A.Meccua
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА. Т.2
В книге рассматриваются общие вопросы квантовой механики и их
многочисленные приложения. Изложение теории симметрии и инвариантности
начинается с квантования момента количества движения, спина, теории сложения
моментов и теоремы Вигнера — Эккарта. Для систем тождественных частиц
получены статистики Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака. Часть, посвященная
приближенным методам в квантовой механике, содержит стационарную и
нестационарную теорию возмущений. Из элементов релятивистской квантовой
механики подробно рассмотрены: уравнение Дирака, квантование скалярного
поля и основные понятия классической и квантовой теории излучения. В каждой
главе имеются упражнения и задачи.
Книга рассчитана на широкий круг читателей — физиков и инженерно-
технических работников, а также может быть полезна студентам старших курсов
высших учебных заведений.
Содержание
ГЛАВА XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ	13
1.	Введение	13
Раздел I. Собственные значения и собственные функции момента импульса 14
2.	Определение момента импульса	14
3.	Основные алгебраические соотношения	16
4.	Спектр операторов	17
5.	Собственные векторы операторов fiviJz. Построение инвариантных	20
пространств &J
6.	Стандартное представление {J2JZ}	21
7.	Заключение	23
Раздел II. Орбитальный момент импульса и сферические функции	24
8.	Спектр операторов fi и lz	24
9.	Определение и построение сферических функций	26
Раздел III. Момент импульса и вращения	28
10.	Определение вращений. Углы Эйлера	28
11.	Вращение физической системы. Оператор вращения	31
12.	Вращение наблюдаемых	33
13.	Момент импульса и инфинитезимальные вращения	34
14.	Построение оператора 7?(а,р,у)	37
15.	Вращение на угол 2 л и полу целый момент импульса	38
16.	Неприводимые инвариантные подпространства. Матрицы вращений R/ 40
17.	Инвариантность относительно вращений и сохранение момента	42
импульса
Раздел IV. Спин	44
18.	Гипотеза спина электрона	44
19.	Спин 1/2 и матрицы Паули	48
20.	Наблюдаемые и волновые функции частицы спина 1/2. Спинорные поля 21.	Векторные поля и частицы спина 1 22.	Зависящие от спина взаимодействия в атомах 23.	Зависящие от спина нуклон-нуклонные взаимодействия Раздел V. Сложение моментов импульса 24.	Задача сложения 25.	Теорема сложения двух моментов импульса 26.	Приложения и примеры 27.	Собственные векторы полного момента импульса. Коэффициенты Клебша—Г ордана 28.	Приложение: система двух нуклонов 29.	Сложение трех и более моментов импульса. Коэффициенты Рака. "3sj"~ символы Раздел VI. Неприводимые тензорные операторы 30.	Представление скалярных операторов 31.	Неприводимые тензорные операторы. Определение 32.	Представление неприводимых тензорных операторов. Теорема Вигнера— Эккарта 33.	Приложения Задачи и упражнения ГЛАВА XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ. ПРИНЦИП ЗАПРЕТА ПАУЛИ	50 52 54 55 57 67 58 60 61 64 67 70 70 71 74 76 77 82
1.	Тождественные частицы в квантовой теории Раздел I. Постулат симметризации 2.	Подобные частицы и симметрическое представление 3.	Операторы перестановки 4.	Алгебра операторов перестановки. Симметризаторы и антисимметризаторы 5.	Тождественные частицы и постулат симметризации 6.	Бозоны и статистика Бозе—Эйнштейна 7.	Фермионы и статистика Ферми—Дирака. Принцип запрета 8.	Всегда ли необходимо симметризовать волновую функцию? Раздел II. Приложения 9.	Столкновение двух тождественных бесспиновых частиц 10.	Столкновение протонов 11.	Статистика атомных ядер 12.	Сложные атомы. Приближение центрального поля 13.	Модель атома Томаса—Ферми 14.	Система нуклонов и изотопический спин 15.	Использование изотопического спина. Зарядовая независимость Задачи и упражнения ГЛАВА XV. ИНВАРИАНТНОСТЬ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ	82 86 86 87 89 93 96 98 100 103 103 107 109 112 115 118 124 128 130
1.	Введение	130
Раздел I. Дополнительные математические сведения. Антилинейные	131
операторы
2.	Три полезные теоремы	131
3.	Антилинейные операторы в гильбертовом пространстве	135
4.	Антиунитарные преобразования	137
5.	Антилинейные операторы и представления	139
Раздел II. Преобразования и группы преобразований	140
6.	Преобразования динамических переменных и динамических состояний 140
системы
7.	Группы преобразований	144
8.	Группы операторов преобразований	145
9.	Непрерывные группы и инфинитезимальные преобразования. Трансляции. 146
Вращения
10.	Конечные группы. Отражения	150
Раздел III. Инвариантность уравнений движения и законы сохранения 152
11. Инвариантные наблюдаемые	152
12.	Свойства инвариантности гамильтониана и законы сохранения	154
13.	Свойства инвариантности и эволюция динамических состояний	156
14.	Симметрии эффектов Штарка и Зеемана	159
Раздел IV. Обращение времени и принцип микрообратимости	161
15.	Сдвиги во времени и сохранение энергии	161
16.	Обращение времени в классической и квантовой механиках	162
17.	Обращение времени. Частица нулевого спина	164
18.	Общее определение обращения времени	166
19.	Обращение времени и комплексное сопряжение	167
20.	Принцип микрообратимости	169
21.	Следствие: вырождение Крамерса	172
22.	Вещественный гамильтониан, инвариантный относительно вращений 173
Задачи и упражнения	176
ГЛАВА XVI. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	181
1.	Общее введение к четвертой части	181
Раздел I. Возмущение невырожденного уровня	182
2.	Разложение по степеням возмущения	182
3.	Возмущение первого порядка	184
4.	Основное состояние атома гелия	185
5.	Кулоновская энергия атомных ядер	187
6.	Поправки высших порядков	189
7.	Эффект Штарка для жесткого ротатора	191
Раздел II. Возмущение вырожденного уровня	193
8.	Элементарная теория	193
9.	Атомные уровни без учета спин-орбитального взаимодействия	195
10.	Спин-орбитальное взаимодействие. LS- иjj'-связь	198
11.	Атом с /^-связью. Расщепление за счет спин-орбитального взаимодействия 12.	Эффект Зеемана и эффект Пашена-Бака 13.	Симметрия Н и устранение вырождения 14.	Квазивырождение Раздел III. Явные выражения для разложений по теории возмущений во всех порядках 15.	Гамильтониан Ни его резольвента G(z) 16.	Разложение G(z), Р и HP в ряд по степеням W 17.	Вычисление собственных значений и собственных функций Задачи и упражнения ГЛАВА XVII. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 1.	Изменение "представления" и рассмотрение части гамильтониана по теории возмущений Раздел I. Нестационарная теория возмущений 2.	Определение и вычисление по теории возмущений вероятностей переходов 3.	Полуклассическая теория кулоновского возбуждения ядер 4.	Случай, когда V не зависят от времени. Сохранение невозмущенной энергии 5.	Приложение к вычислению сечений в борновском приближении 6.	Периодическое возмущение. Резонансы Раздел II. Мгновенное и адиабатическое изменения гамильтониана 7.	Формулировка задачи и результаты 8.	Быстрый переход и мгновенное приближение 9.	Мгновенное обращение магнитного поля 10.	Адиабатический переход. Общие положения. Тривиальный случай 11.	"Представление вращающихся осей" 12.	Доказательство адиабатической теоремы 13.	Адиабатическое приближение 14.	Адиабатическое обращение магнитного поля Задачи и упражнения ГЛАВА XVIII. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ЗАДАЧИ	199 201 203 205 206 206 208 211 214 216 216 219 219 222 226 229 231 232 232 233 235 236 238 240 243 247 251 254
1.	Вариационный метод Ритца Раздел I. Вариационный метод для связанных состояний 2.	Вариационная форма задачи на собственные значения 3.	Вариационное вычисление дискретных уровней 4.	Простой пример: атом водорода 5.	Обсуждение. Вычисление возбужденных уровней 6.	Основное состояние атома гелия Раздел II. Атомы Хартри и Фока—Дирака	254 255 255 258 258 261 262 265
7.	Метод самосогласованного поля	265
8.	Вычисление ДФ]	265
9.	Уравнения Фока—Дирака	267
10.	Обсуждение результатов	270
11.	Уравнения Хартри	272
Раздел III. Структура молекул	272
12.	Общие понятия. Разделение движения ядер и электронов	272
13.	Движение электронов в поле фиксированных ядер	275
14.	Адиабатическое приближение	277
15.	Гамильтониан ядер в адиабатическом приближении	280
16.	Метод Борна-Оппенгеймера	283
17.	Основные представления о двухатомных молекулах	284
Задачи и упражнения	290
ГЛАВА XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ	291
1.	Введение	291
Раздел I. Свободная функция Грина и приближение Борна	292
2.	Интегральные представления амплитуды рассеяния	292
3.	Сечение рассеяния и Т-матрица. Микрообратимость	295
4.	Борновское приближение	297
5.	Интегральное уравнение теории рассеяния	299
6.	Борновское разложение	301
7.	Критерий применимости борновского приближения	302
8.	Упругое рассеяния электронов на атоме	304
9.	Центральный потенциал. Вычисление сдвигов фаз	307
10.	Функция Грина как оператор. Связь с резольвентой оператора Н	308
Раздел II. Обобщение на искаженные волны	311
11.	Обобщенное борновское приближение	311
12.	Обобщение борновского разложения	314
13.	Функция Грина искаженных волн	315
14.	Приложения. Определение и формальные свойства Т-матрицы	318
15.	Замечания о потенциалах 1/г	320
Раздел III. Сложные столкновения и борновское приближение	320
16.	Общие понятия. Сечения	320
17.	Каналы	322
18.	Вычисление сечений. Т-матрицы	323
19.	Интегральные представления амплитуды перехода	324
20.	Борновское приближение и его обобщения	327
21.	Рассеяние быстрых электронов атомом	329
22.	Кулоновское возбуждение ядер	331
23.	Функции Грина и интегральные уравнения для стационарных решений 334
рассеяния
24.	Рассеяние частицы на двух центрах	335
25.	Простое рассеяние. Интерференция	338
26.	Многократное рассеяние	341
Раздел IV. Вычисление амплитуд перехода вариационным методом	343
27.	Стационарные выражения сдвигов фаз. Обсуждение	343
28.	Вариационные вычисления сдвига фаз. Обсуждение	347
29.	Распространение метода на сложные столкновения	348
Раздел V. Общие свойства матрицы перехода	350
30.	Сохранение потока. 5-матрица	350
31.	Соотношение Бора—Пайерлса—Плачена (оптическая теорема)	353
32.	Микрообратимость	354
33.	Свойства инвариантности Т-матрицы	355
Задачи и упражнения	357
ГЛАВА XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА	361
Раздел I. Общее введение	361
1.	Релятивистская квантовая механика	361
2.	Обозначения и различные определения	362
3.	Группа Лоренца	366
4.	Классическая релятивистская динамика	368
Раздел II. Уравнения Клейна—Гордона и Дирака	370
5.	Уравнение Клейна—Гордона	370
6.	Уравнение Дирака	373
7.	Построение пространства &s. Представление Дирака	375
8.	Ковариантная форма уравнения Дирака	377
9.	Сопряженное уравнение. Определение тока	378
Раздел III. Свойства инвариантности уравнения Дирака	380
10.	Свойства матриц Дирака	380
11.	Инвариантность уравнения Дирака при ортохронных преобразованиях	384
системы координат
12.	Преобразования собственной группы	388
13.	Пространственное отражение и ортохронная группа	391
14.	Построение ковариантных величин	392
15.	Другая формулировка свойств инвариантности: преобразование	393
состояний
16.	Условие инвариантности уравнения движения	394
17.	Операторы преобразования. Импульс, момент импульса, четность	395
18.	Законы сохранения и интегралы движения	397
19.	Обращение времени и зарядовое сопряжение	398
20.	Калибровочная инвариантность	401
Раздел IV. Интерпретация операторов и простые решения	401
21.	Уравнение Дирака и принцип соответствия	401
22.	Динамические переменные частицы Дирака	402
23.	Свободный электрон. Плоские волны	405
24.	Построение плоских волн посредством преобразования Лоренца	408
25.	Центральный потенциал	407
26.	Свободные сферические волны	410
27.	Атом водорода	412
Раздел V. Нерелятивистский предел уравнения Дирака	413
28.	Большие и малые компоненты	415
29.	Теория Паули как нерелятивистский предел теории Дирака	417
30.	Приложение: сверхтонкая структура и диполь-дипольная связь	420
31.	Поправки высших порядков и преобразование Фолди—Вотхойзена	421
32.	ФВ-преобразование для свободной частицы	423
33.	ФВ-преобразование для частицы во внешнем поле	425
34.	Электрон в центральном электростатическом потенциале	427
35.	Обсуждения и выводы	428
Раздел VI. Решения с отрицательной энергией и теория позитронов	429
36.	Свойства зарядово-сопряженных решений	429
37.	Особое поведение решений с отрицательной энергией	431
38.	Изменение интерпретации состояний с отрицательной энергией. Теория 433
дырок и позитронов
39.	Трудности теории дырок	435
Задачи и упражнения	436
ГЛАВА XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ	439
1.	Введение	439
Раздел I. Квантование вещественного скалярного поля	440
2.	Классические свободные поля. Нормальные колебания	440
3.	Квантование свободного поля	442
4.	Лагранжиан поля. Импульс, сопряженный к Ф(г)	445
5.	Комплексные базисные функции	449
6.	Плоские волны. Определение импульса	451
7.	Сферические волны. Определение момента импульса	456
8.	Пространственное отражение и обращение времени	457
Раздел II. Взаимодействие с атомной системой	457
9.	Взаимодействие с системой частиц	457
10.	Слабая связь и рассмотрение по теории возмущений	461
11.	Сдвиги уровней	464
12.	Излучение квантов	468
13.	Квантовая теория распадающихся состояний. Ширина линии	470
14.	Упругое рассеяние. Дисперсионная формула	477
15.	Резонансное рассеяние. Образование метастабильного состояния	481
16.	Поглощение кванта (фотоэлектрический эффект). Радиационный захват 483
Раздел III. Классическая теория электромагнитного излучения	485
17.	Уравнения классической теории Максвелла—Лоренца	485
18.	Инвариантность и законы сохранения классической теории	487
19.	Собственная энергия и классический радиус электрона	489
20.	Электромагнитный потенциал. Выбор калибровки	490
21.	Продольная и поперечная часть векторного поля	491
22.	Исключение продольного поля	494
23.	Энергия, импульс, момент импульса	496
24.	Гамильтониан свободного электромагнитного поля	500
25.	Гамильтониан излучения, взаимодействующего с частицами	502
Раздел IV. Квантовая теория излучения	503
26.	Квантование свободного поля излучения. Фотоны	503
27.	Плоские волны. Импульс излучения	504
28.	Поляризация	505
29.	Разложение по мультиполям. Фотоны с определенным моментом	506
импульса и четностью
30.	Взаимодействие с атомной системой	509
31.	Излучение фотона атомом. Дипольное излучение	513
32.	Комптоновское рассеяние при низких энергиях. Формула Томсона 516
Задачи и упражнения	520
Дополнение В. Коэффициенты векторного сложения и матрицы вращения 524
Раздел I. Коэффициенты Клебша—Гордана (К.-Г.) и "3j "-символы	524
Раздел II. Коэффициенты Рака и "6j"-символы	530
Раздел III. "9j"-символы	534
Раздел IV. Матрицы вращения	536
Раздел V. Неприводимые тензорные операторы	542
Дополнение Г. Элементы теории групп	545
Раздел I. Основные понятия	545
Раздел II. Линейные представления группы	548
Раздел III. Конечные группы	559
Раздел IV. Перестановки (группа S’” )	567
Предметный указатель	580
Предметный указатель
Адиабатическая теорема 233, 237,
240, 243
Адиабатический переход 232, 236,
239
Антисимметризатор 89, 93, 120, 128,
266, 569
-	группы перестановок 569
-	Юнга 571
Адиабатическое приближение 243,
247, 273, 277, 284
Алгебра групповая 660
Амплитуда перехода 296
-	- борновское приближение 327
-	- вычисление вариационным
методом 343, 350
-	- интегральное представление 324
-	рассеяния 107, 292
-	- вперед 353
-	- интегральное представление 293,
295
Атом водорода 214, 251, 412, 415
-	- основное состояние 258, 261
-	гелия 185, 187
-	- основное состояние 261, 262
-	сложный 112
-	углерода 197
-	Фока—Дирака 265, 272
-	Хартри 265, 272
Атомные уровни 195, 197
Бозон 95, 98, 103, 290
Бозонный газ 97
Бета-распад 125, 159
Вакуум 443, 444, 461
Вектор антисимметричный
относительно перестановок 91
- ковариантный 363
- контравариантный 363
- нулевой 364
-	пространственно-подобный 364
-	симметричный, относительно
перестановок 91
вектор, времениподобный, 4, 364
-	энергии-импульса 395, 396
Векторное поле 52, 54
-	- поперечная часть 491
-	- продольная часть 491, 494
Вероятность перехода 219, 221
Вещественные нормальные
координаты 601
Взаимодействие, зависящее от спина
54, 57
-	излучения с частицей 509
-	нуклон-нуклонное 55, 57
-	поля и частицы 457
-	спин-орбитальное 54, 198, 199, 420
Возбуждение ядер, кулоновское 222,
226,331
Возмущение вырожденного уровня
193, 206
-	невырожденного уровня 182, 193
-	первого порядка 184, 185
-	периодическое 231, 232
Волна искаженная 311, 320
-	плоская 405, 407, 451, 504
-	свободная сферическая 410, 411
Волновая функция частицы спина
1/2, 50
---двухкомпонентная 51
Вращение 13, 28, 36, 536
-	инфинитезимальное 29, 34, 36
-	наблюдаемых 33, 34
-	на угол 2п, 38, 40
Вращения матрица 30, 41, 536, 537
-	оператор 31, 33, 536
Время жизни состояния 469, 475
-	собственное 368
Вырождение 473
-	Крамерса 172,173
-	обменное 84, 85, 94
-	ротационное 43
-	уровней 113
G-вырождение 154, 173
Газ бозонный 97
-	фермионный 99
Гамильтониан атома в постоянном
магнитном поле 55
-	Дирака 374, 405
-	- частицы в центральном
потенциале 407
	во внешнем поле 375
-	свободного электромагнитного поля
500
Гамма-излучение атома 76
Гамма-матрица 377, 380, 384
Гипотеза эргодическая 97
Гиромагнитное отношение 45
Гомоморфизм группы 548
Градиент ковариантный 365
-	контравариантный 365
Группа 545
-	абелева 546
-	Галилея 145, 177
-	изотопических вращений 144
-	коммутативная 546
-	конечная 546, 559
-	линейных подстановок 548
-	Лоренца 366
-	- неоднородная 365
-	- полная 366
-	- ортохронная 366, 384, 388, 391
-	- собственная з91, 367, 388
-	непрерывная 146, 546
-	операторов преобразования 145, 146
-	перестановок 144, 567
-	полупростая 548
-	преобразований 140, 145
-	простая 548
-	пространственных преобразований
144
-	Пуанкаре 366
Диаграмма Юнга 570, 576
Диамагнитный член 55
Длина рассеяния 348
Дырка 435
Задача на собственные значения 255,
257
Закон Лоренца 476
-	распада, экспоненциальный 469
-	сохранения 154, 156
-	- изотопического спина 156
-	- импульса 398
-	- момента импульса 155
-	- полного импульса 155
---момента импульса 398, 488
-	- симметрии относительно
перестановок 155
-	- четности 155, 398
-	- энергии 161
-	- энергии-импульса 488
Зарядовая независимость 124, 128,
156
Зарядовое сопряжение 399, 401, 429
Захват радиационный 483
Излучение кванта 468
Гамма-излучение атома 76
Изоморфизм групп 548
Изотропность пространства 159
Импульс излучения 496, 504
-	механический 368
-	поля 451, 456, 488
-	сопряженный, классического поля
445
Инвариантное подпространство
представления 551
Инвариантность относительно
перестановок 155
-	по отношению к вращениям 40, 44,
155,159
Индекс ковариантный 363
-	контравариантный 363
-	подгруппы 560
Интеграл движения 154, 397, 398
Интерференция 340
Искаженная волна 311, 320
Калибровка радиационная 491
Калибровочная инвариантность 401
Калибровочное преобразование 490
-	- Лоренца 491
Канал реакции 322
-	- входящий 322
-	- открытый 323
Катастрофа ультрафиолетовая 512
Квазивырождение 295
Квантовое поле 362, 439
Класс смежности 544
-	сопряженных элементов группы
546, 560
Ковариантная компонента тензора
313
Ковариантный вектор 363
-	градиент 365
-	индекс 363
Константа связи 458
Контравариантная компонента
тензора 363
Контравариантный вектор 363
-	градиент 365
-	индекс 363
Конус световой 365
Координата нормальная 440, 442, 501
Коэффициенты векторного сложения
61,67
-	Клебша—Гор дана 61, 67, 74, 76, 175,
524, 528, 532
---свойства симметрии 64, 526
---соотношение ортогональности
63, 526
-Рака67, 70, 530, 531
Кулоновская энергия атомных ядер
187, 189
Кулоновское возбуждение ядер 222,
226,331
Лагранжиан поля 445
Лемма Шура 143, 552
Магнетон Бора 46
Магнитный момент атома 45
-	- внутренний 54
Масса отрицательная 371
-	релятивистская 368, 404
Матрица перехода 296, 312, 350, 357
5-матрица 353
Т-матрица 295, 318, 323
-	, свойства инвариантности 355
Матрицы вращения 30, 41
-	Дирака 377, 380, 384
-	Паули 48
Гамма-матрицы 377, 380, 384
Метод Блоха 213
-	Борна—Оппенгеймера 274, 283, 284
-	вариационный 254, 290
-	- Ритца 254, 255
-	- для связанных состояний 255, 257
-	Като 206, 213
-	Томаса—Ферми 112, 115, 118
Метрика псевдоевклидова 363
Метрический тензор 363
Микрообратимость 354
-	упругого рассеяния 297
Множитель Ланде 46, 47, 202, 214
Модель атома Томаса—Ферми 115,
118, 199
Молекула двухатомная 284, 290
Момент импульса 13, 81, 524
-	- излучения 496
-	- инвариантное подпространство 20,
21
-	- коммутационные соотношения 14,
15
-	- орбитальный 24, 26
---, собственные состояния 26
-	— , спектр 24, 26
-	- полный 404, 537
---, собственные векторы 61
-	- полуцелый 38, 40
-	- поля 489
---орбитальный 498
-	-, собственные значения 17, 20, 23,
24
---, функции 20, 21
-	-,сохранение 42
-	-, спектр 17, 20, 24
-	-, стандартное представление 21, 23
-	магнитный 75, 420
Момент мультипольный 75, 77
-	спина 404
-	электрический 76
Море Дирака 435
Наблюдаемые инвариантные 558
-	частиц спина 1/2, 50
Неприводимость по отношению к
вращениям 40, 41
Нормальные координаты 440, 442,
501
Нуклон 119
Нуль-вектор 364
Обращение времени 161, 178, 307,
398, 401,457
-	магнитного поля адиабатическое
247, 251
---мгновенное 235, 236
Однородность пространства 158
Оператор антилинейный 131, 135,
137, 139, 140
-	антисимметризации 89, 93, 120, 155
-	антиунитарный 138, 141, 166
-	векторный 14, 15
-	Даламбера 365
-	зарядового сопряжения 398
-	комплексного сопряжения 139, 167,
169, 398
-	перестановок 86, 96
-	преобразования 145, 146, 395
Оператор рождения 443, 449, 504,
505
-	симметризации 89, 93, 96, 120, 155
-	скалярный 70, 71
-	спина 369
-	тензорный неприводимый 70, 77,
542, 544
-	уничтожения 443, 449, 504, 505
-	четности 397
-	числа частиц 444, 449
-	эволюции 93, 95, 181, 217, 219, 470
Орбитальные переменные 60
Основное состояние 443, 444, 461,
463
Отношение гиромагнитное 45
Отражение координат 161, 367, 391,
457
Переменные орбитальные 50
-	спиновые 50
Перенормировка массы 467, 489
Перестановка 567
-	циклическая 568
Переход адиабатический 232, 236,
239
-	мгновенный 232, 236
-	радиационный 463, 469
Плотность тока 404
-	тока, 4, 379
Поглощение кванта 483
Подгруппа 547, 560
-	инвариантная 547
-	индекс 560
-	сопряженная 547
Подобные частицы 86, 93
Подпространство инвариантное 205,
551
Позитрон 435
Поле векторное 52, 54
-	- поперечная часть 491
-	- продольная часть 491, 494
-	квантовое 362, 439, 442
-	- свободное 442
-	скалярное классическое 440
-	спинорное 50, 51
Поляризация круговая и линейная
505
Поправка второго порядка 464
-	высшего порядка 189, 191, 421
Порядок группы 546
Постоянная тонкой структуры 466
Постулат симметризации 85, 96, 98,
ПО
Потенциал Гаусса 357
-	Морса 288, 291
-	центральный 307, 407, 410
-	электромагнитный 365, 490
-	Юкавы Э 57
Правило отбора 62, 75
-	Хунда 197
Представление вещественное 168
-	вполне приводимое 551
-	вращающихся осей 238, 239
-	Дирака Э 75, 377
-	единичное 549
-	линейное 548
-	неприводимое 551, 561
-	приводимое 551
-	регулярное 561, 563, 564
-	симметрическое 86, 88
-	сопряженное 549
-	стандартное 554
-	тривиальное 549
-	унитарное 549
Представления эквивалентные 549
Преобразование 140
-	антилинейное 137
-	антиунитарное 138, 141
-	калибровочное 490
-	- лоренцево 491
-	Фолди—Вотхойзена 421, 427
Приближение адиабатическое 243,
247, 273, 277, 284
Приближение борновское 229, 297,
299, 327
-	- критерий применимости 302
-	- обобщенное 311, 327, 328
-	независимых частиц 112
-	слабой связи 476
-	центрального поля 112, 114, 195
Принцип микрообратимости 161,
169, 172
-	наименьшего действия 446
-	соответствия 401
Произведение скалярное векторов, 3,
364
-	- векторов, 4, 364
Пространство—время 363
Прямая сумма представлений 550
Радиационный захват 483
Радиус электрона классический 489
Разбиение целого числа 569
Разложение борновское 301, 304, 311
-	- обобщенное 314
Размерность представления 549
Рассеяние быстрых электронов на
атомах 329
-	двукратное, амплитуда 341
-	интегральное представление
решения 334
-	многократное 341
-	неупругое 320
-	простое 338
-	резонансное 481
-	упругое 304, 320
-	частицы на двух центрах 335, 336
Резольвента 207, 210, 471, 483
Резонанс 231, 232
Решение с отрицательной энергией
431,438
Ротатор жесткий 191, 193
Сверхтонкая структура 55
Связь диполь-дипольная 420
-	Рассела—Саундерса 198, 202, 214,
235
-	слабая 461
jj-связь 214
LS-связь 198, 202, 214, 235
Сдвиг во времени 161
-	лэмбовский 415
-	уровня 464
-	фаз, стационарное выражение 343
-	- вариационное вычисление 347
Сечение рассеяния 107, 108, 295, 321
-	- геометрическое 304
-	- дифференциальное 298
-	- неупругого в борновском
приближении 330
-	- полное 105,298
-	- Резерфорда 224
Сила Лоренца 368, 495
-	тензорная 56, 66
Символы Вигнера 69, 530
-	<"3j>" 524
-	<’’ 6j>", 69, 530, 532, 535
-	<’’ 9j>>, 69, 534
-	« 3nj">, 67
Симметризатор 89, 93, 96, 120, 128,
569
-	группы перестановок 569
-	Юнга 571
Симметрия 13
Система тождественных частиц 82,
129
Скобки Пуассона 147
скорость, 4, 369
Сложение моментов импульса 57, 70,
524, 544
-	спинов 1/2, 60
Собственная энергия электрона
электростатическая 489
Соотношение Бора—Пайерлса—
Плачека 353, 354
Соотношение Дирака 127
-	микрообратимости для Т-матрицы
354
-	ортогональности 562
Сопряженная подгруппа 547
Сопряженные элементы группы 546
Состояние виртуальное 221
-	динамическое 256, 259
-	микроскопическое 97
-	метастабильное 481
-	микроскопическое 97
-	основное 443, 444, 461, 463
-	собственное вырожденное 470
-	- невырожденное 470, 473
-	с отрицательной энергией 431, 435
Спектр полосатый 111
Спин 13, 44
-	изотопический 118, 128
-	- полный 120
-	поля 498
-	ядра 109
-	1/2, 48, 55
-	1,50
Спиновые переменные 50
Спинор 50, 391
Спинорное поле 50, 51
Статистика атомных ядер 109, 111
-	Бозе—Эйнштейна 96, 98, 503
-	Ферми—Дирака 98, 100
Столкновение двух тождественных
частиц 103, 109
- протонов 107
- сложное 348
-	с перераспределением 321
Структура молекул 272, 290
-	сверхтонкая 420
Сферические функции 26, 28
-	- условия на фазу 26
Таблица Юнга 570
Тензор 71
-	метрический 363
-	неприводимый 71, 72
-	приводимый 71, 72
-	электромагнитного поля 365, 369
-	энергии-импульса 487
-	eHvXp 365
Тензорное произведение
представлений 551, 563
Теорема адиабатическая 233, 237,
240, 243
-	Вигнера-Эккарта 74, 75, 77, 200,
201, 225
-	оптическая 353
-	сложения моментов импульса 58, 61
-	— основная 59, 60
-	Эренфеста 233, 237, 240, 243
Теория возмущений нестационарная
219, 232
-	- стационарная 181, 215
-	излучения 439, 503, 520
-	Максвелла—Лоренца 485
-	Паули 48, 417
-	рассеяния 291, 358
-	- интегральное уравнение 299, 301
Трансляционная инвариантность 155,
158
Транспозиция 569
Тритон 252
Угловой момент 14
Углы Эйлера 28, 31, 37, 536
Уравнение Дирака 361, 438
-	- в ковариантной форме 377
-	- инвариантность 384, 388
-	- нерелятивистский предел 415, 417
-	- сопряженное 379
-	Клейна—Гордона 370, 373, 401, 436,
438, 441
Уравнение Лагранжа 446
-	Лоренца 485
-	Пуассона 115
-	Фока—Дирака 267, 270
-	Хартри 272
-	Шредингера 93, 106, 240
-	- нестационарное 202, 253
Уравнения гамильтоновы
классической релятивистской
частицы 369
-	Максвелла 488
Условие Лоренца 491
Фазовый множитель, выбор 525
Фактор-группа 547
Фермионный газ 99
Фермионы 95, 98, 104, 290
Физическая наблюдаемая 39, 40
Формула Вигнера 80, 539, 540
-	Мотта 108
-	Рака 528, 533
-	Резерфорда 306
Форм-фактор плотности электронов
305
Фотон 460, 503, 506
Фотоэлектрический эффект 252, 483,
522
Функция антисимметричная
относительно перестановок 84
-	базисная комплексная 499
-	Гамильтона классической
релятивистской частицы 369
-	Грина 292, 307, 308, 315, 334, 344,
481
-	- искаженных волн 315, 318
-	- как оператор 308
-	Грина, разложение 307
-	- свободная 292, 311
-	Лагранжа 446
-	обрезающая 459
-	симметричная относительно
перестановки аргументов 84
-	сферическая 26, 28, 74, 540
-	- условие на фазу 26
-	Томаса—Ферми 117
Характер 549, 561
Частица в статическом потенциале
163, 164
-	спина 1/2, 50, 52
-	спина 1, 52, 54
Частицы тождественные 82
Частота Бора 219, 246, 476
Четность 155, 404
-	- перестановки 90
Ширина линии 470
Эквивалентные представления 549
Эксперимент Штерна—Герлаха 47
Электрон в кулоновском поле 412,
415
-	- центральном электростатическом
потенциале 427
-	- электромагнитном поле 54, 420
-	свободный 405
Энергия 404
-	излучения 496
-	отрицательная 431
-	поля 488
Эргодическая гипотеза 97
Эффект Зеемана 46, 159, 161, 201,
214
-	- аномальный 47
-	Пашена—Бака 203, 235
-	Рамзауэра—Таунсенда 304
-	фотоэлектрический 252, 483, 522
-	Штарка 159, 285
-	- для жесткого ротатора 304
Ах, душенька! До какой степени
у твоего отца дух погряз в материи!
Ж. Б. Мольер. (Смешные жеманни-
цы», VI
ЧАСТЬ III
СИММЕТРИИ
И
ИНВАРИАНТНОСТЬ

ГЛАВА XIII
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
§ 1.	Введение
Свойства симметрии уравнений движения в квантовой меха'
нике играют столь же большую роль, как и в классической ме-
ханике. Систематическое изучение симметрии и ее следствий
будет проведено с общей точки зрения в главе XV. Настоящая
глава посвящена симметрии по отношению к вращениям — од-
ному из наиболее важных видов симметрии. В квантовой ме-
ханике, так же как и в классической, вращение системы свя-
зано с ее моментом импульса, и из инвариантности уравнений
движения относительно вращений следует закон сохранения
момента импульса. Различия с классической механикой возни-
кают из-за того, что момент импульса не является теперь обыч-
ным вектором, а состоит из трех некоммутирующих операто-
ров — компонент векторного оператора.
В разделе I мы определяем момент импульса правилами
коммутации его компонент Jx, Jy, Jz (соотношения (3)) и ис-
следуем задачу на собствейные значения операторов /2 и Jz,
пользуясь только этими правилами и утверждением, что все
три компоненты являются наблюдаемыми. Этот подход, пред-
ложенный Дираком, во многом аналогичен рассмотрению гар-
монического осциллятора в главе XII.
Раздел II посвящен специальному случаю — орбитальному
моменту импульса частицы и построению соответствующих соб-
ственных функций (сферических функций).
В разделе III устанавливается связь между вращениями и
оператором момента импульса. Вращение физической системы
описывается посредством некоторого оператора, который зави-
сит от компонент полного момента, и его вид определяется
уравнением (60). Доказывается, что инвариантность уравнений
движения относительно вращений эквивалентна обращению
в нуль коммутаторов гамильтониана с тремя компонентами опе-
ратора момента, откуда следует закон сохранения момента им-
пульса.
Эксперимент показывает, что большинство частиц обладает
внутренним моментом импульса — спином. Понятие спина рас»
сматривается в разделе IV,	<
14
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Раздел V посвящен важному вопросу сложения моментов
импульса.
Различные операторы квантовой механики можно характе'
ризовать в соответствии с законом их преобразования при вра-
щениях. В частности, существуют скалярные операторы (иН'
вариантные относительно вращений), векторные операторы и,
вообще говоря, неприводимые тензорные операторы, трансфор'
мационные свойства которых особенно просты. Эти операторы
характеризуются также простыми коммутационными соотноше-
ниями с компонентами оператора момента, откуда следуют не-
которые важные свойства их представлений (теорема Вигне-
ра— Эккарта). Все это рассматривается вместе с основными
приложениями в разделе VI и последнем разделе этой главы.
Дополнение В к настоящей главе содержит наиболее важ-
ные формулы и основные свойства разлйчных коэффициентов,
связанных с вращениями и сложением моментов импульса.
Раздел I. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
§ 2.	Определение момента импульса
Мы уже встречались с оператором момента импульса при
рассмотрении квантовых систем одной частицы. По определе-
нию, момент импульса частицы равен
l^rXp,	(1)
где г и р — векторы координаты и импульса данной частицы.
В волновой механике I представляется векторным оператором ’)
(—OrXV, три компоненты которого являются дифференциаль-
ными операторами, удовлетворяющими следующим правилам
коммутации:
Uxt iy]==^Zt У’ ^z]==^Xt Uzy == Uy	(2)
Каждая из компонент коммутирует с квадратом углового МО’
мента
lZ=l2x + l2y+lz,
т. е.
[/, Л=о.
Эти свойства были получены в § V.18. Напомним, что послед-
нее равенство является простым следствием соотношений (2).
') В настоящей главе используется система единиц, в которой й = 1,
5 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
15
Операторы г, р и I — векторные. Векторный оператор В оп-
ределяется своими компонентами Вх, Ву, Вг по трем ортогональ-
ным осям, где Вх, Ву, Вг — операторы в обычном смысле этого
слова. При заданных трех компонентах мы можем определить
компоненту Ви оператора В в произвольном направлении и, за-
даваемом единичным вектором и(их, иу, иг):
Ви = (и В} = ихВх иуВу -j- uzBz.
Таким образом, мы можем определить компоненты векторного
оператора В по ортогональным осям любой другой системы
координат. Различные операции векторной алгебры (сложение,
скалярное произведение, векторное произведение и т. д.) пере-
носятся на векторные операторы без изменения.
Рассмотрим квантовую систему W частиц. Как и выше, мы
можем определить момент n-й частицы Z(n> = г(л) X р(л). Пол-
ный момент импульса системы является векторной суммой мо-
ментов W частиц
N
£ = Z Iм.
Л=1
Так как каждый отдельный момент импульса удовлетворяет
коммутационным соотношениям (2), а компоненты любого из
них коммутируют с компонентами всех других, то мы имеем
[Lx,	[/?>, /<"'’] = Z [Й°, 6Я)] = i Z = 1Ьг.
п, п*	п	п
Аналогично получаются еще два соотношения, возникающие
после циклической перестановки индексов. Таким образом, ком-
поненты полного момента импульса удовлетворяют тем же ком-
мутационным соотношениям, Что и компоненты индивидуальных
моментов.
Тем самым мы пришли к следующему определению момента
импульса: векторный оператор J называется оператором мо-
мента импульса, если его компоненты являются наблюдаемыми
и удовлетворяют коммутационным соотношениям
[J„ /„] = iJz, [Jy, Jz] = Ux, []z, JX\ = iJy. (3)
Из этих трех соотношений мы можем вывести аналогичные
соотношения для компонент J вдоль любой другой системы
осей. Пусть Ju, Jv, Jw компоненты J по трем ортогональным
осям, единичные векторы которых и, v, w ориентированы так,
что w = и Xv- Тогда несложно доказать соотношение
16
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
[/«, /о] = iJw и два других, получающихся циклической пере-
становкой индексов ’)•
Если а и b — любые два вектора (или два векторных опе-
ратора, коммутирующие друг с другом и с J), то имеем более
общее соотношение
[aJ, bJ] = i((aXb)J).	(4)
§ 3.	Основные алгебраические соотношения
Квадрат момента импульса
+ + 4
коммутирует с Jx, Jy и /2. Это свойство является следствием
коммутационных соотношений (3) и может быть выведено тем
же способом, что и аналогичное свойство для введенного в § 2
момента импульса I. Символически запишем
[/, /2] = 0.	(5)
Как следствие, J2 коммутирует с произвольной функцией ком-
понент векторного оператора J.
Введем два эрмитово сопряженных друг другу оператора
/ ц. = J х -f- iJyt J_ = Jx	iJy.	(6)
Три оператора J+, J- и Jz полностью определяют векторный опе-
ратор J и оказываются более удобными для алгебраических ма-
нипуляций, чем Jx, Jy и Jz. Их коммутационные соотношения
можно вывести из соотношений (3)
[4, ^+] — I+>	(7 а)
[Jz, J-] = - 7_,	(76)
[7+, 7_] = 27г.	(7в)
') Эти соотношения можно записать в компактной форме (I, }, k = и, о
или а>)
[Л> //] = i £ &ilk]k или Е = iJk>
ft	li
где — полностью антисимметричный тензор:
/	0, если два индекса равны;
+ 1, если Z, /, k получаются четной перестановкой из и, о, w;
— 1, если Z, /, k получаются нечетной перестановкой из и, о, w.
Вторая форма эквивалентна соотношению между векторными операторами
§ 4. СПЕКТР ОПЕРАТОРОВ Л И Г2	17
Из равенства (5) следует
[А /+] = [А /-] = [А 41 = о.	(8)
Для J2 имеем
72 = |(7+J_ + J_J+) + 4,
откуда, используя (7с), получаем два тождества
У_7+ = /2-/г(/г+1),	(9а)
у+7_ = /2_уг(7г-1).	(96)
§ 4. Спектр операторов J2 и J2
Так как J2 коммутирует с каждой компонентой векторного
оператора J, то можно построить полный набор собственных
функций J2 и одной из компонент, например, Jz. Тот факт, что
Jx, Jy и Jz — эрмитовы операторы, удовлетворяющие коммута-
ционным соотношениям (3), накладывает жесткие ограничения
на спектр собственных значений.
Оператор J2 — положительно определен и эрмитов, так как
он является суммой положительно определенных эрмитовых
операторов1). Его собственные значения с необходимостью по-
ложительны (или равны нулю). Следовательно, их можно пред-
ставить в форме /(/+1) и параметризовать вещественным
квантовым числом /	0.
Пусть \jtri) — какой-либо собственный вектор операторов /2
и 1г, отвечающий собственным значениям /(/+1) и m соот-
ветственно. Будем говорить, что |/7п> определяет состояние
с моментом импульса (jm). Если /2 и 1г не образуют полного
набора коммутирующих наблюдаемых, то могут существовать
несколько линейно-независимых состояний (jm). В этом случае
|/т) — один из кет-векторов, выбранный в подпространстве, со-
ответствующем моменту импульса (jm). Рассуждение, следую-
щее ниже, справедливо для любого такого вектора. Единствен-
ные условия, которым должен удовлетворять вектор |/7п>, сле-
дующие:
J2| jm) = j(j+ 1) |/m>,
ЛI jm) = m\ jm).
’) Это следствие эрмитовости операторов Jx, Jy и Jz. Для любого |и)',
<п|/2|и)^0 как норма вектора Л|и). Операторы /2 и J2 обладают тем же
свойством, поэтому (и|У2|и)	0 для любого |м) .
18
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Рассмотрим векторы J+\jm) и J_\jm). Из тождеств (9а)
и (96) имеем
/_/+1 jm) = [/ (/ + I) — т {т + 1)] | jm) = (j — m)(j + m + 1) \jm),
(Юа)
/+/_| jm) = [j{j + 1) — m(m — l)]|/m)s(/4-m)(/-m + 1) \jm).
(106)
Тем самым нормы векторов J+\jm) и Z_|/7n) равны
{jtn | /_7+1 jm) = (j — m) (/ + m 4- 1) {jm | jm),
{jm | J+J_ | jm) = (j + /71) (j — m + 1) {jm | jm).
В силу одной из аксиом гильбертова пространства эти нормы
не могут быть отрицательны и, следовательно,
(/ —m)(/ + /7i+1)>0, (/4-/71)(/ — /71+ 1)>0,
отсюда
—
Более того, так как равенство нулю нормы есть необходимое и
достаточное условие равенства нулю вектора, то имеем
J+\jm) = 0 тогда и только тогда, когда (/— т) (j + /71 + 1)=0;
точно так же 7_|/7п> = 0 тогда и только тогда, когда
(j + /71) (/ — /71 + 1) = 0. Поскольку /71 обязательно находится
в интервале (—/, +/), эти условия сводятся к m = j и т =
= — j соответственно.
Если /71#: то (отличный от нуля) вектор J+\jm) является
вектором с моментом импульса (/, /71 + 1). Используя (8), по-
лучаем
PJ+1 jm) = J+J* | jm) = /(/ + 1) Z+1 jm)
и так как согласно (7а)
U+ = J+Uz+l),	(Ila)
то мы имеем
V+|//n) = /+(Zz+ 1)| jm) = (/и + 1)J+|//71>.
Используя тот факт, что J- коммутирует с J2, и то, что со-
гласно (76)
JZJ_ = 7_(7Z-1),	(116)
получаем аналогичный результат для J_|//ti>.
В результате мы доказали важную теорему:
Если | jm) — вектор с моментом импульса {jm) и нормой N,
то
(i)	— j < /71 < /;	(12)
9 4. СПЕКТР ОПЕРАТОРОВ /’ И Jg
19
(ii)	если tn = i, то /+| /т>= 0;
если m=£j, то J+\jm)—вектор с моментом импульса (j,
tn + I) и нормой [/(/ + l)-m(m-j- 1)]N’,
(iii)	если т — —j, то J~\jm) = 0;
если т^— j, то J_\jm)— вектор с моментом импульса
(j,m — 1) и нормой [/(/ + 1)— m(m — 1)]ЛГ.
Рассмотрим теперь векторы, получаемые последовательным
действием оператора J+ на вектор | jm):
J+\jm), J+\jm).....Jp+\jm), ...	(13)
Известно, что —j m /. Если tn = j, то /+|//ti> = 0. Если
m < /, то /+|//п> — ненулевой вектор с моментом (/, /п + 1).
Следовательно, он обладает всеми свойствами (i) — (iii), харак-
терными для любого общего собственного вектора операторов
J2 и /2, а значит, m + 1 j. Если m + 1 = j, то J2+1 jm) — 0.
Если же m + 1 < /, то /+1//71) — ненулевой вектор с момен-
том (/, m -f- 2) и также обладает свойствами (i), (ii) и (iii).
Таким образом, можно последовательно продолжать анализ
свойств векторов (13). Ясно, что эта последовательность должна
когда-то оборваться, в противном случае мы смогли бы по-
строить собственные векторы /2, отвечающие собственным зна-
чениям, превосходящим любое наперед заданное число, что
противоречит неравенствам (12), согласно которым значения m
не могут быть больше /. Следовательно, существует целое число
р 0 такое, что /+|/7п)— ненулевой вектор с моментом им-
пульса (/, m + р), действуя на который оператором /+ полу-
чаем нуль. Тем самым имеем m -f- р = j. Итак, мы показали,
что (/ — /и)— целое число (^0) и что р векторов
/+1Н Z2+|/7ti>, .... Jp+\jm)	(14)
описывают состояния с определенным моментом импульса, от-
вечающие собственному значению /(/+ 1) оператора J2 и соб-
ственным значениям
/п + 1, m-j- 2.../п -f- p — j
оператора /г соответственно.
Подобное рассмотрение векторов, получаемых последова-
тельным применением оператора /_ к вектору |//ti>, показывает,
что j + m q также является целым числом (^0) и что q век-
торов
У_ | jm), J-1 jm)..J4-1 jm)	(15)
описывают состояния с определенным моментом импульса, от-
вечающие собственному значению /(/+ 1) оператора /2 и соб-
ственным значениям	*
/п-1, /п — 2, ..., m — q = — j
20
ГЛ. Х1П. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
оператора /г соответственно. Так как р и q — неотрицательные
целые числа, то их сумма р + q = 2/ также является неотрица-
тельным целым числом.
Объединяя эти утверждения, получаем следующую основную
теорему:
(А)	Собственные значения оператора Р имеют вид j(j + 1),
где j — неотрицательное целое или полуцелое1 число
l/2, 1, %, 2, ...
(В)	Собственными значениями оператора Jx могут быть
только целые или полуцвлые числа
/п = 0, ±*/2, ±1, ±3/г, ±2, ...
(С)	Если /(/+1) и m — собственные значения операторов
Р и /г, отвечающие общему собственному вектору этих двух
операторов, т. е. состоянию с моментом импульса (jm), то воз-
можны следующие (2/ + 1) значений пг:
— i, -/+1, ..., +/.
§ 5. Собственные векторы операторов J2 и J2.
Построение инвариантных пространств
Взяв вектор |//п> с определенным моментом импульса, мож-
но построить все (2/ + 1) собственных векторов операторов /2
и Jz последовательным применением операторов J+ и J— Вообще
говоря, эти векторы не нормированы на единицу, однако легко
построить нормированные векторы, поступая следующим обра-
зом.
Допустим, что норма |//п> равна единице. Тогда, если tn = /,
то вектор J+\jm) равен нулю; если m < j, то Д.|//п>—вектор
с моментом импульса (/, /п + 1). Обозначим \jtn + 1> норми-
рованный вектор, определяемый равенством
J+\jtn) = cm\itn+ 1>.
Из приведенного выше выражения для нормы J+|//n> следует,
что
I cm I2 = [! и + 1) — пг (m + 1)].
Фиксируем фазу вектора \jtn + 1> так, чтобы ст было веще-
ственным и положительным числом. Тогда
/+1 jm) = V/(/ 4-1) —/п(/п+ 1) | jm + 1 >.
’) В этой книге под «полуцелыми» подразумеваются числа вида
13	5	’
2’2’2’“’’
§ 6. СТАНДАРТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ {/’ !г}	21
Действуя на обе части оператором /_ и используя (10а), полу-
чаем	__________________
Л-1 / т+ 1) = 7/(/ + 1) — т(т+ 1) \jm).
С вектором 1//П + 1> можно поступить точно так же. Доста-
точно заменить всюду т на т -f- 1. Если т -f- 1=/, то J+\jm -Н
;+ 1> = 0. Если tn -j- 1 #= j, то мы получим вектор | jm -{- 2>
с моментом импульса (/, т -f- 2) и единичной нормой, фаза ко-
торого фиксирована тем же способом. Этот процесс может быть
продолжен до тех пор, пока не получим вектор |//>.
Таким же образом, применяя последовательно оператор /_
к вектору |//п>, строим нормированные векторы ]jm—1>, ...
..., |/ — /> с моментами импульса (/, т—1), ..., (/, —/) со-
ответственно.
Итак, исходя из мы построили (2/+ 1) ортонормиро-
ванных векторов
I//), 1/7-1), .... IM .... 17 —/>,	(16)
которые удовлетворяют уравнениям на собственные значения
/21/Р> = /(7+1)17и>,	(17)
Л1/р) = р|/р)	(18)
и фазы которых выбраны так, что эти векторы получаются один
из другого посредством соотношений
/+1 /Н> = V/(/+D-Mn+D I /> + 1 >,	(19)
17|х> = V/(7+1) — н(н—1) 17н - 1).	(20)
В частности,
—/> = 0.	(21)
Построенные (2/+ 1) векторов образуют базис некоторого
подпространства Операторы У+,	/2 преобразуют эти век-
торы в себя и, следовательно, любой вектор пространства —
в вектор из Другими словами, эти операторы оставляют
gm инвариантным. Произвольная функция Е(У) операторов
1+, Jz также оставляет <F(7) инвариантным. В разделе III мы
увидим, что вращению квантовой системы как целого соответ-
ствует применение к вектору состояния оператора типа /''(/)>
следовательно, любые вращения всей системы оставляет <§”</> ин-
вариантным.
§ 6. Стандартное представление {/2 /г}
Если У2 и /г не образуют полного набора коммутирующих
наблюдаемых, то для этих двух операторов существует много
систем общих базисных векторов. Но даже в случае, когда они
22
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
образуют полный набор, фаза каждого базисного вектора мо-
жет быть выбрана произвольной.
Среди представлений, в которых J2 и ]г диагональны, суще-
•ствуют такие, где оператор момента импульса действует осО'
бенно просто. Мы назовем их стандартными представлениями
{Мг}. В этих представлениях базисные векторы, отвечающие
определенному значению квантового числа /, могут быть сгруп-
пированы в одну или несколько серий из (2/ -f- 1) векторов, свя-
занных соотношениями (19) — (20). Каждой серии отвечает под-
пространство <F(/), а все гильбертово пространство является пря-
мой суммой этих подпространств.
Для построения стандартного представления можно посту-
пать следующим образом. Среди собственных векторов Z2, от-
вечающих собственному значению /(/+ 1)> рассмотрим те, ко-
торые являются собственными для /г с собственным значе-
нием j. Такие векторы, в зависимости от обстоятельств, обра-
зуют в гильбертовом пространстве некоторое подпространство
размерности один, два, ... или бесконечномерное. В
всегда можно выбрать полный набор ортонормированных век-
торов |т//>. Индекс т служит для того, чтобы отличать векторы
с угловым моментом (//) один от другого и может, в зависимо-
сти от обстоятельств, принимать одно, два, ... или бесконечное
множество значений (дискретных или непрерывных; для опре-
деленности, будем предполагать их дискретными). По предпо-
ложению,
С каждым из этих векторов |т//> можно связать 2/ векторов,
которые получаются последовательным действием оператора 7_
•согласно правилам предыдущего параграфа. Так строится
(2/ + 1)-мерное подпространство <F(/); для того чтобы отличать
эти подпространства друг от друга, будем обозначать их ^(т/).
Базисными векторами в <£ (т/) служат
1	|т//—1>......|т/ —/>.
•Они ортонормированье и удовлетворяют основным соотноше-
ниям
Г|т/н> = /(/+1)|т/|л>,	(22)
/21 7н) = р| г/ц),	(23)
J+1 Ф) = V/ (/ + 1) — <и(п -h 1)11/	|Х +	1 >,	(24)
J-1 т/|х> = V/(/+ 0 —»*(»*— 01 т/—	1).	(25)
§ 7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
2»
Из (24) и (25) легко получить следующие важные соотно-
шения (см. задачу 1):
I±	т/ ±'>•	<26>
I ft = д/ (2/)1 (; —I’/
Легко показать, что подпространства <F (т/) с фиксирован-
ным j и различными т взаимно ортогональны и их объединение
образует подпространство <F/, отвечающее собственному значе-
нию /(/ -f- 1) оператора /2.
Базисные векторы |т/ц> и |т//ц/> подпространств <F(x/) и
S (и'Г) (т =/= т'). ортогональны, если ц #= р.', так как они отвечают
различным собственным значениям /2; то же справедливо и
если р. = р', так как последовательное применение (24) дает
(т'/р | т/р> = (т'/р + 1 | т/р + 1} = ... = <т'//| т//> = 6tV.
Чтобы показать, что любой собственный вектор Р, отвечаю-
щий собственному значению /(/4-1), является линейной комби-
нацией векторов |т/р> (т и р — переменные, / — фиксировано),
достаточно показать, что любой вектор |ю/р> с моментом (/р)
является линейной комбинацией базисных векторов |т/р> с тем
же моментом импульса. Если р = /, то это следует из первона-
чального предположения. Если же р =/= /, то задачу можно све-
сти к предыдущему случаю действия оператором /С-1* на вектор
|ю/р> и используя соотношения (26) и (27).
Итак, исходя из полного набора ортонормированных векто-
ров с моментом импульса (//), мы построили базисные векторы
стандартного представления {/2/г} в подпространстве #/, отве-
чающем собственному значению /(/4-1) оператора /2. Повто-
ряя эту процедуру для всех допустимых собственных значе-
ний J2, получаем стандартный базис во всем гильбертовом про-
странстве.
Отметим особенно простую форму матриц, задающих ком-
поненты оператора J в таком представлении (см. задачу 2).
Из равенств (23), (24) и (25) имеем
<Т/|Х |/г | t'/V) = Цбтт'б//'бцц',
<Т/|Х | /± | r'j'n') = V/(/4- 1) —Н/	± 1.	(28>
§ 7. Заключение
Приведенное выше исследование свойств оператора момента
импульса основывалось исключительно на коммутационных со-
отношениях и на том факте, что его компоненты являются
24
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
эрмитовыми операторами в гильбертовом пространстве. Мы пока-
зали, что квантовое число j может принимать только целые или
полуцелые значения и что каждому собственному значению
j(/+l) оператора отвечает одна или несколько серий из
(2/ + 1) линейно независимых векторов. В каждой серии век-
торы получаются один из другого применением операторов /_
или J+ и соответствуют (2/4-1) возможным значениям кван-
тового числа т
-/+1, +/•
Однако этих гипотез недостаточно для полного решения про-
блемы собственных значений. Следует еще определить:
(i)	какие целые и полуцелые значения действительно со-
ставляют спектр /;
(ii)	сколько серий из (2/ + 1) линейно независимых векто-
ров отвечают каждому из этих значений /.
Ответ на эти вопросы зависит от рассматриваемой задачи.
Только из коммутационных соотношений нельзя, например, за-
ранее исключить случай, когда / принимает одно значение (це-
лое или полуцелое) и существует только один набор (2/ + 1)
линейно независимых векторов, отвечающих этому значению:
пространство векторов состояний в этом случае (2/ -f- 1)-мерно.
Такая ситуация встретится в разделе IV при рассмотрении
спина.
Другой важный частный случай связан с моментом им-
пульса I частицы, определяемым уравнением (1). В разделе II,
где этот случай разбирается подробно, мы увидим, что спектр
значений / составляют все целые числа от 0 до оо, а полу-
целые значения отсутствуют1).
Раздел II. ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 8. Спектр операторов I2 и 1г
Вернемся к квантовой системе одной частицы, с которой мы
начали рассмотрение в § 2. Выбирая ось г в качестве полярного
направления, мы можем выразить оператор I2 и компоненты
’) В задаче 15 рассматривается случай, в котором J2 и /2 образуют пол-
ный набор коммутирующих наблюдаемых (одна серия из (2/+ 1) векторов
для каждого значения /) и в котором / может принимать все целые и полу-
целые значения. Из-за присутствия в спектре как целых, так и полуцелых
значений при рассмотрении / как оператора момента необходимо сделать не-
которые замечания о физическом смысле наблюдаемых этой системы (см«
$ 15).
§ 8. СПЕКТР ОПЕРАТОРОВ Р И 1г
25
оператора I как функции полярных углов 0, ср и их производных
(см. уравнения (Б. 82) — (Б. 84)*)). В дальнейшем изложении
радиальную переменную можно опустить. Мы намереваемся
построить функции F? (0, ср), удовлетворяющие двум уравнениям
на собственные значения:
Z2/T(0, ср) ==/(/+1)/Т(0, ср),	(29)
lzFТ (0, ср) = mF? (0, ср).	(30)
Так как волновая функция является однозначной функцией г,
то F? (0, ср) не должна меняться при замене ср на ср + 2л‘).
Уравнение (30) уже исследовалось в § V. 12. Так как 1г —
=— i д/д<р, то F? (0, ср) имеет вид /Г (0) е‘тф, где т — целое.
Коль скоро т — целое, должно быть целым и I, следовательно,
не существует полуцелого орбитального углового момента.
Для того чтобы среди целых чисел (^0) найти те, которые
являются собственными значениями I, и определить их вырож-
дение, построим собственные функции F‘i (0, ср), отвечающие
угловому моменту (1,1). Такая функция определяется уравне-
ниями
lzFli(Q, ср) = /^(0, ср),	(31)
l+Fi(Q, ср) = О.	(32)
Они эквивалентны системе уравнений (29) — (30) при tn = I, так
как в силу тождества (9а)
l2=lz(lz+l) + U+.
Из (32) вместе с (31) следует (29) и обратно. Система урав-
нений в частных производных первого порядка (31) — (32)
легко решается, коль скоро даны дифференциальные опера-
торы 1г и 1+ (ур. (Б. 82) — (Б. 83)). Из уравнения (31) имеем
Fi (8, ср) = Л(0)е/г<₽.
Подставляя это выражение в уравнение (32), получаем диффе-
ренциальное уравнение
(4-/ctg0) Л(0) = О,
решение которого с точностью до произвольного множителя есть
sin'0. Каждому целому числу I (^0) отвечает одна и только
*) Здесь и далее даны ссылки на формулы, приведенные в Дополнениях
А, Б, В, Г томов 1 и 2. (Прим, ред.)
’) Кроме того, F™ (0, ср) и F? (л, <р) не зависят от ср, что автоматически
выполняется для полученных ниже решений,
26
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
одна собственная функция (определенная с точностью до мно-
жителя), соответствующая угловому моменту (/, I)
sin10е,гф.
Следовательно, спектр оператора Z2 состоит из последова-
тельности чисел 1(1 + 1)> где I принимает все целые значения
от 0 до + °0- Каждому собственному значению /(/+1) со-
ответствует (2/+ 1) собственных значений tn оператора
/г — (21 + 1) целых чисел в интервале (—Z, -f-Z). Каждой паре
(1m) соответствует одно и только одно собственное состояние
(если мы ограничимся только функциями от 0 и ср): спектр опе-
раторов I2 и 1г в целом невырожден.
§ 9. Определение и построение сферических функций
Общая собственная функция Z2 и /2, отвечающая собствен-
ным значениям (1m), определена с точностью до постоянного
множителя. Произвол исчезает, если нормировать ее на еди-
ницу и выбрать подходящее условие для фазы. Таким образом,
получаем сферическую функцию порядка (1m), которую будем
обозначать Yf (0, ср).
Функции Yf (0, ср) образуют ортонормированную систему
функций от 0 и ср с элементом объема dQ == sin 0 dd dcp в ин-
теграле для скалярного произведения. Примем без доказатель-
ства утверждение о полноте этой системы.
Фиксируем фазы следующим образом1). Потребуем прежде
всего, чтобы Y™ образовывали стандартный базис. Для этого
достаточно, чтобы они удовлетворяли уравнениям (24) — (25),
записанным в представлении {0ср} (ур. (Б. 89)). Тем самым оп-
ределены относительные фазы (2Z + 1) сферических функций,
отвечающих данному значению I, и остается только фиксиро-
вать фазу одной из них, например У? (0, ср). Потребуем, чтобы
величина У? (О, 0) была вещественным и положительным чис-
лом.
Если обозначить через \ltri) векторы, которым в представ-
лении {0ср} отвечают сферические функции УГ (0, ср), то они удо-
влетворяют уравнениям (24)—(25) и, следовательно, (ур. (26))
\lni) = д/ (2Zj, (t-m)! z- m I	= д/ (2/)i (/ + m)l Z+ U—0-
i) Такая нормировка используется большинством авторов. Однако в об-
суждениях, использующих инвариантность относительно обращения времени,
при рассмотрении волновых функций в конфигурационном пространстве пред-
почтительнее функции <!y'i (0, <р) =	(0, ф) (см. § XV. 22).
§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
27
Другими словами,
УТ(0, Ф)- V <=«>?-">	<» Ф>-	<’3>
ИЛИ
УТ ф) - д/(2о'<7+»>1	<е- ’’>	<м>
Явные выражения для дифференциальных операторов /_ и /+
приведены в приложении (ур. (Б. 83)). Используя их, полу-
чаем
Z±e'wf(0) = =Fe<<n±»«₽ (sin^e _Д-е)- sin^0)f(0).
При любой /(0) выражение в скобках следует рассматривать
как оператор, действующий на функцию f(0), стоящую справа
от него. Следовательно, последовательное применение 1+ или /_
к функции e‘»i<pf (6) дает (р. и s целые)
4е/ц<7 (0) = (T)s е‘01 *s) ф (sin*± •* 0 rf(cfs6)i sin** 0) f (0).	(35>
Из рассуждений, приведенных в § 8, нам известно, что
У/ (0, <р) = a sin' 0е"ф,
где Ci — константа, модуль которой определяется условием нор-
мировки Yli, откуда
| ci | = (4ЛП^+-1)!,	(36)
а фазу следует определить согласно принятому выше условию.
Подставляя выражение Yt в уравнение (33) и принимая во
внимание тождество (35), получаем
YT(0, <р) = а л/ +	- ez"«₽ sin-m 0-d‘ т sin2Z 0.	(37)
Х	' V (2/)!(/-т)!	iZ (cos б)	' ’
При т = — I отсюда имеем
Y71 (0, ф) = (-)' с/е“"ф sin' 0.	(38)
Подставляя это выражение в уравнение (34) и вновь используя
тождество (35), получаем новое эквивалентное предыдущему
выражение для YT
YT (0, ф) = (-)m ci л/	е™9 sin"10---—гг sin2' 0.
'	1 V (2Z)l(/ + m)l	d(cose)z+m
(39)
28
ГЛ. ХШ. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
При /п = 0 эти выражения совпадают
У?(0, <р) = а л/—------&—т-(1 — cos20)z.
V	'V (21)1 d(cos0)z V	7
С точностью до множителя получили полином Лежандра
P/(cos0) (ур. (Б. 71))
У? (9, ф) = (-	(cos 0) = (- l)z Д л/Pt (cos 6).
•V(2/)!	| ct | V 4л
Условие вещественности и положительности У? (О, 0) определяет
выбор фазы
тут = (-1)1.
I cl I
Тем самым полностью определены выражения (37) и (39) для
Ф).
Большинство свойств сферических функций, которые пере-
числены в Дополнении Б, можно легко получить из компактных
формул (37) и (39). Отметим, в частности, что
Уг-т(е, Ф) = (- l)mYf (0, ф),
Yf является произведением е"”4’sinlmi 0 и полинома по cos0
степени I — |т| и четности (—l)z-iml, а четностьУТ (задача 4)
равна (—l)z, т. е.
У?1 (л - 0, ф + л) = (- 1/ YT (0, ф).
Раздел III. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И ВРАЩЕНИЯ
§ 10. Определение вращений. Углы Эйлера
В этом параграфе мы напомним некоторые свойства враще-
ний в обычном пространстве.
По определению, вращением вокруг точки О называется та-
кое перемещение точек пространства как целого, при котором
1очка О остается неподвижной. При таком перемещении, каж-
дая точка Р переходит в новое положение Р' и существует
взаимнооднозначное соответствие между Р и Р'. Можно было
бы определить вращение вокруг О как взаимнооднозначное со-
ответствие между точками пространства, при котором точке О
соответствует она сама и которое сохраняет как расстояния
§ 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРАЩЕНИИ. УГЛЫ ЭЙЛЕРА
29
(а следовательно, и углы), так и ориентацию координатных
осей *).
Единичный вектор и и угол ф определяют конкретное вра-
щение 3?и(ф)— поворот на угол ф вокруг оси, направленной по
и (положительное вращение вокруг этой оси определяется обыч-
ным образом). Этот способ задания вращения не единственный.
Для выполнения Яа (ф) =	(ф), необходимо и достаточно,
чтобы
«! — U
Ф1 = Ф + 2пя
или
Ui = — и
Ф1 = — ф + 2пл
(п — произвольное целое число).
Будем называть вращение инфинитезимальным, если ср = в
бесконечно мало. Легко написать вектор V, в который при ин-
финитезимальном вращении й?„(е) пере-
ходит вектор V:	z.<
V'^V-j-s(uXV) (е<1). (40)
Другой способ задания вращения со-
стоит в фиксации углов Эйлера а, р, у.
Пусть Oxyz — правая система осей, а
OXYZ — система осей, получаемая из
предыдущей вращением, Ои — одна из
двух ориентированных осей, перпендику-
лярных плоскости OzZ (рис. 1). Углами
Эйлера будут* 2)
а = (Оу, Ои), р = (Oz, OZ), у = (Ou, OY).
Рис. 1. Определение углов
Эйлера.
Полное вращение является результатом трех последовательных
вращений
Яг(а) — вращение на	угол	а	вокруг	Oz (Оу	переходит	в	Ow);
(Р) — вращение на	угол	Р	вокруг	Ou(Oz	переходит	в	OZ);
(у) — вращение на	угол	у	вокруг	OZ (Ои	переходит	в	OY).
Обозначим результирующее вращение через 5?(аРу) и запишем
(аРу) =	(у)	(Р) Яг (а).	(41)
Углы а, р, у являются алгебраическими величинами. Они
положительны или отрицательны в зависимости от того, яв-
ляется ли вращение вокруг осей Oz, Ои, OZ положительным
f) В отличие от отражений, которые сохраняют расстояния, но меняют
ориентацию координатных осей.
2) Принятое здесь определение несколько отличается от используемого
обычно в теории гироскопа.
30
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
или отрицательным. Для выбранной системы Oxyz одно и то же
вращение может быть задано несколькими наборами углов
Эйлера. Необходимыми и достаточными условиями равенства
5?(ар-у) = 5?(aiPiyi) являются
сц — а + 2лпа
Pi = ₽ + 2ш1р или
Yi = У + 2лпу
а] = а + л + 2лла
Pi = — 0 4- 2шг3
Yi = у — я + 2лпу
(42)
(па, пу произвольные целые числа).
С каждым вращением можно связать некоторую матрицу
3X3, определяемую следующим образом. Фиксируем правую
декартову систему координатных осей Oxyz с единичными век-
торами aif а2, аз в направлении осей Ох, Оу, Oz соответственно.
При вращении они преобразуются в три новых вектора Alt А2,
Аз, образующих новую декартову систему OXYZ. Каждый из
векторов А, является линейной комбинацией векторов аь а2, аз1)
А1 = Я[а1] = а1^.ц, Яц = {а{-Aj).
Коэффициенты 5?!;- трех линейных комбинаций являются элемен-
тами матрицы 3X3, которую мы обозначим той же буквой 5?,
что и само вращение. Эта матрица полностью определяет вра-
щение, Действительно, пусть V ss a/V, — некоторый вектор
в пространстве, определяемый его ^ординатами (V), V2, Уз)
в системе Oxyz. При вращении он преобразуется в вектор
V' = Я [V] = AjV, = a^uVf.
Компоненты V' в системе координат Oxyz равны
(43)
Так как векторы А, образуют декартову систему, то вещест-
венная матрица Я ортогональна и унимодулярна
=	det$= 1.
Для фиксированной системы осей Oxyz матрица, связанная
с вращением, определена однозначно. Верно и обратное, каж-
дой вещественной, ортогональной, унимодулярной матрице со.-
ответствует одно и только одно вращение.
В Дополнении В (формула (В. 45)) дано выражение элемен-
тов матрицы, соответствующей вращению $5(а|3у), через углы
Эйлера. В качестве примера приведем закон преобразования
') В этом разделе мы будем систематически пользоваться соглашением
о суммировании по повторяющимся индексам, так:
= а1ЯЦ + а2ЯЦ + “3Й3/-
§ II. ОПЕРАТОР ВРАЩЕНИЯ
31
координат рассмотренного выше вектора V при вращении 3?2(а)
на угол а вокруг Oz
Vi = cos а — V2 sin а,
V'2— Vi sina+ V2cosa,	(44)
Уз= V,.
Произведение двух вращений и 3?2, т. е. преобразование
== $23?i, которое получается последовательным выполнением
вращений 0?i, а затем J?2, также является вращением. Соотно-
шение (41) дает пример такого произведения. Углы Эйлера для
трудно выразить в виде функций от углов Эйлера и 5?2.
В то же время, матрица, соответствующая 5?, легко получается
как произведение матриц и 5?2
§ 11. Вращение физической системы. Оператор вращения
При обсуждении свойств физической системы, связанных
с вращениями, — все сказанное ниже справедливо для любого
преобразования пространства — можно принять одну из двух
точек зрения, которые следует четко различать. Согласно пер-
вой (иногда ее называют пассивной) производят вращение ко-
ординатных осей, оставляя фиксированной каждую точку Р про-
странства и связанные с ней физические величины. Согласно
второй (иногда ее называют активной) фиксированными
остаются оси координат, а вращают физическую систему. Обе
точки зрения эквивалентны. Поворот координатных осей или
поворот физической системы в противоположном направлении
приводят к одному и тому же результату. Далее, если не огово-
рено противное, мы будем придерживаться второй точки зрения
(будем вращать физическую систему).
Определение «вращения физической системы» в квантовой
механике требует большей осторожности, чем в классической,
так как связь между динамическими переменными и динамиче-
скими состояниями значительно сложнее. Рассмотрим для про-
стоты вначале случай одной частицы. Обозначим а — возмож-
ное динамическое состояние частицы и ф(г)— соответствующую
волновую функцию. Состояние, получаемое после вращения 3?,
обозначим а' и соответствующую а' волновую функцию — ф'(г)
a' = $[a], ф (г) = $ [ф (г)].
Когда мы говорим, что состояние а переходит при вращении
в состояние а', мы имеем в виду, что результаты любых наблю-
дений над системой в состоянии а' могут быть получены по-
средством вращения из результатов, которые дали бы те же
32
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
наблюдения, выполненные над системой в состоянии а. Рас-
смотрим, например, измерение координаты. Распределение веро-
ятности для состояний а п а' равно |ф(г)|2 и |Ф/(Г)12 соот-
ветственно. Согласно приведенному выше утверждению послед-
нее получается из первого при вращении 5?, т. е. значение
второй функции в данной точке г равно значению первой функ-
ции в точке Г1, которая переходит в г при вращении 5?
I У (г) I2 = I ф (Г1) I2, Г! = ^-1г.	(45)
Аналогично, если <р(р) и ср'(р)—волновые функции в импульс-
ном пространстве, отвечающие ф и ф', то имеем
I ф' (р) I2 = I Ф (Pi) I2. Pi = ^‘р.	(46)
Ясно, что для того чтобы выполнялись все эти условия, доста-
точно равенства значений функции ф' в точке г и функции ф.
в точке л, т. е.
ф'(г) = $[ф(г)] = ф1>Г1г).	(47)
Можно показать, что это равенство является и необходимым
условием '). Следовательно, волновая функция определена од-
нозначно.
Соотношение (47) устанавливает взаимно однозначное соот-
ветствие между ф и ф'. Ясно, что это соответствие — линейное,
т. е. существует оператор R такой, что
ф' = ,/?ф.
Оператор R— унитарный, так как нормы фиф' равны,
j | ф' (г) f dr = j | ф (ЗГ’r) |2dr = j | ф (r,) |2dr{
(последний интеграл получается заменой переменной п = Я.~хг
с учетом того факта, что при вращении сохраняется элемент
объема dr).
Все эти рассуждения без труда обобщаются на систему N
частиц; при вращении 5? волновая функция ф(г(1), г(2), ..., г(лг))
переходит в
5?[ф(г(1), ..., /">)] = ф(ЯГ1г(1)..0Tlrw) =
— Rty(rw, .... rW)).	(48)
Как и выше, оператор вращения R — линейный и унитарный.
*) Общее доказательство будет дано в § XV. 6. В действительности функ-
ция ф' определяется этими условиями только с точностью до фазового мно-
жителя. Этот произвол исчезает, если потребовать, чтобы определенные далее
операторы R образовывали группу, изоморфную группе вращений; именно так
мы и поступаем.
§ 12. ВРАЩЕНИЕ НАБЛЮДАЕМЫХ
33
В общем случае, с каждым вращением физической си-
стемы связан унитарный оператор ./?; действие R на вектор | а>,
представляющий динамическое состояние системы до вращения,
дает вектор |az>, представляющий ее динамическое состояние
после вращения,
/?/?+ = /?+/?= 1,	(49)
|а') = /?|а).	(50)
Используя закон преобразования (50) и определение опера-
тора плотности, легко получить закон его преобразования. Пусть
р — оператор плотности, представляющий некоторое (чистое
или смешанное) состояние системы, а р' — оператор плотности,
представляющий состояние, получившееся в результате враще-
ния 91. Тогда имеем
р'^<Я[р] = ЯрЯ+.	(51)
§ 12. Вращение наблюдаемых
Кроме вращения исследуемой системы, можно вращать
также приборы, с помощью которых производятся наблюдения
над ней. Выше мы определили закон преобразования векторов
состояния, определим теперь закон преобразования наблюдае-
мых, представляющих различные измерительные операции, ко-
торые можно выполнить над системой.
Пусть Q — наблюдаемая, a Q' = 5?[Q] —ее преобразование
при вращении 91.
По физическому смыслу с наблюдаемой Q связана некото-
рая операция измерения, и преобразование Q в Q' соответствует
вращению измеряющего прибора. Следовательно, среднее зна-
чение при измерении Q для системы в состоянии |а> равно
среднему значению при измерении Q' для системы в состоянии
| а'> — 91 [ | а)], т. е.
{a IQ| а) = {а'\Q' |а').
Так как |а'> = $|а>, предыдущее равенство можно переписать
в виде
<a|Q|a> = <a|/?+Q>|a>.
Из того, что оно справедливо для любого |а>, имеем (ср.
§ VII. 5)
q = r'q'r,
ИЛИ
Q' = RQR*.
(52)
2 А* Месена
34
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Другими словами, при вращении наблюдаемые преобра-
зуются под действием того же унитарного оператора, что и век-
торы состояний.
В частности, если наблюдаемая S является скалярной вели-
чиной, т. е. инвариантна относительно вращений1), то для лю-
бого R
S'^RSR* = S.
Поскольку оператор R — унитарный, это равенство можно пере-
писать так:
[/?, S] = 0.	(53)
Следовательно, инвариантная относительно вращений на-
блюдаемая коммутирует со всеми операторами вращений.
Другой интересный случай представляют векторные опера-
торы. Будем использовать обозначения § 10 и дополнительно
буквой К обозначим векторный оператор с компонентами К, =
= (Kai). Если подействовать вращением 31 на оператор Кд —
компоненту К по оси Ох, то получим оператор — компо-
ненту К по оси ОХ. В общем случае [Ка] = Ка', где а! —
— 31 [а]; итак
K'i = 31 [KJ = KAt = ед,-.
Получили закон преобразования декартовых компонент вектор-
ного оператора К
K'^RKiR^^ijKj.	(54)
Отметим, что в отличие от закона (43) здесь фигурирует мат-
рица j?— обратная матрице Зк. компоненты К преобразуются
при вращении так же, как компоненты вектора при враще-
нии ЗН.
§ 13. Момент импульса и инфинитезимальные вращения
Теперь мы можем установить фундаментальную связь между
моментом импульса системы и операторами бесконечно малых
(инфинитезимальных) вращений.
Как и в § 11, рассмотрим вначале случай одной частицы. Со-
гласно (47) вращение $!г(а) на угол а вокруг оси Oz перево-
дит функцию ф(х, у, z) (см. ур. (44)) в
3lz («) [Ф (*> У’ — Ф (х cos а + у sin а, — х sin а + у cos а, г).
’) Такое определение скаляра будет использовано в настоящей главе.
В дальнейшем величины, инвариантные относительно вращений, будут разде-
лены на скаляры и псевдоскаляры. При отражениях первые не изменяются, а
вторые умножаются на —1,
5 13. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ВРАЩЕНИЯ
35
В результате бесконечно малого вращения $!2(е), оставляя
в правой части только члены первого порядка по е тейлоров-
ского разложения в точке (х, у, z), получаем
Rz (е) [Ф (х, у, г)] « ф (х + уе, — хе + у, z)
у, 2) + е(у^-х4^)
»(1 —/е/2)ф(х, у, z).
Последнее равенство следует из определения дифференциаль-
ного оператора /2 (Й = 1). Следовательно, оператор инфините-
зимального вращения имеет вид
Rz (е) « 1 — ze/2.
Для инфинитезимального вращения вокруг вектора и, исполь-
зуя аналогичные рассуждения, имеем
Ra (е)« 1 — is (Z • и).
Тот же результат получается для системы N частиц. Для этого
достаточно, исходя из (48), проделать те же преобразования,
что и в случае одной частицы (47)
#2 (е) « 1 — ie.Lz,
или в более общем виде
Ra (в) а; 1 —- is (L • и),
где L — полный момент импульса системы.
Итак, справедливо утверждение.
Если J — полный момент импульса системы, то его компо-
нента по произвольной оси и связана с оператором инфинитези-
мального вращения вокруг этой оси соотношением
Ru (8) » 1 — ze (J • «).	(55)
В случае, когда система не имеет классического аналога,
это фундаментальное соотношение служит определением мо-
мента импульса.
Для согласованности этого определения нужна уверенность
в том, что оператор (/•«) является компонентой некоторого век-
торного оператора J по направлению и. Для этого достаточно ),
чтобы каждому инфинитезимальному вращению $?и(е) соответ-
ствовал один и только один оператор инфинитезимального вра-
щения 7?а(е). Согласно закону преобразования векторов (40)
') Это равносильно предположению, что операторы вращений образуют
группу.
2*
36
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
операция 31 и (е) эквивалентна, в первом порядке по е, произве-
дению операций 31х(гих)3ty(e.uy)3lz{EUz), что дает
Ru (е) да Rx (euj Ry (еиу) Rz (euz) да 1 — ie (uxlx + uyJy + uzlz).
Из этого определения следует, что любой скалярный оператор S
коммутирует с компонентами J (ур. (53))
[(u-J), S] = 0.	(56)
Из соотношения (55) получаются также правила коммута-
ции компонент J с компонентами произвольного векторного опе-
ратора К. Пусть Ка =s Ка — компонента К по направлению век-
тора а. По определению, ее преобразование при вращении
(е) равно
Ка « Ru (8) KaRu (8) « Ка - 18 [7„, Ка].
Кроме того, согласно закону преобразования вектора а (ур.
(40)), имеем
Ка = К • а' да К [а + е (и X а)1-
Приравнивая в этих выражениях члены первого порядка по 8,
получаем
Uи, Ka] = iK(uXa),
или иначе
[(aJ), (аК)] = i ((и X а) • К).	(57)
Подставляя вместо К оператор J, снова получаем коммута-
ционные соотношения, характеризующие момент импульса (ур.
(4)).
Следующее определение полного момента импульса эквива-
лентно данному ранее:
Если фундаментальными наблюдаемыми системы являются
скалярные операторы Sb S2, •   и компоненты векторных опе-
раторов Ki, К2, ..., то, по определению, полный момент им-
пульса системы — это векторный оператор J, компоненты ко-
торого коммутируют со всеми S и удовлетворяют коммутацион-
ным соотношениям (57) с компонентами операторов К-
Если соотношения (57) выполняются не для всех векторных
операторов К\, Ki.....то J не является полным моментом им-
пульса системы, даже если выполняются коммутационные со-
отношения (4). Так, для рассмотренного в § 11 случая W ча-
стиц любой векторный оператор, являющийся суммой некото-
рого числа моментов Z(1> отдельных частиц, будет удовлетворять
соотношениям (4), но только сумма L всех равна полному
моменту импульса.
$ 14. ПОСТРОЕНИЕ ОПЕРАТОРА R(a₽y)
37
§ 14. Построение оператора R (ару)
Произвольное конечное вращение можно рассматривать как
последовательность инфинитезимальных вращений. Соответ-
ствующий оператор будет произведением операторов инфините-
зимальных вращений, и так как последние являются функциями
полного момента (ур. (55)), то и оператор произвольного ко-
нечного вращения тоже будет функцией полного момента им-
пульса.
Вращение 52о(ф) является последовательностью инфините-
зимальных вращений вокруг оси и. В частности,
Яи (<р 4- dtp) = Sla (йф) (ф).
Полагая Jus(J-a) и используя формулу (55), получаем
(ф + dtp) = Ra (dtp) Ra (ф) = (1 — Uu dtp) Ru (ф),
или иначе
Ru (ф) = - iJaRa (ф) (Ru (0) = 1).
Это дифференциальное уравнение легко интегрируется и дает
/?и(ф) = е~,ф/«.	(58)
Рассмотрим теперь вращение 5?(офу), определяемое углами
Эйлера (а, 0, у). Как показано в § 10, j?(a0y) можно рассмат-
ривать как последовательность вращений на углы а, 0, у во-
круг осей Oz, Ои, OZ соответственно (см. рис. 1). Следова-
тельно, имеем
7?(a0Y) = 7?z(Y)/?„(₽)/?z(a).
Используя (58), три вращения в правой части можно выразить
через компоненты Jz, Ju и Jz момента импульса
7?(apy) = e"'v/ze_ip/“e"'“^.	(59)
Обратим внимание на порядок экспонент в правой части.
Преобразуем выражение (59) к виду, в котором фигурируют
только компоненты момента импульса вдоль координатных осей.
Вращение 52z(a) переводит оператор Jy в оператор что
в силу закона преобразования операторов (52) дает
4 = 7?г (a) JyRt (а) = е~1аЧуе+‘а'г.
Итак,
e-/f"U = e-'aZ*e-<'%+ia\
Подставляя это выражение в правую часть (59), получаем
/?(a₽Y) = e“iv%-iaZ«e_/pz*.
38
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Аналогично, Jz получается из Jz последовательными враще-
ниями 3?г(а), и и может быть устранено из окончатель-
ного ответа, так же как и Ju
R (a₽y) =	(60)
§ 15. Вращение на угол 2л и полуцелый момент импульса
Согласно уравнению (58)
(2л) = е“2я(/“.
Хотя вращение на 2л вокруг произвольной оси и возвращает нас
в исходную точку, соответствующий оператор вращения не обя-
зательно равен 1. В представлении, в котором диагоналей опе-
ратор Ju, диагоналей и данный оператор, а его диагональные
элементы равны -|-1 или —1 в зависимости от того, является ли
соответствующее собственное значение Ju целым или полуце-
лым.
Рассмотрим наблюдаемую D, которая есть функция J2, с соб-
ственным значением при целом j и —1 при полуцелом.
Отметим, что
(i)	у (1 D) — проектор на подпространство, соответствую-
щее целым /;
(ii)	у(1—D) — проектор на подпространство, соответствую-
щее пол у целым /;
(iii)	D2 = 1;
(iv)	D коммутирует со всеми операторами вращений
[D, 7?] = 0.
Отсюда ясно, что
flu(2n)=D.	(61)
Для того чтобы 7?м(2л)=1, необходимо чтобы момент им-
пульса принимал только целые значения. С другой стороны,
всегда имеем
(4л) = D2 = 1.
Существование взаимно однозначного соответствия между
инфинитезимальными вращениями и инфинитезимальными опе-
раторами 7? (определение (55)) никоим образом не означает
существования аналогичного соответствия для конечных враще-
ний. Имеется бесконечное число способов записать конечное
вращение в виде произведения инфинитезимальных вращений.
Каждый из рассмотренных выше операторов (ср) и /? (офу)
соответствует одному из этих способов. A priori не существует
каких-либо причин полагать, что различные способы соответ-
ствия будут давать один и тот же оператор.
§ 15. ВРАЩЕНИЕ НА УГОЛ 2Л И ПОЛУЦЕЛЫИ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА 39
Тем не менее можно показать (доказательство мы опускаем/,
что каждому конечному вращению соответствует самое большее
два оператора R' и R", отличающиеся «вращением на 2л»,
R" = DR'.	(62)
В рассматриваемых до сих пор физических системах момент
импульса мог принимать только целочисленные значения, в этом
случае D — 1 и R' = R", так что каждому вращению соот-
ветствует один и только один оператор вращения. Если же си-
стема имеет состояния с полуцелым угловым моментом, то опе-
раторы R' и R" не совпадают.
Обсудим факт существования двух различных операторов,
описывающих одно и то же вращение. То, что вращение на 2л
кет-вектора не дает в результате тот же вектор, не ведет к прин-
ципиальным трудностям, если только это не приводит к наблю-
даемому эффекту. Ясно, что результаты эксперимента не из-
менятся, если заранее повернуть некоторые из приборов наблю-
дения на угол 2л; два тождественных прибора, занимая одно и
то же положение, дадут один и тот же результат. Следовательно,
если наблюдаемая Q представляет измеримую величину, то она
должна быть инвариантна при вращении на 2л; говоря более
общим образом, если выполняется вращение над Q, то полу-
ченная в результате наблюдаемая не должна зависеть от кон-
кретного выбора способа вращения
r'qr* = rqr"\
Инвариантность относительно «вращения на 2л» гарантирует
выполнение этого более общего свойства. Формально ее можно
записать как
Р, Q] = 0.	(63)
По определению, наблюдаемая является эрмитовым операто-
ром, имеющим полный набор собственных векторов. Каждый
оператор, представляющий физическую величину, должен быть
наблюдаемой — необходимое условие самосогласованности
квантовой механики. Однако совсем не обязательно, чтобы было
верно обратное. Будем называть физической наблюдаемой на-
блюдаемую, связанную с физически измеряемой величиной.
Предшествующий анализ показал, что любая физическая на-
блюдаемая должна удовлетворять1) соотношению (63). При
*) Все наблюдаемые физических систем, которые рассматриваются в этой
книге, удовлетворяют соотношению (63). Таким образом, между наблюдае-
мыми и физическими наблюдаемыми имеется лишь чисто академическое раз-
личие. Однако можно представить себе физические системы, для которых не
все наблюдаемые удовлетворяют соотношению (63); пример такой системы
имеется в задаче 15.
40
ГЛ. XIII МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
цзучении физической системы обычно неявно предполагают, что
все наблюдаемые системы являются физическими наблюдае-
мыми; хотя такое предположение часто упрощает обсуждение,
оно несущественно и может быть заменено на более ограничи-
тельное, без серьезных модификаций в интерпретации теории.
Соотношение (63) представляет одно из таких ограничений;
с другими мы встретимся при обсуждении тождественных ча-
стиц ’) •
Таким образом, существование полуцелых моментов им-
пульса не противоречит никаким принципам квантовой меха-
ники. Действительно, полуцелые моменты существуют в при-
роде.
§ 16. Неприводимые инвариантные подпространства.
Матрицы вращений Z?*-7*
Как установлено в конце § 5, выражение (60) показывает,
что любой оператор вращения есть функция компонент полного
момента импульса. Следовательно, векторы пространства ^(7),
построенного в § 5, преобразуются при вращении в векторы ^(7),
т. е. пространство ё(Г> инвариантно относительно вращений* 2).
Точнее, если \и> — произвольно выбранный вектор этого
пространства, то множество векторов /?|и>, получаемых из |и>
вращением, натягивают все пространство' ё(,\ Пространство,
обладающее этим свойством, называется неприводимым по от-
ношению к вращениям. Если же, напротив, 'в ^(7) существовал
бы по крайней мере один вектор | и) такой, что множество век-
торов 7?|и> натягивало ^(7) лишь частично, то ^(7) было бы при-
водимым по отношению к вращениям.
Неприводимость можно показать следующим образом.
Обозначим пространство, натянутое на векторы R | и), через
Тогда J+1 и) принадлежит ^Д так как
J+1 и) (Jx + Uy) | и) = | (1 - i + iRx (е) - Ry (е)) | и).
То же верно для J_|u>. Более того, любой вектор, полученный
применением 7+ или 1- к векторам <S(\\ принадлежит Рас-
смотрим разложение | и) = SmI JM) (JM |и) и обозначим m наи-
меньшее значение М, для которого </Af1 и> =/= 0. Следуя мето-
дам § 5, получаем, что /Дm | и) — ненулевой вектор, пропорцио-
) Общее обсуждение соотношений типа (63) и их следствий — правил су-
перотбора — приведено в статье G. Wick, A. Wightman, Е. Wigner. Phys. Rev.
88, 101 (1952). (При наличии русского перевода дается ссылка только на этот
йеревод. Прим, персе.)
2) Далее будем использовать заглавные буквы ], М для обозначения
квантовых чисел полного момента импульса.
§ 16. НЕПРИВОДИМЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА
41
нальный [77>; отсюда |77> принадлежит и поскольку по-
следовательным применением J- к |77>, мы получаем все со-
стояния |7А1>, они также принадлежат Следовательно,
содержит полный набор базисных векторов и, значит,
эти два пространства совпадают. *).
Как указано в § 6, пространство кет-векторов физической си-
стемы является прямой суммой некоторого числа (27 4~ ^-мер-
ных подпространств <§Г(т7). Напомним, что т представляет
собой набор квантовых чисел, которые позволяют различать
полные наборы квантовых чисел, соответствующие одному соб-
ственному значению J2. Каждое из подпространств <S (т7) яв-
ляется неприводимым и инвариантным по отношению к вра-
щениям. В стандартном представлении {J27z} компоненты /
в каждом из этих подпространств задаются простыми матри-
цами, не зависящими от т. Аналогично любой оператор враще-
ния /?(офу) выражается в каждом <S(xJ) некоторой (27 4- 1)-
мерной матрицей (офу), зависящей от J, но не зависящей
от квантовых чисел х. По определению:
Rmm' (а₽у) <т77И 17? (ару) | т7АГ> <7М | ^г^’у^г | jm').
(64)
Эти матрицы образуют особенно удобное представление опера-
торов 7?(аРу) и используются всякий раз, когда необходимо из-
менить ориентацию векторов состояния или наблюдаемых. Их
называют матрицами вращений. Основные свойства этих матриц
и явный вид некоторых матриц приведены в Дополнении В (раз-
дел IV).
Непосредственно из определения матриц вращения следует,
что (2/4-1) базисных векторов подпространства ё?(т7) преоб-
разуются при вращении Я (ару) по закону
R (ару) | х1М} = £ | xJM') R^M (а,Ву).	(65)
м’
Легко показать и обратное, а именно: если (27 4- 1) векторов
|пм> (М = — J, —J 4- 1, ..., 4-7) преобразуются при вращении
согласно закону
7? (ару) | им) — X I «лг) R(m'm (аРу),	(66)
м'
то они удовлетворяют уравнениям на собственные значения
Р\им) = Ц1 + 1)| им), 1г\им) = М]им)
и получаются один из другого действием операторов 7+ и 7_
в соответствии с соотношениями (24) — (25).
*) Знаком | отмечается конец доказательства. (Прим, ред.)
42
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
§ 17. Инвариантность относительно вращений
и сохранение момента импульса
Инвариантность некоторой величины относительно вращений
всегда может быть выражена как ее специальное свойство по
отношению к моменту импульса. Действительно, любое враще-
ние можно рассматривать как произведение бесконечно малых
вращений, а инвариантность данной величины .относительно
последних означает ее инвариантность и относительно всех вра-
щений. В силу соотношений (55) момент импульса фигурирует
в условии инвариантности относительно бесконечно малых вра-
щений.
Итак, для инвариантности волновой функции или кет-вектора
|> относительно вращений необходимо и достаточно, чтобы при-
менение к ним любой компоненты полного момента импульса
давало нуль
/|> = 0.
Фактически достаточно, чтобы выполнялось равенство
J2|) = 0.	(67)
Этим свойством обладают, например, волновые функции частицы
в s-состоянии, которые зависят только от переменной г. Другой
пример — волновые функции нескольких частиц, зависящие
только от расстояний между частицами и от углов между ра-
диусами-векторами частиц1).
Для того чтобы наблюдаемая S была инвариантна относи-
тельно вращений (условие (53)), необходимо и достаточно,
чтобы она коммутировала с компонентами момента импульса
[/, S] = 0.	(68)
Инвариантность гамильтониана относительно вращений за-
служивает особого рассмотрения. Если для любого R
[R,H] = 0,	(69)
то уравнения движения инвариантны относительно вращений:
два вектора состояний, из которых данное вращение преобра-
зует один в другой в момент времени t0, будут связаны тем же
соотношением во все остальные моменты. Это очевидно, по-
скольку, если |ф(0> удовлетворяет уравнению Шредингера, то
для любого R имеем
(/^4 - я) R | ф (0> = R (/ft - я) I Ф (/)> = О
’) Это свойство можно сравнить с равенством (I + I') Pi (cos а) =0, воз-
никающим при доказательстве теоремы сложения (задача 5).
§ 17. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИИ
43
и, следовательно, 7?|ф(0> также является решением уравнения
Шредингера.
Аналогично, если | > — собственный вектор И, то все век-
торы вида R | >, которые могут быть получены вращением дан-
ного, также являются собственными векторами Н, отвечающими
тому же собственному значению. Другими словами, подпро-
странство каждого собственного значения Н инвариантно отно-
сительно вращений.
Все следствия инвариантности уравнений движения относи-
тельно вращений можно получить из соотношений
[J, Я] —0,	(70)
выражающих инвариантность Н по отношению к бесконечно
малым вращениям.
При выполнении этих соотношений, операторы J2, ]г и Н по-
парно коммутируют, и решение задачи на собственные значения
значительно упрощается: достаточно найти собственные функ-
ции Н среди общих собственных функций J2 и Jz. Более того,
энергетические спектры, отвечающие данному значению J —
одни и те же, собственные функции, отвечающие (27 + 1) воз-
можным значениям М, получаются одна из другой последова-
тельным применением J+ или 7_. Другими словами, собствен-
ные значения энергии не зависят от М; каждому собственному
значению £/, соответствующему данному значению J, отвечает
одна или несколько серий (27+ 1) собственных векторов; век-
тора данной серии получаются друг из друга последовательным
применением 7+ или 7_ и натягивают неприводимое и инва-
риантное по отношению к вращениям подпространство. Такой
тип вырождения спектра энергии называется ротационным вы-
рождением.
Случай частицы в центральном поле (гл. IX) служит хоро-
шей иллюстрацией приведенного обсуждения. Гамильтониан ча-
стицы в центральном поле, очевидно, должен быть инвариантен
относительно вращений; непосредственно проверяется, что он
коммутирует с тремя компонентами момента импульса I. Ме-
тод, использованный в главе IX, и состоит в нахождении соб-
ственных функций Н среди общих собственных функций I2 и 1г,
отвечающих собственным значениям /(/+1) и m соответствен-
но, т. е. среди функций вида
хДг)г7(0. ф).
Задача сводится к решению обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка по г. Более того, поскольку m не
фигурирует в уравнении, то по каждой радиальной функции мы
можем построить (21 + 1) собственных функций Н, отвечающих
одному и тому же собственному значению.
44
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Как отмечалось ранее, мы имеем здесь удивительную анало-
гию между классической и квантовой механикой. Инвариант-
ность уравнений движения классической системы относительно
вращений координатных осей приводит к сохранению полного
момента импульса системы. Это свойство позволяет получить
первые интегралы движения и значительно упростить решение
уравнений. Точно так же инвариантность относительно враще-
ний уравнений движения в квантовой механике ведет к сохране-
нию полного момента; однако из-за некоммутативности компо-
нент момента импульса законы сохранения в этом случае выра-
жаются не столь просто.
Раздел IV. СПИН
§ 18. Гипотеза спина электрона
Теория Шредингера, вытекающая из простого применения
принципа соответствия, не может объяснить свойств сложных
атомов, даже оставляя в стороне релятивистские поправки. Не-
обходимы две важные модификации, причем ни одна из них не
имеет каких-либо аналогий в классической механике, которые
позволили бы предсказать их существование. Одна из этих мо-
дификаций заключается в выборе только тех решений уравне-
ния Шредингера, которые обладают определенными свойствами
симметрии относительно перестановки координат электронов.
Это требование известно как принцип Паули и будет рассма-
триваться в главе XIV; при нижеследующем изложении оно мо-
жет быть опущено. Другая модификация — гипотеза спина элек-
трона.
Основное экспериментальное подтверждение этой гипотезы
следует из анализа поведения сложных атомов в магнитном
поле (эффект Зеемана, эксперимент Штерна — Герлаха).
Уравнение Шредингера для атома с Z бесспиновыми элек-
тронами уже было приведено выше (ур. (11.30)). Если считать
ядро бесконечно тяжелым, а его положение совпадающим с цен-
тром масс, то гамильтониан в системе центра масс имеет про-
стой вид
я.-е(4-4)+Х|Ат-	™
(-1	1 KI 1 1	11
Для того чтобы получить гамильтониан того же атома, поме-
щенного в статическое магнитное поле, которое описывается по-
тенциалом Л (г), достаточно заменить в выражении (71) каждое
pi на р, — eA(fi)/c. В частности, для постоянного магнитного
§ 18. ГИПОТЕЗА СПИНА ЭЛЕКТРОНА
45
поля Ж Л = у(^Хг) и
(р--^А)2 = р2-^(А-р + р.4)+^-А2 =
= p2_±(^.Z) + ^_^
где г2,— квадрат проекции г на плоскость, перпендикулярную
полю Ж. Тогда получаем
z
1-1
L—полный момент импульса Z электронов: L = Si (ri X Pi)-
Для явлений, которые мы будем рассматривать, вклад третьего
члена в этом выражении для гамильтониана пренебрежимо
мал !). Итак, с очень хорошей точностью имеем
Я=Яо--^да.	(72)
Мы получили такой ответ, как если бы каждый электрон, вра-
щаясь по своей орбите, индуцировал магнитный момент
пропорциональный своему моменту импульса с константой про-
порциональности (гиромагнитное отношение), в точности рав-
ной величине е!2тс, которую дает классическая теория этого
эффекта. При такой интерпретации полный магнитный момент
атома равен сумме Z индивидуальных магнитных моментов, т. е.
и энергия атома в поле Jif отличается от его энергии при отсут-
ствии поля на величину магнитной энергии — (ЛЖ).
Ряд замечательных свойств можно получить просто из рас-
смотрения выражения (72), если принять во внимание, что Но,
будучи инвариантным по отношению к вращениям, коммутирует
с каждой из компонент оператора L.
’) Этот член играет основную роль в атомном диамагнетизме. Зная, что
(г2) ~ 10-16 см2, можно оценить порядок его величины (Ze2/\2mc2)3^2(r2).
Отношение этой величины к расстоянию между уровнями eti36!2mc, которое
будет получено в дальнейшем, порядка 10-9Zj^ (гаусс), что пренебрежимо
мало даже для очень сильных полей и очень тяжелых атомов. Поэтому отбра-
сывание этого члена не может быть ответственным за приведенные далее рас-
хождения теории и эксперимента.
46
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Рис. 2. Эффект Зеемана для
.D-состояния (L — 2); слева —
уровень энергии при нулевом
поле, справа — уровни энергии
при Ж =/= 0.
Направим вектор Зв по оси z. Операторы 77О, L2 и Lz имеют
общий набор собственных векторов |nLAl>, а соответствующие
собственные значения Но, E%L не зависят от М и (2Л + ^-крат-
но вырождены1).
Согласно равенству (72) Н является функцией Но и Lz и,
следовательно, имеет тот же набор собственных векторов, а соб-
ственное значение оператора Н, от-
вечающее вектору \nLM), равно
EnLM М\къ3в, (73)
где мы положили
Нв = -^7 (магнетон Бора). (74)
Так как М может принимать все це-
лые значения от —L до -\-L, то
каждый уровень E^L под действием
магнитного поля Зв расщепляется
на (2Z--J-1) различных эквидистант-
ных уровней, распределенных по
закону (73). Итак, мы можем сделать следующие теоретиче-
ские предсказания (рис. 2):
(i)	каждый уровень EqL атомного спектра в постоянном маг-
нитном поле Ж расщепляется в «мультиплет» из (2L + 1) экви-
дистантных уровней;
(ii)	уровни располагаются по обе стороны от £^L таким об-
разом, что их среднее расстояние от £qL равно нулю;
(iii)	расстояние между двумя соседними уровнями равно
\^иЗв— величина, не зависящая от рассматриваемого атома и
пропорциональная Зв.
Эксперимент лишь частично подтверждает эти теоретические
предсказания. Имеется два важных отклонения:
а)	в атомах с нечетным Z все мультиплеты четные и дело
обстоит так, как если бы L было полуцелым;
б)	расстояние между соседними уровнями в одном мульти-
плете равно £\х.вЗв, где множитель g (множитель Ланде) ме-
няется в зависимости от мультиплета в довольно широких пре-
делах.
') Кратность вырождения больше, если несколько собственных значений
случайно совпадают, как в атоме водорода. Допустим, что EqL = EqL' , тогда
кратность равна (2L + 1) + (2L' + 1) и необходимо несколько изменить даль-
нейшие рассуждения. Однако выводы останутся справедливы, если всюду L
заменить наибольшей из двух величин L и L'. В частности, утверждение о
том, что каждый «мультиплет» Зеемана содержит нечетное число эквидистант-
ных уровней, не меняется.
§ 18. ГИПОТЕЗА СПИНА ЭЛЕКТРОНА
47
Существование полуцелого момента импульса непосред-
ственно устанавливается в эксперименте Штерна — Г ёрлаха
(§ I. 10). Поскольку почти все атомы, составляющие пучок, на-
ходятся в основном состоянии, число наблюдаемых на экране
пятен равно кратности вырождения основного состояния. Для
атомов серебра мы наблюдаем всего два пятна, следовательно,
основное состояние атома серебра двукратно вырождено, что
соответствует моменту импульса ’/г- В более общем случае
атомы с нечетным Z всегда дают четное число пятен — резуль-
тат, характеризующий полуцелый момент импульса.
Свойства а) и б) встречаются вместе при изучении аномаль-
ного эффекта Зеемана; спектральные данные позволяют в об-
щем случае одновременно определить кратность состояний, ме-
жду которыми происходят оптические переходы, и соответствую-
щие g — множители Ланде.
Чтобы устранить эти затруднения, необходимо ввести полу-
целый момент импульса и гиромагнитные отношения, отличные
от е^тс. Все это очень просто осуществляется, если принять
гипотезу спина электрона (Уленбек и Гоудсмит, 1925):
Каждый электрон обладает внутренним моментом импульса
или спином s, равным l/2h (спин 1/2), с которым связан магнит-
ный момент
=	(75)
где gs — определенная константа. Согласие теории с экспери-
ментом достигается, если положить
gs«2.	(76)
Релятивистская теория электрона (гл. XX) позволяет вы-
вести это значение gs.
Эксперименты показывают, что нуклоны (протоны и ней-
троны) та-кже обладают спином '/г, который можно определить
непосредственным измерением связанного с ним магнитного мо-
мента ’).
В оставшейся части этого раздела мы изложим нереляти-
вистскую теорию частиц спина '/2 (теорию Паули).
’) Если обозначить магнитный момент, спин и массу протона цр, sp и Мр
соответственно, то имеем (см. ур. (75))
е
*р~8р'ЫЛ^'8р-
Аналогичная формула справедлива и для нейтрона. Эксперимент дает gp ~
= 5,59 и gn — —3,83.
48
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
§ 19. Спин ’/г и матрицы Паули
Пусть s — оператор внутреннего момента импульса (или
вектор спина) частицы спина 1/2. Согласно гипотезе собственное
значение s2 равно s(«+ 1) = 3/<- Каждая из компонент, напри-
мер s2, может принимать одно из двух значений +*/2 или —*/г-
Будем предполагать эти собственные значения невырожден-
ными. Следовательно, компоненты s будут операторами в про-
странстве двух измерений, где в качестве базисных векторов
можно выбрать два собственных вектора операторов s2 и sz
В этом базисе легко выписать матрицы, соответствующие
операторам sx, sg, sz. Это будут конкретные матрицы Jx, Jy, Jz,
матричные элементы которых определяются уравнениями (28).
Кроме коммутационных соотношений для момента импульса,
компоненты s удовлетворяют следующим замечательным соот-
ношениям:
4==4=='sz = Z’ s+==s-==0-
Поскольку
S+ = («х + iSyY = (4 - 4) + 1 (S*Sy + V*)’
получаем
SjSj, + sysx — 0.
Следовательно, операторы sx, sy, sz попарно антикоммути-
руют ’)•
Удобно ввести матрицы Паули а = (ах, ау, oz)
s =	(77)
явный вид которых следующий:
»«-(? :)• ’.=с	<>.=(; _?)•
Перечислим основные свойства этих матриц, которые следуют
из их определения и легко проверяются, если воспользоваться
Два оператора А и В антикоммутируют, если АВ -J- ВА = 0,
§ 19. СПИН Чг И МАТРИЦЫ ПАУЛИ
49
ИХ ЯВНЫМ ВИДОМ,
= = =	(78)
= — ОуОх = iaz,	(79а)
оу<гг = — огоу = i^x.	(796)
агах = — ахаг = laу,	(79в)
axasa2 = i,	(80)
Trax==TrCTg = Tr<Tz = 0,	(81)
det <тх = det ffj, — det аг = — 1.	(82)
Справедливо важное тождество (задача 9)
(<тД)(<тВ) = ИВ)+ йт(АХВ),	(83)
где А а В — два произвольных вектора ')•
Поскольку s есть момент импульса, то оператор 7?и51 (ф), пре-
образующий векторы данного пространства при вращении $?«(<р),
равен, согласно формуле (58),
R(u (ф) = е 2 *Ф0“,
где ou ss (п«) • Раскладывая экспоненту в ряд и суммируя по
отдельности члены четные и нечетные по аи, а также используя
равенства (см. ур. (83))
а2р=1(	а2р+1 = <уиг
получаем простое выражение
Ra ’ (ф) = cos у ф — Z(Te sin у ф.	(84)
Отметим, что оператор вращения на 2л равен —1, в соответ-
ствии с результатами § 15.
Оператор, отвечающий вращению 5?(аРу), в силу формулы
(60) равен
R{s> (ару) = е"^ 1а°ге~^	‘У°г.	(85)
Его явный вид можно вычислить тем же способом, что и для
Й?«(ф), ответ приведен в Дополнении В (формула (В. 74)).
Векторы рассматриваемого здесь пространства аналогичны
векторам обычного пространства. Последние представляют со-
’) Они могут быть также векторными операторами, при условии, что их
компоненты коммутируют с о. В этом случае необходимо сохранить порядок
следования А и В в правой части тождества. Например,
(or) (ffp) — (гр) + ia (г X р).
50
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
бой геометрические объекты с тремя компонентами, которые
при вращениях преобразуются друг через друга по определен-
ному закону. Такую же ситуацию мы имеем и для рассматри-
ваемых здесь векторов (закон преобразования (85)), за исклю-
чением того, что они имеют две компоненты вместо трех. Эти
двухкомпонентные объекты называют спинорами.
§ 20. Наблюдаемые и волновые функции частицы
спина */2. Спинорные поля
Рассмотрим частицу спина ’/2. Основные наблюдаемые такой
частицы можно разбить на две категории: орбитальные пере-
менные и внутренние, или спиновые, переменные. Первыми яв-
ляются компоненты координаты г и импульса р; они удовлетво-
ряют коммутационным соотношениям (Й = 1)
ki, р/] = г6Ф
Вторыми являются компоненты спина, удовлетворяющие ком-
мутационным соотношениям
к/1 S/1 = teijkSk>
и, кроме этого, дополнительному условию s2 = 3/4.
Поскольку орбитальные переменные коммутируют со спино-
выми, пространство векторов состояний частицы <S является
тензорным произведением
S = #«» ®
орбитального пространства и спинового пространства
(ср. § VIII. 7). Здесь ^(0) — пространство состояний бесспино-
вой частицы, a ^(s) — двумерное пространство, построенное
в предыдущем параграфе.
Для описания векторов пространства <S обычно выбирают
представление с диагональными г и sz. Вектор состояния |ф>
в таком представлении задается волновой функцией
ф(г, p,)s= (пП ф),	(86)
которая является функцией непрерывной переменной г =
== (х, у, г) и дискретной переменной ц, представляющей соб-
ственные значения sz и равной ±1/2.
Полный момент импульса частицы равен
j^l + s.	(80
Основные наблюдаемые системы — компоненты трех векторов г,
р, s. Ясно, что / удовлетворяет коммутационным соотношениям
(57), характеризующим полный момент импульса, так как I =
§ 20. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ЧАСТИЦЫ СПИНА </а
51
== г х р удовлетворяет им и коммутирует с s, a s тоже удовле-
творяет этим соотношениям и коммутирует с г и р.
Теперь можно получить оператор вращения 7?(а(3у) (ур.
(60)). Коль скоро Z и s коммутируют, то он равен произведению
двух коммутирующих операторов
R (сфу) = 7?<s> (ару) Р(0) (ару),	(88)
где 7?(s)(aPy) определено уравнением (85) и вращает спин,
а /?(0)(аРу) определено выражением
/?«”(ару) = е-^е-,^е-*^
и вращает орбитальные переменные.
При вращении на 2л, 7?<П) = 1, a /?(s> = — 1 и, следовательно,
все кет-векторы при таком вращении меняют знак. Однако все
основные наблюдаемые при вращении на 2л не изменяются и,
как было показано в § 15, трудностей в их физической интер-
претации не возникает.
Часто бывает удобно использовать обозначение
ф(г, ± 4) == (г)
и записывать волновую функцию ф(г, р.) в виде двухкомпонент-
ной волновой функции
Для каждого значения г функция ф определяет кет-вектор
в пространстве ^(s), а именно
. (НФ) (г)| +> + Ф_ (г)| ->.	(89)
Другими словами, волновую функцию можно рассматривать как
спинорное поле1).
Рассмотрение системы Z частиц спина у2 производится со-
вершенно аналогично. Пространством состояний системы яв-
ляется тензорное произведение пространств состояний отдель-
*) При вращении 5? (ару) спинорное поле ф преобразуется в
fl
<я[ф] = /М, = /Л2
Ф+(# г)\
ф_ (3?“’г) /
что является непосредственным следствием (88);	2' — матрица вращений,
соответствующая J — '/3. Можно сравнить этот закон преобразования с фор-
мулой (47) для скалярного поля. Существует аналогичная формула для век-
fl)
торного ноля с вместо У?'2'' (см. § 21).
52
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
них частиц. Так, спиновое пространство есть тензорное произ-
ведение Z индивидуальных спиновых пространств и имеет раз-
мерность 2Z. Для каждого спина вводится система матриц Паули
о<‘>. Вращение всех спинов как целое можно выполнить, исполь-
зуя полный спин
z
s =	(90)
i-t
Вращение на 2л системы спинов задается оператором (—l)z.
§ 21. Векторные поля и частицы спина 1
Полезно подчеркнуть параллель между понятием спинорного поля и
более известным понятием векторного поля.
Пусть А (г) —векторное поле, связанное с физической системой. Им может
быть, например, магнитное или электрическое поле или, как мы увидим ниже,
волновая функция частицы спина 1.
Рассмотрим как преобразуется А (г) при вращениях. Пусть А'(г)—поле,
которое получилось из А (г) в результате вращения 5? физической системы
А' » 3? [А].
Поле А' в точке т получается вращением 5? вектора А(п), задающего поле А
в точке Г1 s Я~1т, т. е. (см. ур. (43) и (47))
А, (г) = ^цА] (Я~'г) (i = х, у, г).
Так, для вращения на угол а вокруг Oz находим (см. ур. (44))
Д' as Яг (a) [A], ri в (х cos а + у sin а, — х sin а + у cos а, г),
А' (г) = Ах (rj) cos а — Ау (rj sin а,
A'y (г) = Ах (г,) sin а + Ay (r() cos а,
А' (г) = Аг(П).
В частности, инфинитезимальное вращение на угол е вокруг Oz дает
Я2(е)[А] = (1-«8(/2 + зг))А,	(91)
где lz — определенный выше дифференциальный оператор, a s2— оператор,
определяемый равенством
/АХ(Н\ (~1Ау(г)\
sz I Ay (<) 1 = (	^х(г) |.
\Аг(г)7	\	0	7
Оператор Sz преобразует каждую компоненту поля в данной точке в некото-
рую линейную комбинацию трех компонент поля в той же точке. Если поле А
определяется тремя декартовыми составляющими Ах, Ау и Аг, то задается
матрицей
/0 -j 0\
s, = | i 0 0 ).
ко 0 07
§ 81. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ЧАСТИЦЫ СПИНА 1
53
Аналогично определяются операторы sx и sy, их матрицы имеют вид
/00	0\	/ о	о
Sx = | о	О	— Z I,	su	=	|	0	0	0 1,
ко	i	oJ	\-i	о	о)
Легко показать, что sx, sy,	sz	удовлетворяют	коммутационным соотношениям,
характеризующим компоненты момента импульса. Обозначим этот момент че-
рез а; вычисляя его квадрат, получаем
а2 = 2,
что соответствует моменту импульса а = 1. По определению, будем называть
s — внутренним моментом или спином векторного поля.
Поле А (г) может описывать частицу спина 1. Обозначим
А, (г) s=s А (г, i) (I = х, у, г),
где А (г, i) — волновая функция, зависящая не только от координат частицы,
но и от индекса i, который может принимать три значения и представляет
внутреннюю переменную, описывающую ориентацию частицы. Скалярное про-
изведение таких волновых функций равно
(В, А) = У jj В* (г, 0 А (г, i) dr = jj (В*  A) dr.	(92)
I
Оператор I действует только на пространственные координаты, в то же
время а действует только на внутренние переменные. Ясно, что операторы t
и а, действуя иа разные переменные, коммутируют. Оператор инфинитезималь-
ного вращения вокруг осн z определяется уравнением (91), аналогично полу-
чается оператор инфинитезимального вращения вокруг любой другой оси; ис-
пользуя определение (55), находим полный момент импульса частицы (см.
ур. (87))
j m I + 3.
Верио и более общее утверждение: любое линейное преобразование век-
торного поля можно представить как действие некоторого линейного опера-
тора, который выражается в виде функции от трех основных операторов
г, р = — «V, з.
В частности, справедливо важное тождество
rot s sp,	(93)
которое легко проверить, пользуясь определением ротора и явным видом мат-
риц Sx, Sy, Si.
Понятия скалярного произведения, вращения, линейного преобразования,
не зависят от выбранного представления. Волновая функция А (г, j) задает
динамическое состояние частицы в представлении, где базисные векторы вну-
тренней переменной соответствуют единичным векторам вдоль каждой из трех
осей Ох, Оу, Ог; эти базисные векторы |х), |у), |z) являются собственными
векторами операторов sx, sy, sz соответственно, с собственным значением 0 (см.
задачу 10). Часто удобнее использовать представление, где базисными векто-
рами являются собственные векторы оператора sz, |+), |0), |—) с собствен-
ными значениями 4-1, 0, —1 соответственно; они получаются друг из друга со-
гласно закону, определенному в § 6. В этом представлении sx, sy и sx за-
даются матрицами, которые удовлетворяют соотношениям (28) (с j = j' — 1),
а связанный с векторным полем А кет-вектор |А) задается волновой функцией
А (г, ц) б Ац (г) (р = +, 0, —).
54
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Согласно определению (ср. ур. (89))
(г | Д) А+ (г) 1+) + До (г) 10) + А- (г) | -)
имеем
Д+ =----(Дх — гДу)> До — Дг> Д- — (Дх + (Ду)-	(94)
§ 22. Зависящие от спина взаимодействия в атомах
Вследствие существования внутреннего магнитного момента
гамильтониан электрона в электромагнитном поле содержит
члены, зависящие от спина.
В частности, в присутствии магнитного поля^ (г) в гамиль-
тониане появляется слагаемое, которое описывает прямое взаи-
модействие и получается из принципа соответствия,
— рЖ (г) ss — рваЖ,
где ц — внутренний магнитный момент, определяемый уравне-
ниями (75) — (76).
Это не единственный дополнительный член. Даже в случае
чисто электростатического потенциала должны существовать
члены спин-орбитального взаимодействия, поскольку при дви-
жении в таком потенциале в системе, движущейся с электроном,
имеется магнитное поле, взаимодействующее с ц. Это класси-
ческое рассуждение может служить указанием для эмпириче-
ского определения спин-орбитального взаимодействия. Однако
поскольку речь идет о релятивистском эффекте (стремящемся
к нулю в пределе v <С с), предпочтительнее исходить из реляти-
вистского уравнения для электрона. Вид спин-орбитального
взаимодействия из этого уравнения можно получить, выполняя
разложение по параметру v/c и сохраняя ненулевые члены низ-
шего порядка. Эта задача будет исследована в главе XX. Спин-
орбитальное взаимодействие для сферически-симметричного по-
тенциала, очевидно, инвариантно относительно вращений и,
следовательно, коммутирует с тремя компонентами полного мо-
мента импульса /. Релятивистская теория дает выражение
Л2 \ 1 dV	/пс.
2m2c2 № г dr ’
По тем же причинам гамильтониан Но для Z электронов
сложного атома содержит спин-орбитальные члены в дополне-
ние к кулоновским, приведенным в ур. (71). Дополнительные
члены коммутируют с полным моментом импульса
/ = L + S,
но в отличие от остальных членов Но они не коммутируют с L
и S по отдельности. Более того, хотя вклад этих членов в пол-
ную энергию относительно мал (исключая самые тяжелые
§ 23. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ СПИНА НУКЛОН-НУКЛОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 55
атомы), их присутствие качественно изменяет атомный спектр —
устраняет вырождение и, следовательно, ими никогда нельзя
пренебрегать!).
Гамильтониан И атома в постоянном магнитном поле Ж по-
лучается из гамильтониана Но без внешнего поля тем же спосо-
бом, что и в § 18, и добавлением членов прямого магнитного
взаимодействия — У, pl'W. Если пренебречь, как и в уравнении
i
(72) для теории без спина, «диамагнитным членом» то
получим
H = Hq-^[^.(L + 2S)].	(96)
§ 23. Зависящие от спина нуклон-нуклонные
взаимодействия
В качестве второго примера зависящих от спина взаимодей-
ствий рассмотрим взаимодействие двух нуклонов, нейтронов или
протонов. Пусть Мо — масса нуклонов, г = rt — г2 — их отно-
сительная координата, p = 1/2(pi—рг) —относительный им-
пульс, */201 и */202 — соответствующие спины. Движение центра
масс и относительное движение полностью разделяются. Рас-
сматриваемые ниже динамические переменные и динамические
состояния относятся исключительно к относительному движе-
нию. Орбитальный момент импульса равен
£ = г X Р,
полный спин
S=y(<rj + a2)	(97)
и полный момент импульса
J = L + 3.	(98)
Гамильтониан имеет вид
Н = -^- + V.
ма
Чаще всего используются четыре типа взаимодействий, которые
инвариантны, относительно вращений
V, (г),	(99а)
V2 (г) (о^г),	(996)
V3(r)(LS),	(99в)
V4(r)[3-^ir)/2r) -ою2].	(99г)
’) Следовало бы также упомянуть об изменениях, вызванных существо-
ванием магнитного момента у ядер атомов (сверхтонкая структура).
56
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
В трех последних выражениях зависящие от спина операторы
записаны в их традиционном виде. Можно записать их и по-дру-
гому. Так, возводя обе части (97) в квадрат и используя тожде-
ство
О2=О2 = 3,
получаем
oio2==2S2-3,	(100)
а возводя в квадрат обе части (98), получаем
£S = l(/2-£2-S2).	(101)
Наконец, из ур. (97) имеем
(Sr)2 = 1 [(ojr) + (<т2г)]2 == [(<Т1Г)2 + (о2г)2 + 2 (о^г) (о2г)] =
= y[(oriH(o2r) + r2].
Отсюда
(o1r)(o2r) = 2(Sr)2 —г2,
и, следовательно,
Sl2-3^-----------(МГ2	(102)
(юг7)
Оператор Si2 называется «тензорный оператор», а взаимодей-
ствие (99г)— «тензорные силы».
Если V — линейная комбинация взаимодействий типа (99),
то гамильтониан будет инвариантен относительно как враще-
ний, так и отражений (при отражении г и р переходят в —г и
—р, а операторы спина не меняются). Мы еще вернемся к свой-
ству инвариантности относительно отражений. Отметим только,
что если обозначить Р — оператор, который, действуя на -ф(г),
дает ф(—г), то его собственные функции будут обладать опре-
деленной четностью. Инвариантность относительно отражений
означает, что [Н, Р] = 0. Если гамильтониан обладает указан-
ным свойством, то его собственные функции можно искать среди
функций с определенной четностью.
Взаимодействия (99) расположены в порядке уменьшения их
симметрии.
Первое не зависит от спина. Второе коммутирует с £ и S по
отдельности: оно инвариантно не только по отношению к общим
вращениям, но и к вращениям только орбитальных переменных
или только спинов. Если V содержит лишь члены вида (99а)
и (996), то собственные функции Н можно искать среди общих
§ 24. ЗАДАЧА СЛОЖЕНИЯ
57
собственных функций L2, S2, Lz, Sz, и соответствующие собствен-
ные значения будут (2L + 1) (2S + 1)-кратно вырождены и не
будут зависеть от собственных значений Lz и Sz.
Если же V содержит также член вида (99в), то //.будет все
еще коммутировать с L2 и S2, но перестанет быть инвариантным
относительно независимых вращений пространственных коорди-
нат и спинов. Собственные функции Н в этом случае можно
искать среди общих собственных функций L2, S2, Р и Jz, а его
собственные значения будут иметь вращательное вырождение
только кратности (27 + 1).
Взаимодействие (99г) имеет наименьшую симметрию. Опе-
ратор S12 не коммутирует с L2. Однако он еще коммутирует с S2
(из выражения (102') для тензорного оператора видно, что
[S2, 312] =0). Если V содержит член вида (99г), то собствен-
ные функции Н можно искать среди общих собственных функ-
ций операторов Р, S2, Р и J2.
РазделУ. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ ИМПУЛЬСА
§ 24. Задача сложения
Во многих задачах гамильтониан инвариантен относительно
вращений и, следовательно, коммутирует с компонентами пол-
ного момента импульса. В этом случае мы ищем собственные
функции Н среди общих собственных функций Р и lz. При этом
важно уметь перечислять и строить векторы с определенным
моментом (//И).
В простом случае бесспиновой частицы в центральном поле
(гл. IX) полный момент импульса совпадает с орбитальным мо-
ментом I и собственные функции полного момента имеют вид
Х(г)УГ(6, ф). В общем случае J есть сумма моментов отдельных
частиц
J = Е h,
t
т. е. орбитальных моментов импульса и спинов частиц системы.
Метод построения собственных векторов индивидуальных
моментов известен. Так, для системы двух нуклонов, рассмо-
тренной в § 13, имеем
J = £ + |<t1 + 4<t2,	(103)
а собственные функции индивидуальных моментов импульса
имеют вид ф (г) У? (9, ф) | pi) | у,2), гДе Hi и Нг могут принимать
значения Ц-'/г или —'/2, в зависимости от направления спинов
58
ГЛ. ХШ. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
первого и второго нуклонов вверх или вниз соответственно. За-
дача сложения моментов импульса состоит в построении полной
системы собственных векторов оператора J из линейных ком-
бинаций этих функций.
§ 25.	Теорема сложения двух моментов импульса
Простейшей задачей является сложение двух моментов.
Предположим, что
J — и + /2,
где /1 и /2 — моменты импульса систем 1 и 2, которые вместе
образуют исследуемую систему, и предположим, что построена
полная система общих собственных векторов
|a/i/2mim2>	(104)
операторов j2, j2, jlz и j2z. Параметр а обозначает дополни-
тельные квантовые числа, которые необходимы для полного оп-
ределения динамического состояния, или, если угодно, собствен-
ные значения наблюдаемых А, образующих с j2, j2, j и j2z
полный набор коммутирующих наблюдаемых; А коммутируют
также с компонентами /1 и /2. Предположим к тому же, что век-
торы (104) образуют стандартный базис по отношению к мо-
ментам импульса 1 и 2. Каждому набору квантовых чисел
(а/1/2) соответствует столько векторов, сколько имеется раз-
личных пар (mim2); эти векторы получаются один из другого
последовательным применением операторов /1+ и /2± по форму-
лам § 6 и натягивают подпространство <!?(а/1/2) размерности
(2/1 + 1) (2/2+ О-
Отметим, что A, j2 и j2 коммутируют с J. Поэтому будем
искать собственные векторы J2 и /г среди общих собственных
векторов этих операторов, а значит каждое из подпространств
(^(а/1/2) можно рассматривать независимо. Возьмем произволь-
ное S и для упрощения записи обозначим векторы \aj1j2tn1tn2')
этого подпространства |mi/n2>, а собственные векторы полного
момента импульса, находящиеся в этом подпространстве, | JM>
(предполагая, что задание J и М достаточно для определения
вектора | JM), в дальнейшем покажем, что это так).
В этом параграфе мы определим возможные значения пар
(JM) и соответствующий им порядок вырождения. Построение
собственных векторов будет обсуждаться в § 27.
Решение нашей задачи основано на следующих двух замеча-
ниях:
(а)	Каждый вектор |mim2> является собственным для /л
с собственным значением
М = mi + /и2.
§ 25. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДВУХ МОМЕНТОВ ИМПУЛЬСА
59
Действительно, поскольку 7г =/и 4-/га, имеем 7z|/ni/n2> =
= (mi 4- т2) \т1т2').
(б)	Каждому значению J соответствует некоторое число
7V (7) линейно независимых серий из (27 4- 1) собственных век-
торов полного момента импульса; векторы данной серии полу-
чаются один из другого последовательным применением 7+ или
J- и соответствуют (27 4-1) возмож-
ным значениям М:—J,—7-J-1,	-4-7.
Отсюда следует1), что если обозна-
чить п(М) кратность собственного зна-
чения М, то
п(М) = £ JV(7)
/>|М|

и
N (J)	п(7 4~1)-	(Ю5) рис з Возможные значе-
ния М = mi + т2 и их крат-
Тем самым для определения N(J) до- ность л (М) (/> = 7/2,/2 = 2).
статочно найти п(М) для каждого воз-
можного значения М. Согласно замечанию п(М) равно числу пар
(m\tn2) таких, что
М = mi 4- m2.
Для определения этого числа удобно использовать диаграмму
рис. 3, на которой каждая пара (mi 4- tn2) представлена точкой
с абсциссой mi и ординатой т2. Число п(М) равно числу точек,
расположенных на прямой х у = М. Пусть для определен-
ности ji > /2, тогда находим
' 0,	если
п (М) = Л 4- /2 + 1 — I М |, если
2/2 + 1,
если
I -М | > /1 4- /*2,
/1 + /2 I -М | | h — /2 |,
I /1 - /2|>1 М |> 0.
Подставляя эти значения в (105), получаем
ЛГ (7) = 1 для 7 = /1 4- /2, /14-/2 — 1, .... |/1 — /21.
Отсюда следует основная теорема сложения:
В (2/1 4- 1) (2/2 4- I)-мерном пространстве, натянутом на
векторы \ajij2mim2) (a, jij2 фиксированы, mi, m2 меняются):
(i) возможные значения J равны2)
/14- /г, /14-/2 — 1, • • • > 1/1 — /21;
’) Такие же рассуждения уже использовались в задаче о трехмерном гар-
моническом осцилляторе (§ XII. 15).
г) Другими словами, / принимает все значения, для которых fa + /2 + / —
целое и /1, /2 и J могут рассматриваться как длины сторон треугольника.
60
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
(ii) каждому из этих значений отвечает одна и только одна
серия из (2J+ 1) собственных векторов | JM) полного момента
импульса.
§ 26.	Приложения и примеры
Вначале отметим очевидное следствие теоремы сложения.
Полный момент импульса, получающийся сложением произволь-
ного числа моментов, будет целым или полуцелым в зависимо-
сти от того, четно или нечетно число полуцелых моментов им-
пульса в сумме.
Мы увидим, что это свойство выполняется во всех нижесле-
дующих примерах.
В качестве первого примера рассмотрим сложение двух
спинов Д.
Пространство состояний имеет размерность 4. Полный спин
5 может принимать два значения: 0 и 1.
Спину 5 = 0 соответствует только один вектор |00>: гово-
рят, что спин находится в синглетном состоянии.
Спину 5 = 1 соответствуют три вектора 11 1>, 11 0>, 11 —1>;
это векторы триплетного состояния.
Легко выписать проекторы Ро и Pi на синглетное и триплет-
ное состояния соответственно, как функции S2 или сгцгг- По-
скольку S2 = S(S + 1). S2 имеет собственное значение 0 в син-
глетном состоянии и 2 — в триплетном, отсюда (ср. с (100))
Р0=1-|«2=|(1-а1о2)
PI = ls2 = -|-(3-|-G1cr2).
Заметим, что
<r1O2 = Pi-3P0.	(106)
Второй пример — частица спина 1/2. Ее орбитальный
момент импульса и спин образуют полный момент /, который
может принимать два значения
/=(+4.
за исключением случая / = 0 («-состояние), когда / может при-
нимать только одно значение j = */2. Итак, / может принимать
все полуцелые значения, от 1/г до оо, и каждому из них соот-
ветствует два терма (две серии из (2/+ 1) векторов) противо-
положной четности.
В качестве последнего примера рассмотрим двухнуклон-
ную систему из §23.
В этом случае необходимо связать три момента импульса —
орбитальный момент и два спина (ур. (98)). Сложим вначале
§ 27. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ПОЛНОГО МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
61
спины, что дает полный спин 5, который имеет два возможных
значения 0 и 1. Затем свяжем 5 с моментом импульса L для
относительной координаты, который может принимать все це-
лые неотрицательные значения. Каждой паре значений (LS)
отвечает (25 + 1) (2L + 1) векторов, подходящие линейные ком-
бинации которых дают собственные векторы полного момента.
Согласно теореме сложения получаем следующие значения J:
синглетное состояние: S — 0 I — L;
( J — L—1, L, Z-+1, если L=+0,
триплетное состояние: S=1 j j_	если L_О
Для обозначения полученных термов используем следующие
спектроскопические обозначения: заглавная буква отвечает зна-
чению L в соответствии с принятым в § IX. 6 соглашением; ин-
декс слева вверху дает значение 25 + 1 (кратность полного
спина), а индекс справа внизу равен /. Например, 3D2 означает
терм с L = 2, триплетное состояние спина и полный момент
J — 2. Каждому значению J соответствуют 4 терма (т. е. всего
4(2/+1) векторов), исключение — значение / = 0, которому
соответствует только два терма. Ниже приводятся различные
термы, соответствующие четырем первым значениям:
/ = 0	3Р0	'So
J=1	3S!	3D(	3Pi	lPt
J = 2	3Р2	3F2	3D2	'D2
J = 3	3D3	3G3	3F3	lF3.
Те же обозначения часто используются и для рассмотрен-
ного выше случая частицы спина ]/2. Орбитальный момент обо-
значается строчной буквой — заглавными будет обозначаться
полный орбитальный момент системы многих частиц — индекс
слева просто опускается. Приведем термы, отвечающие первым
значениям /:
; — 1 А Л L
2222
SlPl	Рз^з	^5^5	fjSr'
22	22	22	22
§ 27.	Собственные векторы полного момента импульса.
Коэффициенты Клебша—Гордана
Каждой паре (JM), которая удовлетворяет условиям тео-
ремы сложения, соответствует собственный вектор \ajij2JM}
полного момента импульса. Для устранения произвола норми-
руем этот вектор на 1 и фиксируем его фазу подходящим усло-
вием, к обсуждению которого мы вернемся ниже. Векторы
62
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
|а/1/2УЛ1>, так же как и \aj1j2m1m2), образуют ортонормировап-
ный базис в подпространстве (а/1/2) • Переход от одного ба-
зиса к другому совершается посредством унитарного преобра-
зования
|a/i/2/M) = S I	<a/i/2mim2| а/1/2/М>.	(107)
Коэффициенты этого преобразования обладают очень важ-
ным свойством: они не зависят от а, а зависят только от вели-
чин ji, /2, /, mi, m2, М. Действительно, в подпространстве
<^(a/i/2) векторы |a/ij2/ni/n2> образуют базис стандартного
представления, в котором компоненты fr и /2 задаются матри-
цами, не зависящими от а (см. ур. (28)); следовательно, мат-
рицы, определяющие J2 и /г, также не зависят от а и компо-
ненты <aji/2/nim2|a/ij2/Af> их общих собственных векторов об-
ладают тем же свойством. Тем самым, они имеют чисто геоме-
трическое происхождение и зависят только от рассматриваемого
момента импульса и его ориентации, тогда как физическая при-
рода динамических переменных 1 и 2, из которых строятся мо-
менты, не существенна. Эти компоненты называют коэффициен-
тами Клебша — Гордана (К. — Г.) или коэффициентами век-
торного сложения. Мы будем обозначать их символом
</1/2^1^2рЛ1>. Используя это обозначение, соотношение (107)
можно записать так:
I ajtj2JM) = £ | a/, j2/ni/n2) </iJ2/ni/n21 JM). (108)
/П|7П?
Для полного определения коэффициентов К. — Г. остается
фиксировать фазы векторов |a/i/2/M>. Для относительных фаз
(27	1) векторов, отвечающих данному J, мы примем то же
соглашение, что и в § 6. Тогда эти векторы определены с точ-
ностью до фазы, зависящей от I. Мы устраним этот произвол
требованием, чтобы компонента |а/1/г//> вдоль la/1/2/1/—/1>
была вещественной и положительной
</1/2/1^ |//)>0.	(109)
Многие свойства коэффициентов К. — Г. следуют непосред-
ственно из их определения.
Согласно теореме сложения для отличия <j’i/2/ni/n2| JM) от
нуля необходимо, чтобы выполнялись одновременно условия
(правила отбора)
m\ + т2 = М, |/i — /21 J /1 + /2.
Ниже мы покажем, что все коэффициенты К. — Г., относя-
щиеся к данному значению J, могут быть получены посредством
рекуррентных соотношений с вещественными коэффициентами
из коэффициента </1/2/1/ —/1|7/>. Поскольку последний веще-
§ 27. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ПОЛНОГО МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
63
ственный, то и все остальные коэффициенты К- — Г. вещест-
венны.
Более того, поскольку это коэффициенты унитарного преобра-
зования, то они удовлетворяют соотношениям ортогональности
У, {id2mitn2 \JM) {hj2fnitn2\I'M') = д/7'дмлг, (110а)
Е I |	' U 106>
J/VI	1 ‘ z z
В простейших случаях линейные комбинации (108) можно
найти непосредственно. Отметим, что для / — /1 + /г и М = J
имеем
I a/i/2/i 4~ /2/1 + /2) — I “й/гй/г)-
Последовательное применение 7_	/]_ + /2- к обеим частям
этого уравнения дает все векторы |a/i/27M>, отвечающие 7 =
= Л + /г- Затем можно построить векторы серии 7 = /1 4~ /2 — 1,
используя оператор 7_ и начиная с вектора, соответствующего
М = J, который однозначно определяется условием на фазу
(109) и свойством ортогональности к | а/1/2/1 +/2/1 +/2 — 1>-
Таким образом, можно построить все серии собственных век-
торов.
При сложении двух спинов 1 /2 собственные векторы полного
спина можно построить таким же способом из собственных век-
торов |++>, Ц------>, |----И> и |---> операторов спинов от-
дельных частиц
3=1	3=0
М=1	|Ц> = | + +>
М = 0	| 10) = I+ -> + !-+> I 00) = 1 +
'	д/2
М=-1 | 1 -1) = |-------).
При сложении моментов импульса большей величины необ»
ходимо прибегнуть к более сложной технике. Можно устано-
вить различные рекуррентные соотношения (ур. (В. 18)—(В. 20)).
Например, применяя 7+ или /_ к обеим частям уравнения (108),
получаем (см. ур. (В.19) и (В.18))
V/ (7 + 1) - М (М + Щмгцт, | JM + 1) =
= V/i (/1 + 1) — тх — Wjliimi — lm2 \JM) +
+ V /2(7'2 4~ 1) — m2{m2 — lyjtizmw— 1 |/Af),	(111)
V/ (7 + 1) - M (M - 1)(1Л2тхт21 JM - 1) =
= V/1 (/1 + 1) — mx (mx 4- l)(/i/2m1 -J- lm2 IJM) -f-
4* V/2 (/2 4- 1) — m2 (m2 + 1)(/1 j2m i tn2 4- 1 I JM).	(112)
64
ГЛ. Х1П. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Если М — ], то левая часть (111) исчезает и видно, что все
коэффициенты </ij2Wi/«2 Jпропорциональны одному из них,
скажем </1/2/1/—/1| //>. Условие нормировки вектора | а/]/2Л)
(zLm.m, (/1/2^1т2| /7)2= 1) и соглашение о фазе (109) опреде-
ляет их полностью. Все другие коэффициенты К. — Г. можно
затем получить, последовательно используя рекуррентные соот-
ношения (112). Такой метод вычисления коэффициентов К. — Г.
для записи их в компактной форме (В. 21)1) применялся Рака.
Кроме уже упомянутых свойств, коэффициенты К- — Г. об-
ладают важными свойствами симметрии, которые значительно
упрощают табулирование. Вместе с основными свойствами ко-
эффициентов К. — Г. эти свойства симметрии приведены в До-
полнении В (раздел I), которое содержит также таблицу про-
стейших коэффициентов.
§ 28.	Приложение: система двух нуклонов
Для того чтобы рассмотреть применения теоремы сложения
угловых моментов, вернемся к системе двух нуклонов из § 23.
Мы будем исследовать уравнение Шредингера с различной фор-
мой зависимости потенциала от спина. Ограничимся рассмотре-
нием потенциалов (99).
Допустим, что потенциал имеет вид
У=У1(Г)+ 1/2(г)(О1<у2).
В этом случае гамильтониан коммутирует с L и S и собствен-
ные функции являются произведениями спиновых функций |Spi>
и функций от г с определенным орбитальным моментом (1m).
В силу тождества (106) потенциал имеет различный вид в за-
висимости от того, равно ли S нулю или единице. Таким обра-
зом, решение уравнения Шредингера эквивалентно решению
двух уравнений Шредингера для бесспиновой частицы в цен-
тральных потенциалах, которые отвечают двум возможным зна-
чениям S. Если S == 0, то орбитальная часть собственной функ-
ции та же, что и для бесспиновой частицы в потенциале
Vi — ЗКг! если же S = 1, то она та же, что и для частицы в по-
тенциале V] + Кг. Проблема определения собственных значе-
’) Для того чтобы провести это вычисление до конца, необходимо вос-
пользоваться полученным Рака тождеством
у (а + s)l (b - а)! (а + b + 1)! (а - с)! (b - d)l
2-1 (с + а)! (d-s)\ = (с + d)l (а + b - с - d + 1)!
S
(а, Ь, с, d — целые числа и а с 0, b d 0; з принимает все целые
значения от —с до +</),
§ 28. ПРИЛОЖЕНИЕ: СИСТЕМА ДВУХ НУКЛОНОВ
65
ний свелась к решению радиального уравнения для каждой
пары значений (LS).
Если потенциал имеет вид
V = Vt (г) + V2 (г) (O1ff2) + Е3 (г) (£S),
то гамильтониан не инвариантен относительно независимых
вращений пространства и спинов, но поскольку он все еще ком-
мутирует с L2 и S2, можно искать общие собственные функции
L2, S2, J2 и Jz- Каждому набору (LSJ) отвечают такие функции,
зависимость которых от углов 0, ср и от спинов.ых переменных
полностью определена и явно выражается с помощью коэффи-
циентов К. — Г.
^(г)%„
^у = Z YT (9, q>) I	{LSnqi | JM).
Так, три функции состояния Pi имеют следующую «угловую за-
висимость»:	_.ум|оо) —о> ±1). Пять функций состоя-
ния 3D2 имеют вид
^2=ЕГ?|1р.)<21/пр.|2Л1> (М = 0, ±1, ±2).
mil •
Действуя гамильтонианом на функции такого типа и используя
тождества (100) и (101), получаем
Г й2 1 d2 _ , й2 L (L +1) , „ -]1TfM
= [-	г +	----2--+ VLSу] Дезу,
где
VLSJ (г) - Vi (г) + [2S (S + 1) - 3] V2 (г) +
+ |[/(/+ 1) - L(L + 1) - S (5 + 1)] У3(г).
Таким образом, задача о решении уравнения Шредингера све-
лась к решению радиального уравнения
Г- -%-1X г + X L(>L + V + VLSJ (r)l F (г) = EF (г).
L Af0 r dr2 Mo r2	' ZJ	' '
Мы получили такую же задачу, как и в случае бесспиновой ча-
стицы в центральном потенциале с единственным отличием, что
«эффективный центральный потенциал» Еезу(г) зависит от три-
плета (LSJ) ’).
*) Для S — 0 спин-орбитальиые силы отсутствуют и при любых L и I
имеем
Аналогично, если S = 1 и L = J, то «эффективный потенциал» не зависит
От L
= +
3 А. Мессиа
66
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
В качестве последнего примера рассмотрим потенциал вида
V = Vc(r)+ VT(r)Sl2.
Из-за присутствия «тензорных» сил гамильтониан не коммути-
рует с L2, но продолжает коммутировать с S2 и оператором
«четности» Р, введенным в § 23. Следовательно, собственные
функции Н можно искать среди общих собственных функций Р,
S2, J2, Jz, т. е. среди функций с определенными значениями пол-
ного момента (JM), четности и спина 3.
Если 3 = 0, то обязательно L = J (а значит Р=(—l)z) и
собственная функция имеет вид Е(г)^%7. Так как S100> = 0,
то из (102') имеем
<Р)1 00> = 0.
Следовательно, F(r) удовлетворяет радиальному уравнению
для частицы с моментом J в потенциале Ес (г).
Если S = 1 и Р = (—l)z, то обязательно L = J и «угловая
зависимость» собственной функции, как и ранее, полностью оп-
ределена
^7 = 3(г)^7.
Можно показать (задача 11), что 512^^7 = 2^^7 и функция
Е(г) удовлетворяет радиальному уравнению для частицы с мо-
ментом импульса / в потенциале Ес (г) + 2Ет(г).
Если 3 = 1 и Р=(—1)/+1, то возможными значениями L
будут только J + 1 и J — 1 (если же J = 0, то имеется только
одно значение L= 1) и собственная функция имеет вид
где для упрощения записи мы использовали обозначения
«у±=^±117.Теперь 312, действуя на <V+ или на дает ком-
бинацию этих функций (задача 11), следовательно, выражение
(Я — Е)''¥ также будет линейной комбинацией этих функций с
коэффициентами, зависящими от г. Как следствие уравнения
(Я — E)W = 0, эти два коэффициента равны нулю, что приво-
дит к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка для F/-i(r) и FJ+i(r).
Выпишем в качестве примера систему связных радиальных
уравнений для 7=1. Этот случай встречается при изучении
дейтрона. Волновая функция является смесью состояний 3Si и
3Di и может быть представлена в виде
§ 29. СЛОЖЕНИЕ ТРЕХ И БОЛЕЕ МОМЕНТОВ ИМПУЛЬСА
67
Поскольку (задача 11)
Si2<Voii = -0Й/2П,
I2<VoIi = 0,
512^211 — ^/oil — 2^211,
^2(^211 — 6бУ2Н
(114)
H^-^---^-r + ^-+Vc(r) + VT (r)S12,
м0 r dr2 1 MQr2 c \ / i i \ r iz,
уравнение (Я —£)4f==0 эквивалентно системе уравнений:
[ТГ + Е - V- “s = V8 VT (г) uD,
[C G&- - 4)+E+2Vt (r) _ Vc (r)] Ud=Vt (r) Us-
§ 29. Сложение трех и более моментов импульса.
Коэффициенты Рака. «3s/»-символы
Двухнуклонная система, рассмотренная в § 28, представляет
собой пример системы, где полный момент импульса является
суммой трех индивидуальных моментов (ур. (103)). Мы смогли
разобрать этот простой пример без обращения к утонченным
методам. Исследуем теперь сложение трех моментов в общем
случае.
Предположим, что рассматриваемая система состоит из трех
различных систем, 1, 2 и 3 с моментами импульса ji, /2 и /3 со-
ответственно. Полный момент импульса тогда равен
I — /1 + /г + Уз-
Проблем а сложения заключается в построении собственных век-
торов полного момента в подпространстве, натянутом на
(2/1 + 1) (2/г + 1) (2/з + 1) собственных векторов
I a/i/2/3mim2m3)
отдельных моментов импульса, отвечающих определенным зна-
чениям квантовых чисел а, /ь /2 и /3. Квантовое число а, опре-
деляемое здесь так же, как и в § 25, в последующем изложении
несущественно и будет опускаться.
Существует несколько способов построения векторов с мо-
ментом импульса (JM):
(О Можно связать /1 и /2 (рис. 4, а), образуя момент J12 —
= /1 + /г, а затем связать и /3, образуя J. Таким образом,
68
ГЛ. ХШ. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
получаем собственные векторы
I (/1/2) / 12» /з> /М) =
= Е I/1/2/з^1/П2тз> (/i/2/nim2	(Лг/зМ^/Пз	(116)
7711ГП2
М12ГП3
общие для операторов /2, ft, ft, Jf2, /2 и Jz.
(ii) Можно связать /2 и /3 (рис. 4, б), образуя момент /23 —
= /2 + /з> а затем связать и /2з> образуя J. Таким образом,
получаем собственные векторы
171, (12/3)^23, /М) =
= Е I иг/з^^г^з) (/г/з^г^з I ^23^23) (/W23wi-^23(Н7)
общие для операторов ft, ft, ft, J^, J2 и Jz.
(iii) Можно связать ft и ft, образуя /13, а затем и /2, обра^
зуя J.
Итак, у нас имеется выбор между тремя различными наб©'
рами базисных векторов полного момента. В большинстве задач

Риг. 4. Способы сложения трех моментов импульса.
важно уметь переходить от одного базиса к другому. Преобра-
зование, которое осуществляет этот переход, является унитар-
ным. Например, имеем
171 , (/2/3) ^23, -44) —
== Е I (/1/2)/12, /3; JM) ((Л/г) /[2, /3/|/1, (/г/з)^/)- (ИЗ)
/12
Очевидно, коэффициенты этого унитарного преобразования не
зависят от а по тем же самым причинам, что и коэффициенты
К- — Г. Действуя операторами /+ или /_ на обе части (118),
легко видеть, что они не зависят также от М, а зависят только
от шести моментов: ft, ft, ft, Ji2, /23 и /.
Вместо непосредственного использования этих коэффициен-
тов более удобно использовать коэффициенты Рака W, или
§ 29. СЛОЖЕНИЕ ТРЕХ И БОЛЕЕ МОМЕНТОВ ИМПУЛЬСА
69
«6/»-символы Вигнера, которые пропорциональны им в соответ-
ствии с определениями
((/1/2) ^12> /V 1/1» (/2/3) ^23^)=
= V(2/12 + 1) (2/23 + 1) И7 (Л/г^/з, ^12^2з) =
= (-1/’+'’+'’+/ V(2/12 + 1) (2/гЗ + 1) { Ч И’
Из определения W ясно, что эти коэффициенты являются
суммами по индексам т четырех коэффициентов К. — Г. Исклю-
чая случай наиболее простых аргументов, непосредственное вы-
числение коэффициентов W чрезвычайно затруднительно; оно
заключается в вычислении большого числа коэффициентов
К. — Г., а затем в вычислении сложного выражения, построен-
ного из этих коэффициентов. Рака удалось получить обозримое
и приемлемое для работы выражение для W (формула (В.36)).
Существуют таблицы коэффициентов 1F для наиболее часто
встречающихся аргументов.
«6/»-символы отличаются от W только знаком. Они инте-
ресны в основном благодаря их замечательным свойствам сим-
метрии. Основные свойства коэффициентов W и «6/»-символов
приведены в Дополнении В (раздел II).
Рассмотренный выше способ сложения трех моментов им-
пульса может быть перенесен и на случай сложения большего
числа моментов
/ = /1 + /2+ ... + /«•	(119)
Складывая два любых момента: /, + /* = /<*, мы сводим за-
дачу к сложению (п — 1) момента, заменяя векторы /( и Д
в правой части (119) их суммой /,*. Повторяя эту операцию,
приходим к сложению (п — 2) моментов и т. д. Таким образом,
нам удается сложить п угловых моментов, вводя (и — 2) про-
межуточных момента. Так же строится и система базисных век-
торов полного момента импульса.
Выбирая различные промежуточные моменты, можно по-
строить несколько различных наборов базисных векторов. Мы
видели, что при п = 3 существует три набора. Можно показать,
что в общем случае существует х/2п\ наборов. Переход от од-
ного набора к другому осуществляется посредством унитарного
преобразования (с вещественными коэффициентами). Легко убе-
диться в том, что коэффициенты преобразования не зависят от
а и от М — собственного значения компоненты ]г оператора J,
а зависят только от квантовых чисел ], ji, j2, ..., jn и двух на-
боров из (п — 2) квантовых чисел, таких как 7ife, которые опре-
деляют длину промежуточных моментов, характеризующих каж-
дый набор базисных векторов: всего 1 + п + 2 (п — 2) =3(п — 1)
70
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
квантовых чисел j. Коэффициенты преобразования можно пред-
ставить в форме «3(п—1) p-символов, обобщающих «6/»-сим-
волы, введенные при сложении трех моментов, «3(п— 1)р-сим«
волы являются суммами 2(п—1) коэффициентов К. — Г. по
индексам т. Основные свойства «9/»-символов (символы для
сложения четырех моментов) приведены в Дополнении В (раз-
дел III),
Раздел VI.НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ *)
§ 30. Представление скалярных операторов
Если наблюдаемая инвариантна относительно вращений, то
и подпространство, соответствующее каждому из ее собствен-
ных значений, инвариантно. Это важное, свойство уже упомина-
лось в § 17. Там в качестве наблюдаемой рассматривался га-
мильтониан, но это свойство справедливо и для любой другой
скалярной наблюдаемой.
В более общем случае, скалярная наблюдаемая, даже не
будучи диагональной, в данном стандартном представлении за-
дается, как мы увидим ниже, особенно простой матрицей.
Пусть |т7Л1>— базисные векторы стандартного представ-
ления {1^1 г} (обозначения § 6), a S— скалярный оператор (не
обязательно наблюдаемая). По предположению,
[J, S] = 0.
Отсюда следует, что вектор	так же как |т' 1'М'у, яв-
ляется вектором с моментом импульса (/'Л!') и ортогонален
к любому вектору с другим моментом. Следовательно, матрич-
ный элемент <т7Л1|S |x'J'M'> равен нулю, если 7 =+7' или М =+
=+ М'. Более того, поскольку 7+ коммутирует с S, то при 7 = 7'
и М — М' имеем
(tJM |S|r'7A4>=
= [7(7+ 1) —Л4(ЛГ — 1)] 2 <т7М |S7+ |т'7Л4 - 1> =
__i_
= [7(7+ 1) - М(М - 1)] 2 (t7M|7+S|t7M- 1) =
= <т7М- 1 |S |т'7Л4 - 1>,
') Систематическое изложение алгебры неприводимых тензоров и ее при-
ложений в теории момента импульса в квантовой механике содержится в кни-
ге: U. Pano, G. Racah. Irreducible tensorial sets. N. Y., Academic Press Inc.
(1959).
§ 31. НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
71
и, значит, матричный элемент не зависит от М. Полученные
свойства можно записать в виде равенства
(тЛИ | S | x'J'M'} =	(120)
где Sri' — величина, зависящая только от J, т и т'. В случае,
когда S — наблюдаемая, матрица эрмитова и ее можно при-
вести к диагональному виду.
§ 31. Неприводимые тензорные операторы. Определение
В этом параграфе мы обобщим равенство (120) на класс
операторов, которые называются неприводимыми тензорными
операторами. Они не инвариантны относительно вращений, но
закон преобразования их при вращениях довольно простой.
Понятие тензорного оператора является обобщением понятия векторного
оператора.
Начнем с определения тензора. Допустим, что нам дано n-мерное про-
странство 8п такое, что при вращении векторы из & л линейно преобразуются
в векторы из & л. с каждым вращением связан линейный оператор в $ л. По
определению, векторы $л являются n-компонентными тензорами. Например,
векторы в обычном пространстве и спиноры являются 3- и 2-компонентными
тензорами соответственно; векторы из определенного в § 6 подпространства
<Г(т/) являются (2/-|-1)-компонентными тензорами, а кет-векторы простран-
ства состояний квантовой системы — тензорами с бесконечным числом компо-
нент.
Если выбрать набор базисных векторов в <8 л, то каждый из упомянутых
выше тензоров будет задаваться п компонентами, а вращение — действием
матрицы n X я на эти п компонент. Так, вращение вектора, заданного декар-
товыми координатами в обычном пространстве, осуществляется матрицей Я,
определенной в § 10. Аналогично, если мы возьмем стандартное представление
в то любой тензор |и) подпространства $ (т/) определяется (2/-|-1)
компонентами им s	, а компоненты им его преобразования при вра-
щении 3?(аРу) получаются применением к им матрицы вращения /?(/)(сфу)
(§ 16)
им = Е RMM- (a.®Y) UM'-	(121>
М'
В качестве другого примера рассмотрим девять величин YiW, (i, j = 1, 2,
3), получающихся перемножением различных компонент векторов V и W Они
представляют собой девять компонент тензора, который мы обозначим V ® IF.
Компоненты этого тензора после вращения Я получаются следующим обра-
зом:
[V 0 W]'u -	= я1кя11уку1 = я1кяа [V 0 W]k;.
Среди множества тензоров, которые можно построить, привилегированное
положение занимают неприводимые тензоры. По определению, тензор являет-
ся неприводимым, если пространство 8 п, которому он принадлежит, неприво-
димо по отношению к вращениям.
Векторы обычного пространства, спиноры, векторы пространства $(т/)
являются неприводимыми тензорами.
С другой стороны, тензор V 0 IF — приводимый. Девятимерное простран-
ство, в котором он определен, является прямой суммой трех неприводимых ин-
72
ГЛ. ХШ. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
вариантных по отношению к вращениям подпространств, имеющих размерно-
сти 1, 3 и 5 соответственно. Следовательно, проекции тензора V ® W на каж-
дое из этих подпространства дают неприводимые тензоры; с точностью до
константы оии представляют собой: скалярное произведение V-W, векторное
произведение V X W' и неприводимый 5-компонентный тензор, компоненты ко-
торого преобразуются при вращениях как гармонические полиномы второго
порядка (см. § Б. 10) )
Точно так же векторы (2/i + 1) (2/2 + 1)-мерного пространства из § 25
являются приводимыми тензорами с (2/i + 1) (2/2 + 1) компонентами, и тео-
рема сложения дает их разбиение на неприводимые.
От понятия тензора переходят к понятию тензорного оператора точно
так же, как от понятия вектора к векторному оператору.
Если п операторов преобразуются при вращениях линейно друг через
друга, как п линейно независимых векторов пространства п, то они являют-
ся компонентами n-мерного тензорного оператора* 2). Линейное преобразова-
ние этих п компонент даст п новых операторов, которые можно рассматри-
вать как компоненты того же тензорного оператора в другом представлении.
Если пространство &п неприводимо, то и тензорный оператор называют не-
приводимым.	,
Векторные операторы образуют специальный класс неприводимых тензор-
ных операторов.
Если V и W — два векторных оператора, то девять операторов ViW,- яв-
ляются компонентами приводимого тензорного оператора, который может быть
представлен в виде прямой суммы трех неприводимых тензорных операторов:
скаляра V-W, вектора УХ^и тензорного оператора, который задается, на-
пример, пятью компонентами, приведенными в предыдущем примечании.
Тензорный оператор в заданном представлении однозначно
определен законом преобразования его компонент при враще-
нии.
По определению, (2k + 1) операторов П® (q = — k,
—k + 1, ..., +&) являются стандартными компонентами непри-
водимого тензорного оператора k-го порядка Тбб, если они пре-
образуются при вращениях по закону
RT(q}R~x = £	(122)
ч'
Данный закон совпадает с законом преобразования базис-
ных векторов \kqy стандартного представления для (2& + 1)-
') Матрицы вращения, конечно, зависят от выбранного для этого тензора
представления. В представлении, где его компоненты равны
4 (ViWi + V2Wd, ~ (V2r3 + Е3Г2), ~ (V3Wi + ViW,),
ViWi - V2W2, 2V3F3 - ViWi - V2W2,
они преобразуются друг через друга как линейно независимые полиномы ху,
уг, zx, х2 — у2, 2z2 — х2 — у2.
2) Этот закон преобразования не совпадает с законом преобразования
векторов пространства Sп, разложенных по п векторам базиса. Точно так же
закон преобразования (54) компонент векторного оператора К не совпадает
С законом (43) преобразования компонент вектора V в том же базисе. Отме-
тим, в частности, различие в формулах (122) и (121),
§ 31. НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
73
мерного пространства, неприводимого по отношению к вращв’
ниям
я'
Если равенство (122) выполнено для бесконечно малых вра-
щений, то оно будет выполнено и для всех остальных враще-
ний. Для бесконечно малых вращений оператор R определяется
формулой (55), матрицы легко получаются из определения
(64), и закон (122) в этом случае эквивалентен следующим ком-
мутационным соотношениям операторов с компонентами
полного момента импульса:
[/±,	= V*(A + 1)-<7(<7±1) Г(Д „	(123а)
[/2, T[q}] = qT%}.	(1236)
Соотношения (123), которые можно сравнить с (23) — (25),
позволяют дать другое определение неприводимого тензорного
оператора (полностью эквивалентное приведенному выше).
Если операторы Т<М соответствуют физическим величинам,
то они инвариантны относительно поворота на 2л (ср. § 15) и,
следовательно, k — целое число. В дальнейшем мы будем рас-
сматривать только неприводимые тензорные операторы целого
порядка.
Легко показать, что (2k -ф 1) операторов
Sf = (-\)4T^
удовлетворяют соотношениям (123) (задача 16), и, следова-
тельно, являются стандартными компонентами неприводимого
тензорного оператора S(ft) порядка k. По определению, опера-
торы S(fe> и эрмитово сопряжены друг другу
g(k) _
(поскольку k — целое, ясно, что операция эрмитова сопряже-
ния обратима).
Скаляры являются неприводимыми тензорными операторами
нулевого порядка. Векторные операторы — неприводимыми тен-
зорными операторами порядка 1: если Кх, Ку, Кг— декартовы
компоненты векторного оператора, то его стандартными компо-
нентами будут
^(i1) = -^-(2<x + Z2<A К$ = Кг, K{-\ = ^=-(Kx-iKy). (124)
(Отметим, что фигурирующие здесь коэффициенты отличны от
встречающихся в соотношениях (94).)
74
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Сферические функции У£(0, ср) (q =—k.......+&), рассма*
триваемые как операторы, представляют собой стандартные
компоненты неприводимого тензорного оператора порядка k.
§ 32. Представление неприводимых тензорных
операторов. Теорема Вигнера — Эккарта
Наиболее важное свойство неприводимых тензорных опера'
торов отражено в теореме Вигнера — Эккарта:
В стандартном представлении {J2JZ}, базисные векторы ко-
торого обозначим |т/Л1>, матричный элемент (tJM \ Т{®\ t'J'M')
q-й стандартной компоненты данного неприводимого тензор-
ного оператора k-го порядка, равен произведению коэффи-
циента Цлебша — Гордина
(J'kM'q\JM)
на величину, не зависящую от М, М' и q.
Таким образом, справедлива формула
{tJM | Т{к) | т7'ЛГ) =	2__(т/ЦТ™ || т7'> (J'kM'q | JM), (125)
•у2/ -J- 1
где величина <т/||7'(6)||т7/>, которая называется приведенным
матричным элементом, зависит от индексов т, J и к', J' и харак-
теризует данный тензорный оператор (множитель 1/<\]2J + 1 вве-
ден для удобства).
Для доказательства теоремы рассмотрим (2k + 1) (2/'+ 1)
векторов | т7'ЛГ) (q = — k........+ 6; ЛГ = —	, + /).
Образуем следующие линейные комбинации этих векторов:
| aJ"M") = 2 Т<*)| t'J'M') (J'kM'q \J"M").
M'q q
Используя соотношения ортогональности для коэффициентов
К. — Г. (ур. (1106)), получаем
Т™ | t'J'M') =	| о]"М") (J'kM'q I J"M").	(126)
Отметим, что векторы | t'J'M') могут и не быть линейно не-
зависимыми, поэтому некоторые из векторов \aJ"M") могут об-
ратиться в нуль.
Из формул (123а) и (124) вытекает, что
/+т<*)| t'J'M') = [J+, Т<*>] | t'J'M') + TWJ+1 t'J'M') =
= ^k(k +l)-q(q+l) 1% | t'J'M') +
+ ^J' (J' + 1) - M' (M + 1) Г™ I Т7'ЛГ + 1),
§ 32. ТЕОРЕМА ВИГНЕРА — ЭККАРТА
75
и, следовательно,
J+1 OJ"M") =
= £ Tfl r'J'M'}	< J'kM'q - 1 | J"M") +
M'q
+ У7'(7'+ l)-Af'(M'- 1) < J'kM' - \q | J"M")}-
В силу рекуррентных соотношений (111) для коэффициентов
К. — Г. выражение, стоящее в скобках, равно
У 7" (7" + 1) - Л1" (М" + 1) {J'kM'q \J"M" + 1),
и мы получаем в правой части вектор \с]''М"	1> или, более
Точно,
J+1 oJ"M") =	1)-ЛГ (М"+ 1)| cJ"M" + 1>.
Тем же методом можно показать, что
J_ | oJ"M") = У 7" {]" + 1) - М" (М" - 1)| aJ"M - 1)
Jz\aJ"M"} = М"\aJ"M").
Из этих трех соотношений следует, что (27" + 1) векторов
\aJ"M"), соответствующих одному и тому же значению J":
(i) либо все равны нулю;
(ii) либо являются (ненормированными) собственными век-
торами с моментом импульса (J''M") и получаются один из
другого стандартным способом.
Следовательно, все скалярные произведения (rJM | oJ"M")
обращаются в нуль за исключением тех, для которых J" = 7 и
М" — М, т. е. (27+1) произведений <т7Л1|а7Л1>, причем они
не зависят от М.
Отсюда следует приведенная выше теорема, поскольку мат-
ричный элемент {rJM | Т^} | r'J'M') с учетом (126) равен
{rJM | 1™ | r'J'M') = E {vlM | aJ"M") {J'kM'q | J"M"). 
Среди наиболее важных следствий теоремы Вигнера — Эк-
карта упомянем правила отбора для оператора Т4*’.
Для того, чтобы матричный элемент {rJM | Т(А) | т'7'Л1') был
отличен от нуля, необходимо одновременное выполнение соот-
ношений-.
q = M — M',	(127)
|7-7,КА:<7 + 7/.	(128)
Эти соотношения непосредственно следуют из того факта,
что в правой части формулы (125) стоит коэффициент Клеб-
76
ГЛ. Х1П. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ша — Гордана. На практике чаще используется второе из этих
соотношений. Оно обычно формулируется в виде следствия1).
Матричный элемент компоненты неприводимого тензор-
ного оператора порядка k между двумя векторами с моментами
J, J' обращается в нуль, если k не удовлетворяет неравенствам:
|/ —/'| С k / + /'.
§ 33. Приложения
Теорема Вигнера — Эккарта имеет много приложений в атом-
ной и ядерной физике, а именно: в теории p-распада, электро-
магнитного излучения и, вообще, в задачах об угловых корре-
ляциях.
Рассмотрим, например, электромагнитное излучение атом-
ного ядра (у-излучение). Предположим, что при переходе из
возбужденного состояния Л9* в основное Л9 ядро испустило
у-квант
A°‘->yr+Y.
Пусть J и J' обозначают спины (т. е. полный момент им-
пульса) ядер Л9 и Л9* соответственно. В теории у-излучения из-
вестно, что амплитуда вероятности излучения у-кванта поля-
ризации v в направлении Q =(0, <р) пропорциональна матрич-
ному элементу
<тЛИ|Я(й, уЖ'ГМ7)
некоторого оператора 7f(Q, v) между векторами начального и
конечного состояний (см. § XXI. 31). Оператор H(Q, v) можно
разложить по сферическим функциям. Не вдаваясь в детали2 *)
заметим только, что тогда он принимает вид суммы неприводи-
мых тензорных операторов двух типов (противоположной чет-
ности) : электрических и магнитных мультипольных моментов.
Электрический 2;-польный момент Q(Z> является неприводимым
тензорным оператором порядка I и четности (—l)z; магнитный
2'-польный момент Af(Z) — неприводимым тензорным оператором
порядка I и четности (—l)z+‘. Среди мультипольных моментов
наиболее известны следующие:
(i) магнитный момент (в обычном смысле этого слова), т. е.
дипольный магнитный момент М{1);
(ii) квадрупольный момент (в обычном смысле этого слова),
т. е. электрический квадрупольный момент Q(2).
') Компонента Д<4> не обязательно стандартная; любые линейные комби-
нации стандартных компонент обладают этим свойством.
2) См. Дж. Блатт, В. Вайскопф. Теоретическая ядерная физика. М., ИЛ,
1954 (гл. XII и Дополнение Б).
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
77
В соответствии с правилами отбора для тензорных опера-
торов, ненулевые вклады дают только моменты с мультиполь-
ностью I в пределах
| J — J' + /'	(129)
(существует также правило отбора по четности, которое мы
здесь не рассматриваем). В силу теоремы Вигнера — Эккарта,
вклады компонент Qm моментов, удовлетворяющих неравен-
ствам (129), пропорциональны коэффициенту Клебша — Гор-
дана	для их вычисления достаточно определить
коэффициент пропорциональности, т. е. приведенный матричный
элемент (т/НФ^Цт'/').
Итак, вероятность перехода полностью известна, как только
определены приведенные матричные элементы мультипольных
моментов, удовлетворяющих правилам отбора. На практике,
разложение в ряд по мультиполям сходится быстро и основной
вклад дают один или два мультиполя низшего порядка.
Четные мультипольные моменты (M(1), Q(2), ...) появляются
также при вычислении сдвигов энергетических уровней атомов
или ядер в статическом электромагнитном поле. Так, взаимо-
действие ядра с постоянным магнитным полем позволяет изме-
рить его магнитный момент, а взаимодействие с неоднородным
электрическим полем — его квадрупольный момент. Действи-
тельно, при измерении получают среднее значение этих опера-
торов в рассматриваемом состоянии ядра, т. е. матричные эле-
менты
(х1М | №% | х/М(xJM | I xJM')
или приведенные диагональные матричные элементы
<т/1| М(1) || т/), <т/1|(?<2>|| т/>.
Отметим, что магнитный момент обращается в нуль при Ji = О,
а квадрупольный момент — при J = 0 или 1/2. Вообще, 2г-поль-
ный момент ядра со спином / равен нулю при 2/ < /.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1.	Исходя из соотношений (24) и (25) между векторами
Iт/ц) (ц = — /, — j + 1, .... + /),
доказать соотношения (26) и (27).
2.	Доказать, что в любом представлении, где Jx и 7г — вещественные (а
Значит и симметричные) матрицы, 1У будет чисто мнимой (а значит и анти-
симметричной) матрицей.
[IV. В. Стандартное представление попадает в эту категорию.]
3.	Доказать, что для коммутативности оператора со всеми компонентами
момента импульса достаточно, чтобы он коммутировал с двумя его компонен-
Фами.
78
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
4.	Пусть I — орбитальный момент частицы, 0 и ф — полярные углы и Р —
«оператор четности». Оператор Р соответствует отражению в начале коор-
динат, его действие на функцию F(0, ф) определено равенством: PF(0, ф) =
=	— 0, ф + л). Показать, что [Р, Z] — 0. Вывести огсюда, что сферические
функции обладают определенной зависящей от квантового числа / четностью,
и найти ее.
5.	Пусть г, г7 — два вектора в обычном пространстве, Q = (0, ф) и
Q'= (0', ф') —их полярные углы, I, I' — соответствующие операторы момен-
тов импульса; пусть а (0^а<п)—угол между векторами: г-/=
= г -г' cos а. Полином Лежандра /’/(cos а) является функцией полярных углов
векторов г и г'. Показать, что он удовлетворяет уравнениям в частных про-
изводных
l2P[ (cos a) = I'2Pt (cos a) = I (Z + 1) Pi (cos a),
(Zz + /<) Pt (cos a) = 0 (Z = x, y, z).
Вывести отсюда теорему сложения:
+z
-^±1 Pz (cos a) s Y°(a)Y?(0) = £ (-1)^ (Q) Yf"1 (Q').
m= — I
6.	Пусть u, v, w — три единичных вектора, образующих правую декар-
тову систему. Показать, что бесконечно малое вращение
(обозначения раздела III) отличается от $ш(—в2) только членами порядка
выше в2. Используя формулу (58), вычислить оператор бесконечно малого
вращения Р вплоть до члеибв порядка в2 и проверить соотношения коммута-
ции [Ju, Ju] = ilw
1. Используя коммутационные соотношения (56), показать, что скалярное
произведение двух векторных операторов А и В, АВ — АХВХ + АУВУ + АгВг
коммутирует с компонентами полного момента импульса.
8.	Показать, что
exp (— ZpJj,) = exp (j ZnJx j ex? (— ZpJz) exp (— у inJx^.
Вывести отсюда, что матричные элементы (JM | exp(—ipjy) | JM'} являются по-
линомами степени 2J по переменным sin — Р и cos — Р-
9.	Доказать тождество (<тА) (аВ) — (АВ) + Za(A X В) (<i = (ст.<сгуСТг) —•
матрицы Паули, А и В — векторные операторы, коммутирующие с а, но не
обязательно друг с другом).
10.	Пусть s — внутренний момент частицы спина 1 (s2 = s(s-(-l) — 2).
ii)	Показать, что для любой компоненты su = (su) имеем
Su = SU’ ех₽ (— f<PSu) = 1 — I Sin ф$в — (1 — COS ф) s2u,
и получить явное выражение для матрицы вращений /?(1’(аРу).
(ii	) Пусть |z) —нормированный вектор такой, что s2|z) = 0, а |х) и
|t/) —векторы, получающиеся из него вращением на вокруг Оу и на
—Чзп. вокруг Ох соответственно. Доказать следующие соотношения и соот-
ношения, получающиеся из них циклической перестановкой х, у и z:
4х|х)=°, sx | у) = i | z),	s2x\y)=\y),
1= — z I Z/X 4 I z) = I z).
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
79
Используя эти соотношения, показать, что |х), \у), |z) образуют ортонорми-
рованный базис, а матрицы, которые задают sx, sy и sz в этом базисе, совпа-
дают с приведенными в § 21.
(iii	) Показать, что (1|/?(а0у) |/) = Л</(а₽у) (‘> / = х- У или г) (обозна-
чения § 10 и § 14).
11.	Пусть S — полный спин системы двух нуклонов. Показать, что опера-
тор Q = (S-r)2/r2— проектор. Показать, что «тензорный» оператор 512
«= 2 [3Q — S2] удовлетворяет тождеству: S22 = 4S2 — 2S12, и возможные его
собственные значения равны 0, 2 и —4. Определить действие операторов Q
и S12 на введенные в § 28 функции от угловых переменных и спинов “Удз/-
(Если принять сокращенные обозначения
то получим
Q<V(0> = о, (27 + 1) Q<V У =	+ V/(/+ 1) ^(J),
(2J + 1) Q V(2’ = V/(/+ 1) V(+* + U + 1) <¥‘22)
12.	Рассмотрим частицу спина '/2. Показать, что в пространстве состоя-
ний с данным орбитальным моментом / операторы
Z+1 + Z-ff
21 + 1 И 2/ + 1
являются проекторами на состояния с полным моментом импульса / = I + у
и ] = I —— соответственно.
13.	Сложим два равных момента д = /2 = /• Не используя свойств сим-
метрии коэффициентов К. — Г., показать, что при перестановке mi и т2 соб-
ственные функции полного момента симметричны (инвариантны) или антисим-
метричны (умножаются на —1), и характер симметрии зависит только от 7.
Показать, что они симметричны или антисимметричны в зависимости от того
(—1)2/+/ равно +1 или —1.
14.	Обозначим через 72{Л) следующую функцию оператора А и компо-
нент момента импульса:
72 {Л}	[7Х, [7Х, Л]] + [7„, [7f, Л]] + [7г, [7г, Л]].
Показать, что если — неприводимый тензорный оператор й-ro порядка, то
его компоненты удовлетворяют соотношению
J2{T^}=k(k+l)T^\
15.	Пусть аг, а* (г = 1, 2)—операторы рождения и уничтожения дву-
мерного изотропного гармонического осциллятора:
К> М=[аг  “П=о- [«г- 4] =
Обозначим
5 = у[Ха1+а2а2]-
Л = [°2а1 + а1Ч]- 72 = у i [4а1 - аТаг]. /з”4'Ма1“а*а2]-
80
ГЛ. XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Тогда J2, Jt можно рассматривать как декартовы координаты некоторого
векторного оператора J [АГ. В. в обозначениях § XII. 14, L = 2/2].
(i) Показать, что компоненты J удовлетворяют соотношениям коммута-
ции J XJ = 17, характеризующим момент импульса, и справедливо равенстве
Р = S (S + 1) (следовательно, [S, 7] = 0).
(и) Будем рассматривать J как оператор момента импульса системы и
обозначим /(/ + 1) и т — собственные значения J2 и J3 соответственно. Пока-
зать, что J2 и Уз образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых, а /
может принимать все целые и полуцелые значения 0. т. е.
1	Я
/ = 0,	1,	2,..., оо.
1
Показать, что векторы [(/+ т)! (/— т)!] 2 а^+та<^~т\ 0) образуют базис
стандартного представления {/2/3}.
(iii) Показать, что aj' и а? являются соответственно +*/г и —'/г компонен-
тами неприводимого тензорного оператора порядка ’/2 и, как следствие, выра-
жения Ra^R~l (г— 1, 2), где R означает оператор вращения
R = exp (— iaJ3) exp (— ipJ2) exp (— iyJ3),
являются линейными комбинациями aj” и а%. Определить коэффициенты в
этих выражениях.
(iv) Используя предыдущие результаты, доказать формулу Вигнера
(В. 72) и основные свойства мйтриц /?»>, приведенные в Дополнении В (за
исключением формул композиции и приведения).
16.	Показать, что если (2A-J-1) операторов Т^1 (q = — k,..., +&) удо-
влетворяют коммутационным соотношениям (123), то и (2/г-)-1) операторов
ss (— I)4 обладают тем же свойством.
17.	Показать, что интеграл
J Yf (0, ф) Y% (0, Ф) У£’ (0, ф) dQ
пропорционален (—I)"11	|Z3 — zn3), а коэффициент пропорционально-
сти не зависит от mit т2 и zn3. Определить этот коэффициент. (Использовать
теорему сложения, доказанную в задаче 5.)
18.	Показать, что «тензорный» оператор
512^2[з^-5’],
рассматриваемый как функция г, зависит только от углов 0 и ф, и эта зави-
симость выражается сферическими функциями порядка 2. (Получаем:
sI2 = (-^)2 { S2_Y* - (S_SZ + SZS_) У> + д/| (3S2 - S2) У° +
+ (S+Sz + SZS+) Y? + S2+y2-2 } »
1
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
81
Оператор S12 является скалярным произведением (в смысле определения
(В.87)) неприводимых тензорных операторов порядка 2, S<2> и У<2), которые
зависят от спина и угловых переменных соответственно).
19.	Пусть Ки будет компонентой векторного оператора К в данном на-
правлении, Ju — компонентой полного углового момента / в том же направ-
лении, а |т/а), |тУ6) —два кет-вектора, принадлежащие одному и тому же
подпространству & (тУ) (определения § 16). Показать, что:
<тУа | Ки | tJb) = (тУа | У„ | тУ&)
J -р 1^
где (УК) означает среднее значение скалярного оператора УК
в этом под-
пространстве
(УК) = (тУа|/К|тУа)
(Другими словами, элементы матрицы К в й’(тУ) совпадают с матричными
элементами ее «проекции» J(JK)U(J +1).)
ГЛАВА XIV
СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ. ПРИНЦИП
ЗАПРЕТА ПАУЛИ
§ 1. Тождественные частицы в квантовой теории
Две частицы называются тождественными, если все физи-
ческие свойства этих частиц в точности совпадают, что исклю-
чает возможность экспериментально различать их. В классиче-
ской механике это свойство неразличимости тождественных ча-
стиц играет второстепенную роль, тогда как в квантовой меха-
нике с ним связаны серьезные проблемы.
Рассмотрим в качестве примера столкновение двух тожде-
ственных частиц и выясним, в какой степени тождественность
этих частиц влияет на результаты теории.
Если система подчиняется законам классической механики,
то ее динамическое состояние определено в любой момент вре-
мени заданием величин: g(l) = (г<1), р(1>) — координата и им-
пульс частицы 1 и g(2) == (г<2>, р(2)) — координата и импульс ча-
стицы 2. Эволюция системы определяется функцией Гамиль-
тона, зависящей от 12 переменных
н £<2>) = Н (/•<!>, р<*>, г<2>, р<2>).
Если задан потенциал Е(г), зависящий только от расстояния
между двумя рассматриваемыми частицами, и если m — масса
этих частиц, то
•	п<‘>2 о®2
Н (ё<‘>, g®)=+ -V + V (| г® - г® |).	(1)
Поскольку частицы тождественны, то их перестановка, т. е.
приписывание динамического состояния частицы 1 частице 2 и
vice versa, не должна влиять на динамические свойства си-
стемы. В частности, функция Н инвариантна относительно та-
кой перестановки:
Я(ГЛ") = Д(Г. п.	(2)
С другой стороны, состояние системы в любой момент вре-
мени можно определить лишь с точностью до перестановки ин-
дексов 1 и 2. Наблюдение системы в заданный момент времени
показывает, что одна из частиц находится в некотором состоя-
5 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
83
нии а другая — в состоянии I", однако при этом нельзя оп-
ределить, в каком именно состоянии находится каждая из рас-
сматриваемых частиц. На первый взгляд может показаться, что
это обстоятельство вызывает затруднение, однако, как мы уви-
дим ниже, это затруднение — кажущееся. Предположим, что
в момент времени t0 одна из частиц находится в состоянии
а другая — в состоянии Имеются две возможности: в состоя-
нии 1 находится либо частица 1, либо частица 2. Однако оба
варианта соответствуют одной и той же физической ситуации,
ибо поскольку Н обладает свойством симметрии (2), законы
движения £'(/) и £"(/) частиц, находящихся в момент вре-
мени t0 в состояниях и одинаковы в обоих случаях, что
соответствует одной и той же ситуации. Нужно только прийти
к соглашению о том, следует ли частицу, которая в начальный
момент времени находится в состоянии gg> назвать частицей 1,
а частицу, находящуюся первоначально в состоянии £о, — ча-
стицей 2, или же поменять нумерацию этих частиц.
Ситуация становится сложнее, если двухчастичная система
подчиняется законам квантовой механики. Начало предыдущего
анализа можно дословно повторить. В этом случае снова тож-
дественность двух частиц выражается в инвариантности гамиль-
тониана относительно перестановки динамических переменных
частиц (ур. (2)) или, говоря точнее, в инвариантности относи-
тельно указанной перестановки всех физически наблюдаемых
величин. Как и в классической механике, это вызывает произ-
вол в определении состояния системы, однако теперь этот про-
извол более существен, а его следствия — более серьезны.
Предположим, что из наблюдения, осуществленного над си-
стемой до столкновения, следует, что одна из частиц находится
в состоянии фо (г), а другая — в фо (г) ')• На практике, эти функ-
ции представляют волновые пакеты, локализованные в различ-
ных областях пространства, так что функции
ф0(Г(1), г(2)) = Ф5(г(1))ФПг®),
Фо(г<п, г®) = ФИг(1))Ф$(г®)	(3)
линейно независимы. Начальное наблюдение не позволяет ре-
шить вопрос о том, находится ли система в состоянии ф0 или
в фо. Более точно, наблюдение состоит в одновременном изме-
рении определенного набора совместных переменных, а обе
функции, фо и фо, являются собственными функциями, отвечаю-
щими одному и тому же набору собственных значений, полу-
ченных в результате измерения. Поскольку любая линейная
’) Будем предполагать, что рассматриваемые частицы не обладают спи*
ном, подчеркивая тем самым параллель между классической и квантовой тео-
риями.
84
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
комбинация лфо + цфо этих функций также обладает указан-
ным свойством, то рассматриваемое наблюдение не позволяет
определить, какая из линейных комбинаций соответствует ис-
ходному состоянию системы. В такой ситуации говорят о нали-
чии обменного вырождения.
Исследуем теперь развитие системы во времени. Пусть
ф(г(1>, r<2>, t) и ф (r(1), r(2\ t)—решения уравнения Шредингера,
отвечающие соответственно начальным условиям ф0 и ф0. Из
свойства симметрии (2) гамильтонщгна следует, что эти реше-
ния получаются одно из другого перестановкой аргументов г(1)
и г(2). Удобно ввести функции симметричные и антисимметрич-
ные относительно такой перестановки
ф® = —(ф + Ф), Ф(Л> — (Ф — Ф)-
Они являются решениями уравнения Шредингера, соответствую-
щими начальным данным
Фи5) = (Фо + Фо)- ФоЛ) = (Фо - Фо)-
Если система в начальный момент времени находится в состоя-
^0 = аф(») + ₽ф<« (|а|2 + |р|2== 1),
то в момент времени t она будет находиться в состоянии
Т (r(1), r<2>, i) — аф(Л) + рф<5).	(4)
Плотность Р(г', г") вероятности обнаружить одну из частиц
в точке г', а другую — в г" определяется равенством ’)
Р (г', г") = | Y (г', г") |2 +1 V (г", г') |2 =	(5)
= 2 [ | а Р ф(Л) (г', НР + 1₽Р1Ф(5)« И12].	(6)
Для того чтобы это выражение не зависело от ос и р, следует
потребовать, чтобы выполнялось равенство
|ф<л>(г',	| = | ф(3) (г\ г")|.
Это равенство справедливо при всех г' и г" до тех пор, пока ча-
стицы не взаимодействуют, а описывающие их волновые пакеты
ф'(г) и ф"(г) не перекрываются, и, вообще говоря, перестает
быть справедливым, когда одно из этих условий не выполняется.
В этом несложно убедиться, рассмотрев несколько конкретных
ситуаций. Предположим, например, что две рассматриваемые
частицы не взаимодействуют (Vdr*1) — г(2)|) = 0) и свободно
') Во втором равенстве учтено свойство симметрии функций ф(Л) и ф^с
У (г", Г') = - аф(Л) (г', г") + Рф(5) (г', г").
§ 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
85
перемещаются навстречу друг другу. В этом случае ip является
произведением двух свободных волновых пакетов ip =
всфДгР), f) ip" (r<2>, t). В течение некоторого промежутка вре-
мени волновые пакеты будут перекрываться, т. е. существует
область пространства, в которой обе функции ip'(г) и ipz/(r) от-
личны от нуля. Если г — точка из этой области, то
| ip(5) (г, г) | = д/21 ф' (г) ip" (г) I ¥= О,
тогда как
| тр(Л) (г, г) 1 = 0	(7)
при всех г. Другой интересный пример дает задача рассеяния
на центральном потенциале. Она будет рассмотрена в § 9, где
мы покажем, что амплитуда рассеяния для тр(Л) является супер-
позицией сферических парциальных волн нечетного порядка,
а для ip(S) — суперпозицией волн четного порядка. В общем
случае эти амплитуды различаются по абсолютной величине и,
следовательно, дифференциальное сечение рассеяния будет су-
щественно зависеть от отношения | а |2/1 р |2.
Итак, существование обменного вырождения служит источ-
ником серьезных затруднений ибо препятствует получению точ-
ных теоретических предсказаний о статистическом распределе-
нии результатов измерений, осуществляемых над системой по-
сле столкновения.
Эта трудность может быть преодолена введением следующего
постулата симметризации,, фиксирующего коэффициенты а и В
в линейной комбинации (3) и, таким образом, легко допускаю-
щего экспериментальную проверку.
Динамические состояния системы двух тождественных ча-
стиц либо все симметричны (а = 0, р= 1), либо все антисим-
метричны (а=1, Р — 0) относительно перестановки двух ча-
стиц.
Какая из двух указанных возможностей реализуется в дей-
ствительности, зависит от физических свойств рассматриваемых
частиц. Этот постулат несложно распространить на системы,
содержащие любое число тождественных частиц. В общем виде
он будет приведен в разделе I настоящей главы, где будут про-
анализированы также основные следствия этого постулата. Раз-
дел II посвящен приложениям.
При изложении будут использоваться некоторые элементар-
ные свойства перестановок. Все они приведены в § 14 Дополне-
ния Г ’).
') Элементы теории групп, собранные в Дополнении Г, не являются не-
обходимыми для понимания материала настоящей главы. Содержание § 14
этого Дополнения не зависимо от его остальных частей. В § 14 используются
лишь несколько определений, относящихся к теории групп (группа, класс, ин-
вариантная подгруппа и т. п.), которые приведены в § 2 Дополнения Г.
36	гл. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
Раздел!. ПОСТУЛАТ СИММЕТРИЗАЦИИ
§ 2. Подобные частицы и симметрическое представление
Рассмотрим Af-частичную систему. Динамические перемен-
ные, описывающие i-ю частицу, являются функциями от ее ко-
ординаты г(1), импульса р(<) и спина s(i>. Эти три вектора в даль-
нейшем будем обозначать одним символом |(!>. Зная значение
спина i-й частицы, мы можем построить пространство ее
динамических состояний. Пространство динамических состоя-
ний всей системы является тензорным произведением
# =	... ®£(*>.	(8)
По определению, две частицы называются подобными, если
они имеют один и тот же спин (подобные частицы не обязаны
быть тождественными). В этом случае наблюдаемые и векторы
состояния одной из частиц находятся во взаимно однозначном
соответствии с наблюдаемыми и векторами состояния другой
частицы и, следовательно, имеется возможность заменить ча-
стицу подобной ей. В общем случае, если имеется п подобных
частиц, то существует п! перестановок этих частиц. Каждой
перестановке соответствует некоторый оператор в простран-
стве <S. Перейдем теперь к построению этих операторов пере-
становок. Для простоты будем считать, что п — N.
Рассмотрим одну из N подобных частиц. Пусть g — множе-
ство основных наблюдаемых этой частицы, а 2Г — пространство
ее векторов состояния. Пусть q — полный набор коммутирую-
щих наблюдаемых в ST, a \qyl}—базис собственных векторов
набора q, с собственными значениями qK (индекс или ряд ин-
дексов х служат для нумерации собственных значений этого на-
бора наблюдаемых). Тогда
(*7х I ~	(9)
В качестве q можно, например, выбрать три компоненты х, у, z
вектора г и компоненту Sz Спина по оси г. Каждая частица а
(а = 1, 2, ..., N) нашей системы имеет собственный набор <7<°>
коммутирующих наблюдаемых. Ясно, что множество Q =
= {qw, q<-2\ ..., qW) является полным набором коммутирую-
щих наблюдаемых в пространстве Векторы
к^2)---^))-Иау1^3у2,...|^Г,	(Ю)
полученные как тензорные произведения базисных векторов
пространств ^"(2)......образуют базис некоторой реа-
лизации векторов и операторов в с?, т. е. {Q}-представление.
Мы будем называть представление такого типа симметриче-
£KUM.
§ 3. ОПЕРАТОРЫ ПЕРЕСТАНОВКИ
87
§ 3.	Операторы перестановки
Очевидно, что в состоянии, описываемом вектором (10), ча-
стица 1 находится в состоянии частица 2 — в состоянии
•••, частица N — в состоянии |^v>. Перестановка частиц
изменяет их распределение по состояниям |^а>, |^р>, ..., \qv)
и, следовательно, вектор (10) переходит в новый, вообще го-
воря1), отличный от исходного, базисный вектор {(^-представ-
ления. Таким образом, операция перестановки устанавливает
взаимнооднозначное соответствие между векторами рассматри-
ваемого ортонормированного базиса и, следовательно, опреде-
ляет некоторый линейный унитарный оператор в пространстве
векторов состояния. Указанная процедура сопоставляет каждой
перестановке N частиц оператор перестановки Р, удовлетворяю-
щий условию унитарности
рр+ = р+р=1.	(П)
Так, при транспозиции (12)—перестановке частиц 1 и 2 —
вектор (10) преобразуется в вектор, описывающий состояние,
в котором частица 1 находится в состоянии |<?р>, частица
2-—в |<7а>, тогда как каждая из остальных частиц находится
в исходном состоянии. Соответствующий оператор перестановки
Р<12) определяется соотношением
Р(12) I	= I
Для упрощения обозначений, мы продолжим изучение пере-
становок в случае /V = 3. Устанавливаемые принципы будут,
конечно, справедливы и для любого значения N. В качестве
примера определим оператор Р(12з), соответствующий переста-
новке (1 2 3), при которой 1 переходит в 3; 2 — в 1; 3 — в 2:
Л12з)|«^>=1^1Ч2Ч3)>-	<12>
Если | if) — вектор из <5, то
Р„я I ч>) = £ р„ |	<«! MX | ч>>=
apV
ару
Переобозначив индексы суммирования в последней строчке, по-
лучаем
Л123) । ,ф>=	аз>
') В случае, когда среди N одночастичных состояний | да), ..., I <?v)
имеются одинаковые, некоторые из перестановок оставляют вектор (10) не-
изменным, если же все состояния совпадают, то ни одна из перестановок не-
изменяет вектора (10).
88
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
Если (qaqМу) —волновая функция состояния |ф> в {Q}-пред-
ставлении (т. е. ф(^а<7р<7у)—амплитуда вероятности обнару-
жить частицу 1 в состоянии |^а>, частицу 2 — в |<?в>, час-
тицу 3 — в |<?у>), то волновой функцией для /Э<123)|'Ф> является
функция
Л123)Ф (q^qj = Ф (q^qyqa),	(14)
которая получена действием на аргументы функции ф^а'/Р'/т)
перестановки обратной перестановке (1 2 3).
Закон преобразования векторов при перестановке принимает
особенно простую форму на векторах вида
| Ы(1)у(2)да(3)^| „yi)| п>(2) [ wy3)f
на которых он совпадает с законом преобразования базисных
векторов {Q}-представления. Действие Р на вектор такого вида
дает вектор, который получается при перестановке р частиц 1,
2,3, находящихся в одночастичных состояниях | и), |ц>, | цу>,
т. е. (уравнение (12))
Р(123) I U^W^) =|
Доказательство несложно. Уравнение (13) в данном случае
имеет вид
Р(123) |	= Z | qVqVq^ (qa | w) | и) | и),
где правая часть есть не что иное как разложение | w^u^v^y
по базисным векторам {Q}-представления.
Это свойство, доказанное только что для частного случая,
имеет общий характер (задача 1). Из него следует, что опера-
тор Р, соответствующий заданной перестановке, не зависит от
конкретного симметрического представления, выбранного для
определения этого оператора.
Действие оператора Р на вектор порождает вектор, который
получается из исходного перестановкой р. Точно так же преоб-
разование оператора Е(£(1>, £(2), . . ., £(W>) в пространстве под
действием унитарного оператора Р задает оператор, получаю-
щийся из данного применением перестановки р к аргументам
оператора F. Если
Р=(' 2 -N 1
\«1 «2 ••• <W
то
PF(&W, £<2), ..., g(v))	= F (^о,\	....	(15)
§ 4. АЛГЕБРА ОПЕРАТОРОВ ПЕРЕСТАНОВКИ
89
В частности
P(123)F а(1),	£<3)) ЛЪз) = F (§<2>, е, £(1>)	(16)
(g<2> переходит в |(3) — в |<!> — в £(3)).
Для доказательства достаточно показать, что этот закон вы-
полняется в случае, когда F — любая из основных наблюдае-
мых системы. Рассмотрим одну из них. Всегда можно построить
симметрическое представление, в котором наблюдаемая диа-
гональна. Предположим для примера, что выбрана одна из рас-
смотренных выше наблюдаемых	{Q}-представления. Для
того чтобы показать, что PqMP* = q(ai\ достаточно показать,
что выражения, стоящие в обеих частях этого равенства, оди-
наково действуют на любой из базисных векторов {Q}-пред-
ставления. Доказательство несложно, и мы ограничимся про-
веркой этого утверждения в специальном случае Af = 3, г = 1,
Р =(1 23)
РтчтР<т 11 W’> =	| «'«!?>>=I «s =
В применении к наблюдаемым приведенное определение пе-
рестановок согласуется с интуитивным: наблюдаемая РВР\
полученная в результате применения перестановки р к наблю-
даемой В, имеет тот же спектр собственных значений, что и В,
а собственные векторы наблюдаемой РВР'^ получаются дей-
ствием оператора перестановки Р на собственные векторы на-
блюдаемой В, соответствующие тому же собственному значе-
нию.
В частности наблюдаемая В инвариантна относительно пере-
становки N частиц, если РВР^ = В для каждой из Af! переста-
новок этих частиц, т. е. если
[Р, В] = О
для любого Р. В этом случае говорят, что наблюдаемая В сим-
метрична относительно перестановки АГ частиц.
§ 4. Алгебра операторов перестановки. Симметризаторы
и антисимметризаторы
Последовательное действие двух перестановок р', р" экви-
валентно действию одной перестановки р = р"р'. Из определе-
ния оператора перестановки очевидно, что то же соотношение
справедливо и для соответствующих операторов Р, Р', Р"
Р^Р"Р',	(17)
so
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
Таким образом, операторы перестановок удовлетворяют тем же
алгебраическим соотношениям, что и определяющие их пере-
становки ').
В частности, любой оператор Р можно записать в виде про-
изведения транспозиций. В общем случае такая факторизация
не единственна. Однако все такие представления состоят либо
из четного, либо из нечетного числа транспозиций. Четность пе-
рестановки обозначается (—1)р и равна -|- или — в соответ-
ствии с четностью или нечетностью числа транспозиций, обра-
зующих перестановку. Если Р, Р' и Р" связаны соотношением
(17), то очевидно имеем: (—1)р— (—1)р'+р".
Некоторые перестановки, в частности транспозиции, совпа-
дают со своими обратными. В таких случаях (см. ур. (11)) со-
ответствующий оператор является наблюдаемой, возможные
собственные значения которой равны ±1.
В качестве примера рассмотрим транспозицию (//):
(18)
Собственные векторы с собственным значением +1 инвариант-
ны при транспозиции (i/). Они, по определению, являются сим-
метричными по I и /. Проектор на подпространство векторов,
симметричных по i и /, есть оператор симметризации
5[г/] = 4(1 + Р(г/)).	(19)
Собственные векторы с собственным значением —1 изменяют
знак при транспозиции (//). Эти векторы, по определению, ан-
тисимметричны по i и /. Проектором на подпространство век-
торов, антисимметричных по i и /, является оператор антисим-
метризации
Ат=4(1-Лц)).	(20)
>) В частности, Р(12з) = Р<12)Р<23>- Проверим, что последовательное дей-
ствие Р(23) и Рог» на волновую функцию Ч’(‘?а7ц'7у) снова дает результат (14),
Обозначим
Тогда
*i (Wfa) ЛгэдЧ’ (<Z„Vr)-
и
Л123)’!’ (^Vv) = W1 W,) = W = * (^p^^a)-
Тот же результат будет получен и в том случае, когда на аргументы функции
ф (<?a9p<?v) действует сперва перестановка (12), а затем перестановка (23).
§ 4. АЛГЕБРА ОПЕРАТОРОВ ПЕРЕСТАНОВКИ
91
Очевидно, справедливы соотношения
$[//] + Ai/1 = 1 •	Р(И)$ИП = S[ij]P(ij) =
S[i/] — АцП = P(i/),	Р(мА[Ц] = A [ij\P(H) — — A[i/j-
Каждый вектор является суммой вектора, антисимметричного
по I и /, и вектора, симметричного по i и j. Разложения такого
Типа использовались при обсуждении рассеяний двух тождест-
венных частиц в § 1.
Расширим понятия симметрии и антисимметрии динамиче-
ских состояний, которое было определено выше лишь для пере-
становок P(ij), на общий случай NI перестановок Р.
Выберем вектор | и) в ё и обозначим ёи — подпростран-
ство, натянутое на вектор |м> и на все векторы, которые могут
быть получены из него перестановками. Размерность подпро-
странства Su. равна N\, если JV! векторов Р|и> линейно незави-
симы и меньше АЛ, если эти векторы линейно зависимы.
Экстремальным случаем будет ситуация, когда все Р|и>
представляют одно и то же состояние
Р | и) = ср | и)	(22)
для любой перестановки р. Ниже будут приведены условия,
ограничивающие произвол в выборе постоянных ср. Если Р —
транспозиция, то, как мы знаем, ср может принимать только
значения ±1. Далее, поскольку любая транспозиция (i/) равна
произведению (It) (2/) (1 2) (2/) (It), то
P(ii) = Р [\i)P <2i)P (\2}Р&i)P (\i)
или
С(</) = C(li)CC2/)C(12) = С(12)'	(23)
Следовательно, постоянная с совпадает для всех транспозиций:
либо ctr = + 1, либо Ctr = — 1, и так как всякая перестановка
является произведением транспозиций, то соответствующая по-
стоянная ср имеет вид степени ctr либо с четным, либо с нечет-
ным натуральным показателем в соответствии с четностью или
нечетностью перестановки р.
Таким образом, мы приходим к выводу, что уравнение (22)
справедливо только в двух следующих случаях:
(а)	для любого р, ср=1,	Р\ и) = \ и);	(24)
(б)	для любого р, Ср = (— 1)р, Р| и) = (— 1)р| и}.	(25)
Вектор |ц> называется симметричным или антисимметричным
относительно перестановки N частиц в зависимости от того, ка-
кой случай (а) или (б) имеет место.
Симметричные векторы образуют подпространство <§Г(5) в
а антисимметричные векторы образуют в ё подпространство
92
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
^>(А>, ортогональное к Покажем, что проекторами на эти
подпространства являются соответственно операторы
(26)
р	р
распространяется на все /V! возможных перестановок)^
Рассмотрим последовательность, полученную произвольным упо-
рядочением всех перестановок. Если каждый элемент умножить
справа и слева на оператор Д некоторой перестановки, то
в результате будет изменен только порядок расстановки эле-
ментов в рассматриваемой последовательности, так что
PiS^SP^S, PiA = AP1 = (-1)Р>А.	(27)
Замена каждого элемента Р обратным Р+ также сказывается
лишь на порядке следования элементов, и так как перестановка
и обратная к ней имеют одну и ту же четность, то
S = S+, А = А+.	(28)
Из равенств (27) и определений (26) легко получить соотно-
шения
S2=S, А2 = А	(29)
и
SA = AS = 0.	(30)
Соотношения (28) — (30) показывают, что S и А являются ор-
тогональными проекторами. Далее, если | и> содержится в ^(S),
то из (24) имеем
slM>==4rZp|M>==fwrE)|u>=iu>
р	\ р /
и обратно, если |> — произвольный вектор, то согласно (27)
получаем
PS|)==S|).
Следовательно, S действительно является проектором на
Аналогичным образом можно показать, что А является проек»
тором на ^(А).
В случае N = 3 для S и А легко вывести явные формулы
S = (1 + Р(12) 4* Р(23) + Лзп + Л123) 4" Р(321))>
А = (1 — Р(12) — Р(23) — Р(31) 4- Л123) 4" Лз21)).
§ 5. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОСТУЛАТ СИММЕТРИЗАЦИИ
93
Как видно из этого примера, S + А #= 1 при N > 2. Действи-
тельно, S + А является проектором на пространство состояний,
инвариантных относительно четной перестановки N частиц, ко-
торое при N > 2 является подпространством в <8.
Вернемся к определенному выше пространству 8>и. Из соот-
ношений (27) следует, что для любого Р справедливы равен-
ства SP1 и) = S| и}, АР\ и} — \)р А\it).
Таким образом, растягивающие <$и векторы Р|«> имеют одну
и ту же проекцию на t?(S) и с точностью до знака одинаковую
проекцию на Следовательно, в соответствии с тем, являют-
ся ли векторы S | и> отличными от нуля или нет, <SU содержит
либо один и только один симметричный вектор, либо вовсе не
содержит таковых и аналогично, в зависимости от того равен
нулю или отличен от нуля вектор А | п>, <8и содержит один и
только один антисимметричный вектор либо не содержит ни од-
ного ’).
§ 5. Тождественные частицы и постулат симметризации
Если все N частиц рассмотренной выше системы будут не
только подобны, но и тождественны, то ни одно из динамиче-
ских свойств системы не изменится в результате любой пере-
становки этих частиц. Из этого свойства инвариантности можно
вывести важные следствия относительно имеющихся законов
движения и наблюдаемых системы.
Если | ipo> — состояние системы в начальный момент вре-
мени t0, то ее состояние в более поздний момент времени t
можно получить действием оператора эволюции U(t, t0):	=
= U(t, /0)|ф>. Если начальное состояние Р | ф0>, то эволюция
системы отличается от исходной лишь перестановкой Р, и в мо-
мент времени t система будет находится в состоянии Р|т|ч>.
Следовательно,
(/, /0) Р | ф0> = РI Ф<> = PU (t, QI Фо)
и так как эти равенства должны выполняться при любом вы-
боре 11р0>, то
[Р, U(t, to)] = O.	(31)
Пусть Н — гамильтониан системы, тогда U(t, t0) является ре-
шением уравнения Шредингера
t0) = HU(t, t0),
удовлетворяющим начальному условию U(t0, /о) =Е Из (31) и
соотношения, получаемого из него дифференцированием по t,
‘) Если М векторов Р\и) линейно независимы, то конкретные линейные
комбинации S|и) и А|и) этих векторов, конечно, отличны от нуля. В этом
случае <5 и содержит один симметричный и один антисимметричный вектор.
94
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
имеем
[Р, Я] = 0.	(32)
Обратно, если Н и Р коммутируют, то оператор U(t, t0) и его
преобразование PUP^ при перестановке совпадают, так как
удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера с од-
ним и тем же начальным условием. Следовательно, U и Р ком-
мутируют. Итак, условие (32) коммутации гамильтониана Н
со всеми операторами перестановок Р является необходимым
и достаточным для инвариантности уравнений движения относи-
тельно перестановок.
Рассмотрим теперь физическую наблюдаемую ’) В исследуе-
мой системы и пусть |«> собственный вектор В, соответствую-
щий собственному значению Ь. Если .система находится в со-
стоянии | и}, то при измерении В результатом всегда будет Ь,
а если система находится в состоянии Р | и>, полученным дей-
ствием оператора перестановки Р на вектор |и>, то измерение
В должно дать тот же результат
ВР\и)^ЬР\и)
для любой перестановки Р. Иными словами, каждый вектор из
пространства &и, порождаемого действием всевозможных пере-
становок N частиц на состояние |и>, в свою очередь должен
быть собственным вектором оператора В, соответствующим
тому же собственному значению Ь (обменное вырождение). Для
справедливости этого утверждения при всех собственных значе-
ниях наблюдаемой В необходимо и достаточно (ср. § VII. 15),
чтобы при всех Р выполнялось равенство
[В, Р] = 0.	(33)
Таким образом, N частиц тождественны, если гамильтониан
Н и все физические наблюдаемые системы симметричны относи-
тельно перестановки этих частиц.
Следовательно, при определении состояния системы одно-
временным измерением переменных q каждой отдельной ча-
стицы состояние будет определено, в лучшем случае, лишь
с точностью до обменного вырождения* 2). Можно будет ут-
1) Выражению физическая наблюдаемая был придан смысл в § XIII. 15.
Приводимый анализ инвариантности относительно перестановок можно срав-
нить с анализом инвариантности физической наблюдаемой относительно «вра-
щений на 2л», приведенным в указанном параграфе.
2)	<?(2>, t qoo образуют полный набор коммутирующих наблюдае-
мых в пространстве S, но только симметричные функции этих величин могут
быть физическими наблюдаемыми, однако эти функции уже не образуют пол-
ного набора в <8. Постулат симметризации, который будет введен далее,
состоит в ограничении пространства векторов состояния до некоторого под-
пространства в <8, в котором рассматриваемые физические наблюдаемые обра-
зуют полный набор (и из которого, следовательно, полностью устранено об-
менное вырождение),
§ 5. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОСТУЛАТ СИММЕТРИЗАЦИИ
95
верждать, что П\ частиц из полного числа частиц N находятся
в состоянии |^i>; «2— в состоянии |7р>,	— в состоянии
1• (П1 + «2 + ... + пк +  • • = N) '> однако, наличность
частиц в каждом из этих состояний останется неопределенной.
В {(^-представлении имеется (/Vl/nJ п21 ... пх! ...) базисных
векторов, обладающих рассматриваемым свойством. Пусть
& (п\П2 ... пк ...) —пространство, образованное этими векто-
рами (порождаемыми действием АП перестановок на одно из
них, выбранное произвольно). Состояние системы описывается
одним из векторов этого пространства, но рассмотренное выше
измерение не позволяет определить, каким именно. Однако, как
мы видели в примере, приведенном в § 1, предсказания теории
существенно зависят от того, в каком состоянии находится си-
стема, и эта неопределенность является источником действи-
тельного затруднения. Она может быть устранена введением
постулата симметризации: состояния системы, содер-
жащей N тождественных частиц, будут все либо симметрич-
ными, либо антисимметричными относительно перестановок этих
N частиц.
Какое из этих предписаний следует применять, зависит от
природы рассматриваемых тождественных частиц. Частицы
с симметричными состояниями называются бозонами, а с анти-
симметричными — фермионами. (Мотивировка этих наименова-
ний станет ясной из дальнейшего.) Эксперимент показывает,
что встречающиеся в природе элементарные частицы спина '/2
(электроны, протоны, нейтроны и т. д.) являются фермионами,
тогда как частицы с целым спином (фотоны, л-мезоны и т. д.) —
бозонами.
Определенное выше пространство (tiity ... пк ...) имеет
не более чем один симметричный и не более чем один антисим-
метричный вектор. Таким образом, постулат симметризации пол-
ностью устраняет обменное вырождение. Остается только пока-
зать, что этот постулат не приводит к противоречиям с основ-
ными положениями квантовой механики, относящимися к эво-
люции физических систем и измерению физических величин.
Рассмотрим случай бозонов (фермионы можно рассмотреть
тем же способом). В предыдущем параграфе мы определили
проектор S на симметричные состояния. Он является комбина-
цией операторов перестановки (ур. (26)) и, следовательно, ком-
мутирует с оператором эволюции U(t, t0) системы
[S, U(t, /о)] = О	(34)
и физическими наблюдаемыми
[S, В] = 0.	(35)
Соотношение (34) показывает, что если система находилась
первоначально в симметричном состоянии, то она будет оста-
06
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
ваться в симметричном состоянии до тех пор, пока не будет
внешнего возмущения. Из соотношения (35) следует, что S и В
имеют по крайней мере один общий набор базисных векторов.
Если состояние системы симметрично, то разложение вектора
состояния по этому базису содержит только симметричные соб-
ственные векторы оператора В. Таким образом, очевидно, что
операция измерения наблюдаемой В оставит систему в сим-
метричном состоянии.
§ 6.	Бозоны и статистика Бозе—Эйнштейна
Рассмотрим систему N бозонов. Состояния системы обра-
зуют подпространство пространства <$. Из векторов
{Q}-представления можно построить базис в пространстве ^<S).
В каждом подпространстве (% (П1П2 • •  пх ...) мы можем по-
строить один и только один нормированный симметричный век-
тор (определенный с точностью до фазового множителя)
п,1	.. ]'" 5 ।« •' 	')’	<36>
где | q^qg2 ... qxx ...) — базисный вектор {Q}-представления,
в котором первые п\ частиц находятся в состоянии | q\), следую-
щие п2 частиц — в состоянии |<?2>, ..., следующие пх частиц —
в состоянии |^и>, ...; S — определенный выше (ур. (26)) опе-
ратор симметризации, а в квадратных скобках стоит нормирую-
щий множитель (0! = 1). Доказать это можно следующим об-
разом.
Перестановка двух частиц, находящихся в одном и том же
состоянии, не изменяет вектор lq”'q22 • • • q^x • • •), тогда как
перестановка двух частиц, находящихся в разных состояниях,
порождает другой базисный вектор {Q}-представления. В об-
щем случае, рассматриваемый вектор инвариантен относительно
любой из Ц пи!	... пи! .. .перестановок, не изменяющих
распределение частиц по состояниям ]<7i>, |<?2>, ... |^и>,
любая из остальных перестановок переводит его в другой базис-
ный вектор {Q}-представления. Применяя каждую из У! пере-
становок к | q^q*2 ... q”f ...), мы получим [Wl/II пи1] базисных
векторов пространства (%(п^пц ... пи ...), каждый из которых
будет получен (Ц nj) раз. Вектор (36) равен сумме этих базис-
ных векторов, умноженной на [Ц nx\/Ntfl2 и, следовательно,
симметричен и нормирован на единицу.
Итак, каждой последовательности ni, п2, ... пх, ... неотри-
цательных целых чисел такой, что
П\ + п2 + ... + пх + ... = N,
§ 6. БОЗОНЫ И СТАТИСТИКА БОЗЕ — ЭЙНШТЕЙНА
97
соответствует одно и только одно симметричное состояние си-
стемы, которое описывается вектором (36). Множество таких
векторов образует ортонормированный базис в
Покажем теперь, что бозонный газ подчиняется статистике
Бозе — Эйнштейна. Бозонным газом называют систему, образо-
ванную очень большим числом N бозонов, взаимодействие ме-
жду которыми достаточно слабое, так что в первом приближе-
нии им можно пренебречь. Гамильтониан Н системы можно за-
писать в виде суммы N одночастичных гамильтонианов
Я = Л<'> + Л(2)+	+Л(0+ ... +Л<Л,).	(37)
Согласно теории Больцмана равновесное термодинамическое со-
стояние реализуется, когда система находится в наиболее веро-
ятном «макроскопическом состоянии». Данное «макроскопиче-
ское состояние» в действительности является набором квантовых
состояний (или «микроскопических состояний»), близких друг
другу, так что на макроскопическом уровне их невозможно раз-
личить. Согласно эргодической гипотезе микроскопические со-
стояния с одинаковой энергией равновероятны. Вероятность за-
данного макроскопического состояния пропорциональна числу
образующих его различных микроскопических состояний. Опре-
деление термодинамического равновесия системы существенно
зависит от этого числа. Будем предполагать, что h содержится
в множестве q динамических переменных, определяющих
{Q}-представление. Каждое распределение
«1, п2, .... nw ...
JV частиц по различным возможным одночастичным состояниям
1<71>. Ы, •••»	•••
определяет одно и только одно микроскопическое состояние си-
стемы (описываемое вектором (36)). В этом как раз и состоит
основное предположение статистики Бозе — Эйнштейна, в кото-
рой частицы считаются неразличимыми. Следовательно, в ста-
тистике Бозе — Эйнштейна состояния системы, отличающиеся
друг от друга только различными расположениями тождествен-
ных частиц, заселяющих различные одночастичные состояния,
рассматриваются как одно и то же микроскопическое состояние.
С другой стороны, в статистике Максвелла — Больцмана, каж-
дая частица предполагается различимой на микроскопическом
уровне и [М/П«и!] состояний системы, соответствующих од-
ному и тому же распределению щ, п2, .... пх, ..., рассматри-
ваются как различные микроскопические состояния.
Важное замечание. Оператор плотности, описывающий
состояние системы в термодинамическом равновесии, имеет вид
р = e-Wftr/тг е-л/лг.	(38)
4 А. Мессиа
98
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
Другие формы записи оператора р, полученные из этого выра-
жения в § VIII. 25, сохраняют справедливость. Главное отличие,
вводимое в теорию постулатом симметризации, заключается
в том, что р ставится оператором в а не во всем простран-
стве ё, и различные вычисления квантовой статистики, в част-
ности нахождение следов, следует проводить именно в этом су-
женном пространстве. Итак, в случае, когда Н имеет вид (37),
оператор плотности р, рассматриваемый как оператор в про-
странстве ё, является тензорным произведением операторов, оп-
ределенных на одночастичных пространствах	.
...,
N
P = n[e-ft(0/ftr/Trze-A(')^].
i = l
Однако эта факторизация теряет смысл, если р является опе-
ратором в ^(s>, ибо каждый из N множителей, взятый в отдель-
ности, не является оператором в ^(S).
§ 7.	Фермионы и статистика Ферми — Дирака.
Принцип запрета
Анализ, подобный приведенному выше, можно провести и
в случае системы N фермионов. Ее состояния образуют подпро-
странство ё{,'} в ё.
В {Q}-представлении мы получаем полный набор ортонор-
мированных антисимметричных векторов, взяв по одному нор-
мированному антисимметричному вектору (если таковые суще-
ствуют) в каждом из подпространств ё (п\П2 ...	...). Для
существования такого вектора необходимо и достаточно, чтобы
вектор Л|^‘<722 • • • <7хи • • •} был отличен от нуля. Предположим,
что среди целых чисел щ, п-2, ..., пк, ... по крайней мере одно
превосходит 1. В этом случае в состоянии, описываемом векто-
ром |<7”‘<722 ••• Уих •••)• п0 крайней мере две частицы, скажем
i-я и /-я, заселяют одно и то же одночастичное состояние, так
что рассматриваемый вектор симметричен относительно обмена
этих частиц, т. е.
± (1 + Р(1й) I«
Но из (27) следует
А(1 +Л/л) = 0,
так что
А | q^q? ... qn* ...> = 0.	(39)
§ 7 ФЕРМИОНЫ И СТАТИСТИКА ФЕРМИ — ДИРАКА
99
Другими словами, два фермиона не могут занимать одно и то
же одночастичное состояние одновременно. Это утверждение
известно как принцип запрета Паули ').
Предположим теперь, что каждое одночастичное состояние
занято не более чем одной частицей (пи = 0 или 1). Вектор
р
является суммой АЛ взаимноортогональных векторов и, следо-
вательно, отличен от нуля. Его норма равна (\/N\). Если
|</а>, |<?р>, ..., kv> есть W занятых одночастичных состояний,
то соответствующее антисимметричное состояние описывается
нормированным вектором y/N\A\q^q<^ ... Этот вектор
можно представить в виде определителя W X W-ro порядка (оп-
ределитель Слэтера)
^.A\q^	’
К><0 К)'2’ •••ИаГ
и/’ п₽)(2> - и₽Г
1^’>(1) Ю(2)-Ю(Л°
Тождество (40) можно проверить непосредственно, разложив
определитель, стоящий в правой части. Более того, соотноше-
ние (40) остается справедливым, когда некоторые из N одно-
частичных состояний тождественны, так как в этом случае две
или большее число строк матрицы совпадают и определитель
равен нулю, что соответствует принципу Паули.
Таким образом, каждому набору ]<?«>, |<?р>, ..., |qv) из N
различных состояний, выбранных из одночастичных состояний
|<7i>, |<?2>, .... \ЦиУ, •  •, соответствует одно и только одно ан-
тисимметричное состояние, описываемое вектором (40). Полу-
ченное в результате множество векторов образует ортонорми-
рованный базис в ^(л>.
Фермионный газ подчиняется статистике Ферми — Дирака.
Доказательство подобно доказательству аналогичного утвержде-
ния в бозонном случае. Единственное различие состоит в ну-
мерации микроскопических состояний. Каждый набор из N раз-
личных одночастичных состояний определяет одно и только одно
микроскопическое состояние системы фермионов, описываемое
') Принцип запрета был сформулирован Паули в 1925 г. как общее свой-
мов0(ЭЛе§Т1>2)НОВ’ позволяю1цее объяснить структуру спектров сложных ато-
4*
100
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
вектором (40). В этом и состоит основное положение статистики
Ферми—Дирака, которая означает, что эти частицы неразли-
чимы и что не более чем одна из них может находиться в каж-
дом из одночастичных состояний.
Замечание, приведенное в конце предыдущего параграфа,
применимо также и к фермионам. Оператор плотности для си-
стемы фермионов, находящихся в термодинамическом равнове-
сии, определяется равенством (38), однако в этом случае он
является оператором в
Итак, различия между тремя типами статистик для тожде-
ственных частиц обусловлено различным определением про-
странства векторов состояния, как это указано в табл. I.
Таблица I
Статистика	Максвелла — Больцмана	Бозе — Эйнштейна	Ферми — Дирака
Тип частиц	Различимые	Неразличимые	Неразличимые + принцип запрета
Пространство векторов состояния		^(3)	<у(А)
§ 8.	Всегда ли необходимо симметризовать
волновую функцию?
Рассмотрим систему п тождественных частиц. Если части-
цами являются электроны, то состояние системы описывается
антисимметричной волновой функцией. Однако во вселенной
имеются не только эти электроны. Отказ от учета влияния дру-
гих электронов и рассмотрение системы электронов в виде це-
лого, отделенного от всего остального, предполагает, что на' ди-
намические свойства рассматриваемых п электронов не влияет
наличие других электронов. Возникает вопрос, является ли та-
кое предположение хорошо обоснованным или существуют оп-
ределенные корреляции между п электронами исследуемой си-
стемы и другими электронами, не входящими в нее, что означало
бы несправедливость рассматриваемого предположения.
В практических приложениях все электроны системы содер-
жатся внутри некоторой области D пространства, а интересую-
щие нас динамические свойства соответствуют измерениям, ко-
торые следует проводить внутри этой области. Оказывается, что
§ 8 НЕОБХОДИМО ЛИ СИММЕТРИЗОВАТЬ ВОЛНОВУЮ ФУНКЦИЮ? Ю1
наличие других электронов можно попросту не учитывать до тех
пор, пока они остаются вне области D, и до тех пор, пока их
взаимодействие с электронами системы остается пренебрежимо
малым. Этот результат имеет общий характер и в одинаковой
степени применим как к фермионам, так и к бозонам. Докажем
его для специального случая системы, состоящей из двух фер-
мионов.
Если пренебречь наличием всех остальных частиц, то дина-
мическое состояние двух фермионов описывается нормирован-
ной антисимметричной волновой функцией <р(1,2), где 1 и 2
обозначают координаты и компоненты sz спина частиц 1 и 2
соответственно. В общем случае, заданное состояние системы,
скажем состояние %, описывается антисимметричной нормиро-
ванной волновой функцией %(1,2). Если в заданный момент
времени система находится в состоянии <р, то ее динамические
свойства в этот момент времени определяются набором вероят-
ностей
аУ = |<х1ф>12-	(41)
В реальной ситуации два рассматриваемых фермиона состав-
ляют часть системы из N фермионов. Рассмотрим вопрос о том,
совпадают ли полученные динамические свойства с теми, кото-
рые могут быть найдены при учете существования остальных
(N — 2) фермионов. Пусть Ф(3, 4, . . ., N)— нормированная ан-
тисимметричная волновая функция, описывающая динамическое
состояние остальных (N — 2) фермионов. Если фермионы 1 и 2
не тождественны с фермионами 3, 4, ..., W, то состояние всей
системы описывается волновой функцией
<р(1, 2)ЧДЗ, 4...N)
и сохраняет это свойство факторизуемости до тех пор, пока
взаимодействие между двумя выделенными фермионами и
остальными фермионами системы остается пренебрежимо ма-
лым. В действительности же, вектор |Ф>, корректно описываю-
щий состояние всей системы, пропорционален антисимметрич-
ному вектору А | ф'Р>, где А — оператор антисимметризации V
частиц (определение (26)).
По предположению, волновые пакеты ф и Т не перекры-
ваются, иначе говоря, с достоверностью известно, что два фер-
миона находятся внутри указанной области D пространства,
тогда как остальные расположены вне D. Более того, нас инте-
ресуют только динамические свойства двух фермионов, находя-
щихся внутри D.
Обозначим 0(3, 4, ..., Л/) нормированную антисимметрич-
ную волновую функцию, обращающуюся в нуль в случае, когда
какие-либо из (N — 2) координатных векторов г(3>, ..,, г(ЛГ> на-
102
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
ходится внутри D. Волновая функция W описывает состояние
системы из (М — 2) фермионов, находящихся вне D. По пред-
положению, Т является функцией такого типа. Если функции
©1, ©2, . .., ©,, .. . образуют полный ортонормированный базис
функций указанного вида, то
^=£©г(©г|П
i
Обозначим х(1, 2) произвольную нормированную антисимме-
тричную волновую функцию частиц 1 и 2, обращающуюся в
нуль, когда хотя бы один из векторов, г(1> или г(2), находится
вне D. Следовательно, % описывает два фермиона, находящихся
внутри D. По предположению функция <р имеет такой вид.
Перестановки N частиц можно разбить на два класса в со-
ответствии с их действием на вектор |%©>. Перестановки пер-
вого типа, обозначаемые F, изменяют только знак вектора |%0>.
Имеется всего 2! (W — 2)! перестановок, меняющих местами ча-
стицы 1 и 2 или переставляющих частицы 3, 4, ..., N друг
с другом. Таким образом,
F|X©> = (- l>f|%©>.
Все остальные перестановки G переставляют по крайней мере
одну из частиц 1,2 с одной из остальных (N — 2) частиц. Сле-
довательно G|%©> описывает состояние, в котором по крайней
мере одна из частиц (1, 2) находится вне D, так что этот век-
тор ортогонален любому вектору |%©>
<%'©'| G |%©) = 0.
Далее, получаем следующее тождество:
</©' I А |%©> = 4г Е1)₽ I Р I =
р
= 21 (4?2"' <Х^1х0).	(42)
Заметим, что норма вектора А|%©> равна <х©|А|%©>, т. е.
21 (N — 2)!/М.
Нам надо определить вероятность w того, что два фермиона,
расположенные внутри D, находятся в состоянии %. Если бы
(N — 2) оставшихся фермиона были отличны от этих двух, то
состояние системы описывалось бы вектором | <рЛР>, а искомая
вероятность определялась бы по формуле
Е I Ш 1ф^> |2 = I <х| Ф) Р (Е |<0г| У) Q=| <xl Ф> р. (43)
§ 9. СТОЛКНОВЕНИЕ ДВУХ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИН
103
Поскольку все N фермионов тождественны, состояние системы
имеет вид
|ф>=уси1фчо (q-2, (Л2),).
а искомая вероятность есть вероятность обнаружить систему
в одном из состояний, описываемых ортонормированными анти-
симметричными векторами
|Х/> = 7с1гЛ|%0/>,
т. е.
Е<xt |Ф> i2=(с^)2 Е |<%©г । л |<рУ> I2.
i	i
Из (42) и (43) следует
w = ЕI I I2=I <х I ф> р,
i
что совпадает с (41).
Итак, результат, который получен в пренебрежении осталь-
ными (N — 2) фермионами, является корректным.
Раздел II. ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 9. Столкновение двух тождественных бесспиновых
частиц
В этом параграфе мы подведем итоги обсуждению задачи
о столкновении, рассмотренной в § 1.
Пусть (/?, Р) и (г, р)—динамические переменные центра
масс и относительного движения двух частиц
Р = 1 (Га> + г(2)), г = г<»-г(2>.	(44)
Гамильтониан имеет вид
»2 п2
я =	+ —+V(r),	(45)
а динамическое состояние системы в любой заданный момент
времени описывается волновой функцией Чг(/?, г), зависящей
от р и г.
При перестановке частиц Р не меняется, а г переходит в —г.
Поскольку волновая функция обязана удовлетворять постулату
104
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
симметризации, то ’)
W (Я, - г) = ± Т (Я, г),	(46)
где верхний знак берется в случае, когда обе частицы — бозоны,
а нижний — фермионы.
Сперва рассмотрим эту задачу, предполагая, что частицы
различимы. Ее решение приведено в разделе I главы X. Нэпом-
ним кратко решение этой задачи, сохраняя обозначения §Х. 4—7.
До столкновения (/<С 0) состояние системы, образованной
частицей мишени и налетающей частицей, характеризуется
относительной скоростью v = hk/l/2in и прицельным пара-
метром Ь. Запишем волновую функцию в виде произведения
Ф(Я,(г> 0, гДе Ф и Ф— Два свободных нормированных
волнов’ых пакета2). В системе центра масс групповая скорость
волны Ф(Я, /) равна нулю, а волна ф(г, t) распространяется
со скоростью v. В приближениях, используемых при вычислении
поперечного сечения, расплыванием пакета ф(г, t) можно пре-
небречь, так что его форма фиксирована и может быть опреде-
лена соотношением (ур. (13))
Ф» (г, t) = е~1кЬ~ ‘Е^л%(г — vt — b) elkr.	(47)
После столкновения (/	0) волновая функция ЧЧ (Я, г, t),
удовлетворяющая этим начальным условиям, имеет вид
(Я, г, /) = Ф (Я, I) [ф, (г, 0 +	(г, /)],	(48)
где /) — расплывающийся волновой пакет (ур. (20))
(r> I) ~	[и (г — vt) + s — &] / (0, ф)-^у-• (49)
Поскольку рассмотрение ведется в системе центра масс, волно-
вой пакет Ф(Я, 0 остается сконцентрированным в начале коор-
) Перестановка является операцией, отличной от пространственного от-
ражения, при котором оба аргумента R и г изменяют знак. В приводимом
нами обсуждении, когда предполагается, что частицы бесспиновые, и когда,
как мы увидим ниже, центр масс не играет существенной роли, эти две опера-
ции можно легко спутать, поскольку они одинаково действуют на функцию
относительного движения.
2) Строго говоря, начальное состояние должно описываться произведением
вида (3), поскольку до столкновения корреляции между частицами отсутст-
вуют. Произведение Ф<р представимо в форме (3) только в том случае, когда
волны Ф и ф имеют специальный вид. Например,
Фф ~ exp [Z (KR + kr) - а (4 (R - Ro)2 + (г - Го)2)].
Однако вычисление сечений не зависит от конкретного вида начальных вол-
новых пакетов, и можно пренебречь ошибкой, которая обусловлена тем, что
в качестве исходного берется волновой пакет вида Фф. Все это неявно пред-
полагалось в обсуждении, приведенном в § 7.
§ 9. СТОЛКНОВЕНИЕ ДВУХ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
105
динат и сечение рассеяния о(1)(й) первой частицы в направле-
нии й = (0, <р) равно сечению рассеяния в относительной си-
стеме для того же направления, т. е. (§ X. 6)
<т<»(Й) = 1Ш Ф)!2.	(50)
Сечение рассеяния о(2)(й) второй частицы в направлении й
равно сечению рассеяния в относительной системе в противопо-
ложном направлении, т. е.
ff(2) (Q) = | f (л - 0, ф + л) р.	(51)
В случае, когда частицы тождественны, в приведенное рас-
смотрение необходимо ввести две важные модификации:
(а)	детектор уже не может различить частицы 1 и 2, следо-
вательно, сечение <т(й) должно быть переопределено;
(б)	функция Wft должна быть соответствующим образом сим-
метризована.
Модификация (а) характерна не только для квантово-меха-
нического рассмотрения. Определим о(й) как число частиц
(1 и 2), испущенных в телесном угле (Й, й + с?й) за единицу
времени в расчете на единичный падающий поток, т. е. (ср.
УР- (5))
o(Q) = ff(l)(Q) + ff(2)(Q).	(52)
Отметим, что в этом случае
</‘°‘> = 4$<т(йМй,	(53)
если мы сохраняем обычное определение полного сечения рас-
сеяния o<tot) как числа частиц, отклоненных от падающего по-
тока за единицу времени в расчете на единичный падающий
поток.
С другой стороны, модификация (б) является специфическим
квантовым эффектом. Соответствующим образом симметризо-
ванный волновой пакет, воспроизводящий те же начальные ус-
ловия, что и Чгй (#, г, I), определяется, как мы сейчас покажем,
выражением
ФЙ(Я г, t) = -^[Wb(R, г, t)±Wb(R, -г, 0].
До столкновения, т. е. при t С 0, эта функция ЧД имеет вид
Ф(Я, 0фй(г, /), где (ур. (47))
фй (Г, t) — Q-lkb-lBtlh _1
V2
[% (г — vt — 6) eiftr ± % (—г — vt— Ь) е~<йг].
Таким образом, Фф является суммой двух волн. Первая описы-
вает начальное состояние в системе центра масс при столкнове-
106	гл. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
нии, в котором частица 1 налетает на частицу 2 с относительной
скоростью v и прицельным параметром Ь, тогда как вторая
волна определяет состояние, в котором частицы 1 и 2 поменя-
лись местами. Поскольку эти волны не перекрываются (так как
f<0), а каждая из них имеет норму 1/2, то Фф является нор-
мированной волновой функцией, описывающей, подобно Фф,
две частицы, налетающие друг на друга с относительной ско-
ростью v и с прицельным параметром Ь.
После столкновения Ф», подобно 4*6, является суммой двух
членов (ср. ур. (48)). Первый член Фф описывает проходящую
волну и не дает вклада в сечение, второй член Фф(сг> описывает
рассеянную волну и получается из Фф(сг) применением к ф(</)
операции симметризации того же типа, что и при переходе от
Ф„
ф(“) (г, 0 = -Jy [ф<р> (г, Z) ± ф«) (- г, 0].
Возвращаясь к асимптотическому выражению (49), видим, что
переход от Фф(</) и Фф^> состоит в замене амплитуды рассея-
ния f(0, ф) на сим метризованную амплитуду
f (0, ф) = -^=г-[/(0, ф)±/(л — 0, ф + л)].
Используя выражение для рассеянных волновых пакетов, по-
лучаем сечение рассеяния тем же способом, что и в случае раз-
личимых частиц
a<»(Q) = |f (0, ф) |2 = j| f (0, ф) ± f (л — 0, ф-|-л) |2,
<т<2> (Q) = I f (л - 0, ф + л) р = о*1» (Q).
В соответствии с определением (52)
a(Q) = 2|f (0, ф) |2 = | f (0, ф)±/(л-0, ф + л) |2.	(54)
Напомним, что амплитуда рассеяния является коэффициен-
том при расходящейся волне в стационарном решении уравне-
ния Шредингера
-^(Д + £2)ф(г)==7(г)ф(г),
имеющим асимптотический вид
pikr
eikr + f(8, ф)-^-.
Симметризованная_ амплитуда рассеяния /(0, ф) получается
умножением над/ 2 либо четной части амплитуды f(0, ф), либо
§ 10. СТОЛКНОВЕНИЕ ПРОТОНОВ
107
ее нечетной части, в зависимости от того, являются ли рассма-
триваемые частицы бозонами или фермионами. Если V—цен-
тральный потенциал, то четная часть /(0) является суммой
вкладов от парциальных волн четного порядка, а нечетная
часть — суммой вкладов от парциальных волн нечетного по-
рядка. При энергиях, достаточно малых для того, чтобы основ-
ной вклад давала бы s-волна, два (бесспиновых) фермиона
практически не рассеиваются друг на друге, в то время как се-
чение рассеяния двух бозонов в четыре раза больше чем в слу-
чае^ различимых частиц. (Амплитуда рассеяния умножается на
•V2, а сечение равно удвоенному квадрату модуля симметризо-
ванной амплитуды, что и дает в результате множитель 4.) .
§ 10. Столкновение протонов
Проведенное в предыдущем параграфе исследование может
быть легко распространено на случай столкновения двух тожде-
ственных частиц со спином. В качестве примера рассмотрим
столкновение двух протонов, предполагая, что потенциал взаи-
модействия имеет центральную симметрию. Полный спин яв-
ляется постоянной движения, однако взаимодействие в синглет-
ном и триплетном состояниях может быть различным.
Пусть fs(d) и ft (В) обозначают соответствующие несимме-
тризованные амплитуды рассеяния. Поскольку протоны являют-
ся фермионами, волновая функция должна быть антисимметрич-
ной относительно перестановки этих частиц. Если функция опи-
сывает триплетное состояние, то она симметрична относительно
обмена спинов и, следовательно, антисимметрична относительно
перестановки координат г(1> и г(2), так что симметризованная
амплитуда рассеяния имеет вид
ff(0)= * ^(0)-/у(л-0)].
V 2
Поперечное сечение рассеяния протонов в триплетном состоя-
нии
ut (Q) = 2 | (0) |2 = | ft (0) - f t (л - 0) |2.
Если же волновая функция описывает синглетное состояние, то
она является антисимметричной при обмене спинов и, следова-
тельно, симметричной относительно обмена пространственных
координат, так что в этом случае симметризованная амплитуда
рассеяния имеет вид
fs(0) = -^[fs(0) + fs(«- 0)].
108
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
Таким образом, поперечное сечение рассеяния двух протонов
в синглетном состоянии
(Q) = 21 fs (6) р = | fs (6) + fs (л - 0) |2.
Если мишень и налетающий поток состоят из неполяризован-
ных протонов, то в каждом столкновении имеется случайное
распределение спинов у налетающей частицы и частицы ми-
шени. Поскольку пространство триплетных состояний трехмер-
но, а пространство синглетных состояний одномерно, то полный
спин в начальном состоянии с вероятностью 3/4 будет равен
единице и с вероятностью 1/4 равняется нулю, так что
q(Q) = 4o<(Q) + |os(Q) =
= 4|М0)-Ыл-0)12 + ||Ь(6) + Мл-О)|2.	(55)
Если дополнительно предположить независимость потенциала
от спина, то
fs(0) = M0) = f(0),
и мы получаем окончательно
a (Q) =1 f (0) I2 + If (л-0) р - 1 [Г (0) f (л-0) + f (0) Г (л-0)]. (56)
В частности, в области достаточно низких энергий, когда
можно пренебречь ядерными силами и рассматривать V(r) как
отталкивающий кулоновский потенциал е2/г, амплитуда рассея-
ния f(0) определяется формулой (XI. 33), а сечение рассеяния —
формулой Мотта
X [sin-1 4+ “5“' у — sln’!f»»"!4cos('fc '"(^т))]' <57>
где Е — энергия в системе центра масс, а и — относительная
скорость двух протонов. Полезно сравнить этот результат с фор-
мулой Резерфорда (ур. (XI. 36)).
Классическое рассмотрение дает только два первых члена
формулы Мотта
(q)=(-& )2 [sin~4 4+cos-4 4] •
Третий член обусловлен чисто квантовым эффектом интер-
ференции амплитуд рассеяния /(0) и /(л— 0). Если е2/йи ^>.1,
то этот член осциллирует около нуля тем быстрее, чем больше
мы отклоняемся от угла 0 = 1/2л (в любом направлении). В пре-
деле Й -> 0 эти осцилляции, сохраняя амплитуду, становятся все
§ 11. СТАТИСТИКА АТОМНЫХ ЯДЕР
109
более быстрыми, так что среднее значение сечения о(£2), усред-
ненное по малому, но не нулевому телесному углу р(й), стре-
мится к классическому сечению <rci (Q).
§ 11. Статистика атомных ядер
Во многих задачах ядра атомов можно рассматривать как
частицы, имеющие определенный спин j.
В атомной физике это приближение весьма эффективно.
Атомное ядро является ансамблем J'f нуклонов: Z протонов и
А нейтронов (Л3 = Z + N). Динамические переменные атом-
ного ядра описываются функциями фундаментальных перемен-
ных образующих ядро Л3 частиц. Пусть R и Р — координата и
импульс центра масс (ср. § IX. 13). Обозначим р набор вну-
тренних переменных: спинов, относительных координат и им-
пульсов нуклонов. Среди этих переменных особенно существен
полный момент импульса j внутренних переменных, так назы-
ваемый спин ядра. Момент / представляет собой сумму спинов
отдельных нуклонов, и (Л3— 1)-го относительного орбиталь-
ного момента импульса. Согласно правилу сложения моментов j
может принимать как целые, так и полуцелые значения, в зави-
симости от того является ли Л3 четным или нечетным.
В отсутствие внешнего поля движение центра масс отде-
ляется, и гамильтониан системы представим в виде суммы двух
членов: кинетической энергии центра масс Рг1Ч1Л (здесь М —
полная масса ядра) и .внутренней энергии /г(р), включающей
как кинетическую энергию нуклонов, так и энергию их взаимо-
действий друг с другом. Гамильтониан h имеет определенное
число связанных состояний. Обозначим е0 собственное значение,
соответствующее основному состоянию. Поскольку силы между
нуклонами инвариантны относительно вращений, то й(р) ком-
мутирует с тремя компонентами векторного оператора j (см.
гл. VIII). Каждому собственному значению в дискретном
спектре гамильтониана соответствует определенное собственное
значение j спина, которое (2/+ 1)-кратно вырождено. В даль-
нейшем / обозначает спин основного состояния, ц — возможные
значения /г(ц =—/, —j + 1, •••, +/), а Хи— собственную
функцию основного состояния с моментом импульса (/р.)
й (р)	= еоХц>
Эти (2/ + 1) векторов отличаются друг от друга только своей
ориентацией. Все они могут быть получены один из другого
действием операторов /+, /_ и образуют базис представления
векторного оператора /. Радиус ядра имеет порядок от 10~13 до
1СН2 см и, следовательно, среднее межнуклонное расстояние для
ядра в состоянии Хц имеет тот же порядок.
110
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
До тех пор пока ядро остается в основном состоянии волно-
вая функция системы имеет вид ф (/?, р) и ядро можно
рассматривать как частицу со спином / и волновой функцией
ф(/?, р) в представлении {/?, /2}, поскольку h(p) в гамильто-
ниане может быть заменено на постоянную ео, а ф(/?, р) разви-
вается во времени так же, как и волновая функция свободной
частицы массы М (с точностью до не имеющего физического
значения постоянного фазового множителя).
Если ядро находится во внешнем поле, например, в электри-
ческом поле с потенциалом V (г), то гамильтониан будет содер-
жать, помимо уже упомянутых выше членов, члены, отвечаю-
щие взаимодействию Z протонов с внешним полем. В этом слу-
чае ядро можно рассматривать как частицу со спином / только
приближенно, так как гамильтониан теперь не коммутирует
с h(p). Однако если поле незначительно изменяется на расстоя-
ниях, имеющих тот же порядок, что и радиус ядра, то это при-
ближение остается достаточно хорошим, ибо в этих условиях
значение поля в месте нахождения каждого из протонов можно
заменить его зналением в центре масс. В этом случае внешнее
взаимодействие равно ZeV(R) и собственные состояния гамиль-
тониана имеют вид У, ф(/?, р)хц,где ф(/?, р)—стационарное со-
И
стояние частицы массы М спина j и заряда Ze в электрическом
потенциале1) V(R).
Рассмотрим систему из п ядер, каждое из которых нахо-
дится в своем основном состоянии. Приближение, в котором
каждое из ядер рассматривается как частица с заданным спи-
ном будет оправдано до тех пор, пока эти ядра будут доста-
точно удалены друг от друга, что имеет место, например, в слу-
чае молекулы или твердого тела. Пусть координата 1-го
ядра, а рЦ> есть z-компонента его спина. Тогда волновая функ-
ция системы зависит от и р(г), а движение системы опреде-
ляется гамильтонианом, зависящим от переменных /?<'>, Р<г>
и /(1).
Рассмотрим, как изменяется это упрощенное описание при
введении постулата симметризации. Можно ожидать, что сим-
метризация будет существенна лишь в том случае, когда неко-
торые из ядер тождественны. Это можно доказать тем же мето-
дом, что и в § 8. Два разных ядра являются различными части-
цами, несмотря на тождественность частиц, протонов и нейтро-
нов, составляющих эти ядра.
*) Первая поправка к этому приближению сохраняет используемое на-
глядное представление о ядре и состоит в приписывании ядру квадрупольного
момента (если j 5= 1), который может быть представлен в виде функции от
компонент j и приводит к взаимодействию между спином ядра и внешним
полем.
§ И. СТАТИСТИКА АТОМНЫХ ЯДЕР
Ш
Рассмотрим систему двух тождественных ядер спина /. Бу-
дем описывать состояние системы волновой функцией
ф^1»,	(V2»).
Перестановка двух ядер — операция Р, определяемая соотно-
шением
Рф = ф ц'2); рФ).
В действительности, система содержит 2Z протонов и 2Л/ ней-
тронов, и ее динамическое состояние получается антисимметри-
зацией по протонам и нейтронам вектора
фг=£ф(7?(1>, ц,;	Ц2) ХМ-
Операция Р состоит в замене координат и спинов протонов и
нейтронов первого из ядер на координаты и спины протонов и
нейтронов, второго — для всех Л3 элементарных перестановок.
Поскольку каждая из последних приводит к изменению знака
у антисимметризованного вектора, то получаем
рчг = (— 1ИЧ'.
Так что
Рф = (—рл’ф.
Сказанное легко может быть распространено на системы, содер-
жащие более двух тождественных ядер. Волновая функция
должна быть симметрична или антисимметрична относительно
перестановок тождественных ядер в соответствии с четностью
или нечетностью числа нуклонов, образующих ядро.
Иными, словами, ядра атомов будут:
(а)	бозонами, если они содержат четное число нуклонов;
(б)	фермионами, если они содержат нечетное число нукло-
нов.
Эти различия в статистике могут неожиданно проявиться во
многих явлениях, в которых на первый взгляд чисто ядерные
эффекты представляются несущественными. Именно такая си-
туация возникает при исследовании удивительных свойств жид-
кого гелия (Не4) при очень низких температурах. Не4 подчи-
няется статистике Бозе — Эйнштейна, тогда как его изотоп Не3
подчиняется статистике Ферми — Дирака и ведет себя при низ-
ких температурах совершенно иначе.
В дальнейшем (§ XVIII.17) мы еще раз встретимся с необхо-
димостью учета статистики ядер при описании полосатых спек-
тров гомонуклеарных диатомных молекул.
112
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
§ 12. Сложные атомы. Приближение центрального поля
Принцип Паули существен при описании спектров сложных
атомов.
В отсутствие внешнего поля гамильтониан атома не зависит
от спинов его Z электронов и определяется формулой (ХШ. 71).
Для большей точности следовало бы добавить члены, соответ-
ствующие спин-орбитальному взаимодействию, но в рамках на-
стоящего обсуждения ими можно пренебречь. За исключением
специального случая атома водорода (Z — 1) задача на соб-
ственные значения для такого гамильтониана не может быть
решена в явном виде.
Для определения стационарных состояний атома часто ис-
пользуется приближение независимых частиц или приближение
центрального поля, согласно которому каждый из электронов
движется независимо от других в центральном потенциале V (г),
описывающем притяжение со стороны ядра, и усредненный эф-
фект отталкивания от других электронов. Ясно, что упомянутый
эффект зависит от динамического состояния электронов, и та-
ким образом один потенциал V (г) не может даже приближенно
объяснить особенности всего спектра атома. Однако если огра-
ничиться изучением основного и первых возбужденных состоя-
ний атома, то вид V(r) можно фиксировать, и чем разумнее бу-
дет выбор потенциала, тем лучше будет приближение. Суммар-
ное действие электронов приводит к экранированию кулонов-
ского поля ядра, чтр становится все более заметным по мере
удаления от ядра: V(r), имеющий вид —Ze2/г вблизи начала ко-
ординат, с ростом г все более значительно отклоняется от чисто
кулоновской формы и переходит в —е2/г в асимптотической об-
ласти. Эти полуколичественные рассмотрения достаточны для
наших целей. В дальнейшем мы обсудим два метода определе-
ния V(r): метод Томаса — Ферми (§ 13) и метод Хартри — Фока
(гл. XVIII).
В приближении центрального поля гамильтониан имеет вид
Н = Л<1> + Л<2> + ...	(58)
где
Собственными векторами гамильтониана Н являются опре-
делители Слэтера порядка Z X Z, которые могут быть построены
из базисных векторов оператора h. Собственное значение опера-
тора Н, соответствующее данному определителю Слэтера, равно
сумме энергий Z одночастичных состояний, которые участвуют
§ 12. СЛОЖНЫЕ АТОМЫ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОЛЯ
113
в построении этого детерминанта. Таким образом, задачу на
собственные значения для Н легко решить, если известно ре-
шение задачи для одночастичного гамильтониана h.
Оператор h является гамильтонианом частицы со спином 1/2,
которая находится в не зависящем от спина центральном по-
тенциале. Решение соответствующей задачи на собственные зна-
чения в случае бесспиновых частиц было приведено в главе IX.
Наличие спина приводит лишь к двукратному вырождению каж-
дого уровня. Операторы h, I2, 1г и sz образуют полный набор
коммутирующих наблюдаемых, базисные векторы \nlmimsy ко-
торого нумеруются четырьмя квантовыми числами п, I, mi, ms.
Спиновое квантовое число ms может принимать значения ±V2;
главное квантовое число п определяется так же, как и в задаче
об атоме водорода. (Число нулей радиальной волновой функ-
ции равно п— I— 1.) Поскольку энергия каждого состояния е,,/
зависит только от п и I, то каждый отдельный уровень 2(2/ + 1)-
кратно вырожден.
Порядок следования уровней eni в спектре энергии слабо за-
висит от формы потенциала V(r). При заданном / уровни рас-
положены в порядке возрастания п. Если бы V(r) был чисто ку-
лоновским потенциалом, то все уровни, отвечающие данному
значению n(/=0, 1, ..., п — 1), совпадали бы (см. рис. 36, т. 1).
Экранирующий эффект остальных электронов приводит к тому,
что эти уровни поднимаются с увеличением среднего расстоя-
ния электрона от ядра, следовательно, уровни растут с ростом
п и I. Если ограничиться рассмотрением основных и возбужден-
ных состояний атома, то порядок следования уровней для всех
атомов практически один и тот же:
Is 2s 2р 3s Зр [4s, 3d] 4р [5s, 4d] 5р [6s, 4/, 5d] 6p [7s, 5/, 6d]
2 2 6 2 6 2+ 10 6 2+ 10 6 2+ 14+ 10 6 2 + 14+ 10
Уровни, заключенные в скобки, почти совпадают, и их порядок
может меняться при переходе от одного атома к другому. Число,
стоящее под каждым из термов, дает кратность вырождения
соответствующего уровня.
Каждому набору Z одночастичных состояний соответствует
определитель Слэтера и, следовательно, стационарное состоя-
ние атома. Энергия этого состояния равна сумме энергий состав-
ляющих его одночастичных состояний и зависит только от числа
электронов, находящихся на каждом из уровней еп/. Задание
чисел заполнения каждого одночастичного уровня определяет
конфигурацию. При таком определении состояния, отвечающие
одной и той же конфигурации, имеют одинаковые энергии.
Пусть V,- — число электронов, занимающих уровень е,-, V/ не
превосходит вырождения g, этого уровня. Если v» = gt, то элек-
114
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
троны образуют замкнутую оболочку, если vi < gi, то оболочка
не заполнена. Имеется
— vj!
способов распределения v, электронов по gi одночастичным со-
стояниям уровня. Следовательно, почти все конфигурации вы-
рождены за исключением тех, которые целиком состоят из за-
полненных оболочек.
Для образования конфигурации основного состояния надо
разместить Z электронов на низших энергетических уровнях.
Эти электроны занимают h оболочек, из которых первые (/г — 1)
заполнены, а последняя в общем случае не заполнена, за исклю-
чением некоторых значений Z (Z = 2, 4, 10, 12, 18 и т. д.).
Рассмотрим для примера атом углерода (Z = 6). В основ-
ном состоянии оболочки 1s и 2s заполнены, а два оставшихся
электрона находятся на 2р-оболочке. Поскольку имеется d = 15
способов размещения этих электронов по 6 уровням этой обо-
лочки, то основное состояние атома углерода (в приближении
независимых частиц) 15-кратно вырождено. В случае неона
(Z = 10) основное состояние состоит из трех заполненных обо-
лочек: Is, 2s и 2р и, следовательно, невырождено.
Электроны, заполняющие низшие оболочки, находятся на
наиболее близком расстоянии от ядра. Химические свойства ато-
мов практически не зависят от движения этих электронов. При
низких энергиях, которыми характеризуются химические реак-
ции, взаимодействия между атомами зависят в основном, если
не исключительно, лишь от движения электронов на внешних
оболочках. Следовательно, два атома, внешние оболочки кото-
рых имеют сходную электронную структуру, имеют близкие хи-
мические свойства. Так, внешней оболочкой для всех инертных
газов (Ne, Аг, Кг, Хе) является заполненная р-оболочка. У га-
логенов (F, С1, Вт, I) на внешней р-оболочке отсутствует один
электрон. Наконец, у щелочных элементов (Na, К, Rb, Cs) на
s-оболочке имеется всего один электрон, а р-оболочка, располо-
женная сразу под s-оболочкой полностью заполнена. В общем
случае положение каждого элемента в периодической таблице
легко может быть предсказано, если известен порядок заполне-
ния его электронных оболочек *).
’) Дальнейшие детали квантовомеханического объяснения химических
свойств атомов имеются в работах: М. Борн. Атомная физика. М., Мир, 1967;
L. Pauling, Е. В. Wilson. Introduction to Quantum Mechanics, New-York,
McGraw-Hill, 1935. Общую теорию атомных спектров см. в кн.: Е. Кондон,
Т. Шортли. Теория атомных спектров. М., ИЛ., 1949; G. Racah. Phys. Rev. 62,
438 (1942); 63, 367 (1943).
§ 13. МОДЕЛЬ АТОМА ТОМАСА — ФЕРМИ
115
§ 13. Модель атома Томаса—Ферми
Потенциал основного состояния в случае Z » I можно оп-
ределить, используя полуклассический метод, развитый Тома-
сом и Ферми.
Пусть р(г)—плотность вероятности обнаружить электрон
в элементе объема (г, г + dr) в случае, когда атом находится
в основном состоянии. Мы будем предполагать, что эта функ-
ция сферически симметрична. Она удовлетворяет условию нор-
мировки
оо
4л р (г) г2 dr — Z.	(59)
о
Z электронов образует вокруг ядра облако с отрицательным
электрическим зарядом средней плотности —ер(г). Заряды
атома создают усредненный электрический потенциал Ф(г), ко-
торый определяется:
(i) точечным зарядом Ze ядра, помещенного в начало коор-
динат;
(и) непрерывным распределением электрического заряда
с плотностью —ер (г).
Потенциал Ф является решением уравнения Пуассона
Аф = 7(^г)ф = 4лер,	(60)
которое ведет себя в начале координат согласно условию
ИтгФ — Ze.	(61)
г->0
В пределе Z 1 электрическое поле, порождаемое одним
электроном, мало по сравнению с полем остальных электронов,
и в приближении независимых частиц потенциал, действующий
на каждый электрон, имеет вид —еФ(г).
В основном состоянии атома Z электронов занимают Z низ-
ших квантовых состояний частицы с массой т в поле —еФ.
Плотность р(г) равна сумме плотностей |ф|2 первых Z уровней.
Это означает наличие функциональной связи между р(г) и по-
тенциалом —еФ. Для определения этой зависимости мы обра-
тимся к следующему «полуклассическому» приближению.
В классическом пределе число стационарных состояний в по-
лосе энергий (е, 8 + бе) пропорционально объему, занятому
этой полосой в фазовом пространстве соответствующей класси-
ческой частицы. Коэффициент пропорциональности равен 2//г3,
что в два раза больше, чем множитель, использованный
в § VI. 11, из-за того, что электрон имеет два состояния спина.
Когда заполнены Z низших квантовых состояний, распределение
116
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
энергии электронов в атоме совпадает с распределением энер-
гии статистической смеси Z классических электронов, имеющих
в фазовом пространстве плотность
( —
п (Г, р) = •{ Л3 ’
I о,
если
если
е^^“еФ<е°’
е > Во,
(62)
где ео — энергия высшего из заполненных уровней. Поскольку
начало отсчета энергии можно фиксировать произвольно, мы
положим е0 — 0.
Квазиклассическое приближение состоит в предположении,
что электроны в атоме имеют то же пространственное распреде-
ление, что и классическая статистическая смесь
Р (г) = J п(г, p)dp = -^ dp.
е<0
Заменив е его выражением через р и Ф, находим после неслож-
ного интегрирования
(	(2теФ)‘1г, если Ф > 0,
Р0 = < ЗЛ	(63)
I 0, если Ф < 0.
Подставив (63) в правую часть равенства (60), получаем диф-
ференциальное уравнение второго порядка для Ф. С учетом со-
отношений (59) и (61) эта функция определена полностью. Ра-
венства (61), (63), (59) и (62) являются основными соотноше-
ниями модели Томаса — Ферми.
Для определения Ф и р из полученных соотношений удобно
сделать следующую замену переменной и функции:
r = Z~'hbx, Ф = -|^х,	(64)
где
.	1 / Зя Д2 л - 1л—8
Z» = -z-1-^—1 —2 ~ 0,5 • 10 см.	(65)
2 V. 4 ) те3 ’	' ’
Из (63) получаем р как функцию безразмерных величин х и х
(66)
Основное уравнение (60) эквивалентно уравнению
d2x	Г х-1/гхЧ если х>0,
Лх3	(	0,	если х < 0.
(67)
§ 13. МОДЕЛЬ АТОМА ТОМАСА — ФЕРМИ
117
Условие (61) означает, что х(0) = 1. Из уравнения (67) сле-
дует, что %(х) очевидно имеет не более чем один нуль в интер-
вале (0, оо); если Х обращается в нуль в точке хо, то % положи-
тельно в интервале (0, хо) и отрицательно в интервале (х0, оо).
Следовательно, учитывая (64), (66) и (67), условие (59) можно
переписать в виде
Хо	Хз
1 =	-уСГ X‘1г dx =
о	о
|Х0
хх" dx = xx' — x — хах' (х0) + 1.
1о
Это условие требует, чтобы производная х! обращалась в нуль
в точке Хо, а значит х обращается в нуль только на бесконеч-
ности.
Итак, х(х) есть решение
уравнения
=	(68)
удовлетворяющее условиям
Х(0)=1, х(оо) = 0. (69)
Функция Х(х) может быть
найдена численным интегриро-
ванием. На рис. 5 изображена
соответствующая кривая. Зная
Х(х), мы можем найти р(г) и
Ф(г).
Рис. 5. Функция Томаса—Ферми % (х):
х" —	х(0) = 1, х (оо) = 0.
Для оправдания классического приближения, необходимо,
чтобы большая часть/ одноэлектронных состояний находилась
бы «в области больших квантовых чисел», т. е. чтобы Z > 1.
Для заданного атома плотность электронов р(г) и электроста-
тический потенциал Ф(г), определяемые в рамках модели То-
маса — Ферми, имеют вид, который получается в пределе, когда
квант действия Й и заряд каждого электрона (—е) становятся
бесконечно малыми, число электронов Z становится бесконеч-
ным, а характеристическая длина Й2/те2 и полный заряд элек-
тронного облака (—Ze) остаются постоянными1).
Метод Томаса — Ферми позволяет оценить радиус атома.
В определении этой величины имеется некоторый произвол, по-
скольку плотность электронов становится равной нулю только
на бесконечности и, следовательно, атом не является объектом,
') Метод Томаса — Ферми дает неправильную оценку плотности электро-
нов вблизи начала координат (г b/Z), а также в асимптотической области
(г Ь). В начале координат функция р(г) расходится, как г~ вместо того
чтобы оставаться конечной, тогда как на бесконечности она стремится к нулю,
как г-6, а не экспоненциально.
118
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
занимающим хорошо определенную область пространства. Ра-
диусом атома мы называем радиус R(a) сферы с центром в на-
чале координат, которая содержит заданную часть (1 —а) от Z
Рис. 6. Зависимость радиуса R от Z
атома в теории Томаса — Ферми
электронов атома. Согласно
этому определению
к
(1 — a) Z — 4л р (г) г2 dr.
о
Обозначим
R(a) —Z~'hbX (а).
Учитывая соотношения (64),
(66) и (68), получаем следую-
щее уравнение для функции
X:
R
4л р (г) г2 dr = Z — 1.
о
X(X)-XX'W = a.
Это уравнение можно решить
численными методами.
При постоянном значении а для всех атомов X будет одно
и то же, а радиус атома будет пропорционален Z~'13.
Если а = 1/Z, то соответствующий радиус
r_r(±)-z-'-m(4.)
является радиусом сферы, содержащей все электроны, кроме
одного. На рис. 6 приведена зависимость R от Z. Заметим, чго
R практически не зависит от Z (R «(2— 3) • 10_8 см).
§ 14. Система нуклонов и изотопический спин
Рассмотрим систему из Z протонов и N нейтронов. Эта си-
стема описывается гамильтонианом Н. Нейтроны и протоны яв-
ляются подобными частицами, и для того чтобы различать их,
мы припишем протонам номера от 1 до Z, а нейтронам номера
от Z 4~ 1 до Z + N = jf. Обозначим Аг оператор антисимметри-
зации первых Z частиц, а Ац — оператор антисимметризации N
последних частиц. Мы будем придерживаться обозначений, вве-
денных в §§ 2 — 4. Пусть
ф(^(1), <7®, ..., q^, qiZ+1\ ..., q^)
— волновая функция, описывающая возможное состояние си-
стемы в симметрическом представлении {Q}. Функция <р
§ 14, СИСТЕМА НУКЛОНОВ И ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН
119
удовлетворяет условиям антисимметрии
ДяФ = ф, Az<p = <р.	(70)
Для описания системы Z протонов и N нейтронов имеется и
другой формализм, полностью эквивалентный предыдущему.
В новом формализме нейтрон и протон рассматриваются как
различные состояния одной и той же частицы — нуклона. Рас-
сматриваемая система описывается тогда как система Л9 нукло-
нов, из которых Z находятся в протонном состоянии, a N — в
нейтронном. В этом случае АС нуклонов являются тождествен-
ными фермионами, и состояния системы антисимметричны отно-
сительно перестановки этих АС тождественных фермионов. Цель
настоящего параграфа состоит в изложении этого формализма
и в доказательстве его эквивалентности обычному.
Для того чтобы отличать состояние протона от состояния
нейтрона, каждому нуклону следует приписать дополнительную
динамическую переменную — заряд, принимающий два значе-
ния. Мы будем обозначать соответствующие состояния со и v,
где со описывает протонное состояние, a v — нейтронное. Заря-
довое пространство нуклона, так же как и спиновое, двумерно.
Следовательно, мы можем определить в этом пространстве опе-
раторы, аналогичные операторам, введенным в случае спино-
вого пространства, и имеющие те же математические свойства.
Рассмотрим, в частности, три матрицы Паули. В представлении,
в котором со и v являются базисными векторами, эти матрицы
описывают в зарядовом пространстве векторный оператор т
s=(xi, Т2, тз), аналогичный вектору а = (ох, оу, сг). Вектор
<=4т	<71)
является аналогом спина s и называется изотопическим спи-
ном нуклона. Мы видим, что
, 1 1,1 1
/3® = у Т3(0=-2-®,	/3V =-у T3V == — yV.
Проекторы Па> и Пу на протонное и нейтронное состояния оп-
ределяются формулами
Пш = у-(1 + т3), Щ = у(1—т3),	(72)
а оператор заряда нуклона равен
еПш = у(1 + т3)е.
Произведение АС одночастичных зарядовых пространств яв-
ляется зарядовым пространством &с системы АС нуклонов.
120
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
Полный заряд системы представляется оператором
N
+	(73)
<=1
где 73 — третья компонента полного изотопического спина
N
т = £ <«•>.	(74)
Ортонормированный базис в <§ГС можно получить, рассмо-
трев всевозможные произведения из Л5 со- или v-векторов.
В частности, базисный вектор
g = 0)(l)(0(2) , . . (ofZIvCZ + l) . . .
описывает состояние, в котором первые Z частиц — протоны,
а последние У — нейтроны. В дальнейшем будем рассматривать
только состояния с зарядом С = Ze, т. е. с
73 = 4(Z-^).
Можно построить (J^\IZ\N\) базисных векторов, соответствую-
щих этому собственному значению. Типичный базисный вектор
имеет вид
=	.. ©(az)v(“z+i) ... V(M
и описывает состояние, в котором Z частиц aj, a2, ..., az яв-
ляются протонами, а остальные — нейтронами.
Кет-векторы системы Л5 нуклонов являются векторами про-
странства, которое можно представить в виде тензорного про-
изведения пространства <§ГС и пространства <§Г0 остальных дина-
мических переменных. При перестановке Л5 нуклонов осуще-
ствляется одна и та же перестановка как зарядовых перемен-
ных, так и остальных переменных. Если Рс описывает заданную
перестановку зарядов, а Ро — ту же перестановку остальных
переменных, то полная перестановка описывается оператором
Р = Р0Рс.
Оператором антисимметризации системы Л5 нуклонов будет
оператор
<«>
р
Состояния системы с полным зарядом Ze описываются векто-
рами Ф пространства	удовлетворяющими условию
S 14. СИСТЕМА НУКЛОНОВ И ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН
121
антисимметрии
ДФ —Ф
(76)
и уравнению
Т3Ф = ±(г-ЬГ)Ф.	(77)
Покажем теперь, что имеется взаимно однозначное соответ-
ствие между векторами Ф, для которых выполняются соотно-
шения (76) и (77), и векторами <р из с?0, удовлетворяющими
условиям (70), а именно
1’’> = л/-итг<£|ф>’
(78)
(79)
и что это соответствие сохраняет скалярное произведение.
Рассмотрим вектор | <р>, удовлетворяющий условиям (70).
Соответствующий ему вектор |Ф>, полученный по формуле (78),
очевидно, удовлетворяет (76), а также и (77), поскольку Т3
коммутирует с А и Т31 £> = х/2 (Z — N) | £>.
Покажем теперь, что Частичное скалярное произведение
в (79) определяет вектор ] qp>. Используя (75) и (78), имеем
л/та-«|®>“л/жг<£М|ф>=
= ТОГ £ <-Р°1 Ф> I рс Ю- (80)
р
Далее, Л5! перестановок можно разбить на две группы. В пер-
вую группу входят те перестановки F, которые меняют порядок
первых Z частиц друг с другом и (или) переставляют послед-
ние N частиц между собой. Все (MZ!) перестановок F не из-
меняют вектор |£> и домножают вектор |<р> на (—l)f
^о|ф> = (- 1/|ф>.
Перестановки G из второй группы переводят вектор £ в другой
вектор £а и
<?|GCIO = O.
Следовательно, сумма в правой части равенства (80) имеет
(7V!Z!) ненулевых слагаемых, каждое из которых равно |ф>,
что и дает доказываемое равенство (79).
Легко видеть, что соответствие (78) сохраняет скалярное
произведение, ибо если |Ф> и |Х> соответствуют |ф> и |х>, и
122
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
поскольку
а | Ф) удовлетворяет уравнениям (76) и (78), то имеем
{X | Ф) = д/-^г <х I а I ф> = <Х I ф).
Осталось показать, что соответствие взаимно однозначное.
Пусть |Ф> — вектор, удовлетворяющий условиям (76) и (77),
а |ф> — вектор, построенный по формуле (79). В силу (77) |Ф>
является линейной комбинацией векторов |£а> с векторами из
^ов качестве коэффициентов
I == д/ N\z\ X I I
а
Вектор |<р> является коэффициентом при £ в сумме, стоящей
справа. Перестановка типа F, действуя на Ф, дает
ф> = л/таг £ Ф»»	?«»’	<81>
а
а также
/-1 ф>=(-Df । ф>=£{-1)f 1 1	(82)
а
Действие Fc на один из векторов |£а> переводит его в другой
вектор |£а> и, в частности, оставляет |£> инвариантным. Следо-
вательно, коэффициент при |£> в разложении Е|Ф> равен ко-
эффициенту при Fc|O в правой части равенства (81). Прирав-
няв его коэффициенту при |£> в соотношении (82), находим
Р0|ф) = (—1)?|ф>.
Это показывает, что вектор |<р>, соответствующий ) Ф>, действи-
тельно обладает свойством антисимметрии (70). 
Каждое состояние системы Z протонов и N нейтронов, опи-
сываемое вектором | <р> в обычном формализме, в новом фор-
мализме описывается вектором |Ф>. Поскольку между этими
векторами имеется сохраняющее скалярное произведение взаим-
но однозначное соответствие, то амплитуды вероятности, вычис-
ленные по векторам нового формализма, совпадают с амплиту-
дами, определенными векторами старого формализма. Это га-
рантирует эквивалентность двух формализмов. Если динамиче-
ская переменная представляется в обычном формализме опе-
ратором Q, то в новом формализме ей соответствует оператор <2
в пространстве <§Го0<§Гс; оператор Q симметричен относительно
§ 14. СИСТЕМА НУКЛОНОВ И ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН
123
\ff> нуклонов, имеет тот же спектр собственных значений, что
и Q, и его собственные состояния можно получить из собствен-
ных состояний оператора Q при помощи соотношения (78).
(j является симметричным оператором, матричные элементы ко-
торого удовлетворяют уравнению
<Х| Q |Ф> = <Х|Q |Ф>.	(83)
В качестве примера построим оператор Й, предполагая, что
между нуклонами действуют только двухчастичные силы.
Гамильтониан имеет вид
H = K+V,	(84)
где К— полная кинетическая энергия. Если kp(l) и kn(l)—ки-
нетическая энергия протона и нейтрона соответственно, то
А = ХР + А„,
где
Кр = Г	k"\
i<Z	i>Z
Полная потенциальная энергия V состоит из 'ДЛДЛ5— 1) чле-
нов, соответствующих взаимодействию двух частиц. Имеется
'/2Z(Z — 1) членов взаимодействия протон — протон
v РР-Z-i VPP »
i<i<z
где vpp = vpp (g(/), £(/)) — потенциал взаимодействия между про-
тонами с номерами i и. /. Аналогично имеется ZN членов взаи-
модействия протон — нейтрон
i<z i>z
и l/2N(N—1) членов взаимодействия нейтрон — нейтрон
v„„= £ v™
i>i>z
Следовательно, полная потенциальная энергия есть
V = VPP+ Vpn + Vnn.
Оператор К, соответствующий К, имеет вид
К = Г	(85)
i = l
Он симметричен и коммутирует с А. Для того чтобы показать,
что К удовлетворяет равенству (83), учтем определение векто-
ров |Ф> и |Х> и проекторов Пш и IJV
yjy- (Х| К |Ф> = <ХС1 АКА |фС> = (хС1 КА |ф0 = <х?| КА | Ф£>,
124
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
откуда
<х|К1Ф) = дД^1.<Х£1/ОФ>.
Поскольку К не действует на зарядовые переменные, частичное
скалярное произведение <£|/<|Ф> равно результату действия /<
на <£|Ф>. Используя (79), находим
(Х|К|Ф) = (х1Ш
Точно так же оператор, соответствующий V, имеет вид
где
V = V -4- V у
* у рр г * рп г v пп*
у — у ОН/)П(/>П(Л
И рр — Lj vpp Ы<» 11^ ,
K/CaV
vpn= Z «№^«1
vnn= E о1лп,,Ч®.
i<K-v
(86)
(86a)
(866)
(86b)
Тем же методом, что и в случае Л, можно проверить, что Р об’
ладает требуемыми свойствами.
Приведенная для случая протонов и нейтронов теория при-
менима и к системам, содержащим более двух типов фермио-
нов. Рассмотрим систему, содержащую г типов подобных, но
различимых фермионов: п\ фермионов типа 1, п2 фермионов
типа 2, ..., пг фермионов типа г. Вместо того чтобы рассма-
тривать фермионы различных типов как разные частицы, эти г
типов фермионов можно рассматривать как г различных состоя-
ний, 11>, |2>, ..., |г> одного и того же фермиона и рассмат-
ривать систему, состоящую из п\ + п2 + •.. + пг фермионов
одного типа, из которых п\ находится в состоянии 11>, п2 — в со-
стоянии 12>, ..., пг — в состоянии |г>. Эквивалентность полу-
чаемого таким образом «изотопического» формализма стандарт-
ному можно показать, используя те же методы, что и в случае
системы нуклонов. Все эти замечания применимы и для бозон-
ных систем, если всюду операцию антисимметризации заменить
на операцию симметризации (задача 9).
§ 15. Использование изотопического спина. Зарядовая
независимость
Рассмотрим систему из Л5 нуклонов. До тех пор пока рас-
сматриваются системы с определенным числом Z протонов и V
нейтронов, a priori проще рассматривать протоны и нейтроны
как различные частицы (обычный формализм), нежели описы-
§ 15. ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН
125
вать их как нуклоны, которые могут находиться в различных
зарядовых состояниях (формализм изотопического спина).
С другой стороны, когда рассматриваются явления, в кото-
рых заряд ядра не сохраняется, формализм изотопического
спина неизбежен. Классический пример дает 0-распад. При рас-
паде 0~-радиоактивных ядер число нуклонов остается постоян-
ным, но один из нейтронов преобразуется в протон. В теории
этого явления ядра рассматриваются как системы, состоящие
из нуклонов, находящихся во взаимодействии с квантован-
ными полями электронов и нейтрино. Теория 0-распада лежит
вне рамок этой книги, и мы упомянули ее лишь в качестве при-
мера.
Особо важное значение формализма изотопического спина
обусловлено тем, что ядерные реакции практически не зависят
от нуклонного заряда.
Массы нейтрона и протона совпадают с погрешностью, мень-
шей чем 0,2% и, следовательно, кинетическая энергия нуклона
практически не зависит от его заряда
k„ = kn^k.	(87)
Нуклон-нуклонный потенциал также почти не зависит от
заряда, и до тех пор, пока допустимо пренебрежение электро-
магнитными взаимодействиями1), можно считать
vPP = vpn = vnn = v.	(88)
Мы собираемся рассмотреть следствия зарядовой независи-
мости в предположении, что между нуклонами действуют только
двухчастичные силы 2 * * *).
В обычном формализме гипотеза зарядовой независимости
находит свое выражение в двух следующих свойствах гамиль-
тониана Н:
(i) Н не зависит ни от Z, ни от N, а зависит лишь от пол-
ного числа нуклонов Л9;
(ii) Н симметричен относительно перестановок всех частиц,
а не только относительно перестановок друг с другом отдельно
протонов и (или) отдельно нейтронов.
') Электромагнитные эффекты становятся преобладающими только при
достаточно больших расстояниях между нуклонами (3>10-13 см). На больших
расстояниях vpn и v„„ практически равны нулю, а и,,р становится просто ку-
лоновским отталкиванием двух протонов. Обсуждение экспериментальных дан-
ных, подтверждающих гипотезу зарядовой независимости, имеется в моногра-
фии: Дж. Блатт, В. Вайскопф (см. сноску к § ХШ. 33) и в работе D. И. Wil-
kinson. Phil. Mag. 1, 1031 (1956).
2) Для доказательства эквивалентности зарядовой независимости и свой-
ства инвариантности (91) в этом ограничении нет необходимости. Эта эквива-
лентность может быть доказана в общем случае применением теоремы чз
§ 18 Дополнения Г.
126
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
Эти свойства непосредственно следуют из (87) и (88), ибо
если эти соотношения выполняются, то гамильтониан (84) при-
нимает вид
Н = Е k(i) + Е	(89)
i=l	/</<<*•
где У, означает, как и в соотношениях (86а, б, в), суммиро-
/</<«*•
вание по всем -% (Jf — 1) парам (ij) из множества Л5 частиц.
В формализме изотопического спина гипотеза зарядовой не-
зависимости отражается в независимости гамильтониана Й от
зарядовых переменных, так что выполняется равенство
Н = Н,	(90)
где Н в правой части следует рассматривать как оператор
в пространстве <г>а®<£с. Это можно показать, либо используя
определение (83) операторов в формализме изотопического спи-
на, либо непосредственно вычисляя выражения (85) и (86) для
Й и Р, предполагая выполненными соотношения (87) и (88).
Последняя процедура дает для Р выражение
v = X v(ii} [п’()п^ + nW + nW + nV’nV’],
и так как
П^ + П^=1,
то
V = Е № = V.
КК#
Поскольку Й не зависит от зарядовых переменных, то он
коммутирует с каждой из трех компонент полного изотопиче-
ского спина
[Н, Т] = 0.	(91)
Покажем теперь, что справедливо и обратное утверждение,
т. е. что гамильтониан Й, удовлетворяющий соотношению (91),
можно записать в виде оператора, не зависящего от зарядовых
переменных.
С другой стороны, Й является некоторой функцией от обыч-
ных переменных £ и зарядовых переменных т каждой из частиц.
В виду предположения о характере сил, действующих между
частицами, эта функция имеет вид
н=Е + У $<4
i = l
§ 15. ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН
127
где /г^ зависит лишь от переменных с номером i, а — от пе-
ременных с номерами I и /. Однако изотопический спин обла-
дает теми же математическими свойствами, что и обычный спин
и, в частности, компоненты векторов т(г> имеют те же свойства,
что и матрицы Паули. Это выражается в том (см. ур. (78, 79)),
что любая функция /? от т(1), ..., может быть представлена
в виде линейной комбинации этих операторов. Поскольку Н
коммутирует с Т, то он инвариантен также и относительно вра-
щений в <FC, и, следовательно, является скалярной функцией
векторов т(1), ..., Итак, является линейной скалярной
функцией от т(|) и, следовательно, не зависит от т<‘>, тогда как
v(ii}, будучи линейной скалярной функцией от т(,) и т(/), имеет
вид
= а(И) (тШт(Л) bW,
где aW) и — функции только от орбитальных и спиновых
переменных. Для завершения доказательства необходимо пока-
зать, что действие (t(Z)t(/>) на антисимметричные векторы про-
странства	совпадает с действием на эти векторы опе-
ратора, затрагивающего только переменные из Произведе-
ние (т(г)т1/>) связано с оператором Рс!\ описывающим транспо-
зицию (i/) в зарядовом пространстве, соотношением Дирака
Pg” = 1(1+ т(Р ?'>).	(92)
Для доказательства равенства (92) введем изотопический спин
пары (t/):
tif = f о + #(/>.
Любое состояние в зарядовом пространстве является суммой
СОСТОЯНИЯ I 1>, ДЛЯ которого tij = 1 и состояния |0>, для кото-
рого tn = 0. Каждое триплетное состояние симметрично, а каж-
дое синглетное — антисимметрично по переменным i и j. Таким
образом,
^|1> = 2|1>, ^|0>=0,
Pg/)|1>=|1>, pgfll 0> = -1 0>,
и, следовательно,
Pg/) = #1/-1.
Отсюда с учетом тождества
получаем (92). Итак, мы имеем
т(г'т(Л = 2РсУ) — 1.
128
ГЛ. XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
Однако в пространстве антисимметричных векторов в
Тогда
рМ = -Р«1\
и оператор т<‘>т<У) может быть заменен на выражение
-2Р{о'}— 1,
действующее только на переменные обычного пространства. 
Эквивалентность зарядовой независимости и вращательной
инвариантности в зарядовом пространстве имеет общий харак-
тер1). Поскольку все математические результаты, относящиеся
к вращениям (сложение изотопических спинов, теорема Виг-
нера — Эккарта, правила отбора, и т. д.), справедливы и в част-
ном случае вращений в зарядовом пространстве, то указанная
эквивалентность обеспечивает удобный метод учета зарядовой
независимости ядерных сил.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1.	Оператор Р, оисываюший перестановку р N подобных частиц, опреде-
лен в § 2 действием на базисные векторы заданного симметричного представ-
ления {Q}. Показать, что это определение не зависит от выбранного представ-
ления.
2.	Обозначим Sn, А„ операторы симметризации и антисимметризации для
частиц 1, 2, ..., п, a S„_b A„-t — операторы симметризации и антисимметри-
зации частиц 1, 2, ..., п— 1. Показать, что
3.	Показать, что в множестве симметричных наблюдаемых системы N по-
добных частиц имеется полный набор коммутирующих наблюдаемых только в
случае, когда ^ = 2.
4.	Найти сечение протон — протонного рассеяния (в системе центра масс)
в случае, когда налетающий протон полностью поляризован в заданном на-
правлении Ои (компонента спина по оси Ои равна -f-’/s), а протон мишени:
(i) полностью поляризован в том же направлении; (ii) полностью поляризо-
ван в противоположном направлении (компонента спина по оси Ои равна
1) См. сноску 2 на стр. 125.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
129
—Vz; (ii>) не поляризован. Сравнить выражение (56) с теми, которые полу-
чатся в этих трех случаях.
5.	Выражение (56) дает сечение рассеяния двух фермионов со спином */*
и взаимодействием, не зависящим от спина. Как изменится это выражение в
случае, когда две сталкивающиеся тождественные частицы будут: (i) фермио-
нами со спином j; (ii) бозонами со спином /?
6.	Вычислить среднее значение (г) расстояния от начала координат до ка-
ждого из электронов в модели атома Томаса — Ферми и сравнить с числовым
СО
значением (г) для атома водорода (использовать интеграл ^%(x)dx» 1,8).
о
7.	Атом с атомным числом Z ионизирован р раз. Используя модель То-
маса— Ферми, вычислить электронную плотность р(г). Показать, что выраже-
ние (66) для р(г) справедливо при тех же определениях b и х, что и в § 13
(ур. (64—65)) и что функция %(х), встречающаяся в этом выражении, яв-
ляется решением уравнения (67), обращающимся в нуль в некоторой точке х9
интервала (0, оо), и удовлетворяет условиям
X (0) = 1, X' М = — pjZxa.
Исследовать общий характер поведения кривой р(г) и электростатического
потенциала Ф(г).
8.	Рассмотреть систему Z электронов с гамильтонианом, не зависящим от
спинов. Показать, что спектр энергии состояний, имеющих определенное зна-
чение М компоненты Sz полного спина, совпадает (то же положение и то же
вырождение уровней) со спектром, который может быть получен, если элек-
троны со спином Vs и со спнном —’/г рассматривать как фермионы разных
типов и определять состояния в которых Q/^Z + М) первых электронов имеют
спин V2, а остальные спин —'/г-
9.	Построить «изотопический» формализм, определенный в § 14, для си-
стемы, содержащей фермионов г подобных, но различных типов, а именно:
nt фермионов типа 1, л2 фермионов типа 2, ..., пг фермионов типа г («1 +
+ п2+.-.. +«г = Л’). Как следует модифицировать этот формализм, если
частицы будут бозонами, а не фермионами?
5 А, Мессиа
ГЛАВА XV ')
ИНВАРИАНТНОСТЬ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ.
ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
§ 1.	Введение
В данной главе систематически исследуются свойства инва-
риантности уравнений движения физической системы относи-
тельно некоторых преобразований. Изучаются выводы, которые
можно сделать о поведении физической системы на основании
этих свойств инвариантности.
Вспомогательные математические сведения приведены в раз-
деле I.
В разделе II изучаются общие свойства преобразований и
групп преобразований. Каждому преобразованию ЗГ перемен-
ных и динамических состояний будет сопоставлен оператор Т,
действующий на кет-векторы, описывающие состояния. Опера-
тор Т — либо линейный унитарный, либо антилинейный унитар-
ный и определен с точностью до произвольного фазового мно-
жителя законами преобразования основных наблюдаемых си-
стемы.
Как правило, в физических приложениях оператор Т линеен
за исключением оператора обращения времени. Различные пре-
образования, встречающиеся в физике, образуют определенные
группы преобразований. Каждой такой группе % сопоставляется
группа G операторов, реализующих эти преобразования* 2).
После краткого обзора наиболее важных из этих групп мы про-
демонстрируем на простых примерах методы построения G
в случае, когда группа ‘S конечная, и в случае, когда S— не-
прерывная группа, конечные преобразования которой могут
быть определены как последовательность инфинитезимальных
преобразований.
Вопросы, специфически относящиеся к инвариантности, раз-
бираются в разделе III. Преобразования этого раздела не за-
]) Четвертая часть (гл. XVI—XIX), за исключением нескольких специаль-
но отмеченных мест, которые могут быть опущены при первом чтении, не за-
висит от настоящей главы, и последующие главы при желании можно изучать
в первую очередь.
2) Используемые в этой главе понятия, относящиеся к группам и их пред-
ставлениям, приведены в разделах I и II Дополнения Г.
§ 2. ТРИ ПОЛЕЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ
131
висят от времени и линейны, а полученные результаты являются
простыми обобщениями тех, которые были получены ранее
(гл. XIII) для вращений. Инвариантность уравнений движения
динамических состояний относительно преобразований некото-
рой группы <3 эквивалентна предположению о том, что гамиль-
тониан Н коммутирует с операторами группы G. Таким обра-
зом, любая наблюдаемая, образованная из операторов группы G,
является интегралом движения, так что из G-инвариантности
следует существование законов сохранения. Учет свойств сим-
метрии гамильтониана Н позволяет упростить процедуру его
диагонализации и сделать ряд предсказаний о наличии и ха-
рактере вырождения его собственных значений.
Инвариантность относительно обращения времени выде-
ляется как своим физическим значением, так и тем обстоятель-
ством, что соответствующий ей оператор антилинеен. Эта ин-
вариантность обсуждается в разделе IV. Изложенный в этой
главе материал проясняет удивительную аналогию, имеющуюся
между классической и квантовой механиками в определении
преобразований, в связи свойств инвариантности уравнений дви-
жения, симметрий гамильтониана и в существовании законов
сохранения.
Раздел I. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
АНТИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 2.	Три полезные теоремы
Теорема I. Справедливость соотношения
{и | А | и} = {и | В | и) при всех | и)
является необходимым и достаточным условием равенства двух
линейных операторов А и В.
Теорема II. Необходимое и достаточное условие совпа-
дения с точностью до фазового множителя двух линейных опе-
раторов А и В
A — Beia	(1)
состоит в справедливости равенства
| {и | А | v) | = | (и | В | v) | для всех | и) и | v).	(2)
Теорема III. Если между векторами пространства	су-
ществует взаимно однозначное соответствие 3~, определенное
с точностью до произвольного постоянного фазового множителя
и сохраняющее модуль скалярного произведения, то фазовые
множители всегда можно выбрать таким образом, чтобы
было либо линейным унитарным, либо антилинейным унитар-
ным.
5*
132
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
Теорема 1 доказана в главе VII (§ 5). Она приведена здесь
только для полноты изложения.
В теореме II условие (2) очевидно следует из (1). Для до-
казательства обратного утверждения выберем конкретное пред-
ставление, в котором обозначим Д(;- и Вц матричные элементы
операторов А и В соответственно. Поскольку для базисных век-
торов представления условие (2) справедливо, то
| Ац | — | В и | при всех i и /.	(3)
Считая, что |и> — t-й элемент базиса, а |ц>— линейная ком-
бинация /-го и k-ro базисных векторов, мы получим аналогично
I At 1х! + ^lkxk I ~ I ВцХ} + Bikxk |
для всех значений комплексных коэффициентов х/ и Xk. Учиты-
вая (3), можно переписать последнее равенство в виде
Re [xfxk (AjfAlk	~ 0.
Для справедливости этого равенства при всех XjX*k, необходимо
выполнение условия
^H^ik ~ ^a^ik — 0-
Полученное соотношение с учетом (3) дает
При заданном i те же рассуждения можно применить к раз-
личным индексам столбцов / и k, что показывает независимость
отношения Aij/Bij от /. Переставив местами строки и столбцы,
мы можем повторить доказательство и показать, что отношение
не зависит также и от I. Поскольку (3) означает равенство мат-
ричных элементов А и В по абсолютной величине, то модуль
рассматриваемого отношения должен быть равен единице и
А/ .
-ц—= е‘“ при всех i и /.
А/
Иными словами, операторы А и В совпадают с точностью до
фазы е‘а. I
Рассмотрим теперь теорему III. По предположению каждому
вектору | и} из <S отображение 3~ сопоставляет вектор | и').
Этот вектор определен с точностью до фазового множителя.
Осуществим конкретный выбор значения фазы у каждого из
векторов \и'>. Тогда отображение 3~ устанавливает взаимно
однозначное соответствие между векторами из <£
=	|«> = ^-’[!«'>],	(D
§ 2. ТРИ ПОЛЕЗНЫЕ ТЕОРЕМЫ
133
сохраняющее модуль скалярного произведения
|(Ы'|!/)| = |(Ы|!7)|.	(И)
Пусть векторы
|1>, |2>, .... |п>, ...	(5)
образуют полное ортонормированное множество векторов в <F.
Соответствующее ему множество
Н'>, |2'>, ..., |п'>, ...	(5')
также является полным и ортонормированным. Его ортонорми-
рованность следует из того, что в силу (II) ?Г сохраняет норми-
ровку и ортогональность. Полнота следует из того, что если су-
ществует вектор \а'}, ортогональный всем векторам (5'), то
вектор | а> =	[ | о/>] будет ортогонален всем векторам (5),
что противоречит предположению о полноте системы (5).
Обозначим
«л = <п [ы>,	(6)
Мы собираемся показать, что при соответствующем выборе фаз
для «штрихованных» кет-векторов справедливо одно из при-
водимых ниже соотношений:
и' = ип при всех | и) и п,	(7а)
и'п — и*п при всех | и) и п.	(76)
Заметим, что условие (II) означает
|«'| = |wj ПРИ всех I и) и п.
Таким образом, нам следует изучить только фазовые соотноше-
ния между и'п и ип.
С этой целью зафиксируем фазу каждого из базисных кет-
векторов \п'У, требуя, чтобы вектору | Г> |п') соответство-
вал вектор |1> + |п>.
Докажем сперва соотношения (7), предполагая, что |ц>—
«вещественный» кет-вектор, т. е. когда все ип вещественны. При-
менив условие (II) к скалярному произведению векторов |н>
и 11> + |п>, имеем
Выбрав фазу вектора |ы'> так, чтобы и'1 = и1, получим требуе-
мый результат, и'п = ип. Приведенное рассуждение неприменимо
к случаю, когда и\ = 0. Однако можно изменить аргументацию
так, чтобы включить в рассмотрение и этот случай. Поскольку
такое расширение очевидно, мы не будем приводить его.
134
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
Рассмотрим теперь произвольный кет-вектор |и>. Применив
условие (II) к скалярному произведению |«> с «вещественным»
кет-вектором |/> + |/ -ф !> + ...+ |/ ф- k), получаем
k
У. и
s = 0
(8)
что справедливо при любом выборе j и s. Для того чтобы этот
результат стал более наглядным, удобно использовать следую-
щую геометрическую интерпретацию векторов | «> и \и'у. Сопо-
ставим вектору |и) ломаную линию (Г), полученную путем со-
вмещения концов векторов комплексной плоскости, описываю-
щих последовательные компоненты «1, и2, •••,««,•• • • Анало-
гично |и'> описывается ломаной линией (Г'), построенной из
векторов, представляющих и[, м'....и'п, .... Соотношение (8).
означает тогда, что расстояние между двумя любыми верши-
нами ломаной (Г) совпадает с расстоянием между двумя соот-
ветствующими вершинами ломаной (Г'). Как следствие: а) либо
(Г) можно совместить с (Г') поворотом; б) либо (Г) можно
совместить с (Г') поворотом и отражением относительно веще-
ственной оси.
В случае а) выберем фазу ji/>, требуя и'{ — и{. При таком
выборе (Г) и (Г') совпадают, т. е.
и'п — ип при всех п.
В случае б) наш выбор фазы таков, что и\ — и\. В этом случае
(Г') является зеркальным отражением ломаной (Г) относи-
тельно вещественной оси, т. е.
и'п = ип при всех п.
Наконец, мы должны показать, что в действительности
имеются лишь эти две возможности: либо все кет-векторы со-
ответствуют случаю а), либо они все соответствуют случаю б).
Будем предполагать для конкретности, что заданный вектор
|/>+ е‘“|£>(а =# пл) соответствует случаю а). Тогда всякий
вектор |ы>, компоненты и,- и ик которого не обращаются в нуль
и имеют относительную фазу, отличную от пл, также соответ-
ствует случаю а), что легко получить применением условия (II)
к скалярному произведению |«> с |j>+ е‘“|k}. Эти рассужде-
ния могут быть применены и к векторам, компоненты щ-, Uk ко-
торых обращаются в нуль, либо имеют относительную фазу,
равную пл. Те же аргументы переносятся и на случай б).
В результате получаем две возможности:
Случай а). При подходящем выборе фаз применимо со-
отношение (7а). В этом случае соответствие очевидно
§ 3. АНТИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
135
является линейным. Более точно, справедливо равенство
{и' | v') = (u | v),	(9a)
означающее, что — линейный унитарный оператор.
Случай б). При подходящем выборе фаз применимо соот-
ношение (76). Отображение 3~, очевидно, антилинейно.
В этом случае имеем
<«' |о') = <и | о}*.	(96)
В соответствии с определением понятия унитарности для анти-
линейных операторов, которое приведено ниже, 3~ является уни-
тарным антилинейным оператором. 
§ 3.	Антилинейные операторы в гильбертовом
пространстве
Свойства антилинейных операторов в гильбертовом простран-
стве аналогичны свойствам линейных операторов. Мы кратко
опишем их в том же порядке, в котором в главе VII приведены
свойства линейных операторов.
Определение. Действие на кет-векторы. Если
каждому кет-вектору |и) в гильбертовом пространстве сопостав-
лен некоторый кет-вектор | и если это соответствие антили-
нейно, то мы говорим, что |и> является результатом действия
на |«> некоторого антилинейного оператора А
lv) = Alu).	(10)
Свойство антилинейности можно записать в виде
А(Х,| 1> + л2| 2>) = Х;(А| 1» + ЩА | 2».	(11)
Антилинейный оператор определяется своим действием на
каждый из векторов полного набора линейно независимых век-
торов в & и, в частности, своим действием на элементы базиса
в S.
Алгебраические операции. Алгебраические опе-
рации определяются так же, как и в случае линейных опера-
торов.
(i)	Умножение на константу с. Если с =# с*, то сле-
дует отметить, что Ас =А= сА\ справедливо равенство
сА = Ас*.	(12)
(ii)	Сумма двух антилинейных операторов определяется
точно так же, как и сумма линейных операторов.
(iii)	Произведения: если Аь Д2— антилинейные опе-
раторы, то произведение AiA2, определенное формулой
(А, А) |м> = А, (Д2| «»,
136
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
является линейным оператором. Если А — антилинейный опе-
ратор, а В — линейный, то их произведение АВ антилинейно.
В более общем случае, если набор А, В, L содержит р + q
операторов, из которых р линейных, a q антилинейных, то про-
изведение (АВ ... L) линейно или антилинейно в соответствии
с четностью или нечетностью q.
Описанные произведения все ассоциативны, но в общем слу-
чае не коммутативны. Определение коммутаторов совпадает
с их определением в случае линейных операторов, и справед-
ливы все обычные алгебраические правила (V. 63) — (V. 66).
Обратный оператор. Если соответствие (10) между
векторами |и> и |о> взаимно однозначно, то оно определяет
также и оператор А-1, обратный оператору А
|«> = А-1|о>.
По определению, два антилинейных оператора А и В яв-
ляются обратными друг к другу, если одновременно выпол-
няются соотношения
АВ=\, ВА—\.	(13)
Если каждый из операторов А, В, С, ..., L является либо
линейным, либо антилинейным и если каждый из этих операто-
ров имеет обратный, то оператор, обратный их произведению,
существует и определяется формулой
(АВС ... Е)~‘ = Е-1 ... С~'В~гА~1.	(14)
Действие на бра-векторы. Пусть А антилинейный
оператор, а <%| —бра-вектор. Величина, комплексно сопряжен-
ная к скалярному произведению <%|(А|ц>), будучи линейной
функцией от |м> определяет некоторый бра-вектор (ср. § VII. 3),
который мы обозначим <т]). По определению,
<П1 = <ХМ.	(15)
Соответствие между (% I и (г] | антилинейно
(Mi | + х2<2|)а = л;«1 । л> ч- а,; «21 а). (ie)
Из этого определения следует справедливость равенства
(<Х|А) |«> = [<%| (А |«»]‘.	(17)
Полученное соотношение полезно сравнить с аналогичным соот-
ношение! (VII. 17) для линейных операторов. Следует учесть,
однако, что в антилинейном случае скобки опустить нельзя.
Для определения трех указанных выше алгебраических опе-
раций и действия обратного оператора на бра-векторы мы по-
ступим точно так же, как и в случае линейных операторов.
§ 4. АНТИУНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
137
Умножение на постоянную с имеет вид (ср. ур. (12)):
<Х I (сА) = с* «х |А) = <х | (Ас*).	(18)
Остальные определения переносятся без изменения.
Важное замечание. Соотношения (12) и (17) показы-
вают различия в определении обычных линейных операций и
операций, содержащих антилинейные операторы:
(i) рассматриваемая как оператор, действующий в кет-про-
странстве или бра-пространстве, постоянная с не коммутирует
с антилинейными операторами, кроме случая, когда эта постоян-
ная вещественна;
(ii) в скалярном произведении надо четко указывать, дей-
ствует ли антилинейный оператор А на кет-вектор, стоящий
справа от него, или на бра-вектор, стоящий слева.
В практических расчетах скобки используются в той сте-
пени, в которой они необходимы для исключения каких-либо
сомнений, связанных со значением используемых символов. Рас-
смотрим, например, произведение А\А2 двух антилинейных опе-
раторов. Символ <w|AjA2| и) является неопределенным, тогда
как символ
(и | (А,А2) | 0 = (<« | А,А2) 10 = [(<« | А,) (А21 0)]* =
-<«|(А1А2|о))	(19)
не вызывает никаких недоразумений. Аналогично при рассмо-
трении произведения (А|и><и|) линейного оператора || и
антилинейного оператора А запись А|и><и|ау> и <ау |А | u)(v|
непонятна, тогда как без каких-либо недоразумений можно ис-
пользовать запись
(А|«><и |)| щ> = А(| u){v |щ» = (А| и))(и |®>*	(20)
и
(w |(А !«><п |) = «Щ | А)| ti){v | = [<® |(А |«»Г(о |.	(21)
§ 4.	Антиунитарные преобразования
Сопряжение (или эрмитово сопряжение) анти ли-
нейных операторов. Оператор А+ является, по определе-
нию, сопряженным оператором к антилинейному оператору А,
если А+|м> является кет-вектором, сопряженным к <м|А при
любом | м>. Этот оператор антилинеен.
Из сказанного следует, что для любых кет-векторов |w>
и |О
</ |(А+|«» = (п|(А |/>).	(22)
Это тождество следует сравнить с (VII. 20). Помимо этого ра-
венства, все свойства, установленные в § VII. 7, могут быть пе-
ренесены на рассматриваемый случай без изменений.
138
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
В частности, если каждый из операторов А, В, С, ..., L яв-
ляется либо линейным, либо антилинейным, то (ср. ур. (14))
(АВС ... В)+ =	... С+В+А+.	(23)
Антиунитарный оператор. Оператор А называется
антиунитарным, если он антилинеен и если A~l — А+
АА+ = А+А = 1.
Если в наборе А, В, С....L (р + q) операторов имеется р
унитарных и q антиунитарных, то произведение АВС... L уни-
тарно или антиунитарно в соответствии с четностью или нечет-
ностью q.
Анти унитар н ы е преобразования линейных
операторов и векторов. Антиунитарный оператор К оп-
ределяет антиунитарное преобразование векторов и линейных
операторов в <В\ при котором:
любой кет-вектор |и> переходит в |й> = A|u>;
любой линейный оператор В переходит в Й = КВК.^',
любой бра-вектор <о| переходит в <й| = <и |/<+.
При таком преобразовании;
(i)	сохраняется отношение сопряженности бра- и кет-век-
торов и отношение эрмитовой сопряженности операторов. Если
В является наблюдаемой, то В— также наблюдаемая с тем же
спектром собственных значений, а подпространство, соответ-
ствующее каждому из собственных значений оператора В, пе-
реходит в подпространство, соответствующее тому же собствен-
ному значению оператора В;
(ii)	скалярные произведения переходят в комплексно со-
пряженные
(и | В | V) — (и | В | о)*;	(24)
(iii)	любая постоянная с, рассматриваемая как оператор,
преобразуется в комплексно сопряженную величину
КсК* = с’;	(25)
(iv)	любое соотношение между векторами и (или) опера-
торами справедливо также и для преобразованных величин при
замене всех коэффициентов на комплексно сопряженные. Дру-
гими словами, преобразование К. сохраняет все равенства ме-
жду векторами и (или) операторами, если условиться рассма-
тривать все постоянные, фигурирующие в равенстве, как опе-
раторы. Например, перестановочные соотношения
[<7, р] = Иг, [Д, 7^] = thJz	(26а)
переходят соответственно в
[<7> р] = —	[Л, Л,] = — ihJz.	(266)
§ 5. АНТИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
139
§ 5. Антилинейные операторы и представления
Оператор Kq комплексного сопряжения, свя-
занный с представлением {Q}. По определению, Kq яв-
ляется оператором, переводящим волновые функции представ-
ления {Q} в комплексно сопряженные функции. Действие опе-
ратора Kq зависит от рассматриваемого представления и в осо-
бенности от выбора фаз базисных векторов.
Пусть 11>, |2>, ..., |п>, ... — базисные векторы представ-
ления {Q}. Тогда Kq— антилинейный оператор, оставляющий
эти векторы инвариантными,
AQ|n) = |n).	(27)
Следовательно, Kq полностью определен. Очевидно, что выпол-
нены соотношения
Kq — Kq, Kq = 1,	(28)
так что Kq — антиунитарен. Ясно, что для К выполняется упо-
мянутое выше свойство, а именно: при антиунитарном преоб-
разовании Kq матрицы представления {Q} переходят в ком-
плексно-сопряженные, таким образом, мы имеем
(п | (^ | и)) = {п | и)*, ((и I Kq) I П) = (V | п)*,
{m\(KQBKQ)\n)=={m\B\n')* (В —линейный оператор).
Таким образом, в представлении {Q} действие оператора Kq
состоит исключительно в переходе к комплексно сопряженным
величинам. Действие любого другого антилинейного оператора А
можно легко определить, заметив, что А является произведе-
нием Kq и линейного оператора, т. е. А всегда можно предста-
вить в виде
A = (AKq) Kq —Kq(KqA),	(29)
где (AKq) и (AqA)—линейные операторы, переходящие друг
в друга при преобразовании Kq
KqA = Kq(AKq) Kq
(если А антиунитарен, то (KqA) и (AKq) унитарны).
Изменение представления. Рассмотрим другое пред-
ставление {Е}. Обозначим Кг оператор комплексного сопряже-
ния, связанный с этим представлением, в остальном будем сле-
довать обозначениям § VII. 21. В частности, матрицей преобра-
зования векторов и линейных операторов служит унитарная
матрица S(B; п) = <g|n>.
Если эта матрица вещественна, то векторы нового базиса
инвариантны относительно действия оператора Kq, иными сло-
вами,
если S = S*, то Ka = KQ.
140
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
В этом случае линейные операторы AKS и КВА, соответствую-
щие в представлении {S} заданному антилинейному оператору,
те же, что и операторы, соответствующие А в представлении {Q}.
Если это не так, то оператор АК отличен от AKq. Полезно
найти способ построения матрицы (АКВ)В, описывающей опе-
ратор AKZ в представлении {S} по матрице (AKq)q, оператора
AKq в представлении {Q}. Имеем
I (АКг) | П = | (Л^)	|	=
= Е a I tn} {т | (A7Q | п> <« | (XQK3) | Г) =
= £<£И</п|(Л^)|п><п|Г>*.
тп,
т. е.
(AKs)s = S(AtfQ)QS.	(30)
Аналогично
(ЯаА)а = (ЛАа)‘ = S’ A)q St.	(31)
Раздел II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
§ 6. Преобразования динамических переменных
и динамических состояний системы
Выше мы уже определили понятия «вращение физической си-
стемы» и «перестановка частиц физической системы».
В более общем случае, действие преобразования на си-
стему состоит в замене каждой из ее переменных на новую пе-
ременную, а каждого состояния — на новое состояние при со-
хранении физических характеристик системы.
Таким образом, преобразование У устанавливает взаимно-
однозначное соответствие между динамическими переменными:
заданная переменная В преобразуется в новую переменную
В'^£Г[В].
По предположению образ В' имеет тот же спектр, что и В,
а собственные состояния для каждого собственного значения пе-
ременной В' являются образами собственных состояний, соот-
ветствующих тому же собственному значению переменной В.
Эти два условия выражают требование сохранения физических
свойств при преобразовании динамических переменных. Такое
условие можно сформулировать без ссылки на методы измере-
ния, однако преобразование {Г особенно легко описать как пре-
образование, применяемое к измерительной аппаратуре, пред-
назначенной для определения В: образ этой аппаратуры есть
§ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
141
аппаратура, предназначенная для измерения переменной В'.
Таким образом, определяются смещения динамических пере-
менных (вращения, сдвиги), отражения динамических перемен-
ных (отражение в точке, в плоскости) и т. д.
От преобразования переменных легко перейти к преобразо-
ванию состояний. Пусть |и> — вектор, описывающий возмож-
ное динамическое состояние системы. Этот вектор можно рас-
сматривать как общий собственный вектор полного набора ком-
мутирующих наблюдаемых и считать, что он определен с точ-
ностью до фазы. Образ вектора |и> при преобразовании 3~.
является общим собственным вектором преобразованных на-
блюдаемых. Таким образом, 3~ устанавливает взаимно-одно-
значное соответствие между векторами состояния, определен-
ными с точностью до фазы.
По определению, преобразование сохраняет физические свой-
ства динамических состояний: для системы, находящейся в со-
стоянии \и'У, вероятность того, что при измерении будет полу-
чен результат, соответствующий состоянию |и'>, т. е. образу со-
стояния |и>, равна вероятности того, что для системы, находя-
щейся в состоянии |м>, при том же измерении будет получен
результат, соответствующий состоянию |и>. Иными словами,
|<«'|v'y|2 = |<u|u>|2 для всех |и> и |п>. Таким образом, рас-
сматриваемое взаимно-однозначное соответствие сохраняет мо-
дуль скалярного произведения. Согласно теореме III фазы пре-
образованных векторов всегда можно фиксировать так, чтобы
преобразование стало унитарным или антиунитарным. Это по-
зволяет записать
|«'> = 7’|«>,	(32)
где Т — унитарный или антиунитарный оператор, соответствую-
щий преобразованию. В обоих случаях имеем
7’Т+==7'+Т= 1.	(33)
Из закона (32) преобразования векторов легко получить закон
преобразования оператора плотности
р' = ГрЛ	(34)
Рассмотрим еще одно преобразование наблюдаемых. По-
скольку физические свойства сохраняются при рассматривае-
мых преобразованиях, то сохраняются и средние значения. Та-
ким образом, для наблюдаемой В для всех |и> имеем
{и' | В' | и'} — {и | В | ii)
142
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
ИЛИ ')
(и\(Т^В'Т)и) — (и\В\и).
Из теоремы I и соотношений (33) имеем
В' = ТВТ\ В = Т*В'Т.	(35)
Из равенств (35) следует важное свойство неизменности ал-
гебраических соотношений между наблюдаемыми системы в слу-
чае, когда преобразование описывается линейным операто-
ром Т. Если же Т антилинеен, то эти соотношения заменяются
на комплексно сопряженные соотношения.
Это приводит к весьма ограничительным условиям на за-
коны преобразования наблюдаемых. Всякая наблюдаемая В
является некоторой вещественной функцией F(g) фундамен-
тальных наблюдаемых Eji, g2, • • •, Zn,    системы. Образ этой
наблюдаемой есть В' = F(g') Итак, преобразование 2Г пол-
ностью определяется, если известны законы преобразования ос-
новных наблюдаемых, т. е. если известны функции fi (В), ...
..., fn(B), ..., такие, что
Последнее определяет также перестановочные соотношения для
наблюдаемых I'. Так как преобразования обязаны сохранять
алгебраические соотношения, то имеется всего две возможно-
сти: либо преобразование сохраняет фундаментальные переста-
новочные соотношения, либо меняет их знак2). В первом случае
оператор Т, соответствующий преобразованию, линеен, во вто-
ром— антилинеен (см. ур. (26а — 266)).
Оператор Т должен удовлетворять равенствам
й==ПпТ\ 	(36)
содержащим все физические свойства Т. Однако этих равенств
недостаточно для полного определения Т. Пусть Т\—другой
’) В случае, когда оператор Т линеен, эти соотношения очевидны, они
справедливы также и при антилинейном Т, так как (и|В |и) вещественны.
2) Преобразованиями классической механики являются преобразования,
сохраняющие скобки Пуассона
Ис!. М
каждой пары (Дс1, Вс1) динамических переменных системы (канонические пре-
образования). Аналогично преобразованиями, сохраняющими физические свой-
ства в квантовой механике, будут те преобразования, которые сохраняют со-
ответствующие выражения
1Г И. »!
§ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
143
унитарный (или антиунитарный) оператор, удовлетворяющий
тем же соотношениям. Тогда имеем (опуская индекс п для уп-
рощения записи)
и, следовательно,
или
[TiT, ?] = о для всех g.	(37)
Если предполагать неприводимость пространства состояний S
по отношению к наблюдаемым £, т. е. что в S не содержится
подпространств, инвариантных относительно £, то равенства
(37) удовлетворяются тогда и только тогда, когда оператор
Т\Т пропорционален единичному.
Этот результат следует из леммы Шура (§ Г. 8). Ему можно
дать прямое доказательство следующим образом. Пусть |ц>—
общий собственный вектор полного набора коммутирующих на-
блюдаемых. Поскольку С = TtT коммутирует с каждой из этих
наблюдаемых, то \и) является собственным вектором С: С|м>=
= с|м>. Поскольку С коммутирует с каждой функцией F(g) на-
блюдаемых системы, то имеем также и
CF(g) \и) = cF(g)\ и) при всех F(c).
Пространство, образованное векторами Е(£)\и), является
подпространством в S, инвариантным относительно £, а так как
S, по предположению, неприводимо, то этим подпространством
может быть лишь само S. Следовательно С = с.
Если предполагать, как мы и делали до сих пор, что каждый
вектор пространства состояний можно рассматривать как соб-
ственный вектор некоторого полного набора коммутирующих
наблюдаемых, то свойство неприводимости выполняется авто-
матически (задача 1). Ясно, что приведенное выше обсуждение
имеет смысл только в том случае, когда используемые наблю-
даемые являются физическими наблюдаемыми. Мы всегда бу-
дем предполагать, что пространство S неприводимо по отноше-
нию к физическим наблюдаемым1). В этом предположении по-
стоянная с равна единице по модулю, поскольку Т и Т\ унитар-
ны. Итак, имеем
= &iaT.
Вывод: с каждым преобразованием связан унитарный или
антиунитарный оператор Т, определенный с точностью до фазы
законами преобразования фундаментальных переменных си-
’) См. ссылку в § ХШ. 14 на работу, в которой неприводимость не пред-
полагается.
144
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
стемы (ур. (36)). Оператор Т унитарен, если преобразование
сохраняет перестановочные соотношения, и антиунитарен, если
преобразование изменяет знак перестановочных соотношений.
Фаза оператора Т может быть выбрана произвольно и не
влияет ни на физические свойства преобразования, ни на за-
коны преобразования наблюдаемых и операторов плотности, ни
на различные алгебраические операции над операторами.
§ 7.	Группы преобразований
Из различных имеющихся в нашем распоряжении преобра-
зований мы можем образовать некоторое число групп преобра-
зований, где термин группа используется в его математическом
Понимании (ср. § Г. 2).
Произведение У21 = 3~i преобразований 3~\ и £Г2
является преобразованием, которое состоит в применении ?Г2
к результату действия Уь Преобразующий оператор Г21 с точ-
ностью до фазового множителя равен произведению Т^Т\. Это
произведение ассоциативно, но не обязательно должно быть
коммутативным.
Тождественное преобразование 3 — преобразо-
вание, при котором каждая наблюдаемая переходит в себя.
Соответствующий этому преобразованию оператор является опе-
ратором умножения на произвольный фазовый множитель.
Обратное преобразование определяется соот-
ношением 17'-1!/' = Зг!7"-1 — 3. Поскольку У определяет взаим-
но однозначное соответствие, то обратное преобразование всегда
существует.
Итак, каждое из преобразований, описанных в § 6, можно
рассматривать как элемент некоторой группы
Среди всевозможных групп группа пространственных преоб-
разований (трансляций, вращений и отражений) и ее разнооб-
разные подгруппы являются группами, физическое значение ко-
торых очевидно. Среди подгрупп этой группы следует упомя-
нуть группу трансляций, группу вращений (вокруг точки), груп-
пу смещений (трансляций и вращений), группы отражений от-
носительно точки и относительно плоскости, группу вращений
и отражений (вращения вокруг точки и отражения относительно
той же точки), группы симметрии кристаллов.
В предыдущей главе мы встретились с группами другого
типа —группами перестановок подобных частиц. Мы также рас-
сматривали перестановки, которые затрагивали только часть
переменных, описывающих частицы. В частности, там была вве-
дена группа преобразований в зарядовом пространстве, с кото-
рой в случае системы нуклонов связана группа изотопических
вращений, или группа вращений в зарядовом пространстве.
§ 8. ГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
145
Преобразования, явно затрагивающие время, удобно рас-
смотреть отдельно. Среди них, в первую очередь, следует от-
метить преобразования Галилея, которые мы упоминаем здесь
для полноты (задача 7). Они являются нерелятивистскими ана-
логами чисто лоренцевских преобразований. Последние вместе
с пространственными вращениями образуют собственную груп-
пу Лоренца, которая будет обсуждена в пятой части. Имеется
также группа временных сдвигов и, наконец, операция обра-
щения времени. Временные трансляции и обращение времени
будут изучаться в разделе IV. В оставшейся части настоящего
раздела мы будем рассматривать только преобразования, не
затрагивающие время явно.
§ 8.	Группы операторов преобразований
Пусть \3~\ — множество преобразований 3~	..., 3~i,  .  
Каждому элементу f7~ i этого множества можно сопоставить опе-
ратор Ti, определяющий преобразование векторов и операторов
в пространстве состояний. Оператор Т задается своими физиче-
скими свойствами только с точностью до фазового множителя,
который мы пока оставляем произвольным. Мы получим множе-
ство [Г] операторов преобразования, элементы которого находят-
ся во взаимно однозначном соответствии с элементами из
Предположим теперь, что [£Г] является некоторой группой
<S. Отсюда еще не следует, что множество [Т] является группой.
Действительно, при указанном соответствии между [fF] и [Г]
произведения сохраняются только с точностью до фазового мно-
жителя. Для каждого произведения
к = ST iSr i
имеем
iak
Тk = & ,lTjTlt
где a*z — некоторая фаза, зависящая от выбора фазы у Tt, Tf
и Tk. Для того чтобы [Г] было группой, надо чтобы все а// об-
ращались в нуль. Тогда группа [Г] изоморфна группе SF.
Если фазы операторов Ti могут быть выбраны так, чтобы
[7] было группой, то такой выбор, очевидно, является наиболее
удобным. Такая возможность имеется для ряда групп, но не для
всех. В частности, это возможно для группы перестановок
(гл. XIV), но невозможно для группы вращений (§ ХШ. 5), если
система содержит нечетное число частиц с полуцелым спином.
В последнем случае операторы вращений 7? («Ру), определяе-
мые соотношением (ХШ. 60), образуют группу, однако каждому
вращению Я соответствуют два оператора R, отличающиеся
друг от друга знаком. Если мы выберем один из них в качестве
146
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
элемента множества [/?], то мы установим взаимно однознач-
ное соответствие между вращениями и операторами вращений,
однако произведение сохранится лишь с точностью до знака и
множество [/?] не будет группой.
Для получения множества операторов преобразования мо-
жет оказаться необходимым сопоставлять каждому преобразо-
ванию ST} не один оператор Д, а набор (Т,) операторов, отли-
чающихся друг от друга фазовым множителем. Если набор (Д)
выбран подходящим образом, то полученное множество {?'}
операторов преобразования образует группу G, гомоморфную
группе $. Пусть (1)—множество операторов, каждый из кото-
рых соответствует тождественному преобразованию SG Элемен-
тами множества (1) являются единичный оператор 1 и, воз-
можно, другие операторы, получаемые из 1 умножением на фа-
зовый множитель. Множество (1) является инвариантной под-
группой в группе G, а фактор-группа <?/(!) изоморфна $ (ср.
§ Г. 5).
Таким образом, можно построить много множеств {Г}, имею-
щих структуру группы1)- Практически мы выбираем одно из
них. Очевидно, что следует выбирать множество {Г} по воз-
можности более простым. В результате мы получим группу опе-
раторов G, гомоморфную группе 3.
Во всех случаях, встретившихся к настоящему времени
в квантовой теории, всегда удается выбрать G так, чтобы каж-
дому элементу группы S’ соответствовал либо один оператор из
G (изоморфизм), либо, если это не так, два оператора из G,
различающихся знаком. Первый вариант всегда осуществляется
в случае системы, содержащей четное число полуцелых спинов.
Выше мы уже имели пример реализации второго варианта при
рассмотрении вращений полуцелых спинов. Мы встретимся со
вторым вариантом также при рассмотрении обращения вре-
мени. Более того, второй вариант всегда реализуется, когда си-
стема имеет нечетное число частиц с полуцелым спином.
§ 9.	Непрерывные группы и инфинитезимальные
преобразования. Трансляции. Вращения
В качестве иллюстрации общей теории построим группы
операторов G для некоторых групп 3. Сперва рассмотрим не-
прерывные группы, которые имеют бесконечное число элемен-
') Наиболее сложное из этих множеств получается при сопоставлении ка-
ждому преобразованию г всех операторов, удовлетворяющих (36): в этом
случае все элементы из (Г,) получаются домножением одного из них на фа-
зовый множитель. Практически всегда можно наложить на Т, условие вещест-
венности, фиксирующее фазовый множитель с точностью до знака без нару-
шения группового свойства. Множество (Г,-) тогда состоит точно из двух эле-
ментов, отличающихся друг от друга знаком (см. сноску к § XV. 17).
§ 9 ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
147
тов, зависящих от одного или нескольких непрерывно меняю-
щихся параметров, точнее, те группы, у которых все конечные
преобразования могут быть представлены рядами инфинитези-
мальных. Это справедливо для группы вращений и группы про-
странственных трансляций. В этом случае для получения пре-
образования наблюдаемых под действием любого элемента
группы оказывается достаточным установить лишь преобразо-
вание наблюдаемых под действием инфинитезимальных опера-
ций. Каждому инфинитезимальному преобразованию группы
можно сопоставить инфинитезимальный оператор преобразова-
ния, т. е. унитарный оператор, бесконечно мало отличающийся
от 1 ').
Предположим для простоты, что элемент группы зависит
лишь от одного непрерывного параметра а и что последний вы-
бран так, что
^"(а)---><7.
' ' а-»0
В первом порядке по 6а оператор, соответствующий ^(ба),
имеет вид
Т (6а) = 1 — /0ба,
где 0 — эрмитов оператор (так как Т унитарен).
Если наблюдаемая g преобразуется в | + при преобра-
зовании 3~(ба), то мы имеем (ур. (VII. 96))
6g = -i6a[0, &
т. е.
[е.а-/!-	<38)
При заданном преобразовании 7"(ба) величины бс/ба из-
вестны и соотношения (38) определяют 0 с точностью до по-
стоянной * 2).
') Этот оператор не может быть антиунитарным. Рассмотрим две неком-
мутирующие наблюдаемые. При инфинитезимальном преобразовании они из-
менятся только инфинитезимально, так что их коммутатор не может претер-
петь конечного изменения и, в частности, не может изменить знак.
2) В классической механике вариация ба дуда, каждой наблюдаемой £
при инфинитезимальном смещении £Г"(ба) определяется скобкой Пуассона
где т — сопряженный импульс, соответствующий а. Наблюдаемая ft© являет-
ся квантовым аналогом т. (При бесконечно малом вращении вокруг ат —
компонента момента импульса вдоль а; при трансляции вдоль а т является
компонентой импульса вдоль а.)
148
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
Рассмотрим, для примера, смещение частицы вдоль оси Ох.
Пусть г = (х, у, z) — координата, р = (рх, ру, рг)— импульс,
a s = (sx, sy, sz)— спин частицы. При трансляции ЗГх(а) на рас-
стояние а вдоль оси Ох девять основных переменных инва-
риантны, за исключением х, которая переходит в х — а1)
Т (а) хТ* (а) — х — а.	(39)
В частности, при инфинитезимальном преобразовании
£Г%(6а), 6х =— 6а, а все остальные вариации 8у, ..., 6sz об-
ращаются в нуль. Соответствующий эрмитов оператор 0* удо-
влетворяет перестановочным соотношениям
[0Х, х] = — 1,
[®х. «/]=...== [0Х>	= о,
что дает
где ko — произвольная вещественная постоянная, которую мы
положим равной нулю. Это изложение легко распространяется
на случай трансляций N частиц и дает
=	(40)
v
где Рх = У, рю —- компонента вдоль оси Ох полного импульса
i-1
системы N частиц.
Инфинитезимальному сдвигу £Гх(8а), таким образом, соот-
ветствует инфинитезимальный унитарный оператор
Тх(8а)=1 ~^Рх8а.
Оператор конечного преобразования Тх(а) можно выбрать
в виде
Тх (а) = exp (— iPxalh),
*) Образ х' прообраза х действительно есть х — а, а не х + а. Пусть
|6) —собственный вектор оператора х, соответствующий собственному значе-
нию Ь. Его образ |&') является собственным вектором оператора х, соответ-
ствующим собственному значению b + а
х|&)=&|&), х | &') = (& + а)
Но из определения преобразования наблюдаемых имеем
х'{ b') = b I Ь'), ’
откуда
х' — х — а.
Эту аргументацию полезно сравнить с доказательством из § XIII. 12.
$ 9. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
149'
что легко проверяется подстановкой этого выражения в соот-
ношение (39).
Полученные таким образом операторы образуют группу, изо-
морфную группе сдвигов вдоль оси Ох. В частности, мы имеем
Тх (а) Тх (&) = Тх (&) Тх (а) = Тх(а + Ь).
Группа сдвигов вдоль оси Ох является подгруппой группы
трансляций. Конкретный сдвиг (а) определяется вектором а,
задающим смещение динамических состояний системы. Группа
трансляций, таким образом, зависит от трех непрерывных па-
раметров — компонент вектора а. Закон композиции в этой,
группе имеет вид
Г (а) °Г(Ь) = °Г (&)	(а) = Г (а + &).
Обобщая полученные выше результаты на случай произволь-
ных трансляций, сопоставим инфинитезимальному сдвигу (е.)
оператор
T(e)^l--i-(Pe),	(41>
где Р — полный импульс системы N частиц. Из сказанного ра-
нее следует, что оператор, связанный с трансляцией (а), имеет
вид
7(a) = e“iPo/A-	(42>
Определенные таким образом операторы образуют группу, изо-
морфную группе трансляций, ибо
Т (а) Т(Ь) = Т (&) Т (а) = Т (а + &).
Группа вращений дает еще один пример непрерывной
группы с тремя параметрами. Операторы вращений уже были
найдены в главе ХШ. Определяющую их формулу (ХШ. 55)
следует сравнить с формулой (41). Полный момент импульса /
играет в группе вращений ту же роль, что и оператор полного
импульса Р в группе трансляций. Компонента (и/) полного мо-
мента импульса вдоль и определена с точностью до постоянной
перестановочными соотношениями (ХШ. 56) и (ХШ. 57), кото-
рые соответственно описывают инфинитезимальные вращения
скалярных и векторных наблюдаемых. Произвольная постоян-
ная может быть фиксирована требованием, чтобы моме'нт I был
векторным оператором *).
Операторы вращений 7? определяются как произведения ин-
финитезимальных вращений. Это приводит к формуле (ХШ. 60),
’) Это условие эквивалентно требованию, чтобы операторы Ra (е) были
инфинитезимальными операторами группы.
150
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
которую следует сравнить с формулой (42). Указанные опера-
торы образуют группу, изоморфную группе вращений, если си-
стема содержит четное число полуцелых спинов, и только гомо-
морфна ей, если система содержит нечетное число полуцелых
спинов. Этот вопрос уже обсуждался нами, и мы не будем его
рассматривать здесь снова.
Множество операторов Т и R, которые определены форму-
лами (42) и (60), и всевозможные произведения этих операто-
ров также образуют группу. Если система содержит четное
число полуцелых спинов, эта группа изоморфна группе смеще-
ний, если это не так, то рассматриваемая группа только гомо-
морфна группе смещений, и два оператора, отличающиеся зна-
ком, соответствуют каждому из элементов последней.
§ 10.	Конечные группы. Отражения
Среди всех групп простейшей, безусловно, является группа
отражений в точке. Она содержит всего два элемента, тожде-
ственный элемент У и отражение^: = При преобразо-
вании полярные векторы г, р меняют знак, а аксиальные век-
торы г X р, s не меняются. Поскольку г и р одновременно изме-
няют знаки, это преобразование сохраняет перестановочные со-
отношения орбитальных переменных, а также перестановочные
соотношения компонент спина. Следовательно, оператор So, оп-
ределяющий отражение, линеен. Он является унитарным опера-
тором, удовлетворяющим соотношениям
SorSo = -г’
SopSJ ~ Р’
SQsSl = з,	(43)
которыми он определяется с точностью до фазы. Для того чтобы
операторы So и 1 образовывали группу, изоморфную группе
отражений, мы должны потребовать выполнения равенства
S2=l (S0 = SJ),	(44)
которое фиксирует фазу So с точностью до знака.
Оператор So полностью определяется своим действием- на ба-
зисные векторы представления, например, представления {г, s2}.
Мы примем следующее определение:
•$окц> = | (—г)ц>,	(45)
которое согласовано с соотношениями (43) и (44) (задача 2).
Тогда отражение волновой функции описывается соотношением
50ф(г, р,) = ф(- г, и).
§ 10. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ. ОТРАЖЕНИЯ
151
Таким образом, оператор So совпадает с оператором четности,
введенным в § XIII. 23. Он является наблюдаемой с двумя соб-
ственными значениями, ±1. Приведенное рассмотрение без
труда можно распространить на случай систем, состоящих из
нескольких частиц.
Отражение коммутирует со всеми вращениями Я. Произве-
дения операций группы отражений и группы вращений образуют
группу вращений и отражений. Отметим также, что So комму-
тирует с любым оператором вращений, поскольку последние яв-
ляются функциями полного момента импульса J, a So коммути-
рует с J, ибо согласно (43)
S0JSJ = J.
Итак, множество, образованное операторами So, К и их произ-
ведениями, также образует группу. В случае, когда группа [/?]
изоморфна группе вращений (полный спин — целый), эта
группа изоморфна группе вращений и отражений. Если это не
так (полный спин полуцелый), то полученная группа только го-
моморфна группе вращений и отражений, и каждому элементу
последней сопоставляются два оператора, отличающиеся зна-
ком. В частности, двумя операторами, соответствующими чи-
стому отражению, являются +S0 и —So, а тождественному ото-
бражению соответствуют операторы +1 и —1.
Рассмотрим теперь другой тип отражения — отражение в
плоскости. Пусть 9>и—отражение в плоскости, перпендикуляр-
ной единичному вектору «; является преобразованием груп-
пы вращений и отражений, а именно, произведением и вра-
щения на угол л вокруг « (или —и)
=	(46)
Заметим, что
=	(47)
Следовательно, и J образуют группу, и ее изучение можно
скопировать с приведенного исследования отражений в точке.
Помимо этого, используя соотношения (46), свойства одной из
этих групп можно получить из свойств другой.
Мы рассмотрим только случай одной частицы. Оператор Sa
является линейным унитарным оператором, удовлетворяющим
соотношениям
SurSu ==г — 2и (иг),
SuPsl = p — 2ti (up),	(48)
SU$S£ = — s + 2« (us)
152
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
и его можно представить в виде
Stt = SoRa(n)^Soe-^\	(49)
что дает
S2„ = S* *e~2lli (•"*> = (_ 1)2Z.	(50)
При таком выборе фазы имеем
S2 = -l
в случае полуцелого спина. Для получения образующего группу
набора операторов преобразования отражению $Ра следует сопо-
ставить два оператора ') Sa и —Sa.
Еще одним примером конечной группы является группа пере-
становок п подобных частиц, которая изучалась в главе XIV.
Каждой перестановке был сопоставлен линейный унитарный опе-
ратор перестановки. Множество операторов, полученное таким
образом, образует группу, изоморфную группе перестановок2).
Мы не будем возвращаться к этим вопросам здесь. Добавим
лишь одно важное замечание. Перестановки коммутируют с про-
странственными преобразованиями, и из самого способа опре-
деления операторов перестановок следует, что они обладают тем
же самым свойством по отношению к операторам пространствен-
ных преобразований.
Раздел Ш. ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ
И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
§ 11. Инвариантные наблюдаемые
Мы рассмотрим теперь вопрос об инвариантности сам по
себе. Пусть —некоторая группа преобразований. Обозначим
G соответствующую группу операторов и пусть 7\— фиксиро-
ванный элемент из G. Будем предполагать, что все Д линейны
(и унитарны). Обращение времени — единственное преобразо-
вание, приводящее к рассмотрению антиунитарных операторов,
будет исследовано в разделе IV.
’) Если мы будем рассматривать только группу {Sa, S'), то предпочтитель-
нее определить Sa = i2,SQRa (л), что дает S2= 1.При новом выборе фазы за-
кон умножения (46) сохраняется только с точностью до фазы.
*) Тот же результат может быть получен при замене всех операторов, со-
ответствующих нечетным перестановкам, на противоположные им. Все рассу-
ждения, проведенные в главе XIV, могут быть повторены и при этом новом
соглашении о фазе с одним исключением — усложнением формул за счет до-
бавления знака (—) без каких-либо изменений полученных результатов.
§ It. ИНВАРИАНТНЫЕ НАБЛЮДАЕМЫЕ
153
Инвариантность наблюдаемой Q при преобразованиях груп-
пы выражается условием T{QTj = Q, т. е.
[Q, Л] = 0 для всех Т,.	(51)>
Мы уже анализировали те следствия, которые можно из-
влечь из этих коммутационных соотношений в случае группы
вращений (§ XIII. 17). Используя понятие группы и свойства
линейных представлений группы G (см. Дополнение Г и, в част-
ности, § Г. 9), эти следствия можно сформулировать весьма об-
щим образом. Обозначим |т/р> базисные векторы стандартного
представления группы G. Эти векторы нумеруются тремя кван-
товыми числами (или тремя наборами квантовых чисел). Ин-
декс / обозначает неприводимое представление, которому при-
надлежит вектор |т/ц>. Индекс ц различает базисные векторы
заданного неприводимого представления, а т — дополнительное
квантовое число, позволяющее, при необходимости, различать,
ортогональные эквивалентные неприводимые подпространства.
Мы намеренно будем использовать те же обозначения, что и
в § XIII. 6, очевидным обобщением материала которого яв-
ляется настоящее обсуждение. Важнейшим свойством Q яв-
ляется аналог соотношения (XIII. 120), а именно,
(г/р. |Q | t'/V) =	(52)
Полное доказательство этого соотношения приведено в Допол-
нении Г (см. ур. (Г. 20)).
Во многих случаях это соотношение удается получить и без
ссылки на общую теорию представлений групп. Для этого не-
обходимо найти среди функций операторов Д:
(i) множество / наблюдаемых, которые инвариантны относи-
тельно всех операций группы и собственные значения которых
нумеруются квантовым числом / (или набором квантовых чисел);.
(и) множество М наблюдаемых, которые коммутируют друг
с другом, но не со всеми элементами из группы, и собственные
значения которых нумеруются квантовым числом р.
Очевидно, что Q, J и М образуют множество коммутирующих
наблюдаемых и, следовательно, оператору Q соответствует осо-
бенно простая матрица в каждом из представлений, где наблю-
даемые J и М диагональны, а именно, матрица, определяемая
соотношением (52).
Этот метод успешно применялся нами к группе вращений
(см. ур. (XIII. 120)). В этом частном случае мы нашли одну на-
блюдаемую категории (i), а именно, J2, и одну наблюдаемую
категории (ii), а именно, ]г. Этот метод также может быть при-
менен к группе вращений и отражений с /2 и So, т. е. полным
моментом импульса и четностью, как элементами множества /
154
ГЛ XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
из категории (i) и наблюдаемой Jz в качестве множества М из
категории (п). Отметим, что имеется определенный произвол
в выборе М. В случае группы вращений обычно используют /г,
однако с тем же успехом можно использовать Jx или Jy,
а также любую другую компоненту векторного оператора J.
Собственные состояния наблюдаемой Q получаются диагона-
лизацией по отдельности матриц каждая из которых соот-
ветствует вполне определенному собственному значению опе-
ратора J. Итак, каждому значению j соответствует набору' соб-
ственных значений наблюдаемой Q, которые при необходимости
нумеруются квантовым числом (или числами) s. Пусть dj есть
число возможных значений ц (2/ Д- 1 в случае вращений). Каж^
дому из этих значений соответствует одна и та же матрица Qx\'-
Таким образом, каждое невырожденное собственное значение
этой матрицы является dy-кратно вырожденным собственным
значением наблюдаемой Q, а каждое р-кратно вырожденное
собственное значение этой матрицы является pdj-кратно вырож-
денным собственным значением Q. Если <7/ =# 1, то все собствен-
ные значения наблюдаемой Q, соответствующие квантовому
числу /, вырождены и степень их вырождения кратна dj. Это
вырождение является непосредственным следствием инвариант-
ности Q относительно группы G и называется G-вырождением.
§ 12. Свойства инвариантности гамильтониана
и законы сохранения
Пусть гамильтониан Н инвариантен относительно преобра-
зований группы S. Тогда мы можем повторить для гамильто-
ниана все то, что было сказано относительно инвариантных на-
блюдаемых. Исходя из коммутационных соотношений
[/7, 7\-] = 0 для любого оператора Tt из G, (53)
образуем наблюдаемые типа J и М. Эти операторы вместе с Н
образуют множество наблюдаемых, которые можно диагонали-
зовать одновременно. Более того, спектр оператора Н имеет
G-вырождение.
Как и в классической механике, инвариантность гамильто-
ниана приводит к законам сохранения. Действительно, посколь-
ку всякая наблюдаемая (не зависящая явно от времени), кото-
рая перестановочна с Н, является интегралом движения, то мы
имеем очевидное свойство.
Если Н инвариантен относительно преобразований группы,
-то всякая наблюдаемая, являющаяся функцией операторов
группы, представляет собой интеграл движения.
В частности, этим свойством обладают определенные выше
наблюдаемые (7, М) и поскольку они коммутируют друг с дру-
§ 12. СВОЙСТВА ИНВАРИАНТНОСТИ ГАМИЛЬТОНИАНА
155
гом, то их значения можно измерить одновременно и они
остаются фиксированными с течением времени.
Итак, с каждой группой связано некоторое число законов
сохранения. Всякий раз, когда сохраняющаяся наблюдаемая
имеет классический аналог, эти законы сохранения идентичны
соответствующим классическим законам1). Ниже указаны наи-
более часто встречающиеся из них.
(i)	Трансляционная инвариантность и сохранение полного
импульса. Необходимое и достаточное условие инвариантности
гамильтониана относительно трансляций состоит в инвариант-
ности его относительно инфинитезимальных трансляций, т. е.
(УР- (41))
[Н, Р] = 0,	(54)
где Р — полный импульс системы. Таким образом, три компо-
ненты полного импульса являются интегралами движения и пол-
ный импульс сохраняется. Кроме того, поскольку Рх, Ру и Рг
коммутируют друг с другом, то их можно одновременно точно
определить и они сохраняют свои значения с течением времени.
(ii)	Инвариантность относительно вращений и сохранение
момента импульса. Эти вопросы уже изучались в главе ХШ. На-
помним, что инвариантность гамильтониана относительно вра-
щений выражается условием: [И, J] = 0.
(iii)	Инвариантность относительно отражений и сохранение
четности. Из инвариантности гамильтониана относительно от-
ражений в точке
[И, So] = O,	(55)
следует, что четность So является интегралом движения.
(iv)	Инвариантность относительно перестановок и сохране-
ние симметрии. В системе, состоящей из тождественных частиц,
гамильтониан И инвариантности относительно любой переста-
новки Р этих частиц
[И, Р] = 0 при всех Р.
Отсюда следует, что любая наблюдаемая, построенная из Р,
является интегралом движения. Таковыми являются проекторы
S и Л на симметричные и антисимметричные состояния соответ-
ственно
[И, S] = 0, [И, Л] = 0.
Таким образом, S и Л являются интегралами движения. Мы
видели в главе XIV, что эти свойства операторов S и Л являются
') Это имеет место в случае, когда наблюдаемые связаны с инфинитези-
мальными смещениями (см. 1-ю сноску к § XV. 9).
156
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
необходимыми для внутренней согласованности постулата о сим-
метризации.
(v)	Зарядовая независимость и сохранение изотопического
спина. Пусть Т — полный изотопический спин системы нукло-
нов. Если нуклон-нуклонные силы зарядово независимы, то га-
мильтониан системы инвариантен относительно вращений в про-
странстве изотопического спина, т. е.
[Н, Т] = 0.	(56)
Следовательно, компоненты наблюдаемой Т, а также наблю-
даемые, являющиеся функциями этих трех компонент, являются
интегралами движения. В частности Т2 и Тг — интегралы дви-
жения. (N. В. Сохранение Тг есть не что иное как сохранение
заряда.)
§ 13. Свойства инвариантности и эволюция динамических
состояний
Покажем теперь, что из инвариантности Н относительно
группы SF следует инвариантность оператора эволюции U(t,t0)
относительно той же группы. Этот оператор, по определению,
является решением интегрального уравнения
t
Домножив обе части этого равенства слева на 7'; и справа на
ТЬ учитывая унитарность оператора и свойство (53), имеем
t
TdJ (t, /о) Т] = 1 + J HTiU (А /0) Т] dt'.
А)
Поскольку U и TtUT} удовлетворяют одному и тому же инте-
гральному уравнению, то они совпадают. Таким образом,
[£7(/,/о)> Л] = 0 для всех 7\ из Q.	(57)
Одним из следствий инвариантности U относительно преоб-
разований группы являются законы сохранения, приведенные
в предыдущем параграфе. Более того, если |ф(0> — решение
уравнений движения, то так как U и Tt коммутируют, преобра-
зованный вектор 7\|ф (?)> также является решением. Динамиче-
ские состояния, описываемые этими векторами, в каждый мо-
мент времени связаны преобразованием 3~t. Следовательно, за-
кон движения динамических состояний инвариантен относитель-
но преобразований группы ’З.
§ 13. ЭВОЛЮЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ
157
Два динамических состояния, являющиеся образами друг
друга относительно некоторого преобразования t группы 'S,
сохраняют это свойство с течением времени.
Это свойство инвариантности можно эквивалентным обра-
зом сформулировать посредством операций измерения.
Предположим, что после того как в момент времени t0 си-
стема приготовлена тем или иным способом, над системой в бо-.
лее поздний момент времени t осуществляется некоторая про-
цедура измерения. Результат такого измерения не изменится,
если осуществить преобразование , группы как над началь-
ным состоянием (т. е. над аппаратурой, используемой для при-
готовления системы), так и над величиной (или величинами),
подлежащими измерению (т. е. над аппаратурой, используемой
для их наблюдения) при прочих равных условиях.
Предположим для примера, что система приготовлена в чи-
стом состоянии, которое описывается вектором |<р> и измеряется
вероятность обнаружения системы в чистом состоянии, опреде-
ляемом вектором |х>- Образы этих состояний при преобразова-
нии описываются соответственно векторами Т,|<р> и 7\|%>. Из
коммутационных соотношений (57) получаем равенство вероят-
ностей
I <xl TW (t, /о) Ti | <р) i2 = | <Х| U (/, /о) | ф) |2-	(58)
В более общей ситуации, пусть ро — оператор плотности, опи-
сывающий состояние системы в момент времени ее приготовле-
ния t0, а р описывает систему в момент времени ее измерения t.
Типичное измерение состоит в определении вероятности того,
что значения измеряемой величины (величин) будут находиться
в некоторой области D. Если Ро — проектор на подпространство
собственных состояний, соответствующих этой области, то ука-
занная вероятность определяется равенством
да = TrpPD = Тг£7 (/, t0)p0U*(t,t0)PD.	(59)
Предположим теперь, что мы исходим из начального состоя-
ния ро == T’/PoT't и что измерение осуществляется над преобразо-
ванной величиной (величинами), рассматриваемой в первом
эксперименте. Собственным состояниям из области D соответ-
ствует проектор 7\Ро7'г Результатом нового измерения
будет
w = Tr U (Tip0Tt) U‘ (TiPDTfy	(60)
Принимая во внимание свойства следа, унитарность операто-
ров Ti и соотношение (57), имеем
w —w.
(61)
158
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
Действительно, если (58) справедливо при всех | q>> и |%>, то
имеем (61).
Выше мы, предполагая только инвариантность Н относи-
тельно преобразований заданной группы 9, получили помимо
прочего инвариантность «закона движения» динамических со-
стояний по отношению к группе У. Обратно, можно постулиро-
вать инвариантность закона движения относительно группы 9
и исследовать следствия этого постулата. Последний эквивален-
тен предположению о том, что для всякого преобразования i
из группы, уравнение (58) выполняется при любых |<р> и |%>,
или (теорема II), что 17 и T^UTt совпадают с точностью до
фазы:
71 U (/, /о) Ti = eia‘U (t, /о)-	(62)
На выбор фазовых множителей наложен ряд ограничений.
Для большинства групп, встречающихся в физических исследо-
ваниях, эти фазовые множители равны 1 *).
Мы будем всегда предполагать, что это фазовое условие вы-
полнено, даже когда оно и не следует из соображений внутрен-
ней согласованности. Постулат инвариантности тогда может
быть записан в виде
[Д, U (t, Zo)] = O.
В случае инфинитезимального оператора U, U{t + dt, t)~
= 1—(ilh)Hdt, из этого соотношения следует свойство сим-
метрии гамильтониана
[Л, /7] = 0.
Итак, всякий постулат об инвариантности уравнения движе-
ния приводит к симметрии гамильтониана. В случае изолиро-
ванной квантовой системы (нет внешнего поля) обычно посту-
лируют инвариантность относительно группы смещений. Это оз-
начает, что пространство предполагается однородным (трансля-
') Это связано с тем обстоятельством, что множители е,а< образуют од-
номерное представление группы З и являются непрерывными функциями I,
стремящимися к 1 при £->/о. Если '§ — конечная группа или, по крайней мере,
если i — элемент конечной группы, то существует целое число р, такое, что
{Г? — 3. Отсюда следует, что е,а/ является одним из корней р-н степени из
единицы. Упомянутое выше условие требует, чтобы e'“i = 1. Отражения в
точке и отражения в плоскости дают примеры таких преобразований. Если
единственным одномерным представлением группы % является тождественное,
то мы, очевидно, имеем е‘а/ = 1 для всех операций группы. Группа вращений
и группа смещений являются группами такого типа. С другой стороны, если
группа инвариантности уравнения движения ограничивается до группы транс-
ляций, то из сказанного не следует с необходимостью обращение в нуль
фаз а/.
§ 14. СИММЕТРИИ ЭФФЕКТОВ ШТАРКА И ЗЕЕМАНА
159
ционная инвариантность) и изотропным (инвариантность отно-
сительно вращений). До настоящего времени этот постулат ни-
когда не вступал в конфликт с экспериментальными данными.
Долгое время считалось, что движение физических систем
инвариантно относительно отражений. Это экспериментально
подтверждается во всех явлениях, в которых участвуют только
электромагнитные и так называемые ядерные взаимодействия,
т. е. взаимодействия, ответственные за устойчивость атомных
ядер. Однако эксперимент показывает, что этот постулат нару-
шается рядом взаимодействий, и в частности теми, которые от-
вечают за p-распад атомных ядер. Эти взаимодействия много
слабее тех, которые были упомянуты выше. Всякий раз, когда
этими взаимодействиями можно пренебречь, движение физиче-
ских систем инвариантно относительно отражений и четность
сохраняется. Такая ситуация имеет место в атомной физике,
когда рассматриваются только электромагнитные взаимодей-
ствия.
При наличии внешнего поля свойства инвариантности урав-
нений движения зависят от симметрии внешнего поля. В каче-
стве иллюстрации рассмотрим два примера, заимствованных из
атомной физики, — эффект Штарка и эффект Зеемана.
§ 14. Симметрии эффектов Штарка и Зеемана
Эффект Штарка. Рассмотрим атомную систему во
внешнем постоянном электрическом поле &, направленном по
оси z. Это поле инвариантно относительно трансляций, относи-
тельно вращений вокруг оси z и относительно отражений в пло-
скостях, параллельных оси z. Имеющаяся в этом случае группа
инвариантности является произведением группы трансляций на
группу отражений в плоскостях, содержащих ось Oz.
Будем предполагать, что движение центра масс уже отде-
лено и рассмотрим только возможные состояния гамильтониана
относительно переменных Н, который инвариантен относительно
отражений в плоскостях, содержащих Oz. Приводимые ниже
рассмотрения базируются исключительно на этом свойстве ин-
вариантности и не содержат ни детального описания, ни силы
взаимодействия системы с электрическим полем.
Пусть — отражение в произвольно выбранной плоскости,
содержащей Oz, a Sa — соответствующий этому преобразова-
нию оператор. Фазу Su выберем так, чтобы выполнялось равен-
ство 32 = 1. Поскольку рассматриваемая группа порождается
отражением и инфинитезимальными вращениями вокруг
оси Oz, то оператор преобразования является функцией от Sa
и ]г. Итак, мы имеем два независимых интеграла движения,
160
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
Sa и Поскольку они не коммутируют
г$и ~ ~ ^2’	(63)
то некоторые из собственных значений Н вырождены.
Заметим, далее, что коммутирует как с Jz, так и с Su и,
следовательно, со всеми операторами группы. Оператор Jz яв-
ляется наблюдаемой типа J для данной группы (см. определе-
ние в § 11). В качестве наблюдаемой типа М можно выбрать
либо Jz, либо Sa. В первом случае стационарные состояния бу-
дут классифицироваться по собственным значениям оператора
Jz, во втором — в соответствии с набором (Л> Su)-
Предположим, что система содержит четное число полуце-
лых спинов. Тогда возможными значениями Jz будут все целые
числа. Обозначим одно из них т. Если | > — стационарное со-
стояние, соответствующее этому значению, то Su|> является
стационарным состоянием с той же энергией, соответствующим
собственному значению — т оператора Jz. Если m =# 0, то оба
эти состояния ортогональны. Итак, если состояния классифици-
руются собственными значениями оператора ]г, то два проти-
воположных собственных значения т, —т порождают один и
тот же спектр энергий, причем каждый уровень спектра имеет
одну и ту же кратность вырождения. Иными словами, уровни
энергии зависят только от |т|, и все уровни, соответствующие
|тI #=0, имеют четную кратность вырождения.
Этот же результат можно получить и при классификации
состояний по собственным значениям пары (Jz, <$«)• Для обо-
значения этих собственных значений будем использовать сим-
волы т+ и т~, где т — неотрицательное целое число, квадрат
которого равен собственному значению оператора /z> а верх-
ний индекс положителен или отрицателен соответственно тому,
является ли 4-1 или —1 собственным значением оператора Su,
Для примера рассмотрим состояние т+
J2z | т+) — т | m+) Sa | т+) = | т+)-
Если m #= 0, то вектор J2|m+> не равен нулю и из (63) имеем
('г । ™+» == - JzSa \т+) = — (/г | т+)).
Итак, Jz, действуя на состояние т+, дает состояние т~. Если
первое из состояний стационарно, то стационарно и второе, со-
ответствующее тому же уровню энергии: энергетические уровни
зависят только от положительного целого числа т и все имеют
вырождение четного порядка. Случай т = 0 является исклю-
§ 15. СДВИГИ ВО ВРЕМЕНИ И СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
161
чением: спектры энергии в состояниях 0+ и 0" могут быть раз-
личны.
Эффект Зеемана. Рассмотрим теперь атомную систему
в постоянном магнитном поле Ж, направленном по оси z. При
отражениях в плоскости, параллельной этой оси, Ж меняет
знак. С другой стороны, Ж инвариантно относительно отраже-
ния в начале координат. Группой инвариантности внешнего
поля является группа, порождаемая трансляциями, вращениями
вокруг оси Oz и отражениями Как и в случае эффекта
Штарка, будем рассматривать только симметрии гамильто-
ниана Н относительных переменных. Этот оператор Н инвариан-
тен относительно вращений вокруг оси Oz и отражений в на-
чале координат. Пусть So— оператор четности, фаза которого
фиксирована таким образом, что S^=l. Все преобразования
группы описываются как функции наблюдаемых Jz и So, а эти
две наблюдаемые коммутируют
SqJzSq === /г*
Следовательно, инвариантность Н при преобразованиях группы
не приводит к систематическому вырождению ').
Операторы Н, So и Jz можно одновременно диагонализовать,
и каждый общий собственный вектор этих трех наблюдаемых
является стационарным состоянием, инвариантным относитель-
но преобразований группы. Этот результат основывается исклю-
чительно на свойствах симметрии Н и не зависит ни от деталей,
ни от силы взаимодействия системы с магнитным полем.
Раздел IV. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
И ПРИНЦИП МИКРООБРАТИМОСТИ
§ 15. Сдвиги во времени и сохранение энергии
Среди всех преобразований, затрагивающих время, простей-
шими являются временные сдвиги. В классической механике
инвариантность уравнений движения относительно временных
сдвигов приводит к хорошо известному закону сохранения энер-
гии (это требует независимости от времени функции Гамиль-
тона). Мы получим аналогичное свойство в квантовой меха-
нике.
Пусть |ф(0> — возможное решение уравнений движения.
Инвариантность уравнений движения системы относительно вре-
менного сдвига т эквивалентна наличию другого решения
|ф'(/)>, описывающего в момент времени t то динамическое со-
>) Иными словами, все неприводимые представления группы обязательно
одномерны.
162
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
стояние, которое в момент времени t + т описывалось исходным
решением, т. е.
|< (0) = е'“а’х,|'ф(/ + т)).
Для того чтобы каждое решение уравнений движения обладало
таким свойством, необходимо, чтобы оператор U удовлетворял
равенству
щ/, 0) = eia(tx)£7(/ + T, т),	(64)
где а(/, т) является фазой, которая может зависеть от t и т.
Для бесконечно малого t, положив f(r) = да/дф=о, имеем
1	= +	(1	dt),
т. е.
и (т) = Н (0) + hf (т).	(65)
Если закон движения инвариантен относительно произвольных
временных сдвигов, то (64) должно выполняться для всех т.
Иными словами, гамильтониан постоянен с точностью до добав-
ления (вещественной) функции времени. В действительности,
эту функцию можно положить равной нулю без изменения ка-
ких-либо физических свойств системы. Замена гамильтониана
Н(/) его значением в момент времени t = 0 сказывается лишь
в домножении U(t, t0) на фазовый множитель I i‘ f (tf) dt'
L о
(задача 6).
Итак, мы можем предполагать независимость гамильтониана
от времени при инвариантности уравнений движения относи-
тельно временных сдвигов. Это предположение будет использо-
ваться во всех приводимых ниже рассмотрениях. В этом случае
уравнение (64) сводится к инвариантности U(t, t0) при времен-
ных сдвигах
U (t + т, т) = U (t, 0).	(66)
§ 16. Обращение времени в классической и квантовой
механиках
В оставшейся части этого раздела мы будем рассматривать
только консервативные системы. Законы движения таких систем
часто оказываются инвариантными не только относительно вре-
менных сдвигов, но и относительно обращения времени. Эта ин-
вариантность встречается также и в классической механике.
Лагранжева функция Lci(q,q) классической механики яв-
ляется полиномом второго порядка по скоростям. Для многих
§ 16. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ В КЛ. И КВ. МЕХАНИКАХ
163
систем функция Лагранжа не содержит членов первого порядка,
и мы имеем
Lci (q, q) = Lcl(—q, q).
Системы, состоящие из изолированных частиц, всегда обладают
этим свойством симметрии. Введение статического внешнего
поля не всегда приводит к нарушению свойства симметрии. Оно
сохраняется, например, в чисто электрическом поле. С другой
стороны, в магнитном поле взаимодействие линейно по скоростям
и, следовательно, нарушает это свойство. Если же указанное
свойство симметрии имеется, то импульсы р являются линей’
ними однородными функциями скоростей, а функция Гамиль-
тона инварианта относительно обращения времени.
Рис. 7. Изображение двух классических траекторий (а) и (б), связанных отра-
жением времени га (?) = гб (— /), га (?) = — гб (— ?).
Для того чтобы обсуждение стало менее формальным, рас-
смотрим следствия такой симметрии на простом примере ча-
стицы в статическом потенциале. Тогда имеем
Я(р,г)=^-+Е(г) = Я(-р,г).	(67)
Отсюда следует, что все решения r(t) уравнений движения об-
ратимы во времени: функция rrev(t), которая определяется ра-
венством
f'rev (0 = г (— /)	(68?
также является решением уравнений движения. Соответствие
между двумя решениями представлено на рис. 7.
Положение частицы в момент времени t в одном из решений
совпадает с положением частицы в момент времени —t в дру-
гом; ее скорость в момент t в одном из решений противоположна
6*
164
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
по направлению скорости в момент времени —t в другом реше-
нии. Соответствие между импульсами то же, что и между ско-
ростями
Prev (/) = —р (— /).	(69)
Рассмотрим теперь аналогичную квантовую систему. Урав-
нение Шредингера имеет вид
+	(70)
(J Ь	I	J
Гамильтониан является вещественным оператором. Если изме-
нить t на —t и взять комплексное сопряжение от обеих частей
уравнения, то получим
-/) = [-	+ V (г)]ф‘(г, -/).	(71)
Иными словами, если ф (г, t)—решение уравнения Шредингера,
то функция
Фгет(г, 0=Ф*(г,-/)	(72)
также является его решением.
Соответствие между фиф rev НЭ уДИВЛСНИС ЭНЗЛОГИЧНО СООГ-
ветствию между двумя классическими решениями, рассмотрен-
ному выше (уравнения (68) — (69)). Обозначив P(r, t) и П(р, t)
плотности вероятности для координаты и импульса в момент
времени t, имеем
PKV(r’^ = P(r’ -Г)’	(68')
ПгеЛР^) = П(-Р> “О-	(69')
§ 17.	Обращение времени. Частица нулевого спина
Как видно из приведенного примера, обратимость во времени
решений уравнения Шредингера связана с инвариантностью га-
мильтониана Н(р, г) при замене р на —р. Эта инвариантность
означает, что Н(р, г) описывается в волновой механике веще-
ственным дифференциальным оператором. Мы приходим, таким
образом, к определению преобразования динамических перемен-
ных и динамических состояний, которое будем называть обра-
щением времени и при котором г и р переходят в г и —р соот-
ветственно. Обозначим К оператор, реализующий это преобра-
зование, а само преобразование обозначим Ж. По определению
= г, КрК+ = -р.	(73)
Это преобразование меняет знак коммутационных соотноше-
ний и, следовательно, К является антиунитарным оператором
§ 17. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ. ЧАСТИЦА НУЛЕВОГО СПИНА
165
(см. § 6). Соотношения (73) определяют этот оператор с точ-
ностью до фазового множителя. Обозначим Ко оператор ком-
плексного сопряжения в представлении волновой механики (ан-
тиунитарный оператор такого типа определен в § 5). Поскольку
в рассматриваемом представлении матрицы, описывающие г и р,
являются вещественной и чисто мнимой соответственно, то Ко,
очевидно, удовлетворяет соотношениям (73). Следовательно, мы
можем взять Ко в качестве оператора обращения времени
К = К0.
При таком выборе фазы действие К на волновую функцию сво-
дится к комплексному сопряжению
2<Ф(г) = Ф*(г).
Предположение об инвариантности Н относительно замены —р
на р эквивалентно условию
[К, Я] = 0.	(74)
Применив (анфиунитарный) оператор К к обеим частям уравне-
ния Шредингера, получаем
-м^к\ш-нк\ш,
т.е.
М 1Ф (-О )) = Н(Я1Ф (-/))).
Итак, если |тр(О> удовлетворяет уравнению Шредингера, то
ему удовлетворяет и вектор
14>(0)геу = К14> (-/)>•	(75)
Динамическое состояние, описываемое вектором |ф> rev В МО-
мент времени t, является при обращении времени образом со-
стояния, соответствующего вектору |ф> в момент времени —t.
Это и есть именно то свойство обратимости решений уравнения
Шредингера, которое было обнаружено в предыдущем параг-
рафе.
Из определяющих соотношений (73) следует, что преобразо-
вание Ж коммутирует со всеми пространственными преобразо-
ваниями (трансляциями, вращениями и отражениями). Отме-
тим также, что К коммутирует с операторами пространственных
преобразований, определенными в разделе II1). В частности,
') Если преобразование X коммутирует с другим преобразованием У, то
мы имеем КТ = eiaTK, где фазовый множитель е*а зависит от выбора опе-
ратора Т. Легко видеть, что этот оператор определен с точностью до знака,
если выполнено равенство КТ — ТК.
Это позволяет получить определенные выводы о структуре группы опер^.-
торов G, сопоставляемой группе преобразований 3 в случае, когда последние
166
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
К антикоммутирует с тремя компонентами импульса и, следо-
вательно, коммутирует с инфинитезимальными операторами
трансляций. Аналогчно К. антикоммутирует с тремя компонен-
тами момента импульса
К(гХр)Г=-(гХр)	(76)
и, следовательно, коммутирует с инфинитезимальными опера-
торами вращений.
§ 18.	Общее определение обращения времени
Для того чтобы расширить понятие обращения времени на
самые общие системы частиц, мы должны определить обраще-
ние времени для спиновых переменных. Поскольку спин яв-
ляется частным случаем момента импульса, то он должен пре-
образовываться подобно моменту импульса (ур. (76)), т. е.
KslC = -s.	(77)
Операция обращения времени обращает спин. Это опре-
деление сохраняет свойства коммутации Ж с пространствен-
ными преобразованиями и, в частности, с вращениями. Более
того, согласно (76) и (77) К антикоммутирует с компонентами
полного момента импульса J
K.JK* = -J	(78)
и, следовательно, коммутирует с операторами вращения (см.
задачу 8), т. е. так как К антилинеен, (78) приводит к соотно-
шению
Де"г (Л)ч,/Ч+ = exp [+ -^- <р (К (/и) К+)] = e-i (Ja} ф/й.
Построим теперь оператор обращения времени для частицы
спина s. Этот оператор определяется соотношениями (73) и
(77). Обозначим Ко оператор комплексного сопряжения, ассо-
циированный с представлением {г, s2}, в котором относитель-
ные фазы базисных векторов фиксированы обычным соглаше-
нием и, в частности, используются базисные векторы в спино-
вом пространстве, взятые в «стандартном» виде, определенном
в гл. XIII. Таким образом, имеем
КогКо = г, КорКо = — р,	(79)
=== sx, KoSyKo=== Sy, KoszK(! = sz.	(80)
коммутируют с Ж Тогда мы можем взять за (Ti) (обозначения из § 8) пару
преобразующих операторов, коммутирующих с К. В частности, (1) обозначает
пару (+1, —1). Множество {Т}, образованное этими парами операторов (один
из которых отличается от другого знаком), очевидно, образует группу и мо-
жет быть взято в качестве группы G.
§ 19. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ И КОМПЛЕКСНОЕ СОПРЯЖЕНИЕ
167
Положим
К = ТКо-	(81)
Поскольку Т = ККо и П = КоК\ то (линейное) унитарное пре-
образование Т действует по правилам
ТгТ* = г, ТрТ' = р,	(82)
TsxT* — — sx, TsyT* — sy, TszT* = — sz. (83)
Уравнения (82) и (83) порождают преобразование перемен-
ных г, р, s, которое соответствует повороту спина на угол л во-
круг оси у. Пусть y(s) — оператор, осуществляющий это враще-
ние
y(s) _ Q-lnSylh'
Величины Т и У(5) различаются только фазовым множителем.
Поскольку фазовый множитель не имеет физического значения,
то мы можем положить его равным 1, что дает
K^=Y(s)Ko = e~inSy/tlKo.	(84)
Для специального случая частицы спина 1/2
К = - iayK0.	(85)
Все сказанное выше без затруднений можно распростра-
нить на системы, состоящие из N частиц. Оператор К стано-
вится тензорным произведением операторов отражения вре-
мени отдельных частиц. Если Ко — оператор комплексного
сопряжения, ассоциированный со стандартным представлением
{r(1)s2<]) ... r(N'>sz(N'1}, a У(5)— оператор вращения спинов на
угол л вокруг оси Оу, то при указанном выше выборе фазы по-
лучаем
K^Y{S)Ko = e~inSy/hKo.	(86)
§ 19.	Обращение времени и комплексное сопряжение
Операция обращения времени УС имеет много общего с ком-
плексным сопряжением. Расширяя эту связь, будем называть
комплексно сопряженными пару линейных операторов, являю-
щихся образами друг друга при обращении времени. В частно-
сти, оператор Q называется:
(i) вещественным, если KQK^ = Q;
(ii) чисто мнимым, если KQK^ = — Q.
Всякая вещественная постоянная является вещественным
оператором, а постоянная i — чисто мнимым оператором. Про?
изведение i на вещественную постоянную дает чисто мнимый
168
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
оператор; сумма и произведение двух вещественных операторов
являются вещественными операторами.
Не следует смешивать понятие вещественности с понятием
эрмитовости. В этой связи уместно сделать следующие два за-
мечания.
(а)	В отличие от того, что имеется в случае эрмитова со-
пряжения, комплексно сопряженные операторы не обязаны опи-
сываться в заданном представлении комплексно сопряженными
матрицами.
(б)	Приведенное выше определение комплексного сопряже-
ния не является единственно возможным. Всякое антиунитарное
преобразование, квадрат которого равен 3, можно рассматри-
вать как комплексное сопряжение.
При нашем определении комплексного сопряжения все на-
блюдаемые, которые являются функциями координат, веще-
ственны, все импульсы и все спины чисто мнимы, а операторы
пространственных преобразований, определенные так, как это
делалось в разделе II, все вещественны (задача 8).
Понятие комплексного сопряжения можно распространить
на случай векторов. Определим в качестве вектора, комплекс-
но сопряженного вектору^, вектор /С|>. Повторное примене-
ние К. может не давать исходный вектор кроме случая, когда
№ = 1. Из равенства Ж2 = У не следует, что №= 1, а лишь
то, что № коммутирует со всеми динамическими переменными,
и, следовательно, является постоянной. Несложно показать (за-
дача 9), что значение этой постоянной не зависит от выбора
фазы, используемой в определении К, и что возможными зна-
чениями ее являются числа ±1. Более того, это значение можно
вычислить из выражения (86) для К. Поскольку Ко коммути-
рует с y(S) и К.2 = 1, то
К2 = (y{S)y = Q~i2nSvlh	(87)
или, если обозначить п число частиц полуцелого спина в си-
стеме, то
№ = (-1)п.	(88)
Если № = 1 (п четно), то комплексно сопряженные векторы
переходят друг в друга и можно определить вещественные век-
торы. Вектор |г> называют вещественным, если
К|г> = |г>.
По определению, вещественным представлением называют пред-
ставление, все базисные векторы которого вещественны.
Для построения вещественного базиса можно поступать сле-
дующим образом. Выбирается произвольный вектор |а> и ли-
§ 20. ПРИНЦИП МИКРООБРАТИМОСТИ
169
нейной комбинацией векторов |а> и К|а> образуют веществен-
ный, нормированный на 1 вектор
| агу = с 1а> + с* (К | а)).
Вещественность вектора |дг> очевидна. Постоянная с выби-
рается так, чтобы норма вектора равнялась 1. Легко проверить,
что такой выбор всегда возможен. Затем выбирают вектор |Ь>,
ортогональный к |аг>, и таким же образом конструируется ве-
щественный вектор \ЬГУ нормы 1. Поскольку К| агу = | а'У и, по
предположению, <аг|6> = 0, то
<аг | (К | Ь}) = ({аг | Ю (К Iby) = {ar | Ь? = 0,
и, следовательно, |6Г> ортогонален к \агу. Затем выбирается
произвольный вектор | су, ортогональный к \агу и |ЬГ>, и
строится вектор |сг). Эту процедуру повторяют до тех пор, пока
не будет образован полный набор базисных векторов.
Вещественные представления имеют ряд интересных свойств.
Оператором обычного комплексного сопряжения в этих пред-
ставлениях является оператор К. Всякий вещественный опера-
тор описывается вещественной матрицей; двя комплексно со-
пряженных оператора реализуются комплексно сопряженными
матрицами. Унитарные матрицы, связывающие два веществен-
ных представления, вещественны.
Если № = —1 (п нечетно), то вещественные векторы отсут-
ствуют. Однако так как К. — —то для любого вектора |н>
имеем
(и | (К I«» Щи | (К+1 иуу = -{и | (К I«» = 0,
так что мы получили интересное свойство:
Два комплексно сопряженных вектора |> и К|> ортого-
нальны.
Кроме того, если вектор |6> ортогонален двум комплексно
сопряженным векторам |а> и К\ау, то это свойство справед-
ливо и для комплексно сопряженного вектора К|6>. Из этого
легко проверяемого свойства можно получить, используя те же
рассуждения, что и в случае № = 1, что существует базис, це-
ликом построенный из комплексно сопряженных векторов.
§ 20. Принцип микрообратимости
Точно так же как ранее постулировалась инвариантность
уравнения движения заданной системы относительно некоторых
пространственных преобразований (§ 13), мы можем постули-
ровать его обратимость по отношению ко времени, т. е. если
170
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
[ф(0> = U (t, 0) ]г|5> описывает возможное состояние системы,
то вектор
|l|)(/))rev = K^ (“MW
также представляет возможное состояние системы и, следова-
тельно, с точностью до фазового множителя этот вектор совпа-
дает с U(t, 0)К|ф>. Предполагая, что это свойство справедливо
для всех |ф>, постулат обратимости по отношению к времени
можно записать в виде
U(t, Q)K = eiaWKU(-t, 0).
Этот постулат применим только к консервативным системам.
Если Н — гамильтониан системы, то
U (t, 0) =	U (— t, 0) = е+‘н^ =	(t, 0),
откуда имеем
U (t, 0) = е'“ (KU* (t, 0) К*).	(89)
Домножив обе части этого равенства на К слева и на К+ справа
и учитывая, что № = ТС2 = (—1)п, находим, что
U*(t, O) = eia(jKU(t, 0)К+).
Сравнив это соотношение с равенством, получаемым при эрми-
товом сопряжении соотношения (89),
U* (/, 0) = e~ia (KU (/, 0) К+),
получаем, что е‘“ может принимать только значения ±1, но
поскольку е‘“ — непрерывная функция t, равная 1 при t = 0, то
мы имеем е'“ — 1. Применяя (89) к инфинитезимальному опе-
ратору
U(dt, 0) = l—~Hdt,
получаем
1 -±Hdt=K[l +-LHdt]K\
т. е.
К/7К+ = Н.	(90)
Итак, если уравнение движения консервативной системы об-
ратимо во времени, то гамильтониан веществен и наоборот
(обратное доказано в § 17).
Постулат обратимости под названием принцип микрообра-
тимости обычно формулируется несколько отличным от выше
приведенного способом. Эта формулировка такова.
§ 20. ПРИНЦИП МИКРООБРАТИМОСТИ
171
Пусть w — вероятность обнаружить консервативную систему
в некотором состоянии |%> в момент времени t, если она в мо-
мент времени /0 находилась в состоянии |<р>. Пусть wrev — ве-
роятность обнаружить систему в состоянии <р> в момент вре-
мени t, если она в момент времени t0 находилась в состоянии
К|%>. Тогда принцип микрообратимости утверждает, что
wTev — w	(91)
для любых | ф>, | Х>, to И t.
Условие (91) может быть записано в виде
| «ф | (U (t, t0) КI %)) I2 -1 <х I и (t, /0) | ф> I2.
Это соотношение можно сравнить с соотношением (58). По-
скольку
«ф Iк?) (UKI %)) = (ф I (ВД) I х>’ = (XI	| ф>,
то его можно переписать в виде
KxKW+Ю 1ф>| = | <хЩ|ф>|.
Так как последнее равенство выполняется при всех |ф> и |х>,
то U и	совпадают с точностью до фазового множители
(теорема II). Аргументация, подобная той, которая применялась
выше к множителю е‘“, показывает, что и этот фазовый множи-
тель равен единице. Таким образом, принцип микрообратимости
требует выполнения равенства
£7(Uo) = W+(Uo)tf,	(92)
которое в случае инфинитезимального оператора U как раз яв-
ляется условием инвариантности гамильтониана (90)1).
Обычно предполагается, что любая квантовая система, не
взаимодействующая с внешними полями, удовлетворяет прин-
ципу микрообратимости. Вплоть до настоящего времени эта ги-
потеза не противоречит данным эксперимента. В присутствии
внешнего поля принцип микрообратимости выполняется или
нет в зависимости от того, является ли поле инвариантным или
нет по отношению к обращению времени. Электростатическое
поле обладает этим свойством инвариантности. Это легко по-
нять, так как источниками этого поля являются фиксированные
электрические заряды, а распределение статического заряда не
меняется при обращении времени. С другой стороны, источни-
ками статического магнитного поля являются фиксированные
') Поскольку (?2, 6) =	то уравнение (92) можно записать
также в виде
G) = tfWi. t2)K.
172
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
электрические токи: обращение времени обращает токи, а зна-
чит, и поля. Следовательно, принцип микрообратимости нару-
шается в присутствии магнитного поля даже в том случае, когда
оно не зависит от времени.
§ 21. Следствие: вырождение Крамерса
Вещественность гамильтониана Н, как и любая другая сим-
метрия, отражается в наличии специальных свойств в задаче
на собственные значения.
Если |ц> — собственный вектор оператора Н
Н\и} = Е\и},
то комплексно сопряженный вектор К|ц> также является соб-
ственным для Н и соответствует тому же собственному значе-
нию, т. е. по предположению
НК = КН,
и так как Е — вещественное число, то
Н (К\и)) = К(Н\и))==(КЕ\и)) = Е(К\и)).
Следовательно, подпространство <S е, соответствующее соб-
ственному значению Е, инвариантно относительно действия ан-
тиунитарного преобразования К, и можно применить резуль-
таты § 19. Следует рассмотреть два случая в соответствии
сК2 = ± 1.
1-й случай. № = 4-1 (четное число спинов 1/2).
В каждом из подпространств &е можно выбрать ортонорми-
рованный базис, все векторы которого вещественны. Таким об-
разом, Н имеет (по крайней мере) один базис, все векторы ко-
торого вещественны.
2-й случай. № = —1 (нечетное число спинов 1/2).
В каждом из подпространств <&е можно выбрать ортонорми-
рованный базис, состоящий из пар комплексно сопряженных век-
торов. Итак, каждое из подпространств <КЕ имеет четную раз-
мерность: каждое собственное значение гамильтониана Н по
крайней мере двукратно вырождено и его вырождение обяза-
тельно имеет четную кратность. Вырождение такого типа на-
зывают вырождением Крамерса.
Некоторые системы не имеют симметрий, отличных от инва-
риантности относительно обращения времени. Пример этому
дает система атомов в асимметрической кристаллической ре-
шетке. Такой атом можно рассматривать как систему, находя-
щуюся в чисто электростатическом внешнем поле. Гамильто-
ййан такого атома веществен. Если он содержит нечетное
§ 22. ВЕЩЕСТВЕННЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН
173
число электронов, то все энергетические уровни двукратно вы-
рождены. Это вырождение можно устранить введением магнит-
ного поля.
§ 22. Вещественный гамильтониан, инвариантный
относительно вращений
Если гамильтониан Н обладает другими свойствами симме-
трии помимо обращения времени, то результаты предыдущего
пункта остаются справедливыми, хотя в значительной степени
теряют свой интерес. Вигнер *) систематически изучал свойства
Н в случае, когда:
(i)	Н веществен: [К, Н] = 0;
(ii)	Н инвариантен относительно преобразований группы
линейных преобразований: [7\, /7] = 0;
(iii)	преобразования Tt коммутируют с обращением вре-
мени: [К, Г,] = 0.
Мы рассмотрим здесь только случай, когда группой инва-
риантности является группа вращений* 2).
Пусть У — оператор вращения на угол л вокруг оси у (не
следует смешивать этот оператор с введенным выше операто-
ром У(5) вращения одних только спинов). Положим
=	=	(93)
Операторы У+ и К коммутируют с J2 и антикоммутируют с Jz-
') Е. Р. Wigner, Gottinger Nachrichten 31, 546 (1932) (см. Е. Вигнер.
Теория групп. М., ИЛ., 1961, гл. 26. Прим, перев.)
2) Для заданной группы G вещественность И сказывается либо на удвое-
нии G-вырождения, либо в возможности диагонализации оператора Н в пред-
ставлении, базисные векторы которого удовлетворяют некоторому условию ве-
щественности. Детальная формулировка результата состоит в следующем (см.
работу Вигнера, цитированную выше).
Пусть G<'>— неприводимое представление G, a G(/)*— сопряженное пред-
ставление. Оператор К, действуя на вектор одного из этих представлений, дает
вектор из другого. Тогда G<;> и G^’1* либо эквивалентны, либо неэквивалент-
ны. В первом случае матрица S, позволяющая перейти от одного представле-
ния к другому (в(Л* = SG^Sty, имеет следующее свойство: SS* = ±1. Обозна-
чим G представление группы G в подпространстве, соответствующем задан-
ному собственному значению гамильтониана Н. Следует рассмотреть три слу-
чая:
(а) если G<'>* не эквивалентно G<», то оба представления одинаковое чис-
ло раз встречаются в разложении на неприводимые компоненты (двукратное
вырождение);
(б) если G»>* « G»> и SS*№ = —1, то G(/) встречается четное число раз
в разложении G (двукратное вырождение);
(в) если G</)*«G</) и SS*№ = + 1, то все базисные векторы каждой
компоненты G(^ представления G можно выбрать удовлетворяющими усло-
вию «вещественности»: KS|и) = |и).
Все представления группы вращений соответствуют случаю (в),
174
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
Следовательно, Ку коммутирует с /2 и Jz. Этот оператор ком-
мутирует также с J+ и Л_
Y*K (Jx ± iJy) = У+ (- Jx ± Uу) К = (Jx ± Uу) Y+K.
Более того, поскольку [У, /С] = 0 и Y2 — K2—(—1)" (ср. со*
отношение (88)), то
^=1-	(94)
Антиунитарное преобразование Ку можно рассматривать как
комплексное сопряжение, точно так же как рассматривалось К
в § 19. Для того чтобы различать Ку и К, мы будем использо-
вать кавычки для нового типа сопряжения. Таким образом, «ве-
щественный» (линейный) оператор — оператор, коммутирующий
с Ку. Вектором, «комплексно сопряженным» к вектору |>, бу-
дет, по определению, вектор Поскольку К2 =1, то «ве*
щественные» векторы и «вещественные» представления суще-
ствуют. Действие «вещественного» оператора на «вещественный»
вектор дает «вещественный» вектор. В «вещественном» пред-
ставлении «вещественный» оператор описывается веществен-
ными матрицами.
Поскольку J2 и Jz — «вещественные» операторы, мы можем
построить базис в пространстве момента импульса (//), все век-
торы которого «вещественны». Поскольку J+ и J_ также «веще-
ственны», то и векторы стандартного базиса, который может
быть построен из этих векторов методом, развитым в § XIII. 6,
также все «вещественны».
Пусть |т/‘|л>—векторы «вещественного» стандартного ба-
зиса. Если Н инвариантен относительно вращений и отражения
времени, то он коммутирует с J и Ку и описывается в представ-
лении {т/ц} вещественной матрицей вида (52), т. е.
<т/р | Н | x'j'р/> =
с вещественными Н<£,. Отсюда следует наличие вращательного
вырождения и существование у Н по крайней мере одной орто-
нормированной системы собственных векторов, образующих
«вещественный» базис.
«Вещественный» базис в § можно построить, взяв тензор-
ные произведения базисных векторов в более простых простран-
ствах. Предположим, что мы имеем
<S = <S\ ®	® • • •
и что в каждом пространстве St определены операторы враще-
ний и обращения времени. С каждым St связан оператор «ком-
плексного сопряжения» К(у} — YW*KV\ а оператор Ку для всего
§ 22. ВЕЩЕСТВЕННЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН
175
пространства является тензорным произведением этих опера-
торов
Тензорное произведение «вещественных» векторов определяет
«вещественный» вектор. В частности, мы можем образовать
множество «вещественных» базисных векторов в <£, взяв тен-
зорные произведения векторов, образующих «вещественный»
стандартный базис момента импульса в каждом из пространств
сомножителей. Исходя из этого базиса в <S, мы можем образо-
вать стандартный базис полного момента импульса в этом про-
странстве путем сложения моментов импульса. Поскольку все
коэффициенты Клебша— Гордана вещественны, все векторы по-
строенного таким образом стандартного базиса также «веще-
ственны».
Мы закончим эту главу замечанием о «вещественности» сфе-
рических функций.
Пусть со=(0, ф)— угловые координаты вектора г частицы,
а УГ(ю)— сферические функции, описывающие состояние мо-
мента импульса (1т). В этом частном случае (Н — 1)
Ку = е~1п1уК0,
так что (уравнения (Б.92) и (В.62))
KyYT (ю) = eilllyYT* (ю) =	(- l)m Y7m (а) = (- l)lY? (ю).
Итак, сферическая функция «вещественна» при четном I и
«чисто мнима» при нечетном I. С другой стороны, функции
Щ”1 (со) ss ilY™ (со)
образуют «вещественный» стандартный базис для орбитального
момента импульса.
Пусть Юр = (0Р, фр)—угловые координаты импульса р,
a Yf (ю ) — сферическая гармоника, описывающая состояние
момента импульса (1т) в представлении {р}. Можно показать
(задача 10), что
Ко = SqKd,
где So — оператор четности (ур. (45)), а Кр— оператор ком-
плексного сопряжения в представлении {р}. Тогда
Следовательно, Yf (ю ) образуют «вещественный» стандартный
176
ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
базис для орбитального момента импульса. Эти рассмотрения
«вещественности» без труда можно распространить на общий
случай неприводимых тензорных операторов (см. задачу 12).
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1.	Предположим, что пространство S векторов состояния системы пред-
ставляет собой прямую сумму #i + #2 + • •. некоторого числа подпространств,
инвариантных по отношению к множеству физических наблюдаемых системы.
Показать, что проекторы Р>, Р2, ... на эти подпространства коммутируют с
каждой физической наблюдаемой и что не все векторы из & являются одно-
временными собственными векторами полного набора коммутирующих физи-
ческих наблюдаемых.
2.	Показать, что оператор So, определенный равенством (45), удовлетво-
ряет соотношениям (43) и (44) и, в частности, соотношению SopSj = — р.
3.	Оператор отражения в плоскости, перпендикулярной вектору и, в слу-
чае частиц спина 1/2 является произведением оператора, действующего только
на орбитальные переменные, и оператора, действующего только на спиновые
переменные. Показать, что при специальном выборе фазового множителя по-
следний из упомянутых операторов равен (ои). Показать, что произведение
(ov)(ou), которое описывает два последовательных отражения в плоскостях,
перпендикулярных векторам и и v, равно оператору, соответствующему вра-
щению спина на угол 2(«, v) вокруг оси (и X v)/|« X v|-
4.	Поток частиц спина s рассеивается на потенциале, зависящем от спина.
Пусть pi — начальный импульс. Частицы, рассеянные в заданном направлении,
выделяются диафрагмой. Пусть pf — импульс этих частиц, a D — плоскость
рассеяния, т. е. плоскость, в которой лежат векторы pi и pf. Мы предполагаем,
что налетающие частицы не поляризованы, так что их спиновое состояние опи-
сывается оператором плотности р, = l/(2s + 1). Показать, что если потенциал
взаимодействия инвариантен относительно вращений и отражения в начале
координат, то оператор плотности pi, описывающий спиновое состояние рас-
сеянных частиц, симметричен относительно отражения в плоскости D.
5.	Показать, что оператор плотности, описывающий спиновое состояние
частицы спина '/2, может быть представлен в виде
р = ±(1+Р<г),
где о= (Ох, оу, Ог)—удвоенный вектор спина частицы, а Р — вектор, длина
которого лежит между 0 и 1 и который полностью определяет состояние по-
ляризации частицы.
Возвращаясь к задаче 4 и предполагая, что s — 1/2, показать, что вектор
Pf, определяющий поляризацию рассеянных частиц, перпендикулярен плоско-
сти рассеяния.
6.	Показать, что при добавлении к гамильтониану системы произвольной
вещественной функции времени оператор эволюции U(t, t0) домножается толь-
ко на фазовый множитель,
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ	177
7.	При галилеевском преобразовании системы координат переменные г, р,
s частицы переходят в г — vi, р— mv, s соответственно. Показать, что такое
преобразование задается оператором
G (v, 0 = exp [iv (тг — pt)/h].
Галилеевское преобразование системы N частиц описывается оператором
G(v,t) = exp[w(MR — Pt)/Л], где M, R и P — масса, оператор координаты и
оператор импульса центра масс.
(N. В. Для заданного значения t галилеевские преобразования образуют
группу. При принятом соглашении о фазе операторы преобразований также
образуют группу.)
Уравнение движения инвариантно относительно этого преобразования,
если
G+ (v, t) U (t, t0) G (v, to) = U (t, t0) X фазовый множитель.
Показать, что это условие эквивалентно «условию галилеевской инвариантно-
сти уравнения Шредингера»
G+ (v, t) рЛ ~ - /fl G (и, 0 = рЛ -£ - tfl + f,
где f — произвольная вещественная функция времени, и что это условие дей-
ствительно выполняется для шредингеровского гамильтониана (при этом
f = 0).
8.	Показать, что операторы трансляций и вращений и оператор отраже-
ний So (определение (45)) коммутируют с оператором обращения времени К
и что это свойство не зависит от выбора произвольной фазы, имеющейся в
определении К.
9.	Показать, что если квадрат антиунитарного оператора равен постоян-
ной, то она равна либо +1, либо —1.
10.	Пусть КР — оператор комплексного сопряжения в представлении {р),
Ко — оператор комплексного сопряжения в представлении {г}, So—оператор
отражения (определение (45)). Показать, что Ко = SoKp. Вывести, что при
обращении времени волновая функция Ф(р) переходит в
КФ(р) = Ф* (-р).
11.	Пусть имеется система, инвариантная относительно обращения вре-
мени. Пусть В — чисто мнимая (см. § 19) наблюдаемая системы (импульс,
спин, орбитальный момент импульса и т. п.). Показать, что:
(i)	если стационарное состояние не вырождено, то среднее значение на-
блюдаемой В в этом состоянии равно нулю;
(ii)	след проекции наблюдаемой В на подпространство, соответствующее
любому собственному значению энергии, равен нулю.
12.	Обозначим (q ——k, —A-j-l, ..., -фй) стандартные компоненты
неприводимого тензорного оператора По определению, комплексно сопря-
женным к оператору Г<*> является тензорный оператор, компонента q = 0 ко-
178	ГЛ. XV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
торого есть образ при обращении времени компоненты (при таком опре-
делении декартовы компоненты вещественных векторных операторов инвари-
антны относительно обращения времени, а компоненты чисто мнимых векторных
операторов меняют знак). Показать, что стандартные компоненты оператора,
комплексно сопряженного к T(i), являются «комплексно сопряженными» (в
смысле § 22) соответствующим компонентам оператора (—l)ftT(S) и что, в
частности, в «вещественном» стандартном представлении матричный элемент
|	| т'/'ц') веществен, если i*T(4) веществен, и чисто мнимый, если
ikT!k> — таковой.
(А/. В. Это свойство имеет непосредственное приложение в задачах об уг-
ловых корреляциях, ибо оно дает, с точностью до знака, относительные фазы
вкладов различных мультиполей.)
«Если блюда, которые я вам
предлагаю, плохо приготовлены, то
виноват в этом не столько мой по-
вар, сколько химия, еще не вышел*
шая из детского возраста.»
А. Франс «Харчевня королевы
Педок»
ЧАСТЬ IV
ПРИБЛИЖЕННЫЕ
МЕТОДЫ

ГЛАВА XVI
СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 1. Общее введение к четвертой части
Незначительное число задач в квантовой механике, которые
могут быть решены точно, относятся к очень простым и специ-
альным системам. Практически ни одну из физических систем
нельзя изучать без использования подходящего приближенного
метода. Искусство физика в большой степени состоит в умении
определить относительную значимость различных факторов
в данной физической системе и в выборе подходящего прибли-
женного метода. Вообще говоря, для каждой задачи существует
свой приближенный метод, и рассмотреть все возможные ме-
тоды мы не можем. В данной книге излагаются только доста-
точно общие методы, которые заслуживают систематического
изучения. Мы уже рассматривали классическое приближение и
метод ВКБ в главе VI и метод фазовых сдвигов для задач рас-
сеяния в главе X. Другие методы будут предметом исследования
в этой, четвертой, части нашей книги.
Математическое описание квантовой системы состоит в оп-
ределении ее оператора эволюции U(t, t0) или по крайней мере
в определении основных свойств этого оператора. Если гамиль-
тониан Н не зависит от времени, то проблема сводится к реше-
нию задачи на собственные значения для оператора Н, так как
в этом случае

и свойства U(t, t0) непосредственно связаны со свойствами Н.
Ситуация становится более сложной, когда Н зависит от вре-
мени. Однако ясно, что и в этом случае важную роль в опре-
делении свойств U будут играть собственные значения и соб-
ственные функции Н, которые тоже будут зависеть от времени.
Как правило, задачи рассеяния, которые относятся к непре-
рывному спектру, значительно сложнее задач, относящихся
к связанным состояниям. Теория рассеяния будет рассматри-
ваться в последней главе этой части (гл. XIX). В остальных
главах (гл. XVI — XVIII) в основном исследуются связанные
182
ГЛ. XVI. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
состояния, хотя развитые в них методы могут использоваться
и для изучения состояний непрерывного спектра.
Задачи о связанных состояниях можно разделить на два
класса. Одни связаны с определением стационарных состояний,
иначе говоря, с решением задачи на собственные значения опе-
ратора Н. К другому классу относятся задачи о переходах ме-
жду состояниями. Для решения задачи на собственные значе-
ния обычно используют один из трех методов. Метод В КБ ос-
нован на квазиклассическом приближении — приближении
больших квантовых чисел и малых длин волн. Стационарная
теория возмущений основана на точном решении задачи на
собственные значения для некоторого оператора Но, мало от-
личающегося от Н, собственные значения и собственные функ-
ции Н выражаются в виде рядов по разности Н — Но. Если
упомянутые методы не применимы, то можно воспользоваться
вариационным методом при условии, что имеется хорошее ап-
риорное представление об общем виде искомых собственных
функций. В настоящей главе рассматривается стационарная
теория возмущений, а в главе XVIII — вариационный метод.
Основные методы исследования эволюции связанных состояний,
когда гамильтониан зависит от времени, и, в частности, вычис-
ление переходов между состояниями, изложены в главе XVII.
Раздел I. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕВЫРОЖДЕННОГО УРОВНЯ
§ 2. Разложение по степеням возмущения
Предположим, что гамильтониан Н можно записать в виде
суммы «невозмущенного гамильтониана» Но и возмущения, ко-
торое принято записывать в форме XV, где X — вещественный
параметр, а V — так же как и Н не зависящий от времени
эрмитов оператор
=	+	(I)
Предположим, что проблема собственных значений для опе-
ратора Но решена и
ро ро ро ____________________________
последовательность его собственных значений, а|£“а^— соот-
ветствующий набор собственных векторов; квантовое число а
различает собственные векторы, отвечающие вырожденному
собственному значению:
/701 £?<х) = £? | £«<х>.	(2)
Спектр Н непрерывно меняется с изменением % и совпадает
со спектром Но при X = 0. Рассмотрим данное собственное зна-
§ 2, РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СТЕПЕНЯМ ВОЗМУЩЕНИЯ
183
чение Е°а оператора Но. Мы хотим вычислить собственное зна-
чение (или значения) Н, которое стремится к Еаа, когда %->0,
и определить соответствующие собственные состояния опера-
тора Н. Для упрощения записи будем считать, что спектр Яо
чисто дискретный; в действительности нижеследующие рассуж-
дения остаются справедливыми и в том случае, если часть
спектра Но непрерывна, лишь бы Ейа принадлежало дискрет-
ному спектру.
Если собственное значение Еаа не вырождено, то метод вы-
числения особенно прост. В настоящем разделе мы будем рас-
сматривать именно этот случай. Пусть Е — невырожденное соб-
ственное значение Н, которое стремится к £°, когда л -> 0. Со-
ответствующий ему собственный вектор |ф> определен с точ-
ностью до константы, которую можно фиксировать произволь-
ным условием. Мы примем следующее определение |ф>:
Н | ф) = Е | ф),	(3)
<0 | ф> = <0 10> = 1,	(4)
где использовано обозначение | Е^ = 10). Согласно этому оп-
ределению |ф> стремится к 10>, когда Х->0.
Если возмущение KV достаточно мало, то разумно предпо-
ложить, что Е и |ф> можно разложить в быстро сходящиеся
степенные ряды по т. е. можно записать:
£ = £°а + Ч + ^е2 + ••• +*Ч+ •••>	(5)
|ф> = |0> + ?Л> + ^|2>+... +Пп>+-...	(6)
Сохраняя только первые члены этих рядов, получаем прибли-
женные выражения для £ и |ф>, приближение будет тем лучше,
чем быстрее сходится ряд.
Метод теории возмущений заключается в определении ко-
эффициентов разложений (5) и (6). Для этого мы подставим
выражения (1), (5) и (6) в обе части уравнения (3), которое
тем самым превращается в равенство между двумя степенными
рядами по X. Для того чтобы это равенство выполнялось, не-
обходимо, чтобы коэффициенты при каждой степени 1 были по
отдельности равны. В результате получаем уравнения
(««-£Э|о> = о. Р”)
(Я. -£!)!») + (V - ф | п1) ’.о> - 4	(7*)
484
ГЛ. XVI. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
Переписав тем же способом условие (4), получаем
<0 11> = <0 |2>= ... =<0 |п> = ... =0.	(8)
Уравнение (7°) определяет собственное значение и собствен'
ный вектор в нулевом порядке. Вместе с условиями (8) урав-
нение (71) определяет поправки первого порядка к этим вели-
чинам, уравнение (72) — поправки второго порядка, ..., урав-
нение (7П) — поправки n-го порядка.
Покажем, что действительно уравнение (7П) определяет еч
и \п) в терминах поправок низшего порядка. Для этого спроек-
тируем уравнение (7П) на базисные векторы Но. Проектируя на
|0> и используя (8), получаем
еп = <0| V\n- 1>.	(9)
Проектируя на другие базисные векторы Но, получаем соответ’
ствующие компоненты вектора |п> вдоль этих векторов
<£°а | п) =	[{Е°а | (У - 81) | п - 1) -
Ьа~Е
— е2(Е°а |п — 2) — ... — en_j (Е°а 11)] (Е°=^Е“).
Поскольку <0|п> = 0, то вектор |п> полностью определен.
Удобно обозначить
Q^l-|0>(0|= £
И
£ | £°а> (£°а |
Используя эти обозначения, можно записать
|n) = -^[(V-e1)|n-l>-e2|n-2>- ... —	(11)
Уравнения (9) и (11) эквивалентны уравнению (7П), что и за-
вершает доказательство.
§ 3. Возмущение первого порядка
Поправки первого порядка следуют из уравнения (71). Они
получаются, если записать уравнения (9) и (11) в частном слу-
чае п = 1.
Уравнение (9) дает поправку первого порядка к уровню
энергии
В!-<0|У|0>,	(12)
§ 4. ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ АТОМА ГЕЛИЯ
185-
откуда получаем выражение для энергии в первом порядке
£ = <0 | 77 10> + О (А,2),	(13}
т. е. среднее значение гамильтониана Н, вычисленное на соб-
ственном векторе невозмущенного гамильтониана Но.
Уравнение (И) дает поправку первого порядка к собствен-
ному вектору
H> = -^(V-eI)|0>,
но поскольку Qo[0>= 0, это выражение сводится к
Н)=-^У|0>-	<14>
Вектор |ф> в первом порядке дается выражением
|ф) = (1+А,-^ У)|0> + 0(П	(15)
а его норма |||г|)>|| равна
III W = <Ш> == <0 10> + <т|> |Qo I~
«<0|0> + А2<1 |1>=1 +^<0|У^У|0>=1 + О(А2).
Согласно (14) коэффициенты поправок первого порядка
к |0> вдоль других базисных векторов Но даются уравнением
А(£’а|1) = -^|^>	(£°=#£«).	(16)
Следовательно, коэффициент поправки, пропорциональной
Е°а), равен матричному элементу возмущения, связывающему
0> с |£°а>, деленному на разность энергий этих двух невозму-
щенных состояний. Наименьшая из этих величин определяет-
скорость сходимости ряда теории возмущений.
§ 4. Основное состояние атома гелия
В качестве первого примера') применения метода теории
возмущений, вычислим энергию основного состояния атома ге-
лия или, говоря более общим образом, энергию основного со-
стояния любого (Z — 2)-крйтно ионизированного атома. Такой
атом состоит из ядра с зарядом Ze и двух электронов. Ядро
предполагается бесконечно тяжелым, так что получаем гамиль-
тониан двух электронов в потенциале
_ Zg2	Ze! I eI
rl	r2 "t" Гц ’
’) Мы используем пример из книги: L. Pauling, Е. В. Wilson, 1ос. сЩ
(см. первую сноску к § XIV. 12).
186
ГЛ. XVI. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
где Г1 и г2 — координаты первого и второго электронов, а г\2 =*
= |п — г2| —расстояние между электронами.
Если пренебречь потенциалом взаимного отталкивания е2/п2,
то гамильтониан системы сводится к гамильтониану двух неза-
висимых частиц в кулоновском поле —Ze2/r, для которого за-
дача на собственные значения может быть решена точно. Мы
возьмем этот гамильтониан в качестве «невозмущенного», а по-
тенциал е2/г12 будем рассматривать как возмущение. В основ-
ном состоянии Но оба электрона находятся в состоянии 1s.
Пусть Ен — энергия связи в основном состоянии атома во-
дорода. Тогда энергия основного состояния Но равна сумме
энергий двух электронов
£“ = - 2Z2£H.
а	н
Соответствующая собственная функция равна произведению
собственных функций каждого электрона (см. § Б. 3)
Фа (гь г2)= е~(г,+Г2^°/ла3,
где
а = ± =	(«Z-1 • 0,53- 10~а см).
Поправки к энергии от возмущения V = e2/ri2 в первом по-
рядке вычисляются по формуле (12) (X = 1)
С	2 f -2(г1+г2)/а
Б! — \ ФаУФа</Г1</г2==_1_г \ А-----j— drtdr2. (17)
Это электростатическая энергия двух сферических распреде-
лений электричества с плотностями —epi (rt) и —ер2(г2), где
Pi 0 = Р2 (г) == е-^/ла3.	(18)
Для вычисления интеграла
мы используем разложение (Б. 99). После интегрирования по
углам получаем
[ == 16 л2 dri dr2 р( (rj p2 (r2) r2r2/r > =
о 0
oo	oo	\
= 16л2	H P2(r2)r^r2 + r1 j P2(r2)r2dr J. (19)
o	'-O	Pj	J
§ 5. КУЛОНОВСКАЯ ЭНЕРГИЯ АТОМНЫХ ЯДЕР
187
Подставляя (18) и вычисляя /, находим, что поправка ei = е~1
равна
ei=4-Z£H.	(20)
Приближение тем лучше, чем меньше энергия взаимного от-
талкивания электронов по сравнению с энергией притяжения
к ядру, т. е. чем больше Z. Это проиллюстрировано в табл. I,
Таблица I
Энергии связи атомов Не, Li+, Ве++ в основном состоянии*)
	1	2	3	4	5	6
Атом						
	Z	Еа	Е1	£pert = £a + El	£var	£ехр
Не	2	-108	34	—74	—76,6	—78,6
Li+	3	-243,5	50,5	-193	-195,6	— 197,1
Ве++	4	-433	67,5	-365,5	-368,1	—370,0
	♦) Энергии приведены в электрон-вольтах. Столбцы 2, 3, 4 дают невозмущен-					
ную	энергию, поправку		первого порядка и их сумму		соответственно. Столбец 5	
содержит результат вычисления вариационным методом из § XVIII. 6, последний						
столбец—экспериментальное значение энергии основного состояния						(по книге:
L. Pauling, Е. В. Wilson, loc. cit.)						
где приведены экспериментально наблюдаемые энергии связи
для основных состояний Не, Li+ и Ве++ и результаты вычисле-
ний по теории возмущений. Разложение по теории возмущений
сходится быстрее, чем можно было бы ожидать, рассматривая
ситуацию a priori, и вычисление энергии связи в первом по-
рядке уже дает разумное согласие с наблюдаемой величиной
даже в случае гелия (Z = 2).
§ 5. Куленевская энергия атемных ядер
В атомных ядрах, где расстояние между нуклонами порядка
10~13 см, силы, действующие между нуклонами и характеризую-
щие ядерные взаимодействия, значительно превосходят силы
кулоновского отталкивания протонов. Таким образом, кулонов-
ское взаимодействие можно рассматривать как возмущение.
Обозначим Но сумму кинетической энергии нуклонов и потен-
циальной энергии чисто ядерного происхождения. Возмущение
V состоит из xliZiZ—1) членов кулоновского отталкивания Z
протонов ядра
X Т-	<21>
i<i<Z
188
ГЛ. XVI. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
(гц — |г; — г/|—расстояние между протонами I и /). Вычис-
лим по теории возмущений сдвиг Ес уровня энергии стационар-
ного состояния, вызванный кулоновским взаимодействием.
Пусть j — спин невозмущенного состояния. Кратность выро-
ждения такого состояния равна (2/ +1) и имеется (2/ I)
ортонормированных невозмущенных векторов Ф^> соответствую-
щих различным значениям ц компоненты Jz полного момента
импульса.
Несмотря на это вырождение, мы можем использовать раз-
витую выше теорию возмущений. Действительно, возмущение V,
как и Но, инвариантно относительно вращений, и можно рас-
сматривать задачу на собственные значения независимо в каж-
дом из подпространств <S (/р.) векторов состояния с заданным
моментом (/ц). Основное состояние в таком подпространстве не
вырождено, и поправка первого порядка к энергии вычисляется
по формуле (12)
£С«(Ф'|У|Ф'>.	(22)
Видно, что поправка не зависит от ц: возмущение не устраняет
вырождения. Это верно для всех порядков теории возмущений.
Поскольку Н, так же как и Но, инвариантен относительно вра-
щений, то его собственные значения имеют ту же кратность
вырождения, что и собственные значения Но.
Волновая функция состояния Фц зависит от координат и
внутренних спинов Z протонов и N = Jf — Z нейтронов. Так
как она антисимметрична по переменным, которые описывают
протоны, то Z (Z — 1) слагаемых в V дают одинаковый вклад
и = Z (Z — 1) е, где
е = (ф'|(е2/г12)|ф') =
= X 5 I Ф^ I2 (e2/f>2) drl dr2 • • • drZ drZ+l • • • dr^ •
суммирование происходит по спиновым переменным всех ну-
клонов. Обозначим р(гь г2) плотность вероятности найти в дан-
ный момент протон 1 в точке rlt а протон 2 — в точке г2:
Р(г1(г2) = £ § |Ф4|2rfr3 ... drjp.
Используя это обозначение, получаем
е = ( (е2/г12) р (rb r2) drt dr2.
§ 6. ПОПРАВКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
189
Для оценки Ес возьмем очень грубую модель, в которой
пренебрегают корреляцией между протонами1), т. е.
Р(Г1, r2)»p(ri)p(r2)	(23)
и в которой плотность р(г) постоянна внутри сферы радиуса
с з	п
р(г)=1ет-
10 при г > R.
(24)
Вычисления подобны проделанным в § 4. Подставляя плотно-
сти в интеграл I (формула (19)), получаем
EC«|Z(Z-1)-J.	(25)
Хотя формула (25) дает относительно грубую оценку вели-
чины Ес, ее можно использовать для проверки гипотезы о неза-
висимости ядерных сил от заряда (см. § XIV. 15). При этом
удобно пользоваться формализмом изотопического спина. Со-
гласно этой гипотезе невозмущенный гамильтониан инвариан-
тен относительно вращений в зарядовом пространстве, и со-
стояния из данного изотопического мультиплета должны иметь
одну и ту же энергию связи. Наблюдаемая разность между
этими энергиями будет тогда равна разности их кулоновских
энергий. Если взять
1
1,45-#3 • 10“13сл,
то, используя формулу (25), можно получить разумную оценку
для разности энергий основных состояний зеркальных ядер.
§ 6. Поправки высших порядков
Поправки второго порядка, которые следуют из уравнения
(72), мы получим, переписав уравнения (9) и (11) для случая
п == 2 и использовав выражения (12) и (14) для поправок пер-
вого порядка. Тогда имеем
e2 = (0|V|l> = (0|V-^V|0>,	(26)
|2> = -^(У-в1)|1) = Г-^У-^--^-У|0>(0|1 V|0). (27)
14	L **	«4	С4	!
Выражения для поправок высших порядков получаются та-
ким же образом. Формулы слишком длинны для того, чтобы
выписывать их здесь, но они упрощаются в важном частном
') Таким образом, мы, конечно, завышаем Ес, поскольку принцип Паули
требует, чтобы р(п, г2) было значительно меньше при rt = rs.
190
ГЛ. XVI. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
случае, когда все поправки низких порядков к невозмущенной
энергии исчезают. Тогда, если
gj = е2 = ... — еп-1 = 0,	(28)
то рекуррентные формулы (9) и (11) дают
en==<0|v(-^v)n-1|0>,	(29)
m)==^-v|«-i) = (^-v)2|n-2) = ... =Gryyi0>’ (30)
и условие (28) можно записать в виде
(01 V10) = (01 V-%- VI0) = ... = <01V (-^ v)n~2| 0) = 0. (28')
В тех случаях, когда это условие не выполняется, редко
приходится продолжать вычисления до порядка п. Теория воз-
мущений удобна, только если сходимость достаточно быстрая,
так что можно ограничиться вычислением поправок низших по-
рядков. Сложность вычислений быстро растет с увеличением
порядка, и вычисления становятся практически невыполни-
мыми.
Однако общий характер поведения поправок высших поряд-
ков представляет интерес при исследовании сходимости разло-
жений по теории возмущений. Так, переписав (26) в терминах
матричных элементов V в {|£°а>}-представлении, для е2 полу-
чим выражение
£ | (0 | V | Е<>а) |2
а	/г»1\
Поправки зависят от отношений матричных элементов
Х<0| V|£°a> к разностям энергии |£д — £°|. Более общим обра-
зом можно сказать, что сходимость ряда теории возмущений
тем лучше, чем меньше отношения матричных элементов
Х<£°а| V|£°'a'> между двумя собственными состояниями Но
с энергиями £° и £0' к разностям | Е°а — £°| и ) Е°а — £° | между
этими энергиями и невозмущенной энергией £°.
Можно получить верхнюю оценку для е2, оценивая по абсо-
лютной величине каждое слагаемое в правой части равенства
(31). Заменяя каждый знаменатель на 6£min — расстояние от
Е°а до ближайшего уровня, получим
le*l<-6F- S X^l^l^aX^alVlO),
ГОП £°-гЬ£° a
§ 7, ЭФФЕКТ ШТАРКА ДЛЯ ЖЕСТКОГО РОТАТОРА
191
ИЛИ
|е2|^ ^— <° | VQo И | °>.
о,ст1п
Используя определение Qo, имеем
<0| VQoV|0> = <0[ V(l —10><0|) V|0> = <0| I/2] 0> — <01 V10>2 == (АУ)2,
где (ДУ)2 — среднее квадратичное отклонение потенциала в со-
стоянии |0>. Таким образом,
ы
(ЛК)2
min
(32)
§ 7.	Эффект Штарка для жесткого ротатора
Как правило, вычисление поправки второго порядка е2 (31),
включающее суммирование бесконечного числа матричных эле-
ментов, значительно сложнее вычисления поправки первого по-
рядка, для которой нужно вычислить только один матричный
элемент потенциала V. Однако бывают случаи, когда большин-
ство матричных элементов, фигурирующих в (31), равны нулю,
и сумма содержит только конечное число слагаемых.
В качестве примера рассмотрим сдвиг уровня энергии жест-
кого ротатора в эффекте Штарка. Задача такого типа встре-
чается при исследовании поляризации двухатомных молекул
в электрическом поле. Жесткий ротатор описывает движение
ядер двухатомной молекулы в пределе, когда требуется беско-
нечно большая энергия для возбуждения колебательного дви-
жения. Единственные степени свободы ротатора это угловые
переменные (0, ф), фиксирующие пространственную ориента-
цию. Обозначим L момент импульса ротатора, а I — тг2 — его
момент инерции (ш — приведенная масса, г0 — расстояние ме-
жду ядрами). Гамильтониан ротатора имеет вид
а собственными функциями являются сферические функции
Т (6, ф). Обозначим \1т) вектор, отвечающий У”. Соответ-
ствующая энергия зависит только от I
Но\lrn) — E°i\ltn), E4=~l(l+\).
Если ротатор находится в однородном электрическом поле
<S, направленном вдоль оси z, то к гамильтониану следует до-
бавить член
V = — d<S cos б,
192
ГЛ. XVI. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
где d — электрический дипольный момент ротатора. Вычислим
влизние этого члена по теории возмущений.
В {|//п>}-представлении почти все матричные элементы V
равны нулю '). Для того чтобы
{1\пг\ | V112т2) += О,
необходимо, чтобы
гп\ — т2, l\ = l2± L
При выполнении этих условий матричный элемент можно вы-
числить по формуле (см. (Б. 90))
i
{1т | cos 0 11 — Im) = {I — 1/n | cos 01 Im) —	i) 2 • (33)
Все невозмущенные уровни энергии, за исключением уровня
I — 0, вырождены. Однако поскольку Нй и Н = Но V комму-
тируют с Lz, то можно решать задачу на собственные значения
для Н независимо в каждом из подпространств &т, отвечаю-
щих заданному собственному значению т оператора Lz. В каж-
дом из этих подпространств спектр оператора Но не вырожден
и можно использовать развитую выше теорию возмущений.
Рассмотрим невозмущенное состояние \1т) в &т. В силу
приведенных выше правил отбора
{1т | V11т) — 0,
и поправка первого порядка к энергии исчезает. Из тех же сооб-
ражений поправка второго порядка,'вычисляемая по фор-
муле (31), содержит два члена, соответствующих I ± 1:
zm_ 2/(<W у | (1т | cos 0 | I'm) |2 _
Ё2 Л2 L 1(1+1)- V (I' + 1)
21 (d+)2 Г | (frn | cos 0 | / + 1m) |2	( | (Im | cos 0 11 — 1т) |21
— —Й5 [/(I + 1) - (/ + Б (/ + 2)	1(1+	1) Г
Выражение в скобках легко вычислить, используя формулы
(33). В результате получим
,т (d&)2 / (1 + 1) - 3m2
е2 — Ео 2(21 - 1) (21 + 3)’
и спектр энергии с точностью до членов второго порядка равен
£0 1 2(21 — 1) (21 + 3) J
i) Эти замечательные свойства связаны с тем, что V есть 0-компонента
Неприводимого тензорного оператора порядка 1 и его четность равна (—1).
§ 8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
Т93
Вырождение снимается лишь частично, поскольку Etm за-
висит от I и т2. Состояния, для которых т отличаются только
знаком, отвечают одному и тому же уровню. Это остаточное
вырождение сохраняется во всех порядках, так как является
следствием инвариантности Н по отношению к отражениям
в плоскостях, проходящих через ось Oz. Мы еще вернемся
к этому вопросу в § 13.
Раздел II. ВОЗМУЩЕНИЕ ВЫРОЖДЕННОГО УРОВНЯ
§ 8. Элементарная теория
Предположим, что собственное значение Е°а невозмущенного
гамильтониана ga-кратно вырождено. Мы сохраним обозначе-
ния § 2 и обозначим &°а подпространство, отвечающее а
Ро — проектор на
Теперь к Ед при л-*0 может стремиться более одного соб-
ственного значения Н. Обозначим эти собственные значения
Е\, Е2, ..., Еп, кратности их вырождения gi, g2, ..., gn и отве-
чающие им подпространства •g’l, <^2, •••> &п- Тогда имеем
g\ + S2 + • • • + gn. — ga>
и пространство <^i4~<^2 + ••• +^п при л—>-0 стремится к §а.
Если Р — проектор на i + 2 + ... +<^п, то он является не-
прерывной функцией X и
р--> р
Определение собственных значений и собственных функций
по теории возмущений сложнее, чем в случае невырожденного
невозмущенного собственного значения. В разделе III будет
дано строгое решение этой задачи во всех порядках. Здесь же,
оставляя в стороне строгость изложения и ограничиваясь низ-
шими порядками, рассмотрим, что дает метод § 2 в применении
к этой задаче.
Пусть Е — одно из собственных значений Ei, Е2, ..., Еп,
а |ф> — один из собственных векторов, отвечающих Е. В пре-
деле, когда л-*0, |ф> стремится к некоторому вектору |0>,
о котором пока можно только сказать, что он принадлежит про-
странству За- Предположим, что Е и |ф> можно представить
в виде разложений (5) и (6) с условием нормировки (4). Их
коэффициенты связаны друг с другом уравнениями (7) и (8) и
могут быть определены рекуррентно.
Уравнение (7°) требует, чтобы вектор ]0> принадлежал Й’д
РоЮ) = |О).	(35)
7 А, Мессиа
194
ГЛ. XVI. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИ».
Проекция (71) на &°а дает
Po(V-e1)|O> = O,	(36)
а проекция на дополнительное пространство
Qo|l) = -^V|O>,	(37)
где мы обозначили
Qo=l-Po	(38)
и определили Qo/a согласно формуле (10).
Уравнение (36) есть уравнение на собственные значения
в подпространстве ei — собственное значение оператора
PoVPo в &°а> а |0> — соответствующий собственный вектор. За-
пишем (36) в представлении
2 (Е°аа | V | Е°аа'} (Е°аа 10) = ei <E^a | б),
а'
откуда видно, что поправка первого порядка ej получается диа-
гонализацией ga X ga матрицы с матричными элементами
Возможные значения ei — собственные значения этой матрицы.
Если имеется ga различных собственных значений, то все
они невырождены и возмущение полностью устранило вырож-
дение. Если же различных собственных значений меньше git
то некоторые из них будут вырожденными и вырождение устра-
нено лишь частично.
Если поправка первого порядка ei — невырожденное соб-
ственное значение, то соответствующий собственный вектор |0>
полностью определен в нулевом порядке с точностью до кон-
станты уравнениями (7°) и (71). Проекция Qo|l> поправки пер-
вого порядка к 1 -ф> на дополнение к &йа дается равенством (37),
а проекция на остается неопределенной, за исключением
условия (4). Если же ei, gt-кратно вырождено, то уравнения
(7°) и (71) показывают только, что вектор |0> принадлежит g\-
мерному подпространству; для более точного определения |0>
нужно обратиться к высшим порядкам.
Выбрав одно из значений ei и проектируя (72) на подпро-
странство, отвечающее ei, получаем поправку второго порядка
е2. Это подпространство, которое мы обозначим содержится
в &°а', обозначим соответствующий проектор Р(1), а проек«
тор на ортогональное дополнение в ё’а через Р'
Р0 = Рт + Р',	+ Р' +QO=1.
§ 9. АТОМНЫЕ УРОВНИ
195
Тогда имеем
РтН0==РтР0Н0 = Е?аРт,
PmV == PmV (Pll} + Р' + Qo) = в!?0* + Р(1) VQ0.
Проекция уравнения (72) дает
P(1>VQo|l)-e2P(1)|O) = O,
следовательно, используя (37),
Р(1)[(У-^-У)-е2]|0> = 0.	(39)
Для поправок второго порядка уравнение (39) является
аналогом уравнения (36) для поправок первого порядка. Точно
так же, как ei было собственным значением PoVPo в S°a, е2 яв-
ляется собственным значением PmV{Qa/a) VPW вс^д’, а |0> со-
ответствующий собственный вектор.
Если 81 — невырожденное собственное значение (gi = 1), то
|0> определено уравнениями низших порядков, и мы имеем
e2==<0|V^-V|0),
как и в случае невырожденного уровня. Если же gi > 1, то
вычисление е2 требует нахождения собственных значений
gi X gi матрицы. Если все они различны, то вырождение пол-
ностью устраняется во втором порядке; в противном случае,
если необходимо, переходят к высшим порядкам.
В ряде случаев вырождение сохраняется во всех порядках.
Мы встречались уже с такими примерами: кулоновская энергия
ядер (§ 5) и эффект Штарка для жесткого ротатора (§ 7).
Обычно, изучая симметрию HQ и Н, можно предсказать, на-
сколько вероятно устранение вырождения невозмущенного
уровня возмущением XV. Систематическое обсуждение этого во-
проса приведено в § 13, ниже мы проиллюстрируем метод вы-
числения поправок первого порядка на ряде примеров, взятых
из атомной физики.
§ 9. Атомные уровни без учета спин-орбитального
взаимодействия
В главе XIV мы изучали уровни энергии Z-электронных
атомов в приближении центрального поля (§ XIV. 12). В этом
приближении гамильтониан Н заменяется на
Z г 2	“I
i=l
7*
196
ГЛ: XVI. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
Тем самым, учитывается только усредненное значение электро-
статического отталкивания электронов. Обозначим Vi разность
между точным кулоновским взаимодействием и потенциалом Нс
KI	I
Пренебрегая в Н членами, зависящими от спина электрона, за-
пишем его в виде
H^Hc+Vt,	(41)
и спектр Н можно получить из спектра Нс, рассматривая V't
как возмущение. Модификации, которые влечет включение за-
висящих от спина сил, будут рассмотрены в § 10.
Как правило, все собственные значения Нс сильно вырож-
дены. Возмущение по крайней мере частично, снимает
вырождение. Уровни Н в окрестности данного собственного зна-
чения Нс получаются диагонализацией Vi в подпространстве,
соответствующем этому собственному значению. В частности,
основное и первое возбужденное состояния Н получаются диа-
гонализацией Vi в подпространстве &о, отвечающем низшему
собственному значению Ео оператора Нс.
Свойства симметрии Н значительно упрощают задачу диаго-
нализации. Поскольку оператор Н (так же как и Нс) не зави-
сит от спинов, он инвариантен не только по отношению к об-
щим поворотам, но и к вращениям орбитальных переменных и
спиновых переменных по отдельности, т. е. Н коммутирует не
только с полным моментом импульса /, но и с полным орби-
тальным моментом L и полным спином S ). Поскольку свойства
симметрии Нс и Н одинаковы, оператор PoViPq будет комму-
тировать с £ и S. Его собственные значения в подпространстве
можно параметризовать собственными значениями опера-
торов £2, S2, Lz и Sz, они будут зависеть только от L и S,
а кратность их вырождения будет равна (2£ + 1) (2S + 1).
Обозначим \yLSMLMs) векторы стандартного {L2, Lz, S2, Sz}-
базиса в еГ0, квантовое число у параметризует векторы, которые
имеют одинаковый орбитальный момент и спин. В таком пред-
ставлении матрица оператора PoViPo имеет очень простой вид
<vlSMtMs | И, I yTSM’LM's) =
Для полной диагонализации остается только диагонализовать
матрицы Уу/*’ отвечающие каждой паре квантовых чисел (LS).
’) Н инвариантен также относительно перестановок орбитальных перемен-
ных, но в силу теоремы § Г. 18 и принципа Паули это эквивалентно инва-
риантности относительно вращений спинов.
§ 9. АТОМНЫЕ УРОВНИ
197
Рассмотрим, например, атом углерода. Конфигурация основ-
ного состояния равна ls22s22p2, т. е. — две замкнутых оболочки
1s и 2s, и незамкнутая оболочка 2р с двумя электронами. Эта
конфигурация имеет вырождение Cl = 15. Для того, чтобы найти
возможные значения пар (LS) и их вырождение, т. е. число се-
рий из (2L + 1) (2S + 1) векторов, можно.рассматривать только
два 2р электрона, опуская замкнутые оболочки (задача 3).
Если не учитывать принцип Паули, то из двух 2р электронов
можно образовать следующие различные спектральные термы:
3S 3Р 3D lS lP ‘D.
Поскольку триплетное и синглетное спиновые состояния при
перестановке спинов симметрично
ственно, а состояния S и D сим-
метричны, а Р антисимметрично
при перестановке орбитальных
переменных, то из приведенных
спектральных термов принципу
Паули удовлетворяют
3Р lS 'D,
всего 9 4-1+5= 15 линейно не-
зависимых антисимметричных со-
стояний, как и утверждалось
выше. В {Е5МдЛ43}-базисе (в дан-
ном случае квантовое число у
излишне) возмущение V) диаго-
нально и имеет три различных
собственных значения Т(3Р),
T('S) и T('D), которые 9-, 1-
и 5-кратно вырождены, соответ-
ственно. Эти значения не сложно
и антисимметрично соответ-
Рис. 8. Энергетические уровни
основного состояния атома угле-
рода: а) в приближении централь-
ного поля (Уt = Уг = 0); б) в пре-
небрежении спин-орбитальной
связью (У2 = 0); в) при учете
спин-орбитальной связи.
вычислить, если известны волновые функции отдельных состоя-
ний. Вычисление показывает, что уровень 3Р расположен значи-
тельно ниже двух других (рис. 8)1)-
') Как правило, уровни данной конфигурации располагаются в порядке
убывания полного спина (правило Хунда). Поскольку второе слагаемое в
(40) дает один и тот же вклад во все уровни, порядок следования уровней
зависит только от величины энергии отталкивания У, е2/ | п — г/ |. Это сла-
гаемое убывает с увеличением расстояния между электронами и, следова-
тельно, с «возрастанием антисимметричности» орбитальной часта волновой
функции. Спиновая часть волновой функции становится «симметричнее» с ро-
стом S (§ Г. 18) н, следовательно, орбитальная часть становится «более анти-,
симметричной» с ростом S.
198
ГЛ. XVI. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 10. Спин-орбитальное взаимодействие. LS- и //-связь
Выражение (41) равно Н только приближенно. Оператор Н
содержит члены, зависящие от спина, которые мы обозначим У2:
H = HC+Vt + V2.	(42)
В первом приближении каждый электрон движется незави-
симо от других электронов в потенциале Ус(г), и его спин взаи-
модействует с его орбитальным моментом по закону (XIII. 95).
Следовательно, с хорошим приближением имеем
z
У2« £ (li • Si) g (rt),	(43)
i-i
где
£(0 = ^7^.	<44>
Для того чтобы корректно учесть этот эффект, необходимо
в рассуждениях предыдущего параграфа заменить V на Vi 4- V2.
Однако сумма У) 4- V2 обладает меньшей симметрией, чем
Уь Vi + У2 коммутирует только с J и не коммутирует с L или
S. Задача диагонализации возмущения в подпространстве, от-
вечающем невозмущенному собственному значению после учета
спин-орбитального взаимодействия становится значительно
сложнее. Эта задача несколько упрощается только в случае,
когда один из членов, У1 или V2, много меньше другого.
Если Vi У2, то в первом приближении можно пренебречь
У2. Каждая конфигурация будет давать серию уровней, каждый
из которых отвечает определенной паре (LS) и имеет кратность
вырождения (2L -ф 1) (2S 4-1) (ср. § 9). Соответствующие соб-
ственные векторы являются линейными комбинациями опреде-
лителей Слетера, построенных из одночастичных состояний кон-
фигурации. Это собственные векторы для £2, S2, Lz, Sz. Опера-
тор V2 рассматривается тогда как малое возмущение в подпро-
странстве, отвечающем каждому из этих уровней. Каждому
возможному значению J (J — L 4- S, £4-5—1, \L— S|)’
соответствует собственное значение У2 с кратностью вырожде-
ния (2/4-1)- Соответствующие собственные векторы \yLSJM)
являются собственными для L2, S2, J2 и Jz. Такой метод по-
строения собственных векторов полного момента импульса из
определителей Слетера фиксированной конфигурации отвечает
связи Рассела — Саундерса или LS-связи.
Если V2 Уь то в первом приближении можно пренебречь
Уь Тогда гамильтониан равен Нс 4- У2, что соответствует не-
зависимым частицам, движущимся в потенциале Ус 4-(ls)g(r).
Обозначим j — I 4- $ полный момент импульса каждой частицы.
Наличие спин-орбитального взаимодействия (ls)g(r) частично
§11. АТОМ С LS-СВЯЗЬЮ
199
устраняет вырождение одночастичных состояний с орбитальным
моментом, отличным от нуля, давая два уровня j=l±~. Со-
ответствующие собственные векторы можно параметризовать
квантовыми числами (nljm). Во всем остальном рассмотрение
Нс + V2 подобно рассмотрению Нс (§ XIV. 12); каждая конфи-
гурация Нс приводит к нескольким конфигурациям Нс + V2.
Как только последние определены, У] можно рассматривать
для -каждой из них как возмущение. Каждому собственному
значению 7 отвечает одно или несколько собственных значений
с кратностью вырождения (27+ 1). Соответствующие собствен-
ные векторы являются собственными для /?, J2 и 7г. Такой ме-
тод построения собственных векторов полного момента из оп-
ределителей Слетера конфигурации основного состояния назы-
вается Ц-связью.
Приведем схему этих методов
LS-связь	//-связь
(V0	S =	(У2)	+
(У2) J = L + s, (У,)	7 = 1/+
I
Относительное значение У2 быстро растет с числом Z* 1). Для
легких и промежуточных атомов Vt S> У2 и LS-связь дает хоро-
шее приближение; для тяжелых атомов (начиная, скажем,
с РЬ) У1 и У2 становятся величинами одного порядка и струк-
тура уровней конфигурации основного состояния является про-
межуточной между структурами, которые получаются при LS-
и //-связях.
§ 11. Атом с LS-связью. Расщепление за счет
спин-орбитального взаимодействия
Рассмотрим влияние спин-орбитального взаимодействия в
случае LS-связи (У1^У2), когда У2 можно считать возмуще-
нием гамильтониана Нс + Уь
Спектр невозмущенного гамильтониана был описан в § 9.
Каждый уровень отвечает определенному значению L и S и
') Vi представляет собой флуктуационный член, влияние которого на
энергию каждого электрона растет приблизительно как Vz. Энергия спин-
орбитального взаимодействия каждого электрона растет приблизительно как
Z2. Ее можно оценить, используя модель Томаса — Ферми; взаимодействие
пропорционально среднему значению (1/r) (dVcJdr), что приближенно равно
(обозначения § XIV. 13)
1 dVc ~ Z3e3 d / % \
"7" dr b3 dx \ x ) '
200
ГЛ. XVI. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
кратность его вырождения равна (2L + 1) (23 + 1); подпро-
странство соответствующих собственных векторов натянуто на
множество векторов с определенными значениями орбитального
момента и спина; обозначим их |аЛЗЛ+Л4$>. Квантовое число a
указывает конфигурацию Нс, к которой принадлежит данный
уровень, и служит для того, чтобы различать уровни одной и
той же конфигурации, имеющие одинаковые значения L и 3.
Энергия возмущения получится, если диагонализовать Иг
в подпространстве ^(aLS), отвечающем каждому из невозму-
щенных уровней. Покажем, что в каждом из подпространств
^(aLS) матричные элементы 1/2 те же, что и у оператора
4(LS), где А — константа, характеризующая невозмущенный
уровень (aLS)
(aLSMLMs j V21 aLSMfLM's) = A (aLSMLMs | (LS) | aLSM'LM's). (45)
Доказательство. Поскольку базисные векторы антисимметричны,
вклады в матричный элемент Z членов в V? (ур. (43)) равны. Следовательно,
достаточно рассмотреть только один из них, например, (ZiSi)g(ri); индекс 1
не существен и далее мы его опускаем. Взяв произвольную компоненту 1п
оператора I и произвольную компоненту оператора s, можно построить опе-
ратор g (г) I т5^, который является компонентой векторного оператора, непри-
врдимого по отношению к вращениям орбитальных переменных, и компонен-
той векторного оператора, неприводимого по отношению к вращениям спи-
новых переменных. Таким же свойством обладает и оператор LmS Исполь-
зуя теорему Вигнера — Эккарта, несложно получить (см. задачу ХШ. 19)
(aLSMLMs | glms^ | aLSM'LM's) = a(aLSMLMs | LmS^ | aLSM'LAi's\
где a — не зависящая от магнитных квантовых чисел М^, AfS) A45j tn, [l
константа. Следовательно,
_ (aLSMLMs | g (г) (Is) \aLSM'LM'^ = a{aLSMLMs | (LS) | aLSM'LM's^
и соотношение (45) получается, если каждый член умножить на Z и поло-
жить А = Za.
Оператор V2 в подпространстве S (aLS) не диагоналей
в представлении {aLSMLMs}, но поскольку он инвариантен от-
носительно вращений, он диагоналей в представлении {aLSJM},
базисные векторы которого являются собственными для опера-
торов J2 и Jz. Соотношение (45) позволяет определить его соб-
ственные значения. Действительно, поскольку
J2 = £2 + S2 + 2IS
имеем
{aLSJM | V21 aLSJM) = ±A {aLSJM | (J2 - L2 - S2) | aLSJM) =
= 1 Atl2(J (J +1)-L(L+ 1)-3(3+1)]. (46)
§ 12. ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА И ЭФФЕКТ ПАШЕНА — БАКА
201
Таким образом, невозмущенный уровень (aLS) расщепляет-
ся на столько уровней, сколько имеется возможных значений
7 (7 = L + S.... |L — S |). Кратность их вырождения равна
(27	1), а энергия возмущения дается формулой (46).
На рис. 8 приведена схема уровней конфигурации основного
состояния атома углерода с LS-связью. Спин-орбитальное взаи-
модействие влияет лишь на состояние 3Р; оно расщепляется на
три: 3Р0, 3Л и 3Р%. Так как в данном случае А > 0, уровни рас-
положены в порядке возрастания 7 и низшим является уро-
вень 3Р0.
§ 12. Эффект Зеемана и эффект Пашена— Бака
В последних трех параграфах мы изучали структуру атом-
ных уровней без внешних полей. Рассмотрим теперь атом, по-
мещенный в постоянное магнитное поле Ж В этом случае га-
мильтониан атома получается из гамильтониана Но без внеш-
него поля прибавлением члена (ср. ур. (ХШ. 96))
W = -~[^(L + 2S)]	(47)
(а также «диамагнитного» члена, пропорционального З^2, кото-
рым мы пренебрегаем).
Эффект Зеемана. Для достаточного малых можно
рассматривать W как возмущение. Поскольку гамильтониан Но
инвариантен по отношению к вращениям, каждый уровень Но
отвечает определенному значению 7 полного момента импульса.
Будем предполагать, что 7=И=0‘), тогда кратность вырождения
уровня равна (27 4-1). Возмущение W снимает это вырожде-
ние.
Пусть Ео — один из невозмущенных уровней, 7 — его момент
импульса, a \E0JM")— собственные векторы 72 и 7г, на которые
натянуто подпространство, отвечающее уровню Ео. Сдвиги дан-
ного уровня, вызванные магнитным полем, равны собственным
значениям матрицы
(E0JM\W \E0JM').
Если выбрать ось г параллельно 3&, то эта матрица будет
диагональна, поскольку W будет коммутировать с 7г.
Кроме того, в силу теоремы Вигнера — Эккарта матричные
элементы векторных операторов L 4- 2S и J в подпространстве
уровня Ео пропорциональны друг другу:
(Е07М | (£ 4- 2S) | EqJM') = g(E0JM | J | EqJM').	(48)
') Если 7 = 0 (диамагнитный атом), то сдвиг уровня исчезает в первом
порядке по 3^. Вычисляя сдвиг во втором порядке по Ж следует учесть вклад
«диамагнитного» члена.
202
ГЛ, XVT СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Коэффициент пропорциональности g (множитель Ланде) ра>
вен отношению приведенных матричных элементов этих опера’
торов, он характеризует рассматриваемый уровень Eq. В част-
ности,
(£0/Л4 | (Lz + 2SZ) | EqJM') =
Для выбранной ориентации осей
W = - ~ (Lz + 2£г),
и, обозначая цв магнетон Бора (ур. (XIII. 74)), получаем
{EqJM | W \EqJM') = - Mg^d^.
Таким образом, возмущение полностью устраняет выроЖ’
дение и (2/ + 1) уровней определяются по формуле Зеемана
Е = Eq — Mgy,B3%> (М = — J, — J -|- 1,	(49)
Вычисление множителя Ланде в случае LS-
связи. Множитель Ланде g (фактор Ланде) определен урав-
нением (48). Предположим, что для рассматриваемого атома
верна схема LS-связи. Тогда, следуя обозначениям § 11, уровни
атома при нулевом внешнем поле будут характеризоваться
квантовыми числами aLSJ.
Для определения g вычислим двумя различными способами
среднее значение
</ (£ + 2S)> = {aLSJM | (/ (£ 2S)) | aLSJM).
(а)	Используя тождество
J(L + 2S) = J2 + S2 + ±(J2-L2-S2),
имеем
</(£4-2S)> = 1[37(7 + 1) + S(S+1)-L(L+ 1)] ft2.
(б)	Непосредственно перемножая матрицы в {aLSJM}-
представлении и используя соотношение (48), получаем (ср. за-
дачу XIII. 19)
</ (£ + 2S)> = {£ г £ {aLSJM | Jt | aLSJM') %
x {aLSJM' I (L{ + 2Si) | aLSJM) =
= g{aLSJM | J21 aLSJM) = gJ (J + 1) (i2.
Сравнивая эти два результата, находим
а— 1	/(/+ 1) + S(S + 1) — L(L + 1)
g ~1 +	щ/’+’о----------’	<50)
§ 13. СИММЕТРИЯ н И УСТРАНЕНИЕ ВЫРОЖДЕНИЯ
203
Эффект Пашена — Бака. Приведенная теория эф-
фекта Зеемана оправдана, только если расщепление уровней
возмущением W мало по сравнению с расстоянием между не-
возмущенными уровнями. В случае LS-связи это предполагает,
что W мало по сравнению со спин-орбитальным взаимодей-
ствием V2 или, более точно (см. ур. (46) и (49)), что
| g | цв2ё < АП2.
Предположим, что имеет место обратная ситуация и магнит-
ное поле так велико, что
Ah2 •<
В этом случае спин-орбитальное взаимодействие пренебрежимо
мало по сравнению с магнитным и последнее можно рассма-
тривать как возмущение уровней гамильтониана
Нс+ V,.
В обозначениях § И каждый из этих невозмущенных
уровней параметризуется квантовыми числами (aLS) и имеет
кратность вырождения (2S + 1) (2L + 1). Возмущение устра-
няет вырождение лишь частично. Этот эффект называется эф-
фектом Пашена — Бака. Смещение относительно невозмущен-
ного уровня EaLS получают, диагонализуя W в соответствую-
щем подпространстве. Поскольку W коммутирует с Lz и SZt
матрица возмущения диагональна в {aLSMLMs}-представлении
(aLSMLMs | W | aLSM'LM's) = - Ив^ (ML + 2MS) bMLM'L6MsM's.
Следовательно, сдвиги уровней определяются формулой
E^EaLs-iiB3^(ML + 2Ms)
(Ml = -L......+ L; Ms = -S, ..., + S)
Если L #= 0 и S =+ 0, то некоторые из полученных уровней
остаются еще вырожденными. Введение малого спин-орбиталь-
ного взаимодействия по крайней мере частично устраняет эти
остаточные вырождения.
§ 13. Симметрия Н и устранение вырождения1)
Предыдущие примеры (§§ 5, 7, 9, 10, И, 12) показывают, на-
сколько важно учитывать симметрию при вычислении сдвигов
вырожденных уровней по теории возмущений. Существование
вырожденных собственных значений можно почти всегда свя-
’) Этот параграф, единственный в данной главе, в котором используются
результаты главы XV и ряд понятий из теории групп, может быть опущен при
Первом чтении.
204
ГЛ. XVI. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
зать с симметрией гамильтониана. Если известны группы ин'
вариантности Но и Н, то можно предсказать изменение выроЖ’
•—>0	°
дения уровня Еа под действием возмущения и значительно ущ
ростить вычисление возмущенных уровней.
Во всех приведенных примерах невозмущенный гамильто’
ниан Но был инвариантен по отношению к некоторой группе Go,
а возмущение XV было инвариантно по отношению к некоторой
подгруппе G группы Go. Так, в случае эффекта Штарка для
жесткого ротатора (§ 7) Go была группой вращений и отражв’
ний, a G — группой отражений по отношению к плоскостям,
проходящим через ось z (см. § XV. 14).
Воспользуемся обозначениями § XV. 11. Используя опера’
торы G, можно построить наблюдаемые / и М с собственными
значениями j и р соответственно. Каждому значению j отвечает
определенное неприводимое представление группы. Обозначим
dj размерность этого представления. Для данного / существует
dj возможных значений р, параметризующих d, базисных век'
торов данного представления. Каждой паре (jp) отвечает неко'
торое подпространство S(jp) пространства векторов состоя’
ния <5. Так как Н и Но инвариантны по отношению к преобра’
зованиям из G и, следовательно, коммутируют с J и М, то за-
дачу на собственные значения можно решать отдельно в каЖ’
дом из подпространств ^f(jp). Мы получим одинаковые спектры
и вырождение в dj подпространствах, отвечающих данному зна-
чению /.
Допустим, что Еа есть собственное значение Но в S (jp)
с кратностью вырождения р/. Тогда имеем
ga^XPjdj.	(51)
В подпространстве <F(jp) введение возмущения может с боль'
шей или меньшей полнотой устранить вырождение невозму'
щенной энергии (считаем р, > 1). Если Н инвариантен только
относительно преобразований из группы G, то рассматривав’
мое вырождение, вообще говоря, устраняется полностью и мы
получаем р, различных уровней. Следовательно, во всем про-
странстве введение возмущения расщепляет невозмущенный
уровень самое большее на^ р/ различных уровней, каждый из
, 1
которых отвечает определенному значению ] и имеет кратность
вырождения dj, если в S (jp) вырождение устранено полностью,
в противном случае вырождение уровня кратно dj.
Доказательство этих результатов использует только тот
факт, что группой симметрии гамильтониана Н является G, и
И есть непрерывная функция %, стремящаяся к Но при Х->0.
Эти результаты точны во всех порядках теории возмущений.
§ И. КВАЗИВЫРОЖДЕНИЕ
205
Если подпространство &оа неприводимо по отношению к
группе G, то сумма (51) будет состоять только из одного сла-
гаемого *) и вырождение уровня не может быть устранено ни
в каком порядке. Так происходит, когда Но инвариантен отно-
сительно тех же преобразований, что и H(Go = G). Мы встре-
чались с такой ситуацией, когда вычисляли кулоновскую энер-
гию ядер (§ 5).
В примере § 7 G представляет собой подгруппу Go. Размер-
ность подпространства отвечающего собственному значе-
нию равна (2/1). Оно неприводимо по отношению к Go
и приводимо (если I =#= 0) по отношению к G. В данном случае
(см. § XV. 14) оператором / является I2 с собственными зна-
чениями т2, которые можно характеризовать квантовым чис-
лом |m| (|т| = 0, 1, ...); размерность соответствующего не-
приводимого подпространства раваа
( 2, если | т | #= 0
1	(1, если | т | = 0.
В этом случае соотношение (51) принимает вид
£,=21+1- £ <1,.,.
|m 1 =0
Таким образом, возмущение расщепляет уровень £° на I 1
различных уровней, один из которых не вырожден при |т| = 0,
а остальные двукратно вырождены. Именно это было установ-
лено в § 7. Следует подчеркнуть, что такое использование сим-
метрии позволяет только оценить сверху возможность снятия
вырождения. Происходит ли это в действительности, можно
сказать только после вычисления по теории возмущений до до-
статочно больших порядков. Так, в примере из § 7 пришлось
вычислять до второго порядка включительно.
§ 14.	Квазивырождение
Если два уровня £« и Еь расположены настолько близко
друг к другу, что поправки к ним за счет возмущения V больше
чем |£^ — Еб1, то пользоваться развитыми ранее методами
нельзя. Однако и в этом «квазивырожденном» случае можно
‘) Подпространство &°а инвариантно по отношению к преобразованиям из
G и определяет некоторое представление размерности ga этой группы, кото-
рое мы обозначим Ga. Его разложение на неприводимые части согласно (51)
имеет вид Ga «
i
206
ГЛ. XVI. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
использовать теорию возмущений, если подходящим образом
изменить определение невозмущенного гамильтониана и возму-
щения.
Обозначим Р°{ проектор на подпространство, отвечающее
собственному значению L/ оператора Но. Тогда имеем
Ho = %EotPl
i
Модификация гамильтониана состоит в замене слагаемых
ЕаРа и Е%Р°ь в этой сумме на Е°а (Р°а + Р°ь), где — величина,
промежуточная между Еа и Е°ь. Так, получаем новый невоз-
мущенный гамильтониан, у которого собственное значение Еа
имеет кратность вырождения ga-\-gb- Далее следует вычислить
поправки к Еаа за счет возмущения
V +	- Е°а) Р°а + (Е°Ь - £а) Pl
Такой метод был использован при рассмотрении эффекта
Пашена— Бака (§ 12). Поле Ж было достаточно сильным, так
что сдвиги уровня данного LS-терма не были малыми по срав-
нению с расстоянием между уровнями. Тогда мы взяли в каче-
стве невозмущенного гамильтониан Нс + 1Л вместо Нс + Vi +
+ V2, что привело к замене группы уровней EaLsi ==
= |L — S|......L + S) на один уровень EaLs. Далее, следо-
вало бы вычислить поправки к EaLS, вызванные возмущением
V2 + W. Для чистого эффекта Пашена — Бака поле Ж на-
столько сильное, что в первом приближении влиянием У2 можно
пренебречь (V2 < №), это и было сделано в § 12. Если У2 и
W — величины одного порядка, то такое приближение не при-
менимо и вычисления становятся значительно сложнее (за-
дачи 7 и 8) .
Раздел III. ЯВНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ РАЗЛОЖЕНИЙ
ПО ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ВО ВСЕХ ПОРЯДКАХ1)
§ 15.	Гамильтониан Н и его резольвента2) G(z)
В этом разделе мы изложим кратко подход, дающий явный
вид членов любого порядка разложения по теории возмущений.
В подходе, предложенном Като3), используется разложение
*) Этот раздел при первйм чтении можно опустить.
2) Ряд автрров использует термин «функция Грина» вместо «резольвента».
s) Т. Kato. Prog. Theor. Phys. 4, 154 (1949). Като интересовался в основ-
ном условиями сходимости теории возмущений, и его подход особенно удобен
при обсуждении этого вопроса. В большинстве встречающихся случаев раз-
ложение по теории возмущений является асимптотическим. Мы не будем в
данном разделе касаться математических аспектов работы Като,
5 15. ГАМИЛЬТОНИАН Н И ЕГО РЕЗОЛЬВЕНТА G(z)
207
резольвенты G(z) гамильтониана Н в ряд по степеням возму-
щения. В этом параграфе мы определим G(z) и опишем неко-
торые ее свойства.
По определению, если оператор Н — наблюдаемая, то его
резольвентой называется функция
(52)
комплексной переменной z ’).
На рис. 9 изображена комплексная плоскость z и на веще-
ственной оси отмечен спектр Н\ спектр обычно состоит из
Г
Рис. 9. Комплексная плоскость z, определение контура Г. Спектр Н выделен
на вещественной оси жирными линией и точками.
дискретной части и непрерывной части, последняя распола-
гается справа от дискретной части и тянется вплоть до беско-
нечности. Резольвента G(z) является аналитической функцией
z, а ее особенности образуют спектр Н.
Предположим для простоты, что спектр оператора Н чисто
дискретный. Собственные значения обозначим Ео, Е1г ...
..., Eit а проектор на отвечающее Е, подпространство —
Pi
HPi = EiPt	(53)
Соотношения ортогональности и полноты имеют вид
=	(54)
’) По определению, оператор Q в гильбертовом пространстве называется
ограниченным, если существует константа М такая, что для любого |и)
(ц | Q+Q | п) ;
<«1«>
Наименьшее значение М называется нормой оператора и обозначается ||Q||.
Строго говоря, различные операции алгебры и анализа, в частности, понятия
сходимости рядов, дифференцирования и т. д., могут быть перенесены без
ограничений только на ограниченные операторы в гильбертовом пространстве
(см. М. Н. Stone Linear transformation in Hilbert space, № 4, Amer. Math.
Soc., 1932).
С математической точки зрения G(z) представляет большой интерес, по-
скольку является ограниченным оператором на всей комплексной плоскости z,
за исключением собственных значений оператора Н, и аналитической функ-
цией z, особенности которой образуют спектр Н. Если обозначить A(z) рас-
стояние от точки z до ближайшего собственного значения Н, то ||G(z)|| =
= 1/A(z).
208
ГЛ. XVI. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Из определения (52) имеем
и, следовательно,
<56>
i
Каждому дискретному собственному значению Ei оператора
Н отвечает простой полюс G(z), вычет в котором равен проек-
тору Р(. Другими словами
Л = 2SF§G(z)^’	(57)
г,
где Г,- — замкнутый контур в комплексной плоскости, окружаю-
щий Ei, а все остальные сингулярности G(z) лежат вне его.
В более общем случае, если Г — замкнутый контур, не прохо-
дящий ни через одно из собственных значений Н (рис. 9),
а Рг— сумма проекторов Pt, соответствующих собственным зна-
чениям внутри этого контура, то
Pv = JT^G^dz-	(58)
г
Умножая уравнение (58) на Н и учитывая тождество
(z - Н) G = G (z - Н) = 1,
получаем важную формулу
HPv=^T§zG(z)dz.	(59)
г
§ 16.	Разложение G(z), Р и HP в ряд по степеням XV
Рассмотрим теперь собственно задачу теории возмущений.
Резольвенты операторов Н и Но обозначим соответственно
Заметим, что
2_	= -~гн~кГ-н =
2 П о Л»	2 П о	Z П q Л V
_____'	> _!___А у 1
~~ z-HQ ' z-Но z-Ht,-KV
§ 18. РАЗЛОЖЕНИЕ О(г), Р И HP В РЯД ПО СТЕПЕНЯМ XV
209
и, следовательно, G является решением интегрального уравне-
ния
G = GO(1 + WG).	(61)
Интегрируя это уравнение, получаем G в виде разложения
по степеням возмущения')
G = f VGoCVGor.	(62)
n=0
Используя обозначения § 8, найдем разложение Р по сте-
пеням возмущения. Для достаточно малых % в комплексной
плоскости г существует замкнутый контур, содержащий внутри
себя невозмущенное собственное значение £а и собственное
значение оператора Н, которое стремится к £° при %->0, и не
содержащий каких-либо других собственных значений Н и На.
Обозначим такой контур Га. Согласно уравнению (58) имеем
га
Подставляя вместо G разложение (62) и меняя порядок сум-
мирования и интегрирования, получаем разложение Р в виде
ряда по степеням %
Р = Р0 + £ VX(n),	(63)
П»|
где
Aw=^§G0(VG0)ndZ.	(64)
Га
Единственной особенностью функции Go(VGo)n внутри кон-
тура Го является полюс в точке Еа порядка п 1 и согласно
уравнению (64) Л(п> — вычет в этом полюсе.
Для вычисления вычета используем разложение Go в ряд
Лорана в окрестности точки Е°а- Коэффициенты разложения
легко вычисляются из выражения (56) для резольвенты. По-
лучаем
Go =	+ X (-	~	•
2 а Я
') Радиус сходимости для этого разложения равен ||Х VG0||. Следователь-
но, ряд сходится абсолютно при IIXVII < Д0(г), где Ao(z)—расстояние от г
до ближайшего собственного значения Н§.
210
ГЛ. XVI. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
(65)
(66)
Следуя Като, введем обозначение Sk(k 0):
— Ро, если k — 0,
если k 1.
ак
Тогда полученное разложение можно переписать в виде
оо
*=о
Коэффициент при (z — £“) ' в разложении G0(VGQ)n в
Лорана равен Л(п\ Принимая во внимание разложение (66),
находим
Л,п) = - X	(67)
(n)
где S означает суммирование по всем наборам неотрицатель'
ных целых чисел ki, k2.kn+i таких, что
k\ + k2 + ... + £n+i = p.	(68)
Приведем несколько первых членов разложения Р:
Р = Ро + Z (Р0К -% + VPA + X2 (рок -v v % +
\	и и	/	\	и и
+ VPoV + v VPo _ poVPoV	VPo _
-^-VP0VP0)+ .... (69)
Исходя из уравнения (59) и действуя таким же образом,
получаем разложение HP. Находим
(Я - Ра) Р = Е hnBw,
П-1
где
bw = Еsfclvs*2v ... vsfcn+'.
(n-l)
Итак,
(Я-£°а)Р =
= ЛРоИРо + (p0VP0V^- + P0V-^- VP0 + ^-VPoVPo) + ....
(72)
(70)
(71)
$ 17. ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ И ФУНКЦИИ
211
§ 17. Вычисление собственных значений
и собственных функций
Искомые собственные значения и собственные векторы Н
совпадают с собственными значениями и собственными векто-
рами оператора HP в пространстве <S, для которого Р — проек-
тор. Поскольку вид Р и HP известен, задача свелась к диагона-
лизации матрицы в пространстве размерности Ка-
невы рожденный случай: = 1. В этом случае
собственный вектор Н равен Р|0>. Разложение для квадрата
его нормы <0|Р|0> легко получается из разложения опера-
тора Р. Собственные векторы Р|0> и построенный в разделе I
|ф) пропорциональны друг другу; легко показать, что норма
последнего равна 1/<0|Р|0>.
Собственное значение Ёа определяется из уравнения HP =
= ЕаР- Поскольку ТгР — ТгР0 — 1, имеем (ур. (70))
Еа = Tr HP = Е°а + f Кп (Тг В(п))
П = 1
или
8п = ТгВ(п)-	(73)
Так как каждый член в В<п) содержит по крайней мере один
оператор Ро и так как, в силу известного свойства следа, спра-
ведливо тождество
ТгМР0М = TrP0NM = (Q\NM\ 0),
то легко преобразовать еп к виду среднего значения от некото-
рого оператора по невозмущенному состоянию |0>. Первые
члены разложения Еа равны
£« = B°a + X(0|V|0) + A,2<0|V-^-V|0) +
+ A3((0|V-^V-^-V|0)-(0| V-^l/|0)<0|7|0>) + ...,	(74)
что согласуется с результатами раздела I (ур. (12) и (26)).
Вырожденный случай: =И= 1. Вместо того чтобы
решать задачу на собственные значения оператора HP в <Sa, ее
можно заменить аналогичной задачей диагонализации в &°а.
Допустим, что любой вектор из подпространства <Fa можно
рассматривать как проекцию в некоторого вполне опреде-
ленного вектора из &°а (это предположение неявно использо-
валось в невырожденном случае). Поскольку <Sa и &°а имеют
одинаковую размерность, проектор Р устанавливает взаимно
однозначное соответствие между векторами из <^а и &°а; можно
212
ГЛ. XVI. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
также показать, что и проектор Ро устанавливает взаимно од-
позначное соответствие между векторами Sa и S\. Это условие
«неортогональности» двух подпространств, очевидно, выпол-
няется при достаточно малых X.
Таким образом, каждый собственный вектор Н в Sa можно
представить в виде Р | £°а) и справедливо уравнение
HP I Е°аа) = ЕаР I Е°аа).
Необходимым и достаточным условием такого равенства между
векторами Sa является равенство их проекций в S°a
РоНР\Еоаа) = ЕаРоР\Е°аа).
Обозначив
Ha = PQHPPQ, Ка^РоРРо,	(75)
перепишем предыдущее уравнение в виде
На\Еоаа) = ЕаКа[Е°аа).	(76)
Операторы Ка и На можно рассматривать как эрмитовы
операторы в пространстве^. Уравнение (76) есть обобщенное
уравнение на собственные значения. Собственные значения
Еа — решения секулярного уравнения (см. § VII. 17)
det (На-хКа) = 0,
они являются искомыми значениями энергии, а проекции соот-
ветствующих собственных векторов |£а«) в Sa будут собствен-
ными векторами Н.
Разложения На и Ка легко получаются из разложений HP
и Р соответственно (ур. (69) и (72))
=	УРо+...»	(77)
=	+	VP0+ ••••	(78)
Для того чтобы получить собственное значение Еа с точностью
до данного порядка, разложения На и Ка обрывают на том же
порядке.
Результаты данного порядка, полученные таким методом,
могут отличаться от результатов элементарной теории раз-
дела II, но на величины высшего порядка. В первом порядке
результаты обоих методов в точности совпадают. Сравнивая
эти результаты, нужно также помнить, что вектор | Е°ао) отли-
чается от вектора |0> элементарной теории, последний равен
пределу | Z&x) при X 0.
§ 17. ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ И ФУНКЦИЙ
213
Метод, очень близкий к методу Като, но приводящий к бо-
лее простым разложениям, был сформулирован Блохом '). В ос-
нове этого метода лежит тот факт, что оператор U, определяе-
мый равенствами
pp0 = UKa, UPQ = U	(79}
имеет простое разложение
Е=£Г[/(п),	(80}
п«=0
Uw = E'sftiysft2y ... VSknVP0,	(81)
(n)
где означает суммирование по всем наборам неотрицатель-
(п)
ных целых чисел Ab й2,  • -, kn, удовлетворяющих условиям
&1 +	+ •••	(р=1>2,	1),	
Й!+Й2+ ... +й„ = п.
Отметим, что PqU = Ро, a PU = U. Действие U на вектор
пространства <^а дает вектор из &а, проекция которого в
есть исходный вектор.
Согласно определению U уравнение (75) эквивалентно сле-
дующему:
(Рони -Еа)Ка|Е°а) = 0,	(83}
которое в методе Блоха играет ту же роль, что и уравнение
(75) в методе Като. Это обычное уравнение на собственные зна-
чения для неэрмитова оператора* 2) PqHJJ = НаКа~х в простран-
стве &°а. Собственные значения и являются искомыми значе-
ниями энергии; соответствующие собственные векторы Ка|Еа«}
есть проекции на &а собственных векторов оператора Н, ко-
торые получаются действием оператора U. Разложение PqHU
легко следует из разложения U, если вспомнить, что
P0HU = ЕйаР0 + M>0VU.
Несколько первых членов равны
P0HU = ^аРо + XPoVPo + VPoK VP0 + ...
Видно, что они проще членов разложений На и Ка (ур. (77) и
(78)).
') С. Bloch, Nuclear Physics 6, 329 (1958).
2) Рассматриваемый как оператор в пространстве оператор Ка имеет
обратный, а как оператор во всем гильбертовом пространстве — не имеет.
214
ГЛ. XVI. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
В невырожденном случае энергия равна
Еа = <01НU10>,
откуда немедленно получаем коэффициенты ее разложения
8„ = К(01 KSftTSfe2V ... VSfe»V|0>.
(Л-1)
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1.	Взаимодействие V(q) добавлено к гамильтониану (р2 + т2<в2р2)/2т.
Вычислить в первом и втором порядках теории возмущений сдвиги энер-
гетических уровней в следующих двух случаях:
(а)	V = у «а2?2-
(б)	V = bq.
В обоих случаях сдвиги можно вычислить точно. Сравнить точные ответы с
результатами теории возмущений.
2.	Рассмотрим атом водорода в теории Шредингера (глава XI). До какой
степени снимается вырождение каждого уровня постоянным электрическим по-
лем S (взаимодействие — е$г)? Показать, что уровень п — 2 расщепляется
в первом порядке на три эквидистантных уровня (расстояние между уров-
нями равно 3Sh2/me), и определить кратность вырождения каждого.
3.	Показать, что в приближении центрального поля полный момент, пол-
ный орбитальный момент и полный спин электронов замкнутой оболочки рав-
ны нулю. Используя этот результат, показать, что число линейно независимых
векторов (LSMlMs) для данной конфигурации определяется только электро-
нами незамкнутой оболочки.
4.	Определить спектральные термы конфигурации основного состояния
атома углерода при //-связи. Показать, что для полного момента J при //- и
IS-связях (§11) получается одно и то же значение с одинаковой кратностью.
Объяснить, почему.
5.	Конфигурация основного состояния атома азота (Z=7) есть ls22s22p3.
Какие различные спектральные термы получатся при IS-связи?
6.	Использовать метод § 13 для изучения сложных атомов из § 9, 10, 11.
Перечислить свойства симметрии операторов Нс, V| и К2 и показать, в какой
степени снимает вырождение уровней Нс последовательное включение возму-
щений Vi (i — 1, 2): (а) при IS-связи, (б) при //-связи.
7.	Конфигурация основного состояния атома натрия (Z = 11) есть
ls22s22p63s1, а первая возбужденная конфигурация—Is2 2s2 2рв Зр1. Следо-
вательно, основное состояние натрия есть Sy2, а два первых возбужденных
состояния — 2Pi/t и 2Рз/г. Исследовать влияние на эти уровни постоянного маг-
нитного поля Ж Вычислить соответствующие множители Ланде. При посте-
пенном увеличении интенсивности X из области эффекта Зеемана переходят
в область эффекта Пашена — Бака. Получить выражение для уровней 2Р как
функцию параметра р = рвЖ/АЙ2, где Ив — магнетон Бора, А — константа
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
215
спин-орбитальной связи, введенная в § 11 (Л > 0); иарнсовать соответствую-
щие кривые.
8.	Исследовать тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, для основного
состояния (3Р) атома углерода. (Уровни получаются как корни секулярных
уравнений, одно из которых третьей степени; основные характеристики кривых
можно получить, не решая эти уравнения.)
9.	Различные уровни Е], Ег, ..., Еп< полученные из go-кратно вырожден-
ного уровня при введении возмущения Ц, можно охарактеризовать их «цент-
ром тяжести» {Е} н среднеквадратичным отклонением ДЕ, определяемыми со-
отношениями (обозначения § 8):
п	п
(Е) = 4"У SiEi, (ДЕ)2 = -1-У (Ег-(Е))2.
Sa	Sa
i=l	i=l
Показать, что в первом порядке по V имеем
е^<Е) - Е°а «з -4 Tr P0V, (ДЕ)2 « J- Tr Р„ (V - а) Ро (У - в).
Sa	Sa
Использовать эти формулы для возмущения
efi
V^A(LS)+-^-X(L + 2S)
из двух предыдущих задач. Показать, что в этих случаях е = 0; определить
зависимость и исследовать изменение ДЕ как функции параметра р из за-
дачи 7.
ГЛАВА XVII
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
§ 1.	Изменение «представления» и рассмотрение части
гамильтониана по теории возмущений
Данная глава содержит два раздела и посвящена методам
построения приближенных решений зависящего от времени
уравнения Шредингера. По известному динамическому состоя’
нию исследуемой квантовой системы в момент времени to тре-
буется определить динамическое состояние этой системы в мо-
мент времени t. Следовательно, задача состоит в построении,
по возможности наиболее точном, оператора U(t, t0), который
описывает эволюцию во времени динамических состояний си-
стемы в представлении Шредингера.
Напомним вкратце основные свойства оператора U(t, to).
Если гамильтониан системы H(t) известен, то этот оператор
однозначно определен и является решением интегрального урав-
нения
U(t,t0)=\-ih-,\H(r)U(r,t0)dr	(1)
t,
или, что эквивалентно, решением уравнения Шредингера
ih-^-U(t, t0) —Н (t) U (t, t0)	(2)
с начальным условием
U (to, to) =1.	(3)
Поскольку H(t)—эрмитов оператор, то U — унитарный
U (t, t') t7+ (Г, /) = f/+ (/, t') U(t,t')=-l.	(4)
Более того, справедлив закон композиции ’)
U(t,t') = U(t,t")U(t",t'),	~	(5)
') Для доказательства этого закона композиции, физический смысл кото-
рого очевиден, заметим, что, если V — унитарный оператор, не зависящий от
t, то оператор U(t,t")V является решением уравнения Шредингера (2). Для
того чтобы он был равен U(t, t') при всех t, достаточно, чтобы равенство вы-
полнялось при некотором значении f, например, при t — t". это дает V =
= U(t",t').
§ 1. ИЗМЕНЕНИЕ «ПРЕДСТАВЛЕНИЯ:
217
откуда следует
[/+(/,/) = [/(/,/).	(6)
Эквивалентное определение U можно получить, заменяя урав-
нение (1) на эрмитово сопряженное. Принимая во внимание
(6), получаем
t
(t,-с) Н (х) dx.	(7)
Метод, описанный в настоящей главе, состоит в следующем.
Предположим, что гамильтониан Н представим в виде
Я(/) = /7<°)(/)4-/(/),	(8)
где //<°> (/) —гамильтониан уравнения Шредингера, решения ко-
торого известны. Пусть £/<°>(/, to)—оператор эволюции, отве-
чающий
ih-^U^(t,to)^H{o\t)U{(>}(t,to), 6/<0)(/о,^о) = 1-	(9)
Поскольку оператор t/(0)(/, to) известен, то для определения U
достаточно найти унитарный оператор
6/z(/,/0)^[;(0) + (/j0)C/(/,/0).	(io)
Физическое значение оператора Ui обсуждалось в § VIII. 14.
Ui — оператор эволюции состояний в промежуточном «пред-
ставлении», получающемся из представления Шредингера уни-
тарным преобразованием (t, to). Простое вычисление, детали
которого приведены в § VIII. 14, показывает, что зависимость
Ui от времени определяется гамильтонианом
V1(t)^U^(t,to)V(t)U{<i\t,to).	(11)
Другими словами, Ujtt, t0) есть решение уравнения
ih-^U^tJo^V^U^to), СШ,/о) = 1	(12)
или, что эквивалентно,
t
U1(t,to)=l-itl-1 J VI{x)U](x, t0)dr.	(13)
ffi
Оператор Ui(t, to) обладает всеми свойствами оператора эво-
люции и, в частности, удовлетворяет уравнениям (1) — (7), в ко-
торых H(t) следует заменить на Vi(t).
218
ГЛ. XVII. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Интегральные уравнения (1), (7), (13) можно, по крайней
мере формально, решить методом итераций. Так, подставляя
в правую часть (13) вместо Ui(x, to) выражение
1 — ih~l Vt (т/) U/ (т/, to) dx',
получаем
t
Ui (t, t0) = i — th"1 Vi (t) dx +
ta
t T
+ (Zft)"2 J dx\ dx' V, (x) V, (x') U (x', f0). (14)
tj to
Последовательные итерации дают разложение
СШ^)==1+ £[/?> (Mo),	(15)
fl=l
где t/?1' есть интеграл
= (/ft)""	J	dxndxn-i...
...dxl Vy(T„)V у(т„_1)... УДт,). (16)
Учитывая определения (10) и (11), получаем следующее раз-
ложение для U:
U(t,tQ) = U(0}(t, t0)+ f,UM(t,i0),	(17)
П —1
uw(t, to) = {ih)~n J dxndxn_{...
. . . dxJJ™ {t, xn) V (T„) U® (xn, T„_J V (?„_!) . . .
   Um (x2, Xi)V (xit t0).	(18)
Разложения (15) и (17) представляют собой ряды по сте-
пеням V, которые сходятся тем лучше, чем ближе t/(0)(Z, ta)
к U(t, to). Они служат отправной точкой для вычислений этой
главы. Оператор С/(0) суть приближение нулевого порядка,
а С/(1),	.... Uw, ... отвечают поправкам 1-го, 2-го, ...
..., п-го, ... порядков к этому приближению. Сложность вы-
числения этих поправок быстро растет с увеличением их по-
рядка и обычно ограничиваются поправками низшего порядка.
§ 2. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДОВ
219
Раздел I. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 2.	Определение и вычисление по теории возмущений
вероятностей переходов
Приведенные выше рассуждения можно использовать, в част-
ности, тогда, когда Я<°> не зависит от времени. В этом случае
оператор эволюции t0) имеет простой вид
U® (t, t0) = exp [- iH<0} (t - t0)/h].	(19)
Предположим, что собственные значения Я<0) известны и, если
не оговорено противное, спектр Я(0) будем считать для простоты
дискретным. Обозначим |а>, |6>, ..., |Л> ... полный набор соб-
ственных векторов оператора Я(0), а Еа, Е°ь....£*, ...—от-
вечающие им собственные значения. Будем использовать также
обозначения
®н = (е2-Е?)/й,	(20)
Vkl(t) = {k \V(t)\l),	(21)
где <s>ki — частота Бора, отвечающая переходу /->£, a Vki(t) —
соответствующий матричный элемент V(t).
Предположим, что в момент времени t0 система находилась
в состоянии, собственном для Я<0), например, в состоянии а. Мы
хотим вычислить вероятность того, что при измерении в момент
времени t система будет находиться в другом собственном со-
стоянии оператора Я(0), например, в состоянии Ь. Эту величину,
которую, по определению, будем называть вероятностью пере-
хода из а в Ь, обозначим через №а-*ь- Ясно, что
Га^6 = | 0 |t/(/, to) |а) Р.	(22)
Если бы V равнялось нулю, то вектор, представляющий со-
стояние системы в момент времени t, отличался бы от вектора
начального состояния |а> только фазовым множителем
ехр [— 1Еа (t — to)lti] и вероятность перехода Wa-+b была бы
равна нулю. Разложение амплитуды вероятности <61 U (t, t0) | а>
в ряд по степеням V получается подстановкой вместо U(t, to)
разложения (17)
<d|I7(/,/0)|a>=Z Ww|a),	(23)
n=l
где определяется формулой (18).
220
ГЛ. XVII. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
В представлении {HW} вклады низших порядков в ампли-
туду равны
JrfT[e_iE“a-x)/Ayba(T)e_,E“(T“^/ft], (241)
<0
{b\U&}\a) =
= (гй)2 £ J dr J dr' [e-iE°6 (i~x}lhVbk (r) e~iE° X
k tit
X	(242)
{b\U&}\d)=	t
= (*Й)3 £ £ $ dr dr' dr" [e"ZEb {t~x)/h Vbk (т) X
kit. t„ t,
X e-iEk fr"*')/» ykl (T') e-£E? (x'-x"Vh V[a (T//) e~lEa (’"-'o)/*].	(243)
В приведенных равенствах суммирование происходит по всем
базисным векторам представления {Я(0)}.
Вклады различных порядков можно схематически изобра'
зить посредством диаграмм рис. 10.
Рис. 10. Диаграммы, изображающие вклады различных порядков в ампли-
туду вероятности перехода из а в Ь: (i) первого порядка, (ii) второго по-
рядка, (iii) третьего порядка.
Диаграмма (i) представляет вклад первого порядка или,
более точно, произведение, стоящее в скобках в правой части
(241). Непрерывная линия отвечает эволюции системы во вре-
мени. От /о До т эволюция определяется невозмущенным га-
мильтонианом Я<0) и система, следовательно, остается в состоя-
нии а, вектор состояния умножается просто на множитель
§ 2. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДОВ
221
ехр[—i£^(r— В момент времени т система под действием
возмущения переходит из а и Ь, что выражается матричным
элементом перехода /ба(т). От т до t эволюция вновь опреде-
ляется Я(0), и система остается в состоянии Ь, а вектор состоя-
ния умножается на ехр[—(/— т)/й]. Следуя по диаграмме
снизу вверх, получаем три множителя, которые расположены
в скобках справа налево. Вклад первого порядка получается
после интегрирования этого произведения по т.
Точно так же диаграмма (ii) представляет поправку вто-
рого порядка. Эволюция системы от tQ до х' определяется Я(0),
затем под влиянием /(/) система переходит из состояния а
в промежуточное состояние k, эволюция от х' до т определяется
Н‘°\ в момент времени т под влиянием У(т) система переходит
из состояния k в конечное состояние Ь, после чего ее развитие
во времени от т до t вновь определяется оператором Та-
ким образом, мы получаем пять множителей, расположенных
в скобках правой части (242) справа налево. Вклад второго по-
рядка получается интегрированием по х' и т(^о < т' < т < I)
и суммированием по всем промежуточным состояниям. Имея
в виду такой способ описания развития во времени переходов
второго порядка, состояние k часто называют виртуальным со-
стоянием, в отличие от состояний а и ft, и говорят, что переход
второго порядка происходит через виртуальное состояние.
Таким же образом, переходы третьего порядка, представ-
ленные диаграммой (iii), происходят через два виртуальных со-
стояния k и I. Возмущающий потенциал появляется последова-
тельно три раза в моменты времени х", х' и т, переводя систему
из состояния а в I, из I в k и из k в Ь. Аналогично переходы
n-го порядка происходят через (л— 1) виртуальных состояний.
Взяв п первых членов разложения (23), получаем искомую
амплитуду вероятности с точностью до порядка п. Квадрат мо-
дуля этой амплитуды дает, по определению, вероятность пере-
хода ') порядка п:
Wa^b « | (/> I ит | а) + <6 | С/,2) | а) + ... + (b | U<n} | a) f.
В частности, вероятность перехода в первом порядке дается
формулой
Wa+ь «| (b \UW | a> |2 = Й"2
t
\eiab«xVba(x)dx
t.
(25)
’) Полученное выражение представляет разложение Wa-.t, по степеням V
по меньшей мере с точностью до (л + 1)-го порядка. Полученная точность
будет выше (п 1)-го порядка, если (Ъ| СЛ*> |а) = 0.
222
ГЛ XVIt. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Отметим, что в этом приближении
Wa^b^W^a.
Последнее соотношение, вообще говоря, перестает выполняться
в высших порядках. Его не следует смешивать со свойством
микрообратимости, т. е. с равенством	— Wa-+b, которое
выполняется только, когда гамильтониан инвариантен относи-
тельно обращения времени; в этом случае равенство выпол-
няется во всех порядках (§ XV. 20).
§ 3.	Полуклассическая теория
кулоновского возбуждения ядер
В качестве приложения рассмотрим кулоновское возбужде-
ние ядра заряженной частицей, например, протоном1).
Предположим, что монохроматический пучок протонов стал-
кивается с ядерной мишенью. В результате столкновений ядра
мишени совершают переходы из основного состояния а в воз-
бужденные состояния. Вычислим сечение перехода в данное
возбужденное состояние р.
Обозначим Ze заряд ядра, R— его радиус, Ja и Ур, Еа и Ер —
спины и энергии состояний аир соответственно. Имеется
(2/а-|-1) линейно независимых состояний а, которые можно
отличать друг от друга по величине компоненты Ма спина по
направлению данной оси квантования; этим состояниям соот-
ветствуют векторы |a7c3fa>. Если Нц — гамильтониан ядра, то
|a/aAfa} = Ea|aJaAfa> (Ma = — Ja............../a),
HN\ p/eMB> = Ee| p/eAf0> (MB = -7B, ..., 7p).
Обозначим E = Mv2/2 энергию столкновения в системе
центра масс протона и ядра, ДЕ = Ер— Еа — энергию возбуж-
дения ядра, Qa— направление налетающего протона, Qp— на-
правление неупруго рассеянного протона и 0 — угол между
этими направлениями. Нам нужно вычислить величину
da I
т. е. сечение процесса, в котором протон неупруго рассеивается
в направлении Qp, а ядро переходит из состояния (a/aAfa) в со-
стояние (р/рЛ1р).
Рассмотрим взаимодействие протона и ядра. Для больших
расстояний г между протоном и ядром (г R) оно сводится
') О кулоновском возбуждении и его приложении к изучению структуры
ядра см.: Adler et al. Rev. Mod. Phys. 22, 432 (1956); приведенное здесь полу-
классическое рассмотрение следует работе К. Л. Тер-Мартиросяна. ЖЭТФ, 28
284 (1952).
§ 3. КУЛОНОВСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ ЯДЕР
223
к чисто кулоновскому взаимодействию Ze2/r. С уменьшением г
вид потенциала начинает отличаться от этой простой формы.
Пока г > R, отличие имеет чисто электромагнитное происхож-
дение и сводится в основном к разности между точным куло-
новским взаимодействием и членом Ze2lr
г
да
где г, — координата i-ro протона в ядре.
Как только протон «проникнет» в ядро (г <Z R), особо важ-
ную роль приобретут ядерные взаимодействия, которые будут
значительно превышать электромагнитные взаимодействия.
Если энергия Е достаточно мала, то кулоновское отталкива-
ние Ze2/r не позволяет протону приблизиться к ядру и, следо-
вательно, остается доминирующим взаимодействием в течение
всего процесса столкновения. Движение протона и ядра опре-
деляется тогда в первом приближении гамильтонианом
«'°’-"»+Сяг + -7Д
где р2/2Л1 — кинетическая энергия протона. Движения протона
и ядра полностью разделяются. Последнее остается в своем ос-
новном состоянии, в то время как протон упруго рассеивается,
и дифференциальное сечение дается формулой Резерфорда
(VI. 29)
daRldQ. = -^а2 sin-4-^-0,
где а — половина наименьшего расстояния между протоном и
ядром при классическом рассмотрении их движения
1 Ze2
а~~ 2 Е •
(27)
Данное приближение оправдано, если
а > R.	(28)
Дополнительно будем предполагать, что
ЛР
^<1,	(29)
Y > 1,	(30)
где
___а____Ze2
У k hv
(31)
Из-за отличия взаимодействия протона и ядра от Ze1/г мо-
гут произойти неупругие столкновения. Так как по условию (28)
224
ГЛ. XVII. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
протон лишь незначительно «проникает» в ядро, отличие сво-
дится в основном к члену V. В силу условия (30) кулоновское
рассеяние можно рассматривать классически (§ VI. 5). Движе-
ние протона есть движение волнового пакета пренебрежимо ма-
лых размеров, центр r(t) которого удовлетворяет соответствую-
щим классическим уравнениям движения. В данном неупругом
столкновении (QaAfa-> fipAfg) движение протона также можно
рассматривать классически. Если пренебречь членом V, то ре-
шение классических уравнений движения известно. При этом
требуется, чтобы можно было также пренебречь энергией ДЕ,
переданной в течение столкновения от протона ядру. Такое при-
ближение оправдано, если выполнено условие (29). Так как
траектория протона r(t) определена, V становится зависящим
от времени возмущением, действующим на динамические пере-
менные ядра
г
v(/) = 62£(I’-w-rj “По)
и может вызвать переход (a7<xAf(X)->(p/pAfp). Поскольку ве-
роятность перехода мала (a posteriori можно оправдать,
что	1), то достаточно ограничиться приближением пер-
вого порядка. Формула (25) дает

№а^ = /Г2
<p/₽M0|/(/)|aJaMa>d/
(32)
Искомое сечение равно произведению этой вероятности на се-
чение Резерфорда
= (т°2 sin'4 0) ж . <33>
Остается вычислить Мы ограничимся только тем, что
приведем схему вычислений. Обозначим (п, Q;) и (г, Q) поляр-
ные координаты векторов г, и r(t) соответственно; (г, Q) за-
висят от t. Если разложить |г(/) — /Д-1 по сферическим функ-
циям (ур. (В. 99)), то получим
V(t)=Z Е (- X)mQ?TTm,	(34)
l = \ m=—l
где
z
Qi'=tertiYr(Qi),	(35)
i = 1
m 4nZe Y? (Q)
rr('>=^T-W
(36)
§ 3. КУЛОНОВСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ ЯДЕР
225
Разложение справедливо только при г; < г, что в нашем слу-
чае всегда выполняется, поскольку протон не «проникает»
в ядро. Подставляя разложение (34) в формулу (32), получаем
W= | g (- l)m STm	| Q? | а/аМа) |2,	(37)
+ оо
sr=-^ J	(38)
— СО
Коэффициенты S™ зависят только от классической траекто-
рии протона и могут быть найдены численным интегрирова-
нием.
Операторы Q” (т = — /,...,+/) есть стандартные компо-
ненты электрического 21-польного момента QW (см. § XIII.33).
Следовательно, в формуле (37) отличны от нуля только те мат-
ричные элементы, которые удовлетворяют правилам отбора по
моменту и четности
|	7р|г^/г^/а-|-7р, tn~ — Ма,	(39)
naiig==(— 1)'
(Па, Пр — четности состояний аир соответственно). Кроме
этого, согласно теореме Вигнера — Эккарта
<Р7₽Лр 1<2Г1 aJoMa) = (2/g + 1) 2 (JalMam\ J^) <р| |Qw| | а).
В силу правил отбора (39) сумма в (37) ограничена конеч-
ным числом значений I определенной четности и только одним
значением т. Грубая оценка показывает, что «Z+ 2»-вклад со-
ставляет порядка (R/a)2 от «/»-вклада. Таким образом, можно
оставить только член, отвечающий наименьшему значению /,
допустимому правилами отбора: либо |/а— /₽|, либо
|7а — Jg| + 1. Обозначив это значение /0> имеем
W7 ~ (Jal0Mam | ZgAfр>2	т р ।	(W i2
(2/р+1)	।	' I 'Р Н Q 11 I (^1 — ^fg— Ma)-
Подставляя это выражение в формулу (33), получаем теорети-
ческое значение для сечения, которое можно сравнить с экспе-
риментальными данными.
В эксперименте, где ядра мишени не ориентированы и не на-
блюдается ориентация возбужденных ядер, измеряемое сече-
ние получается усреднением определенного выше сечения по
2Ja+ 1 возможным значениям Ма и суммированием по 27g	1
возможным значениям Afg. Принимая во внимание соотношения
8 А. Мессиа
226
ГЛ. XVII. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
ортогональности коэффициентов Клебша — Гор дана, получаем
- 4(2/ +l)№ + i) । ® 11 <?“ 11 «> Г Г Si-Г* -М । « Г 1 •
L	mJ
Зависимость сечения от углов определяется выражением, стоя-
щим в скобках, и должна быть найдена численно. Отметим, что
начальное и конечное состояние ядра входит в эту формулу
только посредством таких характеристик, как спин, четность и
квадрат модуля матричного элемента электрического 2*о-поль-
ного момента <р|	|а>, который фигурирует как множитель
пропорциональности. Следовательно, сравнение полученной фор-
мулы с экспериментом дает непосредственный способ определе-
ния этих характеристик структуры ядра.
§ 4. Случай, когда V не зависит от времени.
Сохранение невозмущенной энергии
Когда V не зависит явно от времен !, интегрирование по вре-
мени в формулах (24) легко выполняется и полученные выра-
жения обладают рядом интересных и простых свойств. Ограни-
чимся обсуждением перехо-
дов первого порядка.
Возьмем — 0, тогда по
формуле (25) имеем
(40)
где
f (t, а) =
t
elax dr
о
= 2(1 — cos at)/^2. (41)
Зависимость функции f(t, to)
Рис. 11. Функция f(t, w) = 2 (1—cos со/)/со2.	от ® изображена на рис. 11.
Отметим очень острый пик
в окрестности со = О ширины 2л//. Используя теорию вычетов, не-
сложно показать, что
+ оо
f (I, to) с/со = 2л/
— СО
и согласно (А. 156)
/ (/, со) 2л d (со).
(42)
(43)
§ 4. СОХРАНЕНИЕ НЕВОЗМУЩЕННОЙ ЭНЕРГИИ
227
Для данного значения t величина №а->ь имеет простую зави-
симость от конечного состояния b. С точностью до константы
она равна квадрату модуля матричного элемента возмущения
<6| У| а>, умноженного на функцию f(t, а>ьа), которая зависит от
частоты перехода а Ь. Поскольку этот множитель имеет ярко
выраженный пик ширины 2л// в точке ®ьа — 0, переход будет
происходить в основном в состояния с энергией в интервале
шириной
t>E0 я} 2nb.lt,
центр которого совпадает с энергией начального состояния.
Другими словами, переходы сохраняют невозмущенную энер-
гию с точностью до 2nh/t.
Этот результат в некотором смысле аналогичен соотноше-
нию неопределенности для энергии — времени (§ IV. 10 и
VIII. 13). Однако следует отметить, что здесь фигурирует энер-
гия не всей системы, включая возмущение, а лишь //(0), и время
t есть' время, после которого производят измерение Я(0), а не
время, характеризующее эволюцию системы.
Для данного состояния Ь зависимость Wa^-ь от t также оп-
ределяется множителем f(/, Шба). Если при переходе невозму-
щенная энергия точно сохраняется (о>ба = 0), то этот множи-
тель растет как /2. В противном случае он осциллирует ме-
жду 0 и 4/<в2а с периодом 2л/шба. Величина Wa->b осциллирует
с тем же периодом около среднего значения 21 Уьа|2/(Еь— Еа)2
и ведет себя как t2 только для значений /, малых по сравнению
с периодом.
Вместо того чтобы рассматривать переход в определенное
состояние, можно рассматривать переходы в группу состояний
с близкими энергиями. Именно так всегда поступают при ис-
следовании переходов в состояния непрерывного спектра. Тогда,
сделав некоторые дополнительные ограничения, которые в даль-
нейшем будут уточнены, можно определить вероятность пере-
хода в единицу времени.
Итак, рассмотрим некоторую последовательность собствен-
ных векторов Я(0>, принадлежащих непрерывному спектру. Век-
тор из этой последовательности будем обозначать |6>, а Е(Ь) —
соответствующее собственное значение Я(0).
При определении вероятностей перехода следует обратить
внимание на нормировку векторов |6>. Будем считать их нор-
мированными так, что
{b\b'} = b(b-b')ln(b),
где п(Ь)—некоторая вещественная положительная функция.
Проектор на состояния из области В переменной b есть (см.
8*
228
ГЛ. XVII. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
§ VIII. 13)
Рв = \\b}n(b)db {b |.
в
Если выбрать Е (&) в качестве новой переменной и соответствую-
щую область интегрирования обозначить В(Е), то получим
Рв= J | b) р6 (Е) dE {b |,	(44)
В{Е)
где
рь(Е) = п(Ь)-^,	(45)
эта величина известна как плотность уровней b при энергии Е.
Отметим, что рь(Е) зависит от нормировки |6>.
Вероятность перехода Wa-+e в одно из состояний области В
равна
Wa^B = {a\U\i, 0)PBU(t, 0)|а>= J Wa^bpb(E)dE. (46)
в (В)
Формула (46) получена после подстановки вместо Рв вираже-
ния (44) и использования равенства
Wa+b = \(b\U(t, 0)|а)|2.	(47)
Здесь Wa-<-b формально представляет вероятность перехода
а -> Ь, определяемую уравнением (22). Все преобразования, от-
носящиеся к вычислению этой величины, полностью обоснованы
и в данном случае. В частности, подставляя (40) в правую
часть (46), получаем вероятность перехода Wa-»e в первом по-
рядке по возмущению
<«)
где на зависимость от Е величины V6a = <ft|V|a> указывает
параметр Ь.
В качестве конкретного примера рассмотрим переходы на
уровни Ь, лежащие внутри интервала (Ei— */26, Ei +’/ае),
предполагая е достаточно малым, чтобы Vba и рь были почти
постоянны на этом интервале и их можно было вынести за знак
интеграла. Предположим также, что t достаточно велико, так
что 8 много больше периода колебаний функции f
е 2лЙ//.	(49)
В этих предположениях интеграл в правой части формулы (48)
легко вычисляется. Следует рассматривать два случая:
(i) Основной пик функции f лежит вне области интегриро-
вания (переходы не сохраняют энергию). В этом случае можно
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ СЕЧЕНИЙ В БОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
229
заменить f ее значением, усредненным по нескольким колеба-
ниям, что дает не зависящее от времени выражение
“’’«я « 2® о> (Е.) I (=/(£, - Е«)!.
(ii) Основной пик f лежит в области интегрирования (пере-
ходы, сохраняющие энергию). Тогда пик дает главный вклад
в интеграл и расширение области интегрирования до всей оси
ведет лишь к незначительным погрешностям, после чего полу-
чаем (ур. (42))
Wa^B « 2лй-' | Vba (Еа) |2 pb(Ea) t.
В силу неравенства (49) эта вероятность превосходит сумму
всех остальных.
Определим вероятность перехода в единицу времени как
Wa+в s dWa^Bldt.
В соответствии с предыдущими результатами можно заключить,
что эта величина исчезает для переходов, не сохраняющих энер-
гию, а для сохраняющих энергию переходов она дается важной
формулой
<м>
В этой формуле матричный элемент Vba = <6| V|a> и плотность
уровней рб относятся к состояниям Ь, энергия которых равна
энергии начального состояния.
Для справедливости формулы (50) величина t должна быть
достаточно велика для того, чтобы было выполнено условие
(49) и достаточно мала для того, чтобы было оправдано при-
ближение первого порядка (wa-+Bt 1).
Приведенное доказательство обладает тем преимуществом,
что демонстрирует значение формулы (50) и условия, при ко-
торых она справедлива. Эту формулу можно получить совсем
просто, заменив в правой части выражения (40) функцию f ее
асимптотикой (43), что дает
Wa+b~^ltTl\ Vba^(Eb-Ea)t.	(51)
и подставив это в определение Wa-в (ур. (46)).
§ 5.	Приложение к вычислению сечений
в борновском приближении
Используя формулу (50), можно вывести выражение для
сечений рассеяния в так называемом борновском приближении,
т. е. в первом порядке по потенциалу взаимодействия частицы
и мишени. Рассуждения будут простыми, но не совсем строгими.
Строгое доказательство этой формулы будет дано в главе XIX.
230
ГЛ. XVII. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Рассмотрим простейший из возможных случаев — рассеяние
частицы на потенциале V (г). Последний рассматривается как
возмущение гамильтониана свободной частицы
н = Нт + V (г), Н(о} = р2/2т.
Плоские волны е‘кг являются собственными состояниями Я<°>.
Такие волны представляют состояния частицы с импульсом
р = hk и нормированной на единицу плотностью вероятности.
Будем обозначать соответствующие кет-векторы |й>, они удо-
влетворяют соотношениям ортогональности и полноты
(k\k') = (2n)4(k-k'),
В пространстве векторов k плотность нормированных таким об-
разом состояний постоянна и равна (2л)-3: число состояний
в интервале (k, kdk) равно dk/(2n)3. Мы интересуемся со-
стояниями с импульсом в определенном направлении Q и обо-
значим, как и в предыдущем параграфе, их плотность р(£) (ур.
(45)) (a priori эта функция могла бы зависеть от Q, однако
ниже мы увидим, что это не так): p(£)dQ dE — число состояний
с импульсами в телесном угле (Q, й 4- dQ) и энергией Е =
= р2/2т в интервале (Е, Е 4- dE). Тогда имеем
p(£)dQ dE =
dk ____ dp
(2л)3 — (2лй)3 ’
используя равенство dp — р2 dQdp, получаем
и, следовательно,
П(Л— р2 dp -- тр
н ' '	(2лй)3 dE (2лй)3 •
(52)
Перейдем к вычислению сечения рассеяния в заданное на-
правление Qs монохроматического пучка энергии Е = mVa/2.
Пусть hka — импульс налетающих частиц, a hkb — импульс, со-
ответствующий той же энергии, но в направлении Q&. Мы
знаем, что вероятность в единицу времени wa-+edQ системе пе-
рейти из начального состояния \ka) в одно из состояний b с им-
пульсом в телесном угле (Qs, Qj> 4- dQ) и энергией, близкой к Е,
дается в первом порядке формулой (50)
™а->в dQ.« 2л/Г>1 {kb | V | ka) |2 p (£) dQ.	(53)
Пусть d<ja-»b/dQ будет дифференциальным сечением, тогда
Са->-ь равно числу частиц, рассеянных в телесный угол
(Пб, Qj> 4-_ dQ) за единицу времени при единичном падающем
§ 6. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ. РЕЗОНАНСЫ
231
потоке. Поскольку \kay отвечает волне со скоростью потока va,
имеем
Подставляя вместо wa^B приближенное выражение (53), полу-
чаем
-^±«-^-|(й6|7|йа)Рр6(Е),	(54)
где рь(Е)—плотность конечных состояний (ур. (52)), а
(fe6|V|fea)s	V(r)dr
есть матричный элемент потенциала, ответственного за переход
§ 6.	Периодическое возмущение. Резонансы
Вероятность №а~+ь в первом порядке по потенциалу (фор-
мула (25)) пропорциональна квадрату модуля преобразования
Фурье частоты аьа функции Уба(0, где мы условились считать
уЬа = 0 вне интервала (to,t). Если V не зависит от t, то преоб-
разование Фурье вычисляется элементарно и в результате, как
мы видели, приходим к «сохранению невозмущенной энергии».
Несложно провести гармонический анализ и в том случае, когда
зависимость V от времени периодическая. Здесь возникает
очень важное явление — резонанс.
Предположим, что V зависит от t по гармоническому закону
с частотой со. Так как V — эрмитов оператор, то его можно
представить в виде
V = Aetat + A^e'lat,
где А — некоторый оператор, не зависящий от времени. Вероят-
ность перехода №а^ь в первом порядке равна (считаем to = 0)
Wa + b « Й~2
{b |Л| a) J e'<M^+M)Tdx + (6 | Л+ |a> J e‘1 dx
о	0
что можно сравнить с выражением (40).
Амплитуда перехода здесь состоит из двух членов. Для до-
статочно больших t первый член мал, если только аЬа + со не
близко к 0, т. е. если только энергия не лежит в интервале (ши-
рины 2nh/t) с центром в точке
Eb = Ea — ha,	(55)
второй член мал вне интервала (той же ширины) с центром
в точке
Eb = Ea + ha.	(55')
232
ГЛ. XVII. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Практически всегда t достаточно велико (/ >> 2 л/и) и эти
интервалы не перекрываются. Значит Wa-+b мало для всех пе-
реходов кроме тех, при которых невозмущенная система излу-
чает или поглощает энергию he), на что указывают уравнения
(55) и (55') соответственно.
В первом случае вклад в амплитуду перехода дает только
первый член и для вероятности перехода получаем выражение
Wa^\Aba\*f(t, ®6а + со)/Й2.
Основное отличие этого выражения от (40) состоит в замене
®оа на в>ьа + ю. В полной аналогии с рассуждениями § 4 можно
рассмотреть переходы в группу уровней с энергией в интервале
ЕЕ (^>2n,h/t) с центром в точке Еа — he) и при подходящих
условиях определить вероятность перехода в единицу времени,
которая вновь дается формулой (50) с тем отличием, что теперь
Vba и рь относятся к состояниям Ь, энергия которых меньше
энергии начального состояния на he). Те же рассуждения при-
менимы к переходам, при которых система поглощает энергию
he) (см. задачу 2).
Рассмотрим теперь более общий случай, когда V — произ-
вольная периодическая функция t с частотой со. Сформулируем
кратко относящиеся к этому случаю результаты, доказательство
которых предоставим читателю. Имеем разложение Фурье
V=EUseZsM4A+e-‘w)-
S=1
Если t 2л/<о, то в первом порядке вклады в вероятность пе-
рехода от различных членов этого ряда не интерферируют, по-
скольку каждый из них вызывает переходы, отвечающие раз-
личному изменению энергии. При «Ля-переходах» система те-
ряет с точностью до 2лЙ// энергию s/ги; при «Л^-переходах» си-
стема поглощает с точностью до 2лЙ// энергию she).
Раздел II. МГНОВЕННОЕ И АДИАБАТИЧЕСКОЕ ИЗМЕНЕНИЯ
ГАМИЛЬТОНИАНА
§ 7.	Формулировка задачи и результаты
Часто возникает задача определения изменения состояния
системы при изменении внешнего поля. Классический пример
такой ситуации представляет атом, помещенный в магнитное
поле. Как правило, получаемые результаты существенно зависят
от времени Т, в течение которого происходило изменение га-
мильтониана. В этом разделе мы исследуем предельные случаи,
§ 8. БЫСТРЫЙ ПЕРЕХОД И МГНОВЕННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
233
когда Т очень мало (мгновенное изменение) и очень велико
(адиабатическое изменение).
Будем предполагать, что гамильтониан изменяется непре-
рывным образом от некоторого начального Но в момент вре-
мени to до конечного Hi в ti. Обозначим
Т = ti — to, s = (t — tQ)/T,
a H (s)—значение гамильтониана в момент времени t = to +
'+ sT. Гамильтониан H(s)— непрерывная функция s и
Я(О) = Я0, Я(1) = ЯЬ
Эволюция системы от t0 до ti зависит теперь только от пара-
метра Т, который определяет скорость перехода от Но к Н\.
Удобно ввести обозначение
£/(U0) = t/r(s).
Задача заключается в определении оператора С/(Л, to), т. е.
Ur (1), и исследовании его зависимости от Т.
Особенно простые результаты получаются в упомянутых
выше предельных случаях.
В пределе, когда Г -> 0, т. е. в случае бесконечно быстрого
перехода, динамическое состояние системы остается неизмен-
ным
lim[/r(l) = l.	(56)
г->о
В пределе, когда Т -> оо, т. е. в случае бесконечно медлен-
ного или адиабатического перехода, если система первоначаль-
но находилась в собственном состоянии гамильтониана Но, то
в момент времени t\ при выполнении некоторых сформулиро-
ванных ниже условий система перейдет в собственное состоя-
ние Hi, которое получается из исходного состояния по непре-
рывности. Этот важный результат известен как адиабатическая
теорема *)•
§ 8.	Быстрый переход и мгновенное приближение
Первое из приведенных утверждений немедленно следует из
интегрального уравнения (1), которому удовлетворяет опера-
тор эволюции системы. Используя обозначения § 7, запишем
') Она также называется теоремой Эренфеста. Работа Эренфеста отно-
сится к классической механике и старой квантовой теории. Перенос этой тео-
ремы в квантовую механику сделан в работе: М. Born and V. Fock. Zeit. f.
Phys. 51, 165 (1928). См. также T. Kato, Journ. Phys. Soc. Jup. 5, 435 (1950);
K. 0. Friedrichs, On the Adiabatic Theorem in Quantum Theory, Report IMM.
NYU-218, New York, 1955.
234
ГЛ. XVII. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
его в виде
s
UT (s) = 1 — Ш~'т J Н (s) UT (s) ds.
о
В пределе 7 —О второе слагаемое в правой части стремится
к нулю, и мы получаем нужный результат (56).
Для достаточно малых Т в первом приближении можно
предположить, что Ят(1)» 1. Это приближение называется
мгновенным.
Обозначим |0> вектор состояния системы в момент времени
/о, и пусть Q — проектор на подпространство, ортогональное
к 10>. Считая норму [0> равной 1, имеем
Qo= 1 — I 0><0|.
Мгновенное приближение означает, что
£/(/>, /о)Ю>	0>.
Величина ошибки при таком приближении дается вероятностью
б найти систему в состоянии, отличном от начального
= <OIC4(l)Qot/r(I)IO).	(57)
Поправку к этому приближению можно вычислить, исполь-
зуя описанную в § 1 теорию возмущений. В данном случае
(Я(0> = 0, V = Я) приближение первого порядка равно еди-
ничному оператору 1, и разложение (17) имеет вид
1	1	S,
UT (1) = 1 - itT'T J Н (s) ds + (/Й)“2Т2 \dSi J Н («О Н (s2) ds2 + ....
oJ	oJ	oJ
(58)
В частности, подставляя это разложение в правую часть
(57), получаем разложение б по степеням Т. Поскольку
Qo|0> = 0, член низшего порядка пропорционален Т2 и полу-
чается подстановкой двух первых членов разложения (58).
Введем обозначение
1	й
Я = ^H(s)ds = -jr^Hdt.	(59)
0	it
Тогда имеем
о==-^<0|Я(2оЯЮ> + 0(Г3).
И поскольку
<0 ItfQo# Ю> =<0 |Я210) - (01Щ О)2 = (А Я)2,
$ 9. МГНОВЕННОЕ ОБРАЩЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
235
где АД— средне-квадратичное отклонение наблюдаемой й в со-
стоянии |0>, получаем _
5 = )а + о (Гзк	(60)
Итак, условие применимости мгновенного приближения б 1
требует, чтобы *)	_
(61)
Условие (61) является не чем иным как частной формой со-
отношения неопределенности для энергии и времени. Согласно
определению (59) представляет собой гамильтониан системы,
усредненный по интервалу (to, 6). Грубо говоря, в этот интер-
вал времени эволюцию системы определяет гамильтониан й.
В силу соотношения неопределенности для энергии и времени
состояние системы, удовлетворяющей такому уравнению дви-
жения, ие может заметно измениться за время, меньшее Н1&Й.
Следовательно, неравенство (61) действительно является усло-
вием того, что изменение состояния по прошествии промежутка
времени Т пренебрежимо мало.
§ 9. Мгновенное обращение магнитного поля
В качестве приложения рассмотрим, что произойдет с ато-
мом в постоянном магнитном поле, если направление поля вне-
запно поменять на противоположное. Будем предполагать вы-
полненными условия LS-связи и считать поле достаточно силь-
ным для того, чтобы полностью отделить полный момент L от
полного спина S (эффект Пашена — Бака). Для простоты будем
считать, что магнитное, поле все время параллельно оси z и ме-
няется от значения —Зёо ДО по линейному закону
(/) =	[2s - 1] = Жо [2 (/ - /0)/Г - 1].	(62)
Согласно результатам главы XVI (§§ 9—12) гамильтониан
системы имеет вид
Н = Я<°» + A (LS) -^(Lz + 2SZ) Ж (t),	(63)
где Я(0) — невозмущенный гамильтониан в случае LS-связи. По-
скольку согласно (62) среднее по времени от магнитного поля
равно нулю, то среднее по времени от И равно гамильтониану
атома в отсутствие внешнего поля
 Н = Н(0) + A (LS).
’) Условие й<1 не требует, чтобы обязательно U(t[ /0) |0) ~ |0), оно
требует только, чтобы эти векторы отличались лишь фазовым множителем.
Однако формула (60) предполагает быструю сходимость разложения (58), и
неравенство (61) является, вообще говоря, достаточным условием для такой
сходимости.
236
ГЛ. XVII. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Предположим теперь, что первоначально система находи*
лась в собственном для Н состоянии. Поскольку в этот момент
выполняются условия, при которых имеет место эффект Па*
шена — Бака, то вектор состояния почти равен одному из век*
торов \aLSMLMs}, определенных в § XVI. 11. Будем считать,
что |0> = |aASAlLAls>. Вычисление средне-квадратичного от*
клонения АН не представляет серьезных трудностей; так как
\o.LSMlMs') есть собственный вектор Я(0) + ALZSZ, то един*
ственный вклад дает только член */2A (L+S_ -f- L_S+). Проведя
вычисления, получаем
АЯ = у ЛА2 [2 (A (L + 1) - Ml) (S (S + 1) - М$ - 2MLMSV.
В скобках стоит числовой множитель порядка 1 (он равен нулю
в двух предельных случаях, ML = ± L, Ms = ± S). Следова-
тельно, отклонение А// равно по порядку величины Ah2, т. е. по*
рядку величины расщепления LS-уровней за счет спин-орби-
тальной связи.
Как следствие, если
(64)
то выполняется условие быстрого перехода (61): вектор состоя*
ния остается практически тем же при изменении направления
поля. Для того чтобы динамическое состояние атома оставалось
тем же, достаточно, чтобы изменение вектора состояния своди*
лось только к домножению на фазовый множитель. Таким об-
разом, неравенство (64) является достаточным, но не необхо*
димым условием неизменности состояния при обращении поля.
Мы вернемся к этому вопросу в конце § 14.
§ 10. Адиабатический переход. Общие положения.
Тривиальный случай
В оставшейся части этого раздела исследуется другой край-
ний случай — очень медленное изменение гамильтониана. Мы
будем использовать обозначения § 7.
Прежде всего, сформулируем адиабатическую теорему. В ней
речь идет о свойствах состояний дискретного спектра гамильто-
ниана H(s). Будем для простоты предполагать спектр Н ди-
скретным, хотя это и несущественно *).
Пусть 81, 82, ..., 8/, ... — собственные значения Н, а проек-
торы на соответствующие им подпространства обозначим
) Достаточно, чтобы дискретные собственные значения и отвечающие им
подпространства удовлетворяли сформулированным ниже условиям непрерыв-
ности, дифференцируемости н «не пересечения». См. Т. Kato. loc. cit.
§ 10. АДИАБАТИЧЕСКИЙ ПЕРЕХОД
237
Pi, Р2, ..., Pj, ... . Все эти величины предполагаются непре-
рывными функциями s. Дополнительно будем считать, что:
(i) собственные значения отличаются друг от друга в тече-
ние всего перехода 0	1
e,j (s) =/= ek (s), каковы бы ни были j и k; (65)
(ii) производные dPj/ds, dPPjfds2 определены и кусочно-не-
прерывны на всем интервале.
Оператор эволюции Ur(s) удовлетворяет уравнению Шре-
дингера
ih-^UT(s) = TH(s)Ur(s),	(66)
а гамильтониан H(s) определяется выражением
Ж*)=ЕМ*)ЗД.	(67)
Адиабатическая теорема утверждает, что Ur(s) обладает асимп-
тотическим свойством ’)
lim UT(s) P,(0) — Pj(s) lim UT(s) (/==1,2,...).	(68)
7->oo	T->oo
Предположим сначала, что подпространства, отвечающие
каждому собственному значению H(s), не меняются
Pj(s) = Pj(0)^Pl (/=1,2,...).
В этом случае гамильтониан Н (s) имеет простой вид
Ж^ЕеДз)?,
и при любом s коммутирует с каждым из проекторов Pj. Сле-
довательно, каждый проектор есть интеграл движения
UT{s)PjUUs) = Pi-	(69)
Соотношение (69) верно для любых Т и a fortiori для Т -* оо.
*) Это свойство эквивалентно приведенному в § 7. Действительно, если
|/)—собственный вектор Я(0), отвечающий собственному значению еДО),
то Л (0)1/) = |j), и свойство (68) дает
lim UT (s) \j) = P, (s) lim UT (s) | j),
T-+<x>	1 T->oo
т. e. вектор Ur(s)\j) при Г->оо стремится к вектору из подпространства, со-
ответствующего e/(s)
238
ГЛ. XVII. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
(70)
(71)
Кроме этого, в данном частном случае уравнение (66) явно
интегрируется и дает
UT (s) = exp (—i Г Я (or) dor/ft) =
о
=
где нами использовано обозначение
S
Ф/ (s) — в/ (a) da.
о
Итак, если в момент времени t0 вектор состояния системы был
собственным вектором для Но, отвечающим собственному зна-
чению е/(0), то в момент времени t\ вектор состояния будет от-
личаться от собственного только фазовым множителем
§ И. «Представление вращающихся осей»
Точно проинтегрировать уравнение Шредингера в общем
случае не удается, так как собственные векторы гамильтониана
Н (з) вращаются некоторым образом в гильбертовом простран-
стве. При рассмотрении общего случая первый этап заклю-
чается в устранении, насколько это возможно, такого вращения
подходящим изменением «представления».
Введем для этого унитарный оператор А(з), обладающий
свойством
Р) (з) = A ($) Р} (0) А* (з)	(/=1,2,...).	(72)
Унитарное преобразование А(з) переводит любой базис из соб-
ственных векторов оператора Н (0) в базис из собственных век-
торов Я(з), причем соответствующие векторы связаны друг
с другом непрерывным образом.
Преобразование А (з) однозначно определяется начальным
условием
А (0) = 1	(73)
и дифференциальным уравнением
tft dA/ds = К (s) А (з),	(74)
где К(з) —подходящий эрмитов оператор. Для того чтобы вы-
полнялись условия (72), необходимо и достаточно, чтобы one-
5 II. «ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВРАЩАЮЩИХСЯ ОСЕЙ»
239
ратор K(s) удовлетворял коммутационным соотношениям
[К (s), Pf (s)] = ifl dPf/ds (/ = 1,2,...).	(75)
Необходимость немедленно следует после дифференцирова-
ния обеих частей (72) по s. Соотношения (75) достаточны, так
как если A(s) и Pj(s) удовлетворяют уравнениям (74) и (75),
то выражение
A*(S)Pi(S)A(S)
не зависит от s (производная по s равна нулю) и равно своему
начальному значению Р/(0).
Соотношения (75) не определяют K(s) однозначно, в част’
ности, можно добавить к K(s) оператор ^Pk(s)fk(s) Pk(s), где
k
fk(s)—произвольные операторы, зависящие от s. Другими сло-
вами, можно произвольно задавать проекции P/(s)X(s)P;(s)
(/ = 1, 2, ...). По причинам, которые станут понятны ниже, мы
устраняем произвол, накладывая дополнительные условия
Pits) к (s)Pj(s) = 0 (/=1,2,...).	(76)
Это дает (задача 5)
K(s) = itlZ(dPt/ds)Pi(s).
Унитарное преобразование А+(s) переводит векторы и опе-
раторы шредингеровского «представления» в новое «представле-
ние» — «представление вращающихся осей». Наблюдаемая H(s)
преобразуется в
H{A\(s) = A* (s) Н (s) A (s)
и, используя равенства (67) и (72), имеем
Я(Л>(з) = 2:е/(5)Р/(0).	(77)
Точно так же K(s) преобразуется в
Kw(s) = A*(s)K(s)A(s).	(78)
Оператор эволюции в новом «представлении» равен
U(A}(s) = A'(s)Ut(s).	(79)
Он определяется (см. § 1, ур. (12), где следует взять V =
= TH — К) уравнением и начальным условием
ih dU{A}lds = [THW (s) - К(Л) (s)] U{A) (s),	(80)
U{A} (0) = l.	(81)
240
ГЛ. XVII. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
§ 12. Доказательство адиабатической теоремы
Уравнение (80) легко бы интегрировалось, если бы можно
было пренебречь членом К(Л) по сравнению с ТН^. Тогда мы
имели бы тривиальный случай, рассмотренный в § 10. Обозна-
чим Фт(у) решение соответствующего уравнения Шредингера
th d®Tlds = ТН(А} (s) Фг (s),	(82)
Фг(0) = 1.	(83)
Имеем (ур. (70))
Фг(5)=Ее"‘г<Р/(8)/*Р/(0),	(84)
где <р/ определены равенством (71).
Используя определения (77) и (78), мы видим, что Hw(s)
и Kw(s) не зависят от Т. Следовательно, можно ожидать, что
в пределе Т -> оо влияние в правой части уравнения (80)
будет полностью подавлено членом ТН*А\ и оператор {/<л>(«)
будет стремиться к Фт($). Как мы увидим, это действительно
имеет место, и (см. ур. (79))
UT(s) ~ Л(5)Фг(а).	(85)
Т-»оо
Для доказательства этого утверждения введем новое уни-
тарное преобразование
Г === Ф}и(А) = Ф| A+UT-	(86)
Уравнение, которому удовлетворяет этот оператор, следует из
уравнений (80) и (82). В интегральной форме оно имеет вид
W (s)=l+4jK(<W(o)da,	(87)
о
где	_
K(s)^Us)KiA)№T(s) =	(88)
= фМ+КДФт-	(89)
Мы собираемся показать, что ядро K(s) есть сумма осцил-
лирующих функций, частоты которых неограниченно растут
с ростом Т и, как следствие, интеграл в правой части уравнения
Вольтерра (87) стремится к нулю при Т -> оо.
Любой оператор Q допускает разложение •)
Q--=EEP/(o)QPft(o).
_______________ / k
’) Выбранный нами метод состоит в том, что используется представление,
в котором оператор Я(0) диагоналей, и в то же время устраняются различные
трудности, связанные с вырождением собственных значений Н(0) и произво-
лом в выборе фаз векторов базиса.
§<12. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АДИАБАТИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ
241
В дальнейшем мы используем обозначение
Q/fc = P/(0)QPfc(0).
Используя уравнения (72), (84) и (89), получаем
= Д+ (s) Pj (s) К (s) Pk (s) A (s).	(90)
В силу условия (76) все =	...) исчезают и, следо-
вательно, все диагональные части К// разложения К равны
нулю
К// = 0 (/=1,2, ...)•	(91)
Недиагональные части К/* (/ =#= k) содержат осциллирующий
множитель
егг(фу-<рА)/й^ехр1 j _ 8ft	I
l-o	J
Частота осцилляций получается дифференцированием фазы экс-
поненты по s, что дает
У |ez (s) — eft (s) |/й.
Согласно предположению (65) разность в/ — е* никогда в нуль
не обращается, и, следовательно, частота растет, как Т, при
Т —► сю.
Рассмотрим оператор
F (s) К (a) da.	(92)
о
Все его диагональные элементы в силу (91) равны нулю
^/ = 0.
Недиагональные элементы имеют вид
= J eiT (ф/ -ф^/*Х'^ da (/ #= k).	(93)
о
Операторы /(/^'непрерывно зависят от s и не зависят от Т. По-
казатель же экспоненты зависит от Т, и, следовательно, Fjk
S
имеет вид j е/Га(ст) / (о) do, где f(cr)—непрерывная функция,
а а (о)—непрерывная монотонная функция. Как известно, та-
242
ГЛ. XVII. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
кой интеграл стремится к нулю при Т -► сю. Действительно, ин«
тегрируя по частям, имеем
= 4 Ге/гS-(e‘T<ф'Г— (—dal•
L е/-е* о г	J
(94)
Ясно, что выражение в скобках остается конечным, если К/*’ и
производные по s от К/**» е/ и остаются конечными. Следо-
вательно, F/k стремится к нулю, как \/Т, т. е. при Т -► сю
F(s) = 0(±).
После Интегрирования по частям интеграл в правой части
уравнения (87) можно переписать в виде
F(S)IF(S)-Jp(a)-^-da
О
или, используя уравнение dW/da — iRW/ht
s
F (s) W (s) — itT1 ^F(o)KW(a)da.	(95)
о
Оба члена в (95) содержат множителем F(s) и, следовательно,
при Т -*• сю стремятся к нулю, как 1/Т, а значит *),
№ = 1 +О0г).	(96)
Подставляя (96) в формулу (86)—определение W, получаем
(S) гХ>А * (s) Фг {s) I1 + ° (т)]'	<97>
’) Строго говоря, приведенные рассуждения справедливы только, если
оператор K(s) ограничен на всем интервале (0,1) (см. примечание на
стр. 207). Тогда можно показать, что ||f(s) || стремится к нулю, как 1/Т, рав-
номерно по s. Верхние оценки для ||Л’(а)|| и ||f(s)|| обозначим х и в соот-
ветственно. Поскольку операторы W, Ф и А унитарны, то нормы операторов
К, Kw, К и KW равны. Точно так же равны нормы F и FW, Следовательно,
s
IIFW || < е, Ц 0KIF da || < exs.
о
Используя для Й7—1 формулу (95), получаем
iir-m<8(i + xs).
5 13. АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
243
Поскольку •Фг(х) коммутирует с проекторами Р/(0) (см.
ур. (84)), а унитарный оператор A(s) обладает свойством (72),
имеем
A (s) Фг (s) Р, (0) = Ps (s) A (s) Фг (s).
Отсюда и из асимптотики (97) следуют соотношения (68). 
§ 13. Адиабатическое приближение
Если Т достаточно велико или, точнее, если образующие ба-
зис собственные векторы оператора H(t) вращаются достаточ-
но медленно, то в первом приближении С7т-(1) можно заменить
его асимптотикой
г/(/1,^0)^г/г(1)«А(1)Фг(1).	(98)
Это и есть адиабатическое приближение.
Пусть |0> — нормированный вектор, представляющий со-
стояние системы в момент времени t0, a Qo — проектор на до-
полнительное подпространство. Адиабатическое приближение
состоит в следующей замене:
U (t, /о) |0> « А(1)ФГ(1)1 0>.
Величина погрешности при таком приближении дается вероят-
ностью q найти систему в момент времени h в состоянии, отлич-
ном от А (1)Фт(1) |0>. Поскольку проектор на пространство, ор-
тогональное этому вектору, равен
Q, s А(1)Фг(1)С0Ф+(1) А+(1),
получаем
n^(O|ir(/I,fo)Q1f/(/i,Qlo> =
= <O|r+(l)QoU7(l)|O).
Поправки к адиабатическому приближению можно вычис-
лить методом теории возмущений из § 1. Оператор А(1)ФГ(1)
играет роль а Й7(1) —роль U/. Метод заключается в со-
хранении только начальных членов разложения W, которое по-
лучается итерированием уравнения (87). Если ограничиться
только первым порядком, то получим
W (1) « 1 + (IFIh),	(99)
где F — оператор Г(1), определенный равенством (92).
Это разложение можно использовать также и для вычисле-
ния q. Аналогично вычислению 3 в случае мгновенного прибли-
жения, имеем
q«ft"2(O|FQoF|O> = (AF/ft)2,	(100)
244
ГЛ XVII. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
где AF— средне-квадратичное отклонение наблюдаемой F в со-
стоянии 10>. Условие применимости адиабатического прибли-
жения ') т] <С 1 дает
АР<Й.
В приведенной здесь общей форме этот результат не так удо-
бен для использования, как соответствующий результат в слу-
чае мгновенного приближения (соотношение (61)). Фигурирую-
щую здесь наблюдаемую F построить гораздо труднее, чем на-
блюдаемую Н из предыдущего случая. В то время как Н полу-
чается просто интегрированием H(t), для вычисления F необ-
ходимо решить задачу на собственные значения H(t) для каж-
дой точки из интервала (t0, ti) и для каждой точки построить
оператор A (s).
Проверим условия применимости адиабатического прибли-
жения в случае, когда система первоначально находилась в соб-
ственном для 77(0) состоянии. В действительности, только этот
случай и представляет практический интерес.
В дальнейшем будем использовать непосредственно перемен-
ную t, не переходя к s. Обозначим 8,(/) собственные значения
гамильтониана в момент времени t, соответствующие проек-
торы— P/(Z), оператор «перехода к повернутым осям» — А(/) и
Ф(/)—оператор Фг($). Тогда определения (67) и (84) изме-
няются
Н(0 = Ze/(t)Pi (0,	(101)
[t	1
-iJe/(T)dT/A Р/(0).	(102)
Определяющие А(/) уравнения (73) и (74) примут вид
ihdAldt = K'(t)A(t), А(0)=1,	(103)
где
К' (/) К (s)/T = ih lAdPj/dt) Pj(l).	(104)
Согласно определению (92) находим
ti
F = F (/,) = $ ф+ (/) А+ (/) К' (0 А (/) Ф (/) dt. (105)
to
Дополнительно, для простоты, предположим, что спектр
H(t) простой (не вырожден). Выберем множество базисных век-
) Здесь можно сделать те же замечания, что и в сноске к § XVII, 8, а
связи с критерием применимости мгновенного приближения,
§ 13. АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
245
торов |1>о, |2>о,	|/>о, ... гамильтониана Но и обозначим
11>/, |2>/,	\j)t, ... множество базисных векторов H(t), ко-
торые получаются из предыдущих действием оператора А(С).
Для любого t
(/—1,2,...).
(106)
Pi (0 - I />«</ I
Пусть | i>o — вектор состояния системы в момент to. В адиа-
батическом приближении ее вектор состояния в момент ti с точ-
ностью до фазового множителя будет равен 101	(6) | i>o‘
{7 (Л, /о) IОо~ exp — i J е:- (т) dx(h | г)ь
to
(107)
Вероятность (/ =И= i) найти систему в другом собственном
состоянии оператора Н(Ь), по определению, равна
р,^=|,</|у МЮо!2-
Вычисление по теории возмущений дает

(108)
В согласии с формулой (100) имеем
п, = s Pt+I« Л’2 S о IFI oU ।FI Oo-
j&i	i’&l
Используя уравнения (102), (104), (105) и свойства (106)
вектора [/>/, находим
о</|^ \i)o = lh \ ан (t) exp /\<Од(т)с?т dt,
где
I л+ (/) (dPJdt) A (/) | Z>0 =
= [в/ (1) — e( (Z)]/ft.
(109)
(ПО)
Отсюда и из формулы (108) следует
Pi-*i
а/£ (/) exp I \ а>7/ (т) dx dt
(HD
Физическая интерпретация величин ад и co/t- следует непо-
средственно из определений (109) и (110): сод(/) —«частота
246
ГЛ. XVII. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Бора» перехода а/<(0 характеризует скорость вращения
собственных векторов H(t), она равна компоненте вдоль |/><
скорости вращения оси | i)t.
Подынтегральное выражение в правой части (111) равно
произведению функции ад (О на осциллирующую с частотой
©/<•(/) экспоненту. Если ад и сод не зависят от времени, то по-
лучаем
Pi+i* |^rf2(1- C0S(0//7')-
Следовательно, величина р^ имеет порядок |ад/®д|2. Если
же зависимость от времени ад и достаточно гладкая, то
не превосходит по порядку величины максимального значения
отношения |ад/®д|2 на интервале (to, ti)
p^/^max	.	(112)
Точно так же т)* по порядку величины не больше значения,
получающегося суммированием правой части неравенства (112)
по всем /, отличным от I. Обычно эта сумма не превосходит от-
ношения |а“®х/со”|п|2, где ®Г’П — наименьшее значение воров-
ской частоты перехода из состояния i в ближайшее по энергии
состояние, а™®* — максимальное значение положительной вели-
чины ai(t), определяемой равенством
а?(0= X |ад (ОГ-
i+i
Возвращаясь к определению ад (109) и замечая1), что
(ИЗ)
видим, что а/ есть длина вектора d\i}t/dt, т. е. «угловая ско-
рость» вектора |i>t. Следовательно, в большинстве случаев ус-
') Из соотношений (104) я (106) имеем
d d	dPt
-5fl/h = -5r>UO|/>o = -3?4/>f	(/=1,2,...).
Сравнивая этот результат с тем, который получается при дифференцировании
тождества Р/(0 |/> t = |/) t, получаем Р/ /)<) = Следовательно,
К/|(-^-|/><)-° (/=1,2,...).	(113')
Условие того, что векторы |/> г являются собственными для оператора Н(1),
определяет их с точностью до фазового множителя. Условие (113') фиксирует
этот фазовый множитель.
5 14. АДИАБАТИЧЕСКОЕ ОБРАЩЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
247
ловие т] С 1 выполнено, если
атах 2 максимальная угловая скорость | i)t
<о™in минимальная воровская частота для | i)t
(114)
Условие (114) можно рассматривать как критерий примени’
мости адиабатического приближения. В действительности оно
слишком ограничительно, хотя имеет то преимущество, что
с ним довольно просто обращаться. Следует отметить, в част-
ности, что для вычисления а,(О или |а/<(0|> которые фигури-
руют в правой части (112), нет необходимости знать Л(/), до-
статочно только решить задачу на собственные значения H(t)
и определить с точностью до фазового множителя векторы |i><,
</>#; кроме того, можно показать, что
(0 = — t(i l-^r1 (О
(см. задачу 6).
§ 14. Адиабатическое обращение магнитного поля
Вернемся к задаче § 9 и будем использовать те же обозна-
чения. Начальные условия возьмем те же самые, но неравен-
ство (64) больше не выполняется.
Поскольку гамильтониан системы определяется выраже-
нием (63), мы видим, что a, Z., S и Afy = Ml + Ms — хорошие
квантовые числа (H(f) коммутирует с Jz s Lz + Sz для лю-
бых t). Следовательно, если | aLSMLMsy — начальный вектор
состояния, то с течением времени он будет меняться, оставаясь
в пространстве векторов, имеющих те же значения a, L, S и
Ml + Ms-
Рассмотрим подробно случай, когда начальное состояние
есть 2Р. Имеется всего 6 различных состояний 2Р — это линей-
ные комбинацииб-ти базисных векторов а 1 MLMS^ ^ML= 1,
О, — 1; Ms — -^~, которые мы будем обозначать \MLMs).
Поскольку все они являются собственными векторами
Я<°>, соответствующее собственное значение можно взять за ну-
левой уровень энергии. Легко определить отвечающие ему
уровни энергии Н (задача XVI. 7), которые являются функ-
циями параметра р = р-вЗ^/АЪ2 (рв = eh/2mc— магнетон Бора)
и изображены на рис. 12. Каждый уровень отвечает вполне оп-
ределенному значению Mj — Ml + Ms, а соответствующий соб-
ственный вектор, как показано на рисунке, стремится к неко-
торому вектору |AfJMs> в каждом из пределов р->-±оо. Мы
рассмотрим последовательно случаи Mj = 3/2 и М/= ’Д
248	ГЛ. XVK. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Рассмотрим вначале случай Mj = 3/2. Существует только
одно состояние с таким значением J2, и отвечающий ему вектор
есть | Р/г). Это собственный вектор Н для любого t, и простое
вычисление дает
Н 11 7г) = № (1/2 - 2р (/)) 11 >/2).
Если начальное состояние атома есть 11 ’/2>, то мы имеем опи-
санный в § 10 случай, когда уравнение Шредингера тривиально
Рис. 12. Положение уровней гР как функции напряженности магнитного
поля Э6 (р =	Числа в скобках у каждой кривой — квантовые
числа (MLAfs) собственных состояний в двух предельных случаях: р->±оо.
интегрируется. Атом все время остается в этом состоянии,
а вектор	состояния	приобретает	только	фазовый	множитель
г 1	т
exp I — iAh j (7г — 2р (т)) dx .
L	t0
В случае	линейного	изменения магнитного	поля	(формула	(62))
вектор состояния в момент времени Т равен
ехр (— iAhT) | 1 7г),
что верно для любого Т. В частности, в пределе, когда AhT С 1,
мы получаем результат мгновенного приближения, т. е. вектор
|172>.
Рассмотрим теперь случай М} = */2, когда значению Jz от-
вечает два собственных вектора Н — линейные комбинации век-
§ 14. АДИАБАТИЧЕСКОЕ ОБРАЩЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
249
торов |0'/2> и |1—'/2>- Для решения задачи на собственные
значения Н(/) в подпространстве, натянутом на эти два век-
тора, выберем их в качестве базисных векторов, и тогда Н (I)
будет представлен матрицей
Если ввести матрицы Паули о =s (ох, оу, ог), то эту матрицу
можно записать в особенно удобном виде
Н (i) = Ah2 [(—2р ~ I)Ьо],	(115)
где вектор Ь имеет следующие компоненты:
bx — 2^/2, by — Q, bz =1—2р.
Введем также единичный вектор и в направлении Ь:
b = bu, b = V8 + (1 — 2р)2,
(116>
Заметим, что вектор Ъ и векторный оператор а принадлежат
трехмерному векторному пространству, которое, однако, не
имеет ничего общего с обычным пространством. Мы использо-
вали простой математический прием, позволивший нам вывести
некоторые свойства посредством геометрических соображений,
которые справедливы в обычном пространстве.
Из (115) и (116) получаем
Я (/) =АЙ2[(-1-2р)+ £>(<*«)],	(117)
т. е. Н (t) есть функция оператора (ои). Задача на собственные
значения теперь легко решается, они равны-^-Ай2(— 1 — 2р±й)г
а проекторы Р± = -у- (1 ± ои).
Обозначим соответствующие собственные векторы |+> и
]—>. Они определены с точностью до фазы, которую можно
фиксировать первым из условий (106), но поскольку эта фаза
в дальнейшем несущественна, мы не будем на этом останавли-
ваться. Легко проследить за непрерывной эволюцией этих уров-
ней и соответствующих им проекторов как функций параметра
p(f) (рис. 13). Когда р меняется от —оо до + °°> собственный
вектор |-|-> меняется (исключая фазовый множитель) от |0 !/г>
до 11 — ’/2>, а соответствующий уровень движется вдоль верх-
250
ГЛ. XVII. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
ней ветви гиперболы на рис. 13; в то же время собственный
вектор | —> меняется от 11 — */2> до ] 0 */2>» а соответствующий
уровень движется вдоль нижней ветви гиперболы.
Предположим, например, что начальное состояние системы
есть |0‘/2>. Если изменение направления поля происходит до-
статочно медленно, то вектором состояния системы всегда бу-
дет вектор |+> (с точностью до фазового множителя), и, после
того как поле изменит свое направление на противоположное,
Рис. 13. Изменение двух уровней 2Р, М;=1/2, при обращении магнитного
поля (обозначения те же, что и на рис. 3). Сплошная кривая соответствует
адиабатическому обращению, пунктирная — мгновенному.
система будет находиться в состоянии 11 —’/2>. Используя ре-
зультаты предыдущего параграфа, можно определить критерий
адиабатичности этого перехода. Используя те же обозначения,
находим (соотношение (112))
П+ = Р+->_^тах|-^|2<1,	(118)
где со(/) — боровская частота перехода + -»—,
W (t) = 4" Ahb = 4 Ah V8 + (1 - 2p)2
и a(t) — проекция скорости |+> на |—>. Отсюда следует, что
I ° (01 == I <— I (dP+/dt) | +) | = 4" I <- I (° du^ I +> I-
Так как вектор du/dt перпендикулярен и, а ]+> и |—> —соб-
ственные векторы оператора (о«), то '
i«wi=4-|£|—
_______________I dp I
8 + (1 - 2p)2 | dt ) •
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
251
При изменении поля по линейному закону (62) максимум
] а/со I достигается при р = + ’/г, т. е.
I а I 1	1
тах|"й'|"~Т^4й?“ AhT ‘
В этом случае условие (118) выполнено, если
Г = Т > (1/ЛЛ),	(119)
где Т' — время, необходимое для изменения магнитной энергии
связи цв5^ от —2ЛЙ2 до 2Лй2. Именно в течение этого периода
вектор |+> вращается от |О’/2> к |1 — ]/2>. Условие (119) по-
казывает, что этот период должен быть велик по сравнению
с 1/ЛЙ — периодом, характеризующим переход + -»—.
Интересно сравнить условие адиабатического перехода и ус-
ловие быстрого перехода (64). Последнее, в действительности,
является излишне ограничительным. Это необходимое условие
для того, чтобы вектор состояния практически не менялся за
все время Т обращения поля. Однако за исключением опреде-
ленного выше интервала Т, собственные векторы гамильто-
ниана остаются практически фиксированными в течение этого
времени, а вектор состояния системы просто умножается на
фазовый множитель. Для того чтобы динамическое состояние
системы осталось неизменным, т. е. чтобы вектор состояния за
время обращения поля изменился разве лишь на фазовый мно-
житель, достаточно, чтобы условие быстрого перехода выполня-
лось только в интервале времени Т, в течение которого проис-
ходит вращение собственных векторов Н, т. е.
Г < 1/ЛЛ	(120)
(см. задачу 8).
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1.	Пусть Ui и и2 —два ортогональных собственных состояния, отвечающих
двукратно вырожденному уровню гамильтониана Но системы. Введение по-
стоянного возмущения V устраняет вырождение и расщепляет уровень на два
с расстоянием е между ними. Предположим, что система первоначально нахо-
дится в состоянии uj, а возмущение V действует в интервале времени Т. Пусть
W'j-.a — вероятность найти систему в состоянии и2, после того как возмущение
перестает действовать. Показать, что периодически зависит от Г с ча-
стотой е/й и что в пределе, когда гТ с Й, получается результат первого по-
рядка теории возмущений. Что необходимо для того, чтобы №i_>2 исчезало,,
каково бы ни было Г?
2.	Атом водорода находится в электрическом поле & — &о cos со/, осцил-
лирующем с частотой со, которая больше частоты ионизации атома
252
ГЛ. XVII. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Если первоначально атом находится в основном состоянии, то какова вероят-
ность в единицу времени перехода в ионизованное состояние (в предположе-
нии, что можно использовать плоские волны для описания ионизированных
состояний)? Какого угловое распределение электронов, излучаемых в этом
процессе возбуждения атома? [2V. В. Данный процесс является фотоэлектри-
ческим эффектом, для которого тем самым получено полуклассическое описа-
ние, при котором электрическое поле не квантуется... Результаты совпадают
с теми, которые получаются при корректном подходе с квантованным электро-
магнитным полем (см. задачу XXI. 12).]
3.	При 0-распаде атомное ядро испускает электрон со скоростью, которая
обычно близка к с, и заряд ядра меняется от Ze до (Z-f-l)e. Показать, что
влияние такого перехода на другие электроны можно рассматривать в мгно-
венном приближении. Оправдать применение метода в случае перехода три-
тона Н3 (аз 1 протон + 2 нейтрона) в Не3 (= 1 нейтрон + 2 протона), где
средняя кинетическая энергия испущенного электрона только 16 кэв (тс2 =
= 500 кэв). Первоначально тритон находится в основном состоянии. Какова
вероятность найти после распада ион Не+ в ls-состоянии? В 25-состоянии,
в состоянии с I 0?
4.	Пусть H(t)—гамильтониан неконсервативной системы. Предположим,
что существует не зависящий от времени вектор | и) , удовлетворяющий урав-
нению H(t) |u) = в(/) |u). Показать, что вектор
/ г	X
exp J — i j в (т) dx/b j I u)
X	/
удовлетворяет уравнению Шредингера для этой системы.
5.	Пусть Pi, Рг, ..., Р/, ... — полный набор ортогональных проекторов.
Предположим, что каждый из них есть непрерывная и дифференцируемая
функция параметра s н что при изменении s сохраняются соотношения орто-
гональности н полноты
PfPk -= t>lkpk, 'E'pi^i.
i
Показать, что оператор
К (S) а» ib £ (dPjlds) Р,^- ih £ Pi (dPf/ds)
I	1
эрмитов и удовлетворяет коммутационным соотношениям (75). Показать, что
справедливы тождества
PzKPz = 0 (/ = 1, 2, ...)
PfKPk = ihPi (dPk/ds) Pk = - ihPt (dPjlds) Pk.
6.	Пусть операторы P/(s) (j — 1, 2, ...) те же, что и в предыдущей за-
даче. Показать, что производная от оператора
#(*)=£	(s) Р] (s),
где e/(s) —дифференцируемая функция s, удовлетворяет уравнению
Pt (dH/ds) pk = (efc - e,) P{ (dPk/ds) Pk + d/ft (dBft/ds) Pk.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
253
Вывести отсюда, что «угловая скорость» ац(<), определяемая уравнением
(109), выражается также соотношением
— 1 I dH Л
ai‘ W = 1
h(s>lt (t) dt
7.	Однородное магнитное поле X заданной величины вращается с по-
стоянной угловой скоростью а вокруг оси, составляющей угол 0 с направле-
нием магнитного поля В поле помещена бесконечно тяжелая частица со спи-
ном J. Положим fi = 1, обозначим «(() единичный вектор, параллельный маг-
нитному полю, а у = уЯв, где И — гиромагнитное отношение частицы. Тогда
движение спина 1 определяется гамильтонианом //(/) = —у (Ju). Пусть t — 0
есть начальный момент времени, Jo — компонента J вдоль u(0), Jz — компо-
нента по оси вращения поля.
Построить унитарный оператор «вращающихся осей», показать, что опера-
тор эволюции в шредингеровском представлении дается формулой
U (/) = ехр (— iaJzt) exp [/ (yjo + aj2) f].
Показать справедливость адиабатической теоремы для этого примера; устано-
вить непосредственным вычислением и методом § 13 критерий применимости
адиабатического приближения (asin9/y)2C 1.
8.	Для определенной в § 14 системы рассмотрим уравнение Шредингера
прн Mj = —. Пусть I I — компоненты решения в определенном там пред-
ставлении. Возьмем t0 ----Т и обозначим
Т' = 2АЛгТ/цвЖ0«Т), n = 4/AhT'.
Показать, что
и = у ехр (— zxg2), о = i (dy]dl) exp (— Zxg2),
где у как функция переменной g = АМ1^2 удовлетворяет уравнению
У"----y i (V2 + 4х?) У' + У = 0.
Если ввести х = £ +	то общее решение этого уравнения можно за-
писать в виде
»=a°f fe 141 /х*2)+л,х/7 (4 + -к 141 ,w) •
Пусть начальное состояние есть |0-g). Показать, используя асимптотику ги-
пергеометрических функций, что вероятность w того, что система останется в
том же состоянии в конце времени Т, дается формулой (справедливой, если
Т »(Т'Мй),/г)
Показать, что условия (119) и (120) действительно отвечают адиабатическому
и быстрому переходам соответственно.
ГЛАВА XVIII
ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И СВЯЗАННЫЕ С НИМ
ЗАДАЧИ
§ 1. Вариационный метод Ритца
Кроме метода ВКБ, который имеет очень узкую область
применения, существуют два основных метода приближенного
определения уровней энергии и волновых функций дискретного
спектра: теория возмущений (глава XVI) и вариационный ме-
тод. Настоящая глава посвящена второму из этих методов.
Вариационный метод является универсальным и может быть
использован во всех тех случаях, когда уравнения представимы
в вариационной форме. Основа метода состоит в следующем.
Искомые решения принадлежат некоторому функциональному
пространству произвольную функцию из этого пространства
обозначим V. Предположим, что решения исследуемого урав-
нения есть функции из ST, для которых стационарен некоторый
функционал QpF]. Тогда уравнение эквивалентно вариацион-
ному уравнению
6Q = 0.	(1)
Вариационный метод Ритца состоит в поиске решений уравне-
ния (1) среди функций из пространства ST', которое уже, чем
пространство ST.
Предположим, например, что ST — множество всех волновых
функций системы. Выберем ряд конкретных волновых функций
ф(а, Ь, с), параметризованных некоторым числом непрерывных
индексов а, Ь, ... . Множество этих функций представляет
собой только часть £Г. Величина Q, рассматриваемая как функ-
ционал от Ф, сводится к обычной функции от вариационных па-
раметров а, Ь, ..., т. е.
<7(a, b, .. .) = Q[®(e, b, ...)].
Каждый набор значений а», Ьо, ..., для которого эта функ-
ция стационарна, определяет приближенное решение Фо s
==Ф(аа,Ь0, со, ...) уравнения (1).
Успех метода существенно зависит от выбора пространства
пробных функций Пробная функция должна быть доста-
точно проста для проведения вычислений и в то же время
§ 2. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
255
должна меняться в достаточно большой или достаточно подхо-
дящей области, чтобы полученное решение было близко к точ-
ному.
На практике стационарные значения Q имеют вполне опре-
деленный физический смысл. Одно из основных достоинств ва-
риационного метода заключается в непосредственной и точной
оценке этих значений. Ясно, что разность между Q [Фо] и Q [То]
тем меньше, чем ближе приближенное решение Фо к точному
То; более того, поскольку величина Q[T] стационарна в точке
Т = То, эта разность является бесконечно малой величиной бо-
лее высокого порядка, чем разность между Фо и То. Таким об-
разом, вариационный метод особенно удобен для вычисления
таких величин, которые можно представить в виде стационар-
ных значений функционалов. Именно так обстоит дело в случае
уровней энергии связанных состояний. В главе XIX мы увидим
также, что метод может быть использован для вычисления ам-
плитуд рассеяния.
Вычисление уровней дискретного спектра вариационным ме-
тодом приведено в разделе I этой главы. В остальных двух раз-
делах мы рассматриваем две важные задачи, используя методы,
более или менее связанные с вариационным методом: опреде-
ление волновых функций сложных атомов в приближении само-
согласованного поля методами Хартри и Фока — Дирака (раз-
дел II) и адиабатическое приближение Борна — Оппенгеймера
для молекул (раздел III).
Раздел I. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД
ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ
§ 2. Вариационная форма задачи
на собственные значения
Для определения связанных состояний вариационным мето-
дом используется функционал — среднее значение энергии.
Справедлива следующая теорема '):
Теорема. Пусть Н — гамильтониан квантовой системы и
Е [Т] — среднее значение энергии системы
Любой собственный вектор, для которого среднее значение
энергии (2) стационарно, есть собственный вектор дискретного
‘) Это общий результат, относящийся к дискретному спектру эрмитовых
операторов в гильбертовом пространстве. При доказательстве используется
только эрмитовость оператора Н.
256 ГЛ. XVIII. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ЗАДАЧИ
спектра оператора И, верно и обратное. Соответствующее соб-
ственное значение равно стационарному значению функционала
Е[ЧТ
Следует отметить, что речь здесь идет о векторах с конечной
нормой-, функциональное пространство (определенное в § 1)
есть гильбертово пространство динамических состояний си-
стемы. Следовательно, теорема утверждает, что собственные
функции Н, принадлежащие гильбертову пространству, яв-
ляются решениями вариационного уравнения
6Е = 0.	(3)
Заметим также, что функционал Е [Ч7] не зависит от нормы
и фазы вектора (Ч7), а значит, теорема останется справедливой,
если на эти величины наложить любое дополнительное условие.
В частности, иногда удобно ограничить область изменения |'F>
векторами с единичной нормой, как это сделано в ряде приме-
ров этой главы.
Доказательство теоремы. Вычислим вариацию
Е[ЧЧ
('У | Ч') 6Е = 6 «'F | Н | W» - Еб «V | W» =
= (6Ч^| (И - Е) | Ф> + ('Fl (И - Е) | 6'F).
Так как величина (Ч^ЧО остается конечной и не равной нулю,
то уравнение (3) эквивалентно следующему:
(6'F | (Я — Е) 14*) + ('F | (Я — Е) 16'F) == 0.	(4)
Вектор |бЧ7) есть вариация вектора 140, a <6'F|—вариация со-
пряженного к |'F> вектора. Следовательно, вариации |6'F> и
<6'F | не независимы. Их можно, однако, считать таковыми. Дей-
ствительно, заменив |6'F> в уравнении (4), которое справед-
ливо для любых бесконечно малых 1640, на i 1640
-i(6'F|(E-E)|'F) + z('F|(E-E)|6'F)==0,	(4')
и образовав подходящие линейные комбинации уравнений (4)
и (4')> получим два эквивалентных уравнения:
<640 (Я — Е) |'F> = О, <4Г |(Я — Е) |6'F) = 0.
Они эквивалентны уравнению (4), если условиться рассматри-
вать вариации 1640 и <6ЧГ| как произвольные и независимые ’)•
’) Это — общее правило, которое следует из того факта, что выражение
(4) линейно относительно векторов |d'F) и (б'₽'|, а соотношение между со-
пряженными друг другу векторами антилииейно.
$ 2. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
257
Получили два уравнения:
(H-E)\W) = Q, <Ч'|(//-£) = 0,
или
(Я — £ [Ч*1]) | Ч') = О,	(5а)
(Я+-£,[ЧГ])|ЧГ) = О.	(56)
В силу эрмитовости Н (Н = Я+) уравнения (5а) и (56) тожде-
ственны. Следовательно, уравнение (3) эквивалентно уравне-
нию (5а): любой вектор |4ri>, для которого функционал Е ста-
ционарен, есть собственный вектор И с собственным значением
£[ЧМ.
Обратно, пусть |Ti> — собственный вектор с конечной нор-
мой и Ei — соответствующее собственное значение
Я|^1) = £1|У1>.
Умножая это уравнение слева на <TFi|, получаем
£, = £№].
Следовательно, вектор |TFi> удовлетворяет уравнению (5а),
а в силу эрмитовости Н и вещественности Ei — и уравнению
(56). Отсюда заключаем, что функционал ЩЧ7] стационарен
для 4е = ЧД 
Дополним полученную теорему следующей леммой.
Лемма. Каково бы ни было динамическое состояние си-
стемы, среднее значение ее энергии больше или равно энергии
основного состояния
Е[Ч]>Е0.	(6)
Для доказательства этого неравенства достаточно вычислить
разность между левой и правой частями в представлении, где
Н — диагоналей. Предположим для простоты, что спектр Я
чисто дискретный. Пусть Ео, Ei,	, Еп, ... — уровни энергии,
расположенные в порядке их возрастания, а Ро, Рь ..., Рп,..
проекторы на соответствующие подпространства. Используя
разложение единицы, находим
PWl-P — I (Д - Ео) I У) у (Г о х I Рп | У)
д I J £о (У IЧО / •	£°' (ЧЧ ‘
п=1
Так как каждый член в этой сумме положителен или равен
нулю, то и сама сумма не меньше нуля, что и доказывает не-
равенство (6).
9 А, Мессиа
258 гл. XVIII. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ЗАДАЧИ
§ 3. Вариационное вычисление дискретных уровней
Мы видели в § 1, что приближенное решение вариационного
уравнения (3) можно получить, ограничивая область изменения
векторов |Т> только частью пространства состояний. При удач-
ном выборе этой области мы получаем некоторые собствен’
ные векторы Н с хорошей точностью, а соответствующие им
собственные значения — с еще лучшей точностью.
Метод становится особенно простым в том случае, когда
пробная функция линейно зависит от вариационных параметров,
т. е. когда также является векторным пространством. Тогда
Sf— подпространство SF в обычном смысле (§ VII. 2).
Введем обозначения: Р— проектор на Ф — произволь-
ный вектор а НР — сужение гамильтониана на
Нр^РНР.	(7)
функционал £[Ф] (определение (2)) равен среднему значению
НР. Эрмитов оператор НР линейно преобразует векторы из
в себя и может рассматриваться как эрмитов оператор в про-
странстве для которого справедлива основная теорема § 2.
Следовательно, вариационное уравнение
6£[Ф] = 0	(8)
эквивалентно уравнению на собственные значения
НРФ = ЕФ.	(9)
Таким образом, вариационное приближение состоит в замене
задачи на собственные значения оператора Н на аналогичную
Задачу, которая a priori легче для решения, поскольку она оп-
ределена в более узком пространстве.
Отметим аналогию с теорией возмущений (§ XVI. 8). В част-
ности, если SF' есть подпространство, отвечающее данному соб-
ственному значению невозмущенного гамильтониана, то вариа-
ционный метод и вычисление в первом порядке по теории воз-
мущений дадут одинаковые уровни.
§ 4. Простой пример: атом водорода
Прежде чем обсуждать подробно вариационный метод, его
достоинства и недостатки, полезно познакомиться с ним на кон-
кретном примере вычисления основного состояния атома водо-
рода и полученные результаты сравнить с точными ответами
главы XI.
Введем обозначения:
а0 = tf-ftne2, £н — -у (е2/Йс)2 тс2, р = г/ао-
§ 4. ПРОСТОЙ ПРИМЕР: АТОМ ВОДОРОДА
259
Так как мы ищем собственные состояния с фиксированным мо-
ментом импульса (1т), то пробные функции выберем в виде
ф = а4д1Р) уГ(0>ф).
Несложное вычисление дает
( , ( d2 / (/ + 1) . 2 \ ,
J “ \dp2 р2 + р ) “dP
Е [Ф] = - £н	.
| и |2 dp
о
Ограничимся s-состояниями (I = т = 0) и вычислим ста-
ционарные значения энергии для трех различных пробных
функций:
U1 = pe-6P, п2 = й2 р2 . w3 = p2e-6p.
Каждая из этих функций зависит только от одного параметра Ь.
Следовательно, £[Ф] в каждом случае сводится к функции от
Ь, и наша задача состоит в определении минимума этой функ-
ции. Несложные вычисления приводят к результатам, собран-
ным в табл. I. Первым приводится аналитическое выражение
для нормы пробной функции №=<Ф|Ф> как функции от Ь,
затем среднее значение энергии, положение минимума &mjri и
его значение EvaT. Интересно сравнить Evar с энергией основного
состояния Ео — — Ен и приближенное решение 4rVar с точ-
ным — Wo- Для этого в табл. I приведены нормированные ра-
диальные функции (u/N)vaT, а соответствующие кривые изобра-
жены на рис. 14, их можно сравнить с точным решением 2ре_₽.
Для каждого из трех приближенных решений ЧСаг в таблице
также приведены среднее значение <r>var и величина е =
^1—| <То | 4rvar> |2 (предполагается, что Чго и ЧСаг нормиро-
ваны на единицу); величина е служит хорошей мерой отклоне-
ния Tvar от основного состояния (она равна квадрату нормы
компоненты ЧДаг, ортогональной Ч'о).
Все три пробные функции, как и волновая функция основ-
ного состояния, не имеют нулей (за исключением начала коор-
динат). Поэтому естественно ожидать, что они больше походят
на эту функцию, чем на волновые функции возбужденных со-
стояний, и величина Evar ближе к энергии основного состоя-
ния— Ен, чем к какому-либо другому уровню (первый возбуж-
денный уровень: Е\ —-----j- £н) . Для того чтобы в этом убе-
9*
260 ГЛ. XVIII. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ЗАДАЧИ
диться, мы приводим в таблице I под каждым значением Evat
соответствующее значение отношения (Evat— E0)/(Et— Eq),
которое хорошо отражает ошибку, возникающую при вычисле-
нии энергии основного состояния вариационным методом.
Таблица I
Вычисление вариационным методом основного состояния атома
водорода
и (Ь, р) =	1	2	3
	л ре	Р й2 + р2	р2е-65
3 s’	S	to II II II	1/4*3 Ьг — 2Ь 1	л/46 (л — 8Ь)/2лй2 1 4 11	3/4*5 о 2 2
еч?1 1 ”| о* ftj о м II II	~~ 0	-0,81 Ен 0,25	- 0,75£н 0,33
1-	04	 а а — о г со	2ре-р 1,5ао 0	рКМ+р’Г1 оо в,21	3 79V2p2e 2 1,66а0 0,05
Лучший результат получается с пробной функцией щ, кото-
рая дает точную волновую функцию и точное собственное зна-
чение; отметим, что ui имеет то же поведение в начале коор-
динат (~р) и экспоненциальное убывание на бесконечности как
и собственные функции «-состояний (даже для притягивающего
потенциала, отличного от кулоновского, когда мы не получили
бы точной волновой функции, согласие результатов было бы
очень хорошим). Функция ц2 имеет правильное поведение в на-
чале координат, но совершенно отличную от точного решения
асимптотику на бесконечности, однако она дает удовлетвори-
тельное значение Evar = — 0,81 £н. Функция ы3, которая имеет
совершенно другое поведение в начале координат (~р2) и
правильное экспоненциальное убывание на бесконечности, дает
более скромный результат.
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВОЗБУЖДЕННЫХ УРОВНЕЙ
261
Рассмотрение величин <г> var и 6 показывает, что в целом
функция «з больше похожа на точное решение, чем ы2- Тот
факт, что она дает худший результат для энергии, подчеркивает
Рис. 14. Нормированные радиальные функции основного состояния атома
водорода, полученные вариационным методом.
важность поведения пробной функции в начале координат при
вычислении энергии, в особенности из-за притягивающего ха-
рактера потенциала.
§ 5.	Обсуждение. Вычисление возбужденных уровней
Вариационный метод является очень удобным и сильным
методом, но в нем трудно оценить точность результатов.
Отсутствует безошибочный способ определения того, для
какого уровня получено приближенное значение, какова, a for-
tiori, погрешность результата. Часто, однако, можно ответить
на первый из этих вопросов, сравнивая общий вид полученной
волновой функции Ф'уаг (число нулей, поведение в начале коор-
динат и на бесконечности) с аналогичными характеристиками
точного решения или по крайней мере с тем, что известно
a priori о точном решении. Обычно выбирают пробные функции,
имеющие простой аналитический вид и ограниченное число ос-
цилляций (или нулей), так что они имеют много шансов быть
близкими к волновой функции основного состояния.
Приведенные рассуждения показывают, что вариационный
метод особенно'удобен для вычисления энергии основного со-
стояния, для которого он дает оценку сверху (лемма (6)). К со-
жалению, не существует надежного метода для оценки порядка
величины ошибки (см. задачу 1). Все зависит от выбора проб-
262 гл. XVIH. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ЗАДАЧИ
ной функции, т. е. от выбора и расположения функциональной
области Зг'.
Необходимость выбора более сложных пробных функций,
трудности в интерпретации результатов, в определении порядка
и знака ошибок делают рискованным использование вариацион-
ного метода для вычисления возбужденных уровней. Суще*
ствуют, однако, две ситуации, в которых его использование воз-
можно.
Прежде всего, если известна волновая функция основного
состояния Ч^о, то пробную функцию Ф следует выбирать среди
функций, ортогональных к Фо. В этом случае значение функ-
ционала ^[Ф] не меньше энергии первого возбужденного со-
стояния Ei
Е[Ф]>^!	(10)
и вариационный метод дает верхнюю оценку для Е\ (см. за-
дачу 2). Может случиться, что вместо точной известна прибли-
женная волновая функция основного состояния Фо (определен-
ная, например, вариационным методом). В этом случае для
вариационного вычисления Е\ используют пробные функции,
ортогональные к Фо, при условии, что разность между Фо и Ч7»
достаточно мала, т. е. если
е0=1-|(гр0|Фо>12< 1
(функции Чго и Фо имеют норму 1). Стационарная функция
Фь которая, как мы предполагаем, имеет норму 1, не ортого-
нальна больше Чго, и неравенство (10) может быть неверным,
но обязательно
I <Ф11 Чг0> |2 < е0,	(Ц>
откуда следует, что
ЯФП^-ео^-Яо).	(12)
Вторая благоприятная ситуация возникает в случае, когда
оператор Н обладает симметрией. Предположим, например, что
Н инвариантен относительно вращений. Тогда собственные зна-
чения и собственные функции классифицируются посредством
квантовых чисел /, пг. Пусть функции с моментом импульса
(jm) образуют пространство <^(/т). Выбирая пробную функ-
цию из мы можем провести вариационное вычисление уров-
ней (jm), а точнее — низшего из них, и вариационный метод
автоматически дает оценку этого уровня сверху (задача 4),
§ 6.	Основное состояние атома гелия
В этом параграфе вариационный метод применяется для
вычисления энергии основного состояния атома гелия Не или,
в более общем случае, (Z — 2)-кратно ионизированных атомов,
§ 6. ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ АТОМА ГЕЛИЯ
263
таких как Li+, Ве++ и т. д. Эта задача уже рассматривалась
методом теории возмущений в § XVI. 4, и в данном параграфе,
если не оговорено противное, мы будем использовать те же
обозначения.
В качестве пробной функции возьмем функцию, которую
дает нулевой порядок теории возмущений
Фя (гь г2) = -^ге-(г'+Г!)/а,
где а будет рассматриваться как вариационный параметр, а не
как заданное значение a^Z.
Поскольку пробная функция имеет норму 1, среднее значе-
ние энергии равно
Е («) = <ФЯ I Н I Фа> = 55 Фа (Н Фа) dr 1 dr2-
Гамильтониан системы можно представить в виде
Н = k\ + k2 + Dj + t>2 + V'12,
где kt (t=l,2)— оператор кинетической энергии i-ro элект-
рона, vt = Ze2/rt— взаимодействие электрона с ядром, a V12 —
взаимодействие между электронами. Следовательно, Е(а) есть
сумма средних значений этих пяти операторов. Вычисление
этих величин значительно упрощается, поскольку волновую
функцию фа можно представить в виде <ра = fa(ri)fa(r2), где
fa (г)—собственная функция, отвечающая основному состоя-
нию электрона в кулоновском иоле заряда Z'e, Z' = ао/а. Пол-
ная энергия такого электрона равна — Z' Ец> среднее значение
кинетической энергии + Z' Ен> а среднее значение потенциаль-
ной энергии —2Z' Ен (задача XL 1). Следовательно,
(фа I h | фа> = Z'2£h>
<Фа I f /1 Фа> = - 2Z'2£h (Z/Z') = - 2ZZ'£H-
Кроме того, согласно вычислениям § XVI. 4 (ур. (XVI. 17) —
(XVI. 20))
<фа|К12|фа) = -|-Х'Ен,
откуда
Е(а) = 2£н (Z'2 - 2 (z -	Z').
Это выражение, рассматриваемое как функция а или Z', имеет
минимум при
? =	(12')
264 ГЛ. XVIII. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ЗАДАЧИ
и минимальное значение равно
£var = -2(z--^-)2£H.
Численные значения EvaT, соответствующие атомам Не, Li+
и Ве++, приведены в таблице I в § XVI. 4. Интересно сравнить
их со значениями, полученными при вычислении в первом по-
рядке по теории возмущений. Заметим, что
Evar = - 2Z2EH + 4 ZE» - £н = Epert - Ен,
и, следовательно, найденное значение меньше значения, кото-
рое получается по теории возмущений, на независящую от Z
величину
Ен — 2,64 эв.
IZo
Как и следовало ожидать, Evar дает лучшее приближение, ко-
торое, однако, больше экспериментального значения Еехр, в со-
гласии с неравенством (6).
Полученная при этом вычислении функция имеет простой
физический смысл. Она отвечает двум независимым частицам,,
движущимся в кулоновском поле заряда Z'e, который опреде-
ляется формулой (12'), этот заряд меньше заряда ядра на
Уд-е, и разница отражает эффект экранировки, которую испы-
тывает каждый из электронов при движении в кулоновском
поле ядра из-за присутствия другого электрона.
Выбрав пробную функцию более сложной, можно получить
значение Evar, которое еще ближе к точному собственному зна-
чению. В частности, можно взять вместо пробной функции фа>
зависящей только от одного вариационного параметра а, про-
изведение на полином некоторой степени от переменных
Гц г2 и Г12, коэффициенты которого также рассматриваются
как вариационные параметры. С увеличением сложности по-
линома получаемое значение Evar будет уменьшаться и при-
ближаться к точному значению. Поступая таким образом, Хил-
лерас получил прекрасное согласие теоретического значения
с экспериментальным *).
‘) Hylleraas. Zeit. f. Phys. 65, 209 (1930). Подробное изложение этого ме-
тода имеется в книге: Е. Кондон, Т. Шортли. Теория атомных спектров. М.,
ИЛ, 1949. Метод характеризуется очень быстрой сходимостью. При восьми
варьируемых параметрах вычисленное значение лежит несколько ниже экспе-
риментального, что на первый взгляд противоречит неравенству (6). В дей-
ствительности, £ехр несколько больше собственного значения Ео, соответствую-
щего основному состоянию Н, за счет релятивистских эффектов, вклад кото-
рых можно оценить. Метод Хиллераса позволяет очень точно вычислять имен-
но Ео, а не Еехр.
§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ Е[Ф]
265
Раздел II. АТОМЫ ХАРТРИ И ФОКА —ДИРАКА
§ 7.	Метод самосогласованного поля
Мы уже проводили общее квантово-механическое рассмот-
рение сложных атомов. При этом использовалось приближение
независимых частиц, согласно которому каждый электрон дви-
жется независимо от других в потенциале, описывающем при-
тяжение к ядру и эффект усредненного отталкивания от других
электронов. В этом приближении волновая функция атома
записывается в виде определителя Слетера, который следует
выбирать как можно ближе к точному решению уравнения
Шредингера для атома. Наилучшая волновая функция полу-
чается, если использовать вариационный метод, а в качестве
пробной функции брать произвольный определитель Слетера Ф.
Этот важный частный случай вариационного метода носит на-
звание метода самосогласованного поля. Не вдаваясь в детали
вычислений, мы рассмотрим в данном разделе основные этапы
этого метода ’).
Метод используется не только в теории атомов. Важное
применение он находит при рассмотрении электронов в моле-
куле, в твердом теле и вообще систем тождественных частиц
в произвольном внешнем поле. Хотя в этом разделе речь будет
идти только об атомах, приводимые^ ниже рассуждения спра-
ведливы и для таких более общих случаев.
§ 8.	Вычисление Е [Ф]
Гамильтониан системы из Z электронов можно записать
в виде
Н=Н1 + Н2,	(13)
A	bw
л<0- л'г) = V + v О 4>
4=1
Я2=£«,Ф).	(15)
Ki
Первое слагаемое Hi включает в себя кинетическую энергию
и потенциальную энергию электронов во внешнем поле (элек-
трическое поле ядра). Оно представляет собой сумму Z одина-
ковых одночастичных гамильтонианов. Второе слагаемое Н2
’) Метод и его практическое приложение подробно разбирается в книге:
Д- Хартри. Расчеты атомных структур. М., ИЛ, 1960. См. также цитированную
ранее книгу Кондона и Шортли.
266 гл. XVIII. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ЗАДАЧИ
описывает энергию взаимодействия электронов, т. е. является
суммой xliZ.(Z—1) одинаковых слагаемых, описывающих взаи-
модействие каждой пары электронов; w(17>—потенциал между
электронами с номерами i и /. Если не учитывать силы, зави-
сящие от спинов, то w(‘7) равен потенциалу электростатического
отталкивания
w(ii) = е11гц (ri}ss\rt — Г)\).	(16)
Дальнейшее рассмотрение не зависит от конкретного вида w^,
мы будем предполагать только, что w(l7) есть функция динами^
ческих переменных электронов с номерами i и /, симметричная
относительно перестановки (г/).
Поскольку Д[Ф] не зависит от нормировки пробной функ»
ции Ф, последнюю всегда можно считать нормированной на
единицу. Используя обозначения главы XIV, запишем ее в виде
|Ф)^(2!ЛД|Ф>,	(17)
где А — определенный уравнением (XIV. 26) антисимметриза«
тор
<18>
р
а |Ф>—тензорное произведение Z произвольных, ортонормиро*
ванных одночастичных кет-векторов
|^=|а)Ф|р)(2) ... |^><z> =|а<*>р<2) ...g<z>),	(19)
<Л|ц) = Ч (Л, Ц = а, р,	(20)
В этом случае условие нормировки выполняется автоматически
(Ф|Ф)=1.	(21)
Величина Е[Ф] есть сумма средних значений операторовНх
и Н2. Их вычисление упрощается в силу того факта, что и
Н2 инвариантны относительно перестановок, коммутируют с
а оператор А —проектор (А2 — Д).
Для среднего значения Hi последовательно находим
(я1)=(ф|я1|ф)=2!<ф|я1д|ф>=
Z	Z
= Е Е (- Dp <ф Ih^p|Ф) = Е<Ф|й<« 1 Ф>.
i=i р	/=1
Заменяя вектор |Ф> его определением (19), получаем
(Я1)= £ <Ш W (Л = а, р, ..(22)
К
§ 9. УРАВНЕНИЯ ФОКА —ДИРАКА
267
Таким образом, </Л> есть сумма средних значений одночастич-
ного гамильтониана h по Z одночастичным квантовым состоя'
ниям, занятым электронами.
Подобным образом <Я2> можно представить в виде суммы
матричных элементов оператора w между двухэлектронными
состояниями. Последовательно имеем
(//2)=(ф \Н21 Ф> = Z! <Ф | Н2А | Ф> =
= X X (~ 1)р <Ф I w^P | Ф> = X <Ф I (1 - Рип) I Ф>.
KI Р	К!
т. е.
<Я2) = Х'(^(1)Н(2) Ы12) |X(V2)>-<X<V2) |а>(12) I (23)
где суммирование происходит по всем XI2Z{Z—1) парам одно'
частичных состояний X, ц, которые можно образовать из со-
стояний а, р, ..., £. Первое слагаемое в скобках представляет
собой среднее значение энергии взаимодействия в состоянии
р(2)>, в котором электрон с номером 1 находится в состоя-
нии X, а второй электрон—в состоянии ц; второе слагаемое
представляет собой обменный член, т. е. матричный элемент
оператора w между состояниями |ХФр.<2)> и | рФ, Х(2>>. (Отме-
тим, что это слагаемое вещественно и
<Л<!)р,(2) | w<12> |р(')Л,(2)) = <р.(1>А,(2) Ы12) lAOpf2)).
Это свойство следует из эрмитовости w(12) и его инвариантно'
сти относительно перестановки (12).) Среднее <Я2> можно
также записать в виде
22 «Лфрф М12) |Л.б)р(2)) —
-<X<V2) |w<12> IpW»» (Л, p = a, p........Q. (24)
Тем самым, для £[Ф] имеем
£[Ф] = (#1) + Ш	(25)
где <Я1> и <Я2> даются формулами (22) и (24).
§ 9. Уравнения Фока — Дирака
При вариационном решении уравнения Шредингера в при-
ближении самосогласованного поля функционал Д[Ф] стацио-
нарен по отношению к Z ортонормированным векторам |Х>(Х =
~ «, Р, С)- Стационарность Е при вариации этих векторов,
которые удовлетворяют Z2 условиям (20), эквивалентна суще-
ствованию Z2 постоянных еХ|Л (Л, р — а, р, 5) (метод мно-
268 ГЛ. XVH1. вариационный метод и связанные с ним задачи
жителей Лагранжа) таких, что выполнено вариационное урав-
нение
6Е-Е £ equity = 0.	(26)
X и
Постоянные еХ[1 можно рассматривать как элементы неко-
торой ZXZ матрицы е. Эта матрица эрмитова, поскольку в
силу вещественности Е вариация 6£ также вещественна, и,
вычитая из уравнения (26) комплексно сопряженное уравне-
ние, получаем
X X (вхц — ejk) | Л> == 0,
X И
откуда следует, что
8Хц — 8их.
Z векторов |а>, |р>, ..., |£> образуют ортонормированный ба-
зис некоторого подпространства пространства одночастич-
ных состояний. Замена базиса в этом подпространстве приво-
дит к умножению вектора | Ф> на фазовый множитель. Дей-
ствительно, пусть S — унитарная матрица Z X Z, определяю-
щая переход к новому базису |а'>, |р'>, ..., |£'>, и
[V>=X|?,>Sxx'.
х
В силу хорошо известного свойства произведения детерминан-
тов определитель Слетера Z новых векторов равен произведе-
нию определителя Слетера Z старых векторов на det S. Следо-
вательно,
|®') = (detS)|O),
а поскольку матрица S унитарна, то |detS|=l. Отсюда мы
заключаем, что функционал £[Ф] инвариантен относительно
изменения базиса, а вариационное уравнение (26) определяет
набор |а>, |Р>, ..., |£> с точностью до такого изменения.
Используя уравнение (26), легко показать, что справедливо
аналогичное уравнение
- X Е 8Хцб	| К'} — 0,
X ц
где матрица е' связана с е преобразованием подобия
<ц = ($+8^.
В частности, матрицу S можно выбрать таким образом, что-
бы матрица г' была диагональной. Так как вариационная
задача не зависит от выбора базиса, мы будем считать в даль-
§ 9. УРАВНЕНИЯ ФОКА - ДИРАКА
269
нейшем матрицу диагональной. Тогда вариационное уравнение
(26) примет вид
6Е- 2>хб<Х|Х) = О.	(26')
к
Используя уравнения (22), (24) и (25), несложно сосчитать
&Е, после чего левая часть уравнения (26') становится одно-
родной линейной комбинацией 2Z вариаций <6Х| и |6Х> (X —
= а, Р, ..., £)• Потребовав, чтобы она обращалась в нуль при
любых вариациях, которые рассматриваются как независимые
(см. примечание на стр. 256), и учитывая эрмитовость гамиль-
тониана И, получаем (не приводя здесь детальных вычисле-
ний) Z уравнений для Z ортонормированных векторов |а>,
| Р>, ..., |С>, а именно
Л<» | Х><’> + £<2) (р, |	| ц)<2> | Х)(1> —
И
- Х(2)<Н|®<12)|Х><2) 1н>(1)=^|Л>(» (Л = а, ₽,..., о. (1>
р
Отметим отсутствие множителя -j- перед суммами в левой
части. Умножив скалярно обе части на (1)<Х| и просуммировав
по X, находим
1^ = <Я1) + 2<Я2) = £[Ф] + (Я2).	(27)
К обсуждению этого соотношения мы вернемся в дальнейшем.
Обычно используют представление кет-векторов их волно-
выми функциями
где q = (г, ms) обозначает пространственные и спиновые коор-
динаты.
Удобно ввести «электронную плотность»
Р	IР I = 22 «и (^) «й	(28)
ц
Это — матричное представление проектора на определенное
выше пространство
р=Е|н)<н1.
U
Диагональные элементы
р(<?) ^р(?, <7) = Х|%(<7)12	(29)
ц
представляют собой плотность вероятности найти электрон з
точке q.
270 ГЛ. XVIII. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ЗАДАЧИ
Взаимодействие является некоторой вещественной, сим-
метричной функцией переменных q(l\ которую в дальней-
шем мы будем обозначать w(qw, . Введем следующие обо-
значения:
^еХС (<7, Я') = Р (<7, /) w (q, q')	(30)
W (Я) = р (/)w (<ь d(f>	(3 0
где символ j dq' означает интегрирование по пространствен-
ным координатам и суммирование по спиновым переменным,
С учетом этих обозначений уравнения (I) принимают вид ин-
тегро-дифференциальных уравнений
[— А + V (?)] ик (q) + IT (?) ик (?) — J 1Гехс (?, ?') ик (?') dq' =
= екик (?) (Л = а, р, .... £). (II)
Это интегро-дифференциальные уравнения Фока — Дирака.
Решать такие уравнения можно методом итераций. Исполь-
зуя приближенное значение ро для плотности и подставляя его
в уравнения (30) и (31), получаем приближенные значения
для величин W и Wexc. При известных величинах W и IV'exs
уравнения (II) становятся уравнениями на собственные значе-
ния, первые Z решений которых —и{£, ..., и^} — дают новое
значение pi для плотности. Используя pi и повторяя предыду-
щие операции, получаем новое значение — рг и т. д. Если по-
следовательность ро, pi, рг, ..., сходится, то она стремится к
точному решению. Однако обсуждать вопросы сходимости мы
здесь не будем. Отметим только, что скорость сходимости за-
висит от выбора ро.
§ 10.	Обсуждение результатов
Каждое из уравнений (II) напоминает уравнение Шредин-
гера, определяющее одно из Z одночастичных состояний, в ко-
торых находятся Z электронов атома. Однако эти уравнения
не являются в действительности настоящими уравнениями на
собственные значения, поскольку операторы W и зависят
от электронной плотности и, следовательно, собственные функ-
ции иа, и$, ..., и^ входят в определение соответствующего га-
мильтониана. Тем не менее, поучительно рассмотреть этот од-
ночастичный гамильтониан и попытаться придать физический
смысл различным слагаемым в этом гамильтониане.
С этой целью введем обозначение для плотности электро-
нов в (Z— 1) состояниях, отличных от состояния К:
р(Х) = X | р) | s р — | Л.)	|, р'Л! (?, ?') = р (?, ?') — ик (?) ик (?'),
§ 10. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
271
а выражения, получающиеся заменой р на pW в уравнениях
(30) и (31), обозначим и W>. Введем также усредненный
потенциал Xw, создаваемый электроном в состоянии |Х>:
X^(q) = J| uK(q'}?w(q, q')dq'.	(32)
есть усредненный потенциал, создаваемый электронами,
находящимися в остальных (Z—1) состояниях, а усредненный
потенциал W, создаваемый всеми электронами, равен
W(q) = WM (7) + х(М(7).
Теперь можно записать уравнение системы (II), относящее»
ся к состоянию X, следующим образом:
[—£ А + V (?)] ик (<?) + V™ (<?) ик (q) -
— J ^ехс (<?’ /) ик № dcl' = е А (<?)	(А = а, 0..О, (III)
поскольку V^w(<7)ux(7) отличается от W(q) u^(q) на слагаемое
«собственной энергии» Х(}-> (q) U\(q), а
J (q, q') uK (q') dq' = J IFexc (q, q') UK (/) dq' - X^ (q) uK (q).
Легко дать интерпретацию полученной форме (III) «уравне-
ния Шредингера» для электрона в состоянии X. Гамильтониан
представляет собой энергию электрона в поле, состоящем из
поля ядра и усредненного поля остальных электронов. Гамиль-
тониан состоит из четырех слагаемых: кинетической энергии
—ЬРЩЪт, потенциала ядра V(zy), усредненного потенциала
(Z—1) электронов Ww{q) и четвертого слагаемого, представ»
ляющего обменные эффекты между состоянием А и остальными
(Z—1) занятыми состояниями. Мы видим, что обменные эф-
фекты. ведут к нелокальному потенциалу, определяемому ядром
Я')-
Данная интерпретация предполагает, что собственное зна»
чение е}_ есть энергия электрона в состоянии X. Уравнения
Фока — Дирака дают Z величин еа, ер, ..., ej, которые с хоро-
шей степенью точности равны энергиям ионизации Z электро-
нов атома. Однако, складывая эти энергии, мы не получим пол-
ной энергии системы Z электронов. Складывая отдельные энер-
гии, мы правильно учитываем кинетическую энергию каждого
электрона и энергию его взаимодействия с ядром, но дважды
учитываем энергию взаимодействия электронов друг с другом*
272 ГЛ. XVIII. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ЗАДАЧИ
Следовательно, для получения полной энергии из результата
нужно вычесть усредненную величину межэлектронного взаи-
модействия, т. е. <Я2>. Это утверждение уже было получено
нами ранее (ур. (27)).
§ 11.	Уравнения Хартри
Если в системе (III) пренебречь обменными слагаемыми,
то мы получим значительно более простую систему уравнений
[-^+V(q) + W^q)]uK(q) = eKuK(q) (Л = а, р...............?).
(IV)
Эти уравнения были предложены Хартри на основе только ин-
туитивных соображений. Они могут быть также получены ва-
риационным методом, если в качестве пробной функции ис-
пользовать простое произведение одночастичных состояний, та-
кое как |Ф> в формуле (19), а не антисимметризованное произ-
ведение |Ф>, формула (17)1).
Систему уравнений Хартри, так же как и систему Фока —
Дирака, можно решать методом итераций. Благодаря отсут-
ствию обменных членов, вычисления здесь значительно короче.
Однако эта система менее симметрична по сравнению с преды-
дущей, поскольку гамильтониан Хартри h + не один и
тот же для различных одночастичных состояний. Как след-
ствие, собственные функции Z уравнений Хартри не ортого-
нальны друг другу, что ведет к ряду трудностей при использо-
вании этого метода, на которых мы здесь не останавливаемся.
Раздел III. СТРУКТУРА МОЛЕКУЛ
§ 12.	Общие понятия. Разделение движения ядер
и электронов
Молекула, представляя собой связанное состояние атомов,
состоит из нескольких атомных ядер и движущихся в поле
этих ядер электронов. Определение стационарных состояний
столь сложной системы является очень трудной задачей. Од-
нако существует некоторое упрощающее обстоятельство: масса
электронов много меньше массы атомных ядер, в то время как
на них действуют силы одного порядка. Как следствие этою,
ядра движутся значительно медленнее электронов, и с хорошей
') Это, однако, не является последовательным выводом этих уравнений,
поскольку в отличие от векторов |Ф), векторы |Ф) не принадлежат простран-
ству состояний системы.
§ 12. РАЗДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЯДЕР И ЭЛЕКТРОНОВ
273
степенью точности движения электронов и ядер можно рас-
сматривать независимо. Действительно, в первом приближении
ядра по отношению к электронам можно считать фиксирован-
ными силовыми центрами, и динамическое состояние есть со-
стояние системы электронов в поле фиксированных ядер. По-
скольку последние движутся достаточно медленно, динамиче-
ское состояние электронов адиабатически меняется в соответ-
ствии с изменением создаваемого ядрами потенциала (см. гла-’
ву XVIII, раздел II). И наоборот, поскольку за время, необхо-
димое для заметных смещений ядер, электроны успевают со-
вершить много оборотов, ядра подвержены только некоторому
усредненному влиянию со стороны электронов. С хорошей сте-
пенью точности движения ядер можно описать, заменив их
взаимодействие с электронами его значением, усредненным по
нескольким электронным оборотам. Применение такого спо-
соба приводит к уравнению Шредингера, в котором полностью
отсутствуют переменные, описывающие электроны. Приближе-
ние, лежащее в основе этого метода разделения переменных,
называется адиабатическим приближением.
Цель данного раздела—дать общее представление о ме-
тоде и обсудить границы его применимости. Прежде чем при-
ступить к изложению, мы закончим полуклассический
анализ движения ядер и оценим вклад различных эффектов.
Потенциал в уравнении Шредингера для ядер зависит толь-
ко от расстояний между ядрами. Коль скоро молекула суще-
ствует, этот потенциал должен иметь минимум для некоторых
вполне определенных конечных значений межядерных расстоя-
ний. Этот минимум соответствует точке устойчивого равновесия
системы, и относительно этой конфигурации ядра могут совер-
шать малые колебания. На внутренние колебания ядер может
накладываться поступательное движение и вращение системы
как целого. Поступательное движение можно полностью отде-
лить от других движений, вводя центр масс системы, который
движется, как свободная частица. В дальнейшем мы будем
предполагать, что такое разделение выполнено, и будем рассмат-
ривать только колебательное и вращательное движения ядер.
Вводя обозначение m для массы электрона, а М — для ве-
личины порядка ядерных масс, и обозначая среднее расстоя-
ние между ядрами в молекуле через а, имеем *)
а « 10~8 см, m/М« IO"3 - 10-5.	(33)
Молекула имеет линейные размеры порядка а, что дает
порядок величины амплитуды движения электронов. В силу со-
') Отношение масс имеет наибольшее значение для молекулы водорода
(т/М)Н1 ~ 0,5 • 10-3.
274 ГЛ. XVIII. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ЗАДАЧИ
отношения неопределенности импульс электронов имеет поря*
док Й/а, что соответствует кинетической энергии порядка
Й2/та2. Эта кинетическая энергия равна по порядку величины
энергии связи основного состояния электронов и расстоянию
между энергетическими уровнями электронов
ее1 ~ h2[ma2	(34)
(ср. это с оценкой из § XI. 3).
Что касается движения ядер, то рассмотрим вначале их
вращение. Момент инерции системы имеет порядок Ма2. По»
скольку квадрат момента импульса изменяется на величину по»
рядка Й2, вращательная энергия будет меняться на величину
порядка
erot«ft2/Ma2.	(35)
В первом приближении колебания ядер можно рассматри-
вать как гармонические с квантованной энергией evtb = Йен.
Примем за нулевой уровень потенциальной энергии ее значе-
ние для устойчивой равновесной конфигурации ядер. Если в
этом случае одно из ядер отвести на расстояние а, то система
приобретет потенциальную энергию Мы2 а2. Поскольку это
приведет практически к полному отделению одного из атомов
от молекулы и, следовательно, к увеличению энергии на вели-
чину порядка 8ei, то мы имеем
Л4<о2а2« h2lma2,
откуда
£
evib ~ Й2/(тЛ4)2 а2.	(36)
Сравнивая выражения (34) — (36), получаем
Erot Evib ^CEel-
Если следовать более строгому подходу Борна и Оппенгей-
мера ’) и ввести параметр
1
х = (т/М)4,	(37)
то получим
Erot X28yib Х48е1•	(38)
Расстояние между уровнями е связано с классической часто-
той е/Й. Следовательно, мы можем заключить, что движение
электронов значительно быстрее, чем колебательное движение
) М. Born, J. R. Oppenheimer. Ann. der Phys. 84, 457 (1927); о первона-
чальном методе Борна и Оппенгеймера см. § 16.
§ 13. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ПОЛЕ ФИКСИРОВАННЫХ ЯДЕР
275
ядер, которое, в свою очередь, является более быстрым по
сравнению с вращательным движением всей системы, в согла-
сии с замечаниями, которые были сделаны в начале параграфа.
Отношение частот этих движений имеет порядок х2, т. е. равно
приблизительно 0,01: за время одного оборота всей молекулы
ядра успевают совершить примерно 100 колебаний около их
положения равновесия, а электроны — приблизительно 10000
оборотов.
§ 13. Движение электронов в поле фиксированных ядер
Основываясь на полуклассических рассуждениях предыду-
щего параграфа, рассмотрим задачу определения стационар-
ных состояний молекулы. Поскольку наша цель — дать скорее
общее представление о методе, нежели его детальное изложе-
ние, то мы без колебаний будем принимать упрощающие пред-
положения, которые не влияют на сущность метода. В частно-
сти, электроны и ядра мы будем рассматривать как бесспино-
вые частицы.
Степени свободы электронов и ядер будем параметризовать
индексами i и j соответственно. Координаты электронов и ядер
обозначим xi и Xlt а массу ядра с координатой X, обозначим
Mj. Обозначим кинетическую энергию электронов Те, кинети-
ческую энергию ядер Тц, а потенциал взаимодействия различ-
ных частиц в молекуле V. Гамильтониан молекулы Н состоит
из трех слагаемых
Н = Te + TN+ V,	(39)
где
a V=V(x,X) — некоторая функция, зависящая от координат
электронов и ядер, она равна сумме кулоновских потенциалов
каждой пары частиц системы.
Рассмотрим упрощенный гамильтониан
НЮ = Те + V,	(40)
который получается из выражения (39) отбрасыванием кинети-
ческой энергии ядер. Он представляет собой гамильтониан си-
стемы в пределе Л4/->оо, и его стационарные состояния есть
состояния системы электронов в поле фиксированных ядер.
Действительно, поскольку /7(0) не содержит производных по А/(
то
[Х/( у/со)] = о,
и, следовательно, операторы и X, можно диагонализовать
276 гл. XVIII. вариационный метол и связанные с ним задачи
одновременно. Другими словами, решая задачу на собственные
значения оператора Я(0>, можно считать координаты ядер опре-
деленными фиксированными величинами Х]. Заданный набор
величин X'j обозначим символом X'. Каждому набору X' отве-
чает набор собственных значений Wn(X') оператора //(0), ко-
торые параметризуются квантовым числом п.. При заданных п
и X’ существует один или несколько линейно независимых соб-
ственных векторов, которые в последнем случае следует пара-
метризовать с помощью дополнительного индекса, например, s.
Таким образом, уравнение Шредингера для 7/(0) имеет вид
| nsX'} = Wn {X') | nsX'}.	(41)
В {xX}-представлении собственный вектор описывается вол-
новой функцией
<pns(x, Г)б(Х-Г),	(42>
где функции ср есть решения уравнения Шредингера
[Ге + V (х, X')] yns (х, X') = Wn (X') <fns (х, X').	(43)
В уравнении (43) X' играет роль параметра, т. е. мы имеем
уравнение Шредингера для электронов молекулы, когда поло-
жения ядер фиксированы в X'. Каждому решению этого урав-
нения соответствует собственная функция оператора 7Д°> вида
(42), а все решения уравнения (43) при всех возможных зна-
чениях X' образуют полный набор собственных функций
Для дальнейшего важно условие нормировки, и мы всегда бу-
дем брать ортонормированные собственные функции, что будет
автоматически выполняться, если <pns(x, X'), рассматриваемые
как функции только переменных х, имеют норму 1.
Задача определения собственных значений (43) аналогична
задаче определения стационарных состояний атома и может
быть решена теми же методами, например, методом самосо-
гласованного поля. Однако в данном случае имеется несколько
силовых центров, что уменьшает свойства симметрии этой за-
дачи по сравнению с аналогичной задачей для атома.
Обсудим кратко вопросы, связанные с симметрией1). По-
тенциал К(х, X) инвариантен относительно трансляций, вра-
щений и отражений системы как целого, он инвариантен также
относительно обращения времени и перестановки тождествен-
ных частиц. Допустим теперь, что положения ядер фиксиро-
ваны в X'. Тогда свойствами симметрии потенциала V(x, X'),
рассматриваемого как функция только переменных к, будут те
') Общее изложение свойств симметрии электронных волновых функций
молекул содержится в книге: Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Квантовая меха-
ника, М., Наука, 1963.
§ 14. АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
277
из перечисленных выше свойств, которые оставляют неизмен-
ной конфигурацию ядер X'. Так, для двухатомной молекулы
С1Н потенциал V(x,X') инвариантен относительно вращений
вокруг оси, проходящей через ядра хлора и водорода, и отно-
сительно отражений в плоскостях, проходящих через эту ось.
Вместе с инвариантностью относительно обращения времени
это все симметрии, которыми обладает в данном случае потен-
циал. Для достаточно сложных молекул потенциал инвариан-
тен только относительно обращения времени. Как легко видеть,
свойства инвариантности оператора Н(°\ действующего только
на функции от х, те же, что и для потенциала V(x,X'). С этими
свойствами симметрии связано вырождение уровня Wn(X') (см„
главу XV).
Чтобы устранить сложности, связанные с вырождением, бу-
дем предполагать, что V(x, X') инвариантен только относитель-
но обращения времени. Тогда, поскольку речь идет о моле-
куле (а не о свободном радикале), число электронов четно и.
имеет место первый из случаев, обсуждавшихся в § XV. 21.
Предполагая дополнительно, что отсутствует случайное вырож-
дение, мы получаем невырожденное собственное значение
Wn(X') и при подходящем выборе фазы вещественную соб-
ственную функцию <р«(х, X').
В заключение этого параграфа сделаем два замечания.
Рассматриваемый как оператор, действующий только на пе-
ременные х, Я(0) непрерывно зависит от X' как от параметра,
так же как его собственные значения и собственные функции,
т. е. при заданном п, Wn(X') и <р«(х, X')—непрерывные функ-
ции от X'.
Рассматриваемый как оператор, который действует в про-
странстве функций от всех переменных, инвариантен по от-
ношению ко всем преобразованиям, которые были упомянуты
выше в связи с V(x,X). Следовательно, любой вектор, который
получается из |/гХ'> при действии одного из таких преобразо-
ваний, является собственным для Т/*0* и соответствует тому же
собственному значению Wn(X'). Другими словами, W4(X') не
меняется при действии этих преобразований на X'. В частности,
Wn(X') зависит только от расстояний между ядрами, точнее,,
от той геометрической фигуры, которую образуют ядра, и не
меняется при сдвигах (трансляциях и поворотах) или при за-
мене этой фигуры на зеркальную (отражение).
§ 14. Адиабатическое приближение
В предыдущем параграфе мы рассматривали стационарные
состояния электронов, когда положение ядер молекулы счита-
лось фиксированным. Предположим теперь, что ядра медленно
278 гл. XVIII. вариационный метод и связанные с ним задачи
движутся согласно некоторому закону X'(t). Если это движе-
ние достаточно медленное, то динамическое состояние элект-
ронов будет адиабатически меняться в соответствии с измене-
ниями потенциала, в котором эти электроны находятся. Так,
если в момент времени t0 они находились в состоянии
(n,отвечающем уровню энергии Wn(X'(t0)), т. е. со-
стояние описывалось волновой функцией tpn(x, Xх (^о)), то в мо-
мент времени t электроны будут находиться в состоянии
(п, X'(t)), которое получается из (n,X'(to)) по непрерывности
при фиксированном п.
Условия применимости этого приближения уже обсужда-
лись нами в § XVII. 13 (см. критерий (XVII. 14)). Вероятность
найти электроны в состоянии, отличном от (д, X'), дается фор-
мулой
(44)
I ЮП I
где ап — «угловая скорость» вектора <р„(х,X'), а со, — мини-
мальная боровская частота, связанная с уровнем Wn(X').
Для оценки этой величины используем полуклассические
рассуждения из § 12. Расстояние между электронными уров-
нями дается формулой (34), откуда получаем
а>п ее(/Й Щта2.	(45)
Прежде чем вычислять ая, оценим норму д<рп/дХ/, считая функ-
цию <рп вещественной и нормированной на 1. Мы знаем, что
для отделения атома от молекулы необходимо соответствую-
щее ядро переместить на расстояние порядка а от его положе-
ния равновесия, т. е. необходимо изменить координату X' на
АХ]«а, чтобы функция <pn(x,X') перешла в функцию, ортого-
нальную исходной. Следовательно, дуп/дХ] приблизительно
равна этой новой функции, поделенной на а, и имеет норму
порядка 1/а2
<46’
По определению а2 равна норме (вещественной) функции dyjdt.
Если vj = dX'Jdt — скорость изменения X'jt то а2 равна норме
функции X V/ (d^nldXj} и имеет порядок
/
Если кинетическую энергию ядра обозначить то получим
(47)
§ 14. АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	27$
Подставляя (45) и (47) в (44), находим
(48)
ее1
Приведенный полуклассический анализ может служить ос-
новой при отыскании стационарных состояний молекулы. Рас-
смотрим задачу на собственные значения гамильтониана Н.
В силу равенств (39) и (40) имеем
Н = Н® + TN.	(49)
Если членом кинетической энергии ядер Tn можно было бы
пренебречь, то гамильтониан молекулы был бы равен Я(0) и
каждое стационарное состояние ) пХ') соответствовало бы опре-
деленному электронному квантовому числу п и определенной
конфигурации ядер X'. Положения ядер X' оставались бы фик-
сированными, а движение электронов описывалось бы волновой
функцией фп(х, X'). Слагаемое Tn связывает собственные век-
торы №°>, отвечающие соседним конфигурациям X'.
В адиабатическом приближении связью между векторами с
различными электронными квантовыми числами пренебрегают
и считают п хорошим квантовым числом
п « const.	(50)
В этом случае собственные векторы Н являются линейными
комбинациями векторов с определенным значением п и,
следовательно, имеют вид
J| пГ> ф (Г) dX',	(51)
где ф(Х')— произвольная функция X'. В {х, ^-представлении
таким векторам соответствуют волновые функции вида
Ф„(х,Х)^<р„(х, Х)ф(Х).	(52)
Собственные функции гамильтониана Н в этом приближе-
нии можно получить, используя вариационный метод и функ-
ции Ф„ (х, X) в качестве пробных функций. При этом пробная
функция варьируется в подпространстве пространства векто-
ров состояния, а именно, в пространстве ё>п векторов вида (51).
Как известно (§ 3), в этом случае мы получаем уравнение на
собственные значения в этом подпространстве (ур. (9)), а в
данной ситуации — уравнение Шредингера для неизвестной
функции ф(Л). Гамильтониан этого уравнения, который мы
обозначим Нп, равен проекции Н на <8п. Он действует только
на динамические переменные ядер. Собственные значения Нп
представляют собой уровни энергии молекулы относительно
электронного квантового числа п.
-280 ГЛ. XVIII. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ЗАДАЧИ
Полученную при этом погрешность можно оценить, исполь-
зуя рассуждения, которые были приведены в начале этого па-
раграфа. Пусть Фя— некоторое из приближенных решений, а
Чгя— соответствующее точное решение. Оба решения предпола-
гаются нормированными на единицу. Разность 6ЧГ = 4^ — Ф„
описывает отклонение точного решения от адиабатического
предела. Этот вектор лежит в основном вне подпространства
ё'п и имеет норму, которая равна определенной выше величина
т]я. Учитывая приближенное равенство (48), получаем
(	pdxdX~x4(^-)«x4-^«x6.
J J	' ее1 ' ее1
.Другими словами, имеем
бЧг«х3Ф',	(53)
-где Ф' — функция, ортогональная подпространству Sn, с нор-
мой 1. Поскольку функционал
£ГТ1  <У|Н|У>
стационарен на решении Ч'п, вычисление энергии с функцией
•фл содержит ошибку второго порядка по отношению к откло-
нению 6ЧГ, т. е.
6Е «(бЧГ IН | дЧг> = х6 <Ф' | Н | Ф'} « x6Bei.
Сравнивая это с формулой (38), получаем оценку
6E/erot «х2	(« 10~2 < 1).	(54)
Следовательно, адиабатическое приближение при определе-
нии молекулярной волновой функции приводит к ошибке по-
рядка х3 (ур. (53)) и к ошибке при определении энергии, ко-
торая в х2 раз меньше расстояния между вращательными уров-
нями (ур. (54)).
§ 15. Гамильтониан ядер в адиабатическим приближении
Пользуясь вариационным методом, найдем «уравнение
.Шредингера» для функции ф(Х).
Напомним, что фя(х, X) есть решение уравнения (43), нор-
ма <рп(х, X) при интегрировании по х равна 1
фп (х, X) = фп (х, X),	(55)
$Ф2(х, X)dx = l.	(56)
•Функция фл непрерывно зависит от X и определена с точностью
$ 15. ГАМИЛЬТОНИАН ЯДЕР
28*
до знака. В дальнейшем окажутся полезными следующие ура в-
нения:
J<p„-^-dx = O,	(56'>
\^n^-dX^-\(^\2dX,	(56")
J	dX j	•> \ dXj J
которые получаются дифференцированием равенства (56).
Функция ф(Х) есть произвольная квадратично-интегрируемая
функция переменных X.
Определив таким образом область изменения пробной функ-
ции, выразим функционал £[ФЛ] в виде функционала от ф(Х).
Используя свойства <рп, легко получить
(Ф„|ФЛ>^ j j|<Dn|2dxdX=	(57)
Можно также выписать следующее равенство:
<Ф„ | Н | Ф„) S J J ф; (НФп) dXdX=\ ф’ (Я„ф) dX, (58)-
если ввести оператор
Япф = <р„ (Х, X) [Нфп (Х, X) ф (X)] dX.	(59)
Следовательно,
( ф* (Я„ф) dX
£[Ф«] = ^-Т-------•	(60)
\ | ф |2 dX
Определенный тождеством (59) оператор Нп в простран-
стве функций ф(Х) является линейным и, как будет показано
ниже, эрмитовым. В адиабатическом приближении собствен-
ными функциями уравнения Шредингера для молекулы яв-
ляются такие функции, на которых функционал £[Ф„] стацио-
нарен по отношению к вариациям ф(Х). В силу соотношения
(60) ими будут решения уравнения на собственные значения
Я„ф = £ф.	(61>
Это и есть «уравнение Шредингера».
Уровни энергии молекулы, соответствующие электронному
квантовому числу п., являются собственными значениями Нп.
Соответствующие собственные функции Ф« получаются после
замены ф(Х) в формуле (52) на решение (или решения) урав-
нения (61).
282 гл. XVIII. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ЗАДАЧИ
Учитывая свойства функции <р„„ можно выполнить ряд ин-
тегрирований в формуле (59) и получить более удобное для
вычислений выражение Нп.
В силу уравнения (43)
Я(0)Ф„ (х, X) ф (X) = Wn (X) <р„ (х, X) ф (X),
откуда, используя нормировку (56), получаем
J <р„ [Я«»<рпф] dx = Wn (X) ф (X).	(62)
Согласно формуле (39') для кинетической энергии ядер
имеем
т m ,1, — V f \ Гт д2Ф | 9 дф I d2<fn 1
у V 2М/ ) [Фл дХ2 2 dXj dXj дХ2 J ’
откуда можно вычислить
5 Фп (ГлгФпФ) dx,
умножая обе части равенства на ф„(х, X) и интегрируя по х.
Рассмотрим отдельно вклады каждого из трех слагаемых в
квадратных скобках правой части равенства. В силу норми-
ровки (56) вклад первого слагаемого равен
7 У	(63)
) дХ2/	'
Вклад второго члена равен нулю в силу соотношения (56')\
Вклад третьего члена равен произведению некоторой функции
Wn(X) на ф и, используя (56"), его можно записать в виде
'г-т-ЕятИж)2'"-	(64>
Окончательно имеем
Фп (ТлгФпФ) dx = (Т N 4- W'n) ф.	(65)
Из определения (59) и уравнений (49), (62) и (65) полу-
чаем
Нп — Ты IFn4~ Wп-	(66)
Трем слагаемым в формуле (66) легко дать физическую ин-
терпретацию.
Потенциальная энергия Wn(X) есть среднее от оператора
т. е. сумма энергии взаимодействия ядер и среднего зна-
чения энергии электронов в квантовом состоянии п, отвечаю-
§ 16. МЕТОД БОРНА — ОППЕНГЕЙМЕРА
283
щем определенной конфигурации ядер X. Согласно обсужде-
ниям § 12 величина Wn(X) имеет абсолютный минимум при
некотором значении Хо, которое представляет собой устойчивую
равновесную конфигурацию ядер.
Остальные два члена связаны с кинетической энергией
ядер, усредненной по динамическому состоянию электронов.
Это дает, в дополнение к собственно кинетической энергии ядер
Tn, потенциальную энергию Wn(X){), которая представляет со-
бой малую поправку к потенциалу Wn. Подставляя оценку (46)
в выражение (64), находим
Следовательно, потенциальная энергия W'n положительна и
равна по порядку величины вращательному кванту.
§ 16. Метод Борна — Оппенгеймера
При первоначальном рассмотрении молекул Борн и Оппен-
геймер* 2) использовали метод, отличный от описанного выше
вариационного метода. Их рассмотрение основывалось на раз-
ложении гамильтониана Н в ряд по степеням % и последующем
решении задачи на собственные значения методами обычной
теории возмущений.
В предыдущем параграфе мы обозначили положение мини-
мума Wn(X) через Хо. В действительности это положение рав-
новесия определено с точностью до вращений, поскольку вели-
чина Wn инвариантна по отношению к вращению системы ядер
как целого (отметим, что W'n таким свойством, вообще говоря,
не обладает). Пусть X = (<»,£), где со — три угловые перемен-
ные (две — для двухатомной молекулы), которые фиксируют
ориентацию системы ядер, а £ — радиальные переменные, опре-
деляющие относительное расположение ядер. Тогда Wn зави-
сит только от переменных £, и положению равновесия соответ-
ствует некоторый набор значений радиальных переменных.
Следуя Борну и Оппенгеймеру, введем новые радиальные
переменные и по формуле
£ = + ни»
Переменные и в'соответствующих единицах задают отклонение
ядер от их положений равновесия. Поскольку % приблизительно
равно отношению амплитуды колебания ядер к амплитуде дви-
!) Появление этого члена аналогично появлению члена центробежной
энергии в уравнениях движения классической системы во вращающейся систе-
ме отсчета.
2) См. сноску к формуле (37).
-284 ГЛ. XVIII. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ЗАДАЧИ
жения электронов, то область изменения переменные и имеет
тот же порядок величины, что и область изменения х, т. е. а.
Сделав эту замену переменных и разложив потенциал з Н
по степеням и, получаем разложение оператора Н по степеням
х. Член TN имеет порядок х2. Чтобы получить вращательные
уровни, в разложении необходимо учесть члены порядка х*.
Если учесть члены порядка х5, то придем с точностью до по-
правок высшего порядка к результату, который получается
при адиабатическом приближении. Отличия возникают только
в членах порядка х6 и выше, что согласуется с обсуждениями,
приведенными в § 12.
§ 17. Основные представления о двухатомных молекулах
Мы не будем продолжать далее общее исследование моле-
кул в адиабатическом приближении. В частности, мы не будем
обсуждать проблемы разделения колебательного и враща-
тельного движений. Чтобы осуществить такое разделение,
удобно несколько модифицировать вариационный метод, введя
три набора переменных вместо двух, а именно — угловые пере-
менные, определяющие ориентацию молекулы, переменные от-
носительного расположения ядер и переменные, определяющие
положение электронов относительно ядер. Однако мы ограни-
чимся тем, что в заключение этого раздела приведем ряд ре-
зультатов, относящихся к двухатомным молекулам.
После отделения движения центра масс динамические пе-
ременные двух ядер описывают их относительное движение.
В этом случае набор координат X сводится к компонентам век-
тора /?==/?! — R2i определяющего положение одного ядра от-
носительного второго. Для координат электронов в системе
центра масс ядер мы сохраним обозначение х. Пренебрегая
для простоты изложения спином частиц1), обозначим (орби-
тальный) момент импульса электронов L, а момент импульса
ядер G(G = /?X^>). Тогда полный момент системы К равен
tf = G + £.	(67)
Введем единичный вектор вдоль оси молекулы и(и — R/R) и
будем обозначать индексом и компоненты векторов по этой
оси. Отметим справедливость операторного тождества
GR = 0,	"	(68)
’) Если спин-орбитальное взаимодействие мало по сравнению с расстоя-
нием между вращательными уровнями, то присутствие спинов несущественно
меняет результаты и приводит только к появлению тонкой структуры, так же
как в случае LS-связи в атомах. В противном случае общая форма спектра
довольно существенно меняется. См. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, loc. cit.
(см. сноску к § 13).
§ 17. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛАХ
285
откуда следует, что Gu( = Gu) тождественно равна нулю и
Ku = La.
В остальном мы будем придерживаться обозначений предыду-
щего параграфа.
Рассмотрим вначале движение электронов. Свойства сим-
метрии 7/(0) как оператора, действующего только на динамиче-
ские переменные электронов, те же, что и в эффекте Штарка:
/7(0) инвариантен относительно вращений вокруг оси и и отно-
сительно отражений в плоскостях, проходящих через и. Если
молекула состоит из одинаковых ядер, то Я<°> инвариантен
также относительно обычного отражения (х->—х); этот слу-
чай мы пока рассматривать не будем.
Чтобы классифицировать состояния, нам достаточно вспом-
нить обсуждение эффекта Штарка из § XV. 14. Каждый уро-
вень //(0) соответствует определенному собственному значению
оператора Lu, которое можно записать в виде Й2А2, где кван-
товое число А принимает все неотрицательные целые значения.
Следуя спектроскопическим обозначениям, термы, которые со-
ответствуют первым трем значениям А = 0, 1, 2, обозначим
греческими буквами S, П, А. Если А =А 0, то уровень двукратно
вырожден и имеется два собственных вектора, отвечающих соб-
ственным значениям hX и —ЙА компоненты момента импульса
по оси молекулы. Уровни S (А = 0) невырождены, их можно
разделить на две категории S+ и S~, в зависимости от того ин-
вариантен или меняет знак соответствующий им собственный
вектор при отражениях в плоскости, проходящей через ось мо-
лекулы. Для большинства двухатомных молекул основное со-
стояние есть S+ состояние.
Рассмотрим теперь полный гамильтониан. Появление вы-
рождения электронных уровней только на первый взгляд ус-
ложняет ситуацию. В действительности можно показать, что
вызванное TN взаимодействие между состояниями с hX и —йХ
меньше расстояния между вращательными уровнями, и, сле-
довательно, им можно пренебречь. Другими словами, в допол-
нение к приближению (50) мы будем считать, что и Lu —
= const.
С другой стороны, хотя использованный в §§ 14 и 15 вариа-
ционный метод был удобен для обсуждения общей ситуации,
он не позволяет легко продемонстрировать разделение враща-
тельных и колебательных возбуждений. Трудности связаны с
поправкой W'n(R), которая, вообще говоря, не инвариантна от-
носительно вращений. Предпочтительнее учесть инвариантность
Н и Я<°) относительно вращений с самого начала, и искать
собственные векторы Н с заданным полным моментом. Соб-
ственные векторы можно параметризовать:
286 ГЛ. XVIII. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ЗАДАЧИ
(1)	квантовыми числами полного момента К и тк— компо-
нентой К вдоль некоторой фиксированной оси (не смешивать
с К„);
(ii)	квантовыми числами, определяющими состояние элект-
ронов, п и, если Л 0, $($ = sign Lu);
(iii)	расстоянием между ядрами R.
Уравнение Шредингера (41) тогда примет вид
/Л°> | KmKnsR) = Wn (R) | KmKnsR).	(69)
Адиабатическое приближение состоит в том, что собственные
векторы оператора Н ищутся в подпространстве с вполне опре-
деленными значениями К, тк, п и s, т. е. среди векторов вида
со
\lRmKnsR)i/(R)dR	(70)
о
(см. формулу (51)). Так же как в §§ 14 и 15, вариационный
метод приводит к уравнению Шредингера для радиальной вол-
новой функции у(Л), и собственные значения определяют уров-
ни энергии молекулы, соответствующие квантовым числам К
и п (от тк и s эти уровни не зависят).
Гамильтониан этого радиального уравнения h получается
таким же способом, как и в § 15. Вклад в него от равен
Wn{R). Для вычисления вклада от кинетической энергии ядер
T.v удобно записать этот оператор в виде
Р2 G2
Tn = 2ЛГ	2MR2
(где М — приведенная масса ядер, PR — радиальный импульс),
и каждое слагаемое рассматривать отдельно. Легко показать,
что первое слагаемое дает
*2	/72
+ <72>
где Wn (R) — малая поправка, не зависящая от К, тк и s.
Вклад второго слагаемого, которое представляет кинетическую
энергию вращения, требует более подробного анализа. Этог
вклад равен произведению fi?/2MR2 на среднее значение опе-
ратора G2 в подпространстве векторов вида (70). Используя
равенство (67), находим
(G2) = ((К - £)2) = h2K (К + 1) - 2 (KL) + (£2).
Поскольку \KmKnsR) — собственный вектор оператора £«, то
среднее значение компоненты £ по оси, перпендикулярной и,
равно нулю. Отсюда, принимая во внимание соотношение (68),
§ 17. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛАХ
287
получаем
<К£>-=<7<А> = <^> = й2Л2.
Среднее <£2> представляет собой некоторую положительную
величину, зависящую только от п. Если ввести функцию w"n(R) =
== (<£>2 — 2й2А2) /2MR2, то для вклада от кинетической энергии
вращения получим выражение
й2А(А + 1) ,
---да-----\-wARY	(73)
Малые поправки w'n(R) и w'n(R) можно включить в потен-
циал Wn(R). Тогда радиальный гамильтониан примет вид
Ь —	Й2 d2 , Й2К (А + 1) I ту /р\	/ул)
П~	2М dR2 + 2MR2 +UZ»W-	-/4)
т. е. это гамильтониан частицы массы М с моментом импуль-
са К в потенциале Wn(R).
Отметим, что возможные значения целого числа К зависят
от п. На самом деле, К | Ки |. Фиксируя п, мы фиксируем А,
и, поскольку | Ru | = | Lu | = А, то
Я>А.	(75)
Собственные значения h есть уровни энергии Е, и они нахо-
дятся из решений радиального уравнения
/гг/ (R) — Ey(R).
При заданных Кип это уровни энергии частицы массы М с
моментом импульса К в потенциале Wn(R). Для их парамет-
ризации мы будем использовать дополнительное квантовое чис-
ло V. Таким образом, п— электронное квантовое число, v —
колебательное квантовое число, К — вращательное квантовое
число.
Основные характеристики получающегося спектра зависят
от поведения функции Wn{R), которая имеет четко выражен-
ный минимум при некотором значении расстояния между яд-
рами Ro, отвечающем положению устойчивого равновесия ядер
молекулы. Эксперимент показывает, что Wn(R) можно чаще
всего с хорошей степенью точности представлять как потенциал
Морса (см. рис. 15 и задачу 5). Для низших уровней волновая
функция y(R) сосредоточена в основном в малой области вок-
руг Ro (с размером порядка hRo) и описывает колебания ядер
около положения равновесия.
В первом (гармоническом) приближении можно заменить R
в члене вращательной энергии на Ro, а вместо Wn(R) подста-
вить два первых неисчезающих члена разложения этой функ-
ции по степеням q ss R — Ro. Вводя обозначения
Bn = ft2/2M< Wn(Ro)--=En, w"n{Ro) = M^n,
288 гл. XVIII. вариационный метод и связанные с ним задачи
приходим к радиальному уравнению
Я- т? + Е. + 4 м<*!+V«+ d]f-
Это уравнения Шредингера для гармонического осциллятора,
следовательно,
ЕмК = Еп + (« + у) + К (К + 1) Вп (76)
(и = 0, 1, 2, /С = Л, Л 4-1, Л + 2, ...).
Мы видим, что энергия имеет вид суммы трех слагаемых: элек-
Рис. 15. Потенциал Морса V =
= Vo (е-2	Rq_
расстояние между ядрами в положе-
нии равновесия, Vo — значение потен-
циала в этой точке. Ширина мини-
мума тем меньше, чем меньше отно-
шение b/Ro- На рисунке 6//?о = О,68,
что соответствует молекуле водорода.
тронной энергии Еп, энергии
колебания ядер внутри молеку-
лы (и 4- у) Йюп и вращатель-
ной энергии /С (/( 4- 1)В„. На-
блюдаемый порядок величин
квантов tiMn и Вп подтверж-
дает анализ § 12 и последую-
щие заключения о структуре
молекулярных спектров1).
Мы не будем здесь остана-
вливаться на тех изменениях,
которые необходимо сделать
в теории, чтобы учесть суще-
ствование спина.
Упомянем только об одном
замечательном эффекте, кото-
рый связан со спином и стати-
стикой ядер. Поскольку взаи-
модействие спинов ядер с ос-
тальной частью молекулы пре-
небрежимо мало, основной эф-
фект состоит в спиновом вы-
рождении или кратности каждого из уровней. Собственная
функция молекулы имеет вид
Т = Ф(Я,х)х(Щ, р2)
) Для электронного основного состояния молекулы водорода (состояние
S+) первые уровни хорошо описываются этой формулой с Ео ~ —4,72 эв,
= 0,54 зв и Во = 0,0074 эв. Эти числа соответствуют расстоянию между
ядрами Ло = 0,74-10-» см. Для колебательных и вращательных спектров по-
лучается более хорошее согласие, если использовать для их вычисления в ка-
честве 1Го(Л) потенциал Морса с Vo = 4,72 эв, Ro — 0,74-10“8 см и Ь =
= 0,68 Ro (см. рис. 15 и'задачу 5); энергия диссоциации молекулы равна
Vo — у ЙИо.
§ 17. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛАХ
289
и кратность вырождения равна числу линейно независимых
функций %(щ, Цг), которые могут быть построены. Если спины
двух ядер равны /1 и /2, то существует (2/!+ 1) (2/2 + 1) таких
функций. Если ядра различны, то дополнительных ограничений
на функцию Y нет и кратность каждого уровня равна
(2/1 + 1) (2/2 + 1). Если же мы имеем два тождественных ядра
со спином j (/1 = /2 = /), то волновая функция Чг должна быть
симметричной или антисимметричной относительно замены
R — R, Pi ц2
в зависимости от того, являются ли ядра бозонами или фер-
мионами, т. е. целое или полуцелое число /. В (2/ + 1)2-мер-
ном пространстве функций % можно построить (/+ 1) (2/ + 1)
симметричных функций и /(2j + 1) антисимметричных функций
(задача ХШ. 13). Следовательно, кратность g зависит от того,
симметрична или антисимметрична функция Чг(/?, х), другими
словами, она зависит от четности функции Ф при отражении
только координат ядер. Вводя для этой четности обозначение
б (б = ±1), мы имеем
(/ целое)	(/ полуцелое)
= Г (/+1)(2/+1)	/(2/+D,	если б = +1,
ё 1/(2/ +1)	(/+1)(2/+1),	еслиб = -1.
Интересное следствие вытекает из того факта, что б зависит
от четности полного орбитального момента. Можно показать,
что б = (—1)кбе, где бе(= ±1), зависит от поведения элект-
ронной волновой функции, соответствующей Ф, относительно
отражения. Если А у= 0, то каждому уровню отвечают две элек-
тронные волновые функции противоположной четности бе. Для
уровней 2 (А = 0) существует только одна волновая функция
с вполне определенным значением четности бе(+1 или —1), и
кратность g меняется характерным образом при переходе от
одного вращательного уровня к другому ').
Эти характерные черты энергетического спектра 2 уровней
двухатомных молекул, состоящих из одинаковых ядер, легко
можно наблюдать при экспериментальном исследовании поло-
сатых спектров таких молекул. Поскольку вероятности опти-
ческих переходов между состояниями с различными спиновыми
функциями очень малы, практически наблюдаются только пе-
реходы, сохраняющие четность К. Кроме того, при обычных
условиях наблюдения относительная интенсивность линий, со-
ответствующих четным значениям К, и линий, соответствующих
нечетным значениям К, непосредственно связана с отношением
') В частности, если j = 0, то отсутствуют уровни с а> = —1 и К мо-
жет принимать только значения вполне определенной четности.
10 А, Мессиа
290 ГЛ. XVIII. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ЗАДАЧИ
вычисленных выше кратностей, т. е. равна либо (/+ 1)//» либо
// (/ + 1) в зависимости от знака бв и того, являются ли ядра
бозонами или фермионами. Это позволяет непосредственно из-
мерять спины ядер.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1.	Пусть Ео и Ч^о — энергия и волновая функция основного состояния дан-
ной квантовой системы. Вычисление вариационным методом дает энергию
Evar и волновую функцию 4%аг. Будем считать ’Ро и ЧСаг нормированными на
единицу и введем обозначение е = 1 — | (Чго|Чгуаг) I2- Величина е равна нор-
ме проекции функции 4%,, на подпространство, ортогональное 4% и характе-
ризует отличие состояния ЧС,, от Ч^. Доказать, что
^var ~	8 (^1 ~ ^о)
(El — энергия первого возбужденного уровня). Показать, что результаты § 4
удовлетворяют этому неравенству, и провести обсуждение.
2.	Предполагая известной волновую функцию основного состояния атома
водорода, вычислить первый возбужденный уровень, выбирая в качестве проб-
ной функции ту часть функции и — ре~ьр, которая ортогональна волновой
функции основного состояния (обозначения § 4). Сравнить с точным собствен-
ным значением и волновой функцией.
3.	Доказать неравенства (11) и (12).
4.	Выбирая в качестве пробной функции « = р/+1е-6р (обозначения § 4),
вычислить низший уровень атома водорода, соответствующий моменту импуль-
са /. Сравнить с точным ответом и прокомментировать.
5.	Рассмотреть частицу с массой М иа прямой в потенциале Морса
V (?) = Vo [е~2?/6 - 2е-’/ь].
Найти волновые функции и уровни энергии.
N. В. Волновое уравнение сводится к уравнению Лапласа следующей за-
меной функции и аргумента:
-l_j
| = 2Ко6е-’/ь, w G) = е 2	(?),
где	____ ___________________
Ко — V2MV0/ft	х = V-2ME/й.
Имеется конечное число дискретных собственных значений, зависимость кото-
рых от целого числа п определяется формулой
/	. 1 V
I П 2 I /	1 \
£„ = -70^1	к&~)	(о<п<Ко&--2-).
ГЛАВА XIX
ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
§ 1. Введение
До сих пор мы рассматривали лишь простейшие задачи тео-
рии столкновений: рассеяние элементарной частицы на цен-
тральном потенциале и столкновение двух частиц. Вторая за-
дача сводится к первой после разделения движения центра
масс и относительного движения. Решение задач такого типа
было приведено в главе X, в дальнейшем оно было дополнено
обсуждением кулоновского рассеяния (гл. XI, раздел II) и рас-
сеяния двух тождественных частиц (§ XIV. 9—10). Кроме этого,
в § XVII. 5 мы получили простое выражение для сечения рас-
сеяния частицы на потенциале V(r), считая потенциал V(r) воз-
мущением и ограничиваясь только эффектами первого порядка
(ур. (XVII. 54)). Однако рассуждения в § XVII. 5 основывались
на нестрогом определении сечения, которое необходимо обос-
новать.
В этой главе мы, с одной стороны, построим формализм, по-
зволяющий рассматривать процессы столкновения сложных (со-
ставных) частиц, а с другой стороны, покажем как применять
для вычисления сечений рассения теорию возмущений и вариа-
ционные методы, которые были развиты в предыдущих главах.
Существуют два различных способа изложения этих вопро-
сов. Первый — состоит в строгом обосновании определения се-
чения из § XVII. 5 с использованием таких понятий как вероят-
ность в единицу времени и единичный падающий поток и связи
этих величин с матричными элементами оператора эволюции
U (/, f) в пределе, когда t -> 4- оо, f -»— оо. Второй способ
представляет собой простое обобщение рассуждений из раз-
дела I главы X, согласно которым сечения рассеяния непосред-
ственно связаны с асимптотическим поведением стационарных
решений уравнения Шредингера. В данной главе мы будем сле-
довать второму из этих эквивалентных подходов ’).
’) Изложение первого способа см. в работах: В. Lippmann, J. Schwinger.
Phys. Rev. 79, 469 (1969); M. Gell-Mann, M. L. Goldberger. Phys. Rev. 91, 398
(1953). Определение сечения, имеющееся в этих работах, в некоторых аспек-
тах дискуссионно. Обсуждение этих вопросов и возможные их решения приве-
дены в статье S. Sunakawa. Prog. Theor. Phys. 14, 175 (1955).
10*
292
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Глава состоит из пяти разделов. В первых двух разделах
развивается формализм и описывается теория возмущений на
простом примере рассеяния частицы на потенциале |/(г). Об-
общение этих методов на случай сложных столкновений прове-
дено в разделе III. В следующем разделе рассматриваются ва-
риационные методы. Свойства амплитуд рассеяния, которые сле-
дуют из таких общих свойств гамильтониана как эрмитовость,
инвариантность относительно обращения времени, симметрия,
приведены в разделе V.
Раздел!. СВОБОДНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА
И ПРИБЛИЖЕНИЕ БОРНА
§ 2. Интегральные представления амплитуды рассеяния
В этом и следующем разделах мы будем обсуждать рассея-
ние частицы массы т на потенциале V(r). Обозначим оператор
кинетической энергии Но, а полный гамильтониан Н
(1)
я—£-Л + Г(г).	(2)
Предположим, что потенциал V асимптотически стремится
к нулю быстрее, чем 1/г. Потенциалы типа \/г будут кратко
исследованы в § 15.
В дальнейшем у нас появятся различные типы волн, кото-
рые мы будем обозначать соответствующими буквами. Так,
букву <р зарезервируем за плоскими волнами, ф — за стацио-
нарными решениями гамильтониана Н. Для заданного волно-
вого вектора k определим:
(i) плоскую волну <pft==e(ftr;
(ii) стационарные волны ф<+> и ф^_), которые характери-
зуются соответственно асимптотическим поведением: е1кг рас-
ходящаяся волна и e<ftr + сходящаяся волна.
В частности, если ka — волновой вектор падающих на потен-
циал частиц, а Е — их энергия (ka — k — (2тЕ)'1г), то стацио-
нарная волна рассеяния (определение § X. 3) есть ф<+). Это ре*
аа
шение и амплитуда рассеяния определяются условиями
tbr
= Е^, eift «г + f £ (Q) V •	(3)
Сечение рассеяния в направлении Q& обозначим daa-+b/dQ.
В главе X было показано, что
dea+bldQ = \f%(Qb)\2.
§ 2. ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ
293
Пусть ka — вектор длины k в направлении Q&. В этом раз*
деле будут фигурировать только стационарные волны, опреде-
ляемые векторами ka и kb. Поэтому для упрощения записи мы
будем систематически заменять индексы ka, kb на а, Ь соответ*
ственно.
Установим прежде всего наиболее общие свойства амплитуд
рассеяния. Рассмотрим два потенциала t/(r) и U(r) и обозна*
чим стационарные решения для соответствующих гамильтониа*
нов соответственно g и f. Наибольший интерес для нас будут
представлять решения £б-) и £а+):
(-£А+£)&_,=41Л	(5)
(-£-А + фа+)==^+’>	С6)
— е^ + П-’(а)^,	(7)
^+>^eiV + /<+)(Q)^.	(8)
Покажем, что
{IV | {U - U) 1 ^+)> J &->’ (г) {U (г) - U (г)) Й+) (г) dr =
= -^(Л+'^)-Гг’‘(-йй))	(9)
(посредством — Qa обозначаем направление, противополож*
ное Qa).
Доказательство проведем аналогично тому, которое исполь-
зовалось в § X. 17 при получении интегральных представлений
для фазовых сдвигов. В случае, когда это не будет приводить
к недоразумениям, мы будем опускать индексы Ь, а и сим-
вол - . Умножим уравнение (6) на и вычтем из него ра-
венство, полученное умножением выражения комплексно-сопря-
женного к уравнению (5) на |(+). Так как 0 вещественно, по-
лучаем
- -й- (А^(+>) “	~ ^(+>=°-
Интегрируя по объему сферы радиуса R с центром в начале
координат, имеем
(Г|(С/-0)|Е<+|)-^-Пт 1(5'-
(лл-г’ги
(Ю)
Несмотря на эрмитовость оператора Д, интеграл в правой
части не обязан исчезать в пределе, так как функции £ не яв-
294
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
ляются квадратично интегрируемыми. Используя теорему Гри-
на, преобразуем этот интеграл в поверхностный интеграл по
сфере радиуса /?.
Пусть gi и £2 — функции от г, будем обозначать интеграл по
такой сфере от «радиального вронскиана»
следующим образом:
U1, Ы = $ [11, Ы 1г=я я2 dQ = J W [rgb гЫ |г=я dQ. (11>
В силу теоремы Грина имеем
&, Ь}= $ (gi(A|2)-(A|i)&2)rfr.
r<R
Уравнение (10) можно теперь переписать так:
= llm ft'"’-. Г).	(12>
"Ч R->oo
Поверхностный интеграл {£(->*, £(+)} стремится асимптотически
к константе, которую можно легко вычислить, подставляя вме-
сто функций £ и их производных первый член их асимптотиче-
ского разложения по степеням 1/г. Используя формулы (7) и
(8), находим
{ibr х
е-^ ,/<+>*_} +
г '
+ Нт {Г^,е‘М + Ит {Г’4,	(13>
#->оо v	г	)	/?->оо '	Г )
Асимптотика плоской волны имеет вид (задача 1):
e<ftr.— 2" [б (Qr _ Qft) емг _ б (Qr +	+ О (-И.	(14>
В правой части равенства Яг и Я* обозначают направления век-
торов г и k, б-функции определяются их свойством
$ б (Я' - Я) ф (Я') dQ.' = ф (Я),
справедливым для любой (гладкой) функции ф от угловых пе-
ременных Я. Если мы заменим плоские волны в правой части
формулы (13) их асимптотическими выражениями, то интегри-
рование по углам легко выполняется. Поскольку векторы kb
и ka имеют одинаковую длину, то первый член равен нулю
(в согласии с результатом задачи 2). Во втором члене только
сходящаяся часть плоской волны дает ненулевой вклад, кото-
§ 3. СЕЧЕНИЕ РАССЕЯНИЯ И 7-МАТРИЦА
295
рый равен —4nfl+)(Q&). То же верно и для третьего слагаемого,
чей вклад равен 4л/(->*(—Яа). Четвертое слагаемое равно нулю.
Таким образом, имеем
Пт g<+)} = - 4л (/(+> (Яй) - Г"’’ (- QJ).
Подставляя этот результат в уравнение (12), получаем соотно-
шение (9). 
Наиболее интересное свойство соотношения (9) — его неза-
висимость от конкретной формы потенциалов U и U. Требуется
только, чтобы потенциалы были вещественными и убывали на
бесконечности быстрее, чем 1/г.
В качестве первого примера возьмем
U=V, 0 = 0.
Соотношение (9) тогда примет вид
=	(is)
Это интегральное представление амплитуды рассеяния будет
использовано в следующих двух параграфах в качестве исход-
ного для борновского приближения.
Положим теперь
U = 0=V.
Левая часть соотношения (9) обращается в нуль и, следова-
тельно, две амплитуды в правой части равны друг другу
=	(16)
Наконец, пусть
[/ = 0, 0=V.
Тогда
(17)
Сравнивая соотношения (15), (16) и (17), получаем важное
равенство
тн^>=<Фй|ич+,>- as)
§ 3. Сечение рассеяния и Т-матрица. Микрообратимость
Если подставить интегральное представление амплитуды
рассеяния (15) в формулу (4), то получим следующее выраже-
ние для сечения рассеяния:
296
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Для того чтобы преобразовать это выражение к виду, напоми-
нающему формулу (XVII. 54), мы введем в согласии с опреде-
лением § XVII. 5 (ур. (XVII. 52)) плотность состояний с энер-
гией
р (£) — (2лй)-3 р2 (dpldE) = mhkl(2nfi}3,
начальную скорость обозначим v — tik/m. Тогда формула для
сечения рассеяния принимает вид *)
т-£|<^1ие’)|гр(Е).	не»
Поскольку |^+)> и |<рь> не являются базисными векторами
в одном и том же представлении, то, строго говоря , (<рь |
не является матричным элементом оператора V. Удобно ввести
матрицу
(20>
Будем называть Т матрицей перехода, а элемент Та-+ь амплиту-
дой перехода а-+Ь. Следует отметить, что матричные элементы
берутся между плоскими волнами с одной и той же энергией.
Можно, очевидно, рассматривать Т как оператор в гильберто-
вом пространстве, удовлетворяющий условию (20). Однако это
условие не определяет оператор полностью, оно фиксирует
лишь некоторые матричные элементы в представлении, базисом
которого являются плоские волны. Для полного определения Т
следует задать его матричные элементы между волнами, отве-
чающими различным значениям энергии. Это будет сделано
позже.
Формулу (19) теперь можно записать так:
Т =	<19'>
Вспомним свойство микрообратимости. Обозначим индек-
сами Ка и КЬ различные волны, отвечающие импульсам —
и —kb. Для плоских волн имеем очевидное равенство
Ф-s = Фй-
Кроме этого, в силу вещественности гамильтониана
ф(Т) =
) При другом изложении теории столкновений (см. предыдущую сноску}
эта формула получается естественным образом непосредственно из определе-
ния сечения рассеяния.
§ 4. БОРНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
297
В частности,
и поскольку V вещественно «матричные элементы» }| V|<ра)
и (<р№ | V | равны. Следовательно, соотношение (18)
можно переписать так:
<фк „I у । ч®> -<%i v ie>>
или, пользуясь определением (20),
Ткь + Ка — Та^-Ь-	(21)
A fortiori эти две амплитуды имеют одинаковые модули.
Возвращаясь к формуле (19z), мы получаем свойство микрооб-
ратимости упругого рассеяния )
^КЬ-^Ка/^ =	(22)
§ 4. Борновское приближение
Формула (19)—точная. Подобно формуле (X. 2), из кото-
рой она была выведена, она связывает сечение рассеяния со
стационарным решением ф<+>. В данном случае решение ф<+)
фигурирует не в асимптотической форме, а полностью как мно-
житель в интеграле. Если заменить его приближенным реше-
нием, то мы получим приближенное выражение для сечения.
В частности, для достаточно малых V (г) решение ф(а+) мало
отличается от падающей плоской волны <ра и может быть заме-
нено последней при вычислении амплитуды перехода. Это дает
борновское приближение
(23)
В этом приближении равенство (15) сводится к формуле
(XVII. 54), оправдывая наше предположение о том, что оно
дает приближенное выражение для сечения в пределе, когда
V(r) можно рассматривать как возмущение.
Пусть
q = kb — ka,
hq — импульс, переданный частице в процессе столкновения
(рис. 16). Длина вектора q зависит от угла рассеяния 0 между
векторами ka и kb следующим образом:
q = 2k sin у 0	(k = ka = kb).	(24)
’) Для центрального потенциала это свойство можно вывести из инва-
риантности относительно вращений. Здесь мы убедились, что оно выполняется
и для нецентральных потенциалов.
298
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Из формулы (23) имеем
T™b = \e~itlrV (г) dr Г (q).	(25)
Таким образом, в борновском приближении сечение рассей»,
ния принимает особенно простой вид
т2
<26>
Сечение пропорционально квадрату модуля преобразования
Фурье от У(г), соответствующего импульсу, переданному при
столкновении. Отметим, что зависимость сечения от энергии и
угла входит только посредством вектора q.
Для центрального потенциала ситуация
Д еще проще. После интегрирования по углам
\ правая часть (25) становится равной
----ка	г
(?) —	\ sin qr V (г) г dr. (27)
Рис. 16.	q
Дифференциальное сечение зависит в этом случае только от
величины tiq переданного импульса. Используя в качестве пе-
ременной интегрирования q вместо 0, получим полное сече-
ние Gtot
24
ГЧ<М-	(28>
0
Из этих формул можно вывести ряд общих заключений от-
носительно поведения сечений при высоких энергиях. Обозна-
чим радиус действия потенциала V(r) через а. Так как веще-
ственная функция У (г) существенно отлична от нуля только
в области с линейными размерами порядка а, то ее преобразо-
вание Фурье сосредоточено в начале координат в области с ли-
нейными размерами порядка 1/а ’).
Следовательно, сечение рассеяния отлично от нуля только
в области, где q 1/а. Согласно формуле (24) эта область
соответствует углам рассеяния
•	1 п 1
S,n-20^-2^'
) В данном контексте в качестве а можно брать величину порядка сред-
не-квадратичного отклонения распределения
V2 (г)
V2 (г') dr'
§ 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
299
При высоких энергиях {ka >> 1) происходит в основном рас-
сеяние вперед в конусы с углом 0 меньше, чем \/ka. Эти вы-
воды основаны на борновском приближении, их можно срав-
нить с результатами о высокоэнергетическом рассеянии на твер-
дой сфере (§ X. 13).
Полное сечение стремится к нулю как 1/£. Результат с оче-
видностью следует из формулы (28), откуда получаем следую-
щую асимптотику:
оо
(29)
о
Эти выводы легко обобщить и на случай нецентральных потен-
циалов.
§ 5. Интегральное уравнение теории рассеяния
До сих пор ф(а+) определялось как решение уравнения Шре-
дингера, удовлетворяющее определенным асимптотическим ус-
ловиям. Теперь мы покажем, что ф<+> является также решением
некоторого интегрального уравнения. В результате мы сможем
разложитьф^ в ряд по степеням потенциала V и вычислить по-
правки к борновскому приближению. Для этого мы восполь-
зуемся тождеством ’)
-ikr
(Д +/г2)— 4лб (г).
Из него следует, что функция
_ .iklr-r'l
—Иг-ТЕГУГ	<м>
удовлетворяет уравнению
^(& + k2)^(r, г') = 6(г — г').	(31)
&(r,r')—функция Грина свободной частицы с энергией Е =
= h2k2/2m. Комплексно-сопряженная функция обладает тем же
свойством.
’) Это тождество следует понимать в смысле обобщенных функций,
дифференцируемо произвольное число паз. При вычислении лапласиана мы ис-
пользуем тождество
Д (1/г) =- — 4лд (г)
и свойство
Д (/«) = (ДО g + 2 (V/) (W) + / Aff-
300
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Запишем уравнение Шредингера для фа<+)
^-(Д + Л2)ф=Уф.	(32)
Предположим, что нам известна функция F(r} = У(г)ф(г).
Тогда для ф(г) получим неоднородное дифференциальное урав»
нение в частных производных. Из (31) следует, что функция
ф(г)= $S?(r, r')F(r')dr'
является решением этого уравнения. Общее решение получится
добавлением к ф (г) общего решения однородного уравнения.
Другими словами, если ф удовлетворяет уравнению (32), то
ф — ф — плоская волна с той же энергией
^.(А + ^)(ф_ф) = 0	(33)
и наоборот.
Для полного определения этой плоской волны необходимо
найти ее асимптотическое поведение. Покажем вначале, что ф
стремится асимптотически к расходящейся волне. Подставляя
в (30) асимптотическое разложение	;
1
для г г' имеем
i*|r-r'|	ikr	( ' \
-ТГГ7Т — V е-г + О (^) (ft = ft r/r) (34)
отсюда
V ьгу dr'- <35>
Это выражение справедливо, когда г много больше радиуса
действия потенциала (г >> а). Следовательно, если асимптотика
ф определена формулой (3), то ф —ф будет также иметь асимП’
тотику _j_ расходящаяся волна). Поскольку она также
удовлетворяет уравнению (33), то она должна быть плоской
волной. Поэтому
V _	у (Г'1 е> (И dr>.	(36)
Уравнение (36) эквивалентно уравнению (3). Оно называется
интегральным уравнением теории рассеяния.
§ 6. БОРНОВСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
301
Используя (34), асимптотическое поведение ф(а+) можно вы-
вести непосредственно из правой части уравнения (36); свой-
ство (15) можно доказать тем же способом.
Приведенные рассуждения можно повторить, заменив функ-
цию 3(г, г7) на комплексно сопряженную 3*(г, г'), которая
также является функцией Грина свободной частицы, но соот-
ветствует асимптотическому условию со сходящейся (сфериче-
ской) волной. В результате получим интегральное уравнение
- 2^ 5 ТТ^ГГ V (>') 44-’ (Н	№)
§ 6.	Борновское разложение
Уравнения (36) и (37) можно решать итерациями. Метод
аналогичен тому, который использовался при решении уравне-
ния (XVII. 13) нестационарной теории возмущений.
Рассмотрим уравнение (36). Подставляя вместо ф<+> в ин-
теграл в правой части равенства плоскую волну е£*°г, полуг
чаем
ф'+) = е' V + J (г, г') V (г') е‘k°-e dr'.
Подставляя ф^1 вместо ф(а+), получим
ф*+) = е‘ V _|_ j S? (Г> г') у (Г') ф(+) {г') dr\
Аналогично получаем ф^+) и так далее. При подходящих усло-
виях возникающая в результате этой процедуры последователь-
ность сходится к точному решению ф(а+). Тем самым оно пред-
ставимо в виде разложения по степеням V
оо
Ф^+> = е' + X J (г, г') е‘dr', (38)
/Iе 1
где
Кп (г, г') = J К, (г, г")	(г", г') dr", (п > 1),
Ki(r, r') — 3(r, r')V(r').
Это борновское разложение стационарной рассеянной волны.
Аналогичное разложение для Та-^ь можно получить, подстав-
ляя разложение ф<а+) в интеграл (<p41 V | ф^’). Это разложение
302
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
по степеням V сходится для достаточно малых V1). Оставляя в
разложении только первый член, получаем борновское прибли-
жение.
§ 7.	Критерий применимости борцовского приближения
Для того чтобы борновское приближение имело смысл, не-
обходимо, чтобы ошибка, сделанная при вычислении Та-<-ь, когда
заменяем на плоскую волну <ра, была пренебрежимо малой.
Следовательно, в области, где потенциал V отличен от нуля,
точная стационарная волна должна мало отличаться от пло-
ской. Полагая
1/ (r) = ^+> (г) _ e'V,
получим условие
1^(г)1<1	(39)
(во всех точках, где У(г) относительно велико).
Можно оценить ф', оставляя первый член ее борновского
разложения. Выбирая ось z вдоль йа, после очевидной замены
переменных получим
•*'(')«-2^*7 (г),
/ (г) = J егй V (R + г) dR/R.
Так как в экспоненте присутствует k, |/| зависит от энер-
гии. Однако можно получить независимую от энергии оценку
сверху для 7 (г), заменяя выражение под знаком интеграла на
его модуль:
17 К Jl V(R + r)\dR/R.	(40)
Обозначим через а радиус действия потенциала2), а Уо — его
среднее значение. В соответствующей области изменения пере-
менной г верхняя оценка равна приблизительно 2лУоа2. и бор-
‘) Сходимость борновского приближения исследована в работах: R. Jost,
A. Pais. Phys. Rev. 82, 840 (1951); W. Kohn. Rev. Mod. Phys. 26, 292 (1954).
Интегральное уравнение, полученное в нестационарной теории возмущений
(гл. XVII), является уравнением вольтерровского типа. Если бы 1/<0) и V были
функциями, а не операторами, то разложение для U, полученное итерационной
процедурой, всегда бы сходилось. Возможное отсутствие сходимости целиком
обусловленно операторной природой 1/<0) и V. (Z7(0) и V — операторы в гиль-
бертовом пространстве.) С другой стороны, интегральное уравнение, рассма-
триваемое нами здесь, имеет Фредгольмов тип, и борновское разложение не
всегда сходится.
2) См. сноску к § 4.
§ 7 КРИТЕРИИ ПРИМЕНИМОСТИ БОРНОВСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
303
новское приближение справедливо при всех энергиях, если
Vo <С h* 2!ma2.	(41)
Это условие, очевидно, слишком ограничительное. Интеграл
|/| достигает предела, определяемого (40), только при доста-
точно малых энергиях, когда множитель e‘*(R+Z) практически по-
стоянен в области изменения потенциала1), т. е. когда ka <С 1.
Если же ka >> 1, то этот множитель быстро осциллирует в рас-
сматриваемой области, и приведенная оценка излишне груба.
При fe->oo осцилляции становятся все быстрее, и интеграл I
стремится к нулю. Мы можем, следовательно, ожидать, что
борновское приближение будет справедливым при достаточно
больших энергиях.
Асимптотическое поведение I при больших энергиях можно
получить методом стационарной фазы. Основной вклад дает об-
ласть, окружающая точки, где осциллирующий фазовый мно-
житель стационарен, эта область окружает полуось X — Y = 0,
Z < 0. Опуская детали вычислений2), получаем
Z
1 гхгг $ V (*> У’ dz' + 0	<42>
— оо
Поэтому в таком пределе |/| имеет порядок 2nVoa/& в рассма-
триваемой области изменения г. Критерий (39) будет выполнен,
если
ka > 1, Vo <С h2kftna.	(43)
Для того чтобы получить критерий применимости борнов-
ского приближения для промежуточных энергий, когда нера-
венство (41) не выполнено, необходимо оценивать интеграл I
в каждом конкретном случае. На практике его обычно оцени-
вают для одной специально выбранной точки в области изме-
нения потенциала, например, г = 0. Для центрального потен-
циала после интегрирования по углам получим
со
7(0) = -^Ц (1 -e2,fer) V(r)dr.
о
*) Если знак V постоянен. Более того, мы имеем
Hr)~\v(R + r)dR/R.
2) См., например, L. I. Schiff. Phys. Rev. 103, 443 (1956).
304
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Это выражение хорошо согласуется с формулами (40) и (42).
Отсюда получаем критерий
^(l-e2^) у (г} dr
о
С h2k!m.
(44)
В теории столкновений величиной, характеризующей сече-
ние, служит геометрическое сечение рассеяния 4ла2, соответ-
ствующее области взаимодействия частиц, размеры которой по-
рядка а. Когда применимо борновское приближение, полное се-
чение мало по сравнению с этой величиной:
<rtot •< геометрическое сечение.	(45)
Докажем это неравенство в двух предельных случаях: ka << 1 и ka »
3> 1. Воспользуемся выражением (28) для полного сечения. В соответствии
с определением (ур. (25)), функция ^(q) имеет величину порядка (2л)3/2Уоа3
в области с радиусом 1/а и центром в начале координат. Во всех других точ-
ках она практически равна нулю. Подставляя эти значения функции в правую
часть равенства (28), получим
Otot/4lla ж 2п (У0тпа2/й2)2, если /гаС1,
а$/4ла2 « -i л (y0ma/ft2k^2, если ka » 1.
Условия применимости борновского приближения имеют вид неравенства
(41) в первом случае и неравенства (43)—во втором. В обоих случаях
а^/4ла2< 1.
Для справедливости борновского приближения выполнение
неравенства (45) необходимо, но недостаточно. Бывает, чго
из-за резонансных эффектов, таких как эффект Рамзауера —
Таунсенда при рассеянии медленных электронов на атомах, се-
чение рассеяния много меньше геометрического сечения и без
быстрой сходимости борновского разложения. На практике ре-
зонансные эффекты легко распознать по их большой чувстви-
тельности к изменениям энергии налетающих частиц. С учетом
этих фактов неравенство (45) является очень полезным крите-
рием применимости борновского приближения.
§ 8. Упругое рассеяние электронов на атоме
В качестве приложения рассмотрим упругое рассеяние за-
ряженной частицы на атоме. В принятой нами упрощенной
трактовке атом рассматривается как распределение электриче-
ских зарядов. Вычислим в борновском приближении сечение
рассеяния заряженной частицы на потенциале, создаваемом
этим распределением зарядов. Метод даст правильное сечение,
если мы будем работать в области, где борновское приближе-
§ 8. УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ НА АТОМЕ
305
ние справедливо (см. § 21). Будем считать для определенности,
что налетающей частицей является электрон. Естественно было
бы учесть эффект обмена налетающего электрона с электро-
нами атома. Однако для энергий, при которых справедливо бор-
новское приближение, такой эффект дает лишь малые поправки,
поэтому мы им пренебрегаем.
Атом, по предположению, будем считать нейтральным. Обо-
значим атомный номер Z, а плотность электронов — р(г)
^pcfr = Z.
Электрический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона
Дф = — 4ле [ZS (г) — р (г)].	(46)
На электрон действует потенциал
V (г) == — е ф (г),
который удовлетворяет аналогичному уравнению. Совершив
преобразование Фурье, получаем соотношение
q^T{q) = ^el[Z-F{q)],	(47)
которое связывает функцию У°(<7) (определение (25) или (27))
и функцию
F ((?)== ^ е-^'р (г) dr = <7-1 j sin qr р (г) г dr. (48)
о
Используя
(УР- (26))
(47), получим сечение в борновском приближении
da  4[Z — F (g) ]2 zn2e‘
dQ.
Й4?4
(49)
Функция F(<?) называется форм-фактором плотности элек-
тронов. Ее общую форму можно легко получить из р(г). В част-
ности, имеем F(0) = Z. Пусть а — радиус атома, т. е. среднее
расстояние электронов от ядра. Тогда функция F в существен-
ном отлична от нуля лишь в области q 1/а.
Например, если плотность электронов определена функцией
Ze~r,a
PW-----2аГ~’
то форм-фактор равен
F(<7) = Z[l+«-2.
Когда qa 1, т. е. для больших углов рассеяния,
sin¥0>i-
306
ГЛ. XIX ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
форм-фактор практически исчезает [P(q) С Z] и формула (49)
сводится к формуле Резерфорда, дающей сечение рассеяния
только на ядре. Влияние электронов атома при этом пренебре-
жимо мало.
Их влияние становится существенным, если qa'^. 1. Следо-
вательно, эффект экранировки значителен для малых углов
sin4e^ir-	<50>
Это согласуется с классической картиной, в которой малые углы
рассеяния соответствуют большим прицельным параметрам.
В заключение проверим справедливость борновского прибли-
жения.
Радиус действия потенциала имеет порядок а. Оценка, ис-
пользующая модель Томаса — Ферми, дает
1
Z~ за’
а ~-----5—•
те2
За среднее значение потенциала можно принять величину ку-
лоновского потенциала ядра при г = а
В дальнейшем мы используем привычные обозначения
так что
2
b = Z3 у-1.
2
Критерий (41) требует, чтобы Z3 <С1 и, следовательно, ни-
когда не реализуется. Таким образом, борновское приближение
оправдано лишь для достаточно больших энергий. В этой обла-
2
сти (ka >> 1), т. е. для yCZ3, критерий (43) требует у 1.
Итак, борновское приближение справедливо лишь при до-
статочно высоких энергиях, для которых у <С 1. В этом случае
эффект экранировки существен лишь при очень малых углах
и становится практически неощутимым вне области, определяе-
мой неравенством (50), т. е. вне области 0 у. Эксперимен-
тальное определение форм-фактора возможно посредством точ-
ных измерений углового распределения при малых углах и боль-
ших энергиях и последующего использования формулы (49).
§ 9. ВЫЧИСЛЕНИЕ СДВИГОВ ФАЗ
307
§ 9. Центральный потенциал. Вычисление сдвигов фаз
В случае центрального потенциала амплитуда Та-+ь зависит
только от угла рассеяния 0 (cos 0 = kakb/k2), и ее можно пред-
ставить в виде разложения
Т«->ь =	£ TtYf YT (ka) = 4n E (2^ + 1) (cos 0)- (51)
l. m	I
Коэффициенты Ti легко связать co сдвигами фаз, сравнивая это
разложение с (X. 31):
Ti = —-	sin 6z/2/nfe.	(52)
С другой стороны, разложение (51) можно получить непосред-
ственно из интеграла (<р61 V |'Ф'а+)), если разложить волны % и
по сферическим гармоникам. Учитывая соотношение ор-
тонормировки сферических гармоник, легко провести интегри-
рование по углам и получить коэффициенты Ti в виде интегра-
лов по радиусу. Полагая
е1=s wr (У v" (Я.	(53)
находим
оо
Л = $Л(^)У(г)Фг(г)г2^.	(54)
о
Несложно показать (задача 4), что
фг ~ е‘‘6' sin (kr — In + Sz)/kr.
Сравнивая соотношения (52) и (54), получим интегральное
представление sin 6Z, приведенное в § X. 17 (ур. (X. 73)). Оно
сводится к борновской формуле для сдвигов фаз (ур. (X. 75))
в пределе, когда /-волна достаточно близка к свободной волне.
Из интегрального уравнения теории рассеяния таким же об-
разом получаем интегральное уравнение для фг. При этом удоб-
но использовать следующее разложение функции Грина (за-
дача 4):
|Г.2?|- = 4nk X jt (kr<)	(kr>) Yf (г') У- (r),	(55)
lt m
где r< и r> означают соответственно меньший и больший из двух
отрезков г и г1. Подставляя (53), (55) и разложение плоской
308
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
волны в интегральное уравнение (36), получаем интегральное
уравнение для расходящейся парциальной волны
(f) = h (fer)— i^tnk/fi2) jj {kr^ (kr^ V (r') ф; (г') r'2 dr'.
о
(56)
Итерирование этого уравнения дает ф/ в виде разложения па
степеням V.
§ 10. Функция Грина как оператор. Связь с резольвентой
оператора Но
В предыдущих параграфах функция Грина фигурировала как.
ядро интегрального уравнения. Ее можно рассматривать также
как матричное представление некоторого оператора Go+>, опре-
делаемого формулой
^(r,r')=<r|G<+>|r').	(57)
Возьмем вектор |и> и обозначим соответствующую волновую
функцию и(г) = <г|«>. Вектор G*+)|u), который получается
последействия на |и> оператора Go+>, задается функцией
(г | G<+> | и) = J (г, г') и (г') dr'.	(58)
Аналогично определим оператор Go-)
(59)
В силу симметрии 'З (г, г') по г и г' имеем
G^ = Gj+)t.	(60)
Индекс 0 показывает, что эти операторы связаны с га миль-
тонианом свободной частицы Но. Значки (+) и (—) относятся
к асимптотическому поведению, которое с учетом асимптотиче-
ской формы функции Грина (ур. (34)) имеет вид:
т o±ikr С
(k = kr/r). (61)
Результат справедлив для любого вектора |и> с конечной нор-
мой (последнее условие обеспечивает сходимость интеграла
в правой части).
Отметим сильную сингулярность этих операторов. Если не
все Фурье-компоненты и(г), отвечающие волновым векторам
длины k, обращаются в нуль, то (г | Go±} | и} на бесконечности
§ 10. ФУНКЦИЯ ГРИНА КАК ОПЕРАТОР
309
убывает недостаточно быстро для того, чтобы быть квадратично
интегрируемой функцией. Другими словами, действие Go+) или
GJ""1 на вектор гильбертова пространства дает функцию, не
принадлежащую этому пространству. Следовательно, Go+> и Go-*'
не являются, вообще говоря, операторами в гильбертовом про-
странстве.
Однако мы можем определить их как пределы операторов
в гильбертовом пространстве
G«±,= lim (е>0>- <62>
8^0+	° ±
В правой части формулы стоит резольвента (г — Яо)-1 (см.
гл. XVI, раздел III). Это ограниченный оператор в гильберто-
вом пространстве при всех значениях комплексной переменной z,
за исключением собственных значений Но, т. е. точек положи-
тельной вещественной полуоси. Поведение резольвенты в ок-
рестности этих точек определено формулой (62). Если г стре-
мится к Е сверху от вещественной оси (Im z > 0), то (г — Яо)-1
стремится к Go+); а если стремится к Е снизу от вещественной
оси (Im г < 0), то (г — Яо)-1 стремится к Go-).
Докажем формулу (62). Рассмотрим диагональную матрицу
(г — Яо)-1 в {р}-представлении и применим хорошо известное
унитарное преобразование для получения матрицы этого опе-
ратора в {^-представлении
(г | (2 - Я,)-| г'} --(jL $	W (г -	М.
Это выражение легко проинтегрировать по углам. Вводя вели-
чину 5, определяемую соотношением
z =	Re g > 0,
и обозначая
R = г — г',
находим
СО
/ I/	их-ll /\ т ( k' sin k'R ,,,
{г | (z Яд) | Г )	л2Й27? J £2 k'2	—
0
m 1 f k'eikR
~ nh2R 2ni J £2 - k'2 atl *
— CO
Величина последнего интеграла не изменится, если замкнуть
путь интегрирования дугой полуокружности, расположенной на
бесконечности в верхней полуплоскости. Получившийся контур-
310
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
ный интеграл равен произведению 2ш на сумму вычетов в по-
люсах, расположенных в верхней полуплоскости. В данном слу-
чае имеется только один полюс. Его положение зависит от знака
Im £, а значит, от знака Im z (рис. 17):
(a)	Imz> 0. Полюс при k' — t, с вычетом — у еад;
(б)	Imz<0. Полюс при k' == —£ с вычетом — уе~'^.
Следовательно,
(r\(z- н г* 1/5 =_______если 1тг>0’
0	2лй2 (e-zs/?//?, если Im z < 0.
Эти выражения необходимо сравнить с выражениями для
3(г, г') (ур. (30)). Рассмотрим предел, когда z стремится к Е,
Рис. 17.
а стремится к k. При переходе к пределу, в зависимости от
знака (Im z > 0 или Im z < 0) мнимой части г, вычисленный
выше матричный элемент стремится к 9 (г, г') или 9* (г, г'). 
Часто легче производить алгебраические преобразования
с операторами, чем с задающими их матрицами. Поэтому зача-
стую предпочтительнее использовать операторы Go+’ и Go, вме-
сто функций Грина. Тем не менее следует помнить, что это син-
гулярные операторы и обращение с ними требует известной
осторожности '). Для полной строгости их следовало бы заме-
!) В частности, необходимо помнить, что G действует только на векторы
с конечной нормой. Следующий пример иллюстрирует одну из ловушек, в ко-
торую можно попасть, забыв о сингулярности поведения этих операторов. Из
соотношения (31) и симметричности функции Грина по г и / имеем
(£ - HQ) G*,*’ = 1, G^(E
Это означает, что при действии операторов, стоящих-в левой части этих урав-
нений, на вектор с конечной нормой, мы получим тот же вектор. Однако если
понимать эти соотношения буквально, то можно заключить, что оператор
Е— Нй имеет обратный, что неверно, aG^ и Gq~ равны этому обратному
•оператору, а следовательно, равны друг другу, что также неверно.
§ II. ОБОБЩЕННОЕ БОРНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
311
нять регулярными операторами (Е —	и аккуратно со-
вершать предельный переход е -► 0. Далее мы не будем придер-
живаться такого уровня строгости. Если хсе Go** будут заме-
няться операторами (Е— Но ± ie)-1, то всегда будет подразу-
меваться, что е — вещественное и положительное число. Фор-
мулы необходимо рассматривать в пределе е -> 0+.
Интегральные уравнения (36) и (37) теперь можно записать
в виде
Ч±) = <₽а + ^±’УЧ±)	(63}
или
ф(*) = Ф +-—1------(63'}
Итерируя эти уравнения, получаем борновское разложение
+ (б4>
L n»l	J
В этих выражениях символы ф и ф означают либо стационар-
ные волны, либо представляющие их кет-векторы.
Сопряженные уравнения получаем из данных заменой кет-
векторов в обеих частях на соответствующие им сопряженные
бра-векторы. В силу эрмитовости Но
Go+)+ = Go-), GfT)+ = G<+).	(65}
Тогда из формулы (63) получаем
(бб>
а из формулы (64) получаем борновское разложение
<е’|=<Фв1[1 + 2 w].	<67>
Раздел И. ОБОБЩЕНИЕ НА ИСКАЖЕННЫЕ ВОЛНЫ
§ 11.	Обобщенное борновское приближение
Может случиться, что потенциал V(r) слишком велик для
использования борновского приближения, но мы в состоянии
точно решить задачу рассеяния для потенциала, близкого к V.
Тогда удобно рассматривать разность между ними как возму-
щение, которое легко учесть, используя простое обобщение ме-
тодов раздела I.
312
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Пусть
V(r) = Ui(r) + Wi(r),
Hi = H0 + Ui(r).	(68)
Тогда имеем
Н = Ht + Wit	(69)
где Hi — невозмущенный гамильтониан, Wi — возмущение. Бу-
дем считать, что U\ и V стремятся к нулю быстрее, чем 1/г (об-
общение на потенциалы 1/г будет сделано в § 15). Стационар-
ные состояния Hi предполагаются известными. Будем обозна-
чать их буквой х, а соответствующие амплитуды — буквой g.
В дальнейшем мы следуем обозначениям § 2. Величины Хц+) и
^+> определены соотношениями
=	Х<+) ~ e(’V+g<+)(Q)e^/r.
Г~»оо
Все результаты раздела I, относящиеся к гамильтониану Н,
справедливы также и для Hi. В частности, можно определить
матрицу перехода для столкновений при энергии Е, описывае-
мых гамильтонианом Hi. Обозначим ее
~ I т™ I %) - <ф» IV, I %™) = <х4,-> I и, I фа). (70)
Вспомним, что в § 2 мы получили
Интегральное представление для разности Та+ь__________Та+ъ
можно получить, используя (9). Пусть
и=иь U=V.
Тогда получим
<хГ’ I IT, I ч4+|) = -	U'« ft) - й-'- (- ед =
- - тг И” ft) - й+| ft)] =	- Г'1!».	(71)
Аналогично, если 0 — V, U — иъ
(72)
Из соотношений (71) и (72) следует
(73)
что является обобщением соотношения (18).
Любое из этих двух интегральных представлений можно ис-
пользовать для построения теории возмущений. Соотношение
$ 11. ОБОБЩЕННОЕ БОРНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
313
(71)	дает
=	+	(74)
Это — точное выражение для амплитуды перехода. Первый член
дает амплитуду перехода при отсутствии IFb Второе слагаемое
дает поправку, обусловленную Для достаточно малых ITi
точная стационарная волна i|>(a+) мало отличается от Хд+> и мо-
жет быть заменена последней в поправочном члене. Таким об-
разом, получаем амплитуду перехода с точностью до первого
порядка по возмущению Wj
+	(75)
Это обобщение борновского приближения (см. ур. (23)). Отме-
тим, что в интеграле возмущения
<хГ I ^11 х’+)> - 5	(г) (г) х*+) (r) dr (76>
одновременно присутствуют стационарные решения, соответ-
ствующие уходящим и приходящим волнам.
Если взять U\ = 0, то получим обычное борновское прибли-
жение. В общем случае, когда Ui =/= 0, вычислить этот интеграл
гораздо труднее, чем интеграл из формулы Борна. Ситуация
становится отчасти проще, когда и U\ и V сферически симме-
тричны. Тогда можно использовать разложения (задача 4)
= 7Г Е il^Ft (k-, г) Yf (k) Y™ (г),	(77)
l,m
где Ft(k\ г) означает регулярное решение радиального уравне-
ния
+	= 0	(78)
с асимптотическим поведением
Ft(k;r)~ sin (kr — 1л. + тр).	(79)
Здесь гр — сдвиг фазы /-волны в потенциале Ui. Подставляя
разложения %<+> и х(ь_) в интеграл (76) и интегрируя по углам,
находим
оо
(х'/ I ^1 |х’+’> = > Е (2/ + D рг (cos 6) е2^ $ F* (*; г) (г) dr.
I	о
Сходимость данного разложения тем лучше, чем меньше радиус
действия W\.
314
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
§ 12. Обобщение борновского разложения
Для того, чтобы найти поправки высших порядков, необхо-
димо разложить ф<+> по степеням W'I. По аналогии с методом
раздела I найдем интегральное уравнение для ф<+>э итерируя
которое получим искомое разложение.
Обозначим Gj(+)(r, г') функцию Грина гамильтониана АЛ,
•соответствующую энергии Е — №k2/2m и имеющую асимпто-
тику расходящейся волны. По определению, это симметричная
функция от г и г', удовлетворяющая дифференциальному урав-
нению в частных производных
(£ - H,)GW вв (Д + k2) - i/J G<+) (г, г') — S (г — г'), (80)
с асимптотикой &ikr/r, когда г->оо, а г' фиксировано. Согласно
определению
(r|G<+>|r') = G<+)(r, г').
Эта матрица представляет некоторый оператор G(j+,t В следую-
щем параграфе будет показано, что существует одна и только
одна функция G<+)(r, г'), обладающая этими свойствами.
Мы получим интегральное уравнение, следуя методу § 5 и
используя эту функцию вместо свободной функции Грина. Урав-
нение Шредингера для ф<+> запишем в виде
(£ - и,)*™ - (д+я - а,]	- w
Заметим, что в силу ур. (80) функция
ф(+) _ jG(+) (г, г') г, (г') ф<+> (г') dr'
удовлетворяет «однородному уравнению»
(E-^)X = 0.
Поскольку эта функция имеет ту же асимптотическую форму,
что и х<+>, она с необходимостью равна х(а+). Следовательно, ф^
удовлетворяет интегральному уравнению
Ф<+) = Х(а+) W + $ Ц+) г') W! (г') ф<+> (г') dr'.	(81)
Разложение ф<+> по степеням легко получить из уравне-
ния (81). Подставляя это разложение в «матричный элемент»
правой части уравнения (74), получаем разложение Та-^ь по
степеням Wt. Если мы оставим только первые два члена этого
разложения, то получим приближенное выражение (75).
§ 13. ФУНКЦИЯ ГРИНА ИСКАЖЕННЫХ ВОЛН
315-
Функция, комплексно сопряженная к G\+}(r,r'), также яв-
ляется функцией Грина Н\ для энергии Е. Это функция
G)-’ (г, г'), которая ведет себя асимптотически как сходящаяся
волна. Используя эти свойства, аналогичным методом можно
ввести интегральное уравнение
$ G<-4r, rW, (гЖ-Чг'Мг'. (82>
Можно также получить разложение Та-+ь по степеням IF], если
в качестве исходного уравнения взять (82) и использовать свой-
ство (73). Очевидно, что от этого результат не изменится.
§ 13. Функция Грина искаженных волн
Остается еще доказать существование функций Грина G<+l и
G’-’. Мы покажем, что при естественном обобщении уравне-
ния (62) их можно определить как пределы резольвенты опера-
тора Н\
= ,83>
Аналогично для каждого значения Е можно связать с гамиль-
тонианом Н функции
Рассмотрим вначале операторы G<+> и G(_) и покажем, что
(E — H)G(±}=1, G^(E — H)==l.	(85)
Для произвольного вектора конечной нормы, очевидно, имеем
(Е — Н) Е_н+.е | и) = | и) — E_H + ie | и).	(86)
Норма второго члена в правой части равна
N (е) = в2 (и | (Е _ g2 | и} — е | и (Е ) |2 (Е _	+ g2 dE'.
Последнее выражение получается, если использовать представ-
ление, в котором диагоналей гамильтониан Н; \u(E')\2dE'—
норма компоненты |и> с энергией Е'. При е->0в силу извест-
ного свойства 6-функции (ур. (А. 15в)) интеграл стремится
к л|«(£)|2. Таким образом, норма М(е) в этом пределе исче-
зает. Следовательно, при е —> О уравнение (86) дает
(£ - Н) G(+) | и) = | и).
316
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Поскольку это верно для любого |и> (конечной нормы1)), то
имеем
(Е — Н) G(+) = l.
Остальные соотношения (85) можно доказать таким же спосо-
бом. Аналогичным образом имеем
(Е-Я1)0<*> = 1, G<*>(£-#,) = 1.	(87)
Уравнения (85) и (87) показывают, что G(±) и G^' являются
соответствующими функциями Грина операторов Н и Я1 при
энергии Е. В {/•}-представлении они сводятся к дифференциаль-
ным уравнениям в частных производных, характеризующим
функции Грина; так, первое из уравнений (87) дает уравне-
ние (80).
В предыдущем доказательстве мы аккуратно проделали пре-
дельный переход е -> 0+, поскольку он играл решающую роль.
В дальнейшем мы не будем придерживаться такого уровня
строгости и, следуя соглашению со стр. 310, часто будем заме-
нять G(±) на [£— Я±1'е]-1, a G<*-—на [£ — Я1±1е]-1, где
® — вещественная положительная бесконечно малая величина.
Поступая так же как в начале § XVI. 16, получим фунда-
ментальные тождества
E-H±ie ~ Е-Но± ie. = E-H±iB V Е - Но ± ie, = ^88а^
= Е - Но ± ie V Е-Н ±ie '	(886)
Аналогичные тождества получаются и при замене Я, и I/j на Я
и V соответственно, или при замене Я] и IF, на Яо и V.
Из тождеств (88) следуют соотношения2 * *):
(1 4-G<±>7)(l-G<±»7) = 1,	(89а)
(1 — G<)±)V)(1 4-G(*>V) = l.	(896)
Теперь уравнение (63) можно записать в виде
[1-G^1 W=Ta.
Действуя оператором (1 4- G(±)7) на обе части этого уравне-
ния и используя (89а) для упрощения левой части, получаем
важную формулу
 Ч" -(• + г-Г±1Г v )<9°>
*) Здесь полностью применимы замечания сноски на стр. 310.
2) Из этих тождеств нельзя сделать вывод, что(1 + G(±) Г) и (1 — G1^’ Г)
обратны друг к другу или, что каждый нз них имеет обратный. См. сноску
к §10.
§ 13. ФУНКЦИЯ ГРИНА ИСКАЖЕННЫХ ВОЛН
317
Так как Н эрмитов, то, очевидно, имеем
G(±)+ = Gffi.	(91)
Следовательно, сопряженным уравнением к уравнению (90) бу-
дет
да
Теперь мы в состоянии получить асимптотическое поведение
<?<+* и G(_) из асимптотического поведения GJ+’ и G*,-’ соответ-
ственно. Если вектор |и> достаточно быстро убывает на беско-
нечности, то из (886) имеем
G(±’|M) = G<±>|r),
где
|Г) = (1 + 7С<*))|и).
Если вектор |У> также достаточно быстро убывает на беско-
нечности1), то можно использовать уравнение (61). Получим
<r|G<*>|u)	(k = krlr). (93)
Оператор G(+), действуя на вектор гильбертова пространства,
будет давать в общем случае вектор, который ведет себя асимп-
тотически, как чисто расходящаяся волна, а оператор G(_) —
вектор, ведущий себя асимптотически, как чисто сходящаяся
волна. Заменяя |^°> в правой части (93) его определением и
используя тот факт (ур. (91)), что
<<P±J(1 + HG^) = (^|,
находим
(г | G(±) I «>г~ ~	I и).	(94)
Следует отметить, что в асимптотическом выражении для G(+)
появилась именно волна а в выражении для G<-> — волна
^(-2-
Операторы Gi+> и G[ ’ обладают аналогичными свойствами,
а именно, их асимптотическое поведение таково:
<r|G(1±)|u)^-^-^-7-(Xg)|u) (k = kr/r). (95)
) Последующие рассуждения несправедливы, если на бесконечности V ве-
дет себя как 1/г.
318
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Если Ut сферически симметрично, то функции Грина Gi**
легко выразить в терминах решений радиального уравнения
(78). Находим (задача 4)
(Г | Gj*’ I г') = - -g- -1^ £ е± "'iFt (k-, r<) U(t±} (k-, r>) Yf (r') YT (r),
l-m	(96)
где г<и r>— соответственно меньшая и большая из двух длин г
и г', а т]/ и Fi были определены в § И. Функции представ-
ляют собой нерегулярные решения уравнения (78), которые
имеют асимптотическое поведение:
~ 屑(^4Ч
Явные выражения (96), как легко видеть, имеют характерные
для Gi+) и Gi-) свойства.
§ 14.	Приложения. Определение и формальные свойства
Т-матрицы
Используя формальные свойства функций Грина, приведен-
ные в § 13, можно получить большинство предыдущих резуль-
татов посредством простых алгебраических преобразований.
Преимущество такой процедуры состоит в том, что с одной сто-
роны, она формально очень проста, а с другой — легко под-
дается обобщению.
В частности, так получаются интегральные уравнения (81)
и (82), которые можно записать в виде
= № + -£lj1±fe W,	(97)
Сравнивая асимптотическое поведение обеих частей уравнения
(97), получаем соотношение (74).
Можно также показать, что справедливы соотношения
Ха*’ = [1+ £_//, ± /е ^1] Фа’	<98)
e’-[i + £-я±,-. цу.]-й±|.	<99)
доказательство которых предоставляем читателю.
Можно также привести формальное определение Т. Соотно-
шение (20) дает его матричные элементы только между пло-
скими волнами одинаковой энергии Е. Принимая во внимание
уравнение (90), это соотношение можно, записать в виде
<Ф» |Г Iфа) = <ф» |[У + V £	+ /е У]| Фа). (ЮО)
§ 14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ФОРМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА Т-МАТРИЦЫ
319
Обобщим это соотношение:
T-v+v~B^h^v-	<1Q1>
В этом определении Е играет роль параметра, а Т равно зна-
чению операторнозначной функции комплексной переменной г
T(Z) = V+V—
в пределе, когда г стремится к вещественному значению £,
оставаясь в верхней полуплоскости (Im г > 0).
Преобразуя правую часть уравнения (101) с помощью тож-
деств (88а) и (886), легко получить следующие интегральные
уравнения для оператора Т\
T~V + T Е-И. + и''-	О02’»
T-‘v+v-rrh^T-	<102б>
На практике обычно имеют дело с матричными элементами Т
между свободными волнами с энергией Е, в частности, между
плоскими волнами с энергией Е.
В качестве иллюстрации докажем соотношение микрообра-
тимости (21), используя только формальные свойства Т. Обо-
значим через К (антилинейный) оператор обращения времени.
Гамильтониан Но, очевидно, инвариантен относительно обра-
щения времени и, более того,
Ф/fa = Афа, Фкг> = Аф»-	(103)
Предположим, что Н также обладает свойством инвариантно-
сти
KHI? = Н,
т. е.
V.
Из определений (84) и (101) последовательно получаем
/<G(+)/<+ = G<-) = G<+)+
и
ktiC=t\	(io4)
Приведенный закон преобразования оператора Т относительно
обращения времени позволяет заключить, что
ТКЬ -*К.а = (<Фа I /С) Т (К | ф6» = <фв | (К'ТК) | <Р»)* =
= <Фг> I (А^А) | <рв> = (<р6 | Т | фв> = Та^ь.
Это есть соотношение микрообратимости.
320
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
§15.	Замечание о потенциалах 1/г
В предыдущих разделах всюду предполагалось, что потен-
циалы У (г), Ui(r) и Wi (г) убывают на бесконечности быстрее,
чем 1/г. Это является необходимым условием того, чтобы раз-
личные волновые функции Грина, которые мы использовали,
имели нужное асимптотическое поведение. Однако те же ме-
тоды, с незначительной модификацией, могут быть применены
в случае, когда оба потенциала, V(r) и Ui(r), ведут себя, как
1/г в предположении, что их разность Wi (г) стремится к нулю
быстрее, чем 1/г. Асимптотики отличаются только присутствием
в показателе экспоненты дополнительного слагаемого, пропор-
ционального In 2kr. Асимптотики щ и Fi претерпевают те же из-
менения. За исключением этих отличий, методы и результаты
остаются в существенном теми же. В частности, верны опреде-
ления (83) и (84) функций Грина, интегральное уравнение (97),
основное уравнение (74), а также формула (75) в пределе,
когда Wi можно рассматривать как малое возмущение.
Раздел III. СЛОЖНЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
И БОРНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
§ 16.	Общие понятия. Сечения
В данном разделе ') мы распространим исследования пре-
дыдущих разделов на случай столкновения любых двух частиц.
Здесь мы понимаем слово «частица» в его широком смысле,
считая, что частица может иметь сложную внутреннюю струк-
туру. Для таких элементарных частиц как электроны, протоны,
нейтроны внутренние переменные сводились только к спиновым
переменным. Однако мы будем рассматривать также сложные
(составные) частицы — ионы, атомы, атомные ядра и т. д., ко-
торые состоят из нескольких элементарных частиц.
Пусть столкновение происходит между двумя частицами А
и X, элементарными или сложными. Тогда возможны три типа
процессов:
(а)	упругое рассеяние — внутренние квантовые состояния
частиц не меняются после столкновения
А + Х->А + Х;
(б)	неупругое рассеяние — кроме отклонения, в результате
столкновения происходит изменение внутренних состояний ча-
') Более подробное объяснение используемой в данном разделе термино-
логии см. в книгах: С. Bloch. Cours sur la Theorie des reactions nucleates,
Chap. I—III. Saclay (1955—1956); Дж. Блатт, В. Вайскопф. Теоретическая
ядерная физика. М., ИЛ., 1954.
§ 18. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. СЕЧЕНИЯ	321
стиц'), например,
А + Х-*А' + Х'-,
(в)	столкновение с перераспределением (иначе говоря,реак-
ция), когда частицы А и X в процессе столкновения обмени-
ваются некоторыми из составляющих их элементарных частиц.
Другими словами, система (Д -|- -Xj переходит в две или боль-
шее число частиц, отличных от исходных. Например, в процессе
столкновения появляются частицы В и У, отличные от А и X,
A + X-+B + Y.
Химическая реакция представляет собой рассеяние молекул
с перераспределением, ядерная реакция есть столкновение с пе-
рераспределением между атомными ядрами. В дальнейшем бу-
дет приведено несколько таких примеров.
Столкновение двух частиц характеризуется такой величиной,
как сечение. Для упругого рассеяния определение этой вели-
чины уже было дано в главе X (§ 2). В общем случае сечение
рассеяния для процесса определенного типа в данном столкно-
вении равно числу событий этого типа в единицу времени от
одного центра мишени при единичном потоке падающих на ми-
шень частиц.
Чтобы определить однозначно сечение для столкновения ча-
стиц А и X, необходимо точно задать начальные условия столк-
новения — квантовые состояния и относительные скорости этих
частиц. Обычно в эксперименте одна из скоростей равна нулю,
скажем, скорость частицы X. Мишень из частиц типа X практик
чески покоится, она бомбардируется моноэнергетическим пуч-
ком частиц типа А. Однако движение центра масс можно пол-
ностью отделить от относительного движения. Простое кинема-
тическое рассмотрение позволяет установить связь сечений, ко-
торые соответствуют начальным условиям, отличающимся вы-
бором разных систем отсчета. В частности, обобщая очевидным
образом метод § X. 7 (см. задачу X. 2), мы можем получить
связь сечений в лабораторной системе (скорость частицы X
равна нулю) с сечениями в системе центра масс (скорость
центра масс равна нулю). В дальнейшем рассматриваются
только сечения в системе центра масс.
Энергию в системе центра масс будем обозначать буквой £,
гамильтониан относительного движения — Я (прибавляя энер-
гию центра масс, получаем полный гамильтониан).
') Таковым может быть проетой переворот спина. Принятое здесь опреде-
ление несколько отличается от обычного, согласно которому процесс рассея-
ния считается неупругим или упругим в зависимости от того, изменилась ли
внутренняя энергия частиц или нет.
Ц А. Мессиа
322
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
§ 17.	Каналы
Важную роль при изучении сложных столкновений играет
понятие канала реакции. Так называют каждую возможную
моду деления системы в результате столкновения. Одна из та-
ких мод — сами две сталкивающихся частицы — называется
входящим каналом. При упругом рассеянии две частицы
остаются во входящем канале. При двух других типах столкно-
вений выходящий канал отличен от входящего. Это будет не-
упругое рассеяние или рассеяние с перераспределением в зави-
симости от того, имеем ли мы в выходящем канале реакции те
же частицы, что и во входящем, или другие. Каждый канал бу-
дем обозначать какой-либо греческой буквой.
С каналом можно связать некоторое число параметров. Для
простоты будем всегда предполагать, что каналы реакции со-
стоят только из двух частиц.
Рассмотрим канал у, который содержит частицы С и Z. Век-
тор rY определяет положение частицы С по отношению к Z, дру-
гими словами, rY = гс — rz, где гс тл. г z — координаты центров
масс С и Z. Так же определяется относительный импульс pY и
приведенная масса
McMz
м =------—-  
Y	+
С/	л»
Кинетическая энергия в канале у равна р2/2ЛГу.
Волновая функция <pY, которая нормирована на единицу и
описывает внутреннее квантовое состояние частиц канала,
равна произведению волновых функций фС и фг частиц С и Z.
Если обозначить гамильтониан частиц hc и hz, то получим ра-
венства
^СФС = ^СФС>	~ ezWz>
фу = ФсЧ,г>	= ес “И ez>
где eY— полная внутренняя энергия частиц канала у.
Пусть KY — потенциал взаимодействия частиц С и Z, т. е.
сумма потенциалов взаимодействия между каждой элементар-
ной частицей, содержащейся в С, и каждой элементарной час-
тицей, содержащейся в Z. В пределе rY оо значение VY стре-
мится к нулю. Мы будем всегда считать, что VY убывает быст-
рее, чем l/rY. Как отмечалось в § 15, обобщение результатов
на потенциалы вида l/rY не представляет серьезных трудностей.
Гамильтониан системы равен
H^HY+VY,	(105)
где
HY = hc + hz + Py2My.	(106)
§ 18. ВЫЧИСЛЕНИЕ СЕЧЕНИИ. Г-МАТРИЦЫ
323
§ 18.	Вычисление сечений. Т-матрицы
В рассмотренном выше столкновении входящим является
канал (А + X), который мы обозначим буквой а. Чтобы фикси-
ровать начальные условия, нужно задать еще относительный
импульс tika частиц в начальном состоянии. Полные начальные
условия обозначим индексом а = (a, ka). Имеем
Е = еа + ^а/2Ма.	(107)
Допустим, что возможна реакция А + X -> В + У. В этом слу-
чае канал (В 4- К) или р называют открытым каналом. В силу
закона сохранения энергии частицы канала р имеют вполне оп-
ределенную величину относительного импульса tikb
В = е₽+ Й2^/2М₽.	(108)
Для того чтобы канал р был открытым, очевидно, необходима
положительность Е — ер.
С каждым набором начальных условий а можно связать
плоскую волну
Фа = Фаег^Г“	(109)
и две стационарных волны, Чга+) и 4^“'. Волна Чга+) есть ста-
ционарное решение Н, отвечающее энергии Е и имеющее во
входящем канале асимптотическое поведение (elft“r“ 4- расхо-
дящаяся волна), а во всех других открытых каналах — поведе-
ние чисто расходящейся волны. Чга~) определяется аналогичным
образом, но со сходящимися волнами. В соответствии с этими
определениями имеем равенства
НаФа = ЕФа,	(ПО)
НЧ{±} = ЕЧ{а\	(111)
а для любого открытого канала у (мы предполагаем, что ни
один из них не содержит более двух частиц)
Ч*’ ~ Фа [еМаГ“ + № Я) е± 1
~ Ф^С(Йу)屑ЛЖ (Y^a).	(П2)
Не вдаваясь в обсуждения, мы считаем, что стационарные ре-
шения ЧГа+> и ЧГа-> существуют.
Сечения рассеяния непосредственно связаны с асимптотиче-
ским поведением 4f(a+’. Пусть doa+b/dQp — сечение испускания
11*
324
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
частицы В в направлении Qb- Находим
(113>
где va = hka/Ma — скорость налетающей частицы, a Vb =
= hkbMfr — скорость частицы В, появившейся в результате
столкновения. Вывод этой формулы аналогичен приведенному
в §§ 4—6 главы X >) и предоставляется читателю.
Обобщая рассуждения § 3, мы приходим к описанию про-
цесса с энергией Е посредством матрицы перехода Т;
Та+ь = {b\T\a) = -^	(Q6).	(114)
Используя формулы (112) и (113), получаем
-°^ь	J2p6(£),	(115)
где рб(£) задает плотность конечных состояний в соответствии
с определением § XVII. 5. Полученная формула представляет
обобщение формулы (19'). Та^-ь есть амплитуда перехода
а-+Ь.
§ 19.	Интегральные представления амплитуды перехода
Чтобы найти интегральные представления для Та+ь, нужно
несколько модифицировать соотношение (9).
Пусть Н и В — два возможных гамильтониана исследуемой
квантовой системы. Н и Й имеют одну и ту же кинетическую
энергию, но их потенциальные энергии могут быть различны.
Мы будем считать, что отличие сводится к членам, которые
убывают на бесконечности быстрее, чем 1/г. Стационарные ре-
шения для Н и Й с энергией Е обозначим W и Ф соответственно.
Отметим, что ряд каналов может быть открыт для столкнове-
ний, описываемых Н, и закрыт для столкновений, описываемых
Й, и наоборот. Пусть канал (J открыт для столкновений, кото-
рые описываются гамильтонианом Й. Следовательно, сущест-
вует решение Фг,-’, отвечающее начальным условиям b =(р, kb).
Оно удовлетворяет уравнению
н¥г} = Е^ь~}	(116)
') Этот результат можно также получить, используя рассуждения § X. 2:
сечение равно отношению потока частиц В, vb |	(Q6) |2 к падающему
потоку иа.	j
§ 19. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АМПЛИТУДЫ ПЕРЕХОДА 325
и для любого открытого канала б (напомним, что по предполо-
жению любой канал имеет не более двух частиц) имеет асим-
птотики
~ фЛ^К'^ (д^Р)-	(Н7)
Гб->°о
Можно показать, что
| (Я - й) |	£? (а») + f (-а.). (118)
Метод доказательства тот же, что и в случае соотношения
(9). Умножая уравнение (111) на ЭД-)*, а комплексно сопря-
женное к уравнению (116)—на Та4"’ и вычитая результаты друг
из друга, получаем
[ЭД"’* (яЭД+>) - (н¥ь-})* ЭД+)] + ЭД-’* (я - н) ЭД+)=о.
К соотношению (118) приходим после суммирования по спино-
вым переменным и интегрирования по всему конфигурационному
пространству. Несмотря на то, что оператор Н эрмитов, вклад
от выражения в квадратных скобках может быть отличен от
нуля, поскольку ни одно из решений Чг, Ф не имеет конечной
нормы. Чтобы сосчитать этот вклад, вычислим вначале инте-
грал по конечному объему конфигурационного пространства,
а затем рассмотрим предел этого интеграла, когда объем стре-
мится к бесконечности. Используя теорему Грина, интеграл по
объему можно преобразовать в интеграл по поверхности1). По-
следний имеет вид суммы, слагаемые которой отвечают различ-
ным открытым каналам v, общим для Т и Ф,
<ЭД-> | (я - н) I ЭД+)> Пт	19>
~	₽ ->оо
’) Напомним, что существует много способов выделения центра масс, од-
нако величина
» = (SM)’’
не зависит от способа. Здесь г(, Гг.Г/, ... — относительные координаты, от-
вечающие выбранному способу, a Afi, АТг, • • •, М/, ... — соответствующие мас-
сы (см. § IX. 13). Упомянутый объем интегрирования можно определять усло-
вием х X, где X — положительная константа, которая велика по сравнению
с радиусом взаимодействия. Используя теорему Грина, можно преобразовать
интеграл по объему в интеграл по гиперповерхности х = X, который при
X -> оо стремится к выражению, стоящему в правой части формулы (119),
326
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Символ {...}v аналогичен обозначению, которое было исполь-
зовано в § 2. По определению
(Л.	(f,<-
где символ (	• d£lv^ означает суммирование или интегри-
рование по всем переменным кроме относительного расстоя-
ния rv. Различные слагаемые в правой части равенства (119)
можно вычислить, подставляя вместо Y, Ф и их радиальных
производных соответствующие асимптотические выражения
(112) и (117). Для любого канала, отличного от а и р, Фд+>
представляет собой чисто расходящуюся волну, а — чисто
сходящуюся волну, следовательно, {.. ,}v асимптотически стре-
мится к нулю. Для каналов аир получаем отличный от нуля
вклад, поскольку в одном из двух асимптотических выражений
присутствует плоская волна. Вычисление аналогично выполнен-
ному в § 2 и приводит к двум членам, стоящим в правой части
соотношения (118).
Важное соотношение (118) можно преобразовать к более
удобному виду. Для этого выпишем (118) в частном случае»
когда Й = Н. Левая часть обращается в нуль, и мы имеем
Tit Oa.)-*bf£’ (~aJ-
Сравнивая это равенство с определением Т (ур. (114)), полу-
чаем эквивалентное определение
(114')
Эти же определения справедливы и для матрицы перехода ?»
связанной с гамильтонианом Й. Таким образом, соотношение
(118) можно также записать так:
<6| Т | а} = (Ь | f | а) 4-	| (Я - й) | Ч+)).	(120)
Именно в этом виде мы и будем его использовать.
Это соотношение выполняется и в случае, когда канал а за-
крыт для волны Фь-’, если положить <6|?|а> = 0. Оно выпол-
няется также в случае, когда канал р закрыт для Чга+), если
положить <61 Г| а) = 0.
В частности, если Й = Яр, то Ф(р_) сводится к плоской волне
фр и поскольку Я— Яр = 7р, соотношение (120) дает
{Ь |Т|а>== <Ф6 |Vp|^+)>.	(121)
§ 20. БОРНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ
327
Заменяя Н на На, и Й на Н, получаем
<&|Г|а> = <^->|Уа|Фа).	(122)
Выведенные нами соотношения справедливы для любых ти-
пов столкновений: упругого рассеяния (а = р), неупругого рас-
сеяния (а У= р, V’a=Vp) или рассеяния с перераспределением
§ 20. Борновское приближение и его обобщения
Подставляя в правую часть равенства (121) вместо Чга+) пло-
скую волну Фа, получаем амплитуду перехода а->-Ь в борнов-
ском приближении (см. ур. (23))
Та^ ь « Т^ь = <Фй |	| Фа>.	(123)
То же приближение получается после подстановки в пра-
вую часть (122) плоской волны Фь вместо Ч^-’. Действительно,
если мы заменим Н на На и Й на Яр, то из соотношения (120)
получим
<ФЛ/р|Фа> = <Ф61^а|Фа>.	(124)
Можно также записать
7’(Д6 = (Фй|1/а|Фа>-	(124')
Переход от (121) к (123) оправдан, если мало отли-
чается от Фа в области, где отличен от нуля потенциал Vp.
Точно так же для перехода от (122) к (124') достаточно, чтобы
Чг(>~> мало отличалось от Ф& в области, где сосредоточен потен-
циал Va- Эти два условия эквивалентны, хотя на первый взгляд
кажутся различными. Оба условия предполагают, что Чга+> и
можно заменить плоскими волнами Фа и Фь соответ-
ственно.
Более точные выражения получатся, если вместо плоских
волн использовать волновые функции, которые лучше аппрокси-
мируют стационарные решения Чгд+) и Ч^-1.
Допустим, например, что Va можно представить в виде
Va = Ua + Wa
и что известны стационарные решения для гамильтониана
На + Ua, отвечающие энергии Е. Обозначим эти решения X,
а соответствующую матрицу перехода — Tw. В частности,
будет обозначать решение с расходящимися волнами, отвечаю-
328
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
щее начальным условиям а, и мы имеем
т^ь = <Ф6 I (На + иа - Яр) | М+)) = <ф6 I (Ур - гв) | Х<+,>. (125)
Если Wa достаточно мало, то Хк+) будет мало отличаться от Чга+).
Точно так же предположим, что Ур можно представить
в виде
и известны стационарные решения для гамильтониана Яр + Яр,
отвечающие энергии Е. Будем обозначать эти решения В, а со-
ответствующую матрицу перехода — Т<ВК В частности, в5,-) бу-
дет решение со сходящимися волнами, отвечающее начальным
условиям Ь, и мы имеем
гДр = <3^’ | (va - 1Ур) 1 Фв).	(126)
Если достаточно мало, то Et>-) будет мало отличаться от
В силу соотношения (120) имеем
Та-» =	+ М_) | ro I ^+))•=	(127)
= Т™Ь + <В^| 1Ур|Ч^'+)>.	(128)
Эти два выражения для Та->ь являются точными. Заменяя
в первом из них Wь—* на Зь-) или 4f(a+) на Ха+) — во втором, по-
лучаем приближенные выражения
Та-> ь « Т^ь + <Н^> | Wa | Х^+)) «	(129)
« Г(ДЬ + <В(Г>| №р|Х(а+)).	(130)
Хотя формально эти выражения различны при Wa =/= 1Ур, они
всегда равны друг другу, что легко увидеть, если воспользо-
ваться соотношением (120) с На, + Ua вместо Н и Яр + Яр
вместо Я.
Данные формулы представляют собой обобщение борнов-
ского приближения (см. ур. (75)). Они точнее тех, которые по-
лучаются. после простой замены Чга+) в выражении (121) на
Ха+). Действительно, поскольку справедливо равенство (ур.
(125))
<Фь I У₽ I 4+) > = Т(&ъ + <Ф& | wa | Xj,+,>,
последнее приближение сводится к замене Ч^-1 в выражении
(127) на Фь, а не на По этим же причинам формулы (129)
и (130) точнее тех, которые получаются после замены Ч^-*на
Sz>-> в правой части равенства (122).
§ 21. РАССЕЯНИЕ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ АТОМОМ
329
§ 21.	Рассеяние быстрых электронов атомом
В качестве иллюстрации собственно борновского пр иб л иже’
ния рассмотрим рассеяние быстрых электронов атомом.
Ядро атома будем считать бесконечно тяжелым и располо-
женным в начале координат. Гамильтониан системы имеет вид
Я = ^- + А+У(г. Л).
Первое слагаемое — кинетическая энергия налетающего элек-
трона, второе — гамильтониан атома, третье слагаемое пред-
ставляет собой энергию взаимодействия
V(r, Л)--^ + ХТ7^7Л.	(131)
где г — координаты налетающего электрона, a ri, г2, ..., гz —
координаты электронов атома. Пусть
Фо, Ф1 > • • • > Ф«, • • •
собственные функции гамильтониана h, а
во, Ci, ..., еп, ... —
соответствующие собственные значения.
Рассмотрим процесс неупругого рассеяния, когда импульс
электрона меняется от ttk0 до tikn, а атом переходит из основ-
ного состояния ф0 в возбужденное состояние ф„. В силу закона
сохранения энергии имеем
&	(е„-е0).
Обозначим переданный импульс hq
q = kn — k{}.
Отметим, что соотношение (24) здесь не выполняется, вместо
него справедливо следующее равенство:
q2 — (k0 — fen)2 + 4&o&n Sin2-^ 6.	(132)
В дополнение к прямому процессу, когда налетающий элек-
трон, теряя часть кинетической энергии, просто рассеивается,
возможен и обмен налетающего электрона с одним из электро-
нов атома. Обменный эффект может быть значителен в том слу-
чае, когда скорость рассеянного электрона равна по порядку
величины скорости электронов атома, т. е. kna т 1. При тех ус-
ловиях, когда применимо борновское приближение, этот эффект
мал и им можно пренебречь. Мы будем рассматривать также
налетающий электрон как частицу, отличную от электронов
330
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
атома. Используя формулу (123) для амплитуды перехода
В борновском приближении, получаем
Т^п « j (Л) V (г, А) Фо (Л) dr dA. (133)
Это есть борновское приближение для амплитуды перехода час-
тицы при переданном импульсе hq в потенциале
Л)<Р0(ЛМЛ.	(134)
Результат справедлив при любом п, в частности, при упру-
гом рассеянии (п = 0).
Чтобы преобразовать ответ к виду, аналогичному тому, ко-
торый был получен в § 8, введем «электронную плотность»
р„ (И = z $ q£ (r> г  .rz) % (r> r2> •  • ’ rz) dr2... dr z	(135)
и соответствующий форм-фактор
FAq}= \ a~i9r(>n(r)dr.
В случае упругого рассеяния (п = 0) мы имеем просто элек-
тронную плотность основного состояния и соответствующий
форм-фактор (см. ур. (48))
Ро (*) = Р (')» Fo(q) = F(q).
Если подставить явное выражение для V(r, Л) из уравнения
(131) в определение 70(г), т0 мы увидим, что Е0(г) представ-
ляет собой потенциал кулоновского взаимодействия электрона
и заряда с распределением
е [Zd (г) — р (г)].
Именно такой потенциал использовался в § 8. Таким образом,
мы получили обоснование использованной там модели.
Рассмотрим теперь неупругое рассеяние (пУ=0). Подставим
явное выражение для V(r, А) в определение (131). Поскольку
функции фо и ф„ ортогональны, вклад от члена Ze1/г исчезает.
Другие члены дают потенциал взаимодействия электрона
с плотностью заряда —ер„(г). Повторяя рассуждения § 8, на-
ходим
T0^n^-4ne2Fn(q) (п 0)
и, следовательно, в борновском приближении сечение неупру-
гого рассеяния равно
doro->„ _ , kn I P
dQ ~4 Л4 k0 qi
§ 22. КУЛОНОВСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ ЯДЕР
331
Отметим, что данная формула подобна формуле (49) для уп-
ругого рассеяния. Зависимость от углов определяется множите-
лем \Fn(q)\2/qi. Свойства функции Fn(.q) легко вывести из
свойств р„(г). Так, Е„(0) = 0. Если а — радиус атома, то функ-
ция Fn(q) в существенном отлична от нуля только в области
qa 1. В случае применимости борновского приближения
(у С 1) имеем kaa 1, т. е. энергия столкновения значительно
больше расстояния между атомными уровнями, которое имеет
порядок Й2//па2. Следовательно, (й0— kn)a имеет порядок 1/йоа.
Когда q меняется от k0 — kn до ka + kn, угол 0 меняется от нуля
до 2л, a qa меняется от 1/&оя до 2й0а (см. ур. (132)). Согласно
приведенным рассуждениям наибольшую вероятность имеет рас-
сеяние электрона в интервал углов, для которых qa <: 1, т. е.
в область малых углов
0^^-.
kaa
В принципе неупругое рассеяние можно использовать для изме-
рения координат электрона. Согласно предположению, попереч-
ные размеры падающего волнового пакета значительно больше
а и, следовательно, неопределенность величины поперечной
компоненты импульса значительно меньше Ща. Сразу после не-
упругого рассеяния, считая, что мы можем определить измене-
ние квантового состояния атома, координаты электрона стано-
вятся известны с точностью порядка а. Однако направление им-
пульса электрона становится известным лишь с точностью 1//гоЯ>
неопределенность в поперечной компоненте упомянутого им-
пульса имеет порядок Й/а. Это полностью согласуется с тем,
что было сказано в главе IV 1 тома об измерениях координат
(см. в частности, обсуждение измерений с помощью камеры
Вильсона, сноска7) на стр. 144. 1 тома).
§ 22. Кулоновское возбуждение ядер
Для иллюстрации обобщенного борновского приближения
вернемся к задаче, которая уже рассматривалась в § XVII. 3, и
при ее решении откажемся от использованного там классиче-
ского приближения.
Если не оговорено противное, то используются обозначения
§ XVII. 3. Будем считать энергию столкновения достаточно ма-
лой, так что справедливо условие (XVII. 28). С другой стороны,
условия (XVII. 29) и (XVII. 30), т. е. условия применимости
классического приближения, могут не выполняться. Так как
энергия столкновения меньше высоты кулоновского барьера
Ze2IR, протон «проникает» в ядро в процессе столкновения
очень незначительно. Следовательно, эффекты, вызванные ядер-
332
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
ными взаимодействиями, малы и в данный момент мы их рас-
сматривать не будем. Тогда столкновение описывается гамиль-
тонианом Я(0! 4- V.
Пусть а и b — набор данных, которые описывают начальные
и конечные условия столкновения, а Х(а} и Хь~} — соответствую-
щие собственные функции оператора Я<0>. Поскольку в Нт пе-
ременные, описывающие протон, и переменные ядра полностью
разделены, функция Ха+) есть произведение волновой функции
ядра в состоянии а и кулоновской рассеянной волны £а+)(г),
описывающей стационарное состояние рассеяния протона с энер-
гией Е и импульсом tika на потенциале Ze2/r. Точно так жеЛ*_<
есть произведение волновой функции ядра в состоянии р и ку-
лоновской волны ^_)(г) сходящегося типа1), которая описы-
вает состояние рассеяния протона с энергией (Е— ХЕ) и им-
пульсом tikb на потенциале Ze2/r. Так как Х(а+) не дает вклада
в канал р, точная формула (127) принимает вид
Ta->* = <WHV|Xa+’).
Если V рассматривать как малое возмущение, то его вкладом
в Чгг,-) можно пренебречь и заменить на Хь~\ получив,
в согласии с обобщенным борновским приближением (129), сле-
дующий ответ:
Та+ ь = <М_> IvI xL+)>.
Поскольку при г <. R волны X практически равны нулю, мы
можем заменить потенциал V его разложением (XVII. 34), что
дает
lt m
RT
4nZe
2/ + 1

(137)
Воспользовавшись формулой (115), получаем сечение кулонов-
ского возбуждения. Выражение для него аналогично выраже-
нию для сечения в полуклассической теории. Последнее полу-
чается из первого заменой RT на A (daR/dQ)2 S™, где положи-
тельная константа А определяется соотношением: А2 —
= 4n2hiva/M2Vb- Действительно, в пределе, когда выполнены
условия (XVII. 29) — (XVII. 30), основной вклад в интеграл RT
’) Ее разложение по сферическим функциям дает уравнение (77), в ко-
тором в качестве Fi беруется регулярные кулоновские решения. Отметим, что
»(—)__г(+>*
ь* -’ 6Д6 •
§ 22. КУЛОНОВСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ ЯДЕР
333
дает окрестность классической траектории, и применение ме-
тода стационарной фазы приводит к полуклассическому ответу.
Обсуждение правил отбора, которое было проведено в конце
§ XVII. 3, может быть без изменений повторено и в данном слу-
чае. В частности, если в эксперименте ядра мишени не ориен-
тированы и не измеряется поляризация возбужденных ядер, то
имеем
(Elen-
!_________I /и у qM и а\ I2
dQ (2/а + l)(2/0+ 1) 4л2Л4оа HP И** Иа/।
В приведенные выше рассуждения можно включить также и
ядерные взаимодействия. Пусть Vpa — потенциал ядерного взаи-
модействия протона с нуклонами ядра А. Потенциал Vpa очень
велик в области г < R и практически равен нулю при г > R.
Мы будем включать VpA в оператор Я(0). Удобно разбить потен-
циал V на внешнюю и внутреннюю части: V — Vint + Vext со-
гласно определению
( V, если г > R,
^ext ( 0, если г < R,
и часть Vint также включить в Я(0). После таких модификаций
использованное выше разделение переменных уже не имеет ме-
ста, а Хд+) и Хь~} не равны более чисто упруго рассеянным вол-
нам. Согласно обобщенному борновскому приближению имеем
Та+ь « т^ь + <М-> I 7ext | х!.+)>.
Первое слагаемое описывает ядерное возбуждение.
Оно равно амплитуде перехода, которая получается при замене
взаимодействия протона с ядром во внешней области (г > R)
чисто кулоновским взаимодействием. При этом возбуждение
а -> р возможно, только если протон проникает в ядро. Второе
слагаемое описывает собственно кулоновское возбуждение.
Из-за существования кулоновского барьера и характера
ядерных сил (короткодействующие и большие) волны Хд+) и Xl-’
при низких энергиях имеют узкие резонансы, подобные тем, ко-
торые исследовались в главе X (раздел IV). Зная характери-
зующие эти резонансы параметры — энергию, ширину резонанса
в различных открытых каналах — можно построить волны Ха+>
и Х(>_) во внешней области') и вычислить два члена ампли-
туды рассеяния. Вне резонансов протон практически не прони-
кает в ядро, амплитуда Т{аХь пренебрежимо мала, и ам-
‘) Детальное рассмотрение этого вопроса содержится в работе, упомя-
нутой в первой сноске к § 16.
334
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
плитуда кулоновского возбуждения с очень хорошей точностью
дается формулой (137), в которой волны X равны чисто куло-
новским рассеянным волнам. При переходе через резонанс вкла-
дом амплитуды Т(аХь нельзя пренебречь, а ее зависимость от
энергии имеет типично резонансный вид (см. ур. (64)). В то же
время амплитуда кулоновского возбуждения также несколько
модифицируется, на чем мы здесь не останавливаемся, и обе
амплитуды дают когерентный вклад в полное сечение.
§ 23. Функции Грина и интегральные уравнения
для стационарных решений рассеяния
Построение § 13 можно легко распространить на случай
столкновений сложных систем. С каждым из гамильтонианов
Н, На и т. д. можно связать соответствующую функцию Грина
[Е — Н ± is]-1, [Е — На± ie]-1 и т. д. За исключением несколь-
ких изменений в обозначениях, результаты § 13 остаются спра-
ведливыми и в данном случае. Они могут быть получены ана-
логичным образом, в частности, свойства (85), тождества (88),
(89), асимптотические выражения для этих функций. Напри-
мер, для каждого открытого канала у имеем (см. ур. (94))
,	,	1	,	Mv e±lkcrf
<rv । e-Н ±ie । u\ ~	<^(v. ± *c) Iu^’
(kc = kcrJQ.
Используя упомянутые свойства функций Грина, можно вывести
интегральные уравнения
= Фа +	УХ*’,	(138)
и т. д., а также формулы
^’ = (l+-£-kfe МФ«-	(140)
<141>
Из приведенных интегральных уравнений легко получить
борновское разложение для амплитуд переходов. Подставляя
в формулу (121) выражение (140) и раскладывая функцию
§ 24. РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦЫ НА ДВУХ ЦЕНТРАХ
335
Грина, получаем
<6 |Г|П> = <Ф»| (vp4-	£_д + и К,)|Ф.> =	(142)
-(Ф.|(^ + ^д-_я*а + ,, V.+	(143)
В тех частных случаях, которые рассматривались в разде-
лах I и II, амплитуды переходов можно было представить
в виде матричных элементов некоторого оператора Т, опреде-
ляемого формулой (101) или одним из интегральных уравне-
ний (102). В случае сложных столкновений нельзя определить
один такой оператор. Тем не менее, используя уравнение (142),
мы покажем, что любую амплитуду перехода из канала а в ка-
нал р при энергии Е можно рассматривать как матричный эле-
мент некоторого оператора Т&а, определяемого формулой
^"=1,е + >'ВД-й + ,-. V..	(144)
Отметим, что для столкновений с перераспределением
(Гр^ Га) эти матричные элементы не согласуются с обычным
определением матричного представления операторов, поскольку
векторы |Фа> и <<£>&!, встречающиеся в формуле

(145)
не ортогональны.
§ 24.	Рассеяние частицы на двух центрах
Основное достоинство формальных построений предыдущего
параграфа состоит в том, что они годятся для любых сложных
столкновений. Для того чтобы ближе познакомиться с этим
формализмом, рассмотрим несложную задачу о рассеянии ча-
стицы на двух рассеивающих центрах и получим ряд известных
результатов.
Пусть, например, электрон сталкивается с двумя атомами.
В дальнейшем мы не будем учитывать обменных эффектов и не
станем делать каких-либо предположений о длине волны нале-
тающей частицы.
Ядра атомов будем считать бесконечно тяжелыми, рассма-
тривая их как фиксированные центры. Ядро 1 выберем в каче-
стве начала координат и обозначим R вектор, соединяющий
ядра 1 и 2 (см. рис. 18). Предполагается, что расстояние R ве-
лико по сравнению с атомными размерами а С R. Столкнове-
336
ГЛ, XIX, ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
ние описывается гамильтонианом
Н=Н0+ V,
Но =	+ hi + й2,
V = Vt + V2,
(146)
(146')
(146")
где hi и h2 — операторы энергии атомов 1 и 2, a Vi и У2 — по-
тенциалы взаимодействия атомов с нале-
тающей частицей. Обозначим свободную
функцию Грина Go
G0^(E-/70 + /e)-’.
Матрицу перехода Т, связанную с рас-
сеянием частицы (упругим или неупру-
гим) на двух атомах, можно представить
в виде борновского разложения
T = V + VG0V+ FG0VG0V + .... (147)
Заменяя И на V\ + У2, получаем разложение Т по степеням Vi
и У2
T = Vi + У2 -1- VtG0Vt + VfioV2 + V2G0Vi + V2G0V2 +
+ V&ViGoVi + ViG0ViG0V2 + ... .
Мы не будем делать каких-либо предположений о величине
потенциалов Vi и У2. По этой причине приведенное разложение
не обязано быстро сходиться, и в том виде, как оно записано,
его нельзя использовать в качестве отправной точки какого-
либо приближенного метода. Однако можно так перегруппиро-
вать члены этого разложения, что в результате получится
быстро сходящееся разложение.
Такая возможность основана на следующем замечании. Рас-
смотрим матричный элемент члена второго порядка V[GoV2
в представлении, где диагоналей оператор г. Матричный эле-
мент свободной функции Грина Go содержит множитель
eife,r-r'|/| г — г' |, Поскольку потенциал V) сосредоточен в ма-
лой окрестности начала координат, а У2 — в малой окрестности
точки /?, то упомянутый множитель имеет порядок 1//?. То же
справедливо и для члена У2СоУ1- Грубо говоря, слагаемые
V1G0V2 и V2G0Vt в а/7? раз меньше слагаемых ViG0У] и У2С0У2.
Это же замечание относится и к остальным слагаемым. Оно
позволяет нам классифицировать различные члены в соответ-
ствии с тем, сколько раз Go стоит между Vi и У2. Мы будем на«
зывать членами первого порядка такие, в которых Go ни разу
не появляется между VT и 1/2, членами второго порядка, — если.
§ 24. РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦЫ НА ДВУХ ЦЕНТРАХ
337
Go появляется между 1Л и У2 один раз, ..., членами n-го по-
рядка,— если Go появляется (п — 1) раз, и т. д. Согласно этой
терминологии ViG0Vi и V2G0V2— члены первого порядка
a ViGofo, V2G0V1 — второго порядка.
Введем индивидуальные матрицы перехода 7\ и Т2
= Vi 4- ViG0Ti = Vi 4- ViG0Vi 4- ViGoViGoVi 4- ...	(148)
(/=L 2). .
Матрица перехода Tt отвечает рассеянию на атоме 1 в предпо-
ложении, что налетающая частица не взаимодействует со вто-
рым атомом. Аналогичный смысл имеет матрица перехода Т2.
Используя операторы 1\, Т2 и Go, просто записать вклады раз-
личных порядков. Искомые выражения определяются путем не-
сложного исследования структуры ряда. Первый порядок дает
7\ + Т2, второй порядок T\G0T2 4- T2GqTi и т. д. В результате
получаем
Т = (Л 4- т2) + (Т£йТ2 4- T2GJ\) 4-
+ (7’iG07’2G07’i + T2G0TiG0T2) + ... .	(149)
Разложение (149) является исходной точкой нашего под-
хода к данной задаче. Легко дать интерпретацию различным
членам этого разложения. Члены первого порядка отвечают
рассеянию частицы либо на атоме 1 (Л), либо на атоме 2 (Т2).
Рис. 19. Графическое изображение членов разложения (149).
Члены второго порядка отвечают двойному рассеянию; так,
член 7\GoT2 описывает рассеяние налетающей частицы на атоме
2 (оператор Т2), последующее распространение рассеянной ча-
стицы от атома 2 к атому 1 (оператор Go) и, наконец, рассея-
ние на атоме 1 (оператор 7\). Точно так же каждый член
порядка п описывает п последовательных процессов рассеяния
на атомах 1 и 2.
В связи с такой интерпретацией каждый член можно схема-
тически представить диаграммой того же типа, что и в неста-
ционарной теории возмущений (рис. 10). На рис. 19 изображены
две такие диаграммы.
338
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Разложение (149) связывает амплитуды переходов при рас-
сеянии на двух центрах с амплитудами переходов при рассеянии
на отдельных центрах.
Предположим, для простоты, что атомы тождественны друг
другу, и обозначим /(е) матрицу перехода с энергией е при рас-
сеянии на одном центре, т. е. при рассеянии частицы на одном
атоме, расположенном в начале координат.
Пусть \krnn) есть собственный вектор Но, который равен
произведению волновой функции <рт атома 1, волновой функции
<р„ атома 2 и плоской волны elftr, описывающей налетающую ча-
стицу с импульсом hk,
Но\ kmn} =	+ ет + en) I kmn}.
Мы пользуемся нормировкой, при которой
(k'm'n' | kmn} = (2л)3 6 (fe — k'} Ътт'Ъпп>.
Точно так же вектор \km) равен произведению плоской волны
eiftr на волновую функцию фт атома из задачи с одним рассеи-
вающим центром.
Из определения Л (148) легко получить, что
(k'm'n'\ Ti (Е)\ kmn) ~ ?>пп' (k'm' \t(E — en) \km}.	(150)
Аналогичным образом можно найти связь матричных эле-
ментов Т2 с элементами матрицы перехода при рассеянии на
одном атоме, расположенном в точке /?. Такая матрица пере-
хода получается из t(e) общим сдвигом на R и, следовательно
(задача 5),
(k'm'n' |Т2 (£)I kmn} = bmm^1 *(k'n' \t(E- em) \kn}.	(151)
Формулы (150) и (151) справедливы для любых переходов,
в частности, и в том случае, когда энергии состояний \krnn)
и [k'm'n'} отличны от Е.
§ 25.	Простое рассеяние. Интерференция
В качестве первого приложения разложения (149) вычислим
сечение упругого рассеяния частицы на двух атомах.
Допустим, что атомы находятся до и после рассеяния в ос-
новном состоянии фо- Пусть k0 и k — волновые векторы падаю-
щей и рассеянной волн. Таким образом, мы рассматриваем
переход (feoOO) -> (feOO) и имеем
k = k0, Е = ti№l2m + 2е0.
Чтобы вычислить амплитуду перехода, сохраним в разло-
жении (149) только члены первого порядка
ТкТ\ + Т2.	(152>
§ 25. ПРОСТОЕ РАССЕЯНИЕ. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
339
Принимая во внимание соотношения (150) и (151) и вводя обо-
значения
q = k — kQ,
(kQ\t(E — e0) |feoO) = <fe| 11Ло>,
находим
<fe00| T |ЛоОО> «И1 + е-г^](й|Н*о).	(153)
Мы увидим, что это соотношение дает амплитуду рассеяния
в рамках элементарной теории интерференции. Соотношение
(153) позволяет связать сечение упругого рассеяния на двух
атомах dS/dQ с сечением da/dQ такого же упругого рассеяния
на одном атоме, т. е. с сечением процесса (feoO) (&0). Первое
равно квадрату модуля элемента <fe001Т| feoOO>, умноженному на
соответствующий множитель, а второе сечение равно квадрату
модуля	умноженному на тот же множитель. Из соот-
ношения (153) следует
dS/dQ«2/(Q)dcr/dQ,	(154)
/(□) = 14- cos (qR).	(155)
Наличие в формуле (154) множителя /(Q) связано с явлением
интерференции волн, рассеянных каждым атомом. Не будь ин-
терференции мы имели бы равенство 7(Й) — 1 и сечение dS/dQ
было бы просто суммой сечений рассеяния на каждом из ато-
мов 1 и 2.
Мы получим обычные результаты, характерные для интер-
ференции, если исследуем поведение 7(й) как функции угла
рассеяния. Ограничимся обсуждением только двух предельных
случаев, когда длина волны X = 2n,/k много больше или много
меньше R.
Если X R, то qR 1 независимо от угла рассеяния и
/(Й)=2. Следовательно, сечение рассеяния на двух атомах
в четыре раза больше индивидуального сечения или в два раза
больше того ответа, который мы получили бы, если бы не было
явления интерференции.
В случае X <g R функция /(Й) при изменении угла рассея-
ния быстро колеблется между значениями 0 и 2. Пусть углы,
образованные векторами k0 и k с вектором R, равны а0 и а со-
ответственно. Тогда
„ 2п/? (cos а0 — cos а)
Следовательно, 7(Q) обращается в нуль всякий раз, когда
(cos а — cos а0) равно произведению Х/7? на полуцелое число,
340
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
и равно 2 всякий раз, когда (cos а—cos а0) кратно X//?. Соот-
ветствующие значения а определяют направления минимумов
и максимумов интерференции. Ширина интерференционных по-
лос имеет порядок X//?. Возможность наблюдения этих эффек-
тов зависит от угловой разрешающей способности детектирую-,
щей аппаратуры. Последняя регистрирует частицы, рассеянный
в некоторый телесный угол с конечными размерами 6Q =(ба)2.
Полное число регистрируемых частиц равно интегралу от
d'Z/dQ по этой конечной области. Зависимость от углов dlL/dQ
в этой области в основном определяется множителем I(Q).
Если 6а ^> Х/R, то функция I(Q) сильно осциллирует в области
интегрирования и ее можно заменить средним значением, не
меняя результата, т. е. 7(Q) — 1, и ответ получается такой, как
если бы рассеяние на двух атомах было некогерентным ')• Если
же ба X//?, то I (Q) практически не меняется в области ин-
тегрирования и разрешающая способность детектора доста-
точна для наблюдения явления интерференции.
Рассмотрим теперь неупругое столкновение, при котором
один из атомов переходит из основного состояния в возбужден-
ное. Пусть kn — волновой вектор рассеянной волны, тогда
Л2*2
Е — ~2^г + ео + еп-
Сечение d^n/dQ есть сумма сечений dSn0/dQ и d^On/dQ, кото-
рые соответствуют переходам (/гоОО)->(/г„пО) и (/foOO)->(fe„On).
В приближении (152), когда мы сохраняем в разложении для Т
только члены, отвечающие простому рассеянию, эти сечения
легко вычисляются. При переходе (/гоОО)-*(/г„пО) атом 1 воз-
буждается, а атом 2 остается в основном состоянии. Вклад от
Т2 очевидно обращается в нуль (см. ур. (151)), а вклад от Т\
дает dOn/dQ. — сечение процесса (feoO)->(fenn) —неупругого рас-
сеяния частицы на одном атоме. Переход (feoOO)->(fenOn) отве-
чает противоположной ситуации: обращается в нуль вклад от
Ti, а вклад от Т2 равен don/dQ. Окончательно,
______ d^n0 । dSon n dctn
dQ ~ dQ ‘ d!.l ~ dQ ‘
В отличие от упругого рассеяния каждый атом действует так,,
как если бы он был один в этом процессе: волны, неупруго рас-
сеянные атомом 1 и атомом 2, отвечают различным каналам и
не могут интерферировать.
’) Этот результат подтверждает и уточняет те условия из § X. 2, при вы-
полнении которых можно считать, что мишень состоит из независимых цент-
ров рассеяния.
§ 26. МНОГОКРАТНОЕ РАССЕЯНИЕ
34Г
§ 26.	Многократное рассеяние
Рассмотрим процесс (feoOO)->(kpq), при котором атомы 1 и 2
переходят из основного состояния в возбужденные состояния
р и q
р Л2*2 .	।
Е=~^Г +ер + еч-
Обозначим сечение этого процесса d%pq/dQ.
Поскольку при переходе меняются квантовые состояния
обоих атомов, вклад от членов простого рассеяния Т\ и Т2 об-
ращается в нуль и нам следует воспользоваться разложением
для Т вплоть до второго порядка. Это дает
{kpq | Т | йоОО) ~ Л12 + Л2ь
(156)
где
Xo^<fep<7|7’/G07'/IM0).	(157)
На рис. 20 изображены диаграммы для этих амплитуд дву-
кратного рассеяния.
2
(к"ро)7^^^~
(к„оо) ^7
<крч\тгС„т\коод>
^крЧ^С^^коОоу
Рис. 20. Диаграммы амплитуд двойного рассеяния.
Вычислим вначале Л2ь Чтобы воспользоваться условием
а С R, вычисления будем проводить в представлении {rmn}.
Используя коммутативность операторов Go, h\ и й2, находим
Л21 = j $ f2 (г") g (г", г') fi (г') dr" dr',	(158>
где
/, (Г') = (r'pO I7\ | *оОО> =	J eiA'r' {k'pO | Г11 k0QQ) dk', (159):
/2 (г") s {kpq | Т21 r"pO) =	J e-'*"''" {kpq | T21 k"pQ) dk",
(160)
iK |r"-r'|
g (r", r') s* {r"pO | Go| r'pO) = — -2^5- -e|f„_-r,-| 	(161 >
В последнем выражении положительная величина Кр опреде-
ляется из уравнения
г. k2K2p
Е = -2^Г + ер + е0.
342
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Мы будем использовать также вектор КР
kd^kpr/r.
В силу свойств оператора Ti функция fi(r') в существенном
•отлична от нуля только в области с линейными размерами по-
рядка а и центром в начале координат. Аналогичным образом
функция [г (г") в существенном отлична от нуля в такой же об-
ласти, но с центром в точке R. Следовательно, в интеграле (158)
мы можем заменить g(r", г7) первым членом его разложения
по степеням r'/R и (г" — R) /R. Возникающая при этом ошибка
в вычислении A2i имеет порядок a/R. Поскольку
\r"-r'\ttR + R(r"-R-r')IR +
имеем
iK р(г”-г')
-•	(162)
Подставляя выражения (159), (160) и (162) в правую часть
(158) и выполняя интегрирования, находим
А21 « - (т/2лЙ2Е) (kpq |Г2| КрР0) |7\ | йоОО>. (163)
Точно так же, определяя вектор Kq следующим образом:
Kq = — KqR/R, Е —  2rri + е° Н" е?>
получаем для А{2 выражение (с ошибкой порядка a/R)
А12 « - (т/2лЙ2Е) (/kpq 1| Kq0q) {Kq0q | Т21 feoOO>.	(164)
Отметим, что стоящие в выражениях (163) и (164) матричные
элементы 7\ и Т2 соответствуют переходам, сохраняющим энер->
гию. Воспользовавшись соотношениями (150) и (151), мы мо-
жем выразить A2i и А12 в терминах амплитуд перехода при не-
упругом рассеянии на одном атоме. То же верно и для сечения
процесса dK.pq/dQ, поскольку
2л
= I A2l I2 Р (£) +	1 Al2 Р р (Е) + -g- (А2‘, А12 + AM Р (£).
(165)
Произведя соответствующие вычисления, приходим к следую-
щему результату:
dSpq/dQ = (d<yp (ko -> Kp)/R2 dQ) (doq (Kp -> k)/dQ) +
+ (daq (й0 -> Kp)/R2 dQ) (dap (Kq -> k)/ dQ) +
+ интерференционные члены. (166)
§ 27. СТАЦИОНАРНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ СДВИГОВ ФАЗ
343
Вычисление интерференционных членов мы предоставляем чи-
тателю. Символ d<jn(k — k')/dQ в этом выражении обозначает
сечение неупругого рассеяния частицы на атоме (feO)->(fe'n).
Два первых члена в формуле (166) в точности совпадают
с теми, которые получаются при элементарном классическом
рассмотрении. Рассуждая классически, двукратное рассеяние
можно представлять себе двумя способами: либо частица вна-
чале неупруго рассеивается на атоме 1 в направлении атома 2,
а затем неупруго рассеивается на атоме 2 в конечном направ-
лении, либо вначале рассеивается на атоме 2 в направлении
атома 1, а затем — на атоме 1. Сечения этих двух процессов
участвуют в качестве первого и второго слагаемых в выраже-
нии (166). К ним следует добавить члены, отвечающие интер-
ференции двух типов рассеянных волн. Относительно этих чле-
нов можно сделать те же замечания, что и в § 25. Их наблю-
дение возможно, если разрешающая способность детектора до-
статочна для различия углов, разность которых имеет порядок
%//?.
Если X < а, то амплитуды рассеяния при отклонениях, пре-
вышающих К/a, практически равны нулю и существенны
только сечения рассеяния вперед. Следовательно, как легко ви-
деть из уравнений (163)—(165), двукратное рассеяние воз-
можно только в том случае, когда прямая, на которой располо-
жены атомы, с точностью до Х/а совпадает с направлением дви-
жения налетающей частицы, т. е. когда £0||Я или feoll (—R)-
В первом случае величина Л]2 пренебрежимо мала, а вели-
чина Л21 отлична от нуля при малых отклонениях, т. е. при
fe||fe0 с точностью до \/а частица вначале рассеивается на
атоме 1, а затем — на атоме 2 в направлении, почти совпадаю-
щим с первоначальным. Во втором случае порядок столкнове-
ний противоположный. На этих результатах основано наблюде-
ние «траектории» ионизованных частиц в камере Вильсона (см.
сноску7) на стр. 144 тома 1).
Раздел IV. ВЫЧИСЛЕНИЕ АМПЛИТУД ПЕРЕХОДА
ВАРИАЦИОННЫМ МЕТОДОМ
§ 27. Стационарные выражения сдвигов фаз. Обсуждение
Вариационный метод уже использовался для определения
уровней энергии (гл. XVIII). В настоящем разделе мы кратко-
рассмотрим его применение для вычисления сдвигов фаз и, в бо-
лее общем случае, амплитуд перехода. Для этого надлежит вы-
разить амплитуды как функционалы от волновых функций за-
дачи рассеяния, которые стационарны по отношению к вариа-
344
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
циям функций в окрестности их точного значения. Интеграль-
ные выражения для амплитуд перехода, полученные в преды-
дущем разделе, для этой цели не годятся, поскольку они не
стационарны. Например, выражение (54) для Tt, рассматривае-
мое как функционал от ф/, не является стационарным, когда
ф/ — точное решение радиального уравнения; аналогично вы-
ражение (127) для Та-^ь, рассматриваемое как функционал от
V;,-’, не является стационарным, когда Чгг,-) меняется в окрест-
ности своего точного значения. Было предложено несколько
стационарных выражений для амплитуд перехода. Мы приве-
дем здесь выражение, полученное Швингером ), которое ока-
залось наиболее удобным.
В этом параграфе мы рассмотрим случай частицы в цен-
тральном потенциале и получим стационарное выражение для
коэффициента Tt разложения амплитуды перехода по сфериче-
ским функциям (разложение (51)). За исключением нескольких
изменений, отмеченных ниже, мы следуем обозначениям § 9.
Если ф<,+) — полная стационарная рассеянная волна, то пар-
циальная волна фг удовлетворяет интегральному уравнению
(56). Имея в виду дальнейшее обобщение, перепишем послед-
нее в виде
ф/(г) = /Д^) + ^(+)Иф/,	(167)
где g')+)—интегральный оператор, ядром которого является
функция Грина
gl+) (г, г') ез — (2mk/h2) jt (kr^) h\+} (&/•>);	(168)
другими словами
оо
£(+>Еф; J §•<+) (г, и V (г') ф, (И г'2 dr'.
о
Будем также использовать обозначение <<pi, ф2> для скалярного
произведения двух радиальных функций фь <р2
ОО
(фр Ф2) = 5 Ч>1 (г) 9Р2 (r)r2 dr-
о	,
Тогда интегральную форму (54} для Tt можно переписать
в виде
	Tt^{jh Ифг).	(169)
) См. цитированную в начале этой главы работу Липпмана и Швингера.
-Обсуждение относительных преимуществ различных выражений, предложен-
ных для вариационного вычисления сдвигов фаз, имеется в статье М. Мое,
D. S. Saxon. Phys. Rev. Ill, 950 (1958).
§ 27. СТАЦИОНАРНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ СДВИГОВ ФАЗ
345
Введем обозначения
А [ф] \h, Уф) = (ф*, Vh} = \h(kr) V(rWr)r2dr, (170)
0
в [м>1 = (Ф*, (V - VtfW) ф) = $ -Ф2 (Г) V (г) г2 dr -
О
- J J (Ф (Г) V (г) g<+> (г, г') V (г') ф (г')) Г2 dr Г,г dr'	(171)
о о
и рассмотрим функционал
^№-4.	(172)
зависящий от функции ф. Область изменения ф ограничена
только условием локальной интегрируемости функции г2|ф|2.
Как очевидное следствие соотношений (167) и (169) имеем
Отметим также, что функционал ST i не зависит ни от нор-
мировки функции ф (он не меняется при умножении ф на про-
извольную постоянную), ни от значений, которые принимает ф
в области, где У(г)= 0. Следовательно, i принимает то же
самое значение Tt для любых функций ф/, которые удовлетво-
ряют менее жесткому условию, чем уравнение (167).
ф^ (г) = С/, (Аг) + £|+>Уфр если V (г)=#=0	(167а)
(С — произвольная постоянная).
Вычислим вариацию &Г i как функцию от бф. Согласно оп-
ределению (172)
б;Гг=~бД--^-дВ.
Вариация 6Л равна
6Л = j бф И (г) /г (kr) г2 dr = (бф*, Vii},
о
и принимая во внимание, что V вещественно, a (г, г') сим-
метрично по г и г', для вариации 6В получаем
6В = 2 (бф*, (И -	ф).
346
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Следовательно, мы можем записать
W, F),
где
F (г) = В ад V (г) ц (kr) - А [Ц,] V (г) (ф - g<+> П|>).
Для того чтобы I = 0 при любых бф, необходимо и доста-
точно, чтобы F(r) = 0. Для этого необходимо, чтобы ji(kr) и
ф — §-)+)Уф были пропорциональны друг другу в-области, где
V(r) отлично от нуля, т. е. чтобы -ф была одной из функций,
удовлетворяющих уравнению (167а). Легко показать, что это
является также и достаточным условием. Итак, стационарное
значение tTi равно искомой амплитуде
Ti = ^t\3V	(173)
Чтобы в вычислениях участвовали только вещественные
функции, мы выделили вещественную и мнимую части g)+y(r, г').
Вещественная часть будет функцией Грина
(г, г') = — (2mkth2) (kr^ nl (kr^),
и мы получим
g(+) (r, г') = g<i) (Г) г') — i (2mk/tl2) (kr) jt (kr').
Подставляя это выражение в определение ST i (т. е. в выраже-
ние (171) для В[ф]), мы можем переписать (171) в эквива-
лентной форме
т-i __ ^--1	_ (v~	, 2mk
1	1 st“ </рГ4>)2 st + z К
и так как из уравнения (52) имеем
ТГ1 — i (2mk/h2) == — 2mk ctg
то получаем следующее стационарное выражение для Actg6j:
, . А А2
6ctg6z— 2m (/г 7<р)2
st
* ф2Иг2 dr - $ $ (ф (г) V (r) g(tl> (г, г') V (г') ф (r')) r2 drr'2 dr
h2 о______________о о_______________________________________________
2m	Г30	l2
J h (kr) V (г)-ф (г) r2 dr
Lo	J
st
(174)
§ 28. ВАРИАЦИОННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ СДВИГА ФАЗ
347
Можно показать, что функцию ф;, для которой правая часть
уравнения (174) стационарна, можно брать вещественной и
что это условие вещественности пробных функций не меняет
полученного вариационного свойства.
§ 28. Вариационные вычисления сдвига фаз. Обсуждение
Отправной точкой при вычислении сдвигов фаз вариацион-
ным методом служит уравнение (174). Для вычисления функ-
ционала в правой части подставляют вместо ф пробную функ-
цию <р, зависящую от нескольких параметров, и определяют
значение получившейся функции, стационарное по отношению
к вариации этих параметров. Чем ближе будет пробная функ-
ция <р к точному решению ф, тем ближе будет приближенное
значение k ctg 6/ к точному значению. Как уже указывалось, и
в этом заключается основное достоинство вариационного ме-
тода Швингера, результат не зависит от нормировки ф и от
значений, которые принимает эта функция в областях, где по-
тенциал V обращается в нуль. Следовательно, для того чтобы
этим методом получить близкий к точному ответ, достаточно
взять такую пробную функцию, общий вид которой совпадает
с формой точного решения в области действия потенциала.
Оценка погрешности основана на этих полуколичественных
рассмотрениях и является, как и при вариационном вычислении
энергетических уровней, в значительной степени эмпирической.
Если мы ограничимся подстановкой в правую часть (174)
свободной волны ji(kr) вместо ф, то получим
й2 1 - А,	,
£ctg6z = —Vj^ ,	(175)
где
л _ </г.М»7/г)
Л'=	(/рЧ,)	*	(176>
Эта формула a priori точнее формулы борновского приближе-
ния (ур. (X. 75)). В пределе, когда Д; <?С 1, она эквивалентна
борцовскому приближению второго порядка, в случае же, ко-
гда величина Д/ не мала, эта формула, зачастую, значительно
точнее.
Для сравнения этих двух методов рассмотрим рассеяние
s-волны прямоугольной ямой в пределе низких энергий. Возь-
мем
Иг)-{
г<г0,
Г > Го-
(177)
348
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Будем вычислять длину рассеяния
а= — lim (ActgS)-1,
fe-*0
используя упомянутые выше методы и сравнивая полученные
результаты с точным ответом. Вычисления не представляют
1
труда и, вводя обозначения & = (2/пУ0г2/Й2)2, результаты мо-
.жно записать следующим образом:
точный ответ	а = —	— 1) г0,
ib2
вариационное вычисление ((175)) avar =----х—г0,
l-4-b*
О
борновское приближение	ав = — Ьгг0,
О
второе борновское приближение а$ = — (^- Ь2 +	гй.
Критерий применимости борновского приближения выражается
неравенством (43), а именно:
1
•
(Ь является мерой глубины потенциала, т. е. числа связанных
s-состояний). В табл. I приведены численные результаты, СО'
ответствующие четырем предыдущим формулам. Отметим, что
zivar остается хорошим приближением для относительно боль^
ших значений Ь, включая интервал у л < b < л, в котором,
конечно, борновское приближение не сходится.
§ 29. Распространение метода на сложные столкновения
Предыдущие методы могут быть перенесены на более общие
задачи теории рассеяния. Не входя в детали всех возможных
расширений, мы ограничимся рассмотрением стационарного
выражения для матрицы перехода в случае упругого или не-
упругого рассеяния двух составных частиц.
Если не оговорено противное, то будем придерживаться
обозначений раздела III. Амплитуда перехода а-+Ь дается
равенством
Та+ Ь =. (Ф„ I Ур I Ч^+)) = I Va I Фо>.
§ 29. СЛОЖНЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
349
Таблица I
Сравнение вычисленной различными методами длины рассеяния
как функции параметра Ь — (2mV0r^ / И2)'/г
(га выбрано в качестве единицы длины)
ь	Точное вычисление а	Формула стационарности (175) flvar	Борновское 2-Й порядок	приближение 1-й порядок 4'
0 0,1л 0,2л 0,3л 0,4л Л 2 0,6л 0,7л 0,8л 0,9л л *) О = ОО С гией. ’•) avar ot	0 -0,034 -0,156 —0,460 -1,449 оо •) 2,63 1,63 1,29 1,11 1,00 ©ответствует сущее ращается в бескон	0 -0,034 -0,156 -0,459 -1,428 —63,2 •*) 2,81 1,72 1,38 1,21 1,12 твоваиию связанного ечность и меняет знак	0 -0,034 -0,152 -0,401 -0,859 —1,63 -2,9 состояния с ну при 6 = 0,503л.	0 —0,033 -0,132 —0,296 -0,296 левой энер-
Эти выражения не стационарны по отношению к вариациям
Чга+> или ЧГ(Г). Поскольку мы рассматриваем процесс рассея-
ния, то невозмущенные гамильтонианы равны, и можно исполь-
зовать обозначения
Яа = Яр = Я0, Иа = Ир = У,
G^ = G^ = [E- Но + «]-*.
Известно, что
|Фа)-(1-С'+)И)|^+)),
<фй1 = <^_,|(1-VG^+>).
Амплитуда Та-+ь дается также выражением
_<^-’|Г|фа)<ф6|7|Чг<+>>
<^-)|(7-VGr)V)|’F(a+>>'
(178)
Это выражение стационарно по отношению к независимым ва’
риациям функций Чга+) и Чг&“). Оно является обобщением ста»
ционарного выражения для Ti, приведенного в § 27.,
350
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Исключая простейшие случаи, такие как столкновение двух
элементарных частиц, при практическом использовании этого
выражения наибольшие трудности связаны с получением яв-
ной формы функции Грина GoT>. Иногда оно может быть ис-
пользовано в тех рассуждениях, где явная форма Go+) не тре-
буется. В любом случае это выражение имеет довольно огра-
ниченную область применения.
Раздел V. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МАТРИЦЫ ПЕРЕХОДА
Ряд свойств Г-матрицы непосредственно следует из харак-
терных свойств гамильтониана, который описывает столкнове-
ние. Некоторые из них уже отмечались в предыдущих разде-
лах, однако не подчеркивалась их большая общность. Система-
тическое исследование этого вопроса будет проведено в настоя-
щем разделе.
§ 30. Сохранение потока. S-матрица
Некоторые свойства Г-матрицы являются простым след-
ствием эрмитовости описывающего рассеяния гамильтониана Н.
Среди них полученные нами в § 19 интегральные представле-
ния (121) и (122). Используя тот же метод, мы получим два
новых соотношения, которые называются соотношениями со-
хранения потока.
Используя обозначения § 19, рассмотрим две стационарных
волны Wa+), отвечающие одной и той же энергии Е. Имеем
Ч^+)* (tfWL+)) - (Я¥^+))’ ^+) = 0.
Следовательно, величина, которая получается в левой части
после суммирования по спинам и интегрирования по конечному
объему в конфигурационном пространстве, равна нулю. Приме-
няя теорему Грина, преобразуем эту величину в поверхностный
интеграл, который имеет вид суммы членов, относящихся к раз-
личным каналам, в пределе, когда поверхность стремится к бес-
конечности (см. сноску к § 19). Находим
lim W*. W'+>}v = 0.	(179)
x-u z/nv я ->oo
v	V
Сравним левую часть этого уравнения с правой частью урав-
нения (119). Для вычисления заменим функции Чгь+), Чга+) их
§ 30. СОХРАНЕНИЕ ПОТОКА. 3-МАТРИЦА
351
асимптотиками в каждом канале, тогда получим
litn (е’^Ч fJ>(Q )	+
2Л*М.->00 I	'а(3 ' М
р	р
4-2	f	Ч
еЧ.+
+х<д-1	-=о.
Вычисление вклада двух первых членов проводится тем же
способом, что и в § 2. Третий член представляет собой сумму
по всем каналам, включая а и 0, которую легко вычислить, ис-
пользуя определение символа {.. .}v; в отличие от вычислений
§ 19 вклад этого члена не равен нулю. Окончательно получаем
р
+Е тН ftf (2о ft? (а«) =°-
V
Заменяя согласно определению (114) f(Q) матричными элемен-
тами Т-матрицы, получаем
{Ь | Т1 а) - {Ь | Т+| а) + 2я1 £ pv (Е) J (6 |Т+1 n> dQv (и |Т| а) = 0.
v	(180)
Здесь п обозначает плоскую волну в канале v, распространяю-
щуюся вдоль Qv, и использовано определение плотности состоя-
ний
„ / р\ _ Mykn
PvW— (2n)3ft2 •
С другой стороны, определяется обычным эрмитовым сопря-
жением
(т | 1 п) == {п | Т | пг)*.
Предыдущие преобразования можно проделать также, взяв
вместо W(+) волны Т(_). Тогда получим соотношение
£	Hm	wHv = 0,	(179')
V	Ry->^
которое связано с (179) заменой а на b и W<+) на Для
вычисления левой части достаточно сделать необходимые под-
становки в предыдущих выкладках и использовать определение
352
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
матричных элементов Т (114') вместо (114). Тогда получим
(b |Т| а} - <&|Г+|а> + 2ш £ pv(E) J <6 |Г| n)dQy (п |Т+| а) = 0.
v	(180')
Приведем другое, более формальное доказательство соотношений (180)
и (180'). Из соотношений
<& | Т | а) = <ФЬ |	| Фа) + <Ф& I Vp Б__^ + ie Va | Фа),
<& | Т+ | а) = <ф(, I Va | Фа) + <Фь | Кр	va I Фа),
вычитая их почленно и используя свойства (124) и (А.15в), получим
<& I (Г — Г+) | а) = — 2л/(Фй | VpS (£ - Я) Га | Фа). (181)
Предположим, что множество стационарных волн отвечающих непре-
рывному спектру Н (и дополненное множеством подходящим образом норми-
рованных собственных векторов дискретного спектра, если последний суще-
ствует), образует полное ортонормированное множество собственных векто-.
ров Н и, следовательно, справедливо соотношение замкнутости
(2л)"3 £ |	I = 1	<182)
п
(суммирование проводится по всему спектру Н, включая дискретный спектр).
Предположим также, что и Чг<[+' удовлетворяют соотношению замкнутости
(2л)"3 £ К+,)(Ч^+)| = 1.	(182')
Л
Преобразуем скалярное произведение в правой части (181), используя (182)t
к виду
(2л)-3 £ <Ф6 |	| б (£ - £„) <ЧН") | Va | Фа) =
п	- -
= £pv(£) J<&|7+|»)dQv(»|T|a),
V
из которого следует соотношение (180). Таким же образом, используя (182'),
можно получить соотношение (180').
Матричные элементы Т и Г+ между любыми состояниями
а и b удовлетворяют уравнениям (180) и (180х). Их можно за»
писать короче
Т — Т+ + 2гаТ+7: = 0,	(183)
Т - Т* + 2л1ТТ‘ = 0,	(183')
подразумевая суммирование по опущенным индексам в произ’;
ведениях матриц Т?Т и ТТ?, т. е. для каждого индекса v еле-.
§ 31. ОПТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА
353
дует учесть множитель pv(£'), дающий плотность состояний
в канале v. Заметим, что все матричные элементы здесь берутся
между состояниями с энергией Е.
Введем матрицу 5
S-1 -2шТ.	(184)
Эта матрица описывает столкновения при энергии Е, и так же,
как для Т, ее матричные элементы определяются между состоя-
ниями с энергией Е. Выражая Т и в уравнениях (180) и
(180х) через S и 5+, находим
SfS = S5+=l.	(185)
5-матрица унитарна.
Можно также показать, что если U(t, t') —оператор эволюции системы, то
3 = lira U(t, i').
co
— 00
Доказательство этого утверждения требует большой осторожности при пере-
ходе к пределам и здесь не приводится (см. 1-ю сноску к этой главе).
§ 31. Соотношение Бора—Пайерлса—Плачека
(оптическая теорема)
Рассмотрим соотношение (180) в частном случае, когда
а=&. (N. В. соотношения (180) и (180х) совпадают при а=Ь.)
Тогда имеем
(а | Т | а) - (а | Т | а>* = - 2ш £ J | (и | Т | a) I2 pv (£) dQv.	(186)
V
С точностью до множителя 2л/Йиа интеграл в правой части ра-
вен сечению dca-*nldQ,v и, следовательно,
I J I IгI <> f Р, (Е) rfSv = > X $
V	V
где — полное сечение рассеяния, соответствующее состоя-
нию а. Возвращаясь к (186), имеем
Ga ~~ hva
Для того чтобы преобразовать это выражение к более привыч-
ному виду, выразим Таа в терминах амплитуды рассеяния впе-
ред	КОТОРУЮ мы обозначим fa(0) (см. ур. (114))
Taa^<aiTia) = -^fa(O).
12 А, Мессиа
354
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Тогда
a‘°‘ = -g-Imfa(0).
(187)
Получили формулу Бора — Пайерлса — Плачека, связываю-
щую полное сечение с мнимой частью амплитуды рассеяния
вперед.
§ 32.	Микрообратимость
Если Н инвариантен относительно обращения времени, го
матрица Т удовлетворяет соотношению микрообратимости (см.
§ XV. 20)
Ткь^ Ка — Та_, ь.	(188)
Это соотношение уже было доказано для случая рассеяния
частицы на вещественном потенциале (§§ 3 и 14). Формальное
доказательство § 14 можно также использовать и в общем слу-
чае с очень незначительными модификациями. Пусть, как и ра-
нее, К — оператор обращения времени; начальное и конечное
состояния, которые получаются из а и Ь обращением времени
(изменение знаков импульсов и спинов), обозначим Ка и КЬ
соответственно
Ф« = КФ»,	Фл-а^КФи-
Для доказательства соотношения (188) используем выражение
(142), которое определяет амплитуду интересующего нас пе-
рехода:
Тк.Ь^Ка — (Ф/fa I [ Va “Ь	[? — Н + ie si' Ф*"*) =
= «фа 1Я+)[иа + va —~ + 1е vp] (я 1Ф»».
Поскольку К — антиунитарный оператор, коммутирующий с Н,
и Ур, то получаем
Гм,к„=<Ф(|[ио+	иффа) =
-(МП.+ ^-я-н. к„]|,1>д>.
Вторая строчка следует из (124) и равна согласно (142) ампли-
туде Та-»ь.
Возводя обе части (188) в квадрат и переписывая результат
в терминах сечений с1са-^ь/с1Щ и бюкь-+ка/<1О;а, получаем соот-
ношение микрообратимости для сечений
Vb dOKb-> Ka/f>a (£) dQa = Va d°a->blf>b (£) d^-	(I89)
§ 33 СВОЙСТВА ИНВАРИАНТНОСТИ Т-МАТРИЦЫ
355
Здесь мы использовали тот факт, что vKb — vb, рка = Ра- Из оп-
ределения скорости и плотности состояний (ур. (XVII. 52)) для
каждого канала имеем равенства
vnPn = Pn/<2W = k2n/(2n)3 ft.
Следовательно, соотношение (189) можно переписать, при
условии, что dQa = dQg = dQ, следующим образом:
^bd^b^a = kld^b.	(190)
§ 33.	Свойства инвариантности Т-матрицы
Исследуем теперь следствия инвариантности Н по отноше-
нию к вращениям, отражениям и вообще к преобразованиям,
которые представляются унитарными операторами.
Если Н, На и инвариантны относительно данного унитар-
ного преобразования X, то справедливо соотношение (ср.
§ XV. 13)
Тха->ХЬ — Та^Ь-	(191)
(V. В. Это соотношение отличается от соотношения микро-
обратимости по содержанию реакции, описываемой амплитудой
в левой части.)
Для доказательства (191) необходимо только заметить, что
согласно определению (144) оператор также инвариантен
относительно преобразования X
и, следовательно,
Тха^ХЬ (ф6 I Х^Х I Фа) = <ФЙ I	I Фа> = Та-> Ь.
Из (191) легко получить следующее соотношение для сечений:
daxa-»xb~ daa->b,	(192)
которое подобно соотношению (190).
Предположим теперь, что полный гамильтониан Н и различ-
ные «невозмущенные» гамильтонианы На, Н$, ..., инвариантны
относительно преобразований некоторой группы G. Как мы уви-
дим, это приведет к некоторым свойствам Г-матрицы, аналогич-
ным тем, которые были получены в § XV. 11 для матриц, задаю-
щих наблюдаемые, инвариантные по отношению к G.
Будем использовать обозначения § XV. 11 и рассмотрим два
определенных там множества наблюдаемых J и М. Пусть v —
один из каналов, открытый для столкновений при энергии Е.
Операторы Hv, J и М образуют набор коммутирующих наблю-
12*
356
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
даемых. Обозначим через |vEvTv/|x> векторы общего базиса (мы
будем предполагать, что это стандартный базис, отвечающий
группе G, хотя такое ограничение несущественно). Индекс v со-
ответствует рассматриваемому каналу, Еу— собственное значе-
ние Hv, j и (1 обозначают собственные значения J и М соответ-
ственно, tv — дополнительное квантовое число, которое меняется
в области, зависящей от значений Ev, j и ц. Векторы |v£vTv/H>
ортонормированы
(ЧМ1 | vE'^iV) = б (Ev - Fv)	.
Будем для простоты считать индекс rv дискретным. Так обстоит
дело в случае 2-частичного канала, если G — группа вращений
или содержит ее как подгруппу. Тогда rv принимает конечное
число дискретных значений.
Рассмотрим столкновение при фиксированной энергии Е и
переход из некоторого канала v в другой канал v'; согласно
высказанной выше гипотезе соответствующий оператор 7’vv/ (оп-
ределение (144)) инвариантен относительно преобразований из
группы G. Как очевидное обобщение свойства (XV. 52) имеем
(yExyjii | Tvv' | v'Er у'i'll') = 5//' 6W' <VTv | T(/) |	(193)
где (vtv I T(/) i v'tV') зависит от квантовых чисел /, rv и rv> и не
зависит ст ц. Все следствия, вытекающие из инвариантности по
отношению к группе G, содержатся в уравнении (193).
Следовательно, каждой паре (vv') открытых каналов соот-
ветствует некоторое число коэффициентов (vtv |Г(/)| Те
из коэффициентов, которые отвечают данному значению / (/ и Е
фиксированы; v, tv, v' и tV' меняются), образуют квадратную
матрицу, которую мы обозначим Т</>. Она аналогична Г-маг-
рице, только ее размерность, как правило, значительно меньше.
В частности, если G содержит группу вращений, а во всех от-
крытых каналах имеется не более двух частиц, то — конеч-
ная матрица; если же открыт только один канал и обе частицы
бесспиновые, то 7'(/) — одномерна, т. е. представляет собой
число, равное с точностью до легко определяемого множителя
коэффициенту Г/ в разложении (51).
Легко разложить амплитуду перехода Та^ь в ряд из матриц
TU\ Для этого рассмотрим формулу (145), которую мы преоб-
разуем, используя соотношения полноты для стандартных бази-
сов, отвечающих каналам а и р, и свойство (193). Коэффи-
циенты разложения зависят от проекций плоских волн Фа и Ф&
на базисные векторы. Обозначая Ф„ плоскую волну с энергией
Е в канале v, можно записать:
<Ф„ | vEyTyin) = 6(Е — Еу) <Ф„ | VTyin}.	(194)
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
357
Используя это обозначение, после небольших вычислений нахо
дим
Та+ b = Е Е <Ф* I ₽Vn> (₽Te | Т™ I ата) (ата/|х |Фо). (195)
Полученное разложение обобщает (51). Как и последнее, оно
особенно полезно в случае быстрой сходимости; это верно для
ядерных столкновений, когда длина волны во входном и вы-
ходном каналах велика по сравнению с радиусом действия ядер-
ных сил, именно в такой ситуации разложение (195) исполь-
зуется чаще всего (см. 1-ю сноску к § 16).
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1.	Доказать асимптотическое свойство
ехр (iqr) ~ [б (Qr - Qq) - б (Q, + £2?) е-гИ + О ( -И :
г->оо 1Ч'	X Г /
(i)	используя разложение плоской волны по сферическим функциям и со-
отношение полноты для последних;
(ii)	исследуя непосредственно асимптотику
ехр (iqr) ср (Qr) dQr
(<р(й) — непрерывная функция направления J! (6 ср); йг и й,— направ -
ления, соответствующие векторам г и q).
2.	Показать, что для двух плоских волн ехр (iqir), exp(iq2r) с одинако-
вой длиной волны (</1 = q2) справедливо точное равенство
{ехр (iqtr), ехр (iq2r)} = О,
каково бы ни было Л (определение {...} см. в § 2).
3.	Вычислить сечение рассеяния в борновском приближении:
(i)	для прямоугольной ямы глубины Vp и радиуса а;
(ii)	для гауссова потенциала
V = Vo ехр (- г2/«2);
(iii)	для потенциала Юкавы
„ Ур ехр (— Кг)
Кг
Оправдать для этих трех частных случаев утверждения § 4, относящиеся
к общему виду высокоэнергетического углового распределения; определить
асимптотический вид полного сечения.
4.	Рассмотрим гамильтониан частицы массы m в поле короткодействую-
щего потенциала V (г), (гУ 0)
Д=- (h2/2m) Д + V (г).
358
ГЛ. XIX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
При энергии Е = h2k2/2m и моменте I радиальное уравнение имеет вил
L аг*	г*	п* J 1
Обозначим Fi(k-,r) регулярное решение, «z+) (k; г) и (k; г) — «уходящее» и-
«приходящее» решения соответственно. Эти решения нормированы так, что-
Fi(fe: r)r^oosin (?г -Т/я + б/)’
(k; г) ~ exp i ---------/л)] •
(i)	Показать, что стационарные волны Ф^** (определения § 2) даются сле-
дующими формулами:
чг*±>=Еil ехр z6()Y™*(i} (?) Fi (k'r)>
Im
(ii)	Показать, что функции G-(r, г'), определяемые формулами
G<±> (r, /) = __!_£ exp (± ZSZ) Yf (г) УГ (?') Az (fc r<) «<*’ (E r>>
Im
являются функциями Грина оператора Е— Н, т. е. симметричными по г и г*
функциями, удовлетворяющими уравнению
(Е - Н) G(±) (г, г') = S (г - г'),
а их асимптотическое поведение имеет вид
G(±)(r,r') ~ -^--ХР Y--r) (гЭ (fe = *r/r).
(Формулы справедливы также и для потенциалов V с асимптотическим пове-
дением 1/г, если подходящим образом определить Г; и соответствующие
изменения произойдут и в асимптотике G(±).)
5.	Доказать формулу (151).
«Я черна, но собою прекрасна
(Песнь песней, 1. 5)
ЧАСТЬ V
ЭЛЕМЕНТЫ
РЕЛЯТИВИСТСКОЙ
КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ

ГЛАВА XX
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Раздел I. ОБЩЕЕ ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Релятивистская квантовая механика1)
В предыдущих главах в основе всех вычислений в квантовой
теории лежало уравнение Шредингера. Это уравнение, полу-
ченное из гамильтонова формализма нерелятивистской класси-
ческой механики по принципу соответствия, обладает всеми
свойствами инвариантности функции Гамильтона, из которой
оно получено. В частности, для изолированной системы оно ин-
вариантно относительно пространственных вращений и трансля-
ций. Можно также показать, что оно инвариантно относительно
преобразований Галилея (см. задачу XV. 7). Следовательно, фи-
зические свойства, которые предсказывает теория Шредингера,
инвариантны относительно галилеевских преобразований си-
стемы координат, но не инвариантны относительно преобразо-
ваний Лоренца, как того требует принцип относительности. По-
скольку преобразование Галилея получается-из преобразования
Лоренца при скоростях, малых по сравнению со скоростью
света, естественно ожидать, что упомянутая теория будет кор-
ректно описывать явления только при скоростях v с (это под-
тверждается экспериментально). В частности, все явления, ко-
торые включают взаимодействие света и вещества, такие как
излучение, поглощение или рассеяние фотонов, находятся вне
рамок нерелятивистской квантовой механики.
Одна из основных трудностей, которые возникают при по-
строении релятивистской квантовой механики, связана с тем,
что нарушается закон сохранения числа частиц. В силу эквива-
лентности энергии и массы (одно из важнейших следствий прин-
ципа относительности) возможно рождение или поглощение ча-
стиц всякий раз, как только при взаимодействии происходит пе-
редача энергии, равной или превосходящей энергию покоя этих
частиц. Таким образом, полная релятивистская квантовая тео-
рия должна содержать в единой схеме динамические состояния,
') Для чтения этой главы рекомендуется ознакомиться с разделами I и II
Дополнения Г.
362
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
отличающиеся не только квантовым состоянием, но также видом
и числом элементарных частиц, которым эти состояния соответ-
ствуют. Для этого необходимо обратиться к концепции кванто-
ванного поля, в связи с чем релятивистскую квантовую теорию
часто называют теорией квантованных полей или квантовой
теорией поля. В том состоянии, в котором эта теория находится
в настоящее время, она не свободна ни от трудностей, ни даже
от противоречий, но способна объяснить множество эксперимен-
тальных фактов.
Последняя, пятая часть этой книги служит введением в тео-
рию квантованных полей и дает элементарные методы вычис-
ления ряда релятивистских эффектов, относящихся к динамике
электрона и взаимодействию электромагнитного поля с заря-
женными частицами.
Эта часть состоит из двух глав.
В настоящей главе рассматривается простейшая задача ре-
лятивистской квантовой механики: частица спина 1/2 в задан-
ном внешнем поле. Наиболее важным примером такой ситуа-
ции является электрон в электромагнитном поле. Поле не кван-
туется, и эволюция системы должна описываться волновым
уравнением, которое обладает всеми свойствами инвариантно-
сти, вытекающими из принципа относительности.’ Уравнение
должно удовлетворять также принципу соответствия и в нере-
лятивистском приближении давать теорию Паули. Такое урав-
нение существует и называется уравнением Дирака. После крат-
кого обзора группы Лоренца и релятивистской классической
динамики (раздел I) мы приводим уравнение Дирака (раздел II)
и подробно исследуем его свойства инвариантности (раздел III).
В оставшейся части этой главы мы обсуждаем физическое со-
держание теории и, рассматривая основные приложения урав-
нения Дирака, исследуем его связь с классической динамикой
(раздел IV), нерелятивистской квантовой механикой (разделУ)
и квантовой теорией поля (раздел VI).
Вторая глава посвящена концепции квантованного поля, эле-
ментарной квантовой теории электромагнитного излучения и его
взаимодействию с атомными и ядерными системами.
§ 2. Обозначения и различные определения
Единицы. За редким исключением мы будем пользо-
ваться системой единиц, в которой
h = с = 1
и, следовательно, время имеет размерность длины, энергия, им-
пульс и масса имеют размерность обратной длины, а электри-
ческий заряд является безразмерной величиной (е2 = е2/йс —
§ 2. ОБОЗНАЧЕНИЯ И РАЗЛИЧНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
363
— 1/137). Общие выражения могут быть легко восстановлены
из соображений однородности.
Координаты. Задание момента времени t и точки г =
= (х, у, г) обычного пространства определяет точку простран-
ства-времени. Обозначим координаты этой точки х°, х1, х2, х3;
х° = ct — координата времени, а х1, х2, х3— три пространствен-
ных координаты: х1 == х, х2 = у, х3 =s z. Мы будем использо-
вать индексы 0, 1, 2, 3 для обозначения компонент четырехмер-
ных векторов ') и тензоров по осям 0, 1, 2, 3 соответственно.
Пространственно-временные компоненты 4-векторов или тен-
зоров будем обозначать греческими буквами. Эти индексы
могут принимать четыре значения: 0, 1, 2, 3; латинские буквы
будем использовать для обозначения компонент в обычном про-
странстве, они могут принимать значения 1, 2, 3. Таким обра-
зом :
хм (х°, хк) (х°, х1, х2, х3),
(ц = 0, 1, 2, 3), (k = 1, 2, 3).
Метрический тензор, ковариантные и к о н -
травариантные индексы. Пространство-время имеет
псевдоевклидову метрику, которая задается метрическим тен-
зором
1 О
О — 1
О
О
О
о
о
Sv-v о
О
0-1 О
О 0-1
или иначе
goo — 1, gkk — — 1,
guv = 0, если р ¥= V.
(О
Следует различать ковариантные векторы (которые преоб-
разуются как д!дх^) и контравариантные векторы (которые пре-
образуются как х^1), а также ковариантные и контравариантные
компоненты тензоров. Следуя общепринятому соглашению, ко-
вариантные индексы пишут внизу, а контравариантные — на-
верху. Так, а^ означает контравариантный вектор. Соответствую-
щий ковариантный вектор получается применением метриче-
ского тензора:
«и = Е g^av,
что дает
а0 = a0, ak = — ak.
’) Для краткости также будем писать 4-вектор, 4-тензор.
364
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Мы будем пользоваться соглашением о суммировании по по~
вторяющимся индексам. При этом предыдущее выражение при.
мет компактный вид
«и = под-
операция поднятия индексов осуществляется применением
тензора g»”
а* gnva^
В данном случае мы имеем
Кроме того,
где dj — символ Кронекера
v Г 1, если p = v,
ц ( 0, если ц =т^ v.
Трехмерные векторы, четырехмерные век.
торы, скалярное произведение. Мы сохраним обозна-
чения, которыми пользовались ранее, для векторов обычного
пространства или 3-векторов, обозначая вектор буквой жирного
шрифта, а его длину — той же буквой обычного шрифта.
Три пространственных компоненты вектора а>1 образуют
3-вектор. Используя принятые обозначения, имеем следующее;
аи = (сЕ°, а1, а2, а3)^=(а0, а), а^(ах, ау, аг),
.I	1
а' = ах, а2 = ау, а3 = аг, а = (аа)2 = [а2 + а2 + а2]2.
Иногда мы будем обозначать 4-вектор просто а, когда
это не приведет к путанице с длиной 3-вектора а.
Скалярное произведение двух 4-векторов а^ и получается
при свертке контравариантных компонент одного с ковариант-
ными компонентами другого, т. е. а^Ь^ или
а^ = а11Ь^ = арЬ° — ab.	(2)
Норма вектора а* равна а^а^— (а0)2 — а2.
Классификация 4-векторов. Четырехмерные век.
торы можно разделить на три класса в соответствии со знаком
их нормы:
а^аР <0 а11 — пространственно-подобный вектор,
— 0	— нуль-вектор,
>0 аУ — времениподобный вектор.
§ 2. ОБОЗНАЧЕНИЯ И РАЗЛИЧНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
365
Эта классификация соответствует положению вектора по от-
ношению к световому конусу х^х» = 0. Два последних случая
можно классифицировать в зависимости от знака временной
компоненты:
а° > 0 — вектор направлен в будущее,
а° < 0 — вектор направлен в прошлое.
Градиент. Дифференциальные о п е р а т о р ы. Мы
сохраним обозначения V = (д/дх, д/ду, д/dz) и А = VV.
Четыре оператора частных производных д/дх* образуют ко-
вариантный вектор, который мы обозначим символом
дц = д/дх» = (д/дх3, д/дх1, д/дх2, д/дх3) (д/dct, V).	(3)
Это оператор градиента.
Мы будем использовать также «контравариантный градиент»
dF^g»vdv^ (д/dct, -V).	(4)
Определим оператор Даламбера ') (ср. § II. 12)
(5)
Тензор еЧ^Р. Тензор 6^lvp определяется как полностью ан-
тисимметричный тензор, компоненты которого равны 0, если
какие-либо два индекса совпадают, -ф1, если (Xpivp) образуют
четную перестановку индексов (0, 1, 2, 3), и —1, если (Xpvp)
образуют нечетную перестановку.
Электромагнитное поле. Электромагнитный по-
тенциал состоит из векторной A (r,t) и скалярной <p(r, I) ча-
стей, которые образуют четырехмерный вектор 4й
А).	(6)
Электрическое ё и магнитное Ж поля определяются по фор-
мулам
ё = - V<p - дА/дх», Ж = rot А.	(7)
Компоненты векторов ё и Ж образуют антисимметричный
тензор F^v в пространстве-времени согласно определению
	F = 1	dAv дх»	dxv '	(8)
что дает				
	/ 0	Sx	Sy	Sz \
	>1 •р 111 1 1 »s н	0	— 0	'HP 1 • (9>
	\-&г -	- <Жу	'HP <™x	0 '
’) Ряд авторов использует обозначение □ для оператора, отличающегося
от введенного нами знаком.
3 66
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Мы будем использовать также векторный оператор
Оц + геЛ = (^рг+И>> V — /еД) .	(10)
§ 3. Группа Лоренца
Преобразованием Лоренца системы координат называется
вещественное, линейное преобразование координат, сохраняю-
щее норму пространственно-временного интервала. Новые коор-
динаты х'^ точки в пространстве-времени получаются из старых
л.'* по формулам
Вещественный вектор av определяет трансляцию пространствен-
но-временных осей. В дальнейшем преобразования трансляций
мы будем рассматривать отдельно, а преобразованиями Ло-
ренца назовем однородные преобразования (а|1 = 0)')
х^ = Й^.	(11)
Поднимая или опуская индексы у матрицы Q1J, можно по-
лучить матрицы Пц, QM'V, QnV (например, й’1'’= gv₽Qpi). Задание
одной из этих матриц определяет преобразование Лоренца.
Условия вещественности и инвариантности нормы имеют вид
Q^v = Quv,	(12)
йЦуйцХ =	= бу.	(13)
Следовательно,
det | Qy | = + 1	(14)
и обратное преобразование можно записать в виде
х = х Пу	(1,э)
Такие преобразования образуют полную группу Лоренца-.
группу вещественных линейных преобразований, сохраняющих
скалярное произведение четырехмерных векторов.
Если й00 > 0, то преобразование сохраняет знак временной
компоненты времениподобных векторов. Такие преобразования
называются ортохронными, они образуют ортохронную группу
Лоренца.
Если дополнительно и det|й“|== 1, то преобразование со-
храняет ориентацию (правую или левую) осей координат
в обычном пространстве. Множество таких преобразований об-
Группа, образованная преобразованиями Лоренца и трансляциями,
обычно называется неоднородней группой Лоренца пли группой Пуанкаре.
§ 3. ГРУППА ЛОРРНЦА
367
разует собственную группу Лоренца, которую мы будем обо-
значать S’q.
Преобразования собственной группы Лоренца можно рас-
сматривать как последовательность бесконечно малых преобра-
зований. Матрица бесконечно малого преобразования имеет
вид
guv “Ь ®nv>
где величины о)|П, являются бесконечно малыми. Условия (12)
и (13) дают
V = V +	= °-	(16>
Следовательно, — вещественный антисимметричный тензор..
Положим
= - <а) = 8»^ ~ g^gva. .	(17)
Тензор Z^P — антисимметричен и имеет две отличных от нуля
компоненты: pi = a, v = |3 и ц = |3, v = а, одна из которых
равна +1, а другая —1. Пусть е есть бесконечно малая вели-
чина, тогда
р- — eZ(a3)
о цv	|AV
есть матрица бесконечно малого преобразования Лоренца, от-
вечающего «вращению» на угол е в плоскости х“х₽.
Существует шесть бесконечно малых преобразований такого
вида. «Вращения» в плоскостях х'х2, х2х3 и х3х' есть вращения
на угол е в пространстве вокруг осей Oz, Ох, Оу соответственно.
«Вращения» в плоскостях хгх°, х2х°, х3х° представляют собой
специальные преобразования Лоренца (переход к движущейся
системе координат со скоростью 8 в направлении Ох, Оу, Oz со-
ответственно ').
Кроме бесконечно малых преобразований можно определить
преобразования различных отражений: пространственного от-
ражения s (х° = х°, xk — —xk) и отражения времени t
(х° =— х°, xk = xk). Ортохронная группа состоит из группы
’) Если новые координаты получены из старых вращением на конечный
угол ф вокруг оси Oz, то имеем
х'1 = х1 cos ф + х2 sin ф, х'2 = х2 cos ф — х1 sin ф, х’3 — х3, х'° = х°.
Если они получены из старых при специальном преобразовании Лоренца со
скоростью v = tg ф, направленной вдоль Ох, то имеем
х'1 = х'ch ф — х° sh ф, х'° = х° ch ф — х1 sh ф, х'2 = х2, х'3=х3.
Рассмотренные выше преобразования отвечают случаю, когда ф = е — беско-
нечно малой величине.
368
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Т аблица I
	Det |	а00	Обозначения группы
^0	+1	>0	собственная
5^0	-1	>0	ортохронная
	-1	<0	полная
stZa	+1	<0	
З’о, отражения s и преобразований из произведения s3?0. Пол-
ная группа образована преобразованиями из S’o, sS’o. tS’o и
st3?0. Свойства этих четырех подмножеств полной группы при-
ведены в табл. I.
§ 4. Классическая релятивистская динамика
Напомним динамические свойства классической релятивист-
ской частицы с массой покоя т и с зарядом е в электромагнит-
ном поле (<р, А).
Обозначим v скорость частицы
" =	(18)
Определим релятивистскую массу М и механический им-
пульс ') л:
М = —j—-	(19)
Vl - v2	v ’
Набор (Л4, л) есть 4-вектор, норма которого равна
М2-л2 = т2	(20)
и который направлен в будущее (М > 0).
Если нет внешнего поля, то частица двигается равномерно
и прямолинейно: v есть величина постоянная.
Во внешнем электромагнитном поле траектория частицы
удовлетворяет уравнению
=	+	=	(21)
Это основное уравнение релятивистской динамики материаль-
ной точки. Вектор F называется силой Лоренца.
!) Не путать с импульсом, который в этой книге определяется как пере-
менная, канонически сопряженная к координате (см. примечание на стр. 62
тома 1).
§ 4. КЛАССИЧЕСКАЯ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
369
Из уравнения (21) следуют уравнения:
^. = (t,F) = e(wg>),	(21')
А(гХ*) = гХГ	(22)
которые определяют зависимости от времени массы и момента
количества движения.
Если определить собственное время т частицы по формуле
_1_ ________________________________
dx = (dx11 dx^)2 = д/1 — v2 dt,
то приведенные соотношения можно записать в ковариантной
форме. Определим 4-скорость
dx^ С dt v dt\ ,	n
-dT) (ыЧх=1),
умножение которой на т дает механический 4-импульс
л^ = mid1 = (М, л).
Уравнения (21) и (21') эквивалентны формально ковариант-
ному уравнению
или
dx т Uv’
где F^v — тензор электромагнитного поля (ур. (8) — (9)).
Приведенные уравнения движения можно вывести в рамках
лагранжева или гамильтонова формализма (см. задачу 1.5).
Импульс р и энергия Е образуют 4-вектор р*, который связан
с дч соотношением
/ = ли + еЛ“,	(24)
т. е.
Е — М + еср, р = л -f- еА.
Функция Гамильтона равна
Н = еф + V(P — еА)2 + т2,	(25)
что согласуется с соотношениями (24) и (20). Используя это
равенство, получаем гамильтоновы канонические уравнения
= -g-=-egrad(T-vA).
370
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Первое уравнение есть определение скорости, а второе эквива-
лентно уравнению (21), что легко установить, используя опре-
деления & и Ж (ур. (7)) и равенство
4r=(4+v^rad)A
Раздел II. УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА — ГОРДОНА И ДИРАКА
§ 5. Уравнение Клейна—Гордона
Построение релятивистского волнового уравнения для элек-
трона является сложной задачей из-за наличия у электрона
спина. Найдем вначале релятивистское волновое уравнение для
частицы спина 0, например, л-мезона. Такая частица не имеет
внутренних степеней свободы и ее волновая функция Т может
зависеть только от г и t. Обозначим массу частицы т, заряд е
и предположим, что она находится во внешнем электромагнит-
ном поле (<р, А).
При выводе волнового уравнения будем действовать эмпири-
чески, руководствуясь принципом соответствия. Это гарантирует
нам получение классических уравнений движения в случае,
когда справедливо квазиклассическое приближение.
Напомним правило соответствия Шредингера
£—p>-zV.	(26)
Вводя р^ = (Е, р), получаем
Р1 -> id’1.	(26')
Из выражения (25) для гамильтониана имеем
Е — вф + л/(р — еА)2 + т2,	(27)
откуда, используя (26), следует волновое уравнение
(г gt — бф) = [(4-v — еАу + т212 Чг.
Данное уравнение обладает двумя серьезными недостатками.
Во-первых, асимметрия пространственных и временной коорди-
нат не позволяет увидеть явной релятивистской инвариантности.
Во-вторых, в правой части стоит квадратный корень, которому
трудно придать смысл оператора, за исключением случая
А — 0.
Оба недостатка исчезают, если в качестве исходной точки
выбрать соотношение (20), которое дает
(£ - еф)2 - (р - еА)2 = т2.	(28)
§ 5. УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА — ГОРДОНА
371
Это соотношение эквивалентно более общему соотношению,
чем (27)
£ = eq) ± д/(р — е&У2 + т2>
(2С)
Классическим решениям отвечает знак «+»; знак «—» дает ре-
шения с отрицательной массой, что не имеет физического
смысла. Таким образом, выбирая в качестве исходного соотно-
шение (28), мы вводим лишние решения с отрицательной мас-
сой.
Применение правила соответствия к (28) дает уравнение
Клейна — Гордона
-у- — еф) — V — еА^ j 'У = m2W,
(30)
которое можно также записать в явно релятивистски инва-
риантном виде
+ щ2) Ф [(^ + ieAJ (<Г + /еЛм) + m2] W = 0. (307)
Рассмотрим кратко интерпретацию этого уравнения !). Огра-
ничимся для простоты случаем, когда внешнее поле равно
нулю. Уравнение приобретает простой вид (см. § II. 12)
(□ +m2)4f = 0.
(31)
Это дифференциальное уравнение второго порядка по вре-
мени и для определения Чг при всех временах необходимо знать
в начальный момент как Ч*-, так и dxV/dt. Возникшую трудность
легко обойти, если постулировать, что динамическое состояние
системы в данный момент определяется не одной функцией Т,
а двумя —Ч7 и dW/dt или их линейными комбинациями
Иначе говоря, состояние системы определяется волновой функ-
цией с двумя компонентами Ф и %. Такая волновая функция
удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка
по времени, которое легко получить из уравнения Клейна — Гор-
дона. В нерелятивистском пределе энергия частицы приблизи-
тельно равна ее массе покоя т. и
следовательно, у « Ф. Одна из компонент становится прене-
брежимо малой по отношению к другой, и мы получаем нереля-
') Более потное изложение содержится в статье Н. Feshbach, F. Villars.
Rev. Mod. Phys. 30, 24 (1958).
372
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
тивистскую теорию Шредингера, в которой динамическое со»
стояние частицы со спином 0 определяется однокомпонентной
волновой функцией.
Для интерпретации волновой функции необходимо опреде»
лить плотность вероятности положения частицы Р и плотность
вероятности потока /, которые удовлетворяют уравнению вепре»
рывности (см. § IV. 4)
# + ?/ = О,	(32}
или, вводя обозначение	j), получим
д^ = 0.	(33>
Функции Y и V* удовлетворяют уравнению (31), следова-
тельно,
(□ W) - (□ чп т = о
и, используя определение оператора Даламбера, имеем
[4f‘ (W) — (сИР*) Ч^] = 0.
Уравнение непрерывности будет выполнено, если выбрать
пропорциональным выражению, стоящему в квадратных скоб»
ках. Коэффициент пропорциональности выбирается так, чтобы
в нерелятивистско.'л пределе получилось обычное определение
Г = lir № (<ЭиЧ') - (cHF* )ф],
т. е.
р (r п = — Гщ* — ^2. Ajr~|
v ' 2т L dt dt *J’
1	(34>
Исследуя выражение (34) получаем, что плотность P(r, I)
не является положительно определенной. В этом заключается
основная трудность, связанная с уравнением Клейна — Гордона.
Другая трудность, связанная с предыдущей, относится к «ре-
шениям с отрицательной энергией». Если, например, рассматри-
вать плосковолновые решения уравнения без внешнего поля
Ч; = ехр[—Z(E7 — рг)],
то, подставляя это выражение в (31), получим
Е = ± д/р2 + ^2 •
Следовательно, существуют решения с отрицательной энергией
-д/р’ + т2. Их появление, очевидно, вызвано упоминавшимся
§ 6. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
373
выше введением в теорию отрицательных масс (было бы более
корректным называть их решениями с отрицательной массой;
однако при нулевом внешнем поле различие между массой и
энергией иллюзорно). Для преодоления этих трудностей мы,
следуя Паули и Вайскопфу1), изменим интерпретацию 4-век-
тора /и и определение средних значений. При новой интерпре-
тации теории величина ер отвечает 4-вектору плотности тока,
в частности, eP(r, Г) есть плотность электрического заряда. Сле-
довательно, уравнение (33) выражает закон сохранения заряда.
С другой стороны, число частиц не сохраняется, что вызвано
возможностью аннигиляции или рождения пар частиц с проти-
воположными зарядами. Последовательное рассмотрение таких
явлений возможно только в теории поля. При выбранной интер-
претации мы получаем теорию одного заряда, а не одной ча-
стицы. В теории Дирака нам удастся построить положительно
определенную плотность Р, однако мы увидим, что трудность,
связанная с отрицательными энергиями, остается, и теорию Ди-
рака также нельзя считать удовлетворительной одночастичной
теорией (раздел VI).
§ 6. Уравнение Дирака
Перейдем к построению релятивистского волнового уравне-
ния для электронов. Следуя Дираку, будем поступать по анало-
гии с нерелятивистской квантовой механикой.
В нерелятивистской теории электрон описывается двухком-
понентным спинором, который при вращениях преобразуется,
как момент импульса, равный 1/2. Поэтому в релятивистской
теории электрон должен описываться волновой функцией, кото-
рая состоит из нескольких компонент и изменяется определен-
ным образом при преобразованиях Лоренца, Обозначим фДг,/)
компоненту с номером s волновой функции Д. Тогда Д можно
записать в виде матрицы, состоящей из одного столбца:
Как и в нерелятивистском случае, волновую функцию Д
в данный момент времени можно рассматривать как функцию
пространственных координат г и внутренних, или спиновых, пе-
ременных s (s = 1, 2, ..., N). Такая волновая функция задает
) W7. Pauli, V. Weisskopf. Helv. Phys. Acta 7, 709 (1934); см. также ци-
тированную в предыдущей сноске статью Н. Feshbach, F. Villars.
374
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
некоторый вектор состояния |i|>(0>> а пространство § таких
состояний есть тензорное произведение
S = #«» ®
пространства <^(0) орбитальных переменных и пространства
спиновых переменных; волновая функция ф отвечает этому век-
тору в подходящем представлении
Ф (г, s; /) s 1|)S (г, 0 = (г$ |ф (/)).
Продолжая аналогию, мы определим плотность вероятности по-
ложения частицы формулой
N
P(r, t)= Zl	(35)
s= 1
В соответствии с такими гипотезами волновое уравнение
должно иметь вид
(36)
где HD — эрмитов оператор в пространстве векторов состояния.
Действительно, поскольку ф полностью определяет динамиче-
ское состояние электрона в данный момент времени, волновое
уравнение должно быть первого порядка по времени, а для того,
чтобы гарантировать самосогласованность нашего определения
P(r, t), оператор HD должен быть эрмитовым (см. § IV. 3).
Поскольку мы ищем релятивистское волновое уравнение,
естественно потребовать, чтобы оно обладало формальной сим-
метрией между пространственными координатами и временем,
т. е. было уравнением первого порядка и по отношению к про-
странственным переменным.
Рассмотрим вначале электрон в случае, когда внешнее поле
равно нулю. Гамильтониан должен быть инвариантным отно-
сительно трансляций и, следовательно, не зависит от г. Учиты-
вая все вышесказанное, его можно записать в виде
НD = ар -j- pm,	(37)
где оператор р получается по правилу соответствия (26), т. е.
р = — z'V, a а (ax, ау, az) и р означают 4 эрмитовых опера-
тора, действующих только на спиновые переменные. Если ис-
пользовать обозначение Е = id/dt, то волновое уравнение можно
записать в виде
[Е — ар — pm] Ф = 0.	(38)
Для определения аир мы воспользуемся принципом соответ-
ствия и потребуем, чтобы решение этого уравнения удовлетво-
ряло уравнению Клейна — Гордона
[Е2 — р' — ni2j Чт — 0.	(39)
§ 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДИРАКА
375-
Умножая уравнение (38) слева на оператор [Е + ар + pm], по-
лучаем уравнение второго порядка
ГД - 2 (a*)2 (Pk)2 ~ P2m2 - 2 (а*а' + pkp‘ ~
[ k	k<l
- S (а*₽ + pa*) mpk] Ф = 0.
Полученное уравнение и уравнение (39) тождественны, если
4 оператора аир антикоммутируют, а их квадраты равны 1
(а*)2 = 1, akal alak = 0	(&=#/),
Р2=1, а*Р + ра* = 0.	(4°)'
Уравнение (38), в котором матрицы аир эрмитовы и удовле-
творяют соотношениям (40), называется уравнением Дирака.
Для того чтобы получить уравнение Дирака, описывающее
электрон во внешнем электромагнитном поле (<р, Д), нужно сде-
лать подстановку
Е->Е — еф, р->р — еА	(41)
(е — заряд электрона: е < 0). Тогда получим
[(£ — вф) — а (р — еЛ) — Pm] = 0,	(42)
т. е.
[(г — еф) — а (— iV — еА) — ₽mj = 0.	(43)
Сравнивая полученное уравнение с уравнением (36), находим
выражение для гамильтониана Дирака при наличии внешнего
поля
/7д = вф + а(р — еА) Д pm.	(44)
§ 7.	Построение пространства <Т(Л,)
Представление Дирака
Нам осталось сконструировать пространство Операто-
рами в этом пространстве являются четыре основных оператора:
р, ах, а,у, аг и различные функции от этих операторов. Простран-
ство <?T(S> должно быть неприводимым по отношению к этому
набору операторов.
Для построения ^(s) мы используем свойство эрмитовости
четырех основных операторов и соотношения (40), которые оп-
ределяют их алгебраические свойства.
Эги свойства аналогичны свойствам трех операторов сц, а?,
о3 нерелятивистской теории спина 1/2. В этом случае размер-
ность пространства спиновых переменных равна двум. Оно
строилось следующим образом. Так как о3 — эрмитов оператор
376
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
и сг|=1,то его собственными значениями могут быть только ±1,
Более того, с каждым собственным вектором ст3 можно связать
другой собственный вектор, отвечающий собственному значению
противоположного знака. Рассмотрим, например, вектор | +>,
такой, что ст3|+> = |+>- Тогда в силу антикоммутативности стз
и Qi для вектора |—>s=oj|4-> получим <т3|—>=(—1)|—>.
В результате имеем Ст]|±> = |Т> и ст3|±> = (±1) |±>. Следо-
вательно, пространство, натянутое на векторы |+> и j—>, ин-
вариантно по отношению к действию операторов ст3 и cti и по
отношению к функциям от этих операторов (а именно ст2
= i<7i<73). Из способа построения пространства видно, что оно
неприводимо, следовательно, нами построено искомое простран-
ство В представлении, где базисными векторами являются
|+> и |—>, операторы стц ст2 и ст3 задаются матрицами Паули
(см. § ХШ. 19 или формулу (VII. 65)).
Сведем задачу построения <^(s) к предыдущей. Рассмотрим
операторы ах, оу, стг и рь р2, р3, определяемые равенствами
стг = — iaxay> ох = — iaya2, оу = — ia2ax, (45)
Рз = ₽. Pi = <7гаг = — iaxayaz, р2 = гр^з = — $ахауа2. (46)
Четыре основных оператора выражаются через р и о по фор-
мулам
₽==Рз. ай = Р1ст\	(47)
Таким образом, построение свелось к построению про-
странства, неприводимого по отношению к операторам р и а.
Легко показать, что:
(i)	каждый оператор р коммутирует с каждым о;
(ii)	о — три антикоммутирующих эрмитовых оператора,
квадраты которых равны единице;
(iii)	р — три антикоммутирующих эрмитовых оператора,
квадраты которых равны единице.
Следовательно (см. § VIII. 7):
(i) есть тензорное произведение
&& == <^(р) ® g’W
пространства <^(р>, неприводимого по отношению к р, и про-
странства ^(а), неприводимого по отношению к ст;
(ii) размерность равна двум и оно может быть по-
строено приведенным выше способом;
(iii) размерность также равна двум и оно может быть
построено тем же способом.
Таким образом, размерность пространства равна четы-
рем.
В следующих разделах мы покажем, что операторы о свя-
заны со спином, ар — со знаком энергии, поскольку уравнение
§ 8. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
377
Дирака, так же как и уравнение Клейна — Гордона, имеет ре-
шения с отрицательной энергией. В частности, мы увидим, что
а есть полярный векторный оператор, а о = (ах, ау, ог) — ак-
сиальный векторный оператор. Кроме того, формально имеем
а X а = 2z,o.	(48)
Оператор спина электрона есть */2 о, а знак энергии опреде-
ляется собственным значением оператора р = р3.
Динамическое состояние электрона определяется волновой
функцией ЧГ, имеющей 4 компоненты, что в два раза больше,
чем в нерелятивистской теории частицы со спином '/г. Пред-
ставление, в котором р и о задаются матрицами Паули (см.
ур. (VII. 65) — (VII. 66)), называется представлением Дирака.
В этом представлении каждая компонента отвечает определен-
ной ориентации спина по оси Oz и определенному знаку энер-
гии.
§ 8.	Ковариантная форма уравнения Дирака
Дирак первоначально получил свое уравнение в форме (43).
Такая запись удобна для физической интерпретации и пере-
хода к нерелятивистскому пределу. Получим форму уравнения
Дирака, которая симметрична относительно временной и про-
странственных координат и более предпочтительна в тех слу-
чаях, когда основную роль играют вопросы релятивистской ко-
вариантности.
Умножим уравнение (43) слева на р, тогда, вводя обозна-
чения
у!1 = (уО, yl, у2, уЗ) (уО, у),
у0 = р, V — ра,	(49)
получим
[zVAi — m] 4Z = [у11 (цЭц — еЛц) — т] 4Z = 0.	(50)
Свойства yt1 легко получить, используя определения (49) и
свойства аир. Десять соотношений (40) переходят в десять
соотношений
yt*yv -|- у^у** = 2g^v.	(51)
Условия эрмитовости аир эквивалентны условиям
у0+ — уО, у£+ _. — yfe(	(52)
которые можно записать в компактной форме
у(*+ = yOyUyO.	(53)
378
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Удобно распространить на операторы у правила подъема и
опускания индексов
Yu = gpvYv.	(54)
Отметим, что
Yo = Y°> Nk = — Yft,	(55)
y^yJ-y’1.	(56)
§ 9.	Сопряженное уравнение. Определение тока
Выше мы построили положительно определенную плотность
вероятности (ур. (35)). Как отмечалось, эрмитовость гамильто-
ниана Дирака гарантирует самосогласованность этого опреде-
ления. Определим плотность тока и покажем, что для решений
уравнения Дирака плотность тока удовлетворяет уравнению
непрерывности. Вначале рассмотрим этот вопрос, используя
•форму Дирака, а затем повторим рассуждения с ковариантной
формой.
Допустим, что выбрано некоторое представление для р и а,
тогда волновая функция Д есть матрица-столбец
/’I’1 X
Ш_| Ф2 I
I Фз Г
У Ми'
Обозначим эрмитово-сопряженную к ней
Д+ == (•ф;д;ф;д*).
Операторы в спиновом пространстве являются матрицами 4X4.
Можно определить скалярное произведение, в котором сумми-
рование происходит только по спиновым переменным. Обозна-
чим такое скалярное произведение простыми скобками. Тогда
плотность Р можно записать в виде
Р (г, f) (Д+Д).	(57)
В качестве другого примера рассмотрим матричный элемент р.,<
матрицы р, стоящий в строке s и столбце t (s, t — 1, 2, 3, 4),
тогда имеем
(д+рд) Z дХА-
Пусть Д — решение уравнения Дирака
i = HD4 = Ге<р + £ <?(- i ~ - еД*) + р/n] Д, (58)
§ 9. СОПРЯЖЕННОЕ УРАВНЕНИЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОКА
379
тогда Чг+ есть решение эрмитово-сопряженного уравнения, ко-
торое получается комплексным сопряжением уравнения (58) и
заменой каждой матрицы в нем на транспонированную:
i _ ^HD = - е<рФ+ - У 6’ А - еА^ ~	(59>
ог	г—‘ \ дхя )
k
Умножая скалярно уравнение (58) слева на Чг+, а уравнение
(59) справа на Фи складывая, получим
«4^) = - i £ тг	(60)
U L	О ХК
Слева стоит производная по времени от плотности вероятности
Р, а справа—дивергенция некоторого вектора j(r, t)
j(r, /)s(tW).	(61}
Полученная величина /(r, t) и представляет собой искомую
плотность тока, а уравнение (60) есть уравнение непрерывно-
сти
^ + v/ = o.
Можно повторить приведенные выше рассуждения, исполь-
зуя ковариантную форму уравнения Дирака (ур. (50)). Эрми-
тово-сопряженным к уравнению (50) будет
(- id* - еЛД V V1' - т^' = 0,	(62)
(где символ	обозначает матрицу-строку из четырех эле-
ментов (d4r+/<5x’x)у|1+). Удобно ввести обозначение
Ф = Т+у°,	= фу°.	(63)
Умножая уравнение (62) справа на у0 и учитывая соотноше-
ния (53), получим уравнение
(-	— еЛД Фуи - тФ = 0,	(64>
которое эквивалентно (59). Величина Ч' называется сопряжен-
ной к Д', а уравнение (64) — сопряженным уравнением.
Умножая скалярно уравнения (50) слева на % а (64) —
справа на Т и вычитая их, имеем
1дц (Фу"Т) = 0.
Определим четырехмерный вектор плотности тока
Г^(фу'д).	(65)
380
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Тогда предыдущее уравнение эквивалентно уравнению непре-
рывности
<V = o.
Легко показать, что /и = (Р, /); таким образом, мы записали
уравнение непрерывности в ковариантной форме. В следующем
разделе мы покажем, что четыре компоненты /и действительно
образуют 4-вектор.
Раздел III. СВОЙСТВА ИНВАРИАНТНОСТИ
УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
§ 10.	Свойства матриц Дирака
Прежде чем рассматривать свойства инвариантности уравне-
ния Дирака, изучим свойства 4X4 матриц у^ = (у°, у1, у2,
которые удовлетворяют соотношениям
yUyV yVy I — 2g^vI,	(66)
где / — единичная матрица. Матричные соотношения (66) яв-
ляются аналогами соотношений (51) между операторами, од-
нако рассматриваемые здесь матрицы не обязаны удовлетворять
условиям унитарности (53). Все свойства, которые мы получим,
будут следовать только из соотношений (66).
Матрицы у4. Поскольку матрицы у*1 антикоммутируют,
а квадрат любой из них равен -\-1 или —I, то любое произве-
дение нескольких матриц у»1 равно, с точностью до знака, одной
из 16-ти матриц ул, приведенных в табл. II. Матрицы ул сгруп-
пированы в пять классов (S), (V), (Т), (А) и (Р), каждый из
которых содержит 1, 4, 6, 4 и 1 элементов соответственно (при-
чины такой классификации станут ясны в конце этого раздела
(см. § 14)).
Таблица II
Матрицы ул
Обозначения	Явный вид	
	(УЛ)2 = /	(УЛ)2 = -/
III 1Л?- o'" ю" о *	о> Д; III III	III III	III ~ >- Д	£ < S S S s S	/ Y° yiyo y2y° ysy° yly2y8	у1	у2	у3 у2уЗ	уЗу1	yly2 у0у2уЗ	уОуЗу!	уОу!у2 у0у!у2уЗ
§ 10. СВОЙСТВА МАТРИЦ ДИРАКА
381
Ясно, что квадраты этих матриц (ул)2 равны +/ или —/;
шесть матриц, квадраты которых равны 4-7, расположены в ле-
вом столбце, десять матриц, квадраты которых равны —/, рас-
положены в правом столбце.
Из всех этих матриц только единичная матрица I коммути-
рует со всеми остальными. Если у4 #= /, то она антикоммутирует
с 8 из 16 матриц и коммутирует с 8 оставшимися.
В частности, матрица у5, которая определяется следующим
образом *):
у5 == у°у1 у2у3,	(67)
антикоммутирует с уц:
у5уВ уНу5 — о,	(68)
а ее квадрат равен
(у5)2 = . I.	(69)
Обратные матрицы (уд). Определим матрицы уи соот-
ношением
Y(l = ^vYv.	(70)
Очевидно, что
Как следствие, мы получим обратную к матрице ул, если в ее
выражении через матрицы у** изменим порядок их следствия на
обратный и каждую матрицу у>* заменим на уц. Обозначим по-
лучившееся выражение уд
YaYa = YaYa = 7.	(71)
Действуя таким образом, находим обратную матрицу к у5
Ys = Y3Y2Y1Y0.
След и определитель. Справедливо равенство
Г 4, если ул = [,
Тгул = ( п	л-л. г	(72)
( 0, если ул=/=/.
Для доказательства предположим, что ул =/= 7 и пусть ув одна
из 8 матриц, антикоммутирующих с ул
УА = — YsYaYb-
Тогда имеем
Тг ул = — Тг увулув — — Тг увувул = — Тг ул — 0.
Отметим также, что (задача 3)
det ул= 1.
') Индекс 4 обычно используется для обозначения временной компоненты,
которая определяется равенством х4 =	= let.
382
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Лемма о перестройке. Следующее свойство устанав-
ливается простой проверкой. Если умножить каждую из 16 мат-
риц у-4 справа (или слева) на одну из них, то с точностью до
знака и порядка получим те же 16 матриц.
Линейная независимость и неприводимость.
Используя лемму о перестройке и свойства следа, можно легко
показать, что
Г. Матрицы у4 линейно независимы.
2°. Любая 4X4 матрица М однозначно представляется
в виде линейной комбинации матриц у4
М =	тА =Д- Тг улМ
А
3°. Всякая матрица, коммутирующая с каждой из матриц уч-
и, следовательно, с каждой из матриц у4, пропорциональна еди-
ничной матрице
если [Л4, уц] = 0 длЯ любого ц, то Л'1 — const X/
Фундаментальная теорема. Пусть уч и уФ — два
набора матриц 4X4, которые удовлетворяют соотношениям
(66). Тогда существует несингулярная (det S =/= 0) матрица S,
определенная с точностью до множителя и такая, что
уц = 5у'а5-1 (ц = 0, 1,2, 3).	(73)
Доказательство теоремы проведем следующим образом.
С каждым набором уч и уФ связаны 16 матриц у1 и у'4, опре-
деление и свойства которых были приведены выше, так что
каждой матрице у4 соответствует некоторая матрица у'4, ин-
декс А принимает 16 различных значений. Возьмем некоторую
матрицу F и обозначим S следующую матрицу:
5^£улЕул,
А
где суммирование ведется по всем возможным значениям ин-
декса А.
Выберем конкретную матрицу уа, обратная к ней матрица ув,
а соответствующая матрица из другого набора у'а. В силу
леммы о перестройке, имеем
v'sSyB = £ y'By'AFyAyB = £ Y AFyA = S,
А	Д
следовательно
YsS = SyB.
(74)
§ 10. СВОЙСТВА МАТРИЦ ДИРАКА
383
Для доказательства соотношений (73) остается показать,
что матрица S имеет обратную. Построим матрицу Т
VAGy'A,
А
где G — произвольная матрица. Рассуждая как и ранее, полу-
чаем
увТ = Ту'в.
Следовательно,
yBTS = Ty'iiS = TSyB
для любой матрицы ув. Поскольку матрица TS коммутирует со
всеми ув, она пропорциональна единичной матрице: TS = с X I.
Постоянная с вычисляется по формуле
с = 2 Тг TS = 4 £ £ Tr yAGy'AyBFyB =
А В
= 4 Tr G f £ £	= 4 Tr GS.
\ А В	J
Матрицу F всегда можно выбрать так, чтобы по крайней
мере один из матричных элементов S был отличен от нуля.
В противном случае легко показать, что матрицы у4 не были бы
линейно независимы. После этого можно выбрать G так, чтобы
Tr gs = ££gs<sm=4,
s t
следовательно с = 1 и TS — /. Таким образом, матрица S имеет
обратную и, умножая равенство (74) на S-1 справа, получаем
соотношения (73).
Если существует другая матрица S', для которой выполнены
те же соотношения, то S-1S' коммутирует со всеми матрицами
ув и, следовательно, S~‘S' = с X I- Верно и обратное: если для
S выполнены соотношения (73), то они выполнены и для любой
матрицы, пропорциональной S. Тем самым мы доказали, что
несингулярная матрица S существует и определена с точностью
до множителя. 
Если матрицы у^, удовлетворяющие соотношениям (66), уни-
тарны
уц = у°уИуО —	(75)
то унитарны все матрицы у4 и, следовательно, они эрмитовы
или антиэрмитовы в зависимости от того, равен ли квадрат
(у-4)2 единичной матрице +/ или —I.
384
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Следующее утверждение, доказательство которого предо-
ставляем читателю, дополняет фундаментальную теорему:
Если у»1 и у'» — два набора унитарных матриц 4X4, удовле-
творяющих соотношениям (66), то существует определенная
с точностью до фазового множителя унитарная матрица U, та-
кая, что у'и = Uy^LPt (ц = 0, 1, 2, 3).
Комплексное сопряжение, матрица В. В част-
ности, если матрицы у^ удовлетворяют соотношениям (66) н
унитарны, то 4 комплексно сопряженных матрицы у»1* тоже уни-
тарны и удовлетворяют тем же соотношениям. В силу преды-
дущего утверждения матрицы у»1 и у11* связаны унитарным пре-
образованием. Обозначим В матрицу этого преобразования
(В определена с точностью до фазового множителя)
у11 = Ву^’В*, у“‘ = В’/В.	(76)
Можно показать, что В антисимметрична
В = -В,
или, что то же самое, справедливы равенства
ВВ* = В*В = - I.	(77)
Если для матриц у выбрано представление Дирака, то
В = ВГ) — у2у5 = — /р3ау.
В этом случае легко проверить справедливость равенств (77).
§11. Инвариантность уравнения Дирака
при ортохронных преобразованиях системы координат
Принцип относительности требует, чтобы уравнение Дирака
и уравнение непрерывности сохраняли одну и ту же форму
в различных системах координат, связанных преобразованием
Лоренца. В действительности, строго говоря, требуется инва-
риантность только по отношению к собственным преобразова-
ниям Лоренца'), однако теория инвариантна по отношению
к полной группе. Рассмотрим вначале подробно инвариантность
по отношению к ортохронной группе. Обращение времени,
а также другие свойства инвариантности уравнения Дирака, не
') А также по отношению к пространственным и временным трансляциям.
Эту инвариантность легко установить, используя рассуждения, которые анало-
гичны приводимым ниже. Если начало координат сдвигается на 4-вектор а1*,
т. е. х/Цх=хи+ац,то (х ) =	(х) и закон преобразования волновых функ-
ций (аналог закона (85)) имеет простой вид
Ч"(х') = Т(х).
§ И. ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
385
связанные непосредственно с преобразованиями Лоренца, будут
рассмотрены в конце этого раздела.
Будем считать, что динамическое состояние электрона в си-
стеме координат (2?) задается четырехкомпонентной волновой
функцией, удовлетворяющей уравнению Дирака
[уц О'дц — <?ЛЦ (х)) — т] ¥ (х) = 0.	(78)
Фиксируем некоторое представление для операторов в про-
странстве символы означают тогда вполне определен-
ные матрицы, и соотношение (78) сводится к системе из четы-
рех уравнений (s = 1, 2, 3, 4)
X X	6 Tt ~ eA)l t*0*'*2*3)) (А1*2*3) —
<-1, 2, 3, 4 и	\ *	/
— тфз (х°х'х2х3) = 0
для четырех компонент фДх) волновой функции.
Рассмотрим ту же физическую систему в новой системе ко-
ординат (2?')> связанной с исходной ортохронным преобразова-
нием Лоренца Z
(2?') = ^ (2?).
Преобразование 3? характеризуется некоторой матрицей
удовлетворяющей соотношениям (12), (13) и определяющей
линейное соответствие между координатами х^ данной точки
в системе (2?) и координатами х'ч той же точки в системе (2?').
т. е. закон преобразования контравариантных векторов (ур.
(11) и (15)). Символически можно записать
х' = 9?х, х = 2?~1х'.	(79)
Операторы частных производных преобразуются, как ковариант-
ные векторы
=	(80)
Если обозначить А^(х') ковариантные компоненты электромаг-
нитного потенциала в новой системе координат, то они связаны
с Лц(х) по закону преобразования ковариантных векторов
(81)
Как функция новых координат ЧДх) удовлетворяет уравне-
нию, которое получается из (78) после подстановки (80) и (81)
[уи (/<Эц — еЛц (/)) — m] Y	lx) = 0,	(82)
где
(83)
13 А, Месена
386
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Матрицы у»1 унитарны и удовлетворяют соотношениям (66).
Четыре матрицы y(i не обязательно унитарны, но в силу ортого-
нальности Qv (соотношения (13)), они также удовлетворяют
соотношениям (66), т. е.
Y V + Y V =	W + Y°Y°) =	= 2g^.
В силу фундаментальной теоремы § 10 существует несингуляр-
ная матрица Л, которая преобразует матрицы у в у
уц^£2?ур = А_1уцА (ц = 0, 1, 2, 3).	(84)
Подставляя это соотношение в уравнение (82), вводя обозна-
чение
V' (х') = AY (х) =	(ЗГ 1х'\	(85)
и умножая слева на Л, получаем
[Y“ (id'n — еАц (х')) — tn] (х') — 0.
Это волновое уравнение описывает эволюцию системы в новой
системе координат, оно формально тождественно с (78). Таким
образом, уравнение Дирака формально инвариантно относи-
тельно ортохронных преобразований системы координат, и за-
кон преобразования волновой функции определяется уравне-
нием (85).
В общем случае матрицу Л, которая определена с точностью
до постоянного множителя, нельзя выбрать унитарной. Однако
мы покажем, что множитель всегда можно выбрать таким об-
разом, чтобы
A+==y0A-1y0,	(86)
и произвол остается только в фазе.
Поскольку Qp вещественны, а у»1 унитарны и удовлетворяют
соотношениям (75), то, сравнивая (83) и эрмитово-сопряжен-
ное соотношение, находим
= уОуНу0.
Переходя от соотношения (84) к эрмитово-сопряженному и под-
ставляя предыдущую формулу, получаем
^==(Y«AV)Ytl(Y°AV)’1.
Сравнивая эту формулу с (84), видим, что матрица Лу°Л+у°
коммутирует с четырьмя матрицами у^ и, следовательно, про-
порциональна единичной
A+ = cy0A-iy0.	(87)
§ И. ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
387
Покажем, что постоянная с обязательно вещественна и положи’
тельна. Используя формулы (87) и (84), имеем
А+А = су0 (A-1y°A) = с (Qo + Е QayY) ,
откуда, принимая во внимание (72), получаем: TrA+A = 4cQo*
Поскольку след эрмитовой матрицы А+А вещественный и поло-
жительный и число Йо также вещественно и положительно, то
приходим к искомому утверждению о постоянной с. Если мат*
рицу А разделить на Vе» то новая матрица также будет А-мат-
рицей и будет удовлетворять уравнению (86). 
Закон преобразования волновых функций (85) определяет
закон преобразования сопряженных функций
Ф'=v'V=vUV=vy°a+y°.
откуда, с учетом (86), получаем
Ф' (%') = ф (x) А-1.	(88)
Используя этот закон преобразования, читатель без труда
проверит, что сопряженное уравнение (64) также формально
инвариантно относительно ортохронных преобразований си*
стемы координат.
Остается показать инвариантность уравнения непрерывности
или что ток /•* (определение (65)) преобразуется как контра*
вариантный 4-вектор ')•
Последнее легко установить, используя (85), (88) и (84)
j* (/) е= (ФуУ) = (Фа-Vat) = й£ (ФуГчг) = йр/р (%).
Условия (84) и (86) для каждого преобразования Лоренца
определяют А с точностью до фазового множителя. В данном
случае эта фаза не имеет физического смысла.
Удобно устранить, насколько это возможно, произвол в фазе,
потребовав, чтобы А образовывали группу, гомоморфную орто*
хронной группе Лоренца (см. обсуждение в § XV. 8).
Условие (84), с учетом вещественности Qv, дает
Q^v* = (A‘)"*Y>‘’A*,
откуда, вводя унитарную матрицу В (определение (76)), полу*
чаем
QvYv = (ВА*В+)-1 у11 (ВА*В+).
’) В противном случае нормировка волновой функции зависела бы от си-
стемы координат и нельзя было бы интерпретировать /° как плотность вероят-
ности положения.
13*
388
ГЛ. XX, УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Сравнивая это уравнение и уравнение (84), видим, что
ВЛ*В+А-1 коммутирует с четырьмя матрицами у»1 и, следова-
тельно, пропорциональна единичной матрице. Легко показать,
вычисляя, например, det ВА*В+Л-1, что модуль коэффициента
пропорциональности равен единице; другими словами
Л’ = eiKZf АВ.
Так как Л определена с точностью до фазового множителя, его
всегда можно выбрать так, что в полученной формуле будет
е17- = 1. В дальнейшем будем считать, что сделан именно такой
выбор, тогда Л определена с точностью до знака.
Таким образом, каждому ортохронному преобразованию Ло-
ренца отвечают две матрицы Л, отличающиеся знаком и опре-
деляемые тремя условиями:
OfrWYA,	(89а)
Л+ = у°Л-1у°,	(896)
Л* =	(89в)
Набор матриц Л, удовлетворяющих этим условиям, образует
группу, которая гомоморфна ортохронной группе Лоренца.
В следующем параграфе мы увидим, что произвол в знаке Л
нельзя устранить, не нарушив при этом групповой структуры *).
§ 12. Преобразования собственной группы
Найдем явные выражения для матриц Л, которые удовле-
творяют условиям (89). В этом параграфе мы будем рассма-
тривать только преобразования собственной группы.
Вначале рассмотрим инфинитезимальные преобразования.
Каждому из шести инфинитезимальных «вращений» g-uv —
соответствует матрица Л<а₽>(е), которая отличается от единич-
') Вместо условия (89в) можно использовать более общее условия: Л* =;
где постоянная Г] зависит от рассматриваемого преобразования Ло-
ренца. Множество матриц Л будет иметь структуру группы, если величины ц
образуют абелево представление группы Лоренца. Следовательно, для преоб-
разований из собственной группы Лоренца S’o обязательно имеем т) = I, что
снова дает условие (89в). Для преобразований, включающих отражение, т. е.
принадлежащих имеются две возможности выбора т>:
(а)	т] = 1 для любого sS’o, что дает (89в);
(б)	г) = —1 для любого sS’o, т. е. Л* = —В* АВ.
Физическое содержание теории, очевидно, не зависит от этого выбора. Обе
группы G<” и G<e), которые соответствуют возможностям (а) и (б), гомо-
морфны ортохронной группе Лоренца, но не изоморфны друг другу. В частно-
сти квадрат матриц, соответствующих отражению а, равен +/ в G<‘> и — I в
G<®> (см. следующую сноску).
§ 12. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ
389
ной матрицы на бесконечно малую величину и может быть за-
писана в виде
A'afi'(8)«/ + z8Saf5(	(90)
где Sap — конечная матрица, подлежащая определению. Имеем
Из условия (89а) получаем
-e№P₽V = -^[Sa₽, у“]
или, используя (17),
[s.,.
Матрица Sap удовлетворяет тем же коммутационным соот-
ношениям с у^, что и матрица у/уаур. Их разность коммутирует
с матрицами у^ и, следовательно, пропорциональна единичной
матрице. Легко показать, что условия (896) и (89в) будут вы-
полнены тогда и только тогда, когда коэффициент пропорцио-
нальности равен нулю. Удобно ввести обозначение
Ojiv s у1	s z'YtiYv	(91)
Окончательно имеем
^аР=(92)
Обозначения Sap и оар будут также использоваться для опе-
раторов, которые задаются матрицами Sap и оар соответствен-
но. В дальнейшем мы увидим, что Sap есть антисимметричный
тензорный оператор (6 компонент), который отвечает внутрен-
нему моменту импульса или спину частицы. Точнее говоря,
спин — это пространственная часть (3 компоненты) оператора
Sap, который связан с операторами ииаиз§6и§7 соотно-
шениями
Sio=yia*. S2o = yiaff> 5зо = у1аг,	(93а)
S23 = yffx»	5з1 = усту, Si2 = ^<Jz.	(936)
Любое конечное преобразование собственной группы Ло-
ренца можно представить в виде произведения последователь-
ных инфинитезимальных преобразований. Следовательно, мы
можем построить матрицы Л, отвечающие конечному измене-
нию системы координат, беря произведения определенных выше
390
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
матриц, отвечающих инфинитезимальным преобразованиям.
В этом случае условия (896) и (89в) выполняются автомати-
чески и мы получаем одну из двух возможных матриц А.
В частности, «вращение» на угол <р в плоскости есть
произведение матриц инфинитезимальных вращений в этой пло-
скости, и матрица А(аР)(<р), задающая преобразование, имеет
вид
А,а3) (<р) = ег<р5“₽.	(94)
Таким образом (см. сноску на стр. 367), если задано чисто
лоренцево преобразование со скоростью и — th ф, направленной
вдоль оси х, то, принимая во внимание соотношения (93а) и
свойства ах, находим
Д<х/» (ф)=е 2 “x<iP = chy ф — axsh уф.	(95)
В более общем случае, если Asp(®) —матрица, отвечающая
чисто лоренцеву (специальному) преобразованию со скоростью
v, то имеем
Asp (г») == ch у ф — (аи) sh у ф,
где u = v/v, ф = агсЙ1о.
Введем обозначение
bss Vf=^==ch<p-	(96>
Предыдущее выражение после элементарных вычислений можно
привести к виду
Asp (о) =	[ 1 + b - (ад) 6].	(97)
V2(l + b)
Рассмотрим теперь вращения в обычном смысле этого слова.
Для вращений вокруг оси Oz выражение (94) дает
А<ху) (ф) = eZS1!<T = е2 ,<Tz<P = cos у ф + 1аг sin у ф.	(98)
В более общем случае, если Аы (ф) — матрица, отвечающая
вращению на угол ф вокруг оси, направленной вдоль единич-
ного вектора и, то имеем
А« (ф) = cos у ф + iau sin у ф,	(99)
где ои = (стц).
Теперь мы можем обсудить вопрос о спине частицы, которая
описывается уравнением Дирака. Спин определяется трансфор-
§ 13. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ОТРАЖЕНИЕ
391
мационными свойствами внутренних переменных по отношению
к пространственным вращениям. Формула (99) дает общее вы-
ражение для матриц преобразования внутренних переменных
при вращении. Это выражение отличается от выражения
(ХШ. 84) только знаком перед ои, и одно переходит в другое
при замене <р на —<р. Следовательно, эти матрицы обратны
одна к другой. Различие вызвано тем, что в главе ХШ мы рас-
сматривали изменение переменных и состояний при вращениях,
оставляя оси фиксированными, а здесь мы придерживаемся
противоположной точки зрения. Итак, мы видим, что волновая
функция, удовлетворяющая уравнению Дирака, преобразуется
при вращениях как волновая функция частицы со спином 1/2.
Отметим, в частности, что повороту на угол 2л вокруг лю-
бой оси не соответствует единичная матрица. Действительно,
имеем
,Л„(2пл) = (-!)"/;	(100)
такое свойство матрицы преобразования характеризует полу-
целый спин. Ясно, что произвол в знаке матриц Л нельзя устра-
нить без того, чтобы не нарушить их групповой структуры.
В дальнейшем будем называть волновые функции теории
Дирака спинорами.
§ 13. Пространственное отражение и ортохронная
группа
Коль скоро мы знаем, как меняются спиноры при собствен-
ных преобразованиях системы координат, то для определения
закона изменения при ортохронных преобразованиях достаточ-
но найти закон их преобразования при отражении s.
Матрицу, соответствующую отражению s, обозначим As. Со-
отношение (85) в этом случае принимает вид
ip'(/, r) = As4r((, -г).	(101)
Условие (89а) дает
A71y°As = y°, A7‘y% = -y*,
откуда As = CsY°. Постоянная cs определяется из условий (896)
и (89в): cs = ± 1. Следовательно,
As==±y°	(102)
и в согласии со сказанным выше ’) As определена с точностью
до знака.
*) Выражение (102) соответствует выбору (а) (см. предыдущую сноску).
Выбор (б) ведет к А,= ±iy°.
392
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
§ 14. Построение ковариантных величин
Из компонент спинора ^(х) и сопряженного спинора Ч^хХ
можно построить 16 линейно независимых функций, билиней-
ных по У и V и зависящих от х°, х1, х2, х3. Эти функции можно
разбить на пять классов в соответствии с их тензорными свой-
ствами: скаляр S, вектор V4 антисимметричный тензор с двумя
индексами T^vl, антисимметричный тензор с тремя индексами
ypMiv] и антисимметричный тензор с четырьмя индексами или
псевдоскаляр Р. Выражения для перечисленных функций при-
ведены в табл. III.
_	Таблица ИГ
Тензоры, билинейные iro V и V
Обозначения	Число компо- нент	Тип
S (х) ез (ФУ)	1	скаляр
Vй (х)	— (Ф/Т)	4	вектор
(х) B(TYV^) (H=^v)	6	тензор 2-значковый
A[*uv] (ж) в (ф/yYijr)	4	псевдовектор
P (x) s (фу5^)	1	псевдоскаляр
Указанные тензорные свойства можно легко_ доказать, ис-
пользуя закон преобразования спиноров и Y (ур. (85) и
(86)) и соотношение (89а) между матрицами А и коэффициен-
тами Q'v соответствующего преобразования Лоренца.
Напомним, что закон преобразования псевдоскаляров отли-
чается от закона преобразования скалярных величин только
дополнительным множителем det | й£|
Р (х') = det |	| Р (х).
Таким образом, при собственных лоренцевых преобразованиях
псевдоскалярные и скалярные величины преобразуются одина-
ково, а при отражении s псевдоскаляры меняют знак. Точно
так же закон преобразования псевдовекторов отличается от за-
кона преобразования векторов дополнительным множителем
det | Q$|.
Вектор V^(x) уже интерпретировался нами как четырехмер-
ный вектор плотности тока
]Г(х)^Г(х).
§ 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СОСТОЯНИЙ
393
Можно дать соответствующую интерпретацию и остальным ве-
личинам. Так, тензор равен, с точностью до постоянного
множителя, тензору S^v, который можно интерпретировать как
плотность спина
rmv] = _ 2/snv w s _ 2.
§15. Другая формулировка свойств инвариантности:
преобразование состояний
В предыдущих параграфах мы рассматривали преобразова-
ние как операцию, которая выполняется над системой коорди-
нат, оставляя физическую систему неизменной. Можно изменить
точку зрения и преобразовать физическую систему, оставляя
неизменной систему координат. Именно так мы поступали
в третьей части (см., в частности, замечания § XIII. 11). Хотя
вытекающие результаты формулируются
различным образом, обе точки зрения
эквивалентны.
Поясним указанную эквивалентность.
Пусть (S) — состояние физической си-
стемы, которое в системе координат (7?)
задается спинором 47(х). Пусть (S')
есть состояние, которое получается из
(S) при преобразовании Z, а (7?) есть
система координат, которая переходит
в (7?) при том же преобразовании (см.
рис. 21)
(S') = ^(5),	=
Рассмотрим три	следующих спинора:
Ч; (х),	представляющий	(S)	в	системе	(7?),
W),	»	(S)	»	(Я),
Рис. 21. Два сцособа рас-
смотрения преобразова-
ния Лоренца: изменение
системы отсчета (х И)
и преобразование систе-
мы (S S').
’К'(Х),	»	(S')	»	(7?).
Ясно, что Ф и Т равны при совпадающих значениях аргу-
ментов
Ч^'(х) = Ф(х).	(ЮЗ)
Соответствие между ’Ри’Р было установлено в § 11. Поскольку
преобразование 3? переводит систему (р) в (7?), то, исполь-
зуя (85) и вводя связанную с Z матрицу Л, имеем
(S’-1 по-
следовательно,
Чг'(х) = Л~1Чг(5’х).	(104)
394
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Сравнивая с уравнением (85), видим, что в преобразовании со-
стояний участвует оператор, обратный к оператору, отвечаю-
щему изменению системы координат.
Эти замечания относятся также и к электромагнитному полю,
в котором движется дираковская частица. Обозначим поле (А)
и пусть (Az) —поле, которое получается при преобразовании S'.
(А') = ^(А).
Рассмотрим следующие три (ковариантные) 4-вектора:
Ац (х), представляющий (А) в системе (₽),
Л (х),	»	(А)	»	(R),
А» (х),	»	(А')	»	(R).
Мы можем повторить приведенные выше рассуждения для
спиноров, тогда получим
4(х)==Ац(х).	(105)
Согласно уравнению (81) имеем
Аи (S~lx) — Av(x) Ql
следовательно,
Ац (х) = Av (Sx) йц.	(106)
Допустим теперь, что Чг(х) удовлетворяет уравнению Ди-
рака с потенциалом Аи(х):
№ (^ц ~ еАц) - т] Т = 0.	(107)
Принимая во внимание равенства (103) и (105), из инвариант-
ности уравнения Дирака при изменении системы координат
(/?)-> (Р) получаем
№ (id* - еАД) - m] ¥' = 0.	(108)
Таким образом, свойство инвариантности формы уравнения
можно сформулировать так:
Если Чг(х) удовлетворяет уравнению Дирака с потенциалом
Ац(х), то состояние Чг/(х), которое получается при преобразо-
вании S, также удовлетворяет уравнению Дирака с преобразо-
ванным потенциалом А1 (х).
§ 16.	Условие инвариантности уравнения движения
Уравнения (107) и (108) в общем случае различны. Они
совпадают, только если внешний потенциал (А) инвариантен
относительно преобразования S, т. е. если
Ац (х) = Ац (х).
§ 17. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
395
В этом случае спиноры Y и F удовлетворяют одному и тому
же волновому уравнению. Следовательно, уравнение для дина-
мических состояний инвариантно относительно любых преобра-
зований 2?, которые не меняют внешний потенциал.
До сих пор в качестве 2? мы рассматривали ортохронные
преобразования Лоренца. Однако все сказанное выше можно
повторить для пространственно-временных трансляций (см.
сноску на стр. 384). Установленные свойства инвариантности
сохраняются и в этом случае.
§ 17.	Операторы преобразования.
Импульс, момент импульса, четность
Для того чтобы продолжить этот анализ в соответствии
с общей схемой, которая была развита в главе XV, мы запишем
закон преобразования (104) в виде
¥'=7^,	(109)
где Т — соответствующий линейный оператор. Инвариантность
уравнения Дирака при преобразованиях можно тогда выразить
как соотношение между операторами
Т2)(А)Т~'= 2)(А'),	(НО)
где 2) (А) и 2>(А') — операторы Дирака с потенциалами А и А'
0(А)^Г(1д^-еА^.	(111)
Условие того, что уравнение движения не меняется при преоб-
разовании 2, можно записать как соотношение коммутации
[Т,0(А)] = О.	(112)
Оператор Т легко построить. Он является произведением
операторов T(s\ действующего только на спиновые переменные,
и Т(0>, действующего только на орбитальные переменные,
т = T(s} ® г(0).
Сравнивая формулы (109) и (104), видим,что
T(S) = A-1,	(113)
где Л обозначает оператор, который представляется определен-
ной в § 11 матрицей Л.
Найдем явный вид Т для инфинитезимальных трансляций
и лоренцевых «поворотов» и для отражения s.
В случае трансляций ТЮ = 1. Введем дифференциальный
оператор
(114)
396
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
который представляет собой четырехмерный вектор энергии-им-
пульса (более точно — ковариантные компоненты этого 4-век*
тора). Для бесконечно малого сдвига на е вдоль оси х“ нахо*
дим
Т = 1 — iepa.
Рассмотрим «инфинитезимальный поворот» на угол е в пло*
скости х“хр. В этом случае имеем
(3?х)'1 = ^ - eZ™ V = - 8 (ditxp - б£ха).
Если фДх)— некоторая компонента спинора Ч*’(х), то в первом
порядке по е
^siS’x) «	(х) + 8 (ха — — Хр .
\ дхр р дха )
Введя дифференциальный оператор
^ар = -^аРр -*“рРа>
перепишем предыдущее соотношение в виде
(З’х) ъ (1 — :eLap) (х).
С другой стороны, на основании формул (90) и (113) имеем
Tw«(l - /eSap),
где Sap — оператор, определяемый равенством (92). Оконча-
тельно формула (109), которая выражает закон преобразова-
ния спиноров, для случая «инфинитезимального поворота» при-
нимает вид
Т' (х) « (1 - teSap) (1 - feLop) V (х) « (1 - Z8/ap) W (х),
где
Лхр “ Д1р + Sap s Хар^ %$Ра + ^“Р’	(116)
Три пространственных компоненты /гз, /31 и /12 оператора
/ар связаны с инфинитезимальными вращениями вокруг осей
Ох, Оу и Oz соответственно. Они являются компонентами пол-
ного момента импульса / и справедливы равенства
/ = L + S, £==rXp,	<117>
Компоненты L действуют только на орбитальные перемен-
ные: L — оператор орбитального момента импульса. Компо-
ненты S действуют только на внутренние переменные: S — опе-
ратор спина частицы.
§ 18. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ
397
Легко показать, что J, L и S удовлетворяют коммутацион-
ным соотношениям, характеризующим момент импульса, и
S2 = 3/4, откуда следует, что спин частицы равен 1/2.
Оператор, связанный с пространственным отражением, на-
зывается оператором четности и обозначается Р. Пусть Р(0)
обозначает оператор «орбитальной четности»:
PW(/, r) = V (t, - г).
В силу равенства (113) и результатов § 13 (см. равенство
(102)), мы можем выбрать для Р два выражения, отличаю-
щиеся знаком. Выберем наиболее часто употребляемое
Р = у°Р(°).	(118)
Отметим, что оператор Р эрмитов и Р2 = 1.
§ 18.	Законы сохранения и интегралы движения
Если преобразование зависит от времени, то связанный
с ним оператор Т изменяет зависимость V от времени. Так про-
исходит в случае временных трансляций и специальных преоб-
разований Лоренца.
С другой стороны, если преобразование не зависит от вре-
мени, то действие Т определяется независимо от уравнения дви-
жения состояний, на которые он действует. Тогда оператор Т
можно определить как оператор преобразования векторов со-
стояния и наблюдаемых системы, как это было сделано в главе
XV (раздел II). Свойства инвариантности уравнения, которое
определяет зависимость состояний от времени, можно сформу-
лировать при этом в виде законов сохранения.
Например, если 2? есть преобразование только простран-
ственных переменных, то оператор Т является некоторой функ-
цией операторов инфинитезимальных трансляций, инфинитези-
мальных вращений и отражения, т. е. функцией р, J и Р. Сле-
довательно, Т коммутирует с у0 и, поскольку
коммутационное соотношение (112) в этом случае эквивалентно
[Г, Яд] = 0.
Мы получили то же условие, что и в § XV. 12 и все сказанное
там о связи между свойствами инвариантности гамильтониана
и законами сохранения справедливо и в этом случае.
Так, если потенциал Ац(х) инвариантен относительно транс-
ляций, то справедливы коммутационные соотношения
[р, Нд] = 0,
398
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
и сохраняется импульс. Если потенциал Ад(х) сферически-сим-
метричен, то
[Л Яп] = 0
и сохраняется полный момент импульса. Если А[Х(х) инвариан-
тен относительно отражения в начале координат, то
[Р, Яр] = 0
и сохраняется четность.
§ 19.	Обращение времени и зарядовое сопряжение
В этом параграфе мы покажем, что уравнение Дирака ин-
вариантно относительно двух антилинейных операций: обраще-
ния времени и зарядового сопряжения. Для этого в простран-
стве векторов состояния удобно ввести антиунитарный опера-
тор К '), который имеет очень простые свойства.
Антиунитарный оператор К. Определим антиуни-
тарный оператор К, который переводит р в —р и не изменяет г
и у11:
КгК'=--г, КрК? = -р,	(119)
KyX-Y*1	(11 = 0,1,2,3).	(120)
Мы покажем, что такой оператор существует, определен с точ-
ностью до фазового множителя и
№ = -1.	(121)
То, что оператор К, если он существует, определен с точ-
ностью до фазового множителя, следует из соотношений (119),
(120) и неприводимости пространства векторов состояния по
отношению к базисным операторам г, р и у^. Выберем какое-
либо представление, например, представление Дирака. Тогда
каждый оператор yi1 задается некоторой матрицей у£. Обозна-
чим BD оператор, который задается «матрицей В», преобразую-
щей у£ в их комплексно сопряженные. Мы будем рассматри-
вать Во как (унитарный) оператор, действующий во всем про-
странстве, а не только в спиновом. Это унитарный оператор,
который коммутирует с г и р. Пусть K.D — оператор комплекс-
ного сопряжения, связанный с данным представлением (опре-
деление § XV. 5). Соотношения (76) дают
’) Следует предостеречь, что этот оператор не есть оператор обращения
времени, последний ниже будет обозначаться Кт-
§ 19. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ
399
Следовательно, антиунитарный оператор
k^bdkd
удовлетворяет соотношениям (120). Поскольку Во коммути-
рует с г и р, а из определения Ко имеем
Ког^о — г, KDpKD = — P,
то К удовлетворяет также соотношениям (119). Наконец, так
как Kd — Kd, равенство (77) дает
Bd{KdBdKd)^K^-\,
т. е. соотношение (121). Очевидно, что при умножении К на
фазовый множитель эти свойства сохраняются.
Зарядовое сопряжение. Умножая обе части урав-
нения (107) слева на К и используя тот факт, что оператор К
антилинеен и коммутирует с ум-, др и Лц(х), получаем
[у'Д-Ч - еДДх)) - т]/СР (х) == 0.	(122)
Следовательно, KV удовлетворяет волновому уравнению, ко-
торое отличается от уравнения Дирака заменой —i на i. Умно-
жим получившееся уравнение на у5. Так как у5 антикоммути-
рует с yf1 и коммутирует с остальными операторами, стоящими
в скобках, имеем
[уи (idp + еАр (х)) - т] у W (х) = 0.	(123)
Положим
КС = \5К.	(124)
Чс(х)^КсЧ(х).	(125)
Уравнение (123) примет вид
№ (idp + е Ар (х)) - т\ ЧгС (х) = 0.	(126)
Уравнения, которым удовлетворяют функции Чгс(х) и Т(х), от-
личаются знаком заряда. Таким образом, если Т(х) описывает
движение дираковской частицы массы m и заряда е в потен-
циале Лц(х), то Vе (х) описывает движение дираковской ча-
стицы той же массы m и противоположного заряда (—е) в том
же потенциале Ар(х).
Спиноры Т и Тс называются зарядово-сопряженными друг
к другу, а преобразование Кс— зарядовым сопряжением.
Из свойств К и у5 следует, что
Кс = 1.	(127)
Тем самым, соответствие между Т и взаимно обратное.
Легко показать, что зарядовое сопряжение коммутирует с транс-
ляциями и ортохронными преобразованиями Лоренца. Точнее,
400
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
если спинор V при одном из этих преобразований переходит
в LT, то зарядово-сопряженным к последнему будет спинор
LTC в случае трансляций и собственных преобразований Ло-
ренца и —LTC— в случае отражения (см. задачу 5).
Обращение времени. Инвариантность уравнения Ди-
рака по отношению к обращению времени можно доказать не-
посредственно, но в данном случае мы используем результаты
о зарядовом сопряжении.
Вектор-потенциал Ац(/, г) создается некоторым числом дви-
жущихся зарядов. Соответствующий ему при обращении вре-
мени потенциал A^{t, г) получается при обращении движения
этих зарядов. Токи и, следовательно, магнитное поле меняют
знак, а электрические заряды и, следовательно, электрическое
поле остаются неизменными
Ж (t, r) = -W(-t, г), &(t, r) = &(-t, г).
Отсюда следует, что «преобразуется как псевдовектор»
А' (/, г) = - А (- t, г), А'о (/, г) = Ао (-t, г).
Если в уравнении (126) сделать замену t на — t, то получим
у0 (zd0 — еА'о (t, г)) + S Wk — eA'k (t, г)) — znj 4го (— t, г) = 0.
Умножим полученное уравнение на у5у°. Поскольку этот опе-
ратор антикоммутирует с у0 и коммутирует с yft, имеем
№ (Цх - еА\ (/, г)) - т] Т' (/, г) = 0,	(128)
где
Т' (/, г) = у5у°¥с (-1, г) = у W (— t, г).	(129)
Введем (антиунитарный) оператор обращения времени
Кг = уХ	(130)
Спинор Ф'(£, г) является, по определению, преобразованием
Т(—t, г) при обращении времени. Он удовлетворяет уравне-
нию (128). Следовательно, если Т удовлетворяет уравнению
Дирака с потенциалом Дц, то спинор Т', получающийся при об-
ращении времени, удовлетворяет уравнению Дирака с потен-
циалом А», который при обращении времени получается из Ац.
В частности, если потенциал Дц инвариантен по отношению
к обращению времени (например, если частица находится в ста-
тическом электрическом поле: 4 = 0, dA0/dt = 0), то Т и Т*
удовлетворяют одному и тому же уравнению Дирака.
Из свойств у0 и К следует, что
Кт — — 1.	(131)
§ 21. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА И ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ
401
Это результат, характеризующий системы с полуцелым мо-
ментом импульса, уже был получен в нерелятивистском случае
(ур. (XV. 88)). Все следствия, которые из него вытекают, на-
пример, вырождение Крамерса, справедливы и в данной ситуа-
ции.
Выразив оператор Во в терминах р и а (см. конец § 10),
из определений (124) и (130) легко получить равенства
Кт = iVyKo,
которые используются при работе с операторами Кс и Кт
в представлении Дирака.
§ 20.	Калибровочная инвариантность
Упомянем здесь для полноты свойство калибровочной инва-
риантности (см. § XXI. 20).
Изменение калибровки электромагнитного потенциала озна-
чает переход от компонент Ац(х) к
ЛИх)^Л.Й-ад(Д	(132)
где G(x)—произвольная функция пространственно-временных
координат. Это дает
д; = а0-^, A' = A + VG.
Электрическое и магнитное поля при таком преобразовании ин-
вариантны.
Если Ч*’(х) —решение уравнения Дирака с потенциалом Ац,
то спинор
'Hx>eieeW(x)	(133)
есть решение уравнения Дирака с потенциалом Ац. Данное
свойство и называется калибровочной инвариантностью урав-
нения Дирака.
Раздел IV. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОПЕРАТОРОВ
И ПРОСТЫЕ РЕШЕНИЯ
§ 21.	Уравнение Дирака и принцип соответствия
В случае отличного от нуля электромагнитного поля реше-
ния уравнения Дирака удовлетворяют дифференциальному
уравнению второго порядка, которое отлично от уравнения
Клейна — Гордона, однако и для него выполняется принцип со-
ответствия.
402
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Чтобы получить это уравнение, подействуем оператором
(—гух£>%— т) на левую часть уравнения Дирака, записанного
в ковариантной форме (50),
[уЧцОД1 + /п2]Т = 0.	(134)
Используя алгебраические свойства операторов у^, получаем
Замена немых индексов суммирования дает
[у\ у*] DKD„ = - уН 1 [у\ yH [Dx, DJ (136)
и в силу определения операторов (ур. (10))
/ дАп d4i\
[D%, DjJ = ie [д%, Л J + ie [Л%, d J	ie ( —£ — —) == ieF^. (137)
\ dx dx^J
Уравнения (135), (136) и (137) приводят к равенству
+ eS*FK(l,	(138)
где описывает спин частицы (определение (92)). Таким об’
разом, уравнение (134) можно записать в виде
+ eS^F^ + m2] Т = 0.	(139)
Сравнивая с уравнением Клейна — Гордона (30), мы видим,
что отличие состоит в наличии дополнительного слагаемого
(140)
которое описывает взаимодействие спина частицы с электромаг’
нитным полем. Это слагаемое не имеет классического аналога
и его вклад становится пренебрежимо малым в условиях, когда
справедливо классическое приближение. В этих условиях двИ’
жения волновых пакетов, подчиняющихся уравнениям Дирака
и Клейна — Гордона соответственно, одинаковы.
§ 22.	Динамические переменные частицы Дирака
Мы уже приводили физическую интерпретацию некоторых
динамических переменных теории Дирака. Теперь мы рассмо-
трим этот вопрос более подробно и укажем те переменные кван-
товой теории, которые соответствуют приведенным в § 4 раз-
личным классическим величинам.
§ 22. ДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ ДИРАКА
403
В этом обсуждении релятивистская инвариантность не иг-
рает существенной роли. Поэтому мы будем следовать той же
схеме изложения, что и в нерелятивистской квантовой механике:
система описывается определенным числом динамических пе-
ременных, удовлетворяющих заданной алгебре перестановоч-
ных соотношений, а уравнение Дирака — в форме Дирака (ур.
(36), (44)) —описывает эволюцию динамических состояний си-
стемы в «представлении» Шредингера.
Таким образом, далее мы будем рассматривать время в ка-
честве параметра, а пространственные координаты — в качестве
динамических переменных. Фундаментальными переменными
будут г, р и а, р. В данном случае можно использовать весь
формализм теории представлений без изменения. В частности,
в представлении Дирака векторы состояния |ХР‘>, |Ф>, ... опи-
сываются четырехкомпонентными волновыми функциями ЧДг),
Ф(г), ..., зависящими от координат х, у, z. Скалярное произ-
ведение <Ф1Ч1Г> в этом представлении определяется следующей
формулой:
4
<Ф| Т> = £ j <₽;(г)Ф5(г) dr.
S=1
Такое определение скалярного произведения согласуется с оп-
ределением плотности вероятности положения частицы в про-
странстве, приведенном в § 6 (формула (35)). Более того, мы
можем использовать здесь без изменений статистическую интер-
претацию, которая была развита в первой части этого курса.
В частности, среднее значение оператора Q в данном состоянии
равно
<Q) = (u|Q|u),
где \и) — нормированный кет-вектор, представляющий данное
состояние.
Те наблюдаемые, которые не действуют на внутренние сте-
пени свободы, имеют очевидную интерпретацию. Например,
г — вектор положения (координата);
р — импульс;
л = р — eA(r, t) — количество движения.
Среди функций от г отметим 6 (г — г0) —проектор на под-
пространство, отвечающее собственному значению г0.
404
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Среди наблюдаемых, зависящих от внутренних степеней сво-
боды, отметим ’):
энергию: Н es еср + ал + $пг\	(141)
релятивистскую массу: Al == Н — eq> s= ал-|-pm;	(142)
плотность потока: j (г0) аб (г — г0)‘>	(143)
полный момент импульса: / = (гХр)	+ |^1	(144)
спин:	(145)
четность: Ps==pp(°).	(146)
Определения величин Н и М основаны на соответствии
с классической механикой. Что касается определения j(r0), то
оно следует из уравнения непрерывности, а определения /, S и
Р связаны с законами преобразования состояний при враще-
ниях и отражении соответственно.
Наконец, принцип соответствия приводит к интерпретации
переменной а как скорости частицы. К. этой интерпретации при-
водит также выражение для плотности потока. Действительно,
сравним уравнения (18), (19) и (21) классической теории с со-
ответствующими уравнениями квантовой теории. Для этого нам
нужно перейти к «представлению» Гейзенберга, где уравнения
движения для г и л имеют вид
dr/dt — — i [г, Н],
dn/dt — — I [л, /7] + d^idt.
Заменяя Н и л в правой части этих уравнений их явными вы-
ражениями и используя перестановочные соотношения для г, р,
аир, получаем (задача 6)
dr/dt==a,	(147)
dnldt = е (<? + а X <%’)•	(148)
Из определения (142) и свойств оператора а имеем тождество
л = у (Ма + аЛ1).	(149)
Уравнения (147) — (149) для динамических переменных
в «представлении» Гейзенберга совпадают по виду с уравне-
ниями (18), (19) и (21) классической теории, если считать, что
а совпадает со скоростью v.
’) Отметим, что импульс р зависит от выбора калибровки; только полный
импульс системы (частица + электромагнитное поле) не зависит от этого, вы-
бора. Такое же замечание можно сделать об энергии Н и моменте импульса J
(см. § XXI. 23).
$ 23. СВОБОДНЫЙ ЭЛЕКТРОН. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
405-
Здесь следует отметить, что компоненты скорости а не ком-
мутируют друг с другом, а кроме того, каждая компонента
имеет только два собственных значения 4-с и —с (+1 и —1
в используемых нами единицах измерения). Это еще раз пока-
зывает, что развитую классическую интерпретацию нельзя по-
нимать слишком буквально. Мы вернемся к этому вопросу
в §37.
§ 23.	Свободный электрон. Плоские волны
В оставшейся части этого раздела мы рассмотрим решения
уравнения Дирака при отсутствии внешнего поля и в статиче-
ском центральном потенциале. Чтобы решить уравнение Ди-
рака, достаточно найти собственные функции гамильтониана
HD- Далее, если не оговорено противное, мы будем использо-
вать представление Дирака, а также введенные в § 7 опера-
торы pi, р2, рз и ох, Оу, аг.
Пусть внешнее поле равно нулю. Тогда гамильтониан Но
коммутирует с тремя компонентами импульса, и, следовательно,
мы можем искать собственные функции Но, отвечающие вполне
определенному значению импульса р. Такими решениями будут
плоские волны — функции вида
и (р) eipr,
где ц(р) —не зависящий от г четырехкомпонентный спинор. Он
определяется из уравнения на собственные значения
Ни(р) = Еи(р),	(150)
где Н — оператор в пространстве ^(s)
Я = ар + p/n р! (ар) + p3m.	(151)
Несложное вычисление дает
Н2 — р2 + т2.
Следовательно, собственными значениями Н могут быть
только два значения ± д/р2 + т2;
Е = еЕр (е = ±1)
Ер = л/р2 + т2.
(152)
Легко показать, используя, например, антикоммутативность р2
и Н, что эти собственные значения двукратно вырождены.
Как видно из формулы (151), компонента спина ор!2р в
направлении р коммутирует с Н. (Другие компоненты спина с Н
не коммутируют.) Таким образом, мы можем искать собствен-
406
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
ные векторы, общие для Н и ор/2р. Имеем четыре пары соб-
ственных значений:
(+£Р> + у)>	~f)’ (~&р> "by)’	—т)‘
Каждой паре отвечает одно собственное состояние. Соответ-
ствующий спинор несложно найти из двух уравнений на соб-
ственные значения. Другой метод построения этого спинора мы
приведем в следующем параграфе.
В табл. IV содержатся компоненты собственных спиноров
(нормированных на единицу) в случае, когда импульс р на-
правлен по оси z. Напомним, что в представлении Дирака [J
и Ог — диагональные матрицы.
Таблица IV
Компоненты спиноров, соответствующих волне с импульсом
р = (0, 0, р) в представлении Дирака (|?р = дЛи2 + Р2 )
Энергия Е~	Положительная +ЕР		Отрицательная ~ЕР	
Спин «Р/2р -= у аг	+4	2	+ >	2*1 2
«1 = / 2ЕР	“2== U +J >« «3 = «4 =	1 0 р Ер + т 0	0 1 0 Р Ер + т	р Ер + т 0 1 0	0 Р Ер + т 0 1
Спиноры нормированы иа единицу: и^и—1				
§ 24.	Построение плоских волн посредством
преобразования Лоренца
Если Лр. = 0, то преобразование Лоренца переводит решение уравнения
Дирака в решение того же уравнения. В частности, плоскую волну с импуль-
сом р можно получить преобразованием Лоренца из плоской волны с нуле-
вым импульсом. На этом замечании основан метод, который позволит нам
построить спиноры и(р), приведенные в предыдущем параграфе.
Для нулевого импульса уравнение (150) принимает вид
₽/п и (0) = Ей (0).
§ 25. ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ	40Г
Два возможных собственных значения равны +т и —т. Собственному зна-
чению tm (е =±1) отвечает спинор г/8) (0)—собственный вектор оператора [5.
Будем предполагать, что этот спинор нормирован на единицу, направление
спина фиксируем произвольным образом. Тогда z/8\0) определен с точностью
до фазы.
Плоская волна
= Д8) (0)
есть решение уравнения Дирака, соответствующее нулевому импульсу и энер-
гии ет или 4-вектору энергии-импульса (ет, 0).
Рассмотрим то же решение в новой системе отсчета, движущейся по от-
ношению к исходной со скоростью v = — p/t, л/т? + р2 = — р/е.Ер. В новой
системе отсчета 4-вектор энергии-импульса равен
Р* (tEp, р).	(153)
Решением будет плоская волна
Тре) = Asp (») “(е) (°) ехР (—	= [Asp (°)] ехР	~ Рг)].
Таким образом, выражение в скобках пропорционально искомому спинору и(р),
который далее мы будем обозначать и®(р). Его норма равна временной ком-
поненте соответствующего 4-вектора потока, который можно получить посред-
ством преобразования Лоренца из 4-вектора потока, связанного с (0). Эта-
норма в результате равна
b = V1 —й2 = Ер/т.
Таким образом, мы определяем
___________1_
и{е) (р)^Ь 2 Asp (v) «<8> (о).
Подставляя в это определение выражение (97) и приведенные выше зна-
чения v и Ь, находим
1
и<8) (р) = [2Ер (т + Др)] 2 [т + Ер + tap] и® (0).	(154)
В частности, если н(е)(0) —собственный вектор для (ар), то и и®(р) — соб-
ственный вектор, который совпадает с одним из спиноров предыдущего пара-
графа. Если импульс р направлен по оси z, то получаем результаты, приве-
денные в табл. IV.
Выражение (154) можно записать также в виде
и(Е) (р) = [2ЕР (т + Ер)] 2 [т + у^рц] ы(8) (0),	(155)
где p^ — определенный формулой (153) 4-вектор энергии-импульса.
§ 25.	Центральный потенциал
Исследуем состояния дираковской частицы, находящейся
в статическом центральном потенциале И(г). Гамильтониан Ди-
рака в этом случае имеет вид
HD^ap + frn+V(r).	(156)-
408
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Он инвариантен относительно вращений и отражений
[HD, 7] = 0, [HD, Р] = 0.
Таким образом, мы можем искать решения, соответствующие
определенному моменту импульса и четности.
Удобно записать решение в виде
т==(х)’	(157)
где
*-(♦:)•	<15«>
Проектируя Т на подпространства, отвечающие р — + 1 и р =
= — 1, находим
|(1 + p)Y = (J), 1(1 - P)V = (°).	(159)
Функции Ф и х зависят от г и компоненты спина ц. по оси г.
Их можно рассматривать как функции радиальной перемен-
ной г и «угловых переменных» (0, ф, ц) в полной аналогии
с волновыми функциями теории Паули.
Будем считать, что Т есть собственная функция операторов
J2, Jz и Р. Квантовые числа момента импульса обозначим (JM).
Четность будем указывать посредством квантового числа о
такого, что
1+1 для состояний с четностью (—1) 2,
1	(160)
j—L
— 1 для состояний с четностью (—1) 2.
Итак, согласно предположению,
> Л/ '	> Л •	' к '	' Ь /	/« z* « \
1	(161)
Пусть ^£/(0, ф, р) — функция с полным моментом (JM), об-
разованная композицией собственных векторов для спина 1/2
со сферическими функциями порядка L. Четность этой функции
равна (—1)L. В силу теоремы о сложении моментов импульса L
может принимать только два значения
£ = / = 7 + 1(0, L = l'^J-1®,	(162)
а функции QJu и ‘Vrz имеют противоположную четность:
J+— ш	а
(—1) 2 н (—1) 2 соответственно. Из уравнений (161) за-
$ 25. ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
409
ключаем, что функция Ф, зависящая от (г, 6, <р, ц), отвечает
моменту импульса (JM) и четности (— 1)/+2"“. Следовательно,
эта функция равна произведению функции от г на Анало-
гично, функция % равна произведению функции от г на
Итак, если Т®/ описывает состояние с моментом импульса
/4—- <0
(JM) и четностью (—1) 2 , то эта функция может быть пред-
ставлена в виде
>й=тСЛ?,)-	(163)
где I и I' определяются равенствами (162), a F и G — произ-
вольные функции от г.
Рассмотрим теперь уравнение на собственные значения
=	(164)
Следуя методу, использованному в главе IX, проведем в опера-
торе HD разделение «угловых» и радиальных переменных.
Введем радиальный импульс рг и «радиальную скорость» аг
Рг = — ^^7Г’	(165>
ar = ar = р! (or)/r.	(166)
Воспользовавшись тождеством (XIII. 83), получаем
(аг) (ар) — (аг) (ар) — гр + ioL = rpr 4- i (1 + о£).
Отсюда, после умножения слева на аг/г и использования ра-
венства ar = 1, следует тождество
apsar(pr + i(l + aL)).	(167)
Исследуем оператор 1 4- aL. Легко показать, что
1 +aL = J2 + ±-L*.
Далее, из формулы (161) ясно, что действие L2 на Та/ сводится
к умножению на
(7 4-	(/+	4-1) ^7(7 4-1) + 4 + 7<о₽(27 + 1).
Следовательно,
(14-аЬ)^ = -|<о(27 4- 1)рЛ	(168)
410
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Подставляя соотношения (167) и (168) в уравнение (164),
получаем
Воспользуемся в этом уравнении выражением (163) для соб'
ственной функции, определениями (165) и (166) операторов рг
и аг и равенствами (задача 8)
(а?)^=_<7,
(О?)
Тогда уравнение перейдет в систему из двух дифференциальных
уравнений для радиальных функций F(r) и G(r)
[--£ + <г--2<.]0 = (£-/п-У)Л	(170а)
Г а ® (7 + у) I
L4 + r~ -"J F = (E + m-V)G. (1706)
Эти уравнения аналогичны уравнению (IX. 20) нерелятивист’
ской теории.
После интегрирования по углам для нормы функции Д2/
получаем выражение
оо
W W>= J (| F р + | G f)dr,	(171)
о
которое естественно сравнить с формулой (IX. 21).
Обсуждение свойств регулярности функций F и G можно
провести в полной аналогии с тем, что было сделано для фунК’
ции у;(г) в нерелятивистской теории. На деталях мы здесь не
останавливаемся.
§ 26. Свободные сферические волны
Если потенциал V равен нулю, то полученные в предыдущем
параграфе стационарные решения уравнения Дирака для сво’
бедного электрона соответствуют определенным моменту им'
пульса и четности и представляют собой свободные сферические
волны.
В этом случае, из уравнения (1706) находим
G
1 I _д_ । 21
£ + т L dr
(172)
§ 26. СВОБОДНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
411
Подставляя это выражение в ур. (170а), получаем
Г d ,	+	, (/ + т)]п
(£2-m2)F = [-^7 +--- ][^ + ® -г =
Г rf2 , (/+т)(/+ш+4)
L dr2 +	r2
Легко показать, что
(л4)(/+.+1).|(н.1),
где I — целое число (см. ур. (162)). Таким образом, полученное
уравнение совпадает с радиальным уравнением для свободной
частицы в нерелятивистской теории, если к тому же заменить
Е2 — т2 на произведение 2m и нерелятивистской энергии. Это
уравнение имеет одно и только одно регулярное решение для
любой положительной величины Е2 — т2. Введя обозначение
— m2 (| Е m), перепишем уравнение в виде
Регулярное решение (с точностью до постоянного множи-
теля) равно
F = rJi (kr).
Соответствующая функция G легко получается по формуле
(172). Используя рекуррентные соотношения (Б. 42) и (Б. 43)’
(первое — при ®=1, второе — при и =— 1; в обоих соотно'
шениях положили у = 0), находим
о
Итак, для любого значения энергии Е вне интервала
(—т, -j-m) существует свободная сферическая волна с момещ
том импульса (JM) и четностью (—1/*2 °, которая (см. ур.
(163)) может быть записана в виде
(	|£ + т|2 /г№ -т2.г)
const • I	!
гае | Е - т /Г (7£2 — т2 г)
(173)
где е = Е/\ Е |.
-412
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
§ 27.	Атом водорода
В качестве второго примера исследуем связанные состояния
электрона в кулоновском поле атомного ядра. Последнее будем
считать точечным зарядом, равным заряду электрона, умно-
женному на (—Z), и покоящимся в начале координат1)- Мы
будем интересоваться связанными состояниями релятивистской
частицы спина 1/2 в центральном потенциале
F—— Ze2/r.
Эта задача на собственные значения может быть решена точно.
Здесь мы опишем только основные моменты метода решения,
который представляет собой простое расширение метода, ис-
пользованного в § XI. 4.
Из анализа асимптотического поведения решений системы
радиальных уравнений (170) ясно, что энергия Е должна ле-
жать в интервале (—т, 4-/и). Искомое собственное значение
характеризуется тем, что соответствующее решение должно
быть регулярно в начале координат и на бесконечности вести
себя, как ехр(—-у/т1— Е?г).
Введем обозначения
х =	(174)
t = Ze\	t =	+	(175)
и новую переменную
р = хг.	(176)
Тогда система уравнений (170) примет вид
(-£ + 7)°-(-'’ + f)f	<177а>
G?+i)f-(v-'+7)°-	<177б>
Будем искать решения в виде рядов
F(p) = pse-c(ao + aiP + n2p2+ ...) (ао¥=О),	(178а)
G (р) == pse-p (&0&1Р 4-&2р2 + ...) (&о¥=О). (1786)
Подставляя эти разложения в систему (177) и приравнивая
члены соответствующих порядков, получаем набор уравнений,
первое из которых определяет s, а последующие представ-
>) Тем самым, ядро считается бесконечно тяжелым. Возникающей при
этом ошибкой пренебречь нельзя, поскольку она по порядку величины срав-
нима с релятивистскими поправками. Эта ошибка существенно уменьшается,
если во всех формулах массу электрона т заменить приведенной массой.
§ 27. АТОМ ВОДОРОДА
' 413
ля ют собой рекуррентные соотношения для коэффициентов
ар, bp, ai, ап, Ьп, ... Уравнение для s имеет два корня
±д/т2 —£2. Для регулярности решений F и G и выполнения
условия F(0) = 6(0) = 0 необходимо и достаточно, чтобы
5 > 0. Так выбирается положительный корень ’)
5 = д/т2 —£2.
Следовательно, для любого значения Е существует одно ре-
шение, регулярное в начале координат. В общем случае, это
решение на бесконечности ведет себя, как pseP, если только раз-
ложения (178) не обрываются. Последнее возможно только для
специальных значений Е — искомых уровней энергии. Вычис-
ление показывает, что эти значения равны
т Г1 + , -£ гт] 2,
L (n + s)2 J
где п' — радиальное квантовое число — равно степени полино-
мов, фигурирующих в разложениях (178). Для каждого поло-
жительного п' существует регулярное решение при любом из
двух значений ®; для п' — 0 регулярное решение существует
только при ® = — 1.
Введем главное квантовое число
n — J + у + п'.
Тогда предыдущие результаты можно сформулировать следую-
щим образом. Уровни дискретного спектра зависят от двух
квантовых чисел п и J и определяются формулой
еу = / + у-д/(/ + у)2-72е4,
(179)
(179Э
где п может принимать все целые положительные значения,
a J — все полуцелые значения из интервала (0, п.)
. п	,13	1
я = 1, 2, .... оо, / =
") Мы предполагаем, что С < |т|, т. е. Ze1 < + Это условие вы-
полнено, если Z < 137, что практически почти всегда имеет место. В против-
ном случае обсуждение условий регулярности в начале координат стало бы
«канительно более деликатным вопросом.
414
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Каждому значению J соответствуют два набора из (27 4* О
решений противоположной четности, за исключением значения
J — n — у, которому соответствует один набор из (27 + 1) ре-
шений четности (—I)"-1. Вместо того, чтобы фиксировать чет-
ность, можно фиксировать величину I — значение орбитального
момента двух первых компонент спинора. Напомним, что чет-
ность спинора равна (—1)'.
Для энергетических уровней и состояний обычно используют
спектроскопические обозначения nh. Ниже приведены несколько
первых уровней и соответствующие спектроскопические термы
(вырождение каждого терма равно 27 + 1):
п=1	7 = -^- 1st	(д'— 0)
2
п — 2	J — -?? 2s 1 2pi	(n'=l)
И ~2
7 = 4	2р3	(л'==0)
2
п — 3	7 = 4 3$ 1 Зр 1	(п' = 2)
2	~2
7 = 4	Зр3	3d3	(«'=!)
2	2
7 = 4	3dl	=
Если выражение (179) разложить в ряд по степеням Z2e4,
то получим
Е -„Ji *4._(^4)2/ «.............3\	-1
т I 1 2га2 2га4 I 1	4 П •• • •
L	v + t 7 J
Первое слагаемое — масса электрона. Второе —Z2e4/2n2, в точ-
ности совпадает с результатом нерелятивистской теории. Сле-
дующие слагаемые определяют релятивистские поправки, ко-
торые частично устраняют «случайное вырождение» уровней
нерелятивистской теории: при фиксированном п энергия связи
т — Е каждого терма зависит только от 7 и тем больше, чем
меньше 7.
Экспериментальные результаты о тонкой структуре спектра
атома водорода или водородоподобных атомов (а именно, Не1-)
находятся в хорошем согласии с этими предсказаниями.
Однако совпадение результатов не является полным. Наи-
большее расхождение наблюдается в тонкой структуре уровней
§ 28. БОЛЬШИЕ И МАЛЫЕ КОМПОНЕНТЫ
415
с п = 2 атома водорода1). В нерелятивистском приближении
три уровня 2si , 2pi и 2рз, совпадают. В теории Дирака уровни
2	2	2
2s 1 и 2р£остаются равными, а уровень 2рз расположен ниже
7	7	7
(расстояние между ними порядка 10~4 эв). Расстояние 2р$ —
7
— 2/2 1 согласуется с предсказаниями теории, в то же время уро-
7
вень 2si_ расположен ниже уровня 2р]_ и величина 2si — 2pi
7	7	7	7
равна приблизительно одной десятой расстояния 2p$ — 2p\.
7	7
Этот эффект называют лэмбовским сдвигом. Для его объясне-
ния необходимо строгое рассмотрение полного взаимодействия
между электроном, протоном и квантованным электромагнит-
ным полем. В теории Дирака учитывается только основная
часть этого взаимодействия — кулоновский потенциал. Лэмбов-
ский сдвиг связан с «радиационными поправками» к этому при-
ближению 2 *).
Раздел V. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИИ ПРЕДЕЛ
УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
§ 28. Большие и малые компоненты
Рассмотрим плоские волны с положительной энергией. Ком-
поненты этих волн приведены в табл. IV. Будем считать, что
энергия Ер мало отличается от энергии покоя
W = Ер — m < т.
Тогда можно воспользоваться нерелятивистским приближением,
поскольку кинетическая энергия W почти равна ти2/2 и спра-
ведливо неравенство
Мы увидим, что в этом случае отличная от нуля компонента
соответствует р = + 1 и по величине она значительно больше
) W. Е. Lamb, R. С. Retherford. Phys. Rev. 72, 241 (1947).
2) Экспериментальное значение величины 2s j —2р1 равно 1057, 77 ±
~2	7
±0,10 Мц!сек (мегациклов в секунду); теоретическое значение, полученное
при учете «радиационных поправок», существование которых предсказывается
квантовой электродинамикой, равно 1057,99 ± 0,2 Мц!сек (С. М. Sommerfield.
Phys. Rev. 107, 328 (1957)),
415
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
компоненты, которая соответствует р = —1,
Аналогичное утверждение справедливо для сферических волн
(см. выражение (173)) и для собственных функций атома во-
дорода (см., например, собственные функции, определенные
в з-адаче 10). Все это позволяет предположить, что в нереляти-
вистском приближении две компоненты Тз и спинора Чг, от-
вечающие собственному значению —1 оператора р, очень малы
по абсолютной величине. Следовательно, ими можно пренебречь
и теория Дирака становится при этом эквивалентной двухком-
понентной теории.
Чтобы продемонстрировать эту эквивалентность явно, за-
пишем дираковский спинор Чг в виде (157), где Ф и % опреде-
ляются уравнениями (158), (159). Как мы уже отмечали в § 25,
величины Ф и % можно рассматривать как векторы простран-
ства состояний двухкомпонентной нерелятивистской теории.
В этих обозначениях уравнение Дирака для стационарного
состояния с энергией Е в представлении Дирака принимает вид
(о (р — еА)) х + (еф + т) Ф = ЕФ,	(180а)
(о (р — еА)) Ф + (вф — пг) х = Е%.	(1806)
Введем обозначения:
л = р — еА, М = Е — его,
,1 1 (181>
W = E-m,	+	= m +
Определив из уравнения (1806) спинор х и подставив его
в уравнение (180а), получим
Х = ^1г(<гЯ)ф,	(182)
[(<гя) 2^ (<™) + еФ] Ф = ГФ.	(183)
Уравнения (182)—(183) полностью эквивалентны уравнению
Дирака.
В нерелятивистском пределе справедливы соотношения
W, еф, р, еА<^пг, M't&tn,	(184)
и из уравнения (182) ясно, что х Ф, а отношение этих двух
величин порядка р/m, т. е. v/c. Спиноры х и Ф называются ма-
лыми и большими компонентами соответственно.
5 29. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИИ ПРЕДЕЛ ТЕОРИИ ДИРАКА
417
Далее в этом разделе мы будем использовать понятие «чет-
ных» и «нечетных» операторов. По определению:
(i) оператор & называется «четным», если все его матрич-
ные элементы между малыми и большими компонентами равны
нулю (например, р, г, L, о, J, Р(г0), Р);
(ii) оператор 3~ называется «нечетным», если у него не
равны нулю только матричные элементы между малыми и боль-
шими компонентами (например, а, Ра, у5, /(го))-
Это определение эквивалентно тому условию, что опера-
тор & коммутирует с р, а оператор 3~ антикоммутирует с р
^ = р^р, ^'=-р^'р.	(185)
Любой оператор Q можно однозначно представить в виде суммы
«четного» и «нечетного» операторов
Q = y[Q + PQP]+y[Q-PQP].
Произведение двух «четных» или двух «нечетных» операторов
есть «четный» оператор; произведение «четного» оператора на
«нечетный» есть «нечетный» оператор.
§ 29. Теория Паули как нерелятивистский предел
теории Дирака
Вернемся к системе уравнений (182) — (183). Если пренебречь
малыми компонентами, то в нормировке волновой функции мы
получим ошибку порядка и2/с2. Ошибка того же порядка воз-
никает, если в уравнении (183) оператор М' заменить массой ш.
В этом приближении уравнение (183) принимает вид уравне-
ния на собственные значения *)
На, г.ф = ГФ	(186)
для гамильтониана
На. г. = (ол) (ал) + вф,	(187)
который действует на двухкомпонентную волновую функцию
ф. Уравнение (186) определяет энергию W с точностью до v2/c2.
Чтобы привести оператор Нп.т к более привычному виду,
воспользуемся тождеством (XIII. 83) и учтем некоммутатив-
ность компонент векторного оператора л:
л X я = ie rot А = ieffl.
’) Исходное уравнение (183) не является уравнением иа собственные зна-
чения, поскольку стоящий в левой части оператор зависит от собственного зна-
чения W, которое участвует в определении М'.
14 А. Мессиа
418
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Отсюда следует, что
Нп. г. 4 (р - еА)2 - (аЖ) + е<р.	(188)
Мы получили гамильтониан теории Паули для частицы с мас-
сой т, зарядом е и внутренним магнитным моментом ц = цво,
где цв — е/Чт — магнетон Бора.
Таким образом, теория Дирака не только предсказывает су-
ществование внутреннего магнитного момента, но и дает его
правильное численное значение (§ ХШ. 18). Это одно из наи-
больших достижений теории *)•
Для доказательства эквивалентности теории Дирака в рас-
сматриваемом здесь приближении двухкомпонентной теории
Паули мы должны указать операторы, соответствующие опера-
торам теории Дирака, но действующие только в подпростран-
стве больших компонент.
Это можно сделать, если в вычислениях с интересующими
нас операторами участвуют только их матричные элементы ме-
жду состояниями W', W" с положительной энергией, близкой
к массе покоя. Последнее условие необходимо для обоснования
нерелятивистского приближения.
В случае четного оператора матричный элемент
<4f,/1 &| Чг'> представим в виде суммы
(Ф" |1?|Ф') + (%" \Ф |/>.
Второе слагаемое имеет порядок (и/с)2 по сравнению с первым
и в рассматриваемом здесь приближении им можно прене-
бречь. Тем самым оператор & можно заменить его проекцией
на подпространство больших компонент. Эта проекция в нере-
лятивистской теории Паули описывает физическую величину,
которая в теории Дирака задается оператором
’) В действительности, экспериментальное значение |лехр несколько отли-
чается от теоретического значения магнитного момента электрона (Р. Kusch,
Н. М. Foley. Phys. Rev. 72, 1256 (1947)). Согласно последним данным
дРехр s Рехр - Ив = (1»165 ± 0,011) • IO"3 рв.
«Радиационные поправки» квантовой электродинамики приводят к существова-
нию аномального магнитного момента, что дает (Sommerfield, loc. cit.)
Apth= 1,163- 10~3 рв.
Отметим еще, что добавление к оператору Дирака члена xp.salxvFuv при-
водит к уравнению, которое обладает теми же свойствами инвариантности, что
и уравнение Дирака, при любой константе х. В результате такое уравнение
описывает частицу с массой т, зарядом е и внутренним магнитным моментом
(1 + х)
§ 29. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ ПРЕДЕЛ ТЕОРИИ ДИРАКА
419
Для нечетного оператора имеем
<Т" IЗГ | Т'> = <Ф" | ЗГ I z') + <х" IЗГ I Ф').
Малые компоненты входят в каждое слагаемое этой суммы. Од-
нако в силу уравнения (182) и нерелятивистского приближения
справедливы равенства
1х>=Р12-|ф>-
О?" । <г |гр') = J- <ф"| [<ГР1 (ОЯ) + (ал) Р1^] | ф'>.
Следовательно, оператор ЗГ можно заменить проекцией на под-
пространство больших компонент оператора
2^- Pi (»я) + (<”0 Pi^l-
Так, «скорость» а = р1а можно заменить действующим в про-
странстве больших компонент оператором
л  о (ал) + (ал) а
т	2т
Аналогично плотность потока в точке г0
1 (<о) = Р1«б (г — г0)
можно заменить оператором
(/ (го))п. г. = 6 (*• ~ г0) « О + (^-) аб (г - г0)
или, используя тождество (XIII. 83),
(7(го))п.г. = i,l) + /(П’,	(189)
/(1)^.б(г-го)" + яд(г-го)>	(190а)
;<п> — / 6 (r ~ r°) (Р X Д) - (Р X <Г) 6 (г - г0)	(1906)
Мы видим, что электрический ток ej теории Дирака в этом при-
ближении представляется суммой из двух слагаемых. Первое,
ej(I), совпадает с током теории Шредингера (см. задачу IV. 1).
Чтобы найти интерпретацию второго слагаемого, рассмотрим его
матричный элемент между Ф' и Ф"
<Ф" | I Ф') =— rot <ф" 16 (г - го) а | Ф').
Это ток, связанный с магнитным моментом, и величину
2^Г (Ф"1 6 (*• “ Го) а| Ф'> = (Ф" |д (г - г0) р |Ф'>
14*
420
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
можно интерпретировать как плотность магнитного момента.
Мы увидим, что дивергенция этого тока обращается в нуль и он
не дает вклада в уравнение непрерывности.
§ 30. Приложение: сверхтонкая структура
и диполь-дипольная связь
Рассмотрим электрон в электрическом поле атома, которое
описывается некоторым электростатическим потенциалом <р(г),
и исследуем эффект, к которому приводит дополнительное поле,
создаваемое магнитным моментом М ядра. Магнитный диполь
М, расположенный в начале координат, порождает поле, кото-
рое можно представить векторным потенциалом,
(191)
rot (М/г).	(191')
Такое поле ведет к дополнительному слагаемому —еаА в га-
мильтониане Дирака.
Для определения влияния этого поля в нерелятивистском
приближении можно вычислить нерелятивистский предел опе-
ратора —еаА, используя метод предыдущего параграфа. Можно
также рассмотреть те изменения в гамильтониане Паули (188),
к которым приводит наличие М. Оба подхода эквивалентны и
мы воспользуемся вторым.
Если мы учтем только линейные по М члены, то гамильто-
ниан Паули будет содержать два дополнительных слагаемых
/а = —2^(Р^ + ^Р),
где Ж — поле, порожденное диполем М.
Слагаемое 1а представляет собой спин-орбитальное взаимо-
действие (спин ядра и орбита электрона). Поскольку div А = 0
(см. ур. (191)), то
Подставляя в правую часть выражение (191) и вспоминая оп-
ределение орбитального момента электрона L =s г X р, полу-
чаем
§ 31. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОЛДИ — ВОТХОИЗЕНА
421
Слагаемое /& представляет собой спин-спиновое или ди-
поль-дипольное взаимодействие. Вычислим это слагаемое, ис-
пользуя формулу (191),
z6=-g(vxA) = -g[vx(vxv-)] =
= (пМ) А (1) - [(nV) (MV)] (1) .	(193)
Если г =/= О, то дифференцирование легко выполнить и полу-
чить
3 (ЛГг) (пг) - (ЛГп) г2
----------7--------•
Выражение (193), как функция г, имеет в начале координат
особенность порядка 1/г3. Чтобы определить действие опера'
тора /», применим его к регулярной функции /(г) и проинтегри'
руем это произведение по малой окрестности точки г — 0. Для
этого запишем 1ь в виде
1ъ = | (ЯМ) А (у) - [(nV) (MV) - ± (рМ) А] (±).	(193')
Второй член в этом выражении является тензорным оператором
второго порядка в пространстве функций от г. Если функцию
/(г) разложить по сферическим функциям, то после интегрирО'
вания по углам останутся только коэффициенты при сфериче-
ских функциях второго порядка. Эти коэффициенты обращаются
в нуль в начале координат не медленнее, чем г2 и, следова-
тельно, вклад второго члена в выражение (193), несмотря на
сингулярность 1/г3, также обращается в нуль в начале коорди-
нат. Используя тождество (А. 12), первый член можно записать
в виде —(8л/3) (рМ)6(г). Таким образом, для любого г, вклю-
чая и начало координат, справедливо равенство
1ь = - -у- (Ш) б (г) -	[з (м £) (ц £) - (МП)]. (194)
Равенства (192) и (194) получены в нерелятивистском пре-
деле и позволяют определить сверхтонкую структуру атомных
уровней с точностью до В частности, вклад s-электро-
нов в сверхтонкую структуру дается контактным членом
— (8л/3) (рМ)6(г).
§ 31. Поправки высших порядков и преобразование
Фолди — Вотхойзена
В низшем порядке по о/с теория Дирака эквивалентна двух-
компонентной теории Паули. Используя, как и ранее, уравнения
(182) — (183), можно получить релятивистские поправки выс-
422
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
ших порядков. Для этого следует заменить величину 1/ЛГ ее
разложением по степеням [(IF — e<p)/2m]:
Поскольку
/1Г —е<р\ ~ / лг \ ~ п ( Уг\
\ 2т / ~ \ 4/n2 / ~ u I с2 / ’
то это по существу ряд по степеням ц2/с2. Если в этом разло-
жении ограничиться первым членом, как это было сделано*
в § 29, то получим теорию Паули. Учитывая последующие члены
разложения, найдем релятивистские поправки высших поряд-
ков, однако как только мы учтем поправки порядка ъг1с\ мй
потеряем эквивалентность теории Дирака в форме (182) — (183)
двухкомпонентной теории. Это происходит потому, что:
(i) нельзя более пренебрегать вкладом малых компонент
в нормировку и в матричные элементы четных операторов;
(ii) уравнение (183) не является более уравнением на соб-
ственные значения (см. первую сноску к § 29).
Хотя возникающий при этом метод не является совершенно
непригодным, его применение и интерпретация результатов ста-
новится довольно деликатной проблемой. Фолди и Вотхойзеа
предложили иной метод, позволяющий находить двухкомпоненг-
ную теорию, которая является приближением к теории Дирака
в данном порядке по о/с. Основу этого метода составляет под-
представление), гамильтониан Дирака является четным опера-
торов теории Дирака. В новом «представлении», которое мы
будем называть представлением Фолди — Вотхойзена, (ФВ-
представление), гамильтониан Дирака является четным опера-
тором в данном порядке по v/c, так что в этом приближении
малые и большие компоненты полностью разделены в волновом,
уравнении. Следовательно, малые компоненты можно просто:
отбросить и получить искомую двухкомпонентную теорию. Опе-
раторы этой двухкомпонентной теории получаются из четных
операторов ФВ-представления, а не из операторов исходного
представления. Таким образом, приходят к новой интерпрета-
ции операторов нерелятивистской механики, в частности, более-
удовлетворительную интерпретацию получает оператор коор-
динаты.
В оставшейся части этого раздела мы будем заниматься-
ФВ-представлением и его применением к нерелятивистскому’
пределу уравнения Дирака.
§ 32. ФВ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
423
§ 32. ФВ-преобразование для свободной частицы
В случае свободной частицы малые и большие компоненты
можно полностью разделить во всех порядках и/с.
Рассмотрим гамильтониан Дирака
Яо == ар + ₽/п.
Пусть Г+ и Г_ — проекторы на решения с положительной и от-
рицательной энергией соответственно
Г± = у[1 ±-g-] = j[l ± ap j~pPOT]. (195)
Ep^^/tn2 + р2.
Пусть В+ и В-—проекторы на подпространства больших и
малых компонент:
В±^|(1 ±₽).
По определению, оператор U, который переводит величины
в ФВ-представление, преобразует Г+ в В+, а Г_ в В_. Обозначая
штрихом векторы и операторы в ФВ-представлении, можно, сле-
довательно, записать, что
U'U = UU^ = 1,
г'±^иг±и^ = в±.
Потребуем также, чтобы оператор U был инвариантен отно-
сительно трансляций, вращений и отражения. Предоставим чи-
тателю доказательство того, что в этом случае U определен
с точностью до фазового множителя. Фиксируя эту фазу, полу-
чаем
V2£p 1 г ЯоТ
т + Ер "2 L1 =	(196)
Vm + Е„	ар
~ 2ЕР + ₽ V2£p(m + £pT'	(196 }
Легко проверить, что данное выражение удовлетворяет всем
упомянутым требованиям.
Поскольку оператор U не зависит от времени, гамильтониан
-Не, который определяет зависимость от времени векторов со-
стояния в ФВ-представлении, дается равенством
HF = UHDU\
Используя выражение (196), получаем
Нр = №р^>(т* + р&	(197)
424
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
В силу четности оператора HF, большие Ф' и малые %' ком-
поненты расцепились в уравнении движения
i dQ'Idt — ЕрФ',	(198 а}
id^'ldt = -Ер/.	(1986)
Если мы ограничимся решениями с положительной энергией
(a fortiori нерелятивистскими энергиями), то теория Дирака
будет эквивалентна во всех порядках v/c двухкомпонентной
теории, которая описывается уравнением (198а).
Оператор U коммутирует с р, J и оператором четности Р, но
не коммутирует с оператором г. В представлении, где оператор
г диагоналей, U задается интегральным оператором с матрич-
ными элементами
(г | U | г') = {г | р) dp {р | U | р'> dp' (р' | г').
Откуда, используя формулу (196'), находим
(г I и |	г') = (2л)"3 [ А / т +сЕр	+ ₽ . 7	leip	dp.
4 '	' v ’ J L V 2£p H	V2£p (m + Ep)	J	и
Матричный элемент <r| U\r') является функцией (г — г'), кото-
рая практически исчезает при ]г — г’ |	1/m и сосредоточена
в области, где |г— г’[ меньше или порядка 1//п. Следовательно,
ФВ-представление является нелокальным преобразованием, при
котором спинор ТДг) —преобразование спинора ЧДг) —полу-
чается некоторым усреднением значений спинора Т по окрест-
ности точки г, и линейные размеры этой окрестности имеют по-
рядок 1/т — длины комптоновской волны частицы.
Оператор координаты частицы определяется в ФВ-предста-
влении равенством
/ == UrU\
Этот оператор отличен от г. Следуя Фолди и Вотхойзену, мы
будем называть величину, которая задается оператором г
в ФВ-представлении, усредненной координатой. В исходном
представлении она задается некоторым оператором /?, и, по-
скольку R' = г, имеем
В представлении Дирака R является нелокальным оператором.
Действие этого оператора на спинор ^(г) состоит, грубо го-
воря, в умножении на г и замене значения в каждой точке на
некоторое усредненное значение спинора по области порядка
1//п с центром в этой точке. Это объясняет приведенное выше
название усредненной координаты.
§ 33. ФВ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
425
Если Q' — четный оператор в ФВ-представлении, то в двух-
компонентной теории ему соответствует наблюдаемая Qn. г., ко-
торая получается, если в Q' оставить только матричные эле-
менты между векторами из подпространства больших компо-
нент: Qn.r. = B+Q'B+. В частности, наблюдаемая г, соответ-
ствующая координате в двухкомпонентной теории, отвечает
«средней координате» R, а не оператору координаты собственно
теории Дирака').
§ 33.	ФВ-преобразование для частицы во внешнем поле
В присутствии внешнего поля гамильтониан Дирака имеет
вид
Н = 0m + Т + Ф, = ап = а(р — е А), Ф = еср.
Вообще говоря, не существует «представления», в котором га-
мильтониан был бы в точности «четным» оператором. Однако
применяя последовательно унитарные преобразования, можно
получить «представления», в которых «нечетная» часть соответ-
ствующего гамильтониана имеет все более высокий порядок
по v/c. Для доказательства рассмотрим унитарный оператор
U = ехр (р£Г12т).
Гамильтониан Hi, который определяет зависимость от времени
в новом представлении, дается равенством
Hi = UHU* - iU dU*ldt.
Используя тот факт, что 0£Г антикоммутирует с (0m+ ^"),
a LH = ехр(—0£Г/2т), получаем
U (pm + ф~) U* = U2 (Pm + Т) =
= Pm [cos (STI tri) + (ST/tri) sin (^~/m)] +
+ m[(^"/m) cos (Ф~1т) — sin (Ф~1т)].
Члены иФ1Л и —iUdtH/dt можно представить в виде рядов
по степеням Ф~]т, используя следующее операторное тожде-
•) В соответствии с данной здесь интерпретацией орбитальный момент
г X Р и спин а двухкомпонентной теории соответствуют не орбитальному мо-
менту и спину теории Дирака, а «усредненному моменту импульса» R X Р
и усредненному спину 2. Здесь 2 — оператор, которому в ФВ-представлении
отвечает оператор <г, 2' о. Читатель может убедиться в том, что каждая
из компонент среднего спина и среднего момента импульса коммутирует с га-
мильтонианом свободной частицы, собственно спин и орбитальный момент
этим свойством не обладают. Отметим также, что
'М*-Хр)+4<г = («Хр) + 42-
426
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
ство, которое справедливо для любых двух операторов 4 и Zf
(см. задачу VIII. 4):
е»Ве-л = В + [4, В] +
________п скобок
+ 4(4, [А, В]] + ... +тг[А [А, ... [А, [А, В]] ...]]+ ...
Мы приведем только результат вычисления Н' в случае»,
когда ЗГ не зависит от времени. В первом приближении спра-
ведливо равенство Н' = Hi. Находим
^—(Ж-£1-ЖГ)+ -
Эти разложения для «четной» и «нечетной» частей оператора Ну
определяют 3i с точностью до (£Г/т)6 или (^/т) (3~/т)4 ж-
ЗГ i— с точностью до (£Г/т)5 или (3>[т) (ЗГ/т)3, в зависимости,
от того какая из этих величин больше. Следовательно, «нечет-
ная» часть гамильтониана Н\ меньше «нечетной» части Н на
множитель порядка З/'m или (£Г/т)2. В нерелятивистском пре-
деле величины Р/т к ST!т имеют порядок (v/c)2 и v/c соот-
ветственно. Таким образом, ST i имеет порядок (v/c)3.
Для оператора Hi повторим ту же операцию, что была сде-
лана для Н, т. е. совершим унитарное преобразование с опера-
тором
Ui = exp($3T/2tn),
и новый гамильтониан обозначим Н2. «Нечетная» часть этого-
гамильтониана меньше fTi на множитель порядка З^/т или
(ЗГi/tn)2. В нерелятивистском пределе 3\/т имеет порядок
(v/c)2, a (SFi/tn)2 — порядок (v/c)6, следовательно, £Г 2 имеег
порядок (v/c)5. Если пренебречь членами такого порядка, то-
гамильтониан Н2 будет «четным» оператором, который имеег
вид
н2«р™ + д>1 + о (v5) х
« Р/П + е<р + 2^- ₽ (оя)2 —	[(ал), [(ал), <р]] — Р (ал)4 + О (v5)-
Аналогично, если пренебречь членами .порядка (v/c)3, то Ну
также является «четным» оператором и имеет вид
Hi « pm + еф + 2^- Р (ал)2 + О (v3).
§ 34. ЭЛЕКТРОН В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
427
После этих преобразований мы можем перейти к двухком-
понентной теории, так же как и в случае свободной частицы.
£ точностью до (v/c)5 решения с положительной энергией за-
даются волновыми функциями Ф' из пространства больших ком-
понент, которые удовлетворяют уравнению
i <ЭФ' (dt = (т + Н'п. г.) Ф'.
Здесь (т + Н'а, г.) — проекция приведенного выше приближен-
ного выражения для Н2 на пространство больших компонент,
1. е.
Н'п. г. = е<р + 2^- (ал)2 —	[(ал), [(ал), ср]] -	(ал)4. (199)
Два первых слагаемых представляют собой гамильтониан тео-
рии Паули, следующие два слагаемых — релятивистские по-
правки порядка (v/c)2 к нерелятивистской энергии Нпл..
Несложные вычисления приводят нас к равенствам
(ал)4 = (л2 - е (а^))2,	(200)
[(ал), [(ал), ф]] = div <9 + 2а (<§ X л),	(201)
•которые позволяют записать Н'п г. в более привычной форме.
Производя последовательно такие унитарные преобразова-
ния достаточное число раз, можно построить двухкомпонентную
теорию, которая определяет состояния с положительной энер-
гией с точностью до любого заданного порядка по v/c. Каждое
новое преобразование увеличивает точность на множитель
(v/c)2. Исследование сходимости получившихся рядов является
довольно деликатным вопросом. Весьма вероятно, что в боль-
шинстве случаев мы имеем лишь асимптотическое разложение.
Это разложение по степеням операторов р/т, т. е. (h/mc) grad,
и d/mdt, т. е. (h/mc2) d/dt. А следовательно, скорость сходимо-
сти этого ряда зависит от характера изменения потенциала
(А, ф) на расстояниях порядка h/mc (и за время порядка
ti/mc2 — отношение комптоновской длины волны к скорости
света).
§ 34.	Электрон в центральном электростатистическом
потенциале
В качестве приложения описанной в предыдущем параграфе
техники рассмотрим электрон в центральном электростатиче-
ском потенциале V(r)=e<p(r). В этом случае А (г) = 0 и га-
мильтониан Паули совпадает с гамильтонианом теории Шре-
дингера
428
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Если учесть поправки порядка у2/с2, то к гамильтониану
Яп.г. добавятся два последних слагаемых выражения (199).
В данном случае
eS = — grad V = — у--^,
edivto = — AV,
и принимая во внимание соотношения (200) и (201), получаем
+	+	(202}
Первое дополнительное слагаемое, — р4/8т3с2, представляет
собой релятивистскую поправку к кинетической энергии
следующее — спин-орбитальное взаимодействие (см. формулу
(XIII. 95)). Третье слагаемое, Й2АУ/8/п2с2, определяет поправку
к центральному потенциалу, которая называется поправкой
Дарвина; в случае чисто кулоновского потенциала V(r) —
= — Ze2/г. Эта поправка имеет вид
(nZe2A2/2zn2c2) б (г)
и влияет только на s-состояния.
§ 35.	Обсуждения и выводы
Независимо от того, имеется ли внешнее поле или оно равно
нулю, операторы двухкомпонентной нерелятивистской теории
представляют собой проекции операторов представления Фол-
ди — Вотхойзена на пространство больших компонент. В част-
ности, оператор нерелятивистской теории г следует отождест-
вить с оператором /?, который мы назвали «усредненной коор-
динатой». В теории Дирака взаимодействие частицы с электро-
магнитным потенциалом локально, другими словами, частицы
взаимодействуют с электромагнитным потенциалом в точке г.
При переходе к ФВ-представлению, где г представляет усред-
ненную координату, взаимодействие становится нелокальным и
оно зависит от значений электромагнитного потенциала в обла-
сти с линейными размерами порядка ti/mc, содержащий точку г.
Если изменение потенциала в этой области незначительное, то
это взаимодействие можно представить посредством ряда Тей-
лора, включающим в себя значения потенциала и его производ-
ных в точке г. Так, гамильтониан Н'п.Т. (ур. (199) или (202))
содержит первые члены этого разложения.
Следовательно, в нерелятивистском пределе электрон пред-
ставляет собой не точечный заряд, а распределение заряда и
тока в области с линейными размерами ft/tnc. Это объясняет по-
явление членов взаимодействия, которые связаны с магнитным
§‘36. свойства зарядово-сопряженных решении
429
моментом (взаимодействие — цЯ?, спин-орбитальное взаимодей-
ствие) и распределенной плотностью заряда (дарвиновское сла-
гаемое).
Наконец, следует отметить, что использование нерелятивист-
ского приближения для потенциалов, которые сингулярны в на-
чале координат, таких как А = М X г/г3 или <р = — Ze/r, не
обосновано, поскольку в окрестности точки г — 0 изменение ве-
личин еА/т и е<р//п не мало. Если воспользоваться описанным
выше методом последовательных приближений достаточное
число раз, то в нерелятивистском гамильтониане появятся сла-
гаемые, которые будут иметь достаточно сильную сингулярность
в начале координат и будут давать бесконечный вклад в энер-
гию. Пути преодоления этой трудности уже были предложены
в предыдущих обсуждениях. В нерелятивистском гамильтониане
величины А и ф заменяются их средними значениями по обла-
сти с линейными размерами порядка ti/тс. Если нерелятивист-
ское приближение является обоснованным, то это ведет к эф-
фективному обрезанию сингулярностей на расстоянии ft/mc от
начала координат во всех сингулярных выражениях, которые
возникают при вычислениях. Для того чтобы нерелятивистское
приближение было обоснованным в упомянутых выше двух слу-
чаях, достаточно чтобы в точке r = hlmc выполнялись неравен-
ства 1)
е | А | <С /пс2, вф <С /гас2.
Раздел VI. РЕШЕНИЯ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ
И ТЕОРИЯ ПОЗИТРОНОВ
0аАаааа!0сАаааа! * *)
(Анабасис, IV. 8)
§ 36.	Свойства зарядово-сопряженных решений
В дальнейшем мы будем использовать понятие зарядового
сопряжения, которое было введено в § 19. Зарядовое сопряже-
ние представляет собой антилинейное взаимнооднозначное соот-
ветствие между волновыми функциями, которые описывают по-
ведение двух различных частиц с одной и той же массой т, но
с противоположными зарядами -J-e и —е в заданном электро-
магнитном поле (А, ф).
Если физическая величина, связанная с первой частицей,
представлена наблюдаемой Q(e), то для второй частицы та же
') Если т.ц — масса атомного ядра, то |Л4| « ZehlmNc, величина
еА/тс2 в точке r — hltnc имеет порядок (еЦЛс) (ZmlmN), т. е. 10-s—10~в.
Таким образом, наши вычисления сверхтонкой структуры полностью обосно-
ваны. Что касается примера из § 34, то величина еу/тс2 имеет порядок e^Zjhc
и вычисления являются обоснованными, если Z С 137.
*) Море\ Море\ (греч., прим, перев.).
430
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
самая величина представляется наблюдаемой Q(—е). Так,
в обоих случаях для импульса имеем р = — iV, а для опера-
тора энергии в первом случае имеем
Н (е) = а (р — еА) + 0/и + е<р,
а во втором случае
Н (— е) а (р + еА) + 0/п — ец>.
Рассмотрим решение Ч’Хг, t) и зарядово-сопряженное ре-
шение 4fC(r, t). Мы хотим сравнить физические характеристики
состояний, которые описываются этими решениями. Если Кс —
антилинейный оператор, определенный равенством (124), то
= КсЧ.	(203)
Пусть <Q> обозначает среднее значение Q в состоянии 'F,
a <Q>c—среднее значение того же оператора в состоянии Чгс.
Предполагая, что состояния W и нормированы на единицу,
имеем
<Q)c = (Tc|Q|4'c).
Из соотношения (203) получаем
{Q)c = (0? | Kt) (QKc I ¥» =
= 0? | (KlQKc) I V)* = (V | Q*Kc) I 40,
откуда следует соотношение для средних значений
<Q>c = ((KcQ+ftc))-	(204)
Используя это соотношение и свойства антиунитарного пре-
образования Кс, находим следующие соотношения для средних
значений в состоянии Чг и в зарядово-сопряженном состоянии:
<₽>с = — <Р>»	<«>с = <«),	<»)с = — (а),
<г)с = <г),	<Р)С = -<Р),	(£>с = -<£>,	(205)
{P(r0))c = {P(r0)),	(j(r0))c = (j(r0)},	=
<//(- e))c = -(tf(e)).
Мы видим, что зарядово-сопряженные решения имеют совпа-
дающие плотности вероятности и плотности потока, — таким об-
разом, противоположные плотности зарядов и электрических то-
ков — но противоположные по знаку энергии', зарядовое сопря-
жение меняет знак энергии.
§ 37. РЕШЕНИЯ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ
43»
§ 37. Особое поведение решений с отрицательной энергией
После этих предварительных замечаний мы можем перейти
к более подробному обсуждению вопроса о состояниях с отри-
цательной энергией.
Вначале рассмотрим случай свободной частицы. Решения-
уравнения Дирака в этом случае были получены в § 23. Спектр
энергии состоит из двух полупрямых (— оо, —тс2) и (тс2, + оо),.
разделенных интервалом длиной 2/пс2 (см. рис. 22, а). Первая
часть спектра отвечает состояниям с отрицательной энергией:
Е=—Ер—— tn2Р2, а вторая часть — состояниям с поло-
жительной энергией.
Исследуем движение свободного волнового пакета. Мы по-
кажем, что, вообще говоря, центр волнового пакета только
в среднем движется по классической траектории. Для этого про-
интегрируем уравнения движения в представлении Гейзенберга^
которые в данном случае имеют вид
dr/dt = i[H, г] = а,	(206)
dajdt — i [И, а] = I (На 4~ аН) — 2iaH = 2ip — 2iaH. (207)
Поскольку р и Н не зависят от времени, уравнение (207) легко
интегрируется
«Ю = («(0)--»е-2‘^ + ^-.
Таким образом, получена явная зависимость dr/dt от времени
и уравнение (206) тоже легко интегрируется
r(0 = r(0) + -^/ + »(a(0)--^-)-4^-.	(208>
Формула (208) определяет оператор г в представлении Гейзен-
берга в момент времени t как функцию от значений, которые
принимают операторы г и а в начальный момент времени /=0.
Отсюда мы можем получить закон движения центра <г> любого
волнового пакета, который поучительно сравнить с классиче-
ским законом
Гкл.(0=г(0)кл.+ (^-)кл /•
В отличие от классического равномерного прямолинейного дви-
жения свободный волновой пакет испытывает сложное движе-
ние — результат сложения равномерного прямолинейного дви-
жения со скоростью (,р/НУ и быстрых осцилляций
/	/	D \ P~2lHt \
V (“	— Д/ ) чн / '
432
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Амплитуда и период этих осцилляций («Zitterbewegung» — дро-
жание) имеют порядок h!2mc и ti/2mc2 соответственно.
Та’ких осцилляций не возникает, если пакет представляет со-
бой суперпозицию волн только с положительной энергией или
только с отрицательной. Чтобы убедиться в этом, достаточно
показать, что
Г± (“ — Тг) 2Н Г± “ °’
где Г+ и Г_ — проекторы на состояния с положительной и отри-
цательной энергией соответственно (определение (195)). После-
довательно находим
[Я, а] = 2р — 2аН,
[Г±, a] = ±-f- + a-^-.
И, поскольку НГ± = ±ЕРГ+, то получаем
0^Г±[Г±, а]Г± = Г±(-^-а) Г±.
Откуда мы получаем упомянутое выше свойство, используя до-
полнительно коммутативность Н и Г+, Г_. Следовательно, быст-
рые осцилляции связаны с интерференцией компонент волнового
пакета с положительной и отрицательной энергией.
Собственно «дрожание», являясь любопытным эффектом, не
представляет какой-либо трудности для теории. Трудность воз-
никает, когда исследуется движение волнового пакета, построен-
ного только из состояний с отрицательной энергией. В этом слу-
чае «дрожание» исчезает и центр пакета движется равномерно
и прямолинейно со скоростью
(£)
которая противоположна по направлению импульсу пакета
<р>. В частности, в нерелятивистском пределе (Н « — тс2) по-
лучаем соотношений v = — (р)/т, т. е. частица ведет себя так,
как если бы она имела отрицательную массу.
Трудность такого рода становится еще более очевидной при
исследовании движения волнового пакета в статическом поле.
Рассмотрим, например, электрон в кулоновском потенциале
притяжения —Ze2/r. Спектр состоит из непрерывной части по-
ложительных энергий от тс2 до оо, серии дискретных уровней
положительных энергий, меньших тс2, и непрерывной части
отрицательных энергий от —тс2 до —оо (см. рис. 22,6). На-
помним, что состояния с отрицательной энергией соответствуют
при зарядовом сопряжении состояниям частицы с той же мае-
§ 38. ИЗМЕНЕНИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ РЕШЕНИИ
433
сой, но с противоположным зарядом (т. е. состоянием пози-
трона), которая находится в том же потенциале. Можно сказать
и иначе, что состояния с отрицательной энергией соответствуют
состояниям электрона в потенциале Ze1/г. При этом соответ-
ствии меняет знак энергия и переставляются большие и малые
компоненты, а плотность потока и плотность остаются теми же
(см. ур. (205)). Спектр электрона в потенциале отталкивания
Рис. 22. Спектр энергий электрона Дирака: а) свободного; б) в потенциале
притяжения — Ze2!r, в) в потенциале отталкивания Ze1/г.
Ze2/г изображен на рис. 22, в. Непрерывная часть положитель-
ных энергий в потенциале отталкивания соответствует непре-
рывной части отрицательных энергий в потенциале притяже-
ния.
Рассмотрим движение волнового пакета из состояний с от-
рицательной энергией в потенциале —Ze1/г, предполагая, что
справедливо нерелятивистское приближение (Ze2 1, энергии
порядка —/пс2). Движение будет тем же, что и для пакета волн
с положительной энергией, получающегося зарядовым сопряже-
нием. В пределе очень малых скоростей можно использовать
классическое приближение (см. § VI. 5), и движение центра
пакета будет почти совпадать с движением классического элек-
трона, т. е. с движением частицы отрицательной массы —т
в потенциале —Ze1/г. Направление скорости противоположно
импульсу, а направление ускорения противоположно направле-
нию силы. Такие явления никогда не наблюдались в экспери-
ментах.
§ 38. Изменение интерпретации состояний
с отрицательной энергией. Теория дырок и позитронов
В приведенной выше формулировке состояния с отрицатель-
ной энергией не имеют никакого физического смысла. Если бы
было возможно полностью устранить взаимодействие между со-
434
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
стояниями с положительной и отрицательной энергией, то по-
следние можно было совсем не учитывать. Однако поступить
так не удается.
Рассмотрим, например, свободный электрон в состоянии
с положительной энергией Е+ и подвергнем его в течение вре-
мени от 0 до t действию электромагнитного излучения ча-
стоты и. Если интервал времени достаточно велик, а напряжен-
ность поля не слишком большая, то вычислить результирующий:
эффект можно, используя методы § XVII. 6. Таким образом, мы
получим отличную от нуля вероятность перехода электрона
в состояния с энергией Е+ + Йсо и Е+ — Йсо. В частности, если
Йсо > (Е+ + тс2), то второй переход совершается в состояния
с отрицательной энергией.
В качестве другого примера рассмотрим полный спектр атома
водорода (рис. 22,6). В результате взаимодействия электрона
с электромагнитным полем всегда существует вероятность ра-
диационного перехода из данного состояния атома в состояние
с более низкой энергией. Следовательно, электрон, который на-
ходится в одном из связанных состояний атома водорода, даже
в случае изолированной системы, может совершить квантовый
переход в состояния с отрицательной энергией, излучив один
или несколько фотонов. Более того, поскольку спектр энергий
не ограничен снизу, атом водорода не имеет устойчивых состоя-
ний ').
Чтобы обойти эти трудности, Дирак сделал следующее пред-
положение. В состоянии, которое мы называем «вакуумом», все
состояния отрицательной энергии заняты электронами. Если
к такому «вакууму» добавить один электрон, то, поскольку все
состояния отрицательной энергии заняты, а электроны подчи-
няются статистике Ферми — Дирака, этот электрон может на-
ходиться только в состояниях с положительной энергией.
Таким образом, «вакуум» представляет собой полностью вы-
рожденный ферми-газ бесконечной плотности. Кроме этого,
предполагается, что этот газ совершенно ненаблюдаем и не
приводит к каким-либо гравитационным или электромагнитным
эффектам. Наблюдаемые физические характеристики данного
состояния будут определяться отклонениями этого состояния от
такого «вакуума». Так, наблюдаемый заряд системы (элек-
трон + «вакуум») равен разности полных зарядов системы и
«вакуума», т. е. заряду электрона. Точно так же наблюдаемая
энергия системы равна разности полных энергий системы и
«вакуума» и, следовательно, — энергии добавленного электрона.
*) О. Клейн сформулировал знаменитый парадокс, из которого также вид-
но, что вероятность перехода в состояния с отрицательной энергией не равна
нулю. Парадокс Клейна излагается во многих книгах, см., например, М. Борн,
loc. сП. (прим. 2, гл. I).
§ 39. ТРУДНОСТИ ТЕОРИИ ДЫРОК
435
Тем самым, переопределение наблюдаемых величин до сих пор
сводилось к тому, что оказались запрещенными переходы в со-
стояния с отрицательными энергиями 1).
Рассмотрим теперь, что будет наблюдаться, если из «моря»
отрицательных энергий удалить электрон. Согласно сформули-
рованным выше правилам можно заключить, что возникшая
«дырка» будет иметь заряд, противоположный заряду элек-
трона. Кроме этого, ее энергия будет иметь противоположный
знак, т. е. будет положительной, а импульс — противоположное
направление. Эти утверждения справедливы независимо от того,
находится или нет удаленный электрон в собственном состоя-
нии гамильтониана. В частности, если этот электрон описывается
волновым пакетом, движущимся со скоростью и, то дырка дви-
жется с той же скоростью, но с противоположным импульсом:
дырка ведет себя, как частица положительной массы -\-т и за-
ряда —е. Такие частицы наблюдаются в природе, их называют
позитронами.
Под действием электромагнитного поля или других подхо-
дящих возмущений электрон из «моря» отрицательных энергий
может совершить квантовый переход в состояние с положитель-
ной энергией. Дырка в «море» отрицательных энергий будет
вести себя, как позитрон. Таким образом, появляется пара ча-
стиц с противоположными зарядами. Рождение электрон-пози-
тронных пар наблюдается экспериментально.
Точно так же, если в море отрицательных энергий имеется
дырка, то электрон с положительной энергией может совершить
переход в незанятое состояние с отрицательной энергией с ис-
пусканием фотонов. Такое явление аннигиляции электрон-по-
зитронных пар с излучением фотонов также наблюдается экс-
периментально.
§ 39. Трудности теории дырок
Теория дырок, которая была кратко сформулирована выше,
позволяет примирить теорию Дирака с такими эксперименталь-
ными фактами, как отсутствие состояний с отрицательными
энергиями, существование позитронов, рождение и аннигиляция
пар. В этом отношении она представляет собой значительный
шаг вперед, однако в ней встречаются серьезные трудности и
ограничения.
Прежде всего, теория не является полной. Постулируя заня-
тость всех состояний с отрицательной энергией, мы уже не
имеем одночастичной теории даже при описании одного элек-
трона. Построенный в этой главе формализм теории Дирака
’) В частности, автоматически исчезает осцилляториое движение («Zitter-
bewegung»).
436
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
для одной частицы недостаточен для описания такой ситуации,
и можно надеяться получить самосогласованное описание только
в рамках теории поля.
Теория дырок представляет собой лишь первый шаг в по-
строении корректной теории квантового электронного поля. Ее
преимущество состоит в том, что она рисует нам простые кар-
тины физических явлений и служит, таким образом, подспорьем
при разработке последовательной теории. Однако как только,
мы пожелаем извлечь из нее нечто большее, нас встречают ло-
вушки и противоречия.
Например, непоследовательно считать, что «вакуум» содер-
жит бесконечное число электронов, и предполагать, что эти
электроны не взаимодействуют между собой.
Другим слабым местом теории является явная несимметрия
между электронами и позитронами. Можно сформулировать за-
рядово-сопряженную теорию, в которой позитроны будут играть,
роль частиц, а электроны — роль дырок, все физические след-
ствия при этом не изменятся. Устранить все эти трудности
можно в формализме теории поля, который использует уравне-
ния, инвариантные относительно зарядового сопряжения.
Отметим, наконец, что даже определение состояний отрица-
тельной энергии зависит от приложенного электромагнитного
потенциала. В двух случаях, рассмотренных в § 37, свободной
частицы и частицы в кулоновском поле, пространства состояний
отрицательной энергии не совпадают. Если, например, волновую
функцию основного состояния атома водорода разложить по
плоским волнам, то плоские волны с отрицательной энергией
дадут в это разложение хотя и малый, но не исчезающий вклад.
В приведенном выше определении «вакуума», под состояниями
с отрицательной энергией понимались состояния свободной ча-
стицы (действительно, вакуум естественно определять в отсут-
ствие внешнего поля). Введение электромагнитного поля моди-
фицирует вакуумное состояние за счет рождения пар. В ре-
зультате возникает нечто вроде поляризуемой среды и величина
электрического заряда в «вакууме» кажется меньше своего на-
стоящего значения. Такие же эффекты возникают и в теории
поля. Теория дырок позволяет предсказать эти эффекты, од-
нако не в состоянии дать надежного и самосогласованного ме-
тода вычисления этих эффектов.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1.	Показать, что если ¥ удовлетворяет уравнению Клейна— Гордона с по-
тенциалом А1*, то уравнению непрерывности удовлетворяет следующий 4-ток:
? = —	(d^) - w	[V (а^т) - т (аи^*)] -
(см. задачу IV. 1).
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
437
2.	Рассмотрим атом водорода, в котором электрон заменен частицей с те-
ми же массой и зарядом, но волновая функция которой удовлетворяет урав-
нению Клейна—Гордона. Тогда уровни дискретного спектра определяются
уравнением на собственные значения
[ _ д + т2 _ (я + ± yj чг (Г) = о.
Показать, что это уравнение можно решить точно, разделяя угловые и ра-
диальную переменные, н что зависимость уровней дискретного спектра от кван-
товых чисел п и I дается формулой
(п — 1, 2, ..., оо; I = 0, 1, ..п — 1).
Сравнить этот спектр с тем, который получается в нерелятивистской теории
Шредингера.
3.	Показать, что все приведенные в табл. II (§ 10) матрицы уЛ (не обя-
зательно унитарные) имеют определитель, равный 1.
4.	Пусть В — определенная в конце § 10 матрица. Доказать, что ВВ* —
= В*В = —I. (Показать сначала, что
(i)	матрица ВВ* кратна единичной и, следовательно, ВВ* = В*В = ±/;
(ii)	матрица ВВ* не зависит от выбора 4 унитарных матриц уи, которые
участвуют в определении В.)
5.	Вывести следующие свойства (антиуннтарного) оператора зарядового
сопряжения Кс, введенного в § 19:
КсРцКс ~ ~ Рц>	= ~
КСРК'С = -Р, КСКТК.Ъ = —Кг
Показать, что, если выбрать фазы операторов преобразования так, как
это сделано в § 17, то Кс коммутирует с операторами трансляций и собствен-
ных преобразований Лоренца и антикоммутирует с пространственным отраже-
нием и обращением времени. Как следует изменить выбор фаз, чтобы Кс ком-
мутировал со всеми операторами этих преобразований?
6.	Используя гамильтониан Дирака, получить уравнения движения для
операторов г и л в гейзенберговском представлении. Аналогичным образом
вывести уравнения
+	=	-^- = (а, F)^e(a,8),
где F — «сила Лоренца»: F = е (% + а X К). Сравнить эти уравнения с урав-
нениями (22) и (2Г) классической динамики.
7.	В случае свободного уравнения Дирака любое его решение удовлетво-
ряет уравнению Клейна—Гордона. Показать, что обратное не верно (приве-
сти контрпример).
8.	Доказать тождества (169).
438
ГЛ. XX. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
9.	Разложить плосковолновое решение уравнения Дирака с импульсом р,
направленным по оси г, по сферическим волнам.
10.	Провести систематическое исследование таких волновых функций ато-
ма водорода, для которых радиальные функции F и G пропорциональны друг
другу. Показать, что соответствующие уровни отвечают п' = 0 (следова-
тельно, J = п —и I — п — 1. Ответ (обозначения § 27):
п, П-—	\ П‘ }
F = const • pse~p, G = — nF,
s = ^/n2 — e4, x = me2In,	p = xr, v = x/(£ + m) « e2/2n.
11.	Используя предложенный в § 27 метод, вычислить уровни атома во-
дорода в теории Дирака.
12.	Сравнить тонкую структуру уровней атома водорода, которая полу-
чается в теории Дирака и в теории Клейна — Гордона для частицы с одной и
той же массой и зарядом в заданном кулоновском поле (см. задачу 2).
13.	Исходя из выражения (202), вычислить релятивистские поправки по-
рядка о2/с2 к уровням 2slt 2рх и 2р3 атома водорода. Показать, что в этом
Т 1	~2
приближении уровни 2«уа и 2руа не меняются и сравнить это с точным резуль-
татом из § 27.
ГЛАВА XXI
КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Se non ё vero, ё bene trovato
§ 1.	Введение
Настоящая глава преследует две цели, с одной стороны, —
являясь введением в квантовую теорию полей, познакомить чи-
тателя с понятием квантового поля, физическим смыслом, до-
стижениями и трудностями теории; с другой стороны, — дать
элементарное изложение квантовой теории электромагнитного
излучения и его взаимодействия с атомными и ядерными систе-
мами.
При построении квантовой теории поля мы будем использо-
вать тот же метод, что и для нерелятивистской квантовой тео-
рии частиц. В основе метода лежит принцип соответствия и
канонический гамильтонов формализм классического поля.
Единственным отличием является то, что в данном случае ме-
тод применяется к системе с бесконечным числом степеней сво-
боды. Получившийся формализм называют гамильтоновым или
каноническим квантованием.
Основной недостаток гамильтонова формализма заключается
в отсутствии явной ковариантности1)- Теорию можно строить
и в явно ковариантной форме, используя ковариантные уравне-
ния классического поля и метод квантования, сохраняющий ко-
вариантность. Такая формулировка обладает неоспоримыми
преимуществами как техническими, так и концептуальными.
Многие вычисления упрощаются в силу того, что возникающие
выражения должны сохранять компактную и симметричную
форму. С другой стороны, ковариантный формализм использует
сложный математический аппарат. Математические понятия
гамильтонова формализма более привычны, и поэтому он лучше
подходит для первого знакомства с предметом.
Глава состоит из четырех разделов. В первых двух разделах
исследуется простейшее из полей — вещественное скалярное
поле. Случай свободного поля рассматривается в разделе L
*) Если и не верно, то хорошо сработано (итал. поел., прим, перев.).
) Конечно, отсюда не следует, что нарушается принцип относительности.
Однако релятивистская инвариантность теории не очевидна a priori и должна
быть доказана. Такого доказательства мы приводить здесь не будем.
-440
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
где излагается метод квантования классического поля, опреде-
ляется пространство квантовых состояний и их физическая ин-
терпретация. В разделе II мы изучаем взаимодействие поля
с частицами, и на примере простой модели выясняем характер-
ные свойства поля, взаимодействующего с атомными или ядер-
ными системами. Приведенные в этом разделе приложения ил-
люстрируют методы, физическое содержание и трудности кван-
товой теории полей. В двух последних разделах рассматри-
вается электромагнитное поле. В разделе III напоминается
классическая теория, а квантовая теория и ее приложения
кратко рассмотрены в разделе IV. Большинство утверждений
и выкладок, относящихся к скалярному полю, без труда пере-
носятся на случай электромагнитного поля. Мы кратко повто-
ряем их, особо отмечая те отличия, которые вызваны вектор-
ным характером электромагнитного потенциала и нулевой мас-
сой фотона1).
Раздел I. КВАНТОВАНИЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО
СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
§ 2.	Классические свободные поля. Нормальные колебания
Классическое вещественное скалярное поле определяется
в каждый момент времени t заданием его амплитуды Ф(г, t)
в каждой точке пространства г.
Поле можно рассматривать как динамическую систему с бес-
конечным числом степеней свободы. Каждой точке простран-
ства отвечает некоторая координата системы — значение поля
в этой точке.
Динамика такой системы не существенно отличается от ди-
намики системы с конечным числом степеней свободы. Однако
) Существует много монографий по квантовой электродинамике. Назовем
в частности: В. Гайтлер. Квантовая теория излучения. М., ИЛ, 1956;
А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий. Квантовая электродинамика М., «Наука»,
1969; Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. Введение в теорию квантованных по-
лей, М., «Наука», 1976; В. Тирринг. Принципы квантовой электродинамики. М.,
«Высшая школа», 1964; С. Швебер. Введение в релятивистскую квантовую
теорию поля. М., ИЛ, 1963; J. М. Jauch, F. Rohrlich. The Theory of Photons
and Electrons. Addison Wesley, 1956.
Гайтлер пользуется гамильтоновым формализмом и рассматривает основ-
ные приложения теории к атомной физике. Ахиезер и Берестецкий, Яух и Рор-
лих дают полное изложение ковариантного формализма и подробный обзор
приложений. Боголюбов и Ширков, а также Швебер дают последовательное
изложение квантовой теории поля в ковариантном формализме, включая под-
робное обсуждение проблемы перенормировки и вопросов причинности в тео-
рии поля. В книге Тирринга содержится общий обзор ковариантного форма-
лизма, обсуждение его физического смысла и трудностей теории. Обсуждение
вопросов измерения величин и операторов, характеризующих поле, можно най-
ти в классических работах: N. Bohr, L. Rosenfeld, Det. kid. Danske Viddenskab,
Selskab. 12, № 8 (1933); Phys. Rev. 78, 794 (1950).
§ 2. КЛАССИЧЕСКИЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ
441
поскольку координаты в данном случае нумеруются непрерыв-
ными параметрами, например, тремя компонентами х, у, z ра-
диус-вектора г, дифференцирование по времени заменяется на
частную производную и эволюция системы определяется урав-
нением движения вида
ф(г, t)^d2<b/dt2 = F[<D(r, t), Ф(г, /)].
Правая часть этого уравнения F есть функционал амплитуды
ф(г, t) и ее частной производной Ф дФ/dt, которые берутся
в один и тот же момент времени t. Динамическое состояние си-
стемы в данный момент времени определяется, если известны
ее положение и скорость в начальный момент времени to, т. е.
значения поля Ф(г, to) и их производные по времени
Из всех уравнений движения, которые инвариантны относи-
тельно неоднородной группы Лоренца, простейшим является
уравнение Клейна — Гордона
[□ + ц2]Ф = Ф — АФ+ р,2Ф = 0,	(1}
где ц—некоторая постоянная. Это линейное и однородное по
Ф уравнение определяет эволюцию свободного поля. В даль-
нейшем мы увидим, что р, есть масса связанных с квантовым
полем частиц (§ 6).
Если бы в левой части уравнения (1) отсутствовал член АФ,
то движения различных координат системы были бы независи-
мыми и каждое представляло бы собой гармоническое колеба-
ние с частотой р, а амплитуда и фаза определялись бы на-
чальными условиями. Слагаемое АФ связывает эти гармониче-
ские колебания.
Сейчас мы покажем, что введя нормальные координаты, та-
кое множество связанных осцилляторов можно преобразовать
в множество независимых осцилляторов.
Обозначим ft, fz, . • •, fi, ... полный ортонормированный на-
бор вещественных собственных функций эрмитова оператора
(—А). Спектр собственных значений расположен от 0 до + оо.
Собственное значение, отвечающее функции обозначим k2.
Таким образом, имеем
(А +/г2) = О,	(2)
(3)
2/Л(г)Л(г') = б(г-г').	(4)
442
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Из соотношений ортогональности и замкнутости (3), (4) полу-
чаем разложения
Ф(г, 0 = ^(0 Mr),	(5)
qt (t) = $Л(г)Ф(г, t)dr.	(6)
Величины qi, q^, ...» qt, . • • представляют собой нормальные
координаты. Из уравнений (6) и (1) получаем
^ + <о^ = 0,	(7)
©< = (^+н2)1	(8)
Таким образом, каждое qi определяет движение независимого
гармонического осциллятора с частотой а><. В силу уравнения (5)
амплитуда поля равна линейной суперпозиции этих независи-
мых осцилляторов.
В предыдущих рассуждениях мы предполагали, что базисные
функции нумеруются дискретным индексом. В действительности
спектр оператора (—Д) непрерывный, заполняющий полуось
(0, + оо), и функции нумеруются набором индексов, из которых
по крайней мере один непрерывный. Несложно повторить при-
веденные выше рассуждения в случае непрерывных индексов.
С учетом незначительных модификаций, на которых мы здесь
не останавливаемся, результаты останутся теми же. Однако
наличие непрерывных индексов осложняет изложение кванто-
вой теории. Чтобы избежать этого, мы будем предполагать, что
поле находится в конечном объеме пространства и на поверхно-
сти этого объема удовлетворяет подходящим граничным усло-
виям. Физические величины, которые мы хотим сосчитать, по-
лучаются из величин, вычисляемых в формализме с конечным
объемом, при неограниченном увеличении этого объема. Искус-
ственный прием такого типа уже был описан в § V. 11. Этот
прием, очевидно, не является строгим, следует отметить также,
что он частично нарушает свойства инвариантности теории.
§ 3. Квантование свободного поля
Переход к нормальным координатам дает возможность про-
квантовать вещественное скалярное поле наиболее простым
способом. Он заключается в сопоставлении каждой моде нор-
мальных колебаний классического поля квантового осциллятора
с той же частотой (см. главу XII).
Запишем классический гамильтониан в нормальных коор-
динатах. Пусть pi — импульс, сопряженный q,. Тогда уравне-
§ 3. КВАНТОВАНИЕ СВОБОДНОГО ПОЛЯ
443
ние (7) эквивалентно гамильтоновым уравнениям
которые получаются, если для i-ой степени свободы взять га*
мильтониан
Л, = у(рЦ-®М).	(9)
Следовательно, полный гамильтониан имеет вид
Я = 2А-	(10)
Соответствующее квантовое поле получается заменой веще’
ственных динамических переменных q{ и р,- на наблюдаемые,
которые удовлетворяют коммутационным соотношениям (й = 1),
[рь Pi] = ^n-	(И)
Каждой моде отвечает набор дискретных эквидистантных
энергетических уровней
= (п,-+ у)®г (п, = 0, 1, 2, ... со). (12)
Для дальнейшего удобно ввести операторы рождения и уни’
чтожения, которые мы обозначим через bt и bi соответственно,
bt = (2<о;)-1/2 (g*z<7,- + ipi),
bt^(2al)~',2(<i>iql — ipi).	(13)
Коммутационные соотношения (11) для наблюдаемых эквивз'
лентны коммутационным соотношениям для операторов рожде'
ния и уничтожения
[6;> &}] = бг/,	(14)
а собственные векторы hi получаются последовательным дей-
ствием оператора bt на вектор основного состояния (см. ур.
(XII. 20)).
Взяв тензорное произведение собственных состояний гамиль-
тонианов hi, hi, ..., hi, ..., получим полный набор собственных
состояний Н. Такие состояния нумеруются квантовыми чис-
лами п\, П2, .... tit, ..., энергия состояния равна сумме энергий
отдельных мод, входящих в это состояние;
£п,п2 ...П/... = £(«/+4)	(15)
i
Нормированный собственный вектор, отвечающий такому со-
стоянию, получается из вектора 10>, представляющего основное
444
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
состояние, по формуле
тт (b^Y1
\П1П2 ...П[ ...> = nyz_|0>.	(16)
Поле в точке г представляется эрмитовым оператором Ф(г),
который определяется равенством
Ф(г)=£^(г).	(17)
полученным по принципу соответствия из классической фор-
мулы (5). Удобно переписать формулу (17) в терминах опера-
торов bi и Ь*
Ф(г) = Е(2<о/)“(^ + ^)А.	(18)
До сих пор поле рассматривалось как множество квантовых
осцилляторов. В рассмотренных выше стационарных состояниях
каждое квантовое число п определяло число квантов, относя-
щихся к определенной моде нормальных колебаний. Собствен-
ным состояниям Н и операторам системы можно также дать
корпускулярную интерпретацию, которая уже обсуждалась
в § XII. 6. Тогда tit представляет собой число частиц в состоя-
нии ft с энергией а,, ойЬ является собственным значением неко-
торого оператора Ni— оператора «числа частиц в состоянии /,»,
который определяется равенством
Ni = b]bt,	(19)
где bi — оператор уничтожения частицы в состоянии f,-, a b] —
оператор рождения частицы в том же состоянии.
Интерпретация является самосогласованной, только если
полная энергия данного динамического состояния равна сумме
энергий частиц, образующих это состояние. Как уже отмечалось
в § XII. 6, для этого достаточно из каждого гамильтониана hi
в правой части формулы (10) вычесть константу Это из-
менение полного гамильтониана никак не влияет на уравнения
движения, зато новый гамильтониан обладает желаемым свой-
ством
//=£^<0,.	(20)
В частности, вакуум является состоянием с нулевой энергией,
представляемым кет-вектором |0>. Вектор Ь* | 0) представляет
состояние с одной частицей, и энергия этого состояния равна
энергии этой частицы ®/.
§ 4. ЛАГРАНЖИАН ПОЛЯ
.445
Рассматриваемые здесь частицы неразличимы и динамиче-
ское состояние всей системы полностью определяется числом
частиц /ii, п2, ..., fit, ... в каждом из индивидуальных состоя-
ний, fi, ?2..fi.....В которых могут находиться частицы. Эти
«числа заполнения» могут принимать целые неотрицательные
значения от 0 до + °°- Следовательно, рассматриваемые ча-
стицы подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна (см.
§ XIV. 6), и квантовое поле представляет собой систему с не-
определенным числом бозонов.
В заключение этого параграфа сделаем замечание об основ-
ном состоянии системы. Вакуум квантового поля сильно отли-
чается от классического вакуума. Последний является состоя-
нием с минимальной энергией, в котором поле всюду равно
нулю. В квантовом случае поле является оператором, который
не коммутирует с гамильтонианом. Вакуумное ожидание поля
равно нулю, что легко показать, используя свойства операто-
ров Ь, и b], но среднеквадратичное отклонение отлично от
нуля. Действительно, используя выражение (18) для поля, на-
ходим
(Ф2 (Г)>о	£ 4	<0 I (bt + bt) (bi + 6?) | 0) fi (r) fi (r),
t l
и так кац
<0 I (bi + bf) (bi + bfi | 0> = <0 | bib] | 0> = 60,
получаем
i ‘
В правой части стоит ряд из положительных членов, следова-
тельно, мы получили отличное от нуля положительное значение.
В действительности можно показать, что полученный ряд рас-
ходится1). Появление расходящихся величин характерно для
систем с бесконечным числом степеней свободы и является
источником серьезных трудностей в квантовой теории поля. Мы
еще вернемся к этому вопросу в разделе II.
§ 4. Лагранжиан поля. Импульс, сопряженный к Ф(г)
Прежде чем продолжать рассмотрение квантовой теории,
вернемся к классической и опишем кратко обобщения лагран-
жева и гамильтонова формализмов для систем с бесконечным
') С другой стороны, интеграл от поля по конечному объему имеет конеч-
ные флуктуации. Эти флуктуации возрастают с уменьшением области инте-
грирования и в пределе, когда объем стремится к нулю, стремятся к беско-
нечности (см. задачу 1).
446
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
числом степеней свободы. Если координаты нумеруются дис-
кретным индексом, то обобщение очевидно. Такое обобщение
было использовано в случае с нормальными координатами. Си-
туация становится сложнее, если координаты зависят от непре-
рывного индекса, например, координаты поля определяются его
амплитудой в каждой точке пространства. Именно такой выбор
координат интересует нас здесь.
Функция Лагранжа L зависит от координат системы и ско-
ростей; в данном случае L — функционал от Ф и Ф. Предполо-
жим, что она имеет вид
L—^Sdr.	(21)
Плотность лангражиана S зависит от г и t через Ф, гра-
диент Ф и Ф
S S (Ф,	Ф).
Зная L, можно определить действие
7 = J Ldt = J dt J drS,	(22)
ti	t,
которое также является некоторым функционалом от Ф(г, /).
Уравнения движения получаются из принципа наименьшего
действия (ур. (1.12))
б/ = 0 (предполагая, что 6Ф (/J = 6Ф (/2) = 0).	(23)
Из равенства (22) следует, что уравнения движения удовле-
творяют принципу относительности, если плотность лагранжиа-
на S ведет себя при преобразованиях из группы Лоренца как
скаляр. Это условие на S упрощает нахождение функции Ла-
гранжа.
В данном случае уравнения Лагранжа являются дифферен-
циальными уравнениями в частных производных для Ф(г, /),
которые получаются из принципа наименьшего действия
 у g &Z gg	(24)
dt дФ dxk д(дФ/дхк) дФ '
k
Это есть уравнение движения для поля Ф.
Для более строгого определения координат поля делим мыс-
ленно все пространство на бесконечно малые области. Каждой
такой области (г, г + dr) отвечает координата системы — вели-
чина Ф(г, f)dr. Уравнения движения определяют зависимость
координат от времени. В соответствии с обычным определением
§ 4. ЛАГРАНЖИАН ПОЛЯ
447
импульс П(г, t), сопряженный координатеФ(г, t)dr, равен функ-
циональной производной L по скорости Ф(г, t)
П (г, t) =	.	(25)
6Ф (г, 0 dr дФ	v ’
Использованное здесь понятие функциональной производной
является естественным обобщением понятия частной производ-
ной, и б£ есть вариация L при условии, что Ф меняется на
бесконечно малую величину 6Ф в малой области dr в окрест-
ности точки г и не меняется в остальной части пространства.
После того как мы определили для каждой координаты со-
пряженный импульс, можно сосчитать, в соответствии со стан-
дартным определением (ур. (I. 13)), функцию Гамильтона, ко-
торая является функционалом отФиП
Н^Н[Ф, n] = Jnd>dr-£= ^36 dr,	(26)
36 =	(ф, дФ}дх\ П) = ПФ - £,
где 36 — плотность гамильтониана. Канонические гамильтоновы
уравнения имеют вид (см. ур. (I. 14))
ф = -^.
<?П ’
д _ _ дЖ . у д дЯв	(27)
дФ дхк д(дФ/дхк) '
В случае свободного скалярного поля в качестве плотности
лагранжиана можно взять функцию
S = | [(диФ) (сГф) - ц2Ф2] = 1 [ф2 - (УФ)2 - ц2Ф2], (28)
поскольку уравнение (24) тогда совпадает с уравнением (1).
Сопряженный к Ф импульс равен
П=Ф,	(29)
а функция Гамильтона имеет вид
Н = у (П2 + (grad Ф)2 + ц2Ф2) dr.	(30)
Функция Н совпадает с полученной ранее функцией (10),
которая записана в терминах нормальных координат. Для того
чтобы это показать, достаточно заменить Ф и П их разложе-
ниями по qi и pi и воспользоваться свойствами функций f. Раз-
448
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
ложение для Ф мы знаем (ур. (5)). Для П из уравнения (25)
получаем
П(г, t)dr =
6L
6Ф (г, О
dL bqt
dq{ 6Ф (г, t)
По определению Pi=dLldqi в силу уравнения (6)
ifi — fi(г)Ф(г, t)dr,
откуда
6Ф (г, о
= fi (г) dr,
I
следовательно, мы имеем
П(г,	(31)
i
Подставляя полученные разложения в Н, имеем
Н = Т Z S [Pipi J W dr + qfqi 5 dr + V?qiqi $ fifidr ] •
i i
(32)
Интегрируя по частям и применяя уравнение (2), получаем ра-
венство
j (VfiVti) dr = — ^f{ bf, dr = k2i\ fifj dr.
Подставляя полученное выражение в правую часть (32), ис-
пользуя соотношения ортонормированности функций f(3) и оп-
ределение со, (8), получаем упомянутое совпадение
i
(Напомним, что в квантовом случае данное выражение отли-
чается от выражения (20) на бесконечную константу.)
При квантовании поля в качестве основных переменных
можно брать как <?,- и р, или Ь, и b], так и Ф(г) и П(г). Ком-
мутационные соотношения для Ф и П можно получить из ком-
мутационных соотношений для Ъ и Из уравнений (13) и
разложения (31) находим
П (г) = 71‘ (bi — bi) ft (г).	(33)
§ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ БАЗИСНЫЕ ФУНКЦИИ
449
Используя разложения (18) и (33), коммутационные соотно-
шения для b и и соотношение замкнутости (4), получаем
[ф (Г), Ф (Г')] = [П (г), П (г')] = О,
[Ф(г), П(г')] = й(г-Н.	(
§ 5.	Комплексные базисные функции
В предыдущем параграфе мы видели, как можно прокванто-
вать поле, не прибегая к нормальным координатам. Однако ис-
пользование нормальных координат обычно упрощает вычисле-
ния, а также интерпретацию квантового поля. В силу вырож-
денности собственных значений оператора (—А) имеется боль-
шой произвол в выборе базисных функций и нормальных коор-
динат. В частности, можно проквантовать поле с помощью ком-
плексных базисных функций. В этом параграфе мы рассмотрим
такой метод квантования и покажем, что полученное квантовое
поле не зависит от выбора базисных функций.
Пусть ui, U2, ..., us, ... — полный ортонормированный ба-
зис, a — соответствующие энергии, так что (см. ур. (2) —
(4), (8))
j ulut dr — i>st, us (г) Us (г') — д(г — г'),	(35)
(A + ^)«s = 0,	(36)
<os = (^ + ^A	(37)
С каждой модой us связаны два эрмитово-сопряженных опера-
тора, as и at, которые удовлетворяют коммутационным соот-
ношениям
[as, aj = [а+, а+] = 0, [as, а+] = 6si.	(38)
Используя эти операторы, можно построить пространство дина-
мических состояний системы. Таким образом, каждой моде us
отвечает квантовый гармонический осциллятор, а операторы as
и интерпретируются как операторы уничтожения и рождения
частицы в состоянии us- Наблюдаемые системы выражаются
через операторы рождения и уничтожения. Например, наблю-
даемая Ns = atas соответствует числу частиц, находящихся
в состоянии us. Для поля Ф(г) справедливо разложение (см.
УР- (18))
Ф (г) = S (2<П (asus (г) +	(г)),	(39)
15 А. Мессиа
450
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
для сопряженного импульса П(г) —разложение (см. ур. (33))'
П W = 2 ТZ (2<р (а>:	(40)
для гамильтониана Н, определяющего эволюцию системы (ур.
(20)),
(41)
Найдем теперь связь между а, и операторами Ь, из
§ 3 и покажем, что построенная здесь система совпадает с кван-
товой системой, определенной в § 3.
Мы обозначали индексом s множество квантовых чисел, ну-
мерующих функции и. По условию в этом множестве имеется
квантовое число, определяющее энергию, и дополнительные
квантовые числа о, которые параметризуют функции, отвечаю-
щие одному значению энергии. Будем параметризовать энергию
волновым числом k
1
©==(^+и2)2.	(42)
Таким образом s ss(k, а).
Аналогичным образом индекс i, нумерующий функции f,
представляет собой множество квантовых чисел, которое со-
стоит из волнового числа k, определяющего энергию, и допол-
нительного множества квантовых чисел р: I ss (k, р).
Функции fkP, отвечающие данному значению k, связаны
с функциями Uka посредством унитарного преобразования (Т —
унитарная матрица)
ик0 = Е Tapfkp, fkp = Е (Ира ика.	(43)
0	а
Все величины, которые появляются ниже, отвечают фиксиро-
ванному значению k, поэтому в дальнейшем индекс k мы будем
опускать.
Для того чтобы разложения (18) и (39) задавали один и
тот же оператор Ф(г), а разложения (33) и (40)—оператор
П(г),'необходимо и достаточно, чтобы для любого значения k
выполнялось равенство
Е bpfр.
а	р
Принимая во внимание второе из соотношений (43), видим, что
это эквивалентно равенствам
йа = Е ар^р	(44)
Р
ИЛИ
йа= Е ТарЬр.	(44+)
р
§ 6. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИМПУЛЬСА
451
Таким образом, мы установили линейное соответствие между
операторами а, с+ и Ь, б+. Более точно, линейное соотношение
между операторами рождения 6+ и а+ (44+) тождественно ли*
нейному соотношению между функциями f и и (43).
Из равенств (44) и (44+) следует, что разложения (18) и
(39) определяют одно и то же поле Ф(г). Для эквивалентности
двух методов квантования данного поля необходимо, чтобы так
определенные операторы а и я+ удовлетворяли коммутацией-
ным соотношениям (38), а определяемый уравнением (20) га*
мильтониан Н, будучи записан в терминах операторов а, а+,
имел вид (41). Это легко доказать, используя унитарность мат*
рицы Т. Действительно, для каждого значения k имеем
[яа, flj'] = J] Т'арДт'р' [ftp, &о'] == ?'ар7'з'о'бро' = Фта',
РР'	РР7
откуда следует
[as, 4] = 6ssz.
Точно так же для каждого значения k получаем
daCla = S Е ТорТ’ро'брбр' = брр'брбр' = брбр,
с	рр' а	рр'	Р
откуда следует требуемое выражение для Н.
§ 6. Плоские волны. Определение импульса
Среди различных наборов комплексных базисных функций
имеется выделенный набор — плоские волны. Как мы увидим
ниже, они соответствуют состояниям отдельных частиц с опре-
деленным импульсом.
Для того чтобы иметь дело с дискретными индексами, мы
будем предполагать, что поле заключено в кубе со стороной L,
и потребуем для функций us выполнения соотношения
^*2" У>	"2" У9
и аналогичных соотношений для аргументов у и г. Данные усло-
вия являются простыми обобщениями условия периодичности,
описанного в § V. 11.
В качестве базисных функций мы можем выбрать плоские
волны
= L 2е'*',	(45)
для которых компоненты волнового вектора кратны 2n/L
kx = 2nnx!L, ky = 2nnyIL, kz = 2nnz/L.
15*
452
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Мы получаем полную ортонормированную систему базисны
функций, придавая числам пх, пу, п2 все возможные целые зна-
чения
«ж, пу, пг = 0, ±1, ±2, ...
Каждой из этих плоских волн соответствует оператор уничто-
жения ак и оператор рождения а|. Поле Ф(г) задается разло-
жением (см. ур. (39))
Ф (г) = £ (2®ЙЕ3) 2 (akeikr + a|e-'*'),	(46)
k
сопряженный полю импульс (см. ур. (40))
П (г) = £ i (®*/2L3)^ (a+e-'*' - akelkr),	(47)
а гамильтониан (см. ур. (41))
Я== £ (a*a*)®*,	(48)
k
где суммирование происходит по всем возможным значениям k,
т. е. по всем возможным значениям пх, пу, пг.
Как уже объяснялось в § V. 11, ответы для случая неогра-
ниченного пространства получаются при стремлении L к беско-
нечности. В этом пределе суммирование заменяется интегриро-
ванием. В каждом малом интервале (k, k + fife) имеется
(L/2n)3fife возможных значений трех чисел пх, пу, пг. Если до-
пустить, что суммируемые члены можно рассматривать как не-
прерывные функции параметра fe (это естественно, имея в виду
Предельный переход L->-oo), то каждый символ £ можно за-
менить на символ интегрирования
2^ -* § (£/2л)3 dk.
Величина (Е/2л)3 есть плотность индивидуальных состояний
в пространстве волновых векторов. Название плотность уровней
используют, как правило, для числа состояний в единице телес-
ного угла и в единичном интервале энергии, так что плот-
ность уровней есть функция энергии рд(ю). Число состояний
pLdQ da, волновой вектор которых находится в телесном угле
(Й, £2-|-dQ), а энергия расположена в интервале (о, ® + ^и),
равно
р£ dQ da — (L/2n)3 fe2 (dk/da) da dQ = (L/2n)3 ak da dQ.
§ 6. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИМПУЛЬСА
453
Следовательно,
Pl (®) == L3ak/(2n)3	(49)
(см. ур. (XVII. 52)).
В действительности, можно полностью устранить искусственное введение
куба и использовать плоские волны, заданные во всем пространстве. Тогда вол-
новой вектор k может принимать без ограничений все возможные значения, и
плоские волны зависят от 3 непрерывных индексов kx, ky, k*, а нормировка
с символами Кронекера заменится на нормировку с 6-функциями.
В качестве базисных выбирают функции
и (к) = и (k; г) = ег*7(2л)‘/г
и с каждой из них связывают эрмитово-сопряженные операторы a (к) и а+ (ft).
Все формулы получаются из предыдущих заменой uk на (2л/Д)7’ и (к),
ak на (2л/£)7’a (fe), символа на (Д/2л)3 dk. Так, основные свойства
базисных функций (см. ур. (35), (36) (37)) примут вид
j и* (k; г) и (к'; г) dr = 6 (к — k'), и (к; г) и* (ft; г') dk = 6 (г — г'),
(Д + k2) и (k; г) = О,
<й (к) = (k2 + ц2)*/«.
Коммутационные соотношения операторов а (к) и а+ (ft) равны (см. ур. (38))
[a (k), a (fc')I = [a* (*),	(*')] = О,
[а (к), а+ (й')1 = 6 (Л — k').
Поля Ф (г) и П (г) запишутся в виде интегралов (см. ур. (39) и (40))
Ф (г) = (2л)~’А f (a (k) eikr + а+ (ft) е~1Лг),
J V2to
П (г) = (2л)-7’i	dk (а+ (fc) e~ikr - а (к) ег*г),
а гамильтониан (см. ур. (41))
Н = а+ (ft) a (k) a (k) dk.
Остается установить связь между импульсом поля W и раз,
ложением на плоские волны.
По определению векторный оператор W связан с бесконечно
малыми преобразованиями по формуле (XV. 41). При конечном
преобразовании .7“ (а) (обозначения § XV. 9) оператор Ф(г0),
дающий амплитуду поля в точке го, переходит в оператор
Ф(г0 + а), дающий амплитуду поля в точке, которая получается
из Го сдвигом ’). Точно так же П(г0) преобразуется в П(г0 + а).
') Подчеркнем отличие от закона преобразования наблюдаемой х из
§ XV. 9 (см. предыдущую сноску). Здесь г0 — параметр, фиксирующий точку
в пространстве, где измеряется амплитуда поля.
454
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Используя этот закон преобразования наблюдаемых в случае,,
когда а равно бесконечно малому вектору е, получаем
[(еЮ. Ф(го)] = Не¥)Ф|г=г?
[(еЮ. П(г0)]=/(е¥)П|г_гл.	(50>
Поскольку эти коммутационные соотношения должны быть вы.
полнены для любого Го, они определяют W с точностью до по.
стоянного (векторного) слагаемого. Так, компонента Wx па
оси х является оператором, который с точностью до константы
определяется коммутационными соотношениями
[Wx, Ф(П>)]==^|г_гв.	(51>
[Ю, П(г0)] = /4?-| ’	(52>
Предыдущие соотношения выполнены, если
rx = -Jn-^-dr +const.	(53)
Интегрируя по частям, получаем эквивалентное выражение
Wx = J 4g- Ф dr + const.	(54)
Подставляя выражение (53) в левую часть уравнения (51) и
используя коммутационные соотношения (34), находим
[- J П (г) 4^1 dr, Ф (Го)] = - J [П (г), ф (Го)] ^-dr =
= A6{r_ro}™pLdr==i™\ .
J	ox	dx L „
Аналогичным образом можно показать, что соотношение (52)
выполнено, если воспользоваться для Wx выражением (54).
Такие же формулы справедливы для Wy и Wz. Следователь-
но, мы получили три компоненты W с точностью до постоян-
ных слагаемых, которые определяются из требования, чтобы W
был векторным оператором. Таким образом, импульс поля
можно записать в виде двух эквивалентных выражений
W = — $П(УФ)г/г =	(55)
= + (VII) Ф dr.	(56)
JW. В. В классической теории для импульса получаются выра-
жения, которые формально тождественны приведенным.]
§ 6. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИМПУЛЬСА
455
Выразим теперь W в терминах операторов ak и а*к. Для
этого подставим в правую часть равенства (55) вместо Ф и П
их разложения (46) и (47) соответственно и воспользуемся со-
отношениями ортогональности для плоских волн. Получим
w=4 Sk (akak+akak - aka-k - atkak)
k
или, используя коммутационные соотношения для операторов а
и а+,
»- £т) *+(1 - °-а - <4ач-
л	k
Суммирование в полученных формулах происходит по всем воз-
можным значениям k. Выражение в скобках под знаком послед-
ней суммы не меняется при замене k на —k. Следовательно, два
слагаемых, отвечающие k и —k, отличаются только знаком и
эта сумма равна нулю. Таким образом,
W=X^kak)k.	(57)
ь
Отсюда легко получить коммутационные соотношения W
с операторами а и
[1F, ал] = - kak,	(58)
[>, 4] = + М-	(59)
Формулы (57), (58) и (59) просто интерпретировать, если
считать, что частица в состоянии ил имеет импульс k. Поскольку
определяет число частиц в состоянии ик, формула (57)
означает просто, что полный импульс поля W равен сумме им-
йульсов частиц, образующих поле. Точно так же, формулы (58)
и (59) согласуются с интерпретацией операторов ak и как
операторов уничтожения и рождения частицы с импульсом к.
Действительно, если |w> — собственный вектор оператора пол-
ного импульса, отвечающий собственному значению w, то век-
тор ак \ w) (в случае, если этот вектор отличен от нуля, т. е. со-
стояние поля содержит хоть одну частицу с импульсом k) удо-
влетворяет уравнению
Wa* | w) = ak (1F — к) | -w) — ал (w — k)\w) = (w — k) ал I и»).
Точно так же, используя формулу (59), получаем
Wa% | isd} — (w + k) a+1 w}.
456
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Отметим, что связанные с полем частицы с импульсом k
имеют энергию ф=(£2 + р2)‘/а. Следовательно, масса этих частиц
равна ц.
§ 7. Сферические волны. Определение момента импульса
В качестве базисных функций часто используются плоские
волны. Столь же часто, вероятно, используются и сферические
волны. В последнем случае базисные функции равны
“klm = const ii (kr) Y? (0, ф)	(60)
и зависят от непрерывного индекса k и двух дискретных ин-
дексов I и tn. Для того чтобы иметь дело только с дискретными
индексами, можно предположить, что поле содержится внутри
сферы радиуса R, и потребовать обращения базисных функций
в нуль на поверхности сферы. Формулы для случая неограни-
ченного пространства получаются предельным переходом
R —> оо.
Используя новые базисные функции, можно повторить все
рассуждения предыдущего параграфа. Таким образом, вводятся
операторы уничтожения akim и рождения atim частицы в со-
стоянии, описываемом сферической волной Ukim-
Можно показать, что сферические волны отвечают одноча-
стичным состояниям с определенным моментом импульса, точно
так же как плоские волны отвечают одночастичным состояниям
с определенным импульсом. Для полного момента импульса
поля I получаем выражение
Z = -$П(/Ф)</г,	(61)
где I есть оператор —i(rXV), действующий на функцию Ф
1Ф = — ir X (V®).
Можно использовать также эквивалентное выражение
I = J (Ш) Ф dr.
Операторы akim и амт интерпретируются соответственно как
операторы уничтожения и рождения частицы с энергией со =
=(й2+р2)1/2 и моментом импульса (1т). Кроме этого, (21 + 1) опе-
раторов a£lmt отвечающие данному значению I и k, образуют
стандартные компоненты неприводимого тензорного оператора
порядка I, а (21-)- 1) операторов а^т образуют с точностью до
порядка и знака стандартные компоненты эрмитово-сопряжен-
ного тензорного оператора (определение § ХШ. 30).
§ 9. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С СИСТЕМОЙ ЧАСТИЦ
457
§ 8. Пространственное отражение и обращение времени
К преобразованиям, оставляющим инвариантными уравнения движения,
относятся отражение пространства и обращение времени. Эти преобразования
полностью определяются их действием на поле Ф(г) и сопряженный ему им-
пульс П(г), соответствующие (унитарный или антиунитарный) операторы пре-
образований определяются с точностью до фазового множителя.
При отражении пространства имеем
Ф (г) -> Ф (- г), П (г) -> П (- г).	(I)
Это закон преобразования скалярного поля, соответствующий оператор пре-
образования So — унитарный и, следовательно, коммутационные соотношения
полей при этом преобразовании не меняются. Поскольку все операторы тео-
рии являются функциями Ф и П, то из соотношений (I) легко получить закон
их преобразования при пространственном отражении. В частности, для опера-
торов а и а+, связанных с разложением по плоским волнам, получаем
= а—k'
(II)
Soa*^o = “-*•
В случае обращения времени поле Ф не меняется, а скорость меняет свое
направление на противоположное, следовательно,
Ф (г) -> Ф (г), П (г) -> - П (г).	(Г)
Соответствующий этому преобразованию оператор К — антиунитарный и ком-
мутационные соотношения полей при преобразовании меняют знак. Закон пре-
образования операторов а и а+ легко следует из определения этих операторов
и закона (Г)

Таким образом, операторы рождения и уничтожения преобразуются одина-
ково при пространственном отражении и обращении времени. Не следует, од-
нако, путать эти преобразования, поскольку одно является унитарным, а дру-
гое— антиуннтарным.
Преобразования (I) или (II) и (I') или (II') определяют операторы Sa и
К с точностью до фазового множителя. Мы устраним произвол в фазе, потре-
бовав чтобы вектор |0) был инвариантен относительно этих преобразований
$0Ю> = |0>, Л|0) = Ю).
Раздел II. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С АТОМНОЙ СИСТЕМОЙ
§ 9.	Взаимодействие с системой частиц
Рассмотрим взаимодействие поля и частицы. Нижеследую-
щие рассуждения в существенном не изменятся, если частицу
заменить системой нескольких частиц.
Динамические переменные системы частица + поле являются
функциями основных переменных подсистем. В качестве основ-
ных переменных частицы, которую мы будем считать для про-
стоты бесспнновой, возьмем вектор R, описывающий ее поло-
458
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
жение, и ее импульс Р. В качестве основных переменных поля
мы можем взять Ф(г) и П(г) или определенные в предыдущем
параграфе операторы рождения и уничтожения. В дальнейшем
мы будем часто использовать операторы аь и а\, связанные
с разложением по плоским волнам.
Состояния всей системы образуют пространство, которое яв-
ляется произведением пространства состояний частицы ^Гчаст и
пространства состояний свободного поля &п.
^ = <Гп®^част.
Гамильтониан всей системы равен сумме трех слагаемых
Н — ЯчасТ + Нп + Н'.	(62)
Первые два слагаемых отвечают свободным подсистемам, по-
следнее представляет собой энергию взаимодействия.
Выше мы получили несколько эквивалентных выражений
для гамильтониана свободного поля Нп, отметим, в частности,,
выражение (48). Гамильтониан Нчаст описывает эволюцию ча*
стицы без поля Ф. Предположим для определенности, что ча-
стица находится во внешнем потенциальном поле и ее масса М
удовлетворяет неравенству М ц. Будем считать, что движе-
ние частицы можно рассматривать в нерелятивистском прибли-
жении, т. е.
D2
Ячаст = -4-+ V (R).	(63)
Остается определить Н'. Простейшее из возможных выра-
жений для Н' получится, если предположить, что взаимодей-
ствие пропорционально величине амплитуды поля в точке Rr
где находится частица
Н' == §Ф (/?) ==	(64)
з
“ «*’2 Г	(64'>
Безразмерная постоянная g называется константой связи. Вто-
рая формула для Н' получается из первой и разложения (46).
Такая форма взаимодействия почти однозначно определяется
из требования релятивистской инвариантности. Однако в иссле-
дуемой здесь теории с самого начала используется нереляти-
вистское приближение. Это следует не только из того факта,
что Ячаст не обладает ковариантными свойствами, вытекаю-
щими из принципа относительности, но и потому, что сама кон-
цепция материальной системы, состоящей из одной или опреде-
ленного числа частиц, не может быть оправдана в релятивист-
ской квантовой механике. Эти два ограничения, имеющиеся
§ 9. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С СИСТЕМОЙ ЧАСТИЦ
459
-в теории, следует иметь в виду при выборе Н'. Выбору может
помочь исследование из главы XX о нерелятивистском прибли-
жении для уравнения Дирака. Оно подсказывает нам, что взаи-
модействие поля и нерелятивистской частицы массы М не яв-
ляется локальным, как записано в формуле (64), а зависит от
значений поля в области размером l/М с центром в точке, где
находится частица. Поэтому выражение (64) для Н' мы заме-
ним на выражение
H' = g Ф(г)р( |r — R\)dr,	(65)
где р(г)=р(г)—вещественная, сферически-симметричная
функция, удовлетворяющая условию нормировки
р (г) dr = 4л р (г) г2 dr — 1
о
и сосредоточенная в области радиуса 1/ЛГ с центром в начале
координат (см. рис. 23,а). Подставляя в правую часть фор-
мулы (65) вместо этой функции 6 (г — /?), мы получим фор-
мулу (64).
Рис. 23. Общий вид функций р (г) и С (k).
Мы назовем обрезающей функцию C(k), которая опреде-
ляется равенством
С (k) = е‘*гр (г) dr.
Это вещественная, сферически-симметричная функция, удовле-
творяющая условию С(0) — 1 ив силу хорошо известного свой-
ства преобразования Фурье сосредоточенная в окрестности
точки k = 0 размером порядка М (см. рис. 23,6). Подставляя
в правую часть формулы (65) разложение (46) для Ф(г), после
несложных вычислений получаем
Я' = gL-sh У (а4е‘‘« + а*	(66)
460
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Отличие от формулы (64') заключается только в присутствии
множителя C(k) в каждом слагаемом. Этот множитель обрезает
вклад во взаимодействие высокочастотных членов, для которых
k^M.
Покажем, что пренебрежение вкладом высоких частот со-
гласуется с нерелятивистским приближением. Каждое слагае-
мое в сумме (66) соответствует передаче определенного им-
пульса и энергии от частицы полю и обратно. Так, член ak&iklt
соответствует поглощению кванта поля с импульсом k и энер-
гией и передаче этого импульса и энергии частице, член
а+е-«*я соответствует рождению кванта поля с импульсом k и
энергией ©й и уменьшению на эти величины импульса и энергии
частицы. Если k М, то изменение энергии достаточно велико,
так что может нарушиться закон сохранения частиц и поле мо-
жет поглотить частицу или испустить вторую частицу массы М.
Таким образом, нерелятивистское приближение оправдано толь-
ко, если вклад высокочастотных слагаемых пренебрежимо мал,
и результаты, которые дает это приближение, если они справед-
ливы, не должны меняться при введении функции C(k). A for-
tiori, они должны быть нечувствительны к форме этой функции.
В дальнейшем мы считаем, что
{1 для 0 sC k sC К,
о	/г	(67)
О для k > д,
а параметр К имеет значение порядка М.
Исследуем свойства инвариантности Н. Из уравнения (65)
видно, что Н' инвариантен относительно сдвигов и вращений
всей системы (поле -(- частица), поскольку легко показать, что
И' коммутирует с операторами полного импульса Р + W и пол-
ного момента импульса (R X Р) +1 системы. Оператор Н' ин-
вариантен также относительно пространственного отражения,
при котором Ф(г) переходит в Ф(—г) (скалярное поле). Этими
же свойствами инвариантности обладают гамильтонианы Нп и
(при условии, что V(7?)=0) //част, а следовательно, и полный
гамильтониан системы Н. Если V(R)=£ 0, то //част инвариантен
только по отношению к вращениям и отражению и, следова-
тельно, Н инвариантен относительно вращений и отражений, но
не инвариантен относительно трансляций.
Рассматриваемая квантовая система интересна в силу того,
что она в простейшей форме демонстрирует основные свойства
атома, взаимодействующего с электромагнитным излучением.
Частица является аналогом атома, а скалярное поле — анало-
гом электромагнитного излучения. Основное отличие заклю-
чается в том, что кванты электромагнитного поля — фотоны —►
§ 10. СЛАБАЯ СВЯЗЬ
461
имеют нулевую массу и спин 1, в то время как кванты исследуе-
мого скалярного поля имеют нулевой спин и отличную от нуля
массу. В оставшейся части этого раздела мы воспользуемся
этой упрощенной моделью для изучения характерных свойств
атома, находящегося в электромагнитном поле.
§ 10.	Слабая связь и рассмотрение по теории возмущений
При достаточно малых g оператор Н' можно считать ма-
лым возмущением и использовать методы, развитые в главах
XVI и XVII.
Невозмущенный гамильтониан имеет вид
//() = Нп //част"
В теории возмущений используют представление, в котором диа-
гоналей оператор Но. Мы будем пользоваться представлением,
базисные векторы которого получаются следующим образом.
Обозначим |а>, |р>, ..., |Х>, ... полный ортонормированный
набор собственных векторов Нчаст, рассматриваемого как опе-
ратор в пространстве с?Част, и Еа, Ер, ..., Ек, ... — соответст-
вующие собственные значения (расположенные в порядке воз-
растания). Умножая данный вектор |Х> этого множества на ва-
куумный вектор |0> пространства <Fn, получаем вектор про-
странства &, который для упрощения записи будем также обо-
значать |Х>. Ясно, что
Но |А>-£Х |А>.
Полный ортонормированный набор собственных векторов опе-
ратора Нп в пространстве <Fn можно получить, последовательно
действуя операторами рождения на вакуумный вектор |0>
(см. ур. (16)). Точно так же полный ортонормированный набор
собственных векторов Но в пространстве & можно получить по-
следовательным применением операторов рождения к каж-
дому из определенных выше векторов |а>, |0>, ..., |Х>, ... .
Так будет получен требуемый базис. Пусть |и> — один из век-
торов этого базиса и Еп — соответствующая энергия
Но\п) — Еп |п>.
В динамическом состоянии ]га> частица находится в определен-
ном собственном состоянии оператора Ячаст, а поле содержит
определенное число квантов с заданными импульсами.
В дальнейшем мы будем пользоваться только векторами
с небольшим числом квантов и параметризовать эти век-
торы будем греческой буквой, соответствующей динамическому
состоянию частицы, и волновыми векторами каждого из кван-
тов поля. Так, |Xfe> представляет состояние, которое получается
462
ГЛ. ХХГ. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
добавлением кванта с импульсом k к частице в состоянии к,
|Ш/>— состояние, получающееся добавлением двух квантов
с импульсами k и k' к частице в состоянии X и т. д. Отметим,
что
E0|Afe>==(Ex + ®ft)|U),
Hq I Kkk'} = (Ex, И- ®fe + ®fe') I АЛЛ').	(68)
Имеем также |Afe) —a*|A) и, если k ф k', | Mik') = a^a^,| A).
Характерная спектроскопическая диаграмма нижних уров-
ней энергии гамильтониана Но изображена на рис. 24. В соот-
ветствии с обычными соглашениями о таких диаграммах (см.
3/1 -
2/1-
л -
о -
1Д>
1alr>	/ цоантом
|а>
УробУУ без
кбантоб
Рис. 24. Типичная схема расположения первых энергетических уровней опе-
ратора Но.
Уробни с
2 кбайтами
том 1, рис. 36 и 37) высота уровней над основным состоянием
равна разности их энергий и энергии основного состояния; как
следствие, уровни с одинаковой энергией расположены на одной
высоте. Уровни на рисунке расположены в соответствии со
структурой собственных состояний. В левом столбце находятся
уровни состояний без квантов. Затем идут несколько столбцов,
отвечающих состояниям с одним квантом, каждый столбец со-
ответствует определенному квантовому состоянию частицы.
Первый отвечает уровням |afe>; когда частица находится в ос-
новном состоянии, уровни заполняют непрерывную зону (в пре-
деле L-+oo), нижняя граница которой соответствует одному
кванту с нулевым импульсом и, следовательно, удалена от
уровня основного состояния |а> на расстояние ц. Второй стол-
бец отвечает состояниям где частица находится в первом
возбужденном состоянии, и так далее. После уровней с одним
квантом следуют уровни с двумя квантами, расположенные
в виде столбцов, каждый из которых соответствует определен-
ному квантовому состоянию частицы, и так далее.
Возмущение Н' связывает различные уровни. В определен-
ном выше представлении Н' задается особенно простой матри-
цей. Из формулы (66) видно, что оператор Н' имеет отличные
§ 10. СЛАБАЯ СВЯЗЬ
463
от нуля матричные элементы только между базисными векто-
рами, для которых число квантов отличается на единицу. Легко
вычислить эти матричные элементы, пользуясь свойствами one*
раторов рождения и уничтожения. Находим
(А| H'\vk) = {vk\H'\xy = (2n/L^g-^=.(k\U(k)\v), (69а)
72(0а
{Mik' | Н' | vk) = (yk | Н' | Лйй')* =
= (2л/А)8/2 g -^=- (A I f/+ (й') | v), (й Ф k').	(696)
V2(Oa
(Если й = й', то в последнем выражении нужно добавить мно-
житель Мы использовали обозначение
^(й) = е^л/(2я)%.	(70)
Независимо от того, насколько слабой является связь уров-
ней, она ведет к качественному изменению спектра, поскольку
большинство связанных состояний стано-
вятся неустойчивыми и частица может со-
вершить переходы в состояния с меньшей
энергией, излучая один или несколько
квантов поля. Рассмотрим, например, изо-
браженное на рис. 24 состояние |А>; оно
расположено на том же уровне, что и не-
которые состояния непрерывного спектра,
а именно: состояния с одним квантом |ай>
или | рй> и состояния с двумя квантами
|айй'>. Введение малого возмущения Н'
связывает дискретные собственные состоя-
ния и состояния с одним квантом, состоя-
ния с одним квантом и состояния с двумя
квантами и т. д. Следовательно, появляет-
ся возможность «радиационных» переходов
из состояния |А> в состояния непрерывного
переходы с уровня | А).
Двойная стрелка спра-
ва соответствует пере-
ходу на основней уро-
вень с испусканием
двух квантов. Это
переход более высо-
кого порядка.
спектра, расположенные на том же уров-
не. Возможные переходы из состояния |А> схематически изо-
бражены на рис. 25. Остаются устойчивыми только те свя-
занные состояния, энергия которых в сравнении с энергией ос-
новного состояния достаточно мала и излучение кванта массы р
энергетически запрещено, т. е. состояния, энергия которых
меньше Еа + ц. В примере на рис. 24 устойчивым является
только основное состояние.
Появление в гамильтониане члена Н' ведет также к сдвигу
уровней связанных состояний. Как мы увидим, это эффект вто-
рого порядка. Тем не менее, он может влиять на устойчивость
464
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
различных состояний частицы, и моды «радиационных» пере-
ходов, поскольку даже малый сдвиг уровня может оказаться
достаточным, чтобы сделать энергетически возможными неко-
торые «радиационные» переходы, которые были запрещены, или
привести к обратной ситуации.
§ 11.	Сдвиги уровней
В качестве первого приложения вычислим упоминавшиеся
в конце предыдущего параграфа сдвиги уровней. Эти несложные
вычисления по теории возмущений познакомят нас с основными
трудностями теории поля, позволят понять физический смысл
и границы применимости теории.
Рассмотрим устойчивый уровень, например, основное состоя-
ние, и вычислим порожденный членом Н' сдвиг, пользуясь ста-
ционарной теорией возмущений. Для простоты будем считать
уровень невырожденным. Поскольку свойства инвариантности
Н' и Ячаст совпадают, то рассмотрение вырожденного уровня не
имеет принципиальных различий. В первом порядке сдвиг оп-
ределяется формулой (XVI. 12). Из свойств Н' следует, что
<а|Я'|а> = 0,
и вычисления необходимо проводить во втором порядке. Пусть
6Еа — поправка к энергии второго порядка, тогда имеем (см.
§ XVI. 6)
дЕа = (а\Н'	Я'|а>.	(71)
Вычислим это выражение, используя определенное выше
представление. Из промежуточных состояний вклад будут да-
вать только состояния, содержащие один квант. Принимая во
внимание соотношения (68), (69а) и (70), последовательно по-
лучаем
бДа = £ (а | Д' |/г>	-(п IН' |а) =
п
= £ £ I (а |Я'| v*> ?/(£« - Ev - ®ft) =
V k
= g* (2л/L)3 £ £ 1<C2 (W2®*) I <а II v> №« - Ev - (0*)].
V k
Заменяя суммирование no k интегрированием согласно прави-
лам, описанным в § 6, и используя обрезающую функцию (67),
имеем
бр______„2	f	dk у |<а| £/ (fe) | v>|а	, .
0Ла-	g	J	ап	2(й(й) + £ _£ > •	(72)
fe<K V
§ 11. СДВИГИ УРОВНЕЙ
465
Отметим, что
6Еа < 0.
Действительно, все слагаемые в правой части формулы (72) не-
отрицательны, так как речь идет об основном состоянии и
(со +	— Еа) > 0 для любого V.
Чтобы получить оценку сверху для |6Z;a|, можно заменить
величину Ev — Еа в знаменателе ее минимальным значением,
т. е. нулем. Тогда суммирование по v легко выполнить, исполь-
зуя соотношение полноты £|v)(v|=l. Поскольку =
V
= (2л)-3, сумма равна (2л)-3/2®2 и после интегрирования по
углам имеем
к
I ЪЕа | < (g2/4n2) J (fe2/®2) dk.	(73)
о
Интеграл в неравенстве (73) можно легко вычислить, и так как
К ц, он лишь незначительно меньше К.. Следовательно,
I i>Ea | <	(74)
Более точную оценку правой части формулы (72) можно получить сле-
дующим образом. Если воспользоваться соотношением полноты и заменить
согласно формуле (70), то получим
+	(75)
Унитарный оператор exp(ife/?) коммутирует с R и преобразует оператор Р в
(Р— й). Следовательно,
е/АЛЯчасте-гА/г = (P~k)2 + V (/?) = Ячаст + X- -
И
е'*« (® + Ячаст - Еа)-1 е-/А/г = (® +	+ #част - Еа - -^-) ‘.
Подставляя это выражение в правую часть формулы (75), находим
k<K
Членом PkjM в правой части можно пренебречь, поскольку среднее значение
скорости частицы Р/М в состоянии |а) много меньше 1 (нерелятивистское
приближение). В этом приближении после интегрирования по углам получаем
К.
iEa ~ ~ J (1 +	‘ dk (76)
о
466
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
выражение, которое отличается от правой части неравенства (73) только мноч
жителем (1 + (ЬР/ОМ®))~1 под знаком интеграла. Поскольку ц <С К « М, зна»
чение этого множителя меняется от 1 до 2/3 на промежутке интегрирования,
и мы можем написать
б£а = — sg2K/4n2, (s 1).	(77}
Фигурирующая в этой формуле константа s имеет значение между 2/3 и 1,
Для оценки этого эффекта вычислим порядок его величины
в случае, когда различные параметры модели имеют численные
значения того же порядка, что и встречающиеся в атомах *),
Так, М равна массе электрона, g2— постоянная тонкой струк-
туры
(78)
Пусть D/M — расстояние от рассматриваемого уровня до бли-
жайшего соседнего уровня
D/Мм 10~4- ПГ5.	(79)
С данными числами
\6Ea/D\&g2M/4a2D& 100.
Таким образом, это очень сильный эффект, значительно превос-
ходящий сдвиги, наблюдаемые экспериментально. Естественно,
возникает вопрос о справедливости рассмотрения по теории воз-
мущений и физическом смысле результата.
Однако разумное сравнение теории и эксперимента должно
учитывать следующее. Масса М, которая фигурирует в вычис-
лениях невозмущенных уровней, не есть экспериментально на-
блюдаемая масса. Последняя получается на основании измере-
ний энергии и импульса «свободной» частицы, т. е. частицы вне
потенциала V(R). Такая «свободная» частица, тем не менее,
взаимодействует с полем и, следовательно, измерение дает:
Мэксп = М + бМ, где 6М представляет собой вклад в энергию
покоя «свободной» частицы, порожденной наличием поля. В дан-
ном случае несложные вычисления дают 6М » — g2K/4n2. Точ-
нее, вычисление 5М во втором порядке по теории возмущений
приводит к правой части формулы (76) (задача 2). Следова-
) В силу того, что вид взаимодействия в данном случае отличается от
случая атома и электромагнитного поля, численные результаты скалярной тео-
рии не могут точно согласовываться с результатами квантовой теории излу-
чения. Для того чтобы сравнивать соответствующие величины, константу g*
фиксируют так, что значение вероятности дипольного перехода получается ве-
личиной того же порядка, что и вероятность дипольных переходов в атомах
(см. (81) и (245)), т. е. g2/4n « 1/137.
§ II. СДВИГИ УРОВНЕЙ
467
тельно, сдвиг 8Еа почти полностью вызван «перенормировкой»
массы *).
В вычислениях уровней атома водорода в теории Шредин-
гера или Дирака фигурирует экспериментальная масса элек-
трона. Таким образом, учитывается основная часть взаимодей-
ствия электрона с полем излучения, что объясняет замечатель-
ное согласие вычисленного спектра с наблюдаемым.
«Экспериментально наблюдаемый сдвиг» 6Е' равен разно-
сти между вычисленным сдвигом $Еа и сдвигом, порожденным
заменой теоретического значения массы на экспериментальное
(«перенормированная» масса) в гамильтониане частицы. Для
нашей модели подстановка «перенормированной» массы ведет
к замене ЯЧаст на
р2
^ + Т(ЛбМ)+П*)
и к сдвигу всех уровней на величину 8М. Тем самым, имеем
Если ограничиться вторым порядком теории возмущений, то
вычисление 6Е'а = 6Еа — не представляет серьезных затруд-
нений, и для | б£'/О | получается значение порядка 10-3, что яв-
ляется разумным по порядку величины.
Тем не менее, к полученному значению б£' следует отно-
ситься с осторожностью, поскольку оно очень чувствительно
к выбору обрезающей функции. Реалистические вычисления
должны основываться на полностью релятивистской теории.
В действительности мы встречаемся здесь с трудной проблемой
квантовой теории поля, которая в настоящее время не имеет
удовлетворительного решения. Взаимодействие в релятивист-
ской теории является локальным, и для 6Л1 получается выра-
жение вида: 5М = ZM, где Z представляется расходящимся ин-
тегралом (см. предыдущую сноску). Точно так же i>Ea и дЕ{®
представляются расходящимися интегралами, так что выраже-
ние для б£' является неопределенностью типа оо — оо.
Несмотря на упомянутые ограничения, мы продолжим ис-
следование нашей упрощенной модели, которая корректно опи-
сывает большое количество экспериментальных фактов. Такие
эффекты как «перенормировка» массы, удовлетворительное рас-
смотрение которых возможно только в рамках ковариантного
формализма, мы оставляем в стороне.
*) Считая К ~ М, получаем ЬМ'М as 10~3. Следовательно, относительное
изменение массы мало, что оправдывает a posteriori использование теории воз-
мущений. Однако если не вводить обрезающей функции, то 8М выражается
расходящимся интегралом. К этому вопросу мы еще вернемся.
468
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 12. Излучение квантов
Вернемся к рассмотрению состояний частицы, которые яв-
ляются нестабильными в силу взаимодействия Н'.
В этом параграфе мы вычислим вероятности перехода в еди-
ницу времени для различных «радиационных переходов», поль-
зуясь нестационарной теорией возмущений (§ XVII. 4).
Предположим для определенности, что спектр оператора
совпадает со спектром, изображенным на рис. 24, и рассмо-
трим состояние |Х>. Из этого состояния энергетически возможна
только переходы в основное состояние с излучением одного
или двух квантов (Зц > Ек — Еа > 2р) и переходы в пер-
вое возбужденное состояние с излучением одного кванта
(2ц, >	> ц). Ниже мы будем рассматривать только
переходы с излучением одного кванта. Испускание двух кван-
тов представляет собой процесс высшего порядка и при прочих
равных условиях происходит в g2 раз реже, чем испускание-
одного кванта. Поэтому, интересуясь только первым порядком
теории возмущений, мы такие процессы рассматривать не бу-
дем.
Пусть частица первоначально находится в состоянии |Х>^
Тогда вероятность в единицу времени перехода частицы в со-
стояние |а> с излучением кванта в телесный угол (Q, й + с/й)^
т. е. вероятность в единицу времени перехода Х->ай, где fe —;
вектор в данном телесном угле, в первом порядке дается выра-
жением (см. ур. (XVII. 50))
^at^ = 2«l <* l^'l ak> FРь	(80>
в котором энергия кванта со вычисляется из закона сохранения
® = “Ла = Ек — Еа.
Принимая во внимание соотношения (49), (69а) и (70), из фор-
мулы (80) получаем
'а'еГ1°>'’ w—S-la 1е“«|«)Г.	(81>
Интегрируя по углам, получаем вероятность перехода в еди-
ницу времени из состояния X в а, которую мы обозначим IY»a:
ГЛ-»а	= -Q- 5 I &	(82>
Аналогичные выражения можно получить для переходов в со-
стояние р. Полная вероятность перехода в единицу времени 1\
равна
Г, = Г. .„ + ГХ^В.	(83>
л <->a • р	' *
§ 12. ИЗЛУЧЕНИЕ КВАНТОВ
469-
Величина 1\ обратна времени жизни состояния 1к>, что
можно увидеть из следующих полуклассических рассуждений.
Рассмотрим статистический ансамбль частиц и обозначим N\(t)
число частиц в состоянии |Х> в момент времени t. Число ча-
стиц, участвующих в радиационном переходе в интервале вре-
мени (/, t + dt), равно ГхЛ\(/)бД. Следовательно,
N^t + dt) = {\-Vtdt)Ndt)
или
и
ЛГл(0 = ^(0)ехр(-Гх0.	(84>
Это хорошо известный экспоненциальный закон распада, и
время жизни равно 1/Гд,- В рассмотренном нами случае имеется
две моды распада, л-*аик— р, и отношение первой ко второй
равно П->а/Г^р.
Ясно, что приведенные полуклассические рассуждения
не могут считаться доказательством экспоненциального закона,
поскольку вычисление вероятностей перехода по теории возму-
щений оправдано только для 1 (см. обсуждение в конце
§ XVII. 4), т. е. для достаточно малых t, пока вектор состояния
мало отличается от начального. Для больших времен требуется
более глубокий анализ, который будет проделан в § 13.
Чтобы определить Г по порядку величины, вернемся к обозначениям и
численным данным § 11. Для не слишком больших энергий возбуждения
имеем k ~ Du, поскольку размеры (R) области, где сосредоточена волновая
функция, порядка (2MD)~‘\ получаем
k (R) « (D/2M)'/2 « 5 • 10~3 « 1.
Величину (А. | е‘*й|а) можно оценить, заменив экспоненту первым членом
ряда Тейлора, который дает отличный от нуля вклад (длинноволновое при-
ближение); порядок этого члена определяется в основном правилами отбора
по моменту импульса. В наиболее благоприятной ситуации (дипольные пере-
ходы) имеем
|<А | eiA/? |а>| « |<А | kR | а) | « k(R),
откуда
^a«-£r^W)2«10-6D.
Если взять это же значение для величины Гл> то получим время жизни 1/Г^
значительно превосходящее (в 106 раз) характерный период 1/D движения ча-
стицы во внешнем потенциале. Следовательно, разумно рассматривать, что и
было сделано выше, взаимодействие Н', которое ответственно за излучение
кванта, как малое возмущение.
Можно получить формально очень простое и общее выра-
жение для Гл, исходя непосредственно из формулы (80) и ис-
470
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
пользуя определение плотности уровней, закон сохранения энер.
гии и соотношение полноты. Последовательно имеем ’)
1\ = 2л (^-)3£ J dk\(X\Н' |vk) f6(EK — Ev — <а) —
= 2л (^-)3 £ J dk (X | Я'д (Ек - Нч) | vk) {vk | H' | X) =
= 2л (X | H'6 (Ек - Ho) H' | X>.	(8^
Полученное выражение будет использоваться в дальнейшем.
§ 13. Квантовая теория распадающихся состояний.
Ширина линии
В этом параграфе мы используем квантовую теорию для
анализа точной зависимости от времени распадающихся квази-
стационарных состояний. М.ы покажем, что результаты, кото*
рые были получены в § 12 с помощью упрощенных рассу ж де*
ний, в существенном не меняются, и, в частности, распаД
с очень хорошим приближением имеет экспоненциальный ха-
рактер. Будут введены также такие важные понятия, как сдвиг
уровня и ширина линии.
Предположим, что в начальный момент времени t = 0 си*
стема находилась в связанном состоянии, отвечающем собствен*
ному значению Ei гамильтониана Но, и рассмотрим изменение?
этого состояния с течением времени.	••
До сих пор мы считали собственное значение Е>, невырож*
денным. Это упрощение потребуется нам при обсуждении ре-
зультатов, однако приводимые ниже рассуждения применимы
также и к случаю вырожденного собственного значения. Обо-
значим подпространство, натянутое на векторы, которые опи-
сывают связанные состояния, отвечающие собственному зна-
чению Ек. Пусть Рк и Qx — проекторы на и его ортогональ-
ное дополнение соответственно
НОРК = РКНО = Е>Р„ Рк +	= 1.
Оператор эволюции, как обычно, имеет вид
Я(/) = е-'^,	(86)
’) Выражение (85) возникает во многих задачах. Оно представляет собой
общее выражение для вероятности перехода в единицу времени в первом по-
рядке теории возмущений и его можно вывести сбгласно общей теореме
§ XVII.4 из формулы (XVII.40), используя для фигурирующей в этой фор-
муле функции f асимптотический вид (XVII.43).
§ 13. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАСПАДАЮЩИХСЯ СОСТОЯНИЙ
471
и наша задача состоит в вычислении для t > 0 величины
РхЩОРх-
Введем резольвенту оператора Н
0®—^.	(87)
сингулярности которой как функции комплексной переменной z
совпадают со спектром И (дискретному спектру соответствуют
полюса, а непрерывному спектру — разрез). Справедливо ра-
венство *)
+ оо
= J e-^[G(x+)-G(x-)]dx,	+	(88)
— ОО
Операторы <2/ и 1F, определенные в пространстве соотноше-
ниями
ЭД(0 = РАЩ0РЛ, ^(z) = PxG(z)Px,	(90)
связаны по формуле
+ оо
ЭД(/) = —erixt (х+) — (х~)] dx, {x±^x±i&). (91)
— ОО
Чтобы получить удобное для работы выражение для
воспользуемся соотношениями:
Н = Hl + Н",
Hl РКНРК + QKHQK = Но + QKH'QK,
Н" PKHQK + QKHPK = PKH'QK + QKH'PK.
’) Соотношение (88) непосредственно следует из формулы *)
G =------------2 ,	= V. Р.----Цу- 4= 1лб (х - Н),	(89)
' х — Н ±te.	х — Н	'	' '
которая справедлива для бесконечно малого положительного е (см. ур.
(А.15д)). Отметим, что при t > 0 вклад G(x~) в интеграл в правой части со-
отношения (88) равен нулю. Более общие формулы, связывающие U(t) н
G(z), имеют вид
1)00
G (z) = - i e.iztU (0 dt, U (/) = — e~iztG (г) dz,
о	с
где т] — знак Im z, С — контур в комплексной плоскости z, идущей из оо -f- ге
в оо — 1е, по отношению к которому спектр И лежит слева. Эти формулы лег-
ко вывести в представлении, где оператор Н диагоналей.
*) Символ V. Р. означает, что интеграл с этим ядром понимается в смысле
главного значения. (Прим, перев.)
472
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Заметим, что
НгРк = PKHt = ЕКРК, [Qx, Я1] = О,
PKH"=H"QK,	QKH" = H"PK.
Из этих соотношений и операторного тождества
(Д - В)"1 = Л"1 + А~1В (А - В)~1
следуют равенства
1	=	____I___1__н"____?_=	гёИ
z - Н z- Hi Z-Н, г-Н
= —Ч~ 4-----Чг я" —Чг н-------Чг н" —Чг Н" —Чг1
z — Hi z — H\ z — H\ z~—H{ z — H\ z-H*
(93|
+ ТзЬг (A»’ 7^ H"PJ Р>-^ТТР>-»
(И
Формула (94) представляет собой соотношение между onepijg
торами, действующими в пространстве <8\, а именно
(г) = “В? П + W (г)],	(9|
где
Т(г) РКН" Н"Р,-PkH'Qk z-q~hq- QkH'Pk. (И|
Из уравнения (95) получаем	4
= z-EK-JP(z) ‘	(97j
Выражения (96), (97) и (91) представляют собой точньй
соотношения, которые могут служить основой для вычисления
Формулы (96) и (97) определяют и & (z) как функцш|
комплексной переменной z в плоскости с разрезом вдоль Henpft
рывного спектра Н. Нас будет интересовать поведение эти|
-функций в окрестности разреза. Используя соотношение (89£|
выпишем отдельно эрмитову и антиэрмитову части	т.ей
Г(х±) = Д(х)т|1Т(х),	(98]
Д (х) -PKH’v. Р.^-^-н’РК,	(94
r(x)^2nPKH'6(x-QKHQ))H'P}..	(100|
Отметим, что Г(х) —положительно определенный эрмитов опе^
ратор.	1
§ 13. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАСПАДАЮЩИХСЯ СОСТОЯНИЙ
47а
В дальнейшем будем предполагать, что собственное значе-
ние Ек оператора Но невырождено ').
По предположению система в начальный момент времени
/ = 0 находилась в состоянии ]Х>. Требуется определить состоя-
ние системы в момент времени t
|Т(0) = £7(0|Л)	(Ю1)
и, в частности, проекцию этого состояния на вектор | Х>.
Всюду ниже операторы <U (t), & (z), (z), A (x) и Г (x) можно
заменить их средними значениями по состоянию |Х> и рассма-
тривать как числовые функции своих аргументов. Определения
(90), (99) и (100) перейдут в
<U (t) s (Л | U (/) | Л), ^(z)^(A|G(z)|A),	(102)
А (х) (Л | H'v. Р. ( х -	) Я' | Л),	(103)
Г (х) = 2л (Л | Я'б (х - QkHQk) Н' | X),	(104)
а из уравнений (97) и (91) получаем
(х±) = [х - Ек - Л (х) ± | гТ (х)]"‘,	(105)
ОО
<?/(/) = A. J e~lxiF(x)dx,	(106)
— оо
где
F (х) i (^ (х+) - £ (х-)) =-----------------5-----.	(107)
(х-£х-Д(х))2 + ^Г(х)2
>) В большинстве случаев вырождение Ек связано с симметрией Но, кото-
рая не нарушается при добавлении взаимодействия Н'. Например, при радио-
активном распаде ядра со спином I вырождение кратности 2/ + 1 связано с
инвариантностью относительно вращений, которая сохраняется при включении
взаимодействия, ответственного за распад. Поскольку в этом случае^—не-
приводимое подпространство, а операторы JF’(z),	(z) и %l(t) инвариантны,
то эти операторы в пространстве пропорциональны единичному оператору
и их вычисление проводится точно так же, как и в невырожденном случае.
Все состояния из описывают один и тот же закон радиоактивного распада
с определенным временем жизни и сдвигом уровня.
С другой стороны, если эти условия симметрии не выполняются, то могут
возникнуть несколько времен жизни и несколько сдвигов. Эта ситуация имеет
место для первого возбужденного уровня атома водорода (см. обсуждение
лэмбовского сдвига в конце § XX. 27). В качестве другого примера укажем
Л°-мезон. Рассмотрение общего случая по существу можно провести аналогич-
но. Воспользовавшись тем же приближением для 97(1), получаем
<U (/) « ехр [- I (Ек + ТГ (В+)) <],
что является обобщением выражения (109). Вещественная и мнимая части
собственных значений неэрмитова оператора ТГ (Е^ ) определяют сдвиги и со-
ответствующие времена жизни.
474
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Рис. 26. Общий вид функции
Г (х). Заметим, что Г (х) — 0
при х < Еа + р.
До сих пор мы не пользовались какими-либо приближениями.
Для вычисления F(x) и будем предполагать взаимодей-
ствие слабым и в выражениях (103) и (104) оставим только
члены младшего порядка по Н'. Это сводится к замене Q^HQ*
на Но, после чего величины А(х) &
Г (х) легко вычисляются. Форма-.
Г(х) приведена на рис. 26. При до-
статочно малых А(х) и Г(х) функй
ция F(x) имеет четко выраженный
максимум около точки х = Е^,
наибольший вклад в интеграл (10(ф<
дает окрестность этой точки. Сле-
довательно, можно оценить этот ин*
теграл, подставляя вместо медленной
меняющихся функций А(х) и Г(х) их значения в точке х = Ек
Ь(ЕК)^6ЕК, Г(ЕК)^1\,	(108)
что сводится к замене функции F(х) (см. рис. 27) на функцию
(х-£х-6Дх)2 + |г2/
На рис. 27 для функций А и Г использовалась зависимость
от х, типичная для дипольных переходов
A(x)~const = 6£x,	(g = £x_£a_(1)
и следующие значения = 0,2, 1\/| — 0,1.
Ошибка при вычислении не превосходит величины
оо
\{F(x)-Fx(x)\dx.
— оо
При 1\ и 6Ек достаточно малых по сравнению с Ек — Еа — ц и
Еь — Е$ — р, вне области больших времен (/ l/Гл.) эта вели-
чина пренебрежимо мала относительно
После упомянутой выше замены интегрирование проводится
несложно и дает в результате
(/) ~ exp [- i (Ек + ЪЕК) t - j Г^].	(109)
Следовательно,
|<2/(/)|2==е~1Ч	(НО)
и мы получили экспоненциальный закон распада *).
') Более строгое рассмотрение приводит к наличию дополнительных не-
экспоненциальных членов в законе распада. Из работы: Н. С. Крылов,
В. А. Фок. ЖЭТФ 17, 93 (1947) — следует, что амплитуда распада полностью
определяется энергетическим спектром начального состояния. (Прим, перев.)
§ 13. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАСПАДАЮЩИХСЯ СОСТОЯНИЙ
475
Величина 1/Г\— время жизни — была сосчитана нами в § 12
(см. ур. (84), (85), (104) и (108)).
Как видно из формулы (109), взаимодействие Н' привело
к изменению временной зависимости для уровня X, а именно,
Рис. 27. Характерный вид функций F (х) и Ft (х). Функции Д и Г имеют
энергетическую зависимость, типичную для дипольных переходов:
Д (Ек + х) « const = Г(	—- = —У)3' •
На рисунке d£\/g = 0,2 и Г\/| = 0,1.
в показателе экспоненты к Ек добавилась комплексная энергия
Вещественная часть 5Ек представляет собственно сдвиг уровня,
и формула для нее аналогична формуле для сдвига уровня
стационарного состояния (см. ур. (71), (103) и (108)). Харак-
теризующая квазистацибнарное состояние мнимая часть равна,
с точностью до знака, полуширине уровня и отвечает за экспо-
ненциальный характер закона распада.
Вычислим другие компоненты состояния |Чг(0> в прибли-
жении слабой связи, когда отличны от нуля только проекции на
состояния, содержащие один и только один квант
|¥(/)> = <Щ/)И) + ЕЛу*(01*й>. (Ill)
Av*(0 = <vfe |Z7(0 1Л>.	(112)
Учитывая уравнения (92), имеем
<vfc | G (z) | Л) = (yk | (z - Hi)'1 H" | A) £ (z).
476
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Это точное уравнение. Приближение слабой связи состоит в за,
мене Н{ на Но в знаменателе, что дает
(yk | G (z) | X) = (yk | Н' | X) (z - co - Ev)-1 £ (z).
Зная приближенное значение матричного элемента G(z), полу*
чаем приближенное значение соответствующего матричного эл^й1
мента U(f). Для этого используется формула (88), интеграя
в которой можно взять по вычетам. Для достаточно больших д
главный вклад дает полюс на вещественной оси, и мы имеем
-/X/
(0 « (yk | Н' Iх)-----е------j-----	(Г/» 1).
х-£х-Л(х) + 4-/Г(х)
2	x-<o+Ev
Квадрат модуля этого выражения равен вероятности обнару-<
жить систему в состоянии (yk) при больших по сравнении!
с временем жизни значениях времен Л Квадрат модуля можнд
записать в виде
IM«>) |2 = |<vfe|//z|X)pjg+-^,
(П3|
где функция F(x) определена формулой (107). Квадрат модуля
|Ava(oo) |2, в силу указанных выше свойств функции F(x) (см^
рис. 27), близок к нулю вне окрестности точки со + Ev «
т. е. наблюдаемые переходы в основном сохраняют невозмущен^
ную энергию. Для таких переходов — в рассматриваемом здесй
примере это переходы с v = а и v = р — мы можем заменит^
F(x) на Fi(x). Таким образом, для переходов Х->-аЛ мы полу*
чаем формулу
I hak(oo) f =
I (afe I tf'|X> I2
(co+^-^-S^ + lr2 ‘
(ii4
Следовательно, распределение энергии квантов, испущенных!
в этом переходе, подчиняется закону Лоренца с шириной 1\
центром в точке Е-к + б£\ — £а, т. е. положение максимума рас«,
пределения совпадает с боровской частотой перехода при учете
сдвига 6Е%.
Таким образом, ширина линии испущенных в радиационном
переходе квантов равна величине, обратной к времени
жизни (в системе единиц, где h — 1), в соответствии с соотно’
шением неопределенности энергия — время.
Необходимо сделать несколько замечаний о применимости
полученных результатов.
Прежде всего при сравнении закона распределения (114)
с данными опыта необходимо указать, как можно эксперимеН'
§ 14. УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ
477
тально приготовить состояние |Х>. Мы вернемся к этому во-
просу в § 15.
Кроме этого, приведенное рассмотрение имеет довольно су-
щественные ограничения. Если воспользоваться численными ре-
зультатами § 11, то мы увидим, что является величиной
того же порядка, что и 6Еа, и, следовательно, значительно пре-
восходит расстояние между уровнями. Однако если обозначить
ЬЕ^} вклад, связанный с перенормировкой массы, то можно по-
казать, что разность
i>E'K = i>EK-6E™
является малой поправкой по сравнению с расстоянием между
уровнями. Это затруднение в точности совпадает с тем, которое
обсуждалось в § И, и приведенные там рассуждения можно
дословно повторить здесь.
Наконец, и это, очевидно, связано с приближением слабого
взаимодействия при вычислении амплитуд hvk, мы не учитывали
сдвиги уровней, на которые происходит переход, и a fortiori тот
факт, что некоторые из этих уровней из-за взаимодействия Н'
сами могут стать квазистационарными.
Для переходов на стационарные уровни или на уровни,
время жизни которых больше времени жизни начального со-
стояния, формула U14) корректна при учете упомянутых выше
эффектов. Если обозначить Е£\ ..., Е^°>, ... уровни, которые
получаются при замене в гамильтониане ЯчаСт параметра М на
экспериментально наблюдаемое значение массы, то корректная
формула запишется в виде
|<gfe | Я'| %>|г
I fa I2_________________________________________________
Vk К0РР (® +	< - £«» - б£')2 + -1- П
(Н4')
Результаты, вычисленные по этой формуле, находятся в отлич-
ном согласии с экспериментальными данными.
§ 14. Упругое рассеяние. Дисперсионная формула
В заключение этого раздела рассмотрим несколько простых
задач о столкновении.
Первой задачей будет вычисление сечения упругого рассея-
ния кванта поля на частице, находящейся в основном состоя-
нии. Пусть ki — волновой вектор налетающего кванта, a kf —
вектор той же длины, указывающий направление, в котором
квант наблюдается после столкновения. Таким образом, нас ин-
тересует процесс
i -* f a (akf) {akf).
478
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Положим
kt — kf = k, С0г = (Of == СО,
и обозначим Е начальную энергию системы
£ = со + Еа.	(115)
Общая формула для сечения имеет вид
dQ. 1 = падающий поток I Л -> f Р Pf (£)>	(116)
где — амплитуда перехода
=	(117)
Т-Я'+И'^4+ТГЯ'-	О»®)
Падающий поток равен произведению начальной скорости k/&
на плотность квантов в состоянии |aki), что с учетом принятой*
нормировки дает L~3k/<&. Величина pf(E) есть плотность конеч»;
ных состояний с энергией Е (см. ур. (49)). Таким образом, по-
лучаем
2npf (£)	L6®2
падающий поток	4л2 ’
da{	L6®2
-^	= T^-|7WP.	(119)
При этом мы неявно предполагали, что в рассматриваемом
случае применимы все основные формулы теории рассеяния.
Так, уравнения (116) и (118) совпадают с уравнениями
(XIX. 115) и (XIX. 144) соответственно. Незначительные отли-
чия связаны с выбором обозначений, системы единиц и условий
нормировки волновых функций, участвующих в определении
амплитуды перехода.
Однако использование этих формул в интересующем нас случае не сов-
сем корректно. При выводе формул предполагалось, что эволюция системы до
и после столкновения почти точно описывается гамильтонианом Но, а операто-
ром взаимодействия можно пренебречь. Такое предположение было оправдан-
ным в главах X и XIX, но оно не выполняется здесь.
Рассмотрим, например, состояние системы до столкновения. Частица на-
ходится в основном состоянии, а квант описывается волновым пакетом, кото-
рый движется по направлению к частице. Волновой пакет еще не достиг об-
ласти в окрестности начала координат, где находится частица. Следовательно,
на первый взгляд представляется, что ситуация не отличается от имеющейся
в обычной теории рассеяния: взаимодействие кванта с частицей пренебрежимо
мало, и движение кванта свободно. Однако оператором И' пренебречь нельзя,
поскольку частица, даже находясь достаточно далеко от налетающего кванта,
взаимодействует с полем. Поэтому ее начальное состояние не совпадает с соб-
ственным состоянием |ос) гамильтониана Нй, отвечающим энергии Еа, а яв-
ляется собственным состоянием | а) гамильтониана Н, Соответствующая со-
§ 14. УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ
479
стоянию 1й) энергия Еа + дЕа была вычислена в § 11, и состояние |й) сов-
падает с |а) только в пределе g ->0.
Точная теория должна учитывать отличие «физического состояния» |й),
от невозмущенного состояния |а). Если взаимодействие достаточно мало, то
это отличие в основном сводится к эффекту перенормировки массы, не влияя
на процесс рассеяния
В этом случае применимы обычные формулы теории рассеяния, но с заме-
ной массы М в определении невозмущенного гамильтониана на эксперимен-
тально измеряемую массу М + ЬМ.
Для вычисления сечения рассеяния будем рассматривать Н'
как возмущение, и заменим оператор Т борновским разложе-
нием (см. ур. (XIX. 143)). Так как амплитуда в первом по-
рядке равна нулю, то имеем
(akf \H'\akt) = 0,
и необходимо учитывать второй порядок по Н'. Амплитуду во
втором порядке обозначим
. в= (akf I Н' -s—i— Н' I ak Л =	(120)
\ fl E — Ha + ie \	4	'	'
= £ <a*f\H'(120')
n
Суммирование во второй строке происходит по всем базис-
ным векторам гамильтониана Но. Благодаря специфике опера-
тора Н' большинство слагаемых в сумме исчезает. Виртуальные
состояния, вклад которых отличен от нуля, можно разделить на
две категории:
(1) состояния без квантов |v>;
(ii) состояния	содержащие два кванта с импуль-
сами ki и kf соответственно.
Первые состояния отвечают переходам
(aki) -> (v) -> (akf),
в которых частица поглощает налетающий квант прежде, чем
испустит квант конечного состояния; вторые отвечают перехо-
дам
(aki) -+ (ykfkf) -> (akf),
в которых квант конечного состояния излучается прежде, чем
произойдет поглощение налетающего кванта.
Введя частоты Бора
ava = Ev — Еа (> 0),	(121)
’) В высших порядках необходимо учитывать модификацию взаимодей-
ствия между налетающим квантом и частицей, что связано с наличием окру-
жающих частицу виртуальных квантов. Эта модификация в существенном сво-
дится к изменению константы взаимодействия («перенормировка заряда»).
480
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
получаем
V
_ у ГIff' I v><v| аМ
Zu L ® — <ova
n99x
® + ®va	J" '	}
Воспользовавшись равенствами (69) и (70), в которых мы счи-
таем С (К) = 1 (что является обоснованным, если feCAf), на-
ходим
7(B) = L g- у Г_____Ь._________Ъ.___1	(123)
<-»f	2® Zj L ® — ®Va ® + ®va J ’	' Г
V
где
Jv = (а | e_;Af*| v) (v |e/A^| a),	(124)
x; = (a|e'*iR|v}(v|e"^|a).	(124')
Подстановка полученного выражения в правую часть формулы
(119) дает сечение рассеяния во втором порядке борновского
приближения
е
dQ. 16л2
У (	<
х (0 — (0-уц	® 4“ ®VCI
V
(125)
Каждое слагаемое в этой сумме отвечает вкладу одного из
упомянутых выше переходов. Этот вклад возрастает с умень-
шением разности энергии системы и энергии виртуального со-
стояния, которое соответствует этому переходу. При совпадении
этих энергий вклад становится бесконечно большим. Для каж-
дого перехода первой категории существует одно значение со,
когда промежуточное состояние может распасться на частицу
в основном состоянии и излученный квант.
При переходе энергии о через одно из таких критических
значений, например, £л(©Ло > р), знаменатель со — обра-
щается в нуль и меняет знак, слагаемое Хк/(ш— ©ха) неогра-
ниченно растет и выражение для сечения расходится. Борнов-
ское приближение в этой области становится неприменимым ')
‘) В длинноволновом пределе (k (/?)<!) имеем |	। «г (й (Т?))2. Обозна-
чив Д® = I Е —	| и сохранив только вклад главного члена, из выражения
(125) получаем
da ~ А й2 <7?)2 V
dQ ~ 16л2 к Д® 7
Согласно известному критерию (§ XIX. 7) борновское приближение не приме-
нимо, когда полное сечение является величиной одного порядка с геометриче-
§ 15. РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ
481
независимо от малости значения константы связи. В действи-
тельности, сечение остается конечным, но имеет в этой точке
четкий максимум. Как мы увидим ниже, здесь имеет место ре-
зонансное явление, аналогичное тому, которое исследовалось
нами в главе X (§ 14—16).
§ 15.	Резонансное рассеяние.
Образование метастабильного состояния
Для вычисления сечения упругого рассеяния в окрестности
одной из критических энергий, например Ек, вернемся к точ-
ному выражению для амплитуды перехода. Согласно определе-
ниям (117) и (118)
<л Т |/> =2 {f\H'\n} <п\Е_^+.е	(126)
п, п'
Борновское приближение состоит в замене в каждом члене
этого разложения точной функции Грина (Д — Н + ie)-1 на
функцию Грина (Е — До + is)-1 невозмущенного оператора
(см. ур. (120) и (120')). Если константа связи достаточно мала,
то такое приближение оправдано для всех слагаемых, за исклю-
чением члена с п = X и п' = X, для которого множитель
<Х| (Е — Но + ie)~11Х> неограниченно возрастает при стремле-
нии энергии к Ек. Обозначим слагаемое, характеризующее ре-
зонанс
Л(рез) (/| н, ।	+ Л) \Н'\i),	(127)
а остаток, связанный с потенциалом рассеяния, Д(пот), т. е.
<Л Т 11) = Л(рез) + Л(пот).	(128)
Для вычисления Д<пот> будем использовать борновское прибли-
жение. Полученное в результате выражение отличается от фор-
мулы (123) только отсутствием в сумме по состояниям v сла-
гаемого Хк/ — <Ща)- Остается вычислить величину Л(рез>.
ским сечением 4л (7?)2. Именно это имеет место в рассматриваемом случае,
поскольку
Используя численные значения, приведенные в § 11, мы видим, что это про-
исходит в очень узкой области порядка IO-4 D, которая, тем не менее, много
больше ширины Гд.
482
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Заменяя в выражении (127) матричные элементы опера»
тора Н' их точными значениями (см. ур. (69) и (124)), полуй
чаем	?
x<pe3>==L-3g2^^(£ + y	(129)
где & (Е+)— введенное в § 13 среднее значение функции Грина
^(£+)^<Х|£_:7;+.б |А>.	(130)
Подставляя выражение для этой функции,	вычисленное в § 13
(см. ур. (105)), в уравнение (129), находим
д(реэ) _ L 3g2 ________________Ах_________
2® Е - Ек - Д (£) + 1 /Г (£)
(131)
Это точный ответ для А(рез). Он отличается от борновского при-
ближения только наличием в знаменателе устраняющей сингу-
лярность комплексной добавки А (£) — у «Т (Е), свойства кото-
рой обсуждались в § 13. Заменяя Е на Е% (см. ур. (103), (104)’
и (108)), что, конечно, оправдано в приближении слабой связи,
поскольку зависимость этой добавки. от энергии в интересую-
щем нас интервале несущественна, имеем
д(рез) __ L У_______Ах_______
2ш E-EK-dEK + ±iI\ ’
(132)
Полученное выражение характеризует амплитуду рассеяния
ширины Гх, сосредоточенную в окрестности точки Ек + 6Ех-
Здесь можно повторить рассуждения главы X о рассеянии
резонансов и их связи с распадающимися состояниями. Кон-
кретизируя модель, легко получить выражения для амплитуды
рассеяния, дифференциального и полного сечений и времени
задержки прохождения рассеянной волны, которые практически
совпадают с приведенными в § X. 15 (при условии, что Л<пот>
можно опустить (см. задачу 4)). Упомянутый резонанс связан
с распадающимся состоянием |А>, свойства которого мы уже
обсуждали в §§ 12 и 13.
Для достаточно точного измерения сечения и, в частности,
для определения его характеристической зависимости от энер-
гии необходимо, чтобы неопределенность в энергии падающего
волнового пакета Ды была достаточно мала, а амплитуда рас-
сеяния оставалась практически постоянной в интервале энер-
гий Aw. В области резонанса это требование можно записать
так:
(133)
А® < Гх.
§ 16. РАДИАЦИОННЫЙ ЗАХВАТ
483
Тем самым, время столкновения 1/Да> должно быть значительно
больше времени жизни 1/Т\, а последнее и не наблюдается
в данном процессе.
Если же выполняется условие дополнительное к предыду-
щему
А® > Гх,	(134)
то можно изучить временную зависимость явления и обнару-
жить экспоненциальный закон распада, характерный для не-
стабильного состояния |Х>. Все это возможно в силу специаль-
ной формы амплитуды рассеяния в резонансной области (ур.
(132)) и может быть легко обосновано, если повторить вычис-
ления § X. 16.
Полученный результат является общим, он справедлив не
только для процесса рассеяния, но и для всех остальных столк-
новений. Любой резонанс, возникающий при столкновении и
характеризуемый энергией Е и шириной Г, соответствует ме-
тастабильному состоянию с той же энергией и с временем
жизни Й/Г, которое можно наблюдать при условиях экспери-
мента дополнительных к тем, при которых обычно наблюдают
резонанс *).
§ 16. Поглощение кванта (фотоэлектрический эффект).
Радиационный захват
До сих пор мы рассматривали задачи, в которых речь шла
о частице, находящейся только в связанных состояниях. В этом
параграфе мы исследуем процессы поглощения кванта и ра-
диационного захвата, в которых появляются состояния непре-
рывного спектра.
Будем предполагать, что limV(/?)=0 при /?->оо и, сле-
довательно, спектр подсистемы, содержащей частицу, состоит
из дискретного множества отрицательных энергий Еа, Ер, ...
..., Ei, ..., которым отвечают связанные состояния, и располо-
женного от 0 до оо непрерывного спектра, которому отвечает
’) Здесь мы встречаемся с дополнительными проявлениями одного и того
же свойства системы, поскольку они связаны с одной и той же характеристи-
кой резольвенты О (г). Последняя определяется равенством G (z) = (z — И)
на комплексной плоскости г с разрезом вдоль непрерывного спектра опера-
тора Н. Единственно допустимые сингулярности резольвенты на этой пло-
скости могут лежать на вещественной оси, они отвечают собственным значе-
ниям дискретного спектра оператора Н. Однако аналитическое продолжение
резольвенты на другой лист римановой поверхности может иметь дополни-
нительные сингулярности. Резонанс и квазистацнонарное состояние связаны
с такой характеристикой G(z), как полюс в точке z — Е — — /Г вблизи веще-
ственной оси на втором листе римановой поверхности в нижней полуплоско-
сти.
16*
484
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
континуум несвязанных ненормируемых состояний. Пусть
и — стационарные волны, соответствующие согласно опре-
делению § XIX. 2 волновому вектору q. Это собственные состоя-
ния оператора ЯчаСт, отвечающие собственному значению
л2
Е~~2М-	(135)
Их можно рассматривать и как собственные состояния гамиль-
тониана Но, задающие стационарные состояния рассеяния всей
системы в случае, когда не учитывается оператор взаимодей-
ствия. Мы будем обозначать соответствующие стационарные
состояния рассеяния при учете взаимодействия символами ¥<+>
И Т<->.
Предположим теперь, что частица, находясь в основном со-
стоянии, облучается потоком моноэнергетических квантов, дви-
гающихся со скоростью k/<£>. Если энергия падающих квантов
достаточно велика для того, чтобы «ионизировать атом», т. е.
если со > (—Еа), то может произойти поглощение кванта ча-
стицей и она приобретет кинетическую энергию Е, равную раз-
ности полученной энергии <о и энергии связи (—Еа)
Е = & + Еа.
В этом процессе мы узнаем фотоэлектрический эффект (§ 1.4).
Вычислим сечение поглощения кванта с импульсом k и ис-
пускания частицы в заданном направлении. Пусть вектор q за-
дает направление, а его длина связана с энергией Е соотноше-
нием (135). Таким образом, нас интересует процесс
/_>/== (aft) _>(<?).
Так же, как и в случае упругого рассеяния, будем пользоваться
формулами теории столкновений (здесь справедливы те же за-
мечания, что и в § 14). Следовательно, сечение рассеяния оп-
ределяется формулой (116) с тем же выражением для падаю-
щего потока, но pf(E) = Mq/(2л)3, а амплитуда перехода равна
(см. ур. (XIX. 122))
:	Г^^<?|7'|ай} = <ЧГ(г-)|н'|ай).
Если ограничиться низшим порядком по Н', то в этом мат-
ричном элементе состояние можно заменить на	(см.
ур. (XIX. 129, 130)). В результате получим
Tt^f« <4-> IН' | ай) = (Е-*ё212<1У! <4-) | eikR[ а)
и, следовательно,
У Я36»
§ 17. УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА — ЛОРЕНЦА
485
Таким же образом можно вычислить сечение обратного про-
цесса, когда частица, движущаяся с импульсом q, излучает
квант с импульсом k и оказывается захваченной потенциалом
!/(/?) в состояние а:
q—>ak.
В первом порядке по Н' находим
Это выражение можно вычислить непосредственно или получить
из предыдущего, воспользовавшись соотношением микрообра-
тимости (XIX. 190) для двух реакций q-^ctk и (fta) (—fc)-►
-> (—q), переходящих друг в друга при обращении времени.
Действительно,
(а | е-г*« 11 е-г*« {КI а».
Раздел III. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
§17. Уравнения классической теории Максвелла — Лоренца
В основе классической теории излучения лежат уравнения
Максвелла ’)
rot & 4-	dSfSIdt = 0,	(138а)
div^ = 0,	(1386)
rot	—	dSIdt = 4ns,	(139а)
div<F = 4ns°.	(1396)
Эти уравнения определяют электрическое и магнитное поля
& и <Ж при наличии распределенной плотности заряда 8° и
плотности тока s. Последние удовлетворяют уравнению непре-
рывности
div s + ds°ldt = 0,
которое следует из уравнений (139) и выражает закон сохра-
нения заряда.
Уравнения Максвелла должны быть дополнены уравнением
Лоренца, определяющим движение электрических зарядов в
электромагнитном поле. Согласно этому уравнению, плотность
инерциальных сил равна плотности электромагнитных сил
f = s°& + (sXW-	(140)
’) В отличие от случая скалярного поля мы не пользуемся здесь рацио-
нализованной системой единиц, как следствие этого в правых частях уравне-
ний (139) появляются множители 4л.
486
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Согласно классической теории электрона Лоренца матери»;
состоит исключительно из частиц с определенной массой и за»
рядом. Уравнение движения частицы получится, если в уравне-’
нии Лоренца перейти к пределу, когда заряд сосредоточен;
в бесконечно малом объеме. Рассмотрим, например, частицу,
массы т и заряда е. Обозначим через R, V и П координату, ско-
рость и механический импульс частицы (П = MV, где М есть.;
релятивистская масса, определение (XX. 20)). Плотности s° и s, i
точнее, вклад данной частицы в эти плотности, даются равен-
ствами
s° = ed(r-/?), s — eV6(r — R).	(141>
Действующая на частицу электромагнитная сила F равна ин-
тегралу от f по малой окрестности точки R. Из уравнения Ло-
ренца следует (см. ур. (XX. 21)):
dH/dt = F^e(^ + VX^).	(142>
Величины <8 и Ж в этом уравнении равны значениям электри-
ческого и магнитного поля в точке /?. Напомним, что
V s dR/dt = П/М = П/Vm2 + П2.	(143>
Уравнения (142) и (143) описывают движение частицы в при-
сутствии электромагнитного поля.
Все предыдущие уравнения и определения можно записать
в ковариантной форме. Величины <8 и Ж образуют в соответ-
ствии с определением (XX. 9) антисимметричный тензор F^
а $° и s образуют 4-вектор (s°, s). Уравнения Максвелла —-
Лоренца принимают вид1)
6*^/^ = 0,	(1387
d[1Fllv = 4nsv,	(1397
а уравнение непрерывности <5vsv = 0. Плотность силы f есть про-
странственная часть 4-вектора
f^F1"^.	(14О'>
Аналогично F dt есть пространственная часть 4-вектора eF^ dxVr
а П — пространственная часть определенного в § XX. 4 4-век-
') Вводя тензор, дуальный к электромагнитному:	=	урав-
нению (138') можно придать более простой вид
§ 18. ИНВАРИАНТНОСТЬ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
487
тора Пц = (М, П). Вводя собственное время частицы и ее
4-скорость, уравнение (142) и аналогичное уравнение для М
также можно записать в ковариантном виде.
§ 18.	Инвариантность и законы сохранения
классической теории
Релятивистская инвариантность классической теории ведет
к ряду законов сохранения. В этом параграфе мы подробно рас-
смотрим законы сохранения энергии и импульса и кратко упо-
мянем закон сохранения момента импульса и свойства симме-
трии относительно пространственного отражения и обращения
времени. Будем считать для простоты, что исследуемая система
состоит только из одной частицы (электрона); обобщение на
случай нескольких частиц очевидно.
Для того чтобы получить законы сохранения энергии и им-
пульса, покажем вначале, что определенный формулой (140)
4-вектор равен дивергенции некоторого тензора при условии,
что F^v удовлетворяет уравнениям Максвелла — Лоренца.
Используя уравнение (139'), получаем
Г s F“vsv = -L- F^ (d°/>) = ~ [d° (F^Fpv) - Fpv (dp/H]- (144)
Принимая во внимание антисимметрию тензора F и уравнение
(138'), имеем
Fpv (^UV) = у FPv + dvF*) = 1 Fpv (<^w) =
= j d* (F pVFpv) = 1 g^dp (F^FM).
Подставляя это выражение в правую часть формулы (144) и
вводя обозначение
- 4	 о 45>
приходим к нужному равенству
(146)
Величина называется тензором энергии — импульса. Выпи-
шем явно его компоненты
Т™ = - -^ («^ + Ж2),
Г*° = T0k = _ 1 [g,
=	_ _L	+	+1	.
488
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Энергия W0 и импульс W поля определяются как интегралы по
всему пространству
Г°е=-^- J(^ + ^)4Zr,	(147а)
П^((адИ,	(1476)
т. е.
= - ^T^dr.	(148)
A priori не очевидно, что Л^ есть 4-вектор. Однако, используя
законы сохранения энергии и импульса, это можно доказать.
Для доказательства законов сохранения энергии и импульса
запишем уравнение движения частицы в виде
—dr-
Это уравнение удовлетворяется независимо от области инте-
грирования V, в предположении, что эта область содержит
точку, в которой находится частица. Используя для р выраже-
ние (146), получаем
Второй интеграл можно преобразовать в интеграл по граничной
поверхности объема V. Будем теперь неограниченно увеличи-
вать объем V так, чтобы в пределе получилось все простран-
ство. Считая, а это в данном случае вполне оправдано, что
электромагнитное поле достаточно быстро убывает на бесконеч-
ности, заключаем, что интеграл по граничной поверхности стре-
мится к нулю и, учитывая определение (148), находим
(IF + 1FU) = 0.
Это обосновывает принятое выше определение энергии и им-
пульса поля и представляет собой закон сохранения энергии и
импульса всей системы как целого (частица + поле)
М + IF0 = const во времени,	(149а)
П + W — const во времени.	(1496)
Аналогичные рассуждения приводят к следующему закону
сохранения полного момента импульса:
(/? X П) +1 = const во времени,	(150)
§ 19. КЛАССИЧЕСКИЙ РАДИУС ЭЛЕКТРОНА
489
если для момента импульса поля использовать определение
I^^\[rX(&XW)]dr.	(151)
Если система состоит из нескольких частиц, то П и М нужно
заменить на суммы импульсов и релятивистских масс, а
(ЯХП) — на сумму моментов импульса. После такой замены
три закона сохранения—(149а), (1496) и (150) остаются вы-
полненными.
Рассмотрим отражения пространства и времени.
Уравнения движения инвариантны относительно пространственного отра-
жения (/->•/, г->—г), если заряд е является истинным скаляром, а напря-
женность поля Fuv — истинным тензором. В этом случае з° преобразуется как
скалярная функция, заданная в трехмерном пространстве, s и 8 — как поляр-
но-векторные поля, &Х — как аксиально-векторное поле; в частности, имеем
S (t, г) -> - S (t, - г), X(t, г) -> + Л? (t, - г).	(152)
Уравнения движения инвариантны при обращении времени (<->—?, г->г),
если заряд е считать скаляром, a Fv,'! — «псевдотензором». В этом случае ве-
личины s° и 8 не меняются, a s и X меняют знак
8 0, г) -> + 8 (- /, г), X (t, г) -> - X (- t, г).	(153)
§ 19. Собственная энергия и классический радиус электрона
На данной стадии нам следует напомнить о серьезной труд-
ности классической теории излучения. Во всех предыдущих рас-
суждениях предполагалось, что заряд каждой частицы сосредо-
точен в очень малом объеме, например, в сфере, радиус а кото-
рой стремится к нулю. В действительности, гипотеза о чисто
точечном заряде не является самосогласованной. Рассмотрим
изолированный электрон, расположенный в начале координат,
и вычислим энергию б/n создаваемого электроном поля. Эту
энергию обычно называют электростатической собственной
энергией. В соответствии с рассуждениями § 11, которые можно
повторить здесь без изменений, величина б/n является перенор-
мировкой массы, и экспериментально наблюдаемая масса равна
/Пэксп = m +
Поскольку электрическое поле в области (г > а) равно erjt3,
то из формулы (147а) получаем
* е2 С dr е2
от > -к— \ -т- =
8л J г 2а
и так как бт < /пэксп, то а > #12тзкса. Величина
гй = -^— («2,82- 10~13 см)
/Иэксп 4
490
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
называется классическим радиусом электрона. Таким образом,,
классический электрон имеет конечные размеры порядка г^
Однако теория не в состоянии объяснить его устойчивость и
a fortiori детали его внутренней структуры, т. е. распределение
зарядов и токов в области г < г0- Это связано с тем, что элек-
тромагнитные силы между отдельными составляющими элек-
трона являются в основном силами отталкивания, которые стре-
мятся развалить электрон. Для устойчивости их необходима
скомпенсировать связующими силами неэлектромагнитного про-
исхождения. Введение таких сил в релятивистской теории стал-
кивается с серьезными трудностями. В действительности до-
вольствуются какими-либо гипотезами ad hoc о внутренней
структуре электрона. Следовательно, естественно ожидать, чго
мы будем в состоянии правильно описывать только явления, за-
висимость которых от деталей внутренней структуры несуще-
ственна, т. е. явления, характерная длина которых достаточно
велика (X.	г0) ’)•
§ 20.	Электромагнитный потенциал. Выбор калибровки
Можно получить уравнения, которые эквивалентны, но
проще уравнений (138), если ввести векторный А и скалярный q>
потенциалы следующим образом (см. ур. (XX. 17)):
<%> = rotA, <S = — dA/dt — grad <p.	(154>
Уравнения (138) тогда выполняются автоматически, а уравне-
ния (139) эквивалентны следующим:
А — ДА + grad (ф + div А) — 4ns,	(155а>
ф — Д<р — -^-(ф + div А) == 4ns°.	(1556)
Уравнения (154) определяют А и ф только с точностью до
произвольной функции G(t, г). Эти уравнения не изменятся,
если сделать подстановку
А-*А —gradG, ф -> ф + dG/dt.	(156)
Такая замена называется калибровочным преобразованием (см.
§ XX. 20).
Приведенные соотношения можно записать в ковариантном
виде. Потенциалы А и ф образуют 4-вектор (см. ур (XX. 6));
в соответствии с уравнениями (154) ротор вектора Ди равен А**
’) В квантовой теории существует «ультрафиолетовая катастрофа» тога
же происхождения. Тем не менее не следует проводить аналогию между клас-
сической и квантовой теориями слишком далеко. Такие эффекты как рождение
пар заставляют считать радиус «квантового электрона» порядка h/mc, т. е.
в 137 раз больше гд.
§ 21. ПРОДОЛЬНАЯ И ПОПЕРЕЧНАЯ ЧАСТЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
491
(см. ур, (XX. 8)), последняя величина определяет Ди с точ-
ностью до градиента произвольной функции. Калибровочное
преобразование (156) и состоит в добавлении к потенциалу та-
кого градиента
Дц ->	4- d^G (G — произвольна). (157)
Уравнения (155) принимают вид
□ Ац - (dv Av) = 4лЛ	(158)
Не нарушая явной ковариантности теории, можно частично
устранить произвол в калибровке, потребовав, чтобы выполня-
лось дополнительное условие Лоренца
dvAv = Q.	(159)
В этом случае уравнение движения для потенциала примет бо-
лее простой вид
□ Ац = 4лЛ	(160)
Условие Лоренца фиксирует калибровку потенциала с точно-
стью до функции % — произвольного решения уравнения □%=0.
Другими словами, уравнения (159), (160) и определение поля
инвариантны относительно лоренцевых калибровочных пре-
образований, которые называют иногда специальными:
АЦ->АЦ + <5ЦХ>	(□Х = 0).	(161)
Простые уравнения движения можно также получить, если
потребовать выполнения условия
divA = 0.	(162)
В отличие от условия Лоренца оно нарушает явную кова-
риантность теории. Тем не менее, его преимущество состоит
в том, что полностью устраняется произвол в калибровке. Вве-
денная калибровка обычно называется радиационной калибров-
кой. Ее мы и будем использовать в дальнейшем. Прежде чем
начать изложение теории излучения в этой калибровке, полезно
напомнить важное свойство разложения векторных полей.
§ 21. Продольная и поперечная часть векторного поля
Любое вещественное или комплексное векторное поле В (г)
можно рассматривать как суперпозицию двух полей
В(г) = В|(г) + Вх(г),	(163)
одно из которых Вц — безвихревое, а другое Вх — поле с нуле-
вой дивергенцией. Получаем
rot Вц — 0, div Вц = div В,	(164)
divBj_ = 0, rotBx = rotB.	(165)
492
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Если ограничиться рассмотрением квадратично-интегрируемых
векторных полей, то такое разложение единственно '). По опре-
делению поля Вц и Bi представляют соответственно продоль-
ную часть и поперечную часть поля В. Справедливы соотноше-
ния
B^gradtZ, £/(r) = -^|ig^dr'(	(166)
Bx = rotV,	V(r) = -^$77^ dr'.	(167)
Такое разложение легко произвести, используя преобразова-
ние Фурье. Обозначим преобразования Фурье полей В, Bj. и Вц
соответственно Ь, Ь± и 6ц:
з Г
&(й) = (2л) 2 jB(r)e-^tZr,	(168)
(Л) —	...	etc.
Уравнения (164) и (165) эквивалентны следующим уравнениям:
ЛХ6ц = 0,	(Л&ц) = (Л&),
(£&х) = 0,	=
Проекция b вдоль вектора k равна Вп, отсюда название для
Ву — продольная часть* 2). Проекция Ь, перпендикулярная век-
тору fe, равна отсюда название для Вд. — поперечная часть.
Уравнения (166) и (167) эквивалентны соответственно уравне-
ниям
b\] — k(bk)/k2, bx-=k%(bXk)/k2.	(169)
Преобразование Фурье функции U (определение (166)) равно
и (k) = — I (bk)/k2.
[TV. В. Преобразование Фурье 1/г равно 'у/2л,/п!г2].
Говоря более общим образом, пространство квадратично-
интегрируемых векторных полей — пространство волновых функ-
ций частицы спина 1 — представимо в виде прямой суммы двух
ортогональных подпространств: пространства продольных полей
и пространства поперечных полей. Рассмотренное нами разло-
жение сводится к тому, что поле В можно записать в виде
суммы его проекций на эти дополнительные друг к другу под-
пространства.
’) Следует также считать квадратично интегрируемыми поля 2?ц и Bj_.
2) Не следует путать Вц с радиальной составляющей вектора В — проек-
цией В вдоль вектора г: Brad = г (В, г) /г2. Отметим, что радиальная состав-
ляющая чисто поперечного поля в общем случае отлична от нуля.
§ 21. ПРОДОЛЬНАЯ И ПОПЕРЕЧНАЯ ЧАСТЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
493
Проекции можно получить автоматически, выбирая подхо-
дящий базис. Пусть
£(», £(2), ....
полный ортонормированный набор продольных полей, а
Т(1), Т<2), ..., Т(т)
полный ортонормированный набор поперечных полей:
rot £<х> = 0, J	dr = du<,	(170а)
div T™ = 0, J (Т<х)*Т(т')) dr =	(1706)
X L*> (г) L«’ (г') + X Лх) (г)	(г')	=	6„б (г - г'). (170в)
х	т
(i, j = x, у, z)
Введем обозначения
р(М = J (£<х)‘в) dr, ₽(;> = J (WB) dr. (171)
Тогда имеем
Ву = Z	= Z	(172)
Использование преобразования Фурье позволяет выбрать
подходящий базис, состоящий из продольных и поперечных
плоских волн. Каждому волновому вектору отвечает продоль-
ное поле
Lw = (2n)-3/2fteiftr (k^k/k)	(173а)
и два ортогональных друг другу поперечных поля
Г(Ав> = (2л)~	(©= 1,2),	(1736)
где е(1) и е(2)— два произвольных единичных вектора1), орто-
гональных вектору k и друг другу:
(Jte(D) = (Jte<2)) = o,	(174а)
(e(i)-e(i)) = (8(2)*8(2>) = 1, (еФ’е®) = 0.	(1746)
’) Эти векторы не обязательно вещественные. По определению вектор на-
зывается вещественным, если вещественны его декартовы компоненты. Так,
вектор k — вещественный вектор. Скалярное произведение двух комплексных
векторов А и В определяется формулой
(А’В)« ЛХ+ЛХ + ЯХ.
494
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Компоненты вектора В в этом базисе (определение (171)).
связаны с векторами Ьц и равенствами
Ь. = ₽<.*%	= X PJ*0»»'11».	(175)
Плоские волны здесь зависят от непрерывного индекса k .и/
нормированы на б (k — k'). Для того чтобы иметь дело только-,
с дискретными индексами, применяют обычный прием. Систему-
помещают в куб со стороной L, тогда множитель (2л)_/’ в опре-
делении (173а, б) нужно заменить на Ь~1г.
Часто в качестве базиса выбираются также сферические/
волны. К этому вопросу мы еще вернемся в § 29.	?
§ 22. Исключение продольного поля
Среди уравнений Максвелла уравнения (1386) и (1396),’
строго говоря, не являются уравнениями движения, они пред-
ставляют собой накладываемые на поля & и Ж связи, которые
фиксируют продольные составляющие этих полей.
Из уравнения (1386) следует, что Ж^ — 0, а из уравнения^
(1396) следует, что ^(Z, г) есть электростатическое поле, со-
зданное распределением заряда $o(Z, г). Следовательно, для оп-
ределения динамического состояния системы достаточно задать
распределения зарядов и токов (т. е. координаты и скорости/
частиц) и поперечные поля Ж и <§. Таким образом, можно?
сформулировать теорию, полностью устранив продольную часть-
электромагнитного поля.	/
Вместо того, чтобы проводить такое исключение непосред-^
ственно, удобно ввести потенциал (<р, А) в радиационной ка-|
либровке (см. ур. (162)). Речь идет о простой замене перемен^
ных. По определению поле А — чисто поперечное	«
Д| = 0, А = А±.	(176)
Старые переменные выражаются через новые по формулам1
(154) или
#а = —gradtp,	(177)
Ж = rot A, &j. = -dA/dt.	(178).
Потенциал можно	найти	из уравнения	(156), которое в данном^
случае принимает	вид	f
А<р = —4ns°.	(179)/
Получаем	/□
ф(/, = dr'’ (18И
§ 22. ИСКЛЮЧЕНИЕ ПРОДОЛЬНОГО ПОЛЯ
495
откуда следует упоминавшееся выше выражение для <£| в тер-
минах s°. Для исключения потенциала <р из уравнения (155а)
достаточно переписать это уравнение отдельно для продольной
и поперечной составляющих. Первое из этих уравнений,
grad ф = 4л«ц,	(181>
выполняется тождественно, если потенциал определяется фор-
мулой (180)1).
Второе уравнение не зависит от <р и является уравнением
движения
A —AA = 4nsx.	(182)-
Остается исключить продольное поле из уравнений движе-
ния частиц (ур. (142), (143)), т. е. из выражения для силы Ло-
ренца, которая действует на каждую из частиц. Различные ве-
личины, связанные с частицами, будут обозначаться теми же-
символами, что и в § 17, и нумероваться индексами 1, 2, ...
..., п, ... . Так, вклад в плотность заряда частицы с номером
п равенх^ = елб(г — Рп), и уравнение (179) принимает вид
Дф = — 4л £ еп6 (г — Rn).	(183)
п
Решением этого уравнения является кулоновский потенциал
<p=Ee„/|r-l?„|.	(184).
п
Пусть Ft — сила Лоренца, действующая на частицу с номе-
ром г. Ее можно представить следующим образом
Fi = F/tr + F’iong.
F>r == et (#± (i) + Vt X Ж (0) = et (-	+ V X rot A (Z)) ,
(185>
2?iong ==,	(/) = grad ф (/),
где Si. (Z), Ж (Z), ... — значения полей SЖ, ... в точке Ri.
Подставляя выражение (184) в формулу для FJonS( мы оконча-
тельно исключаем продольное поле.
Однако такую подстановку нельзя произвести непосред-
ственно, поскольку потенциал ф расходится в точке Ri. Труд-
ность возникла оттого, что мы считаем заряды точечными. Ве-
’) Для справедливости этого равенства достаточно, чтобы были равны ди-
вергенции каждой из его частей: A<p = 4ndivs. Это уравнение следует и»
уравнения (179), если последнее продифференцировать по t и воспользоваться
уравнением непрерывности.
496
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
личина есть действующая на частицу i электростатическая
сила, порожденная всеми имеющимися зарядами. Обозначим
F'i вклад в Fl°ng со стороны заряда частицы i, a f Joul — вклад
со стороны всех остальных зарядов. Если частицы находятся
достаточно далеко друг от друга, то, вычисляя Ficoui, можно
считать заряды точечными, и мы получим
Z eien(Itt-Rn)l\Ri-RnF.	(186)
п ф i
При вычислении F'i гипотеза точечности заряда, очевидно,
неприменима. В действительности, при любом распределении
заряда внутри частицы i получим
г;=о.
Таким образом, на каждую частицу действуют сила Ло-
ренца, порожденная поперечным полем, и электростатическая
сила со стороны всех других частиц (ур. (186))
F/==F‘r + F=0U1.	(187)
§ 23. Энергия, импульс, момент импульса
Исключив продольное поле из уравнений движения, есте-
ственно исключить его и из законов сохранения энергии, им-
пульса и момента импульса.
Заменяя в выражении для энергии поля (ур. (147а)) <£ на
<9_l, мы получаем новое выражение, зависящее только от по-
перечных составляющих. Будем называть эту величину энер-
гией излучения U
t7 = J + Л2) dr.	(188)
Аналогичным образом определим импульс излучения X (см.
ур. (1476)) и момент импульса излучения G (см. ур. (151))
(189)
(190)
Величины U, X и G равны соответственно энергии, импульсу
и моменту импульса системы, когда отсутствуют заряды.
Эти величины можно представить в форме, аналогичной при-
веденной в разделе I для энергии, испульса и момента импульса
скалярного поля (см. § 4, 6 и 7). Заменяя в выражениях
(188) — (190) 3€ на го!Л, интегрируя несколько раз по частям
§ 23. ЭНЕРГИЯ, ИМПУЛЬС, МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
497
и истгользуя	тот факт, что	и А— поперечные	поля, исче-
зающие на бесконечности, получаем		
		(188')
		(189')
И	G = G(0' + G(s),	(190')
где		(191а)
	G(s,=-^$(^±X4)dr.	(1916)
При получении этих выражений удобно использовать методы и обозначе-
ния тензорного исчисления, в частности, полностью антисимметричный тензор
трехмерного эвклидова пространства ei/k (определение дано в сноске на
стр. 16) и тождество
Тогда
%2 = (rot А)2 = е
dAm dAm
tn tn
дхг dxt
eljkeklm — biftlm ^infill'
дА) дАт	дАт дАт
ijkeklm gX[ dxt	gXi gXi
dAt dAm
dxm dxl
5x7 \	)~^Am dx dx'
i \ tn /	mi
и поскольку A — поперечное поле, исчезающее на бесконечности, имеем
11	т
откуда следует уравнение (188'). Пользуясь аналогичным приемом, находим
{g± X %}i=8/й8А/Лх/ =
откуда следует уравнение (189'). Подобным образом,
(г X (8Х X %))t = i_m (eijkxj “gj2’') ~ ~gx~ {гЦкх1^UAk) + гцк&S.fAk,
X	fe z I
откуда следует уравнение (190') при условии, что G<°> и G(s) определяются
формулами (191а, б).
Поучительно сравнить полученные выражения с соответ-
ствующими формулами для скалярного поля. Рассмотрим, на-
пример, формулы (130) и (188') для энергии. Различия возни-
кают в силу того, что: (i) поле А — векторное; (ii) его масса
равна нулю; (iii) использованные здесь единицы отличаются от
498
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
принятых в разделе I множителем д/4л. В остальном выраже-
ние (188') является простым обобщением выражения (30),
если считать — как это подсказывает нам второе из урав-
нений (178) и что будет подтверждено в дальнейшем, канони-
чески сопряженным к полю А импульсом. То же можно сказать
о формулах (55) и (189') для импульса и для момента импульса
(ур. (61) и (190')). Векторный характер поля отчетливо про-
является в выражении для момента импульса, где кроме члена
G(0), который является простым обобщением выражения для
момента импульса скалярного поля, появляется дополнительное
слагаемое G(s). Величина G(0) представляет собой «орбитальный
момент импульса», a G(s) — «спин» поля ’).
Теперь мы можем исключить продольное поле из получен-
ных в § 18 выражений для полной энергии, полного импульса
и полного момента импульса системы, состоящей из электро-
магнитного поля и взаимодействующих с ним заряженных ча-
стиц.
Рассмотрим вначале полный импульс системы.
В соответствии с определением § 18 имеем
Ptot=Sn„ + IF= £П„ + Х + Х',	(192)
п	п
где
Заменяя «рц и Ж по формулам (177), (178), получаем
ё’ц X = — (grad <р X ^) = ф rot — rot (ф^?) =
= — Ф (АД) — rot (фЖ).
Интегрируя по частям и учитывая, что ф и А исчезают на
бесконечности, получаем
X' = — jj Ф (АД) dr = — J А (Аф) dr.
В силу уравнения (183) Аф равно сумме 6-функций, интегриро-
вание легко выполняется, в результате имеем
ЛГ' = Е епА (п),
п
’) В данном случае ситуация усложняется из-за условия поперечности.
Среди других следствий из него вытекает, что амплитуды поля А в каждой
точке пространства не являются независимыми динамическими переменными.
По этой же причине в задаче 5 получается специфическая форма коммута-
ционных соотношений, а векторные операторы G(0> и G<‘> по отдельности не
удовлетворяют коммутационным соотношениям, характеризующим момент им-
пульса.
$ 23. ЭНЕРГИЯ, ИМПУЛЬС. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
49»
где, как и ранее, А(п) = А(Лп). Подставляя найденное выра-
жение в формулу (192), приходим к определению импульса Рп
частицы с номером п *)
Р„^Пп + е„А(/г).	(193)
Выражение для полного импульса принимает вид суммы им-
пульсов частиц и импульса излучения
Р1о1=^Рп + Х.	(194)
п
Эта сумма является интегралом движения.
Поступая аналогичным образом с моментом импульса, при-
ходим к определению момента импульса Ln частицы п
Ln^RnXPn,	(195)
где Рп — определенный выше импульс. Вычисления приводят
к следующему выражению для полного момента импульса си-
стемы:
Jtot=Z Ln+G.	(196)
п
Наконец, рассмотрим полную энергию системы. Согласно
определению § 17 ее можно представить в виде
ZMn + U + U',
п
где
t/' = H7°-t/ = -±- J^dr.
Используя формулу (177) и интегрируя по частям, получаем
и'=4? $ <grad ф>2 dr =—ф <А<₽)dr>
где <р — порожденный зарядом электростатический потенциал.
Если считать заряды точечными, как это мы делали до настоя-
щего момента, то находим
и 2 LL\Rn~Rp\'
п р
) Напомним, что мы используем радиационную калибровку, в которой
поле А чисто поперечно. Мы получим определение, независящее от калибров-
ки, если положим
MV'AW-
500
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
В полученной двойной сумме «перекрестные члены» (п #= р)
отвечают кулоновской энергии взаимодействующих зарядов
Ясои! — 2 I	| •	(197>
п<р
(символ У, означает суммирование по всем парам частицД
\	п<р	J
Все члены с совпадающими индексами обращаются в беско-
нечность. Эта трудность имеет то же происхождение, что и
встретившаяся в конце § 22 при вычислении F\°ne. Слагаемое
с двумя индексами i представляет собой электростатическую-
энергию частицы i в собственном электрическом поле. Эта энер-
гия существенно зависит от распределения заряда внутри ча-
стицы и становится бесконечной в пределе, когда размеры ча-
стицы стремятся к нулю (см. § 19). Чтобы получить разумную
величину собственной энергии, следовало бы добавить в нее
вклад упоминавшихся в § 19 сил сцепления, что не было сде-
лано в данных вычислениях. Не имея последовательной теории
внутренней структуры частиц, мы будем считать, что при под-
ходящей модификации массы покоя mi эти члены «собственной
энергии» можно опустить. Тогда для полной энергии системы
получим следующее выражение:
£tot = £ „ М„ + Ясди1 + U.	(198}
Перед нами сумма энергий масс частиц, кулоновской энергии
частиц и энергии излучения.
§ 24.	Гамильтониан свободного электромагнитного поля
Полученные в § 22 уравнения движения можно представить
в каноническом виде. Рассмотрим вначале случай свободного-
излучения, т. е. электромагнитное поле без зарядов.
Динамическое состояние поля в каждый момент времени оп-
ределяется заданием поперечного векторного потенциала А и
его скорости dAfdt. Электрическое и магнитное поля связаны
с этими векторными полями формулами (178). Зависимость
от времени определяется уравнением (182), которое в случае
отсутствия зарядов принимает вид
□ А = Л —AA = 0	(divA = 0).	(199}
Получили то же уравнение, что и для свободного скалярного
поля (см. ур. (1)). Единственное отличие состоит в том, что
в данном случае мы имеем поперечное векторное поле и отсут-
ствует член с массой. В остальном канонический формализм
§ 24. ГАМИЛЬТОНИАН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	501
можно строить тем же способом, что и в разделе I для случая
скалярного поля. Пусть Т(1), Т(2).Т(т),	... — полный набор
ортонормированных поперечных полей (см. ур. (1706)), анало-
гичный определенному в § 21. Предположим далее, что этот на-
бор является базисом вещественных нормальных координат
(А + А\) Г(т) = 0.	(200>
Соответствующие нормальные координаты qx определяются со-
отношением (см. ур. (6))
qx=—t (T^A)dr.	(201)
-у4л J
Величины qx — вещественные функции времени, удовлетворяю-
щие уравнению для гармонического осциллятора с частотой kx
Qx + kxqx = Q.	(202)-
Такое движение порождается гамильтонианом hx
Л<=4(Р!. + ЭД.	(203)
где рх — импульс, канонически сопряженный qx. Импульс рх
равен qx и получается из «скорости» поля А по формуле
рх =	? (Т^А) dr.	(204)
-у 4 л J
Складывая гамильтонианы, отвечающие различным собствен-
ным частотам, получаем полный гамильтониан свободного из-
лучения
Htay=£xhx.	(205)
Множитель 1/V4n в определениях (201) и (204) возник как
следствие выбора единиц измерения электромагнитного поля ’).
Гамильтониан Нтау представляет собой энергию излучения,
выраженную в канонических переменных. Действительно, имеем
(см. ур. (178))	_
A=V4n Е<7ТГЧ	(2О6>-
#l = - V4^ X рхТ^.	(207)’
) См. первую сноску к § 17.
S02
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Из вещественности и ортонормированности множества Т(т) еле-
дует
j dr — 4л £ р2.	(208)
т
Кроме этого, поскольку — поперечные векторные поля, удо-
влетворяющие уравнению (200), то, интегрируя по частям,
имеем
J £ (УЛ,)2 dr = - $ £ Л, (АЛ,) dr = 4л £	(209)
i	i	X
Подставляя соотношения (208) и (209) в выражение для энер-
гии U (ур. (188)), находим
t
§ 25.	Гамильтониан излучения,
взаимодействующего с частицами
В общем случае можно взять в качестве канонических пере-
менных, с одной стороны, введенные в предыдущем параграфе
рх, которые описывают динамическое состояние излучения,
а с другой стороны, координаты Rn и импульсы Рп частиц. Им-
пульс Рп связан с механическим импульсом частицы соотноше-
нием (193).
Используя результаты § 22 (уравнение движения (182) и
уравнения для силы Лоренца (185)—(187)), легко получить
уравнения движения в новых переменных. В частности, урав-
нение (202) для свободного осциллятора перейдет в уравнение
Ях + kxQx = 4л Z еп (VnT^ (л)).	(210)
п
(Vn^Rn- Т™(п)^Т«> (/?„))
Полученным уравнениям можно придать канонический гамиль-
тонов вид с гамильтонианом
Н^Н (<7Т, рх, Rn, Рп) = Я + Нсои1 +%Нп,	(211)
п
где Ягау— гамильтониан свободного электромагнитного поля
(205), Ясош — кулоновский потенциал (197), Я„ — энергия ча-
стицы с номером п, выраженная в канонических переменных
”п^№ + (Л-епА(п))*,	(212)
А (л) = д/4^ Е qj™ (л).	(213)
X
Доказательство этого утверждения не составляет труда и
предоставляется читателю.
5 26. КВАНТОВАНИЕ СВОБОДНОГО ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
503
Раздел IV. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 26.	Квантование свободного поля излучения. Фотоны
И сказал Бог: «Да будет свет!» И был свет.
И увидел Бог, что свет хорош... Был день первый.
Квантовую теорию электромагнитного излучения можно по-
строить, исходя из классической теории и используя принцип
соответствия, так же как это было сделано в случае скалярного
поля.
В качестве исходного пункта мы выберем гамильтонов фор-
мализм, который был развит в §§24 и 25.
Рассмотрим вначале свободное излучение. Вещественным ди-
намическим переменным классической теории qx, рх соответ-
ствуют квантовые наблюдаемые, которые удовлетворяют кому-
тационным соотношениям (см. ур. (11))
Ях'] = (Рт, Рх'] = 0. [<7т. Рх'] = Яхх'-
Уравнения (203) и (205) определяют оператор Нгау — гамиль-
тониан, который описывает развитие системы с течением вре-
мени. Видно, что излучение, в согласии с законом Планка, пред-
ставляет собой суперпозицию квантовых осцилляторов.
Обсуждение, которое было проведено в § 3, можно повторить
и в данном случае, в частности, ту часть, которая касается кор-
пускулярной интерпретации. Кванты излучения называются фо-
тонами. С каждой модой т связан фотон, который характери-
зуется «волновой функцией» Г<т> и энергией kx. Фотоны подчи-
няются статистике Бозе — Эйнштейна, что находится в пре-
красном согласии с экспериментальными результатами, относя-
щимися к термодинамическим свойствам излучения (излучение
абсолютно черного тела и т. д.). Замечания в конце § 3 об энер-
гии вакуума и вакуумных флуктуациях поля можно повторить
без изменения и в этом случае.
Использованный метод не зависит от набора базисных век-
торных полей Т(х\ однако эти поля предполагались веществен-
ными. Можно привести такую формулировку метода, чтобы он
годился для комплексных полей Г(т) и дословно повторить рас-
суждения § 5 о квантовании с использованием комплексных по-
лей. Легко написать общие формулы, но мы здесь этого делать
не будем. Мы кратко обсудим разложение по сферическим вол-
нам и более детально — разложение по плоским волнам. Среди
возможных разложений последнее применяется чаще всего. Раз-
ложение по сферическим волнам удобно использовать в задачах
об излучении и поглощении квантов.
504
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 27.	Плоские волны. Импульс излучения
Квантование электромагнитного поля, использующее разло-
жение по плоским волнам, аналогично приведенному в § 6 кван-
тованию скалярного поля. В данном параграфе мы ограничимся
только наиболее важными формулами, отмечая в процессе из-
ложения отличие от случая скалярного поля.
Рассмотрим полный набор поперечных плосковолновых по-
лей. Для того чтобы иметь дело с дискретными индексами, бу-
дем рассматривать эти поля в кубе со стороной L и потребуем
выполнения обычных условий периодичности. Принадлежащее
этому набору поле определяется волновым вектором k
и квантовым числом и — параметризующим поляризацию
(<£» = 1, 2)
=	(214)
'Выражение для T(ka) из § 21 (ур. (1736)) отличается от дан-
ного только нормировкой. Векторы е(1) и в(2) удовлетворяют
уравнениям (174), которые определяют эти векторы с точ-
ностью до унитарного преобразования.
Сопоставим каждой плоской волне оператор уничтоже-
ния а(*Ш) и оператор рождения а^ау Поле А зададим разложе-
нием (см. ур. (46) и (206))
A-XS (2„/*)'4(O««t/“+4.>t/““”).	<215’
k а>
а поле й’а. (см. ур. (47) и (207)) — разложением
IS± - X £ I (2«4)’- (а„лим - аЬ,яим •).	(216)
k ш
Операторы а и удовлетворяют коммутационным соотноше-
ниям, характеризующим операторы рождения и уничтожения:
<W)] “ аОЫ)] = 0’ [а(йй>)>	=
Оператор числа фотонов, находящихся в состоянии есть
53 а(*й>)а(*ш)-	(218)
Гамильтониан электромагнитного поля, выбранный таким
образом, чтобы энергия вакуума была равна нулю, опреде-
ляется равенством
Ягау = ££^А	(219)
k а>
Оператор импульса X выражается через операторы и А по
формуле (189). Подставляя в эту формулу разложения (216)
и (215), получаем (задача 6)
X = £ £ N(k(i>}k.	(220)
k <0	'	'
§ 28. ПОЛЯРИЗАЦИЯ
505
Из приведенных выражений (219) и (220) видно, что фотон
в состоянии 17(*и) представляет собой частицу с импульсом k и
энергией k, т. е. частицу нулевой массы покоя с импульсом k.
Число состояний фотонов с импульсами, лежащими в интер-
вале (£, fc + бй), равно 2(L/2n)36fc. Множитель 2 возник в силу
линейной независимости состояний с различной поляризацией
при данном импульсе (<о = 1 или 2). Плотность рд(&) уровней
энергии k при заданных направлениях импульса Й и поляриза-
ции о (определение § 6) равна (см. ур. (49))
pL (6) = L3/z2/(2n)3.	(221)
§ 28.	Поляризация
Фотоны с одинаковым импульсом k могут иметь различную
поляризацию. В классической теории поляризация определяет
направление осцилляций поперечного электрического поля и
фиксируется (с точностью до фазы) вещественным или ком-
плексным единичным вектором, перпендикулярным направле-
нию распространения k. Такое определение поляризации без
труда переносится и на случай квантовой теории. Каждому зна-
чению импульса отвечают две линейно независимые поляриза-
ции е(1) и е<2) и любая другая возможная поляризация фотона
задается линейной комбинацией таких поляризаций1).
В качестве базиса можно выбрать две ортогональных линей-
ных поляризации, т. е. два вещественных вектора е(1) и 8(2). Эти
векторы можно выбрать таким образом, чтобы тройка 8(1), s(2>
и k образовывала орты правоориентированной декартовой си-
стемы координат, что фиксирует s(I) и s(2) с точностью до вра-
щений вокруг оси распространения
е(<0) = g(a)*( g(D X g(2) —
Используют также в качестве базиса круговые поляриза-
ции е(+> и е<-)	_	_
e(+)=_JV^-(8(i) + f8(2))> е(-> =	(£(1) __ г-£(2))_	(222)
Отметим, что е<+> = — е(_А Символом А будем обозначать ве-
личины, выраженные в этом базисе. Так можно определить опе-
раторы рождения и уничтожения a(k^ фотонов с круговой
поляризацией; соответствующая плоская волна равна
= L-’/.e(n)e«r (п = + иди
') Мы рассматриваем только чистые состояния, которые называют также
полностью поляризованными. Состояние частично поляризованное является
статистической смесью, оно определяется оператором плотности, действующим
в (двумерном) пространстве состояний поляризации.
506
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Интерес к круговой поляризации вызван следующим свой-
ством.
Фотон с круговой поляризацией имеет определенное значе-
ние момента импульса вдоль направления распространения, со-
ответствующая компонента момента импульса равна 4-1 или
— 1 в зависимости от поляризации (правой ц = -|- или левой
П = — )•
Для доказательства предположим, что излучение находится
в одном из состояний |ft±>, определяемых равенством
I k ±>s^±)l °>-
Такое состояние представляет фотон с импульсом k и правой
( + ) или левой (—) круговой поляризацией. Можно показать
(задача 8), что
(ft, Gl0)) |ft±> —0,	(223)
(ft, G(i>) | ft ±) = (± ft)| ft ±),	(224)
где векторные операторы G(0’ и G(s) определены равенствами
(191а) и (1916). Согласно уравнению (190) полный момент
импульса G равен сумме этих операторов. Обозначая компо-
ненту G вдоль вектора ft через Gk
Gk = (kG)/k
и используя предыдущие уравнения, получаем требуемый ре-
зультат
GJft±) = (± 1) |ft ±>. .
Это свойство характеризует частицу спина 1. Точнее, если
частица спина 1 имеет определенное значение импульса ft, то
компонента орбитального момента импульса вдоль ft исчезает,
а соответствующая компонента спина может принимать три
значения: 1, 0, —1. Однако в случае фотона продольные пло-
ские волны, отвечающие нулевому значению компоненты спина,
отсутствуют.
§ 29.	Разложение по мультиполям.
Фотоны с определенным моментом импульса и четностью
Кроме разложения по плоским волнам можно использовать
разложение по сферическим волнам, каждая из которых отве-
чает вполне определенному значению момента импульса и чет-
ности. Мы ограничимся тем, что приведем здесь основные фор-
мулы, опуская несложные доказательства.
Векторное поле В (г) можно рассматривать как трехкомпо-
нентную волновую функцию, определяющую динамическое со-
5 29. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО МУЛЬТИПОЛЯМ
507
стояние частицы спина 1. В представлении поля В посредством
компонент существует некоторый произвол. Например, можно
было бы задавать Вх, Ву, Вг, однако для нас предпочтительнее:
использовать стандартные компоненты
В+ = -^(Вх-1Ву), В0 = Вг, B_ = ^-(Bx + iB„).
Волновая функция зависит от координаты г и индекса ц„
который параметризует рассматриваемые компоненты (ц= +,
О, -)
ЧЧг, иМи(г).
Здесь можно отметить явную параллель между частицами спи-
на 1 и частицами спина 1/2 (см. §§ ХШ. 20—21).
Наблюдаемые для частицы спина 1 являются функциями ее
координаты г, импульса р и спина s. В используемом нами
представлении р = — iV матрицы компонент спина s+, s?, s_
определены уравнениями (ХШ.28), в которых следует считать
/ — j' = 1. Легко показать, что s2 = 2 — число, соответствую-
щее моменту, равному 1.
Орбитальный момент импульса I частицы определяется фор-
мулой
t = г х Р,
а полный момент / равен
/ = / + ».
Компоненты оператора / связаны с инфинитезимальными вра-
щениями векторного поля в соответствии с обычным определе-
нием оператора момента импульса.
Аналогичным образом определим оператор четности Р, дей-
ствие которого на поле В (г) соответствует преобразованию от-
ражения относительно начала координат ’)
РВ11(г) = — В (-г).
Построим полный набор векторных полей с заданным мо-
ментом импульса (jm), которые удовлетворяют волновому урав-
нению
(Д + £2)В(г) = 0.
Это эквивалентно отысканию набора общих собственных функ-
ций операторов р2, j2 и /г. Соответствующие собственные значе-
*) Мы предполагаем, что значениями поля В (г) являются полярные век-
торы. В результате появляется знак минус при пространственном отражении..
С точностью до знака четности все приводимые ниже свойства справедливы и
для аксиальных векторных или псевдовекторных полей (см. сноску в § XX. 11)»
508
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
ния обозначим А2, /(/+1) и т\ k может быть любым веще-
ственным числом от 0 до оо (спектр k можно сделать дискрет-
ным, рассматривая поле внутри сферы конечного радиуса /?),
/ может принимать любое целое значение от 0 до сю, т — целые
значения от —/ до +/.
Используя свойства сложения моментов импульса, можно
показать, что операторы р2, Z2, /2, /г образуют полный набор ком-
мутирующих наблюдаемых и каждой тройке (kjm) отвечают:
(i) если j 0, три линейно независимых состояния:
t = i + i, i, /-1;
(ii) если j = 0, то одно и только одно состояние с Z = 1. Эти
состояния имеют определенную четность Р = (—1)г+1.
Вместо классификации состояний (kjm) по возможным зна-
чениям Z, можно классифицировать их по свойствам попереч-
ности или продольности и четности. Поперечный или продоль-
ный характер поля связан с оператором (sp).
В используемом представлении имеем (ур. (XIII. 93))
(sp) = rot,
(sp)2 — р2 = grad div (= rot rot + Д).
Для продольного поля (sp)2 = 0, для поперечного поля
(sp)2— р2 = 0. Можно показать, что операторы р2, (sp)2, Р, j2
и jz образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых, и
каждой тройке (kjm) отвечают:
(i) если j =£= 0, три линейно независимых состояния
(sp)2 = 0,	k2,	k2,
p = (-W, (-1)', (-D/+1;
(ii) если j = 0, то одно и только одно состояние — четное и
продольное
(sp)2 = 0, Р = +1
(т. е. уже упоминавшееся р-состояние).
Для построения базисных функций будем использовать
функции Ukjm, которые были введены в § 7 при рассмотрении
скалярного поля. Константу в определении (60) будем считать
такой функцией k, что множество Ukim. образует полный орто-
нормированный набор скалярных функций. Каждому набору
(kjm) отвечает одно и только одно продольное состояние. Соот-
ветствующая базисная функция равна
^kim = grad uklm/k
(векторное поле четности (—1)0- Каждому набору (kjm),
исключая случай j — m = 0, отвечают два поперечных состоя-
§ 30. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С АТОМНОЙ СИСТЕМОЙ
509
мия противоположной четности. Соответствующие базисные
функции равны ')
= Z«wm/V777+T) (Р = (-1)/+1),	(225а)
0^ = VXW V/(/+l) (P = (-l/)-	(2256)
Отметим, что
0^ = го10$Л.
Множество полей 0ут (k меняется от 0 до оо; j = 1, 2, ...
..., оо; т = — /,..., +/; со = +, —) образует полный ортонор-
мированный набор поперечных полей, которые можно исполь-
зовать для разложений операторов А и
Д= £ (2Я/Л)'Ча^т0Йт + аШ0^],	(226)
fe, /, /Л, (0
др __ V zo«./,\V2 ; ГЛ®)	J*») +£к(®)*"1
&— 2^ (2Т1к)	(227)
fe. J. т, (0
Согласно принятой терминологии слагаемые 0^т в этих разло-
жениях отвечают электрическому 2!-польному вкладу, а сла-
гаемые 0ft7m — магнитному 21-польному вкладу. Все рас-
суждения § 27, где рассматривалось разложение по плоским
волнам, можно повторить здесь для разложения по мультипо-
лям. Операторы offim и а$т можно интерпретировать как опе-
раторы уничтожения и рождения фотонов с энергией k, момен-
том импульса (jm) и четностью (—1)/®. Спектры значений k,
т и <» уже приводились ранее, следует отметить только, что
не существует фотонов с нулевым моментом импульса.
§ 30.	Взаимодействие с атомной системой
И сказал Бог: «Да будут светила на
тверди небесной для отделения дня от
ночи...»
И увидел Бог, что это хорошо... Был
день четвертый.
Рассмотрим взаимодействие излучения с системой частиц.
Рассуждения будут подобны тем, которые проводились в случае
скалярного поля, и мы выделим здесь только наиболее суще-
ственные пункты.
) Четности этих функций отличаются знаком от тех, которые встречаются
в большинстве монографий (см., в частности Блатт и Вайскопф, loc. cit.). Это
связано с тем, что мы используем полярные векторные поля, в то время как
другие авторы используют аксиальные.
510
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Гамильтониан системы, с точностью до очевидных модифи-
каций, совпадает -с гамильтонианом классической теории (см.
ур. (211)). Упомянутые изменения связаны с динамическими
свойствами и спином рассматриваемых частиц. Мы ограни-
чимся случаем атомной системы, состоящей из Z электронов и
ядра с зарядом — Ze, где е — заряд электрона.
Предположим, что ядро отсутствует, и напишем гамильто-
ниан системы из Z электронов+ излучение. Такой гамильто-
ниан дается формулой (211), где Ягау соответствует свободному
излучению,. НСои\ — кулоновскому взаимодействию электронов
и Нп — гамильтониан Дирака для п-го электрона в поле А, т. е.
Яп = ап(Рп-еА(/г)) + Р„т,	(228)
матрицы Дирака ап и относятся к n-му электрону.
В нерелятивистском приближении, вычитая массу покоя из
Нп, получаем
(Я.)»,- 1',"7„Л1”>)! - ST(»«("))	(2»>
Отметим, что слагаемое в Нп (ур. (228)), описывающее взаи-
модействие электрона с излучением, имеет вид
H'n = -e\(jn(r)A(r))dr,	(230>
где /п(г) —дираковская плотность потока электронов в точке г,
т. е. (см. ур. (XX. 143))
/„(r)^an6(P„-r).	(231)
Величина ejn(r) есть плотность электрического тока для п-го
электрона. Подставляя в формулу (230) нерелятцвистское при-
ближение для jn (ур. (189), (190)), получаем оператор взаимо-
действия (Нп) nR в нерелятивистском приближении
(H'n)NIi^H^ + H^ + Hn,	(232)
Н"	+ (Л ™ Р"»’	(233а)
Я"П = -f 2Д-«Р" X А+ <Л<«) *Р"))1 = - 2^Г
Z'fl
(2336)
я:=2^л2(п).	(233в)
Таким образом, мы пришли к выражению для взаимодей-
ствия электрона с излучением, которое фигурирует в фор-
муле (229).
§ 30. взаимодействие с атомной системой
511
Наличие атомного ядра заставляет нас добавить к гамиль-
тониану оператор кулоновского взаимодействия ядра и Z элек-
тронов и гамильтониан, описывающий ядро в электромагнитном
поле. Последний гамильтониан состоит из двух слагаемых, со-
ответствующих кинетической энергии ядра и взаимодействию
с излучением1). В нерелятивистском приближении, когда ядро
предполагается бесконечно тяжелым, эти два слагаемых прене-
брежимо малы, и расположенное в начале координат ядро тре-
бует добавления к гамильтониану только Z кулоновских чле-
нов— Ze^IRn- В этом случае атом рассматривается как си-
стема, состоящая из Z электронов во внешнем кулоновском
потенциале — Ze2//?, которые взаимодействуют с электромаг-
нитным полем. Соответствующий гамильтониан имеет вид
Н = Нглу + На1 4- Н',	(234)
где //Гау — оператор энергии свободного излучения, //at — га-
мильтониан электронов во внешнем кулоновском поле ядра
с кулоновским взаимодействием между электронами и Н' —
оператор взаимодействия электронов атома с излучением. Опе-
ратор Н' равен сумме Z членов взаимодействия Нп (см. ур.
(230)). В дальнейшем мы будем использовать нерелятивистское
приближение, и, следовательно, Нп определяется формулами
(232) и (233), т. е.
//' = //“’ -j- //,И) + Н",	(235)
Х Н{п, //(Н)=Е /Л10, //"=£//"	(2359
п	п	rt	v
При исследовании такой системы обычно пользуются одним
из двух приближенных методов.
В первом методе электромагнитное поле считают классиче-
ским. Это предположение оправдано в тех случаях, когда обмен
энергией между атомом и полем столь велик по сравнению
с энергией каждого испущенного или поглощенного фотона, что
можно не учитывать дискретного характера этого обмена. Сле-
довательно, таким приближением можно пользоваться при боль-
ших интенсивностях и малых частотах, когда присутствует
много фотонов. В частности, метод годится для исследования
атома в статическом электромагнитном поле или в поле радио-
волнового диапазона. В этом случае электромагнитное поле
рассматривается как заданное, возможно, зависящее от времени
внешнее поле, и задача сводятся к исследованию атома во
внешнем поле.
*) Предполагается, что ядро может рассматриваться как точечный заряд.
Такое рассмотрение оправдано до тех пор, пока участвующие в анализе ча-
стоты малы по сравнению с энергией возбуждений ядра.
512
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
При втором методе оператор взаимодействия Н' рассматри-
вают как малое возмущение. Мы уже пользовались этим мето-
дом в случае скалярного поля.
Рассуждения § 10 здесь можно повторить почти дословно.
Невозмущенный гамильтониан имеет вид
Но = ЯГау 4" нat-
Для применения теории возмущений нужно использовать пред-
ставление, в котором оператор Но диагоналей. Воспользовав-
шись определенным в § 27 представлением плоских волн для
электромагнитного поля, мы определим базисные векторы На
как одновременные собственные векторы оператора /7at и опе-
раторов числа фотонов с заданным импульсом и поляриза-
цией
Матричные элементы Н' в этом представлении легко вычис-
лить, если использовать выражение этого оператора через опе-
раторы а(йш) и а+в). Подставляя разложение для А (215) в вы-
ражение (233), находим
н"}=—Е (S912	е‘кК +эрм- сопр •)»	<2зба>
Я» ° = “ 2^ X ()£) 12	Х + ЭРМ- СОПР-).	(2356)
S
2 X уЖГ ((<W(£8') е‘‘{k+k'}* + эрм. сопр.) +
+ (a+as, (eV) ег* + эрм. сопр.)). (237)
(Чтобы упростить запись, мы ввели обозначения s = (k(£>),
s' sa (k'®'), а векторы Rn, Pn, on, e<“>, e<“'> записали как R, P, o,
e, s'.) Полученные формулы и формулы (235), (235') дают тре-
буемое выражение для Н'.
Добавление к гамильтониану Но оператора взаимодействия
Н' приводит к сдвигу всех атомных уровней и делает все
уровни, за исключением основного состояния, нестабильными
(напомним, что масса фотона равна нулю). Эти эффекты можно
изучать в рамках теории возмущений. Однако несмотря на ма-
лость константы связи е (е2 ~ 1/137) здесь встречаются те же
трудности, что и в случае скалярного поля. В частности, как
следствие локальности взаимодействия Н' (см. ур. (230) и
(231)) возникает «ультрафиолетовая катастрофа». Эта труд-
ность устраняется из вычислений введением подходящего обре-
зающего параметра. По тем же причинам, что и выше, в каче-
стве такого параметра выбирают частоту порядка т. Мы уже
обсуждали вопросы, относящиеся к введению обрезающего па-
§ 31. ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА АТОМОМ. ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
513
раметра и к трудностям, которые связаны с необходимостью
перенормировки массы н заряда частиц. Весь материал раз-
дела II о сдвиге уровней и свойствах квазистационарных со-
стояний (время жизни, ширина линии, моды распада...) можно
без больших изменений перенести на случай взаимодействия
с электромагнитным полем1). Рассмотренные в разделе II за-
дачи о столкновении можно исследовать в случае излучения
теми же методами. Заканчивая эту главу, мы приведем два про-
стых примера применения квантовой теории излучения: вычис-
ление вероятности испускания фотона атомом и вычисление се-
чения комптоновского рассеяния в пределе низких частот.
§ 31. Излучение фотона атомом. Дипольное излучение
Рассмотрим атом, находящийся в одном из возбужденных
состояний |Х> с энергией £\. Такой атом может перейти в любое
из состояний |а>, |Р>, ... с энергиями Е$, ..., меньшими чем
Е%, и испустить при этом фотон, энергия которого равна разно-
сти энергий начального и конечного состояний.
Будем исследовать переход
где (1 — конечное состояние атома, k, s — импульс и поляриза-
ция испущенного фотона и
k = EK-Ell.	(238)
Вероятность перехода в единицу времени в первом по-
рядке теории возмущений дается формулой (см. § 12)
== 2л | (X | Я' | И*е> р (А3£2/(2л)3).	(239)
Как видно из уравнения (235), Н' является суммой трех сла-
гаемых. Вклад третьего члена Н" в интересующий нас матрич-
ный элемент исчезает2). Вклады первого и второго членов легко
>) Изменения связаны с тем, что фотоны представляют собой частицы
нулевой массы и спина 1. Тот факт, что масса фотона равна нулю, приводит
к дополнительным трудностям. Кроме «ультрафиолетовой» возникает «инфра-
красная катастрофа» — расходимость в области низких частот некоторых ин-
тегралов теории возмущений по заряду. Эти расходимости связаны непосред-
ственно с используемым методом и их можно избежать, если модифицировать
теорию возмущений. «Ультрафиолетовая катастрофа» представляет действи-
тельную трудность собственно теории, полностью удовлетворительного реше-
ния которой в настоящее время не существует.
2) Действуя на состояния, Н" либо сохраняет число фотонов, либо уве-
личивает или уменьшает это число на две единицы. Отметим, что Н" содер-
жит множителем е2, и, следовательно, при вычислении по теории возмущений
в первом порядке по е этот оператор можно не учитывать. При вычислении
сдвига уровней, который является эффектом второго порядка (см. § 11), вкла-
дом Н" нельзя пренебрегать. Его необходимо учитывать также при вычисле-
нии рассеяния фотонов (см. § 32).
1/о17 А. Мессия
514
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
вычислить, используя выражения (236). В результате имеем
=	(240а)
(Л |Я(П) | p/te) =	F(II),	(2406)
где
/•(,)^<Л|£(гР„)е^|р),	(241а)
F(II) (z | -1- £ (Cfe X <т„) eift/?n | р).	(2416)
п
Подставляя полученные выражения в формулу (239), оконча-
тельно находим
(242)
Для атомов вероятность перехода по порядку величины су-
щественно зависит от моментов импульса Д, jw и от четностей
Щ, Пц состояний | %>, | р> соответственно.
Если Д = /ц = 0, то вероятность перехода исчезает, по-
скольку матричные элементы и Я11’ тождественно равны
нулю (задача 10). Это — известное правило отбора 0->0. Оно
связано с тем, что не существует фотона с нулевым моментом
импульса (см. § 29).
Если Д или /ц отличны от нуля, то вероятность перехода
можно оценить, используя приближение больших длин волн.
Пусть R — длина порядка атомных размеров для обычных атом-
ных переходов
k e^R ~ те4,
так что
kR^e2^!.
Следовательно, величины (241) можно оценить, если заменить'
экспоненты первым, дающим неисчезающий вклад членом их'
ряда Тейлора. Порядок величины этого вклада в основном оп-
ределяется правилами отбора по моменту импульса и четности,
но вникать в эти детали мы здесь не будем '). При прочих рав-;
) Более естественным образом эти результаты получаются при использо-
вании разложения по мультиполям, а не по плоским волнам. В этом случае из
правил отбора следует, что большинство вкладов обращается в нуль, а остав-,
шиеся вклады легко оценить, заменяя мультипольные поля в первым членом
их разложения по степеням kr. Отметим (см. ур. (225)), что при kr 1
Подробное изложение этого метода с приложением к радиационным перехо-
дам в ядрах можно найти в книге: Д. Блатт, В. Вайскопф. Теоретическая
ядерная физика. М., ИЛ, 1954 (гл. XII).
§ 31. ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА АТОМОМ. ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
515-
ных условиях наибольшая вероятность перехода получается
для так называемых электрических дипольных переходов, когда
АП = ПаП11 = —1	(243)
(исключая + /ц = 0).
Далее следуют магнитные дипольные (А/1, АП = 1,	4-
,+ /ii¥=0) и электрические квадрупольные (А/2, АП = 1,.
А +/и ¥= 0 или 1) переходы, порядок величины которых в
(kR)~2 раз меньше электрических дипольных переходов.
Если выполнены условия для электрического дипольного из-
лучения (243), то мы можем записать
F(IWl£(eP„)| ц>,
п
f™ « 41 । £ {Rk х о । н>-
п
Грубая оценка этих матричных элементов
F(I)« 1/R, Fw af k2R, | F(II)/F(I) I « (kR)2 < 1
показывает, что слагаемое F(II) значительно меньше F(I) и им
можно пренебречь. Для вычисления Fm удобно ввести электри-
ческий дипольный момент электронов
D = eXKn.	(244)
п
(Это векторный оператор, который мы в §§ XIII. 33 и XVII. 3
обозначали Q(1) см. ур. (XVII. 35).)
Оператор D удовлетворяет уравнению
[D, Hat] = ieXPn/m.
п
Следовательно,
(ie/tn) (А | £ Рп | р) = (Л | (DHal - HaiD) | ц) =
п
= (£ц - Ек) (Л | D | р) = - k {К | D I И)„
откуда Л'* = ink (Л | (D е) | ц)/е и
(245>
Здесь удобно взять определенные магнитные квантовые
числа тк и т№ начального и конечного состояний и ввести в со-
ответствии с определением (XIII. 125) приведенный матричный
элемент <%||D|||i>. Если Dq есть q-я стандартная компонента
векторного оператора D, то согласно теореме Вигнера — Эк-
карта имеем
| Dq | ц/ц/Пц) = (2Д + l)-7’ </ц 1	| /Л/тгх) (А, || D || ц).
VJ7»
•516	ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Поскольку (eD) — У, EqDq, где sq (q = +, 0, —) есть стандарт-
q
ные компоненты вектора поляризации (определение (XIII. 94)),
то окончательно получаем
:®x->u4e = (fe3KXllDlln>lV2n)(’| у;е90и1/п1л^|/\/пх)|2/(2/\+ I))
(246)
'Если атом в начальном состоянии неполяризован и в конечном
состоянии поляризация не измеряется, то нам следует просум-
мировать по и усреднить по т^, т. е.
S 2/х + 1
ma, т,,
Л
Вычисления легко проделать, используя свойства симметрии и
«ортогональности коэффициентов Клебша — Гордана (см. ур.
(В. 13в) и (В. 14а)), в результате получим
\..&31 <лцг>|||л> р
6Л (2/л, + 1) •'
Как и следовало ожидать, это выражение не зависит ни от •на-
правления излучения, ни от поляризации испущенного фотона.
'Полная вероятность перехода X ->• ц в единицу времени поду-
щается после суммирования по двум состояниям поляризации и
.интегрирования по направлениям излучения, т. е. после умно-
.жения этого выражения на 8л
льз
(247)
§ 32. Комптоновское рассеяние при низких энергиях.
Формула Томсона
В качестве примера задачи рассеяния, отличной от приве-
денных в разделе II, но которая может быть решена теми же
•методами, рассмотрим комптоновское рассеяние (рассеяние фо-
тонов свободными электронами) ').
В начальном состоянии системы имеются электрон с импуль-
сом Pi и фотон с импульсом ki и поляризацией е<. Такое состоя-
ние представляется кет-вектором |i> =	Нас интересует
сечение рассеяния из начального состояния в конечное, которое'
содержит электрон и фотон с импульсами и поляризацией Pf,
kf, Ef соответственно. Конечное состояние обозначим |/> я-
^\Pfk;Ef). Энергия и импульс при рассеянии сохраняются.
) Для скалярного поля сечение рассеяния кванта поля на свободной ча-
 стице исчезает.
§ 32. КОМПТОНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ НИЗКИХ ЭНЕРГИЯХ
517
Для вычисления сечения рассеяния при всех энергиях элек-
трон следует рассматривать как частицу, удовлетворяющую
уравнению Дирака и взаимодействующую с излучением по за-
кону— eaA(R). В этом параграфе мы ограничимся рассмотре-
нием рассеяния в области малых частот ’).
Пусть в начальном состоянии электрон покоится (Pf = 0)
и энергия налетающего фотона достаточно мала, чтобы пере-
данная электрону в результате рассеяния энергия была мала
по сравнению с его массой
kt С т
(следовательно, kf лг ki, Pf яз kf). В этом случае можно ис-
пользовать нерелятивистское приближение для электрона и
в качестве гамильтониана системы взять оператор
Н = Н0 + Н',
где
Согласно формуле (235) Н' есть сумма трех слагаемых
//(io и у/", которые определяются уравнениями (236а), (2366)
и (237) соответственно.
Для вычисления сечения рассеяния воспользуемся форму-
лами теории рассеяния (глава XIX). Ясно, что все оговорки,
сделанные в аналогичной задаче из § 14, остаются в силе и
в данном случае. Мы не будем повторять их здесь, а предполо-
жим, как и в § 14, что формулы теории рассеяния применимы
при условии замены в этих формулах массы электрона т на
экспериментально измеряемую величину.
Непосредственное применение формализма теории рассеяния
сталкивается с дополнительной трудностью, которая связана
с невозможностью определить и отделить переменные центра
масс. Однако трудность эта только кажущаяся. Отделение дви-
жения центра масс играет в нерелятивистской теории столкно-
вений вспомогательную роль: в силу сохранения при столкнове-
нии полного импульса системы формулы становятся проще.
Можно сформулировать теорию рассеяния, не прибегая к отде-
лению движения центра масс, тогда закон сохранения импульса
будет фигурировать в формулах явно.
Мы воспользуемся здесь такой формулировкой. Единствен-
ное изменение связано с определением амплитуды перехода
*) В общем случае задачу можно решить таким же методом (см. Гейт-
лер, loc. cit.) и получить формулу Клейна — Нишины. Вычисления будут не-
сложными, но длинными. Их можно значительно сократить, если воспользо-
ваться ковариантной формулировкой квантовой теории излучения (см. Яух и
Рорлих, loc. cit.).
17 А. Мессиа
518
ГЛ. ХХГ. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Примем для Т формальное определение
т-н'+н'	н'.
Поскольку оператор Т инвариантен относительно трансляций,
то матричный элемент <f|T|i>.пропорционален б-функции, обес-
печивающей закон сохранения полного импульса. Амплитуда
перехода T^f определяется равенством
<f Iт 10 = (2л)3б (Pf + kf-Pt- kt) T^f. (248)
Множитель (2л)3 учитывает принятую нормировку плоских
волн
(Р | Р') = (2л)3 б (Р — Р').
При таких определениях сечение рассеяния дается общей фор-
мулой (XIX. 116).
Будем вычислять амплитуду перехода <f| T|i>, раскладывая
Т в ряд по степеням е и ограничиваясь только низшим нетри-
виальным порядком, т. е. е2:
+ <f I + tf(II)) J (Я<Г) + Я<и>) 1i) + О (?).	(249)
Из выражений (236a, б) и (237) видно, что каждое слагаемое
в правой части содержат множитель
J (pi+*/-pr*f)* dR = (2л)3 б (Pf + kf - Pi - k^.
Это и есть упоминавшийся выше множитель, выражающий за-
кон сохранения импульса. Используя выражение (237), полу-
чаем
(/1 К" I <> = =77 («W (	" «,	(250)
UlfiLj
где k — (kikf)'12- Поскольку мы интересуемся только областью ма-
лых частот, то членами порядка k/m по сравнению с единицей
пренебрегаем и можем считать
kt « kf « k.
Легко показать, что вклад второго слагаемого в правой ча-
сти уравнения (249) порядка k/tn по сравнению с вкладом пер-
вого слагаемого. Таким образом, в данном приближении
(в2 < 1, k < m) имеем
('?<)• <251>
§ 32. КОМПТОНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ НИЗКИХ ЭНЕРГИЯХ
519
Следовательно, сечение рассеяния (см. ур. (116)) равно
I Т„, f (L’SW) =-£ |( »>,) |’.	(252)
Чтобы получить сечение рассеяния неполяризованных фото-
нов, следует усреднить по двум возможным начальным поляри-
зациям и просуммировать по двум конечным поляризациям.
Вводя обозначение 0 для угла рассеяния фотона (cos 0 =
— (kikf)/k2), получаем
da,.f	1 r-ч da,_.f 1 е4	„	, _ ,
неполяр = "S' S ~dQ~ = Т 0 + C°S 6)-	(253>
‘i’ ‘f
Интегрируя по всем направлениям излучения, приходим к фор-
муле для полного сечения рассеяния фотонов
(254)
Эти результаты хорошо согласуются с экспериментальными на-
блюдениями.
Выражения (252) — (254) совпадают с теми, которые полу-
чаются в классической теории излучения1). В частности, для
полного сечения мы получили классическую формулу Томсона.
Такое совпадение результатов двух теорий убеждает нас в спра-
ведливости сказанного в § I. 5 о значении и пределах примени-
мости классической теории эффекта Комптона. Очевидно, что
классическая теория не может учесть корпускулярный характер
излучения и тот факт, что обмен импульсом и энергией между
излучением и электроном осуществляется посредством квантов.
Но эта теория правильно предсказывает целый ряд характе-
ристик, таких как среднее значение за единицу времени и на
единичный падающий поток переданного электрону импульса
(ур. (254)), угловое распределение и поляризацию рассеянного
излучения (ур. (252)), а также, при учете эффекта Допплера,
изменение длины волны рассеянного излучения (ур. (1.5) и
(I. 6)).
Полное совпадение результатов двух теорий происходит
только в пределе малых частот, когда длина волны электромаг-
нитного излучения \/k настолько велика, что процесс рассеяния
практически не зависит от внутренней структуры электрона.
Поскольку электрон является квантовым объектом, то его раз-
) В эти формулы не входит постоянная Планка Й. Каждая из формул
содержит множителем квадрат классичесного радиуса электрона r0 = eVmcV
Например, выражение (252) можно записать как rgCos2a, где а — угол ме-
жду направлениями начальной и конечной поляризаций (предполагается их
линейность).
17*
520
ГЛ. ХХГ. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
меры порядка 1/т, и эффекты, обусловленные его структурой ’),
по порядку величины равны k/m. В нерелятивистском пределе
они определяются вторым слагаемым в выражении (249). С ро-
стом энергии налетающего фотона квантовая природа элек-
трона проявляется все отчетливее, становится все более суще-
ственной для описания процесса рассеяния и наблюдаются рас-
тущие и ярко выраженные отклонения от предсказаний класси-
ческой теории.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1.	Пусть Ф(г)—вещественное скалярное поле, которое было введено в
разделе I, и мы хотим измерить интеграл от этой наблюдаемой по конечной
области. Точнее, рассмотрим интеграл
Ф
Ф (г) Р (г) dr,
от которой по
состоянию яв-
где Р(г)—вещественная неотрицательная функция, интеграл
всему пространству равен 1. Положим
ехр (inr) Р (г) dr (% (0) = 1).
Показать, что статистическое распределение Ф по вакуумному
ляется гауссовым и что
2 = С !%(*) I2 dK
J 16л3 (ц2 + X2)1/’
В частности, если весовая функция Р(г) сосредоточена в
области с ли-
нейными размерами а и ца 1, то ДФ » 1/а.
Рассмотреть эту же задачу для электромагнитного поля и показать, что
Д<ГХ« Д50 « 1/а2.'
2.	Показать, что определенная в § 11 поправка к массе 6М с точностью до
второго порядка дается выражением, стоящим в правой части уравнения (76).
3.	Рассмотрим задачу упругого рассеяния из § 14. Будем считать мишеиь
неполяризовэнной, и угол рассеяния обозначим 0: cos 0 = kikf/k2. Показать,
что во втором порядке борновского приближения и в длинноволновом пре-
деле (й(Р)	1) угловое распределение квантов при упругом рассеянии
пропорционально cos2 0 и сечение рассеяния стремится к нулю в пределе
k->~0 (это свойство характеризует скалярную связь).
4.	Рассмотрим резонансное рассеяние из § 15, используя введенные там
обозначения. Предположим, что момент импульса атомной системы в началь-
ном состоянии |а) равен нулю, а момент импульса резонансного состояния
|Л) равен Z. Показать, что если пренебречь вкладом А(пот), то амплитуда пере-
*) Такие эффекты в классической теории по порядку величины равны
ke2/m — отношению классического радиуса электрона к длине электромагнит-
ных волн.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
521
хода Т для процесса упругого рассеяния дается формулой
Г 2/4-1
Т
Pt (cos 6)--------------j----,
(E-EK-t>EK) + ±-lVK
где 0 — угол рассеяния, а ГЛ>а —вероятности радиационного перехода Л->-а
(см. ур. (82)). В качестве следствия получить формулу упругого рассеяния
rfael (2Z4-1)2 ,	Г?._
dQ. k2	4(Е-ЕК-ЪЕК)3 + Г2
Показать, что эти выражения являются простым обобщением тех, которые
были получены для резонансного рассеяния частицы на центральном потен-
циале (ур. (X. 64) и (X. 65)), и что приведенные в § X. 15 и X. 16 обсуждения
понятий резонанса и метастабильного состояния применимы и в этом случае.
5.	Пусть ДДг) и S’f(r') обозначают соответственно / и / компоненты по-
тенциала А (в радиационной калибровке) и поперечного электрического поля
Доказать, что выполняются коммутационные соотношения
[#I (г), А/ (г') ] =	(г — г'),
где
0Z/ (г - г') = ЬцЪ (г - Н - д ,  Г ——!-------—)
dxj \ 4л | г — г | /
(0П (г — г')—проектор на подпространство поперечных векторных полей).
6.	Вывести для полного импульса свободного электромагнитного поля
формулу (220).
7.	Показать, что для внутреннего момента импульса излучения G(I) спра-
ведлива формула
С”—< X <»->»«.-> хв«>
каю'
(обозначения § 27). В частности, если Nk+ и Nb_ — обозначают число право-
и левополяризов энных фотонов с импульсом k (см. ур. (222)), то имеем
к
8.	Доказать равенства (223) и (224).
9.	1° Пусть uLM (г) — скалярное поле, которое преобразуется при враще-
ниях как сферическая функция Y^ (0, <p), a V(r, р) — (полярный или аксиаль-
ный) вектор, построенный из векторов г и р. Показать, что векторное поле
VLM(r), определяемое равенством
ULM lf) V (г, - /V) uLM (г),
где V — действующий на функцию uLM оператор, задает состояние с моментом
импульса (LM).
522
ГЛ. XXI. КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
(В силу этого утверждения определенные в § 29 векторные поляЛА/т в
0^, задают состояния с моментом импульса (jm)).
2° Точно так же, как 3-компонентная волновая функция частицы спина 1
образует векторное поле, (2s 4-1)-компонентная волновая функция частиц»
целого спина s образует неприводимое тензорное поле порядка (2s 4- 1). Пусть
(г> Р) есть ц-компонента неприводимого тензора порядка s, построенного-
из векторов г и р. Показать, что тензорное поле ULM(r), g-компонента кото-
рого определена равенством
U^M(r) = X(us4r, -iV)uLM(r) (g = -s, .... 4-s),
задает состояние частицы спина з с моментом импульса (LM).
10.	Используя явные формулы для матричных элементов уравнений
(241а, б), показать, что вероятность излучения фотона обращается в нуль, если
спины начального и конечного состояний равны нулю (0->0 правила отбора).
(N. В. Это свойство становится очевидным, если вместо разложения по-
плоским волнам использовать разложение по мультиполям).
11.	Вычислить вероятность за единицу времени радиационного перехода
2р->- 1s в атоме водорода (ответ: Шгр-и = 6,25-10в сек-1).
12.	Показать, что в длинноволновом приближении вероятность магнитно-
дипольного радиационного перехода k->gfee (обозначения § 30) дается фор-
мулой (см. ур. (245))
ь
«’А->Шк. = -2^КЛ|[М(8ХЛ)11н>|а.
где М— полный магнитный момент атомной системы
i
(N. В. Эта формула дает правильный ответ для вероятности радиацион-
ного перехода, если АП = 4-1 и + если же + /^^2> то вклад
электрического квадрупольного момента отличен от нуля, и, вообще говоря,
им нельзя пренебречь).
Вывести отсюда, что вероятность полного магнитного дипольного пере-
хода дается формулой (см. ур. (247))
Показать, что для перехода 2s-»-ls в атоме водорода эта величина в нере-
лятивистском приближении исчезает (т. е., если использовать волновую функ-
цию теории Шредингера).
13.	Вычислить сечение фотоэлектрического эффекта на основном состоя-
нии атома водорода. Предположим, что me4 <S k т (т— масса электрона,
k — импульс налетающего фотона, Й = с = 1). Следовательно, переданная фо-
тоэлектрону энергия достаточно велика для того, чтобы его конечное состоя-
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
523
яие можно было считать плоской волной, а его скорость достаточно мала для
того, чтобы можно было рассматривать его как нерелятивистскую частицу.
Поскольку магнитное взаимодействие (член #<п>) дает пренебрежимо малый
вклад, то находим
da ..[»	. JL cos2 Ф
dQ *	\ k ) m2 (1 — b cos 6)4 ’
где <p, 0 обозначают соответственно углы между направлением излучения и
ааправлениями поляризации (линейной) и импульса налетающего фотона. Счи-
тая в этой формуле » = 0, получаем результат полуклассической теории (см.
задачу XVII. 2).
ДОПОЛНЕНИЕВ1)
КОЭФФИЦИЕНТЫ ВЕКТОРНОГО СЛОЖЕНИЯ
И МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИЯ
§ I. Момент импульса. Основные обозначения
и принятые соглашения
В данном приложении приняты следующие условные обозначения, отно-
сящиеся к моменту импульса.
Постоянная Планка:Й = 1.
Составляющие момента импульса: / — оператор момента им-
пульса, имеющий декартовы компоненты Jx, Jy, Jz
J±~ ^х^ Uy	(Ц
Коммутационные соотношения:
\Jx,Jy\—iJz> [Jy Jг] = Uх> [Jг, Jx\ — iJy,	(2}
[/?J±H±J±, [/+,/_]=2/г.	(3>
Базисные векторы в стандартном {/2/г} - представлении
|T/Af)
/2|т/Л/> = / (J +1)|т/М),	(4>
/2|тЛИ) = М |тЛИ>,	(5>
&М\т'1'М'}~Ъ„Лл.Ъмм.	(7>
(/ — целое или полуцелое число ^0, М ——J, —/+1, ..., +7). Буквой г
обозначены квантовые числа, которые следует добавить к J и М для того,,
чтобы получить полный набор; далее, там где это не ведет к недоразумению,
индекс т будет опущен.
Раздел I. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША — ГОР ДАНА (К. — Г.)
И «3/Ч-СИМВОЛЫ
§ 2. Определение и основные обозначения
Пусть /| и /2 — моменты импульсов квантовых систем 1 и 2 соответствен-
но, a J — момент импульса полной системы, составленный из систем 1 и 2,
	J == h + /2.	(8)
') Это Дополнение подготовлено в сотрудничестве с Дж. Горовицем. Для
более полного ознакомления с этими вопросами см. в первую очередь работу
А. Е. Эдмонс. Угловые моменты в квантовой механике (в сб.: «Деформация
атомных ядер», М., ИЛ, 1958), где приведены ссылки на основные работы. Ре-
комендуется также U. Fano, G. Racah. Irreducible tensorial sets, N. Y., Acade-
mic Press, 1959
ВЕКТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ И МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИИ
525
Тензорное произведение (2/i + 1) векторов системы 1
l/imi> (/i фиксировано, т! = —/1.....+	А)
с (2/а + 1) векторами системы 2
I /гш2) (/2 фиксировано, т2 = — /г.+ /г)
дает (2/j + 1) (2/2 + 1) собственных векторов операторов /р /|, /1г,
1| jitnt) | j2m2),	(9)
из которых мы можем получить посредством унитарного преобразования
(2/i + 1) (2/2 + 1) собственных векторов операторов/f, /2> А 1 г-
\idiJM)	(10)
(/ = | /, - /2 I./, + /2; M	+ J).
Определение. Коэффициенты Клебша — Гордана') или коэффициен-
ты векторного сложения
(/i/2mim2 17АГ>
являются коэффициентами унитарного преобразования
l/i/2/Af)= У,	щ)
Выбор фазового множителя2). Мы закончим определение век-
торов в (9) и (10), фиксируя их относительные фазовые множители следую-
щим образом:
(1) векторы |/imi>, |/2т2) и |/1/2/Л1) удовлетворяют соотношениям (6);
(ii) (J’hii(/i —	— вещественная величина (> 0);
«3/»-с имволы Вигнера3):
Ь 1	(12)
\mi т2 — MJ	у2/+ 1
') Для коэффициентов Клебша — Гордана в литературе используются
различные обозначения. Приведем основные:
(/i/2miffi21 hiiJM) (Е. Кондон, Т. Шортли. Теория атомных спектров.
М„ ИЛ, 1949).
C^flM} (Дж. Блатт, В. Вайскопф. Теоретическая ядерная фи-
зика. М., ИЛ, 1954).
П- Бигнер. Теория групп и ее применение в квантовой меха-
нике. М„ ИЛ, 1961).
2) Такой выбор используется большинством автором, в частности, Вигне-
ром, Кондоном и Шортли, Блаттом и Вайскопфом, loc. cit. и G. Racah. Phys.
Rev. 62, 437 (1942).
3) Рака (см. предыдущую ссылку) использует обозначение ,
V (abc, ару) (-1)а-4“й (а b	(а5ар | с -у).
\а р у/ -у2с-|- 1
526
ДОПОЛНЕНИЕ В
§ 3. Основные свойства коэффициентов К. — Г.
Вещественность:
(Jiitmitni I JM)* =	I JM).
Правила отбора:
(I) mi + m2 = M;
(И) I /1 — 7г К / < /1 + /г («неравенство треугольника»).
Если эти два соотношения не выполняются, то {jij2m.\m2\JM) = 0.
г.	~ fii	1з \
Симметрия: Символ I	I
\ffii т2 maJ
(i) инвариантен при циклической перестановке столбцов;
(ii) умножается на (—I)i,+A+A при перестановке двух столбцов;
(ш) умножается на (—1)А+А+/> при одновременном изменении знака
mi, т2, та.
Следствия:
</172^1^2 | ЛИ>=(—1)/,+Л ! {j2iim2mi\JM)=	(13а>
=	л/ f..±L(Jj2M - т21 jimi) =	(13б>
V	^/1 т 1
= (_1)А-/-т, д / 2J±1 <hJ _ miM ! j2mi} =	(13в>
V	^/2+1
= (-1)/1+/г_/<71/2 - mi - m21 / - Af).	(13r>
Соотношения ортогональности:
+Л +/2
X X <71/2«1/п2ИЛ1>(71/2т1"г2|ГЛ1,) = д//'йЛ!Л!',	<14a>
mi—/1 тг=-/г
(I 71 — /2 I < J < jl + /2; — J M J)
/1+/2	+/	f f
X X <7172«1"12|^{/17Х"12|/Л4) = 5т {d 5	(146>
/-1/1-Л1 м—j
(— 71 'C mi =C + 71! — ii 'C m2 + 7г)
+ /l	+/2	.	.	.	.	/
у	у	(h	12	/з\р	/2	1.	(15a>
m~.j, т^-1г\т1 m2 тз)\т1 m2 тз) 2/з + 1	3/3 33
/}+/» +Ь	.	.	.	.
Z Z <2'»+1C „X:	<156>
Л-1/1-Л1 Л13—it	\ 1	2	3/ \ i 2	3/
Соотношение для сферических функций:
(Q) У^(О)Г^(О) dQ =
Г (2/, + 1) (2Z2+ 1) (2/з+ DIT ГА h h\(h
= L	4л	J \0 0 0 / \mi
А /3 \
т2 т3)
(16>
ВЕКТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ И МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИИ
527
отсюда следует
£	£ [\iyfx
L = lh-l,l М--—L
X (GZ200 I L0)	| LM) YL <Q) =
(17a)
/1 + ^i
L=I /i-M
£ (-1)M
M = -L
' (2Zt + 1) (2<2 + 1)(2L+1)1T
4л	J X
v / h l2 \ (l\ l2 L \
0 Ojlm, m2 MJ
YZM(Q).
(176)
§ 4. Методы вычисления
Рекуррентные соотношения. Приведем соотношения между ко-
эффициентами К. — Г., аргументы которых отличаются на величины.’
(i)	ДУ = 0, ДМ = + 1
•\/У (У + 1) — М (Al + 1) </1/2/П 1/Т»2 I УМ) =
= V/i (/1 + 1) —ян (тх + 1) </1/2 mi + 1 т21} м + 1)4-
+ V/a (/2 + 1) — «2 (т2 + 1) </i/2 mitrii + 11J М + 1). (18)
(ii) ДУ = О, ДМ= - 1,
Vy (У 4- 1) — М (М — 1) (Jihmitni | JM) =
= V/i (/i + 1) — mi (mi — 1) </i/2 mi — 1 m21J M — 1) +
+ V/г (ii + 1)—m2(m2 — 1) </i/2m, m2 — 1 | У Л1 — 1). (19)
(iii) ДУ=± 1, ДМ = О,
A0(iij2mim2lJM) — A+(Jii2mim2 |У + 1 M) + A- (jij2mim21 У — Ш), (20)
где
Ло = mi — т2 + М Z2 ^2	+ 1)^ (М = «! + т2),
A+ = f(J+l), A- = f(J),
f („1_Ул-2 М2Г z'2 I)2 х1]	12
1(Х)-^Х м L 4х2 (2х — 1) (2х + 1) J •
Формула Рака:
(а 0 у) = (-1)а“Й~* 7Д(^)Х
X V(a + а)! (а — а)! (Ь + 0)! (Ь — ₽)! (с + у)! (с — у)! X
X У, (—1/ И (с — b + t + а)! (с — а + t — £)! (а + b — с — /)! X
t
X(a~t-a)l(b-t + fi)l]-1 (21)
(а + р + у = О, |а — & |<+=^а+&),
где
528
ДОПОЛНЕНИЕ В
Суммирование происходит по всем целым значениям I, для которых фак*
ториалы имеют смысл, т. е. для которых аргументы факториалов положи-
тельны или равны нулю (01 = 1). Число членов в этой сумме равно v + 1, где
v — наименьшее из девяти чисел:
adz а, b ± Р, с ± у,
а + Ь — с, Ь + с — а, с + а — Ъ.
§ 5.	Специальные значения и таблицы
Специальные значения
(i)	Если J и М принимают наибольшее значение, то
{iijaii/s I /1 + /» /1 + /2) = 1.
(ii)	Если одно из / равно нулю, то
(JOmO | jm) -1 или Р i 2 ) =	-
1	\ m — m 0 J	1
(iii)	mi — m3 — m3 “ 0:
если 11 + Z2 + Z3 нечетно, то
(J 0 o')-1	(23->
если 2p s li + Zj + Z3 четно, то
(о О2 0* ) = (“1)Р	(р - h)\ (р - Z2)l (р - Z8)i (23б>
(Zi, 1г, Z3 — целые числа ^0, удовлетворяющие неравенствам треугольника).
Специальные случаи формулы Рака. Следующие формулы,
а также те, которые получаются при использовании соотношений симметрии,
дают коэффициенты К. — Г. в специальных случаях:
(i) mi = ± /1, нли /из =» ± /г, или М = ± J:
(jiiitnimz | JJ) = <7'2/1 — т2 — nii 1J — !)=•
z	л /____________(2/ + 1)1 (/г +/г — /)!_______у.
у (ji + /2 + -Z +1)' (/ + /1 — /2)! U + /2 — /1)1
х х/ ('+”»>;; о*(/П1+т2=/). (24)
V (/1 — "11)1 (/2 — т3)\
(ii) одно из I есть сумма двух других:
если J = /1 + /2> то
</l/»"*l"»2 |ЛИ> =
л / (2/,)1 (2/2)1 л /	(/ + Л1)! (J - М)1
e/V (2Z)I Д/ (/! + "11)1 (71 — Ml)! (/2 + Иг)! (/2 — тг)1 ’
{JjtM — тг | jimi)=(—l)h~m‘ aJ * * (/i/2"ii"t2 I JM).	<26>
ВЕКТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ И МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИИ
529
Таблицы «3/» - с и м в о л о в. Таблицы I—IV дают выражения для
символа
( / 5 (/ + е) \
\ т ц (— т — ц) )
1	3
как функции / и т для значений з=0, —, 1,	2; О^е^з; О^ц^з.
Таблица I
_1_
Таблица Ф^ и Ф] ,
~~
Таблица II
Таблица Ф’ .
з = 0	®So«l
1 S= 2	2 2
S= 1	e = 0	e — 1
ц = 0	— 2m	- 72 (/ - tn + I)
|i=l	- 72 (/ - m)	1
Таблица III
з
Таблица Ф^
3 s~ 2	1 e~ 2	3 e~~ 2
1	/ — 3m	— 73(/ — m+ 1)
3 ^ = 2	— 73 (/' — m)	1
Таблица IV
Таблица Ф^е
s = 2	e = 0	e= 1	e = 2
ц = 0	2 [3m2-y(/+ 1)]		
		2m V6 (j—m + 1)	76 (/ — m + 2) (/ — m + 1)
ц=1	(2m + 1) 76 (/ — m)	2 (/ - 2m)	— 2 7/ — m + 1
|i = 2	76 (J — m) (/ —tn — 1)	- 2 7U - m}	1
530
ДОПОЛНЕНИЕ В
Используя эти выражения, а также соотношения симметрии, мы можем
просто вычислить любые из коэффициентов К. — Г., для которых одно из /
1	3
равно 0,1, -у илн 2.
В таблицах приведены значения функций Ф®е (jtn), которые определяют-
ся посредством соотношений
//	« (i + e)	. /	(2/ + e-s)!	(/+ m + р + е)1 s
\m Ц (— m — [x)7	' V (2/ + e + s+l)! (j + m)l ^e'
(27)
Раздел II. КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА И «6/»-СИМВОЛЫ
§ 6.	Определение и основные обозначения
Сложение трех моментов импульса. Пусть J — полный мо-
мент импульса системы, которая состоит из трех отдельных частей, обладаю-
щих моментами /, j', /" соответственно:
J=i + i' + i".
В (2/+ 1) (2/'+ 1) (2j" + 1)-мерном пространстве, натянутом на векторы
\тт'т") = \jm) \j'm')\j"m") (j, j', /" — заданы; т, т', т" — переменные),
подпространство момента (JM) обычно имеет размерность, большую единицы
(2/ и 2М— целые числа, четные или нечетные в зависимости от числа 2(/-f-
Н-/' + /"); min|/±/'±j"| </</ + /' + /"; М ^+/).
j
«)	= g’>
Рис. 28. J — j + j' + j*. Различные схемы сложения.

Следующие две схемы сложения дают конструкцию двух, вообще говоря,
различных систем базисных векторов из этого подпространства1):
а)	/' + / — g', g' + j" — J (рис. 28, а) — векторы | (/'/) g', j"-, JM)
I (i'i) g’> i"i JM)= У | mm'm") (j'jm'm I g'p.') (g'j"v-'m" |ZM).
min'm"
Ц'
6)	j + i" = g", i' + g"^=J (рис. 28, б) — векторы If, (jj") g"; JM)
I i', (П") g"’> JM) •=> У I m;n'm")(jj"mm" | g"p") (j'g"m'i>." | JM).
mm'm"
Можно перейти от одной системы к другой с помощью некоторого уни-
тарного преобразования.
Определение «6/>-с имво лов Вигнера < ‘
______________ I. J1 Jt Jz
’) Здесь важен порядок, в котором складываются различные векторы.
При изменении порядка, например, векторов j и /" при сложении по схеме (aj
изменяется знак результирующего вектора.
ВЕКТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ И МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИЙ
531
Эти символы связаны с коэффициентами упомянутого унитарного преоб-
разования посредством соотношений
</'. (1П g"', JM I (/'/) g', j"-. J'M') =
= M»V(2«' + 1) (2g" + 1) (-1)^'+/"+' j (28)
I (/'/) g', i"\ JM) = £ | (//") g"; JM) X
g"
X V(2g' + 1) (2g" + 1) (- \)l+i'+i"+J j ^},	(29)
^-коэффициенты Рака1)- Рака использовал коэффициенты IF,
которые совпадают с «6/»-символами с точностью до знака:
’г !3) = (-П/1+/!+/,+/2«? (H/Wu /з/з).	(30)
Ji Jt Js)
Присоединенные коэффициенты. В выражениях для угловых
распределений иногда встречаются коэффициенты Z(LJL'J'; /X) и Fх (LL'J\Jt),
для которых имеются подробные таблицы и которые определяются соотноше-
ниями:
/+/' + 4- (б'-б+л)
Z(LJL'J'-, Д) = (-1)	2	X
X V(2L + 1) (2L' + 1) (27 + 1) (21' + 1) (2Х + 1) ( J J ) { L'j *}.
(31а)
^(LL'/1/2) = (-1)/‘+/’.-1 X
X V(2L + 1) (21/ + I) (2Ja + 1) (2Л + D ( f	д}- (316>
Коэффициенты (LL'JjJi) используются главным образом в тех случаях,
когда в результате реакции появляются частицы со спином 1 и не регистри-
руется поляризация.
Присоединенный тетраэдр для
«6/» - символов. Чтобы избежать путаницы
при обращении с lF-коэффициентами и «6/»-сим-
волами, удобно связать с каждым символом
некоторый тетраэдр, каждое ребро
которого представляет один из шести моментов
импульса, входящих в этот символ (рис. 29).
В этом представлении каждая пара противолежа-
щих ребер ассоциируется с двумя моментами
данного столбца, а три момента первой строки
соответствуют ребрам одной из граней тетраэдра.
Кроме того, каждая грань соответствует трем моментам импульса, один из
которых получен с помощью векторного сложения двух других, как это
следует из определения «6/»-символов.
7
Рис. 29. Тетраэдр, ассо-
циированный с символом
Г /' ! g' 1
J g"J’
Г/ / g
Ъ" J g"
’) Racah, loc. cit. Знаковый множитель исчезает из двух предыдущих со-
отношений при подстановке W вместо «бр-символев. Однако <6/»-символы
имеют более простые соотношения симметрии (см. § 7).
532
ДОПОЛНЕНИЕ В
§ 7. Основные свойства «6/»-символов
Вещественность. Все «6/»-символы вещественны.
Правила отбора. Для того чтобы
{/i й /з \ , п
Л /2 /зГ°’
три момента импульса, составляющие каждую грань тетраэдра, должны быть
таковы, чтобы каждой из них был векторной суммой двух других. Иными
словами, необходимо, чтобы элементы каждой тройки
(/j/a/з)» (/1/2/3), Uilt-Ii), (/1/2/3):
(i) удовлетворяли неравенствам треугольника;
(ii) имели целочисленную сумму
(А/. В. Отметим, что каждое из шести j — целое, или три j одной и той же
грани — целые, или же два /, соответствующие противоположным ребрам, —
целые числа.)
Соотношение симметрии. «бр-символы инвариантны:
(i) относительно перестановки столбцов, т. е.
/1	Й	/з 1	_ ( /*2	/1	/з 1 .
/1	/2	/3 J 1/2	/1	/з J ’
(ii) относительно перестановки двух элементов первой строки с двумя со-
ответствующими элементами второй строки, т. е.
/1	й	й 1( /‘	й	/»1
/1	/2	/ 3 J	1/1	/2	/3 J
Иначе говоря, для задания «6/»-символа достаточно задать шесть момен-
тов импульса и их относительное расположение на" присоединенном тетра-
эдре.
Основные соотношения между «6/> - символами и ко-
эффициентами К.—Г. Следующие соотношения связывают символ
{? г г с коэффициентами К. — Г., которые составлены из троек
/t /2 /з J
(/1/2/3), (/1/2/3), (/1/2/3), (/1/2/3), соответствующих четырем граням присоеди-
ненного тетраэдра:
(	|^/1Т^1’Г-'ЗТ/Н1’Г/П2Т^ИЗ
МММ.
Y (h h i» \ ( /2 /з
24 k Mi - м2 т3 ) к М3 -М3
/1W/3	/1 Й\р1 й /з
mi ) кЛ18 — Af1 т3 J \ ffij т2 т^
.	.	1 Г /1 й /з 1
°/з/зот3тз 2/s + 1 U, /, J, f 
(Л/. В. Фактически суммирование сводится к суммированию по двум ин-
дексам, поскольку Мит связаны.)
Е, ,\/i+/i+A+Af 1 -FAfz+Af3 f /1	/2	/3 \	/1 \
’	\Mt -M2 m3 )\M2 -M3 mt J
у С Й	/1 Й A = f /1 /2	/3 \ f/1 /2 /з!	(33)
24 kM8 —Mimt) k/»i m3 m3)\ji Jt Jt)'
ВЕКТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ И МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИИ
533
(N.B. Здесь индекс суммирования только один.)
n/.+A-mi-M.f Л	1з\(1з it	—
м '	'	k mi М2 — Л13 7 кЛ13 т2 —Mi)
-z®+< !: £}U. -i)(i _«:)• <«>
/1ГП1
(N.B. Суммы по Мз и т3 имеют всего лишь одно слагаемое.)
Соотношения Рака —Эллиота и соотношение ортого-
нальности:
£(- 1)2х(2х+1){“
X
£(- 1)О+&+х (2х+1){“
< ’}{«
X
£(-l)f+g+*(2x + l){“
X	4
6 4=1
ь ii ’
ba *}=5f,V(2a+ 1)(2& + 1) ,
d х 1	.	1
b g J “ fg 2f + 1 ’
b (c d xj (a d f)
d fJli a g ) I & c gf
^a+b+c+d+e+f+g+h+x+Z ^x I 1) fa & * I f c XI
led gile j hf
fe f x)	fgf h i\(g h. П
•** I b a j)	le a d) \f b c )'
§ 8. Формула Рака, таблицы
Формула Рака:
г* I* П=[д (/•/’/»)д (/^з)д д (w»)i2 х
/1 /а *3 J	.
v У (- 1/ (Г + 1)!
А (Г> /ь /а> is, Ji, /г, /з) ’
(35а)
(356)
(35в)
(35г)
(35д)
(36)
где
A (t, h, ../,) = (Г — /t — /г - /з)! (t - /| - Л - /з)! X
X (Г — — /2 — /з)! (Г — /1—А — /з)! (/1 + /2 + /1 + Л — О! X
X (/2 + /з + Jt + /3 — Г)! (/3 + /i + Js + Л — 0|
Определение Д(а5с) и соглашение о суммировании то же самое, что и
в формуле (22). Число слагаемых в У, равно 1 + а, где а — наименьшее из
t
двенадцати чисел:
/1 + It — /з.
it + /з — /1.
/з + /1 — /2.
/1 + /2 — /3,
/2 + /з — /1,
/3 + /1 — ^2.
Л + /2 — Л,
jt + Л — /1,
Л + Л — jt,
/1 + /2 — /з>
It + /з — /ь
/з + Ii — 1ъ
534
ДОПОЛНЕНИЕ В
Специальные случаи-
(i)	одно из j равно нулю
Р 0 ) = (- i)/+/+g д/гй/г  (|/• - / Кg</• + /);	(37>
U J g)	+ 1) (2/ + 1)	S4'	’
(ii)	одно из / равноу
/+4
'+I
1
2
1
2
/
J
i+g+1+J ГО + g + / ~~ /) О + g ~ / + /) Тт~
1(2/+ 1) (2/+ 2) (27 + 1)(27 + 2)J
(38)
(l/-/|<g</ + /);
.	_£ И	,
*	2	2 _ ( .\1+)?+/+/Г 0 ~ g + / +/) (2 + g + / + 7) ~|Т
/ + _L j	gj	L (2/+ 1) (2/+ 2) (2/+ 1) (27 + 2) J
(39)
(I/-/I<g</ + /).
Раздел III. «9/»-СИМВОЛЫ
§ 9.	Определение и основные свойства
Сложение четырех моментов импульса и определе-
ние «9/» -символа. Пусть полный момент импульса 7 относится к систе-
ме, составленной из четырех отдельных систем, моменты которых соответст-
венно равны /1, /2, /з, ji".
1 = /i + h + /з + /<•
4
В JJ (2/i + 1)-мерном пространстве, натянутом на векторы
7 = 1
4
| /П1Дг2тзШ4>^]Г[ | iimi)
1=1
Ui — const, mt меняются),
следующие две схемы сложения ведут к двум различным системам базисных
векторов подпространства с моментом импульса (7Л4):
a)	/i + js==/i2> /з+ /4 — Лп Лг +/34 = /
векторы | Uih) /12, (/3/4) /34; 7Л4);
б)	/1 + /з=Лз> /2 + /4=/24. 713 +724=7.
векторы |(/1/з)71з. (/2/4)724; JM).
ВЕКТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ И МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИИ
535
«9р-символы Вигнера при этом определяются как коэффициенты унитар-
ного преобразования от одного базиса к другому:
((/1/2)/12, (JsA)^; /М1 (/i/з) /и, (/2/4) /24;
дД27*2 + 1> <27з‘ + <27>3 + (2724 + D X
(ii	/2	/12 "j
Х'ч/з	/4	/34 ?.	(40а)
(,/13	/24	/ /
Можно также определить «9/»-символы следующим образом:
([(/1/2) /12, /з] /123/4; /М | [(/4/2) /42, /з! /423/1; /'№')=*
=(-i)w/,‘/,B’4/'Wx
( /2	/12	/1
X V(2/12 + 1) (2/123 + 1) (2/42 + 1) (2/123 + 1) < /42 /3 /423 >. (406)
(. /1 /123	/ )
Используется также обозначение
(/1 /2 /12 \	(/1 /г /12 1
/з /1 /34 I = S /з /4 /34 г.
/13 /24	//	(./13 /24 /J
Связь «9р - символов с «3/> - символами:
//13 /24	? Z/21_	V* Р* '2 Mv
\ М13 М24 м Л 7 >* Уз‘Г“	Zu \mim2Ml2)*
Ч /13 J 24 J ) т^ПЪ/Пц
МцМц
урз	к Jst\Jii	1з /13 W/2	/4	/24 A//12	/34	/\	(40в)
к т3	mt Mst)\mi	т3 М13 / \ т2	mt M2i J \ Ml2	M3t M )'
Соотношения симметрии. Символ
б/i /2 /3 "j
A Ji J$ Л?
(./? /в /в)
(!) при перестановке двух строк или двух столбцов умножается
э
на (—1)\ где /?= У, Jf,
J=1
(ii) инвариантен при зеркальных отражениях относительно диагоналей.
Соотношение ортогональности:
(	(it is J12
/ , (2/13 + 1) (2/24 + 1) < /3 it /34
/1з/г(	(./13 /24 /
11 i 2
is ii
/13 /24
^12
Л1
^12^ 12^34^34
(2/12+1) (2/34+D
Выражение «9р - символов через «6/» -символы:
/1
/з
/13
/2
/4
/24
<2S+1< '• £}{;•
J J а
(41)
536
ДОПОЛНЕНИЕ В
Случай, когда одно из / равно нулю:
•’ /Д_Л Л	+	(/, /2 /
'* nl 88' V(2f+l)(2g+l) U /з g
(42>
Раздел IV. МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИЯ
§ 10. Вращения. Операторы вращения, /^-матрицы
(ф) — вращение на угол ф вокруг оси и,
91 (ару) ~ вращение на углы Эйлера (а, р, у),	(43).
Я (а₽у) =	(у) Йо (р) Йг (а).
Операции, написанные в правой части равенства, выполняются в порядке-
справа налево (см. рис. 30).
X
Рис. 30. Углы Эйлера а=(Оу, Ои), $=(Oz, OZ), у = (Ои, OY).
Присоединенная матрица: матрица преобразования координат
векторов (обозначена той же буквой Й, что и само вращение).
Если V(Vi, V2, Vs)—некоторый вектор, aV' (Vp V2> V3) — его преобра-
зование при вращении Й, то имеем:
V} = Йг/V/, 9hj — элементы присоединенной матрицы.
(Следствие. Если А/ есть преобразование единичного вектора Щ
вдоль j-й оси (/ = 1, 2, 3), то получим:
А/ = Й [а/] = а2Й;/, 91ц — (ас, А/).)
9?— 91, Я = 9Г1, det 52 = 1.
5? (аРу)зэ
/cos у cos р cos а — sin у sin а — sin у cos р cos а — cos у sin а
Ез I cos у cos р sin а + sin у cos а — sin у cos р sin а + cos у cos а
\	— cos у sin Р	sin у sin р
(45)
Оператор вращения. Унитарный оператор R, примененный к век-
тору |), задает его преобразование при вращении Я!
Й[|»/?|), я+я = Яя+=1.	(46)
(44)
sin р cos а\
sin Р sin а ).
cos Р /
ВЕКТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ И МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИИ	537
Если Q — наблюдаемая квантовой системы, то
(47).
Если В ва (Вж, Ву, Вж) есть векторный оператор, то (Bi ва Вв/)
^[B^RBiR-^iB, Ai) = ^iiBl.	(48)
(А/. В. Здесь фигурирует преобразование, обратное к Я, а не само 5?.)
Применение (48) к преобразованию компонент момента импульса I при-
вращении Я(а0у) дает
RJ±R~l = eTiv Р+2СО?£ e*iaJ± - !~2°s? e±laJ^ - sin ₽/J, (49a).
RJtR~l = у sin 0 (e-ia/+ + elaJ_) + cos 0Zz.	(496)
Выражение через составляющие полного момента
импульса J. Бесконечно малое вращение:
Ra (е) = 1 — <е (J «) (е < 1).	(50)
Конечные вращения:
/?в(<₽) = е-/ч,(/’и),	(51)-
R (a₽y) = е“ /а7*е 'гр/г/е~	(52)
Соответствие между вращениями и операторами вра-
щения. Взаимнооднозначное соответствие, существующее между бесконечно
малыми вращениями и операторами R, близкими к 1, может не иметь места
в случае конечных вращений.
В общем случае любому конечному вращению 91 соответствуют два опе-
ратора R' и R", удовлетворяющие уравнению
R" = DR'.
где оператор D определяется так:
__ ( +1, если I — целое,
1—1, если J — полуцелое.
Для равенства R' = R" необходимо, чтобы пространство векторов состоя-
ния было образовано векторами, отвечающими только целым значениям 1.
Ra$a) = D, /?в(4л) = 1.
Пусть (а0у) и (aiPiyi)—два набора углов Эйлера, определяющих одно
и то же вращение (уравнение (XIII. 42)). Тогда
R (aiPiYi) = D’a+’p+’v/? (apy).	(53)
Матрицы вращений Я(/)(ару)- Это матрицы порядка (2J + 1) с
элементами
^ММ> =	| R (а0у) | jm') = (JM | е"‘а/г	| JM').	(54)
Векторы |/Л4) (J фиксировано, М = —J....+/) есть собственные век-
торы операторов J2 и Л, которые связаны друг с другом соотношениями (6).
.538
ДОПОЛНЕНИЕ В
Матрица г<7> (0):
r(7) (Р) == rU> (О, р, 0),
г$М'Ю	(55)
(a₽V) = е‘/аЛ1 гмм' (₽) e-‘vAI.	(56)
§ 11. Основные свойства матриц 7?(J)
Обратная матрица:
[Я<7> (ару)]-1 = R{J} (-у, -р, -а).	(57)
Определитель:
det /?(7) = 1.	(58)
Вращение на 2л:
^(2л) = (-1)2/.	(59)
Каждому набору углов Эйлера соответствует единственная матрица
Каждому вращению 5? соответствует единственная матрица если
J — целое, и две матрицы, отличающиеся знаком, если J — полуцелое.
Вещественность: г(/)(Р) — вещественная матрица.
Вращения на угол л вокруг координатных осей. Обо-
значения: X, У, Z — операторы вращения на угол 4-л вокруг осей Ох, Оу, Oz
соответственно:
X2 = Y2 = Z2 = XYZ = (-1 )2/.	(60)
х I JM) =	| J - М), Х^м, = е-м6м _м„	(61)
Y\JM) = (-\y-M\J-M),	=	(62)
Z|7M) = e-taA1|7M),	=	(63)
Преобразование оператора момента прн вращении Y:
=	= YJzY* = -Jz, YJ^—J*.
Следовательно,
уя<'>у+=,/?<'>*.	(64)
Соотношения симметрии, следующие из (62) и (64):
гмм' — (~ 1)^ М г{-м _м„	(65)
<г = (-1)м-л1' №м_м>.	(66)
Унитарность и соотношения ортогональности:	=
«= отсюда получаем соотношения унитарности
S Кмм'^мм" = ^М'М"> S ^М'М^М"М —	(67)
М	м
ВЕКТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ И МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИИ
539
Используя соотношения симметрии, получаем соотношения ортогональности
V4 (_i\I+M р(Т) p(Z) _____(__1\/+ЛГ д
Zu ' КММ'К-М -М" - v V
м	(681
V"* (_1\/+Л1 n(Z) n(Z) ___(__i\/+At's
/, < *7 КМ'МК-М"-М~~ ( V °М'М"-
м
Формулы композиции и ред.укции. В следующих формулах
матрицы R^'\ R^, R^ относятся к одним и тем же углам Эйлера.
Разложение тензорного произведения R^ ® R^
h + fc	+7
RmmRmm = S	S	</172«1т2|7Л1>^Л1,</1/>Х|7Л1'). (69)
Формула композиции:
+ /1	+!г
^мм- = Е Е (1^^2 I -™)	</)/>>2 I JM'). (70)
t	/	i7lit7l< ТПпТПл '	*	*
m2'm2=~J2	1 * Z
В частности, если 7 = /i + /2, то
^=/?те>	<7i>
§ 12.	Вычисление матричных элементов /?млг
Основные методы вычисления. Если матрица г<7>(0) известна,
то матрицу 7?(/)(а0у) легко получить из соотношения (56). Матрица г(/) ве-
щественная, унитарная, обладает свойством симметрии (65)
'Й’аГ (₽) = ^'М (-₽) = (-1 )М ~М' Г^м _м, (Р).
Поэтому нужно только знать матричные элементы, соответствующие М О
и > М', чтобы получить все остальные. Для этого мы можем:
а)	вычислить их непосредственно с помощью приводимой ниже формулы
Вигнера;
б)	получить их с помощью формулы (70) для композиции г г'^ е
меньшими значениями момента импульса; в частности, все матрицы г<7! могут
быть получены одна из другой, начиная с
в)	получить их друг из друга, используя рекуррентные соотношения, вы-
текающие из уравнений (49).
Формула Вигнера. Введем обозначения
= cos 4 n = sin 4
Получаем
(Z) = V , л V(Z + 4W ~ М)! (J + ЛГ)| (J - ЛГ)!
ГММ' Д, V u (Z + M-7)1(7-ЛГ-/)!/! (/-Л4 + ЛГ)! Х
^2J + M-M'-2t^2t-M+M'	(72у
В данном случае прн суммировании используется то же соглашение, что и в
формуле (21). Число членов в равно 1 + т, где т — наименьшее из четы-
t
540
ДОПОЛНЕНИЕ В
рех чисел J ± М, J ± М'. По отношению к переменным | и г] выражение
есть однородный полином степени 27.
Частные случаи формулы Вигнера:
,(0 _I_М Г(Л ___(/)	_(_i\J—М r(J) _
— \	rJM~ г-1-М — V	—
У (7 + Af)i (7 — М)1 ё П
, = r?'.
Случай 7 = 1/2:
/Ц	(	-e^'“slnlpe+^’A
sb-W)-	I <H)
I +2ta . 1 о “'г'1' +2ia 1 o +7,Y I
\ e sm ту p e 2 e 2 cos -% P e 2 J
(в этом выражении верхняя и нижняя строки соответствуют М = у и —
этим же значениям соответствуют левый и правый столбцы).
§ 13. Целые сферических Случай Z = 1	значения J (J =1) и преобразование функций при вращениях | (l + cosp) -472sin0	l(l-cosp) A	i			
г* (1) (ii) (Р) =	4 V2 sinP	COS P	~4V2 sinp	(75)
	Id - cosP)	4 72 sin p	4(l+cosP)	
(В этом выражении расположенные сверху вниз строки соответствуют
.М = +1, 0. —1; расположенные слева направо столбцы соответствуют тем
же значениям М.)
Преобразование сферических функций при враще-
н и и. Пусть а е» (0, ф) — сферические координаты единичного вектора v от-
носительно координатной системы Охуг
(oi = sin 0 cos <p, Vz = sin 0 sin ф, v3 — cos 0).
Q ss (0, Ф) — сферические координаты того же вектора v относительно
системы OXYZ.
(ару) — углы Эйлера вращения, переводящего систему Охуг в систему
OXYZ').
]) Для устранения произвола в выборе углов Эйлера мы потребуем вы
полнения дополнительных соотношений
0 < а < 2л, 0 < р < л, — я < у < + л.
(При таком выборе система OuzZ является правой.) Тогда:
(i) сферические координаты оси OZ в системе Охуг есть (р, а);
(ii) сферические координаты оси Ог в системе OXYZ— (Р, л —у).
ВЕКТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ И МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИИ
54 Г
в и Ф — однозначные функции от 0 и <р, в которые а, 0, у входят в ка-
честве параметров.
«>!	(0b <pi) — сферические углы в системе Охуг вектора щ = 5?-1v, ко-
торый при вращении 5?(аРу) преобразуется в вектор V. Справедливо равен-
ство (О) = fi.
Сферическая функция У” (со) соответствует кет-вектору 11т) в пред-
ставлении {со}:
У"* (<о) = («о | 1т).
Вращение Я(аРу) преобразует этот вектор в вектор 7?(aPy)|Zm), состав-
ляющие которого в направлении вектора v равны составляющим 11т) по на-
правлению V1,
у"1 (Q) = (coj | lm) = («> | R | lm);
отсюда следует формула преобразования сферических функций при вращении
W) = £ УГ'(®) R%m (a₽Y).	(76)
m'=-Z
Скалярное произведение н теорема сложения. Пусть v
и v' — два единичных вектора, со и со' — соответствующие им сферические ко-
ординаты относительно системы Oxyz, Й, Й' — сферические координаты тех же
векторов относительно системы OXYZ. Соотношение (76) и унитарность дают
£ ур (Й) ур* (й') = £ ур (®) ур* («').	(77)
m	т
В частности, если v' направлен вдоль оси OZ, то получаем теорему сло-
жения
1
л]у?(Q)sр‘(cos0) = X *Т(о.фпГ(р.«)• (78)
т^—1
Выражение г^т, через cosP и sin р. Для I целых:
(i) если (—1)т+т =-}-1, то г^т, — полином по cos Р степени I,
(ii) если (—l)m+,"=—1, то r^m' = sinр X (полином по cos Р степени
((-!))•
В частности,
Г ml (Р) = а/-------------7 (1 + tos Р)т р. (79)
Х/ (1^т)\(1-т)\	к
Выражения для R^m' ПРИ т или т' — 0:
С'о («Ру) = д/-2ПИ- УГ(₽’ а)’	(80а>
С (аРу) = (“О'” д/-2ПРТ (Р> У).	(806)
*оо («РУ) = (cos Р).	(80в)
542
ДОПОЛНЕНИЕ.
Раздел V. НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 14. Определение и основные свойства
Определение. Тензорный оператор — совокупность операторов, линей-
до преобразующихся друг через друга при вращении.
Неприводимый тензорный оператор — набор из (2Й+1) операторов
(Я = —-k, ..., + k) представляет собой, по определению, стандартные ком-
поненты неприводимого тензорного оператора Tw порядка k, если при враще-
нии они преобразуются по формуле
~f~fe
= (81)
q' = — k
Векторный оператор — неприводимый тензорный оператор порядка 1. Если
Vx, Vy, Vz — его компоненты относительно осей Охуг, то стандартными компо-
нентами являются
v+ = - | V2 (Vx + iVy), VQ = Vz, = (Vx - iVy).
Скалярный оператор — неприводимый тензорный оператор порядка 0.
Коммутационные соотношения с/
[/±,	] = V* (* +1) - (</ ± 1) Т™± „	(82а)
[Jz, 7f] = qTf.	(826)
Эрмитово сопряжение1)
s(ft) = T(ft) + если s«) = (-!)«	(83)
Основное свойство (Вигнер — Эккарт)
<т7М | Г® | x'j'm'} =	(уj||j-W || {j'kM'q | JM) =
4	-y/2J + 1
= (-1/-^(т7||Т'*’||т'п( k (84)
\ — M q M )
По определению (t/||T<*>||t'J') —редуцированный матричный элемент2).
Сопряженное соотношение (k — целое)
<т/1| Т№) || x'J')* = (-1/'"7 (x'J' || T(ft> +1| xJ).	(85)
') Мы принимаем здесь определение Рака (loc. cit.). При таком определе-
нии сферические функции У” образуют эрмитов тензорный оператор порядка/.
Отметим, что тензорное произведение (определенное ниже) коммутирующих
неприводимых эрмитовых тензорных операторов в общем случае нёэрмитово.
Для того, чтобы оно стало эрмитовым, мы должны модифицировать опреде-
ление эрмитова сопряжения и заменить (—1)’ на (—1) *+’. При новом опре-
делении сферические функции нечетного порядка антиэрмитовы.
(N. В. Наше определение эрмитова сопряжения применимо также к тен-
зорному оператору полуцелого порядка, если множитель (—1)’ записывать
хак е1Я,?.)
г) Определение принято такое же, как у Рака (loc. cit.).
ВЕКТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ И МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИЙ
543
Специальные тензорные операторы.
Единичный оператор
<<х7|| а'J') = 6аа,6„, V27+T.
Оператор полного момента импульса
<а/1| J || а'Г) = даа,д„, 7/ (7 + 1) (27 + 1) .
§ 15. Тензорное произведение неприводимых
тензорных операторов')
Определения. Пусть	— неприводимые тензорные операто-
ры порядка ki, kt соответственно. По определению ®	— набор (2^ 4-
4-1) (2^2 + 1) операторов	(не обязательно линейно независимых).
Это (приводимый) тензорный оператор.
у(Ю _ Jy(fti)	, тензорное произведение порядка К, есть непри-
водимый тензорный оператор порядка К. с компонентами
= £ (Мм | Щ Т(Ж	<86>
Q\<h
(обязательно должны выполняться неравенства |fe, — йг| К 4- kt).
Если ki = kt = k, то определено скалярное произведение2)
S ^(TWUW) = X (-I)*7	(87)
<7
(N. В. s = (-l)ft V2fe4-1 40>.)
Выражение для редуцированных матричных элемен-
тов. Допустим, что мы имеем квантовую систему, состоящую из двух систем 1
и 2 с моментами импульса Ji и У2 соответственно (7 = 71 4-Уг)•
|Т1/1А11) —базисные векторы системы 1,
|t272M2) — базисные векторы системы 2.
—неприводимые тензорные операторы, действующие только на
переменные систем 1 и 2 соответственно.
у(К)—тензорное произведение порядка К в соответствии с определе-
нием (86).
В стандартном представлении {T1T27j7|727z| редуцированные матричные
элементы даются формулой композиции
<4 V1V1| V{K) ||	= 7(27 + 1) (2ДГ 4- 1) (27' 4- 1) X
>2
kt К <V1 II T{kl} ||	<V2IIII (88)
/2 / .
') Во всех следующих формулах мы ограничиваемся тензорными операто-
рами целого порядка.
При таком определении скалярное произведение двух векторных опе-
раторов (V1F) дается в соответствии с обычным определением выражением
VxWx 4- VvWs 4- VtWt.
544
ДОПОЛНЕНИЕ В
Частные случаи, когда «9/»-символ сводится к «6/»-символу:
17=1,
II ||	=а , б . I || х
Т2Т2 J2J2
X (-l/'+z‘+/«+ft 7(2/ + 1) (2/' + 1) (Z‘ k J1(39)
I J' h J)
T = l, /C = *2 = fe,
{tjT^/^Z ||	|] Х^2]\}2} ) =	(т2^2 II ^<ft> II т2^2> X
X ( — 1 )/+/1 + /2+ft 7(27 + 1) (27' + 1) ( Z2 k Z2 I (90)
К = 0, ki=k2=k.
(x1x2j1j2jm | (T^u^ | Vy2j'/2J'M') = б„лмм, (-i/+/2+/i P‘ k Я x
I ^2 ' '2 J
x (t/j II T(ft) II (x2/2 II || t27'>. (91)
Случай
</>/2 7+ HI Zi II/1/2/) =
± л / I(2S + I)2 - (7 + I)2] [(/ + I)2 - 4d2]
2 Л/	7+1
<7lZ2 7||/il|7l/27>=4 [2d (23+1)+ 7 (7+1)] л/-,2/,!. =
V J \J “t" и
= 4 [7> (7, + 1) + 7 (7 + 1) — Z2 (Z2 + 1)] а/тпИг»
x	V J \J “Г
</./. /-Ц/, I/.W— 17^+1)1 ;+J,i iJi
S — ~2 (7i + 72), d = —(Zi — Z2),
12d I ^/<23.
ДОПОЛНЕНИЕ Г
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
§ 1. Введение
Уравнения движения исследуемых в квантовой механике систем часто ока-
зываются инвариантными относительно некоторых групп преобразований или,
иначе говоря, рассматриваемые наблюдаемые имеют особенно простые транс-
формационные свойства по отношению к этим группам. Методы теории групп
позволяют получить все следствия, которые вытекают из существования этих
свойств симметрии.
В действительности, при наличии достаточно богатой интуиции и опреде-
ленного навыка в обращении с операторами, часто удается использовать свой-
ства симметрии без явного обращения к теории групп. Многие физики пред-
почитают поступать именно так, несмотря на то, что это означает необходи-
мость время от времени переоткрывать в каждой конкретной задаче «хорошо
известные» результаты теории групп, которые необходимы для соответствую-
щих выводов. Однако в ряде разделов физики требуемая доза интуиции и на-
выков столь велика, что честное и добросовестное использование теории групп
неизбежно. Даже в тех случаях, когда имеющиеся симметрии не столь слож-
ны, ссылка на теорию групп, хотя и не является неизбежной, позволяет проще
сформулировать задачу и предсказать ряд свойств ее решения.
Данное приложение знакомит читателя с элементами теории групп и мо-
жет рассматриваться как введение к более подробным работам на эту тему’)-
В приложениях обсуждаются основные понятия и результаты теории
групп, которые наиболее часто используются в квантовой механике. Практи-
чески все доказательства опущены, хотя большинство из них, особенно в раз-
делах I и II, весьма просты.
Раздел I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 2. Определения
Группа. Множество 3 элементов а, Ь, с, ... образует группу, если вы-
полняются следующие условия-.
>) Мы отсылаем читателя, в частности, к монографиям: Е. Вигнер, loc. cit.
стр. 525; Б. Л. Ван дер Варден. Методы теории групп в квантовой механике,
Харьков, 1938. О непрерывных группах см. G. Racah. Group Theory and Spec-
troscopy, Princeton, 1951 (см. перепечатку в препринте ОИЯИ, R-1869, Дубна,
1964). В настоящее время на русском языке имеется большое число книг, как
по теории групп так и по ее приложениям. Помимо ссылок, указанных авто-
ром, можно рекомендовать для более подробного ознакомления следующие
книги, посвященные изложению методов теории групп и их физических при-
ложений: М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов. Применение теории групп в кван-
товой механике. М„ Наука, 1967; Г. Любарский. Теория групп и ее применение
в физике. М., Наука, 1958; М. Хамермеш. Теория групп и ее применение к фи-
зическим проблемам. М., Мир, 1966; Сб.: Теория групп и элементарные части-
цы. М., Мир, 1967. (Прим, переводчика.)
546
ДОПОЛНЕНИЕ Г
(i)	произведение любых двух элементов также принадлежит множеству 3^
если *) ае ? и то* 2) ab е 3-.
(ii)	среди элементов множества 3 имеется единичный элемент I
1^3 такой, что для всех а е 3, 1а — а/ — а;
(iii)	каждый из элементов имеет обратный, а-1, принадлежащий множе-
ству 3
если а^З существует а~1 е 3 такой, что а-1 а = аа~1 — Г,
(iv)	произведение элементов ассоциативно
(ab)c = a (Ьс).
Конечная группа. Группа, имеющая конечное число элементов N,
называется конечной. Число N называется порядком группы.
Примеры. Группа пространственных отражений есть конечная группа
порядка 2. Двумя ее элементами являются тождественный элемент / и отра-
жение относительно начала координат s; s2 = /. Группа перестановок п объ-
ектов SPn есть конечная группа порядка п!.
Непрерывная группа. Группа, имеющая бесконечное число эле-
ментов, которые зависят от одного или нескольких параметров, называется не-
прерывной группой.
Примеры. Группа вращений в пространстве 5?з; группа пространствен-
ных трансляций.
Абелева группа. Если все элементы группы коммутируют
ab = Ьа для любых а и Ь е 3,
то группа называется абелевой, или коммутативной группой.
Примеры. Пространственные отражения, пространственные трансляции,
вращения вокруг оси Oz.
§ 3.	Классы сопряженных элементов
Сопряженные элементы. Два элемента а и & группы 3 назы-
ваются сопряженными друг другу, если существует элемент хе? такой, что
Ь = хах~1.
(N. В. Элемент х не единственный.)
Если Ь сопряжено а, то и а сопряжено Ь, так что сопряжение — рефлек-
сивное соответствие. Более того, если два элемента а и с сопряжены элемен-
ту Ь, то два элемента а и с порознь сопряжены между собой.
Класс сопряженных элементов. Множество элементов груп-
пы 3, сопряженных данному элементу а, называют классом сопряженных эле-
ментов, или просто классом группы 3. Элемент а принадлежит определяе-
мому им классу.
Класс элементов, сопряженных Ь, и класс элементов, сопряженных а, сов-
падают, если Ь сопряжено а, в противном случае эти классы не имеют общих
элементов. Каждый элемент группы 3 принадлежит вполне определенному
классу, а вся группа может быть разбита на классы сопряженных элементов.
') Запись ае$ означает: элемент а принадлежит множеству 3.
2) Преобразование, обозначаемое ab, состоит в последовательном приме-
нении преобразования а к результату действия преобразования Ь. Преобразо-.
вания ab и Ьа в общем случае различны.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
547
Если данный элемент группы 3 коммутирует со всеми элементами группы,
то он образует класс сам по себе. В частности, единичный элемент / образует
класс сам по себе.
Пример. Множество вращений Й(ф) на один и тот же угол ф, которые
различаются только направлением оси вращения, образует класс группы 5?з.
Каждому значению угла ф(0 ф < л) соответствует свой класс этой группы.
§ 4.	Подгруппы
Определение. Множество 3/6 называется подгруппой группы 3, если
оно является группой, все элементы которой содержатся в 9.
Примеры. Вращения вокруг оси Oz образуют подгруппу группы Я!3;
сдвиги, параллельные оси Oz, образуют подгруппу группы пространственных
трансляций.
Класс смежности. Если х — элемент группы 3, то, используя про-
извольный элемент h подгруппы 3/6, мы можем образовать новый элемент xh.
Обозначим множество всех элементов, построенных таким образом, хЭв.
Имеется взаимнооднозначное соответствие между элементами из Эв и элемен-
тами из х36.
Следует различать два случая:
(а)	если х е 26, то хЭв совпадает с Ж;
(б)	если х ф. Э6, то множество хЗ/6 не образует группу, оно называется
левым классом смежности подгруппы Ж.
Правые классы смежности 3/бх определяются аналогично. В дальнейшем
мы будем рассматривать только левые классы смежности. Очевидно, что пра-
вые классы смежности имеют те же свойства, что и левые.
Два класса смежности х/3/ё и х2Ж либо совпадают, либо не содержат об-
щих элементов вовсе, в зависимости от того, принадлежит или ие принадле-
жит элемент x^’xj подгруппе Ж.
Каждый элемент из 3 принадлежит либо подгруппе 3/6, либо одному из
классов смежности Ж. Подгруппа Ж и ее различные классы смежности со-
ставляют всю группу 3.
Подгруппы, сопряженные подгруппе 3/6. Если Э6 — подгруп-
па группы 3, а х — элемент 3, не принадлежащий Ж, то множество хЗ/6х~^
Также является подгруппой в 3 и называется подгруппой, сопряженной с Ж
(N. В. Если х е Ж, то хЖх-1 совпадает с подгруппой Ж)
Сопряженные с Ж подгруппы не обязаны различаться между собой или
быть отличными от Ж.
Инвариантная подгруппа, фактор-группа. Подгруппа Ж
называется инвариантной подгруппой группы 3, если Ж совпадает со всеми
сопряженными с Ж подгруппами
Ж — хЖх-1 при всех х е 3.
Эквивалентное определение. Подгруппа группы 3 является ин-
вариантной, если ее элементы полностью исчерпывают элементы одного или
нескольких классов сопряженных элементов.
(Л?. В. Второе определение особенно полезно при описании всех инвариант-
ных подгрупп данной группы.)
Если Ж — инвариантная подгруппа, а хЖ и уЖ— два ее левых класса
смежности, то произведение элемента из хЖ на элемент из уЖ принадлежит
классу смежности ухЖ
(уЖ) (хЖ) = (ухЖ).
(N. В. Если Ж — инвариантная подгруппа, то хЖ = Жх.)
548
ДОПОЛНЕНИЕ Г
Множество, образованное инвариантной подгруппой и всеми ее классами
смежности, образует группу, в которой Э6 является единичным элементом.
Эта новая группа называется фактор-группой (F/Ж группы 3 по Ж.
Пример. Группа &„ четных перестановок п объектов является инва-
риантной подгруппой в Р’п. Она имеет один и только один класс смежности —
множество нечетных перестановок, так что фактор-группа состоит из двух
элементов.
Простая и полупростая группы. Группа называется простой,
если единичный элемент является единственной инвариантной подгруппой в
ней.
Пример. Группа пространственных вращений.
Группа называется полупростой, если единичный элемент является един-
ственной абелевой инвариантной подгруппой.
Пример. Группа ff'n.
§ 5.	Изоморфизм, гомоморфизм
Изоморфизм. Две группы, 3 и §, называются изоморфными, если су-
ществует взаимнооднозначное соответствие между их элементами, сохраняю-
щее закон умножения, т. е.:
(i)	каждому элементу gi группы 3 соответствует один и только один эле-
мент gi из и наоборот;
(ii)	если g,gf = gk, то
Примеры. Преобразования симметрии равностороннего треугольника
образуют группу, изоморфную SP^.
Гомоморфизм. Если соответствие между элементами групп и SF не
взаимнооднозначно, то эти группы гомоморфны.
Точнее, группа I? гомоморфна I?, если:
(i) каждому элементу gi группы 3 соответствует один и только один эле-
мент gi группы 3, а каждому элементу группы § соответствует по крайней
мере один (а возможно, и большее число) элемент группы 3;
(ii) из gtgi = gk следует, что = gk.
Если 3 имеет инвариантную подгруппу Ж, то 3 гомоморфна фактор-груп-
пе 9/Ж
Если 3 гомоморфна 3, то множество Ж элементов из 3, гомоморфных
единичному элементу Д группы 3, образует инвариантную подгруппу в 3, а
множество элементов из 3, гомоморфных заданному элементу из 3, отлич-
ному от У, образует класс смежности в группе 3\ фактор-группа 3I&S изо-
морфна
Раздел II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ
§ 6. Определения
Группы линейных подстановок. Произведение квадратных
матриц ассоциативно. Если множество п X п матриц удовлетворяет аксиомам
(i), (ii) и (iii), определяющим группу, то эти матрицы образуют некоторую
группу G.
Каждая матрица представляет некоторый линейный оператор G n-мер-
ного векторного пространства и, следовательно, определяет линейное пре-
образование векторов этого пространства. Если 11) , |2)..|п)	— п базис-
ных векторов в (этот базис не предполагается ортонормированным), то
преобразование каждого из них задается уравнением
G|*>==El/>G/ft.
i
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
549
Группы указанного типа, которые мы будем обозначать буквами жирного
шрифта латинского алфавита, называются группами (n-мерных) линейных
подстановок.
Представление группы. По определению линейным представле-
нием группы 3 называют ее гомоморфизм в группу линейных подстановок.
Пусть G — группа линейных подстановок, a S — векторное пространство,
в котором действуют матрицы, являющиеся элементами этой группы. S назы-
вается пространством представления, а число п его измерений называется раз-
мерностью (или степенью) представления.
Если 3 изоморфна G, то представление называется точным. Если же это
не так, то элементы из 3, гомоморфные единичной матрице 1, образуют инва-
риантную подгруппу Ж, и G является точным представлением фактор-группы
3/Ж.
Одномерные представления. Каждая группа имеет по крайней
мере одно одномерное представление — тривиальное, или единичное, представ-
ление, в котором каждый элемент группы представляется числом 1.
Для того чтобы существовали одномерные представления, отличные от
тривиального, группа должна иметь инвариантные подгруппы, соответствую-
щие которым фактор-группы абелевы. Все нетривиальные одномерные пред-
ставления являются представлениями этих абелевых фактор-групп (см. обсу-
ждение группы SPn в § 17).
Унитарное представление. Представление G называется уни-
тарным, если все матрицы, принадлежащие G, унитарны.
Эквивалентные представления. Два представления G и G' на-
зываются эквивалентными, если они имеют одинаковую размерность и если
каждая матрица G'(g) одного из представлений получается при помощи фик-
сированного линейного преобразования Т из матрицы G(g) другого представ-
ления, соответствующей тому же элементу g группы 3:
Gr (g) = TG (g) T~l для всех g e 3,
или
G' = TGT~x.
Если G и G' — эквивалентные представления, то используется символиче-
ская запись
G'xG.
Если отождествить пространства представления S и S', то переход от
представления G к эквивалентному представлению G' соответствует выбору
нового набора базисных векторов в пространстве представления.
Сопряженные представления. Два представления G и G*, ма-
трицы G(g) и G*(g) которых комплексно сопряжены друг другу, называются
сопряженными представлениями.
Представление G называется самосопряженным, если оно эквивалентно
своему сопряженному G « G*.
Характеры. След матрицы 6(g), которая соответствует элементу g
в представлении G группы 3, называют характером / элемента g в этом пред-
ставлении
X (g) = Тг G (g).
Из свойств следа вытекает, что два элемента из одного и того же класса
сопряженных элементов имеют одни и тот же характер: характер является
функцией от класса.
По тем же причинам: два эквивалентных представления имеют один и
тот же набор характеров'.
если G' (g) = TG (g) Т~то % (g) = % (g).
550
ДОПОЛНЕНИЕ Г
Символически это можно записать так:
если G' » G, то X' = X.
(N. В. Если представление G самосопряжено, то его характеры веще-
ственны.)
§ 7. Операции над пространствами представлений.
Приводимость1)
Прямая сумма. Пусть Ga, Gb — два представления одной и той же
группы размерности па и пь соответственно, и пусть ё а, ёь— соответствую-
щие пространства представления.
Если |а1), |а2), \апа)—базисные векторы в ёа, а |Ы), (62), ...
.... |Ьпь) —в ёь, то линейные подстановки, описывающие преобразование g
в этих двух представлениях, определяются законами преобразования базис-
ных векторов
£[|ах)] = £|аЛ)О£и(я), g [ I Ml = £ I iv) G^ (g).	(1)
X	v
Прямой суммой ёа-^~ёь пространств ёа и ёь называется пространство,
растянутое па + пь векторами
| al), | a2), .... | ana), | b\).| bnb).
Матрицы в этом новом пространстве могут быть представлены в виде
 / __ ( Маа Маь \
\Mba МЬЬ)’
где Маа — «а X матрица, переводящая векторы пространства ёа в векторы
из ёа, а Мьь— ПьХпь матрица, переводящая векторы из ёь в ёь, Маь —
— пвУ.Пь — матрица, переводящая векторы пространства ёь в векторы из ёа.
В частности, если А — матрица, оставляющая инвариантным пространство ёа,
а В — пространство ёь, то их прямой суммой Л4~В будет матрица, имеющая
блочно-диагональный вид:
*+*=(» п-
Отметим, что
Тг (Л4“В) = Тг Л + Тг В, det (Л + В) = det 4-det В. (2)
Операция взятия прямой суммы матриц сохраняет единицу и закон мат-
ричного умножения
1(а+Ь) = *(а) 4” 1 (Ь)’ 01 4" Sl) 024“	= ^024“ BiB2-
Из сказанного выше следует, что множество G“+d матриц Ge(g)4“u (g)
образует представление группы 3. Элементу g соответствует линейная под-
становка, которая определяется законами преобразования (1) базисных векто-
ров пространства ёа~\~ёЬ- Характеры этого представления имеют вид:
X°+t(g) = %“(g)	иными словами
 xa+s = xa + xb-	(3)
) Рассматриваемые в этом параграфе свойства являются общими для
множеств матриц. Они сохраняются и в том случае, когда эти множества мат-
риц не образуют группу.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
551
Тензорное произведение (кронекерово или прямое произведе-
ние). Операция взятия тензорного произведения пространств или матриц
была определена нами ранее (гл. VII).
При образовании тензорного произведения пространств Sa и St мы полу-
чаем паД/,-мерное пространство Sa® St, базисными векторами которого слу-
жат векторы laixji) = |ах) |ip) (х = 1, 2, ..., по; ц = 1, 2...Пь). Мат-
рицы Ga(g) ® Gb(g), полученные тензорным умножением матриц, которые со-
ответствуют элементу g в Ga и G6, образуют представление Gab sa Ga ® Gb
размерности для группы В этом представлении заданное преобразо-
вание группы действует по правилу
g [ | айхц)] = £ laftZv) G£x (g) G^ (g).	(4)
Xv
Характеры этого представления определяются соотношением
ХйЬ (й) = Xй (g) Xb (£)•	(5)
Приводимость. Инвариантным подпространством пространства S
представления G называется подпространство в S, каждый вектор которого
при действии матриц из G линейно преобразуется в другой вектор из этого же
подпростр анства.
Представление G называется:
(1) неприводимым, если S не содержит инвариантных подпространств, от-
личных от самого пространства S, и нулевого подпространства;
(ii) приводимым, если оно не является неприводимым
S = St 4” «З’г (^”i > «З’г =/= 0), й?! — инвариантное подпространство.
Во втором случае, если S г также инвариантно, то говорят, что G разло*
жимо. При этом можно, используя подходящее линейное преобразование, пе-
ревести базисные векторы пространства S в векторы, целиком лежащие либо
в Sy, либо в Si. В реультате получается эквивалентное представление, являю-
щееся прямой суммой представления Gj в Sy и представления G2 в Si
G tn Gi 4“ G2.
Представления Gy и G2 называются компонентами представления G.
Представление G является вполне приводимым, если оно может быть
представлено в виде прямой суммы неприводимых компонент
G G(1) 4" G(2) 4" • • • (G(I>, G<2), ... — неприводимы).
Каждое унитарное представление либо неприводимо, либо вполне приво-
димо.
Матрицы вращений (Дополнение В, раздел IV) при заданном значе-
нии j образуют неприводимое унитарное представление Л(/) группы вращений.
Строго говоря, Л(/> является представлением группы вращений Йз только при
целом /.
Для любого j является неприводимым представлением группы %,
инфинитезимальные преобразования которой те же, что и у Яз («накрываю-
щая группа» группы З?3).
Группа <Ui состоит из двумерных уиимодулярных унитарных линейных
подстановок, и Й3 является фактор-группой группы %. В случае, когда j
полуцелое, /)</> является точным представлением группы %, и каждому эле-
менту из 3?з соответствуют в две матрицы противоположного знака.
Все неприводимые представления абелевой группы одномерны (первой
степени).
Гомоморфноеотображениеодногопространствапред-
ставления на другое. Линейным отображением пространства Sа в Sb
552
ДОПОЛНЕНИЕ Г
называется линейное соответствие, при котором каждому вектору |а) из Sa
соответствует один и только один вектор |Z>) из Sb- Соответствие называется
гомоморфным, если оно сохраняет трансформационные свойства векторов под
действием всех преобразований группы, т. е. если из соответствий
I а) -> I Ь)
следует, что
8 [ I -> g I1 *)] ПРИ любом g е
Отображение Sa в полностью определено, если задана п» X па мат-
рица, которая определяет вектор из Sb, соответствующий каждому базисному
вектору в Sa-
Iax>-*Z l6P>Snx'	(6)
u
Если отображение гомоморфно, то выполняется матричное равенство
S Ga (g) = Gb (g) S для любого g e 2F,
t. e.
SGa = GbS.	(7)
Если множество векторов |6), соответствующих векторам из Sa, растя-
гивает все пространство Sb (это предполагает, что па^пь), то мы имеем
отображение Sa на Sb (надо понимать как на все Sb). В этом случае все
определители матриц пь X пь, содержащихся в матрице S, отличны от нуля.
Если соответствие взаимнооднозначно (па = пь), то матрица S несингу-
лярна: det S /= 0. При этом гомоморфное отображение Sa на Sb называется
изоморфным соответствием, и мы имеем
Ga^Gb.
§ 8.	Основные теоремы
Применение теории групп в квантовой механике в основном базируется
на следующих теоремах.
Лемма Шура. Если Ga и Gb — два неприводимых представления од-
ной и той же группы и если существует гомоморфное отображение простран-
ства одного из представлений на пространство другого представления, то мат-
рица S, определяющая это отображение (S удовлетворяет уравнениям (6) и
(7)), имеет следующие свойства-.
а)	если Ga и Gb неэквивалентны, то S = 0;
б)	если Ga яв Gb, то либо 3 = 0, либо det 3 #= 0;
в)	если Ga s> Gb, то 3 кратна единичной матрице: S — cl (с — постоян-
ная).
Следствие. Если квадратная матрица S коммутирует со всеми матри-
цами неприводимого представления G некоторой группы, то она кратна еди-
ничной матрице:
если [S, 6] = 0, то обязательно S — cl.
Вполне приводимые представления. Теоремы един-
ственности. Пусть заданы два разложения на неприводимые компоненты
вполне приводимого представления G:
G w G14_G24_---4_Gp, G яа Gf 4" G2 4" • • • 4” 6р'.
Можно показать, что в этом случае р = р', и существует взаимнооднозначное
соответствие между каждым членом первого разложения и эквивалентным
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
553
ему членом второго разложения. Иными словами, справедлива следующая
теорема.
Теорема едииствеиности I. Если представление G вполне приво-
димо, то его разложение на неприводимые компоненты единственно с точ-
ностью до эквивалентности.
Начиная с этого места, если не отмечено особо, мы не будем делать раз-
личия между эквивалентными представлениями. Одно и то же неприводимое
представление может тогда фигурировать несколько раз в разложении G. Обо-
значим
G<*>, G®.....
последовательность неприводимых представлений группы 3. Согласно теореме
единственности каждое вполне приводимое представление G подчиняется со-
отношению эквивалентности
G « £ n/G(/>,	(8)
I
в котором последовательность неотрицательных целых чисел пь п2, -	п/, ...
определена единственным образом. Аналогично множество характеров пред-
ставления G удовлетворяет соотношению
х = £Л/х<л.	(9)
/
Теорема единственности дополняется следующими двумя теоремами.
Теорема II. Если G вполне приводимо, то и любая компонента Gx пред-
ставления G также вполне приводима, а разложение этой компоненты на не-
приводимые есть сумма определенного числа неприводимых компонент пред-
ставления G.
Итак, если G a; Gj4-G2 и если G может быть разложено согласно соот-
ношению (8), то
Gj ж	где	(/ = 1,2,...).
!
Теорема III. Если G вполне приводимо и если существует гомоморф-
ное отображение пространства S представления G на пространство Si другого
представления G] той же группы, то G] является компонентой G.
Теорема III применима, в частности, н тогда, когда каждому базисному
вектору |х) в пространстве S можно сопоставить вектор |к) нз пространства
S1. В такой ситуации векторы | й), растягивающие Si, не обязаны быть ли-
нейно независимыми, но линейно преобразуются друг в друга по тем же мат-
ричным формулам, что и векторы |х), т. е.
g [|Й>] = XI (g)-
к
В этом случае очевидно, что соответствие |х) -> |х) устанавливает гомоморф-
ное отображение S на Si.
В частности справедливо следующее следствие.
Следствие. Если пространства, натянутые на векторы |ах) (с перемен-
ным х) и на векторы |by) (с переменным у,), связаны с представлениями Ga
и Gb и если тензорное произведение Gab этих представлений вполне приво-
димо, то представление G', определенное в пространстве, натянутом на про-
изведение векторов |ах) | by), является компонентой Gab.
(N. В. Векторы |ах) |Ьу) не обязаны быть линейно независимыми, если
же это так, то G' » Gab.)
18 А, Мессиа
554
ДОПОЛНЕНИЕ Г
§ 9. Приложения к квантовой механике
Группы, встречающиеся в квантовой механике, являются группами преоб-
разований в пространстве векторов состояния. Эти преобразования почти всег-
да линейны и унитарны, и мы ограничимся в дальнейшем обсуждении именно
такими преобразованиями.
Обозначим S пространство векторов состояний, а SF— множество унитар-
ных операторов Gt, G2, ..., образующих группу.
Пусть ]п) —вектор из S. Вектор |и) и векторы Gi|u), ..., полу-
ченные действием операторов группы на | и}, растягивают в общем случае не
все пространство S, а лишь подпространство Sa в нем. Su является инва-
риантным подпространством относительно преобразований группы и связано с
некоторым унитарным и, следовательно, вполне приводимым представлением
G“ группы 3. Мы будем говорить что вектор |и) преобразуется по представ-
лению Gu.
Аналогичным образом, если Q — линейный оператор в S, то Q и множе-
ство операторов GjQGj-1, G2QG^'1,..., полученных действием на Q преобразо-
ваний группы 3, растягивают векторное пространство Sq (векторами этого
пространства служат операторы), элементы которого линейно преобразуются
друг в друга под действием операторов группы. Пространство Sq связано с
представлением GQ группы 3, которое во всех рассматриваемых ниже случаях
будет либо вполне приводимым, либо даже неприводимым. Мы будем гово-
рить, что Q преобразуется по представлению GQ.
По определению оператор Q называется инвариантным относительно груп-
пы 3, если он преобразуется по единичному представлению. В этом случае Q
коммутирует со всеми операторами из группы. В более общем случае
оператор Q является компонентой неприводимого тензорного оператора
группы 3, если он преобразуется по неприводимому представлению G(^>
этой группы.
Неприводимые подпространства S (xj). Стандартное
представление группы ». Пространство S является прямой суммой
неприводимых инвариантных подпространств S(rj). Каждое из них связано
с некоторым неприводимым представлением G1’* группы 3. Индекс т пара-
метризует пространства, связанные с одним и тем же неприводимым представ-
лением.
Обозначим dj размерность представления G</>. Пусть |х/р.) (изменяется
только р.) —dj векторов, образующих базис в пространстве S(rj). Поскольку
G«> определяется только с точностью до эквивалентности, то конкретный вы-
бор базиса произволен. Удобно раз и навсегда фиксировать эти векторы, опре-
делив стандартный базис в S (х/), в котором каждому элементу группы соот-
ветствует вполне определенная матрица G^:
di
G I W) = £	°U-	(В * 10)
x=i
В дальнейшем изложении мы будем всегда предполагать, что выбран
именно этот стандартный базис.
Множество векторов |т/р.) (изменяются т, /, ц) образует систему базис-
ных векторов пространства S. Мы будем называть представление {х/ц} груп-
пы 3 стандартным. Термин представление здесь используется в привычном
квантовомеханическом смысле. Трансформационные свойства компонент кет-
векторов и операторов под действием преобразований из группы 3 имеют осо-
бенно простой вид в этом представлении. Эти свойства суммируются двумя
приводимыми ниже теоремами.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
S55
Компоненты кет-векторов и операторов в представ-
лении {т/р}.
Теорема А. Если векторы | ul), ..., | их), ... линейно преобразуются
друг в друга, подобно базисным векторам унитарного представления Ga, т. е.
если
G I их) = У, | up) GpV,
р
то их компоненты (t/p|uv) имеют следующие свойства:
1°. Если G^ не встречается в разложении
Ga^^nkG(k}	(11)
k
представления Ga на неприводимые компоненты, то
(т/р | их) — 0.
2°. Если GW> встречается в разложении (11) и если (av|a/p)— матрица,
реализующая это разложение, то
п1
{xjp, | их) = У u(0 (ах | а/р)*,	(12)
а=1
где п/ постоянных и^а не зависят от р и х.
Теорема В. Если операторы Qi, Q2> • • •, Qv- • • • линейно преобразуются
друг в друга, подобно базисным векторам унитарного представления Ga, т. е.
если
GQvG-1 = SQpGpv-
Р
то матричные элементы <Ti/iPi | Qv [та/аРа) имеют следующие свойства:
1°. Если не встречается в разложении
Ga 0 GU1} « X n^Gm	(13)
k
тензорного произведения Ga 0 G^ на неприводимые компоненты, то
<*1/1Р1 | Qv I *2/21*2)==
2°. Если G1'1^ имеется в разложении Ga0GG*> и если (a/2vp21 aft/) —
матрица, реализующая это разложение, то
nh'
<*1/11*1 I Qv IW2H2) = £ <*1/11| Q || *2/2)0 <«/2*1*2 I <^/ 1И1>*.	(U)
где <*i/i || Q || *2/2),, 6011 и//2 постоянных, не зависящих от р(, р2 и V.
Важное замечание. Матричные элементы (ах | ak%), (а/2ур2 | afe/)]
унитарных матриц, которые фигурируют в формулировке теорем, удовлетво-
ряют уравнениям
У <«У I okx)* G^(ax' I о'/г'х') = 6aa,6kk,G$„	(15а)
XX"
У <e/vp I G^x'Gw' («/А' I o'k'x) = 600,SAfe,G^.	(156)
XX’
I4i'
18»
556
ДОПОЛНЕНИЕ Г
Эти матричные элементы полностью определяются по заданным представле-
ниям Ga, G“® и зависят только от того, как преобразуются векторы
|uv) или операторы Qv под действием группы
Доказательство теоремы А. Подействуем унитарным преобразо-
ванием (av|a&x) на базисные векторы |ul), |u2), |uv)..........В резуль-
тате получим новый набор базисных векторов
I == У, I uv) (av | a*x>-	(16)
V
Из условия унитарности получаем
I «v> = У | ua*x) I c*X>*	(17)
afex
Из определения этого унитарного преобразования следует, что dk векторов
\uaky) (здесь a, k фиксированы, а меняется х) растягивают подпространство
Su(ok) и образуют стандартный базис для представления G<*> в этом под-
пространстве. Разлагая эти векторы по базисным векторам представления (т/ц),
имеем
| ua*x) = У I т/ц) (т/р | ua^x).
т/ц
Матрица (т/р | uokf) (где р н х — переменные, а остальные индексы фиксиро-
ваны), содержащая d, строк и dk столбцов, осуществляет гомоморфное ото-
бражение пространства	в <У(т/). Поскольку представления в этих про-
странствах либо неэквивалентны, либо совпадают, то из леммы Шура сле-
дует:
(т/р | uaAx) =	(18)
где — не зависящая от р постоянная. С учетом этого результата, проектируя
обе части равенства (17) на |т/р), получаем
(т/р | uv) = £	( X “то <av 1 a*X>*Y
kt \ о	)
Оба утверждения теоремы А содержатся в этом равенстве. И
Доказательство теоремы В. Рассмотрим векторы QJT2/2P2)
(здесь v и р2 меняются, а т2 и /2 фиксированы). Эти векторы линейно преобра-
зуются друг в друга подобно базисным векторам представления Ga®G( .
Отсюда в общем случае не следует, что пространство, растягиваемое этими
векторами, связано с этим представлением, так как эти векторы не обязаны
быть линейно независимыми. Однако если это представление не совпадает
с представлением Ga ® G®, то, согласно следствию, соответствующее пред-
ставление является одной из компонент представления Ga ® G"!\ Несмотря
на то, что рассматриваемые векторы могут и не быть линейно независимыми,
мы будем оперировать с ними точно так же, как с векторами |ul), ...
..., | uv) , ... в теореме А.
Определим векторы
|	= Е Qv I ^2/2»*2> <“4^21 а*Х>.	(1бЭ
Из соотношения унитарности для матрицы ^a/2V|x2| следует:
Qvl ЧЙ = X I (a/2vn2 |aAx>‘-	(17')
a*X
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
557
' dk векторов |<7Г2/2О^х) (где X меняется, а остальные индексы фиксиро-
ваны) либо все нулевые, либо образуют стандартный базис представления
G<*>. В последнем случае можно применить теорему А. Итак, в любом случае
имеем
(т/ц | <7Т2/2аАх) = Мцх (*/ || Q || т2/2)а>
где (rj || Q || т2/2^ — постоянные, не зависящие от ц. Следовательно, проекти-
руя обе части равенства (17') на |ti/iPi) , получаем равенство
<*!/>! I Qv Г2/2Н2) = Е &/Д1Х (Е <T1/1 II Q II Т2/2>0 <“12^2 I
fcx V О	'
из которого следуют оба утверждения теоремы В.
Правила отбора. Если | и), Q, |п) преобразуются по представле-
ниям Gu, GQ, Gv соответственно, и если ни одна из неприводимых компонент
представления Gv не встречается в разложении GQ ® Gu, то
(о | Q | и) = 0.
Это правило широко используется. В случае, когда G“ и G” неприводимы,
оно следует непосредственно из утверждения 1° теоремы В. Однако оно спра-
ведливо и в том случае, когда ни одно из представлений G“, Gc, G” не яв-
ляется неприводимым. Для доказательства достаточно заметить, что Q|и)
преобразуется (следствие) по представлению GC®G“ или по одной из его
компонент, и применить теорему А к вектору Q | и).
’ Пример: группа вращений. Теоремы А и В применимы, в част-
ности, к группе вращений.
Задача сложения двух моментов импульса есть не что иное как конкрет-
ное воплощение теоремы А. Введенные в § XIII. 25 (2/t + 1) (2/а + 1) векторов
la/i/smima) преобразуются как базисные векторы представления
образованного тензорным перемножением неприводимых представлений
DU,)
группы вращений1)- Согласно результатам раздела V главы XIII
разложение этого представления на неприводимые имеет вид
/1+/1
£ О(/),	(19)
7-l/i-AI
а элементами унитарной матрицы, осуществляющей это разложение, являются
коэффициенты Клебша— Гордана	М). Поскольку каждое неприво-
димое представление встречается в разложении (19) не более чем один раз,
т. е. nZ1/! = 1 при 7 = /1 + /2, ji + /2 — 1.|/1 — /21, то сумма в правой ча-
сти равенства (12) содержит в рассматриваемом случае только один член.
Таким образом, компоненты вектора |a/i/2ffiim2) в каждом из подпространств
(т7) известны с точностью до постоянной (не зависящей от Л4).
Аналогично теорема Вигнера — Эккарта (§ XIII. 32) следует из примене-
ния теоремы В к компонентам тензорного оператора, неприводимого по
отношению к вращениям, т. е. к (2k + 1) операторам, преобразующимся как
базисные векторы представления D(*>.
Матричный элемент |	| т2/2т2^ определяется выражением (14).
Поскольку каждая компонента представления ® встречается
) Термин «группа вращений 5?3» используется для упрощения. Фактиче-
ски имеется в виду «накрывающая группа» <272 группы Яз-
S58
ДОПОЛНЕНИЕ Г
только одни раз в разложении этого представления на неприводимые (я^’ = Т
при J — k + /2, k + /2—1, .... |£ — /2|), то сумма в правой части равенства
(14) содержит в рассматриваемом случае только один член.
(N. В. Определение приведенных матричных элементов <TiJiI|T<*>||Ts/2> <
используемое в главе XIII, отличается от принятого здесь только множителем
+ 1 •)
Инвариантные наблюдаемые, ^-вырождение. Наблюдае-
мая Q называется инвариантной относительно группы 3, если
[Q, G] = 0 при всех g eS.
d/ векторов Q|r/p) (т/ фиксированы, ц переменно) преобразуются как ба-
зисные векторы представления G(/). Теорема В (или, что эквивалентно, тео-
рема А, или лемма Шура) означает в рассматриваемом случае, что
(т/ц | Q I т'/'ц') =	(20}
Таким образом, Q описывается матрицей особенно простого вида в стандарт-
ном представлении группы 3.
В таком представлении задача на собственные значения наблюдаемой Q
сводится к диагонализации эрмитовых матриц QU>, элементыкоторых за-
висят только от двух индексов т и т'. Каждому значению /, таким образом*
соответствует некоторое число собственных значений наблюдаемой Q, а имен-
но,— собственные значения q^\ q^....... матрицы Q(/>. Каждое невы*
рожденное собственное значение этой матрицы является dj-кратно вырожден-
ным собственным значением наблюдаемой Q. Каждое р-кратно вырожденное
собственное значение матрицы Q(/) является pdy-кратно вырожденнным соб-
ственным значением для Q.
Укажем, в частности, следующие два свойства:
1°. если Q инвариантна относительно 3, то подпространства, соответствую-
щие каждому из собственных значений наблюдаемой Q, также инвариантны'
относительно 3;
2°. если наблюдаемая Q, инвариантная относительно группы 3, опреде-
лена на конечномерном пространстве, векторы которого преобразуются друг
В друга согласно представлению G и если разложение этого представления на
неприводимые имеет вид
G~£nftG<4
А
то число различных собственных значений наблюдаемой Q не превышает
Е«а-
А	_
Неприводимые тензорные операторы. Если оператор Q
преобразуется по представлению GQ, то всегда можно представить Q в виде
суммы операторов, каждый член которой преобразуется по одной из неири-
водимых компонент представления GQ. Поэтому неприводимые тензорные опе-
раторы заслуживают особого рассмотрения.
По определению компоненты неприводимого тензорного оператора Т(*>
порядка k линейно преобразуются друг в друга в соответствии с неприводи-
мым представлением Gw. Таким образом, этот оператор определяет dfc-мерное
пространство представления G<*>. В частности, этот оператор имеет d* стан-
дартных компонент (fc фиксировано, % переменно), образующих стан-
дартный базис в указанном пространстве представления. По определению
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
559
{см. соотношение (10))
(21)
р
Пусть разложение на неприводимые тензорного произведения неприво-
димых представлений G(g) и G(h'1 имеет вид
Gte) ® G(ft>« 2 nfhG^	(22)
i
и пусть (ghyr\ | а/Х) (а= 1..nfft) — элементы унитарной матрицы, реали-
зующей это разложение. В стандратном представлении компоненты имеют,
согласно теореме В, следующие свойства;
0,	если п^2 = О
1 ^х* I ^гРг) — ‘ ”//г
Е (T1A II ГХ ’ || ъО)', I если ПдМо.
Ч 0=1
(23)
Заключение. Из изложенного выше следует, что мы можем исполь-
зовать во всей полноте свойства кет-векторов и операторов квантовой меха-
ники относительно преобразований данной группы, если известны:
(i) все неприводимые представления (с точностью до эквивалентности)
данной группы и в каждом из этих представлений определены матрицы, отве-
чающие выбору стандартного базиса;
(ii) разложения тензорных произведений таких представлений на непри-
водимые компоненты, и построены матрицы, задающие разложения каждого
из таких произведений (т. е. определены коэффициенты в уравнении (22)
я «коэффициенты Клебша — Гордана» (ghyi]lolk) ),
Раздел III. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
Обозначения:
— рассматриваемая группа;
N — порядок группы;
Z, — число классов (L А/);
— класс сопряженных элементов;
1а — число элементов в классе ^а,
F — представление группы
F — матрица, соответствующая элементу f в Г;
F — регулярное представление;
f — элемент группы;
1 — единичный элемент;
fa — элемент класса 42 а\
1а
ka= — сумма элементов класса ^5
/=!
X — множество характеров представления F-t
1а
/=»1
560
ДОПОЛНЕНИЕ Г
X(a)^Trfa = 4-Tr Ка,
1а
ри> — /-ое неприводимое представление (с точностью до эквивалентности);
dj — размерность представления : d/ = х(/)(/);
f(/) — унитарная матрица, соответствующая элементу f в представлении
в фиксированном стандартном базисе;
— элемент матрицы А(/>, находящийся на пересечении a-ft
строки и р-го столбца;
%</>(a) s= (а|/) — характер класса в представлении FU>.
§ 10.	Основные понятия
Лемма о перенумерации. Если flt fz, Ju — элементы группы,
записанные в определенном порядке, то каждый элемент группы появляется
один и только один раз в последовательности fif, fzf./«/, которая полу-
чается умножением каждого из элементов группы на один и тот же элемент f.
Эта последовательность состоит из всех элементов группы, расставленных в
другом порядке.
(Все свойства данного параграфа следуют из этой леммы.)
Подгруппа группы Если 36 — подгруппа группы порядка
то А кратно Nh
N = hNh (h — целое и > 0).
Целое число h называется индексом подгруппы.
Если 36— инвариантная подгруппа, то ее индекс h равен порядку фактор-
группы 3~136.
Классы сопряженных элементов. Порядок N кратен 1а — чис-
лу элементов в любом из классов сопряженных элементов
N — pala (Ра — положительное целое >0).
Элементы из коммутирующие с данным элементом }а класса ??□, об-
разуют подгруппу индекса 1а.
Групповая алгебра. Сумма ka элементов класса. Линей-
N
ные комбинации элементов группы У, xsfs, где х1, х2..xN — произвольные
S=1
комплексные числа, образуют алгебру, которую мы будем называть групповой
алгеброй.
L элементов групповой алгебры, которые получаются сложением элемен-
тов каждого класса, называются суммами элементов класса
1а
(a =1,2.....L).	(24)
/«1
Этн L элементов коммутируют со всеми элементами групповой алгебры, и лю-
бой другой элемент, обладающий этим свойством, является линейной комби-
нацией сумм элементов класса.
Алгебра сумм элементов к л а с с а. Групповая алгебра является
коммутативной только в том случае, когда SF—абелева группа. Однако ли-
нейные комбинации L операторов ka образуют коммутативную алгебру, назы-
ваемую алгеброй сумм элементов класса или центром групповой алгебры. (Ес-
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
561
ли группа абелева, то алгебра сумм идентична групповой алгебре.) Имеем
L
~	~ ^Sab^c’
с—1
(25)
где коэффициенты — целые неотрицательные числа.
Будучи линейно независимыми, L сумм элементов класса связаны соотно-
шением (25) и могут быть представлены как функции от меньшего чем L чис-
ла сумм.
Каждая сумма ka удовлетворяет алгебраическому уравнению, порядок ко-
торого не превосходит L.
§ 11.	Представления
Регулярное представление Fr. Регулярным называют Af-мерное
представление, которое получается, если за элементы базиса в пространстве
представления взять N элементов группы. Векторами пространства регуляр-
ного представления служат элементы групповой алгебры.
Все элементы каждой строки и каждого столбца N X N матрицы, отве-
чающей элементу f в представлении F', равны нулю, кроме одного, равного 1.
Почти все основные свойства представлений группы являются простыми
следствиями леммы о перенумерации, леммы Шура и свойств регулярного
представления.
Общие свойства представлений. Всякое представление конеч-
ной группы эквивалентно унитарному представлению этой группы.
Если два представления имеют один и тот же набор характеров, то они
эквивалентны ') (обратное очевидно).
Если Fi, F2, .... Fn — набор линейных операторов, образующих конечную
группу &г, и если |и) —заданный вектор в пространстве кет-векторов, то
представление Fu, по которому |и) преобразуется под действием элементов
группы, является компонентой регулярного представления F' (если Fu имеет
размерность N, то Fu ~ Fr).
В заданном представлении F суммы k\, k2, ..., kL описываются матри-
цами Ki, К2, . •, Kl, которые можно одновременно привести к диагональному
виду и которые коммутируют с каждой матрицей, представляющей элемент
группы:
Ко, Е] = 0.	•	(26)
Неприводимые представления.
а)	Число неэквивалентных неприводимых представлений равно числу клас-
сов L.
б)	Размерность. Если d, — размерность /-й неприводимой компоненты F4\
(/ = 1, 2, ..., L), то
N/dj — целое,	(27)
=	(28)
/-1
•) Это следует из единственности разложения на неприводимые компо-
ненты и из свойства ортогональности характеров неприводимых представлений
(см. ниже). Это свойство сохраняется и в случае бесконечных групп, если два
рассматриваемых представления вполне приводимы.
562
ДОПОЛНЕНИЕ Г
в)	Соотношения ортогональности. Если унитарные неприводимые пред-
ставления Fw либо не эквивалентны, либо равны1), то
d N
/«₽) (f ।	= бMdaY6p6.	(29)
f-1
Из (29) следует соотношение ортогональности для характеров
L
^(a\n(a\ky = &ik.	(30)
а=1
Каждое представление вполне определяется стандартным выбором его ба-
зисных векторов. № величин
н/тг V^(/l/a₽)
(/ = 1, 2, JV; / = 1, 2....L; а, 0=1, 2......d/)
являются элементами унитарной N X N матрицы. Аналогично L2 величин
л/la/N (а) = •y/lJN (а | /) являются элементами унитарной L X L мат-
рицы. Из двух соотношений унитарности (29) и (30) получаем соответственно
L d’ d
у у v(Л /ар) (g 1 /а₽)*=(31>
/-1 а, 0-1
z i
vX (а|/)(И/)* = ба4.	(32)
/“1
г)	Специальные случаи. Если F<*>— единичное представление (А = 1), то
из (29) и (30) следует
N	L
£ (f | /ар) = W6Z !,	£ /а (а | /) = Абр.	(33а)
1=1	а=1
Если g— единичный элемент (g =/), то (31) и (32) дают
22 аI/ар) ==	(336)
/а0	/
') До к аз а тел ьство. Если S есть d< X di-матрица, то матрица
N
Т = У*,	удовлетворяет соотношению F^T — TFW для всех f (лем-
f-1
ма о перенумерации). Следовательно (лемма Шура), матрица Т либо тожде-
ственно равна нулю, если и неэквивалентны, либо кратна единичной,
если представления совпадают. Фиксируя S подходящим образом, получаем
соотношения (29).
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
563
д)	Соотношения между характерами и суммами элементов класса. Мат-
рицы представляющие ka, кратны единичной матрице (лемма Шура)
=	(34)
А«) = ^7Тг/с«> = ^-(а|/)-	(35)
Из (25) и (35) следует равенство
L
1а1Ь (« I /) (Ъ | /) = d{ 2 gCabh (с 1 7),	(36)
с=1
из которого в силу соотношения ортогональности (32) имеем
L
=	(37)
/=1 1
§ 12.	Неприводимые компоненты представления
Общий метод. Для получения коэффициентов п/ разложения пред-
ставления F на неприводимые компоненты
L
F^^njF^	(38)
/-1
достаточно знать множество его характеров %(а) и множество характеров L
неприводимых представлений группы. Согласно уравнению (9) и соотноше-
ниям (30) имеем
= -у £ la (а I /)’ % (а).	(39)
а=1
(N. В. Справедливо соотношение
L	L
12==£4
а=1	/=1
Таким образом, равенство р = 1 является критерием неприводимости пред-
ставления F.)
Регулярное представление ("/.’’(а) — N8al). Регулярное пред-
ставление содержит каждое неприводимое представление группы столько раз,
какова размерность этого представления
L
Fr^'£ djFW	(40)
/=1
(Отсюда следует соотношение (28).)
Тензорное произведение неприводимых представле-
ний.
L
р® ®	(41)
/=1
564
ДОПОЛНЕНИЕ Г
Уравнение (9) в рассматриваемом случае имеет вид
L
(а | g) (а I й) = У, nf (а | /),	(42)
/-1
а соотношение (39) означает, что
L
n^=4-£z“(a|fi,)(a|A)(a|/)‘	(43>
о-1
Эти два соотношения следует сравнить с (36) и (37).
Лемма. Представление г(/) столько раз содержится в разложении
Flg> ® F<*> на неприводимые, сколько раз содержится F<g> в разложении
f (/) ® /?<*)»
(N. В. Если все неприводимые представления самосопряжены, то njh сим-
метрично по всем трем индексам.)
Одномерные компоненты. Тензорное произведение F<g) ® F*'1»'
двух неприводимых представлений содержит одномерную компоненту не бо-
лее одного раза. Необходимое и достаточное условие наличия одномерного
представления Fj в разложении этого произведения состоит в эквивалентности
Fte) « Fj ® F(h)*.	(44>
В частности, пространство представления & g® & и рассматриваемого про-
изведения содержит не более одного вектора, ннварнантиого относительно
преобразований групйы. Такой вектор существует в том и только в том слу-
чае, если
F(g>« pW*.	(45)
§ 13.	Построение неприводимых
инвариантных подпространств
Начиная с этого места, мы будем предполагать, что для каждого непри-
водимого представления F(/) выбран стандартный базис. Мы будем говорить,
что вектор имеет тип (/р,), если он преобразуется как ц-я компонента вектора
стандартного базиса представления F^>. В этих предположениях унитарные
матрицы F(/) определены однозначно. Таким образом, наша задача состоит в
построении стандартного базиса, отвечающего группе в пространстве S
представления F, определенного в начале § 12. Мы ограничимся случаем, когда
& порождено действием операторов Fb Л, • • •  F« группы на заданный век-
тор |) пространства кет-векторов (п/ dj). В квантово-механических прило-
жениях теории групп общий случай всегда можно свести к этому специаль-
ному.
Базисные операторы /^регулярного представления.
Введем .V операторов
(46)
l-i
(/—1, 2....L; в, v=l, 2...dj).
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
565
Из соотношений ортогональности (31) следует, что все N операторов
группы являются линейными комбинациями этих операторов
L dj
f“E Е	(47)
/-1 и. v-1
Из унитарности F, леммы о перенумерации и соотношений (29) получаем
основные свойства операторов
в№ = в&	<48)
^v=SBxv(flW).	(49)
X
=	(50)
Согласно (49) N элементов групповой	алгебры, описываемые матрицами
В$, образуют стандартный базис регулярного представления.
Построение стандартного базиса при помощи опера-
торов Bjj". Если известно как построить операторы т. е. если известны
№ матричных элементов (f|/nv), то задача построения стандартного базиса
в S практически решена.
Действительно:
а)	если вектор В^ | ) отличен от нуля, то он имеет тип (/ц) (ур. (49));
б)	W векторов В^| у растягивают все пространство $ (ур. (47));
в)	dy векторов В^ | ), соответствующих одному и тому же значению ин-
декса /, имеют перечисленные ниже свойства:
(i) dj векторов, соответствующих одному и тому же значению v (ц = 1,
2, ..., dj), шлет одну и ту же норму и образуют стандартный базис пред-
ставления В<;);
(ii) d/ векторов, соответствующих одному и тому же значению ц (v = 1,
2, ..., dj), растягивают п;-мерное пространство Sвекторов типа (/ц). Они
связаны друг с другом {dj — tij) линейными соотношениями, коэффициенты ко-
торых не зависят от ц (в частности, если nt = 1, то эти dj векторов пропор-
циональны друг другу и коэффициенты пропорциональности не зависят от ц).
Таким образом, для построения стандартного базиса в S, соответствую-
щего заданной группе, нам необходимо только выбрать для каждого значе-
ния j определенное значение ц индекса ц и, используя, например, метод орто-
гонализации Шмидта, построить п, базисных векторов в пространстве
dl
I т/й> = £ с?В$, |), (т = 1, 2, ..., пу),
V-1
<т/й|т,/р,) = бгг.
Тогда векторы
dl
|т/Ц>= Е >
V-1
(/—1, 2....L; ц= 1, 2.....dt; т= 1, 2......п/)
образуют искомый стандартный базис; dj векторов |т/ц) (т и / фиксированы,
М = 1, 2, ..., dj) образуют стандартный базис для представления F(l>.
566
ДОПОЛНЕНИЕ Г
Другие свойства о п е р а т о р о в B*/J. Проекторы на под-
пространства 8 и переход от одного из них к другому.
Введем обозначения
d N
(51)
f-1
Операторы (/ = 1, 2, ..L\ ц = 1, 2,..dj) образуют множество орто-
гональных проекторов, сумма которых равна 1 *):
П^+==П«	(52)
П<«П^ = б7йдцрП«,	(53)
L	df
Z	Ё П«> = 1.	(54)
/=1 ц=1
Оператор есть проектор на пространство 8j векторов типа (/ц) (ур.
(49)). Разложение единицы (54) позволяет записать каждый вектор из 8” в
виде суммы векторов, каждый из которых принадлежит соответствующему
подпространству
l«>=Z пу>|«).
Ун
При р =/= v оператор В^ является оператором перехода из подпростран-
ства^^ в пространство 8”^. Смысл такого термина очевиден: из уравнений
(50) и (48) следует
=	(55)
В«+В</>=П<Л	(56)
Таким образом, оператор В^, действуя на произвольный вектор, ортогональ-
ный подпространству 8/v, обращает этот вектор в нуль, а при действии на
вектор из 8 jV переводит его в вектор из 8j Тем самым В^ устанавливает
биоднозначное соответствие между подпространствами 8;-v и 8 сохраняю-
щее скалярное произведение.
Если | o/v) — вектор типа (/v), то d/ векторов
1 O7‘v> (р =1,2....d/)
образуют стандартный базис представления F<P.
Использование сумм элементов класса Ка. Проектор
Р</>. Если мы можем ограничиться определением неприводимых инвариантных
подпространств в пространстве 8, то нет необходимости в определении №
матричных элементов s (f I в стандартном базисе.
') Это верно для любого представления F даже в том случае, когда оно
не является компонентой Fr.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
567
Суммы элементов класса
(а=1,2......L)
i=i
имеют по крайней мере один общий набор базисных векторов. Каждому век-
тору этого набора соответствует некоторая последовательность k в* (kit k2,
..., kL) собственных значений операторов Ка. Всего имеется L наборов воз-
можных собственных значений £(1), £(2), ..., определяемых соотношением
(35), каждый из которых соответствует определенному неприводимому пред-
ставлению группы. Следовательно, если нам удастся одновременно диагонали-
зовать Ki, К.2...Kl, то каждая последовательность собственных значений
будет п;</;-кратно вырождена и соответствующее подпространство S’;
определяет компоненту njF,-i'> представления F. Если все п,- равны единице, то
разложение 8 на неприводимые достигнуто. Если же это не так, то такое же
разложение следует провести в каждом из подпространств 8/, для кото-
рого К/ > 1.
Напомним, что L операторов К являются функциями от меньшего числа
этих операторов, и задача диагонализациии будет решена, если мы диагоналй-
зуем эти последние операторы.
Задача диагонализации операторов К практически сводится к определе-
нию характеров всех неприводимых представлений группы. (Таблицы харак-
теров имеются для большинства групп, используемых в физике. Соответст-
вующая литература указана в первой сноске этого Дополнения.) Действи-
тельно, проектор Ё(/) на подпространство 8, имеет вид
dj	N	L
- £ П</> =	X	Х(/)* (D F =	X	(° I !)%	(57)
ц=1	f=l	а=1
1 Раздел IV. ПЕРЕСТАНОВКИ (ГРУППА ^„)')
§ 14. Основные понятия. Циклы. Классы
Определение. Предположим, что нам даны п объектов, распределен-
ных в п «ящиках» например, п частиц в п квантовых состояниях. Перестанов-
кой этих п объектов называется изменение их распределения по этим п «ящи-
кам». Мы можем обозначить объекты целыми числами от 1 до п и определить
данную перестановку символом
( «! «2 • • • а« \
Р к₽1 ₽2 ... J ’
где аь а2........ал — целые числа от 1 до п, записанные в произвольном по-
рядке, a Pi, (32.—	те же целые числа, записанные в таком порядке, что
объект Рг занимает при новом распределении место объекта с номером а, в
исходном распределении. Так, при перестановке 5 объектов
_ ( 1 2 3 4 5\
Ра \5 3 2 1 4/
объект 5 занимает место объекта 1, 3 — место 2 и т. д. Как видно, значе-
ние символа перестановки не меняется при изменении в нем расположения
столбцов.
') Простое и подробное изложение теории таблиц Юнга и их приложения
к группе перестановок приведены в книге: D. Е. Rutherford. Substitutional Ana-
lysis, Edinburgh, University Press, 1948. Основы теории группы У'л содержатся
в книге: Б. Л. Ван-дер-Варден. Алгебра. М., Наука, 1976.
568
ДОПОЛНЕНИЕ Г
Последовательное применение двух перестановок ра, р» эквивалентно од-
ной перестановке рс sa рьра. Последнюю легко выписать, если верхняя строка
символа рь совпадает с нижней строкой символа ра. Например, если ра —
определенная выше перестановка, а ръ имеет вид
/123454/532 1 44
14 3 5 1 2 J \ 2 5 3 4 1 / ’
/123454
то рс — рьра — 2 5 3 4 j J .
В частности, обратной к р будет перестановка, символ которой получается
из символа р заменой строк
/Р1 ₽2 ... РП\
\ ai а2 ... ап ) '
Перестановки п объектов образуют группу порядка п!
Циклические перестановки. Обозначение. Перестановка
«! а2
а2 а3
afe-l аА
ак а1 а*+1
«пА
ап)’
в которой а2 занимает место ои, аз — место а2, ..., а* — место at-i, ai —
место а*, а остальные (п — k) объектов остаются на своих местах, по опреде-
лению называется циклической перестановкой или циклом k объектов ai,
а2, ..., a*; k называется длиной цикла. Такую перестановку можно предста-
вить символом
p = (aia2 ... ak).	(58)
Условимся, что первый объект в этой строке ai занимает место последнего а»,
а каждый последующий аг — место предыдущего аг-i. При таком обозначении
порядок k элементов определен только с точностью до циклической переста-
новки.
Два цикла, не имеющие общих элементов, коммутируют.
Произвольная перестановка п объектов равна произведению коммутирую-
щих циклов (эти циклы не имеют общих элементов) и такое разбиение на
циклы единственно.
Так, определенная выше перестановка ра равна произведению двух циклов
(154) и (23) и ее можно записать в виде
рв = (154) (23) = (23) (154).
Аналогично
р» = (14) (235), рс = (125) (3) (4).
Цикл единичной длины эквивалентен тождественному преобразованию и его
можно опустить, записав просто рс = (125). Если такие циклы не опускать,
то сумма длин всех циклов перестановки равна п.
Каждая перестановка полностью определяется:
(i) ее структурой циклов, т. е. числом циклов h (Л п) и длинами цик-
лов Хр Лг, ..., Хз (Xi -|- Х2	Хг, = п):
(ii) набором чисел в каждом цикле и порядком этих чисел с точностью до
циклической перестановки.
Если обратить порядок следования чисел в каждом цикле, то получится
обратная перестановка. Так,
р"1 = (451) (32).
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
56Э
Классы. Дее перестановки с одинаковой структурой циклов принадле-
жат к одному классу. Обратное утверждение также справедливо.
Циклическое обозначение для сопряженного к р элемента р' = хрх~х по-
лучается применением перестановки х к последовательности « чисел, фигури-
рующих в циклическом обозиаченни р. Например,
4 t 3 |) = <1б4><23)'
Z1	2 3	4	5 \ _ ( 5	4 1	3	2\	f 2 5 3	4 1 А
Х-к2	4 1	3	5	3 2	1	4 J’	Х k 1 5 4	2 3 7 *
/-W'-(s t 2 t i) -<®» <41>-
Транспозиции. Транспозицией называется перестановка двух объек-
тов (цикл длины 2). Транспозиции образуют класс в ЗРп-
Произвольный цикл данной длины k равен произведению (k—1) транс-
позиций
(«1«2 •••«*;) = (а1а2) (а2«з)
Вообще, любая перестановка р может быть записана как произведение
транспозиций. Такое разбиение не является единственным, но число транспо-
зиций в нем имеет определенную четность, оно либо четное, либо нечетное,
что мы будем обозначать как (—1)р. По определению, перестановка называется
четной или нечетной в соответствии со знаком (—1)р = +1 или —1.
Подгруппы группы ЗРп. Г руппа Г руппа имеет только
одну инвариантную подгруппу — группу четных перестановок sin. Индекс sln
равен 2, дополнением к ней является множество нечетных перестановок, а
фактор-группа SPnlsln—абелева.
Среди других подгрупп в 9х п отметим группы перестановок из m объектов
S’m, где m < п, группы slm (т < п) и т. д. Индекс 9>т равен (nl/ml), а ин-
декс slm равен 2 (n!/m!).
Симметрнзаторы и антисимметризаторы группы
(дсх&ую роль играют две линейные комбинации всех перестановок группы 9п—
симметризатор з и антисимметризатор а:
аЧЕ(-1)Ор' (59)
р	р
(суммирование происходит по всем элементам Они коммутируют со все-
ми элементами группы н обладают следующими свойствами:
<7S = s<7 = s, qa = aq = (—Ц’а,	(60)
(q — произвольная перестановка)
s2 — s, а2 = а.	(61)
§ 15. Разбиения
Определение. Разбиением X a [Xi Х2... Хд] целого числа п называется
упорядоченная последовательность положительных целых чисел Xt Х2 ^ ...
... ^ Хл, сумма которых равна п:
X, + Х2 + ... + X/, = п.
Поскольку структура циклов перестановки определяется некоторым раз-
биением числа п, то каждое разбиение п определяет класс в 9п.
570
ДОПОЛНЕНИЕ Г
Неравенства. Пусть А [Ai... Ал], Ц ss [pi... рД — два разбиения п.
По определению
А = р, если h = fc и Ai = щ, Аг = Иг, • • •, Ал = р*;
А > ц, если первый отличный
I I J. I I I И

[М
Рис. 31. Разбиения 5-ти элементов н
соответствующие диаграммы Юнга.
от нуля член в последовательно-
сти Ai — pi, А2 — р2, ... положи-
телен;
Л < ц, если первый отличный
от нуля член в последовательности
А] — рь А2 — ц2, ... отрицателен.
Пример: для п = 5 [5] >
> [41] > [32] > [312] и т. д. (Мы
использовали условное обозначе-
ние [312] для [311].)
Диаграммы Юнга У
Данное разбиение [А|А2 ... Ай] мо-
жно представить диаграммой Юн-
га 1\, которая построена из п кле-
ток и состоит из h строк, располо-
женных одна под другой. Первая
строка содержит Л] клеток, вто-
рая— А2 клеток ..., строка hсо-
держит Ал клеток (см. рис. 31).
Таблица Юнга ©?. Пер-
вые п целых чисел можно распо-
ложить в п клетках nl способами,
получая всякий раз некоторую
таблицу Юнга.
Будем обозначать символом 0^ и называть нормальной таблицей такую,
в которой числа 1, 2, ..., п расположены в обычном порядке:
ность 1, 2, ..., Ai в первой
строке, Ai+1; Ai+2, ..., Ai+
4-А2 — во второй строке и т. д.
Применяя перестановку р к п
числам, таблицы ©Х1 мы полу-
чим новую таблицу 0% = Р©?,-
Отметим, что = 0^₽, и
/ |г з |
4 5
®[5 2}
последователь-
в[321
9[3i] ~в[22 /).
для каждой диаграммы Юнга
существует п! различных таб-
лиц (см. рис. 32).
Ассоциированные
разбиения. Два разбиения
называются ассоциированными
друг другу, если диаграмма
Юнга одного получается из
диаграммы Юнга другого заме-
ной строк на столбцы (отраже-
ние относительно главной диа-
гонали). В дальнейшем будем
обозначать такое преобразова-
8[зг]
Рис. 32. Несколько таблиц, соответствую-
щих разбиениям А = [32] и А = [221] 5-ти эле-
ментов
ние символом Так, A s [Л,]... А*] обозначает разбиение, ассоциированное в
А = [Ai... Ал]. Отметим, что k = At, a h = Ai и что As равно числу элементов
разбиения А, равных или больших s, и наоборот.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
571
Аналогичным образом определим диаграмму Юнга Y^ ss Y^, ассоцииро-
ванную с Yf, и таблицу Юнга 0f, ассоциированную с 0jJ. Отметим
(см. рис. 32), что
но, вообще говоря,	__
§ 16. «Симметризаторы» Юнга.
Построение неприводимых представлений
«Симметризаторы» s^, ак, sK, ак строк и столбцов 0Л. Опре-
делим операторы sK — симметризатор строк &к, и ак — антисимметризатор
строк 0^, следующим образом:
S* Л2! ... Лл! £	(62)
1	h
w'.-4i£(~1)4	<М)
л
суммирование происходит по всем Л[! Х2! ... Хй! перестановкам й, которые
оставляют инвариантными строки &к, т. е. в любой цикл которых входят эле-
менты из одной строки 0;. Это множество перестановок образует под-
группу группы З’га. Если обозначить группу перестановок Хг- объектов,
стоящих в i-й строке таблицы &к, то есть произведение следующих
подгрупп группы ^п:
$Р.,	....
Л>1>	Л2»	Aft*
Операторы и равны соответственно произведению симметризаторов и
антисимметризаторов этих h подгрупп.
Аналогичным образом определяются симметризатор 5^ и антисимметри-
затор й^ столбцов 0^ (т. е. строк 0^). Приведем соответствующие формулы
s. ’ -=—=—---=— У	(64)
к Xji у ...	к
a.	. --1---— У (- 1)°»,,	(65)
к	Х(!Х2! ... X.I	К'
где суммирование происходит по всем XJX2!. • • Xfel перестановкам которые
оставляют инвариантными столбцы таблицы 0^
Основные свойства.
а)	Введенные операторы и ак равны произведениям симметризаторов
или антисимметризаторов, следовательно,
sl<=sK, al = aK, $1= ....	(66)
Vx = sx\ =	hKaK = aKhK = (- 1)\, vKsK = ...	(67)
572
ДОПОЛНЕНИЕ Г
б)	Если <0 в ХрР — произвольная линейная комбинация элементов SPn
р
(элемент групповой алгебры) и если ')
Л > и или А < ц,	(68}
тогда
№sK = sKaa,x=0’
§„аа, = а.а>§„ — 0.	(69)
I* Л Л |Л	'
В частности, при выполнении любого из условий (68) справедливы равенства
аА=г®Л“Мх==аЛи0-	(70>
«Неприводимые симметризаторы» и j^.
lk э sKaK 33 2 ЛЛ ({к	°)>
ho
т-,	<71>
К = “A = Z °лЛл. (А, °)-
ho
Будем называть «неприводимым симметрнзатором», — «неприводимым'
антисимметрнзатором» таблицы 0^. Аналогично определяются неприводимые
симметризатор и антисимметризатор 0^:
к 335 Kav к s аЛ
Пусть w — определенная выше линейная комбинация, тогда можно пока-
зать, что
s^aa^ — const iK, = const	(72}
Из соотношений (69) и (72) легко вывести соотношения
^ = Vl = const\A’ Vu = V\ = const/x6Xu- <73>
Основная теорема.
(i)	В пространстве регулярного представления группы 9s п векторы
(со — произвольный элемент групповой алгебры S’n) натягивают неприводи-
мое инвариантное подпространство 3^ и, следовательно, порождают некото-
рое неприводимое представление Р^ группы ЗРп.
(ii)	Векторы <о/^ натягивают то же инвариантное подпространство 3^
(iii)	Если К #= ц, то неприводимые представления Р^ и Р''^ неэкви-
валентны.
Поскольку число неприводимых представлений SPn равно числу классов
этой группы и, следовательно, числу разбиений п, то теорема позволяет по-
строить все представления. Как следствие, каждое неприводимое представле-
ние группы ff’n можно характеризовать определенной диаграммой Юнга.
Симметризаторы ассоциированных таблиц и ассоции-
рованные представления. Сопоставим каждому элементу со = У, хрр
________________ р
) Из справедливости одного из условий (68) не следует справедливость
другого. Например, если Л = [4 I3] н р = [3 3], то Л > р; одиако Л = [3 I3],
Й — [23] и, следовательно, Л > Д.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
573
групповой алгебры элемент в>' = X, (—1)р хрр. Это соответствие — линейное,
р
взаимно однозначное и обладает следующими свойствами:
а)	если л = рю, то rf = (—1)®рю';
б)	если g= юл, то £' = ю'т)' (сохраняет произведение).
Отметим, что таким образом возникает взаимно однозначное соответствие ме-
жду «симмет.ризаторами» ассоциированных таблиц 0^ и 0^:
ак = sk> =
откуда
= К — aksK ~ Чг	<74)
Пусть ю^, ч>2‘к’	—множество базисных векторов, которые согласно
основной теореме определяют представление Р^\ В силу (74) им соответст-
вуют векторыЮ[/^, ю2/^,.... которые определяют представление р(^). Ясно, что
при таком выборе базисов матрицы Р^ и Р&\ отвечающие в каждом из пред-
ставлений данной перестановке р, связаны соотношением
/>(Х) = (_1)Р/>(М	(75)
«Снмметризаторы таблиц» ©£. Точно так же, как мы действо-
вали, используя таблицы 0^, мы можем определить перестановки й£, и
снмметризаторы sp....используя таблицы ©£. Отметим, что
=	°Х = Р»лР-1>
откуда
SA = PSA.P-1> а£=-.ИТ.Д.	(76)
Свойства «симметризаторов», связанных с 0jj, можно вывести, используя свой-
ства «симметризаторов», связанных с 0^, и соотношения (76).
§ 17. Основные свойства неприводимых представлений
группы
Большинство свойств неприводимых представлений Э'п следуют нз свойств
«симметризаторов», которые были приведены в предыдущем параграфе.
Каждое неприводимое представление группы З’п характеризуется оп-
ределенной диаграммой Юнга и может быть построено с помощью неприводи-
мого симметризатора(или /^.Неприводимые представления являются само-
сопряженными
plM* pW	(77)
Представления размерности 1. Существует только два пред-
ставления размерности 1:
(i) тождественное (или симметрическое) представление S;
(ii) антисимметрическое представление А, в котором каждой перестановке
р отвечает (—1)".
Эти представления порождаются s и а соответственно (ур. (59)).
Диаграмма Юнга для S имеет одну строку н отвечает разбиению [л], а.
для представления А — один столбец и отвечает разбиению [Iя].
574
ДОПОЛНЕНИЕ Г
Ассоциированные неприводимые представления. Два
неприводимых представления Pw и Р^ называются ассоциированными, если
их диаграммы Юнга являются ассоциированными друг к другу. Из уравнения
(75) следует соотношение
« А®Р(К\	(78)
Компоненты размерности 1 тензорного произведения
J>(M ® р(|х). Тензорное произведение двух представлений Р<Л> ® PW имеет одну
(и только одну) компоненту размерности 1 в том и только в том случае, если
выполнено одно из следующих условий:
(i) А = ц, то компонентой будет S;
(ii) А = Д, то компонентой будет А.
Неприводимые представления ^\-t, содержащиеся в
Р^к. Любое неприводимое представление группы есть представление (воз-
можно приводимое) ее подгруппы
Обозначим символом Р^ неприводимое представление SPt, отвечающее
разбиению А целого числа t. Можно показать, что разложение Р^ на пред-
ставления, неприводимые по отношению к группе ЗРп-\-, дается формулой
(79)
и
тде суммирование происходит по всем разбиениям р, числа (п—1), отвечаю-
щим диаграммам Юнга, которые получаются из диаграммы Юнга разбиения А
числа п отбрасыванием одной из возможных клеток.
	
	
	
	
		
Пример:
Используя формулу (79) можно связать некоторые характеры с ха-
рактерами 9>п. В частности, на основании этой формулы можно вычислить раз-
мерность представлений зная размерность неприводимых представлений
^„-1.
Построение неприводимых инвариантных подпро-
странств представления Р. Различные «симметризаторы» в предста-
влении Р задаются линейными эрмитовыми операторами, которые мы будем
обозначать соответствующими прописными буквами.
Метод построения неприводимых компонент представления Р следует из
основной теоремы § 16. Пусть |и) — произвольный вектор пространства S
представления Р; тогда вектор | и) в случае, если он отличен от нуля, пре-
образуется по представлению Р'Ч и в соответствующем пространстве пред-
ставления содержится ненулевой вектор 7^ I и). Множество векторов 7^ |
получающихся действием оператора 7^ на векторы базиса пространства S,
натягивают подпространство 3\, размерность которого равна п^ — числу ком-
понент Р'}~\ содержащихся в Р. Пусть |о) —один из векторов ортонормиро-
ванного базиса в Sf^, тогда пространство образованное действием опера-
торов группы на вектор |а) , есть пространство представления Р^\ Поступая
таким образом со всеми пк базисными векторами 5^, получим ортого-
нальных друг другу пространств представления Р^.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
575
Оператор Q в &, инвариантный относительно Э’п, переводит векторы ка-
ждого из подпространств^ в векторы того же подпространства. Таким обра-
зом, задача диагонализации Q в пространстве & сводится к задаче диагона-
лизации этого оператора в каждом из подпространств 3
Свойства симметрии векторов представления В об-
щем случае кет-векторы не обладают определенными свойствами симметрии
или антисимметрии. Будем приписывать вектору |) симметрию в том слу-
чае, если он принадлежит подпространству проектора Такой вектор сим-
метричен относительно перестановки элементов из одной строки в 0^. Точно
так же будем считать вектор Л^ антисимметричным, если он принадлежит
подпространству проектора Л^.
Аналогичным образом, используя таблицы Юнга 0Х, 0£, определяют сим-
метрии типа SA, и антисимметрии Л%, Л? ')•
Из двух векторов с определенной симметрией S£, более симметричным,
по определению, считается тот, который соответствует большему из разбие-
ний X, ц. Из двух векторов с определенной антисимметрией Л£, Л^ более ан-
тисимметричным считается тот, который соответствует большему из разбие-
ний X, ц.
На основании равенств (69) и основной теоремы мы можем сделать вы-
вод, что пространство неприводимого представления Р^ содержит один
и только один S^-симметричный вектор (и, следовательно, один и только один
S^-симметричный вектор, где р — произвольная перестановка) и не содержит
векторов с большей симметрией 2). Это пространство содержит один и только
один Л^ — антисимметричный вектор и не содержит векторов с большей анти-
симметрией.
Оператор суммы элементов класса транспозиций Кт.
Каждому разбиению ц соответствует некоторый класс и оператор суммы эле-
ментов класса К„. Различные возможные собственные значения kft этого опе.
|Л	р.
ратора соответствуют различным неприводимым представлениям Р^ группы
ff’n. Эти собственные значения являются функциями целых чисел Xi, Х2, ..., Хл,
участвующих в разбиении X. (N. В. Для двух различных разбиений соответ-
ствующие собственные значения некоторого Кц не обязательно различны: из
X X' не следует, что
Рассмотрим оператор суммы элементов класса транспозиций Кг.
— ^[21л-2] =
') Перестановка Р преобразует любой S^-симметричный вектор в Sjj-сим-
метричный н любой Лл-антисимметричный вектор в Л^-антисимметричный
(см. соотношения (76)).
Такого соответствия не существует между симметриями типа S^, Л^ и
S , Л . Последние эквивалентны симметриям типа S?, Л? соответственно, где
Л Л	Л Л
перестановка q определяется равенством 0^ = ?0£.
2) Точнее, не существует S^-симметричного вектора, отвечающего любому
из разбиений ц, которые удовлетворяют одному из неравенств: р, > X, р < Х_
576
ДОПОЛНЕНИЕ Г
Оператор Кт коммутирует со всеми перестановками и, следовательно,
Используя это соотношение и уравнения (67), легко показать, что равно
разности числа транспозиций типа (симметричных пар) и числа транспози-
ций типа (антисимметричных пар):
6<« - £ . (Ю)
f=l	/=1
§ 18. Система п фермионов спина 1/2
~ . 1
Симметрия состоянии п тождественных спинов—.
Теорема. Пространство векторов состояний п тождественных спинов
с полным спином (SM) отвечает неприводимому представлению группы 6РЛ-
Диаграмма Юнга этого представления соответствует разбиению п + S,
п — Sj (т. е. имеет не более двух строк).
Следствие I. Если п — 2, то существует одно антисимметричное со-
стояние со спином S = 0 и три линейно независимых симметричных состоя-
ния со спином S = 1.
Следствие II. Если п > 2, то антисимметричных состояний нет; су-
ществует n + 1 линейно независимых полностью симметричных состояний, а
именно, 2S -j- 1 ss п + 1 состояний, для которых полный спин имеет макси-
мальное значение ( S = -^- п^.
Доказательство. Размерность пространства которое образовано
векторами состояния п спинов -i, равна 2п. Динамические состояния индиви-
дуального спина с номером i, отвечающие собственным значениям + — и--
оператора sz, обозначим щ и vi соответственно. Взяв все возможные произве-
дения из п таких векторов и и о, получим ортонормированный базис в
Приведем пример базисного вектора
= uiu2 ... uvvv+i ... vn.
Это собственный вектор компоненты Sz оператора полного спина
i-t
соответствующее собственное значение равно Af = v—п. Действуя иа
всеми перестановками, мы получаем
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
677
различных векторов, которые натягивают подпространство, отвечающее собст-
венному значению М. Каждый из этих векторов содержит п + М векторов
типа и и п — М векторов типа v.
Подпространство с заданным значением Af можно разложить на ортого-
нальные подпространства, отвечающие различным возможным собственным
значениям оператора S2. Соответствующее квантовое число S может прини-
мать п — | М | + 1 значений: | М |, | М | -j- 1....—	п. Подпространство, об-
разованное векторами с полным спином (SAI), обозначим ^r(s)(SAf). Посколь-
ку операторы S2 и S2 коммутируют со всеми перестановками, каждое нз этих
подпространств определяет некоторое представление группы SPn. Более того,
поскольку S+ и S- также коммутируют со всеми перестановками, то пред-
ставления, которые определяются двумя подпространствами с одним и тем
же значением S, эквивалентны.
Докажем теперь следствие II (следствие I очевидно). Для доказательства
достаточно рассмотреть проекции векторов ортонормированного базиса в
на пространство симметричных состояний и на пространство антисимметрич-
ных состояний. Это легко сделать для определенных выше базисных векторов.
Коль скоро п > 2, то любой вектор базиса t, содержит ие меньше двух от-
дельных спинов в одинаковом состоянии и или V. Допустим, что в С имеется
множитель UiUf, тогда в силу равенств А = А — (1 — (//)) и у (1—(j/)) u.Uj=0,
имеем At, = 0. С другой стороны, существует одна н только одна пол-
ностью симметричная линейная комбинация базисных векторов подпростран-
ства, отвечающего собственному значению AI, а именно, сумма всех ба-
зисных векторов. Поскольку это верно для любого возможного значения Af,
то такой полностью симметричный вектор обязательно соответствует макси-
мальному значению полного спина
S = -^-n. Это завершает доказательство
следствия II.
Приведенное выше рассуждение с А можно повторить, используя анти-
сим метр из атор А^, и получить, что А^ = 0, если диаграмма Юнга содержит
больше двух строк. Осюда следует, что диаграммы Юнга для неприводимых
компонент представления группы SPn, которое порождено пространством <У(5),
имеют, самое большее, две строки.
Пусть к — [AiAs] — разбиение числа п, удовлетворяющее этому условию.
Число неприводимых компонент Pw равно числу линейно независимых векто-
ров типа |} ss ) Для перечисления последних достаточно рассмо-
Л2 + 1, Аг + 2...А] первой строки, для которых нет соответствующих эле-
578
ДОПОЛНЕНИЕ Г
ментов во второй, и Ха пар элементов, расположенных в соответствующих
столбцах. Обозначим полные спины этих множеств Si и S2
S = St + s2.
Пусть S^1-W — проектор на состояния, симметричные относительно (Ai— Аг)!
перестановок спинов первого множества. Ясно, что
j __е е(Х1—М) д'
Однако по определению оператор — проектор на синглетное состояние каж-
дой из пар спинов второго множества. Существует только один вектор, обла-
дающий таким свойством (следствие I), этот вектор соответствует спину
S2 = 0. Оператор S^1-^ проектирует векторы состояний первого множества
на подпространство размерности (2Si + 1), отвечающее наибольшему возмож-
ному значению Si (следствие II), а именно, (Ai —• А2). Таким образом,
S^1-^2^ — проектор на подпространство размерности (2S+1), отвечающее
значению полного спина S = 4- (Ai — А2). В силу того, что проектор S. ком-
мутирует с S, действуя на векторы этого подпространства, он либо аннулирует
их всех, либо преобразует их в векторы с тем же полным спином. Первая
возможность исключается, в противном случае в cf(s> не существовало бы век-
торов с полным спином — (Ai — А2), а из второй возможности следует при-
веденная выше теорема.
Построение полностью антисимметричных векторов.
Динамические состояния п фермионов спина ’/г принадлежат тензорному про-
изведению й"*1’ определенного выше пространство и пространства
орбитальных переменных &т. Последнее можно разложить на взаимно орто-
гональные, неприводимые подпространства #’<°>(ац,), инвариантные по отно-
шению к группе SPn. В подпространстве ^’<0) (ар) определено некоторое непри-
водимое представление индекс а нумерует подпространства, в которых
задано одно и то же неприводимое представление. Для того чтобы построить
полный набор ортогональных антисимметричных векторов, достаточно по-
строить их в каждом из подпространств (0) (<гц) ® Sl’\ В этом подпростран-
стве имеется столько линейно независимых антисимметричных векторов, сколь-
ко раз компонента А встречается в разложении представления, заданного в
этом подпространстве. Следовательно (§ 17), число таких векторов равно чис-
лу неприводимых представлений участвующих в разложении представле-
ния, заданного в й’(8). Если диаграмма Y^ содержит более двух столбцов, то
таких векторов нет. Если диаграмма Y^ содержит не более двух столбцов и
если мы в согласии с приведенной выше теоремой положим
и = [г7 n"si2S],	(81)
тогда имеется (2S 4- 1) неприводимых представлений, и антисимметричные
векторы, которые можно образовать в этом случае, являются собственными
векторами оператора S2, соответствующими полному спину (SM) (М — —S,
-S+ 1, ..., S).
Не зависящие от спина скалярные наблюдаемые. LS-
связь. Независимую от спина скалярную наблюдаемую Q можно рассма-
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
57а
тривать как наблюдаемую пространства инвариантную относительно вра-
щений и перестановки только орбитальных переменных
[<?,£]= О, [Q, Р(0)] = 0.
Пространство Й,(0) есть прямая сумма подпространств ^’<°>(т£ц.) размерности
(2L + 1) йц,которые неприводимы поотношению к группам вращений и пере-
становок1)- £ — квантовое число момента импульса, р — разбиение, отвечаю-
щее представлению т — дополнительное квантовое число, нумерующее эк-
вивалентные подпространства. В частности, подпространства (т£ц) можно
выбрать так, чтобы наблюдаемая Q в каждом из них была равна некоторой
константе q(см. § 9).
Собственные векторы Q, отвечающие собственному значениюq^\ являют-
ся антисимметричными векторами подпространства (tLp) ® $”(s). Исходя
из предыдущих рассуждений, такие векторы можно построить, только если
содержит не более двух столбцов. В этом случае разбиение ц однозначно
определяется квантовым числом S (ур. (81)). Подпространство антисимме-
тричных векторов в ^’(0)(т/,ц.) ® отвечает определенному значению S пол-
ного спина системы частиц. Это подпространство $(tLS) имеет размерность
(2L 4- 1) (2S -f-Г) ив нем можно найти собственные векторы полного момента
импульса и полного спина
| rLSMLMs) (Ml = — L.......4-L; 4is = -S,..., 4-S),
которые образуют стандартный базис {L1S2LZSZ}.
') Подпространство c?(0)(tZ.|1) приводимо относительно группы вращений
и является суммой du эквивалентных неприводимых подпространств (здесь
dy — степень представления Оно также приводимо относительно группы
£7Я и является суммой (2L 4- 1) эквивалентных неприводимых подпространств.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адиабатическая теорема 233, 237, 240—243
Адиабатический переход 232, 236 —239
Адиабатическое приближение 243—247, 273,
277-284
Алгебра групповая 560
Амплитуда перехода 296
— —, борновское приближение 327
— —, вычисление вариационным методом
343-350
— —, интегральное представление 324
— рассеяния 107, 292
---вперед 353
— —, интегральное представление 293—295
Антисимметризатор 89 —93, 120, 128, 266, 569
— группы перестановок 569
— Юнга 571
Атом водорода 214, 25U 412—415
— —, основное состояние 258—261
— гелия 185—187
— —, основное состояние 261—262
— сложный 112
— углерода 197
— Фока—Дирака 265—272 .
—	Хартри 265—272
Атомные уровни 195—197
Бозон 95-98, 103, 290
Бозонный газ 97
0-распад 125, 159
Вакуум 443—444, 461
Вектор антисимметричный относительно
перестановок 91
—	ковариантный 363
— контраварнантный 363
— нулевой 364
— простраиственно-подобный 364
— симметричный относительно перестано-
вок 91
4-вектор, времениподобный 364
— энергии-импульса 395—396
Векторное поле 52—54
---, поперечная часть 491
— —, продольная часть 491, 494
Вероятность перехода 219, 221
Вещественные нормальные координаты 501
Взаимодействие, зависящее от спина 54—57
— излучения с частицей 509
— нуклои-нуклоиное 55—57
— поля и частицы 457
— спии-орбитальное 54, 198—199, 420
Возбуждение ядер, кулоновское 222—226, 331
Возмущение вырожденного уровня 193—206
— невырожденного уровня 182—193
— первого порядка 184—185
— периодическое 231—232
Волна искаженная 311—320
— плоская 405—407, 451, 504
— свободная сферическая 410—411
Волновая функция частицы спина у, 50
---двухкомпонентная 51
Вращение 13, 28—36, 536
’—инфинитезимальное 29, 34—36
—	наблюдаемых 33—34
—	на угол 2л 38—40
Вращения матрица 30, 41, 536—537
—	оператор 31—33, 536
Время жизни состояния 469, 475
—	собственное 368
Вырождение 473
—	Крамерса 172—173
—	обменное 84— 85, 94
—	ротационное 43
—	уровней 113
G-вырождение 154, 173
Газ бозонный 97
—	фермионный 99	.. .
Гамильтониан атома в постоянном магнит-
ном поле 55
—	Днрака 374, 405
—	— частицы в центральном потенциале 407
—	— — во внешнем поле 375
—	свободного электромагнитного поля 500
у-нзлучеийе атома 76
у-матрнца 377, 380— 384
Гипотеза эргодическая 97
Гиромагнитное отношение 45
Гомоморфизм группы 548
Градиент ковариантный 365
—	контраварнантный 365
Группа 545
—	абелева 546
—	Галилея 145, 177
—	изотопических вращений 144
—	коммутативная 546
—	конечная 546, 559
—	линейных подстановок 548
—	Лоренца 366
— —, неоднородная 365
— —, полная 366
— —, ортохронная 366, 384—388, 391
— —, собственная 367, 388—391
— непрерывная 146, 546
—операторов преобразования 145—146
— перестановок 144, 567
—	полупростая 548
—	преобразований 140—145
—	простая 548
—	пространственных преобразований 144
—	Пуанкаре 366
Диаграмма Юнга 570, 576
Диамагнитный член 55
Длина рассеяния 348
Дырка 435
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
581
Задача на собственные значения 255 —257
Закон Лоренца 476
—	распада, экспоненциальный 469
—	сохранения 154—156
—	— изотопического спина 156
--импульса 398
—	— момента импульса 155
—	— полного импульса 155
—	— — момента импульса 398, 488
— — симметрии относительно перестано-
вок 155
——четности 155, 398
——энергии 161
-—энергии-импульса 488
Зарядовая иезависимисть 124—128, 156
Зарядовое сопряжение 399 —401, 429
Захват радиационный 483
Излучение кванта 468
у-излученне атома 76
изоморфизм групп 548
Изотропность пространства 159
Импульс излучения 496, 504
— механический 368
— поля 451—456, 488
— сопряженный, классического поля 445
Инвариантное подпространство представле-
ния 551
Инвариантность относительно перестано-
вок 155
— по отношению к вращениям 40—44,
155, 159
Индекс ковариантный 363
— контраварнантный 363
— подгруппы 560
Интеграл движения 154, 397 —398
Интерференция 340
Искаженная волна 311—320
Калибровка раднацнонная 491
Калибровочная инвариантность 401
Калибровочное преобразование 490
---Лоренца 491
Канал реакции 322
——входящий 322
---открытый 323
Катастрофа ультрафиолетовая 512
Квазнвырожденне 295
Квантовое поле 362, 439
Класс смежности 544
— сопряженных элементов группы 546, 560
Ковариантная компонента тензора 313
Ковариантный вектор 363	. .
— градиент 365
—	индекс 363
Константа связи 458
Контравариантная компонента тензора 363..
Контраварнантный вектор 363
—	градиент 365
—	индекс 363
Конус световой 365
Координата нормальная 440 , 442, 501
Коэффициенты векторного сложения 61—67
— Клебша — Гордаиа 61—67, 74— 76, 175,
524—528, 532
—	, свойства симметрии 64, 526
—----, соотношение ортогональности 63, 526
— Рака 67-70, 530, 531
Кулоновская энергия атомных ядер 187—189
Кулоновское возбуждение ядер 222—226» 331
Лагранжиан поля 445
Лемма Шура 143, 552
Магнетон Бора 46
Магнитный момент атома 45
—	—внутренний 54
Масса отрицательная 371
—	релятивистская 368, 404
Матрица перехода 296, 312, 350—357
S-матрица 353
Г-матрица 295, 318, 323
—	, свойства инвариантности 355
Матрицы вращения 30, 41
—	Дирака 377, 380-384
—	Паули 48
у-матрнцы 377, 380—384
Метод Блоха 213
—	Борна—Оппенгеймера 274, 283 —284
—	вариационный 254—290
—	—Ритца 254—255
--для связанных состояний 255—257
—	Като 206 -213
—	Томаса —Ферми 112, 115, 118
Метрика псевдоевклидова 363
Метрический тензор 363
Микрообратимость 354
—	упругого рассеяния 297
Множитель Лайде 46, 47, 202, 214
Модель атома Томаса—Ферми 115—118, 199
Молекула двухатомная 284— 290
Момент импульса 13—81, 524
--излучения 496
--.инвариантное подпространство 20, 21
--, коммутационные соотношения 14, 15
—	—орбитальный 24—26
------,	собственные состояния 26
—	,	спектр 24—26
--полный 404, 537
------,	собственные векторы 61
—	—полуцелый 38—40
—	—поля 489
—	орбитальный 498
—	—, собственные значения 17—20, 23—24
—	, функции 20, 21
—	—, сохранение 42
—	—, спектр 17—20, 24
—	—, стандартное представление 21—23
—	магнитный 75, 420
Момент мультнпольный 75—77
—	спина 404
—	электрический 76
Море Днрака 435
Наблюдаемые инвариантные 558
—	частиц спина V2 50
Неприводимость по отношению к вращениям
40-41
Нормальные координаты 440, 442, 501
Нуклон 119
Нуль-вектор 364
Обращение времени 161 — 178, 307, 398— 401,
457
— магнитного поля адиабатическое 247 —251
------мгновенное 235 —236
Однородность пространства 158
Оператор антилинейный 131,	135—137,
139-140
— антисимметрнзацин 89—93, 120, 155
— антиунитарный 138, 141, 166
—	векторный 14, 15
—	Даламбера 365
—	зарядового сопряжения 398
—	комплексного сопряжения 139, 167—169,
398
—	перестановок 86—96
— преобразования 145—146, 395
582
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Оператор рождения 443, 449 , 504 —505
— симметризации 89—93, 96, 120, 155
— скалярный 70-71
— спнна 369
— тензорный неприводимый 70 — 77, 542 —544
— уничтожения 443, 449, 504 —505
— четности 397
— числа частиц 444, 449
— эволюции 93, 95, 181, 217» 219, 470
Орбитальные переменные 50
Основное состояние 461, 463, 443—444
Отношение гиромагнитное 45
Отражение координат 161, 367, 391, 457
Приближение борновское 229, 297, 299, 327
---, критерий применимости 302
— — обобщенное 311, 327—328
—	независимых частиц 112
—	слабой связи 476
— центрального поля 112—114, 195
Принцип микрообратнмости 161, 169—172
—	наименьшего действия 446
—	соответствия 401
Произведение скалярное 3-векторов 364
—	—4-векторов 364
Пространство—время 363
Прямая сумма представлений 550
Переменные орбитальные 50
—	спиновые 50
Перенормировка массы 467, 489
Перестановка 567
—	циклическая 568
Переход адиабатический 232, 236 —239
—	мгновенный 232—236
—	радиационный 463—469
Плотность тока 404
—	4-тока 379-
Поглощение "кванта 483
Подгруппа 547, 560
—	инвариантная 547
—, индекс 560
—, сопряженная 547
Подобные частицы 86—93
Подпространство инвариантное 205, 551
Позитрон 435
Поле векторное 52—54
— —, поперечная часть 491
--, продольная часть 491, 494
— квантовое 362, 439, 442
——свободное 442
— скалярное классическое 440
— спинорное 50, 51
Поляризация круговая и линейная 505
Поправка второго порядка 464
— высшего порядка 189—191, 421
Порядок группы 546
Постоянная тонкой структуры 466
Постулат симметризации 85—96, 98, 110
Потенциал Гаусса 357
— Морса 288, 291
— центральный 307, 407—410
—	электромагнитный 365, 490
—	Юкавы 357
Правило отбора 62, 75
—	Хунда 197
Представление вещественное 168
—	вполне приводимое 551
— вращающихся осей 238—239
—	Дирака 375—377
—	единичное 549
—	линейное 548
— неприводимое 551, 561
—	приводимое 551
—	регулярное 561, 563, 564
—	симметрическое 86, 88
—	сопряженное 549
—	стандартное 554
—	тривиальное 549
—	унитарное 549
Представления эквивалентные 549
Преобразование 140
—	антилннейное 137
—	аитнунитарное 138—141
—	калибровочное 490
—	— лоренцево 491
—	Фолди —Вотхойзена 421—427
Приближение адиабатическое 243 —247,
277-284
Радиационный захват 483
Радиус электрона классический 489
Разбиение целого числа 569
Разложение борновское 301—304, 311
---обобщенное 314
Размерность представления 549
Рассеяние быстрых электронов на атомах
329
—	двукратное, амплитуда 341
—, интегральное представление решения 334
—	многократное 341
—	неупругое 320
—	простое 338
—	резонансное 481
—	упругое 304, 320
— частицы на двух центрах 335—336
Резольвента 207—210, 471, 483
Резонанс 231—232
Решение с отрицательной энергией 431—435
Ротатор жесткий 191—193
Сверхтонкая структура 55
Связь диполь-дипольиая 420
— Рассела—Саундерса 198—202, 214, 235
—	слабая 461
/’/-связь 214
LS-связь 198-202, 214, 235
Сдвнг во времени 161
—	лэмбовский 415
—	уровня 464
—	фаз, стационарное выражение 343
—	—, вариационное вычисление 347
Сечение рассеяния 107, 108, 295, 321
—	—геометрическое 304
—	—дифференциальное 298
—	—, неупругого в борновском прнближе*
нин 330
—	полное 105, 298
—Резерфорда 224
Сила Лоренца 368, 495
—	тензорная 56, 66
Символы Вигнера 69, 530
—	«3/> 524
—	«6/» 69, 530, 532, 535
—	«9/> 69, 534
—	«Зп/> 67
Симметризатор 89—93, 96, 120, 128, 569
—	группы перестановок 569
—	Юнга 571
Симметрия 13
Система тождественных частиц 82—129
Скобки Пуассона 147
4-скорость 369
Сложение моментов импульса 57—70,
524-544
—	спинов Va 60
Собственная энергия электрона электроста-
тическая 489
273, Соотношение	Бора—Пайерлса—Плачека
353-354
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
583
Соотношение Дирака 127
—	мнкрообратимости для Г-матрицы 354
—	ортогональности 562
Сопряженная подгруппа 547
Сопряженные элементы группы 546
Состояние виртуальное 221
—	динамическое 256—259
—	микроскопическое 97
—	метастабнльное 481
—	микроскопическое 97
—	основное 443—444, 461, 463
—	собственное вырожденное 470
--невырожденное 470, 473
—	с отрицательной энергией 431—435
Спектр полосатый 111
Спнн 13, 44
—	изотопический 118—128
--полный 120
—	поля 498
—	ядра 109
—	‘/г 48-55
— 1 50
Спиновые переменные 50
Спинор 50, 391
Спинорное поле 50, 51
Статистика атомных ядер 109 — 111
— Бозе —Эйнштейна 96-98, 503
—	 Ферми — Дирака 98-100
Столкновение двух тождественных частнп
103-109
—	протонов 107
—	сложное 348
—	с перераспределением 321
Структура молекул 272-290
—	сверхтонкая 420
Сферические функции 26—28
—	—, условия на фазу 26
Таблица Юнга 570
Тензор 71
—	метрический 363
—	неприводимый 71—72
—	приводимый 71—72
—	электромагнитного поля 365, 369
—	энергни-нмпульса 487
uvZp
—	р. 365
Тензорное произведение представлений
551, 563
Теорема адиабатическая 233, 237, 240—243
— Вигнера —Эккарта 74—75, 77, 200, 201, 225
— оптическая 353
— сложения моментов импульса 58—61
.-------, основная 59—60
— Эренфеста 233, 237, 240-243
Теория возмущений нестационарная 219—232
--стационарная 181—215
— излучения 439, 503—520
—	Максвелла—Лоренца 485
—	Паули 48, 417
— рассеяния 291—358
--, интегральное уравнение 299— 301
Трансляционная инвариантность 155, 158
Транспозиция 569
Тритон 252
Угловой момент 14
Углы .Эйлера 28 —31, 37 , 536
Уравнение Дирака 361, 438
---в ковариантной форме 377
— —, инвариантность 384—388
<--, нерелятнвистскнй предел 415, 417
----сопряженное 379
— Клейна — Гордона 370—373, 401, 436, 438,
441
Уравнение Лагранжа 446
—	Лоренца 485
—	Пуассона 115
—	Фока—Дирака 267—270
—	Хартрн 272
—	Шредингера 93, 106, 240
--нестационарное 202 —253
Уравнения гамильтоновы классической
релятивистской частицы 369
—	Максвелла 488
Условие Лоренца 491
Фазовый множитель, выбор 525
Фактор-группа 547
Фермионный газ 99
Фермионы 95, 98-104, 290
Физическая наблюдаемая 39—40
Формула Внгнера 80, 539—540
—	Мотта 108
—	Рака 528, 533
— Резерфорда 306
Форм-фактор плотности электронов 305
Фотон 460, 503, 506
Фотоэлектрический эффект 252, 483, 522
Функция антисимметричная относительно
перестановок 84
—	базисная комплексная 499
—	Гамильтона классической релятивистской
частицы 369
—	Грнна 292, 307, 308, 315, 334, 344, 481
--искаженных волн 315—318
--как оператор 308
—	Грнна, разложение 307
--свободная 292—311
—	Лагранжа 446
—	обрезающая 459
— симметричная относительно перестановки
аргументов 84
— сферическая 26—28, 74, 540
--, условие на фазу 26
—	Томаса —Ферми 117
Характер 549, 561
Частица в статическом потенциале 163—164
—	спина Va 50—52
—	спина 1 52—54
Частицы тождественные 82
Частота Бора 219, 246, 476
Четность 155, 404
—	перестановки 90
Ширина линии 470
Эквивалентные представления 549
Эксперимент Штерна —Герлаха 47
Электрон в кулоновском поле 412-415
—	—центральном электростатическом потен-
циале 427
---электромагнитном поле 54, 420
—	свободный 405
Энергия 404
—	излучения 496
—	отрицательная 431
— поля 488
Эргодическая гипотеза 97
Эффект Зеемана 46, 201, 214, 159, 161
--аномальный 47
— Пашена — Бака 203, 235
— Рамзауэра— Таунсенда 304
— фотоэлектрический 252, 483, 522
— Штарка 159-285
---для жесткого ротатора 304