поэтому проще иметь дело со средней
но сечению величиной о.^. Если поверхность о перпендику-
лярна дислокационной линии, то at]. определяется соотноше-
нием
*ln = f (14.3) .
°±
Если tt — единичный вектор касательной к дислокационной
линии, то на основании (14.1)
== J" aiift dS — ain^i
или ’
= (14-4)
Таким образом, в соответствии с (14.2) получаем для ди-
слокации
^iij У ^Ij (е/ nrfl'ltii tn)
°-L 1
— — У (5 ntfl. m zlmtfj, tn) bn- (14-5)
б. Функция напряжения. Мы можем теперь найти функ-
дию напряжения для дислокации, подставляя (14.5) в (12.10).
Континуальная теория стационарных дислокаций 207
Однако удобнее использовать несколько иной метод. Под-
ставляя (14.2) в (12.10), получаем
Х//(г) = (f m (г') R dV'^;
далее, интегрируя по частям, найдем
= eJ„nain(r')RmdV'}
Если записать элемент объема как dV — dSdl и проин-
тегрировать по сечению, то, учитывая соотношения (14.3)
и (14.4), приходим к выражению
Х//Г) = i ($ £j^in (И R. m <H')S =
С
~ g_ SjmrflnR, tn dli^ =
= 4 R, m (tjmn dl'i + e/mn dl'j). (14.6)
c
Линейный интеграл берется по замкнутому контуру, так
как Tj/j есть соленоидальный тензор, как указывалось раньше.
Отметим, что
Х*Л (r) = g^" R. nfikmn dlk-
с
Теперь, подставляя полученные соотношения для функци i
напряжения в (12.12), можно выразить напряжение, обусло-
вленное дислокацией, через линейный интеграл вдоль дисло-
кационной линии
°/;(г) = 4Г" | 2“ R, т** (е/тл dh + e/mn dlj) -|-
с
+ m2_T еЛтл №. mlj — R, -
Мы пришли к результату, совпадающему с выражением (7.4)
Пича и Келера [13].
Иногда целесообразно ввести потенциальную функцию
£г(г)= J Rdl\. (14.7)
С
208
Р. де Вит
при помощи которой (14.6) записывается как
^7 = m + e/m A j- (14-8)
Выражения (12.12), (14.8) и (14.7) дают прямой метод рас-
чета напряжения, созданного в материале диглокаиионной
линией произвольной формы.
§ 15. Выражения для энергии
а. Формула Кренера. Исходя из соотношения (8.1),
можно вывести выражение для энергии дислокации. Подста-
вляя в (8.1) напряжение (12.5а) и используя теорему Стокса
(6.3), получаем соотношение
Е, = -2О*£ ^еш(Х/п+_±тХрдД ^в, (15.1)
с
отвечающей формуле (13.1) в магнитостатике. Здесь ^ — энер-
гия дислокационной линии С, имеющей мощность fc£., во
внешнем поле, функция напряжения у1п которого задана.
Если внешнее поле создано другой дислокацией, располо-
женной вдоль линии С и имеющей мощность то х опре-
деляется соотношением (14.6), в котором надо I заменить
на /, a j и п поменять местами. Получающееся при этом
выражение
Хм (г) = — $ у R, rn {e.jmn dl'i 4- ^jmi dQ (15.2)
C'
соответствует формуле (13.2); кроме того,
Хрд (г) = Д R, nfijmp dip-
С'
Используя два последних соотношения, получаем следующее
выражение для энергии (15.1):
Gbjbi р р
Е[ (р Ср km X
с с
X (dli din + dlp dlp + dl'n dlt]. (15.3)
Континуальная теория стационарных дислокаций
209
Этот результат, отвечающий аналогичному соотношению (13.3)
в магнитостатике, был впервые получен Кренером [1]. Он
определяет взаимную энергию двух дислокаций мощностью b
и Ь', расположенных вдоль линий С и С.
Если, следуя Кренеру, ввести „коэффициент взаимной
индукции дислокаций", отвечающий коэффициенту взаимной
индукции (13.4) в электромагнитной теории
^1] 8л J J &iklS'jfnnR,km X
С С'
х [dl't dln + dl'p dip + dl'n dh], (15.4)
то энергию взаимодействия можно записать в виде, анало-
гичном формуле (13.5)
Ei = bib'jMij. (15.5)
Совместив кривые С и С и введя множитель получим
формулу для собственной энергии дислокации, соответствую-
щую формуле (13.6):
Es=^blb,Mlj. (15.6)
где Mfj— „коэффициент самоиндукции дислокации".
Используя тождество (9.2), можно также видоизменить
выражение (15.4) следующим образом:
kk dlj dli — R'ki dlj dlk — R.jkdlk dli)-\-
c c'
4 -ra bj №.dl't dlj — R,kS dl't dlk — R. ik dl'k dlj)+
+ 7'b f Я. kl dl'k dlfiu + (R'ij dl'k dlk — R. и dl'k ^8//)]
(15.7)
б. Формула Блина. Блин [14] получил для энергии
дислокации другое выражение, которое эквивалентно соот-
ношению, приведенному выше. Следует отметить, что воз-
можны различные математические формулировки выражения
для энергии, поскольку к (15.3) можно добавить любое
число интегралов, величина которых равна кулю, например
210
Р. де Вит
интеграл по замкнутому контуру от градиента. Так, при
помощи теоремы Стокса (6.3) можно показать, что
§R,kdlk= f (15.8)
с s
Мы получим выражение Блина для энергии, записав (15.3)
в следующем виде:
Gbtbi о р
EI J J ^ikfijmn^-, km X
С С'
X (dk dln — 2 dl'n dli + hn dl'p dip + dl'n dh'j.
Первые три члена в скобках можно преобразовать при
помощи тождества (9.2) и соотношения (15.8), что приводит
к следующему выражению для энергии:
Ei = — $ $ Я, kk (dli dl'j — dl'i dl])->t-
c C'
Gbib’,- p p ,
Gbfij m p p ,
4 4^. m j J J1 km dll dlnr
C C'
которое с учетом (6.4) и (6.9) преобразуется к виду
С С С С'
Н । ф dliR, knfimjnbi dln-
C C’
Наконец, мы можем дать выражение для E/t используя
векторную запись:
р 2G С С bXb'-dlXdl' . G Р С b-dlb' dl' .
= -------R------+ ----R----+
С С' с с
+ £m-^rHbxdi’V(V*’b'xdr>
С С'
Континуальная теория стационарных дислокаций
211
Такую форму имеет выражение для энергии, полученное
Блином.
в. Упрощенная формула. Интересно отметить, что если
использовать соотношение (15.8) при вычислении (15.7),
то получим следующую простую формулу:
^‘7 = ~£ Н [*kk № dli + dl'1 dli) +
с С'
+ Ч — Я, i&j) dl'k dl^ . (15.9)
При равенстве векторов Бюргерса bi и bi (т. е. в случае
собственной энергии дислокаций) в выражения для энер-
гии (15.5) и (15.6) входит только симметричная часть Mtj.
Следовательно, мы можем произвольно менять местами I и /•
например преобразовать (15.9) к виду
И dl‘ dl> +
с с
+ (Я, а — R, ifiiу) dlk dl*]. (15.10)
В приложении подробно показано, как выразить компо-
ненту Л433 выражения (15.10) в декартовых и цилиндриче-
ских координатах.
Иногда при расчете удобно разбить интегралы в приве-
денных выражениях на части. Например, разделим дислокацию
па две части А и В и найдем собственную энергию дисло-
кации, интегрируя отдельно по каждой части. Это делается
при помощи подстановки
dlt = dl^-\-dlf,
, ,А ,В
dli = dli +dli ,
которая приводит к следующему выражению для полной
„самоиндукции" дислокации
Mi j = M^+ + 2Л1?Д (15.11)
212
Р. де Вит
Здесь мы ввели „самоиндукции" отдельных частей дислокации
СА С'А
+ Ч — R-«М dl'Ad$\ ’
r „ pr п (15.12)
Wfj = —f[^TR,^dl'i dl&-\-
cb cb'
+ 4 — R- ч^1 Л dl^ dl%\
и их „взаимную индукцию"
СВ Сл
4- Ч — R.$ij)dlk dlk] =
CA CB
+ {R.U — RMdl'kB dl£\. (15.13)
Последнее равенство справедливо, потому что С и С'
соответствуют одной и той же кривой. Необходимо под-
черкнуть, что в том случае, когда собственная энергия
дислокации вычисляется путем нахождения энергии отдель-
ных частей дислокации, различные члены в (15.11) должны
всегда определяться по формулам, совместным друг с дру-
гом, подобно тому, как это имеет место для формул (15.12)
и (15.13).
§ 16. Заключительные замечания относительно
собственной энергии
В предыдущих выражениях для собственной энергии
интегрирование дважды производится по одной и той же
кривой. Однако можно показать, что этот двойной интеграл
Континуальная теория стационарных дислокаций 213
расходится. Это является следствием предположения, что
дислокация представляет собой линейный дефект, поперечные
размеры которого равны нулю. Напряжения на дислокации
равны бесконечности, и, следовательно, энергия также
бесконечно велика. Здесь положение аналогично тому, кото-
рое имеет место в случае тока, текущего по проводнику
нулевого сечения. Напряженность магнитного поля в про-
воднике бесконечно велика, что приводит к бесконечно
большой энергии. Как напряжения, так и напряженность
магнитного поля изменяются обратно пропорционально рас-
стоянию от линии дислокации или проводника, а энергия
в обоих случаях расходится логарифмически. Чтобы получить
ограниченное значение энергии, следует предположить, что
размеры поперечного сечения дислокации или проводника
с током конечны.
Конечное сечение можно приписать некоторой области
вблизи дислокации, где напряжения и деформации настолько
велики, что не выполняется закон Гука. Эта область, в кото-
рой связь между напряжением и деформацией нелинейна и
имеется пластическая деформация, называется ядром ди-
слокации.
Указанную трудность при расчете собственной энергии
дислокации конечной мощности можно обойти, если принять,
что эта дислокация эквивалентна непрерывному распределе-
нию дислокаций бесконечно малой мощности. Энергия такого
ансамбля равна энергии отдельной дислокации.
Пусть распределение представлено функцией 7(9), где
q — координата в направлении, перпендикулярном линии
дислокации dl. Эта функция подобна 8-функции. Если она
нормирована в соответствии с условием
+оо
f T(q)dq=l, (16.1)
—00
то выражение (15.10) для Л1ц преобразуется к виду
со 4-оо
= fd91<9) f dq'^(g')-\- ^[^±1/?р
—оо —оо С С'
+ — RMdl'kdlky (16.2)
214
Р. де Вит
Здесь (q — q') есть расстояние между линиями дислокаций С
и С.
Вид функции распределения 7(9) можно получить, вос-
пользовавшись соображениями, выходящими за рамки линей-
ной теории упругости, так как 7 (q) существенно зависит
от строения ядра дислокации, которое должно изучаться
методами микроскопической теории. Укажем три возможных
подхода к трактовке ядра дислокации, которые мы исполь-
зуем в дальнейшем.
1. Мы можем найти энергию взаимодействия двух дисло-
каций, находящихся на расстоянии г0, приближенно соот-
ветствующем полуширине дислокационной линии, и ввести
множитель 1/2.
2. Можно принять функцию у (q) постоянной в определен-
ной области и равной нулю в остальных точках.
3. Можно найти распределение 7 (q), используя результаты,
полученные при помощи модели Пайерлса.
Первый способ определения ширины дислокации наиболее
прост, и поэтому он преимущественно используется в по-
следующих приложениях. Вводимый при этом размер г0
весьма близок по смыслу к радиусу ядра дислокации
в трактовке Коттрелла [15] и других авторов, рассматри-
ваемому как внутренняя граница, обрезающая поле напряже-
ний вблизи дислокации.
V. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ЭНЕРГИИ В НЕКОТОРЫХ
ПРОСТЫХ СЛУЧАЯХ
§ 17. Прямые дислокации
Энергия бесконечно длинной прямой дислокации расхо-
дится логарифмически (даже в расчете на единицу длины).
Эта расходимость имеет иное происхождение, чем та. которая
рассматривалась в § 16 в связи с обсуждением выражения
для собственной энергии дислокации. Действительно, если
использовать формулу, приведенную в предыдущем параграфе,
то для прямой дислокации конечной длины получается конеч-
ное значение энергии. Однако этот результат не является
исчерпывающим, поскольку выражение для энергии выведено
для замкнутой петли, тогда как бесконечная прямая линия
имеет начало и конец. Поэтому вычисленную по формуле,
Континуальная теория стационарных дислокаций
215
приведенной в § 16, энергию прямой дислокации следует
рассматривать как одно из слагаемых в выражении (15.11).
Необходимо учитывать, что полная величина получается
лишь, если замкнуть петлю и рассмотреть все члены, вхо-
дящие в (15.11). Более того, последние должны рассчиты-
ваться совместно по одной и той же формуле, чтобы
исключить члены, подобные (15.8). Далее мы рассчитаем
собственную энергию на единицу длины для прямолинейной
винтовой, краевой и смешанной дислокаций.
а. Прямая винтовая дислокация. Чтобы найти собствен-
ную энергию прямой винтовой дислокации при помощи
формулы (П. 1) (см. приложение), примем, что дислокация
расположена вдоль оси х3, т. е.
dli = dli == dl<2 - dl2 = 0.
При этом выражение (П. 1) упрощается и принимает вид
Жзз = f f [я. И + R. 22 - R, 33J dl'3 dl3,
С С’
где С и С' в данном случае — две бесконечные прямые
линии, как и в соотношениях (15.12) и (15.13). Если вос-
пользоваться определением (14.7) и предположить, что ли-
нии С и С' ограничены точками х3 = — ’/2 х3 = 1/2^'
т. е. дислокация имеет длину L, то предыдущее выражение
можно записать в виде
^33 = J [^3>11 4“ ^3,22 m___________1 ^з.зз] dl3, { 17.1)
-‘/jL
где
‘/2 L
x2, x3) = f Rdl3. (17.2)
-/2t
Поскольку дислокация С' лежит вдоль координатной
оси ху х[ = х' = 0 (фиг. 5). В соответствии с определе-
нием (6.8)
/?2 = р24-Х23,
p2 = x2-j-x|.
216
Р. де Вит
Таким образом, выражение (17.2) преобразуется к виду
лгв+Уа L
^3~
— Vs
/г 1 1 -i^s + '/s £
R dX3 = р2 in (Х3 + R) + -| |
- . L -iXtr-'h.L

Ф и г. 5. К расчету энергии прямой дислокации,
что при дифференцировании дает
^,И + L3,22 = 2 [in (Л3+ R) - А Г "Л L.
L п >Jr.-Ч,/.
Подставляя полученные выражения в (17.1), получаем
Л*зз=^/- /) [21п(^з + /?)—^]^3-
з1’/ач J = й2хзIn(Хз4-/?)-3/?—^-±4
ОТ-11 3.31_1/г£ 3'31/ ОТ— 1 Jo, о
Складывая значения, соответствующие верхним пределам
интегрирования, и вычитая значения, отвечающие нижним,
Континуальная теория стационарных дислокаций
21?
находим
л„=°{£,„Л±М
[ (р!+«’-₽])•
(17.3)
Согласно (15.5), этот результат позволяет определить энер-
гию взаимодействия двух параллельных винтовых дислока-
ций, имеющих длину L и находящихся друг от друга на
расстоянии р:
J = iГ(1 +
2т. ( р m— 1 L\ L? ) Z.JJ
Из приведенного выражения видно, что, как и указывалось
в начале этого параграфа, в случае бесконечно длинной
прямой дислокации, т. е. при L—>оо, энергия расходится
логарифмически, даже если расчет ведется на единицу длины
дислокационной линии.
Собственную энергию дислокации можно получить, если
выбрать в качестве С ту же кривую, что С', т. е. положить
в (17.3) р—>0. Очевидно, собственная энергия также расхо-
дится логарифмически (см. § 16). Мы найдем энергию дис-
локации, используя допущение (1), сформулированное в § 16.
В соответствии с этим мы должны положить р = г0 — при-
близительно половине ширины отдельной дислокации. Ши-
рина дислокации обычно много меньше ее длины, т. е
го<^~
Поэтому, используя (15.6) и (17.3), мы приходим к сле-
дующей окончательной формуле для собственной энергии
дислокации:
Ess = L~\ln—----- (17.4)
4т. | г0 m — 1J 4 '
Второму члену в этом соотношении не следует придавать
особого физического смысла, поскольку его форма зависит
от конкретного вида выражения, выбранного для расчета
энергии. При использовании формулы Кренера или Блина
этот член принимает различное значение; его можно изме-
нить, прибавляя к энергии слагаемые, подобные (15.8). Та-
кая неопределенность выражения (17.4) является следствием
использования незамкнутой дислокации.
15 Дж. Эшелби
218
Р. де Вит
б. Прямая краевая дислокация. Чтобы найти собствен-
ную энергию прямой краевой дислокации с вектором Бюр-
герса. направленным по оси т. е. bt = (b, 0, 0), необхо-
димо вычислить Л4П. Если дислокация направлена по оси х3,
то, как и в предыдущем случае, dl} = dlx = rfZ2 = dl3 — 0.
Следовательно, на основании (15.10) можно написать
f 22 + зз) dl'3 dl3.
с с
Используя те же преобразования, что и в случае винтовой
дислокации, получаем
,(Ып t + -">}•
Наконец, положив у = р = rQ L, мы приходим к выра-
жению для собственной энергии прямой краевой дислокации
= —— 11. (17.5)
° 4л m — 1 L г0 J v 7
Впервые выражение для энергии прямой краевой дис-
локации получил Келер [16]. Можно считать, что его резуль-
тат эквивалентен первому члену приведенной выше формулы,
если принять длину L равной размеру образца.
в. Смешанная дислокация. Смешанной называется дис-
локация, вектор Бюргерса которой составляет произвольный
угол с дислокационной линией. Если этот угол равен 9,
а дислокация лежит вдоль оси х3, то вектор Бюргерса
имеет компоненты bt — (b sin 6, 0, bcos 9). Можно показать,
что перекрестные члены в (15.6) отсутствуют, т. е. Л413 = 0.
Это означает, что в рамках используемого приближения
взаимодействие между параллельными винтовой и краевой
дислокациями отсутствует. Поэтому смешанную дислокацию
можно рассматривать как наложение двух дислокаций —
винтовой и краевой. Ее собственную энергию можно найти
при помощи выражений (17.4) и (17.5):
Es = cos’ в + Ef sin’ в =
= i №Г/ / 1 > I
4л L\ rB .. m— 1 / 1 \m — 1 ra 1 J J
(17.6)
Континуальная теория стационарных дислокаций 21 9
г. Ядро дислокации. Хотя мы не проводили подробных
вычислений вклада, вносимого ядром дислокации в ее соб-
ственную энергию, представляется целесообразным рассмо-
треть некоторые приближенные оценки этой величины. Не-
обходимый для расчетов размер г0 определяется, как мы
увидим ниже, способом трактовки ядра дислокации. При
этом возможны три подхода, о которых мы говорили в § 16.
1. Энергию ядра дислокации можно учесть, полагая раз-
мер л0 равным полуширине дислокации, выраженной через
вектор Бюргерса. В частности, если воспользоваться моделью
Пайерлса, хорошо описывающей структуру краевой дисло-
кации, то, согласно Набарро [11].
г___ m b
U ~ m — 1 "2 ‘
Выбирая т?йЗ, получаем г0 яаС st; 0,75b.
2. Можно задать ^(q) так, чтобы

при
при
1?|<С
При этом функция у (q) удовлетворяет условию нормировки
(16.1). В случае краевой дислокации при помощи соотно-
шений (16.2) и (17.5) находим следующее выражение для
собственной энергии:
4-со +оо
1] =
— со —со
, Gb2 m Г. 2L . T
4r. т — 1[ 2C/e/s J
Тот же результат можно получить из (17.5), полагая г0=
== 2С/е3/2 st 0.45С st О.ЗЗМ
3. Наконец, можно использовать функцию распределения,
соответствующую модели Пайерлса,
. 1 С
— Я <7г 4- с2
Так как вычисление интеграла в выражении (16.2) в дан-
ном случае становится довольно сложным, выбранную
15*
220
Р. де Вит
функцию распределения можно приближенно заменить более
простой зависимостью
1/<
!(?) =
при
при
|<7|>4яС
0
При этом собственная энергия краевой дислокации равна
г~е , Gb2 m Г. 2Z.
Ls~l-------------- in-------
4r. m — 1 L я£/е/г
Тот же результат получается непосредственно из формулы
(17.5), если положить го = кС/ег/2«О,7С~О,52й.
Поэтому при приближенных расчетах мы можем учиты-
вать энергию ядра, полагая
ro~
При этом мы пренебрегаем зависимостью энергии ядра от
ориентировки дислокации. Более подробно рассматриваемый
вопрос изложен в книге Кренера [1].
§ 18. Круговые дислокации
Полученные в приложении результаты могут быть исполь-
зованы для расчета энергии взаимодействия двух коаксиаль-
ных круговых дислокационных петель равного радиуса
(фиг. 6). Пусть радиус каждой окружности будет а\ тогда
в соотношении, приведенном в приложении, положим р = р' —
= а — const. Кроме того, расстояние между петлями при-
нимается постоянным, т. е. z, z', Z—постоянные величины.
В этом случае выражение (П. 4) сводится к формуле
^33 = ^/(18.1)
о
где, согласно (П. 6),
2 ТС
= f (4- + « cos Ф d?' (18.2)
о
Континуальная теория стационарных дислокаций
221
и, согласно (П. 3),
/?2 = 2с2 —2a2cosO + Z2. (18.3)
Чтобы вычислить В^, целесообразно рассмотреть используе-
мый в магнитостатике вектор-потенциал А кругового про-
водника с током. Его ^-компонента равна (в единицах CGS)
2к
л,=/ . (18.4)
О
где R определяется выражением (18.3). [Отметим, что раз-
ница между этим выражением и формулой (11.10) объясняется
SC
Ф и г. 6. К расчету энергии круговой дислокации.
использованием различных систем единиц.] Интеграл (18.4)
вычисляется в книгах по электромагнитной теории (см.,
например, [17]); он равен
-ik2)K-E]- <18-5)
Здесь К и Е — полные эллиптические интегралы первого и
второго ряда модуля k, причем
ft2=4^- . <18-6>
222
Р. де Вит
На основании полученных выражений для А? можно сравни-
тельно легко вычислить В при помощи простого приема.
Согласно (18.3),
д ( 1 1 , Zs
а да \R)~ /? ' R3 '
откуда следует, что между величинами (18.2) и (18.4) су-
ществует соотношение
= Э(дЛф)
9 да
Если мы воспользуемся формулой (18.5) и обычными соот-
ношениями для производной от эллиптических интегралов,
то получим искомое выражение
B^2k(K-E),
которое позволяет найти из (18.1) окончательную фор-
мулу
M33 = G7^ak(K-E). (18.7)
Таким образом, энергия взаимодействия двух коаксиальных
круговых дислокаций равного радиуса, векторы Бюргерса
которых направлены вдоль их общей оси, согласно выра-
жению (15.5), равна
E^GlP^aklK-E).
Впервые этот результат был получен Кренером. Рассмотрен-
ная задача является частным случаем более общей проблемы
о взаимодействии двух круговых коаксиальных дислокаций,
имеющих произвольные радиусы и произвольные векторы
Бюргерса. В этом общем виде задача была решена Пфлей-
дерером, результаты которого приведены Крекером [1].
Собственную энергию круговой дислокационной петли
найдем, полагая
2- = г0 <С а.
При этих условиях k 1 и эллиптические интегралы упро-
щаются: /С«1п (8a/r0), Ett\. Поэтому, исходя из выра-
жений (15.6) и (18.7), приходим к формуле
выведенной ранее Кренером.
Континуальная теория стационарных дислокаций
223;
§ 19. Цилиндрическая дислокация
Предыдущие результаты могут быть использованы при
расчете собственной энергии цилиндрической дислокации,
т. е. пакета плотноупаковаНных круговых дислокаций (фиг. 7).
Ф и г. 7. К расчету энергии цилиндри-
ческой дислокации.
Поскольку величина Л433, определяемая выражением (18.7),
зависит от k, ее можно рассматривать как функцию Z или,
учитывая (П. 2), как функцию z и z'\
M^z, z^Q-SL-aktK—E). (19.1)
Если витки дислокационной линии равномерно расположены
вдоль цилиндра радиусом а, то их число, приходящееся на
элемент dzr вдоль оси цилиндра, равно vdz', где v — число
витков на единицу длины. Поэтому значение соответ-
ствующее взаимодействию одного дислокационного витка,
положение которого фиксировано координатой Z, с осталь-
ным цилиндром, имеющим длину L, определяется формулой
•/2t
^зз(г)= f M^(z, z')vdz'. (19.2)
~'I,L
224
Р. де Вит
Подобным образом величина Л133 для всего цилиндра равна
'hL
^33= J M^z^dz. (19.3)
->/2i
Если при помощи соотношения (18.6) заменить перемен-
ную интегрирования z на k. то, используя (19.1), можно
представить (19.2) в виде
*+
Л4 (z) = — G—"Ц v2a2 С К~Е „ dk =
33 m~ 1 kJ k (1 —
k
- G via2 к (1 — А2)7’] + ,
m— 1 1 ' J*
где £+ u k_ определяются соотношением
‘ 1.2 _
A± = , J .2 •
4^ + (z±-1l)
Аналогичным образом, преобразуя (19.3), получаем
^dk^G^^[-^\\
III 1 J ti Hi- 1 L JJ
где
Ao=4^Tz7 = s,n2G-
Собственная энергия цилиндрической дислокации в соответ-
ствии с (15.6) равна
Es == Gb2 —v24o3 11,
5 m— 1 L Ао J
что с учетом соотношения 2а = L tg 6 можно записать как
Es = LGb2 vba? Г £(sin ti) — tg G1.
5 m — 1 L cos 6 6J
Для очень длинного цилиндра

Континуальная теория стационарных дислокаций
225
и в этом приближении собственная энергия определяется
выражением
Es = LG& ^21 j v2^a2, (19.4)
которое было получено Кренером [1] другим способом.
§ 20. Геликоидальная дислокация
Приближенное решение более сложной задачи об энер-
гии геликоидальной дислокации было предложено автором [18].
Дислокация имеет форму геликоида, или винтовой линии,
закрученной с постоянным шагом р вокруг прямого круго-
вого цилиндр радиусом а и высотой L (фиг. 8). Предпо-
лагается, что вектор Бюргерса дислокации направлен вдоль
Фиг. 8. К расчету энергии геликоидальной
дислокации.
оси геликоида. Кроме того, принимается, что длина гели-
коида велика по сравнению с его радиусом (Z. а), а ра-
диус в свою очередь значительно превосходит размер ядра
дислокации (а^> г0). Для геликоидальной дислокации, со-
стоящей из большого числа витков (N^> 1) и характеризую-
щейся шагом р, собственная энергия равна
р _ , G&2 [ m
"S 4л \т— 1

226
Р. де Вит
где
Р — а + г О’
Здесь 1п и Кп— модифицированные функции Бесселя пер-
вого и второго рода, /пн К„ — их производные по аргу-
менту. В двух рассматриваемых ниже предельных случаях
ряды S и Т сводятся к простым выражениям.
Для плотно закрученного геликоида (р<^а) с точностью
до членов второго порядка относительно p/а собственная
энергия равна
Es = LGb2 [vW — i v (ар)'/з (In 2nvr0+ l)j +
. Gb2 Г. 2L 2m —1]
-4- L In-------------r .
1 4л L p m — 1 J
где v — N/L — число витков на единицу длины геликоида.
Этому результату можно дать правдоподобную физическую
интерпретацию. Основной член нулевого порядка представляет
собой энергию цилиндрической части геликоидальной дисло-
кации, которая определяется выражением (19.4). Содержа-
щий параметр г0 член первого порядка характеризует влия-
ние поперечного сечения дислокационной линии. Наконец,
слагаемые второго порядка обусловлены осевой составляю-
щей геликоида. Сравнение с выражением (17.4) показывает,
что эти слагаемые отвечают винтовой дислокации, полуши-
рина которой равна р^а, а не г0.
Для весьма вытянутого геликоида (а<^р) с точностью
до членов второго порядка по (а/p) получаем следующее
выражение для энергии:
„ , Gb2 (, 2L 2m—1
= j----( 1П----------;---
» 4л ( r0 m — 1
_арг211+1( +1П
4р2 L m—1\* Ър) m — 1 J)
Континуальная теория стационарных дислокаций
4ZI
В данном случае основной член представляет вклад в энер-
гию геликоида прямой винтовой дислокации, энергия кото-
рой задается формулой (17.4). Члены второго порядка учи-
тывают влияние слабого взаимодействия между витками ге-
ликоида.
При необходимости предыдущие выражения для собствен-
ной энергии можно уточнить, учитывая большее число чле-
нов в разложениях, использованных на различных стадиях
приближенного решения задачи. Однако следует иметь в виду
строгие ограничения, указанные в § 1. Отметим, кроме того,
что выражения для энергии дислокации могут содержать
ложные члены, являющиеся результатом использования при
расчетах незамкнутой дислокационной линии. Это затрудне-
ние можно преодолеть, если добавить к геликоиду виток
противоположного знака и найти соответствующее изменение
выражений для энергии.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Выражение для М33 в декартовых
и цилиндрических координатах
При расчете энергии дислокации с вектором Бюргерса,,
направленным по оси х3, т. е. при Z>f = (0, О, Ь), в выра-
жениях (15.5) или (15.6) необходимо знать только вели-
чину В настоящей статье мы использовали для опреде-
ления упрощенную формулу (15.10), из которой следует,
что
^33 m it f (^, 11 22 + Я,ЗзМзЛз +
с С'
+ 7Г=Т (R-11 + R-22> dl1 + ^2 dli + ^3 Лз)] • (П. 1)
В задачах, имеющих цилиндрическую симметрию, вычисле-
ние УИдз удобно производить в цилиндрической системе коор-
динат. Мы можем непосредственно перейти к цилиндриче-
ским координатам при помощи формул преобразования коор-
динат
Xj = р cos <р, Xj = р' cos <р',
х2 = р sin <р, х' = р' sin ср',
х3 — z, хз~ z'>
228
Р. де Вит
тогда (6.9) примет вид
лл О С Г Г m +1 dz' dz . m /1 , Z2 \. ,
^33 “ 4- J Ф | m —1 R Ь m —1 + Дз) *
c c
X (cos Ф dp' dp sin Ф p' dtp' dp — sin Ф dp'p dtp -]-
-j- cos Фр' dtp'p dtp-}-dz' dz
где введены обозначения
Z = z — z'.
Ф = <p — <p'.
(П.2)
В выбранной координатной системе формула (6.8) для ра-
диуса запишется как
/?2 — Р2+р,а—2рр'cos Ф-|-Z2. (П. 3)
Для удобства вычислений целесообразно записать выраже-
ние УЙзз следующим образом:
=£ Я—St
(П.4)
здесь
Аг=$ПГ (П.5)
С'
и
ВР = £ (т? + Тр) (cos ф dp' + sin фр'd^’
с*
В1= Я'З’+т?)*- =“ф‘,Р'+с08фР'<гР')- (П.6)
в-= Я^+^)"2'-
с
Набор функций В можно рассматривать как систему дисло-
кационных потенциалов, которые используются в качестве
промежуточных звеньев при расчете энергии. Они тесно свя-
заны с вводимым в магнитостатике вектор-потенциалом А
[z-компонента А определяется формулой (П. 5)]. Эта связь
обнаруживается, например, при расчете энергии круговой
дислокации.
Континуальная теория стационарных дислокаций
229
ЛИТЕРАТУРА
1. Kroner Е., Ergeb. angew. Math., 5 (1958).
2. Е s h е 1 b у J. D., в книге «Solid State Physics», vol. 3, New York,
1956, p. 79. (См. стр. 11 настоящей книги.)
3. S о k о 1 n i k о f f I. S., Mathematical Theory of Elasticity, 2nd ed..
New York, 1956.
4. H u n t i n g t о n H. В., в книге „Solid State Physics”, vol. 7, New
York, 1958, p. 213.
5. Seeger А., в книге „Handbuch d. Physik”, Bd. 7/1, Berlin,
1955, S. 383.
6. L e i b f г I e d G„ Zs. Phys., 135, 23 (1953).
7. Read W. T., Jr., Dislocations in Crystals, New York, 1953, p. 32.
(Имеется перевод: Рид В., Дислокации в кристаллах, М., 1957.)
8. Verma A. R., Crystal Growth and Dislocations, London, 1953,
p. 26. (Имеется перевод: Варма А., Рост кристаллов и дисло-
кации, ИЛ, 1959.)
9. Burgers J. М., Proc. Коп. Ned. Akad. Wet., 42, 293 (1939).
10. В 11 b у В. A., Research, 4, 387 (1951).
И. Nabarro F. R. N„ Adv. Phys., 1, 269 (1952).
12. Friedel J., Les Dislocations, Paris, 1956, p. 13.
13. P e a ch M. O., Koeh ler J. S., Phys. Rev., 80, 436 (1950).
14. В 1 i n J., Acta Metallurgica, 3, 199 (1955).
15. Cottrell A. H. Dislocations and Plastic Flow in Crystals, 1 st
ed., Oxford, 1953, p. 38. (Имеется перевод: Коттрелл A.,
Дислокации и пластическое течение в кристаллах, М., 1958.)
16. К о е h 1 е г J. S„ Phys. Rev., 60, 397 (1941).
17. Smythe R. S., Static and Dynamic Electricity, 2nd ed., New
York, 1950, p. 270. (Имеется перевод: С м а й т В., Электроста-
тика и электродинамика, ИЛ, 1954.)
18. De Wit R., Phys. Rev., в печати.
ПО ПОВОДУ МЕТОДА РАСЧЕТА
РАВНОВЕСНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ
ДИСЛОКАЦИЙ, РАЗРАБОТАННОГО
ЭШЕЛБИ, ФРАНКОМ И НАБАРРО
А. Хед и П. То м с он
А. К. Head, Р. F. Thomson, Phil. Mag., 7, № 75, 439 (1962)
При помощи метода Эшелби, Франка и Набарро [1] нелинейные
уравнения равновесия группы дислокаций, способных совершать
одномерное движение в поле напряжений, можно преобразовать
в другую систему, содержащую большее число менее сложных не-
линейных уравнений. В работе [1] рассматривались частные случаи,
для которых преобразованные уравнения являются линейными. По-
казано, что сложность получаемых уравнений определяется видом
поля напряжений. Метод обобщается на случай присутствия дисло-
каций обоих знаков, способных перемещаться в двух измерениях.
§ 1. Введение
При решении задачи о равновесном расположении ряда
подвижных дислокаций, взаимодействующих между собой и
находящихся в поле приложенных напряжений, использова-
лись два различных подхода. С одной стороны, при помощи
цифровых вычислительных машин и соответствующих мето-
дов последовательного приближения для некоторых частных
случаев получены численные решения системы нелинейных
уравнений равновесия (например, [2—4]). С другой стороны,
Эшелби, Франк и Набарро [1] показали, что некоторые за-
дачи этого типа могут быть решены аналитическим методом
Стильтьеса в том смысле, что положения дислокаций опре-
деляются значениями корней полиномов, выражающихся через
полиномы Лежандра, Эрмита и Лагерра. Чтобы найти точное
положение дислокаций, необходимо численно определить
корни полинома. Эта задача относительно проста, а интере-
сующие нас зависимости можно установить на основании
известных свойств полиномов без вычисления их корней.
В настоящей статье рассматривается возможность обоб-
щения метода Эшелби, Франка и Набарро.
По поводу метода Эшелби, Франка и Набарро
231
§ 2. Общий метод
Предположим, что имеется п одинаковых прямолинейных
подвижных дислокаций, параллельных оси z и лежащих
в плоскости скольжения у — 0. Если эти дислокации в при-
ложенном поле напряжений Р(х) находятся в равновесии,
занимая положения Xj.....хп, то уравнения равновесия
имеют вид
п
£ V7=T7 + /’(*/) = °- J=l. 2.......п. (1)
/1
1<М
где Л = р.6/2к для винтовых дислокаций и Д = р7>/2тг(1—v)
для краевых. Мы можем положить Д = 1 в (1), т. е. вы-
брать эту величину в качестве единицы измерения напряже-
ния. Предполагается, что Р(х) включает как внешние при-
ложенные напряжения, так и фиксированные внутренние на-
пряжения, например, вызванные неподвижными дислокациями
и т. п. Для большинства представляющих интерес задач Р(х)
есть рациональная функция х, которую можно записать
в виде
К{х) ’
где
k i
К (-*0=2 а^х1 и L(x) — 2 $ixt’
1 = 0 1 = 0
т. е. К и L представляют собой полиномы соответственно
степени k и I, не имеющие общих множителей. Тогда
уравнения равновесия принимают вид
У---------1-^4- = 0 7=1,2.......п. (2)
jU Xj — Xi 1 K(Xj) J '
Z = 1
i+з
Следуя Эшелби, Франку и Набарро [1], введем полином
п
= = (3)
z=i
= ^ + a„_lx'-i+ ... +а9, (4)
232
А. Хед и П. Томсон
так что дислокации локализованы в точках, соответствую-
щих корням уравнения /(х) = 0. Тогда
1______ 1 Г(х?)
Xj — Xi 2 f (Xj)
и уравнения (2) равносильны системе
/(х7) = 0,
1 f"(xj) Их# _
2 f'ixj)-^ К (х^— и>
7=1, 2,
n,
(5) '
(6)
причем уравнение (6) можно записать как
К (xj) f (xj) + 2£ (Xj) f (xj) = 0. (7)
Рассмотрим дифференциальное уравнение
К (х) f" (х) -|- 2Л (х) f' (х) -ф- М (п, х) / (х) = 0, (8)
fc-
где функция М (п, х) выбирается таким образом, что, во-пер-
вых, решением уравнения (8) является полином n-й степени
f(x) с неравными корнями, и, во-вторых, функция М(п, х)
ограничена при х, равных корням f (х). В этом случае по-
лином f(x) удовлетворяет уравнениям (5) и (7) и его корни
определяют равновесные положения дислокаций.
Теперь можно однозначно определить вид функции 714 (п, х).
Так как K(x)f'(x) есть полином степени k-\-n— 2,
a L (х) f (х) — полином степени 1-\-п — 1, функция 714 (п, х)
должна быть полиномом от х, степень которого есть наи-
большее из чисел k — 2 и I—1. Следовательно, мы можем
записать
М (п, х) = 2 ^[Х1, (9)
1=0
где т — наибольшее из чисел k — 2 и I—1, а коэффи-
циент bt может быть функцией п. Будем называть т „пока-
зателем сложности" поля напряжений.
Таким образом, чтобы определить положения и дислока-
ций в поле напряжения L (х)/К (х), подставляем в уравне-
ние (8) известные полиномы К (х) и L (х) и полиномы с не-
известными коэффициентами /(х) и М(п, х), определяемые
«(^ответственно выражениями (4) и (9). Полученное выраже-
По поводу метода Эшелби, Франка и Набарро 233
ние должно быть тождественно равно нулю для всех х, и,
следовательно, коэффициент при любой степени х равен
нулю. Вследствие того, что наибольшая степень х есть т-^-п,
получаем т-\-п-\- 1 условий, которые определяют т -|- п 1
неизвестных коэффициентов <z0, av .... an_v Ьо, Ьг..Ьт.
Коэффициент при хТ имеет вид
2 [ai С/ + 2) (J + 1) <Zy+2 + 2pf (/ + 1) <Zy+i + bfij} — 0, (10)
где суммирование производится по всем I, J, для которых
г+У = Л Z>0, и где af = 0 при I > k\ ₽z = 0 при
i > l\ ап=\, aj — Q при j > п; bi = Q при I > т.
Для г = т-\-п (т. е. наивысшей степени х) уравне-
ние (10) приводит к соотношениям
— п(п— l)aft,
— 2npz при
— n (п — 1) aft — 2npf
т - k — 2,
tn —I — 1, (11)
. I— l=k— 2.
Однако другие уравнения системы (10) усложнены наличием
нелинейных членов btaj. Мы подробно рассмотрим простей-
шие случаи т~0 и т=1; общий случай исследоваться
не будет.
§ 3. Случай т —0
Если показатель сложности поля напряжений равен нулю,
то k = 2 и (или) I = 1. В этом случае наиболее общий вид
функции Р(х) есть
Р (X) = - 2» + ^ , (12)
“о + а\х + а2х2 ' 7
где а2 и Pj не могут быть одновременно равны нулю. При-
меры 1—3, рассмотренные Эшелби, Франком и Набарро [1],
соответствуют этому классу функций Р(х). В данном случае
М(п, х) = Ь0 непосредственно задается соотношениями (11).
Подставляя найденное из (11) значение Ьо в (10), приходим
к системе совместных линейных уравнений для коэффи-
циентов а?-, которые можно представить рекуррентным соот-
ношением
_ aj+i {/(/+1) “i +2 (/ +1) Ро}+<!7+2 {(/4-1) (7 + 2) а0}
О} ~ а2{л (л-1)-у (/-!)} + 2(л-/)₽, ’ 3)
причем а„+1 = 0 и ап=1. Таким образом, мы вывели фор-
мулу для нахождения Gy.
16 Дж. Эщелби
234
А. Хед и П. Томсон
Представляет интерес перечислить физические условья
при которых поле напряжений имеет вид (12):
а)а2 = а1 = 0, ₽^0, Р(х)=Р-° + Р|-И.
«о
За исключением изменения положения начала координат
и масштаба, этот случай совпадает с примером 2 в работе
Эшелби, Франка и Набарро [1], а функция /(х) при сме-
щении начала отсчета и масштаба приводится к полиному
Эрмита n-й степени.
б) а2 = О,
₽!^0. Р(х)
Ро + Р1Х
Этот случай отвечает постоянному полю напряжения р1/<х1 и
фиксированной дислокации в точке х =— %/«i, вектор
Бюргерса которой равен вектору Бюргерса подвижных ди-
слокаций, умноженному на При —a()PJ=a2
имеем случай 3, рассмотренный Эшелби, Франком и На-
барро, за исключением изменения начала координат и мас-
штаба; /(х) представляет собой первую производную поли-
нома Лагерра (п-|- 1)-й степени (значения п в нашей статье и
в работе [1J различны, так как в это число мы не включаем
фиксированные дислокации). Если величина
положительна, то получаем физически ясный случай: скопле-
ние подвижных дислокаций у закрепленной.
Однако если знак фиксированной дислокации противо-
положен знаку подвижных, то физическая картина уже не
столь ясна. В качестве характерного примера рассмотрим
конфигурацию, отвечающую дислокации, закрепленной
в точке х = 0, с вектором Бюргерса, равным по величине и
противоположным по знаку векторам подвижных дислокаций,
при постоянном единичном приложенном напряжении. В дан-
ном случае
откуда следует, что
п— 1
2
3
4
f(x) = x — 1
jf4 + 2x3
1 ± I
~2~
о, О, О
О, 0. 0, —2
По поводу метода Эшелби, Франка и Набарро 235'
Для п = 1 корень х = 1 действительно отвечает поло-
жению (нестабильного) равновесия подвижной дислокации.
При п> 2 функция /(х) имеет три одинаковых корня х = 0
и, следовательно, не является решением задачи, поскольку
при этом нарушается одно из условий, необходимых для
эквивалентности уравнения (8) и системы (5) и (7). Интер-
пр^тация комплексного значения х при п — 2 будет дана
в § 7, но очевидно, что при п > 2 задача не имеет решения.
в) а2 =/= 0.
Функция Р(х) задается формулой (12), а функция /(х)
путем изменения положения начала координат и масштаба
сводится к полиномам Якоби [5]. Если корни знаменателя
Р(х) — действительные числа, то Р(х) описывает поле на-
пряжений, создаваемое двумя закрепленными в любых точ-
ках оси х дислокациями с векторами Бюргерса произвольной
величины. Пример 1 в работе [1] представляет собой част-
ный случай этого типа поля напряжений. Если же знамена-
тель Р(х) имеет комплексные корни, то возможна другая
интерпретация поля Р(х). Например, если рассматривать
винтовые дислокации, то поле напряжений Р (х) = х/(х2 -|- 1)
может быть обусловлено: 1) единичной дислокацией, закре-
пленной в точке х = 0, у=1; 2) единичной дислокацией
в точке х = 0, у = — 1; 3) двумя закрепленными в точках
(0, 1) и (0, —1) дислокациями, векторы Бюргерса которых
дают в сумме единичный вектор, в остальном оставаясь
произвольными.
§ 4. Случай m — 1
Если т—\, то поле напряжений имеет вид
Р (X) = + (14)
4 ' ao + “lx + a2X2 -f-a3X3 v 7
И
7И(п, х) = b0 -|- ftjX,
где определяется соотношением (11). Систему («+ 1) урав-
нений (10) для нахождения (п-|- 1) неизвестных а0, .... с„_1,
Ьо можно рассматривать как систему из (п—}— 1) ли-
нейных уравнений с п переменными а0............ °n-i> где
Ьо — неизвестный коэффициент. Чтобы эти уравнения были
16*
236
А. Хед и П. Томсон
совместны, коэффициент Ьо должен иметь значение, обра-
щающее в нуль определитель, составленный из коэффициентов
уравнений. В силу указанного условия мы получаем поли-
ном (ге—|—1)-й степени относительно Ьо, каждый из(п-|-1)
корней которого отвечает определенной функции /(х). Таким
образом, в общем случае находим (n-j-1) решений, хотя
в частных задачах некоторые из них могут не быть истин-
ными решениями. Рассмотренный в работе [1] случай 4 соот-
ветствует т—1, когда физически очевидным является на-
личие (zj—|— 1) решения.
В качестве примера возьмем задачу, численно решенную
Хедом [2]. Рассмотрим п подвижных винтовых дислокаций
на оси х, прижатых к закрепленной винтовой дислокации
х — 0, у — 1 приложенными касательными напряжениями —т.
В этом случае
х
x2-f-l т’
и, следовательно, в выражении (14)
а1=аз = °- % = «2 = ₽1=1, = = —т
и на основании (11)
= 2пт.
Для п=1 уравнения (10) имеют вид
Ьоао — 2т = 0,
2та0 -|- Ьо -|- 2 — 0.
Чтобы они имели совместное решение а0, должно выпол-
няться условие
&о + 2&о+4т2==О,'
откуда
= —1 ± У1 — 4т2
и
2т
tin -- ’ г ~ •
U — 1±У4 — 4т2
Следовательно,
2т
х —------------------------, _
1 т/1—4т2
представляют решения, определяющие равновесное положе-
ние единичной подвижной дислокации. Если т 1/2, то
По поводу метода Эшелби, Франка и Набарро
237
.V — действительное число и значение отвечает ста-
бильному положению равновесия, а х < 1 — нестабильному.
Если т > 1/2, то х — комплексное число (см. § 7); в этом
случае подвижная дислокация проходит мимо закрепленной.
Для двух подвижных дислокаций (п = 2) уравнения (10)
имеют вид
— 2tzZj —|— 2 — 0,
4t<z0 —|— (Л>0 —|— 2) аг — 4т = 0,
2тЙ1 + (йо+6) = О.
Исключив а0 и аг, получим уравнение
&о + 8&о-|-(12+ 16т2) 64т2 — 0; (15)
из него вытекают три возможных значения Ьо, каждому из
которых соответствует определенная функция /(х).
Приближенные решения для малых т даны в следующей
таблице, в которой в столбце 1 приведено действительное
решение, отвечающее стабильному расположению двух ди-
слокаций; в столбце 2 дано действительное решение, соот-
ветствующее нестабильному расположению, а в столбце 3
комплексное решение.
1 2 3
Ьа 16 2 з т — 2 +8т2 8 2 -б-з^2
3-/3 Зт 2т+ Z
2т 2 3
з+/з 2 2т — Z
х2 2т 1 3
Приближенные решения для больших т приведены ниже;
все решения комплексные.
1 2 3
1 Ьо 4tZ —2 —— г _4tZ-2 + ± — 4
. , 1 1 . , 1 1 — г + — ± т=- 1 ± i
х2 J т Т у 2 т т/2 2т
238
А. Хед и П. Томсон
Критическая величина т, при которой вместо двух дей-
ствительных и одного комплексного решения мы получаем
три комплексных решения, соответствует положению, при
котором уравнение (15) имеет кратные корни Ьо. Полученное
из этих соображений значение т == 0,323 соответствует чи-
сленно найденной величине напряжения, необходимого, чтобы
протолкнуть ведущую дислокацию мимо закрепленной [2].
§ 5. Случай т > 2
При показателе сложности поля напряжений, равном или
превышающем 2, определение неизвестных коэффициентов bt
и а.] из уравнений (10) усложняется. Систему (10) можно
рассматривать как т-\-п линейных уравнений относи-
тельно «у, исключая которые, можно найти т многочленных
выражений, содержащих только bt. С другой стороны, это
уравнение можно рассматривать как т-\-п линейных урав-
нений относительно bt, из которых получаем п многочленов,
включающих'только cij. Последний подход применим в случае
одной подвижной дислокации в поле напряжений, имеющем
сложность т. Путем однократного исключения задача приво-
дится к полиному степени (m-j- 1) относительно а0, что непо-
средственно дает (m-j- 1) равновесных положений дислокации.
Однако в общем случае систему (10) можно решить только
численно методом последовательных приближений.
§ 6. Число возможных решений
Мы видели, что при т = 0 определяется один полином
/(х), при 1 число полиномов равно (п-|-1)/при п=1
оно равно (т-|- 1). В общем случае число полиномов /(х)
равно C„+m = (n-|-т) !/и I m I [5]. Однако не обязательно все
они являются решениями задачи, поскольку для этого необхо-
димо, чтобы корни /(х) были действительными и некратными.
В качестве примера с максимальным числом решений
рассмотрим случай, когда т -|-1 закрепленных дислокаций
с единичным вектором Бюргерса локализованы на оси х
в точках х = 1!, 72, ..., 7т+1, причем < ?2 < ... < ym+1.
Поле напряжений описывается выражением
По поводу метода Эшелби, Франка и Набарро
239
с показателем сложности, равным ш. Физически очевидно,
что возможные положения равновесия п подвижных дисло-
каций лежат на ш отрезках оси х: ?2), (f2, 73). • •
••• (Tm’ 7т+1)’ а числ0 различных способов, которыми
можно расположить п дислокаций на ш отрезках, есть С„+га.
§ 7. Комплексные решения и обобщенная задача
В некоторых рассмотренных нами примерах корни функ-
ции /(х), определяющие положения равновесия дислокаций,
были комплексными. Можно убедиться, что эти комплекс-
ные Ху действительно удовлетворяют уравнениям равновесия
(2) и, следовательно, являются определенными формальными
решениями задачи. Чтобы дать физическую интерпретацию
комплексных решений, необходимо обратиться к следующей
более общей задаче.
Рассмотрим п единичных винтовых дислокаций, которые
параллельны оси z и могут свободно двигаться в любом
направлении в плоскости (х, у). Необходимо найти равно-
весные положения этих дислокаций, находящихся под дей-
ствием сил взаимного отталкивания и приложенного поля
напряжения ayz(x, у), axz(x, у).
Введем комплексную переменную w — x-j-iy и рассмо-
трим функцию АЦуи— wj), где Wj = Xj -f- iyj. Можно пока-
зать, что действительная часть A/(w — Wj) представляет собой
напряжение ayz, а мнимая— напряжение в точке
и) — х-\-1у, вызванные единичной винтовой дислокацией,
находящейся в точке Wj~ Xj-\-lyj. Поэтому если исполь-
зовать комплексное представление приложенного напряже-
ния1) P(rw) = ayz(x, y) + Zaxz(x, у), то уравнения равнове-
сия п подвижных дислокаций запишутся следующим образом:
п
+ = A==1- 2.....................п- <16)
/=1 1
') Это всегда возможно в отсутствие объемных сил, так как
в этом случае V2ayz = V2axz = 0, что вместе с уравнением упругого
равновесия dayz)dy = — да^/дх эквивалентно условиям Коши -т-
Рцманд,
240
А. Хед и П. Томсон
Теперь уравнения равновесия для обобщенной задачи
имеют такой же вид, как и уравнения (1) в случае одно-
мерной задачи, с той разницей, что вместо действительной
переменной х в них входит комплексная переменная w. Сле-
довательно, двумерную задачу можно решить тем же спо-
собом. Вследствие аналогии между винтовой дислокацией и
линейным электрическим зарядом этот же самый метод
можно применить при решении задачи о равновесной кон-
фигурации п подвижных линейных зарядов в произвольном
электрическом поле. Из теоремы Ирншоу следует, что по-
ложения равновесия в общем случае не могут быть полно-
стью стабильны, а должны быть неустойчивы относительно
перемещений подвижных дислокаций в некотором направле-
нии.
Очевидно, что решение одномерной задачи для' п под-
вижных дислокаций, способных перемещаться вдоль оси х
в поле напряжения Р(х), одновременно является решением
общей задаии о п винтовых дислокациях, которые могут
перемещаться во всех направлениях в плоскости (х, у), нахо-
дясь в поле напряжения P(w), где w = x-|-Zy. Всякое дей-
ствительное решение является физически разумным как
для одномерной, так и для двумерной задачи, тогда как
комплексные решения имеют физический смысл только для
двумерной задачи.
Источникам напряжений P(w) и Р(х) можно дать не-
сколько различную физическую интерпретацию. Например,
в § 4 мы рассмотрели одномерную задачу, в которой поле
создавалось закрепленной винтовой дислокацией в точке
(0, 1) и постоянным напряжением —т. Этому соответствует
поле напряжений
Комплексные решения, которые мы получили бы в этом
случае, являются решениями двумерной задачи при функции
_____т = i_______I- — —_____т
т 2w + i^2w — I
Эта функция описывает поле напряжений двух винтовых
дислокаций, векторы Бюргерса которых вдвое меньше век-
тора Бюргерса подвижных дислокаций и которые расподо-
По поводу метода Эшелби, Франка и Набарро
241
жены в точках (0, 1) и (0, — 1), плюс постоянное напря-
жение —т. Три комплексных решения, полученные для
больших т, соответствуют, во-первых, двум подвижным
дислокациям, заторможенным у закрепленной дислокации
в точке (0, 1); во-вторых, двум подвижным дислокациям,
заторможенным у закрепленной дислокации (0, — 1);
в-третьих, двум подвижным дислокациям, заторможенным
у каждой закрепленной дислокации. Вообще источники полей
напряжений Р(х) и /5(®) будут одинаковыми, если источ-
ники поля Р(х) симметричны относительно оси х, так что
подвижные дислокации могут неограниченно долго нахо-
диться на этой оси (см., например, § 3,6). В другом отно-
шении источники Р(х) и различны: они создают оди-
наковые напряжения при движении дислокаций вдоль оси х,
но для поля P(jw) напряжения, стремящиеся вывести дисло-
кацию из положения на оси х, равны 0.
Предложенная интерпретация комплексных корней при-
менима лишь в случае винтовых дислокаций. Для краевых
дислокаций, которые могут двигаться в любом направлении
в плоскости (х, у), двумерная задача более сложна вслед-
ствие угловой зависимости поля краевой дислокации; в этом
случае комплексным корням нельзя дать простой интерпре-
тации.
§ 8. Другие поля напряжений
До сих пор мы рассматривали поля напряжений, описы-
ваемые рациональными функциями Р(х), т. е. функциями,
которые можно представить как отношение двух полиномов
L (х)/К (х). Поле напряжений, которое задается как предел
рациональной функции при стремлении степени полиномов
к бесконечности, согласно предыдущему анализу, характе-
ризуется показателем сложности т — оо, и, следовательно,
уравнения равновесия в этом случае должны иметь беско-
нечное число решений. Простым примером указанного поло-
жения может служить единичная подвижная дислокация
в поле напряжений Р (х) = sin х, для которого имеется бес-
конечное множество действительных решений x = Zw, где
k — любое целое число; в качестве другого примера можно
рассмотреть дислокацию в поле /J(x) = shx, когда имеется
одно действительное решение х = 0 и бесконечное число
мнимых решений х = Лл/.
242
А. Хед и П. Томсон
Представляет интерес обобщение рассмотренной задачи
на случай, когда Р(х) зависит от положения подвижных
дислокаций. Это может иметь место, если Р(х') содержит
члены, отвечающие силам изображения [3], или если имеются
две группы подвижных дислокаций, на положения которых
налагаются некоторые условия симметрии [2,4]. В качестве
примера рассмотрим следующую конфигурацию дислокаций.
Пусть на оси х закреплены в точке х — 1 положительная
и в точке х — —-1 отрицательная дислокации. Группа из п
подвижных положительных дислокаций, лежащих за точкой
X— 1, притягивается группой из п отрицательных дислока-
ций, расположенных за точкой х — —1, но их слиянию
препятствуют закрепленные дислокации. В силу симметрии
задачи из наличия положительной дислокации в точке х}
вытекает вывод о существовании отрицательной дислокации
в точке —Xj. Поэтому мы можем сказать, что п положи-
тельных дислокаций находятся в поле напряжения двух за-
крепленных « п подвижных отрицательных дислокаций, т. е.
л
Если положения положительных дислокаций определяются
корнями полинома
/(х) = хп-]-Ап_1хп-1 + а„_2х'!-2+ ... 4-с0,
то положения отрицательных дислокаций соответствуют кор-
ням полинома
g(x) = xn —a„_1xn-1-f-a„_2xn-2 — ... ± а0,
вследствие чего
_ 1 , 1 ___g'(*)
X — 1 х + 1 g (X)
и
K(X) = (X2-l)g(x),
Z. (х) = 2g (х) — (х2 — 1) g' (х).
Можно показать, что m = n-]-l. т. е. показатель слож-
ности поля напряжений не является постоянным, а растет
с числом подвижных дислокаций. Кроме того, А"(х) и А(х)
содержат неизвестные а0, .... ап_г, в результате чего урав-
По поводу метода Эшелби, Франка и Набарро
243
нения, соответствующие (10), уже не являются линейными
относительно at, а содержат члены второго порядка вида
а* и aft;.
§ 9. Двумерная задача для дислокаций обоих знаков
Рассмотренный в § 8 метод можно распространить
на решение двумерной задачи об определении положений
равновесия р положительных и q отрицательных винтовых
дислокаций, способных перемещаться в любом направ-
лении в плоскости (х, у) и находящихся в поле напряжений
Р (w) = L (w)IK (то).
Если положения р положительных дислокаций соответ-
ствуют корням полинома
/(то) == wp -f- ... 4- а0,
а положения q отрицательных — корням полинома
g(w)==^4-c9_1w’-14- ... 4-с0,
то эффективное поле напряжений, действующее на положи-
тельные дислокации, описывается функцией P(w) — g'fg,
а действующее на отрицательные — функцией Р (то) 4~ (f If)-
Следовательно, /(то) представляет собой полином, являю-
щийся решением уравнения
Kgf"-\~2{Lg — Kg')f'-\-Mvf = Q, (17)
а полином g(то) служит решением уравнения
Kfg" + ‘2(Lf + Kf')g'-[-M-g = 0. (18)
Отсюда вытекает, что Л1+—это полином относительно w,
имеющий степень т+, причем т+ — наибольшее из чисел
k-\-q—2 и l~\~q—1, а М —полином степени т~, причем
т~ — наибольшее из чисел k-\-p— 2 и 1-\-р—1.
Если в уравнения (17) и (18) вместо f (то), £(то), М+ (то)
и /И (то) подставить произвольные полиномы и затем при-
равнять нулю коэффициенты при различных степенях то, то
получится p-j-q-j-m+-j-m~-l-2 уравнений, которые опре-
деляют р4-^4-/п+4-т-4~2 неизвестных коэффициента
в выражениях для /, g, М+ и М~.
244
А. Хед и П. Томсон
§ 10. Обсуждение результатов
Задача определения равновесных положений п подвиж-
ных дислокаций в заданном поле напряжений математически
сводится к отысканию решения системы из п нелинейных
уравнений равновесия (2). Метод Эшелби, Франка и На-
барро [1] состоит в математическом преобразовании этой
проблемы в задачу, в которой требуется найти решение
системы (n-(-m) нелинейных уравнений (10) с последующим
определением корней полиномов f (х).
Возможность упрощения задачи при помощи указанного
преобразования зависит от ряда обстоятельств. Это преобра-
зование, несомненно, приводило к упрощению в примерах,
рассмотренных Эшелби, Франком и Набарро [1], поскольку
показатель сложности поля напряжений в этих случаях был
равен нулю и уравнения равновесия приводились к системе
линейных уравнений, откуда непосредственно получалось
однозначное ь решение задачи. При показателе сложности
поля, равном единице, задача сводится к отысканию корней
полинома степени (/г—|— 1), что дает (л—{— 1) возможных ре-
шений. В случае полей с большим показателем сложности
уравнения после преобразования подобны исходным: они
представляют собой систему большего числа нелинейных
уравнений менее сложного вида. Выбор той или иной си-
стемы зависит от требований, предъявляемых к решению
(необходимо ли получить все решения, или все действитель-
ные решения, или лишь одно частное решение), а также от
удобства' численного расчета.
ЛИТЕРАТУРА
1. Eshel by J. D., F г a n k F. С., Nabarro F. R. N., Phil. Mag.,
42, 351 (1951). (См. стр. 154 настоящей книги.)
2. Head A. К., Phil. Mag., 4, 295 (1959).
3. Head A. K-, Aust. Journ. Phys., 13, 278 (1960).
4. Chou V. T., Garofalo F., Whitmore R. W., Acta Metallur-
gica, 8, 480 (1960).
5. S z e g о G., Orthogonal Polynomials (Amer. Math. Soc. Colloquium
Publications, 23), 1948.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода....................... 5
Литература...................................... 8
Дж. Эшелби. Континуальная теория дефектов........... 11
I. Введение . ...................................... 11
§ 1. Дефекты решетки и континуальная теория .... 11
§ 2. Основные идеи и обзор рассматриваемых вопросов 12
II. Общая теория.................................... 17
§ 3. Основы теории упругости...................‘17
§ 4. Классификация внутренних напряжений....... 25
§ 5. Энергия упругого взаимодействия........... 33
§ 6. Энергия взаимодействия между напряжением и не-
однородностью ................................. 39
§ 7. Тензор энергии-импульса упругого поля..... 41
III. Применения теории.............................. 49
§ 8. Точечные дефекты.......................... 49
§ 9. Дислокации................................ 71
§ 10. Поверхностные и объемные дефекты......... 95
Литература.....................................100
Дж. Эшелби. Определение поля упругих напряжений, со-
здаваемого эллипсоидальным включением, и задачи,
связанные с этой проблемой......................103
§ 1. Введение..................................103
§ 2. Включение произвольной формы..............107
§ 3. Эллипсоидальное включение.................116
§ 4. Эллипсоидальная неоднородность............123
§ 5. Обсуждение затронутых вопросов............127
Литература.....................................138
246
Содержание
Дж. Эшелби. Упругое поле вне эллипсоидального вклю-
чения ............................................140
§ 1. Введение....................................140
§ 2. Включение произвольной формы................141
§ 3. Эллипсоидальное включение...................143
§ 4. Обсуждение..................................145
Приложение. Метод расчета бнгармонических по-
тенциалов ..................................152
Литература.......................................153
Дж. Эшелби, Ф. Франк и Ф. Набарро. Равновесие линей-
ных рядов дислокаций..............................154
Литература.......................................172
ДОПОЛНЕНИЕ
Р. де Вит. Континуальная теория стационарных дисло-
каций ............................................175
I. Введение...........................................175
§ 1. Общие замечания.............................175
§ 2. Обзор рассматриваемых вопросов..............176
II. Обзор теории упругости............................178
§ 3. Основные уравнения теории упругости.........178
§ 4. Тензорная функция Грина.....................180
III. Первые работы по дислокационной теории...........184
§ 5. Определение дислокации......................184
§ 6. Формула Бюргерса............................188
§ 7. Формула Пича и Келера.......................191
§ 8. Выражение для энергии дислокации............194
§ 9. Уравнения совместности......................195
IV. Теория Кренера....................................197
§ 10. Введение...................................197
§ 11. Обзор магнитостатики.......................199
§ 12. Теория внутренних напряжений Кренера.......200
§ 13. Аналогия между магнитостатикой и теорией Кре-
нера 203
§ 14. Приложения к дислокациям...................205
§ 15. Выражения для энергии......................208
Содержание 24?
§ 16. Заключительные замечания относительно собствен-
ной энергии .................................. 212
V. Выражения для энергии в некоторых простых случаях . . 214
§ 17. Прямые дислокации.........................214
§ 18. Круговые дислокации.......................220
§ 19. Цилиндрическая дислокация.................223
§ 20. Геликоидальная дислокация.................225
Приложение. Выражение для Мза в декартовых и
цилиндрических координатах..................227
Литература......................................229
А. Хед и П. Томсон. По поводу метода расчета равно-
весных положений дислокаций, разработанного
Эшелби, Франком и Набарро......................230
§ 1. Введение..................................230
§ 2. Общий метод...............................231
§ 3. Случай т = 0..............................233
§ 4. Случай м = 1..............................235
§ 5. Случай т > 2..............................238
§ 6. Число возможных решений...................238
§ 7. Комплексные решения и обобщенная задача .... 239
§ 8. Другие поля напряжений....................241
§ 9. Двумерная задача для дислокаций обоих знаков . . 243
§ 10. Обсуждение результатов...................244
Литература.....................................244
Дж. Эшелби
КОНТИНУАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
ДИСЛОКАЦИЙ
Редактор И. Г. Нахимсон
Художник Н. А, Липин
Художественный редактор
Е. И, Подмарькова
Технический редактор Ф. X. Джатиева
Корректор Т. А. Палладина
Сдано в производство 12/XII 1962 г.
Подписано к печати 5/IV 1963 г.
Бумага 84х108*/>а= 3,9 бум. л.
12,7 печ. л., Уч.-изд. л. 11. Изд. № 2/1659
Цена 92 коп. Зак. 913
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Типография № 2 им. Евг. Соколовой
УЦБ и ПП Ленсовнархоза
Ленинград, Измайловский пр., 29