МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕЮ И СРЕДНЕГО СПйЩЖДОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР
ШЮСИЕИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
В.Д. Бондарь
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Часть Ш
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
Новосибирск. 1974

УДК 531.011.
Лекции по теоретической механике,
Бондарь В.Д. ,617,1974,0.1-270
Аналитическая динамика является третьей, заключительной
частью "Лекций по теоретической механике. Две первые части,
содержащие кинематику и динамику точки, системы точек и
твердого тела, были опубликованы в 1970 и 1972 гг.
Лекции предназначаются для студентов прикладного
отделения механико-математического факультета Новосибирского
государственного университета.
©
Новосибирский государственный университет • 1974

ПРЕДИСЛОВИЕ
Аналитическая динамика является третьей,последней,частью курса
лекций по теоретической механике, предназначенных для студентов
отделения прикладной математики и механики математического
факультета Новосибирского государственного университета. Первая
часть курса, изданная в 1970 году, содержит введение в предмет и
кинематику, а вторая часть, опубликованная в 1972 году, посвящена
динамике точки, системы точек и твердого тела.
Такое разбиение материала по теоретической механике связано с
тем, что этот курс читается на факультете в течение трех
семестров на первом и втором годах обучения, и студентам удобно иметь
отдельное пособие по механике для каждого семестра.
В настоящих "Лекциях" теоретическая механика трактуется как
механика простейших моделей материальных тел. При рассмотрении
основополагающих положений теоретической механики обсуждается вопрос
об их применимости в механике сплошных сред.
Другая особенность изложения состоит- в том, что при
рассмотрении различных вопросов курса, наряду с выяснением механического
смысла явлений, должное внимание уделяется формулировке и
выяснению разрешимости тех математических задач, к которым они сводятся.
От традиционных курсов аналитической динамики "Лекции"
отличает также оригинальный вывод ряда уравнений и доказательство
некоторых теорем.
В аналитической динамике рассматривается движение произвольных
механических систем, подчиненных связям общего вида. В ней
развиваются мощные методы, позволяющие выделить из сложной задачи
нахождения движения несвободной системы и реакций связей более
простую задачу определения одного только движения. Для этого
выводятся удобные дифференциальные уравнения движения и излагаются мето-
3

ды их интегрирования. Интересно при этом отметить» что для
весьма широкого класса механических систем оказывается возможным
обойтись без использования понятия силы и оперировать только
энергетическими категориями»
Другой широкий круг вопросов аналитической динамики связан с
рассмотрением основ механики. Здесь показывается, что построение
классической механики на базе законов Ньютона не является
единственна возможным способом. В основу механики можно положить один
из нескольких вариационных прияпдшов. Механическую теорию можно
построить также» отправляясь от интегральных инвариантов.
В этом разделе механики рассматриваются также весьма важные
вопросы об оптимальном движении» об устойчивости равновесия и
движения механических систем» теория малых колебаний системы около
положения устойчивого равновесия» теория канонических
преобразований я др.
В.Д. Бондарь

Г л а в а I
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕСВОБОДНЫХ СИСТЕМ
Основная задача, которую требуется решить для несвободной
механической системы, состоит в определении как движения самой системы,
так и в нахождении реакций действующих на нее связей, В настоящей
главе будет получена полная система уравнений, позволяющая
находить все эти величины. Основу ее составляют лагранжевы
дифференциальные уравнения движения с неопределенными множителями.
§1. Механические системы и связи, их классификация
В общем случае на движение механической системы может быть
наложен ряд ограничений - связей. Ниже дана классификация этих
связей, а затем на ее основе - и классификация самих систем.
I. Связи и их классификация. Будем
рассматривать движение механической системы, состоящей из N материальных
точек относительно некоторой инерциальной системы координат Ох^2х3.
Положение точки М^(^ = 1,...Ю относительно этой системы
определяется радиусом-вектором г^йй^или координатами x^x^xj В общем
случае несвободной системы на положения и на скорости точек наложены
некоторые ограничения геометрического или кинематического
характера, называемые связями. Связь выражается аналитически в виде
некоторого уравнения, связывающего между собою радиусы-векторы гу и
скорости уу-гуточек системы, а также время t;
/(*. ?,...., ?„,, ъ,..., v„)-o. AЛ)
Поскольку вектор определяется в системе отсчета своими
компонентами , функцию / можно считать зависящей от 6Vf / { скалярных
аргументов t«*?xJ!4<**A2,3f v=/,,.., N ). Относительно/ предполагается,
5

что она является достаточно гладкой функцией.
В зависимости от того, от каких аргументов зависит функция J ,
различают несколько видов связей.
Если уравнение связи не содержит скоростей точек, т.е. имеет
вид
J(t.*I....,7jr)*0, A.2)
то связь называют геометрической, или конечной (в смысле
недифференциальной). Каждая конечная связь вида A.2) влечет за собою как
следствие дифференциальную связь, уравнение которой получается
почленным дифференцированием по времени равенства A.2):
Но такая дифференциальная связь может быть проинтегрирована, она
эквивалентна конечной связиу^г,,...,^)-^. Это дает повод называть
геометрические связи интегрируемыми связями. Из выражений A.2)
и A.3) видно", что геометрическая связь ограничивает как
положения точек системы, так и их скорости.
Если уравнение связи содержит скорости, т.е. имеет вид (I.I),
то связь называют кинематической или дифференциальной. При этом
предполагается, что уравнение связи нельзя проинтегрировать, т.е.
его нельзя свести к виду A.2); это обстоятельство позволяет
называть кинематическую связь неинтегрируемой связью.
При наличии только кинематической связи система в любой момент
времени может занимать в пространстве произвольное положение,
однако в этом положении скорости ее точек уже не могут быть
произвольными. Другими словами, кинематическая связь ограничивает
скорости точек и не ограничивает координаты.
В дальнейшем изложении ограничимся рассмотрением наиболее
важного класса кинематических связей - связей,линейных относительно
скоростей. Уравнение такой связи имеет вид
?ev'Vv+2>-0, A.4)
где векторы ?v и скаляр D являются функциями переменных t, г„... z#.
Рассмотрим далее классификацию связей, основанную на виде
зависимости их уравнений* от времени.
Геометрическая связь A.2) или A.3) называется стационарной,
если время явно не входит в уравнение связи. В этом случае Щ-=°>
а градиенты --— не зависят явно от времени, уравнение связи A.3)
6

при этом будет однородным относительно скоростей.
По аналогии с этим кинематическую связь A.4) называют
стационарной, если она однородна, т.е. 2 = о , а векторы ?у явно не
зависят от времени.
Если требование стационарности не выполняется, связь называют
нестационарной. Уравнение A.2) нестационарной геометрической
связи явно содержит время, соответственно уравнение A.3) этой связи
будет неоднородным. Аналогично уравнение нестационарной
кинематической связи имеет вид A.4), т.е. в нем Э?о , a ?v могут явно
содержать время.
Наряду со связями, аналитически выражающимися равенствами вида
(I.I), которые называют еще удерживающими, в механике
рассматривают также так называемые неудерживающие связи, аналитически
записываемые в виде неравенств, например:
f(i4zx,...,z*f vt,...,v„)bO. (Ie5)
Если в условии A.5) имеет место знак равенства, то говорят, что
связь напряжена, если знак неравенства - связь ослаблена.
Движение механической системы с неудерживающей связью можно
разбить на отдельные интервалы таким образом, чтобы на одних из них
связь была напряжена - тогда движение будет происходить как при
удерживающих связях, а на других связь ослаблена - движение
происходит как при отсутствии связи. Таким образом, неудерживающая
связь на отдельных интервалах либо заменяется удерживающей,
либо вовсе отбрасывается. По этим причинам в дальнейшем будут
рассматриваться только удерживающие связи.
2. Примеры связей. Рассмотрим простейшие примеры
связей разных типов.
а) Материальная точка М может двигаться только по поверхности,
заданной' уравнением
/(ё)-о или JCxIfa:2,x3) = o. (i.6)
Это геометрическая стационарная связь. Если поверхность сама
может перемещаться как целое или деформироваться, то ее уравнение
будет явно содержать время
J(ttZ)~0 ИЛИ J(tfX?,X3,j:B) = 0 . A.7)
В этом случае связь будет геометрической нестационарной.
б) Две материальные точки Mj и Wig соединены стержнем
постоянной длины б . Уравнение этой связи имеет вид
7

(lz-z<f-(>z-o или (xl-xiACaZ-Xtfrxf-x&eio. A.6)
Это геометрическая стационарная связь. В случае, когда стержень
может изменять свою длину по заданному закону 6(t) , уравнение
связи примет вид
(z2'Zjf-e*-o или (xf-x№(x?-xi)i(xf-xZ)*-e*(t)-o9(i.s)
и связь будет геометрической нестационарной*
в) Точка М движется по плоскости хххгтаким образом, что в
любом положении ее скорость направлена на точку N , которая
перемещается вдоль оси абсцисс заданным образомх?=\и)(преследование).
Это условие означает коллинеарность векторов V и MJV , т.е. v«
жк(г#~гм) ,где к- некоторый скалярный множитель. Записав это
равенство в компонентном виде и исключив коэффициент
пропорциональности, прийдем к следующему уравнению связи:
х?х, + [4(€)-хх]х?=о или е-у^о, (i.io)
где^а^, ijt'id)~x?. За исключением тривиального случая ?(i)=const,
оно неинтегрируемо и, следовательноtвыражает нестационарную
кинематическую связь.
г) Две точки Mj и М2, соединенные нерастяжимым стержнем, могут
двигаться в плоскости х/х?толъко так, чтобы скорость середины
стержня была направлена вдоль стержня (движение конька на
плоскости). Легко видеть, что поскольку направление стержня совпадает с
направлением вектора г? - г> , а скорость середины стержня равна
(zt*~s?) /2, сформулированное требование можно выразить в виде
коллинеарности этих векторов, т.е. ^*^2=^^/), где к-
коэффициент пропорциональности. Записав это равенство в проекциях на оси
и исключив коэффициент пропорциональности, будем иметь
(i>i/ )(x^x:p-(x^xp(xf-^)-o или ?? ¦ v С* • v? - о, (I.и)
где
«/«*/-*;, tif-cxl-xl), egi-x*-xi, ***—(**t-*l).
Полученное соотношение определяет стационарную кинематическую связь.
3. Классификация механических с и с -
т е м. Механические системы со связями называют несвободными
системами, в отличие от свободных систем, в которых такого рода ог-
8

раничения на движение отсутствуют. Несвободные системы в
зависимости от характера связей, в свою очередь, подразделяются на голо-
номные и неголономные системы или на склерономные и реономные
системы.
Система называется голономной, если на нее не наложены
кинематические связи. Таким образом, голономной является всякая
свободная система, а также всякая несвободная система с геометрическими
связями. Система с кинематическими связями называется неголоном-
ной, При этом у неголономной системы могут быть и геометрические
связи.
Систему называют склерономной, если на нее действуют только
стационарные связи. Эти последние могут быть как
геометрическими, так и кинематическими. При наличии у системы нестационарных
связей ее называют реономной, У реономной системы, наряду с
нестационарными связями, возможно присутствие и стационарных связей.
§2. Уравнения движения несвободных систем
Установим уравнения, описывающие движение произвольной
несвободной механической системы.
I. Ограничения на скорости и
ускорения. Будем рассматривать движение системы N точекvV\v( V -/,...,//),
на которую наложено q геометрических и k кинематических связей:
Относительно связей предполагается, -что ?р?ж Эр являются однажды,
а ^- дважды непрерывно дифференцируемыми функциями своих
аргументов. Кроме того, принимаем, что общее число связей меньше
числа координат точек системы, т.е.
рЬО"- B,2)
Смысл этого ограничения будет выяснен в дальнейшем.
Связи B.1) подчиняют скорости точек следующим условиям:
которые можно представить в следующем виде:
9

гда v«/,...j ЛГ, *« /,*,з #
Относительна onset предположим, чта уравнения системы B.4)
ообей» Эта равносильна требованию, чтобы ранг
итрацн у 9 ооотавленной нз коэффициентов щш
скоростях в уравнениях B,4). бнх равен с* к:
I ъ** *& 2й
1 дл* дх} »х* ' '¦
j ax} bx\ да?3
1 /* /* tk •
1 **t c« *«
dA df* dfi 1
' dxf dxg dxf
dxf bxf dag\
• - & &t <M
Jwiq+k*
Zanojim*
B.5)
В атон случае существует етлхчннй от нуля епределжтель I поряд-
на а 4 к • ебра*еваяш(й ив элементов матрицы J :
1*0. B.6)
Следовательно, систему B.4) ложно раврешнть относительно о* к
"зависимых" страстей, коэффициенты при которых составляют ецреде-
I.
злг-р№
п скорое-
Теперь ясно, что <ашсл ограничения B.2) состоит в тем, чтобы
связи не определяли вое скорости единственным образом, а
допускали бы для них невестинй проживал.
Обращаясь снова к равенствам B.3), продифференцируем их по
времени, в результате чего придем к условиям
^ч*;а** ф-^-**+-аГш° (г'—,к), B#7)
где5ущй- ускорение точки Mv , ограничивающим ускорения точек.
Как видим, чиоло уравнений н матрица коэффициентов при ускорениях
в сиотеме B.7) совпадают соответственно с числом уравнений н
матрицей коэффициентов при скоростях в системе B.3). Уравнения B.7)
также позволяют выразить "зависимые" ускорения числом у+к через
остальные "независимые" ускорения.
2. Уравнения движения системы.
Уравнения движения Свободной системы, получаемой из рассматриваемой не
10

свободной система освобождением ее от связей* имеют вид
/nviTv=Fv (v-*,...,N), B.8)
где через mV9 5У и Д, обезначенн соответственно масса,
ускорение V-J? точки и действующая на нее сила. Такие уравнения в общем
случае несовместны с уравнениями B.7). Эте означает, что
ускорения, определенные из уравнений B.8) не формулами- Л/Ц* не
удовлетворяют, вообще говоря, уравнениям B.7). Следовательно,
уравнения движения свободной системы непригодны для описания
движения системы со связями.
Выход из создавшейся ситуации находят в там, что для
несвободных систем уравнения движения берут в следующем виде, обобщающем
уравнения движения свободной системы B.8):
flh,a**h + A* ГУ»/.... 9N). B.9)
Векторы J?y называют реакциями связей. Они представляют собой те
дополнительные силы, с которыми осуществляющие связи
материальные тела действуют на точки системы.
Эти реакции определяются из тех соображений, чтобы уравнение
B.9) уже были бы совместны с уравнениями B.7), т.е. из
уравнений, следующих из B.7) после подстановки в них ускорений по
формулам 5V - (А * &*)//Пу :
37 Н еопределенность зад а'ч и для
произвольных связей. Основная задача динамики
несвободной системы состоит в том, чтобы по заданным массам точек, актива
нам силам и совместным со связями начальным условиям определить
движение системы и реакции связей.
Как и в случае движения несвободной точки, изученном ранее,
одни уравнения связей не определяют реакции полностью. Это
следует из тоге обстоятельства, что система B.10) не доопределена:
она содержит а+к уравнений для ZN величин «#? , причемQ+kcSN.
Поэтому, если относительно характера действуют? связей, кроме
определяющих уравнений B.1), дополнительно ничего не известно, то
оформулнрованная задача является неопределенной: из системы зм*я+к
уравнений B.1) и B.9)
*»,±V-?v'j? (V-/,...,*; *-*.*,*), BЛ1)
II

требуется определить большое число 6 N величин х#, &#.
Чтобы задача о движении несвободной системы стала определенной,
надо либо добавить недостающее число независимых соотношений
между искомыми величинами, либо соответственно сократить число
искомых величии. Дополнительные соотношения могут представлять собою
экспериментально установленные законы для реакций* Уменьшение
числа искомых величин можно достичь путем рассмотрения связей со
специальными свойствами*
В дальнейшем ограничимся рассмотрением весьма важного класса
идеальных связей, для которого окажется возможным выразить все
реакции через меньшее число неизвестных величин - так называемых
множителей связей. Тем самым будет получена замкнутая система
уравнений для описания движения несвободной системы. Понятие
идеальности связи можно ввести, основываясь на понятии виртуального
перемещения механической системы,
§3. Возможные и виртуальные перемещения
I. Возможные перемещения. Рассмотрим в
некоторый момент времени совместное со связями положение
механической системы. В силу наличия связей элементарные перемещения
точек системы dtv (**/,...,#)* этом положении уже не будут
произвольными величинами, а должны удовлетворять некоторым условиям.
Совокупность элементарных перемещений dz9(v-i, .^называют
возможным перемещением механической системы для некоторого момента
времени и некоторого ее возможного в этот момент положения, если
эти перемещения допускаются связями.
Геометрические и кинематические связи, наложенные на
механическую систему, ограничивают скорости ее точек. Эти ограничения
выражаются условиями B.3). «Умножив каждое из них на dt и учтя
кинематические формулы v^di-d^, можем придать этим условиям вид
Для фиксированных момента времени и положения системы
коэффициенты при величинах df? , dt будут также фиксированы, поэтому C.1
можно рассматривать как искомые ограничения на перемещения. Таким
образом, возможное перемещение системы есть совокупность величин
12

</?v(v=/,...,AlJ» удовлетворяющих уравнениям (ЗЛ).
Так как возможное перемещение системы
dzv(>>=ft...^определяется компонентами-дифференциалами координат dx? числом ЗАГ , то
эта система уравнений недоопределена и, следовательно, для
каждого возможного положения механической системы в момент t
существует бесчисленное множество возможных перемещений. При
действительном элементарном перемещении механической системы в момент ±
реализуется одно из ее возможных перемещений,
6 частном случае склерономной системы уравнения для возможных
перемещений (ЗЛ) упрощаются и принимают следующий однородный
относительно перемещений вид:
Z-fa'dzys0 (*''>••• >р> Zfyvdf*=° (/*-'—.*). C.2)
2. Виртуальные перемещения. Виртуальным
перемещением механической системы 5гуО/*/,..,^}для некоторого
момента времени и некоторого ее возможного в этот момент положения
называют разность двух возможных перемещений системы для этого
момента и этого положения, т.е. Su^dfz)f~dzi (V*/,..., N) .
Таким образом, виртуальное перемещение системы в некотором ее
положении есть некоторая специальная совокупность элементарных
перемещений точек. Возможные перемещения системы,как dz^i^-?,... $Л),
так nd'zy(V**jr...,jv)f удовлетворяют уравнениям (ЗЛ), т.е. вместе
с (ЗЛ) взрны также соотношения
Поскольку возможные перемещения взяты для одного и того же
момента времени и положения системы, то в ^,3.1) и C.3)
коэффициенты при dzy , d'zv и свободные члены будут одинаковы.
Почленным вычитанием C.3) и (ЗЛ) теперь находим, что
виртуальное перемещение системы при любых связях определяется
следующей однородной системой уравнений:
Ц,%;Ь1ч = 0(+=1,...,р, Zfy?'Siv = 0( /»=/,... J). C.4)
Итак, всякая совокупность векторов Siv, удовлетворяющая уравнениям
C.4), представляет собою виртуальное перемещение системы.
Подобно возможным перемещениям виртуальные перемещения
системой C.4) полностью не определяются, i.e. в каждом положении ме-
13

ханжческей системы, отвечающем некоторому моменту времени,
существует бесчисленное множество виртуальных перемещений.
Легко видеть, что для стационарных связей уравнения C,2)
совпадают с уравнениями C.4). Следовательно, при стационарных связях
виртуальные перемещения совпадают с возможными перемещениями.
При нестационарных связях уравнения C.1) и C.4) для возможных
и виртуальных перемещений отличаются друг от друга. Это отличие
заключено в членах-^^zf,^^.Однако ц в этом случае можно
добиться совпадения соответствующих уравнений с помощью
искусственного приема "замораживания" нестационарной связи, понимая под
•тим придание этой связи стационарного характера. Для
геометрической связи "замораживание" сводится к фиксированию времени в ее
уравнении, так что при дифференцировании уравнения связи член
UA/b.dhv» появится; а для кинематической связи - к отбрасыванию
члена tydtж фиксированию времени в векторах ^у • Вышеизложенное
дозволяет говорить, что виртуальное перемещение совпадает с
возможными перемещениями при замороженных связях.
3.Примеры возможных и виртуальных
перемещений. Рассмотрим вид возможных и виртуальных
перемещений в простейших случаях.
Рис. I Рис. 2
а) Пусть точка М движется по неподвижной поверхности$(г)=о
(рис. I). В этом случае уравнение для возможных перемещений имеет
вид ^4 dz*0 . Это соотношение выражает условие ортогональности
перемещения и нормали к поверхности, следовательно, возможным
перемещением точки в положении М будет веяное элементарное
перемещение tff,tf'? и т.д., касающиеся поверхности в этой точке.
Виртуальное перемещение точки dud'i-dz, определяемое как
разметь двух касательных векторов, также будет вектором,
касающимся поверхности в той же точке. Таким образом, всякий элементарный
вектор, построенный из точки М в касательной плоскости поверхнос-
14

ти, модна рассматривать как возможное и как виртуальное
перемещение. В этом случае связь стационарна, и виртуальные перемещения
совпадают с возможными перемещениями.
б) Рассмотрим теперь случай, когда точка М движется по
поверхности $r(i,z)*o, которая сама перемещается относительно системы
отсчета (рис. 2). Из уравнения ддя возможного перемещенияf=*^*|jf^eо
видно, что в этом случае возможное перемещение dt не
ортогонально нормали, следовательно, с поверхностью оно образует острый или
тупой угол.
Представим dt в виде суммы двух векторов 4г»4?«?;Г,и8 которых
первый ортогонален, а второй коляинеарен к v/ . из уравнения ддя
4г при этом следует, что ортогональный вектор может быть
произвольным, а коллинеарный вектор имеет проекцию на нормаль, равную D?ъ\г-
^-dtf/tvfl. Аналогично,_для другого возможного перемещения d'z бу-
дем иметьd'i=d/z + <?'г » причем (d'2 *-)^~dtf/ivf\.
Теперь ясно, что виртуальное перемещение ж момент t и
положении М, определяемое выражением Sz^d'z-dz^d/z- d,5, представляет
собою вектор, касающийся поверхности.
Таким образом, в данном случае связь нестационарна, и
виртуальное перемещение не совпадает ни с одним из возможных перемещений.
Вектор 8 г. будет возможным перемещением для "замороженной"
поверхности,
ё
М
Рис. 3 Ьг
в) Пусть точка М подвержена действию одной стационарной
кинематической связи. Тогда ее возможные перемещения определяются
уравнением ?dz = o . Отсюда ясно, что возможными будут любые эле-
ментраные перемещения^, d'z и т.д., ортогональные вектору I .
Ясно также, что виртуальное перемещение tt^d'z-d^ будучи разностью
двух ортогональных к в. векторов, само будет ортогонально к &
(рис. 3 ), Следовательно, в этом случае возможные и виртуальные
перемещения совпадают друг с другом.
г) Пусть, далее, на точку М действует нестационарная
кинематическая связь. Тогда возможные перемещения точки будут
удовлетворять уравнению ?dz*-2JtsO . Следовательно, в этом случае возмож-
15

ное перемещение не ортогонально вектору t .
Разложим dl на составляющие d, S ъ d?I 9 направленные
соответственно ортогонально и параллельно вектору I : dz=c(?^z9 из
уравнения видно, что первая из них может быть произвольной, а
проекция второй вдоль вектора / -равна ^^«-хы^е.Точно так же
для другого возможного перемещения d'z будем иметьdS^dJz+dJz,
причем (tf}f-f>M/e. Составив разность двух возможных перемещений и
учитывая условие^2)e*(d±z)l% устанавливаем, что виртуальное
перемещение для данного момента времени и положении М будет равно 5г=
=d'l-dz~d;Z-dxl?% т.е. оно будет ортогонально вектору I (Рис. 4.).
Итак, в рассматриваемом случае кинематическая связь
нестационарна и виртуальное перемещение не совпадает ни с одним из возможных
перемещений. Вектор Ъг будет совпадать с возможным перемещением
дия "замороженной" кинематической связи, для чего следует положить
д* о и фиксировать время в числе аргументов вектора ? .
3. Число степеней свободы системы.
Вектор виртуального перемещения SSV точки М в декартовых
координатах характеризуется тремя компонентами Ьхх, Ъх%, ^которые
называются также вариациями координат. Очевидно, что у системы,
состоящей из At точек,имеется ьсего зм вариаций координат. Эти
последние, однако, не являются независимыми величинами: в силу условий
C.4), накладываемых связями на виртуальные перемещения, они
связаны а + к соотношениями
S?i 8x* -О Г*-*....,р, ??$,&?-<> ('/*'*.-> к). C.5).
Ранее было выяснено, что существует отличный от нуля
определитель I порядка о f к , образованный из коэффициентов этих
уравнений* Поэтому данную систему можно разрешить относительно ач- к
вариаций, соответствующих "зависимым" скоростям, выразив их через
остальные независимые вариации.
Таким образом, у механической системы будет всего ц*ьн-а-к
независимых вариаций. Число п независимых вариаций координат
называют числом степеней свободы механической системы.
?4. Идеальные связи
I. Определение идеальных связей.
Выше была дана классификация связей, основанная на кинематических
признаках, которые отражали особенности строения уравнений связи.
16

Связи можно подразделять также и по динамическим признакам,
выражающим некоторые свойства движения,
С этой целью введем в рассмотрение так называемую виртуальную
работу реакций ?A=ZR^Si*,.B зависимости от значений этой величины
связи делятся на идеальные и неидеальные.
Связи, наложенные на механическую систему, называют идеаль-
нами, если сумма работ их реакций на любом виртуальном
перемещении системы всегда равна нулю, т.е.
S?y'Szy = 0 , D.1)
и неидеальными, если эта работа отлична от нуля
Эта динамическая классификация независима от предыдущих
кинематических классификаций связей, т.е. идеальная связь, например,
может Чыть в то же время как геометрической или кинематической,
так и стационарной или нестационарной связью.
Класс идеальных связей играет в механике особенно важную роль,
ибо в этом случае для системы легко построить полную систему
уравнений движения.
2. Примеры идеальных связей. Рассмотрим
некоторые простые примеры связей и выясним, что собою выражает
требование их идеальности,
а) Пусть движение точки подчинено идеальной связи,
представляющей собою некоторую, вообще подвижную, поверхность/f*, ?) = о.
Ранее было выяснено, что в этом случае виртуальное перемещение
есть любое элементарное перемещение, касающееся поверхности в
данной точке. Из определения идеальности связи 2-Si^o вытекает, что
ее реакция будет ортогональна виртуальному перемещению, т.е. она
должна быть нормальна к поверхности: ?-Лv/. В общем случае реакция
поверхности имеет- нормальную и тангенциальную составляющие. Чтобы
реакция поверхности была нормальна к ней, поверхность должна быть
гладкой. Таким образом, идельность, в частности, обобщает понятие
гладкости.
Не следует, однако, думать, что класс идеальных геометрических
связей исчерпывается связями без трения, такими,как гладкие
поверхности и линии; он существенно шире, включая в себя ряд других
связей. В качестве иллюстраций этих последних рассмотрим следую-
17

щий пример.
б) Пусть идеальной является стационарная геометрическая связь,
выражающая собою постоянство расстояния между точками Mj и Mg. В
данном случае виртуальные перемещения совпадают с возможными
перемещениями. Рассматривая систему как
некоторую модель твердого тела, будем иметь
bli^dzv^dic + wdtxfv (V = /,2j, _
где С - средняя точка отрезка Mj М^, LJ -
угловая скорость тела, bf?*f>&-
относительные радиусы-векторы точек. Из условия
идеальности связи, представленного в форме
\-8г^^8г2 ~(?,+??>dZc ^-ood-t-if^ +f?*$?)s О,
Рис. 5
ввиду произвольности величин dte , cbdt% вытекает, что должны
равняться нулю как главный вектор, так и главный момент реакций
Отсюда видно, что Л?=-?? к (^^;^Д8^>следовательно,^=-^^^~ff)
где А - некоторый скалярный множитель. Таким образом, требование
идеальности связи в данном случае сводится к требованию равенства
модулей и противоположности направления реакций и их
коллинеарности отрезку, соединяющему точки.
Легко видеть 4 что такого рода связь может быть реализована в
виде нерастяжимого невесомого стержня MjMg. Действительно, такой
стержень находится под действием сил-Ди-5^, противоположных
реакциям. Пусть /77, ас, си и 1С - масса,ускорение центра масс, угловая
скорость и центральный тензор инерции стержня. Тогда из уравнения
движения стержня
в силу условий/77*0, 1С = о приходим к равенствам D.3), которые, как
уже выяснили, обеспечивают реакциям требуемые свойства.
Из рассмотренного примера следует, что идеальными
геометрическими связями будет обладать всякая неизменяемая механическая
система - система материальных точек, соединенных невесомыми нерас-
тдашыми стержнями, а также важный частный случай последней -
абсолютно твердое тело.
в) Рассмотрим теперь идеальную нестационарную кинематическую
18

связь (I.IO), выражающую условие погони:
Сопоставление ограничения, налагаемого связью на виртуальное
перемещение Ъ'6г=о , и условия идеальности связи SSl=^0
позволяет заключить, что должно бить ?=>JL/Z , т.е. реакция идеальной
кинематической связи должна быть коллинеарна вектору с .
В общем случае реакция кинематической связи будет иметь кол-
линеарную и ортогональную к 2 составляющие. Эту связь назовем
"гладкой", если ортогональная к ? реакция отсутствует. Теперь
легко видеть, что идеальность кинематической связи обобщает
понятие "гладкости" этой связи.
В целом ряде случаев связи неидеальны. Это будет, например,
всякий раз, когда геометрические связи обладают трением или
упругостью, а кинематические связи - "негладкостью". Однако и в этих
случаях связи можно трактовать идеальными, если относить все
отклонения от идеальности (силы трения, силы упругости и пр.) к
разряду неизвестных активных сил. При этом, разумеется, к системе
уравнений движения следует добавить соответствующее число новых
соотношений, выражающих экспериментальные законы: трения (закон
Кулона), упругости (закон 1ука) и пр. Применяя этот прием, можно
добиться того, что понятие идеальности связи становится практически
универсальным.
3. Выражение реакций через
неопределенные множители. Для класса идеальных связей
оказывается возможным выразить все реакции связей ?# общим числом ЗМ
через меньшее число o+k величин, называемых неопределенными
множителями.
Чтобы установить этот результат, будем исходить из
ограничений, налагаемых связями на виртуальное перемещение системы C.4):
IL^Sz^O (*~d,...,f), Еёру'Лг^О (/*=*,...,I) D.4)
и условия идеальности связей D.1): ИД»* Sli-o.
В системе D.4) каждое из уравнений первой группы умножим
почленно на множитель X* , а каждое из уравнений второй группы - на
множитель и. и результаты вычтем из условия D.1), в итоге придем
к следующему соотношению:
19

%<*-$**&-$,№№'*• D-5)
Ему можно придать другую форму, если выразить входящие сюда
скалярные произведения векторов через их компоненты:
В D.6) присутствует dN вариаций координат, из которых
только п штук независимы, а остальные числом а* к - зависимы.
Подберем теперь множители .Л* и и* ,число которых равно с * k ,
таким образом, чтобы в D.6) обратились в нуль коэффициенты при
зависимых вариациях. Это можно сделать и притом единственным образом,
ибо дело сводится к определению множителей из линейной системы
алгебраических уравнений, определитель которой, как легко видеть, сов
падает с отличным от нуля определителем I.
После этого в равенстве D.6) останутся только члены с
независимыми вариациями. Но тогда должны равняться нулю и
коэффициенты при этих независимых вариациях. Таким образом, путем
надлежащего подбора множителей Л^и/ь можно обратить в нуль*все
скалярные коэффициенты при вариациях в равенстве D.6) и,
следовательно, все векторные коэффициенты в равенстве D.5). Из этих
последних условий устанавливаем, что должно быть
Z^Z^TT/f^r (*">->#>' D.7)
Формулы D.7) определяют общий вид реакций идеальных связей.
Поскольку векторы—^и4у задаются известными уравнениями связей,
эти формулы выражают зм реакций j^JJ. через q+ к множителей Л* и
Up , называемых множителями связей или множителями Лагранжа.
Из выражения D.7) видно, что прлная реакция идеальных связей,
j>v, действующая на материальную точку Му , представляет собой
векторную сумму реакций всех геометрических и всех
кинематических связей. При этом реакция геометрической связи jK - о
дается членом X^^fj » т»е« она пропорциональна градиенту -|^ t а
реакция кинематической связи ?yyvy-,?L-0 выражается вектором рЛ* у >
который пропорционален вектору с в» •
Таким обраэом, для идеальных связей определение реакций связей
сводится к определению лагранжевых множителей.
20

§5, Уравнения движения несвободной системы
в декартовых координатах
Получим полную систему уравнений, позволяющую решать основ-
ную задачу механики для несвободной системы - задачу определения
движения системы и реакций связей. Затем выясним условия, при
которых эта система имеет единственное решение, и в заключение
обсудим достоинства и недостатки этой модели.
I. Уравнения Лагранжа первого рода.
Рассмотрим движение несвободной механической системы N
материальных точек при наличии а - геометрических и к -киавыаических
идеальных связей. Подстановка в уравнения движения несвободной
системы B.9)
mJSv-F^&y, fV=/_ 7N) E.i)
значений реакций идеальных связей по формулам D.7)
^S^SfPfr* (*-'.->Л) E.2)
приводит к уравнениям движения
E.3)
называемым уравнениями Лагранжа первого рода.
2. Модель "несвободная система с иде
альными связями". Для несвободной механической
системы с идеальными связями оказывается возможным построить полную
систему уравнений для нахождения и движения,и реакций.
В самом деле, представив уравнения Лагранжа первого рода E.3)
в проекциях на оси декартовой системы координат и присоединив к
ним уравнения связей, получим следующую систему уравнений:
Ъ$&**Го f/>-4...,k). E'4)
Система E.4) замкнута: она содержит зм+ч+к уравнений и служит
для нахождения такого же числа искомых величин: ЗА координат то-
21

чек j;* и а + к множителей связи Л^и и* • Эта замкнутая система
уравнение определяет математическую модель "несвободная система с
идеальными связями*9»
Для решения основной задачи в рамках этой модели к уравнениям
E.4) следует присоединить совместные са связями начальные
условия для функций XJ 9 которые входят в уравнения дифференциальным
образом:
По найденным множителям связей реакции связей вычисляются
согласно формулам E.2).
3. Условия разрешимости основной
задачи. В уравнения E.4) искомые функции - множители
связей и координаты точек - входят различным образом: если
относительно множителей система E.4) является алгебраической, то по
отношению к координатам она будет дифференциальной. Методы решения
алгебраических и дифференциальных уравнений существенно
отличаются, друг от друга. Целесообразно поэтому получить дифференциальные
уравнения для одних только координат.
Перейдем к нумерации величия с помощью одного индекса,
обозначив массы /#у , силы р/, координаты х? и множители связей Л<*, /^
соответственно через Ме, Фе, fa , h€ , так что
Тогда в сиотеме E.4) уравнения движения и уравнения связей,
представленные в виде ограничений на скорости, можно записать в
следующем виде:
>Иг?>^*?>*я *?, (*-A...,**:;, E,6)
?<?«{, +Jf = 0 (/>-/,..., yk)9 E.7)
Здесь J - матрица B.5), а Л- вектор - столбец свободных
членов. Используя введенные обозначения, а также полагая */и/дРе=? е
*fu/d*mJ*tft» вектор Jj> , матрицу J и ее отличный от нуля опре- '
делитель I можем представить так:
22

\h.i
\ki---i
\Щ
|J*H
A** I
|Jn*"Ji$*
\*o
E.8)
Указанное выражение определителя I не ограничива<
;ет общности
рассуждений, поскольку к нему всегда можно прийти с помощью
соответствующей нумерации координат.
Лагранжевы уравнения E.6) можно рассматривать как линейную
алгебраическую систему уравнений относительно множителей связей. Эта
система переопределена, так как содержит 3N уравнений для
меньшего числа а+к величин. Условия совместности этой системы и будут
служить уравнениями для нахождения движения. Для получения этих
условий определим множители связей из первых а+к уравнений системы
E.6)
Поскольку I* о , эти множители можно представить в виде
ht*g/Aa>\u>Ja>E+€&Et Фе-2Фа>1*>? U?*,...,pic), E.9)
гДв//с^Л,- матрица, обратная квадратной матрице /1JW6 /?. Искомые
условия совместности теперь получаются после подстановки
множителей E.9) в остальные л =ДЛ/-у-^г уравнений системы E.6) и имеют вид
/»*?г -Ф+ЯМ'аоЪшАюъ (*=pk + ff ...,3N) ,
где
*i*4>SS,<*?Ttt
E.10)
E.И)
Покажем теперь, что уравнения E.10) и E.7) вместе с
начальными условиями E.5) единственным образом определяют движение.
Приведем вначале эти уравнения к нормальному виду. Условие 1*о
позволяет определить из E.7) первые а *к скоростей и ускорений через
остальные "независимые" скорости и ускорения в виде
4е"
-НА
S
*sis+A*>
At-Zra?Jf
(?,f-/,.. ,рк) , E.12)

Исключая с помощью этих соотношений из E.10) "зависимые"
скорости и ускорения, приходим к следующим уравнениям:
$Шъ*г***Лт&> <*,S*f*l<+',~.,M)' EЛ4)
где не содержащие ускорений члены имеют вид
Справедлива следующая
ЛЕММА I. Определитель алгебраической системы уравнений E.14)
отличен от нуля
A'def(MtSiS*Bza)*o . E.I6)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть А*о , тогда однородная система уравне-
имеет ненулевое решение Ъ*ы, Лзаг Умножим уравнения последней
сиотемы соответственно наЬио.-»; ?*** сложим результаты. Тогда
после очевидных преобразований, произведенных с учетом E.15),
будем иметь
Отсюда следует, что должно быть^т0'"'»^"*0» а это
противоречит сущертвованию ненулевого решения системы E.17). Лемма
доказана. На основании леммы I система E.14) имеет единственное
решение
Уравнения E.12) и E.18) представимы ь виде следуицей нормальной
системы &п+й+к уравнений:
Ъ? m-?Aes<*,t)is*As(*>V (?•'..-. >j*k) . E.19)
24

Имеет место следующая
ТЕОРЕМА 47. Если активные силы и связи удовлетворяют
следующим условиям гладкости: V^cf ?%6,Рр?С?,^<<?f то существует
единственное решение задачи Коши E.19), E.5).
Действительно, в силу условий гладкости, сформулированных в
теореме, правые части нормальной системы E.19), как нетрудно видеть,
будут непрерывно дифференцируемыми функциями, что по теореме 4
первой части курса обеспечивает существование и единственность решения
задачи Коши E.19), E.5). Теорема доказана.
1о найденному движению реакции связей определяются в каждый
момент времени по формулам
5. Особенности уравнений движения
в декартовых координатах. Уравнение
движения несвободной системы в декартовых координатах E.4) состоят из
уравнений Лагранжа первого рода и уравнений связи. Они позволяют
определять как движение механической системы, так и реакции связей,
т.е. полностью решать основную задачу несвободной системы. В этом
качестве и состоит ценность этих уравнений.
Однако фактическое интегрирование этой системы обычно весьма
затруднено из-за большого числа уравнений. Количество лагранже-
вых уравнений зависит от числа материальных точек в механической
системе и быстро возрастает с ростом этого числа.
В силу всех этих причин уравнения Лагранжа первого рода драк-
тически мало применяются. Ими обычно пользуются для нахождения
движения небольшого числа точек или для нахождения реакций связей
по известному движению, а само движение определяют из других
более удобных уравнений. Такими уравнениями будут уравнения
Лагранжа второго рода для голономных систем и уравнения Аппеля для
систем негблономных. Все они будут установлены в дальнейшем.
§ 6. Движение несвободной системы двух точек
по горизонтальной плоскости
В качестве примера, иллюстрирующего применение уравнений
Лагранжа первого рода, рассмотрим движение системы двух точек по
горизонтальной плоскости при наличии геометрических и кинематических
связей.
25

1, Постановка задачи ж исходные
уравнения* Пусть механическая система состоит из двух весомых
материальных точек Mj и Mg с одинаковой массой/w/*^=/fсоединенных
стержнем неизменной длины ? с пренебрежимо малой массой» Система
может двигаться только в горизонтальней гладкой плоскости и
только так, что скорость середины стержня направлена вдоль стержня.
Требуется определить движение точек и реакции связей*
Возьмем горизонтальную плоскость движения аа плоскость х?Хл% а
ось Х5 направим вертикально вверх. Обозначая через xf,x?,x?ijcff x%,xj
координаты точек Mj и А^» можем представить уравнения Лагранжа
первого рода ж уравнения связей в виде
у данной системы три геометрических (а = 3) и одна
кинематическая (К « I) стационарные связи. Таким образом, она является
неголономной склерономной системой с двумя степенями свободы
В подробной записи уравнения F.1) имеют вид
/г'^-^Л-*/-^ /з-?&*№)№-*&*е*1-°, F.2)
F.3)
xf=h(*r*Z)-HD-x&?^ о*у*Аж .F.4)
Уравнения F.2) - F.4) образуют полную систему уравнений для
нахождения движения точек и множителей связей.
2. Уравнения движения и их
интегрирование. Уравнения движения следуют из системы (б.2)-F.4)
после исключения из нее множителей связей. Для этого определим
8тв множители с учетом условий F.J?) как из уравнений F.3), так
и из уравнений F.4). В результате будем иметь
26

F.5)
К-р v-тг [xK*$-*h**i<4-*l>iH" -&№«-*!,>•%<&*}%.
v^?#'fc^^ F*6)
Приравняв между собою соответствующие выражения для А5 и и в
формулах F.5) и F.6),получаем не содержащие множителей
уравнения совместности
(xf-x')(xf'xl) + (x*-^)(x*+??)=(),
(х!-х?)(х}-х<')-(х*-х})(?*-х*) = о, F.7)
которые совместно с уравнениями связей F.2) и служат для
определения движения. Для упрощения последующих выкладок введем
сокращенные обозначения
a=x*-xj, у=х?-х*, P=x?+xf,y=x?+X2, ^.$)
тогда уравнения F.2) и F.7) можно сгруппировать следующим
образом:
иг+ч*=е*, vi/-uv = o , F.9)
u<f~vp*o f up + vj^o . F.Ю)
Первые из них служат для нахождения ц, V , а вторые - для
определения р и а . Легко видеть, что в F.9) первому уравнению
можно удовлетворить, положив
X2rX^U-tC€S4>, Х%~а:\=\1 = е SinV} F.II)
где <f есть некоторая функция времени. Чтобы было выполнено и
второе уравнение F.9), функция <Р должна определяться из урав-
нейия ч> *о , т.е. быть линейной функцией времени
4> = C?t *С2 , F.12)
27

где Cf и <% - произвольные постоянные .
Обращаясь, далее, к уравнениям F.10), видим, что согласно
первому из них уместно положить i
рая функция времени. Из второго уравнения
что J -о , т.е. эта функция должна быть постоянной: j=?Cs
Таким образом, о и а являются известными функциями
лм vo.iu;, видим, что согласно
/5=-?. VA^v где J есть некото-
» уравнения F.10) тогда находим,
p=2C5Cos<f , a = 2CdSir>4> . F.13)
Интегрированием зависимостей F.8) теперь находим
X**X1f-Jpdt = ^//х/* *2J*Si*V+*<b ,
где Ср и ?,- произвольные постоянные. Из равенств F.II) и F.14)
•кончательно получаем формулы, определяющие движение системы в
горизонтальной плоскости:
Примем, что движение системы происходит из следующего
начального -состояния. При-?^0,
VT *ю-°> ^йо"** ^зо'0'
Xf0 =Q + e€os*tX.*o=e+lSLndLtJLl0=G,
Х*ю =- VCe$dL+ Y3indL>^*o=~ *&л*~ jfu&LjXb
X%^VCos^^SinU.ti^0^ySindi^CoB^, д?,-<
Легко видеть (рис.б), что о и I
Рис. б п представляют собою координаты первой
течки, в?- угол, образуемый стержнем с первой осью, а V и ар-
скорости середины стержня и угловую скорость стержня в начальный
мемент времени.
Нетрудно проверить, что таким образом заданные начальные
координаты и скорости согласуются с уравнениями связей F.2), а также с
28

теми ограничениями; которые они накладывают на скорости.
Вычисляя по F.15) скорости движения
и подставляя в F.15) и F.17) начальные условия F.16), получим
систему уравнений для определения постоянных интегрирования
Вычитанием первого и третьего, а также второго и четвертого
уравнений получаем зависимости, определяющие cz :
IcoScL = eCosCi , ?Sz/roL - е$?*СЛ ; Сл=еС. F.19)
Умножив, далее, пятое уравнение на 50fU.% шестое уравнение - на
Cos at и вычитая результаты, находим ct :
&EшЛс*&A) = ^(Si»ic + a,sb); О,, с* . F.20)
Аналогично, умножение пятого уравнения на ?>.?«?, а шестого
уравнения - на SmUvl сложение результатов позволяет определить С5 :
-yCfisi ^^;^j№A J^^; c5=-v. (.6.21)
Наконец, первые два уравнения дают выражения для с« и Csb
виде
C^Q+^SincL+j-Cos*, GsH~b>s±+^Sin± . F#22)
Таким обрязом, движение системы двух точек в горизонтальной
плоскости происходит согласно уравнениям
^s-^Sin(^i^)i-^s(uHf^^5^cL*ju>scC4a, F.23)
*а * Z5 Coste* ы>f Г $*"(«* +<*) ~ h&$ы- + T SinoL f ^ •
3. Определение реакций связей. По
известному движению F.23) формулы F.5) и F.6) определяют множители
29

связей в виде
к-]* h--p **--?> Н—*т- F-24)
Таким образом, в рассматриваемом движении множители связей
оказываются постоянными величинами.
Компоненты самих реакций 2Х и &?9 как это следует из уравнений
движения F.3) и F.4), определяются выражениями
F.25)
и в данном случае имеют значения
4. Исследование движения. Установим вид
траекторий точек., С этой целью исключим время из уравнений
движения F.15). Разрешив вначале эти уравнения относительно
тригонометрических функций угла^^&ф, получаем соотношения
F.27)
F.28)
т<*}-*>%<*?*)-&фи,**,%D**L<&ь>-(?ф&* .
Возводя затем почленно в квадрат каждое из равенств F.27) и
складывая результаты и производя аналогичные операции с равенствами
F.28), находим уравнения траекторий точек в виде
где Сц и а5определяются формулами F.22).
Таким образом, обе точки движутся по одной и той же окружности
LM pawca(|tj?)^c центром в точке Ptf?,,*y(|»c.7).
Расположение и размеры этой окружности зависят как от величины
расстояния между точками, так и от параметров, определяющих их
30

начальное состояние.
1
м,
с
x^/4i
в. /
^Vuj/
Рис.7
Рис.8
Заметим, что середина С стержня движется согласно уравнениям
что траекторией
устанавливаем,
Исключив отсюда параметр V
точки С будет окружать La :
концентрическая окружность ^м и имеющая радиус v/us.
Угол</=л>/*оС, как это следует из F.II), является углом,
образуемым стержнем с осью абсцисс; он совпадает также с углом меаду
радиусом PC и осью ординат (рис.7).
Движение системы происходит следующим образом; радиус PC
равномерно вращается вокруг центра р , при этом точки Mj и №?
равномерно движутся по окружностиyLM так, что стержень MjMg касается
своей серединой окружности ла . В этом движении расстояние между
точками сохраняется неизменный, а скорость точки С всякий раз
направлена вдоль стержня Mj!№> (рис.7).
Рассмотрим реакции. Обращаясь к формулам F.25) и F.26), видим,
что реакции, обусловленные плоскостью движения! вертикальны и
совпадают с весом точек. Что касается реакций стержня и
кинематической связи, то оси лежат в плоскости движения, причем реакции
стержня равны по величинеСа>*/& и направлены по стержню, а реакции
кинематической связи, равные по модулю Vco , ортогональны стержню
(рис.8).
Отмеченные особенности реакций удобнее усмотреть из их выражений
в сопутствующих осях* Действительно, введем подвижную систему
координат^, ^ ?3 , оси 4/ ^которой лежат в плоскости движения и
идут одна вдоль стержня, а вторая перпендикулярно к нему, а третья
ось $з параллельна третьей неподвижной оси (рис.8). В
соответствующих осях реакции имеют значения
31

е*'
л / 4 4 Pf/l HI 4 4 *4 f
Таким образом, по отношению к стержню Mt /^реакции каждой
связи сохраняют свою величину и ориентацию. Равнодействующие реакции
в каждой из точек имеют равные модули, определяемые выражением
p,«^ = /#'^V
§ 7. Равновесие произвольной несвободной системы
в декартовых координатах
Простейшим видом движения системы является ее равновесие. В этсд
параграфе будут получены уравнения равновесия несвободной системы
и исследована корректность задачи о равновесии.
I. Уравнения равновесия. Пусть несвободная
механическая система М материальных точек, подчиненная а
-геометрическим и к -кинематическим связям, находится в равновесии. Тогда
координаты точек системы сохраняют постоянное значение во все
время движения и, следовательно, будут тождественно равны нулю
скорости и ускорение точек:
д?*лю**, я?=?*=0 (*-/,...,#, ar=it*.3). G.1)
Уравнения движения несвободной системы E.4)
G.2)
при равновесии существенно упрощаются. Действительно, левые части
уравнений Лагранжа первого рода обращаются в нуль. Активные силы
при равновесии не содержат скоростей и, следовательно, могут
зависеть только от времени и от координат.
Из уравнений кинематических связей при этом следует, что у них
должны отсутствовать свободные члены, ибо в противном случае было
бы невозможно одновременное обращение в нуль всех скоростей. Таким
образом, при равновесии кинематические связи удовлетворяются
тождественно.
32

Представив уравнения геометрических связей в виде ограничений
^З&.+Л.Зй*»/)/.,»/ л», видим, что при равновесии
должна скорости ? Щ;& щ*0 (cL=Jr..p, i
но быть ?f^o a=/,.,^)» т»е. геоме1
-v w.-*,...,^» геометрические связи не должны явно
содержать времени.
Итак, при равновесии система G.2) преобразуется к
алгебраической системе уравнений
&S*+% + ?l,te!r'0 U-l,».»i*-i.*.i), G.3)
Основная задача о равновесии несвободной система состоит в
определении по заданным активным силам положений равновесия и реакций
связей. Для решения этой задачи имеем5Н*я уравнений, содержащих
большее чяслозл/+у* к неизвестных: ЗА/ декартовых координат и
а+ к множителей связи. Задача о равновесии системы с
идеальными связями является, таким образом, неопределенной. Она
становится определенной при отсутствии кинематических связей. В этом
последнем случае, наряду с jDp = o , равны нулю также величины ?^.-0,
Система G.3) при этом становится замкнутой
F**?A*%k-o fv-/,...,*; <*-i.t.d),
« G,4)
и называется уравнениями равновесия несвободной системы.
2. Определение реакций и положений
равновесия. Перейдем к нумерации координат точек и
компонентов сил с помощью одного индекса, как и ранее положив
Тогда уравнения равновесия G.4) в новых обозначениях будут вида
Фе+ЕЬ.Ле-0 (г=А:.зл;,?(^...,?3„)*с ^-/,...^лG-5)
где через и обозначена прямоугольная матрица, составленная из
частных производных от левых частей уравнений связей по коордана-
Независимость уравнений геометрических связей означает, что ранг
матрицы U равен я . Следовательно, имеется отличный от нуля
определитель G порядка q , составленный из ее элементов. С помощью
соответствующей нумерации координат можно добиться того, чтобы G
33

имел вид
Lr=
фО
G.6)
Уравнения равновесия по отношению к множителям связей образуют
переопределенную алгебраическую систему. Условия совместности этой
системы вместе с уравнениями связей и будут определять положения
равновесия.
В силу условия G,6) первые а уравнений равновесия G.5)
Фа+ЕХ^и^^о(U,p:jo)№mo разрешить относительно множителей связей и
определить последние в виде следующих функций времени и координат:
V-f*>% iM".->f),
G.7)
где через J|Ur>I| обозначена матрица, обратная матрице //Ityll .
Подстановка этих множителей в остальные* уравнения <fe * ? Л yV*s- О
приводит к искомым уравнениям совместности; присоединив & ним
уравнения связей, получаем следующую замкнутую систему уравнений душ
нахождения самих положений равновесия:
fsfy>->^%Z*fiVsi^0 (S-f<i,...,M>. G-8)
Если силы и связи' таковы, что
G.8) можно*'разрешить
ФО
то уравнения G.8) можно"разрешить относительно координат; это
решение и определяет положение равновесия системы. После этого
формулы G.7) определят множители связей в положении равновесия;
сами же реакции определяются выражениями
Э/,
fv-/,..., иг;.
G.9)
у У"* Ъг*
Рассмотрим пример.
3. Равновесие двух несвободных точек
в эллиптической чаше. Пусть две тяжелые точки
/ i 4 PUS.
Mi&lfXjzfXjftMfCXjrXxtXj) единичной массы, соединенные невесомым
стержнем постоянной длины ? , покоятся в гладкой чаше, поверхность
которой является эллипсоидом вращения вокруг вертикальной оси.
34

Стержень с материальными точками на концах покоится под
действием трех сил: равнодействующей весов точек, направленной
вертикально, и реакцией поверхности в его концах, каждая из которых
располагается в меридиальчой плоскости, проходящей через этот
конец. Эти три силы, как известно, должны располагаться в одной
плоскости. Легко видеть, что это будет только в случае, когда
стержень будет расположен б плоскости меридиана эллипсоида -
плоскости эллипса*
Если взять эту плоскость за плоскость х^,х^ и поместить
начало обсчета в нижней вершине эллипса, получим уравнение эллипса в
виде ^ к
Of ~2 = l>
где Oi и q5- полуоси эллипса (рис.9).
Таким образом, уравнения связей имеют вид
Уравнения равновесия точек
3/<
ъ-к
Ъ+Ъ^^И a^v
Ъх1
Эж2
^ V = /, i?; &-/,3)
в развернутом виде с учетом
уравнений GЛ0) записываются следующим
образом:
Семь уравнений G.10)-G.12) служат для определения семи
величин: трех множителей связей и четырех координат точек.
Определив множители связей из G.II) и из G.12), будем иметь
^о\{ХГХл)
Г\
2 i
^4^WV*4*>^
35

О О 2. -1 \ 2 9 G.14)
Приравняв между собою соответствующие выражения для Л^в
формулах G.13) и G,14), получаем не содержащее реакций уравнение
совместности
которое в совокупности с уравнениями связей G.10) и определяет
координаты точек в положении равновесия.
Для удобства дальнейших вычислений введем вместо ординат точек
эксцентрические аномалии Et и Ez по формулам (рис.9)
Тогда абсциссы точек, определяемые из первых двух уравнений G.10]
будут равны
Jl]=QtSinEn JL^QtSinE* .
G.17)
Последнее же из уравнений G.10) совместно с уравнением G.15)
будет служить для нахождения самих аномалий
Q*(SinEg-SinEt)l+af(C6sEA-(bsE?f- tZ?
tofCCosEji-CtsEj^QfrSfrEi-SifiEtXCiyEsCifEJ, G#I8)
Если ввести в рассмотрение полусумму и полуразность аномалий
ES>E? a_ Е? - Е<
dL*
Р" J ' G.19)
то соотношения G.18) после ряда очевидных преобразований можно
представить в форме
G.20)
? 2
где € является эксцентриситетом эллипса.
36

Пусть эллипсоид вращения - вытянутый ( а5>о„о<В** * ). Из
условия Sin и* о заключаем, что сС~о яляос^Ч . Положение
равновесия cc~Q невозможно, ибо ас существенно положительная
величина. Возможно положение равновесия си*±Ц %Вг*-Е^2%Хв& видно из
рис.9, это соответствует горизонтальному положению м{м'? стержня;
угол уЗ при этом определяется условием 4c$?f[(<-?)=?*. Отсюда ясно»
что задача имеет решение црт&Е±2а?/Г*?, т.е. стержень должен быть
меньше горизонтальной оси эллипса.
Второе положение равновесия, обозначенное на рис.9 черве MtM& ,
имеет место при Co$% = e?G?si?. Легко видеть, что углы cL и в
определяются при этом условиями
Стержень при этом проходит через фокус эллипса. Для
доказательства этого утверждения обозначим текущую точку прямой М/ И^череэ
M(xifx3)in. запишем условие коллинеарности векторов МО (с -
середина стержня MjA\} и М?МЛУ тогда получим уравнение прямой MgMp ВИ-
2x,-C*f + xl) Х$-Х'х *
Отсюда, учитывая значения выражений
х% *х}=a? (SinEt /¦ Sin Et) = Zq? Sin oC Cosf ,
«z/ + x13 -?*з-Gi(CosEz *u>s?f)=2o3(*-Ct>soLCosp),
Xt -x,t « o?(SinE2 -SinE?)^2Qi CoscLCos?,
xi - «*з = - °з (G>* Ел - &'Ex) =2°з &"* $ihP
и имея в виду, что для точки Р пересечения стержня с осью ординат
jCj - О t получим для ординаты х5 этой точки следующее выражение :
xf-x'3 х?+х\ х*-х<5 , Соз^ .
X/ -Xjr
Поскольку в рассматриваемом случае &5?*Л2^эта ордината равна
хз~°з(*~еЛ Но тогда расстояние точки Е до центра эллипса будет
равнооИР^-д^о,* , а это и есть фокусное расстояние.
Следовательно, точка F действительно является фокусом эллипоа.
Если эллипсоид вращения сплюсуют io3<Qx,€<o)9 то ^-Л&>0,и
горизонтальное положение равновесия (d-lt)- единственно возможное*
По установленным значениям параметров ы. и р эксцентрические
37

аномалии будут также известны и равны
Координаты точек в положениях равновесия даются теперь выражениями
G.16) и G.17).
Что касается реакций связей, то онк в общем случае определяются
через множители связей зависимостями R^-JA^;-^. В данном случае эти
зависимости имеют вид f
В этих выражениях первые слагаемые соответствуют реакциям чаиш, а
вторые - реакциям стержня.
Из уравнений равновесия G.II) и G.12) следует, что полные
реакции соответственно равныД^&*=о,&ъ=?*=юр.ъ. вес катдой точки
уравновешивается суммарной реакцией этой точки.
38

Глава II
ДВИЖЕНИЕ ГОЛОНОМНУХ СИСТЕМ
Сыше было выяснено, что одновременное определение и движения
несвободной механической системы и реакций связей приводит к
весьма сложней математической задаче. Существуют, однако, методы,
позволяющие расчленить эту общую задачу на две более простые: 8адачу
определения одного толькс движения и задачу нахождения реакций
связей но уже найденному движению.
3 настоящей главе будет изложена реализация этой идеи для
простейшего класса несвободных систем - голономных систем. Здесь же
будут указаны различные формы уравнений движения и рассмотрены
методы их решения.
§ 8. Обобщенные координаты, скорости и ускорения
Уравнения движения голеномной системы, не содержащие реакций
связей, удается построить на основе введения обобщенных координат.
I. Обобщенные координаты и уравнение
движения. Будем рассматривать движение голономной системы
N материальных точек относительно системы отсчета Ху, Х?. Х« ПРИ>
наличии а {п < 5А/ ) геометрических связей
&г*,*;,...,*1)=о с***,...,р. {8Л)
функцииj-^(tjX) предполагаются достаточно гладкими и независимыми,
так что функциональная матрица V , составленная из частных
производных от этих функций по координатам, имеет ранг, равный а :
39

17»
ЭУ, W д?
дх\ дх\ Ъх\
bfs tf$ dh
дх\ Ъх\ дз?6
Ml M Mi
<W dxf Эх/
9 zona Vs
(8.2)
. M Ml Mi
' дх"? дх% дх"
В силу наличия геометрических связей координаты точек системы
связаны соотношениями (8.1), поэтому среди них будут независимыми
только/7=3/V- q штук. Это число независимых координат голономной
системы совпадает с числом ее степеней свободы.
Уравнения связей в силу (8.2) позволяют выразить зависимые коор
динаты через п независимых координат и время,так что независимые
координаты определяют положение механической системы в каждый
момент времени. Очевидно, что подстановка этих выражений в уравнения
связей обращает последние в тождества по времени и по независимым
координатам.
Однако положение системы не обязательно определять независимыми
декартовыми координатами. Для этой цели можно использовать п
других независимых параметров Qt,-<-1 Яп % в каждый момент связанных
взаимно однозначно с независимыми декартовыми координатами.
Тогда функциями этих параметров и времени будут и зависимые
декартовы координаты, т.е. все 5л/ координат
д?saЛfrV^7J''••' 9") (VW,...,A7 с*/.*,*;. (8.3)
Равенства (8.3) эквивалентны равенствам
(8.4)
Скалярные функции (8.3), а, следовательно, и векторные функции
(8.4) предполагаются достаточно гладкими.
Итак, в каждый момент времени п независимых величин ati^y4n
определяют декартовы координаты всех точек и тем самым определяют
положение системы. Поэтому эти величины называют обобщенными
координатами системы.
Обобщенные координаты могут быть величинами различной природы:
длинами, углами, площадями и т.д. Выбирать эти координаты можно
различными способами. Важно при этом выборе соблюдать основное
требование: обобщенные координаты должны находиться во взаимно
однозначном соответствии с независимыми декартовыми координатами.
Поскольку уравнения связей обращались в тождества по независи-
40

мым декартовым координатам и времени, а последние связаны
взаимно-однозначно с обобщенными координатами, то уравнения связей
будут также тождествами по обобщенным координатам и времени.
Другими словами, подстановка функций (8,3) в уравнения (8Л) приводит,
к следующим тождествам:
Следствием этих тождеств будут важные для дальнейшего равенства
?±-0 f<*«/,.. .94i cr*/,..,,/>; . (8#5)
дуг *
В частном случае склерономной гелономной системы время не входит
явно в уравнения связей (8.1). В этом случае можно так ввеоти
обобщенные координаты, чтобы их связи с независимыми декартовыми
координатами также не содержали времени. Но тогда время не войдет
явно ни в зависимости (8.3), ни в (8.4), т.е. последние будут иметь
вид
*Z--*&(f**"-'J*)f b**v(fif.»f faXM,.-.*";*'**,*). (8.6)
Более простые формулы (8.6) позволяют в дальнейшем для скяа*-
рояомных систем существенно упростить многие выражения.
При движении механической системы изменяются со временем
декартовы координаты ее точек'как независимые, так и зависимые. В силу
связи между независимыми декартовыми и обобщенными координатами
последние также будут функциями времени
%=%(*> (<гш?,....,п) . (8.7)
Эти зависимости называют уравнениями движения механической
системы в обобщенных координатах.
Функции ac(t)считаем дважды непрерывно дифференцируемыми. Это
условие обеспечивается соответствующей гладкостью функций,
связывающих обобщенные и декартовы координаты. Механический смысл
требования выяснится в дальнейшем.
Рассмотрим пример. Пусть голояомной системой является одна
материальная точка, обязанная двигаться по поверхности неподвижной
сферы радиуса В . Помещая начало отсчета декартовой системы ДГ/^,ДГ5
в центр сферы, получим уравнение связи в виде
Точка, таким образом, является склерономной оистемой с двумя ото-
41

пенями свободы. Положение точки можно определять двумя
независимыми Декартовыми координатами, например Х1 и ха . Тогда третья
"зависимая" координата определится связью в виде х5 = VR4*-!'*-**
(для нижней полусферы перед корнем следует взять знак минус),
Подстановка х3 по этой формуле в уравнении связи обращает его в
-тождество по cci и х$:
x?+x*+J2*-xf-Xt-J2*= О.
Положение точки на сфере можно также определить с помощью
обобщенных координат, В качестве последних можно взять, например,
широту v7 и долготу у . Тогда легко видеть, что независимее коор&
наты, а вслед за ними и зависимая координата выразятся через ^ я
у по формулам
Xt*QCosycosy , x?=?eos(/jz*(f', х3^jPSinV .
Поскольку система склерономна, эти формулы явно не содержат
времени. Внеся эти зависимости в уравнение сферы, приходим к тождесл
ву относительно широты и долготы
Для рассматриваемой точки уравнения движения в обобщенных
координатах имеет вид
2, Координатное пространство уь
измерений. Изображающая точка. Наряду с
трехмерным физическим пространством Е5 , в котором происходит
движение системы материальных точек Mf,... ,М , будем рассматривать
некоторое вспомогательное и -мерное "координатное" пространство
?п , в котором положение точки определяется обобщенными коорди
натами у19... ,уп-
С помощью функций (8.3) устанавливается соответствие между во*
можными положениями механической системы в физическом пространст!
ве и точками некоторой области п -мерного координатного простра
ства.
Каждому положению механической системы в момент t соответств
ет точка Р(^/»->^) в пространстве Еп , изображающая это положен!
системы и называемая изображающей точкой. Движение системы в обо
щенных координатах (8.7) можно рассматривать также как уравнения
42

движения точки Р в пространстве i> .
Таким образом, движение механической системы с л степенями
свободы в трехмерном физическом пространстве можно описывать
жением изображающей точке в п -мерном координатном
пространстве.
•3. Обобщенные скорости и ускорен*.
Первые и вторые производные по времени от обобщенных координат,
обозначаемые через
v-^-v-tSF <*-<¦¦¦*>.
(8.«)
называются соответственно обобщенными скоростями и обобщенными
ускорениями. Требования гладкости, наложенные ранее на функции 0^40;
обеспечивают, следовательно, существование и непрерывность >тих
производных.
Между обычными и обобщенными скоростями и обычными и
обобщенными ускорениями существуют определенные связи. Действительно»
дифференцируя по времени зависимости "гу= гv(t,q), получим связь
между скоростями
Следовательно, скорости являются линейными функциями обобщенных
скоростей. Точно так же дифференцирование по времени соотношения
(8.9) приводит к связи между ускорениями
т.е. ускорения точек также являются линейными функциями
обобщенных ускорений.
При стационарных связях-g?V«0 (Vе/,...,N) ; зависимости (8.9) и
(8.10) при этом упрощаются и принимают вид
Таким образом, в этом случае скорости суть линейные однородные
функции обобщенных скоростей, а ускорения - линейные функции
обобщенных ускорений и квадратичные функции обобщенных скоростей.
4. Кинематические леммы. Зависимости между
обычными и обобщенными скоростями позволяют установить ряд
соотношений между ними, которые называют кинематическими леммами.
43

ЛЕММА 2. Производная по времени от скорости точки по
обобщенной скорости равна производной от соответствующего
радиуса-вектора по соответствующей обобщенной координате
ЯГ- I?1 fV«/f...,-Y;(T-/,...,";. (8.I2)
Лемма следует из соотношения (8.9) после дифференцирования обеих
его частей по обобщенной скорости а^.
ЛЕША 3. Операции дифференцирования радиуса-вектора точки по
времени и обобщенной координате коммутативны, т.е.
di by? dfo c*t
Составим выражения
Из равенства правых частей этих соотношений следует равенство их
левых частей, т.е. равенство (8.13); лемма доказана.
§ 9. Уравнения Латранжа второго рода
В настоящем параграфе установим удобные уравнения, не
содержащие реакций связи и служащие для определения движения голономных
систем, я исследуем свойства этих урадоний.
I. Вывод уравнений. Рассмотрим движение голономно]
системы М материальных точек, подчиненное а геометрическим
связям. Для получения уравнений движения этой системы будем исходить
из лагранжевых уравнений первого рода E.4), которые в данном слу«
чае имеют вид
*4SM*?A*!n ^-'^ «•«
&и,г*9~' *«)-о (*«*,...,$). (9.2)
Покажем, что переход к обобщенным координатам позволяет
исключить из этих уравнений реакции и тем самым получить уравнения для
нахождения одного только движения.
Действительно, переход от декартовых координат к обобщенным
44

координатам приводит к тождественному выполнению уравнений
связей (9.2) и тем самым уменьшает число уравнений исследуемо!
системы. Для преобразования к обобщенным координатам уравнений (9.1)
умножим каждое из них скалярий на вектор -||^ и просуммируем
полученные результаты по всем точкам системы; в результате будем
иметь
Полученное соотношение уже не содержит реакций. В самом дело,
используя ранее установленный результат (8.5)|^=0^-/,...,с)яахо-
дам, что содержаще реакции члены обращаются.в'иуль
ИХ Я#^=?Аы|?=0. (9.4)
Преобразуем теперь оставшееся выражение.
Первую сумму правой части (9.3) обозначают следующим обрааом:
S*v!?-«r (9.5)
и называют обобщенной силой. Что касается левой частя равенства
(9.3), то, используя выражение кинетической энергии системы ZT-
-Цт* vv и применяя кинематические леммы (8,12) и (8,13), ее
можно преобразовать к удобному виду
_ dvv dzv а гу - Згу уг /« и . <* . 3*»
(9.6)
Подставляя результаты (9.4)-(9.6) в исходное равенство (9.3) ж
имея в виду, что аналогичные соотношения могут быть нелученн для
любых значений о* от I до п , приходим к уравнениям
называемым уравнениями Лагранжа второгю рода. Они были
установлены Лагранжем в 1788 году, эти уравнения служат для нахождения фуи-
vxQB3iQc.u)(G'*tf..a)% определяющих движение системы.
После отыскания движения по уравнениям (8.4) можно найти гу*?уш,
откуда простым дифференцированием получить ускорение 2?v= ty «
Наконец, из уравнений движения mvoy^F^Qv( v-У,...,N)j± котернх_ак-
тивные силы Fy известны, можно определить реакции ^ув^уЗу^ №4,..,#)
т.е. полностью решить задачу.
45

Для записи лагранжевых уравнений в явном относительно функций«
«<(?),,,4,#)виде кинетическую энергию и обобщенные силы следует
представить в обобщенных координатах.
2. Выражение кинетической энергии
в обобщенных координатах. Подставим в
выражение кинетической энергии значения скоростей по формулам (8.9),
тогда будем иметь _ _
После очевидных преобразований этого выражения найдем, что
кинетическая энергия будет следующей функцией времени , обобщенных
координат и обобщенных скоростей !
т">9'9) -Tg ЪтЬЪ >?%%+а> > (9'8)
где положено
(9.9)_ .
Легко видеть, что а(ГГ =* ата. , т.е. матрица коэффициентов /(<?„#
симметрична. Формула (9.8) показывает, что кинетическая энергия
является квадратичным полиномом обобщенных скоростей. Энергию Т
можно представить также в виде суммы трех форм
T-Tz>Tt + T0 , (9.I0)
из которых 7J- квадратичная, Т?- линейная, а %- форма
нулевой степени обобщенных скоростей:
Как следует из полученных выражений, представление
кинетической энергии в обобщенных координатах зависит как от выбора
обобщенных координат, так и от вида связей. В частности, для
склерономных систем время не входит явно в выражения радиусов-векторов
точек через обобщенные координаты, поэтому-~r=0(V«/,...,>Vj. В этом
случае, очевидно,^»^er^),o<r-о, а0-Оtfr,r«/,...,/?J, и выражени
кинетической энергии существенно упрощается:
46

Таким образом» кинетическая энергия склерономной система
является квадратичной формой обобщенных скоростей.
3. Обобщенные силы. Для установлений выражений
обобщенных сил в обобщенных координатах заметим вначале, что ак*
тивные силыFvUtz,v)могут быть представлены также в виде функций
Fv(t,t,vh?a,q>q).Что касается производных *—*- t то они зависят
от тех же аргументов if а, , что и радиусы-векторы точек. Ив
выражения (9.5) теперь устанавливаем, что обобщенные силы будут
функциями времени, обобщенных координат и обобщенных скоростей.
Q,
'<4>Pu$F*D>i>'-ii
Ъ^Ш . (9.13)
Для выяснения механического смысла обобщенных сил рассмотрим
в обобщенных координатах выражение работы активных сил нагвнрту-
альном перемещении системы SA-Efyfo*» Поскольку виртуальное
перемещение есть разность двух возможных перемещений Siy*d%y-dzv, a
последние определяются выражениями
то виртуальное перемещение представимо также в виде линейной
комбинации вариаций обобщенных координат Sa<rmd'(l<r-da<y
s**"9l!b*h (*-*.»>*>• (9-I4)
Таким образом, виртуальное перемещение $гу является
виртуальным дифференциалом, т.е. дифференциалом функция гу(-6,й)при
фиксированном ("замороженном") времени.
Теперь работу 8А можно преобразовать следующим образом:
*Аш$Ъ.ъ-%(#ц.Ж) 6^~2,а,Ц, . (9.К)
Отсюда видим, что в выражении работы величины ^являются
коэффициентами при вариациях обобщенных координат подобно тому, *ак
обычные силы служат козффщиентами при вариациях декартовых
координат. Это обстоятельство' и дает основание называть величины Qr
обобщенными силами.
Из выражения (9.15) ясно также, что размерность обобщенной силы
б^ определяется размерностью соответствующей обобщенной
координаты а^ . Она должна быть такой, чтобы произведение(^З^мело pas-
мерность работы.
47

Заметим, что для фактического вычисления силы бгвместо общей
формулы (9,13) в ряде случаев удобнее применять следующий прием.
Системе придают такое виртуальное перемещение, при котором
получает приращение только координата а^ , а остальные координаты
сохраняются неизменными. Тогда виртуальная работа активных сил,
вычисленная на таком специально выбранном перемещении, будет
равна ^^Д^, откуда сила находится в виде
Рассмотрим виды обобщенных сил:
а) Потенциальные силы. Если обобщенные силы не зависят от обобщен
них скоростей6Y*,^) и существует функция Ш,f) такая, что силы рав
ны взятым со знаком минус производным от нее по координатам
<%¦*-!- • (<Г=*,^,п), (9.16)
те силы Gfj- называются потенциальными, а функция /7 - потенциалом
сил или потенциальной энергией. Для потенциальных сил виртуальная
работа (9.15) имеет выражение
т.е. она равна взятому со знаком минус виртуальному дифференциал}
потенциально! энергии. __
Заметим; что если потенциальны обычные активные силы^-^ ,
то потенциальными будут и обобщенные силы. Действительно, -2у
и потенциал обобщенных сил получается из исходного потенциала
заменой переменных f\(t,^n[t,l„C^r^)]\ обратное же утверждение
вообще неверно.
в) Гироскопические силы. Обобщенные силы называют
гироскопическими, если равна нулю их мощность
Мощность обобщенных сил вообще отличается от мощности обычных
снлЛ^Я/^у В самом деле, виртуальное и возможное перемещение
точки связано зависимостью Ц=<йу-^о/ь поэтому из условия ?,Ц,-#г$
- ILQ^Sa^ следует ~- v v
В случае склерономных систем -~~-=о (у*/ ДО» поэтому для них
48

обе мощности совпадают
Рассмотрим гироскоп. Ранее было выяснено, что на него
действуют силы с главным моментом, равным M0=I(<b*(Ds), где I-осевой момент
инерции гироскопа,оод1 и 33 - соответственно скорость прецессии
и скорость собственного вращения гироскопа; полная скорость враг-
щения при этом определяется выражением
ш = 67, t ИЗг .
Для гироскопа (склерономная система) имеем
т.е. для сил, создающих гироскопический момент, мощность -У*равна
нулю. Отсюда и все силы, обладающие свойством М*±0, именуются
гиро скопическими.
Для склерономной системы гироскопическими силами будут коряоя*-
совы силы инерции. Действителен о, к о риоли сова сила инерции,
приложенная к V-й точке, равнаF^-imfixv^ где/77у, VY-
соответственно масса и скорость точки, а оэ - угловая скорость
переносного вращения» Но тогда _. _ _
Покажем еще, что гироскопическими будут обобщенные силы,
являющиеся линейными функциями обобщенных скоростей (?е=1?г9г# если
матрица коэффициентов антисимметрична jfet""Jfra- • Действительно,
в этом случае выполняется условие гироскопичности сил
с) Диссипгтивные силы. Обобщенные силы называются диссипативными,
если их мощность равна нулю или отрицательна
N^JLQ^r+O. C9.I8)
В качестве примера рассмотрим приложенные к точкам склерономной
системы силы сопротивления, пропорциональные первым степеням
скоростей точек 1^=-ру?(У~г,„/Г1. Тогда
Таким образом, мощность сил сопротивления неположительна* При
наличии сил сопротивления происходит рассеивание (диссипация)
энергии, поэтому силы, обладающие свойством tf%о , называют
диссипативными.
Диссипативными будут также обобщенные силы, являющиеся
линейными функциями обобщенных скоростей в<т^1б€тЯ^9 если матрица коэффи-
49

циентов симметрична?Cr= &viи, кроме того, положительна
квадратичная форма!^^^недействительно, в этом случае
" *•-&<*,&-&**> j*ir*о.
Заметим, что в данном случае квадратичная
формахк=^ббг<^гназывается диссипамвной функцией Релея. Легко видеть, что рассматрив
емыеобобщенные силы выражаются через диссипативную функцию Релея
по формулам
<V—a^ б*-'...., ">• O.I9)
4. Структура уравнений Лагранжа. Уста
новим вид лагранжевых уравнений относительно искомых функций. Для
удобства дальнейших преобразований введем для левых частей
уравнений Лагранжа (9.7) следующие обозначения:
^(W^F-*—^* (**'—> ")• (9.20)
Поскольку кинетическую энергию можно выразить в виде суммы
трех M»prrt!T=7J*2/*^» уравнения (9.20) представимы также в
виде
KoCT^-XvWhXvCrjtQ^ (tO~i....,*). (9.2I)
Энергия Т% является квадратичной формой обобщенных скоростей
???*?%?% Уt * причем коэффициенты этой формы являются функциями
времени и координат и обладают свойством симметрии G^fc^^w^
Производные от 71 по переменным q^yl a^ имеют значения
поэтому ' '
Если принять во внимание очевидное соотношение
и ввеети в рассмотрение так называемые символы Кристоффеля
первого рода
50

которые являются симметричными по индексам с; г величинами, те
легко видеть, чтос^^) можно представить в более компактней ферме
X* (Тл )=Zau>z^Zrio^ ^?^t.(9.23>
Произведем аналогичные вычисления для &нбрги*Т4*2вг&» где <*r(i>%) ,
являющейся линейной формой скоростей. Имеем ffi -q * -2iZ -п ^acq
следовательно лл „ *h> д9* * д^
В полученном выражении коэффициенты суммы являются элементами
антисимметричной матрицы. Вводя для этих коэффициентов обезиачення
у = i?r_.E?*L, (9#24)
будем иметь окончательно
-х~(ы-$г»*ь-1Ё' (9-25)
Наконец, для энергииТ0яй0а,^устанавливаем, что
-ZoCv-g* ¦ (9-26>
^ °' а?
Результаты (9.23), (9.25) и (9.26) позволяют представаить
уравнения (9.21) следующим образом:
где положено
Э^л г-Т гт дйог • ^°а
^H^^fr-И5 « *-•**• <9-28>
Величины 5а? можно рассматривать в качестве новых обобщенных сил.
Они представляют собою старые обобщенные силы Q^ . к которым
добавлены потенциальные-!^ , гироскопические Z{ШЛГ* диссипативнне
-?«^^|гсилы и силы-?2й? ^ зависящие от t Hfy>« •>$/>•
Таким образом, уравнения Лагранжа второго рода образуют систему
п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с п
неизвестными функциями^,...,апот независимого переменного -t ; по-
51

рядок этой системы,очевидно, равен 1ъ%.
Уравнение (9.27) можно разрешить относительно, обобщенных
ускорений. Имеет место следующая
ЛЕША 4. Форма 1J кинетическдй энергии невырождена, т.е.
определитель, составленный из ее коэффициентов, отличен от нуля:
del
ФО.
(9,29)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть detfi^^ovm однородная система
уравнений Zu«r^r-о будет иметь ненулевое решение {/,...,$„• Умножив
каждоегхз уравнений почленно на ^ и просуммировав
результаты,получит равенство
Отсвда следует, что должно быть Z}gjf=o (ч**,.,,^. Эти N
векторных равенств эквивалентны следужвдш 3N скалярном равенствам;
Р^**-0' $1&Ъ'0' ?*ф*-° (*=<-¦•")¦
Полученные условия показывают, что в функциональной матрице
II дХ, dXf4
щ\-
'гай
столбцы линейно зависимы. Это означает, что ранг р этой матрицы
меньше п . Но тогда среди 3N функций я? (у-/,...,ЛГ;«?»0$от п
аргументов ( ± считается параметром) имеется только f независимых.
Получено противоречие: минимальное число независимых координат
системы равно числу степеней свободы л , ар<• п . Леша доказана.
На основании условия (9.29) квадратная матрица\\affT //имеет
обратную. Обозначая эту обратную матрицу через\\aff7\\ , будем иметь
ZZ
со
•жъо%Л'<*г
г
(х,Т«?>..., п).
(9.30)
Умножим теперь почленно равенство (9.27) ъ&аЛ(?> и просуммируем
по индексу (л> от I до п , тогда с учетом свойства (9.30) получим
соотношение
f^f^Sr^^^^'f2^^' (9-3I)
Введем символы фистоффеля второго рода ?аси другие обобщен-
52

ные силы 6Л посредством соотношений
1*,<гт=?'а*соЪ<гт> ^ZZ^Sx, (9.32)
и учтем» что индекс St может принимать любые значения от I до л ,
тогда уравнение (9.31) можно представить в следующем
окончательном виде:
fa *?ГЛ,<гг frjt'Sst С*-*... ,n). (9.33)
Эти равенства и представляют собою лагранжевые уравнения второго
рода, разрешенные относительно обобщенных ускорений.
5. Условия существования и единстп
вечности решения, Лагранжевы уравнения (9.33) пред-
ставимы в виде следующей нормальной системы уравнений:
^jf^'lt'^-gZ.trTJrfrte".-.") . (9.34)
Присоединим к ним начальные условия, определяющие состояние
механической системы в начальный момент
*¦*' ^W"^» j*(o)-fi (Я-1....,п) . (9.35)
Справедлива следующая
ТЮРЕМА 48. Если активные силы имеют яецрерывные
производные первого порядка, а зависимости между декартовыми и
обобщенными координатами - непрерывные производные вплоть до
третьего порядка, то задача Копи (9.34), (9.35) имеет
единственное решение.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В системе (9.34) правые части первой группы
уравнений аф суть аналитические функции; что касается правых частей
второй группы этих уравнений3^|&«&4мто из выражений (9.32), (9.28)
и (9.22) нетрудно установить, что в силу условий теоремы они будут
непрерывно дифференцируемыми функциями not а и а . Но тогда в силу
теоремы 4 первой части курса задачи Коши (9.34), (9.35) имеет
единственное решение; теорема доказана.
Итак, согласно теореме, естественные требования гладкости
активных сил и декартовых координат обеспечивают существование
единственного движения механической системы из заданного начального
состояния.
53

6. Случай склерономной системы, Связь
с геодезическими. Особенно изящную форму лйгранжевы
уравнения второго рода принимают для склерономных систем, В этом
случае кинетическая энергия является квадратичной формой скоростей
# = ?0«To4$rt анергии же % и 7; обретаются в нуль. Выражения для
сжл*в уравнениях движения при этом существенно упрощаются.
Действительно, условия at«a«»,o>^»aerKU^,,W>n)w»RyT за собою
выполнение условий
Ьоследнже же в соответствии с формулами (9,28) и (9,32) дают для
сил следующие простые выражения:
Sa>~Qu>, $л=Е<'Ьма>&юж&л (с0,*=*,...,л) - (9.36)
со
Таким образом, дня склерономных систем лагранкевы уравнения,
аэрешенные относительно ускорений (9,33), имеют простой вид
?*$^Г^Ш*~ (**—.Ю. (э.37)
Рассмотрим частный случай так называемого "инерционного"
движения рассматриваемой склерономной системы ~ движения системы при
отсутствии активных сил. Тогда, очевидно, ал*о (я*/9„.,л\ и
уравнения (9.37) принимают однородный вид
*4e*&l-f-%?-°. (**<•-'")• (9.38)
Веди приписать изображающей точке Р единичную массу, то ее
кинетическую анергию можно представить в следующих формах:
где <jS является элементом дуги траектории точки Р . Отсюда ясно,
что выражение
dS^Za^d^d^ (9.39)
представляет собою фундаментальную метрическую форму, оцределяющую
метрику нвадщнатяиго пространства е„. Поскольку при этомд^*^
№*а/,.м,д^р то рассматриваемое координатное пространство будет ри-
шцшш щюстранством. Уравнения (9,38), кал известно из геометрии,
оцредедяют геодезические линии в римановом пространстве.
54

Таким образом, "инерционное" движение склерономной голономной
системы описывается движением изображающей точки вдоль
геодезической линии координатного пространства.
7» Особенности лагранжевых
уравнений второго рода. Уравнения Лагранжа в обобщенных
координатах для голономных систем замечательны тем, что- они не
содержат реакций связей. При естественных предположениях
относительно активных сил и связей они определяют движение системы.
Число этих уравнений совпадает с числом степеней свободы
механической системы и, следовательно, система лагранжевых уравнений имеет
наименьший возможный порядок. Действительно, в силу произвольности
начальных значений величил ^,,^ (->=*,...,^решение системы уравнений
должно содержать, по крайней мере, Zn произвольных постоянных, т.е.
сама система должна быть порядка не меньшего, чем ?п.
Эти уравнения удобны также тем, что их число не зависит от
числа точек механической системы. С ростом числа связей уменьшается
число степеней свобода, а вместе с ними уменьшается и число
лагранжевых уравнений.
Все *эти преимущества по сравнению с уравнениями Лагранжа
первого рода обеспечивают уравнениям Лагранжа второго рода широкую
применимость при исследовании движений голономных систем.
В заключение отметим, что лагранжевы уравнения в обобщенных
координатах применимы и к движению свободных систем. В этом
случае они представляют собою компактную запись уравнений движения в
произвольной системе координат.
8. Уравнения движения точки в
цилиндрических координатах. Применим уравнения
Лагранжа в обобщенных координатах к выводу уравнений движения
свободной точки в цилиндрических координатах.
Пусть у материальной точки массы т обобщенными координатами
служат цилиндрические координаты 4,сР, fo=#, 4 = ?* Тогда лагранжевы
уравнения второго рода в этих координатах имеют вид
В рассматриваемом случае кинетическая энергия точки
определяется выражением
55

Для получения выражений обобщенных сил представим
радиус-вектор точки в ортонормированием базисе цилиндрических координат efj
eQ, ёг и установим значения производных от него по
цилиндрическим координатам.
У1мвтлЪ*рё9*^9тяеёф*?р@)9ём*сол$4 . Поскольку^^е , будут
справедливы формулы
Теперь ясно, что обобщенные силы, вычисляемые по общему правилу,
будут равны
т.е. обобщенные силы в данном случае совпадают с физическими
компонентами силы в цилиндрических координатах.
Подстановка установленных выражений тсинетической анергии и обоб
ценных сил по формулам (9.41) и (9.42) в равенства (9.40) приводит
к уравнениям
r»(p-pe?)-Fp, m(f>e+?f>G)=Fe, w'd=Fe, (9.43)
которые и являются обычными уравнениями движения точки в
цилиндрических координатах.
Таким образом, уравнения Лагранжа второго рода удобно применять
для получения, например, уравнений движения сводной точки в
произвольных криволинейных координатах.
§ 10. Теорема об изменении механической энергии
I. Вывод теоремы. Рассмотрим общий случай, когда на
систему, наряду с потенциальными силами, определяемыми потенциалом
— 1
/7 , действуют еще непотенциальные силы G?, тогдаО^=;^т<?;и урав
нения Лагранжа второго рода (9.7) принимают вид
?¦%-%--%<*<*•*¦¦¦>'> ¦ <-.
Введем в рассмотрение механическую энергию системы 2Г= 7V7 и
установим скорость ее изменения со временем. С этой целью умножим
каждое из уравнений A0.1) на соответствующую обобщенную скорость
и просуммируем результаты
9<лщ^-9р)у>-9а«7к?Q«b' A0-2)
56

Левая часть этого равенства может быть представлена в виде
Очевидно, что
что касается другого члена, то,используя представление г*Т^7^Т0 и
теорему Эйлера об однородных функциях ?%— =mf(x, %\ ътъ молшо преоб-
разовать к виду ^°
Таким образом, левая часть A0.2) окончательно равна
?(жЩг'ЩгН^аг d7CT<'?T°)*jr
Члены правой части равенства A0.2) представимы в форме
С учетом полученных результатов, а также определения энергии Е = тчп,
окончательно находим, что равенство A0.2) имеет вид
f^Vir0)-?^. (ю.з)
Стоящие в правой части слагаемые имеют следующий смысл: N*-
является мощностью неиотенциальных сил; слагаемое ^.{г^т^отлично от
нуля только для реономных систем, для склерономных систем оно
равно нулю; последнее же слагаемое |Д отлично от нуля только в
случае, когда потенциальная энергия явно зависит от времени. Формула
A0.3) выражает следующую теорему об изменении механической энер±
гии системы;
ТЕОРЕМА 49. Скорость изменения механической энергии
системы равна мощности непотенциальных сил ** , сложной с хаг
рактеристикой реономности системы j^(v?Tol-^ и характеристикой
явной зависимости от времени силового потенциала ^ .
2. Интеграл энергии. Теорема об изменении
механической энергии при некоторых дополнительных условиях позволяет
получить первый интеграл уравнений движения.
Рассмотрим голономную систему, движущуюся под действием только
потенциальных сил, причем ни потенциальная, ни кинетическая энвр-
57

гия не зависят явно от времени (но система не обязательно склерсь
номна).
Тогда
**-« 4?-«. f ¦«•
Соотношение A0.3) принимает при этом вид
откуда следует первый интеграл
Ti-To-n^cons*, (I0.4)
называемый обобщенным интегралом энергии (или интегралом Якоби).
Обобщенный интеграл энергии, как легко видеть, имеет место и
при наличии непотенциальных сил, если эти последствия являются ги
роскопическими силами.
Название интеграла энергии "обобщенный11 связано с тем, что соо!
ношение A0.4) не является физическим интегралом энергии: хотя егь
левая часть и имеет размерность энергии, входящая в нее разность
Т&-Т0 не есть кинетическая энергия.
Обобщенный интеграл энергии превращается в физический интеграл
энергии для частного случая консервативных систем.
Систему называют консервативной, если выполнены три требования
она склероноына^се силы потенциальны и потенциальная энергия не Э1
висит явно от времени. В этом случае
т.е. к прежним требованиям добавляются еще условияТл-То-0. Но тог|
Tt-T и интеграл A0.4) принимает вид
Е-Т.П-consi . A0>5)
Равенство A0.6) называют интегралом энергии. Таким образом,
при движении консервативной системы ее механическая энергия остае*
ся неизменной*
§ II. Тяжелый симметричный волчок
Применение лагранжевых уравнений в обобщенных координатах
проиллюстрируем на примере движения тяжелого симметричного волчка.
I. Постановка задачи и уравнение дв
ж е н и я. Пусть тяжелый волчок - весомое твердое тедо с осью мате-
58

риальной симметрии - совершает сферическое движение около точки
опоры, лежащей на его оси и не совпадающей с центром масс Сытела.
Пусть даны масса волчка т , его главные моменты инерции Г^Г^
ф 15 - компоненты тензора инерции для точки О и расстояние
<^ центра масс от точки опоры. Установим движение волчка
относительно ине^циальной системы отсчета Оя,± jc? jc3, начало которой
сормещено с точкой опора, оси Jti9x^ взяты в горизонтальной
плоскости, а ось хъ - направлена вертикально вверх.
Очевидно, волчок имеет только геометрические связи (координаты
точки опоры тождественно равны нулю).поэтому он является голоном-
ной системой с тремя степенями свободы.
Свяжем с волчком сопутствующую систему осей o?j 4* 4з с
вершиной в точке опоры и осью ?5 , идущей вдоль его оси симметрии. В
качестве обобщенных координат возьмем эйлеровы углы <?, <?, */3 ,
определяющие ориентацию сопутствующих осей относительно системы
отсчета.
Тогда кинетическая энергия тела, определяемая выражением 2Т-
=?!*?>* * r#e ^ос- компоненты угловой скорости тела в
сопутствующих осях, связанные с углами Ч>6 формулами Эйлера
будет равна
Т-{ЫЧ&»\ * $Hh (Ъ&*ъ <- %f. (II.i)
Обобщенные силы в соответствии с определением (9.5)
определяются выражениями
*--'"§?~-*-^ <--**«•
Координаты центра масс в системе отсчета определяются формулами д^=*
= ?^Cv 9 где $ffoL - компоненты кинематической у-матрицы,
рассматривавшейся в первой части курса. Поскольку ^у^^^б* и
Хзз =@0$(f? у то хз~4з^°5(^- Следователей о, обобщенные силы
имеют значения -
Q,=0, Ог-луф&Ъ, в5=0< (Пв2)
Таким образом, лагранжевы уравнения гторого рода — -4— —
_ 131 = q /ы*/25)Ъ данном случае будут вида *
^[it4>^in\^lh(%Cos%^5)Qob<fkyo , (П.З)
59

2. Интегрирование уравнений. Первое
и третье уравнения (II.3) сразу интегрируются:
h(Ъ Cosfy **з) = гз<*з = сг >
где Cj и С^ - произвольные постоянные. Нетрудно убедиться в
том, что первый интеграл уравнений движения имеет смысл
постоянства проекции кинетического момента системы на вертикаль L^ Cj,
второй из интегралов выражает постоянство проекций угловой
"скорости волчка на его ось симметрии.
Интегралы (II.4) определяют скорости прецессии и собственного
вращения через угол нутации в виде
Что касается второго уравнения (II.3), то, исключая из него с
помощью (II.5) скорости лрецессии и собственного вращения» получим
уравнение для одного угла нутации ^ :
ItSin*iPi * tiSm^z
Легко видеть, что после умножения не 2 ^ это уравнение
интегрируется и приводит к интегралу
А *? (Ct-OoCoStPof' г С,
который, очевидно, является интегралом энергии. Действительно, в
данном случае система склерономна, сила тяжести потенциальна с
потенциалом П - ma^Coe^i % т.е. система будет консервированной,
для последней же справедлив интеграл энергии Т + И » const •
Отсюда с учетом формул (II.5) и следует соотношение AГ.6).
Введем вспомогательную переменную V = Cosfy , После
умножения обеих частей равенства (П.б) на f^/Afc и перехода к новой
переменной оно примет вид
60

где j (z/) - многочлен третьей степени относительно и :
Полагая в этом выражении и * ?L v и * иа * Cos</? < I (счи-
тая начальные условия такими, что Ф? ** 0), находим
f(-t)<o% f(uo) = i*uZ>o,f0t)*o% ffy~) >o ,
Тогда многочлен / (г/) имеет три вещественных корня: vt nCos</?t
f/?= Costf и щ , причем
-/^z/, ^г/?^ /<^з >
и (поскольку у (+оо ) * + оо ) график многочлена / ( ^ )
качественно имеет вид, изображенный на рис.Ю. Так как при движения тела
l^v^cos ч>2±ч и J(y) - //г/*^ о,
то величина и должна
изменяться в интервале и^и^Щ.
Разделяя переменяна i
(II.7) и интегрируя,получаем
Это уравнение представляет оо->
бою второй интеграл уравнений
движения. Два других
независимых вторых интеграла получаем
Действительно, производные уг-
РисЛО
с его помощью из соотношений (II.5).
лов % и ^ по f и по и связаны зависимостями
*-?"-'f//™?
%~
с/ч>л
dWj
1й = ± —l/ft
которые при подстановке в (II.5) и интегрировании дают
ч r(cI-cSiu)du
(П. 10)
(II.II)
Итак, три вторых интеграле (П.9)-AЫ1) выражены в
квадратурах и содержат шесть произвольных постоянных Cj,
С6. Входявдо
в них интегралы являются эллиптическими. Эйлеровы углы вырежется
61

по ним через эллиптические функции времени.
Возвращаясь к зависимости (II.9), представим величину и как
явную функцию времени. Запишем полином /(и ) в виде
произведения л
Jiu)=2l,mf?*(u-i/t)(L/rue)(a-u6)9
тогда равенство (II.9) примет вид
sl~tn = ±U > t—l/r1^ ' (П.12)
где принято —jfe = с^, а и0 - значение переменной и при f »
в *0 . Так как
и^и^а^^иъ, (П. 13)
то вместо и уместно ввести новую переменную X по формуле
При возрастании X от 0 до — переменная и растет от
своего наименьшего значения uL до"наибольшего ut . Легко видеть,
что входящие в (II.12) разности выражаются через новую переменную
следующими формулами:
где положено k* = ( и<г ^)/( u*>-vi}* Теперь ясно, что правая
часть равенства (II.12) представима через эллиптический интеграл
первого рода
где принято, что f =fc соответствует и = и? % т.е. X = О.
Обращая зависимость (II.15), будем иметь X = от р ( ± - tc
следовательно,
U^CosiP^Vt+OUi-Ut) Sn,*$O:-i0) . (II.16)
Таким образом, а = Cos4>? (a знёчит и сам угол V# ) будет перио
дической функцией времени с периодом
г-«М, ад/—^=. (ПЛ7)
Аналогичным путем (вводя в рассмотрение эллиптические
интеграла 3-го рода) можно установить периодичность угла прецессии ^ ,
ле-риод Т, которого будет отличен от периода Т.
62

3* Качественное исследование
движения. Картину движения волчка можно установить с помощью
следующего качественного анализа его движения*
Положение оси волчка в пространстве определяется углами пре*
цессии с/; и нутации </fc . Эти углы являются сферическими коо*р-
динатами точки А, в которой ось волчка переоекает сферу единичного
радиуса, центр которой совпадает с началом отсчета. Рассмотрим
вначале характер движения точки А в плоскости меридиана сферы,
описываемого зависимостью t? я <^( ? ).
Из условия (II.13), представленного с учетом равенств ut «
= Со$ч?% uz * cosv'l в виДе
<//« ^ ± <$' ,
заключаем, что траектория точки А располагается не сфере между
параллелями <? s ^g" и SJ « <?', » Другое условие-,51/?<2<?«
-и = ^/'Т(аУг показывает, что Vfe. и г/ обращаются в нуль
одновременной что это происходит при и s а л f или и и ая «т-е.
на граничных параллелях. Следовательно, ось волчка может изменять
направление нутационного движения только на предельных параллелях.
Таким образом, траекторией точки А будет некоторая сферическая
кривая, расположенная в сферическом поясе. Вид этой кривой зависит
от характера вращения плоскости меридиана, определяемого законом
изменения угла прецессии.
Скорость прецессии дается выражением (II.5)
I, Sin*^ I, /-"*
Поскольку знаменатель дроби существенно положителен, направление
прецессии будет зависеть от соотношения между постоянными Cj и С2 ,
т.е. от начальных условий. При этом возможны следующие режимы
движения:
Рис. II Рис. 12 Рис. 13
63

Если отношение Cj/C2 находится вне интервала и?^и^ и% , то
скорость прецессии сохраняет свой знак и нигде не обращается в
нуль, т.е. прецессионное движение происходит все время в одном и
jom же направлении, при этом на граничных параллелях скорость
</^ « о и ось волчка имеет только скорость <S? ; следовательно,
траектория точки А касается предельных параллелий и имеет вид,
изображенный на рис, II,
Если Ст/Ср « и% , то скорость прецессии также не меняет знака,
но обращается в нуль на верхней параллели. Так как на верхней
параллели и </g s о, то у траектории на этой параллели будут точки
возврата. Сама траектория при этом будет иметь вид сферической Цйк
лоиды, изображенной на рис. 12.
Заметим, что случай Cj/C^ = ut физически невозможен, ибо
тогда на нижней параллели было бы щ = </? = о , причем
потенциальная энергия волчка была бы минимальной, следовательно, в
последующем движении росла бы и кинетическая и потенциальная энергии,
что противоречит закону сохранения энергии.
Наконец, в случае, когда и?^ Cj/C2 *- usl % скорость прецессии
меняет свой знак при и" =Gos4>l = Cj/C2 . Траектория точки А буде
петлеобразной кривой, показанной на рис. 13. При этом из
соображений, аналогичных предыдущим, будет следовать, что петли могут
располагаться только вблизи верхней параллели.
§ 12. Уравнения равновесия голономной системы
Проанализируем простейший вид движения голономной системы - её
равновесие и установим уравнения равновесия.
I. Теорема о равновесии. Рассмотрим голоном-
ную систему с п степенями свободы при наличии а геометрических
связей. Говорят, что система покоится (или находится в равновесии)
если её обобщенные координаты не изменяются со временем, т.е. а$. ¦
s consi (<т=1,...,/7 ). Координаты п? , •••¦4„ обычно выбиря
ют так, чтобы в положении равновесия они равнялись нулю а s
= о ( с = I,...,/?- ). Очевидно, что у покоящейся системы буду*
тождественно равны нулю её обобщенные скорости и обобщенные ускорв'
**ия ^а ^ bO(g-sI,...,/7 )# Соотношения между обычными и
64

обобщенными скоростями и уравнения геометрических связей,
представленные в виде ограничений на скорости
g Щс 1 Ы v 3*v Ы *
показывают, что для согласования понятия покоя системы в
обобщенных координатах с обычным понятием равновесие системы должно быть
т.е. система должна быть склерономной. Условие равновесия
склерономной системы выражается следующей теоремой о равновесии.
ТЕОРЕМА 50. Для равновесия склерономной головомной системы
необходимо и достаточно, чтобы система первоначально
покоилась и чтобы равнялись нулю обобщенные силы, т.е. 0^-0
Q<?=0 С*-/,...,'*). A2Л)
Действительно, пусть система покоится; тогда j# ~ *?<г = 0
(б=*,.;Я)9в из уравнения движения оклерономной системы (9.37)
Чх'?*Севт%?гтЬа1ев09, (*Ч,...,П). A2.2)
Заключаем, что должно быть HcL^fQ^O, (dt= /,..., П). Отсюда в
силу известной связи между определителями прямой и обратной
матриц устанавливаем, что dd(astS)-[d^'tCajCS)J~Ф09
следовательно, эта однородная алгебраическая система имеет только решение
A2.I), необходимость тем самым доказана.
Положим теперь, что система первоначально покоилась и равны
нулю обобщенные силы. Тогда приходим к следующей однородной
системе уравнений с нулевыми начальными условиями:
7* + ? ?>ег9Ля°. 9*~°> Я% = 0 С»ш1,...,п). A2.з)
<ffT
Легко видеть, что нулевые значения координат fas О (х=/,.,.
„.,/?} удовлетворяют и уравнениям, и начальным условиям, т.е.
они являются решением задачи Коши A2.3). Но по теореме 49 это
решение единственное. Следователе о, система будет
покоиться.Теорема, таким образом, доказана полностью.
65

2* Уравнения равновесия. При равновесии
системы обобщенные силы будут функциями только обобщенных
координат. Уравнения A2Л), фигурирующие в теореме о равновесии,
О.
п)
*<г ((ft* -><}*) =°> (<Г=А>~,"У A2.4)
называют уравнениями равновесия системы в оооощенных координатах.
Число этих уравнений равно числу степеней свободы системы.
В теореме 51 выяснены условия, при которых заданное
положение системы, принятое за начало отсчета обобщенных координат,
служит положением равновесия. Уравнения A2.4) могут
рассматриваться также как уравнение для нахождения координат я,...,^в
положениях равновесия. Они эти координаты определяют, если
выполнены условия разрешимости
4<f<
* О .
^п) A2.5)
Специфическую форму уравнения равновесия принимают при
потенциальных силах. Действительно, в этом случае каждая сила
определяется выражением Q^ - 2R f Где П= ^СЧ)" силовой
потенциал, и уравнение равновесия^ 12.4)
дП
ЦТ0 С<Г-' П)
A2.6)
выражает теперь условие стационарности силового потенциала.
Таким образом, в положениях равновесия системы ее потенциальная
энергия принимает стационарное значение.
3. Ран о ве си
Рис. 14
е стержня в
сферической чаше. Пусть однородный -
стержень длиной 2Е и весом Р по-
V коится в гладкой чаше, имеющей форму
полусферы радиуса Л2 , таким образом}
что он точкой D опирается на кромку
ч$ши и концом Л-на ее дно (рис.14).
Установим угол, образованный
стержнем с плоскостью горизонта, в
положении равновесия. Стержень покоится под
66

действием трех сил: силы тяжести, направленной вертикально, и
двух реакций, сферы в точках опоры, каждая из которых
располагается в соответствующей меридиональной плоскости* Очевидно,
что эти силы будут лежать в одной плоскости только в случае, косда
стержень находится в плоскости меридиана оферы.
В этой плоскости у стержня одна степень свободы. Вводя в
плоскости декартовы координаты X, у и выбирая за обобщенную
координату искомый угол dL , будем иметь следующее уравнение
равновесия:
Вертикальная координата центра масс, очевидно, равна
следовательно, уравнение равновеоия принимает вид
Это уравнение с учетом условия o<ot<j определяет угол ы. в
виде CoScC = -J3 [?* i/eCdZZ*] >
Условие CoSoL< I при этом требует, чтобы длина ? была
меньше диаметра ZQ
67

Глава Ш
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Наиболее простую и изящную форму уравнения движения голоном-
ных систем принимают в случае так называемых натуральных систем.
Эти системы вполне определяются заданием некоторой скалярной
функции - кинетического потенциала, имеющего размерность энергии.
Следовательно, теорию движения натуральных систем можно построить
без использования понятия силы, оперируя только с энергетическими
категориями.
§ 13. Натуральные системы
Для определения натуральных систем расширим класс
потенциальных сил.
I. Обобце нно-по те ициа льные силы.
Пусть обобщенные силы определяются через скалярную функцию
V(+,a, a ) по формулам
т* ^ Aзл)
тогда такие силы называют обобщенно-потенцивльными, а функцию
V(*,a,a)~ их обобщенным потенциалом.
Из определения A3.I) следует, что обобщенно-потенциальные
силы определяются следующими выражениями:
68

Поскольку в механике обобщенные силы считаются зависящими
только от времени, обобщенных координат и обобщенных скоростей
Qtff(t,a, А ) , то формулы A3.3) не должны содержать обобщенных
ускорений* Для этого должны обращаться в нуль все производные
второго порядка от V по обобщенным скоростям, т.е.
обобщенный потенциал должен быть линейной функцией обобщенных
скоростей
A3,3)
Подстановка этого значения потенциала в формулу A3.2)
приводит к следующим выражениям для обобщенных сил:
<* да? г ^даг baff П* Ы
A3Л)
Таким образом, обобщенно-потенциальные силы складываются из
потенциальных сил - |?- с потенциалом П(*Л) , гироскопических
сил Л ^г аг с антисимметричной матрицей fyt - nGX - HTt & и
некоторых сил П^^ , зависящих от времени и от обобщенных
координат. Сила П^^ , очевидно, обращается в нуль, если
линейная часть потенциала v не зависит явно от времени.
Класс обобщенно-потенциальных сил, наряду с потенциальными
силами, включает в себя и ряд других сил, интересных для
механики. Покажем, что к числу последних относится и силе Лоренца.
Известно, что на точечный электрический заряд в
электромагнитном поле действует сила Лоренца
где_ Ч - скорость точки, *- заряд, с-скорооть света, а Ё
и_ И - напряженности электрического и магнитного полей. Векторы
Е_ и К выражаются через скалярный и векторкый потенциалы V и
А посредством формул
Бели воспользоваться известными формулами векторного анали-
за
дА dk - дА - ,т W--AJ -т дА
Ьг V'W
69

id силу Лорввпа ножяо предотавмь следующим образом:
Теперь легко видеть, что компоненты силы в декартовых
координатах можно представить также в виде обобщенно-потенциальных сил
о обобщенным потенциалом Y^ap-^-ЕЛ^А^ \
Ь~~*дх^е <н с % * дх* di Эх* Ъъ*
На обобщенно-потенциальные силы распространяются некоторые
свойства потенциальных сил* Именно, если обобщенным потенциалом
обладают обычные силы, то таким же потенциалом обладают и
обобщенные силы* Действительно, пусть
v di dVf Ъ*ч
Тогда, опираясь на определение обобщенных сил и кинематические
леммы __ _ —
** V v *<f* dfo ъ1° dt д9<г *f*
будем иметь =±г3?т?±_Г{*г.± дг^ + !?.??, ).
где У(*,аЛ)% и указанное свойство тем самым установлено. ?
2. Натуральные системы. Голономные
системы, в которых силы имеют обычный потенциал П(*,4) или
обобщенный потенциал.ус*,^^ называют натуральными»
Лагрвнжевы уравнения в обобщенных координатах для
натуральных систем принимают компактный однородный вид.
§ 14. Уравнения Лаграяжа 2-го рода для натуральных систем
I, Однородная форма уравнений.
Функция Лагранжа. Рассмотрим движение
натуральной системы. Тогда действующие силы обладают вообще
обобщенным потенциалом
(I'M)
Система с обычными потенциальными силами следует из этих формул
bQ<r '
70

при условиях П* О (Сш it.., 9 п} ,
Уравнения Лагранжа второго рода в рассматриваемом случае
d дТ дТ ^ d дГ дУ
di dj<r dj<r dt ду*~ д^о (****—*"'
можно представить в однородной форме
d dL dL
<i**a)
где положено
Уравнения A4,2) являюгоя дагранжевыми уравнениями в
обобщенных координатах для натуральных систем» Функция L ,
представляющая собою разность между кинетической энергией и
обобщенным силовым потенциалом, называется функцией Лагранжа или
кинетическим потенциалом.
Для натуральных систем функция Лагранжа, как и кинетическая
энергия, является квадратичной функцией обобщенных скоростей
где Z^- квадратичная, L{- линейная формы обобщенных
скоростей, э Lc- функция, не содержащая этих скоростей*
Сопоставление формулы A4.4) с выражением ддя^; Ь^Т^*Т?*Т0~УгП дает
Отсюда ясно, что гессиан функции L относительно обобщенных
скоростей для натуральных систем будет отличен от нуля
1 r (I4.6)
;то обеспечивает разрешимость уравнений A4.2) относительно
обобщенных ускорений
<frm<b(*.<}'p (<г-',,-•> ») • A4#7)
71

Эти уравнения в совокупности с начальными условиями
t-O, <fr(o)-fi, ^oj^j ^/,...,/7;,
(W.8)
как было выяснено в § 9, однозначно определяют движение»
Таким образом уравнения движения натуральной системы вполне
определяются заданием для нее кинетического потенциала L ,
который имеет размерность энергии. Тем самым при использовании
движения натуральных систем можно обходиться без использования
силовых характеристик.
Заметим, что, кроме натуральных, можно рассматривать системы
общего типе, движение которых определяется уравнениями Лагранжа
A4«2) с произвольной функцией L(i,yA) , предполагая, однако,
отличие от нуля ее гессиана
dei(-&-f +0.
A4.9)
Это условие обеспечивает представление уравнений движения в
форме A4.7). Поэтому вывод об однозначном определении
движения путем задания начальных условий A4.8) справедлив не только
для натуральных систем, но и для рассмотренных выше систем
общего типа.
Примером ненатуральной системы может служить движение
материальной точки в релятивистской теории при отсутствии внешних
воздействий. В этом олучае движение точки определяется
уравнениями Лвгранжа, в которых функция Лагранжа уже не является
квадратичной функцией скоростей
где с-скорость света. Для медленных сравнительно со скоростью
света движений отношение у/с мело. Раскладывая тогда бином
( /- ^ У^ в Ряд по степеням у /с и удерживая в
разложении только члены до второго порядка включительно, т.е. принимая
( /- з? ) ^ t~zc* * получаем классическое выражение функции
Лагранжа для изолированной точки L={rnvl+cofls4.
72

2. Степень определенности
функции Лагранжа. Уравнения Лагранжа натуральной системы
**Шт&ц; -%г-° (""—а> (ило)
полностью определяются функцией Лагранжа. Однако одни и те же
уравнения могут соответствовать различным дагранжевым функциям*
Действительно, пусть две функции ut и L отличаются друг от
друга постоянным множителем о: L?m cL . Тогда в силу
однородности лагранжевых уравнений ?<ги.1)-с?(-A*)(ы,..п)ш уравнения
для каждой из них одни и те же.
Пусть теперь две функции L? ж L отличаются на произвольную
функцию времени^): Lt-L +jD) . Тогда поскольку %rty9Ju~M~~
-^^,^Li)^(Ly^)^CL)9^t. уравнения для ц и L
будут совпадать.
Более общим будет случай, когда две функции Лагранжа
отличаются на полную производную по времени от некоторой функции времени
и координат; L^L^^jd,^) • Тогда, полагая Ф» |?si?-+гMfo>
будем иметь *г
следовательно, ?-(Ф)~4r^- ^^ • Таким образом, «?'(LA«
^?<r(L)^^u(^)^iaCL) и лагрэнжевы уравнения для Lt и
L совпадают и в этом случае.
Отмеченные особенности кинетического потенциале могут быть
использованы для упрощения составления лагранжевых уравнений.
Именно, постоянный множитель или аддитивный член, являющийся полной
временной производной от функции времени и координат, в выражении
потенциала могут отбрасываться без ущерба для вида уравнений
Лагранжа.
3. Инвариантность уравнений
Лагранжа относительно точечных
преобразований. При введении обобщенных координат для
определения положения голономной системы отмечалось, что эти
координаты могут вводиться различными способами. Следует поэтому ожидать,
что лагранжевы уравнения 2-го рода будут инвариантны относительно
73

выбора обобщенных координат. Эта инвариантность действительно
имеет место* Установим этот важный факт аналитическим путем.
Рассмотрим преобразование обобщенных координат, содержащее в
общем случае.время
&г - ет (tt. р, ¦ ¦ > Ь ) (т =*,¦•• , г,) . A4.11)
Относительно функций 9г (* , у) предполагаем, что они обладают
вторыми непрерывными производными и удовлетворяют условию
дсе/у...,в„)_ф0 (Ив12)
Дифференцированием по времени соотношений A4.II)
устанавливаем, что новые обобщенные скорости выражаются через старые
обобщенные скорости и координаты по формулам
*-&-ЦГЬ*т? <*-<-¦-'»• а*.»)
лэгко видеть, что в соотношениях A4.II) и A4.13) переменные &
?. cj можно менять ролями* Подобно леммам 3 и 4 имеют место устанав
яимаемыэ аналогичным образом кинематические соотношения
Эр dp dt dp dp A4.14;
Считая теперь кинетический потенциал функцией новых переменных
и учитывая свойства A4.14), найдем
эр г ( аёг э^ а0г а^ /' э^ г дёг эр к двг др '
dt dp z ^di двт dp ^дёт<Н dp) ?W* 36r dp + авс Э^/'
Теперь легко видеть, что лагранжевы уравнения » старых
переменных
будут эквивалентны соотношениям
„ , d dL dL \ dGv л /^ ,
Эти равенства можно рассматривать как алгебраическую систему
линейных однородных уравнений относительно величии, заключенных в скобки
Поскольку определитель этой система в силу A4.12) отличен от нуля,
7*

система будет иметь только нулевое ранение
которое и представляет собою лагранжевн уравнения в новых
переменных. Утверждение, таким образом, доказано*
§ 15.Преобразование Лежандра
Многие методы исследования уравнений развиты применительно к
системам уравнений первого порядка. Лагранжевы уравнения 2-го
рода для натуральных систем являются уравнениями второго порядка*
Привести их к системе уравнений йервого порядка можно многими
способами. Наиболее удобный из них связан с применением
преобразования Лежвндра.
I. Преобразование Лежандра. Пусть
имеется некоторая функция X » зависящая от независимых переменных
х/э..-.. х„ и параметров <*/,..., <4* . 1*удем считать» что она
обладает непрерывными производными по параметрам и вторыми
непрерывными производными по независимым переменным. Тогда можно
рассматривать преобразование к другим переменным и?,...,ип t даваемое фор-
аула» дХ
сг-я^ f*-=4...,*;
Это преобразование называют преобразованием Лежандра, а
фигурирующую в нем функцию X - порождающей функцией преобразования. Одно
из свойств преобразования Лежандра выражается следующей теоремой.
2. Теорема Донкина.
ТЕОРЕМА 51. Пусть дана некоторая функция X (?Г«оО§
гессиан которой по переменным х/9..., х.п отличен от нуля
d'Hg^l^*°, A5.I)
и пусть имеется преобразование Лежандра¦ порождаемое этой
функцией
КЦ <~'- '->»> CI5.2)
75

тогда существует обратное по отношению к A5.2) преобразо-
мие, которое также порождается некоторой функцией У(V, °4):
*г = Ц* (*"..:>»>, A5.3)
причем функция У связана с функцией X формулой
о какому-либо параметру
на ком
(ow,... ,т) . A5.5)
и производные от этих^функций по какому-либо параметру
отличаются друг от друга только знаком
дУ _ ЭХ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Легко видеть, что гессион функции X
совпадает с якобианом правых частей уравнений A5,2). Поэтому на
основании A5.I) уравнения A5.2) можно разрешить относительно
переменных хл..ч xnf выразив их в виде x.z~ xt(u,*l) (т=*,.%,,п)
Воэьмем теперь функцию V , определенную равенством A5.4),
и подставим в неё значения хуэ..., х„ по полученным выше форму
и.ш< Тогда будем иметь
y(zjraL)-E,^C^cL)^-X[^{^oCJ,c(J. A5.6)
Продифференцировав это выражение по Цх , будем иметь
ЪР «*рГ Г Г дх„ дуг
Но согласно равенствам A5.2) две суммы, стоящие в правой чести
равенства, взаимно уничтожаются и, следовательно, имеют, место
формулы A5.3).
Если теперь продифференцировать A5.6) по параметру d-^ f то
учетом формул A5.2) получим A5.5); действительно
Последние равенства завершают доказательство теоремы.
76

§ 16. Канонические уравнения Гамильтона
Приведем лагранжевы уравнения 2-го рода к системе уравнений
первого порядка, имеющих удобный вид.
I* Переменные Лагранжа и
Гамильтона. Согласно методу Лагранжа уравнения движения
натуральной системы вполне определяются заданием кинетического
потенциала L * Ц 4 , Q , а). Совокупность переменных -Ь ,%., 4# %
фигурирующих в выражении' Ь , называется переменными Лагранжа. Эти
переменные определяют момент времени и состояние системы в этот
момент, т.е. положение системы и скорости её точек. Лагранжевы
уравнения определяют в зависимости от времени координаты йЛ -Ь ),
скорости же находятся путем дифференцирования по времени координат.
Гамильтон предложил состояние системы характеризовать другими
величинами, введя вместо обобщенных скоростей так называемые
обобщенные импульсы согласно формулам
Совокупность переменных t %a(T% р^ называется переменными
Гамильтона. Поскольку якобиан правых частей (I6.I) по переменным
^ совпадает, с отличным от нуля гессианом функции L , то
уравнения A6.1) могут быть разрешены относительно скоробтей: «L.*
s<?b.( t, а , р ). Тем самым переменные Лагранжа и Гамильтона
выражаются друг через друга.
Метод Гамильтона описания движения натуральной системы оостоит
в получении уравнений для координат ас и импульсов р^ f
рассматриваемых как функции времени.
2. Вывод ура-в нений Гамильтоне. Для
получения уравнений Г8м:-;льтона будем исходить из лагранжевых
уравнений второго рода -?L 1L - ?к-=0(&*4.,п).Ъ переменных Гамиль-
тонэ эти уравнения записываются в виде
Ьш& (*-''-'") • A6-2)
На формулы A6.1), определяющие обобщенные импульсы, можно
смотреть как на преобразование Лежандрв лагранжевых переменных
* • <2 ¦ f f порождаемое функцией Лагрвнжа L f при котором
переменные i и о играют роль параметров.
77

Поскольку гессиан функции Лагранжа по обобщенным скоростям
отличен от нуля согласно условию A4.6) для натуральных систем
или условию A4.9) для систем общего типа
cjei(*r±r. )П фо, Ц6.3)
то для преобразования (I6.I) будет справедлива теорема Донкинв.
В соответствии с этой теоремой обратное по отношению к A6.I)
преобразование имеет вид
%-§« («-<'¦¦¦>»>¦> абл)
оно порождается функцией
Hat^p^z,P<T^c^P)-L[t^(t^p)], A6.5)
называемой функцией Гамильтона. При этом производные по
параметрам * и а от функций L и Н связаны зависимостями
Возвращаясь к уравнениям Лвгранжв 2-го рода в форме A6.2),
видим, что с помощью первой группы соотношений A6.6) их можно
представить в виде /L = -j^4<>W,...,fl). Полученные уравнения совместно
с уравнениями A6.4) образуют замкнутую систему Zn уравнений
первого порядка
&.?L, -^=-|f „-/,...,*;, (i6.7)
dt дре at oc^cr
называемых каноническими уравнениями Гамильтона. Они служат для
нахождения зависимостей <lc*a0(-t)f Pe=Pcd) (&= ',..¦,л)%
определяющих движение системы.
Уравнения Гамильтона имеют симметричный вид; правые части
уравнений являются производными по искомым величинам от одной и той же
функции. Эти особенности структуры уравнений позволяют развить для
них эффективные методы интегрирования. Наряду с гамильтоновыми
уравнениями получено также тождество Z, «-H,^ f которое будет
использовано в дальнейшем.
3. Механический смысл функции
Гамильтона. Для выяснения механического смысла функции
Гамильтона будем рассматривать натуральную систему. Тогдв ^
является квадратичной функцией окоростей L^L^^t +Ь0 , и со-
78

гласно определению A6.5) функция Н будет равна
По теореме Эйлера об однородных функциях д J^ic'^z^^^^i
Поэтому окончательно для натуральной системы будем иметь
Я*1Л-Ь0. A6.8)
Ранее было выяснено, что в этом случае /^=7}, Ь0*ТС-П% поэтому,
наряду с A6.8),имеем также представление
Полученное выражение показывает, что хотя функция Н имеет рев-
мерность энергии, она вообще не совпадает о механической энергией,
поскольку Т2 - Т0 не являются кинетической энергией. По этой
причине функция Гамилвтона называют обобщенной механической энергией.
Заметим, что при наличии у системы обобщенного силового
потенциала v« 15+ П механической энергией системы неэывеют
по-прежнему величину К ¦ Т + П (а не Т + V ).
В частном случае склерономной системы Т2» Т , Т0 « О, поэтому
Н * Т ¦ П , A6.9)
т.е. щи склерономной системы функция Гамильтона представляет собою
механическую энергию системы, выраженную в переменных Гамильтона.
f. Уравнения Лагранжа и
Гамильтона для точки в поле тяготения. Рао-
'смотрим точку М , движущуюся в плоскости под дейотвием
ньютоновского тяготения,и установим для нее вид уравнений Лагранжа и
Гамильтона.
У точки на плоскости две степени свободы п « 2. Выберем в
качестве обобщенных координат полярные координаты р , S точки,
считая, что полюс совпадает с притягивающим центром. Тогда легко ви-*
деть, что кинетическая и потенциальная энергия точки определятся
выражениями
где U - гауссова постоянная притягивающего центра. Очевидно,
что функция Лагранжа равна
79

И9,е.р,в)- Т-Л-§(рж*р & ) + ?j- '
поэтому лагрэнжевы уравнения второго рода
di dp " dp ' di. Те дв "
будут иметь после очевидных упрощений вид
f_pe*—JL , ре+?рб>=о .
Эти уравнения совпадают с обычными уравнениями движения точки
в поле тяготения в полярных координатах.
Получим теперь уравнения Гамильтона. Обозначим обобщенные
импульсы через р? и р . Тогда в соответствии с определением
импульсов будем иметь
Точка в данном случае является консервативной системой,
поэтому её функция Гамильтона будет совпадать с механической энергией,
выраженной в гамилыоновых переменных, т.е.
Ыр.:ь,рф)'Т*п-?1(р[+$)- ф •
Теперь легко видеть, что гамильтоновы уравнения
d* =ар9 ' db дрв ' dt df»} d-t дв
т иметь вид
dp %_
dt~ m '
dO _ Pe_
di: " mp*'
di mp3
fjm
dPe
5. Эквивалентность уравнений
Гамильтона и Лагранжа. Выше было выяснено, что
из уравнений Лагранжа 2-го рода следуют уравнений Гамильтона.
Покажем теперь, что и, наоборот, из гамилыоновых уравнений могут быть
получены уравнения Лагранжа. Тем самым будет установлена
эквивалентность этих уравнений.
Будем исходить из канонических уравнений Гамильтона
80

Из первую группу этих уравнений можно смотреть как на
преобразование Ле«андра с порождающей функцией Н, примененное к га- .
мильтоновым переменным i , а , р , в котором переменные t ж
а считаются параметрами. Определители прямого и обратного
преобразований связаны известным соотношением
Отсюда ясно, что ввиду A6.3) гессиан функции Гэмильтона по
обобщенным импульсам отличен от нуля и, следовательно, для
преобразования A6.10) будет справедлива теореме Донкина. В силу
этой теоремы имеют место равенства
где i/-порождающая функция обратного преобразования. Функция l!
совпадает с функцией Лагранжа L . Действительно, в соответствии
с упомянутой теоремой и определением функции Гамильтона имеем
^= ?/>*?,'#-?P,ir~(g/bj*-L)~ L. A6.12)
Обращаясь теперь по второй группе гамилътоновых уравнений
A6.10) и заменяя их левые и правые части по формулам A6.II) о
учетом соотношения A6.12), подучим уравнения 2-го порядка
жЩ;-ь4'° (*•< ">> <»•»>
являющиеся уравнениями Лагранжа.
6. Фазовое пространство. Б методе
Гамильтона движение механической системы описывается 2/7 функциями
времени
Для геометрического описания этого движения введем в рассмотрение
2/7 -мерное пространство Е1п , вдоль осей координат которого
откладываются обобщенные координаты и обобщенные импульсы. Это
пространство называют фазовым. Точка Т пространстве Е^ с
координатами (а19 ..,<?,.,?,..,$) называется изображающей точкой гвмилио-
новой системы. Уравнения движения A6.14) в то же время являются
уравнениями движения точки Т в пространстве Е?л • Таким обрааом,
движение системы точек в трехмерном физическом пространстве
описывается движением изображающей точки в 2/7 -мерном фазовом
пространстве. 81

§ 17. Обобщенно консервативные системы
Интегрирование канонических уравнений движения механической
системы сопряжено с известными трудностями. Поэтому
представляют интерес методы, позволяющие понижать порядок системы
уравнений. Такого понижения порядка можно добиться, в частности, для
обобщенно консервативных систем.
1. Обобщенный интеграл энергии.
Механическая сиртеме называется обобщенно-консервативной, если
её функция Лагранжа явно не зависит от времени.
Поскольку производные по времени от функций Лагранжа и
Гамильтона на основании A6.6) отличаются только знаком, то условия
обобщенной консервативности можно представить в одной из форм:
!И w-°- <"•«
Для обобщенно консервативной системы имеет место обобщенный
интеграл энергии. Этот интеграл можно получить, вычисляя полную
производную по времени от функции Н и используя гамильтоновы
уравнения. Действительно, имеем
Теперь легко видеть, что стоящая в правой части сумма обращается
в нуль в силу гамильтоновых уравнений, а второе слагаемое - в
силу определения обобщенной консервативности. Таким образом, Н * О,
откуда следует обобщенный интеграл энергии
H(q> Р)= h " eonsi, A7*2)
Интеграл A7.2) был получен другим путем в § 10.
2. Уравнения Уиттекера. Покажем, что для
обобщенно консервативной системы порядок системы уравнений
Гамильтона можно понизить на две единицы.
Разрешим интеграл A7.2) относительно одного из импульсов, на-
пример ^ (ЖФ0).
Р1=-Х(<}„.: ,<]„,/}, Pi Р„). A7.3)
Возьмем уравнения Гамилмона и запишем их в форме
82

db.
di ~
fy?
di ~
ЪН
dpi
m ,
ЪЫ
3е—45 <»*¦¦¦,">¦ <™
Уравнения A7,5) можно представить в виде автономной системы. В
самом деде, поделив почленно уравнения A7*5) на первое из
уравнений A7.4), будем иметь равенотва ,
Для вычисления их правых частей воаьмем тождестве
и продифференцируем его по переменным 4^,/>«,(*>-*,.., flj f в
итоге придем к соотношениях
ЪН дН д(-Ю Л ЪН ЪН Ы-К) „ ,
by dpt ъ^оо и' э/ъ dft дра> ( *>, ••,»),
определявдии искомые правые час» в виде
ЪН /дН _ЪК_ ЪН /ЪН_ _ дК_
»).
Таким образом, A7.6) представим» в виде следующих
гамшльтоновых уравнений, в которых роль времени играет координата п? , а
роль функции Гамильтона -функция К:
4Ь*Ж, eE*m_pL ьош19..%9„)9 (i7#8)
dqt др^ d^t d(fw "
их называют уравнениями Уиттекера. Система A7,8), оостояцая ив
2и - 2 уравнений, замкнута и её можно интегрировать независимо
от других уравнений»
Проинтегрировав уравнения Уиттекера, найдем функции
117 • •**
которые совместно о аналогичным выражением джя pt , полученным
из A7.3) и A7.9)
A-^^M""/Vi^ A7Л0)
определяет семейотво траекторий в фазовом пространства!
зависящее от 2/7 - I параметра. Тем самым устававливается
геометрическая картина движения.
85

Что ласаетсл ;.;,jjyx оставшихся уравнений (T.'Vf), то второе из
них после применения к нему аналогичных преобразовании
обращается в тождество, а первое - служит для установления закона
движения вдоль траекторий,
С помощью соотношения ~~ -~^--- -- / , следующего из A7.7),
OPi Oh Лд / ^L/\/
это первое в A.7 Л4, уравнение представимо в виде Hii. - _./ !*?)/
откуда зависимость между координатой <j? и временем t
устанавливается с помощью квадратуры
Wff<Vw, <17Л1)
при этом в частной производной -^т все переменные считаются
выраженными через а? с .помощью формул (IV.у) и A7.10).
Зависимости A7.9)-A7.П) определяют уравнения движения
системы.
Таким образом, интегрирование гамильтоновой системы
уравнений для обобщенно консервативной системы свелось к
интегрированию системы уравнений Уиттекера, порядок которой на две
единицы ниже, чем у исходной системы.
)Л р a s it в и и я Я к о б и . Гамильтонова система
уравнений Уиттекера A7.8) может быть заменена эквивалентной
системой уравнений типа Лагранжа
Jj? Of & Э^*>
где Л=:°3*?! , а функция Р (аналог функции Лагранжа)
связана с пункцией к (аналогом функции Гамильтона) посредством
зависимости
Ptyyl-jZPt*?*-*. (iv лз)
й ..равой части равенства следует заменить обобщенные импульсы
их выражениями из уравнений Уиттекера а ~—- (со*#,..., Л ).
Функцию Р можно представить и в другой форме. Коли учесть
соотношения ^-/ , /> = -# i&Ep^j^N^L , то будем иметь
Осооенно простую форму для Р можно получить для консерва-
84

тивной системы. Действительно, в этом сдучав/,-7!-/7,Я*Т+Л,
кроме того, справедлив интеграл анергии T+HMh* Поэтому
ы-*т-ш-л). A?Л5)
G другой стороны, имеют место соотношения
Используя, полученные результаты, устанавливаем, что для.
консервативной системы функция Р представима в виде
P-ZJGCh-n) . (I7.I?)
Дифференциальные уравнения A7.12), в которых функция
определяется выражением A7.17), называются уравнениями Якоби.
Интегрированием уравнений Якоби находим функции
которые определяют Ш -I параметрическое семейство траекторий
в п- мерном координатном пространстве. Закон движения
изображающей точки вдоль траектории устанавливается о помощью
квадратуры из соотношения (IV. 16}
*-Л2БЛ^-,- A7*19)
Таким образом, интегрирование лагранжевой системы уравнений
дли обобщенно консервативной системы свелось к интегрированию
уравнений Якоби, число которых на единицу меньше, чем число
уравнений Лагранжа.
4. Уравнения Уиттекера и Якоби
для точки в поле тяготения.
Рассмотрим движения точки в плоскости под действием силы
ньютоновского притяжения и установим для нее вид уравнений Уиттекера и
Якоби, Как было выяснено в п. 4 § 16,эта точка является
консервативной системой (частный случай обобщенно консервативной
системы), и функция Гамильтона для нее имеет значение
Мр>°'Рр'Р.)-а;г($*$)-Т' A7,20)
где ю,9 - полярные координаты точки плоскости, а^ = /#р %%ш/л$&т
-обобщенные импульсы.
85

Разрешив интеграл энергии
"•&(?*$)¦'г-'- h-cmst
относительно импульра Рр
п ,/~ йт*Н & (IV'2I)
и приняв во внимание определение функции К : R=-K,
устанавливаем, что гамилыонова функция в уравнениях Уиттекера
определяется выражением /
К(р,6,Ь$).-у2тА*?*зР--0 * A7.22)
сами же уравнения Уиттекера
dp ~ дрв ' df ~ дв
в данном случае имеют вид
Второе из этих уравненийсразу интегрируется и приводит к
интегралу
Pe-rne, C~Con$i, (I7.23)
который, ввиду определения импульса Р=тр*в% очевидно, является
интегралом площадей*
Для интегрирования первого уравнения учтем A7.22) и положим
/ 9h U
*'J'<»*?&' '-?¦ ' ("•»>
тогда djc~~c/p/p и уравнение приводится к квадратуре
Д-Д'/-— р= const. (I7.25)
Вычисляя интеграл, устанавливаем выражение
X-k
Возвращаясь к полярной координате f - — , окончательно
получаем ± k
Q=azcCosbr^'^ «'.*)
86

Этот интеграл определяет семейство конхчеоккх сечений, в
одном из фокусов которых расположен притягивающий центр.
Действительно» обратив зависимость A7.26), получаем
равенство /Д>- к *-Sk*+oo &5<0-^;огкуда уравнение конхчеокхх оече-
ний следует в виде ___
«8 ? ,р-±-?* е^Щ -\1ьЩг • <17-27>
Импульс р , определенный равенством A7,21), о учетом
A7.23) будет равен
3-W**7r--ja • *17-28>
Интегралы A7.23), A7.26) и A7.28) определяют семейство
траекторий в фазовом пространстве f9e9R,Ре . Поокольку^вДрл**.
эти траектории лежат в трехмерном подпространстве^, Я х
зависят от трех параметров h *C,B*
Пусть точка описывает эллипс с полуооямх а и 4 ¦ Воокдхжху-
справедлив интеграл площадей f*Q*C , то период обращения т
можно найти, поделив площадь эллхпоа^?^ ха оектериую окорооть
с/г ъ виде «г» ~р~ • /««»•¦ еще, что из двух вырахенхй Г
для параметра /*- -j-^тг П0ЛУ°°* ^ определяется в вхде i*cjfi f
оудем иыетьг=^оу^/^7 . Соотавхв отхохекхе г*: а5 убеждаемся,
что оно будет постоянно: « _j
следовательно, будет иметь кеото третий вакон Кеплера. Таххм
образом, из уравнений Уиттехера следуют вое три кеплеровых закона.
Что каоается закона движения точки вдоль траектории» то он
определяется в соответствии о выражением A7.II) в виде
квадратуры
*-X=7rf-F »¦ ' Y-const, (I7.29)
где параметры определяются формулами A7*24)»
Интеграл правой части можно предотавхть череа злемеятариме
функции различными выражениями, в зависимости от типа коихчеехо-
го сечения ( зддиптхчеокого, пароболхчеокого илх гиперболнчесхо-
го).
Таким образом интегрирование четырех гомхльтоховмх уравнений
87

для консервативной системы сведено к интегрированию двух
уравнений Уиттекера.
Составим теперь уравнения Якоби этой задачи. В соответствии
с результатами п. 4 § 16 кинетическая и потенциальная энергии
точки определяются выражениями
Иа двух представлений для кинетической энергии Т= j(p-ffV)=i 6-
устанавливаем, что 6 = "f Oi-fV1), где &'=^0/«f.
Следовательно, аналог лагранжевой функции в уравнениях Якоби имеет в силу
A7.17) вид J ,
P-ViMU4le'*Hh*?f-') . A7-30)
У точки на плоскости два степени свободы, поэтому Якобиева
оистема уравнений A7.12) будет содержать только одно уравнение
df Ъв' дО
В развернутом виде уравнение Якоби имеет вид
Это уравнение является уравнением втерого порядка относительно
функции 9(f) • Оно допускает однократное интегрирование, в
результате получаем первый интеграл
Jtm(At'2&) • * G =тв , с-const. (IV.32)
Нагрешив его относительно производной в и переходя в этом
выражении к обозначениям A7,24), получаем равенство
_ dG t
которое, очевидно, эквивалентно равенству A7.25). Последнее,
как было выяонено выше, интегрируется в виде A7.26)
Это соотношение или обратное ему, даваемое формулой A7.27)
$>-—?— ,
88

и определяет 3-параметрическое семейство траекторий в
координатном пространстве f , 6 .
Уравнение движения вдоль траектории устанавливается с жо-
мощью соотношения A7,19), которое в данном случае имеет вид
На основании интеграла A7.52) справедливо равенство
поэтому соотношение между временем t и координатой j? в летоде
Якоби A7,33) совпадает о аналогичным соотношением.A7.29) в
методе Уиттекера.
Таким образом, ввиду консервативности системы интегрирование
системы двух лагранжевых уравнений сведено к интегрированию
одного уравнения Якоби и к квадратуре.
§ 18. Системы с циклическими координатами
Наряду с обобщенно консервативными системами, понизить
порядок системы уравнений движения можно для другого класса
натуральных систем - систем с циклическими координатами.
1. Циклические и позиционные
координаты. Обобщенные координаты можно подразделить
на два типа в зависимости от того, входят или не входят они
явно в выражение кинетического потенциала системы.
Обобщенная координата Q<y называется циклической, если она
не входит явко в функцию Лагранжа, и позиционной, если она
участвует в выражении этой функции. Таким образом, для иикличвс-
Само название "циклическая координата" связано с тем, что
во многих механических задачах угол <f , характеризующий
движение по замкнутым траекториям-циклам, не входит явно в
выражение для функции Л и потому является циклической координатой.
Позиционными же стали называть все обобщенные координаты,
отличные от циклических*
2. Метод игнорирования циклически
координат. При выводе уравнений Гамильтона были уста-
89
кой координаты q_ имеем •«. - о , а для позиционной координа-
ал , ' *ч<?

новлены соотношения-?^- ~ т^-(<*.* 1,.,1%)« Из них ясно, что
если координата а^ -циклическая, то она не входит явно не
только в функцию L , но также и в функцию Я • В этом случае
соответствующее уравнение Гамильтона Р^-"^- e ° дает ин~
теграл p^ = c7oL=Co/?s^ri называемый циклическим. Он выражает
постоянство циклического импульса.
Пусть у системы ^ ,...,^/У7- позиционные шут^ *у*4а '
циклические координаты* Тогда гамильтоновы уравнения Д^-^4-
определят п-т циклических импульсов гл
ры.~0^ = Const (dL~m*jt9.„ , п). A8.1)
Циклические координаты не входят явно в функцию Гамильтона,
а соответствующие им импульсы постоянны, поэтому функция
Гамильтона имеет в этом случае вид
Из структуры функции Я следует, что первая группа уравнений
Гамильтона
d^^dH^ dpp __ дН
представляет собою замкнутую систему Ят дифференциальных
уравнений первого порядка с Sim неизвестными функциями а. уэ . Ироин
тегрировав эту систему, найдем
где Ъц, B'i - произвольные постоянные. После подстановки этих
зависимостей в ^Ia.2) функция И йуъъч зависеть только от време-
nH(?,B/jB8, ?*) f поэтому оставшиеся гамильтоновы уравнения
дИ
*}*=ТХ2 (cL«m+t%...% n ) определят циклические координаты в
зависимости от времени при помощи квадратур
dT~ дРл' Ti -^7 (Г''-'"' A8-3)
%-s-
ън di+ei (***?*/,..., а). Aв#5)
Тем самым уравнения движения полностью проинтегрированы.
Таким образом, интегрирование уравнений движения по существу
свелось к интегрированию системы A8.5), порядок которой меньше
порядка исходной системы на 2гединиц, где z=n- m - число
циклических координат. При интегрировании системы A8.3) циклические
90

координаты во внимание не принимаются» "игнорируются"у отоюда
проистекает и название метода, разработанного Рауоом.
В частности, если вое координаты циклические и сиотема
обобщенно консервативна, функция Гамильтона будет зависеть только
от импульсов Н-Я(РХ На основании уравнений Р(г--<М/Зот о
заключаем, что вое импульсы будут циклическимиpe*ClG* г,...,
/7 ), а функция Н - поотоянной величиной H(c)»Co/ts% . Mo тогда
из уравнений у(~*дЯ/э$<Гш I,•¦.,/?) следует постоянство
циклических скоростей и значит сами циклические координаты будут
линейными функциями времени
7" ЪС<г * A8.6)
Таким образом, в этом случае уравнения движения легко
интегрируются.
В заключение заметим, что между обобщенно консервативной
системой и системой с циклической координатой имеатоя сходство,
состоящее в том, что в обоих случаях порядок системы уравнений
удается понизить на две единицы. Отсюда можно заключить, что
время обладает свойством, аналогичным свойству координат. Эту
аналогию между временем и координатами можно проследить и далее,
ее корни будут установлены при рассмотрении интегрального
инварианта.
§ 19. Метод Пуассона нахождения интегралов уравнений
Пуассон указал способ определения интегралов канонических
уравнений, основанный на использовании нькоторой оистемы двух ¦ баиее
известных интегралов этих уравнений.
I. Интегралы уравнений движения.
Функцию j (t, a , р) называют интегралом канонических уравнений
dfr дН dP* ЪН (г . п. ,то тч
Иг - ^г' *аг - - sj5F "-'••-'Ь <19Л>
если она сохраняет постоянное значение на любом реяеиии этих
уравнений:
91

ia?,P>-<w. (I9<2)
Нередко интегралом называют само соотношение A9.2) .
Примерами интегралов могут служить: функция Гамильтона Н(сь,р)
для обобщенно-консервативной системы и циклический импульс Р
для системы с циклической координатой ^ .
Легко видеть, что для всякой совокупности интегралов//,...,/^
интегралом будет также некоторая функция этих величин; Поэтому"
представляют интерес только независимые интегралы.
Систему интегралов J^ с*,у,р) = Сш (cO*l,...y m^in) (I9.3)
называют независимой, если прямоугольная функциональная матрица
Р=
имеет ранг, равный т. . В этом случае из системы интегралов
A9.2) можно выразить т штук величин а? ..., ап , р? ,..., рп
через остальные координаты, импульсы и время.
Систему независимых интегралов A9.2) называют полное, если
число интегралов совпадает с числом координат и импульсов, т.е.
если /tf*j?/7. Условия полноты системы интегралов^,..., L ,
очевидно, можно представить в форме неравенства
Э(?, ¦••.?„) _
A9Л)
±0
d(f, - • >рп)
Для полной системы интегралов можно выразить все координаты
и все импульсы через время и постоянные
т.е. получить общее решение уравнений движения.
Таким образом, по известной системе 2/7 независимых
интегралов определяются все движения системы, йсли известно меньшее
число независимых интегралов, то они дают только частичное
представление о движениях системы, ^то представление будет тем
полнее, чем оольше интегралов. Отсюда ясно, что отыскание возможно
•большего числа независимых интегралов представляет важную меха-
92

ническую задачу.
В ряде случаев важно оывает знать является или не является
заданная функция интегралом уравнений движения«Критерий "интег-
ральности" функции можно выразить в терминах так называемых
скобок Пуассона*
2 .Скобки Пуассона. Для двух функций гамиль-
тоновых переменных 4>D,у,р), исследующая комбинация частных
производных:
называется скобкой Пуассона.
Из определения скобок Пуаосона вытекают следующие их свойства,
которые можно установить, например, непосредственным вычислением:
1° («,V) = -(%<f)f
A9.7)
^(C^V)9X)^(C%X)t^)HlX9V),V)-'0%
Первое из них выражает антисимметрию скобки относительно
порядка функций, аторое-тот факт, что постоянный множитель у одной
из функций можно относить ко второй функции, либо вогсе
выносить за знак скобки. Третье свойство выражает диотрибутивный
закон для скобки* четвертое свойство носит название тождества
Пуассона, справедливого для всякой тройки функций. Наконец,
согласно пятому свойству при частном дифференцировании по
времени скобка ведет себя аналогично произведению двух функций.
3. Критерий "интегральности" функ
ц и и . Критерий "интегральности" функции выражает
ТЕОРКМА 52. Для того, чтобы функция гамильтоновых перемен-
ныхШа^) была интегралом канонических уравнений,
необходимо и достаточно выполнение условия
93

|?*(?Я)-0. A9.8)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пуоть j-(*,4>P) - интеграл уравнений
t'(T=dH/dpif*p(?~-dH[d4(f Тогда на любом решении этой системы
на обращается в постоянную J(t, a, p )*С Вычислив полную
проивводную по времени от этого равенства с учетом уравнений
движения, будем иметь
4t~ М в ^?<5" ^ * 3/V "^ dt v^dfr dps dpj d<fs J
Полученное равенство с учетом представления скобки Пуассона
A6.9) совпадает со свойством A9.8). Обратно, если для
функции задано свойство A9.8), то о учетом уравнений движения его
можно представить в виде-^?-*0» следовательно,^* я, р )=С на
любом решении. Тем самым f(i а, р) является интегралом.
Теорема доказана.
4.Теорема Пуассона. Имеет место следующая
основная теорема, принадлежащая Пуассону.
ТЕОРЕМА 53. Если функции^*, ^,/>J *§(*>$> Р) являются
интегралами канонических уравнений движения, то их
скобка Пуассона (f, Ч) также будет интегралом этих уравнений,
т.е. теорема утверждает справедливость' условия
^+Hl),B)-0, (I9.9)
если аналогичные условия имеют место для каждой из функций
I ж а в отдельности
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. На основании пятого свойства скосок Пуассона
и условий A9.10) будут справедливы равенства
следовательно, в силу первых двух свойств A9.7) имеем
Складывая почленно это соотношение с тождеством Пуассона
94

((*,f),H)*(C].NU)*((N,f)9f)-0
и приводя подобные члены, приходим к условию A9.9), Теорема
доказана.
В задачах механики нередко случается, что несколько
интегралов канонических уравнений легко устанавливаются. Тогда
теорема Пуассона дает простое правило по двум интегралам/^,у,/>>м
Q(ttap) получать новый интеграл в виде окобки Пуассона от ахмх
функций ¦ ^
Таким путем в некоторых благоприятных олучаях удается найти
полную систему интегралов и тем самым определить все движения
системы.
Однако метод Пуассона далеко не всегда приводят к цели*
Часто оказывается, что скобка Пуассона от двух интегралов или
является функцией от исходных интегралов или же тождественна
обращается в нуль, т.е. нового нааависимого интеграла не дает.
Если для некоторой системы интегралов^,.., 9 ?ф окобка
Пуассона для любой пары функций обращается в нуль
(Щ)т0 (L.j'*,..¦,»>),
то такую систему называют инвалюционной системой интегралов.
Рассмотрим частные случаи. Вначале выясним, при каких
условиях функция Гамильтона будет интегралом уравнений движения.
Из критерия "интегральности"!^*^*, Hj-0* очевидного равенотва
(Н,Н)-о следует, что это будет при %f~° • Таким обравом
пришли к уже известному результату: гамнльтовова функция яв^
ляется интегралом для обобщенно консервативных систем и втот
интеграл выражает обобщенный интеграл энергии H(y,p)=h.
Пусть, наряду с Н(^%р-)% У системы есть еще и«еграл//*,а,уо).
Тогда в соответствии о теоремой Пуаосона будет интегралом и
их скобка(/, Н) • Если воспользоваться критерием "мнтеграль-
ности" для функции^-~*(?WJ-0 , то этот новый интеграл можно
представить в виде (^дг)в-??. Таким обравом, eoz*j(ttQff>)-
интеграл канонических уравнений обобщенно коноервативной^сис-
темы, то интегралом будет и ~9 а % следовательно, ж —*г
и т.д. Если же } от времени явно не завиоит, *о|?-*0 и
скобка Cf, Н)*о ¦ т*е. нового интеграпа не дает.
95

§ 20. Метод Якоби интегрирования канонических уравнений
Задачу интегрирования канонических уравнений Якоби свел к
задаче нахождения полного интеграла некоторого уравнения с частичными
производными первого порядка. Для изложения метода воспользуемся
рядом математических результатов.
I. Некоторые сведения из дифферен-
ииальных уравнений. Уравнение
Р(х?,....хт. *, */,.... 2^ = 0, B0.1)
связывающее между собою независимые переменные ху,,.., хт , искомую
функцию этих переменных%= 2 (Xj,..., хт) и ее частные производные
гб-Ьг/дх6 F=f,>.-t m) f называют дифференциальным уравнением с
частными производными первого порядка.
Решение j?^2(X,d) уравнения B0.1), содержащее т
произвольных постоянных <*Ц"ч оСф , называют полным интегралом этого
уравнения, если выполнено условие
^(bb&tUt-S0- B0.2)
Полный интеграл далеко не охватывает всех решений уравнения
B0.Лf однако знание этого интеграла позволяет восстановить
исходное уравнение. Действительно, вычислив частные производные от
полного интеграла по переменным х: 1=д2/дх#(б~1>,.., М) , получим
систему т соотношений, которую, ввиду условия B0.2), можно
разрешить относительно параметров &&= &е (х,г). Подстановка этих
параметров в полный интеграл и приводит к искомому уравнению
Тшг-1(х,+(л,г))=о.
Уравнению B0.1) можно сопоставить следующую систему
обыкновенных дифференциальных уравнений: •
<У«Х/_
ьр"
dzi
dxm dz _ dzt
" дР ~ dF ЭР
dim д? dxt
_ dzm
" ' " dP
~ ***,
B0.3)
называемую уравнениями характеристик. Если функция F не содержит
явно 2 , т.е. уравнение B0.1) имеет вид
96

Ь. Движение у о ч к и под действием
силы упругости. Пусть точка масоой т движется
в пространстве под действием силы упругости,пропорциональной
расстоянию точки от центра равновесия. Беря в этом центре
начало декартовой системы координат oc/f cz?,x3* найдем, что
кинетическая и потенциальная энергии точки определяются выражениями
T--J-ZX* n-^Zxi, k-consi>o.
Точка является, таким образом, консервативной системой с
тремя степенями свободы. Кинетический потенциал системы имеет
значение
В этом случае обобщенные импульсы совпадают с обычными импульса-
т fa^dL/dx^MX+ для функции Гамильтона в соответствии
с формулой //- Т* П получаем выражение
поэтому канонические уравнения движения имеют вид
di dp, m df dp * *
Легко видеть, что эта система имеет интегралы
Sr**pM-*sP* ~G* ' &ш*зР*- *tP* ~с* >
выражающие постоянство кинетического момента точки
относительно первой и второй координатных осей.
Скобка Пуассона двух интегралов
Wit'extdp* др? дх< dxtdpz dpgtoz дх*дР* дрздхГ *™ Ф
дает третий интеграл
Л-ЪРг-ЪРз-еэ,
который выражает постоянство кинетического момента точки
относительно третьей оси. Легко проверить, 4T0(J3fJ?)-/lf (StfjsLi*
В данном случае будет интегралом и функция Гамильтона
7--jfcZ(pi+kma?)*h. Однако поскольку^*о (±~Ш\, будем иметь
97

dzm
-
Я
к
0
B0.6)
б и .Ка-
то один из параиетров в полной интеграле будет входить
аддитивно z* z< а:, <*/,. .,<*,„ .^«^Усдовие B0.2) при этом заменяется
условием г т-1
dei(?^SxX.*~i*° > B0.5)
а уравнения характеристик принимают вид
dx< dxm_d*t ш
dtt дгт дх?
2.У равнение Гамильтона -
ионическую систему уравнений Гамильтона
doff ъЯ &. ЪН dH дИ ,_ й
представим в следующей форме:
d±fx = ^k__^L=_^i = „dPb d(-H)
ЛЦЯ'" Ш_~ i ±IL ~Ш. ^ дн ' <2°«8)
Сопоставление уравнений B0.6) и B0.8) показывает их
однотипность. Уравнения будут совпадать, если принятьт= л+i ,
причем
Таким образом, равенства B0.8) являются уравнениями
характеристик для дифференциального уравнения с частными
производными первого порядка
п'Щ-'Ъ-*'*^ ifj"°' B0.9)
где неизвестная функция обозначена через 5 • Это уравнение
называют уравнением Гамильтона-Якоби.
Искомая функция непосредственно не входит в это уравнение,
поэтому его полным интегралом будет решение, содержащее пч
постоянную, из которых одна входит аддитивно:
S = S(yIt...,Q„.t,Ai,..., <*„)*<*„„ , причем для него выполнено
условие B0.5)
98
de4(^4- )" *° • B0.10)

Ценность рассмотрения уравнения Гамильтона-Якоби для задач
механики определяется следующей теоремой*
З.Т е о р е м а Якоби. Имеет меото установленная Йко-
би
ТКОРЕМА 54. Ьолиб^,*,*) предотавляет собою некоторый
полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби B0.У), то
интегралы гамильтоновых уравнений движения B0.7) даются
соотношениями
as ?1 a (s п)
d<fr~P<" д*/Г* Ж/' ' J' B0.11), B0.12)
где <±а н fa(<?-<,.../1)- произвольные постоянные»
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку 5 - полный интеграл, для него
выполнено условие B0.10), в силу которого уравнения B0.12)
можно разрешить относительно обобщенных координат, вырван мх
через время и постоянные. Вместе с равенствами B0.11) они
определят соотношения
1*т<1<,(*>+'/»9 Р*т/Ъ(*.**/Н (***>-> "Л B0.15)
дающие движения точки в фазовом пространстве. Докажем теперь,
что эти функции удовлетворяют уравнениям Гамильтона B0.7) при
произвольных значениях ы. и В •
пункции B0.13), буд,чи подставлены в равенства B0.11) и
B0.12), оооощают их в тождества по t я и 3 .
Дифференцируя тождество Bu.I2) no t , оудем иметь
и другом стороны, подстановка полного интеграла в уравнение
Гамильтона-Якоби B0.9) превращает его в тождество по a, i, <*, ;
дифференцирование его по ^ дает
ыъ+, <?*ь з^ы, и ( ' ' ' J
Составив разность полученных выражений, приходим к линейной
однородной алгебраической системе уравнений
99

т Ъ^Ъ<}гУ dt dpT/
Ввиду B0*10) определитель системы не равен нулю, поэтому
система имеет только нулевое решение, следовательно,
?2s„-^L (r-t,...,»).
dt дрт у B0.13)
Аналогично, дифференцируя тождество B0.11) по Ь , а
тождество B0.9) - по aG , придем к равенствам
dZS , rr &S dfr dp* _c
dyjdi г д^дуг dt dt
Составив разность этих соотношений и учтя условия B0.13),
будем иметь
f'=-5^ «¦'.-¦»¦ (ш.)
Уравнения B0.13) и B0.14) показывают, что функции qs и^,
определенные соотношениями B0.11)^20.12), действительно
удовлетворяют гамильтояовым уравнениям при произвольных оС и в .
Теорема доказана.
Итак, согласно теореме Якоби интегрирование гамильтоновой
системы уравнений сводится к разысканию, полного интеграла
уравнения Гамильтона-Якоби. В общем случае обе задачи
одинаковой трудности. Однако во многих случаях оказывается проще
найти полный интеграл, а затем по теореме Якоби и сами
интегралы канонической системы, чем непосредственно интегрировать
эту систему уравнений. В этом обстоятельстве и состоит ценность
метода Якоби.
§ 21. Метод Имшенецкого разделения переменных
Общего метода отыскания полного интеграла уравнения Гамиль-
тона-Якоби не существует. Однако в ряде случаев, имеющих
интересное физическое содержание, оказывается возможным найти
полный интеграл, причем его нахождение сводится к квадратурам.
Такого рода задачи возникают при специальной структуре функции
100

Гамильтона и называются задачами о разделяющимися переменными.
I. Теорема Имшенецкого. Метод разделения
переменных,предложенный Имшенецхим» основывается на следующей
теореме.
ТЕОРЕМА 55. Пусть функция Гамильтона имеет вид HfafyfP*),
Чш^уРи?)' пРичем Ш*0' ^0ГД* полный интеграл уравнения
'"" Гамильтона-Якоби'
Т^ЩЩ^,...,^,^ Ц;]-0 B0.15)
можно представить в форме
^ф?(^^)^^Г(^..,^,*9^9...,^), B0.16)
dS
dS
где j- - Fx(f<, <±х) - функция, обратная к функции fify,-^)*
*о^, a "lV(a,t,dL)~ полный интеграл уравнения в чаотных
производных
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть S определяется выражением B0.16).
Тогда ее производные будут равны Ц- =¦ -|^р %^j—jCu)*i.t... 7n) ;
вместе с условием^ fa/,f| )*<** это означает^ что уравнение
B0.17) принимает вид B0 Л5). Следовательно, S будет
решением уравнения Гаяилыона-Якоби, содержащим /? параметров.
Заметим далее, что
Э5
д*5 ЪР<
dZ5
д*У
(Г-А...» А)
Ц-** ?/' <>> dfybt*" д«л *r» a"?^= Э^Э^ (со = -i,..., rt) *
поэтому гессиан функции 5 будет равен
det/&J\ =
aV a*v
37**t< b(fgd^'
Ь1У д*У
•0
д*У
д*У I
101
aV
w' laKi20,I8)

Легко видеть, что этот гессиан отличен от нуля.
Действительно, если продифференцировать по м^ *оадвство///у/,/У&, <<*)]=<<
то будем иметь Щ -f^;=' , следовательно, j?=C^?)"Vo-
Кроме того, dei (а у У^ Ли>*0 ¦ поскольку v есть полный
интеграл B0.17). *Гаким образом, функция 5 , определенная
выражением B0,16), действительно является полным интегралом
B0.15). Теорема доказана.
Итак, если в выражении функции Гамильтона аргументы <j? и pt
удается выделить в виде отдельной функции js (fy, px), то
отыскание полного интеграла исходного уравнения сводится к
аналогичной задаче для уравнения, в котором число независимых
переменных на единицу меньше, чем у исходного, т.е. к более простой
задаче. Иногда этот процесс удается продолжить на несколько
шагов. В случае, когда можно сделать п шагов, определение
полного интеграла сводится к квадратурам.
7.С истемы с разделяющимися
переменными, а) Пусть система имеет циклическую координату
4t • *¦•• dq"*° • Tor*a полагавм/1я||- и определяем
производную |? мз^уравнения ^?шы1 в жид7х1?*/? =*<*, . Полный
интеграл B0.16) при этом будет равен *'
s-<M<*rfy''''?"'*'<*''- >+п)- C20.I9)
Конечные уравнения движения, определяемые в соответствии с
теоремой Якоби формулами B0.11), B0.12), будут иметь вид
б) Пуоть оистема обобщенно консервативна, т.е. -$±-0,
Тогда оопряженные величины ^/-^р^-Цлодя* в уравнение
в виде одной функции и можно принять ^/ws|f' ш<*-лы**~ h ~*п+* •
Полный интеграл при этом будет равен
^-^W^,,,,,^^...,^,^, B0.20)
гдеЛГ являетоя полным интегралом уравнения в частных
производных
it, ЗУ 3vx ,
^••••'f»»v'"'4-) B0,22)
102

полная система интегралов B0.11) и B0.12) « атом случав
будет
-*"frV- B0-2i°
Первые/;*/ интегралов B0.23). называются геометрическими.
Они не содержат времени ив п - мерном координатном
пространстве определяют семейство траекторий изображающей точки.
Последний интеграл B0*24), содержащий время, называют
кинематическим; он дает закон движения изображающей точки по
траектории* Вторая группа интегралов в B0.23) называется
промежуточными. Они служат для нахождения импульсов.
в) Пусть система обобщенно консервативна и ее гамильтонова
функция имеет специальную структуру
В этом случае все переменные разделены: сопряженные величины
?<г и /V входят в И только через функцию /s .
Уравнения Гамильтона-Якоби имеет вид
б[Н1Ж)....,мъфН <2°-25>
Уравнение, очевидно, допускает п ¦ кратное понижение числа
независимых переменных, после чего оно переходит в соотношение
между константами G(*lf^><*n)~h* Полный интеграл уравнения
B0.25) при этом имеет вид Vя%>jFf(%,*r)dfa •
Что касаетоя полного интеграла исходного уравнения B0.15),
то он будет равен
S— G(+i,~.9+„)i*2.jF,ty,+e)<lfc , B0.26)
д$ л д$
конечные уравнения движения ?Г*& > ^ ш fa B данном
случае с учетом равенства 2?с ^7if?i yf запишутся так:
?* -Щ'+Л-^ЧТШЛ "Л №-<•..,^.B0.27)
103

Заметим, что соотношения G(<*i,..-,^/7)=b можно разрешить
относительно, например, *n=cLn(aLg, ,.,<*пч, h ) и записать функцию 5
в виде
Тогда конечные уравнения движения, подобно B0*23) и B0*24),
можно представить в форме
а ,/ ^ + 1±-( —^ tf-t&fj9" B0.28)
У ъРи> >Pc*=F„ VgpTk-P,, I ърп )рп =Fn
Такая форма, как уже выше отмечалось, лодравделяет интегралы
обобщенно консервативной системы на
геометрические,кинематический и промежуточные.
Таким образом, для уравнения вида B0.25) отыскание конечных
уравнений движения осуществляется с помощью квадратур.
г) Пусть
B0.29)
Тогда уравнение для нахождения полного интеграла V имеет вид
Легко видеть, что здесь также последовательно применим метод
понижения числа независимых переменных. В результате, после
п -го шага получаем интеграл V в квадратурах
Следовательно, '
$ = -<*„*+? JG^^,^,'**)^- B0.3I)
Заметим, что после дифференцирования тождества
dQ За ъС
по параметру я^ у получаем выражение -^*i!2?L,-?!?i = o э
откуда* " ***-ibP* d*<r-i
104

ifk= dfrr / df.
te Ы-r-tl ty
-J:
7<r
B0.32)
v<r
С учетом этого выражения нетрудно установить, что конечные
уравнения движения системы -M- = ftrf j~- = /V имеют вид
3<v ' 9^<г
Как и в предыдущем примере, интегралы здесь подразделяются на
геометрические (первые п - I интегралов), кинематический и
промежуточные (последние п равенств;.
3. Разделение переменных в
задаче о центральном движении. Пусть
точка А\ движется в плоскости под действием силы тяготения к
неподвижному центру. Как было установлено в пЛ § 16,функция
Гамильтона точки имеет вид г
где и - гауссова постоянная притягивающего центра, ар и 9~
полярные координаты точки.
Уравнения Гамильтона -Якоби в данном случае имеет вид
Легко видеть, что система обобщенно консервативна и имеет
циклическую координату в • Поэтому можно положить
тогда для V* получаем следующее обыкновенное уравнение:
Оно определяет эту функцию в виде квадратуры
r(f,±, h) -j/ш **f~f <*?¦
Такмм образом, полный интеграл уравнения в чаотных производных
имеет значение # / » ш*
Интегралы канонмчеоких ур$внен1й движения в данном случае
105

определяются соотношениями
и имеют в подробной записи вид
{/р-и/п/е(. г mdp
Pt~)/gmk*t*?-4 , Ре~*
Первый из них является геометрическим интегралом; он
определяет в координатном пространстве (т.е. на плоскости)
траекторию точки в виде
1 М IAJ *mhPe ,л л)
Itrso рмд.ть, что траектория является каноническим сечением
5 i-ecos(e-)) /"** V jj1***
Второй интеграл кинематической, он дает закон движения по
траектории. Наконец, два последних интеграла промежуточные; они
определяют обобщенные имнульоы.
106

Г л а в а 1У
ДВИЖЕНИЕ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим теперь неголономные механически ubctvmh, т.е.
несвободные системы общего вида, и установил для ixx удобные
уравнения для определения движения. Покажем, что применение
обобщенных координат для неголономных систем ведет к исключению
из уравнений движения только реакций геометрических свявей,
реакции же кинематических связей при этом остаютоя. И только
введение так называемых псевдокоординат позволяет полностью
избавиться от реакций и получить требуемые уравнения.
§ 22. Уравнения Рауса для неголономных систем
I. Вывод уравнений. Будем рассматривать неголо-
номную систему N точек общего вида, движение которой
ограничено а геометрическими и К кинематическими овязями. Для
получения уравнений движения системы в обобщенных координатах
станем исходить из лагранжевых уравнений первого рода и
уравнений связей
^а9г19...9гм)шо (<*=/,.-, f),2ZtpV'V$i-J)/>-o (ft-*,...,k).
Учитывая вначале только геометрические связи, можем ввести
т=5Ы-й обобщенных координату,...,ат. Тогда радиуоы-векторы
и скорости точек можно представить черев обобщенные координаты
и обобщенные скорости по формулам
107

Подстановка выражений zy(i а)в уравнения геометрических
связей обращает последние в тождества ^(i»^)-О f<*=/,..., Q) ,
поэтому в дальнейшем их можно не принимать во внимание.
Уравнения движения после умножения на соответствующие величины —^
и суммирования результатов приводит к соотношению '*"
При выводе лагранжевых уравнений в обобщенных координатах было
выяснено, что первые три суммы в этом выражении имеют значения
у, JVvdzv^J дТ дТ Ppdz,_Q р х р df+ Ы* _р\ uJLa0
что касается последней суммы, то ее можно представить в виде
где матрица llhtxrll > очевидно, имеет ранг, равный К .
Используя эти результаты и имея в виду, что индекс <г
может принимать любые значения от I до m , приходим к
уравнениям
d ЪТ дТ п п ,
М^ЦГ^х^** «Г-*-'")' B2.3)
называемыми уравнениями Рауоа для неголономных систем.
Уравнения же кинематических связей после перехода в них к
обобщенным координатам и скоростям преобразуются к виду
где матрица /Масг// определяется выражением B2.г).
Уравнения B2.3) и B2Л) образуют замкнутую систему: они
содержат т + к уравнений для нахождения такого же числа
функций fyi-ffmi \*t><~ » fJK •
108

2. Исследование уравнений. Система
B2.3), B2.4) является дифференциальной относительно
координат о# и алгебраической относительно множителей h>t .
Исключим иа нее множители. С зюй целью уравнения Рауса
представим в форме, содержащей в левых частях уравнений ускорение
изображающей точки в координатном пространстве
где новые обобщенные силы свяэаны с прежними силами следующими
выражениями:
b'Q^+bUrb-Z^lFb-^' <22'*>
Будем рассматривать B2.5) как алгебраическую систему для иемэ-
вестных множителей с^,..., Uk • Эта система переопределена.
Условия совместности системы и будут служить уравнениями для
нахождения движения. Будем считать, что обобщенные координаты
перенумерованы таким образом, что отличный от нудя
определитель К-го порядка матрицы Ц ha r II имеет вид
+ 0. B2.7)
h« '' ' Нкк
Тогда первые К уравнений движения B2*5)
определяют множители связей в виде
Подстановка множителей в остальные уравнения движения
109

приводит к условиям совместности алгебраической системы,
которые уже не содержат реакций и служат для определения движения
f ($еЪа<Гт~а5т) <}т=К (S-k«,.„, M,B2.9)
где
Полученные уравнения содержат все обобщенные ускорения. Их
можно упростить, если часть ускорений исключить. Действительно,
ограничения,налагаемые на ускорения кинематическими связями.
* ~ B2.11)
можно рассматривать
как алгебраические ура вменю для ускорений. В силу B2.7 ) они
определяют первые к ускорений через остальные ускорения в
виде
где матрица IICeill определена выражением B2.10).
Представив теперь сумму в B2.9) в виде двух частей
и исключив из уравнений с помощью B2.12) зависимые ускорения,
получим искомую систему уравнений в виде
%DSz%=Z>s <S-1r**,...,k>»), B2.I3)
где положено
Ds'P^f (? CSsa.?t-aSL ) с'ь . B2.15)
Покажем, что эту систему можно представить в виде, разрешенном
относительно ускорений. Справедлива следующая
НО

ЛЕММА 3. Определитель линейной системы B2*13) отличен от
нуля, т.е.
A=dei (В*г)\"9к„+'0- B2.К)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. пусть А « о » тогда однородная сиотеыа
Zps?=0 будет иметь ненулевое решение 4fcM,..., ?^„ •
Умножая уравнения на соответствующие |s и окладывая результаты*
придем к равенству Е*Рзг$$Ъг=° • в подробном виде р
учетом выражения B2.14) оно имеет вид
Рассмотрим теперь алгебраическую систему уравнений
в которой неизвестными являются величины $,,„., 4, , величины же
Чн' "> ^ь представляют собою полученное выше ненулевое
решение. В силу B2*7) система определяет искомне величины в виде
Полученные выражения позволяют представить B2.17) в следующей
форме:
или в компактной записи
?аеЛК~<> <е,т~1,...,к>п).
Это условие противоречит положительной определенности формы
2L <^\^ ?т • Форма обращается в нуль только при нулевых
значениях переменных $,,_.¦.,& » ив предыдущих же рассуждений
видно» что эти переменные не'равны одновременно нулю. Демма
доказана*
На оонованих B2Л6) уравнения B2.13) разрешимы
относительно независимых ускорений:
VV'<M^ </>**">••> k+«)< B2.18)
III

Правые части этих уравнений содержат все координаты и
скорости,поэтому для нахождения движения к B2.18) следует присоединить
уравнения кинематических связей B2.4), которые удобно взять
также в разрешенном относительно зависимых скоростей виде
%"?<L,(ty№D), V?4V c--f Mr B2Л9)
Исключение из функции ЕрA,Q, 4 ) с помощью B2.19) зависимых
скоростей дает выражение, которое обозначим через Ер (Ч,^,4? ).
Замкнутая система B2.18) и B2.19) лредставима в виде
следующей нормальной системы 2т-к уравнений:
d<jP
di
Ь' ~ж'~Ер (i'J'%) (р=ки,...,к+п) , B2.20)
присоединим к ним согласованные со связями начальные условия
t-O, %@)*<fc,fy(o)=jZ «Г*/,..., к*»). B2.21)
Условия разрешимости задачи B2.20), B2.21) выражает
Ш?Ш 56. Пусть fv(-tIz,v)ec', eaY({,7,)ec*z^(tt<f)eC3.
Тогда задача Коши B2.20), B2.21) имеет единственное
решение.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Нетрудно убедиться в том, что при условиях
теоремы правые части нормальной системы B2.20) непрерывно
дифференцируемы по переменным i, a, at , но тогда теорема следует
из теоремы 4 первой части курса.
3. Особенности уравнений. Метод Рауса
представляет собою комбинацию лагранжевых методов обобщенных
координат и неопределенных множителей. Он приводит к уравнениям,
позволяющим определять и движение системы, и реакции
кинематических связей. Уравнения Рауса не зависят от числа точек
механической системы.
Однако эти уравнения не столь эффективны, как уравнения Лаг-
ранда второго рода: они содержат реакции связей, чем
утрачивается одно из важных преимуществ лагранжевых уравнений.
Для определения дашеняя ¦ уравнениях Рауса яледует
предварительно исключить реакции, что приводит к дополнительным
вычислениям. В дальнейшем будут пожучены более удобные в этом отно-
112

шении уравнения Аппеля, свободные от указанного недостатка.
§ 23. Качение монеты
Проиллюстрируем составление уравнений Рауоа для неголоном-
ной системы» которой является монета» катящаяся по
горизонтальной плоскости*
I.Ii остановка задачи и уравнения
связей. Пусть монета катится без скольжения по
шероховатой горизонтальной ллоскооти. Монета представляет собою
тонкий диск о массой т , радиусом А и главными центральными
моментами инерции г,» It±h>
Возьмем начало О системы отсчета в некоторой точке
плоскости качения» причем оси хх и Xg направим с самой
горизонтальной плоскости» а ось х3 - перпендикулярно к ней вверх.
Положение монеты определим координатами «zf ее центра маос
С и эйлеровыми углами VU » фиксирующими ее ориентацию в
пространстве (см.рис. 15). Однако» как сейчас будет выяснено» не вое
эти параметры будут независимы.
Так как монета катится без
скольжения» то скорость точки
касания К должна быть равна
нулю, это приводит к векторному
уравнению кинематической свяви
где а) - угловая скорость
монеты. В проекциях на оси
системы отсчета оно эквивалентно
Рис.15.
следующим трем уравнениям кинематических связей
tf^rf-^tf-^
Vi+Vsti-tuifJ-O, vf+cOifZ-rtitf^o
Проекции скорости центра маос и угловой окорости тела даются
известными кинематическими формулами
*-«;.
4-*i, ч!=*\>
Что касается проекций $Щ » то здесь требуется специальное
рассмотрение* Прежде всего» заметим» что точками касания в
разные моменты служат различные точки монеты» поэтому удобно
ИЗ

получить для р* выражения, не содержащие координат этих
точек.
Примем во внимание, что точка К принадлежит вертикальной
плоскости, определяемой осями схь и С4з» * что линия уэлов
CiV перпендикулярна этой плоскости. Теперь легко видеть,что
угол К'С Упрямой и искомые проекции имеют значения
Подстановка проекций величин по вышеприведенным формулам в
уравнения овявей приводит жх к виду
Как видим, уравнения явно не содержат времени, т.е. связи явля-
ютоя стационарными. Первые два уравнения неинтегрируемы, т.е.
являются кинематическими связями. Их можно заменить более
простыми уравнениями, представляющими собой очевидные комбинации этих
уравнений
ХС?Згп </, -i/&s «S - <? &$in <? = О,
Что касается последнего уравнения, то оно донускает интегрирование
т.е. эквивалентно геометрической связи
Х*-&3*»Ъ • B3.3)
Таким образом, из мести параметров а:^ чЧ^D*Ц.ъ) независимы
только пять. В дальнейшем за обобщенные координаты монеты
примем величины
V**' ft"**' Ъш*" Ъш"*' ЪШЧ-
Обобщенные же скорости ^ уже не будут независимы, они овяза-
ны двумя соотношениями B3*2)•
Итак, монета является неголономиой склерономной системой с
тремя степенями свободы.
2. Уравнения Рауса для монеты.
Для составления уравнений Рауоа требуется звать кинетическую
энергию системы, обобщенные силы и А- матрицу. Найдем
выражения этих величин. Кинетическая энергия монеты согласно теореме
114

лёнига определяется выражением
А Коли учеоть уравнение геоиетричеожоа связи, условие симметрии
Id * 1± и кинематические формулы Эйлера
то получим для анергии следующее лредотавление в вавиоимости
от обобщенных координат и скоростей:
г- j-cif ijbftjfy/cbfyp* ?^A^;*iU«a»^tf B3.*)
Обобщенные силы определяютоя формулами Q^**p. *Ii— то$&
( G-1 ,...,Ь). С учетом формулы B3.3) они будут р!Ьи:'*К
гконец, сравнивая между собою общее
навливаем, что h - матрица имеет вид
Наконец, сравнивая между собою общее выражение кииетичеоких
связей ГА^^-о D*»i,t; *"•/,...,*) с формулами B3*2), уота-
ha hu bib h his " * II &*Ъ ЗЬ% «be* О Л | '
Теперь легко видать* что для монетм уравнения
с учетом амражаняя B3.*)-B3.6) дш кяяатячеоко! щрш, обоб-
ценшх онл ж А - матрицы ж подробном вида яашшутоя ояадуяяаи
образом;
**fm/*t ***1 *ft9**t. (аз.7)
т*Ж—/*1<!о9Ъ*№Ъ, B3.8)
37A>,3</^?4^*1)-/!г*Л** » B3.9)
Пять уравяеяя! Payee B3.7)-B3.II) вмяеса о двумя уояомяш
качашя B3.2)
116

х/л-л « -*/&*«* = ^ЯЛ"<4> X-f&sV'xfj^-* аз B3.12)
образуют систему семи уравнений, которая определяет семь
неизвестных величин л?д?, <?, Ъ>%,Р"р1 • Из УРа^бний B3.7) и
B3.8) для множителей связей получаем следующие выражения:
Ut = mdfjin <6-??<>esq), jJi=/п(&*СозЦ+ё%&Р<4). B3.13)
Легко выразить /// и //? через Эйлербвы углы и их производные;
в самом деле, из Bз.12) имеем
Учитывая B3.12)-B3.14), получаем
Подставляя теперь эти выражения //, , fa * уравнения B3.10)
и B3.11) и исключая ^ из соотношений B3.9) - B3.11), найдем
три уравнения для Эйлеровых углов:
Aз+тД1)&й-т?ЬхЪ5*Ъ, B3.17)
^ (Tx^S^\)^I3 eu5<ttJifi<ft B3.18)
Теперь можно составить дифференциальные уравнения, выражающие
величины ti)s и % как функции от ^ . Вводя вместо %
величину U,, равную Cosfy » и представляя осевые моменты инерции
монеты по формулам
л f 9 л i 9
u-Co$«it h=-qm?, Г^-^тА ,
запишем уравнения B3.17) и B3.18) в форме
Исключив отсюда Функцию Ф? , налодим
d { ? do) Л L л
Эи[с'-и '-За}-?***-0' «23^)
Это дифференциальное уравнение ьторого порядка типа Лежандра
определяет си3 как функцию от и . исключение же из системы
B3.19) величины оо5 приводит к уравнению
116

«-«А^И*. $-"-«А*,. B3.ai)
которое определяет $ » а следовательно и У/ как функцию
от & . После нахождения зависимостей У^СЩ) и ?>3f<j;
уравнение B3,16) становится уравнением для определения функции ^W-
3. Установившееся движение монеты*
Рассмотрим установившийся режим движения монеты, при котором ее
плоскость составляет о горизонтом постоянный угол oi , а центр
движется по окружности радиуса z со скоростью г&
(см.рис.16). В этом движении <?*«?,
-* *- """ ^ ^ ^ -Si. Из условия качения
/v-^t ^^\ и_выражения угловой скорости аЗ*
^l/fp^ri— ^ ^ Zo/6?«fi * % *j получаем равенство
^[<1 /С/Т5^ "" ^"Л Проектируя_его на направление
K\**L*jL' 'UL • скорости Ус , будем иметь
При значениях функций
уравнения B3.17; и B3*18) удовлетворяются тождественно, а
уравнение B3.16) определяет следующее условие на параметры
при установившемся режиме:
(GitJZCos^&^tQCtQaL. B3.22)
§ 24 Уравнения Алпеля
Аппель в 1899 году установил уравнения движения неголоном-
ных систем, которые, подобно лагранжевым уравнениям второго
рода, не содержат реакций связей и тем самым весьма удобны для
нахождения самого движения. Эти уравнения Аппелю удалось
установить на основе рассмотрения так называемых псевдокоординат.
Псевдокоординаты, псевдоскорости
и псевдоускорения. Будем рассматривать
движение несвободной системы л/" точек общего вида, т.е. при
наличии а геометрических и К кинематических связей вида
117

так что система имеетn^dN-Q-k степеней свободы.
Используя сначала только геометрические связи, можно
ввести т=зл/- о обобщенных координат U/f» , ^m и представить
череа них и через время радиусы-векторы и скорости точек в
виде зависимостей
Подстановка этих величин в уравнения геометрических и
кинематических связей обращает в тождества первые из них:^<^,с)=0
(ci'if'tti)* а вторые преобразует к виду B2.4)
' _ B4.3)
где коэффициенты Ад<г при скоростях и свободные члены /ь
являются функциями времени и координат.
Таким образом, для неголономной системы обобщенные
координаты могут принимать произвольные значения, но обобщенные скородти,
уже не будут произвольны, они должны удовлетворять условиям
B4.3) • Введение обобщенных координат позволяет в дальнейшем
рассмотрении не учитывать уравнения геометрических связей.
Долагаем, что прямоугольная матрица jlhpell имеет ранг к и
что отличный от нуля определитель B2.20) составлен из к
последних ее столбцов. Тогда соотношения B4.3) можно разрешить
относительно последних К скоростей, выразив их через
остальные независимые скорости
Подстановка этих выражений в кинематические связи B4.3)
обращает их в тождества по независимым скоростям.
Удобнее, однако, пойти по более общему пути, взяв за
независимые величины не п обобщенных скоростей, а некоторые п
независимых комбинаций этих скоростей
где матрица 1М$гЦ имеет ранг, равный п • Линейные формы
B4.5) вообще неинтегрируемы, поэтому сами величины 5[$ могут
не иметь смысла. По этой причине величины Ц($ называют
псевдокоординатами, а производные от них по времени jT и Л5-
соответственно псевдоскоростями и псевдоускорениями.
118

Обращая зависимости B4.5), что в силу условия ^еМ{$^)гЬ9^°
можно сделать, получим выражения независимых скоростей черев
псевдоскорости; в оилу условий B4Л) через псевдоокорости
выразятся также и зависимые скорости. Таким образом* будем иметь
fr-f frA> c*'dt ¦•" "**;' B4#6)
где коэффициенты при JTt и свободные члены являются
известными функциями времени и координат^9tC^h^(tt^) • Из
предыдущего ясно , что прямоугольная матрица л а6г А имеет ранг,
равный /?. '
Поскольку псевдоскорости являются преобразованными
независимыми обобщенными скоростями, подстановка выражении B4.5) в
уравнения кинематических связей B4.3) обращает последние ж
тождества по псевдоскоростям
Отсюда получаем, что должно быть
Эти условия будут использованы при выводе уравнений Аппеля.
Таким образом, введение псевдокоердинат позволяет обратить
в тождества уравнения кинематических связей и тем самым в
дальнейшем не учитывать зти соотношения.
Формулы B4.2) определяют скорости точек сиотемы в
зависимости от обобщенных скоростей. Если воспользоваться соотношениями
B4.6), то эти скорости можно представить в зависимости от
псевдоскоростей посредством соотношений
B4.8)
Vv«f*yA+f*
<де положено
*«v«^-f-s?*.'
(у-*,...,лг;,
''v"<r?sf>+
Ъ1у
at
B4.9)
Таким образом, скорости точек являются линейными функциями
псевдоскоростей. Дифференцированием по времени B4.8) получаем
соотношения
119

т.е. ускорения точек являются линейными функциями
псевдоускорений. Отсюда, взяв производную по Т(г , находим равенства
H'=?V? (vw,...„V; ft....,n), B*.II)
выражающие сойою леыму.
ЛЕММА 6. Производная от ускорения по псевдоускорению не
зависит от ускорений и определяется соотношением B4.11)*
2. Вывод уравнений. Будем исходить из лагран-
жевых уравнений первого рода. При движении системы с о
геометрическими и к кинематическими связями они имеют вид
м^Ъ+ЯкЦ^+^фр (*=А...,Ю. B4.12)
Что касается уравнений самих связей, то введение обобщенных
координат и псевдоскоростей приводит к тождественному их
выполнению.
Умножим равенства B4.4) на ?1г и просуммируем по всем
точкам системы
Рассмотрим выражение каждой из сумм этого равенства. Введем в
рассмотрение энергию ускорений U , определив ее подобно
кинетической энергии (энергии скоростей) по формуле Z17= ? т а*.
Тогда с учетом леммы B4.11) первая сумма допускает
представление
Вторую сумму ооозначаюз; через
и называют псевдосилой, подобно тому, как псевдоскорость была
линейной комбинацией обоОщенных скоростей, псевдосила является
аналогичной комбинацией обобщенных .сил.
Что каоается двух последних сумм, содержащих реакции, то они
обращаются в нуль. Действительно, первая из них равна нулю:
поскольку, как отмечалось ранее (8.5) 7<рС =0 ; вторая сумма
равна нулю: Ъ<^е
120

на основании условий B4.7; вр#* о .
Подставляя в B4 л 3) установленные выражения для сумм и имея
в виду, что индекс г может принимать любые аначения от I до
п , приходим к уравнениям* не содержащим реакций
которые называют уравнениями Аппеля.
для составления уравнений Аппеля следует внать выражения
для анергии ускорения и псевдосил в зависимости от времени,
оооощенных координат, псевдоскоростей и псевдоуокорений; уста-*
новим эти последние*
3. Энергия ускорений. Подставляя в энергию
уокорений IU~Qmyqv выражения ускорений череа псевдоускорения
согласно B4*10), будем иметь
V-{Zm?<$Z„X%**-*t {?^Л%*%9*ъ%ъ*Ъ, B4Л7)
где коэффициенты являются функциями времени, обобщенных
координат, поевдоскоростей и определяются выражениями
Как видим, энергия ускорений представляет ообоЬ квадратичную
функцию псевдоускорений; ее можно записать в вида оуммы трех
однородных форм
где С/я- квадратичная, Vt - линейная форма, a U0- форма
нулевой степени относительно псевдоускорений:
Ъ-iZ ****** , Vr%*z\> Uo-*o . B4.20)
Таким образом, энергия уокорений имеет структуру, аналогичную
структура кинетичеохой анергии.Заметим, что энергия U0 не
содержит псевдоуокорений, поэтому беа ущерба для уравнений
Аппеля ее можно опуотять.
В частном случае склерономной системы время не входит в жа-
висимооти между декартовыми и обобщенными координатами, а
кинематические овяаи однородны, т.е.
2к=0 с*-'....,Ю, ъго м-*,...,к).
121

Эти условия влекут за собою выполнение следующих соотношений:
г« L m^^ u'=iZmva'v . B4.22)
ае=0 '«Г~1,.„, П + к), ?у = 0 (V-?,...,N). B4^1)
Тем самым величины ?у в соответствии с формулами B4.21)
принимают однородный вид, но в нуль не обращаются. Поэтому
будут отличны от нуля и величины двгуэ€0 .
Таким образом, в отличие от кинетической энергии энергия
ускорений для склерономной системы сохраняет свой общий вид
и не обращается в однородную квадратичную форму
псевдоускорений. Энергия ускорений обладает свойством, выражаемым следующей
теоремой*.
ТЕОРЕМА 57. Энергия ускорений механической системы равна
сумме энергии ускорения ее центра масс, считая, что в нем
сосредоточена вся масса, и энергии ускорений при движении
системы относительно осей, поступательно перемещающихся
вместе с центром масс
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Представим ускорение V-Сточки в виде
суммы относительного, переносного и кариолисова ускорений
?у=5%а^о.у . В силу поступательности переносного движения
а*=0, сР^^о-с * относительное же ускорение имеет общий вид,
в дальнейшем обозначим его так: c%~a'v . Таким образом, а^а^а^
и энергия ускорений равна
Из определения центра масс системы и того факта, что
подвижные оси имеют начало в этом центре, следует равенство
Lmyz^mz^O . Вычисляя от него вторую производную по
времени (абсолютная и относительная производные здесь совпадают),
приходим к условию Emvafv = 0 . Это условие обращает в нуль
среднее слагаемое в выражении B4.23) и тем самым приводит его
к виду B4.22). Теорема доказана.
Эта теорема аналогична теореме Кенига для кинетической
энергии системы, в ряде случаев она упрощает вычисление энергии
ускорений.
122

4. Псевдосилы. В соответствии с определением
B4.1Ь) псевдосилы являются комбинациями активных оил /7t =
= ?Fv?vt . В рассматриваемом случае радиусы-векторы и скорости
точек будут функциями времени, обобщенных координат и псевдо-
скоросгей iy(*iy),vv(i,y9 Я) ¦ поэтому функциями этих
переменных будут и активные силы TyCt,z,v)=F^(ii^/^.Учитывая еще,
что ey^evt^/^)» приходим к выводу, что пункциями времени,
координат и псевдоскоростей будут и псевдосилы
Для фактического вычисления лсевдосил нередко удобнее
пользоваться выражением виртуальной работы SA=?f Szy , представив
ее предварительно через псевдосилы. С этой цельр на основании
B4.8) запишем равенства
dlv=ZZwtdTizi-lvclt, d\=%t,td'lit + l„d* (v«J„..,Jt),
где dzY и d'Ly - два возможных в рассматриваемом положении
перемещения системы, a d%z ис/'/?г- отвечающие им приращения
псевдокоординат. Составив их разность и учитывая, что fiv~d'zv-
-div 7 Stc=d,Zt-d%z - виртуальное перемещение системы,
представленное в декартовых и псевдокоорцинатах, будем иметь
следующее выражение первых через вторые ;
Теперь виртуальная работа допускает следующее представление;
т.е. работа активных сил на вариациях декартовых координат
представима в виде работы поевдосил на вариациях псевдокоординат.
вариации псевдокоординат являются произвольными независимыми
величинами. Пользуясь этим обстоятельством, можно применять
следующий прием для вычисления поевдосил. Системе дают такое
виртуальное перемещение, при котором отлична от нудя только
одна вариация 8\г , и вычисляют виртуальную работу 8At*nzS%b .
Тогда поевдосила Пг будет равна fl^SAJSU^.
Из выражения ОД^й^можно также оделать заключение о
размерности поевдооилы. Эта размерность зависит от размерности
псевдокоординаты 1(t и должна быть такой, чтобы произведение
nzST(t имело размерность работы.
123

5. Исследование уравнений.
Представим уравнения Аппеля в виде, разрешенном относительно
псевдоускорений» На основании формулы B4.17) для анергии U будем
иметь ип ~
поэтому уравнения Аплеля Щ~ПГ пред ставимы в виде
ЕХгз%=Пг-эег (г=1,.-.,п) . B4.27)
Эти равенстве можно рассматривать, как алгебраическую
систему относительно псевдоускорений. Имеет место следующая
ЛЕММА 7. Определитель алгебраической системы B4.27) отличен
от нуля, т.е.
A-dei(H„?XAmt+o. B4>28)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть л « о , тогда однородная система
уравнений JLxzs$s = 0 имеет ненулевое ремеиие ^,...7 kn . После
умножения уравнений на соответствующие числа hz и
суммирования Оудем иметь Z dtZ5$z?j*0. С помощью формул B4.18),
B4.9) и (9.9) aid условие можно записать в следующем подробном
виде:
Квадратичная форма с коэффициентами a^v является
определенно положительной, поэтому ив равенства нулю этой формы
следует равенство нулю величин
??•*$*-* (б0-*....,***, г = /,...,л).
Полученные условия выражают линейную зависимость столбцов
матрицы || асг || , следовательно, ее ранг будет меньие п ,
это противоречит исходному положению; лемма доказана.
b силу леммы ? алгебраическая система B4.27) имеет решение
^f*/*^"*^ (Р>*='»«>")> B4.29)
где черев || эеръ||обозначена матрица, обратная матрице // Э?рг\\.
Равенства B4.29) представляют собою уравнения Аппеля,
разрешенные относительно псевдоуокорений. В правых частях этих
уравнений, наряду с псевдоскоростями, содержатся также
обобщенные координаты. Присоединив к B4.29) выражения обобщенных
скоростей через псевдоскорости
124

fr-gfrrV/* (**'»- ntK>> B4,30)
получаем замкнутую систему in*-к уравнений для нахождения
функций cjif,.tf qn^k\ ^,...,^„. Эта система определяет движение него-
лономной системы.
Представим систему уравнений Аппеля и связей между
обобщенными и псевдоскоростями B4.29) и B4.30) в нормальной форме
4&= Тр(^Л), Тр-%Щг(Пг-Х1)(р.?....,П), B4>31)
и присоединим к ним начальные условия
i*0, fy(o)-fi (<Г-1,..,,Л+<к-), ftf>(o)=K°f> (f> = J9...9/>). B4.32)
Условия существования решения системы уравнений Аппеля,
удовлетворяющего начальным условиям, выражает следующая
ТЕОРЕМА 58. Пусть активные силы Fv(i,z9V)€eJ, коэф(&щиен-
ты зависимостей между обобщенными и псевдоскоростями Qez&tf)>
%(.Ь,Я)^0^ , а также связи между декартовыми и
обойденными координатами Yy(it(f)ec59 тогда задача Коши B4.31),
B4.32) имеет единственное решение.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Легко видеть, что при условиях теоремы правые
части уравнений B4.31) будут непрерывно дифференцируемыми
функциями переменных it <J> ft. Следовательно, в силу теоремы 4 и
первой части курса задача Коши B4.31), B4.32) имеет единственное
решение.
Таким образом, решение задачи о движении неголономной системы
при использовании уравнений Аппеля сводится к интегрированию
нормальной системы порядка 2п*-к . При естественных условиях
гладкости активных сил, а также соотношений, отражающих выбор обобщенных
координат и псевдоскоростей, существует единственное движение
неголономной системы из заданного начального состояния.
6. Особенности уравнений. Уравнения
движения неголономной системы в форме Аппеля во многом аналогичны ла~
гранжевым уравнениям.второго рода для голономных систем. Они
также не содержат реакций связей, не зависят от числа точек
системы. При составлении этих уравнений важную роль играет
энергия ускорений аналог кинетической энергии.
125

Чиолд тех и других уравнений совпадает с числом степеней
свобод» системы, и эти уравнения используются для эффективного
определения движения*
Однако еъть и различия. В то время как лагранжевы уравнения
образовывали замкнутую систему, уравнения Аппеля этим свойством
не обладают и для своего интегрирования требуют привлечения
дополнительных кинематических соотношений. По этой причине
порядок системы уравнений Аппеля равен 1п+к % что на к единиц
превышает порядок дагранжевой системы.
В уравнениях Аппеля в качестве псевдоокоростей можно взять,
в частности, независимые обобщенные скорости. Тогда несколько
видоизменяется энергия ускорений и псевдосилы, а также упростятся
кинематические уравнения: общий же порядок системы уравнений
останется прежним*
Уравнения Аппеля в поевдокоординатах можно, в частности,
применять и к годономным системам, при этом они дают иные
формы уравнений, отличные от лагранжевых; эти уравнения будут
совпадать о лагранжевыми, если sa псевдосксрости веять
независимые обобщенные скорости.
§ 25. Вывод из уравнений Аппеля динамических уравнений
Эйлера
Покажем, каким образом из уравнений Аппеля могут быть
получены динамические уравнения Эйлера для сферического движения.
Пусть твердое тело совершает сферическое движение вокруг
неподвижной точки О • Примем эту точку за начало системы
отсчета Oxjf%>zx3. В качестве сопутствующей системы координат
?/' *>% * ^з В08ЬМвм главные оси инерции тела для точки О •
Обобщенными координатами тела могут служить эйлеровы углы <?,<^,^»
В качестве псевдоскоростей возьмем компоненты угловой
скорости тела в сопутствующих осях
126

Легко видеть, что эти соотновеввя нежвтегрмруемы, поэтому сами
поевдокоорданат не оуществует. Дкфферанцвровавмам по времена
ооотвовенвй B5.1) с учетом ханематкчеохкх формул ?иш?ь+(+т4&)
устанавливаем эавиоимоств
..Да
Я^Чс8*^ (cL = /,*,V, B5*2)
т.е. псевдоуокорениями служат компоненты углового ускорения та*
ла в сопутствующих осях.
Представим-энергию ускорений твердого тала
U-l JQldm B5*3)
в зависимости от поевдоуокоренжй. Согласно теореме Рквадьоа
ускорение точки тела равно векторной сумие вращательного ж осе-
стремительного ускорений _
a*i*z+o0*vf У«Э«Е,
поэтому квадрат ускорения, а вслед аа ним ж энергия уокоренжЯ,
можно представить в виде оуммм трех слагаемых
lUmj(?*I)*Jm+uj(ut4)(E*t)dm+J(Sb*V)dm . *&Л\
т т I*
Последнее слагаемое оооаначжм черев lU* ; оно на содержит
псевдоуокоренжи» поэтому его вид ве окажется на уравнениях
Аплеля. Что каоаетоя двух первых слагаемых» то жх удобно
преобразовать* Имеем для первого
се < г). (?к г)*?-[ис?Л)]* h[z*E-t(Zi)]- ?-frV-1 г]-1,
где 3*113^11 - единичный тенаор, а г?-"$«4*1 * диада*
Для преобразования второго слагаемого воспользуемся
известным ив векторного анализа тождеством, которому удовлетворяют
любые три вектора
Оно ыожет быть подучено разложением каждого члена по формуле
двойного векторного произведения и сложением результатов* Uoc-
дедний член тождества ввиду формулы v«<3* г" равен нулю, поэтому
два первых члена отличаются друг от друга только знаком
127

Имеем далее
Возвращаясь к интегральной формуле BЬЛ) и вынося эа знак
интеграла угловые характеристики движения тела, будем иметь
ГДе 2V=EloI + 2?'(u*L0)+2U* , B5.5)
Io=j(t*$-zz)dm, 10-/г* 4dm=l0-(x>
соответственно тензор инерции и кинетический момент тела
относительно центра. О* Представим полученное выражение в
компонентном виде. Раскладывая векторы и тензор инерции в базисе
сопутствующих осей и имея в виду, что эти оси-главные реи
инерции для точки О , получим для энергии ускорений следующее
окончательное выражение:
и^рЛ+?/^1«Ач'Ъ. B6.6)
Установим теперь выражения для псевдосил. Твердое тело
является склерономной системой, поэтому для него виртуальное
перемещение совпадает с возможным перемещением. Следовательно,
будет справедлива формула (?z = dz=cDJ4*z.O учетом этой
последней виртуальная работа активных сил будет равна
где м^- компоненты в сопутствующих осях главного момента
активных сил, а Л^с/^^^Л^вариации псевдокоординат. Отсюда
следует, что псевдосилы совпадают с компонентами главного момента
активных сил
П^А^ U= 1,2,3). B5.7)
Теперь легко видеть, что уравнения Аппеля |j = /7rf (*~?,2,5)
непосредственно дают динамические уравнения Эйлера для
сферического движения
Эти уравнения были установлены во второй части курса из теоремы
об изменении кинетического момента.
128

j 26. Движение саней по наклонной плоскости
Применение уравнений Аппеля к существенно неголономной
системе проиллюстрируем на примере движения саней по
наклонной плоскости.
1. Постановка задачи и
составление уравнений. Пусть сани массой т движутся по
гладкой наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол оС .
Будем рассматривать движение саней относительно инерциальной
системы отсчета х19х^ лг3,оои xIt х^ которой взяты в
наклонной плоскости так, что "ось Xi направлена по линии
наибольшего ската, а ось xz- горизонтальна; третья же ос> хъ
направлена перпендикулярно наклонной нлосодсти вверх.
Положение саней в плоскости движения х?х& определяется
тремя обобщенными координатами, в качестве которых возьмем
декартовы координаты jc?, х& центра масс С саней и угол <f ,
линией наибольшего Ската (Рис.17),
т.е. примем ^ xcit fy=xcZ) у3 = ч>.
Считаем, что сани не могут
перемещаться в направлении,
перпендикулярном полозьям. Это значит, что
скорость центра масс всегда
параллельна полозьям. Это накладывает на
скорости следующее ограничение:
который полозья образуют с
¦*<*1*
= 0.
B6.1)
сани являются неголономной
пенями свободы.
Это уравнение стационарной
кинематической связи. Таким образом,
склерономной системой с двумя сте-
4озьмем за псевдоскорости независимые
обобщенные 'скорости 4t= X? , %s V .
Для определения движении саней воспользуемся уравнениями
Аппеля. С этой целью составим выражения для энергии ускорений
и псевдосил. 5 соответствии с теоремой 59 энергия ускорений
равна ZU=ma*+&U*. Очевидно, с учетом (гб.1)
с*, я.
Учитывая, далее, что движение саней относительно центра масс
129

является вращательным вокруг оси ел'ъ и при этом ускорение л
любой точки саней равно по величине а =г' /$г*ч>* , где г' -
радиус вращения точки» будем иметь
lVJ=Ja'*dm = l5(V8+<f*), h = Jz'*dm,
где Jd— осевой момент инерции саней относительно оси С<х/а .
Таким образом, энергия ускорений саней окончательно равна
где череэ ил - обозначены члены, не содержащие
псевдоускорений
Для вычисления лсевдосид будем составлять выражения
виртуальной работы. Изменяя поочередно сначала первую, потом вторую
псевдокоординату, будем иметь
Отсюда ясно, что псевдосилы будут равны
П'~/77" yi-^sw; П^Ме^о. B6.3)
Составляя теперь с помощью выражений B6.2) и B6.3) уравнения
Аппеля
9х< "" dip-"* '
найдем, что последние имеют вид
' ' B6 Л)
2.интегрирование уравнений, уравнения
B6.4) после соответствующих упрощении совместно с уравнением
кинематической связи B6.1) образуют следующую оистему
уравнений Апнеля:
х/* xltf^<f*fi Сс^Ч>, ^26.5)
4 = 0, B6.6)
±€ = ±е*оЧ> B6.V)

Проинтегрируем ее при следующих начальных условиях:
t-0, xf*xl~<t=0, X?=V, <?*&- B6.8)
Величина х% не задается в начальный момент, а определяется
иа уравнения кинематической связи.
В рассматриваемом случае активная сила - вес м представления
обобщенных скоростей черев доввдоокорости йвдяютоя аналитическими
функциями, поэтому в оиду теоремы 60 задача Коми B6.5)-B6.8)
имеет единственное решение.
уравнение B6.6) ораву интегрируется, о учетом начальных
условий его ремение будет равно
<t=(D4. B6.9)
В силу этого условия B6*5) становится уравнением для
функции xf:
Х?*я$соЪв<яI * о? Cos u)i •
Это уравнение являетоя линейным относительно производной xf.
Его интегрирование при указанных вше начальных условиях дает
«?*~ VCoscOl + bjiflCO-LCosaOl.
Уравнение B6.7) при атом принимает вид
xf^ytSufCO-i-h %- Sio*u>{.
* сО"
Интегрируя полученные уравнения еще pas при учете начальных
условий и условия B6.9)fнайдем окончательно
Xj- 29Sinri* + Z?t 5in*C0t9
*l=?y-cos<ui) + buBcoi<-Si*2*>i), i/.ш • B6.10)
Уравнения B6.10) и определяют закон движения саней.
3. Исследование движения.
Определим, как далеко съедут сани вниз по склону, для чего решим
уравнение if = o;
Cos <**(у*х? &" coi) ш°<
Отсюда ясно, что должно быть либо CpsurftO v либо jc>?a?4*-?p'.
Формула B6.10) при этом дает для я? следующие значения: •
1 2а>* ud * 24i
Из последнего уравнения B6.10), далее, находим у *о)* aw/Таким
образом, сани будут равномерно вращатьоя вокруг центра маоо о
131

угловой скоростью иЭ , а сам центр масс Судет описывать не-
которую кривую» заключенную между горизонтальными прямымижх= а:^ ,
я, ='jc;c. Рассмотрим частные -^учаи.
а) Пусть v=o , т.е. движение саней началось без скорости
скольжения, но с некоторой скоростью вращения. Тогда уравнения
B6*10) представимы в виде
jfi^^-zLi-CosZtot), ¦**=& (Quol-Sin&col) 7 B6.11)
т.е. центр масс саней описывает циклоиду с точками возврата на
оси Хц и радиусом производящего круга, равным Qx/^eo .
б) Пусть U^o , т.е. сани движутся по гладкой
горизонтальной плоскости. Тогда и^ойглы. =0 , и уравнения B6.10)
после исключения времени дают
с& , с v * V*
*-<>(**-&)=& '
т.е. в этом случае траекторией центра масс будет окружность
радиуса v/oo , имеющая центр на оси х% и касающаяся оси^ ,
е начале координат.
в) Наконец, пусть со = о . Тогда уравнения B6.10) после
раскрытия неопределенностей приводят к очевидному результату:
т.е. сани будут совершать прямолинейное движение с постоянным
ускорением Qt = QSin oL .
132

Глава У
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТ
В основе классической механики лежат законы Ньютона. На
основу этих законов при соответствующих обобщениях были получены
уравнения движения механических систем общего вида* Однако
механическую теорию для того или иного класоа систем можно
построить, исходя и из других исходных посылок: можно
постулировать справедливость либо некоторого вариационного принципа,
либо некоторого интегрального инварианта и эатем из них получить
все содержание механики. Таким образом, вместо индуктивного
способа построения механики можно избрать другой, дедуктивный
способ.
Вариационный принцип выражает собою некоторое общее свойство
движения. Он позволяет сформулировать критерий, обычно в форме
экстремума некоторой величины, который выделяет действительное
движение механической системы из класоа допустимых движений и
тем самым дает возможность получить уравнения движения системы.
Интегральный инвариант выражает собою другое
характеристическое свойство движения, позволяющее также построить уравнения
движения системы.
Рассмотрение иных, чем Ньютоновы законы, основ механики
целесообразно по ряду причин. Во-первых, этим преследуется цель
установления наиболее общих законов природы, управляющих
механическим движением; во-вторых, некоторые из новых аксиом являются
более компактными и обозримыми, чем Ньютоновы законы, и их
удобнее обобщать на новые неклассические области физики; наконец,
в-третьих, получаемые из этих акоиом уравнения движения свободны
от наперед неизвестных реакций связей и тем самым весьма удобны
133

для нахождения движения.
Вариационные принципы при соответствующем обобщении понятий
справедливы также в механике сплошных сред, оптикеf
электродинамике * теории относительности.
§ 27. Принцип Даламбера-Лагранжа
1. Дифференциальные и
интегральные принципы. Вариационные принципы подразделяют
на дифференциальные и интегральные* Первые ив них выражают
характеристическое свойство действительного движения для каждого
момента времени, а вторые - для всего интервала изменения
времени.
Дифференциальные принципы в рамках классической механики
обладают несколько большей общностью, чем интегральные: некоторые
из них справедливы для неголономных систем общего вида, в то
время как интегральные принципы выполняются только для
неголономных систем с линейными кинематическими связями. Однако
дифференциальные принципы формулируются в определенной системе
координат и выражаемое ими свойство не является инвариантным. В
отличие от этого интегральный рринцип не связан с какой-либо
координатной системой, поэтому его можно выражать в любой системе
отсчета*
Основными дифференциальными принципами являются принцип
Даламбера-Лагранжа, принцип Журдена, принцип Гаусса и принцип
Герца. Наиболее общим из них является принцип Гаусса, который
справедлив для механических систем с произвольными
кинематическими связями. В дальнейшем, однако, ограничимся рассмотрением
наиболее употребительного принципа Даламбера-Лагранжа. Хотя его
справедливость для неголономных систем и связана о линейностью
связей, но именно такие связи, как уже упоминалось ранее, пред-
отавляют наибольший практический интерес.
2. Формулировка и обоснование
принципа . Имеет место следующий принцип Даламбера-
Лагранжа. Действительное движение механической системы с
идеальными связями отличается от всех других допустимых движений тем
свойством, что для него в каждый момент времени равна нулю
сумма работ активных сил и сил инерции на любом виртуальном
перемещении системы, т.е.
134

E(fy-m?5v)-fli-0. B7Л)
Обоснование принципа. Пусть рассматривается двяяеняе
несвободной оистемы JV точек о ядеадьншш связями. Тогда имеют
место уравнения двияеяяя ояотемы
т*Ъ*ш%*Вч (V*jL,...,J)TJ B7.2)
и выполняется уоловяе ядеальвоотя связей
ZH^fy-o. B7.3)
Умножим каждое на уравнений B7.2) окалярно на вектор
виртуального перемещения соответствующей точки 8zv и
просуммируем результаты, в итоге подучим
В этом равенства¦ввиду уоловмя идеальности B7.3), последняя
оумма равна нулю, и оно принимает вид B7Л)» Необходимость
принципа тем самым обоснована.
Пусть теперь, наоборот» дано некоторое ооамеотное оо
связями движение системы, для которого выполняется ооотноиение
B7 Л). Освободим систему от связей, добавив я активным силам
Д, оиды реакций связей J0V и обозначим череа ?ъ*
виртуальные перемещения такой освобожденной ояотемы. Тогда принцип
B7 Л) будет иметь вид
JL (\*&y-mvav)8if~o. B7Л)
В силу того, что теперь величиям 8г* независимы и
произвольны, из уодояия (Z7Л) будет следовать равенотво нулю коаф-
фициентов при них:_ _
F^ + fiy-/r>y5y=0 (.*»*>..., N).
Последние равенства представляют собою ньютоновы уравнения
движения несвободной системы B7.2), чеы и доказывается
достаточность принципа.
Таким образом, принцип Двдамбера-йаграяжа эквивалентен
дифференциальным уравнениям движения несвободной ояотемы о
идеальными связями. Соотношение B7Л) называют также общим
уравнением динамики, Оно было установлено Даграняем*, который положил
это уравнения в основу своей знаменитой "Аналитической механики*,
135

опубликованной в 1788 году.
Исходя из общего уравнения динамики, можно решать все
задачи о движении механических систем. При этом следует иметь в
виду, что общее уравнение динамики представляет собою, по
существу, не одно уравнение, а систему уравнений, поскольку это
соотношение справедливо для любого виртуального перемещения.
Для каждого конкретного виртуального перемещения общее
уравнение динамики дает одно дифференциальное уравнение движения
системы. Перебирая различные виртуальные перемещения, получим
полную систему дифференциальных уравнении движения.
Из принципа Даламбера-Лагранжа можно непосредственно вывести
уравнения движения голономных и неголономных систем.
3°. я ы в о д из принципа уравнений 1а-
гранжа второго рода. Рассмотрим движение голо-
ноыной системы N точек при наличии а геометрических связей.
Получим уравнения движения системы, в обобщенных координатах,
исходя из общего уравнения динамики B7.1).
Введемn=3fit-Q независимых обобщенных координат яу,..., <1п •
Тогда через них и время могут быть выражены ьсе декартовы
координаты точек, а следовательно, и их радиусы-векторы гу (*, а,) .
Ранее было установлено, что при этом виртуальные перемещения
точек связаны с вариациями обобщенных координат посредством
зависимостей <fzv = ?,|^r <^сг- Подставив эти зависимости в
уравнение B7.1) и производя перегруппировку членов, будем иметь
Z(?F-p'-Z»v&^)Sfr-0. B7.5)
Как было выяснено, первая из сумм, стоящих в скобках,
представляет собою обобщенную силу
что касается второй суммы, то, производя известные
преобразования и используя* кинематические леммы, ее можно представить через
кинетическую энергию посредством выражения
Внося наиденные выражения для сумм в соотношение B7.5),
будем иметь
136

риации обобщенных координат
обобщенных коор
ны, подученное рааеиотжо может вшюднятьоя только при раваиотва
Так как вариации обобщенных координат независимы и произволь-
нуд» коэффициентов при воех вариациях Sas . Отсюда приходим
к уравнениям Лагранжа в обобщенных координатах
Таким рбравом, для годбноиных оиотем общее уравнение
динамики эквивалентно уравнениям Дагравжа второго рода.
V. Вывод и в принципа уравнений
А п п е д я . Пуоть негодоноиная система N точек движатоя
при наличии о геометрических и к кинематичеоких овяаей,
т.е. имеет п IbN- а -к отепеней свободы. Установим уравнения
движения оиотемы, отпраадяяоь от общего* уравнения динамики B7Л).
Введем TJ-rt+k обобщенных координат <jif,.., Qm- и п поев-
доскоростей *!Cif..., Jtn • Тогда черев эти величины могут быть
выражены радиусы-векторы, скорости и виртуальные перемещения
точек
Первые две группы этих ооотноиенмй обращают в тождеотва
уравнения геометричеоких и кинематичеоких связей; ооотнояения жа
последней группы позволяют предотавить общее уравнение динамики
следующим обраэом:
Z (ZFy • ZVf-Zmvas 1Ч?)П? »0. B7#7)
Легко видеть, что первая сумма выражения! заключенного в
скобки, представляет поевдооилу
что касаетоя второй о^ммы этого выражения, то о помощь»
кинематической леммы flf"*^* ее можно представить в виде
производной от энергии Покорений
Таким образом, ооотнояение B7.7) можно запибать также в
виде
Вариации поевдожоординат независимы и произвольны, поэтому
137

данное равенотво имеет место только при равенстве нулю
коэффициентов при вариациях Sn? • Отоода следуют равенства
представляйте собою уравнения Аппеля» описывающие движение
негодономной системы в псевдокоординатах. Таким образом, для
неголономных систем общее уравнение динамики эквивалентно
уравнениям Аппеля.
§ 28* Принцип виртуальных перемещений
Рассмотрим вариационный принцип Дагранжа для равновесия
системы.
I.B ы в о д принципа иэ общего
уравнения динамики. Общее уравнение динамики
Z (Р^-*Пуа?Nг^О B8.1)
справедливо для произвольных движений механической системы N
точек с идеальными связями. Применим его к равновесию системы.
При равновесии уравнения "движения11 имеют вид Чя иу = г°
( V-*,..., jrjf поэтому во вое время будут равны нулю скорости и
ускорения точек Vt »5V»0 (\>*/,.,,,Я). Уравнение B8.1) при этом
упрощается и прилипает вид
ЯР*'***'**- B8.2)
Это равенотво выражает собою следующий принцип
виртуальных перемещений: положение равновесия системы с идеальными
связями отличается от воех других допустимых положений тем
свойством, что для него равна нулю сумма работ активных сил на
любом виртуальном перемещении системы.
Этот принцип был обоснован Лагрвнжем и носит его имя.
Принцип виртуальных перемещений представляет собою самый общий
принцип аналитической статики. _
Пусть активные силы потенциальны» т.е. Fj=-^= (V*/,...,JI0,
тогда их виртуальную работу можно представить чер?э вариацию
потенциальной энергии
и выражение принципа виртуальных перемещений B8.2) принимает
вид
138

/Л-О. B8.3)
Таким образом, в олучае потенциальцых ом принцип имеет
явно выраженный вариационный характер 0н утверждает, что
положение равновесия консервативной системы о идеальными связями
отличается от других допустимых положений тел свойством, что дхя
него потенциальная энергия принимает стационарное значение*
Если механичеоиая оиотема находится иод дайотвием тохвко они
тяжести, то она является консервативной оиотеиой* Потенциал
веса V - й точки П+ -pwtft-*,tf*jf • где «в; - вертикальная
координата точки* Следовательно/ потенциальная анергия системы
имеет значение /7в7*С/^*х,«Л1ех5,где ftt-маооа оистеии, а С -
ее центр масс* Притаит B8.3) при атом принимает формулу
т.е. положение равновесия сяотеин тяжелых точек о идеальными
связями отдичаетоя от всех других допустимых положений тем
свойством, что для него центр тяжеотж ванииает стационарное
положение по вертикали* 8тот рееультат носит название принципа
Торичелли.
2.в ы в о д и а принципа закона Паск а-
л я . Пусть невеоомаи жидкость покоится в некотором замкнутом
сосуде, находяоь под определенный-давлением. Уотаяовжм
сравните льнув величину давления в различных точжах поверхности,
опираясь на принцип виртуальных перемещений.
Отброоин ^шоленно оболочку осюуда на некоторых двух различных
элементах de? и d€z его поверхности* Тогда в иаруиенных
частях поверхности жидкость получит некоторые довожнитежвныо отепе-
ни свободы* Придадим жидкоотж виртуальное перемещение,
состоящее из перемещений <?/Н ?*& оовобождеиимх частей, не
принадлежащие касательным плоокоотя*, к подсчитаем иа нем сумму работ
давлений
/* dff? Sf^d^Sl^ ftftg+fribr
где pi и /зА- давление иа первом и втором злементах
поверхности, a $Vi> #ГЯ- объемы протеям» через ких жидкооти*
Приравняв кулю, согласно принципу 1агранжа, ату злеиентарну»
работу и приняв во внимание уолоше несжимаемости Svt * SvjfQ ,
будем иметь
139

Отсюда, ввиду произвольности объема 8vt , следует соотношение
выражающее собою закон Паскаля о равенстве давлений во всех
точках поверхности сосуда.
З.В ы в о д уравнений равновесия
систем ы . Из принципа виртуальных перемещений могут быть
получены уравнения равновесия любых конкретных систем* Ранее было
выяснено, что при равновесии связи системы должны быть
стационарными, В дальнейшем предполагаем это условие выполненным. Считаем
также , что активные силы не зависят явно от времени;
поскольку при равновесии скорости равны нулю, эти силы будут функциями
только положения системы PV = FV (z)*
Рассмотрим вначале голономную систему с q геометрическими
связями. Система обладаетп=зл/~а степенями свободы. Введем п
независимых обобщенных координат<]?,...,оптаким образом, чтобы
зависимости ъ^(у) явно не содержали времени, и представим
виртуальное перемещение системы через вариации обобщенных
координат Sz^z—^-^^ (V=/,..., M) , Тогда виртуальную работу
активных сил можем представить через элементарную работу обобщенных
сил по формуле
Теперь легко видеть, что принцип Лагранжа B8.2) для голоном-
ной системы можно представить в виде
Отсюда, ввиду независимости и произвольности вариаций оа^ >
следуют уравнения равновесия голономной системы
Q<r(psO ((> = /,...,/!), B8.6)
число которых совпадает с числом степеней свободы системы.
Эти уравнения в случае их независимости, т.е. при условии
art,,.- , вп) *°>
определяют обобщенные координаты положения равновесия.
Рассмотрим теперь неголономную систему. В общем случае на
систему наложено о геометрических и к кинематических
связей, так что у системы будет п = $А/-д-к степеней свободы..
Введем т* п / к обобщенных координатo/f t%,9 Qm и и,
псевдокоординат посредством скоростей 71х,,,., 1( • Тогда активные
силы, радиусы-векторы и виртуальные перемещения могут быть
представлены в виде
140

Виртуальная работа акпванх out ця »м* «доиатея ж вждв
работы поввдосил на варяацшв воаждокоордиат
V v
и лагранжев
принцжп имеет над у
. ..г м произвольны, ж
поэтому жв принципа
следуют /? уравнений равновесия яеголономной «жетажж
Ъ-СП-О (ft.-,*). B8.7)
Эти уравнения служат для нахождения жоордияат<fif,>.,um
положения равновесия» Легко видел, однако, что жрж лалрчжи у
системы кинематических связав /></л ш система (?8.7) иедаапре-
делена: она содержит меньие уравнений, чем чжохо жожомых величии»
То есть, для существенно неголономмых слотем вахвчж иахожжеижя
положения равновеожя является неопределенной.
Однако уравнениями B8.7) можно о успехом пользоваться для
нахождения равновеожя голоноияых сиотем, которые являются чаот-
ным случаем систем неголономкых. йействмтельно, ж атом олучаа
кинематических связей нет, поэтому т- п ж оиотеиа B8.7)
становится замкнутой. При иаваажожжоотж уравнений, т.е. жрж уо-
ловии
&(nit..., гу) ^
эта система определяет координаты положений равновесия.
Проиллюстрируем это обстоятельство на следующем примере
^•Уравнения равновесия
свободного твердого тела. Применим принцип виртуальных
перемещений к выводу уравнений равновесия овободного твердого
тела. Твердое тело можно рассматривать жаж голожЬмную сиотему
со стационарными связями, имеющую иесть степеней свободы.
Обозначим через *v0 скорость некотором точки о тела, ввятой за
полюс, черев со - угловую скорость тела, через F ж Йв-
главный вектор и главный момент относительно полюоа преложенных
к телу активных сил. В онлу отационаржоотж связей виртуальное
и возможное перемещение тела будет оовпадать, поэтому пережеще-
ние его V-й точки будет равно
141

Используя это выражение, виртуальную работу активных сил можно
записать в виде __ _
и, следовательно, принцип Дагранжа допустимо представить в
форме
ZF^di + ZM°pCOpdi-0. B8.8)
Возьмем за обобщенные координаты твердого тела декартовы
координаты полюоао?,xf,л?и эйлеровы углы?,^/% » а за
псевдоскорости выберем компоненты скорости полюса и угловой
скорости тела в системе отсчета. Тогда вариациями псевдокоординат
будут служить величины
St^dTi^Jc^di U*ij,*) STu*dbp=a)bdi Cf*4.S,6).
Что касается компонентов главного вектдра и главного момента сил,
то, как явствует из B8*8), они служат псевдосилами и,
следовательно, зависят от координа*л?, <?/<** 4*/-V. Таким образом,
левая часть равенства B8.8) представляет собою работу псевдосил
на вариациях псевдокоординат* Ввиду независимости и
произвольности этих последних из уравнений принципа B8.8) следует равенство
нулю псевдосил
FJx',<f)*o, lA°Jxo,iP) = 0 (J.-*.*.*). B8e9)
Эти условия и представляют собою обычные уравнения равновесия
свободного твердого тела.
§ 29 Вариационные задачи
Интегральные вариационные принципы в механике формулируются в
виде экстремума некоторого функционала в специальном классе
допустимых функций. Естественным аппаратом для рассмотрения этих
вопросов служит вариационное исчисление. Расмотрим некоторые
характерные вариационные задачи.
1.П рямой и окольный пути. Пусть движение
механической системы между двумя ее конфигурациями описывается
определенной на интервале, ?ia, id] системой гладких функций
y,-f,W. *е[*,.Ъ] (*-<..:. *)» B9Л)
142

являющихся решением уравнении движения, В раосиирениои
координатном пространстве 2П44 ¦ где координатами точки служат
величины^,...,ул и время t , ато движение иаойражаетоя
некоторой кривой, называемой прямым путем,
Между заданными конфигурациями кинематически возможны и
другие движения, описываемые олнопараметричеоким семейством
функций
1 B9*2)
где малый параметр я не зависит от i f a fcti) являются
произвольными гладкими функциям». Движет* B9Л) содержится в
этом семействе и соответствует ы.*о # Уравнениям B9*2) при
*L j Q ъ пространстве JW соответствуют свои кривые,
которые называет окояьишш пттями.
Сравнивая некоторый окольный путь о прямым путам, видим,что
его уравнение B9.2) подучено по B9.1) иаменеиием самого вида
функции. Это изменение обозначают черев
fy-frCWJ^frW-tfrW (*9*•»•>*) B9*3)
и называют изохронной вариацией функции.
Совокупность величин $а^ определяет в иомаит ?
виртуальное перемещение изображающей точки, переводящее ее иэ
положения Я C<j,b) на прямом пути d*o в втот момент в положение
p(qfScj,i) на окольном пути *Ф0 в тот же момент.
Заметим еще, что прмрадение параметра при перехода о прямого
пути на окольный имеет значение Sd»cL , повтоиу изохронную
вариацию функции B9.3) можно рассматривать как дифференциал
Функция B9.2) по параметру
4,'2*&'и ""•-"¦ <»•»)
Изохронное варьирование ¦ дифференцирование по врвнэди гладко!
функции, оказывается, обидев* овойо*вои коммутатавноо», т.о.
имеет ывсто равеносво
сН di иЬ
B9.5)
143

называемое перестановочным ооотноменяем. Действительно»
дифференцируя по времени равенства B9.3) и используя определение
вариации, будем иметь требуемое свойство
di % di " di ~ di
•тот же ревудьтат можно получить» опираясь на трактовку вариации
как дифференциала функции по параметру* Иэ B9Л)
дифференцированней по времени находим искомое ооотноиение
di
иш9т uv 0|i«auaa аадиднщ auovaws wwvsavaenaa
d . d / Ц,а,4.) ,.\_Ъ f dq(t,d.) \»_fil
2. Функционал и у о л о в и я его
стационарности . Рассмотрим величину J »
выражаемую оледующнм определенным интегралом;
J-J'<?«f<j,j)di, B9.6)
где <P(t,Cjt(] ) - некоторая функция клаооа С » а черев о ,
8 » как обычно» обозначены ом с те мы величин qc и 0^ «?=/,...,*).
Этот интеграл может быть вычислен только после задания
совокупности функций (fo(l) (<?*/,.,.,л). При этом ясно, что на другой
совокупности функций интеграл имеет, вообще говоря, другое
значение» т.е. он представляет собою некоторую функцию от функций.
Величины такого рода называют функционалами.
Рассмотрим функционал B9*6) на некотором однопараметрнчесхом
семействе функций B9*2). Фиксирование параметра d означает
фиксирование некоторого пути в пространстве Епц .В общем
случае время движения вдоль каждого пути будет своим» так что
начальный и конечный моменты будут также зависеть от параметра
to'KW* *?**$(*) • Таюш обрмо*» функционал B9.6) является
следующей функцией параметра:
Jm-J <P[*,q(t,*),q(*i*)]d*- B9*7)
icU)
Уотановим выражение полной вариации этого функционала*
Понимая вариацию как дифференциал по параметру и иопольвуя формулу
Лейбница дифференцирования интеграла о переменными пределами»
будем иметь
SJ- JU) Sk-[4>Si][+ J*№di, B9#8)
144

где [фи]'ь-фл61гф^9 4i-*'<u.f.?), Ъ°Фа<><1',4?)>
С помощы) перестановочных соотношений B9.Ь) вариацию
подынтегральной функции можно лредотавжть в виде
так что выражение вариации интеграла принимает вид
Выражение содержит вариации в граничных точках С 8foH и
(S<jc)x • Выразим эти величины черев вариации граничных
значений самих функций <?у? и &? . Имеем
Варьированием этих выражений получаем формулы
или
Отсюда
Теперь легко видеть, что
Подстановка этого выражения в B9.9) и объединение внеинтеграль-
ных членов приводит к следуюцеиу окончательному выражена» джя JJ:
где внеинтьгральные члены содержат теперь вариации только
граничных функций и аргумента, т.е.
145

здесь положено цг^ф^ЪФл
Пусть теперь функционал достигает стационарного значения
на прямом пути cL * о . Тогда условие.стационарности
функционала имеет вид 8J~ 1'(аС)&* = 0 . Ввиду B9.10) его можно
представить в форме , , {. ^ . , .
где всюду параметр jl положен равным нулю* Поскольку вариации
Scje и Si внутри временного интервала и на его концах
независимы и произвольны, то должны равняться нулю порознь и интеграл
и внеинтегральный член у 4 ^ , *•*
Имегт место следующая
ЛЕММА 8. Пусть справедливо равенство / LGfrdrffc*]**0 для
всех &М)в С и произвольных гладких функций 8<je на
промежутке (i0, i?) , тогда
G*«)*0 it (*о>Ь) «Г-'....,*). B9.П)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть существует момент -t„e (*С9**) • в
который одна ив функций Gff(i^)>0 . Тогда в силу
непрерывности найдется интервал (**-$, *«*$)* на К0Т°Р°М OiXCi)>0 .
Пользуясь произволом вариаций координат, выберем их все, 8а
исключением ?as , равными нулю на всем интервале ({0, ts) .
Вариацию же 8<3€ возьмем положительной функцией на (t#$,'t?ktu)vL
равной нулю на остальном интервале. Этой цели можно достигнуть,
положив, например,
S^e'cc/^' i * ib-S, i0*S), el«d.
что противоречит условию. Аналогично приходим к противоречию,
допустив, что G6(-b«)co . Лемма доказана.
В силу леммы 8 интегральное равенство будет эквивалентно
системе п равенств вида B9.11), тем самым получаем следующие
необходимые условия стационарности функционала:
146

ЭФ d дФ
ZZ'dTdfc <"*.-,*), B9.12)
Равенства B9.12), выполняющиеся для каждого момента t иэ
интервала (i0, i?)% называются уравнениями Эйлера вариационной
задачи. Они имеют вид даграяжевых уравнений в обобщенных
координатах с функцией Лагранжа -ф и служат для нахождения функций
%(*) , определяющих прямой дуть - экстремаль вариационной
задачи.
Равенства B9.13) выполняются только на концах временного
интервала, их называют условиями трансверсальности вариационной
задачи. Они отоажают возможные изменения граничных условии.
Для однозначного нахождения экстремали, наряду о
функционалом B9.6), задают концевые условия
% (U,?, Vf')-* f ***...• />***; , B9.14)
которые, вместе о условием трансверсальности, позволяют
определить все постоянные интегрирования* Таким образом, искомый
прямой путь должен удовлетворять яе только дифференциальным
уравнениям B9.12), но и условиям трансверсальности B9.13) и
дополнительным граничным уоловиям B9.14).
Заметим, что в случае закрепленных концов, т.е. когда прямой
путь и все окольные пути в пространстве Ея„ проходят через
одни и те же начальную и конечную точки, вариации граничных
Функций и аргументов будут равны нулю, и условие
трансверсальности будет тождественно выполнено. В атом случае экстремаль
задачи определяется из эйлеровых уравнений и граничных условий,
в которых теперь следует положить p-in •
3. Цепная линия. Пользуясь установленными
условиями стационарности функционала, найдем форму равновесия
тяжелой однородной цепи, закрепленной в двух точках M0(x,ty) и
^ifJVf 4t) • Рассмотрим вертикальную плоскость, проходящую черев
эти точки, и введем в ней систему координат Оху , выбрав
начало О в некоторой точке плоскости и направив ооь Ол
по горизонтали, а ось ОУ- по вертикали вверх (рис.18).
147

Рассматриваем цепь как систему
М0(*»-йО твердых тел - звеньев,
покоящуюся под действием сил тяжести.
Для выражения условия
равновесия цепи воспользуемся
принципом виртуальных перемещений в
форме Торичелли
Ця-0. B9.15)
Вертикальная координата центра
тяжести однородной цепи опре-
Рис. 18
деляется выражением L%=J4ds , где L - длина цепи. Учитывая
постоянство длины цепи используясь для элемента ду^и выражением
ds^Jt+x12 dy i где x'^dxjdu , можем представить принцип
B9.15) в виде ч? . -,
8\ Ч\1/*х' dy=o.
Таким образом, кривая, форму которой принимает покоящаяся
цель, сообщает стационарное значение функционалу ( Ф(^л,х,)с/уч
в котором подынтегральная функция равна Ф=У\/охч° . Искомая
функция л=х(у) должна удовлетворять уравнению Эйлера B9.12)
и граничному условию B9.13), которые в данном случае имеют вид
Ъх du дх' ' L 2x дх t J<>
Поскольку точки М0 и ДА/ закреплены, то вариации 8xo=&xt = 0,
tyo~fyi~°t и граничное условие выполняется тождественно. Что
касается уравнения Эйлера, то, ввиду условия дФ/дх-о , оно
принимает вид
их
После интегрирования и упрощения оно представимо в виде
dx с
где С - произвольная постоянная. Интегрируя еще раз, получаем
уравнение цепной линии
4 B9.16)
148

Значения постоянных С ж 4L находятся не условий закрепления
концов. Таким образом, форма равновесий однородной тяжелой
цепи представляет собою цепную линяю.
4. Стационарность функционала прж
наличии связей. Пуоть требуется найти условие
стационарности функционала
t?
J= j Фft, f, a) d* B9.17)
to
при наличии т<.п связей
которые могут быть как геометрическими, так ж кинематжчеокями,
и р уравнений граничных условий (разделенных иди неразделенных;
%(^fff*if^)mO (X*i*,>,f>**Un+t)9 B9.19)
которые связывают между собою граничные значения аргумента и
функций. Это так называемая задача Лагранжа.
Принимая во внимание предыдущее рассмотрение, можно заключить,
что в данном случае имеем задачу на условный экстремум
функционала. Известно, что путем введения неопределенных множителей Лр&)
и составления функции
Рщ.ф-ФС^я.ф+рЪЩ Ъ<?><?) B9.20)
задача сводятся к безусловному экстреыуиу для функционала
к
г-./тм^. B9#21)
Условия стационарности этого интеграла выражаются уравнениями
Эйлера
*<J9 А Ц, " * /, B9#22)
которые теперь следует решать совместно с уравнениями связей
149

B9.18). Сиотема B9.18), B9.22) замкнута: она состоит из п + т
уравнений и служит для нахождения такого же числа функций у,,...,?*;
Aif.<. , Л/п • Из семейства решений этой системы выбирается то,
которое удовлетворяет условиям трансверсальности
ЪР
и концевым условиям B9.19). Нахождение прямого пути для
функционала при наличии связей проиллюстрируем на следующем примере.
5.3 а д а ч а о брахистохроне. Задача о
брахистохроне относится к числу первых вариационных задач.
Решим ее в простейшей постановке. Требуется определить форму
линии в вертикальной плоскости, двигаясь по которой иэ состояния
покоя без трения под действием одной лишь силы тяжести точка
приходит из заданного начального положения М0 ъ данное
конечное положение Мх в минимальное время.
Введем в вертикальной плоскости декартову систему координат
Охг , взяв начало отсчета в начальной точке м0 и направив
ось <х по горизонтали, а ось z - по вертикали вниэСрис.19).
О Мо(о,о)
!*«(*«,*,)
Поскольку минимизируется время, то
в рассматриваемом случае функционал
имеет простой вид
Ь
7= J cfi , -t0* О, B9.24)
следовательно,подынтегральная
функция <P(t,<], j)* I . При движении по
гладкой кривой справедлив закон
сохранения энергии
Рис. 19
J/77 И- /77y? в А пг ООЛ$±%
Так как )Г*? A* f к0=?0 a о ,
то
h- о • и этот закон выражает собою следующую добавочную связь:
V- аА-г?- Я.ог =Ощ B9.25)
Таким образом, рассматриваемая задача относитоя к задачам типа
Лагранжа. В ооответотвии о проведенным рассмотрением, образуем
функцию
150

Искомые функции л^),г#)Д(доаределяютоя как решение двух
эйлеровых уравнений и уравнении связи
° bl~di Ъ± т '" ЗГГ'Ад^' B9.26)
Ъг d* di *'A dt KiLAt>>
Легко проверить» что следствием первых двух уравнений Эйлера
будет уравнение
di {* х ех ** /а*
В данном случае ЬТ/di * G » поэтому оно имеет вид
?[4+X(x*+i2-Zp)-&Xx'-?Xi'']=0. B9.27)
Условие трансверсальности B9*23)
ввиду того, 4f0S4o*Jj^«&os&cr«d>2/-'0 f упрощается и
принимает вид
Поскольку 8-Ь* произвольно, должно равняться нулю выражение
в квадратных скобках; это дает граничное условие JL*(J& +к*+&яг*)*?*
С учетом уравнения связи 4**0 его можно предотавить в более
проотой форме
«ЯХ**1-!.
B9*28)
Перейдем к интегрированию уравнений. Из первого эйлерового
уравнения после интегрирования по ? получаем
Хх. = А,
где А - произвольная постоянная* Уравнение B9*2?) о учетом
уравнения связи if* о и условия трансвероадьности после
интегрирования дает
т.е. граничное условие позволило определить постоянную В*
Исключив множитель связи Д иэ двух пооледних равенств»
устанавливаем соотношение между функциями лиг:
151

Последнее равенство позволяет представить уравнения связи в
виде уравнения первого порядка для одной функции t
• ? I 2 2.
* ±1вА4г-1аг=0 .
Подстановкой Ц= (ЧАУ1- ^AqI оно сводится к простому виду
U=-Q\/f- 16A и и после интегрирования с учетом начального
условия 4 - о, i = очЧА^1 дает
i^-L-Ct-CosbAqi) ,
WO Q о
Уравнение для х теперь имеет вид iQA qjL = 4Af(/~C0s{/Aoi).
Оно сразу интегрируется и с учетом начального условия -?-0, х-о
приводит к выражению
Последние два уравнения, дающие решение задачи, являются
параметрическими уравнениями циклоиды. Таким образом, чтобы
прийти из положения 7Н0 в положение Mi за кратчайшее
время, точка должна двигаться по дуге диклоиды. Постоянная
интегрирования А , фигурирующая в уравнениях, определяется из
условия прохождения циклоиды через точку М^ •
Что касается множителя связи, то он определяется выражением
? VAcfi l-Cos</Aa*
т.е. является известной функцией времени.
§ 30, Принцип Гамильтона
Вариационное исчисление позволяет дать изящную формулировку
основного закона механики в форме некоторого интегрального
вариационного принципа. Эта форма свободна от особенностей
применяемой системы координат. С ее помощью удается установить
глубокую аналогию между различными физическими явлениями и
получить плодотворные обобщения. Рассмотрим наиболее общий
интегральный принцип-принцип Гамильтона, сформулированный им в
работе, опубликованной в 1834 г.
152

I, Формулировка в обоснование
принципа для натуральных голономных
систем. Рассмотрим произвольную натуральную голономную
систему с п степенями свободы. В независимых координатах с/?,..., уп
система полностью характеризуется функцией Лагранжа LD, <}, cj) f
которую считаем принадлежащей классу С2. Рассмотрим некоторый
конечный промежуток времени [i0 Л±]. Интеграл
W = / L{t,<f,<l)dt9 (ЗОЛ)
называется действием (по Гамильтону) за промежуток [+о>1*]'
Поскольку лаграяжева функция зависит от координат и скоростей»
являющихся функциями времени faW, Cjff(i)9 то действие W ,
очевидно, является функционалом* Используя.эту величину, Гамильтон
сформулировал основной закон механики в форме следующего
вариационного принципа, носящего его имя.
Принцип Гамильтона. Действительное движение
системы с идеальными связями между двумя заданными конфигурациями
отличается от всех других допустимых движений между теми же
конфигурациями и за тот же промежуток времени тем свойством, что для
него действие W имеет минимальное, точнее, стационарное значение,
т е
<^=0. C0.2)
Таким образом, согласно Гамильтону Природа ведет себя подобно
экономной хозяйке: осуществляемое ею движение механических систем
происходит с минимальным по сравнению с другими возможными
движениями действием.
Перейдем к обоснованию принципа. Пусть рассматривается
натуральная голономная система. Бе движение определяется лаграяжевыми
уравнениями в обобщенных координатах
Возьмем действие по Гамильтону и составим его вариацию в
соответствии с формулой B9.10)
f C0.3)
153

Поскольку в данном случае начальная и конечная конфигурации
системы, а также соответствующие моменты времени фиксированы,
то в этом выражении внеинтегральные члены обращаются в нуль, и
вариация будет равна
"¦&(%-?%)**"¦ <ЮЛ)
В последнем выражении интеграл обращается в нуль в силу лагран-
жевых уравнений движения, тем самым оно превращается в
требуемое равенство C0,2). Необходимость*принципа установлена.
Пусть теперь дано, что для некоторого пути выполнено условие
C0.2), покажем, что этот путь будет прямым. Так как в
рассматриваемых условиях вариация SW определяется выражением C0.4),
то условие C0.2) представимо в виде
t,
1^-Ш-ф^- C0.3)
Поскольку L(*L(<], cj)eO*i будем иметь G^j— - — ^~ё С ; что
касается вариаций^,..., Son , то они являются
независимыми произвольными величинами на интервале (tDr tx) . Но тогда
из C0.5) в силу леммы 5 следуют уравнения Лагранжа C0.3), и
определяемый ими путь, согласно определению, является прямым.
Принцип обоснован полностью.
Таким образом, для натуральных голономных систем
вариационный принцип Гамильтона эквивалентен лагранжевым уравнениям
движения, поэтому его можно положить в основу динамики голономных
систем.
Заметим, что Гамильтон изложил принцип для случая
склерономных систем. Для общего случая нестационарных связей этот принцип
был сформулирован и обоснован Остроградским в 1848 г., в связи
с чем данный принцип иногда именуют принципом Гамильтона-Остро-
градского.
Принцип Гамильтона может быть обобщен также на случай
ненатуральных, а также и неголономных систем. Однако в этих случаях
он имеет другую форму и теряет свойство стационарности
некоторого функционала.
154

2.П р и н ц и п для натуральных голо-
номных систем. Обобщим принцип Гамильтона на
ненатуральные голономные системы. В этом случае принцип утверждает
следующее:
"Действительное движение системы с идеальными связями
между двумя заданными конфигурациями отличается от всех других
допустимых движений между теми же конфигурациями и за тот же
промежуток времени тем свойством, что для него равен нулю интеграл
j'(ST>SA)di=o . (зо.б)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Движение произвольной голономной системы
в обобщенных координатах определяется следующими уравнениями
Лагранжа:
*W-^~e* (.*".-.-)¦ (»•')
Покажем, что в силу этих уравнений выполняется условие C0*6).
Поскольку Т« T(*,<f> j) , то вариация SТ с учетом
перестановочных соотношений ^f^j^'tyr С^А-.-, п) будет равна
Подставив в выражение интеграла C0.6) ST по этой формуле, а
SA^TZQ^Stja и имея в виду, что
в силу равенства нулю вариаций dQe на концах временного
интервала, можем придать этому интегралу следующую форму:
/ат^А)^AГ-Щ.а^^ C0.8)
Теперь легко видеть, что в силу лагранжевых уравнений C0*7)
этот интеграл равен нулю, тем самым необходимость условия
C0.6) установлена*
Пусть теперь вдоль некоторого пути вылолняетоя условие
C0.6); покажем , что этот путь прямой* В силу представления
C0.8) условие C0.6) эквивалентно условию
и^ЩгЩг^У^'0' C0.9)
155

в котором вариации координат независимы и произвольны^
При обычных требованиях относительно сил и связей F(t,7,V)&C,
г-, Ci Q ) е es будем иметь &#?<?' , Те L>? , поэтому
и условия Леммы 8 выполнены* На основании этой леммы из C0.9)
следуют уравнения C0.7), что и доказывает достаточность.
Принцип C0.6) полностью обоснован.
Таким образом, условие C0.6) эквивалентно уравнениям C0.7),
и его можно положить в основу механики ненатуральных голономных
систем.
З.Обоснование принципа для
неголономных систем. Принцип Гамильтона в форме C0.6)
справедлив и для неголономных систем с линейными кинематическими
связями. Покажем, что на прямом пути неголономной системы
выполнено условие C0.6). движение неголономной системы определяется,
например, уравнениями Рауса
?lfff~ifrQ^f^> <'*<-¦>») (золо)
совместно с выраженными в обобщенных координатах уравнениями
кинем атических связей
?Vy*
*hp~0 (p*S9...,A)- C0.11)
Интеграл, стоящий в левой части принципа C0.6), можно
представить в форме C0.8) и с помощью раусовых уравнений C0.10)
преобразовать к виду
Уравнения связей C0.11) накладывают следующие ограничения
на вариации координат:
* г / ( C0.13)
/множив каждое из этих уравнений на соответствующий множитель
и а и сложив результаты, получим условие
ZfrhrSb = o, C0J4)
156

в силу которого обращается в нудь правая часть равенства C0.12)»
Необходимость уодовия C0*6) тем самым обоснована. Пусть теперь
вдоль некоторого пути выполняется условие C0*6); покажем* что
вдоль него справедливы также уравнення Рауса* т.е. этот путь
прямой. Условие C0.6) на основании C0*8) можно представить в
форме E0.9), в котором, в отличие от случая годономной
системы, вариации обобщенных координат уже не произвольны, а
связаны к условиями связей C0*13)» Образуем теперь комбинацию урав-
ней связей C0.14) и прибавим ее к подынтегральному выражению
в C0.9), тогда будем иметь
1% (ЦГ& f/fl'f # V V<-«- E0.15,
Выберем теперь К множителей U& таким образом» чтобы в
C0.15) обратились в нудь коэффициенты при зависимых вариациях»
При исследовании раусовых уравнений было выяснено, что это
можно сделать и притом единственным образом» Тогда в интеграле
останется только сумма членов с независимыми вариациями,
коэффициенты при которых при обычных предположениях относительно сил
и связей являются функциями клаооа Оу • Но тогда по лемме 8.
эти коэффициенты должны бы*ь равны нулю» Итак, приходим к
выводу, что в C0.15) должны равнятьоя нулю коэффициенты при
всех вариациях координат как зависимых, так и независимых, а
эти условия и дают Рауоовы уравнения C0.10), что доказывает
достаточность принципа»
Таким образом, для неголономных систем принцип наименьшего
действия Гамильтона совместно о уравнениями связей эквивалентен
системе уравнений Payda, следовательно, его можно положить в
основу механики этих систем»
Итак, выяснено, ч*о гамильтонов принцип в форме C0.6)
пригоден для описания как годономных, так и неголономных оистеы
с идеальными связями, т.е. он обладает той же степенью
общности, что и общее уравнение механики.
4» 0 характере стационарности
действия по Гамильтону. Принцип
Гамильтона <?W= О выражает собою только необходимое уодовие
стационарности действия W на прямом пути» Характер этой
стационарности выясняется по знаку второй вариации 8* VI ; в
частности, действие имеет на прямом дуги минимум, если на
157

нем S*Vi>0.
Сам Гамильтон считал - и это нашло отражение в его
формулировке принципа - что действие на прямом пути минимально по
сравнению со всеми окольными путями. Однако вскоре было
выяснено, что свойство минимума имеет место только для достаточно
малого промежутка времени [i0 , tjJ ; в общем же случае
выполняется лишь условие стационарности.
Достаточные условия экстремума функционала труднопроверяемы.
Поэтому характер стационарности действия по Гамильтону и другие
связанные с ним вопросы выясним на следующем простом примере.
Рассмотрим движение точки единичной массы по гладкой сфере
радиуса R при отсутствии активных сил. Такое движение называют
инерционным движением несвободной точки. Очевидно, что точка
имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат
возьмем ее широту У и долготу у на сфере.
При отсутствии активных сил функция Лагранжа совпадает с
кинетической энергией и определяется выражением
Прямой путь между начальным
и конечным положениями Мс и №? ,
доставляющий4стационарность
действию W-Jjidt ,
определяется эйлероЪыми уравнениями
принимающими в данном случае, вид
4-VSin(f(bs<f~09?L((PsirJ<p)=0.
Рис. 20.
принять, что начальная точка Мп
Второе из них сразу
интегрируется и дает первый интеграл
ySin&4>=%Sin\. На сфере все
точки равноправны, поэтому
без ограничения общности можно
совпадает с полюсом сферы
(рис.20). Тогда % * 0 и интеграл принимает вид ф = о .С
учетом его первое уравнение переходит в равенство Ср = о , из
158

которого следует постоянство производной у~соп$± . Таким
образом, уравнения инерционного движения точки имеют вид
(fj = con si , Cf~ const.
Первое уравнение утверждает, что прямым путем будет меридиан
сферы. Второе уравнение с учетом выражения скорости у2-ЯяЧ> = У0
показывает,что движение вдоль меридиана будет равномерным.
В общем случае через точки М0 и'М-г проходит два прямых пути:
путь M0MMp для которого М^х^й, и путь MQMQ Mj, для
которого M0Mj->ffJ?. Однако в случае, когда точка Mj совпадает с
точкой U0* , диаметрально противоположной точке М0, через них
проходит множество бесконечно близких прямых путей. Точки М0и
М * , обладающие отмеченным свойством, называют сопряженными
кинетическими фокусами.
Сравним теперь значения действия W на прямом пути MQMM-j-
и окольных путях, проходящих через точки М0 и Mj . Имеем
Чк-ЧрЧ {<V4V4 [(V-vJdirVo f(Y- М0)Л.
Первый интеграл правой части0 равенства неотрицателен;
отбрасывая .его, приходим к неравенству
Длина дуги большого круга <ГЛр меньше длины <?ОК любой другой
кривой на сфере, соединяющей точки У0 и М^. Поэтому на прямом
пути действие по Гамильтону минимально
VIпГ < Wt
ок '
Очевидно, что это утверждение справедливо только в случае, когда
длина прямого пути не превышает половины окружнооти меридиана,
т.е. при <5Гп? < Ti& . Если <5Г„о = Ч? » т.е. при совпадении llj
с кинетическим фокусом М0 , свойство минимума функционала
теряется: в этом случае имеются сколь угодно близкие к прямому
окольные пути - меридианы, на которых действие W имеет
равное с прямым путем значение. Наконец, если <Snp >%R. , то
Wop уже не всегда будет меньше Wok t а наименьшее значение
159

действия W будет достигаться на дополнительной дуге
меридиана MqIIj , являющейся в этом случае кратчайшим расстоянием между
точками U0,Mj.
Аналогичная ситуация имеет место и в общем случае*
Исследованиями ряда авторов установлено, что если точка Mj выбрана
достаточно близко к М0$ то через них проходит один прямой путь»
или конечное число прямых путей* При достаточном удалении
точки llj через М0 и М^ может проходить бесконечное множество
прямых путей, в этом случав М^ является кинетическим фокусом М0 «
сопряженным точке М0* Выяснено, что если вдоль прямого пути
MqMj нет кинетического фокуса, то на нем действие W имеет
наименьшее значение* Если же прямой путь проходит через
кинетический фокус, сопряженный начальной точке, то на нем свойство
минимума утрачивается,
§ 31. Принцип Мопертюи-Лагранжа
Наряду с интегральным принципом Гамильтона, имеет место
другой интегральный вариационный принцип, высказанный в 1947 г.
Мопертюи и позже обоснованный Лагранжем и называемый поэтому
принципом Мопертюи-Лагранжа. Этот принцип применим только к
консервативным голономным системам и, следовательно, обладает
меньшей общностью,чем принцип Гамильтона* Однако он играет важную
роль при рассмотрении различных вопросов физики, в частности в
гидродинамике и теории относительности*
I* Формулировка и обоснование
принципа • Рассмотрим консервативную голономную систему
с п степенями свободы и будем определять ее положение
обобщенными координатами л,,... у пп . Для такой системы справедлив
интеграл энергии
</. Г+Л-Л = о, CI.I)
где постоянная h имеет значение полной механической энергии
системы* Будем рассматривать только такие пути, переводящие
систему из положения Р0 ((j°) в положение Pj(q') , которые
совершаются с одним и тем же запасом механической энергии h ;
время же движения вдоль каждого из путей будет вообще разным*
160

Введем в рассмотрение в качестве характеристики механической
системы интеграл
называемый действием по Лагранжу. Справедлив следующий
Принцип Мопертюи-Лагранжа,
Действительное движение годономной консервативной системы с идеальными
связями между двумя заданными конфигурациями отличается от всех
других допустимых движений между теми же конфигурациями и с
той же полной энергией теи свойством, что для него действие
по Лагранжу принимает стационарное значение, т.е.
SW<=0. CI.3)
Принцип Молертюи-Дагранжа по своей конструкции схож с
принципом Гамильтона. Однако это существенно раэные принципы,
поскольку действие по Лагранжу имеет вообще иной вид, чем действие
по Гамильтону и, кроме того, в принципе Мопертюи-Лагранже
сравниваются движения с одной и той же полной энергией, в то время
как в принципе Гамильтона эти движения происходили за одно и
то же время.
Для обоснования принципа установим вначале связь между дейот
виями по Лагранжу и по Гамильтону. Используя интеграл энергии
C1*1), находим, что кинетическая энергия и лагранжева функция
связаны зависимостью
?T=L + h , h^Consi. C1Л)
Используя эту связь, а также определения действий C0.1) и
C1.2), находим, что искомое соотношение между ними имеет вид
w*=w+a<w; . C1.5)
Покажем теперь, что на прямом пути, определенном лагранжевыми
уравнениями
вариация действия по Лагранжу равна нулю. В рассматриваемом
случае время движения по различным путям различно, поэтому ва-
161

риацию функционала W« следует определят» общим выражением
B9.10), учитывающим подвижность концов временного интервала.
Варьируя соотношение C1*5) о учетом Постоянства полной
энергии h , будем иметь
В полученном выражении интегральный 'член обращается в нуль в
силу лагранжевых уравнений C1#6)• Что касается внеинтеграль-
ного члена» то он также равен нулю по следующим причинам:
[?, —г- $%] =о , поскольку Ц^* Sq6 - о (б= *,..., л)>
так как все сравниваемые движения проходят через одни и те же
исходную и конечную конфигурации; ?if ^-2Tjr faj=0, так как
в силу C1.4) и теоремы Эйлера об однородных функциях, а также
условия Т= Т$ у имеем
L + h-?$b=tT-E*g fr-ST-?T=0.
Следовательно, Sw^^O , и необходимость принципа тем самым
установлена.
Пусть теперь дано, что вдоль некоторого допустимого пути
справедлив принцип S>N#~ О при условии, что все движения происходят
с одинаковым запасом анергии h , Покажем, что этот путь
прямой* Без ограничения общности можно принять, что все
сравниваемые движения начинаются в один и тот же момент времени* так что
Задача определения действительного движения системы
сводится, таким образом, к отысканию условного экстремума
функционала с подвижным верхним пределом. Ранее в пЛ § 29 было
отмечено, что эта задача эквивалентна задаче нахождения
безусловного экстремума следующего интеграла:
Условия же стационарности последнего функционала выражаются
уравнениями Эйлера
<LF_jL *l9o f<r-/,..., п), ,3i9)

выполняемыми внутри интервала {Ot it) , и условиями
трансверсальности, справедливыш на конпах временного промежутка
Все сравниваемые траекторий % координатном пространстве
совпадают на концах интервала, поэтому для вариаций координат в
моменты ip и 4? будем иметь 6<f% *8<?*о (<Г*1,..., п).
Поскольку, далее, вое движения начинается в один и тот же
момент временя, будем иметь также Si0 * о • Следовательно,
условие трансверсальности принимает вид
Выражение в круглых окобках обращается в нудь, так как для
сравниваемых движений выполняется интеграл энергии; полагая еще по
теореме Эйлера ?$1б^?Т% можем преобразовать это условие к
виду в" fa
-a*xJT\imit-o .
Отсюда яоно, что Я = - i % следовательно, функция F равна
F- T-n + h~L*h. CI.II)
Таким образом, условие трансверсальности позволило определить
множитель связи и, тем самым, установить вид функции F Пооле
подстановки этой функции в уравнения Эйлера C1,9) пооледние
принимают вид уравнений Лагранжа в обобщенных координатах
лё-77Г = ° «-4....»), CI.K)
т.е., путь, на котором достигается стационарность действия ло
Лагракжу, должен быть прямым путем. Тем самым* доказана и доота-
точность принципа»
Подобно действию по Гамильтону, действие по Лагранжу имеет
на прямом пути наименьшее значение по сравнению о его- значений-
ми на окольных путях, если прямой путь не оодержит сопряженного
начальной точке кинетического фокуоа.
163

Итак, установлено, что принцип Мопертюи-Лагранжа для
консервативных систем эквивалентен лагранжевым уравнениям второго рода.
Следовательно, его можно положить в основу механики этих
систем*
2.М еханический смысл действия по
¦к
Лагранжу. Действие до Лагранжу W#= / 12тЛ можно
представить в форе Подерган9 которая допускает механическое
истолкование* Представив удвоенную кинетическую энергию системы
следующим образом: ,
можно придать действие по Лагранжу вид, не содержащий явно
времени:
K-ZJ^v^Js^. (зыз)
Действие в этой форме рассматривал Ыопедтюи. Легко видеть, что
интеграл этой суммы S^m^Vyc/S^ представляет собою работу
вектора количества движения v-tf точки на ее перемещении. Теперь
ясно, что формула C1.13) выражает следующий механический смысл
действия W* : действие по Лагранжу равно суммарной работе
векторов количеств движения точек системы на перемещении
системы.
З.С в я з ь движений системы с
геодезическими линиями. t Рассмотрим еще одно
представление действия по Лагранжу W^-J^TV*, основанное на
исключении из него времени и скоростей с- помощью интеграла
энергии Г*/7= А . Из этого интеграла удвоенная кинетическая
энергия системы определяется в виде ZT=2,(h-fl). С другой
стороны, для произвольной консервативной системы кинетическая
энергия выражается через обобщенные координаты и скорости по формуле
Отсюда следует, что дифференциал времени можно представить в
виде di УЪъЪЪг
Подставив в выражение действия по Лагранжу значения ZTи d-t по
вышеприведенным формулам, Получим формулу
164

Pe <гт *т 7° ' C1.1^)
Здесь интегрирование совершается вдоль траектории, изображающей
точки в координатном пространстве Еп между ее начальным м
конечным положениями Р0 , Р* • Эта формула дает выражение
действия в форме Якоби. Якобиева форма действия весьма удобна тем,
что она имеет чисто геометрический характер, поскольку время
и скорости в ней исключены*
Рассмотрим движение несвободной системы при отсутствии
активных сил, т.е. при П-0 . Такое движение называют инерциаль-
ньш. В этом случае действие W* принимает более простой вид
'" ^Г^^^г.
Введем в координатном пространстве Еп метрику, определив
квадрат длины дуги ds* с помощью положительно определенной
квадратичной дифференциальной формы
dsK?%t < V d<js <fft , «ire- <*-t<r , CI.I5)
после чего En становятся римановым пространством* Тогда дейот-
йие W* только постоянным множителем будет отличаться от
длины дуги Р^Р± траектории .изображающей точки: W^-v^J'^S.
Сам принцип стационарного действия в форме Якоби принимает вид
S?d5*0.
Таким образом, задача о<Г определении инерциадьного движения
склерономной голономной системы сводится к нахождению минимума
интеграла / dS , т.е. к задаче геодезических линий» Отсюда
заключаем, &го инерциальное движение несвободной голономной оис-
темы со стационарными связями происходит такие образом, что
изображающая точка движетоя по геодезической линии координатного
пространства Ел •
Из выражения для кинетической энергии в рассматриваемом случае
1 SUdif к ** V tT 2\d*J
легко видеть, что кинетическая энергия системы лрм метрике
C1,15) совпадает о кинетичеокой энергией,изображающей точки в
/7 - мерном координатном пространстве, еолж этой точке приписать
единичную маооу.
165

Поскольку в данном случае в силу интеграла энергии
кинетическая энергия постоянна 7- А , то предыдущая^формула дает
для скорости движения постоянное значение 5= /?Д , т.е.
движение изображающей точки по геодезической линии будет
равномерным.
К задаче геодезических линий можно свести определение
движения и консервативной системы, т.е. склерономной системы с
независящей явно от времени потенциальной энергией П (у) .
Действительно, в этом случае действие W* определяется выражением
C1.14). Метризуя пространство En c помощью квадратичной
формы
d^zta-rDa^d^r, C1Л6)
снова сводим принцип стационарного действия SW^=0 к виду
S V d€ = o.
Ч
Таким образом, движение консервативной системы всегда можно
рассматривать как инерциальное движение изображающей точки по
геодезической линии риманового пространства, метрика которого
определяется формой C1.16). Эта идея составляет основу общей
теории относительности.
4 .Оптико-механиче с к ая аналогия.
Законы природы обнаруживают некоторое сходство в протекании
качественно различных явлений. Это сходство проявляется в
подобии уравнений, описывающих эти процессы, и называется аналогией.
Ранее были рассмотрены аналогии между механическими и
электрическими процессами. Аналогия существует также между
механическими и оптическими явлениями. Эта аналогия была обнаружена
Гамильтоном и является одним из важнейших открытий
аналитической механики.
Сравним между собою оптический принцип Ферма с принципом
наименьшего действия в форме Якоби. Согласно принципу Ферме
луч света в однородной среде распространяется по такому пути,
чтобы время его движения имело наименьшее, точнее,стационарное
значение, т.е. для прямого пути луча должно выполняться условие
Si.Sfdi-s№-o.
±0 So V
166

Рассмотрим распространение света в неоднородной атмоофере*
Вводя коэффициент преломления света в ореде /?»с/у % где с, у
- соответственно окорости распространения света в пустоте и в
среде, можем представить принцип Ферма в виде
О другой стороны, для материальной точки принцип стационарного
действия в форме Якоби дает
б\1 \1Ш-п) dS=o.
'So
Сопоставление этих принципов показывает их однотипность* В атом
подобии принципов, определяющих протекание оптических и
механических явлений, и состоит оптико-механическая аналогия* Таким
образом, траектория луча будет совпадать с траекторией точки
в силовом поле о потенциалом /7 , еоли потребовать выполнения
условия
**-t(h-n).
Экспериментально установлено, что вблиэи поверхности Земли
показатель преломления являетоя линейной функцией высоты ? :
n=n0(t-k-~)% где Н - толщина атмосферы, а п и К -
экспериментальные постоянные. Вблизи Земли 2/И« i ¦ поэтому с
точностью до малых величин второго порядка будем иметь
Но тогда предыдущая формула дает линейное выражение для
силового потенциала: i
*» м
Следовательно, сватовой луч движется как материальная точка
в силовом поле с потенциалом, являющимся линейной функцией выоо-
ты. Но именно такой вид имеет силовая функция для силы тяжести
вблизи земной поверхности* Известно, что при произвольных
167

начальных условиях тяжелая
точка движется вблизи Земли по
параболе с вертикальной осью*
Такой же вид будет иметь и путь
светового луча (рис. 21).
На этом свойстве движения лу-
ч~7* // /1 / // / / / / 'а "'" ча основано явление Рефракции
^ Рис. 21. атмосферы: видимое положение
небесного светила несколько выше над горизонтом его истинного
положения, т.е. из-за неоднородности атмосферы светила
приподнимаются над горизонтом, благодаря чему в каждой точке земной
поверхности удается наблюдать более половины небесной сферы.
Оптико-механическая аналогия имела важное значение в истории
механики. Эта аналогия играет важную роль и при разработке
современных проблем аналитической механики.
§ 32. Оптимальное управление движением
I. Оптимальные движения. Теория
управления движением посвящена исследованию задач о наилучшем
процессе движения с точки зрения минимума или максимума каких-либо
его показателей. Эта теория является интенсивно развивающимся
разделом современной механики.
Хотя задачи по управлению движением имеют довольно
длительную историю, особенно существенных успехов эта теория достигла
за последние десятилетия. Эти успехи обусловлены потребностями
современной техники, а также в большой мере возможностями
вычислительной техники.
Поставщиками задач по оптимальному движению служат проблемы
реактивного движения, экстремальные задачи автоматического
регулирования машин, проблемы предельного быстродействия и др.
Разнообразные задачи оптимального управления были
объединены в стройную теорию Нонтрягиным, опубликовавшем в 1961 году
монографию "Математическая теория оптимальных процессов". Основ
теория составял так называемый принцип максимума, представляющий
собою необходимое условие оптимальности для основного круга
проблем управления движением.
В дальнейшем было выяснено, что и классические методы
вариационного исчисления позволяют для достаточно широкого класса за-
168

дач сформулировать общие необходимые критерии оптимальности в
форме вариационных задач на условный экстремум, в которых
уравнения движения системы рассматриваются как дифференциальные свя-
аи, наложенные на координаты системы.
Ниже рассмотрим основную эадачу об оптимальном управлении,
которая в клаооичеокой постановке ставится в форме
вариационной задачи Майера-Больца.
2.В ариационная задача майе р а -
? о л ь ц а . Рассмотрим некоторую механичеокую систему,
состояние которой определяется величинами Xtt"fxm* Это могут быть
переменные Лагранжа, Гамильтона и пр. Имеется некоторое
управляющее воздействие на систему, выражаемое величинами v/f..,,t/z •
Реальный характер этого воздействия может быть весьма
разнообразным, например сила, энергия и др.
Задача оптимизации движения системы ставится в форме
следующей вариационной задачи Майера-Больца*
Пусть требуется минимизировать функционал
1-11(и,хи1,*?)*}?Ч<*>*>(*>> *(*))*, C2.5)
выражающий собою некоторую характеристику движения системы с
учетом связей
представляющих собою дифференциальные уравнения движения
системы, записанные в нормальной форме, и дополнительных условий
на концевые величины
% (*о,***?,*)я° (i-i,''...*pC2fi*+*). C2.3)
Образуем функцию
G-f*fA*%'
C2Л)
н которой лагранжевы множители Д5 , вообще говоря, являются
функциями времени. Тогда в соответствии с результатами § 29
необходимые условия экстремальности вариационной задачи
C2.1)-C2.3) при гладком управлении иD) представляют собою
систему т*г эйлеровых уравнений и /77 уравнений связей:
169

dxff db Ъхс
д6-±М- = 0 < Г- /,..., »; , C2-5>
дит di дг/е
Уравнения C2.5) следует решать совместно с условием
трансверсальности и концевыми условиями C2.3)
*• /с дхк *' * дя* *-/© C2,6)
При допустимых кусочно-гладких управлениях аD) к
полученным условиям следует присоединить так называемые условия Вей-
ерштрасса-Эрдмана, выполняющиеся в угловых точках функций
Из системы C2.5) при условиях C2.6) определяется
оптимальный закон управления иA) , а также само оптимальное движение
х(+) .
3, Управление моторной лодкой.
Рассмотрим моторную лодку, которая пересекает реку, двигаясь
с постоянной скоростью V (рис. 22). Лодка вышла из пункта А
и должна достичь противоположного берега ф(х.'х, xfao в
минимальное время. Предполагаем, что течение реки установившееся и
известны составляющие скорости потока в каждой его точке Ух(х?,х^л
\(хл,х^) . Вводя угол курса иD) , получим по теореме сложения
скоростей уравнения движения лодки в виде
Теперь вариационную задачу можно сформулировать как задачу
об отыскании минимума функционала
с дифференциальными связями
и концевыми условиями
%mio=o, %*x*»o, %-*;-*, %=(/>сх?,л'л)шо.
170

Для функции G*Д,% ¦ \% =
AiCx,-vVcosu) + Д*(?Л- V V3*tf>
уравнения Эйлера имеют вид
d Э(? д* <tt ^эъ я а^я
di dxt~
Эх/ dt~ <дхл
о,
Рис. 22
dt ди да *•
Легко видеть» что эта система допускает интеграл
A, i, > A^i^ =r Х? (ТГ? + V5inu) +KtDt* Г Sin и) =В = const.
Условие трансверсальности имеет вид
Если противоположный берег является прямым и находится на
расстоянии L от точки А , то 4>(x1,tx*i)m**'!-*О- , и из
условия трансверсальности и концевых условий находим, что
должны равняться нулю коэффициенты при произвольных дифференциалах
di% и dx± :
содержащее угол а, дает +аи*
Уравнение, содержащее угол а, дает tau*-~ * Отсюда
видно, что достижение противоположного берега произойдет при
значении г/'- о .
Если поле скоростей течения зависит только от xL
Л
dw
= о %^ =0>н иг второго эйлерового уравнения находим Ло
* соли* о • Для такого потока угол v все время должен
быть нулем и* о • Оптимальное движение лодки найдется
интегрированием уравнений х,- Vj (х?)*У9 && = *&(&j).
Л. Управление движением ракеты.
Одной из основных задач динамики ракет являетоя задача
определения оптимального изменения угла LL вектора силы тяги с
горизонтальным направлением. Будем рассматривать задачу в следующих
предположениях. Сопротивление атмосферы отсутствует, что
соответствует, например, полету стратегической ракеты, который большей
частью происходит в разряженных слоях атмосферы. Малое время
движения ракеты на активном участке позволяет воспользоваться
моделью плоской Земли, что существенно упрощает рассмотрение.
171

Кроме того, предполагается, что вращательноз движение ракеты
относительно центра масс не оказывает влияние на движение этого
центра.
Считаем, что закон изменения силы тяги Т задан и что
относительная скорость "С" отбрасываемы» частиц постоянна. Тогда
уравнения движения центра масс ракеты в вертикальной плоскости
ху, х*? (рис.23) имеет вид
Рассмотрим задачу о достижении ракетой максимальной
кинетической энергии на единицу массы при задапном запасе топлива» Это
сгодится к отысканию максимума функционала
I- h (tB, х', U , **) = ± [(±;А (?jfj= ~ (з?* *fi
при дифференциальных условиях
где TC-U, m({) - заданные функции, а 4 - постоянная, и
концевых условий, соответствующих вертикальному старту ракеты с
поверхности земли со скоростью У :
% = *о=о , %-х? -о, %=х? = о,
% = х\ = о9 vs = xl-Y~o, % = */-^-0,
где величина t$ определяется на основании известного закона
изменения массы.
Образуем функцию G:
Тогда эйлеровы уравнения будут иметь вид
at м, дх, -М-°> d± д±г дх?яЛ*ш '
Интегрируя эти уравнения, находим
Рис. 23. Х<
172

Условие трансверсальности имеет вид
* Д з dXi f X*dxg * Л, Лс3 f Л? ^<J*+ л\ dx\+ *\ dx.\ - <?.
Из концевых условий вытекает, что независимыми и произвольными
будут только дифференциалы */«f\ dk!i,dx.'3,dxlif.Поэтому в уоловии
трансверсальности должны равнятьоя нулю коэффициенты при них
Это приводит к«следующим условиям! определяющим постоянные
интегрирования: / 4 /
Д'з-Л-о, Х\*?<*о, Л>-л:,»*, Aft--*,-J>.
Теперь ясно, что оптимальный закон изменения угла z/f^ имеет
вид . в 4
т.е. угол наклона должен оставаться постоянным. Обращаясь к
уравнениям движения, теперь получаем закон изменения скорости:
Повторным интегрированием отсюда устанавливаются уравнения
оптимального движения.
§ 33. Основной и универсальный интегральные инварианты
Натуральные голономные системы обладают многими
замечательными свойствами. В частности, механику этих систем можно строить
на основе либо законов Ньютона, либо вариационных принципов» либо,
наконец, интегральных инвариантов. При этом важно отметить, что
уравнения, полученные на основе интегральных инвариантов, в
известном смысле более общие, чем уравнения, выведенные иэ других
предпосылок.
I. Интеграл Пуанкаре-Картана.
Рассмотрим движение натуральной голономной системы о к степенями
свободы. Решение уравнений движения
*Tfc Л" Э^. «r-*,— ")f
удовлетворяющее начальным условиям
имеет вид
1<-<1№л:р9)>&*ЫЩ'/> (*-*—,п). C3.1)
173

Будем рассматривать расширенное фазовое пространство Ь^п1.^ ,
в котором координатами точки служат величины +,<j, р .В этом
пространстве уравнения C3,1) определяют 2л параметрическое
семейство линий. Возьмем контур сс » определяемый уравнениями
^Щг-^М, Р*=Р*М @***1,*-*,— *)- C3.2)
Здесь при cL = o, ос- L получаем одну и ту же точку кривой <?«>.
Выберем теперь из семейства прямых путей C3.1) те, которые
проходят через точки контура Сф . Для этого подставим в C3.1)
выражения C3.2), в
результате получим
уравнение некоторой поверхности
Ягвйг^'*Л Р<г = Р<г(*>*)
№/....,,Л <»•»
которая имеет вид,
изображенный на рис. 24, и
называется трубкой»прямых
путей.
Рис. 24. Возьмем некоторый
замкнутый контур С, охватывающий трубку и пересекающий каждую ее
образующую в одной точке. Интеграл по этому контуру
называют интегралом Пуанкаре-Картана. Этот интеграл обладает
следующим замечательным свойством: он сохраняет неизменимое
значение при произвольном смещении с деформацией этого контура вдоль
трубки прямых путей, т.е. является интегральным инвариантом.
Отмеченное свойство интеграла (ЗЗЛ) является характеристическим.
Оно составляет содержание следующей теоремы.
2.Т еорема об основном
интегральном инварианте.
ТЕОРЕМА 52. Чтобы каноническая система уравнений
C3.5)
с непрерывно дифференцируемыми правыми частями была гамиль-
тоновой с функцией Гамильтона Н, необходимо и достаточно,
174

чтобы интеграл Пуанкаре-Картана
Im4>gfrJf*-HSt (*з.б)
являлся интегральным инвариантом по отношению к любой
трубке прямых путей, определенных этой системой.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть оистема C3.5) гамильтонова, т.е. имеет
вид
Покажем-, что для нее интеграл C3.6) будет инвариантом. Построим
для системы C3.7) трубку прямых путей, проходящих через
начальный контур С0 . На этой трубе произвольно выберем вторую
замкнутую кривую Сj (рис. 24 ), имеющую с каждой образующей только
одну общую точку. Уравнение кривой С* имеет вид
Рассмотрим действие по Гамильтону вдоль одной из образующих
трубки Р0 Л о* кривой С 0 до кривой Cj , отвечающей
некоторому значению параметра <* в рассматриваемом интервале о ?<**.?.
Тогда начальный и конечный моменты времени будут зависеть от
выбранного пути, т.е. действие W будет следующей функцией
параметра: ±и)
При любом значении параметра вариация действия в соответствии
с формулой C0.3) будет равна C3.9)
Перейдем в этом выражении к переменным Гамильтона. Вводя
обобщенные импульсы и функцию Гамильтона известными формулами
находим, что внеинтегральный член представим в виде
Ьсли теперь воспользоваться известными соотношениями ?71=~а5а
(СГ« /,..,, п) и второй группой гамильтоновых уравнений C3.7/,
то будем иметь
Ъ<\в di dag ho, dl ) ' J'
175

и интегральный член в C3.9) обращается в нуль. Следовательно,
в гамильтоновых переменных вариация действия вдоль прямого пути
будет равна
$]rf-vr'MS*.-[Ep,SyHSiti ¦ C3.10)
Проинтегрируем это равенство почленно по <*- от <* = 0 Д0о< = <?,
в результате найдем . е
Но эти интегралы могут быть представлены в виде следующих
контурных интегралов: f
(z p°s s^-Hjto - jfZfr8<ig-mt, izpUf* - имф^-т,
поэтому предыдущее соотношение представимо в форме
iLfr8a6-H?i-4>Zp9Sa<-mi9 C3.II)
выражающей собою равенство интеграла Пуанкаре-Картаяа вдоль
любых двух контуров, охватывающих трубку прямых путей системы C3.7),
т.е. инвариантность этого интеграла. Необходимость теоремы тем
самым установлена.
Пусть теперь дано, что интеграл C3.6) является инвариантом
для системы уравнений C3.5), т.е. что для любой трубки прямых
путей этой системы интеграл Пуанкаре-Картана, вычисленный вдоль
охватывающего трубку замкнутого контура, не изменяет своего
значения при произвольном смещении точек контура вдоль образующих
трубки. Покажем, что система уравнений C3.5) будет обязательно
гамильтоновой, причем с той функцией Гамильтона, которая
представлена в интеграле C3*6).
Для доказательства введем новую переменную и , пополнив
систему C3.5) еще одним уравнением
ЪГ а*-Т~ш"~~~Гш* Р' т (ЗЗЛ2)
где 1t(*,<J.p) - произвольная функция класса С1 ^мильтоновых
переменных.
Из решений этой системы
1*'1*(М№о>> Ъ*Рвср.$ри.),*-чр,<1:/>и.) C3.13)
соответствующих начальным условиям * б"-/,..., п ),
176

существование и единственность которых- обеспечивается
наложенными на^-,0^,// условиями, выберем те прямые пути, которые
проходят через начальный контур С0 , для чего в уравнениях
C3.13) следует положить
$-$(*), ?-/>;&,*.'*.(*) (ft....,»).
В результате получаем следующие параметрические уравнения трубки
прямых путей:
y*-7*C^.<*J,#-#tyf.*0, *-t(ft,d) С**/...., Л). C3.14)
Параметры и и cL можно рассматривать в качестве координат
точки на поверхности трубки. Фиксирование параметра aU
фиксирует определенный прямой путь - образующую трубки, а фиксирование
и - определяет точку на выбранной образующей и замкнутый
контур на трубке.
Поставим теперь в интеграл I величины 4*р, * по формулам
C3.14). Тогда интегрирование вдоль контура сведется к
интегрированию по параметру ы- и , следовательно, сам интеграл будет
функцией параметра /и , т.е. на каждом охватывающем трубку контуре
интеграл будет принимать свое значение. Инвариантность интеграла
Пуанкаре-Картана означает, что он фактически не зависит от выбора
контура, т.е. от JJ , следовательно,должно быть
dl-l(fj)du~0.
Выполняя дифференцирование по /J интеграла C3.6), найдем
Поскольку параметры <*. и /и независимы, то
дифференцирование по ним перестановочно, т.е. dS«Sd . Заметим еще, что
интегрирование по частям вдоль замкнутого контура дает
$udv=vvj*-$\idu*-§v<tU'
Применив все эти операции к предыдущему равенству и представив в
полученном выражении 6н в подробном виде, найдем
O-fyZdptSfr-Sprdpe-dHSi + SRdt -
177

Поделив это равенство почленно на du^d-b/'if и используя
уравнения движения C3.5), будем иметь
Поскольку интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то
подынтегральное выражение должно быть полным дифференциалом. При
произвольной функции 9[D,с, р) это возможно только в случае,
когда равно нулю выражение в фигурных скобках
? 1с. * $) V <-<>'> °ф )ЬШ' if)* -»¦
Ввиду независимости и произвольности вариаций гамильтоновых
переменных отсюда следует, что должно быть , ^„
Полученные' равенства доказывают, что система C3.5) гамильтонова.
Последнее из них является следствием гамильтоновых уравнений.
Таким образом, теорема доказана полностью.
Заметим, что при доказательстве достаточности было введено
независимое переменное и . Это потребовалось для того, чтобы
получить произвольный контур, охватывающий трубку прямых путей
(при t= cons! получаем только контур одновременных состояний), и
тем самым полностью использовать свойство инвариантности
интеграла Пуанкаре-Картана.
Из теоремы следует, что инвариантность интеграла
Пуанкаре-Картана эквивалентна уравнениям движения Гамильтона, следовательно,
ез можно положить в основу механики натуральных голономных систем.
3. Структура интеграла Пуанкаре-
Картана . Интеграл Пуанкаре-Картана
l-jLptty-HSi (ЗЗЛ5)
обладает рядом специфических свойств. Из его вида прежде всего
следует, что время входит в интеграл на тех же правах, что и
обобщенные координаты,причем роль соответствующего импульса
играет величина -И , т.е. взятая со знаком минус энергия,
именно в этом факте заключается основа аналогии между временем и
координатой.
Этот интеграл сохраняет свою структуру при замене переменных.
Действительно, введем новую переменную Z , связаннную со старыми
переменными формулой
178

z—Hd.^p), C3.16)
и выразим из нее, например, импульо />,
/i--#te7i,-tyi„ *.Д,..../>„;. (ЗЗЛ7)
Тогда интеграл I в новых переменных примет вид
l-§*&*hf<jg + :.+f>*S<ln-KAli ¦ C3^8>
Таким образом, интеграл сохраняет вид интеграла Пуанкаре-Кар-
тана и в новых переменных с той лишь разницей, что теперь роль
времени играет координата с? , а роль гамильтоновой функции
- функция К .
На основании теоремы об основном интегральном инварианте
инвариантность интеграла C3.18) эквивалентна следующим
уравнениям движения гамильтонового типа:
в которых ро^ь независимой переменной играет величина *}? •
Здесь уместно заметить, что уравнения Лагранжа в обобщенных
координатах, получаемые из вариационных принципов, были
инварианты относительно выбора обобщенных координат, и в этом их
существенное достоинство. Однако время в этих уравнениях играет
особую роль. Уравнения же C3.19), следующие из основного
интегрального инварианта,, уже не связаны со спецификой времени. Роль
независимой переменной в них может играть квк время, так и любая
другая обобщенная координата. Тем самым достигается независимость
в выборе пространственно-временных координат.
4.В ывод из интегрального
инварианта уравнений Уиттекера. Уравнения
Уиттекера для обобщения консервативных систем весьма эффективно
могут быть получены из интегрального инварианта. Действительно,
для обобщения консервативных систем функция Гамильтона И , а
вслед эа нею и функция К не зависит явно от времени. Но тогда
в силу второго уравнения C3.19) имеем циклический интеграл ?¦
=~h~cons4 , и соотношение C3.16) выражает обобщенный интеграл
энергии.
179

Последняя группа уравнений C3.19), в которой функция К
имеет вид К(%, %,..., <fn >,/>*>•• •' рп ) и представляет
собою автономную систему уравнений Уиттькера
JI-J , ^=-|? (сО = 2,...7п). C3.20)
Эти уравнения определяют траектории системы в фазовом пространстве
Закон движения по траекториям находится с помощью первого из
уравнений C3.19).
Наряду с основным интегральным инвариантом, важную роль играет
также так называемый универсальный интегральный инвариант,
отличающийся от первого инварианта рядом специфических особенностей.
Ь. Интеграл Пуанкаре. Рассмотрим основной
интегральный инвариант l^^Hp^Sa^HSi вдоль контура одновременных
состояний С± , получающегося при сечении трубки прямых путей
в расширенном фазовом пространстве гиперплоскостью ± = cons-t .
Для такого контура Si = о , и интеграл принимает вид
Этот интеграл называют интегралом Пуанкаре. Интеграл Пуанкаре
сохраняет неизменное значение вдоль Любых контуров одновременных
состояний, охватывающих трубку прямых путей гамильтоновых
уравнений движения, т.е. он также является интегральным инвариантом.
Менее общий вид контуров, чем у основного интегрального инварианта,
компенсируется тем новым свойством, что интеграл Пуанкаре не
зависит от гамильтоновой функции и поэтому является интегральным
инвариантом для любой гамильтоновой системы. По этой причине
этот инвариант называют универсальным интегральным инвариантом.
Как и основной, универсальный интегральный инвариант можно
использовать для получения уравнении движения.
Все перечисленные свойства интеграла Пуанкаре выражает
следующая
ТЕОРЕМА 60. Чтобы некоторая система уравнений
dJJ?=Q,(i,<i,p), ^jT'PtCbf.r) «•*,.... л) C3.21)
с непрерывно дифференцируемыми правыми частями была
гамильтоновой, необходимо и достаточно, чтобы интеграл
Пуанкаре
l~j>QLp6^ C3.22)
180

был инвариантом по отношению к любой трубке прямых путей,
определенных этой системой*
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть система C3.21) гамильтонова. Тогда
интеграл Пуанкаре-Картана сохраняет поотоянное значение вдоль
любого контура, охватывающего трубку прямых путей. В частности,
он будет иметь равные значения вдоль любых контуров одновременных
состояний ct с
$0i?P<S1'~f&P<S1" C3.23)
а это условие выражает равенство интегралов Пуанкаре вдоль этих
контуров. Необходимость тем самым установлена.
Интеграл Пуанкаре удобно рассматривать в обычном фазовом
пространстве Егл , в котором координатами точки служат
обобщенные координаты и импульсы. В этом пространстве контурам
С и c't соответствуют контуры 3) и ? , охватывающие
трубку прямых путей, и свойство инвариантности интеграла I предста-
вимо в виде
Один из этих контуров, например р , можно взять произвольно,
считая, что его точки являются различными состояними системы в
один и тот же момент времени t • Тогда соответствующие
состояния системы в момент +' определяет контур В' .
Пусть теперь дано, что для системы уравнений C3.21) интеграл
Пуанкаре является инвариантом, т.е. что он сохраняет неизменное
значение вдоль контуров одновременных состояний, взятых на любой
ее трубке прямых путей. Покажем, что следствием этой
инвариантности будет гамильтоновость системы C3.21).
Поступая вышеизложенным способом , можно подучить уравнения
трубки в пространстве ?^п в следующей параметрической форме:
1*"jst*<*)f pt- pc(*f+) С*-*,.*.,*). C3.25)
Параметры -Ь и oL являются координатами точки трубки. Полагая
cl- consi , получаем образующую трубки, а при feconst-
охватывающий трубку контур одновременных состояний*
Подставив в выражение интеграла Пуанкаре C3.2) функции
C3.4), найдем, что интеграл должен быть функцией времени. Ин-
181

вариантность же его означает, что он от времени фактически яе
зависит , т.е. dlt/di*o . Записывая это условие в подробном
виде с учетом свойства 4-8= 8— и интегрируя по частям, получим
Используя теперь уравнения движения C3.1), будем иметь
Равенство нулю контурного интеграла означает, что
подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции.
Обозначая эту функцию через - Н, имеем соотношение
Отсюда следует, что должно быть '
р< W * *р* ( л)у
что и треоовалось доказать. Этим теорема доказана полностью.
В заключение заметим, что если из основного интегрального
инварианта следовало, что уравнения движения должны быть гамильто-
нового типа, причем с той Гамильтоновой функцией, которая
фигурирует в этом инварианте, то из универсального интегрального
инварианта вытекает только факт гамильтоновостл уравнений движения;
сама же функция Гамильтона при этом может иметь любой вид.
6. Геометрический смысл
инвариантности интеграла Пуанкаре. Инвариантности
интеграла Пуанкаре можно дать-геометрическую трактовку. В фазовом
пространстве ?2п -станем рассматривать координатные плоскости,
соответствующие сопряженным Рамильтоновым переменным qs , р#.
i,... , П ) . Замкнутый контур J) фазового
пространства проектируется в контур Д,.
на плоскость qc , р# и инициирует на
нем направление обхода. Легко видеть,
что интеграл
определяет с соответствующим знаком величину площади Se .
ограниченную контуром Д- . Теперь ясно, что для интеграла
Пуанкаре справедливо представление
Рис. 23.
1Л-ф Zp*&i€=Z*Ss. (зз.2б)
-**
182

При замене контура 2> другим контуром Л одновременных
состояний вообще иаменятся как плоские контуры д,- » *ак и
ограниченные ими площади S* , но алгебраическая сумма
площадей C3.26) при этом останется неизменной . В этом факте и
состоит геометрическая интерпретация инвариантности интеграла
v
§ 34. Системы интегральных инвариантов
Интегральный инвариант Пуанкаре не является единственным
универсальным интегральным инвариантом. Таких инвариантов
достаточно много. В этом параграфе будет приведена классификация этих
инвариантов и рассмотрены некоторые их свойства.
I •Относительные и абсолютные
интегральные инварианты. Универсальные
интегральные инварианты различаются как видом области интегрирования,
так и порядком подынтегрального выражения относительно
дифференциалов гамильтоновых переменных.
Интегральные инварианты называют относительными , если область
интегрирования представляет собой замкнутое многообразие.
Абсолютными интегральными инвариантами называют интегралы,
инвариантность, которых сохраняется при любом выборе области интегрирования.
В частности, область интегрирования может быть незамкнутой.
Например, интеграл Пуанкаре является относительным
интегральным инвариантом первого порядка.
Известно, что в фазовом пространстве Е2п существуют
следующие последовательности относительных интегральных инвариантов
нечетных порядков и абсолютных интегральных инвариантов четных
порядков:
; C4.1)
Теория зосолютных интегральных инвариантов может быть сведена
к теории относительных интегральных инвариантов. Например,
относительный интегральный инвариант 1^ на основании теоремы Сток-
са
183

где 5 "" некоторая поверхность, ограниченная контуром J> ,
равен J2 . Вообще эти инварианты связаны соотношениями
?> -«? (о-у,...,*;. (з^.з)
2.ii н в а р и з н т н о с i ь о б ъ и м а фазового
пространства . Инвариантность интеграла Пуанкаре была
доказана выше» Непосредственно докажем еще имеющий важное
значение факт инвариантности объема фазового пространства -
интеграла
Ъп~1"\^Ч-6?»6Ь- C4Л)
Для этого следует показать равенство нулю производной по времени
от данного интеграла.
Рассмотрим решение уравнений Гамильтона, удовлетворяющее
начальным условиям
где а° и р°- значения координат и импульсов акр при
-k=t0 • На формулы C4.5) можно смотреть,как на некоторое
преобразование координат, рассматривая время t в качестве
параметра. Производя эту замену переменных в интеграле C4Л), будем
иметь
^^'^^^^^••••'^^ •
Якобиан, стоящий под знаком интеграла, положителен, и знак
модуля у него можно опустить, действительно, в начальный момент
этот якобиан обращается в единицу. При последующем же изменении
времени он изменяется непрерывно, не- обращаясь в нуль, так как
особые точки по предположению в рассматриваемом объеме отсутствуют.
Вычислим производную по времени от этого интеграла в начальный
момент:
Производная по времени от якобиана с учетом гамильтоновых
уравнений движения будет равна нулю:
184

[A a(ft"-ftJ I рг art ^fti-»ft). ао&,—»,Яг>..,АИ
Следовательно, ( "g^J^* ° • Но поскольку начальный момент
может быть выбран произвольно, то для любого времени будем иметь
4&п D C4.6)
Таким образом, объем фагового пространства не вавиошт от
выбора контура одновременных состояний на трубке прямых путей*
Следовательно, он являетоя интегральным инвариантом.
3. Теорема Лиувилля. Одной из основных теорем*
статистической механики является теорема Лиувилля. Эту теорему
можно вывести, опираяоь на установленный выше факт инвариантности
объема фагового пространства.
Рассмотрим некоторую совокупность одинаковых механичеоких
систем, т.е. систем с одной и той же гамильтоновой функцией и
отличающихся друг от друга только своим начальным состоянием.
Такую совокупность называют статистическим ансамблем. Примером
статистического аноамбля может служить совокупность молекул гага,
заполняющих данный объем.
Каждому элементу объема cjV фазового пространства можно
сопоставить "маооу11 dp , понимая под нею число приходящихся
на этот объем оистем. Отношение "массы" к объему обозначают через
и называют плотностью статистического ансамбля. Плотность ?
обладает важным свойством, выражаемым следующей теоремой Лиувилля.
ТЕОРЕМА 61. Плотность статистического ансамбля являетоя
интегралом уравнений движения.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем рассматривать с/У как некоторый
индивидуальный ооъем механических систем числом dfJ • В силу
инвариантности объем dV не меняетоя о течением времени.
Сохраняется со временем также число du составляющих его систем.
Тогда производная по времени от платности р будет равна нулю:
сН <3*.8)
185

В подробном виде с учетом уравнений движения
это условие может быть представлено в виде
?*(у,я;-о. C4-9>
где (f, М ) - скобка Пуассона функций §> и Н . Полученное равенство
является достаточным условием того, что о есть интеграл движения.
Теорема доказана.
Как было выяснено ранее, для консервативной системы энергия Н,
а также любая гладкая функция от нее Ф СЯ), является интегралом
уравнений движения. В силу теоремы Лиувилля функция Ф(Н) может
служить плотностью статистического ансамбля.
4. Единственность интеграл Ь'ных
инвариантов. Наряду с относительными универсальными
интегральными инвариантами, перечисленными в последовательности C4Л), для
каждого фиксированного порядка можно рассматривать и другие
интегральные инварианты. Однако было выяснено, что эти последние не
являются независимыми инвариантами. В 1947 г. Ли Хуа-чжун установил
следующую теорему, выражающую единственность инвариантов C4.1).
ТЕОРЕМА 62. Если Г* - универсальный относительный
интегральный инвариант к -го порядка Ск=/,..., 2л-4), то он только
постоянным множителем отличается от инварианта того же порядка
J^ из последовательности C4.1), т.е.
Ik =Ck I* > ck = Const. C4.10)
Докажем теорему для случая к-? и п=? . Т.е. пусть
т'гф[Аtetf'P) Ц*?(*'9'Р) SP] " некот°Рый
относительный инвариант первого порядка, тогда он только постоянным
множителем отличается от инварианта Пуанкаре 1,-фр^^а
I^CJt. C4.II)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим для канонической системы уравнений
j=dH/df>y р=-дН/ду в фазовой плоскости cj, p трубку прямых
путей. Инвариантность интеграла Г/ означает, что он сохраняет
постоянное значение на любом конзуре одновременных состояний D этой-
трубки, следовательно, dl/l'/di=0 . Выполнив дифференцирование под
знаком интеграла и произведя с учетом соотношения
186

— <?= &4г интвгРирование по частям, найдем
Выражая в явном виде производные по времени и вариации функций
А(+а,р) и 3(t,4, p) для контура одновременных соотояний
dA bkdg, ЪА_ dp_ ЭЛ_ d? д? bg дВ dp дВ
di'd]<H +df>dt + di ' di'd<f'di * dp' di * dt '
ъц 7 dp r' ^ a? 7 a/> ^
и используя гамильтоновы уравнения движения, можем придать
этому равенству следующий вид:
°4Н%-%)Щ'?М 14- #)f ¦#>•
Из равенства нулю контурного интеграла вдоль произвольной
замкнутой кривой J> следует, что подынтегральное выражение является
полным дифференциалом от некоторой функции переменных утр
Условием этого служит равенство
Ъ_Г ,ЪА дВ\ЪН ( ЪА v д г/дА d$\bHt MS 1
dpi- ^Эр да ) d<j Э* J dgL^dp да'др dk J '
После очевидных преобразований его можно представить в виде
где положено ЪР *1 Ъ(\ Ь? U Г '
Инвариантность интеграла 1Ж ' имеет место для любых гамидь-
зоновых систем, поэтому функция Н в этом выражении может быть
совершенно произвольной. Отсюда следует, что должно быть
jd± dZ Ы п
т.е. функция 2 должна быть постоянной:
Но тогда имеем условие '
д(А-ЯР)_д&
dp "" d<j
означающее, что линейная форма (А-<\р)$<1+В8р являетоя полным
дифференциалом некоторой функции Ф
187

Проинтегрировав это равенство вдоль замкнутого контура D , будем
иметь
$>(А8</*В8р)шС1фр6]=фЯФ=0;
отсюда следует, что
г;-ад,
и теорема тем самым доказана*
При кФ/ я п>1 доказательство проводится совершенно
аналогично, хотя по форе оно становится более сложным*
188

Глава 71
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
К вопросу интегрирования канонических уравнений натуральных
голономных систем можно подойти еще со следующих позиций. Можно
ввести в рассмотрение преобразование х*амяльтсновых переменных в
фазовом пространстве, сохраняющее форму канонических уравнений»
а затем веять такое из них» которое максимально упрощало бы эти
уравнения и делало бы возможным их интегрирование. Такие преоб-
раэованияе их свойства и приложения и рассматриваются в этой
главе.
§ 35. Канонические преобразования
1. Определение. В аналитической динамике уже
рассматривались преобразования обобщенных координат в координатном
пространстве и показывалось» что они сохраняют вид лаграажевых
уравнений. Преобразованные координаты по-прежнему определяет
положение изображающей точки системы, поэтому эти преобразования
называют точечными. Точечные преобразования не приводят к
существенному упрощению уравнений движения» ибо при них функция Даграя-
жа преобразуется простым переходом в прежнем выражении к новым
переменным. Рассмотрим теперь более общие преобразования» при
которых преобразуются как координаты, так и импульсы.
Невырожденное преобразование координат в фазовом пространств
a(?.ift*->?i,,ft) o C5.1)
в котором Q6(i, ot о), psD, g,P) ecF , a время считаетоя параметром,
189

называют каноническим (или контактным), если оно сохраняет форму
канонических уравнений, т.е. Гамильтонову систему
переводит снова в Гамильтонову систему, но уже с другой, вообще
говоря, функцией Гамильтона Н : ^
#--§§ > ф—# f-*-.'j. №-з>
Заметим, что в старых переменных с^, р# переменные <j€
определяли положение механической системы, а вся совокупность
величин <7«г, рб - состояние системы. Новые же переменные ^., /V
вообще теряют эту специфику. Теперь уже нельзя в общем случае сказать,
что 3^ определяют положение системы; можно лишь утверждать, что
вся совокупность величин 3^ , ра определяет состояние системы*
Таким образом, при канонических преобразованиях по существу
стирается грань между координатами и импульсами.
Ценность канонических преобразований состоит в том, что с их
помощью можно существенно упростить вид Гамильтоновой функции и
тем самым получить более простые уравнения движения, которые
проще интегрировать.
2. Дифференциальное условие
каноничности. Условие, которому должно удовлетворять
преобразование гамильтоновых переменных, чтобы быть каноническим, выражает
следующая
ТЕОРЕМА 63. Чтобы преобразование ^ ^
Ъ~1,с*.1.р), ^°p<r^y,/>;r^..,^^f/,"'Ho>35.4)
было каноническим, необходимо и достаточно существование
функции F и некоторой постоянной С, при которых равенство
тождественно выполняется в силу преобразования.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть преобразование C5.4) - каноническое.
Рассмотрим, наряду с расширенным фазовым пространством Е^п+?
переменных t,qt p, аналогичное пространство Estn4.i преобразованных
переменных *,<?, р . Преобразование C5.4) переводит трубку прямых
путей уравнений C5.2; пространства Ein + t в трубку прямых
путей уравнений C5.3) пространства J5^ . При этом произвольный
190

контур С и контур одновременных соотояний С* первой трубки
переводятся соответственно в контуры 'С и ?е второй трубки (рмс.25Х
*} \г--\—=¦
fc Рио.25 ' *
Ранее было выяснено, что справедливость гамильтоновых уравнений
движения эквивалентна инвариантности интеграла Пуанкаре-Картана.
В силу этой инвариантности имеют место равенства
Интегральный инвариант <?Z/V$fc > рассматриваемый в
пространстве Е^П?1 , будет некоторым линейным относительным интегральным
инвариантом. По теореме Ли Хуа-чжуна он будет только постоянным
множителем отличаться от инварианта $ZpJ$Q<r, T*e*
$ $№?€- СФ?р**<?<г ¦ C5.7)
Полученное равенство в силу C5.6) эквивалентно соотношению
Перейдем в первом интеграле к переменным q 7 р , тогда контур
С преобразуется в контур С и оба члена можно записать под
знаком одного интеграла
j> [Lp,Sfr-HS4-C(gP<rS<i6-HSi)]=o.
Поскольку С - произвольный контур в пространстве Ещ^ ,
отсюда следует, что подынтегральное выражение должно быть полным
дифференциалом некоторой функции переменных {,a, р ; взяв эту
функцию в виде -/Y*, о, р) , приходим к равенству C5,5);
необходимость теоремы тем самым установлена.
Пусть теперь дано, что при некоторой функции F(-tf<j, P) ш
константе С , фигурирующей в C5*7), условие ^35.б) тождественно
выполняется в силу преобразования C5,4). Покажем, что это преобра-
191

зованме будет каноническим. Преобразование C5.4) переводит га-
мильтонову систему уравнений.135.2) в некоторую новую систему
di * dt rc C5.9)
а ее трубку прямых путей в пространстве ?щц - в трубку прямых
путей новой системы в пространстве Е?л^х . Проинтегрируем
дифференциальное равенство C5.5) вдоль контура С и перейдем в его^
левой части к переменным cj', р, заменяя контур С на контуре;
тогда с учетом условия <§>SF=0 получим равенство C5.Ь).
Заменив в его правой части интеграл по С на интеграл- по контуру С0
на основании первого из равенства C5.6), будем иметь
преобразует интеграл /$>?/><? off к переменяны <j, р ,
воспользовавшись условием 135.7). Тогда придем к равенству
С ° Сс
которое, как легко видеть, выражает собою инвариантность
интеграла Иуанкаре-Картана вдоль трубки прямых путей преобразованной
системы уравнений С35.9). Но тогда в силу теоремы 59 оо основном
интегральном инварианте эта система Гамильтонова и, следовательно,
преобразование ^35.4) каноническое, этим завершается
доказательство теоремы.
функцию F ^ фигурирующую в условии C5.5), называют
производящей функцией, а постоянную С - валентностью рассматриваемого
канонического преобразования. Каноническое преобразование, для
которого С= 1 , называют унизалентным«.
Дифференциальное условие C5.5) каноничности преобразования
для случая унивалентного преобразования было установлено Софусом
Ли.
3. Свободные канонические преобра-
з о в а н и я. Установим формулы, дающие представление
канонического преобразования через про^зьоджДую функцию и валентность. С
этой целью рассмотрим некоторый класс так называемых свооодных
канонических преобразований. Эти преобразования характеризуются
дополнительным неравенством
ffi'"'?^ * о 135.10)
192

которое обеспечивает независимость величин ¦*,<?, Q . Веря эти
последние в качестве основных переменных, можем через них
выразить все остальные величины. Действительно, в силу C5Л0) первая
группа уравнений ^35.4) ^ж feC*> <j*P) (<r */,.,., л J позволяет
представить импульсы через новые независимые переменные /V s
- \>&^^^ПбГж?9П)- Подстановка этих выражений в другую тдуп-
пу формул pf* f>r(t,G,p) (<r=4f.:..f n) позволяет получить
аналогичные представления и для величин 3^-: Ar^/Vf* Я9 Я)
Обращаясь к дифференциальному условию каноничности
преобразования C5.5) и преобразуя к переменным ?, <Jt ^ функцию Р :
?(*<<(,P)*S(t,<f,<f),fyKM иметь.
^h^^Si-cc^Pcs^-HSij-Ss(^). C5.li)
Это соотношение содержит вариации только независимых переменных
it<j,2f. Приравняв нулю коэффициенты при них, устанавливаем
формулы
•ч С рк С
~Ц~,=еР' ' ^°"?* (*°'""п)* C5Л2)
Й'ОН+~-> C5.13)
Ot
определяющие свободное каноническое преобразование с данной
производной функцией S(*i <\> f) и данной валентностью С > а также
вид гамильтоетзвой функции в преобразованных канонических
уравнениях.
Уравнение C5.12) можно представить в обычной форме C5*4).
Имеет место следующая
ЛШМА 9. Гессиан производящей функции канонического
преобразования S(t, <j.<f) отличен от нуля, т.е.
^С4^ДТ.>° • C5Л4)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что гессиан равен нулю. Тогда будут
зависимы функции 2L..-.. v -гГ">г.е* будет иметь место функциональ-
ная зависимость ,х '
*($•¦¦¦>%•* *>
в которой переменные tf(f,.. , Qn рассматриваются.как параметры»
193

В силу первой группы формул C5.12) эта зависимость переходит в
равенство
?l(cpl7.*.,cp„, <f?f..., <f„)=0,
означающее зависимость между координатами фазового пространства
?^,что противоречит исходной концепции. Лемма доказана.
На основании неравенства C5.14) первую группу уравнений
C5.12) можно разрешить относительно Ъ^ , представив их. через
исходные гамильтоновы переменные о, р: 5^=^(ttf>PJ ((>-/,...,/?).
Подстановка этих выражений во вторую группу формул C5.13)
приводит к аналогичным представлениям для р^ ; Д-- ps (+,<1* Р)
((?*?,..., п).Тем самым C5.12) эквивалентны обычным формулам
канонического преобразования. Аналогичным способом из C5.12) можно
выразить все старые переменные через новые, т.е. получить формулы
1*-1*(*$•?)> ?*-?<?(*<Ч>Р) (<?**f"f".)-.
Для унивалентных канонических преобразований е= I и
определяющие формулы преобразования C5.12) и C5.13) принимают более
простой вид
fsr*» ш~~?' <'"'••-">• C5Л5)
1 J as
//= Н* — • C5.16)
Из последнего равенства видно, что если применять одно и то же
унявалентное преобразование к различным гамильтоновым системам с
функциями HL и Ц± , то разница между старой и преобразованной
функциями для обеих систем будет одной и той же
\-Uit = Н<-Н?= |^« C5.17)
Формула C5.13) позволяет прийти к еще одному важному выводу.
Из нее следует, что М= Си только в случае, когда-|г"в ° • Н°
тогда, как это следует из формул C5.12), каноническое
преобразование не содержит явно времени. При таких преобразованиях функция
Гамильтона существенно не меняется, она умножается только на
постоянную. Поэтому для существенного упрощения канонических
уравнений следует использовать свободное каноническое преобразование,
обязательно содержащее время.
В заключение заметим, что формулы унивалентного свободного
канонического преобразования C5.15) определяют преобразование Ле-
жандра с производящей функцией 5 при переходе от переменных <? ,
194

<э" к переменным Р,-/^.
§ 36. Канонические преобразования и уравнение Гамильтона-Якоби
Применение унивалентного свободного канонического
преобразования для приведения гамильтоновой системы к простому виду
непосредственно приводит к уравнению Гамильтона-Якоби.
I. Уравнение Гамильтона-Якоби для
производящей функции. Под действием
преобразования C5.14)
If,-*' Цг^ <«-<•¦•• »"^ C6.D
гамильтонова система уравнений
переходит снова в Гамильтонову систему вида
dlf.ML , *??- = -Ж (r-i9...,*j. C6.3).
dl Эре di даг
Полученная система будет максимально простой, если положить
//«0. Тогда она сразу интегрируется и приводит к выражениям
7<r=0V> P*mfa (*?**»">*)> C6.4)
в которых о^ и 3^- произвольные постоянные. Следовательно,
если каноническое преобразование C6.1) известно, то» подставляя в
его явное выражение
значения новых переменных по формулам C6.4), получим
зависимости координат и импульсов от времени и от йп произвольных
постоянных, т. е. конечные уравнения движения системы
U^W*'*'!*)' Ре*/>*(*,*>& (''*>->"J-w.b)
Таким образом, задача интегрирования канонических уравнений
сводится к нахождению канонического преобразования, преобразующего
в нуль гамильтонову функцию. Это непосредственно приводит к урав^-
нению Гамильтона-Якоб? для производящей функции. Действительно,
формула C5.15) при /7- О приводит к равенству
которое в совокупности с формулами C6.1) дает уравнение Гамильг-
195

тона-Якоби для функции 5 (±, Я{ *j) •
2. Теорема Якоб и. Итак, выяснено, что
производящая функция SD,<J, <f ) эффектного канонического преобразования
должна удовлетворять уравнению C6.6). Кроме того, ввиду C6.4),
она должна содержать п произвольных параметров <**,,.., с*-Л ; S(*,tf <*)
и удовлетворять неравенству C5.13)
^э^а^ v,r«i C6.7)
По отношению к уравнению Гамильтона-Якоби это означает, что
функция 5 должна быть его полным интегралом. Как только функция
5(t,^,o^J, обладающая перечисленными свойствами, найдена,
конечные уравнения движения даются формулами
ЬЦ€ "* ' bcL, Г* у C6.8)
Следовательно, для решения задачи достаточно найти полный интеграл
уравнения Гамильтона-Якоби. Но ранее было выяснено, что это
утверждение составляет содержание теоремы Якоби. Тем самым
продемонстрировано, что к известному методу Якоби интегрирования
канонических уравнений можно прийти и с точки зрения канонических
преобразований.
3. Главная функция Гамильтона. Один
из полных интегралов уравнения Гамильтона-Якоби можно построить
методом, указанным Гамильтоном. Рассмотрим действие W от
некоторого начального момента i0 до переменного момента ? :
\ 1 C6.9)
Пусть известны конечные уравнения движения системы из некоторого
начального состояния
Ь"}*(*, 1?Р')> Р'°Р*(*>f> P') (**'*•••. ")• (зело)
На семействе прямых путей, даваемых этими уравнениями, действие
будет функцией времени и параметров начального состояния Wft,?°/>°J.
Гамильтон предложил выразить начальные импульсы р° из
уравнений C6.10) через переменные *, <j, cj°f тогда функцией этих
переменных будет и действие
w-wr*,f;?ej. C6.ii)
196

Эту величину называют главной функцией Гамильтона, Рассмотрим
некоторые ее свойства.
Воспользуемся выражением вариации действия вдоль прямого пути
8VT-[Cp,tf,-HSl]*
и применим его к частному случаю, когда начальный момент времени
на всех сравниваемых путях один и тот же i0 60 ~ сол$49*ал что
?{:0~t). Тогда вариация действия будет определяться следующим
выражением:
Lp,S<js - HSi = LfiSif'e * S W. CбЛ2)
Полагая, что W является здесь главной функцией Гамильтона
C6,11), отсюда получаем соотношения
|*.* , !?-? C6W,...,»;, l36.i3)
o<f<r o<\tr '
¦^¦Hft^/O-O. 136.14)
Формулы C6.13) и C6.14) показывают, что главная функция
Гамильтона является полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби
1Г*Н(М'^)Ш°: 136.15)
что касается соотношений C6,13), то они определяют конечные
уравнения движения системы. Таким образом, Гамильтоном была указана
принципиальная возможность представления конечных уравнений
движения системы через полный интеграл W уравнения 436.15).
Однако- для фактического определения движения интеграл If
непригоден, так как для своего построения он уже требует знания
конечных уравнений. Как показал Якоби, эту трудность можно
преодолеть, если вместо W'(t,^, q° ) найти любой другой полный интеграл
уравнения Гамильтона-Якоби.
С помощью главной функции Гамильтона можно установить важное
свойство конечных уравнений движения. Обратимся к условию C6.12)
и сопоставим его с дифференциальным условием каноничности общего
преобразования C5.11)
б '
Из сопоставления следует, что конечные уравнения движения системы
C6.10) можно рассматривать как унивалентное свободное каноничес-
197

кое преобразование от переменных cf€ ,з? (<г= *,.¦.? п) к перемея-
ньш ое у р<~ ($*= i,,.»,п ), причем производящей функцией этого
преобразования является-W , т.е. взятая со знаком минус главная
функция Гамильтона.
Легко видеть, что каноническим будет также обратное
преобразование от переменных <j, р к переменным а0 , р„, которое
осуществляется производящей функцией WC-t,Q><]°)-
Таким образом* приходим к выводу о том, что конечные
уравнения движения люоой гамильтоновой системы осуществляют
каноническое преобразование фазового пространства, причем это
преобразование является свободным и унивалентным.
4. Применение канонических
преобразований в теории возмущений.
Канонические преобразования находят в механике широкие
применения.Выше демонстрировались их возможности в деле интегрирования
уравнений. Рассмотрим теперь их приложение к теории возмущений.
Пусть для некоторой механической системы с гамильтоновои
функцией Н получено решение канонических уравнений
dj±_dll ^Р?.= -Ж (v-i n)
dt" Эр, ' dt b(jr '"" C6.16)
в виде
<\,-<\Ai,<\°. Р°),?*'?*(*,$Р') (*=*.->"), C6.17)
где q° , р°- параметры, определяющие начальное состояние. Формулы
C6.17) определяют так называемое невозмущенное движение системы.
Пусть, далее, система получила некоторое возмущение в виде
дополнительной энергии Hi , так что ее функция Гамильтона стала
равной H^Hjr , и требуется определить движение этой возмущенной
системы, описываемое уравнениями
dt " эр, ' * - эЧг ^-/f...?/i;. (зел8)
Обычно система C6.18) более сложна, чем исходная оистема
C6.16). Интегрирование этой системы можно заменить
интегрированием других более простых систем. Используем для этих целей
канонические преобразования. Как отмечалось ранее, формулы C6.17)
определяют унивалентное свободное каноническое преобразование
фазового пространства. Это преобразование переводит Гамильтонову
систему C6.16) в гамильтонову систему с функцией /7= о:
198

dq'f „ dp', л
-к'0' —-° с*-*....,»), C6Л9)
а гаыильтонову оясгеиу C6.18) - в гамльтонову систему о
функцией Н*Н, , которая будет равна W,;
Hi *!% ' -4?Ж--Щ Св"'-"П)- C6.20)
Действительно^ до свойству преобразования C5.16) имеем
Таким образом, величины^" р* , рассматриваемые в качестве новых
канонических переменных, характерны тем, что для невозмущенного
движения они сохраняют постоянные значения, равные начальным
значениям; для возмущенного же движения они являются переменными
величинами, определяемыми из уравнений C6*20), в которых гамильто-
новой функцией служит энергия возмущений. Если теперь найдено и
решение системы C6,20)
где cjj0* ^ р1°> - параметры некоторого нового начального состояния,
то общее решение системы C6.18) можно получить суперпозицией
решений C6.17) и C6.21) в виде
ч*Ыч'<Ч*П' р'сч'°:г>]> ,зб.22)
Таким образом, с помощью канонических преобразований
интегрирование возмущенной системы C6.18) заменено интегрированием двух
более простых систем C6.16) и C6.20). При этом фактически
показано, что "возмущение в энергии" эквивалентно "возмущению
начальных данных".
§ 37. Структура произвольного канонического преобразования
Рассмотрим ряд общих свойств канонических преобразований.
I. Определяющие формулы
канонического преобразования. Для произвольного
канонического преобразования можно установить формулы, выражающие это
преобразование через производящую функцию и валентность подобно
тому, как это было сделано для свободных канонических
преобразований.
199

Гаятыахером было показано, что среди Ьп переменных у? , pr,
<te*fir ((Г= *,..., л),связанных 2л соотношениями ^ ^
в качестве независимых можно взять следующую совокупность величин,
не содержащую сопряженных пар ае , рс или 2jf9 /v ;
Тогда дифференциальное условие каноничности преобразования
C5.5)
<г./ а 1"ршмн Г ч V«i,r '**¦*/ ' C7.2)
после выражения в нем вариаций зависимых величин через вариации
независимых величин C7.1) с помощью тождеств
допускает представление
где положено
V-F+L р0%-<?? р^
*ятн J ъ * C7-4)
Поскольку все величины </ур, <j, р выражаются через независимые
величины C7.1), то функцией этих величин можно считать и
величину U • Приравняв в левой и правой частях тождества C7.3)
коэффициенты при вариациях независимых величин, устанавливаем формулы
Ц-^срс (ТшЛ,....е),Щ^.с^ с*-е.*,...,ю, C7.5)
%-?* (<Г''-~'т)'%*Ь (?"»«•-'"), 137.6)
г, и *U
Н'еН* —1 C7.7)
определяющие каноничное преобразование через производящую функцию
200

V и валентность с . Эти формулы аналогична формулам C5,12) я
C5.13) для свободных канонических преобразований.
В уравнениях C7.5) величины — » -|~ , рассматриваемые как
функции величин ^ , р^ (здесь индексы принимают те же значения,
что ив C7,3)), незабвенны. Действительно, зависимость между яи-
*и ^С 1? ' "а7"^в° озяачала бы» м'ДУ C7.5), зависимость между
переменными *Ф(срт,-сол)*и, что противоречило бы исходному
допущению о независимости Лп величии C7.1). Эта независимость
позволяет найти из C7.5) величины
fr'frH'I'P)' РгЬ<Ч'Р) ^4 ••••*•' P'mt? nh C7.8)
Эти зависимости вместе с уравнениями C7,6) приводят к
соотношениям
JHJiftf./O» /V'frCM'W Г*".»-, щр**»',..', "). C7,9)
Тем самым определяющие формулы канонического преобразования
C7.5), C7.6) могут быть представлены в виде, разрешенном
относительно новых переменных.
2. Критерий каноничности преобр а-
з о в а н и я. Опираясь на дифференциальное условие каяоничноо-
ти преобразования C5,5), можно установить удобный критерий
каноничности, т.е. необходимые и достаточные условия, при которых
преобразование
1<г*Гг(Ч'Р>> Р<г=Р<г(*<1>Р) (**'*>-> *) C7.10)
является каноническим. Этот критерий устанавливается для преоорв-
зования, не содержащего явно времени. Условие же каноничности
общего преобразования, содержащего время, выражает следующая
ТЕОРЕМА 64. Чтобы зависящее от времени преобразование C7J0)
было каноническим, необходимей достаточно, чтобы были кажо-
ническими, и притом с одной и той валентностью, все не
зависящие от времени преобразования, получающиеся из C7.10)
заменой перемедного времени его произвольным фиксированным
значением.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть преобразование C7.10) является
каноническим с валентностью С , тогда оно обращает в тождество
дифференциальное условие каноничности C5.5)
$КЩг- M-cCLfrStic-HSi)- spa,*/,?). ^.и)
Фиксировав время ?*4* , отсюда подучим равенство
201

Zpr*f''C?fr*?' " SFa**1' P} > 137.12)
являющееся дифференциальным условием каноничности преобразования,
не содержащего явно времени.
Пусть теперь, наоборот, дано, что все преобразования,
получающиеся из C7.10) заменой времени произвольным фиксированным
значением i# , являются каноническими и притом с одной и той же
валентностью С • Эти преобразования обращают в тождество условие C7.12).
Определим функцию ff посредством равенства
Умножая его на Si и вычитая результат из C7.12), приходим, как
легко видеть, к условию C7.11). Последнее же утверждает, что
каноническим будет преобразование <,37.10), содержащее время.
Теорема доказана.
Итак, рассмотрим следующее невырожденное преобразование, не
содержащее времени:
тогда необходимое и достаточное условие каноничности C7.12)
можно записать так:
&Рг*Ь-*$Ь*1*-*Х<1-/»- C7.14)
Выразив вариации $Q согласно формулам
^-?(!?v!?'*) cr.i,...,»)t
представим условие C7.14) в виде
где положено г
Ф* &Р*> *р Р* ' *< kP» dp, 137.15)
Таким образом, чтобы стоящее в левой части равенства
дифференцированное выражение было полным дифференциалом исходной функции,
необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при вариациях
удовлетворяли условиям
20JJ

137.17)
*f« d<fr Эре Эрг dpr dpr '' y '¦ 137.16)
Вода воспользоваться выражениями функций Ф^и V^, даваемыми
формулами C7.15) 9 то после ряда очевидных упрощений соотношения
C7.16) можно представить черев исходное преобразование C7.13)
в виде ^ ^ ^
?чэр, эрг аре ар<г/
гЛ*?с эрг арс "а^* гс
Эти формулы и выражают собою критерий, т.е. необходимое и
достаточное условие каноничности преобразования {37.13). Критерий
каноничности может быть выражен в компактном виде, если
воспользоваться так называемыми скобками Лагранжа.
3. Скобки Лагранжа и критерий
каноничности. Пусть имеется набор гладких функций
переменных у, р: %>(у,р), %.C<f,p) (<f=?,^.,n). Сумму определителей Яко-
би J?^?l?c) обозначают через ?"P»?J и называют скобкой
Лагранжа, т.е.
Lp'V~jr а^,р; 7^ «у эр ър э? Г C7Л8)
Сравнивая это выражение с выражением для скобки Пуассона
(<Л <#)-& д(^р^= f Ц, Dp, Эр, dfr'' C7.19)
можно заметить сходство строения этих величин: как в лагранжевых,
так и в пуассоновых скобках суммируются определители,
составленные из частных производных функций. Однако, если в скобках
Пуассона оыло две функции if, у , %п аргументов ое , р<г и
суммирование определителей производилось по индексам аргументов, то в
скобках Лагранжа, наоборот, имеем Sn функций <fs , </V двух
аргументов cjy p и суммирование определителей производится по индекоам*
Функций.
В терминах скобок Лагранжа критерий C7#17) каноничности
преобразования, не содержащего времени, имеет вид
203

Если же преобразование содержит время, то этот критерий должен
выполняться при любом значения i- .
4. Связь скобок Лагранжа и И у а с с о-
н а. Скобки Лагранжа и Пуассона обнаруживают не только сходство
своей структуры; между ними, оказывается, существует более тесная
связь. Для установления этой последней выведем вначале
вспомогательные соотношения. ^
Рассмотрим две грушш канонических переменных у, р и <f* pf
связанны* между собою каноническим преобразованием. Тогда нетрудно
установить, что между производными от функций ^t p по
переменным <7' Р и производными от функций у, р по переменным ^» Р
существуют простые соотношения» Действительно, возьмем следующую
дифференциальную форму переменных 7f, p и преобразуем ее,
используя условия каноничности, к виду
Отсюда яснз, что должно быть
|f'«C^, *JL=-C%b- W-J,...,»).
Of-v Э^ срт дР(Г C7.21)
Аналогичным образом из выражения
следуют равенства производных
дЬ *Ч* *ь~ ър, ( ' '•-¦>>' C7>22)
Теперь, используя эти свойства производных, легко
устанавливаются формулы
? /<^jfcp_ j>ju ^? Л ^гт/а^ д^ _ ???_ эРг \ ?
со ^3<jc? э^е эуг ^/ ^ ча$о э^ э^, е^ /'
<* ^ъ?б дРх дРт bfr) со ^а^ э^ ър^ b^Jf
которые выражают следующие связи между скобками Лагранжа и
Пуассона:
204

На основании этих соотношений критерий каяонидшооти
преобразования C7.20) может быть представлен также через скобки Пуассона
в виде
(P*.fO-°' <V/r)x°> СЪ'М9?*„ С*,г-/....,*Л C7#24)
Подобно C7.20) эти соотношения выражают необходимые и
достаточные условия каноничности преобразования*
5. Инвариантность скобок Пуассона
при каноническом преобразовании.
Рассмотрим функции гамильтоновых переменных tf(<j,p) > (i>(<{tP). °*
переменных q, p с помощью канонического преобразования можно
перейти к новым переменным ^7 р . Выражая р помощью обратного
канонического преобразования а, р через с, р , можем рассматривать
функции у((/,]>) и Ц>(<}~1 Р).В соответствии с этим скобки
Пуассона от данных функций можно вычислять либо по старым, либо по
новым переменным. Взаимосвязь этьх двух скобок выражает следующая
ТЕОРЕМА 65. При каноническом преобразовании с^= ^(у, p)f
cU pfq, p) скобка Пуассона изменяется по закону
D>,(?) = с(у,ф). C7.25)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Основываясь на известном выражении Якобиана от
системы сложных функций, будем иметь
Просуммируем эт* тождества по о? от I до п 9 тогда с учетом
выражения скобки Пуассона получим
Согласно условиям каноничности C7.24) отсюда находим равенство
Gfe ^.p«)tf о f eq,,p,) с < W'
которое и доказывает теорему.
В частном случае унивалентного канонического преобразования
свойство C7.25) принимает особенно простой вид
и выражает теперь свойство инвариантности скобки Пуассона по
отношению к таким преобразования*.
205

Глава УП
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
Известно, что при достаточно гладких силах дифференциальные
уравнения определяют движение системы из любого начального
состояния. Однако опыт показывает, что не все теоретически возможные
движения в действительности осуществляются. Причины кроются в том,
что требуемые начальные условия всегда осуществляются не вполне
строго, а лишь с некоторой точностью. Это обусловлено как
физической невозможностью абсолютно точно реализовать эти условия, так
и тем, что к возмущению начальных условий фактически сводится
влияние всяких второстепенных и случайных факторов, не учтенных при
схематизации явления.
При малых же начальных возмущениях для одних движений
отклонения всегда остаются малыми, так что фактическое движение
происходит вблизи требуемого, для других - отклонения со временем
становятся либо большими конечными, либо неограниченно возрастают, и
фактическое движение значительно отличается от требуемого. Первые
движения относятся к числу устойчивых, а вторые - к неустойчивым.
Проблемы устойчивости движения возникают как в технических,так
и в естественно научных вопросах. К их числу относятся
исследования движения гироскопических систем, систем автоматического pei7-
лирования, колебательных движений, движений самолетов, снарядов,
ракет; в небесной механике - при рассмотрении вопроса о
длительном сохранении структуры Солнечной системы или двойных звезд и т.д.
Задачей устойчивости занимались многие выдающиеся
исследователи, в том числе Раус, Пуанкаре, Жуковский. Наиболее полное
решение задачи дано в 1892 году Ляпуновым. Исследования Ляпунова
были развиты в ряде направлений Четаевым и его школой. В настоящее
время устойчивость движения представляет собою широко развитую тео-
206

рию. Задачи устойчивости решатся во всех областях механики.
Понятию устойчивости движения можно придавать разный
смысл.Наиболее общим и важным по своим приложениям является понятие устой-
чивости движения по Ляпунову, Это последнее и будет
рассматриваться в дальнейшем.
§ 38. Постановка задачи об устойчивости движения
I. Устойчивость и асимптотическая
устойчивость. Предположим, что движение Механической
системы определяется дифференциальными уравнениями
•ЗНЛ'М' у-) с*-'...,."»;, 138.1)
правые части которых являются голоморфными функциями переменных
*>)"'"' Ут' Это М0ГУТ ^ыть» например, лагранжевы уравнения в
обобщенных координатах, представленные в виде уравнений первого
порядка
тогда роль функций Чк играют координаты Q& и скорости j^ р
/77=^или Гамильтоновы уравнения
dt dp, 4* дуг
для которых функциями ук служат координаты <js и импульсы /v ,
причем т » ?п и т.д.
Пусть известно некоторое чаотное решение системы C8.1)
%**$*(*) С*-Д...,*0/ C8.2)
отвечающее начальным условиям: при *=*0 t %кС°)=У« tk-/,...f/rij.
Определяемое им движение называют невозмущенным. По отношению к
невозмущенному движению вое ддогие решения системы C8.1)
7*"М*; с*-/,...,/*; (З8.з)
определяют так называемые возмущенные движения.
Возмущенные движения происходят под действием тех же сил» что
и невозмущевное; различие между ними состоит в вменении, или .как
говорят, в возмущении начальных условий.
Разности значений величин ук для возмущенного и не
«змущепного движений обозначают через
*кс*>яУ№~&(*> С*-'»..., т) J8.4)
207

я зазывают возмущениями яля отклояеняямя. Поскольку невозмущенное
движение задано, то отклонения вполне определяют возмущенное двя-
женяе. Очевидно, что пря совпадений возмущенного движения с
невозмущенным отклонения обращаются в нуль, т.е. невозмущенному движе-
нлю соответствуют нулевые отклонения.
Уравнения двяженля слстемы {38Л) можно представить в форме
уравнения для отклоаеияй. С этой целью выразим тот факт, что
уравяеняя невозмущенного двяженля являются решением C8,1):
%-у.Ып...,^) а.'.....*). C8.5)
я почленно вычтем соответствующяе уравнения C8.1) я C8.5); тогда
с учетом формул C8.4) будем иметь
-^- = Х|с (t,Xt, .«., Хт) (k~if...t т), C8.6)
где положено
Хс(*,а:)*2ЛсЯ/гО*л7"У* f^tiWj. C8.7)
Подобно У*, функции Хк также голоморфны по переменным "t л ос,
Система C8.6) я является уравнениями для отклонений. Эти уравнения
называют также уравнениями возмущенного движения.
Из выражеяяя C8.7) вытекает, что
X*(*<o)sO (k~i,.~,m)9
следовательно, система уравненяй ь отклонениях ямеет нулевое
решение, и это решеняе соответствует невозмущенному движению. Таким
образом, задача об определении устойчивости заданного движения
приводится к задаче об определении устойчивости нулевого решеняя
дифференциальны! уравненяй возмущенного движения. В терминах отклонений-
можно определять я понятие устойчявостя яля неустойчивости
движения.
Невозмущеняое движение х, = о,,..,хт*= о называют устойчивым,
если для любого положительного числа ? , как бы мало оно ни было,
можно указать такое положительное число S(?) , что для любых
отклонений, удовлетворяющих в начальный момент неравенствам
Ix?*l = lxkctjl*-S (к~1,,..,т),
ири любом временя будут выполнены условия
txk(i)l^6 ( k=J,.,,,/n) .
S противном случае невозмущеяяное движение называют неустойчивым.
Другими словами, устойчивость невозмущенного движения означает,
208

что можно обеспечить достаточную малость отклонений в любой
момент путем выбора достаточно малых начальных отклонений.
Важный класс устойчивых движений составляют асимптотически
устойчивые движения.
Устойчивое невозмущенное движение х,,=?о,.»., лт=о называют
асимптотически устойчивым, если найдется такое положительное
число $0 , что для всех отклонений» удовлетворяющих в начальный
момент неравенствам
I л*С*оI*А (кт/9.,ч9т)9
с неограниченным возрастанием временя будут выполнены условия
Urn lxK(i)l=0 (k-t9...,m).
Другими словами, асимптотическая устойчивость невозмуценного
движения означает, что при достаточно малых по абсолютной
величине начальных отклонениях эти отклонения при неограниченном
возрастании времени не только остаются в заданных малых пределах,но
убывают до нуля.
Таким образом, о характере устойчивости невозмущенного
движения судят по поведения отклонений, т.е. возмущенных движений.
2. Геометрическая интерпретация.
Для голометрической интерпретации понятий устойчивости и
асимптотической устойчивости невозмущенного движения системы рассмотрим
т -мерное пространство Ет возмущений, в котором координатами
изображающей точки Р служат возмущения jcn.,., хт.В этом
пространстве невозмущенному движению соответствует начало отсчета O(o,.,.f0).
Бели невозмущенное движение устойчиво, то любая траектория
изображающей точки, начавшаяся внутри т-мерного куба с центром
в начале О и ребром *S , т.е. в 6 -окрестности точки О , будет
целиком находиться внутри такого же куба с ребром 2? , т.е. в
^'-окрестности начала О (рас.26).
М
V
¦^ S
4
Рис.26
Рис.27
209

Ясли же невозмущенное движение асимптотически устойчиво, то
все траектории изображающей точки, начинающиеся внутри So
-окрестности начала О , в дальнейшем не только остаются внутри ?
-окрестности, но с неограниченным ростом времени асимптотически
приближаются к точке О (рис.27).
3. Условная устойчивость. Как уже
отмечалось, величинами vG , для которых написана исходная система
уравнений C8.1), могут служить все функции, определяющие движение,
например,все координаты и скорости <jfft <]<- (G=j(,,,., n) при этом
т = 2л. Однако с более общей точки зрения под че можно понимать
только часть определяющих величин или в более общем смысле
некоторые функции этих величин, являющиеся характеристиками движения
и обсуждать Еопрос об устойчивости движения по отношению к этим
характеристикам. При этом ясно, что невозмущенное движение может
быть устойчивым по отношению к одним характеристикам и
неустойчивым - по отношению к другим. Действительно, известно, что
круговое движение точки в поле ныотониаяского тяготения устойчиво по
отношению к полярному расстоянию, а также по отношению к модулю
скорости, но неустойчиво относительно полярного угла или
декартовых координат.
Следует отметить, что определение устойчивости в смысле
Ляпунова содержит очень сильные требования. При этом неустойчивыми
оказываются многие практически важные движения. В ряде случаев
целесообразно требования несколько ослабить.
Именно, возможны случаи, когда нельзя найти положительного
числа S , удовлетворяющего поставленному в определении
устойчивости требованию, если рассматривать любые возможные возмущения
л^,.,., jc°m , и такое число указать можно, если на начальные
возмущения наложить некоторые ограничения, подчинив их условиям
вида
F(x;,..., хьт ) = 0 или F&,..., *%)>09
тождественно удовлетворяющиеся при х,т= ... =? х% -о. В этом
случае говорят об условной устойчивости или устойчивости
невозмущенного движения для возмущений, подчиненным определенным
условиям.
В частности, движение по кдоглвой орбите, неустойчивое вообще
по отношению к декартовым координатам» будет устойчивым по отноше-
210

няю к ним, если возмущения будут удовлетворять условию
постоянства энергия точки.
Таким образом, в классе неустойчивых движений можно
рассматривать условно устойчивые движения.
Отметим еще, что при рассмотрения устойчивости невоэмуценного
движения речь идет об исследовании устойчивости нулевого решения
системы возмущенного движения. Но такую систему можно построить
не только для механических движений, но вообще для некоторох
процессов иной природы, описываемых обыкновенными дифференциальными
уравнениями. Тогда все вышеизложенное можно применить и к этим
процессам для определеняя устойчивости процессов.
§ 39, Устойчивость движения
Устойчивость невозмущенного движения определяется поведением
возмущений в окрестности этого движения. Интегрирование же
уравнений возмущенного движения и исследование их решений зачастую
связаны Со значительными трудностями. Поэтому при рассмотрения
устойчивости предпочтительны методы, позволяющие избегнуть этих
операций* К их числу относятся так называемый прямой метод
Ляпунова* Он состоят в отыскании некоторой функция временя я
отклонений л в изучения свойств ее производной. В основе метода лежит
способ, использованный Лежен-Дирихле при доказательстве теоремы
Лагранжа об устойчивости равновесия.
I. Теорема Ляпунова об
устойчивости движения» В окрестное тя невозмущенного
движения и на полу бесконечном временном интервале, т.е. в областж &:
Ix^l^A, +>t0 С Ь*/,..., т) 9 C9Л)
будем рассматривать так называемые функции Ляпунова VD, x )>
которые там однозначны, непрерывно дифференцируемы я обращаются в
нуль при х/=-«*дгт«о, т.е. Y(t,o)=zO.
Функция V(itx) в области Л называется знакопостоянной,
воля она может принимать значения только одного знака, либо
положительные, либо отрицательные, я знакопеременной, есля она может
принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Например, ±*Е х* - знакопостоянная положительная, a-**2Jjc^- змвг
непостоянная отрицательная фушщйи; функции же t?x.KKy Jfofx**)
будут знакопеременными.
Знакопостоянная функция координат Wfx;,обращающаяся в нуль
в области «О только в начале отсчета я&,^тхт~о 7 называется
211

2
зяакоопределенной. Например, функция Zqhxk будет знакоопре-
деленной положительной при положительных коэффициентах и знакооп-
ределеяной отрицательной при отрицательных.
Знакопостоянная функция времени и координат Y(t,x) ?
обращающаяся в области D в нуль при любом времени только в начале
отсчета лг,= .¦. = хт- of называется знак о определенной только в том
случае, если для нее существует знакоопределенная положительная
функция координат W(x) такая, что в области & будет
положительной одна из разностей,
ЛГа,х)-\<ГСх)>0 или -V(+,x)-W(X)>0. C39.2)
Например, е* Ихгк будет знакоопределенной положительной функцией,
для нее можно взять \f(x) = ? х% 7 тогда в области будет
справедливо неравенство (?*-*,) 2Jjc*^ О.
Относительно функции времени и координат Y~(t,x) говорят, что
она допускает бесконечно малый высший предел, если для всякого
положительного числа ? , как бы мало оно ни было, найдется другое по
ложительяое число S такое, что в области t>i0-, /зч'4- $
функция V удовлетворяет неравенству \У~(-ЬгхI< ? . Легю видеть,что
этому требованию будет удовлетворять всякая, не зависящая от
времени, непрерывная функция. Что касается зависимой от времени
функции, то ояа может оыть ограниченной, но в то же время не допускать
бесконечно малого высшего предела. Примером может служить функция
В данных терминах сформулируем следующую основную теорему
Ляпунова, выражающую достаточные условия устойчивости движения.
ТЕОРЕМА 66. Если дифференциальные уравнения возмущенного
движения
<** C9.3)
допускают существование знакоопределенной в области D
функции ЛГ(±,х) , производная которой по времени, вычисленная в
силу этих уравнений
di "V дх^** ** 7 C9.4)
является знакопостоянной в Р функцией противоположного с У
знака или тождественно равна нулю, то невозмущенное движение
устойчиво.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим для определенности, что в области 2>
vW^-sS-x.
212

функция Ляпунова V(t, х) - знак о определенная положительная, а
ее производная V (t,x) - знакопостоянная отрицательная или
тождественно равная нулю* Согласно определению знакоопределенной
функции найдется такая, не зависящая от t , определенно
положительная функция W(x) , что в области Л будут выполнены
неравенства
V(*, x)> W(x) , V'(t.X) ± 0 . C9.5)
Выберем теперь произвольное положительное число ? , подчинив
его лишь ограничению ?<А , и рассмотрим значения функции "W(x)
на границе ? -окрестности \хк\~? (k*J,.„,/n). Поскольку эта
граница есть замкнутое множество, то непрерывная положительная
функция IV достигает на ней своего положительного минимума W*
так что W^ WVo.
Рассмотрим далее функцию V(iPfx). Поскольку эта функция явно
не зависит от времени, она допускает бесконечно малый высший
предел. Это Означает, что найдется такое положительное число ? f что
в области ±>t9 7 )хк\< 8 (к*/,..., /п) будет выполнено условие
V"(t0,х)^\\л*Очевидно, это неравенство буд$т выполнено л для
начальных координат х\ , если последние подчинена условиям \х?К\<$
(k-i,..., m)fn.e.
4-V(t.,«#J<W. C9.6)
По условию теоремы производная Yf(itx) отрицательно или
тождественно равна нулю* Следствием этого является неравенство
Y'Y.-fv'(t,Jt)d*40. t39.7)
Из соотношений C9.5)-C9.7) приходим к условию ограниченности
Функции W :
W*V«V0*W.* C9.8)
Отсюда следует, что ни одна из координат хк при движении не
может возрасти до значения, равного ?, ибо на границе
?-окрестности W^W* т.е. для любого момента * будет /л„/<? ( к=
=гД.,.,/я),а это и означает устойчивость движения.
Аналогично рассматривается случай, когда V - знакоопределен-*
ная отрицательная, а V' - знакопостоянная положительная функции.
Теорема доказана.
Замечание. Пусть найдены не зависящие от времени первые
интегралы уравнений движения t/,,... , Up , являющиеся
голоморфными функциями координат и скоростей, и подобраны также числа A,,<V
213

такие» что разложение функции
начинается со знакоопределенной квадратичной формы, тогда легко
видеть, что эта функция будет удовлетворять условиям теоремы
Ляпунова об устойчивости движения.
2. Теорема об асимптотической
устойчивости* Если для уравнений возмущенного движения
можно найти функцию Ляпунова, обладающую по сравнению с обычной
устойчивостью некоторыми дополнительными свойствами, то движение
будет устойчивым асимптотически. Именно, имеет место следующая
ТЕОРЕМА 67. Если дифференциальные уравнения возмущенного
движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию Уа,Х)г
доцуекающую бесконечно малый высший предел, производная по
времени от которой V'(i, х), взятая в силу дифференциальных
уравнений возмущенного движения, является знакоопределенной
функцией противоположного с V" знака, то невозмущенное
движение устойчиво асимптотически.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим для определенности, что V - знакооп-
ределенная положительная функция, допускающая бесконечно малый
зысший предел, а у'- знак о определенная отрицательная функция.
Тогда в силу определения знакоопрецеленной функции существуют та-
сие не зависящие от времени функции W(x) и W/fx;, что в облас-
"и -t ^ i0 /д^К А ( к= *,... , tn) выполняются неравенства
V(t,x)>W(x), -V'*Wd(xJ. C9.9)
Поскольку в данном случае выполнены условия теоремы Ляпунова,
о движение является устойчивым, т.е. возмущения остаются меныпи-
и наперед заданного положительного числа ? : \хк\<? ( /s=/9...yfi?)t
ели они достаточно малы р. начальный момент, т.е. \х°к\<8 ( к =
гД..., т)* п№ этт Функция Ляпунова является ограниченной
7tx)^W^rfle W* - наименьшее значение функции W на границе
-окрестности.
В силу знакоопределенной отрицательности производной V полс-
лтельная функция -V" со временем будет убывать, так что
tim Y(i,x«)]-Y->0, ^39.10)
эичем V({J >Yoe>. Покажем, что YU должно равняться нулю.
214

Действительно, если \?»>0, то в силу существования у функции
У бесконечно малого высшего предела, нашлось бы такое
положительное число $0-9 что в облаем i^i0 , Ык\^ So (k*i,...,m)
выполнялось бы неравенство У(-к9л)^Утлчш при действительном
движении возмущения изменялись бы в области
Но в замкнутой области C9.11) определенно положительная
функция W, (х.) имеет положительный низший предел, который
обозначим через W/ • так что в области C9Л1) будем иметь
-Y'(i.x)&Yb(t,x)*>V/?>o.
г* г
С учетом этого условия из уравнения Y- Y0~}Vdi теперь
получаем м ' *#
и всегда найдется такой момент t>to9 когда функция V станет
меньше, чем 1С*. Тем самым приходим к противоречию с
предположением У>У**, допустив, что Х~>0. Следовательно, должно быть
у = о¦ t и условие C9.10) должно быть вида
Это условие, в силу первого из неравенств C9.9), влечет за
собою аналогичное предельное равенство дяя знакоопределеанои
положительной функции W(jc)
tt/П W(*)~0
Из определения же знакоопределеанои функции следует, что
равенство "W(x)-o возможно лишь при ,?,-••• **х>т ** О. Таким образом,
приходим к условиям
tim [*kl~0 (к*/,..., т),
означающим асимптотическую устойчивость движения» Теорема
доказана.
Итак, теорема Ляпунова позволяет судить об устойчивости или
асимптотической устойчивости движения, если найдена функция
Ляпунова для рассматриваемой задачи. Алгоритма для построения этой
функции теорема не дает, тем самым вопрос о способе построения
функции Ляпунова остается совершенно открытым. Известны лишь
результаты о том, что для устойчивых движений такая функфя заведо-
215

wo существует. Это обстоятельство ограничивает практическое
применение теоремы. Однако значение теоремы Ляпунова не
исчерпывается тем, что она дает средство для творческого решения задачи, с
помощью этой теоремы устанавливается ряд других теоретических
результатов.
3. Теорема Четаева о
неустойчивости движения. Наряду с достаточными условиями
устойчивости движения Ляпуновы* были найдены также некоторые
достаточные условия неустойчивости, сформулированные им в виде ряда
теорем. Четаев нашел достаточные условия неустойчивости, обобщающие
результаты Ляпунова и более пригодные для практического
применения.
При исследовании неустойчивости движения введем в
рассмотрение функцию Y(i,x) , обращающуюся в нуль при а:,= • • хт « о и
может быть на некоторой поверхности Y(t,x)= О} проходящей через
начало координат.
Назовем областью V>0 совокупность переменных it xl9 ...7 хт7
где выполнены условия
Y>09t>±of /xkUe (кш/9Щ.Ш9т).
Эта область со временем может изменяться.
функцию W(i,x) называют знак о определенной в области У> О,
если она может обращаться в нуль в этой области только на
границе V=o и если для произвольного числа S > о всегда найдется
такое число W* > О , что для всех значений координат и времени
из области V& S, *> Ь0 справедливо неравенство
Имеет место следующая теорема Четаева, дающая достаточное
условие неустойчивости движения.
ТНЮРША 68. Если дифференциальные уравнения возмущенного
движения таковы, что можно найти функцию V, ограниченную
в области V> О , существующей в сколь угодно малой
окрестности невозмущенного движения, производная которой
V,взятая в силу уравнений возмущенного движения, была бы
определенно положительной в области У>0, то невозмущенное
движение неустойчиво.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно условию функция V ограничена в
области V>Ot так что в этой области она не превосходит некоторую
положительную постоянную L:
216

Будеы рассуждать от противного: допуотим, что при условиях
теоремы движение устойчиво, т.е. при
будет сохраняться малость возмущений в любой момент
Ыы\<1 (ꦻ/,..., т).
Выберем начальные возмущения такими, чтобы было
Т0>о% \х\\-?, (к-?,.л.,т)ф
Поскольку Y*'- знакоопределенная положительная функция, то дяя
значений координат хн из области, где У> Va , найдется такое
число V* , что будет выполнено неравенство Y*'^ "V?. Тогда из
условия Y-Y0-J Yfd± будем яметь
Отсюда ясно, что при t>tQt y./° получим V?L , что
противоречит исходному условию V* Ь . Полученное противоречие
доказывает теорему.
4. Устойчивость инерционных
сферических движений твердого тела.
Применимость функции Ляпунова дяя исследования движения
проиллюстрируем на примере сферического движения твердого тела по инерции.
Динамические уравнения Эйлера в этом случае в проекциях на
сопутствующие ося координат %(\л§ъ- главные ося инерции для
неподвижной точки - имеют вид C9.12)
л Агл л- л л Л Л dcDo ,л л * л л Je.\m л Л /\ ^
„ л л л tit
Здесь со{, oo9L> сй5 - компоненты угловой скорости тела, а Г^Д^Д» -
осевые моменты инерции. Рассмотрим устойчивость движения тела по
отношению к компонентам угловой скорости.
Легко видеть, что система С39.12)допускает решение
Cb?-&;-const, ob^o, ?>з-0, 439.13)
определяющее так называемое перманентное вращение вокруг главной
оси ?, • Исследуем его устойчивость. Вводя возмущения согласно
фощулам faty+x,, с*-**, оЬз = *з
я используя исходную систему C9.12) находим, что возмущевяя удов-
217

летворяют уравнениям
§-=WA >*л. tw^^W-w^)
C9.14)
Уравнения C9.14) допускают следующие интегралы:
Пусть ось ?j рассматриваемого перманентного вращения служит осью
наименьшего момента инерции, т.е.Г^Г^,^. Возьмем функцию
Ляпунова в виде следующей комбинации интегралов:
Эта функция знакоопределенная положительная. Производная но
времени от функции V в силу уравнений C9.14) возмущенного движения
тождественно равна нулю. Итак, функция V удовлетворяет условиям
теоремы Ляпунова об устойчивости движения, следовательно,
вращение C9.13) устойчиво.
Если принять, что It>L, 13 > то, беря в качестве функции
Ляпунова функцию C9.15) с измененными знаками перед вторым и
третьим членами, вновь придем к тому же результату. Таким
образом,перманентные вращения вокруг осей наибольшего или наименьшего
момента инерции устойчивы.
Что касается вращения^вокдег оси среднего момента инерции,т.е.
при I^li < I5 или f5<: Ii^IZy то оно будет неустойчиво.
Действительно, рассмотрим функцию V=afcjc3. Производная Т \
вычисленная с учетом уравнений C9.14), будет равна
Если xd+tbj=o, то отсюда и из уравнений C9.14) получаем д^=-а?/,
х?=ыг х5=& f гДе d=ca*st, p=o йл^<*-0, р^солв± ,
следовательно, движение неустойчиво. Если xt+GD?>09 то производная V'
определенно положительна в области У>0,и в силу теоремы Четаева о
неустойчивости движения вращение будет неустойчиво.
§ 40. Устойчивость равновесия
I. Постановка задачи об
устойчивости равновесия. Равновесие является простейшим
видом движения системы и соответствует тому случаю, когда во все
время определяющие параметры сохраняют постоянные значения, а
218

скорости тождественно равны нулю, поэтому нахоженный выше метод
исследования устойчивости движения применим и к исследованию
устойчивости равновесия* Однако устойчивость равновесия обладает
рядом специфических особенностей.
Рассмотрим консервативную систему с п степенями свободы и
будем определять ее положение обобщенными координатами ?,,••?
^.Положения равновесия системы определяются из условия обращения, в
нуль обобщенных сил, что для консервативной системы эквивалентно
равенству нулю производных от потенциальной энергии П(р по
координатам :
* Ц* D0.1)
Без ограничения общности можно принять, что рассматриваемое
равновесие достигается в начале координат о,-.»»*^ т° л чт0
потенциальная энергия в этом положении равна нулю Л^;** о. Тогда
в положении равновесия будут тождественно равны нулю все
переменные Дагранжа:
Будем рассматривать устойчивость по отношению к координатам fa
и скоростям j<r % Из лагранжевых уравнений движения в обобщенных
координатах, представленных в виде нормальной системы
?-*'. %-f^-?«.«*.к. «и»
сразу видно, что D0.2) является ее решением, т.е. равновеоию
отвечает нулевое решение этой системы. Но тогда возмущения будут
совпадать с самыми координатами и скоростями:
JV»ft. (*-'.-. Юр лаГ?*> (&-***>-> **)%
и система D0.3) совпадает с системой C8.6). Таким образом» при
исследовании устойчивости равновесия исходная система даграажевнх
уравнений D0.3) в то же время служит и сиотемой для возмущений.
2. Теорема Лагранжа об
устойчивости равновесия. Уравнения равновесия механической
системы D0.1) выражают собою необходимое условие экстремума
потенциальной энергии в положении равновесия. Оказывается, что
характер устойчивости равновесия существенно зависит от типа экстрецу-
ма потенциальной энергии. Эта зависимость выражается, в частности,
219

следующей теоремой Лаграяжа.
ТЕОРЕМА 69. Бели в положении равновесия консервативной
системы потенциальная энергия имеет строгий изолирование минимум,
то такое положение равновесия устойчиво.
ДОКАЗАТЕДЬОТВО, Будем опираться на теорему Ляпунова об
устойчивости движения. Возьмем в качестве функции Ляпунова механическую
энергию системы Е= Т+ П. Эта энергия в окрестности положения
равновесия является знакоопределенной положительной функцией.
Действительно, определенная положительность потенциальной энергии
следует из условия ее строгого минимума в положении равновесия и
равенства нулю самой энергии в этом положении; определенная же
положительность кинетической энергии в окрестности равновесия следует
из самого определения этой величины.
Кроме того, для консервативной системы механическая энергия
служит интегралом уравнений движения НО.З); E=h= con$+, так что
ее производная по времени в силу этих уравнений тождественно равна
нулю Ё^ о . Тем самым энергия Е удовлетворяет условиям теоремы
Ляцунова об устойчивости движения, и положение равновесия устойчиво.
Теорема доказана.
Данную теорему, изложенную Лагранжем в его "Аналитической
механике", нередко связывают с именем лежен Дирихле, который впервые
дал ей строгое доказательство.
Выше отмечалось, что при использовании прямого метода Ляпунова
для исследования устойчивости движения главная трудность состояла
в нахождении функции Ляпунова. При равновесии эта трудность в
значительной мере ослабляется, благодаря теореме Лагранжа, согласно
которой функцией Ляпунова может служить легко находимая
механическая энергия системы.
3. Признаки неустойчивости
равновесия. Теорема Лагранжа дает только достаточный критерий
устойчивости равновесия консервативной системы: если положению
равновесия отвечает строгий минимум потенциальной энергии ПD), то
оно устойчиво. Это не исключает других устойчивых положений
равновесия, в которых функция F1(cj) не имеет строго минимума.
Необходимые и достаточные условия устойчивости равновесия пока не
установлены. В этой связи представляют интерес достаточные условия
неустойчивости равновесия. Этот вопрос не получил еще
исчерпывающего решения. Приведем обзор наиболее известных результатов.
Ляпунов рассматривал разложение потенциальной энергии в ряд в
220

окрестнооти положения равновесия а *.*. = л « о
ПЦ)~Пт(<{)+Пт*1(<1У+---9 /Л>?, U0.4)
где ИкСу) (к~т, т+!,.*, ) - однородная функция координат к -I
степени; разложение начинается с членов порядка не ниже второго,
так как По = 0 за счет выбора произвольной постоянной, а П,»о
в силу уравнений равновесия» Им доказаны следующие предложения:
1. Если потенциальная энергия Г\(<\) консервативной системы в
положении равновесия не имеет минимума и это обстоятельство можно
усмотреть из членов второй степени П*(</) в Рвзложожм D0*4),
то положение равновесия неустойчиво.
2. Если в положения равновесия консервативной системы функция
f](q) имеет строгий максимум и это обстоятельство устанавливается
из рассмотрения членов наименьшей степени в разложении D0.4), то
положение равновесия неустойчиво.
Четаев доказал следующий критерий неустойчивости равновесия:
Если потенциальная энергия П(<]) консервативной системы
является однородной функцией отклонений cji9 ... , оп ив положении
равновесия ^«-«-«о, ~о ае имеет минимума, то положение
равновесия неустойчиво.
4. Устойчивость равновесия
тяжелого стержня внутри сферы. Пусть однородный
стержень весом Р и длиной ?& находится внутри гладкой сферы
радиусом S. . Установим положения равновесия стержня и последуем их
устойчивость. Будем считать сферу удерживающей связь». Стержень
находится под действием трех сил: веса в двух реакций в концах
стержня. При равновесий эти оилы должны располагаться в однсй
плоскости. Отсюда следует, что положения равновесия стертая
принадлежат плоскости меридиана. Определив положение стеркня в этой
плоскости углом </> между вертикалью и
перпендикуляром, опущенным из центра
сфер* на стержень (рос.28), найдем,
что потенциальная энергия стержня
имеет значение
Рис.28
Из уравнения равновесия
221

устанавливаем, что возможны два положения равновесия, в первом из
которых ц>= о » а во втором </>= 11.
В обоих положениях стержень горизонтален, при этом ^= о
соответствует крайнее нижнее положение Л, В, а </>='ц - крайнее верхнее
положение А% В& .
Вторая производная от потенциальной энергии имеет значение
//
П((?)~Р№-ог cos<f
Отсюда ясно, что в нижнем положении равновесия Г? (o)^PvQ2-g2 >0,
т.е. функция П(Ч) имеет изолированный минимум„ В силу теоремы
Лагранжа это положение равновесия устойчиво.
В верхнем положении равновесия ПиA{ ) = -PVr*q2<? о, т.е.
функция П(ц>) имеет изолированный максимум. Наличие максимума в этом
положении усматривается также из наинизшего члена разложения
энергии по степеням отклонений
ri(W = --g-p}/Jff*a* (v-nf
h • - •
В соответствии со .вторым предложением Ляпунова верхнее положение
равновесия неустойчиво.
§ 41. Устойчивость линейных систем
В ряде случаев уравнения для возмущений допускают
интегрирование. Тогда исследование поведения найденного решения позволяет
прямо решить вопрос об устойчивости нулевого решения. К числу
таких случаев относятся так называемые линейные системы.
I. Интегрирование уравнений для
возмущений. Пусть дифференциальные уравнения для
возмущений C8.6) линейны и имеют постоянные коэффициенты
Устойчивость невозмущениого движения определяется устойчивостью
нулевого решения этой системы.
Будем отыскивать частные решения уравнений DI.I) в виде
экспонент
Ji*
X5^Use E = 4...,т; HixcJ>QO
S DI.2)
где UK у X - некоторые постоянные параметры. Подстановка этих
функций з уравнения DI.I) приводит после сокращения на множитель
222

ехр л-Ь к линейной сисгене однородных алгебраически уравнений
для коэффициентов VK :
где еке - символ Кронеккера.
Поскольку разыскивается ненулевое решение, определитель
системы D1.3) должен равняться нулю:
D1,3)
А(Л) =
а„-Х
¦'ft
о^-Л
^/пт~ *
-О .
*-та. ^тт * | D1.4)
Раскрывая определитель, приходим к алгебраическому у равнению/77-й
степени для параметра Я :
&(X) = CL0X'n+CL1Xm-i<
т-4'
9 D1.5)
где коэффициенты <?<*/ составлены из параметров <хке г которое
называют характеристическим или вековым уравнением для матрицы //tf,e/[.
Корни этого уравнения называют характеристическими числами
матрицы II owfl.
Наряду с определителем Д(Л),будем рассматривать также
матрицу М(Х), с оставленную из тех же элементов
>ОД =
о„~Х
*п
-Л-
Ч/п
ЧР/т?
аг
D1.6)
Таким образом, чтобы С41.2) было решением системы D1Л),
параметры Z/57A должны удовлетворять уравнениям D1.3) и D1.4).
При решении характеристического уравнения могут представиться
случаи простых и кратных корней.
Пусть все корни уравнения D1.5) различны, т.е. все корни
простые. Тогда имеет место следующая
ЛША 10. Если Аг- простой корень уравнения л(Я)=0,то
существует, по крайней мере, один отличный от нуля минор /7-Г-го
порядка определителя Д(Д).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вычислим производную по А от функции йA).
Используя правило дифференцирования определителей, найдем, что эта
223

производная будет равна сумме взятых со знаком минус диагональных
миноров т-1 -го порядка
АМ=-
*-2г
а
3 2.
^25
азъ-Л
Jmi
О,
.--Я
*&
'1Z' '
-Я-
4т-1
"*т-1
а*-
f*-« Qm-Ъ
'am-im-i*
Подставим в это соотношение Л= Аг и заметим, что поскольку
корень Дг простой, то должно быть д'(Лг)ФО. Следовательно, левая
часть равенства будет отлична от нуля, но тогда должен быть
отличен от нуля хотя бы один из диагональных миноров /77-J-ro
порядка определителя А (X ),входящнх в правую часть равенства. Тем
самым лемма доказана.
На основании леммы 10 без ограничения общности можно принять,
что отличен от нуля минор
ДтМгЬ
а„
Lg4
^12 ' •
J2m-i
а
2т ~i
art
«*/71-f?
&m-f/n-1
-л.
*o,
D1.7)
получающий из определителя D1.4) вычеркиванием последнего
столбца и последней строки с последующей подстановкой Л = Дя,. Это
означает также, что матрица М(Лг) будет иметь ранг, равный /77-/ .
В этом случае в системе D1.3) первые т-1 уравнений будут
независимы. Последнюю систему можно представить в виде т-1
неоднородных уравнений для такого же числа величин vs/t/m ($ = /,...,
/7?-iJ,B силу D1.7) решение этой системы единственно и дается
формулами Крамера
иь _ As (^J
E-/,..., m-i)9
Дт(Хг)
где А$ (Лг)~ определитель, полученный из определителя D1.7)
подстановкой на место элементов S -го столбца свободных членов
уравнений или, как нетрудно убедиться, вычеркиванием в определителе
UI.4) последней строки и $ -го столбца с последующим умножением
на (-4) * и подстановкой Д«Аг. Данные соотношения представи-
мы также в следующей форме:
* г
й, (X J А?СЛг) '" ~Ат(Лг)
224
z

Отсюда следует, что все параметры г/5 будут пропорциональны
определителям Л5 (AJi
г/ь~2*А5(Лг) ($**,...,/»), D1.8)
где коэффициент В является произвольной постоянной. Эту
постоянную полагаем равной единице В*~1.
Таким образом, в рассматриваемом случае установлено га
частных решений системы D1 Л)
Эти решения независимы между собою; Действительно, допустив
зависимость решений, имели бы соотношения
Умножим обе части равенства на величины ое$ и просуммируем по
индексу S * Тогда о учетом следующего из D1.3) соотношения
Zclv\=*x v\ <*УДем иметь
г
DI.II)
Повторяя этот процесс далее, после гп-1 шага найдем
Таким образом, подучена однородная система т уравнений D1.10)-
D1.12). Рассматривая ее относительно вели *шн c,v4sex,*t,.,
C„UmiXm* видим, что определитель системы имеет значение
- Л (Д,-ак)
и, следовательно, отличен от нуля, так как все корни А/,..., Ал>
различны» Но такая система имеет только нулевое решение
Поскольку все величины v\,..,, г/^ по условию не равны нулю-
одновременно, отсюда следует, что должно быть Cf»-**cm« О .
Полученные условия означают независимость частных решений
D1.9).
225

Обращаясь к исходной линейной системе D1Л), можем теперь
представить ее общее решение в виде линейной комбинации
независимых частных решений
jc5 - ZC, U\ t' - ? С, As СХг)е1' '(S* /,..., ^.D1.13)
Рассмотрим далее случай кратных корней характеристического
уравнения. Пусть Xt есть корень кратности р . В таком случае
р~Я производная функции А(Х) при X - Я х будет отлична от
нуля: л (Л1)ФО, и рассуждение, аналогичное предыдущему,
показывает, что среди миноров порядка т-р определителя д(Л,)упо
крайней мере, один отличен от нуля. Отсюда следует, что .для ранга р
матрицы М(Л,) справедливо неравенство (^ м-р . В этом
случае система DI.I) сводится к у независимым уравнениям.
Из теории линейных алгебраических уравнений известно, что в
этом случае в решении системы C4I.I) т- р неизвестных остаются
произвольными; пусть это будет 1/х -Д,,...» ит -? ~ Дт»-
^детальные же р неизвестных tlm~+j > •¦•> УХт выразятся в виде следующих
линейных форм относительно величин J3f,...7 B,n»?:
Тем самым получена система решений, зависящая от /л-р
произвольных ПОСТОЯННЫХ Д,,..,, Вт-0 •
+ Ат(*т-9)?т~р]еХ<* ^41.14)
Таким образом, одному корню А< кратности р соответствует
т-?^Р частных решений, которые следуют из D1.14), если
положить Вк^ W* к= *,„,., т - f,а прочие &е(е*/<г) равными
нулю:
Ъ-0 , 4-ех^../4,-гО,^р^Ат^аУ'1..-,4,^ти?)^;
UI.I5J
*''-•¦ ^V..^:*^^,)^^.*.
226

Матрица из коэффициентов при ekit
отношений имеет вид
в правых частях этих со-
и
1 Am-p+t ^Д/я-я)-' л/»^Д/п-?)
Она, очевидно, имеет ранг, равный /и-?, следовательно, ее строки
независимы. Тем самым получена система m-f независимых решений»
соответствующих кратному корню X^.
Если р^ т- р , т.е. если ранг матрицы М(Л4) имеет наименьшее
значение (з этом случае матрица МСХ,) имеет простые
элементарные делители), то nv у = р , и полученное число решений равно
крайности корня Я,; тем самым получены все решения, соответствующие
этому корню. Пусть таким же свойством обладают все другие кратные t
корни. Тогда общее решение системы D1.I) можно представить в
форме D1.13) x^Sc^xl (S=/,.,,, Я),Ь ПРИ это* кратный корень
считается столько раз, какова его кратность.
Если ранг ^ матрицы М(Я,) больше т~р , то число m-f
полученных указанным способом решений будет меньше кратности р
корня Д. . Для нахождения недостающих решений их отыскивают в виде
реш
линейных комбинаций функций е \ке ',
?"'<?
г,±
Пусть
указанным свойством обладает хотя бы один кратный корень. Тогда
общее решение системы DI.I) имеет вид
, se fw,...,*;, DI.I6)
где -rs - полином относительно времени, степень которого пь на
единицу ниже кратности Д корня 2Ь, т.е. пг=рг-ц
*i-ZP.
t-<-
Члены Ut$t,
ипгъ х
+ U„ts* (S*I,..,9 т) . UI.I7)
неограниченно возрастающие с течением
времени, называют вековыми. п
В частности, если все корни простые, то/7г«=У, ^ ^Ч*-^^.,
и формула UI.16) совпадает с формулой D1.13). Следовательно#
D1.16) можно рассматривать как общее представление решения
системы DI.I).
2. Критерии устойчивости
чивости линейной системы.
и н е у с т о й-
Общее решение
227

141.16) уравнений линейной системы UI.I) позволяет сделать
заключение о характере устойчивости невозмущеняого движения.
Пусть все корни характеристического уравнения имеют
отрицательные вещественные части, т.е.
moo. ReXz=-<**^0. UI.I8)
Тогда с учетом условий ?хт t*e ъ =о (<* = о,1,..., п7) получаем
Um x^ZL tin (P"*e***)=o,
и нулевое решение системы .дифференциальных уравнений D1.1)
асимптотически устойчиво как при отсутствии кратных корней, так и при
их наличии.
Цусть теперь хотя бы один корень Лг характеристического
уравнения имеет положительную действительною часть Re2t>0. Тогда
система DI.I) имеет решение х$ = сг vie *ьр которое неограниченно
возрастает при i-~ <*>, в то время как его начальное значение
xl'Czvl может быть сколь угодно малым за счет произвольного
множителя Сг. В этом случае нулевое решение системы DI.I)
неустойчиво.
Наконец, пусть среди корней характеристического уравнения нет
ни одного корая с положительной вещественной частью, но есть
корни с нулевыми вещественными частями. Рассмотрим один из таких
корней Хг=1У>г. Бели он простой, то ему соответствует ограниченное
решение xsCzv*i1***y которое может быть сделано сколь угодно
малым за счет выбора произвольной постоянной ?г. Аналогично
обстоит дело и для кратного корня, если ему соответствует матрица
JA(i V2) наинязшего ранга %г~/п- рг . Ксли же корень Дг= i Vz
кратный и рант матрицы М (i V?;: %г>/п -рг , то ему соответствует ре-
шевяе
неограаяченно возрастающее со временем за счет вековых членов.
Таким образом, в рассматриваемом случае нулевое решение будет
устойчиво, если в решении D1.16) во всех слагаемых, где ReX^Qt
будут отсутствовать вековые члены, и неустойчивым в противном
случае. Отметим еще, что в рассматриваемом случае устойчивость
будет обычной, не асимптотической.
3. Устойчивость равновесия груза*
228

на пружине в ореде с
сопротивлением. Пусть груз массы т может совершать прямолинейное
движение под действием восстанавливающей упругой силы,
пропорциональной отклонению, и силы вязкого трения, пропорциональной первой
степени скорости. Исследуем устойчивость положение равновесия.
Возьмем начало отсчета в положении равновесия и направим «оьх
в направлении движения, тогда легко видеть, что дифференциальное
уравнение движения будет вида
где <z и ос - коэффициенты восстанавливающей и тормозящей сил. Это
уравнение второго порядка можно представить в виде нормальной
системы
<зЬс, dx,g
Ж* *> dl
где положено
Vя» **'*> кж1? > **"тш
Полученная система является оиотемой для отклонений.
Равновесию отвечает нулевое решение. Система линейного типа* Матрица
коэффициентов постоянная я имеет вид
*хя> -&т*-Ъ%~*"лк>
a2l 0JAi ц-k* -*лИ
Характеристическое уравнение в этом случав будет квадратичным
а//""я ал
-А I
-lc* -tn-Ji
т t**&nlL + l<*=Of
его корни прортые и имеют значения
Так как оба корня имеют отрицательные вещественные части при
любом сопротивлении, то невозмущеяное движение - положение
равновесия асимптотически устойчиво.
§ 42. Устойчивость по линейному приближению
Уравнения для возмущений вообще нелинейны и в общем случае не
интегрируются в элементарных функциях. Получил поэтому распрострет
нение метод исследования устойчивости нулевого решения по
уравнениям линейного приближения, получающимся путем линеаризации нвли-
229

нейных уравнений. Ляпунов первый указал на неэквивалентность
линейной и нелинейной задач и установил условия, при которых
результата линейной задачи сохраняют силу в нелинейном случае.
1. Уравнения линейного приближения.
Выше отмечалось, что в нелинейных уравнениях для возмущений
^-XAt.x) (k=j,...,m) С42Л)
правые части считаются голоморфными функциями. Пользуясь этим,
разложим их в ряды по возмущениям в окрестности начала, отсчета,
тогда,с учетом условий ХкЛ,о) = 0 (*>/,..., т) 9 получим
dx
-Ж' = %а**а)л*+{к(*,х) ( к* I,...,">), D2.2)
где через ? (t,x) обозначена сумма членов ряда второго и более
высокого порядка относительно возмущений, являющаяся также
голоморф ой функцией.
Отбрасывая в уравнениях D2.2) все нелинейные члены I ,
получаем линейную систему дифференциальных уравнений
Ж"-|а«я« (к* ?,..., т), D2>3)
которую называют линейным приближением для нелинейной системы
D2.2).
Различают стационарный и периодический случаи: в первом из них
величины оКС постоянны, а величины $к зависят только от
возмущений; во втором случае -QKe(*) и J- (t,х^ являются
периодическими функциями времени с одним и тем же периодом. Ь обоих
названных случаях Ляпуновым было установлено, что из асимптотической
устойчивости или неустойчивости линейного приближения следует
соответственно асимптотическая устойчивость и неустойчивость
нелинейной системы. В случае же обычной устойчивости линейного
приближения сделать заключение об устойчивости нелинейной системы
нельзя. Этот вопрос требует дополнительного рассмотрения. Эти
результаты Ляпунова имеют важное значение, поскольку исследование
Линейных систем не вызывает особых затруднений,
В дальнейшем ограничимся изложением результатов Ляпунова
только для стационарного случая. Предварительно изучим вопрос о
поведении линейной системы при преобразовании переменных.
2. Свойства линейного приближения.
230

Подвергнем линейную систему D2.3) невырожденному преобразованию
переменных
^m?UKS2s (к./,...,т; d*i(VKsUo),
D2.4)
тогда система примет вид
dh
Умножим обе части каждого из уравнений на соответствующий элемент
U~* обратной по отношению к U матрицы и~ля просуммируем
результаты, в итоге с учетом свойства ? UZkU~* ~SZs с$удем иметь
где a'zs являются элементами преобразованной матрицы. Свойства
характеристического уравнения преобразованной матрицы вырааает сле-
дующая
ЛШМА II. Характеристические уравнения матриц \\a!ts \\ л /J Лг<г Л
совпадают друг с другом.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Составим очевидное матричное равенство
n<s-4s Mi и^акЛглг и?б„ивз //= ни* //•// *се-*8п uvj.
Переходя в нем к определителям- и учитывая, что определитель
произведения матриц равен произведению определителей сомножителей я
что произведение определителей прямой и обратной матриц равно
единице, найдем соотношение
которое и доказывает лемму. Таким образом, характеристическое
уравнение матрицы инвариантно по отношению к линейным
преобразованиям.
Другое свойство линейной системы выражает следующая
ЛЕША 12. Линейная система дифференциальных уравнений D2.3)
с помощью невырожденного линейного преобразования переменных
D2#4) может быть приведена к виду D2.5), в котором
преобразованная матрица имеет треугольный вид
CL
а
а
fSL
. &,
а
Sii
CL
i&
. . . л,
Urn
^
/77 jg
°mnl
*-t 0/? . . , ©у/л
О _ A* . . . lkm
0~ 0"""Яд
D2.6)
231

где А* - характеристические числа матрицы Но.ке Ц7причем модули
недиагональных элементов t>Kt (k< t) могут быть сколь угодно малы.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем в качестве первого шага невырожденное
преобразование jl^EU^ lft С к- /,..., m)f в котором первым
столбцом матрицы V1 служит собственный вектор и\ , соответствующий
характеристическому числу Х? .
Л -Л v * ^ i
[/««*;, Za^u^X^ Ск-?,,„,т)
D2.7)
Тогда система D2*3) преобразуется к виду
В силу отмеченного свойства преобразования линейная система 142.3)
имеет решение xk^l/Ktx^^V^ ? <*> Сравнивая его с
преобразованием ХК =? u?e li , устанавливаем соотношения #*/****-? У*«*?
( к« /,.„, т ) . Отсюда следует, что должно быть
*;-*'*, *;—-
Но из преобразованной линейной
системы D2.7) тогда следует, что это возможно лишь в случае, когда
iji***, ^ = ,,,=:СяС^*е» когда матрица // if о Н имеет
вид
4
t>mi
С-
&/»*-<
-
0
I 0
°/к ..
4т& .
D2.8)
На основании леммы II при невырожденном линейном преобразовании
характеристическое уравнение матрицы //#*« И не изменяется,
поэтому матрица К ?г5 ///* будет иметь своими характеристическими
числами остальные т-i характеристических чисел Я*,..., Дт матрицы
НаКеП.
Применим описанный процесс к системе последних т-1
уравнений D2.7) и т.д., в итоге исходную систему D2.3) .приводим к
треугольному виду
ф.лЛ>&л>--
л А
232
D2.9)

Произведя, наконец, масштабное преобразование переменных
переводим систему 142.9) в систему
%..Ы.*?1.Л CI:.,,...,»), (eJD)
матрица которой име^т вид D2.6). Из выражений яедиагонаяышх
элементов 6ке ~fje~k 1КШ (к<е) при этом следует, что они могут
быть сделаны сколь угодно малыми до модулю» если выбрать число//
достаточно малым. Лемма доказана,
3. Теоремы об устойчивости по
линейному приближению. Представим нелинейную
систему 142.2) для стационарного случая в матричном виде
d* Jt ' D2.11)
где А=Цаце \\ - квадратная матрица с постоянными элементами, а
j(х) - вектор-столбец с элементами JM(xl9...,xmj(tr~t9.,t>mO
являющимися голоморфными функциями. Нелинейной системе D2*11)
соответствует система линейного приближения
л D2.12)
Достаточные условия устойчивости нелинейной системы по линейному
приближению выражает следующая
ТЕОРЕМА 70. Если все корни характеристического уравнения
для линейного приближения D2.12) имеют отрицательную
действительную часть, то нулевое решение нелинейной системы
\42.11). асимптотически устойчиво.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. На основании условия теоремы можжо положить
тол Re%k~-cL<Q.
Обозначим далее через ill модуль вектора-столбца ? и через
цА\\ - норму матрицы А , определив их выражениями
|Г|-<?/*/)*, ШП?,*„,*/<. D2Л4)
Рассмотрим некоторую малую Л -окрестность начала отсчета х .
Пусть \х0 )< Л ; в силу непрерывной зависимости решения систем*
D2.11) от начальных условий /2/<А и на некотором временном
233

интервале ttof+) . Для значений & из этой окрестности будем
иметь , Г ¦ | с r*i
|J(»l**/*b D2Л5)
где положительное число ? можно выбрать сколь угодно малым,
поскольку в выражение каждого элемента столбца входят малые члены
второго и более высокого порядков.
По лемме 12 существует линейное невырожденное преобразование •?=
=: U?, приводящее матрицу А к треугольному виду со сколь угодно
малыми недиагональными элементами. Применим его к нелинейной
системе D2Л1), тогда получим уравнение
где В - треугольная матрица, определяемая выражением D2.6), а
q(i) - вектор-столбец, равный
$&-V-'j(Vi). D2.I7)
В компонентном виде уравнение D2.16) записывается так:
f-^^^U7« (г,5«/,...,/*;. D2Л8)
В силу этих уравнений будет справедливо соотношение
'" dt S. dt 9. dt *?**.** SLX^idt *zdt )
,EfieAii/^?s(S^JzJtsIsity^L(fJ^fziz)
где черта над величиной означает знак сопряжения.
Воспользуемся неравенствами
2к ?, Цк U!?l7 1Аъ\± ПАИ-lit- D2.20)
Первое из них очевидно, а второе можно получить применением
неравенства Коши-Буняковского С 27а* ^ f±(Ea? )LLt> ) ¦
К К к к ^ к. *
Тогда нетрудно установить, что для /а/ , ввиду условий D2.17) и
42.15), будет справедливо неравенство
tjcl)l4llU-Jlllj(U*)i±? IIU-JltllUil /?/« ? ill, D2e2I)
где число ч^Вци^Ц HUH может быть сделано сколь угодно малым
234

за счет ? .
Опираясь на неравенства D1.13), D2.20) в D2.21), можно
следующим образом оценить сверф слагаемые правой часта D2.19):
По лемме 15 число у может быть сделано сколь угодно малым* Из
D2.19) и D2.?2) приходим к неравенству
Отсюда интегрированием находим
UltlT.lS'^V™ С.ГГО . D2.23)
Выберем положительные числа у и to таким образом, чтобы
выполнились неравенства <*--]/¦-> о я ч< <?~i • Тогда из неравенства
D2.23) легко видеть, что
l?(t)Ull0\ и Itm 1?Щ\ = 0> U2-24)
т.е. решение 2я0 системы D2.16) асимптотически устойчиво.
Поскольку векторы х и ? связаны линейным преобразованием ?= ^
то будем иметь
D2.20)
Данное неравенство получено для моментов времени, близких к
начальному, когда 13с} <¦ Л , но з силу убывания Зс. с течением
времени оно будет справедливо для всех ±^±0Лз D2.25) следует,
что
ixCDl^HVIIIlVlllZol и lim l?(i)l-o .
Следовательно, решение 5 = 0 системы D2.11) также асимптотичео-
ки устойчива. Теорема доказана.
Рассмотрим еще одну теорему, выражающую достаточные условия
неустойчивости по линейному приближению.
ТЕОРЕМА 71. Бели хотя бы один корень характеристического
уравнения линейного приближения D2.12) имеет положительную дей-
235

ствятельную часть, то нулевое решение нелинейной системы
D2.II) неустойчиво.
Докажем теорему для случая, когда характеристическое уравнение
не имеет корней с нулевой действительной частью. Б1удем считать,
что система D2.11) приведена к виду D2.18), Пусть среди корней
характеристического уравнения первые п штук (i^ /74 т) имеют
положительные, а остальные - отрицательные действительные части.
Положим
G*/ninJie(*I,.„,\ni-'Xnti,,„rZm)>0 - D2.26)
Вычислив производную по времени от выражения G=? 12^1-E fivi.
Пользуясь системой D2.18), получим
dG d Г г -
Заменяя здесь Re ^(Х-**,..., Я) и ?e(~lv) (У* п+1, <,, ,т)
через () и вычитая модули слагаемых всех остальных сумм, будем иметь
4g*?eL i\f-?Liitsllis№tl-f>E Шил-
dl w ге.5 i,t S
Испольадя данзе те же оценки 142.23), что и при доказательстве
v. доказательстве
тво /?/\?/?,/2*G,
пределу щей теоремы, а также очевидное неравенс
найдем
или, усиливая его,
dfr61G>0, Ъ-б-ц-цХ).
Положительность $? всегда можно обеспечить путем должного выбора
малых величия Jf и ^ . Умножим это неравенство на ^^pp-<Si(<t-t0)]>
получим ' '
откуда, интегрируя по времени от i0 до -Ь и заменяя величину &
ее выражением, находим
236

Lll^&iwrfbf^CLltf-Zltt] • D2.27)
Всегда можно, считать, что величина Gp положительна, положив, в
частности, 2^0 ( Vе/**/,..., /л) . Тогда из неравенства D2,27)
вытекает, что, по крайней мере, одна из величин ll+l со временем
неограниченно возрастает. В силу соотношения /x/^jft/V* /?/
будет неограниченно возрастать и \Х\ , хотя 1$01<8, т.е. нулевое
решение системы D2Л1) неустойчиво» Теорема доказана,
4, Критерий асимметрической
устойчивости. Выше установлено, что в стационарном случае
нулевое решение нелинейных уравнений для возмущений асимптотически
устойчиво, если все корни характеристического уравнения для
линейного приближения D1,5)
D2,28)
имеют отрицательные действительные части. Отсюда ясна
практическая значимость критериев, при которых имеет место отмеченное
свойство корней. Справедливо следующее
Предложение, Необходимым условием отрицательности
действительных частей корней характеристического уравнения
является положительность его коэффициентов
а?>07 at>Ot..,,am>0 . D2.29)
Действительно, пусть в уравнении J42.28) Лк (к» /,..., d) -
ственные и ze± iSe ( е= /,.,, 9г— ) - комплексные корни
«причем
2 D2.30)
Тогда для многочлена Л (Я) будет справедливо представление
ACX)-aon(Z-Xu)n(X-*<-iS€)(Z-ZettSe) =
* * е ** *, {42.31)
В- силу неравенств D2,30) каждый множитель в D2,31) имеет
положительные коэффициенты, поэтому будут положительны коэффициенты и
полинома А (Л) • Предложение обосновано.
Что касается необходимых и достаточных условий "устойчивости"
237

ногочлена Л (Я),то они устанавливаются более сложным путем.Та-
ие условия найдены в 1875 году Раусоы и независимо от него в
395 году Гурвицем; приведем их без доказательства.
Условия Рауса-Гурвица. Чтобы все корни
равнения D2.28) имели отрицательные действительные части, необ-
зцимо и достаточно» чтобы были положительны следующее определите-
1 Гурвица:
-fl^o, vfeS|>0—4-.-
О
От
>0
D2.32)
метим, что когда в определителе появляется коэффициентер с
дексом, большим т , то его следует заменить нулем.
При числовых коэффициентах характеристического уравнения усло-
я D2.32) легко проверяются. Затруднения появляются в случае,
гда эти коэффициенты содержат параметры, при вычислении опреде-
гелей высокого порядка. Представляют поэтому интерес более про-
ie условия, установленные в 1914 г. Льенаром и Шипаром, которые
держат меньше детершнантных неравенств. Приведем их также без
сазательства.
Условия Льеяара-Шипара. Чтобы многочлен
Я) при d0> о имел все корни с отрицательными действительны-
частяии, необходимо и достаточно, чтобы
все коэффициенты многочлена Л (Я) были положительны
о,>о, o*>o,.,., Gm>o ;
D2.33)
имели место детерминаятные неравенства
Ьт-1>0* Ат-з>0> D2.34)
сь, как и ранее, через Д^ обозначен определитель Гурвица
пока cL.
§ 43. Центробежный регулятор
)дним из наиболее известных устройств для автоматического регу-
звания работы машины является центробежный регулятор Уатта. Этот
/лятор успешно отвечал своему назначению с момента создания в
238

18 веке и до середины 19 века. Затем в результате род коаствук-
тивных изменений он стал работать ненадежно. Вышнеградокий
выяснял условия устойчивой работы регулятора я дал рекомендации по их
практическому осуществлению. Это выдающееся исследование Выинегр»
ского положило начало созданию теории автоматического
регулирования машин.
I. Устройство и уравнения
движения регулятора. Центробежный регулятор 1рис,29)
представляет собой вертикальный стержень, который может
вращаться вокруг вертикальной оси и в верхней части которого крепятся
на шарнирах два одинаковых стержня длиной в , несущих на концах
грузы массой т каждый. Стержни с помощью тяг крепятся также к
специальной муфте, которая может скользить вдоль вертикального
стержня.
Регулятор присоединяется к паровой машине для поддержания
равномерности ее хода. Конструктивно это осуществляется так: махевое
колесо паровой машины при
помощи зубчатой передачи
связано с вертикальным отер*
нем регулятора, а муфта
регулятора с помощью гяг
связана с заслонкой,
регулирующей подачу пара в рабочие
цилиндры. Регулятор
настроен на определенную скорость
вращения; при замедлении
вращения он увеличивает
подачу пара в цилиндры, при
ускорении вращения -
уменьшает подачу пара.
Регулятор имеет две сте-
* ЦИЛИНДрАМ
плровои машины
OJ
ЬУШЧАТАЯ
ПвРёЦАЧА
Рис.29
пени свободы. Возьмем в качестве обобщенных координат угол </
отклонения стержней с грузами от вертикали и угол G поворота peiy-
лятора вокруг вертикальной оси. Составим уравнения движения
регулятора.
Учитывая только массы грузов и считая их точечными-, найдем,что
кинетическая энергия регулятора равна
239

Для нахождения обойденной силы 6^, соответствующей углу V
.составим элементарную работу 8Ац активных сил на виртуальном
перемещении системы, отвечавшем приращению этого угла. Учитывая силы
тяжести грузов и трение в шарнирах, считая в первом приближении
момент сил трения пропорциональным скорости вращения Л1ГР =-^где
?>о - известная постоянная, найдем, что $Ац и выбудут
соответственно равны
bA^-Z(rnQlSinte+l(p)&(p, QLtft-tCmfiSWW).
Чтобы определить обобщенную силу Qe , требуется знать
воздействие машины на регулятор» Это воздействие, однако, обычно
характеризуется не динамической величиной, а кинематическим
соотношением, связывающим скорость аЭ вшщения маховика со скоростью О
вращения регулятора вокруг вертикальной оси :
0 = ла)9 D3.1)
где п - так называемое передаточное число. Тем самым силу
вычислить нельзя. Взамен можно воспользоваться дифференциальным
уравнением вращения маховика, определяющего закон изменения его угловой
скорости.
di < • D3.2)
где J- момент инерции маховика, Mt- момент сил давления пара,
А М - момент сил нагрузки на машину.
Обратное воздействие регулятора на машину проявляется в том,что
активный момент Jftt зависит от угла отклонения стержней регулятора
от вертикали по закону
M^Gj + KCcoscf-eoscft),
где ift - угол отклонения, соответствующий заданной рабочей
скорости вращения маховика, G^- значение момента JAj при у* %,*
к > О - постоянный коэффициент пропорциональности.
Дифференциальное уравнение, определяющее закон изменения угла
[о , можно получить, воспользовавшись лагранжевым уравнением
<L ъТ _j?T_q в виде
Из соотношений D3ЛМ43.3) следует, что система машияа-регу-
>лятор описывается двумя дифференциальными уравнениями
240

Jib* к Cos<p-G} G-M- Gi + kcosy*
Для приведения системы к нормальному виду положим </-V • тогда
будем иметь
q-n^nVCotif-ls^-Jpy, D35)
J Y J*
2. Устойчивость стационарного
режима* Легко видеть, что система D3.5) уравнений допускает
стационарное решение
У-% , V-o , со=оо0, D3.6)
определяющее стационарный режим работы машины, в котором
постоянные % и аH определяются соотношениями
*•%-§-¦
D3.7)
i
Задача состоит в исследовании устойчивости этого стационарного
движения. Введем возмущения **, у, 2 > положив
У-?а**# V-y, c0-<Oofi'. D3.8)
Тогда система D3.5) приводит к уравнениям для возмущений, которые
после линеаризации и исключения с цомощью D3.7) величины п*сэ*
принимают вид
ХП
У
JLy+yLstamti,
те* J *ел)с Го >
D3.9)
Вековое уравнение для подученной системы
-Я
9 «..а-
{
I
е. eoi(f, m* еа>* То
* с- ,
о -Я
после раскрытая определителя имеет вид
241
= 0

те teos4o jeo0e ШЛ0)
Потребуем, чтобы нулевое решение системы D3.9) в линейном
приближении было асимптотически устойчиво, тогда можно
гарантировать асимптотическую устойчивость и нулевого решения для
нелинейной системы возмущенного движения*
В соответствии с критерием Льенара-Шипара для этого требуется
выполнение условий
а0>о, а±>о, ог>о , a5>of D3.II)
Все коэффициенты уравнения D3.10) положительны, поэтому
необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости оудет
выполнение неравенства Ал > о , которому с помощью первого условия
D3.7) можно придать вид
т& сОс ' D3Л2;
Для выявления механического смысла правой части последнего
неравенства введем играющее важную роль в технике понятие
неравномерности хода паровой машины. Из соотношений D3.7) следует
равенство п*ао0 = 2?- . Отсюда видно, что при изменении величины
G=M-Gf+kCosik > т.е. при изменении нагрузки М , будет меняться
стабильная скоростыД,. Величина ^=\222?\ и называется неравно-
мерностью хода паровой машины. Из предыдущего легко усматривается
равенство (S^Q-^^consi, Дифференцированием его получаем
^г=-^--Таким "образом, V = ^- > и условие устойчивости
системы машина-регулятор D3.12) можно представить в следующем
окончательном виде:
г > I
т*г D3.I3)
Нарушения работы регуляторов в середине 19 столетия связаны с
тем, что все параметры, входящие в условие D3.13), стали
изменяться в направлении ухудшения устойчивости. Для обеспечения
устойчивой работы регуляторов Вышнеградский рекомендовал в качестве
реально осуществимых условий искусственное увеличение трения при помощи
специального устройства и увеличения неравномерности хода за счет
изменения параметров п и к , зависящих от конструкции машины.
242

Глава УШ
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Теория малых колебаний является приближенной теорией,
описывающей движение механических систем вблизи устойчивого положения
равновесия или определенного устойчивого движения* Она имеет
первостепенное значение во многих областях науки и техники. Начало
развития современной теории колебаний связано с работами
Гюйгенса, Ньютона, Лагранжа. Теперь это широко развитая теория с много-*
численными приложениями. 6 основе теории лежат приближенные
методы описания движения. Предположение о малости возмущений
позволяет линеаризовать общие нелинейные уравнения, сведя их к линейным
уравнениям, что существенно упрощает исследование задачи.
§ 44, Малые колебания консервативных систем
Будем рассматривать движение консервативной системы в
окрестности устойчивого положения равновесия. Установим лияеаринеровая-
ную систему уравнений движения и покажем, что она определяет маг
лые колебания.
I. Уравнения малых колебаний. В
рассматриваемом движении системы обобщенные координаты я обобщенные
скорости, по определению устойчивости, остаются малыми,
величинами з любой момент времени. Это обстоятельство позволяет сохранять
в дифференциальных уравнениях движения, например в дагранжевых
уравнениях второго ряда (9.27), только линейные члены
относительно координат и скоростей, отбросив остальные малые члены более
высокого порядка*
Те же линеаризированные уравнения, однако, можно получить
более простым путем, если предварительно линеаризировать выражение
кинетической и потенциальной энергий, а затем составить обычные
243

лаграяжевы уравнения*
Эти энергии для консервативной системы с п степенями овободы
определяются через координаты q^ и скорости а а следующими
выражениями:
*crv ' ' С44Л)
При этом полагаем, что Т(^,^) и П(<[) являютоя голоморфными
функциями.
Примем, что положению устойчивого равновесия отвечает начало
отсчета координат с^о (<Г= Г,.,., /7J и что потенциальная
энергия в этом положении достигает строго минимума и обращается там
в нуль П(о) --=0. Линеаризируем выражения душ функций T((f,<j) и
/7(</). Разложив коэффициенты d^zCQ) в выражении кинетической
энергии в ряды по степеням координат в окрестности начала коорди-
нат
устанавливаем, что с точностью до квадратичных членов
кинетическая энергия будет равна
T'i?<t«j,j*
•** ' ' D4.2)
Разложим в ряд по степеням координат в окрестности начала
отсчета и потенциальную энергию
Поскольку по условию Псо) = 0, af~^j =& (о)=о (со=19.~9л)
по определению положения равновесия, то разложение потенциальной
энергии начинается с квадратичных относительно координат членов.
Пренебрегая членами третьего и более высокого порядков, найдем
ддя энергии /7 выражение
Л-f^M,. «.-($:).¦ D4„
Таким образом, кинетическая и потенциальная энергии
приближенно представимы в виде квадратичных форм с постоянными
коэффициентами; из определения этих величин ясно, что матрицы коэффициентов
будут симметричны о 0 fJ*~ . „ х
244

Из физического смысла кинетической энергии следует, что
всегда Т» О (Т « О только при а,»• • • - fy - о)>Следовательно,
квадратичная форма ^T-^a^fy.^. будет положительно определенной.
Что касается квадратичной формы #7«?с<гг ^<?г, *° ее
положительная определенность следует из принятых допущений о том, что
потенциальная энергия достигает в начале отсчета строго минимума
и равна там нулю.
Пользуясь выражениями D4.2) и D4.3) для Т и П ,
устанавливаем, что лагранжевы уравнения в обобщенных координатах
в рассматриваемом случае принимают вид
")
D4.4)
?<^r?r*<w?r)~0 ^»а..., />;
г — ,- / 144.5)
6 этих уравнениях величины &Vr называют инерционными
коэффициентами, аСс.т- коэффициентами жесткости. Первые из них
определяют инерционные, а вторые - квазиупругие свойства системы.
Задача определения движения в окрестности положения
равновесия, таким образом, свелась к исследованию решения системы ли-
не иных однородных дифференциальных уравнений второго порядка»
Покажем, что эти уравнения определяют малые колебания.
2. Главные колебания. Представим уравнения
D4.5) в матричной форме. Введем в рассмотрение две положительно
определенные матрицы А , С я вектор-столбец ~о
А-
а;
а."
7«
D4.6)
тогда система дифференииальных уравнений D4.5) может быть
записана в виде
А%*е$~0. D4.7)
Будем отыскивать частное решение этой линейной системы в виде
7f~itSin(col*-d.)9 D4.8)
где и - вектор-столбец с постоянными элементами if,,..., г/л,а сО
и <L - параметры, т.е. в виде гармонических колебаний с одними и
теми же для всех координат частотой и фазой, но с различными амп-
245

литудами. Подстановка этих выражений в систему D4.7) приводит
к следующей системе алгебраических уравнений для амплитуд и
частоты:
D4.9)
Сс-яЛ)и^о, А-со*
Поскольку все амплитуды гУ^ не должны одновременно обращаться в
нуль, т.е. для существования ненулевого решения этой системы
должен быть равен нулю ее определитель
dei(a-*A) = 0. D4.I0)
Таким образом, получено характеристическое уравнение, которое
является алгебраическим уравнением /7 -го порядка и служит для
нахождения частот. Свойство корней уравнения D4.10) выражает
следующая
ТЕОРЕМА 72. Корни характеристического уравнения D4.10)
вещественны и положительны..
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Я - комплексный корень. Тогда ему будет
соответствовать вообще комплексный амплитудный вектор-столбец и -
вектор с комплексными элементами Уг , определяемыми из системы
D4.9): И(^аг-Ла^т)иг-0. Умножим каждое из этих уравнений на
соответствующий элемент ц$ , комплексно сопряженный элементу ц^
и просуммируем результаты ?,@^- Д<3^г)цД«О.0гсюда находим,
ЧТ° д- ?<Vr*Jrttg я
D4.11)
Переходя в этом соотношении к сопряженным величинам, имея в виду
вещественность матриц А и С , получим
д EOrrUfUr
"" La^U,^ ' 144.12)
В силу симметрии матриц справедливы равенства
поэтому из выражений D4.11) и D4.12) следует условие Д= Я ,
утверждающее действительность корней.
Для вещественного корня Я система D4.9) определяет
вещественный амплитудный вектор 1^*1/^ ?04^...,/^. Но тогда из
выражения D4.11) с учетом положительной определенности форм
Ho^tf^U^O , H,C<rTil<f'Uqr>0 следует положительность этого
корня х>0* Теорема доказана полностью.
246

Таким образом, характеристическое уравнение D4.10) имеет п
корней Л,,,**, Д0.Каждому корню X^соответствует действительная
положительная частотаиДу « у^ называемая собственной частотой
системы (по этой причине вековое уравнение нередко называют еще
уравнением частот),и действительный амплитудный вектор t?*,
определяемый системой
@-%fA)u**0 или ?(*<rr~*fa^r)ure0 (*•*,...,*) D4.13)
по формулам вида D1.8) и^С?Ат(Яр) (T~d>.>%> П) , где.
Аг(Л$) - миноры определителя 1С-ЛрА\,я тем самым частное
решение уравнения D4,7)
^*z V*Sin(CQf± * *f ), 0>j>~vCfy# D4.14)
Рассмотрим вначале случай, когда все корни уравнения частот
различны. Покажем, .что при этом все п частных решений вида
D4.14) будут независимы. Предварительно установим следующее
свойство:
А и9йР*?а°ти*инг*:0 при рФ jj , D4.I5)
т.е. билинейная форт, с матрицей Л для различных векторов 1?*
и и)* обращается в нуль. Действительно, из системы D4.13)
?f^<rr~^f ^ъ^Щ:*® после умножения на v!*f и взятия суммы
^io б* получаем В СС(гг-Хр о?,г ) U:TU>?~0. Переходя здесь к
матрицам и меняя ролями индексы р и и , отсюда находим
ейГйР-ЛгАй'йН, ейРй9=ХуАинй*.
В силу симметрии матриц соответствующие им билинейные формы
не зависят от порядка перемножаемых векторов, поэтому вычитанием
полученных равенств устанавливаем соотношение
откуда, ввиду того, чтоД« ф Ди,и получаем требуемое условие
D4.15).
Пусть теперь амплитудные вектора, соответствующие различным
корням Лу,..., Л п , зависимы ;
Тогда при любом фиксированном U будем иметь AU .ИЛИ В
учетом свойства D4.15)
247

Ho ^t/^tt^> О, поэтому В и* о (р= Л-'у ^97что доказывает
независимость векторов iZ' ..., 2Л^ а следовательно,и независимость
соответствующих им решений C44.I4),
В силу линейности уравнения D4.7) его общее решение будет
линейной комбинацией п независимых решений, т.е.
j-Zb9ufSi*L*>i**9) (a>rfx?, ?=/,...,/?), D4.16)
в котором кп постоянных Зр и oLp (?=Л.,., п) однозначно
определяются из такого же числа начальных условий <j#(p) ~ fir и %t°) e Я&
(G=J,**., p). Величины сР и а? предполагаем малыми.
В случае, когда характеристическое уравнение D4.10) имеет
кратные корни, оказывается возможным найти также п независимых
решений вида D4.14) и представить общее решение системы D4.7) в
форме D4.16). Этот .факт будет строго обоснован в следующем
пункте.
Обращаясь к общему решению D4.16), видим, что движение
системы в окрестности устойчивого положения равновесия представляет
собою малые колебания. Колебания вида ? = &?u*$in(cdft + *?),из
которых складывается произвольное колебание, называют главными
колебаниями системы.
3. Нормальные координаты. Составление
общего решения дифференциальных уравнений малых колебаний,
независимое от наличия кратных корней характеристического уравнения,
основывается на приведении квадратичных форм к сумме квадратов.
Из алгебры известно, что две квадратичные формы
Щ-?<т<1*<1*> СП = Ес«т<]<г<!г> D4.17)
из которых хотя бы одна, например AHjc? , является положительно
определенной, всегда можно одним и тем же преобразованием переменных
привести к сумме квадратов
А W~ ? °f ' C??~ f Xf &f ¦ D4.19)
Поскольку при линейном преобразовании вековое уравнение не изменя-
ется'то o./<ve-*<^l-KV-*)*«l-OWr-a). •
248

Поэтому в выражения 144.19) величины Л$ являются корнями
векового уравнения я, следовательно, положительны: Я* > О СР***••*> **)•
Возможность одновременного приведения форм 144*17) к виду
И4Л9) можно проиллюстрировать следующими геометрическими
представлениями. Определенно положительным квадратичным формам D4.17)
в координатном пространстве Еп можно еопоставить эллипсонды.Мас-
штабным. преобразованием координат еллипсоид первой формы можно
перевести в сферу, при атом второй эллипсоид остается эллипсоидом.
Затем преобразованием поворота координатных осей переводит
эллипсоид второй формы к его осям симметрии, при этом сфера остается,
очевидно, неизменной. В итоге обе формы будут приведены к суммам
квадратов, причем величины Я^, обратные по отношению к полуосям
эллипсоида, будут положительны. Наличие кратных корней векового
уравнения означает одинаковость некоторых полуосей эллипсоида,что,
очевидно, никак не сказывается на реализации описанного выше
процесса.
Обратимся снова к преобразованию D4.18). Поскольку оно
линейное, то обобщенные скорости 6 и в будут связаны аналогичными
соотношениями
поэтому в.первой яз форм D4.19) можно заменять у и б
соответственно на <f я G : ЩЦ- %L&f'• Б результате для кинетической
и потенциальной энергий получаем следующие выражения:
Переменные Ом,.,, 0р,в которых Т и П принимают
канонический вид D4,20), называют нормальными координатами.
Воспользовавшись простыми выражениями D4.20) кинетической и
потенциальной энергий, найдем, что для них лагранжевы уравнения
D4.4) принимают вид
т.е. каждое из уравнений содержит только одну из неизвестных
функций. Таким образом, нормальные координаты обладают тем ценным
свойством, что в них система дифференциальных уравнений малых
колебаний D4.5) распадается на отдельные независимые уравнения, чем
существенно облегчается интегрирование этой системы.
249

Заметим, что уравнения в нормальных координатах D4.21) можно
получить непосредственно из уравнений D4.5; путем составления их
линейных комбинаций. Действительно, умножим каждое из этих
уравнений
на некоторый множитель tte и просуммируем результаты
?^«г?—?*м?«?т. D4<22)
Множители И4 подберем так, чтобы выполнялось соотношение
0 = ? иб**бт<]т =jfZ tLaCsZ 1т . D4.23)
Тогда Zu6Ccr <?т = Я0 , ?и6а°г<[е-ёш уравнение D4.22)
принимает вид '
ё + Ле = 0. D4.24)
Преобразование D4.23) должно выполняться для всех значений
координат qi9 .,. , qn , что влечет за собою равенство коэффициентов
при них: д?и^;г-2а,^т(^Д.,., п) или
ненулевые значения величия ие определяются отсюда при равенстве
нулю определителя системы
del СС„ -Х<?(ТТ)=0. 144.2б)
Уравнения D4.2Ь) и D4.26), ввиду симметрии матрицей С ,
совпадают с полученными ранее из других соображений уравнениями
D4.9) и D4Л0). ^
Для каждого корня Я0 уравнения D4.26) определяют вектор U?}
тем самым определяется преобразование D4.23) к нормальной
координате G0 и уравнение D4,24) для этой координаты. Перебирая все
корни Л? , получаем все уравнения D4.21).
Общие решения уравнений D4.21) определяют, как известно,
гармонические колебания с собственными частотами
где by и oLq- произвольные постоянные величины.
Подстановка этих величин в выражение преобразования координат
250

D4.18) приводит к общей формуле для колебаний
совпадающей с формулой С44.16) для этих колебаний, установленной
ранее из других соображений.
Таким образом, установлено, что формула D4.16) охватывает еду-
чай как простых, так и кратных корней характеристического
уравнения. При переходе к нормальным координатам случай кратных корней
не выделяется особо.
Если, в частности, несколько корней, например два, равны между
собою, то соответствующие ям нормальные координаты имеют равные
частоты; при этом имеет место только явление унисона колебаний и
не происходит неограниченного роста координат.
В заключение заметим, что упоминавшееся ранее главное колебание
системы q = &oU*$in(futi + <?% ) представляет собою, очевидно,ко-
лебание, соответствующее изменению только одной нормальной
координаты 0 .
4. Связанные маятники. Рассмотрим малые
колебания около положения устойчивого равновесия связанных маятников.
Пусть два одинаковых математических маятника с массой т и длиной
С подвешены на одной и той же высоте на расстоянии J друг от
друга. Сами маятники соединены между собой пружиной жесткостью у,
которая находится в недеформироваяяом состоянии, когда маятники
занимают вертикальное положение.
Система двух маятников имеет две степени свободы. В качестве
обобщенных координат возьмем углы у, и у?, образуемые маятниками
с вертикалью (рис.30).
Потенциальная энергия П системы состоит из двух частей:
энергии сил тяжести /7,= то (А1 * Л*),где Af и /fc - возвышения
маятников над уровнем нулевой энергии, и энергии деформирования пру-
Х&&г э где &f.~f-*d - абсолютная деформация. Нетруд-
жины П2
но установить, что
поэтому потенциальная энергия
системы имеет значение
Рис.30
251

Легко видеть, что нулевые значения отклонений
4,-0, yft*0 D4,29)
удовлетворяют уравнениям равновесия
Следовательно, вертикальное положение обоих маятников отвечает
положению равновесия. Из того факта, что потенциальная энергия в
положении равновесия D4.29) обращается в нуль П.(о,о)=0, а в
окрестности этого положения она положительна, как видно из
следующего разложения,
"СЧ5, %)- ^«4V Х^' "J* ¦ ¦ ' D4.30)
заключаем, что энергия достигает здесь минимума, следовательно,
данное положение равновесия устойчиво.
Рассмотрим малые колебания маятников около этого устойчивого
положения равновесия. Сохраняя в разложении D4.30)
потенциальной энергии только квадратичные члены и составляя выражение
кинетической энергии, будем иметь
Т-*г(*М), n.grf.&.gcwf. 144.3I)
Этим линеаризированным энергиям отвечают следующие лагранжевы
уравнения, определяющие малые колебания маятников:
D4.32)
где положено
*~ е "ИГ9 п = ^Г ' D4.33)
Ищем частные решения этих уравнений в виде
252

iprVf$tn(cOl+*)f <tt-UzSi/)(a>i+cL) . D4.34)
Подстановка этих выражений в уравнения D4.3а) приводит к
следующей алгебраической системе для амплитуд:
¦А*у.д)а<-о; D4,35)
в которой Х-со определяется из характеристического уравнения
-пг з?-Х «6*-*/-* -°- ^44.36)
Это уравнение имеет два различных корня и, следовательно, две
различные собственные частоты;
Для каждого корня из системы D4.35) находи» амплитуды Ц и tig, .
В силу D4.36) в этой системе только одно независимое уравнение»
Для первого корня Д1 это уравнение им%ет вид
? ? 4*1
откуда tty= Z/A = ?/-/; первое главное колебание системы имеет
вид
4t = BdSi*W-4)f <fi«bdX»fai+*<). D4.38)
Для второго корня Л? аналогичным цутем получаем их= ^Щ^С^-17
и второе главное колебание системы подучает выражение
Vg = 3?Sin(iikt+*2)t 4t—Bu3zn(u>it*4t). D4#39)
6 первом главном колебании маятники все время находятся в
одной фазе, пружина при этом не деформируется и маятники не влияют
друг на друга* Во втором главном колебании,маятники все время на*
ходятся в противоположных фазах и взаимодействуют друг с другом#
ввиду деформирования пружины. Общее движение системы
представляет собою комбинацию двух главных колебаний
14*В^л(^+^)+В*ш(и)^+Ы1)9 D44о)
% = &i Un (C0,i +сЦ)~ BbSin (outl +*&) .
Установим теперь уравнения движения маятников в нормальных
координатах. Для этого будем исходить из лагранжевых уравнений D4.321
253

Умножим первое из них на у1% второе - на Щ и сложим результаты;
в итоге получим равенство
и^, + ияч^-(х*иГп*и2)ЦН"*Ч-**и*)Ъ. D4,41)
Множители и± и Щ подберем так, чтобы соотношение
выполнялось для любых углов </, я (Л; это влечет за собою
выполнение условий
Я и, - J-Vt - rtvt,
которые совпадают с ранее полученными уравнениями D4.35;. Чтобы
эта система имела ненулевое решение, параметр 2 должен бить
корнем характеристического уравнения D3.36).
Из D4.41) и D4.42) следует, что нормальная координата 6
удовлетворяет уравнению Q+%Q=0. Придавая здесь Д значения 24 и
Я-,, получаем следующие уравнения движения маятников в нормальных
координатах Q, , 0 : м А ?
общие решения этих уравнений имеют соответственно вид
Q, = &4Si»fai* + <*i)> fyrbk3M<bl+*iO D4.43)
где В47 ?^7at49 <Ац - произвольные постоянные. Сопоставив D4.38)
и D4.39) с D4.43), приходим к выводу, что в первом главном
колебании меняется только первая нормальная координата, а во втором
главном колебании - вторая нормальная координата.
Соотношение D4.42) с учетом ранее найденных значений величин
2/* определяет следующие связи между нормальными и обобщенными
координатами: . St Z
6,= и^^щч^^+ъ , ©*-*//%**/*%-<«-%,
т.е. в данном случае нормальные координаты представляют собою
сумму и разность углов (/4 я t^. Выразив отсюда </} и if через Oi и G&
и воспользовавшись формулами D4.43), снова приходим к общему
решению 144.10) уравнений малых колебаний.
Рассмотрим движение маятников при следующих начальных условиях:
*-о, ъ(°)=ц°9 ^(о)~о, <ft(o)~or %(o)~o .
Из 144.40) следует, что по этим условиям произвольные постоянные
254

определяются из уравнений
%°* Д 5гл<*, *SgSi»<AgfO*BiSin^-BgSxfiolg 9
в следующем виде:
Таким образом, соответствующее движение отбывается уравнениям*
о D4 44)
Рассмотрим случай так называемого слабого взаемодвйстмя
маятников, при котором ~?~«/. Это, в частности, имеет место цри
слабой пружмяе |« i e *
Тогда
и уравнения движения 143.44) принимают вид
Поскольку 'j— « I, то функции а,Ш и *f СО являютоя
функциями, медленно меняющимися со временем, поэтому решение
^44.45/ представляет собою гармоническое колебание с частотой о^,
но периодически изменяющейся амплитудой.
Б начальный момент амплитуда первого маятника максимальна, а
второго - равна нулю. Затем со временем амплитуда первого
маятника убывает, а второго - растет, и в момент ^ - Чм&а/х
амплитуда второго максимальна, а первого - равна нулю. Затем процесс
повторяется в обратном порядке, т.е. между маятниками происходит*
обмен энергией. Это явление называют биениями.
255

§ 45. Влияние периодических внешних сил
на колебания консервативной системы
Периодические внешние силы могут существенно изменять
колебания консервативной системы в окрестности устойчивого положения
равновесия, которые она совершала под действием одних только
потенциальных сил, и служить источником возникновения таких
эффектов, как резонанс, биения и пр.
1°. Уравнения малых движений с
учетом периодических сил. Пусть на механическую
систему с п степенями свободы, совершающую движение в
окрестности устойчивого положения равновесия, вместе с потенциальными
силами-|~- действуют также возмущающие силы Qe , периодически
изменяющиеся со временем с периодом T=&n/Q , гдеQ, частота силы:
Возмущающие силы обусловлены воздействием какого-либо внешнего
по отношению к системе периодически изменяющегося фактора, В
дальнейшем будем полагать, что силы Q# допускают представления в
виде рядов Фурье.
При использовании линеаризированных выражений кинетической и
потенциальной энергии ?T=E,OL°<fxq6.aTу ?^-^%AAtлагранжевы
уравнения
в линейном приближении принимают вид
л 947-i^: = -^ + Q* <*-/,...,*;
JCo-W^T^ftO-'G^O few,...,/?;. {45#2)
Для упрощения системы перейдем от обобщенных координат к
нормальным координатам по формулам
fc«z:4ef. cr-i »,<*<ш1»о). D53)
Умножая уравнения D5#2) на величины U^ , суммируя по индексу б
и переходя к переменным О* , получим
?9CuZ*\v4:e,*<C,vvi0f)-f?ci, . D5Д)
Переход к нормальным координатам означает одновременное преоб-
256

разованяе матриц А в С к диагональному вяду; вводя, далее, для
преобразованных обобщенных сял обозначения ©^, 0удем яметь
Поскольку обобщенные силы Q€(i) допускала разложения в ряды
Фурье, то в силу лянейностя формул D5,5) этим свойством будут
обладать и силы©ж, т.е. будут справедливы представления
С учетом D5*5) я D5,6) уравнения двикеняя D5.4) прнняыают вяд
системы независимых уравнений для нормальных координат
2°. Исследование движения. Общее решение
уравнения D5,7) имеет вид
6M*3+S*(*>Mt+*M)+& (х-/,...,/?), D5#8)
глесОл^/я^ - собственные частоты системы, b$t,d*f
произвольные постоянные, а 6Ж- некоторое частное решение. Легко видеть,
что в уравнении .D$Л) каждому слагаемому Н^р S*" faS2i+рт»)п1*-
вой части отвечает частное решение уравнения вида
?Г^&(?^^09Т0ЫУ в силу линейности уравнения U5.7) его частное
* решение 0? f может быть представлено также в виде ряда
"р»о со^-у%Л*
Возвращаясь к прежним обобщенным координатам с помощью формул
D5,3) и представляя эти формулы в матричной форме ^-^Й^в^гда
Йл- амплитудный вектор с компонентами и*,.,, Ь„ л, с учетом
145,Ь) получим ^
f" ?'¦?*. D5.Ю)
где ^
у.Ь«ГАяШС**чл) D5>П)
являются свободными колебаниями, а
257
в**&17?к& ^^*^-j5f«-/f...,/i;. D5.9)

вынужденными колебаниями системы.
Таким образом, влияние периодичных возмущающих сил проявляется
в возникновении вынужденных колебаний, происходящих с частотою
этих сил, В результате движение системы представляет собою
суперпозицию свободных и вынужденных колебаний.
Если некоторые j>,Q совпадают с одной из собственных частот и)^
и соответствующее HXf Ф О, то для координаты 6*. имеет место
явление резонанса ? -го порядка. Отсюда ясно, что чем больше у
системы степеней свободы, тем богаче у нее резонансные явления.
В заключение заметим, что среди свободных и вынужденных
колебаний ст постоянных интегрирования зависят только первые из них.При
этом легко видеть, что не удается сделать отклонения сколь угодно
малыми для любого момента времени путем соответственного выбора
малых начальных отклонений. В частности, при резонансе эти
отклонения могут со временем неограниченно возрастать. Поэтому
положение равновесия, устойчивое при отсутствии возмущающих сил,
становится неустойчивым при действии этих сил.
§ 46, Колебания при наличии диссипативных сил
Выясним влияние диссипативных сил на колебания консервативной
системы около положения устойчивого равновесия.
I, Уравнения малых движений с
учетом сил сопротивления. Будем считать, что
механическая система с п степенями свободы совершает движение в
окрестности положения равновесия при наличии консервативных сил и
сил сопротивления среды, В обобщенных координатах <>,,..., о0
консервативные силы определяются через потенциальную энергию П по
формулам 06---^— ( <г= У,..,, п). Относительно сил сопротивления
принимается, что при медленных движениях они являются линейными-
функциями обобщенных скоростей; Q^ --2Li(rT <}T, причем &<-тГ&гб~
- conH ?tf,2"=/,...,/?J.B этих предположениях можно ввести диссипа-
тивную функцию Релея R=iE& fa <jT,являющуюся определенно
положительной квадратичной формой обобщенных скоростей, через которую
силы сопротивления можно представить в том же виде, что и
потенциальные силы, а именно: Q? = --|? (<г= /,..,, п) ,
Полагаем, что положение равновесия совпадает с началом, отсчета
обобщенных координат, что потенциальная энергия в нем равна нулю
и достигает строгого минимума. Тогда в малой окрестности положения
равновесия для кинетической и потенциальной энергий будут справед-
258

ливы приближенные выражения *T«?o°r<^r у *Я*?4?^
^прячем каждая из ни*, подобно функции Редея, будет определенве пеле-
жительной квадратичной форой*
Движение в окрестности равновесия будет определяться лагранже*-
выый уравнениями
di ЪТ ЪТ ЪП д? е~? л)
которые в рассматриваемых условиях дают следующие линеаризованные
уравнения:
ff<r^f'crfr^#r^)e0^-A...,/»; • D6.1)
Таким образом, D6.1) представляет собою систему п однородных
линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Вводя квадратные матрицы А - II с?г И , & m " &<гг 'I, С * // <Vr \[ я
обозначая через ^ вектор^столбец о элементами а,..,, ^ ,
представим эту систему в следующем матричном виде:
Aq+Bf+tf-0 ' D6.2)
2. Интегрирование уравнений
движения. Будем искать решение системы D6.2) вида
-tZ*'#\ D6.3)
где и - вектор с произвольными постоянными элементами ff>... ,#» ,
а. и - некоторый постоянный параметр. Подстановка этого выражения
в матричное уравнение 146.2) приводит после сокращения на
экспоненту еР* к следующей однородной алгебраической системе для вектора
и и числа и : ^
I (AF'+?ju+e)u-o D6<4)
или в развернутой записи
$«>Ьр'ЬгЪг)ит-° с-*.....*). D6.„
Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и
достаточно равенство нулю ее определителя. Это приводит к следующему
уравнению для параметра и :
A(f4)±tt*?(Afr+3f4+e)-o D6#5)
или в подробном виде
259

Л<^и) =
= С D6.5^
/7/7
Уравнение D6.Ь) называют вековым или характеристическим
уравнением для данной системы. Это алгебраическое уравнение степени?л
относительно^ ; оно определяет йл корней //,,..., fJ^a.
Ограничимся рассмотрением основного случая, когда все эти
корни различны. Каждому корню ие соответствует некоторое ненулевое
решение VLe системы алгебраических уравнений D6.4) и,
следовательно, частное решение &We* системы дифференциальных
уравнений D6.2). Общее решение этой системы дифференциальных
уравнений будет представлять собою следующую линейную комбинацию
частных решений:
Ч-Е^Л^'* , D6.6)
где ?;,,,,., с%п - произвольные постоянные. Вид функций с}D),&
следовательно, и вид малых движений определяется свойством корней
векового уравнения.
3. Исследование корней и
характера движений. Свойство корней векового уравнения
Позволяет судить о характере малых движений и тем самым о характере
равновесия системы. Это свойствр выражает следующая
'ГЕОРКМА 73. Если в положении равновесия потенциальная энергия
достигает строгого минимума, то вещественные части Есех
корней векового уравнения D6.5) отрицательны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть /У*=<У* г? ~ некоторый вообще комплексный
корень уравнения D6.5). Тогда система С46.4) определит гектор ti
с вообще комплексными компонентами Т/т* Уг ¦ г Wr . Легко видеть,
что в силу линейности системы D6.4) сопряженному горню ?7= 8- *'?
будет соответствовать вектор с сопряженными компонентами
Ur=VT-iWz.
Умножим каждое из уравнений системы D6.4) на tc^a возьмем
сумму по б* , в результате получим квадратное относительно и
уравнение
Симметрия матриц А,3 и С позволяет представить его в следующей
260

эквивалентной форе:
?(<т^К*ГС*Жйсит+Кти,)~Ъ D6.8)
Но
поэтому уравнение D6.8) представило также в виде
Переходя в ней к комплексно-сопряженным величинам и учитывая
вещественность коэффициентов, будем иметь
Таким образом, //ид/ являются корнями одного и того же
уравнения. Но свойству корней квадратного уравнения имеем выражение
Поскольку квадратичные форы, соответствующие кннетичеокей энергии
и функции Рауса по условию определенно положительны, а векторы 7
и W по условию одновременно не равны нулю, то из D6.10)
устанавливаем, что ?efj<09 и теорема тем самым доказана.
В силу этой теоремы отклонения линейной системы D6.2) будут
затухать со временем, а шесте с ним по теореме 70 будут еаДОеть
отклонения и общей нелинейной системы. Это означает, что
рассматриваемое положение равновесия будет асимптотически устойчиво.
Таким образом, наличие диссипативных сил, определяемых черев
функцию Рауса, не только не нарушает устойчивости положения
равновесия, но превращает обычную устойчивость в устойчивость
асимптотическую. Установим теперь характер затухающего движения. Полежим
тогда корни уравнения D6.8) можно представить по формуле
Отсюда ясно, что тип движения зависит от величины сопротивления.
Рассмотрим различные случаи.
а) Пусть сопротивление велико настолько, что для всех jL/, 0*>{од
261

Тогда корни ив будут действительны и отрицательны. В этоы случае
в равенстве С46.6) все ?r€ со временем убывают до нуля;
движение имеет затухающий апериодический характер.
в) Пусть сопротивление мало настолько, что для всех ие fi<4octf.
Тогда корни будут комплексными сопряженными це = Se +ite э ре=8е-
i?e9$<0,B этом случае уравнения для координат D6.6) представимо
в виде
т.е. затухающее движение будет затухающим колебанием.
с) Наконец, промежуточные случаи сопротивления, очевидно,
соответствуют затухающим движениям, представляющим собою комбинации
апериодических затухающих движений и затухающих колебаний,
§ 47. Движение при наличии гироскопических сил
Гироскопические силы позволяют в некоторых случаях
стабилизировать неустойчивое равновесие или движение. Гироскопические силы
возникают при наличии нестационарных связей, а также при переходе
к неинерциальной системе отсчета. Нестационарность связей,
приводящая к гироскопическим силам, может быть осуществлена введением
в систему быстровращающихся тел-гироскопов.
I. Уравнения движения с учетом
гироскопических сил. Пусть механическая система
с п степенями свободы совершает движение в окрестности
некоторого положения равновесия под действием потенциальных и
гироскопических сил. Потенциальные силы Q# определяются через
потенциальную энергию /7 (вообще не достигающей в положении равновесия
минимума) по формулам Qff=-]?~* F=1,.. . ,п).Гироскопические же
силы Те являются однородными\тшнейными функциями обобщенных
скоростей с антисимметричной матрицей коэффициентов
Используя линеаризированные выражения кинетической и
потенциальной энергий T=Ea?vfc<jvt ^П-Zc ^ffcv и выражение для
Гироскопических сил, найдем, что лагранжевы уравнения
приводят к следующим линеаризированным уравнениям возмущенного
движения в окрестности положения равновесия:
262

S«WV«?r)-Cfcr?c . D7I)
Переходя от обобщенных координат к нормальным координатам по
формулам <fe~?b?cQ9 {e*t,t,sy л), преобразуем эти уравнения к
виду *
V^V^A, D7.2)
где Я^ - коэффициенты при квадратах координат в выражении
потенциальной энергии в нормальных координатах, a #$*.-
антисимметричная матрица коэффициентов гироскопических сил в этих координатах:
Таким образом, в отличие от уравнений движения консервативной
системы переход к нормальным координатам в системе D7Л) уже не
приводит к распаду системы на отдельные уравнения, хотя и
упрощает вид системы. Это обусловлено тем обстоятельством, что три
квадратичные формы одним преобразованием уже не приводится в общем
случае к сумме квадратов,
2. Исследование движения. Будем искать
частные решения уравнений D7.2) в виде экспонент
e* = 8f е** с ?«*¦¦•¦ гп) > D7.4)
где 8?и ^ - произвольные параметры. Подстановка этих выражений
нормальных координат в уравнения D7.2) приводит после сокращения
на экспоненту ev* к следующей алгебраической системе уравнений
для величин Bii«<«,_i>n •
в которой параметр ^ определяется из характеристического
уравнения
&м=
S° ' D7.6)
обеспечивающего существование ненулевого решения системы D7.5).
Это алгебраическое уравнение степени 2п относительно параметра V.
Легко видеть, что оно содержит -только четные степени т) • В самом
263

деле» замена в определителе D7.6; ^ на -V равносильна замене
строк столбцами, что не меняет его значения. Таким образом,
вековое уравнение D7.6) имеет вид
AW-Л *У'-W^.. ¦ ¦ In-,/¦.<.. W)
причем очевидно, что
«*л&А,А? ... А*. D7.8)
В зависимости от вида корней этого уравнения будут иметь место
различные движения системы и, следовательно, различные виды
устойчивости равновесия.
Пусть все корни >) вещественны и отрицательны; тогда сами V
будут чисто мнимы. Решения D7.4) за счет подходящих начальных
условий можно сделать сколь угодно малыми. Равновесие по первому
приближению устойчиво.
Пусть по крайней мере один корень V* вещественен и положителен,
тогда вещественно и положительно будет одно из значений V , и соот-^
ветствующая нормальная координата D7.7) будет со временем
неограниченно возрастать. Равновесие линейной системы, а вместе с нею и
нелинейной системы неустойчиво.
Пусть, наконец, хотя бы один корень комплексный У-Л? .
Тогда, извлекая корень, получим для л) два значения
Отсюда ясно, что если i?*V, > О, то Ле^^О и наоборот.
Следовательно, один из корней будет иметь положительную вещественную
часть* что влечет за собою неограниченный рост нормальной
координаты. Равновесие будет неустойчиво.
з. итабилизация равновесия
гироскопическими силами. Необходимого и
достаточного условия того, что корни алгебраического уравнения
вещественны и отрицательны, не установлено. Поэтому для системы {417.2) нет
достаточного критерия устойчивости даже в линейном
приближении.Необходимое же условие устойчивости установить можно. Пусть все
корни 147,7) вещественны и отрицательны Vn--d6f,тогда уравнение
D7.7; представимо в виде произведения биномов
4(lWV*»#f)(/**?)' • ¦(/¦*?),
причем каждый из них берется множителем столько раз, какова
кратность корня, итсюда ясно, что ^л = #, --»ЭВп>о, Учитывая "еще пред-
264

ставление D7.8;, получим неравенство
*.'V ' #^>0> D7.9)
которое и выражает собою необходимое условие устойчивости.
Наряду с системой D7.2) рассмотрим уравнения движения той же
механической системы, но без гироскопических сил
69+l?6s=0 (? = *,..,,flj, D7.10)
которым соответствует вековое уравнение D7.6) вида(УЛд,)-. -
О 4ЯП)~0, имеющее своими корнями числа >)^ = -V~*f •
Если все коэффициенты Ар>0,то бр для системы D7.10) будут
гармоническими колебаниями и равновесие этой системы устойчиво.
Представляет интерес другой случай, когда часть или всеА^О.
Тогда положение равновесия системы D7.10) без гироскопических
сил будет неустойчиво при любом числе отрицательных величин Я^.
Обращаясь к системе D7.2), видим, что здесь положение несколько
иное. Если число отрицательных А« нечетно, то условие D7.9) не
выполнено и равновесие будет также неустойчиво. Бели же число
отрицательных Я у четно, то условие D7.9) выполняется,
следовательно, равновесие может быть устойчивым.
Таким образом, если степень неустойчивости четная, то
положение равновесия может быть стабилизировано путем введения
гироскопических сил. Это предложение носит название теоремы Кельвина.Эта
теорема, следовательно, говорит только о возможности стабилизации
равновесия, благодаря выполнению необходимого условия. Однако
нетрудно показать, что такая стабилизация действительно может быть
реализована. Продемонстрируем это на примере системы с двумя
степенями свободы.
При л=*? вековое уравнение D7.6) принимает вид
откуда ясно, что ел? корни имеют значения
При Я<>0, А?>0 оба корня ^tl<0 ,т.е. имеет место трим-
альный случай устойчивости. При \>о, А? <0 один из корней \к
положителен и равновесие неустойчиво. При Л<*09 А? < О путем
соответствующего выбора коэффициентов у,'? гироскопической силы
*М«
265

можно добиться отрицательности обоих корней. Для этого
коэффициент jffc надо взять таким, чтобы оба корня V?A оставались
вещественными отрицательными: ?
VA*^f^>/4a? или ff?>-V**f*^-0^*^'
Или, наконец, чтобы
Л1»^Т|+ /^ . D7.12)
Аналогичным путем рассматривается вопрос о стабилизации, гиро--
скопическими силами и движения.
4. Влияние трения на стабилизацию
гироскопическими силами. Рассмотрим влияние
сил вязкого трения на стабилизацию равновесия. Допустим, что на
систему, наряду с консервативными и гироскопическими силами,
действуют сравнимые с нгми по величине диссипативные силы Q^ ,
выражаемые через функцию Релея 2Р =^4тг^^г <> где 6^Г-6Т^У по
формулам Qs = -Z t6X oz . Тогда в уравнениях движения С47.1)
добавятся силы тр?ния
и после перехода к нормальным координатам они примут вид
в9+*9ef=L(i'fx-6^K cr-A...,*), и?ЛЗ)
где штрихами, как и раньше, отмечены матрицы коэффициентов в
нормальных координатах.
Для получения выводов качественного характера
ограничимся.рассмотрением этих уравнений для случая механической системы с двумя
степенями свободы. При п=& система U7.I3) имеет вид
Отыскивая для нее решения в виде Gf ~?fCvif приходим к
системе двух алгебраических уравнений для В, я Bg :
( Л <, *i)Д* V(-tit+ Цг)ВЛ =0,
которой параметр V определяется из векового уравнения
266

¦Х'+а^Ка^+а^ * tf,-o,
где положено
Это вековое уравнение имеет общий вид. Условия асимптотической
устойчивости даются, например, критерием Льенара-Шипара, имеющим
в данном случае вид
а?>о, ог>о, Q5>of а„>оу л5>о, D7.15)
Поскольку диссипатишая функция является определенной
положительной квадратичной .формой, все ее коэффициенты с одинаковыми
индексами положительны ?„>0, &&,>0- Но тогда,имея в виду, что
Я,<0 и Яа<0, получаем неравенство Q5+0 , противоречащее
критерию D7.15); следовательно, равновесие в данном случае не будет
асимптотически устойчивым.
Таким образом, приходим к выводу, что силы вязкого
трения,когда они сравнимы по величине с другими, в частности
гироскопическими силами, действуют расстраивающим образом на стабилизацию
равновесия.
267

Содержание
Предисловие 3
Глава I. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕСВОБОДНЫХ
СИСТЕМ 5
§ I. Механические система и связи, их
классификация 5
§ 2. Уравнения движения несвободных систем. ... 9
§ 3* Возможные и виртуальные перемещения 12
§ 4. Идеальные связи 16
§ 5. Уравнения движения несвободной системы е
декартовых координатах 21
§ б. Движение несвободной системы двух точек по
горизонтальной плоскости 25
§ 7. Равновесие произвольной несвободной системы в
декартовых координатах 32
Глава П. ДВИЖЕНИЕ ГОЛОНОШЫХ СИСТЕМ 39
§ 8. Обобщенные координаты, скорости и ускорения 39
§ 9. Уравнения Лагранжа второго рода 44
§ 10. Теорема об изменении механической энергии. .' 56
§ II. Тяжелый симметричный волчок 58
§ 12. Уравнения равновесия голономной системы. . . 64
Глава Ш. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ СИСТЕМ. ... 68
§ 13. Натуральные системы 68
§ 14. .Уравнения Лагранжа 2-го рода для натуральных
систем 70
§ 15. Преобразование Лежандра 75
§ 16. Канонические уравнения Гамильтона 77
§ 17. Обобщенно консервативные системы ...... 82
268

§ 18. Системы с циклическими координатами 89
§ 19. Метод Пуаосона нахождения интегралов
уравнений 91
§ 20. Метод Якоби интегрирования канонических
уравнений 96
§ 21, Метод Имшенецкого разделения переменных. . . 100
Глава 1У. ДВИЖЕНИЕ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ 107
§ 22. Уравнения Рауса для неголономных систем. • • 107
§ 23* Качение монеты по плоскости 112
§ 24. Уравнения Аппеля 117
§ 25. Вывод из уравнений Аппеля динамических
уравнений Эйлера 125
§ 26. Движение саней по наклонной плоскости. • . • 129
Глава У. ВАРИАЦИОННЫЕ ПИЩИШ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
ИНВАРИАНТЫ 133
§ 27. Принцип Даламбера-Лагранжа • 134
§ 28. Принцип виртуальных перемещений 138
§ 29, Вариационные задачи 142
§ 30. Принцип Гамильтона 152
§ 31. Принцип Мопертюи-Лагранжа 160
§ 32. Оптимальное управление движением 168
§ 33. Основной и универсальный интегральные
инварианты ....... 173
§ 34. Системы интегральных инвариантов ...... 183
Глава Л. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 189
§ 35. Канонические преобразования 189
§ 36. Канонические преобразования и уравнение
Гамильтона-Якоби .......195
§ 37, Структура произвольного канонического
преобразования 199
Глава УЛ. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ 206
§ 38. Постановка задачи об устойчивости движения 207
§ 39. Устойчивость движения 211
§ 40. Устойчивость равновесия 218
§ 41. Устойчивость линейных систем 222
§ 42. Устойчивость по линейному приближению. . • 229
269

§ 43. Центробежный регулятор
238
Глава УШ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 243
§ 44. Малые колебания консервативных систем. . . . 243
§ 45. Влияние периодических внешних сил на колебания
консервативной системы 256
§ 46. Колебания при наличии диссипативных сил. . . 258
§ 47. Движение при наличии гироскопических сил . . 262
270

Василий Денисович Бондарь
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Часть Ш
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАШКА
Редактор М.Н.Рашевская
Подписано в печать 22.11.74. МН 09502.
бумага 60x84, I/I6; 17,5 уч.-изд.л,; 16,8 п.л. Тираж 600 «й*
Заказ * 892 Цена 67 код.
Ротапринт НГУ
630090, Новосибирск