/
Text
........
-
\
\
проеВЕ .. Е
"3 А Т Е n о
...........
.
,
Ij.
и начала
а
Обозначения,
встречающиеся
в учебном пособии
N множество всех f (х) значение функции f
натуральных в точке х
чисел D (f) область определения
множество всех функции f
целых чисел E(f) область значений
Zo множество всех функции f
неотрицательных 6х приращение apry
целых чисел
Q :мента х
множество всех 6! (х ), дf приращение функ-
рациональных о
чисел ции f в точке хо
R множество всех (' (х о ) производная функ-
действител ьн ых ции f в точке Хо
чисел, числовая sin функция синус
прямая cos функция косинус
(а; Ь] замкнутый про- tg .. функция TaHreHc
межуток (отре- ctg функция KOTaHreHc
зок) с концами
а и Ь, а < Ь е число е, основание
(а; Ь) открытый проме показательной функ-
жуток (интервал) ции, для которой
с концами а и Ь, (е Х )' = е Х
а<Ь log лоrарифм с основа-
а
(а; Ь], (а; Ь) полуоткрытые нием а
промежутки 19 десятичный лоrа-
С концами а и Ь, рифм
а<Ь lJl натуральный лоrа-
(а; 00), [а; 00), бесконечные рифм (лоrарифм
( oo; Ь), ( oo; Ь] промежутки с основание'\! е)
( oo; 00) бесконечный nlax f наибольшее значение
промежуток, la; Ь] функции f на отрез-
числовая прямая ке [а; Ь]
а обозначение BeK шiJl f наименьшее значе.
тора la: Ь] ние функции f
(а о; а + о) O OKpeCTHOCTЬ на отрезке [а; Ь]
точки а ь
[х] целая часть J f(x)dx интеrрал функции f
числа х а В пределах от а до Ь
{х} дробная часть arCSiJl а арксинус числа а
числа х
Ixl arccos а арккосинус числа а
модуль (абсолют
ная величина) arctg а apKTaHreHc числа а
числа х arcctg а apKKoTaHreHc числа а
I
Триrонометрические
функции
rлава
1.
Триrонометрические функции
числовоrо арrумеита
1. Синус, косинус, TaHreHC и KOTaHreHC
(повторение)
1. Радианная мера. Вы уже знакомы с радианной
мерой уrлов. Уrол в 1 радиан это такой центральный уrол, дли
на дуrи KOToporo равна радиусу окружности (рис. 1). Радианная
и rрадусная меры связаны зависимостью 1800 = п радиан; уrол в пО
равен 1[п радиан.
180
При радианном измерении уrлов упрощается ряд формул.
Так, для окружности радиуса r длина 1 ее дуrи в о. радиан Haxo
дится по формуле
1 = o.r;
(1)
площадь S сектора Kpyra радиуса r, дуrа KOToporo содержит а pa
диан, такова:
ar 2
s= .
2
(2)
Ф (1) (2) формул l == 1[rп
ормулы и проще аналоrичных
180
1[r 2 п
и S = 360 для вычисления длины дуrи окружности и площади
сектора, дуrи которых (величиной пО) заданы в rрадусной мере.
Наличие у радианной меры ряда преимуществ (см. также п. 1 7)
привело к тому, что в триrонометрии предпочитают пользоваться
радианной, а не rрадусной мерой.
Из курса алrебры вы знаете, как опре-
деляется поворот на уrол в о. радиан, rде
а. действительное число. Знакомы вам
и определения синуса, косинуса, TaHreHca
и KOTaHreHca а (о. уrол или число).
_ При м ер 1. Найдем значения синуса,
косинуса, TaHreHca и KOTaHreHca уrла 1[ .
3
з ТриrОIlО lетричеСI\ие фУIII\ЦИИ
Рис. 1
..4.
А
ь
ь
с
а В
Рис 2
с
а
Рис 3
в
В прямоуrольном треуrольнике с уrлом в 30 противолежа
щий ему катет равен половине rипотенузы с (рис. 2). Пусть с = 1,
тоrда:
с 1
а ,
2 2
ь = .J c 2 а 2 J3
2.
Поэтому
cos = а = ! sin = !!. = .JЗ t g !! = Ё. = JЗ , ct g = = .
3 с 2' 3 с 2' 3 а 3 Ь .J3
Вообще значения основных триrонометрических функций
oCTporo уrла а MorYT быть найдены так, как это делалось в курсе
rеометрии (рис. 3):
ь
cosa = ,
с
. а
Sln а = ,
с
а
tg а = ,
ь
ь
ctga = .
а
Приближенные значения синуса, косинуса, TaHreHca и ко-
TaHreHca произвольноrо уrла находятся с помоIЦЬЮ калькулятора
или таблиц. (Здесь и далее имеются в виду (с Четырехзначные '\1a
тематические таблицы)) В. М. Брадиса.)
Задача нахождения значений синуса, косинуса, TaHreHca
и KOTaHreHca произвольноrо уrла путем применения известных
вам формул сводится к нахождению значений sin а, cos а, tg а,
ctg а, rде О а l!.. Так, например, может быть заполнена табли-
2
ца (СМ. с. 5).
2. Основные формулы триrономеТРIfИ. Из определений
синуса, косинуса, TaHreHca и KOTaHreHca сразу следуют основные
триzонометрические тождества:
sin 2 а + cos 2 а = 1;
tg а = si n а. ;
cos а.
ctg а = c s ;
510 а.
tgactga=l;
tg 2 а + 1 = 1 ; ctg 2 а + 1 = 1
cos 2 а. sio 2 а.
4 ТриrОllометричеСI.;ие фУIII';ЦИИ
о п п п 7t 2п 3п 5п
а 6 4 3 2 3 4 6 п
О 1 J2 J3 1 JЗ J2 1 О
sin а 2 2 2 2 2 2
1 JЗ J2 1 О 1 J2 J3
cos а 2 2 2 2 2 2 1
1 J3 JЗ 1
tg а О .JЗ 1 ] JЗ о
1 1 JЗ
ctg а .J3 1 .J3 о JЗ ]
71[ 51[ 4п З1[ 5п 71[ l1п
а 2п
6 4 3 2 3 4 6
1 .J2 .JЗ .JЗ .J2 1 О
sin а 2 2 2 1 2 2 2
.J3 .J2 1 О 1 .J2 .J3 1
cos а 2 2 2 2 2 2
1 J3 JЗ 1
tg а .J3 1 1 .JЗ О
JЗ 1 1
ctg а 1 J3 о JЗ l '\. 3
Основой для вывода остальных формул являются формулы
сложения:
cos (а р) = cos а cos р + sin а sin р;
cos (а + р) = cos а cos р sin а sin р;
sin (а (3) = sin а cos (3 cos а sin (3;
sin (а + (3) = sin а cos (3 + cos а sin (3;
tg (а + р) = tg а. + tg р ;
1 tg u tg J3
t ( А ) tg а tg р
g а t-' .
1 + tb u tg
5 ТрИI'ОJlометрические фУJlКЦИИ
у
у
х
х
Знаки синуса
Знаки касинусl1.
Зна"и тaHZpHca
и "оmашенса
Рис. 4
Из формул сложения, полаrая J3 = лп , rде п е Z, получаем
2
формулы приведенuя для преобразования выражений вида
sin ( п :t а). cos ( "; :t а). tg ( "; :t а). ctg ( "; :t а). n е Z
Для запоминания этих формул удобно пользоваться таким
,,'ttHeMOH.U чес KUJlt правиЛОJlt:
а) перед приведенной функцией ставится тот знак,
который имеет исходная функция (рис. 4), если
О <а <.!!..
2'
б) функция меняется на <скофункцию)), если п нечет
но; функция не меняется, если п четно. (Кофунк
uиями синуса, косинуса, TaHreHca и KOTaHreHca Ha
зываются соответственно косинус, синус, KOTaHreHc
и TaHreHc.)
Например:
sin ( а ) cos а;
tg ( + а ) = ctg а; cos
cos ( а ) sin а;
( 3л ) .
2 а = Sln а и
т. п.
Вам известны также ФОРJlfУЛЫ CYMJlfbt и ра.зности синусов
(косинусов):
. . А 2 . а+р a p
Sln а + Sln t-' = Sln COS ;
2 2
. . А 2 . a p а+р
Sln а Sln t-' = Sln COS ;
2 2
а+Р a p
co a + cosp = 2 co cos ;
А 2 . a p . а+р
cosa cos..., = Sln Sln .
2 2
6 Триrонометрические функции
Из формул сложения, полаrая а. = 13, выводятся формулы
aOOUHOZO apZYMeHтa:
sin 2а = 2 sin а cos а;
cos 2а. = cos 2 а sin 2 а;
cos 2а = 1 2 sin 2 а. ; cos 2а = 2 cos 2 а. 1:
2 tg а
tg 2а = .
1 tg 2 а
Подставляя в формулы cos 2t = 1 2 sin 2 t и cos 2t =
= 2 cos 2 t 1 значение t = а , получаем фОр.lltулы nоловuнноzо apzy.
2
мента:
. 2 а 1 cos а
Sln = ;
2 2
(3)
2 а 1 + cos а
cos 2= 2 .
(4)
-
При м ер 2. Найдем значение sin 2!... без по'\fОЩИ таблиц
12
по формуле (3):
1[ .JЗ
1 cos 1
sin 2 = = 2 =
12 2 2
2 JЗ
4
. 1[ .J 2 J3
Sln = .
12 2
Так как О < 2!... < " sin > о. получаем
12 2 12
можно упр остит ь:
J 2 .JЗ J 4 2 ,-'3 ( .JЗ 1 )2 =
2 2й. 2.J2
Ответ
Разделив почленно равенство (3) на
tg 2 а = 1 co s .
2 1 + cos а
.JJ 1
2й.
( 4).
.vб .J2
=
4
получаем:
(5)
Умножая числитель и знаменатель правой части равенства
sin а
а 2 а
tg = на 2 cos . находим:
2 cos р:. 2
2
sin Q. 2 sin а cos а
tg a = = 2 2
2 cos а. 2 cos 2 а
2 2
sin а
= ,
1 + cos а
т. е.
tg а = sin а
2 1 + cos а
(6)
7 ТрlfrОНО'\fеТрlfче<"Кllе фУНКЦIfИ
Аналоrично, умножая числитель и знаменатель правой части
sin а
равенства tg а = на 2 sin а , приходим К формуле
2 cos а 2
2
t а 1 tog а
g =
2 sin а ·
(7)
_ При м е р 3. Найдем значение tg 5л без помощи таблиц:
8
5 .J2
l cos 1+ rn J2 2
tg2 5п = 4 = 2 = = ( 2 + 1) = (12 + 1)2 .
8 1 + cos 51[ .J2.J2 1 2 1
4 1 2
3а'\fетим, что < 5 8 1[ < п. Поэтому tg 5 8 п < О, и, следовательно,
tg 5п = (.J2 + 1).
8
п р им е Р 4. Найдем sin а cos и t g а если известно ,
2' 2 2'
что cos а. = 0,8 и О < а. < .!:.
2
Уrол а находится в первой четверти, и, значит, sin а > О,
2 2
cos а > о, tg а > о. Поэтому
2 2
sin а Jl 0,8 v'O,1 '" 0,3162;
2 2
а Jl+0,8
cos = = ,,/0,9 0,9487;
2 2
1 0,8 =! 0,3333.
1 + 0,8 3
а
tg =
2
Упражнения
В каждом пункте упражнения разделены на две части. 3a
дачи, при водимые в первой части, характеризуют обязательный
уровень подrотовки по данной теме: подобные упражнения необхо-
димо уметь решать для получения удовлетворительной оценки.
В большинстве случаев со способами решения этих задач можно
ознакомиться, рассмотрев примеры t разобранные в тексте соответ-
ствующеrо пункта.
1. Выразите в радианной мере величины уrлов:
а) 450, 360, 1800; б) 1200, 3100, 3600;
в) 600, 720, 2700; 1') 1500, 2160, 900.
8 Триrонометрические функции
2. Выразите в rрадусной мере величины уrлов:
а) 1[ 1[ 51[. б) 21[ 31[ 1[.
з' 2' 36 ' , , 9'
5 4
в) 1[ 3п п; 1') 5п 31[ 71[
6' , 7' 2'
5 12
3. Найдите числовое значение
а ) Sil1 О + COS 7t + sin 2 .
2 4'
В ) 6 sin 2 cos О + t g 2 .
6 з'
выражения:
б) 3 Sln + 2 cos 7t + ctg 2 .!!.;
6 6
1') 3 tg sin2 + cos 2 .!!..
4 3 6
4.
Существуют ли
а) sin а = 0,5,
б} . J5
Sln а = Т'
числа а, (3 и у, для которых:
cos J3 = JЗ, tg У = 2,5;
tg У = 0,31;
cos р = 2,2,
JlO
в) sin а = 1,3, cos J3 = ,
4
1') sin а = , cos р = .J2,5 ,
tg У = 5,2;
tg У = 7 ,5?
5.
MorYT ли синус и косинус одноrо и Toro же числа быть paB
ными соответственно:
а ) 7 и 24.
25 25 '
В ) .J6 и ..J5 ·
зз'
б) 0,4 и 0,7;
2 1
1') И ?
.J5 J5
6.
MorYT ли TaHreHC и KOTaHreHC одноrо и Toro же числа быть
равными соответственно:
а) i и i; б) (JЗ 2) и (Jз + 2);
В ) 2 4 и · 1' ) J5 и 2 J5 ?
· 12' 2 5
7. Найдите значения друrих трех основных триrонометриче-
ских функций, если:
а) sin а = 0,8, 7t < а < 3П ;
2
б) J6 <a.<п.
cosa = ,
4 2 '
В) . .J2 о < а < . 1') 15 31[ < а < 2п.
Sln а = , cos а = 1 7 '
3 2' 2
8. Упростите выражение:
а) cos 2 а cos 4 а + sin 4 а; б) 1 2 cos 2 Р .
cos Р + si J1 р ,
в) (sin 2 а + tg 2 а sin 2 а) ctg а; 1') Sil1 2 t 1 + tg 2 t.
COS 4 t
9 ТриrонометричеСI ие функции
9. Вычислите:
cos .2!... cos 4 л SiJl 41[ siJl.2!...
а) 15 15 15 15 .
cosO,31[ siJlO,27t + sinO,31[ coso,21['
tg + tg 31[
в) 1 О 20 ;
1 tg.2!... tg 3 7t
10 20
tg 2л tg 51[
б) 3 12 ;
1+ tg 27t tg 51[
3 12
sin 51[ cos 1!. sin 1!. cos 51[
1') 18 9 9 18
SiJ1 5п sin 7л cos 5п cos 71[
12 12 12 12
10 Вычислите sin 2а, cos 2 , sin (а ) и cos (а + р), если:
а) sin а = , cosp = , 1[ < а < П, 7t < р < п;
5 13 2 2
О 6 . А 8 3п 2 А 31[
б) cos а = . . Sln t-' = . < а < П. 7t < t-' < .
17 2 2
Упростите выражение:
а) 2sina cosp sin(a J3) .
cos ( а р ) 2 sin а sin р ,
.J2 сов а. 2 сов ( + а.) .
в)
2 sin( + а. ) .J2 sina. '
12. Преобразуйте данное выражение таки:vI образом, чтобы
aprYMeHT соответствующей триrонометрической функции
принадлежал промежутку ( о; ; ):
а) sin 7 8 П , сов ( 5з1t ). tg О,6п, ctg ( 1,2п);
б) tg б 5 1t , sin ( 5 9 П ). сов 1,8п, ctg О,9п.
11.
1 cos а + cos 2 а
б)
SiJ12a SiJl О
1') ctg 2 ct (1 cos 2а) + cos 2 ((.
13. Найдите числовое значение выражения:
а) 8 sin cos 2п tg 4п ctg 71[ .
6 3 3 I '
б ) 10 ct g 31[ sin 51[ cos 71[ .
4 4 4 '
sin 2 (1[ t)
в) ( ) COS (2 7t t).
1 + sin 3л + t
2
14.
Верно ли равенство:
а) sin 7 7t sin ...!!... = .J2 .
12 12 2'
в) sin llп + sin 71[ = cos 21[ .
18 18 9 '
1') cos 51[ + cos = ",2 cos 31[ ?
888
б) cos 11п cos = sin 7п .
24 8 24'
1 О ТриrОIlО:\fетрические фУIIКЦИИ
15. Найдите sin , cos , tg , если:
а ) cos а = 12 7t < а < 31[ . б ) sin а = < а < П.
13' 2 ' 5' 2 '
) 24 31[ 2 ) . 8 31[
в cos а = , < а < 7t , . r Sln а = 7t < а < .
25 2 17' 2
16. С помощью калькулятора или таблиц найдите значения
sin а, cos а, tg а, ctg а, если:
а) а = 0,19; б) а = 1,37; в) а = 0,9; r) ct = 1,2.
17.
с помощью калькулятора или таблиц найдите:
а) радианные меры уrлов 170; 43024'; 83036'; 72012';
б) rрадусные меры уrлов 0,384; 0,48; 1,11; 1,48.
18.
Вычислите длину дуrи, если известны ее радианная мера ct
и радиус R содержащей ее окружности:
а) а = 2, R = 1 см; б) а = 31[ , R = 6 см;
4
1') а = 9 7t R 1 О
10' = м.
в) а = 0,1 и R = 1 м;
19. Вычислите площадь сектора, если известны радиус R KPY
rа и радианная мера а центральноrо уrла сектора:
а) а = 0,1, R = 1 м; б) а = 51[ , R = 3 м.
3
20. а) Найдите радианную меру центральноrо уrла сектора,
если длина соответствующей дуrи равна диаметру Kpyra.
б) Длина дуrи сектора втрое меньше ero периметра.
Найдите радианную меру ero центральноrо уrла.
Найдите значения выражений (21 22).
21. а) З sin ( 2а : ) + 2 cos (За п), если а ;
б) Sin 2 ( а i)+Зtg( 54П 32П ). если а = 2 з п ;
В) 4 cos ( За ) + ctg ( а + 1 ). если а = ;
[') cos ( а + ) tg2 ( 2а + ). если а = ; .
1 + tg а L 2 3л
а) , если cos а = , < а < 2п;
1 + ctg а 13 2
22.
sin а + cos а
б)
. ,
Sln а cos а
если tg а = ;
4
cos а + ctg о. 1 3л
в) , если cos а = з ' 7t < а < 2 ;
ctg о.
{') sin 2 ct cos 2 р, если cos 2 ct sin 2 р = 0,5.
11 ТриrОНО'\fетрические функции
23. ..
Докажите, что при О < а < :!! справедливо равенство:
2
а) sin а J 1 + tg 2 а = 1 ;
cos a. 1 + tg 2 а
1 cos а.
= 2 ctg а;
1+ cos а.
1 + cos а
б)
1 cos а.
1 sin 2 а.
в)
cos а. .
,
sin а. Jl cos 2 а
1') J Sin 2 а + tg 2 a sin 2 а = 1 .
J cos 2 0.+ ctg 2 а cos 2 а
Докажите тождества (24 26).
24. а) sin ( + а ) = соз ( а ):
б) tg а + tg + tg а tg = 2
tg ( ct + ) tg ( (L J3 )
25. а)
б)
в)
1')
(sin 2 t + 2 sin t cos t cos 2 t)2 = 1 sin 4t;
cosa. 2 sin3a cos5a 3
= tg а ·
sin 5 а 2 cos 3 а Sill а '
1 4 sin 2 t cos 2 t 2
=cos t;
cos 2 t sil1 2 t
sin а + 2 sin 2 а + sin 3 а 2
= tg а.
cos а + 2 cos2a + cos 30.
26.
1 tg 2 !
а) cos t = 2 ;
1 + tg 2 !
2
2tg
б) sin р = 2
1 + tg 2
2
27.
Вычислите (без помощи
а) sin cos .
12 12'
В) ( sin 2 coS2 J;
таблиц и калькулятора):
б) ( sin 7п sin ) : cos 21[ ;
18 18 9
cos 11 it cos ...:!....
12 12
sin 5п
12
r)
2. Триrонометрические функции
и их rрафики
1. ФУНКIJ;ИII синус И косинус. Окружность радиуса 1
с центром в начале координат называют единичной окружностью.
Пусть точка Р а единичной окружности получена при повороте
точки РО (1; О) на уrол в а радиан. Нетрудно понять, что ордината
точки Р а это синус у!' ла а, а абсцисса этой точки косинус
уrла а (рис. 5).
12 ТриrОIlО:\lетриче{,l ие фУIII\ЦИII
х
РО
Pu
ох
Рис. 5
Рис. 6
_ При м е р. Найдем значения синуса, косинуса, TaHreHca
и KOTaHreHca уrла 3п радиан.
4
Координаты точки PJ-r. (рис. 6) нетрудно найти, воспользо
4
вавшись свойством равнобедренноrо прямоуrольноrо треуl"ОЛЬ
J2 J2 . 31[ J2 3п J2
ника: х = 2' у = Т. Поэтому Sln 4 = 2' cos 4" = 2'
3п 31[
t g = 1 ct g = 1.
4 ' 4
Далее мы считаем, что все уrлы измерены в радиан ной Me
ре, и поэтому обозначение рад. как правило, опускается. Доrо
ворившись считать единицу измерения уrлов (1 радиан) фикси
рованной, определяем, например, синус числа х как синус уrла
в х радиан; косинус числа х как косинус уrла в х радиан и т.д.
о пр е Д е л е н и е. Числовые функции, заданные
формулами у = sin х и у = cos х, называют COOTBeT
ственно синусом и косинусом (и обозначают sin
и cos)
Область определения этих функций множество всех дейст
вительных чисел. Областью значений функций синус и косинус
является отрезок [ 1; 1], поскольку и ординаты, и абсциссы точек
единичной окружности принимают все значения от 1 до 1. Будем
обозначать область определения функции f через D (п, а область
значений через Е ({). Тоrда
D (sin) = D (cos) = R; Е (sin) = Е (cos) = [ 1; 1].
Напомним следующие известные вам свойства функций си
нус И косинус:
Для любоrо х справедливы равенства:
1) sin ( x) = sin х, cos ( x) = cos х;
2) sin (х + 2пn) = sin х, cos (х + 2лn) = cos х
(п произвольное целое число).
13 ТриrОНО'\fетрические функции
3п 2п х
. 2.
!!!'.....
1
Рис. 7
2. Синусоида. Построим rрафИI< функции синус на отрезке
[о; 2п]. Для этоrо отметим на оси ординат точки (о; 1) и (о; 1),
а на оси абсцисс точку с абсциссой 2п (обратите внимание: длина
отрезка [о; 2п] приближенно равна 6,28). Разделим отрезок [о; 2п]
и единичную окружность на 16 равных частей (рис. 7). Для по-
строения точки rрафика с абсциссой а воспользуемся определени-
ем синуса: отметим точку Р (t на единичной окружности и проведем
через Р а прямую. параллельную оси абсцисс (рис. 7). Точка пере-
сечения этой прямой и прямой х = а искомая, так как ее ордината
совпадает с ординатой точки Р а' а по определению sin а равен ор-
динате Ра.
На рисунке 7 показано построение 16 точек rрафика. Соеди-
няя их плавной кривой, получаем эскиз rрафика синуса на отрезке
[о; 2п]. Для построения rрафика синуса вне этоrо отрезка замети ,
что sin (х + 2пn) = sin х (n произвольное целое число). Поэтому
во всех точках вида хо + 2пn, rде О хо 2п, значения синуса сов-
падают, и, следовательно, rрафик синуса на всей прямой получает-
ся из построенноrо rрафика с помощью параллельных переносов
ero вдоль оси Ох (вправо и влево) на 2п, 4п, 6п И т. д. (рис. 8). rpa-
фик синуса называется синусоидой. Отрезок [ l; 1] оси ординат,
с помощью KOToporo мы находили значения синуса, иноrда назы-
вают линией синусов.
Для построения rрафика косинуса напомним, что cos х =
= sin ( х + ). Следовательно, значение косинуса в произвольной
точке хо равно значению синуса в точке хо + .!:. Это означает, что
2
rрафик косинуса получается из rрафика синуса с помощью парал
х
Рис. 8
14 Триrонометрические функции
х
Рис. 9
лельноrо переноса на расстояние в отрицательно'\1: направле
2
нии оси Ох. Поэтому rрафик функции у = cos х (рис. 9) также
является синусоидой.
3. Функции TaHreHc и KOTaHreHc 1I IIX rрафики.
о n р е Д е л е н и е Числовые функции, заданные
формулами у = tg х и у = ctg х, называют соответст-
венно тaKzeKCOM и KoтaKzeKCOM (и обозначают tg
и с tg).
Областью определения функции TaHreHc является множество
всех чисел х, для которых cos х О, т. е. все числа х, не равные
7t + лn (п .пробеrает)) все множество целых чисел Z). Область опре
2
деления KOTaHreHca состоит из всех чисел х, для которых sin х о,
т. е. из всех чисел, не равных лn, {'де n е Z.
Проведем касательную 1 к единичной окружности в точке Р о
(рис. 10). Пусть а произвольное число, для KOToporo cos а о.
Тоr да точка Р (1 (cos а; sin а) не лежит на оси ординат, и, следо
вательно, прямая ОР а пересекает l в некоторой точке Т а С абсцис
сой 1. Найдем ординату этой точки.
Для этоrо заметим, что прямая ОР а проходит через точ
ку О (о; о) и Р а. (cos а; sin а). Поэтому она имеет уравнение
у = х tg а. Абсцисса точки Т «' лежащей на этой прямой, paB
на 1. Из уравнения прямой ОР а находим, что ордината точки Т а
х
х
Рис. 1 О
Рис 11
15 ТрlfrОНО:\lеТрlfчеСКlfе фУНКЦlf1f
у
7t 1
"2
х
с
\
Рис. 12
равна tg а. Итак, ордината точки пересечения прямых ОР (t и 1 рав-
на TaHreHcy а. Поэтому прямую l и называют линией maHzeHC08.
Нетрудно также доказать, что абсцисса точки С ц пересечения
прямой ОРц с касательной т к единичной окружности, проведен-
ной через точку p (рис. 11), равна ctg а при sin а о. Поэтому
2
прямую т называют линией KoтaHzeHC08.
Область значений TaHreHca (KoTaHreHca) вся числовая пря-
мая. Докажем это для функции tg. Пусть УО произвольное дей-
ствительное число. Рассмотрим точку Т (1; УО). Как только что
было показано, TaHreHC уrла ТОх равен УО. Следовательно, функ-
ция tg принимает любое действительное значение УО' что и требо-
валось доказать.
Напомним следующие известные вам свойства функций tg
и ctg:
1) tg ( x) = tg х; ctg ( x) = ctg х;
2) tg (х + пn) = tg х; ctg (х + пп) = ctg х, п Е z.
Построение rрафика TaHreHca на интервале ( ; ; ) (рис. 12)
аналоrично построению, описанному в случае синуса. (Значение
функции tg в точке находится с помощью линии TaHreHCOB)
16 ТриrОIlОI\lетрические ФУНКЦИИ
у
JI tg ох
5п
2
х
Рис. 13
Вследствие тождества tg (х + пn) = tg х (n е Z) rрафик TaHreHca на
всей области определения (рис. 13) получается из rрафика на ин-
тервале ( ; ) параллельными переносами вдоль оси Ох (вправо
и влево) на п, 2п и т. д. rрафик функции tg называют тaHzeH
соидой.
rрафик KOTaHreHca приведен на рисунке 14.
Синус, косинус, TaHreHc и KOTaHreHC часто называют основны-
",!и mриzонометрическu.lt!и функциями. Иноrда раСС:\iатривают еще
две основные триrонометрические функции секанс и косеканс
(обозначаются соответственно sec и cosec).
Для Toro чтобы понять, почему основных триrонометриче
ских функций именно 6, заметим, что триrонометрические функ
ции oCTporo уrла а можно определить как отношения сторон пря
моуrольноrо треуrольника с острым уrлом а (рис. 3). Таких отно-
шений 6:
. а
Sln а = ;
с
COS а = ;
с
tg а = !!;
ь
ctg а = !?;
а
с
seca = ,
ь
cosec а = Е....
а
у
у =- ctg х
2
х
Рис. 14
17 ТриrОНО'fетрические ФУНКЦИИ
Упражнения
28. Отметьте
а) а = i'
в) а = ,
3
на единичной окружности точку Ра' если:
а = 2!, а = 3Л ; б) а = , а = П, а = 2!;
2 4 4 2
а = 31[ , а = ; 1') а = .!, а = 2 л, а = 51[ .
2 4 6 4
29. Найдите координаты точки Р а единичной окружности, если
а равно:
а ) 1[ 1[ П. б ) 1[ 21[ 31[.
'2' 4' , 6 ' з' 2'
В ) 1[ 1[ 3 . ) 3л 1[ 5п
2' 3' П, l' 7' 3' 2.
30. В какой четверти координатной плоскости расположена
точка Р а , если а равно:
а) 3л 81[ 2 7 . б) 51[ 1 8 3 2
8' 7' " з" П, , ;
В ) 7л 2л 1 9. ) 5п 2 3 3 7?
4' 5' " l' 9' ,П, ,.
Найдите знак числа:
а ) sin 31[ соз 91[ t g 2 3Л.
7 8 "
в) sin 1,3п cos 71[ tg2.9;
9
31.
б) sin 1 cos 3 tg 5;
r) sin 8 cos 0.7 tg 6.4.
32. Найдите значения синуса и косинуса а, если а равно:
51[
а) 4п, п; б) 2' 5,5п;
9п 3п
в) П, 2п; 1') 2' 2
33. Постройте rрафик функции:
а) у cos ( 3 2 п + х ): б) У = sin (х + п);
В) у = cos ( х ): r) у tg (х + п).
34. На единичной окружности отметьте точку Р а (х; у), коор-
динаты которой удовлетворяют условию:
1
а) у = 0,5, х > о; б) х = 2' у > о;
.JJ J2
в) Х=Т' у>О; 1') Y= 2' х<о.
35. На миллиметровой бумаrе постройте единичную окруж-
ность, а затем центральный уrол а, такой, что:
а) sin а = 0,5; б) cos а = 0,3;
в) соз а = 0,4; 1') tg а = 2.
18 ТРllrОНО'\lетриче(,кие функции
Наидите область определения и область значений данной
функции. Постройте ее rрафик (36 37).
36. а) у = 2 + sin х; б) у = 1 + tg х;
в) у = cos х 1; r) у = 3 + si n х.
37. а) У = 2 sin х; б) У = ,! cosx;
2
в) у = 0,5 tg х;
1') У = 1,5 sin х.
Найдите координаты точек пересечения с осями координат
rрафика функции (38 39).
38. 8.) У = sin х; б) у = 1 + cos х;
в) у = cos х; 1') У = sin х 1.
39. а) у = х 2 3х; б) у = sin х 1,5;
в) у = 2,5 + cos х; r) у = ! + 1.
х
э 2.
Основные свойства функций
з. Функции и их rрафики
1. Числовая функция. С понятием функции вы позна
комились в курсе алrебры. При изучении начал анализа удобно
принять следующее определение:
о n р е Д е л е н и е. Числовой фуn"цией с областью
определения D называется соответствие, при KOTO
ром каждому числу х из множества D сопоставляет
ся по некоторому правилу число у, зависящее от х.
Функции обычно обозначают латинскими (а иноrда rречески
ми) буквами. Рассмотрим произвольную функцию 1. Независимую
переменную х называют также apZYMeHmOM функции. Число у,
соответствующее числу х, называют значением функции 1 в точ-
ке х и обозначают 1 (х). Область определения функции 1 обозна-
чают D (/). Множество, состоящее из всех чисел 1 (х), таких, что х
принадлежит области определения функции 1, называют областью
значении функции f и обозначают Е (/).
Чаще Bcero функцию задают с помощью какой либо фор
мулы. При этом если не дано дополнительных оrраничений, то
областью определения функции, заданной формулой, считают
множество всех значений переменной, при которых эта форму
ла имеет смысл. Например, формула I(х) =! имеет смысл при
х
19 ТриrОНО'\1етрические функции
1
всех х ;1= о, поэтому областью определения функции / (х) = счи
х
тают множество всех не равных нулю действительных чисел.
Область ее значений совпадает с областью определения и являет
ся объединением интервалов ( oo; О) и (о; 00).
Вообще об0единением "'tltожеств А и В называется множест
во, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы
одному из множеств А или В. Объединение множеств А и В обозна-
чается так: А U В. Например, объединением отрезков [о; 2] и [1; 3]
является отрезок [о; 3].
Символом u удобно пользоваться для обозначения числовых
множеств, которые можно представить в виде объединения число-
вых промежутков. Так, для функции / (х) = !
х
D (/) = Е (/) = ( oo; О) u (о; 00).
Область определения функции у = tg х объединение всех
интервалов вида ( + пп; + пn ). rде n е z; область ее значе-
ний вся числовая прямая, т. е. Е (tg) = ( oo; 00).
Функции вида f (х) = р (х), rде р (х) мноrочлен, называют
р(х)
целыми рациональными функциями, а функции вида f (х) = ,
q (х)
rде р (х) и q (х) мноrочлены, называют дроl5но-рациональны",!и
р(х)
функция".tи. Частное определено, если q (х) не обращается
q (х)
в нуль. Поэтому область определения дробно-рациональной функ-
р(х) v
ции f (х) = множество всех деиствительных чисел, из кото-
q (х)
рых исключены корни мноrочлена q (х).
_ При м е р 1. Найдем область определения дробно рацио-
нальной функции
7 х 8 5х 6 + зх 2 4х
f (х) = .
х з 3 х 2 + 2 х
Корни мноrочлена х з зх 2 + 2х числа 07 1 и 2. Поэтому
D (/) = ( oo; О) u (о; 1) U (1; 2) U (2; 00).
2. rрафик функции. Fрафиком функции f называют мно-
жество всех точек (х; у) координатной плоскости, rде у = f (х),
а х «пробеrает. всю область определения функции {.
Подмножество координатной плоскости является rрафиком
какой-либо функции. если оно имеет не более одной общей точки
с любой прямой, параллельной оси Оу. Например, множество,
изображенное на рисунке 15, не является rрафиком функции, так
как оно содержит две точки с одной и той же абсциссой а. но раз-
ными ордината:\iИ Ь. и Ь 2 . Если бы мы сочли это множество rрафи-
2 О ТриrОUОl\lетрические функции
у
Ь 2
Ь 1
о
а
х
о
ХО Х
Рис. 15
Рис. 16
ком функции, то ПРИIПЛОСЬ бы считать.. что эта функция имеет при
х = а сразу два значения Ь. и Ь 2 , что противоречит определению
функции.
Часто функцию задают rрафически. При ЭТО:\1 для любоrо Хо
из области определения леrко найти соответствующее значение
уо = {(х о ) функции (рис. 16).
3. ПреобразоваНllе rрафllКОВ. Запас функций, rрафики KOTO
рых вы умеете строить, пока невелик это функции у = kx + Ь,
у = ах 2 + Ьх + с, у = !!.., у = sin х, у = cos х, у = tg х, У = ctg х. Пока
х
жем, что, применяя известные из курса rеометрии сведения о пре
образованиях фиrур, этот СПИСОК можно существенно расширить.
1) Рассмотрим сначала nараллельныи переное на вектор
(о; Ь) вдоль оси ординат. Обозначая здесь и далее через (х'; у') KO
ординаты точки, в которую переходит произвольная точка (х; у)
плоскости при данном преобразовании, получим известные вам
формулы
{ х'=х, (1)
у' =у+Ь.
Пусть { произвольная функция с областью определения
D ({). Выясним, в какую фиrуру переходит rрафик этой функции
при данном переносе. Из формул (1) сразу получаем, что произ-
вольная точка (х; f (х» rрафика переходит в точку (х; { (х) + Ь).
Это означает, что rрафик { переходит в фиrуру, состоящую из всех
точек (х; { (х) + Ь), rде х е D ({).
По определению rрафика функции эта фиrура является rра-
фиком функции У = { (х) + Ь. Сказанное позволяет сформулировать
правило:
Для построения rрафика функции {(х) + Ь, rде
Ь постоянное число, надо перенести rрафик { на
вектор (О; Ь) вдоль оси ординат.
11 При м ер 2. Построим rрафики функций: а) у = sin х + 2;
б) у = х 2 5.
21 ТриrОIlО!\lетрические фУIII ЦИ н
Для построения точки М', в ко-
торую переходит данная точка М
при растяжении, надо построить на
прямой АМ, rде А проекция М на
ось Ох (рис. 19. а), точку, rомотетич-
ную М относительно центра А (коэффициент rомотетии равен ко-
эффициенту k растяжения). На рисунке 19, t5 показано построение
точек, в которые переходят данные при растяжениях с коэффици-
ентами ! и 2.
2
Выясним, в какую фиrуру переходит rрафик функции f при
растяжении. Из формул (2) сразу получаем, что произвольная точ-
ка (х; f (х» rрафика f переходит в точку (х; kf (х». Отсюда следует,
что rрафик f переходит в фиrуру, состоящую из всех точек
(х; kf (х», rде х Е D (f). Эта фиrура является rрафиком функции
у = kf (х). Доказано следующее правило:
Для построения rрафика функции у = kf (х) надо ра-
стянуть rрафик функции у = f (х) в k раз вдоль оси
ординат.
При м ер 3. Построим rрафики функций у = 2x2 И У = ! cos х.
3
Рис. 1 7
у
11
5
Рис. 18
11
х
х
а) В соответствии справилом
переносим rрафик функции у = sin х
на вектор (о; 2), т. е. вверх по оси Оу
на 2 единицы (рис. 1 7).
б) Построение осуществляется
переносом параболы у = х 2 на век-
тор (о; 5), т. е. вниз по оси Оу
(рис. 18).
2) Новым для вас преобразова-
нием является растяжение вдоль оси
Оу с козффицuенто.м k, которое зада-
ется формулами
{ х' = х, (2)
у' = ky.
22 ТриrОIlО:\fетричеСI ие фУIIКЦИИ
у
r М' (Х у ; kyu)
М (х о ; Уо)
у
11 == 2х 2
х
х
N (%1; Уl)
N' (Х1; kYl)
а)
у
Е' (х 2 : 2Y2)
F (хз; уз)
м (х о ; Во)
(
М' (x u ; ! уо)
2
I
,
I
о
х
N' (Х1; i Уl)
· N(xl: yJ
у =- 2x2
.
Е (Х2; 92)
Р' (Ха; 2уз)
б)
Рис. 19
Рис. 20
Построение осуществляется в первом случае из rрафика
функции у = х 2 (рис. 20), а во втором случае сначала строим rpa
фик функции У = cos х, затем воспользуемся растяжением вдоль
оси ординат с коэффициентом! (рис. 21).
3
3 а м е ч а н и е. Если О < Ikl < 1, то растяжение с коэффи
циенто k часто называют сжатие...!. Например, растяжение с KO
1
эффициентом называют сжатием в 2 раза. Отметим также, что
2
если k < О, то для построения rрафика функции у = kf (х) надо
сначала растянуть rрафик f в I k I раз, а затем отразить ero симмет
рично относительно оси абсцисс (см. рис. 20).
1
у= СО8Х
3 ,
%
у СОЗ %
Рис. 21
23 ТрlfrОIlО'\IСТрIfЧС<ЖIfС фУIII I 1f1f
3) П араллельныи перенос вдоль
оси абсцисс на вектор (а; О) зада
ется фОр:\iУЛ8МИ
{ х' = х + а,
у' = у.
Каждая точка rрафика функ-
ции 1 переходит соrласно форму-
лам (3) в точку (х + а; 1 (х». Поэто-
му с помощью переменных х', у'
можно записать, что rрафИI< 1 пере-
ходит в фиrуру Ф, состоящую из точеI< (х'; 1 (х' а», {'де х' прини
мает все значения вида х + а (х <спробеrает)) D (/».
Именно при этих значениях х' число х' а принадлежит
D (/) и 1 (х' а) определено. Следовательно, фиrура (1) есть rрафик
функции у = 1 (х а). Итак, можно сделать вывод:
I rрафик фун КЦИИ у = 1 (х а) получается из rрафи
ка 1 переносом (вдоль оси абсцисс) на вектор (а; О).
У1
,, 4 '" ..
y #
1
М'
м
1
о
1
Рис. 22
(3)
х
Обратите внимание: если а > О, то вектор (а; О) направлен
в положительном направлении оси абсцисс, а при а < О в отри
цательном.
_ При м е р 4. Построение rрафиков функций у =.JX+i и
у cos ( х ) показано на рисунках 22 и 23.
4) Растяжение вдоль оси Ох с коэффициенто'м k задается
формулами
{ х' = kx,
у' = у.
(4)
произволыlяя точка rрафика функции 1 переходит при Ta
ком растяжении в точку (kx; 1 (х». Переходя к переменным х', у',
можно записать, что rрафик у = 1 (х) переходит в фиrуру, состоя-
щую из точек ( х'; f ( , )). rде х' принимает все значения вида
х' = kx, а х е D (/).
Рис. 23
Y C08 (:1: i)
ох
24 ТриrОIIО:\fетрические ФУIIКЦИИ
11 = соз 2х
r\ 1t r\
2
2п О 11: 211: Х
1 У cosx
Рис. 24
Эта фиrура есть rрафик функции у f (i). Итак:
Для построения rрафика функции у f ( : ) надо
подверrнуть rрафик функции f растяжению с коэф-
фициентом k вдоль оси абсцисс.
_ При м ер 5. Построение rрафиков функций у = cos 2х и
У = sin ! х показано на рисунках 24 и 25.
3
4. Отображение. Функцию с областью определения D и об
ластью значений Е называют также отображенuеAt .множества D
на .множество Е. Можно сказать, например, что формула у = sin х
задает отображение множества R действительных чисел на отрезок
[ 1; 1]. Слова «функция)) и «отображение,. синонимы.
Нередко рассматривают функции (отображения), область
определения или область значения которых (а возможно, и оба
этих множества) не являются числовыми множествами. С такими
примерами, по существу, вы уже встречались в курсе rеометрии.
Например, областью определения функции «Площадь мноrоуrоль
ника)) при фиксированной единице измерения площадей является
множество мноrоуrольников плоскости. Область значений этой
функции множество неотриuательных чисел (площадь О имеют
«вы рожденные,. мноrоуrольники, например отрезок).
Движение (так же как и преобразование подобия), переводя
щее фиrуру F в фиrуру F', также является отображением, ero об
пасть определения F и область значений F' состоят из точек.
Понятие отображения часто относят к числу основных поня
тий всей математики. С ero помощью можно дать такое определе
. 1
y=sln x
3
х
у = 8in х
Рис. 25
25 ТриrОIlО:\lетрические ФУIIКЦИИ
ние функции: функцией с областью определения D и областью зна
чений Е называется отображение множества D на множество Е,
при котором каждому элементу множества D соответствует один
вполне определенный эле:\iент множества Е и каждый элемент
множества Е поставлен в соответствие некоторому (хотя бы OДHO
му) элементу множества п.
Упражнения
40. Найдите значения функции:
а) 1 1 10;
f (х) = х + в точках 1. ,
х 2
б) f (х) 3cos (х ) в точках 1t О, п;
4'
в) f (х) = " 5х х 2 в точках О, 1, 2;
{') f (х) = 2 sin 2х в точках .!!., О, 51[
4 12
41. Запишите значения функции:
а) f (х) = х2 + 2х в точках х о ' t + 1;
6) f (х) = tg 2х в точках а, Ь 1;
в) f (х) = 1. + 1 в точках Х О ' а + 2;
х
{') f (х) = 2 cos х в точках z, h + п.
3
а)
у
х
б)
у
х
в)
Рис. 26
26 ТриrОIlО:\fетрические фУIIКЦИИ
о
х
r)
42. Является ли rрафиком функции фиrура, изображенная
на рисунке 26, a 2?
Найдите область определения каждой из функций (43 44)
x 1
43. а) {( х) = ;
х 2 4x+ 3
5 x2
в) f (х) = 2 2 8 ;
х + x
а) {(x)= ;
х
в) f (х) = 1 + ctg х;
1
1') {(x)= .
х 4
Найдите область определения и область значений каждой
из функций:
а) у 2 cos ( х ): б) У = 2 + x 3 ;
В) У = x 1 1; r) у з + 0,5 sin ( х + )-
Найдите область определения и область значений функции,
rрафик которой изображен на рисунке 27, a 2.
Начертите rрафик какой-нибудь функции {, для которой:
а) D ({) = [ 2; 4], Е ({) = [ 3; 3];
б) D ({) = ( 5; 3). Е ({) = [2; 6].
44.
45.
46.
47.
t LJ=FFПR
113 '
4 б х
8)
I
I I
I
I I
б) {(x)= x2 9;
1') f (х) = ,f 36 х 2 .
б) {(х) = 2 tg х;
1
,......
.......
б О 2 4 ..
х
2
б)
:z 7 ТрнrОНО'\fетрнческне ФУНКЦИИ
48. В одной и той же системе координат постройте rрафики
функций:
а) у=!, у=!+2, y= ;
х х x 2
б) У = cos Х, у cos х 3, у cos ( х + = ):
в) у = x2, У = 4 х 2 , У = (х 2)2;
1') У sin х, у sin х + 2, у sin ( х + ).
Постройте rрафики функций (49 50).
49. а) у = ...J. ; б) У = (х 2)2 4;
x 3
в) у = 1 (х + 2)2; 1
1') У = 2 + .
х
50. а) у = 1 + 2 sin х; б) у = 1;
в) У = 0,5 cos х 1; 1') У = 2 + Б= i.
51. Найдите значения функции:
а) f (х) == { х, если х о, 1
== в точках 2; 3 ; о; 5;
x, если х < о,
f { x2 1, если x I,
б) (х) = в точках 2; 1; о; 4;
1 х, если х < 1,
{ sin х, если х > о,
В ) f ( х ) = в точках .!!.. 1[ . о. .!!..
О 2 ' 3 ' ' 6
cos х 1, есл и х <; ,
52. а) Основание АС треуrольника АВС равно Ь, высота BD
равна Il. Через точку К высоты BD лроведена прямая,
параллельная АС. Выразите площади фиrур, на которые
делит эта прямая данный треуrольник, как функции от
расстояния ВК = х.
б) Радианная мера центральноrо уrла равна х, радиус KPy
rа равен R. Выразите площадь соответствующеrо cerMeHTa
как функцию от х.
в) Радианная мера центральноrо уrла сектора равна 0., pa
диус равен r. Выразите периметр сектора как функuию
от уr ла 0..
1') Прямая, параллельная диаrонали квадрата, делит ero
на две фиrуры. Задайте формулой зависимость между пло
щадью каждой фиrуры и длиной х меньшеrо отрезка, OTce
KaeMoro данной прямой от диаrонали, если сторона KBaдpa
та равна а.
28 ТриrОНО:\lетрические функции
5З. Найдите обла сть определения функции:
J 3 х 2 ,J х 2 3 х 2
а) у = ; б) У = ;
х 2 Х 2 16 х 2
J х + 2 J 4 х 2
в) у= 3 2x ; 1') у= 1 2x .
54. Найдите область определения и область значений функции:
x 1
а) у = 1 + sin 2 х; б) у = ;
х
в) у = J x 2 + 4; 1') У = 1,5 0,5 cos 2 х.
Постройте rрафики функций (55 56).
55. а) у = I х 11; б) { х 2 4, если X 2,
y
2 х, если х < 2;
в) y= ,J 2x 2; 1') { 3 х 2, если х > 1,
у=
х 2, если х 1.
56. а) у = sin 3 х 1; б) У = ! х з + 2.
2 '
в) у = 1 + cos 2х; 1') У = 1 + ! Б.
2
4. Четные и нечетные функции.
Периодичность триrонометрических функций
1. Четные и нечетные функции. Рассмотрим функции,
области определения которых симметричны относительно начала
координат, т. е. для любоrо х из области определения число ( x)
также принадлежит области определения. Среди таких функций
выделяют четные инечетные.
о n р е Д е л е н и е. Функция f называется четкой,
если для любоrо х из ее области определения
f ( x) = f (х) (рис. 28).
a x
о
х а
х
х
У.
f ( x) = f (х)
f( x)
Рис. 28
Рис 29
29 ТриrОНО'\1етрические функции
Оп р е Д е л е н и е. Функция f называется печет-
пой, если для любоrо х И3 ее области определения
f ( x) = ! (х) (рис. 29).
11 При м е р 1. Функция f (х) = х 4 четная, а функция
g (х) = х 3 нечетная. Действительно, область определения каждой
из них (это вся числовая прямая) симметрична относительно точки
О и для любоrо х выполнены равенства f ( x) = ( x)4 = х4 = f (х),
g ( x) = ( х)з = хз = g (х). rрафики функций изображены Н8 ри-
сунках 30 и 31.
При построении rрафиков четных и нечетных функций бу-
дем пользоваться следующими известными из курса алrебры свой.
ствами:
1 О. rрафик четной функции симметричен относи
тельно оси ординат.
20. rрафик нечетной функции симметричен относи.
тельно начала координат.
Из этих двух правил вытекает следующее: при построении
rрафика четной или нечетной функции достаточно построить ero
часть для неотрицательных х, а зате:\f отразить полученный rра.
фик относительно оси ординат (в случае четной функции) или на-
чала координат (в случае нечетной).
11 При м е р 2. Функция f (х) = х +! нечетная (докажите это
х
самостоятельно). Ее rрафик симметричен относительно начала ко-
ординат (рис. 32).
Основные триrонометрические функции синус, TaHreHc и котан-
rенс являются нечетными, а косинус четной функцией (C:\f. п.2).
у у
11 = х 4 I y
1
О 1 х
2 1 О
1
х
Рис. 30
Рис. 31
30 ТриrollО:\fетрические фУIIКЦИИ
11
11
1
у x+
х
х 8 +х
у=
хЗ х
1
1
х
1
о
1
х
1
2
Рис. 32
Рис. 33
Поэтому rрафики синуса, TaHreHca и KOTaHreHca (рис. 8, 13, 14)
симметричны относительно начала координат, а rрафик косинуса
(рис. 9) симметричен относительно оси ординат.
х З +х
_ При м е р 3. Функция f (х) = четная, так как ее об
х з x
ласть определения симметрична относительно точки х = О (она co
стоит из всех чисел, отличных от 1, О и 1) и для всех х Е D (1)
выполнено равенство
f ( ) ( х)з + ( х) х з х х з + х f ( )
x х.
( х)з ( х) х х з х з х
rрафик этой функции симметричен относительно оси Оу
(рис. 33).
При м е р 4. Функция 1 (х) = х 2 + х не является ни четной,
ни нечетной . Ее область определения симметрична относительно
точки о, но, например, при х = 1 не выполнено ни равенство
1 (1) = 1 ( 1), ни равенство 1 (1) = I ( 1), поскольку 1 (1) = 2,
а 1 ( 1) = о.
2. ПеРllодические функции. Очень мноrие процессы и явле
ния, с которыми мы встречаемся на практике, имеют повторяю-
щийся характер. Так, взаимное расположение Солнца и Земли
повторяется через rод. Положения маятника в моменты времени,
отличающиеся на период колебания маятника, одинаковы.
TaKoro рода процессы называют периодичеСКИ::\llИ, а фУНК
ции, их описывающие, периодическими функциями.
31 ТрнrОIlО'\fСТрНЧССКНС функции
Известные вам основные триrонометрические функции
периодические. Так, для любоrо числа х и любоrо целоrо k выпол-
нено равенство sin (х + 2пk) = sin х. Отсюда следует, что 27th пе-
риод функции синус (k * О произвольное целое число).
Вообще, rоворя О периодичности функции 1, полаrают, что
имеется такое число Т * О, что область определения D (1) В:\1:есте
с каждой точкой х содержит и точки, получающиеся из х па
раллельными переносами вдоль оси Ох (вправо и влево) на paCCTO
яние Т. Функцию f называют периодической с периодом Т О,
если для любоrо х из области определения значения этой функции
в точках х, х Т и х + Т равны, т. е. 1 (х + Т) = f (х) = 1 (х Т).
Поскольку синус и косинус определены на всей числовой
прямой и sin (х + 2п) = sin х, cos (х + 2п) = cos х для любоrо х, си-
нус и косинус периодические функции с периодом 2п.
TaHreHc и KOTaHreHc периодические функции с перио-
дом п. В самом деле, области определения этих функций вместе
с каждым х содержат числа х + 1t и Х 1t И верны равенства
tg (х + п) = tg х, ctg (х + п) = ctg х.
Очевидно, что если функция f периодическая с периодом Т,
то при любом целом n * О число n Т тоже период этой функции.
Например, при n = 3" воспользовавшись несколько раз определе-
нием периодической функции, находим:
1 (х + 3Т) = 1 «х + 2Т) + Т) = f (х + 2Т) = 1 «х + Т) + Т) =
= 1 (х + Т) = 1 (х).
Докажем, что:
а) наименьший положительный период функций
у = sin х и у = cos х равен 2п;
б) наименьшим положительным периодом функций
у = tg х и у = ctg х является число п.
а) Как уже отмечалось, число 2п является периодом функций
sin и cos. Поэтому остается доказать, что положительное число,
меньшее 2п, не может быть их периодом. Докажем это.
Если Т произвольный период косинуса, то cos (а + Т) =
= cos а при любом а. Полаrая а = О, находим cos Т = cos О = 1.
Наименьшее положительное число Т, дЛЯ KOToporo cos х = 1,
есть 2п.
Пусть Т произвольный положительный период синуса.
Тоrда sin (а + Т) = sin а при любом а. Полаrая а = , получаем
2
sin ( Т + ) = sin = 1. Но sin х = 1 только при х = + 2пn, n е z.
222
Поэтому Т = 2пn. Наименьшее положительное число вида 2пn
есть 2п.
32 ТриrОIlО1\lстрическис функции
у
f\\
2T T О Т 2Т 3Т х
Рис. 34
б) Если Т положительный период TaHreHca, то tg Т =
= tg (о + Т) = tg О = о. Так как на интервале (о; п) TaHreHC нулей
не имеет, Т п. Ранее доказано, что 7[ период функции tg,
и, значит, 7[ это ее наименьший положительный период. Для
функции ctg доказательство аналоrично.
Как правило, слова <снаИ'\1еньший положительный период.
опускают. Принято, например, rоворить, что период TaHreHca pa
вен 7[, а период синуса равен 27[.
Периодичностью основных триrонометрических функций мы
уже фактически пользовались ранее, при построении rрафиков.
Справедливо следующее утверждение:
Для построения rрафика периодической функции
с периодом Т достаточно провести построение на
отрезке длиной Т и затем полученный rрафик парал
лельно перенести на расстояния пТ вправо и влево
вдоль оси Ох (рис. 34, здесь п любое натуральное
число ).
Действительно. пусть (х о ; Уо) точка rрафика периодиче
ской функции {. Тоrда точка Хо + пТ при любом целом п принад-
лежит области определения f (СМ. замечание в начале пункта)
и вследствие периодичности f справедливо равенство f (х о + п Т) =
= f (х о ) = Уо. Значит, точка (х о + пТ; уо)' полученная при парал
лельном переносе точки (х о ; уо) вдоль оси Ох на вектор (пТ; о),
тоже принадлежит rрафику {.
_ При м ер 5. Построим rрафИI< функции f (х) = 2 cos х + 1.
Для построения воспользуемся тем, что функция f периодическая
с периодом 27[. Действительно, функ
ция f определена на всей прямой,
и, значит, вместе с произвольной
точкой хо ее область определения co
держит точки, получающиеся из хо
параллельными переносами вдоль
оси Ох вправо и влево на 2п. Кроме
Toro, вследствие периодичности KO
синуса f (х + 2п) = 2 cos (х + 2л) + 1 =
= 2 cos х + 1 = f (х). Пользуясь свой
у
о
JI:; 2 СОВ Х + 1
y 2соз х
у СОЗ
х
Рис 35
33 ТрlfrОНО'\lетричеСКlfе функции
х
Рис. 36
ством rрафиков периодических ФУНКЦИЙ, строим rрафl1К I сначала
на отрезке [о; 2п] (для этоrо в соответствии с известными правила
ми преобразования rрафиков растяrиваем rрафик косинуса вдоль
оси Оу в 2 раза и сдвиrаем ero на 1 вверх (рис. 35), а затем с по
мощью параллельных переносов продолжаем ero на всю числовую
прямую (рис. 36).
Пример 6. Докажем, что функция {(X) tg(2X ) пе-
риодическая и ее наименьший положительный период равен .!!..
2
TaHreHc определен при всех значениях aprYMeHTa, не равных
+ лn, n е z. Поэтому область определения данной функции состо-
ит из таких Х, что 2х ф 7t + пn, т. е. х 31[ + 1[п , n е z. Отсюда
4 2 8 2
следует, что D ({) наряду с произвольным хо содержит и все точки
вида ХО + 1[п , ХО пп , n Е z. Очевидно, что число является пе
2 2 2
риодом {, так как {( х + i ) tg ( 2 ( х + i ) ) tg ( ( 2 х : ) + 1t ) =
= tg ( 2 х ) { (х). Остается доказать, что число наимень-
ший положительный период {. Допустим, что периодом 1 является
такое число То' что То <.!!.. Тоrда для любоrо х е D (/) справедливо
2
равенство {(х + то) = t g (2 (х + то> ) tg (( 2х ) + 2То) = {(х) =
= tg ( 2 х ). поскольку Т о период {. Но это означает, что 2Т о
период функции tg. По предположению То < П , т. е. 2Т о < п. Про-
2
тиворечие с доказанным ранее: наименьший положительный пе
риод TaHreHca равен 1t Справедливо и общее утверждение:
Если функция 1 периодическая и имеет наименьший
положительный период Т, то функция АI (kx + Ь), rде
А, k и Ь постоянны, а k О, также периодична, при
чем ее наименьший положительный период равен I I .
34 ТриrОIlО:\fетрические фУIIКЦИИ
Из этоrо утверждения сразу получаем, что, например, перио
дом функции sin ( Зх ) является число 2 з 1t , а период функции
cos ( + п ) равен 4п.
Упражнения
Докажите, что функции являются четными (57 58)
57. а) f (х) = зх 2 + х 4 ;
в) f (х) = х 2 cos х;
58. а) f(X) COS +l ;
2 sin
В) f (х) = 2 ;
х З
б) f (х) = х 5 sin ;
{') f (х) = 4х 6 х 2 .
б) f (х) = sin 2 Х ;
х 2 1
З
1') f ( х) = cos Х
4 x2
Докажите, что функции являются нечетными (59 60)
59. а) f (х) = х 3 sin х 2 ; б) f (х) = х 2 (2х х З );
б) f (х) = х 5 cos 3х; 1') f (х) = х (5 х 2 ).
60. х4 + 1 б) f (х) = cos Х З
а) f (х) = 2 Х З ; .
Х (25 х2 ) ,
в) f (х) = 3Х . 1') f (х) = х2 sin х
х 6 + 2 , х2 9 .
б)
:ВЕ:
= ttf=[5 L 0йttij tttl1 0
в)
Рис. 37
r)
35 ТриrОНО:\lетрические ФУНКl,\1f1f
61. На рисунке 37, a z построен rрафик функции f ДЛЯ всех х,
удовлетворяющих условию х О (х О). Постройте {'ра-
фик функции " если известно: 1) f четная функция;
2) f нечетная функция.
62. Докажите, что число Т является периодом функции "
если:
а) f (х) = sin , Т = 4п; б) f (х) = 2 tg 3х, Т = .!!.;
2 3
в) f (х) = 3 Cos 4х, Т = ; 1') f (х) = ctg Х, т = З7t.
2 3
63. Докажите, что функция f является периодической:
а) f (х) = 2 cos х; б) f (х) = tg 2х;
в) f (х) = sin х + cos х; 1') f (х) = 3 + sin 2 х.
Найдите наименьший положительный период каждой из
функций (64 65).
64. а) у = sin : ; б) у = 3 tg 1,5х;
в) у = 4 cos 2х;
1') у = 5 tg .
3
б) у = sin х sin 4х cos х cos 4х;
r) у = sin 3х cos х + cos 3х sin х.
65.
а) у = sin х cos х;
в) у = sin 2 х cos 2 х;
у
у
т
"2
т о т х Т О Т х
2 "2 2 "2
а) б)
у
т
2
х
т
2
о
т
2
х
т
2
в)
Рис. 38
r)
36 ТриroНОl\lетрические функции
66. На рисунке 38, a 2 изображена часть rрафика функции,
имеющей период Т. Постройте rрафик этой функции на
ПРО'\fежутке [ l ,5Т; 2,5Т].
67. Найдите наименьший положительный период и постройте
rрафик функции:
а) у = sin 2х; б) у = cos ;
в) у = tg ; 1') У = sin 1, 5х .
68. Для функции f ученик проверил справедливость двух pa
венств и сделал вывод, что Т является периодом {. Прав ли
ученик, если:
а ) f ( х ) = sin х , sin.!: =.! sin ( + 2п ) =.!. Т = 2п ·
6 2' 6 3 2' 3 '
б) f (х) cos х, COS o, cos( + п) =0, т п;
{ х + 1, если х 1,
в) f (х) =
3 х, если х > 1,
f ( ) = 0,5, f ( + 3 ) = 0,5, Т 3;
{') f(x)=x+lxl, {( 4)=O, {( 4+3)=O, Т=3?
Какие из указанных ниже функций являются четными,
какие нечетными, а какие не являются ни четными ни
нечетными (69 70)?
69. а) у = sin х + ctg х х; б) у = Ixl .
,
Sln х COS х
в) у = х" + tg 2 Х + Х sin х; {') tg х ctg х
у= Ix I .
70. а) sinx. б) х + sin х
у= .
Y= ,
х З 1 ' х sin х
в) 1 х 2 1') Х + tg х
y . у=
,
1 х х COS х
71. Докажите, что данная функция является четной или нечет
ной, и постройте ее rрафик:
а) у = ; б) у = .
х х
72. Функции f и g определены на :\fножестве всех действитель
ных чисел. Является ли функция Iz четной или нечетной,
есл и:
а) 11 (х) = f (х) g2 (х), f четная функция, g нечетная;
б) 11 (х) = f (х) g (х). f и g четные функции;
в) h (х) = f (х) + g (х), f и g нечетные функции;
1') h (х) = f (х) g (х), f и g нечетные функции?
3 7 ТриrОllо:wетричеСI ие фУIII ЦИИ
73. Найдите наименьший положительный период функции:
а) у = sin 2 х; б) у = tg х ctg х;
В) у = sin 4 х cos 4 х; r) у = ( sin + cos )2 .
74. Постройте rрафик функции:
а) у = 1 cos 1,5х;
б) У sin ( 2 х ):
r) у tg ( 2 х ).
в) у = 2 + sin ;
2
75. Докажите" что если функция у = f (х) периодическая" то
и функция у = kf (х) + Ь периодическая.
76. Докажите, что число 2 не является периодом функции:
а) у=х2 З; б) y=cosx; в) y=3x 5; 1') y=lxl.
5. Возрастание и убывание функций.
3кстремумы
1. Возрастание и убывание функций. Вы уже зна-
комы с понятием возрастающей и убывающей функций. Так, на
рисунке 39 изображен rрафик функции, определенной на отрезке
[ 1; 10]. Эта функция возрастает на отрезках [ 1; 3] и [4; 5], убы
вает на отрезках [3; 4] и [5; 10]. Известно, что функция у = х 2 убы-
вает на промежутке ( oo; О] и возрастает на промежутке [О; (0).
rрафик этой функции при изменении х от oo до 00 сначала «опус-
кается)) до нуля (значение функции в точке О равно нулю), а затем
.поднимается)) до бесконечности (см. рис. 20).
о n р е Д е л е н и е. Функция f возрастает на I\fHO
жестве Р, если для любых Х 1 и Х2 из множест
ва Р, таких, что Х2 > Х l' выполнено неравенство
f (Х2) > f (X 1 ).
о n р е Д е л е н и е. Функция f убывает на MHO
жестве Р, если для любых Х J и Х2 из множест
ва Р, таких, что Х 2 > Х l' выполнено неравенство
f (Х 2 ) < f (x 1 ).
Иными словами, функция f называется возрастающей на
'\1ножестве Р, если большему значению aprYMeHTa из этоrо множе-
ства соответствует большее значение функции. Функция f называ-
ется убывающей на множестве Р" если большему значению apry-
мента соответствует меньшее значение функции.
38 ТриrollО'\fстрическис функции
- Пример 1. Докажем, что
функция f (х) = х n (n Е N) при He
четном n возрастает на всей чис
ловой прямой, а при четном n
функuия f (х) = х n возрастает на
промежутке [о; 00) и убывает на
промежутке ( oo; О].
Докажем сначала, что функ
ция f (х) = х n возрастает на проме
жутке [о; 00) при любом натураль
ном n. Пусть Х 2 > Х 1 ;;;t о. Тоrда по Рис. 39
свойству степени Х; > Х i . Теперь
рассмотрим случай четноrо n.
Пусть X 1 < Х 2 < о. Тоrда X1 > X2 О И ( X1)n > ( X2)n ;;;t О, т. е.
Xjl > Х;. Тем самым доказано, что функция I (х) = х n убывает на
( oo; О] при четном n. Осталось рассмотреть случай нечетноrо n.
Если Х 1 < О < Х 2 ' то х: < о < Х;. Если Х 1 < Х 2 < о, то X1 > X2 О
И потому ( Xl)n > ( X2)n О, т. е. Xi > x;, откуда следует,
что Х; > xf. Итак, доказано, что для нечетноrо n из HepaBeHCT
ва Х 2 > Х 1 следует неравенство Х; > Х r. Соrласно определению
функция f (х) = х n при нечетном n возрастает на всей числовой
прямой.
При м е р 2. Докажем, что если функция у = f (х) возраста
ет на множестве Р, ТО функция у = ! (х) убывает на множестве Р.
Пусть Х 1 И Х 2 любые два числа из множества Р, такие, что
Х2 > xJ. Надо доказать, что ! (Х2) < ! (х.), т. е. f (х.) < f (Х2). НО
это очевидное следствие условия: f возрастает на множестве Р.
При м ер 3. Функция f (х) = 1.. убывает на каждом из про
х
межутков ( oo; О) и (о; 00) (докажите са остоятельно). Однако эта
функция не является убывающей на объединении этих промежут
ков. Например, 1 > 1. но f (1) > f ( 1).
При исследовании функций на возрастание и убывание при
нято указывать промежутки возрастания и убывания макси аль
ной длины, включая концы (если, конечно, они входят в эти про-
межутки). Так, можно было сказать, что функция f (х) = ! убы
х
Бает на отрезке [2; 100]. Это верно, но такой ответ неполон.
3 а м е ч а н и е. Для четных и нечетных функций задача Ha
хождения промежутков возрастания и убывания несколько упро
щается: достаточно найти эти промежутки при х ;> О (рис. 40).
Пусть, например, функция f четна и возрастает на проме
жутке (а; Ь], rде Ь > а о. Докажем, что эта функция убывает на
промежутке [ Ь; a].
39 ТриrОНО'\fетрические ФУНКЦIIИ
b
a О
II
ь
х
х
а)
Рис. 40
б)
Действительно, пусть a Х 2 > Х 1 b. Тоrда f ( X2) = I (х 2 ),
f ( X1) = f (х 1 ), причем а <; X2 < X1 <; Ь, и поскольку f возрастает
на (а; Ь], имеем f ( X1) > f ( X2)' т. е. f (х 1 ) > f (х 2 ).
2. Возрастание и убывание триrонометрических функций.
Докажем сначала, что синус возрастает на промежутках
[ + 2 пп; + 2 пп ], п е Z. в силу периодичности синуса доказа-
тельство достаточно провести для отрезка [ ; ]. Пусть Х 2 > Х 1 '
Применяя формулу разности синусов, находим:
. . 2 Хl + Х2 . Х2 Хl
Sln Х2 Sln х 1 = cos 2 Sln 2
(1)
1t <I!" О Х2 Х 1 <I!" 1[
Из неравенства 2 (X 1 < Х2 2 следует, что < 2 2
и < Хl + Х2 < .
222
Х1 + Х2 Х2 Хl
Поэтому cos 2 >0, sil1 2 > о. Из (1) вытекает, что
разность sin Х 2 sin Х 1 положительна. т. е. sin Х 2 > sin Х 1 . Тем ca
мым доказано, что синус возрастает на указанных промежутках
Аналоrично доказывается, что промежутки [ + 2пп; 3 2 п + 2пn ].
n Е Z, являются промежутками убывания синуса
Заметим, что полученный результат леrко проиллюстриро-
вать с помощью единичной окружности: если ..!!. ( t 1 < t 2 ( , то
2 2
точка Р, имеет, естественно, ординату, большую, чем ордината
точки Р,2 (рис. 41) а). Если 2! <; t 1 < t 2 < 31[ , то ордината точки Р,
122 2
меньше ординаты точки Р, (рис. 41, 6).
1
Промежутками возрастания косинуса являются отрезки
[ п + 2пп; 2пn], rде п Е Z, а промежутками убывания отрезки
40 ТриrОНО:\fетРИЧССltис фУIIКЦИИ
уА УА
: f Pt2 Р'I
J Pt! Уl
.
Х О х
Pt2 У2
а)
Рис. 41
б)
[2пп; п + 2пп), rде п е z. Доказательство можно провести пример-
но так же, как и в случае синуса. Проще же воспользоваться фор-
мулой приведения cosx sin ( х + ). Из нее сразу следует, напри-
мер, что промежутками возрастания косинуса являются проме-
жутки, полученные из промеЖУТКОБ возрастания синуса сдвиrо'\i
на 1[ влево.
2
Докажем, что функция TaHreHC возрастает н а промежутках
( + пп; + пп ). rде n е Z. В силу периодичности TaHreHca дока-
зательство достаточно провести для интервала ( ; ).
Пусть Х) и Х 2 произвольные числа из этоrо интервала, та-
кие, что Х 2 > Х 1 . Надо доказать, что tg Х 2 > tg Х 1 . И'\fеем
sin Х2 sin Хl sin Х2 cos Хl SiJl xl COS Х2 SiJ1 (Х2 Хl)
tgx2 tgxl = = =
COS Х2 COS Хl COS Х2 COS Х1 COS Х1 COS Х2
П 7t 1[ П О
о предположению '2 < Х 1 < Х 2 < '2. оэтому COS X 1 > ,
cos Х 2 > о. А так как О < Х 2 Х 1 < п, то и sin (Х 2 X 1 ) > о. Следова-
тельно, tg Х2 tg Х 1 > о, т. е. tg Х 2 > tg х l' что И требовалось дока-
зать.
Аналоrично доказывается, что ctg убывает на промежутках
(пn; п + пn), rде n е z.
3. Зкстремумы. При исследовании поведения функции вбли-
зи некоторой точки удобно пользоваться понятием окрестности.
Окресmносmью точки а называется любой интервал, содержащий
эту точку. Например. интервал (2; 6) одна из окрестностей точ-
ки 3, интервал ( 3,3; 2, 7) окрестность точки 3.
Изучая rрафик рисунка 39, можно прийти к выводу, что
наиболее заметными. точками области определения являются
41 ТриrОIIО'\fетрические ФУНКЦИИ
такие точки Х, в которых возрастание функции сменяется убы-
ванием (точки 3 и 5) или, наоборот, убывание сменяется возраста-
нием (точка 4). Эти точки называют соответственно точка""tu мак-
симума (х ш8х = 3 и Х п18х = 5) и MUHUAtYMa (X n1in = 4).
При построении rрафиков конкретных функций полезно
предварительно найти такие точки. Например, для функции sin
это точки вида f: + 2 лп, п Е z. Возьмем для определенности
2
хо = . Эта точка является правым концом промежутка возраста-
2
ния синуса, и поэтому 1 = sin хо > sin х, если < х < . Кроме
2 2
Toro, хо = левый конец промежутка убывания, и, следователь-
2
но, sin х < sin хо при < х < 3л . Итак, sin > sin х для любоrо Х
222
(х Х о )' лежащеrо в окрестности ( Х ; зп ) точки хо = , и поэтому
222
1t
хо = "2 точка максимума функции синус.
В точке .!!., наоборот, убывание функции меняется на возра-
2
стание (слева от функция убывает, а справа возрастает). Анало-
2
rично для любоrо х из некоторой окрестности точки (х хо)
имеем sin х > sin ( ) = 1, и поэтому точка минимума
функции синус. Дадим точные определения точек экстремума.
о п р е Д е л е н и е. Точка Хо называется точкой
микимума фУККЦUU " если для всех х из HeKO
торой окрестности Хо выполнено неравенство
f (х) f (х о ) (рис. 42).
f (х()
о
ХО
х
о
ХО
х
а)
Рис. 42
б)
42 ТриrОIlО'\fетрические фУIIКЦИИ
у
f (x u )
о
.%0
х
а)
Рис. 43
f (х: r
о
%0
х
б)
о пр е Д е л е н и е. Точка Хо называется точкой
максимума функции (, если для всех Х IIЗ веко-
торой окрестности Хо выполнено неравенство
f (Х) f (Х о ) (рис. 43).
По определению значение функции f в точке максимума ХО
является наиБОЛЫIIИ:\1 среди значений функции из некоторой
окрестности этой точки, поэтому rрафик функции в OKpeCTHO
сти Х О ' как правило, имеет вид rладкоrо «холма. (рис. 43, а
и рис. 44 точки Хl' Х 2 , Х з ) или заостренноrо «пика. (рис. 43, б).
В окрестности точки минимума rрафики, как правило, изобра
жаются в виде « впадины. , тоже
или rладкой (рис. 42, tJ точ
ка х о ' рис. 44 точки Х 4 , х 5 ), или
заостренной (рис. 42, а точка ХО
и рис. 44 точка Х 6 ).
Друrие примеры поведения
rрафиков функций в точках макси-
МУ:\1а или минимума приведены на
рисунках 45 (а точка максиму-
ма), 46 (а точка минимума) и 47
(здесь каждая точка промежутка
( 1; О) является как точкой мини-
мума, так и точкой максимума).
у
х
Рис. 45
Рис. 46
у
о Хl "..
43 ТриrОНО'\1етрические функции
"2 .%6 ХЗ .%6
х
Рис. 44
у
х
х
Рис. 47
Для точек аксимума и мини ума функции принято обrцее
название их называют mочка.ми эксmре.мУ.lttа. Значение функ-
ции в этих точках называют соответственно .lttaKCu.ltty.lttaMU и .миHи
My."taMU функции (общее название эксmре.му.ltt функции). Точки
максимума обозначают Х 1118х ' а точки минимума X l11il1 . Значения
функции в этих точках обозначаются соответственно УШ8Х И Ущiп.
Упражнения
77. Для функций, rрафики которых изображены на рисун-
ке 48, a z, найдите:
а) промежутки возрастания и убывания функции;
б) точки максимума и минимума функции;
в) экстремумы функции.
Начертите эскиз rрафика функции f (78 80).
78. а) f возрастает на промежутке ( oo; 2] и убывает на проме
жутке [2; (0);
б) f возрастает на промежутках ( oo; 2] и [о; 3], убывает
на промежутках [ 2: О] и [3; 00];
в) f убывает на промежутках ( oo; 1] и [4; (0), возрастает
на промежутке [1; 4].
м
2 I
...3
..
з 5 7 х
а)
у
1----
f----
12
, 2 O
е)
Рис. 48
:f J : I
з л 1 :
2 .,
:fШJ 5 I I
I
I
1.
i----
1 I --+
б 4
б}
1:
..
х
4 1 2 о I 2 4
I
2
r)
44 ТриrОНО'\lетрические фУНКЦIfИ
79. а) х ш8х = 3, Х шiп = 4, f ( 3) = 5, 1 (4) = 5;
б) Х шin = 2, Х шiп = 2, Х ш8х = О,
f ( 2) = f (2) = 3, f (О) = 2;
в) Х шiп = 5, Х п18х = 2,
'( 5) = 1,/(2) = 6;
1') Х ш8х = 4, Х ш8х = 3, Х шiп = 1,
f ( 4) = 5, f (3) = 2, f ( 1) = 2 .
80. а) f четная функция, Х ш8х = 3, Х шiп = О,
'( 3)=4, 1(0)=0;
б) f нечетная функция, Х ш8х = 2, Х шiп = 5,
f (2) = 3, f (5) = 4;
в) 1 четная функция, x n1in = 4, Х ш8х = О,
f (4) = 2, f (О) = 2;
1') 1 нечетная функция, Х Шir1 = 4, Х ш8х = 1,
f ( 4) = 3, 1 ( 1) = 1.
Докажите, что функция у = kx + Ь:
а) возрастает на множестве R при k > о;
б) убывает на множестве R при k < о.
81.
82.
Найдите промежутки возрастания и убывания, точки MaK
симума и точки минимума функции, ее максимумы и ми
нимумы (82 85).
а) у = x2 + 6х 8;
в) у = х2 4х;
а) у = ;
x 2
1
в) у= х+з ;
б) у = (х + 2)4 + 1;
1') У = (х з)4.
б) у = - (х + 3)5;
83.
1') у = (х 4)3.
84. а) у = 3 sin х 1; б) у = 2 cos х + 1;
в) у = 2 cos х + 1; {') у = 0,5 sin Х 1,5.
85. а) у = 1 + 2 tg Х; б) у = sin х + 1;
в) у = tg х; 1') У = cos х 1.
86. Сравните числа:
а) cos 3п И cos 21[ . б) sin 51[ и sin 7п .
7 9 ' 7 8 '
в) tg 9п И tg 6п . 1') sill 4п И sill 3п .
7 5 ' 9 8
87. Расположите числа в порядке возрастания:
а) sin 3,2, sill 3,8, sin 1,3;
б) cos 0,9, cos 1,9, cos 1,3;
в) tg 0,5, tg 1,4, tg ( 0,3);
{') sin 1,2, sin ( 1,2), sin 0,8.
45 ТриrОНОl\lетрические функции
Найдите промежутки возрастания и убываНИЯ 9 точки экст
ремума и экстремумы функции (88 89).
88. а) у = 1 + 1; б) у = 4 I х I х 2 ;
( Х 2 )2
в) у= 1 ... 2;
( х + 1)3
89. а) у cos ( х + ):
в) у sin ( х + ):
{'} у = х 2 2 1 х 1.
б) У 1 sin ( Х ; ):
r) у 2 + cos ( Х ).
90. Расположите числа в порядке возрастания:
а ) cos 251[ sin 4п cos 4п cos ( 5п J .
9' 5' 9' 9'
б) t g ( 57п ). tg з в п , ctg 1 п , tg ( : ):
В ) с t g 91[ ct g 121[ t g 61[ с t g 7п .
10 ' 5' 5 ' 15 '
r ) sin ( 5п J cos 13п sin 5п sin 17п .
12' 24 ' 24 ' 6
91. Докажите, что функция:
а) f (х) = х 4 + 3х возрастает на [о; 00);
б) f (х) = хз 2х убывает на R;
в) f (х) = х 6 0,5 убывает на ( oo; О];
1') f (х) = х 5 + 1,5х возрастает на R.
92. Докажите следующие утверждения:
а) если f четная функция, хо точка маКСИМУ'\fа,
то xo является точкой максимума;
б) если f нечетная функция и на ПРО:\iежутке [а; Ь] она
убывает, то и на промежутке [ b; a] функция f убывает;
в) если f нечетная функция, хо точка минимума,
то xo является точкой максимума;
r) если f четная функция и на промежутке [а; Ь] функ
ция возрастает, то на промежутке [ b; a] она убывает.
6. Исследование функций
1. Построение rрафиков функций. Ранее вы строили
rрафики функций <спо точкам». Во мноrих случаях этот метод дает
хорошие результаты, если, конечно, отметить достаточно большое
число точек. Однако при этом приходится составлять большие таб-
лицы значений функции, а rлавное, можно не заметить существен
ных особенностей функ ции и в итоrе ошибиться при построении
rрафика.
46 ТриrОIIО,\fстричеСI(:ие ФУIIКIJ,ИИ
у у
. .
. .
.
.
.
.
.
. о х х х
.
.
.
.
Рис. 49 Рис. 50 Рис. 51
Предположим, например, что, вычислив значение функции
в 15 точках и отметив соответствующие точки rрафика на коорди-
натной плоскости, мы пришли к рисунку 49. Естественно предпо
ложить, что эскиз rрафика близок к непрерывной кривой, прохо
дящей через все эти точки (рис. 50). Однако (с настоящий. rрафик
(естественно, проходящий через все эти точки) может быть совер-
шенно не похож на этот эскиз (рис. 51 53).
Для Toro чтобы избежать ошибок, надо научиться выявлять
характерные особенности функции. т. е. предварительно провести
ее исследование. Пусть, например, о функции f нам известно,
что она:
определена на объединении промежутков ( oo; 10),
( 10; 10), (10; (0);
обращается в нуль в точках 11 и О, отрицательна на ин
тервалах ( oo; 11), ( 10; О) и положительна на интервалах
( 11; 10); (о; 10) и (10; 00);
возрастает на промежутках ( oo; 10), ( 10; 10), [12; 15]
и убывает на промежутках (10; 12] и [15; (0);
имеет минимум в точке 12, причем f (12) = 16, и макси-
мум в точке 15, причем f (15) = 19;
наконец, значения f при приближении значений aprYMeH
та к 10 и 10 неоrраниченно возрастают по абсолютной величине.
Эти сведения позволяют понять, что эскиз rрафика функции
примерно таков, каким он изображен на рисунке 53.
х
19
16
у
х
Рис. 52
Рис 53
47 ТрlfrОIlО'lстричеСIОfС фУIII ЦIfИ
11 Рассмотрим еще один пример: исследуем функцию
1
f (х) = х2 + 1 .
1) Найдем область определения функции. В данном случае
D (f) вся числовая прямая, поскольку знаменатель х 2 + 1 не об
ращается в нуль.
2) Заметим, что функция f четная: для любоrо х
1 1
f ( x) = = = f (х).
( х)2 + 1 х 2 + 1
Поэтому достаточно исследовать функцию и построить ее rрафик
при х о, затем остается отразить построенную часть rрафика от-
носительно оси ординат.
3) Найдем точки пересечения rрафика f с осями координат.
Ось ординат ['рафик f пересекает в точке (о; f (о». Значение f (о)
равно 1. Поэтому rрафик f проходит через точку (о; 1).
Для Toro чтобы найти точки пересечения rрафика функции f
с осью абсцисс, надо решить уравнение f (х) = О (ero корни называ-
ют нулями функции). Уравнение + = о не имеет корней. Зна-
х + 1
чит, rрафик f не пересекает ось абсцисс.
4) Выясним, на каких промежутках функция f принима-
ет положительные, а на каких отрицательные значения; их
называют промежутками Jнакоnостоянства функции. Над эти
ми промежутками rрафик функции лежит выше (COOTBeTCTBeH
но ниже) оси абсцисс. В данном случае, поскольку при любом х
значение х 2 + 1 положительно, f (х) > О на всей числовой пря-
мой.
5) Существенно облеrчают построение rрафика сведения
о том, на каких промежутках функция возрастает или убывает
(эти промежутки называют nро.межутками возрастания или у{Jы
вания функции). Докажем, что для рассматриваемой функции
промежуток возрастания это ( oo; О], а промежуток убыва-
ния [о; 00).
Пусть х 1 И Х 2 два значения из промежутка [о; 00), причем
Х 2 > х 1 Поскольку Х 1 И Х 2 положительны, из условия Х 2 > х 1 сле-
2 2 2 1 2 1 1 1
дует Х 2 > Х 1 ' Х }. + > X 1 + и, наконец, < . Итак,
х 2 + 1 х 2 + ]
2 1
f (Х 2 ) < f (X 1 ), т. е. функция f убывает на промежутке [о; 00).
На промежутке ( oo; О] функция f возрастает. Доказательст-
во проводится аналоrично (можно также воспользоваться четно-
стью данной функции).
6) Найдем значения функции в точках, в которых возраста-
ние сменяется убыванием или наоборот. В нашем случае имеется
48 ТриrОНОl\lетрические функции
у
1
1
х 2 + 1
(х > О)
1
11=
%2+ 1
о
1
х
1
о
1
х
Рис 54
Рис. 55
лишь одна точка, при надлежащая одновременно и промежутку
возрастания, и ПрО:\fежутку убывания, это точка о. Точка О
точка максимума функции f (х) = ; f (о) = 1.
х 2 + 1
7) 3а'\fетим, наконец, что при неоrраниченном увеличении х
значение х 2 + 1 неоrраниченно возрастает, а потому значения
f (х) = (оставаясь положительными) приближаются к нулю.
х 2 + 1
Полученных в ходе исследования свойств функции
f (х) = 2 1 достаточно для построения ее rрафика.
х + 1
Построим точку rрафика (о; 1). Мы установили, что
[о; 00) промежуток убывания функции '. Поэтому правее точки
С абсциссой О rрафик рисуем в виде кривой, которая «идет вниз.
(рис. 54). Так как f (х) > О при любом х, эта кривая не может опу
ститься ниже оси абсцисс, причем (см. п. 7 исследования) при про
должении вправо rрафик неоrраниченно приближается к оси абс
цисс. Остается воспользоваться четностью функции ': rрафик f
получаем, отразив построенную для х О кривую симметрично OT
носительно оси ординат (рис. 55).
2. Схема исследования функциЙ. При исследовании функ
ций мы будем придерживаться описанной схемы. В общем случае
исследование предусматривает решение следующих задач:
1) Найти области определения и значений данной
функuии '.
2) Выяснить, обладает ли функция особенностями,
облеrчающими исследование, т. е. является ли функ
ция ': а) четной или нечетной; б) периодической.
3) Вычислить координаты точек пересечения rрафи
ка с осями координат.
4) Найти промежутки знакопостоянства функции '.
5) Выяснить, на каких промежутках функция f воз
растает, а на каких убывает.
49 ТрlfrОНО'\lетричеСКlfе фУНКЦIfИ
6) Найти точки экстремума, вид экстремума (мак-
симум или минимум) и вычислить значения f в этих
точках.
7) Исследовать поведение функции f в окрестности
характерных точек, не входящих в область определе
ния (например, точка х = О для функции f (х) = ! ),
х
и при больших (по модулю) значениях aprYMeHTa.
Необходимо заметить, что этот план имеет примерный xa
рактер. Так, для нахождения точек пересечения с осью абсцисс
надо решить уравнение f (х) = О, чеrо мы не умеем делать даже
в случае, коrда f (х), например, мноrочлен пятой степени. (Суще-
ствуют, правда, методы, которые позволяют найти число корней
TaKoro уравнения и сами корни с любой точностью.) Поэтому часто
тот или иной этап исследования приходится опускать. Однако по
возможности в ходе исследования функций желательно придержи-
ва ться этой схемы.
Наиболее трудным этапом исследования является, как пра
вило, поиск промежутков возрастания (убывания), точек экстре
мума. В следующей rлаве вы познакомитесь с общими методами
решения этих задач, основанными на применении \fетодов MaTe:\'la-
тическоrо анализа.
Вертикальные прямые, к которым неоrраниченно приближа
ется rрафик функции f (например, прямая х = О для функции
f (х) =! или прямые х = :t: 10 для rрафика функции, изображен
х
Horo на рисунке 53), называют вертикальными aCUAtпmOmaAtu.
Чаще Bcero rрафик имеет вертикальную асимптоту х = а
в случае, если выражение, задающее данную функцию, имеет вид
дроби, знаменатель которой обращается в нуль в точке а, а числи
тель нет. Например, rрафик функции f (х) =! имеет вертикаль
х
ную асимптоту х = о. Для rрафика функции f (х) = tg х вертикаль
ными асимптотами являются прямые х = + пп, rде п Е z.
2
Если rрафик функции неоrраниченно приближается к не-
которой rоризонтальной (в случае функции f (х) = + это пря
х + 1
мая у = о, см. рис. 55) или наклонной (прямая у = х для rрафика
функции f (х) = х +!, см. рис. 32) прямой при неоrраниченном
х
возрастании (по модулю) х, то такую прямую называют 20pU.JOH
тальной (соответственно наклонной) асиАtптотой.
3. «Чтение) rрафиков. В большинстве разобранных выше
примеров и задач на построение rрафиков функций вы BCTpe
чались с такой ситуацией: функция задана формулой, требуется
50 ТриrОUОl\lстрические функции
исследовать ее свойства и построить rрафик {. Представляет зна
чительный практический интерес друrая задача: задан rрафик {,
с помощью KOToporo требуется перечислить основные свойства
этой функции.
Подобные задачи часто решаются в ходе экспериментальных
исследований. Построение rрафиков при этом осуществляется раз-
ными методами. Например, по точкам, найденным эксперимен
тально. Существуют также мноrочисленные приборы-самописцы.
Это, например, осциллоrрафы, на экранах которых электрические
колебания преобразуются в наrлядные rрафические изображения.
Друrим примером прибора, позволяющеrо получить наrлядное
rрафическое описание, служит кардиоrраф; .прочитывая)) полу
ченную с ero помощью кардиоrрамму, врачи делают выводы о co
стоянии сердечной деятельности.
С довольно типичным примером трудностей, возникающих
при исследовании реальных процессов, для описания которых нет
точных теорий, вы можете познакомиться, рассмотрев рисунок 56.
Здесь приведены rрафики среднесуточноrо хода температур по Mo
сковской области в феврале 1974 r. Толстой линией изображены
<стеоретические кривые. А и Б, фиксирующие результаты долrо
срочноrо проrноза (поскольку проrноз дается с точностью до 50,
кривых две). « Читая. этот rрафик, мы находим, например, что
предполаrались три <сволны холода. (в период с 4 по 10, с 17 по 19
и с 23 по 26 февраля). Предполаrалось также отсутствие оттепелей
и в целом холодная (до 1 70... 220) поrода. Однако в действитель
ности (rрафик фактическоrо хода температур изображен тонкой
линией В) температура была выше нормы на 5 100 (климатиче
ская норма, являющаяся результатом мноrолетних наблюдений,
задана линией Р), в период с 4 по 8 февраля было потепление. а не
похолодание и т. д. Эти и друrие сведения о проrнозе и реальной
картине вы можете получить, <считая. rрафики, приведенные на
рисунке 56.
5
о
5
10
15
20
2 4
6 8 10 12 1.J 16 18 20 22 24 2G 28
Рис. 56
51 ТриrОНОl\lетрические ФУНКЦИИ
Упражнения
93. Проведите по общей схеме исследование функции задан-
ной rрафиком (рис. 57).
94. Постройте rрафик функции {, если известны ее свойства
(СМ. табл. на с. 55).
Проведите по общей схеме исследование каждой из функ-
ций и постройте ее rрафик (95 99).
95. а) f (х) = 5 2х; б) f (х) = 3 2х х 2 ;
в) f (х) = 3х 2; {') f (х) = х 2 3х + 2.
96. а) {(x)=.! 2;
х
в) f (х) = ;
х+2
97. а) f (х) = -"x 3;
в) f (х) = Щ!;
:й
5 10 1
2
I
5
а)
I
I
I
I I
у
I I
I
r
I
j;h
4
+i 2 О
I tI I I:JТ--t;2
2 4 I б
1 I
1:)
Рис. 57
6) f (х) = (х 3)1;
r) f (х) = х з 1.
б) f (х) = 4х х 2 ;
{') f (х) = 4 х 2 .
х
б)
IY
.
L
r)
52 Трlfrоно:метричеСI lfе ФУIIКЦИИ
Свойство а) б) в) r)
функции
1 Uбласть опреде
ления ( 6; 6] ( 5; 4] [ 4; 4] [ 5; 3]
Область значе-
ний ( 2; 5] [О; 6] [ 3; 6] [О; 5]
2 Точки пересече
ния rрафика:
а) с осью Ох А ( 4; О), О (о; О) А ( 4; О), А (3; О)
В ( 2; О) В ( 1; О),
С (2,5; О)
б) с осью Оу С (О; 2,5) D (О; 2) В (О; 4,5)
3 Промежутки
знакопостоян-
ства:
а) 1 (х) > О [ 6; 4), [ 5; О), ( 4; 1), [ 5; 3)
( 2; 6] (о; 4] (2,5; 4]
б) 1 (х) < О ( 4; 2) ( 1; 2,5)
4 Промежутки:
а) возрастания ( 3; 1], [ 5; 2], [ 4; 2], [ 3; 1]
[4; 6] [о; 4] [1; 4]
б) убывания [ 6; 3], [ 2; О] [ 2; 1] [ 5; 3],
[1; 4] [1; 3]
5 Точки
максимума,
максимум 1,1(1)=3 2, f ( 2) = 2, f ( 2) = 1, f (1) = 5
функции =2 =2
Точки мини:'dУма, 3" О, 1 (О) = О 1, 1 (1) = 3 3, 1( 3} =2
минимум 1 ( 3) = 2
функции 4, 1 (4) = 1
6 Дополнительные 1( 6) = 3 1 ( 5) = 0,5 1 (4) = 6 1 ( 5) = 3
точки I'рэфика 1 (6) = 5 1 (4) = 6
98. а) f (х) = х 4 + 4х 2 ; б) f (х) = 1 .J;+ 4;
В) f (х) = х з + х; {') f (х) = х 2 2.
99. f(x)=x2 2Ixl+l; х+ 1
а) б) {(x)= ;
x 1
В) f (х) = I х I х 2 ; {') 2х+l
(х) = .
х
53 ТриrОIlО:\fетрические ФУIIКЦИИ
7. Свойства триrонометрических функций.
rармонические колебания
1. Исследование триrонометрических функций. Свой
ства изучаемых функций удобно записывать соrласно приведенной
в предыдущем пункте схеме. Сведем уже известные вам свойства
функций синус, косинус, TaHreHc и KOTaHreHC в таблицу. (Всюду
предполаrается, что n Е z.)
ФУНКЦИЯ
f (х) = SiJl Х f (х) = cos Х f (х) = tg х f (х) = ctg х
1.1 R R ( .!!. + пп'.!!. + П1 (пn; n + 1[п)
2 ' 2
1.2 [ 1; 1] [ 1; 1] R R
2.1 Нечетная Четная Нечетная Нечетная
2.2 21[ 21[ п п
3.1 (пn; О) + 1[n; о) (1[n; О) (i+пn; о)
3.2 (о; О) (о; 1) (о; О) Нет
4.1 (21[п; 7t + 2пn) ( + 21[п. !!. + 21[п) (лn;i+ пn ) (1[n;i+ пn )
2 ' 2
4.2 ( 1[ + 21[п; 21[п) (.!!. + 2пn. 3ft + 21[п) ( i+ 1[п;пп) ( i + 1[п; 1[n)
2 ' 2
5.1 [ + 2пп; + 2пп] [ 1[ + 2пn; 21[п] ( i + 1[n: i + лn) Нет
5.2 [ + 2тсп. 3ft + 2тсn] [2пп; 7t + 21[п) Нет (пп; n + пп)
2 ' 2
6.1 !!. + 21[п 1[ + 21[n Нет Нет
2
6.2 1 1 Нет Нет
6.3 i + 21[n 21[n Нет Нет
6.4 1 1 Нет Нет
в таблице принята следующая нумерация свойств функции {:
1.1 область определения;
1.2 область значений;
2.1 четность (нечетность);
2.2 наименьший положительный период;
3.1 координаты точек пересечения rрафика f с осью Ох;
3.2 координаты точек пересечения rрафика f с осью Оу;
54 ТриrОНОl\1етрические ФУНКЦИИ
4.1 промежутки, на которых f принимает положительные зна
чения;
4.2 промежутки, на которых f прини ает отрицательные зна
чения;
5.1 промежутки возрастания;
5.2 промежутки убывания;
6.1 точки минимума;
6.2 минимумы функции;
6.3 точки максимума;
6.4 максимумы функции.
Свойства триrонометрических функций часто применяются
при решении задач.
_ При м ер 1. Расположим в порядке возрастания числа
sin ( 1), sin 1, sin 2, sin 3, sin 4.
Пользуясь формулами приведения, запишем эти числа в Ta
ком виде, чтобы значения aprYMeHTa принадлежали одному из
ПрО'\fежутков возрастания синуса отрезку [ ; J
sin 2 = sin (п 2), sin 3 = sin (п 3), sin 4 = sin (п 4).
Очеви д но что < 1 < 7t 4 < 7t 3 < 1 < 1t 2 < по
, 2 2'
этому sin ( 1) < sin (п 4) < sin (п 3) < sin 1 < sin (п 2). Итак,
sin ( 1) < sin 4 < sin 3 < sin 1 < sin 2.
Рассмотрим rрафик функции f (х) 2 sin ( 3х з 4 п ) (рис. 58).
Он получается при помощи следующей последовательности преоб
разований:
а) сжатием rрафика функции у = sin х в 3 раза вдоль оси абс
цисс получаем rрафик функции у = Sln 3х (рис. 59);
у
у= 2 sin (зх п)
о
1t
4
7п
12
х
Рис. 58
55 ТриrОIlОl\lетрические фУIII ЦИИ
Рис. 59
б) переносом rрафИК8 функции у sin Зх на вектор ( ; о )
получаем rрафик функции у sin З ( х : ). т. е. у sin ( 3х з 4 п )
(рис. 60);
у
у SlП Зх
у= sin (эх 1
Рис. 60
в) растяжением rрафика у sin ( Зх з 4 п ) В 2 раза вдоль оси
ординат получаем rрафик функции у 2 sin ( 3х з 4 п ) (рис. 61).
9
у= 2 зiп [эх зп)
Y 8in (эх ,
х
Рис. 61
56 ТриroНО'\1етрические функции
При преобразованиях, изученных в п. 3, «<форма)) кривой
сохраняется (так же как при движениях и преобразованиях по
добия). Поэтому синусоидой называют не только rрафик синуса,
но и любую кривую, полученную из Hero при помощи сжатий (pac
тяжений) вдоль осей и последующих движений или преобразова
ний подобия. Это же за ечание справедливо для друrих кривых,
например параболы или rиперболы.
То обстоятельство, что свойства функций вида f (х) =
= А sin (kx + Ь) и f (х) = А cos (kx + Ь) аналоrичны свойствам си
нуса (или косинуса), позволяет сравнительно быстро провести
исследование таких функций: rлавное найти их период и точ-
ки, в которых значения равны О и :t А.
. При м ер 2. Исследуем функцию f (х) 2 sin ( 3х з 4 п ) И
построим ее rрафик.
Период функции f равен 21[ (см. п. 4). Синус обращается
3
в нуль в точках вида тсn, n Е z, поэтому f (х) = О при 3х 3п = пn,
4
Т. е. при х = 1[ + 1[п , n Е z. Затем, решая уравнения f (х) = 2
4 3
и f (х) = 2, получим sin ( зх 31[ ) = 1 при 3х 31[ = + 2пn, OT
4 4 2
К уд а х = 2!... + 2лп п Е z. sin ( 3х 3п ) = 1 П р и 3х 3п =..!!. + 2пn
12 3" 4 4 2 '
откуда х = 5п + 21[п , n Е z. Отметим полученные точки на оси
12 3
абсцисс. Достаточно рассмотреть отрезок, длина KOToporo равна
периоду. В данном случае удобно взять отрезок [ 1 П 2 ; 3 4 п J. левый
конец KOToporo является точкой ми-
нимума функции (рис. 62). Далее ри-
суем rрафик функции {, возрастаю-
щей от 2 до 2 на отрезке [ ; 51[ ]
12 12
и убывающей от 2 до 2 на отрезке
[ 51[ ; зх ] . rрафик пересечет ось абс
12 4
цисс в точках ( ; о) и ( ; ; о ). Эскиз
rрафика функции f на всей числовой
прямой получается из rрафика рисун-
ка 62 сдвиrами на 2пn , n Е Z, вдоль
3
оси абсцисс (рис. 58).
57 ТриrОIlО:\fетричеСltие фУIIКЦИИ
у
2
1t n 3п
12 4 4
О 5п х
12
2
Рис 62
2. rаРМОНllческие колебания. Величины, меняющиеся со-
rласно закону
I(t) =А cos (юt + ер)
(1)
или
1 (t) = А si n (ш t + ер),
(2)
иrрают важную роль в физике. По такому закону меняется коор-
дината шарика, подвешенноrо на пружине (рис. 149). rоворят, что
шарик совершает zармонические колебания.
Функцию (2) тоже можно записать в виде (1):
А sin (rot + q» А cos (lOt + q> ; )-
Параметры А, (1) и ер, полностью определяющие колебание (1),
имеют специальные названия: А называют амплитудоu коле
бания, (r) циклической (или круrовой) частотой колебания,
ер начальной фаJОЙ колебания (обычно берут ер Е [о; 2п». Период
функций А sin «I)t + ер) и А cos «(I)t + ер), равный 2п , называют пери-
ro
одом zармоническоzо колебания.
Свойства функций (1) и (2) удобно про иллюстрировать на
следующем при мере из механики. Пусть точка 1\1 движется равно-
мерно по окружности радиуса R = А с уrловой скоростью (1) (при
(1) > о вращение против часовой стрелки, 8 при (1) < о по часовой
стрелке). причем в начальный момент времени t = О вектор 01\1 со-
ставляет уrол ер с положительным направлением оси абсцисс
(рис. 63). Рассмотрим две следующие функции от t координаты
проекций точки на оси абсцисс и ординат функции х (t) и У (t).
В момент времени t вектор 01\1 составляет с положительным
направлением оси Ох уrол ер (t), при этом ер (t) = ер + (l)t соrласно за-
кону paBHoMepHoro движения по окружности. По определению
функций синус и косинус
х (t) = А cos ер (t), Т. е. х (t) = А cos (rot + ер),
у (t) = А sin ер (t), т. е. у (t) = А sin (шt + ер).
Изучим свойства этих функций,
опираясь на кинематические сообра-
жения. Их период равен, очевидно, вре-
мени Т, за которое точка совершает
один оборот. Длина окружности равна
2nA, а линейная скорость v равна (l)А,
поэтому
A
А
х
Т 2лА. 2п
.
v (1)
A
Рис. 63
Рассмотрим один из моментов
времени t o , в который точка М занима-
58
ТриroНОl\lетрические фУНКц,ии
ет крайнее правое положение. Тоrда х ио) = А, У (t o ) = о. Начиная
с этоrо момента времени функция х (t) будет попеременно убы
вать от А дО A на первой половине периода и возрастать оТ A
до А на второй половине периода. При этом точки максимума
функции х (О это те моменты времени, коrда точка занимает
крайнее правое положение; точки минимума соответствуют край
нему левому положению, а нули верхнему и нижнему положе
ниям.
Аналоrичными свойствами обладает и функция у (t); ее точ
ки максимума и минимума соответствуют верхнему и нижнему
положениям точки на окружности, а нули правому и левому
положениям.
Отметим, что при А = 1, ro = 1 и q> = о функции х (t) и У (t)
равны соответственно cos t и sin [. Проверьте самостоятельно.
что известные вам свойства этих функций леrко получить, рас-
сматривая соответствующее движение точки по единичной окруж
ности.
Упражнения
100. Пользуясь свойствами триrонометрических функций, за
мените выражение равным ему значением той же триrоно
метрической функции наименьшеrо положительноrо apry
мента:
а ) t g 181[ sin 28п .
5 ' 3 '
В) sin ( 1 П ). tg 1:П ;
б) cos ( ! :п ). ctg ( 8 5 п ):
1' ) cos 20п ct g 35п .
7 ' 9
101. Найдите область определения и область значений функции:
а) f (х) = 3 cos 2х 1;
в) f (х) = 2 tg i;
б) f (х) = 2 ctg 3х;
1') f (х) = 1 + 0,5 sin .
2
а) f (х) = sin 3 х;
102. Найдите промежутки знакопостоянства и нули функции:
в) f (х) = cos Х ;
2
б) f (х) = tg 2; ;
1') f (х) = ctg 2х.
103. Найдите промежутки возрастания, убывания, точки макси
мума и минимума функции:
а) f (х) = 4 cos 3х; б) f (х) = 0,5 ctg .!;
4
в) f (х) = 2 tg ;
2
{') f (х) = 0,2 sin 4х.
59 ТрllrОНО:.\lеТрllчеСКllе ФУНhl\1I11
Исследуйте функцию
1 04. а) f (х) = cos ;
в) f (х) = 1,5 cos 3х;
и постройте ее rрафик (104 105)
105. а) !(x)=!tg2x;
2
в) f (х) = 2 ctg ;
3
б) f (х) = 2 sin 2х;
1') f (х) = 3 sin .
2
б) f (х) = 3 cos 3 2 Х ;
1') f (х) = 2,5 sin 4 з Х .
106 Координата движущеrося тела (измеренная в сантиметрах)
изменяется по указанному закону. Найдите амплитуду, пе
риод, частоту колебания. Вычислите координату тела в MO
'1ент времени t l' если:
1
а) х (t) = 3,5 cos 47tt, t 1 = 12 с;
б) х (t) = 5 cos ( 3пt + ). t 1 = 4,5 с;
в) х (t) = 1,5 cos 6 7tt , t] = 1 с;
1') Х (t) = 0,5 cos ( + ). t. = 8 с.
107. Найдите амплитуду, период, частоту силы тока, если она
изменяется по закону (сила тока измерена в амперах, Bpe
мя в секундах):
а) 1 (t) = 0,25 sin 50лt; б) l (t) = 5 sin 207tt;
в) 1 (t) = 0,5 sin 107tt; 1') 1 (t) = 3 sin 307tt.
108. Найдите амплитуду, период и частоту напряжения, если
оно изменяется по закону (напряжение измерено в вольтах,
время в секундах):
а) и (О = 220 cos 607tt;
в) и (t) = 360 cos 20лt;
б) и (t) = 110 cos 30лt;
1') и (t) = 180 cos 457tt.
109. Расположите в порядке возрастания числа:
а) cos 4, cos 7, cos 9, cos ( 12,5);
б) tg ( 8), tg 1,3, tg 4, tg 16;
в) sin 6,7, sin 10,5, sin ( 7), sin 20,5;
1') ctg 3.5, ctg ( 9). ctg 5. ctg 15.
110. Найдите область определен ия функции:
а) у = 1. ; б) у = I Sln 2 х cos 2 ;
1 Sln х V 2 2
в) У = 1 ; 1') У = Jtg х + ctg х.
cos х 1
60 ТриrОНО'\lетричеLкие функции
111. Найдите область значений
а) у = sin х .J3cos х;
в) у = J l cos 4 х ;
функции:
б) У 3 ·
1 + tg 2 Х '
1') У = 2 .
1 + ctg 2 Х
Исследуйте ФУНКЦИЮ и постройте ее rрафик (112 113).
112. а) f (х) 2 cos ( х + ): б) f (х) sin ( ; х ):
в) (х) = t g ( X ): 1') f (х) = 1,5cos ( x).
113. а) f (х) = sin ( 2 х 2; ): б) f ( х) ctg ( i + ):
в) f (х) = 4 cos ( + ): 1') f (х) tg ( 3 4 П 3x ).
114.
По rрафику, изображенному на рисунке 64, определите
амплитуду силы тока (или напряжения), период колеба
ния. Запишите закон зависимости силы тока (или напря-
жения) от времени.
15
и B
90
lА
о t с
15 90
а) б)
1,A и,В
100
12
о
t с
о
t с
12
100
в)
Рис. 64
r)
61 Триrонометрические функции
115 в какой ближайший момент времени t (t > О), считая
от начала движения, смещение точки, совершающей {'ар-
'\Iонические колебания по закону х (О = 5 cos ( t + ; ):
а) максимально; б) равно 2,5;
в) равно о; 1') равно 5?
э 3.
Решение триrонометрических
u
уравнении инеравенств
8. Арксинус, арккосинус и apKTaHreHc
1. Теорема о корне. Сформулируем важное утверж-
дение, которым удобно пользоваться при решении урав-
нений.
т е о р е м а (о корне). Пусть функция f возрастает
(или убывает) на промежутке 1, число а любое
из значениii, принимаемых f на этом промежутке.
Тоrда уравнение f (х) = а имеет единственныЙ KO
рень в промежутке 1.
д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим возрастающую функцию f
(в случае убывающей функции рассуждения аналоrичны). По
условию в промежутке 1 существует такое число Ь, что f (Ь) = а.
Покажем, что Ь единственный корень уравнения f (х) = а.
Допустим, что на промежутке 1 есть еще число с ;1; Ь, такое,
что f (с) = а. Тоrда или с < Ь, или с > Ь. Но функция f возрастает
на промежутке 1, поэтому соответственно либо f (с) < f (Ь), либо
f (с) > f (Ь). Это противоречит равенству f (с) = f (Ь) = а. Следова-
тельно, сделанное предположение неверно и в промежутке 1, кро-
ме числа Ь, друrих корней уравнения f (х) = а нет.
_ Пример 1. Решим уравнение х З + х = 2.
Функция f (х) = х З + х возрастает на R (это сумма двух возра-
стающих функций). Поэтому уравнение f (х) = 2 имеет не более
одноrо корня. Леrко видеть, что корнем является х = 1.
2. Арксинус. Как вы знаете, функция синус возрастает на
отрезке [ ; ] и принимает все значения от 1 до 1. Следова-
тельно, по теореме о корне для любоrо числа а, TaKoro, что I а I 1,
в промежутке [ i; i] существует единственный корень Ь уравне-
62 ТриrОНО:\fетрические ФУНКЦИИ
у
1
1t (1
2 )
Ч Па
1
у; SlD Х
у
1
п
х
х
а
l
Рис. 65
Рис. 66
ния sin х = а. Это число Ь называют арксинусо'\l числа а и обозна
чают arcsin а (рис. 65).
о n р е д е л е н и е Арксиnусом ЧИС.'1а а называ
ется такое число из отрезка [ ; ; ; J. сииус кото-
poro равен а.
11 При м ер 2. Найдем arcsin Л .
2
. .J2 1t . 7t.J2 7t [ 1t П ]
arcSln T ='4' так как sln'4=T и '4 Е 2; '2.
При мер З. Найдем arcSin( }
Число (из промежу тка [ i; i]). синус KOToporo есть i,
7t П . ( 1 ) 1[
равно 6" . оэтому arcSln 2 = 6" .
з. Арккосинус. Функция косинус убывает на отрезке [о; п]
и принимает все значения от 1 до 1. Поэтому для любоrо числа а,
TaKoro, что I а I < 1, на отрезке [о; п] существует единственный
корень Ь уравнения cos х = а. Это число Ь называют арккосинусо'\l
числа а и обозначают arccos а (рис. 66).
о n р е Д е л е н и е. А рккосиnусом числа а назы..
вается такое число из отрезка [о: л), косинус ко-
Toporo равен а.
11 Пример 4.
Пример 5.
3п Е [о; п].
4
JЗ 7t 7t JЗ 1[
a)"CCOS = , так как cos = и Е [о; п].
2 6 6 2 6
arccos ( .J2 ) = 3п так как COS 3п = J2 и
2 4 ' 4 2
63 ТриrОНО'\fетрические функции
4. ApKTaHreHC. На интервале ( ; ) функция TaHreHC воз-
растает и принимает все значения из В. Поэтому для любоrо числа
а на интервале ( ; ) существует единственный корень Ь уравне-
ния tg х = а. Это число Ь называют apKTaHreHcoM числа а и обозна-
чают arctg а (рис. 67).
о п р е Д е л е н и е. ApKтanzencoM числа а назы..
вается такое число из интервала ( : ; : ). TaHreHC
KOToporo равен а.
. При мер 6. arctgl= , так как tg =1 и e( ; }
При м е р 7. arctg ( .J3) = j, так как tg ( ; ) = .J3 и
.!!.E ( . п )
3 292.
5. ApKKoTaHreHC. Функция KOTaHreHc на интервале (о; п)
убывает и принимает все значения из В. Поэтому для любоrо чис..
ла а в интервале (о; п) существует единственный корень Ь уравне..
ния ctg х = а. Это число Ь называют apKKoTaHreHcoM числа а и обо-
значают arcctg а (рис. 68).
о п р е Д е л е н и е. А pKKoтanzencoM числа а назы..
вается такое число из IlIlтервала (о; л), KOTallrellc
KOToporo равен а.
у
у
п
х
7t
2
а
1
fr
2
h = 8rctg а
х
и
fy tg i
Рис. 67
Рис 68
64 ТриrОIlОl\lетрические функции
. При м ер 8. arcctg Jз = i, так как ctg i = Jз и i е (о; п).
При м е р 9. arcctg ( -v3) = 5п , так как ctg 5п = .JЗ и
6 6
51[ е (о; п).
6
Упражнения
Сколько корней, принадлежащих данно'\{у промежутку ,
имеет каждое из уравнений (116 117)?
116 а) х 7 = 3, х е ( oo; (0); б) = 5, х е ( oo; 1);
x 1
в) х 6 = 4, х е ( oo; о]; 1') = 2, х е ( 2; (0).
х+2
117. а) (х З)З= 4, х е ( oo; (0);
б) 2 sin х = 1,5, х е [ ; ];
в) (х + 2)4 = 5, х е [ 2; (0);
118.
119.
120.
121.
1
1') 0,5cosa.= , хе[О;п].
4
Отметьте на единичной окружности точки Р" дЛЯ которых
соответствующее значение t удовлетворяет данному paBeH
ству. Найдите значение t, при надлежащее указанному про
межутку (118 120).
а ) sin t = J2 [ ..!!.. 7t ] .
2' 2' 2 '
В ) sin t = J3 [ ..!!.. ..!!. ] .
2' 2' 2'
а) cos t = !, [о; п];
2
в) cos t = J2 , [о; п];
2
а ) t g t = 1 ( ..!!.. ..!!. ) .
, 2' 2 '
В) tg t = JЗ, ( ; ):
б ) sin t = ! [ ..!!.. .!!. ] .
2' 2' 2 '
1' ) sin t = 1 [ ..!!.. п ] .
, 2' 2
б) cos t = 1 , [о; п];
1') cos t = о, [о; л].
б) ctg t =JЗ, (о; п);
1') ctg t = 1, (о; п).
Вычислите (121 123).
а) arcsin о; б) arcsin ( 1 ):
В) arcsin 1; r) arcsin ( ).
65 ТриrОIIО'\fеТрlfчеСlсие ФУlllпr.И1f
122. а) arccos ( ): б) arccos v 2 ;
2
в) arccos( } 1') arccos 1.
123. а) arctg ; б) arctg ( 1);
.JЗ
в) arctg о; 1') arctg 13.
Имеют ли смысл выражения (124 125)?
124. а) arcsin ( ): б) arccos.J5; в) arcsin 1,5; т) arccos Л.
125. а) arccos п;
в) arccos ( '3);
б) arcsin(3 "\f20);
{') arcsin .
7
Найдите значения выражений (126 128).
126. а) arcsin О + arccos О; б) arcsin ( ) + arccos 4;
в) arcsin + arccos ; r) arcsin ( 1) + arccos .
127.
а) arccos ( 0,5) + arcsin ( 0,5);
б) arccos ( ) arcsin ( 1);
в) arccos( )+arcsin( }
.../2 .JЗ
1') arccos - arCSln .
2 2
а) arctg 1 arctg JЗ;
в) arctg ( JЗ) + arctg о;
б) arctg 1 arctg ( 1);
r) атс tg Jз + arctg JЗ.
128.
129. Сравните числа:
а) arcsin ( ) и arccos ;
б) arccos ( ) и arctg ( 1);
в) arctg.J3 и arcsin 1;
r) arccos ( ) и arcsin .
130. С помощью калькулятора или таблиц найдите значение
выражения:
а) arcsin 0,3010; arctg 2,3;
б) arccos 0,6081; arctg 0,3541;
66 ТриrОНО:\lетрические ФУНhl\1f1f
в) arcsill 0,7801; arccos 0,8771;
{') arctg 10; arcsin 0,4303.
131. Вычислите:
. ( JЗ ) ",'2
а) 2 al.CSln 2 + arctg ( 1) + al.CCOS"2 :
б) 3 arcsin + 4arccos ( ) arcctg ( JЗ);
В) arctg ( JЗ) + arccos ( ) + arcsin 1;
r) arcsin ( 1) arccos + 3 arctg ( Jз )-
132. Докажите, что для любых чисел Х 1 и Х 2 из промежутка
[ 1; 1] из неравенства Х 1 < Х 2 следует неравенство:
а) arcsin х 1 < arcsin Х 2 ; б) arccos х 1 > arccos Х 2 .
133. Докажите, что для любых чисел Х 1 и Х 2 из неравенства
х 1 < Х 2 следует неравенство:
а) arctg х 1 < arctg Х 2 ; б) arcctg х 1 > arcctg Х 2 .
134.
Расположите числа в порядке возрастания (134 135).
а) arcsin , arcsin ( 0,3), arcsin 0,9;
6
б) arcsill ( 0,5), arcsin ( o, 7), arcsin ;
8
в) arccos 0,4. arccos ( 0,2), arccos ( 0,8);
1') arccos 0,9, arccos ( O,6),. arccos .
5
135. а) arctg 100, arctg ( 5), arctg 0,7;
б) arcctg 1,2, arcctg п, arcctg ( 5).
9. Решение простейших триrонометрических
уравнений
1. Уравнение cos t = а. Очевидно" что если I а I > 1,
то уравнение
cos t = а
(1)
не имеет решений, поскольку I cos t I 1 для любоrо t.
Пусть lal <; 1. Надо найти все такие числа t, что cos t = а.
На отрезке [о; п] существует в точности одно решение ypaBHe
ния (1) это число arccos а.
67 ТрlfrОIlО:\lстричеСIОfС фУIII ЦIfИ
l
у
1 х
Р1(
1
РО
1 х
а)
Рис. 69
б)
Косинус четная функция, и, значит, на отрезке [ п; О]
уравнение (1) также имеет в точности одно решение число
arccos а. Итак, уравнение cos t = а на отрезке [ п; п] длиной 2п
И'\fеет два решения: t = :t: arccos а (совпадающие при а = 1).
Вследствие периодичности функции cos все остальные реше-
ния отличаются от этих на 2пn, (п Е Z), т. е. формула корней
уравнения (1) такова:
t = :t: arccos а + 2пn, n Е z.
(2)
(Обратите внимание: этой формулой можно пользоваться только
при lal <; 1.)
Решение уравнения (1) можно проиллюстрировать на еди.
ничной окружности. По определению cos t это абсцисса точ-
ки Р, единичной окружности. Если I а I < 1, то таких точек две
(рис. 69, а); если же а = 1 или а = 1, то одна (рис. 69, 6).
При а = 1 числа arccos а и arccos а совпадают (они равны
нулю), поэтому решения уравнения cos t = 1 принято записывать
в виде t = 2пn, n Е z.
Особая форма записи решений уравнений (1) принята также
для а = 1 и а = о:
cos t = 1 при t = 7t + 2пn. п Е z;
cos t = О при t = + пn, n Е z.
1
При м ер 1. Решим уравнение cosx = .
2
По формуле (2)
х = :t: arccos! + 2пn, n Е z.
2
Поскольку arccos ! = .!!., приходим К ответу
2 3
-
х = :f: i + 2пn, n Е z.
68 ТриrОНО:\fстричеСltие ФУIIIПJ,ИИ
При м е р 2. Решим уравнение cos х = 0,2756.
По формуле (2)
х = :tarccos ( 0,2756) + 2пп, п е z.
Значение arccos ( 0,2756) находим с помощью калькулятора;
оно приближенно равно 1,8500. Итак,
х = xo + 2пп, п е z, rде ХО 1,8500.
При мер 3. Решим уравнение COS(2X = )
ПО формуле (2)
2х = :tarccos ( ) + 2пп,
2 1[ 51[ 2
п е Z, т. е. х "4 = 6 + тсп. откуда
7[ 51[ Z
х = :t + пп, п е .
8 12
2. Уравнение sin t = а. Уравнение
sin t = а
(3)
не имеет решений при la I > 1, так как Isin t I 1 для любоrо t.
При lal" 1 на отрезке [ ; ] уравнение (3) имеет в точности
одно решение t 1 = arcsin а. На промежутке [i; з 2 п ] функция sin
убывает и принимает все значения от 1 до 1. По теореме о корне
уравнение (3) имеет и на этом отрезке один корень. Из рисун-
ка 70, а видно, что этот корень есть число t 2 = 7t arcsin а. Дейст
вительно, sin t 2 = sin (п t 1) = sin t I = а. Kpo'\'le Toro, поскольку
t l 7[ , имеем .!!. tl .!!. и 1t 1t tl п+.!!., т. е. t 2 при-
2 2 2 2 2 2
надлежит отрезку [ ; з 2 п ].
11
1
х
х
а)
Рис. 70
1 Р
2
б)
69 ТрнrОIIО'\fСТрНЧССКНС ФУllltции
Итак, уравнение (3) на отрезке [ ; ; з 2 п ] имеет два решения:
t 1 = arcsin а и t 2 = 1t arcsin а (совпадающие при а = 1). Учитывая,
что период синуса равен 2л, получаем такие формулы для записи
всех решений уравнения:
t = arcsin а + 2пn,
t = 1t arcsin а + 2пn, n Е z.
(4)
(5)
Удобно решения уравнения (3) записывать не двумя, а одной
формулой:
t = ( 1)" arcsin а + 7th, h Е z. (6)
Нетрудно убедиться, что при четных k = 2п из формулы (6)
находим все решения, записанные формулой (4); при нечетных
k = 2п + 1 решения, записываемые формулой (5).
Решение уравнения (3) удобно иллюстрировать на единичной
окружности. По определению sin t есть ордината точки Р, единич
ной окружности. Если lal < 1, то таких точек две (рис. 70) а); при
а = :t 1 одна (рис. 70, 6).
Если а = 1, то числа arcsin а и п arcsin а совпадают, по-
этому решение уравнения
sin t = 1
принято записывать так:
t = + 2пп, п Е z.
При а = 1 и а = О принята слеДУЮII ая запись решений:
sin t = 1, если t = + 2пп, п Е z.
2
sin t = О, если t = пп, п е z.
. При м е р 4. Решим уравнение sin х = .
По формуле (6) х = ( I)k arcsin .J2 + 7tk, k Е Z, т. е.
2
х = ( 1)" + 7tk, k Е Z.
4
При м ер 5. Решим уравнение sin х = 0,3714.
Соrласно формуле (6)
х = ( I)п arcsin 0,3714 + пn, n Е z.
С помощью калькулятора находим arcsin 0,3714 0,3805.
При м ер 6. Решим уравнение sin ( ) = 12
10 2 2
Функция синус нечетна. Поэтому
sin(i l )= '
70 ТриrОIIО:\fетрические ФУIIКЦИИ
По формуле (6)
[ПО ( l)k arcsin ( ) + 1tk, k Е z.
. ( .J2 ) 1[
как arcSln 2""" = 4"' имеем:
= ( I)k ( !! ) + 7tk х = !! 5 + ( l)k+l 2 П + 27tk, k е z.
2 10 4'
Так
3. Уравнение tg t = 4. При любом а на интервале ( ; )
имеется ровно одно такое число t, что tg t = а, это arctg а.
Поэтому уравнение
tg t = а (7)
имеет на интервале ( ; ) длиной 1t единственный корень. Функ-
ция TaHreHc и'\{еет период п. Следовательно, остальные корни
уравнения (7) отличаются от найденноrо на пn (n е Z), т. е.
Решение уравнения tg t = а удобно проиллюстрироватъ с по-
мощью линии TaHreHcoB (рис. 71). Напомним, что tg t это op
дината точки Т, пересечения прямой ОР, с линией TaHreHcoB
I
(см. п. 1). Для любоrо числа а на линии TaHreHcoB есть лишь
одна точка с ординатой а, это точка Т (1; а). Прямая ОТ пересе
кается с единичной окружностью в двух точках; при этом интер-
валу ( !!; .!Е ) соответствует точка р, правой полуокружности, Ta
2 2 I
кая, что t 1 = arctg а.
_ При м ер 7. Решим уравнение
tg х = .[3.
По формуле (8) находим реше
ние х = arctg J3 + пn, п е Z, а так как
arctg JЗ = , приходим К окончатель
t = arctg а + пn, n е Z.
ному ответу:
х =!! + пn. n е Z.
3
При м е р 8. Решим уравнение
tg х = 5, 1 77.
Из формулы (8) следует, что
х = arctg 5,177 + пn, n е Z.
С помощью калькулятора Haxo
ДИ:\1 arctg 5,177 1,3800.
71 ТриrОIlО'\fСТрИЧССI\:ИС ФУIII\:ЦJf и
(8)
у
т (1; а)
х
Рис 71
При м е р 9. Решим уравнение ctg х = JЗ.
ЭТО уравнение равносильно уравнению tg х = Jз , которое
решаем с ПОМОЩЬЮ формулы (8):
х arctg ( Jз ) + пп = + пп, п е Z.
Упражнения
Решите уравнения (136 143).
136. а) cos х = .J2 . б) cos х = !.
2 ' 2'
в) COS х = J3 ; {') COS Х = 1.
2
137. а) 2 cos х + .JЗ = о; б) .J2 cos х 1 = о;
в) 2 cos х + J2 = о; 1') 2 cos х 1 = о.
138. а) sin х = !; б) . .J3
Sln х = ;
2 2
в) . 1 1') SiJl Х = 1.
SlnX= .
2'
2 sin х + JЗ = о;
139. а) v 2 sin х + 1 = о; б)
в) 2 sin х 1 = о; 1') 2 sin х + .J2 = о.
140. а) tgx= Jз ; б) ctg х = JЗ;
в) tg х = 1; 1') tg х = о.
141. а) tg х + JЗ = о; б) ctg х + 1 = о;
в) J3 tg х 1 = о; {') .J3 ctg х 1 = о.
142. а) . .J2 б) cos = !;
sln2x = ;
2 3 2
в) sin -= = !. 1') COS 4х = о.
4 2.
143. а) sin х = 0,6; б) ctg х = 2,5;
в) cos х = 0,3; 1') tg х = 3,5.
Решите уравнения (144 147)
144. а) sin ( ; ) = ; б) tg ( 4x) = .Jз ;
в) cos ( 2x) ; r) ctg ( i) = 1.
72 ТрJlrОIIО'\IСТрИЧССIСJlС ФУIIIСII,ИИ
145. а) 2 cos ( ) .Jз; б) 2 sin ( Зх ) J2;
в) JЗ tg( + ; ) З; r) Sin( )+1 o.
146. а) COS( 2X)= I; б) 2Sin( ; :) 'V3;
в) tg ( ) = 1; r) 2 cos ( ЗХ ) J2.
147. а) sin 3х cos х cos 3х sin х = JЗ ;
2
б ) sin2 х COS2 Х = 1.
4 4.
в) sin 2х cos 2х = 1;
4
) . х 7t Х. 7t J2
l' Sln"3 cos "5 cos 3 Sln "5 = 2'"".
148. Для каждой из функций
у = 2 cos ( 2 х i) и у = sin ( + )
найдите координаты общих точек ее rрафика с прямой:
а) х = 4,5п; б) у = 1; в) у = 1; r) у = о.
149. Решите уравнения cos ( ; 2х ) = , sin ( 2х + ) = 1
и найдите для каждоrо из них:
а) наименьший положительный корень;
б) корни, принадлежащие промежутку [ ; з 2 п ]:
в) наибольший отрицательный корень;
r) корни, принадлежащие промежутку ( п; )-
150. Докажите, что все решения уравнения ctg t = а находятся
по формуле t = arcctg а + пn, n Е z.
10. Решение простейших
триrонометрических неравенств
РеIпение неравенств, содержащих триrонометрические
функции, сводится, как правило, к решению простейших Hepa
венств вида sin t <; а, cos t > а. tg t а и т. п.
Рассмотрим на примерах способы их решения.
11 При м ер 1 Решим неравенство sin t ;> .
Все точки Pt единичной окружности при значениях t, yдo
влетворяющих данному неравенству, имеют ординату, большую
73 ТриrОНО'VIетрические функции
1
О
1" Х
1
P tJ 2 Ptl
Рис. 72
у
х
'Y
Рис. 73
или равную !. Множество всех таких точек дуrа 1, выделенная
2
на рисунке 72. Наидем условие принадлежности точки Р, этой
дуrе.
Точка Р, лежит на правой полуокружности, ордината Р, paB
I I
на !, и, следовательно, в качестве t 1 удобно взять значение
2
t 1 arcsin ( ) = . Представим себе, что мы совершаем обход
дvrи 1 от точки Р, к Р, против часовой стрелки. Тоrда t 2 > tl'
и, как леrко понять', t 2 ; arcsin ( ) = 7 б 7t . Таким образом, полу-
чае'\{, что точка Р, принадлежит дуrе 1, если .!E. t 7п . Итак,
6 6
решения неравенства, при надлежащие промежутку [ ; з 2 п ] дли-
ной 2п, таковы: .!!. t 71[ . Вследствие периодичности синуса
6 6
остальные решения получаются добавлением к найденным чисел
вида 2пn, rде n е z. Приходим к ответу:
+ 2лn t <' 7 6 п + 2пn, п е z.
При м ер 2. Решим неравенство sin t < ....22 .
Это неравенство означает, что все точки Р, единичной окруж
ности при значениях t, удовлетворяющих данному неравенству,
И'\fеют ординату, меньшую .J2 . Множество всех таких точек
2
дуrа 1, выделенная на рисунке 73 Концы ее Р, и Р, не входят
I 2
В рассматриваемое множество, поскольку их ординаты не меньше,
а равны . Чтобы найти условие, при котором точка Р, при-
74 ТриrОНО:\lетрические ФУНКЦИИ
надлежит указанному множеству, найдем t J И t 2. Возьмем
. .J2 п
t 1 = arCSln 2 = 4".
Рассмотрим обход дуrи l от точки Р, к Р, в направлении
1 2
u t t t ..J2 51[ В
по часовои стрелке; 2 < l' И 2 = п arCSln 2 = 4. се реше-
ния неравеНСТВ8 ИЗ промеЖУТК8 [ 32П ; ; ] длиной 2п таковы:
51[ < t < . Учитывая периодичность синуса, получаем все реше-
4 4
ния неравенства:
5 4 п + 2пn < t < i + 2пn, п Е z.
При м е р з. Решим неравенство cos t < !.
2
Множество точек единичной окружности. абсциссы которых
меньше !, лежат левее прямой х =!. Значит, множество всех та-
2 2
ких точек есть дуrа l, выделенная на рисунке 74 (концы ее Р, и Р,
1 2
не входят в это множество). НаХОДИ:\f t 1 и t 2 . Точка Р, расположе-
1
на на верхней полуокружности, абсцисса Р, равна!, следователь-
1 2
но, t 1 = arccos ! = . При переходе от точки Р, к Р, по дуrе 1 вы-
2 3 1 2
полняем обход против движения часовой стрелки, тоrда t 2 > t 1
И t 2 = 2п arccos ! = 51[ . Точка принадлежит выделенной дуrе l
2 3
(исключая ее концы) при условии, что < t < 5п . Решения нера-
3 3
венства, принадлежащие лромежутку [О; 2п] длиной 2п, таковы:
7t < t < 5п . Вследствие периодичности косинуса остальные решения
3 3
получаются добавлением к найденным чисел вида 2пn., rде n е z.
Приходим К окончательному ответу:
+27tn<t< 5п +27tn, neZ.
3 3
При м е р 4. Решим неравенст-
во tg t 1.
Период TaHreHca равен п. Поэто-
му найдем сначала все решения данно-
1'0 неравенства, принадлежащие про-
межутку ( ; ). 8 затем воспользу-
емся периодичностью TaHreHca. Для
выделения всех точек Р, правой полу-
окружности, значения t которых удо-
75 ТриrОНО:\lетрические ФУНКIJ,ИИ
у
х
Рис 74
х
х
у
I
А (1; 1)
т
рк
2
Рис. 75
Рис. 76
влетворяют данному неравенству, обраТИ:\iСЯ к линии TaHreHCOB.
Если t является решением неравенства, то ордината точки Т,
равная tg t, должна быть меньше или равна 1. Множество таких
точек Т луч АТ (рис. 75). Множество точек Р" соответствующих
точкам этоrо луча, дуrа 1, выделенная на рисунке (обратите
внимание: точка р, принадлежит, а Р "1: не принадлежит paCCMaT
I
2
риваемому множеству). Находим условие, при котором точка Р,
принадлежит дуrе l. t 1 е ( ; ; i) и tg t. = 1, следовательно,
1[
t 1 = arctg 1 4". Значит, t должно удовлетворять условию
7t < t . Все решения данноrо неравенства, принадлежащие
2 4
промежутку ( i; i). таковы: ( ; ; J. Учитывая периодичность
TaHreHca, получаем о т в е т:
1[ 1[ Z
+ пn < t + лn, n е .
2 4
При м ер 5. Решим неравенство cos 2 x;;st .J2
2
.J2
Обозначив 2х через t, получим cos t . На рисунке 76
2
выделена соответствующая дуrа l. Находим t 1 = arccos ( ) 3.П ,
3п
t 2 = 4' откуда
3п + 2 пn t 31[ + 2 пn n е z.
44'
Переходя к переменной х, получаем:
3 4 П + 2пn 2х 3 4 1[ + 2пn, 3 8 1[ + лn х 3 8 п + лn, n е z.
7 6 ТриrОIlО:\fетричеСI ие фУIIКЦИИ
При м е р 6. Решим Hepa
венство 3 tg ( ; i ) < -JЗ.
Преобразовав данное нера-
венство, получим:
у t Р!!
2
1
t g( ) < J3
3 2 3 '
t g( ) < JЗ
2 3 3 '
tg ( ) > -J3 .
233
Рис 77
Обозначим 1[ через t, тоrда tg t > .JЗ . На рисунке 77 выделена
2 3 3
соответствующая дуrа 1. Так как ' 1 = arctg ( ) = , получаем
+ ПN < t < .!!. + пn. Перейдем к переменной х:
6 2
+ пn < .!!. < + ПN
6 2 3 2 '
; +2пn < х < 5 з 1[ + 2лn, n е z.
Упражнения
На единичной окружности отметьте точки Р" дЛЯ KOTO
рых соответствующие значения t удовлетворяют данному
неравенству. Найдите множество значений t, удовлетворя
ющих неравенству и принадлежащих указанному проме
жутку (151 153).
151. а) sin t >!, t е [о; п]; б) . .J3 t е [ л; О];
Sln t
2 2 '
в) si n t > .J2 , t е [о; л]; 1') . 1 t е [ п; О].
Sln t < ,
2 2
152. а) 12 [п. п} б) cos t < .!, t Е [ ; 3,, ]:
cos t > , t е , ,
2 2 2 2 2 2
в) cos t > !, t е [ " ; J: ) .J3 [ п. 3,,]
l' cos t < , t е , .
2 2 2 222
153. а) tg t > Jз t е ( . !!)- б) 1 (п. ,,)-
tg t < t Е
, 2' 2 ' .jЗ' 2' 2 '
в) .J3 (п п) r) tg t < 1 t Е ( .!!. .!!).
tg t > t е . .
3 ' 2' 2 ' , 2' 2
77 ТриrОIIO'\IСТРИЧС<ЖИС фУIII I ИИ
Решите неравенства (154 157).
154. а) sin Х ..J2 ; б) . J3
Sln Х < .
2 2 '
в) sin Х !; {') . .J2
Sln Х <
2 2 .
155. а) COS Х !; б) COS Х < J2 ;
2 2
в) COS Х .JЗ ; ) .J2
l' COS Х < .
2 2
156. а) tg Х JЗ; б) 1
tg х > JЗ ;
в) tg х 2..... 1') tg х < 1.
J-з'
157. а) 2 cos х 1 о; б) 2 sin Х + J2 о;
в) 2 COS х "J о; 1') 3 tg х + Jз о.
РеПIите неравенства (158 163).
158. а ) sin 2х < !. б ) COS > JЗ .
2' 3 2'
В) sin < .;; ; r) tg 5х > 1.
159. а) 2 cos ( 2х + ; ) .;;; 1;
В) J2 sin ( + ) 1;
б) JЗ tg ( 3х + ) < 1;
r) 2 cos ( 4х ) > JЗ.
160 а ) sin Х COS cosx sin 1t !.
6 6 2'
б) sin.!!. cos х + cos .!!. sin х < J2 ;
442
в) 4 sin2 х cos2x J2;
r;:
) 7t .. 1[ "1..3
l' cos cosx SlnX Sln < .
882
161. а) ctg х JЗ; б) -J3 ctg ( 2 х ) > 1;
В) ctg 3х Уз ; r) 3 ctg ( : + ) > JЗ.
162.
а) 3 sin х 2;
4
в) 5 tg 2х 3;
б ) 4 cos < 3.
3 '
1') 0,5 Sill 4х < 0,2.
78 ТриrОНО'\fетричеСI ие фУIII I"ИИ
163. Найдите решения неравенства, принадлежащие указанно
му промежутку:
а ) sin х ! х е ( . 71[ ) .
2' 2' 6 '
б ) cos х > .JЗ х е r . о 1.
2 2' L 2' J'
В ) t g х ;) 1 х е ( . .!!. l J .
, 2' 4 '
) . 2 J2 [О ]
l' Sln Х < , Х е ; 7t .
2
11. Примеры решения триrонометрических
уравнений и систем уравнений
В п. 9 было показано, как решать простейшие триrоно-
метрические уравнения. Решение более сложных триrонометриче
ских уравнений требует знания фОр:\fУЛ триrонометрии. PaCCMOT
рим некоторые ПРИ:\fеры.
_ При м ер 1. Решим уравнение 2 sin 2 х + sin х 1 = о.
Введем новую переменную у = sin х. Тоrда данное уравнение
можно записать в виде 2 у 2 + у 1 = о. Мы получили квадратное
уравнение. Ero корнями служат Уl =! и У2 = 1. Следовательно,
2
. 1 . 1 В
Sln Х = 2 или Sln Х = . первом случае получим решения
х = ( l)k arcsin! + 7tk,
2
т. е. х = ( l)k + 7tk, k е z.
Во втором случае имеем:
х = + 2пn, n е z.
2
При мер 2. Решим уравнение 6 sin 2 х + 5 cos х 2 = о.
Заменяя sin 2 х на 1 cos 2 Х, получим относительно cos х
квадратное уравнение 6 (1 cos 2 х) + 5 cos х 2 = О, откуда
6 cos 2 х + 5 cos х + 4 = О, т. е. 6 cos 2 Х 5 cos х 4 = о. Как и в
примере 1, введем новую переменную cos х = у. Тоrда 6у2
5у 4 = о, откуда у = ! или у = 11.. Уравнение cos Х = 11. не име
233
ет решений, так как 1 ! > 1. Решая уравнение cos х = !, находим:
3 2
х = :t 2з Х + 21tk, k е z.
79 ТриrОIlО'\fСТрИЧССКИС ФУНКЦИИ
При м е р 3. Решим уравнение tg х + 2 ctg х = 3.
Обозначим tg Х через у. Поскольку ctg х = , получаем
tgx
уравнение у + = 3, которое приводится к квадратному у2 3у +
у
+ 2 = О (при условии у О). Ero корни у = 2 и у = 1.
1) tg х = 2, х = arctg 2 + 7tk, т. е. х = хо + 7th, k Е z, rде
хо = arctg 2 :::: 1,1072.
2) tg х = 1, х = + лk, k Е z.
4
При м е р 4. Решим уравнение
3 sin 2 х 4 sin х cos х + cos 2 Х = о.
Значения х, при которых cos х = О, не являются решениями
этоrо уравнения, так как если cos х = О, ТО должно выполняться
равенство 3 sin 2 х = О, а косинус и синус не MorYT быть OДHOBpe
менно равными нулю. Поэтому можно обе части уравнения раз
делить на cos 2 х (или на sin 2 х) и при этом получить уравнение,
равносильное данному уравнению 3 tg 2 Х 4 tg х + 1 = О, откуда
tg х = 1 или tg х = .!. Следовательно,
3
п 1
х = + пn, n Е Z, или Х = arctg + 7th, k Е Z.
4 3
При м е р 5. Решим уравнение 6 sin 2 х + 4 sin х cos х = 1.
ЗамеНИ:\f 1 в правой части уравнения на sin 2 х + cos 2 х. После
выполнения соответствующих преобразований получаем 5 sin 2 х +
+ 4 sin х cos х cos 2 Х = о. Воспользуемся приемом решения по
добноrо уравнения, который описан в примере 4. В результате
имеем tg х =!, tg х = 1. Следовательно,
5
х = arctg ! + пn, n Е Z, или Х = + 7th, k Е Z.
5 4
При м е р 6. Уравнение sin 2 х sin 2х = О после замены
sin 2х на 2 sin х cos х при водится К виду sin 2 х 2 sin х cos х = о.
Разложим левую часть на множители: sin х (sin х 2 cos х) =
= О, откуда sin х = О, т. е. х = пn, n Е Z, или sin х 2 cos х = О,
откуда tg х = 2 и х = arctg 2 + пn, n Е Z, т. е. х = хо + лn. n Е Z,
rде хо = arctg 2 :::: 1,1072.
Как и в при мере 4, можно было разделить обе части ypaBHe
ния на cos 2 х И получить уравнение tg 2 х 2 tg х = о. Если же дe
лить на sin 2 х, то нужно учесть, что те х, при которых
sin х = О, решения данноrо уравнения. Поэтому к корням полу
ченноrо после деления на sin 2 х уравнения ctg х 4 = о надо доба-
вить корни уравнения SiIl х = о.
80 ТриrОНОl\lетрические функции
Мноrие друrие уравнения, например уравнение sin 2 Х
sin х cos Х + COS 2 Х = О или уравнение sin 3 Х + 2 sin 2 Х cos Х
5 sin х cos 2 Х + 2 cos 3 Х = О и т. п., также решаются делением
левой и правой частей уравнения на косинус (или синус) в степе
ни, равной степени уравнения. Предварительно надо проверить,
являются ли значения Х, дЛЯ которых cos х = О (sin х = О при дe
лении на sin п х), решениями данноrо уравнения. Так, уравнения
второй степени делят на cos 2 х (или sin 2 Х), а третьей на соs З Х
(или sin 3 х) и заменой tg Х (или ctg х) на у получают алrебраиче
ское уравнение.
_ Пример 7. Решим уравнение cos6x+cos2x=0.
Преобразовав сумму косинусов в произведение, получим
2 cos 4х cos 2х = о. Это уравнение обращается в верное равенство,
если cos 4х = О или cos 2х = о, т. е.
х = .!!. + 7tk k Е Z или Х = 4 1[ + 1[ 2 п , n Е z.
8 4' ,
При м е р 8. Реши'\i систему уравнений
{ Х у = 5 з 1[ ,
sin х = 2 sin у.
Из первоrо уравнения находим у = х 5 П . Тоrда 2 sin у =
3
2 . ( 51[ ) 2( . 5п . 5П ) 2( . 1./3 )
= Sln х 3 = Sln Х cos 3 cos Х Sln 3 = Sln Х. 2" + 2 cos Х =
= sin х + J3 cos Х. Второе уравнение системы примет вид sin Х =
= sin х + JЗсоs х, откуда cos х = о, Х = + пn, rде п Е z. Далее Ha
2
51[ 1[ 51[ 71[
ходим У = Х 3 = "2 + пn 3 = пn 6' n Е z.
Ответ. ( + пп; пп 7 6 П ). п Е z.
164. а)
в)
165. а)
в)
166. а)
в)
Упражнения
Решите уравнен ия (164 168).
2 sin 2 Х + Sil1 х 1 = о; б) 3 sin 2 Х 5 sin х 2 = о;
2 sin 2 х Sil1 Х 1 = о; 1') 4 sin 2 х + 11 Sil1 х 3 = О
6 cos 2 Х + cos Х 1 = о;
4 cos 2 Х 8 cos Х + 3 = о;
2 cos 2 Х + sin х + 1 = о;
4 cos Х = 4 sin 2 х;
б) 2 sin 2 х + 3 cos х = о;
1') 5 sin 2 х + 6 cos х 6 = о.
б) cos 2 Х + 3 sin х = 3:
r) 8 sin 2 Х + cos х + 1 = о.
81 ТриrОНО'\fетрические функции
167. а) 3 tg 2 Х + 2 tg х 1 = о;
В) 2 tg 2 Х + 3 tg х 2 = о;
168. а) 2cos 2 х + J3cosx = о;
в) J3 tg 2 Х 3 tg х = о;
б) tg х 2 ctg х + 1 = о;
1') 2 ctg х 3 tg х + 5 = О
б) 4 cos 2 Х 3 = о;
1') 4 sin 2 х 1 = о.
Решите уравнения (169 174).
169. а) 3 sin 2 х + sin х cos х = 2 cos 2 х;
б) 2 cos 2 Х 3 sin х cos х + sin 2 х = о;
В) 9 sin х cos х 7 cos 2 Х = 2 sin 2 х;
1') 2 sin 2 х sin х cos х = cos 2 х.
170. а) 4 sin 2 х sin 2х = 3; б) cos 2х = 2 cos х 1;
В) sin 2х cos х = о; 1') sin 2х + 4 cos 2 Х = 1.
171. а) 2 sin 2 х = J3 sin2x; б) ....:3 tg х J3 ctg х = 2;
в) sin х + .J3cosx = о; 1') tg х = 3 ctg х.
172. а) sin 2х + 2 cos 2х = 1; б) sin 4 COS4 =!.
4 4 2'
В) 3 sin 2х + cos 2х = 2 cos 2 х; 1') 1 cos х = 2 sin .
2
173. а) sin 4х + sin 2 2х = о; б) 3 1.
,
5 tg х + 8
В) =2; 1') 1 sin 2 х = ( cos ; sin )2 .
3 $111 Х + 4
174. а) cos 5х cos 3х = о; б) sin 7х siJ1 Х = cos 4х;
В) sin 5х sin х = о; 1') cos 3х + cos х = 4 cos 2х.
Решите системы уравнений (175 176).
б) { х у = ; ,
cos 2 х + sin 2 у = 2;
{ х+ у =.!!.,
1') 2
sin 2 х sin 2 у = 1.
175.
{ х + у = п,
а)
cos х cos у = 1;
{ х + у = П,
В)
sin х + sin у = 1;
176.
{ sin х cosy = о,
а)
sin 2 x+cos 2 y=2;
{ sinx+cosY=l,
в)
sin 2 х COS2 У = 1;
I x+y= ,
б) tgx tg: ;
r) J х у = ; ,
l sin х cos у = 4 .
82 ТриrОНО'\lетрические ФУНhl\ИИ
Сведения из истории
1. О происхождении единиц измерения уrлов. rрадусное
измерение уrлов возникло в Древнем Вавилоне задолrо до новой
эры. Жрецы считали, что свой дневной путь Солнце соверша
ет за 180 «шаrов., и, значит, один «шаr. равен развернутоrо
180
уrла. В Вавилоне была принята шестидесятеричная система счис
ления, т. е. фактически числа записывались в виде суммы CTe
пеней числа 60, а не 10, как это принято в нашей десятеричной
системе. Естественно поэтому, что для введения более мелких
единиц измерения уrлов один шаr. последовательно делился на
60 частей.
Вавилонская система измерения уrлов оказалась достаточ
но удобной, и ее сохранили математики rреции и Рима. Терми-
ны, которыми мы пользуемся для названия уrловых величин,
имеют латинские корни. Слово «rрадус. происходит от латинско
1'0 gradus (шаr, ступень). В переводе с латинскоrо lninutus озна
чает «уменьшенный.. Наконец, secunda переводится как «BTO
рая.. Имеется в виду следующее: деление rрадуса на 60 частей,
Т. е. минуты, это первое деление; деление минуты на 60 ce
кунд второе деление rрадуса. Малоупотребительное название
секунды терцина, латинское tercina означает « третье. (дe
60
пение rрадуса).
Принятая сейчас система обозначения величин уrлов полу
чила широкое распространение на рубеже XVI и XVII вв.; ею уже
пользовались такие известные астрономы, как Н. К о пер н и к
и Т. Б р а l' е. Но еще К. П т о л е м е й (11 в. н. э.) количество rpaдy
сов обозначал кружком, число минут штрихом, а секунд ДBY
мя штрихами.
Друrая единица измерения уrлов радиан введена co
BCe'\f недавно. Первое издание (это были экзаменационные би-
леты), содержащее тер ин «радиан., появилось В 1873 r. в AHr
пии. Сначала в обозначениях указывалось, что имеется в виду
R
радианная мера (например, уrол в радиан), но вскоре ин
2 2
декс R (или r) стали опускать. Сам термин радиан. происходит
от nатинскоrо radius (спица, луч).
Если вспомнить определение уrла в один радиан (централь
ный уrол, длина дуrи KOToporo равна радиусу окружности), то BЫ
бор корня «рад. для названия TaKoro уrла представляется COBep
шенно естественным.
2. Об истории триrонометрии. Слово «триrонометрия. впер
вые встречается (1505 1'.) в заrлавии книrи немецкоrо теолоrа
и математика Питискуса. Происхождение этоrо слова rреческое:
tp11{t)vOV треуrольник, J.1EtpE{t) мера. Иными словами, триrоно-
метрия наука об измерении треуrольников. Хотя название воз
83 ТриrОIlО'\fетрические ФУНКЦИИ
никло сравнительно недавно, мноrие относи
мые сейчас к триrонометрии понятия и факты
были известны уже две тысячи лет назад.
Длительную историю имеет понятие си
нуса. Фактически различные отношения от-
резков треуrольника и окружности (а по су-
ществу. и триrонометрические функции)
встречаются уже в 111 в. до н. э. В работах
великих математиков Древней rреции
Е в к л и Д а, А р х и м е Д а, А п о л л о н и я
Пер r с к О r о. В РИ:\1СКИЙ период эти отно-
шения уже достаточно систематично иссле-
довались М е н е л а е м (1 в. н. э.), хотя И не
приобрели специальноrо названия. Современный синус уrла а, на-
пример, изучался как полухорда, на которую опирается централь-
ный уrол величиной а, или как хорда удвоенной дуrи (рис. 78).
В последующий период математика долrое время наиболее
активно развивалась индийскими и арабскими учеными.
В IV V вв. появился, В частности, уже специальный термин
в трудах по астрономии великоrо индийскоrо ученоrо А р и а б-
х а т ы (4 76 ок. 550), именем KOToporo назван первый индий-
ский спутник Земли. Отрезок А1И (рис. 78) он назвал ардхаджива
(ардха половина, джива тетива лука, которую напоминает
хорда) .
Позднее привилось более краткое название джива. Арабски-
ми :\1атематиками в IX в. слово джива (или джиt5а) было заменено
на арабское слово джайt5 (выпуклость). При переводе арабских ма-
тематических текстов в XII в. это слово было заменено латинским
синус (sinus изrиб, кривизна).
Слово косинус HaMHoro моложе. Косинус это сокращение
латинскоrо выражения complementy sinus, т. е. ((дополнительный
синус. (или иначе «синус дополнительной дуrи.; вспомните
cos а = sin (900 а».
Имея дело с триrонометрическими функциями, мы сущест-
венно выходим за рамки задачи «измерения треуrольников». По-
ЭТО:\1У известный математик Ф. Кл е й н (1849 1925) предлаrал
учение о «триrонометрических. функциях называть иначе
еониометрией (латинское gonio означает (суrол.). Однако это на-
звание не привилось.
TaHreHcbI возникли в связи с решением задачи об определе
нии длины тени. Танеенс (а также котанеенс, секанс и косеканс)
введен в Х в. арабским математиком Абу л Вафой, который соста-
вил и первые таблицы для нахождения TaHreHcoB и KOTaHreHcoB.
Однако эти открытия долrое время оставались неизвестны'\fИ ев-
ропейским ученым, и TaHreHcbI были заново открыты в XIV в.
сначала анrлийским ученым Т. Б р а в е р Д и н о м, а позднее не-
мецким математиком, астрономом Ре l' и о М о н т а н о м (1467 1'.).
. АМ А4.'
SlDU= =
R 2R
Рис. 78
84 ТриrОJlОl\lетрические фУIIКЦИИ
Название <с TaHreHC», происходящее от латинскоrо tallger (KacaTЬ
ся), появилось в 1583 r. Tangens переводится как <скасающийся»
(вспомните: линия TaHreHcoB это касательная к единичной
окружности ).
Современные обозначения arcsin и arctg появляются в 1 772 r.
в работах BeHcKoro математика Ш е р Ф е р а и известноrо фран
цузскоrо ученоrо ж. л. Л а l' р а н ж а, хотя несколько ранее их
уже рассматривал Я. Б е р н у л л и, который употреблял иную сим
волику. Но общепринятыми эти символы стали лишь в конце
XVIIJ столетия. Приставка <сарк» происходит от латинскоrо arcus
(лук, дуrа), что вполне соrласуется со смыслом понятия: arcsin х,
например, это уrол (а можно сказать, и дуrа), синус KOToporo
равен х.
Длительное время триrонометрия развивалась как часть reo
метрии, т. е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах
триrонометрических функций, формулировались и доказывались
с помощью rеометрических понятий и утверждений. Пожалуй,
наибольшие стимулы к развитию триrонометрии возникали в свя
зи С решением задач астрономии, что представляло большой
практический интерес (например, для решения задач определения
местонахождения судна, предсказания затмений и т. д.).
Астрономов интересовали соотношения между сторонами и
уrлами сферических треуrольников, составленных из больших
KpyroB, лежащих на сфере. И надо заметить, что математики дpeB
ности удачно справлялись с задачами, существенно более TPYД
ными (почитайте книrи о сферической rеометрии), нежели задачи
на решение плоских треуrольников, которыми вы занимались
в IX классе.
Во всяком случае в rеометрической форме мноrие известные
вам формулы триrонометрии открывались и переоткрывались
древнеrреческими, индийски'\fИ, арабскими математиками. (Прав
да, формулы разности триrонометрических функций стали извест-
ны только в XVII B. их вывел ан!' лийский математик Непер
для упрощения вычислений с триrонометрическими функциями.
А первый рисунок синусоиды появился в 1634 1'.)
Принципиальное значение имело составление К. Птолемеем
первой таблицы синусов (долrое время она называлась таблицей
хорд): появилось практическое средство решения ряда приклад-
ных задач, и в первую очередь задач астрономии.
Имея дело с rотовыми таблицами или пользуясь калькулято-
ром, мы часто не задумываемся о том, что было время, коrда таб
лицы еще не были изобретены. Для Toro чтобы составить их, тре-
бовалось не только выполнить большой объем вычислений, но
и придумать способ составления таблиц. Таблицы Птолемея точны
до пяти десятичных знаков включительно.
Современный вид триrонометрии придал крупнейший мате-
матик XVIIJ столетия Л. Эй л е р (1707 1783), швейцарец по про-
исхождению, долrие rоды работавший в России и являвшийся чле
85 ТриrОIlО:\fетричеСltие фУIIКЦИИ
: ,
.... ....
, i
.f:
Зиnер Леонард
(1707 178З)
крупнейший математик XVIII столетия. Родился
в Швейцарии. Долrие rоды жил и работал в Рос-
сии, член Петербурrской Академии наук. rромад-
ное научное наследие Эйлера включает блестя-
щие результаты, относящиеся к математическому
анализу, rеометрии. теории чисел. вариационному
исчислению, механике и друrим приложениям ма-
тематики.
ном Петербурrской Академии наук. Именно Эйлер первым ввел
известные определения триrонометрических функций, стал рас-
сматривать функции произвольноrо уrла, получил формулы при-
ведения. Все это '\iалая доля Toro. что за долrую жизнь Эйлер
успел сделать в математике: он оставил свыше 800 работ, доказал
мноrие ставшие классическими теоремы, относящиеся к самым
разным областям математики. (Несмотря на то что в 1776 r. Эйлер
потерял зрение, он до последних дней продолжал диктовать все
новые и новые работы.) Но если вы попытались оперировать с три-
rонометрическими функциями в rеометрической форме, т. е. так,
как это делали мноrие поколения математиков до Эйлера, то суме-
ете оценить заслуrи Эйлера в систематизации триrонометрии. По-
сле Эйлера триrонометрия приобрела форму исчисления: различ-
ные факты стали доказываться путем формальноrо применения
формул триrонометрии, доказательства стали HaMHoro компактнее,
проще.
3. Из истории понятия функции. Понятие функции, с кото-
рым вы знакомы с VII класса, возникло в математике сравнитель-
но недавно. Для Toro чтобы прийти к пониманию целесообразности
ero введения и получить первые достаточно четкие определения,
потребовались усилия первоклассных математиков нескольких по-
колений.
Революционные изменения в математике, происшедшие в
XVII столетии, вызваны работами мноrих ученых, представляю-
щих различные страны и народы. Но в первую очередь следует на-
звать имена п. Ф е р м а (160] 1665), Р. д е к а р т а (1596 1650),
и. Ньютона (1643 1727), r.-B. Лейбница (1646 1716).
Необходимые предпосылки к возникновению понятия функ-
ции были созданы в 30-х rодах XVH в., коrда возникла аналити
ческая zео.метрия, характеризующаяся, в отличие от классиче-
ских методов rеометров Древней rреции, активным привлечением
алrебры к решению rеометрических задач. (Решая задачи по rео-
метрии координатным методом, вы, по существу, пользуетесь ме-
86 ТриrollО:\fетрические фУIII';ЦИИ
,
. .
" '::У,
.{ \ \, \
\ ...... \ \,
. ,..
\... : 1 . , .Jt \,
.' 11 "':
#"
. ....
. . ..
"--
,
'. '. ,J
;
,.
.
,/' -::
I
Декарт Рене
(1596 1650)
великий французский философ, математик. Один
из создателей аналитической rеометрии Ввел
понятие переменной величины. Ero идеи нашли
мноrочисленных последователей сскартезианцев))
(латинизированное имя декарта Картезий).
rлавные работы ссrеометрия)), ссРассуждение О
методе)) .
тодами аналитической rеометрии.) Практически одновременно
(и независимо друr от друrа) французские математики п. Ферма
иР. Декарт заметили, что введение системы координат на плос
кости и задания фиrур их уравнениями позволяет свести мноrие
задачи rеометрии к исследованию уравнений rеометрических фи
{'ур. В честь Декарта, давшеrо развернутое изложение HOBoro MeTO
да в книrах .rеометрия» и «Рассуждение о методе», прямоуrоль
ная система координат позднее была названа декартовой. Сущест
венно заметить, что одновременно формировалась и алrебра,
создавалось «(буквенное исчисление», то самое, с помощью KOTOpO
1'0 вы сейчас преобразовываете алrебраические выражения, решае
те уравнения, текстовые задачи и т. д.
Великий анrлийский ученый, математик и физик и. Нью
тон, исследуя зависимости координат движущейся точки от Bpe:\ie
ни, фактически уже занимался исследованием функций. Хотя не
он ввел это понятие, Ньютон ясно осознавал ero значение. Так,
в 1676 {'. он отмечал: «Я не :мо!' бы, конечно, получить этих оБIЦИХ
результатов, прежде чем не отвлекся от рассмотрения фиrур и не
свел все просто к исследованию ординат» (т. е. фактически функ
ций от вре:\iени).
Сам термин «функция») впервые встречается в рукописи Be
ликоrо немецкоrо математика и философа r. Лейбница сначала
в рукописи (1673 1'.), а затем и в печати (1692 1'.). Латинское сло
во fUJ1ction переводится как .свершение., .исполнение» (rлаrол
fUJ1gor переводится также словом «выражать.). Лейбниц ввел это
понятие для названия различных параметров, связанных с по
ложением точки на плоскости. В ходе переписки Лейбниц и ero
ученик швейцарский математик и. Бернулли (1667 1748)
постепенно приходят к пониманию функции как аналитическоrо
выражения и в 1718 r. дают такое определение: «Функцией пере
мен ной величины называется количество, составленное каким
уrодно способом из этой переменной и постоянных».
Л. Эйлер в своей книrе (сВведение В анализ)) (1748 {'.) форму
лировал определение функции так: «Функция nepe'\1eHHoro коли
87 Триrоно'\fСТрИЧССКИС ФУНКЦИИ
Ньютон Исаак
(164З 1727)
великий анrлийский ученый. Одновременно с
r. Лейбницем разработал основы математическоrо
анализа. Создатель классической механики. Нью
тону принадлежат выдающиеся открытия в оптике,
друrих разделах физики и математики rлавный
ero труд «Математические начала натуральной
философии)) оказал колоссальное влияние на
развитие естествознания.
чества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо
способом из этоrо переменноrо количества и чисел или постоян
ных количеств)).
Эйлер же ввел и принятые сейчас обозначения для функций.
Современное определение числовой функции, в котором это
понятие уже освобождалось от способа задания, было дано незави
симо друr от друrа русским математиком Н. и. Л о б а 1.1 е в с к и м
(1834 1'.) и немецким математиком Л. Д и р и х л е (1837 1'.). Основ-
ная идея этих определений заключал ась в следующем: не сущест-
венно, каким образом (и, в частности, необязательно путем зада
ния аналитическоrо выражения) каждому х поставлено в соответ-
ствие определенное значение у, важно только, что это соответствие
установлено.
Современное понятие функции с произвольными областями
определения и значений (необязательно числовыми см. с. 27)
сформировалось, по существу, совсем недавно, в первой половине
текущеrо столетия, после работ создателя теории множеств
r. к а н т о р а (1845 1918).
Сложный и, как видите, очень длительный путь развития
понятия функции довольно типичен. Для Toro чтобы осознать He
обходимостъ введения HOBoro абстрактноrо понятия, требуется BЫ
делить ero в процессе решения мноrих конкретных задач, дать
определение, по возможности точно отражающее ero смысл.
К понятию функции математики пришли, отправляясь
от конкретных и трудных задач математики и ее приложений.
Это происходило в процессе создания HOBoro мощноrо аппарата
исследований интеrральноrо и дифференциальноrо исчисле-
ний, с элементами которых вы познакомитесь в следующей rла
ве Открытие интеrральноrо и дифференциальноrо исчислений,
центральным понятием которых Эйлер провозrласил функцию
( (с Весь анализ бесконечноrо вращается вокруr переменных ко-
личеств и их функций))), резко расширило возможности MaTe'\ia
тики.
88 ТриrОIlО:\fетрические ФУIIКЦИИ
Вопросы и задачи на повторение
1. 1) Что такое уrол в 1 радиан? Запишите формулы, связываю-
щие радианную и rрадусную меры уrла.
2) Выразите в радианной мере величину уrла:
а) 180; б) 2500; в) 3600; 1') 2250.
3) Выразите в rрадусной мере величину уrла:
а) п; б) 2,5; в) 1[ ; 1') 3.
3
2. 1) Дайте определение синуса и косинуса числа а.
2) Отметьте на единичной окружности точку Р а. Найдите зна-
чения sin а и cos а (не пользуясь калькулятором или таблица-
ми), если а равно:
а ) . б ) · В ) 5п . r ) 7[ .
3' 4' 2 ' 6
3) Найдите значения sin а и cos а, если а равно:
а) 23024'; б) 1, 7; в) 10806'; {') 0,8.
3.
4.
5.
1) Дайте определения TaHreHca и KOTaHreHca числа а При ка-
ких значениях а определены tg а и ctg а?
2) Найдите (не пользуясь калькулятором или таблицами) tg а
и ctg а, если а равно:
а ) . б ) 131[ · В ) 71[ . r )
6' 4' 6' 3.
3) Найдите значения tg а и ctg а, если а равно:
а) 1,7; б) 0.4; в) 2,3; 1') 0.5.
1) Запишите формулы, связывающие значения триrонометри-
ческих функций одноrо aprYMeHTa.
2) Упростите выражение:
а) (tg а + ctg а) (1 + cos а) (1 cos а);
соs З а. + siJl З а соs З а. siJl З а
б) +
siJla.
в) 1
1 + tg2 а
+ 1 .
,
1 + ctg 2 а.
cosa
1') sin З а (1 + ctg а) + соs З а (1 + tg а).
3) Докажите тождество:
cos а. 1 + Sill а.
а) =
1 sin а
1 (Sill а + cos а. )2 2 2
б) . = tg а;
Sln а cos а ctg а
sina.
в)
1 cos о.
cosa
1 + cos а.
1') tg 2 а sin 2 а = tg 2 а sin 2 а.
=
Sill а
1) Как зависят знаки sin а, cos а, tg а, ctg а от Toro, в какой
координатной четверти лежит точка Р а? Назовите эти знаки.
2) Определите знак:
а) sin ( 2120) и ctg 791[ ;
в) cos ( 1050) и ctg 1 1[ ;
б) cos 305 и tg ( 6 5 П ):
1') sin ( З240) и tg 9 1[ .
4
89 ТриrОНО'\fетрические ФУНКЦИИ
6.
7.
3) По данному значению одной из триrонометрических функ-
ций и промежутку, которому принадлежит а, найдите зна-
чения остальных трех основных триrонометрических функ-
ций:
) . .fЗ 7t
а Sln а = , < а < 1t;
3 2
В ) tg а =! 7t < а < 3п .
2' 2 '
б) ctg а = 3, 3л < а < 2п;
2
1 О 7t
1') cos а = "7' < а < "2.
1) Сформулируйте мнемоническое правило для запомина-
ния фор ул приведения. Запишите несколько фор ул приве-
дения .
2) Приведите к значению триrонометрической функции наи-
меньшеrо положительноrо aprYMeHTa:
а) sin ( 1:П ): б) ctg 2 1 1 з 1t ;
В) tg ( 1:П ): 1') cos 8 з 1t .
3) Упростите выражение:
а ) sin 7п + cos 5п + t g 7л .
8 8 4 '
б) sin ( 7t а) cos ( 7t + сх) tg ( сх ) .
Sin( a з 2 п ) ctg ( 3 2 П + а ) oos( а+ )'
sin( (( п) tg ( i + а )
В) ctg 9 4 п + sin 3 1 7 2 п cos ; ; r) ( ) .
cos 3 2 л + (( ctg ( а л ,
1) Запишите формулы синуса, косинуса, TaHreHca суммы (раз-
ности).
2) Найдите значение выражения:
а) sin ( + а ) ' если sin а = и О < а <.!!.;
632
б) cos и tg .
12 12 '
В) cos ( а J. если cosa = и ; < а < п.
3) Докажите тождество:
а) sin ( а + ) + sin ( а ) J3 sin а;
б) t g ( : +х ) tg( x ) 2tg2X;
tg а + tg ( i а )
в) =",3;
1 tga tg (i a)
sin(a+p) п.
l' ) = tg а + tg ..,.
cos а cos Р
90 ТРИI'OНО:\fетрические функции
8. 1)
2)
а)
б)
в)
1')
3)
а)
б)
в)
1')
9 1)
2)
а)
б)
в)
1')
10. 1)
2)
а)
б)
в)
1')
3)
а)
в)
Запишите формулы двойноrо aprYMeHTa
Вычислите:
Sln 2а, если cos а = !, 1t < а < 3Л ;
5 2
tg 2а, если sin а = , cos а < о;
cos 2а, если sin а = 15 ;
17
2 3 3л 2
tg а, если cos а ="5' 2 < а < п.
Докажите тождество:
2 tg а .
2 (2cos 2 а 1) = sln2a;
1 tg а
1 cos 2 а + sin 2 а
= tg а;
1 + cos 2а + sin2a
1 (cos а sin 0.)2 = sin 20.;
tg а (1 + cos 2а) = sin 20..
Запишите формулы суммы и разности синусов (косинусов).
Вычислите, не пользуясь калькулятором или таблица:\iИ:
SiJ170° sin 100
cos 1170 + cos 630. , б )
cos 40 о
в) cos 19л COS .
12 12'
3) Докажите тождество:
sin 0.+ sin 30. 2
а) = tg а;
cos а + cos 3 а
(sin 2а + sin 4а)2 + (cos 20. + cos 4а)2 = 4 cos 2 а;
SiJ12a + SiJ12J3 t ( А )
= g a+tJ;
cos 2а + cos 213
sin 2а + sin 40. + siI1 ба = 4 sin 30. cos 20. cos а.
1') sin 1120 + sin 2480.
Запишите формулы половинноrо aprYMeHTa.
Найдите:
а 1 3п 2 .
cos 2' если cos а = 3' 2 < а < п,
tg а , если sin а = , 7t < а < 3Л ;
2 3 2
. а . 3 3п
Sln 2' если Slna = 7' 1t < а < 2;
а 2 3л 2
ctg , если cosa = , < а < п.
2 5 2
Упростите выражение:
sin а . ctg а sm 2 а;
1 + cos а 2
1 cos а
sln2a cos а .
б) 1 + cos 2 а . 1 + cos а '
1') SiJl а .
1 + cos а
sina
91 ТриrОIlО'\fстрическис ФУIIКЦИИ
11. 1) Что такое числовая функция, ее область определения, об-
ласть значений?
2) Найдите область определения функции:
3х+l 1
а) у = ; б) у = ;
х 2 7x+ 12 SlllX
в) y= .J 4 X2; 1') y= .
cosx
3) Найдите область значений функции:
а) у = 3 cos х 1; б) у = ...!... + 1;
х 2
в) у = 2 sin х; 1') У = 3 х 4 .
12. 1) Что такое rрафик функции?
2) Постройте rрафик функции:
а) у = ; б) у = 2 cos х; в) у = .J х + 2 ; r} у = sin х 1.
x 1
3) Найдите точки пересечения rрафика функции f с осями KO
ординат:
а) f (х) = х 3 4х; б) f (х) = .! + 1;
х
в) f (х) = 1 х 4 ; r} f (х) = .....!......
x 3
13. 1) СфОР:vIулируйте определение функции, возрастающей (убы-
вающей) на множестве Р.
2) Найдите промежутки возрастания и убывания функции,
rрафик которой изображен на рисунке 79.
3) Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
3
а) у = 1 + 0,5 cos х; б} У = ;
x 1
в) У = 2х2 + 4х; 1') У = 1,5 sin х 1.
14. 1) Дайте определения точки максимума, точки МИНИ:vIума.
Что такое экстремум функции?
2) Укажите точки максимума и точки минимума функций,
rрафики которых изображены на рисунке 79.
3) Найдите точки максимума и точки МИНИ'\fума функции:
а) у = (х 3)2 + 2; б) у = cos 2 х;
в) у = 1 (х + 2)2; 1') У = sin 2 х.
1)1 1 3
18 I Х
4 6 7 х
fJ
Y i
111
1
r
Щ
..J
fttt1j
f{
Рис. 79
92 ТриrОIIО:\fетрические фУIIКЦИИ
15 1) Какие задачи решаются при исследовании функции?
2) Проведите исследование функции:
а) у = sin х 2; б) у = ;
x 3
в) у = х 2 4 х + 3; 1') У = 2 cos х + 1.
3) Постройте rрафики этих функций.
16. 1) Дайте определения четной и нечетной функций. Каким
свойством обладают их rрафики?
2) Выясните, какая из указанных ниже функций является
четной, а какая нечетной:
а) у = sin х ; б) у = х + х 5 ;
Х
в) у = х cos х; 1') У = зх 2 + х 6 .
3) Постройте rрафик функции {, если известно, что:
а) f нечетная; f (х) = cos х 1 при х е ( oo; О];
б) f четная; f (х) = (х 1)3 при Х Е [о; 00);
в) f четная; f (х) = sin х при х е ( oo; О];
1') f четная; f (х) = 4х х 2 при Х Е [о; 00).
17. 1) ЧТО такое периодическая функция, период функции?
2) Какой наименьший положительный период имеет функ
ция:
а) у = cos х; б) у = tg х; в) у = sin х; 1') У = ctg х?
3) Найдите наименьший положительный период функции:
. х ) 2 х
а) у = Sln 2"; б) у = cos (4х + 1); в у = tg х; {') у = cos з.
18. 1) Перечислите основные свойства функции синус.
2) Пользуясь свойствами функции синус, расположите в по
рядке возрастания числа:
а) sin 0,3, sin 1,1, sin ( 1,2); б) sin 4, sin 3,6, sin 2;
в) sin 0,4, sin ( o, 9), sin 1,4; r) sin 4,3, sin 2,9, sin 1,9.
3) Исследуйте функцию и постройте ее rрафик:
а) у sin ( Х ): б) у = Sin ;
в) у= 1 + 1,5 sin х; 1') У =sin 2х.
19. 1) Перечислите основные свойства функции косинус
2) Пользуясь свойствами функции косинус, расположите
в порядке возрастания числа:
а) cos 0,3, cos ( 2,9), cos 1,8; б) cos 5,3, cos 4,4, cos 6,2;
в) cos 0,5, cos ( 1,3). cos 3; r) cos 6,1, cos 3,5, cos 4,9.
3) Исследуйте функцию и постройте ее rрафик:
а) у = cos ( Х + ): б) У cos Х;
в) у = 2 cos х 1; {') у = cos .
93 ТриrОIlОl\lетрические ФУIII\:ЦИИ
20. 1) Перечислите основные свойства функции TaHreHC.
2) Пользуясь свойствами функции TaHreHc, расположите в по-
рядке возрастания числа:
а) tg ( 0,4), tg 1,2, tg 0,8; б) tg 2,8, tg 3,9, tg 1,6;
в) tg 0,6, tg ( 1, 3), tg ( o, 7); {') tg 4,3, tg 1, 7, tg 2.5.
3) Исследуйте функцию и постройте ее rрафик:
а) y= tgx; б) y=tg ; в) у=2 tgx; т) y tg( x )-
21. 1) Сформулируйте теорему о корне.
2) Сформулируйте определение арксинуса числа. Для каких
чисел определен арксинус?
3) Найдите значение выражения:
а) arcsin ( 1) + arcsin .JЗ ; б) arcsin! + arcsin ( JЗ ) ;
222
в) arcsin arcsin 1; т) arsin О arcsin ( )-
22. 1) Сформулируйте определения арккосинуса и apKT8HreHc8
числа. Для каких чисел они определены?
2) Найдите значение выражения:
а) arccos ( 1) + arctg JЗ; б) arccos! + arcsin !;
2 2
в) arctg ( 1) arccos JЗ ; 1') arccos О + arctg J3 .
2 3
23. 1) Запишите формулы для решения простейших триrономет
рических уравнений: sin х = а. cos х = а, tg х = а.
2) Решите уравнение:
а) 2 cos х + 3 = о; б) JЗ tg х + 1 = о;
в) 2 sin х J2 = о; 1') 2 cos х 1 = о.
24. Решите уравнение:
1) а) 2 sin 2 х + 3 sin х = 2;
в) 2 cos 2 Х 5 cos х = 3;
2) а) 6 sin 2 х 2 sin 2х = 1;
в) 4 sin х cos х = JЗ;
б) tg 2 Х 4 tg х + 3 = о;
r) 2 sin 2 х + sin х = о.
б ) sin2 х cos 2 Х = J2 ·
2 '
1') cos 4 Х sin 4 х = 1.
25. Решите неравенство (предварительно укажите на единичной
окружности множество точек Р х ' таких, что х удовлетворяет
данному неравенству):
1) а) sin х > ; б) 2 cos х + 1 < О; в) tg х < JЗ;
2 ) а ) sin cos > !.
2 2 4'
В ) 2 sin 2 <; !.
2 2'
б) ( sin cos )2 ;;; ;
1') cos 2 sin 2 .JЗ .
2 2 2
94 ТрJlrОНО:\lетричеСКJlе функции
11
Производная
и ее применения
,
rлава
4.
Производная
12. Приращение функции
Часто нас интересует не значение какой-либо величи
ны, а ее и з м е н е н и е. Например, сила упруrости пружины про
порциональна удлинению пружины; работа есть изменение энер
rии; средняя скорость это отношение перемещения к промежут-
ку времени, за который было совершено это перемещение, и т. д.
При сравнении значения функции f в некоторой фиксирован
ной точке ХО со значениями этой функции в различных точках х,
лежащих в окрестности х о ' удобно выражать разность f (х) f (х о )
через разность х Х О ' пользуясь понятиями .приращение aprYMeH-
Ta и .приращение функции . Объясним их смысл.
Пусть Х произволъная точка, лежащая в некоторой OKpeCT
ности фиксированной точки Хо. Разность х Хо называется nрира
щение.м. независи.ltfои nере.м.енной (или nриращение.м. apzYMeHтa)
в точке хо и обозначается дх. Таким образом,
дх = х х о '
откуда следует, что х = ХО + дх.
rоворят также, что первоначальное значение aprYMeHTa хо
получило приращение дх. Вследствие этоrо значение функции f
изменится на величину
f (х) f (х о ) = f (х о + дх) f (х о ).
Эта разность называется приращением функции f в точке Х О '
соответствующим приращению дх, и обозначается СИ'\fволом д! (чи
тается .дельта эф»), Т. е. по определению
t!.f = f (х о + дх) f (х о )'
(1)
откуда
f (х) = f (х о + дх) = f (х о ) + дf.
Обратите внимание: при фиксированном хо приращение I1f
есть функция от дх.
I:J.! называют также приращением зависи'\fОЙ переменной
и обозначают через ду для функции у = f (х).
95 Производная и ее ПРИ'\fенения
- При м е р 1. Найдем приращения Ах и А{ в точке х о ' если
! (х) = х 2 , ХО = 2 и: а) х = 1,9; б) х = 2,1.
а) Ах = х х о = 1, 9 2 = 0,1 ;
А! = ! (1,9) { (2) = 1,92 22 = 0,39;
б) Ax=x xo=2,l 2=0,1;
А! =! (2,1) {(2) = 2,12 22 = 0,41.
При м ер 2. Найдем прираlI ение А! функции f (х) = .!
х
в точке х о ' если приращение aprYMeHTa равно Ах.
По формуле (1) находим:
А! = !(х о + Ах) {(х о ) = 1
Хо + 8Х Хо
1
х о ( х о + x)
Хо (хо + дх)
=
8Х
х о ( х о + x)
....... =
При м ер 3. Дан куб с ребром а. Выразим поrрешность AV,
допущенную при вычислении объема этоrо куба, если поrрешность
при измерении длины ребра равна Ах. По определению прираще-
ния х = а + Ах, тоrда
дV = v (х) V (а) = (а + БХ)З аЗ = 3а 2 Ах + 3а (дх)2 + (дх)З.
Рассмотрим rрафик функции у = ! (х). rеометрический
смысл приращений Ах и А{ (приращение А{ обозначают также Ау)
можно понять, рассмотрев рисунок 80.
Прямую 1, проходящую через любые две точки rрафика
функции {, называют секущей к rрафику {. Уrловой коэффи
циент k секущей, проходящей через точки (х о ; Уо) и (х; у), равен
Y Yo
. Ero удооно выразить через прираlцения Ах и Ау (рис. 80):
X Xo
k = tg а = y .
/).Х
(Напомним, что уrловой коэффициент прямой у = kx + Ь pa
вен TaHreHcy уrла а, который эта прямая образует с осью абсцисс)
у
f (хо + .1х)
/).1
1
1./
IU
с
у
/).Х
.
Хо + \х
х
Рис. 80
96 Прои водная и ее ПрИ'\fенения
С помощью введенных обозначений приращений удобно TaK
же выражать среднюю скорость движения за промежуток времени
[t o ; t o + At]. Если точка движется по прямой и известна ее коорди
ната х (t), то
v 8Х хио + 8t) X(tO)
ер ( l\ t) = t;j = t .
Эта формула верна и для l\t < О (для промежутка
[t o + 6t; t o ]). В самом деле, в этом случае перемещение точки равно
х оо) х (t o + Ах); длительность промежутка времени равна At,
и, следовательно,
v ( t) = х ( t о ) х (t О + O = х ( t о + 8t) х (t о ) .
ер t 8t
! f (хо + x) f ( х о )
Аналоrично выражение называют
8Х 8Х
средней скоростью и.Jменеltия функции на промежутке с KOHцa
ми ХО и Х о + Ах.
Упражнения
177. а) Стороны прямоуrольника равны 15 м и 20 м. Найдите
при ращения ero периметра и площади, если: 1) меньшую
ero сторону увеличили на 0,11 м; 2) большую ero сторону
увеличили на 0,2 м.
б) Радиус Kpyra равен 2 см. Найдите поrрешность, допу
щенную при вычислении ero площади, если поrрешность
при измерении длины радиуса равна: 1) 0,2 см; 2) дR;
3) 0,1 см; 4) h.
178. Найдите приращение функции f в точке Х О ' если:
а) f (х) = , хо = 2, Ах = 0,1;
х
б) f (х) = 2х2 3, хо = 3, Ах = 0,2;
в) f (х) = 3х + 1, хо = 5, Ах = 0,01;
х 2
1') f (х) = 2' хо = 2, Ах = О, 1.
179. Найдите прираlцения ДХ и А! в точке х о ' если:
а) ! (х) = cos 2 Х, ХО = 2 '"t , Х = 3 4 Л ;
б) ! (х) = 4х х 2 , ХО = 2,5, х = 2,6;
в) ! (х) = t g х, х о = , х = i;
{') ! (х) = J 2x 1, хо = 1,22, х = 1,345.
97 Прои.ШО11lая и ее Прlt'\lеllеlllfЯ
8, КМ
460
160
з з!
4
5 5!
4
8
t ч
280
о
Рис. 81
180 Выразите приращение функции f в точке хо через Хо и L\x,
если:
а) f (х) = 1 3 х 2 ;
в) f (х) = 2х 2 ;
б) f (х) = ах + Ь;
1
1') f (х) = .. .
х
181. На рисунке 81 изображен rрафик движения автобуса.
Найдите среднюю скорость движения за промежуток Bpe
мени:
а) [о; 3]; б) [3; 5]; в) [3,25; 5,25]; 1') [о; 8].
182
Точка движется по координатной прямой, причем в лю-
бой момент времени t ее координата равна 3 + 12t t 2 .
На сколько и в каком направлении переместится точка
за промежуток 1 времени:
а) [2; 2,5]; б) [7; 8]; в) [4; 5]; 1') [6; 8]?
Чему равна ее средняя скорость за промежуток 1?
183.
Постройте прямые, проходящие через точку (1; 3) и имею-
щие уrловые коэффициенты:
а) 1 и 2; б) i и 3; в) 3 и 2;
1
1') И 2.
2
Выясните в каждом из случаев, какой уrол (тупой или
острый) образуют эти прямые с осью абсцисс.
184. Найдите уrловой коэффициент секущей к rрафику функ-
ции f (х) = .!. х 2 , проходящей через точки с данными абс
2
циссами х. и Х 2 . Какои уrол (острый или тупои) образует
секущая с осью Ох, если:
а) Х 1 = о, Х 2 = 1; б) Х 1 = 1, Х 2 = 2;
в)х 1 =I,х 2 =2; r)x.= I,x2=0?
98 ПРОlfзводная и ее ПрИ:\lенеНlfЯ
185.
Ребро куба х получило при ращение дх Найдите прираще
ние площади полной поверхности куба.
Выразите /).,{ и д! через хо и /).,х и преобразуите получен-
Ах
ные выражения:
а) f (х) = х З + 3 х;
186.
в) {(х) = х З 2х;
б) f (х) = ;
х 2 1
1
{') {(x)= .
х + 1
187.
Найдите среднюю скорость точки, движущейся по прямой,
за промежуток времени [t o ; t o + /)"t], если известен закон
движения:
gt 2
а) х (t) = vot 2; б) х (t) = at + Ь;
2
в) x(t)= gt ; r) x(t)=at b.
2
1 з. Понятие о производной
1. Понятие о касательноii к rрафику функции. rpa
фики практически всех известных вам функций изображались
в виде rладких кривых. Рассмотрим, как rеометрически устроены
такие кривые, на конкретном примере rрафике функции у = х 2
(рис. 82) при значениях х, близких к 1.
Для этоrо увеличим единицу масштаба (по сравнению с Mac
штабом рисунка 82) в 10 раз; в этом масштабе построим rрафик
у = х 2 на отрезке [0.5: 1,5] (рис. 83). Затем, увеличивая масштаб
еще в 10 раз, построим rрафик функции на отрезке [0,95; 1,05]
(рис. 84). На этом рисунке хорошо видно, что при значениях,
близких к 1, rрафик функции у = х 2 практически не отличается от
маленькоrо отрезка прямой у = 2х 1, т. е. точки rрафика данной
функции как бы «выстраиваются. вдоль этой прямой.
Аналоrичным свойством обладает любая rладкая кривая:
произвольный ее маленький участок практически не отличается
от отрезка некоторой прямой l. (Интересно заметить, что rрафопо-
строители, применяемые в ЭВМ, орисуют& rрафики rладких функ
ций по точкам, проводя в каждой точке маленький отрезок.) OTMe
тим, что для каждой точки rладкой кривой соответствующая этой
точке прямая (т. е. прямая, отрезком которой мы представляем
себе маленький участок кривой) вполне определена. Чтобы понять
это, обратимся к следующей наrлядной иллюстрации.
Допустим, :мы хотим изrотовить трафарет, чтобы быстро ри-
совать синусоиду, параболу или rиперболу и т. п. Для этоrо пред
варительно на миллиметровой бумаrе строится возможно точнее
rрафик этой кривой. Как вы можете убедиться. с помощью нож
ниц удается аккуратно вырезать трафарет, rраница KOToporo
99 Производная и ее ПРИ"1енения
I+ : i
11
'
I::=
CiI I
1 1
I
I ,
"i rl"
.......
с
Jj
с).
...
с>
ф
о')
10
I
I
rв
с> ()j I I с'\1 r.-t 00 I 1 с\1 1 I
... о с I O
.. .. .. ..; о .. .. 101 О I
... ,.. о <:) т
I I I 1
f---- I
,.., I I
f---- I 1
,"t
f---- I J.....
f---- с'\1
IIII
f---- I I
f---- . 7""4
f---- S
с'\1
..
.....
7""4
'
с>
'"' "h. с>
I !
I 1 7""41 со I CiI
.. ..
I с> с> с> С
9""11
I 1
I ......
CiI '"
11 ........
...... ,
C'Q r"
k I -...;;;; ,.......
11 N
I I .
............ I I ........
I
,
I I
I I I Т '
I I I I I 1 I I
1 1 11111 111 "'-
:" .......
100
ПРОИ3ВОДJlая и ее ПрИ lеllеllИЯ
$i
I
.....
q
....
q
9""1
7""4
00
с.>
CS1
р-4
с')
()j
(,)
=:
Il..
00
с.>
J
нужная нам кривая. Положение ножниц в каждой точке (а оно
и задает искомую прямую в этой точке) вполне определено: любое
отклонение ножниц в ходе разрезания от этоrо положения приво
дит либо к появлению выступа, либо к прорезу трафарета.
Проходящую через точку (х о ; f (х о » прямую, с отрезком
которой практически сливается rрафик функции f при значени-
ях х, близких к х о ' называют касательной к zрафику функции f
в точке (х о ; f (х о ». Возникает естественная задача: определить
точное положение касательной к rрафику данной функции I
в заданной точке. Координаты одной точки прямой 1 извест
ны это точка (х о ; I (х о ». Остается найти уrловой коэффициент k
касательной.
В качестве примера рассмотрим функцию у = х 2 . Ее rрафик
в малой окрестности точки хо близок к отрезку касательной l.
Поэтому естественно ожидать, что уrловые коэффициенты ce
кущих, проходящих через точки (х о ; x ) и (х о + x; (х о + x)2),
будут близки к уrловому коэффициенту k, если l:1x будет Heorpa
ниченно приближаться к нулю (т. е. точка х приближается к х о ).
Уrловой коэффициент k (l:1X) секущей, проходящей через точ
/).у
ки (х о ; у (х о » и (х о + x; у (х о + дх», равен (п. 12), {'де ду
/).Х
приращение функции у в точке х о ' соответствующее приращению
x aprYMeHTa. Для функции у = х 2
/).у (Хо + /).х)2 X
k(дх)= = =
/).Х /).Х
2 х о /).Х + ( /).х)2
= 2хо + дх.
/).Х
(1)
Чтобы найти уrловой коэффициент касательной, остается
выяснить, к какому значению близко k (дх), если дх приближает
ся к нулю. Очевидно, что k (дх) близко к 2хо. Следовательно,
при очень малых значениях X уrловой коэффициент секущей
близок к 2хо. При хо = 1 получаем k = 2. Учитывая, что искомая
касательная проходит через точку (1; 1), приходим к выводу, что
уравнение касательной таково: у = 2х 1. К этому же выводу при
шли в начале пункта из чисто наrлядных соображений.
2. Мrновенная скорость движения. Обратимся теперь к за
даче, известной вам из физики. Рассмотрим движение точки по
прямой. Пусть координата х точки в момент времени t равна х (t).
Как и в курсе физики, предполаrаем, что движение осуществляет
ся непрерывно и плавно. Иными словами, речь идет о движениях,
наблюдаемых в реальной жизни. Для определенности будем счи
тать, что речь идет о движении автомобиля по прямолинейному
участку шоссе.
Поставим задачу: по известной зависимости х (t) определить
скорость, с которой движется автомобиль в момент времени t (как
вы знаете, эта скорость называется MZHooeHHOU скоростью); если
зависимость х (t) линейна, ответ прост: в любой момент времени
1 01 ПРОИ.1ВОДllая и ее примеllения
скорость есть отношение пройденноrо пути ко времени. Если дви-
жение не равномерно, задача сложнее.
Тот факт, что в любой момент времени автомобиль движется
с какой-то определенной (для этоrо момента) скоростью, очеви-
ден. Эту скорость леrко найти, сделав в момент времени t o фото-
снимок спидометра. (Показание спидометра указывает значение
мrновенной скорости в момент t.) Чтобы найти скорость V:Io!rH оо)'
зная х (t), на уроках физики вы поступали следующим образом.
Средняя скорость за промежуток времени длительностью I дt I
от t o до t o + t известна (п. 12):
( 6х
V e p дt) = .
6t
(2)
Как Ы предположили, тело движется плавно. Поэтому есте-
ственно полаrать: если дt очень мало, то за этот промежуток вре-
мени скорость практически не меняется. Но тоrда средняя ско-
рость (на этом промежутке) практически не отличается от значе-
ния V MrJl ио), которое мы ищем. Это подсказывает следующий
способ определения мrновенной скорости: найти V ep (дt) и посмот-
реть, к какому значению оно близко, если считать, что дt практи-
чески не отличается от нуля.
Рассмотрим конкретный при ер. Найдем мrновенную ско-
рость тела, брошенноrо вверх со скоростью v o . Высота ero в мо-
gt2
мент t находится по известной фор уле 11 (t) = vot .
2
1) Найдем сначала дh:
g (t о + 6t )2 gt g ( 61 )2
/),.11 (t) = Vo (t o + дt) 2 vot o + 2 = vo t gto t 2 .
( 61 ) 2
(vо glо)дt g g6t
2) vep( t) = 6t = Vo gto 2. (3)
3) Будем теперь уменьшать дt, приближая ero к нулю. (Для
краткости rоворят, что t стремится к нулю. Это записывается
так: t о.)
Как леrко понять, в этом случае значение
g6t
2 тоже стре-
g6t
мится к нулю, т. е.
2
о при Д t
о.
А поскольку величины V o и gto' а значит, и V o gt o постоян-
ны, из формулы (3) получаем:
v ер ( t )
V o gt o при /)"t
о.
Итак, мrновенная скорость точки в Mo eHT вре ени t o нахо-
дится по формуле
V MrJl ( O = V o gt O .
102 ПРОИ3ВО;J;ная и ее ПрИ'\lенения
3. Производпая. Рассмотренные две задачи о вычислении
уrловоrо коэффициента касательной к параболе в точке с абсцис
сой Хо = 1 и нахождении мrновенной скорости тела, брошенноrо
вверх со скоростью V o ' имели различные формулировки. Однако
в обоих случаях мы действовали, по существу, придерживаясь
одной схемы. В ПРИ:\fенении к произвольной функции f и любой
точке Хо ее области определения эта схема может быть описана
следующим образом.
1) С помощью формулы. задающей функцию f находим ее
приращение в точке ХО:
! = f (х о + X) f (х о ).
2) Находим выражение для paJHOCтH020 отношения !1! .
!!.х .
д! = f ( х О + 6х) I ( х о)
/).х /).Х
которое затем преобразуем упрощаем, сокращаем на x и т. п.
3) Выясняем. к K8KO:\fY ЧИСЛУ стре:\fИТСЯ /).! , если считать,
дх
что X стремится к нулю.
Найденное таким образом число иноrда называется (по aHa
лоrии с физикой) скоростью иJ"'tененuя функции f в точке Хо или
(что более принято) nроиJ80дной функции f в точке ХО.
о n р е Д е л е н и е. П РОUЗ80дnой фу It"ции f 8 точ
"е ХО называется число, к которому стремится раз
постное отношение
/).! I ( х о + /).х) I ( х о )
/).Х 6х
при X, стремящемся к нулю.
Производная функции f в точке ХО обозначается " (Х о ) (чита
ется: .Эф штрих от х о »).
_ При м ер 1. Найдем производную функции f (х) = х З в точ
ке хо.
Будем действовать по описанной выше схеме.
1) ! = (х о + L\х)З x = 3X дх + 3х о (дх)2 + (ДХ)3.
2) /).! = 3Х5 + 3Х о дх + (дх)2 (L\x О).
!!.Х
3) Теперь заметим, что слаrаемое 3x постоянно, а при
X О очевидно, что 3х о дх О и ( x)2 О, а значит,
и 3х о X + ( x)2 о. Получаем:
/).!
/).х
3x при x
о.
Следовательно,
{' (х о ) = 3x .
103 ПроиаВО1.lIdЯ и СС ПрJf'\IСIIСIIИJl
При м е р 2. Найдем производную функции f (х) = kx + Ь
(k и Ь постоянны) в точке Хо.
1) ! = (k (х о + x) + Ь) (kx o + Ь) = k x.
д/
2) = k.
дх
3) Поскольку k постоянная, 6/ постоянное число при
дх
любом x, и, значит, д/ k при x о.
дх
:Итак, (kx + Ь)' = k.
Функцию, имеющую производную в точке х о ' называют
дифференцируемой в этой точке. Пусть Dl множество точек,
в которых функция f дифференцируе а. Сопоставляя каждому
х е п 1 число " (х), получим новую функцию с областью опреде-
ления Dl.
Эта функция называется производной функции у = f (х)
и обозначается " или у'.
Нахождение производной данной функции f называется
дифференц ирован ие -"t.
В этом пункте мы получили следующие формулы дифферен-
цирования:
(х 2 )' = 2х, (х з )' = зх 2 , (kx + Ь)' = k.
Полаrая в формуле (kx + Ь)' = k, что k = О, Ь = С, rде С
произвольная постоянная, получаем, что С' = О, т. е. nроuзводна.я
постоянной равна нулю.
Упражнения
188 Постройте rрафик функции f и про ведите к нему касатель-
ную, проходящую через точку с абсциссой Хо. Пользуясь
рисунком, определите знак уrловоrо коэффициента этой
касательной:
а) f (х) = х 2 2х 3, ХО = О, Хо = 3, Хо = 2, Хо = 1;
х 2
б) {(x)= +1, xo= 2, хо=l, xo= l, хо=2.
2
189. Определите знак уrловоrо коэффициента касательной,
проведенной к rрафику функции (рис. 85) через точки
с абсциссой Хl' Х 2 ' Х З ' Х 4 (если касательная существует).
Какой уrол (острый или тупой) образует эта касательная
с осью абсцисс? В окрестности каких точек rрафик функ
ции является .rладкой. кривой?
190. Запишите промежутки возрастания и убывания функции
(рис. 86). Определите знак уrловоrо коэффициента каса-
тельной в каждой из точек, отмеченных на rрафике.
104 ПРОИ3ВОДllая и ее ПрИ lеllеllИЯ
11
%4
%1 О Х2 Ха %4
х
Хl
Х2 О
Х8
х
а)
б)
у
%1 О
Х2 Х8
XJ
х
х
Б)
Рис. 85
191. Вычислите д! в точке Х О ' если:
дх
а) f (х) = 2х 2 , ХО = 1, I1х равно 0,5; 0,1; 0,01;
б) {(х)=х 2 , хо=1, I1х равно 0,5; 0,1; 0,01.
192. К какому числу стремится отношение 6{ при l:1x
дх
а) д{ = 8х о + 411х, хо равно 2; 1;
дх
б) Д! = Зх8 + 3Х о l1Х + (l1х)2, ХО равно 1; 21;
дх
в) д{ = 2xo + 6Х, Хо равно 1; 2?
дх
О, если:
у
а
%1 h
%2 О
Ха d
r
%
Рис. 86
105 Производная и ее ПРИ'\fенения
193.
Используя фОр:\iУЛЫ дифференцирования
п. 13, найдите производную функции 1 в
а) 1 (х) = х З , хо равно 2; 1,5;
б) 1 (х) = 4 2х, хо равно 0,5; 3;
в) 1 (х) = 3х 2, хо равно 5; 2;
r) 1 (х) = х 2 , хо равно 2,5; 1.
194. .. Пользуясь определением производной, найдите значения
производной функции 1, если:
а) 1 (х) = х 2 3х в точках 1; 2;
б) 1 (х) = 2х З в точках о; 1;
в) 1 (х) = ! в точках 2; 1;
х
полученные в
точке х о ' если:
1') 1 (х) = 4 х 2 В точках 3; о.
195. Найдите уравнение касательной к rрафику функции
1 (х) = х 2 , проходящей через ero точку с абсциссой хо если:
а) хо = 1; б) х о = 3; в) х о = о; r) Хо = 2.
196. Пользуясь определением. найдите мrновенную скорость
точки, движущейся прямолинейно по закону х (t), в мо-
мент t o :
а) х (t) = t2 + 8t, t o = 6; б) х (t) = 3t 3 + 2, t o = 2;
t 2
в) х (t) = , t o = 4; 1') Х (t) = 5t 3, t o = 10
4
14. Понятие о непрерывности функции
и предельном переходе
Вернемся к задаче определения мrновенной скорости
в точке t o (см. формулу (3) п. 13). Функция V cp (дt) = V o gt o
g. дt не определена при t = о. Но для числа L = V o gt o при
2
уменьшении Illt 1 разность v cp (Llt) L приближается к нулю. Имен-
но поэтому мы писали v cp (Llt) V o gt o при Llt о.
Вообще rоворят, что функция 1 стремится к числу L при х,
стремяще."tся к х о ' если разность 1 (х) L сколь уrодно мала,
т. е. 1I (х) L 1 становится меньше любоrо фиксированноrо Il > О
при уменьшении Illx 1, rде llХ = х хо. (Значение х = хо не рас-
сматривается, как и в задаче определения мrновенной скорости.)
Вместо х хо можно, конечно, писать llХ о.
Нахождение числа L по функции 1 называют предельным
переходом. Вы будете иметь дело с предельными переходами
в двух следующих основных случаях.
106 ПРОИ3ВОlная и ее ПрИ fенения
Первый случай это предельный переход в разностном OT
8{ v С
ношении , т. е. нахождение производнои. ЭТИ:\f случаем вы
l1x
познакомились в предыдущем пункте.
Второй случай связан с понятием непрерывности функции.
Если f (х) f (х о ) при х х о ' то функцию называют непрерывной
в точке хо. При этом f (х) L = 1 (х) f (х о ) = f; получаем, что
1 fl мало при малых I x 1, т. е. малым из енениям aprYMeHTa
в точке хо соответствуют малые И3:\fенения значений функции. Все
известные вам элементарные функции непрерывны в каждой точ-
ке своей области определения. rрафики таких функций изобража-
ются непрерывными кривыми на каждом промежутке, целиком
входящем в область определения. На этом и основан способ по-
строения rрафиков по точкам , которым вы все время пользуе-
тесь. Но при этом, CTporo rоворя, надо предварительно выяснить,
действительно ли рассматриваемая функция непрерывна. В про-
стейших случаях такое исследование проводят на основании опре
деления непрерывности.
_ При м ер 1. Докажем, что линейная функция f (х) = kx + Ь
непрерывна в каждой точке числовой прямой.
Нам нужно показать, что I /I становится меньше любоrо
фиксированноrо 11 > О при малых I xl. НО I /I = 1I (х о + x)
f(xo)I=I(k(xo+ x)+b) (kxo+b)I=lkll xl и I /I будет MeHЬ
те h > О, если взять lL\xl > ,:, при k ф О (при k = О можно брать
любое x).
При м е р 2. Докажем, что функция f (х) = h непрерывна
в точке хо при хо > о.
Прежде Bcero отметим , что x мы будем выбирать таким,
что I xl хо; тоrда h = .J хо + x определен. Оценим разность
.JX Jx-;;:
I I (.J xo +l1x .JX;) (" xo +8Х + .JX;)
1 ! 1 = .J х о + Llx '\r Х О = =
.J хо + l1x + .[х;
ll1xl
< .
l1x
=
.J Хо + l1x + .JX;
Леrко видеть, что I fl станет меньше h > О, если взять Iдхl
меньше .Jxoh (и, как отмечали выше, меньше х о ).
В задаче определения мrновенной скорости число V"drll ио)
было определено так, что функция и ср (дt), дополненная в нуле
числом V ъsrll , становится непрерывной в этой точке. Та же ситуация
и в задаче определения уrловоrо коэффициента касательной: функ
ция g ( x) = 2х о + x станет непрерывной в этой точке, если счи-
тать, что g (О) .: 2хо.
107 ПРОИ3ВО1.ная и ее ПрИ'\lенения
Как видно из примеров предыдущеrо пункта, новая опера
ция предельный переход служит HOBbI::vr средством нахожде-
ния неизвестных величин. Ею мы будем широко пользоваться
в этой rлаве. Выделим правила предельноrо перехода, которые дo
казываются в курсах математическоrо анализа.
п р а в и л о 1. Если функция f непрерывна в точ
ке Х О ' то д! о при дх о.
П р а в и л о 2. Если функция f имеет производную
в точке Х О ' то /).! {' (х о ) при дх о
ы
Правила 1 и 2 сразу следуют из определений непрерывности
функции f в точке хо и производной В точке хо.
П р а в и л о 3. Пусть f (х) А, g (х) В при х хо.
Тоrда при Х ХО (т. е. при /'j"x о):
а) f (х) + g (х) А + В;
б) f (х) . g (х) А . В;
в) {(!!. А (при В о).
g(x) В
Для непрерывных функций f и g
А = f (х о )' В = g(x o )'
и эти правила означают, что сумма, произведение и частное непре
рывных в точке хо функций непрерывны в точке ХО (частное в слу
чае, коrда g (х о ) * о).
Правила предельноrо перехода широко используются при до-
казательстве непрерывности функций и выводе формул дифферен
цирования.
_ При м ер 3. Докажем, что функция h (х) = 10х + j"; непре-
рывна в любой точке хо про::vrежутка (о; 00). Непрерывность функ-
ций f (х) = 10х и g (х) = JX была доказана в примерах 1 и 2. Сле
довательно, функция h непрерывна как сумма двух непрерывных
функций (правило 3, а).
При м е р 4. Докажем, что {' (х) = 1,...- , {'де f (х) = ./Х.
2vx
1) Для произвольной ТОЧКИ хо (см. при мер 2)
! = /).х .
.jX; + .J xo + Ах
2) А! = 1
/). х JX; + Xo + Ах
З) -" Хо + fj.x при дх
функция непрерывна в точке
о по правилу 1, так как
хо (C'\f. пример 2), поэтому
108 Производная и ее прнменения
.j:;; + .J Xo + ДХ
1
.[х; + .J хо + I1x
2.j:;; при
1 при l::.x
2.[Х;
l:1x О (по правилу 3, а)
О (по правилу 3, в). Итак,
и
(Е)'
2JX
для любоrо положителъноrо х.
Упражнения
197. Является ли непрерывной в каждой из точек х l' Х 2 ' х з
функция, rрафик которой изображен на рисунке 87?
198. Постройте rрафик функции '. Содержится ли в ее обла
сти определения точка, в которой функция не является He
прерывной?
{ х 1 при Х <; 1,
а) '(х)= .
1 х 2 при Х > 1;
f { 2 х при х 1,
б) (х) =
2 х 1 при х > 1;
{ х + 2 при х < 1,
в) '(х)= 1
при х 1.
Х
у
11
х
х
а)
б)
у
х
х
в)
Рис. 87
r)
109 Прои.Jводная и ее при:wеllения
199. Является ли функция 1 непрерывной в каждой точке дан-
Horo промежутка:
а) 1 (х) = х З 4х, ( oo; 00);
б) 1 (х) = JX , [2; 00);
x 1
в) 1 (х) = х 2 + 2х 1, [ 10; 20];
1') 1 (х) = 5х , (о; оо)?
200. К какому числу стремится функция 1, если:
а) 1 (х) = х 2 3х + 4, х О, х 2;
б) 1 (х) = 2 X ,х 1, х 4;
х + 1
в) 1 (х) = 4 , х 2, х о;
2
х 2
1') 1 (х) = 4х 4' х 1, х 4?
201. Известно, что 1 (х) 1, g(x) 2 при х 3. К какому
числу при х 3 стремится функция:
а) 31{х) g (х); б) f(x) g(x) ;
'(х)+ g(x)
в) 41 (х) g (х); {') (3 g (х» 1 (х)?
202. Известно, что 1 (х) 3, g (х) 0,5 при х 1. Найдите
число, к которому при х 1 стремится функция:
а) f (х) 2 ; б) (1 (х) g (х»2;
(g(x»
в) ({ (х»2 + 2g (х);
2
1') ( g(x» .
f (х) 2
203. К какому числу стремится функция:
а) f (х) = х 2 +3х+2 4.
x 3 при х ,
б) f (х) = х 3 3х 1;
х 2 2x+ 7 при х
в) 5 2x 2.
I(x)= при х
2+ х ,
x2 9 1?
1') 1 (х) = при х
х+ 3
204. С какой точностью найден периметр квадрата, если ero сто-
рона измерена с точностью до 0,01 дм?
205. С какой точностью достаточно измерить сторону правиль-
Horo треуrольника, чтобы найти ero пери метр с точностью
до 0,03 дм?
206. С какой точностью нужно измерить радиус, чтобы вычис-
лить длину окружности с точностью до 0,06 дм?
11 01 П роиаВО:'lIая и ее ПрИ'fеllеlIИЯ
207. Известно, что 1 (х) А, g (х) В при х а. Пользуясь
правилами предельноrо перехода, докажите, что:
а) С 1 (х) С-А. rде С постоянная;
б) 1 (х) g (х) А В;
в) (1 (х»2 (g (х»2 А2 в2;
1') (1 (х»n А n , rде п Е z.
15. Правила вычисления производных
1. Основные правила дифференцирования. Выведем
несколько правил вычисления производных. В этом пункте значе
ния функций u И v и их производных В точке хо обозначаются для
краткости так: u (х о > = и, v (х о ) = и, и' (х о ) = и', и' (х о ) == и'.
П р а в и л о 1. Если функции и и v дифференцируе
мы в точке хо, то их сумма дифференцируема в этой
точке и
(и + v)' = и' + v'.
Коротко rоворят: пРОU.Jводная CY.!If.!lfbt равна CY.!IfMe
пРОUЗ60дных.
1) Для доказательства вычислим сначала приращение CYM
мы функций В рассматриваемой точке:
fJ. (и + v) = u (х о + x) + v (х о + дх) (и (х о ) + v (х о » =
= (и (х о + дх) u (х о » + (v (х о + x) v (х о » = i!J.u + i!J.v.
2) д (и + и) ди + ди .
дх дх!J.х
3) Функции u и v дифференцируемы в точке Х О ' т. е. при
fJ.x О
6и
дх
и', 6и
6х
и' .
Т Д(и+и)
оrда
6х
Horo перехода п. 14), т. е. (и + и)' = и' + и'.
и' + v при x
о (см. правило 3, а) предель
л е м м а. Если функция 1 дифференцируема в точ
ке х о ' то она непрерывна в этой точке: д/ о
при x о, т. е.
1 (х о + дх) 1 (х о ) при x о.
61
Действительно, I = . fJ.x
6х
о. Итак, I
/'(Хо)-О при дх
о, так как
f:.1
f:.x
ренцируе'\1:ЫХ функций 1 (х о + x)
l' ( х о), а дх
о при дх
о, т. е. для диффе
1 (х о ) при fJ.x о.
111 ПРОII.Jводная и ее ПрИ'lеllения
п р а в и л о 2. Если функции и и v дифференцируе-
мы в точке Х О ' то их произведение дифференцируемо
в этой точке и
(uv)' = u'v + uv'.
1) Найдем сначала приращение произведения:
(ии) = и (х о + x) v (Х о + x) и (х о ) v (Х о ) =
= (и (х о ) + ди) (и (х о ) + ди) и (х о ) v (Х о ) =
= и (х о > v (х о ) + дии (х о ) + и (х о ) ди + ди ди и (х о ) v (Х о ) =
= ии (х о ) + и (х о ) ди + ди ди.
2) (ии) = и v (х ) + и (х ) I1и + дu I1и .
X I1х о ОI1Х I1х
3) В силу дифференцируемости функций и и v в точке хо
U 6и (ии)
при x О имеем и', и', ди о. Поэтому
дХ X X
и'и (х о ) + и (х о ) и' + О . и' = и'и (х о ) + и (х о > и', т. е. (ии)' = и'и +
+ ии', что и требовалось доказать.
с л е Д с т в и е. Если функция и дифференцируема
в хо, а С постоянная, то функция Си дифферен-
цируема в этой точке и
(Си)' = Си'.
Коротко rоворят: постоянный .множитель .можно вы
носить .за .знак прои.зводной.
Для доказательства воспользуемся правилом 2 и известным
из п. 13 фактом С' = о:
(Си)' = С'и + Си' = О и + Си' = Си'.
п р а в и л о 3. Если функции и и v дифференцируе-
мы в точке хо и функция v не равна нулю в этой точ-
ке, то частное и также дифференцируемо в Хо и
v
( и ) ' = и v иv' .
v и 2
Выведем сначала формулу
( )' ;: .
1) Найдем приращение функции!:
V
( 1 ) 1 1 V ( х о ) V ( Х о + 6Х) ди
д -;; = и(xo+ x) и(хо) = и(хо)и(хо+дх) = v(xo)(v(XoJ+ V) .
112 ПРОlыводная и ее Прlf'\lенеНIfЯ
2) Отсюда
c )
=
AV
Ах
v ( х о ) ( v ( х о ) + ди)
дх
3) При /1х
о имеем 6v v' (в силу дифференцируем ости v
6х
О (по доказанной ле:dме). Поэтому
в точке х о )' /1v
( )
v'
v', T.e. ( ! ) '= .
v 2 v v 2
= ....
6х
v.v
Теперь, пользуясь правилом нахождения производной произ-
ведения функций, находим производную частноrо:
( и ) ' ( 1 ) ' , 1 ( 1 ) ' v' V' и ' v UV'
= u. =u . +u = +u. = .
v v v v v и 2 и 2
_ При м ер 1. Найдем производные функций:
а) f (х) = х 2 1 ; б) f (х) = з х2 .
Х Х 1
а) ( l ) ' = .!:..... = , поэтому
х х 2 х 2
( х 2 )' = (х 2 )' ( )' = 2 х ( :2 ) = 2 х + :2 ;
б) ( ..Е..... J ' = (х 2 )' ( х З + 1) х 2 ( х З + 1) = 2 х ( х З + 1) х 2 « х З )' + 1) =
х З + 1 ( х З + 1)2 ( х З + 1)2
2 Х ( х З + 1) х 2 ( 3 х 2 + О) 2 х 4 + 2 х 3 х 4 2 х х 4
= = =
( х З + 1)2 ( х З + 1)2 ( х З + 1)2
2. Производная степенной функции. Формула для вычисле-
ния производной степенной функции хn, {'де п произвольное на-
туральное число, большее 1, такова:
(х n )' = nxn 1. (1)
Формула производной функции х 2 уже известна: (х 2 )' = 2х.
Пользуясь формулой дифференцирования произведения, по-
лучаем:
(х З )' = (х 2 . х)' = (х 2 )' Х + х 2 (х)' = 2х . х + х 2 . 1 = зх 2 ;
(х 4 )' = (х З . х)' = (х 3 )' Х + х З (х)' = зх 2 . Х + х З . 1 = 4х З .
Заметим теперь, что
(х 2 )' = 2х 2 1, (х З )' = ЗхЗ 1, (х4)' = 4х4 1,
т. е. для п, paBHoro 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжая
аналоrичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости
формулы (1) для n, paBHoro 5, 6 и т. д.
113 Прои.JВО1.lIая и ее ПРИ"lенения
Докажем, что формула (1) верна для любоrо натуральноrо
n > 4.
Допустим, что формула (1) верна при n = k, т. е. что
(x k )' = kxk 1.
Покажем, что тоrД8 формула (1) верна при п = k + 1. Дейст-
вительно,
(x k .. 1)' = (x k . х)' = (x k )' . Х + Xk . (х)' =
= kx k 1 . Х + Xk = kx k + Xk = (k 1) x k .
Поэтому из Toro, что формула (1) верна при п = 4, следует, что она
верна и при n = 5, но тоrда она верна и при п = 6, а следовательно,
и при п = 7 и т. д. до любоrо п Е N (cTporoe доказательство основа-
но на методе математической индукции).
Если п = 1 или n = О, то при х О эта формула также спра-
ведлива. Действительно, по формуле (1) при Х :1; О
(х 1 )' = 1 . х 1 1 = 1 . х о = 1,
(х О )' = О . х О 1 = О,
что совпадает со значениями производных функций х И 1, уже
известны и из предыдущеrо пункта.
Пусть, наконец, n целое отрицательное число тоrда
n = т, {'де т число натуральное. Применяя правило диффе-
ренцирования частноrо и пользуясь уже доказанной для натураль-
ных т формулой (1), получаем при х :1; о:
( х п)' = ( Х т)' = ( ....!... ) ' = ( х т )' = тх т 1 = т . =
х т ( Х т )2 х 2 т хт + I
= тx т 1 = nх n 1.
В результате можно сделать вывод:
I Для любоrо целоrо n и любоrо х (х :1; О при n <; 1)
(х n )' = пхn 1.
11 При м е р 2. Найдем производные функций:
а) {(x)=x 5; б) f(х)=Зх7 .
х З
а) (x 5) = 5x 5 1 = 5x 6;
б) (зх; :З )' З (х;)' 5 (х З)' З. 7x6 5 ( З) x
= 21х 6 + .
х 4
Из дифференцируемости степенной функции и основных
правил вычисления производных вытекает утверждение:
целые рациональные функции (мноrочлены) и дроб-
но рациональные функции дифференцируемы в каж-
дой точ ке своей области определения.
114 ПРОИ'Jводная И ее ПРИ'\fенения
Найдите производные функций (208 211).
208. а) f (х) = х 2 + х з ; б) f (х) =.!. + 5х 2;
х
1') f (х) = х з + Б.
б) f (х) = (2 х 2 х);
1') f (х) = (2х 3) (1 х з ).
3x 2 3 4x
в) У = ; 1') У = .
5 х + 8 х 2
Упражнения
210.
f (х) = х 2 + 3х 1;
f (х) = х з (4 + 2х х 2 );
f (х) = х 2 (3х + х 3 );
1 + 2 х х 2
а) y= ; б)у= ;
3 5x 2x 1
в)
209. а)
в)
211. а) у = х 8 зх 4 Х + 5;
в) у = х 7 4х 5 + 2х 1;
б ) У = х + J;.
3 х 2 '
х 2 3
1') У = + + 1.
2 х з
212. Вычислите значения производной функции f в данных
точках:
а) f (х) = х 2 3х, х = !, х = 2;
2
б) f (х) = х 4 JX, х = 0.01. х = 4;
в) f (х) = х 1., х = 12, х = ;
х ..J3
3 x
1') f (х) = , х = 3, х = о.
2+ х
213. Решите уравнение {' (х) = О, если:
а) f (х) = 2х2 х; б) f (х) = х 3 + х 2 + 12;
3
3
в) f (х) = Х 3 1,5х 2 4x; 1') f (х) = 2х 5х 2 .
214. Реlпите неравенство f (х) < О, если:
а) f (х) = 4х 3х 2 ; б) f (х) = х з + 1,5х 2 ;
в) f (х) = х 2 5х; 1') f (х) = 4х ! х 3 .
3
215. Найдите производную функции:
а) f (х) = хз зх ; б) f (х) = ( + х 2 ) (2 JX);
1 + 4 х 5 Х
5 2x6 r
в) {(х)= ; 1') f(х)=vх(зх5 х).
l хЗ
216. Найдите значения х, при которых производная функции f
равна нулю:
а) f (х) = х 5 3 х з + 5х; б) f (х) = 2х 4 х 8 ;
в) f (х) = х 4 + 4х; 1') f (х) = х 4 12х 2 .
115 ПРОН3ВОlная и ее ПРН fенення
217. Решите неравенство {' (х) < О, если:
а) 1 (х) = х з 6х 2 63х; б) 1 (х) = 3х 5х 2 + х з ;
в) 1 (х) = х з 8х; {') 1 (х) = зх 2 9х .! х з
3 3
218. Задайте формулой хотя бы одну функцию, производная ко-
торой равна:
а) 2х + 3; б) 16х З 0,4;
в) 8х 2;
1') 9 х 2 !.
2
219. Верно ли, что функция <р (х) = 11 (х) + 12 (х) не имеет произ-
водной в точке хо, если известно, что:
а) каждая из функций 11 (х) И 12 (х) не И:\iеет производной
в точке хо;
б) 11 (х) имеет производную в точке х о , а 12 (х) не имеет?
16. Производная сложной функции
1. Сложная функция. Начнем с примера.
11 При м е р 1. Пусть требуется вычислить по заданному зна
чению х соответствующее значение z функции h, заданной фор-
мулой
z=h(x)= 1 x2.
Для этоrо надо сначала вычислить по заданному х значение
у = 1 (х) = 1 х 2 ,
а затем уже по этому у вычислить
z = g (у) = ,JY.
и так, функция I ставит в соответствие числу х число у,
а функция g числу у число z. rоворят, что h есть сложная ФУНК-
ция, составленная из функций g и 1, и пишут:
h (х) = g (1 (х».
Чтобы вычислить значение сложной функции h (х) = g (1 (х»
в произвольной точке х, сначала вычисляют значение у (CBHYTpeH
ней. функции 1 в этой точке, а затем g (у).
Какова область определения сложной функции g (1 (х»?
Это множество всех тех х из области определения функции 1,
для которых 1 (х) входит в область определения функции g.
В рассматриваемом примере областью определения функ-
ции 1 является вся числовая прямая. Значение h (х) определено,
если значение f (х) принадлежит области определения функции
g (у) =.JY. Поэтому требуется, чтобы выполнялось неравенство
у О, т. е. 1 х 2 О, и, значит, область определения функции
g (1 (х» это отрезок [ 1; 1].
116 ПРОJlаводная JI ее ПрJl'\lенеНJlЯ
2. Формула ПРОИ3ВО1;НОЙ сложной функции. В предыдущих
пунктах вы научились находить производные рациональных функ
ЦИЙ, В частности мноrочленов. Однако задача вычисления произ
водной функции f (х) = (2х + 3)100, хотя И сводится к нахождению
производной мноrочлена, требует очень большоrо объема работы:
надо представить (2х + з)100 в виде мноrочлена и продифференци
ровать 101 слаrаемое полученной суммы. Можно заметно упро
стить решение этой и друrих задач доказав правило вычисления
производной сложной функции.
Если функция f имеет производную в точке Хо,
а функция g имеет производную в точке УО = 1 (х о ),
то сложная функция h (х) = g (1 (х» также имеет
производную в точке х о , причем
h' (хо) = g' ({ (х о » . {' (хо). (1)
Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при
X :1: О раСС'\fотреть дробь / и установить что All g' (Уо) . {' (Х О )
6х 6х
при X о. Введем обозначения:
y = 1 (х о + дх) 1 (х о ) = I.
Тоrда h = h (х о + x) h (х о ) = g (1 (х о + дх)) g (1 (х о » =
= g (Уо + y) g (уо) = g.
Ду о при дХ О, так как 1 дифференцируема в точке хо.
Далее доказательство проведем только для таких функ
ций 1, у которых I:I: о в некоторой окрестности точки Хо.
Тоrда АЬ = b . Ау = 8g . А{ g' (Уо) . l' (х о ) при x О, так как
Ах Ау Ах Ау Ах
А{ 1 (х о ) при АХ О, а дк g' (Уо) при Ау О, что выполне
Ах Ау
но при x О (это отмечалось выше).
11 При м ер 2. Вернемся к поставленной выше задаче и най-
дем производную функции 11 (х) = (2х + 3)100.
Функцию Il можно представить в виде сложной функции
Il (х) = g (1 (х», rде g (у) = ylOO, У = 1 (х) = 2х + 3.
Так как l' (х) = 2 и g' (у) = 100у99, имеем
Jl' (х) = 2 . 100y99 = 200 (2х + 3)99.
При М е р 3. Найдем произ водну ю функции
11 (х) = J 3x 2 + 1.
Так как h (х) = g (1 (х», {'де у = 1 (х) = зх 2 + 1, g (у) = JY,
то g' (у) = lс и у' = {' (х) = 6х, откуда
2-vУ
h' (х) = . у' = 6 х = 3 х
2JY 2 J 3x2 + 1 J 3x2 + 1
t 17 п роизводная и ее примепения
Упражнения
Задайте формулами элементарные функции 1 и g, из
которых составлена сложная функция Il (х) = g (/ (х»
(220 221).
220. а) 11 (х) = cos Эх;
в) h (х) = tg ;
221. а) h (х) = (3 5х)5;
в) 11. (х) = (2х + 1)7;
222.
Найдите область
(222 2 23).
а) у = .J 9 х 2 ;
I 2
в) y="u,25 x ;
223.
а) у = .Jcos х ;
в) у = tg 2 х;
б) h (х) sin ( 2 х ):
r) h (х) = cos ( 3х + )-
б) h (х) = -Jcos х ;
1') h (х) = tg !.
х
определения каждой из функций
б) у = 1 ;
J х 2 7 х + 12
1') У = 1 .
4x+ 5 x2
б) У = 1 ;
Sin( X )
{') у = .Jsin х .
Найдите производные функций (224 225).
224. а) f (х) = (2х 7)8; б) f (х) = (5Х: 1)3 ;
в) '(х) = (9х + 5)1; 1') '(х) = 1
(6x 1)5
225. а) f (х) ( 3 : ) 9; б) f (х) О х 7)8 (1 2 х)4;
в) 1 (х) = (4 1,5х)10; 1') 1 (х) = (5х 2)13 (4х + 7) 6
226. .. Найдит е область определения функции:
а) у = .Jl 2cosx; б) У = f; 1 ;
в) у = .J sin х О ,5; r) у = J + 1 .
227. Заданы функции 1 (х) = 3 2х, g (х) = х 2 И Р (х) = sin х.
Задайте формулой сложную функцию 11., если:
а) h (х) = 1 (g (х»; б) 11 (х) = g (р (х»;
в) h (х) = g (1 (х»; 1') h (х) = р (1 (х»
118 Производная и ее ПРИ'\fенения
228. Заданы функции f (х) = , g (х) = COS Х и р (х) = J;.
Х 1
Задайте формулой сложную функцию h; найдите ее об-
ласть оп ределения, если:
а) 11 (х) = f (g (х»; б) h (х) = f (р (х»;
В) Il (х) = Р (g (х»; 1') 11 (х) = Р (! (х».
229. Найдите такую функцию {, что f (g (х» = х:
а) g (х) = 2х; б) g (х) = JX;
В) g (х) = 3х + 2; 1') g (х) = х 2 + 1, х о.
230. Найдите производную функции {:
а) f(х)=(хЗ 2х2+з)17; б) f(x)= .J l x4 + 1 ;
х2 + 3
В) f (х) = .J 4x 2 + 5;
1') f (х) = (3 х з ) 5 + .J 2 х 7 .
17. Производные триrонометрических
функций
1 ФОР'\Iула ПРОИ3ВОДIIОЙ cllllyca. Докажем, что
I функция синус имеет производную в любой точке и
(sin х)' = cos х. (1)
П .. п. 2 а+р. a p
рименяя формулу Sln а Sln t-' = COS Sln , находим
2 2
( /). Х J . /).Х
2 cos l XO + 2 Sln 2
/). sin х sin (хо + дх) sin хо
= = =
дх x /).х
Si:: сов ( хо + x)-
2
Для вывода формулы (1) достаточно показать, что:
sin X
а) 2
x
2
б) сов (Хо + ) СОВ ХО при /).Х о.
Опираясь на эти утверждения, можно получить формулу (1)
Действительно, при дх о
sin x
/). sin х 2 ( дх J
/).х = x . cos х о + 2
2
1 при дх
о;
1 . cos хо = COS хо .
119 ПРОИ,JВО1.lIая н сс ПрИ'\IСIIСIIИЯ
Утверждения а) и б), на кото-
рые мы опирались выше, имеют на-
l' лядный rеометрический смысл.
а) Отложим на единичной
.. РО окружности от точки РО в обе сто-
й роны дуrи РоА и РОВ длиной I I
(рис. 88). Тоrда длина дуrи АВ
равна I xl, а длина хорды АВ рав-
В на 21 sin X 1. При малых IAxl дли-
Рис. 88 на хорды АВ практически не отли
чается от длины стяrиваемой ею
дуrи АВ. (Этим фактом вы уже пользовались в курсе rеометрии
при выводе формулы длины окружности. Действительно, при
больших n верно, как известно, приближенное равенство Р п С,
rде Р п периметр правильноrо вписанноrо n уrольника, а С
длина окружности. Значит, длина стороны TaKoro :\fноrоуrольника
приближенно равна длине дуrи, которую эта сторона стяrивает.)
Следовательно,
АВ
I sin X I
=
sm !1х
2
l:u
2
1 при X
о.
u
I I
АВ
б) Заметим, что длина хорды АВ меньше длины дуrи АВ,
т. е.
2 sin 1 6х I < 2 . 16X I .
2 2
Воспользовавшись формулой разности косинусов и этим не-
равенством, находим:
I cos ( хо + ) cos хо I
= I 2 sin X sin ( хо + ': ) I 12 sin X I I xl .
Но
1 8X I
2
о.
о
при
6х
о.
Поэтому cos ( хо + x )
cos х о
при
IJ.x
11 Пример. По фОР'\Iуле дифференцирования сложной функции
(sin (ах + Ь»' = а cos (ах + Ь).
120 ПрОJlЗВОДllая и ее ПрJt:\lеllеllJlЯ
2. ФОРl\lу..1JЫ дифференци рования косинуса, тансенса и KO
тансенса. Докажем следующее утверждение.
Функции у = cos Х, у = tg х, У = ctg х имеют произ
водные в каждой точке своей области определения,
и справедливы формулы:
(cos х)' = sin х, (2)
(tg х)' = , (3)
cos 2 х
1
(ctg х) = . 2 . (4)
Sln Х
ВЫВОД ФОРМУЛЫ (2) основан на равенствах cos х sin ( ; х ).
cos ( х ) sin х и правиле дифференцирования сложной функции:
(cos х)' = ( sin ( i х )J cos ( i х )- ( х )' = sin х.
Чтобы доказать справедливость формул (3) и (4), применим
формулу для нахождения производной частноrо и выведенные
формулы производной синуса и косинуса:
(tg х)' = ( S1Jl Х ) ' = (sin х) cos х (cos х)' siJ1 Х = cos 2 Х + sin 2 х = 1 ;
cos х С08 2 Х <;082 Х cos 2 Х
( t ) ' ( cosx ) ' (coSX)'SiJlx (sinx)'cosx sin2x cos2x
cgx
SiJl Х sin 2 х sin 2 х
1
sin 2 х
Упражнения
Найдите производную каждой из функций (231 233)
231. а) у = 2 sin х; б) у = 1 ! sin х;
2
в) У = 0,5 sin х; 1') У = 0,5 + 1,5 sin х.
232. 8) У = 3 cos х; б) у = х + 2 cos х;
в) у = 1 cos х; 1') У = 2 sin х + 1,5 cos х.
233. а) у =JЗ 3tg х; б) у = cos х tg х;
в) у = ! tg х; r) у = 2 tg х sin х.
2
234. Найдите {' (О) и {' (п), если:
а) f (х) =! cos (2х 7t); б) f (х) = х tg ( 2x);
2
в) f (х) = 3 sin ( i ): 1') f (х) = 2 cos Х .
2
121 ПРОИ.1ВО;:(1I3Я И ее примеllеllИЯ
235. Решите уравнение {' (х) = О, если:
а) f (х) = .! х + cos х; б) f (х) = х tg х;
2
в) f (х) = 2 SiIl Х 1; 1') f (х) = х cos х.
Найдите производную
236. а) f (х) = х з sin 2х;
в) f (х) = cos 3 х ;
х
каждой из функций (236 238)
б) f (х) = х" + tg 2х;
{') f (х) = .
SlnX
237. .. а) f (х) = sin 2 х; б) f (х) = tg х + ctg х;
в) f (х) = cos 2 х; 1') f (х) = sin 2 х + cos 2 х.
238. а) f (х) = cos 2х sin х + sin 2х cos х;
б) f (х) = cos 2 sin 2 ;
в) f (х) = sin 5х sin 3х + cos 5х cos 3х;
1') f (х) = sin 3х cos 3х.
239. Найдите точки, в которых {' (х) = о, {' (х) > О, если:
а) f (х) = 2 sin 2 х .J2 х; б) f (х) = 2х + cos (4х п);
в) f (х) = cos 2х; 1') f (х) = sin 2х '\13 х
240. Задайте формулой хотя бы одну функцию {, если:
а) {' (х) = 1 sin х; б) " (х) = 2 cos 2х;
в) " (х) = cos х; 1') " (х) = 3 sin х.
э 5.
Применения непрерывности
и производной
18. Применения непрерывности
1. Непрерывность функции. В п. 14 вы познакоми-
лись с понятием непрерывности функции в точке. Если функция
непрерывна в каждой точке HeKoToporo промежутка 1, то ее назы-
вают непрерывной на nрОJttежутке 1 (промежуток 1 называют
nрО"'tежутКО"'t непрерывности функции {). При переходе от одной
точки этоrо промежутка к близкой ей точке значение функции
меняется мало; rрафик f на этом промежутке представляет собой
непрерывную линию, о которой rоворят, что ее можно « нарисо-
вать, не отрывая карандаша от бумаrи». (Так, во всяком случае,
обстоит дело для непрерывных функций, изучаемых в школьном
курсе.)
122 Производная и ее ПРИ'\fенения
Как было показано в п. 15, функ-
ция, дифференцируемая в точке х о ' не-
прерывна в этой точке. Все дробно-рацио-
нальные и основные триrонометрические
функции дифференцируемы во всех точ-
ках своих областей определения. Следова
тельно, эти функции и непрерывны в
каждой из этих точек.
Например, из дифференцируемости
функции f (х) = х2 на всей прямой, а функ-
ции f (х) =! на промежутках ( oo; О)
х
и (о; (0) вытекает непрерывность этих функций на соответствую-
щих промежутках.
Отметим следующее свойство непрерывных функций:
у
f (Х2)
х
о
f (Xt)
а
Рис. 89
Если на интервале (а; Ь) функция f непрерывна
и не обращается в нуль, то она на этом интервале
сохраняет постоянный знак.
Это утверждение имеет наrлядную интерпретацию. Допу-
стим, что найдутся такие точки Xt и Х 2 интервала (а; Ь), что
f(x 1 ) < о, а {(х 2 ) > о.
Тоrда непрерывная кривая (rрафик функции {), соединяю-
щая точки А (x 1 ; f (x 1 » и в (Х 2 ; f (х 2 », разделенные прямой у = О,
пересекает эту прямую в некоторой точке х з данноrо интервала
(рис. 89), т. е. f (х з ) = о. (Представим себе, что точки А и В нахо-
дятся на разных береrах реки, изображаемой интервалом (а; Ь).
Ясно, что туристу, для Toro чтобы попасть из А в В, надо rде-то пе-
рейти реку.) Это противоречит условию: функция f не обращается
на интервале (а; Ь) в нуль.
2. Метод Ifнтервалов. На свойстве непрерывных функций,
рассмотренном в этом пункте (ero полное доказательство приво-
дится в курсах математическоrо анализа), основан метод решения
неравенств с одной переменной (.метод uнтервалов). Опишем ero.
Пусть функция f непрерывна на интервале 1 и обращается
в нуль в конечном числе точек этоrо интервала. По сформулиро-
ванному выше свойству непрерывных функций этими точками 1
разбивается на интервалы, в каждом из которых непрерывная
функция f сохраняет постоянный знак. Чтобы определить этот
знак, достаточно вычислить значение функции f в какой-либо oд
ной точке из каждоrо TaKoro интервала.
При м ер 1. Решим неравенство х 2 1 о.
х 2 5x+ 6
х 2 1
Функция f (х) = непрерывна в каждой точке своей
х 2 5 х + 6
области определения (это дробно рациональная функция) и обра-
11
113 Производная и ее применения
+
+
+
с
о
с
о
1
Рис. 90
1
2
3
щается в нуль в точках 1 и 1. Область определения этой функ-
ции вся числовая прямая, за исключением нулей зна:\fенателя,
т. е. точек 2 и 3. Эти точки и точки 1 и 1 разбивают область
определения f на 5 промежутков (рис. 90), в каждом из которых
функция f непрерывна и не обращается в нуль. На рисунке отме-
чен знак f в каждом из соответствующих интервалов, который
определяем, найдя знаки значений f во внутренних точках интер-
валов. Неравенство HeCTporoe, поэтому числа 1 и 1 (нули функ-
ции {) являются решениями неравенства. Рассматривая рисунок,
можно записать о т в е т: множество решений неравенства объ-
единение промежутков ( oo; 1], [1; 2) и (3; 00).
При м е р 2. Найдем один из корней уравнения х 3 + 2х
2 = О с точностью до 0,1.
Функция f (х) = х 3 + 2х 2 непрерывна, поэтому достаточ-
но найти отрезок длиной 0,2, на концах KOToporo { имеет зна-
чения разных знаков. Имеем f (1) = 1 > О, f (О) = 2 < О, поэтому
корень уравнения существует и он принадлежит отрезку [о; 1].
f (0,6) = 0,63 + 2 . 0,6 2 = 0,584 < О и f (1) > о, значит, корень
лежит на отрезке [0,6; 1]. Наконец, f (0,8) = 0,112 > о, а f (0,6) < о,
получили, что корень на отрезке [0,6; 0,8]. Теперь мы можем ero
найти: Хо =::: 0,7 с точностью до 0,1.
3. Пример функции, не являющейся непрерывной. Прак-
тически все функции, с которыми вы встречались до сих пор, не-
прерывны в любой точке своей области определения. Не следует,
однако, считать, что это верно для любой функции.
Приведем при м ер. РаСС:\iОТРИ:\i функцию f (х) = {х}, rде
{х} дробная часть числа х (rрафик f (х) = {х} изображен на ри-
сунке 91, а), и возьме:\f любую целочисленную точку оси абсцисс,
например х = 2.
11
у= Ixl
2 1 О 1 2 х О х
а) б)
Рис. 91
114 ПРОИЗВО,1llая и ее при '\fСИСIIИЯ
Основное свойство непрерывной в точке Хо функции
(1 (х о + x) f (х о ) при дх о) в ЭТО:\{ случае не выполняется.
Действительно, пусть дх о. Если дх > О, то {Х о + дх} близко к
нулю. Если же дх < О, то значения {х о + дх} близки 1< 1. В то же
вре'\1:Я функция 1 (х) = {х} непрерывна во всех точках, отличных от
точек х = п, {'де п целое число.
Это свойство функции f (х) = {х} нетрудно понять, рассмотрев
рисунок 91, а.
4. Пример функции, непрерывной, но не дифференцируе
мой в данной точке. Примером такой функции является функция
f (х) = 'хl (рис. 91, б), которая непрерывна, но не дифференцируе
ма в нуле. Напомним, что
I I { х, если х о,
(х)= х =
I x, если х < о.
Непрерывность функции f (х) = I хl в любой точке (в том чис
ле и в нуле) очевидна.
Рассмотрим rрафик этой функции. Для любоrо х > О в HeKO
торой окрестности точки Хо > О функция равна х, и поэтому произ
водная ее в таких точках равна х', т. е. 1 х l' = 1 при х > о. Так как
1 Х I = x при х < о, то 1 х l' = 1 при отрицательных значениях х.
В точке О функция f (х) = I х I не имеет производной.
Докажем это методом от противноrо. Допустим, что f (х) = I Х 1
8/(0)
имеет производную в нуле, т. е. 8Х стремится к некоторому
числу А при дх о. Тоrда при всех достаточно малых 'дхl зна
чения 8/ близки к А, и, в частности, при малых значениях дх
6х
должно выполняться неравенство 1 lJ. ) А I < 1.
При дх > о справедливо неравенство 11 AI < 1, откуда
1 < 1 А < 1, т. е.
о < А < 2.
(1)
Для дх < О справедливо неравенство ' 1 АI < 1, откуда
1 < 1 ,А < 1, т. е.
2 < А < о. (2)
Неравенства (1) и (2) противоречивы. Следовательно, наше
допущение о существовании производной функции f (х) = 1 х 1 в HY
ле неверно.
Итак,
1 1 при х>О,
Ixl' = не существует при Х = о,
l 1 при х < о.
125 ПроиаВОДllая и ее ПрИ'\fеllеllИЯ
Упражнения
241. Является ли функция I непрерывной в точках х 1 = О
И Х 2 = 1, если:
а) f (х) = х 4 Х + 1;
{ Х + 1 при х l,
б) {(х)= .
х2 Х при х > 1;
В) {(х)= { 1 x2 при х<о,
5 2x при х о;
242. Найдите промежутки непрерывности функции:
а) f (х) = х з 2х 2 ; б) f (х) = х З + 27 ;
3 х + х 2
в) f(х)=2х4 Зх2+4; 1') ((x)= x2 5x+6 .
хЗ 8
1') f (х) = 2х х 2 + х з ?
243 Докажите, что данное уравнение имеет корень, принадле-
жащий отрезку [о; 1], и найдите ero с точностью до 0,1:
а) 1,4 10х 2 х З = о; б) 1 + 2х2 100х 4 = о;
в) х З 5х + 3 = о; 1') х 4 + 2х 0,5 = о.
Решите неравенства (244 245).
244. а) х 2 5х + 4 > о; б) х+3 о;
х 2 + 4 х 5
в) х 2 3х 4 о; 1') х 2 7 х + 6 < о.
x 2
245. а) (х 2)(x 4) о; б) 8 < 1;
х 2 + 2 х 3 х 2 6x+ 8
в) 2 х 2 + 5 х 1; 1') х 2 2x 3 < о.
х 2 + 5 х + 4 (х+ 3)(x 4)
246. Найдите область определения функции:
а) {(х) = Jx t ; б) {(X)= J 3 +1;
x 3 x2 4
в) { (х) = J х2 + 7: + 12 ; 1') { (х) = Jl 8 .
х 2 1
247. При каких значениях т функция f непрерывна на всей
числовой ПРЯМОЙ, если:
{ 4 х при х < 4, х 2 3х
а) {(х) = б) {(х) = ;
(х т)2 при х 4; х 2 т
в) f (х) = { Зх2 + т при х <; о, 1') f (х) = 5 х ?
х + 2 при Х > о; х 4 + т
126 ПРОИЗВОДllая и ее ПрН'\fеllеllИЯ
Решите неравенства (248 249).
248. а) х 4 10х 2 + 9 <; о; б) х 4 8 7х 2 ;
в) х 4 5х 2 + 6 > о; 1') 5х 2 4 > х4.
249. а) (х 2 1) (х + 4) (х З 8) <; о; б) J x2 4 (х З) < о;
в) х 2 (3 х) (х + 2) > о; 1') (х 2)3 (х + 5) ;;. о.
( х + 3)2
250. Найдите об ласть о пределения функции:
а) f( х) = "9 х х 3 ; б) f (х) = х 2 ;
В) f(x)=vI6 x3; r) (X)= 1 27 .
х З
19. Касательная к rрафику функции
1. Касательная. С понятием касательной к rрафику
функции вы уже знакомы. rрафик дифференцируемой в точке хо
функции f вблизи хо практически не отличается от отрезка Kaca
тельной, а значит, он близок к отрезку секущей l, проходящей
через точки (х о ; f (х о » и (х о + L\x; f (х о + L\x». Любая из таких ce
кущих проходит через точку А (х о ; f (х о » rрафика (рис. 92). Для
Toro чтобы однозначно задать прямую, проходящую через данную
точку А, достаточно указать ее уrловой коэффициент. Уrловой
коэффициент y секущей при lJ.x О стре:\fИТСЯ к числу (' (х о )
дх
(ero мы примем за уrловой коэффициент касательной). rоворят,
что касательная есть предельное положение секущей при дх о.
Если же (' (х о ) не существует, то касательная либо не сущест
вует (как у функции у = Ixl в точке (о; о), рис. 91, 6), либо верти
кальна (как у rрафика у = в точке (о; о), рис. 93).
Итак, существование производной функции f в точке хо экви
валентно существованию (невертикальной) касательной в точке
(х о ; f (х о » rрафика, при этом уzловоu коэффициент касательной
равен f (х о ). в этом состоит zео.метрuческий С.lrfЫСЛ производной.
у
11
х
ХО ХО +..\х х
Рис. 92 Рис. 93
127 ПРОИ.JВОДllая и ее ПрИ'\fеllеllИЯ
Касательная к rрафику дифференцируемой в точ-
ке Хо функции f это прямая, проходящая через
точку (хо; f (хо» и имеющая уrловой коэффициент
{' (х о ).
Проведем касательные к rрафику функции f в точках х l' Х 2 '
Х З (рис. 94, а) и отметим уrлы, которые они образуют с осью
абсцисс. (Это уrол, отсчитываемый в положительном направлении
от положительноrо направления оси до прямой.) Мы видим, что
уrол а 1 острый, уrол аз тупой, а уrол а 2 равен нулю, так как пря-
мая l параллельна оси ОХ. TaHreHc oCTporo уrла положителен, TY
поrо отрицателен, tg 0=0. Поэтому
" (х 1) > о, {' (х 2 ) = о, " (х з ) < о.
Построение касательных в отдельных точках позволяет более
точно строить эскизы rрафиков. Так, например, для построения
эскиза rрафика функции синус предварительно находим, что
в точках о; .!!. и 7t производная синуса равна 1; О и 1 соответствен-
2
но. Построим прямые, проходящие через точки (о; о), ( ; ; 1)
и (п; о) С уrловыми коэффициентами 1, О и 1 соответственно
(рис. 94, 6). Остается вписать в полученную трапецию, образован-
ную этими прямыми И прямой ОХ, rрафик синуса так, чтобы при
х, равном о, .!!. и п, он касался соответствующих прямых.
2
Отметим, что rрафик синуса в окрестности нуля практически
неотличим от прямой у = х. Пусть, например, масштабы по осям
выбраны так, что единице соответствует отрезок в 1 см. Имеем
sin 0,5 0,479425, т. е. I sin 0,5 0,51 0,02, и в выбранном
масштабе это соответствует отрезку длиной 0,2 мм. Поэтому в ин-
тервале ( 0,5; 0,5) rрафик функции у = sin х будет отклоняться
(в вертикальном направлении) от прямой у = х не более чем
на 0,2 мм. что примерно соответствует толщине проводимой ли-
нии.
у
х
о
n
2
х
а)
б)
Рис. 94
128 ПрОlfаПО111ан н ее nplf'\ICIIClllfH
2. YpaBHeHlle касательной. Выведем теперь уравнение Kaca
тельной к rрафику функции f в точке А (х о ; f (х о ».
Уравнение прямой с уrловым коэффициентом " (х о ) имеет
вид:
у = " (Х о ) . х + Ь.
ДЛЯ вычисления Ь воспользуемся тем, что касательная про
ходит через точку А:
f (х о ) = " (х о ) . хо + Ь, откуда Ь = f (х о ) {' (х о ) . хо,
значит, уравнение касательной таково:
или
у = " (х о ) . х " (х о ) хо + f (х о )'
11 При м ер 1. Найдем уравнение касательной к rрафику
функции f (х) = х З 2х2 + 1 в точке с абсциссой 2.
В этом примере хо = 2, f (х о ) = f (2) = 2 З 2 22 + 1 = 1,
" (х) = зх 2 4х, " (Х о ) = {' (2) = 3 . 22 4 . 2 = 4. Подставляя эти
числа в уравнение (1), получаем уравнение у = 1 + 4 (х 2), т. е.
у = 4х 7.
При м е р 2. Выведем уравнение касательной к параболе
у = х 2 В точке с абсциссой хо.
Имеем у (х о ) = х3, а у' (х о ) = 2хо. Подставляя эти значения
в уравнение (1) касательной, получаем у = xg + 2х о (х х о )' т. е.
у = 2хох Х5. Например, при хо = 1 получаем касательную, имею
щую уравнение у = 2х 1.
Найдем координаты точки Т пересечения касательной к па
раболе в точке А (х о ; xg) с осью Ох (рис. 95). Если (x 1 ; О) KOOp
динаты точки Т, то, поскольку Т принадлежит касательной
(и, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной),
О 2 2 Е О Хо
И'\iее'\i XOXl хо. сли хо:# ,то Х 1
2
Нетрудно обосновать способ построения касательной к произ
вольной параболе в любой ее точке А (кроме вершины): достаточно
соединить точку А с точкой Т, делящей от-
резок оси Ох с концами О и хо пополам;
прямая АТ искомая касательная. При
хо = О касательная это прямая Ох. 111
3. Формула Лаrранжа. Воспользуем
ся rеометрическим смыслом производной,
чтобы дать наrлядные пояснения справед-
ливости Toro, что существует касательная
к rрафику f в точке с абсциссой с из интер-
вала (а; Ь), параллельная секущей, прохо-
дящей через точки А (а; f (а», в (Ь; f (Ь».
у = f (х о ) + f' (х о > (х х о ).
129 ПРОИ.JВОДI13Я И ее примеllеllИJl
(1)
у
у=х 2
А
о
т ХО
х
Рис. 95
'с
х
о (J
с
ь
х
а)
б)
Рис. 96
Рассмотрим прямую 1, параллельную АВ и не имеющую об-
щих точек с частью rрафика, соответствующей промежутку [а; Ь].
Будем перемещать эту прямую 1 по направлению к rрафику f
так, чтобы она оставалась параллельной АВ. Зафиксируем поло-
жение 10 этой прямой в момент, коr да у нее появятся общие точки
с этой частью rрафика. Из рисунка 96, а видно, что любая из Ta
ких <с первых. общих точек точка касания прямой lo с rрафи
ком {. Обозначим абсциссу этой точки через с. Тоrда {' (с) = tg а,
rде а уrол между прямой 10 и осью абсцисс. Но 111 АВ, поэтому
уrол а равен уrлу наклона секущей АВ, Т. е.
{' (с) = tg а = f ( ь ) f ( а )
Ь a
Итак, если функция дифференцируема, то на интервале
(а; Ь) найдется такая точка с Е (а; Ь) (рис. 96. б), что
f' (с) = f ( Ь) .. f ( а) .
Ь a
Эта формула называется фор-м-улой Лаzранжа.
Упражнения
251. В каких точках rрафика функции f (рис. 97) касательная
к нему:
а) rоризонтальна;
б) образует с осью абсцисс острый уrол;
в) образует с осью абсцисс тупой уrол?
252. При каких значениях aprYMeHTa (отмеченных на оси абс-
цисс) производная функции, заданной rрафиком (рис. 98):
а) равна нулю; б) больше нуля; в) меньше нуля?
Найдите TaHreHC уrла наклона к оси абсцисс касатель
ной, проходящей через данную точку М rрафика функ
ции f (253 254).
253. а) f (х) = х 2 , М ( 3; 9); б) {(х) = i х 3 х, М ( 2; ):
в) f (х) = х З , 1'\1 ( 1; 1); r) f (х) = х 2 + 2х, 1\1 (1; 3).
130 ПРОИ3ВОlная и ее прнменення
а)
у
с
F
о
Е
в)
Рис. 97
а)
у
в)
Рис. 98
254. а) f (х) = 2 cos х,
М ( л . о ) .
2 ' ,
б) f (х) = tg х, М (п; О);
В) f (х) = 1 + sin х, М (п; 1);
1') f (х) = cos х, J.'\1 ( п; 1).
х
х
Е
в
б)
х
х
с
r)
у
х
б)
х
r)
131 Произво"{ная и ее применения
Напишите уравнение касательной к rрафику функции f
в точке с абсциссой хо (255 256).
255 а) f (х) =!, Хо = 1, хо = 1;
х
б) f (х) = 2х х 2 , ХО = О, хо = 2;
в) {(х) = х 2 + 1, хо = О, хо = 1;
1') f(х)=хз 1, xo= I, хо=2.
256. а) f (х) = 3 sin х, хо = .!!., хо = п;
2
б) f (х) = tg х, хо = , хо = ;
4 3
в) {(х) = 1 + cos х, хо = О, хо = .!!.;
2
1') f (х) = 2 sin х, хо = .!!., хо = п.
2
Найдите точки rрафика функции {, в которых касательная
параллельна оси абсцисс (257 258).
257. а) f(х)=хЗ зх2+зх; б) {(x)= x4+16x;
в) f (х) = 3 х 4 6 х 2 + 2; 1') f (х) = х З 3х + 1.
258. а) {(х) = 2 cos х + х; б) {(х) = sin 2х + J3 х;
В) !(х)=сos( x ): r) !(x)=J2x 2 sinx.
259. Под каким уrлом пересекается с осью Ох rрафик функции:
а) Нх) Зх х з ; б) ! (х) = sin ( х + ):
в) f (х) = х 2 3х + 2; 1') f (х) = cos х?
260. Под каким уrлом пересекается с осью Оу rрафик функции:
а) f (х) = ; б) f (х) = ! tg ( х .!! ) ;
x l 2 4
В) ! (х) t(x 1)2; r) ! (х) sin (2Х + )1
20. Приближенные вычисления
Пусть, например, требуется вычислить приближенное
значение функции
f (х) = х 7 2х 6 + зх 2 х + 3
в точке х = 2,02. Значение f в близкой 1< 2,02 точке хо = 2 находит
ся леrко: f (2) = 13. rрафик f в окрестности точки 2 близок к пря
мой у = f (х о ) + {' (х о ) (х хо) касательной к нему в точке с абс
циссой 2. Поэтому f (2,02) у (2,02). Имеем {' (х) = 7х 6 12х 5 +
+ 6х 1, {' (х о ) = {' (2) = 75 и f (х) у (х) = 13 + 75 . 0,02 = 14,5.
132 Производная и ее применения
Вычисления на калькуляторе дают результат f (2,02) :::::
14,57995.
Вообще для дифференцируемой в точке хо функции f при /).х,
мало отличающихся от нуля, ее rрафик близок к касательной
(проведенной в точке rрафика с абсциссой х о )' т. е. при малых /).Х
f (х) ::::: f (х о ) + (' (х о ) /).х.
(1)
Если точка хо такова, что значения f (х о ) и {' (х о ) нетрудно
вычислить, то формула (1) позволяет находить приближенные зна-
чения f (х) при х, достаточно близких к хо. Так, при вычислении
значения .J4,08 естественно взять в качестве хо число 4, так как
4,08 близко к 4 и значения { (х о ) = jX; и {' (х о ) = }х;- при хо = 4
2 Хо
найти нетрудно: f (4) = J4 = 2, {' (4) = 1(7 = .!. По формуле (1) при
2 '\14 4
x = 0,08 получаем:
.J4,08 ::::: 2 + !. 0,08 = 2,02.
4
_ При м ер 1. Выведем из формулы (1) приближенную формулу
.J l+ 8Х 1 + !дх. (2)
2
Возьмем f (х) = Е, хо = 1 и х = хо + дх = 1 + дх. Имеем
f (х о ) = .J1 = 1 и {' (х) = lr ' откуда {' (х о ) = {' (1) .:: !. По фор
2vx 2
муле (1)
f (х) = .J 1 + /)"Х 1 + ! /)"х.
2
В частности, ..Jl,06 = .J l + 0,06 ::::: 1 + . 0,06 = 1,03.
Значение К08 также можно найти по формуле (2):
.j4,08 2.j l,02 .. 2 (1 + .0,02 ) = 2,02.
При м е р 2. Выведем из формулы (1) приближенную фор
мулу
(1 + дх)n 1 + nдх.
(3)
Полаrаем {(х) = х n , ХО = 1 и х = хо + x = 1 + дх. Находим
{(х о ) = 1, {' (х) = nх n 1, откуда {' (х о ) = n. По формуле (1)
f (х) = (1 + /)"х)n ::::: 1 + n /)"Х .
Например, 1,001100 = (1 + о,ООI)IОО 1 + 100 .0,001 = 1,1.
Значение 1,001100, вычисленное на калькуляторе, равно
1,10512.
133 Производная и ее при:wеllения
При м е р 3. Для вычисления значения 1 удобно БОС-
0,997 oSU
пользоваться формулой (3) при n = зо, дх = 0,003:
1 = (1 о,ооз) зо 1 + ( 30) . ( 0,003) =
о,997 ЗО
= 1 + 0,09 = 1,09.
Формулой (1) часто пользуются для вычисления прибли
женных значений и друrих элементарных функций, например
триrонометрических. Так, для вычисления sin 10 удобно взять
f (х) = sin х, хо = О, при этом дх = ( так как 1 = ) .
180 180
Имеем f (х о ) = sin О = о, {' (х о ) = cos О = 1 и
sin х :::: f (х о ) + {' (х о ) дх = о + 1 . дх = x,
т. е. sin 1 О:::: 1 0 :::: 0,017453. Вычисляя значение sin 10 на кальку-
ляторе, получаем sin 1 о 0,0174525.
Упражнения
261. Вычислите с помощью формулы (1) приближенные значе-
ния функции f в точках х 1 и х 2 :
а) f (х) = х 4 + 2х, Х 1 = 2,016, Х 2 = 0,97;
б) f (х) = х 5 х 2 , Х 1 = 1,995, Х 2 = 0,96;
в) f (х) = х З Х, Х 1 = 3,02, Х 2 = 0,92;
1') f (х) = х 2 + 3х, Х 1 = 5,04, Х 2 = 1,98.
Вычислите с помощью формулы (1) и (3) приближенные
значения (262 263).
262. а) 1,002100; б) 0,9956; в) 1,03200; 1') 0,99820.
263. а) v 1,004; б) " 25,О12; в) .J O,997; 1') ,,4,0016.
Вычислите с помощью формулы (1) приближенные значе-
ния (264 266).
264. а) tg 440; б) cos 61 о; в) sin 31 о; 1') ctg 470.
265. а) cos ( + 0,04 ): б) sin ( 0,02 ):
в) sin ( + 0,03 ): 1') tg ( + 0,05 )-
266. а) 1 б) 1 в) 1 r) 1
, , 0,9945
1,00з20 0,99640 2,0016 З
134 Производная и ее ПРИ'\fенения
21. Производная в физике и технике
1. Механический смысл ПрОlf3ВОДНОЙ. Напомним, как
определялась скорость движения в курсе физики. Расс отри
самый простой случай: материальная точка движется по коорди
натной прямой, причем задан закон движения, т. е. координата х
этой точки есть известная функция х (t) времени t. За промежуток
времени от t o до t o + t перемещение точки равно х ОО + t)
х оо) = X, а ее средняя скорость такова:
v ( дt) = t!x .
ер At
(1)
При t < О формула (1) также верна: перемещение равно
х оо) х ио + Llt) = /::..x, а продолжительность промежутка времени
равна t.
Обычно характер движения бывает таким, что при малых дt
средняя скорость практически не меняется, т. е. движение с боль
шой степенью точности можно считать равномерным (см. пример
п. 13). Друrими словами, значение средней скорости при Llt О
стремится к некоторому вполне определенному значению, которое
и называют Аf2новен.ной скоростью v оо) материальной точки в MO
мент времени t o . Итак,
v ( t) = 8Х v (t o ) П р и At о.
ер At
Но по определению производной
Ах
At
х' (t O ) при t
о.
Поэтому считают, что мrновенная скорость v (t) определена
(только) для любой дифференцируемой функции х (t), при этом
v (t) = х' (t).
(2)
Коротко rоворят: производная от координаты по Bpe
мени есть скорость. В этом состоит механический
с-мысл nРОUJводной.
Мrновенная скорость может принимать как положительные,
так и отрицательные значения и, конечно, значение о. Если CKO
рость на како -либо промежутке времени (t 1; t 2 ) положительна,
то точка движется в положительном направлении, т. е. координа
та растет с течением времени, а если v (t) отрицательна, то коорди
ната х (t) убывает.
Аналоrичное положение и с ускорением движения. Скорость
движения точки есть функция от времени t. А производная этой
функции называется ускорением движения:
а = и' (t).
Коротко rоворят: производная от скорости по BpeMe
ни есть ускорение.
135 ПрОltаПО111ан и СС ПРIПIСIIСIlItН
11 При м ер 1. Рассмотрим свободное падение материальной
точки.
Если координатную прямую направить вертикально вниз,
а начальное положение материальной точки совпадает с О, то,
gt2
как известно из физики, х (t) = 2. Тоrда скорость падения точ
ки в момент времени t равна
( gt2 ) '
V = 2 = gt,
а ускорение а = (gt)' = g есть величина постоянная. Рассмотри'\1: бо-
лее общий случай.
При м ер 2. Пусть зависимость координаты точки, движу
щейся по прямой, от времени выражается формулой
x(t) =!!.t 2 +v o t +Х О '
2
rде а ::J:. О, V o И ХО постоянные. Найдем скорость и ускорение дви-
жения.
Скорость этоrо движения такова:
V X'(t)=( t2+vot+XO )'=2' t+vo at+vo.
Так как нам известна скорость движения как функция Bpe
мени, мы можем найти ускорение 3Toro движения: и' (t) =
= (at + и о )' = а. Мы видим, что ускорение при движении по KBaдpa
тичному закону постоянно и равно а. Если а > О, то это paBHOYCKO
ренное движение; если же а < О, то равнозамедленное. ОТ'\1етим
также, что и о = v (О), а Хо = х (О).
В rлаве 111 мы докажем, что если при движении по прямой
ускорение а постоянно, то движение происходит по квадратичному
закону:
х (t) = а t 2 + vot + хо'
2
rде V o начальная скорость точки, а ХО начальная координата.
Пусть у = f (х) произвольная дифференцируемая функция.
Тоrда мы можем рассмотреть движение материальной точки по KO
ординатной прямой, совершаемое соrласно закону х = f (t). Mexa
нический смысл производной позволяет дать наrлядную интерпре
тацию теорем дифференциальноrо исчисления.
11 При м е р 3. Пусть f и h две дифференцируемые функ
ции. Рассмотрим следующее (относительное) движение по пря
мой. Дана подвижная система координат, связанная с поездом,
начало которой (кабина машиниста) движется относительно нача
ла неподвижной системы координат (станции) по закону X 1 = f (t).
В подвижной системе координат материальная точка совершает
136 Производная и ее ПРИ'fенения
движение по закону Х 2 = 11 (t). Тоrда координата х ЭТОЙ точки отно-
сительно неподвижной системы координат равна х = Х 1 + Х 2 ' а ее
скорость v (t) равна х' (t). С друrой стороны, по закону сложе
ния скоростей v (t) = и 1 (t) + и 2 (t) = Х) (t) + X (t). Итак, мы полу
чили с помощью механическоrо смысла производной известную
формулу:
({+ h)' = {' + h'.
При м е р 4. Пусть материальная точка движется по KOOp
динатной прямой соrласно закону х = { (t).
Средняя скорость этой точки на промежутке (а; Ь] равна
{(b) {(а)
v ер = Ь а
Мrновенная скорость v (t) в точках промежутка (а; Ь] не может
быть все время меньше (больше) средней. Значит, в какой-то MO
мент t o Е (а; Ь] 'Irновенная скорость равна средней, т. е. в ПрО'\1е
жутке (а; Ь] найдется такое t o , что
v (t o > = {' (t o ) = f (b) {(а) .
b a
(3)
Мы получили механическую интерпретацию формvлы Ла
rранжа.
2. Примеры применения производной. С помощью произ
водных функций, характеризующих физические явления, задают-
ся и друrие физические величины. Например, мощность (по опре
делению) есть производная работы по времени.
Рассмотрим пример.
_ При м ер 5. Пусть дан неоднородный стержень, причем из
вестна масса т (/) любоrо ero куска длиной 1 (1 отсчитывается
от фиксированноrо конца стержня) Хотя стержень неоднороден,
естественно полаrать, что плотность ero небольшой части (на уча
стке от I до 1 + 81) примерно одна и та же (t;.7 ) и чем меньше 81,
тем в меньших пределах на этом участке изменяется плотность.
ПОЭТО:\iУ за характеристику распределения плотности стержня
в заВИСИ'\10СТИ от 1 принимают линейную плотность d (/) = т' (l).
При м е р 6. В большинстве задач механики рассматрива
ются движения точки на плоскости или в пространстве. Тоrда CKO
рость векторная величина. Оказывается, что если координаты
точки в момент t равны х (t) и У и), то координаты вектора v (t)
скорости равны х' (t) и у' и). Пользуясь этим, можно вывести фор
мулы производных триrонометрических функций на основе кине
матики.
Рассмотрим равномерное движение по окружности радиу
са 1 в направлении против часовой стрелки с уr ловой CKOpO
стью 1 (рис. 99). Тоrда координаты точки М в момент времени t
137 п роизводная и ее применения
11
у
о
х
I
Р
Рис. 99
Рис. 100
T
А
х
таковы: х (t) = cos t, У (t) = sin t. Как вы знаете из курса физики,
вектор скорости v (t) направлен по касательной к окружности,
а ero длина равна 1 (v (t) = roR = 1 . 1 = 1). Следовательно, этот
вектор совпадает с вектором ОР п' координаты KOToporo равны
,+
2
сов (t + ; ) sin t и sin (t + ) сов t. С друrой СТОРОНЫ, КООР.
динаты вектора v и) равны соответственно х' (t) (т. е. cos' t) и у' (t)
(т. е. sin' t). Получаем известные формулы:
cos' t = sin t, sin' t = cos t
При м е р 7. Выведем свойство параболы, имеющее приме-
нение в оптике и технике.
Поверхность, получающаяся при вращении параболы у = ах 2
вокруr оси Оу, называется параболоидом вращения. Представим
себе, что внутренняя поверхность параболоида зеркальная по
верхность и это параболическое зеркало освещается пучком лучей
света, параллельных оси Оу.
Рассмотрим сечение этоrо зеркала плоскостью (Х, проходя-
щей через ось Оу. Это сечение представляет собой такую же
параболу у = х 2 (ось Ох выбираем в плоскости сечения, а = 1).
Соrласно законам оптики отраженный луч света будет лежать в
плоскости а, приче этот луч образует с касательной к параболе
такой же уrол, как и падающий луч МА (рис. 100).
Докажем, что все лучи, параллельные оси Оу, после отра-
жения пересекутся в одной точке оси Оу.
Обозначим через F точку пересечения произвольноrо отра.
женноrо луча с осью Оу. Прямая АТ касательная к параболе
138 ПРОИЗВОlная и ее ПРИ'fенения
в точке А. Из законов отражения света (рис. 100) сразу следует,
что LTAM = LFAP. Но луч МА параллелен оси Оу, поэтому
LFPA = LTAM. Следовательно, LFPA = LFAP, т. е. треуrольник
FPA равнобедренный и FA = FP. Точка А (х о ; Уо) лежит на пара-
боле, поэтому Уо = х3. Уравнение касательной АТ имеет вид
У = 2хох xg. Из Hero найдем ординату У р точки Р. Она равна
Ур = 2х о . О X , т. е. Ур = Yo. Если орд инату точки F обозначи'\1
через У, то FP = У + уо. Длина FA = J X + (уо у)2, И поэтому
(вспомним, что FA = FP) верно равенство (У + уо)2 = x + (уо у)2,
2 2 2 2 2 2 4
т. е. У + УУО + уо уо + уо УУО + у, откуда УУО уо' и, по-
скольку уо *- О, получаем У = !.
4
Итак, все лучи, параллельные оси параболическоrо зеркала,
после отражения сходятся в одной точке, которую называют фоку
CO"tt параболическоzо .зеркала (точку F называют также фОКУСО"'!
nараt50ЛЫ У = х 2 ).
На этом свойстве основано устройство параболических теле-
скопов. Лучи от далеких звезд приходят 1< нам в виде параллель-
Horo пучка. Изrотовив параболический телескоп и поместив в ero
фокус фотопластинку, мы получаем возможность усилить свето-
вой сиrнал, идущий от звезды. Этот же принцип лежит в основе
создания параболических антенн, позволяющих усилить радиосиr-
палы.
Если же поместить в фокусе параболическоrо зеркала источ-
ник света, то после отражения от поверхности зеркала лучи,
ИДУlЦие от этоrо источника, не будут рассеиваться, а соберутся
в узкий пучок, параллельный оси зеркала. Этот факт находит при-
менение при изrотовлении прожекторов и фонарей, различ-
ных проекторов, зеркала которых изrотавливают в форме пара-
болоидов.
Упражнения
267. Материальная точка движется прямолинейно по закону
х (t) = ! t З + 2t 2 + 5t. а) Выведите формулу для вычисле-
3
ния скорости движения в любой момент времени t. б) Най-
дите скорость в момент t = 2 с. (Перемеlцение измеряется
в метрах.) в) Через сколько секунд после начала движения
точка остановится?
268. Материальная точка движется прямолинейно по закону
х (t) = t З 4t 2 . Найдите скорость и ускорение в момент
t = 5 с. (ПеремеlЦение измеряется в метрах.)
139 Прои.JВОДllая и сс ПРИМСIIСIIИЯ
269.
270.
271.
272.
273.
274.
275.
276.
277
278.
Вращение тела вокруr оси совершается по закону
Ф (t) = 3t 2 4t + 2. Найдите уrловую скорость (1) (О в произ
вольный момент времени t и при t = 4 с. (q> (t) уrол в ра-
дианах, (1) (t) скорость в радианах в секунду, t время
в секундах.)
Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачива.
ется на уrол q> (t) = 4t 0,3t 2 . Найдите: а) уrловую ско-
рость (1) (t) вращения маховика в момент времени t = 2 с;
б) такой момент времени, коrда маховик остановится.
«.о (t) уrол в радианах, t время в секундах.)
Точка движется прямолинейно по закону х (t) = 2t З + t 1.
Найдите ускорение в момент времени t. В какой момент
времени ускорение будет равно: а) 1 см/с 2 ; б) 2 см/с 2 ?
(х (t) перемещение в сантиметрах, t время в ceKYH
дах. )
Точка движется прямолинейно по закону х (t) = + 3 t 2 5
6
(время измеряется в секундах) координата в метрах).
Найдите: а) момент времени t, коrда ускорение точки рав-
но нулю; б) скорость движения точки в этот момент.
Точка движется прямолинейно по закону х (t) =.Ji Пока-
жите, что ее ускорение пропорционально кубу скорости.
Найдите силу F, действующую на материальную точку
с массой т, движущуюся прямолинейно по закону
х (О = 2t З t 2 при t = 2.
Тело массой 2 Кr движется прямолинейно по закону
х (t) = t 2 + t + 1. Координата х измеряется в сантиметрах,
время t в секундах. Найдите: а) действующую силу;
б) кинетическую энерrию Е тела через 2 с после начала
движения.
Известно, что для любой точки С стержня АВ длиной
20 см, отстоящей от точки А на расстояние 1.. масса KYC
ка стержня АС в rраммах определяется по формуле
m ([) = 312 + 51. Найдите линейную плотность стержня:
а) в середине отрезка АВ; б) в конце В стержня.
По прямой движутся две материальные точки по законам
Х 1 (t) = 4t 2 3 и Х 2 (t) = t З . В каком промежутке времени
скорость первой точки больше скорости второй точки?
Из пункта О по двум лучам, уrол между которыми 60 ,
движутся два тела: первое равномерно со скоростью
5 км/ч, второе по закону 8 (t) = 2t 2 + t. С какой скоро-
стью они удаляются друr от друrа? (8 измеряется в кило-
метрах, t в секундах.)
140 ПРОИ3ВО;J.llая и ее ПрИ:\IСIIСIIИЯ
э 6.
Применения производной
к исследованию функции
22. Признак возрастания (убывания)
функции
В п. 6 вы видели, что одна из основных задач ис-
следования функции это нахождение промежутков ее возраста-
ния и убывания. Такое исследование леrко провести с помощью
производной. Сформулируем соответствующие утверждения.
Достаточный признак во растания функ
Ц И И Если f (х) > о в КdЖДОЙ 1"O'lKe ИИ1'ерВdJld 1.
то фУIIКЦИЯ f возрастает lIa 1.
Достаточный признак убывания функ..
Ц и и ЕСЛIf " (х) < о в каЖДОIf точке ИlIтервала 1,
то фУIIКЦИЯ f убывает lIa 1.
Доказательство этих признаков проводится на основании
формулы Лаrранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х 1 И Х 2
из интервала. Пусть X 1 < Х 2 . ПО формуле Лаrранжа существует
число с Е (X 1 ; х 2 ), такое, что
f (Х2 ) f (Х1) = " (с).
Х2 Хl
(1)
Число с принадлежит интервалу 1, так как точки Х 1 И Х 2 при-
надлежат 1. Если {' (х) > о для х Е 1, то {' (с) > о, и поэто-
му f (X 1 ) < f (Х 2 ) это следует из формулы (1), так как
Х 2 Х 1 > о. Этим доказано возрастание функции f на 1. Если же
f (х) < о для Х Е 1, то {' (с) < о, и потому f (х 1 ) > f (х 2 ) следу-
ет из формулы (1), так как Х 2 Х 1 > о. Доказано убывание функ-
ции f на 1.
Наrлядный смысл признаков ясен из физических рассужде-
ний (рассмотрим для определенности признак возрастания).
Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t
имеет ординату у = f (t). Тоrда скорость этой точки в момент
времени t равна {' (t) (см. п. 21). Если " (t) > О в каждый момент
времени из промежутка 1, то точка движется в положительном Ha
правлении оси ординат, т. е. если t 1 < t 2 , то f (t 1) < f (t 2 ). Это озна-
чает, что функция f возрастает на промежутке 1.
141 Проиаводная и ее ПРИ:\lенения
11 При м е р 1. Найдем промежутки возрастания (убывания)
и построим rрафик функции f (х) = х х З .
Данная функция определена на множестве всех действитель
ных чисел. Из равенства {' (х) = 1 зх 2 следует, что {' (х) > О,
если 1 зх 2 > о. Решая это неравенство методом интервалов
(рис. 101, а), получим, что " (х) > О на интервале ( Jз ; Jз ). и,
значит на этом интервале f возрастает.
Аналоrично " (х) < О на интервалах ( oo; Jз ) и ( Jз ; 00 ).
поэтому на этих интервалах f убывает. Далее вычислим значения f
в точках 1 и :
,,3 .J3
,( Jз )= Jз ( Jз )3 = 3 ; '( Jз ) Jз ( Jз )3 = 3 '
На координатной плоскости отметим точки М ( Jз ; 3 ) и
N ( Jз ; 3 ) и нарисуем проходящий через них ["рафик функции,
возрастающей на интервале ( Jз ; Jз ) и убывающей на интерва-
лах ( oo; Jз ) и ( Jз ; 00 ) (рис. 101, б).
Из рисунка видно, что функция {, непрерывная в точках
Jз и Jз , возрастает на отрезке [ Jз ; Jз ] и убывает на про-
+ межутках ( OO; Jз ] и [ Jз ; 00 )-
З а м е ч а н и е 1. Если функ
ция f непрерывна в каком-либо из
концов промежутка возрастания
(убывания), то эта точка тоже BXO
дит В промежуток возрастания (убы
вания) (как точки Jз и Jз в при
мере 1). Мы примем этот факт без
доказательства.
Замечание 2. Для решения
неравенств {' (х) > о и {' (х) < о
удобно пользоваться обобщением Me
тода интервалов (теоремой Дарбу):
точки, в которых производная paB
а)
1
1
у
м
б)
Рис. 101
х
142 ПРОИ.Jводная и ее прнменения
на О или не существует, разбивают область определения функции f
на промежутки, в каждом из которых {' сохраняет постоянный
знак. (Этот факт доказывается в курсах математическоrо анализа.)
Знак можно определить, вычислив значение {' в какой-нибудь точ-
ке промежутка.
_ При '\f ер 2. Найдем промежутки возрастания (убывания)
1
и построим rрафик функции f (х) = 2х + """"2 .
х
Область определения данной функции объединение проме
жутков ( oo; О) И (о; 00); f (х) = 2 ; (' (х) = О при х = 1. Точки
х З
О и 1 разбивают область определения функции на три интервала
( oo; О), (о; 1) и (1; 00). По замечанию 2 в каждом из них {' coxpa
няет постоянный знак. Знак производной в каждом из этих интер
валов отмечен на рисунке 102, а.
Следовательно, данная функция возрастает на интервалах
( oo; О) и (1; 00). Поскольку f непрерывна в точке 1, то эту точку
можно (в силу замечания 1) присоединить к промежутку , на кото-
ром функция f возрастает.
Окончательно получаем, что f возрастает на промежутках
( oo; О) и [1; 00). Далее, {' (х) < О на интервале (о; 1), и поэтому
(с учетом замечания 1) f убывает на промежутке (о; 1].
Точка О не входит в D (f), однако при стремлении х к О сла-
rаемое неоrраниченно возрастает. Поэтому и значения f He
х
оrраниченно возрастают. В точке 1 функция принимает значение 3.
Отметим теперь на координатной плоскости точку М (1; 3)
и нарисуем проходящий через нее
rрафик функции, возрастающей
на промежутках ( oo; о) и [1; 00)
и убывающей на ПРО'\fежутке (о; 1]
(рис. 102, 6).
+
+
)1
о
1
а)
При м е р 3. Найдем проме-
жутки возрастания (убывания) функ-
ции f (х) = 2x + sin х.
Функция определена на всей
числовой прямой. Производная ее
такова:
у
V2x+ l
м х 2
{' (х) = 2 + cos х.
Поскольку I cos х I <; 1, леrко полу-
чаем, что {' (х) < О для всех дейст-
вительных х. Это значит, что функ-
ция f (х) = 2x + sin х убывает на
всей числовой прямой.
о 1
х
б)
Рис. 102
143 ПроиаВО"'(lIая и сс ПрИ'\IСIIСIIИЯ
Упражнения
Найдите промежутки
(279 281).
279. а) 1 (х) = 3 .! х;
2
в) 1 (х) = 4х 5;
280. а) 1 (х) = + 1;
х
x 3
в) 1 (х) = ;
х
281. а) 1 (х) = 12х + 3х 2 2х З ;
в) 1 (х) = х (х 2 12);
возрастания и убывания функций
б) 1 (х) = x2 + 2х 3;
1') 1 (х) = 5х 2 3х + 1.
б) 1 (х) = х 2 (х 3);
1') 1 (х) = х З 27 х.
б) '(x)=4 x4;
3
1') '(x)= .
х 2
282. Постройте эскиз rрафика функции " удовлетворяющей
условиям:
а) D (/) = ( 2; 5], l' (х) > О при х Е ( 2; 5);
б) D (/) = [1; 6], "(х) < о при х Е (1; 3) U (3; 6), l' (3) = о;
в) D (/) = [ 2; 5], " (х) > о при х Е ( 2; 1) u (1; 5),
{'(1) = о;
1') D (/) = [1; 6], {' (х) < О при х е (1; 6).
Найдите промежутки возрастания и убывания и постройте
rрафики функций (283 284).
283. а) 1 (х) = х З + зх 2 9х + 1;
в) f (х) = 2 + 9х + зх 2 х З ;
284. а) {(х) = 2 0,5 1 ;
в) {(х) = 8х 2 х 4 ;
б) {(х) = 4х З 1,5х 4 ;
{') {(х) = х 4 2х 2 .
б) {(х) = 1 х 31 2;
r) f (х) = I 11
285. Докажите, что функция f возрастает на В, а функция g
убывает на В:
а) 1 (х) = 3х + cos 2х;
в) 1 (х) = х 7 + 2х 5 + 3;
х З
б) g(x) = з х;
1') g (х) = 4x + sin 3х.
286. Докажите, что уравнение имеет единственный корень на
каждом из данных промежутков Р 1 И Р 2:
а) х З 27 х + 2 = о, Р 1 = [ 1; 1], Р 2 = [4; 6];
б) x4 4x 9=0, Pl=[ 2;0], P l =[2; 3];
в) х 4 + 6х 2 8 = о, Р 1 = [ 2; 1], Р 2 = [1; 2];
1') 1 + зх 2 х З = о, Р 1 = [- 2; о], Р 2 = [2; 3].
144 Произво ная и ее ПрИ:.\fенения
23. Критические точки функции,
максимумы и минимумы
Мы рассмотрели поведение функции на промежутках,
rде {' (х) > о и {' (х) < о. Внутренние точки области определения
функции, в которых ее производная равна нулю или не существу
ет, называются крumuческuJ,f,U mочкаJ,f,U этой функции. Эти точки
иrрают важную роль при построении rрафика функции, поскольку
только они MorYT быть точками экстремума функции (рис. 103
и 104). Сформулируем соответствующее утверждение, ero назы
вают теореJ,f,ОЙ ФерJ,f,а (в честь французскоrо математика П ь е р а
Ф е р м а).
н е о б х о Д и м о е у с л о в и е э к с т р е м у м а.
Если ТОЧКd ХО ){вляетс){ ТОЧI ОЙ .JKcTpeMY1\1d ФУНК-
цИИ f и в этой точке существует производная {',
то она равна нулю: {' (хо) = о.
Рассмотрим случай {' (х о ) > о. По определению производной
f(x) f(xo)
отношение при х хо стремится к положительному
X Xo
числу {' (х о )' а следовательно, и само будет положительно при
всех х, достаточно близких к Хо. Для таких х
f (х) f (хо) > о ,
x xo
и, значит, f (х) > f (х о ) для всех х > Хо из некоторой окрестности
точки хо. Поэтому Хо не является точкой максимума.
Если же х < х о , то f (х) < f (х о )' и, следовательно, хо не MO
жет быть и точкой минимума {.
Случай {' (х о ) < О разбирается аналоrично.
Важно отметить, что теорема Ферма есть лишь необходимое
условие экстремума: из Toro, что производная в точке хо обращает
ся в нуль, не обязательно следует, что в этой точке функция имеет
экстремум. Например, производная функции f (х) = х 3 обращается
у
у
х
х
t)
Рис. 103
Рис. 104
145 Произво ная и ее при:wенения
у
у
у хЗ
y 1.%1
х
х
о
х
Рис. 105
Рис. 106
Рис. 107
в нуль в точке О, но экстремума в этой точке функция не имеет
(рис. 105).
До сих пор мы рассматривали критические точки, в которых
производная равна нулю. Рассмотрим теперь критические точки,
в которых производная не существует. (Отметим, что, например,
точка О для функции у = JX не является критической: в ней про-
изводная не существует, но она не внутренняя точка области опре-
деления.) В этих точках функция также может иметь или не
иметь экстремум.
11 Пример 1. Рассмотрим функцию f (х) = Ixl (рис. 106). Эта
функция не имеет производной в о. Значит, О критическая точ-
ка. Очевидно, что в точке О ФУНКЦИЯ имеет минимум.
При м ер 2. Рассмотрим функцию f (х) = 2х + Ixl (рис. 107).
По rрафику видно, что в точке О эта функция не имеет экстрему-
ма. В этой точке функция не имеет и производной.
В самом деле, если предположить, что функция f и еет в
точке О производную, то f (х) 2х также имеет производную в о.
Но f (х) 2х = 1 х 1, а функция 1 х I в точке О не дифференцируема
(см. п. 18), т. е. мы пришли к противоречию. Значит, функция f
в точке О производной не имеет.
Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экст-
ремумов функции требуется в первую очередь найти ее критиче-
ские точки. Но, как видно из рассмотренных примеров, вопрос
о том, действительно ли данная критическая точка есть точка эк-
стремума, требует дополнительноrо исследования. При этом часто
помоrают такие достаточные условия существования экстремума
в точке.
При 3 Н а к м а к с и м у м а Ф у н к Ц и и ЕСЛlt ФУНК-
цИЯ f непрерывна в точке Хо, а {' (х) > О Ila ИН-
тервале (а: Хо) и {' (х) < О на интервале (х о ; Ь). то
точка ХО является точкой максимума ФУНКЦИИ {.
Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этоrо при
знака:
I Если в точке хо производная меняет знак с плюса
на минус, то хо есть точка максимума.
146 ПРОИЗВО,1ная и ее при:wенения
Д о к а з а т е л ь с т в о. Производная {' (х) > О на интервале
(а; х о )' а функция f непрерывна в точке х о ' следовательно (см.
п. 22), функция f возрастает на промежутке (а; х о ]' и потому
f (х) < f (х о ) для всех х из интервала (а; х о ).
На промежутке [х о ; Ь) функция f убывает (доказательство
аналоrично), и потому f (х) < f (х о ) для всех х из интервала (х о ; Ь).
Итак, f (х) < f (х о ) для всех х хо из интервала (а; Ь), т. е. хо
есть точка максимума функции {.
Признак максимума имеет простой механический смысл. Мы
можем считать, что f (х) это координата точки, движущейся по
оси Оу, в момент времени х, а " (х) скорость точки в этот MO
мент. По условию скорость точки за промежуток времени, предше-
ствующий х о ' положительна. Поэтому в течение этоrо времени точ-
ка движется в положительном направлении, она поднимается по
оси Оу ДО точки f (х о )' т. е. f (х) < f (х о ) при х < хо. В момент хо
точка на мrновение «останавливается!) (ее скорость в этот момент
равна нулю или не определена), а затем начинает опускаться по
оси (по условию скорость " (х) меньше нуля при х > хо), т. е.
f (х) < f (х о ). Итак, в окрестности хо имеем f (х) < f (х о ). Точка
хо точка максимума.
При 3 Н а к м и н и м у м а Ф у н к Ц и и Если ФУНК-
цИЯ f непрерывна в точке Х о ' {' (х) < О на интерва-
ле (а; Хо) и (' (х) > О на интервале (Х о ; Ь), то точка Хо
o иниму а функции t
Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этоrо при
знака:
I Если в точке хо производная меняет знак с минуса
на плюс, то хо есть точка :\iинимума.
Доказательство этоrо признака аналоrично доказательству
признака максимума (полезно провести ero самостоятельно).
11 При м ер 3. Найдем
экстремума функции
точки
f (х) = 3 х х з .
Производная этой функции,
равная 3 зх 2 , определена во всех
точках и обращается в нуль в точ
ках 1 и 1. В точке 1 производная
меняет знак с минуса на плюс
(f' (х) < О при х < 1 и " (х) > О при
1 < х < 1). в точке 1 производная
меняет знак с плюса на минус. Поль
зуясь признаками максимума и ми-
х
Рис 108
147 Производная и ее применения
нимума, получаем, что точка 1 является точкой минимума, а точ-
ка 1 точкой максимума функции '. rрафик функции изображен
на рисунке 108.
Упражнения
287. Найдите критические точки функции, rрафик которой
изобра)Кен на рисунке 109.
288. Найдите критические точки функции:
289.
290.
291.
292.
а) f (х) = 4 2х + 7 х 2 ;
в) f (х) = х 2 sin х;
б) f (х) = 1 + cos 2х;
х З
r)f(х)=4х з.
Найдите точки максимума и минимума функции " rрафик
которой изображен на рисунке 110. Существует ли произ-
водная в соответствующей точке? Если существует, то чему
равно ее значение?
Найдите критические точки функции. Определите, какие
из них являются точками максимума, а какие точками
минимума:
а) f (х) = 5 + 12х х 3 ;
в) f (х) = 2х 3 + зх 2 4;
б) f (х) = 9 + 8х 2 х 4 ;
{') f (х) = l х 4 х 2 .
2
Дока)Ките, что функция f не имеет критических точек:
а) f (х) = .JX; б) f (х) = tg х;
в) f (х) = 3х 7; 1') f (х) = зх 5 + 2х.
Найдите критические точки функции f (292 293).
а) f(x)=sin2x cosx; б) '(х)=2х+ 82 ;
х
в) f (х) = 10 cos х + sin 2х 6х; 1') f (х) = х З 4х + 8.
у
у
Х 1
Х2 О
X %
Х 1 %2 Х 3 Х 4 Х 6 OXtj
Ха Х 4 Х 6 Х
Рис. 109
148 ПРОИ3ПО lIая и сс Прlf:\IСIIСIIИЯ
j X 2 при x<; I,
б) {(х) = Х при 1 < х < 1,
2 х при х 1;
I х + 6 при х < 2,
1') {( х) = х 2 при 2 <; х <; 2.
6 х при х > 2.
Постройте эскиз rрафика функции, обладающей следующи
ми свойствами:
Рис. 110
293. а) {(х) = (х 2)3;
в) {( х) = i + ;
294.
Х
Х2 О Х3 x.J Х б
х
%1
а) D ({) = [ 3; 5]; {' (х) > О при х е ( 3; 1), {' (х) < О при
Х Е (1; 5) и {' (1) = о;
б) D ({) = [ 3; 5]; {' (х) < О при х Е ( 3; 1), " (х) > О при
х Е (1; 5) и функция { не имеет производной в точке 1;
в) D ({) = [а; Ь]; Х 1 точка МИНИМУ:\iа, Х 2 точка макси
мума функции, {(а) > { (Ь);
{') D ({) = [а; Ь]; Х 1 точка максимума, Х 2 точка мини
мума, {(а) = f (Ь).
295. Исследуйте функцию на возрастание, убывание и экстрему
мы. Постройте rрафик функции:
а) {(х) = .!.х 4 8x2; б) {(х) = 3х ;
2 1 + х 2
в) {( х) = 2 х 6 1 хз ; 1') {( х) = х 2 2 х + 2 .
x l
24. Примеры применения производной
к исследованию функции
Вы уже знаете (п. 4), что построение rрафика функции
лучше начинать с ее исследования, которое состоит в том. что для
данной функции: 1) находят ее область определения; 2) выясня-
ют, является ли функция { четной или нечетной, является ли пе
риодической. Далее находят: 3) точки пересечения rрафика с ося
ми координат; 4) ПрО:\fежутки знакопостоянства; 5) промежутки
возрастания и убывания; 6) точки экстремума и значения { в этих
149 Прои.Jводная и ее ПрИ'\fеllения
точках и 7) исследуют поведение функции в окрестности ((осо-
бых» точек и при больших по модулю х.
На основании TaKoro исследования строится rрафик функции.
Исследование функции на возрастание (убывание) и на экст-
ремум удобно проводить С помощью производной . Для этоrо CHa
чала находят производную функции / и ее критические точки,
а затем выясняют, какие из них являются точками экстре'\1У'\1а.
_ При м е р 1. Исследуем функцию / (х) = зх 5 5х З + 2 и по-
строим ее rрафик.
Проведем исследование по указанной схеме.
1) D (/) = R, так как / мноrочлен.
2) Функция / не является ни четной, ни нечетной (докажите
это самостоятельно).
3), 4) rрафик / пересекается с осью ординат в точке
(о; / (О»; чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, надо pe
шить уравнение 3х 5 5х З + 2 = О, один из корней KOToporo (х = 1)
леrко находится. Друrие корни (если они есть) MorYT быть найде
ны только приближенно. Поэтому для данной функции остальные
точки пересечения rрафика с осью абсцисс и промежутки знакопо-
стоянства мы находить не будем (как уже отмечалось в п. 4, при
веденная схема имеет примерный характер).
5), 6) Найдем производную функции /:
/' (х) = 15х 4 15х 2 = 15х 2 (х 2 1).
D (/') = н, поэтому критических точек, для которых /' (х) не
cyuцecTByeT, нет.
Заметим, что /' (х) = о, если х 2 (х 2 1) = о, т. е. при значе-
ниях aprYMeHTa, равных о, 1 и 1. Рассматриваемая функция
имеет три критические точки.
Составляем таблицу:
х ( oo; 1) 1 ( 1; О) О (о; 1) 1 (1; 00)
f (х) + О О О +
f (х) / 4 2 О /
nlax mln
в первой строке этой таблицы указаны в порядке возраста-
ния критические точки функции и оrраниченные ими промежут
ки. Во второй строке отмечены знаки производной на этих проме-
жутках. (На каждом таком интервале знак производной не меняет-
ся, ero можно найти, определив знак производной в какой-либо
точке рассматриваемоrо интервала.) В третьей строке записаны
выводы о ходе изменения данной функции: ./. возрастает,
(С'\.» убывает, а в четвертой о виде критических точек (пп. 5
150 ПрОJl:Jводная и ее пр.t'\fенеНJlЯ
и 6 приведенной выше схемы). Крити
ческа я точка О функции 1 не является
точкой экстремума, поэтому в четвер
той строке таблицы она не отмечена.
Заметим, что вывод о ходе изменения
функции на промежутке между кри-
тическими точками часто можно сде-
лать, сравнив значения функции на
концах этоrо промежутка (вместо опре-
деления знака производной). Напри-
мер, f (О) < 1 ( 1), поэтому на промежут
ке ( 1; О) функция убывает (и, следова
тельно, l' < о на этом промежутке).
Строим rрафик функции (рис. 111).
Строить ero удобно по промежуткам, которые указаны в таблице.
Например, в таблице указано, что 1 убывает на интервале (о; 1).
Функция I непрерывна в точках О и 1 (так как она непрерывна
всюду), следовательно, она убывает на отрезке [о; 1]. Поэтому
рисуем rрафик убывающим на отрезке [о; 1] от значения 1 (о) = 2
до значения 1 (1) = о. При этом касательные к rрафику в точках О,
:i: 1 должны быть rоризонтальными во второй строке таблицы
сказано, что в этих точках производная равна нулю. Аналоrично
строится rрафик и на остальных промежутках.
При м е р 2. Найде:\1 число корней уравнения
у
11 == 3х 5 5х З + 2
1 О
1
х
Рис. 111
2х З зх 2 12х 11 = о.
Рассмотрим функцию 1 (х) = 2х З зх 2 12х 11. Ее область
определения D (/) = ( oo; 00). Для отыскания критических точек
функции 1 найдем ее ПРОИЗВОДНУЮ: l' (х) = 6х 2 6х 12. Эта произ
водная обращается в нуль в точках х = 1 и х = 2. Заполним таблицу:
х ( oo, 1) 1 ( 1; 2) 2 (2; 00)
f (х) + О О +
f (х) / 4 '\. 31 /
шах шiп
На промежутке ( oo; 1] функция возрастает от oo до 4,
поэтому на этом промежутке уравнение 1 (х) = о корней не имеет.
На промежутке [ 1; 2] уравнение также не имеет корней, так как
на этом промежутке 1 убывает от 4 до 31. Наконец, на проме
жутке [2; 00) функция f возрастает от 31 до бесконечности, на
этом промежутке уравнение f (х) = о имеет один корень (по Teope
ме о корне). Итак, уравнение 2х З зх 2 12х 11 = О имеет один
корень, и этот корень принадлежит интервалу (2; 00).
151 ПРОИ3ВО;J.llая и ее ПрИ:\IСIIСIIИЯ
Упражнения
Исследуйте функцию и постройте ее rрафик (296 297).
296. а) f (х) = х 2 2х + 8; б) 2х 2 2
f (х) = з + х + з;
в) f (х) = x2 + 5х + 4; {') х 2 Х 1
{(x)= + + .
4 16 4
297. а) f (х) = х З + 3х 2; б) f (х) = х 4 2х2 3;
в) f (х) = х З + 3х + 2; 1') f(х)=3х2 хЗ.
298. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) f (х) = 1 + 1,5х зх 2 2,5х З ;
х 5 х З
б) f(Х)=5 з 6х+l;
х 4
в) f (х) = 4 + 8х 5;
1') f (х) = х 3 6х 2 15х 2.
299. Докажите, что функция f возрастает на множестве Н:
а) f (х) = 2х cos х; б) f (х) = х 5 + 4х;
в) f (х) = sin х + зх ; 1') f (х) = 2х З + х 5
2
Исследуйте функцию и
зоо. а) f (х) = x2 x5;
в) f (х) = ! х 5 1 1 х З ;
5 3
301. а) f(x)=x 2 ..ji +x ;
в) f (х) = x J2 x ;
302. а) f (х) = sin 2 х + sin х;
в) f (х) = cos 2 Х cos х;
постройте ее rрафик (300 302).
б) f (х) = 4х 2 х 4 ;
1') f (х) = 5х З зх 5 .
б) f (х) = 6( х 1) ;
х 2 + 3
{') {(x)= .
l x2
б) {(х) = 2х
1+ х 2
1') {(х) = .
x 1
303. Докажите, что функция f принимает на данном промежут-
ке положительные значения:
а) f (х) tg х х; 1 ( о; ):
б) f (х) = 1; 1 = [1; (0);
х
в) f (х) = х sin х; 1 = (о; (0);
l' ) f (х) = х + .!!. cos х; 1 = ( .!!.; !!. ] .
222
152 ПРОИ.1ВОДllая и ее ПрИ'\1еuеllИЯ
304. Сколько корней имеет уравнение:
а) 4 х 3 зх 2 36х 1 О = о;
х" з х 2
б ) х + 3х = о.
4 2 '
в) х" 4 х 3 9 = о;
2 х 3
{') Х 1 = о?
3
25. Наибольшее и наименьшее значения
функции
Решение практических задач часто сводится к нахождению
наибольшеrо и наименьшеrо значений непрерывной на отрезке
функции. В курсах анализа доказывается т е о р е м а В е й е р-
ш т р а с с а: непрерывная на отрезке [а; Ь] функция f пpUHu",ta
ет на этом ompe-Jке наибольшее и наименьшее -Jначения, т. е.
на [а; Ь] существуют точки, в которых f принимает наибольшее
и наименьшее на [а; Ь] значения.
Для случая, коrда функция f не только непрерывна на отрез
ке [а; Ь], но имеет на этом отрезке лишь конечное число критиче
ских точек, укажем правило отыскания наибольшеzо и HaиMeHb
шеzо значении {.
Предположим сначала, что f не имеет на отрезке [а; Ь]
критических точек. Тоrда (п. 23) она возрастает (рис. 112) или
убывает (рис. 113) на этом отрезке, и, значит, наибольшее и наи-
меньшее значения функции f на отрезке [а; Ь] это значения в
концах а и Ь.
Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; Ь] конечное чис
ло критических точек. Эти точки разбивают отрезок [а; Ь] на ко-
нечное число отрезков, внутри которых критических точек нет.
Поэтому наибольшее и наименьшее значения функции f на таких
отрезках принимаются в их концах, т. е. в критических точках
функции или в точках а и Ь.
у
у
r
о
а
ь
х
о
tJ
ь
х
Рис. 112
Рис 113
153 ПроиаВОДllая и ее ПрИ:\fСIIСIIИЯ
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения
функции, имеющей на отрезке конечное число кри-
тических точек, нужно вычислить значения функции
во всех критических точках и на концах отрезка,
а затем из полученных чисел выбрать наибольшее
и наименьшее.
11 При м е р 1. Найдем наибольшее и наименьшее значения
функции у (х) = х З 1.5х 2 6х + 1 на отрезке [ 2; О].
Сначала найдем критические точки. Так как производная
у' (х) = зх 2 3х 6 определена для любоrо х, остается решить
уравнение у (х) = о. Решая ero, находим х = 1 и х = 2.
Теперь нужно выбрать наибольшее и наименьшее из чисел
у ( 2) = 1, У ( 1) = 4,5 и у (О) = 1 (критическая точка х = 2 не
принадлежит рассматриваемому отрезку). Ясно, что наименьшее
значение достиrается в точке 2 и равно 1, а наибольшее
в точке 1 и равно 4,5. Коротко это записывается так:
шах у (х) = у ( 1) = 4,5; Jnin у (х) = у ( 2) = 1.
( 2; 01 ( 2; 01
Изложенный выше метод поиска наибольших и наименьших
значений функции применим к решению разнообразных приклад-
ных задач. При этом действуют по следующей схеме:
1) задача <спереводится& на язык функций. Для этоrо выби-
рают удобный параметр х, через который интересующую нас вели-
чину выражают как функцию f (х);
2) средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее
значение этой функции на некотором промежутке;
3) выясняется, какой практический смысл (в терминах пер-
воначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) ре-
зультат.
Вообще решение практических задач средствами математи-
ки, как правило, содержит три основных этапа: 1) формализацию
(перевод исходной задачи на язык математики); 2) решение полу-
ченной математической задачи и 3) интерпретацию найденноrо
решения (<сперевод& ero с языка математики в терминах первона-
чальной задачи).
С этим общим методом (ero называют методом математиче-
cKoro моделирования) вы уже знакомы, по описанной схеме реша-
лись текстовые задачи в курсе алrебры. При ведем пример ero при-
менения.
11 При м е р 2. Из квадратноrо листа жести со стороной а
надо изrотовить открытую сверху коробку, вырезав по уrлам
(рис. 114) квадратики и заrнув образовавшиеся кромки. Какой
должна быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был мак-
симальным?
Реш е н и е.. 1) Обозначим через х длину стороны основа-
ния коробки. Тоrда длины сторон вырезанных квадратиков paB
154 п рОИЗВОДllая и сс ПрИ:\IСIIСIIИЯ
,....
I
::s
......
.-41 1
х
jOII
а)
а
б)
Рис. 114
ны ! (а Х), а объем коробки равен! (а х) х2. По смыслу задачи
2 2
число х удовлетворяет неравенству О < х < а, т. е. принадлежит
интервалу (О; а). Таким образом, пример 2 мы свели к такой зада-
че: найти наибольшее значение функции V (х) = ! (а х) х2 на ин-
2
тервале (о: а).
2) Правило нахождения наименьших и наибольших значе
ний функции было сформулировано для отрезка. Функция V He
прерывна на всей числовой прямой. Мы будем искать ее наиболъ
шее значение на отрезке [о; а], потом сделаем выводы для решае-
мой нами задачи. Находим критические точки функции:
V' (х) = ах i х 2, ах i х 2 = О,
т. е. х = О или
х = а;
3
V ( а ) = ( а а ) ( а у 227 аЗ.
Так как V (О) = О и V (а) = О, cBoero наибольшеrо на отрезке
[о; а] значения функция V достиrает при х = а, т. е.
rnax V (х) = V ( а ) = аЗ.
(о: а ) 3 27
Наибольшее значение функции достиrается внутри отрезка
[о; а], следовательно, и внутри интервала (о; а).
3) Остается вспомнить, что Х длина стороны основания
коробки, имеющей при заданных условиях максимально возмож
ный объем.
Полученныи
имеет та коробка,
результат означает, что максимальный объем
сторона основания которой равна а.
3
155 ПРОИ3ВО;J.ная и ее ПрИl\lенеНИJI
Упражнения
305. Найдите наибольшее и наи'\{еньшее значения функции ':
а) f (х) = х 4 8х 2 9 на промежутках [ 1; 1] и [о; 3];
х 2 +4
б) f (х) = на промежутках [ 4; 1] и [1; 3];
х
в) f (х) = 3х'> 5х З на промежутках [о; 2] и [2; 3];
1') '(х) = 2........ на промежутках [ 3; 2] и [1; 5].
х+]
306. Сравните наибольшее значение функции на промежутке Р 1
И наименьшее ее значение на промежутке Р 2.
а) f (х) = х з + зх 2 9х; Р1 = [ 4; о], Р2 = [3; 4];
б) {(х) = х 4 2х 2 + 4; р 1 [ ; J. р 2 = [2; 3].
307. Материальная точка движется по прямой соrласно закону
s (t) = 12t 2 t З , rде s (t) путь в метрах и t время
3
в секундах. В какой момент времени из промежутка [4; 10]
скорость движения точки будет наибольшей и какова вели
чина этой скорости?
308. Найдите значения aprYMeHTa из промежутка [ 2; 5], при KO
З
торых скорость изменения функции f (х) = 21х + 2х2
3
будет наибольшей или наименьшей.
309. Скорость материальной точки, движущейся прямолинейно,
изменяется по закону v (t) = 1 t З 12t (скорость измеряется
6
в метрах в секунду). В какой момент времени ускорение
движения будет наименьшим, если движение рассматри
вать за промежуток от t 1 = 10 с до t 2 = 50 с?
310. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f
на данном промежутке:
а) f (х) = 2 sin х + cos 2х, [о; 2п];
б) f (х) = 1,5х 2 + 81 , [1; 4];
х
В) ((х) 2 sin х + sin 2х, [о; 32" ]:
1') f (х) = х + , [ 5; 2,5].
х+2
311. Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных
слаrаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была
наименьшей.
312. Число 4 представьте в виде суммы двух неотрицательных
слаrаемых так, чтобы произведение этих чисел было наи
большим.
156 Производная и ее ПРИ'\fенения
313. Кусок проволоки длиной 48 м сrибают так, чтобы обра
зовался прямоуrольник. Какую длину должны иметь сто-
роны прямоуrольника, чтобы ero площадь была наиболь
шей?
314. Число 54 представьте в виде суммы трех положительных
слаrае'\{ых, два из которых пропорциональны числам 1 и 2,
таким образом, чтобы произведение всех слаrаемых было
наибольшим.
315. Число 16 представьте в виде произведения двух положи
тельных чисел, сумма квадратов которых будет наимень-
шей.
316. Площадь прямоуrольника 64 см 2 . Какую длину должны
иметь ero стороны, чтобы периметр был наименьшим?
317. Открытый бак, имеющий форму прямоуrольноrо паралле-
лепипеда с квадратным основанием, должен вмещать
13,5 л жидкости. При каких размерах бака на ero изrотов
ление потребуется наименьшее количество металла?
318. В равнобедренный треуrольник с основанием 60 см и боко
вой стороной 50 см вписан прямоуrОЛЬНИI< наибольшей
площади. Две вершины прямоуrольника лежат на основа-
нии треуrольника, а две друrие на боковых сторонах.
Найдите стороны прямоуrольника
319. Из круrлоrо бревна вырезают балку с прямоуrольным сече-
нием наибольшей площади. Найдите размеры сечения бал-
ки, если радиус сечения бревна равен 20 см.
320. Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей
точки шоссе. С буровой надо направить курьера в пункт,
расположенный по шоссе в 15 км от упомянутой точки
(считаем шоссе прямолинейным). Скорость курьера на Be
лосипеде по полю 8 км/ч, а по шоссе 1 О км/ч. К какой точ-
ке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время до-
стичь пункта?
321. Лодка находится на озере на расстоянии 3 км от ближай-
шей точки А береrа. Пассажир лодки желает достиrнуть
села В, находящеrося на береrу на расстоянии 5 км от А
(участок АВ береrа считаем прямолинейным). Лодка дви-
жется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки,
может в час пройти 5 км. К какому пункту береrа должна
пристать лодка, чтобы пассажир достиr села в кратчайшее
-время?
322 Найдите число, сумма KOToporo со своим квадратом прини-
мает наименьшее значение.
323. Докажите, что из всех прямоуrольных треуrольников с за-
данной rипотенузой наибольшую площадь имеет равнобед
ренный треуrольник.
157 ПРОИ3ВО;l.IIая и ее ПРИ;\fСIIСIIИЯ
324. Из всех прямоуrольников, вписанных в окружность, най
дите прямоуrольник наибольшей площади.
325. Покажите, что из всех треуrольников, вписанных в дан-
ный Kpyr, наибольшую площадь имеет равносторонний
треуrольник.
Сведения из истории
1. О происхождеНИIf терМИllОВ и обозначеНIIЙ Раздел Ma
тематики, в котором изучаются производные и их применения
к исследованию функций, называется дифференциальны'м исчисле-
нием. Приращения вида /1/, представляющие собой разности, иrра
ют заметную роль при работе с производными. Естественно поэто-
му появление латинскоrо корня differentia (разность) в названии
calculis diffel.entialis HOBoro исчисления, которое переводится как
исчисление pa.JHocmeu; это название появилось уже в конце X"II в.,
т. е. при рождении HOBoro метода.
Термин «производная. является буквальным переводом на
русский французскоrо слова derivee, которое ввел в 1797 r.
ж. Л а l' р а н ж (1 736 1813); он же ввел современные обозначения
у', /'. Такое название отражает смысл понятия: функция /' (х) про-
исходит из / (х), является производным от / (х). И. Ньютон назы-
вал производную функцию флюксиеu, а саму функцию флюен-
той. r. Лейбниц rоворил о дифференциальном отношении и ввел
обозначение производной d f , которое также часто встречается
dx
в современной литературе.
Символ d/ Лейбниц выбрал для обозначения дифференциала
функции /. Дифференциал df функции f это произведение
производной /' (х о ) на приращение дХ, Т. е. d/ = /' (х о ) /1х; заменяя
обозначение /1х на dx, это же можно записать так: d/ = /' (х о > dx,
откуда /' (х о ) = df . rеометрический
dx
смысл дифференциала ясен из
рассмотрения рисунка 115: здесь
d/ = АВ, прямая l касательная
к rрафику.
Рассказ о происхождении
теР:\'lинолоrии, принятой в диффе-
ренциальном исчислении, был бы
не полон без понятий предела
и бесконечно малой. Подробнее
о пределе rоворится ниже, а пока
заметим, что, например, производ-
ная определяется во всех PYKOBOД
у
у = f (х)
АВ = df
в
м
А
Рис. 115
1
х
158 ПРОИ.JВОДllая н сс ПрИ:\IСIIСIIИЯ
Лейбниц rотфрид 8ильrельм
(1646 1716)
великий немецкий ученый. Философ, математик,
физик. юрист. языковед. Создатель (наряду с Нью
тоном) математическоrо анализа. Основоположник
большой математической школы. Идеи Лейбница
оказали значительное влияние на развитие мате-
матической лоrики
ствах именно как предел. Пишут {' (хо) = lim А! вместо приня-
\х О t:ix
Toro выше обозначения t:if {' (хо) при дх о.
Ах
Обозначение Нm сокращение латинскоrо слова limes
(межа, rраница); У:\fеньшая, например, дх, мы устремляем значе
ния А! к «rранице» {' (х о ). Термин «предел» ввел Ньютон.
Ах
Примером бесконечно малой может служить функция ( x)2
от X, поскольку ( x)2 О при x о. Вообще, если
lim а (х) = О, rоворят, что а (х) бесконечно '\iалая. Бесконечно
х хо
малые иrрают важную роль в математическом анализе, который
поэтому часто называют также анализом бесконечно малых.
Заметим наконец, что слово «экстремум» происходит от ла
тинскоrо extremum (крайний). MaxiJllUm переводится как наиболь
ший, а minimuJll наименьший.
2. Из истории дифференциальноrо исчисления.
1) Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейб-
ницем сравнительно недавно, в конце XYII столетия. Тем более по
разительно, что задолrо до этоrо Архимед не только решил задачу
на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль
(применяя при этом предельные переходы)" но и сумел найти MaK
симум функции f (х) = х 2 (а х).
Эпизодически понятие касательной (которое, как вы знаете,
связано с понятием производной) встречалось в работах итальян
cKoro математика Н. Т а р т а л ь и (ок. 1500 1557) здесь Kaca
тельная появилась в ходе изучения вопроса об уrле наклона opy
дия. при котором обеспечивается наибольшая дальность полета
снаряда. и. К е п л е р рассматривал касательную в ходе решения
задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанноrо в шар
данноrо радиуса.
159 ПРОИ3ВОДllая и ее ПрИ'\fснеllИЯ
. .. .
\ '. \ \
( \' '
.... ..' ,, 1',.. :,
L , ) ., '.:,, '
А ',{
, ,.; ',.r.} . . ,\:. '1
', -1,. \.
' I. < . I /' :
,.
с......
.....
I
Ферма Пьер
(1601 1665)
французский математик и юрист. Один из крупней-
ших математиков CBoero времени_ Ферма при над-
лежат блестящие работы в области теории чисел.
Создатель аналитической rеометрии, в которой он
получил ряд крупных результатов.
В XVII в. на основе учения r. r а л и л е я о движении актив-
но развилась кинематическая концепция про извод ной. Различные
варианты изложения, примененные к разным задачам, встречают-
ся уже у Р. Декарта, французскоrо математика Р о б е р в а л я
(1602 1675), анrлийскоrо ученоrо д. rреrори (1638 1675),
в работах И. Б а р р о у (1630 1677) и, наконец, И. Ньютона.
К рассмотрению касательной и нор-мали (так называется пря-
мая, перпендикулярная касательной и проведенная в точке каса-
ния) Декарт пришел в ходе изучения оптических свойств линз.
С помощью методов аналитической rеометрии и изобретенноrо им
метода неоnределенных КО.-Jффициен.тов он сумел решить задачи
о построении нормалей :к ряду кривых, в том числе эллипсу.
В 1629 r. п. Ферма предложил правила нахождения экстре-
мумов мноrочленов. Существенно подчеркнуть, что фактически
при выводе этих правил Ферма активно применял предельные пе-
реходы, располаrая простейшим дифференциальным условием
максимума и минимума.
Ферма сыrрал выдающуюся роль в развитии математики.
Ero имя заслуженно носит не только известная вам теорема из
анализа. Великая теорема Ферма (<с Уравнение х " + у" = zn не имеет
решений в натуральных числах при натуральном n, большем
ДBYX ), доказанная только в самом конце ХХ В., лишь один из
итоrов ero размышлений над проблемами теории чисел. Ферма
один из создателей аналитической rеометрии. Он занимался
и оптикой. Широко известен принцип Ферма (<с Луч света распро-
страняется так, что время ero прохождения будет наименьшим))),
применяемый и в физике.
Важные следствия этоrо принципа вы можете вывести само-
стоятельно. Закон отражения света (<с Уrол отражения равен уrлу
падения ) сводится соrласно принципу Ферма к решению извест-
ной rеометрической задачи. Для вывода .JaKOHa nрело-мленuя све-
та вам потребуется применить известные правила нахождения эк-
стремума. (Требуется решить такую задачу (рис. 116): .Луч света
160 ПРОИЗВО;J;ная И ее ПРИ'\fенения
проходит ИЗ точки М нижней полу-
плоскости в точку N верхней. Ско-
рость света в нижней полуплоскости
(однородной среде) постоянна и рав-
на Vl' а в верхней полуплоскости V 2 .
ПО какому пути должна двиrаться
точка, чтобы весь ее путь занял наи..
меньшее время?»)
Систематическое учение о произ-
водных развито Лейбнице:м и Ньюто-
ном, который сформулировал и две
основные проблемы анализа:
.1. Длина проходимоrо пути по-
стоянно (т. е. в любой момент време-
ни) дана; требуется найти скорость
движения в предложенное время.
2. Скорость движения постоянно дана; требуется найти дли-
ну пройденноrо в предложенное время пути».
Первая проблема задает проrрамму развития дифференци"
альноrо исчисления, С эле:\'fентами KOToporo вы уже познако:\'fИ-
лись в этой rлаве. Вторая относится к интеrральному исчислению
(см. rлаву 111).
Если Ньютон исходил в основном из задач механики (ньюто..
нов анализ создавался одновременно с ньютоновой классической
механикой), то Лейбниц по преимуществу исходил из rеометриче..
ских задач.
rоворя о последующем развитии идей анализа (а они очень
быстро завоевали популярность и нашли мноrих последователей),
следует в первую очередь назвать имена учеников Лейбница
братьев я. и и. Бернулли.
А. Л о п и тал ь (1661 1704), который учился у и. Вернул..
ли, издал уже в 1696 r. первый печатный курс дифференциальноrо
исчисления «Анализ бесконечно малых для исследования кривых
линий», способствовавший распространению новых методов.
Ряд крупных результатов получил Лаrранж, ero работы
сыrрали важную роль в осмыслении основ анализа.
Как и в случае мноrих друrих разделов математики, неоце..
ним вклад в развитие математическоrо анализа, внесенный
л. Эйлером и К.-Ф. rayccoM (1777 1855).
в кратком очерке невозможно рассказать о существе откры"
тий, сделанных в XVIII в. и позднее. Но об одном направлении
нельзя не упомянуть. Речь идет о разложении функций в степен..
ные ряды, т. е. о представлении функций в виде мноrочленов
с бесконечным числом слаrаемых. С примером бесконечной суммы
(числовоrо ряда) вы знакомы: бесконечные периодические дроби
представлялись в виде суммы бесконечноrо числа слаrаемых.
С числовыми и функциональными рядами работал не только Нью..
тон, но и ero предшественники, и поэтому несколько несправедли..
N
h.
М'
N'
м
Рис. 116
161 Производная и ее ПРИ'\lенения
во название фОрJtf,ула Тэuлора (В. Т эй л о р (1685 1731) aHr-
лийский математик, опубликовавший ее в 1715 1'.), принятое для
следующеrо замечательноrо соотношения:
(х ) ("(х )
f(хо+дх)=f(х о )+ О дх+ о (дх)2 +...
1! 2!
. .. + ( п ) х о ) (. x) п + ...
n.
(здесь ,(11) (х о ) значение, полученное п-кратным дифференциро-
ванием функции f в точке Х О ' а п! = 1 . 2 . ... . п).
Зная формулы производных, например, для функций sin х
и cos Х, вы можете разложить их в ряд Тэйлора самостоятельно.
Оказалось, что в ряде случаев, отбрасывая бесконечное число
слаrаемых, можно получать формулы, дающие хорошие прибли-
жения функций мноrочленами.
2) Энтузиазм, вызванный появлением HOBoro мощноrо мето-
да, позволяющеrо решать широкий круr задач, способствовал бур-
ному развитию анализа в ХУIII в. Но к концу этоrо столетия проб
лемы, возникшие уже у создателей дифференциальноrо и инте-
rральноrо исчислений, проявились весьма остро.
Основная трудность состояла в том, что точные определения
таких ключевых понятий, как предел, непрерывность, дeйcтви
тельное число, отсутствовали (соответственно и рассуждения со-
держали лоrические пробелы, а иноrда были даже ошибочны).
Характерный пример определение непрерывности. Эйлер, Ла-
rранж и даже Фурье (а он работал уже в начале XIX в.) называли
непрерывной функцию, которая в своей области определения зада-
на одним аналитическим выражением.
Тем самым « новая J) мате атика не отвечала стандартам CTpO
rости, привычным для ученых, воспитанных на классических
образцах rреческих математиков. Интуиция, столь необходимая
математикам, существенно опередила лоrику, тоже являющуюся
неотъемлемой характеристикой математической науки.
rениальная интуиция таких rиrантов, как Ньютон, Лейб-
ниц, Эйлер, помоrала им избеrать ошибок. Но необходимы были
прочные лоrические основы.
Характерны высказывания, относящиеся к XVIII столетию.
Известный математик М. Р о л л ь писал, что новое исчисление есть
коллекция rениальных ошибок. А великий французский мысли-
тель Вольтер заметил, что это исчисление представляет собой ис-
кусство вычислять и точно измерять вещи, существование кото-
рых не может быть доказано.
Решительный шаr к созданию прочноrо фундамента анали-
за был сделан в 20-е rоды XIX в. французским математиком
о. К о ш и (1789 1857), предложившим точные определения пре-
делов функции и последовательности и на их основе доказав-
шим мноrие фундаментальные теоремы анализа. Несколько рань-
162 Производная и ее ПРИ'fенения
. ...... ..............'"
.. ..
I 7. "" ! \,
. " "
!.
}I/\ .
- . ...
., .... . '\
\:''. '
\.!'\
, ,. \ " :'
. ,,'f) . .
I . I . . ....
....r"}... . .
, " v'
:' ( ./. , -:.
... '. ',' ,. , .:
I ... . ':,.; . ':..:. I
Коши Оrюстен Луи
(1789 1857)
крупный французский математик Доказал ряд за-
мечательных теорем в области анализа теории
функций комплексноrо переменноrо, теории диф-
ференциальных уравнений и т. д. Большая заслуrа
Коши разработка курса анализа, в котором.
в частности, он предложил ставшие классически
ми определения предела, непрерывности функции
и т. п.
те (1821 {'.) определения предела и непрерывности, целый ряд дpy
rих замечательных результатов (в том числе знаменитый пример
функции, непрерывной на промежутке, но не имеющей производ
ной ни В одной ero точке) получил чешский математик Б. Б о л ь
Ц а н о (1781 1848), но ero работы стали известны MHoro позднее.
Определение предела функции по Коши формулируется сле
дующим образом: (с Число А называется пределом функции 1 (х)
при х, стремящемся к а (т. е. Нт 1 (х) = А), если для любоrо числа
х а
€ > О можно подобрать такое число б > О, что II (х) А I < € для
всех х, удовлетворяющих неравенству О < I х а I < о" .
Опираясь на это определение, уже нетрудно дать определе
ние непрерывности в точке: функция 1 непрерывна в точке Х О '
если Нт 1 (х) = 1 (хо).
х хо
Формулировка определения предела последовательности
(8 именно с этим понятием связано определение интеrрала
см. п. 30) такова: (с Число А является предело'м' последователь
ностu а п , если для любоrо € > О существует номер N, такой, что
при всех п > N верно неравенство I а п А I < €,..
Коши доказал следующие теоремы о пределах, которыми мы
фактически пользовались (называя их правилами предельных пе
реходов п. 14) при вычислении производных:
Если Нт 1 (х) = А и Нт g (х) = В, то существуют
х а х а
пределы суммы и разности, произведения, частноrо
(при Нт g (х) О), причем
х а
liln (1 (x):t g (х») = А :t В,
х а
liln (1 (х) g (х» = А. В,
х а
liln (х) А
х а g(x) В.
163 Производная и ее применения
Приведем пример доказательства « по Коши. (часто rоворят:
(сна языке эпсилон-дельта.). Докажем теорему о пределе суммы.
Возьмем любое положительное число t > о. Тоrда число > О,
2
и поэтому (по определению Коши):
1) из условия Нm 1 (х) = А следует, что можно подобрать
х а
число ()1' такое, что
1I (х) А 1 <
(1)
для всех х, удовлетворяющих неравенству О < I х а I < б 1 ;
2) из условия liJn g (х) = В вытекает: существует такое
х а
()2 > О, что
Ig(x) BI<
(2)
для всех х, удовлетворяющих неравенству О < I х а I < 02.
Обозначим через () наименьшее из чисел ()l и ()2. Тоrда для
любоrо х, у довлетворяющеrо неравенству О < I х а I < ()" выполне-
ны неравенства (1) и (2); для этих химеем:
I 1 (х) + g (х) (А + В)I =
= I (1 (х) А) + (g (х) В) I I 1 (х) А I + I g (х) в I < ! + ! = Е.
2 2
Этим доказано, что liJn (1 (х) + g (х») = А + В.
х а
Остальные правила (для произведения и частноrо) доказыва
ются аналоrично.
Лозунrом мноrих математиков X"II в. был: (сДвиrайтесь впе-
ред, и вера в правильность результатов к вам придет..
3. О попятии действительпоrо числа. Математический aHa
лиз возник в XYIII в. Но полное ero обоснование было дано лишь
в конце XIX столетия, коrда вслед за теорией пределов, создан
ной Коши, сразу в нескольких формах немецкими математи
ка'\{и Р. Дедекиндом (1831 1916), К. Вейерштрассом
(1815 1897) и r. к а н т о р о '\{ (1845 1918) была построена тео-
рия действительноrо числа.
Первые представления о числах склады вались постепенно
под влиянием практики. С давних пор числа употреблялись при
счете и измерении величин.
Ответ на вопрос: .Сколько элементов содержит данное конеч-
ное '\{ножество? всеrда выражается либо натуральным числом,
либо числом нуль. Следовательно, множество
{о; 1; 2; ...}
всех неотрицательных чисел обслуживает все потребности счета.
Иначе обстоит дело с измерением величин. Расстояние меж
ду двумя пунктами может равняться 3,5 километра, площадь ком-
наты 16,45 квадратноrо метра и т. д.
164 ПРОИ3ВО;J.llая и СС Прlt:\IСIIСIIИЯ
Кантор reopr
(1845 1918)
немецкий математик, идеи и работы KOToporo ока-
зали большое влияние на развитие математики
в целом. на понимание ее основ. Создатель тео-
рии множеств. Получил ряд замечательных резуль
татов, относящихся к теории бесконечных мно-
жеств. теории действительноrо числа.
Величины бывают разных родов. Приведем два примера.
1. Расстояния между точками, длины отрезков, ЛО:\fаных
и кривых линий это величины одноrо и Toro же рода. Их Bыpa
жают в сантиметрах, метрах, километрах и т. д.
2. Длительности промежутков времени тоже величины OДHO
1'0 и Toro же рода. Их выражают в секундах, минутах, часах и т. д.
Величины одноrо и Toro же рода можно сравнивать между
собой и складывать:
1 м > 90 см
300 с < 1 ч
350 м + 650 м = 1 км
2ч+3ч=5ч
Но бессмысленно спрашивать, что больше: 1 метр или 1 час,
и нельзя сложить 1 метр с 30 секундами. Длительность промежут
ков времени и расстояние величины разноrо рода. Складывать
и сравнивать величины разноrо рода нельзя.
Величины можно умножать на положительные числа и нуль.
В результате умножения величины а на неотрицательное число х
получается величина Ь = ха Toro же рода. Приведем несколько
примеров:
5 . 20 см = 100 см = 1 м
0,01 . 20 см = 0,2 см = 2 M'\f
О . 20 см = О см
Приняв какую-либо величину е за единицу измерения, мож
но с ее помощью измерять любую друrую величину а Toro же рода.
В результате измерения получим, что а = хе, rде х число.
Это число х называется числовым значением величины а при
единице измерения е. Числовое значение величины зависит от BЫ
бора единицы измерения. Если, например, длина комнаты имеет
числовое значение 5,6 при единице измерения в 1 м (е = 1 м), то
эта же длина имеет числовое значение 560 при единице измерения
в 1 с'\{ (е = 1 см).
165 ПРОlыводная и ее Прlf'\lе не 11 If я
,11
Вейерwтрасс Карл Теодор Вильrельм
(1815 1897)
немецкий математик, доказавшии классические
теоремЬ! в раЗЛИЧНblХ областях математики. Рабо-
ть! Вейерштрасса по обоснованию математическо.
ro анализа, по существу, завершают создание
строrой стройной теории.
" !
.,
,1 ...
""."....
, \
;:;.
.: .
'"
,
<-:
" - "i: -:
" .. ::
: ,.
Пусть числовые значения величин а и Ь при одной и той же
единице измерения е равны х и у, т. е. а = хе, Ь = уе. Если Ь * О,
то отношение называют отношением величины а " Ь.
у
Таковы простейшие сведения о величинах. Приведенное опи
сание понятия величины опиралось на понятие числа. Но истори
ческий путь был иным: положительные действительные числа по-
явились как отношения величин (а точнее, как отношения длин
отрезков).
С открытием несоизмеримости диаrонали единичноrо KBaд
рата с ero стороной стало ясно, что отношение длин отрезков не
всеrда может быть выражено не только натуральным, но и рацио-
нальным числом. Для Toro чтобы числовое значение каждоrо OT
резка при фиксированной единице измерения было определено,
требовалось введение новых чисел иррациональных.
Все практические измерения величин имеют лишь прибли-
женный характер. Их результат с требуемой точностью можно BЫ
разить при помощи рациональных дробей или более специальным
образом при помощи конечных десятичных дробей. Например,
измеряя диаrональ квадрата со стороной 1 м с точностью до одноrо
сантиметра, мы обнаружим, что ее длина приближенно равна
1,41 м. При измерении с точностью до одноrо МИЛЛИ:\'Iетра полу-
чим, что эта длина приближенно равна 1,414 М.
НО в математике часто отвлекаются от приближенноrо ха-
рактера практических измерений. Последовательный теорети-
ческий подход к измерению длин отрезков при водит к необходи-
мости рассмотрения бесконечных десятичных дробей. (Именно
такие дроби представляют числа = 0,666... , .J2 = 1,41421356... ,
3
7t = 3,14159265... .)
Отношение длины любоrо отрезка к длине отрезка, принято-
1'0 за единицу ИЗ:\'lерения, всеrда может быть выражено числом,
представляемым в виде бесконечной десятичной дроби.
166 ПРОИ.JВОДllая и ее ПрИ'\fеllения
Полная теория действительных чисел довольно сложна и не
входит в проrрамму средней школы. Но с одним из способов ее по
строения мы познакомимся в общих чертах.
1. Принимают:
а) каждому действительному числу соответствует (в качестве
ero записи) бесконечная десятичная дробь: х = а о ,а.а 2 а з ... а п ... :
б) каждая бесконечная десятичная дробь является записью
действительноrо числа.
Но при этом естественно считать десятичную дробь, заканчи
вающуюся бесконечной последовательностью девяток, лишь BTO
рой записью числа, выражающеrося десятичной дробью, заканчи
вающейся бесконечной последовательностью нулей:
0,9999... = 1,0000...; 12,765999... = 12,766000... .
Такое соrлашение поясним примером: 0,(9) = 3.0,(3) = 3. ! = 1
3
Только исключив из рассмотрения десятичные дроби с дe
вяткой в периоде, получаем взаимно однозначное соответствие
между множеством действительных чисел и множеством бесконеч
ных десятичных дробей.
Число а о это целая часть положительноrо числа х,
а х а о = 0,а 1 а 2 а з ... а п ... дробная часть числа Х.
Число Х п = a O ,a 1 a 2 ... а п называют десятИЧНЫ./lf приближением
х с точностью до 10 п по недостатку, а число X = Х n + 10 п назы-
вают десятичным приближением с точностью до 10 n по ИJбытку
для числа х = ао,аlа2аз...аn... .
Если число Х отрицательно, т. е. Х = ао,а1а2аз...аn... , то по
лаrают x = ао,аlа2аз...аn и Х n = X 10 n.
2. Вводят правило сравнения двух действительных чисел.
По определению число х меньше числа у, если хотя бы при oд
ном п выполнено неравенство Х n < У n ' rде Х п И У n десятичные
приближения с точностью до 10 n по недостатку для чисел Х и у.
(Мы воспользовались тем, что правило сравнения конечных деся
тичных дробей уже известно.)
3. Определяют арифметические действия над действитель
ными числами (при этом также пользуются тем, что эти действия
уже определены для конечных десятичных дробей).
CY./If./lfOи двух действительных чисел Х и у (обозначается
Х + у) называют такое действительное число z, что при любом n
выполнены неравенства Х N + У n х + у < X + Y,r.
В курсах математическоrо анализа доказывается, что такое
число существует и определяется единственным образом.
Аналоrично произведением двух неотрицательных чисел х
и у называют такое число z (обозначается ХУ), что при любом п
выполнены неравенства ХпУ n ху < x y .
Такое число существует и определяется однозначно. Для
действительных чисел разных знаков, воспользовавшись тем, что
167 Прои.IВО;:(llая и сс ПРИМСIIСIIИЯ
произведен ие неотрицательных чисел 1 х 1 и 1 у 1 уже определено,
полаrают ху = I х 11 у 1; в остальных случаях ху = I х 11 у 1. (Как
обычно, модулем каждоrо из чисел
ао,а 1 а 2... а n ... и ао,а 1 а 2... а n ...
называют число a O ,a 1 a 2 ... а n ... .)
Вычитание определяется как действие, обратное сложению:
разностью х у чисел х и у называется такое число z, что
у + z = х, а деление как действие, обратное умножению: част-
ным х: у называется такое число z, что yz = х.
4. Показывают, что неравенства и арифметические опера
ции, определенные указанным в п. 3 образом, сохраняют основные
свойства, присущие им в множестве рациональных чисел.
Вопросы и задачи на повторение
1.
1) Что такое приращение aprYMeHTa и приращение функ-
ции?
2) В чем состоит rеометрический смысл приращений дх и дf?
отношения А! ?
Ах
З) Выразите ! через Хо и X:
X
а) f (х) = х 2 х;
в) f (х) = 3х 1;
б) f (х) = х з + 2;
2
1') f (х) = .
х
2.
1) Сформулируйте определение производной функции в точке.
2) Пользуясь определением, найдите производную функции f
в точке хо:
в) f (х) = 2х 1, хо = 4;
2
б) f (х) = , хо = 3;
х
1') f (х) = х З , хо = 2.
а) f (х) = х 2 + 1, ХО = 2;
3. 1) Сформулируйте правила вычисления производных Чему
равна производная функции f (х) = х n (п целое число)?
2) Дифференцируемая функция f задана rрафиком (рис. 11 7).
Постройте касательные к rрафику f в указанных точках и най
дите приближенные значения производной в точках а, Ь, с, d.
3) Продифференцируйте функцию:
а) f (х) = (х + 2) sin х; б) f (х) = 4
(9 + 7 х )->
2 х 2
в) f (х) = х З + cos 3х; {') f (х) = .
х х+3
168 ПРОИ:ШО1I1сНI и сс ПрlПIСIIСIIИЯ
Yi
1&
а blo
I I I
у
i----
Цj::!
а Ь О с
\
I с! I
Рис. 11 7
4. 1)
2)
а)
В)
3)
а)
в)
Какую функцию называют непрерывной на промежутке?
Найдите промежутки непрерывности функции:
f (х) = х З 2 х 2 5 ; б) f (х) = 1 2 tg х;
4 x2
x 4
f (х) = ; 1') f (х) = х 4 3 х 2 + 7.
х 2 3 х 10
Реlllите неравенство
.....!.... + > 1;
х+4 х+l
х 2 3 х 4
<; о;
x 4
методом интервалов:
б) х" 15x 2 16 о;
r) (х 1) (х 2) (х + 4) о.
5.
1) Какую прямую называют касательной к rрафику функ
ции f в точке (х о ; f (х о »?
2) В чем состоит rеометрический смысл производной?
3) Напишите уравнение касательной к rрафику функции f
В точке (х о ; f (х о »:
а) f (х) = cos х. хо = 2л ;
3
1
б) f (х) = , хо = 2.
х
6.
1) Запишите общую формулу для приближенноrо вычисления
значения функции, дифференцируемой в точке хо.
2) ВЫПИlllите формулы для приближенноrо вычисления ЗНа
чений функции:
а) f (х) = х n ; б) f (х) = cos х;
В) f (х) = .JX; {') f (х) = !.
х
3) Вычислите приближенные значения:
а) ; б) sin 590; в) UU9; 1') O,999H .
1,00110
7. 1) В чем состоит механический смысл производной?
2) Тело движется по прямой соrласно закону х (t). Запишите
формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент
времени t.
169 ПРОИ.Jводная и ее ПрИ'\fеIIСНИЯ
З) Найдите скорость и ускорение точки в момент t o " если:
а) х(t)=tЗ 2t2+5, t o =4; б) x(t)=3cos2t, to=i;
в) х (t) = 5t t 2 , t o = 2; 1') Х (t) = 2t 2 + t 4, t o = 4.
8. 1) Запишите формулу Лаrранжа.
2) Сформулируйте признак возрастания (признак убывания)
функции.
3) Исследуйте на возрастание и убывание функцию:
а) у = х ; б) у = 3х sin 3х;
х 2 +9
в) у = х 4 4х;
1') У = х 2 + 16 .
х
9. 1)
2)
3)
а)
в)
10. 1)
2)
а)
в)
Какую точку называют критической точкой функции?
Сформулируйте признак максимума (минимума) функции
Исследуйте на максимум и минимум функцию:
у = х 4 ; б) У = 2 sin х + cos 2х;
2
У = х 3 3х; 1') у = Х tg х.
Опишите схему исследования функции.
Исследуйте с помощью производной функцию:
х 4 х З
{(x)= + x2;
4 3
{(х) = х З зх 2 9х;
б) {(x)= + ;
1') {(x)= .
4 x2
3) Исследуйте по схеме
а) f (х) = х 2 ;
Х
в) f (х) = 2х 2 + 3х 1;
функцию f и постройте ее rрафик:
б) f (х) = х 2 (х 2)2;
З
{') f (х) = + х 2 3х + 1.
3
11. 1) Сформулируйте правило нахождения наибольшеrо и наи-
меньшеrо значений функции на отрезке.
2) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на
данном отрезке:
а) f (х) = 0,8х 5 4х З , [ 1; 2];
в) f (х) = зх 2 2х З , [ 1; 4];
6) f (х) = х sin 2х, [о; ]:
1') f (х) = х 2 (6 х), [ 1; 5].
3) а) Разность двух чисел равна 8. Каковы должны быть эти
числа, чтобы произведение куба первоrо числа на второе было
наименьшим?
б) Для стоянки машин выделили площадку прямоуrольной
формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Пло-
щадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной
200 м, и площадь ее при этом оказалась наибольшей Каковы
размеры площадки?
170 ПРОНЗВОlная и ее ПРИ'fенения
111
rлава
Первообразная и интеrрал
I I
э 7.
Первообразная
26. Определение первообразной
Вспомним пример из механики. Если в начальный MO
мент времени t = О скорость тела равна О, т. е. v (О) = О, то при
свободном падении тело к моменту времени t пройдет путь
gt 2
8(t)=2. (1)
Формула (1) была найдена rалилеем экспериментально.
Дифференцированием находим скорость:
8' (t) = v (t) = gt. (2)
Второе дифференцирование дает ускорение:
и' (t) = а (t) = g, (3 )
т. е. ускорение постоянно.
Более типично для механики иное положение: известно уско-
рение точки а (t) (в нашем случае оно постоянно), требуется найти
закон изменения скорости v (t), а также найти координату s (t).
Иными словами, по заданной производной и' (t), равной а (t), надо
найти v (t), а затем по производной s' (t), равной v (t), найти s (t).
Для решения таких задач служит операция uнmеzрuрованuя,
обратная операции дифференцирования. С ней мы познакомимся
в этой rлаве.
о n р е Д е л е н и е. Функция F называется nервооб
разн,ой для функции f на заданном промежутке,
если для всех х из этоrо промежутка
F' (х) = f (х).
х З
_ При м ер 1. Функция F (х) = 3 есть первообразная для
функции f (х) = х 2 на интервале ( oo; 00), так как
F (х) = ( хЗ ) ' =! (х З )' =!. зх 2 = х 2 = f (х)
333
для всех х Е ( oo; 00).
t 71 Первообразная и интеrрал
х З
Леrко заметить, что + 7 имеет ту же самую производ
3
ную х 2 И поэтому также является первообразной для х 2 на R.
Ясно, что вместо числа 7 можно поставить любую постоянную.
Таким образом, мы видим, что задача нахождения первообразной
имеет бесконечно MHoro решений. В следующем пункте вы увиди
те, как найти все эти решения.
При м е р 2. Для функции f (х) = Jx на интервале (О; (0)
первообразной .является функция F (х) = 2 Б, так как
' 1 1
р' (х) = (2" х) = 2 . = = f (х)
2.JX .JX
для всех х из этоrо интервала. Tal< же как и в примере 1, функция
F (х) = 2 -JX + с при любой постоянной С есть первообразная для
функции f (х) = Jx на том же интервале (о; (0).
При м е р 3. Функция F (х) =! не является первообразной
х
для функции f (х) = 4 на промежутке ( oo; 00), так как равен-
х
ство р' (х) = , (х) не выполнено в точке о. Однако в каждом из
промежутков ( oo; О) и (О; 00) функция F является первообраз-
ной для ,.
Упражнения
326. Докажите, что функция F есть первообразная для функ-
ции , на указанном промежутке:
а) F (х) = х 5 , , (х) = 5х 4 , Х е ( oo; 00);
б) F(x) =х З, {(x)= 3x 4, х е (о; 00);
в) F (х) = !х 7 . f (х) = х 6 . Х е ( oo; 00);
7
{') F (х) = ! x 6, f (х) = x 7, Х е (о; 00).
б
327. Является ли функция F первообразной для функции f
на указанном промежутке:
а) F (х) = 3 sin х, f (х) = cos х, х Е ( oo; 00);
б) F (х) = 5 х4, f (х) = 4хЗ, х Е ( oo; 00);
в) F (х) = cos х 4, f (х) = sin х, х Е ( oo; 00);
r) F (х) = x 2 + 2, f (х) = , х Е (о; оо)?
2х
172 Первообразная и интеrрал
328.
Найдите одну из
(328 329).
а) f (х) = 3.5;
в) f (х) = 2х;
а) f (х) = sin х;
в) '(х) = 4;
первообразных для функции f на R
329.
б) f (х) = cos х;
1') f (х) = sin х.
б) f (х) = х;
1') f (х) = cos х.
ззо. Докажите, что функция F есть первообразная для функ
ции f на указанном промежутке:
а) F (х) = sin 2 х, f (х) = sin 2х, х е R;
б) F (х) =! cos 2х, {(х) = sin 2х, х е R;
2
в) F(x) = sin 3х, '(х) = 3 cos 3х, х е R;
1') F (х) = 3 + tg , f (х) = 1 ,х е ( п; п).
2 2 cos 2 =-
2
331. Является ли функция F первообразной для функции f на
указанном промежутке:
а) F (х) = 2х + cos , f (х) = 2 ! sin , х е R;
2 2 2
б) F (х) = .J 4 х 2 , f (х) = х ,х е ( 2; 2);
.J 4 х 2
в) F (х) = , f (х) = 14 , х е (о; 00);
х х
{') F (х) = 4х JX, f (х) = 6 JX, х е (о; оо)?
332. Найдите одну из первообразных для функции f на R:
2
а) {(х)=х+2; б) f(X)=(Sin COS );
в) f (х) = sin 2 х + cos 2 х; 1') f (х) = 3х 2 + 1.
333. Найдите две первообразные для функции ':
а) f (х) = 2х; б) f (х) = 1 sin х;
в) f (х) = х 2 ; 1') f (х) = cos х + 2.
334. Среди трех данных функций укажите такую, что две дpy
rие являются соответственно производной и первообразной
для нее:
а) f (х) = , g (х) = !, 11 (х) = ;
х 2 Х х З
2
б) f (х) = cos х, g (х) = 1 + cos х, 11 (х) = Х + sin х;
2
х 2
в) {(х)= 1, g(x)=x+2, h(x)=2+2x;
1') f (х) = 3 2 sin х, g (х) = 3х + 2 cos х, h (х) = 2 cos х.
173 Первообра.Jllан и ИlIтеrра '1
27. Основное свойство первообразной
1. Общий вид первообразных. Задача интеrрирования
состоит в TO:\f, чтобы для заданной функции найти все ее первооб-
разные. При решении этой задачи важную роль иrрает следующее
утверждение:
При з н а к п о с т о я н с т в а Ф у н к Ц и и. Если
F (х) = О на некотором промежутке 1, то функ-
ция F постоянная на этом промежутке.
д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем некоторое Хо из проме-
жутка 1. Тоrда для любоrо числа х из TaKoro промежутка в силу
формулы Лаrранжа можно указать такое число с, заключенное
между х и хо' что
F (х) F (х о ) = Р' (с) (х х о ).
По условию Р' (с) = о, так как с е 1, следовательно,
F (х) F (х о ) = о.
Итак, для всех х из промежутка 1
F (х) = F (х о )'
т. е. функция F сохраняет постоянное значение
Все первообразные функции f можно записать с помощью oд
ной формулы, которую называют общим видо",! первооt5разных длл
фун.кцuи {. Справедлива следующая теорема (основное свойство
пе рвообраз ных):
т е о р е м а. Любая первообразпая для ФУllКЦИJf f
на промежутке J может быть записана в виде
F (х) + С,
(1)
rде F (х) одна из первообразных для функ-
ции f (х) на промеЖУТI\:е 1, а С произвольная
постоянная.
Поясним это утверждение, в котором кратко сформулирова-
ны два свойства первообразной:
1) какое бы число ни подставить в выражение (1) вместо С,
получим первообразную для f на промежутке 1;
2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке 1 ни
взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из проме
жутка 1 будет выполнено равенство
<1> (х) = F (х) + С.
174 Псрпообра.НIс\Я н IfllTCrpaJI
у
у
х
о
х
а)
б)
Рис. 118
д о к а з а т ел ь с т в о. 1) По условию функция F первооб
разная для f на промежутке 1. Следовательно, F' (х) = f (х) для
любоrо х е 1, поэтому
(F (х) + С)' = F' (х) + С' = f (х) + О = f (х),
т. е. F (х) + С первообразная для функции {.
2) Пусть Ф (х) одна из первообразных для функции f на
том же промежутке 1, т. е. ф' (х) = f (х) для всех х е 1. Тоrда
«1> (х) F (х»' = <1>' (х) F (х) = f (х) f (х) = о.
Отсюда следует в силу признака постоянства функции, что раз
ность Ф (х) F (х) есть функция, принимающая некоторое посто
янное значение С на промежутке 1.
Таким образом, для всех х из промежутка 1 справедливо pa
венство Ф (х) F (х) = С, что и требовалось доказать.
Основному свойству первообразной можно придать rеО:\1:етри
ческий смысл:
rрафики любых двух первообразных для функции
получаются друr из друrа параллельным переносом
вдоль оси Оу (рис. 118, а).
2. Примеры нахождения первообразных.
_ При м ер 1. Найдем общий вид первообразных для функ
ции f (х) = x3 на Н.
Заметим, что одной из первообразных функции f является
175 Первообразная и интеrрал
фун кция 4 , так как ( 4 )' = х 3 . В силу доказанной теоремы
общии вид первообразных для функции f таков:
х"
F(x)= 4+C.
При м е р 2. Найдем первообразную Fo (х) для функции
{(х) = на промежутке (О; 00), принимающую при х = 1 значение 1.
х 2
Леrко проверить, что любая первообразная функции f имеет
вид F (х) = .! + С. Так как по условию F (1) = 1, приходим К урав-
х
нению (относительно С) вида 1 + С = 1, откуда С = 2, и, следова-
тельно, РО (х) = ! + 2.
х
При м ер 3. Точка движется по прямой с постоянным YCKO
рением а. В начальный момент t o = О точка имеет начальную KOOp
динату хо и начальную скорость v o . Найдем координату х (t) точки
как функцию от времени.
Так как х' (t) = v (t) и v' (t) = а (t). из условия а (t) = а полу-
чаем v' (t) = а. Отсюда следует, что
v (О = at + С..
Подставляя t o = О в формулу (2), находим С 1 = V o И
x'(t) = v(t) at + v o .
(2)
Следовательно,
at 2
х (t) = + v о t + С 2 .
2
(3)
Чтобы найти С 2 ' подставим в (3) значение t o = О, откуда С 2 = хо.
Итак,
at 2
x(t) = +vot + хо.
2
3 а м е ч а н и е. Для краткости при нахождении первообраз-
ной функции f промежуток, на котором задана {, обычно не YKa
зывают. Имеются в виду промежутки возможно большей длины.
Так, в следующем примере естественно считать, что функция
1
f (х) = ..JX задана на интервале (о; 00).
. При м ер 4. Найдем для функции f (х) = Jx первообраз-
ную, rрафик которой проходит через точку М (9; 2).
Любая первообразная функции f (х) = Jx записывается в
виде 2 J; + С. rрафики этих первообразных изображены на ри
сунке 118, 6. Координаты точки 1\1 (9; 2) rрафика искомой перво-
176 Псрпообра.НIс\Я н IfllTCrpaJI
образной должны удовлетворять уравнению 2 J9 + с = 2. Отсюда
находим, что С = 8. Следовательно, F (х) = 2 JX 8
Ниже при водится таблица первообразных для некоторых
функций:
Функция k х n 1 1 1
( посто- (n eZ JX SiJl Х COS Х
f сos 2 х sin 2 х
янная) п 1)
Общий
вид х п ... 1 2.JX+c
первооб- kx+C +C cos х + С Sln х + С tg х + С ctg х + С
n + 1
разных
для f
Проверьте правильность заполнения этой таблицы самостоя-
тельно.
Упражнения
Найдите общий вид первообразных для функции f (335 336).
ЗЗ5. а) f (х) = 2 х 4 ; б) f (х) = х + cos х;
в) {(х)=4х; 1') f (х) = 3.
336. а) f (х) = х б ; б) f (х) = 2;
х З
в) f (х) = 1 ; 1') f (х) = х 5 .
Х
337. Для функции f найдите первообразную F, принимающую
заданное значение в указанной точке:
а) {(X)= 2 ' P ( ! ) = 12; б) {(х)= 12 ' F ( л ) =о;
х 2 cos х 4
в) '(х) = х З , P( 1) = 2; 1') '(х) = sin х, F ( п) = 1.
338. Проверьте, что функция F является первообразной для
функции {. Найдите общий вид первообразных для {, если:
а) Р(х) = si n х х cos х, {(х) = х sin х;
б) F (х) = J х 2 + 1, f (х) = х ;
J х 2 + 1
в) F (х) = cos х + х sin х, {(х) = х cos х;
1 1 + х2
1') F (х) = х , {(х) = 2 .
Х Х
177 Первообрааllая н интеrpал
339. Для функции 1 найдите первообразную, rрафик которой
проходит через данную точку 1И:
а) {(x) 2COBX, M( ; 1):
б) f (х) = 1 х2, 1У! ( 3; 9);
в) f (х) sin ( х + ). м ( 2 з 1t ; 1 ):
r) f (х) =...!...., м ( !; 3 ) .
х 4 2
340. Для функции 1 найдите две первообразные расстояние
между соответствующими точками rрафиков которых (т. е.
точками с равными абсциссами) равно а:
а) 1 (х) = 2 sin х, а = 4; б) 1 (Х) = 1 + tg 2 х, а = 1:
в) 1 (х) = sin 2 cos 2 , а = 0,5;
2 2
1
1') f (х) = .JX ' а = 2.
341. Точка движется по прямой с ускорением а (t). В начальный
момент 10 ее координата равна Х О ' а скорость V O . Найдите
координату х и) точки как функцию от времени:
а) а (t) = 2t, t o = 1, ХО = 4, V o = 2;
б) а (t) = sin t, t o =.!!., ХО = 2, V o = 1;
2
в) а (О = 6/, 10 = О, Хо = 3, V o = 1;
l' ) а (t) = cos t, t о = П, Х О = 1, V о = о.
28. Три правила нахождения первообразных
Эти правила похожи на соответствующие правила диф-
ференцирования.
П р а в и л о 1. Если F есть первообразная для {,
а G первообразная для g, то F + G есть первообраз-
ная для 1 + g.
Действительно, так как F' = 1 и G' = g, по правилу вычисле-
ния производной суммы имеем:
(Р + G)' = F' + G' = f + g.
П р а в и л о 2. Если F есть первообразная для {,
а k постоянная, то функция kF первобразная
для k 1.
Действительно. постоянный 'VIножитель можно выносить за
знак производной , поэтому
(kF)' = kF' = kl.
178 Первообра.3llая н интеrрал
Пр а в и л о 3. Если F (х) есть первообразная для
f (х), а k и Ь постоянные, причем k * О, то
.!.. F (kx + Ь) есть первообразная для f (kx + Ь)
k
Действительно, по правилу вычисления производной слож-
ной функции имеем:
Ci- F (kx + Ь) )' = -i- F' (kx + Ь) . k f (kx + Ь).
Приведем примеры применения этих правил.
_ При м ер 1. Найдем общий вид первообразных для функции
f ( х) = х З + .
х 2
х 4 1
Так как для х з одна из первообразных есть , а для
4 х 2
одной из первообразных является !, по правилу 1 находим:
х
одной из первообразных для функции f (х) = х з будет х 4 !.
х 2 4 Х
х 4 1
Ответ. P(x)= +с.
4 х
При м е р 2. Найдем одну из первообразных для фvнкции
'(х) = 5 cos х.
Так как для cos х одна из первообразных есть sin х, приме-
няя правило 2, получаем о т в е т: F (х) = 5 sin х.
При м е р 3. Найде'\1 одну из первообразных для функции
у = sin (3х 2).
Для sin х одной из первообразных является cos х, поэтому
по правилу 3 искомая первообразная равна
F (х) = ! cos (3х 2).
3
При м е р 4. Найдем одну из первообразных для функции
f(x)= 1
(7 зх)5
Так Kal< для...!... первообразной является , по правилу 3
х 5 4 х 4
искомая первообразная равна
Р(х)=..!... 1
3 4(7 зх)4
=
1
12 (7 3х)4
При м е р 5. Материальная точка массой 2 Кr движется по
оси Ох под действием силы, направленной вдоль этой оси. В MO
мент времени t эта сила равна F и) = 3t 2. Найдите закон х (t)
движения точки, если известно, что при t = 2с скорость точки paB
179 Первообразная и ннтеrрал
на 3 м/с, а координата равна 1 (F сила в ньютонах, t время
в секундах, х путь в метрах).
Соrласно второму закону Ньютона F = та rде а ускоре-
ние. Имеем
а (t) = F = t 1.
m 2
Скорость v (t) точки есть первообразная для ее ускорения а (О, по-
этому
v (t) = 3 t 2 t + С] .
4
Постоянную С 1 находим из условия v (2) = 3:
.4 2+Cl=3' т.е. C 1 =2 и v(t)= t2 t+2.
4 4
Координата х (t) есть первообразная для скорости v (t), поэтому
х (t) = ! t з ! t 2 + 2 t + С 2 .
4 2
Постоянную С 2 находим из условия х (2) = 1:
1 1
4" . 8 2" . 4 + 4 + С 2 = 1. С 2 = 3.
Итак, закон движения точки:
х (t) =.!. t З ! t 2 + 2t 3.
4 2
Упражнения
Найдите общий вид первообразных для функции f (342 344).
342. а) f (х) = 2 х з + З ; б) f (х) = х + cos х;
х х 5
в) f (х) = sin х; 1') f (х) = 5х 2 1.
х 2
а) f (х) = (2х 3)5;
в) '(х) = (4 5х)7;
343.
В ) f ( х ) 4 ·
(3 х 1)2 '
б) f (х) = 3 sin 2х;
{') f (х) = .!. cos ( х ) .
3 3 4
б) (х)= ( ) ;
cos 2 .!!. x
3
1') '(x)= + !
х 5 cOS 2 ( 3 х' 1)
344.
а) '(х)= 3
( 4 15 х )4
345. Найдите для функции f первообразную, rрафик которой
проходит через точку М:
а) f (х) = 4х + , lИ ( 1; 4);
х
б) f (х) = х з + 2, lИ (2; 15);
180' Первообразная н HHTerpaJI
в) f (х) = 1 2х, М (3; 2);
1') f (х) = 10х 4 + 3, 1\1 (1; 5).
х
346. Найдите общий вид первообразных для функции:
а) f (х) 1 cos 3х + 2 sin ( х );
б) f (х) = 1 + 1 зх 2 ;
sin 2 4x "2 х
в) f (х) = '"'"'"""""2"'" 2 3 sin (4 х) + 2 х;
cos (3 х + 1)
l' ) f (х) = 1 + 3 2 cos ( .!!. Х ) .
(3 2x " 5x 2 4
347. Задайте первообразную F для функции f формулой, если
известны координаты точки М rрафика F:
а) f (х) = 2х + 1, 1\1" (о; о); б) f (х) = зх 2 2х, М (1; 4);
в) f (х) = х + 2, 1\/ (1; 3); 1') f (х) = x2 + 3х, М (2; 1).
348. Скорость прямолинейно движущейся точки задана форму
лой v (t) = t 2 ... 2t 1. Запишите формулу зависимости ее
координаты х от времени t, если известно, что в начальный
момент времени (t = О) точка находилась в начале коорди
нат.
349 Скорость прямолинейно движущейся точки задана форму
лой v (t) = 2 cos !. Найдите формулу, выражающую зависи-
2
мость координаты точки от времени, если известно, что
в момент t = ..!!. с точка находилась на расстоянии 4 м от на-
3
чала координат.
350. Точка движется прямолинейно с ускорением а (t) =
= 12t 2 + 4. Найдите закон движения точки, если в момент
= 1 с ее скорость равна 10 м/с, а координата равна 12
(единица измерения а равна 1 м/с 2 ).
351 Материальная точка массой т движется по оси Ох под дей-
ствием силы, направленной вдоль этой оси. В момент Bpe
мени t сила равна F (t). Найдите формулу зависимости х (1)
от времени t, если известно, что при t = t o скорость точки
равна и о , а координата равна хо (F (t) измеряется в ньюто-
нах, t в секундах, v в метрах в секунду, т в кило
rраммах):
а) F (t) = 6 9t, t o = 1, и о = 4, ХО = 5, т = з;
б) F (t) = 14 sin t, t o = п, и о = 2, хо = 3, т = 7;
в) F (t) = 25 cos t, t о = П , V О = 2, х о = 4, т = 5;
2
1') F (t) = 8t + 8, t o = 2, и о = 9, хо = 7, т = 4.
181 ПервообраJllая и ИlIтеrрал
352 rрафик первообразной Р 1 дЛЯ функции f проходит через
точку М, а первообразной F 2 через точку N. Какова раз-
ность этих первообразных? Какой из rрафиков F 1 И Р 2 рас-
положен выше, если:
а) f (х) = зх 2 2х + 4, М ( 1; 1), N (о; 3);
б) f (х) = 4х 6х 2 + 1, М (о; 2), N (1; 3);
в) f (х) = 4х хЗ, j\f (2; 1), N ( 2; 3);
r) f (х) = (2х + 1)2, М ( 3; 1), N (1; б )?
8.
Интеrрал
29. Площадь криволинейной трапеции
Пусть на отрезке (а; Ь] оси Ох задана непрерывная
функция " не :меняющая на нем знака. Фиrуру, оrраниченную
rрафиком этой функции, отрезком (а; Ь] и прямыми х = а и х = Ь
(рис. 119), называют криволинейной трапецией. Различные при-
меры криволинейных трапеций приведены на рисунках 119, a д.
У!
у
у '(х)
у f (х)
о а h х h х %
а) б) В)
У у
У = f (х) а О Ь
х
tt
о
ь
у = f (х)
х
r)
Рис. 119
д)
182 Первообразная и интеrрал
Для вычисления площадей криволинейных трапеций приме-
няется следующая теорема:
т е о р е м а. ЕСЛII f непрерывная 11 неОТРllца-
тельная на отрезке [а; Ь] ФУНКЦIIЯ, а F ее пер-
вообраЗllая lIa этом отрезке, то площадь S соот-
ветствующей КРИВОЛlIнейной трапециlt (рис. 120)
равна приращеНIIЮ первообразной на отрезке [а; Ь],
т. е.
S=Fb Fa.
1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию 8 (х), опреде
ленную на отрезке [а; Ь]. Если а < х (; Ь, то 8 (х) площадь той
части криволинейной трапеции, которая расположена левее Bep
тикальной прямой, проходящей через точку М (х; о) (рис. 120. а).
Если х = а, то 8 (а) = о. Отметим, что 8 (Ь) = 8 (8 площадь кри.
волинейной трапеции).
Докажем, что
8' (х) = f (х).
(2)
По определению производной надо доказать, что
8(x)
X
f (х) при x
о
(3)
Выясним rеометрическии смысл tlислителя дS (х). Для про-
стоты рассмотрим случай дх > о. Поскольку дS (х) = S (х + дх)
s (х), то S (х) площадь фиrуры, закрашенной на рисунке
120, 6. Возьмем теперь прямоуrольник той же площади 8 (х),
опирающийся на отрезок [х; х + дх] (рис. 120, в). В силу непре-
рывности функции f верхняя сторона прямоуrольника пересекает
rрафик функции в некоторой точке с абсциссой с Е [х; Х ... дх]
(в противном случае этот прямоуrольник либо содержится в части
криволинейной трапеции над отрезком [х; х + x], либо coдep
о и
ь х
х
а)
Рис. 120
у f (х)
о (1 Х Х + X
х
с х+Ах
х
б)
в)
183 Первообразная н ннтеrрал
жит ее; соответственно ero площадь будет меньше или больше пло-
щади t!S (х». Высота прямоуrольника равна f (с). По формуле пло-
д8(х)
щади прямоуrольника имеем t!S (х) = f (с) x, откуда = f (с).
6х
(Формула верна и при x < о.) Поскольку точка с лежит между х
и х + f:.x, то с стремится к х при x о. Так как функция f
дS( х)
непрерывна, f (с) f (х) при x о. Итак, f (х) при
6х
8Х о.
Формула (2) доказана.
Мы получили, что S есть первообразная для {. Поэтому
в силу OCHoBHoro свойства первообразных для всех х Е [а; Ь] имеем:
S (х) = F (х) + С,
rде С некоторая постоянная, а F одна из первообразных для
функции {. Для нахождения С подставим х = а:
F (а) + С = S (а) = о,
откуда С = p (а). Следовательно,
S (х) = F (х) F (а). ( 4)
Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S (Ь),
подставляя х = Ь в формулу (4), получим:
S = S (Ь) = F (Ь) F (а).
11 При м е р. Вычислим площадь S криволинейной трапеции,
оrраниченной rрафиком функции f (х) = х 2 , прямыми У = О, х = 1
и х = 2 (рис. 121).
Для функции f (х) = х 2 одной
из первообразных является функция
3
F (х) = . Следовательно,
3
у
1
о
1 2
Рис. 121
23 13 7
S = F(2) F(I) = = .
3 3 3
х
Вы видели, что вычисление про-
изводной функции В большинстве
случаев связано лишь с трудностями
вычислительноrо характера. Слож-
нее обстоит дело с нахождением пер-
вообразных. Так, не сразу ясно, име-
ет данная функция первообразную
или не имеет. В связи с этим от-
метим, что любая непрерывная на
промежутке функция имеет на этом
промежутке первообразную. Разъяс-
нение этоrо факта дает доказатель-
184 Первообразная и интеrрал
ство формулы (2), приведенное выше. Однако первообразные He
которых из известных вам функций нельзя записать с помощью
функций, изуча емых в школе. Так обстоит дело, например, с функ
цией у = ,/ х З + 1.
Упражнения
Вычислите площадь
(353 354).
353. а) у = х 2 , У = о, х = 3;
фиrуры, оrраниченной линиями
б) у = COS Х, у = о, х = о. х = .!:;
2
в) у = sin х, у = о, х = о, х = п;
1') У = ...!..., у = о, х = 1, х = 2.
х 2
354. а) у = х З + 1, у = О, х = О, х = 2;
б) у = 1 + 2 sin х, у = о, х = о, х = .!!.;
2
в) у = 4 х 2 , У = о;
1') У = 1 + cos Х, у = о. х = , х = .
Вычислите ПЛОlцадь фиrуры, оrраниченной линиями
(355 356).
355. а) у = (х + 2)2, У = О, х = о;
1
б) у = + 1, у = О, х = О, х = 2;
( х + 1)2
в) У = 2х х 2 , У = о; 1') У = (х I)З, у = о, х = О
356. а) у = 3 sin ( х + 3 4 7[ ). У О, х = 3 4 п , х = 3 4 П ;
б) у = 2 cos 2х, у = о, х = Л , Х = .!!.;
4 4
. 1 О П 5п.
в) У = Sln Х '2' у = ,х = 6 ' х = ""'6'
1') У = 1 cos х, у = о, х = , х = ; .
30. Интеrрал. Формула Ньютона Лейбница
1. Понятие об интеrрале. Рассмотрим друrой подход
к задаче вычисления площади криволинейной трапеции. Для
простоты будем считать функцию f неотрицательной и непре
рывной на отрезке [а; Ь], тоrда площадь S соответствующей криво
линейной трапеции можно приближенно подсчитать следующи:м
образом.
Разобьем отрезок [а; Ь] на п отрезков одинаковой длин ы
Ь a
точками Хо = а < Х 1 < Х 2 < ... < Х п 1 < Х п = Ь, и пусть ДХ = =
n
185 Первообразная и интеrрал
= X k Xk l' rде k = 1, 2, ..., n 1, n. На каждом из отрезков
[X k 1; X k ] как на основании построим прямоуrольник высотой
f (X k .. 1). Площадь этоrо прямоуrольника равна:
Ь a
f (X k 1 ) дх = f (х k 1 ),
n
а сумма площадей всех таких прямоуrольников (РИС. 122) равна:
Ь a
S п = (! (х о) + f (х 1) + ... + f (х п 1) ).
п
В силу непрерывности функции f объединение построенных
прямоуrольников при большом п, Т. е. при малом /).х, .почти COB
падает. с интересующей нас криволинейной трапецией. Поэтому
возникает предположение, что Sn S при больших n. (Коротко
rоворят: .Sn стремится к S при n, стремящемся к бесконечно
сти. и пишут: Sn S при n 00.)
Предположение это правильно. Более Toro. для любой непре
рывной на отрезке [а; Ь] функции f (не обязательно неотрицатель
ной) Sn при n 00 стре'\fИТСЯ к некоторому числу. Это число назы
вают (по определению) UH.mezpa.llO.At функции f от а до Ь и обозна
ь
чают f {(х) dx, т. е.
а
Sn
ь
J {(Х) dx при n
а
00
(1)
(читается: .Интеrрал от а до Ь эф от икс ДЭ икс))) Числа а и Ь
называются пределами и нтеzрирования: а нижним пределом,
Ь верхним. Знак J называют знаком интеzрала Функция f
называется подынтеzральноu функцией, а переменная х пepe
меннои интеzрирования.
Итак, если f (х) О на отрезке (а; Ь], то площадь S COOTBeT
ствующеи криволинейнои трапеции выражается формулои
ь
S = J f (х) dx. (2)
а
1J = f (х)
ХО Хl ОХ2 xlc..l xk
Х п
х
ХО Х1 ОХ2
Х"..1 Х " Х
Рис. 122
Рис 123
186 Первообра.Jllая и Jfllтеrрал
Для приближенноrо вычисления интеrрала можно рассматри
вать суммы Sn. Лучше, однако, воспользоваться суммами
b a ( 1 1 )
Sп= 2" f(xo)+f(x 1 ) +f(X2) + ...+ f(Xn 1)+2 f(x'l) ,
слаrаемые которых (в случае положительной функции ') равны
площадям трапеций, « вписанных в криволинейную трапецию
и оrраниченных ломаными, как это изображено на рисунке 123.
Действительно, применяя формулу площади трапеции, полу
чаем:
s = (хо ) + ((Х1) . b a + f(X1) f(X2) . b + ... =
п 2 n 2 n
b а ( 1 1 )
= 2f(xo)+f(X1)+f(X2)+...+f(Xn 1)+2f(xn).
2. Формула Ньютона ЛеЙбница. Сравнивая формулы пло
щади криволинейной трапеции
ь
S = F (Ь) F (а) и S = J '(х) dx,
а
делаем вывод.
Если F первообразная для f на (а; Ь], то
ь
f f (х) dx = F (Ь) F (а).
(3)
а
Формула (3) называется ФОРJtf,УЛОЙ Ньютона Лейбница.
Она верна для любой функции " непрерывной на отрезке (а; Ь].
Рассмотрим при меры применения формулы Ньютона
Лейбница.
-
2
При М ер 1. Вычислим f x 2 dx.
l
Поскольку для х 2 одной из первообразных
2
f x2dx= ( 1)3 =3
3 3 .
1
з
является ,
3
Для удобства записи разность F (Ь) F (а) (при ращение
функции F на отрезке (а; Ь]) принято сокращенно обозначать
I b
F (Х)'а ' т. е.
F(b) F(a) F (х>[.
187 Перво06разная и интеrрал
Рис. 124
Пользуясь этим обозначением, фор-
мулу Ньютона Лейбница обычно запи
сывают в виде
ь ь
J f(X)dX F(X)1
а а
(4)
При м е р 2. Вычислим
х
J sin xdx.
о
Пользуясь введенными обозначени
ями, получим:
п I
J sin xdx = cos х = cos 7t ( cos О) =2.
о о
З а м е ч а н и е 1. Данное нами определение интеrрала не поз
воляет rоворить, например, об интеrрале от 1 до 2 функции ,
х 2
так как эта функция не является непрерывной на отрезке [ 1; 2].
Заметим также, что функция ! не является первообразной для
х
функции на этом отрезке, поскольку точка О, принадлежащая
х 2
отрезку, не входит в область определения функции.
_ При м ер 3. Вычислим площадь фиrуры, orpa:Hl-fченной ли
ниями У = 1 х и у = 3 2х х 2 .
Нарисуем эти линии (рис. 124) и найдем абсциссы точек их
пересечения из уравнения 1 х = 3 2х х 2 . Решая это ypaBHe
ние, находим х = 1 и х = 2. Искомая площадь может быть получе
на как разность площадей криволинейной трапеции ВАпс и Tpe
уrольника ВАС. По формуле (2) имеем:
1 1
SBA/X J (3 2х х2)dХ (Зх х2 Х: )
2 2
( 3 1 ) ( 3. ( 2) ( 2)2 ( : )3 ) 9
S мвс =.! АВ. БС = .! . 3.3 = .
222
Следовательно, площадь закрашенной фиrуры равна:
S=SВADс Sмвс =9 = =4,5.
2 2
188 ПервообраЗllая и Иllтеrрал
3 а м е ч а н и е 2 . Удобно расши рить понятие интеrрала, по
лаrая по определению при а Ь. что
ь а
f f (х) dx = f f (х) dx.
а ь
При таком соrлашении формула Ньютона Лейбница оказы
а
вается вернои при произвольных а и Ь (в частности, f f (х) dx = О).
а
Упражнения
Вычислите интеrралы (357 З58).
2
357. а) f x"dx;
l
к
2
б) f cos xdx;
о
З
в) f x 3 dx;
1
J:
I
{') f dx
cos 2 Х
О
2
358. а) f dx .
(2х+ 1)2 '
1
10
в) J dx .
х 2 '
1
n
б) f 3 cos dx;
о
J:
2
1') f sin 2 xdx
то
359'. Докажите справедливость равенства:
х !.
I 1 3 I
а) f d = f dx; б) f sin х dx = f dx ;
о cos х о о 1
16
к
2 1 2
в) f cosxdx = f x 2 dx; 1') f (2 х + 1) dx = f (х З 1) dx.
о о о о
Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фи
rуры, оrраниченной линиями (360 361)
360. а) у = х", у = о. х = 1. х = 1;
б) у = х", у = 1;
в) у = х 2 4х + 5, у = О, х = О, х = 4;
{') у = х 2 4х + 5, у = 5.
361. а) у = 1 х З , у = О, х = О;
б) у = 2 х З , у = 1, х = 1, х = 1;
в) у = x2 4х, У = О, х = 3, х = 1;
1') У = х 2 4х, У = 1, х = 3, х = 1.
189 Первообрааllая н Нllтеrpал
Вычислите интеrралы
2п 2
362. а) J sin dx; б) J
п 2
(362 363).
dx .
J 2x+ 5 '
Зп 6
В) J dx ; 1') f dx
cos 2 ,Jx+3 .
о 9 2
2
б) J (1 + 2х)З dx;
о
1') j (х+ )dX.
1
2к
3 2
363. а) J (sin +COS ) dx;
о
Jt
12
В) J (1 + cos 2х) dx;
о
Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фиrу
ры, оrраниченной линиями (364 366).
364. а) у = х З , у = 8, х = 1;
б) у = 2 cos х, у = 1, х = , х = .!!..
3 3'
в) у = х 2 2х + 4, у = 3, х = 1;
. 1 л 5п.
1') У = Sln Х, у = 2' х = 6' х = 6'
365. а) у = 4х х 2 , У = 4 х; б) 16 У = 2х, х = 4;
y= ,
х 2
в) У = х 2 , У = 2х; 1') У = 6 2х, у = 6 + х х 2 .
366. а) у = х 2 4х + 4, у = 4 х 2 ;
б) У = х 2 2х + 2, у = 2 + 6х х 2 ;
в) У = х 2 , У = 2х х 2 ;
{') у = х 2 , У = х З .
367 . Вычислите площадь фиrуры, оrраниченной rрафиком ФУНК-
цИИ у = 8х 2х 2 , касательной к этой параболе в ее вершине
и прямой х = о.
368. Вычислите площадь фиrуры, оrраниченной rрафиком ФУНК-
цИИ f (х) = 8 0,5х 2 , касательной к нему в точке с абсцис
сой х = 2 и прямой х = 1.
369. Докажите равенство:
ь ь ь
а) J (1 (х) + g (x»)dx = J 1 (x)dx + J g (x)dx;
а
а
а
ь ь
б) f k f(x)dx = k J f (х) dx (rде k постоянная).
а а
190 Первообразпая и интеrрал
31. Применения интеrрала
1. ВЫЧJfслеНJfе объемов тел. Пусть задано тело объ
ем ом V, причем имеется такая прямая (рис. 125), что, какую бы
плоскость, перпендикулярную этой прямой, мы ни взяли, нам из
вестна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость,
перпендикулярная оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х.
Следовательно, каждому числу Х
(из отрезка (а; Ь], см. рис. 125) по-
ставлено в соответствие единствен
ное число S (х) площадь сечения
тела этой плоскостью. Тем самым
на отрезке (а; Ь] задана функция
S (х). Если функция S непрерывна
на отрезке [а; Ь], то справедлива
формула
...
о
х
а
ь
V = J s (х) dx.
а
(1)
Рис. 125
Полное доказательство этой формулы дается в курсах математи
ческоrо анализа, а здесь остаНОВИ:\iСЯ на наr лядных соображениях,
приводящих к ней.
Разобьем отрезок (а; Ь] на п отрезков равной длины точками
хо = а < Х 1 < Х 2 < ... < Х п 1 < Ь = Х п , и пусть
Ь a
x = = Х k Х k .' k = 1. 2. .... n
п
(C:\i. п. 30). Через каждую точку X k проведем плоскость, перпенди-
кулярную оси ОХ. Эти плоскости разрезают заданное тело на слои
(рис. 126, а. 6). Объем слоя, заключенноrо между плоскостями
a. k . и a. k , при достаточно больших n приближенно равен площади
S (x k .) сечения, умноженной на «толщину слоя)) 6.х, И поэтому
V ::: S (Х о ) X + S (х 1) x + ... + S (х 11 1) X = V n.
Xk--l ХА
%"..1 Ь х
f7.,t 1
(
II Хl Xz
х
а)
б)
Рис. 126
191 Первообра.Jllая и IIlIтеrрал
о
Рис. 127
Точность этоrо приближенноrо pa
венства тем выше, чем тоньше слои,
на которые разрезано тело, Т. е. чем
больше n Поэтому
х V n V при n 00.
По определению интеrрала
ь
V п = J s (х) dx при п 00.
а
11 При м е р 1. Докаже:\i, что объем усеченной пирамиды BЫ
сотой Н С площадями оснований S и s равен !. н (S + s + .J Ss ).
3
Пусть точка О вершина «полной!) пирамиды (рис. 127).
Проведем через точку О ось Ох перпендикулярно основанию пира
миды. Основания усеченной пирамиды пересекают ось Ох в точках
а и Ь. Каждая плоскость, перпендикулярная оси Ох и пересекаю
щая отрезок [а; Ь] этой оси в точке х, дает в сечении мноrоуrоль
ник, подобный мноrоуrольнику основанию пирамиды. Поэтому
площадь сечения S (х) равна kx 2 , И, В частности,
s = S (а) = ka 2 и S = S (Ь) = kb2.
Объем усеченной пирамиды вычисляем по формуле (1):
ь ь
V = J kx 2 dx = kх З I =! (Ь З аЗ) = b a (kb 2 + kab + ka 2 ) =
3 а 3 3
а
=!:! (S + .J Ss + s).
3
При м ер 2. Пусть криволинейная трапеция опирается на
отрезок [а; Ь] оси Ох и оrраничена сверху rрафиком функции {,
неотрицательной и непрерывной на отрезке [а; Ь]. При вращении
этой криволинейной трапеции вокру!' оси Ох получаем тело
(рис. 128, а), объем KOToporo находится по формуле
ь
V = f те {2 (х) dx. (2)
а
у
о
а)
Рис. 128
у
х
о
х
б)
192 Первообразная и Иllтеrрал
Действительно, каждая плоскость, перпендикулярная оси Ох
и пересекающая отрезок [а; Ь] этой оси в точке х, дает в сечении
с телом круr радиуса 1 (х) и площади S (х) = 7t1 2 (х) (рис. 128) б).
По формуле (1) получается формула (2).
2. Работа переменной силы. Рассмотрим материальную точ
ку, движущуюся под действием силы Р по прямой. Если действую
щая сила постоянна и направлена вдоль прямой, а перемещение
равно s, то, как известно из физики, работа А этой силы равна
произведению Ps. Теперь выведем формулу для подсчета работы,
совершаемой переменной силой.
Пусть точка движется по оси Ох под действие:\{ силы, проек-
ция которой на ось Ох есть функция 1 от х. При этом мы будем
предполаrать, что f есть непрерывная функция. Под действием
этой силы материальная точка переместилась из точки М (а)
в точку 1\1 (Ь) (рис. 129, а). Покажем, что в этом случае работа А
подсчитывается по формуле
ь
А = f 1 (х) dx.
а
(3)
Разобьем отрезок [а; Ь] на n отрезков одинаковой ДЛИНЫ
Ь a
x = . Это отрезки (а; X 1 ], [X 1 ; х 2 ], ..., [Х п 1; Ь] (рис. 129) б).
п
Работа СИЛЫ на всем отрезке (а; Ь] равна сумме работ этой силы на
полученных отрезках. Так как f есть непрерывная функция от х)
при достаточно малом отрезке [а; x l ] работа силы на этом отрезке
приблизительно равна 1 (а) (X 1 а) (МЫ пренебреrаем тем, что 1
на отрезке меняется). Аналоrично работа силы на втором отрезке
[х 1 ; х 2 ] приближенно равна f (х 1 ) (Х 2 х 1 ) и т. д.; работа силы
на n-м отрезке приближенно равна f (Х п 1) (Ь Х п .). Следователь
Ь a
но, А А п = 1 (а) ДХ + f (Х 1 ) /)"х + ... + 1 (х" 1) /)"х = (1 (а) +
п
+ 1 (x l ) + ... + 1 (Х п 1»9 и точность приближенноrо равенства Te:\i
выше, чем короче отрезки, на которые разбит отрезок [а; Ь]. ECTe
ственно, что это приближенное равенство переходит в точное, если
считать, что п 00:
Ь a
А п = (1 (а) ... f (X 1 ) + ... ... 1 (Х п 1» А.
п
Поскольку А п при п 00 стремится к интеrралу рассматри
ваемой функции от а до Ь (см. п. 30), фОР'1:ула (3) выведена.
м «(1)
М(Ь)
м (и)
М(Ь)
.
.
ь
х
. .
о ll;:=;.x u ХI Х2 ... Х"..1 .х,,= Ь .х
о
а
а)
Рис. 129
б)
193 Первообрааllая н Иllтеrpал
F
..
.. .
о х О х х
а) б)
Рис. 130
_ При м ер 3. Сила упруrости ПРУЖИНЫ t растянутой на 5 см,
равна 3 Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пру
жину на 5 см?
По закону rYKa сила Р, растяrивающая пружину на величи-
ну х, вычисляется по формуле F = kx, rде k постоянный коэф
фициент пропорциональности (рис. 130), точка О соответствует
свободному положению пружины. Из условий задачи следует, что
3 = k . 0,05. Следовательно, k = 60 и сила F = 60х, а по формуле (3)
0.05 1 0 05
А = f 60xdx =зох 2 · ; А = 0,075 Дж.
о о
3. Центр масс. При нахождении центра масс пользуются сле
дующими правилами:
1) Координата х' центра масс системы материальных точек
Ар А2' ..., А п с массами тl' т 2 , ..., m п , расположенных на прямой
в точках с координата:\iИ Хl' Х 2 ' ..., Х п ' находится по формуле
т1 Х l +т2 Х 2 +...+тпХ п
Х '
.
тl + т2 + ...+т п
(4)
2) При вычислении координаты центра масс можно любую
часть фиrуры заменить на материальную точку, поместив ее
в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе pac
сматриваемой части фиrуры.
_ Пример 4. Пусть вдоль стержня отрезка [а; Ь] оси ОХ
распределена масса плотностью р (х). rде р (х) непрерывная
функция. Покажем, что:
ь
а) суммарная масса М стержня равна f р (х) dx;
а
ь
б) координата центра масс х' равна f хр (х) dx.
а
Разобьем отрезок (а; Ь] на п равных частей точками а =
= Хо < Х 1 < Х 2 < ... < Х п = Ь (рис. 129, б). На каждом из n этих отрез
ков плотность можно считать при больших п постоянной и при
мерно равной р (X k .) на k-M отрезке (в силу непрерывности р (х»
194 ПервообраЗllая и ИlIтеrрал
b a
Тоrда масса k-ro отрезка примерно равна т k = р (Xk 1)' а масса
п
b a
Bcero стержня равна (р (х о ) + р (х 1 ) + ... + р (Х п 1». Считая
п
каждый из п маленьких отрезков материальной точкой массы m k ,
помещенной в точке X k l' получим по формуле (4), что координата
центра масс приближенно находится так:
Ь a
(ХоР(Хо)+ ХIР(Хl)+ ...+Xп 1P(Xп 1»
n
Ь a
(p(Xo)+P(Xl)+...+P(Xп 1»
n
X =
Теперь осталось за етить, что при п 00 числитель стремится
ь
к интеrралу f хр (х) dx, а знаменатель (выражающий массу Bcero
а
ь
стержня) к интеrралу f р (х) dx.
а
Для нахождения координат центра масс системы материаль-
ных точек на плоскости или в пространстве также пользуются
формулой (4).
Упражнения
370. Найдите объем тела, полученноrо при вращении вокруr оси
абсцисс криволинейной трапеции, оrраниченной линиями:
а) у = х2 + 1, х = о, Х = 1, у = о;
б) У = , Х = 1, х = 4, У = о;
в) у = Б, х = 1, У = о;
r) у = 1 х2, У = о.
371. Найдите объем тела, полученноrо при вращении вокру!' оси
абсцисс фиrуры, оrраниченной линиями:
а) у = х2, У = х; б) У = 2х, у = Х + 3, Х = о, х = 1;
в) у = Х + 2, у = 1, х = о, х = 2; {') у = Б, у = х.
372. а) Выведите формулу объема шаровоrо cerMeHTa высотой Н,
если радиус шара равен R.
б) Выведите формулу объема усеченноrо конуса высотой Н
с радиусами оснований R и r.
373. Какую работу надО затратить на сжатие пружины на 4 см,
если известно, что сила в 2 Н сжимает эту пружину на
1 см?
374. Сила в 4 Н растяrивает пружину на 8 см. Какую работу
надо произвести, чтобы растянуть пружину на 8 см?
195 ПервообраЗllая и НlIтеrрал
375. Под действием электрическоrо заряда величиной q элект-
рон перемещается по прямой с расстояния а до расстоя-
ния ь. Найдите работу силы взаимодействия зарядов. (Pac
смотрите два случая: 1) а < Ь, q < о; 2) Ь < а, q > о. Ко-
эффициент пропорциональности в формуле, выражающей
закон Кулона, считайте равным у.)
376. Канал имеет в разрезе форму равнобочной трапеции высо-
той Il С основаниями а и Ь. Найдите силу, с которой вода,
заполняющая канал, давит на плотину (а > Ь, а верхнее
основание трапеции).
377. Вода, подаваемая с плоскости основания в цилиндрический
бак через отверстие в дне, заполняет весь бак. Определите
затраченную при этом работу. Высота бака равна h, радиус
основания равен
378. Найдите работу против силы выталкивания при поrруже-
нии шара вводу.
379. Однородный стержень длиной 1 = 20 см вращается в 1'0-
ризонтальной плоскости вокру!' вертикальной оси, про-
ходящей через ero конец. Уrловая скорость вращения
(1) = 10п C l. Площадь поперечноrо сечения стержня
S = 4 см 2 , плотность материала, из KOToporo изrотовлен
стержень, равна р = 7,8 r / см з . Найдите кинетическую энер
rию стержня.
380. Найдите центр масс однородноrо прямоrо KpyroBoro ко-
нуса.
Сведения из истории
1. О происхождении терминов и обозначениЙ. История по
нятия интеrрала тесно связана с задачами нахождения квадратур.
3адача.lttи о квадратуре той или иной плоской фиrуры математи
ки Древней rреции и Рима называли задачи, которые мы сейчас
относим к .задача-м на вычисление площадей. Латинское слово qua-
dratura переводится как «придание квадратной формы.. Необхо-
димость в специальном термине объясняется тем, что в античное
время (и позднее, вплоть до XYIII столетия) еще не были ДOCTa
точно развиты привычные для нас представления о действитель
ных числах. Математики оперировали с их rеометрическими aHa
лоrами или скалярными величинами, которые нельзя перемно-
жать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось
формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновели
кий данному Kpyry . (Эта классическая задача «о квадратуре KPy
ra не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и
линейки.)
196 Первообразная и интеrрал
Символ J введен Лейбницем (1675 1'.). Этот знак является
изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само
слово uнтеzрал придумал я. Б е р н у л л и (1690 {'.). Вероятно, оно
происходит от латинскоrо in tegro, которое пере водится как пpuвo
дить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно,
операция интеrрирования . восстанавливает» функцию, дифферен
цированием которой получена подынтеrральная функция.) Воз
можно, происхождение термина интеzрал иное: слово integer
означает целый.
В ходе переписки и. Бернулли и r. Лейбниц соrласились
с предложением я. Бернулли. Тоrда же, в 1696 1'., появилось и Ha
звание новой ветви математики интеzральное исчисление (cal
culus integralis). которое ввел и. Бернулли.
Друrие известные вам термины, относящиеся к интеrраль
ному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющее
ся сейчас название первоо6разная функция заменило более paH
нее .примитивная функция., которое ввел Лаrранж (1797 1'.).
Латинское слово prilnitivus переводится как .начальный»:
F (х) = f f (х) dx начальная (или первоначальная, или перво
образная) для I (х). которая получается из F (х) дифференцирова
нием.
В современной литературе множество всех первообразных
для функции f (х) называется также неопределенны'м UHmezpa
ЛО,М. ЭТО понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все пер
вообразные функции отличаются на произвольную постоянную.
ь
А f f (х) dx называют определен.ны'м интеzрало'м (обозначение
а
ввел К. Фур ь е (1768 1830), но пределы интеrрирования указы
вал уже Эйлер).
2. Из истории интеrральноrо исчисления. Мноrие значи
тельные достижения математиков Древней rреции в решении за
дач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плос
ких фиrур. а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны
с применением .метода исчерпывания, предложенным Е в Д о к с о м
Книдским (ок. 408 ок. 355 ДО Н. э.). С помощью этоrо метода
Евдокс доказал, например, что площади двух KpyroB относятся
как квадраты их диаметров. а объем конуса равен ! объема ци
3
линдра, имеющеrо такие же основание и высоту.
Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. С этой мо-
дификацией вы знакомы: вывод формулы площади Kpyra, предло
женный в курсе rеометрии, основан на идеях Архимеда. Напом
ним основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) OTMe
чается, что площадь Kpyra 'fеньше площади любоrо описанноrо
около Hero правильноrо мноrоуrольника, но больше площади лю
197 Первообразная и интеrpал
Архимед
(ОК. 287 212 ДО Н. 3.)
великий ученый. Первооткрыватель мноrих фактов
и методов математики и механики. блестящий ин
женер. rлубокие и остроумные идеи Архимеда,
связанные с вычислением площадей и объемов,
решением задач механики по существу. предвос-
хищают открытие математическоrо анализа, cдe
ланное почти 2000 лет спустя.
боrо вписанноrо; 2) доказывается, что при неоrраниченно:vl у ДBoe
нии числа сторон разность площадей этих мноrоуrольников CTpe
мится к нулю; 3) для вычисления площади Kpyra остается найти
значение, к которому стремится отношение площади правильноrо
мноrоуrольника при неоrраниченном удвоении числа ero сторон.
С помощью метода исчерпывания, целоrо ряда друrих остро-
умных соображений (в том числе с привлечением моделей Me
ханики) Архимед решил мноrие задачи. Он дал оценку числа
( 10 1 )
п 3 < 7t < 3 , нашел объемы шара и эллипсоида, площадь cer
71 7
мента параболы и Т. д. Сам Архимед высоко ценил эти резуль
таты: соrласно ero желанию на моrиле Архимеда высечен шар,
вписанный в цилиндр (Архимед показал, что объем TaKoro шара
равен объема цилиндра).
3
Архимед предвосхитил мноrие идеи интеrральноrо исчисле
ния. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах
были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет,
прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до
уровня исчисления.
Математики XVII столетия, получившие мноrие новые pe
зультаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся
и друrой метод .метод недели""tых, который также зародился
в Древней rреции (он связан в первую очередь с атомистическими
воззрениями Д е м о к р и т а). Например, криволинейную трапецию
(рис. 131, а) они представляли себе составленной из вертикальных
отрезков длиной ! (Х), которым тем не менее приписывали пло-
щадь, равную бесконечно .малой величине ! (х) dx. В соответствии
с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме
s= L!(x)dx
а <.х....Ь
бесконечно большоrо числа бесконечно малых площадей. Иноrда
даже подчеркивалось, что отдельные слаrаемые в этой сумме
198 Первообразная и интеrрал
..
(!
Риман reopr Фридрих Бернхард
(1826 1866)
немецкий ученый, один из крупнейших математи-
ков XIX столетия. Сделал замечательные открытия
в теории чисел и теории функций комплексноrо
nepeMeHHoro. Заложил основы новой неевклидо-
вой rеометрии, получившей название римановой.
Создал теорию интеrрала, обобщающую результа-
ты Коши.
нули, НО нули особоrо рода, которые, сложенные в бесконечном
числе, дают вполне определенную положительную сумму..
На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной
основе и. Ее е п л е р (1571 1630) в своих сочинениях «Новая aCT
рономия. (1609 1'.) и «Стереометрия винных бочеКJ) (1615 1'.) пра-
вильно вычислил ряд площадей (например, площадь фиrуры,
оrраниченной эллипсом) и объе ов (тело разрезалось на бесконеч-
но тонкие пластинки).. Эти исследования были продолжены италь
янскими математиками Б. Кавальери (1598 1647) и Э. Top
р и ч е л л и (1608 1647). Сохраняет свое значение и в наше время
сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при He
которых дополнительных предположениях.
у
о
а
х
а)
ь
у
1J = f (х) + с
S
у= f(x)
с
81
О а Ь х
б)
х
в)
Рис. 131
Фl
Ф2
199 Первообразная н интеrрал
( "Т" . .
\ \"
\'
.. ; .
r . ', ..
, ,
.,
.
I .: : : .': , .{ .
. . ,'. . :', \\.\" { ;
I (', . \:
{ ' I \". , .
,... ' \ '
. ., .
:
.:
I
Чебышев Пафнутии Львович
(1821 1894)
русский математик и механик. Ero исследования,
получившие мировое признание, относятся к Teo
рии приближения функций мноrочленами (ccMHoro-
члены Чебышева» наилучшеrо приближения), ин
теrральному исчислению, теории вероятностей,
теории механизмов.
Пусть требуется найти площадь фиrуры, изображенной на
рисунке 131, б, I"де кривые, оrраничивающие фиrуру сверху и сни-
зу, имеют уравнения у = f (х) и у = f (х) + с
Представляя нашу фиrуру составленной из (4 неделимых 1), по
терминолоrии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем,
что все они имеют общую длину с. Передвиrая их в вертикальном
направлении, '\fbI можем составить из них прямоуrольник с осно-
ванием Ь а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площа-
ди полученноrо прямоуrольника, т. е. 8 = 8. = с (Ь а).
Общий принцип Кавальери для площадей плоских фиrур
формулируется так:
Пусть прямые HeKoToporo пучка параллельных пере-
секают фиrуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины
(рис. 131. в). Тоrда площади фиrур Фl и Ф2 равны.
(В духе рассуждений математиков XYII столетия мы опускаем oro
ворки, без которых это утверждение не совсем верно.)
Аналоrичный принцип действует в стереометрии и оказыва
ется полезным при нахождении объемов. Простейшие следствия
принципа Кавальери вы можете вывести сами. Докажите, напри-
:мер, что пря:мой и наклонный цилиндры с общим основанием
и высотой имеют равные объемы.
В XVII в. были сделаны МНОl"ие открытия, относящиеся к
интеrральному исчислению. Так. п. Ферма уже в 1629 {'. решил
задачу квадратуры любой кривой У = хn, rде n целое (т. е. по су-
ществу вывел формулу f XndX = xn l), И на этой основе решил
n+l
ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе
своих знаменитых законов движения планет фактически опирался
на идею приближенноrо интеrрирования. И. Б а р р о у (1630
1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи ин.
теrрирования и дифференцирования. Большое значение имели pa
боты по представлению функций в виде степенных рядов.
200 Первообразная и интеrрал
C)
,.. "
I",b ) .,,
' ,1'.':
/ 11 j',,; 1
I . ! .... . i
. .i'
l' '!!\ )
Лебеr Анри
(1875 1941)
французский математик. Создатель теории меры
(обобщение понятий площади и объема) на OCHO
ее которой разработал новую теорию интеrрала.
Однако при всей значимости результатов, полученных MHO
rими чрезвычайно изобретательными математиками XYII столе
тия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие
идеи, лежащие в основе решения мноrих частных задач, а также
установить связь операций дифференцирования и интеrрирования,
дающую достаточно общий алrоритм. Это сделали Ньютон и Лейб-
ниц, открывшие независимо друr от друrа факт, известный Ba:\f
под названием формулы Ньютона Лейбница. Тем самым окон-
чательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться Ha
ходить первообразные мноrих функций, дать лоrические основы
HOBoro исчисления и т. п. Но rлавное уже было сделано: диффе
ренциальное и интеrральное исчисление создано.
Методы математическоrо анализа активно развивались в сле
дующем столетии (в первую очередь следует назвать имена
Л. Эйлера, завершившеrо систематическое исследование интеrри
рования элементарных функций, и и. Бернулли). В развитии ин
теrральноrо исчисления приняли участие русские математики
М. В. Остроrрадский (1801 1862), В. я. Буняковский
(1804 1889), п. л. Чебышев (1821 1894). Принципиальное
значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшеrо,
что существуют интеrралы, не выразимые через элементарные
функции.
CTporoe изложение теории интеrрала появилось только в XIX в.
Решение этой задачи связано с именами о. Коши, одноrо из круп
нейших математиков немецкоrо ученоrо Б. Р и '\f а н а (1826
1866), французскоrо математика r. Д а р б у (1842 1917).
Ответы на мноrие вопросы, связанные с существованием пло
щадей и объемов фиrур, были получены с созданием К. Ж о р Д a
н о м (1838 1922) теории меры.
Различные обобщения понятия интеrрала в начале нашеrо
столетия были предложены французскими математиками А. Л e
б е 1'0 м (1875 1941) и А. Д а н ж у а (1884 1974), советским Ma
тематиком А. я. Х и н ч и н ы м (1894 1959).
201 Перпообра.Jllая и ИlIтеrра:1
Вопросы и задачи на повторение
1. 1) Сформулируйте определение первообразной.
2) Докажите, что функция F является первообразной для
функции f на R:
а) f (х) = 2х + 3, F (х) = х 2 + 3х + 1;
. cos 2 х
б) f (х) = Sln 2 х + 3, F ( х) = 2 + 3 х;
4
В) f (х) = хЗ + 5, F (х) = + 5х + 2;
4
1') f (х) = cos.! + 1, F (х) = 2 sin.! + х.
2 2
3) Является ли функция F первообразной для функции f
на заданном промежутке:
а) F (х) = х 2 х, f (х) = 2х 1 на В;
б) F(x) = sinx, {(х) = cosx на R;
х х
4
в) F (х) = х з + 1, f (х) = + х на В,
4
1') F (х) = х + COS х, f (х) = 1 sin х на R?
2. 1) Сформулируйте признак постоянства функции на задан-
ном промежутке. Сформулируйте основное свойство первооб
разной.
2) Запишите общий вид первообразных для функции:
а) f (х) = kx + Ь (k и Ь постоянные); б) f (х) = 1 ·
COS 2 Х '
в) f (х) = х n (п целое число, п 1); 1') f (х) = COS х.
3) Для функции f найдите первообразную F, принимающую
заданное значение в данной точке:
а) f (х) = sin х cos х, F (л) = 1;
х 2 3
б) f(Х)=з -;2' Р(3)=5;
в) f (х) = 2х 5, F (1) = 2;
1
1') {(х)= ' Р(6)=10.
x 2
з. 1) Сформулируйте три правила нахождения первообразных.
2) Найдите общий вид первообразных для функции:
а) f (х) = sin 3х 2 ; б) f (х) = ;
cos 2 х 4 2.JX
2
В) f (х) = (4 5х)З 1 з 1') f (х) = х 10 cos 2х.
(2x l)
202 Перпооорааllс\Я н Ifllтеrрал
3) Для функции f найдите первообразную, rрафик которой
проходит через точку 1\1:
а) {(х) = (2 зх)2, М. (1; 2); б) f (х) = sin 2х, М ( ; 2 ):
в) f (х) =..J2 cosx, м ( !!.; 2 ) ; r) f (х) = , м. (О; З).
4 х+l
4 1) Какую фиrуру называют криволинейной трапецией? Запи-
шите формулу для вычисления площади криволинейной Tpa
пеции.
2) Приведите примеры криволинейных трапеций.
3) Изобразите криволинейную трапецию, оrраниченную дaH
ными линиями, и найдите ее площадь:
) . О л л
а у = Sln Х, у = . х = 6' х = з;
б) У = х З , у = О, х = 2;
в) у = (Х 1)2, У = О, х = 3;
1') У = 3 2х х 2 , У = О, х = О, Х = 2 .
5.
1) Объясните, что такое интеrрал.
2) Запишите формулу Ньютона Лейбница.
теrрал:
з
а) f dx .
(х+ 1 0)2'
з
Вычислите ин
:t
в) J sin xdx;
.,
з
3) Вычислите площадь фиrуры, оrраниченной линиями:
а) у = х 2 , У = 3х;
б) У = х 2 4х + 6, у = 1, х = 1, х = 3;
в) у = 4 х 2 , У = 3;
1') У = cos х, у = 1, х = .!!., х = .
2 2
2
б) J dx ;
)JX
з
1') J x 2 dx.
о
rлава
Показательная
и лоrарифмическая
функции
IV
э 9.
Обобщение понятия степени
32. Корень п-й степени и ero свойства
1. Определение корня. С понятием квадратноrо корня
из числа а вы уже знакомы: это такое число, квадрат KOToporo
равен а. Аналоrично определяется корень n-й степени из числа а,
rде n произвольное натуральное число.
о n р е д е л е н и е Корнем n й степени из числа а
называется такое число, n-я степень KOToporo paB
на а.
11 При м е р 1. Корень третьей степени из числа 27 равен 3,
так как з3 = 27. Числа 2 и 2 являются корнями шестой степени
из числа 64 t поскольку 26 = 64 и ( 2)6 = 64.
Соrласно данному определению корень n-й степени из числа
а это решение уравнения х " = а. Число корней этоrо уравнения
зависит от п и а. Рассмотрим функцию f (х) = х".
Как известно, на промежутке [о; 00) эта функция при любом
п возрастает и принимает все значения из промежутка [о; 00).
По теореме о корне (п. 8) уравнение х " = а для любоrо а Е [о; 00)
имеет неотрицательный корень, и притом только один. Ero назы-
вают арифметическим корнем n й степени и.3 числа а и обозна-
чают n.ja; число п называется nока.3ателе-м КОРНЯ, а само число
а подкоренным выражение",!. Знак корня .r называют также
ради калом.
Оп р е Д е л е н и е. АрифметU'lеским корнем n й
степени из числа а называют неотрицательное
число, n я степень KOToporo равна а.
. При м е р 2. Найдем значение: а) 3J8; б) .
а) 3.J8 = 2, так как 23 = 8 и 2 > о;
204 Показательная и лоrарИф:\lическая функции
б) v81 ! так как ( ! ) 4 = 81 и >0.
16 2' 2 16 2
При четных n функция f (х) = х n четна. Отсюда следует, что
если а > о, то уравнение х n = а, кроме корня Х l = 'Vli, имеет также
корень Х 2 = 'VQ. Если а = о, то корень один: Х = о; если а < о,
то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень лю-
боrо числа неотрицательна.
И так, при четном n существуют два корня n-й степени из
любоrо положительноrо числа а; корень n-й степени из числа О ра-
вен нулю; корней четной степени из отрицательных чисел не cy
ществует.
_ При м ер 3. Уравнение х 4 = 81 имеет два корня: это числа
3 и 3. Таким образом, существуют два корня четвертой степени
из 81. При этом v8i это неотрицательное число, т. е. "v8i = 3,
а 3 = V8i.
При м е р 4. Положительным корнем уравнения х 4 = 3 яв
ляется число V"З. Это число (так же, впрочем, как и vз) ирра-
ционально. Ero десятичные знаки вычислим последовательно:
1 < v3 < 2, так как 14 < 3 < 24;
1,3 < 4J3 < 1,4, так как 1,34 < 3 < 1,44 И т. д.
(убедитесь, что v3 = 1,31607...).
При нечетных значениях n функция f (х) = х n возрастает на
всей числовой прямой; ее область значений множество всех дей-
ствительных чисел. При меняя теорему о корне, находим, что урав-
нение х n = а имеет один корень при любом а и, в частности, при
а < о. Этот корень для любоrо значения а (в том числе и а отрица
тельноrо) обозначают .
I Итак, при нечетном n существует корень n-й степени
из любоrо числа а, и притом только один.
Для корней нечетной степени справедливо равенство
".J a = .
в самом деле, ( '!J )n = ( I)п . ( )n = l . а = a, т. е. чис
ло есть корень n-й степени из a. Но такой корень при нечетном п
единственный. Следовательно, п.J a = 'vli .
Равенство ".J a = п-v a (при нечетном п) позволяет выразить
корень нечетной степени из отрицательноrо числа через ариф-
метический корень той же степени. Например, 71 = ->J7i,
з з rn;:;
'\/ 27 = v27 = 3.
205 Показательная и лоrаРИф:\lическая функции
3 а м е ч а н и е 1. Для любоrо действительноrо х
".J х n = { I х 1, если п четно;
х, если n нече тно.
(Докажите это свойство самостоятельно.)
3 а м е ч а н и е 2. Удобно считать, что корень первой степе
ни из числа а равен а. Как вы уже знаете, корень второй степени
из числа называют квадратны",! корне"", а показатель 2 корня
при записи опускают (например, корень квадратный из 7 обозна
чают просто J7). Корень третьей степени называют ку6uческu",,-
корнем.
_ При м е р 5. Решим уравнение: а) х 5 = 11; б) х 8 = 7.
а) По определению корня n-й степени число х корень пя
той степени из 11. Показатель корня нечетное число 5, по-
этому такой корень существует, и притом только один: это 11 .
Итак, x= .
б) По определению корня n-й степени решением уравнения
х 8 = 7 является число 8J7. Так как 8 число четное, 8.J7 также
является решением данноrо уравнения. Итак, Х 1 = 8j7, Х2 = 8.J7.
о т в е т запишем так: х = :f: SJ7.
2. Основные свойства корней. Напомним известные вам
свойства арифметических корней n-й степени.
Для любоrо натуральноrо n, целоrо k и любых He
отрицательных чисел а и Ь выполнены равенства:
1°.
".J аЬ = "j; . 'VЬ.
n f = n..ra (Ь * О).
, Ь n.J Ь
'Vkr nk
'\J а = ;..j а (k > О).
"j; = n а k (k > О).
nТЬ- n k
"a k = ( a) (если k <; О,
то а * О).
20.
З О .
4°.
50.
Докажем свойство 10. По определению '!J(;b это такое HeOT
рицательное число, n-я степень KOToporo равна аЬ. Число nJa . п..jb
неотрицательно. Поэтому достаточно проверить справедливость
равенства ( . nJb) n = аЬ, которое вытекает из свойств степени
с натуральным показателем и определения корня п й степени:
('Vй. nJb)" = ('Vй)" . ('Vb r = аЬ.
206 Показательная и лоrаРИф:\lическая функции
Аналоrично доказываются следующие три свойства:
n.Ja о ( ".Ja ) n (n.Ja )n а.
п..rь И п..rь (".Jb У ь'
O и ( )пk=(( )п)k=( Y=a;
11
va о и rJaY k = ((пJa)n) = a k .
Докажем теперь свойство 50. Заметим, что n-я степень числа
(va)1I равна a ll :
По определению
как (va)1I О).
Приведем примеры применения
нию задач на преобразование числовых
корни.
((va) k )п = (va)kn = Uva) n )k = a k .
арифметическоrо корня ("Ja) 11 = 'v а 11
(так
свойств 10 50 к реше
выражений, содержащих
11
При м ер 6. Преобразуем выражения: а) 5J8. 5.J4; б) «5 ;
16
в) 3.J5J7 ; 1') 2 Z '128 ; д) 128З .
а) 5J8. 5.J4 = 8. 4 = 32 = 2 (свойство 10);
б) V 5 1 = 4{ 81 = v!!i = (свойство 20);
16 'J 16 Vlб 2
в) V5J7 = 15J7 (свойство з0);
1') 2 128 = 2 27 = (свойство 40);
7(. ( 7 ) 3
д) применяя свойство 50, находим v' 128 З = ;J 128 = 2 З = 8.
Докажем следующее свойство арифметическоrо корня:
I 60. Для любых чисел а и Ь, таких, что О а < Ь,
выполняется неравенство n.Ja < 'Vb.
Проведем доказательство методом от противноrо. Допу-
СТИ:\i, что "Ja "Jb. Тоrда по свойству степеней с натуральным
показателем ("Ja)n ('Vb)n , т. е. а Ь. Это противоречит условию
а < Ь.
207 Показательная и лоrаРИф'\fическая функции
11 При м е р 7. Сравним числа 3.J2 и 5JЗ
Представим 3.J2 и v3 в виде корней с одним и тем же пока-
зателем: 3J2 = 1 ?J2 5 = 1 32 , 5JЗ = 15j33 = 1 27 (свойство 40). Из не-
о 15 15 r;;;;
равенства 32 > 27 по свойству 6 следует, что '\132 > '\127, И, зна-
чит, 3.J2 > SJЗ.
При м е р 8. Решим неравенство х 6 > 20.
Это неравенство равносильно неравенству х 6 20 > о. Так
как функция f (х) = х 6 20 непрерывна, можно воспользоваться
методом интервалов. Уравнение х 6 20 = О имеет два корня:
и 20 . Эти числа разбивают числовую прямую на три проме
жутка. Решение данноrо неравенства объединение двух из них:
6{ 6
( 00; '\1 20 ) и (v 20; (0).
Упражнения
Проверьте справедливость равенств (381 382)
381. а) Vlб = 2; б) ;{:l = 1;
в) 1 fi024 = 2; 1') 243 = 3.
382. а) lVi = 1; б) 64 = 2; в) 343 = 7; 1') 19jO = о.
Вычислите (383 384).
383. а) 3.J 27 ; б) V81; в) 32 ; З
1') :J64.
384. а) V 1 · б) 4 ! 81 . В) з.J ; r) V 81 .
32 ' , 625 ' 256
385.
386.
Решите уравнения (385 388).
а) х З + 4 = о; б) х 6 = 5; в) х З = 4;
1') х 4 = 10.
387.
а) х 1О 15 = о; б) х 7 + 128 = о;
в) х 6 64 = О; 1') х 5 = 3.
а) 16х 4 1 = о; б) О,Оlх З + 10 = о;
в) 0,02х 6 1,28 = о; {') 12 х 2 = о.
4 4
а) vx = 0,6; б) vx = 3; в) JX = 5; 1') ?JX = 1
388.
Найдите значение числовоrо выражения (389 394).
389. а) ( 11)" ; б) (2 2 ) 5 ; в) (ЗЛ) З; 1') ( ) 6 .
208 Пока.Jательная и '10rарlfф:\lиче<-кая ФУНhЦlfll
390. а) 16. 625; б) 32. 243;
в) 8:- 343; 1') 0 0001 :-16.
391. а) 160.625; б) 24.9 ; в) 48.27; 1') 75.45
392. а) 9 . 6Jg; б) ?J 16 . ;t=8;
в) 27 . 5.J9; 1') 3,J 25 . 6J25.
:V 625 128 243 128
393. а) ; б) ; B) ; 1')
5 'v8 зд 6j2
394. а) 6 64 . .. /39 1 · З f з 19 ·
100000 000 , 16.' 27 '
б) 5/ 111 .4,5 б-J9 ; В) БJ }43 . 41 .
V 16 5J288 1024 27 '
1') V3 .I! + 'V5 .
8 2 4
J O
395. Найдите первые два десятичных знака (после запятой)
числа:
a)"V2; б) V5; в)Л; 1') 3J3.
Пользуясь таблицами или калькулятором, найдите прибли
жен ное з начение корня с точнос тью до 0,01 (396 397).
396. а) ;{ 10,17; б) ..fii; в) .J 13,21; 1') %.
397. а) ;113,7; б) 10; в) "V2 .8 ; 1') SJ13.
Сравните числа (398 401).
398. а) ;10,2 и о; б) 1 2.JO,4 и 12 f 5 ·
, 12 '
в) ?Jl,8 и 1; 1') 8.jo ,2 и 0,3 .
399. а) ! и (\fI)\ б) 1вЯ и 1 8.J0 ,43 ;
2
в) 5.J2 и 5J3; l' ) 1 О ,8 и 1 .
400. а) .J0,3 и 0,05 ; б) f4 и ;
3j7 f!J 1') J5 и 500 .
в) 7 и 40;
401. а) 0,4 и о,з ; б) 5 и з ;
в) :v 2 и 5.J 4 ; {') 3J 5 и 5j::З.
209 ПоказатеЛЫlая и лоrарИф'\fическая ФУIIКЦИИ
402. .. Вын есите м ножите ль за з нак ко рня (а > О, Ь > О):
а) 64a8bH; б) ;" 128a7; в) V 6a 12 b 6 ; 1') 3.J 54a 10 .
403. Внесите множитель под знак корня (а > 09 Ь > О):
а) Ь VЗ; б) аЬ 8J 5b 3 ; в) а V7; r) aЬ з..j 4 .
а 7
404.
405.
При каких значениях а верно равенство (404 405)?
19 3 5 1
а) "а 2 = a; б) "аЗ =а; в) '\Ja 5 =Ial; 1') '\Ia 4 =а.
а) аЗ = a; б) f!Ja 6 = a; в) a4 =Ial; 1') !Ja 7 =а.
Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой
не содержит знака корня (406 407).
) 3 б ) а .J2 .
а J7 J5; a+-J2'
в) ../51 J2 ;
5+ 2
1') .J6 + 1
-Jб 1
406.
407.
а) ;
б) x .JX .
2.JX '
в) ;
х 'lf4
5
1') .
3V5
Приведите числовое выражение к виду а п-jb, rде а pa
циональное число, а Ь натуральное (408 409).
408. а) ; б) 6 в) ; {') 10 .
3j4 ' 27 . 25 vi2 5.J8
409. а) 1 2,J25 З ; б) З ( 2 1 . v2 ; в) SJ 163 · r) 4 /! 3J5 .
V: 81' \4
410. Решите уравнение с
t=6,J;:
а) 5 б.[; + 6 = о;
в) -h 3 +2=0;
помощью подстановки t = V; или
б) j; + = 2;
1') 5 =6.
Решите неравенства (411 412).
411. а) х 4 < 3; б) хН 7; в) х 1О > 2;
412. а) < 7; б) б.[; 2; в) > 2;
1') х З 5.
1') v-; 3.
Упростите выражения (413 414).
413. а) a6 , rде а <; о; б) "Va 4 , rде а о; в) 5.Ja 5 .
414. а) 3.Jа З -J;2, rде а о; б) 4\(;;4 + 2 ?Ja 7 , rде а о;
в) a5 a6 . rде а о; 1') 3.Jа З + 3 8.Ja 8 , rде а <; о.
21 О показателыlяя и лоrарИф lическая фУIIКЦИИ
415. Найдите значение выражения:
4 4 ==
в) 9 .J65 . 9 + .J65;
ЗJ(4+'V 1 7)2 r=-;;
б) + v 1 7;
:V4 Ш
1') \ ' з .J5. J З+ 15.
а) з-.j l0 + .J7З . V I0 "73;
416. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой
не содержит радикала:
а) 3.J2 ] vз ;
2 3
б) 2т ;
a Ь
В) 2 .
3.J5 + v7 '
1') 3а
a2 vaь+ VЬ2.
зз. Иррациональные уравнения
Уравнения, в которых под знаком корня содержится
переменная, называют иррациональны.ltrи. Таково, например, урав-
нение vx 2 = о.
11 При м е р 1. Решим уравнение J х 2 5 = 2.
Возведем обе части этоrо уравнения в квадрат и получим
х 2 5 = 4, откуда следует, что х 2 = 9, т. е. х = 3 или х = 3.
Проверим.. что полученные числа являются решениями урав-
нения. Действительно, при подстановке их в данное уравнение по-
лучаются верные равенства
.J3 2 5 = 2 и ;<= 3)2 5 = 2.
Следовательно, х = 3 и х = 3 решения данноrо уравнения.
При м е р 2. Решим уравнение = х 2.
Возведя в квадрат обе части уравнения, получим х =
= х 2 4х + 4. После преобразований приходим к квадратному
уравнению х 2 5х + 4 = о, корни KOToporo х = 1 и х = 4. Про
верим, являются ли найденные числа решениями данноrо урав-
нения. При подстановке в Hero числа 4 получаем верное равенство
.J4 = 4 2, т. е. 4 решение данноrо уравнения. При подстановке
же числа 1 лолучае:vt в правой части 1, а в левой части число 1.
Следовательно, 1 не является решением уравнения; rоворят, что
это посторонний корень, полученный в результате принятоrо спо-
соба решения. О т в е т: х = 4.
Мы видим, что при решении иррациональных уравнений по
лученные решения требуют проверки , потому, наПРИ:vJ:ер, что He
верное равенство при возведении в квадрат может дать верное ра-
венство. В самом деле, неверное равенство 1 = 1 при возведении
в квадрат дает верное равенство 12 = ( 1)2.
211 ПОI\азате тJыlяя и лоrарИф:\lичеСI\ая фУIII\ЦИИ
11 При м е р 3. Решим уравнение J х 2 2 = JX.
Возведем обе части этоrо уравнения в квадрат: х 2 2 = х,
откуда получаем уравнение х 2 Х 2 = о, корни KOToporo х = 1
и х = 2. Сразу ясно, что число 1 не является корнем данноrо урав-
нения, так как обе части ero не определены при х = 1. При под-
с танов ке в уравнение числа 2 получаем верное равенство
.J 22 2 = J2. Следовательно, решением данноrо уравнения являет-
ся только число 2.
При м е р 4. Решим уравнение -.J х 6 = .J4 х .
Возводя в квадрат обе части этоrо уравнения, получаем
х 6 = 4 х, 2х = 10, х = 5. Подстановкой убеждаемся, что чис-
ло 5 не является корнем данноrо уравнения. Поэтому уравнение
не имеет решений.
Иноrда удобнее решать иррациональные уравнения, исполь-
зуя равносильные переходы.
11 При м е р 5. Решим уравнение .J х 2 = х 8.
По определению .J х 2 это такое неотрицательное число,
квадрат KOToporo равен подкореННО:\iУ выражению. Друrими слова-
ми, уравнение .J х 2 = х 8 равносильно системе
{ х 2 = (х 8)2,
Х 8 о.
Решая первое уравнение системы, равносильное уравнению
х 2 17х + 66 = о, получим корни 11 и 6, но условие х 8 О вы-
полняется только для х = 11. Поэтому данное уравнение имеет
один корень х = 11.
При мер 6. Решим уравнение x 1 = x2 x 1.
В отличие от рассмотренных ранее примеров данное ирра-
циональное уравнение содержит не квадратный корень, а корень
третьей степени. Поэтому для Toro, чтобы избавиться от ради-
кала., надо возвести обе части уравнения не в квадрат, а в куб:
(х I)З = х 2 Х 1. После преобразований получаем:
х З зх 2 + 3х 1 = х 2 Х 1,
х З 4х 2 + 4х = О,
х (х 2 4х + 4) = о,
х (х 2)2 = о.
Итак, Х 1 = о, Х 2 = 2.
При м е р 7. Решим систему уравнений
{ 3.JX + 3.JY = 4,
х + у = 28.
112 Показательная и лоrарИфl\lическая функции
Положив и = и v = , приходим К системе
{ и + v = 4,
иЗ + v З = 28.
Разложим левую часть BToporo уравнения на множители:
иЗ + v З = (и + и) (и 2 ии + и 2 ) и подставим в Hero из первоrо
уравнения u + v = 4. Тоrда получим систему, равносильную вто-
рой:
{ и + v = 4,
и 2 ии + и 2 = 7.
Подставляя во второе уравнение значение и, найденное из
первоrо (и = 4 и). приходим к уравнению
и 2 u (4 и) + (4 и)2 = 7, Т. е. и 2 4и + 3 = о.
Полученное квадратное уравнение имеет два корня: и 1 = 1
и и 2 = 3. Соответствующие значения v таковы: и 1 = 3 и и 2 = 1.
Переходя к переменныM х и у. получаем: = и р т. е. Х 1 =
= и = 1, У 1 = и = 27, Х 2 = и = 27, у 2 = и = 1.
О т в е т: (1; 27), (27; 1).
Упражнения
Решите уравнения (417 420).
417. а) J х 4 + 1 9 = 1 о; б) 3Jx2 2 8 = 2;
в) "61 х 2 = 5; 1') 3.J х 9 = 3.
418 а) Ji+i = х 5; б) х + .J 2 х + 3 = 6;
в) "2x 1 =x 2; 1') 3+ .J3 x + 1 = х.
419.
а) J 2 х + 1 = .J х 2 2 х + 4 ; б) JX = .J x 2 Х 3;
в) .J;+2 = .J2x 3 ; {') J 9 х 2 = .J;+9.
а) х = V х З + х 2 6 х + 8 ; б) х 2 = 3J x2 8;
в) х = 3.J х З х 2 8 х + 2 0 ; {') х + 1 = 3.J х З + 2 х 2 + х
420.
213 ПоказатеJlьная и JlоrарИф 'Iическая ФУНКI ИИ
421 Решите систему уравнений:
{ 3JX + 2 з-rY = 1,
а)
3 vx з-rY = 10;
{ 2VX+ VY =7'
в)
4VY 3 =6;
r4 VY=2.J2,
б)
l2 +3VY=8J2;
{ JX + 3 JY = 5 jБ,
1')
5 fY 2 .JX =Jб.
Решите уравнения (422 425).
422. а) Б+i .J х + 6 = 6; б) х + 1 = .J х 1 ;
J2 х 1
1') Б J2 x =2х.
х+6
в) = .J 3 х + 2;
Jx 2
423. а) .J5 + х + 3 = 3;
в) ,,18 3,J х + lU = 4;
424. a) .J х 3 = 1 + ;
в) 2 + ,J I0 х = ,J 22 х;
425. а) h--3 6= x 3 ;
в) V х 5 = 30 .J х 5 ;
б) J.Jx2 16+ x=2;
r) \! х J х 2 5 = 1.
б) Б+2 '" х 6 = 2;
[') "' l 2x 3= 16+x.
б) x + 1 + 2 = з;
[') 3 1 ?J х 2 3 + х 2 3 = 4.
Решите системы уравнений (426 42 7).
{ 2 -h .JY = 5, { ",,6+Х 3 .J 3y + 4 = 10,
426. а) б)
h.JY=з; 4 3y+4 5.J 6+x =6;
в) { Б + 3.JY = 10, 1') { 2 J х 2 + J5 !i+ i = 8,
JX.JY =8; 3 .Jx 2 2 .J 5y+ 1 = 2.
427. а) { h + .JY = 8, б) { V; + VY = 5,
x y=16; ху=216;
в) { Б .JY = 4, {') { VX З.jY = 2,
х У = 32; ху = 27.
214 Показательная и лоrаРИф:\lическая функции
34. Степень с рациональным показателем
Вам уже знакомо понятие степени числа с целым пока
зателем. Выражение а n определено для всех а и n, кроме случая
а = О при n о. Напомним свойства таких степеней
Для любых чисел й, Ь и любых целых чисел т и n
справедливы равенства:
a пJ . а n = a пJ + n; a пJ : а n = а т n (а о);
(ат)n = а пт ;
(ab)'1 = а n ь n ; ( !! ) п = а n (Ь;/:. О);
ь ь п
a 1 = а; а О = 1 (а;/:. о).
Отмети'\f также следующее свойство:
Если т > n, то а т > а n при а > 1 и ат < а n при
О < а < 1.
в ЭТО'\f пункте мы обобщим понятие степени числа, придав
!
смысл выражениям типа 2 0 . З , 87, 4 2 И т. д. Естественно при
этом дать определение так, чтобы степени с рациональными пока
зателя и обладали теми же свойствами (или хотя бы их частью),
что и степени с целым показателем. Тоr да, в частности, n-я CTe
пJ
пень числа а n должна быть равна a пJ . Действительно, если свойст
во (аР) q = а pq выполняется, то
(a )п =a .п
=а т .
Последнее равенство означает (по определению корня n-й
т
степени), что число а п должно быть KOpHe'\i n й степени из чис-
ла a пJ .
о n р е д е л е н и е. Степенью числа а > О с paциo
пальпы,М nоказателе,М r = т, rде т целое чис..
n
ло, а п натуральное (п > 1), называется число
nr
va .
и так, по определению
т
а п = n.Ja m .
(1)
Степень числа О определена только для положительных
показателей; по определению Or = О для любоrо r > о.
215 Показательная и лоrарИф:\lическая функции
11 При м е р 1. По определению степени с рациональным по-
казателем
1 5
4 6 r:::-;- 6
74 = V7; 26 = "25 = 32 ;
..:L
а 15 =
15 .............
'\( а 7 .
1
При М ер 2. Найдем значения числовых выражений 83,
3 2
814, 128 7
По определению степени с рациональным показателем
1 3
3 4 ( ) 3
И свойствам корней, имеем 83 = v8 = 2; 814 = 81J = V81 =
2
7 G";. ( ) 2 1
= з3 = 27; 128 7 = ,,128 2 = 'V 12 8 = 2 2 = 4.
3 а м е ч а н и е 1. Из определения степени с рациональным
показателем сразу следует, что для любоrо положительноrо а
и любоrо рациональноrо r число a r положительно.
3 а м е ч а н и е 2. Любое рациональное число допускает раз-
личные записи ero в виде дроби, поскольку т = mk для любоrо
п nk
натуральноrо k. Значение a r также не зависит от формы записи
рациональноrо числа r. В самом деле, из свойств корней следует,
mk m
k r--=:;:- r--=:-
что а nk = n'\Ja тk = '!va т = а п .
3 а м е ч а н и е 3. При а < О рациональная степень числа а
не определяется, и это не случайно. Если бы мы сочли верной фор-
1
мулу (1) и для а < О, то, например, значение ( 8)3 равнялось бы
3.J 8 , т. е. 2. Но, с друrой стороны, ! = , и поэтому должно ВЫ-
3 6
1 2
полняться равенство 2=( 8)З =( 8)6 = 8)2 = 82 =2.
Покажем теперь, что при сформулированно выше определе-
нии степени с рациональным показателем сохраняются основные
свойства степеней, верные для любых показателей (разница за-
ключается в том, что приводимые далее свойства верны только для
положительных оснований).
Для любых рациональных чисел r и s и любых по-
ложительных а и Ь справедливы равенства:
10. a r .a 8 =a r + s .
20. ar:aB=arooB.
з0. (а'")' = a rs .
40. (ab)r = a r . b r .
50. ( )r :: .
216 ПокаJательная и лоrарИф:\lическая фУIII ЦИИ
Для доказательства этих свойств надо воспользоваться опре
делением степени с рациональным показателем и доказанны'\1И
в п. 32 свойствами корней. Докажем, например, свойства 10, з0
4 0 П т Р
и . усть r = и 8 = , rде п и q натуральные числа, а т
п q
и р целые. Тоrда
тq + пр
а r . а 8 = 'v а т . V аР = n V а тq . Щl.J а пр = n V а тq + пр = а nq = а r + 8 ;
тр
(а r)s = q (a r)p = " (пw) P = n Va тр = а -;q = а rs;
(ab)r = п (ab)т = n.j a m ь т = ;}а m . ".Jb т = а r . Ь r .
Свойства 20 и 50 доказываются аналоrично (проведите COOT
ветствующие рассуждения самостоятельно).
1 з
_ При м ер 3. Найдем значение выражения 40 . 24 : 5 4.
1 з 1 ;! ;!...! .!...
40 -24: 5 4 = 4.J2 З .5 -24 .54 =244.544 =21.51 =10.
При м е р 4.
1 1
а 2 Ь 2
а) 1 1 ;
а 4 + Ь 4
Преобразуем выражения:
а 1 .2 ь 2 . 1
б)
а О . 8 + а О . 4 ь О . 7 + ь 1 . 4
а: b: J)Y (b Y =
а) 1 1 1 1
а 4 + Ь 4 а 4 + Ь 4
а 1 . 2 ь 2 . 1
б)
а 0.8 + а 0.4 ь О . 7 + ь 1 . 4
= а 0.4 ь О . ; .
( a b ( ai + b .! .!
=a4 ь4.
1 1 '
а 4 + Ь 4
=
(а О . 4 )З (ьО.7 )3
(а о . 4 )2 + а О . 4 ьО.7 + (b O . i )2
=
Отметим следующие два свойства степеней с рациональными
показателями:
60. Пусть r рациональное число и О < а < ь. Тоrда
a r < Ь при r > о,
a r > b r при r < о.
70. Для любых рациональных чисел r и 8 из Hepa
венства r > 8 следует, что
a r > а В при а > 1,
a r < а Я при О < а < 1.
Докажем свойство 60. Если r > о, то r можно записать в виде
r = т , rде т и п натуральные числа. Из неравенства О < а < Ь
п
и свойств степени с целым показателем следует. что а т < Ьт.
217 Показательная и лоrаРИф'fическая функции
По свойству корней (свойство 60, п. 32) из этоrо неравенства полу-
n 1;; 'V b т r b r
чаем ,Та 111 < , Т. е. а < .
в случае r < О проводится аналоrичное рассуждение.
Для доказательства свойства 70 приведем сначала рациональ-
ные числа r и s к общему знаменателю: r = т и s =!!., rде п на-
n п
туральное число, а т и р целые. Из неравенства r > s следует,
1
что т > р. Если а > 1, то а;; = n.JQ > 1 и по свойству степени с це-
лым показателем (а )т > (а )P .
Остается заметить, что
(a T a: a' и (a J a: a"
-
Случай О < а < 1 разбирается аналоrично.
2
Сравним числа f8 и 23".
При м е р 5.
Запишем 5.J8
3
5J8 =25.
в виде степени с рациональным показателем:
2 3
По свойству 70 получаем 23 > 25, так как > .
3 5
При м е р 6. Сравним числа 2300 и з200.
Запишем эти числа в виде степеней с одинаковым показа-
телем:
2300 = (23)100 = 8100; 3200 = (32)100 = 9100.
Так как 8 < 9, по свойству 60 получаем
8 1О {) < 9100, т. е. 2300 < з200.
Упражнения
428. Представьте в виде корня из числа выражение:
2 1!
а) 31.2; б) 5 3; в) 41.25; {') 6 2
429. Представьте выражение в виде степени с рациональным
показателем:
а) 3.Ja 2 ; б) VЗЬ; В) 1 3.Jb 7 ; 1') w.
Найдите значение числовоrо выражения
( ) ! 5
а) 2430.4; б) 6;в4 8; в) 16:а;
(430 431).
2
( 273 ) 9
1') .
1256
430.
218 Пока.Jате.Тlьная и 1'JоrарИф:\lическая ФУНhЦllI1
431. а) 8 : (8 9 i );
2!.
в) 8 З:81 0 . 75 ;
8
б) 100 . ( J2 ) з . О )3 ;
1
r) (1 (.5.(4 ) 3.
Разложите на множители (432 433).
1 1 1 1
432. а) (ах)З + (ау)З ; б) а а 2 ; В) 3 + 32 ;
1 1
{') (зх)2 (5х)2 .
1 1 1 1 1 1
...... .....
433. а) х З уЗ хЗ уЗ + 1; б) с 2 + с 4 ;
1 1 1 1 1
в) 4 4З; 1') а +ь 2 +а 2 +а 2 ь 2 .
Упростите выражения (434 435).
1
434. а) a b б) z 8 в) х 2 4 {') а+Ь
1 1 ' 2 1 x 16' 2 1 1 2
а 2 Ь 2 zЗ+2z З +4 аЗ аЗЬЗ+ЬЗ
1 1 1 1 1
х2 у4 + х4 у2 а 2 + 1 1
435. а) x y б) a l + 2а 2 ;
. .
З 1 1 1 1 1 З
х 4 + х2 у4 х2 + у2 а + а 2 + 1 а 2 1
в) [ 1 1 ] аЗ Ь З
+ .
1 1 1 1 а 2 + аЬ + ь 2 '
а + а 2 Ь 2 а а 2 Ь 2
.JX+l . 1
{')
х JX + х + JX . х 2 .JX.
436.
Сравните числа:
19
а) ?Jз З и 3"8;
в) 3.J6 5 И 61.7;
15
б) O,4 2.7 И 0)7";
5
r) ( y и ;J 12 '
437. Найдите значение выражения:
1 З
а) 81 0.75 + ( l ) ..з ( l ) "5.
125 32'
..! ! ..l!
б) 0,001 З ( 2) 264З 8 З +(90)2;
219 ПоказатеЛЫlая и лоrарИф'\fиче(,кая ФУIIКЦИИ
2 о 75
в) 273 + ( 1 ) · 250.5 ;
1
r) ( O,5) 4 6250.25 ( 2 ) 12 + 19 ( 3)
438. Упростите выражение:
a l .Ja+lfa i 1
а) . . а + .
! ! .Ja+1 '
а 4 + а 2
б) ( -vx + 1 + .JX J 2 . ( 1 + .1.... + ! ) i ;
1 .JX VX JX х
4 1
в) аЗ 27a3b : ( 1 ззfF. ) .
!.! V а,
аЗ + 3а З ь з + 9Ь З
( 1т2 + 4 ) ( m 1 1 )
1') т+Л m3+2J2 . 2 J2 + m .
439. Представьте выражение в виде степени с рациональным по-
казателем:
1') !. V 27 fX.
3
а) ?J 2 5 . ах З ; б) V a 2 a ; в) ?Jь з . "vb;
440. Представьте выражение в виде корня:
З
а) 3. 2 5;
З 2
б) а 4 : ь 5 ;
2
в) 2Ь 3;
1 2
1') ь З С 7 .
441. Сравните числа:
а) (.)3) : и з,J3 1 V ;
б) з600 И 5400;
5
в) (i) 7
З
и 12. 2 14 ;
r) 7 ЗО и 440.
442.
Имеет ли смысл выражение:
1 2
а) ( 3) 7; б) ( 2) 4; в) 5 З ;
4
1') О 7?
443. Найдите область определения выражения:
2
а) (х+l) 7; б) х 5 ; в) Х 4; {') (х 5)З.
444. При каких значениях переменной верно равенство:
( 1 ) 6 1 1 1 З
а) а 6 = а; б) (а 4 )4 = a; в) (а 8 )8 = ; r) (а О . 7 ) "7 = a?
la I
220 Пока Jательная и лоrаРlfф'\lическая функции
э 10.
Показателъная и лоrарифмическая
функции
35. Показательная функция
1. Степень с иррациональным показателем. Зафик-
сируем положительное число а и поставим в соответствие каждо-
т
му числу т число а п. Тем самым получим числовую функ-
п
цию f (х) = аХ, определенную на множестве Q рациональных чисел
и обладающую перечисленны:ми в п. 34 свойствами. При а = 1
функция f (х) = а Х постоянна, так как 1 Х = 1 для любоrо рацио-
нальноrо х.
Нанесем несколько точек rрафика функции у = 2 Х , предвари-
тельно вычислив с помощью калькулятора значения 2 Х на отрезке
[ 2; 3] с шаrом ! (рис. 132, а), а затем с шаrом ! (рис. 132, б).
4 8
Продолжая мысленно такие же построения с шаrом . , и т. д.,
16 32
мы видим, что получающиеся точки можно соединить плавной
кривой, которую естественно считать rрафиком некоторой функ-
ции, определенной и возрастающей уже на всей числовой прямой
т
И принимающей значения 2 п в рациональных точках х = т
п
(рис. 132, в). Построив достаточно большое число точек rрафика
функции у ( J' , МОЖНО убедиться в том, что аналоrичными
свойствами обладает и эта функция (отличие состоит в том, что
функция у ( }' убывает на R).
Эти наблюдения подсказывают, что можно так определить
числа 2" и ( )" для каждоrо иррациональноrо а, что функции,
задаваемые формулами у = 2'" и У ( )'", будут непрерывными,
причем функция у 2'" возрастает, а функция у =( )'" убывает
на всей числовой прямой.
Опишем в общих чертах, как определяется число а а для ир-
рациональных а при а > 1.
Мы хотим добиться Toro, чтобы функция У = аХ была воз-
растающей. Тоrда при любых рациональных r} и r 2 , таких,
что r 1 < а < r 2 , значение а« должно удовлетворять HepaBeHCTBa'\i
а r. < а Q < а r2 .
221 ПоказатеЛЫlая и лоrарИф'\fическая ФУIIКЦИИ
N
.... """
CI.:
t.-- )J) с"\1 ..-t \::)
....
I
" 'Т
J
..-t i ,....
\с)
t-- ,,!:) C'\J '1""4 ::J
....
I
,-
'1""4 '-4 с\1
М
.fI
,.....
!с с.>
:s:
,
.., t'- .!:"," Ф )J) eq ,... ::::
.....
I
222 Показательная и лоrаРИф:\lическая функции
Выбирая значения r 1 и r 2 , приближающиеся к х, можно
заметить, что и соответствующие значения а r. И а r2 будут мало
отличаться. Можно доказать, что существует, и притом только
одно, число у, которое больше всех а r. для всех рациональных r 1
и меньше всех а r2 для всех рациональных r 2 . Это число у по опре
делению есть а а .
Например, вычислив с помощью калькулятора значения 2 Х
в точках Х п И X , rде Х п И X десятичные приближения числа
Х = J-з, мы обнаружим, что чем ближе Х п и X К J-з, тем меньше
отличаются 2 Хп и 2X .
Так как 1 < JЗ < 2, ТО
21 = 2 < 2 JЗ < 22 4.
1,7 < J3 < 1,8 и, значит,
21.7 3,2490096 < 2 JЗ < 21.8 3,4822022.
Аналоrично, рассматривая следующие десятичные прибли
жения J3 по недостатку и избытку, приходим к соотношениям:
2 1 . 7З 3,3172782 < 2../3 < 21.74 3,3403517;
2 1 . 7З2 3,3218801 < 2 JЗ < 2 1 . 7ЗЗ 3,3241834;
21.7З20 3,321801 < 2.JЗ < 21. 7321 3,3221104;
21.7З205 3,3219952 < 2 JЗ < 21.7З206 3,3220182;
21.7320.)0 3,3219952 < 2 JЗ < 21.7320:>1 3,3219975.
Значение 2 JЗ, вычисленное на калькуляторе, таково:
2 JЗ 3,321997.
Аналоrично определяется число ао. для О < а < 1. Кроме Toro.
полаrают 10. = 1 для любоrо а и 0« = О для а > о.
2 Свойства показательной функции.
о п р е Д е л е н и е Функция, заданная формулой
у = аХ (..де а > О, а:!; 1), называется nокааательной
функцией с основанием 4.
Сформулируем основные свойства показательной функции
(их доказательство выходит за ра'\fКИ школьноrо курса).
1. Область определения множество R действи
тельных чисел.
2. Область значений множество R всех положи
тельных действительных чисел
22 3 поI а.3ателыlяя и oI"10rарИф'\lическая фУIII';ЦИИ
у
у
11 = а%
и>1
о
с
х
с
о
х
Рис. 133
Рис. 134
3. При а > 1 функция возрастает на всей числовой
прямой; при О < а < 1 функция убывает на :\iножест-
ве В.
rрафики показательных функций для случаев а > 1 и
О < а < 1 изображены на рисунках 133 134 .
4. При любых действительных значениях х и у спра-
ведливы равенства
Х
аХаУ =аХ+У; =aX Y.
аУ ,
( аЬ )" а r Ь r ; ( )" :: ;
(аХ)У = аХУ.
Эти формулы называют ОСНОБНbt.!ttu Сбоuсmба.!ttu степеней.
Свойства 3 и 4 означают, что для функции у = аХ, определен-
ной на всей числовой прямой, остаются верными свойства функ-
ции у = аХ, которая сначала была определена только для рацио-
нальных х (см. свойства 10 70, п. 34).
Упражнения
445. Перечислите свойства функции и постройте ее rрафик:
а) у = 4 Х ; б) у = 0,2 Х ; в) у = 0,7 Х ; 1') у = 2,5 Х .
446. Найдите область значений функции:
а) у = 2"; б) У Ci)" + 1; в) у = ( )" ; r) у = 5" 2.
447. Сравните числа:
J5 ( у'н
а) ( TT и 1; б) З Ji2 и! .
3 '
.J5 1
в) 2,5 J2 и 1; 1') 0,3 6 и 0,33.
224 Показательная и лоrарИфl\lическая функции
448. Вычислите:
а) ( J2 ) л) J2 : б) зl 2.JЗ . 9] ./З.
,
В) 8./2 : 2 З .J2; 1') (3 "Л)",/4 ,
449.
450.
451.
452.
453.
454.
455.
Упростите выражения (449 450).
а) а Ji -( ) Ji \
в) (a.J5)..J5;
a 2J2 ь 2JЗ
а) + 1 , .
2
(a J2 ь./з)
б) хп . .J х 2 : x 4 "t ;
1') у../2 . у1.З : V уЗ.J2 .
(а 2 ./З 1)(a2.J3 + а JЗ + аЗ./З).
б)
а 4J3 аJ3 '
В)
a.J5 b.fi
.
2,л Л./7 2.[7 ,
............... .........
аЗ +а 3 Ь 3 +Ь 3
J ( 1 ):;
1') \I(X1t+y;-:)2 4 п ху) .
Вычислите с точностью до 0,1 (пользуясь таблицами или
калькулятором) значения:
а) 101.41 и 101.42; б) 101.414 И 101.41:,;
в) 10 2 . 2З и 102.24; 1') 102.236 И 10 2 . 2З7 .
Пользуясь полученными В задаче 451 результатами, найди
те значения 10'-'2 и 10.J5 с точностью до 0,2.
Укажите, какая из данных функций является возрастаю
щей, какая убывающей на множестве R:
а) у (Л)", у = C )" ; б) у = ( 15 2)" ,
В) у=( ; )", y (;)";
у = .......1
(.J5 2)X
r) у (з .J7)", у= .
(3 7)Х
Найдите область значений функции:
а) у = 3 Х + 1 3; б) у = 12 Х 21;
В) y=( )" l +2; r) у = 41"1,
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на R:
( 1 ) Sin Х
а) у = 2 ;
б) У = 5 + з1сos xl;
в) у = 4 СО8 Х;
( 1 ) ISin х'
1') у = 2.
3
456. Найдите знак корня уравнения:
а) ( )" = 10; б) 0,3" = 0,1; В) 10" = 4; r) 0,7" = 5.
115 Пока38тельная и лоrаРИф'lическая функции
Решите rрафически уравнения (457 458).
457. а) 3"" = 4 х; б) ( )"" х + 3;
в) ( )"" х + 1;
458. а) 31.. Х = 2х 1;
в) 2 Х 2 = 1 х;
1') 4 Х = 5 х.
б) 4 Х + 1 = 6 х;
1') З ООХ = !.
х
459. Верно ли, что показательная функция f (х) = аХ:
а) имеет экстремумы;
б) принимает наибольшее значение в некоторой точке Х О '
в) принимает в некоторой точке значение, равное нулю;
1') является четной (нечетной)?
36. Решение показательных уравнений
инеравенств
1. Уравнения. Рассмотрим простеишее показательное
уравнение
аХ = Ь,
(1)
rде а > О и а * 1. Область значений функции у = аХ множество
положительных чисел. Поэтому в случае Ь < о или Ь = о уравне-
ние (1) не имеет решений.
Пусть Ь > о. Функция У = аХ на промежутке ( oo; 00) возра-
стает при а > 1 (убывает при О < а < 1) и принимает все положи-
тельные значения. Применяя теорему о корне (п. 8), получаем, что
уравнение (1) при любом положительном й, отличном от 1, и Ь > о
имеет единственный корень. Для Toro чтобы ero найти, надо Ь
представить в виде Ь = аС. Очевидно, что с является решением
уравнения аХ = аС (рис. 134).
З/ -
11 При м е р 1. Решим уравнение 7x 2 = ,,49.
2
з
Заметим, что 49 = 72, а v49 = 7 З . Поэтому данное уравнение
2
можно записать в виде 7x 2 = 7 З . Следовательно. корнями дан-
Horo уравнения являются такие числа х, для которых х 2 = ,
3
т. е. х = 2 . О т в е т: х = 2 .
При м е р 2. Решим уравнение 5 х2 2 x l = 25
Перепише'\i ero в виде 5 х2 2x 1 = 52. Корнями этоrо уравне-
ния являются такие числа х, для которых х2 2х 1 = 2. Прихо-
дим к квадратному уравнению, корни KOToporo числа 3 и 1.
Ответ: 3; 1.
226 пol а.)ателыlяя и лоrарИф:\lическая фУIII ЦИИ
При м е р 3. Решим уравнение 6 Х + 1 + 35 . 6 Х 1 = 71.
Заметим, что 6 Х '" 1 = 36 . 6 Х 1. Поэтому данное уравнение
можно записать в виде 36.6 х -- 1 +35 .6x 1=71, т.е. 71.6x 1=
= 71, откуда 6 Х 1 = 60, х 1 = о, х = 1. О т в е т: 1.
При мер 4. Решим уравнение 4 Х 5. 2 Х + 4 = О
Сделаем замену переменной t = 2 Х . Заметим, что 4 Х = (2 х )2 = t 2 .
Поэтому данное уравнение принимает вид t 2 5t + 4 = о. Найдем
решения этоrо квадратноrо уравнения: t 1 = 1 и t 2 = 4. Решая
уравнения 2 Х = 1 и 2 Х = 4, получаем х = О и х = 2. Ответ: о; 2.
2. Неравенства и системы уравнений. Решение простейших
показательных неравенств основано на известном свойстве функ-
ции у = аХ: эта функция возрастает при а > 1 и убывает при
О < а < 1.
_ При м ер 5. Решим неравенство 0,57 Зх < 4.
Пользуясь тем, что 0,5 2 := 4, перепишем заданное неравенст-
во в виде 0,57 ЗХ < 0,5 2. Показательная функция у = 0,5 Х убывает
(основание 0,5 меньше 1). Поэтому данное неравенство равносиль-
но неравенству 7 3х > 2, откуда х < 3. О т в е т: ( oo; 3).
При м е р 6. Решим неравенство б х2 2x > 63.
Показательная функция у = 6 Х возрастает. Поэтому данное
неравенство равносильно неравенству х 2 + 2х > 3, решая которое,
получим о т в е т: ( oo; 3) и (1; 00).
При мер 7. Решим неравенство ( ! ) Х +з<о.
9 з х . 1
Сделаем замену t = ( }", тоrда ( ) Х = t 2 И неравенство пере-
пишется в виде t 2 28 t + 3 < о, откуда! < t < 9. Следовательно, ре-
3 3
шением данноrо неравенства являются числа х, удовлетворяющие
неравенствам < ( ) Х < 9, и только такие числа. Но l = ( у ,
9 ( l ) 2, а функция у = ( ) Х убывает, поскольку < 1. Поэтому
решением неравенств l < ( ) Х < 9 будут числа х, у довлетворяю-
щие неравенствам 2 < х < 1. О т в е т: ( 2; 1).
При м е р 8. Решим систему уравнений
{ 2 Х +2 и =12,
з2х u = 3.
Из BToporo уравнения системы находим 2х у = 1 , откуда
у = 2х 1. Подставляя вместо у в первое уравнение выражение
227 Пока.Jате.ТJЫlая и лоrарlfф'\lическзя ФУНhЦlf1f
2х 1, получим 2 Х + 2 2х 1 = 12, откуда 2 Х + !. 2 2х = 12. Обозначив
2
2 Х через t, приходим к квадратному уравнению t 2 + 2t 24 = о,
откуда t 1 = 6, t 2 = 4. Уравнение замены 2 Х = 6 реПIений не име-
ет. Корнем уравнения 2 Х = 4 является х = 2. Соответствующее зна
чение у равно 3. О т в е т: (2; 3).
Упражнения
Решите уравнения (460 464).
460. а) 4 Х 64; б) ( )X = 27; В) 3 Х 81;
1') ( ! ) Х = l.
2 64
461. а) (!)X.( )X 27 . б) J8Х З = 42 x ;
3 8 64 '
в) J -;-. '\J = 36; (3 )3X 1 (7 )5X 3
1') .
7 3
462 . а) з6 х = зЗх 2; ( 1 )2Х 2 +x O.5 .J7
б) "7 = 7;
в) =9; 1') 2x2+2x 0.5 =412.
463. а) 7 Х + 2 + 4 . 7 Х + 1 = 539; б) 2 . З Х 1 З Х = 15;
в) 4 Х 1 + 4 Х = 320; 1') 3 . 5 Х З + 2 . 5 Х + 1 = 77.
464. а) 9 Х 8 . З Х 9 = о; б) 1 ООХ 11 . 1 ОХ + 1 О = о.
в) 36 Х 4 . 6 Х 12 = о; 1') 4 9 Х 8 . 7 Х + 7 = о.
465.
Решите систему
уравнений:
1 6 ЗХ у = ..J 6 ,
б) 2y 2x = ;
./2-
I( 1 ) 4X Y
=25
1') 5 '
79x y = .J7.
{ 4 X "t"Y =16,
а)
4 х + 2у 1 = 1;
{ з2у х = ,
в) 81
3X II+2 = 27;
Решите неравенства (466 467).
466. а) ( )X ;;. 27;
В ) О 2 Х <; .
, 25'
б) (-J6)x <; 316 ;
{') 1 ,5 Х < 2,25.
467. а) 45 2х 0,25;
в) 0,4 2х + 1 > 0,16;
б) 0,3' 4х > 0,027;
1') 32 Х < 27.
228 ПокааатеJlьная и .'IJоrарИф'\IИ'lеСl\ая функции
Решите уравнения (468 470).
( )X 1 ( )Х+1
468. а) 3 х + 1 2 . 3 Х 2 = 75. б) = 4,8;
,
в) (I)X 3 (l)X+1 1') 5. gx + gx 2 = 406.
5. 2 + 2 = 162;
( )X 1 ( (Х
469. а) 5 Х 1 = 8Х 1; б)! =! . в) 7 Х 2 = 42 Х.
3 4 t
470. а) 3 Х + 33 х = 12; б) 4 .Jx 2 + 16 = 10. 2 .Jx 2 ;
в) ( )H O)X =4,96; 1') 4 Х 0,2 5 Х 2 = 15.
471. Решите систему уравнений:
{ 5 Х + У =125 { Х+ У =5
а) , б) ,
4(X y)2 1 = 1; 4 Х + 4 У = 80;
{ 3 Х +3 У =12, { 4 Х + У =128,
в) {')
6X Y = 216; 53х 2у З = 1.
Решите неравенства (472 474).
472 а) 2 х2 > О JX 3 ; б) C JX < (.j5)x 2 ,з.7S;
( ) ( 1 ) 10Х 2 х 2
в) з 4х + з 2; 1') 4 > 64 3
473. а) ( )X + ( )X \ 2,5;
в) ( ! ) Х+1 ( ! ) Х >.Ji .
3 3 16 '
б) 2 2х 1 + 2 2х 2 + 2 lx З < 448;
1') З Х 2 + З Х 1 < 28.
в) 4 Х 2 Х " 1 8 > о;
б) ( )2X I 10'3 X +3<0;
r) ( 6)X 5.6 X 6 "-;0.
474.- а) п Х п 2Х О;
475. Решите rрафически неравенство:
а) 2 Х "-; 3 Х; б) ( ) Х ..-; 2 Х + 5;
В) ( )X.. 2н 1;
1') З Х > 4 х.
229 Показательная и лоrарИф'\fиче(,кая функции
37. Лоrарифмы и их свойства
1. Лоrарифм. Вернемся к уравнению аХ = Ь, {'де а > О
и а :1: 1 Как показано в предыдущем пункте, это уравнение не име-
ет решений при Ь о и имеет единственный корень в случае
Ь > о. Этот корень называют лоrарифмом Ь по основанию а и обо-
значают loga Ь, Т. е.
а 101: са Ь = ь.
Оп р е Д е л е н и е. ЛО2арифм,ом, числа Ь по осnова-
пию а называется показатель степени, в которую
нужно возвести основание а, чтобы получить число ь.
Формулу а 10Ва Ь = Ь (rде Ь > 09 а > О и а :1: 1) называют основ.
ным JLоzаРUф.lltuческuм тождеством.
-
ПрИ:\f е р 1. Найдем значение: а) log232: б) log50,04.
а) Заметим, что 32 = 25, т. е. для Toro чтобы получить число
32, надо 2 возвести в пятую степень. Следовательно, log2 32 = 5.
б) Заметим. что 0.04 = 1 = 5 2, поэтому log5 0,04 = 2.
25
При м е р 2. Найдем лоrарифм числа по основанию JЗ.
Заметим, что (13) --4 =!. Поэтому по определению лоrарифма
9
1
lоgл 9" = 4.
Пример 3.
Найдем х, такое, что: а) log8 х =!; б) log Х 8 = .
3 4
Воспользуе:\fСЯ OCHOBHbI:\f лоrаРИф:\fическим тождеством:
1
а) х = 8 10gs Х = 8 з = 2;
з
IOB.r 8 8 4 8
б} Х =, т. е. х = ,откуда
4
1
х = 8 з =
16
2. Основные свойства лоrарифмов. При работе с лоrарифма-
ми применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств
показательной функции:
При любом а > О (а:l; 1) и любых положительных
х и у выполнены равенства:
1 О. loga 1 = о.
20. loga а = 1.
З О . loga ху = loga х + loga у.
40. loga х = loga х loga у.
у
50. loga х Р = Р loga х
ДЛЯ любоrо действительноrо р.
230 Показательная и лоrарИфl\1ическая функции
Для доказательства правила з0 воспользуемся основным ло
rарифмическим тождеством:
10ft Q х 10ft Q У ( 1 )
х=а ,у=а .
Перемножая почленно эти равенства, получаем:
х у = а log аХ. а log а у = а log Q Х + log Q У ,
log Х + log у С
т. е. ху = а Q а. ледовательно, по определению лоrарифма
loga (ху) = loga х + loga у.
I Лоrарифм произведения равен сумме лоrарифмов.
Правило 40 докажем вновь с помощью равенств (1):
х = а log Q Х = а log Q log а у
у а 10ft Q У
следовательно, по определению log а ! = loga х 10gb у.
У
I Лоrарифм частноrо равен разности лоrарифмов.
Для доказательства правила 50 воспользуемся тождеством
( ) Р
Х = а logQ х, откуда х Р = a logQ Х = аР logQ Х. Следовательно, по оп-
ределению loga х Р = р loga х.
I ЛоrаРИф:\f степени равен произведению показателя
степени на лоrарифм основания этой степени.
Основные свойства лоrарифмов широко применяются в ходе
преобразования выражений, содержащих лоrарифмы. Докаже'\f,
наПРИ:\fер, фОро1ttулу перехода от одноrо основания лоrарифма к
друrому основанию:
log ь х
log а х = .
log ь а
(Эта формула верна, если обе ее части имеют смысл, т. е. при
х > О, а > О и а :1; 1, Ь > о и Ь :1; 1.)
По правилу лоrарифмирования степени и основному лоrа-
рифмическому тождеству получаем:
10gb х = 10gb(alOgQ х),
откуда
logb Х = loga х . 10gb а.
Разделив обе части полученноrо равенства на 10gb а, приходим
к нужной формуле.
С помощью формулы перехода можно найти значение лоrа.
рифма с произвольным основанием а, имея таблицы лоrарифмов,
составленные для какоrо-нибудь одноrо основания ь. Наиболее
употребительны таблицы десятичных и натуральных лоrарифмов
(десяmuч1tblАtu называют лоrарифмы по основанию 10 и обознача-
ют Ig, а с натуральны'\fИ лоrарифма:\fИ вы познакомитесь в п. 41).
231 ПоказатеЛЫlая и лоrаРИф:\lнческая функции
11 При м е р 4. Найдем lоgо.з 7.
Пользуясь калькулятором (или таблица'\1:И), находим
19 7 ::::: 0,8451, 19 0,3 ::::: 0,4 771 1 = 0,5229. Следовательно, по
0,8451
,1)о р м у ле пе р ехо д а lo g 7..... ..... 1 6162
ч о.з ..... 0'5229.....' .
При м ер 5. Известно, что log2 5 = а и log2 3 = Ь. Выразим
log2300 через а и Ь.
Пользуясь основными свойствами лоrарифмов, получаем:
log2 300 = log2 (3 . 52 . 22) = log2 3 + 2 log2 5 + 2 log2 2 = Ь + 2а + 2.
При м ер 6. Выразим лоrарифм выражения 8а З W через
log2 а и log2 Ь. (Коротко rоворят: пролоrарифмируем данное Bыpa
жение по основанию 2.)
Пользуясь основными свойствами лоrарифмов, получаем:
log2 (ВаЗ VЬ4) = log2 (2 З _аЗ -ь ) = з log2 2 + 3 log2 а + log2 Ь =
7
4
= 3 + 3 log 2 а + log 2 Ь.
7
При м е р 7. Найдем х, если
logs х = logs 7 + 2 log5 3 3 logs 2.
Сначала преобразуем правую часть данноrо равенства, поль-
зуясь основными свойствами лоrарифмов:
2 з 7.9 63
log;> х = logs 7 + logs 3 log" 2 = 10g5 8 = logs 8'
т. е. 10g5 х = logs 6: и ПОТО'\1:у Х = 683 = 7,875.
Ig72 Ig9
При м ер 8. Найдем значение выражения
Ig28 Ig7
Пользуясь основными свойствами лоrарифмов, преобразуем
числитель и знаменатель этой дроби: Ig 72 Ig 9 = Ig 72 = Ig 8 =
9
28
= 3 Ig 2; Ig 28 Ig 7 = Ig = Ig 4 = 2 Ig 2.
7
1972 199 31g2 3
Следовательно, 1 = . = .
g28 197 21g2 2
Упражнения
476.
Найдите лоrарифм по основанию а числа, представленноrо
в виде степени с основанием а (4 76 4 78).
а) 32 = 9; б) 2 З =!; в) 42 = 16; {') 5 2 = .
8 25
1 1
а) 9 2 = 3; б) 70 = 1; в) 32 5 = 2; 1') 3 1
1
з.
2 3 3 2
...... .... .... ......
а) 27 З =9; б) 325=8; в) 814=27; r) 125 З =25
477.
478.
232 ПОI азатеЛЫlая и лоrарИф lическая фУIIКЦИИ
Проверьте справедливость равенств (479 482).
479. а) lоgз = 4; б) log16 1 = о;
81
в) log4 16 = 2;
480. а) log5 0,04 = 2;
в) Ig 0,01 = 2;
1') log5 125 = 3.
б) log7 343 = 3;
1') lоgз = 5.
243
б) log П 27 6;
1') logo.5 4 = 2.
481. а) 10g.J2 8 = 6:
в) logl 9 = 2;
з
482. а) log2J2 128 = 1: ;
в) 10g.J5 0,2 = 2:
б) logo.2 0,008 = 3;
1') logo.2 125 = 3.
483. Найдите лоrарифмЪ1 данных чисел по основаниЮ а:
а) 1 б) 64, 1 2 при а = 8;
25, , '\15 при а = 5; 8'
5
в) 16, !, 12 при а = 2; 1') 27, 1., J3 при а = 3.
4 9
Найдите число х (484 486).
484. а) lоgз х = 1; б) log 1 Х = 3;
6
485.
в) log5 Х = 2;
а) log4 х = 3;
в) log 1 Х = 1;
7
а) logx 81 = 4; б)
1') log7 Х = 2.
б) log J5 х = о;
1') log 1 Х = 3.
2
1 1
[ogx = 2; в) logx = 2; 1') logx 27 = 3.
16 4
486.
487. Запишите число в виде лоrарифма с основанием а:
1
а) 2, 2' 1, О при а = 4; б) 3, 1, 3, 1 при а = 3;
в) 3, , о. 1 при а = 2;
1') 1, 2, о. 3 при а = 5.
Упростите выражения, пользуясь OCHOBHЫ лоrарифмиче
ским тождеством (488 490).
488. а) 1,710g1.72; б) 1tloJt:o:5.2; в) 21oJt25; 1') 3,8IоJtз.sll.
489. а) 51+1011'3; б) 101 1g2; В) ( Y+log 2; r) з2 lоgзI8.
490. а) 4210g.3; б) 5310g. ; В) ( YIOg 3; r) 621ogsS.
233 пока.3ателыlяя и Jlоrарифмическая ФУIIКЦИИ
491. ПролоrаРИф:\1:ируйте по основанию 3 (а > О, Ь > О):
а) ( азь )i; б) ( аl0 ) O'2;
6[j;5
в) 9а 4 5.JЬ;
ь 2
1') 27 а 7 .
ПролоrаРИФ:\1:ируйте по основанию 10, rде а > О, Ь > О, с > О
(492 493).
1 1 2
100 .JаЬЗ с ; а 5 З 2. О,Оlс 3
а) б) 0,lс 2 .fЬ' в) ViO а З ь4 с , 1') I
а 2 Ь З
1 2 2 '/
а) 103 а4ь2с З; б) Ь 3 в) 10 4а2ь5сЗ; {') с.
, 2
105 а 6 с 5 107 а з ь 8
492.
493.
494 Известно, что log5 2 = а и logs 3 = Ь. Выразите через а и Ь:
а) logs 72; б) logs 15; в) logs 12; {') logs 30.
Вычислите (495 496).
495. а) 19 8 + Ig 125;
в) 10g124 + log12 36;
496. а) Ig8 + Ig 18 .
2 19 2 + Ig 3 '
в) log2 11 log2 44;
б) log2 7 log2 ;
16
1') 19 13 19 130.
б) lоgз 16 ;
log З 4
1') lоgо.з 9 2 lоgо.з 10.
497. Найдите х, если:
а) log6 х = 3 log6 2 + 0,5 log6 25 2 log6 3;
б) Ig х = ! Ig 5а 3 Ig Ь + 4 19 с;
2
в) 19 х = 5 Ig т + Ig n 11 g р;
3 4
1') 10g4 Х = 1:. log4 216 2 log4 10 + 410g 4 3.
3
498
Докажите:
а) log 1 3 + lоgз ! < 2;
2
З
в) log З 7 + log 7 3 > 2;
б) 4 log:J 7 = 7 log:) 4 ;
l' ) з 1оg 2 S = 5 10g 2 З .
234 Показательная и лоrаРИф:\lическая функции
38. Лоrарифмическая функция
Пусть а положительное число, не равное 1.
о n р е Д е л е н и е. Функцию, заданную формулой
у == loga Х, (1)
называют ЛО2арифмической фупкцией с ocпoвa
пие м а.
Перечислим основные свойства лоrарифмической функции.
1. Область определения лоrарифмической функ-
ции \1ножество всех положительных чисел В т '
т. е. D (loga) = B .
Действительно, как отмечалось в предыдущем пункте, каж
дое положительное число х имеет лоrарифм по основанию а.
I 2. Область значен й лоrарифмической функции
множество всех деиствительных чисел.
в самом деле, по определению лоrарифма любоrо действи
тельноrо у справедливо равенство
loga (аУ) = у,
(2)
т. е. функция у = loga х принимает значение УО в точке ХО = а УО.
3. Лоrарифмическая функция на всей области
определения возрастает (при а > 1) или убывает
(при О < а < 1).
Докажем, например, что при а > 1 функция возрастает
(в случае О < а < 1 проводится аналоrичное рассуждение).
Пусть Х 1 и Х 2 произвольные положительные числа и
Х 2 > х 1. Надо доказать, что loga Х 2 > loga х 1. Допустим противное,
т. е. что
loga Х 2 log а X 1 .
(3)
Так как показательная функция у = аХ при а > 1 возрастает,
из неравенства (3) следует:
а log Q Х 2 а log Q Х. .
(4)
Но а logQ Х2 = Х 2 ' а logQ х. = Х 1 (по определению лоrарифма), т. е. не-
равенство (4) означает, что Х 2 X 1 . ЭТО противоречит допущению
Х 2 > х 1.
235 Показательная и лоrаРИф:\lичесК8Я функции
у
у
а"
х
о
11 ]oga х
О<а<]
о
у = log"tJ х
u>l
а Ь
ь
х
ь
а)
Рис. 135
б)
Для построения rрафика заметим, что значение О лоrариф
мическая функция принимает в точке 1; loga 1 = О при любом
а> О, так как а О = 1.
Вследствие возрастания функции при а > 1 получаем, что
при х > 1 лоrарифмическая функция принимает положительные
значения, а при О < х < 1 отрицательные.
Если О < а < 1, то у = loga х убывает на R+, поэтому loga х > О
при О < х < 1 и logo х < О при х > 1.
Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить rpa
фИК функции У = loga х при а > 1 (рис. 135, а) и О < а < 1
(рис. 135, б).
Справедливо следующее утверждение (доказательство C:\i.
в п. 40):
rрафики показательной и лоrарифмической функ-
ЦИЙ, имеющих одинаковое основание, симметричны
относительно прямой у = х (рис. 136).
Рассмотрим примеры применения свойств ЛОl'арифмической
функции.
11
g = а"
у
а>l
у=а%
О<й<l
х
х
а)
б)
Рис. 136
236 ПОI с\.JатеJIЫlан и .т.оrарlfф:\lичеСI ая ФУIII\l\ИII
11 При м ер 1. Найдем область определения функции
1 (х) = 10g s (4 5х).
Область определения лоrарифмической функции множе-
ство В Т . Поэтому заданная функция определена только для
тех х, при которых 4 5х > о, т. е. при х < 0,8. Следовательно, об-
ластью определения заданной функции является интервал
( oo; 0,8).
При м е р 2. Найдем область определения функции
1 (х) = 10g 2 (х 2 Зх 4).
Как и в предыдущем примере, функция f определена для
всех тех х, при которых х 2 3х 4 > о. Решая это квадратичное
неравенство, получаем, что D (1) объединение интервалов
( oo; 1) и (4; 00).
При м е р 3. Найдем область определения функции
2х+ 3
1 (х) = log 7 5 7 х .
+
Решая методом интервалов не-
2х+ 3 О
равенство > t находим
5 7x
(рис. 137), что D (f) = ( ; ).
о
о
>'
з
2
5
7
Рис. 137
При м е р 4. Сравним числа: а) lоgз 5 и lоgз 7; б) log 1 5
з
и log 1 7; в) lоgз 10 и log.a 12.
з
а) Лоrарифмическая функция с основанием, большим 1, воз-
растает на всей числовой прямой. Так как 7 > 5, то lоgз 7 > lоgз 5.
6) В данном случае основание лоrарифма меньше 1, поэтому
функция log 1 Х убывает, и, следовательно, log 1 7 < log 1 5.
з з з
в) Заметим, что 10 > 9 = 32, И поэтому lоgз 10 > 2, с друrой
стороны, 12 < 16 = 42, и, следовательно, log.a 12 < 2. Итак,
10g з 1 О > log4 12.
При мер 5. Что больше:
10g 2 3 + log2 7 или log2 (3 + 7)?
По основному свойству лоrарифмов log2 3 + log2 7 = 10g 2 21.
А так как log2 (3 + 7) = log2 10 и 10 < 21, а основание лоrарифма 2
больше 1, то 10g2 10 < 10g 2 21, следовательно,
logl 3 + 10g2 7 > log2 (3 + 7).
237 ПоказатеЛЫlая н лоrарНфl\lическая фУIII ЦНН
Упражнения
Найдите область определения выражения (499 500).
499. а) log:c (10 5х); б) log:; (9 х 2 );
в) lоgз (х 4); 1') lоgо.з (х 2 16).
1 2х+ 5
500. а) log JW (6 + х х 2 ); б) g x=t;
2+ 3х
в) log 0.9 5 2 х ;
1') log J2 (х 2 2 х 3).
Сравните числа (501 503).
501. а) log2 3.8 и log2 4.7; б) log 1 0.15 и log 1 092;
з з
в) lоgз 5,1 и lоgз 4,9; {') 10g o . 2 1,8 И logO.22,1.
502. а) log J2 3 и 1; б) log...!.... 1,9 и log...!.... 2,5;
.{3 .{3
в) logrc 2.9 и 1; 1') logo.7 .J2 и logO.70.3.
503. а) log2 10 и logs 30;
в) lоgз 5 и log7 4;
б) lоgо.з 2 и log.> 3;
1') lоgз 10 и logs 57.
504. Перечислите основные свойства функции и постройте ее
rрафик:
а) у = lоgз х; б) у = log 1 х;
2
В) У = 10g4 х;
1') У = log 1 х.
З
505. Найдите область определения выражения:
а) log2 sin х; б) lоgз (2 Х 1); в) log 1 cos х; 1') Ig (1 3 Х ).
2
506. Найдите значение выражения:
а) log2 2 sin + log2 cos...!!....;
15 15
б) 10g4 ( ) + log.. ( 49 + t'2i + :v9);
в) Ig tg 4 + Ig ctg 4;
r) log:c (5+2 ,,/б)+lоg Jt (5 2 J6).
507. Постройте rрафик функции:
а) у = lоgз (х 2); б) у = logl х;
2
в) у = 10g2 (х + 1);
1') у = log 1 Х + 2.
з
238 ПоказатеЛЫlая и лоrарИф:\lическая фУIIКЦИИ
508. Решите уравнение:
а) lоgз х = 2 10g9 6 log9 12;
б) log.! х = log 0.2 35 2 log 0.2 25.J7;
2
в) log5 Х = ! log 3 144 + lоgз 0,75;
2
1
1') logп х = 3 logO.l 4 + 2 log 0.1 14".
509. Решите rрафически уравнение:
а) Ig х = 1 х; б) log 1 Х = Х 4;
з
в) log 1 Х = Х 6;
5
510. Верно ли, что лоrарифмическая функция:
а) имеет экстремумы; б) является нечетной;
в) является периодической; {') является четной?
511. Найдите наибольшее и наИ'fеньшее значения функции f на
промежутке 1:
1') log2 Х = 3 х.
а) f (х) = log 1 х, 1 = [1; 4];
б) f (х) log9 Х, 1 = [ ; 9 J:
r) f (х) log 1 х, 1 = [ ; 4].
2
4
В) f (х) = log5 х, 1 [ ; ] J:
39. Решение лоrарифмических уравнений
инеравенств
Рассмотрим простейшее лоrарифмическое уравнение
loga х = ь.
Лоrарифмическая функция возрастает (или убывает) на про-
межутке (о; (0) и принимает на этом промежутке все действитель
ные значения (рис. 135). По теореме о корне (п. 8) отсюда следует,
что для любоrо Ь данное уравнение имеет, и притом только одно,
решение. Из определения лоrарифма числа сразу следует, что а Ь
является таким решением.
_ При м ер 1. Решим уравнение log2 (х 2 + 4х + 3) = 3.
Данному уравнению удовлетворяют те значения х, для кото-
рых выполнено равенство х 2 + 4х + 3 = 23. Мы получили KBaдpaT
ное уравнение х 2 + 4х 5 = о. корни KOToporo равны 1 и 5. Следо
вательно, числа 1 и 5 решения данноrо уравнения.
При м е р 2. Решим уравнение log5 (2х + 3) = log5 (х + 1).
Это уравнение определено для тех значений х, при которых
выполнены неравенства 2х + 3 > О и х + 1 > О Для этих х данное
239 Пока.3атеЛЫlая и лоrарифмичс(,кая фУIIКЦИИ
уравнение равносильно уравнению 2х + 3 = Х ... 1, из KOToporo Ha
ходим Х = 2. Число Х = 2 не удовлетворяет, однако, неравенству
Х + 1 > о. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.
Это же уравнение можно решить иначе. Переходя к след
ствию данноrо уравнения 2х + 3 = х + 1, находим, что х = 2.
Как всеrда, при неравносильных преобразованиях уравнений
найденное значение неоБХОДИ:\1:0 про верить подстановкой в ис
ходное уравнение. В данном случае получаем, что равенство
logs ( 1) = logs ( 1) неверно (оно не имеет смысла).
При м ер 3. Решим уравнение logx (х 2 2х + 2) = 1.
Этому уравнению удовлетворяют такие числа х, для которых
выполнены условия: х > О и х 1 (х основание лоrарифмиче-
ской функции) и равенство х 2 2х + 2 = Х, т. е. х2 3х + 2 = о.
Полученное квадратное уравнение имеет корни 1 и 2. Но Х = 1 не
может быть решением данноrо уравнения. Следовательно, решени-
ем данноrо уравнения является только число 2.
При м ер 4. Решим неравенство log 1 (5 2 х) > 2.
з
Число 2 равно 10g 1 9. Поэтому данное неравенство можно
з
переписать в виде log 1 (5 2 х) > log 1 9.
з з
Лоrарифмическая функция с основанием l определена и
убывает на R+, так как! < 1. Следовательно, второму неравенству
3
удовлетворяют такие числа х, для которых выполнено условие
О < 5 2х < 9, откуда 2 < х < 2,5.
Итак, множество реIlIений данноrо неравенства есть интер-
вал ( 2; 2,5).
При м ер 5. Решим уравнение log х 10g,J5 Х 3 = о.
Перейдем во втором слаrаемом к основанию 5 и сделаем за
мену переменной t = logs х, тоrда
log а х t
log J5 х = = = 2 t.
s log 5 J5 !
2
Теперь данное уравнение перепишется в виде t 2 2t 3 = о. Кор-
ни этоrо квадратноrо уравнения 3 и 1. Решая уравнения заме
ны logs Х = 3 и logs Х = 1, находим Х = 5 З = 125 и х = 5 1 = 0,2.
При м ер 6. Решим систему уравнений
{ Ig (у х) = Ig 2,
log 2 Х 4 = log 2 3 log 2 у.
Первое уравнение систе:\1:Ы равносильно уравнению у Х = 2,
а второе уравнению = 3, причем х > О и у > о. Подставляя
16 у
140 Показательная и лоrаРИфi\lическая функции
2 х 3 2 8
у = х + в уравнение 16 у' получим х (х + ) = 4 , откуда
х 2 + 2х 48 = О, т. е. х = 8 или х = 6. Но так как х > О, то х = 6
и тоrда у = 8. И так, данная система уравнений имеет одно реше
ние: х = 6. у = 8.
Заметим еще, что с помощью лоrарифмов можно записать
корень любоrо показательноrо уравнения вида аХ = Ь, l' де Ь > о
(чеrо мы не моrли еще сделать, решая примеры в п. 36). Этим KOp
нем является число х = loga Ь.
При м е р 7. Решим уравнение 51 ЗХ = 7.
По определению лоrарифма 1 3х = log., 7, откуда х =
= log 5 7.
Упражнения
Решите уравнения (512 515).
512. а) 9 Х = 0,7; б) 0,3 Х = 7; в) 2 Х = 10; {') 10 Х = п.
513. а) log5 х = 2; б) logo.4 Х = 1; в) logg х = ; 1') Ig х = 2.
б) log-r (х 2 + 2х + 3) = log-: 6;
а) log 1 (2 х 4) = 2;
2
в) lоgо.з (5 + 2х) = 1; 1') log2 (3 х) = о.
515. а) 0,24 Х = 3; б) 5 х2 = 7; в) 32 ЗХ = 8; 1') 7 2х = 4.
514.
Решите неравенства (516 517).
516. а) lоgз х > 2; б) logo.5 х > 2;
в) logO.7 х < 1; {') log2.s х < 2.
517. а) log.. (х 2) < 2; б) log 1 (3 2x) > 1;
з
518.
519.
в) logs (3х + 1) > 2;
1') log 1 (4 х + 1) < 2 .
7
Решите уравнения (518 520).
а) loga х = 2 loga 3 + loga 5;
б) 19 (х 9) + 19 (2х 1) = 2;
в) loga х = loga 10 loga 2;
1') lоgз (х + 1) + lоgз (х + 3) = 1.
а) .! log2 (х 4) +! log2 (2х 1) = log2 3;
2 2
б) Ig (зх 2 + 12х + 19) Ig (3х + 4) = 1;
в) Ig (х 2 + 2 х 7) Ig (х 1) = о;
1') log5 (х 2 + 8) 10g5 (х + 1) = 31og 5 2.
241 ПоказатеЛЫlая и лоrарИф'\fическая ФУIIКЦИИ
520.
521.
а) log: х + log4 JX 1,5 = о;
в) logg х log5 Х = 2;
Решите систему уравнений:
{ Х+ У =7,
а)
19 х + Ig у = 1;
{ х + у = 34,
в)
log 2 Х + log 2 У = 6;
б) Ig2 Х 19 х 2 + 1 = о;
1') log х 2 lоgз х 3 = О
{ log 4 (х + у) = 2,
б)
log з х + log з у = 2 + log з 7;
{ IOg 4 Х log4 У = о,
1')
х 2 5 у2 + 4 = о.
Решите уравнения (522 524)
522. а) 1 + 6 = 1; б) log = 15 ;
Ig х + 1 Ig х + 5 2 4 log 2 .! 1
8
{') 1 + 5 = 1.
19 х 6 19 х + 2
б) logx 2 log4 Х + 1 = о;
6
в) 2 19 х = 1;
19 ( 5 х 4 )
523. а) log а х = 10g.JQ 2 + log!. 3;
в) log з х 2 log 1 Х = 6:
з
а
1') log25 Х + log5 х = log 1 .J8.
:>
524. а) log2 (9 2 Х ) = 3 х;
б) log2 (25 Х + з 1) = 2 + logl (5 Х +З + 1);
в) log.. (2 . 4 Х 2 1) = 2х 4;
r) log2 (4 Х + 4) = log2 2 Х + log2 (2 Х + 1 3).
Решите неравенства (525 528).
525. а)
б)
в)
r)
а)
б)
в)
1')
а)
526.
527.
528.
Ig (2х 3) > Ig (х + 1);
lоgо.з (2х 4) > lоgо.з (х + 1);
Ig (3х 7) < 19 (х + 1);
logo.5 (4х 7) < logo.5 (х + 2).
logo.5 х > logl (3 2х);
log-,: (х + 1) + log:t Х < log-r 2;
Ig х + Ig (х 1) < 19 6;
log2 (х 2 Х 12) < 3.
log х 10g2 Х < 6;
в) Ig2 Х + 2 Ig х > 3;
а) log2 sin.! < 1;
2
в) log 1 cos 2 х > 1;
2
б) log х 4 > о;
з
1') log х 9 <; о.
б) 13 10g2xl<2;
1') 13 Ig х 11 < 2.
242 показателыlяя и лоrарИф lическая фУIIКЦИИ
Решите систе'\iЫ уравнений (529 530)
I lоg з !. (х + у) = 2,
529. а)
1 og 3 (х У) = 2;
б) { Ig (х 2 + у2) = 2,
log48 Х + 10g48 у = 1;
В)
log 1 Х + log 1 У = 2,
3 3
log 1 Х log 1 У = 4;
з з
{ 19 (х 2 + у2) = 1 + Ig 13,
1')
19 (х + у) = 19 (х у) + 198
530Ф
{ З У .9 Х =81
) ,
а Ig (х + у)2 Ig х = 2 19 3:
{ 1 01 + Ig ( х + у) = 50,
б)
Ig (х + у) + 19 (х у) = 2 Ig 5;
r 3 х . 2 у = 576, { 19 х 19 У = 19 15 1,
В) t !оgи (у х) 4; r) 10 Ig (3r.2yl = 39.
40. Понятие об обратной функции
1. Обратимость функций. В ходе исследования раз-
личных функций вы неоднократно решали такую задачу: вычис-
лить значение функции 1 по данному значению Хо aprYMeHTa. Ча-
сто приходится рассматривать и обратную задачу: найти значения
aprYMeHTa, при которых функция 1 принимает данное значение УО.
11 При м ер 1. Пусть 1 (х) = kx + Ь (k О). Чтобы найти значе
ния aprYMeHTa х, при которых 1 (х) = УО' надо решить уравнение
1 (х) = уо' т. е. уравнение kx + Ь = УО. Решая ero, находим, что при
у b
любо уо оно и еет, и притом только одно, реlпение х = .
k
При м е р 2. Для функции 1 (х) = х 2 уравнение 1 (х) = уо при
Уо > О имеет два решения: x 1 = .JIi;;, Х = ..[Y;;. (Если Уо = О, реше-
ние одно Хо = о.)
Функцию, принимающую каждое свое значение в единст-
венной точке области определения, называют о15ратu.!ttОЙ. Таким
образом, при k О функция 1 (х) = kx + Ь обратима, а функция
1 (х) = х 2 (определенная на всей числовой прямой) не является об-
рати мой.
3 а м е ч а н и е. Из определения обратимой функции сразу
следует, что если 1 обратима, а число а принадлежит области зна-
чений Е (1), то уравнение 1 (х) = а имеет решение, и притом только
одно.
243 Показательная и лоrарИф:vJическая фУНКI(ИИ
2. Обратная функция. Пусть 1 произвольная обратимая
функция. Для любоrо числа Уо из ее области значений Е (/) имеет-
ся в точности одно значение х о ' принадлежащее области определе-
ния D (/), такое, что 1 (х о ) = Уо. Поставив в соответствие каждому
Уо это значение х о ' получим новую функцию g с областью опреде-
ления Е (/) и областью значений D (/). Например, для обратимой
функции 1 (х) = kx + Ь (k О) значение новой функции g в произ-
вольной точке УО задается формулой
Уо b
g (Уо) = .
k
Выбирая для aprYMeHTa функции g привычное обозначе-
ние х, находим, что
x b
g(x)= .
k
Если функция g в каждой точке х области значений обра-
тимой функции 1 принимает такое значение У, что 1 (у) = х, то 1'0-
ворят, что функция g обратная функция к 1.
Как показано выше, функцией, обратной к функции
x b
f (х) = kx + Ь (k О), является функция g (х) = . Рассмотрим
k
еще один пример.
_ При м е р 3. Докажем, что функция 1 (х) = х з обраТИ'\fа)
и выведем формулу, задающую функцию У = g(x). обратную к 1.
По определению обратной функции сначала надо доказать,
что уравнение 1 (у) = х при любом значении х имеет единственное
решение у. В данном случае это уравнение УЗ = х у которое имеет
единственное решение У = при любом х (см. п.8). Поэтому
функция f (х) = х з обратима и обратной к ней является функция
g (х) = vx. rрафики этих функций изображены на рисунке 138.
!I
f(x)= х З
8
g (х) =
х
а)
Рис. 138
б)
244 Показательная И лоrаРИФl\Iическая ФУНКЦИИ
Yj
у f (х)
у = g (х)
х
х
а)
б)
Рис. 139
Если задан rрафик обратимой функции (, то rрафик функ
ции g, обратной к 1, нетрудно построить, пользуясь следующим
утверждением:
I rрафики функции 1 и обратной ..к ней функции g сим
метричны относительно прямои у = х.
Докажем это свойство. Заметим, что по rрафику функции 1
можно найти числовое значение обратной к 1 функции g в произ
вольной точке а. Для этоrо нужно взять точку с координатой а не
на rоризонтальной оси (как это обычно делается), а на вертикаль-
ной Из определения обратной функции следует, что значение g (а)
равно Ь (рис. 139, а).
Таким образом, если считать, что выбрана несколько необыч-
ная система координат (aprYMeHT откладывается на вертикальной
оси, а значения функции на rоризонтальной), то можно ска-
зать, что rрафИI< обратной к 1 функuии g это rрафик функции 1
(построенной в обычной системе координат). Для Toro чтобы изоб
разить rрафИI< g в привычной системе координат, надо отразить
rрафик 1 относительно прямой у = х (рис. 139, б).
Если функция g обратная к функции 1, то функция g об-
ратима и обратной к ней является функция 1. Поэтому rоворят,
что функции 1 и g 8заu.ltfНО обратны.
т е о р е м а (06 обратноu функции). Если функция f
возрастает (или убывает) на промежутке 1, то она
обратима. Обратная 1\ f функция g, определенная
в области значений (, также является возрастаю-
щей (соответственно убывающеЙ).
д о к а з а т е л ь с т в о. Положим для определенности, что
функция f возрастающая. Обратимость функции 1 очевидное
следствие теоремы о корне (п. 8). Поэтому остается доказать, что
функция g, обратная к 1, возрастает на множестве Е (/).
245 Пока.Jате.ТJьная и .ТJоrарllф'\llIческая ФУНhЦlfll
11 11 У = 8.fx у
,(х)=х 2 У х 2
1 ,
у = х"
y=Vx ,у=х З .......... y=-G
11 xl)
1 g (х) = о 1 4
1 1 х у= vx
1
О 1 х О 1 х
) б) в)
Рис. 140
Пусть х 1 И Х 2 произвольные значения из Е ({), такие, что
Х 2 > X 1 ' И пусть
Yl = g (x 1 ), У2 = g (х 2 ).
По определению обратной функции
х. = {(У.) и Х 2 = { (У2).
Воспользовавшись тем условием, что { возрастающая функ
ция, находим, что ДОПУIl ение У 1 ;> У2 при водит К выводу f (У 1) ;>
;> f (У2)' т. е. Х 1 ;> х 2 . Это противоречит предположению Х 2 > X 1 .
Поэтому У2 > Уl' т. е. из условия Х 2 > X 1 следует, что
g (Х 2 ) > g (х 1).
Именно это и требовалось доказать.
_ При м ер 4. Как отмечалось выше, функция f (х) = х 2 не ЯВ-
ляется обратимой. Однако функция (*, определенная на промежут
ке [о; (0) формулой {* (х) = х 2 , возрастает на этом промежутке и,
значит, имеет обратную. Обратной к функции {* является функция
g (Х) = JX. rрафики этих функций изображены на рисунке 140, а.
Вообще функция { (х) = х" при любом натуральном п возра
стает на промежутке [о; (0) и поэтому имеет обратную. Обрат
ной к функции {(х) = х" является функция g (х) = . rрафики
этих функций при некоторых значениях п изображены на рисун-
ке 140, 6, б.
Упражнения
Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к дaH
ной функции {. Укажите область определения и область
значений функции g (531 532).
531. а) f (х) = 2 х + 1; б) f (х) = х 1;
в) f (х) = 2x + 1; 1') {(х) = X l.
246 ПокааатеJlьная и .т.оrарИф'\IИ'lеСl\ая функции
532. а) 1 (х) = !;
х
б) 1 (х) = 2х2 (х О);
в) 1 (х) = ;
х+2
1') f(х)=щi.
533. Постройте rрафик функции, обратной к (:
а) 1 (х) = 2х З + 1;
в) f (х) = 2хЗ + 1;
б) 1 (х) = (х + 1)2, х Е ( oo; 1];
1') f (х) = (х 1)2, Х Е [1; 00).
534. По rрафику функции 1 (рис. 141) найдите значения обрат
ной к f функции g в точках 2, 1 и 3. Постройте rрафик
функции g, укажите ее область определения и область зна-
чени й:
а) 1 (х) = 11 (х):
в) 1 (х) = I з (х);
б) 1 (х) = 12 (х);
r) 1 (х) = 14 (х).
y r
7
б
5
4 1.
з
2
1
...
. б 123..56 х
........ 2
3
I 4
I 5
I -:6
у,
I I '7
,.... 6
У = 12 (х) f--5
IЩ
3
I 2
I
I 6 2 О т 456 х
2 I I
з I I
4 I
..5
..6
, I
Шr Ь 4 2
I 3
4
5
I
l.
Рис. 141
1
b 4 2 О
2
з
4
5
6
247 Показательная и лоrарифмическая функции
Докажите, что функция f имеет обратную на указанном
промежутке. Постройте rрафик функции, обратной к f
(535 536).
535. а) f (х) = х 2 + 1, х <; о; б) f (х) = 2х, ( oo; 00);
в) f (х) = VX, х о; 1') f (х) = х 3 + 1, ( oo; 00).
536.
а) f (х) sin х, х е [ ; ; ]:
в) f (х) = cos х, х е [о; п];
б) f (х) tg х, х е ( ; ):
1') f (х) = ctg х, х е (о; п).
э 11.
Производная показательной
и лоrарифмической q)ункций
41. Производная показательной функции.
Число е
1. Число е. В предыдущих пунктах rрафики показа
тельной функции изображались в виде rладких линий (без изло-
мов), к которым в каждой точке можно провести касательную
Но существование касательной к rрафику функции в точке с абс
циссой хо равносильно ее дифференцируем ости в ХО. Поэтому eCTe
ственно предположить, что показательная функция дифференци
руема во всех точках области определения.
Нарисуем несколько rрафиков функции у = аХ для а, paBHoro
2; 2,3; 3; 3,4 (рис. 142), и проведем к ним касательные в точке
с абсциссой о. Уrлы наклона этих касательных к оси абсцисс при
близительно равны 350, 400, 480 и 510 соответственно, т. е. с возра
станием а уrловой коэффициент касательной к rрафику функции
у = аХ в точке М (о; 1) постепенно увеличивается от tg 350 до
tg 510. Представляется очевидным, что, увеличивая а от 2 до 3,
мы найдем такое значение а, при котором уrловой коэффициент
соответствующей касательной равен 1 (т. е. уrол наклона равен
450). Вот точная формулировка этоrо предложения (мы принимаем
ero без доказательства):
Существует такое число большее 2 и меньшее 3 (это
число обозначают буквой е), что показательная функ
ция У = е Х в точке О И'\1еет производную, равную 1,
т. е.
еМ 1
X
1 при x
о.
(1)
3 а м е ч а н и е. Доказано, что число е иррационально и поэто-
му записывается в виде бесконечной десятичной непериодической
248 Показательная и лоrаРИф:\lическая функции
у
З Х
е%
2,З'ж
2 Х
2%
, 2,8'ж
VS
('% ----- \ 45
1
о
1
х
Рис. 142
дроби. С помощью электронных вычислительных машин найдено
более двух тысяч десятичных знаков числа е. Первые знаки тако-
вы: е = 2'718281828459045....
Функцию е Х часто называют эксnонентоu.
2. Формула производной показательной функции.
т е о р е м а 1. Функция еЖ дифференцируема в
каждой точке области определения, и
(еЖ)' = ,Ж
д о к а з а т е л ь с т в о. Найдем сначала приращение функции
у = е Х в точке Хо:
/),у = еХо+АХ eXO =еХО .е Ах eXO = еХО (е АХ 1).
Пользуясь условием (1), находим:
/).у еХО (е АХ 1) е АХ .. 1
= =е ХО .
/).х /).х 6х
е ХО при!1х
о.
По определению производной отсюда следует, что у' = е Х ,
т. е. (е Х )' = е Х при любом х.
249 Показательная и лоrарифяическая функции
11 При м е р 1. Найдем производную функции У = е 5х :
(е 5Х )' = е 5Х . (5х)' = 5е 5х .
Число е положительно и отлично от 1, поэтому определены
лоrарифмы по основанию е.
Оп р е Д е л е н и е. Натуральным лоzарифмом
(обозначается ln) называется лоrарифм по OCHOBa
пию е:
ln х = loge х.
(2)
По основному лоrарифмическому тождеству для любоrо
положительноrо числа e 1n а = а. Поэтому аХ может быть записано
в виде
аХ = (e 1n а } . = еХ In а .
(3)
Выведем формулу производной показательной функции при
произвольном значении а.
т е о р е м а 2 Показательная функция аХ диф-
ференцируеМd в каждой точке области опреде-
леlIИЯ, и
(аХ)' = аХ ln а.
(4)
д о к а з а т е л ь с т в о. Из формулы (3) по теореме о производ-
ной сложной функции получаем, что показательная функция диф
ференцируема в каждой точке и
(аХ)' = (е Х In а)' = е Х In а ln а = аХ ln а.
(5)
с л е Д с т в и е. Показательная функция непрерывна
в каждой точке своей области определения, т. е.
аХ аХО при х ХО.
ЭТО вытекает из дифференцируемости показательной функ-
ции и леммы о непрерывности дифференцируемой функции
(см. п. 15).
11 При м ер 2. Найдем производные функций у = 2 Х и у = 5 ЗХ.
ПО формуле (4) имеем
(2 Х )' = 2 Х In 2; (5 ЗХ)' = ( 3) . 5 3X In 5.
При м ер 3. Исследуем функцию f (х) = хе Х на возрастание
(убывание) и экстремум.
Найдем производную этой функции:
{' (х) = (хе Х )' = х'е Х + х (е Х )' = е Х + хе Х = е Х (1 + х).
250 Показательная И лоrаРИФ1VIическая ФУНКЦИИ
Так как е Х > О для любоrо х,
знак {' совпадает со знаком (1 + х).
Следовательно, {' (х) > О на промежут-
ке ( 1; 00), поэтому I возрастает на
промежутке [ 1; 00). На промежутке
( oo; 1) имеем {' (х) < О, поэтому f
убывает на ( oo; 1]. В точке хо = 1
производная меняет знак с минуса на
плюс, и, значит, хо = 1 является точ-
кой минимума.
rрафик функции приведен на
рисунке 143.
1
3. Первообразная показательной функции.
у
о
х
Рис. 143
т е о р е м а 3 Первообразной для функции аХ на R
Х
является функция .
Ina
Действительно, ln а постоянная, и поэтому
( ) '
аХ 1 Х ' 1 Х Х
= (а ) = . а In а = а
lna lna ln а
Х
при любом х. Этим доказано, что !!........ есть первообразная для аХ
lJl а
на В. А из равенства (е Х )' = е Х для
всех х следует, что е Х есть первообраз- у
ная для е Х на В.
_ При м е р 4. Найдем первообраз-
ные для функций:
а) f (х) = 5 Х ;
б) g (х) = 4 . 2 Х ;
в) h (х) = 4е ЗХ 10 . 0,6 Х .
Пользуясь теоремой 3 и прави-
лами нахождения первообразных, BЫ
писываем о т в е т ы:
а) F (х) = 5 Х ... + с;
ln
4.2 Х
б) G (х) = --ln 2" + с;
в) Н ( х) = ! е ЗХ 1 О. 0,6 Х + с.
3 lJl 0,6
При м е р 5. Найдем площадь
фиrуры, оrраниченной линиями
у = 3 Х , у = О, х = 1, х = 2.
1 О
9
1
1 2
х
Рис. 144
251 Пока.ште.'Jъная и лоrарИф:\lическая функции
Эта фиrура есть криволинейная трапеция (рис. 144). Поэто
му ее площадь S находим по формуле площади криволинейной
трапеции:
2 2
f 3 х I 9 3 I 26
S = 3 Х dx = 1113 1 = 1113 lп 3 = 31Il3 .
1
Упражнения
537. Найдите по таблицам натуральных лоrарифмов (или с по
мощью калькулятора):
а) 111 3, In 5,6, ln 1,7;
в) In 2, In 35, ln 1,4;
б) ln 8, In 17, In 1,3;
{') In 7, In 23, In 1,5.
Найд"те производную каждой из функций (538 539)
538. а) у = 4е Х + 5; б) у = 2х + Зе Х;
в) у=З !еХ; 1') у = 5e X х2.
2
539. а) у = е Х cos х; б) у = 3е Х + 2 Х ;
В) У = 3 Х зх2; 1') У = х 2 е Х .
540. Напишите уравнение касательной к rрафику функции f
в точке с абсциссой хо:
а) f (х) = e X, ХО = о; б) f (х) = 3 Х , хо = 1;
в) f (х) = е Х , хо = о; 1') f (х) = 2 X, Хо = 1.
541. Найдите общий вид первообразных для функции:
а) f (х) = 5е Х ; б) f (х) = 2 . 3 Х ;
в) '(х)=4 Х ; 1') '(х)=!е Х +l.
2
542.
Вычислите интеrрал:
I 1
а) f 0,5 Х dx; б) J e 2x dx;
о о
1
в) J 2 Х dx;
2
1
1') J 3 Х dx.
I
2
Найдите производную каждой из функций (543 544)
J(
543. а) у = е х2 sin .!; б) У = 7 2 tg 3 х;
2
в) У = e.f; cos 2х; {') у = 2 X ctg .
544. а) х 6 . б) у= e X ;
y , х 2 + 2
4 Х +5
в) 3 Х 0,3 X
У = 2 Х + 5 Х 1') У =
.JX + 0,5
252 ПОltазательная и лоrарифмическая ФУllltции
545. Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функ
цию:
а) f (х) = хе'>Х; б) f (х) = x22 X;
В) f (х) = xe X; 1') f (х) = х 4 0,5 Х .
546. Найдите общий вид первообразных для функции:
а) f (х) = е З 2х; б) f (х) = 2 . О,9 Х 5,6 Х;
в) f (х) = 2 10x; 1') f (х) = е ЗХ + 2,з1 + Х.
Найдите площадь фиrуры, оrраниченной линиями
(547 548).
547. а) у = е Х , у = О, х = О, х = 1;
б) у=3 Х , у=9 Х , х= 1;
в) У = 2 Х , у = О, х = 1, х = 2;
1') У = е Х , у = е 2х, Х = 1.
548. а) у (i)X, у 3. х = 1; б) у=е Х , y=e X, у=е;
в) у = ( )X, у 1, х = 2; 1') y=( )X, y 4X, у=4.
42. Производная лоrарифмической функции
Покажем сначала, что лоrарифмическа'я функция диф
ференцируема в каждой точке. rрафики функций у = loga х и
у = аХ симметричны относительно прямой у = х. Так как показа
тельная функция дифференцируема в любой точке, а ее производ
пая не обращается в нуль, rрафик показательной функции имеет
неrОРИЗ0нтальную касательную в каждой точке. Поэтому и rрафик
лоrарифмической функции имеет невертикальную касательную
в любой точке. А это равносильно дифференцируемости лоrариф-
мической функции на ее области определения.
Докажем теперь, что nРОU.J80дная лоzаРUф.llfuческой функцuи
для любоrо х из области определения находится по формуле
1 , 1
n х = .
х
(1)
По основному лоrарифмическому тождеству х = e 1n Х при всех по
ложительных Х, т. е. в ЭТО:\i равенстве справа и слева стоит одна
и та же функция (определенная на R ). Поэтому производные х
и e 1n Х равны. т. е.
х' = (e 1n Х)'.
(2)
Известно, что х' = 1. Производную правой части вычисля
ем по правилу нахождения производной сложной функции
253 покаJателыlяя и JlоrарИф lическая фУIII'l.ЦИИ
и теореме 1 (п. 41): (e 1n х)' = e 1n Х In' х = х ln' х. Подставляя найден-
ные производные в равенство (2). находим 1 = х In' х, откуда
In' х = !.
х
11 При м е р 1. Найдем производные функций:
а) у = ln (5+ 2х); б) у = lоgз х; в) у = log7 2х.
а) Оn(5+2х» = 1 .(5+2x)'= ;
5+2х 5+2х
б) (lоgз х)' = ( ln х ) ' = ;
111 3 Х 111 3
, ( ln 2 х ) ' 2 1
в) (log7 2х) = = = .
ln 7 2 х ln 7 х ln 7
При м ер 2. Исследуе:vI функцию f (х) = х 2 In х на возраста-
ние, убывание, экстремум и построим ее rрафик.
Функция определена при х > о. Найдем ее производную:
f'(x) 2xlnx+x2. 2xlnx+x=2x(lnx+ }
х > О поэтому знак производной совпадает со знаком (ln х + )-
Отсюда следует, что f (х) > О на промежутке ( Ь ; (0). и поэто-
му на промежутке [ Ь ; 00 ) функция возрастает, на промежутке
Рис. 145
(о; Ь ) производная отрицатель-
на, поэтому f убывает на про
'\Iежутке (о; Ь ]. в точке ); про-
изводная меняет знак с минуса на
плюс, значит, это точка миниму-
2: ма; f ( ..1 ) 211" rрафик функции
приведен на рисунке 145.
у
о
Формула (1) показывает, что для функции ! на про
х
межутке (о; 00) любая первообразная может быть
записана в виде In х + с.
Функция! имеет первообразную и на промежутке ( oo; о),
х
это функция In ( x). Действительно,
ОN ( x»' = . ( x)' = . ( 1) = !.
x x х
254 ПOl(:dааТС.IЫlая н JюrаРИФ,\lичеСI,ая ФУIII(:IJ,ИИ
Так как Ixl = х при х > О и Ixl = x при х < О, мы доказали сле
дующее:
На любом промежутке, не содержащем точку О,
первообразной для функции 1 является функция
In Ixl.
-
При м е р 3. Для
функции
х
1
х+ 3
первообразные
равны
In I х + 31 + С (на любом промежутке, не содержащем точку 3).
Для функции общий вид первообразных ! In 15х + 71 +
5х+7 5
7
+ С (на любом промежутке, не содержащем точку ).
5
При м е р 4. Найдем пло-
щадь фиrуры, оrраниченной ли-
ниями у=.!., у=О, х=l, х=2
х
(рис. 146).
Поскольку In х при х > О
есть первообразная для ! , пло-
х
щадь интересующей нас криволи-
нейной трапеции равна
S = In 2 ln 1 = ln 2. _
Упражнения
11
1
о
1 2
х
Рис. 146
Найдите производную каждой из функций (549 550).
549 а) у = ln (2 + 3х);
в) у = In (1 + 5х);
б) у = lоgо.з х + sin х;
1') У = 19 х cos х.
550.
а) у = х 2 log2 х;
б) у = 10 х ;
х
551.
Найдите общий
а) f (х) = ;
7х+ 1
в) {(x)= ;
х+2
вид первообразных для
б) f (х) =1. ;
х x+
4
1') {(х) = .
х
в) у = х In х;
х
1') У = .
lox
функции:
552. Напишите уравнение касательной к rрафику функции f
в точке с абсциссой х о ' если:
а) f (х) = In (х + 1), хо = о; б) f (х) = Ig х + 2, хо = 1;
в) f (х) = 2 ln х, хо = е; 1') f (х) = 10g2 (х 1), хо = 2.
255 показателыlяя и лоrарИф'\fнческая ФУIIКЦИИ
553.
Вычислите интеrрал:
7 1
а) J 2dx ; б) J d ;
х 3 2x
1 1
554. Найдите производную
111(5+ 3х)
а) у =
х 2 + 1
х 2 .
в) У 1 '
n x
f'
в) f d: ;
1
з
1') J
о
dx
J x+ 1 .
функции:
.JX
б) У = Ig ( 1 2 х) ;
lоg з х 2
1') Y=X+l .
Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстре-
'\1:умы (555 556).
555. а) f (х) = In х; б) f (х) = 111 Х ;
Х
в) f (х) = 2х In х;
556. а) f (х) = х In 2 х;
в) f (х) = lп Х ;
.JX
1') f (х) = х In х.
б) f (х) = 2х ;
Ig Х
1') f (х) =! +lnx.
Х
557. Вычислите площадь фиrуры, оrраниченной линиями:
4
а) у = + 2, у = о, х = 2, х = 6;
Х
б) у = , у = о, х = 4, х = 1;
х
1 1
в) y= , у=о, x= , х=2;
2х 4
1') У = 3 1., у = о, х = 6, х = 3.
Х
43. Степенная функция
1. Степенная функция и ее производная. Вы уже зна-
ете, что для любоrо действительноrо числа а и каждоrо положи-
тельноrо х определено число ха. Зафиксируем число а на проме-
жутке (о; 00).
о п р е Д е л е н и е. Функция, заданная формулой
f (х) = ха, называется стеnеnnой (с показателе'\f
степени а).
Если а > о, то степенная функция определена и при х = о,
поскольку Оа = о. При целых а формулой I (х) = ха степенная
функция f определена и для х < о. При четных а эта функция чет
256 Пока.Jате:Iьная и лоrаРИф:\lJfчеСhая функции
ная, а при нечетных а нечетная Поэтому исследование степен
ной функции достаточно провести только на промежутке (о; (0).
в предыдущих разделах курса были получены формулы для
производной функции У = ха лишь при целых показателях степе
ни, а также а = !. Теперь нам остается вывести формулу при про
2
извольном а. Докажем, что для любоrо х из области определения
производная степенной функции находится так:
(х О )' = аха 1.
(1 )
Действительно, так как х = e 1n Х, то ха = е а In Х. Отсюда по
правилу вычисления производной сложной функции получаем:
(х О )' = (е а In х)' = е а In Х (а In х)' = ха . а . ! = аха 1.
Х
Формула (1) доказана.
При а < О степенная функция убывает на промежутке
(о; (0), поскольку (ха)' = аха 1 < О при х > о. При а > О имеем
(ха)' = аха 1 > о, поэтому степенная функция возрастает при
х > о. Кроме Toro, надо учесть, что при х = О степенная функция
равна О и ха О при Х О их> о. ПОЭТО:\iУ точка О присоединя
ется к промежутку возрастания, т. е. при а > О степенная функ
ция возрастает на промежутке [о; (0). Примеры rрафиков степен
ной функции при различных а приведены на рисунке 147.
Из формулы (1) следует, что производной степенной функ
ции f (х) = ха является степенная функция (1' (х) = аха 1). Иначе
обстоит дело с первообразной степенной функции.
При а Ф 1 общий вид первообразных степенной функции
а +1
f (х) = ха, как леrко проверить, таков: F (х) = + с.
а+l
При а = 1, как известно, первообразной функции f является
функция F (х) = ln I xl + с.
у
у
у
1
у х а
(1.> 1
у=х а
0<(1<1
1-
у- x n
(1<0
о
1
х
о
1
х
о
1
х
а)
б)
в)
Рис. 147
257 Показате.1'Jьная и .1'Jоrарllф'\llIческая ФУНhЦllII
2. Вычисление значений степенной функции Выведем при-
ближенную формулу
(1 + дх)' 1 + а. /).х.
(2)
Рассмотрим функцию f (х) = ха И воспользуемся приближен-
ной формулой
f (х) f (х о ) + {' (х о ) /).х,
(3)
известной из п. 20, при хо = 1 и х = 1 + /).х. Имеем f (х о ) = f (1) = 1
и {' (х) = аха 1, откуда {' (х о ) = {' (1) = а . 1 u 1 = а. По формуле (3)
f (х) = (1 + дх)а ::=: 1 + а !J.x.
Чаще Bcero эту формулу применяют для вычисления корней.
Полаrая а. = !, находим:
п
I
'vl+ !J.x = (1 + дх); 1 + .
п
11 При м е р. Выч ислим приближенные значения:
а) Jl,08 ; б) 3.J 27,03; в) I ?JI000 .
Воспользуемся формулой (4):
I
а) 4.jl,08 = (1 + 0,08)" ::=: 1 +! .0,08 = 1,02.
4
б) 3J27,оз = V 27 ( 1 + 0 3) = 3 1 + 0 3 '" 3 ( 1 + . 0 3 ) '"
3,0011 (зна чение з.j 27,03 с семью знаками после запятой Ta
ково: 27 ,03 ::=: 3,0011107);
в) заметим , что 21 0 = 1024. Имеем:
1 1000 1 ?J 2 10 24 = 2. 1 1 24 '" 2 ( 1 24 ) 1,995.
210 10.210
(4)
Упражнения
Постройте rрафик функции f и найдите ее производную
(558 559).
3
558. а) f (х) = х 2. б) f (х) = x-13 ;
,
2
в) {(х)=х 3 ; r) f (х) = х" J5 .
( т Ig5
559. а) {(x)=x '; б) f (х) = ;
в) {(х)=х":; r) f (х) = (2 х) 111 З .
258 Показательная и лоrарифмическая функции
Вычислите с помощью формулы (4) приближенные значе
ния (560 561).
!.
560. а) 243; б) 625.3: в) ; {') 48 .
561. а) :zrзо; б) 90; в) .J9,02; 1') 33.
562. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции {
на промежутке 1:
2
а) f (х) = х 5 , 1 = [1; 32];
В) f (х) x , 1 = [ ; 1]:
"
б) {(х) х З, I=[ ; 27]:
З
r) f (х) х:а, 1 = [ :6 ; 81 ]
563. Найдите общий вид первообразных для функции:
а) f(х)= 4х Л; б) f(х)=х 2 .JЗ;
в) f (х) = зх 1; 1') f (х) = х .
564. Вычислите интеrрал:
.. 5 8 ,,2 81 1
а) f х'2 dx; б) J 4 dx . в) J 2 x 1dx; 1') J 5x dx.
2 '
1 1 х З " 16
565. Вычислите площадь фиrуры, оrраниченной линиями:
а) у = хЛ, у = О, х = 1;
б) У х.JЗ У ! х !.
' x' 2'
в) У = x 0.8, У = о. х = 1, х = 32;
1
1') У = , у = о, х = 3, х = 5.
х
566. На миллиметровой бумаrе постройте rрафики функций
у = , у = VX, у = (х о).
1) Найдите с помощью rрафика приближенные значения:
а) .j2, 3jЗ; б) J-з, V2,5 ; в) 2,5 , fЗ; r) .J2,5 , "!J2;
2) Найдите значения этих корней с помощью калькулятора.
3) Вычислите их приближенные значения, пользуясь фор
мулой (4). Указание: 2,5=1,62 0,06; 2,5=1,3 З +
1"-
+ 0,303; 2,5 = 1,251 + ; 2 = 1,42 + 0,04; 3 = 1,43 + 0,256;
256
3 = 1,34 = 0,1439.
:1) Сравните полученные результаты.
567. Верно ли, что функция f (х) = х л обладает свойством:
а) в области определения можно найти отрезок, на концах KO
Toporo функция принимает значения разных знаков; б) яв-
ляется четной; в) имеет экстремумы; {') существует точ
ка х о , в которой функция принимает наименьшее значение?
259 Показательная и лоrаРИф:\lическая функции
44. Понятие о дифференциальных уравнениях
1. Непосредственное интеrрlfрование. В ходе решения
задач естествознания часто возникают СООТНОlпения, связываЮlцие
производные некоторой функции (первую, вторую и т. д.), саму
эту функцию инезависимую переменную. Например, соrласно
второму закону Ньютона при движении по прямой материальной
точки постоянной массы т справедлива формула F = та, rде
F сила, вызывающая движение, а ускорение точки. Пусть
сила F зависит только от времени t, т. е. F = F (t). Вспоминая,
что ускорение есть вторая производная координаты по времени
(а (t) = х" (t», получаем дифференциальное уравнение относитель-
но функции х (t):
F() " () " () ри)
t = тх t, т. е. х t = ,
т
для решения KOToporo сначала находим х' (t) как первообраз-
F(t)
ную функции , а затем и х (t) как первообразную функции
т
v (t) = х' (t). Общее решение зависит от двух произвольных посто
янных. Для Toro чтобы их найти, обычно задают координату
и скорость в какой-либо момент времени t.
_ При м е р 1. При вертикальном движении под действием
силы тяжести координата h (t) точки единичной массы удовлетво-
ряет дифференциальному уравнению (ось Oz направлена верти.
кально вниз):
11" (t) = g.
Общее решение этоrо уравнения имеет вид:
gt2
11 (t) = ho + vot + 2' rде ho = 11 (О), V o = v (О).
Задав Ilo и v o ' мы получим уже единственное решение.
Вообще первообразную F для функции f можно рассматри.
вать как решение простеuше20 дифференциаЛЬНО20 уравнения
р' (х) = f (х),
(1)
rде f (х) данная функция, F (х) решение этоrо уравнения.
2. Дифференциальное уравнение показательноrо роста и
показательноrо убывания. Решение мноrих задач физики, техни-
ки. биолоrии и социальных наук сводится к задаче нахождения
функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению
{' (х) = kf (х),
(2)
rде k некоторая константа.
260 ПОI d:Jате IЫlая н лоrарИф:\lIiчеСI\аЯ ФУIII I\lill
Зная формулу производной показательной функции, леrко
доrадаться, что решением уравнения (2) является любая функция
вида
f (х) = Ce kx ,
(3)
rде С постоянная. Так как С произвольно, у дифференциально-
1'0 уравнения (2) бесконечно MHoro решений.
Докажем, что друrих решений, кроме функций вида (3),
уравнение (2) не имеет. Для этоrо рассмотрим произвольную функ
цию {, удовлетворяющую уравнению (2), и вспомоrательную
функцию
g (х) = f (х) e kx.
(4)
Найдем ее производную:
g' (х) = {' (х) e kx + f (х) (e kx)' = {' (х) e kx kf (х) e kx
Подставляя kf (х) вместо {' (х) из уравнения (2) получим:
g' (х) = kf (х) e kx kf (х) e kx = о.
Из равенства производной функции g нулю следует, что g (х) = С
при всех х. Из (4) получаем:
f (х) e kx = С, откуда f (х) = Ce kx ,
что и требовалось доказать.
З а м е ч а н и е. В приведенных выше рассуждениях мы пред
полаrали. что функция f определена и удовлетворяет уравне-
нию (2) на всей числовой прямой. В конкретных задачах часто
приходится рассматривать функции, удовлетворяющие ypaBHe
нию (2) только на некотором промежутке. Естественно, что в Ta
ком случае фОР:\fула (З) будет давать общее решение задачи только
на промежутке, на котором выполняется уравнение (2).
Смысл дифференциальноrо уравнения (2) заключается в том,
что скорость изменения функции в точке х пропорциональна зна
чению самой функции в этои точке. Это уравнение часто встреча-
ется при решении практических задач.
_ При м ер 2. (Радиоактивный распад.) Пусть в начальный
момент времени масса радиоактивноrо вещества равна:
т (о) = то.
(5)
Экспериментально установлено, что скорость уменьшения
массы вещества т (t) со временем t пропорциональна ero ко-
личеству, т. е. т' (t) = km (t), {'де k > о. Как показано выше,
т (t) = Ce k'. Константа С находится из условия (5) А именно
при t = О
то = т (о) = Ce k. О, т. е. С = то.
261 ПоказатеЛЫlая И лоrаРИФ'\fическая ФУНКЦИИ
Окончательно получаем:
т (t) = тoe llI.
(6)
Рассмотренный пример типичен: чтобы выделить из беско-
нечноrо числа решений дифференциальноrо уравнения одно, обыч
но требуется еще ввести начальные условия (в нашем случае это
условие (5».
Промежуток времени Т, через который масса радиоактив-
Horo вещества уменьшается в 2 раза, называют nериодо"", nолурас
nада этоrо вещества. Зная Т, можно найти k. Так как
т (Т) = ! то, т. е. тoe kT =! то,
2 2
И'\1:еем е kT 1
2.
Следовательно, e kT = 2, kT = ln 2, откуда k = In2 .
т
Например, для радия Т 1550 лет. Поэтому (если время
измеряется в rодах) k = 11;;0 0,000447. Через миллион лет
от начальной массы радия то останется только m(106)::::: тoe 447 :::::
::::: 0,6 . 10 194тO.
3. rаРМОПlfчеСКllе колебаllllЯ. Производную от производ
ной {' функции f называют второй nроuзводной функции f
и обозначают {" (читается: «Эф два штриха.). Например:
sin' х = cos Х,
cos' х = sin х,
sin" х = cos' х = sin х,
" . ,
cos х = Sln х = cos х.
(7)
Вторая производная помоrает более подробно исследовать по-
ведение функции. Первая производная есть скорость изменения
функции, а вторая производная есть скорость изменения этой ско-
рости.
Анализируя формулы (7), можно заметить, что вторые про
изводные синуса и косинуса отличаются от самих функций только
знаком. Иначе rоворя, обе эти функции удовлетворяют при всех
значениях aprYMeHTa t уравнению
{" (t) = ! (О.
В физике, в частности в механике, большую роль иrрают
функции {, которые удовлетворяют уравнению
{" (t) = ы2! (t),
(8)
rде ro положительная постоянная.
Разберем задачу из механики, приводящую к уравнению
TaKoro вида. Пусть к шарику массой т прикреплена расположен
ная rоризонтально пружина, друrой конец которой закреплен
(рис. 148), и пусть в состоянии равновесия координата х центра
262 Показательная и лоrаРИф:\lическая функции
о
Рис. 148
:.
х
о х
Рис 149
х
шарика равна нулю. При перемещении центра в точку с координа
той х О возникает сила, стремящаяся вернуть шарик в положе
ние равновесия. Соrласно закону rYKa эта сила пропорциональна
перемещению Х, т. е. F = kx, rде k положительная константа
(рис. 149). По второму закону Ньютона F = та, поэтому, учиты-
вая, что при движении по прямой ускорение есть вторая производ-
ная от координаты, имеем:
та (t) = тх" (t) = F, т. е. х" (t) = k х (t).
т
Иначе rоворя, движение центра шарика под действием сил
упруrости подчинено уравнению (8) при ы И ·
Покажем, что физическая величина, изменяющаяся во Bpe
мени в соответствии с уравнением (8), совершает rармоническое
колебание (см. п. 7). Само уравнение (8) называют дифференциаль-
ным уравнением zармонических колебании.
Проверим, что при любых постоянных А и ер функция
f (t) = А cos «1)( + ер)
(9)
есть решение уравнения (8). В самом деле, пользуясь формулой
для производной сложной функции, получаем:
" (t) = A ы sin (wt + ер),
'" (t) = A(I)2 cos «(r)t + ер) = (I)2f (t).
Верно и обратное: любое решение уравнения (8) есть функ
ция вида (9), причем обычно выбирают А о, ер Е [о; 2п]. Доказа
тельство этоrо выходит за рамки школьноrо курса.
Произвольные постоянные А и ер можно определить, если
заданы начальные условия f (о) = Уо' " (о) = V O .
4. Падение тел в атмосферной среде. Рассмотрим более
сложный пример. При падении тел в атмосфере нужно учитывать
сопротивление воздуха. Экспериментально установлено, что сила
сопротивления воздуха пропорциональна скорости движения,
т. е. сила F, действующая на тело, равна F (t) = mg kll' (t),
rде т масса тела, g ускорение свободноrо падения, h (t)
координата на прямой (ось Oh направлена вертикально вниз),
163 Показательная и лоrарИф:\lическая функции
k коэффициент пропорциональности. По второму закону Ньюто-
на F = та, поэтому получаем уравнение
mz" (t) = тg kz' (t), т. е. z" (t) = g !i. z' (t),
т
которое удобно рассматривать как дифференциальное уравнение
k
v' (t) = g bv (t), rде Ь = > О,
т
(10)
относительно скорости движения v (t) = z' (t). Для Toro чтобы при-
вести это уравнение 1< знакомому виду, введем новую неизвестную
функцию у (О = i v (t), тоrда у' (1) (i v (t) J = v' (1) и уравне-
ние (1 О) записывается в виде
y' (t) = Ьу (t), т. е. у' (t) = by (t),
решения KOToporo уже известны: у (О = Ce Ы. Следовательно"
v (t) = g у (t) = Се ь, .
Ь Ь
Функция у = e Ы убывает на R, при этом ее значения Heorpa-
ниченно уменьшаются при возрастании t (т. е. Ce b' О при
t 00 для любоrо С). Это означает, что скорость приближается
g
к постоянному значению , которое зависит от величины коэффи-
Ь
циента пропорциональности k и массы т. Например, при за-
тяжных прыжках (парашют не раскрыт!) эта скорость равна при-
мерно 50 м/с, а скорость парашютиста при приземлении (коrда k
значительно больше) около 4 5 м/с.
Рассмотренные примеры позволяют нам понять, насколько
мощным аппаратом исследования являются дифференциальные
уравнения. Очень часто элементарные законы, управляющие каким-
либо процессом, записываются в виде дифференциальных уравне-
ний. Для Toro чтобы выяснить, как процесс развертывается во BpeMe
ни, приходится эти дифференциальные уравнения решать.
Упражнения
568. Проверьте, что функция у и) является реrпением Д8нноrо
дифференциальноrо уравнения:
а) у (t) = 3 cos (2t + л), у" = 4y;
б) y(t)=4Sin( t ). Y" y;
в) y(t) = 2 cos 4t, у" + 16у = о;
1') У (t) = .! sin (O,lt + 1), у" + О,Оlу = о.
3
264 Показательная и лоrарИф:\lическая функции
569. Докажите, что функция у = 5е ЗХ удовлетворяет уравнению
у' = 3у.
570. Докажите, что функция у = 7e 2x удовлетворяет уравнению
у' = 2y.
571. Докажите, что функция у = 3e 7x удовлетворяет уравнению
у' = 7y.
572. Найдите какое-нибудь отличное от нуля решение диффе
ренциальноrо уравнения:
а) у" = 25y; б) у" + 4у = о;
в) 4у" + 16у = о; 1') у" = ! у.
4
573. Напишите дифференциальное уравнение rармоническоrо
колебания:
а) х = 2 cos (2t 1);
б) х 6,4COS( О,Н + ):
1') Х = 0,71 sin (0,3t 0,7).
в) х = 4 sin ( 3t ):
574. Докажите, что сумма двух rармонических колебаний
Х 1 (t) = А 1 cos «l)lt + <1>1) и Х 2 (t) = А 2 cos (ro 2 t + <1>2) будет пе
риодической функuией тоrда и только тоrда, коrда отноше
(1)1
ние частот есть рациональное число r, т. е. = r.
002
575. От т миллиrраммов радия С через t минут радиоактивноrо
распада осталось n миллиrраммов. Найдите период полу
распада радия с.
576. К началу радиоактивноrо распада имели 1 l' радия А. Через
сколько минут ero останется 0,125 1', если ero период полу
распада равен 3 мин?
577. Период полураспада радиоактивноrо вещества равен 1 ч.
Через сколько часов ero количество уменьшится в 10 раз?
Вычислите, какая доля радия останется через 1000 лет,
если период ero полураспада равен 1550 лет.
578. Одно тело имеет температуру 2000, а друrое 1000.
Через 1 О мин остывания этих тел на воздухе с температу
рой 00 первое тело остыло до температуры 1000, а второе
до 800. Через сколько минут температуры тел сравня
ются?
(Температура тела Т (t) удовлетворяет уравнению Т' (t) =
= k (Т Т 1 ), rде Tl температура окружающей среды.)
579. Два тела имеют одинаковую температуру 1000. Они BЫHece
ны на воздух (ero температура 00). Через 10 мин те'\iпера
265 Показательная и лоrарИф:\lическая ФУНhЦИИ
тура одноrо тела стала 800, а BToporo 640. Через сколько
минут после начала остывания разность их температур бу-
дет равна 25 0 ?
580 Моторная лодка движется по озеру со скоростью 30 км/ч.
Какова скорость лодки через 3 мин после выключения MO
ropa? (Воспользуйтесь тем, что скорость лодки v (t) удо-
влетворяет дифференциальному уравнению v (t) = kv (t),
l' де k = , v скорость в метрах в минуту.)
3
Сведения из истории
1. О происхождении терминов и обозначений. К умноже
нию равных сомножителей приводит решение мноrих задач. По.
нятие о степени с натуральным показателем возникло уже в Древ.
ней rреции (выражение квадрат числа возникло при вычисле-
нии площади квадрата, а куб числа при нахождении объема
куба). Но современные обозначения (типа а\ а 5 ) в XVII в. ввел
Декарт.
Дробные показатели степени и наиболее простые правила
действий над степенями с дробными показателями встречаются
в XIV в. у французскоrо математика Н. О р е м а (1323 1382). Из-
вестно, что Ш ю к е (ок. 1445 OK. 1500) рассматривал степени
с отрицательными и нулевыми показателями. с. с т е в и н пред-
I
ложил подразумевать под а; корень . Но систематически ра.
циональные показатели первым стал употреблять Ньютон.
Немецкий математик М. Штифель (1487 1567) дал оп-
ределение а О = 1 при а:# 1 и ввел название nока.Jаlпель (это
буквальный перевод с немецкоrо Exponent). Немецкое potenzieren
означает возведение в степень. (Отсюда происходит и слово
потенцировать, часто употребляемое при переходах типа
loga f (х) = loga g (х) а loga f (х) = а loga g (х).) В свою очередь, тер-
мин exponenten возни!< при не совсем точном переводе с rреческо.
1'0 слова, которым Д и о Ф а н т обозначал квадрат неизвестной ве-
личины.
Термины радикал и корень, введенные в XII в., происходят
от латинскоrо radix, имеющеrо два значения: сторона и корень.
rреческие математики вместо «извлечь корень. rоворили: «найти
сторону квадрата по ero данной величине (площади).. Знак корня
в виде символа V появился впервые в 1525 r. Современный сим-
вол введен Декартом, добавившим rоризонтальную черту. Ньютон
уже указывал показатели корней: зr, 4f
Слово ЛО2ариф-м происходит от I'реческоrо л6уос; (отношение)
и ciple t6C; (число) и переводится, следовательно, как отношение
чисел. Выбор изобретателем (1594 1'.) лоrарифмов Дж. Непером
266 Показательная и лоrаРИф:\lическая функции
TaKoro названия объясняется тем, что лоrарифмы возникли при
сопоставлении двух чисел, одно из которых является членом ариф
:метической проrрессии, а друrое rеометрической (СМ. ниже).
Лоrарифмы с основанием е ввел Спейдел (1619 ".), составив-
ший первые таблицы для функции In х. Название более позд-
Hero происхождения натуральный (естественный) объясняется
«естественностью» этоrо лоrарифма. Н. М е р к а т о р (1620
1687), предложивший это название, обнаружил, что для любоrо
хо > 1 число In Хо это площадь фиrуры, оrраниченной rипербо-
лой у = .1, осью абсцисс и прямыми х = 1, х = Хо.
х
2. Из истории лоrарифмов. В течение XVI в. резко возрос
объем работы, связанный с лроведением приближенных вычисле
ний в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач aCTpo
номии, имеющей непосредственное практическое применение
(в частности, при определении положения судов по звездам и по
Солнцу). Наибольшие проблемы возникали, как нетрудно понять,
при выполнении операций умножения и деления. Попытки ча
стичноrо упрощения этих операций путем сведения их к сложе
нию (была составлена, например, таблица квадратов целых чисел
от 1 до 100 000, позволяющая вычислять произведения по фор
муле аЬ =! (а + ь)2 .! (а b)2) большоrо успеха не приносили.
4 4
Поэтому открытие лоrарифмов, сводящее умножение и деление
чисел к сложению и вычитанию их лоrарифмов, удлинило. по вы-
ражению Лапласа, жизнь вычислителей.
Лоrарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобрета-
тели лоrарифмов не оrраничились разработкой новой теории.
Было создано практическое средство таблицы лоrариф:мов,
резко повысившее производительность труда вычислителей. Доба
вим, что уже в 1623 {'., т. е. Bcero через 9 лет после издания пер
вых таблиц, анrлийским математиком д. raHTepoM была изобрете
на первая лоrарифмическая линейка, ставшая рабочим инструмен-
том для мноrих поколений. (Вплоть до caMoro последнеrо времени,
коrда на наших rлазах повсеместное распространение получает
электронная вычислительная техника и роль лоrариф:мов как
средства вычислений резко снижается.)
Первые таблицы лоrарифмов составлены независимо дру!'
от друrа шотландским математиком Дж. Н е пер о м (1550 1617)
и швейцарцем И. Б ю р r и (1552 1632). В таблицы Непера, издан
ные в книrах под названия'\fИ «Описание удивительной таблицы
лоrарифмов)) (1614 1'.) и «Устройство удивительной таблицы ло
rарифмов)) (1619 {'.), вошли значения лоrарифмов синусов, KO
синусов И TaHreHcoB для у!' лов от О до 900 с шаrом в 1 минуту.
Бюрrи подrотовил свои таблицы лоrарифмов чисел, ПО-ВИДИМОМУ,
к 1610 1'., но вышли В свет они в 1620 {'.. уже после издания таб
лиц Непера, и поэтому остались незамеченными.
267 Показательная и лоrаРИф:\lическая функции
Непер Джон
(1550 1617)
анrлийский математик. Изобретатель лоrарифмов,
составитель первой таблицы лоrарифмов, облеr-
чившей работу вычислителей мноrих поколений
и оказавшей большое влияние на развитие прило-
жений математики.
Одна из важных идей, лежащих в основе изобретения лоrа-
рифмов, была уже известна. Ш т и Ф ел ь (1487 1567) и ряд дру-
rих математиков обратили вни:мание на то, что у:множению и деле-
нию членов rеометрической проrрессии
з 2 1 1 2 З
..., а , а , а , , а, а , а , ...
соответствуют сложение и вычитание показателей, образующих
арифметическую проrрессию
. . . , 3, 2, 1, О, 1, 2, 3, . .. .
Но одной этой идеи недостаточно. Например, «сеть. целых
степеней числа 2 слишком редка; мноrие числа «остаются без ло-
rарифмов», поэтому необходима была еще одна идея: возводить
в степень числа, очень близкие к единице. Заметив, что степени
п п.l
( 1 + ) и ( 1 + ...l...... ) при больших значениях n близки, Непер
10 п 10 п
и Бюрrи приняли аналоrичное решение: Непер брал в качестве
основания число ( 1 1 7 ). а Бюрrи число (1-+ 1 4 )-
Дальнейший ход их рассуждений и описание схем вычисле-
ний пересказать довольно трудно как потому, что имеется MHoro
непростых деталей, так и потому, что вообще тексты XVI в. до-
вольно туманны Замети'\f только, что фактически далее Непер
107
переходит к основанию ( 1 ) ,а Бюрrи к основанию
101
( 1 + J Это не изменило существа дела (как вам известно,
1 4 104.
log 10" Х = loga Х, и поэтому указанные переходы приводят
а 10 п
лишь к переносу запятой в лоrарифме), но позволило несколько
упростить вычисления и сами таблицы.
168 ПOl а.Jатсльная н .ТJоrарИф:\IИЧССI\ая фУIII ЦИИ
Таким образом, по существу, оба изобретателя лоrарифмов
пришли к выводу о целесообразности рассмотрения степеней вида
( 1 + )М, rде М очень большое число. Рассмотрение чисел
TaKoro вида приводит к числу е, которое определялось как
Нт ( 1 + ! ) п
п 'У.) п
.Сведениях из истории» К rлаве 111). Осталось уже HeMHoro до идеи
принятия в качестве основания лоrарифмов числа е (основания
таблицы лоrаРИф:\fОВ Бюрrи совпадает с точностью до TpeTbero зна-
ка с е, основание таблицы лоrарифмов Непера близко к числу!).
е
Первые таблицы десятичных лоrарифмов (1617 1'.) были со-
ставлены по совету Непера анrлийским математиком r. Б р и r
r с о м (1561 1630). Мноrие из них были найдены с помощью BЫ
u Б б u 1 п('1O. I)
веденнои риrrсом при лиженнои формулы og 10 а :::: ,
т( I)
достаточно точной при больших значениях т и n. Бриrrс брал зна-
чения т и п в виде степеней двойки: это давало ему возможность
свести вычисление и пVlO К последовательному извлечению
квадратных корней. Друrая идея Бриrrса позволяет находить зна
чения десятичных лоrарифмов некоторых чисел самостоятельно,
без помощи таблиц. Целая часть лоrарифма целоrо числа на еди-
ницу меньше количества цифр в самом числе. Поэтому, например,
для нахождения Ig 2 с точностью до трех знаков достаточно найти
число цифр 2103. Это не очень трудно.
При составлении таблиц лоrарифмов важную роль сыrрало
найденное Непером и Бюрrи соотношение между приращениями
f1x и f1y в произвольной точке ХО дЛЯ функции у = loga х. Отвлека
ясь от деталей их системы изложения, основной результат '\'Iожно
выразить так: /).У :::: !!.., {'де k некоторая постоянная. Если OCHOBa
/).Х х
ние лоrарифмов степень ( 1 + ;; )Р, rде п достаточно большое
!J.y 1
число, то :::: .
/)"х х
Устремляя f1x к нулю, приходим К дифференциальному ypaB
, 1 Ф
нению у = , решением KOToporo, как вы знаете, является YHK
х
ция I n х + с.
(определение предела последовательности дано в
Существует система изложения, при которой In Хо
хо
с caMoro начала определяется как f X , т. е. In Хо площадь
1
криволинейной трапеции, оrраниченной rиперболой, осью абсцисс
и прямыми х = 1 и Х = Хо. Вывод свойств лоrарифмов, исходя из
этоrо определения, не очень простая, но доступная вам задача
269 показателыlяя и лоrаРИф'\fиче(,кая функции
Вопросы и задачи на повторение
1.
1) Дайте определение корня n й степени
арифметический корень n-й степени?
2) Найдите значение:
Зr;;;; 4 7 .(1
а) ,, 27; б) ;/625; в)" 128; 1') 6V 64 ;
из числа. Что такое
д) (n.[;)'I.
3) Решите уравнение:
а) х З = 125; б) х 4 = 64; в) х 5 = 2 3; {') х 4 = 16.
2.
1) Перечислите основные свойства
2) Преобразуйте выражение:
а) v8 . 8.J4; б) 2 5; в) ( 6 (27 ) 2 ;
20 V 8"
арифметических корней.
I а4 ь 2
{') vT.
3) Какое из чисел больше:
7 5
а) V128 или ",4; б) 2100 или 10020;
в) Зj26 или V5!
з. 1) Дайте определение степени с рациональным показателем
и перечислите основные свойства таких степеней.
2) Найдите значение:
а) (( I: fi) ) ; б) б4 :2 (2 1 ) 6; В) 16 ; r) ( 682 ) '
3) Какое из чисел больше:
5 .. ;!
З
а) 16 или 24; б) 3 З или 9 4;
4 4
в) 0,з7 или 0,3 7?
4. 1) Перечислите основные свойства показательной функции.
2) Постройте rрафик функции:
а) у 4 Х ; б) У =( )X; В) у 6 Х ; r) у ( )X.
3) Какое из чисел больше:
а) 20.4 или 2 З б) 1,2 jЗ или 1,2J5"; в) O,з x или Оt3 З?
5. 1) а) Найдите корни уравнения аХ = а(" (а > О, а 1).
б) Решите неравенство аХ > аС (рассмотрите два случая:
О < а < 1 и а > 1).
2) Решите уравнение:
1
а) 27 Х =9 5 ; б) 0,5x2+X 2.5=J2; в) зх+2 зх= 72.
3) Решите неравенство:
а) 5 х2 1 > !;
5
2
б) 0,2 Х 2 > 5;
В ) 3Х < !.
9'
( ) Х + 1
{') > 4.
270 ПОI<:азатеЛЫlая и лоrарИф lическая фУIIКЦИИ
6.
1) Дайте определение лоrарифма числа
2) Найдите:
а) 10g2 16 12; б) logo.2 25; в) IgO,OI;
{') log 1 '\r 3.
з
3) Запишите основное лоrарифмическое тождество. С ero по
мощью вычислите:
( 1 ) 1 + log 2 З
а) 32 + lоgз 5 ; б) ; в) 5 1. logs 2 ; {') 0,21+ logO.2 5 .
2
7.
1) Перечислите основные свойства лоrарифмов.
2) Пролоrарифмируйте по основанию а выражение (с > о,
Ь > О):
а) 16ь 7 vё при а = 2;
с 4
б) при а = 10.
1 00 ь п
3) Найдите х, если:
а) lоgз х = 2 lоgз 7 + lоgз 27 lоgз 16;
3 2
б) log2 Х = 2 log2 5 log2 8 + log2 0,2;
В) log5 х = log5 1,5 + ! log.> 8;
3
r) 19 х = 1 + 2 19 3 19 125.
3
8. 1) Дайте определение лоrарифмической функции и перечис
лите ее основные свойства.
2) Постройте rрафик функции:
а) у = log4 х; б) У = log 1 (х 1);
5
В) У = log<> х;
{') у = log 1 Х + 1.
4
3) Какое число больше:
а) 19 7 или 3 Ig 2;
в) lоgз 5 или lоgз 6;
б) log 1 5 или log 1 6;
з з
{') log2 3 или lоgз 2?
9 1) а) Укажите все корни уравнения loga х = Ь (а > О, а 1).
б) Решите неравенство loga х > loga с (рассмотрите два случая:
О < а < 1, а > 1).
2) Решите уравнение:
а) log2 (х 15) = 4; б) Ig2 х + 2 Ig х = 8;
В) 1 n 2 (х 2) = 4; {') Ig (х 2 2 х 4) = Ig 11.
3) Решите неравенство:
а) logO.6 х > 2; б) 19 х 2;
в) ln х 3; 1') 10g 7 Х < 1.
271 показателыlяя и лоrарИф'\fическая ФУIIКЦИИ
10. 1) Запишите формулу производной для функции у = е Х ,
у = аХ.
2) Найдите производную функции:
а) v (х) = 5 2е 4 3Х; б) и (х) = 3 . 5 7х 1; в) g (х) = е ЗХ.
3) Найдите общий вид первообразных для функции:
а) v (х) = е 5Х 7e 4x; б) и (х) = 5е О . 7х ;
в) g (х) = e 3X; {') f (х) = е 2х .
11. 1) Какую производную имеет функция у = loga х? Найдите об-
щий вид первообразныx для функции f (х) =!.
х
2) Найдите производную функции:
а) у = х In 3х; б) у = log2 (7 2х);
в) у = 2 lоgз х; {') у = In .
5
3) Найдите общий вид первообразных для функции:
а) {(x)= ; б) g(x)= ; в) и(x)= ; {') h(x)= .
5х x 3 х х+l
12. 1) Какую производную имеет степенная функция у = ха?
2) Постройте rрафик функции и найдите ее производную:
а) у = х 7 ; б) У = x 4; в) У = x 0.3; {') у = хл.
3) Н айдит е приб лиже нное значение:
а) 32,02; б) !J 127,9; в) /64,з ; {') 4.j 80,6 .
13. 1) Какие уравнения называют иррациональными?
2) Решите уравнение:
а) x 3 = 2x 7; б) 2x+3 =2; в) x JX = 12.
3) Решите систему уравнений:
r .JX .JY = 3, r х + у .J ху = 6,
а) t б) t
x y=9; ху=16;
r JX + .JY = 4,
в) i
ix y=8.
14.
1) Что называют решением системы двух уравнений с двумя
переменными?
2) Решите систему уравнений:
{ х Зу = 5, { 52x у = о 2
а) б)' ,
2 6у X = 1 ; 5Y X = 125;
4
{ 2Х У = 9,
в)
4x 2y = 1;
3) Решите систему уравнений:
а) { х у = 4, б) { 3Х 2y = 1,
log2 Х log2 У = 1; Ig х + 19 (у + 5) = 2;
{ lоgз (5х у) = 2, { х2 + у2 = 26,
в) {')
х у = 2; log 5 х = 1 + log.> у.
272 поI\:азателыlяя и лоrарИф:\lическая фУIIКЦИИ
v
rлава
Элементы теории
комбинаторики и
I
вероятностеи,
статистики
I
э 12.
Введение
Вероятностей теория раздел MaTeMa
тики, в котором по вероятностям одних
случайных событий находят вероятности
друrих событий, связанных каким-либо об-
разом с первыми.
БСЗ, А. Н. Кол.ltfOzоров
с незапамятных времен были иrроки в монету 1 и в KO
сти 2. Первые заметили, что при MHoroKpaTHoM повторении броса
ний монеты приблизительно в половине случаев выпадает rерб. Со
временем стали rоворить: .Вероятность выпадения rерба равна по
ловине&. Аналоrичное заметили и при иrре в кости при MHoro
кратном повторении бросаний кости приблизительно в одной шес
той части бросаний выпадает одно очко (соответственно два, три,
четыре, пять, шесть). И стали rоворить: «Вероятность выпадения
одноrо очка при иrре в кости равна одной шестой. (аналоrично
при двух, трех, четырех, пяти и шести очках). Со временем коли
чество задач, в которых заранее нельзя сказать о результатах дей
ствий, значительно увеличилось. Появились подобные научные
и хозяйственные (не только иrровые) задачи. Напри:vrер, сколько
маrазинов надо открыть в реrионе, чтобы не было больших очере
дей, и как эти маrазины разместить.
Постепенно заметили, что есть события, которые не MorYT
появиться одновременно. Их назвали несов.месmны.ми. Например,
при иrре в монету одновременно выпасть rерб и цифра не MorYT
это события несовместные. Аналоrично при иrре в кости не MorYT
одновременно выпасть два и пять очков.
Для большинства поездка на спортивные соревнования
случайное событие. Перед KeM TO может возникнуть выбор
ехать на футбол или на плавание. Одновременно это сделать нель
зя. Поездка на футбол и поездка на плавание события HeCOB
местные.
1 Иrра в монету: подбрасывают вертящуюся монету, после ее падения
с отрят, что оказалось сверху rерб или цифра.
2 Иrра в кости: куб (он же кость) из однородноro материала.
имеющий на I'ранях точки от одной до шести, вертящимся бросают на стол;
сколько точек оказалось на верхней ero rрани столько выпало очков.
273 дле:\fенты теории вероятностей, КОl\lбllнаторики
и статистики
При изучении все схематизируется. В rеометрии есть точки,
прямые и т. п. это схемы окружающеrо. В физике есть идеаль
ный rаз, материальная точка и т. п. это тоже схемы.
В теории вероятностей принята следующая схема: ставится
опыт, ero результат называют co(JblтUeAt (или случайным событи
ем при иrре в монету или кости все зависит от случая).
События принято обозначать большими буквами А, В и т. д.,
а их вероятности соответственно Р (А), Р (В) и т. д.
Например, при иrре в монету опыт ее бросание, и eCTeCT
венно событие «выпал rерб» обозначить буквой r, т. е. положить
r == . выпал rерб., и аналоrично положить Ц == . выпала цифра..
Для этих событий (как это отмечалось) Р (r) ==.! и р (Ц) == !. При
2 2
иrре в кости опыт бросание кости. В этом опыте можно рассмат-
ривать события Q, == «выпало 1 очков», 1 от 1 до 6. Но можно pac
сматривать и друrие события. Например, .выпало четное число
очков», .выпало простое число очков», .число выпавших очков
кратно трем» и т. п. Мы уже отмечали, что Р (Q/) == ! при любом 1
6
от 1 до 6. Про вероятности остальных выписанных событий разrо-
вор впереди.
Несовместность событий А и В один ИЗ видов их взаи:мо-
связи. Есть и друrие. Например, при иrре в кости выпадение трех
очков, т. е. произошло событие Qз, можно рассматривать и так:
произошло событие А == «число выпавших очков простое». То-
rда rоворят, что событие Qз блаrоприятствует событию А и пишут
Qз с А. Но событию Qз блаrоприятствует и событие Е == «число BЫ
павших очков кратно трем., т. е. Qз с Е.
Эта терминолоrия сохраняется и в общем случае: событие А
блаrоприятствует событию В.. если из Toro, что произошло собы
тие А следует, что произошло событие В. При этом пишут А с В.
Упражнения
581. Пусть событие А == «выпало четное число очков». Опреде-
лите, какие из следующих записей верны, а какие нет:
а) Q4cA; б) Q1cA; в) Q6cA; {') Q5cA?
582. Пусть событие А == .выпало нечетное число очков.. Какие
из записей в упражнении 581 верны, а какие нет?
583 Пусть событие А == «выпало простое число очков.. Какие из
записей в упражнении 581 верны, а какие нет?
584. При иrре в кости произошло событие А == «выпало четное
число очков.. Можно ли сказать, что событие А блаrоприят
ствует событию В == .число выпаВIПИХ очков кратно трем»?
585. При иrре в кости MorYT произойти событие А == «выпало не-
четное число очков» И событие В == .выпало простое число
очков». Верна ли запись А с В?
274 Элементы теории вероятностей, КО'fбинаторики
и статистики
13.
Пересечение и объединение событий
Основные и простейшие связи между событиями А и В,
которые MorYT произойти в данном опыте, следующие:
1) в результате опыта произошли оба события; это тоже co
бытие данноrо опыта, ero называют пересечение-м событий А и В
и обозначают А n В;
2) в результате опыта произошло хоть одно из указанных co
бытий: или А и В, или оба; это событие данноrо опыта, ero обозна-
чают А U В и называют объединением событий А и В.
Кроме Toro, в каждом опыте выделяют два события: дocтo
верное ero обозначают 1 и оно состоит в том. что в результате
опыта оно обязательно происходит, Р (п) = 1, и невО3о1'rtожное
ero обозначают 0, в результате опыта оно произойти не может,
Р (0) = о. Например, при бросании монеты невозможно событие
<сrерб и цифра выпали одновременно. выпадает или то, или
друrое. При бросании монеты достоверно событие «выпала цифра
или выпал rерб..
Сказанное уже можно записывать в виде ФОР:\llУЛ (как и в ал-
rебре): r n Ц = 0 и r u Ц = п. И в общем случае если в опыте
MorYT произойти события А и В, то запись А n В = 0 означает, что
А и В в этом опыте одновременно произойти не MorYT они Heco
B'\ieCTHbI.
При изучении функции ее rрафик дает наrлядное представле
ние о свойствах этой функции. А в теории вероятностей события
изображают наrлядно множествами. На рисунке 150 множество,
изображающее событие А, заштрихо-
вано в одном направлении, а множе
ство, изображающее событие В, за- В
штриховано в друrом направлении.
Тоrда событие А n В изображается
множеством, заштрихованным дваж-
ды, а все, что хоть как-то (хотя бы
одним способом) заштриховано, изоб-
ражает событие А U В. Рис. 150
586.
Упражнения
Обоснуйте равенство:
а) А n А = А; б) А U А = А;
{') А n 0 = 0; д) А n Q = А;
Обоснуйте утверждение:
а) А n В с А; б) А n в с В; в) А с А u В;
{') В с А U В; д) А n В = В n А; е) А u В = В U А.
Как описать словами событие А u (В u С)?
Можно ли записать А u В u С? Что это за событие?
в) А U (о = А;
е) А U Q = п.
587.
588.
589.
275 Эле:\fенты теории вероятностей, комбинаторики
и стаТИСТltI и
590. Сформулируйте вопросы, анало
rичные вопроса:м из упражне-
ний 588 и 589, для пересечения
трех событий. Ответьте на по-
ставленные вопросы.
591. На рисунке 151 изображены со-
бытия А и В. Чему равно А n В?
592. Изобразите на рисунках события А n (В u С) и (А n В) u
u (А n С). Можно ли сделать вывод:
А n (В u С) = (А n В) u (А n С)?
593. Верно ли равенство А U (В n С) = (А U В) n (А u С)? Обо-
снуйте.
Рис. 151
14.
:Классическое определение
вероятности события
Классическое определение вероятности события бази
руется на понятии равновероятности событий. Вспомним, что мно-
rолетний опыт иrроков в монету подсказал: события Ц и r равно-
вероятны (то, что их вероятности равны по !, сейчас несуществен-
2
но). Аналоrично опыт иrроков в кости подсказал: все события Q,
( 1 v
равновероятны то, что их вероятности равны 6" для каждоrо, сеи-
час тоже несущественно). И для ряда опытов можно выявить рав-
новероятные события. Это подсказывает или опыт, или интуиция:
подмечается, что в условиях проводимоrо опыта два события нахо-
дятся в равных ситуациях. Например, при бросании кости у собы-
тия Q2' очевидно, нет преимуществ произойти перед событием Qs.
Поэтому они равновероятны. Никаких более математизированных
обоснований равновероятности событий нет.
Далее, опыт предполаrается таким.. что в нем можно выявить
rруппу попарно несовместных событий, одно из которых в резуль-
тате опыта обязательно происходит. Каждое такое событие назы-
вают исходом опыта. Если число исходов опыта равно п и они рав-
новероятны, а событию А блаrоприятствуют т исходов опыта
(остальные n т исходов событию А не блаrоприятствуют), то по
определению вероятность Р (А) = т .
n
_ При м е р 1. При бросании иrральной кости событию
А = «< число выпавш их очков к ратно трем» блаrоприятствуют два
события Qз и Q6; всех исходов этоrо опыта (событий Q) шесть.
Таким образом, т = 2, n = 6 и потому Р (А) = = 1.
6 3
276 Зле1\lенты теории вероятностей, комбинаторики
и статистики
При м е р 2. Бросили две монеты. Какова вероятность выпа
дения двух rербов? Сразу напрашиваются три исхода этоrо опыта:
выпали два rерба., выпали две цифры» И выпали rерб и циф
pal). Но интуиция подсказывает, что они не равновероятны. Чтобы
выявить равновероятные исходы этоrо опыта, возьмем разные
монеты желтую и серую. Тоrда получаем четыре исхода опыта:
(r, r) = выпали два rербаl) , (Ц, Ц) = «выпали две цифры»,
(r, Ц) = Ha желтой монете rерб, на серой монете цифра»
и (Ц, r) = «на желтой монете цифра, на серой монете rерб..
Вот эти исходы опыта уже равновероятны . Нас интересует вероят-
1
ность события А = (r, r), т. е. т = 1, n = 4, Р (А) = .
4
Упражнения
594. В примере 2 найдите:
а) вероятность выпадения двух цифр;
б) вероятность выпадения цифры и rерба.
595. Бросили иrральную кость. Найдите вероятности события:
а) А = «число выпавших очков простое»;
б) В = «число выпавших очков четное.;
в) С = «число выпавших очков нечетное. ;
{') N = «число выпавших очков не делится на 3»;
д) D = «число выпавших очков при делении на 3 дает
в остатке 2&;
е) Е = «остаток от деления на 5 выпавших очков четное
число» .
596. Бросили две иrральные кости и подсчитали S сумму вы-
павших очков. Найдите Р (8) при S = 3; 4; 7; 8; 11; 12.
597. Бросили две иrральные кости и подсчитали произведение р
выпавших очков. Найдите Р (р) при р = 3; 4; 7; 8; 11; 12.
э 15.
Теорема сложения, аксиоматика
Имея определение вероятности события, можно разо-
брать последнее, упомянутое в определении теории вероятностей
«по вероятностям одних случайных событий вычислять вероятно-
сти друrих случайных событий...».
т е о р е м а (сложения).
Если А n В = О, ТО Р А U В) = Р А) + Р В.
rоворят: «Для несовместных событий вероятность их объеди
нения равна cYM'fe их вероятностей».
277 Зле:\fенты теории вероЯТlIостей, КОi\lБИllаТОрИI И
и статистики
Доказательство. Введем события Ер Е2' Е з , ..., Е п
равновероятные исходы опыта. Пусть событию А блаrоприятству
ют исходы опыта Е 1 , Е2' ..., Е т (такая нумерация удобна для ДOKa
зательства), тоrда Р (А) = т . Эти исходы опыта не блаrоприятству
п
ют событию В, так как оно несовместно сА. Тоrда событию В бла
rоприятствуют друrие исходы опыта: Е т + l' Е т + 2' ..., Е т + k. Этих
исходов k, и потому Р (В) =!. Все выписанные исходы опыта бла
п
rоприятствуют (и только они) событию А U В. Этих исходов т + k,
m+k т k
и потому Р (А U В) = = + = р (А) + Р (В).
ппп
Заметим, что записанная выше теорема сложения является
одной из основных аксиом общей теории вероятностей. Именно
в общей теории вероятностей рассматриваются только такие опы-
ты, в которых выполнены следующие а к с и о мы:
1. Для каждоrо события. которое может произойти
в опыте, определена ero вероятность число Р (А),
О р (А) 1.
2. Для любых событий:
А n В = Q) р (А U В) = Р (А) + Р (В).
_ При м е р 3. По результатам стрельб в течение {'ода для сол
дата вероятность попасть в десятку равна 0,3, а в девятку равна
0,6. В этом случае на зачетных стрельбах вероятность поразить дe
сятку или девятку равна О,З + 0,6 = 0,9. Здесь события А = (спора
жена десятка)) и В = . поражена девятка несовместны, поражение
десятки или девятки есть событие А U В, а так как Р (А) = 0,3,
р (В) = 0.6. то
Р (А U В) = Р (А) + Р (В) = 0,3 + 0,6 = 0,9.
Упражнения
598. Юноша пойдет на плавание с вероятностью 0,2 и пойдет иr-
рать в футбол с вероятностью 0,5. Иначе он будет читать.
Найдите вероятность Toro, что юноша займется спортом.
599. rрибник находит белый rриб с вероятностью 0,1, а подоси-
новик с вероятностью 0,6. Остальные rрибы он не берет.
Найдите вероятность Toro, что rрибник положит в корзину
первый увиденный им rриб.
600. Выведите формулу для вероятности объединения трех по-
парно несовместных событий.
601. Выведите формулу для вероятности объединения n попарно
несовместных событий.
602. Пусть событие А\В = .произошло событие А и не произо-
шло событие B . Это событие называют ра ностью событий
А и В. Изобразите ero множеством на плоскости.
278 Зле'\fенты теории вероятностей, КО'\fбинаторики
и статистики
603. Докажите, что В с А => Р (А\В) = Р (А) Р (В)
604. Докажите, что всеrда Р (А u В) = Р (А) + Р (В) Р (А n В).
605. Получите формулу (аналоrичную формуле в упражнении 604)
для Р (А U В U С).
606. Зная, что Р (А) = 0,8, Р (В) = 0,7 и Р (А n В) = 0,6, найдите
р (А U В).
607. Докажите, tITO для любых событий А с В ::::) р (А) Р (В).
608. Известно, что Р (А) = 0,47. Может ли быть, что
Р (А n В) = 0,61?
э 16.
Комбинаторика
При вычислении вероятностей событий приходится
определять число исходов опыта, всех и блаrоприятствующих co
бытию. В этом надо опираться на сведения из комбинаторики, KO
торая решает три основные (и простейшие) задачи. Объясним эти
задачи сначала популярно.
3 ад а ч а 1. Сколько разных очередей возможно образовать
из n человек?
З а д а ч а 2. Из n человек выделяется rруппа в т человек,
1 т n, и образует очередь. Сколько разных очередей при этом
возможно образовать?
З ад а ч а 3. Из n человек выделяется rруппа в т человек,
1 т п. Сколькими способами это можно сделать?
Чтобы сформулировать эти задачи в общем случае, восполь
зуемся сведениями о множествах. Задача 3 тоrда формулируется
так: «Дано множество из п элементов. Сколько в нем подмно
жеств, каждое из которых состоит из т элементов, 1 т п?"Ь
Каждое такое подмножество называют сочетание.?! из n
по т Число сочетаний из п по т обозначают С:.
Чтобы сформулировать остальные задачи, вводится понятие
упорядоченноzо :\iножества:
.Конечное множество упорядочено, если все ero элементы
можно занумеровать так, что для любых ero элементов a k и а т
неравенство 1 k < т п определяет отношения порядка «а т сле
дует за ak"b.
Тоrда задача 1 формулируется так: «Сколько существует
упорядоченных множеств, каждое из которых состоит из п эле
ментов?"Ь
Каждое упорядоченное множество называют перестановкои
ero элементов. Число перестановок элементов множества из n эле
ментов обозначают Р n.
179 Элементы теории вероятностей, КО'\tбинаторики
и статистики
Задача 2 формулируется так: «Задано множество из n эле
ментов. Каково число ero упорядоченных подмножеств, каждое из
которых состоит из т элементов, 1 т п?'Ь
Каждое такое упорядоченное подмножество называют раз.ме
щен.ие.м из п по т, а их число обозначают А;'.
Теорема
Р n = 1 . 2 . 3 . 4 . ... . п,
А: = n (n 1) (n 2) ... (п m + 1), с;:а
А т
= .2......
Р т .
Поясним: Р" равно произведению всех натуральных чисел
от 1 до п. Такие произведения встречаются часто, для них введено
более короткое обозначение п!, читается «эн факториаЛJ). Так,
4! = 1 . 2 . 3 . 4 = 24, 71 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 = 5040, Р п = п!.
A ' равно произведению т натуральных чисел, начиная с п
и идущих подряд последний множитель п т + 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Чтобы доказать формулу дЛЯ P II , выпи-
шем все перестановки п элементов на карточки. Разложим эти кар-
точки на rруппы: в первой rруппе собраны все перестановки, начи
нающиеся с первоrо элемента (множество упорядочено!), за ним
в этой rруппе на карточках выписаны все перестановки из OCTaB
шихся п 1 элементов, Bcero их P'l 1. Во вторую rруппу собираем
все карточки, на которых выписаны перестановки, начинающиеся
со BToporo элемента; число таких карточек во второй rруппе Р 11 1-
И так далее до последней rруппы, в которую собраны все пере
становки, начинающиеся с последнеrо n ro элемента, число всех
карточек в последней rруппе тоже P II __ 1 Итак, все карточки, их Р 11'
разложены по п rруппам, в каждой rруппе Р " 1 карточек. Следова
тельно, Р п = пР п 1. Последовательно применяя это соотношение,
получаем Р п = пР п 1 = п (п 1) Р п 2 = п (п 1) (п 2) Р п з = ... =
= п (п 1) (n 2) ... 3 . 2 . Рl' rде Р 1 число перестановок из одно-
1'0 элемента, очевидно, что Р t = 1, а для Р п (доказано!)
р n = п!.
Доказательство формулы для А;:' проведем аналоrично. Для
этоrо выпишем на карточках все размещения из п по т, число
таких карточек равно A '. Разложим все карточки по rруппам.
В первую rруппу соберем все карточки, на которых первым стоит
первый элемент из множества. Число карточек в этой rруппе paB
но А;' 11, так как за первым элементом стоит размещение из п 1
по т 1 (из множества первый элемент выписан осталось п 1
элементов, из них уже выбирается т 1 элемент, так как первый
элемент уже выбран). Во вторую rруппу собираем все карточки
с раЗ:\1:ещениями, у которых на первом месте стоит второй элемент
280 Jле'\fеllТЫ теории веРОЯТllостей, КО1Wбинаторики
и статистики
множества; в этой rруппе А :':11 карточек (как и в первой pac
суждение повторяется). И так далее до последней n-й rруппы,
в которую собраны все карточки, на которых выписаны все разме
щения с п-м элементом на первом месте. Число карточек в послед
ней rруппе тоже А: 11. Итак, все А:' карточек разложены по п
'" А m -- 1 С
rруппам, в каждои rруппе по карточек. ледовательно,
п 1
А m = A m 1
п п п l.
Последовательно применяя эту формулу, получае:\f: А::' =
=пA:' 11 =п(п I)A:' 22 =п(п 1)(п 2)A:' : = ... =п (п 1)(п 2) ...
... (п т + 2)А 1 1 . Но А п 1 т + 1 есть число одноэлементных под
п т+
множеств (они же и упорядоченные); у множества, состоящеrо из
п т + 1 элементов, их число, очевидно, равно n т + 1, и по
тому
А: = n (n 1) (n 2) ... (n т + 2) (n т + 1).
Заметим, что, пользуясь факториалами, полученную форму
лу можно записать короче:
А т =
n
п!
(n т)!
Действительно.
А m ( 1) ( 2) ( 1 ) (п т ) (п т 1) ... 2 . 1 п !
п = п п n ... п т + . =,
(n т)(n т 1)...2.1 (п т)!
так как произведение перед дробью, объединенное с числителем
этой дроби, есть произведение всех натуральных чисел от 1 до п,
Т. е. равно п!.
Чтобы доказать формулу для числа сочетании из п по т,
заметим, что из каждоrо сочетания из п по т при перестановке
ero элементов получается т! размещений из n по т, и потому
А:;' = с:' . т!, Т. е. А:' = с:' . Р т' откуда
С т = A
n .
Р т
По этим формулам A = 5 . 4 = 20, A o = 10 . 9 . 8 = 720,
з 7 . 6 . 5 2 20 . 19
С 7 = 1.2.3 = 35, С 2о = 1.2 = 190 и т. д.
11 При м е р. В ящике лежат одинаковые на ощупь шары:
14 красных и 11 синих. Наудачу вынимают 5 шаров. Какова Bepo
ятность Toro, что вынули 3 красных и 2 синих?
Для выявления равновероятных исходов опыта перенумеру
ем все шары: шары с номерами с 1 по 14 красные, а с 15
по 25 синие. Тоrда исходом опыта будет получение набора HO
меров. Например, рассмотрим набор (2; 7; 11; 20; 21). Этот Ha
181 Злеl\lенты теории вероятностей, комбинаторики
и статистики
бор блаrоприятствует интересующему нас событию А == «вынуто
3 красных и 2 синих шара.. Все TaKoro рода наборы номеров paB
новероятны, и это все исходы опыта. Можно использовать класси
ческое определение вероятности события. Bcero исходов опыта
n == C 5. Событию А блаrоприятствуют наборы, в которых три но-
мера от 1 до 14 и два номера от 15 до 25. Число возможных вари
антов выбора первых наборов равно C 4. Число вариантов выбора
вторых наборов равно C 1. Каждый набор с номерами красных ша
ров может сочетаться с любым набором номеров синих шаров. Сле-
довательно, число наборов, блаrоприятствующих событию А, paB
но т == C 4 . C 1 (сравните с доказательством теоремы),
т C 4.C 1 14.13.1211.10 1.2.3.4.5
Р (А) == п == == ].2.3 · 1.2 · 25. 24 .23.22.2 1 ==
25
== 26 О 38.
69 ·
Упражнения
609. Сколько разных очередей '\iожно образовать из 5 человек?
из 7 человек? из 12 человек?
610. В конторе работает 8 человек. Составляется очередной спи-
сок на отпуск из 5 человек. Сколько существует вариантов
составления списка?
611. В классе 20 учащихся. Сколько существует вариантов rpa-
фика дежурства (по одному дежурному в день) на неделю
(6 учебных дней)?
612. Отряд из 10 человек пошел в поход. Сколькими способами
можно выбрать командира, завхоза и кашевара?
613. Пусть в ситуации, описанной в упражнении 47, надо еще
выбрать и связиста. Сколькими способами можно это cдe
лать?
614. В классе 25 человек. Сколькими способами можно выбрать
на lllкольное собрание 4 делеrатов? 5 делеrатов?
В условиях приведенноrо выше примера найдите вероят
ность каждоrо события (615 620).
615. Вынули 1 красный и 2 синих шара.
616. Вынули 1 синий и 2 красных шара.
617. Вынули 2 красных и 3 синих шара.
618. Вынули 2 синих и 2 красных шара.
619. Все 4 вынутых шара разноцветные.
620. Вынули 5 разноцветных шаров.
282 Элеl\lенты теории вероятностей, КО'fбинаторики
и статистики
17.
Формула бинома Ньютона
Из курса алrебры уже известны формулы квадрата
суммы и куба суммы. Дадим их обобщение:
(а + Ь)Л = а" + паЛ lb + ... + с::r аЛ ть т + ... + nаЬn - 1 + Ь Л , (1)
{'де а и Ь любые числа. п число натуральное. Эту формулу Ha
зывают биномом Ньютона. При n = 2 и n = 3 получаем известные
формулы.
Вывод формулы бинома Ньютона проведем в два шаrа:
1) при n = 2 (например) проверяется, что формула (1) верна; 2) бе
рем любое натуральное число n 2, предполаrаем, что при этом n
формула (1) верна, и доказываем, что тоrда формула (1) верна и
для n + 1.
Этот метод называют доказательством по индукции или 1'0-
ворят проще: «доказательство переходом от n к n + 1 ". Наrлядное
следствие из TaKoro доказательства следующее: формула (1) верна
при n = 2, значит, она верна и при n = 2 + 1 = 3, тоrда она верна
и при п = 3 + 1 = 4, тоrда она верна и при n = 4 + 1 = 5 и так далее
для всех натуральных чисел n. Итак:
1) при n = 2 в формуле (1) только три слаrаемых справа:
а 2 + 2аЬ + Ь2, что, как известно, равно (а + ь)2. Проверено, что при
n = 2 формула (1) верна;
2) берем любое натуральное число n 2 и предполаrаем, что
при этом n формула (1) верна. Тоrда по определению степени по-
лучим
(а + Ь)n + 1 = (а + Ь) (а + Ь)Л = (а + Ь) (аЛ + паЛ 1ь + ...
... + С;'а Л ть т + с;'''' lа Л т lb m "' 1 + ... + nаЬ n 1 + Ь") =
= аЛ + 1 + аЛЬ + па" lь2 + ... + С:'а Л + 180 тьт + С:'а Л тьт + 1 +
+ С: + 1 а л тьт + 1 + С::' + 1 а л т lьт + 2 + ...
... + nа2ьл 1 + nаЬn + аЬn + Ьn+ 1 = а п + 1 + (n + 1) апь + ...
. .. + (С:' + С:' + 1) а n т Ьт + 1 + ... + (n + 1) аЬ" + Ь" + 1,
{'де остальные слаrаемые объединяются аналоrично, они входят
в мноrоточие. Теперь проверяем, что полученная сумма есть
правая часть формулы (1), {'де n заменено на n + 1. Для пер
Boro и последнеrо слаrаемых это ясно. Для BToporo слаrаемоrо
(п + 1) апь = (п + 1) а(n + 1) 1ь, это тоже ясно и аналоrично для
предпоследнеrо. Далее объединяем подчеркнутые слаrаемые:
(ст+ст+1)аn..тьт+1= ( п! + п! ) аn80тьт+1=
Л n т!(п т!) (т+l)!(п т I)!
= п ! (т+l+n т)ал тьт+1=
(т+l)!(n m)!
283 эле:uенты теории вероятностей, комбинаторики
и статистики
п ! (n + 1) а n пr ьпr + 1 ==
(т+ 1)!(п т)!
(п+l)! a(n+1) (т+1)ьт+1==
(т + 1)!«п + 1) (т + 2»!
==
==
== с т +1 а(n .1) (т +1)ьпr .1.
n + J
Этим доказано, что полученная сумма есть правая часть фор-
мулы (1), в которой число n заменено на n + 1. Доказательство
формулы (1) закончено 1.
Например, (а + ь)5 = а 5 + 5а 4 Ь + С аЗь2 + С а2ьЗ + C aь4 + ь 5 =
= а 5 + 5а"ь + 10а 3 ь 2 + 10а 2 ь З + 5аЬ" + ь5.
Числа с:' называют еп е бuно tfuальны.мu коэффuцuента."fU,
так как это коэффициенты при а n пrьnr В формуле (1) бинома Нью
тона.
Упражнения
621. Проверьте, что известные формулы (а + ь)2 и (а + Ь)З по-
лучаются из формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3
соответствен но.
622. Напишите формулу бинома Ньютона:
а) (а + Ь)4; б) (а Ь)7; В) (Х2 + )\ r) ( х 3 :2 уа.
623. Сколько отрицательных степеней х в разложении бинома
( х 2 + ) 5 ?
624. Есть ли слаrаемые, не зависящие от х, в разложении би-
нома ( х 2 + ) 6 ?
625. Сколько отрицательных степеней х в разложении бинома
( х 3 x уа ?
1 Второй шаr доказательства можно провести короче:
ь ь
( а + Ь) n · 1 = а п · 1 + (п + 1) f (а + х) n dx = а n + 1 + (п + 1) J (а n + па n 1 Х + .. . +
о о
, ( п + 1 ) "
+ п. а n т Х пr + . . . + х n ) dx = а n + 1 + (п + 1) а n Ь + а n .. 1 ь 2 +
т!(п т)! 2
( п+l ) п' Ь т+1 Ь n+l
+ . а n т + ... + (п+ 1) = a n + 1 + (п+ l)а(" +1) 1 Ь+...+
т ! (п т)! т + 1 n + 1
+ (n+ 1)! a(n +1) (т+1)ьnr+l +...+ bn+l.
(т + 1) !«п + 1) tm + 1»!
284 Эле'\fенты теории вероятностей, комбинаторики
и статистики
626. Есть ли слаrаемые, не зависящие от х, в разложении би
нома ( х З x уа ?
627. Будут ли слаrае ые с целой степенью а в записи по фор-
муле бинома Ньютона: а) (.Ja з-ja)20; б) (5Ja ЗjQ)10?
628. Докажите равенство:
а ) ст + с т + 1 = С т + 1.
n n n+l'
б) 1 + C r + C + C + ... = 2 п ;
в) 1 + C + С: + C + ... = C + C + C + ... .
629. Докажите, что при постоянном п коэффициенты С::' как
функции т возрастают при О < т <!!: и убывают при
2
!!. < т < п.
2
При решении упражнений 630 633 рассмотрите треУ20ЛЬ
ник Паскаля.
1
1 л строка 1 1
2 л строка 1 2 1
3 л строка 1 3 3 1
4 л строка 1 4 6 4 1
...... ...... ...... ..... ...... ...... ...... ...... ......
п я строка
(п + 1) я
строка
1
] п + 1
п
р
q ...............
1
1
r
630. Проверьте, что 2-я и 3 я строки есть коэффициенты формул
(а + Ь)2 и (а + Ь)3.
631. Выпишите 5 ю и 6 ю строки, сохраняя тот же порядок, что
и в выписанных одна под друrой.
632. На строках 2 6 проверьте правило r = р + q образования
чисел при переходе от n-й строки к (п + l)-й.
633. Докажите, что п я строка коэффициенты бинома Ньютона.
18.
rеометрические вероятности
Есть задачи, решение которых нельзя получить при
помощи классическоrо определения вероятности события. В каче
стве примера рассмотрим з а Д а чу: .Отрезок наудачу делится
на 3 части. Какова вероятность Toro, что из полученных частей
можно сложить треуrольник?
285 Зле'fеllТЫ теории вероятностей, КО;\fБИllаторики
и статистики
о х у 1
Рис. 152
у
1
у
.. (х; у)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
о
х
1
Рис. 153
у
1
l
2
о
1
2
1
..
в этом опыте «(40трезок науда-
чу разломили (разделили) на 3 час-
ти») бесконечно MHoro событий. Из
них нельзя выделить конечное число
исходов этоrо опыта. Поэтому поль
зуются друrими соображениями.
Пусть длина отрезка равна 1,
а расстояния точек, разбивающих от-
резок, от ero левоrо конца равны х
и у (рис. 152). Тоrда в опыте (40треЗОI<
наудачу разбит на 3 части)) каждое
событие характеризуется парой этих
чисел. Но пары (х; у), у > х, изобра
жаются точками на плоскости, ко-
торые заполняют весь треуrОЛЬНИI<
(рис. 153). Длины получающихся OT
резков ясны из рисунка 152. Нас
интересует событие А == (4ИЗ получив-
шихся отрезков можно составить Tpe
уrольник&. Для этоrо должны вы-
полняться неравенства: (4Длина каж-
дой стороны меньше суммы длин
двух друrих сторон» . Из этоrо ут-
верждения следуют неравенства (см.
рис. 152):
х < (у х) + (1 у),
у х < х + (1 у), 1 у < х + (у х),
которые после преобразований при-
водят к неравенствам:
x< Y < +x < y .
2' 2 '2
х
х
Рис. 154 Точки (х; у) с такими KOOp
динатами заполняют треуrольник,
заштрихованный на рисунке 154. Ero площадь равна! площади
4
Bcero треуrольника. Поскольку деление отрезка происходит слу-
чайным образом, то положение точек (х; у) тоже случайно и они
равномерно заполняют треуrольник, изображенный на рисун-
ке 153. Поэтому Р (А) == } .
4
В общем случае, коrда результат опыта можно охарактеризо
вать парой случайных чисел (х; у), которые на плоскости заполня-
ют некоторую фиrуру G равномерно, а точки, изображающие собы
тие А, заполняют фиrуру g с G, то по определению
р (А) == пл. g .
I1л.G
286 Злеl\lенты теории вероятностей, комбинаторики
и статистики
Упражнения
634. Проверьте, что при изложенном в 18 определении вероят
ности события выполнены основные аксиомы общей теории
вероятностей.
635. Двое доrоворились встретиться таким образом: в опре-
деленное место приходят независимо дру!' от друrа от 13
до 14 ч. Каждый ждет друrоrо t мин и уходит, если дpy
rой не пришел. Какова вероятность их встречи, если:
а) t = 20 мин; б) t = 15 мин; в) t = 30 мин?
636 На плоскости (бесконечной) проведено семейство (тоже бес
конечное) параллельных прямых. Расстояние между coceд
ними прямыми равно [. На эту плоскость наудачу бросают
отрезок длины [. Какова вероятность Toro, что отрезок пере
сечется хотя бы с одной из этих прямых?
637. Противотанковые мины поставлены на прямой через каж
дые: а) 15 м; б) 10 м. Танк шириной 3 '\f идет по прямой,
перпендикулярной линии мин. Какова вероятность Toro,
что танк подорвется?
638. Противотанковые мины поставлены на прямой через каж
дые 15 м. Танк шириной 3 м движется по прямой, образую-
щей уrол в 300 с линией расстановки мин. Какова вероят
ностъ Toro, что танк подорвется?
639. На окружности радиуса R зафиксирована точка А. KaKO
ва вероятность Toro, что точка, случайно выбранная на
окружности, отстоит от точки А меньше чем на R?
640. В окружность наудачу вписывается треуrольник. Какова
вероятность Toro, что он остроуrольный?
641. В окружность вписан квадрат. В кру!' наудачу бросают точ-
КУ. Какова вероятность Toro, что она попадет в квадрат?
э 19.
Событие «не А»
При решении ряда задач полезно краткое обозначение
события <св результате опыта событие А не ПРОИЗОlIIЛОi). ero назы-
вают <с не А и обозначают А. Поскольку события А и А HeCOBMeCT
ны, а в результате опыта одно из них обязательно происходит, то
А u А = Q, 1 = Р (Q) = Р (А U А) = Р (А) + Р (А), откуда следует, что
Р (А) = 1 Р (А). или Р (А) = 1 Р (А).
Этим часто пользуются при решении задач (например, в случае,
если Р (А) подсчитать леrче, чем Р (А), или наоборот).
287 Зле:\lенты теории вероятностеи, КО:\lбинаторики
и статистики
- При м е р В ящике лежит 20 одинаковых шаров, 14 из них
синие и остальные 6 красные. Наудачу вынимают 4 шара. Какова
вероятность Toro, что шары разноцветные?
Нас интересует вероятность события А «вынули разно-
цветные шары.. Рассмотрим два события: К = <свынуты только
красные шары!) и С = .вынуты только синие шары!). Ясно, что
А = К U С и К n С 0. Так что Р (А) = Р (К) + Р (С). Но
с: С:..
р (К) = , р (С) = и потому
С: О С: О
6.5.4.3 14.13.12.11
+
1.2.3.4 1.2.3.4
20.19.18. 17
1.2.3.4
С 4 + С 4
Р(А)= б 14
С: О
6.5.4.3+ 14 .13. 12. 11 1016
20. 19. 18. 1 7 4845 '
р ( А ) = 1 Р ( А ) = 1 J016 = 3829 О 79.
4845 4845 '
Упражнения
642. Докажите равенство:
а) А = А;
в) А U В = А n В;
б)А\В=АПВ;
{') А n В = А U В.
643. На рисунках 155 157 изображена электрическая цепь.
Пользуясь событиями А, = «выключатель N, включен».,
запишите событие:
а) ток идет (рис. 155); б) ток не идет (рис. 155);
в) ток идет (рис. 156); {') ток не идет (рис. 156);
д) ток идет (рис. 157). е) ток не идет (рис. 157).
Nl ./ NЗ ::
· :у1
N2 , N4
Рис. 156
Nl /
N2 ,
Nl ./ NЗ
/
N2 , N4 ,
Рис 155 Рис. 157
288 Элементы теории вероятностей, КО'\fбинаторики
и статистики
э 20.
Независимость событий
Оп р е Д е л е н и е. События А и В данноrо опыта
называют кезавuсuм,ым,u, если
р (А n В) == Р (А) . Р (В)
11 При м е р. Двое стреляют по зайцу. Заяц подстрелен, если
попали оба. Они стреляют независимо дру!' от друrа. Какова Bepo
ятность Toro, что заяц подстрелен?
Введем событие А == . попал первый., причем известно,
что Р (А) == 0,7, и событие В == «попал второй., известно, что
р (В) == 0,6. Так как они стреляют независимо дру!' от друrа, то
события А и В независимы. Событие «заяц подстрелеНI) == А n В.
Следовательно
р (А n В) Р (А) . Р (В) == О, 7 . 0,6 == 0,42.
т е о р е м а. Если события А и В IlезаВИСIIМЫ, то
незаВIIСИМЫ и события А и В.
д о к а з а т е л ь с т в о. Из рисун
ка 158 видно, что А n В == В\(А n В)
(это событие на рисунке заштриховано).
Но А n В с В, и потому
р (А n В) == Р (В\(А n В» ==
== р (В) Р (А n В) == Р (В) Р (А) . Р (В) ==
== Р (В) (1 Р (А» == Р (В) . Р (А).
Теорема Д о к а з а н а.
\
Рис. 158
Упражнения
6441. Пусть А, В, С и D независимые события. Докажите неза
ВИСИ:\fОСТЬ событий:
а) А и В;
в) А U В и с;
б) А и В;
{') А U В и С U D.
645. Для электрических цепей (упражнение 643 из 19) най-
дите вероятности указанных событий, если выключатели
включаются независимо дру!' ОТ друrа с вероятностями:
Р (A 1 ) == 0,7; Р (А 2 ) == 0,4; р (Аз) == 0,9; Р (А 4 > == 0,6.
1 Приведенные сведения MorYT несколько примирить с принятым
определением независимости событий (которое у всех существует).
289 эле:\fеllты теории веРОЯТlIостей, КОi\lБИllаторики
и статистики
э 21.
Статистическое определение
вероятности события
в самом начале rлавы rоворилось о том, что вероят
ность выпадения rерба при бросании правильной '\fонеты положе
на равной! потому, что при MHoroKpaTHoM бросании монеты почти
2
в половине бросаний выпадает rерб (мноrовековой опыт иrроков).
В общем случае вероятность события тоже определяется из опыта.
Именно если в опыте может появиться событие А и этот опыт по-
вторили n раз, а событие А при этом появилось т раз, то полаrают
р ( А) = !!l. Это равенство тем точнее, чем больше п. Такой способ
п
нахождения вероятности события называется статистическим.
Исследования показали, что Р (А) отличается от т меньше чем
п
на Jп . Этот факт называют законом .JiI. Для разных ситуаций раз
работаны соответствующие процедуры уточнения оценок поrреш
ности равенства Р (А) = т .
п
В теории вероятностей рассматриваются опыты, в которых
для каждоrо события определена ero вероятность число
р Е [о; 1], характеризующее своеобразную, вероятностную, связь
ежду опытом и событием. Эти вероятности должны удовлетво-
рять двум основным аксиомам.
В задачах, предлаrающихся для решения средствами теории
вероятностей, должны указываться вероятности некоторых собы
тий. На практике эти вероятности берут из опыта статистиче
ский метод. Но есть еще возможность выявление равновероят
ных событий и rеометрические вероятности. И то и друrое опира
ется на интуитивное представление о том. что проводящийся опыт
ставит ряд событий в равные условия. Это вид назначения исход
ных вероятностей для решения задачи. Например, если совершен
но одинаковые шары лежат в урне занумерованными и мы выни
маем наудачу шар (не зная ero Ho epa), то у шара с номером 3 нет
преимущества на выемку по сравнению с шаром с номером 9. По-
этому события "вынут шар с номером 3)) и "вынут шар с HOMe
ром 9)) равновероятны, и нет никакой процедуры с большей фор-
мализацией понятия равновероятных событий.
Некоторое представление о решении хозяйственных задач
при помощи теории вероятностей показывает решение нижеизло-
женной задачи.
_ 3 а д а ч а В конторе работает 1 О сотрудников. В обеденный
перерыв они идут обедать в одну из двух столовых, которую выби
рают независимо друr от друrа. Сколько посадочных мест надо
сделать в каждой столовой, чтобы очереди были не так часты?
2 90 ле'\lеIIТЫ теории веРОЯТlIостей, КО"lБИllаТОРИIСИ
и статистики
Ясно, что при числе посадочных мест в обеих столовых,
меньшем 10, очереди будут ежедневно. Если этих мест больше 10,
то очередей не будет. И то и друrое неудовлетворительное хо-
зяйствование.
Решая эту задачу, разберем варианты.
1. В каждой столовой по 5 посадочных мест. Очереди не бу
дет, если в столовую М 1 пришли 5 человек (остальные 5 пришли
в столовую М 2). Подсчитаем вероятность TaKoro распределения.
Итак, рассматривается опыт «десять человек независимо дру!' от
друrа и с равными вероятностями выбирают для обеда столовую
М 1.. В этом опыте MorYT произойти события Ak = «в столовую
М 1 пришло k человек.. Нас интересует Р (A h ).
Воспользуемся классическим определением вероятности со-
бытия. Равновероятными исходами опыта будут любые сочетания
«из 10 по l., 1 = 1, 2, ..., 10. Таких событий C (при фиксиро-
ванном 1), а всех l этих событий п = 1 + Cio + С' 10 + C O + ... = 2"
(упражнение 641). Событию А5 блаrоприятствуют C O сочетаний
(<<из 10 по 5.). Поэтому
Р (A r :) = C O = 1 О . 9 . 8 . 7 . 6 = 63 !
о) 210 1.2.3.4.5.210 512 8.
Практически это означает (в соответствии со статистическим
определением вероятности события), что за 3 недели (15 рабочих
дней) только дважды ( 15. "" 2 ) рабочие пообедают без очередей.
2. В каждой столовой по 7 посадочных мест. Тоrда событию
А = «пообедали без очереДИI) блаrоприятствуют события Аз, А4' А5'
А6' А7' т. е.
Р (А) = Р (Аз) + Р (А 4 ) + Р (А:;) + Р (А 6 ) + Р (А.) =
с з с 4 с:; с 6 с 7
= + + + + = 393 => P( A ) ,
210 210 210 210 210 512 100
поэтому очереди будут около одноrо раза в 9 дней.
Упражнения
646. Опыт повторили п раз. Событие А произошло т раз. Найди-
те вероятность Р (А) и ее поrрешность д, если:
а) п = 25, т = 3; б) п = 100, т = 80;
в) п = 10 000, т = 6000.
647. Сколько надо сделать опытов, чтобы получить Р (А) с тремя
знаками?
648. Разберите в задаче из 21 случаи:
а) в столовых по 6 посадочных мест;
б) в столовых по 8 посадочных мест.
291 ЗлеI\lеllТЫ теории веРОЯТlIостей, КОI\lБИllаТОРИltи
и статистики
1.
2.
3.
4.
5.
6.
VI
Задачи на повторение
I I I
rлава
э 1.
Действительные числа
1. Рациональные и иррациональные числа
Верно ли утверждение:
а) если натуральное число делится на 6, то оно делится на 3;
б) если сумма двух чисел четное число, то каждое слаrае-
мое четно;
В) если произведение двух чисел равно нулю, то каждый
множитель равен нулю;
{') если куб HeKoToporo числа делится на 8, то это число
четно?
Докажите, что сумма трех последовательных натуральных
чисел делится на 3, а их произведение на 6.
К числу 523 допишите две цифры справа так, чтобы полу-
ченное пятизначное число делилось на:
а) 3 и 5; б) 8 и 9.
Докажите, что число 1056 1 делится на 3 и 11
В двузначном числе цифра единиц на 2 больше цифры десят-
ков. Само число больше 30 и меньше 40. Найдите это число.
Докажите, что если дробь !! несократима, то несократима
Ь
и дробь .
а+ Ь
7. Докажите, что:
а) lal = I al; б) х Ixl; в) Ixl 2 = х 2 .
8.
Найдите значения выражений (8 9).
2.75: 1.1+ 31
а) 3 ·
2 5 O 4. ( 3! ) ,
" 3
в) (1'4 3,5 : 1 ) : 2,4 + 3,4 : 2 ;
3 1 : 1 О + О 175 : J.....
3 20
1 1!!. 51
4 1 7 56
1+!.
{') 2 0 ,25
6 46
1 + 2,2. 10
б)
292 Задачи на повторение
9. а) 0,52 0,5 б) 1,22 1,82
0,42 + 0,12 + 2.0,4.0,1 ; 1,2. 0,2 1,2 - 0,8 '
в) 0,62 + 0,12 2 - 0,6-0,1 {') ( 1 J ( 4 2,4 ) : .
1,5 1,52
10. Укажите верные цифры в записи приближенноrо значения
числа:
а) 3,82:1: 0,1;
В) 7,891 1: 0,1;
б) 1,980. 104 :1: 0,001 . 104;
{') 2,8. 10 4 1: 0,3 . 10 4.
11. Пользуясь формулой (1 + х)n 1 + nх, вычислите прибли
женно:
а) 1,0025; б) 0,9974; в) 2,004 З ; {') 3,015.
12. Известно, что а 11,5, Ь 3,8. Найдите приближенное 3Ha
чение выражения: а) а + Ь; б) 3а Ь; в) аЬ; {')
ь
13. Запишите в виде обыкновенной дроби:
а) 2,(3); б) 0.(66); в) 1.0(8); {') 1.(33).
14. Докажите, что не является рациональным каждое из чисел:
а) J5; б) 2 -17; в) J5 + 1; r) .J7
3 .
15. Верно ли, что сумма (произведение) чисел а и Ь является pa
циональным (иррациональным) числом, если:
а) а и Ь рациональные числа;
б) а и Ь иррациональные числа;
В) а рациональное, а Ь иррациональное число?
16. Найдите с точностью до 0,01:
а ) J2 + . б ) J5 . В ) J3 + . r ) .J 6 .
9' 7' 6' 11
17. Расположите числа в порядке возрастания. Укажите, какие
из них являются рациональными, а какие иррациональ
ными числами:
а) ,,3 ; 2; 1.7; ;
3
В ) О ( 2 ) . 1. .J5 .
, · 6' 2'
Сравните числа (18 19).
18. а) и ;
Ig.!. 19.!.
2 2
в) lоgз 7 и log73;
19. а) 151оgзl0 и 1010gз15;
в) sin 2,1 и sin 7,98;
б) log2 3; 1; ; .J5;
1') е; 1,(6); Ло; 19100.
б) (J5 + 2) и 17;
1') (J7 + 3) и '/31.
б) (-J2 + ./3) и ("'30 ,,3);
1') (18 + Jб) и (JЗ + М)
193 3a;J;a чи lIa повтореllие
20. Докажите рациональность числа:
) .J3 +.J2 2 (7 6 .
а JЗ J2 ..J,
3 2
б) (.J2 + 1) 2 + (1 J2)2 (Л + 1) ( J7 1);
в) .J7 +.J5 JЗ5;
.J7 J5
{') (З.J18 + 2 .J8 +4 .J5Q): .12.
2. Проценты. Пропорции
21. Найдите число х, если: а) х составляет 2,50/0 от 320; б) 2,50/0
числа х равны 75; в) х равен числу процентов, которое со-
ставляет 2,8 от 84; {') х составляет 140(Х) от 35.
22. За 1987 {'. выпуск предприятием продукции возрос на 4(Уо,
а за следующий {'од на 8(Х). Найдите средний ежеrодный
прирост продукции за двухлетний период.
23. Из данных четырех чисел первые три пропорциональны чис-
лам 5, 3, 20, а четвертое число составляет 150/0 TpeTbero.
Найдите эти числа, если второе число на 375 меньше суммы
остальных.
24. За осенне-зимний период цена на овощи возросла на 25%.
На сколько процентов следует снизить цену весной, чтобы
летом овощи имели прежнюю цену?
25. Найдите неизвестный член пропорции:
а) 12: = х : :6 ; б) х : ( 0,3) = 0,15 : 1,5;
0,13 26 х 6,2
в) х = 3.!. ; r) 2,5 15.
з
26. Решите уравнение:
x 2 6
а) = ;
2,5 х
б) = 4,8 ;
х + 5 1,2
в) x 3 = 6,5 ;
x 2 1,5
4 x 5
{') 1:2 х+ 3 .
27. Через точку Е стороны АВ треуrольника АВС проведена пря-
мая, параллельная стороне АС. Найдите:
а) отрезки, на которые прямая делит сторону ВС если
АВ = 22,5 см, АЕ = 18 см, ВС = 15 см;
б) площади фиrур на которые делится треуrольник АВС,
если АВ = 7,5 см. АЕ = 5 см.. а площадь треуrольника АВС
равна 72 см 2 .
294 dадачи на повторение
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
з. Проrрессии
Найдите сумму 20 членов арифметической проrрессии, если
первый ее член равен 2, а седьмой равен 20.
Между числами 4 и 40 найдите такие четыре числа, чтобы
вместе с данными они образовали арифметическую проrрес
сию.
Докажите, что числа 1 , 1 , 1 являются тремя
lоgз 2 log6 2 log 12 2
последовательными членами арифметической проrрессии.
Сумма первоrо и пятоrо членов арифметической проrрессии
равна 26, а произведение BToporo и четвертоrо ее членов рав-
но 160. Найдите сумму шести первых членов проrрессии.
Упростите выражение (а с)2 + (Ь с)2 + (Ь d)2 (а d)2,
если известно, что числа а, Ь, с, d, взятые в указанном по
рядке, составляют rеометрическую проrрессию.
.J2+1 1 1
Докажите, что числа .J2 ' и образуют rеометриче
2 1 2 Л 2
скую проrрессию.
Четвертый член rеометрической проrрессии больше BToporo
на 24, а сумма BToporo и третьеrо равна 6. Найдите первый
член и знаменатель проrрессии.
Найдите число членов конечной rеометрической проrрессии,
у которой первый, второй и последний члены соответственно
равны 3, 12 и 3072.
Знаменатель конечной rеометрической проrрессии равен !,
3
четвертый ее член равен ,a сумма всех членов 121 . Сколь-
54 162
ко членов в этой проrрессии?
Найдите четыре числа, из которых первые три составляют
rеометрическую проrрессию, а последние три арифмети-
ческую, если сумма крайних чисел равна 14, а сумма сред-
них 12.
Найдите знаменатель и сумму бесконечно убывающей {'ео-
метрической проrрессии, в которой Ь 1 =.jЗ, Ь 2 ../32 .
3 + 1
Сумма первых трех членов бесконечно убывающей rеометри-
ческой проrрессии равна 10,5, а сумма проrрессии равна 12.
Найдите ее первый член и знаменатель.
Три числа. каждое из которых является степенью с основа-
нием а (а > О, а 1), составляют rеометрическую проrрес-
сию. Докажите, что лоrарифмы этих чисел составляют ариф
метическую проrрессию.
295 За a чи на повторение
2.
Тождественные преобразования
4. Преобразования алrебраических выражений
41. Разложите на множители:
а) а 2 + Ь 2 + 2а 2Ь 2аЬ;
в) а 6 8;
б) х З + (у 1) х + у;
1') х 4 х 2 (у2 + 1) + у2.
42. Докажите, что:
а) п 4 + 2п З п 2 2п делится на 24, если п Е N;
б) (п 2 + 4п + 3) (п 2 + 6п + 8) делится на 24, если п е N;
В) п З п делится на 6, если п е N;
{') п З 4п делится на 48, если п Е N, п четное.
43. Сократите дробь:
аЗ + а 2 а 1
а) а 2 + 2а + 1 ;
х 2 + х 12
б) ,
х 2 + 8 х + 16
2а 2 5a + 2
В) аЬ 2 Ь 3 а + 6 '
х З 27
r)
х 2 у+ Зху+9у.
Упростите выражения (44, 45).
44 а) ( т + п 4тп ) : ( 2тп 1;
т+п т+п п т т2 п2)
аЗ + ЬЗ 2 Ь Ь
б) :(a2 b2)+ а ;
а + Ь а + Ь а 2 ь 2
B)( 8 ) . x2 2X + X+8 .
х 2 4 х 2 + 2 х 4 х х + 2 '
r) ( с 2 + c + 2 + с 2 + CC + 3 + с 2 + c + 6 J
( r 3)2 + 12 с
2
45
a) ( 2 .. ) . 4у2 .
2x у 2х+ у 2x 5y . 4х 2 у2 '
б) ( 3 + 4 + 2 а J . ( 3 ) ..1 а 12 .
a 3 a2 5a+6 a 2 . 2а+l 3(3 a)'
( хЗ 8 ) 2 1 Х 1
в) +2x .(4 x) ;
x 2 2 x
k 2 9 k 2 27 + k З ( k 2 )
{') . + : 3 + .
3+k k2 3k 3 k 3 k
296 3а ачи lIa повтореllие
5. Преобразование выражений,
содержащих радикалы и степени
с дробными показателями
46. Освободитесь от иррациональности в знаменателе:
) .J2 . б) JЗ . ) 2. ) 3
а rn r;:' (;: m' в , l' '" m.
",3+",\> ,,5 ,,2 '\,15 ...,7+",2
47. Выч ислите:
а) (.J5 2,5)2 V (I,5 .J5)З 1;
б) (5.JЗ+J50)(5 .J24) ;
J75 5.J2
В) ( J (-J2 1,5)2 Зj (l .j2)З ) 2 + 0,75;
2f6 20 J
1') J5 .J24 . (11 + 2 v 30 ).
2 5 + 24
48
49.
Упростите выражения (48 51).
а) ( a+2 + ) . .Jй .J2 .
J2a .J2a+2 a Ea а+2'
2
б) ( a.fй + b.Jb J"izb ) ( .fй + .Jb ) ;
.Jй.+JЬ a b
в) ( 1 + 1 ) . ( 1+ fP+1 ) .
JP+ Jp+ 1 fP .Jp 1 . H'
1') ( .fё ) 2 ( .JC 1 JC + 1 )
2 2.Jё .Jё+l .fё I.
а) ( Jk ifk3 + l J 1 ifk3 + Jk ;
Vk+l Л 1
б) ( ( Ja + JЬ)2 (2 JЬ )2 .Ja .Jb ) . 32 Ь JЬ .
a b .Ja+JЬ . .Ja+.Jb'
в) ( VXЗ ifY" (VX+VY) )( 4 +I ) ;
1% JY Vy
ы + .J аь 2 .J а 2 Ь .JЬ3
1')
'VЬS + Va 4 b ab4 Va 5 .
297 За -.а чи lIa повторение
х О .5 + 1 2
+ .
x l .5 1 x o.5'
50.
а)
x 1
I
х+ х 2 + 1
б) [ а Ь аЬ J 1 : (аЬ) Ь ;
.!. !. a b
а + а 2 Ь 2
( I l' 1 ( 3 3
В ) l 2 х + х 2 у2 J I . l х2 у2
3 I I
Х x x2y2
x у 1.
I I J ,
х2 + у2
( 1 c 2
{') l
c с
2ci C 2 C ] (1 2 J 2
+ . +
с 2 .!. !. с 2
c2 c 2
51.
а)
752 4
...... .....
а 3 2 а 3 Ь 3 + аЬ 3
5 -. I 2 2
.... ..... .....
а 3 аЗ Ь 3 аЬ 3 + а 3 Ь
1
. а 3;
( 2 ( х у ) 1 y х .
б) lx y X y X YJ: x y '
I !. 1
c l c 2 +c. t
в) . с" + 1;
3 I I
C I +C 2 с2 + 1
з (аЬ) 3 Ь (а Ь i)" + 2 а: + Ь:
{') а Ь + 3 3
а 2 + Ь2
6. Преобразования триrонометрических
выражений
Упростите выражения (52, 53).
52. а) t g 2 а sin 2 а tg 2 а sin 2 а;
б) sin2 (3 (1 + ctg (3) + cos 2 (3 (1 + tg (3);
В) (3 sin а + 2 cos 0.)2 + (2 sin а 3 cos 0.)2;
cosp tg Р
{') . 2 ctg Р cos р.
Sln р
298 3а,1.ачи lIa ПОВТОРСIIИС
53 а) 2 tg а. tg (а. п) + ctg ( 3 2 п а. ):
tg ( a )
sin( a) ;
б) + cos а .
sil1 ( It О. ) ctg о. sil1 ( + о. )'
tg ( It 1\ ) cos ( п 1\) tg ( 1\ ) .
в)
sil1 ( i 1\ ) ctg ( i + о. ) tg ( 3 2 п + о. ) ,
tg ( 3п + а ) SiJl 3л SiJl 16л соз 13л
r) 2 2 9 18
ctg (п а) cos 5л SiJl llл cos 2л
18 9
54.
Докажите тождество (54, 55).
а) tg ( а + р ) tg а tg Р А
= tg ..,;
tg а tg ( а + В)
в) cos ( а + р ) + cos (а р ) t
= с g а;
sin ( а + р ) + sin ( а Р)
1 cos2a + sin2a
б) = tg а;
1 + cos 2а + sin2a
sin а sin 3 а t 2
1') = c g а.
cos а cos 3 а
55. а) + cos a. = cos : при 1t < а. < 2п;
б) ' 1 1 ! !cos2a =-12 cos ( a ) при П<а < 3п .
V '1 2 2 4 2 2'
в) I ! +! I ! +! cos2a = cos а при 3л < о. < 2п;
'V2 2 V 2 2 2 2
1') 1 + J ! ! cos о. = 12 cos ( !!. а ) при 3п < О. < 2 п.
2 2 4 4 2
56. Докажите справедливость равенства:
а) cos cos 4 п cos 5л = !;
7 7 7 8
б) tg 20° 4 sin20° sin500= 2 sin200;
в) 1 4 sin 70°= 2;
sin 100
1') cos 200 + 2 sin 2 550 J2 sin 650 = 1.
57. Докажите справедливость неравенства:
а) tg х + ctg х 2, если О < х < ;
2
sil1 ( + о. )
б) 3 + 2 sin Q 2 з.
sin ( .2!.... + а ) sin ( 5 л а ) 2 v,
12 4 12 4
299 3а;хачи на повторение
58.
59.
60.
61.
62.
в) (1 + sin <1> + cos <1» (1 sin <1> + cos <1» (1 + sin <1>
cos <1» (sin <1> + cos <1> 1) < 1;
{') 2 sin 4а sin 2а + cos 6а 1.
Вычислите (58, 59).
а) cos 4 а + sin 4 0., если sin 20. = ;
3
1 2 sin 2 а
б) 2 если tg а = т;
1 + sin а ' 2
) . t 1
в cos а, если Sln а g а = 2";
{') sin а, cos 2а, cos а , если tg а = J2,
2 2
а) Ig tg 1 о + Ig tg 20 + ... + Ig tg 890;
б) Ig tg 1 о . Ig tg 20 . ... . 19 tg 890.
Сравните число с нулем:
а) Ig sin 320 . 19 cos 70 . Ig tg 400 . Ig ctg 200;
б) Ig tg 20 + 19 tg 40 + 19 ctg 20 + 19 ctg 40.
Jt < а < .? ;
2
Найдите сумму tg 2 =- + tg 2 !!. + tg2 , если
222
а Ь с О
cosx = , cosy = , cosz = , а + Ь + С;I; .
Ь+с с+а а+Ь
7. Преобразования выражений,
содержащих степени и лоrарифмы
Сравните числа (62, 63).
а) з100 и 4 ЗОО ; б) log5! и 7 10gз 1;
в) 5200 И 2500; {') log4 12 и lоgз .
81
а) lоgз 2 + lоgз 7 и lоgз (2 + 7);
б) log4 5 log.. 3 и log4 (5 3);
в) 3 10g7 2 и log7 (3 2);
{') lоgз 1,5 + lоgз 2 и lоgз 1,52.
64. Упростите выражение:
! ! 1о, 9 4
а) 814 2 + 2510g125 8;
63.
.!. 10 а
б) 24 1о, I а 52 g J5 а о .
65. Запишите число в виде десятичной дроби:
! log65
а) 491 log72+5; б) 362 +2 log210.
300 3а,:\ачи на повторение
66. Найдите значение выражения:
а ) Ig8+ Ig18 .
21g2 + Ig3 ' б) 2 lоgо.з 3 2 lоgо.з 10;
в) 3 Ig2 + 31g 5 .
, {') (2 log12 2 + log12 3) (2 log12 6 log12 3)
Ig13 Ig130
67. Пролоrарифмируйте по основанию а выражение:
а) 25Ь 3 W при а = 5;
б) 0,0016 ь 4 О 2 Ь > О > О
при а = , , ,с.
с 'fk2
68. Найдите х, если:
а) log4 х = 2 log4 10 + log4 81 log4 125;
4 3
б) 10gl Х =! logl 16 Iogl 8 + 10gl 28.
2
з з з 3
69. Вычислите при помощи таблиц:
7,832. V12,98 102,з2
а) 2 ; б) .
5,256 l,14 .6,341
70. Упростите и найдите приближенное значение выражения
lоgз 2 . 10g4 3 . logs 4 . log6 5 . ... . 10glO 9.
71. Известно, что log 2 (,(3 + 1) + log2 сJб- 2) = А.
Найдите сумму log2 (13 .. 1) + log2 (,/"6 + 2).
э 3.
Функции
8. Рациональные функции
72. Одно основание равнобедренной трапеции равно боковой сто-
роне, уrол при основании 300. Задайте формулой:
а) площадь трапеции как функцию боковой стороны;
б) периметр трапеции как функцию ее высоты.
73. Боковое ребро правильной треуrольной призмы равно CTOpO
не основания. Задайте формулой:
а) объем призмы как функцию стороны основания;
б) площадь боковой поверхности призмы как функцию объема.
74. Материальная точка. двиrаясь прямолинейно, совершает
rармонические колебания. Задайте формулой:
а) координату точки как функцию времени;
б) скорость точки как функцию времени
301 3а 1ачи на повторение
8,К:М
10
40
80
20
о
1
2
з 4
Рис. 159
5
б
1 t, ч
75. На рисунке 159 изображены rрафики движения двух тури.
стов, которые вышли одновременно навстречу друr друrу из
пунктов А И В.
а) В какое время туристы прибыли в пункты А и В?
б) Сколько времени был в пути каждый из них?
в) В какое время каждый турист прибыл к месту остановки?
{') Сколько времени каждый из них отдыхал?
д) с какой скоростью двиrался каждый турист до остановки
и после нее?
е) Какова средняя скорость движения каждоrо туриста?
76. По rрафику функции (рис. 160) ответьте на вопросы:
1. Каковы промежутки возрастания функции?
2. Каковы промежутки убывания функции?
3. Назовите точки максимума и минимума функции. Какие
значения принимает функция в этих точках?
4. Каковы наибольшее и наименьшее значения этих функ-
ций на отрезке [ 2; 2]?
5. В каких точках функция не является непрерывной и Ka
ковы значения функции в этих точках?
6. На каких промежутках функция непрерывна?
7. Какие из этих функций четные и какие нечетные?
77. Найдите область определения функции:
а) х 2. б) х 2 .
y , y ,
х 2 + 2 х 8 х 4 1
х 2 1
в) У = ; {') у = х
x4 9x2+20 зх2 5х+4
302 3а ачи на повторение
I I I I Y r- -т-:r I
I I I I 3 I
I I I I I
I"12 ) I
" t ' . 1 I I '
V tl l I 't
5 ' 4 з 2 1 О _ 1 I 2 I 3 _ I 5 I
I III I I I I I I III I I III
I I I I I I I
,.
х
I
а)
б)
1:1
,2
11
1
4t 5 4 з 2 l l O 1
I I I I I I 1
I I I I I I
':
..
1
2 3 4 5 u
х
в)
I '+ Y lFШт
1 2
I I I I '
,.
...{i. 3 2 1 О . 1 I 2 I 3. 4 . б ,.
х
I 1 I I I I I I
I I I
I I I I I 1
r)
Рис. 160
303 адачи на повторение
78. Найдите промежутки непрерывности функции:
x 4 4
а) y= ; б) y=x2+ ;
х З х х 1
79.
в) y= ;
2 х
1
{') у = .
Зх З 2x2 + 5
(нечетность) функции:
б) У = 5 х 3 .
1 х 2 '
{') у = Ixl+ 2 .
х 2
Докажите четность
а) у = х З 3х;
в) у = х 4 (х 2 + 2);
80. Найдите промежутки знакопостоянства функции:
x 1 x2 4x 5
а) у = з х ; б) У = 9 х 2
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
2x 3
В) y=I ;
5 x
{') у = 2х2 5х + 2.
Найдите про:межутки возрастания (убывания), точки макси-
мума и точки минимума функции:
а) у = 4 х 2 + 3 х 1; б) у = 1 ;
х
х+4
В ) У = ( Х 1 ) .1 2 , . {' ) У
= x 1 .
Исследуйте функцию и постройте ее rрафик (82, 83):
а) у = 3х 5; б) у = 2х2 7 х + 3;
в) у = 2 ! х; {') у = 12 4х х 2 .
4
а) у = 2 ; б) у = (х 2)3 1;
х+l
х 4 + 1
в) y= ;
х 4
{') у = 4 (х + 2)4.
Постройте rрафи!< каждой из функций (84 86).
а) у = 3х 2; б) у = х 2 4х 5; в) у = .! 1; 1') У = х З + 2.
х
а) у = 3х + Ix 1; б) у = l x2 Х + 21;
в) у = 2х 1 х 31; {') у = х 2 4 1 х 1 + 3.
a)Y :ll ; б)у х +2; B)y= lx 2 ;
2 х З 1
1') У =
х З
Имеют ли общие точки
а) у = х 2 И У = х + 6;
rрафики функций:
3
б) У = и у = 4 (х + 1);
х
{') у =...!... и у = х 2 2?
х 2
в) у = х 4 И У = 2х2 + 1;
304 Задачи на повторение
88. Докажите, что уравнение И'\1еет корень, при надлежащий за
данному промежутку 1:
а) х З 6х + 2 = о, 1 = [о; 1];
б) х 4 зх 2 + = О, 1 = [1; 2];
9
в) х 5 + 3 х = 5, 1 = [1; 2];
1') 4 + 2х З х 5 = О, 1 = [ 1; 2].
х
х
а)
б)
о
х
х
в)
r)
х
о
х
д)
е)
Рис. 161
305 3аТj.ачи lIa повтореllие
Решите rрафически уравнения (неравенства) (89, 90).
89. а) 4 3х (; х + 2; б) х 2 2х = x;
в) .! = 4 х; {'} х 2 + 2 х + 2 х + 1.
х
90. а) х З = ; б) 11 х 1 = 2 I х 1;
x ]
в) х З =].; {'} 1 х 11 = 3 1 х 1.
х
91. rрафик функции у = ах + Ь проходит через точки А (2; 1),
В (5; 10). Найдите а и Ь.
92. По rрафику квадратичной функции (рис. 161) определите
знаки коэффициентов а, Ь, с и дискриминанта п.
93. Может ли линейная или квадратичная функция быть:
а) четной; б) нечетной; в) периодической?
94. Представьте функцию в виде суммы четной и нечетной функ-
ций:
х+l
а) y=lXТ; б) у=хЗ хlхl+3;
х З + х 2 Х
в) ; {'} у = 2х 5 + х 4 3х + 8.
х 4 1
95.
Является ли четной
или нечетной функция:
б) у = 4х 5 2х З + х;
2
{') у = з ?
х
а) у = 5х 6 2х2 3;
в) у = + 1.
х 2 '
9. Триrонометрические функции
Найдите область определения каждой из функций (96, 97).
а) у = 2 ; б) у = 1. ;
cos 2 Х 1 + 2 sln2x
96.
В) У = .JЗ ;
.J3 cos x
2
{') у = х
sin cos
2 2
б) У = .JX tg х;
{') y= .Jsinx + .Jcosx .
97.
r .
а) у = v S1nx cosx;
в) у = -J sin 2 х cos 2 х;
Найдите область значений каждой из функций (98 99).
98.
а) у = 1 3 si n ;
2
В) У = 2 + 3 cos 5х;
б) у = 2 cos х tg х;
{') у = 2 1 sin х 1 1.
306 3а ачи lIa повторение
99. 1 б) у = .J l cos 4х;
а) у = . ;
1 + sln2x
в) у = 3 ; 1') У = tg х + ctg х.
cos Х 1
100. Найдите промежутки знакопостоянства функции:
а) у 3 cos ( х + ): б) У = 1 tg 3х;
в) у = 1 .J2 sin !; 1') У = 1 + 2 cos 2х.
2
101. Какие из данных функций являются четными, какие нечет-
НЫ:\fИ:
Постройте rрафики
105. а) у = 2 sin 2 i;
в) у = 1 + 2 cos 2 х;
I х I sin х
106. а) у = ;
х
в) у = cos х + 1 cos х 1;
107. Исследуйте функцию
а) у +sin ( Х = ):
В) У 1 + cos ( Х ):
102.
103.
104.
Sill Х соз 2 Х
б) У =
а) у = tg Эх ctg Х ;
2
х З Х .
В) У = sin ; 1') У = SlnX cosx?
х2 1 Х
Среди данных функций укажите периодические и найдите
наименьшие положительные периоды таких функций:
а) у = 1 sin 5х; б) У = х sin 2 х х cos 2 х;
В) Y 3tg( ): r) y (sinx+cosx)2.
Найдите промежутки возрастания (убывания). точки "aK
симума точки минимума функции:
а) у = 1 + sin ( Х = ): б) У = 1 :os х ;
В) Y O,5cos(i 2X): r) у Jl s ш2;.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (если
они существуют):
а) у = cos 2х + sin 2 х;
в) у = sin х cos х;
х
б) У = 1 4 sin 3х;
{') у = 1 + 1 tg х 1.
функций (105. 106).
б) У = J 1 COS 2 х;
r) у sin ( Х i ) 2.
б) у = (sin х COS х)2;
{') у = sin х ctg х.
и постройте ее rрафик:
б) у l tg ( i ):
{') у = 1 tg 2х.
307 Задачи на повторение
109.
Известно, что ХО корень уравнения sin = х З . Следует ли
10
отсюда, что число ( Xo) является корнем этоrо уравнения?
Сравните числа:
а) sin ( It + ) и cos ( п + ): б) tg п 2 И ctg п 2 ;
108.
в) tg 2 и ctg 2;
110. Докажите:
а) sin а + cos а > 1, если О < а < .!!.;
2
1') sin 1 и cos 1.
б) cos (sin а) > О, а Е R.
111. Решите rрафически уравнение:
а) sin х = x; б) tg х =.J2 cosx, i <х < ;
в) tg х = х, < х < ;
{') cos х = 1 х 2 .
10. Степенная, показательная
и лоrарифмическая функции
Найдит е область определения каждой из функций (112 114).
112. а) у = .J 16x х З ; б) у = 1 ;
хЗ +8
В) У V 5 x ; {') 1
У .
.J х 2 + х 20
113. а) у = .J x 2 . 3.\' з.\'+1; б) у = flJ 2 sin.\' 1 ;
В) У = lоgз (4 3x + х 2 ); {') у = log2 sin х.
114. а) J х 2 5 х + 6 б) у = .J log 5 cos х;
y .
,
19 ( х + 1 О )2
в) ln(3x 2) {') у = 4.J lg (зх 2 2x).
y .
,
х 2 Х 2
Найдите область значений каждой из функций (115, 116).
115. а) у = 2 .[;+ 1; б) y=52 .\' I;
в) У = 2 Ig х + 1; {') у = зх 2.
116. а) у = 2 СОЗ .\'; б) у = 2 4J;;
в) y=I+!10g2 x !; {') у = 1 + ! !.
308 ,--Jадачи на повторение
Найдите промежутки знакопостоянства каждой из функций
(117, 118).
117. а) y=( Y' 4;
в) У = 2 3 Х ;
118. а) y=4x+2 4X;
в) у = .JX + 3;
б) У = I og 4 (х + 3);
{') у = JX 4.
б) у = 19 (х 2) 1;
1') У = 2 3JX.
Найдите среди данных функций четные инечетные (119,
120).
119. а) у = 5 Х + 5 X;
в) у ( )2" ;
б) у = Ig (1 х 2 );
1') У = х 3JX.
2
120. а) у = х З ; б) у = 3 Х 3 X; в) у = 2cOS Х; {') у = l!J х" + 1.
121.
Исследуйте функцию
а) у = 2 Б 1;
в) у = log 2 (х + 1);
и построите ее rрафик:
б) у = 4 Х 1 2;
1') у = 3.J х 2 + 1
Постройте rрафики функций (122, 123).
122. а) у = .J х 2 + 1; б) е)". 1
y .
з '
в) у = 2 3.J х + 1 ; r) у = 1 + 10g2 (х + 2).
123. а) у = 51015 (x 1); б) у = Ilog 1 х I 1;
2
в) y=2 Ixl ; 1') У = log2 х 2 .
124. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (если
они существуют):
а) у = .J 36 х 2 ;
в) у = з siп Х;
125.
Решите rрафически
а) log 1 Х = Х 3;
2
в) 10g2 х = 25 x;
{ при О х 7,
б) у = х+ 1
х З + 1 п ри 2 х < о;
{ (х 1)2 при 1 <; х < 1
1') У
10g2 Х при 1 <; х <; 8.
уравнение:
б) Jx 2 = ;
х
1') 2Ixl=11 lxl.
309 3а1аЧJf на повторение
126.
Решите rрафически
а) log 1 Х > Х 3;
2
В) 2 lxl х 2 + 1;
неравенство:
б) .J х 2 ;
х
r) log 1 х > 2 х 7 .
з
127. Докажите, что равны наибольшие значения функций
у = (log2 з)san х и у = (lоgз 2)COS Х.
128. Найдите значение aprYMe HTR хо' если:
а) {(х)= .J l x2, {(xo) O;
4х+l
б) {(х) = 19 (х + 15) + Ig х, {(х о ) = 2.
129. Докажите, что:
а) функция {(х) = ( у< + 1 убывает на множестве В;
б) функция f (х) = log2 3х возрастает на промежутке (о; 00).
э 4.
Уравнения, неравенства,
системы уравнений инеравенств
11. Рациональные уравнения инеравенства
Решите уравнения (130, 131).
130. а) 3 (х 2) 5 = 4 (5х 1); б) 12х 3 I = 5;
в) 7 2 (3 х) = 4 (х 1) + 5; 1') 14 3xl = 2.
131. а) 3х+ 1 =2 4(х З) ; б) 1 x 3 + 5 1 =4;
5 15 2
в) I X;3 x 3(5;2X) ; r) Il X;2 1=5.
132. При каких значениях а данное уравнение:
а) ах 2х = 3 (х 1); б) а (1 х) + 2 = 3х ах;
в) х (2 а) х = 5 + х; {') 5 + 3 (х + 3а) = 9а + 5
имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бес
конечное множество решений?
Решите неравенства (133 135 ).
x 1
133. а) 2""""" + х < 1,5х + 3,5;
в) х 4 (3 х) 2х + 7;
5x 2 3 x
б) >1;
3 2
2 3x
{') 3 + 2 х.
4
31 О Задачи на повторение
134. а) 14х 31 < 5;
В ) 1 х 71 2.
3 '
135. а) 12 x з1 > о;
х
б) 12х + 51 1;
{') 4 12 xl 12
в) (х 4)15 зхl<0;
б) х + 2 о.
1 х+ 4) ·
1') 12х + 71 (3 х) о.
136. Решите уравнение:
а) х 2 + 2х 15 = о;
в) (х 3) (х 2) = 6 (х 3);
б) 7 х 2 + 5х = о;
1') х 2 llх + ! = о.
6 2
137. При каком значении а имеют общий корень уравнения:
а) х 2 ах = О и х 2 Х 3а = о;
б) х 2 (а 1) х = 3 и 4х 2 (4а + 3) х + 9 = о;
в) х 2 + ах + 8 = О и х 2 + х + а = о;
{') 2х2 + (3а 1) х = 3 и 6х 2 (2а 3) х = 1?
138. Найдите значения k, при которых имеет один корень ypaB
нение:
а) (k 1) х 2 + (k + 4) х + k + 7 = о;
б) 9х 2 2х + k = 6 kx;
в) (2k 5) х 2 2 (k 1) х + 3 = о;
1') 3kx 2 6х + k 2 = о.
139. Не решая уравнения 3х 2 5х 2 = о, найдите:
а) сумму ero корней; б) произведение ero корней;
в) сумму квадратов ero корней; 1') сумму кубов ero корней.
Решите уравнения (140, 141).
140. а) 6x х 2 6 2x 3 = 1; б) 2х+l + = 5;
x 1 x 1 х 2х+l
в) 2 + 3 = 15 . 1') + 3 = 5
х 2 + 5 х 2x 10 х 2 25 , х 2 4 (2 х)2 ( Х + 2)2
141. а) + = 2. б) 2х 4 5х 2 + 2 = о;
х 2 + 4 х 2 + 5 '
в) ( х: 1 J 3 ( х: 1 ) + 2 = о; {') х 2 + 1 х
+ =2,5.
х х 2 + 1
Решите неравенства (142 144).
142. а) 2х 2 + 6х + 17 > о; б) х 2 3,2х < о;
в) (3х 2)2 4х (2х 3) о;
1') (6х 1) (1 + 6х) + 14 < 7 х (2 + 5х).
311 3а;J;ачи на повторение
( х 1) ( х 2) ..... О . ,
143. а ) ,
x 3
x 2
в) < о;
(x 3)(x 5)
б) х 2 + 2 х 3 о.
х 2 2 х + 8 '
х 2 +5х+4 О
{') > .
х 2 5x 6
144. а) (х 1) (х + 2) (х 3) (х 4) о;
4 x 1
в) x 5 > l x ;
б) х 4 зх 2 + 2 о;
{') 1 + < 'i
х 2 х
145. Докажите справедливость неравенства:
а) т + ;;, 4 при т > о; б) 2т <; 1;
m 1+т 2
в) + 2 при а > о, Ь > о;
ь а
а а+ с
{') < при а > о, Ь > о, с > о, а < Ь.
Ь Ь+ с
12. Иррациональные уравнения инеравенства
Реш ите уравне ния (146 149).
146. а) .JX2 + 2х + 10 = 2х 1;
в) ..) 1 7 + 2 х 3 х2 = Х + 1;
б) /7=1 6 =x2 22;
{') J x2 + 9 = х 2 11.
147. а) JX+17 .Jx 7 =4; б) 12 ,Jх I ;tх I =З;
в) ,J х + 7 + .J х 2 = 9; {') 2 3j х + 1 б-J х + 1 = 6
148. а) JX d+x + .J2 + х = о; б) JX + VX 2 = о;
2+ х
в) x Jx+ 5 1. {') V' 3x + 1 .J ЗХ + 1 = о.
,
х+ .Jx+5 7
149. а) .J 225 + х 2 = х 2 47; б) х 2 = х 2 ;
в) .J x 2 + 36 = х 2 54; {') V хЗ 5х2+16х 5 =x 2.
Решите неравенства (150, 151 ).
150. а) .J х 2 5 2; б) .J(x 2)(1 2x) > 1;
в) J х 2 16 ;) 1; {') (Б з)(х2 + 1) > о.
151. а) .J x 2 6x + 9 > 3; б) J х 2 2 х + 3
о;
2 х 2 + х + 1
в) .J25 2 0х + 4х 2 <; 1; {') .J 2x х 2 + 15 (3х х 2 4) <; о.
312 Задачи на повторение
1 з. Триrонометрические уравнения
инеравенства
Решите уравнения (152 158).
152. а) COS Х + 2 cos 2х 1; б) 4 sin 2х 3 sin ( 2 Х ) = 5;
в) 2 cos 2 Х + 4 cos х = 3 sin 2 х;
1') cos 2 Х + 4 sin 2 х = 2 sin 2х.
153. а) sin З х соs З х = 1 + sin2x ;
2
б) cos ( = + Х ) + cos ( Х ) = 1;
В ) COS4 Х sin 4 х = 13 .
2 '
r) sin ( + Х ) sin ( ; Х ) = 1.
154. а) cos 4х + 2 cos 2 Х = 1; б) 4 (1 + cos х) =3 sin 2 CoS X ;
2 2
в) cos 3х + sin х sin 2х = о; {') 4 (1 cos х) = 3 sin.! cos 2 .
2 2
155. а) cos 2х cos 6х = о;
в) sin х + sin 3х = о;
156. а) = 3 ctg х;
ctg х + 2
в) 15 = 11 2 sin х;
sin х + 1
157. а) tg 3х tg х = о;
в) sin х tg х = cos х + tg х;
1+2х 21[
158. а) arccos з------ = з;
. х+2 1[
в) arcsln --т = з;
б) sin х + sin 2х + sin 3х = о;
r) cos(i+5X )+sinx 2соsЗх.
б) 1 + 2 cos 3х cos х cos 2х = о;
r) ctg х + sin х = 2.
1 + cos х
б) tg х sin х = 2 sin 2 ;
2
{') sin х + sin 2х = tg х.
б) arctg (2 х 1) = ;
4
1') arctg (2 3х) = 3п .
4
Решите неравенства (159 162).
159. а) sin ( 3 2 П Х ) ; б) .J3 tg ( Х ) ;;. 1;
В) sin 2 х sin cos 2 х cos > !;
222
1') sin 3х cos х + sin х cos 3х <; .JЗ .
2
313 3а1ачи lIa JJовтореllие
160. а) 2 SiJ1 2 Х <; 1; б) 3 tg 2 2 Х <; 1;
в) 4 cos 2 Х 3; 1') 2 Х
tg 1 О
2 .
161. а) I cos х 1 I 0,5; б) sin х < cos х;
в) I sin 2 х + .!.I " .!.. 1') tg х + ctg х > О
2 2'
162. а) sin х J3 cosx; б) logo.5 sin х > 1;
в) sin х + cos х < 1; 1') 10g.J2 cosx > 1.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
169.
14. Показательные уравнения инеравенства
Решите уравнения (163 167).
а) 0,2х2 16х З7.5=5J5; б) 2х2 з. 5х2 з =0,01 (10x I)3;
2 x2 6X"9"0.5 . . 6х2 з 15
в) {') =
16 12 2 15 612 12x
а) 5 Зх 2 . 5 Зх .. 1 3 . 5 Зх 2 = 60;
б) 4 Х З Х 0.5 = З Х 0.5 2 2х 1;
в) 2 5х I + 2 5х 2 + 2 5х З = 896;
{') 5 2х 1 + 22х = 52х 22х + 2.
а) 9 х 2 --1 36. з х2 З + 3 = о;
в) 16 Х 50 . 2 2х = 896;
а)
в)
{')
а)
3 4 Х + 2 . gx = 5 . 6 Х ;
2 25 Х 5 . 10 Х + 2 . 4 Х = о;
3 . 16 Х + 2 81 х = 5 3 6 Х .
32 JX + 32 JX 1 32 JX 2 = 11;
в) 2 sш 2 х + 2 cos 2 х = 3;
б) 5 ЗХ 1 + 34 . 5 2х = 7 . 5 Х ;
1') 7aJX 8. 7%+7=0.
б) 8 Х + 18 Х = 2 . 27 Х ;
б) 5 SШ 2 х 25 cOSX = о;
I 1 1
{') 3.9 х + 6 х = 2 - 4 Х .
Решите неравенства (168 170).
а) ;;t ( ! ) З+Х; б) з х2 +х < 10 1g9 ;
.JЗ2 2
в) 3. С:з J 3'< < ; r) 4'<' +x 1l > 51og. 4 .
а) 0,04 Х 26 0,2 Х + 25 <; о; б) 9 Х 84 З-- 2х + > О;
в) 4'< 10 .2'< + 16 < о; r) 22.< 1 +( )2'<+1 I;;. о
170. а) х 2 . 3 Х 3 Х + I о;
в) х 2 . 5 Х 52 + х < о;
х 2 +2х--15
б) 3,7 х--4 > 1;
l' ) 2 Х + 2 2 Х + З 2 Х .. 4 > 5 Х + 1 5Х + 2
314 Задачи на повторение
15. Лоrарифмические уравнения инеравенства
Решите уравнения (171 175).
171. а) log х = 4 3 lоgз х; б) ! Ig (2х 1) = 1 Ig -Jx 9 ;
2
в) lоgз Jx 5 + lоgз -J 2x 3 = 1;
{') 3 19 2 (х 1) 10 19 (х 1) + 3 = о.
172. а) 2 log5 (lg х) = 10g5 (10 9 19 х);
б) Ig (з х + х 17) = х Ig 30 х;
в) 2 19 (lg х) = 19 (3 2 19 х);
{') х х Ig 5 = Ig (2 Х + х 3).
173. а) log2 х + 4 = 5; б) lоgз х + 10gJX х log! х = 6;
gx2 i
в) 210g JЗ х + logx = 3; 1') 10gJ2 х + 410g x2 х + logs х = 16.
174. а) X 1og2 x 2 = 8;
в) x lg х = 10 000;
б) x 10gs х = 125х 2 ;
{') х1оgз х З = !.
9
175. а) 3 logi sin х + log2 (1 cos 2х) = 2;
б) logo.1 sin 2х + Ig cos х = 19 7;
в) log; 5 Jx + 2 = (х 4) log7 5;
{') 19 (3 . 5 Х + 24 . 20 Х ) = х + 19 18.
Решите неравенства (176 179).
176. а) log2 (х 2 Х 4) < 3; б) lоg...rз 1(5 2x) > 2;
В) Ig(x2 x+8) 1; {') log.J7 )(3 2x)<2.
177. а) 2 10g2 х < 2 + 10g2 (х + 3);
б) log 1 (10 х) + log 1 (х 3) 1;
6 6
в) log 1 (х 2) + log 1 (12 х) 2;
з з
{') logo.s (4 х) logo.s 2 logo.s (х 1).
178. а) 19 (х 2 + х 6) 19 (х + 3) 19 3;
в) In (х 2 + 3х 10) In (х 2) In 4;
3x 1
б) lоgз < 1;
2 x
3x 5
{') lоgз 1.
х+l
179. а) log2 (4 Х 5 . 2 Х + 8) > 2;
в) Ig2 х Ig х + 2;
б) 10g .5 Х + 6 5 logo.5 х;
1') log 1 (6 x + 1 36X) 2
J5
315 3а"{ачи на повтореllие
16. Системы рациональных уравнений
инеравенств
Решите системы уравнений (180 183).
180. а) {2Х + Зу = 1, {ЗХ 9У 12,
б)
5х + 4у = 1; 4x 12y=16:
в) { х+2у=7, { 5х 8 у = О,
{')
2 х 3у = 5; х 1,6 у = 1.
! .!!. + х = 13 {X Y=I'
181. ,
а) х у 6 б) х З уЗ = 7;
х + у = 5;
в) Н=2, {') { х З + уЗ 35,
[ (х 1)2 + у2 = 1; х + у = 5.
182. а) {( х у) (х 2 у2) 45, б) { х 2 уЗ + х З у2 = 12,
х + у = 5; х 2 уЗ х З у2 = 4;
в) { х 2 уЗ 16, {') { х 2 xy 28,
х З у2 = 2; 2
У ху= 12.
183. а) { х З + уЗ = 7 , б) { х 2 + у4 5,
х З уЗ = 8; х у2 = 2;
{ х З + уЗ = 9, 1 ! + ! = 5,
{') х у
в) t ....!... + ...!.... = 13.
ху= 2;
х2 у2
184.
При каком значении
{ х 5у = 7,
а)
ах у = 3;
{ х + ау = 2,
в)
3x 2y= 6;
а система уравнений:
{ Х+2 у =а,
б)
2х + 4у = 5;
{ x y=2,
{')
2x 2y=2a
имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бес-
конечное множество решений?
185 Решите систему неравенств:
J 2х > 3 13x 2
11 '
а)
l х 2 ( 7 ) 3 х 20 .
6+ 3 x < 9 '
r x x+l x+4 <; x I 2
б) 2 3 4 '
ll,5x 2,5<x;
316 Задачи на повторение
186.
187.
188.
r х+ 1 х x 1
в) ----Т- 3 4 X 2,
l 0,5х < 2 х;
{ 2 (3x 1) <3(4х+l)+ 16,
{')
4(2+х)<3х+8.
17. Системы иррациональных уравнений
Решите системы уравнений (186 188).
а) { .JY = 4,
2 +з.JY=18;
{ 3j; .JY=8'
в)
+ 2 .JY = 19;
{ х .JY + у Е = 30,
а)
+ .JY = 5;
в) .JX + .JY б,
lx y=12;
{ +.JY = 26,
а)
+-vY=6;
в) { .JY = 5,
'VY =1;
{ -.h+.JY=S'
б)
F . .JY = 15;
{ .JXY =12,
(')
+.JY=7.
б) х + у .J х у 7 ,
l ху = 9;
{ ХУ = 64,
{')
х у + -J х У = 20.
б) { З;; VY =3 ,
ху = 1;
(') t rV; +VY = 3t
ху = 8.
18. Системы триrонометрических уравнений
Решите системы уравнений (189, 190).
б) { x y= i'
cos 2 (пх) cos 2 (лу) = о;
{ sin2 х = cosx cosy,
(')
cos 2 Х = sin х sin у.
189. а) { s n х cos у = 0,25,
SlnY cosx =0,75;
{ 4 sin х sin у = 3.
в)
tg х tg У = 3;
{ tg х + tg У = 2,
190. а) 1
cos х cos у = 2";
{ . . 1
Sln Х Sln у = 4 '
в)
ctg х с tg У = 3;
{ х + У = 5л
б) 2 '
sin х + cos2y = 1;
{ COS2 Y + cosx = 1,
{') л
х + у = .
2
317 Задачи Ila повтореllие
19. Системы показательных
и лоrарифмических уравнений
Решите системы уравнений (191 196).
{ 9 Х + У = 729,
191. а)
зх у 1 = 1;
r cJ5)X Y = 25,
в)
l2611 X 1 = 1;
{ 410g1 2х У = 1,
192. а)
52x у + 5 Х = 5,2;
{ 3 1о, з (у + х) = 2,
в)
2 2Х + у = 16;
193.
{ 3 Х ' 7 У =63
) ,
а 3 Х +7 У = 16;
{ 4 х . 4 У = 64,
В)
4 Х 4Y = 63;
{ Ig х Ig У = 1,
194. а)
Ig2 х + Ig2 у = 5;
{ Ig х Ig У = 7 ,
в)
19 х + Ig у = 5:
{ у log з х = 1,
195. а)
хУ = 312 ;
{ log 5 Х + з1013 У = 7 ,
В)
х у = 512 ;
{ 1 og 4 Х log 2 У = о,
196. а)
х 2 2y2 = 8;
{ log 9 Х log 3 У = о,
В)
х 2 5y2 + 4 = о;
{ 2X 2Y =16
6) ,
х + у = 9;
{ 3 Х + ЗУ = 28,
1')
х у = 3.
{ 2 х + 3 У = 1 7
б) ,
2 х + 2 зу+l = 5;
r log J2 ( У х) = 4,
{')
lЗХ+2.зу 2=171.
{ 3Х 2 2у = 77,
б)
2Y=7;
1') { JV 3Y= 7,
2 Х 3Y = 5.
{ 10g2 (х 2 + у2) = 5,
б)
210g 4 x+log 2 у=4;
r log2(x+ 1) lOg2( y+ ).
1') {
llog2 X 210g2( y ) =0.
{ 31 lовз (х 2 "'у2) = 1 5
6) ,
lоgз (х 2 у2) lоgз (х у) = о;
{ 51 + 10g:) ( х 2.. У 2) = 25
1') ,
log5 (х 2 у2) = log5 (х + у).
{ 32 JX Б = 81
б) ,
19 ху = 1 + 193;
{ 2 log 2 Х З У = 15,
1')
З У log2 Х = 210g 2 Х + з у + 1 .
318 За "{ачи на повторение
20. Задачи на составление уравнений
и систем уравнений
197. Время, затрачиваемое автобусом на прохождение расстояния
325 км, при составлении HOBoro расписания движения aBTO
бусов сокращено на 40 мин. Найдите среднюю скорость дви
жения автобуса по новому расписанию, если она на 10 км/ч
больше средней скорости, предусмотренной старым расписа
нием.
198. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна
15 км, прошла 1391. км вниз по течению реки и вернулась
3
обратно. Найдите скорость течения реки, если на весь путь
затрачено 20 ч.
199. Поезд должен был пройти 220 км за определенное время. Че
рез 2 ч после начала движения он был задержан на 10 мин
и, чтобы прийти вовремя в пункт назначения, увеличил CKO
рость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.
200. После встречи двух теплоходов один из них пошел на юr,
а друrой на запад. Через 2 ч после встречи расстояние
между ними было 60 км. Найдите скорость каждоrо теплохо
да, если известно. что скорость одноrо из них на 6 К:М /ч боль
ше скорости друrоrо.
201. Два тела движутся навстречу дру!' друrу из двух точек, pac
стояние между которыми 390 М. Одно тело прошло в первую
секунду 6 м, а в каждую следующую проходило на 6 м боль
ше, чем в предыдущую. Второе тело двиrалось равномерно со
скоростью 12 м/с и начало движение спустя 5 с после перво
1'0. Через сколько секунд после Toro, как начало двиrаться
первое тело, они встретятся?
202. На строительстве железнодорожной маrистрали бриrада
строителей за несколько дней должна была по плану переме-
стить 2160 м З {'рунта. В течение первых трех дней бриrада
ежедневно выполняла установленную норму, а затем каждый
день перевыполняла норму на 80 м З , поэтому уже за день до
срока бриrада переместила 2320 м З {'рунта. Какова по плану
дневная норма бриrады?
203. Две бриrады, работая совместно, закончили посадку деревьев
на учебно-опытном участке за 4 дня. Сколько дней потре
бовалось бы на выполнение этой работы каждой бриrаде
отдельно, если одна из бриrад моrла бы закончить посадку
деревьев на 6 дней раньше друrой?
204. Для перевозки 60 т rруза затребовали некоторое количество
машин. В связи с тем что на каждую машину поrрузили на
0,5 т меньше запланированноrо, дополнительно было затре
бовано еще 4 машины. Сколько машин было запланировано
первоначально?
319 За "(а чи lIa повторение
205. Два куска латуни имеют массу 30 Kr. Первый кусок содер-
жит 5 к!' чистой меди, а второй кусок 4 Kr. Сколько про-
центов меди содержит первый кусок латуни, если второй co
держит меди на 15(У-. больше первоrо?
206. К раствору, содержащему 40 r соли, добавили 200 r воды,
после чеrо массовая доля растворенной соли уменьшилась на
1 о(уо. Сколько воды содержал раствор и какова была в нем
массовая доля соли?
207. Две автомашины выехали одновременно из одноrо пункта
в одном и том же направлении. Одна машина движется со
скоростью 50 км/ч, друrая 40 км/ч. Спустя полчаса из
Toro же пункта в том же направлении выехала третья маши-
на, которая обоrнала первую машину на 1 ч 30 мин позже,
чем вторую. Найдите скорость третьей машины.
208. Найдите скорость и длину поезда, зная, что он проходил
с постоянной скоростью мимо неподвижноrо наблюдателя
в течение 7 с и затратил 25 с на то, чтобы проехать с той же
скоростью вдоль платформы длиной 378 м.
209. Из пунктов А И В, расположенных на расстоянии 50 км, од.
новременно навстречу дру!' друrу вышли два пешехода. Че-
рез 5 ч они встретились. После встречи пешеход, идущий из
А в В, уменьшил скорость на 1 км/ч, а второй увеличил ско.
рость на 1 км/ч. Первый пешеход прибыл в В на 2 ч раньше,
чем второй в А. Найдите первоначальную скорость каждоrо
пешехода.
210. На заводе для изrотовления одноrо электродвиrателя типа А
расходуется 2 к!' меди и 1 к!' свинца, на изrотовление одноrо
электродвиrателя типа В 3 к!' меди и 2 к!' свинца. Сколь-
ко электродвиrателей каждоrо типа было изrотовлено, если
Bcero израсходовали 130 к!' меди и 80 к!' свинца?
211. Двое рабочих COB eCTHO MorYT выполнить плановое задание
за 12 дней. Если половину задания будет выполнять один ра-
бочий, а затем вторую половину друrой, то все задание бу-
дет выполнено за 25 дней. За сколько дней :\iожет выполнить
задание каждый рабочий?
212. Из двух жидкостей, плотность которых соответственно
1,2 {'/см 3 и 1,6 r/cM 3 , составлена смесь массой 60 {'. Сколько
{'раммов каждой жидкости в с еси и какова плотность сме-
си, если ее 8 см 3 имеют такую же массу, как масса всей Me
нее тяжелой из cMeI1I8HHbIX жидкостей?
213. Вычислите массу и массовую долю (в процентах) серебра
в сплаве с медью, зная, что, сплавив ero с 3 К!' чистоrо сереб-
ра, получат сплав, содержащий 900 u серебра, а сплавив ero
с 2 к!' сплава, содержащеrо 90(Уо серебра, получат сплав
с 84 су.) -ной массовой долей серебра.
320 Задачи на повторение
214. По окружности, длина которой 60 м, равномерно и в одном
направлении движутся две точки. Одна делает полный обо
рот на 5 с скорее друrой и при этом доrоняет вторую точку
каждую минуту. Найдите скорость каждой точки.
215. Сумма квадратов цифр положительноrо двузначноrо числа
равна 13. Если из этоrо числа вычесть 9, то получится чис
ло, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Най
дите это число.
216. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов
которых равна 55.
э 5.
п роизводная, первообразна-я,
интеrрал и их применения
21. Производная
217. Найдите отношение А! для функции {, если:
Ах
а) {(х)=!х 2 , хо= 1, x=O,I;
2
б) {(x)= . хо=2, x=0,21:
в) f (х) = 3 2х, Хо = 2, 6.х = 0,2.
218.
Пользуясь определением,
в точке х о ' если:
а) f (х) = 1 4х, Хо = 3;
в) f (х) = 3х + 2, Хо = 5;
найдите производную функции f
б) f (х) = 1,5х 2 , хо = 2;
{') f (х) = х З + 1, Хо = 1.
Найдите производные функций (219 222).
219. а) f(х)=tхl хЗ+ х2 Х+5; б) f(x)=(4 x2)sinx;
в) f (х) = (х 2 + 5) (х З 2х + 2); {') f (х) = cos х .
2 х З
220.
3 5С 5
а) f(x)= vx+ ;
х З 3.JX
х З 3 х
в) f (х) = ;
1 2x
б) f (х) = (2 .JX) tg х;
{') f (х) = sin х .
1 2 cos х
221. а) f (х) = 2 Х + 19 х;
в) f (х) = х 2 . 5 2х ;
б) f (х) = е...зх + 2 lоgз 2х;
{') f (х) = ln х .
е х + e х
321 Зада чи lIа повторение
222. а) f (х) = s in 3х + cos 5х;
б) f (х) = 1 + х 2 + 1 з
(2х 1)
В) f (х) = (3 2х З )5;
r) {(х) 19 (3х) 3 tg ( 2 х ).
223. Решите уравнение f (х) = О, если:
а) f (х) = х 4 2х 2 + 1;
б) f (х) = 1,5 sin 2х 5 sin х х;
В) f (х) = Х; + 10;З 9x;
{') f (х) = х + cos 2х.
224. Функция задана rрафиком (рис. 162).
1) Укажите, в каких из отмеченных точек:
а) " (х) > о; б) " (х) < о; в) " (х) = о.
2) Укажите пром:ежутки, на которых:
а) " (х) > о; б) " (х) < о; в) " (х) = о.
3) В каких точках интервала (а; Ь) функция f не имеет про-
изводной?
и %1
Ха О Ха х.{
а)
у
о Х 6 %'1 %8
ХI %2 %8 %1%6
б)
d %1 %2 ХЗ О %4 %6 Хб Ь Х Х
е) r)
Рис. 162
322 Задачи на ПОВТОРСНИС
у
у
х
х
Рис. 163
Рис. 164
Сравните значения производной в заданных точках (225, 226).
225. а) Х 1 и х 2 ; б) Х 1 И х з ; в) Х 2 и х 4 ; {') Х З и Хб (рис. 163).
226. а) Х 1 и х 2 ; б) х з и Хб; в) х.. и Хб; {') Х 2 и Х.. (рис. 164).
227. Функции и, и, w дифференцируемы в точке х. Докажите,
что (ииш)' = и'иш + ии'ш + uиш'.
22. Применение производной
к исследованию функций
228. Вычислите приближенное значение функции в точках х 1
И Х 2 :
а) f (х) = х з Х, Х 1 = 2,0057, Х 2 = 1,979;
б) f (х) = 2 + 4х х 2 + ! х 4 , Х 1 = 3,005, Х 2 = 1,98.
4
229. Выч ислит е приближенное значение выраж ения:
а) .J 9,009; б) 1,000115; в) 0,999 5; {') ;/ 8,008.
Найдите промежутки возрастания и убывания, точки макси-
мума и минимума функций (230, 231).
2
230. а) f(х)= !хз +4x2 7x+18; б) {(х) = ;
3 3 x
в) f (х) = х (х з 4) ; {') f (х) =
2 4 x
в) f (х) = 2 sin х + cos 2х;
б) f (х) = 2 sin !.;
2
{') f (х) = Зх cos Зх
231. а) f (х) = cos 2х 2 cos х;
Исследуйте функцию
232. а) f (х) = х 2 (х 2)2;
в) f (х) = х З 3 х 2 9 х;
и постройте ее rрафик (232 234).
б) f (х) = ... ;
х 2
{') f (х) = .2..........
4 x2
323 Задачи на повторение
233. а) f (х) = 1 2 sin 2х; б) f (х) = cos 2 Х cos х;
в) f (х) = 3 cos ; {') f (х) = sin 2 х sin х
2
f (х) = JX 1 n х; х
234. а) б) '(x)= ;
х
2
в) '(х)=2Х 4x; {') f (х) = х In х.
235. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f
(если они существуют) на данно:м про:межутке:
а) f (х) = 18х 2 + 8х З 3х4, [1; 3];
б) f (х) = 2 cos х cos 2х, [о; п];
в) f (х) + х 2 , [i; 1]:
{') f (х) = sin х х, [ п; п].
236. Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных
слаrае:\iЫХ так, чтобы сумма кубов этих чисел была:
а) наибольшей; б) наименьшей.
237. Сумма длин катетов прямоуrольноrо треуrольника равна
20 см. Какой длины должны быть катеты, чтобы площадь
треуrольника была наибольшей?
238. Сумма длин диаrоналей параллелоrра:\iма равна 12 см. Най-
дите наименьшее значение суммы квадратов всех ero сторон.
239. По двум улицам движутся к перекрестку две машины с по-
стоянными скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. Считая. что ули-
цы пря:молинейные и пересекаются под прямым уrло:м,
а также зная, что в некоторый момент времени автомашины
находятся от перекрестка на расстоянии 2 км И 3 км (соот-
ветственно), определите, через какое время расстояние меж-
ду ними станет наименьшим.
240. Картина высотой 1,4 м повешена на стену так, что ее ниж-
ний край на 1,8 м выше rлаз наблюдателя. На каком рассто-
янии от стены должен встать наблюдатель, чтобы ero поло-
жение было наиболее блаrоприятно для осмотра картины
(т. е. чтобы уrол зрения по вертикали был наибольшим)?
241. Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой 5,6 М.
На каком расстоянии должен встать человек ростом (до уров-
ня rлаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наибольшим уrлом?
242. Из всех цилиндров, имеющих объем 16п м З , найдите ци-
линдр с наименьшей площадью полной поверхности.
243. Найдите высоту цилиндра наибольшеrо объема, который
можно вписать в шар радиусом R.
244. В конус, радиус основания KOToporo R и высота Н, требуется
вписать цилиндр, имеющий наибольшую площадь полной
поверхности. Найдите радиус цилиндра.
324 Задачи на повторение
245. Около данноrо цилиндра нужно описать конус наименьшеrо
объе'\iа (плоскости оснований цилиндра и конуса совладают).
Как это сделать?
246. Найдите высоту конуса наименьшеrо объема, описанноrо
около шара радиусом R.
247. Найдите высоту конуса наименьшеrо объема, описанноrо
около полушара радиусом R так, чтобы центр основания KO
нуса лежал в центре шара.
248. Из круrлоrо бревна диаметром 40 см требуется вырезать бал
ку прямоуrольноrо сечения с основанием Ь и высотой 11.
Прочность балки пропорциональна bI1 2 . При каких значени
ях Ь и 11 прочность будет наибольшей?
249. Окно имеет форму прямоуrольника, завершенноrо полукру
{'ом. Как определить размеры окна, имеющеrо наибольшую
площадь при заданном периметре?
250. На окружности дана точка А. Провести хорду Бе параллель-
но касательной в точке А так, чтобы площадь треуrольника
Аве была наибольшей.
251. Каков должен быть уrол при вершине равнобедренноrо Tpe
уrольника заданной площади, чтобы радиус вписанноrо в
этот треуrольник Kpyra был наибольшим?
252. На параболе у = х 2 найдите точку, расстояние от которой ДО
точки А (2; 0.5) наименьшее.
253. Объем правильной треуrольной призмы равен v. Какова дол
жна быть сторона основания, чтобы площадь полной поверх
ности призмы была наименьшей?
23. Применение производной в физике
и rеометрии
254. По прямой движутся две точки. Определите промежуток вре-
мени, в течение KOToporo скорость первой точки была MeHЬ
ше скорости второй, если:
а) Х 1 (О = 2 t З , Х 2 (t) = 2t 3;
з
б) х 1 (t) = 9 t 2 + 1, х 2 (t) = t З .
255. Уrол поворота тела вокру!' оси изменяется в зависи'\iОСТИ
от времени по закону q> (t) = 0,1 t l 0,5t + 0,2. Найдите уrло-
вую скорость вращения тела в момент времени t = 20 с.
(Уrол измеряется в радианах.)
256. Круrлый металлический диск расширяется при наrревании
так, что ero радиус равномерно увеличивается на 0,01 см/с.
325 Задачи на повторение
257.
258.
259.
260.
261.
262.
263.
264.
265.
266.
267.
с какой скоростью увеличивается площадь диска в тот \1:0-
мент, коrда ero радиус равен 2 см?
Из пункта А по двум прямым. уrол между которыми 600,
одновременно начали двиrаться два тела. Первое движется
равномерно со скоростью 5 км/ч, второе по закону
8 (t) = 2t 2 t. С какой скоростью они удаляются дру!' ОТ друrа
в момент t = 3 ч? (8 измеряется в километрах, t в часах.)
Концы отрезка АВ длиной 5 м скользят по координатным
осям. Скорость пере:мещения конца А равна 2 м/с. Какова
величина скорости перемещения конца В в тот момент, коrда
конец А находится от начала координат на расстоянии 3 м?
Длина вертикально стоящей лестницы равна 5 м. Нижний
конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью
2 м/с. С какой скоростью опускается в момент времени t
верхний конец лестницы, с каким ускорением?
Неоднородный стержень АВ имеет длину 12 см. Масса ero ча-
сти АМ растет пропорционально квадрату расстояния точки
М от конца А и равна 10 r при АМ = 2 см. Найдите: 1) массу
Bcero стержня АВ и линейную плотность в любой ero точке;
2) линейную плотность стержня в точках А и В.
Колесо вращается так, что уrол поворота пропорционален
квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 с.
Найдите уrловую скорость колеса через 48 с после начала
вращения.
Тело с высоты 10 м брошено вертикально вверх с начальной
скоростью 40 м/с. Ответьте на вопросы: а) На какой высоте
от поверхности земли оно будет через 5 с? б) Через сколько
секунд тело достиrнет наивысшей точки и на каком расстоя
нии от земли (считать g = 10 м/с 2 )?
2
В какой точке параболы у = 1 касательная наклонена к
2
оси абсцисс под уrлом: а) 450; б) 135 0 ?
Найдите абсциссы точек rрафика функции f (х) = х З + ! х 2
2
х 3, касательные в которых наклонены к оси абсцисс под
уrлом 1350.
Докажите, что любая касательная к rрафику функции
f (х) = х 3 + ! х 2 + х 3 пересекает ось абсцисс.
2
Докажите, что любая касательная к rрафику функции
f (х) = х 5 + 2х 7 составляет с осью абсцисс острый уrол.
Докажите, что rрафики функций f (х) = (х + 2)2 и
g (х) = 2 х 2 имеют общую точку и общую касательную, про-
ходящую через эту точку.
326 &адачи на повторение
24. Первообразная
268. Найдите общий вид первообразных для функции:
а) f (х) = 4 sin х + cos 3х; б) f (х) = х 2 + x 5 + х 2 + JЗ ;
в) f (х) = 2 + ; {') f (х) = 2 + 3 .
х 1 cos 2 2x sin 2 3x
269. Для функции f найдите первообразную, rрафик которой про-
ходит через точ ку 1\1.-
а) {(x) , ми; 2} б) f(x)=X 2+cosx, M( ; ;}
в) f (х) = X \ iИ (2; 3); {') f (х) = sin 2х , iИ (о; 1).
270. Найдите функцию, производная которой равна 2х 3 в лю-
бой точке х и значение которой в точке 2 равно 2.
271. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А (2; 3),
если уrловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х
равен 3х 2 .
272. Материальная точка движется по координатной прямой со
скоростью v (t) = sin t cos t. Найдите уравнение движения
точки, если при t = ее координата равна 3.
4
25. Интеrрал
273. Вычислите:
3'1:
2 2
а) f cos (1,5п + 0,5х) dx; б) J (x 2 + х 2 ) dx;
п 1
J:
6 2
в) f cos (3х sin2x) dx; {') f (5 6 х х 2 ) dx.
12
274. Найдите наибольшее и наИ'\fеньшее значения интеrрала:
а
а) f cos dx, а е В;
о
п
a+
2
б) f cos2xdx, а е В.
о
275. Вычислите площадь фиrуры, оrраниченной линиями:
а) у = 0,5х 2 2х + 3. у = 7 х;
б) у = (х 2)2 t У = 4 х 2 ;
В) У = х 2 3 х + 4. У = х + 1;
{') у = х 2 2х + 2, у = 2 + 4х х 2 .
327 3а;хачи lIa повтореllие
276. Найдите площадь каждой из фиrур, на которые прямая
у = х + 4 делит фиrуру, оrраниченную линиями у = ! х 2
2
и у = 8.
277. Найдите площадь фиrуры, оrраниченной линиями у = 2,5 +
+ 2х 0,5х 2 , Х = 1 и касательной к данной параболе, прове-
денной через ее точку с абсциссой х = 3.
278. Найдите площадь фиrуры, оrраниченной параболой
у = х 2 4х + 5 и касательными к ней, проведенными через ее
точки с абсциссами х = 1 и х = 3.
279. В каком отношении делится площадь квадрата параболой,
ПрОХОДЯII ей через две ero соседние веРlIlИНЫ и касаЮlцейся
одной стороны в ее середине?
280. При каком значении а площадь фиrуры, оrраниченной ли-
ниями у = х 2 + 4х + а (а > О), х = О, х = 2 и у = 2, равна 121
(Известно, что фиrура лежит в верхней полуплоскости.)
281. Найдите пары чисел а и Ь, при которых функция f (х) =
2
= а sin пх + Ь удовлетворяет условиям: {' (2) = 2, f f (х) dx = 4.
о
VII
rлава
Задачи повыпеннойй ТРУДНОСТИ
I I I
э 1.
Числа и преобразования выражений
1. Целые числа
1. Докажите, что: а) если р простое число ир> 3, то р2 1
делится на 24; б) если а + Ь + с делится на 6. то аЗ + Ь З + с з
делится на 6 (а, Ь, с целые числа); в) если а 2 + ь2 делит
ся на 7, то а 2 + ь 2 делится и на 49 (а и Ь целые числа);
{') число п 2 + 5n + 16 ни при каком целом n не делится
на 169.
2. При каких целых а оба корня уравнения х 2 + ах 2 + 6 = О
являются целыми числами?
3. Докажите, что: а) наименьший (отличный от 1) делитель
cocTaBHoro числа N не превосходит JN; б) число N имеет
нечетное число делителей тоrда и только тоrда, коrда
N точный квадрат.
4. Найдите число делителей tlисла N, если: а) n = 1024;
б) n = 210; в) n = Р;. р;2 ...р:. (ар а 2 , ..., ан натураль
ные, Рl' Р2' ..., Pk различные простые числа); {') n = 10!
(k! обозначение произведения 1 . 2 . 3 . ... . k).
5. а) Какие остатки MorYT давать точные квадраты при делении
на 3, на 4?
б) Может ли дискриминант квадратноrо уравнения с целы
ми коэффициентами равняться 23?
в) Длины всех сторон прямоуrольноrо треуrольника цe
лые. MorYT ли длины катетов быть нечетными числами?
{') В десятичной записи 12 значноrо числа N цифры 2 и 9
встречаются по 2 раза, а остальные по одному разу. Mo
жет ли N быть точным квадратом?
6. а) В десятичной записи числа 300 единиц и несколько HY
лей (а друrих цифр нет). Может ли это число быть точным
квадратом? б) 2008 значное число а делится на 9. Сумма
цифр а число Ь, сумма цифр Ь число с, сумма цифр с
число d. Найдите d.
7. Докажите признаки делимости на: а) 5; б) 3; в) 9.
329 Задачи повышенной трудности
8.
Решите в целых
а) 3% = 1 + у2;
в) х 2 у2 = 91;
а) 13х 7у = 6;
в) 27х 9у = 15;
числах уравнения (8 9).
б) 2% 1 = у2;
{') 2% + 1 = у2.
б) х! + у! = (х + у)!;
{') 1! + 2! + ... + х! = у2.
9.
10. Докажите, что для любоrо натуральноrо числа N существу-
ет ряд последовательных N чисел, каждое из которых со-
ставное.
11. Дано: Ig 16 = 1,20412... . Найдите количество цифр и первую
цифру числа 125100.
2. Метод математической индукции
Решение задач 12 15 основано на принципе .матем.атиче
скои индукции, который часто принимают за одну из аксио'\1 ариф-
метики. Этот принцип формулируется так:
12.
13
Если предложение, зависящее от натуральноrо чис
ла п:
а) верно для HeKoToporo начальноrо значения п = по и
б) из допущения, что оно верно для п = k, {'де
k по произвольное натуральное число, вытекает,
что предложение верно и для п = k + 1, то предложе-
ние верно для любоrо натуральноrо п по.
Докажите равенства методом математической индукции
(п Е N) (12 13).
а) 1 2 2 2 3 2 2 п(п+l)(2п+l).
+ + + ... + п ,
6
б) 1 2 3 2 5 2 2 1) 2 п(2п 1)(2п + 1).
+ + + ... + ( п ,
3
в) 13 + 33 + 5 З + ... + (2п 1)3 = п 2 (2п 2 1);
{') 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ... + п . п! = (п + 1)! 1.
а) + + +...+ 1 = ;
4.5 5.6 6.7 (п + 3)(n+4) 4(n+4)
б) 2 2 6 2 (4 2) 2 4п(2n 1)(2n + 1).
+ + ... + п ,
3
в) + + 7 +...+ 7 =1 ;
1.8 8.15 15.22 (7п 6)(7п+l) 7п+l
{') + + 1 +...+ 1 = 1_ 1
4.88.12 12.16 4п(4п+4) 16 lб(n+l)
330 3а..1ачи ПОВЫUlеннон ТРУ НОСТИ
14.
Докажите методом мате'\fатической индукции неравенство
(n Е N):
а) Isin nхl n Isin xl;
б) + +...+ >1;
п + 1 п + 2 3п + 1
в) (1 + h)n > 1 + nll для любоrо натуральноrо n 2, /1 > 1
и h:# О (неравенство Бернуллu);
п(п l)
{') (1 + Il)n > 1 + nh + h 2 для любоrо натуральноrо
2
n 3 и /1 > о.
15.
Докажите методом математической
боrо натуральноrо n:
а) 6 2 " 1 + 1 кратно 7;
В) 4 п + 15п 1 кратно 9;
индукции, что для лю-
б) з Зn + 2 + 2 4n + 1 кратно 11;
{') 7 2п 1 кратно 48.
з. Действительные числа
16. Докажите, что любое рациональное число может быть пред-
ставлено в виде бесконечной периодической десятичной
дроби.
17. Докажите, что любая бесконечная периодическая десятичная
дробь есть запись HeKOToporo рациональноrо числа.
18. Докажите, что если натуральное число а не является полным
квадрато'\f, то .Ja иррациональное число.
19. Может ли быть рациональным числом:
а) сумма двух иррациональных чисел;
б) иррациональное число в иррациональной степени?
Докажите иррациональность чисел (20 22).
20. а) JЗ: б) 3.J3; в) Ig 5; {') log2 9.
21. а)JЗ + J5; б).J2 + ,,3; В) 12 1 ..[3 ; r).J2 + v3
2+ 3
22. а) k '\f2 + р .J3, {'де k и р целые числа, отличные от нуля;
б) 3,272772777277772... (после первой двойки стоит одна се-
мерка, после второй две, после третьей три и т. д.,
после n-й двойки n семерок и т. д.).
Упр остите выражения ( 23 24)
23. а) J2 J3; б) " 129 56J5 ;
В) J7+2"IU; {') 5 7+12J15.
24. а) 67 42'\f2 +. J I9 6.J2; б) 51 4m 47 4.J33
331 8адачи повышенной трудности
25. Освободитесь от иррациональности в знаменателе:
111
а) J2 vз ; б) J2 .J3 .J5 ; в) з.j2 v5 з.fi
2+ 3 2+ 3+ 5 2+ 5+ 7
26. MorYT ли быть членами одной rеометрической проrрессии
числа:
а) 10, 11, 12;
б) 81, 36, 24?
27. Докажите, что число 3J 6 + J82 7 + 1/6 J8:: рационально.
28. Докажите, что для любоrо числа М найдется такое натураль-
ное n, что сумма
1+!+1+...+1
2 3 п
будет больше j\1.
4. Преобразование выражений
29. Разложите на множители:
а) х 4 + 4; б) х 4 + х 2 + 1; в) х 5 + х + 1;
{') (х 2 + у2)З + (Z2 х 2 )3 (у2 + Z2)3;
д) (х + у + Z)З х З уЗ zЗ; е) х З + уЗ + zЗ 3xyz.
30. Докажите тождество:
(а 2 + ь 2 ) (х 2 + у2) = (ах + Ьу)2 + (ау ьх)2.
31. Докажите фор мулы:
J Jb J a+ a2 b a a2 b
а ) а + Ь = + .
2 2 '
I .JЬ а + a2 Ь а a2 Ь
б) "а Ь = .
2 2
32. Известно, что а + (3 + у = п, причем а, (3, у положительны.
Докажите тождество:
а) sin о. + sin Р + sin у = 4 cos cos cos ;
б) cos 2 О. + cos 2 (3 + cos 2 у = 1 2 cos о. cos (3 cos у;
в) cos 20. + cos 2(3 + cos 2у = 1 4 cos о. cos Р cos у;
{') sin 2 о. + sin 2 Р + sin 2 у = 2 + 2 cos о. cos (3 cos у.
33. Докажите равенство:
а) arcsin х + arccos х =.!!. для любоrо х е [ 1; 1];
2
б) arctg х + arcctg х = .!!.;
2
332 &адачи повышенной трудности
в) cos (arctg х) = 1
.J 1 + х 2
J l х 2
{') tg (arccos х) = для любоrо х е [ 1; 1] и Х;l:. о.
Х
Вычислите (34 35).
а) 1 + 1 .
cos 2900 .J3 sin250o'
б) sin 6 о. + cos 6 0., если sin о. + cos о. = т;
в) cos 840 cos 240 cos 480 cos 120;
{') cos 8 о. sin 8 0., если cos 20. = т.
а) arcsin (sin 10); б) arccos (cos 12);
В) arctg (tg 2); {') arcctg (ctg 3).
36. Проверьте, что число хо является корнем уравнения
л JЗ 1
arctg х = 12 ХО = .
.[3+1
34.
35.
37.
38.
39.
40.
sin а sil1. J3 sil1. У
Известно, что а. + (3 + у = п, = = . Докажите, что
а Ь с
а 2 = ь 2 + с 2 2Ьс cos 0., причем 0., (3, У необязательно положи
тельные числа.
Докажите, что SiJl 470 + sin 61 о SiJl 11 r SiJl 250 = cos 70.
а) Найдите logxyz и, если logx u = а, logy u = Ь, logz u = с.
б) Найдите 10g!)4 168, если log7 12 = а, log12 24 = ь.
а) Докажите, что 2 .J 1o g2 X =X .J 10 g z2 , если х> 1.
б) Вычислите без таблиц: 2 Jlog2 З з Jlоgз 2 .
5. Проrрессии
41. Решите в целых числах уравнение
х 1 + х 2 + х 3 + ... + 1. = 3.
х х х х
42. Докажите справедливость равенства
.J2 cos 'р
1 tg q> + tg 2 q> tg З q> + ... =
2 sin ( + 'р )
ДЛЯ любоrо 'Р е (о; )-
43. Сумма четырех чисел, составляющих rеометрическую про-
rрессию, равна 40, а сумма их квадратов равна 3280 Най-
дите эти числа.
333 3а;(ачи повышенной ТРУДIIОСТИ
44. Найдите трехзначное число, если ero цифры образуют {'ео-
метрическую проrрессию, а цифры числа, меньшеrо данноrо
на 400, арифметическую.
45. При каком значении а найдутся такие х, что числа
51 + х + 51.. х, , 25 Х + 25 X (в указанном порядке) составля-
ют арифметическую проrрессию?
46. Числа х, у, z (в указанном порядке) образуют rеометриче-
скую проrрессию, а числа х + у, у + Z, z + х арифметиче-
скую. Найдите знаменатель rеометрической проrрессии.
47. Известно, что суммы первых т и п членов арифметической
проrрессии равны, т. е. Sm = Sn. Найдите Sm +n.
48. Найдите произведение первых п членов rеометрической про-
rрессии, если известна их сумма А и сумма обратных к ним
величин В (В О).
49. Члены арифметической (а,) и rеометрической (ь n ) проrрессий
удовлетворяют условиям а 40 = Ь 40 > О, а 60 = Ь 60 > о. Что боль-
ше: a so или b so ?
50. Найдите сумму:
а) 1 + 11 + ... + 111 ... 1;
n СДJIШIЦ
б) х + 2х2 + 3х З + ... + пх n ;
в) 1 + 1 + ... + 1 ;
k(k+l) (k+l)(k+2) (k+п I)(k+п)
{') sin х + sin 2х + ... + sin пх.
2.
Элементарные функции
и их свойства
6. Исследование функций
51 Найдите область определения фу нкции:
Jlxl x .J8 ..2x x2
а) у =; б) у = ;
tg2x cos х
arcsm 0,5х
в) у = ;
х 2 1
{') у = .J cos (sin х);
д) у = log2 sin х cos х;
1
е) у = ( ) .
19 \1 .J х 2 1
334 3а1аЧII ПОВЫШСIIIIОЙ TPY IIOCTIt
52. Область определения функции у = 1 (х) отрезок [ 1; 2].
Найдите область определения функции:
а) у = 1 (х) + 1;
{') у = 1 (2х);
ж) у = 1I (x)l;
к) у = 1 (1 Ixl);
б) у = 1 (х + 1):
д) у = 1 ( x);
3) У = 1 (1 х 1):
л) у = 1 (JX);
в) у = 21 (х);
е) у = ! (х);
и) у = f (1 х):
М) у = f (х 2 ).
Найдите область значений каждой из функций (53 54)
53. а) у = cos 2 Х cos х; б) У = ..J l sin х ctg х;
В) у = 3 cos х 4 sin х 1; {') 1
у=
tg 2 + 2
2
54. а) у = cos 2 Х + cos 4 х; б) у = [х]2;
в) У = 3 sin 2 х 4 sin х 2; {') у=I 1 !.
t х 2 + J
55.
56.
57.
58.
59.
Является ли четной (или нечетной) функц ия:
а) (x)= e"X I ; б) f(x)=log a (x+ .J x2 + 1 );
х Х + 1
В) 1 ( х) = ! ( х + 5)2 3.J ( х 5 )2 ;
Х cos х
( х+l )
{') 1 (х) =Iog a ?
x 1
а) Докажите, что для любой функции 1 с симметричной
относительно точки О областью определения функция
(х)+ {( x) f(x) f( x)
у = четная, а функция у = нечетная.
2 2
б) Докажите, что любая функция с симметричной относи-
тельно точки О областью определения представляется (при-
ТОМ единственным образом) в виде суммы четной инечетной
функций.
В) Найдите все функции, являющиеся одновременно четны-
ми инечетными.
Функции 1 и g периодические с общим периодом Т. Докажи-
те, что функции у = f (х) + g (х) и у = f (х) g (х) являются пе-
риодическими с периодом Т.
Докажите, что сумма двух непрерывных периодических
функций, определенных на всей числовой прямой и не и ею-
щих общих периодов, не является периодической.
Существует ли периодическая функция, у которой: а) все ра-
циональные числа являются периодами, а все иррациональ-
ные нет; б) все иррациональные числа являются периодами,
а все рациональные нет?
335 Задачи повышенной ТРУДIIОСТН
60. Докажите, что функция не является периодической:
а) {(x)=cosxcos(xJ2); б) {(x)=cosx+cos(xJ2);
в) {(х) = sin х 2 ; {') {(х) = sin JX.
61. Найдите наименьший положительный период функции:
а) у = cos 3 х; б) у = J I sin 2 хl ;
В) У cos(xJ2)+cos .12 ; r) у { 1 2х}.
62. Докажите, что функция не является периодической:
а) у = -Jx; б) у = sin I х 1;
в) у = х 2 + х + 1; r) у = sin х + Sill (х J2 ).
63. Сравните числа:
а) log2 3 и logs 8;
в) 2з100 и 32150;
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
б) logg 10 и Igll;
r) cosec и 4( 1 sin ).
Расположите в порядке возрастания числа:
а) Sill 40, cos 2" tg 3, ctg 6;
б) sin 100, cos 2750, tg 1900, ctg 1000.
Известно, что функция у = f (х): 1) возрастает; 2) убывает
на промежутке 1. Является ли функция у = k{ (х) возрастаю
щей (убывающей) на промежутке 1, если известно, что:
а) k > о; б) k < О?
Пусть { возрастающая и положительная на всей числовой
прямой функция. Докажите, что:
а) функция у == {2 (х) возрастает на R;
б) функция у = убывает на R;
'(х)
в) функция у = .J 1 (х) возрастает на R;
{') функция у = Ig {(х) возрастает на R.
При каких п функция 1 может иметь ровно п точек экстре-
мума, если известно, что 1: а) четная; б) нечетная; в) пе
риодическая функция?
Среди функций вида 1 (х) = ах + Ь найдите все такие, что для
любоrо х: а) 1 ({ (х» = 1 (х); б) {(I (х» = х.
Найдите функции 12 (х) = { ({ (х», {з (х) = f (1 ({ (х)) и т. д.,
1" (х) = 1 (1 ({... (1 (х»...» и область определения 1" (х), если:
1 1
а) {(x)=3 x; б) I(x)= ; в) I(x)= .
х l x
1 ах + Ь '"
Среди функций вида: а) у = ; б) У = наидите
ах+ Ь сх+ d
все, совпадающие с обратными к самим себе.
336 Jа;J;ачи повышенной трудности
71. Приведите пример обратимой функции, определенной на OT
резке [о; 1] и имеющей две точки экстремума.
Найдите функцию, обратную данной. Постройте rрафики
найденных функций (72 73).
72. а) у Б+i; 6) у 19 (1 х); В) у Л; r) у = "lg х .
73. а) . [ n п] б) х Е [о; л];
у = Sln Х Х Е . · у = COS Х,
, 2' 2 '
в) у = tg х х е ( . п )- {') у = ctg х. Х Е (о; п).
, 2' 2 '
7. rрафики функций
74. Докажите, что: а) rрафик четной функции симметричен от-
носительно оси ординат; б) rрафик нечетной функции сим
метричен относительно начала координат.
75. Дополните (если это возможно) rрафики функций, изобра-
женных на рисунке 165, до rрафиков периодических функ-
ций с наименьшим положительным периодом Т, являющих-
ся при этом: а) четными; б) нечетными.
76. На рисунке 166 изображена часть rрафика периодической
функции, определенной на всей числовой прямой. Каким мо-
жет быть наименьший положительный период функции {?
у
у
у
о т х О т ЗТ % О Т Т х
"2 4 4 "2
8) б) в)
Рис. 165
У У У
1
1
о
1 2 х
о
123. б 6 х
01234 б х
а)
б)
в)
Рис. 166
337 Задачи повышеНIIОИ ТРУДIIОСТИ
77.
78.
79.
80.
81.
82.
4 х
х
а)
б)
Рис. 167
Дан rрафик функции у = f (х) (рис. 167). Постройте эскиз
rрафика функции (77 78).
а) у = f ( 2x);
а) у = 2! (х);
б) y=f(lxl); в) y=f(1 x);
б ) 1 .
У f (х) '
{') y= f( lxl).
{') у = I f (х) 1.
в) у = f (2х + 4);
Найдите последовательность преобразований, с помощью ко-
торых из rрафика функции f может быть получен rрафик
функции <р:
а) f (х) = sin х, Ф (х) = sin х + cos х;
б) f (х) = sin 2 х, Ф (х) = sin" х + cos 4 х.
Докажите, что rрафик любой дробно линейной функции
ах+ Ь
у = (с * О и ad Ьс * О) может быть получен из rрафика
cx+d
у =!! параллельным переносом. Укажите коэффициент k.
х
Найдите наибольшее и
(на R):
а) f (х) = 2 cos 2х + sin 2 х;
наименьшее значения
функции
б) f (х) = 1 ;
J 2 х 2 4 х + 3
в) f (х) = 2 sin 2 х cos 2х; {') f (х) = cos 2 Х + cos х + 3.
Найдите промежутки возрастания (убывания), максимумы
и минимумы функции:
а) у = 2 SiIl Х + 3 cos х; б) х 2 + х 2
у= х 2 1
В) У = cos 2х 2 cos х; {') у = 19 sin х.
83. Найдите асимптоты rрафика функции:
х х 2 + 1 х 2 х 2 + 4
а) y= ; б) у = в) у = Ixl + 1; r) у= х 2 9 .
x 2 х
338 3а1ачlt повышенной трут..ности
84.
Постройте rрафик каждой из функций (84 85).
а) у = {1,5х 1}; б) у= 12+ x x2 ;
х 2 16
1 COS 2 Х
в) У = ;
cosx
1 + 2 х + х 2
{') у = х+ 1 .
85. а) у = s in х Jcos 2 х + cos х -, .f sin 2 х;
б) у = J l COS2 х + sinx;
в) у = s in 2 (.JtgX ) + cos 2 Х (.ftiX);
{') у = 1 sin 2 х + cos х.
Постройте rрафик функции (86 89).
86. а) y=I{X} I; б) у=2 1о12Х ; В) y=211012XI+l; r) y=logx ; .
87. а) у = .J[x] ; б) у = М; в) у = {х}2; {') у = {х2}; д) у = {х} .
[х]
88. а) у = .[; + .J х ;
В) У = ctg х sin х;
2
89. а) у = sin (arcsin х);
в) у = cos (2 arccos х);
90.
91.
92.
93.
94.
б) У = .J log2ooo cos 2000 х;
{') у = {cos х}.
б) у = arcsin (sin х);
{') у = arctg (tg х).
Найдите с помощью эскизов rрафиков число решении урав-
нения:
а) sin х = 100х;
в) 19 х = cos х;
На рисунке 168
б) arcsin х = х;
{') х 2 + tg 2 Х = 100.
изображен rрафик функции
у = ах З + ьх 2 + сх + d.
Определите знаки коэффициентов а, Ь, с, d.
Изобразите на координатной плоскости множество точек, KO
ординаты которых удовлетворяют заданному условию
(92 96).
а) х (у 2) = о;
в) (х 2) (у + 4) = о;
а) 1 х 1 < 1, 1 у 1 < 1;
в) Iyl > Ix + 11;
х2 у2
а) о.
х 2 + у2 1 '
в) -Jx+y lxl;
б) 1 у 1 = 1 х 2 2х 1;
{') Iyl = siJl х.
б) 1 х 31 ( 1, 1 у 41 1;
{') Ix + yl + Ix yl 2.
б) Ixl+lyl=4;
{') ху+ 1 у+ 1 .
xy 1 y l
339 3аlачи повышенной тру ности
у
х
х
8)
У
б)
У
ох
ох
в)
r)
Рис. 168
95. а) у2 + cos 2 Х = 1; б) х 2 + у2 = х 2 у2 + 1;
в) I у I = log! 11 х + 2 I 11.
з
96. а) JX+Y М; б) Ixl Iyl < а; в) [х] [у]; {') {х} {у};
д) 1.. >1.; е) sin х > sin у; ж) min (х; у) = 1; з) ху + 1 о.
х у
э 3.
Уравнения, неравенства и системы
8. Рациональные алrебраические уравнения
97. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет
решение. Найдите знаки корней:
а) х 2 2 (а 1) х + 2а + 1 = о;
б) (а 3) х 2 2 (3а 4) х + 7а 6 = о.
98. а) Для каких значений а один из корней уравнения
(а 2) х 2 2 (а + 3) х + 4а = О
больше 3, а друrой меньше 2?
340 3а,1ачи ПОПЫIIIСllllоii ТРУ111ОСТИ
б) Найдите все значения й, при которых оба корня ypaBHe
ния
(2а + 3) х 2 + (а + 1) х + 4 = О
принадлежат отрезку ( 2; О].
99. Числа Х 1 и Х 2 корни уравнения х 2 + рх + q = о. Выразите
через р и q: а) x + x ; б) x + x ; в) + ; {') xt + x .
Х 1 Х 2
100. а) Сумма квадратов корней уравнения х 2 4х + р = О paB
на 16. Найдите р.
б) При каком значении а сумма корней уравнения
х 2 + 2а (х 1) + 1 = О равна сумме квадратов :этих корней?
101. Уравнение ах 2 + Ьх + с = О не имеет действительных корней,
причем а + Ь + с < о. Определите знак с.
102. Докажите, что если уравнения ах 2 + Ьх + с = О и
ьх 2 + сх + а = О (а О) имеют общий корень, то и уравнение
сх 2 + ах + Ь = О имеет тот же корень.
103. Докажите, что: а) если хо = р несократимая дробь, явля
q
ющаяся корнем уравнения аох п + а 1 х ll 1 + ... + а ll = О с целы
ми коэффициентами, то р делитель а ll , а q делитель а о ;
б) остаток от деления мноrочлена Р (х) на одночлен
(х а) равен значению этоrо мноrочлена в точке а (в частно
сти, если а корень мноrочлена Р (х), то этот мноrочлен дe
лится на (х а) без остатка).
104. Пользуясь результатом задачи 103, решите уравнение:
а) 2х З х 2 + х + 1 = о: б) 10х З зх 2 2х + 1 = о:
в) х 4 + х з + х 2 Х 2 = о; (') 2х 4 + 7 х з + 6х 2 + 7 х 6 = о.
Решите уравнения (105 114).
105. а) (х + 1) (х + 2) (х + 4) (х + 5) = 40;
б) (х 1)5 + (х + з)5 = 242 (х + 1);
в) (х + 1) (х + 2) (х + 3) (х + 4) = 100;
r) х" + (х + 2)4 = 17.
106. а) 1 1 =!...;
х ( х + 2) ( х + 1)2 12
в) 1 + 2 = 1;
(x+2)(x 7) (x 2)(x 3)
{') (х 2 3х + 1) (х 2 + 3х + 2) (х 2 9х + 20) = зо;
107. а) X2+..l...+2 ( x+l J =6; б) 6х + l1х =2
х 2 х х 2 + 2 х + 3 х 2 + 7 х + 3
б) 6 21 = 4х х 2 ;
х 2 4x+ 10
341 Задачи повышеннои ТРУДНОСТИ
108. а) х 4 2х З + 3 х 2 2х + 1 = о;
4
б) 2х 4 + х З 3х 2 + х + 2 = о;
В) х 4 2х З зх 2 + 4х + 4 = о;
{') х 4 4х З 18х 2 12х + 9 = о.
109. а) 8х 4 + 8х 3 х 190 = о;
б) 4 х 4 4х З + х = 66
2
112. а)
х 4 + 4х 1 = о; б) х 4 4х З 1 = о.
2 (х 2 + х + 1)2 7 (х 1)2 = 13 (х З 1);
(х 2 Х + 1)2 + 2 (х З + 1) = (х + 1)2.
922
х 2 + х = 7; б) х 2 + х = 1.
( 3 + х)2 ( 1 + х)2
113. а) х 2 + 1 х 1 2 = о; б) х 2 2х 3 = Iзх 31
114. а) IlIlx II+21 11+11=2;
б) 2Ix+61 lxl lx 61=18;
В) 12х 31 = 1 х 2 2х 61;
{') Ix + 11 Ixl + 31х 11 21х 21 = х + 2.
110. а)
111. а)
б)
9. Рациональные алrебраические неравенства
Решите неравенства (115 118).
115. а) (х 2 + 3х + 1) (х 2 + 3х 3) ;) 5;
3 (x 1) (х+ 2)2 о.
б) (х 2 + 1)( х + 1)2 ( Х 2 ) ,
116. а) х 4 + Зх З + 2х 2 + 3х + 1 > о;
б) (х 1) (х 3) (х 4) (х 6) ;) 17.
117. а) х18 х1З+х10 х7+х2 х+l>0;
б) х 12 х 9 + х 4 х + 1 < о.
118. а) IX2 2xl<x; б) 3X2 lx 31>9x 2.
119. Докажите неравенство:
а+Ь r;: 1
а) ;> vab (а > о, Ь > о); б) а + ;> 2 (а > о);
2 а
a+b+c+d 4
в) ;) ;Jabcd (а, Ь, с, d положительные числа);
4
а+Ь+с Зr
{') 3 ;) vabc (а > о, Ь > О, с > о).
Докажите неравенства (120 124).
120 а) а 2 + ь2 + с 2 ;) аЬ + ас + Ьс;
б) (а + Ь) (Ь + с) (с + а) ;) 8аЬс (а ;) о, Ь > о, с ;) о);
342 Задачи ПОПЫIIIСllllоii ТРУ111ОСТIf
В ) если а + Ь + с = 1 то а 2 + Ь 2 + с 2 .!.
, з'
{') а 4 + ь4 + с 4 аЬс (а + Ь + с).
1 1 1 п 1
121. + + ... + < .
22 32 п 2 п
122. (а + Ь) (аЗ + Ь З ) 2 (а 4 + ь 4 ).
123. 5 а 2 6аЬ + 5ь 2 > О (а 2 + ь 2 * О).
124. .J <a + с) (Ь + d) .JOЬ + JCd (а О, Ь О, с О, d О).
10. Системы рациональных алrебраических
уравнений
Решите системы уравнений (125 134).
125. а) {(х у)(х 2 у2) = ЗаЗ, б) { х 2 ху + у2 = 21,
(х + у) (х 2 + у2) = 15а З ; у2 2 ху + 15 = о.
126. {и+V 2, {IX 11 +ly 21 l,
а) б)
13u v I = 1; У + I х 11 = 3.
IX+Y Z 2' IX+Y+Z= 2'
127. а) 2 х у + 4z = 1, б) x y+2z= 7,
х + 6 у z = 5; 2х + Зу z = 1.
128. а) { х + у 3, б) { х + у + ху о,
х 4 +у4 =17; х З + уЗ + хЗуЗ = 12.
129. а) { х у + ху = 17, б) {(х 2 + 1) (у2 + 1) = 10
х 2 + у2 = 34; (х у) (х у + 1) = 3
{х 2 2ху Зу2 =0, [x+y=z,
130. а) б) у2 + Z2 = lзх 2 ,
х 2 2 х + у2 = 6; 2 (х 2 + Z2) = zy2.
131. а) { х 2 у2 = З, б) J (х 2 + у2) : 6,
х 2 + ху + у2 = 7; l ( х 2 у2) У = х.
132. а) { х З уЗ = 19 (х у), б) {х з = 5х+ у,
х З + уЗ = 7 (х + у); уЗ = Х + 5у;
343 3а ачи повышенной ТРУ 1I0СТИ
r х 2 + у + z = 2, r х 2 + 2 yz = 1,
в) х + у2 + z = 2, {') у2 + 2xz = 2,
lX+y+Z2=2; lZ2+2XY=1.
r 2 х ( + ) 15, r ху 6
Jщ=s'
J 3у ( = + ) 20.
133. а) б) xz 3
,
I Z Х I Х + Z 4
zy 2
l б Z ( + ) = 13; t z+у =з.
r Х З + уЗ zЗ xyz = 4, [ 4х 2 + 4у + 1 = О,
134. а) t х з уЗ + zз xyz = 8, б) 4 у2 + 4 z + 1 = 09
ХЗ + уЗ + zЗ xyz = 2; 4z 2 + 4х + 1 = о.
J х + у + z = 4, [ х 2 + ху + у2 = 37,
в) х2 + у2 + Z2 = 14, {') х 2 + xz + Z2 = 28,
l ху + xz + yz = 9; у2 + yz + Z2 = 19.
11. Задачи на составление уравнений
и их систем
135. Две точки двиrаются по окружности длиной 1,2 м с постоян-
ными скоростями. Если они двиrаются в разных направлени
ях, то встречаются через каждые 15 с. При движении в од-
ном направлении одна точка доrоняет друrую через каждые
60 с. Найдите скорость каждой точки.
136. а) Сумма цифр трехзначноrо числа равна 17, а сумма их квад-
ратов 109. Если из данноrо числа вычесть 495, то получится
число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Найдите число. б) Найдите все трехзначные числа, сумма
цифр которых равна 17, а сумма их квадратов равна 109.
137. Пассажир метро спускается по движущемуся эскалатору за
24 с. Если же он идет по неподвижному эскалатору с той же
СКОРОСТЬЮ 9 то спустится вниз за 42 с. За какое время пасса-
жир спустится вниз, стоя на ступеньках Движущеrося эска-
латора?
138. Три пункта А, В и С соединены прямолинейными дороrами.
К отрезку дороrи АВ примыкает квадратное поле со сторо-
ной, равной ! АВ, к отрезку дороrи ВС при мыкает квадрат-
2
ное поле со стороной, равной ВС, а к отрезку дороrи АС при..
мыкает прямоуrольный участок леса длиной, равной АС,
344 3аlачи повыllеннойй ТРУДНОСТИ
и шириной 4 км. Площадь леса на 20 км 2 больше суммы пло
щадей квадратных полей. Найдите площадь леса.
139. Для наrраждения победителей школьной олимпиады было
закуплено несколько одинаковых книr и одинаковых знач
ков. За книrи заплатили 1056 р., за значки 56 р. Книr KY
пили на 6 штук больше, чем значков. Сколько было куплено
книr? (Цены и книrи, и значка в рублях целые числа.)
140. Школьник затратил некоторую сумму дене!' на покупку
портфеля, авторучки и книrи. Если бы портфель стоил
в 5 раз дешевле, авторучка в 2 раза дешевле, а книrа
в 2,5 раза дешевле, чем на самом деле, то та же покупка сто-
ила бы 80 р. Если бы портфель стоил в 2 раза дешевле, кни-
{'а в 3 раза дешевле, а авторучка в 4 раза дешевле, то за
ту же покупку школьник уплатил бы 120 р. Сколько стоит
вся покупка и что дороже: портфель или авторучка?
141. Имеются три куска различных сплавов золота с серебром.
Известно, что количество золота в 2 r сплава из TpeTbero KYC
ка то же, что во взятых вместе 1 r из первоrо и 1 f' из BToporo
куска. Масса TpeTbero куска равна суммарной массе части
nepBoro куска, содержащей 10 r золота, и части BToporo KYC
ка, содержащей 80 r золота. Третий кусок, масса KOToporo
в 4 раза БОЛЬПlе первоrо, содержит 75 r золота. Сколько
{'раммов золота содержится в первом куске?
142. Из пункта А в пункт В в 8 ч утра выходит скорый поезд.
В этот же момент из В в А выходят пассажирский и Kypьep
ский поезда, причем скорость пассажирскоrо поезда в 2 раза
меньше скорости KypbepcKoro. Скорый поезд прибывает
в пункт В в 1 7 ч 50 мин Toro же дня, а встречает курьерский
поезд не ранее 10 ч 30 мин утра. Найдите время прибытия
пассажирскоrо поезда в пункт А, если известно, что между
моментами встреч cKoporo поезда с курьерским и cKoporo по
езда с пассажирским проходит не менее часа.
143 Самолет совершает посадку и движется по земле в течение
HeKoToporo времени равномерно со скоростью v. Затем летчик
включает тормоза, и движение самолета становится равноза
медленным, причем в каждую секунду скорость уменьшается
на 2 м/с. Путь от места приземления до полной остановки
равен 4 км. Отношение времени, за которое самолет прохо-
дит первые 400 м, к времени, за которое самолет проходит
весь путь по земле, равно 4 : 65. Определите скорость v.
12. Иррациональные уравнения инеравенства
Реши те уравнен ия (144 152).
144. а) J l Jx4 x2 = x l; б) .Jх2 зх+з + J х2 зх+6 =3;
В) 1 + х J х 2 24 = х 1; r) V х + 1 + V х 1 4!.
x 1 х+l 4
345 Задачи повышенной трудности
145. а) Б+ х l =l; З
б) 10 х + 3 х = 1;
в) х + = 2; {') 'V 9 Б+i + 3.J 7+ =4
146. а) 1 + cos х = sin х; б) .J l 2 cosx = sin х;
В) J 4 3 cos х = 2 cos х; {') l n 2х = 2 sinx.
147. а) x I 2 + x+7 6 =2;
б) x+3 4 1 + x+8 6 1 = 1.
148. а) + = 17;
б) Vx(2 x) + V x4(2 x)7(X+3)') + V (x 2)(x+l)x2 +
+ V ( x + 2) ( х + 6) = 2.
149. а) V( х + 1)2 + 2 ЗJ х 2 1 = 8 V( х 1)2 ;
б) V (2 х)2 + ' (7 + х)2 = (7 + х) (2 х).
150. а) х + 1 + =tf зх + 1 = х 1 ;
б) + 3.Jx l b = x 8 .
а) 12 + х + V12 + х = 64 ?JX;
х 12 3
1 + х " 2 х + х 2 = 2 7 . .J 2 + х + -h .
152.
1 + х + .J 2 х + х 2 .J 2 + х .j;
151.
б) х 2 5х 4.[; + 13 = о.
153. Для каждоrо действительноrо числа а найдите все решения
уравнения:
а) х + , 1 1 х 2 = а;
б) х 2 1 + х = а.
РеШIIте неравенства (154 158).
154. а) J х 2 3х + 2 > 2 х 5; б) -J зх х 2 < 4 х;
в) 3.[; .Jx + 3 > 1; {') х 1 I х I < о.
155. а) 1 " 1 4 х 2 < 3; б) J х 2 1 + 1
1;
х х
в) 4х 2 + 12x.fl+x 27 (1 + х);
{') J; + .J х + 7 + 2 .J х 2 + 7 х < 35 2 х.
346 Задачи повышенной трудности
156. а) х 2 2х + 3 < .J 4 х 2 ;
б) .J3 х JX+ 1 > .!
2
157. а) х+ х > 35 ;
.J х 2 1 12
2 3 х 2 + i
б) ( х ! ) 25 > 9 .
3 9 2(X )+ Jx(x )
158. а) .J 9+3X 2 9 3X;
в) 10g2( .Jx+3 x l) о;
б) .J х log2.JX > 2;
{') ,\,4x+l+17 5>2X.
Решите системы уравнений (159 162).
а) rv; fY + FVY =12,
159.
l ху = 64;
{ VX + VY =4,
в)
х + у = 28;
160. а) х + 2 у + х у + 2 3,
l2x+y=7;
в) { x Y+ .JX2 4Y2 =2,
х 5 ';;2 4y2 = о;
{ х2 y .J ху = 36,
161. а)
у2 Х J ху = 72;
{ x +3y =36,
162. а)
yfY +3xfY =28;
{ зх .Jxy + 2у = 29,
в)
2 х .J х у у = 20;
б) J И + Й ·
l х + у = 5;
{ 3.JX + VY = 3,
{')
х 2 3J ху + -;J у2 = 2.
б) { X2+2y+ J X2+2Y+l =1,
2х+у=2;
! 1 1 1
= ,
r) ух 3.JY 6
3,JxY = 6.
! rx+Y5
б) 11 х+ 11 + 11 = 2 '
ху х у = о.
б) 2 3.JX 2 VY 3 V ху ,
l х у = 63;
r х 2 + у2 + J х 2 у2
r) J х 2 + iI х 2 у2
l х З + 2 уЗ = 118.
5+.J7
= ,
5 .J7
347 За 1.ачи повышенной ТРУ,1.ности
1 э. Триrонометрические уравнения,
неравенства и системы
Решите уравнения (163 165).
163. а) 3 + 2 sin 2х = tg х + ctg х;
б) tg х sin х = 1 tg х sin х;
в) s in 2 х + sin 2 2х = sin 2 3х;
{') .J 6 sin х 2 cos х = о.
164. а) Ixlsinx+x=O;
в) I х I cos х х = О;
165 . а)
1 tg-l Х = 1 7;
cos 4 х
б) .J si n х 1 + 2 х = о;
) ( -h+ ) 2 . Х
r =Sln .
2 2
б) tg 3х tg х = 2 (sin 4х sin 2х);
2 tg cosx
{') 2 2 = 4.
в) 3 (log2 sin х)2 + log2 (1 cos 2х) = 2;
166. Докажите формулу:
2 tg.!!
а) sin а. = 2 ;
1 + tg 2 .!!
2
2 tg.!!
В) tg а = 2 ;
1 tg2.!!
2
167. Решите уравнение:
а) sin 2х + tg х = 2;
1 tg2
б) cos а. = 2 ;
1 + tg2 а
2
1 tg2.!!
{') ctg а. = 2
2 tg !!.
2
б) sin х + ctg = 2.
2
168. Докажите тождество
а sin х + Ь cos х = А sin (х + <Р),
{'де удовлетворяет условиям:
cos = а , Sln = ь ,А = -J а 2 + Ь 2 .
а 2 + ь 2 .J а 2 + ь 2
Решите уравнения (169 175).
-
а) sin х "'J cos х = 1; б) 2 sin х + 3 cos х = 4.
.J2 (sin х + cos х) = tg х + ctg х.
cos лх cos 2лх cos 4лх cos 8лх cos 16лх = .
31 31 31 31 31 32
а ) sin8 х + cos 8 Х = !I. б ) sin 100 х + cos 100 х = 1
32'
169.
170.
171.
172.
173. 2 cos...!.. = 2 х + 2 х .
10
348 Задачи повышенной трудности
174. х 2 + 2х sin (ху) + 1 = о.
175. 8 sin х = ..JЗ + .
cos х sin х
176. Докажите, что уравнение (sin х + Jз cos х) Sln 4х = 2 не име
ет решений.
Решите неравенства (1 77 1 78).
177. а) J3 tg 2 Х 4 tg х + J3 > о; б) lL < 11 2 sin х;
sin х + 1
{') tg х + ctg х ;) JЗ + .
",3
в) .. < 2 tg х;
tg х+ 1
178. а) cos 2х (; cos 3х cos 4х;
б) cos 2 Х + cos 2 2х + cos 2 3х + cos 2 4х 2;
в) sin 2 х + 2 si n х > о;
{') (1 + cos 2х) (tg х JЗ) > о.
179 Докажите справедливость неравенства:
а) .Jcos q> < .J2 cos <Р , если < <р < Х ;
222
б) sin 4 а + cos 4 а ;) 4 при любом а.
Решите неравеНСТВ8 (180 181).
180. s in ( COS 1tX );. .
181. ..J 5 2 sin х 6 sin х 1.
182. Докажите, что если О < х < .!!., то cos sin х > sin cos х.
2
183. Докажите, что если А, В и С уrлы треуrольника, то
cos А + cos В + cos С " !.
2
184.
Решите системы уравнений
, О 1 .
s 1 n х '""'7""""'" = S 1 n у,
а) Sln Х
cosx =cosy;
cosx
(184 186).
{ sin (у 3x) = 2 sin З х,
б)
cos (у 3х) = 2 соs З х.
185.
r х У 2
tg 2" + tg 2 = .J3 '
t tg х + tg у = 2 JЗ.
186.
r о
I tg х tg У = S1Jl Z + 3,
cos х COS у
sinx
tg у tg z = 5"
I cos cos z
l tg х tg z = SlJl У 3.
cos х cos z
349 За l.аЧIf повышснной ТРУДНОСТИ
14. Показательные и лоrарифмические
уравнения инеравенства
Реши те ура внения (187 189).
187. а) ("5 + Б)"' + (" 5 .,,'24 У = 10;
б) 3 Х + 4 Х = 25:
в) (2 + .J3)X + (2 -v3).\' = 4;
{') (2 + JЗ)Х + (2 .Jз)х = 4 Х .
5
1 х 3 I 3х 2 10х ... 3 = 1; 2 соз3х ='VX;
188. а) б) х 4
в) 1 х 2 IlOx2.. Эх .. 1 = 1; r) 21.\'1 = sin х 2 .
189. а) 2 sin 2 .\' + 4 . 2 соз 2.\' = 6; б) 3 Jg tg.\' 2 . з lg ctgx + 1 = 1;
1
в) 43 + 2 cos 2.\' 7 . 41 + cos 2х = 42 ; r) (2 sin x)COSX = 1.
190. При каких значениях а уравнение а (2.\' + 2 X) = 5 имеет
единственное решение?
РеlПите неравенства
191. а) 2 Х + 21.\'1 2Л;
в) аХ < ь 2 + Х;
(191 192).
б) 25. 2 Х 10 Х + 5 Х > 25;
2x 1 1
{'} < 2.
2 х + 1 + 1
б) 9 J.\'2 3 + 3 < з J х 2 3 . 28 .
3
192. а) (х 2) .\'2 6х ... 8 > 1;
193. Найдите все значения а. для которых неравенство
4 Х а . 2 Х а + 3 О имеет хотя бы одно решение.
194. Решите систему уравнений:
а) { 3 2Х +4 2и =82, б) { ( 2X+1 3) .2" 1=1'
З Х 4 у = 8; J 3x + у2 = Х + у;
В) ! 2COSХ+ 2 1 ':' У =5,
сosх+
2 сози =4;
{ 9 2 чrх+сosу = 3,
{')
gcosy 81 tgx = 2
РеlП ите урав нения (195 197).
195. а) .J l + 10g2 х + .[410g.j х 2" = 4;
б) log62X 3 10g613 X з1 = х;
в) log 1 (3 + Isin xl) = 21.\'1 2;
3
{') 3J l + Ig tg х + V 1 19 tg х = 2.
350 Задачи повышеllllОЙ ТРУДIIО(,ТИ
196. а) 9x 1g х + 91x lg х = 60; б) 1 11 1oJr2 х IOJr2 х 2 1 ll З
x = x ;
2 lJr 100 З lJr х logx . 1 (х 2 + х 6) = 4
В) х r = 0,1; {')
197. а) Ig (arctg х) + Ig (arcctg х) = а;
б) logx + 1 (х 2 9х + 8) . logx 1 (х + 1) = 3;
в) arcsin (lg х 2 ) + arcsin (lg х) = ;
3
{') lоgЗ 4х2 (9 16x4) = 2 + 1 2 .
log 2 ( 3 4 х )
198. При каких значениях а уравнение 2 log х Ilоg з х 1 + а = О
имеет четыре решения?
199. При каких значениях а уравнение 3х Ig х = 1 + а 19 х имеет:
а) одно решение; б) два решения?
200. При каких значениях а уравнение х In 1 х 1= а имеет один
корень?
Решите неравенства (201 203).
201. а) 10g2 (1 + log 1 х logg х) < 1;
9
б) log (х 1)2 logo.5 (х 1) > 5;
в) 10g 1 (log2 logx 1 9) > о;
2
{') (og2 (log 1 log5 х) > о.
з
202. а) log2 (2 Х 1) log 1 (2 Х + 1 2) > 2;
2
б) зlоg х + х1оgз х < 6;
в) 31Jr х + 2 < 81Jr 2х + 5 2; {') 5 log х log х О
+ х < 1 .
20: . а) logx з (х 4) < 2; б) 2 log 2 х (х 2 8х 15) < 1;
в) (о 4 х 5 !. {') logx (logg (з х 9» < 1
g х 2 1 Х 21 2 '
204. Известно, что неравенство
loga (х 2 Х 2) > loga (3 + 2х х 2 )
выполняется при х =!!. Найдите все решения этоrо HepaBeH
4
ства.
351 dадачи повышенной трудности
205.
Решите системы уравнений (205 206).
{ log х у = 2, { (х + у) х = (х у) у ,
а) log х 1 ( У + 23) = 3; б) log 2 Х = 1 + log 2 у;
{ (х y)ly x = 125, { 210 g 2 х зу = 15,
в) Ig2 (х у) = 1; {') 3 У . log2 Х = 210g2 х + з у + 1 .
206. а)
J з сosr = ( )COS Y ,
llog2 (sin х cos у) + log2 (sin х + cos у) = 1;
{ log2 sin х + log2 sin у = 2,
б)
lоgз cos х + lоgз cos у = 1 lоgз 4.
4.
Начала математическоrо анализа
15. Производная
207 а) Докажите признак возрастания функции: функция f воз-
растает на промежутке 1 тоrда и только тоrда, коrда для лю
бых двух значений aprYMeHTa х и х + дх (rде дх :1: О) из про-
межутка 1 выполняется условие llf > о.
дх
б) Сформулируйте и докажите аналоrичный признак убыва-
ния функции на промежутке 1.
208. Пользуясь доказанными признаками (см. ом 207), найдите
промежутки возрастания и убывания функции:
а) f (х) = 2 х 2 ; б) f (х) = 3 4х;
в) f(х)=З х2; r) {(х)= 1 .
х
209. Пользуясь определением производной, докажите, что функ.
ция f дифференцируема в точке х о , если:
а) f (х) = х 1 х 1, хо = о; б) f (х) = 1 х 2 11 (х + 1), хо = 1;
{ x2 1 при x l,
в) {(х)=
х з х при х > 1, хо = 1;
f { х2 при Х О,
{') (х) =
х з при х < О, хо = о.
210. Докажите, что если функция f дифференцируема в каждой
точке числовой прямой и для любых значений х 1 и Х 2 вы-
полнено равенство f (х 1 + Х 2 ) = f (х и) + f (х 2 ), то {' (х) посто
янная.
352 3а-.ачи повышенной ТРУfJ.ности
211. Докажите, что функция f (х) = 3.J х 2 не имеет производной
в точке о.
212. Верно ли, что функция q> (х) = 11 (х) 12 (х) не имеет произ
водной в точке х о , если:
а) 11 (х) дифференцируема в точке х о , а 12 (х) нет;
б) обе функции не имеют производной в точке хо?
213. Докажите, что если функция 1 дифференцируема в каждой
точке числовой прямой и для любых значений х 1 и Х 2
выполнено равенство 1 (х 1 + х 2 ) = f (х 1) . f (х 2 ), то f (х) = е ах
или 1 (х) = о.
214. Выведите формулы производных обратных триrонометриче
ских функций:
а) arcsin' х = 1 ; б) arccos' х = 1
.J l х 2 .J l х 2
в) arctg' х = 1 {') arcctg' х = 1
1 + х 2 1 + х 2
215. Найдите производную функции: а) у = х Х ; б) У = (sin х)СОЗ х.
216. Найдите n-ю производную функции У = 2 1 .
х 3х + 2
217. Докажите, что если 1 (х о ) = g (х о ) и {' (х) > g' (х) при х > хо'
то f (х) > g (х) при х > хо.
218. Вычислите сумму:
2 3 4 n .
а) 1+ + 2 + З +...+ ,
2 2 2 2п l
б) 2+3. +4. +5. +...+(n+l). .
2 22 23 2п 1
16. Применение производной
к исследованию функций
Исследуйте функции на возрастание (убывание) и экстрему
мы (219 220).
219. а) {(х)=х2(Б I); б) l(x)=x2.J l 2x ;
в) 1 (х) = 6 sin х cos 2х: {') 1 (х) = 2 sin х + 3 cos х.
220. а) f (х) = 0,2x5 + 0,5х 4 х З х 2 х;
б) 1 (х) = 0,8х'> х 4 + 4х З + 2х2 + 4х.
221. Найдите все значения а, при которых функция f возрастает
на В:
а 2 1
а) I(x)= x3+(a 1)x2+2x+5;
3
б) 1 (х) = 2х 3 3 (а + 2) х 2 + 48ах + 6х 5.
353 3а1.ачи повышенно" ТРУ1.ности
222. Докажите, что данное уравнение имеет единственный ко-
рень:
а) cos х = х; б) sin х = х п.
2
223. Решите неравенство:
а) 2 + sin х > 1
1+ х 2
б) 2 cos х > 1
1+ х 2
224. Докажите. что любое кубическое уравнение х З + ах 2 +
+ Ьх + с = О имеет хотя бы один действительный корень.
225. Докажите, что мноrочлен степени п имеет не более чем п
корней и не более чем (п 1) точек экстремума.
226. Докажите, что каждое свое значение мноrочлен степени п
принимает не более чем п раз.
Р(х)
227. Пусть R (х) = дробно-рациональная функция (п сте-
Q(x)
пень Р (х), т степень Q (х». Докажите, что:
а) R (х) каждое свое значение принимает не более чем при
k = rnax (т, п) значениях х;
б) R (х) имеет не более чем (т + п 1) точек экстремума,
если т;#. п, и не более чем (т + п 2) точек экстремума,
если т = п.
228 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) f (х) = 4х З х 1 х 21 на [о; 3];
б) f (х) = тах ( 10 + c osx J .
R х 2 + 4лх + 41
229. Три пункта А, В, С не лежат на одной прямой, причем
LABC = 600. Одновременно из точки А выходит автомобиль,
а из точки В поезд. Автомобиль движется по направлению
к В со скоростью 80 км/ч, поезд к С со скоростью
50 км/ч. в какой момент времени (от начала движения) рас-
стояние между поездом и автомобилем будет наименьшим,
если АВ = 200 км?
280. На странице текст должен занимать 384 см 2 . Верхнее и ниж-
нее поля должны быть по 3 см, правое и левое по 2 см.
Если принимать во внимание только экономию бумаrи,
то каковы должны быть наиболее выrодные раЗ:\iеры стра-
ницы?
231. Расходы на топливо для парохода делятся на две части. Пер-
вая из них не зависит от скорости и равна 480 р. в час.
А вторая часть расходов пропорциональна кубу скорости,
причем при скорости 1 О км/ч эта часть расходов равна 30 р.
в час. При какой скорости общая сумма расходов на 1 км
пути будет наименьшей?
354 3а,1аЧII повышенной трудности
232. Найдите кратчайшее расстояние от точки М (о; 1) до rрафи.
ка функции f (х) = 1 з .
4..JJ х 2
233. Что больше:
а) з J2 или 2 JЗ ;
1 1
б) ( ) 1987 или ( l ) 1988 ?
1987 1988
х е (о: ; ). то:
з
б ) sinx > x .
6 '
х З х 5
{') sinx<x + .
6 120
234. Докажите, что если
17. Применение производной в физике
и rеометрии
240. Колесо радиуса R катится по прямой. Уrол ч> поворота колеса
за t секунд определяется уравнением ч> = t + . Найдите ско-
2
рость И ускорение движения центра колеса.
Лампа подвешена на высоте 12 м над прямой rоризонтальной
дорожкой, по которой идет человек ростом 1,8 м. С какой
скоростью удлиняется ero тень, если он удаляется от лампы
со скоростью 50 м/мин?
Под ка им у rлом пересекаются rрафики функций у = 8 х
и у=4 х+4?
Запишите уравнение касательной к rрафику функции {, про
ходящей через точку М, если:
а) f (х) =!, 1\1 (о; 3); б) f (х) = х 2 4х + 1, М ( 1; 3);
х
в) f (х) = .J 2x 1, 1\1 ( 1; О); {') f (х) = .J 9 х 2 , М (о; 6).
235.
236.
237.
238.
239.
241.
242.
243.
2
а) cos х > 1 ;
2
х 2 х 4
в) cosx<I + ;
2 24
Докажите неравенство:
а) е Х > 1 + х при х > о;
Решите уравнение:
а) In х = 1 х; б) 2 Х = 3 х.
Найдите число корней данноrо уравнения в зависимости
от параметра а:
а) х з 3х = а; б) I х 2 4х + 31 = ах.
К реке шириной а проведен под прямым уrлом канал шири-
ной Ь. Какую максимальную длину MorYT иметь суда, чтобы
пройти в канал? (а и Ь измеряются в метрах.)
Найдите минимальное значение функции
f (х) = 2х + 181[2 + cosx на интервале (о; 10).
х
б) ln (1 + х) < х при х > О
355 За -.;ачи повышенной трудности
244. Найдите все значения aprYMeHTa, при которых касатель-
ные, проведенные к rрафикам функций 1 (х) = 3 cos 5х
и g (х) = 5 cos 3х + 2 через точки с этими абсциссами, па-
раллельны.
245. Докажите, что отрезок касательной к rиперболе у = , за-
х
ключенныи между осями координат, делится точкой касания
пополам.
Докажите, что треуrольник, образованный касательной к rи-
перболе ху = а 2 и осями координат, имеет постоянную пло-
щадь, равную 2а 2 , а точка касания является центром окруж-
ности, описанной около этоrо треуrольника.
246.
247.
ах х З
При каких значениях а rрафик функции 1 (х) = пере-
4
секает ось абсцисс под уrлом 450 (хотя бы в одной из точек
пересечения)?
248. При каких значениях а и Ь прямая у = 7х 2 касается {'ра-
фика функции у = ах 2 + Ьх + 1 в точке А (1; 5)?
249. Докажите, что при любом значении а существует касатель-
ная к rрафику функции 1 (х) = х 2 ах, перпендикулярная
прямой у = x.
250. Опишите множество точек М k на координатной плоскости,
{'де M k (k = О, 1, 2, ...) множество точек 1\1 (х; у), таких,
что из точки 1\1 (х; у) можно провести в точности k касатель-
ных к параболе у = х 2 .
18. Первообразная
Найдите все первообразные для функции 1 на R (251, 252).
251. а) l(x)=lxl; б) 1 (х) = I х 11; в) 1 (х) = 1 х 2 11.
252. а) 1 (х) = х .J l + х 2 ; б) 1 (х) = xe x2;
в) 1 (х) = ctg х, х Е (о; л); {') 1 (х) = tg х, хе( П ' }
2 '
253. Найдите все функции 1, такие, что:
а) l' (х) =....!..... и 1(3) = 1;
x 1
б) 1" (х) = 3 х, 1 (О) = 1, l' (1) = о;
В) l' (х) = cos х и 1 (е) = п;
{') 1" (х) = 1 и 1 (О) = 1 (2) = о.
356 Задачи повышеllllОЙ ТРУДIIОСТИ
254 Для функции f найдите первообразную, rрафик которой про
ходит через точку 1\1. Постройте rрафик первообразной.
f { cos х при х < о,
а) (х) =
1 при х> о, 1\1 (о; о);
1 1 при х < 1,
б) {(х)= при х>l, 1\1(4; О).
.fX
255. Докажите, что любая первообразная нечетной непрерывной
функции, определенная на [ a; а), является четной функ
цией.
256. Докажите, что четная непрерывная функция, определенная
на [ a; а), имеет по крайней мере одну нечетную первообраз
ную.
257. Два тела начали движение по прямой одновременно из одной
точки. Скорость первоrо v (t) = 3t 2 6t, BTOpOro v (t) = 10t + 20.
В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки
произойдет их встреча? (Скорость измеряется в метрах в ce
кунду. )
258. Пусть при движении по прямой тело массой т в точке с KO
ординатой х обладает потенциальной энерrией и (х). ДOKa
жите, что:
а) координата х (t) тела при движении по прямой удовлетво
ряет дифференциальному уравнению тх" (t) = и' (х);
б) потенциальная энерrия и (х) материальной точки '\iac-
сой т, совершающей rармоническое колебание х" = ы2x,
kx 2
равна , {'де k = тоо 2 (положите и (О) = О).
2
ти 2
259. Докажите, что полная энерrия Е = + и (х) материальной
2
точки массой т, движущейся по прямой соrласно второму
закону Ньютона, сохраняется (и (х) потенциальная энер
rия).
260. Пусть Х 1 (t) и Х 2 (t) два решения уравнения х" (t) = ы2x (t).
Докажите, что функции х] (t) х }. (t) и kx} (t), {'де k про
извольное число, также являются решениями этоrо ypaB
нения.
261. Докажите, что существует решение уравнения х" (t) =
= (1)2X (t), имеющее вид х = А cos (rot + <р) и удовлетворяющее
начальным условиям х (О) = х о , х' (О) = и о .
262. Пользуясь результатами задач 260 261, докажите, что лю-
бое решение дифференциальноrо уравнения х" (t) = (1)2X (t)
может быть записано в виде х = А cos (rot + <р).
357 3а;J.аЧII ПОПЫIIIСIIIIОЙ ТРУ111ОСТИ
263. Докажите тождество с помощью признака постоянства функ-
ции:
а) arcsin х + arccos х = .!!.: б) arctg х + arcctg х = л .
2 2
264. Найдите функцию у, если известно, что у'у2 = 2 и у (2) 2.
265. Найдите первообразные для функций е Х sin х и е Х cos х.
19. Интеrрал
266. Материальная точка движется по прямой. Докажите, что:
,
а) х (t) = хо + J v (t) dt. если известна ее скорость v (t) в лю-
'о
бой МО'\1ент t и координата точки в начальный '\10'\1ент t o
равна хо;
,
б) v (t) = V o + f а (t) dt, если известно ее ускорение а (t)
'о
в любой момент t и скорость в начальный момент t o равна v O .
267. Пусть f (х) мноrочлен степени не выше 3. Докажите, что
ь
f f (х) dx = Ь а (У1 + 4У2 + Уз)'
а
rде У1 f (а). У2 f ( а ; Ь ). УЗ f (Ь).
268. Докажите, что:
а
а) J f (х) dx = О, если f (х) нечетная функция;
a
а
а
б) f f (х) dx = 2 f f (х) dx, если f (х) четная функция.
a О
269. Воспользуйтесь результата:\'lИ задачи 268 и вычислите:
з
а) J (tg х + sinx) dx;
..
з
б) J х cosx dx.
п
270. Вычислите:
28 1
а) J 5 x б) J хе х2 dx;
dx;
з fl+
О , 4 О
358 Задачи повышеНIIОЙ ТРУДIIОСТИ
о
В) J х з.J 1 dx;
2
2
{') f (COS 2 Х + COS 4 х) dx
271. С
а)
б)
в)
{')
2
помощью интеrралов найдите предел:
1 . 1 ( . л .2п . (n I)Л )
1т Sln + Sln + ... + Sln ;
п 'Хп ппп
1 . ( 1 1 1 )
1т + +...+ ;
п .r., n+l n+2 n+n
l Р + 2 Р + ... + пР О
Нт при р > ;
n 'Х п р + 1
!im,. ( :: p + (:: p + 000 + (:: I)p ) при р > 1.
272. Вычислите:
2n
а) f cos 2 nxdx (п е N);
о
2n
б) f sin kx cosmxdx (т е N, k Е N);
о
n:
R
{') f sin3x cos5xdx.
о
в) f sin 2 х dx;
п
273. Используя rеометрическую интерпретацию интеrрала, BЫ
числите:
2 1
а) f Ilxl lldx; б) f ,J l x2dX;
2 1
3 5
В) J 1 х 2 11 dx; r) J I { х} I dx .
о о
274. Вычислите площадь фиrуры, состоящей из точек, лежащих
внутри эллипса. (Эллипсом называется фиrура, координаты
2 у2
точек которой удовлетворяют равенству + = 1.)
а 2 ь 2
275. При каких значениях параметров а, Ь и с определен интеr-
рал:
ь з ь
а) f dx ; б) f dx ; в) f dx ?
x 2 x c х+с
а О а
276. Найдите площадь фиrуры, оrраниченной линиями:
а) y=lx2 11 и y=5+lxl; б) lyl=2x x2.
359 -Jадачи повышенной трудности
1 1
277. Площадь фиrуры, оrраниченной ЛИНИЯМИ у = х ' у = 2x l '
4
х = 2, х = а, у = О, равна ln J5 . Найдите а.
278. Докажите, что площадь параболическоrо cerMeHTa, заклю-
ченноrо между параболой у = х}. И произвольной прямой, па-
раллельной оси абсцисс, равна площади прямоуrольника
3
с вершинами в точках пересечения прямой с параболой
и основаниями перпендикуляров к оси абсцисс, опущенных
из точек пересечения.
279. Пружина растяrивается на 2 см под действием силы в 180 Н.
Первоначальная длина пружины равна 20 см. Какую работу
нужно совершить, чтобы растянуть пружину до 25 см?
280. При каком значении а площадь фиrуры, оrраниченной осью
Ох, rрафиком функции у = х З + зх 2 + х + а и вертикалями
х = const в точках экстремума этой функции, будет наимень-
шей?
281. Капля воды с начальной массой М падает под действием
силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно
массу т. Какова работа силы тяжести за время от начала па-
дения капли до ее полноrо испарения?
282. Какую минимальную работу по преодолению силы тяжести
надо произвести , чтобы насыпать кучу песка в форме кону-
са высотой Н и радиусом основания R? Плотность песка
равна р, и ero ПОДНИ:\iают с плоскости основания конуса.
283. Однородная треуrольная пластинка с основанием а = 40 см
и высотой 11 = 30 см вращается вокру!' основания с постоян-
ной уrловой скоростью (1) = 5п C l. Найдите кинетическую
энерrию пластинки, если ее толщина d = О ,2 см, а плотность
материала, из KOToporo изrотовлена пластинка, равна
р = 2,2 r /СМ З . (Толщиной пластинки пренебречь.)
284. Найдите центр масс однородноrо полукруrа радиуса R.
285. Найдите центр масс однородноrо полушара радиуса R.
286. Докажите, что работа, которая производится против силы
выталкивания воды при поrружении однородноrо тела в во-
ду, равна pgVll, {'де Р плотность воды, g ускорение сво-
бодноrо падения, Il rлубина поrружения центра масс ча-
сти тела, находящейся в воде, V ее объем.
Ответы и указания к упражнениям
I I
rлава 1
1. r) 5 6 П ; 6 5 П ; . 2. r) 2250; 2700; 1050. 3. в) 4; r) 3. 4. в) Нет; да; да.
5. в) Нет; r) да. 6. В) Нет; r) да. 7. r) Slll а = 187 ; tg а = 185 ;
15 24 161. 84. 77
ctga= 8.8. r) 1. 9. в) 1. 10. б) 25 ; 289 ' 85 ' 85 11. в) tga.
12. б) tg ; Cos 1 ; cos ; ctg О,1п. 13. r) 1. 14. в) Нет; r) да.
15. (') Ь ; ; 4. 16. в) 0,7833; 0,6216; 1,2602; 0,7936. 17. б) 2206";
",17 ,,17
27030'7"; 63035'54"; 84047'52". 18. в) 0,1 м; (') 9п м. 19. а) 0,05 м 2 .
.f3 З 2J2
20. б) 1. 21. в) 3; [') . 22. в) . 27. (') 2. 30. в) IV;
6 3
IV; п. 31. r) Плюс. 36. в) D (у) =п, Е (у) = ( 2; О]. 37. r) D (у) = R,
Е (у) [ 1,5; 1,5]. 38. r) (о; 1), ( + 2пп; О). п е Z. 39. в) (о; 3.5).
1 1
41. в) + 1; + 1. 42. в) Нет. 43. в) ( oo; 4) u ( 4; 2) u (2; (0).
Хо а + 2
44. в) Числовая прямая, кроме чисел лп, п е z. 45. в) D (у) = Е (у) =
= ( oo; 1) u ( 1; 00). 46. r) D (у) = [ 4; 3], Е (у) = ( 1; 4]. 49. r) Рис. 1.
50. в) Выполняем растяжение rрафика функции у = cos х вдоль оси орди-
нат (k = 0,5), а затем перенос на вектор (о; 1), рис. 2. 52. r) 81 (х) = х 2 ,
D (81) (о; а;'2 } 8 2 (х) а 2 x2. D(8 2 ) У
= (о . , а 2 J2 J.
53. в) [ 2; 1,5) U (1,5; 00).
54. r) D (у) = R, Е (у) = [1; 1,5]. 64. r} 3л.
4л
65. в) л. 67. r) 3. 68. в), r) Нет. 69. r) Не-
четная. 70. в) Ни четная, ни нечетная.
72. r) Четная. 73. r) 2л. 77. r) Возра-
стает на ( 4; 2], [О; 2], r 4; 6]; убывает
на ( 6; 4], [ 2: О], [2: 4]: х п18х = 2.
х п18х = 2, Х Шir1 = 4, x n1in = О, Х шiп = 4,
1
y 2+
х
2
1
х
у ( 2) = у(2) = 3, у(О) = О, У ( 4) =
= у (4) = 2. 82. r) Возрастает на [3; 00);
Рис. 1
.361 Ответы и указания к упражнения,!