/
Author: Михайлов А.Б. Плоткин А.И. Рисс Е.А. Яшина Е.Ю.
Tags: алгебра математический анализ функциональный анализ математика задачи по математике сборник задач
ISBN: 5-8064-0452-8
Year: 2001
Text
".....
Российский rосударственный педаrоrический университет
И 1ени А.И. rерцена
i\.. Б. Михайлов, А. И.. Плоткин, Е. А. Рисе, Е. ю. Яшина
"
u
атематичеСRИИ языIR
в задачах
Сборник задач
2 e издание, исправленное
Санкт Петербурr
Издательство рrпу им. А.И. rерцена
2001
"1
'1
,
ББК 22.14+22.161
М 69
Печатается по решению кафедры алrебры, кафедры математическоrо анализа
и РИСа рrпу ИМ. А.И. rерцена
Рецензенты: д p пед. наук, проф. Н. Л. Стефа"н'О8а (рrпу ИМ. А.И. ["ерцена),
действ. член Р АО, д p физ. мат.. наук, проф. Af. И. Башма1СО8 (ИПО Р АО)
Михайлов А.Е., ПЛОТIOПI А.И., Рисе Е.А., Яшина Е.Ю.
М 69 tvlатема.тический язы:к в задачах: сборник задач. 2 e ИЗД., иепр. СПб.:
Изд во рrпу ИМ. А.И. rерцена, 2001. 236 с.; ил.
ISBN 5 8064 0452 8
Сборник предназначен студентам младших курсов математических специалъно
стей педаrоrических ВУЗОВ и учащимся старших классов математических школ Uель
ero помочь в овладении математическим языком и :'!оrичес:кой I<УЛЬТУРОЙо.
м 43009000000 68
БЕК 22.14+22.161
ISBSN 5 8064 0452 8
@ А..Б. Михайлов, А.И. Ппоткин,
Е.А. Рисе, Е.Ю. Яшина, 2001
@ Изptlтелъство рrпу им. А. и.
А.и.rерцена, 2001
" !
'1 ,r I I J I ., I
155
. . . . . 155
. . . . 166
175
175
185
. . 199
. . 215
. . 229
233
оrЛАВЛЕНИЕ
ПI)едисловие .
l'лава 1. МНОЖЕСТВА
1.1. Высказывания и предикаты
1.2. Понятие l\lножества . . . ..
1.3. Отрицание, конъюнкция и дизъюнкция.
1.4. Операции над l\iНQжестваl\IИ . . . . . .
I'лава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МА ТЕМА ТИКИ
2.1. Иl\1пликация ...о.................
2 . 2. Кв ант о р ы . . .. . . . . . . . . . . . .
2.3. О форr,лулировках определений и Teope M:
2.4. Законы равносильности сложных предло ений .
rлава з. ФУНКUИИ
3.1. Определение функции . . . . . . . . . .
3.2. Образ и прообраз множества при отображении.
; .3. Суперпозиция. . . . . . .. . . . . . . . . .
tJ 'L-'
I"'лава 4. СВОИСТВА функции .
1.1. Инъективность, сюръективность, бие-ктивность,
монотонность . .. . . . . . . . . .. . . . .
1.2. Обратная ФУНКIIИЯ ............
1.3. Равносильные преобразования уравнений
инеравенств . . . . . . . . . . . .. .. I
1.1. Инвариантные предикаты и l\lножества .
I'лава 5. БИНАРНЫЕ ОТНОIIIЕНИЯ .
5.1. Свойства бинарных отношений На множестве.
!).2. Разбиения и 8квивалентности . . .. . .
()ТВЕТЫ
Ответы к rлаве 1
Ответы к rлаве 2
Ответы к rлаве 3
Ответы к rлаве 4
Ответы к rлаве 5
. iI...........,.,....
'IIИСО:К обозначений
з
4
5
. 5
10
16
23
31
31
40
50
62
76
76
89
98
109
109
. 122
132
143
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлаrаеl\IЫЙ сборник 10r бы называться "Введение в MaTe
l\lатику". Он предназначен BceJ\I, кому необходим достаточно BЫCO
кий уровень l\lатеI\fатической культуры: студентам БУДУЩИl\'1 Ma
теI\fатикаl\! и учитеЛЯ 1 l\lатеl\Iатики, школьникам старшеклассникаl\1
учаЩИl\.IСЯ специализированных l\1атематических школ и классов,
а также деЙСТВУЮЩИl\I учитеЛЯl\f 1\'1атеl\fатики при различных формах
повышения квалификации. Основная цель всех ЦИКЛОВ задач, ПОl\lе
щенных в сборник, помочь овладеть математическим ЛЗЫКОl\1 и ло
rическои культурой на уровне, позволяющеl\1 в дальнейшем успешно
изучать основные l\lатематические ДИСЦИПЛИНЫ. Сборник постро
ен как система задач и упражнений, понятийный аппарат которых
лишь слеrка расширяет стандартные рамки школьной алrебры и
школьных ОСНОВ анализа, но ориентированных не на алrоритмы, а
на "шаблоны математическоrо мышления": привычку пользоваться
определеНИЯI\IИ, выработку адекватных перефОРМУЛИРОБОК, rипотез,
доказательств, построение КQнтрпримеров, привычку к рассуждени
Яl\1 "от противноrо" и т. п. Формальная лоrика при аТОМ развива
ется лишь l\IИНИl\lально и не акцентируется, ибо цель приучить
К обычному для математики инстинктивному и безошибочному ис
пользованию лоrических правил.
В каЖДОl\I параrрафе собственно задачи предваряIOТСЯ кратки
1\1И сведеНИЯl\IИ об определениях и основных свойствах участвующих
понятий; раЗУl\lеется, 8ТИ сведения не A10rYT ПОЛНОСТЫО за!\.1енить
учебника или объяснений преподавателя.
Авторы'
, I j I \ I I
1.1.. ВЫСJmэьmаиия и пре,цижаты
5
rлава 1. МНОЖЕСТВА
1.1. Высказывания и пре,цикаты
Повествовательное предложение, обладающее Tel\i СВОЙСТВОI\:I,
что 0110 ИСТИННО 'или ложно, называют вЬLск:азывание.Аt. Высказыва
ние облада.ет ровно ОДНИI\I uсrпulluосlпNыlА-lt значение.Аl либо uc..
тп ии а" (кратко 11), либо ".,.10J1Cb" (кратко .11). ПРИl\lераI\IИ
высказываний служат предложения: "6 > 3", "2 + 2 == 5' , "Всякое
четное число делится на 4".
Среди повествовательных предложений встречаются предJ1О
жен ия с nepe.Atenu Ы./Н и. Предложение с переl\lеННЫl\'1И, которое
при заI\lене переl\Iенных определеННЫl\IИ их значеНИЯl\IИ превраща
ется в высказывание, называют предu атоЛt. ПРИl\Iеры преДика
ТОВ: "Число n делится на 8" ,
{ 2х х 2 == 5
у2 3 у < О,
' OH написал рОl\.lаи «Война и l\IИр» ''1 (в последнеl\I предложении
переr..-lенной является l\lеСТОИl\-fение '"он"). Предложение "Всякое про
стае число р, большее двух, нечетно" предикаrОl\1 не является, по
скольку при подстановке в Hero Bl\leCTO переl\.Iенной каких нибудь ее
I
конкретных значении ОСl\lысленноrо предложения не получается.
rоворят, что предика.т пpUHU.Ataeт, значеJ-luе И (.11) при HeKO
торых значениях nepel\leHHbIX, если при этих значениях переI\.lенных
ОН обращается в истинное (соответственно, ложное) высказывание.
Предикат, который ПрИНИl\lает значение И при всех значени
ях переl\lенных, при которых ОН становится высказываниеl\I, Ha3ЫBa
е rся тo aecт80.Al. НаПРИl\lер, ТQждества1\IИ являются предикаты
19xy==lgx+lgy, (a+b)2 a2+b2+2ab.
Предикат, которыЙ ПРИНИ1\lает значение Л при всех значени
ЯХ переl\Iенных, при которых ОН становится высказываниеf\l, назы
вается heBbtnOJl1--tU.Аtbl..Аt. IIредикат, который ПрИНИ1\:lает значение
1:( при каких либо значениях переl\.Iенных, называется вы. пол и U.;\tы.лt.
Всякое тождество является ВЫПОЛНИl\IЬП\1 предикаТОI\I, ВЫПОЛНИl\IЫ
I\IИ предиката1\IИ также ЯВЛЯЮТСЯ, наПрИl\lер, предикаты х > 5,
6
rлава 1. МНОЖЕСТВА
х 2 + у2 == О. ПрИI\Iераl\IИ неВЫПОЛНИ1\1ЫХ предикатов l\10rYT служить
предложения х 2 < О, sin х == 8.
Пусть Р, Q предикаты, а Хl, Х2, ... , Х п все переl\lенные,
входящие хотя бы в один из этих предикатов. r'оварят, что пре
дикат Q является следствие.л., предиката Р (из Р с.ледует Q),
если при всяких значениях переl\.1енных Хl, Х2,... , Х п , при которых
р ПрИНИ Iает значение И, предикат Q также ПрИНИl\lает значение
11. В aTOl\I случае пишут: Р => Q. НаПРИl\lер, предикат х 2 = у2
следует из преДИJ<ата х == у. За lеТИl\I, ЧТО, соrласно определению,
из всякоrо неВЫПОЛНИl\lоrо предиката следует любой предикат.
Предикаты Р и Q называются равиоси.ЛЬНЫ/'ttu, если OДHOBpe
1\1eHHO Р => Q и Q => Р. Лва высказывания называются равносиль
НЫl\IИ, если они одновреl\1енно оба истинны или оба ложны. Если
Р и Q равносильные предикаты или высказывания, То пишут:
P{::?Q.
*
*
*
1.1. Какие из следующих выражений языка являются ВЫСkазы
ваНИRl\IИ, какие предикатаl\lИ:
1) Луна есть спутник l\Iapca;
3) 2 + \13 v6 > 1000;
5) x2 2x+2;
6)
7)
2) 2 + J3 yt2;
4) x2 2x+6=O;
число 3 является КОрИ€I\l уравнения х 2 5х + 6 = о;
любое простое число р не Иl\Iеет делителей, отличных от
себя и 1;
8) натуральное число n не l\Iеньше 1;
9) треуrольник .-.4БG подобен треуrольнику А 1 Bl С 1 ;
10) да здравствует солнце, да скроется Tbl\Ia.;
11) студент первой rруппы nepBoro курса l\IатеI\Iатическоrо фа
культета;
I . ,1. ВЫСЮlзъmания и преДИRa.Тbl
7
1.2. Какие ИЗ высказываний, приведенных в упражнении 1.1,
11(" rинны?
1.3. Для каЖдоrо из предикатов упражнения 1.1 найдите, если
ВО3l\fОЖНО, }{акие либо значения nepel\IeHHbIX, при которых он обра
IН'lСТСЯ в истинное БыIказыыание,, и значения переl\I€ННЫХ, при KOTO
pl)I он обращается в ложное высказывание.
1.4. Какие из следующих предложений являются предикатаl\IИ:
..
1) натуральное-число х делится на 3;
2) существует натуральное ЧИСЛО х, которое делится на з;
3) всякое веЩественное число х удовлетворяет условию
siп 2 х+соs 2 х=1;
4) всякое ЧИСЛО х l\Iеньше у;
5) оба корня уравнения х 2 Зх + 2 == О положительны;
6) один из корней уравнения х 2 + ах + 2 == О отрица.телен;
7) х + у == у + х;
8) неравеНСТБО х 2 10х + va о не И1.Iеет отрицательных pe
шений.
(>
(>
о
...
1.5. Ка.кие предика.ты из упражнений 1.1 и 1.4 являются тож
Д,естваl\IИ, какие ВЫПОЛНИl\IЫ, а какие являются неВЫПОЛНИl\IЫl\:IИ пре
л.Иhатаl\IИ?
1.6. Какие из следующих предикатов ВЫПОЛНИ1\IЫ:
1) х 2 + 5х + 6 == о; 2) х 2 + у2 < о:
3) (х 1)2 + (у + 5)2 о; 4) log2(X 2 + 1) о;
5) sin 2 а + ctg 2 а O 6) log2 з 1хl < О ?
1.7. Выясните, какие из следующих предика.тов являются ТОЖ
дества1\IИ:
12)
14)
16)
18)
20)
log2 Х < siп у;
'} 2
X + у о;
sil1 2 Х + cos 2 Х == 1
. 2 ? 1
SlП Х + COS х < ;
tg х . ctg х > 1
13) ? ") О
х + У" > ; 1) x+l>x l;
15) ? ry О
х + У'" < ; 3) 1 + х 2 1 + х;
17) siп 2 х + cos 2 Х 1 . х 2 1
,
19) tg х . ctg х == 1 Б) x l'
х+l/"" ,
7) 2 log 2 Х == I х ] ;
, ,
2) 1 + х 1 х;
4) (1 +х) 2 1+ х 2 ;
6) у х 1 VX + 1 == \ / (х l)(х + 1);
8 ) 2log2 Х Х'
, ,
8
rnaвa 1. МНОЖЕСТВА
9) # == х;
12) # х;
15) (VX) 2 l.r I ;
10) Ы == Ix(;
13) vii Ixl;
16) (М) 2 Х.
11) Ы > х;
14) (уХ)2 == х;
1.8. В1\1есто I\lноrоточия поставьте, если БО31\10ЖНО, ОДИН из зна
КОВ =, <, , >, так, чтобы получилось тождество:
1) V 1 х ... v х 1;
x l
З) х 1 ... ,
x 2
2) Ixl ... х;
4) х 2 ... Ixl;
х 2
6) ... х;
5) 2 . / х 2 у 2 2 + 2
.. V< ...Х у;
1 1 а 2 + Ь 2
7) а + Ь ... 2 ; 8) 2 1x l о.. з 1хl ,
1.9. В Ка.ЖДОl\1 из следующих предикатов заl\Iените букву а Ta
КИl\1 ее ЧИСЛОВЫl\I значеНИ€l\I, чтобы получилось тождество:
1) ах > 1 ;
3) ( н )2 а;
5) sin 2 x+sin 2 (x+a) == 1;
7) 2loga х == УХ;
2) ( уСХ )2=:ах;
4) х 2 + ах + 1 > о;
6) tg (x + а) == ctg(x + 2а);
8) у а x v x 2 == О
О
о <>
1.10. Какие из следующих высказываний истинны:
1) x l==O =} (x 1)(x2+2)=O;
2) х 2 4 == О =} х + 2 == о; З) х > 6 => х 2 7х + 10 о;
4) х 2 5х + 6 О => х з; 5) х 2 + 4х + 3 О => х < 4;
6) х 2 1 ::= О => х > о;
х+l
x 2
8) х 2 4 == О => х 2 == о;
10) -JX> 10 {::} х о;
1 1 ?
12) х + == :::} хА< == 16;
х х
14) sin у == 2 sin х . СОБ Х => у == 2х;
7) Igx 2 =15 => 2 19 х :::: 15;
9) а+Ь>l :::} а 2 + Ь 2 > 2;
11) 2х = 1 х {:} 4х 2 == (1 x)2;
..
13) у == 2х => 1 cos у == 2 sin 2 х;
. 1.
I .1. выс зывиил: и пре,ци:каты
,
9
) . 1 VI3
15 Slll Х == {::} cos х == ;
2 2
1.11. Являются ли следующие предикаты равносильными?
Нвляется ли ОДИН ИЗ них следствие 1 друrоrо?
1) yXyfY== 15 и -JXY= 15; 2) 19ab== 1 и 19a+lgb== 1;
1
З) si n 2 х + cos 2 Х == 1 и t g 2 Х + 1 -----:--- а
С08 2 Х '
4) 2 log 2 Х == у и у е-. Х ;
6) х + у =: Z и
7) х З + уЗ == О и х 2 у2 == о;
16) sin х == 2 <=? cos х == 5 ?
5) х 2 О и 2 1xl = cos х;
(х + у)(х z) == zy;
2 2
8) х у =: О О
и x y== .
х+у
1.12. Выясните, какие из перечисленных предикатов следуют
И. предиката х 5:
1) x2 4x 5>O;
x 5
З) < о.
x 6 '
5) v x 5 V (4 x)2 O;
) 1 5х 5
( х + х 10 > х 1 ;
2) 10 + Зх х 2 о;
, 2
4) v x 5( V 4 x) > 1;
1 1
6) х + + 5'
х х
8) log2(x 1)2 > 3,5. I
1.13. Среди перечисленных предикатов найдите те, из которых
( ледует предикат х 5:
1) х 2 2х + 8 < о;
x 5
З) от 3 < о;
5) у6 х(х 2) о;
3х 3
7) х < ох 1 ;
1.14. Среди перечисленных предикатов найдите те, из которых
следует предикат 1 х 2 у2 1> о:
1) х > Iyl; 2) Ixl > у;
V X 1
5) \1' 1 х == ;
l x
4) у = х 2 ;
х2 у2
7) == 1;
x y
8) у == х 2 1.
2) х 2 3х + 18 о;
4) V5 х ( v' х 4 ) 2 > 1;
6) Ix 11 < 4;
8) log1. Х 1,5.
2
3) х у == 13;
6) х 2 + у2 < о;
10
r.пава 1. МНОЖЕСТВА I 1.2. Повитие множества
11
1.15. При каких вещественных а оказываются равносильными
следующие предикаты:
1) ах == 1 и х == 2;
2) х 2 + 3х + 2 == О и х 2 + ах + а 1 == о;
3) ах 2 + х + 1 == О и х 2 + 3 == о;
4) х 2 2ах + 1 == О и log2 Х == о;
5) (х 4 1)(х 2 + ах + 2) == О и х 2 == 1;
6) х 2 == 1 и (х+ 1)(х 2 2х+ а) == 07
1.16. При каких вещественных а истинны следующие высказы
вания:
1) х==5 х > а; 2) х > 2 => х > а;
3) х 2 => х < а; 4) х<3 х а;
""""
5) х<а х < 2; 6) x a => х 1;
7) х>а => х 1; 8) х > 3 => х а;
9) х+а==l => х > 1; 10) Х З => х 2 > а ?
1.2. Понятие множества
Понятие м:н.ОЭICесmва является ОДНИМ из исходных ПОНЯТИЙ Ma
теl\1атики. Слова "множество", "совокупность", а во мноrих случа
ях и "класс", "область", "семейство" употребляются как синонимы.
Некоторые множества имеют специальные обозначения: N MHO
жество всех натуральных чисел, lZ множество всех целых чисел,
Q множество всех рациональных чисел, IR множество всех
вещественных чисел.
Понятие множества используетr::я вместе с друrим ИСХОДНЫМ по
. "
нятием понятием але..меnmа. Предложение а является алемен
ТОМ множества А" есть высказывание (каково бы ни было множест
ВО А и каково бы ни было а). Если ато высказывание истинно, то
" А"
пишут: а Е А. В этом случае rоворят также: а принадлежит
или "А содержит эле1\1ент а". Заметим, что множество само может
служить 8ле?\,lентом друrоrо множества.
Множество, не содержащее ни одноrо влемента, называется
пустым множеством и обозначается знаЧ.КQМ 0.
Множество А называется nод-множеством множества В, ec
ли каждый элемент множества А является алементом множества
11. В атом случае пишут: А С В или В :J А (иноrда употребля
н [ значки А с В, в => А) и rОБОрЯТ также, что В содержит А в
I а.честве подмножества. Таким образом, высказывание А С В paB
IIОСИЛЬНО такому высказыванию: х Е А :::} х Е В.
Лва множества А и В называются равными, если они состоят
И,{ ОДНИХ и тех же влемёНТQВ, ИЛИ, что то же самое, если А С В и
11 С А одновременно. В атом случае пишут: А == В. Очевидно,
1I1)lсказывание А == В равносильно высказыванию х Е А {::} х Е В.
Подмножество А множества В называется собственным под
МllожеСТБОМ, если А не равно ни В, ни й.
Для Toro, чтобы задать множество, достаточно перечислить все
('1'0 алементы. Если аl, а2, . . . , а п все алементы множества А, ТО
IIИШУТ: А = {аl; а2; ...; а п }. Заметим, что множества {1; 2; 3} и
{ : ; 1; 2; 1} равны, поскольку состоят ИЗ ОДНИХ И тех же 8лементов.
1\1ножества {о и {0} различны: первое из них не содержит ни OДHO
1'0 8лемента, а второе в качестве единственноrо 8лемента содержит
1\1J10жество 0'.
,\
Для задания множеств часто используют предикатьr С каждым
IIредикатом Р(х) естественно связаны следующие два множества.
Множество всех тех значений переменной х, при которых пре
I{икат Р(х) становится высказыванием, называется областью onpe
(}елен.uя BToro предиката и оБОЗ,начается пр(х) или n(Р(х)).
Множество всех значений переменной х, при которых преди
кат Р(х) ПрИНИl\1ает значение И, называется областью истпи'Нн.осmи
предиката Р(х) и обозначается посредством {х r Р(х)}. 8тазапись
читается так: "множество всех таких х, что Р(х)".
Всякий предикат Р(х) с ОДНОЙ переменной задает некоторое
свойство 8лементов из ero области определения, а именно: rоворят,
что злемент а Е пр(х) обладает сеоисmвОА! Р(х), если значение
Р(х) при х == а есть И. Множества часто задают как области ис
тинности предикатов с ОДНОЙ переменной. Задавая множество таким
образом, мы описываем ero как IvlножеСТБО 8лемеНТОБ, обладающих
определенным свойством.
Для записи множеств используют также различные видоизме
нения обычноrо обозначения области истинности предиката, напри
мер: {2nlnEN}, {xEQlx2 2}.
12
rпaвa 1. МНОЖЕСТВА
Очевидно, высказывание {х I Р(х) } С { х I Q(x)} равносильно
высказыванию Р(х) ::} Q(x), а {х I Р(х)} ==. {х I Q(x)} тоrда и
только тоrда, коrда Р(х) {:} Q(x).
Заl\lетим, что задача о решении любоrо уравнения, неравенства,
СИСТеl\IЫ уравнений или неравенств есть задача о нахождении обла
сти истинности соответствующеrо предиката.
*
*
*
1.17. Выпишите все собственные подмножества множества
{ 1; 2; 3; 4}. Выберите среди них четыре различных подмножества
А, В, С, D такие, что А С В, С с D, D С В.
1.18. Приведите ПрИl\iер различных множеств А, В, С, D, Е,
удовлетворяющих каждому из следующих наборов условий:
1) D с С, Е =:> А, в => D, А С с;
2) А:::) С, В С Е, D С А, Е => с;
З) с => D, Е С А, А С В, С:> Е;
4) D С А, С С В, А:) Е, D:> С, в с Е;
5) В => Е, А С п, С:> D, в С п, Е С А;
6) Ас В, D:)C, ВсС, E::JD, АсЕ;
7) С С Е, А => В, Е => D, В се, D => В, А С Е;
8) В С D, А:> С, Е С В, А С В, Е:> С, D:> Е.
1.19. Объясните, почему не существует пятерка различных
l\lНОЖССТВ А, В, С, D, Е, дЛЯ которых выполняются OДHOBpeMeH
НО все условия 1) и все условия 2) из упражнения 1.18.
1.20. Докажите, что существуют пять различных множеств А,
В, С, D, Е, дЛЯ которых истинны одновременно все условия 2) и
все условия 7) из упражнения 1.18.
1.21. l\Iожно ли привести пример различных множеств А, В,
С, D, Е, дЛЯ которых выполняются одновременно все условия 3)
и все условия 5) из упражнения 1.18?
1.22. Вычеркните ОДНО из условий 2) упражнения 1.18 так,
чтобы нашлаСIs1f'пятерка различных множеств А, В, С, D, Е, YДOB
летворяющая одновреI\ленно оставшимся условиям и всем условиям
1) упражнения 1.18.
1.2. Поиятие множества
lЗ
1.23. Сколько элементов содержат следующие rvfножества:
1) {1;2;1}; 2) {{1;2};1;2};
5) {1;,0}; 6) {0};
3) {{ 1 } };
7) {{ 0 } };
4) {{ 1 }; 1 };
8) {{0};0}.
1.24. Выясните, какие из следующих высказываний истинны, а
какие ложны:
1 ) { 1.2. З } { З' 2' 2. 1 } .
" ", ,
3) {{1};{2}}=={1;2};
5) {l; 2 } Е { { 1; 2; 3 }; 1; 2 };
7) {1; 2 } С { { 1; 2 }; з; 4 };
2) {1; {2; 3} } = { 1; 2; 3};
4) {{1;2}}={1;2};
6) {1; 2 } С { { 1; 2; 3 }; 1; 2 };
8) {1; 2 } Е { { 1; 2 }; з; 4 }.
1.25. ВЫЯСНИ,те, какие из следующих высказываний истинны, а
какие ложны:
1) 0С{0};
4) 0 С { 0; {!О} }
7) {Q1} С { { !о } };
2) 0Е{0};
5) 0Е{0;{0}};
8) 0Е{{0}}.
3}0={0};
6) {е1}Е{{й}};
1.26. Приведите ПРИl\lер таких трех l\lножеСТБ А, В, С, что
..4 Е В, В Е С, но 44 не является 8леl\lеНТОI\1 l\lножества С.
1.21*. Приведите ПрИl\lер l\IНQжества, каждый элеl\lент KOToporo
СJIУЖИТ в ТО же вре1\.IЯ ero ПGДl\1НQжеСТВОI\I.
<>
<>
-о
1.28. Найдите 1\fножества истинности следующих предика.тов:
1) .-,;2 + 3х + 2 = О, '
2 2) v x2 1 = 3; 3) V l х 4;
х + 4х + 3
{ х2 13х + 40 О
5)
2х2 + х 30 < о;
7) х 2 41xl з == о; 8) 'х 2 51х( + 61 о.
х 2 5х + 6 о
6) х2 2х 3 < ;
4) у l х 2 lO;
1.29. Изобразите на декартовой плоскости l\Iножества истинно
СТИ следующих предикатов:
1) х+у=l;
4) х 5;
7) 2 1og 2 Х == cos У;
2) х + 3у 3;
5) (х 2)2 + (у + 3)2 == о;
8) sin х == sin у.
3) х у2 о;
6) 19 х = 19 у;
14
rпaвa 1. МНОЖЕСТВА 1.2. Повитие множества
15
"1
1.30. Приведите примеры предикатов, области истинности KO
торых совпадают с облаСТЛ!\IИ определения следующих предикатов:
х 2 1
1) Х + 1 = о; 2) v' 1 Х 15; 3) log2(x 8) := 3;
4) tg(2x 3) == о.
1.31. Приведите примеры предикатов, области определения KO
торы"" совпадают с облаСТЯl\1И истинности следующих предикатов:
1) xEJR; 2) х#о; 3) х>3; 4) x l;
7r
5) х Е [о; 6]; 6) х == 5; 7) х Е [о; 2); 8) х f:. k, k Е Д:.
4
1.32. При каких а Iножество решений неравенства 2х + 1 > а
содержит ПрОl\fежуток (1; 2)?
1.33. При каких а l\lножество решений неравенства 3х + 2 < 8
содержит промеЖУТQК [ 5; а] ?
1.34. При каких а l\lножество решений неравенства 3 2х > 7
,содержится в ПРО1\lежутк€ ( oo; а + 1] ?
о
<:)
о
1.35. Перечислите 8леl\fенты каждоrо ИЗ следующих l\lножеств:
1) {xENlx2 x 6<O}; 2) {xE;llx2 4 1};
3) { ХЕД:: х2 4 <2 } ; 4) {xEffi.IIg(x+1)=#};
х+1
5) {х Е N 1 v з х > О };
{ ( 1)n }
I ) 2 + ( 1 )n n Е N ;
6) {х Е 1z , V 5 Ixl > о }.
8) {х Е N I 24 : х, х : 2 }.
1.36. Выясните, какие из следующих высказываний ИСТИННЫ:
1 ) { 1; 1; 2} С { х I х З + х 2 Х 1 == О };
2) {х I х 5 } С { х I х > 3 };
3) {х I х > 10 } С { n Е N I n 10 };
4) {n Е N I n 5 } С { х I х > 6 };
5) {k I k Е "z!",k < 10} С {n Е N I n 11};
6) {k I k Е Z, k > 7 } == { n I n Е N, n 8 };
7) {х J х 2 + 12х = 28 } = {1; 14; 2};
8) {х I х 2 + 12х 28 } С {х I х 2 Х };
9) {х I х 2 + 12х 28 } С { х I х 2 + 20х + 92 О };
{ X 2 }
10) l1Е x l xEJR ;
11 ) { З.l1. 5 } С { 2n+l nЕН } '
, 4 ' Зп 2 '
12) {2п 1 I n Е N } == { 2п + 1 I n Е f:! };
13) { k Е 2Z } == { k 2 k Е 2Z };
14) {2х + 111 х 2} = {х r 3 х 5};
15) {2k 1 k Е iZ } = { (2k 1) + (2т 1) I k, m Е /z };
16) { 5k; 1 k Е 2Z } = { 5k: 4 k Е 2Z }.
1.37. Задайте в виде {х I Р(х)} каждое из следующих l\IHO
(сетв:
1) {3х 1 I х > 5 };
3) {3х 1 I 2 < х 3 };
5) { Х 1 Х Е IR, х # 1 };
2) {3х 1 I х Е IR };
4) { l 1 0< Х < 1 } ;
og2 x
6) { Х 1 1 < Х < 2 }.
1.38*. Для каждоrо из следующих предложений ПРИДУ lайте
I:1.КОЙ предикат Р(х), чтобы ато предложение оказалось истинны:r.л:
1) {х I Р( х) } == { 1; 2; 3; 10};
2) {2х + з I Р(х) } == { 3; 3; 5};
З) {х2 + z + 1 I Р(х) } = {7; 1};
4) {2х + 11 Р(х) } С { х I Р(х) }.
1.39*. Найдите все целые значения а, Ь, с, при которых сле
Д} ющие предложения становятся и с ТИННЫl\fи:
1) {ах + Ь I х 2 3х + 2 = О } = {3; 4};
16
rmша 1. МНОЖЕСТВА 1.3. Отрицание, КОНЪЮНКЦИЯ и ЩlI3"ЬЮНКЦИЯ
17
2) { х + 1 ах 2 Ьх + с = О } = { 4; 7 };
x l
3) {ах + Ь I ах + с < О, х Е м} = { 4; 7; 10; 13}.
1.3. Отрицание, :коныoRцияя и ,ци3ыо:кцияя
Из высказываний l\'10ЖНО строить новые, более сложные BЫCKa
зывания, соединяя их ЛО2uчеС1\;u.лtu свЯ-З1Са.лtu. В языке лоrические
связки выражаются с ПОl\lОЩЫО различных СЛОВ, словосочетаний и
знаков препинания. В l\lатеl\'lатической речи ПОМИ 10 этих средств
используются также специальные обозначения.
Отрицание (знак....,) высказывания а есть новое высказывание,
обозначаеl\10е .а. Оно читается: "неверно, что а". Высказывание
....,а истинно, если а ложно, и ложно, если а истинно.
КО'НifЮN Ц ИН произвольных высказываний а и Ь есть НОБое BЫ
сказывание, обозначае:r...lое а & Ь (или аЛЬ). Оно читается: "а и Ь"
и, по определению, является ИСТИННЫl\l тоrда и только тоrда, коrда
истинны оба высказывания а и Ь.
ДиЗ6ЮН КЦ ин высказываний а и Ь есть новое высказывание, обо
значаеl\10е а V Ь. Оно читается: "а или Ь" и, по определению, ЯВЛЯ
ется ИСТИННЫl\1 тоrда и только тоrда, коrда истинно хотя бы одно из
высказываний а, Ь (ВОЗ!vl0ЖНО, оба).
В следующей таблице представлены ВОЗl\10жные истинностные
значения высказываний а и Ь, ., а & Ь, а v Ь:
а Ь ..,а а&Ь aVb
И И Л И И
И Л Л Л И
Л И И Л И
Л Л И Л Л
Следует ПОl\'1НИТЬ, что естественному языку свойствеJIна eOДHO
значность. ОДИИ и те же языковые средства в различных ситуациях
l\10rj т выражать различные лоrические связки или не выражать НИ
каких. НаПРИl\lер, союз "или" в обыденной речи lVIожет выражать
не ДИЗЪЮНКЦИЮ, а друrую лоrическую связку так назыаеl\1уюю
( ИЛЬНУIO (строrую) ДИЗЪЮНКЦИЮ: "ОН совершил преступление или
ОН не совершал преступления". Строrая ДИЗЪЮНКЦИЯ (знак \1) ис
('инна, если, и только если, истинен точно ОДИН из ее членов. CTpO
" б б "
('аЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ часто передается слова1\1И ли о ... , ли о ... .
[\;1атеl'латики стараются избеrать ВОЗl'.10ЖНОСТИ неоднозначноrо по
IJИl\lания предложений.
Лоrическими свяка1\IИ l\10ЖНО соединять и предикаты. Напри
I\lep, :КОНЪЮНКЦИЯ Р 1\ Q "есть новый предикат, в котором переl\lен
НЫl\IИ являются все nepel\leHHbIe предиката Р и все переl\lенные пре
диката Q. Предикат Р!\ Q становится высказываниеl\l всякий раз,
коrда обращаются в высказывания оба предиката Р и Q. При ЭТОМ
истинностное значение полученноrо предиката вычисляется в co
ответствии с вышеприведенной таблицей. Например, истинностное
значение предиката (х2 5х + 6 == О) л (х > 2) при х = 2 есть Л, а
при х == 3 есть и. Аналоrично образуются сложные предикаты и
с помощью остальных лоrических связок.
Для записи КОНЪЮНКЦИИ и ДИЗЪЮНК.ЦИИ предикатов "в столбик"
используются фиrурная и квадратная скобки:
РЛQ={ ,
PVQ=[ .
Некоторые часто используеl\1ые сложные предикаты Иl\:1еют спе
циальные обозначения. Так х =F у, х <1:. А есть сокращенные записи
предикатов .(х == у) и .(х Е А) соответственно. Далее, х у,
х > у > Z, Х == ::f:a обозначают предикаты (х < у) v (х == у), (х >
у) л (у > z), (х == а) V (х == a) соответственно.
*
*
*
1.40. Найдите истинностное значение высказывания А, если
lJысказывание
1) А и 2. 2 :::; 5 истинно;
3) А или З. 3 > 7 ИСТИННО;
5) А или 2. 2 5 ложно;
2) 4 или 3. 2 5 истинно;
4) А и 2. 2 4 ложно;
6) А и 2. 2 5 ложно.
1.41. Найдите истинностные значения следующих BЫCKa3ЫBa
IIИЙ:
1) (2. 3 6) V ....,(23 > 7); 2) ..,«2.2 > 5) & (3.3 = 7));
3) .(33 == 27) V (2> 7) & (3.2 == 5);
18
rпaвa 1. МНОЖЕСТВА 1.3. Отрицание, :коныoIщ.и.fI и ,ци3Ъ Ю}Па\J"'t
19
4) .(72 7 · 5 + 6 == 19) & ((sin ; == ) v (23 < 7».
1.42. Среди следующих пар предикатов выберите те, в которых
предикаты являются отрицаниями друr друrа:
1) а > Ь и Ь > а;
2) "треуrольник АВС остроуrольный" и "треуrольник
АВС тупоуrольный";
3) "ПрЯl\lые а и Ь, лежащие в плоскости, параллельны" и "пря
l\'IbIe а и Ь, лежащие в плоскости, пересекаются" ;
4) "целое число k положительно" и "целое число k отрица
тельно" .
,
5) "целое число k четно" и "целое число k нечетно" ;
6) "натуральное число n простое" и "натуральное число n
составное" .
1.43. Приведите ПРИl\лер TaKoro множества А (А С ffi.), чтобы:
1) (х 2 3х 10 == О v х Е А) {::} (х2 Х 6 == О v х Е А);
2) (х 2 3х 10 == О & х Е А) {:} (x2 x 6==O & ХЕА);
3) (х 2 3х 10 # о & х Е А) {:} (х 2 Х 6 # о & х Е А);
4) (х 2 3х 10 i= о v х Е А) {:> (х 2 Х 6 =1- о v х Е А);
5) (х 2 Зх 10 < О & х f/:. А) {::} (х 2 Х 6 < О & х с/:. А);
6) (х 2 3х 10 < О v х f/:. А) {:} (х 2 Х 6 < О v х fj. А).
1.44*. Выясните, при каких а Е ll{ следующие предикаты ЯВЛЯ
ются тождествами:
1) х Е ( oo; а) V х Е (2; +00);
3) х Е [1; 2] V х fI. [1; а];
2) хЕ[l; a]Vx [1; 2];
4) х Е [1; а] V х rt. (а; 2].
о
<)
о
1.45. rлядя на рисунок, укажите координаты какой нибудь ТОЧ
КИ, которая:
1) не попадает в ДАВС,
но попадает в Kpyr f..AJ;
2) не попадает в Kpyr (.,),
Но попадает в ДАВС;
3) не попадает ни в
6АБG, ни в Kpyr w;
4) попадает на rраницу
6АВС и лежит не
ниже прямой [2;
1,
I
х
5) лежит во второй четверти правее [1, ниже 12 и не попаДает
в 6АВС;
6) удалена от точки В не меньше, чеl\1 на 4, и лежит на пряrvfОЙ
[2 ;
7) удалена от точки С больше, чем на 2, а ОТ точки В
больше, чем на з;
8) является центром Kpyra радиуса 2, содержащеrо точки А
и в.
,
9) является центром Kpyra радиуса 2, содержащеrо точку А
и не содержащеrо В;
10) является центром Kpyra радиуса 2, не содержащеrо ни А,
ни В, но содержащеrо С.
1.46. Изобразите на координатной оси множества истинности
следующих предикатов:
1) (x Е [1; 4]) V (х Е [3; 8]);
3) ""(х Е [1; 4] Л х Е [3; 8]);
2) (х Е [1; 4]) V .(х Е [3; 8]);
4) ...,(х Е [1; 4] V х Е [3; 8]).
1.47. Изобразите на координатной плоскости множества ИСТИН
ности следующих предикатов:
1) ""(х > 2) & (х < у); 2) (х у) v (Ixl 1);
3) (х > 2 & у > 1) & (х < 1 V у < 2);
4) (х > 2 v у > 1) & (х < 1 V у < 2);
5) (sinx>O & Ix 21<4) & 19y>O;
6) (x2 5x+6).siny=O; 7) (x2 5x+6)2+sin2y==O;
8) ху О & ху < 1; 9) ху О V ху < 1.
20
rпaвa 1. МНОЖЕСТВА 1 3. Отрицание, КОНЪЮНКЦИЯ и ,цизыo пcf ""
21
о
о-
о
1.48. Для каждоrо из предложений в левом столбце найдите
равносильное eNIY утверждение в правом столбце:
1) х == О или у == о; 1) х 2 + у2 == о;
2) х =1- о и у f:. о; 2) х 2 + у2 i= о;
3) х =1= о или у =1 о; 3) ху == о;
у
4) х:::: О И У == о; 4) = о;
х
5) х -# о и у = О. 5) ху =1= о.
1.49. Запишите в виде ДИЗЪЮНКЦИИ или КОНЪЮНКЦИИ некоторых,
более простых предикатов условия истинности каждоrо из следую
щих предложений (а, Ь Е ffi.):
1) (a l)Ь==O;
a l
4) Ь + 1 f: о;
7) а 2 + Ь 2 == о;
3 ) а + 1 == О.
b l '
2) (а l)(b + 1) -# о;
5) lal з;
8) (а 1)2 + (Ь+ 1)2 i:- о.
<> О о
6) la 11 < 3;
1.50. Для каждоrо из следующих условий найдите все а Е JR,
при которых ато условие выполнено:
{ 1 a l }
2) lE a 1 ;2a 1; a+l ;
3 ) { l' а' а 2 l' 3 } { l' 3 } . 4 ) а + 1 Е { 1. 1. 1 } ..
" , " , 'а+1'
{ a 2 }
5) {1; 1;2}c 2 a; 1;2;3; а+l ;
6) {а; а 2 ; аЗ} С [о; 27]; 7) {а; а 2 ; аЗ} С [ 27; 9];
8) {1; 1; З} с { a; 3; 2а 1; 2};
{ а+1 1 }
9) ; ={a 1;a+1}.
a l а+1
а+1
1 ) Е { l' l' 2 } .
1 ",
a
1.51. Выясните, при каких а Е количество элементов множе
ства {а; а 2 ; аЗ}: 1) равно 2; 2) равно 1.
1.52. Среди перечисленных предикатов найдите те, ИЗ которых
следует хотя бы один из предикатов х 6, х 5:
1) Jx 21> 2;
4) 'Х 101 4;
7) х 2 9х + 8 о;
7 x
10) 8 < о.
+х
2) Ix + 11 10;
5) х 2 5х + 6 о;
8) х 2 + l1х + 30 < о;
3) Ix + 31 2;
6) х 2 Х 30 > о;
9) х 2 Х 42 о;
...
1.53*. Для каждоrо из следующих высказываний выясните, при
каких а Е IR. ЭТО высказывание истинно:
1) а<х<а+l => 3 < х < 5;
2) 2<х<3 => а < х < 2а;
3) а<х<а+2 => 10<x<11;
4) 3<х<2 => х < а;
5) х>а х > 2 V х < з;
6) х 2 5х + 4 < О x+l
:::} о;
x a
7) х 2 5х + 4 О х+1 < о;
=>
x a
8) х 2 + 5х + 4 < О х+1
:::} о;
x a
9) х 2 Х 6 > О х+l
=> о;
x a
10) х+1 О х 2 5х + 4 < о;
;?: =>
x a
11) х+l <О х 2 + 5х + 4 < о;
:::}
x a
12) х+l х 2 Х 6 < о.
O =>
x a
1.54*. Для каждоrо из следующих высказываний выясните, при
каких а Е это высказывание истинно:
1) ах == 5 => х 1; 2) ах 2 == 1 => х 4;
3) ах 2 = 1 => х 4; 4) x a :::} х < а 2 ;
5) х>а => а < х 2 ; 6) х<2 => ах < 3;
7) х<l => ах > 2; 8) ах > 1 => х < 2;
9) ах> 5 => х < 4; 10) ах 3 :::} х < а.
22
rлава 1. МНОЖЕСТВА
1.55. При каких а Е ffi. множество решений неравенства
1 2х > 3 содержит интервал ( з; а) и содержится в интервале
( oo;a+l)?
1.56. При каких а Е IR А1ножество решений неравенства ах > 2
содержит lножество 1) (1; +(0); 2) ( oo; l)?
1.57. При каких а Е т. всякое решение неравенства (а l)х > 2
является решение 'l неравенства 3х > 2 ?
1.58. При каких а Е JPl всякое решение неравенства 5х < 4
является решение1-Л неравенства (2а + 3)х > 4 ?
1.59. При каких а Е IR всякое решение неравенства 2ах 5 > О
является решение1\1 неравенства (3 2х)(х + 3)(х 3)2 < О?
1.60. Приведите пример а Е IR, для KOTopor'o всякое реше I
иие неравенства (а l)х > 1 является решением неравенства
(1, 2 а)х > 2 .
1.61. Приведите пример линейной функции f, для которой pe
теиие неравенства [(х) > 3 содержит интервал (3; 5) и содержится
в интервале ( oo; 7) .
1.62*. 11 ри каких а и Ь всякое решение неравенства (а l)х > 2
является решением неравенства Ьх < 2 ?
1.63*. При ка.ки а и Ь ВСЯl\ое решение неравенства ах > 1
является решение '1 неравенства Ьх < 2?
1.64. Пусть Аn == [п + 5; 2п 5] (п Е f )..
1) Найдите все n, для которых ..4 п '# й.
2) Найдите все n, ДЛЯ которых 10 Е А п .
3) Найдите все n, для которых А п с (10; 20).
4) Сколько таких n, что 100 Е А п ?
5) Каковы точки t Е ffi., которые принадлежат хотя бы ОДНОl\fУ
из отрезков А п ?
1.65. Пусть Bt = [t 1; t + 1] (t Е IR)
1) Найдите все t, для которых Bt #- 0.
2) Найдите все t, для которых Bt С А 20 (Cl\I. упражне
ние 1.64).
3) Найдите все [, для которых 10 Е Bt, но 10, 5 r;. Bt.
t .4. ОпеР :;\1 на,ц множествами
2J
4) Каковы те х Е IR; при которых х Е В 10 , НО Х B 10J5 ?
5) Каковы те х Е IR, при которых х Е В 10 , НО Х + }10 f/:. В 10 ?
6) Каковы те х Е IR, при которых х r/:. В 10 , НО Х + 110 Е В 10 ?
7) Каковы те х Е 1R, что х Е B 10 , но х + rt. В 10 ?
1.66*. Пусть C t = {(х, у) I (х t)2 + (у t)2 1 },
[{ t == { (х, у) I t ;r t + 4, О у t + 4} (t Е ПR, t О).
...
1) Каковы изображения на декартовой плоскости r-vlножеств
C t , Ilt?
2) Каковы те t, при которых (2,1) Е /(t ?
З) Каковы те t, при которых (2,1) Е C t ?
4) Верно ЛИ, что Св С !(J,o ?
5) Каковы те t, при которых C t С !{10 ?
6) Каковы те t, при которых С 1О С !(t ?
7) Каково изображение на декартовой ПЛОСКОСТИ l\lножества
истинности предиката С х С Ii..y?
1.4. Операции над множествами
ПереСf'Ченuелt произвольных l\1ножеств А и В называется l\'IHO
жество {х I (х Е А) & (х Е В)}; оно обозна.чается посреДСТВО 1
, "\ n В. l\lножества А и В называются непересек;ающи.лtuсх, если
, .
"!ПВ==0.
ОбзедUNеuuе.лt произвольных l\iножеств ..4 и В называется l\IHO
жество {х I (х Е А) V (х Е В)}; оно обозначается посреДСТВО 1
lU В.
Разностью произвольных I\Iножеств А и В называется I\1ноже
(.ТВО {х I (х Е А) & (х t/:. В)}; оно обозначается А \ в, или А В,
или САВ.
Пусть, наПрИl\fер, А == {1; 2; 3}, В == {2; 4; 6}. Тоrда
\ U В = { 1; 2; з; 4; 6}, А n в = { 2}, А \ в == { 1; 3}, В \ А = { 4; 6 }.
Часто бывает, что Бсе fножества, рассматриваеl\Iые в ходе
.....аКоrо либо рассуждения, .нвллются ПОД 'lножестваl\:lИ HeKOToporo
одноrо l\:lНQжества. ОТО l\lножество называется унuверса.льньt.лt для
)(aHHOrO рассуждения.
Разность 1 \ х универсальноrо множества 1 и ero произволь
IIOro подмножества Х называется дОnО.Аненuе.л.t 1\1ножества Х (до
24
rпaвa 1. МНОЖЕСТВА 1 4. Опер ят\ИИ' над.множеСТD8МИ
25
универсальноrо множества); оно обозначается \Х, x, х, СХ,
или х С . Мы будем использовать обозначение ха.
Лек:арmовым nроизведеuuе-м произвольных l\'1НQжеств А и В
называется l\:tRQжество
АхВ:::::: {(х,у) I (ХЕА)&(УЕВ)}.
Декартово произведение А х А называется де1СартО8ы..лt 1Свад..
ратом .л.t1-tО:JICесmва А и обозначается через А 2 .
IIаПРИl\лер, ж2 есть множество всех упорядоченных пар вещес
твенных чисел. Каждая такая пара задает точку на декартовой
плоскости, верно и обратное. Эта связь с декартовой системой
координат объясняет название "декартово произведение" .
*
*
*
1.67. Пусть А 1 множество всех прямоуrольников, ...42 MHO
жество всех РОl'.лбов, Аз множество всех квадратов. Пусть 1
1ножество всех параллелоrраммов (будем считать мн:ожество 1
универсаЛЬНЫl\1 для данной задачи). Выяните, из каких rеОl\1етриче
СКИХ фиrур СОСТОЯТ следующие множества:
1) А 1 ПА 2 ; 2) А 2 пАз; 3) А 1 UА з ;
5) А 1 \А з ; 6) А 2 \А з ; 7) АУ;
9) А 2 nА 1 С ; 10) А з ПА 2 С .
4) А 2 UА з ;
8) Af;
1.68. Найдите l\lножества ...4 U В, А n В, А \ В, в \ А, если:
1) А == {з; 5; 6; 7; 9}, В=:{ 4; 6; 7; 8};
2) А == {3; 5; 6; 7}, В == {2; 4; 8};
З) А== {2; 3; 4; 5; 6}, В == {з; 4; 5};
4) А:::::: 2, В == N; 5) А:::: l[{, В == Q;
6) A==Z, B==Q; 7) А=[О;2], В==[1;5];
8) А == [о; 2], в == { о; 4; 6 }; 9) А == ( oo; 7], В == { з; 4; 5 };
1 О) А = [1; 3) u (5; 7], В == [2; 6].
1.69. П усть А == { 1; 2; 3 }, в == { 3; 4 }, с == { 1; 4}, D == { 1; 2 }.
Перечислите элеrvlенты следующих множеств:
1) А х В;
3) (А х С) \ (D х С);
2) (В U С) х (В n С);
4) (А х В) n (В х С).
о
о-
о
1.70. Пусть I == { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} универсальное l\IHO
жеСТБа, А == {1; 2; 3; 4; 5}. Найдите l\lножеСТБО Х, если известно,
что:
1) Х\А=={6;7}, АПХ={1;З;5};
2) А \ х ::: {2; 4 },.. Х \ А == {6; 7};
3) AuX == {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, А \Х == {1; 4; 5};
4) А uX:::: {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, AnX = {1; 2};
5) А \ х == {3; 4}, А u Х == { 1; 2; 3; 4; 5; 6};
6) х С \ А = {7; 8; g}, АС u Х = {2; 4; 5; 6; 7; 8; g}.
1.71. Найдите l\lножество Х, если известно, что:
1 ) (..4 \ Х) х (Х \ А) = { (1, 6); (1, 8); (3, 6); (З, 8) }, А = { 1; 2; 3; 4 };
2) (А х X)U(X хА) = { (1,2); (1,5); (2,1); (2,2); (2, 5); (5,1); (5,2)},
А == { 1; 2 };
3) (А х Х) n (Х х В) == { (1, 3) }, ..4 == { 1; 2 }, в == {3; 4 },
х с А u В.
1.72. Перечислите алеl\lенты l\lножеств Х и У, если известно,
что:
1) Х\У=={а;Ь}, Y\X={c;d}, XnY={x;y;z};
2) х uY:::::: {а; Ь; с; d; е}, Х пУ == {с; d}, Х \ у == {а; е};
3) YUY=={a;b;c;d}, XnY=0, Х\У=={а};
4) (...У \ У) U (У \ Х) == { а; Ь; с; х; у; z}, Х n у == { d; е; f},
X\Y {a;Ь;c};
5) (XUY)\(XnY)=={b;d;e;x;y;z}, XnY=={a;c},
X\Y={e;x;z}.
1.73. Пусть 1 == {1; 2; 3; 4} универсальное множество,
А == {1; 2}. Перечислите все такие l\lножества Х, что Х с А и
выполнено условие:
1) А \ х == А;
3) А \ х С = Х;
5) А u Х == А & А n х == 0;
2) А \Х С == {l};
4) Х С \ А := 0;
6) А\Х==0 & Х\А==0.
26
r пава 1. МНОЖЕСТВА I .4. Опер Яl1 \J"'" на,ц множествами
27
1.74*. Пусть 1 == {1; 2; 3} универсальное множество, А
некоторое ero подмножество. Рассмотрим следующие предикаты:
Рl(Х) == "А \ Х == А", Р4(Х) == "А U Х = А n Х",
Р2(Х) == "А n Х = Х" , Ps(..-Y.) == "А u Х = А А n х == Х" ,
Рз(Х) == "А \ Х = х \ А" , Р6(Х) = "(А \ Х) U (Х \ А) == Х" .
Лля каждоrо из предикатов P i (Х) (i = 1, 2, 3, 4,5, 6) найдите все
такие Iножества А, что:
1) Pi(X) является тождеством;
2) область ИСТИННОСТИ ,Pi(X) непуста;
3) область истинности Pi(X) состоит из одноrо алемента;
4) область истинности Pi(X) СОСТОИТ ИЗ двух 8лементов.
о
о
о
1.75. Пусть f(x), у(х) вещественные ФУНКЦИИ, заданные на
JR. Пусть Ао l\fножество решений уравнения f(x) == О, Во
уравнения g(x) == О, A множество всех решений неравенства
f(x) > О, а В+ неравеНСТБQ g(x) > о. Выразите через ати множе
ства и IR. l\fножества решений следующих уравнений инеравенств:
1) f(х). g(x) == о; 2) Р(х) + g2(x) = о; 3) f(x) = о;
g(x)
4) J(x) о; 5) g(x) < о; 6) f(x). у(х) > о;
7) f(x). g(x) < о; 8) J(x). у(х) о; 9) f(x).. у(х) о;
f(x) f(x)
10) g(x) о; 11) у(х) о.
<> О О
1.76. На диаrраl\iме изображены множества А, В, с. Укажите
на этой диаrрамме следующие множества:
1) А u (В n С);
2) An(BUC);
3) (A\B)U(B\A);
4) (А U В) \ (В ПА);
5) «AUC)nB)\C.
д
е-
е
1.77. На следующих диаrраl\-fмах изображены множества. Bы
р lзите заштрихованные множества через множества А, В, с:
1)
2)
8
8
А
А
...
с
3)
"
1.78. Изобразите на числовой оси следующие множества:
1) А n В, А u В, А \ В, если А = {х Е JR I х 2 6х + 8 О },
в == { х Е JR I х 2 5х + 6 > О };
2) А\В, если A=={xEn:Rl(x 1)/(x3+x2+x+l) O},
В == { х Е IR t х 3 + х 2 + Х + 1 О };
3) (А \ В) n с, если А == { х Е 1R I х 2 8х + 12 О },
в == {х Е JR' x2 8x+15 < о}, С == {х Е ffi I x2 5x+4 > о};
4) А n (В u С), если А == { х Е JR. J х 2 + Х > О },
в == {х Е JR I x2 7x+l0 о}, С = {х Е]{ 1 x2 7x+12 < о}.
1.79. Изобразите на координатной плоскости следующие MHO
жества пар вещественных чисел:
1) {( х , у) I х 2 + у2 1} n { (х, у) I (х 1) 2 + у2 4 } ;
2) {( х , у) I х 2 + у2 1 } \ { (х, у) 1 (х 1) 2 + у2 4 } ;
З) {( х , у) I х 2 + у2 1 } U { (х, у) I х у 1 };
4) {( Х, у) 1 х 2 + у2 1 } n { (х, у) 11 х + у I 1 };
5) {( Х, у) I х 2 у2 } \ { (х, у) 11 yl 2 };
6) {(х,у) Ilx yl 1} n {(х,у) Ilxl+ Iyl 2};
28
rпaвa 1. МНОЖЕСТВА
7) {( х , у) r х 2 + у2 ::;.; 1 } U { (х, у) Ilg х 2 у > о };
8) {(х, у) f (х 2 l)/(х + 1) 3 } n { (х, у) J Ix 31 + Iyl 2 }.
1.80. Изобразите на координатной плоскости следующие MHO
жества:
1)
4)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
{ 3 } х { 2}; 2) { 3; 4 } х { 2 }; 3) [ з; 4] х { 2; 4; 5 };
[ 3; 4] х [1; 3); 5) [ 3; 4] х [1, +00);
{ х Е IR I х 2 5х 6 < О } х {у Е IR I 2у 2 = 5 };
{ х с I х 2 + х 6 } х {х Е I х 2 > 1 };
{ х Е 1R I х 2 + Х > 6 } х {х Е I х 2 5х + 3 О };
{ х Е lR I sin х = 1 } х { х Е I х 2 1 };
{ х Е IR I cos х = 1 } х { х Е I sin х == 1 };
{х Е IR 11/2 sinx l} х {х Е ffi.1 х 2 + х 6};
{ х Е JR. f sin х О } х { х Е т. I cos х > О }.
f""\
<>
о
<>
1.81.. Приведите пример а, при KOTOpOl\1 множества решений
неравенств 3х + 2 < 1 и (За 31)х > 2 не пересекаются.
I .4. Опер ;:н на,ц множествами
29
1.84. Пусть О t 1 и At == [t; t + 1], Bt == [t 2 ; t 2 +t].
1) Докажите" что при всех t Е [о; 1] выполняется At n Bt =F- 121.
2) Правда ли, что существует точка, принадлежащая сразу
всем отрезкам At и Bt, О t 1 ?
3) Найдите Все t Е [о; 1] такие, что ! Е Bt \ At.
1.85. Изобразите l1.a плоскости с координатами (х, у) множе
(тва истинности следующих предикатов (см.упражнение 1.83):
1) AxUBy =1 0; 2) Ах С Ву; 3) Ах \Ву i- й; 4) АхПВу f 0.
1.86. Пусть C t = { (х, у) I х 2 + у2 l/t },
[{t = { (х, у) I t х 2t & О У t} (t Е IR).
1) Найдите Бсе t, при которых C t =1= 0.
2) Найдите все t, при которых !(t '# 10.
3) Каковы изображения на декартовой плоскости множеств
С [. \ ,r?
t, .1.' t .
4) Найдите все t, при которых C t n I{! # 0.
5) Каково изображение на плоскости с координатами (х,у)
области истинности предиката С х n J{y # ro ?
6) Найдите все t, при КОТОР Ы 4 . [{t \ C t f 0.
7) Каково изображение на плоскости с координатами (х, у)
r>.1ножества {( х, у) I [{х \ Су =f:. {о } ?
1.87. Пусть At == {(х,у) Ilx 11 t}, Bt = {(х,у) Ily 21 > t},
(t О).
1) Укажите какое нибудь значение t, при котором все три ТОЧ
ки !vf 1 = (1; З), Лf 2 = ( l; 2), М з == (2; 4) принадлежат MHO
жеству At \ Bt.
2) Опроверrните утверждение: если (х,у) fI. А 1 ПВ 1 , то
О у 4.
З) Докажите, что при любом t О множество At U Bt coдep
жит начало координат.
j
1.82. Приведите пример а, при котором I\lножества решений
неравенств 5х < 4 и (2а + 101)х > 4 пересекаются.
1.83. Пусть .i1t == [t; 2t], Bt = [t 2; 8 t] (t Е JR). Для каждо..
ro из следующих условий найдите все t, при которых ато УСJIовие
выполнено:
1) At -1 0; 2) Bt =f. 0;
4) 2 Е At U Bt; 5) 2 Е Bt \ At;
7) At n Bt =Р 0; 8) At \ В! f:. 0;
10) А! \ В! == At; 11) Bt \ А! = Bt;
12) At \ Bt промеЖУТQR в IR;
13) Bt \ At промеЖУТQК в ffi:;
14) At n At 2 1= 0; 15) At 2 n Bt -# '21.
3) 2 Е At n Bt;
6) 2 Е At \ Bt ;
9) Bt \ At # 0;
о
(;
<>
1.88. Множество А состоит из n элементов, множество В
и: р алементов, р > n Какое наибольшее и наименьшее число але
ментов MorYT содержать множества А U В, А n В, А \ в, в \ А ?
30
r.пава 1. МНОЖЕСТВА 2.1. ИМ:П JfИ'КЯТ\Р'И
31
1.89. Пусть множество А состоит из nалементов, множество
В из р алементов, множество А n в из k 8лементов. СКОЛЬКО
алементов в множестве А u В ?
1.90. Каждый ученик в I<лассе изучает анrлийский или фран
цузский ЯЗЫК. Анrлийский язык изучают 25 человек, ФраНЦУЗСI\ИЙ
23, а оба языка 5. сколы<o учеников в классе?
1.91. В классе 30 учеников. Каждый из них занимается либо
футболом, либо хоккеем, а 5 учеников и хоккеем, и футболом.,
Сколько учеников в классе занимается футболом, если х<?ккеем за
НИJ\:'Iается половина учеников класса?
1.92. (Задача Льюиса Кэррола). .Во время ОДНОЙ страшной
битвы 85% сражавшихея потеряли ухо, 80% сражаВШИХС-R rлаз,
75% руку, 70% Hory. Каков минимально возможный процент
участников битвы, которые одновременно лишились уха, rлаза, py
ки И ноrи?
1.93.. В одном местечке, тде проводят свои отпуска MHoro OT ,
дыхающих, 28% взрослых отдыхающих читают " 10HД", 25% ',
"Фиrаро", 20% "Орор". Кроме Toro, 11% отдыхающих читают:
как "Монд", так и "Фиrаро", 3% "Монд" И "Орор" и 2% '(Фи
тара" и "Орор", тоrда как 42% отдыхающих не чита.ют ни ОДНОЙ
ИЗ 3TlrfX rазет. Чему равен процент отдыхаЮIЦИХ, KoropbIe читают
одновременно "Монд", "Фиrаро" и "Орор"?
1.94. Докажите следующие утверждения:
1) А u В с С => В С с; 2) С С А n в => с с А;
З) С с А \ в =} с n в = 0; 4) А С С * А С В U с;
5) С => В => А n в с с; 6) А \ в == с => А n 9 с А;
7) А n в == с => А U С == А; 8) А U В == С => С n в = В.
1.95. Пусть А, В подмножества H€KOTOpOro множества J.
Покажите, что в :каждом из наборов условий 1), 2), 3) ИЗ ИСТИННО..
сти одноrо условия вытекает истинность всех остальных:
1) А С В, В С С АС, А U В == В, А n в == А;
2) АnВ==0, АсВ С , ВСАС;
3) А u В == J, АС С В, В С С А.
rлава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ языIАA
МА ТЕМА ТИКИ
2.1. Импли:кация
И.мпЛU1Саци,н высказываний Р и Q есть новое высказывание,
обозначаемое Р Q. ОНО читается: "Если Р, то Q". ПО опреде
I лению, ОНО ложно тоrда и только тоrда, коrда Р ИСТИННО, а Q
ложно. НаПРИl\1ер, высказывание ( 2 х 2 == 4) -----+ (3 х 3 == 8) ложно, а
высказывания (2 х 2 == 4) .....-+ (3 х 3 =: 9), (2 х 2 =: 5) ....-..+ (3 х 3 == 9),
(2 х 2 == 5) (3 х 3 == 8) истинны
ЭК:8uва.лен11,U,н высказываний Р и Q есть новое высказывание,
обозначаемое Р +--+ Q. ОНО читается: "Р еGЛИ и только если Q" или
"Р тоrда и только тоrда, коrда Q". ПО определению, оно истинно
L'or да и только Tor да, Kor да высказывания Р и Q имеют одинако
l bIe истинностные значения.
Истинностные значения 8квиваленции и импликации предста
IJлены в таблице:
р Q P------+Q P Q
и и и и
и л л л
л и и л
л л и и
с помощью импликации и 8квиваленции можно из предикатов
lIолучать новые, более сложные предикаты подобно тому, как это
Д,елают с помощью КОНЪЮНКЦИИ, дизъюнкции и отрицания.
Обращаем внимание читателя на то, что для предикатов знаки
, =>" и "........." имеют различный смысл; 8ТО же относится к знакам
"{:}" и "f----t". Выражение Р => Q обозначает высказывание "Преди
'\"Т Q является следствием из предиката Р", а Р .......-+ Q предикат,
НВЛЯЮЩИЙСЯ импликацией предикатов Р и Q: Так,
(х 1 > о) :::} ((х l)(х 10) > о)
,.
32
ложное высказывание. В то же время,
(х 1 > о) (х l)(х 10) > о)
предикат, принимающий значение Л при х = 5 и И при х 15.
Заметим, что высказывание Р Q равносильно БЫСJ{азыва
пию: "предложение Р Q есть тождество" .
*
*
*
2.1. Определите истинностные значения следующих высказы
ваний:
1) если 12 делится на 6, то 12 делится на з;
2) если 11 делится на 6, то 11 делится на 3;
З) если 15 делится на 6, то 15 делится на з;
4) если 15 делится на 3, то 15 делится на 6;
5) 12 делится на 6 если и только если 12 делится На 3;
6) 11 делится на 6 если и только если 11 делится на 3;
7) 15 делится на 6 тоrда и только тоrда, коrда 15 делится на 3.
2.2. Каково истинностное значение высказывания А, если из
вестио, что следующие высказывания истинны:
1) если А, то 4 нечетное число;
2) если 3 > 2, то 6: 2 и А.
. ,
3) если 13 ;?; 13 И/ А, то 4 > 7;
4) если 12 : 3 то 'А или 3: 2.
. , . ,
5) если А или 6 : 2, то 8 : 2 и А.
2.3. Каково истинностное значение высказывания
вестно, что следующие высказывания ложны:
· .1. ИмпликаI.QUI
: :J
2..4. rлядя на рисунок, ответьте, верно ли следующее YTBep
J"дение:
.1) если кака.я то точка попа
ла в Kpyr "'-', ТО она лежит
ниже ПРЯl\IОЙ [2;
2) если какая то ТОЧhа из пер
вой четверти попала в K py!
Ш, ТО она должна попасть
и в ..4.BC (здесь и далее
точки координатных осей
не принадлежат координаТНЫl\1 четверТЯl\I);
3) если Ка.кая то точка из первой четверти попала Б 6АБG,
ТО она должна попасть и в Kpyr """;
4) если точка ле}hИТ левее /1, то она или в третьей, или в
четвертой четверти;
5) если какая то точка из второй четверти попала Б ..4BC,
ТО она не l\10жет попасть в Kpyr u;;
G) если какая то точка попала в 6..4БG, То она лежит левее
11 ;
7) если точка. попа.ла и в 6..4.БG, и в Kpyr """, ТО она о11еЖИТ в
первой четверти.
2..5. Найдите истинностныIe зна.чения следующих высказыва
1111Й:
1) (22 < 4) V (7 > 5») (5 > 9);
2) (2. 2 == 3) (3 == 4) (2 7»).
А, если из 2.6. Каковы l\lножества истинности следующих предикатов
(J" Е P ):
1) 2 > 1 2 > х; 2) 2 < 1 х > 2; 3) 2>х ............. 2 > 1;
4) х>2 1 < о; 5) х>6 х > 2; 6) х>2 ............... 2х < 2;
i) 12 : 6 ...........j. 12 : Х' 8) 12 : 6 х : 3' 9) х:6 ............... х : 3'
. , . , . ,
10) 12 : х х: 12- 11 ) х:з ..-......+ 12 : Х. 12) 12 : х ..........-+ 12 : 4.
, . , . ,
('
13) х:3 .......... 6 : 4' 14) 12 : х х : 6" 15) 12 : х ............ 12 : 2х'
. , . , . ,
1) если 2 четно, ТО А;
2) если А, то 4 нечетное число;
3) если А или 6 : 3, то 8 10 и А'
,
4) если 6 > 7 и А, то 12: 4 и А.
,
.-
5) если 4 : 2 и А, то 12 > 2 и А.
34
rnaвa 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫRА МАТЕМАТИКИ .1. ИМП JПI"kЯ.I J[
35
16) 12: х х =f. о;
17) ...,(12: 2х) ""(12: х);
18) Х: 6 12: х
2.7*. Пусть 1 == { 1; 2; 3; 4; 5 }, А = { 1; 2} Найдите все такие
Х С 1, чтобы было истинным следующее высказывание:
1) предикат х Е А х Е Х является тождествоr.л;
2) 3 Е {х I х Е А х Е Х };
З) 1 Е { х I х Е..4 х Е Х };
4) 4 Е { х I х Е..4 +--+ х Е Х };
5) {1;2;з}=={хIХЕА ХЕХ}.
2.8*. Приведите пример TaKoro l\-fножества А, А С JP(., чтобы
выполнялось:
1 ) ( х 2 Х 1 О == О -------7- Х Е А) {::} ( х 2 Х 6 == О х Е ..4);
2) (х Е А х 2 3х 10 == О) <=> (х Е А ........ х 2 Х 6 == О);
3) (х Е А х 2 3х 10 == О) {:} (х Е А v х 2 Х 6 == О);
4) (х 2 3х 10 == О х Е А) {:} (х Е А & х 2 Х 6 == О).
2.9*. При каких вещественных а следующие предикаты ЯВЛЯ
ются ТDждестваl\IИ:
1) х Е [2; а] х Е [1; 4];
2) х Е [1; а] х Е [2; 4];
З) х Е [а; 2] х Е [1; 2а];
4) (х Е [а; а + 1] х Е [а; 2а]) & х Е [о; 5];
5) (х Е [а; 2а] V х Е [а + 1; а + 2]) х Е [3; 10];
6) (х Е (а; а + 1] х Е [1; 8]) х Е [2; 5];
7) х Е (а; 2а] (х Е [а 1; а + 1] х Е [2; 5]);
8) х Е [2; 5] (х Е [а; 2а] х Е [а 1; а + 1]);
9) х Е [а; 2а] (х Е [о; а + 1] v х Е [4; 8]).
о
<>
<>
2.10. Пусть предикаты Р(х), Q(x), R(x) заданы на l\lножестве
Л/.
м
Q
р
R
[' лядя на рисунок, укажите I\lножества истинности следующих
r r 1)(> дикатов:
1) Р(х) Q(x);
3) (Р(х) & Q(x») R(x);
5) Р(х) (Q(x) & R(x»);
7) ,(Р(х) V Q(x)) -----+ R(x);
2) Q(x) +---+ R(x);
4) (Q(x) V R(x)) Р(х);
6) ...,Р(х) (Q(x) V R(x»);
8) ""Р(х) R(x).
2.11. Изобразите на координатной оси l\fножества истинности
('JJ(' ДУЮЩИХ предикатов:
1) (х Е [1; 4]) (х Е [3; 8]);
3) I (х Е [1; 4] х Е [3; 8]); ,
2) (х Е [1; 4]) f---t (х Е [3; 8]);
4) ...,(х Е [1; 4] х Е [3; 8]).
2.12. Изобразите на координатной плоскости l\lножества ИСТИН
.,ости слеДУIОЩИХ предикатов:
1) (х 3) (у < 5);
3) ху О ху < 1;
5) .(х 2 + у2 > 1 ху < О).
<> О
2) ху О ху < 1;
4) ...,(ху < 1) ------+ ху о;
<>
2.13. Следующие сложные высказывания расчлените на про
1 {" ('I...I€, обозначьте каждое из этих простых высказываний буквой и
1.111ИIlIите составные высказывания, используя знаки лоrических СВЯ
'1 , ,"\:
1) Если леТОl\Il\IЫ поедеr..t в Варшаву и у нас будет достаточно
вреl\lени, ТО lVlbI посеТИI\1 Народный l\lузей.
36
rлава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ I И
.. МПЛИlCaЦИJI
37
2) Если tЫ скоро ОКОНЧИ!\Л работу и будет хорошая поrода, ТО
l\lbI пойдеl\1 на проrулку или поедеl\1 на пляж.
3) Если l\Iистер Джоне счастлив, ТО l\IИССИС Джане несчаст
лива, и если l\'Iистер Джане неечастлив, ТО l\fИССИС Джане
счастлива.
I
4) Ес.ry:и леТОl\1 будет дождливая поrода, то ни накупаться Ha1\I'
не удастся, ни заrореть Hal\I не удастся.
5) Если ни в Варшаву 1\IЫ не поедеl\1, ни в ropbI l\lbI не отпра ,
ВИl\IСR, ТО l\lbI ежедневно будеl\1 ХОДИТЬ на пляж, или, если
будет ДОЖДЬ, ТО мы будеl\Л читать дома книrи.
6) Если "Спартак" и "Динаl\,10" проиrрают, а "Торпедо" BЫ ;
иrрает, ТО .'ПСКА" потеряет первое 1\leCTO, а на третье l\fe ,
сто выйдет "Зенит".
2.14. Пусть Р означает "сеrодня идет дождь", Q "cero
ДНЯ ясно", R "сеrодня идет сиеr", S "вчера было паС IУРНО" .
РаСluиФруйте:
1) Q ,(Р & Q);
4) S & (PVR Q);
2) S (Р V R);
5) (Р V R) Q.
3) Q v -(5 Р); ,
2.15. ПРИДУ1\lайте предложение о ваших планах на ВЫХОДНОЙ
день, в KOTOpOl\1 бы встречались слеДУlощие связки:
1) две Иl\lпликации и две конъюнкции;
2) две Иl\lпликации, I<ОНЪЮНКI{ИЯ и три дизъюнкции.
2.16. Пусть Р(х) обозначает предикат "целое число х четно" .
hакие из следующих предикатов ЯВЛЯЮТСЯ тождестваl\IИ:
1) Р(х + у) (Р(х) v Р(у));
3) Р(х+у) (Р(х) Р(у));
5) (.Р(х) & Р(у)) ...,?(х + у);
6) (Р(х) v Р(у)) ,Р(ху + 1).
2) Р(ху) (Р(х) V Р(у));
4) (P(x)VP(y)) Р(х+у);,
2.17. Для следующих предикатов найдите их сокращенные за
писи, в которых используются лишь стандартные обозначения ло
rических СВЯЗОК, l\lатеl\lатических операций и предикатов:
1) Если число х 1еньше числа у, то если эти числа одноrо
знака, то 1.. > 1, а если разных знаков, то ! < 1.
х у х у
2) Если произведение двух целых чисел х И у делится на 3
и не делится на 9, то ТО хотя бы одно из чисел х или у
делится на 3, причеl\'1 друrое на 3 не делится.
(>
<>
о
2.18. Из фиrур, изображенных на чертеже, выбрали
А, В и с.
3 фиrуры
...
':L . . ......i .' . + " .. ' +:
I \J.Iясните, обязательно ли верны следующие утверждения:
1) если А черная, то В и С белые;
2) если ...4. черная, то В или С белые;
3) если А и В одноrо цвета, С друrоrо;
4) если А и В черные, то С белая;
5) если А, В и С одноrо цвета, ТО среди оставшихся фиrур
есть фиrуры с раЗНЫl\1 ЧИСЛОl\l сторон.
2.19. Из фиrур, изображенных на чертеже к преДЫДУЩ€l\fУ
\ IJражнению, выбрали две, А и В, с paBHbIl\l ЧИСЛОl\l сторон. Выяс
I 11'e, обязательно ли верны следующие утверждения:
1) если А черная, то В белая;
2) если А белая, то В черная.
2.20. Ниже речь идет о художниках из H€KOTOpOro общества.
1) Известно, что если член общества художников не любит ни
синий, ни красный цвета, то ОН любит зеленыI.. Художник
Х не любит ни зеленый, ни синий цвета. Докажите, что ОН
любит красный цвет.
2) Известно, что всякий член общества, который любит белый
и черный цвета, не любит rолубой. Докажите, что если
38
rлава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ
ХУДОЖНИК У любит rолубой и белый цвета, то он не любит
черный.
3) Известно, что если член общества любит розовый цвет и не
любит синий, то ОН любит коричневый' или не любит зеле
ный. Известно, что ХУДОЖНИК Z любит зеленый и розовый
и не любит коричневый цвет. Докажите, что Z любит си
ний цвет. 1; I'{)
4) Известно, что если ХУДОЖНИК любит оранжевый цвет или не
любит желтый, то он не любит ни сиреневоrо, ни зеленоrо.
11
Докажите, что если ХУДОЖНИК любит сиреневый, ТО он не
любит оранжевый.
5) Известно, что если ХУДОЖНИК любит красный и синий цвета,:
ТО ОН любит зеленый и не любит желтый. Докажите, что'
если ХУДОЖIIИК любит желтый и красный цвета, то ОН не
любит синий цвет.
2.21. На вопрос: "Кто из трех студентов изучал r.латематиче
скую лоrику?" получен верный ответ "Если изучал первый, ТО
изучал и третий, НО неверно, что если изучал второй, то изучал и
третий." Кто изучал l\1атематическую лоrику?
2.22. Определите, кто из четырех студентов сдал 8кзаl\1ен, если'
известно, что выполнены следующие четыре условия:
1) если первый сдал, то и второй сдал;
2) если второй сдал, то третий сдал или первый не сдал;
3) если четвертый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал;
4) если четвертый сдал, то и первый сдал.
2.23. Известно следующее: если Петя не видел Колю на улице,
то либо Коля УХОДИЛ в кино, либо Петя сказал правду; если Коля;
не ХОДИЛ в КИНО, то Петя не видел Колю на улице и Коля сказал
пра.вду; если Коля сказал правду, то либо он ХОДИЛ в кино, либо
J
Петя солrал. Выясните, ходил ли Коля в кино. I
2.24. Четыре друrа Антонов (А), Вехов (В), СОМОВ (e),1
Леев (D) решили провести каникулы в четырех различных ropo
дах l\1ocKBe, Одессе, Киеве и Ташкенте. Известно, что выполнены
следующие условия:
а) если А не едет в Москву, ТО С не едет в Одессу;
39
б) если В не едет ни в Москву, НИ в Ташкент, то А едет в
Москву;
в) если С не едет в Ташкент, то В едет в Киев;
r) если D не едет в I\10CKBY, то В не едет в Москву;
д) если D не едет в Одессу, то В не едет в :rvfOCKBY.
едет в l\loCKBY?
...
2.25. На острове живут рыцари, которые всеrда rоворят правду,
Jlжецы, которые всеrда лrут.
1) Островитянин В сказал островитянину А: "А, ты
лжец!" Выясните, какие из следующих утверждений обяза
тельно справедливы:
а) А лжец;
в) ...4 и В разных типов;
д) если А рыцарь, то
е) если В лжец, то А
б) В лжец;
r) В рыцарь, А лжец;
в лжец;
рыцарь.
2) Про островитян ...4 и В известно, что если А рыцарь, то
и В рыцарь. Выясните, какие из следующих утвержде
ний обязательно справедливы:
а) ..4 рыцарь; б) А и В ,одноrо типа;
в) если ..4 лжец, то и В лжец;
r) если В рыцарь, то и А рыцарь;
д) если В лжец, то и А лжец.
3) Островитянин А сказал: "Если я лжец, то и В лжец!"
Выясните, какие из утверждений обязательно справедливы:
а) если А лжец, то и В лжец; б) А лжец;
в) если А рыцарь, то В лжец;
r) если 4 рыцарь, то и В рыцарь;
д) А и В лжецы; е) А и В одноrо типа;
ж) если В рыцарь, то и А рыцарь;
з) если А рыцарь, то о В ничеrо нельзя сказать;
и) если А лжец, то В рыцарь;
к) А рыцарь или В лжец.
40
rлава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ
2.2. Кванторы
Существует способ получения из предикатов высказываний, по
l\rIИl\'IО придавания переI\1енным: конкретных значений.
Пусть Р(х) предикат с ОДНОЙ переf\'Iенной х Выражение
Ух Р(х) есть запись высказывания, утверждающеrо, что предикат
Р(х) ПР НИI\tает значение И при любых х ИЗ ero области опре
деления (т.е. {х I Р(х)} = Dp(x»). Эта запись читается так:
"Для всякоrо х выполняется Р(х)". Например, высказывание
Vx (х Е y -----+ Х Е lR) истинно, а высказывание Ух (х Е ffi. х > О )
ложно.
Выражение 3х Р(х) есть запись высказывания, утверждающе..
ro, что предикат Р(х) ПРИНИI\1:ает значение И хотя бы при одном
значении пере1vf€ННОЙ :с из ero области определения
(т.е. {х I Р(х)} -1 (21). ота запись читается так: "Существует
х такой, ЧТО Р( х) ". Например, высказывание 3х (х Е т: & х > О )
истинно, а 3х (х Е lR & х 2 == 1 ) ложно.
Выражения Ух, 3х (разумеется, вместо х может использо
ваrься и друrая переl\'Iенная), а также сами знаки У, :3 (которые
получены как перевернутые буквы А, Е первые буквы анrлий
ских и неl\..1ецких слов "все" и "суш.ествует") называют 'lCB ан 11tOpO,J\t
всеобщности и 'lCва'tllпоро.лt существования соответственно. В речи
ДЛЯ выражени,Я :кванторов используе1СЯ MHoro разных слов и СЛОВО
сочетаний; наПрИI\iер, слова: "для всех" , "Лkобой" ) "каждый", "каhОЙ
бы ни был" указывают на присутствие квантора всеобщности (\/), а
"найдется", "хотя бы при ОДНОl\-l", "при неКОТОрОА'1" подразумевают
наличие квантора существования ( 3 )..
ХОТЯ предложения Ух Р(х), 3х Р(х) и сод.ержат переr енную х,
одна.ко роль пременной в 8ТИХ высказываниях иная, чеI\I в предика
те Р(х). Подставлять значения х вместо переменой в предложения
Ух Р(х), 3х Р(х) не нужно и беСС ..1ысленно, поскольку в самих
8ТИХ предложениях об х все сказано. rоворят, что в атих пред
ложениях переl\1енная является свнзаН1tои (квантор "связывает" пе
ре1\1енную), в ТО время как в Р(х) переменная свободна и может
заl\1еняться своим значением
к предиката!\1: с неСКОЛЬКИf\ЛИ переменными также можно при
l\.1енить ОДИН или неСКОЛЬhО кванторов, при аТОl\Л lVlожет по
лучиться как высказывание, так и новый предикат IIапример,
1.2. Кванторы
41
V.I' Зу (х E;Z & у Е LZ & х + у == 5) высказывание, а
V.l' (х Е ;Z: & у Е LZ & х + у == 5) предикат со свободной пере
r\Н'ННОЙ у.
Конструкцию "для всякоrо х из l\lножества 1\1 выполняется
IJ(J )" СИI\lволически принято записывать так: Vx Е]\[ (Р(х)).
Конструкцию "существует х из I\lножества 11[ такое, что Р(х)"
I ИI\Iволически записываJОТ: 3х Е ЛI (Р(х)).
Конструкцию 'сущес'tвует и ПрИТОl\I только одно значение пере
t\1f 'IIНОЙ Х из 1\lножества 1\1 такое, что Р( х)'" СИl\Iволически записы
II:'IOT: 3!х (Р(х))
rоворят, что в указанных записях используются 02ранu'ЧеN'Нь е
h'nПllТПОрЫ \/х Е J11, 3х Е Л[ 3!х. Выражения с оrраничеННЫl\IИ
f.Н,IlIтораl\JИ являются сокращениf{1\IИ более длинных предложений с
11 НJIЧНЫl\IИ квантораl\IИ: Vx Е 1\/ Р(х) есть сокращение предложе
1111 fI \:/ Х (х Е 1\1 -------+ Р( х)), выражение :3х Е l\J: Р( х) сокращение
11РР/1.ложения 3х (х Е Лf & Р(х)), а выражение 3!х Р(х) COKpa
111('lfие предложения
3х (Р(х) Л (\fxr 'VX2 (Р(Хl) А Р(Х2) Хl == Х2»)'
В,О I'речаются и друrие оrраниченные кванторы; наПрИl\lер, истинно
111,lказывание:
Vx > о (Р(х)) {::} Ух (х > О Р(х)).
*
*
*
2.26. У становите, какие из следующих высказываний истинны,
I '\.(\ кие ложны:
1) 3х (х + 1 == х)
2) 3х (х2+х+1==О);
З) Vx (х 2 + Х + 1 > О);
4) Vx (х 2 Бх+6): О);
5) Зх (х2 6.[ + 8 О & х 2 4х + з > О);
6) 3х (х2 Х == О & х 2 + 7х 6 О);
7) Vx (х 2 5х + 6 О v х 2 + 5х + 6 < О);
8) Vx (х 2 Х 2 > О v х 2 4х + 3 О);
9) Зх (х Е [2; 3] х 2 5х + 6 > О);
10) 3х (х Е [2;4] х 2 8х+ 15 > О);
11) Vx (х Е [1;2] х 2 6х..+ 5 О);
12) \/х (х Е [2; 3] х 2 2х + 3 О).
\"-,
42
r лава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ
2.27. На рисунках предложены 3 раскраски квадрата 1 х 1. Все
точки и фиrуры, о которых идет речь ниже, содержатся в paCCMa
триваеt\10l\I квадрате (цифры 1,2,3,4,5 обозначают цвета; rраничные
линии считаются не окрашенныr..lИ).
1 2
5
., 3
3
2,
1
1
2,
3
Раскраска 1
Раскраска 2
Раскраска 3
Для каждоrо из J тверждений укажите, для какой из предложенных
раскрасок оно верно:
1) для любоrо цвета найдется пара точек 8Toro цвета на pac
стоянии 1;
2) для любой пары цветов найдутся точки А и В атих цветов
на расстоянии l\леньшеl\l, чеl\'l О, 01;
3) если А и В точки одноrо цвета, то все точки отрезка
АВ
а) Toro же цвета;
б) не более, че1\1 двух цветов;
4 ) найдется квадрат 1. х со сторонаl\1И, параллеЛЬНЫI\IИ CTO
2 ...
pOHal\I исходноrо квадрата, внутри цеЛИКОl\l СОСТОЯЩИИ из
точек одноrо цвета;
5) любой квадрат Х со сторонаl\fИ, параллеЛЬНЫl\IИ CTOpO
Hal\.1 исходноrо квадрата, Иl\1еет точки
а) хотя бы двух цветов;
б) не более, Че!\I двух цветов;
6) любой отрезок
а) ДЛИНЫ Иl\'lеет точки хотя бы двух цветов;
б') ДЛИНЫ 0,01 иrvlеет точки не более, чеr-.l двух цветов;
в) ДЛИНЫ и tеет точки ровно трех цветов.
2.2.. Кванторы
43
2.28. Приведите ПрИl\lеры таких а Е IR, дЛЯ которых ИСТИННЫ, и
ПрИl\'Iеры таких а Е IR, дЛЯ которых ложны следующие предложения:
1) 3х<0 (х 2 +ах+а=0); 2) УХЕ[О; 1] (х 2 +х+а<0);
3) Vx > 7 (х 2 + ах + 1 > О); 4) 3х Е [1; 2] (х 2 + ах + 1 < О);
5) \/х Е [3; 4] (х2 + ах + а > О);
6) 3х Е [а; а + 1] (х 2 Х 2 < О);
7) Vx Е (а; а + 1] (х 2 + ах + 1 < О);
8) 3х Е [а; а + 1] (х2 + ах + 1 > О);
9) Ух Е (а; а + 1] (х2 + ах + 1 > О).
( .
2.29. Приведите ПрИl\Iеры таких l\lножеств ..4 С 1R, для которых
ИСТИННЫ, и ПрИl\Iеры та.ких l\.Iножеств А С 1Н:, для которых ложны
следу щие предложения:
1) Ух Е А (х 2 Х 20 < О); 2) 3х Е А (х 2 + 1 > 2 & х < 2);
3) Ух Е А ( V 1 х > 2);
4) Vx Е А (Jxr > 10 х 2 2х 22 = О).
2.30*. При каких а Е Ilf.
1) :1х (х2+х+а > О);
3) Ух (х2 + Х + а > О);
5) 3х (х 2 + ах + 1 < О);
7) Ух (ах 2 +х+ 1 > О);
9) Зх (х2 + ах + а < О);
11) Vx (ах 2 + ах + 1 О);
12) Ух (ах 2 +(а+l)х+а+2>О).
11
'11
истинны следующие высказывания:
2) 3х (x2+x+a O);
4) Ух (х 2 + х + а О);
6) 3х (ax2+x+1 O);
8) Ух (ах 2 +х+а>О);
10) 3х (x2+ax+a 1 <О);
I
I
11
2.31 *. Найдите l\lножества ИСТИННОСТИ следующих предикатов
(k, х, у Е IPl):
1) 3у (ху = О); 2) Ух (ху = О); 3) 3х (kx + 1 = О);
4) Ух (kx+1 = О); 5) 3у (х 2 +у2 = 1); 6) Уу (х 2 +у2 > 1);
7) 3х (x2+y2 1); 8) Ух ((x 1)2+5(y+2)2 1);
9) Зу (y l л х+у< 1);
10) Vx (х 12 V х + у > 16);
11) Vx (Jxl 15 л х+у< 10);
44
rлава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТFМАТИКИ
12) 3х (Ixl < 1 л Ix + yl < 7);
13) Зу (Ixl + Iyl < 1 v Ixl tyl > 7);
14) Vy (Ixl + Iyl < 7 v Ixl Iyl > 1);
1.5) 3х (J.rl + у > 1 х + у > 5);
16) \/у (lxJ + у > 1 х + у > 5).
2.32. Пусть А В следующие высказывания:
..4 == (v х 3 у Р ( х , у)) ,
в == (Эу Vx Р(х,у)).
Какая из И::\lпликаций А ---------1- В или В........:,. А истинна? Покажите,
что друrая Иl\lпликация не всеrда верна.
2.33. Подберите предикаты Р(х, у), Q(x, у), S(x, у), R(x, у) с
ДВУl\IЯ переl\lеННЫl\IИ Х, у такие, что:
1) 3x Зу Р(х,у) истинно, а Зх Уу Р(х,у), Уу Зх Р(х,у),
Зу \/х Р(х, у), 'Vx Зу Р(х, у) ложны;
2) Ух Vy Q(x,y) ложно, а \/х Зу Q(x,y), Зу УХ Q(x,y),
Уу 3х Q(x, у), 3х Vy Q(x, у) истинны;
3) Ух Зу R(x, у), 3х Vy R(x, у) истинны, а Зу Vx R(x, у),
Уу Vx R(x, у) ложны;
4) 3х Уу S(x, у), \/у Зх S(x, у) истинны, а Зу Vx S(x, у),
Vx Зу S(x, у) ЛОЖНЫ.
<>
о
<>
2.34. Изобразите на декартовой плоскости следующие l\lноже
ства:
1) {( х , у) I 3k Е { о; 1} х у == k };
2) {( х , у) 1 3t Е [о; 1] х + у :::: t };
З) {( Х, у) I 3t Е [ 1; 1] х + у t };
4) {( Х, у) 1 3п Е N у == пх };
5) {( Х, у) 1 \/t Е [ 1; 1] х 2 + у2 > t };
6) {(x,y)lVtE[ l;l] x2+y2 t2};
7) {( х , у) I 3t Е [ l; 1] х 2 + у2 t 2 };
8) {(x,y)IVaE(O;l] 4xy lna};
9) {(x,y)13a y==logax}; 10) {(x,y(\faE[O;l] siH.ry a}.
== "х простое число" ,
Е( х) == "х четное число" ,
Z(x) == "х целое число,
D(x, у) == 10' У Делится на х",
С(х,у) == "х > у".
Расшифруйте следуюц{ие высказывания и выясните, какие из
1) Р(х) E(x);
З) Зх (Е(х) V D(x, 6));
5) Vx (Р(х) V Е(х));
7) Vx Vy (D(x,y) С(у,х));
8) 'r/x Vy (Е(х) & D(x,y) Е(у));
9) 3х Vy (Z(x) & Z(y) D(x, у));
10) Vx Зу (Z(x) & Z(y) D(x, у)).
2.36. Запишите следующие высказывания в виде фОрl\IУЛ с KBaH
J\ора ,:lИ, предварительно введя обозначения ДЛЯ используеl\IЫХ пре
J!ика тон:
1) Все рыбы Уl\lеют плавать.
2) tlекоторые реки впадают в Каспийское I\10pe.
З) По крайней l\lepe одно четное число делится на 8.
4) Не все птицы Уl\[еют летать.
5) IIи одна собака не Yl\leeT Nfяукать
6) Кто хочет, тот добьется.
7) Если rде нибудь сверкнула l\'10ЛНИЯ, ТО коrда нибудь заrре
1\ 1 И Т r р 01\-1.
8) Если кто нибудь l\10жет прыrнуть в ОКНО, ТО И Коля 1\10жет
2.37. Пусть А == {х I Р(х)}, В == {х I Q(x)}, С == {х I R(x)}.
Запишите высказывания, состоящие только из предикатов Р(х),
Q(x), R(x), лоrических связок и кванторов и утверждающие, что:
1) AnB#0; 2) AUB=0; З) А\В==0;
4) (..4 n В) u С # 0; 5) А С В n с; 6) (А n В) \ с == 0;
7) (BCAUC); 8) AnB==A\C.
2.2. Кванторы
<>
о
о
2.35. Пусть Р(х)
IIИХ истинны:
.L..... t
45
!Ir
j,
Ij!
11
I
I1
1,
111
I
I
2) \/х (D(2,x) Е(х));
4) 3х (Р(х) V Е(х»);
6) Vx (Р(х) E(x»);
l'
11
j,
!,]
j
11
I
t
Ij
1
!
')
I
I
'1
1)
1;
46
rлава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА MA'I'EMA rИFИ
J. .2. Кванторы
47
1) Vx Е А y Е В Р(х,у);
3) 3х Е А Vy Е В Р(х,у);
2) 3х Е А :Jy Е В Р(х,у);
4) Vx Е А (Р(х) -----+ Зу Е В Р(у»).
3) 3х sinx sin(x+l); 4) \/х V4 xlog2x 4.
2.43. Докажите:
1) На отрезке [1; 2] нет TaKoro числа х, что х + 3 > 10.
2) Не существует ПрЯ 10уrольноrо треуrОЛьника с rипотенузой
6, больший катет KOToporo равен 4.
3) В Kpyre нет двух точек, расстояние l\lежду КОТОрЫl\IИ больше
диаl\Iетра Kpyra. ..
4) Ни для KaKoro натуральноrо числа n число п 2 + 1 Чlе l\10жет
быть квадраТОl\Л натуральноrо числа.
2.44. Опров рrните утверждения:
1) Всякое четное число составное.
2) Существует простое ЧИСЛО, кратное десяти.
3) Всякое четное число Иl\'Iеет в своей десятичной записи толь
.
КО четнь е цифры.
I
4) Существует составное натуральное число, l\lеньшее 4.
5) Всякое натуральное число либо простое, либо составное.
6) Существуют хотя бы два простых четных числа.
7) Всякое нечетное ЧИСЛО, !\.IеНьшее девяти, простое.
8) Существует хотя бы три натуральных числа, кратных Tpel\.1
и l\lеньших девяти.
9) Всякое число, большее трех и l\.Iеньшее сеI\1И, либо четно,
либо делится на 3. .
10) Наиrvlеньшее общее кратное любых двух натуральных чисел
больше каждоrо их них.
11) Существует целое число, большее сеl\.IИ и l\f€ньшее девяти,
катаре четно и кратно Tpe l.
12) Наибольший общий делитель любых двух натуральных чи
сел меньше каждоrо из НИХ.
2.38. Запишите с помощью лоrических связок, кванторов, ()боз
начений предикатов и неоБХОДИl\IЫХ nepel\1eHHbIX преДЛОЖ('IIИJl, paB
носильные слеДУЮЩИ1\I:
1) Существует не более одноrо х TaKoro, что ВЫIlОJlIIнется
Р( х ) .
2) Существуют ровно два различных значения переJ\lеllflОЙ Х,
для которых выполняется Р(х).
З) Существует ровно три различных значения переl\iСНIJОЙ Х,
ДЛЯ которых выполняется Р(х).
4) Существ) ют отличные друr от друrа значения пере1\1енных
х и у, для которых выполняется Р(х, у).
5) Для ВСЯКИХ отличных друr от друrа значений nepel\feHHbIX
Х, у выполняется P(XJ у).
6) Существует такое значение х, что ДЛЯ всякоrо значения
переI\lенной у, отличноrо ОТ 8Toro значения Х, выполняется
Р(х, у).
2.39. Следующие предложения с оrраниченными квантораl\1И
заl\lените предложениями с оБЫЧНЫl\:lИ кванторами:
2.40. Запишите в виде предложений с оrраничеННЫ1\IИ KBaHTO
рами:
1) Vx (х Е N Зу (у Е /\ У 2х + 1));
2) 3у (YEN л \/х (xEN ху==х»);
3) Ух Уу (xEN л YEf:J x+y>O);
4) 3х :Jy (х Е N Л у Е N Л х у < о).
2.41. С ПО1\fОЩЬЮ кванторов получите всевозможные истинные
высказывания каждоrо из предикатов:
1) Iхl<З у;
2) x<3 lyl;
З) Ixl x+lyl;
4) х Ixl+y.
2.45. РаССМОТРИl\.1 следующие три утверждения про учеников
lIекото poro класса.
(1) Каждый l\Iальчик ниже какой нибудь из девочек, а любая
девочка ниже какоrо нибудь l\Iальчика.
(2) Каждый 1\lальчик ниже какой нибудь из девочек, а некая дe
Бочка НИЖе лю60rо из мальчиков
1'1
о о
(>
2.42. Докажите утверждения:
1) 3х log2(x + 2) > 7;
2) 'Vx х 2 + 25 10т;
J]
48
r лава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МА ТЕМА ТИКИ
2.2. Кванторы
(3) KTO TO из l\lаЛЬЧИКОВ ниже неКQТОРОЙ девочки, а любая дe
Бочка ниже любоrо l\lальчика.
Какие два из 8ТИХ утверждений обязательно неверны, а какое l\10жет
быть BepHbIl\l?
2.46. П усть А = {х I sin х = О }. Среди следующих утвержде
пий (1), (2), (3) укажите два верных и объясните, почеl\IУ оставшееся
неверно:
2.50*. Пусть а Ь с Е JR Ве р
, , . ны л и слеДУЮIl{ие выIказыыания::
1) Уа 3с "Vb уравнение уа сх == Ь Иl\lеет решение;
2) Va Vc # о 3Ь: уравнение у а сх == Ь И lеет решение.
2 51 * Н OJ
· · аидите все такие Ь Е JR, ЧТО систеI\Iа уравнений
{ У == х 2 1
у == kx + ь
....
1) Иl\деет решение при люБОl\l k Е IPl;
2) не Иl\lеет решения при некотором k Е 1Fk;
3) Иl\1еет решение при БСRКОl\l k 1 (k Е IR);
4) не имеет решения при некотором k Е [ 1 /2; 1]
5) Иl\'Iеет решение при heKOTOpOl\-1 k Е [ 1; 1/2].
2.52*. НаЙДl1те все такие р Е lН:, что систе:\fа уравнений
I { рх + q = у
х 2 + у2 = 1
1) имеет решение при ВСЯКОl\'1 q Е IR;
2) И1Vlеет решение при HeKoTopoIVI q Е ;
3) не Иl\fеет решения при HeKOTopOlVI q Е n:t.;
4) ИI\lеет единственное решение при H€KOTOpO!\.1 q Е 1R;
5) Иl\-Iеет не более О дноrо
решения при ВСЯf Оl\I q Е JR.:
6) Иl\Iеет не более одноrо решения при hel-\ОторОl\I q Е IPl;
7) Иl\lеет решение при БСRКОl\f q Е [о; 2];
8) не Иl\lеет решения ни при KaKOl\1 q Е [ 3 21;
9) не имеет решения при некотором q Е [ .2; 3];
10) ИIVIеет единственное решение при HeKoTopo 1 q Е [2; 3];
11) Иl\lеет единственное решение при HeKOTOpOl\f q Е [ 2; 3];
12) Иl\lеет ровно два решения при BCRKOl\l (} Е [ 2; 3];
13) ИI\/(еет ровно два решения при HeKOTopO I q Е [2; 5).
2.53*. Найдите все такие q Е 1R q > О
из 2.52 ' , что систеl\1а уравнений
1) ИI\Iеет решение при БСRКОl\l Р Е IR;
2) не Иl\Iеет решений ни при каком р Е [ 1; 1].
(2) Vx Е А \;fn Е 2 х = 7rn;
(1) Vx Е А 3п Е Z х = 7rn;
(3) \:In Е 22: 3х Е А х = 7rn.
2.47*. Докажите те из следующих утверждений, которые ис
тиины, И опроверrните те, которые ложны (а, Ь, с, k Е JR):
1) Va 3х (х 2 + ах 1 = О); 2) 3х Va (х2 + ах 1 = О);
3) Vx За (х 2 + ах 1 = О); 4) \Iа 3!х (х2 + х + а = О);
5) Vx 3!а (х 2 + х + а = О); 6) Vb 3а 3х (х2 + ах + Ь = О);
7) 3а Vb 3х (х 2 + ах + Ь = О); 8) 3Ь Va 3х (х 2 + ах + Ь = О);
9) Vc 3Ь Vx (х 2 + Ьх + с > О); 10) 3с 3Ь Vx (х 2 + Ьх + с > О);
11) УЬ Vk :/= О 3!х (kx + Ь = О); 12) Ус 3Ь 3!х (х 2 + Ьх + с = О);
13) УЬ 3с 3!х (х2+Ьх+с=0); 14) Vc 3!х 3Ь (х 2 +Ьх+с=0);
15) Vb 3!х :3с (х 2 + Ьх + с == О);
16) Уа О\JЬ 3с УХ (ах 2 + Ьх + с > О);
17) Уа 3Ь \;fc уравнение ах 2 + Ьх + с == О ИI\1еет решение;
18) Va Vb Зс неравенство ах 2 + Ьх + с > О Иl\1еет решение;
19) УЬ За Vc уравнение ах 2 + Ьх + с == О имеет решение.
2.48*. Пусть Х, у Е Il{. Докажите:
.1) (Эх (х > О Л ху > О)) {:} У > о;
2) (Vy (у > о v ху О») {::} х о;
3) (vy (у > о х + у > О)) {:} х о;
4) (Vx (х > О ------t Х > Iyl») {:} у = О.
2.49*. Пусть А п = (n+5; 2п 5], Bt = [t l; t+1] (t E , n Е N).
1) Для каких n найдутся такие t, что А п n Bt i=- 0?
2) Для каких t найдутся такие n, что А п n Bt i=- 0?
3) Для каких n найдутся такие t, что Bt С А п ?
4) Для каких t найдутся такие n, что Bt С А п ?
49
I i
I
:,!
I
I
f I
I
I
J
, I
, :
:
. \
:1
:1
111
I
50
rлава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ
2.3. О формузm:РОВRaХ определений и Теорем
51
I
1
,1
I
I
I
"
1"
1
j I
1"
l'
l'
1 :
1
2.54*. Пусть а > О и 13 > О.
Slll Х == 1 2 Иl\lеет ровно ОДИН корень
1) При каких а уравнение
на отрезке [о; а]?
. (З 1 ИN[еет ровно ОДИН корень
2) При какиХ {3 уравнение Sln Х == "2
на отрезке [о; 1]? . 1
иеКОТО р Оl\l СУ уравнение SlП( х + а) == 2"
3) Докажите, что при
не Иl\Iеет корней на отрезке [о; 2).
( , {З) изобразите l\lножество
4 ) На плоскости с координата1\IИ а, . 1. и!'.ле
( 1'01' (3) что vравненеие Slпсвх + 1) 2
всех таких точек LЛ" J
ет ровно один корень на отрезке [о; а].
"элеl\fент I\lножества" часто употребляют общее название элеl\.lен
( " " " " " ф " ) Н
ТОВ этоrо l\.Iножества треуrольник, число, УНКЦИЯ И т.д.. a
ПрИl\lер, определение параллелоrраl\Il\lа !\..10ЖНО СФОРl\Iулировать так:
Четырехуrольник называется параллелоrраl\Il\IОl\I, если ero CTOpO
"
Hы попарно параллельны .
Встречаются и друrие КОНСТРУКЦИИ определений. НеоБХОДИ1\IО
ПОl\IНИТЬ (!), что 8 оnреде.л.,ЕU иях слово ее.л u Иl\Iеет значение тО2да
II тольк;о тО2да. ...
U еореМ
2.3. О формулировках опре,целении и т
в l\lатеl\Iатических текстах часто употребляются терl\IИНЫ "He
оБХОДИl\IО' , "достаточно". Для произвольных предикатов р и Q
11 редложение "Р дОСlllаnlО'Ч,1iО для Q '1' означает, в частности, что
/) ::::} Q. оТО предложение I\10ЖНО ПОНИl\Iать и так: "как только BЫ
полнено Р, так обязательно ВЫ110лнено и Q "'.
1'1,
,
uo В I\1атеI\lатичеСКОl\1 тексте зафикси
Назначение определении б нии Определение не
названии или о означе .
ровать соrлашение о О !\1 ОНО не И lеет истинност
ваниеl\1 ни предикат ,
является ни высказы, в Р ечи обычно исполь..
.... Для выражения определения
ных значениИ. " " " "обознаЧИl\'1".
"азывается rОБОрЯТ, ЧТО,
зуют слова н , де lяе.лtы'Й объект описывают, прирав
В простейшем случае аире J б ту термину или
нивая ero к друrО 1У, оnреде-ляюще.л.tу ero о ъек
обозначению:
..., r def де!tяющиu обоеn;т
опреде..ляе.лtь u оозек;т == оnре " "
3 LZ r..:lножество всех целых чисел .
Например: "Обозн чим чер Z а определяющий объект Tep
Здесь определяеl\IЫИ объект :,
" ТБО всех целых чисел . ....
l\IИН lножес кото р ЫХ определяеl\lЫИ
Р оеНЫ определения, в
Более сложно уст uo ле1\1енТ иекотороrо класса ИЛИ
я как произвольныи и
объект вводите uo инЫМ свойства 1 (так опреде
r..Iножества, удовлетворяющии T€l\'I или
ЛЯЮТСЯ понятия):
def Х Е 1\1 & Р ( х ) .
оnределяе.лt b i1 обliек;m == х:
оп еделение: "Параллелоrраl\1l\1 ЭТО
Примером может служить Р попа р но параллельны".
ик У KOToporo стороны
четырехуrольн , . "Эле 1еНТ х и"'З I\lноже
l\le и словесное клише.
Близко к 8ТОИ схе ' Р( ) " Bl\1{!CTO слов
сли выполняется Х.
ства Л,[ называется ... , е
Предложение "Р необходu..Аtо дJlЯ Q" означает, что Q ::::} Р,
I'.e. что "без выполнения предложения Р предложение Q не r..l0жет
выIолняться''..
"1
11 !I
"1
\/ х Е 1\./ (Р ( х) Q ( х ) ) .
(\f )
It,
I
-1; !
,1 ,
: 1'11
1 1;, I
,Н
1" I
11
"
l\[атеl\Iатические высказывания, называеl\Iые meope.Ata.Atu, обыч
IfО Иl\lеют ВИД
I этой фОр Iе (или фОрl\lе леrко СВОДИ IОЙ к 8ТОЙ) фОрl\lУЛИРIОТСR
\Iноrие TeOpel\.IbI. При 8TOl\1 их лоrическа.я структура не всеrда бы
вает очевидной, поскольку словесно 1\.Iожет выражаться по раЗНОI\IУ.
l\:pof\le Toro, существует обычай, в соответствии с KOTOpbII\.1 В фор
,.
I\.lулировках TeOpeI\1 к:ваuп10Р всеоощносп1U часто оnуск;ают, хотя и
1I0драЗУl\lевают. ВОТ несколько фОрl\IУЛИРОЕОК одной TeOpeI\lbI, по
t{OTOpbIl\l леrко восстанавливается ее CXel\Ia (V --------+ ):
а) "ВСRКИЙ четы ехуrольник, у KOToporo две стороны равны и
Ila раллельны, является параллеJIоrраI\П\IОl\I". Здесь i'J l\lножество
Iстырехуrольников, Р(х) "две СТОрОНЫ х равны и параллельны",
(J( х) "х является параллело['ра I IОI\I".
б) "Если две стороны четырехуrольника равны и параллельны,
uo " 3
то такои четырехуrольник параллелоrра1\Il\I. десь опущен KBaH
l'Op.
в) "Пусть ABCD четырехуrольник. Если .А.В 11 CD и
I..-\BI = ICDI, то ABCD является параллелоrраl\Il\.IО!\I". Здесь orpa
Ilиченный квантор выражен в фОрl\lе допущения.
111
i
, ,!
,
l'
li !,!
11
"
I
'1
,
11,
,
"
11
'11
1
1"1
52
rлава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ
2.3. О фОРМУnИрОВRaХ определеНИЙ и теорем
53
11
I
111
,Ii
1 11
t'
11
11
1
1
r) Пусть ABCD четырехуrольник, у KOToporo АВ 11 CD и
IABI == ICDI. Тоrда ABCD параллелоrраМl\l. Здесь импликация
выражена в фОрl\lе: Пусть ... . Тоrда ... .
Предикат Р в фОрl\lулировке, построенной по CXel\1e (\1 ), Ha
зывают ус./lовие.лt TeOpel\lbI, а предикат Q ее зах;люченuе..лt, а BЫ
ражение Vx Е A.f раззяс'tlumе.ль'Н,оi1 'Частью теоремы.
Из частей теореJ\ЛЫ, построенной по CXel\l€ (У ), можно COCTa
вить новые (верные или неверные) утверждения. Переставив l\leCTa
1\IИ условие и заключение TeOpel\'1bI, ПОЛУЧИl\Л высказывание вида
Ух Е A.f (Q(x) Р(х)),
которое на.зывается теореl\:10Й, обрашноiI ИСХОДНОЙ. За1\iенив в ис
ХОДНОЙ TeOpel\.Ie условие и заключение на их отрицания, получиt\'1
высказывание
о-
<>
(>
Vx Е]У! (,Р(х) Q(x)),
2..56. Какие из следующих высказываний истинны:
1) для Toro чтобы число делилось на 12, достаточно, чтобы
оно делилось на 3;
2) для Toro чтобы число делилось на 5, неоБХОДИI\10, чтобы
ОНО оканчивалос нулеl'Д;
3) для Toro чтобы число делилось на 4, неоБХОДИ 10, чтобы
оно делилось на 2;
4) для Toro чтобы число делилось на 2, достаточно, чтобы
ОНО оканчивалось нулеl\l;
5) для Toro чтобы sin Q был равен , неоБХОДИl\10, чтобы о:
было равно ;
6) ДЛЯ Toro чтобы уравнение ах + ь = О Иl\1ело положитель
ный корень, достаточно, чтобы выполнялось неравеНСТБО
аЬ < о;
7) для Toro чтобы четырехуrольник был pOl\16o:rvi, достаточно,
чтобы ero диаrонали были взаИ1\iНО перпендикулярными;
8) для Toro чтобы четырехуrольник был параллелоrраМl\10I\/I,
неоБХОДИl\.10, чтобы какие либо две ero противоположные
стороны были равны
1; 1
11
'!
,1
I
, 1
111
I
11:
I J
1;1 i
"
11/
I ,I
которое называется теореl\10Й, nротивоnоложноi1 ИСХОДНОЙ. Обрат
ная к обратной и противоположная к ПРОТИВОПОЛОЖНОЙ теоремы
совпадают с ИСХОДНОЙ. Далее, обратная 'л; nротU80nОЛО;Жн,ой и
nротuвоnо.лО-:JlCная к; обратной Teope 1Ы совпадают друr с ДРУI'Оl\1
И являются высказываНЯl\lИ вида
\/х Е 1\/ (,Q(x) P(x)).
Леrко убедиться в TOl\I, что противоположная к обратной Teope Ie
равносильна к ИСХОДНОЙ. IIa использовании 8Toro факта OCHOBa
ны доказательства ;';от nротивн,О20": Bl\:leCTO Р =>- Q доказывают
,Q => ..Р.
:I!\
1
'1'
1
11 '
,11
1
1,
,11
*
*
*
2..57. Для каждоrо из следующих условий выясните, является
ли ОНО неоБХОДl\IЫl\'I и является ли оно достаТОЧНЫl\1 для Toro, чтобы
ВЫПОЛНRЛОСЬ неравенство х 2 2х 8 о:
1 1,
111.
I
! :1
I
I
1) четноrо числа;
2) положительноrо решения неравенства х 2 + х 17 > о;
3) наИ11еньшеrо корня уравнения ах 2 + Ьх + с == о;
4) корня 15 й степени из вещественноrо числа;
5) числовоrо l\lножества, обладающеrо наИl\lеНЬШИ:f\,I вле lен
т 01\1;
6) точки на плоскости, СИl\П\lетричной данной точке ОТНОСИ
тельно данной ПРЯl\.10Й.
2.58. Для каждоrо из следующих условий выIсните,, является
ли оно неоБХОДИl\fЫl\1 и является ли оно достаТОЧНЫl\1 для Toro чтобы
2 '
нераВ€НСТБО х + Ьх + 1 О имело положительное решение:
b
1) 2 > о;
5) Ь == 17;
2) I ь 1> 2;
6) Ь > 2;
З) Ь 2 1;
7) Ь 2;
4) ь::;; о;
8) Ь + 3 < О.
I
I
1'1
I [.1
1:
1 i
;j]
II
'1
, I
1I
! I!
'11
l'lli
2.55. Сфорr..1улируйте с ПОl\IОЩЬЮ ПОДХОДЯЩИХ предикатов опре..
деления:
о
1) х О. 2) х 3; 3) х > 2'
,
,
4) х 1 и х 3; 5) х 1 и х < 10;
/"'"
6) 2 < х 10; 7) 2 х 4; 8) х 2 Х 12 О
I '
1
1.
1
:.o..
54
rлава 2 ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МА ТЕМА ТИКИ
2.3. О форму.ли:рОВRaХ опре,цепеИИЙ и теорем
55
2.59*. Среди следующих предложений найдите все необходи
l\lbIe условия и найдите все достаточные условия для Toro, чтобы
систеf\,lа уравнений
{ х+у=а
kx = у
i) достаточное, но не неоБХОДИ fое условие для Toro, чтобы
уравнение х 2 + рх + q = о Иl\lело два корня разных знаков;
8) условие, неоБХОДИl\10е и достаточное ДЛЯ Toro, чтобы ypaB
пение х 2 + рх + q = о И1\lело два корня разных знаков.
2) k > о;
5) а > k;
8) lal + Ikl =F о.
3) ak > о;
6) vavfk > о;
2.62. СФОРl\lулируйте:
1) достаточное, Но не необходимое условие истинности Иl\IПЛИ
..
кации;
2) неоБХОДИI\10е, Но недостаточное условие ложности Иl\fплика
ции;
3) неоБХОДИI\10е и достаточное условие ложности Иl\fпликации;
4) неоБХОДИl\Iое и достаточное условие истинности И1\Iплика
ЦИИ.
И!\lела положительное решение (то
KOToporo Хо > О, Уо > О):
1) а > о;
4) а > О и k > 5;
7) (k 1)2 + (а 5)2 == о;
есть такое решение (;со, Уо ), для
2.60. Пусть ...4(t) означает, что
х 2 + Х < 6.
1) Является ли условие А( 2) неоБХОДИl\fы:rv1 для В?
2) Является ли условие А( 2) достаточным для В?
3) Верно ЛИ, ЧТО при ВСЯКОf'Л t Е [ з; 2) условие A(t) необхо
ДИl\IО для В?
х t
> О, а В означает, что
2 x
4) Верно ЛИ, что при ВСЯКОl\.f t Е [ з; 2) условие A(t) ДOCTa
точно для В?
5*) При каких вещественных t условие A(t) достаточно
для В?
6*) При каких вещественных t условие A(t) необходимо
для В?
2.63. Приведите:
1) 5 достаточных условий для Toro, чтобы четырехуrольник
.fIВЛЯЛСЯ параллелоrраI\.Il\IОl\:I;
2) 6 неоБХОДИl\IЫХ условий для Toro, чтобы треуrольник был
равнобедреННЫ I;
3) 6 достаточных условий для Toro, чтобы уравнение
ах 2 + Ьх + с == О Иl\Iело действительные :корни;
4) 6 неоБХОДИl\IЫХ условий для Toro, чтобы систеl\lа уравнений
{ х2 + у2 == 1
(х + 1)2 + (у + а)2 == Ь
1:
11
Иl\1ела Действительные решения.
1,1
1:1
1:
11
1:1
1.
,1
1"1
1
11
!
i
I
2.61. СФОР Iулируйте:
1) неоБХОДИl\IЫЙ и достаточный признак параллелоrраМl\1а;
2) неоБХОДИI\IЫЙ, но недостаточный признак параллелоrрамrv1а;
З) достаточный, но ненеобходимый признак параллелоrраl\П\1а;
4) неоБХОДИl\Iое, НО недостаточное условие Toto, чтобы ураБ
нение sin х == а имело решения;
5) необход имое У словие для Toro, чтобы
достаточное, но не
уравнение Sln Х == а Иl\lело решения;
6) неоБХОДИl\10е, НО недостаточное условие для Toro, чтобы
уравнение х 2 + рх + q == о имело два корня разных знаков;
2.64. В следующих предложениях B1\IeCTO l\Iноrоточий Поставь
те слова "неоБХОДИl\IО, НО не достаточно", или "достаточно, но не
неоБХОДИl\IО", или же "не неоБХОДИl\IО и не достаточно", а rде ВОЗ
, б " б
lVIОЖНО нео ХQДИl\.10 и достаточно так, что Ы получились верные
утверждения.
1) Для Toro чтобы ЧИСЛО было l\Iеньше 14, ..., чтобы оно бы
по l\:lеньше 15.
1 '
i'
I I
1
2) Условие" быть pO 160l\f"
НИК был квадраТОl\I.
3) Условие х < 7 ... для Toro, чтобы выполнялось х 7.
для Toro, чтобы четырехуrоль
56
rлава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ
.J. () фОРМУЛИрОВЮlХ определеНИЙ и теорем
57
II
I
II!
r
i t
I1
i
!
11
1,1
5) Условие х := 1 является
(х2 l)(х 2) == о.
6) Для Toro чтобы х был равен 5, ..., чтобы выполнялось
(x 5)(x 6) = о.
7) Условие "число делится на 10" является... для Toro, что
бы ато число делилось на 5.
для Toro, чтобы выполнялось
20) Для Toro чтобы четырехуrольник был параллелоrраl\.Il\.10М,
. .. , чтобы ОН Иl\'lел центр с Иl\ll\lет рии.
21) Условие Ь> 1 ... для Toro, чтобы выполнялось аЬ> 1.
22) Для Toro чтобы основание треуrольника равнял ось 20 Cl\I,
а высота 10 Cl\l, , чтобы ПЛОIцадь треуrольника paB
нялась 100 Cl\I 2 .
23) Условие Ig х 2 = 15 для Toro, чтобы 21g х = 15.
24) Для Toro чтобы CYI\Il\la четырех натуральных слаrаеl\1ЫХ бы
ла четной, ... , чтобы каждое слаrаеl\10е было чеТНЬПvI.
25) Условие х > 5 ... для Toro, чтобы (х 2)(х 3) > О.
26) Для Toro чтобы каждое ИЗ двух положительных чисел было
больше 10, ... J чтобы CYl\1l\la атих чисел была больше 20.
27) Условие q < о ... для Toro, чтобы уравнение x 2 +px+q == О
Иl\l€ЛО вещественные корни.
28) Для Toro чтобы CYl\1I\Ia пяти положительных чисел была
l\lеньше 100, . -. , чтобы хотя бы одно ИЗ этих чисел бы
ло l\lеньше 20.
29) Условие (х l)(х + 2) == О ... для Toro, чтобы х == 1.
30) Для Toro чтобы треуrольник Иl\Iел площадь, равную 50 Cl\f 2 ,
. .. , чтобы основание треуrольника равнялось 20 см, а BЫ
сота 5 Cl\I.
31) Условие Ь > О является... для Toro, чтобы корни ypaBHe
ния х 2 + ах + ь == О Иl\fели одинаковые ЗНdКИ.
32) Для Toro чтобы cYI\I1\la пяти чисел была больше 100,
чтобы каждое слаrаеl\Iое было больше 20.
,"
4) Для Toro чтобы выполнялось х > 5, ..., чтобы было ис
тиино х 5.
I ;
,1
!
:,1
8) Для Toro чтобы число делилось на 12, ..., чтобы оно де..
лилось на 3.
9) Выполнение условия Хо = 1 для Toro, чтобы хо было
решение I неравенства х 5.
10) Для Toro чтобы число ХО являлось решением неравенства
(х 2)(х + 6) < О, ..., чтобы Х О == 1.
11) У словие "число делится на 12" является ... для Toro, что
бы ато число делилось на 8.
12) Для Toro чтобы выполнялось х > У, ... ,чтобы было ис
тиина у+ 1 х.
13) У словие О < х < 7r является ... для Toro, чтобы выполня
лось sin х > о.
14) Для Toro чтобы две различные прямые в пространстве не
И!\lели общих точек, ... , чтобы они были параллельны. ,
15) У словие "лежать в ОДНОЙ плоскости" для Toro, чтобы
ПРЯl\1ые Иl\лели общую точку.
16) Для Toro чтобы две ПРЯl\лые в пространстве лежали Б одной
ПЛОСКОСТИ, , чтобы 8ТИ ПРЯl\lые были параллельны друr
друrу.
11) Условие "лежать в ПЛОСКОСТИ, перпендикулярной к данной
плоскости" ... для Toro, чтобы прямая была перпендику
лярна к данной плоскости.
18) Для Toro чтобы диаrонали выпуклоrо четырехуrольника
были взаимно перпендикулярны, , чтобы этот четырех..
уrольник был ромБО!\1.
19) Условие (х 2 l)(х 2) > О является... для Toro, чтобы
выполнялось х > 2.
, I
I I
11'
11
k
,1
t
I
': \ '
l' ,
1:llf
t
"
. . . ,
11
,'1
1I
, I
li!
,
1I1
11
33) Условие х < 3 ... для Toro, чтобы (х 2)(х 3) о.
х 2 1
1 == О ... для Toro, что бы х 1.
х+
Для Toro чтобы периметр прямоуrольноrо треуrольника
был fеньше 10 1\1, ..., чтобы rипотенуза 8Toro треуrоль
ника была 1\lеньше 3 1\1.
x l
36) Условие О ... для Toro, чтобы х 2 Х 3 О.
х+l
37) Для Toro чтобы произведение двух чисел было больше 100,
. . ., чтобы каждое из этих чисел было больше 10.
11
'
34) Условие
35)
1'"
I
1 '1
,1
1
l'
58
rлава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ
2.3. О формулировках опред.слеНИЙ и теорем
59
38) Условие Ь > О для Toro, чтобы rрафик функции
у == х + ь ПРОХОДИЛ через три KoopД HaTHЫX уrла.
39) Для Toro чтобы произведение двух чисел было l\lеньше 100,
. .. , чтобы хотя бы одно ИЗ этих чисел было l\lеньше 10.
40) Выполнение условия х Е [2; З] ... для Toro, чтоБыI cos Х
был 1\lеньше О.
41) Для Toro чтобы неравеНСТБО x2 + Ьх + с > О И -Iело поло..
жительные решения, ... , чтобы выполнялось с > о.
42) Условие х 2 5х 14 < О .. для Toro, чтобы выполнялось:
x 2
< о.
х+3
43) Для Toro чтобы произведение двух чисел было l\lеньше 100,
. .. , чтобы каждое из этих чисел было меньше 10.
44) Условие kb > О для Toro, чтобы прямая у = k х + ь
пересекала второй координатный уrол.
45) Для Toro чтобы ПрЯl\lая у == k х + ь пересекала второй и
третий координатные уrлы, ... , чтобы k было l\lеньше О.
2.65. Bl\leCTO l\IRоrоточий вставьте слово "неоБХQДИl\IО" или же
слово "достаточно" так, чтобы получилось высказывание, истинное
для любых l'лножеств А и В.
1) Для Toro чтобы х Е А U В, , чтобы х Е В.
2) Для Toro чтобы х Е А n В, , чтобы х Е А.
3) Для Toro чтобы х Е А \ в, , чтобы х В.
4) Для Toro чтобы х f/:. А \ в, , чтобы х rJ. А.
5) Для Toro чтобы х tf. А, ... ,чтобы х Е (А U в)С.
6) Для Toro чтобы х Е (А n в)С, ... ) чтобы х f/:. А.
7) Для Toro чтобы х t/:. А \ в, ... ,чтобы х Е В.
8) Для Toro чтобы х Е (А U в)С, ... , чтобы х f/:. ..4.
2.66. Докажите утверждения:
1) для Toro чтобы А \ в f. 0, достаточно, чтобы (A С в);
2) для Toro чтобы А U В с С, неоБХОДИl\fО, чтобы А С с;
З) дЛЯ Toro чтобы В U С с А u С, достаточно, В С А;
4) выполнение условия А С В неоБХОДИl\10 для Toro, чтобы
А С В n с;
5) для Toro чтобы А \ в = ...4, неоБХОДИl\10, чтобы А n в == 0;
6) для Toro чтобы А С В, достаточно, чтобы 11 \ В = 0;
7) для Toro чтобы А U В с ..4 n С, неоБХОДИl\IО, чтобы А С с;
8) выполнение условия А n в :J А достаточно для Toro, чтобы
А \ в = 0.
I
:1
2.67. Опроверrните утверждения:
....
1) для Toro чтобы А С В U С, неоБХОДИJ\IО, чтобы
А С В V А С с;
2) для Toro чтобы А \ в = С, достаточно, чтобы В n с == 0.
,
3) для Toro чтобы С С А \ В, неоБХОДИI\IО, чтобы С С А С В;
4) для Toro чтобы А n в = в n С, достаточно, чтобы
СnА==СпВ.
I ,.
I
2.68. Пусть Р, Q, R l\IНQжества. РаССl\10ТрИl\1 следующие два
)- тверждения:
(а) для Toro чтобы 5 \ (Р \ Q) == 0, неоБХОДИJ\IО, чтобы 5 С Р;
(6) для Toro чтобы 5 \ (Р \ Q) == Й, достаточно, чтобы S С Р.
1) Какое из атих утверждений верно? Докажите ero
2) Опроверrните ТО из утверждений, которое неверно.
3) ПРИДУl\lайте и докажите верное утверждение вида: "Для
Toro, чтобы S\(P\Q) == 0, неоБХОДИl\-Iоидостаточно чтобы
SсРи " '
: r
I
1'1
'1'
I : I
I j1
11
Р
1,'
1':
2.69. ПРИДУl\lайте и докажите TeOpel\lbI TaKoro вида:
1) Для Toro чтобы А \В == А, неоБХОДИl\IО и достаточно, чтобы
2) Для Toro чтобы А U В == А \ В, неоБХОДИl\IО и Достаточно
чтобы ... . '
3) Для Toro чтобы 4 \ В == А n В, неоБХDДИI\-10 и достаточно
чтобы )
4 ) Для Toro чтобы А U В А N В б
=' , нео ХОДИl\iО и достаточно
чтобы ... . '
2.70. Приведите ПрИl\lер TaKoro l\fножества А, А с N, чтобы:
1) для Toro чтобы число х принадлежала IR. \ А, достаточно,
чтобы выполнялось неравеНСТБО х 5;
('1
11
11,1
I
I
i
11'
"
i
60
rлава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ
2.3. О ФОРМУJШРОВRaХ опре.делеНИЙ и теорем
2) для TOrO чтобы простое число х принадлежала А, необхо
ДИl\10, чтоБыI число Х было чеТНЫl\I;
3) для Toro чтобы х: 7, достаточно, чтобы
(.(х : 3») А (х Е А).
5) Параллелоr'раl\11\1 и!\леет центр СИ1\1l\1етрии.
6) CYl\Il\la Сl\'1ежных yr лов равна 1800.
7) Дуrи, заключенные !vlежду параллеЛЬНЫl\IИ хордаr\IИ, равны.
8) Около правильноrо l\lноrоуrольника l\IОЖНО описать ОКРУЖ
насть.
9) Два перпендикуляра к ОДНОЙ и той же плоскости параллель
НЫ. ...
2.71 *. Для каждоrо из предложений 1) 4) упражнения 2.8
ПРИДУl\lайте условие для множества А, выполнение KOToporo Heo6
ХDДИl\10 и достаточно для ИСТИННОСТИ этоrо предложения.
2.72*. К каЖДОl\IУ из предложений упражнения 2.28 подберите
такое условие, накладываеf\.Iое на парам€тр а, выполнение KOToporo
было бы неоБХОДИ1\IЫlVl и достаТОЧНЫl\f для истинности 8Toro пред
ложения.
10) В подобных треуrОЛьниках пеРИl\1етры относятся как ДЛИНЫ
сходственных сторон.
2.73. К каждоl'.IУ из предложений упражнения 2.29 придумайте
условие, неоБХОДИI\10е и достаточное для истинности 8Toro предло
жения.
2.76. Для каждой из следующих теоре1\I СФОРl\lулируйте обрат
IIУЮ, противоположную И обратную противоположной теоре1\lЫ:
1) Если CYl\II\Ia цифр натуральноrо числа делится На З, ТО ЭТО
число делится на 3.
2) Если а = О и Ь = О, ТО а 2 + Ь 2 = о.
3) Если а делится на Ь и Ь делится на с, 1'0 а делится на с.
4) Если аЬ делится на с и а взаИ1\IНО просто с ЧИСЛОl\I С, ТО
Ь делится на с.
5) Если а делится на с, а + ь делится на С, то и Ь делится
на с.
6) Если а делится на Ь, а число с делится на d,. то ас дe
лится на bd4
7) CYI\I!\la квадратов диаrоналей параллелоrраl\1l\1а равна CY!\I
l\Ie квадратов ero СТОрОН.
8) Онола праВильноrо I\lноrоуrольника l\fОЖНО описать ОКРУЖ
насть.
9) В равнобедренноl'Л треуrольнике уrлы при основании paB
ны.
10) Отрезки параллельных ПРЯl\IЫХ, заключенные I\Iежду ДВУl\IЯ
друrИ1\IИ параллеЛЬНЫl\IИ ПРЯ1\IЫr\IИ, равны между собой.
11) ВО БСЯКОl\1 ПрЯl\IоуrОЛЬНОl\1 треуrольнике квадрат rипотену
зы равен CYMl\1e квадратов катетов.
12) Через три ТОЧКИ, не лежащие на ОДНОЙ ПРЯl\iОЙ, l\-10ЖНО про
вести окружность, и ПрИТОl\1 только одну.
о
(;
о
2.74. СфОрl\Iулируйте следующие TeOpe1\lbI, используя слова:
(а) "всякие" (6) "если ... , то "
, ,
(в) "только если " (r) "неоБХОДИl\10" ,
,
(д) "достаточно", (е) "если не то и не "
. . . ,
1) Вертикальные уrлы равны.
2) Лиаrонали рО1\lба БзаИl\IНО перпендикулярны.
3) Равные треуrольники подобны.
4) Если целое число делится на 6, то оно делится и на 3.
5) Точка пересечения диаrоналей параллелоrраI\1l\lа служит
центрОl\I ero СИМ fетрии.
2.75. В следующих TeOpel\laX укажите условия и заключения:
1) Вертикальные уrлы равны.
I
2) Во БСЯКО1\l треуrольнике против равных уrлов лежат равные
стороны.
3) Отрезок ПРЯl\10Й, соединяющий две какие нибудь ТОЧКИ, KO
роче всякой ломаной, соединяющей эти же точки
4) CYMl\1a уrлов треуrольника равна 1800.
61
1 1':
11'1
1111,
J!," i
i l'
I,I
l!i'l
11'
1,
li
,
11'
1'111
1,:1
"Ii
111
Illi
1;
,
11
1,,1
11'!
1 1I
1'11;
, 11'
i "
1 '11
, ,
"
111 ,
"
Ij
,I!I\
\ r
11 '
1111
l' 1 1
I11 !
1"
,')
i ,1,
!,
-'Ii
:1
,
I11
11I I
\! i
1 1
, il!
1, I
I iI! I
,1
62
r лава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ
2.4. ЗакОнъl равносипъности сложных преАЛожений
63
2.4. Законы равносильности сложных
u
предложении
Блаrодаря (1) и (2), в КОНЪЮНКЦИИ нескольких предикатов l\.10Ж
НО записывать предикаты и расставлять скобки, указывающие по
следовательность выполнения действий, в любом удоБНО}\.1 поряд..
ке. Часто эти скобки и вовсе не ПИШУТ. То же l\IОЖНО сказать и о
Д,ИЗЪЮНКI(ИI1 нескольких предикатов.
За оны nО2лощенuх. Если Р, Q, такие предикаты, что Р => Q,
При заl\1ене предиката раВНОСИЛЬНЫl\1 e IY предикатоl'+Л или BЫ
сказывания равносильным el\IY высказываниеl\:1 часто оказываIOТ
ся полеЗНЫf\IИ следующие фОрl\IУЛЫ.
За'КО'НЬt К:Он'бю'Нк:циu и дU3БЮ1t1Сцuи. Для любых высказываний
или предикатов Р, Q, R справедливы:
(1) переI\Iестительные законы (1Со.лt.Аtуmативность):
то
...
(4)
Р & Q {=> Р,
PVQ {:} Q.
Р & Q {:> Q & Р,
Р v Q {:} Q V Р;
с ПОl\IОЩЬЮ 8Toro закона l\IОЖНО, наПрИl\1ер, объяснить следу
ЮП ИЙ переход, осуществляеl\IЫЙ при решении систеlVIЫ уравнений:
(2) сочетательные законы (ассоциативность):
(Р & Q) & R {::} Р & (Q & R),
(PVQ)VR {:} PV(QVR);
(3) распределительные законы (дистрибутив'Ность):
P&(QVR) {:} (P&Q)V(P&R),
PV(Q&R) {::} (Р VQ)&(PVR).
{ f(x)g(x) ==.0
f2(x)g(x) О
{::}
f(x)g(x) = О.
ПеРСЧИСЛИI\I еще несколько полезных формул. Для любых BЫ
СI:азываний и предикатов р и Q справедливы:
(5) за оuыl повтореuих (иде.лtпотенmNость):
Р V Р <=} .Р,
р & р {:} Р;
I
I
1[:
(G) 3ак:оны, со раще'Ния записи К:О'N юнх;ч'Uи и диЗ6ю1-t1Сцuи:
Для доказательства достаточно проверить равенства ИСТИН
ностных значений соответствующих формул при всеВОЗl\10ЖНЫХ Ha
борах истинностных значений букв Р, Q, R.
ХОТЯ законы (1) (3) наПОl\Iинают законы числовой арИф lетики,
Иl\lеется и отличие: за1\-rенив знаки V и & друr на друrа в любой из
равносильностей (1) (3), ВНОВЬ ПОЛУЧИl\1 истинное высказывание.
Распределительный закон арифметики ЭТИ.l\l СБОЙСТБОI\1 не обладает.
Написанные выше фОрl\1УЛЫ используются во l\1:ноrих ситуациях.
Закон (3) ПрИl\lеняется, например, в следующеl\1 рассуждении:
{ у О, 5х
[:
р v (Р & Q) {:} Р,
р & (Р V Q) <=} Р;
1
{
1
:
11
I
1'1
!]
,j
( 7 ) 3 а к; о 1t д в о ii 'N О 2 О О три 'Ц ан ия:
....,.. р {::} р.
,
(8) За-л;о1tы оmрllчаНllХ К:ОН6Ю'N'1СЦUU и диЗQю'Нк:цuи (за-х;о'ltы де
J1fopzaua):
.(Р & Q) {:} p v .Q,
...., (Р V Q) {:} ...., р & ...., Q ;
Ij
l'
[i'
I ,
( 9) За к;о N, о три Ц а 1l ия u.лt nл и h а Ц и и:
{ х 2у О
х 2 5х + 6 == О
",,(Р Q) {:} Р & .Q
{:}
Наконец, часто используются
(10) За1\:ОНЫ отрица'Н'и.н для 1tba'Ht-орО8. Для любоrо предиката
/J( х)
{:}
{ у О, 5х
х=2
{ у О, 5х
х:=3
{::}
{ Х==2
y l
{ Х==З
у 1,5
....,(Ух Р(х)) {=> 3х ,Р(х),
(3x Р(х)) <=} Ух ...,Р(х).
'1
, ,
11
I
t
Все эти законы l\IorYT быть проверены путеl'.,1 вычисления истин
ноетныл значений соответствующих фОрl\1УЛ.
. ]
. I
..
1'1
64
rлава 2 ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МА ТЕМАТИКИ
2.4. Законы равНОСИJIЪНОСТИ СЛОЖНЫХ пре"цn:ожений
65
Заl\lеТИl\1 что для оrраниченных кванторов Vx Е Af, :3х Е lt!
выполняются законы аналоrичные законам (10).
В качестве иллюстрации ПРИВОДИI\1 доказательство тождества
2.80. Заl\lените l\lноrоточие лоrичеСКИl\1И связками или пробе
лаl\'1И так, чтобы ДЛЯ любых предикатов или высказываний Р, Q, R
оказались спраВ€ДЛИБЫl\IИ следующие равносильности:
А \ (В u С) == (А \ В) n (А \ С)
для l\lножеств Пользуеl\ЛСЯ заКОНОl\1 (8):
х Е А \ (В U С)
(х Е А) & ..,(х Е В U С)
хЕА
х В
хЕА
xtl.C
х Е (А \ В) n (А \ С).
{:::}
{:}
{ х Е А
......, [ х Е В
хЕС
{:}
{::}
х Е ..4
xf/:.B
xt/:-C
{::}
{::}
(х Е А \ В) & (х Е А \ С)
{:}
Какие еще законы равносильности использованы в атом доказатель
стве?
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7) (P...Q) R {::} Q (P R);
8) ,(р Q) <=> (...Р& ...Q)V(...P& ...Q).
<> о- о
PVQ <=> ...(...Р& ....Q);
P Q <=> ...(...PV...Q);
PVQ {::} ...(...P ...Q);
...
P&Q {:} ...(...P ...Q);
Р Q {::} (P Q)...(Q P);
Р Q <;:> (Р & Q) V . . . (. . . р & ... Q);
11
I
1
I
*
*
*
2.81. Пусть Р, Q, R предикаты. Объясните законность ис
пользования знаков "<=>":
,
1
2.77. Какие из следующих форr.лул равносильны фОРl\lуле
......,р ....." Q при любых высказываниях или предикатах Р, Q?
1) Р V Q; 2) Q Р; 3) .Q Р;
4) ......,(..,р & Q); 5) .(Р & ---,Q).
2.78. Родители сказали деТЯI\I: "Если l\lbI поедеl\1 леТОl\I в ДОl\1
" П .....
отдыха, то вы поедете в спортивный лаrерь. OTOl\I В школе детеи
спросили, куда они поедут леТОI\1. Петя ответил: "Если IЫ поедеl\1
" r . " Е
в лаrерь, ТО родители поедут в ДОJ\.1 отдыха. аля сказала. сли
"
папа с l\lаl\IОЙ не поедут в ДОl\1 отдыха, ТО l\lbI не поедеl\I в лаrерь .
"Нет, не так, ВI\l€шался Колл.. Если l\lbI не поедеrvI в лаrерь, то
родители не поедут в ДОl\f отдыха". Чей ответ равносилен TOI\.IY, что
сказали родители?
1) PV(..,P&Q) <=> (PV P)&(PVQ) {::} PVQ;
2) Р & «Р V Q) & R & Р) Р & «(Р & (Р V Q) & R) {:}
{:} р & (Р & R) <=> Р & R;
3) ",(Р (Р ( Q & Р))) <=> Р & ..,(Р (.Q & Р» {:}
р & (Р & .(......,Q & Р» {:} р & (Q V ..Р) {::} Р & Q.
2.82. Пользуясь законаl\..1И равносильности СJIОЖНЫХ предика
ТОВ, докажите, что для любых предикатов Р, Q, R выполняются
следующие равносильности:
2.79. КаКИI\.1 из значков V, &, -------t l\ЛОЖНО заl\:lенить СИJ\IВОЛ *,
чтобы следующие равносильности выполнялись для всяких преди..
катов Р, Q:
1) .(P*Q) q P&,Q;
З) (Р * Q) .p {::> I(P V Q);
2) (Р * Q) & Р {::} Р;
4) ...,P*(Q&P) {::} ......,PVQ?
jl
11 '
1 1
,1
1) (PVQ)&(QVP) {:} PVQ;
2) (PVQ)V(RVP)' {::} PVQVR;
3) (PVQ)&(Q&P) <=> Q&P;
4) .(Р V Q) & (...,р V iQ) {::> ,(Р V Q);
5) (Р .Q) & (Р R) ...,р V (...,Q & R);
6) Р & Q & ,R {::} ..(Р (Q R»;
7) (PVQ) (PVR) {:} PViQVR;
8) (P Q) (P&R) {:} P&(.QVR).
1:.-
1 : 1
i r
1,
1:)
11
,1
i
11
'1
66
rлава 2 ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ
2.4. 3а1СОllbl равНОСИJIЪНОСТИ СЛОЖНЫХ преp(IIожеКИЙ
67
11
I :
2) .(х Е А х tf- В);
4) .(х tt в & х ft А \ В);
6) (x r;t В х Е А \ В).
6) Если данное число делится на 5, ТО оно либо простое, либо
делится на З.
7) Если завтра будет плохая поrода, то, прежде чем выйти на
улицу, я надену пальто и Бо3ы\уy ЗОНТИК.
8) Если у !\леня хорошее настроение и есть свободное вреl\IЯ,
ТО я иду в кино или rуляю по rороду.
9) Если завтра буд т воскресенье или в институте не будет
занятий, то КО I\IHe придут друзья, и мы послушаеl\f музыку.
10) Если я поздно приду на остановку или я не cMory сесть
в автобус, то опоздаю на занятия и пропущу интересную
лекцию.
11) Сеrодня хорошая поrода, и, если 1\:1не принесут ЛЫЖИ, то я
пойду в лес.
12) После обеда я отправлюсь на проrулку в парк или, если
ко l\lHe зайдет приятель, буду иrрать с ним в шаХl\lаты или
поеду кататься на лодке.
11
l' I
2.83. Упростите следующие Фор:r,./I:УЛЫ (заl\lените их на paBHO
сильные фОрl\lУЛЫ более простоrо вида):
1) (IP & ..,Q) V ((Р Q) & Р);
2) (Р Q) & (Q Р) & еР V Q);
3) (Р Q) & (Q ...-+ .Р) & (R Р);
4) .((Р Q) & (Q .Р)).
111
1111
I!
1) .(х Е А V х f/:. В);
3) (x Е А х А n В);
5) .(х А \ в & х Е А);
"
'111
l'
J:I
1",
1 1 ,11
11
!
'd
1.
2.84. Пусть А, В подмножества универсальноrо множества.
Упростите предикаты:
2.85. Ilа плоскости с координатми (х, у) изобразите области
истинности предикатов (предварительно предикаты упростив):
1) (ху;:: О ху < 1) V (х 1 у 2);
2) (x 2 у < 1) & (у 2 х < 1);
3) (x > 3 (x < 1 у < х 2 »;
4) .(ху < О v ху 1) & .(ху < 2 х 2 + у2 2).
1 ,!
111
1
2.88. Составьте отрицания (в утвердительной фОРl\lе) предло
жений из упражнения 2.13.
Ij
['!
1
If
111
<>
<)
о
2.89. ОтрицаНИЯI\1И каких утвердительных предложений слу
жат следующие предложения:
1) Пришел Петя, но Вася не пришел.
2) Если идет ДОЖДЬ, ТО не светит солнце.
3) а: 3 & а -1 з & 1( а : 2 ).
4) Поезд пришел ПОЗДНО НОЧЬЮ, НО У вокзала не оказалось ни
свободноrо такси, ни ожидающеrо пассажиров автобуса..
5) Завтра.fl не пойду в лес, будет плохая поrода, но я не зато
плю печь или не буду читать книrу.
2.90. Среди следующих утверждений найдите пары высказы
ваний, ЯБЛЯIOЩИХСЯ отрицаНИЯl\'IИ друr друrа:
а) Все ученики нашеrо класса решили задачу.
б) IJекоторые ученики нашеrо класса решили задачу.
в) НИ один ученик нашеrо класса не решил задачу.
r) Некоторые ученики нашеrо класса не решили задачу.
II!
"
1
'111
11,
IJli
I
2.86. Студент решил Ба время каникул прочитать не ленее двух
книr, сходить в театр или на концерт и, если выпадет cHer, съездить
за rород на лыжную проrулку. В KaI{Ol\1: случае I\10ЖНО считать, что
ОН СБое решение не выполнил?
2.87. СФОРl\lулируйте отрицания следующих предложений в YT
вердительной фОрl\lе, Т.е. так, чтобы они не начинались СО слов "He
верно, что":
1) Если Париж расположен на Сене, то белые l\iедведи живут
в Африке
2) Если Иванов заНИ .1ается ватерПОЛОl\1, ТО он умеет плавать.
3) Если число делится на 6) ТО оно делится и на 3.
4) Е сли а i= с и Ь f=. с, то а::р ь.
5) Если я пошла в кино или на каток, то у l'vlеня не было занятий
в школе
1:'
1;1
'1
I ! I
1'1
11 i l
;,
1 r f
: 1 ' I
1 ,
I: I
1 !'I; i
I!I :
i
11' I
1,':
1 111
1\ '
I(i: !
li !
,,
,1
"11111
, i
1 ,1
1
,I:
68
rлэва 2 ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МА ТЕМАТИКИ
2.4. зaJ(оиы равНОСИЛЬНОСТИ СЛОЖНЫХ пре,lЦlожеНИЙ
69
1 '11
11
'1
2.91. Составьте отрицания следующих высказываний:
1) Весь наш класс присутствовал на вечере самодеятельности
2) НИ один ИЗ СОl\1ножителей произведения аЬс не равен о.
З) НеКGТОРЬ:':М школьникаlV'I по 10 лет.
4) Все числа а, Ь, с рациональны.
5) Некоторые из чисел а, Ь, с не являются рациональными.
6) Ни одно из чисел а, Ь, с не является рациональным.
7) Некоторые из чисел а, Ь, с являются рационаЛЬНЫl\IИ.
8) По крайней f\1epe ОДНО ИЗ чисел а, Ь, с является рацио
наЛЬНЫl\l.
2.93. Про жителей rорода N сформулирован ряд утверждений:
(1) Все жители rорода N любят l\fатеl\lатику.
(2) Если человек живет в rороде N, ТО ОН любит l\1атеJ\fатику.
(3) В rороде N есть житеJIЬ, который не любит математику.
(4) Всякий человек не живет в N ИЛИ любит матеl\латику..
(5) Если человек не любит l\fатеl\латику, ТО он не живет в rороде
N.
(6) Если человек любит матеl\1атику, то ОН живет в rороде N.
(7) Есть человек, который любит математику, но не живет в N
(8) НИКТО из жителей N не любит l\Iate:r-.lатику ч"
Выполните следующие задания:
1) Найдите утверждение, отрицающее (1).
2) Среди утверЖдений (1), (2), (6) найдите те, которые означа
ЮТ ОДНО И То же
3) Выясните, какое из утверждений (3) и (8) следует из друrо
ro.
4) Объясните, почеl\ЛУ утверждения (2) и (4) означают одно и
то же.
5) Рассуждая" от П]i>отивноrо", выведите из утверждения (2)
утверждение (5) и наоборот из (5) выведите (2).
2.94. Про жителей rорода N СфОРl\Iулирован ряд утверЖдений:
(1) Каждый житель rорода N любит конфеты или математику.
(2) Есть житель rорода N, который любит и конфеты, и MaTe
l\'Iатику.
(3) В rороде N есть житель, который не любит ни конфет, ни
l\lаТеl\1атики.
(4) Для любоrо жителя rорода N найдется что то в жизни ЧТО
ОН любит. '
(5) Есть ЧТО ТО, что любят все жители rорода N.
(6) НИКТО из жителей rорода N не любит ни конфет, ни l\1aTe
l\la ТИКИ.
(7) В N есть житель, который не любит конфет или не любит
1\1 а т elVla тики.
(8) Среди жителей rорода N, любящих конфеты, нет жителей,
любящих 1\.lате1\1атику.
(9) Если житель rорода N любит матеl\lатику, ТО ОН любит и
конфеты.
(10) Если житель rорода N любит конфеты, ТО он любит и Ma
теl\.Iатику.
(11) Если житель rорода N не любит Iатеl\Iатику, ТО ОН не лю
бит и конфеты
(12) Всякий любитель rv1атематики, живущий в rороде N, любит
и конфеты.
(13) Всякий житель rорода N не любит матеl\lатику или любит
конфеты.
(14) Всякий житель rорода N не любит :конфет или любит Ma
те1\fатику.
11.
I '
11
:11
['
1,1
11
I ]
I
1\
I
11\
l'
11
, \]
i I
\
, \
1,
11'1
:;1
,
2.92. ОтрицаНИЯl\IИ каких предложений являются следующие
высказывания:
1) В иеКОТОрОI\1 поезде, идущем из Саратова в Воронеж, в Ka
ЖДО:М: BarOHe есть свободное место.
2) В каЖДОl\1 rороде Швейцарии есть улица, на которой Haxo
ДИТСЯ дом, все окна KOToporo ВЫХОДЯТ на юr.
3) Найдется книrа, содержащая страницу, в каждой строке KO
..... б б " А "
тораи встречается хотя ы одна уква .
4) В каЖДОl\1 rороде есть район, в каждой школе KOToporo най
дется класс, ни один 'ченик KOToporo не заНИl\1ается спор
T01tI.
:11
1 :
11\.
1':
l' 1
I
r
1
l'
1 r
111
jll'
1
1 1::1
li
1,
,1
11,,1
1
1 '
1!ll:
!
1
1, I
1 I
I ,
Ji'
I '
11
\'111
, I ,1
70 rлава 2. ПРЕДЛОЖЕНИ.Я ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ
2.4.. Законы равносильности сложных предложений
71
(15) В ['ороде N есть любитель l\lатеl'латики, который не любит
конфет.
(16) В rороде JV нет ни одноrо любителя l\Iатеl\lатики, который
бы не любил конфеты.
Выполните следующие задания:
1) Выясните, равносильны ли утверждения (1) и (4). Какое из
них следует из друrоrо?
2) Среди утверждений (2), (3), (6) найдите отрицание к (1).
3) Одно из утверждений (4), (5) следует из друrоrо. Какое?
ПочеrvIУ неверно обратное?
4) Равносильны ли утверждения (6) и (7)? Какое из них сле
дует из друrоrо? Почеl\fУ неверно обратное?
5) Среди утверждений (6) (8) найдите отрицание утвержде
имя (2).
6) Докажите l\lеТОДОl\1 ОТ противноrо, что из (10) следует (11)
и наоборот.
7) Докажите, что если среди жителей N хотя бы один любит
l\lатеl\Iатику, ТО утверждения (8) и (9) не l\IorYT быть оба
верНЫ1\IИ.
8) Среди утверждений (10), (11), (12), (13) найдите два YTBep
ждения, равносильные (9).
9) Среди утверждений (11), (13), (14), (15) найдите отрицание
(9 ).
10) Среди утверждений (7), (8), (9), (10), (11) найдите утвержде
иие, равносильное (16).
2.95. СфОрl\lулируйте в утвердительной фОрl\l€ отрицания сле
ДУЮЩИХ предложений, а затеl\l выяснитс, что истинно исходное
предложение или ero отрицание:
1) Если при ВСЯКО1\1 положитеЛЬНОl\1 х разность 2х у поло
жительна, ТО число у отрицательно.
2) Если при иеКОТОрОl\1 отрицатеЛЬНОI\Л х произведение ху OT
рицательно, то число у положительно.
3) Если существует неотрицательное х такое, что разность
х у отрицательна, то число у отрицательно.
4) Если при ВСЯКОlVl положитеЛЬНОI\1 у разность х у отрица
тельна, ТО х отрицательно.
5) Для любых двух натуральных чисел х и у существует
натуральное число z такое, что если х < У, то х + z = у.
6) Каковы бы ни были натуральные числа х, у и z, если х +
у > z и у х > z, ТО У > z.
о
о
(>
2.96. Докажите:
1 1
х 2 или у?- 2;
х < 2 или у < l
1) х+у= 1 =>
2) х + у < з =>
3) если CYl\I1\la n чисел равна 1, ТО хотя бы одно ИЗ отих чисел
1
не превосходит .
n
2.97. Докажите те из слеДУЮll{ИХ утверждений, которые ИСТИН
НЫ, И опроверrните те, которые ложны.
1) Если ху == 1, то: а) х > 1 или у > 1; б) х 1 или у 1.
2) Если 2х + у =: 5, то:
а) х > 1 и у < 3' , б ) х > 1 или У < 3' , в) .......... 1 .......... 3
х или у .
3) Зх + 4у > 7 => х > 1 или у > 1.
4) х у > 5 => х > 7 или у < 2.
5) х у < 3 => х < 5 или у > 2.
6) 2х Зу 4 => х 5 или у < 2.
7) х 2 + у2 < 25 => х > 3 или у < 4.
о
<>
<)
2.98. 1) Для любых l\1ножеств ..4, В, С выполняется равенство
( 4 \ В) \ с = (А \ С) \ В.
Объясните следующее доказательство этоrо равенства:
хЕ(А\В)\С {::}
{::} { {::
xf/:-C
<=> х Е (А \ С) \ В.
{{ ХЕА
х1.С
xfj.B
{ хЕА\В
xfj.C
q.
{:::>
",
1
,,'
'1
l' ,
I I '
"1 1
'1
I
11,,1,1
1I1
'11 1
,1
,,111
"
:!!
1I
1
II "
I1
111
1
I
I!!
! '
!I
,
1]
" '
"1
I I
I, '
I!:
",
,
r 1
::1.,
r ,:
1 1 '
1,
l'
J
I
1
" ,
r i
1'11
', '
72
r.лава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ
2.4. Законы равНОСИ.JП.НОСТИ сложных пре,цпожеНИЙ
73
{:}
[ Х Е В
хЕА\В
{::}
[ Х Е В
хЕА
[ Х Е В
xrt. B
2.101. Упростите:
1) (А U А) ПА; 2) (А U В) n А;
4) (А \ В) u В; 5) (А U В) \ А;
7) ..4 \ (А \ В); 8) (А U В) n (..4 \ В);
10) (А \ В) u (А n В).
3) В U (А n В);
6) А \ (А n В);
9) (В \ А) U (С \ А);
2) Для любых множеств А, В выполняется равенство
BU(A\B)==AUB.
Объясните следующее ero доказательство:
xEBU(A\B) {:}
[ х Е В
{ ХЕА
xt$B
{::>
2.102. Для каждоrо из слеДУЮIЦИХ выражений выясните, каКИl\1
из значков U, n, \ l\IОЖНО заI\lенить знак * так, чтобы получилось
тождество для I\lножеств (слева и справа от знака равенства знак *
заl\.1еняется на ОДИН и тот же СИ1\'IВОЛ):
1) (AnB)*C==An(B*C); 2) (A*B)nC==An(B*C);
3) А u (В * С) == ( 4 u В) * (..4 u С);
4) (А U В) * (А n В) == (..4 * В) u (В * А).
11
111
IJ
11
I '
I
111,
'1
l'
I
11
{::} xEBVxEA {::}' xEAUB
3) Для всяких IvIножеств А, В, С, D выполняется равенство
(А \ В) n (С \ D) == (А n С) \ (В U D).
Объясните следующее ero доказательство:
xE(A\B)n(C\D) {::}
{ ХЕА
x B
{ ХЕС
x D
{::}
{ ХЕА\В
хЕс\п
{::}
{::>
{ ХЕА
х ЕС
{ xft. B
х r/:. D
{:>
2.103. Докажите те из следующих высказываний, которые ис
тинны, И опроверrните те, которые ЛОЖНЫ:
1) Для Toro чтобы А \ в == С, неоБХОДИI\'IО, чтобы В n С == 0.
2) Для Toro чтобы ..4 \ В = С, достаточно, чтобы В n С == 0.
3) Для Toro чтобы А == В U С, неоБХОДИI\IО, чтобы А \ в с С.
4) Для Toro чтобы ..4 == В U С, достаточно, чтобы А \ в с С.
Б) Для Toro чтобы 4 С В U С, неоБХОДИl\10, чтобы А \ в с С.
6) Для Toro чтобы .i1 С В U С, достаточно, чтобы А \ в с С.
7) Для Toro чтобы (А u В) \ с == в \ С, неоБХОДИl\ЛО, чтобы
А С С.
8) Для Toro чтобы (..4 U В) \ с == в \ С, достаточно, чтобы
А С С.
1
1
I
, ,1
1:
',1
1'1
[
[,
{ ХЕА
хЕС
...., [ Х Е В
х Е D
<=> х Е (А n С) \ (В U D).
{:}
{ ХЕАПС
xf/:BUD
l'
111
I
о
2.99. Докажите следующие тождества для :r.лножеств:
1) А u В == В U А; 2) (А U В) u С == ..4 u (В u С);
3) An(B\C)==(AnB)\C;
4) А n (В u С) == (А n В) u (А n С); 5) А \ в == (А U В) \ В;
6) (А \ В) n С == СА n С) \ (В n С) == (А n С) \ в == (С \ В) n А;
7) А \ в == А n В С ; 8) А == (А \ В) u (А n В); ,
9) А \ В С == А n В; 10) (А u В) \ (А \ В) = В.
111
I
11'
": 1
"
I I
',1
2.104. Пусть ..4, В, С l\IНQжества.
1) Докажите, что если А С В С С, то (B\..4)U(C\B) == С\А.
2) l\lожет ли ато равенство быть верИЫl\I, если В С С но
ArtB?
11
"1
11
' I
2.100. Докажите или опроверrните следующие тождества для
множеств и выясните, в какую сторону непременно есть включение:
1) (А \ В) u С == (А u С) \ В; 2) А \ (В n С) == (А \ В) n с;
3) (впс)С==вСпс С ; 4) (B\C)c=BcUC.
2.105. Пусть Р, Q, 5 f\лножества.
1) Докажите, что Р \ (Q u 5) == (Р \ Q) \ S.
2) Выведите из предыдущеrо пункта: для Toro чтобы
Р \ Q с 5, неоБХОДИl\IО, чтобы Р С Q u S.
3) Докажите, что если Q с s, ТО (Р \ S) \ Q == Р \ s.
,11
I '
11
I
1"\
:1' i"
'1,
11
,11
11)
, I
74
rлава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ
2.4. 3aкoны равНОСИJlЬИОСТИ сложиъrx преЩIожеИИЙ
75
2.106. Пусть Х, А, В множества.
1) Докажите: для Toro чтобы Х \ А
чтобы ХnА= 0.
2) СфОРl\'1улируйте и докажите верное утверждение следуIO
Iцеrо вида: для Toro чтобы Х \ А == Х U В, необхо имо и
достаточно, чтобы и Х пА == 0.
х u В, необходимо,
2.110. А, В произвольные l\1ножестiза. Пусть
р== (А\(В\А))\В, Q==A\(B\A)\B), R::::(A\B)\(B\A).
1) Найдите l\fножества Р, Q, R, если А == [ 1; 1],
B={xEZlx 2}.
2) Докажите ИЛИ опроверrните, что всеrда Р == А \ в
З) Докажите, что Р == Q <=> А n в == 0.
2.111 *,. В следующих предложениях заl\lените 1\1ноrоточия таки
I\IИ предикатаl\IИ, чтобы получились истинные высказывания, и дo
кажите их:
1) Для Toro чтобы С С (А \ В), необходимо и достаточно,
чтобы С n в == 121 и ... .
2) Для Toro чтобы Р\ Q == R, неоБХОДИl\<10 и достаточно, чтобы
P==RU(Qnp) и... .
3) Для Toro чтобы Р \ (Q \ R) == О, необходимо и достаточно,
чтобы Р С Q и ... .
4) Для Toro чтобы АnС с В, необходимо и достаточно, чтобы
(А \ В) n С ==!2J и ... .
,
';\
'. r
i
j; l !j,
1,1
'1
:,1
11
" f
II
3) Пусть теперь А == {1; 2}, в == {4; 5 }. Перечислите все
такие rv1ножества Х, Х с { 1; 2; 3; 4; 5}, что Х \ А == Х U В.
2.107. Пусть А, В, С произвольные множества.
1) Докажите: С \ А С С \ в => с пА:) С n В.
2) Опроверrните: для Toro чтобы С \ (А n В) == С \ В, необхо
димо,чтобы CnA=CnB.
3) Пусть Р == с n (А \ В), Q == с n (В \ А). Докажите: если
. р с Q, то Р = 0.
1:1
I
2.108. Пусть А, В, С произвольные множества. Тройку
(А, В, С) будем называть хорошей тройкой, если А u СВ \ С) с А.
Докажите или опроверrните следующие утверждения:
1) Для Toro чтобы тройка. (А, В, С) была хорошей, достаточ
НО, чтобы В С А.
2) Для Toro чтобы тройка (А, В, С) была хорошей, необходи
1\10, чтобы В \ А == 0.
З) Если тройка (А, В, С) хорошая,' и В 1 С В, то тройка
(...4, B 1 , С) также хороша.я.
4) Пусть А == {1; 2}) С == { 4}. Перечислите все I\tlножества
В такие, что тройка (А, В, С) хорошая.
2.109. Пусть А, В, С, D произвольные l\lножества. Будеl\1
обозначать (*) включение А \ D с В \ с.
1) Опроверrните, что условие А С В достаточно для (*).
2) Верно ЛИ, что условие С С D неоБХОДИl\'{О для (*)?
З) Докажите, что если А С В и С с D, ТО условие (*) BЫ
полиено.
4) Докажите, что если В = D, то (*) {::} ..с4 С В.
]. I
111
t,
111
2.112*. ПРИДУl\lайте и докажите теореl\lЫ следующеrо вида:
1) Для Toro чтобы (А \ В) u (В \ А) == 0, неоБХОДИl\'IО и ДOCTa
ТОЧНО, чтобы ... .
2) Для Toro чтобы было истинно (Р U Q) \ (Р \ Q) => R, Heo6
ХОДИl\10 и достаточно, чтобы ... .
3) Для Toro чтобы из AUB => С следовало С == 0, необходимо
и достаточно, чтобы ... .
4) Для Toro чтобы (..с'У U У) \ (Х n У) == 0, неоБХQДИl\fО и ДOCTa
ТОЧНО, чтобы ... .
5) Для Toro чтобы (А \ В) u в == А, не<!БХОДИl\10 и достаточно,
чтобы ... .
6) Для Toro чтобы Р \ (Q \ R) == Р U (Q \ R), необходимо и
достаточно, чтобы ... .
7) Для Toro чтобы (А n В) u С == А n (В u С), необходимо и
достаточно, чтобы ... .
111
It, (1
,1
I ,1
11 '
"
r
1
'1
11 1
11'
[!I'
I
1"
11
8) Для Toro чтобы Х \ (У U Z)
достаточно, чтобы ... .
(Х \ У) U Z, необходимо и
; I
\.
76
3.1. Определение функции
77
1:
l'
111.
1
: 1 ,1
, 1
rлава 3. ФУНКЦИИ
Областью оn р д Ф f Х
е еле-нuя ункции: У наЗЬJвается Cal\10
rvlножество Х. Область определения функции f обозначают через
Dj.
AfHO:J1CeCтeoJ\! значении функции f: Х у называется l\IHO
жество Е! == { у Е У I x Е}{ у == J(x) }.
Фvнк ц иIO f на зь т с..- D
J '.I.вают ч,uсловоu, если J, Е! числовые l\IHO
жества. Числовые ФУНКЦИИ часто задают аналитически (выраже
НИЯl\IИ с пеР€l\I€LfННОЙ) ЕСlпественнои областью определения ФУНК
цИИ f, заданнои в виде
il
1I1
3.1. Определение фУНRЦИИ
Пусть ..1'\, У l\'lНQжества. Соотве111ствие.м ..между MHO
3ICестваЛLU )[ и У называется любое подмножество декартова про
изведения .L'y х У. ЛруrИ1-1И словаl\IИ, соотвеТСТЕие есть l\'lножест
ВО, 8ле1\lентаl\IИ KOToporo служат пары, составленные из 8леr...lен
ТОВ I\'lножеств ); и У, причеrvl в кажДОЙ такой паре первым 8ле
f\leHTOl\1 служит эле1\Iент l\1ножества Х, а BTOpЫ 1 8леl\..1:ент r.-IHO
жества }'. Соответствия называют также (приче л, rораздо чаще)
оu.нариы.л,tu оmnо'шен"UЯМU# Пусть, например, Х == {о; 1; 2; З}, а
у == {о; 2; 4; 6; 8}. l\lножества {(1, 2); (2,2); (2,4)}, {(2, 4); (з,8) },
o являются бинарНЫl\IИ отношениями (соотвеТСТВИЯl\IИ) l\lежлу l\<IHO
жеСТВОl\1 Х и l\IНQжеСТБОl\I У; l\lножество {(2, З); (4, 1)} есть бинар
ное отношение I\lежду У иХ; f\ЛIlожество {(2, О); (о,2)} Нllляется
как бинарНЫf\,I отношениеl\1 l\lежду }( и У, так и l\lежду У и Х (а
также l\lежду }? и У и l\lежду Х и Х).
Пусть ...У, У l\lНQжества. Бинарное отношение f l\1СЖДУ Х
И у называется отображение.А! (или фуик:циеi1) из l\1нuжсства Х
в 1\lножество У, если для BC.fIKOrO х Е Х существует еД,ивстпеННЬiЙ
8леl\lент у Е У такой, что (х, у) Е f. СИ1\lволически определение
функции 1\10жет быть записано слеДУЮЩИ!\1 обраЗОl\I:
f функция из Х в У f с х х У & Vx Е Х !y Е }/: (х, у) Е f.
'-Тот факт, что f есть функция из Х в У, записыван)'r:
f: Х У.
Gлеl\lент У, для KOToporo (х, у) Е f, обозначают f(x); 1'(tКИl\l обра
301\1, в лесто (х,у) Е f ДЛЯ функции обычно пишут: f(x) = у.
Для задания функции достаточно указать l\лно;-кества .)( и У
и "правило сопоставления", по КОТОрО1\IУ каЖДЫЙ 8ЛСl\1с.'III' .r из y
объединяется в пару с иеКОТОрЫ1\'l у из У. Правило CUIIU .тавления
часто записываlОТ в фОрI\lе
х t--------t выражение с пере1\lенной Х,
называется l\Iножество всех тех значений х, при подстановке KOTO
рых В выражение, задающее f, получается Иl\IеЮlцее С1\IЫСЛ число
вое выражение. ЕСJIИ функция f задана аналитичеСКИl\I выражени
el\1 и ее область определения не задана специально, то в качестве
DJ берется естественная область определения f.
FрафU1\Q.Аt бинарн:оrо отношения р 1\1ежду ЧИСЛОВЫl\IИ l\Iножест
ваl'ЛИ ..0'\ и У называется I\lножество точек плоскости
11,
l'
1
111
rp == {(х,у) I (х,у) Ер}.
в частности, rрафик r f числовой функции f ЭТО l\lножество всех
точек ПJIОСКОСТИ, Иl\.Iеющих координаты Бида (х, f( х)).
YCTЬ r l\lножество на координатной плоскости и Х про
екция r на О",СЬ ОХ. l\Iножество r является rрафИКОl\1 некоторой
функции f: Х n:t, если (и только если) для каждоrо х Е}( най
дется ровно ОДИН у Е IR такой, что (х, у) Е r, Т.е. r проектируется
на ось Ох однозначно.
*
*
*
I
l'
1:
"
х .......,. f ( х ) ,
наПРИJ\1ер: х 2х, х х + 2СОSЗХ, t.....-+ sin t.
3.1. Какие из следующих "правил сопоставления" задают OTO
бражение l\'Iножества )( в l\Iножество У?
1) Пусть Х l\Iножество пальто, ВИСЯЩИХ в rардеробе, У
1\-lножество крючков. КаЖДОl\IУ пальто ставится в COOTBeTC
твие крючок, на котором оно висит.
2) .j\ I\Iножество крючков, У l\lножество пальто. Каждо
1-'1)" крючку ставится в соответствие пальто, которое на Hel\1
висит.
3) Х == у 1\.Iножество всех людей,
а) каЖДОl\IУ человеку сопоставляется ero l\iaTb'
,
, ,1
l'
,!
1
, '
i I
)
'1
11,:
;1'1
"
,'1
1,
, i
l'
1
'11
1
I
! 11
1',
::1
,11
l'
78
rлава 3. функции
б) каЖДОl\IУ человеку сопоставляется ero брат.
4) .Ly I\lножество книr в некоторой библиотеке, У == Z Ka
ЖДОЙ книrе сопоставляется число ее страниц
" "то
3.2. Какие из следующих правил сопоставления задают о
бражение l\:lножества Х в l\lножество У?
1) КаЖДОJ\IУ числу ставится в соответствие ero квадрат, и
а) Х == IPl, У == IR; б) Х ==:l, У == N;
в) х=п, Y==N; r) X=fi, Y==( oo; 10];
д) ..t\ l\lножество всех простых чисел, У 1-1ножество
всех нечетных чисел.
2) КаЖДОl\fУ числу х из Х сопоставляем число 5х, и
а) Х == [ , У == z;
б) х == { 2k I k Е Д::}, у l\'1НQжеСТБQ всех целых чисел,
оканчивающихся на нуль;
в) )( == { 1; 2; 4 }, у == [о; 20];
r) Х == [1; 4], У == { 1; 20}.
3) КаЖДОl\IУ числу из Х сопоставляем число V2, и
) ".... 7' У rт7 .
а j\, L, == ,
в) Х == IR, У == JR.
б) Х == LZ, У == { о: + fЗ. V21 а, fJ Е Q };
4) Каждой паре чисел стаВИl\I в соответствие их CYl\fl\IY, И
а) X==JRxIН:, Y==JR; б) .L\==ZxZ, Y==:N;
в) х== {(х,у) Ix=::6k, y==31, k,lEZ}, Y::::{2klkE:Z:};
r) Х = { (х, у) I х 2 + у2 1 }, у == [ 1; 1] ;
д) х == { (х, у) I о х у }, у == ( CX); 10].
5) Каждой паре чисел (а, Ь) Е Х сопоставляеl\1 их частное, и
а) Х == Q х Q, у == Q;
б) Х == (2 \ { о }) х (22: \ { о }), у == LZ \ { о };
в) X==(Q\{O})x(Q\{O}), Y==Q\{O};
r) }{ == { (х, у) I х == 6k, у == 31, k,l Е д:}, у == { 2k I k Е Z };
д) X=={(x,y)lx+y==5, x,YEIR}, Y==JR.
з .1. Опред.еnеиие ФУНIЩИИ
,1
1
l'
I11
J 11
\
11
11:
II
l'
I'!
1" I
11
11
II[
79
3.3. Дано !\Iножество Х и "правило сопоставления" f ero еле
l\IeHTal\I 8леl\.1ентов HeKOToporo l\lножества У. Для каждой из пар
(Х\ f) предложите несколько ВОЗl\10ЖНЫХ вариантов f\лножества У
таких, чтобы f задавало отображение 1( у
1) Х == N:
а) f: n п 2 ; 6) f:
r) f: n НОК (п, 12);
2 ) 1( == 1::
а) f: n t-------+ sgn(n);
в) [: n 1-------+ n п 2 .
n
-fii ;
д) f:
n+l
в) f: n ;
n
n НОД (п, 1.5).
б) f: n (2п + 1) sin 7rп ;
2
1,
11
I
JII, 1
IIII
!' 11
/
З) Х l\lножество треуrольников АВС с основаНиеl\1
IABI == 1,
а) f сопоставляет каЖДОl\IУ треуrольнику ero площа.дь S;
б) f сопоставляет каЖДОI\IУ треуrольнику ero перИl\Iетр Р;
в) f сопоставляет каЖДОl\lУ треуrольнику ero описанную
окружность (.J.);
r) f сопоставляет каЖДОl\IУ треуrольнику радиус r ero
вписанной окружности
3.4. Дано l\.:'IНОЖеСТБО У и "правило сопоставления" f алеl\fен
ТОВ HeKOToporo l\lножества Х элеl\lеНтаl\l У. Для каждой пары (У, f)
предложите несколько ВОЗl\IОЖНЫХ вариантов l\Iножества .Ll, таких,
чтобы f задавало отображение ..tY У
1) f сопоставляет числу ero квадрат, и
а) У = f:f; 6) У == z;
в) У = { 1; 2; 9} (перечислите все ВОЗl\IОЖные Х);
r) У = (4; 8).
',!
:11
'11
1'1
1I !I
I :1
11
I(
!
I
'1
I
2) f сопоставляет квадрату на плоскости хОу со сторонаl\:'IИ,
параллеЛЬНЫ1\IИ КООрДИнаТНЫl\:l ОСЯl\.I, координаты ero НИЖ
ней левой вершины, и
11
: '111
1
,
J 1 , I
,!
а) У = {( 1; l); ( 1; 1); (1; 1); (1; 1)};
б) У = [о; 1] х [1; 3].
1 [,1 I
'1
· 3) f сопоставляет паре чисел (х, у) число 1, если точка с KO
ординатаl\1И (О, О) попадает в Kp r с цеНТрО11 (х, у) радиуса
1, и число О если не попадает, и
I
1 1
1\1
I
1 r
I I
,
,
80
rпaвa 3. ФУНКЦИИ
3.1. Определение фу
81
' [ :1'
11
I
а) У == { 1; о; 1 };
r) У == { 1 }.
б) У={О};
в) Y=={l};,
3.6. Для каждоrо из множеств [о; 1], [о; 2], [ 1; 1], [о; +00)
выясните, задают ли следующие правила сопоставления отображе
иие 8Toro 1НОЖества в себя:
11'
тв Х у для которых
3.5. Укажите несколько пар таких l\lножес "
следующие правила задают отображение r..Iножества Х в l\Iножест
ВО У.
1)
Каждоl'.1У числу из Х ставится в соответствие второй знак
после запятой в ero десятичной записи.
2) КаЖДОl\IУ числу из Х ставится в соответствие сумма ЧИСЛИ:
теля и зн аl\.:1енателя записи aToro числа в виде оБЫКlIовеннои
несокраТИl\<10Й дроби.
3) КаЖДОl\IУ rv1ноrочлену И3 Х сопоставляется ero степень.
4) КаЖДОl\IУ квадраТНО1-1У трехчлену ах 2 + Ьх + с ставится в
соответствие сумма ero коаффициентов.
5) Каждой линейной функции из Х сопоставлятся ее корень.
6) Каждой функции сопоставляется ее значение в точке О.
7) Каждой ПРЯ1\10Й из Х ставится в соответствие ее уrловой
КО8ффициент.
8) КаЖДОI\IУ отрезку из множества Х ставится в соответствие
ero середина.
9) КаЖДОl\IУ треуrольнику из Iножества )( сопоставляется
ero пеРИl\детр.
10) КаЖДО!\IУ равнобедренноl'.1У треуrольНИКУ ставится в COOT
ветствие величина уrла при ero вершине, выраженная в pa
дианах.
11) Каждой тройке вещественных чисел (а, Ь, с) сопоставляется
ось СИ1\П\lетрии rрафика трехчлена ах 2 + Ьх + с.
12) Каждой квадратичной функции из LY сопоставляется 1\1:НО"
жество таких действительных чисел, для которых значение
этой функции отрицательно.
13) КаЖДОl\IУ ПОДl\<lножеству натуральных чисел сопоставляется
наИ:l'.1еньшее число из 8Toro подмножества.
14) Каждоr..1У l\lножеству ИЗ Х сопоставляется l\1ножество всех
ero ПОДl\lножеств.
15) КаЖДОJ\IУ алеl\lенту (а, Ь) из Х, СОСТОЯЩ€l'.1У из пары чисел,
ставится в соответствие l\lножество таких вещественных чи..
сел у, что а < у < Ь.
1) Q 0:2;
4) й
еО:,
,
2) а YICt;
5) Q' COS й;
3) о:
6) Q
.
Slll а;
tg 0:.
з. 7. Пусть }' l\lножество всех веЩественных функций. Сопос
таВИl\I каждой функции f Е F ФУНКUИЮ, действ.} IOщую по правилу
СЕ 1-------+ xf(x). Для каждоrо из перечисленных ниже ПОД1\lножеств Н
l\lножества F выясните, будет ли это правило заДавать отображе
иие множества Н в себя:
1
11
I
'1
1"
,
1) Н == F;
2) Н l\lножество всех квадратичных ФУНI<ЦИЙ;
3) Н 1\lножество всех ФУНКЦИЙ из Р, имеющих число О СВОИ:L\l
кориеl\l;
4) Н l\Iножество всех функций из F, Иl\lеющих корень;
5) Н l\Iножество всех функций из Р, ПРИНИl\fающих только
положительные значения;
6) Н l\1ножество всех функций из Р, ПРИНИI\1ающих только
положительные значения при положительных значениях х;
7) H=={fEFIO Df}; 8) H=={fEFI5EE j }.
'1
1'1
I
"
11
1
'1
I
3. .( Приведите несколько правил, задающих функцию из lVIHO
1
жества "4У в rvlножество У:
1) ..l\ l\lножество Всех окружностей на плоскости, у == ;
2) Х l\IНожеСТЕО всех выпуклых l\IНоrоуrольников, у == IR;
3) Х l\lножество всех треуrольников, у == ffi.;
4) х l\lножество всех уrлов на плоскости, у == IR;
5) Х l\Iножество всех треуrольников на плоскости, У l\IHO
жество всех уrлов на плоскости;
Х l\Iножество точек на некоторой окружности, у == Шl;
'1
':111
l'
11,
11
1
i 11
1
1
I
!
6)
7) Х == IR, У == 1::;
9) Х == IR х JR, У == Ш;.;
11) Х == (о; +сю), у == (1; +00);
12) Х == (о; +(0), У == ( (X); 1);
8) Х == LZ, У == N;
10) Х == Z х N, У == Q;
, 11
:f'l,
: I !
I , :
, I
13) Х \ , У == [ 1; 1].
rll l l
,
,:1 t
'11
о х ....1 О 1 х О 1
х
У У
6) 7) 8) Yf
2 ............... 1 "
82
rЛН».l J. "I УНКЦИИ
3.1. Определение функции
3.9. Определите, какие из следующих бинарных () 1'llоlllСНИЙ ЯБ
ляются' функциями:
1) Vx, у Е IR. (х, у) Е Р1 {:} 2х + 1Зу = 12;
2) 'Vx, у Е IR ( х , у) Е Р2 {::} х2 = у2;
З) Vx,yEIR. ( х , у) Е рз -<=> х + у = у2;
4) V'x,yEIR. ( х , у) Е Р4 <=> х+у=х2;
5) Vx,yE/Z ( х , у) Е Р5 {:::> Х < у х + 1;
6) Vx, у Е 2 ( х , у) Е Рв .
{::} х : у.
3) У
2
4)
3.10. Определите, какие из следующих бинарных 01110Нlений на
N являются функциями:
1) (х, у) Е /1 <=> У ньшее четное число, H IIpeBOCXO
о 4 Х О 4 х
У У
5 .... .....
9) 10) 3
..._................. .
О 3 х 1 ..._ --_... ... .._.
.
о 3 4 5
х
дящее х;
11)
2) (х, у) Е /2 <=> (х + у) простое число;
3) (х,у) Е 1з {::} у наимеНЫIIИЙ из IIростыIx дС'лиrслей чис
па х.
3.11. Пусть в JR. задано бинарное ОТНОluсние
( х , у) Е р а, Ь {:} ах + Ьу == 1 ( а, Ь Е IR.).
При каких а, Ь отношение Ра)Ь является отображенирм из IR в ?
3.12. В + задано отношение
(х,у) ЕРа {:} ау2 +5y х 2 == О (а Е JR).
При каких а отношение Ра является отображёнием из IR+ в себя?
12) У
у
3 . ............ ...
13)
14)
4
:. "'-
4
о
у
х
о
у
2 .. . ............
J
х
<>
о
о
17)
15)
16)
3.13. Выясните, являются ли rрафикаl\IИ каких либо числовых
функций из вида у == f(x) следующие множества точек на КООрДИ
х
.
.
.
.
.
..
.
:
о 3 4 х
о
1
2
натной ПЛОСКОСТИ.
1)
2)
у
2 .._...._...
1 . ...............
о х
19)
у
18)
х
х
I
1,
83 l'
!
5) У tJ:
'11
3
о
.....1
х
у
t; .........._...
2 _._._._. - /.l.\
: : :
.. . .
. . .
. . .
"
IL
I
, I
о 345х
у
2 ... .................... .... ..... .
1 :
, I
,
'11
!
о
4 х
у
2 ...........
1 - . .......... .. . :
-
I
х
у
2 ... .. ..... ......... ..
1 .............. .. :
I
1
I
1: II
I
1,1
х
'1
,
,,'
'i:'
' "'11
, 1;
IIL
84 r JI-t,-ua з. ФУНКЦИИ
У У
20) 2 21) 1 ·
-.... .... . . ......
. .
1 _ . .:.... .. ..:........ .. ё..... , ° t l
. . . х
. . . . .. .
: : . : . .
о 1 2 3 4 5 6 х
22) 5 У 23) 5 У 4) У
. 5 ----...
4 .......:... 0 4 ...... 0
.
.
о 2 3 х О 2 3 х О 4 Х
3.1. Опре,целение ФУНIЩИИ
85
12) КаЖДОl\iУ числу, меНЬШеl\'IУ чеl\1 3, ставится в соответствие
число 5, а каЖДОlVIУ числу, большему чеl\! 2, ставится в
соответствие число 4.
13) Числаl\l, l\lеНЬШИl\l 2, ставится в соответствие число 5 а
числа1\I БОЛЬШИl\l З, ставится в соответствие число 4. '
14) КаЖДОlVIУ неПОЛОЖИтеЛЬНО1\IУ числу ставится в соответствие
число 1, а неОТрицатеЛЫfОl\IУ число 1
15) КаЖДО1\IУ неотрицатеЛЬНОl\IУ числу ставится в соответствие
ОНО Cal\10, а каЖДОl\.1У неПОЛОЖИтеЛЬ НОl\IУ
, противополож
ное число.
I
,
11
1
11
I
1\[
11I
11
'11
1
I
3.14. Выясните, какие из слеДУЮlI ИХ Оl1иrаllИЙ JaJtttIOT функ
ции. Найдите значение каждой из этих функций u [очке !) (если оно
существует). Для ПрИI\:lеров 1), з),4),6),7),9), 10), 11), (2),1з),14),
15) найдите соответствующие rрафики в задании 3.1:],.
1) КаЖДО IУ чеТRОl\-IУ натуральному числу ставиl'СН в COOTBeT
ствие 1, а нечетному 2.
2) КаЖДОl\IУ простому числу ставится в соотвеТСТDИС 1, а Ka
ждому чеТНОlVIУ 2.
3) КаЖДО1\1У числу ставится в соответствие 2.
4) Каждому числу ставится в соответствие оно C"aI\IO.
5) КаЖДОI\1У числу ставится в соответствие ero кпа){ра.т.
6) КаЖДОl\.IУ числу ставится в соответствие ero модуль.
7) КаЖДОl\1У положительному числу ставится в соответствие
1, отрицательному ( 1), нулю О.
8) КаЖДОl\.1У ТОЧНО IУ квадрату ставится в соответствие 2, а
точному кубу 3.
9) Числу 4 ставится в соответствие 2.
10) Каждому положительному числу х, не удовлетворяющему
неравенству 1 < х < 2, ставится в соответствие ОНО са1\10.
11) Числу 4 ставится в соответсвие 2, остаЛЫIЬПvl числам
1.
3.15. Выясните, существуют ли функции, rрафикаl\IИ KOTO
рых являются I\lножества точек плоскости, задаваеI\Iые слеДУЮIЦИ1\IИ
УСЛОВИЯl\IИ:
1) ху == о; 2) ху == 1; 3) х 2 + у2 == 2у 1;
4) х 2 + у2 == 1; 5) 2 У Х. 6) Slll У = х;
,
7) cos у=:2 + sin 2х; 8) 2у2 COS х; 9) 'У + 1! == 2.
1
i\
11
1 I
'1
l'
3.16. СфОрl\Iулируйте правила, задающее функции, rрафикаl\lИ
которых являются следующие l\Iножества точен плоскости:
1) . 2)
, r
,1
I
,1,! ' I
4
:х:
Q
...1
3)
1
I
11
'1
:,11
\11
:IC 1,
'1
...t
о
х
I!
'1,
1
I
11
,'11
,
,
fi'
r
86
rлава 3. ФУНКЦИИ
3.1. Опре,целение функции
87
111
I
I!]I
1) f(x)
х
,
Ixl 1
2) f(x) =::
х + 1,
2,
х 1,
Х<О
x o
х > о;
11) (х, у) t---4 (О, у);
13) (х,у) (у,х);
12) (х,у) (2 x,4 y);
14) (х, у) ( y, х).
11
11
II '
II
I
1
I
11
11
!I
1111
11 !
3.17. Постройте rрафики функций:
1 х > 1
,
3) f(x) == Ix 21
5) f( х) == sgn х;
7) у == {х}
3.18. Пусть Х класс всех функций, rрафики которых coдep
жатся в ПРЯl'лоуrольнике [о; 3] х [1; 5] С }R2.
1) Есть ли среди них отображение множества [ 1; 1] в себя?
2) Какова l\lаксимальная ВОЗl\10жная длина отрезка, который
отображается на себя некоторой функцией из класса Х?
4) f(x) == Ix 31 + 12x 5)
6) у:=; [х]
8) у = sgn[x].
3.21. Задайте следующие отображения координатной плоско
сти IR 2 Б себя при ПОМОЩИ формул преобраЗОБания координат (как
в предыдущей задаче):
1) параллельный перенос на вектор (а, Ь);
2) параллельный перенос ВДОЛЬ оси Ох "вправо" на 3 едини
ЦЫ;
3) параллельный перенос вдоль ПРЯI\IОЙ У == х на 2 единицы
"влево вниз" .
,
1, x< l;
о
(;
о
4)
5)
6)
7)
8*)
9*)
10*)
11*)
12*)
СИl\Il\Iетрия относительно ПРЯl\10Й х == 1;
СИl\Il\'1етрия относительно ПРЯl\IОЙ у == 5;
центральная СИl\Il\lетрия относительно точки (3, 2);
СИl\П\lетрия относительно ПРЯl\'10Й у == X;
СИl\Il\lетрия относительно ПРЯl\IОЙ у == 2х;
проектирование на ПРЯl\IУЮ у == х;
ПОБОрОТ на уrол ; BOKpyr начала координат;
II II;: I
11'
11'1 1 1
I' I ! r
11
11111'1
I 11
I"\'II
I!I'II
I
11['
Illj: 1
I '1
3.19. Продолжите следующие фразы:
1) ПараллеЛЬНЫ1\f переносом на вектор а называетс такое
отображение плоскости }R2 В себя, которое каждои точке
Лl ставит в соответствие такую точку .Аl', что ... .
2) Пусть на плоскости дана пряr.лая 1. Осевой СИl\II\'1етрией OT
носительно нее называется отображение плоскости в себя,
при KOTOpOl\1 каждой точке !vf сопоставляется такая точка
1\1', что ... .
3) llентральной СИl\П\l€трией плоскости относительно точки О
называется такое отображение плоскости в себя, ... .
4) ПОБОрОТОl\1 на уrол о: BOKpyr точки О называр [СН ... .
5) Проектирование на ось абсцисс ато
J1{2 ,
3.20. Опишите rеОl\.1етрически преобразования ПЛО("КОСТИ
которые задаются при ПОМОЩИ координат следующими IIравилаl\IИ:
1) (х, у) (х, у); 2) (х, у) (.с + 1, у);
3) (х, у) (х, у 3); 4) (х, у) (.с + [), у + 3);
5) (х,у) (x, y); 6) (х,у) ( f,Y);
7) (х,у) ( x, y); 8) (х,у) (1 J.,Y);
9) (х, у) (х, 4 у); 10) (х, у) r--1- (х, u);
7r
ПОБОрОТ на уrол 4 BOKpyr начала координат;
поворот на уrол а: BOKpyr начала КООрДинат
3.22*. rрафик функции у == J(x) и ПРЯI\лая у = 2х 3 пересе
каются в точках с абсциссаl\IИ 1 и 3. Найдите точки пересечения
rрафиков функций у == 1(2 х) и у = 1 2х.
3.23*. rрафик функции у == log2 Х И ПрЯ1\lая у == 1 Зх пересе
каются Б точке с абсциссой Ха. Какова ордината точки пересечения
1 1
rрафика функции у = 2X и прямой у = З Х 3 ?
3.24*. rрафикифункций y==x2 2x 3+sinx и у=2х+l пере
секаются в точках (Xl, Уl) И (Х2, У2). В каких точках пересекаЮТСR
rрафики у = х 2 4х + sin(x 1) и у = 2х 1 ?
3.25*. Известно, что rрафик функции J(x) == е . lnx KacaeT
ся ПрЯl\IОЙ У == х. rрафик какой показательной ФУНКЦИИ g(x) == e kx
касается ПРЯl'wl0Й у == x ?
11
1
1111,1
'1.,1
li'
I
1 1
1 1
11 '1
11 ,'1
" I
1",111
: 1 1
" 1
11
I!J[i l
11, 1
88
rлава 3. ФУНКЦИИ
3.2. Образ и прообраз множества
89
, ,111
I' j
1,
1111
,1
11'
11 j
"' ,
о
(;
(>
3.30. Приведите пример функции f двух переменных, есте.-
ственной областью определения которой является указанное l\IHO
жество на плоскости хОу.
о
':3t.
I
11
Iч
111
I
1111
I1
11
11 J I
'\
I I
\. I
I:I 1 1
Il]
,1. I
l'
'111
: I I I
'\
111 f
Imll '1
l:'u:
[111
1 J
11
б ь определения функций:
3 26. Найдите естественную о ласт ) .
х 2) f(x)==lx 21.(x 2,
1) f(x) = ;
х
x.-Jx2 2x+l .
3) f( х) == х '
5) f(x) == x 10gx 2;
( ) 2 -J si n 2 х .
7) f х == ,
, б функцию f И1\1ею
3.27. Задайте аналитически какую ни удь ,
иия D если:
"Ю область определе ,
тую естественну
4) f( х) == I0 1g х 2 ;
6) f ( х) == 2 1og2 Х ;
1
8) J(x) == 510g5 ( x 1 ) .
2)
ос.
о
2,
4)
3)
3
1
1) D==ш.\{о};
3) D= ( ; ; ; );
5) D == { 3} U [5; +00);
У Ю область опреде
б на плоскости естественн
3.28. Изо разите
2) D == (о; +(0);
4) D == [ 1; 3];
6) D:= ( oo; 2) U [3; +(0).
:Jt
о
1) f(x, у) = 19(x 2 4у + 8);
2) f(x,y)= J25 :2 y2 ;
4) f(x,y)== J x .JY;
5) 6)
1
:х.
о ot
1
О 1
1, I
I I
\1
111
,1
.
11,1111
11 1
ления следующих функций:
З) f(x, у) == ln ху;
5) [(х у) == -J x + у + V X у.
, и f двух пеРСl\1СIIНЫХ, eCTe
3.29. Приведите пример функци ляется указанное MHO
определения которои нв
ственноИ областью б ите 8ТИ l\Iножества:
хО у и изо раз
жество на плоскости l'
2)' х > о; З) J' + у < ,
у
{ x Y?:2
5) ...L. < 1.
ху ,
3.2. Образ и прообраз MHOjReCTBa
при отображении
11
! "1
i
1) ху?- о;
4) sin х + sin у == 2;
6)
l.cl + 'уl 1
.r. > О
у < о .
Пусть заданы отображение f: .6'У У и множество А С х.
ОбраЗОАt .лtно;жесmва 4 при от,обра:JICеиuu f наЗЫваеТСЛl\IНожество
J(A) всех значений отображения f в точках из А. Таким образом,
!(А) == {!(х) /1: Е А} == {у Е У /3х Е А: f(x) == у}.
' амеТИl\1, что множество значений Е] функции f есть образ всей
"С области определения, Т.е. Е] == f{X) == !(Dj).
;'1,
';
р
90
Тлава з. ФУНКЦИИ
3.2. Образ и прообраэ множества
91
ПрОQбразо./и произвольноrо множества В С У при отображении
f называется l\-lножество всех тех 8ле 1енТОВ х из Х, дЛЯ которых
[(х) Е В, Т.е.
4) 'P l ( J\J ) ,
, r де А! I\-Iножество всех параб ....
ОСЬЮ, лежащих в верхней ПОЛУПЛОСКОСТИ' ОЛ свертикальнои
5) cp l(L), rде L l\lножество Всех па раб '
ос ал с вертикальной
ы,) вершина которых лежит на оси абс ци .
6) 1 " , се,
<р (1\.), rде Ii l\Iножество всех па р а б ....
осью . ал свертикальнои
, ПРОХОДЯЩИХ через точку (1; 1).
"
I
1
ПУСТЬ А С Х, в с у. rоворят, что f отображает А в
l\lножество В, если выполняется f(A) С В. Если же '(А) == В,
то rОБОрЯТ, что f отобра;жает l\лножество А на В.
f l(B) == {х Е Х I f(x) Е в}.
*
*
*
З.35D Пусть f: IR IPl
,
1) 1((3; 4));
4) 1([0; +00));
7) f l(( l; 1));
10) f l ({ t });
J(x) == х 2 5x + 6 Н
. аИДИте lVIножества:
2) f ( ( 3; 4)); 3) f (1R) ;
5) f 1([2; +00)); 6) f([2; 12]);
8) f 1 ( ( oo; 1 ) ) ; 9) f 1 ({ 1 });
11) f 1 ( { }); 12) f 1 (( о; +(0)).
10] IR, J(x) х 2 5х + 6. Найдите
I
11
11
;
За IеТИl\I, что
Е] == {У Е У I f l({y}) -=1= 0}, f l(y) == f l(Ej) == Х == Dj.
3.31. Пусть <р отображение, сопоставляющее каждому Be
ществеННОl\1У числу х число 5х. Найдите l\Iножества:
1) <p(P );
2) ср(А), rде А == { 2k I k Е LZ };
З) 'P 1(( oo; О]);
4) <p(( oo; 1]).
.
3.36. Пусть f: [2;
l\lножеств а:
1) <p 1({10});
4) <p 1([ 4; 4]);
2) 'P 1({4});
5) 'P 1([5; 10]);
3) <p 1({13});
6) <p 1({6; 24}).
1) /((3; 4)); 2) f(( З; 4));
4) f 1 (( 1; 1)); 5) f 1 ({ ! }) ;
3.37. Пусть lп: ;z ПR, т(х) == Ix 11.
1) т l( {2}); 2) т l(( oo; 2»);
4) m(Z).
3) 1([2; +(0));
6) f 1 ({ }).
Найдите r"lножества:
I
1\ I
I
I'I
,
3.32. Пусть D множество прямоуrольников вида [о; а] х [о; Ь],
rде а, Ь Е [ , и пусть ер отображение, которое каЖДОl\IУ пряrv10
уrольнику из D сопоставляет ero перИl\lетр. Найдите l\fножества:
3) т l ([1; 2]);
I
I!
] 1
' I
I!'
" ,
'.
3.33. Пусть ер отображение, которое каждоl'.1У ПОД1\lноже
ству l\'1ножества 1 == { 1; 2; 3; 4; 5} сопоставляет число ero алеl\lен
ТОН. Сколько 8леl\lентов в l\-lножествах:
3.38. Пусть f(x) == 41xl Iх 21 х + 3 ,
х Е 1R.. Найдите I\fно же
ства:
1) f ( ) ;
4) f 1 ([1; 9]);
2) f([ l 2J);
5) f 1 ([ 1; 1 J) .
3) f 1 ({ 5 });
1) Erp;
4) <p 1({ о; 1; 2 });
2) cp(I);
5) tp 1({4}).
З) <p l({O});
3.39. Пусть f: ffi: .IR: f( )
"-, х == sin х. Найдите 1\lножества:
2) f ( (о; +(0»);
1:1
'1 ,
I
3.34. Пусть r.p отображение, которое каждоЙ тройке Be
щественных чисел (а, Ь, с) ставит в соответствие rра(l)ик функции
у = ах 2 + Ьх + с. Опишите 1\1ножества:
1) If'(A), rде А:== { (о, Ь, с) I Ь, с Е };
2) If'( В), r де В == {(а, О , с) I а, с Е JR };
3) If'( С), r де С == { (а, Ь, о) I а, Ь Е JR },
1) 1(0; 2));
4) f 1 ( о; +сю))
3) f 1 (r 1; ] ) ;
, JI
11111
3.40. Пусть и : IR m ( )
т щ, <р Х == sgn х.
1) <p(JR); 2) <p([ 1; 1]);
4) <р 1 (JR) ; 5) <р 1 ( [ ; 54" ]);
Найдите l\lножества:
3) 'Р({ 2; 2 });
6) <p l({o; 1; 2}).
I
oll:!;
1" I
\ [1 1
111,:'
r!jl
' ' JI
I l i I
l'
I111
i, ,1
92
rлава 3.. фуНКЦИИ
3.2. Образ и прообраз множества
93
1
I
11
I
1) f (( , 3; )) ;
4) f l([O; 1]);
З) f 1 ({ 1 });
2) Пусть <p(t) == t, 1jJ(t) = sin t. Изобразите на плоскости 1\IНО"
жество 1([0; 51r]).
3) Пусть <p(t) == cost, 1/;(t) =: sint. Изобразите l\lножество
1([0; 3]).
4) Пусть )O(t) == cost, ф(t) = sint, В == {(х, у) J х О, У о}.
Найдите 1VIножеСТБО f l(B).
3.41. Пусть f(x) == Entier(x) == [х], х Е IR.. Найдите множества:
1) f(7r); 2) 1([2,5; 6]);
4) f l ({ п}); 5) f l ([2,5; 6]);
3.42. Пусть f: [о; 47r] IR, f(x) =: sin х. Найдите l\lножества:
2) f (( ; 1 7r ));
5) f l( ( !; +00)).
JR2 ........-+ IP2., f(x, у) = х + у. Найдите f(A) и
3) Е f;
6) f 1 (N).
(;
о
о
111111
11
11
I II I '
1:
1,111
3.43. Пусть f:
f l(B), если:
1) А ПрЯl\lая у == x;
3) А отрезок {1} х [1; 3];
4) А ПрЯl\10уrольнИК [1; 6] х [1; 3];
5) А Kpyr х 2 + у2 1;
6) А треуrольнИК 1 х О, О у х + 1;
7) В = {З}; 8) В = ( oo; 1); 9) В = [1; 2).
3.44. Пусть f: IR 2 IR, j(x, у) == х 2 + у2. Найдите f(A) и
f l СВ), если:
1) А = Jl{2; 2) А отрезок [ 2; 2] х { о};
3) ..4 ПрЯl\lоуrольниК [1; 6] х [1; 3];
4) А треуrольнИК О х 1, О У 1 х;
5) А = {(х,у) I о х 2, у = х2}; 6) В = ( oo; о];
7) В = [о; 9]; 8) В = (2; 4); 9) В = (о; +00).
3.45. Изобразите на координатной ПЛОСКОСТИ следующие I\1HO
2) А первая четверть;
3.4 7 Пусть отображение ер: IR............... 1R задано paBeHCTBOl\1
so( х) == х 1.
1) Приведите ПрИl\..1еры таких l\lножеств А С IPl, что <р(...4) С А,
но ср(А) f:- А.
2) Приведите ПрИl\lеры таких l\lножеств А С II;k, что <р(А) => А,
но (A) i- А.
З) Существует ли отрезок 1 такой, что <р( 1) С I?
4) Приведите ПрИl\'1ер l\Iножества 1 С Il{, 1:1 0, 1 f:. JЖ, TaKoro,
что <p(I) = 1.
5) Существует ли 'конечное 1\lножество 1 такое, что <p(1) С I?
111,1
II !
,111
1111,
I '
х+у
1) f l(( OO; о)), если f(x, у) = x y ;
2) f l({O}), если f(x,y)::::: x2y у 2 х.
6 П " ,.1, две функции, деЙСТВУЮlцие из т. в JR.
3 · 4. у с т ь <р , 'f' 2 f ( ) ( ( t ) ..1 \ ( t ) ) .
Р тобр ажение f . IR................ такое, что t 'р , 'f'
аССlVI0ТрИI\1 о .
1) Пусть (t) == t, ф(t) == 2t. Изоб азите на плоскости l\lноже
ства /([1; 2]), Е/.
3.48. Пусть f( х) == Зх + 2.
.
1) При каких а 1 выполнено включение: /([1; а]) с [4; 8]?
2) Существует ли такое а, что /([1; а]) == [4; 8]?
З) Докажите, что если 1 отрезок, то 1(1) и f l(I) тоже
отрезки.
4) Пусть (а) 8ТО длина отрезка f(Ia)J rде [а == [а 2 ; а + 2].
н айдите ' 1 ( { 6 } ) , f 1 ( { з } ) , [ 1 (о; +00)).
5) Существует ли отрезок Ia такой, что f(Ia) отрезок дли
ны 10?
1
':1
Ifr(
1" 1
II
I J
:111
"1111
1
1.1
,1 1
11,
I
.[.1 1
11' 1
m I
,.
tI
I , 11
11, 1
жества:
1 '1\1
3.49. Пусть )O(t) == t 2 ,
которых <,о(А) == В, если:
1) В == {х; х+ 1};
3) В = {х 2; 1};
А == { 1; о; 1}. Найдите все х Е lZJ при
11' I
]'
2) B=={x 2 ;x+l;x};
4) B=={x 2;3 x}.
1..
:1:1 1 "1
l'
IIII
1111
:11
,
;:11
I
"1
94
rпana з фуНКции
3.2. Образ и прообраз множества
95
о
о
\>
3.56. Укажите какую либо алементарную функцию, которая
отображает:
1) ПРЛl\fУЮ на неКQТОРЫЙ отрезок;
2) прю.IУЮ на некоторый открытый луч (то есть луч вида
( а; + (0) или ( oo ; а));
3) некоторый открытый луч на ПРЯl\IУЮ;
4) прямую на некоторый замкнутый луч (то есть луч ВИда
[а; +CXJ) или ( oo; а]);
5) неКQТОРЫЙ интервал на ПРЯ!\lУЮ;
6) ПРЯI\IУЮ на неКQТОРЫЙ интервал;
7) интервал на некоторый луч;
8) луч на неКQТОРЫЙ интервал.
,
11
lil
[,
111
I
11'
I[
1 I1
11I1
1111
2 В { 1 4 9 } Найдите псе .с Е , при
3.50*. Пусть SO(t) == t, = ;; .
которых <р(А) == В, если:
1) A=={x;x+l;x l}; 2) A=={1;.r 6;x 1};
З) A { х 2 + 2; х; 2 }
3.51. Сколько существует линейных функций, отображающих
отрезок [1; 3] на [ 2; 2]?
3.52. При каких Ь функция <р(х) == x + ь отображает отрезок
[1; З] в отрезок [ 2; 2]?
3 53 П Ь С'., (х) k X + Ь х Е IR.. На плоскости с координа
· · у с т т k ,Ь. , . ) [ 2. 2 ] }
таl\IИ (k,b) изобразите 11ножество {(k,b) I 'Pk,b([l, З] С , .
3.54*. Пусть J(x) = 12х 11 + ах. При каких а ?ществует
отрезок ненулевой ДЛИНЫ, образ KOToporo одна ТОЧКd.
3 55 П р ИДVl\lайте при лер rрафика такой функнии J, чтобы
.. J Ф OJ Ф НКЦИИ
f(..4) == В, а также, если ВОЗl\IОЖНО, ПрИl\1ер rpa ика такои у
ер, чтобы (B) == А, если:
1 ) ..4 == ffi., В == ]R;
3) А == [о; +(0), В == (о; 1);
5) А == ( CX); О), В == [ l; 1];
6) ..4 == Шl \ [ l; 1], в == [о; 1] U [2; З];
7) .A == (о; 1) u (2; З), В == [о; 1];
8) A==JR\(O; 1], В=={1;2;4};
9) ..4 == (о; 1) U [2; 3], в == { 1; 2; 4 };
10) A= \{1;2}, В={1;2;4};
11) А=т.\{о}, B=( (X); 1)U(2; +(0);
12) А == { 1} U [о; +(0), В == [о; +(0);
13) А == (о; 1) U { 1}, В == [ 1; 1];
14) А:::: { 1; 1; 2; 5}, В == {о; 1; З};
15) А == { 1r 2 ; е; 1 О }, в == { 1; 1; V2}
о
о
о
,111
1111
!!I'
,
11: "
111,11
11
. , I I I
1'::' ,
II
Ir.,'j
Itl']'
liJ I
!I '1
'111
2) А == IR, В == [о; 1];
4) А == (о; 1), В == [ 1; 1];
3.57. Пусть J(x) == 1пх 2 9тх 5т 1. При каких т ВЫПОЛНЯ
ется равенство f l (( oo; О») == 1pl ?
,
3.58. Пусть f(x) = (k 5)х 2 2kx + k 4. При каких k ВЫпол
няется равенство f 1 ([2; +сю») == ?
3.59. Пусть J(x) == х 2 тх + 1. При каких 'tn выполняется
включение
[1; 2] С f l ( ( сю; О)) ?
(>
о
о
3.60. Выясните, существует ли функция f, заданная на всей
числовой прямой rn: и обладающая указанными свойстваl\IИ. (Для
доказа.тельства существования достаточно привести rрафик.)
1) J ([ 1; 1]) = [ 2; 2] и 1 ([ 2; 2]) == [10; 20].
2) f 1 ( { о; 1}) == { 2; 3} и f (5) = о.
3) 1((1; +(0)) = [о; 1] и J(( oo; lJ) = (о; 1J.
111
1 1'
, I
"
I
,11
3.61 *. Изобразите rрафик t<акой нибудь функции J, определен
ной на IJ.:k и такой, что:
1) l\lножество f l(o) СОСТОИТ из ОДноrо числа, 1\lножество
f l(Q) СОСТОИТ ИЗ двух чисел при Q' > О и 1\Iножество
f l(Q) = (о при о: < о;
11
'1 1
11
,1'
,r
'\
,
:1,
11]111
11':'1
11 :1
JI
96
rлава 3. ФУНКЦИИ
3.2. Образ и прообраз множества
97
1) f(A) С В;
2) [(А) n в = 0;
3) 1(11) n в =/0;
4) f l(B) С А;
5) J(z1) ct В;
6) f l(B) ct А.
3.65. Пусть f: Х У, А С Х , в У Д
С . окажите или оп р о
верrНИте следующие утверждения:
1) 3Ь;= В f l({ Ь}) rt А => f l(B) rt А;
2) f ( в) rt. А=>З Ь Е В f 1 ( { ь }) rt J4.;
3) VbEB f l({b}) A => f 1(B)n..4==0'
4) f l(B)nA==1O => VbEB f l({b})rtA:
3.66. Найдите f 1 (/([1; 2]») и f 1 (f([ 1- 11 )) .
1) f' JR ' J ,если. · !.
. JR:, f(x) == х 21 ; 2) f: [о; +00) IIPl f( x ) 2.
3) f: JR JR, J( х) == х 3 . ' х ,
3.67. Докажите, что для всякой ФУНКЦИИ f . х У . 6
l\lножества -1 С v . и лю oro
.i ./\. Иl\lеет I\leCTO включение f 1 (t( А») ...4.
3.68. Найдите f(f 1([ 2; 1J») и f ( f l ([ O' 1 ])) .
1) f' JR ' , если.
. 1Р2, f(x) == х 2 ; 2) f: [о; +(0) IR. f(x) == х2.
З) f: m: , f(x) == х 3 . "
3.69. Докажите, что для ВСЯКОЙ функции f . Х У б
l\lножества В С У . .L И лю oro
Иl\.1еет l\1eCTO включение f(f l(B)) С В.
3.70. Пусть f оТО б
точке плоскости ее П р оекцю: ТО ражение, сопоставляющее каждой
на данную ПРЯ!vIУЮ 1.
1) Правда ли что f l (f( A ») t
1 == ..."1 для любоrо l\Iножества А на
плоскости?
2) Правда ЛИ, что f(f l(B )) == В
В С l? для любоrо множества
3.71. Пусть f: ..,У У. Докажите:
1) если В 1 , В 2 С У, ТО f 1(B1 U В 2 ) == f l(Bl) U f l ( B ) .
2 ) если В В С У f 1 2 ,
1, 2 , То (В 1 nВ 2 ) == f l(Bl) nf l(B ).
3) если В1, В 2 С У, то f l(Bl \ В 2 ) == f l(B1) \ l l(B ).'
4) еСЛJ;1 А1, А 2 С Х, ТО /(.'11 U .'12) == f(A 1 ) u f(A 2 ). 2,
З.72. Пусть f: ..,У у".
1) Докажите, что если А 1 , А 2 С Х, ТО
/(...41 n А 2 ) с f(A 1 ) n j(A 2 ).
2) Приведите ПрИl\'Iер ФУНКЦИИ f, для которой обратное ВКЛЮ
чение не выполняется для некото р ых А .1
) J 1,...""1 2 .
3 Приведите ПрИl\Iе р Ф "'\, .....
J НКЦИИ, для которои обратное ВКЛЮЧе
иие выполнено для любых А А
1 , 2.
1111
2) при а Е [ 5; 5] множество f l(a) бесконечно, а если
10:1 > 5, ТО f l(a:) == 0;
3) при люБОl\1 а Е f\1ножество f l(o:) бесконечно;
4) множество f l(a) состоит из одноrо числа при а > О, и
f l(Q) = 0 при а::::; о.
Задайте аналитически ФУНКЦИИ, удовлетворяющие указаННЫl\1 выше
условиям.
1) у Е f(A); 2) у rt f(A);
4) х f l(B);
6) f l(Bl) n f l(B2) = 0;
3) х Е f l(B);
5) f(A 1 )nf(A 2 )i=0;
7) f(X) == У.
11:
! l'
I
11
'111
1
1
1
11
111
I
111I
1'1
,1'1
III!
1,
!I
,
11;
1 1111
'1
!I,III
11
11I
II';! '
111
!I 1\
11.
il
i\!I:
3.62*. Изобразите rрафик какой нибудь функции f, определен
ной на JR и такой, что:
1) при любом а # о множество 1 1 ({а}) состоит из одноrо
числа и f 1({O})==0;
2) при лю 60М а Е JR множество f 1 (а) состоит из двух чи ел;
3) при а =1= о l\lножество f 1 ( а) состоит из одноrо числа, а
при Q == О ИЗ двух чисел
о
о
о
3.63. Пусть f: )( У, А С Х, в с У. Сформулируйте
утверждения, не использующие понятий образа и про образа MHO
жества и равносильные каждому из следующих предикатов:
1111
1) Va Е А f(a) f/:. В;
2) За Е А f(a) t/:. В;
З) Va Е А f(a) Е В;
4) За Е А f(a) Е В;
5) УЬЕВ f l({b}) сА;
6) ЗЬЕВ f l({b})\tA;
1I1
'
.
" '1
111,
i'
1:11
1 1 111
:1 1 1111 ]
" 11
;i l l :1
'111
1I1
11 1 111
I! 1
l'
I 1
j i
3.64. Пусть f: )( У, А С Х, в с У. Для каждоrо ИЗ YT
верждений в леБО1\I столбце найдите равносильное еr-лу утверждение
в праВОl\l столбце:
3.3. СупеРПО3 И1 t{
98
rлава 3. ФУНКЦИИ
=!.75. Найдите суперпозиции ФУНf<ЦИЙ f о /,
909, /og, go! и
укажите их естественную область опред
еления:
1) f(x) == х 2 , g(x) = .;i ;
З) f(x) = у(х) = V l х2.
,
5) f(x) == lOx, g(x) = 19x;
7) Л ) == х + 1
х 2 ' у(х) = х 2 + 1.
3.76. Опишите действие отоб раж ения
f о У, если:
1) 9 отображение, сопоставляющее ка .
HOl\IY треуrольник у е ждому равнобедрен
ro основание f от б
торое каждому отрезку ставит в' о ражение, KO
2 ) б соответствие ero длину'
ОТО ражение 9 сопоставляет '
Санкт Пет б F . f\аЖДОl\IУ H01\fepy ШКОЛЫ в
ер ) pre список учеников 10 а кл ....
лы, отображение f ка асса атон шко..
ЖДОl\IУ конеЧНОl\IУ
в соответствие КОЛиче с . l\lножеству ставит
ТЕО ero 8леl\lентов.
З.71. Опишите действие отоб р ажения f
1) о g, если:
9 параллельный перенос плоскост и ТTh2 .....
f на вектор а
параллельный перенос плоскости на вектор Ь' ' а
2) 9 поворот плоскости BOKpyr точки О на "ro '
поворот плоскости BOKpyr точки О на уrол " л а, а f
З) 9 центральная СИI\Il\lет р ,
О а f ИЯ плоскости относительно точки
, ПОБОрОТ BOK p "r этой Т
4 ) J ОЧКИ на уrол 0"
9 СИl\II\Iетрия плоскости относительно
симметрия относительно прямой / прямои /1, а f
2, параллельной '1.
з 73. Пусть f: Х..........-+ У..
1) Докажите, что если А 1 , А 2 С х,. ТО
f(Al \ А 2 ) :J f(Al) \ f(A 2 ).
2) Приведите ПрИl\lер функции, для которой обратное ВКЛЮ
I
чение не выполняется для некоторых ПОДl\lножеств Аl, А 2
области определения.
3) Приведите ПрИl\lер такой функции, что обратное включение
выполнено ДЛЯ любых l\lножеств из области определения.
1
у(х) = ;
х
2) f ( х) == sgn х,
4) [(х) = x2,
6) f(x) = ln х 2 ,
g(x) == log2 х;
g ( х) = sin х;
3.3. СуперпозицИЯ
Пусть ИI\tеЮТСR два отображения f: Dj EJ, g: Dg Еу,
ДЛЯ которых Е! n Dg f. 0. Тоrда для любоrо 8леrv1ента х Е Dj Ta
Koro, что f(x) Е Dg, можно найти i3леl\lент g(J(x)). Таким образом,
l\10ЖНО определить ФУНКUИЮ h, действующую по правилу
х g и(х)), на множестве {х Е Dj I лх) Е Dg} == f l (D g ). Так
определенная функция h называется суnерnозuциеil (или 1СОЛfnОЗU"
цией) функций f и g и обознается g о f. l\:lножество f l (Dg)
естественная область определения ДЛЯ h == 9 о f. ФУНКUИЯ f назы
вается внутренней, а ФУНКЦИЯ 9 в'Н,ешней функцией для супер
позиции g о f.
Аналоrично определяется суперпозиция трех и более отобра..
жений. Вообще rОБОрЯ, g о f и f о g, разные функции.
Функции, представленные в виде композиции "более простых" ,
иноr да называ.ют сло ЭIC'Н, bLAt U фун 1СЦ ия..лt и.
В задачах параrрафа используется понятие сужения ФУНКЦИИ.
Пусть f функция, f: Х У и А С Х. Отображение g: А У,
такое, что g(a) == f(a) для всякоrо а Е А называется суженuе.лt
отображе'Н их f 'На . t'Ножесmво А. Обозначение: g == 1\ А"
З.78. Пусть и(х) == 1 + х, и(х) == , ш(х)
фОРl\'1УЛЫ, задающие слеД\Jю щие х
.J суперпозиции:
1) u о v о ш;
= yIX. Найдите
2) wovoи;
5)
3) u о V о u о V.
,
6)
*
*
*
4) w о u о 'V о Ш.
,
VOUOW01..l"
,
u о W о U о U о l).
3.74. Найдите суперпозиции f о f, g о g, f о g, 9 о f следующих
функций, заданных на 1R:
1) f(x) == х 2 , у(х) == Х + 1;
3) f(x) == 2х2 + 1, g(x) == Зх 2;
3.79. Пусть f(x) = х
ах + ь '
1) (/ о f о f)( х);
З) (/ о f о ". о f) (х );
g(x) = Х Н
у а 2 + х 2 . айдите:
2) (gogog)(x);
4) (gogo ... og)(x)
2) f ( х) == .т 2, 9 ( х) == 2 Х ;
4) f(x)=x 5 , fI(x)=x+5.
99
)
I
1'1
I1I
,
1
1,
1
11,
11
,
!III
1\
I(
",
1
111
11111'
1"11
I 1
1I
11,11'
IIl11
111
11 I
111 :1
111"
ill
,
J"
.
11'
1 t
'j
: I
100
rлава з ФУНКЦИИ
3.80. Пусть функция f: IR ffi. задана праВИЛОl\'1:
{ Х + 1, х < О
f( ) Найдите f о g, если:
х = 1, х O
1) у(х) == 2х; 2) g(x) == x;
4) у(х) == .jX; 5) у(х) == x2;
8) ( ' ) х 2 1.
7) у( х) :::: x 1; 9 х ,
Д ИХ фу нк ц ий f 9 найдите суперпозиции /оу,
3.81. ля следующ ,
9 о f, f о f, 9 о 9 :
{ О, х < О { О, х О
1 ) f( ) у( х) == 2 О
Х == Х Х ::::?; о. Х, Х < .
, ::;..',
2) лх) ==mах(х,о), у(х) == min(x,O).
{ О, 'х' 1 { 2 х 2 , 'х' 2
З)* f(x) == 1, \х\ > 1; g(x) 2, Ix\ > 2.
{ Ixl, )х' 1 х == { 1, х < О
4)* лх) == 2 х 2 , \х\ > 1; у() х 2 , Х О
{ О, 'х' 1 { х2 1, 'х' 2
5)* f(x) == 1, \х\ > 1; у(х) 1, \хl > 2.
{ Х, 'х' 1,
3.82. Пусть у(х) == sgnx, Ixl > 1.
1) Пусть лх) == х 2 . Постройте rрафик функции 9 о f. .
2) Пусть rрафик функции f выrл.ffДИТ следующим обраЗОl\I.
3) у(х) = х 2 ;
6) g(x)=x 2;
9) g(x) == x2 + 3.
I
.
I
,
I
6
х
"'1'
I
,
I
I
I
I
2
2
..3 ............ ........
Изобразите rрафик функции 9 о f.
3.3. Суперпозиция
"
1
11
11
I
I
11'
,
101
l'
3) ПРИДУl\lайте общее правило перехода от rрафика произ
вольной функции f к rрафику 9 о f.
3.83. Ответьте на вопросы задачи 3.82, взяв в качестве ФУНК
. 1) а+(х) == mах(х, О); 3) ( ) { х, Ixl J\f
ЦИИ g. 'Р м Х ==
2) Q; ( х) == m in ( х, о); ]\[ s gn х , I х 1 > 1\1.
3.84. Пусть f ФУНКЦИЯ, rрафик которой изображен на рисун..
ке к задаче 3.82. Для каждой из ФУНКЦИЙ g, Иl\lеIOЩИХ следующие
rрафики, постройте rрафики суперпозиций g о f и f о g.
1) 2)
2
1
1
I
1 1
1111
,,1
,1'1
I
1,
II!,II
I'I [
'l' I
,l
111
,1
1 J
"
'11"1 !
, 1
о
о 2
I
.
.
,
I :ас. :ас.
2. ()
о
о
(>
(""
t'
3.85. Известно, что Df == (о; 1). Найдите D h , если:
1) h(x) == f( x2);
З) h( х) == f(ln х);
2) h(x) == f(sin х);
4) h(x) == f С:] ).
3.86. Пусть DJ == [ 1; О]. Найдите D h , если:
1) h(x) == f( x2); 2) h(x) == f(cos х); 3) h(x) == f(x 1);
4) h(x) == Л2х); 5) h(x):::: f (':' ); 6) h(x):::: 1(/хl + х);
7) h(x) == f(x Ixl).
3.87. Пусть g: [0;+00) IR, g(x) == YIX, f: IPl ,
1(х) == х 2 1. Пусть также А С ]]{ и 1.4 :::: 1/4" Возможна ли
суперпозицил 9 о f А, если:
,"
l'
' , :1
liЛ
1,,)
, I
1) А == (о; +СХ);
3) А == ( oo; 3) U (3; +сю);
2) А == [5; 6];
4) А == ( 1; 1)?
111':1
t I
I, 1
11 I
;11
J ! 1
: ' 1 '
\I\
Illi l i I
I
,
:' I
1) Пусть 'Р == g о f. Выясните, верно ли, что <р > о на следую
щих интервалах:
а) ( 3; 2); б) ( 2; 1); в) ( 1; 1); r) (1; 2).
2) Пусть ;.р == f о g. Выясните, верно ЛИ, что ер > о на следую
щих интервалах: а) (о; ); б) (1; 2); в) (k; 1).
<> (> о
102
rпaвa 3. функции
3.3. Суперпозиция
3.88. Пусть g(x) == log2(x 3), лх) == х 2 + 5х 3 и fA == fl A .
ВозrvIожна ли суперпозиция 9 о f А, если:
3.94. Дан rрафи}{ ФУН}{ЦИИ f. Пусть g(x) = log2 Х.
У
1) А == [1; +(0);
3) А == ( oo; 6) U (6; +оо)?
О <)
2) A==( 7; 6);
"
..... ...
.
....---....
.
,
: х
2.
о.
...3
"'2
3.89. Пусть 9 и f отображения, f: Х............... У, g: У Z,
h == 9 о f, пусть А С Х и В С z. Докажите, что
1) h(A):::: g(f(A»). 2) h l(B):::: f l (g l(B»).
3.90. Найдите (у о f)(A) и (/ о g)(A), если:
1) f(x) = х 2 , g(x) == 2х + 3, А = [ 2; 1);
2) f(x) =: х 2 х, g(x) == 1 х 2 , А == ( 1; 1);
З) f(x) == 2 Х , у(х) == sin х, А == JR(;
4) f(x) == cos х, g(x) = sin Х, ..4 == [о; 1r].
3.91. Найдите (у о f) l(A), (1 о g) l(A):
1) f(x) == 2х 1, g(x) == 3 4х, А == (1; 2);
2) f(x) == 3х 2, у(х)::::: х 2 + 1, А == ( 3; 2);
3) f(x) == x2 + 1, g(x) == х 2 + х + 2, А == ( 2; О);
4) f(x) == 2 Х , g(x) == sin х, А == [ 1; 1].
3.95. Представьте функцию h как функцию от
дите функцию f такую, что h == f о у, если:
1) h ( х) == 3 sin х + 1, у( х) == sin х;
2) h(x) == cos 2 2х 2, у(х) == СОВ х;
3) h(x) == cos 2 2х 2, у(х) == sin х;
4) h(x)=x4 3x2+2, у(х)==х2;
5) h( х) == cos х, у( х) == tg ; ;
х
6) ll(X) == sinx, у(х) == tg 2 ;
7) h( х) == tg х, у( х) == tg ; ;
1 1
8) h(x) == х 2 + 2' у(х) == х + ;
х х
1 1
9) h(x) == х 2 + 2' у(х) == х ;
х х
х
10) h(x) == lоgз з ' у(х) == lоgз х;
11) h(x) == sin 4 х + cos 4 х, у(х) == sin 2х;
2 .
3.92. Пусть 9 ПОБОрОТ плоскости IR BOKpyr точки О на уrол
7r /2, f проектирование ll{ 2 на ось ординат, h == f о g. 11айдите:
1) h(A), rде А == [ 1; 1] х {О};
2) h l(B), rде В == {О} х [2; 4].
3.93. Пусть 9 ПОБОрОТ ПЛОСКОСТИ }R2 BOKpyr точки (О, О) на
уrол , f проектирование JR2 на ось абсцисс, h == fog. Найдите:
1) h(A), rде А:::: [о; 1] х {О};
2) h l(B), rде В == [2; З] х {О}.
103
'1
11,1
1:
j
I
I
.11
1"
у, ТО есть най
l'
11
:1
t
J
ш :1
I "
1' 1 11
111
li\1
I{ I
о
1 ;1'
,!!!
11. '
I i
:11
'1
'1
r
1
'1
IIli[1
1111
il
I '
IIJ:
ill,1
11"
il
,11.
':Ji::
l'
11j;:
111:1'
i11ill
: 1,
и
"'1
104
rлава 3. ФУНКЦИИ
3.3. Суперпозици.в:
105
12) h( х) = sin х . cos Х, у( х) = sin х + cos х;
х+2 I
13) h(x):::: , у(х) == V X 1.
2 y x 1+3
3.96. Укажите какую нибудь функцию J, дЛЯ которой выпал..
няется следующее тождество:
3.99.
1
Пусть a,b,k E , Ь =1= О и и(х) = kx' v(x) = X a,
w(x) == Ьх. Представьте следующие функции в ВИДе суперпозиции
некоторых из функций И, v, ш:
1) f(x 1)==x2+3x 2;
2) f ( ) = sinx(x # О);
ь
З) h(x) = kx ;
1
6) h(x) = k(x а) ;
9) h(x) == х.
3.100. Найдите две какие либо ("более простые", чеl\1 h) ФУНК
ЦИИ f и g, такие, что h:::: 9 О f:
1 ) h ( х) == ь з х;
1
4) h(x) = Ых ;
7) h(x) == Ь(х а);
2) h(x) == х 2а;
1
5) h(x) == kx а;
8) h(x)==bx a;
1
I
!1!
l'
I
f
3) f( VX) = log2 х(х > О);
f ( ЗХ 1 ) = х + 1 (х # 2, х =1= 1);
4) х + 2 х 1
5) f (1 + ) = х 2 1.
3.97. Найдите функцию '1', если известно, что переход от rpa..
фика произвольной функции f к rрафику <ра! состоит в следующе л:
1) Все точки rрафика J, лежащие ниже оси абсцисс, заl\lеня
IOТСЯ точкаJ\IИ с теми же абсциссаl\IИ и ордината1\IИ, раВНЫl\1И
1 . точки лежащие выше оси абсцисс, точкаl\iИ с теl\1.И же
, ,
абсuисса1\lИ и ординатаl\IИ, раВНЫl\1И 1; точки пересечения
rрафика с осью абсцисс остаются без ИЗfvtенений.
2) Все ТОЧКИ рафика f, лежащие ниже ПрЯf\.I0Й у :::: 3, за
l\lеняIOТСЯ на точки с теl\1И же абсциссаl\IИ и ординатаl\IИ,
раВНЫ1\IИ 1, а остальные точки rрафика остаются без ИЗl\'lе
нений.
1) h(х)==9Х 2.3Х+З;
2) h( ) х 2 2х + 3 105 .
х 5х
,
х х
1,
ili
II
1
1
1;
I I
1
3.98. Пусть и(х) == 1xl, v(x) == , ш(х) == х + 2, у(х) = 19x,
х
z( х) = cos Х. Представьте следующие ФУНКЦИИ в виде суперпозиции
некоторых из ФУНКЦИЙ и, v, ш, У, z:
1
1) h(x) = Ixl ;
3) h(x) == (lgx[ + 2;
3) h(x) == х 2 + 3х + 7 . 2
х 2 л,+ i ' 4) h(x):::: 3(2х +x 2)2 8x2 4x+9;
5) h(x) = x2 1 x2+2x .
х 2 + 2х х 2 1 '
6) ' (x) == (2х 1)(2х + 3)(3х 2)(3х 8) + 25;
7) h(x) = х 2 10х + 15 3
х 2 6х + 15 х 2 8х + 15 .
3.101. РаССl\tОТрИl\1 О,тображение, задаваеI\Iое слеДУЮЩИ1\1 пра
БИЛОl\I: каждой карточке книжноrо каталоrа некоторой библиотеки
сопостаВИl\I первую букву BToporo слова третьей строки четвертой
страниuы книrи, указанной на оТ ОЙ карточке. Представьте ero как
.суперпозицию некоторых "более простых" отображений.
11
I
1'\1
li,
, I
1111
, I
1
5) h(x) = \1: + 2\ + 4;
7) h(x) = 19 I cos(x + 2)1;
2) h(x) == cos(x + 2);
1
4) h(x) Ix\ +2 ;
1
6) h(x) = cos(\x\ + 2) ;
1 2
8) h(x) = 19 Ixl+2 + .
3.102. Приведите ПрИl\tеры заl\lен переl\,fенных, которые l\lоrли
бы быть полеЗНЬП\IИ при решении следующих уравнений:
z2 Z + 2
l'
z2 Z 2 ,
1
, j
11
'1
,111,1
111
1 11
1
)11
I '
)
'II"!
1 ) Z2 Z + 1
Z2 z
111'
111"
24
2) х 2 + 2х 8
15
2'
х 2 + 2х 3 ,
I
ilrll
З) 7 ( х + ) 2 (Х2 + :2 ) = 9;
х 2 + 1 х
4) х + х2 + 1 = 2,5;
't.
1 1'
';':
1,1
\11
11"
1 1,
11
106
rлава з. фуНКЦИИ
3.3. Суперпозиция
107
х 2 + 2х + 1 х 2 + 2х + 1 7.
5) х 2 + 2х + 2 х 2 + 2х + 3 6 '
6) .J х 2 + Х + 4 + .J х 2 + Х + 1 == .J 2x 2 + 2х + 9;
7) х4 5хЗ+8х2 5х+l==О; 8) х 4 +5х 3 +9х 2 +20х+16==О;
9) х4+2хЗ 11х2+4х+4 == о; 10) (х+l)(х+2)(х+4)(х+5) == 10.
3.106. Найдите наибольшее значение Ф У.НКЦИИ h(x) на указан
НОl\II\Iножестве А , если:
1) h(x)== V2 x x2, A==D h ;
2) h(x) == Ig ( 2 9 ) А = [ 5. О ] .
х +x+l ' "
3) h(x) == зх2 2Х+З, А =: [ з; 8].
3.107. Пусть J(x) == 3х 4 х 2 .
1) Найдите Ej.
2) При каких а уравнение f(x) = а Иl\Iеет 4 корня?
3.108. Пусть f( х) == 4 Х 2 х + 1 .
) Найдите наИ1\леньшее значение функции f
2) При каких а ур внение f(x) == а ИI\lеет 2 корня?
'х 2 + 2xl
3..109. Пусть Il( х) ==
'х 2 + 2х r 2 .
1) Найдите E h - 2) Найдите h([ I; 1]).
3) Сколько Точек во множестве h l ({ 1 }) ?
1!1
'\1
11,
о о о
3.103. Найдите f(A):
( 1 ) X2+5X 4
1) f(x) == 3 ' A==( 5; 6);
2) f( х) == 19 (1 х 2 ), А == ( ; );
3) J(х) == 2sinx2, А == (о; jii- );
4) f(x) == 192 Х 61gx 4, А == (10; 1000).
3.104. Найдите f l(A):
1) f(x) == 25х2 з, А == [ ; 4] ;
2) f(x)==lg(1 x x2), А==[О,l; 100];
3) f ( х) == sin ( cos х ) , А == [о; ] ;
4) f(x)==sin2x+2sinx 3, A=[ 4; 3].
3.105. Найдите E h , представив функцию h в ви).(е суперпози
ции "более простых" функций, если:
t
111
"1'
1,
I
11'1
11
I!;
I
11
II,
11
,
о-
<)
<)
11
!' ,
1',1.
1.
h(x) == 1 + 2 sin 5х;
h(x) == cos х + cos 2х;
h( х) == sin 2х 6 cos х 6 sin х 9;
h(x) == (2х 2 + х 2)2 8х 2 4х + 9;
3 Х з х
8) h(x) == з х + 3 X ;
1
10) h(x) == 2tgx ? + 9;
cOS'" х
2 Х
11) h(x) == 5 Х + 52 X; 12) h(x) == 22х + 1 ;
13) h(x) == (2 cosx + sin х)2 1; 14) h(x) == 2 sin 2х + cos4x;
15) h(x) == (х 2 Х 3)2 2(х 2 х) + 1.
1)
3)
5)
6)
7) h( х) == gx 2 . 3 Х + 3;
2) h(x) == sin х + cos х;
4) h(x)==tgx(l tgx);
3.110. Докажите, что Не существует такой ФУНКU ИИ g, ЧТО при
всех х > О верно равенство Iog 2 х = g((x 2)2).
3.111. Укажите такую ФУНКЦИЮ У, что при всех .х > 2 верно
равенство log2 х == у(х 2)2)
3.112. Докажите, что не существует такой Функи ии у, что при
всех х Е m: верно равенство 3 Х = 9 ( 1 ) .
[х' + 2
3.113. Укажите такую функцию g, что при всех х О верно
равенство З Х == 9 ( 1 ) .
I x l+2
3.114. Выясните, существует ли такая функция g, что:
1) V'x Е IR х 3 = g(1 х 4 ); 2) V'x Е IR sin х == g(1 х 4 );
3) V'x > О g(log2 х) = sin х; 4) V'x > О g(log2 х) == cos х.
1I1
,
11
I,I
!I
II, ,
I"\! I
11'[
I
!:
':1'
'J
Ilil
1:1;
1"
Н
'. I
11"
,: l'
il
J'
9) h(x) == {х} 2{х}2;
108
r пава 3. ФУНКЦИИ
109
3.115*. Найдите какую нибудь функцию f, ДЛЯ которой ВЫПОЛ
нено тождество:
1) f(X)+2f( ):=x (х#О);
2) (х l)f(x) + f ( ) := Х 1 (х # О, х # 1);
3) f(x)+xf( 2X I ):=2 (x# ).
3.116*. Найдите какие нибудь функции f, g, дЛЯ КОТОРЫХ BЫ
полиены следующие условия:
{ f(2x + 1) + у(х 1) := х
1) f(2x + 1) + 2g(x 1) := 2х 2 ;
U U
rлава 4. СВОИСТВА ФУНКЦИИ
4.1. Инъе:ктивностъ, сюръе:ктивностъ,
биективность, монотонность
2) { f( X:l )+g( X:l ):=X
f(2x + 1) + 2g(2x + 1) = 2х (х f 1);
{ f(3x 1) +g(6x 1) = Зх
3) ЛХ + 1) + x2g(2x + 3) == 2х2 + х.
'i)
Пусть f отображение HeKOToporo l\'Iножества Х в некоторое
:rvlножество }Т.
Отображение f называется uнбек:тивпыlt,, или иное1rцuеu, если
всякие два различные злеl\lента Хl, Х2 из I\lножества Х отобража
ются в различные елеl\Iенты l\.lножества У, Т.е
'v'Xl, Х2 Е Х Хl #- Х2 f(Xl) i- f(X2),
Функция f инъективна тоrда и только тоrда, коrда каждый
8леl\lент из l\1ножества У ИI\lеет не более одноrо прообраза. Cpe
ди функций из IR. в Jl{ инъективной, наПрИIVlер, является функция
2 OLJ'?
У == х, а не инъективнои у = X .
Отображение f называется сюрйех:тuвны.лt, или СЮРбек;циеi1,
если каждый 8леl\Iент ИЗ l\lножества У Иl\llеет при ЭТО1\I отображении
непустой прообраз, Т.е
Vy Е У ::Ix Е)( f(x) == у.
I
11:
Заl\IеТИl\I, что отображение f сюръективно тоrда и только TO
rда, коrда f(X) ==} ИЛИ, что то же са .лое, Е! == У. Это означает,
что сюръективность f равносильна TOl\IY, что f отображает Х
на У.
Отображение f называ.ется бuек:тuвны.лt, или бuек;цuеi1, если
оно и инъективно, и сюръективно. Биекцию называют также взаИ1\I
но ОДнознаЧНЫ I соотвеТствиеl\l.
1:1
I
'
11:
1
II ,1
[
1'1
РаССI\IОТрИI\I числовую ФУНКЦИЮ f, f: D JR, D С IR и HeKO
торое l\Iножество ..rY, Х С D.
Функция f называется возрасmающей на l\Iножестве Х, если
для всяких Хl, Х2 Е Х, таких, что Хl < Х2, выполняется неравеНСТБQ
f(Xl) f(X2)'
Если CTporoe нера.веНСТЕО f(Xl) < f(X2) выполняется для всех
.,
Xl, Х2 Е Х, таких, что Хl < Х2, ТО функция f называется стРО20
возрастающей.
I
1'1
l ii
!I
,
il!"
I :
!I'
1,'
,I'j
I
!
I
'(1,
110
u' U
rлава 4. СВОИСТВА ФУНКЦИИ
4.1. ИнъеI(ТИВНОСТL, сюръе:ктивность, бие:ктивность, МОНотонность
111
Функция f называется убы,вающеi1 на l\1ножестве .J'Y, если для
всяких Хl, Х2 Е Х, таких, что Хl < Х2, выполняется неравеНСТБО
f(Xl) f(X2); в случае выполнения cr:ipororo неравенства f назы
r ....
вается стРО20 уоь вающеu.
Функция, которая является на Х либо Бозрастаlощей, либо
убывающей, называется .лtонотОН1tО-U на Х.
СтрО20 .лtоиото'U't-tои на Х называется функция, которая ЯDЛЯ
ется CTporo возрастающей или CTporo убывающей на х.
*
*
*
1) f: В IR сопоставляет треуrольнику ero площадь;
2) f: В [О, +00) сопоставляет треуrольнику ero площадь;
3) !: в А ( Cl\f. за д ач у 4 2 )
- , · сопоставляет треуrольнику
описанную около иеrо окружность;
4) f: В В сопоставляет каЖДОl\lУ треуrольнику новый Tpe
уrольник, составленный из средних ЛИНИЙ данноrо.
4.4. СфОрl\rIулируйте определения:
3 1 ) ) неинъективной функции; 2) несюръективной функции'
небиективной функции. '
4.1. Пусть Х множество пальто студентов некоторой rруп
ПЫ, У l\lножество крючков в rардеробе. Рассмотрим следующее
"правило сопоставления" !: каждо л у пальто сопостаВИI\Л крючок в
rардеробе, на котором оно ВИСИТ. Приведите примеры ситуаций, в
которых верны, а также ситуаций, в которых неверны СJlедующие
утверждения:
1) f отображение из Х в У; 2) f инъекция из Х в У;
З) f сюръекция из Х на У; 4) f биекция А на У.
4.2. Если Л,f точка на плоскости и R > О, обозпаЧИl\1 через
СR(Лf) окружность с центром в точке А! и раДИУСОl\1 R. Пусть А
1\1ножество всех окружностей на плоскости. Определите, является
ли отображение f инъективныr...1, сюръективным, биеКТИВНЫl\l, если:
1) f: А ..............- А сопоставляет окружности Ся(АI) окружность
с R (1\1);
2
2) f: А ..............- А ставит в соответствие окружности CR(J\;[) OK
ружность CR(i\I o ), rде 1\I o неКQторая фиксированная
точка на плоскости;
3) f: А ]К сопоставляет каждой окружности ее длину;
4) f: А ..............- ffi.+ сопоставляет каждой окружности ее длину;
5) f сужение отображения из предыдущеrо пункта на l\1HO
жество А 1 == { CR(AI o ) I R > О}, rде А/о Н€КQторая фИК"
сированная точка на плоскости;
6) f: А }R2 сопоставляет каждой окружности C центр.
4.3. Пусть В l\-1ножество всех треуrОЛЬНИКОR 1Iа IlЛОСКОСТИ.
Определите, является ли отображение f инъективны\I,, Сlоръектив
НЬП\:i, биективным, если:
4.5. Обязано ли отоб р ажение f Х У
: быть инъеКТИВНЫl\1
или сюръеКТИВНЫl\I, если:
2) VXEX 3УЕУ: f(x)==y;
4) Vx Е Х Э!у Е У: f(x) == у.
4.6. Для функции, rрафик котороЙ изображен ниже определи
те, б является ли она инъеКТИВНЫl\l, сюръеКТИВНЫl\1 или биеКТИВНЫl\1
ОТо ражеНИ€l\l из Х в У.
1) 'Vy Е У :3х Е ./У: J(x) == у;
3) Уу Е У З!х Е Х: f(x) == у;
... . .
с
Q.. О
..
а) Х == (а; О], У == [о; d];
б) Х == (а; О), у == (о; d);
в) Х == (а; Ь ) , у == (о; d);
r) ./У = [о; Ь), У == (с; dJ.
I
!
:11;
.
.
111
111:
,11
OI
.
ж.
:j'l
1 1:
IIII
1'1
1"
11:
&
в з:дачах 4.7 4.10 определите, является ли ФУНКЦИЯ f ИНЪ
ективнои, сюръективной, биективной.
4.7. f: IR IR..
1) f(x)=x2 4x+2.
3) J(x) == log2(x 2 + ).
{ 3х, х О
5) J(x) . ! ,
х > о.
х
7) f(x) == 21+3 cosx.
6) J(x) == 2 v lsinxl + 1.
'! I 1
I1 '
U' 1
1:
1,1
I l lf
11
,1
'11:
,1
1111
I! 1:
Ilj l 'l'
111,
' 1 1,
11;
2) f(x) == YI;2 5.
4) f(x) == х з х.
II !
" .
1'1'
111
112
u '-'
rлава 4. СВОИСТВА функции
4.1. Инъе:ктивностъ, еюръеRТИВНОСТЬ, биективность, монотоlПIОСТЪ
113
!.!
'1 1
'"
i,
1
111,
1
1'1
а.
ж.
11
1
" III
,(
.1 j
','
(1
\ :
11
11,1'
111 ,
11,1,'
!I"
:;11\
"1
4.8. J(x) == sin х, f: А В.
1) A==IR., B==IR..
3) А == [о; ; ], B [ 1; 1].
5) А == [ ; ], в == [ 4; 4] .
4.9. 1) f: ;Z ............... u {О}, f ( х) == т, r Д е r о с т а то к о т дел ения
целоrо числа х на 3.
2) f: [ 1; 1] ............... [ 1; О] сопоставляет числу х ЧИСЛО у такое,
что х 2 + у2 == 1.
3) f: N N, f(x) == { + :: : .
1)
2) А == [о; 21r], В == [ 1; 1]
4) А == [о; ), в == [о; 1].
;g
.
.
......,
2)
4.10. f:}R2 Il{.
1) f(x,y)==x+y.
3) f(x, у) == sin(xy).
2) f ( х , у) == х 2 + у2 .
4) f( х, у) :::: у + sin х.
4.14. На следующих рисунках изобращены rрафики ФУНКЦИЙ.
Задайте ФУНКЦИИ в тех точках, в которых они не определены
("продолжите" rрафики) так, чтобы эти функции стали биеКЦИЯl\.IИ
IP2 на IR.
1)
4
.I11III . .. . .. . .... .. '!III'" . . "
2)
" 1 '
'i:'
1,
1 :' I
l'
'1"
" ,
!"I
4.11. Докажите, что отображение f: JR2 }R2 не является ни
инъеКТИБНЫl\'I, ни сюръеКТИВНЫl\I, если:
1) J(x, у) == (Ix + yl, у);
3) f(x,y) == (sinx,siny);
4.120 Определите, является ли отображение [: ]R2 JPl.2 инъ
2) J(x, у) == ([х], у).
.
11 111 . . 11
.
:2t.
еКТИВНЫl\.1 или сюръеКТИВНЫI\I, если:
r
f
4) : '
,
о Q.
1) f(x, у) == (3х, 2у);
3) f(x,y)=(x+1,x+2y);
(> О
2) J(x, у) == (2х, х у)
3)
(>
........а,..
CL
::ас.
4.13. Выделите l\IаКСИ lальные ПрОl\lежутки, при сужении на KO
торые функции, rрафики которых приведенны ниже, становятся ИНЪ
еКТИВНЫl\IИ.
4.15. Приведите два ПрИl\Iера l\Iножеств, при сужении на KOTO
рые функция f становится инъективной, если:
1) f(x) == х 2 + х 6; 2) J(x) == 3'X 11+1;
1
3) J(x) == ;
х 2 1
5) J(x) == log1. х;
2-
7) f(х)==lх 31+lх+ЗI.
4) f(x) == sin 2х + cos 2х;
6) f( х) == , Jx 11 21;
114
u u
rлава 4 СВОИСТВА функции
115
4.1. Ииъективностъ, СlOр'ЪеICТИВНQСТЬ, биективностъ, монотонность
4.16. При каких значениях параметра а функция f: Х ..............- IP&
инъеКТИБна;
.... 4.19. Нарисуйте rрафик какой нибудь функции f: Ш Ta
КОИ, что:
1) f не инъективна, а I 1 инъективна;
( 1; 1)
2) f не инъективна, а 1 / инъективна.
ш.\( 1; 1) ,
З) f не инъективна, а 1 / инъективна'
\{O} ,
4) 1 / не инъективна, а I 1 инъективна о
[ l; 1] ( 1; 1) ,
5) / / не инъективна, а I 1 инъективна'
{ 1;1} {О;l}'
6) f сюръективна, а I 1 Не сюръективна;
[о; +сю)
7) I 1 сюръективна;
Шl\{О} ,
8) I 1 сюръективна, а / 1 не сюръективна.
[о; 1] (о; 1) ,
9) f сюръективна, НО не инъективна, а 1 / инъектив
ш.\{ 1;1}
на, но не сюръективна; Что l\IОЖНо сказать о f j ?
\{1}
10) 1 / биективна.
1Ж\tz
4.20. 1) Правда ли, что для любоrо отображения f: Х у
l\'10ЖНО найти такое непустое l\IНожество ...4 С ..I'Y, что сужение
f/ л инъективно?
2) Всеrда ли l\IОЖНО выбрать 1\1ножество А, описанное в преды
дуще1\f Пункте, так, чтобы оно Состояло более чеl\1 из О д ной
? '
точки. А если известно, что образ ..I'y состоит более чеl\1
из ОДНОЙ точки? '
3) Для любоrо ли сюръективноrо отображения f: y у
можно найти такое множество А С Х, что сужение fl A
биективное отображение А на У?
1) f(x)=(a+3)x+(a 8), X== ;
2) f(x) == (а 2 1)х 2 + (а + 4), Х == IR;
3) J(x) == зх 2 + ах + (а + 2), Х == IR+;
4) J(x) == х 2 3х + 2, Х == (а; +00);
5) f(x) == Ig(x 2 + ах + 5), Х == [5; 10];
6) f(х)==5ах2+х+З, Х==[а;а+2];
7) J(x) == sin(x + 2), Х == [о; а];
8) J(x) == sinax, Х == [о; 10];
g) f ( х) == cos (х 1), Х = [а; а + 1];
( ах )
10) [(х):= cos 2 + a7r , Х:= [2; 4]?
4.17. При каких значениях параметра а функция f: IPl ..............- У
сюръективна:
1) , J(x) == (а 2 4)х 2 + (а 3)х + (а 5), У == JPl;
2) f(x) == (а 3)х + (а 5), У == т.;
З) f(x) == х 2 + (2а + 4)х + (а + 2)2, У == [о; +00);
4) J(x) == ln(x 2 6х + 11) + а, У = [о; +(0);
5) f(x) == ex2 3X+2, у == (а; +(0);
6) f(x) == а + 3 sin х, У == [4; 10];
7) f(x):::: (а + 3) sin х, У == [ 10; 10];
8) f(x)=2ax. s inx, Y==JR?
4.18. Пусть fl A сужение отображения [: Х у на MHO ...
жество А с х.
1) Обязательно ли отображение fl A инъективно, если инъек '
тивно f? А наоборот?
2) Обязательно ли fl A сюръективно, если f сюръективно? А
наоборот?
3) Пусть f сюръективно. Может ли отображение fl A быть
сюръеКТИВНЫl\1? Тот же вопрос при дополниrельном усло
НИИ, что f инъективно
4.21. Для каждой из следующих пар l\fножеств А, В ВЫЛСНИ
те, сколько существует различных отображений из l\1ножества А в
I'\lножество В. Сколько среди НИХ инъекций, сюръекций, биекций?
1) А:= {о; 1}, В:= Р; 2}. 2) А:= { о; 1}, В:= {а; Ь; с}.
11
11
11
1111
II(
I
! :;]
IIIJ
1',1
11.
,).1,
1[1
I
"
1
11:11
)
11
' I 'I' 1
1I
1'111 '
1.1
1
l'
1
11'1
11111'
III!I'
' 1 '1
Jpl
11'
1 '1
[ I!, 1
1111,
I
Illf
:II; .
11 1 11
1,
J i'
1,
1
ili
1111
[!!', ,
,
11
111 I
1
:I I
'1
I
,1
116
"'-' IU'
rnaвa 4. СВОИСТВА ФУНКЦИИ
4.1. Инъективностъ, СlOръеkТИВНОСТЬ, биеICТИВНОСТЬ, монотонность
117
3) А=={1;2;3}, В=={4;5}. 4) А={1;2;3}1 В=:{З;4;5}.
4.28. ПУСТ,Ь f биекция ll{ на IR. l\fожет ли при атом ФУНКЦИЯ
f2 быть инъективной?
4.22. Пусть f: А ..............- В, rде А и В конечные множества,
состоящие из k и nалементов соответственно. Докажите, что:
1) если f инъективно, ТО k п;
2) если f сюръективно, ТО k п;
З) если f биективно, то k:= п;
4) если k = n и f инъективно, то f биективно;
5) если k == n и f сюръективно, ТО f биективно
о
(>
о
<>
о
о-
4.29*. Докажите следующее утверждение: для Toro чтобы ото..
бражени'е f: Х у было инъективно, достаточно, чтобы было
Выполнено любое из условий:
(1) для любоrо А С Х выполняется равенство f l(f(A) == .i4;
(2) для любых A 1 , А 2 С Х выполняется равенство
f(Al \ А 2 ) == f(A 1 ) \ j(A 2 ).
4.23. Пусть f, у: Х Ж. Докажите или опроверrните следу
ющее утверждения:
1) если f, 9 инъективны, то функция f + g инъективна;
2) если f, 9 инъективны, то функция f. g ИIlъективна.
4.24. Существуют ли функции " 9 такие, что:
1) f, 9 и / + 9 инъективны;
2) f инъективна, g не инъективна, f + g инъективна;
3) f, g не инъективны, а f + 9 инъективна;
4) f инъективна, 9 не инъективна, f + g не инъек
тивна?
4.30*. Являются ЛИ условия 1), 2) из предыдущей задачи
неоБХОДИl\IЬП\IИ для инъективности отображения f?
4.31 *. Правда ЛИ, что f: Х у инъективно тоrда и только
тоrда, коrда для любых А 1 , А 2 С Х выполняется
f(Al n А 2 ) == /(.41) n f(A 2 ) ?
t
l i l
1:1
4.32*. Докажите, что отображение f: Х -------+ У сюръективно TO
rда и только тоrда, коrда для любоrо В С У справедливо равенство
f(f l(B)) == В.
<> О о-
'!
1
,1)
':1
1) h(x) == (1 у)(х);
2) h(x) = f (х)?
9
4.33. Докажите, что:
1) если f о 9 инъекция, то 9 инъекция;
2) если f о 9 сюръекция, ТО f сюръекция;
3) если f о 9 инъекция и 9 сюръекция, ТО f инъекция;
4) если [09 сюръекция'и f инъекция, то 9 сюръек
ция.
111'
II'!,
111
1 '11
l'
l'
i l :
r ll
111;1 !
I
l'
;,
в задачах 4.33 4.38 предполаrается, что f и g такие отобра
жения, для которых определена суперпозиция f о у.
4.25. Пусть f, g: Х ..............- инъективные функции. Обязатель
но ли инъективна функция h, если:
1
111
1'1
4.26. Пусть /, g: Х ............... JR сюръективные функции. Обязана
ли быть сюръективной функция h, если:
1) h=f+g;
2) h == f . g;
3) h = f ?
9
4.34. Опроверrните следующие утверждения:
1) если f о 9 инъекция, то f инъекция;
2) если f о 9 сюръекция, ТО 9 сюръекция;
З) если g инъекция, то f о 9 инъекция;
4) если f инъекция, то f о 9 инъекция.
1
1 "
I !
'1
1'1
l' ,
'1
1
1:
4.27. 10жет ли функция h из предыдущей задачи быть сюръек
тивной?
1
:!i 1
118
.... u
rлава 4. СВОИСТВА ФУНКЦИИ
4.35. Верны ли следующие утверждения:
1) если f, 9 инъективные функции, ТО f о 9 инъекция;
2) если /, g сюръективные функции, то f о 9 сюръекция;
З) если f сюръекция, ТО f о 9 сюръекция;
4) если f инъекция, 9 сюръекция, то [og сюръекция.
4.36*. Пусть f: Х У, g: У х. Докажите, что если одно
из отображений f о g, 9 о f инъективно, а друrое сюръективно,
то f и 9 биективны.
4.37. Пусть f: Х Х инъекция. Докажите, что если
f о f == f, то f тождественное отображение (то есть f(x) == х при
всех х Е Х).
4.38*. Пусть f: Х .............-+ У, g: У .............-т Z, h: Z Х отображе
ния. Докажите:
1) если f о h о У, 9 о f о h инъекции, а h о 9 о f сюръекция,
ТО f, g, h биекции;
2) если f о h о g, 9 о f о h сюръекции, а h о 9 о f инъекции,
то f, У, h биекции.
<>
<>
о
4.39. ПОЛОЖИI\1 f(x) == Х .sin(7rx). Будет ли функция f MOHOTOH
ной на JR? А на I\1ножествах А := {2п I n Е Z}, в == { 2n+ 1 , n Е 7l }?
4.40. Пусть <р( n) сумма делителей натуральноrо числа n.
Будет ли функция 'Р монотонна на N? Тот же вопрос про сужение
ер на l\лножество П всех простых чисел.
4.41. Докажите, что если функция f: IR JR CTporo возра
стает,ТО Е! :f [о; 1].
4.42. Пусть J, g: ]{ JR. Докажите. следующие утверждения:
1) если f, 9 возрастающие функции, то f + 9 возрастает;
2) если f убывающая, а 9 cTporo убывающая функции,
то f + 9 CTporo убывает;
3) если /, 9 неотрицательные возрастающие функции, то
функция f. 9 возрастающая;
4) если f, 9 неотрицательные убывающие ФУНКЦИИ, то f. 9
функция убывающая;
4.1. Ии'ЪеICТИВИОСТЬ, еюр'Ъе:кТИВНОСТЬ, биективностъ, МОНОТОННОСТЬ
119
I
5) если f, 9 неположительные возрастающие функции, то
f . g убываюm ая ФУНКЦИЯ.
4.43. Пусть /, g: Х IR монотонные функции Обязана ли
быть монотонной функция h, если:
1
1) h == g; 2) h =: ; 3) h == f + g; 4) h == f g;
9
5) h == f . g.
4.44. l\:10жет л и функция h из предыдущей задачи оказаться
l\10НОТОННОЙ? При каких условиях?
4.45. Выясните, является ли функция f возрастающей или
убывающей на множестве Х, если:
1) f( х) == sin х + 3х, ./\ == [о; 2];
2
2) f(x) == 2 X cosx, Х == [ 1,5; О];
3) f(x) == logl.1 х + х 2 2х, Х == [2; +(0);
4) лх) == (logt х) . cos х, Х == (о; 1);
5) f(x) == (In х) . ctg х, Х = ( ; k);
6) f(x)=(x lOO).(1rx 10) x2 4x, Х= [1; ]?
4.46 . Выясните, существует ли cTporo возрастающая функция
f и CTporo убывающая функция 9 с общей областью определения
и такие J что:
1) f + 9 CTporo возрастает; 2) f + 9 cTporo убывает;
З) f + 9 не является l\10НОТОННОЙ;
4) f о, У?: о и f. 9 убывает;
5) f о, 9 о и f. 9 возрастает;
6) f?: о, g? о и f. 9 не является l\10НОТОННОЙ;
7) f о, 9 о и f. 9 убывает;
8) f о, 9 о и '......... 9 не является МОНОТОННОЙ.
4.47. Докажите следуwщие утверждения.
1) Суперпозиция двуХ возрастающих фун:кций функция ВОЗ
растающая.
2) Суперпозиция двуХ убывающих ФУНКЦИЙ функция возрас
тающая.
1:11
!I
!I
1,
1'\
" 1
1')
\1 1 1
1'1 I
111
11:
I
lill
!i '
I
,
120
u u
rлава 4. СВОИСТВА функции
4.1. Ииъе:ктивность, СlOр .еЕТИDВОСТЬ, биективность, ЫОНОТОIOlОСТЬ
121
3) Суперпозиция двух функций, одна из которых возраста..
ющая функция, а друrая убывающая, является функцией
убывающей.
4.48. Выясните характер монотонности функции f на множе
стве Х, если:
1) f(x) == 21 x, Х == JR;
2) J(x) == sin (cos х), Х == [о; 3];
3) J(x) == sin(1 х 2 ), Х == (о; 1);
4) j(х)=siп 2 х+4siпх+З, X==rn.;
1
5 ) f( ) х == ( 371" .211" ] .
Х 2 ln cosx ' 2 ' ,
6) J(x) == sin 21 х 2 .ln(2 cos х); Х == [ 7r; О];
10 х 2
7) f( х) == , х == [2; 3];
х
х 2 + 5
8) f(x) == 21 x ' Х == [1; 3];
9) f (х) == sin з х СОВ 2 х, Х == [ ; ; 11"];
10) f(x) == 2 2х 2 х + 1 + 1, Х == ( oo; О).
2)
з . . . .
а
:l( ) = 'С:х.)
х.
О С f
а) Х == (о; 1]; б) Х == (0,9; 1,1).
4.50*. Пусть g( х) == х 2 И пусть f функция, rрафик которой
изображен на рисунке.
:lw:f(oc)
1,
1
;1
-.
4.49. Для пар функций f, У, rрафики которых изuбражены ни..
же, выясните характер монотонности суперпозип.ий f о У, g о f на
множестве Х.
1) Положим <р == 9 о f. Верно ЛИ, что <р монотонна на следую..
.ЩИХ интервалах:
1
, I
I
I
1
1
"
1)
...
40 .
а) ( з; 2);
б) ( 3; -:;-1);
в) ( 2; 1/2);
r) (о; 1)?
, ........
6" ...... .
4 ;
J
..
.
= f(x)
::. 9 (ж)
2) Положим r.p == f о g. Верно ЛИ, что <р монотонна на следу
ющих интервалах:
а) ( 2; 1);
б) ( 1; О);
в) ( 2; О);
r) ( 1; 1)?
111,11
'1: ,1
I!
::It.
4951 *. Для k Е N u {О} обозначим через Ak точку (k; k 2 ). По
ЛОЖИМ J(x) раВНЫI\/[ расстоянию ОТ точки (х; О) до Ak для k Ta
Koro, что х Е [k;' k + 1). Докажите, что f 'возрастает на множестве
[о; +00).
1I1
,11
I
2 3
о
.3
l'
а) Х == [3; 4];
б) Х = [2; З].
4.52*. Обозначим через Xk абсциссу точки Ak пересечения
прямой у = х и rрафика сужения функции у = tg х на интервал
(1rk, 1r(k + 1»). Положим 'rk равным расстоянию от Ak до прямой
х == 1r(k+l). Докажите, что функция f: k J-----.+ rk (f: Z ) убывает.
1
.1,
1
! I
1 I
111
,1
,1,
I!I
1 1 ' J
>,
I
122
v u
rлвва 4. СВОИСТВА ФУНRЦИИ
4.2. Обратная ФУНКЦИЯ
123
4.54. Докажите, что данная ФУНКЦИЯ имеет обратную, найдите
ее, укажите область определения обратной ФУНКЦИИ и постройте ее
rрафик:
1) у == зl х; 2) У == 111g(x + 2); З ) " 2Х
у :::: 2 Х + 1 ;
4) у == lo gx 1 О , . 5 ) 2 Х 1 2 х ) ( ,
у == ; 6 у == ln х V х 2 1 ) .
4.55. Найдите функцию, обратную к сужению Данной функции
на множество 1, и постройте ее rрафик:
1) у = х 2 , 1 = [ 5; 1]; 2) у = 1+2x x2, 1 == [2; 3];
3) у=х2+2х+з, I=J ; 100];
4) у = х 2 , 1 = [ 5; 4] u [1; 2]; 5) у = V 1 х 2 , 1 = [ 1; О];
6) у > y3 х 2 + 2х + 2, 1 = [1; З];
4.2. Обратная фУНКЦИЯ
Пусть f: Х.......-......+ У. Попробуем сопоставить каждому у Е У Ta
кой х Е Х, что f(x) == у. Если f не сюръективно, то для некоторых
у Е У такой х Е Х не существует. Если f не :ннъективно, ТО дЛЯ не..
которых у Е У такой х Е Х не единственен. Если же f биективно
отображает Х на У, ТО сформулированное правило сопоставления
задает некоторое отображение g: У............-+ Х; ОНО назыIаетсяя обрат
ным к f. При ЭТОМ и f обратное к g, поатому про такие f и g
rоворят, что они взаимно обратны. Обозначение: 9 = f l, f == g l.
Отображение, Иl\'Iеющее обратное, называется обратимым. Ta
КИl\1 образом, обратимость отображения f: Х у эквивалентна
ero биективности.
Для произвольноrо множества А через id A будем обозна.чать
тождественное отображение А на А, Т.е. idA(a) = а ПРIf любом
а Е А. Два отображения f: Х.......-......+ У и g: У -----------40 Х являются Бза..
ИМНО обраТНЫl\1И тоrда и только тоrда, коrда /оу == id y и уо! == idx .
Для заданноrо отображения ': Х..............- У, ero nравы..м обратным Ha
зывается любое такое отображение у: У --------------+ ,",У, ЧIО f о 9 = idy,
а .левЫАt обратным любое такое отображение g: У Х, что
g о f == idx .
Встречаются ситуации, при которых для рассматриваемоrо
отображения f: Х у "область прибытия" У не указана явно.
НаПРИl\lер, для вещественной функции под У всеrДа можно ПОНИ
1\1aTb JR, но часто удобно ПОД У ПОНИl\1ать, например, множество
Е! (или любое множество, содержащее Ej). Во всех задачах это
ro параrрафа, в которых множество У не указано явно, считается,
что У == Ej, Т.е. f рассматривается как отображение из п! на
Е} (Tel\I CaI\1bIM, сюръективность имеется автоматически). Тоrда
обратимость становится вквивалентной инъективности (и, для Be
щественных ФУНКЦИЙ, обеспечивается, например, строrой MOHOTOH
ностью ).
*
*
*
4.53. На рисунках изображены rрафики ФУНКЦИЙ. Какие из
8ТИХ функций имеют обратные? Для функций, имеющих обратные,
нарисуйте rрафики обратных функций.
1)
:r
2)
о
х
о
\
\.
aIIII. ...... --.:r. ч-- ....-,rr.,
"4
11:
З)
2 ... . · . . ..
.
4)
1 ........ .
х
I
l' '
I
:)t.
....1
о
1
2.
5)
6)
, ....
... .. l1l:I.. . .
.
,
, "...е.
11 ,-
I
I! :
.
011'.. .....
":)(.
.
...,
1
[1'
'1
"11
... 111. ... . ..
. .. ,... . .. . .. .. ..
1,
! 1
l'
, I
I '
,, (
1 1.
111
1
" I
J ,
1
: II
124
v ....
rлава 4. СВОИСТВА ФУНКЦИИ
4.2. Обратная ФУIПЩИJI
125
2
1 == JR.
3)
е Х + e X
7) у = 2 ,1 = ( oo; О);
8) у ==
е Х e X
4.56*. Найдите ФУНКЦИЮ, обратную к сужению данной триrоно
метрической функции на промежуток 1, и постройте ее rрафик:
1) у == sinx, 1 == [ ; ; 3; ] ; 2) у = cos(x + 2), l == [ 2; 7r 2];
3) y==sinx, 1== [ 5 2 11" ;37r]; 4) у==соs(х+З), I=[ 10; 9,9];
5) у == sin 2х, 1 == [5; 5,2]; 6) у == cos(2x + 1), 1:::: [ ,1; 3]
...2., t\
:,
. '
. ',. ......... -- '1,
\2,
:;)с.
4.57*. 'Найдите функцию, обратную к сужению данной ФУНКЦИИ
на промеЖУТQК 1:
1) у == 2 sin х, 1 == [ ; ; ; ] ;
З) у == 1 2 sin х, 1 == [ ; ; 3211" ];
5) у == COS 2 Х , 1 == [ ; ; 1("] ;
7) у == СОВ Х + sin х, 1 == [ ; з; ] ;
8) у. == cos х sin х , 1 == [ ; ];
9) у == 2 sin( х + 1) 1, 1 == [ ; 1; 7r 1] ;
10) у == 2COS X , 1 == [7r; 3; ]
2) у == cos х, 1 == [о; 7r];
4) у == С0 8 2 х, 1 == [о; ; ] ;
6) у == V sin х, 1 == [ ; ; 11"] ;
4.59. Выделите l\lаКСИl\1аЛьные ПрОl\1ежутки, сужение функции f
на которые Иl\Iеет обратную функцию; найдите функции, обратные
к сужениям f на 8ТН промежутки:
1) f(x) == (х 1)2; 2) f(x) == Ixl; З) f(x) = x2 + 2х 3.
,
4) f ( х) == v' 1 х 2 ; 5) f ( х) == 2 Х 2 ; 6) f ( х) = (1 х, 1) 2 ;
7) f(x) == In(l х 2 ); 8) f(x) == sinx; 9) f(x) == sinx 2 .
4.60. Найдите все значения параметра а, при которых ФУНКЦИЯ
9 является обратной к функции f на :м:ножестве Х:
1) J(x) == ах, у(х) == (а +oo )x, х == 1R;
2 ) '( х ) 1 1
, g(x) , X== \ { a'a } '
x a х+а ' ,
3) J(x) == (х а)2, g(x) == 2а + 1 VX, х == ( oo; а).
4.61 *. Верны ли следующие утверждения:
1) За 3Ь: f ( x ) == 1 ( ) 1
а х и g х == х + ь взаимно обратны;
11
4.58. Выделите наибольшие промежутки, сужение ФУНКЦИИ f
на которые имеет обратную функцию; для каждоrо из этих проме
ЖУТКОБ нарисуйте rрафик функции, обратной к сужению f; найдите
область определения и множество значений обратной функции:
1) 2)
2) 'r/ а 3Ь: f( х) == 1 1
и g(x)== +b БзаИl\IНО обратны;
х+а х
3) За \/Ь -# О а
'(х) = x и g(x) == bx взаимно обратны;
Ь
1 ')с. а
ае 4) Уа УЬ f(x) == а
-.& о х+Ь и g(x)=: b взаИI\'lНО обратны?
х
О О О
1,1
! l'
'1
11'
1111
1,
'1
4.62. Докажите, что если функция f CTporo возрастает на Х
и f(X) == У, ТО ФУНКЦИЯ f l CTporo возрастает на У.
4.63. Докажите, что если ФУНКЦИЯ f обратима, то и f l обра
Тима, причем (f 1 ) 1 == f
1
, I
11
'
i i
I
I1
1
3) f: [ 1; О] U (1; 2) [о; 4J, f(x) = х 2 ;
4) f: [ 1; О] U [1; 2] [о; 4], f (:t\) = х 2 ;
5) f. [О, 71"] [о; 1J, f(x) == sin х; \
6) f: [ о; ; ] [ 1; 1], f ( х) = sin х;
7) f: [о; ; ] u [7r; 3 2 11" ] [ l' 1 ] J(x) .
" Sln х ;
8) f: [ о; 11" 2 ] u [ 21r' 57r ] [О " 1] f( ) .
, 2 " Х == Sln Х'
9) f: [ О. 1 ] [ 71" . 7r ] f( ) . '
, 2' 2", х == arCSln х;
10) f: [о; 1] [о; 1], J(x) == {х}.
фун * Начертите rрафик правой обратной и левой обратной
случае их существования; в случае н
П р иве дите по два П ееДинственности
римера:
126
"" u
rпaвa 4. СВОИСТВА ФУНКЦИИ
4.2. Обрат ал фУ JПйtpА'
4.64. Пусть f и 9 инъективны, причем суперпозиция g о f
существует. Докажите, что f l о y 1 = (g о f) l.
4.65. Верно ли, что для любых обратимых функций f и g,
определенных на , выполнено равенство (! + g) l := f l + g l ?
4.66. Верно ЛИ, что дЛЯ всякой обратимой функции выполняет
ся равенство f l о f == f о f l ?
<>
<:;
о
4.67*. Верно ЛИ, что если 1;1 и f, l существуют, то
f 1 f 1 ?
r 1 .
4.68*. Верно ЛИ, что в случае CBoero существования функции
1;1, fl l единственны?
4.69*. Пусть f: Х у произвольное отображение. ДOKa
жите утверждения:
1) / имеет правую обратную функцию тоrда и толы{о тоrДа,
коrда f сюръективна; для единственности fr l необходимо
и достаточно, чтобы f была инъективна;
2) f Иl\Iеет левую обратную функцию тоrда и только тоrда,
коrда f инъективна; для единственности f, l необходима
и достаточна сюръективность f;
3) если f биективна и у == Х, то правая обратная и левая
обратная функции к f существуют и единственны, при атом
f l f l f l
r 1 .
1)
2)
х == ( 4; О],
У = [о; 2];
2-
Х == [о; 2],
У := [ 1; 4];
4)
127
З)
1,
1
1'. ......
.
'х.
)с,
1 '
1
"'1 1 2
Х == [ 1; 2],
У == [о; 4];
1 :
1
11
I
11
5)
'.'. ::: :'.':(
. 1
4.70*. Ответьте на вопросы о существовании и единственности
npaBoro и левоrо обратноrо ДЛЯ каждоrо из следующих отображе
ний; в случае существования приведите пример TaKoro отображе
ния, в случае неединственности два:
1) f: {о; 1; 2} {о; 1}, /(0) == 1(1) = 1, f(2) == о;
2) f: {о; 1; 2} {о; 1; 2; 3}, f(x) == х + 1;
3) f: {о; 1; 2} {о; 1; 2}, f(O) = 2, 1(1):= 1, f(2):= О.
:If
1
]
, I
1111
1'11
11
,
х
l'
"'4
I
.1
,) :
х == [ 2; 1],
У == [о; 4];
х == [ 4; 2] U (1; 2),
У == [1; 4);
4.71 *. Ответьте на вопросы предыдущеrо упражнения для сле
ДУЮЩИХ функций:
1) f: [ 1; О] [о; 2], f(x) == х 2 ;
2) f: [ 1; О] [о; 1], J(x) == х 2 ;
...."
о
f 1.
, 1
1 j I
1, ,
1 f
1:1
1
1 '1
i
i
11 :1
I
1
1 i
! 11'
128
..., u
r.лава 4 СВОИСТВА ФУНКЦИИ
4.2. Обратная фушщия
129
'i-
6) 7) 8)
2
f
::с
2, ое.
"'1, О
.--2t О 1 :k "'1. О
Х == ( 2; 1], Х == [ 2; 2], Х == [ 2; О],
У == [о; 2]; У := [о; 2]; У == [о; 2];
't
10) 2
9)
..
1 · · · .. Уа .
.
. х.
. .
се. . .
4.73*.. Среди данных функций найдите пары "функция правая
обратная к ней", "функция левая обратная к ней\
1) .e." ..80 2) И '1
4
')t.
_.....1110..
CI
.
..
.
....4
о
.
.
.
.
е 1It.
4
о
t
..,
.3 ..............."
....
о
х.
4
11)
....2"..( 1
Х == [ 2; 1] U [о; 1],
У == [о; 2];
'1
'3L
"'1. ()
х == [ 2; О),
У == [о; 1];
"'4
5)
о
... .. iIII... .. ,. '1' ..
6)
о
х
1
'1
, ,
о
:х:.
12)
а.
ха
13)
14)
"'2, о
Х == ( 2; О],
У == [о; 2];
2,
: . ....
t
"'4 ... 1..
"4
....1 О 1
Х == [ 1; 1],
У == [о; 2];
7)
8)
':)с.
'11
:JC.
()
о
.
... 4 ".... ..
.. о
х == [ 2; 2],
У == [о; 2];
'Зt.
о
(>
(>
х == [ ; ] ,
у == [о; ] u [ ; 2] .
4.74.. Приведите ПрИI\Iер такой ФУНКЦИИ f, определенной на n:k;
что для Функции сдвиrа g(x) == х 1 выполняется:
1) (fog) l==f; 2) (gof) l=f.
130
u
r.пава 4. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
4.2. ОбраТНaJI фушщия
131
те что если функция f, определенная на IR обра
4.75. Докажи , / f f то f есть тождественное
тима и удовлетворяет условию о ,
отображение.
) сли ЭТО ВОЗМОЖНО, ФУНК
4. 76. Доопределите (аналитически , е ....
б . й фу нкции 9 определенной на JR, и таКQИ, что
цию f до о ратимо ,
1.
9 = 9 .
1) f(x) = 2х, х >.100;
З) f(x) = x2, Х > о;
5) f(x):= х, Х > 1, / :f: id R ;
7) f( х) = е Х , х < о;
f ( Р а ф ически) если возможно,
4.77*. Доопределите функцию ' .... 1.
до обратимой функции У, определеннои на IR и такои, ЧТО 9 9
V
7)
't
,
"
+
, '".
2) '(х) = 2x, х > о;
4) ,(x)== x2, х<о;
1
6) f(x) = , х < о;
х
8) f (х) := sin х, х Е [ ; ; 7r] .
8)
2. ..,...................L....... ....... ...
I
, ,
." /
1
.,.:
2.
ot.
,
I
I
4 ............ ,..... .... ...... ..... ..... ........
I
I
'х
4 Х
4.78. Пусть !а(Х) = log4 4 ' а i= о. Найдите все значения
Х+а
а, при которых ФУНКЦИЯ /;;1, обратная к !а, совпадает с 'а.
4.79*. Приведите пример обратимой функции f: 1R ............... IR, Ta
КОЙ, ЧТО f(n) #- n ни при каком n E:N и f l = f.
4.80*. Приведите пример обратимой функции f: Q Q Ta
:КОЙ, что J(x):f х ни при каком х Е Q и f l == f.
4..81 *. Пусть f инъективная ФУНКЦИЯ. Докажите, что ВЫПОЛ
нение условия DJ n Е! =: QJ достаточно для TOI'O, чтобы f можно
было доопределить до функции и: 1R 1R такой, что y 1 = у.
4.82*. Пусть f инъективная ФУНКЦИЯ. Докажите, что BЫ
полнение условия х Е Dj n Е! ::::} J(x) == х достаточно для Toro,
чтобы ! можно было доопределить до функции g: ffi( ffi( такой,
что g l = у. Является ли ЭТО условие необходимым?
4.83*.. Приведите пример обратимой ФУНКЦИИ f, не являющей
СЯ тождественной, удовлетворяющей условию f о f == f l, И такой,
что: 1) Df == {О, 1, 2 }; 2) Df == JR.
1':
IJ,:
\.1
I
'!I!
1
1)
2)
1...................)
t
..
t ..... ... .
.
.
.
.
о 4
3)
4)
1I
1
I
11
о
о
1 I
.
4.84*. Приведите пример функции f, не являющейся тожде
ственной и такой, что: 1) f о f о f = f; 2) f о f о f о f == f.
4.85*. Существует ли обратимая функция f : IR т., удовле
ТВОРЯlощая функциональному уравнеНИIО:
..1.
.1
5)
6)
1
, 1
1
'! 1:
. ......... ..
ж"
1) J(x) == f(2x);
З) ( )f(x) == f(x);
5) f(sinx) == sinf(x), f 1=- id JЖ ;
7) f(x 1) + [(х) == f(x + 1);
2) J(x)::= f(x + 1);
4) f(sin х) == f( cos х);
6) f(x) = 2f(x 1);
8) f(x 2 ) = f2(X), f i- idrre.?
I
1
11,'
111'11
..
о 1
2
l
132
..., '-'
rлава 4. СВОИСТВА ФУНКЦИИ
4.3. Равносильные преобразовaJПJЯ уравнеНИЙ инеравенств
133
*
*
*
ж) условие у(х) < О является необходимым и достаточным
1
для выполнения условия Ixl < 2 '
З) h( х) = 1 х 2 :
а) из неравенства х 2 4 < О следует неравенство h(x) > О'
б) неравеНСТБО х 2 4 < О является следствием HepaBeHCTB
It(x) >0;
В ) неравеНСТЕО h ( x ) < О
является следствием неравенства
2х 1 > о;
r) из неравенства h( х) < о следует неравеНСТБО 2х 1 > О.
д) неравенство h(x) > О равносильно HepaBeHCTB
(1 х)3(l + х)5 > о;
е) неравеНСТБО h(x) > О
(1 x)4(1+x) > о;
ж) неравеНСТБО h(x) > О является следствием неравенства
х 2 + 2х + 2 > О.
,
з) неравеНСТБО х 2 + 2х + 2 > О является следствием Hepa
венства h(x) > о;
и) неравенство h(x) < О следует
sin х 2 > о.
,
к) из неравенства
sin х 2 > о.
4) <р(х) == log (2 х):
а) если 2 х > 1, то <р(х) > о;
б) если 2х 1 < 1, то ср(х) > о;
в) если О < 2х 1 < 1, то )о(х) > о;
r) если 'Р( х) > О, то 2 х < 1;
д) если <р(х) > О, то 2 х > о;
е) из неравенства х 2 < О следует неравенство SO{x) > о;
ж) неравеНСТБО <р(х) > о равносильно неравенству
, Х ! f < 1.
2 2'
з) ДЛЯ Toro чтобы SO(x) > О, необходимо и достаточно, ЧТО
бы (х l)(х 2) < о;
и) неравеНСТБQ <р( х) < о является достаточным для HepaBeH
ства х 3 < о;
к) для выполнения неравенства ,;,(х) < О достаточно ВЫПОЛ"
нение неравенства х 3 < О.
,
л) неравеНСТБО <р(х) < О I-Iеобходимо для выполнения Hepa
венства' х + 1 < о;
11
4.3. Равносильные преобраЗQванил
u
уравнении и неравенств
Числовые уравнения и неравенства представляют собою част
ные случаи предикатов. Область определения уравнения (так же
как и HepaBeHcTJ?a) есть пересечение областей определения левой и
правой ero частей. Решить уравнение или неравеНСТЕО это значит
найти область ero истинности. Один из путей решения уравнения
или неравенства состоит в TOl\.I, что ато уравнение или неравеНСТЕО
последовательно заменяется равносильными ему предикатами все
более простоrо вида.
равносильно
неравенству
4.86. Среди следующих высказываний о функциях f, g, h, 'Р
укажите верные.
1) f(x) = (х + l)(х 3) :
а) если х 3 > О, ТО f(x) > о;
б) если 2х 1 > О, ТО f( х) > о;
в) из неравенства х 4 > О следует неравенство f(x) > о;
r) если x 3 > О, ТО f(x) > о;
д) неравеНСТБО f(x) < О следует из неравенства Ixl < 1;
е) из неравенства Ixl> 2 следует нераВ€НСТБО f(x) > о;
ж) если (хl > 4, то f(x) > о;
з) неравеНСТБО f(x) > О является слеДСТВИ€1\1 неравенства
х 2 9 > о; ,
и) если f(x) > О, ТО Х < 1;
к) если f(x) < О, то Ixl < 3;
л) неравеНСТБО Ixl < 1 является следствием неравенства
f(x) < О.
2) g(x):= х 2 :
а) если х 1 > о, то g(x) > о;
б) если 1 2х > О, то у(х) > о;
в) для Toro чтобы у(х) > о, достаточно, чтобы х + < о;
r) для Toro чтобы у(х) > О, необходи:rvl0, чтобы х + < о;
д) условие у(х) > О необходимо, ДЛЯ Toro, чтобы (х( > 1;
е) условие g(x) > О является достаТОЧНЫ1\1 для выполнения
условия Ixl> 1;
из
неравенства
1
;1
11
11
111 :
I
11
1 !I
h(x) < О
следует
неравеНСТБО
' I
11 1
Illt l
i l '
, I
I I
, "
1'11
1;: : 1 \
1 \
1
!I
l'
,6
1
11"
,
j'
I
134
u ..,
rлава 4. .рВОИСТВА ФУНКЦИИ
4.3. Равносильные преобраэоваиил уравнеНИЙ инеравенств
135
м) для выполнения неравества ср(х) < О необходимо ВЫПОЛ
нение неравенства х + 1 < о.
4.87. Для каждой пары уравнений (1) и (2) IJIJI.fIсните, верно ЛИ,
что ( 1) => (2), ( 2) => (1), ( 1) {::> (2):
(1) (2)
х 3 = 5х 4;
(1) (2)
20) log2 (х(х + 9») + log2 х+9 := О, 2log 2 {x + 9) == о;
х
21) х 2 := 2 Х + 1 , 2ln х == (х + 1) ln 2;
22) х 3 == 3 Х , 31nx==xln3;
23) х+З:=7 х, lo(x + 3) == In(7 х);
24) х 6 == 8 2х, ln(x 6) := ln(8 2х);
25) arcsin х == 1, х = sin 1;
26) arcsin х = 3, х == sin 3;
27) arcsin sin х == 1, х == 1;
28) . . 1 Х 1
Sln arCSln Х == "2' 2"'
1 !
х + 6 == 3х;
11
111
11
11
11
2 1
1) х Зх + х2 Зх + 2
2) х + 6 + 10 х == 3х + ln х,
1
3) х + log2 х + log2 == 1,
х
1 2,
х 2 3х + 2
х 2 Зх == 2;
х = 1;
I:!
) (х 1)2(х + 1) О
4 ,
x l
5) (х 3)(х + 1) = (5х 4)(х + 1),
6) е 2Х =(1+х)2,
7) х 2 + 2х + 1 == 4,
8) x2==(2x 1)2,
9) (x 4)3= x6,
10) ylx 2 1 == 1,
11) -JX == yl 2x+ 1,
12) yl l х :::: $,
13) YtX == {/2 х + 1,
14) log2(x + 2) = log2(3 х),
15) ln( е 2Х + 1) == ln( е Х + 2),
16) ln(x + 1) == ln(2x + 3),
17) In(x+l)+ln(2 x) == О,
18) logx(2x + 3) == 1,
19) log(x+2)2(2x 1)2 == О,
(х l)(х + 1) == о;
1:: '
е Х = 1 + Х;
4..88. Для каждой пары неравенств (1) и (2) выясните, верно ли,
что (1) (2), (2) => (1), (1) {:} (2):
(1) (2)
1 1
1) x+3 <2
х+7 х+7'
1 1
2) 2х 3 < х 4
x 5 x 5'
х + з < 2;
1 1'
11
I{
х + 1 == 2;
х == 2х 1;
x 4==x2;
х 2 1 == 1;
х == 2х + 1;
1 х == 2х;
х == 2х + 1;
х+2=З х;
е 2Х + 1 = е Х + 2;
2х 3 < х 4;
I I
I
I
3) 5х 6 + JX < 3х + JX,
4) х ln(l х 2 ) 2х + 3 ln(l х 2 ),
5) 6х + ln(l х) < 6 + In(1 х),
5х 6 < 3х;
1 l'
I !
,1
11
l'
; I
'1
х 2х + 3;
6х < 6;
х + 1 == 2х + 3;
6) x 3
1 > 1,
х+
7) x 2
2 1 < 1,
х +
8) х+3
. < 1,
Sln х 2
9) х 2 + 1
х 1 > 1,
х 3 > х + 1;
x 2<x2+1;
ln (х + 1)(2 х)) == о;
'!II
1111
х == 2х + 3;
х + з > sin х 2;
logx+2(2x 1) == о;
х 2 + 1 > х 1;
1111:
11
111 ':;
I 1
'!II
J
136
(1)
х 2 + 1 < 1
10) х + 1
11) 1. < 2,
x 3
1
12) > 3,
2 x
13) х 2 х,
14) х 4 х 2 ,
15) х 4 > х 2 , -
16) J(x 4)2(х + 1) > О,
11) J(x 4)2(х + 1) О,
18) J (x + 4)2(х + 1) О,
19) .JX < х+ 1,
20) .JX>x +l,
21) .JX < y'l 2х ,
22) .JX > y' l 2х,
23) JX < х 2 + 1,
24) .JX>x 2 +1,
25) \/ х 1 > \/2 5х,
26) (х + 2)3 > (1 зх)3,
27) (х 1)2 > (2 х)2,
'28) (х 2 + 1)2 > (1 х)2,
29) (х 2 + 1)2 < (1 х)2,
30) ln(x 3) > 2,
31) ln(x 3) < 1,
u
rл.ава 4. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
4.3. Равносильные преобразоваиил: уравнеНИЙ и неравеиств
137
(2)
(1)
32) logl(x 3) > logl(1 х),
2 2
х 3 < 1 Х;
(2)
х 2 + 1 < х + 1;
33) log2 х 2 2,
34) log2(1 х) + log2(1 + х) 3,
35) х 2 + 1 > 2х,
36) х < 2х 1,
38) sin х > ,
39) arcsin х > 1,
40) sin(x 1) > sin(2 х),
1
J'
I!
I
х 2 > 1;
log2 Х 1;
log2(1 х 2 ) 3;
In(x 2 + 1) > ln(2x);
ln х < In(2x 1);
. 1
х > arCSln 2 ;
х > sin 1;
1
:1
:1
1
X 3> 2 ;
1
2 x< 3 ;
11
х 1;
Х 2 1.
/" ,
x 1>2 x.
х + 1 > о;
х + 1 о;
4.89. Приведите ПрИl\Iеры таких функций f и g, чтобы преди
каты (1) и (2):
х + 1 о;
х«х+l)2;
х > (х + 1)2;
а) не были равносильными,
б) были раВНОСИЛЬНЫ1\IИ.
(2)
I
111
(1)
1) J(x) == О
у(х) ,
2) f(x). 2 g (x) == О,
3) f(x) Vg (x) == о,
х < 1 2х;
х > 1 2х;
х < (х 2 + 1)2;
Х > (х 2 + 1)2;
Х 1 > 2 5х;
х + 2 > 1 3х;
J(x) == о;
j(x) ==0;
[ !(Х)::::О
g(x) == о;
[ !с х )=:0
g(x) == 1;
[ f(x) == о
3k Е 2: g(x) == k7r.
, ,
111
" I
1
I II
i I
' 1 1'
J':
4) f ( х) . 19 9 ( х) == О,
l'
I
j ,
х 1 > 2 х;
х 2 + 1 > 1 х;
х 2 + 1 < 1 х;
x 3>e2;
5) f (х) . sin 9 ( х) == О,
I
,:
, [1
х 3 < е;
4.90. Вставьте вместо. .. такой предикат, чтобы при любых f
и 9 выполнялось:
1) J(x) == g(x) {::} {P(x . . g2(X
"
111
I
.
g(x) о
f2 (х) g2 (х)
( 2 ) из пражнения 4.89 исправьте
4.91 Каждый из преДJrIкатов б у юбых вещественнЫХ
) ак что ы при л
(добавьте нужные условия т ( 1 ) ( 2 )
нкuиях f И 9 ВЫПОЛНRЛОСЬ <=} .
фу тверждений приведите при
4.92. Для каждоrо из следующих У оказалосЬ истинным:
f чтобы это утверждение
мер такоИ функции, . 2 f(x). х == О {:} х =: 1;
1) Лх).х=:О {:} x O, )
[ х == 1 4) f ( х) . 19 х == О {:} х == ;
3) f(x) v x + 1 = О х == 3;
[ Х ;
6) f(x). sin х = О {::} х = п;
5) f(x) .sinx == О {:} х = о;
7) f( ) =0 {::} sinf(x) = О, причем Df = JFl.
х б и любых
вставьте такой предикат, что ы пр
4.93. BI\1eCTO ..'
f и 9 выполнялось:
{ f( Х . ) . . > О ;
1) f(x) J g(x) > О
{ f(x) О
g(x) > О
{g( . о
{ f(X . ) . . > О
3) f(x). g(x)2 > О {:}
{ Л :. О
{g( . о
летворЯ Ь функция
4.94. КакиМ УСЛОВИЯl',Л должна УДОВ
Toro, чтобы:
1) f(x) vx 3 > О f(x) > о;
138
2) f(x) g(x) {:}
{:>
2) f(x) Jg(x) > О {::}
4) f(x). у(х)2 О {:>
u
rлава 4. сВОЙСТВА фунКЦИИ
4.3. равноси.ш..ныe преобразоваиия уравнеНИЙ инеравенств
139
v
2) J(x) vx 3 > о <= f(x) > о;
3) f(x) -Jx 3 > о =* f(x) о;
4) J(x) v x 3 > о f(x) О?
v
f(x) > о
у(х) < О
g(x) о
f2 ( х) g 2 ( Х )
4.95. Пусть (1)' ОДНО из написанных ниже уравнений, а (2)
уравнение ах = 1. Про каждое из уравений (1) выясните, при каких
значениях а выполняется (1) => (2), (2) => (1), (1) <=> (2):
1 1 1 1
1) ах + 2 == 1 + 2 ; 2) ах + == 1 + ;
x x х х
3) ах + log2 Х = 1 + log2 х; 4) ах 1
.
x 2 х 2'
5) axlgx=lgx; 6) ах 1
19x 19 х ,
7) ах у х 3 = v х з; 8) ах 1
vх з V X з'
9) . . 10) ах 1
ах Slll Х = Sln х;
cosx СОБ Х
tl
11:
j
4.96. СфОрl\lулируйте ВОЗl\iОЖНQ полный ответ На вопрос о TOl\l,
что 1\10жет произойти с RОрНЯl\IИ уравнения, если с обеими ero ча
СТЯl\IИ проделать след ующее:
1) прибавить J (x 3)(х 8);
2) Уl\r1НОЖИТЬ на J (x З)(х 8);
З) прибавить log2(x 2 3); 4) Уl\lНОЖИТЬ на Iog 2 (x 2 3);
5) прибавить arcsin( х + 1); 6) У1\IНОЖИТЬ на sin Х;
7) пропотенцировать по Основанию 2 (т.е. ПрИl\lенить ФУНК
цИЮ t 2 Х );
8) пролоrарИфl\Iировать по основанию 2;
9) возвести в куб; 10) возвести в квадрат;
11) ПрИl\fенить функцию cos; 12) применить функцию ctg.
1
:11'
1[1
!
, J
,il!
ll'
II111
"
1:1
I
11
! 11
, 1
t!i
f для
4.97*. Рассмотрим два уравнения:
J(x) == у(х)
f(x) + у х + 1 == g(x) + у х + 1
, I
(1 ),
(2).
1) Докажите: для любых f и g истинно: (2):::} (1).
2) Приведите пример таких функций f и g, что (1) #? (2).
, 1:1
11
\
: I
140
u ..,
rпaвa 4. СВОИСТВА ФУНКЦИИ
4.3. Равносильные преобразовaн:и.s: уравнеНИЙ и неравенств
3) Докажите: для TorO чтобы (1) :::} (2), достаточно, чтобы
DJ С [ 1; +00)
4) Опроверrните: для TorO чтобы (1):::} (2), необходимо, что
бы Dj С [ l; +00).
5) Докажите: для Toro чтобы (1) {:} (2), необходимо и ДOCTa
точно, чтобы Vx Е (DJ n ( oo; l): f(x) =1 g(x).
4.98*. Рассмотрим два уравнения:
f(x) = 1 (1),
[(х) у 1 х 2 == у l х 2 (2).
1) Приведите пример такой ФУНКЦИИ f, что (1):р. (2).
2) Приведите пример такой ФУНКЦИИ f, что (2):р. (1).
3) Правда ли, что если Dj С \ { 1; 1}, то (2) => (1)?
4) Пусть f(x) == ах 2 . При каких а (1) {:} (2)?
4.99*. Рассмотрим два уравнения:
J(x) == О (1),
f(x) +tgx == tgx (2).
1) Докажите: (1) {= (2), какова бы ни была функция f.
2) Приведите примеры таких функций f, что (1) <=> (2) и при
l\lepbI таких функций, что (1) </=t (2).
З) Докажите: для для Toro чтобы (1) {::} (2), достаточно, что
бы Dj С (О, ; ). ::
4) Опроверrните: для Toro чтобы (1) {:} (2), необходимо, ЧТО
бы + k7r ft Dj при всех k Е 7Z.
5) Докажите: для Toro чтобы (1) <=> (2), необходимо и ДOCTa
ТОЧНО, чтобы Vk Е lZ: f ( ; + k7r) i= О v + k7r rf- DJ.
4.100*. Рассмотрим два уравнения:
f(x) == 3
J(x) 19 х == 3lgx
1) Опроверrните: для Toro чтобы
бы DJ С (о; +(0).
2) Опров.ерrните: для Toro чтобы (1) {:} (2), достаточно, ЧТО
бы все корни уравнения (1) были положительными.
3) Опроверrните: для Toro чтобы (1) {:::} (2), необходимо, ЧТО
бы число 1 было корнем уравнения (1).
4) Правда ли: для Toro чтобы (1) => (2), необходимо, чтобы
число 1 не было корнем уравнения (1)?
5) Правда ли: для Toro чтобы (1) (2), достаточно, чтобы
DJ С (о; +оо)?
6) ПРИДУl\'1айте условие, необходимое и достаточное для Toro,
чтобы (1) =} (2).
7) Докажите: для Toro чтобы (1) (2), достаточно, чтобы
1 Dj.
8) Докажите: для Toro чтобы (1) <= (2), необходимо и ДOCTa
точно, чтобы либо 1(1) == З, либо 1 r/:. Dj.
9) Докажите: для Toro чтобы (1) {:} (2), достаточно, чтобы
DJ С [2; +00).
10) Пусть 1\11 И Лf 2 I\fножества корней уравнений (1) и (2)
соответственно. Докажите:
]а.;[2 == (Лl 1 n (о; +(0») U (Dj n { 1 }).
11 ) Сформулируйте какое нибу дь неоБХОДИl\10е и достаточное
условие для Toro, чтобы (1) {:> (2).
4.101 *. Ответьте на аналоrичные вопросы про уравнения:
f(x) у(х)
1) J(x) == у(х) (1) и -Jx + 1 VX + 1 (2);
2) J(x) == у(х) (1) и лх) у(х) (2).
tg х tg х
4.102*. Пусть f числовая функция, а, Ь Е 1R, а Ь. Обозна
чим через Р множество решений уравнения
(1) f(x) == О,
а через Qa,b множество решений уравнения
(2) V (x а)(Ь x)f(x) == о.
1) Докажите, что Qa , b => Р n [а; Ь].
2) Приведите ПрИl\lер таких f, а и Ь, что О Е Qa,b \ Р.
3) Опроверrните утверждение: Vf За, Ь: (1) (2).
4) Бывает ли так, чтобы (1) {::> х = О и (2) {::} х == 2?
5) Сформулируйте ВОЗl\ЛОЖНО более полный ответ на вопрос:
при каких условиях и как изменяется множество решений
при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) (:какие Kop
" "
ни исчезают, какие лишние корни появляются, коrда ото
происходит).
(1 ),
(2) .
(1) {::} (2), необходимо, что..
141
1 1 1
I
I
1I111
i)
':\
I:!
\111
II
p.1
I
1 !j'
I I '\[
! ':1
1:'
11
11
'11
1 1 1 1
I!
1,1
111t:
I
1
1')1
1 1 ,
1:1
: 111
: ',
:11'1
I r,'!
-1 1
11
I1
1111
1 ;
1
142
...... '-"
rлава 4. СВОИСТВА функции
4.3. РавИОСИJILИLIе преобразоваиия уравнеНИЙ и неравеИСТD
4.103*. Укажите какое ниб удь з начение буквы а, при котором
ах ух 3 у х 3 =j:? ах 1.
4.4. Инвариантные пре,циRаты и множества
4.104*. Укажите какое"нибудь значение параметра а, при КО..
тором
Пусть А С JR. rоворят, что А сим.лtетрu'Ч'ttо относительно
н,а-чала к:оординаm, если для каждоrо х Е А точка x также
принадлежит А. Будем rОБОрИТЬ., что l\lножество А сим.меmрu'Ч'Но
отNосumель1tо а Е Х, если для каждоrо х Е...4 точка 2а х также
принадлежит А. 1VIножество А назовем nерuод1LЧ1lьt.м с nериодОА!
Ь (Ь Е IR), если для каждоrо х Е А имееl\f x::f: Ь Е А. Понятия СИМ
l\1етричноrо множества и периодичноrо l\Iножества являются част
НЫl\IИ видаl\fИ сл€дующеrо более общеrо понятия.
Пусть .L'\ l\1ножество, Т преобразование множества Х
(T e. отображение l\lножества Х в себя Т: Х \), А С х.
l\'Iножество ...4 называется utteapuaитHlJlAl отиосите.ль'Но nреобра..
зованuя Т, если Т(А) == A В частности, ПУСТ!;> Х == 1R; если
Т(х) == x, то инвариантность множества А относительно преобра
зования Т означает СИМl\.iетричность А относительно начала KOOp
динат, если Т(х) == 2а х, то симметричность А относительно
а, а если Т(х) :::: Х + ь периодичность l\lножества А с перИОДОl\1
Ь
ax v x 3 ух 3 1== ах 1.
4.105*. Найдите в се та кие знач ения а, что
ax v x 3 у х 3 <=> ах 1.
4.106*. Докажите, что при любом значении а
ах > 1
"'f"7 ах 1
log2 Х log2 Х
4.107*. При каких значениях а истинно
1 1
ах + > 1 + {::} ах > 1 ?
x 2 x 2
4.1QS*. Изобразите множество всех пар (а,Ь) таких, что
ах + 1 1
> <=> ах > о.
x b x b
4.109*. Пусть а Е IR.
1) При каких а уравнения
х 2 + ах + 2 == О
(х 2 + ах + 2)(х2 5х + 6) = О
х 2 6х + 9
равносильны?
ФУНКЦИЯ f: D IR, называется 'Чеm1tоu, если D симметрич
на относительно О и для каждоrо х Е D выполняется равенство
f( x) == f(x). ФУНКЦИЯ f: D JR., называется 'Не'ЧеmНQU, если D
СИ1\.lметрична относительно О и для каждоrо х Е D выполняется
равенство f( x) == f(x).
Число Ь называют nерuодо.лt числовой функции f, f: D JR.,
если множество D периодично с периодом Ь и для всех х Е D BЫ
полняется f(x:f: Ь) == J(x). Функция, и:м:еющая период, называется-
nериодuчеС'hоi1. ПОНЯТИЯ четной функции, нечетной функции, пери
одической функции являются чаСТНЫl\1И видаl\.1И следующеrо более
общеrо понятия.
Пусть y !\.1ножество, Т преобразование 1\lножества ...-У, а Р
предикат, определенный на l\'1ножестве х. Предикат Р назы
вается инвариантн,ым относительно nреобразова'Н,uя Т, если ero
область истинности инвариантна относительно Т.
(1 ),
(2) .
2) При каких а выполняется:
{ х (х 2 + 2х з)(х2 + ах + 1) = О } == { 3; 1 }?
х 2 + 2х + 1
3) Докажите, что не существует TaKoro а, что
х 2 + ах + 9 > О :::} ах > 3.
4.110*. Пусть fa,p(X):= (х a)p :)(х + 1) , rде pE::Z, а Е IPi.
1) Существуют ли такие а и р, что !а,р(Х) == о <=> х == 3?
2) Найдите все такие а, что fа, з(Х) < о х > 4.
Рассмотрим следующие преобразования Т 1 , Т 2 , Тз плоскости
JR2:
Т 1 (х, у)) == ( x, у) СИl\1метрия относительно оси Оу,
Т2(Х, у)) = ( x, y) СИl\IМ€ТРИЯ относительно начала координат,
143
I
111
'1111
:
1
',\11
1"1
! :
111
1
j ,I
111.
1 .
'1
111!
,11!
1 '
!',i,
I
!
i
i!:
!III,'
l'
I
!
r
144
'-' '-'
rлава 4. СВОИСТВА ФУНКЦИИ
4.4. Инвари тные пре,цикаты и множества
.,...
145
*
*
*
11) у = { 1, х рациональное
О, х иррациональное'
,
12) у = { Х, Х рациональное
О, х иррациональное. 13) у == 'х[ + 2;
,
14) у= (х+21; 15) y= y'1+x+x2 + Vl x+x2 .
4.114. Докажите, что CYl\1l\fa , Р азность ,
Ф произведение, частное
четных УНКЦИЙ есть функция четная.
4.115. Верно ЛИ, что cYl\Il\la, разность, произведение частное
нечетных функций является функцией нечетной? '
I
11
!I,
I
Ili l
111,
( I
,11
Тз((х, у)) == (х + а, у), параллельный перенос на вектор (а, О), rде
а > О. Тоrда четность произвольной числовой функции f(x) paBHO
сильна инвариантности предиката у f(x) относительно Тl, He
четность относительно Т 2 , периодичность с периодом а ин..
вариантности относительно Тз. Поскольку rрафик функции f
ато множество точек плоскости, координаты которых принадлежат
множеству истинности предиката у = f(x), то можно сказать, что
четность функции f равносильна симметричности ее rрафи:ка OTHO
сительно оси ординат, а нечетность СИl\'1метричности ее rрафика
относительно начала координат.
4.111. Продолжите фразы:
1) числовая функция f не является четной тоrда и только то..
rда,коrда ... ;
2) числовая функция f не является нечетной тоrда и только
тоrда, коrда ... ;
З) числовая функция f не является периодической тоrда и
только Tor да, I<or да ... .
4.116. Пусть f: Х у четная g . Х У
Ф ,. нечетная
УНКЦИИ. Обязана ли быть четной или нечетной функция:
3) f j
9
1) f g;
2) f. у;
4) h: х f( x)+g(lxl);
!I,
11
1:,
11 1 1 !
11111
1'/
5) h: х х .f(x) + х 2 .g(x);
7) h: х g(xlxf).
6) h: х t---4 х 2 . f( х) + х . у( х);
4.118. Представьте в Виде cyr..ll'vIbI четной и нечетной ФУНКЦИЙ:
1) 1 . { 1, х О { О
У 2 Х ' 2) у == ".... 3) у == ,Х О
2, х < о; Х, Х < о.
I I J
11 И
j II
I
II: ! 'I
! I
111 1 ]
111[:
1:11] 1
il,
4.112. Пусть f: Х............... функция; Х с IR., Х множество,
СИ1\П\1€тричное относительно точки х = а. Докажите, что:
1) rрафик функции f в том и только том случае симметричен
относительно ПРЯ1\10Й х == а, Kor да f( а + х) = f( а х) для
всех х из Х;
2) rрафик функции f: Х 1R симметричен относитеЛЬ
НО точки (а, Ь) в том и ТОЛЬКО том случае, коrда
f(a + х) + f(a х) == 2Ь дЛЯ всех х из х.
4.113. Выясните, является ли функция у == f(x) четной или
нечетной (или ни ТОЙ, ни друrой), если:
4.117. ФУНКЦИЯ f определена на l\Iножестве Х
, СИМI\-lетричном
относительно начала координат. Докажите, что:
1) функция J(x) + f( x) четная;
2) ФУНКЦИЯ f(x) f( x) нечетная;
3) f ожет быть представлена в Виде суммы четной и нечет
НОИ функций.
10) у == ln( х + V l + х 2 );
4.119. Найдите все такие значения napal\feTpa
функция у = /(х) является четной:
1) у si n(2x + а );
3) у =:. vf x 4 I x l.log 2 ха;
( а + 2 X ) 2
5 ) У .
2 X '
а, при которых
, ) 1 1 1
' 1 1
1 1
I' j
11 I
3) у:= (х I.cos( x);
1
6) у == (ЗХ + З Х);
2
З Х + 1
9) у = х . з х 1 ;
4) у = cos4x+x 1;
1 sin х
2) у =
1 + sin х '
2 Х 2 X
5) у == 2 Х + 2 X ;
1) у == sin 5х + 5 sinx . cos 2х;
l+х
7) y ln' 8) y=xlxl+2;
1 х'
2) y:=5.3X a.3 X.
,
4) y=lx lr+lx+al;
1
1I11
6) у == (а 2 5)х + х[а)
; : 1 11
! 1,
I il,1
11'1
III,,
I
146
u u
rлава 4. СВОИСТВА ФУНRЦИИ
4.4. Инвариантиые пре,цикаТLI и MHO)JC.eCTBa
147
l'
4.120. Найдите все значения параметра а, при которых Функ
ция является нечетной:
о
о
о
1
11
I
1) у =: sin(2x + а);
а + sin х
3)
5)
2) у 5 . 3 Х а . 3 X;
4.125. Докажите, что следующие функции являеются перио
дическими, найдите наименьший положительный период каждой из
этих функций:
.
Slll Х
4) у= Ix ll lx+al;
6) у (а 2 2)х 3 + х[а].
1) у = sin 3х;
х
2 ) у == cos .
:j2'
4) у = cos(sin х);
6) у::;:: 19 ( sin х) + 19 ( сов х);
8) у == yl log2 I sin xl.
I
l'
11
1, I
1
,\
y
у = (а 2 2)х 2 + х[а];
4.121. Приведите, если 8ТО ВОЗМОЖНО, пример функции, опреде
ленной на всей числовой прямой, которая одновременно является:
1) нечетной и убывающей; 2) нечетной и инъективной;
З) нечетной и четной; 4) четной и возрастающей;
5) четной и инъективной.
3) y={2x 1};
5) . 3х х
Y Sln COS '
2 з'
7) у=={х}2+{х}+2;
1I1
11;
11
:1
Ij
11
:1
1) f, r.p четные функции; 2) f, I.p нечетные функции;
3) f нечетная, а r.p четная функции?
4.126. Докажите, что для функции Лирихле
f(x) == { 1, х рационально
О, х иррационально
любое рациональное положительное число является периодом. Cy
ществует ли у этой функции наИМеньший положительный период?
jl
1 i
4.122. Обязана ли ФУНКЦИЯ h = /о<р быть четной ИЛИ нечетной,
если:
4.123. Можно ЛИ утверждать) что функция f является четной
(или нечетной), если известно, что:
1) V х Е JR. /2 ( х) = f2 ( х ) ;
3) Ух Е IP(x)1 = 1J( х)IЗ.
4.127. Докажите Ф
, что следующие ункции не являются пери
: 1
1 1 '1
1 .
111
1
2) 'v х Е IP1. 13 ( х) = /3 ( х ) ;
одическими:
.,
: '
4.124*. Пусть f и ер две функции, заданные на IR. Обозна
чим через (*",) условие: \,/t Е f( cp(t) f(cp(t»).
1) Докажите, что если SO(t) == t 5 , ТО условие (*ср) достаточно
для четности функции f.
2) Правда ли, что если EI.p => [О, +(0), то из условия (*/Р) BЫ
текает, что функция f четна?
3) Приведите пример такой функции <р, что условие (* ) He
достаточно для четности функции f.
4) Докажите, что условие (*<р) достаточно для четности ФУНК
цИИ f, если 'P(t) = t 3 .
1) у = х 2 ;
3) У = 10х 2 Х + 1
х 2 + х + 1
2) у == sin Ixl;
: J
111
I ,1
]
11
.,1
'1,
, 1,
,1
11' 1
II!:II'
It
f,1 1
"
5) у = х 2 . COS х;
4) у == х + [х] + arctgx;
1
у == cos ;
х
6)
7) у cosx + sin(vI2x); 8) у == ([х])2 + 3[х] + 2.
4.128*. Для каждой из следующих функций выясните, является
ли эта функция периодической:
1) у == tg 2х + 2 sin 3х;
3) y==tg2x lcosxl;
5) у = { };
2) у = (х [х] + !)2;
4) у == y1 g sin 2х + х . tg х;
6) у = 2Isinx+cosxl;
7) у sin х + sin( vl2x);
8) у СОБХ. cos(v2x).
I
111
1 '1'
11 j
I llj:
11
148
iIJ iIJ
rлава 4. СВОИСТВА ФУНКЦИИ
4.4. Инвариантные пре,цихзты и множества
149
4.129. Укажите, относительно каких преобразований инвари
антен предикат, и постройте ero область истинности:
1) у == sin х;
4) Iyl > sin х;
7) у = Iyl. sinx;
2) Iyl == sin х;
5) у > I sin х 1;
8) Iyt == у . sin х.
З) IУI == I sin xl;
б) Iyl > I sin xl;
4.136. Обязательно ли будет периодической функция f + g,
если известно, что:
1) f и 9 периодические функции с периодами 21Т' и 7r co
ответственно;
2) f и g периодические функции с периодами 7I" и 1 COOT
ветственно;
3) f и 9 периодические функции, периоды которых есть 3
7
И 4 соответственно;
4) f и 9 периодические функции с различными периодами
Т 1 и Т 2 , rде T 1 , Т 2 рациональные числа?
J
111
I
I
4.130. Найдите значения параметра а, при которых функция f
Иl\1еет наименьший период Т == 2, если:
1) f(x) == а + cos ах;
1rX
2) f(x) = 4 log5 cos уа ;
4) f(x) == {ах + 1};
4.137. Приведите ПрИl\lеры таких ФУНКЦИЙ f и g, f, g: Х JR,
)( С JR, что:
1) f, 9 функции не периодические, а ФУНКЦИЯ f + g
периодическая;
2) f, 9 функции не периодические, а функция f. 9 перио
дическая;
3) f периодическая, g не периодическая, а f + g
периодическая функция;
4) f периодическая, 9 не периодическая, f. 9 пери
одическая;
5) J, 9 периодические, f + 9 не периодическая;
6) f, 9 периодические, а f. g не периодическая;
7) f, 9 периодические с наИl\1еНЬШИl\I ПОЛОЖитеЛЬНЫl\1 пери
ОДОl\I Т, а f. 9 периодическая с перИОДОl\I Тl, О < Tl < Т.
4.138. Докажите, что если функция у == cosx + sin(ax)
периодическая, то а рациональное число.
I
I!
,11
3) лх) = сов а; . (4 + sin 2 а: ) 1 ;
5) f(x) ==
(х 2п)2 + 1,
О,
(x аn)2 1,
6) f(x) = {ах}2+3{ах}+2..
х Е (2п; 1 + 2п), n Е :l
х == n, n Е ;l
х Е (2п 1; 2п), n Е iZ;
4.131. Докажите, что функция f не может быть периодической,
если:
1) f определена на всей числовой прямой, кроме ОДНОЙ точки;
2) f не определена на некотором луче.
4.132. l\10жет ли периодическая функция быть:
1) четной; 2) нечетной; 3) инъективной; 4) сюрьективной?
4.133. Пусть числа Т 1 и Т 2 являются периодами ФУНI<ЦИИ
f : IR .......-+ IR. Докажите, что:
1) Т 1 + Т 2 и ITl Т21 тоже являются периодами f;
2) 3Tl 5Т 2 период f;
З) если Т 1 == 13, Т 2 == 15, то числа Тз 1, Т4 2 тоже
периоды f.
4.134. Существует ли функция, множество всех периодов KOTO
рой совпадает с множеством всех иррациональных чисел?
4.135. Пусть f, 9 периодические функции с одинаКОВЫl\-1 пе
рИОДОМ Т. Докажите, что функция h периодическая с периодом
Т, если: 1) h=f+g; 2) h=f g; 3) h:=f.g.'
,111
I
, ;1
I
1) если 9 периодическая, то f о 9 периодическая;
2) если f периодическая, то log периодическая;
3) если fog периодическая, то f периодическая;
4) если /og периодическая, то 9 периодическая.
1,
1 ,1
:i
I
I
'11
I
I
4.139. Пусть определена суперпозиция f о 9 ФУНКЦИЙ f и g.
Докажите или опроверrните утверждения:
II:!'
I
j
150
u '.
rлвва 4. СВОИСТВА функции
4.4. ИнвариаиТньtе пре,цикаТLI и множества
4 140. Пусть ФУНКЦИЯ f определена на множестве Х и суще
ствуеттакое Tf=.O, что х+ТЕХ и x TEX при всех хЕХ. До
кажите, что выполнение каждоrо из следующих условий достаточно
для Toro, чтобы функция f была периодической; найдите период f.
\>
о
о
4.144. Выясните, является ли множество А инвариантным ОТ..
ностительно преобразовнил f множества :
1) J(x) == x,
а) А == { 2; 1; о; 1; 2}; б) А = [ 1; 1); в) А == [ 2; 2].
2) f(x) == 2х,
а) А == [ 2; 2J; б) А == [о; +00); в) А == IR.
3) f(x) == х 2 ,
а) А == IP1.; б) А == [о; 1); в) А = [1; +00).
4) f(x) == х 3 ,
а) А == ( 1; О); б) А == [ 2; 2]; в) А == ( oo; l).
4.145. Выясните, инвариантно ли множество числовых фун:кций
4'-"" относительно преобразования Т, переВGДящеrо функцию f Е Х
в ФУНКЦИЮ g, если:
1) Х множество всех функций, заданных и CTporo возрас
тающих на отрезке [ l; 1J,
а) g(x) == 2f(x); б) у(х) == xf(x); в) g(x) == IxJf(x);
r) у(х) = If(x)l; д) g(x) == (f(X»3;
е) 9 == f о 'Р, rде <р(х) == х З , Dcp == [ 1; 1];
ж) 9 == 'Ф о f, rде ф(х) == х 2 .
2) 1'( .l\1ножество всех функций, заданных на отрезке [ 1; 1]
и прини .лаIOЩИХ значение О при х == О,
а) g(x) == f(x) +х; б) у(х) == f(x);
в) g(x) == (sin of)(x) + (cos of)(x) 1;
r) у(х) == (1 о sin)(x) + (1 о cos)(x) 1.
1) f(x + Т) == f(x).
1
3) f(x+T)-= 1 Лх) .
1
2) f(x+T)-= лх) "
'( х) + а
4) За, Ь: ЛХ + Т) == bf(x) l'
4.141 *. Для периодической функции f, обладающей наимень
ШИТ\I положитеЛЬНЫ1\1 периодом, будем обозначать 8ТОТ период через
TJ.
1) Пусть g(x) :::: { ; } + { 2; } ({t} == t [t] дробая часть
числа t). Докажите, что 9 периодическая ФУНКЦИЯ..
2) Найдите То'
3) Укажите такую функцию f, ЧТО T(1+f)2 = Tf'
4) ПРИДУl\1айте пример такой функции f (достаточно нарисо
вать rрафик), что T(1+f)2 Tg'
5) Докажите, что равенство 1(1+1)2 =: T! невозможно.
4.142*.. Пусть ФУНКЦИЯ f определена на 1R. Докажите, что из
каждоrо из следующих условий следует, ЧТО ФУНКЦИЯ f периодич
на, и укажите ее пери.од.
1) rрафик функции f симметричен относ:и:тельно двух осей:
х = а и х == Ь (а #- Ь).
2) rрафик ФУНКЦИИ f СИl'VIметричен относительно точки (а, Ь)
и прямой х == с (а f с).
4.143*. Пусть функция f определена на Il{. Докажите:
1) Если rрафик ФУНКЦИИ f имеет два центра симметрии то f
можно представить в виде суммы периодической функции и
линейной функции.
2) Функцию f можно представить в Биде суммы двух функций,
определннных на всей числовой оси, rрафик каждой из KO
торых имеет центр симметрии.
3) Х множество функций, определенных и неотрицатель
ных на Qтрез:ке [о; 1],
а) g(x) = f(x) 1; б) g(x) = J(x) + 1;
в) g(x) == (x,\ х 2 ) . f(x); r) 9 == sin of; д) 9 == f о sin.
4.146. Пусть Х множество всех функций, заданных на OT
резке [ 1;. 1] и принимающих значение О при х == о. Пусть OTO
бражение Т переВGДИТ пару ФУНКЦИЙ (/, у) из Х в пару функций
(/. g, f + g). Инвариантно ли множество Х х Хотносительна TaKoro
преобразования?
151
1
,1
I
I
I
I1
11
11'111
I I ,
,l,!
"' 1
l'
I
'1:
Ilil
1 1 .1
1:'
1'1
I
,
1;
11":,
111; ,
1 :'11
1;1
1
.1.
,
'1
I
152
t.J' U
rлава 4. свОИСТВА ФУНКЦИИ
4.4. Инвариантные пре.,цикаТbl и множества
153
4.147*. Пусть Х множество функций, заданных на отрезке
[О) 1], неотрицательных на отрезке [о; 0,1]. Докажите, что существу
ет такое натуральное число n, что Х не инвариантно относительно
преобразования
Т п == f о sin о sil1 О . . . о sin
n раз
3) I\10жет ли h оказаться инъективной?
4) Приведите ПрИl\1ер двух различных функций /1 И 12, опре
деленных на [ 1; 1], таких, что 11 о 'Р == /2 о ер.
4.153. Пусть /а(Х) == sin ( ; + а) и gb(t) == t + ь
1) При каких Ь верно равенство 12 == 10 о ЬЬ ?
2) ОбраТИ1\1а ли функция /0 1 ?
[1; 3]
3) При каких а Е [о; 7r] функция fa l не является инъектив
[1; 3]
ной?
(
j,
l'
1
4.148*. Пусть ХО == [о; 1], Т параллельный перенос ;а 2
единицы вправо, Х 1 образ Ха, Х 2 образ Х 1 , Х З о раз
Х 2 при прео6разовании Т, и т.д., X l прообраз Хо, X 2
прообраз X l при преобразовании Т, и т.д. Обозначим через Х
объединение всех множеств Х n , rде n целое. Докажите, что
f'лножество Хинвариантно относительно преобразования Т.
4.149*. Пусть VJ(O,r) окружность с центром О и радиу
с 01\1 ;. Известно, что множество Х содержит дуrу большую 0,1
радиана, и инвариантно относительно поворота BOKpyr О на уrол:
а) 0,1 рад., б) 0,11 рад., в) 0,2 рад.
Докажите, ЧТО Х == (O, r).
<> О О
I[
I
Ili!1
1'1'
1
I
4) Пусть h(x) == f2(X) + 3. Локажите, что точка ( 4; 3) ЯВЛЯ
ется центрОl\1 СИI\'1l\I€l'РИИ rрафика функции h.
5) Опроверrните утверждение о том, что при всех а Е [ : ; ; ]
1
и всех х Е [1; 3] выполняется неравеНСТБО !а(Х) > .
2
4.150. Пусть g(x) == '(2 Х ), rде f неКQторая функция.
1) Может ли быть так, что /(2) == 1 и у(1) = 2?
2) Пусть известно, что 1(1) := /(2) == 1. У еник решал Hepa
В€НСТБО g(x) > и получил ответ: х > '2' Объясните, что
он ошибся.
3) Приведите пример такой непостоянной функции /, что
функция 9 является периодической.
4.151. Пусть f: [ 1; 3] IR и h(x) := f(x + 2).
1) Найдите Dh'
2) Докажите, что если f инъективна, ТО и h инъективна.
3) Докажите, что Eh = Е/о
4) Пусть при атом h(x) == х 4 . Найдите функцию /.
4.152. Пусть f некоторая числовая функция, определенная
на отрезке [ 1; 1], и пусть )O(t) = (t 5)4, h == f о 'Р.
1) Найдите Dh' 2) Докажите, что Eh == /([0; 1]).
4.154. Пусть р > о и /р(х) == р . arccos 2х 1.
1) Найдите D fp ' 2) Найдите E fp .
З) Найдите все такие р, что 1 Е Efp'
4) Правда ли, что 3Уо \/р > О Уа Е Efp ?
4.15;. Пусть /а == ha о 'р о ф, ['де ha( х) == 2ах х2, <р(х) == х 5 ,
ф(х) == 1r arctgx. Обозначим через Еа о'бласть значений функции
!а, а через La длину ПрОI\lежутка Еа.
1) Найдите 1\1ножество Е 2 .
2) При каких а функция fa обратима?
3) Найдите функцию 9 = (/2) 1, обратную к функции 12
4) СущеСТВУЮТ 1 ли такие а1, а2, что Eal n Е а2 == 121?
5) Нарисуйте rрафик функции а t--;I- La.
1
4.156. Пусть /(х) == 2 (х 2 + Ix 21) и Ма == Яа (r f), rде r f
rрафик f, а Ra поворот координатной плоскости BOKpyr точки
(2; О) на уrол а.
1) Является ли функция f инъективной?
, I
:11'
1.
' !
11
11
11,1:1
11
I
11
i,ll
'
,1
:11
i '
!
i;
1,
II!
i
11
154
u u
r.пава 4. СВОИСТВА функции
155
2) Объясните, что множество М f ЯВЛЯ ТСЯ rрафИКQМ HeKOTO
рой функции g: IR........-+]R .
3) Сюръективна' ли 8та функция g?
4) Будет ли множество М 7 rрафИI<ОМ какой нибу,п,ь функции?
5) Найдите все а Е ( ; ; ) такие, что А1о; является rрафи
ком инъективной функции.
rлава 5. БИНАРНЬIЕ ОТНОШЕНИЯ
5.1. Свойства бинарных ОТНОIПений
на множестве
I
'1
1:,
Бинарным отношением па .м'Н,ОЭlCестве называется любое под
l\1ножество декартова квадрата 8Toro множества. Бинарное отноше
иие в некотором множестве А ато множество, алеl\1ентами KOTO
poro служат пары (ВОЗМОЖНО, не все), составленные из 8лементов
l\lножества А. Примераl\IИ l\forYT служить отношение в l\lноже
стве вещественных чисел, (т.е. множество {(х, у) I х у }), отноше
ние следования в множестве уравнений, отношение параллельности
в множестве прямых, отношение подобия в множестве rеометриче
ских фиrур.
В том случае, коrда пара 8лементов (а, Ь). принадлежит HeKO
торому отношению р, rоворят также, что элемент а 'Находится
с эле.Аffumом Ь в отНОШЕнuи р, или что алемент а связан с
эле.менmо.лt Ь отношением р. Тот факт, что (а, Ь) Е р, записыва
ют также и друrИl\1И способами: а Ь(р) или арЬ (например, х < у,
х У, а: Ь, Р q. Q, 11 11/2, 1 1 ..L [2, А С В).
"
:111
1 '1
11
:11111
I '!
11
'"
1: 11
, I
Бинарное отношение р на А называется рефлеК;СUВ'ttьt.лt, если
ОНО содержит все пары, первая и вторая компоненты которых оди
иаковы:
1 1'
1:
11
1!1!;i
Ух Е А: (х,х) Ер.
....
Например, на l\'1ножестве {а; Ь; с} бинарное отношение
{(а, а); (а, Ь); (Ь, а); (Ь, Ь); (е, с); (е, Ь)} рефлексивно, а бинарное от..
ношение {(а, а); (Ь, Ь)} не рефлексивно (не содержит пары (с, с»);
отношение перпендикулярности в l'лножестве прямых не рефлек
сивно, а отношение равносильности уравнений рефлексивно.
Бинарное отношение р на А называется си.м,.метри'Ч1tь .м, если
вместе со всякой парой (х, у) ОНО содержит и обратную пару (у, х):
(х,у) Ер=} (у,х) Ер.
Например, на множестве {а; Ь; с} бинарное отношение
{(а, а); (а,Ь); (Ь,а); (Ь,Ь); (с, а); (а, с)} симметрично, а бинарное
! 1:1
:;
I1
:1
1!)
j
1 I
1,
11
'1111
! 1".
\11
li'
I!
...........
156
.
rлава 5.. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
5.1. Свойства бинарных отношеНИЙ
157
отношение {(а, а); (Ь, с); (с, а); (е, Ь)} не симметрично; отноше
иие параллельности ПРЯl\1ЫХ СИl\:lметрично, а отношение следования
уравнений не симметрично.
Бинарное отношение Р на А называется а'Nmиси.м.меmрu'Ч'Ны./w,
если никакие две пары (х, у) и (у, х) для х f. у не ВХОДЯТ в р oд
новременно:
4)
1. .........
.
.
.
. .......
: :
.
.
.
.
.
.
.
.
.
А == {1, 2, 3}
'111
1.
1
I
3 -.. · · · · · · · ,
.
4 I 3
(х,у) Ер 1\ (у, х) Е р) =-? х == у.
Например, бинарное отношение {(а,Ь); (Ь,с); (с, а); (с, с)} (заданное
на lVIн<?жестве {а; Ь; с}) антисимметрично, а бинарное отноше
вие {(а, а); (Ь, с); (е, а); (е, Ь)} не является антисимметричным; OTHO
шение в множестве вещественных чисел аНТИСИl'лметрично, а
отношение "быть перпендикулярными" в множестве прямых не
аНТИСИМl\lетрично.
Бинарное отношение Р на А называется mранзитивным, если
(х,у) Е рл(у,z) Е р) (x,z) Ер.
Например, бинарное отношение {(а, Ь); (Ь, а)} не транзитивно,
а {(а, Ь); (Ь, с); (а, с); (е, Ь); (Ь, Ь)} транзитивно; отношение парал
лельности ПРЯl\'lЫХ транзитивно, а отношение перпендикулярности
ПРЯl\fЫХ не транзитивно.
«х, у) Е р, если точка (х, у) находится среди отмеченных).
5) На l\'1НQжестве { 1. 2. з. 4' 5 }
..... ' , " отношение р задано следую
щеи таблицей (символ + на пе р есечении т И 'U' СТ
б раки и n..ro
стол ца указывает, что (т, п) Ер):
JII
' II
'!II
11
1 2 3 4 5
1 + + +
2 + + +
з +
4 + + +
5 + + +
.
3 . · · .. . -: - I .
I . .
2
.,
.. .
.11.'....
. -
. .
.........
. .
.
:JC.
liii
I
I
11
111
1I
,
11
IJi
11
,1[:
1"
!
.
1';'
.1 ;
1'1 l'
l'
111"
\': I
I
*
*
*
6) А == { 1; 2; 3; 4; 6; 8}, (х, у) Ер<=> Х: у.
5.2. На множестве А =: { 1. 2' 3 . 4 }
( , " задано отношение Р'
х, у) Ер<=> точка с координатами ( Х у) ест ь среди .
на Ч ' отмеченных
ертеже:
5.1. Выясните, какими из основных свойств (рефлексивность,
с Иl\П\fетричноСТЬ, аНТИСИМl\1етричНОСТЬ, транзитивность) обладают
следующие бинарные отношения:
1)
-4 · · 8 · '" . ..
'"
о 1 2. '3
«х, у) Е р, если от х к у идет стрелка).
2) На lножестве А == { а; Ь; с; d; е} отношение
{ (а, а ); (Ь, Ь ); (а, с); (с, а); (d, е); (е, d) }.
З) А:= {1; 2; 3; 4; 5},
р == {(l, 1); (2,2); (з,3); (4,4); (5,5); (1,2); (2, 1)}.
1) Рефлексивно ли это отношение? Симметрично ли? Анти
симметрично?
2) Транзитивно ли р?
3) Добавьте одну точку так, чтобы отношение р стало реф
лексивным
158
rлава 5" БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
5.1. Свойства бинарных отношеНИЙ
159
4) Уберите одну ТОЧКУ так, чтобы р стало рефлексивным OT
ношением на некотором трехалементном множестве.
5) Добавьте две точки так, чтобы р стало симметричным.
6) Уберите две точки так, чтобы отношение р стало симмет
ричным.
7) Уберите одну точку так, чтобы р стало антисимметрич
ным.
8) Можно ли получить из р антисимметричное отношение, дo
бавляя точки?
9) Добавьте две точки так, чтобы р стало транзитивным.
10) Уберите две точки так, чтобы р стало транзитивным.
5.3. На r-wlножестве А == {а; Ь; с; d; е; f} задано отношение р:
(х, у) Е р, если от х к у идет стрелка:
5.5. В множестве А больше двух элементов. Какими свойства
ми обладает отношение р:
1) р == А х А \ {(а, Ь)}, rде а, Ь Е А, а f:. ь фиксированные;
2) р = А х А \ {(а, а)} (а фиксированный элемент из А)?
5.6. Приведите пример множества и бинарных отношений Рl
Р2, рз на нем, таких, что:
1) Рl рефлексивно и симметрично, НО не транзитивно;
2) Р2 симметрично и транзитивно, но не рефлексивно.
I
I
1
о
о
<)
1111
11
1:,
l'
i:
1
1
1111
11"
I11
.111
1,
11'
1
I
1111
1
1
I
1':1
'1
, I
5.. 7. Какими из основных свойств (рефлексивность, симметрич
насть, аНТИСИМl\.'1етричность, транзитивность) обладают бинарные
отношения:
о
f
1) " .........."
отношение сидеть за ОДНОИ паРТQИ в множестве студентов
rруппы;
2) в множестве rocy дарств отношение "иметь общую rрани
цу" ;
3) отношение "быть равноудаленными ОТ Петербурrа" в MHO
жестве rородов;
4) отношение "РОДИТЬСЯ в одном месяце" в множестве rра.ждан
России;
5) отношение "быть братьями" в множестве людей;
6) отношение "содержать хотя бы одну общую букву" в МНО"
жестве всех слов PyccKoro языка;
7) " б " '-"
отношение иметь о щие остановки 8 множестве трамваи
ных l\'1аршрутов rорода Санкт Петербурrа;
8) отношение "стоять на противоположных сторонах улицы" в
множестве всех ДОl\fОВ HeBcKoro проспекта;
9) отношение "Иl'..1:еть номер на единицу больше" в множестве
страниц некоторой книrи;
10) отношение "быть расположенным после" в множестве слов
орфоrрафическоrо словаря.
5.8. Рассмотрим бинарные отношения:
а) отношение "иметь равные ординаты" в множестве точек дe
картовой плоскости;
е
1) Дорисуйте одну из стрелок так, чтобы р стало рефлексив
НЫМ.
2) Дорисуйте одну из стрелок так, чтобы р стало симметрич
ным.
3) Дорисуйте две стрелки так, чтобы р стало транзитивным.
4) Можно ли убрать две стрелки так, чтобы отношение р CTa
по транзитивным?
5) Сотрите две стрелки так, чтобы отношение р стало анти
симметричным.
6) Можно ли добавить одну или несколько стрелок так, чтобы
отношение р стало антисимметричным?
5.4. Множество А состоит из 7 8лементов. Отношение р, за..
данное на множестве А, рефлеКСИВНQ и состоит ИЗ восьми пар. Ka
кими из основных свойств (кроме свойства рефлеКСИВНQСТИ) обла
дает отношение р?
160
rnaвa 5. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
5.1. Свойства бинарны:х отношеНИЙ
161
б) отношение "иметь хотя бы одну общую координату" в MHO
жестве точек декартовой плоскости;
в) отношение иметь "большее расстояние до начала коорди
нат" в множестве всех точек декартовой плоСI<ОСТИ;
r) отношение "не лежать в одной плоскости" в множестве пря
мых;
д) отношение "лежать на одной прямой" в множестве всех OT
резков;
е) отношение "иметь большИЙ радиус" в множестве окружно
стей, лежащиХ В ПЛОСКОСТИ И имеющиХ общее начало;
ж) отношение "иметь равные rипотенузы" в множестве прямо
уrоЛЬНЫХ треуrольНИКоВ;
з) отношение подобия треуrольников в множестве всех Tpe
уrолЬНИКОВ;
и). отношение "не иметь общих алементов" в совокупности под"-
множеств множества ;
к) отношение "иметь общий корень" в множестве всех квадра:--
тичнЫХ функций;
л) отношение < в множестве ..
Выясните, какие из атих ОТНОIllений:
1) рефлексивны;
3) аНТИСИМl\летричнЫ;
5.11. Вылсните свойства след у ющих би нарныIx
отношений на
1\1ножестве N:
1
11'
1
1
2) арЬ <';} а == Ь 2 .
,
4) арЬ {::} НОЛ(а, Ь) = 1.
5.12. Выясните свойства слеДУЮIДИХ бинарных отношений на
[\lножестве 2:: 1) (а, Ь) Е Р {:} l a b l = l' 2) Ь .
, ар {::} а Ь : 3.
5.13. Выясните свойства отношений на IR:
1) р= {(х; 2х+З) I х EJR}; 2) (х)у) Ер {::> Iy] = Jxl;
З) х rv у(р) <=> sgn у sgn х;
4) хру <=> (х; у) лежит на ОДНОЙ из изображенных кривых:
»
"
1) (а, Ь) Е р {:} а < 2Ь.
,
3) a"-lb(p) {:} а+Ь:2;
I
1 '
11.
1
++
JX
ос,
1
ill[
l'
l
2) симметричны;
4) транзитиВНЫ.
11,
1:111
,1
11
'1
5) (х) у) Е Р {::} (x ) у) попадает в изображенное l\1ножество:
1 1 I11
1111
о
(;>
1)
5.9. Зададим в N бинарное отношение р следующим образом:
(р, q) Е Р {:} Р q Е {О, 1, 2}.
1) Рефлексивно ли это отношение? 2) Транзитивно ли оно?
3) Антисимметрично ли? 4) Является ли оно отображением?
5..10. Зададим в IR \ {О} бинарное отношение r следующим
образом:
ос.
,1
,
I111
I!
'I I !;'
I
, х
(х, у) Е r Е { 1; 2; 3}.
у
Задайте отношение р ана;литичеСКИl\f условиеl\Л:.
5.14. Пусть f(x у) = 2x2 2y2 x+y. Определим на IP2. б
отношение р: инарное
хру {:} f(x, у) == о
11
'<
11"
11'
,11
1) Рефлексивно ли отношение т? 2) Транзитивно ли оно?
3) Антисимметрично ли? 4) Является ли оно отображением?
1) Является ли р рефлексивным?
3) Является ли оно отображениеI\/[?
2) Транзитивно ли оно?
.II'r
1'1
:1
111
1.1
162
rпaвa 5. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
5.15. Пусть J(X, у) == (х у)(у + 2х)(2у + х). Определим на
бинарное отношение р: хру {::> /(х, у) == о. Является ли р
1) рефлеКСИВНЫl\I? 2) симметричным? 3) транзитивным?
5.16. Пусть Р бинарное отношение в :
(х, у) Е Р {:} (Ix 2у) > 2) V (Ix yl < 1).
1) Изобразите на координатной плоскости множество
M {(х,у) I X у и (х,у) f/:. р}.
2) Является ли р рефлексивным?
3) Является ли ОНО симметричным?
4) Является ли р антисимметричным?
5.17*. БудеI\/[ rОБОрИТЬ, что вещественные числа а и Ь связаны
отношениеl'Л р, если хотя бы одно из неравенств ах+l > О, Ьх+l> о
является следствием друrоrо.
1) Найдите l\1ножество: {а I (а, О) Ер}.
2) Докажите, что отношение р рефлексивно и симметрично.
3) Докажите, что р не является транзитивным.
4) На плоскости с координатами (а, Ь) нарисуйте множество
{(а,Ь) I (а,Ь) ЕР},
5.18. Пусть f: JR JR произвольная функция. Определим
отношеНJ:Iе РJ на JR:
apJb {:} f(a) == f(b).
1) Докажите, что Р! является отношением эквивалентности.
2) Пусть f ФУНКЦИЯ, rрафик которой изображен на рисунке.
я-
.
.
Найдите все х Е IН: такие, что lpjx.
3) Пусть 9 == /2, rде f из пункта 2. Каково наибольшее
число точек в классах аквивалентности, определяемых от..
ношением pg ?
I
I
5.1. Свойства бинарных отношеНИЙ
163
4) Придумайте rрафик такой ФУНКЦИИ f, что для отношения
РJ д a класса 8квивалентности являются отрезками, а Ka
ждыи из остальных классов состоит из одной точки.
5.19*. Пусть V(a) множество всех решений неравенства
(x а)х о.
Рассмотрим бинарное отношение р на IR такое, что
(а, Ь) Е Р {::> V(a) С V(b).
1) Приведите ПрИl\.fер пары чисел (и, v) такой, что (и, v) Е р.
2) Докажите, что р рефлексивно.
3) Докажите, что отношение р антисимметрично.
4) Является ли отношение р транзитивным?
5) Изобразите l\lножество {(а, Ь) I (а, Ь) Ер} на плоскости с
координатами (а, Ь).
5.20*. Пусть W(c) множество всех решений неравенства
(2 x)(x c) O.
РаССМОТрИI\1 бинарное отношение и на JR такое что
,
аиЬ {:} а Е web).
1) Приведите ПрИl\lер пары чисел (и, v) такой, что UlТV.
2) Докажите, что (J рефлексивно.
3) Докажите, что отношение .0" не является симметричным.
4) Антисимметрично ли а? 5) Транзитивно ли и?
6) Изобразите l\lножество {(а, Ь) , (а, Ь) Е а} на плоскости с
координатаl\IИ (а, Ь).
5.21 *. Отношение р на :rn;. задано rрафически:
0,.6'
11
"-
;1,
I
II;i I
11I
11
:1
!II
11
1.
i
11;1
1'11
Верно ЛИ, что:
1) Vx Зу: (х, у) Е р;
2) 3хУу: (х,у) Ер;
11
164
"
rлава 5 БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
'1;
5.1. Свойства бинариых отношеНИЙ
165
,1
f g;
Зс Е [о; 1]: f(c) == g(c);
f . 9 < о; 4) (f, g) Е р {::} f. 9 о;
f . g о; 6) (f, у) Е Р {::} f. g > о;
Va Е [о; 1] УЬ Е [о; 1]: f(a). g(Ь) > о;
t/a Е [о; 1] УЬ Е [о; 1]: f(a) у(Ь);
За Е [о; 1] ЗЬ Е [о; 1]: f(a). g(b) > о;
За Е [о; 1] 3Ь Е [о; 1]: f(a) g(b);
Va Е [о; 1] 3Ь Е [о; 1]: f(a) у(Ь);
ЗЬ Е [о; 1] Va Е [о; 1]: f(a) у(Ь).
5.25. Будеl\I r'оворить, что непустые ПОДl\lножеСТва J 1 и J 2
ЧИСЛОВОЙ оси JI{ связаны отношениеl\1 р, если для любых Х1 Е J 1 И
Х2 Е J 2 выполнено неравеНСТБО IXl Х2' 1.
1) ,Является ли ОТНошение р рефлеКСИВНЫ1\'1?
2) Докажите, что оТНошение р не транзитивно.
3) Существует ли такое I\Iножество J, что J pIR ?
4) Приведите ПрИl\Iер TaKoro 1\lножества J 1 , дЛЯ KOToporo cy
ществует единственное J 2 такое, что J 1 pJ 2 -
5) Докажите: если J 1 pJ 2 и J 1 , J 2 ЯВЛЯIОТСЯ отрезкаl\IИ, ТО
СУl\П\Iа их длин не превосходит 2.
5.26. Для любоrо отрезка 1 С JR. 1\IbI будеI\1 обозначать через
1I1 ero ДЛИНУ (пустое l\IНОжество считаеl\I отреЗКО1\.1 ДЛИНЫ О). Бу
де1\1 называть два отреЗI\а 1 и J родствеННЫl\IИ и писать IpJ, если
длина их общей части не I\tеньше половины ДЛИНЫ каждоr'О из них,
т.е.
1.
11
11I
3) 3х: х < 2 & (х, х) Е р;
4) \:Iх > О Зу =F х: (х, у) Е Р & (у, х) Е р;
5) Vx Зу 3z f. у: (х, у) Е Р Л (у, z) Е Р Л (х, z) Е р;
6) Vx Уу 3z: (x,y)EpV(y,z)EpV(x,z)Ep;
7) ЗхЗуVz: (х,у)ЕрЛ(у,z)Ерл(х,z)ЕР?
(> (> <;
5.22. Выясните свойства отношений на множестве функций, оп
ределенных на [о; 1]:
1) (f, g) Е Р {:}
2) (f, g) Е Р {::}
3) (f, g) Е Р {:}
5) (/, у) Е Р {:}
7) (/,g) Ер {:}
8) (f, g) Е Р {:}
9) (f, g) Е Р {:}
10) (f,g) Ер {:}
11) (/, у) Ер<=}
12) (f, у) Е Р {::}
5.23. Выясните свойства отношений на ffi..2:
1) (Х1, Уl), (Х2, У2») Е р {::> Хl + Х2 = Уl + У2;
2) (Х1, Уl) ".J (Х2, У2)(Р) {::} I X 11 + IY11 == I X 21 + IY21;
2 2 5 2+ 2.
3) (Хl, Уl) Р (Х2, У2) <=> Х 1 + У1 + = Х2 У2,
4) (А, В) Е Р {:::} в получена из А параллельным переносом
, на вектор (1; 1).
Ф ото
5 24 Пусть L множество всех вещественных ункции, к
· · k + ь ( kb =F О) Рассмотрим в
рые задаются формулами вида у == х .
L бинарное отношение р:
(kx + Ь, [х + с) Е Р {:} kc == lЬ.
1) Каковы те 9 из L, дЛЯ которых (х + 1, g(x») Е р?
?
? 3 ) Симметрично ли оно.
2) Транзитивно ли р.
Ill il
1111
IIn JI !III и IIn JI !IJI.
1) Проверьте, что ОТНошение р рефлексивно.
2) 110кажите, что р не является траНЗИТИВНЫl\f.
3) При каких а > О отрезки [о; а 2 ] и [о; 1] являются poд
ствеННЫl\ЛИ?
111\
111111'1
I!I"
1111
4) Правда ли, что (1 n J)p(I U J) => IpJ?
5) Правда ЛИ, что оТрезки 1 и J не являются родствеННЫlVlИ
ТОr'да и только тоrда, коrда длина их общей части l\'IеНЬше
половины ДЛИНЫ каЖдоrо и них?
6) Пусть J(x) = х 2 . Опроверrните, что Iр] => f(I)pJ(J).
7) Пусть J(x) = 2х + 3. Докажите, что Iр] <=> f(I)pf(J).
<> о> о
,111
',1
1:
111
5.27. Пусть А С IR., А f 0. ОпредеЛИl\I бинарное отношение
РА на IR:
х РА У {:::} х у Е А.
Докажите или опроверrНИте следующие утверждения:
1) если А == [ 1; 1], ТО ОТношение РА рефлексивно;
2) для Toro чтобы ОТНошение РА было с Иl\П\lетрИЧНЫl\I, необ
ХОДИl'.10, чтобы А == [ l; 1];
,1': l'
1:'
11,
I ;
166
-
rлава 5. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
5.2.. Разбиения и 8квивалентности
167
З) для Toro чтобы РА было траНЗИТИВНЫl\1, достаточно, чтобы
А=: [0;+(0)..
(а) Ух Е А :3I( Е К: х Е 1<.
(Ь) V 1< 1 , [{ 2 Е IC: [{ 1 #- 1< 2 f( 1 n Т< 2 == {3.
1
I
I1
I
'11
1,
1) если р и а рефлексивны, ТО и р n (j рефлекс ив но;
2) если р рефлексивно, ТО р U (J' также рефлексивно;
3) если р и (J СИl\П\1етричнЫ, ТО и Р U (J' СИl\1I\1етрично;
4) если р и а СИМl\1етричНЫ, то Р n t7 также СИl\1l\1етриЧНО;
5) если р антисимметрично, ТО и р \ (]' антисимметрично;
6) если р СИl\П\lетриЧНО, ТО А 2 \ Р также симметрично.
1ножества из К называют 'К.ласса..f\tu разбиенин I\fножества А.
П рИ1\lеры разбиений I\'lножества {а; Ь; с}: { { а }; { ь }; { с} },
{ {а; Ь}; {с}}, {{ а; Ь; с} }.
Пусть IC разбиение HeKOToporo I\lножества ...4.. РаССI\IОТрИl\1
Ек отношение "принадлежать ОДНОl\IУ классу разбиения IC", ТО
есть такое бинарное отношение на I\Iножестве А, что
( х , У) Е Е JC q. ЗJ Е К: х , у Е [(.
JIerKo убедиться в TOl\l, что отношение Ек рефлексивно, СИl\П\.lетрич
но и транзитивно.
Бинарное отношение, которое рефлексивно, СИl\П\:Iетрично и
транзитивно, называется Оn1Nошенuе.лt Эh;8uвалеnтиостu (эк;вuва
.леиmиОС1пью). ПрИl\,1ераl\.1И отношений эквивалентности служат OT
ношение подобия и отношение равновеликости rеОl\lетрических фи
r у р, о тн О ш ени е {( а, а); (а, Ь ); (Ь, а ); (Ь, Ь ); ( С, с)} н а l\'1H о Ж е с тв е {а, Ь, с } .
111
111
5.28" В J\fножестве А заданы два бинарных отношения: Р и а.
Докажите:
5..29. Отношение р на множестве А СИl\I lетрично и антИСИМ
lетрично. Докажите, что р транзитивно.
5.30. Каковы в произвольном множестве ...4 рефлексивные OT
ношения, являющиеся одновременно СИМl\lетричнЫМИ и антисимме
ТРИЧНЫl\IИ?
5.31. В l\IНQжестве А заданы два бинарных отношения: Р и а.
?
1) Верно ЛИ, что если р СИI\1rvlетричНО, ТО и рUи СИl\1l\lетричНО.
2) Верно ли, что если р и а СИМl\1етричнЫ, ТО и р \ (]' СИl\11\1е
трично?
3) Верно ЛИ, что из аНТИСИI\ll\IетриЧНОСТИ Р следует СИl\lJ\Iет
ричность отношения А 2 \ р?
4) Верно ЛИ, что из аНТИСИl\П\lетричНОСТИ Р и СУ следует, что
р U (1 и р n (J" аНТИСИl\II\lетричнЫ?
Б) Верно ЛИ, что из транзитивности Р и а следует, что TpaH
ЗИТИВНЫ р U (J' и р n (1 ?
Пусть на неКОТОрО:i\Л I\lножестве А задано бинарное отношение
р. :L\lножество всех ЭЛ€l\lеНТQВ, с КОТОрЫl\IИ 9леl\Iент а Е А находится
в отношении р, обознаЧИ1\I через р(а):
II
jlll
111
,
11.,
1
11: 1
1
I
Il
I!I
р( а) == { у Е А I (а, у) Ер}.
'1
Если р отношение эквивалентности, Iножество р(а) назывют
к:лаССО,Аt эк:в'uвадеuт UOCпIU, порождеННЫl\I аЛ€l\IеНТОl\1 а. НаПРИl\lер,
для эквивалентности [ = { (а, а); (Ь, Ь); (с, с); (а, Ь); (Ь 1 а)}, заданной
на l\lножестве {а, Ь, с}, клаССОl\I аквивалентности, порождеННЫl\1 але
1\leHTOl\1 а служит I\lножество [(а) == {а; Ь}, а клаССОl\1 аквивалент
НQСТИ, порождеННЫl\1 элеI\lеНТОI\I с I\Iножество {с}.
Из рефлексивности, СИ:\Il\l€ТРИЧНОСТИ и транзитивности отноше
:пия [. следует, что l\lножество K g всех классов эквuва.денmностu,
по рожденных аЛ€l\Iентаl\IИ l\Iножества ...4
,1111
111111
111111
111
,I"L
5.2. Разбиения и эквивалентности
{Е( а) I а Е А},
является раз6uен иелt 1\1ножества А.
111
Для построения HOBoro 1\1ножества данное l\1ножество l\10ЖНО раз
бить на непересекающиеся друr с друrОl\'1 ПОД1\1ножества; эти под
l\lножества и составят, как элементы, новое 1\1ножеСТЕО.
Разоuеn ue. t ПРОИЗБольноrо непустоrо l\-lножества ...4.. называется
совокупность ero непустых ПОДl\1ножеств К, такая, что каждЫЙ эле
l\1eHT 1\Iножества А принадлежит ровно одному ПОДlVIножеству из IC:
*
*
*
111
I
1
I
5..32. Докажите, что 1\Iножества {х 1 х Е Q, х < О },
{х I х Е Q, х О, х 2 < 2}, {х I х Е Q, х О, х 2 > 2} составляют
разбиение l\lножества всех рациональных чисел Q. Дополните ату
1'111
168
rлава 5. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
5 2. Разбиения и 2tкnивалентности
169
совокупность ПОД1\lножеств ОДНИМ l\1НQжеСТЕОl\1 так, чтобы 110ЛУЧИ
лось разбиение l'лножества IR..
5.33.. Какие из совокупностей являются разбиения:м:и l\1ноже
ства целых чисел z:
1) {{ k I k Е 7l., k > О }, {k I k Е 7l., k < О } };
2) {{3klkE7l.}, {3k+1I k E7l.}, {3k+2IkE7l.}};
3) {{ 3 + Зk I k Е :3 }, {7 + Зk I k Е 7l.}, {11 + 3k I k Е 7l. }};
4) {{ 3 + 4k ! k Е 7l. }, {7 + 4k I k Е 7l. }, {11 + 4k I k Е 7l. },
{ 12 + 4k I k Е 7l. } } ?
5.38. Какие из отношений задания 5.8 являются отношениями
8квивалентности?
5.39. Рассмотрим отношение р, задаННое в упражнении 5.2.
Какое наименьшее количество точек надо добавить к чертежу, что
бы р стало отношение1\1 еквива,JIентности на {1, 2,3,4}?
5.40. В множестве N введем бинарное отношение р:
(х,у)Ер {:} 2( : Y! 5 : +2 O.
1) Докажите, что р СИl\П\1етрично.
2) Является ли р отношениеI\1 8квивалентности?
<>
о
<)
5.34. Каждую из следующих совокупностей дополните до раз
биения lVIножества IR:
1) {{ х I х 2 + 4х 5 < О }, { х I : > о } } ;
2) {{x!log2Ixl>4}, {хllоgзХ 2}};
3) {{хl tgx O}, {х I tgx< l}};
4) {{ х I О sin х < }, {х I о cos х < },
{ х I sin х < О } }.
5 35. Приведите ПрИl\lер таких трех NIножеств 4, В, С, чтобы
совокупность {A\(BUC), B\(AUC), C\(AUB), (АnВ)\С} являлась
разбиение1\1 I\lножества А U В U с.
5.36. Пусть буквы А, В обозначают произвольные 1\IНОЖества.
Найдите условия, одновреlVlенное выполнение которых неоБХОДИl\10
и достаточно для Toro чтобы следующая совокупность l\:1ножесТВ
была разбиениеl\l 1\lножества ..4 U В:
5.41. Пусть р отношение на l\lножестве { а. Ь' С' d е f } за
, , " , ,
данное в упражнении 5..3. Найдите р(!), р(е), р(Ь) .
5.42. Пусть р отношение на l\lножестве А == { l' 2- 3- 4' 5 }
, , " ,
которое определено в задании З) из упражнения 5.1.
1) Найдите р(2).
2) Для каких элементов х из А множество р(х) состоит из
одноrо 8лемента?
3) Для каких х Е А выполняется: р(2) n р(х) =1= 07
5.43. Пусть Р отношение на множестве натуральных чисел
М, такое, что арЬ {:::} а + ь : 2.
1) Найдите р(!), р(2).
2) Существует ли n Е N такое, что n f/:. p(l) U р(2)?
3) Верно ЛИ:, что p(l) n р(2) =р 0?
I[
,1
:1'
I
1
I
1) {А \ В, в};
2) {А\В,В\А};
<> о- о-
3) {AnB, В\А}.
5.44. В множестве А больше двух элементов, а, Ь Е А, отноше
ние р == (А х А) \ { (а; Ь)}. Найдите р(а).
5.45. Найдите и изобразите На декартовой п оскости множе
СТВО p(1,2) для каждоrо из бинарных отношений р из упражнения
5.23.
11'
1:
J
'1
111;1
"1
1111
1'!lj
i
I
,
5.37. Какие из отношений задания 5.7 являются отношеНИЯl\IИ
эквиваленrности? Придумайте еще какие либо отношения эквива
лентности на множестве людей, rородов, книr и Т. П.
),11
170
rлава 5 БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
5.2. РазбиеНИJI и 2tквивалентности
171
о
о
()
5.48. Отношение р задано на lножестве А
слеДУЮЩИl\1 образом:
(а,Ь) Ер {::} 3k Е 2: а == 2 k b.
1) Докажите, что р рефлексивно и СИ 1l\1етричноо
2) Дока.жите, что р является отношением аквивалентности.
З) Перечислите классы, на которые отношение р разбивает
l\lножество А.
{ 1; 2; ... 10}
5.51. Найдите разбиения соответствующих множеств, которые
задают 8квивалентности из упражнения 5.7.
5.52. Покажите, что следующие отношения ЯВЛЯЮТСЯ отноше
ПИЯМИ эквивалентности. На какие классы аквивалентности разби
вают они соответствующие множества?
1) О "
тношение Иl\Iеть одинаковое число сторон" на множестве
всех мноrоуrольников плоскости.
2 ) О " 6 "
тношение ыть параллельными на множестве прямых
плоскости.
3) Отношение "быть подобными" на множестве I\1'ноrоуrольни
КОВ ПЛОСКОСТИ.
4) Отношение "ИI\'1еть равную площадь" на l\1ножестве !\1HOrO
уrольников плоскости.
5) Отношение "быть раВНЫl\.:lИ" на l\r1ножестве IR..
6) Отношение " Иl\Iеть Р "
авный радиус на l\лножестве KpyroB
5.46. PaCCI\-IОТРИI\1 отношение р, заданное в упражнении 5.3.
1) Дорисуйте 4 стрелки так, чтобы р стало отношение 1 8K
вивалентности.
2) Дорисуйте одну стрелку и сотрите друrую так, чтобы р
стало отноrnениеl\I эквивалентности.
З) На какие классы эквивалентности разбивают множество А
отношения, полученные в пункт ах 1 и 2?
5.47. IIa l\Iножестве А == {1, 2, 3,4} задано отношение
р = { (1, 1); (2,2); (з,3); (4,4); (1,2); (2,1); (3,4); (4,3) }.
Докажите, что р отношение эквивалентности. На какие классы
0квива.лентности разбивает оно l\lножество А?
плоскости.
7 ) От" '-'"
ношение Иl\lеть одинаковыи центр на l\Iножестве ОКРУЖ
настей плоскости.
1111
111
1
I
5..49. Пусть Е == {2; 4; 6; 7; 9; 15}. На 1vlножестве Е l\lbI опре
деляеr-.-I следующее бинарное отношение р: арЬ означает, что числа
\
а и Ь не являются взаимно ПрОСТЫI\1И.
1) Докажите, что отношение р рефлеКСИВНQ и симметрично.
2) Докажите, что отношение р не является траНЗИТИВНЫl\:I.
3) Какой 8леl\lент IvIОЖНО удалить из Е так, чтобы на OCTaB
шеl\IСЯ 1\1ножестве Е 1 отношение р стало отношением акви
валентности?
4) Опишите разбиение множества El на классы эквивалент
НQСТИ, соответствующие отношению р.
5.50. На l\1ножестве трехчленных последовательностей, члена
ми которых I\10rYT быть О или 1, определено отношение 0":
(а}, а2, аз)О"( Ь 1 , Ь 2 , ь з ) {::> ai == b i для нечетных i.
Докажите, что (J' отношение аквивалентности, и найдите разби
ение, которое порождает 0".
5.53. Найдите разбиения соответствующих l\lножеств, которые
задают акви алентности ИЗ упражнения 5.8.
5.54. На I\ilножестве IR \ { О} раССl\10ТрИ1\1 отношение р:
(х,у)Ер {:} ху>О.
Докажите, что ато отношение аквивалентности. На какие классы
8квивалентности разбивает р l\l(ножество IR \ { о } ?
5.55. На l\lножестве LZ \ { О} раССl\IОТрИl\f отношение r:
(x,y)Er {:} х+у==Оилих у=о.
Докажите, что r отношение эквивалентности. Найдите COOTBeT
СТВУIощее разбиение LZ \ { о }.
5.56. На множестве ;Z задано отношение р: арЬ {:}" а и
Ь при делении на 5 дают одинаковые остатки". Докажите, что р
отношение аквивалентности. На какие классы 8квивалентности
разбивает оно множество Д:?
5.57. На множестве IR раССМОТрИl\I бинарное отношение р, за
данное слеДУЮЩИl\1 правилам: (а, Ь) Е р, если f(a). f(b) > О, rде
f( х) == х 2 5х + 4.
I
11
I
I
,1
I
w
I
111
111
172
rлава 5. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
5.2. Разбиения и i!IIквивалентности
173
1) Докажите, что р не является ОТНQrnениеl\'I эквивалентности.
2) Докажите, что отношение р на множестве I1k \ {l, 4} ЯВЛЯ
ется отношением эквивалентности.
3) Найдите классы, на которые отношение р разбивает MHO
жество JF1. \ {1, 4}.
5) ( ( х 1 , Уl), (х 2, У2)) Е Р {:}
Х! + 2Xl + YI 4Yl == x + 2Х2 + y 4У2.
6) ((Хl' Уl), (Х2, У2)) Е Р {:}
((ХI Х 2 > О & УIУ2 > О) V
(Xl == Х2 == О & Уl #- О & У2 i- О) v
(Уl == У2 = О & Хl =1= О & Х2 =1 О) v
(х 1 == Х 2 == Yl == У2 == о»).
5.58*. На множестве [о; 21Т) рассмотрим бинарное отношение
р, заданное по правилу: (а, Ь) Е р, если СОБ а . cos Ь > О.
1) Докажите, что р не является отношением эквивалентности.
2) Докажите, что отношение r на множестве [о; 211"), такое,
что (а, Ь) Е т, если cos а. сов Ь > О или СОБ а == cos Ь, является
отношениеI\.l эквивалентности.
З) ffайдите классы, на которые отношение r разбивает MHO
жество [о; 2к).
5.59. На множестве функций, определенных на отрезке [о; 1],
задано отношение р:
(1, у) Е Р {:} ([(О) == у(О) & 1(1) == g(1)).
Покажите, что р отношение 8квивалентности. Опишите COOTBeT
ствующие классы эквивалентности.
5.60*. Введеl\1 в 2 бинарное отношение р следующим обра
5.62*. ЗадаДИl\1 отношение r l\Iежду параlVIИ вещественных чи
сел слеДУЮЩИl\I обраЗОl\I:
( ( х 1 , Уl), (х 2, У2)) Е ; <=} х 1 . (1 + У2) == Х 2 . (1 + Уl)'
1) Докажите, что р не транзитивно.
2) Далее будеl\1 раССl\1атривать i лишь В полуплоскости
п== {(х,у) 'Y> 1},
т. е. l\tlежду парами вида (х, у), rде у > 1. Проверьте, что
r отношение аквивалентности в 7r.
З) Опишите соотвеТСТВУIOlцее r разбиение полуплоскости П
на классы эквивалентности.
11
1
111
':11
11
111
(Хl, Уl) Р (Х2, У2) {:} Xl + Yl == Х2 + У2.
5.63*. Пусть Х н€пустое множество, а фиксированный
злеI\1€НТ из Х. Отношение r....- на l\lножестве всех ПОДlVIножеств MHO
жества .J1( определяется так:
Ar....-B {::} А== В v а ft AUB
Докажите, что rv есть отношение 8вивалентности и опИIIlите клас
,
сы разбиения по этой эквивалентности.
1) Докажите, что р отношение эквивалентности.
2) Опишите соответствующее р разбиение ПЛОСКОСТИ IR;.2.
3) Каж,ДЫЙ ли класс разбиения состоит из бесконечноrо числа
точек?
4) Является ли р отображением }R2 ]R2?
5.61 *. Докажите, что следующие отношения на JR2 являются
отношеНИЯl\1И 8квивалентности. Опишите соответствующие разбие
иия IR 2 на клас'сы эквивалентности.
<>
о
о
1111
!
111
111111
Illi
I1
11 '
111
!
1,1
11:
11
3 01\1:
5.64. РаССМОТрИI\1 разбиение ПРЯl\-IОЙ IМ.: S == { [п; n + 1) } nEiZ'
КаКИl\1 отношениеlVI аквивалентности порождается ато разбиение?
1) ( ( х 1 , Уl), (х 2, У2)) Е Р {:} Хl ..:... 2Уl =: Х2 2У2.
2) ( Хl, Yl), (Х2, У2)) Е Р {:} IXll IYll == I X 21 IY21.
3) ( ( х 1 , Уl ), (х 2, У2)) Е Р {:} 2 2 2 2
Х 1 + Уl Х 2 + У2'
4) ( ( х 1 , Уl), (х 2, У2)) Е Р {:> 2+2 2 2 2 2
Х 1 Хl + Уl Х 2 + Х2 + У2'
5.65. Для каждоrо из следующих раз биений плоскосТИ опишите
(аналитически) отношение эквивалентности, задающее ато разби
ение: 1) разбиение ]F{2 на окружности с центром в точке (О, О);
2) разбиение JPt2 на прямые, параллельные оси Ох;
3) разбиение rn;.2 на прямые с уrловым коаффициеНТОl\1 2;
4) разбиение Il{2 на окружности с центром в точке (1,2);
5) разбиение JR2 на полосы ширины 1, параллельиые оси Оу.
I
I':I!
11
'!,'
174
r.пава 5. БИIIАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
175
5.66*. Задайте на множестве Х = {х Е 10 < х < 2} отно"
шение эквивалентности такое, что ero классы 8квивалентности есть
множества {х Е ffi. I о < х < 1 }, {1 }, {х Е IR 11 < х < 2 }.
5.67*. Множество всех функций, определенных на отрезке [о; 1],
разбито на 3 I\lножества: А+ = { f I 1(0) > о }, A == { f I /(0) < о }
и Ао = {! I 1(0) == о }. Какое отношение эквивалентности (задайте
ero аналитически) порождает данное разбиение?
5.68. Опишите аналитически отношение аквивалентности, за
дающее следующее разбиение множества IR:
{ { х I 21r(k 1) < х < 21rk, k Е д::}, {х I х == 1rk, k Е д::},
{ х 121rk < х < 21r(k + 1), k Е д::} }.
ОТВЕТЬ!
rлава 1. МНОЖЕСТВА
,
1.1.
1.2.
1.3.
9) И
Высказывания: 1), З), 6) 7); предикаты: 4),8),9), 12) 20).
ИСТИННЫ только 6) и 7).
4) Л при люБОl\I Х Е IP2.; 8) и при любом n Е N;
Л
е
l'
11
{ 1,
1 11
, '1
,1,
д
С,
I!
1 "
IL
1111
11
1"
11'111
:1
11:,1
1
l'
12) Ипри х == 1, у == ; . Лпри х == 1, у = о; 13) Ипри х == 2, у == 3.
Л при х == у == о; 14) И при любых х, у Е JR;. 15) Л при любых
х, у Е Шl; 16).Н при любом х Е lR.; 17) И при люБОl\1 Х Е IPl; 18) л при
люБОl\1 Х Е IP5.; 19) И при люБО!vl Х Е JR., х i- 7r 2 k , k Е ;Е; 20) Л при
ЛJоБОl\1 Х Е JШ.
1.4. Предикаты: 1), 4), 6), 7), 8).
1.5. Среди предикатов упражнения 1.1 тождеСТваl\IИ являются:
8), 14), 16), 17), 19), а неВЫПОЛНИl'vIЫ1\fИ предикатаIYIИ: 4) (в области
вещественных чисел), 15), 18), 20); среди предикатов упражнения
1..4 тождеСТБОМ является 7), а неВЫПОЛНИl\1ЫХ предикатов нет.
1.6. 1), 3),4).
1.7. Тождества: 1),5),6),7),8),10),12),1з),14),15).
1.8. 1) ==; 2) ; 5) ; 6) ; 8) ; в выражения З), 4), 7) He
льзя поставить ни ОДИН из указанных знаков так, чтобы получилось
тождество.
1.9. 1) а == о; 2) а == 1 ; 3) а = о; 4) нап рим ер, а == 3;
5) например, а == ; ; 6) например, а == ; ; 7) а == 4; 8) а = 2.
1.1 о. И с т инны: 1), 3), 5), 6), 8), 1 О ), 12), 13), 16).
I
li I
1
\111
11111,
I
1:1
,
111'1
I I
IIII! I
11
J
1.30. 1) х + 1 -1- о; 2)1 V 1 х о; 3) х > 8; 4) cos(2x 3) -1- о.
1.31. 1) х 2 о; 2) I I > о; 3) 1 О' 4 ) / x 1 О .
х V X 3"'-' v :;/ ,
5) fi + v! 6 х == о; 6) V X 5 + V5 х == О. 7 ) vx = О -
, у 2 х '
8) ctg4.r = о. 1.32. а 3. 1.33. а < 2. 1.34. а з.
1.35. 1) {1; 2}; 2) { 2; 1; о; 1; 2}; 3) {... . з' 2' О. l' 2' 3}.
4) {О}; 5) {1; 2}; 6) { 4; 3; 2; 1; о; 1; 2; З;'4};' 7) '{ i. i}.'
8) {2; 4; 6; 8; 12; 24 } . 'З '
1.36. Истинны: 2), 6), 9), 10}, 13), 14), 15), 16).
1.37.1) {xlx>14}; 2) {xlxEIR}; З) {xI5<x 8};
4) {х I х < О }; 5) {х I х # о }; 6) {х I х > 1 }.
1.38. IIаПРИI\Iер: 1) (х + 1 )(х 2)( х 3)(х 10) = о;
2) х(х 1 )(х + З) == о; 3) х(х + 3) == о; 4) х 5.
{ а == 1 { а == l
1.39. 1) или
Ь == 2 Ь :::: 5-
,
176
ОТВЕТЫ
rлаnа 1 МНОЖЕСТВА
1.11. Второй предикаТ является следствием nepBoro: 1), 4), 6),
7); первый предикат является следствием BToporo: 2), 3); первый и
второй предикат равносильны: 5), 8).
1.12. 2),5),6),8). 1.13. 1),з),4),6),7),8). 1.14. 1),5),6),7).
1.15. 1) а = t; 2) а = З; З) а > i-; 4) а = 1; 5) V8 < а < J8;
6) а == 1.
1.lG. 1) а < 5; 2) а 2; З) а > 2; 4) а з; 5) а 2;
6) а? 1; 7) а 1; 8) нет таких а; 9) а < о; 10) а < 9.
1.17. Собственные ПОДI\lножества: {l}, {2}, {З}, {4}, {1; 2},
{1;3}, {1;4}, {2;З}, {2;4}, {3;4}, {1;2;3}, {1;2;4}, {1;З;4},
{2; 3; 4 }; ПРИ!\1ер требуеl\1ЫХ ПОДl\lножеств: А = { 1 }, в = { 1; 2; 3 },
с = { 2 }) D == {2; 3 }.
1.18.1) А== {2}, в=={1;З}, с== {1;2}, D= {1}, Е= {2;4};
2) А=={1;2}, В={3}, С={2}, D={1}, Е={2;3};
З) А={1;3}, В={1;2;3}, С={1;2;4}, D={1;2}, Е={I};
4) А.={1;2;З;4}, в=={1;2}, С={I}, D={1;3}, Е={1;2;4};
5) А={1;2}, В=={2;З}, С={1;2;З;4}, D={1;2;З}, Е={2};
6) А = 0, в == {з}, с = {з; 4}, D = {1; 3 4}, Е == { 1; 2; з; 4};
7) А::::: {1; 4 } , в == { 4 }, с = { 2; 4 }, D = {3; 4 }, Е = { 1; 2; з; 4 };
8) А={2;З}, В={1;2;З}, с={з}, D={1;2;3;4}, Е={1;3}.
1.19. Не существует, Т.К. ..4 С С и С с А, т.е. А = с.
1..20. IIаПРИl\'lер, ..4 == { 1; 2; 3}, В = { 1}, С == { 1; 3},
D=={1;2}, Е=={1;2;3;4}.
1.21. Пр И1\1 ер: А = { 1 }, в == { 1; 2 }, с == { 1; 2; з; 4 } ,
D == { 1; 2; з}, Е == 0.
1.22. вычеркиваеы1 условие С С ...4; остаВШИl\IСR УСЛОВИЯl\1 jДО
в л ет в о ряю Т, нап р И1\.1 ер: А = {1; 3 }, в == {1; 2 }, с == {1; з; 4},
D == { 1 }, Е == { 1; 2; 3; 4}.
1.23. 1) 2; 2) з; 3) 1; 4) 2; 5) 2; 6) 1; 7) 1; 8) 2.
1.24. ИСТИНННЫ 1),6),8), а ложны 2) 5),7).
1.25. ИСТИНННЫ 1),2), 4), 5), 6), а ложны 3), 7) и 8).
1.26. Н ап р И l ер, А == {1}, в == { { 1 }; 2 }, с == { { { 1 }; 2}; 3 }.
1.27. IаПРИ!\lер, {о; {0} }.
1.28. 1) { 2}; 2) 0; 3) ( (X)i 15]; 4) [ 1; 1]; 5) ( l р:п ;
l:i:р:п ); 6) ( 1; 2); 7) {2 + YI7; 2 J7}; 8) { З; 2; 2; 3}.
1.29. 1)
4)
х
3)
о
х.
6)
7)
о
х.
+
:1'
177
11'
1
,
1,
111
1111
1\
I
I
I! '
5)
,
t
. .... . .. .
'1
111.
I
J'
1,11
III ,
11111111
111
II
,111111
:11
I
11;1'1
l'
178
ОТВЕТЫ
rЛ8ва 1. МНОЖЕСТВА
179
7) ЗА . . ,
. .
. .
2.А ......
.
.
. .
1i ,
....-+
I I
.
, 2.. I
.
I
. .
..7{ . . ' ·
9) ВСЯ плоскость.
2) а == 9k, Ь == 27k, с = 20k, k -# о;
3) а == 3, Ь == 1, с Е { 13; 14; 15}
1.40. 1) J1; 2) Jf; З) истинностное значение А любое; 4) Л;
Б) Л; 6) истинностное значение ..4 ЛJобое.
1.41. Истинны: 1), 2); ложны: 3), 4).
1.42. ОтрицаНИЯl\IИ дру! друrа являются только пары предика.
ТОЕ из 3) и из 5).
1.43. 1) ..4 == { з; 5 }; 2) А == { 2 }; 3) \ == { о }; 4) 4. == IR \ {О};
5) 4 == [3; 5); 6) А == ( 2; З).
1.44. 1) а. > 2; 2) а 2; 3) 1 а 2; 4) а == 2.
1.45. 11 ап р ИI\ I ер: 1 ) ( 3; 1 ) ; 2 ) ( 1; 1); 3) ( 3; З); 4 ) ( 2; 4 ) ;
5) ( 2; 2); 6) (3; 4); 7) (1; 4); 8) (2; 2); 9) (о; 4); 10) ( 4; О).
'!4( .-'////ij). 2 ) ...........,,' cf'// //)
1.46. 1) 1 .3 i 8
//////// """''0 01'1'0///)
4 4) 1 В
///////0
3) 3
2)
.
.
.
: :.с
2.
у 5)
: 000 i Х
2
--1 О
.
.
..2 ............ -- -
W/ I
1("
:IC
З) са
1.48. 1) 3), 2) Б), 3) 2), 4) 1), Б) 4).
1.49. 1) а == 1 v Ь == о; 2) а f= 1 & Ь"# l; 3) а == 1 & Ь f:- 1;
4) а f 1 &. Ь i- 1; 5) а 3 V а з; 6) а < 4 & а > 2;
7) а. == О & Ь == о; 8) а f 1 V Ь i= 1.
1.50. 1 ) а = О v а == 3; 2) а == о; З) н ет т а.ки ха; 4) а == О и л и
а == 2; 5) а == 1; 6) О а 3; 7) 3 а VI9; 8) а. == 1;
9) а == О.
1..51. 1) а == 1; 2) а == о; а == 1.
1.52. х 6 или х:( 5: следует из 4), 8).
1.53. 1) 3 а 4; 2) 1, 5 а 2; З) таких а не СУlцествует;
4) а любое вещественное число; 5) а любое вещественное
ЧИСЛО, 6) а? 4; 7) а > 4; 8) а 4; 9) 2 а 3; 10) таких а
не C).IHecTByeT; 11) 4 а 1; 12) 2 а 3.
1.54. 1) O a 5; 2) a OVa 116 ; З) a T Va?O;
4) а < О v а > 1; 5) а О v а 1; 6) О а ; 7) таких а не
существует; 8) а о; 9) а о; 10) < а о.
1.55.. 2 а 1. 1.56. 1) а 2; 2) а С 2. 1.57. 1 а 4.
1..58. а 4. 1.59. а . 1.60. IlаПРИI\lер, а == 1 или
а. == 1,01.1.61. IlаПРИl\lер, J(x) == x+g. 1.62. При а == 1 и люБО1\1
Ь, при а. > 1 и Ь < О, а также при а < 1 и Ь > О.
1.63. При а == О и ЛJоБОl\I Ь, а также при ненулевых а и Ь,
Иl\lеющих противоположные знаки и та.ких, что Ibl 21al.
1.64. 1) n 10. 2) TaKoro n не существует. 3) 1 n 12.
4) 43. 5) t Е { 15 } U [16; +(0).
1.65. 1) для любых t. 2) 26 t 34. 3) 9 t < 9,5.
4) х Е [9; 9,5). 5) 10,9< ос 11. 6) 8, 9 х < 9.
7) 11+fИ < х 11.
1.66. 1) Изображение C t кру! с центром 8 точке (t; t) и
раДИУСОl\1 1. Изобра.жение /\t ПрЯl\Iоуrольник, нижнее основание
KOToporo есть отрезок оси ОХ ОТ точки (t; О) до точки (t + 4; О),
\
111,
.
111
,
,
t
1IIIi
I
111
;]11111
r
l'
J..
6)
2Ji
з{
.....Х-
(1 2 '3 "
..:n I
lllil,1
111111
::.
'11 1 1
11
1 "
: I
l'
I
1,1
I
180
ОТВЕТЫ
rлава 1. МНОЖЕСТВА
181
11
111
I
высота равна t+4. 2) t Е [ 2; 2]. 3) [1; 2]. 4) не верно, А(8; 8) Е Св ,
5) 11 t 13. 6) 7 t 9.
':)с
у == {d;e;f;x;y;z}; 5).-rУ == {a;c;e;x;z}, У = {a;b;c;d;y}.
1.73. 1) Х == 0; 2) Х == {1}; З) y любое ПОДIVIножество
l\lножества ...4; 4) требуе1\Iоrо Х не существует; 5) .f1( == 0; 6) __4 == х.
1.74. 1) i == 1: ..4 == 0; i == 2: А == 1; i == 3,4: нет таких А;
i == 5: А любое; i == 6: ..(4 = 0;
2) i == 1, 2, З, 4, 5: ..4 лю б о е; i == 6: А == 0;
3) i == 1: ..4 == 1; i == 2: ..r-! == 0; i == З,4: А любое; i == 5,6: таких
..4. не существует;
4) i == 1: 4 ДВУХ9леl\lентное l\lножество; i == 2: ..4 одноале
l\IeHTHOe I\Iножество; i == 3,4,5,6: таких ..4 не существует.
1.75. 1) А о u в о ; 2) .04. о пво; 3) Ао \ в о; 4 ) ..4 ; 5) ( в о U В + ) с ;
6) (-,4+ n В +) U ((..4 о u ..4 + ) с n ( в о U в + ) С) ;
7) (( 40 U ..4+)С n В+) U (..4+ n (ВО U в+)С));
8) (..40 U Во) U ((..40 U ..4+)С n В+) U (-,4+ n (ВО U в+)С));
9) .<40 u Во U (А+ n В+) U ((Ао U..4+)C n (ВО u в+)С);
10) 10 U ((..40 U А+)С n в+) U (А+ n (ВО U в+)С));
11) 40 U С4+ n В+) U ((..40 U А+)С n (ВО U в+)С).
1.76. 1) 2) А
д в 8
1 11 '11
,11
I
11'
1) 4з; 2) 4з; З) I1l; 4) 42; 5) I\Iножество всех ПР:I\10
у['ольников, не RВЛЯЮЩИХСЯ квадратаl\IИ; 6) l\.lножество всех p01\IOOB,
;Ie ЯВJlЯЮЩИХСЯ квадратаl\IИ; 7) 1\lножество всех параллелоrраl\Il\10R,
не ЯВЛЯЮЩИлСЯ пряr-.Iоу['ольника.I\lИ; 8) I\Iножество всех параллело
I'раl\.П\IОВ, не ЯВЛЯЮII{ИХСЯ рОl\Iбаl\lИ; 9) I\lножество всех РО1\lбов, не
являюutихся квадраrаl\IИ; 1 О) 0.
1. () 8 . 1) ..4 U В == { 3; 4; 5; 6; 7: 8; 9 } , ..4 n В == { 6; '7},
..4. \ В = { з; 5; 9 }, в \ 4 = { 4; 8 };
2) А u В == { 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 }, ..4 n в == (о, ..4 \ В == { з; 5; 6; 7},
в \ ..4 == { 2; 4; };
З) ",4 U В == {2; 3; 4; 5; 6 }, 4 n в == в = { 3; 4; 5 }, А \ в = { 2; 6 },
в \ 4 == 0;
4) :\UB == il., == jl 4ПВ == в I,J. .{\B == {... , 2, 1, О}, B\ -1 == 0;
5) 4 U Н == IR. Arl n в == tJJ, ..4 \ В == * \ {] == JJ, В \ 4 == (()
6) .f u В == (Q, 4 n В == Z, ..4 \ В == 0,
в \ ..4 = { х == т;: I т Е 2 п Е IЧ, дробь r;: несокраТИl\'1а};
7) 4 u В == [о; 5], 4. n В == [1: 2], 4 \ В = [о; 1) , в \ 4 == (2; 5];
8) ..4uB == [о; 2]U{ 4; 6}, АnВ = {О}, ..4 \В == (о; 2], B\ 4 == {4; 6};
g) ..4 u В == ( ею; 7], А n В == { з; 4; 5 },
А \ в == ( oo; 3) U (3; 4) U (4; 5) u (5; 7], В \ 4. == 0;
10) AuB == [1; 7], ..4пВ == [2; 3)U(5; 6], А \В == [1; 2)U(6; 7],
В \ 4 == [з; 5].
1.69. 1) {(1, З), (1,4), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4) };
2) {(1, 4), (3, 4), (4,4)}; З) {(3, 1), (3,4)}; 4) {(3, 4)}.
1.70.1) )( == {1; з; 5; 6; 7}; 2) Х == {1; 3; 5; 6; '7};
3) )\ == { 2; 3; 6; 7; 8 }; 4) Х == { 1.,; 2; б; 7 }; 5 ) ""\ == { 1; 2; 5; 6 };
6) Х == {2: 4; 5; 6}.
1.71.1) )( == {2; 4; 6; 8}; 2) Х == {2: 5}; 3) )( == {1; 3}.
1.72.1) ).; == {a;b;x;y;z}, у == {c;d;x;y;z}: 2) ){ == {a.;c;d;e},
у == {b;c;d}; 3) Х == {а}, У == {b;c;d} 4) .ly == {a;b;c;d;e;f},
II::
1
I
1
,1
1111
3), 4)
А
5)
А
8
I, I
lIIi
111
I!,
I'i
I
I
с.
в
с
с.
1.77. 1) IIаПРИI\lер, (..4 \ В) n с) u ((В \ ..4) n с);
2) Н ап р Иl\l ер, ( (.<4 n В) \ С) u (с \ (.. u В)) ;
З) ((..4 \ (В U С)) u (( в \ (А u С)) u (с \ (..4 U В)) .
1.78.1) ..4nВ AUB
о 1/;1/ /4
! -4
,1111
,
I/({I/////j/I/h/
--. 1
.,...
i H
11
I I
1, I
I I
1/:111
11
111
1.
...
..(4 \ в
U/Jfi/f
I 3
2)
1 ,
182
З)
4)
I
. '.
...1
'"
()
rлава 1 М
. НОЖЕСТВА
183
ОТВЕТЫ
JjJ/lj/
s- ,
х.
4)
..
6)
,
:
I I
:111
7) ,
Х 1"
:
I
I
01 II ""I.!c
3 4
;«111<1 11/1 II ' '''I
2
1.79.
З)
6)
1.80. 1)
5) I '1
&ш I!!1
. '
.
х
8)
\\ . . .
.
1111.1:
III,!II
.2
. .
ii f!lifh 1Iп i
8) 5' J
I
111
1111
111:
'1
11.
111
7)
.
..
.
.
.
.
.
()
ut
.
.
",.
..
10)
.. .. . .. у
. .
. .
. .
II
9П-"' . ... ..
i I .......
I · .,... ...
.
.. 5 ,,"
. .. ..: :
t t .. ..... ·
. . .........
. ...
N x ' : :
, '
2..... . -' ·
I .. ... ... I
211: .' . .. .. . ·
. ... Jr
....lП: : . 811 Х
о. - .. ... ·
.. ...
...,.... r
.. ...
.
. .
. -.. ..
J . .
,\1/11
I!III
I(
;!
1' 1 1
I t
11'
i !Ij
2)
.. ..... 1.
.
.
.
.
. .
... .
, .. ..
. A ... t.n
. .... .. l1li . .. ...
.
.
..
· OL
.
. .
. .
. . . .. .
а
4
..!,
184
ОТВЕТЫ
185
..%'Jt
SJf
..
шr
.
:(.
1.86. 1) t > О. 2) t ;?= О 3) Изображение множества C t есть
Kpyr радиуса V'ТJi с центром в начале координат; изображение !{t
есть прямоуrольник, нижнее основание KOToporo отрезок оси Ох
от точки (t; О) дО ТОЧКИ (2t; О), а высота равна t. 4) О < t 1.
5) 6) t = О или t * 7)
'
'
y
\,
11)
у
... ...-=-3 .
.......'1....
..f
,
....... - .
2.
12)
Vll lIJ_ . ] '[ JI{. ---. 1..._..
. . "Л' I . · .. ".
w' . t · .. t ,
. . 1. ..' I . .. · I
. . I · , '. .
. · .. . . . ..... · J ." .. . ' / '
°1/1 0- JY ,/ '"/1 I , '1, j, " .
: I . :r. .1 1.. . . ! I 11.:.. .. .'... .1 . . . ." 11. . ., / l'
I
I1
I
1.88. Наибольшее БОЗ!\fожное количество элементов в А u В,
А n В, А \ в, в \ А равно р + n, n, n, р соответственно, а
наи:rvIеньщее О, О, р n соответственно.
1.89. р + n k. 1.90. 43. 1.91. 20. 1.92. 10%. 1.93. 1 %.
1
i!il!
1.81. НаПРИ1\lер, а = 11. 1..82. НаПРИl\1ер, а = 51.
1.83. 1) t ;?: о; 2) t 5; 3) 1 t 2; 4) t 4;
5) t Е (2; 4] U ( I:X); 1); 6) TaKoro t не существует; 7) О t 4;
8) t > ; 9) t 5; 10) t Е ( oo; О) u (4; +00);
11) t Е ( cx); O)U(4; +(0); 12) t > ; 13) t Е ( oo; O)U [ ; +(0);
14) t Е {О} u а; 2]; 15) t Е [ 1 2YIЗ ; l-;vfзЗ ] .
1.84. 2) Нет, наПрИl\lер, 1 принадлежит не BCel\1 Bt, О t 1.
1 Д
3) "2 < t 2.
1.85. 1) 2)
rлава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ языIАA
МА ТЕМА ТИ И
I!I
l'
4)
2.1. 1) И; 2) И; 3) И; 4) Л; 5) И; 6) И; 7) Л.
2.2. 1) Л; 2) И; 3) Л; 4) И; 5) И.
2.3. 1) Л; 2) И; 3) при люБОI\f истинностном значении высказы
вания А; 4) неВОЗl\IОЖНО ни при какиХ истинностных значениях А;
5) неВОЗl\10ЖНQ ни при каких истинноСТНЫХ значениях А.
2.4. 1) Верны утверждения 1), 5), 7). 2.5. 1) И; 2) И.
2.6. 1) {1}; 2) N; 3) N; 4) {1; 2}; 5) N; 6) {1; 2};
7) {1;2;3;4;6; 12}; 8) {,Зkl kEN}; 9) М; 10) N\{1;2;3;4;6};
11) {3; 6; 12} U { х Е N I х J 3 }; 12) N; 13) {х Е N I х 13 };
14) N\{ 1; 2; 3; 4}; 15.) N\{ 4; 12}; 16) М; 17) N\{ 4; 12};
18) {6; 12} U { х Е N I х /6}.
2.7. 1) {1; 2 }, {1; 2; 3 }, { 1; 2; 4}, { 1; 2; 5 }, { 1; 2; 3; 4},
{ 1; 2; 3; 5}, {1; 2; 4; 5}, {1; 2; 3; 4; 5}; 2) х любое подмноже
СТБО множества 1; 3) Х любое подмножество l\1ножества 1, co
держащее 1; 4) Х любое ПОД1\1ножество множества 1, не coдep
жащее 8леNr:ент 4; 5) {1; 2; 4}, {1; 2; 5}, {1; 2; 4; 5}, {1; 2}.
"
11
111
11:,
,Ir
III I
11
":111
х
IIJII
J
!
1 11
. 111
'1:111
"1'111
111
I!:I
,
1) Н А { 2. 3' 1 V41 . 1+V41 } . 2 ) например,
2.8. апример,. " 2 ' 2 '
А = {О}; 3) TaKoro А не существует; 4) TaKoro А не существует:
2.9. 1) а Е [2; 4]; 2) нет таких а; 3) а Е [1; 2]; 4) нет таких а,
5) а Е [3; 5]; 6) нет таких а; 7) а Е [2; 4]; 8) а Е [о; 1] U [4; +00);
9) а Е [о; 1] U [3; 4].
2.10. 1) 2)
186
3)
5)
7)
2.11. 1)
.
1
1.
4)
6)
8)
2)
ОТВЕТЫ
rлаnа 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ
187
3) .'J'III//////'tf
.. 3
4)
. .
f 3 4
2)
1,
1
11
11
1
8
1,
111 1
ii '
1I'IIi
,111
2.12.
Ij,
11:'1
r
2.13. 1) (А & В) С. 2) (.11 & В) (С V D).
3) (А B) & (tA В). 4) ..4 (IB & C).
5) ( A & ,В) (С v (D Е». 6) ((А & В) & С) (D & Е).
2.14. 1) если сеrодня ЯСНО, ТО неверно, что сеrодня ясно и идет
дождь; 2) если вчера было naCI\lypHO, то сеrодня идет или CHer,
или дождь; З) сеrодня ЯСНО, или неверно, что, если вчера было
nal\1ypHO, ТО сеrодня идет дождь; 4) вчера было naCl\lypHO, И, если
сеrодня идет дождь или CHer, ТО сеrодня не ясно; 5) если сеrодня
идет дождь или CHer, ТО сеrодня ясно.
2.15. 1) Если будет хорошая поrода, то я поеду за rород, а если
поrода будет плохая, то R останусь ДОl\1а и буду читать интересную
книrу. 2) Если будет хорошая поrода, то я пойду в лес или на
стадион, а если будет идти ДОЖДЬ или будет ХОЛОДНО, ТО. R пойду на
концерт или в кино. 2.16. 2), 3), 5), 6).
2.17. 1) X<Y ((xY>O :>b) & (xY<O :<b)).
2) (С Х У:3)Л(Х У /9)) (((Х:3)Л(У/3))V((У:3)Л(Х/3))).
II
t1:1
i
111111
I11
I11
1II11
11 1
' 1
',11
11
1111
-..,
r:JJf'J(,.,.
8
1,' :
!,!I
t
3 4
188
ОТВЕТЫ
rлава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ
189
2.18. Обязательно верны утверждения 2), 4), 5).
2.19. Обязательно верно только утверждение 1).
2.20. Например: 1) предположиl'Л, что ХУДОЖНИК .L'y красный
цвет не любит. По условию, он не любит также и синий цвет. To
rда, соrласно друrому из условий, он должен любить зеленый цвет,
однако по условию он ero не любит. Полученное противоречие дo
казывает, что наше предположение неверно И, на самом деле, xy
ДОЖНИК Х красный цвет любит. 2,,21.. Второй студент.
2.22. Сдали 8кзамен все четыре студента. 2.23. Да.
2.24. В 1 о скву едет А. 2.25. 1) в), д), е). 2) д). З) з), и).
2.26. 1) Лi 2) Лi 3) И; 4) Л; 5) Иi 6) И; 7) Л; 8). Л; 9) И;
10) И; 11) И; 12) И.
2..27. 1) Раскраска 2; 2) раскраска 3; 3) а) раскраска 2;
б) раскраска 1, раскраска 2; 4) раскраска 1, раскраска 3; 5) а) pa
скраска 2; б) нет такой раскраски; 6) а) раскраска 1; б) раскраска
2; в) раскраска 1, раскраска 2.
2.28. 1) При а == 1 истинно, при а = О ложно; 2) при
а =: 100 истинно, при а == О ложно; 3) при а = О истинно,
при а == 100 ложно; 4) при а == lOO истинно, при а == О
ложно; 5) при а = 1 истинно, при а == 100 ложно; 6) при
а == О ИСТИННО, при а == 10 ложно; 7) при всех а ложно;
8) при всех а истинно; 9) при всех а истинно.
2.29. 1) Для А == [ l; 1] истинно, для А == [4; 6] ложно;
2) для А = JR истинно, для А = [о; 1] ложно; 3) для
А [ 100; 10] истинно, для А [о; 1] ложно;
4) для А = [ 1; 1] истинно, для А == [11; 12] ложно.
2.30. 1) При всех а; 2) при а ; 3) при а > ; 4) ни при
каком а; 5) при \al > 2; 6) при а t; 7) при а >!; 8) при а > t;
9) при а < О и при а > 4; 10) при а t 2; 11) при а Е [0;4]; 12) при
а > 1 + JЗ.
2.31. 1) lБk; 2) {О}; 3) 1R\{ О}; 4) 0; 5) [ 1; 1];
6) ( oo; 1)Щ1;+оо); 7) [ 1; 1]; 8) ( OO; 2 1 u [ 2 + ; +(0) ;
9) JR; 10) [4; +(0); 11) 0; 12) ( 8; 8);
13) ( oo; 7) U ( 1' 1) U (7; +(0); 14) 0; 15) JR; 16) (3.
2.32. В -----+ А истинна; А -----+ В ложна, например, в случае
Р(х, у): х < у.
2.33. Например: 1) Р(х, у): х 2 + у2 == о; 2) Q(x, у): ху == о;
3) R(x,y): х(х+у)=О; 4) S(x,y): х(у2+1)=0.
2.34. 1) t 2)
.ф r/' '-
;
4-
'I L1
I
I
l'
,:,с,
6)
I
I
I1
Ir
:с.
.):.
10)
:1: 1
11
11:1
11:111
8) (21
111[1
ж
2.35. 1) "Если х простое, ТО оно нечетно". Ложно. 2) "Для
любоrо х, если х делится на 2, то х четно". Истинно. 3) "Cy
ще твует число х, которое четно, или 6 делится на х". Истинно.
4) Существует число х простое или четное". ИСТИННО. 5) "Вся
кое число х либо простое либо чет ное " Ложно 6) " д
, .. ля всякоrо
числа х, если х простое ТО ОНО нечетно" Ложно 7) " д
,. . . ЛЯ В сяких
чисел х и у, если у делится на х, то у > х ". Ложно. 8) "Для
всяких чисел х и У, если х четно и у делится на х то учетно"
Истинно. 9) "Существует такое х, что для всех у', если у и
',1
I I I
11
II
111,1
11
',1
i r,
I'r ll
I
111
190
ОТВЕТЫ
rлава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ
191
"1
делится Н а х" ИСТИННО 10 ) "Для всякоrо х найдется
целые, то у ..
. "ИСТИННО
такое число У, что, если х и у целые, ТО у: х . ."
2.36. 1) ух Р(х), rде Р(х): "Рыба х уме:т плавать,;
2) 3 Q(y) rде Q(y): "Река у впадает в Каспииское море .
3) 3;(P(x)&Q(x)), rде Р(х): "Число х чет ,О"; Q(x): "Число х
8 " 4 ) ( Vx R ( x )) rде R(x): Птица х Yl\rleeT ле
делится на ., "
" 5) ......, ( 3х Р ( х )) ['де Р( х): "Собака х умеет мяукать .
тать . , " Q( ) " б
6) \;/х (Р(х») Q(x)), rде Р(х): "х хочет, х: х" до ьeT
r " 7 ) ( 3х Р ( х )) ( 3yQ(y) ) , rде Р(х): В месте
ся желаеl\10 о . "
" Q(y) ' "В момент У заrремит rpOM .
х сверкнула l\10ЛНИЯ , .
8) (зхР(х)) ------+ Р( Коля) , rде Р(х): "Человек х может прыrнуть
"
в окно .
2.37. 1) 3х (Р(х) л Q(x»);
З) Зх (Р(х) Л .Q(x));
5) УХ (Р(х) ------+ (Q(x) Л R(x))); 6) Зх
7) (Ух (Q(x) (Р(х) V R(x)))) ;
8) Vx ((Р(х) л Q(x)) +--+ (Р(х) Л ,R(x))) .
2.38. Например: 1) 'VXl 'VX2 (Р(Хl) & Р( Х2) ......,. хl == Х2)'
2) 3Хl 3Х2 ('Х 1 == Х2 & Р(Хl) & Р(Х2) &
& Vхз (Р(хз) -----+ (хз == хl V хз == Х2)) ).
3) 3Хl 3Х2 3хз ('Х 1 == Х2 & 'Х2 == ХЗ & 'Хl == ХЗ & Р(Хl) & Р(Х2) &
. & Р(хз) & Vx (Р(х) -----+ (х == хl V Х :=: Х2 V х:=: х з ))).
4) 3х 3у « 'Х == у) л Р(х, у)) . 5) Ух Уу (,х == у -----+ Р(х, у)).
6) ЗхVу ( y==x P(x,y)).
2.39. 1) \/х (х Е А....-+ Зу (у Е В ЛР(х,у)));
2) 3х 3у (х Е Алу Е ВЛР(х, у)); 3) 3х (х Е А л Vy (у Е В -----+ Р(х, у)));
4) Ух (х Е А -----+ (Р(х) -----+ (3у (у Е В Л Р(у))))). .
2.40.1) \/хЕNЗуЕN y 2x+l; 2) 3yENVxEN xy x,
3) Vx Е N Уу Е N х + у > о; 4) 3х Е N 3у Е fi1 х у < о:
2.41. 1) 3у 3х Ix\ < 3 у, 3х 3у 'хl < 3 у, Vx 3у 'хl < 3 '
2) 3у 3х х < 3 Iyl, 3х 3у х < 3 Iy\, Vy 3х х < 3 Iyl,
3) 3х 3у \хl х + \у\, 3у 3х Ixl х + Iyl, 3х Уу Ixl х + Iyl,
Ух 3у Ix\ х + Iyl, Уу 3х \х\ х + Iyl; 4) 3х 3у х Ixl + у,
3у 3х х Ix\ + у, Ух 3у х Ix\ + у, 3у Ух х \х\ + у,
Уу 3х х lхl + у
2) 3x (Р(х) V Q(x));
4) 3х (Р(х) Л Q(x) V R(x));
(Р(х) Л Q(x) Л .R(x));
2.42. Например: 1) Достаточно взять х == 127. Действительно,
тоrда log2(x + 2) == log2 129 > log2 128 == 7.
2.43. НаПРИl\lер: 1) предположим, что такое число Х существу
ет, тоrда х + з > 10, откуда х > 7. Это противоречит тому, что
х Е [1; 2].
2.44. Например: 1) число 2 четное и простое, следовательно
не ВСЯКое четное число составное. 2) Предположим, что суще
ствует простое ЧИСЛО, кратное 10. Пусть р такое число. Тоrда
р == 10k при HeKOTOpOl\1 натуральном k. Следовательно, р : 2 (Т.К.
Р == 2(5k» ир> 2. ПО8ТОМУ p составное число. Полученное
противоречие доказывает, что сделанное предположение неверно.
2.45. (1) и (3) неверны, а (2) :rvl0жет быть BepHbIl\l.
2..46. (1) и (3) верны, (2) неверно.
2.47. 1) И; 2) Л; 3) Л; 4) Л; 5) И; 6) И; 7) JI; 8) И; 9) Л; 10)
И, 11) И; 12) Л; 13) И; 14) Л; 15) Л; 16) Л; 17) Л; 18) И; 19) л.
2.49. 1) n 10. 2) t 14. 3) n 12. 4) t == 18, t 19
2.50. (1) нет, (2) да.
2051. 1) Ь 1; 2) Ь < 1; З) Ь %; 4) ь < l; 5) Ь !.
2.52. 1) Таких р не существует; 2) р любое; 3) р лю
бое; 4) р любое; 5) таких р не существует; 6) р любое;
7) ( (X); VЗJ u [JЗ; +00); 8) ( JЗ; J3); 9) ( 2v12; 2V2);
10) [ 2v12; VЗ] u [VЗ; 2v12]; 11) [ 2v12; 2v12];
12) ( oo; 2v12) U (2v12; +(0); 13) ( oo; VЗ) u (JЗ; +(0).
2.53. 1) О < q 1; 2) q > VI2.
2.54. 1 ) а < 5 в 1Т . 2) (3 < 5; . 4 )
1"
l'
l
"1
I!
111
II'I! I
1111
I
:z.
,11,
l'
57r 1 137r 1
6 fЗ< 6
о: а
2.55. 1) х Е il называется четным {:} Х: 2; 2) Ха Е n:R Ha
зывается положитеЛЬНЫl\1 решениеl\1 неравенства х 2 + х 17 > О -<=>
Хб + Ха 17 > О и Ха > о; 3) Хl Е называется наиrvlеНЬШИl\1
положитеЛЬНЫl\l KOPH€l\1 уравнения ах 2 + Ьх + с == О, <=> Хl > О,
II
I
1
11111
'11
'1111
li 111
I!I'
1
192
ОТВЕТЫ
I'лава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ
11
11
193
I
aXI+ bx l+ C ==O и Vx (ах 2 +Ьх+с==О Хl x); 4) xEIН;. назы"
ваетсн рациональным корнем 15 й степени из вещественноrо числа
{:} х Е Q и Зу Е IR х 15 == у; 5) rОБОрЯТ, что множество А, А С IR,
обладает наименьшим 8лементом, если 3х Е А "r/y Е А у х; 6) ТОЧ
ка А называется симметричной точке В относительно прямой 1,
если выполняется ОДНО из двух условий: а) точки А и В различ
НЫ, а прямая 1 служит серединным перпендикуляром к отрезку АВ;
б) точки А и В совпадают и лежат на прямой 1.
2.56. Истинны: 3), 4), 6), 8).
2.57. 1) Достаточное, не необходи л:ое; 2) необходимое, не дo
статочное; 3) не необходимое, не достаточное; 4) не необходимое,
достаточное; 5) не необходимое, не достаточное; 6) не необходимое,
не достаточное; 7) необходимое и достаточное; 8) необходимое, не
достаточное.
2.58. 1) Необходимое, не достаточное; 2) не необходимое, не
достаточное; 3) необходимое, не достаточное; 4) необходимое, не
достаточное; 5) достаточное, не необходимое; 6) не необходимое,
не достаточное; 7) достаточное и необходимое; 8) достаточное, не
необходимое.
2.59. Необходимые условия: 1), 2), 3), 6), 8); достаточные
условия: 4), 6), 7).
2.60. 1) Нет. 2) Да. 3) Нет. 4) Да. 5) t Е [ 3; 2). 6) t 3.
2.61. Например: 1) для Toro чтобы четырехуrольник был па
раллелоrраммом, необходимо и достаточно, чтобы противополож"
ные стороны ero были равны; 2) для Toro чтобы четырехуrольник
был параллелоrраммом, необходимо, но не достаточно, чтобы он
имел пару равных сторон; 3) дЛЯ TOI O чтобы четырехуrольник был
параллелоrраммом, достаточно, НО не необходимо, чтобы все ero
стороны были равны; 4) ДЛЯ Toro чтобы уравнение sin х == а имело
решения, необходимо, но не достаточно, чтобы а < 2; 5) для Toro
чтобы уравнение sin х =: а имело решения, достаточно, но не необхо
ДИМО, чтобы < а < ; 6) для Toro чтобы уравнение x 2 +px+q =: О
имело два корня разных знаков, необходимо, но не достаточно, что..
бы р2 > 4q; 7) для Toro чтобы уравнение х 2 рх + q == о имело два
корня разных знаков, достаточно, но не необходимо, чтобы q < 1 ;
8) для Toro чтобы уравнение х 2 + рх + q == о имело два корня разных
знаков, необходимо и достаточно, чтобы q < о .
2.62. Например: 1) посылка импликации ложна; 2) посылка ИМ
пликации истинна; 3) посылка импликации истинна, а заключение
ложно; 4) посылка Иl\lпликации ложна или заключение Иl\fплика
ции истинно.
2.63. НаПРИl'лер: 1) есть центр СИ1\1l\lетрии; все стороны равны;
Все уrлы ПРЛl\oIые; 2) биссектриса, проведенная из вершины, является
l\1едианой; l\lедианы пересе:каются в одной точке; 3) а == О и с == О ;
с == о; а > О и с < о; 4) Ь > о; ь 1= о или а = о; VБ?; 'а' 1.
2.64. 1) НеоБХОДИI\10, но не достаточно. 2) tIеоБХОДИI\ЛО, но Heдo
ста точно. 3) Достаточно, НО не неоБХОДИl\10. 4) НеоБХОДИl\10, но не
достаточно. 5) ДостаТОЧНЫl\I, но не неоБХОДИl\IЫl\'l. 6) НеоБХОДИl\IО,
но недостаточно 7) ДостаТОЧНЫl\I, НО не неоБХОДИ1\IЫl\I. 8) Необхо
ДИl\10, но не достаточно. 9) Достаточно, НО не необходимо. 10) Дo
статочно, НО не неоБХОДИl\IО. 11) Не неоБХОДИl\IЫl\'1 и не достаточныrvl.
12) Достаточно, но не неоБХОДИl\IО. 13) ДостаТОЧНЫl\I, но не необхо
ДИl\IЫ1\I. 14) Достаточно, но не неоБХОДИl\IО. 15) НеоБХОДИl\'lО, но не
достаточно. 16) Достаточно, НО не неоБХОДИ1\10. 17) НеоБХОДИl\IО,
Но не достаточно. 18) Достаточно, но не неоБХОДИl\IО. 19) Необхо
ДИl\IЫl\I, НО не достаТОЧНЫl\I. 20) Необходи:м:о и достаточно. 21) Не
неоБХОДИ1\10 и Не достаточно. 22) НеоБХОДИ1\IО, но не достаточно.
23) IIеоБХОДИ1\10, но не достаточно. 24) Достаточно, Но не необхо
ДИl\il0. 25) Достаточно, но не неоБХОДИl\IО. 26) НеоБХОДИI\10, но не
достаточно. 27) Достаточно, но не неоБХОДИl\10. 28) НеоБХОДИ 10, но
не достаточно. 29) Необ ОДИlVIО, но не достаточно. 30) Достаточно,
но не неоБХОДИl\IО. 31) НеоБХОДИl\IЫl\l, но не достаТQЧНЫl\I. 32) Дo
статочно, но не неоБХОДИl\IО. 33) Не неоБХОДИl\10 и не достаточно.
34) Достаточно, но не неоБХОДИl\10. 35) Достаточно, но не необхо
ДИ1\10. 36) НеоБХОДИl\IО, но не достаточно. 37) Достаточно, но не
неоБХОДИl\IО. 38) Достаточно, но не необходиrviО. 39) НеоБХОДИl\/IО,
но не достаточно. 40) Достаточно, но не неоБХОДИ1\10. 41) Достаточ
но, НО не неоБХОДИl\IО. 42) Не неоБХОДИ1\IО и не достаточно. 43) Не
достаточно и не неоБХОДИl\10. 44) Достаточно, но не неоБХОДИl\10.
45) Не неоБХОДИl\'10 и Не достаточно.
2.65. 1) Достаточно. 2) НеоБХОДИl\IО. 3) 11еоБХОДИl\10. 4) Дo
статочно 5) Достаточно. 6) Достаточно. 7) Достаточно. 8) He
обходимо.
2.67. Н ап р Иl\i ер: 1) А == {1; 2 }, в == {l} , с { 2 } .
2) А == { 1; 2; 3 }, в == {2}, с == {3}. 3) А == ,{ 1; 2; 3 }, в == {2},
с== {3}. 4) с== {1}, А = {1; 2; 4}, В == {1; 3; 4}.
2.68. Верно (а), неверно (6), в 3) rодится условие Q n 5 = 0.
2.69. 1) В n А = 0. 2) В == 0. 3) А == 10. 4) А =: В.
11
1 1 1
I
1
,!:I
11;'1
l
11
:' i
!I
11:
I
;
11111111
111,111
IIIII!
11
1;'111
I.'t'
' I
1111,
il
It 1
111
11
I
jll
1'1"
11
II'
111
1::;,1' 1
'11
1"11
,j'
194
ОТВЕТЫ
rлава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ
195
111I
I
: I
,111,
11111
I .11
2.. 7 О о 1 ) А == [-!; 2) А = {2; 1 о; 21 }; З) А == {7; 14; 15; 21 }.
2.71. 1) А=>{ 2; 3; l F ; l F }; 2) An{ 3; 5 } == 0; 3), 4) По
скольку таких l\-tНQжеств А не существует ТО в качестве необхо
ДИl\10rо и достаточноrо условия можно выбрать любой невыпол
НИl\1ЫЙ предикат, наПрИl\Iер, А С { 2; 5} Л А ::J Il{\{ 2; 3} или
А == 0 & А -1 0.
2.72.. 11 ап р иr..I ер: 1) а < О v а 4; 2) а < о; 3) а 570 ;
4) а < 2; 5) а > ; 6) 2 < а < 2; 7) а Е 0; 8) а Е IR; 9) а Е JR.
2.73. 1) А С ( 4; 5); 2) А n [( oo; 1) U (1; 2)] -1 0;
3) А С ( oo; 3); 4) А с [ 10; 10].
2..74. НаПРИl\lер: 1) а) всякие вертикальные уrлы равны; б) если
уrлы вертикальны, то они равны; в) уrлы MorYT быть вертикальны
l\IИ, только если они равны; [') для Toro чтобы уrлы были вертикаль
НЫl\IИ, неоБХОДИl\IО, чтобы они были равны; д) для Toro чтобы уrлы
были равны, достаточно, чтобы они были вертикальными; е) если
уrлы не равны, ТО они и не вертикальны. Остальные T€Oper+v1bI
аналоrично.
2.75. 1) Условие: "уrлы вертикальны"; заключение: "9ТИ уrлы
равны". 2) Условие: "в треУI"'ольнике два уела равны"; заключение:
"стороны, лежащие против втих уrлов, равны". З) у словие: "две
точки соединены отреЗКОl\:1 и ломаной"; заключение: "втот отрезок
короче данной ЛОl\.lаной". 4) Условие: "сх CY1\1I\rla уrлов треуrоль
ника"; заключение: "о: == 1800". 5) Условие: "четырехуrольник
является параллелоrраl\Il\10l\I"; заключение: "етот четырехуrольник
Иl\Iеет центр СИl\fl\Iетрии". 6) Условие: "два уrла являются Сl'v1ежны
l\IИ уrлаl\'1И"; заключение: "CY:MJ\Ia атих уrлов равна 1800". 7) У сло
вие: "две дуrи окружности заключены I\lежду параллеЛЬНЫl\IИ xop
даl\..1И"; заключение: "ати дуrи равны". 8) У СJIовие: .' lноrоуrольник
правильный" ; заключение: "ОКОЛО Hero l\:10ЖНО описать окружность" .
9) У словие: "две ПРЯl\lые перпендикулярны к ОДНОЙ и той же плоско
сти"; заключение: "ати ПРЯ1\1ые параллельны" . 10) У словие: "два
треуrольника подобны"; заключение: "пеРИl\детры атих треуrольни
ков относятся как ДЛИНЫ сходственных сторон" .
2.76. НаПРИl\lер: 1) обратная: "если натуральное число делится
на 3, то и CYl\Il\JIa ero цифр делится на З"; противоположная: "если
CYl\Il\la цифр натуральноrо числа не делится на 3, то и Cal\10 число не
делится на 3"; обратная противоположной: "если натуральное чи
сло не делится на З, то и СУl\П\lа ero цифр не делится на З". 3) Обрат..
н ал: " е С Л . . Ь Ь ."
и а : с, то а: и : с ; противоположная: "если а 1 ь
или Ь I с, то а I с"; обратная противоположной: "если а I с,
то Q, 1 ь или Ь 1 с". 5) Обратная: "если а : с и Ь : с, то а : с
и (а + Ь) : с"; противоположная: "если а 1 с или (а + Ь) 1 с, то
а I с или Ь 1 с"'; обратная противоположной: "если а I с или
Ь 1 с, то а I с или (а + Ь) 1 с". 7) Обратная: "если CYl\1I\la KBa
дратов диаrоналей четырехуrольника равна СУl\П\-Iе квадратов ero
сторон, ТО этот четырехуrольник параллелоrраl\П\l)'; противопо
ложная: "если четырехуrольник не является параллелоrраl\1l\IОI\I, ТО
CYl\Il\la квадратов ero диаrоналей не равна CYl\Il\1e квадратов ero CTO
рон)'; обратна.я противоположной: "если CYl\Il\la квадратов диаrо
налей четырехуrольника не равна CYl\ll\I€ квадратов ero сторон, ТО
зтот четырехуrольник не параллелоrраl\II\f". 9) Обратная: "если
уrлы при основании треуrольника равны, ТО этот треуrольник
равнобедренный"; противоположная: "если треуrольник не являет
ся равнооедреННЫl\1 то уrлы при ero основании не равны"; обратная
противоположной: "если уrлы при основании треуrольника не paB
l bI, то треуrольник не является равнобедреННЫl\I". 11) Обратная:
, ......
если квадрат ОДНОИ стороны треуrольника равен CYl\1l\le квадратов
двух друrих ero сторон, то треуrольник ПРЯl'лоуrольный"; про
тивоположная: "если треуrольник не ПРЯ:!\.:Iоуrольный, ТО квадрат
никакой из ero сторон не равен CYl\1l\le квадратов двух друrих €ro
сторон" обратная противоположной: "если в треуrольнике нет CTO
раны, квадрат которой равен CYI\Il\Ie квадратов двух друrих сторон,
ТО ЭТОТ треуrольник не ПрЯl\Iоуrольный". 12) Обратная: "если через
три точки 1\10ЖНО провести единственную окружность, ТО ЭТИ точки
не лежат на одной ПрЯl\IОЙ"; противоположная: "если три точки ле
жат на ОДНОЙ ПрНI\10Й, ТО через них l\10ЖНО провести более одной
окружности" (учитываеrvI, что через любые три точки окружность
провести l\10ЖНО); обратная противоположной: "если через три точ
КИ l\10ЖНО провести более о ной окружности, ТО эти точки лежат на
ОДНОЙ ПРЯl\.IОЙ" .
2.77. 1;3. 2.78. Ответ Коли. 2.79. 1) .......,.; 2) V; 3) НикаКИl\.I; 4) V
2.80. 1) .(.P&.Q); 2).Р V Q; 3) .р Q; 4) I(P .Q);
5) (Р Q)&(Q Р); 6) (P&Q) v (.P&,Q); 7) (Р Л Q) R;
8) (P&.Q) v (,P&Q).
2.83. 1) Р V Q; 2) P&Q; 3) .R л .Р; 4) Р
2.84. 1) х Е В\..4; 2) х Е А n В; 3) х Е А n В;
I
1
11
' 1 11
1111
1:;,
1
'I
11
1111
1111,'
1111 i
11
11 '
1
11:1
f,
1I
1 11 '1
11.,
!! .
11
: I!
1
Il п
11 u
1.:
I
l'
j,!
,11
I
1 111'1
111
196
ОТВЕТЫ
rлава 2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ языАA МАТЕМАТИКИ
197
,
,
\
,
\
2.86. Если ОН прочитал меньше двух книr, ИЛИ не СХОДИЛ ни в
театр, ни на концерт, или если CHer выпал, а ОН на лыжную проrулку
не съездил.
2.87. 1) Париж расположен на Сене, и белые l\lедведи не живут
в Африке. 2) Иванов занимается ватерполом и не yr..leeT плавать.
3) Найдется ЧИСЛО, которое делится на 6, но не делится на 3. 4) Для
чисел а, Ь, с выполняется а #- с и Ь -# с, но а == Ь. 5) Я пошла в
кино или на каток, ХОТЯ у меня были занятия в школе. 6) Данное
число делится на 5, причеl\[ ОНО не простое и не делится на 3.
7) Завтра будет плохая поrода, но я не надену пальто или не Бо3ыIуy
зонтик, прежде че1\1 выйти на улицу. 8) У I\IeHR ХОРОIIlее настроение
или есть свободное время, но я не иду в кино и не rуляю по rороду.
9) Завтра будет воскресенье или в институте не будет занятий, НО
КО мне не придут друзья, или, если придут, ТО мы не будем слушать
l\IУЗЫКУ. 10) Я приду на остановку поздно или не CI\Iory сесть в
автобус, но на занятия я все равно не опоздаю, или, если даже и
опоздаю, ТО никакой интересной лекции не пропущу. 11) Сеrодня
или плохая поrода, или мне принесут лыжи, хотя в лес я все равно
,"V2.
.,'
.-V{
:х.
не пойду. 12) После обеда я не отправлюсь на проrулку в парк, И,
ХОТЯ ко мне и зай ет приятель, в шахматы я с ним иrрать не буду и
на лодке кататься не поеду.
2.88. 1) Летом мы поедем в Варшаву, и у нас будет достаточно
времени, но мы не посетим Народный музей. 2) Мы скоро окончим
работу, и будет хорошая поrода, но мы не пойдем на проrулку и
не поедем на пляж. 3) Мистер и миссис Джане либо оба счаст
ливы, либо оба несчастливы. 4) Летом будет дождливая поrода,
но Hal\1 удастся или накупаться, или заrореть. 5) Мы не ПQедем в
Варшаву и не отправимся в rоры, и мы не будем ежедневно ходить
на пляж, и будет идти дождь, но МЫ не будем читать дома книrи.
6) " с "" Д " " т
партак и инамо проиrрают, а орпедо" выиrрает, при
чем либо "IICKA" не потеряет первоrо места, либо на третье место
не выйдет "Арарат".
2.89. 1) Не пришел Петя или пришел Вася. 2) Однажды шел
ДОЖДЬ и светило солнце. 3) (a : 3) v а = 3 V а : 2. 4) Поезд
пришел не поздно, или же у вокзала оказалось свободное такси или
ожидающий пассажиров автобус. 5) Завтра я пойду в лес, или
будет хорошая поrода, или я затоплю печь и буду читать книrу.
2.90. 1) и 4); 2) и 3).
2.91. 1) В классе есть человек, который не был на вечере ca
модеятельности. 2) ХОТЯ бы ОДИН из сомножителей произведения
аЬс равен нулю. 3) Всякому школьнику либо больше, либо меньше
10 лет. 4) Среди чисел а, Ь, с есть иррациональное. 5) Все чи
ела а, Ь, с рациональны. 6) Хотя бы одно из чисел а, Ь, с является
рациональным. 7), 8) Все числа а, Ь, с иррациональны.
2.92. 1) В любом поезде, идущем из Саратова в Воронеж, най
дется BaroH, rде нет свободных мест. 2) В Швейцарии есть rород,
на каждой улице KOToporo в каждом доме найдется окно, выходящее
не на юr. 3) В любой книrе на любой странице найдется строка,
на которой не встречается ни ОДНОЙ буквы "А". 4) Есть rород, в
люБОl\1 районе KOToporo найдется школа, в каждом классе которой
есть ученик, занимающийся спортом.
2.93. 1) (3). 2) (1) и (2). 3) Из (8) следует (3). 4) Утверждение
(2) ложно только в одном случае: если есть в rороде N житель,
который не любит математику Утверждение (4) ложно только в oд
НОМ ВТОМ же случае. 5) Выведем, например, из (2) утверждение (5).
Пусть (2) истинно. Предположим, что (5) неверно. Это означает,
что существует хотя бы один человек, который не любит MaTeMa
1
I!I
!IIII
111
1'1
l'
,
I '
'1
l' l l!i
1 I
4) х Е А u В; 5) х Е (В n А)С;
2.85. 1) х < 1 v у 2;
6) xE(BUA)C
2) х 2 & 1 у < 2;
't
: '.''' : ,,
х.
о
3) х 3, 4) О ху < 1 & х 2 + у2 < 2
({::} ху О & х 2 + у2 < 2).
'ti ,
\
,
\
3
-........
,11111
'
!III'
11
11,1
, .
111
1:1,
I!,
I
1.:1
1,1
1
198
ОТВЕТЫ
Тпава 3 функции
199
I
I
11
I
,
тику, но живет в rороде N Пусть С такой человек С живет
в rороде N, следовательно, по условию (2), С любит математику
Однако по выбору С он математику не любит. Полученное ПрОТИ
наречие доказывает, что наше предположение неверно. Значит, на
самом деле, утверждение (5) верно.
2.94. 1) Утверждения (1) и (4) не равносильны, но из (1) следует
(4). 2) (3). 3) Из (5) следует (4); из (4) не следует (5), так как
может случиться, что каждый житель rорода N что либо любит,
но каждый любит СБое и нет TaKoro, ЧТО любили бы все жители
rорода N ( (4) и (5) отличаются порядком применения кванторов).
4) Из (6) следует (7); обратное неверно, так как может случиться,
'ЧТО в rороде N есть житель, который не любит конфет или не любит
матеl\1атику ( (7) верно), НО также есть и житель, который любит
конфеты или l'латематику ( (6) HeBepHO) 5) (8). 6) Доказательство
Qпускае!\1. 7) Доказательство опускаем. 8) (12),(13). 9) (15). 10) (9).
2.95. Отрицания: 1) Существует такое число у, что при ВСЯ
t<OM положительном х разность 2х у положительна, а у неотри
цательно. 2) Существует такое неположительное число У, что
при некотором отрицательном х произведение ху отрицательно.
3) Существует такое неотрицательное число у, что найдется Heo
трицательное число Х, для I<OTOpOro разность х у отрицательна.
4) Существует неотрицательное число х, такое, что при всяком по
-ложительном у разность х у отрицательна. 5) Существует пара
натуральных чисел х и у, таких, что х < у и для любоrо HaTY
ральноrо числа z имеем: х + z f. у. 6) Найдутся натуральные числа
х, у и z, такие, что х + 11. > z, у х > z и у z
ИЗ ИСХОДНЫХ предложений истинны: 2), 5), 6).
2.96. Доказательства проводятс.я от противноrо. Например:
1 1 1 1
"1) Допустим, что неверно х 2 v У 2 ; Тоrда х < 2 & у < 2 '
1 1
поатому х + у < 2 + 2 = 1.
2.98. 1) Первые два перехода сделаны с ПОl\.10ШЬЮ определения
разности множеств, третий с ПОМОЩЬЮ закона ассоциативности
и коммутативности для конъюнкции, последний по определению
разности множеств.
2.100. 1):J; 2):); 3):); 4) =.
2.101. 1) А; 2) А; 3) В; 4) А U В; 5) В\А; 6) А\В; 7) А n В;
8) А\В; 9) (В u С)\А; 10) А
2.102. 1) n, \; 2) П; 3) u, П; 4) U, п, \
2.103. Истинные высказывания: 1), 3), 5), 6), 8).
2.104. 2) Дa 2.106. 2) В С Х. 3) {4; 5}, {3; 4; 5 }
2.108. Утверждения 1), З) верны, 2) неверно. 4) 0, {1},
{2}, {4}, {1; 2}, {1; 4}, {2; 4}, {1; 2; 4}. 2.109. 2) Нет.
2.110. 1) Р == R == ( 1; О) U (о; 1), Q == [о; 1J. 2) Верно.
2.111. Например: 1) СсА. 2) RnQ=0. З) pnR=0.
4) Можно ничеrо не добавлять.
2.112. Например: 1) А == В. 2) R С Q. 3) А == (2J и В == 0.
4) Х == У. 5) В С А. 6) Q с R. 7) С С А. 8) Z =: 0.
11
11
11
I
11
,11
rлава 3. функции
3.1. 1) Да. 2) Не всеrда. 3) а) Да; б) нет; 4) Да.
3.2. 1) а) Да; б) нет; в) да; r) нет; д) нет. 2) а) Да; б) да; в) да;
r) нет. 3) а) Нет; б) да; в) да. 4) а) Да; б) нет; в) нет; r) нет; д) нет.
5) а) Нет; б) нет; в) да; r) нет; д) нет.
3.3. Например: 1) а) М, /Z, 1R; б) (о; +00), [1; +00), ;
в) [1; 2], (1; 2], Q; r) N, [12; +00), {12k r k Е N}; д) М, [1; 15],
{1; 3; 5; 15}. 2) а) { 1; о; l}, д:, Q; б) 22:, {O}U {2n+l( n Е 1Z},
Q; в) Z, {2k I k Е 7z }, {2k I k Е Z:, k О }. З) а) [о; +(0), IR;
б) [о; +00), [1; +сх», [2; +00); в) любое множество, содержащее
!\1НQЖество Бсех окружностей с радиусом r t; r) любое множе
СТБО, содержащее l\1ножество всех окружностей с радиусом r .
3.4. НаПРИl\1ер: 1) а) N, {1; 2; VЗ}, Z\{ О}; б) ;Z, {о; 4; v'7},
{ d I n Е N}; в) все подмножества множества { V2; V2; 3; 3 }.
r) (2; 2v'2), ,( 2v'2; 2) u (2; 2v'2), {YI5; v'7}.
2) а) 1V1ножество {!{t , t Е (о; +(0) }, состоящее из квадратов
!{t=={(X,Y) I l x l+t, l y l+t}, а также любое ero
подмножество; б) множество всех квадратов, лежащих внутри KBa
драта с вершинами в точках (о; 1), (о; 3), (1; 3), (1; 1) и со сторонами,
параллельными сторонам aToro квадрата; множество всех KBaдpa
ТОН с длиной стороны 1, со сторонаl\r1И, параллельными осям KOOp
динат, и нижней левой вершиной в ОДНОЙ из точек (о; 1), (о; 2), (!; 2) .
3) а) 1l{2; [о; 1] х [2; 4]; б) {(х, у) I х 2 + у2 > 1} и любые ero ПОДМНО
жества; в) любые ПОДмножества множества {(х,у) I х 2 + у2 1};
r) может быть только множество g.
3.5. Например: 1) Х == Z3, У = {о}; Х == IR, У == LZ; Х == Q
у == {о; 1; ...; 9}. 2) Х == Q, у == ; х множество положи
,1
1111
I
!III
I tl
111'1
I I
1 1 1'1
,1
,111
1 ;li
111
,
111111
III
! ll i l !'
11.11'
"1
! 1 1 1
1\
,1
1
200
ОТВЕТЫ
rлава 3. функции
201
тельных рациональных чисел, У:= N. 3) Х множество всех MHO
rочленов, кроме О, У:= N U {О}. 4) Множество У := <а, множество
X=={ax 2 +bx+cla,b,cEQ}j X=={ax 2 +bx+cla,b,cEN}, У=М.
5) Х множество всех линейных ФУНКЦИЙ, у == . 6) У = Z,
Х := {2х2 + 3; 5х 4; sin х }. 7) Х множеСТБО всех прямых на
координатной плоскости, не параллельных Оу, у ==:rn;.; х множе
СТБО всех прямых, параллельных Ох, }то == {О}. 8) Х множество
всех отрезков плоскости, У множество всех точек плоскости; Х
множество всех отрезков с концом в ТОЧl<е и длины 1, У
множество всех точек окружности с центром в точке О и радиусом
!. 9) Х множество всех треуrольников плоскости, у = n:R+.
10) Х множество всех треуrольниКОВ со сторонами 2, 2, 1,
У := (о; t). 11) Х == т. 3 , у множество всех вертикальных пря.мых
на плоскости хОу.. 12) Х:= { ах 2 + Ьх + с I а Е \{ о}, ь Е IR., с Е IR.},
У множество всех подмножеств IR. 13) Х множество непустых
подмножеств N, У := N. 14) У = {{ 0; {1} }; {tO; {2}; {3}; {2; 3} } },
х == { {l}; {2; 3} }. 15) Х = [о; 1] х [о; 1], У множество интерва
ЛОВ ДЛИНЫ не более 1.
3.6. 1) Да, нет, да, да; 2) да, да, нет, да; 3) да, да, да, нет;
4) нет, нет, нет, да; 5) да, нет, да, нет; 6) нет, нет, нет, нет.
3.7. 1) Да; 2) нет; З) да; 4) да; 5) нет; 6) да; 7) да; 8) нет.
3.8. Например: 1) каждой окружности сопоставляется ее дли
на; 2) каждому мноrоуrольнику сопоставляется сумма ero BHYTpeH
них уrлов; 3) каждому треуrольнику сопоставляется длина наи
большей медианы; 4) каждому уrлу сопоставляется ero rрадусная
мера; 5) каждому треуrольнику сопоставляется ero наибольший
уrол; 6) каждой точке окружности ставится в соответствие ее аб..
сцисса; 7) каждому числу ставится в соответствие ero целая часть;
8) Х""'-+ х 2 + 1; 9) каждой точке плоскости ставится в соответствие
ее ордината; 10) (х, у) .....-+ , (х, у) t-----+ Х + у; 11) х......-+ е Х , х х + 1;
12) х t-----+ x 1, х t-----+ eX; 13) х sgn( х), х r----+ {х}.
3.9. 1) Да; 2) нет; 3) нет; 4) да; 5) да; 6) нет.
3.10. 1) Нет (/(1) N); 2) нет; 3) нет (/(1) не существует).
3.11. а любое, Ь /. о.
3.12. а = О (при а f. о найдется х , достаточно близкий к нулю,
которому соответствуют два значения у).
3.13. Функции: 1) 4), 7), 11), 14), 15), 16), 17), 18), 20),21),22).
3.14 .. Функции: 1 ) , 3), 4) , 5) , 6) 7), 9) , 1 О) , 11) , 13) , 15) ; со OT
ветствие "описание rрафик": 1) 20), 3)..3), 4)..1), 6} 4), 7) 21), 9) 7),
10) 16), 11) 14), 12) 23), lЗ) 22), 14) 8), 15) 4).
3.15. 1) Нет; 2) да; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) нет; 7) нет; 8) нет;
9) нет.
3.16. 1) f(x) ==
1, если х < О
О, если х == О 2) J(x) ==
1, если х > о;
1, х < 1
x, 1 х О
О, х > о;
3) f(x) ==
4, х < 2
2х, 2 х 1
2, х > 1;
4) J(x) ==
х + 6, х < 2
2x, 2 х 1
О,5х 2,5, х > 1;
-1
2)
3)
3.17.
..
..
..
4)
CJt)
,
1
/
"
.1<f
5)
6)
'i
-4 ...............
.
,3 ......... - .. · :-..?
.
2 ........
... :.
Aj
'х.
.t ....
о
"'f
-(
.
.
t)t.
1 23-4 r
".
I
.
.
а ·
ж.
I:
'1
I!!I
1 1'
,11
11:'
7) о
, 2.'i 3
t
V//r/// &
о ,...
8)
-t ....
i'
4ef
3.18. 1) Нет. 2) 2 .
3.19. 1) ... !vI М' == а. 2) ... что 1 серединный перпендику
ляр к отрезку lvI1\1'. З) ... которое каждую точку lvI переводит в
такую точку lvf', что О середина от р езка ]\У! М' 4) б
. . .. прео pa
зование плоскости в себя, переводящее каждую точку М в такую
11
i
111
11'
'1
li l
li!
11:
1
.;.
точку М', что мом' == а, IMOI == IM'OI 5) ... преобразова
ние плоскости в себя переводящее каждую точку М в основание
перпендикуляра, проведенноrо из этой ТОЧКИ к оси Ох.
3.20. 1) Тождественное преобразование плоскости; 2) парал
лельный перенос на вектор (1; О); З) параллельный перенос на BeK
тор (о; 3); 4) параллельный перенос на вектор (5; 3); 5) симме..
трия относительно оси Ох; 6) симметрия относительно оси Оу;
7) симметрия относительно начала координат; 8) симметрия OTHO
сительно прямой х = 1; 9) симметрия относительно прямой у == 2;
10) проектирование на ось Ох; 11) проектирование на ось Оу;
12) симметрия относительно точки (1; 2); 13) симметрия относитель
НО ПрЯl\'IОЙ У = х; 14) ПОБОрОТ на ; против часовой стрелки.
202
ОТВЕТЫ
rлвва 3. функции
3.28. t
1) I 2
.
. ."
"
S-k,
/
:r.
I
4) ,
о
о
2) (х, у) (х + 3, у);
4) (x,y) ( 2 x, у);
6) (x,y) (6 x, 4 y);
8) (х,у) ( 4У ЗХ , 3У 4Х );
10) (х, у) ( y, х);
3.21. 1) (х, у) (х + а, у + Ь);
3) (x,y) (x J2, y V2);
5) (х, у) (х, 10 у);
7) (х, у) ( y, x);
( Х + у х + У )
9) (х,у) r--7 2 ' 2 ;
11) (х,у) ( x 4у, 4х+ 4у);
12) ( х, у) (х cos а у sin а, у CQS а + х sin а ) .
3.22. (1; 1), ( l;З). 3.23. xo. 3.24. (Хl+ 1 ;Уl), (Х2+ 1 ;У2)'
3.25. g(x) = e .
3.26. 1) rn.\{O}; 2) ; 3) JR\{O}; 4) Il{\{O}; 5) (о; l)U(l; +(0);
6) (о; +00); 7) {7rk I k Е fZ}; 8) (1; 2) U (2; +(0).
1 1
3.27. НаПРИ lер; 1) f(x) == ; 2) f(x) == r: ;
х у Х
1
3) f(x) == ;
J : х
5) J(x) == (x + З)2(х 5);
3.29. Например, функции: 1) Лх,у) == ; 2) f(x, у) ==10 ( ) j
3) f(x, у) == .J1 1 ; 4)' Лх, у) == .Jsio х 1 + .Jsin у 1 ;
x y
5) f(X,Y)== .JX Y 2 +1n(l x );
1
6) f(x, у) == 1 'хl Iyl + УХ + н "
y
Изображения множеств:
1) 't
2) +
.
o
,.
5)
)с..
о
4)
. · · 1:- .. '" ... . .. ,... · · · ... '" · · ..
. J..J( . . : :
. .
.".. . . ..
· . i) .
. .. .
. .
.. 1.: 1 . е... ... .,...... .",.. .. '"!
. 3.. · ; .
. . .. . ...
· JI. : :.
. а . ;. .
. ... .. а. .... · .. · ....... ........ ......... :.с.
. .. .
4) f(x) == (x + 1)(3 х);
6) Лх)==у
""!!; Q;Xi : 5JL. : ' :
2- ./1.."""1. ·
..... ................... .._.. ...-.
J1!
2
",, ,
.: "
IIi
1
203
'
11'
11,1
jl
I
3) V
1I1111
11111
,1'
11:
1,
1/1
1/:
I,j
11
111
. I '!II
11
[;1
I I I
\rlll'
11
II II
11
111'
11 1 '
:li'II!
11111
о х 1111.
',1
II
.....1 11,111,1,
II I
Т
1"
1111'1
111
:)1',:
l'
"
I
204
ОТВЕТЫ
rлава з. функции
205
3.30. Например: 1) f(x, у) = уУ х + f + у + 1;
2) f ( х, у) = ln (х у2)) ; 3) f ( х, у) == v у ;
x 2
1 1
4) Лх,у)== vx 2+ vз у ; 5) f(x,Y)=VX+v'Y+ V 1 x y;
6) f(x, у) = v x(l х) + lny(2 у).
3.31. 1) {5п I n Е N}; 2) {10п I n Е z}; 3) ( oo; О]; 4) ( (X); 5].
3.32. 1) {[о; 1] х [о; 4], [о; 2] х [о; 3], [о; 3] х [о; 2], [о; 4] х [о; 1]};
2) {[о; 1] х [о; 1]}; 3) 0; 4) {[о; 1] х [о; 1]};
5) {[о; 1] х [о; 2], [о; 2] х [о; 1], [о; 1] х [о; 3], [о; 3] х [о; 1],
[о; 1] х [о; 4], [о; 4] х [о; 1], [о; 2] х [о; 2], [о; 2] х [о; 3], [о; З] х [о; 2]};
6) {[о; 1] х [о; 2], [о; 2] х [о; 1], [о; 1] х [о; 11], [о; 11] х [о; 1],
[о; 2] х [о; 10], [о; 10] х [о; 2] ... [о; 6] х [о; 6]}.
3.33. 1) 6; 2) один алемент, равный 5; 3) 1; 4) 16; 5) 5.
3.34. 1) l\Тножество всех невертикальных прямых. 2) Множе
СТВО всех rоризонтальнЫХ прямых, объединенное с множеством всех
парабол, вершины которых лежат на оси Ох. З) Множество всех He
вертикальных ПРЯl\IЫХ, ПРОХОДЯЩИХ через начало координат, объ
единенное с множеством всех парабол, проходящих через начало
координат. 4) {(а,Ь,с) I а > О, Ь 2 4ас < о}. 5) {(а,О,с) I а f:- о}.
6) {(а, Ь, с) I а i О, а + ь + с == 1 }.
3.35. 1) (о; 2); 2) [ ; за); 3) [ ; +00); 4) [ ; +(0);
5) ( oo; 1] U [4; +00); 6) [ !; 90]; 7) ( 5 2v'5 ; 5+ 2 v'5 ); 8) 0; 9) 0;
10) {2,5}; 11) {1,5; 3,5}; 12) ( oo; 2) U (3; +(0).
3.36. 1) (о; 2); 2) [ !; 2); 3) [ 1; 56] ; 4) [2; 5:1:{5 ) ; 5) {2,5};
6) {З,5}.
3.37. 1) { 1; 3}; 2) {о; 1; 2}; 3) { 1; о; 2; З}; 4) N U {О}.
3.38. 1) [1; +(0); 2) [1; 9]; З) { 1; 1}; 4) ( 2; 2]; 5) {О}.
3.39. 1) (о; 1]; 2) [ 1; 1]; З) { ; + 27rk I k Е 2 } ;
4) {(27rk; 7r + 2Jrk) I k Е 1: }.
3.40. 1) { 1; о; 1}; 2) { l; о; 1 }; 3) { 1; 1 }; 4) JR; 5) (о; +00);
6) [о; +(0).
3.41. 1) {3}; 2) {2; 3; 4; 5; б}; 3) z; 4) 0; 5) [3; 7); 6) [1; +00).
3.42. 1) ( ; 1] ; 2) [ 1; 1]; 3) { З; ; 7; } ; 4) [о; 7r]u[211"; 311"]U{411"};
5 ) [ О' 77r ) U ( .!.!2!.. 1971" ) U ( 2311'" . 41r ]
, 6 6' б 6' .
3.43. 1) {О}; 2) [о; +00); 3) [2; 4]; 4) [2; 9]; 5) [ V2; +V2];
6) [ 1; 1]; 7) {( Х, у) I у == 3 х }; 8) {( х , у) I у < 1 х };
9) {(х,у) 11 x y<2 x}.
3.44. 1) [о; +00); 2) [о; 4); 3) [2; 45]/4) [о; 1]; 5) [о; 20];
6) {(о; О) }; 7) Kpyr с центром в точке О и радиусом 3'
8) {( х , у) I 2 < х 2 + у2 < 4 }; g) IR 2 \ {( о; о)}. '
3.45. 1) 2)
3.46.
:х:
:Jt..
о
. .
. .
11
"
l'
I
I
[1
'[
I
о I t
2)
3)
51С
4) {[211"k; ; + 27rk] I k Е IZ}.
',t
3.47. 1) Напри:м:ер, А == ( oo; 1). 2) l-IаПРИl\lер, А = (1; +(0).
3) Нет. 4) НаПРИl\lер, 1 == 2. 5) Нет.
3.48. 1) 1 а 2. 2) Нет. 3) Доказательства не приводим.
4) {о; 1}, { 1 2v'5 ; 1:1:(5 } ( 1; 2). 5) Нет.
- 3.49. 1) х == о; 2) х == о; 3) х = 2; 4) х = 2, х == 3.
3.50. 1) х == :1:2; 2) х = З, х == 4; 3) х == ::i:l.
3.51. Лве. 3.52. 1 Ь 3
""'" '""" .
I
1
I I
,
'11:1
1 1 11
11'
'
206
3.53. Указание: Искомое множество
Ответ:
rлава 3 функции
207
ОТВЕТЫ
6)
,
t
,
I
: t 'f(:t:)
I
,
,
,
{ (k, Ь) I 2 k + ь 2 & 2 3k + ь 2}.
Н: f< )
,
11
IC.
3.54. а == ::!:2.
3.55. НаПРИIVIер, 1)
х
J
3)
i .... ....... .... .......
Н= f(x)
со
о
4) 1
v f (х)
х.
,....
5) - ......., " · е" -о 1
, !(t\:
b ]
::ае
о
... ... ... r... .. ... 7
.... е. . . . .'V'
,
.
... 4 :
f
I
..., I
I
I
,
I
:1 1
11
IC
-t f
7)
.. ....
3
f( )
I l i ':
l'
1 11
1 '
11
. .
2. ·
.
x. J(x) == ср(х) = х.
I
I
I -='f(x)
I
I
..
#
.
.
..
.
.
t 2.
1
I I
111
11,
, 1
I f
,"
8) у f(:JC)
4 .-. o
2
4
':It.
О 1
<р(В) ==..4 неВОЗl\-IОЖНО;
9)
.4 . .'О . ...0-,
. .
3 : f(x)
х
2. ........"'...
<1-
.
:'P(-:Jt)
f
.
.. .
. . :
2. 3
l'
!I!':
1:
I
J 1 :
r
'1'
I ,!I
,III
I
11
I
х
.
<р(в) = А неВОЗl\IОЖНО;
10)
А ........, I. O
.
3
.. . ..... 9
:: 'P( )
ср(В) == А неВQЗI\IОЖНО;
"
о
.
.
.
.
.
ос.
..
ж
4 1
Q ..... 1 1.
11 )
-:. f(-:зt)
:Ч'( )
х.
.-.-.. - .-.... -
"
"
.
'i lll
1,
'.х..
':)с..
,
1 ;'1
, "
'::1
:':1
.
I
I
.
I
.
,:
1 t..
.-....... --1
I
I
11
/
208
ОТВЕТЫ
rлава з функции
209
12)
.......а...
2)
,
. .. ... . . . . .
.. I..a ..
. ". .. ., .
. ..
. .
.. х.
-:: f (:1t..)
=tf(
3.62. 1)
,
t:e.
z
'х.
..
.-
..... ..
.
2.. а
-..1
13)
. l1li ... .. . .. .. . .8 ,.......
..е
:ас.
З)
... .
· о
.
.
.
.
....... ....1
QC.
:JC.
3.63. 1) Эх Е А J(x) == у; 2) \:jx Е А f(x) 1= у; 3) f(x) Е В;
4) f(x) r/:. В; 5) 3Хl Е А 1 3Х2 Е А 2 f(Xl) == f(X2);
6) V;r Е Х (f(x) rt В 1 V f(x) В 2 ); 7) \;fy Е У Эх Е..\ J(x) == у.
3.64. 1) 2), 2) 5), З) l), 4) 3), 5) 4), 6) 6).
3.65. 1) Верно; 2) верно; 3) неверно; 4) неверно (f l ({ ь })
lVIожет быть ПУСТЫl\I).
3.66. 1) [ 2; l] U [1; 2]; [ 1, 1]; 2) [1; 2]; [о; 1]; 3) [1; 2];
[ 1 ; 1]. ,. '( '_ ""
3 · 6 8 . 1 ) [О; 1] и [О ; 1 ] ; 2) [О ; 1] и [ о; 1 J ; З) [ 2 ; 1] и [О ; 1].
3.70. 1) IfeT. 2) Да.
3.72. 2) НаПРИl\1ер, J(x) == х 2 , А 1 == [ 1; О], А 2 == [о; 1].
3) НаПРИl\1ер, f( х) == х.
3.73. 2) НаПРИl\1ер, f( х) == х 2 , А 1 == n:t, А 2 == [о; +rx]. З) Напри
l\le р, f ( х) == х.
3.74. 1) (fof)(x) == х 4 , (fog)(x) == х2+2х+l, (goj)(x) == х 2 +1,
(gog)(x) == х+2; 2) (fof)(x) == х 4 , (fog)(x) = 2 2х , (gof)(x) == 2 х2 ,
(gog)(x) == 2 2Х ; 3) (foj)(x) == 8х 4 +8х 2 +з, (fog)(x) == 18x2 24x+9,
(9 о f)(x) == 6х 2 + 1, (g о g)(x) = 9х 8; 4) (! о f)(x) == х 25 ,
(! о у)(х) == (х + 5)5, (у о f)(x) == х 5 + 5, (g о g)(x) == х + 10.
3.75. 1) (fof)(x) == х 4 , Djo j == ; DgoJ == IR, (goJ)(x) == Jxl,
(g о g)(x) == \fX, Dgog == [о; +(0); (1 о g)(x) == х, DJog == [о; +со);
2) (J о f)(x) == signx, D foj == IR; (у о у)(х) == х, Dgog == IPl \ {О};
{ 1, х > О
(! о 9 ) ( х) == (g о f) ( х) == , D 10 9 == D 9 о f == IR \ {О};
l, х < О
3) (! о ')(х) == Ixl, DJoJ == [ 1; 1];
4) (jof)(x) == x4, DJOf == IR; (gog)(x) == log2log2 х, Dgog = (1; +00);
(! о g)(x) == log22x, DJog == (о; +(0); DgOf == 0;
ii
1'1
,,11
1
:1
:'j:
14)
3 ..........
.
'Р(В) == А невозможно;
2.
.
Jf ....._... ............._
. 11
.. ..
... .
о е
4С) .....
.
11 .. . .. 11
.
. .
.
.
.
.,
.. .
. .
. 11
11 11
.
..
. .
, 11
11
..
.. .
. .
е. 11 . .. е . .
.. .
11 .. 11
.. 11 11
11
. . .
. 11 .
.. . .
"'1 а . 1.
= cp{ot)
.............
..... о 1 :L 3 S
15) .Jf. ................. 11 . . .. .. . ... .. .
.
.
11
;: f (tJC.)
1 .......
..
..
.
.
.
--4 ........................... 8
3.56. 1) лх) == sinx; 2) лх) == еХ; 3) лх) ::: lnx; 4) J(x) ::: х;;
5) [(х)::: tgx, [: ( ; ; ; ) IR.; 6) лх) == arctg х; 7) лх) == х '
1
f: (о; 1) (1; +00); 8) f(x) == х ' f: (1; +(0) (о; 1).
3.57. т Е ( 1 ci 1 ; о] . 3.58. Ни при каких k. 3.59. m > 2,5.
3.60. 1), 2) Нет. 3) Ла.
З.61. 1) J(x) == х 2 ; 2) J(x) == 5sillX;
3 ) f( ) { tg х, х =F t + 7r k , 4) J( х) ::: 2 Х
х == О, х == ; + 7rk, k Е z;
11
1:
!I
11
1
'1;'
'1
,
J;i.
',1
i'
..
,
J:
210
ОТВЕТЫ
rпaвa 3. функции
211
5) (fof)(x) == 10 1ОХ , DJoJ == IP?; (gog)(x) == 19l9x, Dgog == (1; +(0);
(! о g)(x) == (g о [)(х) == х, Djog == (о; +00), DgoJ == IPl;
6) (fof)(x) == Iп(lпх 2 )2, DJo/ == \{ 1; о; l}; (уоу)(х) == siп(siпх),
Dgog == IR; (1 о у)(х) == ln(sin 2 х), Djog == т. \ { 1fk I k Е Z };
(g о f)(x) == sin (1пх 2 ), Dgo/ == JR\{O};
2х 1
7) (1 о f)(x) == , D jo / == \{ 2; 5};
5 x
х 2 + 2
Dgog = Ш:, (g о g)(x) . х 4 + 2х2 + 2; (J о g)(x) = х2 l '
2х2 2х + 5
Dfog = ll{ \ { 1; 1}; (g о [)(х) = (х 2)2 ,Dgof = rn: \ {2}.
4) (I о f) (х) ==
3.81. 1) fof == f, gog == О, log == У, gof == о. 2) fof == f, gog == О
42'
/og=:g, go/==O. 3) 10/==0, (уоу)(х)== { x +4х 2, Ixl 2,
2, IxJ > 2
(уо!)(х)= { 2, Ixl l, (JOg)(X)= { O, l lхl v'З
1, Ixl> 1 1 при остальных х
Ix[, Ixl 1
12 х 2 1, 1 < Ixl jЗ J (у О у)(х) == { 1 х < О ,
x4 + 4х 2 2, Ixl > v'З Х , Х ;;: О
1 х < О
(1 о g) (х) == х 2 , О < х 1, (9 о f) (х) ==
2 х 4 , Х > 1
х 2 , Ixl l
1, fxl> v2
(2 x2)2, 1 < Ixl .
3.76.. 1) КаЖДОl\IУ равнобедреННО1.1У треуrольнику сопоставля
ется длина ero основания; 2) каЖДОl\lУ HOl\Iepy IПКОЛЫ сопоставляет
ея количество учеников loa класса атой школы.
3.77. 1) Параллельный перенос на вектор а + Ь; 2) ПОБОрОТ
BOKpyr ТОЧКИ О на уrол о: + {3; 3) ПОБОрОТ BOKpyr О на уrол 1r + а;
4) параллельный перенос на вектор, перпендикулярный [1, С длиной,
раВIIОЙ ДВУl\1 раССТОЯНИЯl\1 1\lежду ПрЯl\IЫ1\IИ.
1 1 2х + 1
3.78. 1) 1 + ; 2) ; 3) (заl\ IеТИl\I, что eCTeCTBeH
у х yl l + х х + 1
ная область определения этой фОр1\IУЛЫ не равна обла.сти определе
ния суперпозиции); 4) J 1 + x ; 5) 1 . 6) 1 + J 2 + X 1 .
VoL 1 + V l + х'
о, Ixl > 2
5) 1 о f:= О, (g о g)(x) = 1) VI3 < Ixl 2
x4 2x2, Ix[ vI3.
(1 )() { О,'хl ИЛиlхl>2 ( ) { l)r.rl l
о 9 х , g о f (х) ==
1, v2 < Ixl 2 о, Ixl > 1.
3.82. 1) 2)
1,
11 1
11
111:
't)(
"'2,
:м:..
111
!II
1
'
!
JI
I I 'I!I
11
11
1I1I
...1 1
х
3.79. 1) ;
ах + аЬх + аЬ 2 х + Ь 3
х
3) ах (1 + ь + Ь 2 + . . . + ь n 1 ) + ь n '
2)
v x2 + а 2 х 2 + а 4 х 2 + а б '
х
4)
Jx 2 (1 + а 2 + 0.4 +... + a2n 4) + a2n 2x + а 2n
х
З) Точки rрафика функции f, расположенные I\lежду ПРЯ1\IЫ1\1И
у = 1 и у == 1, оставить без изменения; точки rрафика ФУНКЦИИ
f находящиеся вне полосы 1 у 1 и расположенные выше оси
Ох, заl\lенить их проеКЦИЯl\1И на прямую у == 1, а находящиеся вне
полосы 1 у 1 и расположенные ниже оси Ох проеКЦИЯl\1И
на прямую у == 1. .
3.80.. 1) { 2х + 1, Х<О 2) { 1, Х<О З) 1;
1, х о; x + 1, х о; I
1111
{ х 2, х<2 х > 1 11I
7) { x, .'1
! 1
4) 5) x2 + 1; 6) I
1, х о; 1, х 2; х 1; i'-
1, 11
{ х2 Ixl < 1 { x2 + 4, Ixl> jЗ I1
8) , Ixl 1; 9) 1, Ixl v'З. .1'1
1, 1
,1
,
212
ОТВЕТЫ
rлава з функции
21:j
3.83. 1)
.
t
I
I
2)
fog
у
go/
"'2
2
о . .. .. · . .
.
.
. . е 8 . . . . .
... ........ .....1 . . . . . · ...
:2
о
:х.
3t
о
2.
'х
3.85. 1) 0; 2) {(211"k; 11" + 211"k) I k Е LZ } \ { ; + 211"n I n Е ;Z };
3) (1; е); 4) (1; +oo)\N.
3.86. 1) [ 1; 1]; 2) { [ ; + 211"k; 3; + 211"k] 7:Е LZ }; 3) [о; 1];
4) [ ; о]; 5) ( oo; О); 6) ( CX); О]; 7) [ ; +(0).
3.87. 1) Да.; 2) да; 3) да. 3.88. 1) Да; 2) да; З) да.
3.90. 1) (g о f)(A) == [3; 11], (1 о g)(A) == [о; 25);
2) (g о f) ( А) = ( 3; 1], (! о g) ( А) == [ o, 2 5; О];
3) (у о f)(A) == [ 1; 1], (! о у)(А) == [0,5; 2];
4) (у о f)(A) == [ sin 1; sin 1], (/ о g)(A) == [cos 1; 1].
3.91. 1) (g о f) l(A) = ( ; ); (! о g) lC<4) == ( ; !);
2) (у о Л 1(А) == ( ; 1); (J о y) l(A) == ( Jз ; ) ;
3) (g о f) l(A) == 0; (1 о g) l(A) == 0;
4) (у о J) l (А) == IR; (J о y) l(A) == {х 11I"k х 211"k, k Е ;;Z: }.
3.92. 1) {О} х [ 1; 1]; 2) [ 4; 2] х IPl.
3.93. 1) [о; 4] х {о}; 2) {(х, у) I х 3V2 у х 2V2}.
3.94. 1) а) Да; б) нет; в) нет; [') да. 2) а) Да; б) да; в) нет.
3.95. 1) f(y) == Зу + 1; 2) f(y) == 2 у 2 3; 3) f(y) == 4 у 4 4у2 1;
1 у2 2
4) f(y) == у2 3у + 2; 5) f(y) == 1 2 ; 6) f(y) У 2 ;
+у l+у
2у
7) f(y) == 1 у2 ; 8) ЛУ) == у2 2; 9) ЛУ) == у2 + 2; 10) ЛУ) == у 1;
1 2 1 2 3
11) f(y) == 1 2 у2 ; 12) f(y) = у ; 13) ЛУ) == у +
; 2 2у + 3
3.96. 1) f(x) == х 2 + 5х + 2; 2) f(x) == sin ; 3) лх) == 2log 2 х;
4 ) J( x ) == х + 4 . ) ( ) 1
ЗХ 2,5fХ (Х 1)2 1.
11:
!
rрафи:к а+ о f, rрафик а+ о f,
если f( х) == х 2 . если f ИЗ упр. 3.82 2).
Для получения rрафи:ка функции а+ о f достаточно точки rрафика
функции f, расположенные ниже оси Ох, заменить их проекциями
на эту ось, а остальные точки rрафика функции f оставить без
И31\lенения. 2) I
I
I
r
I
I
I
«.
3 ...... ... .....
2
1
[11
rрафик a о f, rрафик a о f,
если f(x) = х 2 . если f из упр.3.82 2).
Для получения rрафика функции a о f достаточно точки rрафика
функции f, расположенные выше оси Ох, заменить их проекциями
на эту ось, а остальные точки rрафика функции f заменить симме
ТРИЧНЫ1\1И им относительно оси Ох ТQчкаl\IИ.
3) Если А:! О, ТО дЛЯ получения rрафика функции 'РЛl о f, дo
статочн'о точки rрафика функции f, расположенные выше ПРЯl\IОЙ
у == А! или ниже ПРЯl'wIОЙ у = M, заменить их проекциями на пря
мые у == ]1,,1 и у = !vJ соответственно, а остальные точки rрафика
функuии f оставить без ИЗl\lенеНИR. Если Аl < О, то rрафик ФУНК
цИИ t.p1'vl о f пуст. rрафики не ПрИБОДИl\1.
1
'(
1[1
11 1 1
1' 1
1,
!III
I
:tL
.q
.
6 =
1:
11
,1
11
11
l'
1"
'1
11
l i:!
11
l'
I
1
3.84. 1) f о 9
.2 .."... 9
go!
o .. ... : ,"......'.. ..... O
. .
о
t
"'2.
о
.
214
ОТВЕТЫ
rлава з. функции
215
6) J(x) = 6х 2 7х + 2, у(у)
( ) у 10 3
9 у =
y 6 y 8
{ 1, х < 3,
3.97. 1) <р(х) == sign х. 2) so(x) =
Х, Х 3.
3.98. 1) vo'U; 2) zow; З) шоuоу; 4) vowo'U; 5) wowovoиow;
6) v о z о w о и; 7) у о u о z о w; 8) и о w о у о V о W о и.
3.99. 1) w о W о ш; 2) v о v; 3) w о и; 4) u о w; 5) v о и; 6) 'u О v;
7) w о v; 8) v о w; 9) u о 'И.
3.100. 1) J(x) == 3 Х , g(y) == у2 2у + 3; 2) J(x) == х + !,
х
7 у+3
g(y) == 4y 2; 3) лх) == х + , g(y) == 1 ; 4) J(x) == 2х2 + х 2,
х y
х 2 1 1
5) J(x) = , g(y) = y ;
х 2 + 2х у
15
у(у 26) + 25; 7) f(x) = х + ,
х
3.107. 1) [ 112 ; +(0).2) аЕ ( /2 ; о).
3.108. 1) 1. 2) а Е ( 1; О).
3.109. 1) ( (X); О) u (1; +00). 2) ( oo; О] u [3; +00). 3) Три.
3.111. у(х) == log2 (VX + 2). 3.113. g(x) = з 2.
3.114. 1) Нет; 2) нет; 3) да, у(х) = sin2 x ; 4) да, g(x) = cos2 X .
1 ( 2 ) 1 4х 2
3.115. 1) J(x) = х ; 2) f(x) = ; З) J(x) =
3 х l x x l
13'
3.116. 1) f(x)== 2 x2+2x 2 ' g(x)==2x2+3x+1j
2х х
2) J(x) = 1 x+l, g(x) = x l ; З) f(x) = x l, g(x) 2.
x x l
'f
1I11
t.J Lf
rлава 4. СВОИСТВА ФУНКЦИИ
,1i
f
1 1 1
1 r
'1
II!
1 ',,'
"
I I '
1 1'
.11
.1
1111
:I
I
111
11
gCy) = 3у2 4у+ 1;
4.1. НаПРИl\tер: 1) все пальто висят на крючках (каждое на CBO
ем); KaKoe TO пальто с оторванной вешалкой лежит на стуле. 2) rap
дероб свободен: на каЖДОl\t крючке не боле одноrо пальто; rардероб
переполнен: на некоторых крючках висит по два пальто. 3) rарде
роб заполнен: все крючки заняты; rардероб свободен: есть свобод
ные крючки. 4) пальто и крючков ПОРОВНУ, причем каждое пальто
висит на своем крючке; один из примеров выше.
4.2. 1) Биективно; 2) не инъективно и не сюръективно;
З) не инъективно и не сюръективно; 4) не инъективно, сюръек
тивно; 5) биективно; 6) не инъективно, сюръективно.
4.3. 1) Не инъективно, не сюръективно; 2) не инъективно,
сюръективно; З) не инъективно, сюръективно; 4) биективно.
4.4. 1) f не инъективна, если
:3Хl,Х2 Е х(хl i- Х2 & !(Хl) == f(X2)); 2) f не сюръективна, если
Зу Е У \;fx Е Х f(X1) f=. у; 3) f не биективна, если
:3у Е У (f 1 ({у}) == 0 v f 1 ({у}) содержит более одноrо элемента.
4.5. 1) Сюръективно; 2) произвольно; 3) биективно; 4) произ
' 1 /
. !
i
3.101. НаПРИl\1ер: t о s о h о 9 о f, rде f сопоставляет каждой ка..
таложной карточке книжноrо каталоrа данной библиотеки ту книrу,
которую она описывает; 9 каждой книrе четвертую ее страни
цу; h каждой книжной странице ее третью строку; s каждой
строке любой книжной страницы сопоставляет ее второе слово; t
каждому слову ero первую букву.
1 1
3.102. 1) t == z2 z; 2) t =: х 2 + 2х 8; 3) t == х + ; 4) t = х + ;
х х
1 4
5) t == х 2 + 2х + 2; 6) t = х 2 + Х + 1; 7) t = х + ; 8) t = х + ;
2 х х
9) t == х + ; 10) t == х 2 + 6х + 5.
х
3.1 03 . 1 ) [ 3 62; 31 О, 25] 2) (lg ; о]; 3) ( 1; 2]; 4) ( 13 ; 9) .
3.104. 1) [ 1; ] U [JOJ; 1]; 2) 0;
3) {х 13k Е Z : х Е [ ; + 27rk; arccos + 27rk] u
U [arccos + 27rk, -i + 27rk]}; 4) IR.
3.105. 1) [ 1; 3]; 2) [ V2; J2]; З) [ ; 2]; 4) ( oo; ] ;
5) [ 8 6yf2; 8+6J2]; 6) [ 3; +(0): 7) [2; +(0); 8) ( 1; 1);
9) ( 1; ]; 10) ( CX); 9]; 11) [10; +00); 12) (о; ]; 13) [ 1; 4];
14) [ 3; ]; 15) [ 6; +00].
3.106. 1) 1; 2) Ig12; 3) з51.
I]'I[
вольно.
11.
j/
r
11
111,
4.6. а) Не сюръективна, не инъективна; б) биективна; в) не
инъективна, сюръективна; r) не инъективна, не сюръективна.
4.7. 1) Не инъективна, не сюръективна. 2) Не инъективна, не
сюръективна. З) Не инъективна, не сюръективна. 4) Не инъективна,
сюръективна. 5) Биективна. 6) Не инъективна, не сюръективна.
7) Не инъективна, не сюръективна.
l'
if,!
1[11
I .,i
I
j
216
ОТВЕТЫ
rлава 4. СВОЙСТВА функций
217
4.8. 1) Не инъективна, не сюръективна. 2) Не инъективна,
сюръективна. 3) Инъективна, не сюръеКТИБна. 4) Инъективна, не
сюръективна. 5) Биективна.
4.9. 1) Не инъективна, не сюръективна. 2) Не инъективна,
сюръективна. 3) Инъективна, не сюръективна.
4.10. 1) Не инъективна, сюръективна. 2) Не инъективна, не
сюръективна. 3) Не инъективна, не сюръективна. 4) Не инъективна,
сюръективна.
4.12. 1) Инъективно и сюръективно; 2) инъективно и сюръек
тивно; 3) инъективно и сюръ€ктивно.
4.13. 1 ) ( oo; Ь), ( а; О] , [Ь ; +(0) ; 2) ( 00 ; Ь) , [ а; d), ( Ь; d] ,
[с; +(0).
4.14. f(b) == с или f(a) = с, f(b) == d;
3)
4)
:х..
:1t
7)
8)
:ж.
I[!
:1
1I
1,
1,
(
IIJ
'11i
!II,
.
I
1 11
I
1I
11111
11111
l'
1,1,
11; 1 "1
11
11 1 1
1,,1
! I I\:
1,
1I
il
1;1
I
4) например, f(a) = О,
:х. Ь
о : J ( x ) == ' если х 2 о.
....... ...... ...... + 1
... ...... .... --но............ r ...... ....... ...- I Х
I
4.15. 11 ал рим ер: 1 ) ( oo; ), [1; + 00 ) ; 2) ( CX); О) ) [1; +00 ) ;
3) ( 1; О), [1; +(0); 4) [о; ], [ ; 5; ], 5) (о; +(0), (1; 2);
6) ( oo; 1), (1; 3); 7) ( oo; З), (3; +(0).
4.16. 1) а i- 3; 2) таких а нет; З) а > о; 4) а 1,5;
5) а > 6; 6) а Е ( oo; 1 ] u [ 1 + ; +(0) ;
7) О а 2 ; ; 8) 2 7r O а 2 7r o ; 9) 1 + 7rk а 7r + 7rk, k Е z;
10) а Е [ " 2 ; " 2 ; ] \ {О}; "":1 а " :212 , k Е {1; 2; 3; 4};
"":2 а " :11) , k Е { 2; 3; 4; 5 }.
4.17. 1) а == ::1:2; 2) а f=. 3; 3) при любом а; 4) а == ln 2;
1
5) а == е "4; 6) а = 7; 7) а Е {7; 13 }; 8) а F О.
4.18. 1) Да; наоборот нет. 2) Нет; иа",F)прvт да. 3) Да;
нет, если AiX.
4.19. 1) 2)
.
I
I
I
\
9)
.......
; .
.D........... ·
. .
, . tI
...... .... . .
.
. .
. .
. .
. .
. ..
, .
. .
. .
. .
. . .
I 1 би€ктивна.
nt\{l}
.
.
.
.
.
· :.с.
10) Достаточно построить
биекцию (о; 1) на [о; 1J,
далее аналоrично.
............
.
.
.
.
"f
.
.
.
ос;
'х.
'1
4.20. 1) Да. 2) Нет; да. 3) Да.
4.21. 1) 4. 2; 2; 2. 2) 9. 6; о; О. 3) 8. о; 6; О. 4) 27. 6; 6; 6.
4.23. 1) Неверно; 2) неверно. 4.24. 1 ) 2 ) 3 ) 4 )
4 2 r.: 1 ) Н ) , " да.
· а. ет; 2 нет. 4.26. 1 ) Нет' 2 ) не т ' 3)
4 27 Д , , нет.
· · а. 4.28. Нет. 4.30. Да. 4.31с Да.
4.34. НаПРИl\1ер: 1) g(x) == v x 1, J(x) = х 2 + Х + 1;
2) J(x) == lnx, g(x) = VfX 3) у(х) = х, J(x) == х2. 4 ) J( x )
g(x) = х 2 . ' = х,
4.35. 1) Да; 2) да; 3) нет; 4) нет.
4.39. На IPl. нет, на А и В да.
.
.
.
.
.
t
.
.
:JC.,
1
218
ОТВЕТЫ
'-' ...
rлава 4. СВОИСТВА ФУНКЦИИ
219
4.40. На N нет, на П да.
4.43. 1) Обязана; 2) не обязана; 3) не обязана; 4) не обязана;
5) не обязана.
4.44. 1) r-./fОнотонна в любом случае; 2) может, например, если
у(х) > О для всех х Е Х; 3) может, например, если f и 9 возра
стающие функции; 4) может, например, если f возрастающая, а 9
убывающая функция; 5) может.
4.45. 1) Возрастает; 2) убывает; 3) возрастает; 4) убывает;
5) возрастает; 6) убывает.
4.46. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) да; 5) да; б) да; 7) нет; 8) да.
4.48. 1) Убывает; 2) убывает; 3) убывает; 4) не монотонна;
5) убывает; 6) возрастает.
4.49. 1) а) f о g возрастает, 9 о f убывает; б) f о 9 возрастает,
9 о f убывает. 2) а) f о 9 убывает, 9 о f не монотонна; б) f о 9
убывает, 9 о f не монотонна.
4.50. 1) а) Верно, убывает; б) неверно; в) верно, возрастает;
r) верно, убывает. 2) а) Верно, возрастает; б) верно, убывает;
в) неверно; r) неверно.
4.53. 1) ОбраТИl\.Iа
е Х + e X
4) у == 10 ; 5) у == log2 (х + ух 2 + 2 ) ; 6) у ==
2
4.55. 1) У =. vfX; 2) у:= 1 + -/ 2 х; 3) у == 1 + V X 2;
{ vx, 1 х 4
4) у == vx, 16 х 25; 5) у == -/1 х 2 ;
6) У == 1 + V4 x х 2 ; 7) У == ln (х у х2 1 ) ; 8) у == ln (х + v x2 + 1 ) .
4.56. 1) у == 11'" + arcsin( x); 2) у == arccos х 2;
3) у == З7r + arcsin( x); 4) у == arccos( x) + з 311'";
5) У == t (317" + arcsin( x»); 6) у == (arccos х 21Т 1).
4.57. 1) у == arcsin ; 2) у == arccos( x); 3) у == 7r + arcsin х; 1 ;
4) у == arccos VX; 5) у == arccos ( -JX) ; 6) у == 7r + arcsin ( x2) ;
x 11'" x
7 ) у == arccos + ; 8 ) У == arccos .
2 4 2 4'
9) Y==7r l+arcsin( X l ); 10) Y==7r+arccos( log2x).
4.58. 1) ( oo; 2], Df l == [1; +00), Ef l == ( oo; 2];
[ 2; +00), Df l == [1; +00), Ef l == [ 2; + );
....4
I
I
I
I
«.
4) обратима
у
1 .....
о
х
....1
2) обратима
у
о
5) необраТИl\'1а;
4.54. 1) у == 1 lоgзх;
2) у == 10 tl 2;
3) необратима;
1
!х.
о
.
.
.
.
.
ct
2 ...,
..2,
6) обратима
у
. . . ...;......
2) ( (X); l], Df l == [о; З), Ef l == ( (X); 1];
[ 1; 2], Df l == [о; 4], Ef l == [ 1; 2];
[ 2; +сю), Df l == [о; 4], Ef l == [2; +со);
's
. t . . ... . . :
: " .... .
. ..
. .
.
.
.
8
Q 2,
. 2
"1 . .
. х. .
.
о . 8с.
-4 .
.... о
х.
. ... .
. .. ..
:: ..... , .
. .,. .
. 8..... ........
3) ( oo; 2], DJ l == ( CX); 2) U {О}, Ef l == ( oo; 2];
[ 2; О), DJ J. == ( 2; О], Ef l == [ 2; О);
( 2; 2), Df l == ( 2; +(0), Ef l == ( 2; 2);
(2; +(0), Df l == (о; +00), EJ l == (2; +(0);
( oo; О), Df l == ( oo; 2) U ( 2; О], EJ l == ( oo; О);
.........".
х
З) у == log2 ;
1 x
220
ОТВЕТЫ
"" '-1
rлава 4. СВОИСТВА ФУНRЦИИ
221
1 о t1C.
. Ж
.
.
.
..... ..1
х.
единственную; 7) имеет правую обратную, но не единственную;
8) имеет правую обратную, но не единственную; 9) имеет левую
обратную, но не единственную; 10) не имеет ни левой, ни правой
обратной
4 72 f l f l
· · 1 r
1)
у
2) У
fl l
у
fl l
"х.
2
о
"1
о
4
2, ............ ,
11
J't: I · I 1
fr l
не существует;
.2 ...... -. ..- -- ,.-....... ... .- ---
х.
о
"2.
...4
4.59. 1) у == 1 + vx для [1; +(0), у == 1 vx для ( oo; 1];
2) у==х дл я [о; + (0), y== x для ( oo; О];
3) у= 1 +y! 2 y ДЛЯ [1; +(0), у= 1 V 2 y для ( oo; 1];
4) у == vl х 2 для [о; 1], у == y l х 2 д ля [ 1; О];
5) у= y log2x для [о; +(0), у== y log2x для ( CX); О];
6) у = 1 + vx для [1; +00), у == 1 vx для [о; 1], у == vx 1
для [ l; О], у =: vx 1 для ( (X); 1];
7) у == у! 1 е Х для [о; 1), у == v' l е Х для ( 1; О];
8) у == arcsin х + 27rk для [ ; + 27rk; ; + 21rk] ,
у == arcsin( x) + 1r(2k + 1) для [ ; + 27rk; з; + 27rk], k Е 7l;
[ ] k 77 . arccos (1 2х) 7r k k 2
9) ; k; ; (k+l), Еи..., y 2 + 2' n,
arccos(2x 1) 7r k '77
У 2 + 2 ' k == 2п + 1, пЕш.
1 :i: v5
4.60. 1) а = ; 2) а о; 3) а == 1.
2
4.61. 1) Нет; 2) да; 3) да; 4) нет.
4.65. Нет. 4.66. Да. 4.67. Да. 4.68. Нет.
4.70. 1) И Iеет правое обратное (например, 1;1(0) == 2,
fr l(l) == О), но не единственное; 2) И1\1еет левое обратное (напри
l"rep, fl 1(x) == Х 1), но не единственное; 3) имеет лрвое и правое
с.бр:tТ. rp, единственное: f l(o) == 2, f 1(1) == '"'-1 oТ(! (2) == о.
1" 1) Имеет левую обратную, Но не единственную; 2) имеет
единственную левую и правую обратнуТ( . f(x) == VfX; 3) имеет
(х) == { YIX, х Е (1; 4]
единственную левую и правую обраТНУl<
vfX, х Е [о; 1];
4) имеет правую обратную, но не единственную; 5) имеет правую
обратную, но не единственную; 6) имеет левую обратную Но не
З)
:t.
f;4
l;'
.
.
: эt
f, 1 не существует;
Q
4) не существует ни левой, ни правой обратных;
5) }J 1;1 == fl l 6) j;1 == fl l 7) fr l /;1
......... 2
. 2
· 8 81-. . .
..
l1li
О о- .2
. .
. .
. . t) 2
2 0\
IJ .. о · · : ..t
fl l не существует;
8) fl l fl 1 9) fl l У fl l
t 4 1I
х.
х I
...2- ...1 1':
l'
1;1 не существует; fr 1 не существует;
ОТВЕТЫ
u u
rлава 4. СВОИСТВА функции
223
1 U)
v
.......
..
f 1
t
6) например, g(x) == { , х # о
О, х == о;
f. .t
е
и
:с.
:х:.
-1
.
.
.
:Y t 1
i
.
.
/; 1 не существует;
е Х , х О
7) например, g(x) == lnx, О < х 1
х, х > 1;
о
...4
8) например, g( х) ==
12)
5е'
f --1
е.
х во всех друrих точках.
4.77. 1) Невозможно; 2) невозможно;
7r зrСSlП Х, О х 1
. 7т
Sln Х, "2 х 7r
..2
11) не существует ни левой, ни правой обратных;
ot
3)
J ..../
.
,
.
.
.
4)
I
I
1
I
......- - --.... .....
f
. ..
13) не существует ни
левой, ни правой
обратных
4.73. 1) имеет правые обратные: 2, 3, 4; 2) имеет левые обрат
ные: 1,5,6,8 и правую обратную: 5; З) имеет левые обратные: 1,5,
6,7,8; 4) Иl\1еет левые обратные: 1,7 и правую обратную 7; 5) име
ет обратную (левую и правую): 2 и правую: з; 6) имеет правые
обратные: 2, 3; 7) Иl\lеет обратную (левую и правую): 4; 8) имеет
правые обратные: 2, 3.
4.74. 1) J(x) :::: Х +!;
14)
f t = 1;1
ос..
У!
5) неВQзt\IОЖНО; 6)
....1
ос
...t: о
..
f; 1 не существует;
--f
,...
1
.
.
'"
х
..... .........
.
...."
4.76. 1) Невозможно;
2) J(x):= х + .
" { x, х О
2) g(x) ::::
2x, х > о;
7) невозможно; 8) невозможно.
4.78.. а:= 1.
4.79. J(x) == { Х, Х ti.z
x, х Е 1.!...4
{ У х, х О
3) g( х) == 2 .
x , х > О,
4) невозможно;
x, х Е Q\
4.80. J(x):::: 2п + 1, х == 2п, n Е Z
2п, х == 2п + 1, n Е g:.
4.83. 1) Например, 1(0) == 1, f(1) == 2, /(2) == о;
5) наПрИI\1ер, g(x) ==
Х, Х < О
1 х, 1 х 1
х, х > 1;
2) например, J(x) ==
1, .:с==о
2, х == 1
О, х == 2
х, х =/:. о, х i- 1, х -# 2.
;J
ОТВЕТЫ
'-' ....
rлава 4. СВОИСТВА функции
225
7r, Х == 7r
4.91. 1) { ЛХ) == О 2) { J(X) == О,
. у(х) # о. х Е Dg
{ f(x) == О { f(x) == О { J(x) == О
З) у(х) >0. 4) у(х»О ) XEDg
{ у(х) == О { у(х) == 1 5 { :3k Е /Z: g(x) == k7r
xED j . XED f . k1rEDJ.
4.92. Например, 1) J( х) == х 2 + 1 , 2) J(x)::::: Х 1 ;
х
З) J(x) == (х 1 )(х З) 4 ) f( ) 2х 1 _
x+,l ' X x l'
х
5) ЛХ) == Vl х 2 ; 6) ЛХ) == J (x ; )(11" х); 7) лх) == sinxo
4.93. 1) g(x) > о; 2) х Е Dj); З) х Е Dg, g(x) =1= о; 4) х Е Dg,
xEDj-
4.94. 1) НикаКИf\f; 2) {х I f( х) > о } с (3; +(0); 3) никаКИl\f;
4) {х I f ( х) > о } с (3; +сю) и О f/:. Е f .
4.95. 1) а Е ; а f:- ; а #: t; 2) а E ; а Е IPl; а Е IPl; 3) а Е IR;
а > о; а > о; 4) а Е Шl; а i- ; а f ; 5) а == 1; а о; а == 1;
6) а Е 1Ft; а о; а ? о; 7 ) а == 1.. О а 1.. а !. 8) а Е ТТ1).
1. 1. 3' -.....;;: -.....;;: 3' З' т,
О а < З' О а < 3' 9) ни при каких; а Е IR; ни при каких;
1 1
1 О) а Е Il{; а =1 11" ; a:f 7r (k Е Z).
2" + 7rk "2 + 7rk
4.96. 1) Потеря; 2) ВОЗlVfОЖНО как приобретеlIие, так и потеря
корней; 3) потеря; 4) ЕОЗl\10ЖНО как приобретение, так и потеря
корней; 5) потеря; 6) приобретение; 7) ничеrо; 8) потеря;
9) ничеrо; 10) приобретение; 11) приобретение; 12) БОЗl\10ЖНО как
приобретение, так и потеря корней.
4.97. 2) J(x) == х + 2, у(х) == о. 4) НаПРИl\lер, f(x) == х, у(х) == О.
4.98". 1) Например, f(x) = x 5. 2) НаПРИJ\,lер, J(x) == х. 3) Да.
4) а == 1.
4.99. 2) НаПРИl\1ер, f(x) == х; f(x) == х ; . 4) НаПРИl\lер,
f(x) == х.
4.100. 1) Например, J(x):= Х 1 0 2) Например, J(x):::::: Х 2.
З) Например, ЛХ) := х: 1 . 4) Правда. 5) Правда. 6) Все корни
уравнения (1) положительны. 11) Все корни уравнения (1) положи
тельны и либо /(1) = 3, либо 1 rf:. DJ.
1, х == О
4.84. 1) Например, [(х) == О, х == 1
х, х 1:- о, х #- 1
2) IIаПрИl\Iер, функции из 4.83
4.85. 1) Нет; 2) нет; 3) вет; 4) нет; 5) существует, например,
х, х # :i:7r
f(x) == 7r, Х == 7r; 6) нет (О rf- EJ); 7) нет (О rt EJ);
:f::2 2n , Х == :!:з 2n , n Е N u {О}
8) да, наПрИl\1ер, f( х) == :f::з 2n , Х == :i:2 2n
х при остальных х.
4.86. 1) а), в), r), ж), з), к). 2) а), в) , д), ж). 3) б), д), з), и}.
4) r), д), ж), з), и), л).
4.87. 1) (1) => (2); 2) (1) {:} (2); 3) (1) (2); 4) (1) (2);
5) (2) => (1); 6) (2) => (1); 7) (1) => (2); 8) (2) =} (1); 9) (1) {:} (2);
10) (1) {:} (2); 11) (1) => (2); 12) (1) <=> (2); 13) (1) {:} (2);
14) (1) (2); 15) (1) <=} (2); 16) (1) => (2); 17) (1) {::} (2);
18) (1) => (2); 19) (2) (1); 20) (1) ::::} (2); 21) (2) => (1);
22) (1) q (2); 23) (1) {:} (2); 24) (2) => (1); 25) (1) {::} (2);
26) (1) => (2); 27) (2) => (1); 28) (1) {::} (2).
4.88. 1) (1) => (2); 2) (1) <=? (2); 3) (1) => (2); 4) (1):::} (2);
5) (1) {:} (2); 6) (2) => (1); 7) (1) (2); 8) (1) g (2); 9) (1) => (2);
10) (2) => (1); 11) (2) (1); 12) (1) =>- (2); 13) (2) => (1);
14) (2) => (1); 15) (1) {:} (2); 16) (1) => (2); 17) (1) {:> (2);
18) (2) =} (1); 19) (1) => (2); 20) (1) {::} (2); 21) (1) => (2);
22) (1) =} (2); 23) (1) => (2); 24) (1) <=> (2); 25) (1) {:? (2);
26) (1) {:} (2); 27) (1) {::> (2); 28) (1) <=? (2); 29) (1) {=} (2);
ЗО) (1) <=> (2); 31) (1) (2); 32) (1) =} (2); 33) (2) => (1);
34) (1) {::} (2); 35) (2) => (1); 36) (1) <=} (2); 37) (1) {:> (2);
38) (1) i> (2), и (2) i> (1); 39) (1) => (2); 40) (1) i> (2), и (2) i> (1);
4.89. Наприr.лер: 1) а) f(x) == g(x) == х, б) f(x) == х, у(х) = х2+1;
2) а) f(x) == х, g(x) == , б) f(x) == х, g(x) == х; 3) а) J(x) == х + 1,
у(х) == х, б) f(x) == х, g(x) == х + 1; 4) а) f(x) == g(x) = х,
б) J(x) == х, g(x) == х 2 + 1; 5) а) f(x) == V'X, у(х) == х,
б) J(x) = х, g(x) = х.
4.90. 1) f(x). g(x) о; 2) f(x) о, J(x) О, в третью
КОНЪЮНКЦИЮ ничеrо Не добавляем.
226
ОТВЕТЫ
u
rлава 4. СВОИСТВА функции
4.102. 2) Например, а == О, Ь = 1, f(x) == х + 1. 3) Например,
для f(x) == sinx таких а и Ь не существует. 4) Да; например,
J(x) == х, а == Ь = 2. 5) При переходе от (1) к (2) исчезают корни,
лежащие вне отрезка [а; Ь], и появляются корни а и Ь, если они из
DJ и раньше не были корнями
4.103. Например, а == о.
4.105. а == . 4.107. а .
4.108. t 4.109. 1) а == 3. 2) а =Е [ 2; 2].
4.110. 1) Да; например, а == 1, р == 1
2) а 4.
4.111. 1) 3х Е Dj :
Q. x tt Dj V f( x) -# f(x);
2) :3х Е Dj :
x ft DJ V f( x) 1- f(x);
3) 'VT > О x Е DJ : Х + т tt. Dj V х Т f/.: Df V f(x + Т) i=- J(x).
4.113. 1) Нечетная; 2) общеrо вида; 3) четная; 4) обще
ro вида; 5) нечетная; 6) четная; 7) нечетная; 8) общеrо вида;
9) четная; 10) нечетная; 11) четная; 12) нечетная; 13) четная; 14) об
щеrо вида; 15) четная.
4.115. Для cymr-v1bI и разности верно, для произведения и
частноrо нет.
4.116. 1) Нет; 2) нечетная; 3) нечетная; 4) четная;
5) нечетная; 6) четная; 7) нечетная.
2 Х + 2 X 2X + 2 X
4.118. 1) 2 + 2 ;
{ , х f= о )
2) Л + 12, Л(х) == 1, х == о' 12(Х
227
4.122. 1) Четная; 2) нечетная; 3) четная.
4.123. 1) Нельзя; 2) четная; З) нельзя.
{ х2 Ixl ]
4.124. 2) Да. 3) <p(t) == t 2 + 1, f(x) == ' ;;/-,
х, Ix I < 1.
4.125. 1) Т == 2; ; 2) Т == 27ry'2; 3) т ==!; 4) т = 11";
5) Т == 121Т; 6) т == 271"; 7) Т = 1; 8) Т == 71".
4.126. Нет.
4.128. 1) Да; 2) нет; 3) да; 4) нет; 5) нет; 6) да; 7) нет; 8)
нет
4.104. Например, а == 10.
4.129. 1)
D
3)
! х > О
2 '
О, х == О
, х < о;
7)
{ 2X ' Х О ( ) х
З) /1 + 12, '1(Х) == х О , /2 Х '2.
2' х <
4.119. 1) { ; + 7rk I k Е д::}; 2) { 5}; 3) {2k I k Е z}; 4) {1};
5) { 1;1}; 6) {J5}.
4.120. 1) {7rk t k Е /Z}; 2) {5}; З) 0; 4) { 1; +1}; 5) {V2};
6) {[2k+l; 2k+2)lkEZ}.
4.121. 1) Возможно: f(x) == x; 2) возможно: f(x) == х;
3) f(x) о; 4) f(x) = о; 5) невозможно
:n
40];
S'n
.. .........
:ii
n.
1,
ч:
2)
tJ(,
:It.
«..
8) то же, что и в 7)
-:.с.
4.130. 1) 7r; 2) 4; 3) 211"; 4) ; 5) 2; 6) .
4.132. 1) Да; 2) да; 3) нет; 4) да.
4.134. Нет. 4.136. 1) Да; 2) нет; 3) да; 4) да.
4.137. 1) J(x) == sinx + х, g(x) == x; 2) J(x)
.
SlnX
х 2 + 1
rлава 5. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИJI
229
228
4) f(x) == sinx + 2, g(x)
g(x) sin (xV2); 6) f(x)
7) f(x) == g(x) == sinx.
4.139. f) Верно; 2) неверно; например, '(х) sin х,
g(x) == ; З) неверно; например, f(x) == х, у(х) == 2; 4) неверно;
наПрИl\lер, J(x) == 2, g(x) = х.
4.140. 1) 2Т. 2) 2Т. З) ЗТ. 4) 2Т.
4.141. 2) Tg == 6. 3) Например, f(x) == sinx 1.
't
о
Sln Х ,
== sin (xvl2) Sln х;
5) f(x) == sin х,
g(x) sin (xV2) ;
4.156.1) Нет. 3) Да. 4) Ilel'. 5) (о; )u( ; ; ).
у(х) == х 2 + 1;
3) f(x) == sinx, g(x)
sin (xvl2) .
sin х + 2 '
rлава 5. БИНАРНЬIЕ ОТНОШЕНИЯ
Т! == 3.
5.1. 1) СИl\П\1етрично 2) СИl\1 1етрично;. 3) Рефлексивно, СИ I
l\'1етрично, транзитивно. 4) Рефлексивно, антисИl\1l\'1е т рИЧIIО, TpaH
зитивно. 5) Рефлексивно, симметрично. 6) Рефлексивно, аНТИСИl\1
метрично, транзитивно.
5.2. 1) Нет; нет; нет. 2) Нет. 3) (4;4). 4) 4. 5) (3;1) и (4;2).
6) (1;3) и (2;4). 7) (1;2) или (2;1). 8) Нет. 9) (1;4), (2;3). 10) (l;L),
(1;3)
5.3. 1 ) е е. 2) с ------+ Ь. 3) е -----4 е, а -----+ с. 4) Н ап р И1\1 (' Р , {) r,
d е. 5) НаПРИl\lер, е""""'" d и а.........,. Ь. 6) Нет.
5.4. Антиси:rvlметричность, транзитивность.
5.5. 1) Рефлексивность. 2) СИl\Iметричность.
5.6. LY l\lножество людей, при 3TOI\1: 1) (а J 1)) Е () I > " и /)
знаКОl\IЫ, 2) (а, Ь) Е Р2 {::} а и Ь браТLН
5.7. 1) Рефлексивность, СИJ\'11\1етричнос , т pclH И' . () С" .
2) Рефлексивность, симметричность. ; ) Р('(l)J(t'I{(.ИНJlОf" 1'1), (.ИI\1I\I('
тричность, транзитивность. 4) Р (I)JIf'КСИВII()С 1'1_, СИl\lI\1('I'РИЧII<1СТЬ,
транзитивность. 5) СИ1\П\.lетричность, l'pall.-iИ I'ИВIIОСI Ь. ()) Ре(рлек
сивность, СИI\ll\lетричность. 7) f'сq)леКСИВIIОС [1), СИl\1l\1€ТРИЧНОСТЬ.
8) СИМl\lетричность. 9) АНТИСИl\ll\lеТРИЧIIОСТЬ. 10) АНТИСИ ll\lетрич
насть, транзитивность.
5.8. 1) а), б), д), ж), з). 2) а), б), r), д), ж), 3), и), к). 3) в), е),
л) . 4) а), в), д), е), ж), з), л).
5.9. 1) Д а. 2) Нет. З) д а. 4) 11 ет .
5.10. 1) Да. 2) Нет. 3) Да. 4) Нет.
5.11. 1) Рефлексивно. 2) АНТИСИМl\летрично. 3) Ре{рлексивно,
СИl\П\-lетрично, транзитивно. 4) СИl\Il\lетрична.
5.12. 1) СИМlVlетричность. 2) РефлеКСИБНОСТЬ, СИl\lrvlетричность,
транзитивность.
5.13. 1) Антиси:rvП\lетрично. 2) Рефлексивно, СИI\1метрично,
транзитивно. 3) Рефлексивно, тран:зитивно. 4) Рефлексивно, СИМ
l\'1етрично 5) Рефлексивно, СИl\1l\lетрично; (х, у) Е Р {:> ху о.
5.14. 1) Да. 2) Да. 3) Нет.
5.15. 1) Да. 2) Да. 3) Нет.
4) н аПРИl'лер:
2.
3
ж.
4.142. 1) Т == 21Ь al. 2) Т == 41а с[.
4.144. 1) а) Да; б) нет; в) да. 2) а) Нет; б) да; в) да. 3) а) Нет;
б) да; в) да. 4) а) Да; б) нет; в) да.
4.145. 1) а) Да; б) нет; в) нет; r) нет; д) да; е) да; ж) нет.
2) а) Да; б) да; в) да; r) нет. 3) а) Нет; б) да; в) нет; r) нет; д) да.
4.146. Нет.
4.150. 1) Нет. 3) Например, f(x) = sin (log2 х).
4.151. 1) Dh == [ 3; 1]. 4) J(x) == (х 2)4.
4.152. 1) Dh == [4; 6]. З) Нет: h( 4) == h(6). 4) НаПРИl\lер,
!1(Х) == Х, [2(Х) == Ixl.
4.153. 1) Ь == 4 + 47rk, k Е 2. 2) Нет. 3) а Е [ 11""21 ; 7r] .
4.154. 1) [ ; ]. 2) [ 1; 1rp 1]. 3) р ; . 4) Да: Уа ==" 1.
4.155. 1) Е 2 == ( 5; 3). 2) а rt ( 1; 1).
3) у(х) == tg ( ; . \/ 2 .J4 х). 4) Нет (всеrда О Е Еа).
5)
4a а 1
, ""'"
(a 1)2, l<a O
(а+ 1)2, О < а 1
4а, а > 1
у==
.. . 11 ·
8. ... .....
а.
f i
230
ОТВЕТЫ
rлава 5. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
231
5.16.
5.17. 1) IR. З) (2; О) Е р,
(о; 2) Е р, (2; 2) р.
4)
5.27. 1) Верно. 2) Неверно. 3) Верно.
5.30. {(а, а) I а Е А}.
5.31. 1) Нет. 2) Да. 3) Нет. 4) Лля pU и неверно для рП (J"
верно. 5) Для р U (1 неверно, для р n и верно.
5еЗЗ. 1) Не является. 2) Является. 3) Является. 4) Не ЯВЛЯ
ется.
.... .....
5.34.1) [1; 7]U{ 5}. 2) [ 16; O]U(9; 16].
3) { [ + 1rk; 1rk) I k Е Z: } U { ; + 1rk I k Е Z: }.
4) { [ + 21rk; + 21rk] u ( ; + 21rk; 56" + 21rk] U ( + 21rk; 32" + 21rk) I
k Е Z: }.
А ct В. 2) А # (;3, в f:- 0, А n В = е. 3) А :f (21,
'1
2) Да. 3) Нет. 4) Нет у
5.18. 2) 1; . З) 6. 4) НаПРИl\lер,
х
5.36. 1) В i о,
А С В, А i= В.
5.37. 1), 3),4). 5.38. а), в), е), з), и). 5.39. 9. 5.40. 2) Нет.
5.41. {f}, {е, d}, {а, Ь, с }.
5.42. 1) {1,2}. 2) х == 3, х == 4, х == 5. 3) х == 1, х == 2.
5.43. 1) {2n 1InEM}, {2nlnEN}. 2) Нет. З)Нет.
5.44. А\{Ь}.
5.45. 1) {( Х, у) I х == у + 1 }.
3) {( х , у) I х 2 + у2 = 1 О } . 4) {( 2; З) }.
5.46. 1) е -------7 е, с"""""" Ь, а.......-+ С, с.......-+ а. 2) е -----+ е, Ь f+ с.
3)(1) {{f}; {е; d}; {а; Ь; с}}, (2) {{f}; {с}; {е; d}, {а; ь}}.
5.47. {{1; 2}; {3; 4} }.
5.48. {{1; 2; 4; 8}; {3; 6}; {5; 10}; {7}; {9}}.
5.49. 3) 6. 4) {2; 4}, {7}, {9; 15}.
5.50. {{(о,а,о) I а:= О V а = 1}; {(о, а, 1) I а = О v а = 1};
{ (1, а, о) I а = О v а = 1 }; {(1, а, 1) I а = О v а = 1 } }.
5.52. 1) На классы треуrольников, четырехуrольников, и Т.д.,
n уrольников, и Т.Д. 2) На классы параллельных прямых 3) На
классы подобных мноrоуrольников. 4) На классы равновеликих
1\1ноrоуrольников. 5) На одноалеl\lентные множества 6) На классы
равных KpyroB 7) На классы концентрических окружностей.
5.54. {( OO; о); (о; +00) }.
5.55. {{ 1; 1}; { 2; 2}; н.; { n; п};...}.
2) {(х,у)llхl+IУI==З}.
5.19. 1) (2; 1). 4) Да.
5.20. 1) (1; О). 4) Да. 5) Да.
6) g
Q..
5)
а..
5.21. 1) Да. 2) Нет. 3) Да. 4) Нет. 5) Нет. 6) Да. 7) IIeT.
5.22. 1) Рефлексивность, аНТИСИl\II\lетричность, транзитив
ность. 2) Рефлексивность, СИI\П\/Iетричность. 3) СИl\Il\:lеТрИЧНQСТЬ.
4) СИТ\ll\lетричность. 5) Рефлексивность, СИl\П\Iетричность. 6) СИl\Л
!\Iетричность, транзитивность. 7) СИl\II\lетричность, транзитивность.
8) АНТИСИl\П\lетричность, транзитивность. 9) СИI\Il\lетричность.
10) Рефлексивность. 11) Рефлексивность, транзитивность. 12) TpaH
зитивность.
5.23. 1) СИ П\lетричность. 2) Рефлексивность, СИМl\lетрич
НОСТЬ, транзитивность. 3) АНТИСИI\Il\Iетричность. 4) ,L НТИСИI\Il\:lе
ТРИЧНQСТЬ.
5.24. 1) g(x) == kx + k, k i- О. 2) Да. 3) Да.
5.25. 1) Нет. З) Нет. 4) НаПРИI\lер, J 1 == {о; 2} (тоrда J 2 = {1})
5.26. З) 22 а yf2. 4) Да. 5) Нет.
!
232
ОТВЕТЫ
5.56. {{ 5n I n Е z}; {5n + 1 I n Е z}; {5n + 2 I n Е z};
{5n+зlnЕZ}; {5n+4InEZ}}.
5.57. 3) {(1; 4); ( oo; 1) U (4; +00) }.
5.58.3) {[о; ; ) u ( 32"' ; 271'); ( ; ; 32"' ); { ; ; 3; } }
5.59. {{ 1 I 1(0) == сl Л 1(1) == С2} I Сl, С2 Е }.
5.60. 2) {{ (х, у) I х + у == с} I с Е IR}. 3) Да. 4) Нет
5.61. 1) {{(x,y)lx 2Y==c} I CE }.
2) {{(х, у) Ilxl lyJ == с} I с Е }.
3) {{(x,y)lx 2 + y2 ==C} I c o}.
4) {{ (х, у) I (х + 1) 2 + у2 == r} I r О }.
5) {{ (х, у) I (х + 1)2 + (у 2)2 == r} I r о}.
6) {{(о, О)}; ( \ { О }) х { О }; {О } Х (IR \ { о }); { (х, у) I х > о л у > о };
{(х,у) I х < О л у < о}; {(х,у) I х > О Л У < о};
{(х,у) I х < О Л У > о} }.
5.62. 3) {{(x,y)ly==cx 1,y> 1}lc#O}U
{ { (х, у) I х == о, у > 1 } }.
И,Л
P Q
pqQ
p
P&Q, Р л Q,
{
[ P Q
PVQ,
P Q
P Q
VX Р(х)
Зх Р(х)
3!х Р(х)
Vx Е А! Р(х)
233
t.......J
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИИ
Пре,цикаты
« "" "
истинностные значения истина и ЛО:JICь.
"из nредих;ата Р следует nредик:аm Q"
"преди1Сат Р равносилен предик:аmу Q".
отрицание Р ("неверно, 'Что Р")
КОНЪЮНКЦИЯ Р И Q ("Р и Q")
ДИЗЪЮНКЦИЯ Р И Q ("Р ил u Q JJ )
Иl\lпликация Р и Q ("если Р, то Q").
8квивалеНllИЯ Р и Q ("'Р, если и тольк;о если Q ").
"для вСЯ1\Q20 х выполняется Р".
"существует х т,акой, l.tmo P(r)".
"существует, nриче-м едuнсmвеlL1tы.ii х ma'lCOU,
'Чmо Р(х)".
"для вСЯК:О20 х из .л..tНО:>fC,ества М выполняется
Р(х)".
:3х Е М Р(х) "существует х из множества М mак:ои,
ЧТО Р(х)".
5.64. х ру {::} [х] == [у].
5.65. 1) (Хl, Уl)Р(Х2, У2) {::} xi + yi == x + y .
2) ( х 1 , Уl) р( Х 2, У2) {:? Уl ::::: У2.
3) (Хl, Уl)Р(Х2, У2) {:} 2Xl + Уl = 2X2 + У2.
4) (Хl, Yl)p(X2, У2) <=> (Хl 1)2 + (Уl 2)2 == (Х2 1)2 + (У2 1)2.
5) (Хl, Yt)P(X2, У2) [Хl] == [Х2],
5.66. ( х , у) Е р {::} (х 1) (у 1) > о v х == у == 1.
5.67. (/, g) Е Р {:} /(01'1(0) > о v (/(0) == g(O) == о)
5.68. (х, у) Е Р {:} sin . sin > о V sin х == sin у == о.
def
x y
x>y>z
х == ха
.
х:у
...
употребляется только в определениях и означает
"р а в 1-t о n о оп р е д ел е N и1О " .
(х < у) v (х == у).
(х > у) & (у > z).
(х == а) V (х == a).
"ц ел о е х д ел и т ся 'н а 'Ц ел о е 'Ч и ел о у "
(3 k Е 2Z: х == ky).
234
аЕА
u
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИИ
Множества
235
"а есть э.ле.Аtент множества А".
А 2
,
А х В == {(х, у) I х Е А & х Е в}.
декартов квадрат множества А: А 2 == АхА.
{аl; а2; ... ; а п } множество, состоящее из элементов
а 1, а2, ... , а n .
N, Z, Q, IR
J21
А С В, В:) А
А==В
x A
Act..B
Dp(x), D(?(x))
Dp(x,y)
{ х I Р( х) }
{ х Е М I Р(х) }
{/(х) 1 Р(х)}
множества всех натуральных, целых, рациональ
ных и вещественных чисел соответственно.
пустое множество (множество, не содержащее ни
одноrо 8л€мента).
А есть nод-множество множества В.
для множеств: "MHo;)fCecтea А и В равны"
(состоят ИЗ ОДНИХ И тех же 8л€меНТQВ).
"х 'Не .квл.неmс,я- элементом MHO;JfCeCтea А"
.множество А 'Не .нвляется nод.мн.о;жеством'
множества В
область определения предиката Р(х).
область определения предиката Р(х, у).
область истинности предиката Р(х) Т.е. MHO
жество всех таких х, что выполняетсяР(х).
множество всех таких х из МНожества М, дЛЯ
которых выполняется Р(х).
множество всех f(x), для которых верно Р(х).
f: Х у
Х r+ J(x)
Dj
Е!
r f
f(A)
f l(B)
fl A
gof
[а; Ь] == { х Е IR r а х Ь },
(а; Ь) == { х Е IR I а х < Ь },
( oo; а]== {xEIRI X а},
[а; +(0) == { х Е IR. , х а },
( CX); +(0) = IR.
А n в пересечение множеств А и В: А n в == { х I х Е А & х Е В }.
А U В объединение множеств А, В: А U В == {х I х Е А v х Е в}.
А \ в разность множеств А, В: А \ в == { х I х Е А & х t/:. в}.
х с дополнение множества Х до универсальноrо множества:
х С == 1 \ х (1 универсальное множество.
А х В декартово произведение множеств А и В:
(а; Ь] == { х Е , а < х Ь },
(а; Ь) == { х Е I а < х < Ь },
( oo; а)== {XEIН:lx<a},
(а; +(0) == { х Е Il( I х > а },
1;-1
, 1
fr l
а rv Ь(р),
арЬ
[(а)
С/С
id A
Функции и бинарные отношения
"1 есть фУ'Н,ICЦUЯ (отображение) из .Jvtно:жества
Х в МНО3ICЕсmво У".
"элементу х соnосmавл.неmск элемент f(x)"
(способ задания правила отображения).
область определения функции f.
l\lножество значений функции f.
rрафик числовой ФУНКЦИИ f.
образ l'vIножества А (А С В) при отображении
f: Х У, Т.е. lVIножество {J(x) I х Е А}.
прообраз множества В С У при отображении
f: Х ..............т У, Т.е. множество {х I f(x) Е в}.
сужение функции f на множество А С Dj
Т.е. ФУНКЦИЯ с областью определения А, такая, что
fl)x) == Лх) для всякоrо х Е А.
суперпозиция (композиция) отображений f и g,
Т.е. такое отображение, что (gof)(x) =:g(f(x)) ДЛЯ
Х Е f 1 (D g) .
функция, обратная для функции f.
функция, правая обратная для функции f: Х У,
т.е. такая, что f о 1;1 == id y
ФУНКЦИЯ, левая обратная для функции f: Х У,
т.е.такая, что fl l О f == idx.
8лемент а связан салементом Ь бинарным отноше
ни ем р, т. е. (а, Ь) Ер.
множество всех алементов, с которыми алемент
а.находитсяв отношении €, т.е {у I (а,у) ЕЕ}.
бинарное отношение "nрuнад.леж-.ать одному классу
разбиения К".
тождественное отображение А на А, Т.е. такое, чтu
236
НОК(х, у)
НОЛ(х, у)
sgn(x)
Entier( х),
[х]
тах(х, у)
min(x,y)
....
списо:к ОБОЗНАЧЕНИИ
idA(a) == а для всякоrо а Е А.
наименьшее общее кратное чисел т и n.
наиболший общий делитель чисел m и n.
функция "CUZHYM" (signuт), т.е. знак числа:
1, если х > О
sgn(x) = О, если х == О
1, если х < О
целая часть числа х, т.е. наибольшее целое числ,о,
не превосходящее х.
большее из чисел х и у.
меньшее из чисел х и у.
Михаилов Але'1Ссапдр БориСО8и
Плоm1Gu?t АЛЕ1Ссапдр И с а а'К", о ВU'Ч..
Рисе Еле'На Артуровиа
Яшииа Елеnа Юрьев'На
f\1A ТЕ ЛА ТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК В ЗАЛАЧАХ
Сборник задач
2 e издание, исправленное
Ориrинал макет А.Б. Михаилова
Лицензия N! 021216 от 29.04.1997
Подписано в печа.ть 8.06.2001 r. Формат 60 х 841/16.
rарнитура Computer Modern Roman. Печать офсетная.
Бумаrа. rазетная. Объем 14, 75 уч. изд. Л.; 14,75 усл. печ. л.
Тираж 1000 8К3. Заказ Х! Jts.
Издательство рrпу им. А.И. rерцена.. 191186, С...Петербурr
наб. р. Мойки, 48
PTfI рrпу им. А.И. lерцена. 191186, С. Петербурr, наб. р. Мойки, 48