Author: Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Теляковский С.А. Нешков К.И. Суворов С.Б.
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа алгебра математика тригонометрия арифметика математика для школьников учебник по алгебре
ISBN: 5-7505-0723-8
Year: 2000
Text
уА
уА
.
х
АлrЕБРА
S,KM A
.
t,МИН
АлrЕБРА
УЧЕБНИК ДЛЯ 9 КЛАССА
ОБЩЕОБР А30ВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ
ПОД реДакцией
С.А.ТЕЛЯКОБскоrо
.
Рекомендовано Министерством
общеro и профессиональноro обраЗ0ваНИR
РОССИЙСКОЙ Федерации
б-е издание
1-
111
111
'l
Illj
i"J
....
IIJ!I
1I
FЛ8В8 J
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
FЛ8В8 I/
УРАВНЕНИЯ
И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
FЛ8В8 П/
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И
rЕОМЕТРИЧЕСКАЯ проrРЕССИИ
FЛ8В8/V
СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
FЛ8В8 V
триrОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ВЫРАЖЕНИЯ
И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
МОСКВА 2000
I
УДК 373.167.1:512
ББК 22.14я72
А45
Авторы:
Ю. Н. МАКАРЫЧЕВ, Н. r. МИНДЮК, К. И. НЕШКОВ,
с. Б. СУВОРОВА
Учебиик занял первое место на всесоюзном конкурсе учебников для сред.
ней общеобразовательной школы в 1988 r.
в учебнике использованы некоторые упражнения из учебника: Алl'ебра:
Учеб. для 8 кл. сред. шк./ Ю. Н. Макарычев, Н. r. Миндюк, В. М. Монахов,
К. С. Муравин, С. Б. Суворова; Под ред. А. И. Маркушевича. 4 e изд., пе-
рераб. М.: 1982.
Условные обозиачения
Знаком . отмечены упражнения, соответствующие уровню обязатель-
ных результатов обучения (Математика в школе: сб. нормат. документов /
Сост. М. Р. Леонтьева и др. М.: Просвещение, 1988).
Светлым курсивом набраны номера упражнений, рекомендуемых для
домашней работы.
Знаком * отмечены более сложные упражнения.
Алrебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений /
Ю. Н. Макарычев, Н. r. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. CYBOPO
ва; под ред. С. А. Теляковскоrо. 5 e изд. М.: 2000.
272 с.: ил. ISBN 5 7505 0723 8
ISBN 5-7505 0723 8
@ Макарычев Ю. Н. и друrие, 1990
rлава 1.
КВАДРАТИЧНАЯ
ФУНКЦИЯ
1. Функции И ИХ СВОИСТВА
2. КВАДРАТНЫИ ТРЕХЧЛЕН
3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ
rРАФИК
4. НЕР АВЕНСТВА СОДНОИ
ПЕРЕМЕННОИ
1. Функции И ИХ СВОИСТВА
1. ФУНКЦИЯ. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
И ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ
Функция одно из важнейших математических понятий.
Напомним, что функцией нааывают такую зависимость nepe
мен ной у от переменной х. при которой каждому значению
переменной х соответствует единственное значение nepeMeH
ной у.
Переменную х называют независимой переменной или apey
ментом. Переменную у называют зависимой переменной. rOBO
рят также, что nеременная у является функцией от nepeMeH
ной х. Значения зависимой переменной называют значениями
функции.
Если зависимость переменной у от переменной х является
фун цией, то коротко это записывают так: y===f(x). (Читают:
у равно f от х.) Символом f (х) обозначают значение функции,
соответствующее значению aprYMeHTa, равному х.
Пусть, например, функция задается формулой y===2x2 6.
Тоrда можно записать, что '(x)===2x2 6. Найдем значения
функции для значений х, равных, например, 1, 2,5, 3, т. е.
найдем f (1), f (2,5), f( 3):
'(1)===2.12 6=== 4;
f (2,5) === 2. 2,52 6 === 6,5;
f ( 3)===2.( 3):l 6=== 12.
Заметим, что в записи вида у===! (х) вместо f употребляют
и ДРУl'ие буквы: g, <р и т. п.
Все значения независимой переменной образуют область on
3
ределения функции. Все значения, которые принимает зави
симая переменная, образуют область значений функции.
Если функция задана формулой и ее область определения не
указана, то считают, что область определения функции состоит
из всех значений aprYMeHTa, при которых формула имеет смысл.
Например, областью определения функции f (Х)==5Х+Х 2 яв
ляется множество всех чисел; областью определения функции
2
g (х)== х+3 служит множество всех чисел, кроме ' 3.
Область определения функции, описывающей реальный
процесс, зависит от конкретных условий ero протекания. Ha
пример, зависимость длины 1 железноrо стержня от температу
ры наrревания t выражается формулой 1==10 (1 +at), rде 10
начальная длина стержня, а а коэффициент линейноrо pac
ширения. Указанная формула имеет смысл при любых зна
чениях t. Однако областью определения функции 1 == f (t) явля
ется промежуток в несколько десятков rрадусов, для KOToporo
справедлив закон линейноrо расширения.
Напомним, что zрафиком функции называют множество
всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны
значениям ареумента, а ординаты соответствующим значе
ниям функции.
На рисунке 1 изображен ['ра-
фик функции у == f (х), областью
определения которой является
промежуток [ 3; 7]. С помощью
rрафика можно найти, например,
что f ( 3)== 2, f (0)== 2,5, f (2)==
== 4, f (5) == 2. Наименьшее значе-
ние функции равно 2, а наи-
большее равно 4; при этом любое
число от 2 до 4 является зна-
чением данной функции. Таким
образом, областью значений функ-
Рис. 1 ции У == f (х) служит промежуток
[ 2; 4].
M изучили некоторые важные виды функций: линейную
функцию, т. е. функцию, задаваемую формулой y==kx+b, rде
k и Ь некоторые числа; прямую пропорциональность это
частный случай линейной функции, она задается формулой
у === kx, rде k =1= о; обратную пропорциональность функцию
у === , I'де k =1= О.
х
rрафиком функции у == kx + ь служит прямая (рис. 2).
Ее областью определения является множество всех чисел.
Область значений этой функции при k =1= О есть множество всех
чисел, а при k == О ее область значений состоит из одноl'О чис-
ла Ь.
4
у I I I
I I I
* .1 1. .1. I
3 y=f(x)
2 -....J I I
,1 N..J
I I
t------- 3j2 10 12345б7
1,
,2
I
I
k
rрафик функции y=== называ
х
ется ['иперболой. На рисунке 3 изо
бражен ['рафик функции у ===
х
для k > О. Область определения
этой функции есть множество всех
чисел, кроме нуля. Это множество
является и областью ее значений.
Функциями TaKOI'O вида опи
сываются мноrие реальные процес
сы и закономерности. Например,
прямой пропорциональностью явля
ется зависимость массы тела т от ero объема V при постоянной
плотности р (т ===pV), зависимость длины окружности С от ее
радиуса R (С ===2лR). Обратной пропорциональностью является
зависимость силы тока 1 на участке цепи от сопротивления
проводника R при постоянном напряжении и ( 1 === ), зави
симость времени t, которое затрачивает равномерно движущее
ся тело на прохождение заданноrо пути s, от скорости движения
v(t===+).
Мы рассматривали также функции, заданные формулами
у===х 2 , у===х 3 , y=== . Их rрафики изображены на рисунке 4.
Рассмотрим еще одну функцию, а именно функцию, задан
ную формулой у=== Ixl.
Так как выражение I х I имеет смысл при любом х, то
областью определения этой функции является :\'dножество всех
чисел. По определению I х I === х, если х О, и I х I === х, если
х<О. Поэтому функцию у=== Ixl можно задать следующим об
разом:
у
У==I<Х+Ь (1<1=0)
х
а)
Рис. 2
у
о 1 Х
У=I<НЬ (1<=0)
О)
у
1 )
"
х
Рис. 3
{ х, если x O,
y x, если х<О.
rрафик рассматриваемой функции в промеЖУ'l'ке [О; + 00 )
5
о
а)
х
х
у
х
1
О
6)
В)
Рис. 4
совпадает с rрафиком функции у == х, а в промежутке ( 00; O)
с rрафиком функции у== x. rрафик функции у== Ixl изобра-
жен на. рисунке 5. ОН состоит из двух лучей, ис
ходящих из начала координат и являющихся биссектри-
сами 1 и 11 координатных уrлов.
у I I
, I I " z
, у== х
" 7
, 1/
, /
, /
, ,1 1/
/
1'\.....
О 1 х
Рис. 5
. 1. Функция задана формулой t (х)== зх2 + 10. Найдите:
а) f( 1); б) t (О); в) { (' ) .
... .
..."'"'" ,
'+ .. '.;'/
;t
. : J?
"" .'
'- /
" '""- "., - -
, /JJk ' . /
I ,
.t,' \ .
6
НИКОЛАИ ИВАНОВИЧ ЛОВА ЧЕВСКИИ (1792
1856) русский математик, создатель неевкли
довой reометрии, которая изменила представление
о роли аксиоматики в математике и сыrрала важ
ную роль в разр ботке теории относительности.
Большой вклад внес также в математический aHa
лиз и алrебру. Он разработал метод приближенноl'О
решения аЛl'ебраических уравнений высших CTe
пеней.
. 2. Найдите {(О), {(1,5) и {( 1), если {(x) : :: .
. 3. Известно, что {(х)==хЗ 10. Найдите: а) {(5); б) {(4);
в) {(2); r) {( 3).
4. Пусть ч> (х)==х 2 +х+ 1. Найдите ч> (О)+ч> (1)+ч> (2)+ч> (3).
. 5. Известно, что {(х)== 5x+6. Найдите значение х, при
котором:
а) {(х)==17; б) {(x)== 3; в) {(х)==О.
6. Найдите значения х, при которых g (х)==О, если:
а) g(x)==x(x+4);
х+1
б) g (х)== 5 x .
7. Существует ли значение х, при котором значение
функции, заданной формулой ч> (х)== 6 X ' равно: а) 1';
б) 0,5; в) О? В случае утвердительноrо ответа укажите это
значение.
. 8. Найдите значение х, при котором функция, заданная
формулой {(x)==0,5x 4, принимает значение, равное: а) 5;
б) о; в) 2,5.
9. Найдите область определения функции, заданной Форму
лой:
а) y==4x 8;,
б) y==x2 5x+ 1;
2х
в) Y== 5 x ;
3
r) Y (x 4)(x+l) ;
1
д) у== х 2 +1 ;
е) у == x 5.
10. Приведите пример какой нибудь функции, областью
определения которой является:
а) множество всех чисел;
б) множество всех чисел, кроме 7.
11. Какова область определения функции, заданной фор
мулой:
а) у==х 2 +2х;
x l
б) у== l+х ;
в) y== "j9+X ?
ПЕТЕР ДИРИХЛЕ (1805 1859) немецкий Ma
тематнк. СДелал ряд крупных открытий в теории
чисел. Имеет значительные достижения в развитии
алreбры и математическоro анализа. Им прове
дены серьезные исследования в области механики
и математической физики.
7
у I
, y=g(x)
1\ 1 I
6 01- 1 I------ 5 Х
\
J
Рис. 6
12. На рисунке 6 построен rpафик функции y==g (х), об
ластью определения которой служит промежуток [ 6; 5 С по
мощью I'рафика найдите:
а) g( 4), g( 1), g(1), g(5);
б) значения х, при которых g (х)==4, g (х)== 4, g (х)==О;
в) наибольшее и наименьшее значения функции;
r) область значений функции.
. 13. Постройте I'рафик функции, заданной формулой:
а) f (х) == 1,5 3х;
б) f (х)== 4,5х;
10
в) f (x)== ;
х
1
1') f (х)== .
х
Укажите область определения и область значений функции.
. 14. Укажите область определения и область значений каж
дой из функций у==х 2 , у==х З , y== (см. рис. 4).
15. На рисунке 7 изображены I'рафики функций, заданных
y
1
,Y
0('
\
а)
у
6)
8
х
у
е)
Рис. 7
д)
х 2 х
формулами У==2' у==-х, y==2 2'
У == 2, У == ..!.. Для каждой функ
2 х
ции укажите соответствующий rрафик.
16. На рисунке 8 изображен rрафик
одной из функций, заданных формула
ми y==x l, у==l+х, y==2x 1,
у == 1 2х. Выясните, какой именно.
17. По rрафику функции у == I х I
(см. рис. 5) найдите, при каких значе
ниях х:
а) Ixl ==3,5; б) Ixl <2; в) Ixl 4.
Каково наименьшее значение функ
ции? Имеет ли функция наибольшее значение? Какова область
значений функции у== Ixl?
18. Составьте таблицу значений и постройте rрафик функ
ции, заданной формулой:
1
у
х
Рис. 8
а) y==x3 8x, rде 3 x 3; б) у== X 2 ' rде 1,5 x 6.
Какова область значений функции?
19. С помощью формул
{ 2t+20, если 0 t<40,
р== 100, если 40 t<60,
t+140, если 60 t 150,
описано изменение температуры воды в баке (в ОС) как функ
ции времени t (в минутах).
Найдите: р (20); р (40); р (50); р (60); р (90). Постройте rpa
фик функции р== f (t). Какой физический смысл имеет pac
сматриваемый процесс в каждом из промежутков [о; 401
[40; 60], [60; 150]?
20. Зависимость расстояния s (в километрах) велосипе
диста до базы от времени ero движения t (в часах) задана
следующим образом:
( 15t, если O t< '
7 3
В== ' t 17,5, если 6 t<2'
3 5
. 12t+35,5, если 2 t 2'
Найдите: s (о); s (1); s (1,4); s (2). Постройте rрафик функции
s==f(t) (масштаб по оси t: 1 eд. 6 клеточек; по оси в: 10 eд.
4 клеточки). Опишите, как происходило движение велоси
педиста.
9
Упражнения для повторения
21. Решите уравнение:
8) O,5 (3x 4)+ 15х== 4 (1,5х+ 1)+3;
б) (2х 3)(2х+З) х2==12Х 69+3х2.
22. Решите неполное квадратное уравнение:
а) 6х2 зх==0; в) x2 36==0; д) o,5x2 1==0;
б) х 2 +9х==0; r) 5х 2 +1==0; е) о,6х+9х 2 ==0.
23. Решите квадратное уравнение:
а) х 2 +7х+12==0; в) 2x2 5x 3==0;
б) x2 2x 35==0; r) зх2 8х+5==0.
2. СВОИСТВА ФУНКЦИИ
На рисунке 9 изображен rрафик зависимости температуры
воздуха р (в ОС) от времени суток t (в часах). Мы видим,
что в 2 ч и в 8 ч температура равнялась нулю, от О до 2 ч и от 8
до 24 ч она была выше нуля, а от 2 до 8 ч ниже нуля. Из rpa
фика ясно также, что в течение первых пяти часов темпе
ратура понижалась, затем в промежутке от 5 до 14 ч она повы
шалась, а потом опять понижалась.
р,"С I
,.......16 ",. !'-о-
r---14 ......100...
"- .....
12 ,
1\
I
O 2\ 4 б 18 IO 12 14 lб 18 20 22 24 r--- t,ч
12
..!4 \. I
';'6
I
I
Рис. 9
с помощью J'рафика мы выяснили некоторые свойства
функции p==f(t), rде t время суток в часах, а р темпе
ратура воздуха в rрадусах Цельсия.
Рассмотрим теперь свойства функции у == f (х), rрафик KOTO
рой изображен на рисунке 10. Выясним сначала, при каких зна
чениях х функция обращается в нуль, принимает положитель
ные и отрицательные значения.
Найдем абсциссы точек пересечения rрафика с осью х.
Получим х== 3 и х==7. Значит, функция принимает значе
ние, равное нулю, при х== 3 и х==7. Значения aprYMeHTa,
при которых функция обращается в нуль, называют нулями
функции, т. е. числа 3 и 7 нули рассматриваемой функции.
10
Нули функции разбивают ее
область определения промежу
ток [ 5; 9} на три промежутка :
[ 5; 3), ( 3; 7) и (7; 9 Для зна
чений Х из промежутка ( 3; 7) точки
rрафика расположены выше оси Х,
а для значений Х из промежутков
l 5; 3) и (7; 9] ниже оси Х.
Значит, в промежутке ( 3; 7) Функ
ция принимает положительные Рис. 10
значения, а в каждом из про
межутков [ 5; 3) и (7; 91 отрицательные.
Выясним теперь, как изменяются (увеличиваются или YMeHЬ
шаются) значения данной функции с изменением Х от 5 до 9.
Из rрафика видно, что с увеличением Х от 5 до 3 значе
ния у увеличиваются, а с увеличением х от 3 до 9 значения
у уменьшаются. rоворят, что в промежутке [ 5; 3] функция
у==! (х) является возрастающей, а в промежутке [3; 9] эта
функция является убывающей.
О n р е Д е л е н и е. Функция называется возрастающей
внекотором промежутке, если большему значению aprYMeHTa из
этоrо промежутка соответствует большее значение функции;
функция называется убывающей внекотором промежутке,
если большему значению aprYMeHTa из этоrо промежутка co
ответствует меньшее зиачение функции.
Иными словами, функцию у == t (х) называют возрастающей
внекотором промежутке, если для любых х, и Х2 из этоrо про
межутка, таких, что Х2 >XI, выполняется неравенство t (Х2) >
> f (XI); функцию у == t (х) называют убывающей внекотором
промежутке, если для любых ХI и Х2 из этоrо промежутка,
таких, что X2>XI, выполня тся неравенство t(x2)<f(xt).
Если функция возрастает на всей области определения, то
ее называют возрастающей функцией, а если убывает, то убы
вающей функцией. На рисунке 11 изображены rрафики воз
растающей функции и убывающей функции.
/
,
/, 1\
./
5 о с 3 Z, 9Х
i/
,
у
х
х
а)
б)
Рис. 11
11
Выясним, какими свойствами обладают некоторые изучен
ные ранее функции.
При м е р 1. Рассмотрим свойства ФУНКЦИIJ y==kx+b,
rде k=l=O (рис. 12).
у
Y K)(+b (1(>0) Y Kx+b (к<О)
о х
а) О)
Рис. 12
ь
1. Решив уравнение kx+ ь==о, найдем, что х== T' Зна
ь
чит, у==о при х== T'
2. Выясним, при каких значениях х функция принимает
положительные значения и при каких отрицательные. Pac
смотрим два случая: k > О и k < О.
Пусть k > О. Решив неравенство kx + ь > О, найдем, что
Ь Ь
х:::::: T' т. е. У>О при х> .......Т. ИЗ неравенства kx+b<O
получим, что х< : ' значит, У<О при х< : (см.
рис. 12, а).
Пусть k < О. ТОl'да, решив неравенства kx + ь > О и
kx+b<O, найдем, что У>О при х< : и У<О при х> :
(см. рис. 12, б).
3. При k > О функция У == kx + ь является возрастающей, а
при k < О убывающей.
Докажем это. Пусть Xl И Х2 произвольные значения apl'Y
мента, причем X2>Xl' Обозначим через Yl и У2 соответствующие
им значения функции:
Yl==kxl+b и Y2==kX2+b.
Рассмотрим разность Y2 Yl:
Y2 УI ==(kX2+ b) (kxl + b)==kx2 kxl ==k (X2 Xl).
Множитель X2 Xl положителен, так как Х2>Х\' Поэтому знак
произведения k (:X2 XI) определяется знаком коэффициента k.
Если k>O, то k (X2 Xl»0 И Y2>YI. Значит, при k>O
функция У == kx + Ь является возрастающей.
Если k<O, то k (X2 Xl)<0 И Y2<Yl. Значит, при k<O функ
ция У == kx + Ь является убывающей.
12
у 'с
y (К<О)
1
О 1 )( О (:Х
\ а)
Рис. 13
k
При м е р 2. Рассмотрим свойства функции у==х-' rде
koi=O (рис. 13).
k
1. Так как дробь ни при каком значении х в нуль не об
Х k
ращается, то функция y== нулей не имеет.
Х
k
2. Если k > О, то дробь положительна при х > О и отри
х
цательна при х<О, т. е. у>О при х>О и у<О при х<О.
k
Если k < О, то дробь положительна при х < О и отрица
х
тельна при х>О, т. е. у>О при х<О и у<О при х>О.
3. При k>O функция y== является убывающей в каждом
х
из промежутков ( <х>; О) И (о; + <х», а при k < O. возрастаю
щей в каждом из этих промежутков (см. рис. 13, а. б).
Доказательство этоrо свойства проводится аналоrично тому,
как это было сделано для линейной функции.
. k
Заметим, что, хотя функция y , ['де k=l=O, убывает (или возрастает)
х
в каждом из промежутков ( 00; О) и (о; + 00). она не является убывающей
(возрастающей) функцией на всей области определения.
24. На рисунке 14 изображен rрафик изменения скорости
велосипедиста v в зависимости от времени ero движения t.
Укажите промежуток времени, в течение KOTOpOro скорость
велосипедиста: а) возрастала; б) убывала; в) оставалась посто
янной.
25. На рисунке 15 изображен rрафик температуры БОды в co
суде. Опишите, как изменял ась температура, и укажите проме
жуток времени, в течение KOToporo проводил ось наблюдение.
Каково было наибольшее значение температуры?
13
и;t
i
1
1.
18
1.
,6
l' \
f
/ \
1/ ,
p 1 t 1 tp tf 'f t,f
Рис. 14
у,:с
lQO ,. r"'o
80 1/
I J ......
60 1
.."
1.
O J
20 '1
,.......0 4 6 8 1p'21 t 18 202f 2fX,I'1UH
1 11 1 11 I I 1
Рис. 15
26. На рисунке 16 изображен :rрафик функции у == f (х), rде
7<x<5. Укажите:
а) нули функции;
б) промежутки, в которых функция принимает значения OДHO
ro и Toro же знака (положительные или отрицательные);
в) промежутки, в которых функция возрастает, и промежутки,
в которых она убывает.
27. Перечислите свойства функции y==g (х), I'рафик которой
изображен на рисунке 17.
1 I I У
1 I I 5
\ y=f(x) 74
\ 1 I 1 3 1\
1\1 1 11 2 \ I
, I f 1
:v'-6 5. " З 2 1 1 012 З/ 5 к.
\. j '!..z
!..З \'./
'4
I
Рис. 16
IY,
5 J
4 11
3 , 1 у=у(х)
2 \. -i
1
5 t,j3 2 1 01 2 J 5 х
J ,2
з
!.."
1
Рис. 17
28. На рисунке 18 изображен rрафик функции y==g (х), rде
10 х < 10. Сколько нулей имеет функция? Укажите: а) про
межутки, в которых функция принимает отрицательные значе
ния; б) промежутки, в которых функция убывает.
29. Начертите rрафик какой либо функции с областью опре
деления [ 3; 4) так, чтобы эта функция:
а) возрастала в промежутке [ 3; О] и убывала в промежутке
[о; 4); .
б) 'убывала в промежутке [ 3; 1) и возрастала в промежутке
[1; 4).
30. Начертите rpафик какой нибудь функции, нулями KOTO
рой служат числа: а) 3 и 3; б) 4, О и 2; в) 3, 2, 1 и 5.
14
lY. I I
,"\. I I
;/ " , 1\ у=и(х)
2 I 1\ I
I \
I
1O 2 O 2 10. х
I \ 12 I
11 \
14 J
I \.
I L'
1
'8
l'
Рис. 18
31. Найдите нули функции (если они существуют):
4+2х
а) у== 0,8x+12; в) у== х 2 +5 ;
б) y==(3x 10)(х+6); r) у== (X 1)6(X+8) .
32. Имеет ли нули функция:
а) у == 2,1х 70;
б) y==4x(x 2);
6 x
в) y== ?
х
. 33. При каких значениях х функция у == f (х) обращается
в нуль, принимает положительные и отрицательные значения,
если:
а) f (х)== 0,7x+350; б) f (х)==30х+ 10?
Начертите схематически rрафик функции и проиллюстри
руйте на нем установленные свойства.
. 34. Какие из линейных функций у == 8х 5, У == 3х + 11,
у== 49x 100, у==х+1, y==l x являются: а) возрастающи
ми; б) убывающими?
. 35. Постройте rрафик функции и перечислите ее свойства:
а) y==1,5x 3; б) у== 0,6x+5.
. 36. Постройте rрафик функции: а) у==1,6х; б) у== 0,4x.
Перечислите свойства функции у == kx при k > О и при k < О.
. 37. Функция задана формулой {(x)==13x 78. При каких
значениях х: а) f (х)==О; б) f (х»О; в) f (х)<О? Является ли
функция возрастающей?
. 38. Используя рисунки 4 и 5, перечислите свойства функций
у==х 2 , у ' х 3 , у==..ух И y:=lxl.
. 39. Постройте rрафик функции и перечислите ее свойства:
а) у== : ; б) у== .
15
Упражнения для повторения
40. Решите уравнение:
а) 0,6х2 з,6х==0; в) 2x2+17x==0
б) x2 5==0; r) 0,5х 2 +9==0.
41. Сравните g (2) и g ( 2), если:
а) g (х)== x2 5 ; б) g (х)== x2 5 ; в) g (х)== Х-;;5 '
42. Разложите на множители мноrочлен:
а) 4x x3; б) a4 169a2; в) c3 8c2+16c.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение функции. Что называется областью
определения и областью значений .функции?
2. Что называется rрафиком функции? Что представляет co
бой rрафик линейной функции, прямой пропорциональности,
обратной пропорциональности?
3. Используя рисунок 16, поясните, как с помощью rрафика
функции найти нули функции и промежутки, в которых функ
ция сохраняет знак (принимает положительные значения, отри
цательные значения).
4. Дайте определение функции, возрастающей в промежу1'
ке; убывающей в промежутке. Назовите промежутки воз
растания и убывания функции, rрафик которой изображен на
рисунке 16.
5. Приведите пример возрастающей и убывающей линейной
функции. Сформулируйте и докажите соответствующее свойст
во линейной функции.
6. Как изменяется в каждом из промежутков ( oo; О) и
k
(о; + 00) функция y== ? Рассмотрите случаи k>O и k<O.
х
2. КВАДРАТНЫИ ТРЕХЧЛЕН
3. КВАДРАТНЫИ ТРЕХЧЛЕН И ErO КОРНИ
Выражение зх 2 2х 5 является мноrочленом второй степе
ни с одной переменной. Такие мноrочлены называют 1CвaдpaT
ныжи трехчленами.
О п р е Д е л е н и е. Квадратным трехчленом называется
мноrочлен вида ах 2 + Ьх + с, rде х перемениая, а. Ь и с
некоторые числа, причем а*, о.
Значение квадратноrо трехчлена зх2 2х 5 зависит от зна
чения х. Так, например:
16
если х==5, то зх2 2х 5==60;
если х==l, то зхl 2х 5== 4;
если х== 1, то зх2 2х 5==0;
если х==2, то зх2 2х 5==3.
Мы видим, что при х == 1 квадратный трехчлен зх 2 2х 5
обращается в нуль. rоворят, что число 1 является корнем это
ro трехчлена.
Корнем квадратноrо трехчлена называется значение пере
менной, при котором значение этоrо трехчлена равно нулю.
Для Toro чтобы найти корни квадратноrо трехчлена ах 2 +
+Ьх+с, надо решить квадратное уравнение ах 2 +ьх+с==0.
При м е р 1. Найдем корни квадратноrо трехчлена зх2
2х 5.
Решим уравнение
зх2 2х 5==0.
Имеем:
D==( 2)2 4.3.( 5)==64;
2 :::1:: v'64
x .
6 '
2
х, ==1з, Х2== 1.
Значит, квадратный трехчлен зх2 2х 5 имеет два корня:
2
13 и 1.
Так IЩК квадратный трехчлен ах 2 + Ьх + с имеет те же KOp
ни, что И квадратное уравнение ах 2 + Ьх + с == О, то он может, как
и квадратное уравнение, иметь два корня, один корень или не
иметь корней. Это зависит от знака дискриминанта KBaдpaT
Horo уравнения D == ь 2 4ас, который называют также диc-кpи
,Минанто,М KeaapaTHOZO трехчлена. Если D>O, то квадратный
трехчлен имеет два корня; если D == О, то квадратный трехчлен
имеет один корень; если D < О, то квадратный трехчлен не
имеет корней.
При решении задач иноrда бывает удобно представлять
квадратный трехчлен ах 2 + Ьх+с в виде а (x т?+п, {'де т и
п некоторые числа. Такое преобразование называется выдe
ленuе,М квадрата двучлена из квадратноrо трехчлена. Пока
жем на примере, как выполняется это преобразование.
При м е р 2. Выделим из трехчлена зх 2 36х + 140 KBaд
рат двучлена.
Вынесем за скобки множитель 3:
3x2 36X+140==3( x2 12x+ 1:0 )
Преобразуем выражение в скобках. Для этоI'О представим 12х
17
в виде произведения 2.6.х, а затем прибавим и вычтем 62. По
лучим:
3x2 36X+140==3( x2 12x+ 1:0 ) ==
==3( x2 2.6'X+62 62+ 1:0 ) ==
==3( (x 6?+ 2 ) ==3 (x 6)2+32.
Значит,
зх 2 36х + 140 == 3 (х 6)2 + 32.
Рассмотрим задачу, при решении которой применяется BЫ
деление квадрата двучлена из квадратноrо трехчлена.
При м е р 3. Докажем, что из всех прямоуrольников с пе
риметром 20 см наибольшую площадь имеет квадрат.
Пусть одна сторона прямоуrольника равна х см. Тоrда дpy
rая сторона faBHa 10 х см, а площадь прямоуrольника равна
х (10 x) см.
Раскрыв скобки в выражении х (10 x), получим 10x x2.
Выражение х 2 + 10х представляет собой квадратный тpex
член, в котором а== 1, Ь==10, с==о. Выделим квадрат двучле
на:
x2+ 10х== (x2 10х)== (x2 10x+25 25)==
== (x 5)2+25.
Так как выражение (x 5)2 при любом x=l=5 отрицатель
но, то сумма (x 5)2+25 принимает наибольшее значение
при х==5. Значит, площадь будет наибольшей, коrда одна из
сторон прямоуrольника равна 5 см. В этом случае вторая
сторона также равна 5 см, т. е. прямоуrольник является квад
ратом.
43. Какие из чисел 1, 2, 3 -,J2, 7 +-,J2 являются KOp
нями квадратноrо трехчлена х 2 6х + 7?
. 44. Найдите корни квадратноrо трехчлена:
а) x2+x 6; в) 0,2x2+3x 20; д) 0,1х 2 +о,4;
б) 9х2-т9х+2; r) 2x2 x 0,125; е) 0,зх2+1,5х.
. 45. Найдите корни квадратноrо трехчлена:
а) 10x2+5x 5; в) x2 2x 4;
б) 2x2+12x 18; [') 12x2 12.
46. Имеет ли квадратный трехчлен корни, и если имеет, то
сколько:
а) 5x2 8x+3;
б) 9х 2 +6х+1;
18
в) 7x2+6x 2;
[') x2+5x 3?
47. Имеет ли квадратный трехчлен корни, и если имеет, то
сколько:
а) 4x2 4x+3;
б) 4x2 4x+3;
в) 9x2 12x+4;
r) 9x2 12x 4?
48. Выделите квадрат двучлена из KBaApaTHoro трехчлена:
а) x2 6x 2; в) 2x2 4x+l0;
б) х2+5х+20; r) x2+x 6.
49. Выделите квадрат двучлена из квадратноrо трехчлена:
а) x2 10x+l0; в) зх2+6х 3;
б) x2+3x 1; r) x2 x+2.
50. Докажите, что при любом значении х квадратный
трехчлен:
а) x2 6x+l0 принимает положительное значение;
б) 5x2 10x+5 принимает неотрицательное значение;
в) х 2 + 20х 100 принимает неположительное значение;
r) 2x2+16x 33 принимает отрицательное значение.
51. Даны квадратные трехчлены x2 6x+l1 и x2+6x
11. Докажите, что первый из них не принимает отрицатель
ных значений, а второй положительных.
52. При каком значении х трехчлен 2х 2 4х + 6 принимает
наименьшее значение? Найдите это значение.
53. Дан квадратный трехчлен +х 2 +2х+4. Выясните, ри
каком значении х он принимает наименьшее значение и чему
равно это значение трехчлена.
54. Докажите. что из всех прямоуrольных треуrольников с
суммой катетов, равной 6 см, наибольшую площадь имеет paB
нобедренный треуrольник.
55. С башни выпустили вверх стрелу из лука. Если началь
ная скорость стрелы равна 50 м/с, высота башни 20 м и t Bpe
мя полета стрелы (в секундах), то расстояние h (в метрах)
стрелы от поверхности земли можно найти по формуле
h== 5t2+50t+20 (приближенное значение ускорения свобод
Horo падения считается равным 10 м/с 2 ). Какой наибольшей
высоты достиrнет стрела?
Упражнения для повторения
( ) о 5x 1
56. Функция задана формулои f х == ' 6 . При каких
значениях х:
а) f (х)==О;
б) f (х» о;
в) f (х)<О?
19
57. Длина l стальноl'О рельса, имеющеl'О при О ос длину
60 м, изменяется в зависимости от температуры t ос по закону
l==60 (1 +0,000012t). Найдите приращение длины l рельса при
изменении температуры: а) от 00 до 250; б) от 250 до 500.
58. Решите уравнение:
а) 3 (х+4)2==10х+32; б) 31х+77 == 15 (х+ 1)2.
59. Разложите на множители МНОl'очлен:
а) ab+3b 5a 15;
б) 2xy y+8x 4.
4. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАтноrо ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
Пусть требуется разложить на множители квадратный Tpex
член зх 2 21х + 30. Вынесем сначала за скобки множитель 3.
Получим:
зх2 21:ж:+30==3 (x2 7x+10).
Для Toro чтобы разложить на множители трехчлен x2 7x+ 10,
представим 7 х в виде суммы одночленов 2х и 5х и приме
ним способ I'руппировки:
x2 7x+ 10==x2 2x 5x+ 10==х (x 2) 5 (x 2)==
==(x 2)(x 5).
Значит,
зх2 21х+30==3 (x 2) (x 5).
При х==2 и х==5 произведение 3 (x 2)(x 5), а следова
тельно, и трехчлен зх2 21х+30 обращаются в нуль. Зна
чит, числа 2 и 5 являются ero корнями.
Мы представили квадратный трехчлен зх 2 21х + 30 в виде
произведения числа 3, т. е. коэффициента при х 2 , И двух ли
нейных множителей. Первый из них представляет собой раз
ность между переменной х и одним корнем трехчлена, а
второй разность между переменной х и друrим корнем.
Такое разложение можно получить для любоrо KBaдpaT
Horo трехчлена, имеющеl'О корни. При этом считают, что если
дискриминант квадратноrо трехчлена равен нулю, то этот
трехчлен имеет два равных корня.
Т е о р е м а. Если Х) и Х2 "орни "вадратноzо Tpex
члена ах 2 +ьх+с. ТО
ах 2 +Ьх+с==а (x xl) (X X2)'
Доказательство.
Вынесем за скобки в МНОl'очлене ах 2 + Ьх + с множитель а.
Получим:
ax2+bx+c==a ( x2+ x+..!... ) .
. а а
20
Так как корни квадратноrо трехчлена ах2 + Ьх + с являются
также корнями квадратноrо уравнения ах 2 +ьх+с==0, то по
теореме Виета
ь
Х( +Х2== ,
а
с
Х('Х2==а'
Отсюда
ь
== (XI +Х2)'
а
с
==X('X2'
а
Поэтому
х2 + x+ ==x2 (x, +Х2) X+XIX2==X2 XIX X2X+XIX2==
а а
==х (X XI) X2 (X Xl)==(X XI) (X X2).
Итак,
ах2+ Ьх+с==а (X XI) (X X2).
Заметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней,
то ero нельзя разложить на множители, являющиеся мноrочле
нами первой степени.
Докажем это. Пусть трехчлен ах 2 +ьх+с не имеет корней. Пред
положим, что ero можно представить в виде произведения МНОl'очленов пер
вой степени:
ах 2 + bx+c (kx+т) (px+q),
I'де k, т, р и q некоторые числа, причем k*O и р*О.
Произведение (kx+т) (px+q) обращается в нуль при x : и x : .
Следовательно, при этих значениях х обращается в нуль и трехчлен
2 т q
ах + Ьх+с, т. е. числа T и p являются el'o корнями. Мы пришли к
противоречию, так как по условию этот трехчлен корней не имеет.
При м е р 1. Разложим на множители квадратный Tpex
член 2x2+7x 4.
Решив уравнение 2х 2 + 7 Х 4 == О, найдем корни трехчлена:
1
Х, ==2'
Х2== 4.
По теореме о разложении квадратноrо трехчлена на MHO
жители имеем:
2x2+7X 4==2( X ) (х+4).
Полученный результат можно записать иначе, умножив чис
1
ло 2 на двучлен Х 2' Получим:
2x2+7x 4==(2x 1) (х+4).
21
При м е р 2. Разложим на множители квадратный Tpex
член 4х 2 + 24х 36.
Решив уравнение 4x2+24x,.......36==0, найдем корни Tpex
члена:
XI ==Х2==3'
Значит,
4x2+ 24x 36== 4 (X 3) (X 3),
или иначе:
4x2+24x 36== 4 (X 3?
. 3х+2
При м е р 3. Сократим дробь зх2 13х 10 '
Разложим на множители квадратный трехчлен зх 2 13х
2
10. Ero корни равны з и 5. Поэтому
3x2 13X 10==3( Х+ ) (x 5)==(3x+2)(x 5).
Значит,
3х+2 3х+2 1
зх 2 13х 10 (3x+2)(x 5) x 5'
. 60. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) Зх2 24х+21; r) x2 12x+24; ж) 2x2 5x+3;
б) 5x2+10x 15; д) y2+16y 15; з) 5y2+2y 3;
12 1 1. 2 8 2
в) ТХ +2Х+З' е) x х+9; и) 2x +5х+7.
. 61. Разложите на М!lожители трехчлен:
а) 2x2 2x+ ; в) 16а 2 +24а+9;
б) 9x2+12x 4; r) 0,25т2 2т+4.
. 62. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) 2x2+12x 14;
б) т2+5т 6;
в) зх2+5х 2;
r) 6x2 13x+6.
63. Докажите тождество:
а) 10x2+19x 2==10 (x o,1) (х+2);
б) 0,5 (x 6) (x 5)==0,5x2 5,5x+ 15.
64. Можно ли представить квадратный трехчлен в виде про
изведения мноrочленов первой степени:
а) 3y2+3y+1l; в) x2 7x+1l;
б) 4b2 9b+7; r) 3y2 12y+12?
22
65. Сократите дробь:
4х+4 16 ь2
а) зх2+2х 1 ; в) Ь2 Ь 12 ;
б) 2а2 ба 3 . ) 2у2+7у+3 .
3a 9' r y2 9 '
Д ) p2 l1p+10 .
20+8p p 2 ,
е) зх2+16х 12
10 lзх зх 2
66. Сократите дробь:
а) x2 l1x+24 . б) 2y2+9g 5
T 64' 4y2 1
67. Найдите значение дроби:
36 x2
а) 6 7x+x2 при х== 9; 99; 999;
4x2+8x 32 .
б) 4x2 16 при х== 1; 5; 10.
68. Чем отличаются rрафики функций
Y ==x 4 и x2 6x+8?
y x 2 .
Упражнения для повторения
. 69. Решите уравнение:
) x2 1 11 11' б ) x2+x 8x 7
а x , .
70. Разложите на множители мноrочлен:
а) 4x2 6x+2xy 3y;. б) 4a3+2Ь3 2a2Ь 4aь2.
71. На рисунке 19 изображен rрафик изменения уровня
воды относительно нулевой отметки. Опишите, как происходило
изменение уровня воды.
72. В какой координатной четверти расположена точка пере
сеченияrрафиков функций f (х)==0,8х+2,1 и g (х)== 0,9x+3?
Рис. 19
h,дl1.
б ....
5 I.JI ....1'"'-
....
4 ....
J
1 I
1
l'
О r 1 З t . ' д , lr LI i (/Н.
I I
23
Контрольные вопросы
1. Дайте определение квадратноrо трехчлена. Сколько KOp
ней может иметь квадратный трехчлен?
2. Покажите на примере выражения зх 2 12х + 32, как
можно выделить квадрат двучлена из квадратноrо трехчлена.
3. Сформулируйте и докажите теорему о разложении на
множители квадратноrо трехчлена, имеющеrо корни.
3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
И ЕЕ rРАФИК
5. Функция у==ах 2 , ЕЕ rPАФИК И СВОИСТВА
Одной из важных функций, которую мы будем paCCMaT
ривать в дальнейшем, является квадратичная функция.
О п р е Д е л е н и е. Квадратичной функцией назьшается
функция, которую можно задать формулой вида у ==ах 2 +
+ Ьх + с, rде х независимая переменная, а. Ь и с некото-
рые числа, причем а =1= О.
Примером квадратичной функции является зависимость пу
ти от времени при равноускоренном движении. Если тело дви
жется с ускорением а м/с 2 и к началу отсчета времени t про
шло путь 80 м, имея в этот момент скорость Vo м/с, то зависи
мость пройденноrо пути 8 (в метрах) от времени t (в ceKYH
дах) выражается формулой
at 2
8==T+ v o t + 8 0.
Если, например, а == 6, Vo == 5, 80 == 20, то формула примет вид:
8 == 3t 2 + 5t + 20.
Изучение квадратичной функции мы начнем с частноrо слу
чая функции у == ах 2 .
При а==1 формула у==ах 2 принимает вид у==х 2 . С этой
функцией мы уже встречались. Ее rра )Иком является парабола.
Построим rрафик функции у==2х . Составим таблицу зна
чений этой функции:
х 2 1,5 ':""'1 0,5 О 0.5 1 1,5 2
У 8 4,5 2 0,5 О 0,5 2 4,5 8
Построим точки, координаты которых указаны в таблице.
Соединив их плавной линией, получим rрафик функции у == 2х2
(рис. 20, а).
24
I У I I
I I
8 I I
У = 2 х 2
6
4
\ J
З 2 О { { х
I 1
а)
I I У I
I I
8 r--- у=2х 2 .......
6 Ir-- у=х 2 с---
I
4
2
"-
3 H D r 1 х
' 11
Рис. 20
Ь)
При любом х=#=О значение функции у==2х 2 больше COOT
ветствующеrо значения функции у == х2 В 2 раза. Если перемес
тить каждую точку rрафика функции у == х2 вверх так, чтобы
расстояние от этой точки до оси Х увеличилось в 2 раза, то она
перейдет в точку rрафика функции у == 2х 2 , при этом каждая
точка этоrо rрафика может быть получена из некоторой точки
rрафика функции у==х 2 . Иными словами, rрафик функции
у==2х 2 можно получить из параболы у==х 2 растяжением от
оси Х в 2 раза (рис. 20, б).
1 2
Построим теперь rрафик функции у ==тх . Для этоrо coc
тавим таблицу ее значений:
х 4 3 2 1 О 1 2 3 4
У 8 4,5 2 0,5 О 0,5 2 4,5 8
Построив точки, координаты которых указаны в таблице,
и соединив их плавной линией, получим rрафик функции
у==+х 2 (рис. 21, а).
При любом х=#=О значение функции у==+х 2 меньше COOT
ветствующеrо значения функции у == х2 В 2 раза. Если пере
местить каждую точку rрафика функции у == х2 вниз так, чтобы
расстояние от этой точки до оси Х уменьшил ось в 2 раза, то она
перейдет в точку rрафика функции у ==+ х2, причем каждая
точка этоrо rрафика может быть получена из некоторой точки
rрафика функции у==х 2 (рис. 21, б). Таким образом, rрафик
функции у == х2 можно получить из параболы у == х2 сжатием
к оси Х в 2 раза.
25
, I
,
8
\ 6 11 y""lx 2
\ 11
4- 1
1\. 2 J
t 1i 't° х
а)
, , I 'У I
, y==x z 11
8
\ , 6 I y I XZ
\ 1
\ J
1\ 2 1
1\' ..,}
1t 3 2 1 О { t х
1 ill ','
6)
Рис. 21
Вообще rрафик функции у == а:х 2 можно получить из парабо
лы у==х 2 растяжением от оси х в а раз, если а> 1, и сжатием
1
к оси х в раз, если О<а<1.
а
Рассмотрим теперь функцию у == ах 2 при а < О.
Построим rрафик функции у == + х 2 , ДЛSf. чеrо составим
таблицу значений этой функции:
х 4 3 2 1 О 1 2 3 4
у 8 4,5 2 0,5 О 0,5 2 4,5 8
Воспользовавшись этой таблицей, построим rрафик функции
у == х 2 (рис. 22, а).
у
1t 3 V O 3 It х
J ,2
11 ,
1 Z
1 6 \ У== yx
1 \
'8
IL
I 10 1\
,
,
I
а)
26
у I I
I I
\ б 1 I I
, 1 y lx2
It 2
J
, 2
J
3 2, о ,2 3 Ij Ix
J ,2
J J; \
' 1 2
I ...J.б Y== 2X
11 1 \ I I I
28 I I I I
, I I I
Рис. 22
О)
Сравним rрафики функций у === + х2 и у === х2 (рис. 22, б).
При любом Х значения этих функций являются противо
положными числами. Значит, соответствующие точки rpафи
ков симметричны относительно оси Х. Иными словами, rрафик
функции у == х2 может быть получен из rрафика функции
у==+ х2 с помощью симметрии относительно оси х.
Вообще rрафики функций у==ах 2 и у=== ax2 (при а=#=О)
симметричны относительно оси Х.
rрафик функции у===ах'2, rде а=#=О, как и rрафик функ
ции у==х 2 , называют параболой.
Сформулируем свойства функции у ===ах 2 при а> О.
1. Если х==о, то у ===0. rрафик функции проходит через
начало координат.
,2. Если Х=#=О, то у>о. rрафик функции расположен в Bepx
неЙ полуплоскости.
. 3. Противоположным значениям aprYMeHTa соответствуют
равные значения функции. rрафик функции симметричен OT
носительно оси у.
4. Функция убывает в промежутке ( oo; О] и возрастает
в промежутке [о; + 00 ).
5. Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает
при х===о, наибольшеrо значения функция не имеет. Областью
значений функции является промежуток [о; + 00 ).
Докажем свойство 4. Пусть ХI И Х2 два значения apry
мента, причем X2>XI, а УI и У2 соответствующие им зна
чения функции. Составим разность У2 УI И преобразуем ее:
Y2 Уl ===ax aXl ===а (X Xl)===a (X2 XI) (X2+XI).
Так как а > О и Х2 Xl > О, то произведение а (X2 Xl) (Х2 + XI)
имеет тот же знак, что и множитель X2+Xl. Если числа Х2 и Хl
принадлежат промежутку ( 00; 01 то этот множитель отри
цателен. Если числа Х2 и Х. при надлежат промежутку [о; + 00 ),
то множитель Х2+ХI положителен. В первом случае Y2 YI <О,
т. е. Y2<YI; во втором случае Y2 YI >0, т. е. У2> YI. Значит,
в промежутке ( oo; О] функция убывает, а в промежутке
[О; + 00 ) возрастает.
Теперь сформулируем свойства функции у===ах 2 при а<О.
1. Если Х === О, то У === О. rрафик функции проходит через
начало координат.
2. Если Х =#= О, то У < О. rрафик функции расположен в ниж
ней полуплоскости.
3. Противоположным значениям aprYMeHTa соответствуют
равные значения функции. rрафик функции симметричен OT
носительно оси У.
27
4. Функция возрастает в промежутке ( oo; О] и убывает
в промежутке [о; + 00 ).
5. Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает
при х == О, наименьшеrо значения функция не имеет. Областью
значений функции является промежуток ( 00; O
Доказательство свойства 4 проводится аналоrично тому, как
это было сделано для функции у==ах 2 при а>О.
Из перечисленных свойств следует, что при а> О ветви
параболы у == ах 2 направлены вверх, а при а < О вниз. Ось у
является осью симметрии параболы. Точку пересечения парабо
лы с ее осью симметрии называют вершиной параболы.
Вершиной параболы у===ах 2 является начало координат.
Построение rрафика, симметричноrо данному относительно
оси х, растяжение rрафика от оси х или сжатие к оси х
различные виды преобразования rрафиков функций. Преобра
зования rрафиков, рассмотренные нами для функции у===ах 2 ,
применимы к любой функции.
rрафик функции у f (х) можно получить из I'рафика функции у f (х)
с помощью симметрии относительно оси х.
rрафик функции y af(x) можно получить из rрафнка функции y f(x)
с помощью растяжения от оси х в а раз, если а> 1,. и с помощью сжатия
1
к оси х в а раз, если О<а<l.
. 73. Постройте rрафик функции у== х 2 . Найдите:
а) значение у при х === 2,5; 1,5; 3,5;
б) значения х, при которых у==5; 3; 2;
в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.
. 74. Постройте rрафик функции у=== 2x2 И найдите:
а) значение у при х=== 1,5; 0,6; 1,5;
б) значения х, при которых у=== 1; 3; 4,5;
в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.
. 75. Постройте в одной системе координат rрафики функций
2 18 2 12
у===х, у=== , х и у===з х .
Сравните значения этих функций при х === 0,5, х === 1 и х == 2.
. 76. Постройте в одной системе координат rрафики функций
у === о,4х 2 И У === о,4х 2 .
Какова область значений каждой из этих функций?
77. Покажите схематически, как расположен в координат
ной плоскости rрафик функции:
а) у=== 15х 2 ; б) у===О,8х 2 .
Перечислите свойства этой функции.
78. Изобразите схематически rрафик и перечислите свойства
функции:
а) у==о,2х 2 ; б) у=== 10x2.
28
79. Пересекаются ли парабола у == 2х2 И прямая:
а) у==50; б) у==100; в) у== 8; r) y==14x 20?
Если точки пересечения существуют, то найдите их коорди
наты.
. 80. Принадлежит ли rрафику функции у == 100х 2 точка:
а) М (1,5; 225); б) К ( 3; 900); в) Р (2; 400)?
81. Найдите координаты точек пересечения rрафиков фун
кций у== x2 И y==2x 3. Выполните rрафическую иллюстра
цию.
82. Площадь Kpyra S (в квадратных сантиметрах) BЫ
числяется по формуле S==лr 2 , {'де r радиус Kpyra (в caH
тиметрах). Постройте rрафик функции S==лr 2 и найдите по
rрафику: а) площадь Kpyra, если ero радиус равен 1,3; 0,8;
2,1 см; б) радиус Kpyra, площадь KOToporo равна 1,8; 2,5; 6,5 см 2 .
83. Площадь поверхности куба у (в квадратных санти
метрах) зависит от ребра куба х (в сантиметрах). Задайте
формулой функцию у == f (х). Постройте ее rрафик и найдите
по rрафику: а) поверхность куба, если ero ребро равно 0,9;
1,5; 1,8 см; б) длину ребра, если поверхность куба равна 7;
10; 14 см 2 .
Упражнения для повторения
84. Сколько корней имеет квадратный трехчлен:
а) зх2 8х+2;
б) y 2+6y 18;
в) т2 3т+3?
85. Сократите дробь:
а) 2a 1 . б) 6a2 5a+1 .
10a2 a 2 ' 1 4a2
86. Решите уравнение (х+з)2 (х з)2==(х 2)2+(х+2? и
отметьте ero корни на координатной прямой.
6. rPАФИКИ Функции у==ах 2 +n и у==а (x т)2
Рассмотрим друrие частные случаи квадратичной функции.
При м е р 1. Выясним, что представляет собой rрафик
функции у ==+ х 2 + 3.
С этой целью в одной системе координат построим rрафики
функций у==+х 2 и у==+х 2 +3.
Составим таблицу значений функции у== х 2 :
29
х 4 3 2 1 О 1 2 3 4
У 8 4,5 2 0,5 О 0,5 2 4,5 8
(1)
rрафик функции у ===+ х2 изображен на рисунке 23, а.
Чтобы получить таблицу значений функции у===+х2+3
для тех же значений aprYMeHTa, достаточно к найденным
значениям функции у===+х 2 прибавить 3:
х 4 3 2 1 О 1 2 3 4
У 11 7,5 5 3,5 3 3,5 5 7,5 11
(2)
Построим точки, координаты которых указаны в таблице (2),
и соединим их плавной линией. Получим rрафик функции
у===+х2+3 (рис. 23, б).
\ У 1
8
1\ б J y==Jx 2 f..--
11
4 J
\ 2 J
-f {i " о i I r
а)
1\ IY [1
\1\ /1
, В
1\ 6 J ' У'=lх 2 +З
, V
4 J y 1 х2 f..--
J
\ 2 V I
1) I
I
4 3 2 10 . t х
'i 11 "
О)
Рис. 23
Леrко понять, что каждой точке (Ха; Уа) rрафика функции
у ===+ х2 соответствует единственная точка (Ха; Уа + 3) rрафика
функции У=== х 2+З и наоборот. Значит, если переместить
каждую точку rрафика функции y===+ 2 на 3 единицы вверх,
то получим соответствующую точку rрафика функции У ===
===+ х2 + 3. Иначе rоворя, каждую точку BToporo rрафика мож
30
но получить из некоторой точки первоrо rрафика с помощью
параллельноrо переноса на 3 единицы вверх вдоль оси У.
rpафик функции у ===+;k2 + 3 парабола, полученная в
результате сдвиrа вверх rpафика функции у===+х 2 .
Вообще rрафик функции у ===ах 2 + n является параболой,
которую можно получить из rpафика функции у ===ах 2 с по
мощью параллельноrо переноса вдоль оси у на n единиц
вверх, если n > О, или на n единиц вниз, если n < о.
При м ер 2. Рассмотрим теперь функцию у=== (x 5)2 И
выясним, что представляет собой ее rрафик.
Для этоrо в одной системе координат построим rрафики
u 1 2 1 ( 5) 2
функции у===т х и У===т X .
Для построения rрафика функции у ===+ х2 воспользуемся
таблицей (1). Составим теперь таблицу значений функции
y===+(X 5)2. При этом в качестве значений aprYMeHTa выбе
рем те, которые на 5 больше соответствующих значений ap
rYMeHTa в таблице (1). Тоrда соответствующие им значения
функции Y===+(X 5)2 будут те же, которые записаны 80
8ТОРОЙ строке таблицы (1):
х 1 2 3 4 5 6 7 8 9
у 8 4,5 2 0,5 О 0,5 2 4,.5 8
(3)
Построим rрафик функции у ===+ (х 5)2, отметив точки,
координаты которых указаны в таблице (3) (рис. 24). HeTpyд
но заметить, что каждой точке (Хо; Уо) rрафика функции
1\ YL\ 11 11
, , 11 11
8
1\ 7 1\ 11 I
б
\ 5 I/ у = JX2 11
\ 3 V J
1\ 2 f' 11 у =l(Х---5) 2
J 1\ J Z
1 " " I
.3 1 п 123456781 I I rx
I 1 I I 1111111111
Рис. 24
31
у ==+ х 2 соответствует единственная точка (хо + 5; уо) rрафика
функции у== (x 5)2 И наоборот.
Значит, если переместить каждую точку rрафика функции
у == х 2 на 5 единиц вправо, то получим соответствующую
точку rpафика функции у== (x 5)2. Иначе rоворя, каждую
roчку BToporo rpафика можно получить из некоторой точки
первоro rрафика с помощью параллельноrо переноса на 5 еди
ниц вправо вдоль оси х.
rрафик функции Y==T(X 5)2 парабола, полученная в
результате сдвиrа вправо rрафика функции у== х 2 .
Вообще rрафик функции у==а (x т)2 является параболой,
которую можно получить из rрафика функции у == ах 2 с по
мощью параллельноrо переноса вдоль оси х на т единиц вправо,
если т> О, или на т единиц влево, если т < О.
Полученные выводы позволяют понять, что представляет со-
бой ['рафик функции у==а (x т?+п. Рассмотрим, например,
функцию у== (x 3?+2. Ее rрафик можно получить из
rpафика функции у==тх2 с помощью двух параллельных
переносов сдвиrа параболы у == х 2 на 3 единицы вправо
и на 2 единицы вверх (рис. 25).
\ У I I I
\ I I
I I I
y 1x2
1\ б 2 J
\ 5 I
4 \ I Jу=l()( з)Z+.2
3 1(.
\ 2 J I
1 I
4 3 2 10 1 2 4 5 7 X
f I I I I I I
Рис. 25
Вообще rрафик функции у==а (x т)2+п является парабо-
лой, которую можно получить из rрафика функции у === ах 2 с по
мощью двух параллельных переносов: сдвиrа вдоль оси х на т
единиц вправо, если т> О, или на т единиц влево, если
т < О, и сдвиrа вдоль оси у на п единиц вверх, если п > О,
или на п единиц вниз, если п < О.
32
Заметим, что производить параллельные переносы можно в
любом порядке: сначала выполнить параллельный перенос
вдоль оси х, а затем вдоль оси у или наоборот.
Полученные нами выводы о преобразованиях I'рафиков применимы к
любым функциям.
I'pафик функции y==f(x)+п можно получить из rрафика функции у==
==, (х) с помощью параллельноro переноса вдоль оси у на п единиц вверх,
если п > О, или на п единиц вниз, если п < О.
I'pафик функции y==f(x т) можно получить из I'рафнка функции у==
== f (х) с помощью параллельноro переноса вдоль оси х на т едиииц вправо,
если т> О, или на т единиц влево, если т < О.
I'pафик функции у== f (x т)+ п можно получить из I'рафика функции
y==f(X) с помощью двух соответствующих параллельных переносов.
87. Изобразите схематически rpафик каждой функции (OT '
метьте вершину параболы и направление ее ветвей):
а) у===+х 2 ; у===+х 2 +4; у=== х2 з;
б) у=== ..!..x2; у=== ..!..x2+2; у=== ..!..x2 1;
333
в) у===}х 2 ; y===}(x 3)2; у===}(х+3)2;
r) у=== 2x2; у== 2 (x 4)2; у=== 2 (х+2)2.
88. С помощью шаблона параболы у === х 2 постройте rрафик
функции:
а) y==x2 4;
б) у== х2+з;
в) y===(x 5)2;
r) у==(х+з)2.
шаблон параболы
у == х 2 , постройте rрафик
89. Используя
функции:
а) у==х 2 +2;
б) у === х 2 1;
90. В каких координатных четвертях расположен rрафик
функции:
а) у==10х 2 +5;
б) у== 7х2 з;
в) у===(х+41;
r) у=== (х з)2.
в) у== 6x2+8;
r) y==(x 4)2;
д) у== (x 81;
е) у== 3 (х+5)2?
91. Изобразите схематически rрафик функции:
а) у== (x 2)2+1;
б) у== (х+з)2 1;
в) у== 4 (х з)2+5;
r) у=== 4 (x+2)2 2.
! A.,II '-....'11... J... I
33
92. Изобразите tхематически rрафик функции:
а) у== (х 2)2 з;
б) у== (х+2?+3.
93. Используя шаблон параболы у == х 2 , постройте rрафик
функции:
а) у==(х 2)2+З; б) у== (х з)2+5.
94. С помощью шаблона параболы у == х 2 постройте rрафик
функции:
а) y==(x+3? 4; б) у== (x+4)2 2.
95. На рисунке 26 изображены rрафики функций:
а) у== +(X+4)2;
б) у== (x 4? 1;
в) у==+х 2 +4;
r) у== x2 2.
\ У I
I
1\ '8 I I
."
\. J I
\ 11
J
2 ' J
10 8 6 1L2 О 2 6 8 10 12
"
>r
\.
11 , l' ,
1
I 16 \ ,
I 'о \
l'
Рис. 26
Для каждоrо rрафика укажите соответствующую формулу.
96. Найдите нули функции (если они существуют):
а) у===12х2 з; б) у===6х 2 +4; в) у== x2 4.
97. При каких значениях а функция у==ах 2 +5 имеет нули?
Упражнения для повторения
98. Решите уравнение:
а) о,6а (а+о,з)2==о,27; б) y2 2Y ==О,5у (6 2y).
34
99. Решите неравенство:
а) 5x O,7<3x+5,1; в) 2x+4,2 4x+7,8;
б) O,8x+4,5 5 I,2x; r) 3x 2,6>5,5x 3,1.
100. Найдите приращение функции у==х 2 при изменении х
от 2 до 5 и от 5 до 8. Сравните полученные результаты.
7. ПОСТРОЕНИЕ rРАФИКА КВАДРАТИЧНОИ ФУНКЦИИ
Рассмотрим квадратичную функцию у==ах 2 +Ьх+с.
Выделим из трехчлена ах 2 +ьх+с квадрат двучлена:
ах 2 +ьх+с==а( х 2 + : х+ :) ==
( 2 Ь ь 2 ь 2 С )
==а х +2х. 2а + 4а2 4а 2 + ==
(( Ь ) Ь2 4ac ) ( L.!!... ) 2 ь2 4ac
== а х + 2а 2 4а 2 ах.. 2а 4а '
( ь ) ь2 4ac
Отсюда у==а х+ 2а 2 4а
Мы получили формулу вида у==а (x т?+п, rде т==
Ь ь2 4ac
== 2a ,п== 4а
Значит, rрафик функции у==ах 2 +Ьх+с есть парабола,
которую можно получить из rрафика функции у==ах 2 с по-
мощью двух параллельных переносов сдвиrа вдоль оси х
и сдвиrа вдоль оси у. Orсюда следует, что rрафик функции у==
==ах 2 + Ьх+с есть парабола, вершиной которой является точка
( ) ь ь2+4ac
т; п, {'де т == 2а ' п 4а . Осью симметрии параболы
служит прямая х==т, параллельная оси у. При а>О ветви
параболы направлены вверх, при а < О вниз.
Чтобы построить rpафик квадратичной функции, нужно:
1) найти координаты вершины параболы и отметить ее в
координатной плоскости;
2) построить еще несколько точек, принадлежащих пара
боле;
3) соединить отмеченные точки плавной линией.
Заметим, что абсциссу т вершины удобно находить по фор
Ь О
муле т == 2а ' рдинату п можно находить, подставив наиден-
ное значение абсциссы в формулу у==ах 2 +ьх+с, так как при
х==т
у==ах 2 +Ьх+с==а (x т?+п==п.
Приведем примеры построения rрафиков квадратичных
функций.
35
При м е р 1. Построим rрафик функции у===о,5х 2 +зх+
+ 0,5.
rрафиком функции у === о,5х 2 + 3х + 0,5 является парабола,
ветви которой направлены вверх. Найдем координаты т и n
вершины этой параболы:
т=== :б === 2' ,5 === 3; n===О,5.( з)2+з.( з)+о,5=== 4.
Значит, вершиной параболы является точка ( 3; 4).
Составим таблицу значений функции:
х 7 6 5 4 3 2 1 О 1
У 4 0,5 2 3,5 4 3,5 2 0,5 4
Построив точки, координаты которых указаны в таблице,
и соединив их плавной линией, получим rрафик. функции
у === о,5х 2 + 3х + 0,5 (рис. 27).
I I I 11 I I I У I
\ I I I I I I I I I
I " I I I I I I 4
\ у=о,5J(2+зх+о,5 J I
\
2 I
1\ 7 I
7 >\ 5 4 3 2 7 О 1 2 3 Х
'11 1
, 1f1 2
\. J l'
, 11' JJ
,.
...... '4
I
Рис. 27
При составлении таблицы и построении rрафика учитыва
лось, что прямая х === 3 является осью симметрии параболы.
Поэтому мы брали точки с абсциссами 4 и 2, 5 и 1, 6
и О, симметричные относительно прямой х === 3 (эти точки
имеют одинаковые ординаты).
При м е р 2. Построим rpафик функции у 2х 2 + 12х
19.
rрафиком этой функции является парабола, ветви KOTO
рой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины:
т=== ;a === 2'( 2) 3; n=== 2.з2+12.3 19=== I.
36
Вычислив координаты еще нескольких точек, получим таб
лицу:
I : I .I .I , I .I .I
Соединив плавной линией точки, координаты которых YKa
заны в таблице, получим rрафик функции у== 2x2+12x 19
(рис. 28).
При м е р 3. Построим rрафик функции у == х 2 + Х + 1.
rрафиком функции у== х2+х+1 является парабола, BeT
ви которой направлены BflePX. Найдем координаты ее вершины:
т== :a == == 2; п== .( 2)2 2+1==O.
2'4
Вычислив координаты еще нескольких точек, получим
таблицу:
х 5 4 з 2 1 О 1
2.!. 1 о 1 1 2.!.
у 1
4 4 4 4
rрафик функции у == х 2 + Х + 1 изображен на рисунке 29.
f-o--y. I I
, I
а 1 4 х
11
.!..Z I \
"
13 .......
l'
.14 I ,
,...... :'1;, \
1
.15 f---"+ I
"
1,
,6 f----I
"
':"7 :о.,
l'
'8
"
I
Рис. 28
у
,
7 I
6 " 1=
у.
"t
5 f----f---- ..y.
,,+
4 f-o--f-o-- '/v",J
"
J -\
" /
, 2
" 1 '
" IТ
,
5 4 j О 1 2 х
I I I I 1 I I I I
Рис. 29
37
. 101. Квадратичная функция задана формулой: а) y==x2
4х + 7; б) У == 2х 2 5х 2. Найдите координаты вершины
параболы. Наметив на координатной плоскости вершину пара
болы и ее ось симметрии, изобразите схематически rрафик.
. 102. Постройте rрафик функции у=== x2+2x+8 и найди
те, используя rрафик:
а) значение функции при х===2,5; 0,5; 3;
б) значения aprYMeHTa, при которых у === 6; о; 2;
в) нули функции, промежу ки, в которых у>о, у<о;
r) промежутки возрастания и убывания функции, область
значений функции.
. 103. Постройте rрафик функции у == 2х 2 + 8х + 2 и найдите,
используя rрафик:
а) значение у при х== 2,3; 0,5; 1,2;
б) значения х, при которых у== 4; 1; 1,7;
в) нули функции, промежутки, в которых у>о, у<о;
r) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее
значение функции.
. 104. Постройте rрафик функции и опишите ее свойства:
1 2 122
а) У==аХ 4x+4; б) у== 4X +x l; в) У==Х +3х.
. 105. Постройте rрафик функции:
а) у== х2+5; б) y==x2 4x; в) у== x2+6x 9.
. 106. Постройте rрафик функции:
а) y==0,5x2 2; б) y==x2 4x+4; в) у== x2+2x.
107. Постройте rрафик функции:
а) y==(x 2) (х+4); б) у== X (х+5).
108. Выясните, rрафик какой из функций у == х2 + 6х,
у == х2 3х, у == х2 6 изображен на рисунке 30.
у
\ 7 I
, 6 11
,5
2 10 12345 7 9 X
12 \ 11
'з " ./
'4
15 l' "
I
Рис. 30
38
Упражнения для повторения
(1 3a?
109. Сократите дробь 3a2+5a 2 '
110. Изобразите схематически rрафик функции и укажите
область ее значений:
а) у===х 2 +З; б) у===(х+ 1)2; в) у=== x2+2.
111. Решите уравнение:
а) (x 1)2+(х+ 1)2===(x+2)2 2x+2;
б) (2x 3) (2x+3) 1 ===5x+(x 2)2.
112. Если с каждоrо reKTapa участка соберут 35 ц пшени
цы, то план недовыполнят на 20 т; если с каждоrо reKTapa
будет получено 42 Ц, то план перевыполнят на 50 т. Какова пло
щадь участка?
113. Если на каждую машину rрузить 3,5 т rруза, то OCTaHeT
ся 4 т; если на каждую машину rрузить 4,5 т, то для заrрузки
всех машин не хватит 4 т rруза. Сколько было машин?
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение квадратичной функции.
2. Сформулируйте свойства квадратичной функции у===ах 2 :
а) при а>О; б) при а<О.
3. Как из rрафика функции у===ах 2 можно получить rрафик
функции у===ах 2 +п; rрафик функции у===а (x т)2?
4. Как из rрафика функции у === ах 2 можно получить rрафик
функции у===а (x т)2+п?
5. Что представляет собой rрафик квадратичной функции
у===ах 2 +Ьх+с? На примере функции y===2x2 12x+16 по
кажите, как строят rрафик квадратичной функции.
4. НЕРАВЕНСТВА СОДНОИ ПЕРЕМЕННОИ
8. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОИ СТЕПЕНИ
СОДНОИ ПЕРЕМЕННОИ
Неравенства вида ах 2 +Ьх+с>0 и ах 2 +ьх+с<0, rде х
переменная, а, Ь и с . некоторые числа, причем а =1= О, называют
неравенствами второй степени с одной переменной.
Решение неравенства второй степени с одной переменной
можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых
соответствующая квадратичная функция принимает положи
тельные или отрицательные значения.
При м е р 1. Решим неравенство 5x2+9x 2<0.
Рассмотрим функцию у === 5х 2 + 9х 2. rрафиком этой функ-
ции является парабола, ветви которой направлены вверх.
39
Выясним, как расположена эта парабола относительно оси х.
Для этоrо решим уравнение 5х 2 + 9х 2 == о.
Получим:
х. == 2,
1
Х 2 =="5'
Значит, парабола пересекает ось х в двух точках, абс
1
циссы которых равны 2 и "5'
Покажем схематически, как расположена парабола в KOOp
динатной плоскости (рис. 31). Из рисунка видно, что функция
коrда хЕ ( 2; ) .
5x2+9x
принимает отрицательные значения,
Следовательно, множеством решений неравенства
2<O является числовой промежуток ( 2; ) .
Заметим, что при рассмотренном способе решения HepaBeH
ства нас не интересовала вершина параболы. Важно лишь было
знать, куда направлены ветви параболы вверх или вниз
и каковы абсциссы точек ее пересечения с осью Х.
При м ер 2. Решим HefaBeHcTBo зх2 llх 4>О.
rрафик функции у==3х llx 4 парабола, ветви KOTO
рой направлены вверх.
Для Toro чтобы выяснить, пересекает ли парабола ось х
и в каких точках, решим уравнение зх2 llх 4==О. По
лучим, что
1
х. == з' Х2==4.
Покажем схематически, как расположена парабола в KOOp
динатной плоскости (рис. 32). Из рисунка видно, что данное He
равенство верно, если х принадлежит промежутку( 00; )
или промежутку (4; + 00), т. е. множеством решений HepaBeH
х
х
Рис. 31
Рис. 32
40
ства является объединение промежутков ( OO; ) и
(4; +00).
Ответ можно записать так: ( 00; ) U(4; + 00).
При м е р 3. Решим неравенство +x2+2X 4<O.
Рассмотрим функцию у == х 2 + 2х 4. Ее rрафиком яв
ляется парабола, ветви которой направлены вниз.
Выясним, как расположен rрафик относительно оси х. Pe
шим для этоrо уравнение х 2 + 2х 4 == о. Получим. что
х==4. Уравнение имеет единственный корень. Значит. парабола
касается оси х.
Изобразив схематически параболу (рис. 33). найдем. что
функция принимает отрицательные значения при любом х.
кроме 4.
Ответ можно записать так: х любое число. не равное 4.
При м е р 4. Решим неравенство х 2 3х + 4 > о.
rрафик функции у == х 2 3х + 4 парабола, ветви которой
направлены вверх.
Чтобы ВЫЯС!tИТЬ, как расположена парабола относительно
оси х. решим уравнение х 2 3х + 4 == о. Находим, что D ==
== 7 < О. т. е. это уравнение !te имеет корней. Значит. парабола
не имеет общих точек с осью х.
Показав схематически расположение параболы в коорди
натной плоскости (рис. 34). найдем. что функция принимает
положительные значения при любом х.
О т в е т: х любое число.
Итак. для решения неравенств вида ах 2 +Ьх+с>О и
ах 2 + Ьх + с < о поступают следующим образом:
1) находят дискриминант квадратноro трехчлена и выясня
ют, имеет ли трехчлен корни;
у
х
о
х
Рис. 88
Рис. 84
41
2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси х
и через отмеченные точки проводят схематически параболу,
ветви которой направлены вверх при а> О или вниз при а < о;
если трехчлен не имеет корней, то схематически изобража
ют параболу, расположенную в верхней полу плоскости при
а>О или в нижней при а<О;
3) находят на оси х промежутки, для которых точки пара
болы расположены выше оси х (если решают неравенство
ах 2 +ьх+с>0) или ниже оси х (если решают неравенство
ах 2 +Ьх+с<0).
. 114. Решите неравенство:
а) x2+2x 48<0; д) 4x2 12x+9>O;
б) 2x2 7x+6>O; е) 25х 2 +30х+9<О;
в) x2+2x+15<O; ж) 10x2+9x>O;
r) 5x2+11x 6>O; з) 2x2+7x<O.
. 115: Найдите множество решений неравенства:
а) 2x2+3x 5 O; б) 6x2+6x+36 O; в) x2+5 O.
. 116. Решите неравенство:
а) 2x2+13x 7>O;
б) 9x2+12x 4<O;
в) 6x2 13x+5 O;
r) 2x2 5x+18 O;
д) зх2 2х>О;
е) 8 x2<o.
. 117. Найдите, при каких значениях х:
а) трехчлен 2х 2 +5х+3 принимает положительные зна
чения;
б) трехчлен
2 1 1
x з--х 36 принимает отрицательные
значения.
. 118. Решите неравенство:
а) х 2 <16; в) о,2х 2 >1,8;
б) х2 з; r) 5x2 x;
119. Решите неравенство:
а) o,01x2 1; в) 4x x2;
1 2 1 2 1
б) тХ >12; r) З--Х >9; е) o,3x<o,6x2.
120. Найдите множество решений неравенства:
а) 3х 2 +40х+10< x2+11x+3;
б) 9х2 х+9 зх2+18х 6;
'в) 2х2+8Х 111«ЗХ 5)(2Х+6);
r) (5х+1)(зх 1»(4х 1)(х+2).
42
д) зх 2 < 2x;
е) 7х<х 2 .
д) 5х 2 > 2х;
121. Решите неравенство:
а) 2х (Зх 1»4х2+5х+9;
б) (5х+.7) (x 2)<21x2 l1x 13.
122. Найдите область определения функции:
б) 1
y J2X2 12X+18 '
123. Докажите, что при любом значении переменной верно
неравенство:
а) у == ...j12x зх 2 ;
а) 7x2 10x+7>0;
б) 6y2+11y 10<0;
124. Докажите, что
равенство:
а) 4x2+12x+9 0;
в) x2 8x+64 0;
r) 9y2+6y 1 0.
при любом значении х верно He
б) 5x2+8x 5<0.
125. Докажите, что:
а) х 2 +7х+l> x2+10x 1 при любом х;
б) 2x2+10x<18 2x при x=t=3.
126. Одна сторона прямоуrольника на 7 см больше друrой.
Какой может быть эта сторона, если площадь прямоуrольника
меньше 60 см 2 ?
127. Длина прямоуrольника на 5 см больше ширины. Какую
ширину должен иметь прямоуrольник, чтобы ero площадь была
больше 36 см 2 ?
Упражнения для повторения
Ф Ф о 5x 2
128. ункция задана ормулои у== ' 3 . Не выполняя
построения, найдите координаты точек пересечения rрафика
с осью х, с осью у. Является ли эта функция возрастающей
или убывающей?
129. Решите систему неравенств:
а) { 4x 21 <О,
х+3,5>0;
б) { 5x 9 0,
2x+7 0;
в) { 5x 4 10,
1 3x< 2;
r) { 3x 6>5,
1 4x>8.
130. Разложите на множители мноrочлен:
а) у4 уЗ + 0,25 у 2;
б) З 1 2 + 1
х 2X 16 Х ;
в) x2y2+2x2 8y2 16;
r) 6а2ь2+3ЬЗ 8а2 4Ь.
43
9. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ
Рассмотрим функцию
f (х)==(х+2) (x 3) (x 5).
Областью определения этой функции является множество
всех чисел. Нулями функции служат числа 2, 3, 5. Они
разбивают область определения функции на промежутки
( oo; 2), ( 2; 3), (3; 5) и (5; + 00) (рис. 35, а).
""2 3 5
о)
2 J 5
а)
Рис. 35
Выражение (x+2)(x 3)(x 5) представляет собой произ
ведение трех множителей. Знак каждоrо из этих множителей
в рассматриваемых промежутках указан в таблице:
( CXJ; 2) ( 2; 3) (3; 5) (5; + CXJ)
х+2 + + +
x 3 + +
x 5 +
Отсюда ясно, что:
если ХЕ( 00; 2), то f (х)<о;
если ХЕ( 2; 3), то f (х»О; ,
если хЕ(3; 5), то f (х)<о;
если хЕ(5; + 00), то f (Х»О.
Мы видим, что в каждом из промежутков ( oo; 2),
( 2; 3), (3; 5), (5; + 00) функция сохраняет знак, а при пере
ходе через точки 2, 3 и 5 ее знак изменяется (рис. 35, б).
Вообще, пусть функция задана формулой вида
f (x)==(x x,) (X X2). . . (X Xп),
rде Х переменная, ах.,' Х2, . .., Х п не равные друr друrу
числа. Числа Х" Х2, . . ., Х п являются нулями функции. В каж
дом из промежутков, на которые область определения разби
вается нулями функции, знак функции сохраняется, а при пере-
ходе через ну ль ее знак изменяется.
Это свойство используется для решения неравенств вида
(X XI) (X X2). .. (X Xп»O,
(X X')(X X2)'" (X Xп)<O,
(1)
rде XI, Х2, ..., Х п не равные друr друrу числа.
44
При м е р 1. Решим неравенство
(х+6) (х+ 1)(x 4)<0.
Данное неравенство является неравенством вида (1), так
как в левой части записано произведение (X XI) (X X2) (х хз),
rде Х! == 6, Х2 == 1 и Хз == 4. Для ero решения удобно BOC
пользоваться рассмотренным выше свойством чередования зна
ков функции.
6 1
а)
б 1
6)
Рис. 36
Отметим на координатной прямой нули функции
f (х)==(х+6) (х+ 1) (x 4)
(рис. 36, а). Найдем знаки этой функции в каждом из промежут
ков ( oo; 6), ( 6; 1), ( 1; 4) и (4; + 00). Для этоrо ДOCTa
точно знать, какой знак имеет функция в одном из этих проме
жутков, и, пользуясь свойством чередования знаков, определить
знаки во всех остальных промежутках. При этом удобно начи
нать с крайнеrо справа промежутка (4; + 00), так как в нем
значение функции f (x)===(x+6)(x+1)(x 4) заведомо поло
жительно. Это объясняется тем, что при значениях х, располо
женных правее всех нулей функции, каждый из множителей
Х + 6, Х + 1 и Х 4 положителен. Используя свойство чередо
вания знаков, определим, двиrаясь по координатной прямой
справа налево, знаки данной функции в каждом из остальных
промежутков (рис. 36, б).
Из рисунка видно, что множеством решений неравенства яв
ляется объединение промежутков ( 00; 6) и ( 1; 4).
Ответ: ( oo; 6)U( 1; 4).
Рассмотренный способ решения неравенств называют .мeTO
дож интервалов.
Рассмотрим теперь примеры решения неравенств, которые
сводятся к неравенствам вида (1).
При м е р 2. Решим неравенство Х (0,5 x) (х+4)<0.
Приведем данное неравенство к виду (1). Для этоrо в ДBY
члене 0,5 x вынесем за скобку множитель 1. Получим:
X (x 0,5) (х+4)<0,
отсюда
Х (x 0,5) (х+4»0.
Мы получили неравенство вида (1), равносильное данному.
45
о 0,5
а)
r=v;
* о 0,5
6)
Рис. 37
Отметим на координатной прямой нули функции {(x)
x (x 0,5) (x+4J' (рис. 37, а). Покажем знаком .плюс., что
в крайнем справа промежутке функция принимает положитель
ное значение, а за'l'eМ, двиrаясь справа налево, укажем знак
функции в каждом из промежутков (рис. 37, б). Получим, что
множеством решений неравенства является объединение про
межутков ( 4; О) и (0,5; + 00).
Ответ: ( 4; 0)U(o,5; +00).
При м е р 3. Решим неравенство (5х+ 1)(5 x) 0.
Приведем неравенство к виду (1). Для этоrо в первом ДBY
члене вынесем за скобки множитель 5. а во втором 1. полу
чим:
5( х+ ) (x 5) 0.
Разделив обе части неравенства на 5, будем иметь:
( х+ ) (x 5) 0.
Отметим на координатной прямой ули функции f (x)
( х+ ) (x 5), т. е. точки +и 5, и укажем знаки функции
в образовавшихся промежутках (рис. 38). Мы видим. что MHO
u 1 5
жество решении неравенства состоит из чисел 5 и и чисел,
заключенных между ними, т. е. представляет собой промежуток
[ ;5].
1
5
5
Рис. 38
О т в е т: [ +; 5].
Заметим, что данное неравенство можно решить иначе,
воспользовавшись свойствами rрафика квадратичной функции.
П 7 x
Р и м е р 4. Решим неравенство х+2 <О.
Т 7 x
ак как знак дроби х+ 2 совпадает со знаком произведения
46
(7 x) (х + 2), то данное неравенство равносильно неравенству
(7 x) (х+2)<0.
Приведя неравенство (7 x) (х+2)<0 к виду (1) и используя
метод интервалов, найдем, что множеством решений этоrо
7 x
неравенства, а значит, и данноrо неравенства 2 <О явля
х+
ется объединение промежутков ( 00; 2) и (7; + 00 ).
Ответ: ( oo; 2) и (7; +00).
. 131. Решите неравенство, используя метод интервалов:
а) (х+8) (x 5»0;
б) (x 14)(х+ 10)<0;
. 132. Решите неравенство:
а) (x+25)(x 30)<0;
б) (х+6) (x 6»0;
133. Решите неравенство:
а) (x 2) (x 5) (x 12»0;
б) (x+7)(x+1)(x 4)<0;
в) х (х+ 1) (х+5) (x 8»0.
в) (x 3.5)(x+8,5) 0;
r) (х+ ) ( х+ ) o.
в) (x ) ( x ) o;
r) (x+O.1)(x+6,3) 0.
134. Найдите, при каких значениях х:
а) произведение (х+48) (x 37) (x 42) положительно;
б) произведение (х + 0,7.) (х 2,8) (х 9.2) отрицательно.
135. Решите неравенство:
а) (x+9)(x 2)(x 15)<0;
б) х (x 5)(x+6»0;
в) (x 1) (x 4) (x 8) (x 16)<0.
136. Найдите множество решений неравенства:
а) 5 (x 13)(x+24)<0;
б) (x+ ) (x+ ) o;
137. Решите неравенство:
а) 2 (x 18)(x 19»0;
б) 4 (х+о,9) (х з,2)<0;
в) (x+12)(3 x»0;
r) (6+x)(3x 1) 0.
в) (7x+21)(x 8,5) 0;
r) (8 x) (x 0,3) 0.
138. Найдите обл асть определения функции:
а) y=== (5 x)(x+8);
б) y=== ( x+12 (x 1)(x 9).
;
\
47
1 39. При каких значен иях х имеет с мысл выражение:
а) -y( 2x+5)(x 17); б) v'x (x+9)(2x 8)?
140. Решите неравенство:
x 5 О
а) х+6 < ;
2х
в) x 1,6 >0;
б ) 1,4 x <о.
х+3,8 '
r) 5x 1,5 >0.
x 4
141. Решите неравенство:
) x 21 <о. В ) 6х+l >0.
а х+7 ' 3+х '
б) х+4,7 >0; r) 5х <о.
x 7,2 4x 12
Упражнения для повторения
142. Постройте rрафик функции y==x2 o,5x+1,5 и опи
шите ее свойства.
143. В каких координатных четвертях расположен rрафик
функции:
а) у==Зх 2 +4; б) у== 5x2 1; в) y==2x2 4?
Контрольные вопросы
1. На примере неравенств Зх2+5х 2<0 и х 2 +2х+6>0
расскажите, как можно решить неравенство второй степени, ис
пользуя свойства rрафика квадратичной функции.
2. На примере неравенства (x 5) (х+7) (х+9)<0 pac
скажите, как решают неравенства методом интервалов.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К rЛАВЕ 1
К парarpафу 1
144. Найдите область определения функции:
8
с 1 1
а)У== 6Х + 6+х ;
б) y==.jX "fX=' 4 ;
1
в) y
l+..!..
х
А
Рис. 39
145. Длина прямоyroльника ABCD
О (рис. 39) равна 10 см, а ширина
7 см. Отрезок MN передвиrается от
48
отрезка AD дО отрезка ВС, оставаясь параллельным отрезку AD.
ПЛОЩаДЬ у (в квадратных сантиметрах) заштрихованной части
есть функция расстояния х (в сантиметрах) от точки D до точ
ки N. Задайте функцию у == f (х) формулой. Найдите область
определения и область значений этой функции.
146. В равнобедренном треуroльнике АВС основание АС
равно 6 см, а боковая сторона 5 см. Rонцы подвижноrо
отрезка, параллельноrо основанию, лежат на боковых сторонах.
Ero длина равна у см, а расстояние от вершины х см. Задайте
формулой у как функцию от х. Найдите область определения и
область значений функции.
147. Для функции {(x)== : найдите: H 10); H 8);
f ( 5); f (10); f (6).
148. При каких значениях aprYMeHTa значение функции
y==f(x) равно 10, если:
а) {(x)==5x 2; б) {(х)==х 2 ; в) {(х)==х 2 +1?
149. Функция задана формулой у== x2 1 . Пересекает ли
ее rрафик ось х? ось у? В каких координатных четвертях
расположен rрафик этой функции?
150*. RaTep отправляется от пристани А и идет вниз по
реке к пристани В, до которой 60 км. После двухчасовой
стоянки на пристани В он возвращается обратно. Расстояние 1
(в километрах) катера от пристани А зависит от времени t, OT
считываемоrо в часах с момента отправления ero из А до
момента возвращения. Собственная скорость катера 16 км/ч,
скорость течения 4 км/ч. Задайте 1 как функцию от t формула
ми, постройте rрафик функции, опишите по rрафику ее свой
ства и объясните их физический смысл.
151. Нарисуйте rрафик какой нибудь функции, областью
определения которой является промежуток [ 3; 41 а областью
значений промежуток [о; 6
152. Найдите нули функции (если они существуют):
а ) . 2х+ll . б ) 6 В ) У зх2 12
y 10' y 8 0,5x 4
153. Является ли возрастающей или убывающей линейная
функция, заданная формулой:
а) у == О,Оlх;
1
б) у==тх+3;
в) у==16х; r) y==13 x?
Приведите пример линейной функции, которая не является
ни возрастающей, ни убывающей.
154*. Rакие из функций, заданных формулами
у==х 2 +5, у==2х+5, у==хз. у== x2, у== x2 4,
2
у==х,
у==>!Х,
49
у ==="fX +- 1, у === х 4 +- х 2 +- 6,
определеf[ИЯ?
у
о
Рис. 40
у
а)
сохраняют знак на всей области
155*. На рисунке 40 изображен
rрафик одной из функций
y=== vx 1 , у=== ух+-1 . y=== -V1 х.
Какой именно?
156*. Какой из трех rрафиков,
изображенных на рисунке 41, яв
х
ляется rрафиком функции
у=== IX7"""21?
157*. Постройте rрафик Функ
6
ЦИИ У === ТXi и опишите ее свой
ства.
)(
х
Ь)
б)
Рис. 41
К, парarрафу 2
158. ,Является ли число 1 О 2 ,j5 корнем трехчлена
x2 20x+80?
159. lIайдите корни квадратноrо трехчлена:
а) х 2 + x 2; в) x2+-4x 2 : ;
1 1 1 2
б) тх2 З-Х 4; r) О,4х x+O.2.
160. Составьте какой нибудь квадратный трехчлен. корнями
КOToporo являются числа:
а) 7 и 2; б) З J2 и з+--v2.
161*'. При каком значении р выражение 2px2 2x 2p 3
становиТСЯ квадратным трехчленом. одним из корней KOToporo
является число нуль? Найдите второй корень.
162. Докажите, что квадратный трехчлен имеет корни. и
найдите JlX сумму и произведение :
а) 2x2 10x+-3; в) 0.5х 2 +-6х+1;
1 7 1 2 1 1
б) з-х2+ x 2; r) TX +-з-Х+-т'
50
163. Выделите квадрат двучлена из квадратноrо трехчлена:
а) 2x2 3x+7; в) 5х2 зх;
б) зх2+4х 1; r) 4x2+8x.
164. Докажите, что квадратный трехчлен:
а) x2+20x 103 не принимает положительных значений;
б) х 2 16х + 65 не принимает отрицательных значений.
165. Найдите наибольшее или наименьшее значение KBaд
paTHoro трехчлена:
а) зх2 4х+5; б) зх2+12х.
166*. Сумма положительных чисел а и Ь равна 40. При Ka
ких значениях а и Ь их произведение будет наибольшим?
167. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) 0,8х 2 19,8x 5; в) х2+х 2;
б) з,5 а+х+ : х 2 ; r) х2 хVб+1.
168. Сократите дробь:
) 2т2 8 . б) 2т2 5т+2
а т2+6т+8' тп 2п 3т+6
169. Упростите выражение:
а) х+4 37x 12 . б) x l l x
x l 4x2 3x 1' х+2 х 2 +зх+2.
170. Выполните действие:
7x x2 x2 x 20
а) х+4 7 x
б) х 2 +11х+30 .х+5.
3x 15 . x 5 '
2x2 7 х+ 1 .
в)
x2 3x 4 x 4'
r) 2+x x2 10х
2 5x+ зх 2 + 3x 2 .
к параrрафу 3
171. При каком значении а rрафик функции у===ах 2 про
ходит через точку:
а) (5; 7); б) ( ; 9); в) ( +; ) ; r) (100; 10)?
172. Постройте rрафик функции; заданной формулой
у=== 0,25x2, rде xE[ 6; 2 Каковы наибольшее и наименьшее
значения этой функции?
173. При каких значениях а областью значений функции
у===ах 2 является промежуток:
а) [о; + 00 ); б) ( oo; 0]1
174. Докажите, что rрафики функций у === ах 2 и у === ах,
51
rде а =;=0, пересекаются в точке (1; а). В какой еще точке пере
секаютс,я эти rрафики?
175. Параболу у==7х 2 сдвинули вверх на 5 единиц и влево
на 8 единиц. rрафиком какой функции является полученная
парабола?
176*. Какие преобразования надо провести, чтобы:
а) из rрафика *ункции у == х 3 получить rрафики функций
у== x3, y==(x 3), у==х 3 +4;
б) из rрафика функции y==,jX получить rрафики функций
у== ,jX, y== vx+5, y==,jX 1?
177*. Постройте в одной координатной плоскости rрафики
функций: у== Ixl, у== Ix 41, у== Ix 41 3.
178*. При каких значениях с rрафик функции у==
== х 2 6х + с расположен выше прямой:
а) у==4; б) у== 1?
179*. При каких значениях Ь и с вершиной параболы
у==х 2 +Ьх+с является точка (6; 12)?
180. При каком значении а осью симметрии параболы
у ==ах 2 16х + 1 является прямая х == 4?
181. При каких значениях а и с функция у==ах 2 +с
имеет нули?
182*. Найдите значения а и Ь, при которых I'рафик функ
ции y==ax2+Ьx 18 проходит через точки М(1; 2) и N(2; 10).
183. Постройте I'рафик функции и опишите ее свойства:
а) y==x2+2x 15; r) y==6x 2x2;
б) у==0,5х2 Зх+4; д) y==(2x 7) (х+ 1);
в) y==4 0,5x2; е) y==(2 x)(x+6).
184. Найдите область значений функции:
а) у==зх2 0,5х+ ;f? ;
б) у==2х 2 +1,2х+2;
в) у== x2+4x 5,5;
r) у== зх2 2х 4 .
3
185. Пусть h высота (в метрах), на которой находится
брошенный с земли вверх мяч. t время полета мяча (в ce
кундах). Зависимость h от t выражается формулой h==24t
4,9t 2 . Какой наибольшей высоты достиr мяч? В какой цpOMe
жуток времени он поднимался и в какой опускался? Через
сколько секунд после броска он упал на землю?
186*. Задайте формулой какую либо квадратичную функ
цию, которая:
а) в промежутке ( oo; 3] убывает, а в промежутке
[ 3; + 00) возрастает;
б) в промежутке ( oo; 61 возрастает, а в промежутке
[6; + 00) убывает.
52
187*. Функция задана формулой y==x 2 +px+q. Найдите
значения р и q, если известно, что:
а) нули функции числа 3 и 4;
б) rрафик функции пересекает оси координат в точках (о; 6)
и (2; о);
в) наименьшее значение, равное 24, функция принимает при
х==6.
188*. По rрафику функции у == ах 2 + Ьх + с (рис. 42, а. б)
определите знаки коэффициентов а, Ь и С.
у
к параrрафу 4
189. Решите неравенство:
а) x2 5x 50<0;
б) m2' 8m+9 0;
в) 3y2+4y 4>0;
х
х
б)
Рис. 42
r) 8p2+2p 21;
д) 12x 9:::;;;;;4x2;
е) 9x2<1 6x.
190. Докажите, что 'при любом значении х верно Hepa
венство:
а) 2 (x+l)(x 3»(x+5)(x 7);
1
б) т(х+5) (x 7):::;;;;;(x+2) (x 4).
191. Найдите область определения функции:
а) У 1 . б) == vflб=24x=t=9?
"'144 9x2 ' У х+2 .
192*. Найдите общие решения неравенств х 2 + 6х 7:::;;;;; О
и x2 2x 15:::;;;;;O.
193*. Решите систему неравенств:
а) { 4x2 27x 7>O,
х>О;
б) { зх2+17х+6<О,
х<О;
в) { xil<O,
2х 18>O;
r) { x 4>O,
зх2 15х<О.
53
194*. Решите систему неравенств:
а) { x2+x 6<0, б) { x2+4x 5>0,
x2+2x+3>0; x2 2x 8<0.
195. Решите неравенство:
а) (х+ 1,2) (6 x) (x 4»0;
б) ( x)( x)( x) <о;
в) (х+о,6) (1,6+х) (1,2 x»0;
r) (1,7 x) (1,8+х) (1,9 x)<0.
196. При каких значениях х произведение
(3x 5) (х+4) (2 x):
а) равно нулю; б) положительно; в) отрицательно?
197. Решите неравенство:
а) (18x 36)(x 7»0;
б) (x 7,3)(9,8 x»0;
в) (х+О,8) (4 x) (x 20)<0;
r) (10х+3)(17 x)(x 5) 0.
198. Решите неравенство, разложив ero левую часть на MHO
жители:
а) (x2 16)(x+17»0;
б) ( x ) (x2 121)<0;
в) хЗ 25х<0;
199*. Решите неравенство:
а) (x2+17)(x 6)(x+2)<0;
б) (2х 2 + 1) х (x 4»0;
r) хЗ о,Оlх>О;
д) (x2 9)(x2 1»0;
е) (x2 15х) (x2 36)<0.
в) (x 1)2 (x 24)<0;
r) (х+7) (x 4)2 (x 21»0.
200. Найдите область определения функции:
4
а) у == ;
..J (3x 1)(6x+1)
7
б) У ==
..J( llx+ 2)(x 4)
201 *. Равносильны ли неравенства:
а) o и (x 3)(x+l) 0;
х+5
б) X 8 0 и (x+5)(x 8) 0?
202*. Решите неравенство:
x 8 . х+1.
а) Х+4>0, в) з х о,
б ) x 16 <о.
x ll '
6 x
r) 4 0;
x
54
2x 4
д) зх+з о;
5x 1
е) 2х+3 o.
1.
.1
rлава п.
УРАВНЕНИЯ И
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
* 5. УРАВНЕНИЯ СОДНОИ
ПЕРЕМЕННОИ
* 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ С ДВУМЯ
пЕрЕмЕнныIии
f 5. УРАВНЕНИЯ СОДНОИ
ПЕРЕМЕННОИ
10. ЦЕЛОЕ УРАВНЕНИЕ И EfO КОРНИ
в каждом из уравнений
2 (х 2 + 1) (x 1) 6x (x+7)
и
(1)
x4 1 х 2 +1 зх2
4 2
(2)
левая и правая части являются целыми выражениями. Такие
уравнения называют целыми уравнениями.
В уравнении (1) раскроем скобки, перенесем все члены в
левую часть и приведем подобные члены. Получим:
2х 3 2х 2 + 2х 2 6х х 7,
2х 3 2х 2 + 2х 2 6х + х + 7 О,
2х 3 2х 2 3х + 5 О.
Проведем аналоrичные преобразования в уравнении (2),
умножив предварительно обе ero части на 4:
x4 1 2 (x2+1) 12x2,
х 4 1 2х 2 2 12х 2 ,
х 4 1 2х2 2 12х 2 О,
х4 14х2 з 0.
в каждом из рассмотренных примеров мы выполняли такие
преобразования, которые приводят к уравнению, равносильно
му данному. В результате получали уравнение, имеющее вид
р (х) == О, I'де Р (х) мноrочлен стандартноl'О вида. Вообщ вся
кое уравнение можно заменить равносильным ему ypaBHe
нием, левая часть KOToporo МНОl'очлен стандартноrо вида, а
правая нуль.
55
Если уравнение с одной переменной записано в виде Р (х) == О,
rде Р (х) мноrочлен стандартноrо вида, то степень этоrо
мноrочлена называют степенью уравнения. Например, ypaBHe
ние х 3 2х + 1 == О является уравнением третьей степени.
Степенью произвольноrо целоrо уравнения называют CTe
пень равносильноrо ему уравнения вида Р (х)==о, rде Р (х)
мноrочлен стандартноrо вида. Например, для уравнения
(х3 1)2+х5==хб 2 (3)
имеем:
х б 2х 3 + 1 + х 5 х б + 2 == О,
x5 2x3+3==0.
Степень полученноrо уравнения равна пяти. Значит, степень
равносильноrо ему уравнения (3) также равна пяти.
Уравнение первой степени можно привести к виду ах + ь == О,
rде х переменная,- а и Ь некоторые числа, причем а -4= о.
ь
Из уравнения ах + ь == О при а -4= О получаем, что х == .
а
Число ..!!.... корень уравнения. Каждое уравнение первой
а
степени имеет один корень.
Уравнение второй степени можно привести к виду ах 2 +
+ Ьх+с==О, rде х переменная, а, Ь и с некоторые числа,
причем а -4= О. Число корней TaKoro уравнения зависит от
дискриминанта D == ь 2 4ас. Если D> О, то уравнение имеет
два корня; если D==O, то уравнение имеет один корень; если
D < О, то уравнение не имеет корней. Любое уравнение BTO
рой степени имеет не более двух корней. Для нахождения
корней при D О используется, как известно, формула ко ней
b:f::....[iJ
квадратноrо уравнения х== 2а .
У авнение третьей степени можно привести к виду ах 3 +
+ Ьх + сх + d == О, уравнение четвертой степени к виду ах 4 +
+ Ьх 3 + сх 2 + dx + е == О и т. д., rде а, Ь, с, ... некоторые числа,
причем а-4=О. Можно доказать, что уравнение третьей CTe
56
НИЛЬС АБЕЛЬ (1802 1829) норвежский
математик. Основатель общей теории аЛl'ебраи
ческих функций, внес большой вклад в математи
ческий анализ. Впервые доказал неразреши
мость в радикалах общеrо аЛI'ебраическоl'О ypaBHe
нил 5 й степени.
пени имеет не более трех корней, уравнение четвертой степе
ни не более четырех корней. Вообще уравнение п й степени
имеет не более п корней.
Для уравнений третьей и четвертой степеней известны фор
мулы корней, но эти формулы очень сложны. Для уравнений
пятой и более высоких степеней общих формул корней не
существует.
Заметим, что иноrда удается решить уравнение третьей
или более высокой степени, применяя какой либо специальный
прием. Например, некоторые' уравнения нетрудно решить с
помощью разложения мноrочлена на множители.
При м е р 1. Решим уравнение
x3 8x2 x+8==O.
Разложим левую часть уравнения на множители:
(4)
х 2 (x 8) (x 8)==0,
(x 8) (x2 1)==0,
(x 8) (x 1) (х+ 1)==0.
Отсюда найдем, что уравнение (4) имеет три корня:
XI==8, Х2==1, хз== I.
Для некоторых целых уравнений приближенные значения
корней нетрудно найти, используя I'рафический способ pe
шения.
При м е р 2.
Решим уравнение
x3+x 4==0.
(5)
Представим данное уравнение в виде х 3 == Х + 4.
Построим в одной системе координат I'рафики функций
у == х 3 И У == х + 4 (рис. 43). Они пересекаются в одной точке,
абсцисса которой приближенно равна 1,4. Значит, уравнение
(5) имеет единственный корень x 1,4.
ЭВАРИСТ rАЛУ А (1811 1832) французский
математик. Заложил основы современной алreбры,
ввел ряд фундаментальных ее понятий. Нашел
необходимое и достаточное условие, которому YДOB
летворяет аЛl'ебраическое уравнение, разрешимое в
радикалах.
57
Рис. 43
rрафический способ не обеспечивает высокую точность pe
зультата. Поэтому если требуется найти значение корня с
большей точностью, то полученное при rрафическом решении
приближенное значение корня уточняют путем вычислений.
Для уточнения значений корней целоrо уравнения можно
воспользоваться тем, что rрафик функции у == f (х), rде f (х)
некоторый мноrочлен, представляет собой непрерывную линию.
Отсюда следует, что если на концах какоrо либо промежутка
[а; Ь! функция принимает значения разных знаков, то внутри
этоrо промежутка находится корень уравнения f (х)==О
(рис. 44). .
58
Уточним найденное значение У
корня уравнения (5). Из рисунка 43
видно, что корень уравнения при
надлежит промежутку [1; 2]. В этом
можно убедиться, вычисляя зна
чения функции f (x)===x3+x 4
при х === 1 и х === 2. Получим, что о
(1)=== 2<0, а {(2)===6>О.
Разделим отрезок координатной
прямой с концами 1 2 на 10 paB
ных частей точками
1,0; 1,1; 1,2; ...; 1,8; 1,9; 2,0.
Будем вычислять значения функции при указанных значе
ниях х, пока не обнаружим промежуток длиной 0,1, на концах
KOToporo функция принимает значения разных знаков. При
этом удобно воспользоваться микрокалькулятором, выполняя
вычисления по следующей проrрамме:
а
х
Рис. 44
x [;] [;] GJ х Q 4 [;J .
в результате найдем, что f (1,з)== 0,503<0, а f (1,4)==
===0,144> О. Значит, корень уравнения принадлежит промежут
ку [1,з; 1,4 В качестве десятичноrо приближения с точностью
до 0,1 можно взять любое из чисел 1,3 и 1,4.
Чтобы найти значение корня с большей точностью, разделим
далее отрезок координатной прямой, оrраниченный точками
1,3 и 1,4, на 10 равных частей и будем вычислять зна
чения функции при х, равном
1,30; 1,31; 1,32; ...; 1,38; 1,39; 1,40.
Получим, что f (1,37)== 0,058647 <О, а f (1,38)==
=== 0,008072> О. Следовательно, корень уравнения принадлежит
промежутку [1,37; 1,38]. В качестве десятичноrо приближения
с точностью до 0,01 можно взять число 1,37 или число 1,38.
Аналоrично можно найти десятичные приближения корня
уравнения (5) с точностью до 0,001, 0,0001 и Т. д.
203. Какова степень уравнения:
а) 2x2 6x5+1==0; r) (x+8)(x 7)==0;
б) x6 4x3 3==0;
х х
д) 2 4==5;
е) 5х 3 5х (х 2 + 4)== 17?
в) x5==0;
'1
. 204. Решите уравнение:
а) (8x 1) (2x 3) (4x 1)2==38;
б ) (15x 1)(1+15x) 2 .
3 3 '
59
в) o,5y3 o,5y (у+ 1)(y 3)==7;
) 4 2 (l+2x2)(2x2 1)
r х x 4 .
. 205. Решите уравнение:
а) (6 x) (x+6) (x 11) х==36;
б ) 1 3y 3 y ==0'
11 5 '
в) 9х 2 (12x I1)(3x+8) 1;
4
r ) (у+l)2 1 y2 4
12 24'==.
206. Докажите, что уравнение 5х 6 + 6х 4 + х 2 + 4 == О не имеет
корней.
207. Может ли уравнение 12x5+7x3+11x 3==121 иметь
отрицательные корни?
208. При каких целых значениях а корнем уравнения
aX. 8==0 является целое число?
209. При каких значениях р корень уравнения 9x==p 2
отрицателен?
210. При каких значениях
а) 2х 2 +6х+Ь==0;
б) 5x2 4x+3b==0;
ь уравнение имеет два
в) зх 2 +ьх+з==0;
r) х 2 +Ьх+5==0?
корня:
211. При каких
рень:
а) Зх2 6Х+2v==0;
б) 5x 2 +2vx+5==0;
значениях v уравнение имеет один KO
в) x2 3't)x+18==0;
r) 2X2 12x+3v==0?
212. При каких значениях t уравнение не имеет корней:
а) 6x 2 +tx+6==0; в) 2X2 15x+t==0;
б) 12x 2 +4x+t==0; r) '2x 2 +tx+18==0?
. 213. Решите уравнение:
а) y3 6y==0;
б) 6х 4 + 3,6х 2 == о;
в) х 3 +3х==3,5х 2 ;
r) х3 о,1х==о,зх2;
д) 9x3 18x2 x+2==0;
е) y4 y3 16y2+16y==0;
ж) p3 p2==p 1;
з) х4 х2==зх3 зх.
. 214. Решите уравнение:
а) o,7x4 x3==0; r) зх3 х2+18х 6==0;
б) o,5x3 72x==0; д) 2x4 18x2==5x3 45x;
в) х 3 +4х==5х 2 ; е) 3у2 2у==2у3 з.
215. Решите rрафически уравнение х 3 + 2х 3==0. с по
мощью вычислений уточните до 0,01 найденное значение
корня.
60
Упражнения для повторения
216. Постройте rрафик функции У -------: х 2 3.
межутки возрастания и убывания функции.
217. Решите неравенство:
а) x2 10x+21<0;
б) x2 8x+16>0;
Укажите про
в) зх2 14х+16 0;
r) 5x2 6x+l 0.
218. Два автомобиля выехали одновременно из пункта А
в пункт В. расстояние между которыми 540 км. Первый
автомобиль ехал со скоростью. на 10 км/ч большей. чем
второй. и прибыл в пункт В на 45 мин раньше BToporo.
Найдите скорость каждоro автомобиля.
219. Решите неравенство:
а) (x+8)(x 1.5)<0;
12 x
б) х+11 >0;
в) (15 2x)(x+6»0;
6 4x
r) х+о,5 <0,
11. УРАВНЕНИЯ. ПРИВОДИМЫЕ К KBAдpAтныM
Уравнения. степень которых выше двух. иноrда удается pe
шить. введя новую переменную.
Рассмотрим примеры решения уравнений этим методом.
При м е р 1. Решим уравнение
(x2 5x+4)(x2 5x+6)==120. (1)
Если перенести все члены уравнения в левую часть и пре
образовать получившееся выражение в мноrочлен стандартноrо
вида, то получится уравнение.
х 4 10х З + 35х 2 50х 96 == о,
для KOToporo трудно найти способ решения.
Однако можно воспользоваться следующей особенностью
уравнения (1): в ero левой части переменная х входит толь
ко в выражение х 2 5х. которое встречается в уравнении
дважды. Это позволяет решить данное уравнение с помощью
введения новой переменной. Обозначим х 2 5х через у:
x2 5x==y.
Тоrда уравнение (1) сведется к уравнению с переменной У:
(у+4) (у+6)==120.
которое после упрощения примет вид:
y2+l0y 96==0.
Решив уравнение (2), найдем ero корни:
(2)
у,== 16,
У2==6.
61
Отсюда
x2 5x== 16 или x2 5x==6.
Решая уравнение х2 5х == 16, найдем, что оно не имеет
корней.
Решая уравнение х2 5х == 6, найдем, что оно имеет два
корня:
x.== 1 и Х2==6.
3начит, уравнение (1) имеет два корня:
Х. ":"'" 1 и Х2==6.
eTOД введения новой переменной позволяет леrко решать
уравнения четвертой степени, имеющие вид ах4 + ьх2 + с == О.
Уравнения вида ах 4 +Ьх 2 +с==0, rде a=ji::O, являющиеся KBaд
ратными относительно х2, называют биквадратными ypaвHe
ниями.
При м е р 2. Решим биквадратное уравнение
9x4 10x2+1==0.
(3)
Для этоrо введем новую переменную, обозначив х2 через у:
х2 == у.
Получим квадратное уравнение с переменной у:
9y2 10y+ 1 ==0.
Решив ero, найдем, что
1
у.==т'
У2 == 1.
3начит,
х2 == . или х2 == 1.
Из уравнения х2 == находим, что
1 1
Х. == з' Х2==з.
Из уравнения х2 == 1 находим, что
Хз== 1, Х4 == 1.
Итак, уравнение (3) имеет четыре корня:
1 1
ХI== з' Х2==з' хз== I, Х4==1.
220. Решите уравнение, используя введение новой перемен
ной:
а) (2х2+з)2 12(2х2+3)+11==0;
б) (t2 2t)2 3==2 (t2 2t);
62
в) (x2+x l)(x2+x+2)==40;
r) (2х 2 +x 1) (2x2+x 4)+2==0.
221. Решите уравнение:
а) (х2+з)2 11 (х 2 +3)+28==0;
б) (x2 4x?+9 (x2 .4x)+20==0;
в) (х 2 +х) (х 2 +x 5)==84.
. 222. Решите биквадратное уравнение:
а) x4 5x2 36==0; r) 4x4 5x2 + 1==0'
4 2 '
б) У4 6y 2+8==0; д) 9x4 9x2+2==0;
в) t +10t +25==0; е) 16y4 8y2+1==0.
. 223. Найдите корни биквадратноro уравнения:
а) x4 25x2+144==0; r) t4 2t2 з==0;
б) у4+14у2+48==0; д) 2x4 9x2+4==0;
в) x4 4x2+4==0; е) 5y4 5y2+2==0.
224. Найдите координаты точек пересечения с осями KOOp
динат rрафика функции:
а) y==x4 5x2+4;
б) у==х4+зх2 10;
в) y==x4 20x2+100;
r) у==4х 4 +16х 2 .
225. Решите уравнение:
а) (x2 1)(x2+1) 4(x2 11)==0;
б) зх2(х 1) (х+ 1) 10х 2 +4==0.
226. Решите уравнение:
а) х5+х4 6хЗ 6х2+5х+5==0;
б) х5 х4 2х:j+2х2 зх+з==0.
Упражнения для повторения
227. Постройте rрафик функции:
4
а) У==7; б) у== 3x+6.
228. При каких значениях р:
а) уравнение зх 2 +2рх+5==0 имеет два корня;
б) уравнение 6х 2 4х + р == о не имеет корней?
229. Найдите, при каких значениях х:
а) трехчлен х 2 + 6х 8 принимает положительные значения;
б) трехчлен 2х 2 9х 45 принимает отрицательные значения;
5 4x
в) дробь принимает положительные значения;
х
зоtх
r) дробь х зо принимает отрицательные значения.
63
Контрольные вопросы
1. Какое уравнение с одной переменной называется целым?
Приведите пример.
2. Как найти степень целоrо уравнения? Сколько корней
может иметь уравнение с одной переменной первой степени;
второй степени; п й степени?
3. Дайте определение биквадратноrо уравнения. Объясните,
как решают биквадратные уравнения.
f 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕJlИИ с ДВУМЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ
12. rPАФИЧЕСКИИ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ
Каждое из уравнений
2х+3у==15, х 2 +у2==4, ху== 1, 5х 3 +у2==8
является уравнением с двумя переменными.
!'рафиком уравнения с двумя переменными называется,
как вы знаете, множество точек координатной плоскости, KO
ординаты которых обращают уравнение в верное равенство.
rрафики уравнений с двумя переменными весьма разнообраз
ны. Например, rрафиком уравнения 2х + 3у == 15 является пря-
мая, уравнения у == о,5х 2 2 парабола, уравнения х 2 + у ==
1
==4 окружность, уравнения y== , а значит, и равносиль-
х
Horo ему уравнения ху == 1 rипербола. На рисунке 45 по
строены rрафики некоторых друrих уравнений.
Степень целоrо уравнения с двумя переменными определя-
ется так же, как и степень целоrо уравнения с одной пере
у I I I I I I
I I I I I I
lr- (X2+y2)2==2(X2 yZ)
,. .... ,. .....
, / l'
,/
(J' Т х
1/ 1'- .J
....
а)
64
у
....
1
J
""- "'
10.. ",
Т )(
I
х3+уЗ зху=о
I I I I
'1. I I I I I
' I I I I
б)
Рис. 45
менной. Если левая часть уравнения с двумя переменными
представляет собой мноrочлен стандартноrо вида, а правая
число О. то степень уравнения считают равной степени этоrо
мноrочлена. Для Toro чтобы выяснить, какова степень KaKoro
либо уравнения с двумя переменными, ero заменяют paBHO
сильным уравнением, левая часть KOToporo мноrочлен CTaH
дартноrо вида, а правая нуль. Например, уравнение
(х 3 + У? === х б 1 равносильно уравнению 2х 3 у + у2 + 1 == О и, зна
чит, является уравнением четвертой степени.
Ранее мы рассматривали системы уравнений первой степе
ни с двумя переменными. Теперь займемся решением систем,
составленных из двух уравнений второй степени или из одноrо
уравнения первой, а друrоrо второй степени.
Начнем с rрафическоrо способа решения таких систем.
Рис. 46
, \.IICttpO).'.J ...:1
65
Пусть требуется решить систему уравнений
{ х2 + у2 == 25,
у== x2+2x+5.
Построим в одной системе координат rрафик уравнений
х 2 +у2==25 и у== x2+2x+5
(рис. 46). Координаты любой точки построенной окружности
являются решением уравнения х 2 + у2 == 25, а координаты лю
бой точки параболы являются решением уравнения у == х 2 +
+2х+5. Значит, координаты каждой из точек пересечения
окружности и параболы удовлетворяют как первому ypaBHe
нию системы, так и второму, т. е. являются решением paCCMaT
риваемой системы. Используя рисунок, находим приближен
ные значения координат точек пересечения rрафиков:
А ( 2,2; 4,5), В (о; 5), С (2,2; 4,5), D (4; 3). Следовательно,
система уравнений имеет четыре решения:
Х\ 2,2, у. 4,5; X2 O, Y2 5;
хз 2,2, уз 4,5; X4 4, Y4 3.
Подставив найденные значения в уравнения системы, мож
но убедиться, что второе и четвертое из этих решений явля
ются точными, а первое и третье приближенными.
230. Является ли пара чисел ( 1; 3) решением уравнения:
а) x2 y+2==O; б) ху+у==6?
231. Является ли решением системы уравнений
{ х2 + у2 == 5,
6х+5у== 4
пара чисел: а) ( 2; 1); б) (1; 2)?
232. Определите степень уравнения:
а) х2+у2+2х==О; r) x(1 y)==4;
б) x y 1,2==O; д) (x2 2y2)2==5y;
в) x5 5x4y2+x2y==O; е) 7x8 12xy+y==7x2(x6+1).
233. Решите rрафически систему уравнений
{ y x2==o,
2x y+3==O.
234. Покажите с помощью rрафиков, что система уравнений
{ х2 + у2 == 25,
У === х 2 6
имеет четыре решения, и найдите их.
бб
235. Решите rpафически систему уравнений
{ х2+у2==100,
у==+ x2 10.
236. С помощью rрафиков решите систему уравнений:
а) { ху==6, б) { (х З)2+(у 4)2==4,
2x 3y==6; y x2==0.
237. Решите rрафически систему уравнений:
а) { х2+у2==16,
х+у+2==0;
б) { ху==8,
х+у+з==о.
238. Изобразив схематически rрафики уравнений, выясни
те, имеет ли решения система уравнений, и если имеет, то
сколько:
а) { у==х3,
ху== 12;
{ 2
б) у==х +8,
у== x2+12;
в) { у==х2+1,
ху==3;
r) { х2+у2==9,
(x 10)2+y2==16.
239. Решите rрафически систему уравнений:
а) { (x 4)2+(y 5)2==9,
у == х;
б) { y x2==0,
х+у==6.
Упражнения для повторения
240. Решите неравенство:
а) 25x2+6x 0;
б) x2 169>0;
в) у2<10у+24;
r) 15y2 30>22y+7.
241. Решите систему
а) { 1lx 9y==37,
х==1+2у;
уравнений способом подстановки:
б) { 16x 4y==5,
3x y==2.
242. Решите систему уравнений способом сложения:
а) { 5х+2у==30, б) { 2x y==85,
3х+4у== 3; 5x 2y==127.
243. Из колхоза в roрод, находящийся на расстоянии 72 км,
отправился велосипедист. Спустя 15 мин навстречу ему из ro
рода выехал друrой велосипедист, проезжающий в час на
2 км больше первоrо. Найдите, с какой скоростью ехал каждый
велосипедист, если известно, что они встретились в середине
пути.
67
13. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ ВТОРОИ СТЕПЕНИ
Рассмотрим сначала системы уравнений с двумя перемен
ными, составленные из одноrо уравнения второй степени и
одноrо уравнения первой степени. Такую систему всеrда мож
но решить способом подстановки. Для этоrо поступают сле
дующим образом:
1) выражают из уравнения первой степени одну перемен
ную через друrую;
2) подставляют полученное выражение в уравнение второй
степени, в результате чеrо приходят к уравнению с одной пе
ременной, степень KOToporo не выше двух;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующие значения второй переменной.
При м е р 1. Решим систему уравнений
{ х2 Зху 2у2===2,
х+2у===l.
Выразим из BToporo уравнения переменную Х через у:
x===I 2y.
Подставим в первое уравнение вместо Х выражение 1 2у,
получим уравнение с переменной у:
(1 2y)2 3 (1 2y) y 2y2===2.
После упрощения получим равносильное уравнение
8у2 7 У 1 === о.
Решив ero, найдем, что
1
YI=== 8' У2===1.
Соответствующие значения Х можно найти, подставив най
денные значения У в одно из уравнений системы, например
во второе уравнение. Удобнее, однако, воспользоваться Форму
лой x===1 2y.
1
Подставив в формулу x===I 2y значение у.=== 8' полу
чим:
( 1 ) ' 1
xl===I 2. 8 ===1"4'
Подставив в формулу х===1 2y значение У2===1, получим:
Х2===1 2.1=== 1.
Итак, система имеет два решеuия:
1 1
XI===I"4' УI=== 8И x2== 1, У2===1.
68
Ответ можно записать в виде пар: ( 1 ; ), ( 1; 1) или
так:
1 1
x 1 ==1 4 , YI== 8; X2== I, У2==1.
Если система состоит из двух уравнений второй степени
с двумя переменными, то найти ее р шения обычно бывает
трудно. В отдельных случаях такие системы удается решить,
используя способ подстановки или способ сложения.
При м е р 2. Решим систему уравнений
{ x2 y2==5,
ху == 6.
Воспользовавшись тем, что х =1= О, выразим из BTOpOI'O ypaB
нения переменную у через х:
6
y== .
х
6
Под ставим в первое уравнение вместо у выражение
х
Получим уравнение
х2 ( : ) 2 == 5.
Решив ero, найдем, что
Xl.== 3, Х2==3.
6
По формуле y== находим соответствующие значения у:
х
YI == 2, У2==2.
Значит, система имеет два решения:
XI == 3, УI == 2 и Х2==3, У2==2:
О т в е т: ( 3; 2), (3; 2).
. 244. Решите способом
а) { y2 x== 1,
х==у+3;
б) { y==x l,
х2 2у == 26;
подстановки систему
в) { ху+х== 4,
x y==6;
r) { х+у==9,
у2+х==29.
уравнений:
. 245. Решите систему уравнений, используя способ подста
новки:
а) { x==3 y,
y2 x==39;
б) { У == 1 + Х,
х+у2== 1;
в) { х2+ у== 14,
y x==8;
r) { х+у==4,
у+ху==6.
69
. 246. Решите систему уравнений:
а) { x y==3. в) { х+у . 1.
ху== 2; х2+у2==1;
б) { х + у == 2.5. r) { х:;-- у 2 2.
ху==1.5; х y ==17.
. 247. Решите систему уравнений:
а) { х+у==8. в) { x2 y2==8.
ху== 20; x y==4;
б) { х у == 0.8. r) { х2 + у2 == 5.
ху == 2.4; х+ у== 3.
. 248. Решите систему уравнений:
а) { y 2x==2. r) { зх2+2у2==11.
5x2 y==1; х+2у==3;
б) t x 2y2==2. д) { х2+у2==100.
3х+ у==7; 3х==4у;
в) { x2 3y2==52. е) { 2x2 y2==32.
y x==14; 2x y==8.
. 249. Решите систему уравнений:
а) { 2xy y==7. в) { х2+2у==18,
x 5y==2; 3х==2у;
б) { 2x2 xy==33, r) { x y 4==0.
4x y==17; х 2 +у2==8,5;
д) { х2+4у==10,
x 2y== 5;
е) { X 2Y1;-1==0.
5ху + y == 16.
250. Решите систему уравнений:
'а) { 2х+4у==5 (x y). б) { и и==6 (и+и).
x2 y2==6; и2 и2==6.
251. Решите систему уравнений:
а) { 6 (y x) 50==y, б) { p+5t==2 (p+t),
y xy==24; pt t==10.
252. Решите систему уравнений:
а) { (x 22.5y:3)==160. б) { ( x 12!У+ 10)==9,
y x 1. х y l1.
253. Решите систему уравнений:
{ y==0.5X2 2.
y x==2
сначала rрафическим способом, а затем аналитическим.
254. Решите систему уравнений rрафически и аналити
чески:
а) J х 2 +у2==16,
tx y==4;
б) { у==х2+1.
х+2у==5.
70
255. Решите систему уравнений:
а) { x2+xy y2==1l. б) { x2+xy 3y==9.
x 2y== 1; 3х+2у== 1.
256. Решите систему уравнений:
а) { х2+у2+Зху== 1. б) { и+2v==4.
х+2у==О; и2+иV V== 5.
257. Решите систему уравнений:
а) { х.......у==5. в) { 3х+у==1.
11111
7+ == ; 7+ == Ц;
б) { х+у==6.
.
х y 4'
r) { ==
у х з'
x 2y==2.
258. Не выполняя построения:
а) определите. пересекает ли парабола y==x2 8x+16 прямую
2x 3y==O. и если да. то в каких точках;
б) найдите. в каких точках пересекаются окружность
(x 5?+(y 4)2==65 и прямая 3x y+6==O.
259. Докажите. что прямая х у == 4 имеет одну общую
точку с параболой y==x2 5x+5. и найдите координаты этой
точки.
260. Докажите. что парабола y==2x2 5x+1 и прямая
2х + у + 3 == О не пересекаются.
261. Решите способом подстановки систему уравнений:
а) { х2 + у2 ==.12. б) { 2х 2 у2 == 34.
xy 6. xy 20.
262. Решите систему уравнений. используя способ сложе
ния:
а) { х2 2 у 2 == 14.
.х 2 +2 у 2==18;
б) { ху+х==56.
ху+ у==54.
263. Решите систему уравнений:
а) { х2+ у2== 18. в) { х2+у2==61.
ху==9; x2 y2==1l;
б) { x2 y2==11. r) { 3x xy==10.
== y+ ==
264. Не выполняя построения. найдите координаты точек
пересечения:
а) окружности х 2 +у2==36 и параболы у==х 2 +6;
б) окружностей х 2 + у2 == 16 и (х 2)2 + у2 == 36.
71
Упражнения для повторения
265. Построив схематически rрафики уравнений, выясните,
сколько решений имеет система уравнений:
а) { у==хз. б) { ху==10, в) { x2+ 2==36,
у==15х; у==х; у==х +3.
266. Решите неравенство:
а) 0,2х (x 1) x (O,2x+O,5)<0,6x 4;
б) 1,2х (3 x)+0,4x (3x l)<х+ 1,1.
267. При каких значениях х:
а) трехчлен x2 2x+168 принимает положительные значе
ния;
б) трехчлен 15x2+x 2 принимает отрицательные значения;
х+14
в) дробь 3 2x принимает отрицательные значения;
6 5x
r) дробь х+25 принимает положительные значения?
14. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ
ВТОРОИ СТЕПЕНИ
З а Д а ч а. Периметр прямоуrольника равен 80 см. Если
основание прямоуrольника увеличить на 8 см, а высоту
на 2 см, то площадь прямоуrольника увеличится в полтора раза.
Каковы стороны прямоуrольника?
Реш е н и е. Пусть основание прямоуrольника равно х см,
а высота равна у см.
Периметр прямоуrольника равен 80 см, т. е.
2х+2у==80.
Площадь прямоуrольника равна ху см 2 . После увеличе
ния сторон основание прямоуrольника будет равно (х+8) см,
высота (у+2) см, а площадь будет равна (х+8) (у+2) CM . ПО
условию задачи площадь прямоуrольника увеличится в полто
ра раза, т. е.
(х + 8) (у + 2) == 1,5ху.
Итак, имеем систему уравнений
{ 2х+2у==80,
(х+8) (у +2)== 1,5ху.
Решив ее, найдем, что
х. ==28, YI == 12 и Х2==24, У2== 16.
Задача имеет два решения. Стороны прямоуrольника равны
28 см и 12 см или они равны 24 см и 16 см.
72
. 268. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно
35. Найдите эти числа.
. 269. Одно число на 7 больше друrоrо, а их произведение
равно 12. Найдите эти числа.
. 270. Диаrональ прямоуrольника равна 10 см, а ero пери
метр равен 28 см. Найдите стороны прямоуrольника.
. 271. Одна из сторон прямоуrольника на 14 см больше дpy
rой. Найдите стороны прямоуrольника, если ero диаrональ
равна 26 см.
. 272. Прямоуrольный участок земли площадью 2400 м 2 об
несен изrородью, длина которой равна 200 м. Найдите длину
и ширину этоrо участка.
. 273. Периметр прямоуrольноrо треуrольника pa eH 84 см,
а ero rипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этоrо Tpe
уrольника.
. 274. Из HeKoToporo пункта вышли одновременно два отряда.
Один направился на север, а друrой на восток. Спустя 4 ч
расстояние между отрядами было равно 24 км, причем первый
отряд прошел на 4,8 км больше, чем второй. С какой скоростью
шел каждый отряд?
. 275. От вершины прямоrо уrла по ero сторонам начинают
одновременно двиrаться два тела. Через 15 с расстояние между
ними стало равно 3 м. С какой скоростью двиrалось каждое
тело, если известно, что первое прошло за 6 с такое же pac
стояние, какое второе прошло за 8 с?
276. На каждой из сторон прямоуrольника построен KBaд
рат. Сумма площадей квадратов равна 122 см 2 . Найдите CTO
роны прямоуrольника, если известно, что ero площадь равна
30 см 2 .
277. Площадь прямоуrольноrо треуrольника равна 24 см 2 ,
а ero rипотенуза равна 10 см. Каковы катеты треуrольника?
. 278. rипотенуза прямоуrольноrо треуrольника равна 13 см.
Если один из ero катетов увеличить на 4 см, то rипотенуза YBe
личится на 2 см. Найдите катеты треуrольника.
279. Два экскаватора, работая одновременно, выполняют
некоторый объем земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экска
ватор, работая отдельно, может выполнить этот объем работ
на 4 ч быстрее, чем друrой. Сколько времени требуется каж
дому экскаватору в отдельности для выполнения Toro же объе
ма земляных работ?
280. Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с
участка на 24 ч быстрее, чем друrой. При совместной же
работе двух комбайнеров они закончат уборку урожая за
35 ч. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, что
бы одному убрать урожай?
281. Одна из дорожных бриrад может заасфальтировать
некоторый участок дороrи на 4 ч быстрее, чем друrая. За
сколько часов может заасфальтировать участок каждая бри
73
rада, если известно, что за 24 ч совместной работы они заас
фальтировали 5 таких участков?
282. РаЦИ9нализаторы цеха разработали и внедрили в про
изводство усовершенствованный тип детали. Определите массу
детали HOBOro и cTaporo типов, если известно, что деталь
HOBoro типа на 0,2 Kr леrче детали cTaporo типа, причем из
22 Kr металла стали делать деталей HOBOro типа на две больше,
чем делали деталей cTaporo типа из 24 Kr металла.
283. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно
40 км, вышли одновременно навстречу друr друrу два пеше
хода. Через 4 ч им осталось пройти до встречи 4 км. Если бы из
пункта А пешеход вышел на 1 ч раньше, то встреча произошла
бы на середине пути. С какой скоростью шел каждый пешеход?
284. Из пункта М в пункт N, расстояние между которыми
равно 18 км, вышли одновременно два туриста. Один из них
прибыл в пункт N на 54 мин позже, чем друrой. Найдите СКО7
рость каждоrо туриста, если известно, что скорость одноrо из
них на 1 км/ч меньше, чем скорость друrоrо.
285. Из населенных пунктов М и N, удаленных друr от
дрyrа на 50 км, выехали одновременно два мотоциклиста и
встретились через 30 мин. Найдите скорость каждоrо MOTO
циклиста, если известно, что один из них прибыл в М на 25 мин
раньше, чем друrой в N.
Упражнения для повторения
286. Решите систему уравнений:
а) { 3х+ 1l+4==O, б) { у+3х==2,
x2 y2==2; х2 ху==з,36.
287. Не выполняя построения, найдите координаты точек
пересечения:
а) параболы у==х2 зх+з и прямой 2x y I==0;
б) параболы у == 2х 2 Х + 1 и прямой х == 1,5;
в) окружности х 2 +у2==100 и прямой х+у==14.
288. Решите неравенство:
а) x2 6x<0; б) 8x+x2 0; в) x2 4; r) х 2 >6.
КОНТРОJlьные вопросы
1. Объясните, в чем состоит rрафический способ решения
системы уравнений с двумя переменными.
2. Покажите на примере, как, используя способ подстанов
ки, можно решить систему двух уравнений с двумя перемен
ными, одно из которых первой степени, а друrое второй.
74
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К rЛАВЕ 11
к параrрафу 5
289. Решите уравнение:
а) x5 x3==0; б) х б ==4х 4 ; в) 0,5х 3 ==32х; r) 0,2х 4 ==4х 2 .
290. Найдите корни уравнения:
а) (a 2) (а+2) (a2+4)==25a2 16;
б) (x l)(x+l)(x2+1)==6x2 1.
291. Решите уравнение:
а) x3 x2 4 (x 1)2==0; в) 5x3 19x2 38x+40==0;
б) 2y3+2y2 (y+ 1)2==0; r) 6x3 31x2 31x+6==0.
292. Решите уравнение х 3 == х двумя способами: rрафиче
ским и аналитическим.
293*. С помощью rра )Иков выясните, сколько решений
может иметь уравнение х +ах+Ь==О при различных значе
ниях а и Ь.
294*. Решите rрафически уравнение x3 4x+l==0. С по
мощью вычислений уточните до 0,01 найденные значения KOp
ней.
295. Решите уравнение, используя введение новой перемен
ной:
а) (x2+6x)2 5 (х 2 +6х)==24;
б) (x2 2x 5)2 2 (x2 2x 5)==3;
в) (x2+3x 25)2 2 (x2+3x 25)== 7;
r) (y+2)4 (y+2)2==12;
д) (х 2 +2х) (х 2 +2х+2)==3;
е) (x2 x 16)(x2 x+2)==88;
ж) (2x2+7x 8)(2x2+7x 3) 6==0.
296*. Решите уравнение, обозначив одну из взаимно обрат
ных дробей через t, а друrую через :
t
б) х 2 +2 3x 2 ==2 .
3x 2 х 2 +2 3
х 2 +1 х 1
а) -----х+ х2+1 ==2'2;
297. Найдите сумму корней биквадратноrо уравнения:
а) x4 9x2+18==0; в) 4x4 12x2+1==0;
б) х4+зх2 10==0; r) 12y4 y2 1==0.
298*. Я вляетс я ли:
а) число .у з+...J5 корнем биквадратноrо уравнения x4 6x2+
+ 3 == о;
75
б) число ,j 5 корнем биквадратноrо уравнения х 4 10х 2 +
+ 23 === О?
299*. При каких значениях с не имеет корней уравнение:
а) x4 12х 2 +с===0; б) х 4 +сх 2 + 100===0?
300*. При каких значениях k уравнение х4 1зх2+k===0.
имеет: а) четыре корня; б) два корня?
301 *. Разложите на множители трехчлен:
а) x4 20x2+64; r) х4 зх2 4;
б) x4 17x2+16; д) 9x4 10x2+1;
в) x4 5x2 36; е) 4x4 17x2+4.
к параrрафу 6
302. Решите rрафически систему уравнений:
а) { у+х+х2===0, r) { х2+у2===10,
x y===10; ху === 3;
б) { (x 2?+y2===9, д) { х+у===8,
y===x2 4x+4; (х+ 1)2+ у2 ===81;
в) { х2+у2===25, е) { у=== x2+4,
y===2x2 14; у=== Ixl.
303*. Изобразив схематически rрафики уравнений, опреде
лите, имеет ли решения система уравнений и сколько:
а) { x2 +11===0, в) { у=== Ixl,
у+х ===4; 1 з О
т Х y=== .
б) { (х+ 3)2 +(у + 4)2 ===1,
(x 2)2 +(у 1)2===4;
304*. Сколько решений может иметь система уравнений
{ х2 + у2 ===r 2 ,
у=== x2+4?
305*. При каких значениях т система уравнений
{ х2 + у2 === 5,
x y===т
имеет: а) одно решение; б) два решения?
306. Решите систему уравнений:
а) { х+3у=== 1, в) { 2x+y 11===0,
х 2 +2ху+у===3; 2x+5y y2 6 ........: 0;
б) { 2x y===1, r) { 2x2 3y2 5x 2y===26,
xy y2+3x=== 1; x y===4;
76
д) { 4x2 9y2+x 40y==19, е) { зх2+у2+8х+13у==5,
2x 3y==5; x y+2==0.
307. Найдите все решения системы уравнений:
а) { x y==4, в) { 2x y==5,
(x l) (у+ 1)==2ху+3; (х+ 1) (y+4)==2xy 1;
б) { y x==1, r) { х+у==1,
(2у+1) (x 1)==Ху+ 1; (x 1) (y+5)==y2 12.
308. Решите C CTeMY уравнений:
а) { х2+у2==40, б) { х2+2у2==228,
xy== 12; зх2 2у2==172.
309. Решите систему уравнений:
а) { х2+зх 4у==20, б) { y2+3x y==1,
x2 2x+y== 5; y2+6x 2y==1.
310. Решите систему уравнений:
а) { х+у+ху==5, б) { х+ху+у==10,
xy+x y==13; xy 2x 2y===2.
311*. Решите систему уравнений:
а) { (x+y)(x y)==O, в) { х2+у2==25,
2x y==1; (х з)(у 5)==0;
б) { х2+у2==100, 1') { x2 y2==50,
(x 7y) (х+7у)==0; х (у+ 1)===0.
312. Решите систему уравнений:
{ 1 1 1
а) Х-+у==в'
2x y==5;
х+у==14,
в) {
х у 1
+ ==2 .
у х 12 '
{ 1 1 1
б) ==
х у 20'
х+2у==14;
1') { x y==2,
х у 5
y X- в'
313*. Имеет ли решения система уравнений
{ 3x 4y=== 2,
3х+у2==10,
x2 y2 x+y==100?
314*. Имеют ли общие точки rрафики уравнений:
х+у==7; 2x y===2; x2+xy y2 y==1?
77
315*. Решите систему уравнений:
а) { х2+у2+х+у==18, в) { (x+y)2 2 (х+у)==15,
x2 y2+x y==6; х+ху+у==l1;
б) { х2у2+ху==72, r) { (x+y)2 4 (х+у)==45,
х+у==6; (x y)2 2 (x y)==3.
316*. Если умножить квадратный трехчлен ax2 2x+b
на квадратный трехчлен х 2 +ax 1, то получится мноrочлен
четвертой степени, в котором коэффициенты при х 2 и Х COOT
ветственно равны 8 и 2. Найдите а и Ь.
317. Сумма двух положительных чисел в 5 раз больше их
разности. Найдите эти числа, если известно, что разность их
квадратов равна 180.
318. Произведение двух чисел в 15 раз больше их суммы.
Если к первому числу прибавить удвоенное второе число, то
получится 100. Найдите эти числа.
319. Разность квадратов двух чисел равна 100. Если из
YTpoeHHoro nepBoro числа вычесть удвоенное второе число, то
получится 30. Найдите эти числа.
320. Найдите двузначное число, которое в 4 раза боль
ше суммы ero цифр и в 2 раза больше произведения ero
цифр.
321. Если числитель обыкновенной дроби возвести в KBak
рат, а знаменатель уменьшить на 1, то получится дробь, paB
ная 2. Если же числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель
увеличить на 1, то получится дробь, равная . Найдите эту
дробь.
322. Если числитель обыкновенной дроби увеличить на 7, а
знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная
3
"'4' Если же числитель оставить без изменения, а знаменатель
увеличить на 6, то получится дробь, равная . Найдите эту
дробь.
323. Диаrональ прямоуrольника равна 15 см. Если одну из
ero сторон уменьшить на 6 см, а друrую уменьшить на 8 см, то
периметр уменьшится в 3 раза. Найдите стороны прямоуrоль
ника.
324*. Бассейн наполняется череЗ первую трубу на 5 ч бы
стрее, чем через вторую. Бассейн можно наполнить, если
открыть сначала одну первую трубу на 5 ч, а затем одну BTO
рую на 7,5 ч. 3а сколько часов наполнится бассейн при COB
местной работе обеих труб?
325. Чтобы наполнить бассейн, сначала открыли одну трубу
и через 2 ч, не закрывая ее, открыли вторую. Через 4 ч COBMecT
ной работы труб бассейн был наполнен. Одна вторая труба
моrла бы наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем одна
78
первая. 3а сколько часов можно наполнить бассейн через
каждую трубу?
326. Из двух I'ородов, расстояние между которыми равно
270 км, одновременно навстречу друl' ДРУl'у выходят два поезда
и встречаются через 3 ч. На весь путь один из поездов тратит
на 1 ч 21 мин больше, чем друrой. Найдите скорость каждоrо
поезда.
327*. Из пунктов М И N выехали одновременно навстречу
друl' друrу два автомобиля. Один из них пришел в N через
1 ч 15 мин после встречи, а ДРУl'ой в М через 48 мин после
встречи. Расстояние между пунктами М и N равно 90 км. Найди
те скорости автомобилей.
328*. Двое туристов идут навстречу дру!' друrу из пунктов
А и В. Первый вышел из А на 6 ч позже, чем второй из В, и при
встрече оказалось, что он прошел на 12 км меньше BToporo.
Продолжая движение с той же скоростью, первый пришел в
В через 8 ч, а второй в А через 9 ч после встречи. Найдите
скорость каждоrо туриста.
rлава III.
.
. . .
.........
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
И rЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
проrРЕССИИ
7. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ проrРЕССИЯ
8. rЕОМЕТРИЧЕСКАЯ проrРЕССИЯ
7. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
проrРЕССИЯ
15. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Будем выписывать в порядке возрастания положительные
четные числа. Первое такое число равно 2, второе 4, третье 6,
четвертое 8 и т. д. Получим последовательность
2; 4; 6; 8; ... .
Очевидно, что на пятом месте в этой последовательности
будет число 10, на десятом число 20, на сотом число 200.
Вообще для любоro натуральноrо числа п можно указать COOT
ветствующее ему положительное четное число; оно равно 2п.
Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписы
вать в порядке убывания правильные дроби с числителем, paB
ным 1:
1.1.1.1.1.
2'3'4'5'6'
Для любоrо натуральноrо числа п мы можем указать COOT
1
ветствующую ему дробь; она равна п + l ' Так, на шестом
1 1
месте должна стоять дробь 7' на тридцатом дробь 31 ' на
1
тысячном дробь 1001 .
Числа, образующие последовательность, называют cooтвeT
ственно первым, вторым, третьим, четвертым и т. д. членамu
последовательностu. Члены последовательности обычно об03на
чают буквами с индексами, указывающими порядковый номер
члена. Например, al, а2, аз, а4 и т. д. (читают: 4<а первое,
80
а второе, а третье, а четвертое» и т. д.). Вообще член последова
тельности с номером n, или, как rоворят, n й член nоследова
тельности, обозначают а п . Саму последовательность будем
обозначать так: (а п ).
Заметим, что последовательность может содержать конеч
ное число членов. В таком случае ее называют конечной. Ha
пример, конечной является последовательность двузначных
чисел:
10; 11; 12; 13; ...; 98; 99.
Чтобы задать последовательность, нужно указать способ,
позволяющий найти член последовательности с любым HOMe
ром.
Часто последовательность задают с помощью ФОРМУЛЫ n eo
члена последовательности. Например, последовательность поло
жительных четных чисел можно задать формулой а п ===2n,
последова тельность прави:льных дробей с числителем, paB
ным 1, формулой Ь п === n 1 . Приведем друrие примеры.
П R и м е р 1. Пусть последовательность задана формулой
Уп == n 3n. Подставляя вместо n натуральные числа 1, 2, 3,
4, 5 и т. д., получаем:
YI== 2, Y2== 2, уз==о, У4===4, У5===10,....
Рассматриваемая последовательность начинается так:
2; 2; о; 4; 10; ... .
При м е р 2. Пусть последовательность задана формулой
Х п == ( 1)п . 10. Все члены этой последовательности снечетными
номерами равны 10, а с четными номерами равны 10:
Х) == 10, Х2 == 10, Хз == 10, Х4 == 10, ... .
Получаем последовательность
10; 10; 10; 10; 10; ... .
,
При м е р 3. Формулой Сп == 5 задается последовательность,
все члены которой равны 5:
5; 5; 5; 5; 5; ... .
Рассмотрим еще один способ задания последовательности.
При м е р 4. Пусть первый член последовательности (а,,)
равен 3, а каждый следующий член равен квадрату преды
дущеrо, т. е.
а, == 3, ап+ I ==a .
С помощью формулы а п + I ==a можно по известному пер
БОМУ члену последовательности вычислить второй, затем по
81
известному второму найти третий, по известному третьему
четвертый и т. д. Получим последовательность
3; 9; 81; 6561; ... .
Формулу, выражающую любой член последовательности,
начиная с HeKOToporo, через предыдущие (один или несколько),
называют рекуррентной (от латинскоrо слова recиrro возвра
щаться).
329. Выпишите несколько первых членов последователь
ности натуральных чисел, кратных 3, взятых в порядке воз
растания. Укажите ее первый, пятый, десятый, сотый и n й
члены.
330. Известно, что (Сп) последовательность, все члены
которой с нечетными номерами равны 1, а с четными равны о.
Выпишите первые восемь членов этой последовательности.
Найдите CIO, С25, С200, С25З, C2k, C2k+' (k произвольное натураль
ное число).
331. Пусть (а п ) последовательность квадратов натураль
ных чисел, взятых в порядке возрастания. Выпишите первые
десять ее членов. Найдите а20, а40, а п .
332. Какой член последовательности al, а2, аз, ... .
а) следует за членом а99, а200, а п , aп 1, а п +., а2п;
б) предшествует члену a1l, aIOO, aп 2, ап+з, азп?
333. Перечислите члены последовательности (Х п ), которые
расположены между:
а) ХЗI и ХЗ5; б) Х п и Х п +6; в) Xп 4 И Х п ; r) Xп 2 И Х п +2.
334. Найдите первые шесть членов последовательности, за
данной формулой n ro члена:
а) Xп==2n 1;
n
в) xn== п+l ;
д) Хп==2п з;
б) х п ==n 2 +1; r) Xn==( 1)n+I.2'; е) х п ==0,5.4 п .
335. Последовательность (Ь п ) задана формулой Ьп==n2 n.
Найдите: а) Ь 5 ; б) Ь' О ; в) Ь 5О .
336. Вычислите второй, третий, четвертый и пятый члены
последовательности (Ь п ), если известно, что:
а) первый член равен 10, а каждый следующий на 3 больше
предыдущеrо, т. е. Ь, == 10 и Ь п + 1== Ь п + 3;
б) первый член равен 40, а каждый следующий равен преды
дущему, деленному на 2, т. е. Ь I == 40 и Ь п + I == Ь; .
337. Выпишите первые пять членов последовательности (а п ),
если:
а) а. == 1. ап+1 ==а ll + 1;
б) а, == 1000, а п +. == О,1а п ;
82
в) а, == 16, а ll + I == 0,5aп;
r) а.==3, an+l==a;;'.
338. Выпишите первые четыре члена последовательности
(Ь n ), если:
а) bl==5, Ь n +\==Ь n +5; б) b l ==5, b n + l ==b n .5.
Упражнения для повторения
339. Найдите пару положительных чисел (х; у), удовлет
воряющих уравнению х 2 + у2 == 45, если известно, что у вдвое
больше х.
340. Решите уравнение:
а) 4x4+4x2 15==O; б) 2x4 x2 36==O.
341. Упростите выражение:
а ) аЗь б.3а 2ь5.
2 '
в) 4а бьIО. (2a 2b4) 2;
10ab 5
1')
3 а 2ьЗ .
3
342. Представьте выражение в виде степени с основанием
3 и найдите ero значение:
а) 81.3 б; в) 9 5{ ) з;
б) 3а ЗЬ.(4аь) I;
( з З)З .
б) 9 2 ,
1') ( з З)2.27З.
16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМErИЧЕСКОИ ПРОI'PЕССИИ.
ФОРМУЛА n-I'O ЧЛЕНА АРИФМЕТИЧЕСRОИ ПРОI'PЕССИИ
Рассмотрим последовательность натуральных чисел, KOTO
рые при делении на 4 дают в остатке 1:
1; 5; 9; 13; 17; 21; ... .
КаЖДЫЙ ее член, начиная со BTOpOI'O, получается прибавле
нием к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность
является примером арифметической пpozpeccuu.
О п р е Д е л е н и е. Арифметической проrрессией называет
си последовательность, RaЖДЫЙ член которой, начиная со BTO
poro, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же
числом.
Иначе rоворя, последовательность (а n ) арифметическая
проrрессия, если для любоl'О натуральноrо п выполняется
условие
а n +\ ==an+d,
rде d некоторое число.
83
Из определения арифметичесlCОЙ проrрессии следует, что
разность между любым ее членом, начиная со BToporo, и пре
дыдущим членом равна d, т. е. при любом натуральном п
верно равенство
а n +\ an===d.
Число d называют разностью арифметической npozpeccuu.
Чтобы задать арифметическую проrрессию, достаточно YKa
за'l'Ь ее первый член и разность.
Приведем примеры.
Если а. === lи d === 1, то получим арифметическую проrрес
сию
1; 2; 3; 4; 5; ... ,
члены которой последовательные натуральные числа.
Если а, ===1 и d===2, то получим арифметическую проrрес
сию
1; 3; 5; 7; 9;
... ,
которая является последовательностью положительных нечет
ных чисел.
Если а. === 2 и d === 2, то получим арифметическую про
rрессию
2; 4; 6; 8; 10; ... ,
которая является последовательностью отрицательных четных
чисел.
Если а. ===7 и d===O, то имеем арифметическую проrрессию
7; 7; 7; 7; 7; ... ,
все члены которой равны между собой.
Зная первый член и разность арифметической проrрессии,
можно найти любой ее член, вычисляя последовательно BTO
рой, третий, четвертый и т. д. члены. Однако для нахождения
члена проrрессии с большим номером такой способ неудобен.
Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычисли
тельной работы.
По определению арифметической проrpессии
а2===а, +d,
аз===а2+d===(а, +d)+d===a. +2d,
а4===аз+d===(а. +2d)+d===a, + 3d,
a 5 ===a4+d===(a, +3d)+d==al +4d.
Точно так же находим, что a 6 ==al +5d, и вообще, чтобы найти
а n , нужно к а, прибавить (п 1) d, т. е.
an==al +d (n 1).
84
Мы получили формулу n zo члена арифметической пpozpec
сии.
Приведем примеры решения задач с ИСПОЛЬЗованием этой
формулы.
При м е р 1. Последовательность (сп) арифметическая
проrрессия, в которой с, ==0,62 и d==0,24. Найдем пятидесятый
член этой ПрОl'рессии.
Имеем:
С 50 == 0,62 +0,24 .(50 1)== 12,38.
При м е р 2. Выясним, является ли число 122 членом
арифметической ПрОl'рессии (х,,)
23; 17,2; 11,4; 5,6; ... .
в данной арифметической ПрОl'рессии ХI == 23 и d == Х2
XI ==17,2 23== 5,8. Запишем формулу n ro члена nporpec
сии:
Xп==23 5,8 (п 1), т. е.
Х п == 28,8 5,8п.
Число 122 является членом арифметической nporpec
сии (Х п ), если существует такое натуральное число п, при KOTO
ром значение выражения 28,8 5,8п равно 122. Решим
уравнение 28,8 5,8п == 122:
5,8п == 150,8,
п == 26.
Значит, число 122 является 26 M членом данной арифме
тической проrpессии.
Формулу п I'O члена арифметической ПрОI'Рессии ап==а. +
+d(n 1) можно записать иначе:
an==dn+(al d).
Отсюда ясно, что любая арифметическая nрО2рессия может
быть задаnа формулой вида
an==kn+b,
2де k и Ь некоторые числа.
Верно и обратное: nосяедовательnость (а п ). аадаnн.ая, фор
мулой вида
an==kn+b.
tде k и Ь nекоторые числа. является арифметической npo
tpeccueй.
Действительно, найдем разность (п+ 1 l'o и п I'O членов по
следовательности (а п ):
а п +, an==k (n+1)+b (kn+ b)==kn+k+ b kn b==k.
85
Значит. при любом n справедливо равенство u,,+I===u,,-+k.
и по определению последовательность (а,,) является арифмети
ческой проrрессией. причем разность этой проrрессии равна k.
. 343. Выпишите первые пять членов арифметической про-
rpессии (а п ), если:
а) а, ==10, d==4; б) а. == 1,7, d== 0.2; в) а. == 3,5, d==0,6.
. 344. Последовательность (Ь,,) арифметическая nporpec-
сия. первый член которой равен b l , а разность равна d. Выра-
зите через Ь, и d:
а) Ь 7 ; б) Ь 2б ; в) Ь 2зl ; r) b k ; д) Ь Н 5; е) b 2 k.
. 345. Последовательность (Сп) арифметическая nporpec-
сия. Найдите:
а) С 5 . если С) ==20 и d==3; б) С21, если с. ==5,8 и d== 1.5.
. 346. Последовательность (а п ) арифметическая nporpec-
сия. Найдите:
а) UII, если и,== з и d==0,7; б) u 2б . если al==18 и d== 0.6.
. 347. Найдите десятый и n й члены арифметической проrрес
сии:
1
а) 3; 1;...; б) 2.3; 1; ....
. 348. Найдите 23-й и n-й члены арифметической' nporpec
сии:
а) 8; 6.5; ...; б) 11; 7; ... .
349. Тело в первую секунду движения прошло 7 м. а за
каждую следующую секунду на 3 м больше. чем за предыду
щую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду?
350. Поезд. отойдя от станции. равномерно увеличивал
скорость на 50 м в минуту. Какова была скорость поезда в конце
двадцатой минуты?
351. На стороне ОА уrла АОВ от ero вершины отложены рав-
ные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые
(рис. 47). Длина отрезка А,В. равна 1.5 см. Найдите длину
отрезка А5В5; A1oВIO.
. 352. Найдите первый член
арифметической проrрессии (Х п ).
если:
а) хзо==128. d==4;
б) Х45== 208. d== 7.
о
86
. 353. Найдите разность ариф
мети ческой проrрессии (Уп). в ко-
торой:
а) УI ==10, УБ==22; б) У. ==28, Y15== 21.
. 354. Последовательность (Сп) арифметическая nporpec
сия. Найдите:
а) CI, если с з6 ==26 и d 0,7; б) d, если CI== 10 и c I5 ==1,2.
355. Между числами 5 и 1 вставьте семь таких чисел, чтобы
они вместе с данными числами образовали арифметическую
проrрессию.
356. Между числами 2,5 и 4 вставьте четыре таких числа,
которые вместе с данными числами образуют арифметическую
проrрессию.
357. Найдите первый член и разность арифметической
проrрессии (Сп), если: а) с 5 ==27, с 27 ==60; б) С20==0, С 66 == 92.
358. Найдите первый член и разность арифметической про
rрессии (Х п ), если X 16 == 7 и х 2б ==55.
359. Содержит ли арифметическая проrpессия 2; 9; ...
число: а) 156; б) 2951
360. Дана арифметическая проrрессия (а п ), у которой а. ==32
и d == 1,5. Является ли членом этой проrрессии число:
а) о; б) 281
361. В арифметической проrрессии (хп)'первый член равен
8,7, а разность равна 0,3. Для каких членов проrрессии
выполняется условие:
а) Xп O; б) Хп<О?
362. Найдите номера отрицательных членов арифметиче
ской проrрессии 20,3; .18,7; ... . Чему равен первый поло
жительный член этой проrрессии?
363. Является ли арифметической проrрессией последова
тельность (а п ), заданная формулой:
а) а п ==3п+l; в) а п ==п+4; д) а п == 0,5п+l;
б) aп==п2 5; r) а п == п14 ; е) а п ==6п1
Если последовательность арифметическая проrрессия,
найдите ее первый член и разность. .
364. Докажите, что последовательность сумм внутренних
уrлов треуrольника, выпуклоrо четырехуrольника, выпуклоrо
пятиуrольника и т. д. является арифметической проrрессией.
Чему равна ее разность 1
Упражнения для повторения
365. Решите систему уравнений
{ Зх+ ==2,
x2 y == 12.
87
366. Решите уравнение:
а) хЗ+4х2 32х==О; б) хЗ 10х2+4х 40==О.
367. Решите неравенство:
а) (2x 1) (х+8»О;
б) (33 x)(16+2x) 0.
368. Найдите значение выражения:
а) 125 ..252; в) 16 ;'45 ;
б) 0,0001.(10З)2.(0,1) 2;
з
r) 94. ( 217 ) . 81 4.
17. ФОРМУЛА СУММЫ n ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ
АРИФМЕТИЧЕСКОИ ПРОrPЕССИИ
Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных
чисел. Покажем, как можно решить эту задачу, не выполняя
непосредственноrо сложения чисел.
Обозначим искомую сумму через 8 и запишем ее дважды,
расположив в первом случае слаrаемые в порядке возрастания,
а во втором в порядке убывания:
8=== 1+ 2+ 3+...+98+99+100,
8===100+99+98+...+ 3+ 2+ 1.
Каждая пара чисел, расположенных друr под друrом, дает
в сумме 101. Число таких пар равно 100. Поэтому, сложив
равенства почленно, получим:
28 == 101.100,
8 101;100 5050.
и так,
1 + 2 + 3 +... + 99 + 100 == 5050.
С помощью аналоrичных рассуждений можно найти сумму
первых членов любой арифметической проrрессии.
Обозначим сумму п первых членов арифметической проrрес
сии (а,,) через 8" и запишем эту сумму дважды, расположив
в первом случае слаrаемые в порядке возрастания их номеров,
а во втором случае в порядке убывания:
8,,===а.+а2 +аз +а4 +...+a" .+a,,, (1)
8,,===a,,+a,, . +а" 2+а,, з+,..+а2 +al. (2)
Сумма каждой пары членов проrрессии, расположенных
друr под друrом, равна al +а". Действительно,
88
a2+aп 1 ==(аl +d)+(aп d)==al +аn.
аз+а" 2==(а2+d)+(ап I d)==a2+a,, I ==al +а",
а4 +а,, з==(а:! +d)+(а" :l d)==аз+а" 2==аl +а п
и т. д.
Число таких пар равно п. Поэтому, сложив почленно pa
венства (1) и (2), получим:
28" ==(аl +а,,). п.
Разделив обе части последнеrо равенства на 2, получим
формулу суммы n первых членов арифметической ПрО2рессии:
8 (al+a..)n
" 2 .
(1)
Приведем примеры на вычисление суммы членов арифме
тической ПрОl'рессии.
При м е р 1. Найдем сумму первых тридцати членов ариф
метической проrрессии 4; 5,5; ... .
в данной арифметической проrрессии al==4. d==I,5.
Тридцатый член проrрессии найдем по форму ле n l'o члена:
а зо ==4 + 1.5.29==47,5.
Теперь вычислим сумму первых тридцати членов:
8 (4+47,5)'30 772 5
ЗО 2 ' .
Заметим, что если заданы первый член и разность арифме
тической ПрОl'рессии. то удобно пользоваться формулой суммы,
представленной в друrом виде. Подставим в формулу (1) вместо
а" выражение а I + d (п 1). получим:
8 (al+al+d(n l))n
,, 2 ·
т. е.
8 2al+d(n 1)
,, 2 п.
(11)
Если для решения рассмотренной задачи воспользоваться
формулой (11), то вычисления будут выrлядеть так:
830== 2.4+1,5.29 .30==772,5.
2
При м е р 2. Найдем сумму первых сорока членов последо
вательности (а,,). заданной формулой a,,==5n 4.
Последовательность (а,,) является арифметической ПрОl'рес
сией. так как она задана формулой вида а" == kn + Ь, rде k == 5
и Ь== 4.
89
Найдем первый и сороковой члены этой арифметической
проrрессии: аl ==5.1 4== 1, a40==5.40 4==196.
Теперь по формуле (1) вычислим 840:
8 (1+196).40 3940.
40 2
При м е р 3. Найдем сумму 1 + 2 + 3 + ... + п, слаrаемыми
в которой являются все натуральные числа от 11 до п.
Применив формулу 8п (a'+2a.)п к арифметической про
rрессии 1; 2; 3; ..., получим, что
1 + 2 + 3 +... + п (1 +2 n ) п .
При м е р 4. Найдем сумму всех натуральных чисел, KpaT
ных шести и не превосходящих 250.
Натуральные числа, кратные шести, образуют арифметиче
скую проrрессию, которую можно задать формулой а п ==6п..
Чтобы выяснить, сколько членов этой проrрессии не превосхо
2
дит 250, решим неравенство 6п:< 250. Получим п:< 41 З.
Значит, число членов проrрессии, сумму которых надо найти,
равно 41.
Имеем:
al==6, а41==6.41==246,
841 (6+2:6).41 5166.
. 369. Найдите сумму шестидесяти первых членов арифме
тической проrpессии (а n ), если:
а) al==3, а 60 ==57; б) al== 10,5, а 60 ==51,5.
. 370. Найдите сумму восьми первых членов арифметической
проrрессии:
а) 23; 20; ...;
б) 14,2; 9,6; ... .
,
90
КАРЛ rAYCC (1717 1855) немецкий MaT
матик, астроном, физик, reoдезист. ВыдаюIЦИеся
математические способности обнаружил в раннем
детстве. Ero МНОl'очисленные исследования в облас
ти алreбры, теории чисел, I'еометрии и математи
чесКОI'О аиализа оказали серьезное влияние на раз
витие теоретической и прикладной математики,
физики, астрономии, reодезии.
. 371. Вычислите сумму девяти первых членов арифметиче
ской проrрессии (Ь,,), если:
а) b l == 17, d==6; б) ы ==6,4, d==0.8.
. 372. Найдите сумму пятидесяти. ста. п первых членов
последовательности (х,,). если:
а) х,,==4п+2; б) х,,==2п+3.
. 373. Арифметическая проrрессия задана формулой а" ==
== 3п + 2. Найдите сумму двадцати первых ее членов.
374. Найдите:
а) сумму 2 + 4 + 6 +... + 2п. слаrаемыми которой являются все
четные натуральные числа от 2 до 2п;
б) сумму 1 + 3 + 5 + ... + (2п 1), слаrаемыми которой являются
все нечетные натуральные числа от 1 до 2п 1.
375. Найдите сумму:
а) всех натуральных чисел. не превосходящих 150;
б) всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно;
в) всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300;
r) всех натуральных чисел. кратных 7 и не превосходящих 130.
376. Найдите сумму членов арифметической проrрессии с
пятнадцатоrо по тридцатый включительно. если первый член
равен 1 О и разность равна 3.
377. Найдите сумму членов арифметической проrрессии с
шестоrо по двадцать пятый включительно. если первый член
равен 21 и разность равна 0.5.
378. Найдите сумму двадцати первых членов арифметиче
ской проrрессии (С,,). если С 7 == 18,5 и c 17 == 26.5.
379. Найдите сумму пятнадцати первых членов арифмети
ческой проrрессии (Ь,,). если b l ==4.2 и Ь,о==15.9.
380. При свободном падении тело проходит в первую ceKYH
ду 4.9 м, а в каждую следующую на 9.8 м больше. Найдите
rлубину шахты, если свободно падающее тело достиrло е(! дна
через 5 с после начала падения.
381. Какое расстояние пройдет свободно падающее тело:
а) за седьмую секунду после начала падения;
б) за семь секунд после начала падения?
ДИОФАНТ (111 в.) древнеrреческий MaтeMa
тик из Александрии. В ero .Арифметике. изло
жены начала аЛl'ебры, решен ряд задач, сводящих
ся к неопределенным уравнениям различных CTe
пеней. Теория диофантовых уравнений и теория
диофантовых приближений так названы два
больших раздела современной теории чисел. Ero
труды оказали большое влияние на развитие Ma
тематики.
"
.
;>[..;
ас
91
, "',
...
, ..." ",
... ...
, "" "" '"
... ... ...
, "', "', "', ""
Jt.. .... J. j.
, "', ." "" '" т,
382. Шары расположены в форме
треуrольника так, что в nep{lOM ряду
1 шар, во втором 2, в третьем 3
и т. д. (рис. 48). Во сколько рядов раз
мещены шары, если их число равно
120? Сколько потребуется шаров, что
бы составить треуrольник из 30 рядов?
Рис. 48
Упражнения для повторения
383. В арифметической проrрессии а 7 == 8 и all == 12,8.
Найдите al и d.
384. Является ли члещ)м арифметической проrрессии 20,7;
18,3; ... число: а) 1,3; б) 3,3?
385. Решите систему уравнений:
а) { 9х2+9у2==13, б) { х2+у2==29,
3ху==2; y2 4x2==9.
386. Представьте выражение в виде степени с основанием 5:
а) 5".25; б) 125.5" 3; в) 625.25".
Контрольные вопросы
1. Приведите пример последова тельности, заданной:
а) формулой n ro члена; б) рекуррентной формулой. Найдите
пять первых членов этой последовательности.
2. Сформулируйте определение арифметической nporpec
сии. Какое число называют разностью арифметической про
rрессии?
3. Запишите формулы n ro члена и суммы n первых членов
арифметической проrрессии.
f 8. rЕОМЕТРИЧЕСКАЯ проrРЕССИЯ
18. ОПРЕДЕЛЕНИЕ rЕОМЕТРИЧЕСКОИ пРоrРЕССИИ.
ФОРМУЛА n ro ЧЛЕНА rЕОМЕТРИЧЕСКОИ ПРОrPЕССИИ
Рассмотрим последовательность, членами которой являются
степени числа 2 с натуральными показателями:
2; 22; 2:1; 24; 25; 26; ... .
Каждый член этой последовательности, начиная со BToporo,
получается умножением предыдущеrо члена на 2. Эта после
довательность является примером zео,м,етрической npozpeccии.
О n р е Д е л е н и е. rеометрической проrрессией называется
последовательность отличных от нуля чисел, каждый член KO
92
торой, начиная со BToporo, равен предыдущему члену, умно-
женному на одно и то же ЧИCJIО.
Иначе rоворя, последовательность (Ь,,) rеометрическая
проrрессия, если для любоrо натуральноrо п выполняются
условия
Ь,,::рО и b"+I==bn.q,
rде q некоторое число. Обозначим, например, через (ы l )
последовательность натуральных степеней числа 2. В этом
случае для любоrо натуральноrо п верно равенство Ь" + . == Ь " . 2;
здесь q == 2.
Из определения rеометрической проrрессии следует, что oт
ношение любоrо ее члена, начиная со BToporo, к предыдущему
члену равно q, т. е. при любом натуральном п верно равенство
b,,+I == q
Ь" .
Число q называют знаменателем zеометричесICОЙ пpozpec
сии.
Очевидно, что знаменатель rеометрической проrрессии
отличен от нуля.
Чтобы задать I'еометрическую проrрессию, достаточно YKa
зать ее первый член и знаменатель.
Приведем примеры.
Если ы == 1 и q ==0,1, то получим l'еометрическую nporpec
сию
1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ... .
Условиями Ь. == 5 и q==2 задается I'еометрич ская про
l'рессия
5; 10; 20; 40; 80; ... .
Если Ь. == 2 и q == 3, то имеем ПрОl'рессию
2; 6; 18'; 54; 162; ... .
Если Ь. == 8, q == 1, то получим rеометрическую проrрессию
8; 8; 8; 8; 8; ... .
Зная первый член и знаменатель rеометрической проrрессии,
можно найти последовательно второй, третий и вообще любой
ее член:
Ь 2 == b,q,
Ь 3 == b 2 q ==(b1q) q == b 1 q2,
Ь 4 ==Ь з q==(Ь.q2) q==b.q3,
Ь 5 == b 4 q ==(Ь. q3) q == b.q4.
93
Точно так же находим, что b6==b.q5, b7==b,q6 И Т. д. Вообще,
чтобы найти Ьп. мы должны Ь. умножить на qn ', т. е.
bn==b.qn ,.
Мы получили формулу п zo члена zеометрической проерессии.
Приведем примеры решения задач с использованием этой
формулы.
При м е р 1. В rеометрической проrрессии Ь I == 12,8 и q ==
== . Найдем Ь 7 .
По формуле п ro члена rеометрической проrрессии
( 1 ) 6 128 1 27 1 1
Ь7==12,8. "4 ==10'7== 10.212 == 25.10 == 320 '
При м е р 2. Найдем восьмой член reoметрической про
rрессии (Ь п ), если b t ==162 и Ьз==18.
Зная первый и третий члены reoметрической проrрессии.
можно найти ее знаменатель. Так как Ь з ==Ь.q2, то
q2== == ==
Ь. 162 9'
Решив уравнение
2 1
q ==9'
найдем, что
1 1
q==з или q== З.
Таким образом, существуют две проrpecсии, удовлетворяю
щие условию задачи.
1
Если q==з. то
{ 1 ) 7 2.з4 2
b8==b.q7==162 ==.........,.....== .
3 3 27
1
Если q== З' то
7 ( 1 ) 7 2. з4 2
b 8 ==b,q ==162. == .........,.....==
3 3 27'
Задача имеет два решения:
2
Ь В == или
27
2
Ь 8 == 27 .
При м е р 3. После каждоro движения порmня разрежаю
щеrо насоса из сосуда удаляется 20% находящеrося в нем
94
воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после
шести движений поршн,я, если первоначально давление было
760 мм рт. ст.
Так как после каждоrо движени,я поршня из сосуда удаля
етС,я 20% имевшеroся воздуха, то остается 80% воздуха. Чтобы
узнать давление воздуха в сосуде после очередноro движения
поршня, нужно давление после предыдущеrо движени,я поршн,я
умножить на 0,8.
Мы имеем rеометричесicую проrрессию, первый член которой
равен 760, а знаменатель равен 0,8. Число, выражающее
давление воздуха в сосуде (в мм рт. ст.) после шести движений
поршн.я, является седьмыМ членом этой проrрессии. Оно
равно
760.(0,8)6.
Произведя вычисления, получим:
760.(0,8)6 200 (мм рт. ст.).
. 387. Найдите первые пять членов rеометрической проrрес
сии (b l1 ), если:
а) ы ==6, q==2;
1
б) b,== 16, q==2;
в) Ь, == 24, q == 1,5;
r) b l , 0,4, q === J2.
. 388. Последовательность (С,,) rеометрическа,я проrресси,я,
первый член которой равен С), а знаменатель равен q. Выразите
через С, и q:
а) С 6 ; б) С 2О ; в) С)25; r) Ck; д) Ck+:J; е) C2k.
. 389. Последовательность (X I1 ) rеометрическа,я проrрессия.
Найдите:
а) Х7, если Х, == 16, q ==+; в) Х'О, если Х, ==..[2, q == ..[2;
1
б) Хв, если Х, == 810, q==з--; r) Х6, если Х, ==125, q==0,2.
. 390. Последовательность (Ь,,) rеометрическа,я проrресси,я.
Найдите:
3 2
а) Ь 5 , если Ь\ ==4 и q ==3;
,,)3
б) Ь 4 , если Ь, == 1,8 и q ==3 .
. 391. Найдите седьмой и n й члены rеометрической nporpec
сии:
а) 2; 6; .. ;
б) 40; 20;
...,
в) 0,125; 0,25;
r) 10; 10; ." .
95
. 392. Найдите шестой и n й чле
ны rеометрической проrрессии:
а) 48; 12; ...;
64 . 32
б) "'"9' 3 .....
в) 0.001; 0.01; ....
r) 100; 10; ... .
А С 393. В треуrольнике АВС (рис.
Рис. 49 49) провели среднюю линию A1C 1 .
в треуrольнике А .ВС I также про
вели среднюю линию А 2 С 2 . во вновь образовавшемся треуroль
нике А 2 ВС 2 снова провели среднюю линию АзС з и т. Д. Найди
те площадь треуrольника AgBC g . если известно. что площадь
треуrольника АВС равна 768 см 2 .
394. Найдите первый член rеометрической проrрессии
(b ll ). если:
1 1
а) Ь 6 ===3, q===3; б) b s ===17 2' q=== 22.
в
395. Найдите знаменатель rеометрической проrрессии (C Il ).
если:
а) Cs === 6. С7 === 54; б) С6 === 25. СВ === 9.
396. Последовательность (X Il ) rеометрическая проrрессия.
Найдите:
а) XI. если х 6 ===0.32, q===0.2;
б) q. если хз=== 162, xs=== 18.
397. Последовательность (b ll ) rеометрическая проrрессия.
Найдите:
а) Ь 6 . если Ь 1 === 125. Ь З === 5;
2
б) Ь 7 . если Ь.=== 9' Ь з === 2;
в) b 1 . если Ь 4 === 1. Ь 6 === 100.
398. Между числами 2 и 162 вставьте такие три ч;исла.
которые вместе с данными числами образуют rеометрическую
проrрессию.
399. rеометрическая проrрессия (Х п ) состоит из четырех
членов: 2, Х2. Хз. . Найдите Х2 и Хз.
400. Найдите шестой член reoметрической проrрессии (Ь п ).
если известно. что Ь2 === 6. Ь 4 === 24.
401. Срочный вклад. положенный в сбереrательный банк.
ежеrодно увеличивается на 3%. Каким станет вклад через
3 rода. если вначале он был равен 800 р.?
96
402. Дан равносторонний треуrольник со стороной 8 см.
Из ero высот построен второй треуrольник. Из высот BToporo
треуrольника построен третий и т. д. Докажите, что периметры
треуrольников образуют rеометрическую проrрессию, и най
дите периметр шестоrо треуrольника.
403 В равносторонний треуrольник, сторона KOToporo равна
16 см, вписан друrой треуrольник, вершинами KOToporo явля
ются середины сторон первоrо. Во второй треуrольник таким
же способом вписан третий и т. д. Докажите, что периметры
треуrольников образуют rеометрическую проrрессию. Найдите
периметр BocbMoro треуrольника.
Упражнения для повторения
404. Найдите сумму пятидесяти первых членов арифмети
ческой проrрессии, первый член которой равен 45,6, а пят
надцатый член равен 2.
405. Упростите выражение:
а) з2n:9n l; б) 4n.26 2n; в) 16:4 1 + 2n .8 n .
406. Найдите координаты точки, принадлежащей rрафику
уравнения х 2 у2 == 30, если известно, что их сумма равна 5.
407. Решите неравенство:
а) 2x2 13x 34 0; б) 10x 4x2<0.
19. ФОРМУЛА СУММЫ n ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ
fЕОМЕТРИЧЕСКОИ ПРОrPЕССИИ
Древняя индийская леrенда рассказывает, что изобретатель
шахмат попросил в наrраду за свое изобретение столько пше
ничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку
шахматной доски положить одно зерно, на вторую в 2 раза
больше, т. е. 2 зерна, на третью еще в 2 раза больше, т. е. 4
зерна, и т. д. до 64-й клетки. Сколько зерен должен был
получить изобретатель шахмат?
Число зерен, о которых идет речь, является суммой шести
десяти четырех членов rеомеТРИЧеСКОЙ проrрессии, первый член
которой равен 1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму
через 8:
8 == 1 + 2 + 22 + 23 +... + 262 + 263.
Умножим обе части записанноrо равенства на знаменатель
проrрессии, получим:
28 == 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 263 + 264.
Вычтем почленно из BToporo равенства первое и проведем
упрощения:
.. Аш ....б(М. ч IUI
97
28 8 == (2 + 22 + ... + 263 + 264) (1 + 2 + 22 +... + 263),
8==264 1.
Можно подсчитать, что масса TaKoro числа пшеничных зерен
больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество
пшеницы, собранной человечеством до настоящеrо времени.,
Выведем теперь формулу суммы n первых членов произ
вольной rеометрической проrрессии. Воспользуемся тем же
приемом, с помощью KOToporo была вычислена сумма 8.
Пусть дана rеометрическая проrрессия (Ь п ). Обозначим
сумму n первых ее членов через 8 п :
8 п == Ь. + Ь2+ ь з +...+ bп . + Ь п . (1)
Умножим обе части этоrо равенства на q:
8 n q== b.q+ b 2 q+ Ь з q+...+ bn lq+ bnq.
Учитывая, что
b.q==b 2 , Ь 2 q==Ь з , Ь з q==Ь 4 , ..., bn .q==bn,
получим:
8 n q==b 2 + ь з + Ь 4 +...+ Ь п + bnq. (2)
Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведем
подобные члены:
8nq 8n ==(Ь 2 + ь з +...+ Ь п + bnq) (bl + Ь 2 +...+ bп . + Ь п )==
==bnq b.,
8 п (q 1)==bnq b"
Отсюда следует, что при q =1= 1
8 bпq bl
п q 1 .
(1)
Мы получили формулу суммы п первых членов zeOMeTpu
ческой пpozpeccuu, в которой q =1= 1. Если q == 1, то все члены
проrрессии равны первому члену и 8 п == пЬ..
При решении мноrих задач удобно пользоваться формулой
суммы п первых членов rеометрической проrрессии, записанной
в друrом виде. Подставим в формулу (1) вместо Ь п выражение
b.qn .. Получим:
ь (п 1)
8 п == I q ,если q=l=l.
q
При м е р 1. Найдем сумму первых десяти членов reoMeT
рической проrрессии (Ь п ), в которой Ь I == 3 и q == .
Так как известны первый член и знаменатель проrрессии,
то удобно воспользоваться формулой (11). Получим:
98
(11)
b, ( q'V l) 3(( YO 1) з Соl24 l) 3 509
810 6 512 ==5 512 .
q l 1
2 2
При м е р 2. Найдем сумму 1+x+x2+...+xn I, rде x=l=1,
слаrаемые которой являются последовательными членами
rеометрической ПрОl'рессии
1; х; х 2 ; ... .
Первый член проrрессии равен 1, а знаменатель равен х.
Так как х n I является членом этой ПрОl'рессии с номером .п, то
задача состоит в нахождении суммы n первых ее членов.
Воспользуемся формулой (1):
8n
xn IX 1
x l
xn 1
x l .
Таким образом, если х =1= 1, то
1 + 2 + + n 1 xn 1
+ х х ... х == 1 .
X
Умножив левую и правую части последнеl'О равенства на x l, получим
тождество
x" l==(x l)(l +X+X2+...+x" I).
в частности. при п 2 и n 3 приходим к известным формулам
х 2 1 (x 1) (х+ 1),
хЗ l (x 1)(х 2 +х+ 1).
При м е р 3. Найдем сумму шести первых членов l'eOMeT
рической ПрОl'рессии (Ь n ), если известно, что Ь з ===12 и Ь 5 ==48.
Зная Ь з и Ь 5 , можно найти знаменатель проrрессии q.
Так как Ь5 == b 4 q == b 3 q2, то
q2==!.i== 48 ==4.
Ь з 12
Значит,
q==2 или q== 2.
Таким образом, существуют две ПрОl'рессии, удовлетворяю
щие условию задачи.
Если q== 2, то bl== ==3 и 86 bl(q6 1) 3« 2)6 1) 63.
q2 q l 2 1
Ее 2 Ь 3 8 3(26 1) 189
лиq== ,то 1== И 6 2 1 .
99
. 408. Найдите сумму пяти первых членов rеометрической
проrрессии, у которой:
1 1
а) Ь.==8, q==2; б) b 1 ==500, q==-Б'
. 409. Найдите сумму шести первых членов rеометрической
проrрессии:
а) 3; 6; ..., в) 32; 16; ...;
1
б) 54; 36; ..., r) 1; 2; ... .
. 410. Вычислите сумму девяти первых членов rеометричес
кой проrрессии, если:
а) с. == 4, q==3;
б) с. ==1, q== 2.
411. Докажите, что последовательность (Ь п ) является reoMeT
рической проrрессией, и найдите сумму п первых ее членов,
если:
а) Ь п ==О,2.5 п ; б) bn==3.2n l; в) ь п ==з l + п .
412. Найдите сумму п первых членов rеометрической про
rрессии:
а) 1; 3; 32; ...,
б) 2; 22; 23; ...;
1. 1. 1 .
в) 2' 4' 8' ,..,
r) 1;
д) 1;
е) 1;
х; х 2 ; ..., rде х =1= 1;
х 2 ; х 4 ; ..., rде x=l=:f:l;
x3; х 6 ; ..., rде x=l= I.
413. Найдите сумму семи первых членов rеометрической
проrрессии (Ь п ), если:
а) Ь 7 ==72,9, q==I,5;
16 2
б) b s == , q== .
9 3
пяти первых членов rеометрической
414. Найдите сумму
проrрессии (х п ), если:
1 1
а) Xs==19' q==з;
415. Найдите сумму шести первых членов rеометрической
проrрессии, первый член которой равен 2, а пятый равен 162,
если известно, что ее .члены с нечетными номерами положи
тельны, а с четными отрицательны.
416. Найдите сумму семи первых членов rеометрической
проrрессии (Ь п ), В которой Ь 2 ==6 и Ь 4 ==54, если известно, что
все ее члены положительны.
б) Х4==121,5, q== 3.
Упражнения для повторения
417. Найдите первый член rеометрической проrрессии (Ь п ),
если Ь 7 ==О,ОI2 и q==O,2. Запишите формулу n ro члена этой
проrрессии.
100
418. Представьте в виде произведения:
а) 2п+3 2п; б) зп+. зп 'I; в) 25п 5п l.
419. Решите неравенство:
а) 1.5x x2 0; б) х 2 +х+6>0.
20. СУММА БЕСКОНЕЧНОИ rЕОМЕТРИЧЕСКОИ ПРОrPЕССИИ
ПРИ Iql <1
Пусть длина отрезка АВ равна 2 ед. (рис. 50). Отметим
точку В. середину отрезка АВ. затем точку В 2 середину
правой ero половины, затем точку ВЗ середину получивше
rося справа отрезка и т. д. Длины отрезков АВ.. BtB2. В2В3
И т. д. образуют бесконечную I'еометрическую ПрОl'рессию.
1
знаменатель которои равен 2 :
. 1 . 1 . 1 .
1. 2' 4' 8' ... .
I
А
,
81
I I I I
82 8з8* В
Рис. 50
Найдем сумму n первых членов этой проrрессии:
1'(( ') п 1)
Sп
1
2
( ) " 1 2 2. ==2
1 2" 2" '
2
1
При увеличении числа слаrаемых n значение дроби 2" I
приближается к нулю. Действительно.
1 1 1
если п==10. то 2" I =='29== 512 ;
1 1 1
если п==15. то 2" 1 ==214== 16384 ;
1 1 1
если п==20. то 2" I ==2i9== 524288 и т. д.
1
Поэтому при неоrраниченном увеличении n разность 2 2" I
становится сколь уrодно близкой к числу 2 или. как rоворят.
стремится к числу 2.
Таким образом, сумма n первых членов rеометрической
111
проrрессии 1; 2; 4; 8; ... при неоrраниченном увеличении
n стремится к числу 2. Число 2 называют СУJItМОЙ бесконечной
111
еео,м-етрuческой проерессuu 1; 2; 4; 8; ... и пишут:
111
1 +2+4+8+...==2.
101
Это равенство леrко истолковать rеометрически: сумма длин
отрезков АВ" BIB2. В2В3, В3В4 И т. д. равна длине отрезка АВ.
Рассмотрим теперь произвольную rеометрическую проrрес
сию
b l ; b1q; b 1 q2; b 1 q3; ...,
у которой Iql <1.
Запишем формулу суммы n первых членов проrрессии:
b.(qп l)
q l
Преобразуем выражение в правой части равенства:
Ь, (qn l) blqп b. b, b,qn Ь. Ь, "
q l q l l q l q l q.q.
В"
Значит,
Bn=== .qn.
l q l q
Можно доказать, что если Iql <1, то при неоrраниченном
увеличении n множитель qn стремится к нулю, а значит, CTpe
Ь
мится к нулю и произведение 1 ' . qn. Поэтому при Heorpa
q
В Ь,
ниченном увеличении n сумма n стремится к числу 1 .
q
Число 1 Ь, называют суммой бесконечной zеометрической
q
npozpeccии (Ь n ), у которой Iql <1.
Это записывают так:
ы +blq+blq2+..'=== l bl .
q
Обозначив сумму проrрессии (Ь п ) буквой В, получим фор-
мулу
B===
l q'
Заметим, что если Iq\ ;;;;01, то сумма п первых членов rеометрической
проrpессии при неоl'раниченном увеличении п не стремится ни к какому
числу. Бесконечная reoметрическая ПрОl'рессия имеет сумму только при
Iql<l.
При м е р 1. Найдем сумму бесконечной rеометрической
4
проrрессии 12; 4; '3; ... .
1
У этой проrрессии q === '3' значит, 'условие I q 1< 1 BЫ
102
S ь,
полнено. По формуле === 1 получим:
q
1.2
S=== ===9.
1+
3
При м е р 2. Дан квадрат, сторона KOTO
poro равна 4 см. Середины ero сторон явля
ются вершинами BToporo квадрата, середины
сторон Bтoporo квадрата являются верши
нами третьеrо квадрата и т. д. (рис. 51).
Найдем сумму площадей всех квадратов.
Из rеометрических соображений ясно, что
площадь каждоrо следующеrо квадрата paB
на половине площади предыдущеrо. Таким Рис. 51
образом, последовательность площадей квад-
ра тов является rеометрической проrрессией, первый член KO
16 1 Н
торои равен , а знаменатель равен т. аидем сумму этои
reометрической проrрессии:
16
S === == 32.
1 .!....
2
Значит, сумма площадей всех квадратов равна 32 см 2 .
Из курса VIII класса нам известно, что каждое рациональ
ное число может быть представлено в виде бесконечной деся-
тичной периодической дроби. Чтобы выразить рациональное
т
число ""'ii"" rде т целое число, а n натуральное, в виде
бесконечной десятичной дроби, достаточно разделить числитель
на знаменатель. Наоборот, каждая бесконечная десятичная
периодическая дробь представляет некоторое рациональное
число. Покажем на примере, как с помощью формулы суммы
бесконечной rеометрической проrрессии можно представить
бесконечную десятичную периодическую дробь в виде OTHO
т
шения .
п
При м е р 3. Пред ставим бесконечную десятичную перио
дическую дробь 0,(18) в виде обыкновенной дроби.
По аналоrии с конечными десятичными дробями предста-
вим бесконечную десятичную дробь 0,(18) в виде суммы:
0,(18) == 0,18 + 0,0018 + 0,000018 +... .
Слаrаемые в правой части равенства члены rеометри-
ческой проrрессии, у которой первый член равен 0,18, а зна
менатель равен 0,01, т. е. условие Iql <1 выполнено. Найдем
сумму этой проrрессии:
103
s 0,18 0,18 2
1 0,01 0,99 u'
Значит,
2
о,(18)===li .
Таким же способом можно представить в виде обыкновенной
дроби любую бесконечную десятичную периодическую дробь.
. 420. Проверьте, что знаменатель q данной rеометрической
проrрессии удовлетворяет условию I q I < 1, и найдите сумму
этой проrрессии:
а) 9; 3; 1; ...,
б) 2; 1 1
2 ; 8 ; ...,
в) 4 4 4
; 25 ' .
5 125 , ... ,
r ) '3. 1' 2...
O, , ,;з' ...,
д) 2,;2; 2; ,;2; ...;
/
е) 3у 5 ; 3; 5;'" .
. 421. Найдите сумму
rрессии:
1 1
а) 1; 10 ; 100 ; ...,
1 . 1. 1.
б) 2' 4""' '8' ...,
бесконечной rеометрической
про
1 3
в) 6 . , 1 . .
2' '8' ...,
2 . 4 . 8 .
r) 3'"' 9'" 27 ' ....
422. Найдите сумму, слаrаемые которой являются членами
бесконечной rеометрической проrрессии (1 а I < 1):
а) 1+а+а 2 +а 3 +...; в) 1+а 2 +а 4 +а б +...;
б) 1 a+a2 a3+...; r) a a4 +а 7 alO+... .
423. В окружность, радиус которой равен 5 см; вписан
правильный треуrольник; в треуrольник вписана окружность;
в окружность снова вписан правильный треуrольник и т. д.
Найдите сумму длин окружностей и сумму площадей KpyrOB.
424. В квадрат вписан Kpyr; в этот Kpyr вписан второй
квадрат; во второй квадрат снова вписан Kpyr и т. д. Найдите
сумму площадей всех KpyroB, если сторона первоrо квадрата
равна 8 см.
425. Представьте в виде обыкновенной дроби число:
а) 0,(6); б) 0,(1); в) 0,(36); r) 1,(81); д) 0,2(3); е) 0,32(45).
426. Представьте в виде обыкновенной дроби число:
а) 0,(5); б) 1,(72); в) 0,4(6); r) 0,01(12).
104
Упражнения для повторения
427. Найдите сумму шести первых членов I'еометрической
проrрессии (Х п ), если Х, ==0,375 и Х2==0,75.
428. Существуют ли такие значения Х, при которых функ
ция У == 2х 2 + 4х принимает значение, равное: а) о; б) 30; в) 4?
429. Найдите все такие значения т, для которых данное
неравенство верно при любом Х:
а) 2x2 4x+т>0; б) тx2+5x 4<0.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение I'еометрической проrpессии.
Что называют знаменателем reометрической проrрессии?
2. Запишите формулы n ro члена и суммы n первых чле
нов rеометрической ПрОl'рессии.
3. Чему равна сумма бесконечной rеометрической ПрОl'рес
сии, у которой Iql <1?
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К rЛАВЕ 111
К параl'рафу 7
430. Вычислите первые пять членов последовательности
(Сп), заданной формулой:
( 1). '.
а) с,,== 2n2+7; в) с,,== 2,5.2п; д) с п == 4п '
100 1 ( 1).
б) Cп== n2 5 ; 1') Cп==3,2.2 "; е) Cп 2п+1 .
431. Выпишите несколько первых членов последователь
ности (а п ) и подберите формулу ее n ro члена, если:
а) (а п ) последовательность натуральных чисел, кратных 5;
б) (а п ) последовательность натуральных чисел, которые при
делении на 5 дают в остатке 1.
432*. Вычислите несколько первых членов последователь
ности (Уп), если:
а) YI== 3' Yn+I Yn==10; в) YI==1,5, Yп+' Yп==n;
б) YI==10, Уп+'.Уп==2,5; r) YI== 4, Yn+I:Yn== n2.
433. Найдите члены арифметической ПрОl'рессии (а п ), обоз
наченные буквами:
а) а.; а2; 19; 11,5; а5; ...;
б) а.; 8,5; аз; 4,5; а5; а6; щ .
434. Периметр треУl'ольника равен 24 см, причем длины
еl'О сторон образуют арифметическую проrрессию. Можно ли
определить длину хотя бы одной из сторон? Какие целые
105
значения MorYT принимать длины сторон треуrольника, Bыpa
женные в сантиметрах?
435. Уrлы HeKoToporo треуrольника образуют арифметиче
скую проrрессию. Докажите, что один из них равен 600.
436*. Докажите, что:
а) если (а п ) арифметическая проrрессия, то для любоrо n> 1
выполняется равенство а п aп I а п + I ;
б) если числовая последовательность (а п ) такова, что при любом
натуральном n> 1 выполняется равенство а п aп , 2 +а п + 1, то
(а п ) арифметическая проrрессия.
437*. Последовательность (а п ) арифметическая проrрес
сия. Является ли арифметической проrрессией последователь
ность:
а) а2; а4; ...; а2п; ...;
б) аl 1; a2 1; ...; а п 1;
...,
в) 2а\; 2а2; ...; 2а п ;
r) аУ; a ; ...; a ; ...?
438. Последовательность (а п ) арифметическая проrрес
сия. Найдите:
а) a12, если a(==9 2 и d==2 ;
5 7 2
б) ав, если а(== 3 и d== .
439. Найдите номер члена арифметической проrрессии (а п ):
а) paBHoro 2,94, если а.==1,26 и d== 0,3;
б) paBHoro 9, 7, если а5 == 3,7 и d == 0,6.
440. Дана арифметическая проrрессия (Ь п ), у которой
Ь\ ==2 : и d== . Является ли членом этой проrрессии число:
3
а) 144; б) 8,351
441 *. Найдите:
а) первый положительный член арифметической проrрессии
1 1
102; 104; ...;
б) первый отрицательный член арифметической проrрессии
1 1
82; 8 3; ... .
442. Докажите, ч'l'U если (Уп) арифметическая проrрес
сия, то:
а) У2+У7==У4+У5; б) Yп 5+Yп+l0==Yп+Yп+5'
443. Докажите, что если d разность арифметической про
d== Xт Xп .
rрессии, а Х т И Х п ее члены, причем т--r- n , то т n
106
444. Последовательность (а n ) арифметическая проrрес
сия. Найдите:
а) d, если а 20 ===1,7 и а з7 ===0;
б) а 100 , если а,0===270 и d=== 3.
445. Найдите сумму десяти первых членов арифметической
проrрессии:
а) : ; : ; ш; б) ,;з ; -{f2; ....
446. Найдите сумму, слаrаемыми которой являются после
довательные члены арифметической проrрессии:
а) 2+6+10+...+198;
б) 95+85+75+ш+( 155).
447. На одной стороне уrла от вершины отложены двенаk
цать равных отрезков и через их концы (кроме вершины уrла)
проведены параллельные прямые, пересекающие вторую CTOpO
ну уrла. Найдите сумму длин всех параллельных отрезков, за
ключенных между сторонами уrла, если длина наименьшеrо
из них равна 3 см.
448*. В арифметической проrрессии (а n ):
а) d=== 0,4, п===12, а n ==2,4; найдите а( и Sn;
б) а, === 35, d===5, Sn===250; найдите п и а n ;
в) d== ' а n ===50, Sn===2525; найдите а( и п;
1') аl === ' а n === 29 ' Sn === 450; найдите d и п.
449*. Найдите разность арифметической проrрессии (Х n ) И ее
первый член, если х 10 === 1 и S (6 === 4.
450. Найдите сумму:
а) всех двузначных чисел;
б) всех трехзначных чисел.
451. Найдите сумму:
а) всех натуральных четных чисел, не превосходящих 200;
б) всех натуральных нечетных чисел, не превосходящих 150;
в) всех натуральных чисел, кратных 3, заключенных в проме
жутке от 100 до 200.
452*. Какова сумма натуральных чисел:
а) меньших 100 и не кратных 3;
б) больших 50, но меньших 150 и не кратных 5?
453*. Найдите натуральное число, которое:
а) в 5 раз меньше суммы предшествующих ему натуральных
чисел;
б) равно сумме предшествующих ему натуральных ЧИСt;. _
454*. Члены арифметической проrрессии 2; 5; ш с четными
номерами заменили противоположными им числами. В резуль
тате получили последовательность (Х n )' Напишите формулу п ro
члена этой последовательности и найдите сумму первых дяти
десяти ее членов.
107
455*. Упростите выражение:
23. 2' ..6 2.
Х'Х 'Х .....Х . б) Х'Х . k .....X
а) X.X3.X5.....X2. ' ' Х.Х2.х3.....:1!' .
456*. Найдите:
а) сумму всех ПОЛОЖlIтельных членов арифметической проrрес
сии 8,2; 7,4; ...;
б) сумму всех отрицательных членов арифметической проrрес
сии 6,5; 6; ....
457*. Найдите сумму сорока первых членов арифметической
проrрессии, если 8'0==100 и 830==900.
458*. Найдите пятидесятый член арифметической проrрес
сии, если:
а) 820==1000, 840==10000; б) 85==0,5, 8.5== 81.
459. Запишите формулу суммы п первых членов последова
тельности (а n ), если:
а) а n ==2п+1; б) аn==З п.
460*. Является ли последовательность (х n ) арифметической
проrрессией, если сумму п первых ее членов можно найти по
формуле 8n==п2 8п? Найдите 5 й член этой последовательно
сти.
461 *. Является ли последовательность (Х n ) арифметической
проrрессией, если сумма п первых ее членов может быть найде
на по формуле:
а) 8n== п2+Зп;
б) 8n==2п2 1;
в) 8n==п2+2п 8;
r) 8 n ==бп+5?
к параrрафу 8
462. Найдите обозначенные буквами члены rеометрической
проrpессии (Ь n ):
а) Ь.; Ь 2 ; 225; lЗ5; 81; Ь б ; ...,
б) b 1 ; Ь 2 ; Ь 3 ; Зб; 54; ....
463*. Последовательность (х n ) rеометрическая проrpeс
сия. Является ли rеометрической проrрессией последователь
ность:
в) x ; x ; ...; x ; ...,
) 1.1. .1. ?
r , , ..., , ...
Х, Х2 Х.
464. Существуют ли три числа, которые составляют OДHO
временно арифметическую и reометрическую проrрессии?
465*. Докажите, что:
а) если (Ь,,) rеометрическая проrрессия, то для любоrо п> 1
выполняется равенство Ь ==Ь" I b,,+I;
б) если последовательность отличных от нуля чисел (Ь,,) Ta
108
а) xl+1; Х2+1; ...; х,,+l;
...,
б) Зх,; ЗХ2; ...; Зх,,;
...,
кова, что при любом натуральном n> 1 выполняется paBeH
ство b ==bn \ Ь n +(, то (Ь n ) rеометрическая проrрессия.
466. Является ли rеометрической проrрессией последова
тельность (Х n ), если:
а) х n ==2 n ; в) хn==n 2 ;
б) хn==з n; r) хn==аЬ n , rде a=;i=O, b=;i=O?
467. Известны первый член и знаменатель rеометрической
проrрессии (Ь n )' Найдите Ь n , если:
243 2 r; fii
а) b l == 256 , q==з, n==8; б) Ь'==Ут' q== v6, n==5.
468. Пятый и девятый члены rеометрической проrрессии
равны соответственно 135 и : . Найдите заключенные между
ними члены этой проrрессии.
469. Последовательность (Ь n ) rеометрическая проrрессия.
Докажите, что:
а) если ы > О И q> 1, то каждый следующий член проrрессии
больше предыдущеrо;
б) если Ь\ > О И 0< q < 1, то каждый следующий член про
rpессии меньше предыдущеrо;
в) если Ь] <О и q>I, то каждый следующий член проrрессии
меньше предыдущеrо;
r) если Ь\ <О и O<q<I, то каждый следующий член проrрес
сии больше предыдущеrо.
Для каждоrо из рассмотренных случаев приведите пример.
470. Докажите, 'что в reометрической проrрессии (а n ):
а) а2.а6==аз.а5; б) аn з.аn+8==аn.аn+5'
471. Докажите, что если Ь" и Ь т члены rеометрической
проrpессии, знаменатель которой равен q, то Ьn==Ь т qn m.
472*. В rеометрической проrрессии (Х n ):
а) q== ' n==5, 8n==20 ; найдите Х. и Х n ;
б) XI==II, х n ==88, 8n==165; найдите q и n;
1 1 21 u
в) х'==т' q== T' 8 n == 64 ; наидите n и Х n ;
r) q==,;3, xn==18 , 8n==26 +24; найдите х. и n.
473*. Сумму n первых членов последовательности (Х n )
3
можно найти по формуле 8n==4(5n 1). Докажите, что по
следовательность (Х n ) rеометрическая проrрессия. Найдите
q и Х\.
474*.. rеометрическая проrрессия состоит из 15 членов. CYM
11
ма первых пяти членов равна 64 ' а сумма следующих пяти
109
членов равна 5J:.... Найдите сумму последних пяти членов
2
этой проrрессии.
475. Упростите выражение, применив формулу суммы n
первых членов I'еометрической ПрОl'рессии:
а) 1+х+х 2 +х З +х\ rде х*,l и х*,О;
б) 1 х+х2 хЗ+х4 х5+х6, rде х*, 1 и х*,О.
476. Найдите сумму бесконечной rеометрической про
I'рессии:
1 1 .
а) ; 2 ' ...,
2 \l2
б) 1; 2 ;
2+
477. Найдите сумму бесконечной I'еометрической про
rрессии:
а) l+sin З0 0 +sin 2 30 0 +sin З 300+... ;
б) l cos 300+cos 2 300 соsЗ 300+... .
478*. Последовательность (Ь n ) бесконечная I'еометриче
v 2 Н v
ская проrрессия, у которои q == з . аидите:
2
а) b 1 , если 8==4,5; б) 8, если Ь з ==l з .
479. Второй член бесконечной I'еометрической ПрОl'рессии
равен 18, а ее сумма равна 81. Найдите третий член.
480. Представьте бесконечную десятичную периодическую
дробь в виде обыкновенной дроби:
а) 2,01(06); б) 5,25(21); в) 0,00(1); r) 0,28(30).
481 *. в окружность, радиус которой равен R, вписан KBaд
рат; в этот квадрат вписана ОКРУЖНОСТЬ; в окружность снова
вписан квадрат и т. д. Найдите сумму: а) длин окружностей;
б) площадей KPYI'OB; в) периметров квадратов; 1') площадей
квадратов.
482*. В правильный треуI'ОЛЬНИК, сторона KOTOpOI'O равна а,
вписана окружность; в нее вписан правильный треуrольник;
в этот треуl'ОЛЬНИК опять вписана окружность и т. д. Найдите
сумму: а) периметров треуI'ОЛЬНИКОВ; б) площадей треуl'ОЛЬ
ников; в) длин окружностей; 1') площадей KpyroB.
IIIJ
пп
--
Тлава IV.
СТЕПЕНЬ
С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКА3АТЕЛЕМ
f 9. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
f 10. КОРЕНЬ n-И СТЕПЕНИ
11. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЕ СВОИСТВА
9. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
21. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
Сравним значения функции t (х)== х 4 x2 при двух про
тивоположных значениях aprYMeHTa, например при х == 3 и
х== 3:
t ( 3 ) ==..!.... з4 з2 ==..!....81 9== 1..!...,
8 8 8
H 3)== ;( з)4 ( з)2== .34 32==1 .
Мы видим, что t ( 3)== t (3). Значения этой функции paB
ны и при любых друrих противоположных значениях apry
мента. Действительно,
f( x)== ( x)4 ( x)2== х 4 x2, т. е. t ( x)==! (х).
При этом рассматриваемая функция такова, что для каж
доrо значения aprYMeHTa х противоположное ему число х
также принадлежит ее области определения. В таких случаях
rоворят, что область определения функции симметрична OT
носительно нуля.
Функции, обладающие такими свойствами, называют чет
нымu ФУЮЩUЯМU.
О n р е Д е л е н и е. Функция у == f (х) называется четной,
если область ее определения симметрична относительно нуля
и для лю60rо значения aprYMeHTa х верно равенство
f ( x)==! (х).
111
у
7
6
5
3
2
1
и
3\ 2 1 1 2 3 х
, ,1
, \.
1\.. '2 J
"
Рис. 52
у
4
3
, '2
,
\
] 2 1 О 2 3 'х
1\
" ,
.!.2
l'
..!.З ,
l'
..!.
I
I
Рис. 53
На рисунке 52 построен rрафик Функции {(х)== x 4 x2.
rрафик этой функции симметричен относительно оси у.
Вообще zрафи" любой четной фун"чии симметричен OТHO
сительно оси ординат. Это следует из Toro, что если у == t (х)
четная функция, то любым противоположным значениям ap
rYMeHTa х и х соответствует одно и то же значение функ
ЦИИ у, а точки (х; у) и ( x; у) симметричны относительно оси
ординат.
Рассмотрим теперь функцию g (х) == х З 4х и сравним ее
значения при двух противоположных значениях aprYMeHTa,
например при x 5 и х== 5:
g (5)==5З 4.5==125 20==105,
g ( 5)==( 5)З 4.( 5)== 125+20== 105.
Мы видим, что g ( 5)== g (5). Эта функция принимает
противоположные значения и при любых друrих противопо
ложных значениях aprYMeHTa. Действительно,
g ( x)==( х)З 4( x)== хЗ+4х== (x3 4x), т. е.
g ( x)== g (х).
При этом область определения функции g симметрична
относительно нуля.
Функции, обладающие такими свойствами, называют He
четными фующиями.
О п р е Д е л е н и е. Функция у == g (х) называется нечетной,
если область ее определения симметрична относительно ну-
ля L для любоrо значения apryMeHTa х верно равенство
g ( x)== g (х).
112
На рисунке 53 построен I'рафик функции g (х)== х 3 4х.
Ее I'рафик симметричен относительно начала координат.
rрафик любой нечетной функчии симметричен относитель
НО начала координат. Это следует из TOI'O, что если y==g (х)
нечетная функция, то любым противоположным значениям
apl'YMeHTa х и х соответствуют противоположные значения
функции у и y, а точки (х; у) и ( x; y) симметричны
относительно начала координат.
С примерами четных и нечетных функций мы уже встреча
лись. Так, функции, заданные формулами у ==ах 2 , у == I х 1,
являются четными, а функции у == х 3 , У == kx, У == нечет
х
ными.
Заметим, что не всякая функция является четной или He
четной. Наприме , каждая из функций у == 3х + 1, у == х 4 + х,
у==.[Х, y==(x 1) не является ни четной, ни нечетной.
. 483. Докажите, что четной является функция:
а) р (х)==х 4 ;
б) р (х)== зх6;
1
в) р (х)== х 2 +1 .
. 484. Докажите, что нечетной является функция:
а) g (х)==х 5 ;
б) g (х)== 4x3;
12
в) g (х) ==--т ;
х
r) g (x)==xlxl.
485. Является ли четной или нечетной функция:
а) ,(x)==3x4 x2+5; r) ,(х)==х 2 +х+l;
б) f (х)==х 7 +2х 3 ; д) f (x)== ;
х x
в) f (x)==5x 1; е) f (х)==(х з)2+(х+з)2?
486. Является ли четной или нечетной ФУIJКЦИЯ:
а) g (х)==5х 3 ; в) g (х)== x4 1 ;
б) g (х)== x+5; 1') g (x)==(x 2)2?
487. На рисунке 54 изображена часть rрафика функции "
Рис. 54
у
2 ....
, J
J 2 1 О 1 2 J х
"
I
118
IY,
1\. 2
I .
I
3 2 1 О 1 2 3 х
I 11
I
'2
"
Рис. 55
область определения которой промежуток ( 3; 3 Построй
те rрафик этой функции, зная, что:
а) f четная функция; б) f нечетная функция.
488. Известно, что функция g в промежутке (о; + 00) при
нимает лишь отрицательные значения. Какие значения прини
мает функция в промежутке ( oo; О),-если:
а) g четная функция; б) g нечетная функция?
489. На рисунке 55 изображена часть rрафика некоторой
функции, область определения которой промежуток ( 2; 2].
Постройте rрафик этой функции, зная, что она является:
а) четной функцией; б) нечетной функцией.
Найдите нули функции и промежутки, в которых функция
принимает положительные значения и в которых она прини
мает отрицательные значения.
Упражнения для повторения
490. Упростите выражение:
6а 5 ь 5 .8а 4 ь 8 .
а) (2а 2 ь З )4 ,
( зх 2 у)4. 25х З у 6
б) (15х 5 у?
491. Сравните:
а) 185 и 126; б) 544 И 365;
в) 453 И 67.
492. Решите систему уравнений:
а) { 20х+7у==5, б) { 6(x+y) 10(x y)==8,
15x 4y==50; 5 (x y)+2 (х+у)== 1.
493. Представьте в виде дроби:
2x+10 16 . 3у+18 15у+57
а) x2 10x+25 + 3x 15 +1, б) у2+12у+36 +- 7у+42 2.
22. Функция У == х n
Рассмотрим фунКцию, заданную формулой у==х n , rде х
независимая переменная, а п натуральное число. Такую
114
функцию называют степенной фую'цuей с натуральны-м пoн:a
зателе-м.
Степенные функции при п==оl, 2 и 3, т. е. функции У==Х,
у==х 2 И У==Х 3 , мы уже рассматривали. Их свойства и rрафи
ки нам известны.
Выясним теперь свойства степенной функции и особенности
ее rрафика при любом натуральном п.
Выражение х n , rде п натуральное число, имеет смысл
при любом Х. Поэтому областью определения степенной функ
ции с натуральным показателем является множество всех дей
ствительных чисел.
Сначала рассмотрим случай, коrда показатель п четное
число. Свойства функции у == Х N при четном п аналоrичны
свойствам функции у == х2.
1. Если х==о. то у==о. rрафик функции проходит через
начало координат.
2. Если х =1= о, то у> о. Это следует из Toro, что четная CTe
пень как положительноrо, так и отрицательноrо числа положи
тельна. rрафик функции расположен в первой и второй коорди
натных четвертях.
3. Функчия является четной. Это следует из Toro, что при
четном п равенство ( х)n == Х N верно для любоrо Х. rрафик функ
ции симметричен относительно оси ординат.
4. Функчия возрастает в про;межутке [о; + 00) и убывает в
про;межутн:е ( 00; о].
Действительно, пусть X2>XI o. Если Х. ==0, то очевидно,
что X > х1. Если XI > о, то, перемножив почленно п одинаковых
неравенств X2>XI, получим верное неравенство x >x1. Значит,
в промежутке [о; + 00 ) функция возрастает. Пусть теперь XI и Х2
принадлежат промежутку ( oo; О]и X2<XI 0. TorAa X2>
> X. o и по доказанному выше ( X2)n>( XI)n' Отсюда
в силу четности n следует, что x >x1. Значит, в промежутке
( 00; о] функция убывает. С возрастанием Х rрафик функции
слева от начала координат опускается вниз, а справа поднимает
ся вверх.
5. Область значений функчии есть ;множество неотричатель
ных чисел.
Мы установили, что при любом Х и четном п функция при
нимает неотрицательные значения. Можно доказать, что любое
неотрицательное число является значением степенной функции
с натуральным показателем при некотором Х О. Значит, об
ласть значений функции промежуток [о; + 00 ). rрафик
функции пересекает любая прямая у==а, если a O. Если же
а < о, то прямая у == а не пересекает rрафик.
На рисунке 56 изображены rрафики функций у == х2 И
у===х 4 . На рисунке 57 показано, как выrлядит rрафик функ
ции у == х n С четным показателем n.
Рассмотрим теперь свойства степенной функции у == х n при
115
у 1
\ 5 I
\ I
't
1\ I у==х 2
3
\ 2 I
\. 1 IJ
2 1 О 1 х
I I I
I
нечетном n. Эти свойства аналоrич
ны свойствам функции у == х3.
1. Если х==о. то у==о. rрафик
функции проходит через начало
координат.
2. Если х>о. то у>о; если
х<о. то у<о. !'рафик функ
ции расположен в первой и TpeTЬ
ей координатных четвертях.
3. Фун'Кчия является нечетной.
Это следует из Toro, что при нечет
ном n для любоrо Х верно равенство
х ( х)n == х n . rрафик функции
симметричен относительно начала
координат.
4. Фун'Кчия воарастает на всей
области определения.
Доказательство Toro, что функция возрастает в промежутке
[о; + 00), такое же, как для степенной функции с четным пока
зателем.
Докажем, что функция возрастает также и в промежутке
( 00; ot Пусть Xl и Х2 принадлежат этому промежутку и Х2 >
>Xl' Тоrда o X2< Xl' Так как X2 0 и Xl >0, то
( X2)n« Xl)n' В силу нечетности числа n заключаем, что
< x7. Отсюда x >x7. Значит, функция возрастает и в
промежутке ( oo; 0t Если же Xl<O, а Х2>0, то очевидно,
что x >x7. Значйт, функция возрастает на всей области
определения. rрафик функции с возрастанием Х поднимается
вверх.
5. 06lIOCТЬ аначений фун'Кции есть множество всех дeйcтви
тельных чисел.
Это следует из свойств 1 3 и из Toro, что любое неотрица
116
а)
у
о
1
Рис. 57
у
5
"
у==х 4
3
2
1
i'\ 11'
2 1 О 1 х
I I I
I I
б)
Рис. 56
v 1I I I
I I
11
у==х 3 f....-
I
1
; О х
I
I
й)
тельное число является значением
степенной функции с натураль
ным показателем при некотором
х;;;;::: о. rрафик функции пересекает
любая прямая у === а.
На рисунке 58 изображены rpa
фики функций У === х 3 И У === х 5 . На
рисунке 59 показано, как выrля
дит rрафик функции у === х n С
нечетным показателем п, б6ль
шим 1.
у I I
I I
I I
у==х 5
1
J
10 1 х
а)
Рис. 58
у
Y==X
п нечет.
1
х
494. Функция задана формулой
у===х 3б . Сравните с нулем значе.-
ние этой функции при х === 3; о; 5.
495. Сравните с нулем значе
ниефункции у===х 49 при х=== 9; о; 7.
496. Функция задана формулой f (х)===х 2О . Сравните:
а) {(3,7) и {(4,2); в) {( 7) и {(6);
б) t( 5, 2) и t( 6, 5); r) f (31) и t( 28).
497. Функция задана формулой g (х)===х З5 . Сравните:
а) g(8,9) и g(7,6); в) g( 10) и g(7);
б) g( 4,6) и g( 5,7); r) g( 63) и g(63).
Рис. 59
498. Сравните:
а) 1,24 и 1,54; в) 0,94 И 1;
б) 0,84 И 0,74; r) ( 3, 2)4 и ( 3, 4)4;
117
д) 0,35 и 0,85;
е) ( ) 5 И ( ) 5 .
499. Сравните:
а) 5,73 и 5,43; в) 0,83 и ( 1,3)3;
б) ( 4,1)3 И ( 4,2)3; [') 1,66 и 1,86;
500. Проходит ли rрафик функции
А (3; 243), В ( 3; 243), С (5; 3125)1
д) ( 5,3)6 И 4,2)6;
е) 2,16 и 3,1 .
У == х 5 через точку
501. Принадлежит ли rрафику функции у == х 7 точка:
А (2; 128), В ( 2; 128), С ( 3; 2187)1
502. Используя микрокалькулятор, найдите с точностью до
0,01 значение функции у==х 5 при:
а) х==0,72; б) х==2,6; в) х== 3,4.
. 503. Изобразите схематически rрафик функции:
а) у==х 6 ; б) у==х 7 ; в) у==х 8 ; [') у==х 9 .
8 504. В каких координатных
четвертях расположен rрафик
функции:
а) у==х 4О ; б) Y==X 123 1
. 505. Пользуясь рисунком 57
или рисунком 59, выясните, сколь
ко решений имеет уравнение:
а) x I6 ==2; в) х 8 == 3;
б) х 34 ==0; [') X21== 7.
. 506. На рисунке 60 изображен
rpафик функции у == х 4 . Найдите
по rрафику значения х, при KOTO
рых:
а) у==5; б) у==3,5; в) у==8.
. 507. Пользуясь rрафиком (см.
рис. 60), решите уравнение:
а) х 4 == 6; б) х 4 == 8,5.
8 508. Решите rрафически ypaB
нение:
а) х З ==2; б) х 3 ==4; в) х 3 == 5.
509. Укажите какое нибудь зна
чение aprYMeHTa, при котором зна
чение функции у == х 6 больше I чем
26; 106; 1012; 1018.
Рис. 60
118
510. Укажите какое нибудь значение apl'YMeHTa, при KOTO
ром значение функции у==х 5 меньше чем з5; 105; 1021.
511. Функция задана формулой f (х)==х З . Вычислите раз
ности f (1) f (О), f (2) f (1), f (3) f (2). Сравните полученные
результаты.
512. Выразите формулой зависимость массы т деревянноrо
куба (в r) от длины х ero ребра (в см), если известно, что куб,
ребро KOTOpOI'O 10 см, имеет массу 700 1'. Постройте I'рафик
этой зависимости. Пользуясь rpафиком, найдите:
а) массу куба, ребро KOTOpOI'O равно 2 см; 5 см;
б) ребро куба, масса KOToporo равна 30 1'; 100 r.
Упражнения для повторения
513. Используя rрафик функции у==х З , решите уравнение:
а) х З ==х+1; б) х З ==2х; в) х З ==2х+1.
514. НаЙдите сумму тринадцати первых членов I'еометри
ческой ПрОl'рессии (сп), у которой c g ==81, q==.j3.
515. Среди функций Y==XI2 X6, y==x9 x5, Y==XIO X5,
Х
У == х4 + х 2 + 1 укажите те, которые являются:
а) четными; б) нечетными.
516. Упростите выражение:
а ) l y +у2+ 6 У : 6+у . 4r 49 1 2х+7
l+у y2 1 l+у' б) 2х+5 ' 4r+14x 4x2 10x '
517. Принадлежит ли I'рафику функции у ==,j'X точка
А (144; 12); В (169; 13); С ( 100; 10)?
Контрольные вопросы
1. Дайте определение четной функции и нечетной функции.
Сформулируйте свойства rрафика четной функции инечетной
функции.
2. Какую функцию называют степенной функцией с HaTY
ральным показателем?
3. Сформулируйте свойства степенной функции с четным
показателем. Покажите схематически, как ВЫl'лядит rpафик
этой функции.
4. Сформулируйте свойства степенной функции снечетным
показателем п и докажите их. Покажите схематически, как
ВЫl'лядит rрафик этой функции при п> 1.
119
f 10. КОРЕНЬ n-и СТЕПЕНИ
23. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЯ п-и СТЕПЕНИ
Напомним, что квадратным корнем из числа а называется
такое число, квадрат KOToporo равен а. Аналоrично определяет-
ся корень любой натуральной степени п.
Корнем п-й степени из числа а называется такое число,
п-я степень KOToporo равна а.
Например, корнем пятой степени из 32 является число 2,
так как 25==32; корнем четвертой степени из 81 является каж-
дое из чисел 3 и 3, так как З4==81 и ( 3)4==81. Корень
второй степени принято называть квадратным корнем, а корень
третьей степени кубическим корнем.
Рассмотрим степенную функцию у==х" снечетным показа-
телем n (рис. 61). Для любоrо числа а существует единствен-
ное значение х, п-я степень KOToporo равна а. Это значение
является корнем п-й степени из а. Для записи корня нечетной
степени n из числа а используют обозначение ц,fii (читают:
.Корень п й степени из а»). Число n называют показателем
корня, выражение, стоящее под знаком корня, пoi)коренным
выражением.
Приведем прим еры.
Запись V 125 означает куб ически й корень из 125. Из
определения корня следует, что V 125 == 5, так как ( 5)3 ==
== 125. Запись V8б означает корень седьмой степени из 80.
Число \j8O иррациональное. Ero значение с точностью до 0,01
равно 1,87.
Рассмотрим теперь степенную функцию у == х n С четным по-
казателем n (рис. 62). При любом а> О существуют два про-
тивоположных значения х, п-я степень которых равна а.
При а==О такое число одно (число О), при а<О таких чисел
у
У:=Х n
п нечет.
У:=Х n
п нечет.
х
х
0<0
Рис. 61
120
нет. Друrими словами, если n У
четное число и а>О, то существу
ют два корня п й степени из а. Эти
корни являются противоположны
ми числами. Если а === О, то корень
п й степени из а равен нулю. Если
а < О и n четное число, то корень
п й степени из а не существует.
В случае четноrо n знаком va
обозначают неотрицательный KO п.дi о 1 '!р[ х
рень п й степени из а. Отрицатель
ный корень п й степени из а (при Рис. 62
а>О) записывают так: бva. Bыpa
жение va при четном n и а < О не имеет смысла.
Например, запись v64 означает неотрицательный корень
шестой степени из 64. Имеем \164===2, так как 2 неотрица
тельное число и 26 === 64.
Если п===2, то показатель корня не пишется.
Итак, если п нечетное число, то выражение va имеет
смысл при любом а; если п четное число, то выражение
va имеет смысл лишь при а О.
Из определения корня п й степени следует, что при всех
значениях а, при которых выражение va имеет смысл, верно
равенство (va)n===a.
Выражение va при а О имеет смысл как при четном, так
и при нечетном п, и значение этоrо выражения является неотри
цательным числом. Ero называют арифметическим корнем
n й степени из а.
О n р е Д е л е н и е. Арифметическим корнем пой степени из
иеотрицательноrо числа а называется неотрицательное число,
поя степень KOToporo равна а.
Корень нечетной степени из отрицательноJ'О числа можно
выразить через арифметический корень. Например, V 8 ===
=== V8, так как V 8 == 2 и VБ== 2.
Вообще при любом щ>ложительном а инечетном n
чj а == va.
с помощью знака корня п й сте.пени записываются реше
ния уравнений вида хn==а. Приведем примеры.
При м е р 1. Решим уравнение х 6 == 7.
Корнями уравнения служат числа, шестая степень которых
равна 7. Таких чисел два: v7 и V7. (см. рис. 62).
При м е р 2. Решим уравнение х 4 == 81.
Уравнение имеет два корня:
х\ == V8i== 3 и Х2==V8i===з.
При м е р 3. Решим уравнение х 3 == 5.
121
Уравнение имеет единственный корень (см. рис. 61). Этот
корень есть число, третья степень KOTOpOro равна 5, т. е. V5.
При м е р 4. Решим уравнение х 5 == 50.
Уравнение имеет единственный корень (см. рис. 61). Этот
корень есть число, пятая степень KOToporo равна 50, т. е.
V 50. Выразив V 50 через арифметический корень, получим
V5б.
518. Докажите, что:
1 Ф u u
а) число "2 есть ари метическии корень четвертои степени из
1
16;
б) число 3 есть арифметический кубический корень из 27;
в) число 2 не является арифметическим корнем четвертой
степени из 16;
r) число 0,1 не является арифметическим корнем пятой степе
ни из 0,0001.
519. Докажите, что верно равенство:
а) .у361 == 19; д) 'VI == 1;
б) \1343 ==7; е) w ==o;
в) == ; ж) 7 4.j3 ==2 .j3;
r) V::з : ; з) 9 4 .y5==.y5 2.
. 520. Найдите значение выражени.и..:....
а) -\!i6; в) Чji; д)
е) 38 ;
б) \132; r) V ;
. 521. Вычислите:
а) \1512 ; в) VO;
ж) ЗV 0,0 27;
з) \1 0,0625.
ж) fi58 .
v '81 '
б) \11331 ; r) V 128 ; е) \1 0,00001; з) .
522. На рисунке 63 построен rрафик функции у == х З . С по
мощью этоrо rрафика найдите:
а) \(5; б) V 4 ; в) V 1;
{1б
д) 625 ;
r) V2.
523. По rрафику функции у==х 4 (см. рис. 60) найдите:
а) V2; б) VБ; в) \j8.
524. Принадлежит ли rрафику функции y==vx точка:
Е(81; 3); F(81; 3); K( 16; 2); L'(0,0001; 0,1)1
122
525. ПРИl а,l!лежит ли I'рафику
функции y==>\jx точка:
А (8; 2); В (216; 6); С (27; 3);
D( 125; 5)?
526. Укажите два последова
тельных целых числа, между
которыми заключено число:
а) VЗ 5; в) V9;
б) \,120; r)V52.
527. Оцените значение выраже
ния VX, если:
а) 1 x 8;
б) 1 x 1;
в) 27 x 0.
528. Оцените значение выраже
ния Vx, если:
а) O X 1;
б) 1<х<81;
в) 256 x 625.
529. Имеет ли смысл выраже
ние:
а) V 19 ; {') V( 3 ? ;
б) v= 0,28 ; д) V( 2) 3 ;
в) V 5 ; е) I OV( 7) 2 ? Рис. 63
. 530. Найдите значение выражения:
а) V 32 ; д) v32 + \1 8;
б) Y=I ; е) V625 v=t25;
в) 2 V81; ж) 12 6 V o,125;
1') 4 3.,f27; з) 1 + 10 \1<>.0081 .
531. Выразите корень п й степени из отрицательноrо числа
через арифметический корень той же степени:
а) V 31 ; б) 17 ; в) ' J.j 2 ; r) ' V 6.
. 532. Вычислите:
а) V 125; в) 5V16; д) V 3 : + "2,25;
б) W; r) 3 \1 64 ; е) 3 \II6 4 V27.
. 933. Найдите значение выражения:
а) (,до)2; в) ( VI2)4; д) \j2!;
б) (Vб)3; 1') (2 V 2 )5; е) 2 V( з)4;
ж) V2f?;
з) Vif4"1.
123
. 534. Вычислите:
а) (V/)4; в) (2 VЗ)4;
б) (V 3 ?; r) ( 3 V2)3;
д) УР;
е) 5 V( 2) 3 ;
ж) 1\"32"'2';
з) V2f['I.
535. При каких значениях а верно равенство:
а) ,jii'E===a; б) w== a; в) 3#==а?
. 536. Решите уравнение:
а)х 3 ==27; r)x4== 16; ж)х6== з;
б) х 3 == 27; д) х 3 == 7; з) х 6 == 11;
в) х 4 ==16; е) х 3 == 7; и) х 8 ==0;
. 537. Найдите корни уравнения:
а) 16х 4 1 ==0;
б) х 5 +4==0;
в) 0,01x3+10==0;
. 538. Решите уравнение:
а) х 5 ==8; в) x4 19==0;
б) х 7 == 5; ,. r) х 1 °+6===0;
к) х 3 +8==0;
л) xB I==O;
м) х 8 +1==0.
r) 0,02х 6 1,28 == о;
д) 0,зх 9 2,4==0;
е) : х 8 +12 : ==0.
д) 0,озх 3 + 0,81 == о;
е) 16x4 625==0.
Упражнения для повторения
539. Постройте rрафик функции:
а) y==(x 2)2; б) у== х2+5; в) у==2х 2 +5Х.
540. Решите уравнение:
а ..2........ ....!.....== 14 . б ......JL..... 17 О
) x 2 х+5 x2+3x 10 ' ) 2y 3 + У+7+ 2y2+1ly 21 .
541. Упростите выражение
( a 5 12a 61 ) 3a 18
a 2 5a+25 а 3 +125 :2a 2 .10a+50.
24. СВОИСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОro КОРНЯ П-Й СТЕПЕНИ
Нам известны следующие свойства арифметическоrо KBaд
paTHoro корня:
если a O и Ь O, то == .1fb;
если a O и Ь>О, TO == .
Аналоrичными свойствами обладает арифметический KO
реиь п й степени и при п> 2.
124
Теорема 1. Если a O и Ь O. то vaь===va.Vb.
Пусть а О и Ь О. Тоrда каждое из выражений vaь и
va. й.,fЬ имеет смысл. Докажем, что выполняются условия:
1) va.й.,fЬ o и 2) cva.й.,fЬ)n===ab.
Значение ВЫРfJ.жения va.й.,fЬ неотрицательно, так как по
определению арифметическоrо корня va о и й.,fЬ О. Кроме TO
ro, по свойству степени произведения
сб.;а . й.,fЬ)n === cva)n . cй.,fЬ)n === аЬ.
Значит, по определению арифметическоrо корня п й степе
ни верно равенство vaь===va.й.,fЬ.
Доказанная теорема распространяется на случай, коrда чис
ло множителей под знаком корня больще двух. Например,
если a O. b O и c O, то Цjabc ==va.VЬ.vc. Действительно,
Цjabc === ЦjCab) c ==vaь.vc==va.й.,fЬ.VC.
Таким образом, арифметический корень п й степени обла
дает свойством: "орень из произведения неотричательных
множителей равен произведению "орней из этих множителей.
Т е о р е м а 2. Если а О и Ь > О. то vi === .
Доказательство проводится аналоrично докаеательству Te
оремы 1.
Итак, справедливо еще одно свойство арифметическоrо KOp
ня п й степени: "орень из дроби. ч.ислитель "ОТОРОЙ неотрича
телен. а знаменатель положителен. равен "орню из ч.ислителя.
деленному на "орень из знаменателя.
Поменяв местами в каждом равенстве vaь ==va.VЬ и Vi ==
=== va их левые и правые части, получим равенства, Bыpa
'vь
жающие правила умножения и деления арифметических кор-
ней п й степени:
va.vь==vaь, rде a O и b O;
Ч::Ь == Vi ' rде a O и Ь>О.
Приведем примеры применения доказанных свойств.
При м ер 1. Найдем значение выражения -\116.81 .
По теореме о к орне и з произведения имеем:
У 16.81 ==V16.\f8l ==2.3==6.
При м е р 2. Перемножим корни v2 и V4:
V2. v4 ==w:4==V8 == 2.
125
3r;:lO
При М е р 3. Найдем значение выражения у 2 '27 .
Пользуясь теоремой о корне из дроби, получаем:
3r;}O зf64 === V64 === ===1 .
'27 У"27 v27 3 3
Рассмотрим ДРУl'ие свойства корня n й степени. Начнем
с примера. Сравним значения выражений ,jV64 и \164:
,jvы === === 2, v64 === W === 2.
МЫ видим, что значения этих выражений равны, т. е.
,jvы === V64.
Т е о р е м а 3. Если n и k натуральные числа и a O. то
vva === n\ja.
Так как а О, то выражения и nVй имеют смысл и He
отрицательны. Кроме TOI'O,
('Fj )nk === ((V )n)k === (Vй)k === а.
Следовательно, по определению арифметическоrо корня верно
равенство === nVй.
т е о р е м а 4. Если n. k и т патуральпые числа и
a O. то n 'Va тk ===VlL"'.
По теореме 3 имеем:
nk..jii""< === === ;; V(aт)k === rvaт.
Мы доказали, что арифметический корень n й степени обла
дает свойством: если nО"а3атель "орпя и nокааатель стеnепи
noд"opeппozo выражепия умпожuть или разделить на одпо и то
же натура.льпое число. то значепие "орпя пе измепится.
Это свойство ИНОl'да называют ОСНОВНЫМ СВОЙСТВОМ корня.
При ведем пример применения теорем 3 и 4.
При м е р 4. Упростим выражение 'У2 ./2 .
Внесем множитель 2 под знак квадратноl'O корня. Получим:
V 2 ./2 === V';2 2 . 2 ===v ,j2!.
По теореме о корне из корня имеем:
V,j2! ===V2!.
Применив основное свойство корня, получим:
W===.;2.
Итак,
У2 ===./2.
126
а) W.27;
б) \!i6.0,OOOl;
. 542. Найдите знач ение вы ражения:
51 1 3 {8
д) V 243. 32 ; ж) V 125;
r) \1 0,0016.81; е) 4'7 9 ; з) 1 7 : .
в) \1 625.16;
. 543. Вычислите:
а) в) 2 O.-o;
б) 4 ; r) ;
. 544. Найдите значение корня:
а) \f(W 08. 56; B) 810000. 116 ;
б ) 3 0,125.
26'
4 (2i6
r) V за .
. 545. Вычисл ите:
а) \1'24.9 ; б) \1 48.162;
4!li5
в) (),2 ;
. 546. Найдите значение выражения:
3
В)У 0,25 '
а) \1'75.45 ;
б) \154.24 ;
. 547. ВЫЧИСЛю:l"е:
а) if4.if4; в) V25 f1.Vj3;
б) ;!Jl35.\f25; r) fj\jf;rn. ;
. 548. Найдите значение дроби:
) V54 . б) v3 . , ) \/256 .
а V2, ' v96 в 1.j2 '
4 (3I2
Д)У 28;
!f55
e)v 13"111 .
4116
r) V 0,0625 .
д) V8 ,j37 . V8+ ;
е) V Щ+З' V Щ 3.
r) \12500
v4
. 549. Вычислите:
" I .ув. Vз
a)y 20 . 5; б) 32.3,\, 8.27; в) Jii ' r) НАО '
v 2 v 48
550. Представьте выражение в виде одночлена (буквами
обозначены неотрицательные числа):
а) .y25 a 'I; б) V8il; в) \l81c 4 ; r) \/3 2xIO.
551. Вынесите множитель из под знака корня (буквами обо
значены неотрицательные числа):
а) ,j9X;
б) ,j[2b ;
в) .у25Ь 3 ;
r) \/24с 6 ;
д) V250c T O ;
е) V162b 6 .
127
552.
а) з,;2;
б) 5 \13;
Внесите множитель под знак корня:
в) ; д) Ь V2, rде ь<о;
1') аVБ, rде а>О; е) с 1 Чj3C2, I'де с;:::О.
553. Вынесите множитель из под знака корня:
а) \l16c ; б) V27y ; в) ,j50x 3 , rде х>О; 1') VfIOб, rде а<О.
554. Внесите множитель под знак корня:
а) 2,,[3; б) 2'15; B) ; r) aV2, rде а>О.
555. Представьте выражение в виде дроби:
(2 R
а) 'v 25 ; д) 'v з' rде а;::: о;
(2
б) 'v 27 ;
r:з
В) 'J 15 ;
r:;l (7
r) 'J 5з; з) 'v f12' rде ь > О.
556. Приведите выражение к виду aVЬ, ['де а рациональ
ное число, Ь натуральное:
.!.15
е) 'v ьт, I'де ь<о;
. (;j
ж) 'J "6 ;
з 2 3 7 18
а) ; б) Зfii ; в) (ij ; [') зt.n ; д) H .
,,5 ,,2 "З ,,49 ,,216
557. Приведите выражение к виду а VЬ, rAe а рациональ
ное число, Ь натуральное:
1 2 12 15 6 4
а) . ; б) J,ii ; в) Зli\ ; r) зrr= ; д) /i7 ; е) "'" .
,,5 ,,12 ,,9v5 ,,7 ,,32
558. Упростите выражение:
а) -,JV6; [') ..; х ,р;; ж) W;
б) V,;2; д) V m ; з) Ifi.jI(I;
в) VV3; е) ..; PW'; и) VOf.
559. Упростите выражение:
а) V,,[3; в) VaVQ,; д) I ;
б) V4 ; r) VтVт ; е) V43"f4 .
560. Вычислите с помощью таблицы квадратов натураль
ных чисел:
а) \/1296 ;
128
б) \/4096 ;
в) \16561 .
561. Сравните числа:
а) v8 и ; в) \11,2 и 1,1;
б) vi и \148; r) \j23 и V2!;
562. Сравните с нулем разность:
д) ,[2 и V2,[2 ;
е) ";5 v2 и Viб.
а) Vб ;
б) V5 V4;
в) V4 V3; r) V3 V2.
563. Докажите, что значение выражения есть число рацио
нальное:
а) 9 4 + 9+4 ; б) 5+2 + 5 2.[2 .
9+4 9 4 5 2.[2 5+2
564. Упростите выражение:
а) (3+2 )2+(3 2 )2; б) ("; 7 +2 ,jfб+ 7 2 ,jfб)2.
5 65. Най ди те значе ние выра жения:
а) V 4+2 .j2. V 4 2.j2; б) "; 4+"fi . -V 23 8"fi .
Упражнения для повторения
566. Упростите выражение:
а) ( a Ь ......!........: а+Ь ) . (а+ь)2
a2 aЬ a2 ь2 (Ь a)2 ь 2
( 1 3 3 ) ( 2 4Y 1 )
б) 2у+l 8 У З+1+ 4y2 2y+1 . y 2у+1 .
567. Найдите пятый член rеометрической проrрессии (сп),
в которой:
а) С, з,j3, q ;
б) СI ,j3+.j2, q ,,;3 -.J2;
568. Решите уравнение:
а) х 4 36; б) х 5 1024;
в) с. 2,,;3, q V3;
r) СI -.J2, q Vб.
в) хЗ ,[2.
569. Докажите, что при любом значении а верно HepaBeH
ство:
а) а4+1 аЗ+а; б) а4 2аЗ 8а+16 0.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение корня п й степени и арифметическо
ro корня п й степени.
2.' Сформулируйте свойства арифметическоro корня п й CTe
пени и докажите одно из них.
, A!I.'llpa. Ч к ;
129
* 11. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКА3АТЕЛЕМ И ЕЕ СВОИСТВА
25. ОПРEДEJIEНИЕ CfEIlEНИ С ДРОБНЫМ ПОКАЗАТEJIЕМ
Мы знаем, какой смысл имеет выражение а п ,' rде а -=1= О,
если показатель п целое число. Например, ( з)5 означает
произведение пяти множителей, каждый из которых равен
3. Число 2 6 означает число, обратное степени 26. Введем
теперь понятие степени, у которой показатель не целое,
а дробное число.
Из определения арифметическоrо корня следует, что если
т целое число, п натуральное и т делится на п, то
т 21
при а>О верно равенство !{jii"'==a n . Например, WI==5 7 ==53,
111
так как (53)7 ==521. Если принять, что равенство !{jii"' ==а n имеет
т б
место и в том случае, коrда п дро ное число, то все свои
ства, верные для целоro показателя степени, будут выполняться
и для дробноro показателя с положительным основанием
(это будет доказано в следующем пункте).
О п р е Д е л е н и е. Если а положительное число, :"
дробное число (т целое, n натуральное), то
111
а" == Va т .
По определению имеем:
3 13 1 1
0,78 == VO,i l : (+) 1,3 == ( +)10 == ( ) 13 , _5 6 == 5 6 ==V5 .
Степень с основанием, равным нулю, определяется только
для положительноrо, дробноro показателя: если дробное
. n
т
положительное число (т и n натуральные), то О" c -==o.
Для отрицательных оснований степень с дробным показа
3
телем не рассматривается. Такие выражения, как ( 2) 4 ,
I ..!
( 8) 3, О 2, не имеют смысла.
Мы знаем, что одно и то же дробное число можно пред
ставить в виде дроби с целым числителем и натуральным
знаменателем разными способами. Например, дробное число
0,75 можно представить в виде дроби так:
3 6 9 12
4' 8' 12' 16 и т. д.
130
Значение степени с дробным показателем r не зависит от
способа записи числа r в виде дроби: представляя r в
виде отношения целоro числа к натуральному разными способа
ми, всеrда будем получать один и тот же результат. Например:
6 3
2"8 ==V2!==W==2"4 .
Покажем это в общем случае.
Пусть а>О, т целое, n и k натуральные числа.
Пользуясь определением степени с дробным показателем и
основным свойством корня, получим:
mk т
'ii1<"
а n == nVii"'k == vam == а n
Значения степеней с дробным показателем и положительным
основанием можно находить приближенно с помощью инже
HepHoro микрокалькулятора, например, .Электроника Б3 36..
Микрокалькулятор .Электроника Б3 36. имеет 25 клавиш,
из них 22 клавиши можно использовать для выполнения
двух операций. Одна операция обозначена на самой кла
више, а друrая написана над ней. При выполнении опера
ций, обозначенных на клавишах, микрокалькулятор работает
в нормальном режиме, а коrда производят операции, обо
значенные над клавишами, то микрокалькулятор работает в
совмещенном режиме. Чтобы перейти к этому режиму, надо
нажать клавишу 0. После тoro как операция произведена,
микрокалькулятор возвращается в нормальный режим работы.
Вычисление значений степеней производится в совмещенном
режиме, для чеro используется клавиша 0.
При м е р 1. Найдем значение степени 3,482.5.
Вводим основание степени у, равное 3,48, нажимаем кла
вишу 0 (микрокалькулятор начинает работать в совмещен
ном режиме) и клавишу 0, затем показатель степени х,
равный 2,5, и клавишу I 1 . На экране высветится резу ль
тат. Проrрамма вычислений выrлядит так:
з,48002,5 1 r .
Выполнив вычисления, найдем, что приближенное значение
степени 3,482.5 равно 22,591658.
131
2
При М е р 2. Вычислим значение степени 1,43'7 ,
Этот пример отличается от примера 1 тем, что показатель
степени представлен не в виде десятичной дроби, а в виде обык
новенной дроби. Поэтому после введения основания степени 1,43
и нажатия :клавиш 0 и 0 Haд представить в виде деся
тичной дроби, выполнив деление 2 на 7. Для таких случаев в
микрокалькуляторе предусмотрены клавиши Ш (открываю
щая скобки) иlJП (закрывающая скобки), которые позволяют
получить промежуточный результат. Проrрамма вычислений
будет выrлядеть так:
1.. 4з 00Ш 2 В 7IJП G
Выполнив вычисление, получим 1,1075969.
Заметим, что в тех случаях, коrда результат вычислений по
модулю оказывается меньше 0,0000001 или больше 99 999 999,
микрокалькулятор дает ответ в виде а.10 п , rде 1 lal<10
и 99 п 99. Знак числа а высвечивается в 1 M разря
де слева (положительный знак не высвечивается), цифры чис
ла а в разрядах от 2 ro до 9 ro включительно, знак поряд
ка в 10 M разряде и цифры порядка в 11 M И 12 M разря
дах.
. 570. Представьте степень с дробным показателем в виде KOp
ня:
2 1 3
а) В 3, 32, 5 4, 0,20.6, 7 0.25;
.!. 2
б) х 4 . У 4, a l ,2, b 0.8, т 3
1 1 3 6
в) (2а)3, 2а 3, ах 5, ху 2, b 1.6;
2 2 2 3 2 2
3 3
r) (x y) ,х уз, 3 (а+Ь)4, 4а 3+ах 3 .
. 571. Замените корнями тепени с дробными показателями:
131 1 113
а) 72, 124, 293, 37 4; в) 5а 3 , (2ь)4, c4;
2 131 1
б) 3,в О . 6 , В,5 0.6, ( +) 3; r) ху 2, (х + у)5, х 2 + у 2.
. 572. Представьте арифметический корень в виде степени с
дробным показателем:
а) ,j1,з ; в) ;
r) ;
б) ,fF';
f2
д) 'v '3" ;
e) V(: ) 2;
1
ж) З r.:='l ;
va
1
з) vx,, ;
и) ЬУ4аь 2 ;
к) Va 2 ь 2 .
132
. 573. Замените степенями с дробным показателем арифмети
ческие корни:
а) , VW, W, , \/0,122 ;
б) W, W, lV b 5 , I , Va ь.
. 574. Вычислите:
1 1 2.!. 1.!.
а) 492; B)4 2; д)9 2 ; ж)0,008 3 ;
1 1 1 4
1 ( 3 ) 3
б) 10003; r) 8 3; е) 0,16 2;. з) 38 .
. 575. Найдите значение выражения:
1 1 3 2
а) 27 3 ; в) 25 2. д) 0,162; ж) 0,001 3.
, ,
1 1 1.!.
б) 252; r) 32 5. е) О 64 1,5. з) 0,008. 3.
, , ,
576. Вычислите с помощью микрокалькулятора значение
степени (результат окруrлите до тысячных):
2 3
в) 1,483; д) 1,788;
3 1
r) 2,254; е) 12,45;
а) 20,75;
ж) \15,812 ;
з) '14,275.
б) 0,8з1,25;
577. Имеет ли смысл выражение:
4
а) 53;
2
б) ( 16)3;
3
в) 23 2;
3
r) 04;
4
д) о 5;
1
е) ( 25) 2?
578. Укажите допустимые значения переменной в выраже
нии:.
1
а) х 2;
1 3 4
б) (y I)3; в) (а+2)5; r) ь 1;
1
Оцените значения выражений х '4
1
д) (c 5)3.
3 I
и х4, если:
579.
а) O<x:::;;;81;
б) 1 :::;;;х:::;;; 16;
1
в) 625 :::;;;х<l;
r) 0,0001 <х<10 000.
1
580. Постройте rрафик функции у == х 2 .
581. Сравните:
1 1
а) 22 и 32;
1 1
в) 52 и 58;
1 1
б) 0,32 и 0,52;
1 2
r) 73 и 78.
133
Упражнения для повторения
582. Представьте в виде степени с основанием х:
X 12(X2). . x(x 2)8 .
а) x3x 9 , в) (X6) J ,
х Б (x .) ! . (х.)Б (x 3)'
б ) r ) ",
х 6 х ' (x )'
583. Найдите значение выражения:
2 Б.82 . 54.49 3
а) J:6='" в) 7 7.253
зI9.27 S 8112.10 7
б) 93 r) 10 5.2717 .
584. Один катет прямоуrольноrо треуrольника на 1 дм MeHЬ
ше друrоrо. Площадь этоrо треуrольника равна 10 дм 2 . Найдите
значение rипотенузы треуrольника с точностью до 0,1 дм.
585. Одна диаrональ ромба на 2 см больше друrой. Площадь
ромба равна 12 см 2 . Найдите значение стороны ромба 'с точ
ностью до 0,1 см.
26. СВОИСТВА СТЕПЕНИ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКА3АТEJIЕМ
Известные нам свойства степени с целым показателем спра
ведливы и для степени с любым рациональным показателем.
Перечислим их.
Для любоzо а> О и любых рациональных чисел р и q:
а"аq==а"+Ч, (1)
аР:аЧ==аР Ч, (2)
(аР)Q==а РЧ . (3)
Для лю6ых а> О и Ь > о и лю60z0 рачиоlШЛЬНОZО числа р:
(аЬ)"==аРЬР, (4)
( : )Р == :: . (5}
Докажем свойство (1). Сначала покажем на частном приме
ре способ доказательства этоrо свойства.
2 ]
Пусть, например, р =="'3' q ==5' Докажем, что
+
а 3 а 5 ==а 3 5
Приведем
2 1
дроби "3 и "5 к общему знаменателю:
2 I 10 3
аЗ а 5 ==a i5 a 15.
134
10 3
Так как а i5 == lvam И а 10 == IW', то по свойству арифмети
ческоrо корня имеем:
10 3
а 15 а 15 == lvaпr: IW' == I == 1Vf?J.
Переходя к степени с дробным показателем, получим:
13
.WЗ ==а 15 .
2 1, 13
Следовательно, а За '5 ==а 15 . Но .!!== + поэтому
15 3 5'
+
а 3 а 5 ==а 3 5
Проведем теперь доказательство свойства (1) в общем виде.
Представим рациональные числа р и q в виде дробей с
k т
одинаковыми знаменателями: p== и q == , rде k и т цe
п n
лые числа, а п натуральное число. Тоrда
k ", k+",
af'аЧ===а Пап ===w .ц.j(im=== Vak,al1l === m===a ==
k 111
+
==а п п ==аР+Ч.
Значит, аРа Ч ==а Р + Ч .
Из свойства (1) следует, что для любоzо положительпоzо
а и любоzо рациоnaльпоzо числа р
p 1
а Q,P'
Действительно, аР. а Р == а О == 1.
Свойство (2) следует из свойства (1) и определения частноrо.
Докажем свойство (3), т. е. ДOK eM, что при а> О и любых
рациональных р и q .
(аР)Ч ==а РЧ .
l т
Пусть Р == k и q ==7' rде 1 и т целые, а k и п натураль
ные числа. Тоrда
I т т
(aP)Q==(ak)n ==(W)n == !{j(W)m ==
lIn 1 т
== VWШ ==пVil'" ==а nk ==а Т'n ==а РЧ .
Значит, (аР)Ч ==а РЧ .
Покажем, что при любом рациопальпом р и любом naТУ
ральпом п
р
W==a n (а>О).
135
Действительно, по определению степени с дробным показа
телем.И свойству (3) имеем:
1 1 Р
p'
W==(aP) п ===а n ===а n .
Докажем свойство (4), т. е. докажем, что при а>О и Ь>О
и любом рациональном Р
(аЬ У' === аР Ь Р .
1
Пусть Р===т, rде l целое число и k натуральное число.
Тоrда
I I I
(abY'===(ab)k === V(abY ===VO!ll===Vil.W===a k .b k ===аРЬ Р .
Значит, (аЬУ'===аРЬ Р .
Свойство (5) можно доказать, представив дробь : в
произведения ab \ и применив затем свойство (4).
виде
. 586. Представьте в виде степени с рациональным пока
зателем:
I I I 3
а) с"'2 С ; д) х"'2 : х"'2 ;
I \ 5 I
б) Ь Ь"'2 ; е) у 1) : у ;
2 I I I
B)a aU; ж)z--Б:z "'2;
I I
{') d 5 d"'2; з) т :т 2 ;
. 587. Упростите выражение:
\ 2 3 1 2 3
а) х"'2 х --Б; в) а Б :а lо ; д) (т )l!;
б) y O,6y\,2; {') b o,2: b O.7; е) (пo,o4) 2,5;
. 588. Представьте в виде степени:
2 I 5 3 5 I
а) XO,2X \XO.6; б) а а U а ; в) yo,8y 5y7,2; I'} Ь l! ь'Пь .
. 589. Упростите выражение:
I
а) (а О . о4 )"'2 . а О ,8;
3 4
б) (х 4') --Б .X I ,6;
I I
и) (Ь"'2) ;
3 4
к) (а"'2) 11 ;
I I
л) (c "'2) ;
2
м) (p3) 1I.
5
ж) c3c ;
з) d l ,7 :d 2.
3
в) a(a \,2) 4' ;
3 2
{') (aO,8) 4' .(а --Б) 1,5.
. 590. Представьте в виде степени:
а) с2с I,5сО'З; r) (а о . 8 )о,5.а о . 6 ;
\ 3 2 3 5 5
б) х"'2 х14 х ( ; д) (Ь 4') 11 . b r2 ;
в) y\.7y2.8y I,5; е) (mO,3)1.2.(m O.4)O.4;
136
3
ж) Х 4' УХ;
5
з) У W;
и) V? VC.
. 591. Вычислите:
2 I
а) 10:; .10 ,10°,1; в) 3.90.4.\'3;
I 1 2 I 1 I
б) 4--З- .2 --З- .8 --g; r) 8 "3' .16--З- .V4.
. 592. Найдите значение выражения:
а) 2I'3.2 o,7 .21,4; в) 40,7 .2 O,4;
4 1 3
б) 7 "3' .7r'l.7 '4; r) 25°'3.51.4;
. 593. Вычислите:
а) (27.64)i; в) ( ;6 .0,04)i;
б) (27.64) i; r) С16 .81 I) {;
. 594. Найдите значение выражения:
I
В ) ( ) 2.
144 '
i ( 1 1 )
а) (27.8) ; б) 125 . 64 ;
. 595. Упростите выражение:
I I 1 2
а) (т 3)--З-; в) (8а 2)"3';
3 2
б) (х '4) --з-;
3
r) (81х 2 ) '4 ;
I
д) 2. 64 "3' ;
е) \I9.3 I,5.
д)(V24 . i;
e)( )1.
( 363\ 1
r) 125 2 } 1) .
( 1 ;\ I
д) 2iт 3J --з-;
I 1
е) (0,09с 2) .
. 596. Упростите выражение:
5 1 1 I I 2 I 1
а) а--З- .ь 1) .(а --З-ь"3')4; в) (a'4x "3') .ао,7хо,8;
3 2 5 2 I
б) (с у 0,4)з.с уо,2; r) р lq'4(р qп) з,5.
597. Представьте в виде квадраТfi (х>О):
I I
Х б Х 40 х23 X 14 Х 5 X 3 Х Х '4 X l Х--З- X 0.9 ;3t= x
, , t " " , '" , 'J.A,.
598. Представьте в виде куба (у> О):
I 1 2
уб, y 21, у7, у, У , y I.5, y "3', уО.2, У --g , .
599. Известно, что а положительное число. Представь
те а в виде:
а) квадрата; б) куба; в) седьмой степени.
I
Пользуясь приближенным равенством 3 2 1,73, най
600.
дите:
з
а) 32;
1
?
в) 3 ;
5
r) з "l.
5
б) 3 2 ;
187
.
601. Пусть 4,31 ==а. Выразите через а:
I ,1 1 1
а) 431 ; б) 43 100 ; в) 0,0431 ; r) 0,000431 .
602. Объем куба равен v. Используя степень с дробным
показателем, выразите:
а) длину а ребра куба через ero объем v;
б) площадь S rpани куба через ero объем v;
в) площадь поверхности Р куба через ero объем v.
603. Зная, что х> О и у> о, выразите х через у:
234
а) у==х ; в) у==х ; д) y==5 X "S;
2
x 3
е) у ==fj"'.
4
б) у == х ..., ;
r) y==x O.75;
604. Представьте выражение в виде степени с дробным
показателем:
а) 1J{jX.IfVX;
б) Vа'З'.'Vа;
в) .V? ;
r) Vb 2 ,fb ;
I V ;3 /..2 ;3 /..2'
д) у y ;
е) VX 2 Vx 3 .
605. Докажите. что при любом а> О верно равенство:
а) 1; б) 1.
Vaya VaVa
606. Решите уравнение:
1 .
а) х ==4; в) х '4 ==3; д) X O,3.xl'3===1;
3 3 13
б) у'4 ===2; r) y O.5==6; е) х 8 .х 8 ==25.
607. Используя микрокалькулятор, найдите с точностью
до 0,01 корни уравнения:
а) уо,5==1,3; б) у.,5==12; в) уо,75==4; r) yl.25==5.
Упражнения для повторения
608. Решите неравенство:
а) (2,5х+ 1) (4x 3) 5x (2х+7)<4;
б) (3 4x)2 (8x 1) (2x+9) 1l >0.
609. Чтобы наполнить бассейн, сначала открыли одну тpy
бу и через 2 ч, не закрывая ее, открыли вторую. После 4 ч
совместной работы бассейн был наполнен. Одна вторая труба
моrла бы наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем одна пер
138
вая. 3а сколько часов можно наполнить бассейн через каждую
трубу? .
610. На строительстве работали две бриrады. После 5 дней
совместной работы вторую бриrаду перевели на друrой объект.
Оставшуюся часть работы первая бриrада закончила за 9 дней.
3а сколько дней моrла бы выполнить всю работу каждая бриrа
да, работая отдельно, если известно, что второй бриrаде на
выполнение всей работы потребовалось бы на 12 дней меньше,
чем одной первой бриrаде?
27. ПРЕОБРА30ВАНИЕ ВЫРАЖЕНИИ,
СОДЕРЖАЩИХ СТЕПЕНИ С ДРОБНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ
Рассмотрим примеры, в которых используются тождест
венные преобразования выражений, содержащих степени с
дробными показателями.
При м е р 1. Найдем значение выражения
I I I
{х 4 6)2 12x '4 (х 4 1) при х==12,25.
Предварительно упростим это выражение:
I I I I I I
(х 4 6i 12x'4(x '4 1)==x 12x 4 +36 12xи+12x'4 ==
I
==х 2 +24.
I
Подставим в выражение x 2 +24 данное значение х и BЫ
полним вычисления:
I I I
х 2 +24==(12,25)2 +24==={3,5 2 )2 +24==3,5+24===27,5.
При м е р 2. Упростим выражение
I I
a2 ь2
I I
a ' ь '4
I I
Представим числитель а "2 Ь в виде разности квадратов
и разложим ее на множители. Получим:
I I I I
а 2 ь2 (a"" )2 (ь -. )2
I I I I
a 4 ь4 a" ь'
I I I I
. I I
(а 4 + ь 4 ) (а 4 Ь 4 ) '4 4'
I I a +ь .
a. ь4
При м е р 3. Сократим дробь
3 I
Х '4 25x 4
I I
Х 2 + 5х ·
139
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
Получим:
з I
%4 25% '4
I I
% '2 +5%4
I I
% 4 (% '2 25)
I I
%4(%4 +5)
I I
(% 4 5)(% 4 +5)
I
%4 +5
I
Х 4" 5.
. 611. Упростите выражение:
2 5 1 3 1
3 3 а 2 ь 5 a 2 W
% % в) д)
а) ---------з-----; . .
1 , 1 ,
2
%б а 4 ь б а 2bl.4
3 1 2 1
у7у 2 ( с 3 ) 4 . %3..,fY
б) 4 , r) 1 1 , е) 1
(у 7) 2 с 6 с 2 (% 3 уо.б)б
. 612. Упростите:
1
а 3 а l . б
а) ;
6
а
б) ь2.б W
;
(Ь 4) I
. 613. Вычислите:
I
82\19
а) '"'""'5""';
з3 -{2
I
б) 1 3.V25 .
23.5 1.6
%1.б у О.5 .
в) xo.syr:s'
d 2 . 6 W
r) (c o.2do.3)2 ,
614. Пред ставьте выражение в виде суммы:
), , ,',
а) (х"'2 У "'2) х"'2 у'Т;
2 2 I I
б) а 3 Ь 3 (а 3 + Ь 3 ) ;
I 2
в) (х 3 +3)(х 3 3);
I I
r) (т"'2 l)(т"'2 +1);
3 , 3 I
д) (а"'2 ь"'2)(а "'2 + ь"'2);
I I
е) (т"'2 + п"'2 )2 ;
l' I '1
ж) (а "'2+ь"'2 )(a a"'2 ь"'2 +Ь);
I I '1
з) (х"'2 y "'2)(х+х"'2 у "'2+ у).
615. Представьте в виде суммы:
'1 2 3
а) Ь 3с 4" (Ь 3 +с 4 ) ;
б) xo.5yo.5(x 0.5 yl,5);
в) (2 уl.5) (2 + yl.5);
r) (зро.5+q l) (3pO.5 q I);
140
1
д) (1 Ь"'2 )2;
I I
е) (а"'2 +2Ь "'2?;
I I 2 I 1 2
ж) (х 3 +у3)(х 3 x3y3 +у3);
I 1 I 1
з) (а"'2 ь"'2)(a+a"'2ь"'2 +Ь).
616. Упростите выражение:
1 1
а) (1 + с )2 2с ;
I I
б) lЬ+,jC (Ь 4 +с 4 )2;
I 1 I I
в) (а --g +ь --g)2 (a "3 ь '3')2;
617. Упростите:
1 I I 1
а) (х у )2 + 2х у ;
1 I
б) ,fin+,jn (т 4 п 4)2;
1 1 7
r) (х 4 x --g)2+2xr2;
2 I 13
д) (у --g +3у "5)2 6yffi;
1 I I
e (х 4 +1)(х 4 1)(x +1).
з' I
в) (а +5а )2 10a2;
I I I 1 I I
r) (а 4 + ь'4 )(а -н + ь )(а Ь ).
618. Вынесите за скобки общий множитель:
1 I 1 3 1
а) x 2x"2'; в) a 5a4; д) ь 4 2Ь'4;
1 I I 5 2
б) у+зу--g; r) а"3 +а1>; е) c--g +6c--g;
I 1
ж) (ab)--g ( c)--g ;
I I
з) 6 2 .
619. Разложите на множители:
I 1
a)2+2 ; B)a+a ;
I I
б) 3 3 ; r) Ь "3 ь;
I I
д)-15--g +20"3;
1 I
е) (2а) (5a) .
620. Разложите на множители разность a Ь, rде a O и
ь o, представив ее:
а) в виде разности квадратов; б) в виде разности кубов.
621. Пользуясь тождеством а 2 ь 2 == (а Ь)(а + ь), разло
жите на множители выражение:
а) т2 5;
б) 2 x2;
в) a3 4, rAe a O;
2 -4
r) х "5 у"5 ;
д) 4 a, rAe a O;
е) т п, rAe т>О, п>О.
622. Пользуясь тождеством a 3 ::f::b 3 ==(a::f::b)(a 2 +=ab+b 2 ),
разложите на множители выражение:
3
а) x3 2; в) т 8; д) x 5, rAe x O;
6
б) у3+з; r) а"5 +27; е) 4+у, rAe y O.
623. Применив формулу разности квадратов или разности
кубов, разложите на множители:
-4
а) а "3 1; в) x 4, rAe x O;
3
б) Ь "2' 1; r) 5 y, rде y O.
141
624. Представьте выражение в виде суммы кубов и разло
жите ero на множители:
I I I I
а)х"'2'+у"'2'; б)с"3+d"3; B)a l+b l.
625. Представьте выражение в виде разности кубов и раз
ложите ero на множители:
I I I I
а) х"'2' у"2 ; б) х 4 У 4 ;
626. Сократите дробь:
I
4.32
a)
32 3
I
24 2
б) ...............'
5.24
I
х+х2
в) "'"2Х";
I .
х 2 x4
r) 3
х 4
627. Сократите дробь:
I
3+32
a)
з 2
x y
I I
Х 2 +у'2
в)
I I
в) а "3 ь"3 .
2 2
а '3 ь '3
д) I I
а'3 +ь '3
ж)
x y
. I
х 2 +у'2
I I
а '2 ь '2
е) a Ь
2 I I 2
х'3 x'3y'3 +у'3
з)
х+у
I I
c+2c 2 d 2 +d
д) c d
10 Ь 2 5 т+п
I r) Ь 25 е) 2 I I 2 .
10 102 т'3 т'3п'3+п'3
628. Найдите значение выражения:
5 .
х'6 +х '3
а) 5 I при Х == 1,44;
х '6 x '3
2
т '3 2,25 2 2
б) I при т==8; r) при у==100.
т'3 + 1,5 у 4 + 3 у 4 3
629. У простите выражение:
3 3 3 3
a Ь a'2 ь2 a'2 ь'2 a Ь i i
I I б) I I . I I + 2а Ь .
a Ь
а 2 ь2 а'2 +ь'2 а+а 2 ь 2 +ь
630. Упростите выражение:
б)
а)
а)
..fx {у
I 1 + I у I
х'2 +у'2 х'2 y'2
I I I
а 2 +ь 2
б) I
а 2.
142
а 2
I .+
а 2:""" Ь 2
I
2х 2 1
в) при
x 4 x'2 2
х==9;
I I I I
( q'2 Р 2 . pq'2 +р'2 q
в) .!. 1. + I I . .
p q
p p2q2 q p2q2
ь
I I
a a 2 ь 2
Упражнения для повторения
631. Решите систему неравенств:
а) { 21 4x+2(7x 0,5)<0, б) { 2(0,5x 3) 3(2x+3) 0,
4 (x+O,5) 2x 1 >0; (4x+7)+0,5 (4x 6) 0.
632. Если автобус увеличит скорость на 20 км/ч, то на
путь от совхоза до rорода ему потребуется в полтора раза MeHЬ
ше времени. Если же он уменьшит скорость на 10 км/ч, то за
тратит на тот же путь на 1 ч больше. Найдите расстояние
от совхоза до rорода.
633. Обычно путь от деревни до станции велосипедист проез
жал с определенной скоростью. Однажд:ь;I на этот путь он
затратил на 20 мин больше, так как ехал со скоростью, Hfl
3 км/ч меньшей. В друrой раз, проезжая в час на 1 км больше,
он прибыл на станцию на 5 мин раньше. Каково расстояние
от деревни до, станции?
634. Найдите значение выражения:
..fi +-15 1i 5 .
а) '.Т -J + ..f< '
7 5 . 7+ 5
б) + ,j2= .
';2 JЗ "f2+,;з
Контрольные вопросы
1. Дайте определение степени с дробным показателем.
2. Сформулируйте свойства степени с рациональным пока
зателем. Докажите, что если а> о, р и q любые рациональ
ные числа, то aPa q ==a P + Q .
К параrpaфу 9
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К rЛАВЕ IV
635. Может ли rрафик нечетной функции:
а) пересекать ось у в точке, отличной от начала координат;
б) не проходить через начало координат?
636. Является ли четной или нечетной функция:
1
а) f (х)== х 3 +2х ;
1
б) '(Х)== х 2 +7 ;
) 1 .
в) ((х x4+3x '
r) '(х)== Ix+31 + Ix 31;
д) f (х)== 'х+51 Ix 51;
е) f (х)== Ix+ 11 + Ix 21?
637. Может ли быть четной или нечетной функция " если
областью ее определения является:
143
а) [ 10; 10];
б) ( 8; 12);
в) [ 5; 2]U[2; 5];
r) ( oo; 5)?
638*. Постройте rрафик функции, используя свойства чет
ной или нечетной функции (сначала постройте часть rрафика
ДЛЯ положительных значений aprYMeHTa, а затем для отри
цательных):
12
а) y==тxr; б) у==х Ixl; в) y== x 4; r) y== 9 x.
639. Известно, что некоторая функция возрастает в про
межутке [о; + 00). Как изменяется (возрастает или убывает)
эта функция в промежутке ( oo; 01 если она является:
а) четной функцией; б) нечетной функцией?
640*. Известно, что у==! (х) и y==g (х) четные функции.
Является ли четной функция:
а) у==! (x)+g (х); в) у==! (x).g (х);
б) у==! (x) g (х); r) y== ;) ?
641 *. Известно, что у == f (х) и у == g (х) нечетные функции.
Является ли четной или нечетной функция:
в) у==! (x).g (х);
r) y== f(X) ?
g(x)
642. Значения функции f вычисляются по формуле f (х)==
==x 2, если x o, и по формуле {(x)== x 2, если х<о.
Постройте ее rpафик.
643. Постройте rрафик функции
а) y==f(x)+g(x);
б) y==f(x) g(x);
g ( X ) == { х2+1, если х>о,
x2 1, если х<о.
644. Постройте rрафик функции " зная, что она четная и что
ее значения при x o MOryT быть найдены по формуле:
1
а) f (X)==2x 1;
б) f (x)==x2 2x;
в) f (x)==,fX.
645. Постройте rрафик фуНlЩИИ g, зная, что она нечетная
и что ее зйачения при x o MorYT быть найдены по формуле:
а) g (х)==х 2 ;
б) g (x)==x2 4x;
в) g (x)==,fX.
646*. Докажите, что:
а) если rpафик некоторой функции симметричен относи
тельно оси ординат, то эта функция четная;
б) если rрафик некоторой функции симметричен относитель
Но начала координат, то эта функция нечетная.
144
647. Существуют ли такие значения коэффициентов k и Ь,
при которых линейная функция у == kx + ь является:
а) четной функцией; б) нечетной функцией?
648. Существуют ли такие значения коэффициентов а, Ь и С,
при которых квадратичная функция у == ах 2 + Ьх + с является
четной функцией?
649. Объясните, почему верно неравенство:
а) 5100>4100; в) 1,5261 < 1,6261;
б) 0,87100 < 0,89100; r) ( ) 261 >( :) 261.
650. Сравните значения степеней:
( ) 17 ( ) 17.
в) 5 и 9 '
( \ 10 ( ) 20 .
б) 0,з5 И 0,25; r) I}} из' е) 12503 и 366.
651. Даны функции f (х)==х 7 И g (X)==X IIl . Сравните с нулем:
а) f(25) f(12); в) f(0)'f(60); д) g( 9).g( 17);
б) f( 30) f( 20); r) g(17) g(5); е) g(38) g(0).
а) 210 И 310;
д) 321 и 87;
652. Докажите, что при натуральном n:
а) если хЕ[О; 11 то хn+1 xn;
б) если хЕ(I; + 00), то хn+ 1 >х".
653. Найдите n, если известно, что rрафик функции у == х"
проходит через точку:
а) А (2; 8); б) В (3,5; 12,25); в) С ( 3; 81); r) D ( 2; 32).
654. Найдется ли такое натуральное значение n, при KO
тором rрафик функции у == х n проходит через точку:
а) А (2; 5); б) В (.J3; 81); в) С ( 5; 415); r) D ( 7; 343)?
655. Постройте. rрафик функции:
а) у== x3; д) у== x4;
б) y==x3 1; е) у==х 4 1;
в) y==(x 2)3; ж) у==(х з)4;
r) y==(x 2)3+1; з) у==(х з)4+2.
656. Сколько корней имеет уравнение:
а) x I O==2; в) x lU == 3; д) х 7 ==0;
б) xIO==O; r) х 7 ==5; е) x7== 1?
146
к параrpафу 10
657. Найдите значение выражения:
а) 0.5 ' \11024 ; в) 1.5 \1512 ; д) V 125..1JOJi;
б) V 2187 ; r) . ; е) VI6 2 . VО.125З.
658. Решите уравнение:
а) {Х==0.2; в) уа== 1;
б) Vii== ; r) VЬ==2;
659. При
ражение:
а) Vx 2;
б) Y9 X ;
д) vx == 1 ;
е) Vy== 2.
каких значениях переменной имеет смысл BЫ
в) VX+5;
r) V( a 5)(a 2);
660. Решите уравнение:
а) х 6 ==12; в) х7== з;
б) х 9 == 5; r) х" == 2;
661. Решите уравнение:
а) x8+6x4 7==0;
б) xI2 9x6+14==0;
д) \ly2 5y+6;
е) I V b 2 +6b 8?
д) \lx+l ==2;
е) vx= 2 ==1.
в) х 6 +llх З +24==0;
r) X l4 5x7 +6==0.
662. Решите уравнение инеравенства:
а) ЗVX==5; ЗVX>5. VX<5; б) VX==2. Vx>2. VX<2.
663. Постройте rрафик функции y==Vi. Пользуясь rрафи
ком. сравните значения корней:
а) v23 и V27;
б) V 5 и V 4;
в) V 0.1 и \1'0.01 .
664. Определите знак разности:
а) V6 V7; в) I VO.99 ;
fl fl бfi\iIO 12
б) V T V т; r) \,0.28 7'
665*. Докажите. что функция f четная. и постройте ее rpa
фик, если:
а) f (Х)==М; б) f (x)==\IТXТ.
666. Оцените значение выражения IVX. зная, что:
а) О<х<l; б) l<х<1000; в) 1000<х<10 1O .
146
667. Найдите область определения функции:
а) y== x 2 ; б) y==V 5 2x ; в) y==\l 8x+ 1 .
668. Пользуясь rрафиками функций у==х, y==,jX и у==\!х,
реUIите уравнение инеравенства:
а) ,jX==x, x<x, ,jX>x; б) \!Х==х, \!Х<х, vx>x.
669*. Постройте rрафик функции:
а) у== ,jX; б) у== vx; в) у== ,,; х ; r) y=== \I х.
Чем отличаются друr от друrа rрафики функций y=== ,jX
и у== ,,; х; у== VX и у== " х?
670. Найдите значение выражения:
а) V 64.27 ;
125
.у 81
б) 16.625 ;
v з10.55
в) 710
r) V 2ft5б .
671. Вынесите множитель и з под зн ака корня:
а) vl6x3y ; б) \l81ab 7 ; в) \l 125a 5 x 3 ; r) ЭV64ь 12 у7.
672. Упростите выражение:
а) a 15 ; б) x f8 ; в) b f3 ;
y y V
W 1
r) 2с .
16с 4
673. Определите знак разности:
а) V2 V2;
r; r;
б) V T V т;
в) v3 2VЗ;
.!!.r; 2!r;
r) V T V т.
674. Расположите в порядке возрастания числа:
а) 1/2, VЗ, ry6; б) 0,5 , \10,3, уо,2.
675. Докажите, что верно равенство:
а) V 2 .j3 AJ 7 +4 .j3 == 1;
б) Y 3 2 : V I/2 I==I.
676. Освободитесь
дроби:
VЗ
а) 3lо ;
v 25
от иррациональности
в знаменателе
V2
б) з " ;
,,10
1
B) ;
v2 1
r) 2
VЗ l
д) 7
V5+V2
677. еUIите уравнение:
а) \lx 2 б.jX==0; в) 'ry'x+5==0;
б) VX O,I==O; r) VX+2 vx 1 ==0;
д) "jx 5 Ух+6==0;
е) VX 2 VX З==О.
147
к параrрафу 11
678. Упростите выражение, заменив корень степенью с
дробным показателем:
а) 2,5 -J4Q; в) a ;
б) 8V2; r) bVЬ, rде ь;?:о;
д) (x+l? Vx+l ;
е) (у 5)3 .jy 5.
679. Сравните числа:
1 I I I
а) 81 и 8 J ; б) 56 и 8'8;
I I
в) з'3 и 54;
I 1
r) 312 и 416.
680. Решите уравнение:
I
а) (x 2)'2 ==4; r) (y+3) 1 == ;
4
I
б) (x 2)2==4 '2;
I
в) (у+3)4 == 1;
1
д) (a 5)3 ==0;
е) (a 5)O==+.
I 2
681. Оцените значения выражений х'5 и х'5, зная, что:
1
а) 32 <х<l; б) 1<х<32; в) 32<х<1000.
682. У простите выражение:
3
х 5
3 1 2
I
r) (с 4 с 6) 7;
а)
3 2 .
x lO . x15
а з.5,а3.8 .
б) a2.I,a I.9 '
I
( 25a 2,\ '2.
д) 4Ь' 1 '
в) (т O.6.тO,2)2,5;
1
е) ( 8;Э 3
а) VXЗ. HVX9;
683. Представьте в виде
vx
б) V ::=l ;
X
степени с основанием
х (х>О):
в) VX2 VX .
684. Найдите значение выражения:
8 2
а) ( х '3 'X i '3,\ 2
1 при х == 0,008;
х 3
I I
б) ( x/ x . 2з х х:,\ 4
,. ,..А. 1 при х == 0,0625.
148
685. Найдите два каких либо решения уравнения:'
I I 2
а) х'3 у2==32; б) х '2 У '3 ==9.
686. Выразите формулой зависимость между переменными
х и у, если:
I I
а) х == t '2, У == t'2 ;
2 I
б) х == t'3, У == t з ;
I
в) x==t'2,
I
t '3
y .
687. Упростите выражение:
I I 2 2 2 -2 I
а) a '3 b '3 (а'3 +b'3) (a'3 b '3)'2;
I I I I I
б) (х'2 +у4)(х'2 y4)+(yl.5)'3.
688. Вынесите за скобки множитель a O.5:
а) 2a O.5 3a; б) 3a O.5+5aO.5; в) 6a l.
689. Пользуясь тождеством a2 b2==(a b)(a+b), разло
жите на множители выражение:
2 I
а) х'3 4; в) т 2 25; д) cO.8 xO.5;
4 I
б) а'3 5; r) 3 2x'3; е) р рО.б.
690. Пользуясь тождествами аЗ=,=ЬЗ==(а='= Ь)(а 2 =t=ab + ь 2 ),
разложите на множители выражение:
а) а 8, rде а;;;;;;' о; в) а о . б ьО,б;
б) 1 + 271>, rде ь.;;;;;;' о; r) х О ,9 + 125.
691 *. Разложите на множители: I I
а) {X ,;y+x y; r) x 2x2 а 2 +а;
I
б) ,;a+a+.[Ь b; д) х+2х2 8;
3 3 I I
в) х 2 +4х 4 +4; е) 6х 2 5x 4 +1.
I
а'2
692. Выполните п6дстановку х == I l ' У ==
а'2 +Ь '2
I
ь'2
и
I I
а '2 b '2
упростите выражение ...l:1L...
х+у
693*. Решите уравнение:
I
а) ],8с+зс 2 10==0;
I
б) 21x ' 6x 2 15==0;
2 I
в) 3у'3 +5у '3 2==0;
2 I
r) 2а '3 7a 3 +3==0.
149
694. Напишите формулу, выражающую зависимость между
переменными u и v, если:
2 2
а) u==t 3 +1, V==t 3 +1;
I I
б) u==(t+2)4, v==(2 t)4.
695. У простите выражение:
I I I I
т2n2 т6n6
а) I 1 I I
тЗ n з т6 n 6
I I 1
( х 6 хЗ 1 x6.:\ l+х
б) l+х + .1 2 1' 1 x '
l хЗ+хЗ
I I 5 I 1
т2 n2 т +т3n2
I т n
тЗ
ство:
4а
696. Докажите, что если Ь ==5 и а> О, то верно paBeH
I I
(а+ь)2 +(a ь)2 2
I l'
(а+ь)2 (a ь)2
цпd
..
111
flJ.t-нц-c J .1ж fC.A1tц.
rлава v.
тРиrОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
Bыp АЖЕНИЯ
И ИХ ПРЕОБРА30ВАНИЯ
f12. триrОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
Функции ЛЮБоrо уrЛА
f 13. ОСНОВНЫЕ
тРиrОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
f 14. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
И ИХ СЛЕДСТВИЯ
12. триrОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
Функции ЛЮБоrо уrЛА
28. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА,
TAHrEHCA и KOTAHrEHCA
у
\
х
Отметим на оси х справа от начала координат точку А
и проведем через нее окружность с центром в точке О (рис. 64).
Радиус ОА будем называть начальным радиусом.
Повернем начальный радиус около точки О на 700 против
часовой стрелки. При этом он перейдет в радиус ОБ. rоворят,
что уrол поворота равен 700. Если повернуть начальный pa
диус около точки О на 700 по часовой стрелке, то он перейдет
в радиус ОС. В этом случае rоворят,
что уrол поворота рав(:)н 700. Уrлы
поворота в 700 и 700 показаны стрел
ками на рисунке 64.
Вообще при повороте против часо
вой стрелки уrол поворота считают пo
ложительным, а при повороте по часо
вой стрелке отрицательным.
Из курса rеометрии известно, что
мера уrла в rрадусах выражается чис
лом от О до 180. Что касается уrла
поворота, то он может выражаться в
rpадусах каким уrодно действительным
числом от 00 до + 00. Так, если Ha
Рис. 64
151
у
у
х
А
А
х
Рис. 65
Рис. 66
чальный радиус повернуть против часовой стрелки на 1800,
а потом еще на 300, то уrол певорота будет равен 2100. Если Ha
чальный радиус сделает полный оборот против часовой стрел
ки, то уrол поворота будет равен 3600; если он сделает полтора
оборота в том же направлении, то уrол поворота будет равен
5400 и т. д. На рисунке 65 стрелками показаны уrлы поворота
в 4050 и 2000.
Рассмотрим радиусы ОА и ОБ (рис. 66). Существует беско
нечно MHoro уrлов поворота, при которых начальный радиус
ОА переходит в радиус ОБ. Так, если LАОБ==130°, то co
ответствующие уrлы поворота будут равны 1300 + 360 0 п,
rде п любое целое число. Например, при п==О, 1, 1, 2, 2
получаем уrлы поворота 1300, 4900, 2300, 8500, 5900.
Пусть при повороте на уrол а начальный радиус ОА пе
реходит в радиус ОБ. В зависимости от Toro, в какой KOOp
динатной четверти окажется радиус ОБ, уrол а называют
уrлом этой четверти. Так, если 00<а<90 0 , то а уrол
1 четверти; если 90 0 <а<180 0 , то а уrол II четверти; если
1800 < а < 2700, то а уrол III четверти; если 2700 < а < 3600,
то а yrол IV четверти. Очевидно, что при прибавлении
к уrлу целоrо числа оборотов получается уrол той же чет
верти. Например, уrол в 4300 является уrлом 1 четверти, так
как 4300 == 3600 + 700 и 00 < 700 < 900; уrол в 9200 является
уrлом III четверти, так как 9200 == 3600.2 + 2000 и 1800 <
< 2000 < 2700.
Уrлы 00, + 900, + 1800, + 2700, + 3600, ... не относятся
ни к какой четверти.
В курсе rеометрии были определены синус, "осинус и TaH
zeHC уrла а при 00 а 1800. Теперь мы распространим эти
определения на случай произвольноrо уrла а. Кроме TO
ro, определим еще "OTaHzeHC уrла а, который обозначают
ctga.
Пусть при повороте около точки О на уrол а начальный
радиryс ОА переходит в радиу.с 08 (рис. 67).
152
, у у
f
I
f А А 2
Х Х
!
Рис. 67
Рис. 68
Синусом yrла а называется отношение ординаты точки В R
длине радиуса.
Косииусом уrла а называется отношение абсциссы точки В
R длине радиуса.
TaHreHCOM уrла а называется отношение ординаты точки В
R ее абсциссе.
Котаиrенсом уrла а называется отношение абсциссы точки
В R ее ординате.
Если координаты точки В равны х и у, а длина начальноrо
радиуса равна R, то
Bin а== ' . сов а== , tg а== , ctg а== : .
в курсе rеометрии было показано, что значения синуса,
косинуса и TaHreHca уrла а, rде 00:::::;;; а:::::;;; 1800, зависят только
от а и не зависят от длины радиуса В. И в общем случае Bin а,
сов а, tg а, а также ctg а зависят только от уrла а.
Покажем, например, что sin а не зависит от R.
Пусть при повороте луча ОА I около точки О на уroл а (рис. 68) радиусы
ОА, R, и OA 2 ==R 2 займут положения ОВ 1 и ОБ 2 . Обозначим координаты
точки ВI через ХI и YI, а координаты точки В 2 через Х2 и У2.
Опустим перпендикуляры из точек Б, и В 2 на ось Х. Прямоуroльные
треуroльники OB'C 1 и ОВ 2 С 2 подобны. Отсюда
В,С, В 2 С 2 \YII !У21
ОВ, == ОБ 2 ' т. е. я-:== R 2 .
Так как точки В, и Б 2 принадлежат одной и той же координатной чет
верти, то их ординаты У' и У2 имеют одинаковые знаки. Поэтому 11 2 .
Заметим, что это равенство верно и в том случае, КОl'да точки Б, и В 2 по
падают на одну из осей координат. Таким образом, для любоl'О Уl'ла а
отноm ние не зависит от длины радиуса R.
153
Выражения siQ. а и cos а определены при .цюбом а, так
как для любоrо уrла поворота можно найти соответствующие
значения дробей и . Выражение tg а имеет смысл при
любом а, кроме уrлов поворота + 90°, + 270°, + 450°, ..., так
как Д'JlЯ этих yr лов не имеет смысла дробь JL.. Для выраже
х
НИЯ ctg а исключаются уrлы 0°, + 180°, + 360°, ..., для
. х
которых не имеет смысла дробь .
у
Каждому допустимому значению а соответствует единст
венное значение sin а, cos а, tg а и ctg а. Поэтому синус, KO
синус, TaHreHc и KOTaHreHc являются функциями уrла а. Их
называют триzонометрическими функциями.
Можно доказать, что областью значений синуса и косинуса
является промежуток [ 1; 11 а областью значений TaHreHca
и KOTaHreHca множество всех действительных чисел.
Приведем примеры вычисления значений триrонометри
ческих функций.
При м е р 1. Найдем с помощью чертежа приближенные
значения sin 110°, cos 110°, tg 110° и ctg 110°.
Начертим окружность с центром в начале координат и pa
диусом OA==R==3 (рис. 69). Повернем радиус ОА на 110°.
Получим радиус ОБ. Найдем по рисунку координаты х и у
точки Б: X 1,05, y 2,80. Отсюда
sin 110°'== 2,:0 0,93,
у"
,/
Рис. 69
154
r
!
cos 1100 == 1, 5 === 0,35,
tg 1100== : 2,7,
ctg 1100 === : : 0,38.
в таблице приведены известные из курса rеометрии значе
IШЯ синуса, косинуса и TaHreHca уrлов 00, 300, 450, 600 и 900.
Прочерк сделан в том случае, коrда выражение не имеет
смысла.
а 00 300 450 600 900
О 1 ,j2 ..[3 1
sin а 2 2 2
1 уЗ v2 1 О
cos а 2 2 2
tg а О vз 1 уЗ
3
ctga уЗ 1 ..[3 о
3
Значения KOTaHreHca MorYT быть получены из значений
TaHreHca, так как KOTaHreHc уrла является числом, обратным
TaHreHcy этоrо же уrла. Поэтому, например,
При м е р 2. Найдем синус, косинус, TaHreHc и
уrлов 1800 и 2700.
При повороте на 1800 около точки О
радиус ОА, равный 1, (рис. 70) перехо
дит в радиус ОБ, а при повороте на
2700 в радиус ОС.
Так как точка В имеет координа
ты х=== 1 и у==о, то
sin 1800 == === о,
1
cos 1800==1=== 1,
tg 1800 == ===o.
1
ctg 300 === tg oo === .Jз ===..;3.
3
KoтaHreHc
у
в
А
х
[
Рис. 70
155
Так как точка С имеет координаты х==о и у== 1, то
sin 2700 == 1 == 1, СОБ 2700 == ==0, ctg 2700 == \ ==o.
Напомним, что выражения ctg 1800 и tg 2700 не имеют смысла.
697. Начертите окружность с центром в начале коррдинат
и изобразите уrол поворота, равный 1500, 2100, 5400, 450,
1350, 7200.
698. Чему равны уrлы поворота, по
казанные стрелками на рисунке 71 ?
699. Уrлом какой четверти является
уrол а, если:
а) а==283 0 ; r) а== 200;
б) а==190 0 ; д) а== 1l00;
х в) а==100 0 ; е) а==4200 0 ?
700. Определите, уrлом какой чет
верти является уrол а, если:
а) а==179 0 ; r) а== 100;
б) а==325 0 ; д) а==800 0 ;
в) а== 1500; е) а==10 0000.
701. Среди уrлов поворота 7700, 4800, 500, 15600, 2400,
3100 найдите такие, при которых начальный радиус займет
то же положение, что и при повороте на уroл: а) 'а==50 0 ;
б) а==120 0 .
702. Найдите в промежутке от 00 до 3600 уroл а такой,
чтобы поворот начальноrо радиуса на этот уroл совпал с
поворотом на уrол:
а) 4200; б) 2100; в) 7000.
703. На рисунке 72 стрелками показаны уrлы поворота в
350, 1600, 2300 и 750. Найдите приближенное значение
синуса, косинуса, TaHreHca и котаиrенса каждоro из ЭТИХ'уrлов.
у
Рис. 71
А
156
КЛАВДИИ ПТОЛЕМЕИ (П в.) древнеrреческий
ученый, создатель I'еоцентрической системы мира.
Разработал математическую теорию движения
планет, позволяющую вычислять их положение на
небесной сфере. Внес значительный вклад в разви
тие триrонометрии.
Рис. 72
704. Начертите окружность с центром в начале координат
и радиусом R == 5 см. Поверните начальный радиус на уrол а
и найдите приближенное значение Bin а, сов а, tg а и ctg а,
если а == 500, 1750, 100°.
. 705. Найдите значение выражения:
а) 2 сов 60° +v'З сов 30°; r) 3 tg 45°. tg 60°;
б) 5 sin 30° ctg 45°; д) 4 tg 60° .sin 60°;
в) 2sinЗ00+6соs600 4tg45°; е) 12 sin 60°.cos 60°.
. 706. Вычислите:
а) 2 sin 60° .ctg 60°;
б) 2 sin 450 4 cos 30°;
в) 7 tg 30° .ctg 30°;
r) 6 ctg 600 2 sin 60°.
707. Укажите несколько значений а, при которых:
а) sin а==l; б) сов а== 1; в) sin а==О; r) tg а ' О.
ЛЕОНАРД ЭИЛЕР (1707 1783) математик,
механик, физик, астроном. По происхождению
швейцарец. Более тридцати лет работал в России.
Член Петербурl'СКОЙ академии наук. Ученый Heo
бычRЙНОЙ широты интересов. EI'O мноroчисленные
труды по математике, небесной механике, физике,
кораблестроению оказали значительное влияние
на развитие науки.
f
'
t....t.i 11'
'. j
.:7Ji ...,j
, I. .:}" . '1"
,L".'" \\ ':!
\ .' I '
\ ' !",".r<
\;' -
/' \ "
.,'J ':i .
\.,' .'"
, \ , J;.
<;е
: I
157
708. Укажите несколько значений /3, при которых:
а) sin(3== 1;
б) соэ (3==1;
в) соэ (3==0;
r) ctg /3==0.
709. Каковы наибольшее и наименьшее значения Bыpa
жения:
а) 1+sin а; б) 2 соэ а?
710. Укажите наибольшее и наименьшее значения Bыpa
жения:
а) 1 sin а;
б) 2 +сов а.
711. Укажите несколько уrлов а, при которых не имеет
смысла выражение:
а) tg а; б) ctg а.
712. Может ли sin а принимать значение, равное:
а) .j2; б) ..1 ; в) 1 ; r) 1 ?
. 713. Найдите значение выражения:
а) 2 соэ 00 4 sin 900 + 5 tg 1800;
б) 2 ctg 900 3 соэ 2700+5 sin 00;
в) tg 3600 : sin 2700 соэ 1800.
. 714. Вычислите:
а) sin 00 + 2 cos 600;
б) tg 600 . sin 600 . ctg 300;
в) 4 sin 900 3 соэ 1800;
r) 3 ctg 900 3 sin 2700.
. 715. Найдите значение выражения sin а+сов а, если:
а) а==ОО; б) а==45 0 ; в) а==90 0 ; r) а==180 0 .
. 716. Найдите значение выражения cos 2а+сов 3а, если:
а) а==15 0 ; б) а==30 0 ; в) а==90 0 .
. 717. Найдите значение выражения:'
а) sin a+sin 2a+sin 3а при а==30 0 ;
а. а.
б) tg '2+tg 3' при а==90 0 .
Упражнения для повторения
718. Упростите выражение
al.S bl,S : ( aO'S+bO'S
a O ' S a O ' S
bO'S \
a O ' S + b O ' S ] .
158
119. Докажите, что:
а) прямая 2х 3у === 2 переседает окружность х 2 + у2 === 20;
б) прямая х+7у===50 касается окружности х 2 +у2===50.
120. Найдите значение выражения:
2 3
27 . 164
а)
I
81 4
2 I
" 5
б) 8 32
I
. 125 ;j'
29. СВОИСТВА СИНУСА, КОСИНУСА, TAHrEHCA И KOTAHrEHCA
Рассмотрим некоторые свойства ТРИl'онометрических Функ
ций.
Выясним сначала, какие знаки имеют синус, косинус,
TaHreHc и KOTaHreHc в каждой из координатных четвертей.
Пусть при повороте радиуса ОА, paBHOI'O R, на УI'ОЛ а
точка А перешла в точку В с координатами х и у (см. рис. 67).
Так как Bin а === ' то знак Bin а зависит от знака у.
в 1 и II четвертях у>О, а в III и IV четвертях у<О. Значит,
sin а> О, если а является УZЛОМ 1 или 11 четверти, и sin а < О,
если а является УZЛОМ 111 или IV четверти.
х
Знак сов а зависит от знака х, так как сов a===R . в 1 и IV
четвертях х > О, а во II и III четвертях х < О. Поэтому СОВ а> О,
если а является УZЛОМ 1 или IV четверти, и сов а < О, если а
является УZЛОМ 11 или 111 четверти.
Так как tg а ===JL., а ctg а === , то знаки tg а и ctg а за
х у
висят от знаков х и у. В 1 и III четвертях х и у имеют одина
ковые знаки, а во II и lV разные. Значит, tg а >0 и ctg а> О,
если а является УZЛОМ 1 или 111 четверти; tg а < О и ctg а < О,
если а является УZЛОМ 11 или IV четверти.
ЗНf:l.ки синуса, косинуса, TaHreHca и KOTaHreHca в каждой
из четвертей показаны на рисунке 73.
Знаки сиНljса
у
Знаки косинуса
у
Рис. 73
Знаки танеенса
и котаневнса
у
х
159
Выясним теперь вопрос о четности
и нечетности триrоном трических функ
ций.
Пусть при повороте на уrол а ради
ус ОА переходит в радиус ов, а при
повороте на уrол а в радиу ОС
х (рис. 74). Соединив отрезком точки В
и С, получим равнобедренный Tpe
уrольник вое. Луч ОА является бис
сектрисой уrла вое. Значит, отрезок ОК
.является медианой и высотой треуrоль
ника вое. Отсюда следует, что точки
В и С симметричны относительно оси
абсцисс.
Пусть координаты точки В равны х и у, тоrда координа
ты точки С равны х и у. Пользуясь этим, найдем, что
у
А
Рис. 74
sin ( a)== y == .JL== sin а,
R R
х
cos ( a)==B ==cos а,
tg ( a)== y == .JL== tg а,
х х
ctg ( a)== == == ctg а.
y у
Мы получили формулы, выражающие зависимость между
синусами, косинусами, танrенсами и котанreнсами проти
воположных уrлов:
sin ( a)== sin а, сов ( ai==cos а,
tg ( a)== tg а, ctg ( a)== ctg а.
Например:
cos ( 400) == cos 400,
tg ( 600)== tg 600== JЗ.
Итак, синус, TaHzeHC и KoтaHzeHC являются нечетными
функциями, а косинус является четной функчией.
Рассмотрим еще одно свойство триrонометрических функ
ций.
Если при повороте радиуса ОА на уroл а получен радиус ОВ
(см. рис. 67), то тот же радиус получится и при повороте ОА
на уrол, отличающийся от а на целое число оборотов. Отсюда
следует, что при изменении уzlШ на целое число оборотов
значения синуса, косинуса, TaHzeHca и KoтaHzeHca не изме
НЯЮТСЯ.
Например:
160
sin 30° == sin (30° + 360°) == sin (30° 360°) == sin (30° + 2 . 360°) ==
==sin (30° 2 .360°)==...== .
Рассмотренные свойства позволяют свести нахождение
значений синуса, косинуса, TaHreHca и KOTaHreHca любоrо
уrла к нахождению их значений для неотрицательноrо уrла,
MeHbmero 360°.
При м е р. Найдем sin 765° и cos ( 1170°).
Имеем:
in 765°==sin(2.3600+45°)==sin45°== f ;
cos ( 1170°) == cos 1170° == cos (3.360° + 90°) == cos 90° == О.
. 721. Какой знак имеют sin а,
а) а==480; б) а==1370; в)
. 722. Какой знак имеет:
а)
б)
cos а, tg а и ctg а, если:
а==2000; r) а==3060?
sin 179°;
cos 280°;
в) tg 175°;
r) ctg 359°;
д) cos 410°;
е) tg 500°;
ж) sin( 75°);
з) cos ( 116°)?
. 723. Выясните, какой знак имеет:
а) cos 315°; в) tg 145°;
б) sin 109°; r) ctg 288°;
д) cos ( 25°);
е) tg ( 10°).
724. Уrлом какой четверти является уrол а, если:
а) sin а>О и cos а>О; r) sin а>О и tg а>О;
б) sin а<О и cos а>О; д) tg а<О и cos а>О;
в) sin а<О и cos а<О; е) ctg а>О и sin а<О?
725. Определите знак выражения:
а) sin 100° .cos 300°; в) cos 320° .ctg 17°;
б) sin 190 0 .tg 200°; r) tg 170°.cos 400°.
726. В каких четвертях имеют одинаковые знаки:
а) sin а и cos а; б) tg а и ctg а; в) cos а и tg а?
. 727. Найдите значение выражения:
а) sin ( зоо); в) tg ( 450); д) cos ( 900);
б) cos ( 60°); r) ctg ( 30°); е) sin ( 45°).
. 728. Найдите:
а) sin ( 60°); б) cos ( 180°); в) sin ( 90°); r) ctg ( 45°).
. 729. Найдите значения синуса, косинуса, TaHreHca и KoтaH
reHca уrла а (если они существуют) при:
а) а==7500; б) а==8100; в) а==12600.
. AoNIIpa. 9 kЛ
161
. 730. Найдите:
а) sin 3900; б) cos 4200; в) tg 5400; r) ctg 4500.
. 731. Найдите значение выражения:
а) sin 4050; б) cos 7200; в) tg 3900;
. 732. Вычислите:
а) sin ( 7200);
б) cos ( 4050);
. 733. Найдите:
а) tg ( 9000);
r) ctg 6300.
в) cos ( 7800);
r) ctg ( 11100).
б) ctg ( 7800);
в) sin ( 11250).
Упражнения для повторения
734. Найдите значение выражения
x 2 y 2 х 2 у2
. при х== 0,12 и у==0.5.
x l y 1 х+у
735. Решите неравенство:
а) x2 x 56<0; в) 4х 2 :;::;;;; 1;
б) зх2 29х 10>0; r) x+x2>0.
30. РАДИАННАЯ МЕРА УrЛА.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИИ триroНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
С ПОМОЩЬЮ МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРА
Как известно, уrлы 'измеряются в rрадусах, минутах, ce
кундах. Эти единицы измерения связаны между собой COOT
ношениями
1 о == 60',
l' == 60" ,
1" ==( :0) '.
, ==( 1\0
1 60} ,
Кроме указанных, используется также единица измерения
уrлов, называемая радиандм.
Уrлом в один радиан называют цeHT
В ральный уrол, которому соответствует
длина дуrи, равная длине радиуса окруж
нести.
Уrол, равный 1 рад. изображен на ри
сунке 75.
Радианная мера уrла т. е. величина
уrла, выраженная в радианах, не зависит.
О А от длины радиуса. Это СЛfщует из Toro,
Рис. 75 что фиrуры, оrраниченные уrлом и дy
162
rой окружности с центром в вершине
этоrо уrла, подобны между собой
(рис. 76).
Установим связь между радиан
ным и rрадусным измерениями yr
лов.
Уrлу, равному 1800, COOTBeTCTBY
ет полуокружность, т. е. дуrа, дли
на l которой равна nR:
l == nR.
R2
Рис. 76
Чтобы найти радианную меру это
1'0 Уl'ла, надо длину дуrи l разделить на длину радиуса R.
Получим:
l
в==n,
Следовательно, радианная мера уrла в 1800 равна n:
180 0 ==n рад.
Отсюда получаем, что радианная мера уrла в 1 о равна 1 0 :
10 п
== 180 рад.
Приближенно 10 равен 0,017 рад.
Из равенства 1800 == n рад также следует, что I'радусная
180
мера уrла в 1 рад равна 7:
1800
1 paд== .
п
Приближенно 1 рад равен 570.
Рассмотрим примеры перехода от радианной меры к rрадус
ной и от rрадусной меры крадианной.
При м е р 1. Выразим в I'радусах 4,5 рад.
1800
Так как 1 paд== , то
п
1800 8100
4,5 paд==4,5. == :::::;2580.
п п
При м е р 2. Найдем радианную меру уrла в 720.
Т 1 0 п
ак как == 180 рад, то
720==72' 1;o paд== рад:::::;1,3 рад.
При записи радианной меры уrла обозначение .рад» часто
2п
опускают. Например, вместо равенства 720 ==5 рад обычно
пишут:
72 0 == 2п .
5
163
Выразим в радианной
и 3600. Получим:
300 === 1;0 .30 === ; ,
450 === 1;0 .45 === '
мере уrлы 300, 450, 600, 900. 2700
900 === 1;0 .90 === ; ,
2700 === 1;0 . 270 === Л,
600 === 1;0 .60 === ; . 3600 === 1;0 . 360 === 2л.
Радианная мера уrла часто используется в триrонометри
ческих выражениях. Так, запись sin 1 означает синус уrла в
1 радиан, запись sin ( 2,5) означает синус уrла в 2,5 pa
. л л В б
диана, запись Sln 4'"' означает синус уrла в т радиан. 00 ще
I
запись sin х, rде х произвольное действительное число,
означает синус уrла, paBHoro х радианам.
Значения триrонометрических функций для уrлов, выражен
ных как в rрадусах, так и в радианах, можно находить,
используя микрокалькулятор. Так, с помощью микрокалькуля
тора «Электроника Б3 36. значения синуса, косинуса и TaHreH
са вычисляют следующим образом. Переводят переключатель
«rp АД РАД., находящийся в нижней части Rорпуса, в поло
жение «!'РАД., если уrол задан в rрадусах, или в положение
«РАД., если уrол задан в радианах. Вводят уroл, нажимают
клавишу 0, а затем клавишу, над которой написано Ha
звание соответствующей функции.
При м е р 3. Найдем с помощью микрокалькулятора зна
чение выражения с точностью до 0,001:
а) sin 28017'; б) cos 3,9; в) tg 4; .
а) Установим переключатель в положение «rРАД., затем
выразим 28017' в rрадусах и нажмем последовательно клавиши
o и I sin 1 . Так как 28017'===( 28+ ) 0, то проrрамма BЫ
числений выrлядит так:
17 EJ 60 G 28 В 0 1 sin 1 .
Получаем, что sin 28017' ::::::;0,474.
б) Устанавливаем переключатель в положение «РАД. и Ha
ходим значение cos 3,9 по проrрамме:
3,90 1 cos 1 .
Получаем, что cos 3,9::::::; 0,726.
в) Переключатель устанавливаем в положение «РАД.. При
4л
нахождении значения выражения '""7 воспользуемся тем, что
164
на паJIели МИКРОК8.лъкул.ятора « Электроника БЗ 361). имеетс.я
специальна.я клавиша п, при нажатии которой высвечиваетс.я
число 3,1415926 приближенное значение числа n с точ
ностъю до 10 7. Вычисления проводим по nporpaMMe:
004 B 70
4n
Получаем, что tg""7 4,381.
Отметим, что дл.я вычисления KOTaHreHca уrла надо сначала
найти значение T JIreHca этоrо уrла, а потом обратное число,
нажав клавиши 0 и I 1 .
. 736. Найдите rрадусную меру уrла, радианная мера KOТO
poro равна:
n 3 9
а) 0,5; в) 5; д) 4 П ; ж) Tn;
б) 10; n е) 5 з) 12 п.
r) 9; 6n;
. 737. Выразите в rрадусах уrол, радианная мера Koтoporo
равна:
а) 0,2; б) 3,1; 5 r) 3 д) 1 5
в) тл; тл; 3n; е) 4Л'
. 738. Найдите радианную меру уrла, paBHoro:
а) 1350; в) 360; д) 2400; ж) 1200;
б) 2100; r) 1500; е) 3000; з) 2250.
. 739. Выразите уrол а в радианах, если:
а) а==10 0 ; в) а==54 0 ; д) а==225 0 ; ж) а== 450;
б) а==18 0 ; r) а==200 0 ; е) а==390 0 ; з) а== 600.
740. Выразите в радианах уrол, смежный с уrлом а, если:
5n 11
а) а==6; б) а==I2Л; в) а:::::=0,3л.
741. Выразите в радианах уrлы равнобедренноrо пр.ямо
уrолъноrо треуrолъниКа.
742. Уrлом какой четверти явл.яетс.я уrол а, если:
а) а== 3 4 n ; б) а==1,8п; в) а==0,6л; r) а==1?
743. Определите знак выражени.я:
) . 511
а Sln 6;
б) соэ ' 3: ;
r) соэ 0,9;
n
д) tg 4;
е) tg 3;
) 2n
Ж сtg з ;
в) sin 1;
з) ctg 0,2.
165
. 744. Какой знак имеет каждая из триrонометрических
функций в промежутке:
а) (о; ;) ;
б) ( ; ; л);
в) (л; л);
r) ( л; 2 ?
. 745. Заполните таблицу:
о л л л л 3 2л
а л '2 Л
6 4 3 2
вin а
сов а
tg а
ctg а
. 746. Вычислите:
а) 2 sin ; +tg : ; в) 2' л
соsл sш 6 ;
б) л 3 r) л
соs sin л' 2 cos з+tg л.
22'
747. Найдите значение выражения:
. 3л л л
а) 2sшл 2СОS2+3tg4 сtg2;
б) sin( :) +3 cos ; tg +ctg ; ;
в) 2 sin : 3 tg + ctg( з 2 л) tg л;
r) 3tg( :) +2sin : 3tgO 2ctg : .
748. Вычислите:
а ) sin2 + sin2 .
4 3 '
)t 2Л' Л t 2 Л
в g 4 SШ 3 g 3;
б ) 2Л 2 Л ) л 2Л. л
cos 6 cos 4; r tg 6 cOS 6 SШ 3'
749. Найдите значение выражения:
а) 5 SiD. ; +4 cos 0 3 sin Л +cos л;
б) sin ( л) соs( л) +2 sin 2л tg л;
166
в) 3 . 2 л +2 2 л 2 л
sш cos 5tg .
3 2 4 '
r) з. 2Л 4 2 Л 3 2 Л 3t 2Л
sш tg сов + с g
2 4 6 2 .
. 750. Найдите значение:
а) sin 2,5л; в) t 13л. д) 13л
g--б' ctg 3;
( 9Л)' r) . ( 9П) ( 17П)
б) сов T; sш 2; е) tg 4
. 751. Найдите:
) 7п,
а ctg 3;
б) 17л
COB "
4 '
в) sin( 2: ;
r) сов ( 4,5л).
752. Найдите с помощью МИКрОRалькулятора с точностью
до сотых:
1:
!
f
а) сов 125037';
в) sin 3,48;
д) sin 3,7л;
б) tg 48012';
r) сов 176,5;
2л
е) tg U'
Упражнения для повторения
753. Упростите выражение:
( a 3 6a 18 ) 5a 15
а) a2 3a+9 а 3 +27 : 4а3+108 ;
б) ( x 3 + x 3 ) . 2x3 128
x3 64 х 2 +4х+16 3 x'
754. Решите неравенство:
а) 6x 10x2<0; б) 7х 2 <. 2x.
Контрольиые :вопросы
t
t
I
f.
,.
I
1. Дайте определение синуса, косинуса, TaHreHca и KOTaH
reHca уrла а. Для каких значений а имеет смысл каждое из
выражений: sin а, сos а, tg а, ctg а?
2. :Какие знаки имеют синус, косинус, TaHreHc и KOTaHreHc
в каждой из координатных четвертей?
3. Rакие из триrонометрических функций являются четны
ми, какие нечетными? Запишите соответствующие равенства.
4. Что называют радианом? Выразите в радианах уrлы,
равные 300, 450, 600, 900, 1800, 2700, 3600.
167
13. ОСНОВНЪШ триrОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
31. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ тРиroНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
одноro И TOro ЖЕ уrЛА
Рассмотрим, как связаны между собой синус и косинус oд
HOrO и Toro же уrла.
Пусть при повороте радиуса ОА BOKpyr точки О на уrол а
получен радиус ОВ (рис. 77). По определению
у
sina== ,
х
cos а==][,
rде х абсцисса точки В, у ее орди
ната, а R длина радиуса ОА. OT
сюда
А х
x==R cos а,
у ==R sin а.
Так как точка В принадлежит OK
ружности с центром в начале коорди
нат, радиус которой равен R, то ее KOOp
динаты удовлетворяют уравнению
x 2 +y2==R2.
Подставив в это уравнение вместо х и у выражения R cos а и
R sin а, получим:
Рис. 77
(R cos a?+(R sin a?==R2.
Разделив обе части последнеrо рю .енства на п 2 , найдем, что
8in 2 a + сos 2 а == 1. (1)
Равенство (1) верно при любых значениях а.
Выясним теперь, как связаны между собой танrеис, синус
и косинус одноrо и Toro же уrла.
По определению tg a==JL.. Так как y==R sin а, х==В cos а,
х
то
Таким образом,
Аналоrично
168
t а ==.lL. R sin а == sin а
g х RcoBa сова'
tga== sinCl. .
сов cl.
(2)
ct a== == RC Ba == C Ba ,
g у Rвща Вlnа
т. е.
СОВа
ctg a== .
81n а
(3)
Равенство (2) верно при всех значениях а, при которых
сов а =;60, а равенство (3) верно при всех значениях а, при KO
торых sin а =;6 о.
.с помощью формул (1) (3) можно получить друrие фор
мулы, выражающие соотношения между триrонометрическими
функциями одноrо и Toro же уrла.
Из равенств (2) и (3) получим:
sin а cos а
tg a.ctg a== . ==l,
cos а Sln а
т. е.
tg a.ctg а==l.
(4)
Равенство (4) показывает, как связаны между собой TaH
reHC и KOTaHreHC уrла а. Оно верно при всех значениях а, при
которых tg а :и ctg а имеют смысл.
Заметим, что формулу (4) можно получить и непосреk
ственно из определения TaHreHca и KOTaHreHca.
Выведем теперь формулы, выражающие соотношения между
TaHreHcoM и косинусом, а. также между KOTaHreHcoM и сину
сом одноrо и Toro же уrла.
Разделив обе части равенства (1) на сов 2 а, получим:
sin 2 a '1
cos 2 а + cos 2 а '
т. е.
1 2 1
+tg a== .
cos а
(5)
Если обе части равенства (1) разделить на sin 2 а, то будем
иметь:
1 сов 2 а 1
+ sin 2 а sin 2 а '
т. е.
2 1
l+ctg a== .
Sln а
(6)
Равенство (5) верно, коrда сов а =;60, а равенство (6), коrда
sin а =;60.
Равенства (1) (6) являются тождествами. Их называют
основными трuzонометрuчес1СUМU тождествамu. Рассмотрим
примеры использования этих тождеств для нахождения значе
ний триroнометрических функций по известному значению oд
ной из них.
169
При м е р 1. Найдем cos а, tg а и ctg а, если известно,
. 5 :n
что Sln а==iЗ и 2<а<л.
Найдем сначала cos а. Из формулы sin 2 a+cos 2 а==1 по
лучаем, что cos 2 а === 1 sin 2 а.
Так как а является yr лом 11 четверти, то ero косинус
отрицателен. Значит,
cos а == '; 1 sin 2 а == 1 1 9 == .
Зная синус и косинус уrла а, можно найти ero TaHreHC:
5
t a== sina. == ==
g cos а. 12 12 .
13
Для отыскания KOTaHreHca уrла а удобно воспользоваться
формулой tg a.ctg а==1. Имеем:
1 12 2
ctg а == == == 2 .
tg а. 5 5
Итак,
12 5. 2
cos а== 13' tg а== 12' ctg а=== 2 т.
1\
При М е р 2. Известно, что tg а==2 и О<а<2' Найдем
sin а, cos а и ctg а.
Воспользовавшись формулой
2 1
1+tg a== ,
cos а.
найдем
cos а. Имеем:
2 1 1 1
cos a==1+tg2 а 1+4 ==58
По условию уrол а является уrлом 1 четверти, поэтому ero
косинус положителен. Значит, ,
cos а === -v: .
Зная cos а и tg а, можно найти sin а. Из формулы
sin а.
tg а == получим:
cos а.
sin a==tg a.cos a==2. .J5 == 2
5 5
По известному tg а леrко найти ctga:
1 1
ctg а == tg а. == 2'
Итак,
sin a== , cos a== , ctg a== .
5 5 2
170
. 755. Упростите выражение:
а) 1 COS2 а; r) sin 2 а + 2 cos 2 а 1;
б) sin 2 a l; д) (l sin a)(l+sin а);
в) cos 2 а +(1 sin2 а); е) (cos а 1) (1 +cos а).
. 756. Преобразуйте выражение:
а) l sin2a cos2a; б) cos2a (1 2sin2a).
. 757. У простите выражение:
а) sin а cos а tg а; r) 1 sin2 а
сое 2 а ;
б) sin а сов а ctg a 1; д) cos 2 а
cos 2 a l '
в) sin 2 a tg а ctg а; е) 1 COS2 а
1 sin2 а'
. 758. Упростите выражение:
а) sin 2 a+cos 2 a+tg 2 а; б) tgactga+ctg 2 a.
. 759. Преобразуйте выражение:
а) sin а ctg а; r) tg а ctg a l;
б) tg а cos а; д) c : +1;
sin 2 a l
е) 1 cos2 а .
) sin а .
В t '
ga
. 760. Известно, что ; < а <:n. Найдите:
а) sin а, если cos а == 0,6;
б) cos а, если sin а== ; .
15
в) tg а, если cos а== 17 ;
r) sin а, если ctg а == 2.
. 761. Зная, что О<а< ; , найдите:
а) cos а, если sin а == 0,6;
б) sin а, если cos а == ;
в) cos а, если tg а == 3;
) t . 12
r с g а, если Sln а== 13 .
. 762. Может ли для какоrо нибудь уrла выполняться
условие:
а) sin == 4 ' cos == : ; в) tg == ' ctg ==1,8;
б) sin == : ' cos == ; r) tg == 1, ctg == +I'l-"
. 763. Находя значения синуса и косинуса HeKoToporo уrла а,
ученик получил, что sin а:::::; 0,33, а cos а:::::; 0,63. Докажите,
что он допустил ошибку.
171
. 764. Найдите:
) t . 9 n
а g а, если Sln а== 41 и 2<а<л;
1 3п
б) соэ а, если ctg а==з и 31<а<2'
. 765. Известно, что а уrол II четверти. Найдите:
4
а) ctg а, если соэ а== 5; б) sin а, если tg а== 1.
. 766. Найдите значения триrонометрических функций yr
ла а, если известно, ЧТО:
) . 3 О П
а sш а==5 И <а<2;
8
б) соэ а == 17 и а уrол 1 четверти;
n
в) tg а== 3 и 2<а<л;
r) ctg а == 2,5 и а уrол IV четверти.
. 767. Вычислите значения триrонометрических
уrла (:\, зная, что:
) . R 40 n R
а sш 1"== 41 и 2<1"<31;
4 3п
б) соэ (:\==5 и 2<13<2л;
768. Зная, что:
функций
3п
в) tg (:\==1 и л<13<2;
r) ctg р==з и о<р< ; .
а) sin а ==0,62 и Т<а<31;
3п
б) tg а== 2,1 и 2<а<2л;
3 3п
в) сов а== 0,2 и.л<а<2;
r) ctg а==2,2 и О<а< ; ,
вычислите значения остальных триrонометрических функций
уrла а. При вычислениях можно использовать микрокаль
кулятор.
769. Найдите значения триrонометрических функций yr
ла а, если известно, ЧТО:
а) sin а== :7 ; б) соэ а== f .
770. Выразите триrонометрические функции уrла а:
а) через sin а; б) через cos а.
172
Упражнения для повторения
771. Упростите выражение:
a+
ab2 a2b a b
а+Ь a
а+Ь
772. Пересекаются ли парабола y==2x2 6x и прямая
y 10x==O? Если да, то укажите координаты точек пересе
чения. Проиллюстрируйте ответ с помощью схематическоrо
рисунка.
а ) а + Ь . аЗ Ь 3 . ( 1 1 + Ь ) . б)
а 2 +аь+ь 2 b2 a2' Ь'
32. ПРИМЕНЕНИЕ ocBoBвых триroНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
к ПРЕОБРАЗОВАНИЮ ВЫРАЖЕНИИ
Мы уже встречались с некоторыми простейшими преобра
зованиями триroнометрических выражений. Рассмотрим более
сложные примеры.
При м е р 1. Упростим выражение ctg 2 а (cos 2 a 1).
Воспользовавшись формулами ctg a== C B а И sin 2 а+
sln а
+ cos 2 а == 1, получим:
ctg 2 а (cos 2 a 1)== C B: а ( sin2 а)== COS2 а.
Sln а
sina + 1+сова
При м е р 2. Упростим выражение
1+сов а sin а .
И sin а + 1+сов а sin 2 а+(1+сов а)2
меем
1 +сов а sin а sin а (1 +сов а)
sin 2 a+1+2cosa+cos 2 a 2+2сова 2 (1+сов а) 2
sin а (1 +сов а) sin а (1 +сов а) sin а (1 +сов а) sin а
При м е р 3. Докажем тождество
tg 2 a sin2 a==tg 2 а sin 2 а.
Преобразуем левую часть данноl'О равенства:
tg 2 a sin2 a== sin: а sin2 a==sin 2 a ( l ) ==
сов а сов а
==sin 2 а (1+tg 2 a 1)==tg2 а sin 2 а.
Мы получили выражение, стоящее в правой части равенства.
Таким образом, тождество доказано.
773. Упростите выражение:
1
а) 1 ; в)
сов 2 а
1 1 .
б) :::;-:т::- ,
Sln а
l sinacosa .
ctga '
tg а ctg a COB2 а
1') 2 sin а
173
774. ПреобраЗУЙ'1'е выражение:
сов 13 1 . sin 2 a l
а) ctg (3 , r) 2 1 +tg а ctg а;
sin /:1 сов a
1
1 +sin а
б) 1
sin а 1
в) 1 ctg '\'
tg y l
д) tg 2 (3 (sin 2 (3 1);
е) cos 2 а (ctg 2 а + 1) sin 2 а.
775. Упростите:
а) l sin а +t а;
сова g
б) 1 + 1 ;
1+сов а 1 COB а
в) ctg 2 (3 (COS 2 (3 1)+ 1;
tg 13+1
r) l+ctg 13 '
776. Докажите, что при всех допустимых значениях (3
значение выражения не зависит 0'1' (3:
1+2sinf)cos(3. 1 1
а) (sin 13+сов (3)2 , в) 1 +tg 2 /3 + 1 +ctg 2 13 ;
б ) sin2/3 cos2/3+1 . r ) 1+sin/3 . 1 sin/3
sin 2 в' сов f\ сов f\ .
777. Докажите, что при всех допустимых значениях а Bыpa
жение принимает одно и то же значение:
а) (sin a+cos a)2 2 sin а cos а;
б) 2 sin2 a COB2 а .
3 sin 2 а+3 сов 2 а '
в) sin 4 а + cos 4 а + 2 sin 2 а cos 2 tG;
sin 4 a cos4 а
r) sin2 a COB2 а .
778. Упростите выражение:
а) tg ( a) cos a+sin а; в) сов 2 а tg 2 ( a) 1;
б) ctg( a)sina. l tg( a)
сова ' r) sina+cos( a) '
779. Преобразуйте выражение:
а) ctgasin( a) cos( a); в) tg( (3)ctg(3+sin2(3;
б) 1 sin2( x) . r) tg( x)+l
совх ' l ctgx .
780. Упростите выражение:
а) сов х сов х
l sinx + l+SinX ;
tg21p 1 + 2
в) tg 2 1p+1 сов ер;
sin 3 а+сов 3 а .
r) . + +Slll а cos а.
Sln а сов а
б сова
) 1+' +tga;
вта
174
781. Найдите наибольшее значение выражения:
а) 1 (COS2 а sin2 а); в) cos 2 а tg 2 а + 5 cos 2 а 1;
б) 1 sinacosatga; r) sina+3sin 2 a+3cos 2 a.
782. Зная, что sin a+cos а ==0,8, найдите sin а cos а.
783. Зная, что tg a+ctg а==2,3, найдите tg 2 a+ctg 2 а.
784. Докажите тождество:
а) (tg a+ctg a? (tg a ctg а?==4;
'б) (2+sin (3) (2 sin (3)+(2+cos (3) (2 cos (3)==7;
t sina 1 ) 1 2sinxcosx
в) С g а+ . r . sin x cos х.
1+сов а sin а ' ВIn X COB Х
785. Докажите, что при всех допустимых значениях а Bep
но равенство:
а) (sin a+cos а? + (sin a cos а)2 == 2;
б ) 1 sin2a 1 .
1 COB2 а tg 2 а '
в) sin 4 a cos4 a==sin 2 a cos2 а;
ctga 2
r) t +t cos а.
с ga ga
786. Докажите тождество:
сов 3 a sin3 а .
а) l+sinacosa cos a Sln а;
В ) cosfl cosfl 2t А
l sinfl l+sinfl g...;
б) (1 +tg а)2+(1 tg a)2== ; r) tg a+tg fI tg а tg J3;
сов а ctg a+ctg fI
д) sin 2 а cos 2 J3 cos2 а sin 2 J3==sin 2 a sin2 J3;
е) cos 2 а cos 2 J3 sin2 а sin 2 J3==cos 2 a sin2 J3.
787. Докажите тождество:
а) (sin J3+sin а) (sin a sin (3) (cos a+cos (3) (cos J3 cos а)==О;
б) ctg 2 a cos2 a==ctg 2 а cos 2 а;
сов 2 a sin2 а . 2 2
в) t 2 t sш а cos а;
с g a g а
1 4sin2acos2a 2 . 1
r) (' + ? + sш а cos а == .
Sln а сов'а
788. Упростите выражение и найдите ero значение:
а) 1 sin а cos а tg а, если sin а==0,7;
б) cos 4 a+sin 2 а cos 2 а, если tg а==2.
789. Найдите значение выражения, предварительно упро
стив ero:
sina sina . 1
1+сов а + 1 COB а ' если Sln а== 8'
175
Упражнения ДЛЯ повторения
790. Найдите значение выражения:
а) cos 8,бл; r) ctg 9п ;
б) tg 9л; 4
в) sin ( 3,бл); д) cos( 1:П )
791. Разность катетов прямоуrольноrо треуrольника равна
б дм. Если больший катет увеличить на 4 ДМ, а друroй YMeHЬ
шить на 8 дм, то полученный прямоуrольный треуrольник бу
дет иметь rипотенузу той же длины, что и первоначальный
треуrольник. Найдите длины катетов данноro треуrольника.
792. Сумма катетов прямоуrольноrо треуrольника равна
79 см. Если один из катетов увеличить на 23 см, а друrой YMeHЬ
шить на 11 см, то новый прямоуrольный треуroльник будет
иметь rипотенузу той же длины, что и данный. Найдите длины
катетов данноrо треуrольника.
33. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
n
Триrонометрические функции уrлов вида т + сх., л + сх.,
: л + сх. и 2л + сх. MorYT быть выражены через функции уrла
сх. с помощью формул, которые называют формулами пpивe
дения.
Выведем сначала формулы приведения для синуса и коси
нуса.
Докажем, что для любоrо сх.
sin( +сх. ) ==cos сх. и cos( +сх. ) == sin сх.. (1)
Повернем радиус ОА, длина ROToporo равна R, на уrол сх. и на
у уrол + сх.. При этом радиус ОА перей
дет соответственно в радиусы ОВ, и ОВ 2
(рис. 78).
Опустим из точки В, перпендикуля
ры B1C, и B,D, на оси координат. По
лучим прямоуrольник OD1B,C,.
А х Повернем прямоуrольник OD,B,C,
n
около точки О на уrол т. Тоrда точка В,
перейдет в точку В2, точка С, перейдет
в точку С 2 на оси у, точка DI в точ
Рис. 78 ку D 2 на оси х, а nрямоуrольн:ик OD,B,C.
176
перейдет в равный ему прямоуrольник OD 2 B 2 C 2 .
Отсюда следует, что ордината точки В 2 равна абсциссе
точки BI' а абсцисса точки В 2 равна числу, противоположному
ординате точки В\. Обозначим координаты точки В\ через Х\ и YI,
а координаты точки В 2 через Х2 и У2. Тоrда
У2==ХI и Х2== YI'
Поэтому
У2 Х, Х2 УI
в-==в- И в-== в-'
Значит,
sin( ; +а) ==сов а и сов( ; +а) == sin а.
Из формул (1) следует, что
sin( ; a ) ==сов а и сов( ; a) ==sin а.
Действительно, представим разность ; а в виде суммы
; +( a). Тоrда
sin( ; a ) ==sin( ; +( a ===сов ( a)==cos а,
сов( ; a) ===сов( ; +( a == sin ( a)==sin а.
Формулы приведения для синуса и косинуса уrла л+а BЫ
rлядят так:
вin (л+а)== sin а и сов (л+а)== COB а. (2)
Для доказательства достаточно представить л + а в виде
. ; +( ; + а) и дважды воспользоваться формулами (1). Ha
пример :
соs(л+а)==соs( ; +( ; +а)) == у
== sin( ; +а) === COB а.
Заметим, что к формулам (2) леrко
прийти и из rеометрических соображе
ний (рис. 79). При повороте радиуса ОА
на уrол а и на уroл л + а точка А пе
рейдет соответственно :в точки В\ И' В2,
которые симметричны относительно Ha
чала координат. Абсциссы, а также
ординаты симметричных ОТНОсительно Рис. 79
177
начала координат точек равны по модулю и противоположны
по знаку. Отсюда следует, что sin (л + а) и sin а, а также
cos (л+а) и cos а противоположные числа.
Из формул (2) следует, что
siп(л а)===siпа и соs(л а)=== соsа.
Для доказательства достаточно представить л а в виде CYM
мы л+( a) и применить формулы (2).
3
Формулы приведения для синуса и косинуса уrла тл+а
имеют вид:
sin( л+а) === cos а и cos( л+а) ===sin а. (3)
Чтобы доказать формулы (3), достаточно представить
л+а в виде ; +(л+а) и применить последовательно фор
мулы (1) и (2).
Из формул (3) нетрудно получить, что
sin( л а) === cos а и cos( л а ) == sil1 а.
Наконец, формулы приведения для синуса и косинуса уrла
2л + а следуют из Toro, что при изменении уrла на целое число
оборотов значения синуса и косинуса не изменяются:
sin (2л+а)==siп а и cos (2л+а)==соs а. (4)
Справедливы также формулы
sin (2л а)== sin а и cos (2л а)==соs а.
Например, для sin (2л а) имеем:
sin (2л а)===siп ( a)== sin а.
Формулы приведения для TaHreHca и KOTaHreHca можно по
лучить С помощью формул приведения для синуса и косинуса.
Например:
( ...::.. ) sin( +a)
tg 2 +а ( n )
сов 2+а
cos а
sin а
ctg а,
t ( + ) cos(n+a)
с g л а sin(n+a)
cos а
sin а
ctg а.
Все формулы приведения сведем в две таблицы, поместив в
первой из них формулы для уrлов л + а и 2л + а, а во второй
n 3
для уrлов 2 + a и тл + а:
178
х л+а 1I а 211+ct 2л а
Binx Bin а Bin а Bin а Bin а
СОВХ COB а COB а сов а сов а
tgx tga tga tga tga
ctg х ctg а ctg а ctg а ctg (Х.
+a л 3 3
х 2 a 2 11 + а 2л а
2
Binx сов ct сов а COB а COB а
СОВ х Bin а Bin а Bin а Binct
tgx ctg а ctg а ctg а ctga
ctg х tga tga tga tga
По таблицам леrко проследить закономерности, имеющие
место для формул приведения. Эти закономерности позволяют
сформулировать правило, с помощью KOToporo можно записать
любую формулу приведения, не прибеrая к таблице: .
функция в правой части равенства берется с тем же 3КalCOM,
lШКОЙ имеет исходкая функция, если считать, что уzол а явля
ется уzлом 1 четверти;
для уzлов 11::l:: а и 211 + а каавание исходной функции coxpa
няется; для уzлов ; + а и 11 + а каавание исходной функции
ааменяется (синус на косинус, косинус на синус, TaHzeHC ка
KOTaHzeHC, KOTaHzeнc ка TaHzeHC).
При м е р 1. Выразим tg (11 а) через триrонометрическую
функцию уrла а.
Если считать, что а уrол 1 четверти, то 11 а будет
уrлом II четверти. Во II четверти TaHreHC отрицателен, значит,
в правой части равенства следует поставить знак «минус&.
Для уrла 11 a название исходной функции «TaHreHc» coxpa
няется. Поэтому
tg (11 a)== tg а.
С помощью формул приведения нахождение значений триrо
нометрических функций любоrо уrла можно свести к нахож
дению значений триroнометрических функций уrла от О до ; .
При м е р 2. Найдем значение cos 8; .
Имеем:
8л ( 2Л ) 211 ( Л ) Л 1
cos з==СOS 211+з ==cos з==соs 11 з == cos 3== 2'
При м е р 3. Найдем значение sin ( 5850).
Имеем:
sin ( 5850)== sin 5850== sin (3600+2250)==
== sin 2250 == sin (1800 +450)== ( sin 45°)==sin 450 == 'f' .
179
. 793. Замените триrонометричес"ой функцией' уrла а:
а) Sin( ; a); д) сов (2л а); и) ctg (3600 a);
б) cos( : л + а); е) sin (2л + а); к)' cos (900 а);
в) tg( : Л а); ж) tg(180°..,.....-a); л) sin(2700 a);
r) сtg(л+а); з) sin(180 0 +a); м) tg(270 0 +a).
к триrонометричес"ой функции уrла а:
. 794. Приведите
а) Sin( ; +а);
б) cos( : Л а);
в) tg(л+а);
r) cos (2л+а);
д) ctg (л а);
е) sin (л+а);
ж) sin(360 0 +a);
з) cos (90 0 +а);
и) tg (900 a).
. 795. Выразите sin а, cos а, tg а и ctg а через триrонометри
ческую функцию уrла от '00 до 900, если:
а) а==130 0 ; б) а==190 0 ; в) а== 3200; r) а== 5900.
796. Приведите к триroнометрической функции уrла из про
межутка ( о; .;) :
а) сов 0,7л; б) ctg( : л); в) sin 1,6л; r) tg( ) .
797. Приведите к триrонометрической функции уrла от 00
до 900:
а) tg 1370; б) sin ( 1780); в) sin 6800; r) cos ( 10000).
. 798. Найдите sin а, cos а, tg а и ctg а, если:
235
а) а==sл; б) а=='"4Л; в) а==б-Л'
. 799. Найдите значение выражения:
а) sin 2400; в) tg 3000;
б) cos ( 2100); r) sin 3300;
. 800. Найдите:
а) cos 1200;
в) tg ( 2250);
r) cos ( 2250);
б) sin ( 1500);
д) ctg ( 2250);
е) sin 3150.
7
д) cos б-Л;
) . 4п
е Sln з'
801. Упростите выражение:
а) sin( a ;) ; в) ctg (a 3600);
б) cos (а Л); r) tg ( a+2700).
180
802. Упростите выражение:
а) sin( a з 2 п) ; б) соз( a п) ;
в) tg (а 2л).
803. Преобразуйте выражение:
а) sin 2 (л+а); . В) сов 2 ( п a );
б) tg 2 ( ; + а);
r) ctg 2 (2л а).
804. Докажите, что если А, В и С уrлы треуroльника, то
. А+В С
sш ===cos Т.
805. Докажите, что если а +,13+1'===180°, то tg a f\ ===ctg .
806. Упростите выражение:
а) sin (900 a)+cos (180 0 +a)+tg (270 0 +a)+ctg (360 0 +а);
б) sin( ; +а) cos (а л)+tg (л а)+сtg( п a).
807. Преобразуйте выражение:
а) COB( a)COB(1800+a) . в) Bin( a)ctg( a) .
вin ( a) вin (90 0 +а) , сов (3600 a) tg (180 0 +a) ,
б) Bin (п+а) сов (2п а) . r) вin (п+а) вin (а + 2п)
tg (п а) сов (а л) , tg (п+а) сов (1,5n+a) .
808. Упростите выражение:
а) sin 2 (180° x)+sin2 (270° x);
б) sin (л х) сов( x ;) sin( х+ ;) cos (л х).
809 Упростите выражение:
а) сов 2 (л+х)+соs 2 ( ; +х);
б) sin (л+х) соз( ; +х) соз (2л+х) sin( 3 2 п x) .
810. Докажите, что:
Вin ( 3 2 л+а )
tg (п а)
а) сов (п+а) t g ( : л+а)
ct g ( i a )
t g ( ; +а)
tg2 а;
б)
Bin (л а)
tg(n+a)
сов (2n a)' .
. Bin ( a) sщ а.
181
811. Докажите, что:
а) sin( : л+а) ctg( ; a) +sin (л а)+сtg( : л а) ==tga;
б) сtg2(2л а) sin ( а ) . == .
2 сова SIn а
Упражнения для повторения
812. Известно, что ; < а < л. Найдите:
а) sin а и ctg а, если cos а== 0,8;
б) sin а и cos а, если tg а== 5.
813. Докажите, что
sin 3 а (l+ctg a)+cos 3 а (l+tg a)==sin a+cos а.
814. От станций А и В, расстояние между которыми
75 км. отправились одновременно товарный и скорый поезда и
встретились через полчаса. Товарный поезд прибыл в В на
25 мин позже, чем скорый в А. Какова скорость каждоrо no
езда?
815. За 70 км до конечной станции поезд опаздывал на
10 мин. Чтобы прийти в пункт назначения вовремя, машинист
увеличил скорость на 10 кмjч. С какой скоростыо шел поезд
последние 70 км?
Контрольные вопросы
1. Запишите формулу, выражающую связь между синусом
и косинусом одноrо и тoro же уrла. Проведите доказа
тельство.
2. Запишите формулы, выражающие TaHreHc и KOTaHreHc че
рез синус и косинус. Проведите доказательство.
3. Выведите формулы:
tg actg а==l; 1+tg 2 a== ; 1+ctg 2 a== .
. СОБа Slna
4. Запишите формулы приведения для уrлов +a и л а.
2
14. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
34. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
Выведем формулы, выражающие триrонометрические функ
ции суммы И разности двух уrлов через триrонометрические
функции этих уrлов.
Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на уrол а и на
уrол f3 (рис. 80). Получим радиусы ОВ и ОС.
182
Найдем скалярное произведение векторов ОБ и ОС. Пусть
координаты точки Б равны ХI и YI, Координаты точки С равны
Х2 и У2. Эти же координаты имеют соотвеТственно и векторы
ОБ и ОС. ПО определению скалярноrо ПРОИЗведения векторов:
ОБ'ОС===ХI Х 2+УIУ2.
Выразим скалярное произведение ОБ. ОС через триrономет
рические функции уrлов а и /3. Из определения косинуса и сину
са следует, что
ХI ==R сов а, УI ==R Bin а, X2==R сов /3, Y2==R Bin /3.
Подставив значения XI, Х2, YI, У2 В правую часть равенства
(jjj. OC== XIX2+ YIY2, получим:
ОБ . ОС R 2 сов а сов /3+R 2 Bin а sin /3==
===R 2 (сов а сов /3+sin а Bin (3).
Значит,
ОБ.ОС R 2 (сов а сов /3+Bin а sin (3).
С друrой стороны, по теореме о скалярном произведении
векторов имеем:
ОБ . ОС 1 0БI .I ОСI .cos LБОС==R 2 сов LБОС.
Уrол БОС между векторами ОБ и ОС может БЪ1ТЬ равен
a /3 (см. рис. 80), 2л (а /3) (рис. 81) либо может отличаться
от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих
случаев сов LБОС==сов (a /3). Поэтому
ОБ. ОС R 2 cos (а /3).
Так как ОБ.ОС равно также R 2 (cos а сов /3+siI1 а sin (3), то
сов (a /3)==COB а сов /3+Bin а Bin /3. (1)
Формулу (1) называют ФОРМУЛОй косинуса разности.
Коси.",ус pa3ltOCTU двух уzяов раве.", произведению коси""усов
этих уzяов nяюс nроизведен.ие си""усов этих уzяов.
С помощью формулы (1) леrко получить ФОРМУЛУ косинуса
СУММЫ:
у
Рис. 80
у
х
Рис. 81
183
cos (а+ (3)==COS (a ( (3»==cos а cos ( 13)+sin а sin ( 13)==
== cos а cos 13 sin а sin (3.
Значит,
cos (а+ 13)==cos а cos f3 sin а sin 13. (2)
Косинус суммы двух YZlf,OB равен произведению косинусов
этих YZlf,OB минус прouзведение синусов этих YZlf,OB.
Выведем теперь формулы синуса суммы и синуса разности.
Используя формулы приведения и формулу (1), получим:
sin (а + (3)==cos( ; (a+(3») ==cos(( ; a) (3) ==
===cos( ; a) cos (3+sin( ; a) sin (3==sin а cos (3 + cos а sin (3.
Значит,
sin (a+(3)==sin а cos 13+cos а sin (3. (3)
Синус суммы двух YZlf,OB равен произведению синуса nep
BOZO УZ/Ю ка косинус Bropozo Пlf,ЮС произведение косинуса nep
Bozo УZ/Ю ка синус Bropozo.
Для синуса разности имеем:
sin (a (3)==sin (а+( (3»==sin а cos ( (3)+cos а sin ( (3)==
== sin а cos (3 cos а sin (3.
Значит,
sin (a (3)==sin а cos (3 cos а sin (3. (4)
Синус разности двух YZlf,OB равен произведению синуса nep
Bozo УZ/Ю ка КOCUНУС Bropozo минус произведекие косинуса
nepBozo уzл.а ка синус Bropozo.
Формулы (1) (4) называют формулами сложения для си
нуса и косинуса.
Приведем примеры использования формул сложения.
При м е р 1. Вычислим cos 150 и sin 150.
Представим 150 в виде разности 450 300. Тоrда
соэ 150==соэ (450 300)==cos 450 соэ З0 0 +sin 450 sin 300==
== ,;2 . .j3 + ,;2 . 1 ,д,+,;2 .
2 2 2 2 4'
sin 15°==sin(450 300)==sin 450 cos З0О соs 450 s n 300==
,;2 . .j3 ,;2 . 1 ,д, ,;2
2 2 2 2 4
При м е р 2. Упростим выражение cos (a.+(3)+cos (a. (3).
Воспользовавшись формулами косинуса суммы и косинуса
разности, получим:
cos (а.+ (3)+cos (a. (3)==cos а. cos (3 sin а. sin (3+
+ соэ а. cos fI + sin а. sin 13 == 2 соэ а. сов 13.
184
Используя формулы (1) (4), можно вывести формулы сло
жения для TaHreHca и KOTaHreHca. Выведем, например, формулу
TaHreHca суммы:
t (a+13) sin(a+t1)
g cos (а+ 13)
sin а cos 13 + cos а sin 13
cos а cos t1 sin а sin 13
Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на
произведение cos а cos 13, предполаrая, что cos а =1= О и cos 13 =1= О.
Получим:
sin а cos 13 + сов а sin 13
сов а сов 13 сов а сов 13
сов а cos 13 sin а sin 13
сов а сов 13 соВ а сов 13
sin а + sin 13
сов а сов 13 tg a+tg 13
1 sin а . sin 13 1 tg а tg 13 .
сов а сов 13
Значит,
tg(a+т== tga+tgtl .
l tg а tg 13
(5)
Аналоrично можно доказать, что
t ( a ) tg a tg 13
g f3 l+tgatgtl '
(6)
. 816. С помощью формул сложения преобразуйте выражение:
а) cos( (jJ);
б) cos( + (jJ);
в) sin( (jJ+ ) ;
r) sin((jJ ) .
. 817. Используя формулы сложения, проверьте, что:
а) sin( +а) ==cos а; в) cos (:n: а)== cos а;
б) sin (:n:+а)== sin а; r) соа( 3; +а) ==sin а.
. 818. Используя формулы сложения, Ь:реобразуйте выраже
ние:
а) sin (600 (3);
б) cos ((3 300).
819. Представив 1050 как сумму 600+450, вычислите:
а) sin 1050; б) cos 1050.
820. Представив 750 как сумму 300+450, вычислите:
а) sin 750; б) cos 75".
. 821. Упростите выражение:
а) sin (a+13) sin а cos 13;
б) sin а sin l3+cos (а + (3);
185
В) sin( ; a) +cos а;
.
r) -V; sin a+cos( a ; ) .
. 822. Упростите выражение:
а) ,j2 sin( : +а) cos а;
б) ,j2 sin( a ) sin а;
. 823. Упростите:
а) cos (a ) cos а cos ;
в) 2 cos( a) .j3 sin а;
r) .j3 cos a 2 cos( a ;) .
б) sin а cos sin (a );
в) sin( ; +а) +sin а;
r) cos( а+ :) + sin а.
. 824. Докажите тождество:
а) cos (a )+sin ( a) sin (3===cos а cos /3;
б) sin (а+ (3)+sin ( a) cos ( /3)===cos а sin .
. 825. Докажите тождество:
а) sin (a ) cos а sin ( /3)===sin а cos /3;
б) cos (a+ )+sin ( a) sin ( /3)===cos а cos /3.
826. Упростите выражение:
а) сов 2/3 cos /3+sin 2 sin /3;
б) sin 3у cos y cos 3у sin у.
827. Найдите значение выражения:
а) cos 1070 cos 170 +sin 1070 sin 170;
б) cos 360 cos 240 sin 360 sin 240;
в) sin 630 cos 270 + cos 630 sin 270;
r) sin 51 о cos 21 о cos 51 о sin 210.
828. Вычислите:
а) cos 180 cos 630 + sin 180 sin 630;
б) cos 320 cos 580 sin 320 sin 580.
829. Упростите выражение:
а) sin( а+ ;) cos( a ; ) +cos( а+ ; ) sin( a ; );
б) cos( : +(3) cos( : ) sin( : +(3) sin( : ).
830. Докажите, что:
а) sin (a+/3)+sin (а fЗ)===2 sin а cos /3;
186
б) cos (a P) cos (а+ Р)==2 sin а sin р;
в) cos (600 a) cos (60 0 +а)==..уз sin а;
r) sin (300 a)+sin (300 + а) ==cos а.
831. Упростите выражение:
а) sin(a+p) sin(a p); б) соs(З00+а) соs(300 а).
832. Докажите тождество:
а) sin (а+ р) sin (a p)==sin 2 a sin2 р;
б) cos (а+р) cos (a p)==cos2 a sin2 р.
833. Упростите:
а) sin (a+ ) COB а sin
sin (a )+COB а sin
б) sin(a )+2cosasin
2 сов а сов COB (a M .
834. Упростите:
а) сов (a+ )+sin а sin
сов (a ) sin а sin
б) сов (a ) 2 sin а sin /3
2 sin а сов sin (a ) .
835. Зная, что sin а == 187 ' cos Р == : ' а и р уrлы 1 чет
верти, найдите значение выражения:
а) sin (а+р); б) cos (а+р); в) cos (a p).
836. Найдите sin (а + р), если sin а == :1 ' sin р == '
а уrол II четверти, а р уrол IV четверти.
837. Известно, что а и р уrлы II четверти и sin а==
4 А 15 Н u
==т' соэ 1"== 17' аидите:
а) sin (а+ р); в) соэ (a (3);
б) sin(a p); r) соэ(а+Р).
838. Докажите, что если а, р и l' уrлы треуrолъни
ка, то
sin l' == sin а соэ р + соэ а sin р.
839. Синусы двух острых уrлов треуrолъника равны : и
5 Н u
13' аидите косинус третьеrо уrла треуrолъника.
1 2
840. Косинусы двух уrлов треуrолъника равны 3" и 3'
Найдите синус Tpeтъero уrла треуrольника.
841. Зная, что tg а == : и tg f3 == ' найдите tg (а + ).
842. Вычислите: а) tg 150; б) tg 750.
187
843. Используя нечетность TaHreHca, выразите tg (a (3) че
рез tg а и tg (3.
844. Известно, что tg а==+, tg (3==+. Найдите:
а) tg (а+ (3);
б)tg(а (3).
УпражнеНI!Я для повторения
845. Найдите значение:
а) sin 4800;
б) cos ( 5700);
846. Докажите, что
(cos a+sin a? l
ctg а sin а cos а
в) tg ( 7500);
r) ctg 4950.
2 tg 2 а.
847. Упростите выражение:
а) cos a sin( a) . б) tg ( a) ctg а+ t t а ) '
l ctg( a) , с g a
848. Решите неравенство:
а) (x+4)(x+5) 5 7;
б) 6 (2x+1,5) (4 x) 0.
849. Два автопоrрузчика выполнили работу за 20 ч. За
сколько часов может выполнить эту работу каждый автопоrруз
чик, работая один, если известно, что второй может выполнить
ее на 9 ч быстрее, чем первый?
35. ФОРМУЛЫ ДВОИНОro УrЛА
Формулы сложения позволяют выразить sin 2а,
tg 2а через триrонометрические функции уrла а.
Положим в формулах '
sin (а + (3) == sin а cos (3 + cos а sin (3,
cos (а+ (3)==cos а cos (3 sin а sin /3,
( ) tg a+tg j}
tg ,а+/3 l tgatgj}
cos 2а и
/3 равным а. Получим тождества:
sin 2а === 2 sin а cos а,
cos 2a==cos 2 a sin2 а,
tg 2а
2tga
l t g2 a.
'(1)
(2)
(3)
Эти тождества называют формулами двойново увла.
188
Приведем примеРJ>l применения формул'двойноrо уrла для
нахождения значений триrонометрических функций и прео6ра
зования триrонометрических выражений.
При м е р 1. Найдем значение sin 2а, зная, что cos а==
== 0,8 и а уrол III четверти.
Сначала вычислим' sin а. Так как а уrол III четверти, то
sin а < О. Поэтому
sin а== 1 COS 2 а== "' 1 O,64== o,36 == O,6.
По формуле синуса двойноrо уrла
sin 2а==2 sin а cos а==2.( o,6).( o,8)==o,96.
При м е р 2. Упростим выражение
sin а соs З а sinЗ а cos а.
Вынесем за скобки sin а cos а и воспользуемся формулами
двойноrо уrла:
sin а соs З а sinЗ а cos a==sin а cos а (cos 2 а sin2 а)==
==+(2 sin а cos а) cos 2а== sin 2а cos 2а== sin 4а.
Из формулы (2) следует, что
1 соэ 2а==2 sin 2 а.
(4)
Действительно, выразив cos 2а через sin а, получим:
cos 2a==(1 sin2 a) sin2a==1 2 sin 2 ;:.
Отсюда 1 cos 2а == 2 sin 2 а.
Аналоrично, выразив cos 2а через cos а, получим:
1 +cos 2а==2 cos 2 а. (5)
Формулы (4) и (5) используютс.я в вычислениях и прео6ра
зованиях.
1 СОБ а
При М е р 3. Упростим выражение 1 + .
СОБ а
Применим формулы (4) и (5) к выражениям 1 соэ а и
а
1 + cos а, представив а в виде произведения 2. 2' Получим:
1 СОБ а
1 +СОБ а
. 2 а
2 SIn 2
2 а
а tg 2'
2 сos 2
2
. 850. Упростите выражение:
а ) sin 2а .
. ,
Slna
б) 2 СОБ 2 а .
sin 2а '
189
) Bin 2() . А
В COB() SlnIJ;
r) cos 2a+sin 2 а;
д) cos 2 (3 cos 2(3;
сов 2а
е) cos а.
сов a+Bin а
. 851. Сократите дробь:
а) Bin 400 в) сов 800
вin 200 ; сов 400 + Bin 400 ,
б) Bin 1000 r) сов 360 + Bin 2 180
сов 500 , сов 180
. 852. Упростите:
а) Bin 2/3 . В) sin 2 y+cos 2у;
Bin 2 /3 '
Bin 2а сов 2а .
б) 2 Bin а cos а; r) сов a Bin а Sln а.
853. Пусть sin а == 15з и а уrол 11 четверти. Найдите:
а) sin 2а;
б) cos 2а;
в) tg 2а.
3
854. Известно, что tg а==т и 180 0 <а<270 0 . Найдите:
а) sin 2а;
б) cos 2а;
в) tg 2а.
855. Косинус уrла при основании равнобедренноrо Tpe
уrольника равен 0,8. Найдите синус и косинус уrла при верши
не этоrо треуrольника.
856. Пусть cos а== 0,6 и а уrол 111 четверти. Найдите:
а) sin 2а; б) cos 2а; в) tg 2а.
. 857. Используя формулы двойноrо уrла, выразите:
а) sin а, cos а и tg а через триrонометрические функции
а
уrла 2 ;
б) sin 4а, cos 4а и tg 4а через триrонометрические функции
уrла 2а.
. 858. Упростите выражение:
а) Bin а в) сов 'р
а cos +Bin
2 сов 2 2: 2 2
б) Bin 4/3 r) сов 2a Bin 2а
сов 2/3 ; сов 4а
859. Найдите значения sin а, cos а и tg а, если известно, что
. а 9 О
sш 2 == 41 и <а <л.
190
. 860. Упростите выражение:
а) sin 2a 2 sin а . в) sin 2сх ctg сх 1;
cos a 1 ,
б} cos 2a cos2 а . r) (ctg cx+tg сх) sin 2сх.
1 COS2 а ,
. 861. Упростите:
а) 0,5 tg сх sin 2сх + cos 2 сх; б) sin 213
cos 213+sin 2 13 .
. 862. Вычислите:
а) 2 sin 150 cos 150; r} cos 2 150 sin2 150;
б) 8' л л д) 4 сов 2 4 sin 2 .
sшвсоs в ; в 8 '
в) sin 1050 cos 1050; е) 2 7л . 27л
cos. 12 SШ 12'
863. Упростите:
а) 2 tg 50 4 tg 150 в) tg 750
1 tg2 50 , б} 1 tg2 150 ; 1 tg2 750 .
864. Найдите значение выражения:
а) 2 sin 1650 cos 1650; 2 tg 2400
б) cos275° sin275°; в} 1 tg22400 '
865. Упростите выражение:
2 .
а) tg a+ctg а '
б) (1 tg2 сх) cos 2 сх;
. л а л а
r) sш соs ;
д) 2 cos 2 л+а 2 sin2 л+а .
4 4 '
В } ( + ) sin 2 2cx'
sin 2 а cos 2 а '
3л а
4tg
е)
1 t 23л а .
g
866. Докажите ТQждество:
а) 1 (sin cx cos cx?==sin 2сх;
б) cos 4 cx sin4 cx==cos 2сх;
в) ctg сх sin 2сх ==ctg сх cos 2сх;
) а а
r ctg 2 tg 2==2 ctg сх.
867. Докажите тождество:
а) (sin cx+cos cx)2 sin 2сх==1;
б) 4 sin сх cos сх cos 2сх ==sin 4сх;
в) sin 2cx tg cx==cos 2сх tg сх;
r) (ctg cx tg сх) sin 2сх==2 cos 2сх.
191
868. Упростите выражение:
. а . 11 a . ( 311 )
а) 4SШ2SШ SШ 2 a
) sin2 а ctg а
В .
sin 2а '
б) (sin [:3+сов [:3)2 .
1 +sin 2[:3 ,
869. Упростите:
а 211+а 211+а
а) 4COB4COB COB ;
( соэ!:} соэ[:3 ) . 2
r) 1+' [:3 + 1 . [:3 SШ .
Sln Sln .
в) 1
1 tg а
1 .
l+tg а'
2cos 2 atga .
6) co;>s2 a sin2 а '
) ( sina + Sina ) . 2
r 1 +cos а 1 cos а Sln а.
870. Упростите выражение:
а) 1 +сов 4а; ) 1 соэ 2а ж) 1 соэ 2a+sin 2а .
r . ,
sin 2а ' 1+сов 2a+sin 2а
б) 1 COB 4а; д) tg [1., (1 +сов 2а); l+sin( ; 2a)
в) 1 +сов 2а . е) 2 sin a+sin 2а . з)
2 соэ а , 2 sin a sin 2а ' 2
871. Упростите:
а) sin 2[:3 в) ctg (1 COB 2(3); д) l sin( ; +2[:3) .
1+сов 2[:3 , 2 sin f:3 ,
б) 1 соэ2[:3. r) 1 +сов 4[:3 е) 1+СОВ(11+[:3)
2 sin [:3 , сos 2 [:3 sin2 [:3 , sin (11 [:3) .
872. Докажите тождество
1+sin а==2 сов 2 ( : ;) .
873. Упростите выражение:
а) 1+сов 2ЧJ . б) 1 sin 2ЧJ
1 соэ 2ЧJ , 1 +sin 2ЧJ .
874. Существует ли такой уrол Х, при котором:
) .3
а sш Х сов Х==7;
б) . 3 ...
Sln Х СОВ Х==Т!
Упражнения для повторения
875. Упростите выражение:
а) сов (3л а); в) sin (л+а) сов( a ; )
6) ctg (5л+а); r) tg (л а) sin( а+ ; ) .
192
876. Упростите выражение:
а) sin(a ) .
tg a tg /3 '
б) ctg a+ctg /3
sin (а+/3) .
877. Решите неравенство:
а) х (х+5):::;;;;2х 2 +4; б) 1O (2x 1)(3 x) 1 7x.
878. Два сварщика, работая вместе, MorYT выполнить за
дание за 30 ч. За сколько часов сможет выполнить это задание
каждый сварщик, если известно, что первому на выполнение
всей работы потребуетс,я времени на 11 ч больше, чем второму?
36. ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ
триroНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
Сумму и разность синусов или косинусов можно предста
вить в виде произведени,я триrонометрических функций.
Формулы, на которых основано такое преобразование, MorYT
быть получены из формул сложения.
Чтобы представить в виде произведения сумму sin а + sin [3,
положим а == х + у и [3 == х у и воспользуемс,я формулами
синуса суммы и синуса разности. Получим:
sin а +sin l3==sin (х+ y)+sin (x у)===
===sin х cos y+cos х sin y+sin х cos y cos х sin у===
===2 sin х cos у.
И х+ R. Х У Х === а+/3
З равенств а === у и р == находим, что 2 и
a /3
у == . Поэтому
sin a+sin [3===2 sin at/3 соэ а;/3 .
Мы получили формулу суммы синусов двух уrлов.
Сумма сипусов двух уzяов равна удвоеппому nроизведепию
сипуса nояусуммы этих уzяов па косипус их nояуразпости.
Аналоrично можно вывести формулы разпости синусов,
суммы и разности косинусов.
Формула разности синусов:
sin a sin [3===2 sin а;/3 cos a /3 .
Ратость сипусов двух уzяов равпа удвоеппому nроизведе
пию сипуса nояуразности этих уzяов на косинус их nояу
суммы.
7 Апrcбра. 9 кл.
193
Формула суммы косинусов:
а+(:\ а fЗ
соэ а+СОБ [3==2 соэ соэ .
СУМJIШ косинусов двух уzлов равна удвоенному произведе
нию косинуса ПОЛУСУММЫ этих уzлов Н,а косинус их nолураз
ности.
Формула разности косинусов:
. а+fЗ . а fЗ
COS a cos [3== . 2 sш sш 2 '
Разность косинусов двух уzлов равна взятому со ;m,aKOM ((Mи
нус)) удвоенному произведению синуса ПОЛУСУММЫ этих уzлов
на синус их полуразности.
Учитывая, что sin a;f3 ==sin( a;l'I ) ==sin I'I-;a , Форму
лу разности косинусов можно записать в друrом виде:
соэ а соэ [3==2 sin at f3 sin f:\-;a .
Приведем примеры применения полученных формул.
При м е р 1. Упростим сумму sin 100 +sin 500.
Воспользовавшись формулой суммы синусов, получим:
. 10 0 + ' 50 0 2 . 100+500 100 500
Sln sln == Sln 2 COS 2
== 2 sin 30°cos ( 200)==2 .+cos 200 ==cos 200.
При м е р 2. Представим в виде произведения разность
cos 0,3л sin 0,6л.
Воспользовавшись формулой приведения, представим дaH
ное выражение в виде разности косинусов и преобразуем ее в
произведение. Тоrда
соэ 0,3л siп 0,6л==соs 0,3л siп (0,5л+о,lл)==
О 3 О 1 2 . 0,3л+О,lл . 0,3л . 0,lл
==COS " л .соs , л== Sln 2 Sln 2
== 2 sin 0,2л sin О,lл.
При м е р 3. Представим в виде произведения выражение
1 sin а.
Так как 1 == sin ; , то данное выражение можно представить
в виде разности синусов. Поэтому
194
' .a +a
1 .. л 2 02 2
Sln а ==Sln 2 sin а == Sln СО!'! ==
2 2
==2 Sin ( 2!... ) Cos ( + ) .
4 2 4 2,
Эту задачу можно решить иначе:
l sin а==l coв( ; a) ==l cos( 2( ) ==
2 . 2 ( л а )
== sш 4 2 .
с помощью формул приведения первое из полученных BЫ
ражений можно преобразовать во второе и наоборот.
. 879. С IIОМОЩЬЮ формул преобразования суммы триrоно
метрических функций в произведение разложите на множители
выражение:
а) sin 3a+sin а; в) cos 2x+cos 3х;
б) sin [3 sin 5[3; r) cos у cos 3у.
. 880. Представьте в виде произведения:
а) sin 400 +sin 160; ) llл + 3п
е cos cos ;
б) sin 200 sin 400; 12, 4
в) cos46° cos74°;
r) cos 150 +cos 450;
) . 2л + о л
д sш б SШ5';
ж) cos( ; a) +cos а;
з) sin( +а) sin( a)
. 881. Представьте в Виде произведения:
а) sin'12° +sin 200;
r ) sin sin '
6 9 '
д) sin a sin( а+ ; )
е) cos( +а) cos(
б) sin 520 sin 320;
л л
в) cos 10 cos 20 ;
882. Представьте в виде произведения выражение:
а) sin 150 +cos 650; в) cos 500 +sin 800;
б) cos 400 sin 160; r) sin 400 cos 400.
883. Представьте в виде произведения:
а) cos 18° sin 220; б) cos 36°+sin 360.
195
884. Докажите. что:
а) tg a+tg (3 ' sin(a+(\) .
сosасов(\ ·
б ) t a t A sin(a f1)
g g t-' cosacos(\'
885. С помощью формул. доказанных в предыдущем
упражнении. преобразуйте выражение:
б) tg 3(3 tg (3;
) л л
l' tg 12 +tg 3;
4л 3Л
д) tg5 tg5;
а) tg 2a+tg а;
в) ctg 2x+tg 4х;
) t 5л t :л;
g8 c gs'
886. Представьте в виде произведения триrонометрических
функций:
а) sin 2 x sin2 у; б) соа 2 x cos2 у.
887. Представьте в виде произведения:
а) sin х+соа у; б) соа x sin у.
888. Докажите. что:
а) sin а+соа a===v2 соа( a)
б) sin a coa а=== 1/2 соа( +а) .
889. Представьте в виде произведения:
1
а) т+СОВ а;
б) + sin а;
в) 2sina+l;
д) 1/2+2 соа а;
е) 2 sin а 1/з.
1') 1 2 cos а;
890. Представьте в виде произведени.я:
а) sina ' 2 ; б) У; +соаа; в) 1+2соаа; 1') 2cosa.
891. Докажите. что:
а) sin 2a+sin 6а t 4а'
cos 2a+cos 6а g ·
б) cos 2a cos 4а t 3а t а.
cos 2a+cos 4а g g
892. Докажите. что:
а) sin a+sin 5а t 3а'
сов а+сов 5а g ·
6) sin 2a+sin а
sin 2a sin а
t 3а
g
2
а
tg 2
196
893. Найдите значение выражения:
сов 680 COB 220 .
а) sin 680 sin 220 ,
б) sin 1З0 0 +siп 1100
сов 1300+сов 1100
894. РаЗЛ9жите на множители:
а) sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4х;
б) сов 2Y COB 4Y COB 6у+сов 8у.
895. Представьте в виде произведения выражение
соэ х+соа 2х+сов 3х+соэ 4х.
896. Проверьте, что:
а) sin 870 sin 590 sin 930 +sin 61 о ==sin 10;
б) co 1150 coa 350+соэ 650+соа 25°==sin 50.
897. Докажите, что:
а) sin 20 0 +sin 400 COB 100==0;
б) сов 850 +соа 350 coa 250 ==0.
Fпражнения для повторения:
898. Докажите, что:
а) сов 2а siп(л+а)siп(4л+а:)==соs2 а;
б) 4 sin а соэ a+sin (2а л)==siп 2а.
899. Упростите выражение:
сов ( 3 2 П 2a )
а) 1 COB 2а t ( n + ) . б ) t ( + )
sin(n+2a) g"2 а , 1+сов2а с g л а.
900. Напишите уравнение прямой, которая:
а) проходит через начало координат и точку А (0,6; 2,7);
6) пересекает оси координат в точках В (о; 4) и С ( 2,5; о).
901. Упростите выражение:
( 2аЬ а Ь ) 2а Ь
а) a2 b2 + 2а+2Ь . а+Ь +ь=а;
у x3 xy2 ( Х У )
6) x y х2+у2 . (x y)2 x2 y2 .
Контрольные воп.росы
1. Запишите формулу косинуса разности двух уrлов. BЫBe
дите из нее формулы коси уса суммы, синуса суммы и синуса
разности.
197
2. Напишите формулы синуса и косинуса двойноrо уrла.
Проведите доказательство.
3. Напишите формулы преобразования в произведение CYM
мы и разности синусов, суммы и разности косинусов. Проведите
доказательство одной из этих формул.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К rЛАВЕ v
к параrрафу 12
902. Найдите значение выражения:
а) sin a cos 2a cos 3а при а===30 0 ;
б) sin 2a+tg a 2 ctg а при а===45 0 ;
в) tg (900 a)+sin (450 +a)+cos (1800 2a) при а===45 0 .
903. Проверьте, что верно неравенство:
а) cos 600 + cos 450> 1; б) sin 600 + cos 600> 1.
904. Найдите значение выражения:
sin 2а 3 о
а) . (150+) . ,если а=== О ;
SIn а SIn а
2sinacosfI о
б) (+flH ( /3) ' если а===60 , . 300.
сов а сов a
905. Вычислите:
а) tg 2 450 cos 300 ctg 2 300;
б) tg 2 300+2 sin 600 tg 45°+cos 2 300;
в) ctg 2 450 +cos 600 sin2 600 + : ctg 2 60 0 .
906. Докажите, что
cos 300 tg 600 1 === «,tg 2 600 (1 + sin 2 450).
907. В каких координатных четвертях значение выражения
положительно:
а) tg х sin х;
б) совх .
ctg х '
в) sin х cos х tg х?
908. Имеет ли смысл выражение:
а) .jsincp, если ср===170 0 ; в) .jtgcp, если ср===230 0 ;
б) .jcoscp, если ср===160 0 ; r) .jctgcp , если ср===340 0 ?
909*. Уrлом какой четверти является уrол а, если:
а) Isinal===sina; в) Itgal===tga;
б) Icos аl === cos а; r) Ictg аl === ctg а?
198
910*. Запишите общую формулу всех уrлов а, для которых:
а) sin а==l; в) sin а== 1; д) сов а==l;
б) sina==O; Р) сosа==О; е) COBa== l.
911 *. Укажите наибольшее и наименьшее значения Bыpa
жения:
а) 1+2 sin а;
б) 1 3 сов а;
в) Isin al;
r) I сов ; I
д) 3+4 sin а;
е) 2 сов 2 а.
912. Вычислите:
а) 3 sin ( 900)+2 сов 00 3 sin ( 2700);
б) 2 сов ( 2700) tg 1800 sin ( 900).
913. Найдите значение выражения sin а+сов а, если:
а) а== 450; в)' а== 3600; д) а== 4200;
б) а== 900; r) а== 1800; е) а=== 17100.
914. Определите знак выражения:
. 5л 2л 5л 3л
а) SШб--СОSт; в) СОВт+СОВт;
5n л
б) tg Т ctg 5'" ;
л n
Р) tg s +ctg5""
915. В равнобедренном треуrольнике уrол при вершине
равен . Найдите уrлы при основании.
916. Уrлы треуrольника пропорциональны числам 1, 2 и 3.
Найдите их радианную меру.
917. Найдите значение выражения:
sin ; +соs( л)+tg : .
а)
2 . л 3л '
SШ6 СОS2
5 sin( ; ) +2 сов( ; ) .
в)
СОО ( ; ) + sin 3; ,
3 sin ; +2 t g ( : ) +сов( ; )
б)
5 tg 0+6 sin( ; )
sin ( ) +сов ( ) 1
Р) 4 4.
. 3л ( 3Л )
SШ 2 +сов 2
918. Верно ли, что:
а) sin( ; + ; ) ==sin ; +sin ; ;
б) сов ; +сов ; <1?
199
к параrрафу 13
919. MorYT ли синус и косинус HeKoToporo уrла равн.ятьс.я
а Ь
соответственно ...j::r0J:2 и , rде а и Ь некоторые числа,
а +ь +ь
причем a O или Ь O?
920. MorYT ли TaHreHC и KOTaHreHC HeKOToporo уrла равн.ять
1 а
ся соответственно а+а-- и а 2 +1 ' rде а число, не равное
нулю?
921. Упростите выражение:
а) cos 2 a ctg2 а . в) l+tg y+tg 2 У .
tg 2 а sin2 а , l+ctg y+ctg 2 y ,
б) tg2 a sin2 а; r) tgy ctg 2 y 1
cos 2 а 1 tg2 У ctg у
922. Докажите, -что при всех допустимых значениях а
данное выражение принимает одно и то же значение:
а) sin 4 а+сов 4 а+2 sin 2 а сов 2 а;
сов 2 а .
б) 1+' +Вln а;
sma
в) сов 4 a sin4 а+2 sin 2 а;
1' ) 1 + 1
1 tg2a 1 ctg2a'
923. Упростите выражение:
а) (tg a+ctg а) (1 +сов а) (1 coв а);
б) (Bin а+сов a)2 1 .
ctg a Bin а сов а '
в) sin 4 a+sin 2 а сов 2 а+сов 2 а;
r) sin 2 a+sin 2 а сов 2 а+сов 4 а.
924. Докажите, что равенство .является тождеством:
tg 2 a Bin2 а t 6 tg 1-1 ctg 1-1
а ) g а' В ) " 1-'.
ctg 2 a C05 2 а' 1 tg 2 ctg2 1 '
б) tg '2А
. tg +ctg Вln ",;
8in 2 a C052 a+cos 4 a t 4
r) СО82 a 8in2 a+sin4 а g а.
925. Докажите тождество:
а) сов 4 y sin4 у=== 1 2 sin 2 у;
tga sina
в) ===coв а;
81n а ctg а
б) 1 28in2a t t
вш а cos а c g а g а;
tg2y+1 1
r) tg2,\, 1 Sin2y cos2y '
200
926*. Докажите, что значение выражения
(а sin а+ Ь)(а sin a Ь)+(a сов а+ Ь)(а сов a Ь)
не зависит от а.
9 27*. Уп рост ите выр ажение:
а) .j1 s a+.j1+s a ;
1+вша. 1 вша
б) (
l sina l +Sina )( l COBa
l+sin а l sin а 1+сов а
1+сова )
1 COB а .
928*. Выразите:
а) sin 4 a sin2 a+cos 2 а через cos а;
б) cos 4 a cos2 a+sin 2 а через sin а.
u б sin а+сов а.
929. Наидите значение дро и . , если
вш a COB а
tg а 3.
930*. Найдите
. 1
Sln а з.
931 *. Зная, что sin а + сов а a, найдите:
а) sin а сов а; б) sin 3 а+сов 3 а.
932*. Зная, что tg а + ctg а т, найдите:
а) tg 2 a+ctg 2 а; б) tg 3 a+ctg 3 а.
значение
выражения
ctg a+tg а
ctg a. tg а. '
если
* б sin х+сов х
933 . Найдите значение дро и sin x cos х ' если известно,
что sin х сов х 0,4.
* б sin a.+tg а.
934 . Докажите, что дро ь не может прини
сов а. + ctg а.
мать отрицательных значений.
935. Найдите значение выражения сов а + сов 2а + cos 3а,
если:
7п.
а ) a ' б ) a 1200.
6 '
936. Докажите, что:
а) сов (600 а) sin(З00+а);
б) ctg( 800 ;) tg( 100+ ;)
в) sin (300 2a) cos (60 0 +2а).
937. TaHreHC OCTporo уrла параллелоrрамма равен 0,7.
Найдите' T8.HreHC 'l'ynoro yrJ1:a этоl'О параЛJ1:елоrраММа.
201
938. TaHreHC внешнеrо уrла прямоуrольноrо треуrольника,
не смежноrо с прямым уrлом, равен k. Найдите TaHreHCbl
острых yr лов треуrОJIьника.
939. Косинус одноrо из смежных уrлов равен : . Найдите
синус друrоrо уrла.
940. Докажите, что если а + fЗ + l' == л, то:
а) sin(a+f3)==sin1'; в) sin2(а+fЗ)== sin2у;
б) COS (а+fЗ)== coa 1'; r) соа 2 (а+fЗ)==соs 21'.
941 *. Найдите значение выражения:
а) tg 150 tg 300 tg 450 tg 600 tg 750;
б) ctg 180 ctg 360 ctg 540 ctg 720.
942. Найдите:
3
а) tg (2700 , а), если tg а ==5;
б) sin(180 0 +a), если соаа==0,8 и 00<а<900;
в) ctg(3600 a), если sina==+ и 900<а<180 0 ;
r) sin (2700 + а), если sin а== : и 1800 <а<270 0 .
943. Найдите уrол а, если:
а) sin а==+ и 900<а<180 0 ;
б) cos а== -v; и 180 0 <а<270 0 ;
в) tga== 1 и 900<а<180 0 ;
r) ctg a== .j3 и 270 0 <а<360 0 .
944*. Докажите, что tg 10 tg 20 tg 3°...tg 880 tg 890==1.
945. Упростите выражение:
а) (sin (л+а)+соs( ; +а )2 +( cos (2л а) Sin( 3; a)) 2;
б) ( tg( ; a) ctg( ; +а)) 2 ( ctg (л+а)+сtg( 3 t +а)) 2.
946. Докажите тождес'rво:
( 3 . ( 3 '
tg л а) СОВ '2 n a ) л
.. + coa ( a ) sin (л а)+
сов (2л a) 2
+cos (л+а) sin( a ;) ==0.
202
947. Упростите выражение:
а) sin 1600 cos 110 0 +sin 2500 cos 340 0 +tg 1100 tg 3400;
б) tg 180 tg 2880 + sin 320 sin 1480 sin 3020 sin 1220.
948. Докажите тождес'l'ВО:
сов 2 (л а)+Вin2( ; a) +СОВ (л+а) сов (2л а)
а) cos2 а;
t g2 ( a ; ) ct g2 ( л +а )
siп з ( a л) соs(2л а)
б) cos а.
t g : J ( a' ; )соs З ( a : л)
R параrрафу 14
949. Упростите:
а) cos( ; +а) cos a+sin( ; +а) sin а;
б) sin а sin (а + f:3)+cos а cos (a+f:3);
в) cos (36 0 +а) cos (54°+a) sin (36 0 +а) sin (54 0 +а);
r) sin 13 cos (а + т .cos [3 sin (а+ 13).
. 3 1
что sln а ==5 и а уrол четверти.
950*. Известно,
Вычислите:
а) cos 2 (450 a); б) cos 2 (60 0 +а);
в) sin 2 60 0 +sin (30 0 +а) sin (300 a).
951 *. УIIрОСТИте:
а) cos 2 а +cos 2 (600 + а) + cos 2 (600 а);
б) Bin(a+fI)sin(a .'fI).
sin a+sin fI '
в) sin 2 a+sin 2 (120 o +a)+sin 2 (1200 a);
r) cos(a+fI)coB(a. fI)
сов а ... sin fI
952. Найдите tg (а + 13), если известно, что
3
cos а==5'
7
cos 13 == 25 ' rде а и f3 уrлы 1 четверти.
953. Найдите tg ( а ), если sin а == 1 и а уrол
III четверти.
954*. Докажите тождество:
а) tg(a+f:3)tg(a f:3)
tg 2 a tg2 fI
1 tg2 а tg 2 fI
203
б) tgatg(f a) :; : ;
в) t ( "'::"+a ) Cosa+s a .
g 4 cos а вш а '
r) tg a+tg 13 + tg a tg fI 2
tg(a+fI) tg(a fI) .
955. Известно, что tg (450 + а) == а. Найдите:
а) tg а; б) ctg а.
956. Упростите выражение:
а) 1+tg(450 a) . б) 1+ctg(450 a) .
1 tg(450 a)' tg(45°+a) 1 '
в) tg( +а) tg( a) +sin( +а) +sin( a);
r) ctg( a) ctg( +а) +cos( ; a ) +cos( ; +а).
957. Докажите тождество:
а) tg a+tg fI Bin (a+fI) . б) ctg a tg fI сов (a+fI)
tg a tg fI sin (a fI) , ctg a+tg fI сов (a fI) .
958. Выведите формулы KOTaHreHCa суммы и KOTaHreHCa раз
ности:
ct (a+ ) ctgactgfl l , ct (a ) ct g act g l3+ 1 .
g ctg a+ctg fI g ctg fI ctg а
959*. Зная, что а и острые уrлы и sin a==O,l.j2,
sin == 0,6, докажите, что а + == 450.
5 3
960*. Докажите, что a+ ===450, если tg a===li' tg ===8'
а и острые уrлы.
961 *. Докажите, что а + === 3: , еслй tg а === : ' tg == 7,
:n
а и положительные уrлы, меньшие "2'
962*. Известно, что tg ; == 3. Вычислите:
а) sin а; б) cos а; в) tg а; r) ctg а.
963*. Найдите значение cos 4а. если sin а == 1 2,;з .
964*. Докажите тождество:
б) cos 3а==4 cos 3 a 3 cos а;
в) Bi 3а сов 3а === 2'
вша сова '
r ) сов а сов За
Bin a+Bin 3а tg а.
а) sin 3а==3 sin a 4 sin 3 а;
204
965. Выразите:
а) sin 4а через sin а и cos а; б) cos 4а через cos а.
966. Найдите значение выражения:
а) 4 sin 15° cos 15° (cos 2 15° sin2 15°);
б) 4sin 2 75° cos 2 75° (sin2 75°,.....cos 2 75°)2;
1 6 '2П 2П.
в) sш 12 сов 12'
. п зП .33]; 3];
r) sш 16 cos 16 sш 16 сов 16 '
967*. Каково соотношение между а и Ь. если a==sina+cosa,
b==cos a sin а?
1 .
968*. Если cos x== . то верно равенство cos 2х==2 cos х.
Докажите это.
u 1
969. Наидите значение выражения . если cos а == 4 .
Slna
970*. Докажите тождество:
а) cos 2a ctg( : +а) ==sin 2а ctg( +а)
б) ( 2 +tg 2а )( сов 2 a ) ===сов2 а;
l+tg а 2
. 4 4 3 + cos 4А
в) sш f3+cos /3=== ... .
4
971 * . Упростите:
1 1.
а) l+ctg а l ctg а .
1 tg2 а .
б) 1+tg 2 а ·
tg2(45°+a) 1 .
в) tg2 (45 0 +а)+1 ·
r) (tg 2a 2 tg a)(ctg a tg а);
) tg а .
Д tg 2a tg а'
е) tg а+2 tg 2а+4 ctg 4а.
972. Воспользовавшись формулами преобразования суммы
триrонометрических функций в произведение. преобразуйте BЫ
'ражение:
а) sin a+sin f3 .
cos a+cos f3 '
б) sin a sin f3 .
cos a cos f3 '
в) sin a+cos а
sin a cos а
973*. Преобразуйте в произведение:
а) cos 2a+cos 5а+сов а; б) sin a+sin 2a+sin 3а.
974. Представьте в виде произведения:
а) sin 19°.+sin 25°+sin 31°; б) sin 16°+sin 24°+sin 40°..
205
975. I10кажите, что:
sin 220 +sin 80
а) вт 300
вт 12° sin 20 "
сos 700 cos 800'
сов 200 cos 500
б) сов 31 0 +sin 110
sin 800 sin 700
sin 29° sin 190 .
976. Упростите выражение:
sin( +а) +sin( a)
а)
sin( : +а) siп( a)
977*. Докажите, что:
а) sin a+cos a sin( a ) +cos( a ) ==.[6 cos( a 1 )
б) cos( ; a) cos( a) cos( ; +а) +cos( +а) ==
==(vfЗ 1) sin а.
978*. Докажите, что при любых а и В
cos 2 a sin2 B==cos (а+ В) cos (a /3).
979*. Преобразуйте в произведение разность ,j1+cos 2a
б)
сов( a+i) coв( a i )
cos( а+ ; ) +сов( a ; )
1 cos 2а, rде О<а< ; .
980*. Докажите тождество
1 +cos a+cos 2а+сов 3а
2 сов 2 а+сов a l
2 cos а.
981. Упростите выражение:
сов а+2 сов 2а+сов 3а .
а) вт а+2 sin 2a+sin 3а '
б) sin 4а+2 сов 3a sin 2а
сов 4a 2 вт 3a cos 2а .
982. Докажите тождество:
) соsа соs3а+соsба- соs7а t .
а 'sin a+sin 3а+вт 5a+sin 7а g а,
б) cos a coв 2a coв 4а+сов ба t 3
sin a sin 2a sin 4а+вт ба c g а.
983*. Докажите, что если А, В и С уrлы треуrольника, то
sinA+sinB+sinC==4cos : cos : cos .
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
КУРСА VП IХ КЛАССОВ
Вычисления
984. Выполните действия:
2 1 1 ( 1 7 ) 1 3
а)4з+1з.3 56; {') 3 5 3 10 :14+24;
б) 2'2 2 +.4+ ; д) 0,125: ( : + ) .2,2;
в) 15 12 '( 1 + :5 ); e)(2,125.1 1 172 ):7,25.
985. Найдите значение дроби:
а) 12,8:0,64+3,05:0,05 . б) 203,4:9 (5,39 7,39)
2 4' 3 7 1
8 :1 1 .
3 9 14 9 3
986. Вычислите:
а) ( 1,62 2,2. 131) : 1,4;
б) (1+ .0,27 3 .0,15) 1500.( 0,1?;
в) (6 .5 ):( ) 3 +( 1)5;
{') (12 : .2 27):( :) 3
987. Найдите значение выражения:
2 зх 2 . 1 1'0x 2 5y2
а) при х== 2 ; в) + при х==1,4, у== 1,6;
х х у
1 .т2 2 2п .3m
б) 3 2 при т== З ; {') 2 2 + 2 при т== 1,6, п== 3,2.
m m . т тп n
988. Представьте число 2 в виде десят'Ичной дроби и pe
зультат окруrлите до сотых. Найдите абсолютную и относитель
ную поrрешности полученноrо в результате окруrления прибли
женноrо значения.
989. Докажите, что каждое из чисел 0,7 и 0,8 является
5
приближенным значением дроби 7 с точностью до 0,1.
207
990. Измеряя вольтметром напряжение в цепи, получили,
что и == 120 =!::: 0,5 В. Докажите, что относительная поrреm
ность приближенноrо значения не превосходит 0,5%.
991. Зная, что x 16,5 и y 7,2, найдите значение Bыpa
жения:
а) х+у; в) ху;
х
б) x y; r) у;
992. Упростите выражение:
а) ( +vfiO).2 .[5 5.щ;
б) 2 2 -r28 .
2 ...j35 3 '
д) x(x y);
ху
e) + .
х у
в) (2 .щ 3 ?;
r) 10 5 .[3 + 10+5,;з .
10+5,;з 10 5,;з
993. Найдите значение:
а) мноrочлена зх2 6х 5 при x==l+ ;
x2 x 5 fii.
б) дроби x l при x==v- 5 + 1 .
994. Найдите значение выражения:
а) 0,3 З+( ) I +( 0,5) 2. : +( 1) 8.6;
б)( ) 2 ( ) I+( 16J O, 0,25 2.16.
995. Вычислите:
I I ( 1 )
а) 273 814 .5 ; б) 49 .
I
36 2
I I
2 ( ) 3
2
643
996. Найдите сумму десяти первых членов арифметической
проrрессии (Х п ), если Х2 == 2,4 и d == 1,2.
997. Найдите сумму десяти первых членов rеометрической
1
проrрессии (х п ), 'если Х2== 32 и q=== 2'
998. Зная, что cos а == 2 и 3; < а < 2:п, найдите sin а, tg а
и ctg а.
3
999. Известно, что tg а === "4 и CG уroл II четверти.
Найдите sin а, cos а и ctg а.
Тождествеииые преобразования
1000. Преобразуйте в мноrочлен:
а) (x 2y)(x+2y)+4y2;
208
б) (2a 3Ь) (2a+3Ь) 3a2;
в) (5x 1)2+10x;
r) (3у + 4z? 8z (3у 2z);
д) (т 2n) (т 2 +2тn+4n 2 )+6n З ;
е) (c2+4d)(c4 4c2d+16d2) c2 (c4 1);
ж) (зх 4у)2 (2х 7у) (4х+2у);
з) 2х (2х+з)2 (2х 3) (4х 2 +6х+9).
1001. Найдите значение выражения:
а) 8х 2 (x 4) (2x 3)(4x2+6x+9) 17 при х==О,5;
б) 4а 2 (3a 2) 3a (2a 1? (2a 5)(2a+5) при а==3,3;
) (92х2 3ХЬ+Ь2)(3Х+Ь) 9Х(3Х2 Ь) ЬЗ при x== + и
Ь==З-- ;
r) х (3x 2y) (3x+2y) x (3х+2у?+2ху (5х+2у) при х==О,5
и у== 1.
1002. Докажите тождество:
а) (a+2Ь)(a 2Ь)(a2+4ь2)==a4 16ь4;
б) (x 1)(x+l)(x2+1)(x4+1)==x8 1;
в) (a 2) (а+2) (a2 2a+4) (a2+2a+4)==a6 64;
r) (c2 c 2) (c2+c 2)==c4 5c2+4.
1003. Разложите на множители:
а) 12хЗ зх2у 18ху2; в) 8aЬ 14a 12Ь+21;
б) 42а5 6а4+30аЗ; r) x2 5x 9xy+45y.
1004. Разложите на множители:
а) x4 25y2; r) x9 27;
б) 4ь2 o,Olc6; д) 9aь2 16ac2;
в) 8а З +с З ; е) 20хуЗ+45хЗу.
1005. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) x2 x 42; r) 16Ь2 24Ь+9;
б) у2+9у+18; д) 6x2 x 1;
в) 81х 2 +18х+l; е) 3a2 13a 10.
1006. Сократите дробь:
21a3 6a2b 8ab+2a 20b 5
а) 12ab 42a2 ; r) 4ab 8b2+a 2b ;
6т 3 +3тп 2 16a 8ab+b2
б ) - ' д) .
2т 3 n+тп 3 ' 16a2 b2 ,
x2 2тx+3x 6т 9x2 25y2
в) х 2 +211tХ+3х+6т ; е) 9х 2 +30хУ+25 у 2 ;
a2 3a
ж) a2+3a 18 ;
) 4x2 8x+3 .
з 4x2 1 '
т2+4т' 5
и) т 2 +7т+10 .
209
1007. Упростите:
а 2 +16а+12 2 3a 3
в) a3 8 а 2 +2а+4 a 2 ;
2у+1 у+2 1. 2 4ь 2 +18 1
б) у2+3у + зу у2 у' r) 4b2 6b+9 + 8b3+27 2Ь+3 '
1008. Представьте в виде дроби:
ab2' 100 20ь 5 р3 125 4р
а) 5Ь3 ' а2Ь+4а2 ; в) 8р2 ' р2+5р+25 ;
7ху 3x 6y . 9т2 12тп+4п2 3т+6п
б) x2 4xy+4y2 14 у 2 , r) 3т 3 +24п 3 ' 2n 3т '
2 1 х+1
а) х2 зх х 2 +зх x2 9;
1009. Упростите:
а ) x2 4x.24 6x. (a+b?...,..-2аЬ.а 2 +ь 2 .
х 2 +7х ' 49 x2 ' в) 4а2 . ,
if 16y. 4 y . 5c3 5. (c+1? c
б) 2У+18 ' у2+9У ' r) с+2 ' 13с+26 '
1010. Упростите выражение:
а) ( 7 (т 2) т+2 . ) . 2т 2 +4т+8 .
т3 8 т 2 +2т+4 т 3'
а+5 . ( а+2 2 (а+8) ) .
б) a2 9 ' a2 3a+9 а 3 +27 '
( Х+2 2 x 14 ) .х+'2 1 .
в) x 2 зх2 6х .t3X'" x 5 '
1 ( Зт 2т ) 9т2 6т+l
r) 2+ 1 3т + 3т+1 . 6т 2 +10т ;
д) ( x y х/ хз ) : ( x y y2 xy ) x y ;
е) +3 . ( 2а2+3а за т ..! ) +jE:.. l a l .
2a 3 4а 2 + 12а+9 2а+3 2a 3 а'
( ' а+3 a l ) a2 2a 3 l'
ж) а"+2а+1 + a2 2a 3 . а+2 '
3(т+3) т3 3m2 ( Зm 1 )
з) т2+3т+9 + (m+3? ' m:j 27 + т 3 .
1011. Упростите выражение:
а) (4x 2y3? .(o,5x2y 1)3; в) ( 6x;; 5 ) 2. ( с 2 х 3 у '2) \
б ) ( o , 25a 3b4 ) 2 . ( 2а5ь 6 ) 1. , ) ( 0 ,la 2 ) 5 ( ь5 ) 3
r b IC3 . 10а4с6 .
1012. Вынесите множитель из под знака корня:
а) "j12x 2 , rде x o; r) \l32b 5 ; ж) V За 16 ;
б) .j18Y2, rде у<о; д) \/162с 6 , rде с<о; з) V2b'oc ;
в) Vба 4 ; е) VX'БУ 3 ; и) V128x 9 .
210
1013. Внесите множитель под знак RОрНЯ:
а) x.j3, rде х>О;
б) y.J5, rде у<О;
в) aV2,a;
r) ьVЗь 2 ;
1014. Упростите выражение:
а) Y50x + J32x {98х ;
б) (';a+ ) (.Ja f2) (,fi1 J2). va;
в) (,;x+./Y? C.JX '/y)2;
r) ( .yy)(x+.Jx y+y).
1015.. Сократите дробь:
а) 5+.}у . в) a{a l .
5.уу+у' a+{tL+1 '
3x 6 b rbJ l
б) . r) У,.
..JX+.J2 ' ь";Ь+1 '
д) 2С\!3С;
е) m V7m 2 , rде т<О.
д) х.}х+у";у ;
уху + у
с {cd
е) ,т ..;; .
с c d d
1016. Освободитесь от иррациональностц в знаменателе
дроби:
3х _
а) 7.}Х '
б) 5 .
.[cib '
в) 4 .
.jC 1 '
1017. Сократите дробь:
r) 1
2{x+3,J; '
2 I 2 2 I 1
а) хз зхj б) p'3 4q з ху 2 x'2 r) а'.5+ь',5
I I 1 в), , a b
5х З 15 5р'з + 10q3 x 2y y2
1018. Найдите значение выражения:
I I
х'2 +у:1
а) , I
ху 2 x2 У
I I
х'2 y 2
I ,
ху" +х'2 У
при х==0,75, у==0,5;
I 1
т т:1п2 +п
б) З З
m 2 +п '2
I 1
т+т 2п2+п
З З при т == 0,4, п == 0,36.
m '2 п 2
аЬ 3 a 3Ь + а3Ь3 аЗЬЗ в) т1 2 + 6т2 + 1
1 2 I I ., ;
. т2 2
аЗ Ь3 аЗ +а З Ь З +Ь З т+2т 2 j 4 т 2 8
2 2 3 3
a5 b5 а 5 +Ь 5 р" +р2 +р3 1
+ . .. r) .. +1.
1 1 2 1 1 2 Р 1.
a5+b5 a5 a5b5+b5 рЗ l
1019. Упростите выражение:
4 t I 4
а)
б)
211
1020. Упростите:
а) L ) 1 )
\с3 c3 +1
с+l
2
с 3 1
; б)
y l
2
( . 3 1
+
y l
у3 1
).
у 3 +у 3
1021. Докажите тождество:
а) (1 +ctg 2 a) (1 sin2a)==ctg2a;
б) (1 +tg 2 a) (1 cos2a)==tg2a;
в) sina+cosatga 2't а'
сов a+sin а ctg а g,
) 1 1 соэ 2а.
I' tg2a+1 ctg 2 a+1
1022. Упростите выражение:
а) l+siп(л а)СОS( 32зt а);
sin 2 (a ; )+Sin2(а зtj
в)
ctg 2 С;I +а ) +1
б) 1 tg( 3 2 зt a) ctg( Тta) ;
1023. Найдите значение sin(600 a), если соэа==О,8 и
3зt
2<а<2л.
1024. Найдите значение соэ (300 a), если sin а== и
11
2< а < л.
1025. Найдите значение tg (45 a), если tg a==,j2.
1026. Упростите выражение:
а) sin(a (:\) . в) l+tgatg2a;
tga tg(:\ ,
б) COB(a (:\) . {') ctg a ctg 2а.
tg a+ctg (:\ ,
1027. Докажите, что значение выражения не зависит от а:
а) соэ (380 +а) соэ (520 a) sin (380 +а) sin (520 a),
б) sin( ;0 a) СОS( lЛ5 +а) +соэ( ;0 a) sin( 1 зt 5 +а) .
1028. Зная, что tg а== : ' наЙДИ'1'е значение выражения:
а) sin 2а; б) соэ 2а; в) tg 2а.
1029. Упростите выражение:
( а а ) 2
а) sin2 cos2
1 sin а
б 1+вin4а .
) (сов 2a+sin 2а)2 ,
212
в) соэ a 2 sin 2 ; ;
а а
{') tg 2 ctg 2'
1030. Представьте в виде произведения:
а) sin 3a+sin 5а; r) cos 10а.+ cos 4q;
б) cos 5a cos 7а; д) 1 +sin а+ cos а;
в) sin 6a sin 8а; е) 1 sin a cos а.
Уравнения и системы уравнений
1031. Решите уравнение:
а)3х (x 1) 17 ==х (1 +3х)+1; в) 3X:l == 2X 3 ;
2 x 3 2x 1 4 x
б) 2x (x+2)(x 2)==5 (x 1); r) ''''6 +х,=, з '"'"""2''
1032. Решите квадратное уравнение:
а) 2,5х 2 +4х==0; в) 0,2t2 t 4.8=-=0;
б) 6y2 0.24==0; r) з+и2+зи з==оо
1033. Существует ли значение переменной х, при котором
значение квадраТНоrо трехчлена x2 10x+31 равно: а) 5;
б) 6; в) 55?
1034. При каких значениях т уравнение имеет хотя бы
один корень:
а) 10x2 10x+т==0;
б) тx2+4x 2==O;
в) зх2+тх 5==0;
r) 2x2 тx+2==0?
1035. При каких значениях k уравнение не имеет корней:
а) kX2+8x 15==0;
б) 6X2 3x+k==0;
в) 5x2+kx+l==0;
r) 7x2 kx 1==0?
1036. Решите уравнение:
а) 0,3x(x+13) 2x(0,9 0,2x)==0;
б) 1,5х (x+4) x (7 0,5x)==0,5 (10 2x);
) (2х+1?
в 25
) (3х+ 2)2
r 11
x l
==x;
x+5 x2.
4 '
) (2 x)2 2 (7+2x?
д x 5'
) (6 x)2 + == 7 (2x 1)2
е 8 х з '
, 1037. Садовый учаC'l'ОК, имеющий форму прямоуrольника,
требуется обнести изrородью. Определите длину изrороди, если
известно, что длина участка на 15 м больше ero ширины, а
площадь ero равна 700 м 2 .
1038. Найдите два натуральных числа, если известно, что
первое на 6 меньше удвоенноrо BToporo. а их произведение
равно 20.
213
1039. Все ученики одноrо класса обменялись фотоrрафиями.
Сколько учеников было в этом классе, если Bcero было пере
дано 600 фотокарточек?
1040. Цифра десятков двузначноrо числа на 3 меньше циф
ры единиц, а произведение этоrо двузначноrо числа на сумму
ero цифр равно 70. Найдите это число.
1041. Решите уравнение:
х 5 18 . 1 1 3
а) х з х+з х2 9 ' д) x2 9 + 3x x2 '=== 2X+6 ;
70 17 3х . 2 1 4
б) x2 16 x 4 х+4 ' е) 1 x2 l -X + (х+ 1? ==0;
3 5 14 2 3 15
в) (2 x)2 (х+2)'! x2 4 Ж) х2+5х + 2Х 10 == х2 25 ;
2 1 7 . 5 1 29
[') 4 x2 2x : 4 2x2+ 4 ===0, 3) 2i+ 6 6X:-18;,, + зх2 27 ==0.
1042. Участок земли имеет форму ПРЯМОУl"ольноrо Tpe
уrольника, один из катетов KOToporo на 20 м больше друrOl'О.
Найдите длину rраницы участка, если известно, что ero пло
щадь равна 0,24 ra.
1043. Две бриrады, работая вместе, выполняют работу за
6 ч. Одной первой бриrаде на ту же работу требуется на 5 ч
больше, чем второй. За какое время может выполнить всю
работу каждая бриrада, работая отдельно?
1044. Две автомаши ы отправились одновременно из села
в ['ород, который удален на 180 км. Одна автомашина пришла
в rород на 45 мин позже друrой, так как ее скорость была
на 20 км/ч меньше. С какой скоростью шла каждая aBTO
машина?
1045. Ka'l'ep прошел 75 км по течению и столько же против
течения. На весь путь он за'rратил в 2 раза больше времени,
чем ему понадобилось бы, чтобы пройти 80 км В стоячей
воде. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость
течения равна 5 км/ч?
1046. Моторная лодка прошла 18 км по течению и 14 км
против течения, затратив на весь путь 3 ч 15 мин. Найдите
скорость течения, если собственная скорость лодки 10 км/ч.
1047. Турист отправился на автомашине из ['орода А в
rород В. Первые 75 км он ехал со скоростью, на 10 км/ч
меньшей, чем рассчитывал, а остальной путь со скоростью,
на 10 км/ч большей, чем рассчитывал. В rород В, который
удален от А на 180 км, турист прибыл вовремя. С какой
скоростью он ехал в конце пути?
1048. Расстояние от станицы до железнодорожной станции
1
равно 60 км. Мотоциклист выехал из станицы на 17 ч позже
велосипедиста и прибыл на станцию, коrда велосипедист был
от нее в 21 км. Найдите скорость велосипеДИС'l'а, если она была
на 18 км/ч меньше скорости M-ОТОЦИКЛИС'l'а.
214
1049. Из села' в rород, к которому ведет дороrа длиной
1'20 км, выехала леrковая автомашина. Через 30 мин из rорода
в село выехал rрузовик и встретился с леrковой автомаши
ной в 45 км от rорода. Найдите скорость rрузовика, если она
меньше скорости леrковой автомашины на 5 км/ч.
1050. Решите уравнение:
а) 4x4 17x2+4==0;
б) 9x4+77x2 36==0;
в) 2х 4 9х 2 5 == о;
r) 6х 4 5x2 1 ==0.
1051. Решите уравнение, вводя новую переменную:
а) 2 (5x 1)2+35x 11==0;
б) (x2+x 3?+12x2+12x 9==0.
1052. Решите уравнение:
а) x4 16x2==0;
б) х==х 3 ;
в) 1,2х 3 +х==0;
r) О,4х 4 == х 3 ;
д) x3+6x2 16x =O;
е) x4+x3 6x2==0;
ж) х 3 +х 2 ==9х+9;
з) 2х 3 +8х==х 2 +4.
1053. Приведите уравнение к виду х n == а и решите ero:
а) x3==1;
8
б) 1000х 3 + 1 ===0;
в) ;7 х 3 ==0,001;
r) x4 16==0;
9
д) 1+х 5 ==0;
е) x8 16==0.
1054. Изобразив схематически rрафики, выясните, имеет ли
уравнение корни:
1 3
а) x 2==x ;
2
в) == x2+ 1;
х
б) 3х 1 ==,fx;
r) з+х 2 == 12 .
х
1055. Решите rрафически уравнение:
а) x3==7x 6;
6
б) ==0,5x 2;
х
в) ===x2 2x;
х
r)/x==x 3 .
1056. Решите истему уравнений:
а) { 4x y==17, в) { 5х===у+50,
у+6х===23; 3,4x+2,6y==14;
б) { 6x 10 y 1 . r) { 8x 4y , 6 ,
5y+7x 19. 13x+6y 1.
215
1057. Решите систему уравнений:
{ 2x y x 2y 3 { x y+1 + X+Y l 7
а) 2' б) 2 5 '
2x+y x+2y == . x y+1 х+у l з
2 3 3' 3 4 .
1058. Решите систему уравнений
{ ax 3y==13,
2х+Ьу==5
с переменными х. и у, если одним из решений первоrо
уравнения является пара чисел (8; 1), а BToporo пара чисел
(5; 1).
1059. Каково расстояние от точки пересечения прямых
5х 2у == 25 и 4х + 3у == 27: а) до оси абсцисс; б) до оси
ординат; в) до начала координат?
1060. Подберите значения k и Ь так, чтобы система ypaB
нений
{ У kx+ ь,
y 2,5x 3
а) не имела решений;
б) имела бесконечно MHoro решений;
в) имела единственным решением пару чисел, в которой х == 4.
1061. Принадлежит ли точка пересечения прямых 2х +
+у==l1 и 3х+2у==1 прямой:
а) 10x 3y== 45; б) 7x+9y==65?
1062. Найдите те значени,fJ а и Ь, при которых точки
А (2; 3) и В (1; 4) принадлежат параболе у == ах 2 + Ьх.
1063. При каких значениях Ь и с парабола у==х 2 +Ьх+с
пересекает оси координат в точках (о; 3) и ( ; о)? В какой
еще точке эта парабола пересекает ось х?
1064. Леrковой автомобиль проехал за 2 ч на 10 км больше,
чем rрузовой за 3 ч. Если уменьшить скорость леrковоrо aBTO
мобиля на 25%, а rрузовоrо на 20%, то rрузовой автомобиль
проедет за 5 ч на 20 км больше, чем леrковой за 3 ч. Найдите
скорость каждоrо автомобиля.
1065. На опытном поле под рожь отвели участок в 20 ra,
а под пшеницу в 30 ra. В прошлом rоду с обоих участков
собрали 2300 ц зерна. В этом rоду урожайность ржи повыси
лась на 20%, а пшеницы на 30%, и поэтому собрали зерна
на 610 ц больше, чем в прошлом rоду. Какой была урожай
ность каждой культуры в этом rоду?
1066. Расстояние между пунктами А и В равно 160 км.
Из А в В выехал велосипедист, и в то же Время из В в А выехал
мотоциклист. Их встреча произошла через 2 ч. а через 30 мин
216
после встречи велосипедисту осталось проехать в 11 раз боль
ше, чем мотоциклисту. Какова скорость мотоциклиста?
1067. Решите rрафически систему уравнений:
а) { у+х2===5х, в) { ху===l,
2у+5===х; х 2 +у2===9;
б) { х2+у2==25, r) { ху== 2,
2х 2 +у===6; +8 1 2
У 2X.
уравнений способом подстановки:
r) { х2+у2+3ху==1,
3у+х==О;
д) { 2х2+5х зу== 12,
2y 7x==8;
е) { y2 61X+Y==O,
2x y==1.
2
1069. Решите систему уравнений:
а) { х+ху+у==l1, в) { x2+y2==34,
x xy+y==l; ху==15;
б) { .2X Y XY==14, r) { x2 y2==12,
х+2у+ху== 7; ху==8.
1068. Решите систему
а) { х2+у+8==ху,
y 2x==0;
б) { х2 у2 == 16,
х+у==8;
в) { х+у==5,
x2 xy+y2==13;
1070. Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли:
а) парабола у===х 2 ":""'6х+8 и прямая х+у==4;
3
б) прямая х+у==4 и rипербола y== ;
х
в) окружности х 2 +у2===4 и (х з)2+у2==1.
Если пересекаются, то укажите координаты точек пересече
ния. Проиллюстрируйте решение с помощью rрафиков.
1071. Если от числителя и знаменателя обыкновенной дроби
1
отнять по единице, то дробь увеличится на 6'. Если же к
числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь
уменьшится на 110 ' Найдите эту дробь.
1072. Если от числителя и знаменателя обыкновенной
1
дроби отнять по единице, то дробь уменьшится на 10 ' Если
же к числителю и знаменателю прибавить по единице, то
дробь увеличится на 115 ' Найдите эту дробь.
1073. rипотенуза прямоуrольноrо треуrольника равна
41 см, а ero площадь равна 180 см 2 . Найдите катеты этоrо
треуrольника.
1074. Площадь прямоуrольноrо треуrольника равна 44 см 2 .
Если один из ero катетов уменьшить на 1 см, а друrой увели
217
чить на 2 см, то площадь будет равна 50 см 2 . Найдите катеты
данноrо треуrольника. .
1075. Двое рабочих вместе MorYT выполнить некоторую
работу за 10 дней. После 7 дней совместной работы один из них
был переведен на друrой участок, а второй закончил
работу, проработав еще 9 дней. За сколько дней каждый рабо
чий Mor выполнить всю работу?
1076. Двое рабочих, работая вместе, выполнили работу за
2 дня. Сколько времени нужно каждому из них на выполнение
всей работы, если известно, что если бы первый проработал
2 дня, а второй один, то Bcero было бы сделано : всей р боты?
1077. Найдите номер члена арифметической проrрессии
(а п ), paBHoro 3, если а, == 48,5 и d == 1,3. Является ли членом
этой проrрессии число 3,5; 15?
1078. В арифметической проrрессии четырнадцатый член
равен 140, а сумма первых четырнадцати членов равна 1050.
Найдите первый член и разность этой проrрессии.
1079. Последовательность (а,,) арифметическая проrрес
сия. Известно, что а6== 6 и aI6==17,5. Найдите сумму первых
roестнадцати членов этой проrрессии.
1080. В арифметической проrрессии первый член равен
28, а сумма двадцати пяти первых членов равна 925. Найдите
разность и тридцатый член этой проrрессии.
.1081. В арифметической проrрессии (а п ) сумма roecToro и
десятоrо членов равна 5,9, а разность двенадцатоrо и четвертоrо
членов равна 2. Найдите двадцать пятый член этой проrрессии.
1082. Последовательность (Х п ) rеометрическая проrрес
сия. Найдите:
а) XI, если Ха== 128 и q== 4;
б) q, если Xj==162 и Х9==2;
1 1
в) XI, если Хз==2"' и Х6==Т'
1083. Найдите пятый член rеометрической проrрессии
2
(Ь п ), если известно, что b l ==6 и Ьз==з.
1084. Найдите сумму шести первых членов rеометрической
' ь ) Ь 1 1
проrрессии ( п, В которои 6 == 2"' и q == 2""
1085. Найдите сумму семи первых членов rеометрической
проrрессии (Ь,,), если известно, что все члены последователь
ности положительны и Ь з == 20, Ь 5 === 80.
Неравенства
1086. Докажите, что при любом значении переменной верно
неравенство:
218
а) (x 1? (x+2)2<2(x2+4);
б) 3 (x+1? 8x 10?2 (x 2) (х+2);
в) (2a+1)(3a+2) 4+(5a 1) (2а+ 1);
r) (3a 5) (2a 3»(a 4) (3а+2).
1087. Докажите, что при любых х:
а) трехчлен х 2 3х + 200 принимает положительные значения;
б) трехчлен x2+22x 125 принимает отрицательные зна
чения.
1088. Оцените периметр Р и площадь S прямоуrольника,
длины сторон KOToporo а см и Ь см, если 14,3 а 14,4 и
25,1 Ь 25,2.
1089. Пользуясь тем, что 2,6 <1ft <2,7 и 2,2< <2,З,
оцените значение выражения:
а) 1ft + ; б) .у7 .y5; в) .
1090. Решите неравенство:
а) 0,3 (2т 3)<3(O,6т+ 1,3);
б) 1,1 (5x 4»0,2(10x 43);
в) 10 5 (0,3a o,2)?5 10 (0,lа+О,2);
r) 3,2(2b+1)+5,7 7,3 1,6(3 5b);
1 1
д) 4,3х 2' (2,8х 0,6) > 3 (3х + 0,6) + 2,9х;
2 3
е) 5(5,5т 2) 0,8т<4,6т 4(З,6т 1,6);
ж) (2,1у+2)(0,2у з) (0,7у 1)(о,6у+4)? 83;
з) (1 З,6а) (0,2а+3)+(4+0,9а) (О,8а+ 10) 42,2.
1091. Решите неравенство:
) 4,2+2х 15 11' ) o,6т+1,2:::::::1,5m 2,5.
а 3 >, х " r 12 "'" 15 '
б) 2 3 +0 8 5,8а+3,4. ) 1,3a 0,7 0,9а+О,з > 0.
,а ,< 2 ' Д 4 3 '
) 0,5 5y.........O,6 5y. ) 1 ,6 0,3y + 4,4+1,5y < 4 05
в 6 r 4 ' е 2 5 ' у.
1092. При каких значениях Ь:
12 1,5b
а) значения дроби 5 меньше соответствующих зна
u б 11 0,5b
чении дро и 2 ;
14+Ь
б) значения дроби больше соответствующих значе
u б 2,6+3Ь ?
'Нии дро и 2 .
219
1093. Решите систему неравенств:
а) { 5x 2>2x+l. в) { 12y 1<3 2y,
2x+3<18 3x; 5y<2 l1y;
б) { 4y+5>Y-1 17, r) { 8x+l>5x 1,
y 1>2y 3; 9х+9<8х+8.
1094. Решите систему неравенств:
а) { 2x 3(x+l)<x+8,
6х (x 1) (2x+2) (3х з»0;
б) { 10(x 1) 5(x+l»4x 11,
x2 (x+2) (x 2)<3x;
{ 4x 1 О { 3 2у+1 2 y
в) x <l, r) y >4 y,
х 5y 1
4х 1 з<10; (y 1»3y.
1095. Найдите целые решения системы неравенств:
а) { (ЗХ+2)2;;::(3х 1) (3х+ 1) 31,
(2x 3) (8х+5)«4х з)2 14;
б) { (5x 2)2+36>5x (5x 3),
3х (4x+2)+40 4x (3x+7) 4.
1096. Решите двойное неравенство:
а) 5< 4mз 3 <7; в) .....::..11< 2 3P 8;
б 3 1 2x 11 . О 2 5х+2
) , r) . , "'"'"4 2.
1097. При каких значениях переменной х:
а) значения двучлена 0,5 0,2х принадлежат промежутку
[ ; ] ;
20х+40
б) значения дроби принадлежат промежутку
[ 100; 100]1,
1098. Решите неравенство:
а) x2+2x 15<0;
б) 5x2 llх+2;;::0;
в) 10 3x2 5x 2;
r) (2x+3)(2 x»3;
д) 2x2 0,5 0;
е) зх 2 +з,6х>0;
ж) (0,2 x)(0,2+x)<0;
з) х (3x 2,4»0.
1099. Решите неравенство:
а) (2x+l)(x+4) 3x(x+2)<0;
б) (3x 2)2 4x (2x 3»0;
в) (1 6x)(1 +6х)+7х (5x 2» 14;
r) (5x+2)(x 1) (2x+l)(2x 1)<27.
220
1100. При
а) v1 i2x 4;
б) ,fз О,6х ;
каких значениях х
в) ,f15+2x x2;
r) J2x2+ x 6 ;
имеет смысл выражение:
д) Y 12 5x+ =Т ;
е) v'х2+4 + v' зх 17?
1101. Решите неравенство:
а) (2х+7) (3х+6) (x 5»O;
б) (х+2) (о,5х+4) (l,5x 6)<O;
в) (x 6)(4x 12)(5x+l0) O;
[') (О,2х 4) (О,lх+ 7) (o,3x 9) О.
1102. При каких значениях х значение дроби:
8 .2x 5х+8
а) 3х+12 положительно; в) 2x 7 неположительно;
b l 6 b
б) 4х+5 отрицательно; r) Т+-х неотрицательно?
Функции
1103. Найдите область определения функции, заданной фор
мулой:
1
а) Y=== 2x 5 ;
3
r) Y 4x2 4x+ 1 ;
б ) х .
у x2 5x+6'
д) y=== v1 3x 9;
х 1
в) Y ' е) Y .
x2 x+5 ' ,, 4x+2
1104. Функция задана ФОрмулой у=== х2+з. :Какова об
ласть определения этой функции? Найдется ли такое значе
нне aprYMeHTa, при котором значение этой функции равно 1;
1; 51
1105. Функция У===! (х), областью определения которой
является промежуток [ 4; 51 задана rрафиком (рис. 82).
IY
/ "
J 2
, /
J 1 .
1 1\ I
4 ] 2 1 О 1 2 ] L; 5 х
11 т ' , IJ
j j
.,. +2
Рис. 82
221
Какова область значений функции? Найдите f ( 3), f ( 1,5),
f ( 1), f (1), f (3,5). Найдите координаты точек, в которых rpa
фик функции пересекает оси координат.
1106. Какова область значений функции у===! (х), если:
а) f(X)=== 100x+53;
б) f (х) === 9,3х;
8
в) f (х)=== 3х ;
r) f (x)===,fx;
д) f(х)===з х2;
1
е) f (x)=== ;
x 2
ж) f (Х)===2х2 Зх;
з) f (х)=== х 2 +7?
6 2х
1107. Функция у === f (х) задана форму лои у === .
При
каких значениях aprYMeHTa х:
а) f (х»о;
б) f (х)<О?
1108. Найдите по rрафику функции у == f (х) (см. рис. 82) зна
чения aprYMeHTa, при которых: а) f (х)==о; б) f (х»о;
в) f (х)<О.
1109. Ломаная ABCDE является rрафиком функции у == f (х)
(рис. 83). В каких промежутках эта функция принимает
положительные значения и в каких отрицательные?
· p т 1t у rIi 1
E I
. 1 3 r
A i II . . r
I 2 . .
T' т + . rl;Z c. t .
. I J
i' I\
4 R: 1'1.2 1 О j 2 3J 5 х
;' jTr т\ IJ'
1 1 i I )2 П
ШlfI.. 1 t 1 E .
.=t lд з
. " . H l = E =:[ .. . L .
Рис. 83
1110. Функции заданы формулами у== 3x+4, у==2х 2 +
'> 7 1 (
+3х, у==5х, у=== x , У===х' У==5 Х ' у=== vx. Какая из этих
функций является: а) линейной; б) квадратичной; в) прямой
пропорциональностью; 1') обратной пропорциональностью?
1111. Постройте rрафик функции:
а) у== 2,1x; б) y===2x 3; в) у-== 5; r) у== x+4.
1112. Постройте rрафик функции.
8 3
а) y=== ; б) у== .
х х
222
1113. Постройте rрафик функции:
а) y==2x2 2; д) y==x2+x 6;
б) у== x2+1,5; е) у===- o,5x2+1,5x+2;
в) y==x2 4x; ж) y==<3x2 6x+5;,
r) у==1,5х 2 +6Х; з) у===- 2x2+6x 6.
1114. Постройте f'рафик функции у ===- О,5х 2 + х + 1,5. Най
дите по rрафику, при каких значениях х значение у равно
нулю, больше нуля, меньше нуля. В каком промежутке эта
функция возрастает и в каком убывает? Каково наибольшее
или наименьшее значение этой функции?
1115. Изобразите схематически rрафик функции:
а) у===-ах+5 при а<О; д) y===ax2 3 при а>О;
б) у==10х+Ь при ь>о; е) у==-=ах 2 +2 при а<О;
в) y=::= : при k>O; ж) у:==ах 2 +Ьх при а>О, ь>о;
[') у===- : при k<O; з) у==ах 2 +Ьх при а<О, ь>о.
1116. Каково взаимное расположение rрафиков линейных
функций:
а) у===-7х+16 и y==7x 25; в) y = 2,8x и у== 2,8x+ll;
б) y==3,5x 4 и у== 5x 4; [') у:=.=О,6х+8 и у== O,6x?
1117. Найдите координаты точек пересечения rрафиков
функций:
а) y===-2x 11 и y -= 5x+3;
б) у===- 3x 10 и y===-x2 13x +6;
в) у=== 2,5 и у===- 2x+4;
х
3
[') у=== и у=== x;
х
д) у===- зх2+х з и у===- x2+x 5;
е) у . 4х 2 +3х+6 и у===-зх2 зх з.
1118. Найдите расстояние между точками пересечения rи
перболы у === и прямой у===- kx.
х
1119. Какие из линейных функций у== 3x+9, у===-5х,.
y===- 7, y===-9x 1, y=== x 100, у===-1+5х являются: а) воз
растающими; б) убывающими?
1120. В каком промежутке возрастает и в каком убывает
квадратичная функция:
а) y===2x2+10x 7;
б) у===- зх2+х+5;
в) y=--=4х 2 +2Х;
r) у == 3х .. 5х 2 ?
223
1121. Найдите промежутки возрастания и промежутки убы
вания функции:
а) у== l,2x+17;
) 3.
б у=== x;
5
B) y== ;
х
r) у== 7x2+21x 5;
д) y==(x 5) (х+4);
е) у== (2x+ 1)2.
1122. При каких значениях aprYMeHTa х значения f (х) боль
ше нуля и при каких меньше нуля, если:
а) f (х)===3,2х+ 16; д) f (x)==2x2+x 6;
б) f(x)=== 1,5x 30; е) f(x)==l,44x2 2,4X+l;
В) f(X)==!!...; ж) f(x)==3x2 X+2;
х
r) f (x)== .!.!; з) f (х)== 5x2+5x 3?
х
Упражнения на все темы
1123. а) Упростите выражение
( 9х2+8 1 4 ) 3x 1
27хЗ 1 3x 1 + 9х 2 +3х+1 . 3х+1 .
б) Постройте rрафщс функции у == х2 4х 5 и найдите, при
каких значениях Х функция принимает отрицательные значе
ния.
в) Зная, что sin а== и 270 0 <а<3600, найдите cos а,
tg а и ctg а.
r) Расстояние от rорода А до rорода В поезд должен прохо
дить по расписанию за 4 ч 30 мин. По техническим причи
нам он был задержан с отправлением из rорода А на 30 мин.
Увеличив скорость на 10 кмjч, поезд прибы;л в rород В BOBpe
мя. Найдите расстояние между rородами А и В.
1124. а) Упростите выражение
( 4х X 3 ) 18 2х
9 x2 9+3х . х+3 3 x .
б) Решите неравенство
(1 x) (3 4x) (2x+l) (2x I)< 11.
в) Найдите координаты точки пересечения rрафиков функ
ций
1
у=== зх+31 и у== 2x+l11.
r) Моторная лодка прошла по течению реки 36 км и возвра
тилась обратно, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость
224
моторной лодки в стоячей воде, зная, что скорость течения
равна 3 км/ч.
1125. а) Упростите выражение
1
a 3W
1
( a 2
и найдите ero значение при а == 121.
б) Решите систему уравнений
{ х2+3ху+у2==11,
2х+у==3.
в) Постройте rрафик функции у==х 2 +4х. При каких значе
ниях х эта функция возрастает?
r) Токарь должен был обработать 240 деталей к определен
ному сроку. У совершенствовав резец, он стал обрабатывать
в час на 2 детали больше, чем предполаrалось по плану,
и потому выполнил задание на 4 ч раньше срока. Сколько
деталей в час должен был обрабатывать токарь?
1126. а) Вычислите:
1
8 3 +( ) l +( 0,5) 2. :0 +( I)lo.7.
б) Найдите область определе ния фун кции
у == ...../27 1 2x 4x 2 .
в) Решите систему уравнений
{ 3x 2y x y 5
3 2 ,
7 х + 3у === 38.
r) Мастер и ученик изrотовили в первый день 100 деталей.
во второй день мастер изrотовил деталей на 20% больше, а уче
ник на 10% больше, чем в первый день. Bcero во второй день
мастер и ученик изrотовили 116 деталей. Сколько деталей
изrотовил мастер и сколько изrотовил уч ник в первый день?
1127. а) Упростите выражение
(1 cos (1.) (1 +сов а) tg а сов (31 + а)
sin a+sin (31 a) 2
б) Упростите:
(5 2 ...../6)2 (3 "f2 2....;3) (4....j2 +8./3).
в) Решите rрафически уравнение
12 ===x2 4x.
х
х 1\:11 ебrм. t,} 5\.1
225
1') В арифметической ПрОl'рессии (а п ) сумма ПЯТОI'О и десятоl'О
членов равна 9, а сумма четвертоrо и шестоrо членов равна
4. Найдите сумму первых десяти членов этой проrрессии.
1128. а) Упростите выражение
2 sin а sin( i+a)
2 cos 2 a l
б) Решите неравенство
(3x 1)2 (x 6) (х+2»4.
в) Решите уравнение
1 12 3
(x 2)2 x2 4 х+2 .
1
1') Пятый член I'еометрической проrpессии (Ь,,) равен 12'
1 Н
а знаменатель проrрессии равен 2' аидите сумму пяти пер
вых членов этоj:i: проrрессии.
ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
О ФУНКЦJИЯХ
Еще задолrо до Toro, как сформировались общие понятия
переменной величины и функции, они фактически использова
лись в математике. Значительную роль в развитии ЭТИХ понятий
сыrрал метод координат, созданный французскими MaTeMa
тиками П. Ферма (1601 1665) и Р. Декартом (1596 1650).
Метод координат стал широко использоваться для rpафическоrо
исследования функций и rрафическоrо решения уравнений.
С этоrо времени начался новый этап, который ознаменовалсЯ
мощным развитием не только математики, но и Bcero eCTeCT
вознания.
Термин «функция» ввел Н€iмецкий математик r. Лейбниц
(1646 1716). у Hero функция связывалась с rрафиком.
С именами Л. Эйлера (1707 1783) и И. Бернулли (1667
1748) связано понимание фуНJ[.щии как аналитическоrо Bыpa
жения, т. е. выражения, образованноro из переменных и чисел
с помощью тех или иных :аналитических операций. В это
время были исследованы важные классы функций, которые
рассматриваются в одной из ведущих областей математики
математическом анализе.
у Л. Эйлера появился и более общий подход к понятию
функции как зависимости одной переменной величины от дpy
rой. Эта точка зрения получила дальнейшее развитие в трудах
pyccKoro математика Н. И. Jlобачевскоrо (1792 1856), HeMeц
Koro мат матика п. ДИРИХJ1е (1805 1859) и друrих ученых.
В результате фУНI\:ЦИЮ стали рассматривать как соответствие
между числовыми множествами: переменная у есть функция
переменной х (на отрезке a: x::::;;; Ь), если каждому значению х
соответствует определенное значение у, причем безразлично,
каким образом установлено это соответствие формулой, {'pa
фиком, таблицей либо про(сто словами.
Одна из ориrинальных функций, названная функцией
Дирихле, выrлядит так:
f (х)== { 1, если х рациональное число,
О, если JC иррациональное число.
Отметим, что rрафик этой функции «разрывен» В каждой
точке. Он состоит из ПР.1lмой У == 1, у которой исключены все
227
точки с иррационаЛЬНЫNIИ абсциссами, и прямой у == О, у
которой исключены все точки с рациональными абсциссами.
Дальнейшее развитие пюнятия функции связано с рассмот-
рением соответствий между множествами, элементами которых
MOI'YT быть не только ЧИСЩi, но И объекты произвольной при-
роды
Об уравнеНИJIХ высших степеней
Неполные квадратные уравнения и частные виды полных
квадратных уравнений умел.и решать еще вавилоняне (2 тыс.
лет до н. э.). Отдельные виды квадратных уравнений решали
древнеl'реческие математики;" сводя их решение к rеометри
ческим построениям.
Приемы решения уравнений 3-й ртепени не были известны
ни древнеrреческой, ни ара\5ской науке. В алrебраических
трактатах арабских математиков IX XV вв., кроме решения
уравнений и систем уравнениЙ l-й и 2 й степеней, рассматри-
ваются решения кубических уравнений частных видов. Однако
способы решения этих равн(ший приводили К. нахождению
приближенных значений корнвй.
Общее уравнение 3 й стеш. ни имеет вид ах 3 +ьх 2 +сх+
+d===O, I'де а*О. Давно было известно, что с помощью введе-
ния новой переменной это уравнение можно свести к уравне-
нию вида x 3 +px+q==O.
Впервые формулу для отыскания положительноrо корня
уравнения х 3 + рх == q, rде р> 01 и q > О, вывел итальянский
математик Сципион Даль Ферро (1465 1526), но держал ее
в тайне. Только в конце жизни он сообщил своему учени у
Фиори об открытии. Одновременно вопросом об общем решении
уравнений 3-й степени занимался друroй италь,fIЦСКИЙ MaTe
матик Н. Тарталья (OK.1499 1557), который нашел способы
решения уравнений х 3 + рх == q, х Э + q == рх, х 3 == рх + q и част-
ных случаев уравнения х 3 + рх 2 ==: q (р и q положительные
числа). 12 февраля 1535 1'. между Фиори и Тартальей состоялся
научный поединок, на котором Таiрталья одержал блестящую
победу (он за 2 ч решил все 30 предложенных ему задач,
в то время как Фиори не решил ни одной задачи Тартальи).
С 1539 {'. решением кубических уравнений начинает зани-
маться итальянский математик Д. Кардано (1501 1576). Он
узнал об открытии Тартальи, КОТО,рый не публиковал своих
трудов. В 1545 {'. вышла книrа Кардано .Великое искусство,
или Оправилах алrебры», I'де нар:IIДУ с друrими вопросами
алrебры рассматриваются общие способы решения кубических
уравнений. В эту книry Карда.но включил также метод реше-
ния уравнений 4-й степени, открытый ero учеником Л. Фер-
рари (1522 1565).
Вопрос о том, кому принадлеж,ит приоритет открытия
228
формулы решения кубических ураЕlнений Тарталье или
Кардано, не решен до сих пор.
Следует отметить, что ни Тарталья, ни Кардано не провели
полноrо ИССJlедования решений кубиче)Ских уравнений. В pe
шении этой задачи значительно продви\нулся их соотечествен
ник из Болоньи Р. Бомбелли (ок. 1530: 1572). Полное изло
жение вопросов, связанных с решением уравнений 3 й и 4 й
степеней, дал Ф. Виет (1540 1603), КО'1'орому в этом сущест
венно помоrла усовершенствованная им алrебраическая сим
волика.
В формуле корней квадратноrо уравнения используется знак
корня радикал. Через радикалы (корни 2, 3 и 4 й степеней)
выражаются и корни уравнений 3 й и 4 i\i степеней.
После Toro как были найдены формулы решений уравнений
3 й и 4 й степеней, усилия мноrих математиков были направ
лены на то, чтобы отыскать формулы I)ешений уравнений
любых степеней. На решение этой проб\лемы ушло около
300 лет, и лишь в 20 x rодах XIX в. НОр IeЖСКИЙ математик
Н. Абель (1802 1829) доказал, что в общем случае корни
уравнений 5 й и более высоких степеней не MorYT быть Bыpa
жены через радикалы. Французский маТ!ематик Э. rалуа
(1811 1832) выделил класс алrебраически:х: уравнений, KOTO
рые разрешимы в радикалах.
Использование алrебраических уравнений позволило дать
более тонкую классификацию действительных чисел. Числа,
являющиеся корнями' алrебраических уравнений с целыми
коэффициентами, стали называть алrебраиЧt Кими числами.
Действительные числа, не являющиеся алrеб.раическими, Ha
звали трансцендентными. Оказалось, что в мно,жестве иррацио
нальных чисел содержится значительно больше TpaHcцeH
дентных чисел, чем алrебраических. Одним из представителей
трансцендентных чисел является число n.
о проrрессиях
Первые представления об арифметической и rнометрической
проrресси.ях были еще у древ.них народов. В клинописных
вавилонских табличках и еrипетских папирусах встречаются
задачи на проrрессии и указания, как их решать,.
В древнееrипетском папирусе Ахмеса (ок. 20100 до н. э.)
приводится такая задача: «Пусть тебе сказано: раадели 10 мер
ячменя между 1 О людьми так, чтобы разность Iи:ер ячменя,
полученноrо каждым человеком и ero соседом, равнялась
1
8 меры».
в этой задаче речь идет об арифметической lIроrрессии.
Условие задачи, пользуясь современными обозначениями,
229
можно записать так: $10==10, d== ' найти al, а2, ..., а\о.
В одном древнеrреческом папирусе приводится задача:
«Имеется 7 домов, в Ka KДOM по 7 кошек, каждая кошка съедает
7 мышей, каждая мыпхь съедает 7 колосьев, каждый из KOTO
рых, если посеять зерню, дает 7 мер зерна. Нужно подсчитать
сумму числа домов, J'Сошек, мышей, колосьев и мер зерна».
Решение этой задачи приводит к сумме: 7 +72+73+74+75,
т. е. сумме пяти членов rеометрической проrрессии.
О проrрессиях и их суммах знали древнеrреческие ученые.
Так, им были известны формулы суммы п первых чисел после
довательности натур'вльных, четных и нечетных чисел.
Архимед (ПI в. до н. э.) для нахождения площадей и объемов
фиrур применял «атомистический метод», для чеrо ему потребо
валось находить сум!мы членов некоторых последовательностей.
Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел
12+22+_32+ ... +п2== п(п+1)(2п+1),
показал, как найти сумму бесконечно убывающей rеометриче
ской проrрессии i + + 2 + ... .'
Отдельные Фf:JIКТЫ об арифметической и rеометрической
проrрессиях знали китайские и индийские ученые. Об этом
rоворит, наПРИМ,f Р, известная индийская леrенда об изобре
тателе шахмат (ем. п. 19).
Термин «ПрО,Трессия» (от латинскоrо progressio, что озна
чает «движение вперед») был введен римским автором Боэцием
(VI в.) и понимался в более широком смысле, как бесконечная
числовая после,довательность. Названия «арифметическая» и
«rеометрическа.я» были перенесены на проrрессии из теории
непрерывных пропорций, изучением которых занимались дpeB
ние rреки. Рюненство вида ak 1 a.k==ak ak+1 они называли
непрерывной арифметической пропорцией, а равенство
b k I b k И
== непрерывнои rеометрическои пропорциеи. з
b k b k + 1
ak l+ak+1 Ь . .Ъ b
этих равенств следует, что ak== 2 и k==VUk- 1. k+l, т. е.
этими соотношениями выражаются характеристические свой
ства арифм€!тической и rеометрической проrрессий.
Формула. суммы членов арифметической проrрессии была
доказана ДРtевнеrреческим ученым Диофантом (ПI в.). Формула
суммы членов rеометрической проrрессии дана в книrе Евклида
«Начала» (III в. до н. э.). Правило отыскания суммы членов
ПРОИЗВОЛЬF ОЙ арифметической проrрессии встречается в «Кни
re абака» .Л. Фибоначчи (1202). Общее правило для суммиро
230
ванИЯ любой бесконечно убывающей I'еометрической ПрОI'рес
сии дает Н. Шюке в книrе «Наука О числах» (1484).
Известна интересная история о знаменитом немецком MaTe
матике К. raycce (1777 1855), который еще в детстве обна
ружил выдающиеся способности к математике. Учитель пред
ложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100.
Маленький raycc решил эту задачу за минуту. Сообразив,
что суммы 1 + 100,2+99 и т. д. равны, он умножил 101 на 50,
т. е. на число таких сумм. Иначе rоворя, он заметил закономер
ность, которая присуща арифметической ПрОI'рессии.
Комплексные числа
Идея комплексноI'О числа возникла у итальянских MaTe
матиков XVI в. в процессе решения уравнений 3 й и 4 й CTe
пеней.
Для решения уравнений вида х 3 + рх + q == о была выведена
формула
V=
3 3
q q2 рЗ q q2 рЗ
х=== 2+ .J 4 + 27 + 2 .J 4+ 27 '
2 3
которую стали н азывать формулой Кардано. Если + 7 <О,
то выражение .J 2 + :; не имеет смысла. Однако оказалось,
что и в этом случае по приведенной формуле можно находить
действительные корни уравнения x 3 +px+q===O, если над BЫ
ражениями вида a + {6, ['де Ь<О, производить действия по
обычным правилам. Например, умножение выражений
2 + FЗ и 2 3 выполнять так:
(2 + ' 3) .(2 ....[ 3) === 22 (.j 3? ===4 ( 3)== 7.
В дальнейшем числа вида а + Jb, rде Ь<О, получили Ha
звание комплексных чисел.
Формальные операции над комплексными числами ввел
Бомбелли. В дальнейшем эти числа стали записывать в виде
а + bY i, причем!= 1 стали называть мнимой единицей.
Л. Эйлер мнимую единицу обозначил буквой i (взяв
первую букву слова imaginer, что означает «воображаемый.
или «мнимый.).
Таким образом, по определению мнимая единица это
«число., квадрат KOToporo равен 1, т. е. i 2 == 1.
Начальные положения теории комплексных чисел состоят в
следующем.
Комплексным числом называют выражение вида а + Ы, ['де
а и Ь действительные числа. При этом а называют действи
231
тельной частью, а Ь мнимой частью комплексноrо числа.
Комплексные числа аl +b1i и a2+b 2 i называют равными,
если а, ==а2 и Ь, == Ь 2 .
Если Ь == О, то комплексное число а + Ы является действи
тельным числом, равным а. Если Ь =1= О, то комплексное число
а + Ы называют мнимым, в частности при а == О чисто
мнимым.
Если комплексные числа al +b1i и a2+b2i складывать и
умножать, как складывают и умножают мноrочлены с после
дующей заменой е на 1, то получим выражения, которые
называют соответственно суммой и произведением этих чисел:
(аl + b\i)+(a2+ b 2 i)==(al +а2)+(Ь\ + Ь 2 ) i,
(а, + b 1 i).(a2+ b2i)===(ala2 Ь\Ь 2 )+(а\Ь 2 +а 2 Ь.) i.
Вычитание и деление вводятся как действия, обратные COOT
ветственно сложению и умножению. С учетом определения
равенства двух комплексных чисел получаются формулы
(al + bli) (a2+ b 2 i)==(a\ a2)+(bl Ь 2 ) i,
a,+b1i ala2+blb2 + a2bl alb2'
=== 2 2 2 2 l.
а2+ Ь 2 С а 2 +Ь 2 а 2 +Ь 2
Числа а + Ы и а Ы называют комплексно сопряженными.
Их дроизведение равно а 2 + ь 2 . Этим пользуются при нахожде
нии частноrо комдлексных чисел, умножая делимое и дели
тель на число, сопряженное делителю. Например:
2+3i (2+3i)(1 2i) 2+3i 4i 6i2 8 i === 16 0 2 .
1+2i (1+2i)(1 2i) 1 4i2 5 ' , l.
Из определений следует, что сложение и умножение комп
лексных чисел обладают переместительным, сочетательным и
распределительным свойствами.
Множество комплексных чисел является расширением MHO
жества действительных чисел.
Комплексные числа, так же как и действительные числа,
замкнуты относительно арифме'fических действий, т. е. сумма,
разность, произведение и частное (исключая деление на нуль)
двух комплексных чисел являются комплексными числами.
Действительные числа не обладают свойством алrебраической
замкнутости не всякое алrебраическое уравнение имеет KOp
ни. Например, не имеет действительных корней квадратное
уравнение с отрицательным дискриминантом. В отличие от
действительных чисел, комплексные числа обладают алrеб
раической замкнутостью всякое алrебраическое уравнение
с комплексными коэффициентами имеет корни. Так, корни
квадратноrо уравнения ах 2 + Ьх + с О с действительными
коэффициентами при отрицательном дискриминанте вычис
ляются по той же формуле:
232
ь ::r....ji5
x 2а .
Например, решив уравнение х 2 4х + 13 == О, найдем, что
xl==2 3i и x2==2+3i.
Таким образом, каждое квадратное уравнение имеет на
множестве комплексных чисел два корня (если D == О, то
считают, что уравнение имеет два равных корня).
А. Жирар (1595 1632) и Р. Декарт впервые сформули
ровали, что всякое алrебраическое уравнение имеет столько
корней, какова ero степень. Это утверждение было названо
основной теоремой алrебры. Доказал эту теорему немецкий
математик К. raycc.
Известно, что каждому действительному числу COOTBeT
ствует единственная точка координатной прямой и, наоборот,
каждой точке координатной прямой соответствует единственное
действительное число. Это соответствие взаимно однозначное.
Таким образом, на координатной прямой нет места для
мнимых комплексных чисел.
Каждому комплексному числу а + Ы ставится в COOTBeT
ствие точка (а; Ь) координатной плоскости, и, наоборот, каждой
точке (х; у) ставится в соответствие комплексное число x+yi.
ПЛоскость, полученную при таком взаимно однозначном
соответствии, называют комплексной плоскостью. На оси аб
сцисс комплексной плоскости лежат точки, которым COOTBeT
ствуют действительные числа, а точки, не принадлежащие оси
абсцисс, соответствуют мнимым комплексным числам.
о степенях
Понятие степени с натуральным показателем сформирова
лось еще у древних народов. Квадрат и куб числа исполь
зовались для вычислений площадей и объемов. Степени HeKO
торых чисел использовались 'при решении отдельных задач
учеными Древнеrо Еrипта и Вавилона.
В III в. вышла к:ниrа rреческоrо ученоrо Диофанта «Ариф
метика., в которой было положено начало введению буквенной
символики. Диофант вводит символы для первых шести степе
ней неизвестноrо и обратных им величин. В этой книrе квадрат
обозначается знаком t!.. с индексом r (t!..r); куб знаком k с ин
дексом r (k r ); квадрат, умноженный на себя, KBaдpaTO KBaд
рат обозначается t!..r t!..; квадрат, умноженный на куб, KBaд
рато куб t!..k r ; куб, умноженный сам на се6я, кубо--куб krk.
В конце XVI в. Франсуа Виет ввел буквы для обозначения в
уравнениях не только неизвестных, но и их коэффициентов.
Он применял сокращения: N (Numerus число) для первой
степени, Q (Quadratus квадрат) для второй, С (СиЬив
куб) для третьей, QQ для четвертой и т. д.
233
( З 4 5 )б
Современная запись степенеи а, а ,а и т. д. ыла BBe
2
дена Декартом, причем вторую степень а, т. е. а , он записывал
ItaK произведение аа.
К идее обобщения понятия степени на степень с ненатураль
ным показателем математики пришли постепенно. Отрицатель
ные и дробные показатели степеней появились в отдельных
трудах европейских математиков XIV XV вв. (Н. Орем,
Н. Шюке). Современные определения и обозначения степени
с нулевым, отрицательным и дробным показателями берут
начало от работ анrлийских математиков д. Валлиса (1616
1703) и И. Ньютона (1643 1727).
о триrонометрии
Термин «триrономеТРИЯf> происходит от rреческих слов
«триrонон» треуrольник и «ме'l'РИОf> измеряю, что вместе
означает «измерение треуrольника».
Потребность в измерении уrлов возникла так же давно, как
и потребность в измерении расстояний. Одним из стимулов
развития триrонометрии была необходимость определения Bpe
мени, определения положения корабля в открытом море или
каравана в пустыне.
Изучая зависимость между сторонами и уrлами треуrоль
ника, древние нашли способы вычислений различных элементов
треуrольника.
Некоторыми знаниями триrонометрии владели ученые
Древнеrо Вавилона. Об этом свидетельствует тот факт, что
вавилоняне умели предсказывать солнечные и лунные затме
ния. На одной из rлиняных табличек Древнеrо Вавилона
(2 тыс. лет до н. э.) решается задача, в которой по известному
диаметру Kpyra и высоте cerMeHTa ВЫЧИСЛSiется длина хорды,
что соответствует установлению связи между синусом и KO
синусом.
Древнеrреческие ученые владели методами решениSi прямо
уrольных треуrольников. Астроном и математик rиппарх (П в.
ДО н. э.) составил таблицы хорд первые триrонометрические
таблицы.
Одним из значи ельных достижений в составлении триrо
нометрических таблиц было сочинение К. Птолемея (П в.)
«АльмаrеСТf>. В этой работе собраны и обобщены различные
известные к тому времени сведения по астрономии и смежным
с нею наукам. Здесь же приводится таблица хорд, составленная
в шестидесятеричной системе счисления через полrрадуса
от О до 180 . По существу таблица хорд является таблицей си
НУСОВ от 0° до 90°. Птолемей вывел также формулы, которые в
современных обозначениях выrлядят так: sin 2 а+сos 2 а==-1,
. ( А ) ' А . А . 2 а 1 cos а Э
Sln а 1-' == Sln а cos 1-' cos а Sln 1'" Sln . ти CBe
2 2
234
дения по триrонометрии использовались rлавным образом для
решения задач практической астрономии, для определения He
доступных расстояний.
Дальнейшее развитие триrонометрии осуществили ученые
Индии и Ближнеrо и Среднеrо Востока. Ими были введены
синус, косинус, TaHreHc, KOTaHreHc, положено начало радиан
ной мере уrла. Триrонометрические знания, накопленные
арабскими математиками, достиrли TaKoro уровня, что триrо
нометрию стали считать отдельным разделом математики.
Первая книrа в Европе, в которой триrонометрия рассма T
ривалась как самостоятельная дисциплина, появилась в XV В.
Ее написал И. Мюллер (1436 1476).
Затем появились сочинения Н. :Коперника (1473 1543),
Тихо Браrе (1546 1601), И. Кеплера (1571 1630), И. Бюр
rи (1552 1632). В этих работах развитие триrонометрии в
основном было направлено на потребности астрономии.
Особую роль в развитии триrонометрии сыrрали сочинения
Ф. Виета, который использовал триrонометрию при решении
кубических уравнений, и Л. Эйлера, который разработал Teo
рию триrонометрических функций. В работах Л. Эйлера три
rонометрия приобрела с.овременный вид.
Впервые обозначать синус и косинус знаками sin х и сов х
стал И. Бернулли В письме 1739 r. к Эйлеру. Эйлер принял
эти обозначения и Систематически применял их.
ЗАДАЧИ
lIОВЫШЕННОИ ТРУДНОСТИ
1129. Найдите корни Мlюrочлена 2x5+x4 10x3 5x2+
+ 8х + 4. (Корнем мноrочлена с одной переменной называется
значение переменной, при котором значение мноrочлена равно
нулю.)
1130. Если в мноrочлен ax 3 +bx 2 +cx+d вместо а, Ь, с и
d подставлять числа 7, 4, 3 и 6 в каком уrодно порядке,
будут получаться мноrочлены с одной переменной, например
7x3+4x2 3x+6; 4x3 7x2+6x 3 и т. д. Докажите, что
все такие мноrочлены имеют общий корень.
1131. Докажите, что мноrочлен x4 4x3 6x2 3x+9 не
имеет отрицательных корней.
1132. При. каких значениях а квадратные трехчлены
х 2 + ах + 1 и х 2 + х +а имеют общий корень?
1133. При каком значении а сумма квадратов корней KBak
ратноrо трехчлена x2 (a 2) x a 1 принимает наименьшее
значение?
1134. Докажите, что КJJадратный трехчлен f (х)==ах 2 +,
+ Ьх + с имеет два различных корня, если существует такое
число а, что af(a)<O. При этом один из корней меньше числа
а, а дрyrой больше.
1135. Докажите, что при любых значениях а, Ь и с rpa
фик функции у == (х а) (х Ь) с 2 имеет хотя бы одну общую
точку с осью х.
1136. Постройте rрафик функции:
I 1 .
а) y==2X2 3Ixl 2; б) у== 2X2 xl 4.
1137. Найдите координаты общих точек rрафика функции
y==x2 4x+ 12x 81 и оси х.
1138. При каком значении а rрафики функций у == х 2
7 х + а и у == зх 2 + 5х 6 имеют единственную общую
точку? Найдите ее координаты.
1139. Решите неравенство:
а ) 3x2+4x 4 < 1' б ) 3x2+2x 1 1
х2+х+1' x2 x+1 > .
1140. Докажите, что мноrочлен х 8 + х 6 4х 4 + х 2 + 1 не IIрИ
нимает отрицательных значений.
236
1141. При каких значениях т квадратный трехчлен тх 2 +
+ (т 1) Х + т 1 принимает лишь отрицательные значения?
1142. Докажите, что если уравнение п й степени с целыми
коэффициентами имеет целый корень, отличный от нуля, то
он является делителем свободноI'О члена.
1143. Найдите целые корни уравнения:
а) 2хЗ Зх2 l1х+6==О; б) x4+4x3 9x2 16x+20==O.
1144. При каких значениях а биквадратное уравнение х4 +
+ax2+a 1==O имеет лишь два различных корня?
li45. Решите систему уравнений
{ I Х + 11 + I у + 11 == 8,
2x 'у+11 ==5.
1146. Сколько решений имеет система уравнений
{ y2==25 x2,
y+x==x2 6?
1147. Решите систему уравнений
{ (X 1) (2х+ у)==о,
(у+ 1) (2y x)==O.
1148. Решите систему уравнений:
а) { . xr==15, б) { xr== 12,
Х +у2+ х + у ==12; Х +y2+x y==18.
1149. Решите систему уравнений
{ (x+y)(8 x)==10,
(х+у)(5+у)==20.
1150. За сколько часов може'l' выполнить работу каждый
из трех рабочих, если производительность труда Tpeтьero pa
бочеrо равна полусумме производительностей труда первоro и
BTOPOI'O? Известно, что если бы третий рабочий проработал один
48 ч, то для окончания работы первому потребовалось бы
10 ч, а второму 15 ч.
1151. Существует ли такое двузначное число, которое при
делении на сумму квадратов ero цифр дает в частном 2 и в
остатке 6, а при делении на произведение цифр дает в частном
4 и в остатке 61
1152. Последовательности (х ll ) и (Уll) заданы формулами
Xп==2п 1 и Уп==п 2 . Если выписать в порядке возрастания
все общие члены этих последовательностей, то получится
последовательность (Сп). Напишите формулу n ro члена после
довательности (Сп).
1153. При каких значениях п члены последовательности,
заданной формулой Х п == (п + 4) (п 5), удовлетворяют условию
18 Xп 360?
237
1154. Найдите сумму п первых членов последовательности
1
(Х п ), если Xп (2п 1)(2n+1 )'
1155. В последовательности (Х п ) каждый член снечетным
номером равен 2а, а с четным 2Ь. Напишите формулу п ro
члена этой последовательности.
1156. Известно, что y==f(x) линейная функция и Х(, Х2,
Хз, ... арифметическая проrрессия. Докажите, что последо
вательность f (XI), f (Х2), f (Хз), ... также является арифметиче
ской проrрессией.
1157. В арифметической проrрессии al, а2, аз, а4, состоя
щей из целых чисел, больший член равен сумме квадратов
остальных членов. Найдите члены этой проrрессии.
1158. Пусть al, а2, ... арифметическая проrрессия с поло
жительными членами. Докажите, Ч'fО сумма п первых чле
1
нов последовательности (Х п ), rде Х п ...;a;. ' равна
'Va. + an+1
п
...;а; +van+1 .
1159. Докажите, что если стороны треуrольника образуют
rеометрическую проrрессию, то ero высоты также образуют
rеометрическую проrрессию.
1160. Три разлиЧ:НЫХ целых числа составляют rеометричE:t
скую проrрессию. Их сумма равна 3. Найдите эти числа.
1161. В бесконечной rеометрической проrрессии выделили
по порядку от ее начала rруппы членов, по п членов в каждой
rруппе. Докажите, что суммы членов этих rрупп образуют
rеометрическую проrрессию.
1162. Три целых числа составляют арифметическую про
rpессию, первый член которой 1. Если ко второму члену при
бавить 3, а третий возвести в квадрат, то получится rеометри
ческая проrрессия. Найдите эти числа.
1163. Докажите, что при а>О, Ь>О и а 2 > Ь верно pa
венство:
а) ';;;+,[ь :+ 6 + a =b ;
б) ;; $ == a+ -=Ь
а -Ja2'= b
2 .
1 164. Упр остите вы ражение :
a) J ll+4 ; б) .J 9 6-J2.
1165. Докажите, что при любом натуральном п>1 верно
неравенство
< V 1.3.5.....(2n 1) <1.
2 2.4.6.....2n
238
1166. Упростите выражение
V2+V5 + V2 ,f5.
1167. Решите уравнение
V(65 + х)2 + 4'\1(65= х)2 5\1 652 xz == о.
1168. Пусть функция y==f (х} определена для всех х. ДOKa
жите, что функция YI== f(x)+t( x) четная, а функция У2==
2
t(x). t( x) нечетная.
2
1169. Докажите, что любую функцию с областью опреде
ления ( 00; + 00) можно представить в виде суммы четной и
нечетной функций. Представьте функцию f (х)==+ в виде
х +х
суммы четной и нечетной функций.
1170. Докажите, что если О < а < , то sin а +cos а> 1.
2
1171. Докажите, что верно равенство
cos 2л соs 6л === ..!....
5 5 4
1172 . Упростите выражение
.. {, + 1 + "; + СOS2а П р и O a "'::"
'v + 2 v 2 2 2 2 ---=: ---=: 2 .
1173. Найдите значение выражения
8 cos 200 cos 400 cos 800.
1174. Докажите, что наибольшее значение выражения
sin х + у2 cos х равно ./3.
1175. Зная, что tga+ctga==5, найдите значение Bыpa
жения
tg 2 а + . +ctg2 а.
Sln а СОВ а
1176. Докажите, что если в треуrольнике с уrлами а, f3 и
у уrол у тупой, то произведение TaHreHCOB yr лов а и (3 меньше 1.
1177. Докажите тождество
sin (2п+ 1) а
1 + 2cos 2а + 2cos 4а +... + 2cos 2па . .
SIn а
1178. Упростите выражение
sin 2а + sin 4а + ... + sin 2па.
239
1179. Докажите, что если а, f.\ и у уrлы треуrольника,
то верно равенство
tg tg L+tg JLtg ..1.....+tg ..1.....tg === 1.
2 2 2 2 2 2
1180. Найдите наибольшее значение функции у=== x2 4 '
1181. Докажите, что если X2+y2+Z2===xy+yZ+zx, то
х === у ===Z.
1182. Решите уравнение с двумя переменными
x 2 +2.J3x+ y 4 +7 ===0.
1183. Решите систему уравнений
{ Х 2 + у2 2z 2 === о,
х+ y+z===8,
ху=== Z2.
1184. Решите в натуральных числах систему уравнений
{ х+ y+z===14,
х+ yz=== 19.
1185. Докажите, что при положительных а, Ь и с верно
неравенство
(а 2 +а+1) (ь 2 +Ь+1) (с 2 +с+1) 27.
аЬс
1186. Найдите при любом натуральном n значение BЫ
ражения
11.2.4+2.4.8+".+11..211..41'-
V 1.3.9+2.6.18+".+п.3n.9n.
1187. Докажите, что значение выражения
(5+ 10"+1) (1 + 10+...+ 10 п )+ 1
при любом натуральном n можно представить в виде квадрата
натуральноrо числа.
1188. Найдите наименьшее четырехзначное число, которое
после умножения на 21 станет квадратом натуральноrо числа.
1189. Трехзначное число х, кратное 5, можно представить
в виде суммы куба и квадрата одноrо и Toro же натуральноrо
числа. Найдите число х.
1190. Взяли два различных натуральных числа. Эти числа
сложили, перемножили, вычли из большеrо данноrо числа
меньшее и разделили большее на меньшее. Оказалось, что
сумма всех четырех результатов равна 441. Найдите эти числа.
1191. Найдите два натуральных числа, разность квадратов
которых равна 45.
1192. Докажите, что не существует натуральноrо числа,
которое от перестановки первой цифры в конец числа увели
чилось бы в 5 раз.
240
СВЕДЕНИЯ ИЗ КУРСА АлrЕБРЫ
VII VIП КЛАССОВ
Выражения и их преобразования
1. Выражения, составленные из чисел и переменных с по
мощью действий сложения, вычитания и умножения, назы
вают целыми выражениями. При этом произведение одинако
вых множителей может быть записано в виде степени. К целым
выражениям относят и выражения, в которых, кроме действий
сложения, вычитания и умножения, используется деление на
число, отличное от нуля. Например, выражения а 2 + 3аЬ
2ь2, (x y)(2x+y2), т ;, а 2 :7 целые.
Выражения, составленные из чисел и переменных, в KO
торых, кроме действий сложения, вычитания и умножения,
используется деление на выражение с переменными, называют
1
дробными выражениями. Например, выражения х + х 1 '
а+2 5' б
, т.n дро ные.
Целые и дробные выражения называют рациональными BЫ
ражениями.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях
входящих в Hero переменных. Дробное выражение при HeKO
торых значениях переменных может не иметь смысла. Напри
мер, выражение а + а 2 не имеет смысла при а === 2; Bыpa
3
жение не имеет смысла при х === у.
x y
Значения переменных, при которых выражение имеет,
смысл, называют допустимыми значениями переменных.
2. Тождеством называется равенство, верное при всех дo
пустимых значениях входящих в Hero переменных.
Два выражения, принимающие равные значения при всех
допустимых для них значениях переменных, называют тож
дественно равными, а замену одноrо выражения друrим, тож
дественно равным eMY, тождественным преобразованием BЫ
ражения.
3. Одночленами называют произведения чисел, переменных
и их степеней, а также сами числа, переменные и их степени.
Например, 8азь, 1,5ху2z8, 12, с, m lO одночлены.
у :\.111..-"11.1. Ч ...:1
241
Степенью одночлена называется сумма показателей степеней
всех ВХОДЯIЦих в Hero переменных. Например, степень OДHO
члена 9а 7 Ь равна 8.
4. Мноrочленом называется сумма одночленов. Например,
у4 8уЗ+2у 3, 4a4Ь+lla2ь2 aЬ +3Ь 1 мноrочлены. Ok
ночлены считают мноrочленами, СОСТОЯIЦИМИ из одноrо члена.
Степенью мноrочлена стандартноrо вида называют наиболь
шую из степеней входящих в Hero одночленов. Например,
степень мноrочлена 18а б 7 а 4 ь З + 1 равна степени одночлена
_ 7а4ьЗ, т. е. равна 7.
Степенью произвольноrо мноrочлена называют степень
тождественно paBHoro ему мноrочлена стандартноrо вида.
5. При сложении мноrочленов пользуются правилом pac
крытия скобок: если перед скобками стоит знак «плюс», то скоб
ки можно опустить, сохранив знак каждоrо слаrаемоrо, заклю
ченноrо в скобки. Например, (5х 2 3ху) + (4ху 2х 2 + 1) ==
==5x2 3xy+4xy 2x2+ 1 ==Зх 2 +ху+l.
При вычитании мноrочленов пользуются правилом pac
КРЫ'l'ия скобок: если перед скобками стоит знак «минус», то
скобки можно опустить, изменив знак каждоrо слаrаемоrо,
заключенноrо в скобки. Например, (8a2 3aЬ) (7a2 4aЬ+
+ 5) === 8а 2 - 3аЬ 7а 2 + 4аЬ 5 ==а 2 +аЬ 5.
Чтобы умножить одночлен на мноrочлен, нужно умножить
этот одночлен на каждый член мноrочлена и полученные
произведения сложить. Например, 2х 2 (3хЗ ху+5у2)==6х5
2хЗу+ lOx 2 y2.
Чтобы умножить мноrочлен на мноrочлен, нужно каждый
член одноrо мноrочлена умножить на каждый член друrоrо
мноrочлена и полученные произведения сложить. Например,
(2a 3) (3а2+а -4)==6аЗ+2а2 8а 9а2 3а+ 12==6аЗ 7а2
l1a+12.
Любое целое выражение можно представить в виде MHO
I'()члена.
6. Формулы сокращенноrо умножения.
а) (а+Ь?==а 2 +2аь+ь 2 .
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первоrо
выражения плюс удвоенное произведение первоrо и BToporo
выражений плюс квадрат BToporo выражения.
б) (а Ь? ===а 2 2аЬ + ь 2 .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первоrо
выражения минус удвоенное произведение первоrо и BToporo
выражений плюс квадрат BToporo выражения.
в) (a Ь)(а+ Ь)===a2 ь 2 .
Произведение разности двух выражений и их суммы равно
разности квадратов этих выражений.
242
r) а 3 + Ь 3 ==(а + Ь) (а 2 ab + Ь 2 ).
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы
этих выражений и неполноrо квадрата их разности.
д) a3 b3==(a b)(a2+ab+b2).
Разность кубов двух выражений равна произведению раз
ности этих выражений и неПОЛllоrо квадрата их суммы.
7. Разложением мноrочлена на множители называют пред
ставление мноrочлена в виде произведения МlIоroчленов.
Для разложения мноrочленов на множители применяют:
вынесение множителя за скобки, rруппировку, использование
формул сокращенноrо умножения. Например, мноrочлен
8a3 6ab можно разложить на множители, вынося 2а за
скобки: 8a3 6ab==2a (4a2 3b); мноroчлен 2ab+l0b 3a 15
можно разложить на множители, используя rруппировку:
2аЬ + 10b 3a 15 ===(2аЬ + 10b) (3a+ 15)===2Ь (a+5)
3 (а+5)===(а+5) (2b 3);
мноrочлен 9а 2 25ь 4 можно разложить на множители, исполь
зуя формулу разности квадратов:
9а 2 25b4 ===(3а)2 (5b2)2 ===(3a 5b2) (3а+5ь 2 ).
8. Рациональной дробью называется выражение вида : '
rде а и Ь мноrочлены.
При любых значениях а, Ь и с, rде Ь=#=О и с =#= О, верно
а ас С б
равенство ь ===ь; . воиство дро и, выраженное тождеством
а ас б О
ь==ь;' называют основным своиством дро и. сновное свои
ство дроби используется при сокращении дробей. Например:
х 2 +2ху х (х+2у) х . аЗ 8 (a. 2)(a2+2a+4) a 2
4уЧ 2ху 2у (х+2у) 2у ' 3а 2 +6а+12 3 (а 2 +2а+4) ,3
Если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дpo
би и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно
равное данному:
a а
---Ь b '
а а
b Ь'
9. Действия над рациональными дробями.
а) Если с=#=О, то
а Ь а+ ь а Ь a Ь
+. == и === .
с с с с с с
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нуж
но сложить их числители, а знаменатель оставить тем же. Ha
пример:
3x 8y + 2x 7y === 3x 8y+2x 7y 5x 15у === 5 (x 3y) x 3y .
5ху 5ху 5ху 5ху 5ху ху
243
Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаме
нателями, нужно из числителя первой дроби вычесть чис
литель второй дроби, а знаменатель оставить тем же. Например:
х 2 4 х 2 """:4 (x 2)(x+2) х+2
3x 6 3x 6 3x 6 3 (x 2) 3
б) Чтобы выполнить сложение или ычитание дробей с раз
ными знаменателями, нужно привести их к общему знаме
нателю и затем применить правило сложения или вычитания
дробей с одинаковыми знаменателями. Например:
а 2 ь 2 Ь а 2 ь 2 Ь a3 b3 ab2+b3
ab b2 + ab a2 а b(a b) + a(b a) а ab(a b)
a(a2 b2) (a b)(a+b) a+b
ab(a b) b(a b) Ь
в) Если b=l=O и d=l=O, то
..!!:........E.... ac
ь d ba'
Чтобы умножить дробь на дРобь, нужно перемножить их
числители и перемножить их знаменатели и первое произведе
ние записать числителем, а второе знаменателем дроби. Ha
пример :
c2 4 с (e 4)c c(c 2)(c+2) c+2
. 3c 6 с 2 (3c 6) зс 2 (c 2) 3с'
r) Если b=l=O, c=l=O и d=l=O, то
..!:.... ..!!....
b'd b с
Чтобы разделить одну дробь на друrую, нужно первую дробь
умножить на дробь, обратную второй. Например:
X3 8 . x 2 X3 8 . 6(x 2)(x2+2x+4) х2+2х+4
12х' 6 12х x 2 12х (x 2) 2х
Любое рациональное выражение можно представить в виде
рациональной дроби.
10. Степень с целым показателем.
Если п натуральное число, большее 1, и а любое
число, то
аn==а. а..... а.
n раз
Если п === 1 и а любое число, то
a 1 ===а.
Если п ===0 и а число, отличное от нуля, то
а О === 1.
244
Если n целое отрицательное число и а отличное от
нуля число, то
n 1
а ==;;=n'
11. Свойства степени с целым показателем.
а) аmаn==а m + n , rAe a=i=O, т и n целые числа.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями OCHO
вание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.
б) am:an==am n, rAe a=i=O, т и n целые числа.
При делении степеней с одинаковыми основаниями OCHO
вание остаВJIЯЮТ прежним, а из показателя степени делимоrо
вычитают пока за те ль степени делителя.
в) (аm)n==а mn , rAe a=i=O, т и n целые числа.
При возведении степени в степень основание оставляют
прежним, а показатели степеней перемножают.
r) (аЬ)n==аnЬ n , rде a=i=O и b=i=O, n целое число.
При возведении в степень произведения возводят в эту
степень каждый множитель и результаты перемножают.
д) ( : )n == :: , rде a=i=O и b=i=O, n целое число.
При возведении в степень дроби возводят в эту степень
числитель и знаменатель и первый результат записывают в чис
лителе, а второй в знаменателе дроби.
12. Квадратным корнем из числа а называется число,
квадрат KOТOporo равен а.
Арифметическим квадратным корнем из числа а называется
неотрицательное число, квадрат Koтoporo равен а. Арифмети
ческий квадратный корень из а обозначают .Jii. Выражение,
стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражени
ем. Выражение .Jii имеет смысл для всех а О и не имеет
смысла при а<О.
Свойства арифметическоrо KBaApaTHoro корня.
а) Если a O и Ь O, то
==.Jii. .
Корень из произведения неотрицательных множителей pa
вен произведению корней из этих множителей.
б) Если a O и Ь>О, то
== .
Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а зна
менателъ положителен, равен корню из числителя, деленному
на корень из знаменателя.
в) При лiOбом значеtlии а верно равенство
.Jii2== lal.
245
Уравнения
13. Корнем уравнения с одной переменной называется зна
чение переменной, при котором уравнение обращается в Bep
ное равенство. Например, число 2 корень уравнения х 3 х ==
=== 4х 2 1 О, так как равенство 2:1 2 =..--= 4 . 22 1 О верное. _,
Решить уравнение с одной переменной значит найти вСе
ero корни или доказать, что корней нет.
14. Уравнения, в которых левая и правая части являются
рациональными выражениями, называются рациональными.
ЕСли и левая и правая части рациональноrо уравнения явля
ются целыми выражениями, то уравнение называют целым. Pa
цмональное уравнение, в котором левая или правая часть
является дробным выражением, называют дробным.
15. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же
корни, называются равносильными. Например, уравнения х 2 ==
==36 и (x 6) (х+6)==0 равносильные. Каждое из них имеет
два корня: 6 и 6. Уравнения, не имеющие корней, также
считают равносильными.
Уравнения обладают следующими свойствами:
если в уравнении перенести слаrаемое из одной части в
друrую, изменив el'O знак, то получится уравнение, paBHO
сильное данному;
если обе части уравнения умножить или разделить на одно
и то же отличное от нуля число, то получится уравнение,
равносильное данному.
16. Линейным уравнением с одной переменной называется
уравнение вида ах == Ь, рде х переменная, а и Ь числа.
Число а называется коэффициентом при переменной, число Ь
свободным членом.
Ес.ли а =1= О, то уравнение ах == Ь имеет единственный корень
Ь
. Например, уравнение 5х == 3 имеет корень 0,6.
а
Если а == О и Ь =1= О, то уравнение ах == Ь не имеет корней.
Например, уравнение О. х == 9 не имеет корней.
ЕСли а == О и Ь == О, то корнем уравнения ах == Ь является
любое число.
17. Квадратным уравнением называется уравнение вида
ах 2 + Ьх + с == О, rде х переменная, а, Ь и с некоторые
числа, причем а =1= О. Число а называют первым коэффициентом,
Ь . вторым коэффициентом и с свободным членом.
Квадра'l'ное уравнение, в котором первый коэффициент pa
вен 1, называют приведенным квадратным уравнением.
18. Если в квадратном уравнении ах 2 +ьх+с==0 хотя бы
один из коэффициентов Ь или с равен нулю, то такое уравнение
называют неполным квадратным уравнением.
Неполное квадратное уравнение вида ах 2 + Ьх == О имеет
ь
два корня: О и . Такие уравнения обычно решают разложе
а
246
нием ero левой части на множители. Например, зх2 15х==0,
3х (x 5)==0, Х! ==0 и Х2==5.
Неполное квадратное уравнение вида ах2 + с == о имеет два
корня: и.... I с ,если >O, и не имеет корней,
V ----;; V а а
если <O. Решают такие уравнения, сводя их к уравнениям
а
вида х2 == т. Например, 0,5х 2 18 == О, 0,5х 2 == 18, х2 == 36,
ХI == 6, Х2==6.
19. Выражение D == ь 2 4ас называют дискриминантом KBaд
paTHoro уравнения ах2 + Ьх + с == О.
Если D > О, то квадратное уравнение имеет два корня;
если D==O, то один корень; если D<O, то квадратное уравнение
корней не имеет.
Корни квадратноrо уравнения ах2+ьх+с==0 при D O Ha
ходят по формуле
Х
bI.'..jD
2а
2
Для квадратноrо уравнения вида ах +2kx+c==0 формулу
корней можно записать так:
....k..1.. ...JDI k 2
Х""-" , rде Dt == ac.
а
20. Теорема Виета: сумма корней приведенноrо KBaдpaTHO
ro уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противо
положным знаком, а произведение корней равно свободному
члену. Иначе rоворя, если Х! и Х2 корни уравнения х 2 +рх+
+q==O, то Х! +Х2== p и XIX2==q.
Из теоремы Виета следует, что если Х! и Х2 КОРI:IИ KBaд
2 ь с
paTHoro уравнения ах +Ьх+с==О, то х, +Х2== , XIX2== .
а а
Теорема, обратная теореме Виета: если числа т и п TaKO
вы, что их сумма равна .. р, а произведение равно q, то эти
числа являются корнями уравнения х2 + рх + q == О.
21. При решении дробных уравнений целесообразно посту
пать следующим образом:
1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3) решить получившееся целое уравнение;
4) исключить из ero корней те, которые обращают в нуль об
щий знаменатель.
Например, решим уравнение
2х 2 х + 1
x 2 x2 2x 2 x '
Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей,
247
т е. на х (x 2), получим 2х2===2+х (х+l). Это уравнение при
в дится к квадратному уравнению х 2 х 2 === О, имеющему
корни 2 и 1. При х===2 общий знаменатель дробей исходноl'О
уравнения обращается в нуль, этот корень нужно исключить.
При х=== 1 общий знаменатель х (x 2) в нуль не обращается,
следовательно, число 1 является корнем исходноrо ypaBHe
ния.
22. Решением уравнения с двумя переменными называется
пара значений переменных, обращающая это уравнение в Bep
ное равенство. Например, пара чисел х == 5, у === 3 является
решением уравнения x2 4y===13. Это решение можно записать
так: ( 5; 3).
Линейным уравнением с двумя переменными называется
уравнение вида ах + Ьу === с, I'де х и у переменные, а, Ь и с
числа.
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же
решения, называют равносильными. Уравнения, не имеющие
решений, также считают равносильными.
23. Каждое решение (х; у) уравнения с двумя переменны
ми можно изобразить в координатной плоскости точкой с KOOp
динатами х и у. Все такие точки образуют I'рафик ypaB
нения.
rpафиком линейноl'О уравнения с двумя переменными, в KO
тором хотя бы один из коэффициентов при переменных не
равен нулю, является прямая.
24. Решением системы уравнений с двумя переменными Ha
зывается пара значений переменных, обращающая каждое
уравнение системы в верное равенство. Например, пара чисел
х === 3, у === 8 решение системы
{ 3x y===1,
х+2у==19.
Решить систему уравнений значит найти все ее реше
ния или доказать, что решений нет.
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни
и те же решения, называются равносильными. Системы ypaB
нений, не имеющие решений, также считают равносильными.
Для решения систем уравнений с двумя переменными
используются способ подстановки, способ сложения, rрафиче
ский способ.
Неравенства
25. Число а больше числа Ь, если разность а Ь поло
жительное число; пишут: а>Ь. Число а меньше числа Ь,
если разность a b отрицательное число; пишут: а<Ь.
Если а больше Ь или а равно Ь, то пишут: а;:: Ь. Если а MeHЬ
ше Ь или а равно Ь, то пишут: а Ь.
248
Неравенства, составленные с помощью знака > или <, Ha
зывают строrими. Неравенства, составленные с помощью
знака или , называют нестроrими.
26. Свойства числовых неравенств.
а) Если а>Ь, то Ь<а; если а<Ь, то Ь>а.
б) Если а<Ь и Ь<с, то а<с.
в) Если а<Ь и с любое чис.fJ:о, то а+с<Ь+с.
Если к обеим частям BepHoro неравенства прибавить одно
и то же число, то получится верное неравенство.
1') Если а<Ь и с положительное число, то ас<Ьс;
если а < Ь и с отрицательное чис.цо, то ас> Ьс.
Если обе части вepHoro неравенства умножить или разделить
на одно и то же положительное число, то получится верное
неравенство;
е ли обе части BepHoro неравенства умножить или разделить
на одно и то же отрицательное число и изменить знак
неравенства на противоположный, то получится верное Hepa
венство.
27. Сложение и умножение числовых неравенств.
а) Если а< Ь и c<d, то
a+c<b+d.
Если сложить почленно верные неравенства одноrо знака,
то получится верное неравенство.
б) Если а < Ь и с < d, 1'де а, Ь, с и d положительные числа,
то
ас < bd.
Если перемножить почленно верные неравенства одноrо
знака, левые и правые части которых положительные числа,
то получится верное неравенство.
Если а и Ь положительные числа, а < Ь и n натураль
ное число, то а" < Ь П .
28. Решением неравенства с одной переменной называется
значение переменной, которое обращает ero в верное число
вое неравенство. Например, число 1,8 решение неравенства
5х < 1{). Этому неравенству удовлетворяет и любое ДРУ1'ое чис
ло, меньшее 2.
Решить неравенство с одной переменной значит найти все
е1'О решения или доказать, что решений нет.
29. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называ
ются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, TaK
же считаются равносильными.
Неравенства с одной переменной обладают следующими
свойствами:
если из одной части неравенства перенести в друryю сла
1'аемое с противоположным знаком, то получится paBHO
сильное ему неравенство;
249
если обе части неравенства умножить или раздели'lЪ на
одно и то же ПОЛОЖИ'l'ельное число, то получи'rся paBHO
сильное ему неравенство;
если обе части неравенства умножить или разделить на
одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак I1е
равенства на противоположный, то получится равносильное
ему неравенство.
30, Числовой промежуток (а; bl" это множество всех чи
сел х, удовлетворяющих двойному неравенству a x Ь.
ЧИС.1IOвой промежуток (а; Ь) это множество всех чисел,
удовлетворяющих двойному неравенству а<х<Ь.
Числовой промежутон: [а; Ь) это множество всех чисел,
удовлетворяющих двойному неравенству а х < Ь.
Числовой промежуток (а; Ь] это множество всех чисел,
удовлетворяющих двойному неравенству а < х Ь.
Числовые промежутки [а; + (Х) и (а; + (Х) ) ЭТО MHO
жества всех чисел, удовлетворяющих соответственно HepaBeH
ствам x a и х>а.
Числовые промеЖУТltи ( (Х); Ь] и ( (Х); Ь) это множества
всех чисел, удовлетворяющих соответственно неравенствам
x b и х<Ь.
Числовой промежуток (. . (Х); + (Х) ) это множество всех
действительных чисел.
31. Неравенства вида ах> Ь и ах< Ь, rде а и Ь некоторые
числа, а.х переменная, называются линейными н:epaBeHCTBa
ми с одной переменной.
32. Если ставится задача наЙТ)I общие решения нескольких
неравенств, то I'ОВОРЯТ, что надо решить систему неравенств.
Решением системы неравенств с одной переменной называет
ся значение переменной, при котором верно каждое из Hepa
венств системы.
Решить систему неравенств значит найти все ее решения
или доказать, что решений нет.
Функции
33. Зависимость переменной у от перрменной х называется
функцией, если каждому значению х COO'l'BeTCTByeT единствен
ное значение у. Независимую переменную х иначе называют
aprYMeHToM, а о зависимой переменной у roворят, что она явл.я
С'l'ся функцией от этоrо apI'YMeHTa. Все значения, которые
принимает независимая I1еремснная, образуют область опреде
ленин функции.
I'рафиком функции называется множество всех точек KOOp
динатной ПЛОСКОС'l'И, абсциссы которых равны значениям ap
ryMeHTa, а ордина'l'Ы соответствующим значениям функции.
34. JIинейной функцией называется функция, которую мож
но задать формулой вида y===kx+b, rде х независимая
250
переменная, k и Ь числа. Ее областью определения является
множество всех действительных чисел.
rрафиком линейной функции является прямая. Число k Ha
зывают уrловым коэффициентом прямой, являющейся rрафи
ком функции у === kx + ь.
Если k =1= О, то rрафик функции у === kx + ь пересекает ось
х; если k === О и Ь =1= О, то прямая rрафик функции у == kx + ь
параллельна оси х; если k==cO и Ь"""О, то rрафИlt функции
совпадает с осью х.
35. rрафики двух JIИнейных функций пересекаются, если их
уrловые коэффициенты различны, и параллельны, если их уrло
вые коэффициенты одинаковы.
36. Линейную функцию, задаваемую формулой y===kx при
k =1= О, называют прямой пропорциональностью.
l'рафик прямой пропорциональности есть прямая, прохо
дящая через начало координат. При k>O rрафик расположен
в первой и третьей координатных четвертях, при k<O во
второй и четвертой координатных четвертях.
37. Обратной пропорционалыюстью называется функция,
Ф k
которую можно задать ормулои вида y=== , rде х незави
х
симая переменная, k не равное нулю число. Областью опре
деления функции является множество всех действительных
чисел, отличных от нуля.
При k > О функция у === принимает отрицательные значе
х
ния, если х<О, и положительные значения, если х>О.
k
При k<O функция y=r; принимает положительные значе
х
ния, если х<О, и отрицательные значения, если х>О.
rрафик обратной пропорциональности rипербола. При
k > О l'рафик расположен в первой и третьей координатных
четвертях, при k < О во второй и четвертой координатных
четвертях.
38. Областью определения функции у == х 2 является MHO
жество всех действительных чисел. Функция обращается в нуль
при х===О, а при x=l=O принимает положительные з:наче
ния. rрафик функции у == х 2 парабола. Этот rрафик проходит
через начало координат и расположен в первой и второй
координатных четвертях. Он симметричен относительно оси у.
39. Областью определения функции у == х 3 является MHO
жество всех действительных чисел. Функция обращается в нуль
при х==О, принимает отрицател ные значения, если х<О. и по
ложительные значения, если х>О. rрафик функции у===х 3
проходит через начало координат и расположен в первой и
третьей координатных четвертях. Он симметричен относитель
но начала координат. .
40. ОБJlасть определения функции у ==.jX множество всех
251
неотрицательных чисел. Функция обращается в нуль при х==О,
при >O функция принимает положительные значения. rpa
фик функции у==,,[Х расположен в первой координатной чет
верти, он представляет собой ветвь параболы.
ДеЙСТВИТeJIьные числа. Приближенные вычисления
41. Целые и дробные числа составляют множество рацио
нальных чисел. Всякое рациональное число можно представить
в виде дроби .!!!:.., rде т целое число, а п натуральное.
n
Каждое рациональное число может быть представлено в виде
бесконечной десятичной периодической дроби. Каждая беско
нечная десятичная периодическая дробь представляет HeKOTO
рое рациональное число.
Положительные бесконечные десятичные дроби, противопо
ложные им числа и число нуль образуют множество дейст
вительных чисел.
Число, которое можно представить в виде бесконечной деся
тичной непериодической дроби, называют иррациональным
числом.
Каждому действительному числу соответствует точка на KO
ординатной прямой, и каждой точке координатной прямой co
ответствует некоторое действительное число.
42. Стандартным видом числа а называют ero запись в
виде а .10 n , rде 1 а < 10 и п целое число, число п называют
порядком числа. Например, 73 000==7,3'104; o,0026==2,6.10 3.
43. Абсолютной поrрешностью приближенноro значения
числа называется модуль разности точноro и приближен
Horo значений. Н пример, абсолютная поrрешность приближен
1 1 1 1 131
HOro значения 0,3 числа 3 равна 3 О,з ==3 10 == 30 .
Если абсолютная поrpешность приближенноrо значения не
превосходит HeKoToporo числа h, то это значение называют при
ближенным значением с точностью до h. Например, 1,41 явля
ется приближенным значением 112 с точностью до 0,01.
Если ч.исло х равно а с точностью до h, то пишут: x==a + h.
При этом число h обычно берут с одной или двумя значащими
цифрами. Например, vIз==1,7З + О,01.
'44. Относительной поrрешностью приближенноrо значе
ния называется отношение абсолютной поrрешности к модулю
приближенноrо значения.
Относительную поrрешность обычно выражают в про
центах. Например, при окруrлении дроби 25,4 до единиц по
лучается приближенное значение 25. Ero относительная по
rрешность равна
125,4 251 0,4 ==0016== 1 60/
25 25' , /О.
252
ПРЕДМЕТIIЫИ УКАЗАТЕЛЬ
Арl'умент 3
БИКВадратное уравнение 62
Вершина параболы 28
rрафик функции 4
I'pафический способ решения систем
уравнений 65
Дискриминант KBaдPaTHoro трехчле
на 17
Знаменатель rеометрической ПрОl'рес
сии 93
Квадратный трехчлен 16
Корень l(Вадратноro трехчлена 17
n й степени 120
арифметический 121
Косинус Уl'ла 153
КoтaнreHc уrла 153
Иеравенство второй степени с ОДНОЙ
переменной 39
Область значений функции 4
определения функции 3
Последовательность 80
Проrpессия арифметическая 83
reoметрическая 92
Радиан 162
Разность арифметической ПрОl'рес
сии 84
Рекуррентная формула 82
Синус уrла 153
Степень с дРобным показателем 130
уравнения с одной перемен
ной 56
уравнения с несколькими пере
мениыми 64
Сумма бесконечной rеометрической
проrpессии 102
TaHreHC уrла 153
YI'OJI поворота 151
Формула n ro члена арифметиче
ской npоrpессии 85
I'еометрической проrpес
сии 94
разности косинусов 194
синусов 193
суммы косинусов 194
синусов 193
n первых членов арифметиче.-
ской проrрессии 89
rеометрической про
rрессин 98
Формулы двойноro уrла 188
приведения 176
сложения 182
Функция 3
возрастающая 11
квадратнчная 24
нечетная 112
степенная с натуральным по
казателем 115
убывающая 11
четная 111
Целое уравнение 55
253
ОТВЕТЫ
rлава 1
4. 24. 7. а) х== . 2; б) x,' ... 14; в) не существует. 8. а) 2; б) 8; в) 13.
9. а), б), д) Х любое число; в) XF5; 1') x=I= 1 и х.#о4; е) х;;'5. 11. а) х
2{ 1
любое число; б) x=l= l; в) х;;' 9. 21. а) '3; б) 5. 22. д) :i: у2; е) о; 15 '
23. в) 0,5; 3; 1') 1; 1 . 31. а) 15; б) 6 и 3 ; в) 2; 1') нулей нет.
1
32. а) Имеет, Х=<=33з ; б) имеет, x= o и х==2; в) имеет, х==6. 40. а) о; 6;
1 2
б) :'!:: ..j5; в) о; 8,5; 1') корней нет. 44. а) 3; 2; б) '3 ; '3; в) 20; 5;
1 1 {
1') 4; д) корней нет; е) о; 5. 45. а) 1; 2"; б) 3; в) 1 y5; 1 + у5;
r) 1; 1. 52. llри х== 1; наименьшее значение равно 4. 53. При х== 3;
наименьшее значение равно 1. 55. 145 м. 56. а) При х== 2; б) при х> 2: в) при
2 1
х<2. 57. а) 0,018 м; б) 0,018 м. 58. а) 2'3; 2; б) 2; 2 15 .
1
00. в) -б (х+1)(х+2); д) (у. l)(у 15)==(1 у)(у 15); ж) 2(x 1)X
х( x ) (x 1)(2x .3). 61. а) 2 ( x У; б) (3x 2)2; в) (4а+з)2;
1') (0,5т 2)2. 62. б) (т 2)(т 3)==(2 т)(т 3); в) 3( x ) (x+2)
==(3x 1)(x+2); 1') 6( x ) ( x ) (3х 2)(2х з). 65. а) 3X 1 ;
2а+1 4+Ь 2у+1 l p х+6
б) ; в) Ь+3 ; 1') y 3; д) p 2 ; е) x +5 . 67. а) 0,3;
. 0,93; 0,993; б) 3; 1 ; 1 .69. а) .1; 23; б) 2; 2 .80. а) Да; б) да;
1 1 3a 1 1
в) нет. 81. ( 3; 9); (1; 1). 85. а) 5а+2 ; б) 2а+{ ' 96. а) 2"; 2";
б) нулей нет; в) нулей нет. 97. При а<О. 98. а) Корней нет; б) о; 2,8.
3a 1
99. а) ( 00; 2,9); б) [0,25; + 00); в) r 1,8; + 00); [') ( 00; 0,2). 109. а + 2 .
1
111. а) 1 .[5; 1 +.[5; б) 2; 23 . 112. 10 I'а. 113. 8 машин. 114. а) ( 8; 6);
б) ( oo; 1,5)U(2; + 00); в) ( 00; 3)U(5; + 00); [') (1; 1,2); д) x=l= 1,5; е) pe
шений нет; ж) (о; 0,9); з) ( oo; 0)U(з,5; + 00). 115. а) ( oo; 2,5Ю
U[l; +00); б) [ 2; 3J; в) ( oo; ';5]U[Y5; +00).116. а) ( oo; 7)U
254
u( ; +00 );б)х {;в)1 ;1 I ;I')( oo; 4,5IU[2; +оо);д)( оо;о)u
u( : ; +00); е) ( oo; 2..,J2)U(2..,J2; +(0).117. а) При x<. 1,5 и при
Х> 1; б) при X .118.a)( 4; 4); б)( оо; ..,J3Iul..,J3; + 00); B)( OO; 3)U
U 3; +00); 1')( oo; IUIO; +00); д)( : ; о); e)( oo; 0)U(7; +00).
119.а)[ 10;10];б)( 0о; 2..,j6)U(2..,J6; +00);B)[ 4;OJ;I')( oo; f ) u
U( 3 ; +00); д) ( oo; O)U( ; +00); е) ( ; } )U(O; +00).
120. а) ( 7; ); б) ( 00; 1 ] U [ 1 : ; + 00 ) ; В) Х любое число;
1') ( 00; 9 f1 )u ( +2137 ; + 00 ) . 121. а)( 00; 1Ю ( 4 ; + 00 ) ;
1
б) XoF 4 ' 122. а) 10; 4}; б) все числа, кроме 3. 126. Больше 7 см, но
меньше 12 см. 127. Больше 4 см. 128. (4; о); ( о; ).129. а) ( 3 ; 5 } );
б) ( OO; 3,5]; В) (1; 2,8]; 1') решений нет. 131. а) ( 00; 8) U (5; + 00);
б)( 10; 14); B)(' 00; 8,5JlJrз,5; + 00); 1') [ ; 1. 132. a)( ' 25; 30);
I 1 1 I .
б) ( oo; 6)U(6; +00); В) 5; '3 ; 1') ( oo; 6,з]U[ 0,1; +00).
133. а) (2; 5)U(12; +00); б) ( oo; 7)U( 1; 4); в) ( oo; 5)U( 1; O)U
U(8; + 00). 134. а) ( 48; 37)U(42; + (0); б) ( oo; О,7)Щ2,8; 9,2).
135. а) ( oo; 9)U(2; 15); б) ( 6; 0)U(5; +00); В) (1; 4) U (8; 16).
136. б) [ ; ]; в) ( 12; 3); 1') [ 6; ]. 137. а) ( oo; 18)U
U(19; + (0); б)(. 00; 0,9)U(3,2; + 00); в) [ 3; 8,5]; 1') [0,3; 8].138. а)[ 8; 5];
б) [ 12; 1]U[9; +00).139, а) ( oo; 2,5}U[17; +00); б) l 9; O]U[4; +00).
140. а) ( 6; 5); б) ( oo; 3,8)U(1,4; +00); в) ( oo; 0)U(1,6; +00);
1') ( oo; 0,3)U(4; +00).141. а) ( 7; 21); б) ( oo; 4,7)U(7,2; +00);
в) ( oo; 3)U ( ; + 00 ) ; 1') (о; 3). 144. а) X O и X 6; б) x 4;
в) x l и X O. 145. y 10x, 0:;(х:;(7, 0:;(у:;(70. 146. y 1,5x, 0:;(х:;(4,
0:;(у:;(6.148. а) При x 2,4; б) при x==::I::/:io; в) при x ::I::3. 149. rрафик
не пересекает ось х, а ось у пересекает в точке (о; 1). Он расположен В 1 и 11
{ 20t, если 0:;(t<3,
координатных четвертях. 150. 1 60, если 3:;( t < 5, - 154. У
12t + 120, если 5:;( t:;( 10.
2 2С 4 2 .. 2::1::,,;22.
x +5, y x 4. y ух+1, у==х +х +6. 159. а) 6, 2, б) "6'
в) 4::1:: 2 -..J5 ; 1') 5::1::fi7 . . 161. При p 1 ; . 165. а) 3 : ; б) 12.
255
2(т 2) . б ) 2т 1 169 а ) 4(X 4).
166. При a Ь 20. 168. а) т+4' п 3' . 4х+1 '
x l 2. х+6. х+2. 3x 1
б) 1 .170. а) х 5x, б) 3 ' в) t1 ' 1') 1 ' 171. а) При
х+ x x
a 0,28; б) при a 3; в) при а== 2; 1') при а ==0,001. 178. а) При
с>13; б) при с>8.179. При Ь 12, c 24. 180. При a 2. 181. При а>О
и c o; при а<О и с;;а.о; при а==О и с==О. 182. При а== 6 и Ь==26. 189.
б) [ 9; 1]; в) ( oo; 2)U( : ; +(0); 1') ( oo; 1,75]U ]1,5; +00);
1
PJ х любое число; е) х=F з , 191. а) ( 4; 4); б) x=F 2. 192. [. 3; 1].
193. а) (7; +00); б)( oo; ); в) ( oo; 3); 1') (4; 5). 194. а) ( 1; 2);
б)(1;4).195.а)( 00; 1,2)U(4;6); б) ( ; ) U ( ; + 00 ); В)( oo; 1,6)U
2
U{ 0,6; 1,2); 1') ( oo; 1,8)U(1,7; 1,9).196. а) 4; l З; 2; б) ( oo; 4)U
U ( 1 : ; 2); в)( 4; 1 ) U(2; + (0).197. а)( 00; 2)U(7; + (0); б) (7,3; 9,8);
в) ( 0,8; 4)U(20; + (0); 1') ( oo; 0,3]U[5; 17 198. а) ( 17; 4)U(4; + 00);
б) ( oo; 11Ю( : ; 11); в) ( oo; 5)U(O; 5); 1') ( 0,1; O)U(O,l; +(0);
д) ( oo; 3)Щ 1; 1)U(3: +(0); е) ( 6; 0)U(6; 15). 199. а) ( 2; 6);
б) ( oo; 0)U(4; +60); В) ( oo; l)U(l; 24); 1') ( oo; 7)U(21; +(0).
200. а) ( oo; ) U ( ; + 00 ); б)( 00; 121 ) U(4; + 00).201. а) Нет;
б) нет. 202. а) ( oo; 4) U (8; +(0); б) ( 16; 11); в) [ 1; 3); 1') ( oo; 4) U
U [6; + 00).
rлава :п
204. а) 2; б) 0,2; 0,2; в) 3,5; 2; 1') 0,5; 0,5. 205. а) о; 5,5; б) 7;
1 1 4
в) 1з; 1') 6з; 5. 209. При р<2. 210. а) При Ь<4,5; б) при Ь< 15 ; в) при
Ь< 6 и при Ь>6; 1') при b< 2"j5 и при Ь>2 . 211. а) При Р==1,5;
б) при P== 5 и при р==5; в) при V 2,j'2. и при v==2,j'2; 1') при
1 1
р==6. 212. а) При 12<t<12; б) при t>з; в) при t>28 8 ; [') при
12<t<12. 213. а) о; ;/6; ;/6; б) о; в) о; 1,5; 2; 1') о; 0,2; 0,5; д) 2;
1 1 3
3; 3; е) о; 1; 4; 4; ж) 1; 1; з) 1; о; 1; 3. 214. а) о; 17;
1
б) о; 12; 12; в) о; 1; 4; [') 3; д) о; 3; 3; 2,5; е) 1,5. 217. а) (3; 7);
б) х любое число, кроме 4; в) ( oo; 2]U [ 2 : ; + 00 ); 1') [ ; 1].
218. 90 КМ/Ч, 80 КМ/Ч. 219. а) ( 8; 1,5); б) (11; 12); в) ( 6; 7,5);
1') ( oo; 0,5)U(I,5; + (0).220. а) 2; 2; б) 1; 1; 3; В) 3; 2; 1') 1,5; 1;
1 ";И 1 +"ji'i
4 ; 4 . 221. а) 1; 1; 2; 2; б) 2; в) 4; 3. 222. а) 3;
256
1 1 11
3; б) J2; "j2; 2; 2; В) корней нет; 1') 2; 2; 1; 1; д) v 3;
11 (2 12 1 1
\J 3; V 3; V 3; е) 2; 2.223. а) 3; 3; 4; 4; б) корнеи нет;
в) ..,[2; ..,[2; 1') ...j3; ...j3; д) ; ; 2; 2; е) корней нет.
224. а) ( 2; О), (2; О), ( 1; О), (1; О) и (о; 4); б) ( ..,[2; О), (..,[2; О) и (о; 10);
В) ( .yfб; О), (.yfб; О) и (о; 100); 1') (о; О). 225. а) Корней нет; б) ;
; 2; 2.226. а) 1; 1; ,,;5;,,;5; б) 1; ...j3;...j3. 228. а) При p< -{f5
2
и при p>-{f5; б) при Р>3' 229. а) (2; 4); б) ( 3; 7,5); в) (о; 1,25);
1') ( 30; 30).240. а) [ 0,24; О]; б) ( oo; 13)U(13; +00); в) ( 2; 12);
1')( 00; l)U ( 2 175 ; + 00 ).241. а)(5; 2); б) ( : ; 4 ).242. а)(9; 7,5);
б) ( 43; 171). 243.16 км/ч, 18 КМ/Ч. 244. а) (5; 2), (2; 1); б) ( 4; 5),
(6; 5); в) (1; 5), (4; 2); 1') (4; 5), (13; 4). 245. а)(10; 7), ( 3; 6); б)( 1; о),
( 2; 1); в)( 3; 5), (2; 10); 1')(2; 2), (1; 3). 246. а)(2; 1), (1; 2); б) (1,5; 1),
(1; 1,5); В) ( 1; О), (о; 1); 1') ( 5 ; 3 ) . 247. а) (10; 2), ( 2; 10);
б)(2; 1,2), ( 1,2; 2); в) (3; 1); 1')( 1; 2), ( 2; 1). 248. а)( : ; : ) ,
(1; 4); б) ( 2 ; ) , ( 2 ; ) ; в) ( 32; 18), ( 10; 4); 1') ( 1; 2),
( 1 ; : ); д) (8; 6), ( 8; 6); е) (4; О), (12; 16). 249. а) ( 3; 1),
(5,5; 0,7); б) (3; 5), (5,5; 5); в) ( 6; 9), (3; 4,5); 1') (1,5; 2,5), (2,5; 1,5);
( . 1 ) ( . 1 ) . . ( 10. 5 ) з ...j3
д) 0,22 ' 2,12 ,е)( з, l), 111,1 11 .250.a)x. ,
...j3 3 ...j3 ...j3 .
Y'== T; Х 2 =="""2' У2==Т; б) ul 3,5, vl 2,5; U2==3,5, и2== 2,5.
1 1
251. а) xl 5, Yl==4; Х2== 2з, У2==7 б ; б) PI==6, ti 2; P2 5,
2
t2 lз, 252. а) ( 14; 13), (12; 13); б) ( 2; 13), (4; 7). 253. ( 2; о),
(4; 6).254. а) (о; 4), (4; О); б) (1; 2), ( 1 ; 3 ) . 255. а) ( 3; 2),
(3; 1); б) (3; 5), (5; 8). 256. а) х. == 2, у, ==1; Х2==2, У2== 1; б) иl == 2,
. иl ==3; и2 з, и2 3,5. 257. а) (15; 10), (2; 3); б) (12; 6), (2; 4);
в) ( ; 2) , ( : ; ) ; 1') ( 1; 1 ) , (6; 2). 258. а) ( 2 ; 1 ) ,
(6; 4); б) ( 2; О), (1,8; 11,4). 259. (3; 1). 261. а) ( ; ,/6), (,/6; ,f6);
б) ( 5; 4), (5; 4). 262. aH 4; 1), ( 4; 1), (4; 1), (4; 1); б) ( 7; 9),
(8; 6). 263. а) ( 3; 3), (3; 3); б) ( 6; 5), (6; 5). 264. а) (о; 6); б) ( 4; о).
266. а)( 3 11з ; +00) ; б) ( oo; ). 267. а) ( 14; 12); б)( : ; );
в) ( oo; 14)U(1,5; + 00); [') ( 25; 1,2). 268. 5 и 7. 269. 3 и 4 или
257
4 и 3. 270. 6 и 8 см. 271. 24 и 10 см. 272. 60 и 40 м. 273. 210 см 2 . 274. 4,8 и
3,6 км/ч. 275. 0,16 и 0,12 м/с. 276. 6 и 5 см. 277. 8 и 6 см. 278. 5 и 12 см.
279. 10, 6 ч. 280. 60, 84 ч. 281. 8, 12 ч. 282. 1, 1,2 KI'. 283. 4, 5 км/ч. 284. 4,
5 I<М/Ч. 285. 60, 40 км/ч. 286. а) ( 1,5; 0,5); б) (1,2; 1,6), ( 0,7; 4,1).
287. а) (1; 1), (4; 7); б) (1,5; 4); в) (6; 8), (8; 6). 288. а) (о; 6); б) ( 00; 8]U [о; + 00 );
в) [ 2; 2]; 1') ( oo; .;6)U(.;6; +00).289. а) о; 1; 1; б) о; 2; 2; в) о;
8; 8; 1') о; 2./5; 2 vб. 290. а) о; . 5; 5; б) о; .;6;.;6. 291. а) 1; 2; б) 1;
1 1 r. /
2; 1; в) 2; 0,8; 5; 1') 1; 6; 6.292. о; 1; 1.295. а) 3 у6; 3+ у6;
з .;17; з+.;17; б) 2; 4; 1 Vб; 1+./5; В) корней нет; [') 4; о;
7+.j65 7 .J65
д) 1 ...[2; 1+v'2; е) 4; 5; ж) 4,5; 1; 4 ; 4 .
296. а) 1; б) 1; 8. 299. а) При с>36; б) при 20<c<20. 300. а) При
0<k<42,25; б) при k 42,25 и при k<O. 305. а) При т .;w и при
т .;w; б) при .;w<т<.;w. 306. а) (5; 2), ( 2; ); б) (о; 1),
(3; 5); В) (6; 1), (3; 5); 1') (6; 2), (11; 7); д) (4; 1); е)( 1 ; : ) , ( 5; 3).
307. а) (4; О), (о; 4); б) (2; 3), ( 2; 1); в) (о; 5), .(5,5; 6); 1') (5; 4),
( ; 1 ) .308. а)( 6; 2), (6; 2); ( 2; 6), (2; 6); б)( 10; 8), ( 10; 8),
(10; 8), (10; 8). 309. а) (о; 5), (1; 4); б) ( ; 1), ( ; 1).
310. а) ( 3; 4); б) решений нет. 311. а) ( ; ) , (1; 1); б) (7...[2;V2),
( 7 ...[2; ./2), (7./2; ...[2), ( 7...[2; ...[2); в) (3; 4), (3; 4), (о; 5); 1') (.;51; 1),
( .y5i; 1). 312. а) (1,5; 2), (10; 15); б) (70; 28), (4; 5); В) (6; 8), (8; 6).
315. а) ( 4; 3), ( 4; 2), (3; 3), (3; 2); б) (3 з...[2; 3 + 3 ...[2),
(3+3...[2; з з...[2), (2; 4), (4; 2); в) (2; 3), (3; 2); 1') ( 3; 2), ( 1; 4),
2
(4; 5), (6; 3). 316. a 2, b 2 или a 3' b 6, 317. 18 и 12. 318. 60 и
2 6 5
20 или 25 и 37,5. 319.10 и О или 26 и 24. 320. 36. 321. 3 или . 322. .
19 4
323. 9, 12 см. 324. 6 ч. 325. 12, 8 ч. 326. 40, 50 км/ч. 327. 40, 50 км/ч.
328. 6, 4 км/ч.
rлава III
335. а) 20; б) 90; в) 2450. 339. x 3, y 6. 340. а) I.j!,5; б) т..;4:5.
3 1 1 1
341. б) 4' a 4; в) a 2b2; 1') 3a3b 8. 342. а) '9; б) 243 ; в) 81 ;
1') 27. 346. а) 4; б) 3. 349. 28 м. 350. 60 км/ч. 351. 7,5 см; 15 см.
352. а) 12; б) 100. 353. а) 3; б) 3,5. 354. а) 1,5; б) 0,8. 357. а) с, 21,
a 1,5; б)СI 38, a 2. 358. ХI 100, a 6,2.359. а) Да; б) нет. 360. а) Нет;
б) да. 361. а) Для первых тридцати членов; б) для всех членов, начиная
с тридцать первоrо. 362. Отрицательными являются тринадцать первых членов
проrрессии; а'1 первый положительный член, a'4 0,5. 365. (2; 4),
1
( 0,5; 3,5). 366. а) о; 8; 4; б) 10. 368. а) 5; б) 10000; в) 32 ; 1') 3.
258
371. а) 63; б) 86,4. 372. б) S50 2700, Sloo 10400, Sn==(п+4)п. 373. 670.
374. а) п (п+ 1); б) п 2 . 375. а) 11 325; б) 7070; в) 11 400; 1') 1197. 376. 1192.
377. 275. 378. 55. 379. 199,5. 380. 122,5 м. 381. а) 63,7 м; б) 240,1 М.
382. В 15 рядов; Jtб5 шаров. 383. а, ==0,8, d 1,2. 384. а) Нет; б) да.
385. а) ( ; 1) , ( ; 1 ) , (1; ), ( 1; ); б)(2; 5), (2; 5),
1 10 1 4
( 2; 5), ( 2; 5). 389. а) 4'; б) 27 ; в) 32; 1') 25 ' 390. а) ' 27 ;
-{з 3 2 1. 56 .
б) "'5' 393. 1024 см. 394. а) 81 ' б) 125 .395. а) 3 или 3, б) 0,6 или 0,6.
1 1 1 1
396. а) 1000; б) "3 или з' 397. а) 25 или 25 ; б) 162; в) 0,001 или
0,001. 399. X2 1, ХЗ . 400. 96. 401. 874 р. 18 к. 404. 1885. 406. x 5.5,
2
7
y 0,5.407.a)( 00; 2]ul8,5; + (0); б)( 00; 0)U(2,5; + (0). 409. б) 1479;
34 4
в) 63. 410. а) 39 364; б) 171. 413. а) 205,9; б) 25 81 . 414. а) 1349;
б) 274,5. 415. 364. 416. 2186. 419. а)( 00; О]Щ1,5; + (0); б)( 00; + 00 ).
3 4 15 1 1
420. б) 1,6; в) 1; [') ; д) ; е) rr ' 421. а) 1 9 ; б) 3 ;
1 +у3 y2 1 ,,5 1
4 100л 2 2 1
в) 4 5 ; 1') 2. 423. 20л см и см. 424. 32л см 2 . 425. а) 3'; б) 9;
4 9 7 357 5 8 7 37
в) 11 ; 1') 1 11 ; д) 30 ; е) 1100 ' 426. а) 9; б) 1 11 ; в) 15; 1') 3300 '
9
429. а) т>2; б) т< 1 16 ' 433. а) а,== 34, a2 26,5, a5 4; .
б) a,== 10,5, аз .6,5, a5== 2,5, аб== 0,5. 438. а) 20 2 уз; б) 4 Y3 7.
1 1
439. а) 15; б) 15. 440. а) Является; б) является. 441. а) '4; б) 6 .
5",
444. а) 0,1; б) О. 445. а) 10 12 ; б) 55 у3. 446. а) 5000; б) 780. 448. а) а, 6,8,
, 1
Sn 55,2; б) n 20, а п ==60; в) al 2' п 100 или а, o, п 101; 1') d 1,
1 1
п==30. 449. xl== 32' d 2' 453. а) 11; б) 3. 454. 75.
п n2 п 2 +п
T . 2"
455. а) х ; б) х .456. а) 46,2; б) 45,5. 457.1600. 458. а) 840; б) 51,6.
lс
460. Да, X5 1. 461. а) Да; б) нет; в) нет; 1') нет. 467. а) Т8; б) 12 у 6.
1 1
472. а) 27 и 3; б) 2 и 4; в) 6 и 64 ; 1') 2VЗ и 5. 473. q 5, xl 3.
1
474. 176. 477. а) 2; б) 2 (2 fз). 478. а) 1,5; б) 11 '4' 479. 6 или 12.
480. а) 2 6 0 ; в) 9 0 . 481. а) 2лR (2 +у2); б) 2лR 2 ; в) 8R (1 +V2); 1') 4R 2 .
а 2 -{з 2 -{3 ла 2
482. а) 6а; б) 3 ' ; в) 3 - ла; 1') 9 '
259
fлава IV
3x 5 y 6
490. а) 3аЬ; б) 9 ху 2. 492. а) (2; 5); б) (0,4; 0,6).493. а) зх 15 ; р) 7у+42 .
3y 1
502. а) 0,19; б) 118,81; в) 454,35. 514. 1093+364vfз. 516. а) y2 1 ;
и 2
б) 2 . 520. д) 1,5; е) 1,5; ж) 0,3; з) 0,5. 521. б) 11; ж) l з ; з) 1,5.
25 4x ,
530. д) о; е) 10; ж) 9; з) 4. 532. д) о; е) 6. 533. в) 12; r) 64; ж) 5; з) 4.
534. в) 48; 1') 54; ж) 2; з) 3. 536. ж) Корней нет; з) vп; VП;
и) о; к) 2; л) 1; 1; М) корней нет. 537. 1') 2; ; д) 'J./2; е) VI7; VI7.
2a 12 2
538. д) 3; е) 2,5; 2,5. 540. а) 1; б) 2. 541. 3а+ 15 ' 542. д) 1,5; е) 8 ;
. 3 5 1 7
ж) 0,4; з) 1,5. 543. д) 6'4; е) 169 ' 544. а) 5; б) "8; в) 15; 1') 19'
545. а) 6; б) 6; в) 5; 1') 4. 546. а) 15; б) 6; в) 6. 547. в) 14; r) 100; д) 3; е) 2.
548. а) 3; б) 0,5; в) 2; [') 5. 551. 1') 2с 2 \13; д) 5с З 3.J2C; е) 3Ь V2i?-. 552. б) \1375;
в) \14; 1') VfXi4; д) V2fl; е) l зcH. 553. а) 2 ус; б) 3 w; в) 5Х,/2Х;
v2 2 2
1') aVfJiiI. 554. б) \140; в) \19; 1') V2iJ}. 555. а) 5 ; б) 3 ; в) ; 1') ;
v5 vз
д) .;з ; е) V; ; ж) ; з) V; . 556. б) \f4; в) У27 ; 1')\!7;д) 3 \!6.557. в) 4\13;
6
r) 3\125; д) '7 \1343; е) \Iв. 558. д) V"l'; е) W; ж) \149; з) \12; и) W.
9С4: 31 {i) 31 3а+Ь
559. в) "а 4 ; 1') "т; д) 16у2; е) у4. 564. а) 66; б) 20. 565. а) 2; б) 3. 566. a)"(ib"';
б) 1.567. а) -v: ; 6) 9.)3 11 ; в) 6 vfз; 1') 2 \!i62. 568. а) ; ; б) 4; B)!;,j2.
570. в) \(2а, 2ЗVа, aW.. Xif5, 3; 1') W y)2, W w, 3 \!(а+Ь?,
2 з I I
4V? + aW. 572. ж)а '3; з)х 4; и) (4аь 2 )5 ; к) (а2 ь2)З. 574. а) 7; 6) 10; в) 0,5;
5, 1 61
1') 0,5; д) 243; е) 158; ж) 625; з) 5 16 .575. д) 0,064; е) 1 64 ; ж) 100; з) 0,0016.
I I I 2
578. 6) y l; д) с#5. 581. в) 52 >53; [') 73 7б. 582. а) х 2 ; 6) х 2 ; в) х 3 ;
1 1
1') X 14 . 583. а) 32; 6) 9; в) 0,28; 1') 2700 ' 584. 6,4 ДМ. 585. 3,6 см. 589. а) а;
7
б) х2.2; в) aO,I; 1') 1. 590. 1') а; д) 1; е) т".2; ж) х; з) у'3. 591. б) 4; в) 9; 1') 2.
1 1 1 1
592. а) 4; б) 49 ; в) 2; 1') 25; д) 0,5; е) 8 . 593. а) 12; б) 12 ; в) 30 ; 1') 6;
1 2 7 1
д) 2; е) 3' 594. а) 6; б) 20; в) 12 ; 1') 1,2. 596. 6) су ; в) а; 1') q.
I 2
601. а) 10а; б) 100а; в) ОДа; 1') О,Оlа. 602. а) a V 3; б) S V 3 ;
5
2 З 7 2 4 ( ) 4
в)Р 6vз.60з.а)х у2;б)х у4;в)х у 3;I')Х У 'З;Д)Х ;
260
3 I 11 I 5 1 I
е) x (6y) '2. 604. а) х 6 : б) а 24 : в) у fП: 1') Ь 6 : д) уб: е) х4'. 606. а) 64:
H 11 ( 2 )
б) 2" 2: в) 81 : 1') 36 ; е) 5. 607. а) 1,69; б) 5,24: в) 6,35. 608. а) 11 : + 00 :
б) ( 00: :4 )' 609. 12 ч и 8 ч. 610. 24 дня и 12 дней. 612. а) а 2 :
б) Ь 3 . 5 : в) ; ; 1') cd 2 . 613, а) : б) 50. 616. а) 1 + с: б) 2 vьc:
'2 4 2
в) 4VGb: 1') х 2 +х з : д) уЗ +9у5: е) x l. 617. а) х+у: б) 2vтп: в) а 3 +
I I , I I 2 1 I
+25а: r) а '2 b 2. 618. а) х 2 (х '2 2): б) уЗ (у З +3): в) а 4' (а 4' 5):
I I 1 I 2 I l' I 1
1') а б (а 6 +1): д) b4(b'2 2): е) с З (с+6); ж) аЗ(ЬЗ сЗ): з) 22 (32 1).
I 2 1 2
621. в) (al,5 2)(al.5+2): r) (х 5 y 5)(х 5 +у5): д) (2 aO,5}(2+aO,5):
I I 1 I I I 2 4 2
е) (т 2 +n '2)(т '2 п2). 622. в) (т '2 2}(т+2т '2 +4): 1') (а 5 +3)(а 5 3a 5+
I I 2 I I 2 I I 2 I I 2
+9), д) (х з 5З)(хЗ +х З 5 З +5 З ): е) (4 3 +уЗ}(4 з 4З уЗ +уЗ).
I I 2 I I 2 4
(a9 b9)(a9+a9b9+b9). 626. а) :
1 з2
I I I I
x4 1 102 с 2 +d2 '1
I') . 627. а) 31,5+з: б) : д) I 1 : е) тЗ +n З . 628. а) 11:
х 2 1O'2 1 с 2 d'2
, I
а 2 Ь'2 х+у
б) 0,5: в) 0,2: 1') 12. 629. а) I 1 ; б) а+Ь. 630. а) :
x y
I I а 2 +Ь'2
q2 +р2
в) I l ' 631. а) ( oo: 2): б) 1 5: 3]. 632. 120 км. 633. 20 км.
q'2 p'2
634. а) 12: б) 4. 636. 1') Четная: д) нечетная: е) не является ни четной,
ни нечетной функцией. 637. а) Может: б) не может: в) может: 1') не
может. 647. а) Существуют: k O: б) существуют: b O. 648. Суще
1
ствуют: b O. 657. в) 3: 1') 3,5: д) 0,5: е) 32 ' 659. 1') При а';;;;2 и при
a 5: е) при 2';;;;Ь';;;;4. 661. а) 1; 1: б) V2: V2: V7: V7; в) 2: vз:
[') У2: V'З. 662. а) 125: (125: + 00): ( oo: 125): б) 16: (16: + 00): [о: 16).
45
670. В) 49 : 1') 1,35. 672. а) .j5a; б) 2 VX: в) VЗb: 1') V2C. 673. в) \13 2\13 > о:
1') * W <o. 676.1') \I9+V3+1; д) V25 \fIO+V4. 677. а) о; 64;
б) 0,000001: в) не имеет корней; 1') :4 ; д) 16; 81; е) 6561.680. а) 18;?) 2 ..j2;
2+..j2; в) не имеет корней: 1') 1; д) 5; е) не имеerr корней. 682. а) х 6; б) аО";
I I I I I I I I I I
624. а) (x6)3+(y6)3 (x6 +у6)(х З x6y6 +уЗ). 625. в) (a9? (b9)3
3 I
1 24' х'2+1
б) ; В) ;
2х 2
б) о;
261
5 у2
в) m l. 1') c. 0.75; д) 0::::72; e) . 684. а) 125; б) 2.686. а) xy l; б) x y2;
, 2аЬ 2х
I I
в) х2 уЗ. 687. а) а зьз; б) х. 691. а) ( x Jy)(1+..[x+/y); б) (/a+-Jb)x
X(l+,ra b);
з I I
в) (х 4 +2)2; 1') (х 2 a2)2; д) (х 2 2)(x2 +4);
.! 4 1 1
, 1). 693. а) ; б) 1; в) ; 1') 8; 27 ' 694. а) и+и ии;
9 27
I
е) (2х 4 1) (3х
I I
б) и4+и4 4. 695. а) т 6 п 6 ; б) .
1+х2
rлава v
705. а) 2,5; б) 1,5; в) о; 1') 3 Jз; д) 6; е) 3 '>13.706. а) 1; б) '>I2' 2....;3; в) 7; 1')....;3.
' 2: -J3
713. а) 2; б) о; в) 1.715. а) 1; б) '>12; в) 1; 1') 1. 716. а) 2 ;
1 3 +....;3 нJЗ
б) 2; в) 1. 717. a) ; б) . 718. a b. 720. а) 3; б) 10.
3 ./2 f<i [. f<i 1
734. 0,06. 747. а) 3; б) ; в) ,,2 y3; 1') 5+y2. 748. а) 14;
1 зуз 3 3 1 ';3
б) 4; в) ; 1') 8'" 749. а) 11; б) о; в) 24; 1') 34' 751. а) 3;'
б) "{; ; в) . 753. а) : (a 3); б) 2 (3 x). 754. а) ( oo; о) и (0,6; + 00);
б) [ ; о]. 755. а) sin 2 а; б) COS2 а; в) 2 cos 2 а; [') cos 2 а; д) cos 2 а;
е) sin2 а. 756. а) о; б) sin 2 а. 757. а) sin 2 а; б) sin2 а; в) COS2 а;
1') 1; д) ctg2 а; е) tg 2 а. 758. а) ; б) . 759. а) cos а; б) sin а;
cos а Sln а
в) cos а; 1') о; д) ; е) ctg2 а. 760. а) 0,8; б) 2./2 3 2 ; в) 1 5 ;
cos а
. ,ji'5. -{lб. 5 9. 1O
[') 5 ' 761. а) 0,8, б) 4' в) 10' [') 12 ' 764. а) 40 ' б) W'
1 2 4 3 1. 15
765. а) lз; б) 2.766. а) соsа 5,tgа 4,сtgа 1 з;б)sша 17'
tga l , ctga 185 ; в) Sina== , cosa== f , ctga== ...J3; 1') sina
2./29 5.;29 2 9 4
'29' cosa , tga 5' 767. а) cosfJ 41 ' tgf3 49'
t 9 б) . А 3 R 3 t А 1 1 ' ) . ( ' J2
cgfJ== 40 ; SШt' 5' tgt'== 4' cg't' 3; в SШJ 2'
-/2 '>1 10 3 io 1
COSf3 2' ctgfJ==l; 1') sinfJ==W' соsf3,=='1О .tg(\==з.768.а)соsа:=::::
:=:::: 0,78, tg а:=:::: 0,79, ctg а:=:::: 1,3; б) sin а:=:::: 0,90, cos а:=::::0,43, ctg а:=::::
:=:::: O.48; в) sin а::::::' O.97, tg а:=::::4,2, ctg а:=::::0,24; 1') sin а:=:::: 0,41, cos а:=::::0,91,
15 8 7 15
tga:=::::0,45. 769. а) cosa 17' tga 15 ' ct g a==l8" или cosa 17'
262
8 7. 1уЗ
tga 15' ctga 18; б) sша О2' tgа з, ctga, J3 или
sina , tg a JЗ , ctg а Jз. 771. а) Ь; б) ab. 772. (о; О), (8; 80).
2 3 1 1 2
773. а) tg2 а; б) ctg 2 а; в) сов 2 а; 1') 2 sin а. 774. а) ; б) ;
Sln t' СОВ а
в) ctg у; 1') ; д) sin2 13; е) sin2 а. 775. а) ; б) ; в) Bin21 ;
Sln а сов а SIn а
2 1
1') tg 13. 778. а) о; б) 1; в) COB а; 1') СОВ а ' 779. а) 2 сов а; б) сов х;
.. 2 1
в) coB21:1; 1') tg х. 780. а) ; б) ; в) Bin 2 ЧJ; 1') 1. 781. а) 2; б) 1;
. совх СОВа
в) 4; 1') 4. 782. 0,18. 783.3,29.788. а) 0,51; б) 0,2. 789. 16.791.15 дм и 20 дм.
2л зt
792. 16 см и 63 см. 796.- а) sin О,2п; б) ctg 5; в) COB О,lл; 1') tg 5"
797. а) tg43°; б) sin2°; В) " sin400; 1') Bin10°. 799. a).... 3 ; б) 1/;
1. .)2 1 1 .)2
в) .JЗ; 1') 2; д) l; е) 2' 800. а) 2; б) "2; в) 1; 1') 2;
д) f ; е) 13 . 801. а) COB а; б) COB а; в) ctg а; 1') ctg а. 802. а) сов а;
б) Bin а; в) tg а. 806. а) о; б) 2 СОВ а. 807. а) ctg а; б) COB а; в) ctg а;
1') COB а. 808. а) 1; б) 1.809. а) 1; б) 1.814. 60 км/ч и 90 км/ч. 815. 70 км/ч.
819. а) .J61.J2 ; б) J2 ,j6 . 820. a) J6 'J2 ; б) .j6" "i.J2 . 822. а) sina;
б) COB а; в) сов а; 1') Bin а. 823. а) sin а sin I ; б) sin I сов а; В) f cos а;
1') f cosa. 826. а) coвl ; б) Bi 2y. 827. а) о; б) ; в) 1; 1') . 828. а) '!J;
б) О. 829. а) sin 2а; б) О. 831. а) 2 siп IЭ сов а; б) sin а. 833. а) 1; б) tg (а + ).
. 77 36 84 4
834. а) 1; б) ctg(a+I:I). 835. а) 85 ; б) 85 ; в) 85 ' 836. 1. 837. а) 85 ;
36 . 77. 13 16 4./2+./5 3 ".
б) 85 ' в) 85 ' r) 85 ' 839. 65 . 840. . 841. 28 . 842. а) 2 .J3,
б) 2+.j3. 844. а) 1; б) .848. а) [ 8; 1]; б) ( oo; о] и[ 3 ; +00)'
849. За 45 ч и 36 ч. 850. а) 2 cos а; б) ctg а; в) sin 13; 1') сов 2 а; д) siп 2 13;
120 119 1
е) sin а. 851. б) 2 sin 50°; 1') СОВ 18°. 853. а) 169 ; б) 169 ; в) 1 1l9 '
3 3
854. а) 0,96; б) 0,28; в) 37.855.0,96 и 0,28. 856. а) 0,96; б) 0,28; В) 37'
. 720 1519 720 .
859. ВIllа 1681 ; COBa 1681 ; tgа 15i9 .860.а)2sша;б) 1;B)COB2a;
1') 2.861. а) 1; б) 2 tg 13. 862. в) ; е) .)3 . 863. в) JЗ 6 3 ' 864. а) 0,5;
4 2
б) f ; В) .-J3. 865. 1') sin а; д) :.... 2 sin ; ; е) 2 tg а. 868. а) sin 2а;
б) 1; в) 0,5; 1') 4 sin 13. 869. а) sin а; б) tg 2а; в) tg 2а; 1') 4 сов а. 870. в) cos а;
263
1') tg а; д) sin 2а; е) ctg 2 ; ; ж) tg а; з) cos 2 а. 871. а) tg f); б) sin f); в) sin 2f);
1') 2 cos 2f); д) sin f); е) tg .873. а) ctg 2 qJ; б) t g2 ( : qJ) .874. а) Существует;
1
б) не существует. 876. а) cos а cos f); б) . . f) . 877. а)( 00; 1] и [4; + 00 ).
Sln а Sln
f'i . . л' 5л ( Л )
878. За 66 ч и 55 ч. 880. З)v3 SШ а. 881. r) 2 sш 36 cos 36 ; д) cos а+"6 ;
е) -{2 sin а. 882. r) -{2 sin 50. 883. а) 2 sin 250 соа 470; б) у2 сов 90.
885. 1') 2; д)
tg
5
2л
cos'5
у2
е)
2 2 3л
cos 8
886.
а)
sin (х+у) sin (x у);
б) sin(x+y)sin(x y). 887. а) 2siп( + х-;у )соs( Х У );
б) 2 sin ( x у) сов ( x у ) . 890. а) 2 sin ( ; ) х
xcos( ; + ; ); б) 2СОS СЛ2 + ; ) coa C ; ); в) 4СОВ( ; + ; )х
xcos( ; ) ; 1') 4Sin C + ; ) Siп СЛ2 ; ) .893. а) 1; б) ./3.
894. а) 4 sin 5; сов х сов ; б) 4 cos 5у sin 2у sin у. 895. 4 cos 5; сов xcos ; .
899. а) 1; б) 1. 900. а) y 4,5x; б) y 1,6x+4. 901. а) 1; б) 1.
.. I J. 3./3. 12./3+1.
902. а) О. б) о, в) 2. 904. а) у6 + у3. б) .}3. 905. а) ' б) 12 . в) 1.
912. а) 4; б) 1. 913. а) о; б) 1; в) 1; 1') 1; д) ./3 ; е) 1. 915. и
4л л л л 1 5 ./3 2
9' . 916. "6' з' "2.917. а) 1; б) 12 ; в) 2 ; 1') 1. 919. Да. 920. Да.
921. а) ctg6 а; б) сов 2 а; в) tg 2 1'; r) 1. 923. а) tg а; б) 2 tg 2 а; в) 1; 1') 1.
2 2
927. а) или ; б) 4 или 4. 928. а) сов 4 а; б) sin 4 а. 929. 2.
cos а cos а
2 a2 1. 'a(3 a2) 2. 2
930. 17.931. а) ' б) 2 .932. а) т 2, б) т (т з). 933. или
1 ./3 1 4 2
3. 935. а) ; б) О. 937. 0,7. 938. k; k' 939. '5' 942. а) 13 ;
3
б) 0,6; в) ./3; 1') '5 . 943. а) 1500; б) 2100; в) 1350; 1') 3300. 945. а) 4; б) 4.
947. а) о; б) о. 949. а) ; б) cos f); в) sin 2а; 1') sin а. 950. а) 0,98; б) 0,43
0,24./3; в) 0,64. 951. а) 1,5; б) sin a sin f); в) 1,5; [') сов a+sin f). 952. 1 .
7 a l а+1
953. 23 ' 955. а) а+1 ; б) a l ' 956. а) ctg а; б) ctg а; в) l+cos а;
1 ,.
1') 1 +cos а. 962. а) 0,6; б) 0,8; в) 0,75; 1') 1з.963. 7 4 'у3. 965. а) 4 sin аХ
Xcos3a 4sin3acosa; б) 8cos4a 8cos2a+1. 966. а) 3 ; б) 0,5; в) ;
264
-{2 2 7 . 2
1') '8. 967. а +b2 2. 969. '8' 971. а) tg 2а; б) сов 2а; в) вш 2а; 1') 2 tg а;
д) сов2а; е) ctga. 972. a).tg a fJ ; б) ctg a fJ ; в) ct g ( a : ). 973.
а) 4 сов 2а сов ( + a ) соВ ( з 2 а ) ; б) 4 Bin 2а сов ( + ) СОВ ( ) .
974. а) 4 Bin 250 соВ 330 сов 270; б) 4 Вin 200 сов 120 сов 80. 976. а) ctg а;
б) "j3 tg а. 981. а) ctg 2а; б) ctg 3а.
Упражнеиня для повторения курса VII IX IOIассов
1 1 5 7 1
984. а) 32'; б) 4'3; в) 13'7; 1') 2 20 ; д) 0,2; е) '3.985. а) 16,2; б) 147,6.
1 5 5
986. а) 1,4; б) 1,36; в) 14"; 1') 39.987. а) 10; б) "6; в) 34; 1') 0,625.
2
991. д) 1,5.102; е) 5,0. 992. а) 10.у2; б) '3.у2; в) 3; 1') 14. 993. а) 2; б) 1.
10 5 5 5
994. а) 48 27 ; б) 262'8' 995. а) 72; б) 16 .996. 18. 997. 21 16 '
. 3 4 1
999. вша 5' COBa 5' сtgа lз, 1001. а) 2; б) 15.1; в) 2;
1') 1,5. 1005. а) (x 7)(x+6); б) (у+3)(у+6); в) (9х+1)2; 1') (4ь з)2;
. а 2x 3 т 1
д) (3x+1)(2x 1); е) (3a+2)(a 5). 1006. ж) а+6 ; з) 2х+1 ; и) т+2 .
1 10 1 5 4ЬЗ 16ь 2
1007. а) x; б) 9 y2 ; в) a 2 ; 1') 4b2 6b+9 ' 1008. а) а
3х p 5 2п 3т x 7 уЗ+4 у 2
б) 2 4 2 ; в) 2 ; 1') 2 +4 2 . 1009. а) 6 ; б) 2 ;
ху .у р m тn п
Ь 10 2т a2 3a+9 2 1
в) 4а ; 1') 65c 65. 1010. а) т 2 ; б) a2 5a+6 ; в) х+2 ; 1') 1+3т ;
х 2 +у2 . 1 . a2 3a 12. - 2 З. 8а. 4x 16 .
д) , е) , ж) 2+3 +2 ' з) 1. 1011. а) 2х у, б) ll ' в) g::тв ,
у x а а а у
а 2 с З
r) 100blo .l012. б) зу.у2; в) аVба; д) 3c\j2,e; ж) а 2 VЗ. 1013. б) и;
в) V2i?; е) . 1014. а) 2 -{2х; б) .j2a 2; в) 4.уху; [') x.yx у .уу.
с 1 x .yxy+y.yc з.ух
1015. в) "a 1; 1') ; д) ; е) . 1016. а) ;
-{Ь + 1 ...{у с +уСс! + d 7
1 1 1
5.[riЬ 4.ус+4 2.ух...:....з.уу х 3 p3 2q3
б) ----иь---; в) c l ; 1') 4x 9y .1017. а) f)"; б) 5
1 1
2 2
1') a a Ь + Ь . 1018. а) 16; б)
1 1
a2 b2
2 1 1
33 5'
зо. 1019. а) 2а Ь ; б) 2а ; в)
1
х 2
; в) 1;
у2
2
1
т2 2
265
1 1 1
2' 3' 3
1') Р 1 +2 . 1020. а) с 1 1 ; б) У t 1 . 1022. а) cos 2 а; б) 2; В) cos" а.
2' 3' 3'
р +1 с +1 У
4'/3+3 1 6,/2 .
1023. 10 . 1024. .1025.2J2 з.1026.а)соsасоsfl;б)sШf3соsа;
1 1 3
В) 2 ; [') 2 . 1028. а) 0,96; б) 0,28; в) 3 7 . 1029. а) 1; б) 1;
cos а Slll а
в) 2 cos a 1; 1') 2 ctg а. 1030. д) 2 v'2 cos ; cos( 450 ; ) ; е) 2 v'2 sin ; Х
xsin( 450) . 1031. а) 4,5; б) любое число; в) 1; 1') корней нет.
1034. 11) т 2,5; б) m?;i< 2; в) при любом т; 1') т 4 или m?;i<4.
16 3 ". J"
1035. а) k< 15 ; б) k,?s; в) 2 V5<k<2v5; 1') таких значений нет.
1036. а) о; 3; б) ::1:: o ; в) . ; 7; 1') 1 . ; 3; д) 18 ; 1; е) ; 2.
1037.110 м. 1038. 4 и 5.1039.25.1040.14.1041. а) 1; в) 1; 2; 1') 14; 1;
1 1
д) 1; 3; е) 5,; ж) lз; 3) 1; 5" 1042. 240 м. 1043. 15 ч и 10 ч.
1044. 60 км/ч и 80 км/ч. 1045. 20 км/ч. 1046. 2 км/ч. 1047. 70 км/ч.
1 2 rr.
1048. 12 км/ч. 1050. а) ::1::2; ::1::2; б) ::1::з; в) ::1:: у5; 1') ::1:: 1. 1051. а) 0,6;
1
0,3; б) о; . 1; 2. 1052. а) о; ::1::4; б) о; ::1::1; в) о; 1') о; 22; д) 8; о; 2;
, 1
е) 3; о; 2; ж) 1; ::1::3; 3) 2' 1053. ,а) 2; 6) 0,1; в) 0,3; 1') ::I::2"j3;
д) 1; е) ::I::v'2. 1056. а) (4; 1); б) (2,45; 0,37); в) (15; 25); 1') (0,32; 0,86).
1057. а) (1; 2); б) (13; 8). 1059. а) 5; б) 3; в) vf34. 1064. 80 км/ч и 50 км/ч.
1065. 48 Ц/I'а и 65 Ц/I'а. 1066. 60 км/ч. 1068. а) ( 2; 4), (4; 8); б) (5; 3);
В) (1; 4), (4; 1); 1') (3; 1), ( 3; 1): д) (о; 4), ( 2 ; 13 ) ; е) (1; 2),
( ; 1 ) .1069. а) (1; 5), (5; 1); б) (3; 2),( 2 ; 14) ; в) ( 3; 5),
6 3
( 5; з), (3; 5), (5; 3); 1') ( 4; 2), (4; 2).1071'4.1072. 5' .1073. 9 см и 40 см.
1074.11 см и 8 см. 1075.15 дней и 30 дней. 1076. 3 дня, 6 дней. 1077. п==36.
7 vf3 vf3
1078. fl==10, d 10. 1079. 2. 1081. 7,2. 1082. а) 2 ; б) 3 или 3;
3' 2 1
В) 2 . 1083. 27 ' 1084. 312' 1085. 635. 1090. а) т> 4; б) х> 1,2;
в) a 16; 1') b?;i<4; д) х<О,l; е) т> 4; ж) y 10; з) a O.5.
1
1091. а) х<3; б) а> 1,5; В) y?;i<0,16; 1') т?;i<5 з ; д) а> 11; е) у<0,4.
1092. а) При Ь> 62; б) при Ь< 0,76. 1093. а) (1; 3); б) решений нет;
В)( 00; ) ; 1') решений нет. 1094. а) ( 5,5; 1); б) (4; + 00); в) ( 29; 3); 1') pe
шений нет. 1095..а) 3, 2, 1, о; б) 2,3,4,5,6,7.1096. а) ( 3; 6);
б) ( 27; 7J; в) [6; 8); 1') [ 0,56; 1,2J. 1097. а) 0 x 5; б) 17 х 13.
266
1098. а) ( 5; 3); б) [ ; 21; в) ( oo; 3ILJ[ 1{ ; +00); 1') (- 1; 15);
д) [ 0,5; 0,5]; е) ( oo; 1,2)U(0; + 00); ж) ( 0,2; 0,2); з) ( oo; 0)U(0,8; + 00).
1099. а) ( oo; 1)U(4; +00); б) x, любое число; в) ( 13; 1); 1') ( 4; 7).
1100. а) При x;;;;. ; б) при x 5; в) при 3 x 5; [') при x 2 и х;;;'1,5;
2
д) при 0,5';;;;х';;;;2,4; е) при х;;;'5 з . 1101. а) ( 3,5; 2)U(5; +00);
б) ( oo; 8)Щ 2; 4); в) ( oo; 2]Щ3; 6]; [') [ 70; 20]U[30; +00).
113
1102. а) При 4<x<4; б) при 14<Х<З; в) при 15,;;;;х з.5;
1') при l';;;;x<l. 1103. а) Все числа, кроме 2,5; б) все числа, кроме 2 и 3;
1
в) все числа; I'),все числа, кроме '2; д) x 3; е) х<0,5. 1107. а) При х<3;
б) при х>3. 1117. а) (2; 7); б) (2; 16), (8; 34); в) точек пересечения нет;
[') ( ./3; .]3). (./3; ./3); д) ( 1; 7), (1; 5); е) ( 3; 33). 1118. 2 ..[fi2+1.
1120. а) Убывает в промежутке ( oo; 2,51 возрастает в промежутке
[ 2,5; + 00); б) возрастает в промежутке ( 00; ], убывает в промежутке
[ ; + 00 ) ; в) убывает в промежутке ( 00; ], возрастает в про
межутке [ ; + 00 ) ; 1') возрастает в промежутке ( oo; 0,31 убывает
в промежутке [0,3; + 00). 1121. а) Убывает в промежутке ( oo; +- 00); б) воз
растает в промежу'rке ( oo; о) и промежутке (о; + 00); в) убывает в про
межутках ( oo; о) и (о; + 00); 1') возрастает в промежутке ( oo; 1,51,
убывает в промежутке [1,5; + 00); д) убывает в промежутке ( oo; 0,5],
возрастает в промежутке [0,5; + 00); 'е) возрастает в промежутке ( oo; 0,5J,
3 8
убывает в промежутке r 0,5; + 00). 1123. а) 2 3 1 ; в) cos а 17 '
9х + х +
7 8
tg a 18' ctg a 15 ; [') 360 км. 1124. а) 2; б) ( 1; + 00); в) (48; 15);
1') 15 км/ч. 1125. а) 11; б) ( 1; 5), ( 2; 7); 1') 19 деталей. 1126. а) ;
б)r 4,5; 1,5J; в) (8; 6); [') 60 деталей, 40 деталей. 1'127. а) sin а; б) 73 36.]6;
1
1') 25. 1128. а) tg 2а; б) х любое число; в) 23 ; 1') 16,5.
Задачи повышенной трудности
1129. 0,5; ::1::1; ::1::2.1132. При a 2. 1133. При a 1"1137. (2; о), (4; о).
1138. При a 3; (1,5; 5,25). 1139. а) ( 2,5; 1); б) ( oo; 2)U ( ; + 00 ).
1
1141. При т< . 1143. а) 2; 3; б) 1; 2; 2; 5. 1144. При а<l.
3
1145. (4; 2), (4; 4). 1146. 4. 1147. (1; 1), (1; ), (о; О), ( ; 1) .
n
1149. (13; 15), (6; 1).1150. За 50, 75 и 60 ч. 1153. 2 п 20. 1154. 2n+ 1 .
267
115'1. 2, 1, о, 1 или 1, О, 1, 2. 1162. 1; 4; 7. 1164. а) 2...[2+ ;
б) . 1166. 1. 1167. о; 63. 1172. cos . 1173. 1. 1175. 28.
sin па sin (п+ l)а 1
1178. sina .1180. 4' 1182. ( 3; 4). 1183. xl 8, YI 8,
zl===8; X2 8, Y2 8, z2 8. 1184. xl 5, YI==2, zl 7; Х2===5, Y2 7, z2 2;
2
хз===7, уз===3, zз===4; X4 7, У4==4, z4 3' 1186. з' 1188. 1029. 1189. 150;
810. 1190.54 и 6; 98 и 2. 1191. 9 и 6; 7 и 2; 23 и 22.
оrЛАВЛЕНИЕ
1I
18
r лава 1
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
3
1. Функции н нх свойства . 3
1. Функция. Область определения и область значений функции 3
2. Свойства функций 10
2. Квадратный трехчлен 16
3. Квадратный трехчлен и ero корни 16
4. Разложение квадратноl'О трехчлена на множители 20
3. Квадратичная функция и ее rрафнк . 24
5. Функция y ax2, ее I'рафик и свойства. 24
6. rрафики функций y ax2+п и y a (x т)2 29
7. Построение I'рафика квадратичной функции 35
4. Неравенства с одной переменной . 39
8. Решение неравенств второй степени с одной переменной 39
9. Решение неравенств методом интервалов 44
Дополнительные упражнения к I'лаве 1 . 48
I!
111
rлава 11
УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
55
5. Уравнения с одной переменной 55
10. Целое уравнение и el'o корни . 55
11. Уравнения, приводимые к квадратным 61
6. Системы уравиений с двумя перемениыми 64
12. rрафический способ решения систем уравнений 64
13. Решение систем уравнений второй степени . 68
14. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени 72
Дополнительные упражнения к I'лаве 11 . 75
269
n
..
IIIJ
l tJl
.....
I!
1111
270
rлава III
АРИФМЕТИЧЕСRАЯ И rЕОМЕТРИЧЕСRАЯ lIPоrРЕССИИ
80
7. Арифметическая проl'рессия .
80
15. Последовательности. 80
16. Определение арифметической проrрессии. Формула n l'o
члена арифметической ПРОI'рессии 83
17. Формула суммы n первых членов арифметичеСIЮЙ про
I'рессии 81:1
8. rеометрическал прОl'рессия
92
18. Определение I'еометрической ПрОl'рессии. Формула n ro
члена I'еометрической ПрОl'рессии . 92
19. Формула суммы n первых членов reометрической проrpес
сии.
97
20. Сумма бесконечной I'еометрической ПрОl'рессии при
Iql<l 101
Дополнительные упражнения к I'лаве 111 . 105
rлава IV
СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОRА3АТЕЛЕМ
-111
111
111
114
120
120
124
130
130
134
дроб
139
143
9. Степенная функция
21. Четные и нечетные функции
22. Функция У х" .
10. Корень n й степени
23. Определение корня n й степени
24. Свойства арифметическоro корня n й степени
11. Степень с рациональным показателем и ее свойства
25. Определение степенИ с дробным показателем .
26. Свойства степени с рациона ьным показа1'елем .
27. Преобразование выражений, содержащих степени с
ными показателями .
Дополнительные упражнения к I'лаве IV .
r лава V
ТРИI'ОНОМEl'РИЧЕСRИЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРА
30ВАНИЯ . 151
11 12. Триroнометрические функции любоrо Уl'ла
28. Определение синуса, косинуса, TaHl'eHCa и KO'raHl'eHCa
151
151
29. Свойства синуса, косинуса, таиreиса н lCOT8HreHc8 . 159
30. Радианная мера Уl'ла. Вычисление значений триroнометри
ческих функций с помощью микрокалькулятора 162
13. Основные ТРНl'онометричесRпе формулы . 168
31. Соотношения между ТРИl'онометрическими функциями oд
HQro и TOI'O же Уl'ла . 168
32. Применение основных ТРИl'онометрических ФОРМУЛ к npe
образованию выражений 173
33. Формулы приведения 176
14. Формулы сложения и их следствня 182
34. Формулы сложения . 182
35. Формулы ДБОЙНОI'О Уl'ла 188
36.' Формулы суммы и разности триrонометрических Функ
ций 193
Дополнительные упражнения к I'лаве V 198
Упражнения для повторения курса VП IХ классов
Исторические сведения .
Задачи повышенной трудности
Сведения из курса аЛl'ебры VП VIII классов
Предметный указатель
Ответы ,
207
227
236
241
253
254
Учебное издание
Макарычев Юрий Николаевич
. Миндюк Нора rриrорьевна
Нешков Константин Иванович
Суворова Светлана Борисовна
АлrЕБР А
Учебник для 9 класса
общеобразовательных учреждений
АОЗТ «rop,)
Москва, Симоновский вал, 7/2
Над. лиц. лр N2 064254 от 06.09.95.
Формат 60х90/16, объем 17 усл. п. л.
Тираж 35000 эка. Закаа:N'2 1004.
Качество печати соответствует диапозитивам, IlрсдостаnЛСIIНЫМ издатеДЬС.1 ВОМ.
Тверской ордена Трудовоl'О RpacHol'o Знамени
ПОЛИl'рафкомбинат детской литературы им. 50 летия ссср
Министерства Российской Федерации по делам печати,
телерадиовещания и средств массовых коммуникаций.
170040,1'. Тверь, проспект 50 летия Октября, 46.