М. Э. Аэров, О. М. Тодес, Д. А. Наринский
Аппараты
со стационарным
зернистым
слоем
Гидравлические и тепловые
основы работы
Ленинград
,,Химия"
Ленинградское отделение
1979

УДК 66.023 : [532.5 + 536.2]
Аэров М. Э., Тодес О. М., Наринский Д. А.
Аппараты со стационарным зернистым слоем:
Гидравлические и тепловые, основы работы.— Л.:
Химия, 1979. —176 с, ил.
В книге изложены принципы работы и устройства аппаратов со
стационарным зернистым слоем, предназначенных для проведения
процессов сушки, сорбции, катализа и др. Рассмотрена аэродинамика
потока и рекомендованы инженерные формулы расчета гидравлических и
тепловых процессов.
Книга предназначена для научных и инженерно-технических
работников химической, нефтехимической и других отраслей
промышленности, а также может быть полезна аспирантам и студентам
химико-технологических вузов.
176 стр., 58 рис., 5 табл., список литературы 396 ссылок.
Редактор В. А. Станкевич. Техн. редактор 3. Е. Маркова
Художник В. А. Тюлюкин. Корректор Г. А. Лебедева.
ИБ № 653
Сдано в набор 15.09.78. Подп. к печ. 25.01.79. М-30568. Формат бумаги
60X90'/ie> Бум. тип. № 3. Литературная гарнитура. Высокая печать.
Усл. печ. л. 11,0. Уч.-изд. л. 10,98. Тираж 3000экз. Зак. 1274. Цена 1 р. 70 к.
Изд. № 1322
Ордена „Знак Почета" издательство „Химия", Ленинградское отделение
191186, Ленинград, Д-186, Невский пр., 28
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой «Союзполиграфпрома» при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли- 198052, Ленинград, Л-52, Измайловский пр., 29.
A 97-79 © Издательство «Химия», 1979

Предисловие
Предлагаемая книга была задумана как развитие нашей
предыдущей, более широкой монографии, посвященной и
стационарному, и кипящему зернистому слою, вышедшей в 1968 г.
Выполненные за истекшие 10 лет под руководством проф.
М. Э. Аэрова новые исследования стационарного зернистого
слоя, анализ многочисленных публикаций и инженерной
практики, как нам представляется, подтвердили правильность
сформулированного нами ранее подхода к рассматриваемым
проблемам и потребовали дальнейшего его развития и уточнения. Это
развитие и совершенствование проведено нами в трех, важных
для инженера, направлениях.
Во-первых, на базе представления о зернистом слое как
принципиально неоднородной системе проведен критический
статистический анализ некоторых основных понятий, которыми,
иногда не задумываясь, пользуются практики — структура
слоя, его порозность и удельная поверхность, средняя локальная
скорость потока — и очерчены границы применимости этих
понятий.
Во-вторых, сопоставление законов гидравлического
сопротивления, диффузии, тепло- и массообмена четко показывает,
как при переходе от вязкого к инерционному течению
постепенно изменяется структура пронизывающего зернистый слой
потока, основные градиенты сосредотачиваются непосредственно
у- поверхности элементов слоя и Последние начинают «работать»
практически независимо друг от друга.
Наконец, в-третьих, при сопоставлении многочисленных,
предлагавшихся в литературе, расчетных формул (только для
гидравлического сопротивления их уже насчитываются сотни),
показывается, что в том интервале, где каждая из них
установлена, они по существу практически не отличаются от
предложенных нами более простых и универсальных зависимостей. Эту
универсальность мы считаем особо важной для рекомендуемых
нами инженерных формул, предназначенных для
предварительного расчета характеристик самых разнообразных зернистых
слоев. В монографии показаны пути получения этих инженерных
формул и как н'а основе физических представлений о структуре
слоя и потока выделялись основные параметры и подбирались
наиболее универсальные их комбинации (например,
эквивалентный критерий Рейнольдса). Обоснована необходимая и
допустимая (логарифмическая) точность универсальных формул.
К великому прискорбию, Михаил Эммануилович Аэров
скоропостижно скончался в процессе подготовки книги к изданию
и большую часть текста пришлось писать по оставленным им
рукописям и заметкам. Окончательный текст составлен под
общей редакцией О. М. Тодеса. Имеющиеся в нашей предыдущей
монографии детальные литературные ссылки на ряд старых
работ, результаты которых были в ней переработаны и обобщены,
здесь в большинстве случаев опущены.
В заключение считаем своим долгом выразить искреннюю
благодарность А. В. Алексеевой за большую помощь в разборе
оставленных ее покойным мужем рукописей и в оформлении
последних.
О. М. Тодес
Д. Л. Наринский

Глава I
Геометрия зернистого слоя
1.1. Обобщенные характеристики
Стационарный слой катализатора или сорбента, кусковой или
зернистой насадки, засыпанный в промышленный аппарат,
представляет собой систему с весьма сложными и многообразными
геометрическими характеристиками. Полное их описание
предполагает: задание формы элементов и их общего числа N в
единице объема; линейных размеров du d2, ..., dN всех зерен и их
взаимного расположения. Последнее определяет размер и
характер просветов м~ежду зернами, извилистость и взаимосвязь
поровых каналов, по которым движется протекающая через
аппарат жидкость или газ. Для несферических частиц существенна
и их конкретная ориентация относительно потока.
Столь детальное описание структуры зернистого слоя
чрезмерно сложно и в нем нет необходимости. В большинстве
практически важных случаев число элементов-зерен слоя в
рассматриваемом аппарате весьма велико и вероятность их укладки
в какой-либо определенной координации относительно
направления потока, при беспорядочной загрузке в аппарат, ничтожно
мала. Целесообразно поэтому рассматривать зернистый слой
как в среднем однородную изотропную среду и вводить
некоторые усредненные обобщенные характеристики его [1, 2]. К
вопросу о границах применимости подобного усреднения мы еще
вернемся в разделе I. 4.
Основными принятыми в технике и технологии обобщенными
характеристиками являются порозность (или пористость) и
удельная поверхность зерйистого слоя.
I. Обозначим через е (м3/м3) долю не занятого зернистыми
элементами объема слоя (порозность). В аппарате доля любого
сечения, пронизываемого потоком («живое» сечение) г|), в
соответствии с принципом геометрического подобия Кавальери —
Акера, в среднем также равна г (м2/м2). Значение 8 зависит от
формы элементов (сплошные или с наличием сквозных
внутренних полостей), состояния их поверхности и характера «упаковки
в слое и в принципе не зависит от абсолютной величины
геометрически подобных элементов слоя.
На рис. I. 1 приведены примеры элементов зернистого Слоя
как правильной, так и неправильной формы. Иногда применяют
зерна, обладающие еще и внутренней пористостью еВн-
5

Рис. I. 1. Элементы зернистого слоя:
/—шар; 2— таблетки; 3—зерна неправильной формы; 4—округлые гранулы; 5—пасадка
из кубиков; 5—кольца Рашига; 7—кольца Лессинга; S—седла Берля.
Поверхность и объем пронизывающих эти зерна крупных и
мелких, сквозных и тупиковых пор существенно определяют статику
(емкость) и кинетику адсорбции, кинетику каталитических
реакций, но в этих порах практически отсутствуют
гидродинамические потоки. Поэтому, в величину е, характеризующую
гидродинамические свойства зернистого, слоя, мы не будем
включать 8вн.
Для экспериментального определения порозности слоя е,
состоящего из сплошных частиц, надо знать плотность рт зерен
твердой фазы и измерить насыпную плотность рн слоя в целом.
Тогда из очевидного равенства рн =(1 —е)рт получаем:
е=1-(Рн/Рт) (1.1)
Для частиц, обладающих внутренней пористостью, под рт =
= M3/V3 следует понимать кажущуюся плотнвсть материала
зерна с массой М3 и объемом V3. Эта величина связана с
истинной плотностью материала твердой фазы рм соотношением:
рт = (1 — 8вн)рм.
II. Отношение внешней поверхности А3 зерна к его объему
a0=*A3/V3 (1.2)
называют удельной поверхностью зерен (м2/м3). Для зерен
правильной формы расчет а0 цо известным их размерам не
представляет затруднений. Для частиц неправильной формы,
угловатых, имеющих выступы и впадины различных размеров,
расчет а0 по формуле (1.2) и даже само определение этого
понятия становится затруднительным.
Удельная поверхность а (м2/мг) слоя в целом — это
суммарная поверхность всех составляющих его зерен в единице объема
аппарата. Для сферических частиц с практически точечными
контактами друг с другом:
а = а0 (1 — е) (I. 3)
6

Элементы с плоскими поверхностями (кубы, цилиндры,
диски, пластинки) при укладке в слой могут соприкасаться ими
и тем самым закрывать часть своей удельной поверхности а0.
Вводя соответствующий коэффициент экранировки Кп < 1,
можно определить эффективную удельную поверхность зерен:
а0 Эф = Kudo. Свободная поверхность в единице объема слоя,
омываемая потоком, равна:
а = а0 Эф (1 — е) = а0 (1 — е) Кп (1.4)
Вопросы экспериментального определения удельной
свободной поверхности будут освещены в гл. II. Здесь же укажем, что
а, так же как и е, следует относить к пространству между
зернами, свободно продуваемому гидродинамическим потоком.
Поэтому, если размер d элемента слоя становится сравнимым
с диаметром аппарата Z)an, то при расчете а следует учитывать
с каким-то поправочным коэффициентом и внутреннюю
поверхность стенок. Для цилиндрического аппарата отношение поверх-
D2
ности стенок к объему равно: аст = nDH/n-j- H = 4/Dan, и при
подсчете общего гидравлического сопротивления принято
считать, что [43]:
а = а0 (1 — е) + 0,75аст = а0 (1 — е) + 3/Z)an (I. 5)
1.2. Слой из шаров одинакового диаметра
(монодисперсный слой)
В таких технологических процессах, как адсорбция, катализ,
сушка, где используют внешнесплошные, хотя и внутреннепори-
стые частицы, зернистый слой весьма часто состоит из
одинаковых или близких по размерам элементов (монодисперсные
слои). Форма самих элементов зачастую близка к шару или
цилиндру, у которого диаметр и высота — величины одного
порядка. Во многих случаях торцевые и боковые поверхности
элементов являются частью сферы. Геометрические характеристики
подобных слоев близки к соответствующим характеристикам
слоя, составленного из шаров одинакового диаметра. На
характер упаковки влияют также свойства материала элементов слоя.
Совокупность шаров одинакового диаметра имеет и
некоторые специфические характеристики. Если считать шары
несжимаемыми, то возможные между ними контакты будут точечными
и введенный выше коэффициент экранировки свободной
поверхности /Сп=1. Учет сжимаемости под действием массы
вышележащих шаров и бокового сдавливания не существенно
уменьшает значение /Сп. По Герцу [1, стр. 23] можно рассчитать от-
носительную площадь контакта шаров 1 — Kn^rf H2p2g2/l44nE2
с плотностью р и модулем упругости Е под давлением массы
слоя вышележащих шаров высотой Н. Для слоя из стеклянных
шариков при // = 0,1 м она пренебрежимо мала: 1,66-10~6
7

на один контакт. Число же этих контактов NK зависит от
укладки шаров, но не превышает Nmax = 12 при самой плотной,
регулярной укладке.
При заполнении реактора монодисперсными шарами
возможна их регулярная укладка или беспорядочная засыпка с
возможной последующей утряской_[4]. Это определяет как средние
значения порозности ё и числа NK контактов шарика с соседями,
так и масштаб флуктуации локальных значений е и NK. При
d/Dan > 0,05 в расчетах средних значений этих величин по
всему аппарату приходится учитывать повышенную порозность
ест слоев, прилегающих к стенке.
Возможные типы регулярных укладок подробно исследовали
в связи с их аналогией упорядоченному расположению атомов
или ионов в кристаллической решетке [5]. Так, для простой
кубической укладки: координационное число NK = 6 (4 соседа
в горизонтальной плоскости и по одному сверху и снизу);
порозность е = 0,476; расстояние между параллельными
плоскостями, проходящими через центры шаров, равно d\
максимальный просвет (живое сечение) в плоскости соприкосновения
шаров соседних рядов fymax = 1, а минимальный — в плоскости,
проходящей через их центры, — i^mm = 0,214. При максимально
плотной гексагональной упаковке: NK= 12 (6 соседей в
вершинах правильного шестиугольника в горизонтальной плоскости
и по три сверху и снизу в промежутках между шарами этой
плоскости): порозность 8 = 0,2595; расстояние между соседними
плоскостями 0,707 d; просветы if>max = 0,349 и i|)mIn — 0,214.
Возможны и другие упорядоченные структуры с промежуточными
значениями е и четными координационными числами NK = 8,
10 и 12. Комбинированные расположения соседних плоскостей
могут давать упорядоченные упаковки с промежуточными,
нечетными значениями NK = 5, 7, 9 и 11. При более рыхлых
расположениях без непосредственного контакта шаров одного
горизонтального ряда возможна, например, упаковка типа
кристаллической решетки алмаза [6] с NK = 4 и е = 0,66.
При нерегулярной загрузке шаров в реактор образуются, как
правило, случайные группировки с различными локальными
значениями е и Л/к и со средней порозностью ё = 0,38—0,39.
Укладка шаров с последующей вибрацией слоя или встряхиванием
дает несколько более плотную упаковку с ё = 0,33—0,36. В
относительно узких трубках средняя порозность слоя несколько
повышается вследствие более рыхлой укладки у стенки
[1, стр. 11].
Для исследования и расчета геометрических характеристик
подобных случайных структур в последние годы был разработан
интересный метод их математического моделирования с
помощью ЭЦВМ [7; 8, стр. 99—171]. Математическая программа
'имитирует процесс последовательной укладки шаров, которые
под действием силы тяжести скатываются вниз и занимают
устойчивое положение в углублении над тремя ранее упакован-
8

ными соседними шарами. Исходные горизонтальные координаты
вновь укладываемой в контейнер сферы задаются генератором
случайных чисел, а вертикальную координату снижают до тех
пор, пока эта сфера не соприкоснется с уже упакованной.
Затем пробными смещениями координат центра отыскивают то
минимальное значение вертикальной координаты, при котором
сфера не пересекает ранее упакованных сфер, а также стенки
контейнера. После упаковки одной — трех тысяч сфер
компьютер запоминает матрицу координат их центров; с помощью этой
матрицы можно проиграть и рассчитать интересующие нас
геометрические характеристики структуры данного слоя [8,
стр. 143—171].
На рис. 1.2 приведен результат такой обработки.
Результаты математического эксперимента (кривая 1) для различных
значений чисел контактов iVK = 5; 6; 7_; 8; 9; 10 и 11 дают
наиболее вероятное и среднее значение NK = 8; оно оказывается
таким же, как и для регулярной ромбоэдрической укладки
с е = 0,395. По-видимому, аналогично тому, как в реальной
жидкости имеется так называемый «ближний» порядок в
расположении соседних молекул, так и в нерегулярно насыпанном
зернистом слое довольно часто
образуются Лекальные упорядоченные,
структуры подобного типа.
До создания математических
методов моделирования структуры
зернистого слоя распределение
числа контактов для монодисперсных
шаров изучали экспериментально
различными методами [9, 10],
точность которых оценить довольно
8 10 12 NK
0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50__
е(е)
Рис. I. 2. Распределение вероятностей чисел контактов у шаров при
нерегулярной засыпке:
/—•результаты математического эксперимента [8, стр. 143-171]; ё=0,39; 2—результаты
физического эксперимента [9]; ё=0,38; 3—двухкомпонентная смесь [8, стр. 143-171J;
8—0,41; RdRt=*l/2\ Ci/c2=8/l.
Рис. I. 3. Зависимость среднего координационного числа NK от порозности е
монодисперсного слоя шаров:
О —регулярные упаковки; Л —результаты математического эксперимента [8, стр. 143-171];
•—результаты физических экспериментов [9, 10].
9

трудно. Одна из таких кривых (кривая 2) приведена на рис. I. 2.
И расчетные и экспериментальные кривые близки к
стандартному распределению Гаусса
W (Ад - -—I— exp [~ (Мк - ЙК)2/2Д2„] (I. 6, а)
с относительным стандартным отклонением 6# = Д#/# = 18%.
Развитие быстродействующих ЭЦВМ существенно
расширило возможности математического моделирования по
сравнению с возможностями прямого физического эксперимента. Для
демонстрации этого на рис. I. 2 (кривая 3) приведено
распределение чисел контактов для двухкомпонентной смеси при
несколько большей порозности (е == 0,41) из шаров с
соотношением радиусов R\IR2 = V2 и соотношением концентраций
с{/с2 = 8/ь Видно, что среднее число контактов при этом сильно
возрастает и NK = 11.
С увеличением порозности координационное число монотонно
уменьшается.
На рис. I. 3 светлыми кружками отмечены значения NK9
соответствующие некоторым основным регулярным упаковкам и
на их основе построена усредненная прямая, описываемая
уравнением:
ЛГК= 19-288 (1.7)
Одновременно на рис. I. 3 нанесены значения Л?к в
зависимости от е для некоторых неупорядоченных структур, полученные
при математических и физических экспериментах. Эти точки
также оказались близки к нашей усредненной прямой, т. е.
соотношение (I. 7) можно считать достаточно справедливым и для
локальных значений е и NK. Из-за линейного характера этой
связи распределение флуктуации порозности в насыпанном слое
монодисперсных пцров так же должно подчиняться закону
Гаусса:
W (6) = JL ехр [- (8 - e)2/2Ai] (I. 6, б)
у2яД8
с тем же относительным стандартным отклонением б8 = А8/« =
= 18%, что и распределение числа контактов (I. 6, а).
Эти флуктуации порозности существенны в процессах
хроматографии и ионного обмена. Наличие их неизбежно в
насыпанном зернистом слое, сочетающем геометрически стабильные
структуры отдельных ансамблей элементов слоя с изотропностью
его как целого. При регулярных укладках, как мы видели выше,
просвет в плоскостях, перпендикулярных потоку, непрерывно
меняется в пределах от if>min до г|)тах« При нерегулярной укладке
шаров слой в целом изотропен и, в соответствии с принципом
Кавальери — Акера, средний просвет aji> во всех горизонтальных
сечениях аппарата (при d «С #ап) одинаков и равен средней
порозности слоя ё, что подтверждено и экспериментально [11].
Этому значению равен и средний линейный просвет £ = ё = ,ф
10

(доля длины произвольной прямой, проходящей в просветах
между зернами).
Карнаухов с сотр. [6], изучая экспериментально структуры
из шариков одинакового диаметра, засыпавшихся в контейнер
поодиночке или в виде связанных цепочек (2, 3, 4 и 5 штук в
цепочке), получили для средних диаметров горл между шарами
соотношение dT0VJ[ldm^ = 0,62 е/(1 — в). При порозности
насыпанного СЛОЯ 8 = 0,38 ^горл/^шар = if) = 8.
Введенное выше понятие координационного числа NK
существенно и само по себе, а не только как вспомогательная
функция, с помощью которой получено соотношение Гаусса (1.6,6).
В непосредственной близости от контакта между шарами
образуется капиллярная щель, в которой в первую очередь
конденсируются пары и задерживаются стекающие по насадке
смачивающие жидкости. Вблизи этих контактов образуются и
«застойные зоны» протекающего потока, замедляющие,
диффузию и массообмен потока с зернами. С увеличением NK доля
этих застойных зон возрастает.
Поступающий в зернистый слой поток газа наталкивается
на своем пути на частицы слоя и обтекает их. Таким образом,
отдельные струйки будут все время отклоняться в ту или
другую сторону от основного направления потока. Это удлинение
истинного пути газовых струй внутри зернистого слоя
характеризуют его извилистостью Т. На рис. 1.4 изображен участок,
вырезанный из слоя шаров при ид максимально плотной
регулярной упаковке (е = 0,29); здесь же показан искривленный
поровый канал, направление которого отклоняехся от вертикали.
При высоте выделенного элементарного участка / *= 0,707 d
длина наклоненного и искривленного канала составляет /кан =
= 1,065 d [12]. Отсюда, степень извилистости
Т = /Кан// (1.8)
составляет 1,065/0,707 = 1,5. Превышение в 1,5 раза общей
длины пор, пронизывающих слой шаров, высоты слоя
существенно для описания и расчета сопротивления течению газа или
жидкости сквозь эти поровые каналы. В указанном выше
моделировании на ЭЦВМ появилась возможность составления
алгоритма расчета Т с помощью компьютера, в память которого была
заложена матрица координат центров шаров, «засыпанных» в
данный контейнер. Результаты этих расчетов [7] привели к
значениям Т = 1,5 при е = 0,4 и Т = 1,1 при е = 0,8.
Рис. 1.4. Извилистость пор при максимально
плотной регулярной упаковке шаров.
11

1.3. Слой из элементов различной формы
и размеров
Частицы одинакового размера правильной, но несферической
формы, могут быть также уложены в определенном порядке.
При регулярной укладке цилиндров одинакового размера пороз-
ность может достигать минимального значения 8min = 0,096.
Тела с плоскими гранями, такие, как кубы или тетраэдры,
могут быть уложены в сплошную кладку с е = 0. Однако при
неупорядоченной засыпке их в реактор подобные элементы
образуют слой со значениями е, меняющимися примерно в том же
интервале, что и для шаров, т. е. ё« 0,4 [13].
Для снижения гидравлического сопротивления слоя потоку
в химической технологии применяют насадки из элементов со
сквозными отверстиями и каналами — кольца Рашига, седла
Берля (см. рис. I. 1) и др. Повышенную порозность имеют также
слои из частиц неправильной формы с углами. Такие элементы
могут укладываться в высокопористые скелетные образования.
Подробная сводка значений г для насадок из элементов
различной формы приведена в [1, стр. 23].
Удельная поверхность:
одиночного шара —
A nd2 б П оч
цилиндра с диаметром d и высотой Н —
nd2H/4 d \ 3 + 3 Н )
ndH + 2nd2 /4
а0ц =.
Отсюда видно, что в интервале 0,05 < -^ < 2 удельная
поверхность цилиндрической таблетки отличается от удельной
поверхности шара того же диаметра не более, чем на 7з-
По сравнению с шаром геометрических характеристик у
цилиндра не одна (d), а две (d и d/H или d и Я). Однако, если
d/H не сильно отличается от единицы, то с достаточным
приближением можно характеризовать цилиндр как шар с
некоторым эквивалентным диаметром db. Это понятие эквивалентного
диаметра можно вводить различным образом. Так,
соотношения ndv/в = V3 и dv = <$QV3/n определяют dv как диаметр
шара, объем которого равен объему зерна У3.
Для потока, пронизывающего слой, существенна суммарная
поверхность зерен, омываемая потоком. В качестве
эквивалентного диаметра в данном случае целесообразно вводить диаметр
такого шара, поверхность которого равна обдуваемой
поверхности зерна A3 = nd2A и dA — ^AJrt. Отношение
o==-f-=—(—Ll -—L.- (1.10)
dzA Аг \ л J A3dY a0dv
12

характеризует отклонение формы зерна от сферической. Для
шара этот коэффициент формы Ф, естественно, равен единице,
а для несферических тел с развитой удельной поверхностью
ф < 1. Так, для цилиндра: Фц = $н + l)t*l%d2H)ll>%* ПрИ d = H
максимальное значение Фц max — 0,875.
Для частиц неправильной формы предлагали 0олее сложные
соотношения [14]. Экспериментально определяют
среднеарифметическое значение dc между диаметром отверстий сита, через
которые элементы слоя проходят, и диаметром отверстий сита,
на котором эти зерна задерживаются. Между диаметрами dv,
<1а и dc должна существовать прямая пропорциональность:
dv = Kvdc и dA — fade с определенными значениями
коэффициентов Kv и Ка для частиц данной формы. Следовательно:
А К2ЛЪ КЬ 6
а0 = —=*—Л- и On=~f=: (1.11)
V Ksvdc K\ a0dc
Сводка зйачений Ф для различных частиц приведена на
стр. 58.
При засыпке из элементов с плоскими гранями возможно
частичное перекрытие их свободной поверхности; поэтому при
вычислении последней вводят поправочный коэффициент Кп < 1
[см. уравнение (1.4)]. Экспериментальное определение
величины коэффициента Кп довольно громоздко [15]. С ростом по-
розности слоя е частицы расходятся, степень перекрытия
уменьшается и поправочный коэффициент Кп растет, стремясь к еди*
нице, как это показано на рис. I. 5.
' В условиях химико-технологических процессов стационарный
зернистый слой стремятся образовать из частиц одинакового
размера и формы (монодисперсный слой). Однако в процессах
с псевдоожиженным (кипящим) слоем элементы последнего
зачастую имеют довольно широкий интервал линейных размеров
di (полидисперсный слой). Еще более широк диапазон размеров
частиц у естественных зернистых материалов (например,
грунтов) [16].
Пусть ситовой анализ показывает, что в слое присутствуют
частицы с размерами: dx = ^бУ^/я, d2, d3, ..., di== rfeVJn, ...
..., dn. Обозначим относительные доли (массовые или
объемные) частиц каждого размера через:
N
Sv g2> gs> ...•*,..... gn, где ^ 8t = {* (I-12)
i
Среднемассовый диаметр частиц определится как
N
l
* Если эти gt измерять в процентах, то в правой части равенства (1.12)
единицу следует заменить на 100.
13

Рис. 1.5. Зависимость коэффициента
экранировки /Сп от порозности е:
X—диски, •-цилиндры, О-кубы, Д«-призмы.
0,20 0,30 0,40
Ш
Удельную поверхность частиц можно вычислить из
выражения
Z4
N
(1.14)
где Ф —введенный выше [согласно (I. 11)] коэффициент формы
для частиц данного размера.
Из (I. 14) видно, что при подсчете удельной поверхности
играют особенно большую роль зерна с малыми размерами,
поскольку множители l/di в (I. 14) для них очень велики.
Фактически мы не можем определять бесконечно малые
доли gi для частиц точно заданных размеров dt. Конечные же
значения массовых долей gi задают на некотором интервале
значений d (обычно между значениями диаметров отверстий двух
соседних сит, средним арифметическим которых является
условный, диаметр hi). Поэтому часто целесообразно
характеризовать систему не дифференциальной g(di)9 а интегральной
функцией распределения Gi(d)
о, («О-£*,<*> <L15>
i
представляющей относительную долю частиц, размеры которых
не превышают данное значение hi. При достаточно узких
интервалах M = di+\ — di функция Gi(d) может быть
представлена интегралом от gi(d). В свою очередь функция g(h) тогда
является производной: g(d) = dG(d)/dd.
В полидисперсных слоях мелкие зерна могут располагаться
в промежутках между крупными и, тем самым, снижать общую
порозность слоя. Так, при кубической укладке шаров радиуса /?,
в промежутках между ними можно вложить вплотную шарики
радиуса /?i=/?(V3— l) = 0,732/?. При этом общая порозность
снижается с 0,476 до 0,271. В поры между шарами этих двух
размеров можно вложить еще более мелкие шарики радиусом
#2 < Ri < R и т. д. Теоретически при регулярной укладке слоя
из шариков шести различных размеров можно получить
порозность 0,039 [17]. В действительности, вероятность того, что слой
с зернами различных размеров при плавном.изменении их диа-
14

метров будет иметь пониженную порозность, весьма мала и
значение е у смеси с широким набором размеров зерен, как
правило, того же порядка (в = 0,35—0,45), что и у слоев из зерен
одинакового размера [15].
1.4. Структура слоя вблизи стенки аппарата
(табл. 1.1)
Структуры зернистого слоя в объеме аппарата и в
непосредственной близости к ограничивающим стенкам или
погруженным в слой поверхностям теплообмена несколько различны. Для
встречающихся на практике случаев, когда отношение Dan/d3 <
< 10, воздействие стенок сказывается и на структуру слоя в
самом центре аппарата.
Таблица 1.1
Значения порозности зернистого слоя в центре (ец) и вблизи стенки (ест)
аппарата, определенные различными методами
Характеристика элементов'слоя
Число т
пристенных
рядов
с порозностью,
ест
Порозность|
в центре
слоя
Порозность |
вблизи
стенки
е,
ст

Литература
Шары металлические, полированные
Шары пробковые d-
d*
19 мм
12 мм
Цилиндры деревянные (d = 12 мм)
Шары металлические, полированные
Гранулы расплавленного корунда
Гранулы расплавленного магнетита
Кольца Рашига из глинозема
(d «■ 6 мм)
Шары из глинозема
Шары металлические, полированные
0,34
0,38
0,38
0,33
0,37
0,26
0,29
0,31
0,37
0,4
0,57
0,33
0,32
0,53
0,45
0,45
0,48
0,53
0,41
0,41
0,51
0,5
0,5
0,69
0,43
0,47
[23]
[24]
Основной обобщенной характеристикой структуры
зернистого слоя является его порозность е в данной области. Это
понятие локальной порозности не является столь простым и
зависит от масштаба усреднения. Действительно, если мы будем
уменьшать эту область, сводя ее к точке, то для точек,
находящихся в промежутках между зернами, локальная порозность
елок = 1, а внутри зерна еЛок = 0. Усреднение по всему
реактору дает среднее значение ё. Усреднение же по области, в
несколько раз превышающей диаметр зерна, при хаотическом
взаимном расположении последних приводит к значениям еЛок,
отличающимся от е в ту или другую сторону.
Эти колебания елок относительно среднего значения .имеют
двоякую природу. С одной стороны, это — мелкомасштабные
колебания большой амплитуды (0 ^ е < 1), обусловленные
15

дискретностью самой системы и не характеризующие работу
annapata в целом. С другой же стороны, это — представляющие
прямой технологический интерес постепенные изменения еЛОк
в пространстве. Обусловлены они наличием крупномасштабных
неоднородностей самого реактора, т. е. близостью стенок или
погруженных поверхностей теплообмена, а также изменениями
режима, происходившими в процессе загрузки слоя в аппарат.
Для исключения влияния мелкомасштабных флуктуации и
получения определенного значения еЛок и дополнительного к ней
значения объемной концентрации твердой фазы аЛОк = 1 — еЛОк
представительный объем V, для которого определяют а и е,
должен быть достаточно велик и содержать большое число
частиц п. В случае достаточно разреженных систем минимальный
представительный объем VmIn может быть оценен по известным
методам статистической физики. По закону больших чисел
относительная флуктуация от заключенного в этом объеме
среднего числа частиц п при а< 1, составляет [18]: бпа->о= I/ s/n.
Следовательно, для_того, чтобы вызванные дискретностью
флуктуации dn=l/<\/n не превышали 0,01, т. е. 1%, требуется
иметь объем У, содержащий в среднем не менее Я = 10 000
частиц.
Для концентрированных систем следует принять во
внимание еще и степень их концентрированности, определяемую как
отношение средней объемной концентрации зерен к
максимально допустимой при самой плотной упаковке: q = о/отих. Как
указывалось в разделе 1.2, для слоя из одинаковых шаров при
максимально, плотной упаковке 6min = 0,259 = 0,26 и ow =
= 1 — 0,26 = 0,74. Средняя же объемная концентрация при
беспорядочной засыпке составляет а = 1 — 0,4 = 0,6;
концентрированное^ такой засыпки равна: qm = 0,6/0,74 = 0,81.
Статистический расчет концентрированных систем [19]
приводит к зависимости относительной флуктуации среднего числа
частиц в достаточно большом объеме:
бп = Vr^/V^" (1.16)
Для разреженных систем ?->0 и 6я->1/У/г.
Зададимся допустимой (в плане точности измерений)
флуктуацией, вызванной дискретностью зернистого слоя, не более
бя = 0,02, т.е. 2%. Тогда но (1.16): птщ = (1 -0,81)/(0,02)2 =
= 0,19/0,0004 = 500 зерен. Для менее концентрированного псев-
доожиженного слоя шаров при а = 0,4 I — q = 1 — 0,4/0,74 =
= 0,34/0,74 = 0,44 и, следовательно, птт « 1100 частиц. Если
измеряемый объем имеет форму куба или шара, то он должен
содержать по ребру или диаметру 8—10 зерен.
В работе Аюкаева, Киврана и Аэрова [8, стр. 143—171]
приводятся данные по расчету средней линейной плотности слоя из
одинаковых шаров, положения которых в контейнере
разыгрывались статистически. Составленный алгоритм позволил,
вызывая из памяти ЭЦВМ матрицу координат центров шаров, рас-
16

считывать среднее значение просвета | вдоль вертикальной
прямой. Математический эксперимент давал значения |,
практически совпадающие с ё. Проводя серию параллельных прямых,
можно подсчитать не только среднее значение а = 1 — ё =
— 1 — 1, но и дисперсию. Так, для одного из опытов при а =
= 0,4838 абсолютная дисперсия составляла Да = 0,08508, а
относительная ба = Да/сг = 0,08508/0,4838 == 0,176, т. е. 17,6%.
Поскольку а = м(со/У), где со — объем шара, а V —
представительный- объем, то ба должно совпадать с 8п, рассчитываемой
по (1.16). В качестве представительного объема выбирали
цилиндр, радиус которого равен радиусу шара /?, а высота Н =
= 60/?. При данном значении а он содержал -j-^- a = 21,8
частиц. При 1 — ^ = 0,2567/0,7405 = 0,347 по (1.16) находим:
б/г == 0,126, т. е. 12,6%, что удовлетворительно сходится с
результатом математического эксперимента.
Столь высокий статистический разброс в 13—18%
естественно вызван малым числом частиц в представительном объеме
(п » 22). Поэтому, если мы хотим количественно
охарактеризовать местные изменения порозности насыпанного слоя на
расстояниях, меньших диаметра зерна вблизи от стенки аппарата,
следует выбрать ячейку усреднения достаточно вытянутую в
остальных двух направлениях так, чтобы иметь в ней п > 500.
Например, Робли и Берд [20] засыпали в цилиндрическую
трубу зерна из пробки, дерева или графита. Цилиндр с этой
насадкой заливали расплавленным парафином. После застывания
последнего из трубы вынимали керн, который рассекали на
диски, разрезаемые на концентрические кольца или
последовательно обтачиваемые на токарном станке (рис. 1.6). Ячейкой
усреднения здесь служил кольцевой цилиндр объемом Vr =
= 2пг&Н. Объем парафина в этой ячейке позволял найти
локальную порозность в зависимости от радиуса г или расстояния
от стенки х = R — г. Поскольку Н S> d> то толщина кольцевого
слоя б могла быть взята равной ~0,2d, а по точкам можно
было построить зависимость гЛок{г) с достаточно узким шагом.
По аналогичной методике экспериментально была найдена
Рис. 1.6. Схема разделения слоя на кольцевые
цилиндры — ячейки усреднения.
17

зависимость еЛок(г) для насадок из тел сложной формы [21], на*
пример, седел Берля.
Как следует из рис. I. 7, для шаровых частиц влияние стенки
на структуру слоя простирается на глубину 3—5 диаметров
зерна и ослабевает до значения ~d при сильном расширении
слоя е = 0,80. Для фигурной насадки (седла Берля) это
влияние стенки на структуру слоя проявляется значительно слабее
и практически отсутствует уже при х = d/2.
В ранней работе Жаворонкова, Аэрова и Умник [3] толщина
кольцевой ячейки б была выбрана равной диаметру шара, что
сильно сгладило колебания измерявшейся еЛок. Если на
диаметре аппарата укладывается п = D^/d зерен, то весь аппарат
приближенно был разбит на центральную цилиндрическую зону
с постоянной средней локальной порозностью ец и кольцевую
пристеночную зону с повышенной порозностью 8СТ (рис. 1.8).
Ширина этой кольцевой зоны составляет т рядов, а диаметр
центральной зоны п — 2т рядов. Средняя порозность всего
сечения в целом е определяется усреднением по площадям, ко«
торые пропорциональны квадратам диаметров
, ец (п - 2т)2'+ вст [п2 - (ft2 ~ 2m)2]
-+ЧЧ^)Ч «•">
где Де = 8Ст — 8Ц.
Сопоставление с экспериментом для свинцовых и стальных
шаров (рис. I. 9) при 4 ^ п = Dan/d ^ 40 показало хорошее
совпадение с расчетной зависимостью (I. 17) при значениях
параметров т = 1, 8Ц = 0,38, Де "= 0,073 и ест — ец + Де = 0,453.
Сравнивая эти значения ец и ест с порозностями регулярных
укладок, можно видеть, что у стенки образуется структура, близ-
Щ
0,6
0,4
0,2\
0
^ У
*ч.х*
е=0,80
е-0,65
е=0,45
»х лх—* х—"
7 8
x/d
Рис. 1.7. Зависимость локальной порозности от расстояния до стенки
измеряемого в долях диаметра зерна.
Результаты [8, стр. 143—171] математического эксперимента в кубическом контейнере с
различными значениями е.
Результаты физического эксперимента в цилиндрической колонне с шаровой (1 [20]) и
фигурной {2, [22]) насадками.
18

кая к кубической упаковке шаров
(еКуб = 0,476 и Л/к^=4); это
совпадает с геометрическими
представлениями о ряде шаров, прижатых к
плоскости [20].
Таким образом зависимость
(I. 17) позволяет довольно хорошо
оценивать повышение средней
пористости засыпки с уменьшением
диаметра аппарата до значения
п = Dan/d = 4. При значениях п < 4
ец(0,38)
Рис. I. 8. Разделение аппарата на центральную и пристеночную зоны (а) и
распределение порозности в этих зонах (б).
Рис. 1.9. Зависимость средней порозности слоя е от отношения диаметра
аппарата к диаметру зерен.
О и X—экспериментальные данные для шаров; расчет по (1.17) при /п=1.
никакого ядра с определенной локальной пористостью ец в
сечении аппарата нет. Следует еще отметить, что значение
порозности в ядре 8Ц = 0,38 в свою очередь близко к регулярной
упаковке с е = 0,395 и NK = 8.
Данные для колец Рашига и гранул с шероховатой
поверхностью [21, R. F. ВепепаШ] показали, что нарушение структуры
в этих случаях охватывает не один, а два ряда элементов,
прилегающих к стенке (т = 2). Для колец Рашига оказалось при
ЭТОМ 8ц = 0,57 И 8ст = 0,69.
Повышенная порозность у стенок аппарата облегчает
проскок газа в пристенном слое, о чем пойдет речь в гл. П.
Литература
1. Аэров М. Э., Тодес О. М. Гидравлические и тепловые основы работы
аппаратов со стационарным и кипящим зернистым слоем. Л., Химия, 1968.
2. Carman P. С. Flow of gases through porous media. London, Acad. Press,
1956.
3. Жаворонков Я. M.t Аэров М. Э., Умник Н. П. — ЖФХ, 1949, т. 23, с. 342.
4. Gupte A. R. — Chem.-Ing. Techn., 1971, Bd. 43, S. 754.
5. Treadwell W. D. — Sprechsaal Arch., 1912, Bd. 1, JSfe 11, S. 41;
Китайгородский Л. Я. Порядок и беспорядок в мире атомов. Изд. 4-е. М., Наука,
1966.
6. Карнаухов А. Я., Киселев А. В. — ЖФХ, 1957, т. 31, с. 2635.
19

7. Аюкаев Р. И, Кивран В. /(. — ДАН СССР; 1974, т. 215, с. 1142.
8. Моделирование пористых материалов. Новосибирск, Изд. СО АН СССР,
1976.
9.'Smith W. 0.} Foote R. ZX, Busang P. F. —Phys. Rev., 1930, v. 36, p. 524.
10. Радушкевич Л. В. —ДАН СССР, 1947, т. 57, с. 471; Изв. АН СССР. ОХН,
1952, № 6, с. 1008; Каданер Д. Г., Лукьянов В. Л1, Радушкевич Л. В.—
ДАН СССР, 1952, т. 87, с. 1001; Bernal /. D., Mason /. — Nature, 1960,
v. 188, p. 910; Карнаухов А. Я.— Кинетика и катализ, 1971, т. 12, с. 1025,
1235.
И. Coulson J. M —Trans. Inst. Chem. Eng., 1949, v. 27, p. 237.
12. Slichter C. — U. S. Geolog. Surv. Reprt, 1897/8, v. 17, p. 11, 295.
13. Burke S. P., Plummer W. Б. — Ind. Eng. Chem., 1928, v. 20, p. 1196.
14. Коллеров Д. К., Житейская В. Д. —Хим. и технол. топл. и масел, 1958,
т. 3, № 7, с. 15.
15. Wyllie М. /?., Gregory A. R. — Ind. Eng. Chem., 1955, v. 47, p. 1379.
16. Истомина В. С. Фильтрационная устойчивость грунтов. М., Госстройиздат,
1957.
17. Hudson D. #.— J. Appl. Phys., 1948, v. 20, № 2, p. 154.
18. Smoluchowski M. V. —Phys. Z., 1912, Bd. 13, S. 1069.
19. Буевич Ю. Л. —ИФЖ, 1968, т. 14, №> 3, с. 454; ПМТФ, 1970, № 6, с. 60.
20. Roblee L. H. S., Baird R. AT., Tiemey J..W. — AIChE J., 1958, V; 4, p. 460.
21. Benenatti R. F., Brosilow G. B. — Ibid., 1962, v. 8, p. 349; Barner I. I.—
Ind. Eng. Chem., 1965, v. 57, p. 43; Verman L. C, Banerjie S. — Nature,
1946, v. 157, p. 584; Rose H. £., Rizk Л. М. Л. — Proc. Inst. Mech. Eng.,
1949, v. 160, p. 493.
22. Kimura M., Novo K.t Kaneda Г. —Chem. Eng. Japan, 1955, v. 19, p. 397.
23. Leva M. — Chem. Eng., 19o7, v. 64, № 9, p. 245.
24. Leva M., Grummer M. — Chem. Eng. Progr., 1947, v. 43, p. 713.

Глава II
Аэродинамика стационарного
зернистого слоя
II. 1. Общие соотношения при движении жидкости
в стационарном зернистом слое
Критерии подобия
Движение жидкости плотностью р (кг/м3) со скоростью и
(м/с) в промежутках между частицами зернистого слоя
подчиняется основным законам гидродинамики—уравнениям Навье—
Стокса [1, 2]. При этом жидкость и даже газ можно считать
практически несжимаемыми (р = const), поскольку скорости
потоков в аппаратах малы по сравнению со скоростью
выравнивания деформаций — скоростью звука. Особенности течения
неньютоновских жидкостей в зернистом слое [3] изучены
недостаточно и реологические свойства потока будем считать
целиком определяющимися вязкостью jx[H/(m-c)].
Задаваясь распределением давления и скоростей на входе
потока, нужно учесть еще и граничные условия отсутствия
скольжения
"а = 0 (II. 1)
на поверхностях всех частиц зернистого слоя и на стенках
реактора.
Сложная и носящая статистический характер
геометрическая структура зернистого слоя не позволяет точно определить
положение точек, в которых должно выполняться граничное
условие (II. 1). Это обстоятельство, а также нелинейность
основных уравнений гидродинамики, не позволяет получить сколько-
нибудь точные решения для скоростей и перепада давлений в
зернистом слое. При малых скоростях течения в условиях
преобладания сил вязкости можно пренебречь квадратичными
членами и уравнения гидродинамики становятся линейными, что
облегчает получение точных или приближенных решений при
сильной идеализации геометрической структуры слоя (см.
ниже). В общем же случае для анализа течения в зернистом
слое приходится обращаться к эксперименту с использованием
при его обработке методов теории подобия [4].
Рассматривая зернистый слой как однородную в среднем
среду (см. раздел I. 4) и усредняя давления и скорости по
сечению аппарата, можно записать выражение для перепада
гидравлического давления вдоль потока в виде:
«-Vp = p(wV)tt-iiAa (п. 2)
21

Здесь первое из слагаемых в правой части характеризует
силы инерции движущейся жидкости, а второе — силы вязкости.
Характер течения и зависимость потери напора "от средней
скорости потока определяются соотношением этих двух слагаемых,
которое, в свою очередь, зависит от основного линейного
размера L, определяющего локальные изменения течения в
системе.
Оценим L как среднее расстояние, на котором скорость
течения и уменьшается от максимального значения в ядре потока
до нуля на его границах, образуемых внешней поверхностью
зерен. Тогда градиенты скорости (первые производные) будут
порядка w/L, а оператор Лапласа V2u (вторые производные) —
порядка u/L2.
Оценивая таким образом отношение сил инерции к силам
вязкости, приходим к величине, называемой критерием Рей-
нольдса
рЩ^^Ш^^^к^нк^ъ (П.2,а)
где отношение jx/p = v (м2/'с) носит название кинематической
вязкости жидкости. При. малых значениях критерия Re
преобладает вязкостный режим течения, а при больших Re —
инерционный.
Поскольку соотношение (II. 2) носит оценочный характер,
то в определяющий тип режима критерий Рейнольдса должны
входить не локальные значения и и L, меняющиеся от точки
к точке, а .некоторая средняя скорость и средний характерный
размер. Выбор последних для потока сквозь зернистый слой
может быть сделан различными способами. В соответствии
с этим и определение критерия Рейнольдса у различных
исследователей несколько отлично, из-за чего предложенные в
литературе эмпирические зависимости для сопротивления зернистого
слоя имеют внешне различные коэффициенты, а иногда и
показатели степени [Б].
В гидро- и аэродинамике обычно рассматривают два
предельных случая. При обтекании крыла самолета, лопаток
турбины и т. п. поток является внешним по отношению к
граничным поверхностям, а в остальной области формально
безграничным. С другой стороны, при течении по трубам и каналам
поток течет внутри поверхностей, на которых задаются
граничные условия (II. 1). В этом плане исследование течения сквозь
зернистый слой является смешанной задачей: поток жидкости и
обтекает зерна слоя, и протекает в порах между ними. Поэтому
выбор характеристических размера L и скорости и может быть
сделан различно в зависимости от того, как подходить к
рассматриваемой задаче.
I. При подходе к анализу течения, когда оно носит характер
обтекания, в качестве характеристического размера L
естественно выбрать диаметр зерна d, т. е. линейный размер исходных
22

элементов слоя. Однако диаметр d не может полностью
охарактеризовать" структуру слоя, даже если шары одинаковы (см.
гл. I). Поэтому такой подход может быть до некоторой степени
оправдан лишь для рыхлых зернистых слоев с высокой пороз-
ностью, когда связь между отдельными зернами практически
утрачивается. Для слоя из элементов, сильно отличных по
форме от шара, d "можно определить как диаметр шара равной
поверхности.
II. Рассматривая течение в слое как внутреннюю задачу,
можно ввести эквивалентный диаметр порового канала dB
(учетверенный гидравлический радиус). Жидкость течет через
зернистый слой по проходам сложного сечения, определяемым по-
верхностью а зерен в единице объема и долей е свободного,
объема. По аналогииус определением эквивалентного диаметра
для каналов некруглого сечения имеем
d9 = 4е/а — 4е/а0 (1 - е) (II. 3)
Эта величина представляется наиболее характерным
определяющим размером стационарного зернистого слоя, объединяя
оба основных параметра последнего а и е. Для слоя шаров
одинакового диаметра а0 = б/d и d3> ш = 4ed/6(l — е). При
изменении е от 0,33 до 0,50 отношение dBt m/d изменяется от Уз до 2/з.
Средний диаметр зерен полидисперсных систем можно
определять различными способами, усредняя различные степени
диаметра:
i
Отсюда, при k = 1 определяется средневесовой диаметр,
а при k = —1 — среднеповерхностный диаметр.
В качестве определяющей скорости также можно выбрать
одну из двух основных величин, а именно: среднюю скорость и
скорость скольжения.
I. Средняя скорость и, рассчитанная на все сечение
аппарата с зернистым слоем. Обозначая площадь этого сечения
через S (м2), а объемный расход жидкости через V (м3/с), имеем
u = V/S*= Vpg/Spg — Gfpg = G/y
где G = Vpg/S — весовой расход на единицу площади; у =
= Pg — удельный вес жидкости.
Величина и — некоторая условная'скорость (superficial
velocity), которой особенно удобно пользоваться при переходе от
неподвижного зернистого слоя к взвешенным разреженным
слоям. Комбинируя ее с d, получаем критерий Рейнольдса для
одиночного зерна
Kes=sud/v==Gd/pg (П. 5)
II. Скорость скольжения иэ потока относительно зерен. Эта
средняя скорость потока в пространстве между зернами связана
с и естественным соотношением: иэ = и/г. Комбинируя ее с
23

эквивалентным диаметром (П.З), получаем эквивалентный
критерий Рейнольдса:
Re9 = Usdjv = 4«/av = 4G/a\ig (П. 6)
Оба вида критерия Рейнольдса (П. 5) и (П. 6)
связаны,соотношением: Re3/Re = 4/ad. Для шаров при изменении е от
0,33 до 0,50 отношение Re3/Re = 4/6(1 — е) постепенно
возрастает от 1 до 4/з-
Критерий Рейнольдса — это основной параметр,
определяющий структуру потока и гидравлическое сопротивление
зернистого слоя. Однако необходимо учитывать и другие параметры,
зависящие от структуры слоя, формы и укладки его элементов.
Поскольку нам предстоит рассмотреть смешанную задачу, то
сопоставим очень коротко результаты, известные для
простейших предельных случаев — течения в цилиндрической трубе и
обтекания шатра.
Течение в цилиндрической трубе
Полученное для этого случая Пуазейлем решение
соответствует ламинарному (струйному) течению жидкости с
параболическим профилем скоростей и пропорциональностью средней
скорости потока й градиенту давления: — dp/dx = hp/L, т. е.
потере напора на единицу длины трубы:
И = -Г32]Г (IL7>
Относя, как обычно, потерю напора на длине L, равной
диаметру трубы d, к динамическому напору рй2/2, можно
определить коэффициент сопротивления:
л-ри72~"рй7"~Ж (IL8)
Эта зависимость хорошо соблюдается до критического
значения ReKp = 2200, а затем происходит скачкообразный
переход ламинарного режима течения в турбулентный с некоторым
повышением значения Я. Далее, для гладких труб медленное
уменьшение К описывает.ся формулой Блаузиуса: Я=0,316 Re-0'25,
что соответствует более быстрому росту потери напора со
скоростью потока: Др ~ м1»75, вместо Др ~ и. Для сильно же
шероховатых труб в турбулентной области X = const и Др ~ й2.
При стационарном течении перепад давления Др
уравновешивается силами трения жидкости о стенки трубы и жидкость
движется без ускорения (и = const). Если трубу поставить
вертикально и не давать дополнительного напора, то движение
будет вызываться гидростатическим напором Др = pLg. Тогда из
(II. 5) и (II. 7) следует соотношение
Da ud 1 gd* 1
Re = —=32"^-=32"Ga (IL9)
24

где gds/v2 = Ga носит название критерия Галилея,
характеризующего влияние силы тяжести. Сама текущая вниз жидкость
при этом как бы невесома, так как сила веса компенсируется
силами трения ее о стенки трубы.
Обтекание шара
Аналитическое решение при пренебрежении инерционным
■> ■>
членом (uV)u для внешней задачи обтекания шара потоком
вязкой жидкости, имеющей на бесконечности постоянную
скорость v = const, получено Стоксом.
Равнодействующая сил давления и вязких напряжений на
поверхности шара равна:
F = 3nndt (НЛО)
Среднее давление потока, отнесенное к миделеву сечению
шара, будет: Ар = F/xUnd2. Как и в предыдущем примере для
трубы, коэффициентом сопротивления % мы назовем отношение
этого давления к скоростному напору-^-рЛ При выполнении
закона Стокса (II. 10):
в F _ ЗлЛро _ 24ц _ 24
Л ~ lUztd2. i/2pa2 "" Ve* d2pv* ~ pvd ~~ Re l"' li)
Решение Стокса (II. 10) справедливо лишь при Re->*0. В
отличие от внутренней задачи при обтекании шара оказалось, что
инерционные члены в уравнении движения на больших
расстояниях от поверхности шара нельзя отбросить даже при малых
значениях Re. Поэтому изменение характера зависимости
сопротивления от критерия Re происходит не скачком, как во
внутренней задаче, а постепенно, растягиваясь на большой
интервал значений Re.
По мере роста Re (большие диаметры шаров или скорости
потока или малая кинематическая вязкость) наблюдается
постепенный переход от закона Стокса к так называемому закону
сопротивления Ньютона
Р-Ся2$-*(. (11.12)
и коэффициент сопротивления стремится к постоянному
значению А,-*- Сх = 0,48. Зависимость К от Re, полученная при
усреднении многочисленных экспериментальных данных, называют
кривой Релея [6, 7]. Для математического описания различных
участков этой кривой предлагали различные одно-, двух- и
трехчленные формулы [2]. Наиболее простой такой
интерполяционной зависимостью является двухчленная формула
24
Я -^- + 0,48 (11.13)
25

дающая заметные отклонения в средней части кривой Релея и
в области кризиса обтекания при Re > 3-105.
В интервале значений Re от 0,1 до 10 инерционные
слагаемые начинают искажать симметричное обтекание, пограничный
слой в кормовой области начинает отрываться от шара и при
Re > 20 за шаром образуется устойчивое вихревое кольцо и
возникает турбулентный след.
С дальнейшим ростом скорости потока и критерия Re
вихревое кольцо за шаром увеличивается в размерах и начинает
осциллировать. При Re « 500 эти осцилляции становятся
периодическими и от кормовой области с определенной частотой,
растущей с Re, отрываются вихревые кольца и уходят вниз по
потоку в виде «вихревой .дорожки» Кармана. При Re«3-105
наступает так называемый «кризис» сопротивления, пограничный
слой турбулизируется и коэффициент сопротивления снижается
до X « 0,1.
Вычислены [2] поправки к решению Стюкса и закону
сопротивления (II. 10) при учете нелинейных членов в виде
разложений по степеням Re. Эти поправки пригодны для значений
Re « 1 — 2. Развитие современной вычислительной техники
позволило в последние годы поставить задачу решения полной
нелинейной системы уравнений для обтекания шара. Решения эти
в предположении осесимметричного обтекания в настоящее
время [8] доведены до Re » 100 и дали, значения коэффициента
сопротивления, хорошо совпадающие с экспериментом.
При экспериментальном изучении зависимости силы
сопротивления шара от скорости потока удобно обратить
гидродинамическую задачу, т. е. предоставить шару свободно падать,
например, под действием силы тяжести, в неподвижной жидкости.
Обозначив плотность вещества шара через рт и учитывая
поправку на закон Архимеда, при равномерном установившемся
падении шара имеем равенство веса шара силе сопротивления,
оказываемого этому движению:
j nd*g (pT - р) = Я — -=£-
Умножив обе части этого равенства на р/\х2 и сократив
числовые коэффициенты, получаем:
Безразмерная величина
sV.P^ZlL^kx (IU5)
v2 р х '
отличающаяся от введенного выше в (П. 9) критерия Галилея
на множитель Рт~~р , называется критерием Архимеда; он ха-
рактеризует свойства шара (d и рт) и окружающей жидкости
26

Рис. II. 1. Зависимость критерия Рей- Re
нольдса от критерия Архимеда при tf.
падении шара в вязкой жидкости.
W* 10
(\х и р). Поскольку X есть функция от критерия Рейнольдса
Re = vd/v, то (II. 14) можно переписать в виде
Ar = jReU(Re)
(И. 16)
представляющем неявную зависимость скорости свободного
падения v9 входящей в определяемый критерий Re, от
определяющего критерия Аг.
Графическое решение уравнения (11.16), т. е. кривая
зависимости Re = / (Аг), приведена на рис. II. 1. Для ее
приближенного описания нами [9] была предложена простая
интерполяционная инженерная формула
Re = ——=- v (11.17)
18 + 0,61д/Аг V '
график которой нанесен на том же рис. П. 1 штрихами.
В предельных случаях малых и больших значений критериев
Аг и Re получаем: при Аг < 20 и Re < 1 Re = 1/18 Аг, т. е.
закон Стокса (II. 10), а при Аг > 104 и Re > 102 Re = д/Аг/0,61
т. е. формулу Ньютона (II. 12) при Сх = 0,48.
Тогда, когда варьируют диаметры шаров, удобнее
преобразовать безразмерные, критерии так, чтобы величина d входила
лишь в один из них. Вводя характерные размер и скорость
. 8/3 pv2 V */'
4 g (Рт ~ Р) V
Р
(И. 18)
можно привести (II. 17) к виду:
(d/dQ)*
v0 24 + 0,7 (d/d0)ifi
(И. 19)
Отсюда видно, что для малых частиц (d <g. do) скорость
свободного падения или равная ей скорость витания в восходящем
потоке, растет пропорционально квадрату диаметра, а для
крупных частиц (d 3> d0\ эта скорость пропорциональна корню
квадратному из диаметра шара.
27

Для частиц несферической формы [10] аналитические
решения в стоксовом приближении удалось получить лишь в случае
эллипсоида. Сила сопротивления описывается такой же
формулой (II. 10), как и для шара, только с заменой d на
эффективный диаметр d*, выражаемый через три полуоси эллипсоида
с помощью двух эллиптических интегралов. Для очень
сплющенного эллипсоида вращения (практически диска диаметра d)
d* = 0,85 d, когда диск расположен перпендикулярно потоку,
и d* = 0,566 rf, если он расположен вдоль потока.
В общем случае частицы произвольной формы коэффициент
сопротивления может быть выражен аналогичной (II. 13)
двухчленной формулой:
Л = -£- + с" (11.20)
При этом критерий Рейнольдса Rea = vdA/v относится к
диаметру сферы с той же поверхностью Л, что и частица, т. е. я<2л =
= А. Коэффициент, определяющий сопротивление в
ламинарной 9бласти, с' = 24/(Ф) содержит поправочный
множитель /(Ф), отличающийся от единицы на ±10% при, изменении
сферичности формы Ф = ndl/s от 0,5 до 2 (s — площадь миде<
лева сечения в направлении, перпендикулярном потоку). Для
нахождения второго коэффициента, определяющего
сопротивление в турбулентной области, Беккер [И] предложил простую
формулу
с" = 2,53 - 0,283 ехр 2а|) (И. 21)
где г|з = я^/Л — характеризует сферичность поверхности.
При экспериментальном исследовании сопротивления шара
или частицы иной формы.надо учитывать осложняющие
факторы. Если частица обдувается в аэродинамической трубе, то
обтекание может нарушаться держателем, который закрепляет
ее в определенном положении. Кроме того, существенна и
степень начальной турбулентности обдувающего потока. Так, при
больших значениях критерия Re, рассчитанного на диаметр
частицы, сильно турбулентный внешний поток может разрушить
турбулентный след, образующийся за частицей, и изменить
закон ее сопротивления. Незакрепленные и взвешенные в потоке
частицы могут вращаться, изменять свою ориентацию по потоку
и совершать сложное непрямолинейное движение. Подробный
обзор исследований, посвященных влиянию турбулентности
набегающего потока, вращения, шероховатости и формы частиц и
других факторов на сопротивление, приведен в серии статей
Торобина и Говэна [12].
На практике движение или обтекание одиночного шара
всегда в той или иной степени нарушается близостью стенок,
дна, других частиц. Задача обтекания шарика диаметра d,
падающего внутри цилиндрической трубки диаметра D,
аналитически решалась для ламинарного режима вплоть до значений
d = 0,6 D [13]. Экспериментальные измерения скорости стеснен-
28

ного падения в широком интервале изменения критерия Re
позволили получить для такого стесненного падения
приближенную полуэмпирическую зависимость [14]-
G Ar(l-ri/P)2
Нест=Д18 + 0,6^Аг(1^^ <IL22>
являющуюся обобщением уравнения (II. 17). Входящий в (II. 22)
модифицированный критерий Архимеда Ar* = Ar(l — d/D)2
переходит в обычный Аг при d/D -> 0.
Наличие стенок делает неполностью обратимой и задачу об
относительном движении тела и жидкости. При стесненном
падении шара в первоначально неподвижной жидкости слои ее,
прилегающие к поверхности шара, движутся вместе с ним вниз,
а прилегающие к стенкам трубы неподвижны. Вследствие
несжимаемости жидкости на ближайшем к стенке участке
возникает обратный поток жидкости, вытесняемый шаром кверху
[4, 14]. Обратный случай возникает тогда, когда вся жидкость
в трубе движется вверх и увлекает или поддерживает
помещенные в трубу тяжелые шарики. Для ламинарного потока при
параболическом профиле скоростей может получиться, что при
средней скорости потока и, равной скорости свободного падения
в безграничной жидкости wn, на оси трубы и > wn и шар
увлекается вверх, а вблизи стенки и < wn и шар опускается. Кроме
того, расположенный несимметрично шарик, с обеих сторон
обтекается потоком различной скорости и начинает вращаться
вокруг горизонтальной оси.
При больших значениях критерия Рейнольдса на диаметр
трубы Re = iiD/v восходящий поток турбулентен и его профиль
скоростей всюду, за исключением пограничного слоя у стенки,
почти равномерен. Зато в потоке возникнут интенсивные
турбулентные пульсации, подхватывающие шар и бросающие его
в разные стороны.
Обтекание совокупности нескольких и многих тел
Наличие обтекаемого тела изменяет структуру обтекающего
потока даже на расстояниях, превышающих размеры тела. Эти
изменения скажутся на условиях обтекания другого тела или
тел, помещенных на близком расстоянии от первого, а также
на силах, действующих на эти тела. Изменения этих сил в
зависимости от расстояния между телами и их взаимного
расположения можно трактовать и как возникновение специфических
сил взаимодействия между телами «через поток».
При обтекании системы тел идеальной жидкостью (\i = 0 и
Re->oo) линии тока между ними сгущаются (рис. II. 2) и
скорость в этом промежутке возрастает. По закону Бернулли:
Р + ри2/2 = const, давление в этом промежутке уменьшается и
на тела начинают действовать как бы силы притяжения,
29

11 HH t t t H t Н
Рис. II. 2. Силы притяжения, возникающие по закону Бернулли при
обтекании двух соседних шаров.
Рис. II. 3. Схема обтекания двух шаров в вязкой жидкости [16].
возрастающие с уменьшением зазора. Вычисления показывают
[15], что
/W(*) = Tr^P<>2 №23)
Таким путем Жуковский объяснил механизм возникновения
подъемной силы крыла аэроплана и дал методы расчета
оптимальных профилей крыльев.
Другой предельный случай чисто вязкого течения (Re->0)
был рассчитан Смолуховским. Используя линеаризованные
уравнения вязкого течения в пренебрежении силами инерции, он
получил решение [16] для случая одновременного обтекания двух
шаров (рис. II. 3) в виде бесконечного ряда по степеням
отношения диаметров dt шаров к расстоянию между их центрами R.
Силы, действующие со стороны потока, имеющего на
бесконечности скорость Доо, на шары во втором приближении имеют вид
F, _ Snixwod, [i -1 (1 + cos2 Ф) А]
F2 _ Zniiw0d2 [l -1 (1 + cos2 Ф) ^-]
(II. 24)
где ф — угол между линией, соединяющей центры шаров, и
направлением потока.
В пределе при Re ->■ со для каждого из шаров выполняется
закон Стокса (II. 10). Взаимодействие шаров через поток умень-
о
шает эту силу сопротивления на величину Д/7™— я|ш>0(1 +
+ cos2 ф) -^, вдвое большую при их расположении вслед друг
другу (ф = 0), чем при параллельном расположении (ф = я/2).
Если диаметры этих шаров различны, то относительное
изменение силы &F/F больше для малого шара, чем для большого.
30

Аналогичное небольшое снижение сопротивления было
доказано Смолуховским и для совместного оседания разреженного
облака из п шариков диаметра d. Значение относительной
поправки к (II. 10) имеет порядок
d nd* L2 L2 *
пока объемная концентрация a < d2/L2.
Экспериментально это снижение сопротивления при
свободном падении одинаковых стальных шариков с d = 1 мм в
глицерине было подтверждено Гаспаряном и Заминяном [17]. При
совместном падении двух шариков скорость падения возрастала
в полтора раза, когда шарики падали вместе. При оседании
же большого числа шариков с объемной концентрацией а =
= 0,00085 и L/d = 38 скорость оседания «облака» была на
20% выше скорости свободного падения одиночного шарика.
Для промежуточных значений критерия Рейнольдса при
Re « 32 — 96 Pay и Хенвуд [18] экспериментально определяли
силу сопротивления Fconp, действующую на обтекаемый потоком
закрепленный шар, в присутствии
одного или нескольких таких же шаров с
в зависимости от их взаимного
расположения (рис. II. 4). Для зависимости
■Fconp от относительного расстояния
б = x/d авторы подбирали
интерполяционные формулы вида:
%р-
Поток
[ сопр
-1 +
К
161
(П. 25)
(Foo — сила сопротивления одиночного
шара при я-> оо).
При последовательном
расположении двух сфер вдоль потока для
передней сферы К = —0,151, а для
задней К= —0,846, т. е. особенно сильное
снижение сопротивления наблюдается
для шара, попавшего в
гидродинамический «след» за передним. При
расположении же обеих сфер
перпендикулярно потоку сопротивление
несколько возрастает (0 < К < 0,05) и
появляется расталкивающая сила
Поток
раст
0,15
F„- 6 <IL26>
Значительное возрастание
сопротивления те же авторы [18]
наблюдали при помещении шара внутрь
упорядоченного ансамбля подобных
сфер (нанизанных на проволочки)
Поток
Рис. II. 4. Силы,
действующие при промежуточных
значениях критерия Re =
= 32 -*• 96 на обтекаемый
шар (1) при наличии рядом
другого шара (2) [18]: "
а — шар 2 расположен за шаром /;
б—шар / в гидродинамическом
следе шара 2; в—шары 1 и 2
расположены параллельно;
х — расстояние между краями
сфер.
31

Поток
и? 6'r
Рис. II. 5. Сила, действующая на шар 1, расположенный внутри ансамбля [18].
(рис. П. 5). При регулярном расположении сфер коэффициент К
в (II. 25) возрастал до К. = 0,68.
Сопоставление приведенных данных Смолуховского [16] и
Pay и Хенвуда [18] показывает весьма сложный и
противоречивый характер зависимости сил сопротивления от взаимного
расположения соседних шаров и критерия Re. Можно лишь
утверждать, что в ансамбле из большого числа частиц при
сильном сближении вплоть до соприкосновения, сила сопротивления,
отнесенная к отдельному элементу, значительно возрастает гю
сравнению со случаем одиночного элемента при той же скорости
потока. Иными словами, при снижении порозности системы 8 и
уменьшении просветов между частицами градиенты скорости
и силы трения, действующие на поверхность частицы,
естественно возрастают.
При осаждении «комка» из большого числа
близкорасположенных частиц встречный поток в основном обтекает его, почти
не проникая внутрь комка, и последний движется как целое
- вместе с заключенной внутри него жидкостью. До тех пор пока
такой комок не распадается на отдельные, далеко
расположенные частицы, он падает в безграничной жидкости в соответствии
со своей средней плотностью и размерами [19] значительно
быстрее, чем каждая из составляющих его частиц в
отдельности. Если комок резко неоднороден по размерам частиц, расплы-
вание происходит особенно быстро [20].
В реальном зернистом слое, даже состоящем из шаров
одинакового диаметра, взаимное расположение соседних элементов
меняется от места к месту, а в отдельных участках возможно
образование упорядоченных, особо плотных (аналогичных «ком-
32

кам») или особо рыхлых структур. Учет всех этих обстоятельств
практически невозможен; для расчета зависимости
сопротивления слоя от его средней порозности и скорости потока
приходится прибегать к замене истинной структуры слоя различными
идеализированными моделями или усреднять многочисленные
экспериментальные данные различных исследователей (см. ел.
разделы).
Математический анализ двухмерного потока много легче и
проще, чем трехмерного. В связи с этим для обтекания
совокупности цилиндров — в отличие от совокупности шаров —
получено несколько аналитических решений [21]. Иногда последние
довольно хорошо описывают результаты экспериментов при
продувании волокнистых материалов.
II. 2. Течение в зернистом слое в условиях
преобладания сил вязкости
При небольших значениях критерия Рейнольдса влияние сил
инерции становится пренебрежимо малым по сравнению с
силами вязкости и соотношение (II. 2) для зернистого слоя
принимает вид:
- Vp = \i72t (II. 27)
Отсюда следует, что при малых Re, так же как и для
упомянутых в предыдущем разделе задач, для которых были
получены аналитические решения (например, течение внутри труб,
обтекание шара), перепад давления на единицу длины Др/L
в зернистом слое прямо пропорционален средней скорости
потока и и вязкости fx текущей жидкости или газа, обратно
пропорционален квадрату определяющего размера частиц слоя
(V%/ ~ й/d2). Кроме того, он зависит от порозности слоя е и
характеристик формы частиц, а также от распределения
последних по размерам. Наличие такого режима течения, когда
Др/L ~ и было экспериментально установлено еще в первой
половине XIX века Дарси [4, стр. 42].
Результаты теоретических и экспериментальных
исследований подобного рода течений воды (плотины и дамбы) и нефти
(пласты) в грунтах обобщены в монографиях [22]. Успешно
проанализированы многие практически важные задачи о
распределении давления и потоков, когда масштабы течения столь
велики по сравнению с размерами зерен, что весь зернистый
слой можно считать квазиоднородной средой с одной
обобщенной характеристикой — проницаемостью. Структура же потока
и поле скоростей в промежутках между зернами изучены слабо.
Поэтому приходится в основном базироваться на различных,
весьма идеализированных моделях этой структуры,
рассчитывать на основании введенной модели проницаемость слоя и,
сопоставляя с экспериментом, вводить определенные поправки и
2 За к. 1274
33

уточнения. К построению подобных моделей естественно
попытаться подойти с обеих сторон, исходя из обоих предельных
случаев внутренней и внешней задач.
Капиллярная модель (внутренняя задача)
Основы этой модели были заложены полвека тому назад
работами Козени [23] и Кармана [24]. Течение жидкости в
зернистом слое предлагалось считать подобным ее движению через
пучок извилистых капилляров,, суммарная поверхность стенок
которых в единице объема слоя равна удельной поверхности а
зернистого слоя, а суммарное поперечное сечение определяется
порозностью е слоя.
Рассмотрим эту задачу несколько подробнее, с учетом
сделанных в самые последние годы Дюллиеном [25] попыток ее
обобщения. На рис. II. 6 выделен участок такого капилляра
длиной //, ориентированный под углом 0,- к направлению основного
потока жидкости и градиента давления в зернистом слое.
Потерю нагюра на этом участке обозначим Л/7/. Полный перепад
давления А/? на длине всего слоя L есть сумма Др* по всем
участкам капилляра. Примем* что капилляр на участке U
представляет собой трубку постоянного диаметра di с удельной
поверхностью на единицу объема капилляра:
ndjlj 4
«кап, * —Т57— ~ "7"
(II. 28)
Предположим далее, — и это самое основное и до некоторой
степени спорное предположение — что, несмотря на резкое
изменение сечения и направления скорости на входе в данный
отрезок, течение на всем этом отрезке имеет установившийся
пуазейлевский параболический профиль скоростей. Тогда, как
известно [22, Л. С. Лейбензон]:
Д/V
32ц
Vr
l2«*flbn.iVi-rl*^o<in,i/iei.
(11.29)
Рис. II. 6. Капиллярная модель зернистого слоя.
34

Для капилляров некруглого сечения коэффициент Ко Ф 2.
Так, [22, Р. С. Carman] для сечения в форме, равностороннего
треугольника Ко = 1,67; для квадратного — Ко = 1,78; для
эллиптического сечения с отношением полуосей 1:2 — /Со = 2,13;
для прямоугольной щели Ко = 3 и для кольцевой щели Ко =
= 2 — 3. Поэтому в соотношении (11.29) надо бы в принципе
коэффициент Ко = 2 заменить на Ко, и меняющийся с
изменением формы сечения вдоль капилляра.
При подсчете расхода жидкости -через зернистый слой в
заданном направлении надо учесть, чщ U = дЬ/cos 0* и заменить
Hi на щ rt/cos 9/, где щ, п — локальная скорость жидкости в
направлении основного потока. Тогда
Г-1 \Г» 9 Ul П ^Li
Л" - L А"* - »L L *<>. <акап, I -^Ге7 —
i i
-^(^,-Ui^t) <"-зо>
где чертой обозначено среднее значение произведения вдоль
капилляра. Поскольку же слой в целом считается макроскопически
однородной средой, то усреднение в (II.30) следует
производить по всему объему.
Как известно, среднее значение произведения, вообще
говоря, не равно произведению средних значений его
сомножителей, особенно, если они еще взаимозависимы, как это и есть
в данном случае. Отсюда автоматически следует, что
зависимость Л/? от усредненных характеристик слоя а и г и расхода
жидкости на единицу площади сечения аппарата V/F ==? и не
может быть однозначной для слоев, состоящих из частиц
различной конфигурации — шаров, таблеток, колец Рашига и т. п. При
одинаковой форме зависимости Др/L от а и е, числовой
коэффициент пропорциональности в этой зависимости может
различаться для слоев из зерен различной конфигурации на 20—30%,
что, правда, может считаться удовлетворительным при
конструировании расчетных инженерных формул.
В упрощенной мо*дели Козени — Кармана все капилляры
считались трубками одинакового диаметра d. Тогда
К\ t = const — 2; aKaib { = const = 4/d = а/г и и{ п = const = ii/e (II.31)
поскольку при переходе в расчете от единицы объема капилляра
к единице объема слоя, удельную поверхность и скорость
потока надо разделить на отношение этих объемов, т. е. на по-
розность е. Дробь UIMi = 1/cos 8/ = Т названа извилистостью
капилляра (turtuosity); соотношение (11.30) принимает вид:
^.-ЬЪ^-К^, (И.32)
При визуальном наблюдении окрашенных струек жидкости
от усредненной траектории потока в зернистом слое Карман
2*
35

[22] принял средний угол равным 9/ = 45° и положил, что
Т = 1/cos 45° = V2 = *'41- Поскольку Г2 фТ2, то вопрос
о значении так называемой константы Козени — Кармана К =
= КоТ2 = 2Т2 оставался нерешенным; в конце концов, с учетом
экспериментальных данных приняли квазитеоретическое
значение Т2 = 1,52 = 2,25 и К = 4,5. Предпринятые в дальнейшем
попытки экспериментального определения коэффициента
извилистости методом электроаналогии [26] нельзя считать
достаточно убедительными. Ё этих опытах слой зерен из
неэлектропроводного и непористого материала заливали электролитом
с известной удельной электропроводностью, а затем измеряли
электрическое сопротивление /?Эксп единицы длины слоя.
Извилистость удлиняет путь тока в электролите в Т раз и во столько
же раз Яэксп должно превышать рассчитанное /?раСч в
предположении прямолинейности капилляров. Для слоя шаров с
нормальной плотностью упаковки опыт дал:Тэл = Яэксп/Ярасч — 1,5.
Не следует, однако, забывать, что при тождественном виде
уравнений неразрывности течения жидкости div и = 0 и
электрического тока div / = 0 граничные условия в
гидродинамической и электрической задачах различны. Так, для вязкой
жидкости на границе с твердой поверхностью зерен обращается
в нуль весь вектор скорости Ua = 0, в то время как для
электрического тока на границах электролита с непроводящими
зернами равна нулю лишь нормальная составляющая вектора
плотности тока /Я| ,4 = 0.
Выше (стр. И) указывалось, что математический
эксперимент [27] тоже дал значение Т = 1,5 для слоя шаров с г = 0,4,
однако, с повышением порозности значение Т уменьшалось.
В разделе И. 5 сопоставлены значения констант К в
уравнении (11.32), полученные на основании обширного
экспериментального материала с «теоретическим» значением К = 4,5;
результаты этого сопоставления показывают удовлетворительную
применимость значения' К = 4,5 для оценки сопротивления
зернистого слоя на базе представлений капиллярной модели.
В подземной гидромеханике [22, Л. С. Лейбензон]
уравнение (II. 32) применяют в виде
pgi м- Ка2 v
где v = jlx/p — кинематическая вязкость (м2/с); I = kp/pgl — так
называемый гидравлический уклон; С = гг/а?К—коэффициент
проницаемости слоя, зависящий только от структуры
последнего.
Вводя удельную поверхность самих зерен а0 = а/(1 — е)
(см. раздел I. 1), можно привести уравнение Козени — Кармана
к окончательному виду:
qL-tJLjjp-rt (и-зз)
36

Для слоя из шаров одинакового диаметра ао
тивление равно
(Щ
,К^=^щ
в/d и сопро-
(11.34)
Характерным для чисто вязкого течения жидкости является
выражаемая уравнением (II. 33) прямая пропорциональность
сопротивления А/? первой степени средней скорости потока и.
Для сопоставления с инерциальным режимом течения это
сопротивление можно отнести к скоростному напору Угри2.
Преобразуя (II. 32) к виду
Ар ЛЕ, и а2 1 «
L ри е3 2 v
■-SK
va a 1
Аи е3 2
— пм2
ри4
t a J 2
получаем тогда обратную пропорциональность коэффициента
гидравлического сопротивления слоя
8/С
'.-««■-is-
(II. 35)
эквивалентному критерию Рейнольдса Re3.
Если бы на рис. II. 6 диаметры капилляров были неизменны
по всей длине, то эта схема соответствовала бы модели Ко-
зени — Кармана (II. 31) и демонстрировала основной
формальный дефект этой модели. Ведь при приложении перепада
давления в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка,
жидкость сквозь слой течь не сможет. В связи с этим Дюллие-
ном [25] была предложена «сетевая» или точнее решеточная
модель структуры зернистого слоя в виде совокупности трех
систем взаимно перпендикулярных капилляров, пересекающихся
в узлах пространственной кубической решетки (рис. II. 7). Как
указал ему Курц, проницаемость подобной сети капилляров
должна быть одинаковой при любой ориентации направления
среднего потока относительно трехмерной системы каналов, что
было в дальнейшем подтверждено Дюллиеном аналитически.
Рис. II. 7. «Сетевая» модель Дюллиена [25].
37

Предложенный Дюллиеном вывод выражения для
коэффициента проницаемости сетевой модели зернистого слоя излишне
громоздок и фактически связан не с искусственностью
структуры в его модели, а с дискуссионностью преобразования
написанного выше выражения (11.30), справедливого для системы
любым образом ориентированных, скрещивающихся и
извилистых капилляров. Усредняя сразу скорость, т. е. полагая щ% п =
= const = и/г, Дюллиен все остальные множители переносит
из правой части равенства (II. 30) в левую и усредняет
обратное их произведение, т. е. полагает:
Нетрудно видеть без искусственных преобразований Дюл-
лиена, что среднее значение квадрата косинуса в пространстве
cos2 6 = 7з и «теоретическое» значение проницаемости
зернистого слоя в вязкой области по Дюллиену оказывается равным:
*—Зг* (И. 37)
Сопоставив данные по продувке 14 различных песчанников,
проницаемость которых различалась на 3 порядка, Дюллиен
получил систематическое отклонение от (11.37) на 1Q% и
предложил пользоваться полуэмпирической зависимостью k=-j^-d?9
где среднее значение d2 должно определяться методами ртутной
порометрии.
Изложенные модели Козени — Кармана и Дюллиена
представляют собой весьма упрощенную схематизацию
изображенной на рис. II. 6 картины хаотически меняющих свое сечение и
направление транспортных «капилляров» зернистого слоя,
приводящей к наиболее общей формуле (II. 30) для сопротивления
слоя. При реальном усреднении отсюда должны получаться
зависимости типа (11.33) или (11.36), дающие прямую
пропорциональность Ар и и с коэффициентом, явно зависящим от а
и е. Уточнение численного множителя в этой
пропорциональности на основе анализа схематизированных моделей зернистого
слоя не имеет смысла, поскольку он не должен быть
одинаковым для зернистых слоев из частиц различной конфигурации и
полидисперсности. Значение этого множителя для разных
систем целесообразно определять на опыте (см. ниже).
Модель на основе ансамбля шаров
(внешняя задача)
Простейшая капиллярная модель Козени — Кармана не
отражает многих особенностей зернистого слоя. В сетевой модели
Дюллиена до некоторой степени учитывается то, что в
реальном пространстве сложной конфигурации между зернами по-
38

токи жидкости все время соединяются и разъединяются. Однако
и в этой более сложной модели не учитываются «тупиковые»
поры, т. е. участки с «застойными зонами», куда основной поток
почти не проникает и не соприкасается с твердой поверхностью.
На наличие же подобных застойных зон указывают некоторые
особенности диффузионных явлений в зернистом слое, которые
будут обсуждены в гл. III.
Поскольку течение в зернистом слое представляет
«смешанную» гидродинамическую задачу, то целесообразно рассмотреть
подход к ней и со стороны противоположного предельного
случая «внешней задачи» — обтекания системы шаров. Для очень
разреженных систем при а = 1 — е <С 1, как указывалось выше,
такой подход был намечен уже Смолуховским [16]. В
последующем был предложен ряд других моделей [28—30],
пригодных для расчета течения в концентрированных системах вплоть
до насыпанного зернистого слоя при а « 0,6.
Как правило, при таком подходе удобнее обратить задачу,
т. е. жидкость в целом считать неподвижной, а ансамбль
шаров — движущимся с постоянной скоростью сквозь жидкость
в противоположном направлении. При этом становится
возможным с единой точки зрения описывать как течение жидкости
сквозь неподвижный или псевдоожиженный слой, так и
реальное стесненное оседание концентрированных суспензий.
На рис. П. 8 изображена схема расчета, предложенная Хап-
пелем [28], дающая в области стабильного зернистого слоя
наилучшее приближение к данным эксперимента. Согласно этой
модели весь объем слоя делится на отдельные независимые
ячейки, каждая из которых содержит лишь один движущийся
шар диаметра d\, а жидкость окружает этот шар в виде сферы
с внешним диаметром d2. Доля твердой фазы в этой ячейке
-g-ndb-Q ndl считается равной доле а = 1 — е во всем слое, т. е.
d2 = d\(l —е)~,/з. Шар падает с постоянной по значению и на-
->
правлению скоростью wn = const.
Рассматривается квазистационарная задача, т. е. движение
шара считается столь медленным, что пока он успеет сколько-
нибудь заметно переместиться от центра окружающей его
жидкой сферы, то вокруг него успеет установиться новое
распределение скоростей в жидкости, повторяющее предыдущее, но,
Рис. II. 8. Идеализированная схема обтекания
шара внутри ансамбля [28].
39

только с началом координат, совпадающим с новым положением
центра шара. Следует указать, что это приближение является
более естественным, чем делающееся в капиллярной модели
предположение об установлении стационарного параболического
профиля скоростей сразу на входе в данный участок изменения
направления или диаметра капилляра.
Пренебрегая инерционными слагаемыми и вводя
сферические координаты (г, 0, ср) с центром в месте мгновенного
положения центра движущегося шара и с осью ф, направленной
->
вдоль вектора wn9 запишем и решим уравнения Навье — Стокса
в этих координатах. Из осевой симметрии задачи следует, что
составляющая щ = 0. На поверхности шара жидкость полно-
стью увлекается движением последнего, т. е. при г — -=• ах и =
— wn. На внешней же поверхности ячейки жидкость не
перетекает в соседние участки, где симметрично движутся другие шары
и нет касательных напряжений, т. е. при r = -jrd2 u2 = 0 и
г 1 диг ди^ и* 1
Решая уравнение Навье — Стокса для жидкости в области
между обеими сферами с указанными граничными условиями,
Хаппель- нашел поле скоростей и вычислил суммарную силу
сопротивления, действующую на шар —
^сопр = Зяц dwnf (e)
где
1+|(1-е)5/'
/(e) = _Ц :
1 - -| (1 - е)^ + |-(1 - е)5/- - (1 - в)2
показывает во сколько раз совокупность одинаковых тяжелых
шаров в вязкой жидкости падает медленнее одиночного шара.
При е = 1 и /(e) = 1, а при стесненности ансамбля до 8 = 0,4
.уже/(e) =72,6.
В единице объема такого ансамбля заключено п =
= (1 — е)/(7бж/3) шаров и перепад давления на единицу вы-
т соты слоя может быть вычислен по соотношению:
4^ = ^сопр - 6(1Я^8) / (е) • Зяц dwn - 18 (1 - е) / (е) -^ (II 38)
Сопоставление полученного выражения (II. 38) с формулой
Козени — Кармана (11.34) при К = 4,5 показывает, что модель
ансамбля шаров приводит к такой же зависимости
сопротивления зернистого слоя Др/L от скорости и и вязкости jli жидкости
и диаметра шара d, как и капиллярндя модель, основанная на
противоположной предельной схеме «внутренней» задачи.
Зависимость Др/L от порозности е в обеих формулах внешне раз-
40

лична. Однако, если сопоставить множители и вычислить их
отношение
18 (1 - е) / (е)/162(18з~в)2 - / (е) /9 -Ц=-° (П. 39)
то в интервале 0,3 ^ е ^ 0,6 оно отличается от единицы в
среднем лишь на ±7%, хотя само значение /(e) изменяется от 232
до 18, т. е. более, чем в 10 раз.
Таким образом, капиллярная и шаровая модели дают
зависимости для определения перепада давления в потоке,
пронизывающем изотропный зернистый слой шаров, достаточно
удовлетворительно совпадающие друг с другом и с
экспериментальными данными. Существенное расхождение наблюдается лишь
в нереальном предельном случае е-> 1, когда /(e)-> 1, а дробь
в (II. 39) обращается в бесконечность. Это обусловлено тем, что
в шаровой модели определяющим размером, на котором
сосредоточен основной градиент скорости у поверхности, при е-*• 1
является диаметр самого шара d. Для капиллярной же модели
определяющим размером является гидравлический радиус по-
рового канала гг = йэ/4 = ed/6(l — е), который стремится
к бесконечности при е -> 1, когда шары расходятся на
бесконечное расстояние.
Это расхождение можно попытаться устранить [4, стр. 54]
некоторой небольшой модификацией формулы Козени —
Кармана (11.34). Если отнести сопротивление слоя А/?// к
отдельному шару, то из (И. 34) следует, что
,K_K = 4f:« = 2-^U ' (И.40)
где F0 = 3n\xdu есть сила сопротивления движению свободного
одиночного шара.
По физическому смыслу при е -> 1 /V-к должна была бы
стремиться к F0, а из (II. 40) * следует, что в этом случае
Ftf-/c->0. Чтобы исправить это положение, следует добавить
в правую часть (II. 40) слагаемое F0. Тогда
2/C(l-e) 2ff(l-6) + e* p
^к-к в £з ^о + ^о= £з Fo
и модифицированный задон сопротивления примет вид*:
• j^-JiILp5LI8JC(i-., + ^^.
Для плотного слоя при е = 0,4 эта поправка е3 составляет
всего 1% от первого слагаемого 2/С(1 —е), но'зато при е -> 1
получается правильный переход к закону Стокса и сближаются
обе предельные модели совокупности капилл-яров и ансамбля
* В формуле (II. 73) монографии [4, стр. 531 был ошибочно пропущен
множитель (1-е) перед квадратной скобкой.
41

шаров. Введение подобной поправки близко по идее к
аналогичной формуле, предложенной Леффлером и Рутом [31] для
оседания суспензий сферических частиц.
II. 3. Течение при одновременном воздействии
сил инерции и вязкости
В предыдущем разделе мы показали, что даже в условиях
пренебрежения силами инерции точного решения задачи о
движении жидкости в зернистом слое не имеется и приходится
использовать различные идеализированные модели. Естественно,
что задача усложняется в случае учета сил инерции, особенно
если они превалируют при течении жидкости по трубам и
обтекании одиночных шаров и цилиндров. Полезно, поэтому,
проанализировать задачу в целом методами теории подобия,
которая позволяет ограничить выбор определяющих параметров и
форму искомых корреляций.
Основная определяемая величина в нашей задаче — потеря
напора на единицу длины слоя A/?/L, имеющая размерность
силы (F), деленной на куб длины (L). Эта потеря напора
должна зависеть от следующих физических величин, которые
в первую очередь характеризуют свойства потока и зернистого
слоя:
средняя скорость в пространстве между зернами иэ = и/е,
имеющая размерность длины (L), деленной на время (Г);
эквивалентный диаметр элементов слоя d3 = 4ed/6(l — е),
имеющий размерность длины (L);
-у-: L3 J =
=(4?)-.
динамическая вязкость жидкости |i, имеющая размерность
[и: т/L)в kit)'
Выбранные за основные размерности силы F, длины L и
времени Т независимы друг от друга и сооГветствуют обычной
технической системе единиц.
Будем искать зависимость Ap/L от четырех указанных
величин в виде произведения последних в различных степенях с4
безразмерным множителем пропорциональности С, т. е. положим,
что
Ap/l = c«XpVy (И. 41)
По размерности это представляется так:
FL-3 - (LT~l)n L<* (FT2L~*f (FTL~2)y
Из требования одинаковой размерности правой и левой
частей следуют три равенства для показателей степени: 1 ===== р —|—
+ Y; —3 = л + а —Чр — 2у и 0 = — п + 2р + У> позволяющие
42

три из них выразить через четвертый: а = п — 3; р^=п — 1 и
Y = 2 — п.
Подставляя эти значения в (II. 41), находим
£Е- - Си^-у-У"» KL С Re* (И. 42)
L р^э
так как произведение иэ(1эр/\х = Re3 есть эквивалентный
критерий Рейнольдса, Поскольку показатель п остался
произвольным, то требованиям размерности будет удовлетворять и любая
сумма подобных членов, т. е. произвольная функция от Re3
[4, стр. 52]:
1Г = ^С{ Re*'+ с*Ref + '" -1="Й"ф (Reg (IL 43)
Таким образом, произведенный анализ ограничивает
отыскание зависимости Ap/L от раз'личных переменных нахождением
всего лишь одной функции ф от их вполне определенной
безразмерной комбинации. Установив, например, на опыте вид этой
зависимости для одной жидкости с вполне определенными
значениями плотности и вязкости, протекающей через зернистый
слой с данным эквивалентным диаметром, т. е. меняя лишь
скорость потока и и измеряя соответствующие значения потери
напора Др, можно тем самым без дополнительных измерений
рассчитать сопротивление любого зернистого слоя потоку любой
другой жидкости или газа в зависимости от расходной скорости
течения.
При обработке данных экспериментальных измерений в
ограниченном интервале изменения определяющих параметров,
часто используют простейшую одночленную зависимость типа
(II. 42) с определенными значениями констант Сип. Иными
словами, исследуемый участок кривой в логарифмических
координатах lg(Ap/L)—lg u заменяют усредненной прямой с
постоянным наклоном п. При этом в обоих предельных случаях —
чисто вязкого и чисто инерционного режима течения — значение
этого показателя п можно определить чисто теоретически.
Так, для малых скоростей течения потеря напора должна
определяться вязкостью жидкости, текущей сквозь зернистый слой,
и не должна зависеть от ее плотности р (см. раздел II. 2).
Полагая показатель степени р при р равным нулю р = п — 1 = 0,
получаем п = 1 и из (II. 42) следует:
Это выражение совпадает с выведенной в предыдущем
разделе на основании капиллярной модели зависимостью (11.34),
справедливой для малых значений критерия Re3. Из
сопоставления этих зависимостей можно найти значение постоянной
d = 16*.
43

Для больших скоростей потока в инерционном режиме
потеря напора в слое должна перестать зависеть от вязкости
жидкости и показатель степени у при \х будет равным нулю, т. е.
Y = 2 — я = О и /г = 2. Отсюда для инерционного режима
Др pul 3 1—8
—=с>-17 = с*Т1*Г<>и' <IL45)
и эта предельная зависимость должна выполняться при
больших значениях критерия Re3. Если такая формула окажется
справедливой и для предельно расширенных слоев при 8 -> 1, то
константу С2 можно определить из сопоставления с
коэффициентом сопротивления одиночного шара при инерционном режиме
обтекания. Вспомним, что сила сопротивления, отнесенная к од-*
ному шару в слое равна
„ / Лр\. 3 п 1-е 2.6(1-8) С2 nd2 2
f e 2C2 Ы2 ры2
и при е->1 Fconp-^— "4"2""
Сопоставляя это с уравнениями (II. 12) и (II. 13), находим,
что С2 = y^x '" где ^х — 0,48 — коэффициент сопротивления
шара в области турбулентного обтекания.
На ограниченных интервалах изменения критерия Re между
рассмотренными предельными типами течения можно
использовать одночленную формулу (II. 42) с соответственно
подобранным значением показателя степени, т. е. положить:
Ag. Сп О - в)»- 9l (IL46)
L Re2"" 83 d
Для каждого интервала показатель степени п имеет свое
значение, лежащее в пределах 1 ^ п ^ 2. Одновременно с
показателем меняется и множитель Сп, так что п и Сп фактически
являются непрерывными функциями критерия Re. Это
обстоятельство делает внешне простую и заманчивую зависимость
(11.46) на самом деле весьма сложной для практического ис-
пользоЁания. Удобнее внешне более сложная, но зато
универсальная двучленная формула типа
Y"= -$г [ci *** + с2 R<l (п. 47)
которая при малых Re3 переходит в закон сопротивления для
чисто вязкого режима течения (11.44), а при больших Re9 —
в закон сопротивления для чисто инерционного течения (11.45).
В промежуточной переходной области, когда вязкостные и
инерционные члены играют сравнимую роль, формула (II. 47) носит
интерполяционный характер и несколько уступает по точности
44

соотношениям типа (11.46), со специально подобранными для
каждого участка значениями п и Сп.
Следует еще отметить, что описание всей кривой cp(Re9)
единой двучленной формулой (II. 47) физически соответствует
наблюдающемуся для зернистого слоя непрерывному и
постепенному переходу от ламинарного течения к турбулентному без
видимого скачка при некотором критическом значении ReKp (как
это наблюдается при течении в трубах). Таков же характер
перехода от ламинарного режима к турбулентному в трубах с
радиусом изгиба Гизг, меньшим полутора диаметров трубы [22,
А. Е. Шейдегер], а также при движении жидкости в капиллярах
переменного сечения — в виде усеченных конусов, сложенных
вершинами и основаниями [32].
В общем случае зернистого слоя любой структуры, а не
только состоящего из шаров одинакового диаметра d,
гидравлическое сопротивление слоя также целесообразно описывать
интерполяционной формулой типа
^*=Аи + Ви2 (11.48)
где Л ~ ^ и В — р — коэффициенты пропорциональности,
зависящие от структуры слоя и в первую очередь от его пороз-
ности 8 и удельной поверхности а. Дополнительные различия
в структуре слоя, обусловленные формой зерен и
полидисперсностью, также могут сказываться на значениях коэффициентов
А и 5, приводя к отклонению их от средних на 20—30%" (см.
стр. 63).
Двучленное уравнение типа (II. 48) было впервые
предложено Дюпуи [33], затем Форхеймером [34], развивалось Вели-
кановым [35], было экспериментально проверено в работах
[36, 37]: В дальнейшем, его использовали в ряде исследований
[38, 39] и сейчас оно является общепринятым. Исследованием
значений коэффициентов А и В в рамках капиллярной модели
занимался Коллеров [39].
При подходе с позиций внутренней задачи (капиллярная
модель) за пределами вязкостного режима
где / — коэффициент трения в трубке на единицу длины
зернистого слоя; его можно описать интерполяционной формулой:
/-a + p/Re
Вводя, как в разделе II. 1, коэффициент извилистости слоя
Lo/L и расходную скорость иэ = и/г и переходя к
эквивалентному критерию Re3, можно преобразовать (II. 49) к виду
45

где общий коэффициент трения f3 равен:
'—(£)•+£№)'
При малых значениях Re9 первым слагаемым в (II. 50)
можно пренебречь и из сопоставления с (II. 35) находим, что
р == 8/(о. Величина а также остается постоянной в широком
интервале изменения размеров и формы элементов зернистого
слоя [39].
При подходе к рассмотрению соотношения (II. 48) с
позиций внешней задачи {модель ансамбля шаров) [39, 40]
движение жидкости представляется как ряд последовательных
обтеканий отдельных зерен слоя. Гидравлическое сопротивление
слоя в целом складывается из сопротивления отдельных зерен
движению жидкости и определяется зависимостью типа
Др ри\
Яг|з (в) ns (II. 52)
где ис — скорость обтекания элементов слоя; ее можно
представить как скорость в суженных проходах между зернами;
Я (Re)—коэффициент гидравлического сопротивления
одиночного обтекаемого элемента; гр (в)— функция, учитывающая
стесненное расположение элементов в укладке; п — число
элементов в единице объема слоя; s — среднее миделево сечение
элемента. Поскольку, как и для шара, X можно представить
двучленной интерполяционной зависимостью (11.20), то (11.52)
в конечном счете приводит к соотношениям для kpIL того же
типа, как и капиллярная модель.
Возвращаясь к общему соотношению (II. 43) и учитывая,
что d3 = 4e/a, можно переписать его в виде
Ар 64ре3 /п ч
где левая часть есть безразмерный критерий, содержащий
перепад давления и не содержащий скорость газа в слое. Этот,
критерий (с численным коэффициентом 32 вместо 64)
предложил Лейбензон [22]
Ар 64ре3
-w \i2az
и для зернистого слоя должна существовать универсальная
зависимость
Q = ф (Re9)
В предельном случае чисто вязкого режима fi ~ Re9, а при
квадратичном законе сопротивления Q ~ Re3.
Одной из наиболее распространенных практических формул
является двучленная формула Эргана [37]:
^-1501^.^ + 1,75-4^ (11.53)
46

коэффициенты 150 и 1,75 в которой подобраны на основании
обработки многочисленных экспериментальных данных различных
авторов. Дальнейшие уточнения этих зависимостей изложены
ниже.
Наряду с двучленными зависимостями типа (II. 50) и (II. 53J
существуют уточненные, но более сложные, например,
трехчленные зависимости J40, 41]. Кроме изменения численных значений
коэффициентов в (11.53) [42], предложены и иные формы
зависимости от порозности и коэффициента формы [43]. Вводили
также уточнения для полидисперсных систем [42, R. Jescher].
С использованием зависимостей (11.48) и (11.53)
проанализированы течения через зернистые слои с макроскопическими не-
однородностями структуры и порозности [44].
II. 4. Техника эксперимента
при определении основных параметров
и гидравлического сопротивления зернистого слоя
Итак, полного решения задачи о движении жидкости в
зернистом слое произвольной структуры не существует. В то же
время экспериментальное определение перепада давления при
движении замеренного расхода жидкости или газа через трубку
с зернистым слоем относительно просто. Поэтому число
опубликованных исследований по измерению гидравлического
сопротивления зернистых слоев различных конкретных материалов
очень велико и продолжает увеличиваться. Для обобщения
полученных результатов и вывода удобных для инженерного
расчета формул существенно, однако, чтобы при замерах перепада
давления и расхода жидкости фиксировались также такие
основные параметры слоя, как порозность слоя 8, удельная
поверхность а и средний линейный размер элементов d. Методы
измерения этих величин весьма разнообразны и мы изложим
только некоторые основные из них.
Порозность слоя
В разделе I. 1 приведены соотношения, по которым
порозность слоя е может быть определена из удельного веса частиц
д = pTg и насыпного удельного веса Ан = pHg. Для слоя,
состоящего из сплошных частиц с -гладкой поверхностью,
удельный вес материала зерен определяют по справочникам, либо,
в случае необходимости, находят А как отношение Beta
некоторого количества зерен к их объему, определяемому пикнометри-
чески погружением в воду (для материалов нерастворимых
в ней), ртуть или в какую-нибудь другую подходящую
жидкость.
Дентон [45] в экспериментах по засыпке стеклянных
шариков с d = 5 — 6 мм в колонну с D&n = 250 мм стремился
47

добиться наиболее точного определения е с максимальной
воспроизводимостью значений этой величины при повторяющихся
засыпках шариков в аппарат. Значения е получились для
ручной загрузки 0,391 ± 0,0016, а для механической 0,394 ± 0,001%.
Столь высокая относительная точность определения е может
быть достигнута далеко не всегда, даже с зернистым слоем из
полированных шариков.
Определение г сильно осложняется при наличии пористых
элементов слоя, даже если эти поры не глубоки и имеют
характер крупных, относительно размеров зерна, шероховатостей
поверхности. В этом случае для отыскания в нужно найти
кажущуюся плотность зерна и наибольшие затруднения доставляет
определение объ'ема элемента v и необходимо независимым
способом определять внутреннюю пористость зерна еВНутр.
Следует отметить, что определение внешней порозности слоя
и внутренней пористости его элементов еВНутр — задача
большого значения для дисциплин, имеющих дело с дисперсными и
пористыми материалами. В первую очередь — это геология
нефти [46], почвоведение [47], технология огнеупоров и
строительных материалов [48], металлургия [49], физическая химия
адсорбентов и катализаторов [50]. В последующем изложении
мы не касаемся вопросов определения истинного удельного веса
и внутренней пористости. В указанных выше монографиях [46—
50] имеется много материала по этим проблемам. Остановимся
лишь на определении кажущейся плотности зерен.
Очевидно, что объем пористых элементов слоя можно
определить погружением зерен в жидкость, лишь если последняя не
входит в поры зерен. Для этого необходимо выполнение одного
из следующих условий:
поры предварительно должны быть залиты жидкостью;
поверхность элементов должна иметь резко гидрофобные
свойства, препятствующие проникновению жидкости в поры;
поверхностное натяжение жидкости должно быть достаточно
большим для того, чтобы она не проникала в поры в отсутствие
большого внешнего давления.
В качестве жидкости с высоким поверхностным натяжением
применяют ртуть [51]. Эффективный диаметр пор б п, которые
заполняются ртутью, зависит от приложенного к пикнометру
давления Р
бп = 2гп — 4or cos е/Р (II. 54)
где а — поверхностное" натяжение; 9 — угол смачивания
поверхности испытуемого материала ртутью, который, например, для
угля составляет 142°, а для стеклянной поверхности 135—140°
[51, 1951 г.]. При гидростатическом давлении Р « 105 Па ртуть
может проникать в поры с диаметром бп не уже 10—15 мкм.
Если считать, что при определении кажущихся удельного веса
и объема зерна необходимо учитывать неровности поверхности
и поры на два порядка ниже линейного размера элементов
48

слоя d (бп ^ 0,01 d), то указанное выше давление достаточно
для определения Д элементов слоя с диаметром d « 1 мм. Для
определения же Д элементов слоя с диаметром d ж 10 мм
достаточно гидростатического давления Р « 104 Па, т. е.
загрузить зерна под уровень ртути на 80—100 мм. Воздух из сосуда
с зернами рекомендуется предварительно удалить, чтобы он не
сжался в порах и не препятствовал проникновению туда ртути.
Так, при заполнении ртутью зернистого слоя из непористого
материала с d « 1,5 — 2 мм ошибка в определении е из-за
неудаленного предварительно воздуха достигла 3% (абс.) или
8% (отн.) [51, 1951 г.].
Определение кажущейся плотности с помощью ртути в
полевых условиях и при массовых замерах нежелательно в виду
токсичности последней. При измерении Д для элементов слоя
размером в 5 мм и выше (типа таблеток и гранул
катализатора) ртуть можно заменить слоем из фракции 20—200 мкм
речного песка [52]. При этом нужно следить, чтобы характер
засыпки и ее последующее разравнивание при повторяющихся
измерениях были одинаковыми. Контрольные опыты с телами
правильной формы показали, что этот метод для частиц
указанных выше размеров дает достаточно удовлетворительные
результаты по воспроизводимости и точности измерений.
В технологии огнеупоров наибольшее распространение
получил метод определения кажущейся плотности путем
взвешивания сухого образца, его пропитки, вторичного взвешивания
образца с заполненными жидкостью порами, и, наконец,
гидростатического взвешивания пропитанного образца в жидкости по
соответствующему стандарту [48, ГОСТ]. Точность измерений
оценивают [48, ГОСТ] в 0,5—1,0%. Стандарт разработан для
относительно крупных образцов (~50 см3), но, видимо, годится
и для более мелких зерен.
Метод взвешивания с предварительным кипячением проб
материала в воде используют и для таких крупных зерен, как
металлургический кокс [49, В. В. Паничкина]. Пробы общей
массой до 4,5 кг помещают в этом случае в специальную
проволочную клетку размером 300 X 200 X 160 мм, погружают в ванну
несколько больших размеров, полчаса кипятят в воде, затем
ванна с пробой остывает. Определяемая по методу трехкратного
взвешивания рт, при последовательном дроблении образца кокса
с 51 до 13 мм, увеличилась с 884 до 910 кг/м3. Таким образом,
дробление пористого материала заметно изменяет его
кажущийся удельный вес.
Для более точного определения открытой, свободной для
гидродинамического потока порозности, Мартенсен с соавт. [48]
рекомендует замачивать образец раздробленного керамзита в
течение трех минут. В работе [53] для таких определений
применяли воду с небольшими добавками
смачивателей-детергентов.
49

Довольно широкое распространение получил также метод
смачивания зерен в ванне из расплавленного парафина. Образец
взвешивают трижды — до погружения в парафин и после этого
с коркой застывшего парафина — в воде и воздухе. Из этих трех
взвешиваний, введя поправку на известный удельный вес
застывшего парафина, можно определить А. Вариантом указанной
методики может считаться пропитывание пористых зерен
(активированных углей) парафином [46, Ф. И. Котяхов] со
снятием излишков расплавленного парафина фильтровальной
бумагой. Точность определения А в работе [54] оценена в ±2%
(отн.).
В качестве метода оценки порозности может быть
использована обработка шлифов засыпок испытываемых материалов,
залитых термополимерной смолой, не имеющей усадки [26].
Значение А можно получить из данных по шлифам достаточно
точно, но работа эта весьма трудоемкая и применяется лишь
тогда, когда другие методы не дают необходимой точности.
Удельная поверхность зернистого слоя
Полную поверхность зерен слоя можно найти
адсорбционными методами [50], а также по результатам измерения
течения газа через слой зерен [49, В. В. Паничкина]. Обтекаемую
(внешнюю) поверхность а (см. гл. I) определяют в последнем
случае методом пропускания газа или жидкости через слой при
относительно малых числах Рейнольдса в области
преобладания вязких сил (режим Дарси, стр. 33) или же, при слоях
высокой дисперсности, методом продувания через слой
разреженного газа в режиме молекулярного течения (режим Кнудсена —
Дерягина [55]). Первый метод основан на доказанном в
многочисленных экспериментах и имеющем достаточные
теоретические обоснования уравнении (11.32) [22, Р. С. Carman].
Из (11.32), учитывая (1.3), легко получить в явной форме
выражение для искомой удельной поверхности а0:
aoeV^^TT^ (IL55)
. Константу Козени — Кармана в (II. 55) обычно полагают
равной К = 4,5—5. Рекомендуемые значения К для различных
по форме зерен см. в разделе II. 5.
Второй метод определения обтекаемой поверхности требует
создания в аппарате настолько высокого вакуума, чтобы
взаимные столкновения молекул разреженного газа, протекающего
между зернами слоя, были крайне редки по сравнению с
ударами этих молекул о поверхность зерен (кнудсеновский или
молекулярный режим течения газа). Теория этого метода,
расчетное уравнение для определения а0 и необходимая аппаратура
разработаны в СССР Дерягиным с соавт. [55]. Предложены
также [56] расчетные уравнения, и для переходного режима ме-
5Q

жду кнудсеновским течением и потоком с преобладанием
вязкостных сил, когда длина свободного пробега молекул сравнима
с размерами промежутков между зернами.
В практике измерения поверхности по обоим этим методам
разработаны приборы, использующие как стационарный [57],
так и нестационарный [22, Р. С. Carman] режимы течения
жидкости или газа через зернистый слой. Прибор для измерения а0
в молекулярном режиме снабжен дополнительными
устройствами, связанными с необходимостью работать под вакуумом.
Описание прибора [55, Б. В. Дерягин с сотр.], пригодного для
измерений в стационарном потоке газа по обоим методам,
содержит чертежи деталей прибора и инструкции по его
обслуживанию. Во избежание погрешностей при измерении, * в
особенности обусловленными пристенными эффектами, загружаемый
зернистый материал необходимо тщательно запрессовывать в
измерительную ячейку.
Еще более просты по своему устройству приборы,
использующие нестационарный (точнее квазистационарный) режим
течения [58]. Разработаны и полностью автоматизированные
установки [59].
Приборы, использующие жидкость как среду, пропускаемую
через зернистый слой в нестационарном режиме, также
получили распространение, поскольку вязкостный режим течения
капельной жидкости возможен при самых малых размерах
частиц.
Как было показано в работе [60], определение а0 по течению,
в вязкостном режиме с газом при диаметрах частиц, меньших
60 мкм (применялись микросферы из полистирола), дает резко
заниженное значение против непосредственно определенных
значений а0 из замеров под микроскопом. В этих же условиях
измерение а0 в молекулярном режиме течения дало хорошее
совпадение с результатами прямого расчета [60]. При условии
введения поправок на молекулярный режим предел измерения
а0 с применением газа и расчетом по (II. 55) снижается до
диаметра частиц 10 мкм и а0 « 0,6 м2/см3. Жидкостные приборы
также могут быть использованы примерно до этих же значений.
При использовании вязкостного режима, верхний предел
дисперсности определяется еще диаметром ячейки (аппарата)
(d < 0,05 Z)an, см. ниже) и чувствительностью прибора,
замеряющего перепад давления в зернистом слое. Удельную
поверхность частиц диаметром более 1 мм обычно определяют в
интервале скоростей, где перепад давления линейно зависит от
скорости, пропускаемой через слой жидкости [26, R. В. McMuI-
lin; 36].
В колонне с размерами, сравнимыми с диаметром зерен,
в сопротивлении потоку начинают играть существенную роль
стенки сосуда, а при малой высоте и профиль скоростей на
входе в колонну [61]. Если движение жидкости в слое упрощено
трактовать как движение в системе параллельных каналов, то
51

в (II. 32) поверхность стенок колонны следовало бы просто
прибавить к суммарной внутренней поверхности поровых каналов.
Приняв гипотезу о преобладающем внешнем обтекании тел
в слое, логично добавлять эту поверхность стенок с каким-то
коэффициентом. Показано [62], что в зернистом слое
коэффициент трения в вязкостном режиме для продолговатых тел
зависит от их ориентации относительно направления движения
жидкости. В частности, если поверхность тел параллельна
движению газа, значение коэффициента трения составляет 0,67 от его
значения для сферической поверхности. Отсюда следует, что
поверхность боковых стенок цилиндрического сосуда должна
добавляться в общее соотношение (II. 50) с коэффициентом 0,67.
Жаворонков [63] вводит в (II. 50) поверхность стенок с
коэффициентом 1, Карман [22] рекомендует коэффициент 0,5.
В работе [36] "показано, что экспериментальные данные
наиболее точно укладываются на общую кривую при коэффициенте
для поверхности стенок 0,75. В цилиндрическом сосуде поверх-'
ность стенок на единицу объема аст = 4/Dan и общая удельная
поверхность:
а - а0 (1 - е) + 0,75дст = «о XI — е) + 3/Dan (П. 66)
Для слоя из одинаковых шаров, укладывающихся по диаметру
колонны п = D^/d раз:
„ш_М-){1 + 1тг^} (U.57,
Линейные размеры элементов зернистого слоя
Независимо от определения обобщенных характеристик
зернистого слоя обычно необходимо также измерить линейные
размеры элементов слоя и распределение элементов по размерам —
дисперсный состав. В интересующих нас пределах дисперсности
зерен от 20 мкм и выше, для измерения размеров частиц
используются [62]:
измерения под микроскопом — 0,25 мкм и выше;
рассев на ситах — 40 мкм и выше.
Непосредственный обмер отобранных порций частиц
измерительным инструментом применим для частиц 3 мм и выше [64].
Более редко используют седиментацию в жидкости — до 200 мкм
и отдувку или седиментацию в газе — до 200 мкм. Для частиц
размером более 100 мкм очень удобно по нашему опыту
использовать инструментальные микроскопы, которые позволяют
определять не только средний диаметр, но и другие
геометрические размеры отдельных зерен, необходимые для оценки их
коэффициентов формы. Для определения дисперсного состава
доменного кокса применяют "сита большого размера с квадрат-
52

ными штампованными отверстиями от 90 до 40 мм и плетеные
сита с размером ячейки от 25 мм [65J. Вес проб для рассева
достигает 300 кгс.
Диаметр аппарата для загрузки зернистого слоя
Для получения исходных параметров в зернистам слое
нормализованной структуры желательно, чтобы аппараты для
испытаний были бы возможно большего диаметра. Трудности
эксперимента с увеличением аппарата естественно возрастают, но,
учитывая, что 1—2 ряда элементов слоя у стенки имеют
искаженную анизотропную структуру, желательно все же, чтобы
соблюдалось соотношение [36]: Dan > 20 d.
Высота зернистого слоя
По аналогии с потоком жидкости в поперечно обтекаемом
пучке труб (см. раздел II. 8), можно считать, что после
прохождения пятого ряда зерен характер движения жидкости
становится стабильным. Следует также учесть, что, по крайней мере,
два нижних.ряда зерен имеют упорядоченную укладку, так же
как и пограничный слой у стенок аппарата. Исходя из этого,
высоту слоя зерен, при определении перепада давления, следует
выбирать так, чтобы Ясл > 20 d.
Измерение перепада давлений и расхода потока
Давление в слое желательно замерять у стенки аппарата по
окружности в нескольких точках на одной высоте. Такая
система отбора усредняет случайные значения статического
давления, возникающие в данной точке вследствие значительных
отклонений локальных скоростей жидкости от средней. Часто
измеряют полный перепад давления под слоем и опорной
распределительной решеткой, вычитая затем из полученного значения
значение перепада на решетке, измеренное без загрузки
зернистого слоя. При небольшом гидравлическом сопротивлении
самого слоя, такой метод замера может привести к заметным
погрешностям.
Для измерения скоростей в широком интервале их значений
необходимо располагать приборами для замера динамического
давления от 0,1 мм вод. ст. до 760 мм рт. ст. При измерении
расхода газа (жидкости) приходится использовать набор сменных
диафрагм (обычно 5—7), устанавливаемых на измерительном
участке в соответствии с нормами ГОСТа. Расходы газа ниже
0,5 м3/ч удобнее измерять с помощью калиброванных реометров
или ротаметров»
53

II. 5. Результаты определения
гидравлического сопротивления
зернистого слоя при течении
в условиях преобладания сил вязкости
Ввиду большого значения рассматриваемого режима для
подземной гидравлики, нефтедобычи и адсорбции он явился
объектом многочисленных исследований. Основные
экспериментальные результаты до 1956 г. приведены в монографиях
Кармана и Шейдеггера [22]. Более поздние данные приведены в [4]
и [22, J. Bear].
Результат большинства опубликованных работ —
определение'константы Козени — Кармана К в уравнении (11.32). Эта
константа связана с коэффициентом сопротивления /э в области
преобладания сил вязкости соотношением (11.35). Технически
определение К сводится к исследованию зависимости между
перепадом давления Ар на некотором стабилизированном участке
высоты слоя зерен / и удельным расходом подаваемой жидкости
(газа) V/S = и. Эту зависимость стараются определить в
возможно более широком интервале изменения скорости потока.
Полученные результаты, усредненные в области прямой
пропорциональности Ар и и, позволяют определить величину К.
Наиболее достоверные результаты ее определения для зернистых
слоев различной структуры приводятся ниже.
Монодисперсный слой шаров
Несмотря на наибольшую простоту геометрической формы и
значительное число выполненных измерений, разброс в
полученных значениях К здесь наиболее велик. Причиной этого,
по-видимому, является образование пограничного слоя с укладкой
шаров в различные регулярные структуры у стенок аппарата.
В разделе I. 3 указывалось, что в большинстве случаев в
пограничном слое шары укладываются в кубическую упаковку
с е = 0,47. Однако при плотной укладке шаров в пограничном
слое, как это было визуально зафиксировано Коллеровым [39],
может возникнуть регулярная ромбоэдрическая упаковка с 8 =
== 0,39 и укладкой шаров по спирали с углом подъема в 60°
к горизонту. Такая ромбоэдрическая укладка приводит к
значительному снижению (до двух раз) гидравлического
сопротивления в пограничном слое, а значит, при не слишком большом
отношении Dan/d и во всей колонне с зернистым слоем.
Основные экспериментальные данные для шаров разного
размера и из различных материалов (стеклянные,
металлические, фарфоровые, силикагелевые микросферы, зерна пшена,
угольные сферы, иониты) сопоставлены в работе [4, стр. 72].
Порозность в основном варьировала в интервале g = 0,38—0,41
54'

и лишь в отдельных слоях доходила до emin ~ 0,35 и етах «
« 0,49. Рассчитанные значения константы Козени — Кармана
в основном колебались в интервале К = 4,2—4,8 с наиболее
достоверным значением [66] К = 4,55, которое и принято нами
в дальнейшем.
Экстремально заниженные значения до К ~ 2,75—3 в
большинстве случаев наблюдаются при Dan/d < 12 и е < 0,36; это
позволяет предположить образование в пограничном слое и
частично в ядре зернистого слоя ромбоэдрической укладки. Так,
Коллеров [39] специально отмечает, что в исследованной им
системе фарфоровых шаров d = 8 мм в колонне с Dan = 100 мм
измеренный коэффициент извилистости имел резко заниженное
значение Т = 1,13. В работах же [46, Г. Ф. Требин; 67]
применяли плотную упаковку шаров.
Экстремально завышенные значения до К = 7—7,5 [26,
R. В. McMullin; 30, 68] получены как правило при относительно
неплотной укладке шаров с е > 0,42.
Таким образом> принимая в качестве исходного для
дальнейших расчетов значение Кш = 4,55, следует учитывать, что
при е < 0,37 и невысоких значениях DaTl/d значение К
уменьшается, а при 8 > 0,42 — возрастает против указанного выше
«нормального» значения.
Монодисперсный зернистый слой из тел регулярной формы
(несфероидов)
Как указывалось в гл. I, в слое из элементов не сферической
формы возможны контакты по площадкам, которые могут
перекрыть часть внешней поверхности элементов [26, М. R. Wyllie].
В этих случаях константа Козени — Кармана становится
довольно сложной функцией порозности. На рис. II. 9 приведены
результаты измерений Вилли и Грегори [26] и Коулсона [69]
для слоев из элементов различной геометрической формы,
проводившиеся при Re3 < 5. Изменение К с порозностью во всех
этих случаях весьма значительно. Введение поправки на
закрытую поверхность по соотношению (1.4) для элементов с
плоскими гранями не приводит к постоянству К с ростом е.
Сводные данные измеренных значений К для слоев из
одинаковых элементов различного типа приведены в [4, стр. 75].
Для элементов с плоскими гранями (кубы, пластины, призмы,
цилиндры) в интервале е = 0,38—0,40 значение К мало зависит
от формы частицы и в большинстве случаев К = 4,6—4,8.
Для фигурных насадок (кольца Рашига и Лессинга, седла
Берля, проволочные пружины) [22, Р. С. Carman; 36, 39] это
значение К применимо и для высоких йорозностей до е» 0,9.
Как указывалось ранее (стр. 36), определение константы К по
соотношению К = KqT2 = 2Р с замером коэффициента
извилистости пор Т методом электроаналогии [26, М. P. Wyllie;
55

к
У 1
Шпинд\.
к
2£pi
1 1 1,
ю Диски
V
^
i i i i
\ Кубы
\
'**$**•
*&<&
1. i I..I ..!.. i
Призмы
>г
-/
_I__i 1_j!__L._i_
Сер еры 1
Смесь
сфер
ОдноЛ
родные
ссреры]
\ ^*-1
1..I 1 1 1 1 1 1 1
^ 0,3 Ofl 0,J 0/t 0,2 0,3 0,4 0,3 0,4 0,5 0,1 0,2 0,3 0,4
e
Рис. II. 9. Константы Козени — Кармана для зернистого слоя из элементов
различной геометрической формы в зависимости от порозности слоя:
О—экспериментальные данные [31]; Д —те же данные с поправкой на закрытую
поверхность [26, MVR. Willie[; ^—экспериментальные данные [69].
R. В. McMullin: 43, В. А. Нелидов] имеет ограниченное
применение (см. стр. 36). Проще определить К непосредственно по
замеру перепада давления в условиях вязкостного течения.
Монодисперсный слой из частиц нерегулярной формы
Поверхность частиц нерегулярной формы находят по
перепаду давления при течении жидкости через слой таких частиц
из соотношения (11.55). При этом (см. стр. 50) существенно
определение входящей в это уравнение константы Козени —
Кармана. Последнее можно сделать, если поверхность частиц или
эквивалентный диаметр слоя определены одновременно с
перепадом давления каким-либо из независимых методов, описанных
в разделе II. 4. В отсутствие таких данных приходится
задаваться значением К в зависимости от типа элементов слоя.
В зависимости от формы и характера поверхности зерна
нерегулярной формы могут быть отнесены к одной из следующих
групп:
округлые частицы с гладкой поверхностью (например,
галька, обкатанный речной песок, микросферы);
округлые и цилиндрические частицы с шероховатой
поверхностью (активированный уголь, сорбенты, катализаторы);
частицы с изломами и трещинами резко неправильной формы
(щебень, горный песок, кокс, руда, каменный уголь, сланец,
катализаторы синтеза аммиака, дробленый керамзит).
56

Поверхность частиц первой группы можно найти по
приближенным геометрическим зависимостям с предварительным
обмером линейных размеров частиц по главным осям. Так, Вилли
и Грегори [26] определяли размеры сфероидальных частиц
с номинальным диаметром 0,279 и 0,127 мм обмером под
микроскопом и с помощью проектора, а также методом измерения
длин отрезков зерен, пересекаемых бросаемой на шлиф
стальной-иглой. Результаты измерений усреднялись по данным 200—
600 опытов. Для более мелких частиц с номинальным
диаметром 0,028 мм удельную поверхность а0 измеряли по адсорбции
азота. Полученные различными методами значения а0
совпадали как другие другом, так и с а0, определенной по перепаду
давления из соотношения (II. 55) при К\ = 4,8 с точностью
±5%.
Для тел второй группы с линейными размерами
шероховатостей поверхности одного порядка с размерами зерна
подстановка в (II. 32), сглаженной геометрической поверхности а0
приводит к явно завышенному значению /С. Так, Кельцев [70],
измеряя гидравлическое сопротивление активированных углей,
получил значение К = 7,55, что соответствует превышению
истинной обдуваемой поверхности зерен над геометрически
сглаженной на 22%. Карман [22] указывает, что значение ао для
шероховатых частиц может быть в 2—3 раза выше чем у
геометрически сглаженных частиц.
Истинное значение константы Козени — Кармана для
зернистых слоев из частиц второй и третьей группы может быть
выяснено из независимых определений яо, например, по
капиллярному подъему жидкости в таком слое [26, R. В. McMullin;
71], а также и*по обработке шлифов [72].
Ишкин и Каданер [71] определяли эквивалентный диаметр
зернистых слоев различной структуры по капиллярному подъему
столбика спирта или воды в предварительно хорошо смоченном
слое зерен. Значение гидравлического радиуса находили по
•уравнению: гк = г/а = a cos 0/рж£"А, аналогичному (II. 54). Угол
смачивания 8 принимали равным нулю.
Корректность определения проверяли на слоях из
стеклянных шариков диаметром от 0,13 до 2,0 мм при средней пороз-
ности е = 0,4. Сходимость с геометрическими измерениями
в среднем до +6%. По данным авторов [71], Ки = 5,1 (±15%).
Для зернистых слоев из кварцевого песка Мак-Муллин и Муч-
чини [26] получили Ки = 5,2 (±22%). Для аналогичных
систем по данным [73] можно оценить Ки = 4,5 (±19%).
Для частиц третьей группы — зерен молотого кварца
удельную поверхность определяли по адсорбции азота.
Сопоставление а0 с данными по продувке дает среднее значение Km = 5.
Аналогичные результаты получены при прямых промерах
размеров крупных кусков кокса [64]. Значение Ки = Кш = 5^ мы
и примем как наиболее достоверное для частиц второй и третьей
групп.
57

Исходя из указанных значений К для слоев из частиц непра*
вильной формы, можно в соответствии с (I. 10) определить
наиболее вероятное значение коэффициентов формы: Ф = 6/a0dv,
где dv — диаметр шара, равновеликого по объему зерну.
Подробные таблицы обработанных таким путем экспериментальных
данных для частиц всех трех групп приведены в [4, стр. 80].
Анализ этих сводных данных приводит к следующим выводам:
фактор формы в сильной степени зависит не только от
природы частиц, но и от их размеров; лучше всего определять его
непосредственно из замеров перепада давления на слое при
Re3 < 10:
ориентировочные расчеты можно вести, используя
следующие значения Ф для типовых материалов —
каменный уголь, кокс металлургический 0,45
алюмосиликаты, силикагели, алюмогели • 0,5
антрацит 0,67
щебень, гравий, песок горный 0,7
песок округлый и галька 0,75
активированный уголь формованный 0,8
Полидисперсные системы
Указанные системы из-за своей многочисленности изучены
гораздо в меньшей степени, нежели монодисперсные. Можно
рассматривать три случая.
I. Интервал дисперсности зерен dmaxMnin < 2. Структура
такого слоя существенно не отличается от структуры
монодисперсной засыпки. Значение К должно быть таким же, как и для
монодисперсного слоя [22, Р. С. Carman]. Для слоя шаров это
положение подтверждено в работах [26, М. R. Wyllie] (см.
рис. II. 9) и [39]. Частицы неправильной формы при обычных
методах рассева имеют фактические колебания дисперсности
вокруг номинального среднего размера ±30%.
II. Слой состоит из двух или нескольких ситовых классов
зерен с модулем дисперсности dmax/dmm > 2. Зерна малого
размера тогда могут частично входить в промежутки между
крупными. Структура зернистого слоя при этом существенно
изменяется; резко падает порозность слоя е и возрастает
извилистость Т [26, М. R. Wyllie; 39]. Значение К возрастает при этом
до 7,2 (см. рис. II. 9). Для зерен неправильной формы такое
увеличение К отсутствует, несмотря на некоторое снижение е.
Извилистость Т для смеси частиц сланца также не увеличилась
[39]. Возможно, что для шероховатых частиц неправильной
формы структура слоя при наличии* полидисперсности не
нарушается.
III. Зернистый слой состоит из частиц с широким набором
диаметров; переход от одного класса размеров к другому носит
плавный характер. Результаты многочисленных измерений
показывают, что значения К для таких смесей, как строительные
58

Щ50г-
0,4ol
о,зо1
1 1 5 10 15 20 25 JO 35 40
ri**d60/d10
Рис. II. 10. Экспериментальные данные [46, Г. Ф. Требин; 72] для зависимости
порозности грунта от коэффициента неоднородности r) = deo/dio-
материалы, сорбенты, катализаторы, руды, не отличаются от
значений для монодисперсных систем. На этом, собственно,
основаны измерения обдуваемой поверхности материалов по
перепаду давления, о которых говорилось в разделе II. 4. Пороз-
ность слоя в среднем имеет те же значения, что и у
монодисперсных систем, однако, отклонения ее от средних значений
здесь значительно выше еЭксп = 0,22—0,50 и зависит от способа
засыпки и дальнейшей утрамбовки слоя.
В природных грунтах порозность слоя зависит от его
полидисперсности. Рис. II. 10 заимствован нами из работы
Кондратьева [72] и на него нанесено также несколько точек по
данным Требина [57] для зернистых слоев, образованных из
нескольких фракций нефтеносных песков. По оси абсцисс отложен
коэффициент неоднородности грунта по Хазену: r\ = deo/dio, где
d60 — диаметр сита, через который проходит 60% (масс.)
образца, a dio—10%. Приведенный график дает представление
о порядке колебаний е для полидисперсных зернистых слоев из
природных материалов.
Измерения коэффициента формы для полидисперсных смесей
из песка по анализу шлифов [72] показывают, что значения Ф
для этих систем мало отличаются от соответствующих значений
для монодисперсного слоя.
П. 6. Результаты определения
гидравлического сопротивления зернистого слоя
в условиях существенного влияния
и преобладания сил инерции
Типичные измерения для слоя шаров
Наибольший интерес представляют работы, в которых
гидравлическое сопротивление данного зернистого слоя измеряли
в широком интервале изменения критерия Рейнольдса и
отношения Dajd для того, чтобы получить значения коэффициента
69

сопротивления /э в уравнении (II. 50) как в области
преобладания сил вязкости, так и в инерционном режиме.
Свыше 1000 измерений выполнено в работе [36]. Слои из
полированных металлических шариков диаметром 2,46; 3,19 и
7,15 мм засыпали в трубки различных диаметров (от 13 до
100 мм). При Dan/d -> оо порозность е = 0,38. Сфероиды из алю-
могеля d — 6 мм со слабо шероховатой поверхностью засыпали
в трубки с Dan = 18,5 и 27,8 мм при 8 « 0,418—0,435.
Использовали также таблетки катализатора 5,2 X 5,7 мм с гладкой
поверхностью в тех же трубках при е = 0,335—0,373.
Описание установки и методики измерений даны в работах
{4, 36]; общая погрешность измерений оценивалась в ±6%.
Удельную поверхность слоя определяли с учетом поверхности
стенки по (11.56). Эквивалентный критерий Рейнольдса Re9 =
= Ари/а\х варьировали от 0,1 до 1000. На графиках
откладывали зависимости /э от Re9. Один из таких графиков,
приведенный на рис. II. И, показывает, что экспериментальнце точки
хорошо укладываются на кривую, описываемую уравнением:
f9S=36,3/Re9 + 0,4 (И. 58, а)
Средний разброс от, этой кривой составляет ±6%, т.е. ле:
жит в пределах погрешностей опыта, а максимальный равен
±25% при заметных отклонениях структуры слоя от изотропной
и приближении ее к регулярной укладке.
Большую серию измерений для слоев из шаров различного
диаметра, плотно упакованных в металлическую трубу с вну-
1 Milt
• —! 1—1—1 .МП
_ i i t i [ mi
Re3
Рис. 11.11. Экспериментальные [36] зависимости коэффициента
гидравлического сопротивления от критерия Рейнольдса.
D =13,2 мм; шарики металлические, полированные с d (в мм), равными: 0 — 2,48;
0aHLз,19; ®— 7,16. Сопоставление с кривой (И. 58а).
60

Рис. II. 12. Экспериментальные данные [74] зависимости коэффициента
гидравлического сопротивления слоя шаров от критерия Рейнольдса.
Кривая / — сопоставление с зависимостью (11.58); кривая 2—данные для однорядного
реактора, сопоставление с (II. 586).
тренним диаметром 41,3 мм, провел Батищев [74]. Было
выполнено 33 группы измерений при различных отношениях высоты
засыпки к диаметру аппарата X = L/Dan и диаметра аппарата
к диаметру шара Z = Dan/d. В 32-й группе эти параметры
варьировали в интервалах X = 5,35—21,2 и Z = 21,0 — 8,4.
Пересчитанный нами критерий Рейнольдса изменялся в пределах Re9 =
= 0,063-г 2160.
Автор [74] для описания полученных результатов подбирал
эмпирические одночленные зависимости типа (11.41) и (11.42).
Вся область была разбита на 5 интервалов, на каждом из
которых показатель степени п при критерии Рейнольдса подбирался
постоянным. Поскольку параметр Z = DaJd в ряде опытов был
ниже 10, то для коэффициента С в (И. 42) подбиралась тоже
степенная зависимость от Zm с малым значением показателя
степени т. Формулы типа Др/L = CiZwRen, к которому можно
привести предлагаемые Батищевым соотношения с
переменными значениями п, т и С\ на каждом участке, неудобны для
инженерной практики. Поскольку при этом п (в нашем
описании) постепенно изменялось от п = 1 (вязкостный режим) до
п = 2 (инерционный режим), то естественно было проверить
насколько данные [74] могут быть описаны предложенной в [36]
зависимостью (11.58, а). Как видно из рис. 11.12,
пересчитанные на Re3 и /э данные Батищева при Z > 10 укладываются на
эту кривую 1 со средним отклонением ~5%, а при Z < 10 эти
отклонения значений f3 несколько увеличиваются в сторону
уменьшения /э, доходя до 23%-(что не превосходит сообщенных
в литературе колебаний для слоя шаров).
Батищев опубликовал продолжение своих исследований [75]
для области малых отношений диаметра трубы к диаметру
засыпанных шаров Dan/d = 1,426—1,177. Столь низкое отношение
61

Dan/d соответствует модели «однорядного» реактора,
используемого в последние годы для проведения исследования реакций
в лабораторном масштабе. Выполненный нами пересчет этих
данных с поправкой (II. 57) на поверхность трубы, показал, что
они могут быть описаны аналогичной (II. 58, а) двухчленной
зависимостью
/э, однор - 43,56/Re3 + 0,225 (П. 58, б)
как это показано на рис. II. 12 (кривая 2).
Кривая (II. 58, а) описывает плавный переход от
вязкостного режима к инерционному. Условную границу между обоими
режимами течения в зернистом слое можно провести там, где
оба слагаемые сравниваются друг с другом и 36,3/Re3 = 0,4, т. е.
Re3« 100. Для однорядного реактора, в соответствии с (П. 58, б),
этот переход лежит при вдвое больших значениях Re9 « 200.
При малых Re3 /э, однор > /э, а при больших Re3 /э, однор < /э.
Уравнения для коэффициента сопротивления в зернистом слое
из элементов сферической формы с гладкой поверхностью
в области Re9 < 2000
Определяя в соответствии с (II. 50) коэффициент
сопротивления
'-■Нт*] «'■*»
мы пришли к выводу, что тем самым должны объединяться
системы с различной порозностью в единую зависимость /э от
эквивалентного критерия Рейнольдса:
Re9 = Мэ/v = 4u/va (II. 60)
Для инженерных расчетов удобна наиболее простая, хотя и
приближенная, функция /э (Re3), дающая правильную
зависимость A/7/L от « в предельных случаях чисто вязкого и чисто
инерционного течения. Такого рода простейшая
интерполяционная зависимость должна иметь вид
}9 = 8К/Яеэ + Ки (11.61)
где К — введенная выше константа Козени — Кармана, а /Си —
предельное значение /э в инерционном режиме. Именно такой
вид имеет зависимость (II. 58, а), на которую укладываются
экспериментальные данные [36, 64] при значениях К = 4,55 и
/(и = 0,4. К такому же виду (11.61) может быть приведено и
уравнение Эргана (11.53) со значениями констант /С= 150/36=
=4,17 и /С„ = 1,75/3 = 0,58.
Вопрос о наиболее вероятном значении К для сферических '
частиц обсуждался в разделе II. 5.
В монографии [4, стр. 91] приведена сводная таблица
значений инерционного коэффициента /Си по измерениям,
выполненным различными авторами. Эти значения колеблются между
приведенными выше значениями 0,4 [36] и 0,58 [37]. Повышен-
62

иые значения /Си [37, 39] наблюдаются, как правило, при
плотной укладке шаров, когда в пограничном слое вместо
кубической упаковки образуется ромбоэдрическая.
Комаровский и Стрельцов [76], обработав значительное
число экспериментальных данных, пришли к выводу, что в
зависимости (II. 58, а) /Си следует увеличить от 0,4 до 0,45.
Останавливаясь на этом значении^ можно окончательно
рекомендовать для расчета гидравлического сопротивления слоя из
сферических частиц зависимость
f3 = 36,3/Re9 + 0,45 (11.62)
согласно которой при Re9 « 1 /э « 40, при Re3 «10 /э « 4,
при Re9 « 100 /э « 0,8 и медленно спадает далее до 0,45.
Существуют и другие, внешне резко отличающиеся от (II. 62)
зависимости /э от Re9. Так, Чечеткин [77] предложил
зависимость
f9 = 35,54/Re9 + 0,82/Re°'08 (II. 63)
в которой
0,82/Re°'°*=tf* (11.64)
не остается постоянной. Однако нетрудно видеть, что из-за очень
малого показателя степени 0,08 при изменении Re3 от 102 до
103 /С* практически изменяется от 0,567 до 0,472, т. е. всего
на 20%.
Близкую к (11.63) зависимость предложил Брауэр [42].
В наших обозначениях она имеет вид:
f9 = 35,6/Re9 + 1,03/Re^'1 (II. 65)
Здесь 1,03/Re^1 = /C^ в том же интервале Re9 от 102 до 103
снижается на 25%.
Существуют и более сложные трехчленные зависимости,
например:
Розе [41] —
f9 - 40/Re9 + 2,28/Re^5 + 0,46 (II. 66)
Бернштейна, Померанцева и Шагаловой [40] —
f9 = 34/Re9 + 3,65/Re°*7 + 0,385 (И. 67)
В-(П. 67), например, /С* == 36,5/R^7-f 0,385, которая для'
Re3 = 102— 103 уменьшается от 0,530 до 0,414, т. е. на 28%.
Приведенные примеры убедительно показывают, что
различные, более сложные уравнения типа (11.63) — (11.67) не имеют
преимуществ по сравнению с рекомендуемой нами двухчленной
расчетной формулой (11.62).
63

Уравнения для коэффициента сопротивления в зернистом слое
из шаров с гладкой поверхностью
в области Re3 > 2000
Для некоторых производств химической технологии и
атомной энергетики существенно определять гидравлическое
сопротивление зернистого слоя в области больших значений Re3 до
~ 105. Уже при Re3 = 103 первое слагаемое в (П. 61) становится
пренебрежимо малым [по (11.62) менее 0,004], а при
дальнейшем изменении Re3 еще на 2 порядка уже нельзя считать
величину /Си постоянной. Для шаров со слабой шероховатостью
величину /Си можно считать постбянной вплоть до Re3 « 104.
Для гладких полированных шаров величина /Си постепенно
снижается и /э в интервале Re3 = 103—105 может быть описан
уравнением /э*= 1,09/ReJ'14 с разбросом ~20%. С учетом
поверхности стенок по (П. 57) на кривую этой зависимости
укладываются данные работ [41, 45, 78].
Уравнения для коэффициента гидравлического сопротивления
в зернистом слое из цилиндров (таблеток, гранул)
и седлообразных элементов
При использовании общего двухчленного уравнения (11.61)
для константы Козени — Кармана в этом случае следует
принять среднее значение /С = 4,7 (см. раздел П. 5). Инерционная
компонента коэффициента сопротивления /Си для слоя из шаров
равна 0,45, а для несферических элементов, по данным Кармана
[22], должна быть выше на 30%. Структура ансамблей слоя из
несферических элементов должна сильно влиять на /Си.:
существенна и форма элементов. Так, значение /Си в слое из таблеток
с закругленными концами оказалось на 12% ниже, чем в слое
из таких же таблеток с торцами без закруглений [79]. Поэтому
значения /Си, полученные из отдельных экспериментов, довольно
существенно отличаются друг от друга [4, стр. 95].
Обработка экспериментальных данных осложняется
дополнительно тем обстоятельством, что значительная часть
исследовавшихся элементов (катализаторы, адсорбенты, керамическая
насадка скрубберов) имеет шероховатую поверхность с
коэффициентом формы Ф<1. Так, явно завышенное значение /Си =
= 1,57 для алундовых цилиндров, вероятно, объясняется тем,
что при сильной шероховатости их поверхности фактическая
удельная поверхность слоя а0 была выше значения, полученного
из обмера геометрических размеров цилиндриков. То же
замечание относится и к таблеткам катализаторов [36].
При большом разбросе отдельных данных от ~0,4 до ~0,7
наиболее вероятное значение /Си близко к предлагаемому Эрга-
ном [37] 0,585 и уравнение /э = 37,6/Re3 + 0,585 можно
рекомендовать для "расчета сопротивления слоя частиц в форме
таблеток, цилиндров или седел с погрешностью ±30%. Когда тре-
64

буются более точные данные по перепаду давлений, то
рекомендуется произвести продувку конкретного слоя в аппарате
запроектированного диаметра и построить для него градуировоч-
ный график в координатах lg/э — lg Re9.
Уравнения для коэффициента сопротивления
в зернистом слое из колец
Зернистый слой из колец с высотой, обычно равной
внешнему диаметру (кольца Рашига и их модификации), широко
используют в химической технологии как насадку в абсорбцион-.
ных, ректификационных и реакционных аппаратах.
Исследованию гидравлических закономерностей в такой насадке
посвящены специальные монографии [63,80]. При этом в работе
Жаворонкова [63] для наиболее существенного для практики
интервала критериев Re3 = 40—4000 рекомендована
одночленная степенная зависимость: /3 = 3,8/Re^5, которая в указанном
интервале дает значения /э, в 1,5—2 раза превышающие
рассчитанные по зависимости (11.62). Однако на кривую /9 = 3,8/Re^5
достаточно удовлетворительно укладывается большинство
опубликованных данных и она может быть рекомендована для
инженерных расчетов. В принципе, для течения с преобладанием сил
инерции условия течения жидкости (газа) между кольцами и
внутри них несколько различны и коэффициент сопротивления
/э может зависеть не только от Re3, но и от отношения
внутреннего и внешнего диаметра кольца di/d2 [42]. Однако
однозначной зависимости /э от этого параметра установить не удалось.
Уравнения для коэффициента гидравлического сопротивления
зернистого слоя из частиц нерегулярной формы
(моно- и полидисперсных)
Величину /Си в (11.61) определяли в многочисленных
измерениях для зернистых слоев из элементов нерегулярной формы
следующих классов:
катализаторы и сорбенты в виде гранул и частиц
неправильной формы;
строительные материалы, песок, каменный уголь, сланцы;
природные грунты (применительно к условиям
нефтепромысловой геологии и гидротехники).
Для использования уравнений типа (II. 61) необходимо знать
основные параметры зернистого слоя — порозность е и
удельную поверхность а = ао(1 — е). Величину а0 для частиц
нерегулярной формы определяют по перепаду давления в области
течения с преобладанием сил вязкости по уравнению (11.55).
Переходя к большим значениям Re9, можно, далее, определить и
константу /Си в (11.61). Для этого, подставив значения (11.59)
3 Зак. 1274
65

и (11.60) в (11.61), можно привести последнее уравнение
к виду:
Если откладывать по оси ординат полученные из
эксперимента значения Ap/Luf а по оси абсцисс — соответствующие им
значения и> то по экспериментальным точкам можно провести*
усредненную прямую линию. Отрезок по оси ординат,
отсекаемый при продолжении этой прямой, дает значение а2\хК/ег.
Измерив порозность слоя е и зная константу Козени — Кармана
К (см. раздел II. 5), можно по этим данным определить
удельную Поверхность слоя а. Далее, измеряя в данном масштабе
тангенс (размерный) угла наклона прямой (11.68): tga=f
= ар/Си/2е3, можно окончательно рассчитать инерционную
константу /Си. Естественно, что из того же графика при известных
или задаваемых значениях обеих констант К и /Си можно
определить две неизвестных величины а и е.
В монографии [4, стр. 101] приведены опытные значения
константы Ли для различных зернистых слоев из частиц
нерегулярной формы. Значения /Си (так же как и коэффициента
формы Ф) колеблются в пределах от 0,5 до 1,0 для различных
зернистых материалов без какой-либо определенной
закономерности. Внутри этого интервала наиболее вероятным значением
/Си для зернистых слоев из элементов нерегулярной формы
можно считать /Си = 0,75. В соответствии с этим, для таких
слоев может быть рекомендована расчетная формула: /э =
= 40/Re3 + 0,75 с вероятным разбросом ±35%.
Как читатели уже могли убедиться, все рекомендуемые нами
в данном разделе расчетные формулы типа (11.61) для
гидравлического сопротивления зернистого слоя имеют невысокую
точность: ±20—35%. Отметим, что такого же порядка и точность
применяемых в инженерной практике расчетных зависимостей
для коэффициентов теплоотдачи [81].
Столь заметный разброс /э связан с тем, что (как
указывалось еще в разделе I. 1) выбранные нами параметры:
порозность е и обтекаемая поверхность а, хотя и являются
основными, но не полностью определяющими структуру зернистого
слоя. Следует считать исключительной удачей, что остальные
многочисленные структурные детали (распределение зерен но
размерам и форме, укладка, характер и степень извилистости
поровых каналов) сравнительно с е и а слабо сказываются на
гидравлическом сопротивлении слоя. Тридцатипроцентный
разброс точек около усредненных кривых типа (И. 61) является
относительно небольшим, если учесть применимость этих формул
на интервале изменения критерия Рейнольдса в 4 порядка (от
Ю-1 до 103) при изменении при этом значения коэффициента
сопротивления /э на 2 порядка (от 0,5 до 50).
66

II. 7. Гидравлическое сопротивление зернистого слоя
с упорядоченным расположением элементов в нем
Влияние дополнительных структурных деталей, кроме е и а,
о котором говорилось выше, может особенно сильно сказаться
на гидравлическом сопротивлении зернистого слоя при
упорядоченной укладке его элементов. Влияние последней подробно
исследовано для слоя из шаров одинакового диаметра, в которых
порозность е и просветы -ф меняются по высоте сечения. Авторы
[82] измеряли гидравлическое сопротивление в слоях из
металлических шариков диаметром 5/16 и 3/8 дюйма, загружавшихся
в зависимости от желаемой структуры в аппараты квадратного
сечения со стороной 5 или 2,5 дюйма или с сечением
правильного шестиугольника, вписанного в окружность диаметром
3,25 дюйма. У стенок укладывались половинки, трети или
четверти шаров. Благодаря этому и относительно высокому
отношению Dan/d, влияние стенок было исключено. Исключено было
и влияние входных эффектов путем замеров перепада давления
при различной высоте слоя. Через слой прокачивали воду или
масло для получения большого интервала изменения критерия
Рейнольдса за счет изменения вязкости текущей среды
(рис. II. 13). Для сравнения на рис. II. 13 штрихом нанесены
Рис. II. 13. Коэффициенты гидравлического сопротивления зернистого слоя
из шаров с упорядоченным расположением элементов [82]:
/—/ — кубическое; е=*0,476; 2—2—орторомбическое с открытыми просветами; e=s0,3954;
2—Я*—орторомбическое с блокированными просветами; е«=0,3954; 5-5—орторомбическое;
е=о,3954; 4-4—тетрагональное с открытыми просветами; 8=0,3019; 4-/—тетрагональное
с блокированными просветами; 8=0,3019; 5—5—ромбоэдрическое с открытыми просветами;
е=0,2595; 5-5'—ромбоэдрическое с блокированными просветами е=*0,2595;
Штрихом обозначены f (Re) для зернистого слоя из шаров с неупорядоченной укладкой и
различными значениями порозности 6.
3* 67

пересчитанные в те же координаты кривые гидравлического
сопротивления слоев шаров с неупорядоченной засыпкой при тех
же самых значениях порозности &. Из рис. II. 13 следует, что
гидравлическое сопротивление упорядоченных засыпок при
одинаковых а0 и е как правило мало отличаются от*
неупорядоченных. Исключения составляют лишь некоторые специальные
случаи:
ДЛЯ ПРОСТОЙ КубИЧеСКОЙ уКЛаДКИ С 8 = 0,476, \|)max = 1 И
<фт1п = 0,214 коэффициент сопротивления в инерционной
области /упор = 0,6 /бесп;
для орторомбической укладки со свободными проходами при
расстоянии между слоями 0,866 d, порозности е = 0,3954,
г|)тах = 0,635 и if>min = 0,214 также /упоР = 0,6/бесп в широком
интервале значений Re;
для орторомбической укладки с блокированными
просветами при расстоянии между слоями d> порозности е = Q,3954,
<фтах = 1 и фпип = 0,093 вследствие большой неравномерности
в просветах наблюдается противоположный эффект и /упор =
= О,О /бесп.
Столь большое различие /упор//бесп для разных структур
(в 6 раз) во многом и определяет расхождения в значениях /э
для слоя шаров с неупорядоченной укладкой,„полученные
различными исследователями.
Жаворонков [63] измерил гидравлическое сопротивление
упорядоченных насадок в виде деревянных решеток и колец
Рашига. В области значений Re = 250—7000 для колец,
уложенных трубчаткой, и решеток, установленных параллельно
друг над другом, т. е. для насадок, образующих сплошные
вертикальные каналы, им получена эмпирическая зависимость:
f9,KaH~°>78/Ref75 №69)
При укладке же колец в шахматном порядке вследствие
скачкообразного изменения направления струй при переходе от
предыдущего слоя к последующему множитель
пропорциональности возрос в 3 раза: /э шахм = 2,3/Re°*375.
Аналогично и при укладке деревянных решеток
крест-накрест друг под другом, чем меньше относительная высота реек,
т. е. чем чаще происходит изменение сечений и направлений
струй в хордовой насадке, тем выше численный множитель в
формуле закона гидравлического сопротивления типа (11.63)
до сравнению с его минимальным значением 0,78.
Насадки регенераторов из брусков и кирпичей с шахматным
и коридорным расположением элементов также являются
зернистым слоем в широком смысле этого слова. Детально вопросы
гидравлики в таких слоях здесь не рассматриваются.
68

11.8. Сопоставление гидравлического сопротивления
зернистого слоя с гидравлическим сопротивлением
составляющих его элементов
При рассмотрении модели зернистого слоя как ансамбля
последовательно обтекаемых шаров в разделе II. 3 была записана
формула для гидравлического сопротивления потоку (11.52),
в которой величину X(Re) можно рассматривать как
коэффициент гидравлического сопротивления одиночного шара в
зернистом слое. Интересно также сопоставить гидравлические
сопротивления зернистого слоя из гладких шаров и пучка поперечно
обтекаемых труб шахматного расположения; движение
жидкости в последнем случае является примером последовательного
внешнего обтекания отдельных цилиндров. Весьма
распространенный в технике пучок труб с разбивкой по вершинам
равностороннего треугольника и шагом Si = l,25d имеет пороз-
ность е = 0,418, что близко подходит к нормальной порозности
зернистого слоя шаров. Удельная поверхность элементов такого
слоя трубчатки а0 = 4/d, а коэффициент формы Ф = 0,67.
И действительно, зависимости /э от Re3 [определенных по (II. 59)
и (11.60)], рассчитанные [36, 63] для трубчатки и зернистого
слоя, очень близки.
Для сопоставления гидравлических сопротивлений элементов
внутри совокупности (шара в зернистом слое и трубки в пучке
труб) ив потоке с безгранично удаленными границами важно
правильно оценить истинные скорости потока в пучке труб и
слое шаров. В первом случае целесообразнее всего относить эту
величину к сжатому сечению между трубками, во втором — к
сечению в «просвете» между шарами. Минимальный просвет ipmin
может быть определен по приближенной зависимости,
предложенной Лейбензоном [22]: \|3min = 0,625 е1'4. Рассчитав
истинную скорость ис = и/фтт по соотношению (11.52), можно
определить коэффициент гидравлического сопротивления X шара в
зернистом слое в зависимости от скорости потока.
Соответствующие расчеты были выполнены [36] для слоя из шаров с е = 0,39
и пучка труб с шахматным расположением и расстоянием
между трубками 1,25 d. Аналогичные расчеты были проведены
[83] для гидравлического сопротивления отдельного цилиндра,
пучка труб и слоя сеток.
На рис. II. 14 по оси ординат отложены рассчитанные таким
образом коэффициенты X гидравлического сопротивления
обтекаемых тел, а по оси абсцисс числа Рейнольдса Rec, отнесенные
к диаметру шара или трубки и к истинной скорости потока ис.
Как видно из рис. II. 14, коэффициенты гидравлического
сопротивления в слое ХСл значительно превышают значения Хол
свободных одиночных элементов особенно в вязком режиме
течения, а при больших значениях начинают сближаться.
69

' 1 id W W W
Rec
Рис. 11.14. Коэффициенты гидравлического сопротивления шара и цилиндра
в свободном потоке жидкости, зернистом слое и пучке труб:
/—отдельный шар; 2—шар в слое; 3—отдельный цилиндр; 4—цилиндр в пучке труб.
Сопоставление данных по гидравлическому сопротивлению,
теплоотдаче к поверхности зернистого слоя, диффузии и
продольному перемешиванию при течении (см. последующие главы)
позволяет более ясно понять физическую природу движения
жидкости в зернистом слое при различных значениях критерия
Рейнольдса. Как и в трубах, при малых значениях Re
«пограничный слой» заполняет все сечение поровых каналов и
распределение скоростей существенно зависит от формы канала. С
ростом же Re «пограничный слой» сжимается и взаимодействие
потока с зернистым слоем, (гидравлическое сопротивление)
начинает главным образом определяться формой отдельного
элемента и характером его поверхности.
Последнее подтверждается и данными по влиянию
неровности поверхности элементов слоя на гидравлическое
сопротивление. Как указывалось выше (стр. 49), неровности поверхности
масштабом 6/d > 0,01 учитываются просто изменением
удельной поверхности а0, а более мелкие определяются как
«шероховатости». Для пучков труб шахматного расположения
шероховатости с 8/d = 0,006 начинают сказываться на величине
гидравлического сопротивления при Rec > 3-Ю4, что соответствует
Re9>6-103. Немногочисленные прямые измерения
гидравлического сопротивления* шариков с гладкой и шероховатой
поверхностями [37],. а также гальки с природной и
сглаженной поверхностями [84] согласуются с указанными выше
выводами.
В области преобладания сил инерции сближаются и
значения коэффициентов. Так, для одиночного шара taiH(Re-*oo) = 0,47,
а для зернистого слоя из шаров /Сдое-и») = 0,45,
70

II. 9. Распределение скоростей газа
в реальном зернистом слое
Плоское и пространственное течение жидкости.
Гидравлическое моделирование в зернистом слое
Одномерное течение жидкости в цилиндрической трубе, для
которого в разделах II. 2—II. 6 приведены расчетные уравнения,
связывающие перепад давления и скорость жидкости в
зернистом слое, является только частным случаем течения жидкости
(газа). В более общем случае течение может быть двух- или
трехмерным. Такие более общие режимы имеют особенно
важное значение для течения воды, нефти и газа в грунтах. Однако
и в аппаратах химической технологии, в шахтных и доменных
печах мы часто встречаемся с пространственным трехмерным
течением, в частности, при учете пристенных эффектов.
Плоские и пространственные поля скоростей и давлений
определяются интегрированием уравнений Навье — Стокса с
учетом граничных и начальных условий. Решение ряда подобных
задач в области преобладания сил вязкости, когда уравнения
становятся линейными, излагается, например, в следующих
книгах [22, Л. С. Лейбензон и А. Е. Шейдеггер; 45, 72] и мы здесь
на этих вопросах не останавливаемся. В этих же книгах
освещается вопрос 6 пространственном движении жидкости в
зернистом слое в условиях, когда нельзя пренебрегать силами
инерции и основные уравнения движения перестают быть
линейными.
Так, Энгелунд [86] получил аналитические решения для
некоторых частных случаев течения при двухчленной зависимости
для коэффициента сопротивления (11.61). Христианович [86]
показал, что в пределах сохранения постоянного показателя
степени, т. е. когда на данном интервале коэффициент
сопротивления может быть аппроксимирован степенной зависимостью
/э = В Re"1 с / = const, задачи нелинейного режима течения
могут быть решены через зависимости для соответствующих
вязкостных режимов (/=1) с внесением определенных поправок.
В области применимости закона Дарси из (11.59) — (11.61)
в векторной форме можно записать
и = — k grad p (II. 70)
где коэффициент проницаемости слоя связан с константой Ко-
зени — Кармана соотношением: k =(l/K) (e/\ia0).
Уравнение (II. 70) по своей форме аналогично закону Ома
в дифференциальной форме для течения тока в сплошном
проводнике
/ = — Ygradcp (И. 71)
связывающему плотность тока / с градиентом электрического
потенциала <р и электропроводностью среды у.
71

Подобие уравнений (11.70) и (11.71) позволяет для иссле-
->
дования поля средних скоростей и в зернистом слое применять
метод электрогидравлической аналогии (ЭГДА) и измерять
распределение линий электрического поля Е = — gfad cp на
специальных геометрически подобных моделях. Пространственные
модели заполняют жидким или студнеобразным электролитом.
Вход и выход потока моделируют подобными по размерам
внешними электродами; области с различной проницаемостью k
моделируют участками с пропорциональной
электропроводностью у, разделенными пропускающими ток перегородками.
Двухмерные течения моделируют с помощью электропроводной
бумаги с различным удельным сопротивлением.
Имеется обширная литература по применению ЭГДА для
решения задач подземной гидравлики [87]\ Применение метода
ЭГДА для исследования потоков жидкости (газа) в условиях
химической аппаратуры, шахтных и доменных печей имеет
специфические ограничения, связанные с нарушением
электрогидравлической аналогии для течений с большими значениями
критерия Рейнольдса.
Поля скоростей в больших промышленных аппаратах* (а)
могут быть проанализированы непосредственным замером
распределения скоростей в малой, геометрически подобной модели
(м) с засыпкой зерен меньшего, чем в основном аппарате,-
размера. При таком гидравлическом моделировании [88]
необходимо, чтобы критерии Рейнольдса для зернистого слоя в
аппарате Re9> а и модели Re9, M находились в области, охватываемой
одинаковым законом сопротивления: f9 = BRe~l (при l = idem).
В условиях зернистого слоя это соответствует требованиям
Re9, M; Re9, a < 20 (/ = 1) или Re9, M; Re9, а > 400 (/ == 0) (II. 72)
В промежуточной же области (0 < / < I) постоянство
показателя / сохраняется на интервалах изменения Re9 не более
полпорядка и для моделирования необходимо чтобы
l/4<Re9,M/Re9,a<2 (11.73)
Учитывая специфические особенности движения жидкости
в пристенном слое желательно, чтобы на модели (Dan/d)M> 15.
Поскольку в обычных условиях моделирования da > dM, то для
соблюдения условий (II. 72) и (II. 73) необходимо, чтобы:
(Р"/И)м > (риМа
Распределение скоростей в зернистом слое
с различной порозностью, структурой упаковки
и переменной температурой газа
Развитие современных быстродействующих ЭВМ позволило
поставить задачу непосредственного расчета поля средних
скоростей в промышленном аппарате на основе численного интегри*
72

рования [44] уравнения (II. 68) в векторной форме:
-gradp = (^+^«): (II.74)
При этом, в принципе, становится возможным учитывать и
макроскопические неоднородности укладки в промышленных
аппаратах.
Непостоянство скорости потока по сечению аппарата может
быть обусловлено:
изменением характера укладки зерен в рядах, прилегающих
к стенкам аппарата; обычно в пограничной зоне порозность е
выше — для шаров и цилиндров изменяется структура упаковки;
существенным влиянием на распределение скоростей условий
входа газа (жидкости) в слой и выхода из последнего при
небольшой толщине слоя зерен; эти обстоятельства необходимо
учитывать при формулировке граничных условий основного
дифференциального уравнения (11.75);
непостоянством абсолютной температуры Т по участкам
зернистого слоя, вызывающим перераспределение скоростей при
течении газа.
Указанные обстоятельства имеют существенное значение при
проведении процессов горения, контактного катализа,
адсорбции, хроматографии и ионного обмена в зернистом слое. Как
можно грубо оценить из (II. 74), влияние изменения параметров
е и Т неодинаково в областях, соответствующих вязкостному и
инерционному режиму.
При изотермическом течении (Т = const) неравномерность
поля скоростей' определяется неоднородностью е.
Аппроксимируя на небольшом участке линейную зависимость а от г
степенной: а'=а0(1—г) ~ 1/е, можно показать, используя (11.74),
что в вязкостном режиме и зависит от е3/а2 ~ е5, а в
инерционном — от V87a ~ е2> т- е- с повышением Re3 неравномерности
поля скоростей должны несколько сглаживаться.
В неизотермических режимах вязкость газа \х ~ Г°«5, а
плотность р ~ Г-1. Из (11.74) тогда следует, что массовая скорость ри
в вязкостном режиме зависит от p/[i ~ Г"1»5, а в инерционном от
д/р^Т^0,5» т. е повышение Re3 также выравнивает колебания
скорости, вызываемые неравномерностями поля температур.
При малых Re3 и высокой проницаемости слоя может иметь
значение также гидростатический эффект наличия вертикальных
сообщающихся столбов газа с различной плотностью. Из-за
этого, газ в горячей зоне движется с большей скоростью .при
направлении потока вверх, чем' при направлении вниз.
Поскольку, как указывалось выше, элементы зернистого слоя*
могут укладываться в локальные ансамбли с различной
плотностью упаковки, такое распределение должно привести к
соответствующим флуктуациям в скорости газа, с колебаниями в обе
73

стороны вокруг некоторого среднего значения. Измеряя эти
флуктуации, можно судить о масштабах и степени
неоднородности укладки.
Экспериментальное определение скоростей газа (жидкости)
в зернистом слое.
Профиль скоростей в цилиндрической трубе
Для ряда практически важных случаев, например течение
газа в доменных и шахтных печах с изменяющейся по высоте и
диаметру проницаемостью слоя [49, Ф. Ф. Колесанов],
движение газа в каталитических аппаратах с плотным движущимся
слоем в узлах входа и выхода и т. п., теоретический расчет поля
скоростей весьма затруднителен. Расчеты профиля скоростей
в цилиндрических аппаратах химической технологии при
Danld < 6— 10 с учетом поверхности стенки аппарата и
повышенной порозности в пристенном слое [79, 89] следует признать
носящими лишь оценочный характер.
Непосредственное . измерение скоростей в слое трубками
Прандтля, аналогично тому, как это делается в полой трубе,
здесь не приводит к желаемым результатам. Даже при
использовании датчиков динамического напора микроскопических
размеров, таким путем мы получали бы случайные показания,
поскольку вектор скорости потока меняет свое направление и
величину от нуля у самой поверхности зерна до некоторой
максимальной величины примерно в средней части случайного
просвета между двумя соседними зернами. Определять же
необходимо устойчивые средние значения скорости потока через
сечения с площадью, превышающей размеры зерен.
Такие устойчивые средние значения удается измерять лишь
на выходе потока из слоя. Так, Линнет с сотр. [90] делили
площадь круга на выходе из зернистого слоя на несколько
кольцевых сечений с помощью плотно прижатых концентрических
обечаек из тонкого листа. В предположении, что и зависит только
от радиуса кольца г, скорость в каждом полом сечении
измеряли с помощью трубок Прандтля. Авторы установили, что в их
эксперименте скорость в пограничном слое в 1,5—2 раза выше,
чем в центре.
Смит с сотр. [91], отказавшись от разделительных перегоро-.
док, измеряли распределение скоростей потока по сечению с
помощью термоанемометров, установленных на некотором
расстоянии от верхнего уровня слоя. В этих более грубых опытах также
было обнаружено повышение скорости потока в периферийных
слоях по сравнению с основной центральной зоной. К
совпадающим выводам пришел Тесаржик [92], использовавший для
измерения скорости на выходе из зернистого слоя термисторы.
Акехата и Сато [93] измеряли локальные скорости по
изменению сопротивления на платиновом аноде при окислении фер-
роцианида в потоке водного раствора KN03 в области малых
74

значений Re = 0,6—2. Для зернистого
слоя из стеклянных шариков с
гладкой поверхностью вместо повышения
скорости потока в пристенном слое
наблюдалось некоторое снижение
скорости течения по сравнению с
центральной областью на 15—20%, что
совпадает с нашими расчетами [94] и
замерами при высоких значениях
критерия Рейнольдса.
Таким образом, в зависимости от
плотности и структуры упаковки зерен
в пограничном слое скорость газа у
стенки трубы может быть как выше
(для частичек с шероховатой
поверхностью), так и равна (для шариков с
гладкой поверхностью) средней
скорости по сечению трубы.
Невозможность прямого измерения
средней локальной скорости внутри
зернистого слоя потребовала
разработки удобных косвенных методик.
Такой удобный .метод был . разработан
Аэровым и Умник [94] на основе
визуального наблюдения за продвижением
фронта сорбции в зернистом слое. Еще
Шилов [95] показал, что при
продувании через зернистый слой сорбента
воздуха, содержащего
сорбирующуюся примесь, после небольшого началь- Рис- п-1£. Развертка изо-
ного участка устанавливается так на- ^рон фронта сорбции,
зываемый режим параллельного
переноса. При этом фронт поглощения примеси продвигается вдоль
сорбента со скоростью у, прямо пропорциональной скорости
потока газа и и меньшей последней в отношение концентрации
примеси в газе к ее равновесной концентрации в объеме зерен
сорбента.
Выбор примеси, окрашивающей зерна при поглощении ими
последней, позволяет вести визуальное наблюдение за
положением фронта. Для экспериментов [94] использовали слой
шарообразных зерен диаметром d = 6 мм с сильно развитой сорб-
ционной поверхностью, пропитанных уксуснокислым свинцом.
Зерна засыпали в стеклянную трубку с колосниковой решеткой
и слоем стальных шаров для достижения равномерного
распределения газа на входе. Воздух с постоянной концентрацией
сероводорода продували с линейной скоростью и = 0,01—0,04 м/с,
что соответствует Re9 = 4— 16. При поглощении H2S белая
поверхность РЬ(СНзСОО)2 принимает черную окраску PbS и фронт
поглощения выявляется достаточно резко. Стенки трубки
75

обматывали прозрачной калькой, и положение фронта окраски
фиксировали на ней через равные промежутки времени.
Развертка одного из образцов такой кальки с нанесенными на ней
изохронами показана на рис. II. 15. Рассчитанная по ним
средняя скорость продвижения фронта поглощения примеси, в
соответствии с теорией динамики сорбции [95], была при
концентрации H2S 1% (об.) примерно в 40 раз ниже линейной
скорости потока и. При повышении скорости потока до* Re3 > 20
фронт сорбционной волны становится слишком размытым.
В установке [94] можно измерять и распределение средних
локальных скоростей по сечению колонны. Продувку H2S ведут
до первого проскока, т. е. до потемнения первых зерен верхнего
ряда. После этого процесс останавливают и приступают к
последовательному снятию рядов зерен с фиксацией
распределения темных пятен в каждом последовательно обнаженном ряде.
В результате получается картина относительных локальных
высот фронта сорбции и пропорциональных им линейных
скоростей, напоминающая несколько географическую карту горной
местности (рис. II. 16).
Указанным способом мы нашли распределение скоростей
в нескольких простых моделях катализаторных коробок,
например, в цилиндрическом реакторе с внутренней трубкой, условно
представлявшей в увеличенном масштабе карман для
термопары. Профили скоростей в двух взаимно перпендикулярных
сечениях приведены на рис. П. 17.
Из рис. II. 16 и II. 17 вполне отчетливо и с полной
повторяемостью видно, что для этого размера и вида катализатора ско-
Относительные скорости Относительные спорости
тш ш т mm из шигаиеа
1,5В 1,41 1,26 VI 0,965 0,82 0,666 2,09 1,76 1,45 1,12 0,802 0,678
Рис. II. 16. План распределения скоростей в модели реактора Dan == 185 мм и
Дорм — ^ мм:
а—шарики <* = 5,9 мм; б—цилиндрические таблетки с? = 7,2хмм и Л=7,4 мм.
76

Рис. II. 17. Профили относительных скоростей в модельном реакторе в
сечениях lull (см. рис. II. 16).
рость газа у стенки на 30—70% выше скорости в средних слоях.
Поскольку данный сорбционный метод пригоден лишь при
относительно небольших Re3, то для области высоких Re3 можно
лишь высказать предположение, что неравномерность
распределения скоростей потока по сечению снизится в отношении
степеней (ец/8ст)2: (бц/ест)5, т.е. до 10—20% (1,52>» = 1,18, см.
стр. 73).
Для течений газа в области больших значений Re3 нами [88]
был предложен другой косвенный метод определения
относительных скоростей и по интенсивности массопередачи от
поверхности одиночных, медленно испаряющихся зерен, заложенных
в различных участках слоя. На. основании многочисленных
измерений (см. ниже в гл. IV) можно считать, что эта
интенсивность, измеряемая убылью массы зерна Ag за единицу времени,
в области Re3 = 50 — 3000 возрастает со скоростью
обдувающего потока по закону:
Lg ~ и0'65 (II. 75)
В сечение аппарата, где требуется найти распределение
скоростей, перпендикулярно предполагаемым линиям тока
закладывают один ряд помеченных и взвешенных нафталиновых
шариков, близких по размеру к линейному размеру зерен слоя.
Под и над этим рядом аппарат заполняют зернистым слоем из
нормальных элементов и начинают продувать через него с
заранее намеченной скоростью воздух в течение 45 мин. Затем
аппарат раскрывают, шарики извлекают и взвешивают.
Суммарную массу групп шариков по кольцевым зонам определяли
с точностью до 0,1 мг. Для любых двух кольцевых зон I и II на
основании (II. 75) могут быть определены относительные
скорости потока в этих зонах: щ/иц = (Agi/Agu)1/0,65.
Описанный метод пригоден для измерений как на моделях,
так и на крупных промышленных установках при продувке их
воздухом комнатной температуры. В последнем случае
нафталиновые шарики можно закладывать не по всему сечению, а
отдельными группами. На рис. II. 18 показаны результаты
измерения этим методом эпюры скоростей в зернистом слое из
металлических шариков d = 7,15 мм в аппарате с Dan = 100 мм
при средней по сечению скорости воздуха, соответствующей
Re3 = 300. Воздух подавали струей через отверстие диаметром
7 мм в крышке аппарата и уже на глубине Н = 2Dan струя
77

заполняла все .сечение.
Специальные исследования
проникновения струй от отверстий в
газораспределительной решетке в
неподвижный и псевдоожиженный
слой были в последующем
выполнены Шаховой и сотр. [96].
Здесь же мы отметим, что (см.
рис. II. 18) после того, как струя
растекалась на все сечение,
неравномерность в распределении
скоростей по радиусу в области
относительно высоких Re9
заметно ниже, чем при малых Re3 (см.
рис. II.J7).
Предлагались и некоторые
другие методы
экспериментального определения распределения
скорости потока по сечению. Так,
Колесанов [49] и' Бабарыкин
[97] определяли скорость
движения газов в центре и на
периферии домны по времени прохожде-.
ния меченых радоном объемов
газа через отдельные участки доменной печи.
В гл. I (стр. 16) подробно проанализирован вопрос о
границах применимости понятия средней локальной порозности г и
представительном объеме V, для которого это понятие может
быть введено. Приведенные там ограничения в еще большей
степени касаются определения понятия средней локальной
скорости потока и. Поэтому на описанные здесь расчетные и
экспериментальные методы определения распределения локальных
скоростей по сечению следует смотреть как на
полуколичественные и не переоценивать их необходимую и допустимую
точность.
В еще большей степени последнее замечание относится
к предложениям измерять поле статических давлений р, для
чего были разработаны различные насадки и датчики, "а затем
рассчитывать распределение скоростей на основании закона
Да'рси или более подробного соотношения (11.74). Естественно,
что сама эта методика может быть использована при
постоянстве локальной порозности и проницаемости, что далеко не
всегда соблюдается.
Рис. И. 18, -Растекание струи
в аппарате с зернистым слоем.
Расход газа 380 л/мин. Масштаб
скоростей 1 м/с=20 мм пленки.
Литература
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. Изд. 2-е. М.,
Гостехиздат, 1953.
2. ГоАъдштейн С. Современное состояние гидроаэродинамики вязкой
жидкости. Т. 1. —Пер. с англ. Под ред. Н. Я. Фабриканта. М., ИЛ, 1948.
78

3. Reher E. 0., Karmer #. — Chem. Techn., 1974, Bd. 26, S. 162.
4. Аэров M. Э., Тодес 0. М. Гидравлические и тепловые основы работы
аппаратов со стационарным и кипящим зернистым слоем. Л., Химия, 1968.
5. Романков П. Г. Гидравлические процессы химической технологии. Л. — М.,
Госхимиздат, 1948.
6. Лященко П. В. Гравитационные методы обогащения. М. — Л., Гостоптех-
издат, 1940.
7. Heywood И. 3d Congr. Europ. Fed. Chem. Eng. London, 1962, p. Al— A8.
8. Броунштейн Б. #., Фишёейн Г. А. Гидродинамика, массо- и теплообмен
в дисперсных системах. Л., Химия, 1977.
9. Розенбаум Р. Б., Тодес О. М. Зап. Лен. горного ин-та, 1958, т. .36, вып. 3,
с. 16—27.
10. Horvath Я. —Staub Reinh. Luft, 1974, Bd. 34, S. 251.
11. Becker H. Л. —Canad. J. Chem. Eng., 1959, v. 37, p. 85.
12. Torobin L. В., Gauvin W. H — Ibid., 1959, v. 37, p. 129, 167, 224; 1960,
v. 38,.p. 142, 189; 1961, v. 39, p. 113.
13. Wakiya 5.— J. Phys. Soc. Japan, 1953, v. 8, p. 254.
14. Розенбаум Р. £., Тодес О. Af,— ДАН СССР, 1958, т. 115, с. 504; Зап. Лен.
горного ин-та, 1958, т. 36, вып. 3, с. 28.
15. Hicks W. M. —Phil. Trans., 1880, v. 171, p. 445.
16. Smoluchowski M. Bull. Int. Acad. Sci. de Cracowie, CI. Math. Nat., A, 1911,
s. 28.
17. Гаспарян A. M.t Заминян A. A. — ДАН АрмССР, 1958, т. 26, № 1, с. 39.
18. Rome P. N„ Henwood G. Л. —Trans. Inst. Chem. Eng., 1961, v. 39, p. 43,
175.
19. Мороз Л. M.t Френкель Я. Я. —Колл. ж., 1949, т. И, с. 178.
20. Гуськов В. А. Обогащение каменного угля. Харьков, Киев, ГНТИ
Украины, 1934.
21. Sparrow E. M., Loeffler A. L. jr. —MChE J., 1959, v. 5, р. 325.
22. Лейбензон Л. С. Движение природных жидкостей и газов через пористую
среду. М. — Л., Гостехиздат, 1947; Carman P. С. Flow of gases through
porous media. London, Acad. Press, 1956; Шейдеггер А. Е. Физика течения
жидкостей через пористые среды. Пер. с англ. Под ред. И. М. Муравьева.
М., Гостоптехиздат, 19.60; Хаппель Док., Бреннер Г. Гидродинамика при
малых числах Рейнольдса. Пер. с англ. Под ред. Ю. А. Буевича. М., Мир,
1976; Bear J. Dynamics of fluids in porous media. N. Y., Elsevier, 1972.
23. Kozeny /. —SitzBer. Akad. Wiss. Wien, AM. Ila, 1927, Bd. 136, S. 271.
24. Carman P. C. — Trans. Inst. Chem. Eng., 1937, v. 15, p. 150.
25. Dullien F. A. L. —Chem. Eng. J., 1975, v. 10, p. 1; Powder Technol., 1971,
v. 5, p. 179; 1973, v. 7, p. 305; AlChE J., 1973, v. 19, p. 222; 1975, v. 21,
p. 299.
26. Wyllie M. /?., Gregory A. R. — Ind. Eng. Chem., 1955, v. 47, p. 1379; Кол-
леров Д. /(., Житейская В. А. — Хим. и технол. топ л. и масел, 1958, т. 3,
№ 7, с. 15; McMullin R. В., Muccini. G. Д. —AlChE J., 1956, v. 2,
p. 393.
27. Аюкаев Р. Я., Кивран В. К. — ДАН СССР, 1974, т. 218, с\ 66.
28. Happel J. — AlChE J., 1958, v. 4, p. 197.
29. Клячко В. Л. —ДАН СССР, 1948, т. 60, с. 1329.
30. Минц Д. М., Шуберт С. А. Гидравлика зернистых материалов. М., изд.
Мин. комм. хоз. РСФСР. 1955.
31. Loeffler A. L. jr., Ruth В. F.~ AlChE J., 1959, v. 5, p. 310.
32. Teck M. R. — J. Petr. Techn., 1957, v. 9, p. 81, 358.
33. Dupuit J. Etudes Theoriques et pratiques sur le mouvement des aux. 2-eme
ed. Paris, Dunod, 1863.
34. Forheimer P. — Z. VDI, 1901, Bd. 45, S. 1782.
35. Великанов М. Л..—Изв. АН СССР OTH, 1945, № 7—8, с 638..
36. Жаворонков Н. Af., Аэров М. Э., Умник Н. Н. — ЖФХ, 1949, т. 23, с. 342.
37. Ergun S., Orning А. А. — Ind. Eng. Chem., 1949, v. 41, p. 1179; Chem. Eng.
Progr., 1952, v. 48, p. 227.
38. Schneebeli G. — La Houille Blanche, 1955, t. 10, p.-141.
39. Коллеров Д. /(. — Хим. пром., 1959, № 2, с. 163.
79

40. Бернштейн Р. С, Померанцев В. В., Шагалова С. Л. — В кн.: Вопросы
аэродинамики и теплопередачи в котельно-топочных процессах. Л., Энер-
гоиздат, 1957, с. 267.
41. Rose Н. E. Some aspects of fluid flow. Ed Arnold. London, 1951, p. 136.
42. Brauer H. Chem.-Ing. Techn., Bd. 29, S. 785; Jescher R. — Arch. Eisenhutten-
wes., 1964, Bd. 35, S. 91, 517; Luther #., Abel 0. Ritter К e.a. Chem.-Ing.
Techn, 1971, Bd. 43, S. 658.
43. Rumpf //., Gupte A. R. Ibid., 1971, Bd. 43, S. 367; Нелидов В. Л. — ТОХТ,
1970, т. 4, с. 832.
44. Stanek V., Szekely J. — Canad. J. Chem. Eng., 1972, v. 50, p. 9; 1973, v. 51,
p. 22; AlChE J., 1974, v. 20, p. 974.
45. Denton W. #. — AERE Rep., 1957, E/P 1095.
46. Котяхов Ф. И. Основы физики нефтяного пласта. М., Гостоптехиздат,
1956; Требин Г. Ф. Фильтрация жидкостей и газов в пористых средах. М.,
Гостоптехиздат, 1959.
47. Лихачев Г. />., Исаев В. Г. Подземная гидравлика. М., Недра, 1973.
48. Мартенсен В. #., Аюкаев Р. //., Стрелков А. К. и др. Дробленый
керамзит—новый фильтрующий материал для водоочистных фильтров.
Куйбышев, 1976. 168 г.; ГОСТ 2409—67. Материалы и изделия огнеупорные.
Метод определения водопоглощения, кажущейся плотности, открытой и
общей пористости.
49. Колесанов Ф. Ф. Движение газов через слой кусковых материалов. М.,
Металлургиздат, 1956; Паничкина В. В., Уварова И. В. Методы контроля
дисперсности и удельной поверхности металлических порошков. Киев, Нау-
кова Думка, 1973.
50. Кельцев Н. В Основы адсорбционной техники. М., Химия, 1976; Грег С,
Синг К. Адсорбция, удельная поверхность, пористость. Пер. с англ. Под
ред. К. В. Чмутова. М., Мир, 1970.
51. Методы исследования структуры высокодисперсных и пористых тел.
Труды совещания 1951 г. Под ред. М. М. Дубинина. М., Изд. АН СССР,
1953; Методы исследования структуры высокодисперсных и пористых тел.
Труды совещания 1956 г. Под ред. М. М. Дубинина. М., Изд. АН СССР,
1958.
52. Jones W. М. — Brit. J. Appl. Phys., 1956, v. 7, p. 36.
53. Эттингер И. А., Жупахина Е. С —Зав. лаб., 1959, № 4, с. 453.
54. Гапон И. #., Никитин А. Д. Лабораторный контроль коксохимического
производства. Харьков — Москва, Металлургиздат, 1951.
55. Дерягин Б. В. —ДАН СССР, 1946, т. 53, с. 627; Колл. ж., 1946, т. 8, с. 27;
Дерягин Б. £., Захаваева Н. //., Тадаев М. В.х Филипповский В. В.
Определение удельной поверхности порошкообразных тел по сопротивлению
фильтрации разреженного воздуха. М., Изд. АН СССР, 1957.
56. Огг С, Dallavalle J. M Fine particles measurements. Size, surface and
pore. N. Y., McMillan, 1960
57. Lea F. ЛГ, Nurse R. W. — J. Soc. Chem. Ind., 1939, v. 58, p. 277.
58. Соминский Д. С, Ходаков Г. С. Прибор ПСХ-2 для определения удельной
поверхности измельченных материалов. — ВНИИ ТИСМ, инф сообщ. №21,
1956.
59. Канаев В. С, Старичков В. И. Физика аэродисперсных систем. — Киев —
Одесса, 1900, вып 13, с. 40
60. Заварицкая Т. А , Григоров ОН. — ДАН СССР, т. 86, с. 757.
61. Bhattacharyya D., Rei D. С. Т. — AlChE Symp Ser., 1974, v. 70, № 141,
p. 73.
62. Sullivan R. R., Hertel K. L. —J. Appl. Phys., 1940, v. 11, p. 761.
63. Жаворонков Н. М., Гидравлические основы скрубберного процесса и
теплопередача в скрубберах. М., Советская наука, 1944.
64. Гальперин И. Я., Каган А. М.у Криницына Г. И. — Хим. пром., 1977, № 2,
с. 142.
65. Глцзман А Д., Эделъман И. И. Лабораторный контроль коксохимического
производства. Изд. 3-е. М., Металлургиздат, 1968.
66. Аэров М. Э.} Макеева Н. В., Колтунова Л. Н. — ТОХТ, 1978, т. 12, № 5,
с. 768.
80

67. Касаткин А. Г., Акопян Л. Л.— Хим. пром., 1955, № 2, с. 94—97.
68. Plain G. /., Morrison H. L. — Am. J. Phys., 1954, v. 22, p. 143.
69. Coulson J. M. — Trans. Inst. Chem. Eng., 1949, v. 27, p. 237.
70. Кельцев И. В. — Газовая пром., 1957, № 12, с. 31.
71. Ишкин И. П., Каданер М. Г. — Кислород, 1952, № 3, с. 8.
72. Кондратьев В. Н. Фильтрация и механическая суффозия в несвязанных
грунтах. Симферополь, Крымиздат, 1958.
73. Batel W. — Chem.-Ing. Techn., 1959, Bd. 31, S. 388.
74. Батищев Я. Ф.— Известия вузов. Энергетика, 1975, № 6, с. 91; Изв. АН
СССР. Энергетика и транспорт, 1976, № 2, с. 173.
75. Батищев Я. Ф. — Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1976, № 3,
с. 175.
76. Комаровский А. Л., Стрельцов В. В. — ЖПХ, 1959, т. 32, с. 1755.
77. Чечеткин А. В. — Труды МИХМ, вып. 24, с. 452.
78. Kling <?. —Chem.-Ing. Techn., 1959, Bd. 31, S. 705.
79. Sontag (j. —Ibid., 1960, Bd. 32, S. 317.
80. Leva M. Towers packings. Akron, US Stonewar Co, 1953.
81. Михеев М. А. Основы теплопередачи. М., Госэнергоиздат, 1917.
82. Martin I, /., McCabe W. /., Monrad С. С-—Chem. Eng. Progr., 1951, v. 47,
p. 91.
83. Coppage J. £., London A. A. — Ibid., 1956, v. 52, p. 57F.
84. Койда Н. У. — Гидротехн. строит., 1960, № 2, с. 54.
85. Engelund F. —Trans. Dan. Acad. Techn. Sci., 1953, v. 4, № 3, p. 5.
86. Христианович С. А. — ПММ, 1940, т 4, № 1, с. 33.
87. Тетельбаум И. М. Электрическое моделирование. М., Физматгиз, 1959.
88. Аэров М. Э. ЖПХ, 1955, т. 28, с. 602; Хим. пром., 1960, № 3, с. 242.
89. Жаворонков Н. М. — Хим. пром., 1948, № 9, с. 269.
90 Linnet /. W. е. a.— Trans. Farad Soc, 1950, v. 46, p. 270.
91. Smith I. M. e. a. Ind. Eng. Chem., 1951, v. 43, p. 225; 1953, v. 45, p. 1209.
92. TesdHk N. Proudeni tekutiny p6rovitym prostfedim. Nad. Ces. Akad. Ved.,
Praha, 1961.
93. Akehata Г., Sato K. — Chem. Eng., 1958, v. 22, p. 76, 430.
94. Аэров М. Э., Умник H. #. — ЖПХ, 1950, т. 23, с. 1009. ,
95. Шилов Н. Л., Лепинь Л. К., Вознесенский С. Л. — ЖРХО, 1929, т. 51,
с. 1107.
96. Шахова Н. Л., Лукашев В. Л. — ИФЖ, 1975, т. 29, № 3, с. 397.
97. Бабарыкин Н. Я.— Труды Магнитогорского горно-металлург. ин-та, 1958,
вып. 14, с. 69.

Глава HI
Внутренняя гидродинамика
стационарного зернистого слоя
III. 1. Флуктуации скорости потока
в стационарном зернистом слое
В гл. I мы подчеркивали статистический характер структуры
зернистого слоя, а так же то, что даже его основные
характеристики — удельная поверхность а и порозность е — являются
усредненными величинами с существенным разбросом от места
к месту, т. е. флуктуациями. В разделе I. 4 указывалось, что эти
флуктуации обусловлены, с одной стороны, дискретностью
системы, состоящей из отдельных зерен, а с другой —
макроскопическими неоднородностями укладки. Сами понятия о средних
локальных значениях, например порозности е, имеют смысл
лишь для достаточно представительных объемов V, содержащих
сотни и более зерен. Однако и эти средние локальные
характеристики подвержены макроскопическим флуктуациям.
Физический и математический эксперимент указывают на то, что эти
флуктуации подчиняются обычному статистическому закону
Гаусса со средним относительным разбросом до 20% от
определяемой величины [см. формулы (I. 6, а) и (1.6,6)].
Неоднородность структуры зернистого слоя обуславливает и
неоднородность в распределении скоростей пронизывающего
слой потока газа или жидкости., Эти статистические особенности
структуры потока также носят двойственный характер (от
микроскопической зернистой дискретности и от макроскопических
неоднородностей укладки) и определяют внутреннюю
гидродинамику зернистого слоя и характер процессов переноса в нем.
Непрерывное изменение сечения и направления порового
канала между зернами приводят к резким изменениям вектора
скорости потока и от точки к точке и вызывают, с одной
стороны, смешение соседних струек даже в области малых
значений Re3, а с другой — возникновение участков с резко
пониженной скоростью потока — застойных зон. Усреднение вектора и
по достаточно большим представительным объемам V приводит
к введению понятия о средней локальной скорости потока.
Однако и эта усредненная характеристика не является абсолютно
неизменной и флуктуирует по сечению и длине реактора,
приводя к определенному разбросу времен пребывания порций газа
(жидкости), проходящих через аппарат с зернистым слоем.
Наличие подобных флуктуации средних локальных скоростей было
82

наглядно продемонстрировано в наших опытах [1],
экспериментальная обстановка которых описана в разделе II. 9.
Рис. II. 15 показывает, как по развертке изохрон
продвижения фронта сорбции можно измерять значения Ь ~ и по
участкам. Из обработки этих данных следует, что средние значения v
(а, следовательно, и и) от участка к участку остаются
неизменными; не изменяется также и стандартный разброс локальных
значений v и и внутри каждого участка, составляя ~15%. Для
более узкой трубки с Dan = 47 мм, где обращалось особое
внимание на равномерность упаковки, этот разброс оказался ниже
-4,5%.
Для участка высотой Н= 100 мм (т.е. высотой в 14—16
элементов) тем же методом, каким выявлялось повышение
скорости потока вблизи стенок, было исследовано более детально
распределение скоростей потока по сечению. На рис. II. 16
показано деление сечения на участки с различными значениями
относительных скоростей. Для ликвидации стеночного эффекта
из обработки исключали 3 ряда зерен, расположенных у стенок
аппарата и кармана, что отмечено на рисунке штриховой
линией. Оставшееся сечение содержало ~500 зерен, а по
объему —500 X 15 = 7500 зерен, и делилось на 6 групп,
соответствующих различным относительным скоростям со/ = щ/й9
так что самая малочисленная (2% сечения) соответствовала
потоку через 7500 X 0>02 « 300 зерен. Частоты Wi,
соответствующие различным группам относительных скоростей,
удовлетворительно описываются гауссовой кривой:
Аю£ Г К-П21
/'-т^Ч *r-J (ШЛ)
При этом стандартное квадратичное отклонение б "составляло
для шарообразных зерен (d = 5J9 мм)— 15,5%, а для
цилиндриков-таблеток (d = 7,2 мм, h = 7,4 мм)—20,5%, т.е. было
того же порядка, что и флуктуации порозности, оцененные нами
в гл. I.
Отметим, что при обработке данных рис. И. 16 измерялись
не сами скорости т, а пути Хи пройденные струями газа на
заданном участке Н = 100 мм. Поскольку скорость потока
флуктуировала и на отдельных участках этого пути, то, как
качественно и количественно показано в работах по динамике
сорбции в зерристой шихте [3], связь между разбросом в щ и в Xi
не столь однозначна. Если считать, что
м
1
т. е. как бы разбить на интервалы т/, в течение которых щ была
практически постоянной, то с ростом числа этих интервалов
вдоль аппарата N ~ по законам теории вероятности
абсолютный разброс в Xi (т. е. ширина фронта продвижения газа)
83

должен расти пропорциональноVw ~ V^> а относительный
должен убывать как л/х/Х= l/^/X. С аналогичными
соотношениями мы встретимся и в гл. IV при более детальном
рассмотрении процессов тепло- и массопереноса потоком,
пронизывающим зернистый слой.
III. 2. Диффузионный перенос вещества
в зернистом слое
Коэффициенты диффузии и дисперсии
В большинстве технологических процессов с участием
зернистого слоя концентрация реагентов в потоке газа (жидкости)
в промежутках между зернами непостоянна как во времени, так
и в пространстве. Так, в процессах адсорбции (десорбции) и при
химических реакциях, протекающих на поверхности зерен
катализатора, источники изменения концентрации компонент
газовой смеси могут распределяться с различной интенсивностью qc
(кг/м3-с) в объеме зернистого слоя. Концентрации могут
меняться и на входе потока в зернистый слой и в виде
концентрационной волны распространяться вдоль аппарата.
• Концентрационный поток данной компоненты /с определяется
не только переносом вместе с основной массой газа (жидкости)
со скоростью и, но и диффузией в соседние области
Tc = ttC-Z)gradC (III.3)
где С (кг/м3)—локальная концентрация, a D
(м2/с)—коэффициент диффузии данной компоненты в потоке. Составляя
материальный баланс вещества для элементарного объема,'
получаем отсюда:
дС/дх = - div (£с - D grad С) + qQ (III. 4)
Для несжимаемой жидкости (что справедливо и для газов
при скоростях движения малых по сравнению со скоростью
звука) имеем div и = 0 и
дС/дх «= - и grad С + div (D grad С) + qc (III. 5)
Это основное уравнение необходимо решать при
определяемых граничных условиях, накладываемых на поток /с на
границах слоя в соответствии с режимом работы последнего [2].
Зная коэффициент диффузии Д можно отсюда рассчитать
распределения концентраций и интенсивность процессов
перемешивания в аппарате. С другой стороны, величину D 'можно
определить и выявить влияние на нее режимных параметров,
сопоставляя' полученные аналитические решения при разных
значениях D с распределением концентрации, измеренным в спе-
84

Рис. III. 1. Стационарная диффузия
против потока.
циально поставленных опытах. Эти измерения в ряде случаев
удобнее проводить в условиях стационарного режима, когда
дС/дх = О и
- и grad С + div (D grad С) + qQ = 0
(III. 6)
В потоке с и = const при стационарной подаче в
перпендикулярной и плоскости х = О вещества с интенсивностью М
(кг/м2-с) устанавливается распределение концентраций,
изображенное на рис. III. 1.
С (х) = const = С0 = Ми при х > О вниз по потоку
С (х) = С0 exp (ux/D) = С0 ехр (х/х0) при х < О вверх по потоку
и величина
,x0 = D/u
(Ш. 7)
(Ш. 8)
характеризует глубину диффузионного проникновения
компоненты против потока.
При нестационарном процессе подачи компоненты с
концентрацией С0 далеко слева* (при х-+ — со) решением уравнения
(III. 5) является концентрационная волна
где
с(,.т)-адс.«*(|-^£)
(III. 9)
erfc (z) •
V^t
Как видно из рис. III. 2, середина фронта (С = V2C0 при
z = 0) распространяется с постоянной скоростью потока
(#1/2 = их), а ширина фронта
х* = 2л/Ш
(III. 10)
расплывается пропорционально корню квадратному из времени.
Как видно из соотношений (III. 8) и (III. 10), коэффициент
диффузии определяется по размытию концентрационного
фронта. В стационарном режиме эта ширина х0 остается неизменной,
85

и
Х-0
Рис. III. 2. Дисперсия
концентрационной волны при
нестационарном режиме диффузии.
<2х
'->*х
а при нестационарном я* медленно возрастает с течением
времени. Сам же по себе коэффициент молекулярной диффузии есть
количественная характеристика хаотических молекулярных
блужданий и для газов
. 1 , l /2 1 2
(III. И)
где / — длина свободного пробега; v = //to — скорость
хаотического теплового движения; to — время свободного пробега.
Статистический характер молекулярного движения является
не единственным фактором, определяющим размытие
диффузионного фронта. Так, при ламинарном пуазейлевском
движении жидкости в трубе радиуса R с параболическим профилем
скоростей и(г)= 2й(1 —r2/R2) скорость потока на оси в 2 раза
превышает среднюю, а у стенок (при r-+R) стремится к нулю,
что также приводит к размытию фронта переноса примеси
(рис. III. 3). Полагая в этом случае
С(*,г)-ехр(*/*о)/(г/Я)
(III. 12)
и подставляя это выражение в уравнение стационарной
диффузии
, ч дС , п д2С , п 1
w дх Ч дх2 l r
д ( дС\ п
при пренебрежении молекулярной - продольной диффузией
Dr(d2C/dx2) получаем для функции f(r/R) = f(Q
дифференциальное уравнение:
d2f . 1 df 2iiR2
dl2 ^ l d\ Drx0
(1 — g2)/ = 0
(III. 13)
Значение входящего в (III. 13) безразмерного параметра
2uR2/DrXo = 2А определится из граничного условия отсутствия
диффузионного потока на стенки -^Н =0 и для размытия
Рис. III. 3. Схема «тейлоровской»
диффузии в ламинарном потоке.
86

(дисперсии) диффузионного фронта получаем:
x0 = uR2/AD (III. 14, а)
Исходя из подобных соображений, Тейлор [4] и Арис [5]
оценили значение А = 48.
Если не пренебрегать продольной диффузией, то дисперсия
фронта должна аддитивно складываться из выражений (III. 8)
и (III. 14), а
Dr , uR2 1 Г , u2R2 \ /ттт
х* = — + 18АГв¥\^ + 1Щг} (Ш'14'б)
т. е. как бы определяется некоторым суммарным коэффициентом
дисперсии
B~D<+im (шл5)
где к обычному коэффициенту диффузии DT прибавляется
коэффициент «тейлоровской» диффузии Z)T = u2R2/48 Dr. .
При нестационарном режиме аддитивно складываются за
одинаковое время квадраты ширины зоны дисперсии л:*2, т. е.
также эффективные коэффициенты диффузии, обусловленные
различными механизмами. Подобных механизмов,
определяющих дисперсию при стационарном и нестационарном режимах
перемешивания, может быть несколько.
Так, при турбулентном режиме течения жидкости (газа)
перенос вещества в потоке начинает определяться беспорядочными
турбулентными пульсациями («вихрями») и интенсивность
перемешивания характеризуется некоторым -^коэффициентом
турбулентной диффузии /)ТУРб. Его значение не зависит
непосредственно от физических свойств вещества потока [6, стр. 149] и
является функцией его" средней скорости и и характерного
линейного размера L, т. е.
Ятурб ~ uL (III. 16)
и общий коэффициент дисперсии равен:
D = Dr + Dryp6 (III. 17)
В зернистом слое средняя скорость выравнивается по
сечению, но как мы видели выше, в пристенном слое может
отличаться на десятки процентов от скорости в центральной зоне
аппарата. Значительные изменения скорости существуют в по-
ровых каналах между зернами, но масштабы этих каналов R
невелики и дополнительным членом типа (III. 15) можно
пренебречь. С другой стороны, непрерывное изменение направления
и перемешивания струй, аналогичное турбулентным пульсациям
в свободном потоке, добавляет конвекционную составляющую
дисперсии, подобную (III. 16), но с определяющим размером
L = d, т. е. диаметром зерен и поровых каналов. Наличие
такой составляющей, вызванной неоднородностями структуры
зернистого слоя, достаточно проявилось,в опытах, описанных в
предыдущем разделе III. 1. По принятой в динамике сорбции
87

терминологии это явление называется грануляцией фронта сорб-
ционной волны [3]. Наличие выделенного направления потока
по оси аппарата приводит к тому, что конвекционная
составляющая коэффициента дисперсии в аксиальном направлении Di
может заметно превышать радиальную составляющую Dr.
Наконец, коэффициенты дисперсии в стационарном и
нестационарном режимах перемешивания могут существенно
отличаться за счет наличия релаксационных процессов. В
пространстве между зернами [7], особенно в вязкостном режиме течения,
неизбежно возникают области замедленного движения
жидкости — застойные зоны. При стационарном во времени поле
концентраций эти зоны мало влияют на процесс переноса вещества
вдоль и поперек потока. В нестационарном же режиме
перемешивания, примесь, импульсно введенная в основной поток,
сначала задерживается при проникновении ее в застойные зоны,
затем же с соответствующей задержкой вымывается. Это
обстоятельство также приводит к размытию фронта волны
перемешивания. Если обозначить объемный коэффициент массооб-
мена между проточными и застойными зонами через р (с-1), то
по оценке размерностей релаксационная составляющая
коэффициента дисперсии должна выражаться как
£Рел=-а(и2/Р) (III. 18)
с коэффициентом а пропорциональным относительной доле
застойных зон. С увеличением скорости потока и числа Рейнольдса
значение р возрастает, а доля застойных зон а снижается и
роль релаксационной составляющей £рел в суммарном
коэффициенте дисперсии падает.
Рассматривая зернистый слой как в среднем однородную
среду, объединим все указанные механизмы перемешивания
в общий коэффициент дисперсии D, учитывая лишь возможное
различие его аксиальной Dt и радиальной Dr составляющих.
Соответственно обычной цилиндрической симметрии введем
координату х вдоль оси аппарата и г — перпендикулярно ей.
Основное уравнение массопереноса запишется тогда в виде
дС х дС п д2С . п 1 д ( дС\ ,
"^ + uT7-DlTF + DrT-d7V-W) + ^ №19)
поскольку величину и будем рассматривать как среднюю
скорость потока, отнесенную ко всему сечению аппарата.
III. 3. Отдельные составляющие массопереноса
в зернистом слое
В отсутствии потока процесс выравнивания концентраций
в незаполненном твердой фазой пространстве зернистого слоя4
порозностью е с учетом коэффициента извилистости Т
описывается эффективным коэффициентом диффузии:
£>0 = Dre/J (III. 20)
88

Коэффициент извилистости Т можно определить по
измеренным Dq\ его значение удовлетворительно согласовывается, со
значениями, найденными из измерений электропроводности (см.
раздел II. 4). При е = 0,4 и Т = 1,5
А) = 0,27/)г (III. 21)
Зависимость (III. 20) применима и для расчета диффузии
внутри пористых тел (катализаторов, сорбентов, ионитов) до
того момента, пока радиусы пор не станут равными средней
длине свободного пробега и процесс перейдет в кнудсеновскую
область (см. стр. 50).
При наличии заметных градиентов концентрации компонента
с сильно отличной от газовой среды молекулярной массой
возникает естественная конвекция за счет разности плотностей и
конвекционные токи усиливают перемешивание [8]. Подробнее
к этому вопросу мы вернемся в гл. IV при учете свободной
конвекции, вызываемой температурными градиентами.
В условиях потока, пронизывающего зернистый слой,
добавляется конвекционный коэффициент дисперсии:
DK = Bud3 = B0ud (III. 22)
К такому виду зависимости DK приводят и различные
модели, например, при замене зернистого слоя рядом
последовательно соединенных ячеек полного смешения [9] масштабы
которых LCM пропорциональны*^. По расчетам Ранца [10] для
поперечного тепло- и массопереноса при ромбоэдрической
упаковке шаров В0 = 0,089. Для продольного конвекционного
переноса при больших числах Рейнольдса в работе [11] получено
Во = 0,5. Такое же значение получено в работе [12] с
использованием выводов статистической теории турбулентности.
III.4. Коэффициенты продольной дисперсии
в зернистом слое
Модели массопереноса в зернистом слое
Из представления об аддитивности механизмов
перемешивания [13] следует, что в стационарном режиме
Dt = D0 + DK (1II.23)
а при нестационарном рассмотрении:
Dt~D0 + DK + DpM (III. 24)
Для расчета этих составляющих необходимо исходить из
определенных теоретических моделей структуры зернистого слоя..
Эти модели, как и при анализе гидравлического сопротивления
в гл. II, можно разделить на 2 группы;
капиллярные модели, в которых дисперсионные
эффекты объясняются различной . пропускной способностью и
89

кординационными углами расположения отдельных капилляров
[13-15];
модели зернистого слоя с наличием неравнодоступных
объемов или застойных зон [16—25].
Модель последовательно соединенных ячеек полного
смешения [9, К. W. МсНепгу; 14] можно рассматривать лишь как
предельный случай второй модели при больших значениях Re3.
Модели с неравнодоступными объемами хорошо объясняют
качественные особенности не только процессов перемешивания,
но и закономерности внешней гидравлики насыпанного
зернистого слоя. Поскольку диффузия в застойных зонах в
значительной степени определяется молекулярным переносом, то
становится понятной наблюдаемая сильная зависимость
коэффициента продольной дисперсии от коэффициента диффузии Dr
примеси в основном потоке. По мере повышения скорости
потока в основных каналах между зернами в застойных зонах
появляются циркуляционные течения [18] и их относительный
объем снижается, что проявляется в приближении
гидравлического сопротивления (см. раздел II. 8) и теплоотдачи от зерен
(см. раздел IV.5) к их значениям для одиночного зерна уже
при Re3 > 50.
Сложная конфигурация свободных объемов между зернами
затрудняет создание количественной теЬрии дисперсии в
зернистом слое. Предложенные и рассчитанные Турнером [16] и Ари-
сом [17] модели непроточных карманов, присоединенных к
каналу, по которому идет основной поток жидкости или газа,
носят в основном иллюстративный характер. Вытекающая отсюда
зависимость
оо
^До + ^+ЗВга + рЛ1^ (IIL25)
О
соответствует разделению уравнения (III. 24) коэффициента
дисперсии на 3 слагаемых. Здесь k — коэффициент, зависящий
от профиля скоростей; и — средняя скорость в канале; R —
радиус канала; р — относительный объем присоединенных к
каналу карманов; /(/)—распределение этого объема по размерам
карманов /, а интеграл имеет смысл /2, т. е. среднего квадрата
линейных размеров карманов.
В работах [20—26] предложены различные модификации
моделей с застойными зонами. В .качестве последних
рассматривали заторможенный слой у поверхности зерен, который осо-
.бенно резко утолщается вблизи точек контакта между ними
[19]. Вводили конвективный массоперенос из проточных зон
в застойные [26]. Застойную зону вблизи точек контакта
рассматривали как бы состоящую из двух частей — вихревой, или
ячейки идеального смешения, и диффузионной, в которой
циркуляция жидкости отсутствует. Визуальные наблюдения [24]
показали, что такая неоднородность структуры застойных зон воз-
90

никает при Re3 > 100, а при Re9 > 800 вихревая область почти
полностью заполняет объем застойной зоны. С учетом всех этих
обстоятельств расчет релаксационной составляющей
коэффициента дисперсии уже нельзя проводить по аналогии с
механизмом «тэйлоровской диффузии», как это следует из формы
написания последнего слагаемого в уравнении (III. 25).
Релаксационный коэффициент дисперсии
Разработка указанных модификаций модели застойных зон
естественно связана с введением дополнительных теоретических
параметров (обычно в виде безразмерных комплексов), которые
все равно подлежат определению лишь на основе сопоставления
усложненных теоретических формул с экспериментом для
каждой конкретной системы. Поэтому представляется более
целесообразным, отталкиваясь рт этих моделей, выделить основные
параметры, от которых должен зависеть коэффициент дисперсии
и основной характер ожидаемой зависимости от этих
параметров. Только таким путем можно рассчитывать на получение
практически полезных инженерных формул, которые, как и
в предыдущей главе, хотя и будут иметь лишь
логарифмическую точность ±(10—20) %, но позволят охватить весь круг
интересующих практика систем.
При рассмотрении релаксационного коэффициента дисперсии
будем исходить из следующих представлений:
— относительный объем застойных зон р пропорционален
площади, занимаемой ими на общей поверхности порового
каналами может быть оценен по отношению гидравлического
сопротивления шара в слое -фсл к гидравлическому сопротивлению
одиночного шара \|)ш при одном и том же значении
Re.'Учитывая* что при Re « 2000 застойные зоны практически заведомо
отсутствуют, можно принять
Р-Г1„ ?А*Ш * (ш-26)
1^сл/^Рш;ке=2000
— линейные размеры застойных зон пропорциональны
эквивалентному диаметру зернистого слоя d3 и относительной доле
их суммарной поверхности р, точнее, корню квадратному из
последней:
/^rf8pVl (III. 27)
— коэффициент диффузии в застойных зонах определяется
не только величиной Dr, но и конвективной составляющей,
связанной с циркуляционными токами, интенсивность которых
возрастает пропорционально скорости потока
Я«ст - £>г + kosul = °г + Kud$fa (Ш. 28)
91

и, следовательно:
рЛ2 , р2 и*4
Дрел = 9" = V Ъ у1 17- (IIL 29)
(Кз и К ~ коэффициенты пропорциональности).
Введенную величину р можно оценить на основании
рис. II. 14 и рассчитывать по приближенной зависимости:
p«4,2Re""0'5 (III. 30)
При малых скоростях потока можно пренебречь вторым
слагаемым в знаменателе (III. 29), так что Орел сравним с DK.
При больших же скоростях потока £)рел ~ ud*.
Влияние неравномерности распределения
по сечению и флуктуации скорости потока
на коэффициент продольной дисперсии
Наличие пристенного эффекта аналогично влиянию «тэйло-
ровской» диффузии и может быть оценено введением
R2u2
D™* = hJm; (П1.30
где коэффициент h зависит от неравномерности распределения
.скоростей по сечению аппарата. В работе [27] на оснований
измерения профиля скоростей в слое шаров при R =j50 мм и
d = 9 мм оценено [28] значение h « 0,008, что дает весьма
малое значение Dn0rp.
Флуктуационную составляющую оценить теоретически
труднее и в зависимости
Арл~62~«<*э № 32)
коэффициент пропорциональности надо оценивать
экспериментально.
Безразмерная форма коэффициентов дисперсии
Проведенный выше обзор отдельных составляющих
коэффициентов дисперсии в зернистом слое, показал, что для них в
первом приближении должна выполняться общая зависимость
вида:
D = ADT + B0ud = ADr + Bud3 (III. 33)
В качестве определяющего параметра, кроме критериев Рей-
нольдса Re и Re9, нужно ввести критерий Шмидта
(диффузионный критерий Прандтля) Sc = v/Dr и преобразовать (III. 33)
к виду
D/Dr « А + Во Re Sc = А + В Re9 Sc (III. 34)
где А = в/Г.
Удобно также в качестве определяемого выбрать
модифицированный критерий Пекле Рео = ud/D [29]', непосредственно
92

связанный с размытием диффузионного фронта и представить
(III. 33) в виде:
lt=RiW + Bo <IIL35)
Для продольной дисперсии с учетом релаксационной
составляющей по (III. 29) получим:
1 =*>i-_ A ... о - . 1 J2 l
Ре0> / ud Re Sc
+ #о, / + ^рел
(1 + Р)2 (ReScJ-^W7'
(III. 36)
Коэффициенты В0, Во, /, &рел и k3 необходимо определить
экспериментально при стационарных и нестационарных режимах
переноса вещества в зернистом слое.
III. 5. Экспериментальное определение
коэффициентов поперечной диффузии
В стационарном поле концентраций в зернистом слое
определяется коэффициент радиальной диффузии. При этом в слое
должны находиться постоянные источники вещества (примеси).
На рис. III. 4 показаны схемы организации экспериментов при
подаче примеси: а) в один из параллельных потоков в
зернистом слое; б) из точечного источника.
Большинство работ выполнено по втррой схеме. Величину D,
определяют на основе измерения профиля концентрации по
радиусу потока на некотором расстоянии от источника. Наиболее
полное решение дифференциального уравнения (III. 19) для
стационарного поля концентрации (дС/дт = 0), создаваемого
локальным источником с учетом его размера, значения Di и
влияния стенок аппарата, дано в работе [27].
При проведении эксперимента, как правило, нет
необходимости использовать столь сложные решения.,В работе [30]
показано, что изменение отношения Dr/Di мало сказывается на'
значении Dr, полученном расчетом из опытных данных. При от-
111
Ct>C2
Рис. III. 4. Схемы экспериментального определения коэффициентов
поперечной диффузии в зернистом слое в стационарных условиях:
а—смешение параллельных потоков; б —подача примеси из «точечного» источника.
►X
93

ношении диаметра трубки источника к диаметру аппарата 1 : 100
источник можно считать точечным. Если отношение
концентраций в центре и у стенки аппарата не превышает 10, можно без
большой ошибки считать, что источник находится в аппарате
бесконечно большого диаметра [29]. Главная задача
организации эксперимента — выбор такой примеси, которую можно
достаточно надежно измерять в основном потоке жидкости (газа),
текущей через слой. Другая существенная задача—отбор
пробы, усредненной по всему кольцевому сечению на данном
радиусе г. Как указывалось выше, коэффициент диффузии в
зернистом слое имеет физический смысл, если он усреднен в объеме,
в котором находится достаточно большое число элементов слоя.
Усреднение концентраций удобно делать методом деления
сечения на выходе из зернистого слоя на кольцевые зоны, с отбором
из "них усредненной пробы, как это и было выполнено в
экспериментах [31].
Концентрация примеси в сечении х = const,
перпендикулярном направлению движения потока со скоростью и, на
расстоянии R от источника интенсивностью q (рис. III. 4, б)
определяется выражением [31, 32]
c-Eakep["W(J?-*)] (IIL37)
где R = У г2 + г2.
Обозначая через С0 концентрацию на оси х {при г = 0),
получаем для значений R/x, не слишком отличающихся от
единицы:
— In С/С0 и . 1 _ и , 1 . ,ттт ооч
' т *^ = W + T~257 + 7eConst (IIL38)
Значение т определяют в опытах как тангенс угла наклона
прямой In С/Со—(R — х),- построенной по результатам
измерений; значение Dr находят по формуле (III. 38). Использование
при обработке опытных данных отношений концентраций, а не
их абсолютных значений, уменьшает влияние систематических
ошибок на конечный результат.
Детальное описание опытной установки и методики
проведения опытов дано в [2, стр. 219; 31]. Опыты проводили в
цилиндрическом аппарате Dan = 100 мм с высотой зернистого слоя
80—90 мм. Характеристики исследованных слоев приведены
в табл. III. 1. Окись углерода подавали в зернистый слой через
иглу диаметром 1,5 мм. На слой зерен устанавливали
газосборник, состоящий из пяти концентрических секций. Усредненные
пробы газов отбирали из каждой секции. Обработка опытных
данных в координатах D/Dr — Re3 показала, что в соответствии
с формулой (III. 34) коэффициенты В постоянны во всем
диапазоне изменения Re9 и зависят от формы элементов слоя.
Результаты этой и некоторых других работ по
определению Dr представлены в табл. III. 1. На рис. III. 5 показаны
коэффициенты В для слоя из шаров в зависимости от п = Daa/d,
94

Рис.* III. б. Зависимость
коэффициента В в формуле (III. 34) от
отношения n = Dan/d для слоя шаров:
/—по данным табл. III. 1; 2—по данным [28];
/ — по формуле tfV. 37); //—по
формуле (III. 39).
*10 20
взятые из табл. III. 1 при средних значениях п, для которых
получены В. Поскольку большинство авторов обрабатывали свои
опыты в координатах Рео — Re, для получения значения
коэффициента В проводился пересчет значений В0 = 1/Ре0 в
области больших чисел Re по формуле (III. 35). Опытные данные
[28] лежат твыше остальных; для их описания авторы
предложили зависимость (в наших координатах):
£ =
0,И
1 + 20/п2
(III. 39)
Выбор наиболее надежных значений коэффициентов В
должен проводиться с учетом данных по радиальной
теплопроводности зернистого слоя, приведенных в разделе IV. 3 (рис. IV. 10),
так как механизмы конвективного переноса тепла и- вещества
совершенно одинаковы. На рис. III. 5 показана зависимость по
формуле (IV. 37), которая удовлетворительно описывает
опытные данные различных исследователей для радиальной
теплопроводности в слое шаров.
Уменьшение средней по сечению величины Dr с
уменьшением п объясняется влиянием стенки аппарата на образование
регулярных укладок зерен геометрически правильной формы
у стенок (вертикальные .ряды), в которых перемешивание
потока минимально.
Для конкретных условий рекомендуются следующие значе*
ния коэффициентов Л и В, входящих в формулу (III. 34):
Зернистый слой
из шаров п > 15
п = 15-6
/г<6
из таблеток и цилиндров
п —15-6
из элементов нерегулярной формы
из керамических колец
А
0,26
0,25
0,25
в
0,09
0,08
0,05
0,11
0,16
0,14-0,30
95

Ч
о
о
ч
о
S
о
№
Я
«О
>»
«я
о
32
^ ч
« 3
| £
К, Я
Я
Я
S
о
Я
я
я
я
ч
в
о
ч
>»
«о
0*
OS
в X
S
Я м
9-2
я я
5 * •
Я дь-j
-I
8 о.
о я
£7 *-* © о о? п оГоГ со1 со4 тр
со. 5И £И £2i£i£2. Si041 cn-*^
л
о
о*
cd
■я
о
ч
о
о
и
к
>»
«=с
со
о
со
*о
-^
t-1
(-Н
§
С»
О
о
СО
*
О
•*
8
о
О
и
2
vo
-*
►—i
»-н
*"*
Ю
&
О
со
а
о
Н
CN
S
О
О
и
и
>.
t=T
со
О
в
vo
"*
1—i
»-Ч
сульфит
о
с
Я
и
вода,
в
rh
к-1
•—«
§
о
W
Я
о.
н
cd
я
64
О
и
X
ъ
п
со
о
03
vo
ж
<ф
1—4
►—t
»—<
1^
§
О
леновый
мети
cd
*з
о
>Р
vo»s
^
»—1
ь-1
1—1
8
О
я
я
я
о
с*
о
и
и
>»
КГ
со
О
03
vo
"ф
►—1
►-Ч
t—t
О
О
и
<
к
>*
S*
со
о
и
VO
rh
1-4
нн
О
О
О
*
(2
О
о
ю
О
1 8
о
3 1 1
©^
1 1 S 1 -
о,
■я
я
н
о
я
я
Он
си
со
21,6
|
ю
со
8
^н
&
**
о
1
0,388
ю со"
CN *-«
ю |
ю
8 S
ю
тр
о
1 1
со
о*
"*
8
ю
о
ю
CN
1
ю
ю
8
СМ
1
1
S
1
ю
т
о
8
X
s
«*
о
о
CN
О
©
CN
СО
СО
о
о
1
со
СО
S
5!
о
1
1
со
о
S
1
t^
»-н
8
»-*
1
S °
1 1
ю «Я
-• t^
СО 00
со
чф
S3 ?
° 3
о"
96

3
CU
о
•е*
»я
US
CU
ч
>> -~
С-.
CD
Си
Я *"""
о
н
И
су
0) —
ч
л
со
к
»я —
о
ч
о
»5
25
н
и
Я
я
Си
CD
00
4 Зак,
&
•в
леновы
мети
вода,
vd»s
я
* Я
_; о
>—<
05
О
о"
1
1
Q ""
g
1—•
1
S
—'*
о
1
1
ь.
ьГ
о
ю
со
о"
1
"ф
о
X
мичес]
Цилиндры кера
5X5; 6,5X6,5
. 1274
S.
CD
*
о
Н
108
о
1
1
8
^
|
О
Ь-
СО"
»—i
S
00
со
СО
со
овые,
Кубики пластмасс
£2i
<N
О
со
воздух,
в
**
107
о
1
1
о
о
00
1
8
CN
<Ф
~8~
X
8
г*
о"
<и
итовы
Таблетки цеол
9,5X5,3
£
cd
И
о
105
о
1
1
8
СО
I
8
■*1
1
"1
X
8
3
О
ная
Ванадиевая контакт
масса
3
о.
о
•8-
■я
о
д
Си
ч
не р е
п
о
^
я
CD
а -
<и
ч
со
со
* -
»Я
О
ч
о
»х „
Я
н
Я
Я
Си
CD
00
СО. СО
О с5
О ей
воздух
воздух,
VO «
ч* Th
О О
-« см
о сГ
ГР 1
0,2
as.
»я
леновы
мети
вода,
vo»s
CD .Я
* ^а
о Д °
ю со
СО Ю
о" о"
1 1
1 1
СО Т|« 00 Ю
СО CN
1 1
* S
о ю
-н CN
ч* О*
О Ю
2 *■*
ю
of со
-н СО
8~8
§ X Х§
8 8
СО ^Ф О Ю
Ю "Г Ю Tt<
о о"
о
*•*
о **
СО
8 »я
Катализатор кусю
Фарфор дроблены
о о"
00
Гранулы 1,5
СГ
CD
Ч
О ,
«
ских
CD
ВТ
X
% •
cd
Си
CD
«
со .
Я
»я
о
Т Ы Й СЛ
1
о
я
я »
Си
CD
со
со со
о
и
воздух,
VO
CD
* *
ю со
СО СО
1-н СМ
о" о"
ю ю
о о
о о
СО СО
1 1
ю о>
ю ь.
of со"
8 8
СО -ч
о о"
2,
о
со
воздух,
S
чф
5
СП
CN
о"
1
1
Q "■
g
т—1
1
§
о>
t^
(D
IT
X
о
о
<35
ю
о"
8ХХ
А ю ю
со *-• -«
97

Значения коэффициентов В для слоев из элементов с
шероховатой поверхностью, по-видимому, несколько выше, чем для
гладких элементов.
III. 6. Экспериментальное определение
коэффициентов продольной дисперсии
Измерения коэффициентов продольной диффузии в зерни-»
стом слое при стационарном поле концентраций по схеме
рис. III. 1 затруднительны. Даже при небольших скоростях
жидкости концентрация примеси падает столь быстро, что величину
#0 = Diju невозможно измерить с достаточной степенью
точности. При понижении же скорости существенное значение
приобретают ее флуктуации и конвективные токи, возникающие
в жидкости из-за разницы в плотностях потока.
Коэффициент продольной диффузии D/ можно
рассматривать аналогично тому, как рассматривают коэффициент
продольной теплопроводности при стационарном поле температур.
В этом случае Di определяются по зависимости (III. 34) с
коэффициентом Bi « 0,5 для слоя шаров (раздел IV. 3). При этом
имеется в виду некоторый
усредненный по сечению аппарата
коэффициент диффузии, в который входят
несколько компонентов, в том числе
связанные с флуктуациями
скоростей и неравномерностью их
распределения по сечению зернистого
слоя.
Коэффициенты дисперсии Di
удобно определять
экспериментально по форме кривой распределения
концентраций во времени на
выходе из аппарата с зернистым слоем
при изменении концентрации
примеси на входе в аппарат.
Используют три формы входного
возмущения: импульсное, ступенчатое и
синусоидальное (рис. III. 6). Коэффи-
циейт Di находят в соответствии с
решениями дифференциального
уравнения (III. 5) при различных
начальных условиях. Эти решения
приведены в ряде работ, например
в [32, стр. 257].,
Результаты определений
коэффициента продольной дисперсии в
зернистом слое из шаров и частиц
нерегулярной формы показаны на
вс0
^~
0 X
Рис. III. 6. Схемы
экспериментального определения
коэффициентов продольной дисперсии
в зернистом слое в
нестационарном режиме при подаче на
входе возмущения
концентрации различной формы:
в—единичный импульс,
б—ступенчатая подача; в—синусоидальное
возмущение.
Слева — распределение концентрации
на входе; справа—на выходе из слоя.
98

Рис. III. 7. Сопоставление опытных данных по продельной дисперсии в
зернистом слое:
а —собранных в [32] (заштриховано) с расчетом по формуле (III. 36) при разных значениях
критерия Шмдата (сплошные линии);
б—опубликованных после 1960 г.; / — [37]; 2— [38]; 3— [39], 4—[40]; 5—[41] и область 6 -
[42-47] с расчетами по формуле (III. 36) при разных значениях критерия Шмидта (сплош-*
ные линии) и по формуле (III. 41) — штрих-пунктирная кривая /.
рис. III. 7, а, являющимся переработкой графика из
монографии [32]; график составлен по данным различных
исследователей, опубликованным до 1961 г. [9, 27, 35, 36]. Результаты
измерений изображены для нескольких значений критерия
Sc в виде областей опытных точек. Разброс значений
критерия Ре/ связан главным образом с сильным влиянием
характера укладки элементов слоя как в центральных частях слоя,
так и у стенки аппарата. На рис. III. 7, а нанесены также
результаты расчетов по формуле (III. 36) при различных
значениях Sc. При этом значение коэффициента Во = 0,5 принято по
данным при больших числах Re, где остальными
составляющими величины 1/Ре/ можно пренебречь. Коэффициенты k3 и
&рел, входящие в формулу (III. 36), подбирали так, чтобы
расчетные кривые наилучшим образом описывали
экспериментальные данные, собранные на рис. III. 7, а. Значения этих
коэффициентов [2]: k3 = 0,005; £рел = 0,03. При этих постоянных
4*
99

значениях коэффициентов пропорциональности расчетные кривые
удовлетворительно описывают сложный ход экспериментальных
зависимостей в широком диапазоне определяющих критериев Re
и Sc как для жидкостей, так и для газов.
На рис. III. 7,6 в тех же координатах показаны результаты
работ, опубликованных после 1960 г. Для потока жидкости в
зернистом слое эти результаты хорошо соответствуют расчету
по формуле (III. 36) при значениях коэффициентов, найденных
ранее. Новые опытные данные для воздуха при Re = 1—40
лежат значительно лиже расчетной кривой и даже ниже
предельного значения 1/Ре/ = 0,5. Это явление можно объяснить только
уменьшением конвективной составляющей коэффициента
диффузии в области вязкостного режима течения, при котором
перемешивание потоков должно быть менее интенсивным, чем при
турбулентном режиме. В переходном диапазоне Re = 2 — 20
наблюдается наибольший разброс опытных данных.
Сопоставление результатов опытов [42—47] с результатами,
полученными по формуле (III. 36), позволяет проследить за
изменением В0 в этой формуле с изменением Re в интервале Re =
= 2—100; релаксационная составляющая изменяется в этом
интервале незначительно. Получена приближенная формула
*°°°-25{1+ 1+7бо Re-*} №40)
в соответствии с которой В0 увеличивается от 0,25 до 0,5 при
переходе от ламинарного режима течения потока в зернистом
слое к турбулентному. С учетом этой зависимости формула
(III. 36) удовлетворительно описывает опытные данные [42—47]
на рис. III. 7, б (линия Q.
Аналогичное уменьшение величин 1/Рег при Re = 5 — 200
зафиксировано в работе [43]. В этом интервале Re значения
1/Рег оказались ниже предельного значения 0,1. Следует
обратить внимание на то, что при Re = 0,1 —100 для
потока жидкости в зернистом слое основной составляющей
коэффициента продольной дисперсии является релаксационная
составляющая; в этом случае'уменьшение В0 обнаружить
практически невозможно. Однако, при Re < 0,1 опытные данные [41]
легли заметно ниже расчетной кривой, а при Re < 0,01 ниже
0,5 (рис. III. 7, б, линия 5). Корректировка значения В0 по
формуле (III. 40) приводит к совпадению расчетной кривой с этими
опытными данными.
Что касается данных по теплопроводности в зернистом слое,
полученных как в стационарном, так и нестационарном
режимах (раздел IV. 3), то влияние многих факторов, в том числе
теплопроводности твердой фазы и межфазного теплообмена, не
позволяет установить изменение коэффициента В в формуле
(IV. 17) при Re < 100.
Таким образом, для расчета коэффициентов продольной
дисперсии в зернистом слое можно рекомендовать конкретную при-
100

ближенную формулу, дающую средние результаты для
жидкостей и газов во всем диапазоне критериев Re
Ре/ Re Sc V 1 + 750 Re"2 J
+ 0,03 —^-5- r tt № 41)
где p = 4,2 Re-0»8 при Re > 0,5; p = 6 при Re <;0,5.
В некоторых диапазонах значений Re можно использовать
приблизительно постоянные значения 1/Ре/
жидкость (Re > 1000) и газ (Re > 200) 0,5 (±30%)
газ (Re — 10-200) 0,5 (±40%)
жидкость (Re = 0,1—100) 2,0 (±50%)
При значениях Re < 0,1 величина Di для газов определяется
практически только молекулярным переносом. Для жидкостей
это значение Re « 10~4.
Недостаточно выяснена зависимость Ре/ от формы элементов
слоя и шероховатости их поверхности. Измерения в слое
керамических колец [39] показали, что 1/Ре* выше, чем для шаров
(рис. III. 7, б, линия 3). Шероховатость и, в особенности,
наличие крупных капилляров, выходящих на поверхность элементов
слоя, должны увеличивать релаксационную составляющую
коэффициента дисперсии, особенно для потока жидкости.
Измерения коэффициентов дисперсии в зернистых слоях из
элементов малых размеров (d < 0,1—0,2 мм) при продувке
газов дали значения 1/Ре/ в 2—3 раза выше, чем для крупных
элементов при Re = 0,02 — 5 [46]. Это связано с флуктуациями
скоростей газа и неравномерностью его распределения, особенно
заметными в слое полидисперсных частиц неправильной формы.
В работе [48] исследовались коэффициенты дисперсии в
трубе с уложенными в один ряд зернами при Dan/d — 1,15.
В диапазоне Re = 40 — 400 для потока воды получено хорошее
совпадение с расчетом по формуле (III, 36).
Литература
1. Аэров М. Э. — Автореф. докт. дисс. МИХМ, 1951.
2. Аэров М. Э., Тодес О. М. Гидравлические и тепловые основы работы ап«
паратов со стационарным и кипящим зернистым слоем. Л., Химия, 1968.
3. Радушкевич Л. Б. —ДАН СССР, 1947, т. 57, с. 471; Забежинский #. Л.,
Жуховицкий А. В., Тихонов А. Я. — ЖФХ, 1949, т. 23, с. 192; Рачин-
ский В. В., Тодес О. М. — Там же, 1956, т. 30, с 404.
4. Taylor G. /. —Proc. Roy. Soc, 1953, v. A219, p. 186; 1954, v. A223, p. 446;
v A225 p 473
5. Arts /?/—Ibid.', 1956, v. A235, p. 67.
6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М., Гостехиздат,
1954.
7. Аэров М. 3., Каган С. 3., Волкова Т. С, Никитин Л. Я. — ЖПХ, 1963,
т. 36, с. 1994.
8. Grane F. £., Gardner G. Я. —J. Chem. Eng. Data, 1961, v. 6, p. 283.
101

9. Kramers #., Alberda G. — Chem. Eng. Sci., 1953, v. 2, N° 1, p. 173;
McHenry K. W., Wilhelm R. //. — AlChE J., 1957, v. 3, p. 83; Carberry /.-/.,
Wilhelm R. H. — Ibid., 1958, v. 4, p. 367.
10 Ranz W. E. —Chem. Eng. Progr., 1952, v. 48, № 5, p. 247.
11 Rutherford A.t Amundson N. R. — AlChE J., 1957, v. 3, p. 280.
12 Prausnitz J. M. — Ibid., 1958, v. 4, p 14M.
13 Николаевский В И — ПММ, 1959, т 23, с. 1042.
14 Николаевский В Н. — Изр АН СССР Сер. мех. и маш., 1959, № 4, с. 146.
15 Saffman P G. — L Fluid Mech., 1959, v. 6, p. 321; 1960, v. 7, p. 194.
16. Turner G. A. — Chem. Eng. Sci., 1958, v. 9, № 2, p. 156; 1959, v. 10, № 1,
p. 14.
17. Arts tf. —Ibid., 1959, v. 10, № 1, p. 8; v. 11, № 2, p. 194.
18. Gay В., Alcorn Т. £.— Ibid., 1962, v. 17, № 4, p. 641.
19. Gottschlich C. /\ — AlChE J., 1963, v. 9, p. 88.
20. Levich V. G., Markin V. S., Chismadzhev Y. .4.— Chem. Eng. Sci., 1967,
v. 22, № 7, p. 1357.
21. Gunn D. /. — Trans, Inst. Chem. Eng., 1969, v. 47, № 10, p. T351.
22 Иоффе И. #., Письмен Л М. Инженерная химия гетерогенного катализа.
Л., Химия, 1972.
23 Smalzer D /(., Hoeschler Н Е —AlChE J., 1971, v. 17, p. 104.
24 Касманян М А, Кириллов В Л., Матрос Ю. Я/., — ИФЖ, 1973, т. 25,
с. 36.
25 Popovic М.ч Deckwer W D —Chem. Eng. J., 1976, v. 11, p. 67.
26 Darweiller V. Я, Fahien R W.— AlChE J., 1959, v. 5, p. 139.
27 Bishoff K. B, Levenspiel О —Chem Eng Sci., 1962, v. 17, № 2, p. 257.
28 Fahien R W< Smith /* M —AlChE J., 1955, v 1, p. 28.
29 Bernard R Л., Wilhelm R H. — Chem Eng. Progr. 1950, v. 46, p. 233.
30 Roemer G., Dranoff J. 5., Smith 1. M. — Ind. Eng. Chem. Fundam., 1962,
* v. 1, p. 284.
31 Аэров М. Э.у Умник H. H — ЖПХ, 1954, т. 27, с. 265. '
32. Левеншпиль О Инженерное оформление химических процессов. Пер. с
англ. Под ред. М. Г. Слинько М., Химия, 1969.
33 Баум В Д.-Изв АН СССР. ОТН, 1953, № 9, с. 1317.
34 Баху ров В Г., Борее ков Г. К.— ЖПХ, 1947, т. 20, с. 721.
35 Levenspiel О Smith W К — Chem. Eng. Sci., 1957, v. 6, № 2, p. 227.
36 Ebach E A , White R R —AlChE J., 1958, v. 4, p. 161.
37 Liles A W. Geankoplis С J —Ibid., 1960, v. 6, p. 591.
38 Leli N — Chim et Ind 1963, v. 45. p. 944.
39 Kinigita £, Otake /, Yamanishi T — Kagaku Kogaku, 19Q2, v. 26, p. 805.
40 Анпилогов И Е, Стоянове кий ИМ— ЖФХ, 1962, т. 36, с. 1552.
41 Miyachi Т, Kikuchi T —Chem. Eng. Sci., 1975, v. 30, № 3, p. 343.
42 Edwards M F., Richardson J F —Ibid., 1968, v 23, № 2, p. 109.
43 Gunn D /. Pryce С —Trans Insl Chem. Eng., 1969, v. 47, № 10, p. T351;
44 Gunn D /, England R —Chem Eng. Sci., 1971, v. 26, № 9, p. 1413.
45 Sinclair R /., Potter O. F—Trans Inst. Chem. Eng., 1965, v. 43, N° 1,
p T3
46 Moulijn J A, Van Swaaij W. P. M. — Chem. Eng. Sci., 1976, v. 31, № 9,
p 845
47 Evans E V., Kenney С N — Ibid, 1966, v. 44, № 6, p. T189.
48. Колтунова Л. Я., Аэров М. Э., Чувилов Г. В. — ТОХТ, 1975, т. 9, с. 793.

Глава IV
Тепло- и массообмен в стационарном
зернистом слое
IV. 1. Теплопроводность в зернистом слое
с неподвижной газовой (жидкой) фазой
Основное соотношение, определяющее плотность теплового
потока в сплошной среде (закон Фурье)
q = - % grad t (IV. 1)
действительно и для зернистого слоя, если рассматривать его
как квазигомогенную среду [1, стр. 330}. Условиями такого
рассмотрения зернистого слоя являются: усреднение входящих
в формулу (IV. 1) величин в объемах слоя, достаточно больших
по сравнению с объемом отдельного элемента, и
тождественность осредненных таким образом температур твердой и жидкой
фаз. Первое из этих условий означает, что размеры зернистого
слоя (отношение диаметров трубы и элемента слоя) должны
быть достаточно велики для того, чтобы температурное поле
в нем можно было рассматривать монотонным. Второе условие
выполняется, если результирующий тепловой поток между двумя
фазами равен нулю (это не исключает, как будет показано
ниже, локальный межфазовый теплообмен). Очевидно, что оба
этих условия в реальном .зернистом слое могут выполняться
только приближенно.
Коэффициенты теплопроводности % сплошных однородных
сред зависят от их физико-химических свойств; значения их
легко могут быть найдены в справочной литературе [2].
В зернистом слое с неподвижной жидкой или газовой фазой
величина Аюэ — это эффективная характеристика сложного
процесса теплопроводности, включающего следующие стадии:
теплопроводность твердого материала элементов слоя,
которая характеризуется коэффициентом теплопроводности
материала Хт\
молекулярная теплопроводность жидкости (газа),
заполняющей слой — коэффициент теплояроводности Яг;
излучение между твердыми поверхностями элементов слоя;
определяется оно свойствами этих поверхностей и уровнем
температур в слое.
Малые линейные размеры объемов газа между элементами
слоя позволяют пренебречь излучением газовой фазы.
Эффективный коэффициент теплопроводности Я0э нельзя выразить
как некоторую сумму отдельных составляющих, поскольку в
103

зернистом слое отдельные стадии общего процесса
распространения теплоты взаимосвязаны. Тепловой поток в значительной мере
проходит последовательно через отдельные зерна слоя и
промежутки газа между ними (теплопроводностью и излучением),
причем вблизи точек контакта зерен этот поток особенно
интенсивен.
Очевидно, что структура зернистого слоя, его порозность,
должны оказывать значительное влияние на теплопроводность.
Предложено много теоретических и экспериментальных
зависимостей, определяющих эффективный коэффициент
теплопроводности Х0э как функцию структуры слоя и теплопроводности
обеих фаз зернистого слоя; обзор работ в этой области,
выполненных до 1959 года, дан в монографии Чудновского [3]. Позже
появилось большое число исследований, связанных в основном
с изучением теплопроводности смесей, композиционных и
пористых материалов, засыпок, порошков [4, 5]. Обзор некоторых
зависимостей для зернистого слоя дан в [6].
Большинство авторов [4—10], получивших обобщенные
зависимости для теплопроводности зернистого слоя, представляют
слой как некоторую геометрически регулярную модель из
элементов различной формы с различным законом их
контактирования. Полученные на основе принятых моделей формулы
сравниваются с опытными данными.
По нашему мнению, наиболее простой и физически
обоснованной является модель, предложенная-Куний [7]. В этой
модели рассматривается осесимметричный тепловой поток между
плоскостями, проходящими через центры двух соседних шаров.
Интегрирование потока в газовой прослойке между шарами
дает относительную эффективную толщину этой прослойки
около точки контакта шаров
а in [k - (k - 1) cos 6] - ±_L(i - cos 9)
где k = WV, 0 — центральный угол, приходящийся на одну
точку контакта.
Геометрический анализ укладок шаров в слое при различной
их ориентации дает число контактов в одном направлении в
расчете на сечение слоя d2: для е — 0,476 п = 1,42; для е = 0,26
п = 6,92. В работе [7] приведены графики Ф\ и Фг,
рассчитанные для этих значений е по формуле (IV. 2) с использованием
соотношения sin2 8 = 1/я (рис. IV. 1). Для промежуточных
значений е применяют интерполяционную формулу
Ф^Ф2 + (Ф1-Ф2) е~2^26 (IV. 3)
На рис. IV. 1 построена зависимость по формуле (IV. 2) при
п = 2 (sin2 8 = 0,5); точно такой же результат дает расчет по
104

Ai/Лг
Рис. IV. 1. Относительная эффективная толщина газовой прослойки между
элементами зернистого слоя по формуле (IV. 2):
/—8=0,48; 2—8=0,40; 3—8=0,26; 4—ФСТ=0,5Ф при 9=90°.
формуле (IV. 3) при е — 0,4. С учетом всех механизмов
переноса теплоты в зернистом слое получена формула [7]
■fr,.(l + ffi + _ ,'- (IV.4)
1/Ф + алтЛМг ЗЛТ
в которой
«лг = 0,227[1+е(1_;)/2/>(1_8)] (-£ )* (IV. б)
— коэффициент теплоотдачи излучением от зерна через газ
мимо соседних зерен;
«лт-0,227^ (-4-)3 (IV.6)
— коэффициент теплообмена излучением между соседними
зернами; р — степень черноты поверхности зерен.
Таким образом, в формуле (IV. 4) первый член'учитывает
тепловой поток через газовую фазу теплопроводностью и
излучением, а второй член — теплопередачу через зерна за счет
контактного и лучистого теплообмена между ними. Очевидно, что
при больших значениях taAr все тепловые потоки в слое
аддитивны.
Сравнение расчетов по формуле (IV. 4) с опытными данными
разных исследователей проведено в работах [7, 8, 11]. В
широком диапазоне изменения размеров зерен и порозности слоя для
разных газов, жидкостей и материала зерен получено хорошее
совпадение результатов.
В работе [9] предложена полуэмпирическая формула
lg WXr - (°>28 - °*7571« 8 - °'0571* -jjj) to х* (*v- 7>
105

в которой коэффициенты подобраны в результате сравнения
с опытными данными для 163 укладок. При этом разброс
опытных точек при АоэДг =1 — 40 лежит, в основном, в пределах
±30%. Формула (IV. 7) получена без учета переноса теплоты
излучением.
При температуре выше 300 °С доля переноса теплоты
излучением в зернистом слое становится заметной. В соответствии
с общими закономерностями лучистого теплообмена [3, 12],
коэффициент теплоотдачи излучением от поверхности зерна
определяется выражением
a^0,227F (Г/100)3 (IV. 8)
в котором F — коэффициент, зависящий от коэффициента
излучения поверхности зерна и структуры слоя; Т — абсолютная
температура в данном месте зернистого слоя, К.
Вид зависимости для коэффициента F определяется
принятой моделью зернистого слоя и механизма теплопереноса
излучением в слое. Предложенные модели можно разделить на три
типа:
I. Большинство авторов [7, 10, 13—15] рассматривают
зернистый слой как геометрически правильную модель,
аналогичную модели переноса теплоты теплопроводностью.
II. Зернистый слой представлен как континиум предельно
неупорядоченных частиц. В этом случае для расчета лучистого
потока, по предложению Босворта [16], можно использовать
уравнения диффузии фотонов.
III. Зернистый слой представлен как квазигомогенная среда,
допускающая описание процесса теплопереноса в
дифференциальных и интегродифференциальных уравнениях, решаемых
с учетом граничных условий [17]. Такое представление, на наш
взгляд, лучше всего соответствует реальным условиям в
зернистом слое, размеры которого достаточно велики по сравнению
с размером отдельного зерна.
Зависимости для F по разным источникам [7, 10, 14, 16, 17]
довольно сильно отличаются друг от друга. Формулы (IV. 5) и
(IV. 6) имеют то преимущество, что они получены на основе
простой и физически четкой модели. Кроме того, в формулу
(IV. 4) они введены так, что при этом правильно учтено
совместное влияние всех механизмов теплопереноса на суммарную
теплопроводность зернистого слоя. В то же время в работе [10]
принят закон аддитивности тепловых потоков, что допустимо
только при больших значениях величины Хт/Хг. Сравнение
расчета по формуле (IV. 4) при высоких температурах с опытными
данными имеется в работах [7, 8]; в [6] показано влияние
температуры на Хоэ по формулам разных авторов.
Итак, при расчете коэффициента теплопроводности
зернистого слоя с неподвижной жидкой или газовой фазой
рекомендуются формулы (IV. 3), и (IV. 4), а также графики рис. IV 1-.
При низких температурах удобнее пользоваться формулой
106

Рис. IV. 2. Теплопроводность зер- 20
нистого слоя при неподвижной
жидкой (газовой) фазе без учета и w
излучения при 8 = 0,4: ^
/—по формуле (IV. 4)» 5—по форму- §
ле (IV. 7). г<
1
(IV. 7). На рис. IV. 2 показаны зависимости по формулам
(IV. 4) и (IV. 7) при е = 0,4 и низкой температуре слоя. При
отношении теплопроводностей фаз Кт/Хг «100 и е « 0,4
значение ХовДг = 8—Ю (при температуре до 100°С). С увеличением
температуры до 600 °С это значение возрастает вдвое, а при
800 °С — втрое.
Для элементов слоя из непористого материала определение
Хт трудностей не -представляет. Для пористых материалов
необходимо учитывать теплопроводность среды, заполняющей
поры и структуру пор. Отличие пористых тел от зернистых
засыпок состоит в том, что твердая фаза здесь является сплошной,
а газовая или жидкая может быть дисперсной. На коэффициент
теплопроводности пористого тела Хтэ влияет как внутренняя
пористость, так и средний диаметр пор, точнее, отношение этой
величины к длине свободного пробега молекул газа,
заполняющего поры [3,18].
Надежно обобщающие зависимости, по которым можно
рассчитать теплопроводность пористых тел, отсутствуют, поэтому
необходимые данные рекомендуется брать из указанной выше
монографии Чудновского [3] и специальной литературы по
различным видам пористых материалов, например, указанной в [1].
Значительно меньше данных имеется по теплопроводности
катализаторов и адсорбентов с пористой разветвленной
структурой [1].
IV. 2. Естественная конвекция в зернистом слое
и ее влияние на коэффициент теплопроводности
При наличии градиента температуры в зернистом слое,
заполненном жидкостью или газом достаточно большой плотности,
может возникнуть естественная конвекция, приводящая к
заметному увеличению эффективного коэффициента
теплопроводности.
С возможностью естественной конвекции нужно считаться
при процессах горения в шахтных топках и газогенераторах, при
каталитических процессах в начальных участках реакторов
с большим градиентом температуры и концентрации, в домен-v
ных печах, в тепловой изоляции в виде зернистой засыпки.
Ах /Ар
107

Рассмотрим зернистый слой высотой х, имеющий
температуру верхнего торца t2 и нижнего торца t\, причем t\ > t2. При
отсутствии конвективных потоков газа в слое установится
одномерный тепловой поток q, определяемый коэффициентом
теплопроводности Х0э при линейном распределении температуры по
высоте слоя. Примем далее, что в направлении, одинаковом
с направлением теплового потока, движется поток газа
(жидкости) с массовой скоростью G; распределение температуры по
высоте слоя остается при этом неизменным и одинаковым для
обеих фаз. Такое допущение оправдано, если основное
количество теплоты передается теплопроводностью. Конвективный
тепловой поток
qK = CpG{t{-t2) (IV. 9)
Конвективная составляющая «коэффициента
теплопроводности описывается выражением
к*-{tx-u)/x =CpGx
а суммарная теплопроводность слоя при наличии конвекции
равна:
Яэ в Лоэ + Як
В рассматриваемом случае естественная конвекция в слое
вызвана различием плотности газа за пределами слоя при t2 и
средней плотности в слое при температуре 0,5 (t\ + t2)
Ар — 0,5рр^ д;
где Р/ — коэффициент объемного расширения газа; At = t\ —t2.
Движущая сила газового потока Ар = xApg
уравновешивается перепадом давления в слое, который при вязкостном
течении выражается зависимостью (11.34). Из этой зависимости
имеем
Ар С #рР,Д*С
л: v 2v
где С = гг/и2К — коэффициент проницаемости слоя, зависящий
от его структуры.
После некоторых преобразований получаем
К g$tMx* pCpv Яг С
Лоз фх==1+ v2 Лг Лоэ 2х2
Применим обозначения:
Gr s=s—1—$ критерий Грасгофа, отнесенный к разнице
температур в слое; в качестве определяющего размера принята
высота слоя;
pCnV
Рг=—- критерий Прандтля для газовой среды;
Ар
X С
Ra = GrPrу1--JJ- -—критерий Релея для зернистого слоя.
108

В отличие ат аналогичного критерия GrPr, применяемого для
описания естественной конвекции в однофазной среде, в Ra
входят два симплекса, отражающие тепловьге и гидравлические
свойства зернистого слоя.
С учетом принятых обозначений:
<p=l+0,5Ra (IV. 10)
В более общем случае, когда естественная конвекция
возникает в замкнутом с торцов зернистом слое, коэффициент в
формуле (IV. 10) должен измениться. Кроме того; нарушение
устойчивости газовой среды в слое и начало естественной конвекции
должно определяться некоторым критическим значением Rao,
так же, как это имеет место в однофазной среде.
В соответствии с этим формула (IV. 10) приобретает вид
<p-l+*(Ra-Rao) (IV.11)
Естественная конвекция в зернистом слое может возникнуть
из-за различия концентрации по высоте слоя, вызывающей
различие плотностей газа. В этом случае критерий Gr заменяется
критерием Архимеда:
Ar==i£ Др.
vz р
В настоящее время имеется значительное число
теоретических и экспериментальных исследований тепло- и массопереноса
при естественной конвекции в горизонтальных зернистых слоях.
Однако большинство из них выполнено для слоя, заполненного
жидкостью, применительно к задачам подземной гидродинамики
и нефтедобывающей промышленности. Обзор этих исследований
содержится в работах [19, 20].
При теоретическом исследовании устойчивости и циркуляции
жидкости в пористой среде [20] принималась квазигомогенная
модель горизонтального слоя, ограниченного плоскими
изотермическими поверхностями и заполненного несжимаемой
жидкостью, близкой по своим свойствам (прежде всего, по
теплопроводности) к зернистому слою. Получено критическое значение
Rao = 4я2 « 40, при котором нарушается устойчивость
жидкости в слое. Это значение, подтверждено в опытах. Как известно,
для однофазной среды в горизонтальном слое аналогичная
величина (GrPr)o = 1700 [22, стр. 361]. Теоретически и
экспериментально показана возможность существования двухмерной
конвекции, когда конвективные токи имеют вид чередующихся по
направлению движения цилиндрических валиков. С увеличением
критерия Ra устанавливается трехмерная конвекция,
характеризующаяся образованием призматических шестиугольных ячеек
с Шириной примерно вдвое большей, чем высота. Внутри ячеек
жидкость движется вверх, а на границах — вниз [19]. Подобная
картина циркуляции в горизонтальных прослойках жидкости
известна [12, 21]. При Ra > 200—400 конвекция в пористой
среде становится хаотической, нестационарной [19].
109

Рис. IV. 3. Теплопроводность
зернистого слоя при естественной
конвекции [19]:
/ — полипропилен—вода, d=4 мм и
стекло—масло, d=0,9 и 2,0 мм;
2—стекло — вода, d=l,7—4,0 мм;
3—песок—масло, rf=l,9 мм; 4—свинец—вода,
d=4 мм; 5—песок—вода, d=2 мм;
б—по формуле (IV. 12); 7—по
формуле (IV. 13); в-по формуле (IV. 14).
'4 Ю2 W3 2
Ва
Экспериментальные результаты показаны на рис. IV. 3.
Данные различных авторов, полученные в интервале Ra = 40 — 500
и Собранные в [20], не выходят за пределы зависимостей на
рис. IV. 3.
Опытные данные по естественной конвекции в зернистом
слое, заполненном газами, весьма ограничены. В работе [23]
обобщены опытные данные Клинга, полученные на сферическом
слое, заполненном воздухом, углекислым газом и метаном, и
собственные измерения в слое стеклянных шаров d = 19 мм
высотой 80—160 мм. Получена зависимость, которая в принятых
здесь координатах имеет вид
Ф— 1+3,85- Ю-3 Ra (IV. 12)
Анализ зависимостей на рис. IV. 3 показывает, что. при
увеличении критерия Релея от 40 до ~ 100 интенсивность
конвективного теплопереноса в слое растет линейно в соответствии
в выведенной выше зависимостью (IV. 11). В дальнейшем
влияние Ra на конвективный теплоперенос ослабевает. Это можно
объяснить тем, что при интенсивности конвективного
теплопереноса, соизмеримой с передачей теплоты теплопроводностью
(ф « 2), конвекция оказывает существенное влияние на
формирование профиля температуры в слое, линейность которого при
этом нарушается. С увеличением Ra также большую роль
должно играть дополнительное термическое сопротивление
конвективному теплопереносу у стенок, ограничивающих слой. При
Ra « 300 происходит перелом в ходе некоторых зависимостей
на рис. IV. 3, связанный с изменением характера циркуляции
жидкости. Аналогичный характер зависимостей при
естественной конвекции в горизонтальных прослойках зафиксирован в
работах [24,25].
Из рис. IV. 3 следует, что разница в теплофизических
свойствах фаз оказывает большое влияние на теплопроводность при
наличии естественной конвекции в зернистом слое, Физическая
ПО

модель процесса естественной конвекции в зернистом слое,
которая учитывала бы разницу температур и теплообмен между
фазами, не разработана.
Для ориентировочных расчетов теплопроводности зернистого
слоя, заполненного жидкостью, можно использовать
приближенные зависимости (см. рис. IV. 3).
Ra = 40-300; <p = 0,025 Ra (IV. 13)
Ra = 300-3000; (p = 0,45Ra0*5 (IV. 14)
Для слоя из зерен с невысокой теплопроводностью,
заполненного газом, можно пользоваться зависимостью (IV. 12) при
Ra < 1000. Следует ожидать, что при Ra « 104 зависимости
для разных значений Ят/Яг окажутся близкими, поскольку в этой
области перенос теплоты в слое определяется естественной
конвекцией. Аналогичное явление*зафиксировано в работе [25], для
сотовых решеток разной геометрии с проводящими и
непроводящими стенками при GrPr « 106.
IV.3. Теплопроводность в зернистом слое
с движущейся газовой (жидкой) фазой
(при вынужденной конвекции)
Общие положения
Для значительной части технологических процессов в
стационарном зернистом слое, протекающих с движением через
этот слой газа или жидкости, характерно непостоянство
температур в объеме слоя как в пространстве, так и во времени.
Поток, проходящий через слой, охлаждается или нагревается
через стенки аппарата; при этом в объеме слоя может идти
выделение либо поглощение теплоты — стационарные во времени
при проведении реакций, в которых зернистый слой имеет
функции катализатора или инертной насадки, и нестационарные —
в процессах адсорбции, десорбции, сушки и других с участием
твердой фазы.
Примем зернистый слой с движущимся через него газовым
потоком как квазигомогенную среду, в которой усреднение
температур и скоростей газа производится в объемах, больших, чем
объем отдельного зерна. В этом случае дифференциальное
уравнение энергии для стационарного газового потока без
внутренних источников теплоты в цилиндрических координатах
запишется так [12]
<*£-^*('*)+».£
где G — массовая скорость газа; fa и fa — коэффициенты
теплопроводности газа цо главным осям системы координат
Ш

перпендикулярно и вдоль оси движения среды. Таким образом,
для зернистого слоя с движущейся газовой (жидкой) фазой", как
и для неподвижной среды, коэффициент теплопроводности
определяет интенсивность выравнивания температур в некоторой
квазигомогенйой среде.
От такой трактовки зернистого слоя приходится в некоторых
случаях отказываться, например, при движении потока теплоты
навстречу потоку газа и при нестационарном нагревании или
охлаждении слоя потоком газа (подробнее эти случаи будут
рассмотрены ниже).
В соответствии с аналогией тепло- и массопереноса, перенос
теплоты в движущейся через зернистый слой среде подчиняется
тем же закономерностям, что и транспорт вещества. Как и для
процессов выравнивания концентрации следует различать \г
и h:
в стационарном во времени поле температур;
в нестационарном во времени поле температур.
В эти суммарные коэффициенты входят отдельные
компоненты, перечисленные в разделе III. 3 и определяемые
аналогичными зависимостями. Однако то обстоятельство, что теплота
в зернистом слое в отличие от вещества распространяется как
через жидкую, так и через твердую фазу, приводит к
существенному нарушению подобия коэффициентов диффузии и
теплопроводности в области малых критериев Рейнольдса. Как будет
показано ниже, при Re3 < 20 составляющая переноса теплоты за
счет процессов молекулярной теплопроводности обеих фаз на
порядок больше, чем конвективная составляющая.
Общая зависимость для коэффициента теплопроводности
аналогична выражению (III. 33) для коэффициента диффузии:
Яг = Яо + BtfCpud (IV. 16)
Величина Х0 представляет собой сумму всех компонентов
теплопереноса, не зависящих от и. Существенным
составляющим в нее входит теплоперенос при неподвижной среде в слое
Яоэ. При возникновении естественной конвекции, этот компонент
теплопереноса также необходимо учитывать.
Вводя критерии Рейнольдса и Прандтля, зависимость
(IV. 16) можно преобразовать к безразмерному виду ,
ЯГДГ = ЯоДг + В Яе9 Рг (IV. 17)
В таком виде зависимость для теплопроводности в зернистом
слое была предложена в работах [26, 28] и в работах японских
исследователей [27]. Величины Х0 и В могут быть определены
из эксперимента, причем В может быть сопоставлена с
измерениями для коэффициента диффузии.
Арго и Смит [14] обратили внимание на дополнительный
механизм теплопереноса в зернистом слое, связанный с конвек-
112

тивным теплообменом между жидкостью и зернами. Для
составляющей теплопередачи через зерна получено выражение,
которое можно представить в виде
17 в 2/Nu + Кг/Кт (IV' 18)
где Nu = ad/Xr, а а — коэффициент теплообмена между
зернами и газом, текущим через слой.
Как будет показано ниже, величину Лтп имеет смысл
учитывать только для слоя из теплопроводных зерен, т. е. в том
случае, когда допустима аддитивность этой составляющей
теплопроводности с другими составляющими в формуле (IV. 4).
Обзор методов определения коэффициентов теплопроводности
в зернистом слое с движущейся газовой (жидкой) фазой
Опубликовано значительное число работ по определению
коэффициентов теплопроводности в зернистом слое с
принудительной конвекцией газа. Можно выделить несколько типовых
методов определения коэффициентов теплопроводности,
использованных в этих работах.
I. Определение продольного коэффициента теплопроводности
h при встречном направлении потоков газа и теплоты.
Последний создается обогревом верхнего или нижнего торца зернистого
слоя источником, не мешающим* движению газов, например,
пластинчатым электронагревателем [29] или инфракрасной
лампой [27, вторая ссылка]. Стенки аппарата тщательно
изолируют, температуру слоя измеряют в нескольких сечениях на оси
аппарата и у стенки. В эксперименте осуществляется
одномерный поток теплоты и уравнение (IV. 15) принимает вид:
' , dH dt
Xl4^ + CPG'd^==:0
Его решение можно представить так: m = — d(\n t)/dx =
= CpG/h.
Величину h определяют по графику температуры в слое,
построенном в полулогарифмических координатах. Модификация
описанного метода — создание спутных потоков теплоты и газа
при использовании торцевого холодильника вместо
нагревателя [30].
Эксперимент можно осуществить только в области малых
значений Re3: при больших скоростях газа необходим источник
теплоты высокой интенсивности, что может исказить
одномерный поток ее. Кроме того, при больших скоростях газа зона
теплового влияния источника соизмерима с размером зерна, и
принятая квазигомогенная модель слоя нарушается.
Некоторые исследователи предложили решение данной
задачи с учетом теплопереноса между твердой и газовой фазами
слоя (см. раздел IV. 6),
ИЗ

*Вода t/-J5 It Гад
Рис. IV. 4. Схемы определения радиального коэффициента теплопроводности
в зернистом слое:
а —при одномерном потоке теплоты по радиусу аппарата; б —по распределению
температур при внешнем обогреве; в—-по распределению температур при двумерном тепловом
потоке; .
/ — нагреватель; 2—термопары; 3 — холодильник.
II. Определение радиального коэффициента
теплопроводности Хг при одномерном потоке теплоты по радиусу аппарата
[31]. При этом источник теплоты — электронагреватель —
расположен в трубке по оси аппарата либо обогревается внешняя
стенка аппарата (рис. IV. 4, а); внутренняя трубка охлаждается
водой. Температуру газа на входе поддерживают равной
температуре на выходе. В этом случае распределение температуры
слоя по радиусу такое же,'как для цилиндрической стенки, и
коэффициент теплопроводности определяют по формуле
* - ' Q In Г2
Аг ~~ 2nL (t2 - t{) rx
где Q — общее количество теплоты, передаваемое через слой;
L — высота слоя; t\ и h — температуры слоя на расстояниях от
ОСИ Г\ И Г2.
III. Определение коэффициента теплопроводности Кг по
профилю температур при смешении параллельных потоков с
разной температурой. В работе [13] потоки имели одинаковое
сечение; в работе [32] нагретый газ вводили по центральной
трубе; в наших опытах [33] создавался линейный источник
теплоты, который обеспечивал нагревание узкой. полосы газа
на входе в слой (см. стр. 121). Методы расчета V по
экспериментальным профилям температур аналогичны расчету
коэффициентов диффузии из поля концентраций (см. раздел III. 5) на
основе решения задачи при соответствующих граничных
условиях. Общий недостаток данного метода связан с неизбежной
неравномерностью скоростей потока, имеющего разную
температуру.
IV. Определение %г по результатам измерения температур
в трубе с зернистым слоем, продуваемым газом. При движении
сквозь слой газ нагревается или охлаждается через стенки трубы
П4

(рис. IV. 4, б). Одновременно определяется пристенный
коэффициент теплоотдачи (см. раздел IV. 4). Разработаны различные
варианты этого метода. Все они исходят из уравнения (IV. 15)
при fa = 0.
1. В работе [27, первая ссылка] использовано решение
уравнения (IV. 15), аналогичное решению для прогрева цилиндра
бесконечной длины. На основе этого решения и результатов
измерения температур газа на оси трубы и средней температуры
на выходе из слоя рассчитывают величину fa. Основные
экспериментальные трудности связаны с точным измерением средней
температуры газа на выходе. Точность определения fa
увеличивается, если измерять температуру не только на оси, но и по
радиусу слоя [8, 34].
2. В работах [35—37] fa определяли непосредственно из
уравнения (IV. 15) при Я/ = 0 путем графического
дифференцирования профиля температур, причем в [36] газ нагревали
при постоянном тепловом потоке по длине трубы. При таком
методе расчета незначительные неточности в измерении
температур могут привести к заметным ошибкам в величине fa. В
работе [35] метод несколько видоизменен с целью определения не
только среднего по сечению, но и локального значения fa лок =з
= ф(г). Эта величина является функцией флуктуации порозно-
сти и скорости в зернистом слое; использование переменного по
радиусу значения fa потребовало бы учета профиля скоростей и
весьма затруднило бы математическое описание процессов в
зернистом слое без существенной пользы для-их понимания и
реальной оценки.
3. В последние годы при обработке результатов
экспериментов широко используются ЭВМ. Это позволяет повысить
точность обработки и включить в нее большое число опытных
данных. В работе [38] Хг определяли по результатам измерения
температуры газа на выходе из слоя в 94 точках по сечению. Эти
измерения- сравнивались с расчетным профилем температур;
з качестве параметров расчета использовали различные
значения fa и ссст. Окончательно принимались те из них, которые
обеспечивали минимальное среднеквадратичное отклонение
опытных точек от расчетного профиля температур. Предложены
и другие методы обработки опытов по определению fa [39],
позволяющие сократить машинное время.
V. Определение fa и fa по результатам измерения температур
в трубе с зернистым слоем, охлаждаемой снаружи, при
параллельном и встречном направлении потоков тепла и газа. Схема
эксперимента показана на рис. IV. 4, в. В торце цилиндрического
аппарата помещен электронагреватель, создающий
равномерный тепловой поток. Стенки аппарата охлаждаются
интенсивным потоком воды. В зернистом слое создается двухмерное
температурное поле. Каждый опыт проводят при двух направлениях
потока газа, имеющего одинаковую скорость. Ниже приведено
аналитическое описание методики, разработанной в [23].
115

Методика совместного определения радиального
и продольного коэффициентов теплопроводности
в зернистом слое
В соответствии со схемой процесса на рис. IV. 4, в,
уравнение (IV. 15) записывается следующим образом:
Знак минус перед третьим членом соответствует одинаковому
направлению потоков теплоты и газа, знак плюс — встречному
направлению. Вводя в уравнение новую переменную z = х/л/т,
где т = Ki/Xr, получаем
дЧ , 1 а/ , дЧ CPG /- dt m. ОЛЧ
+ - + iF-^.V/n—^o (IV. 20)
дг2 г дг дг2 %i дг
Граничные условия
z = 0; t = t0;
г = 0; dt/dr = 0;
(IV. 21)
где to — температура газа на входе в аппарат; tR — температура
газа у стенки аппарата; tx — одинаковая по длине аппарата
температура воды; R — радиус зернистого слоя в аппарате; /Сст —
коэффициент теплопередачи от слоя через стенку аппарата
к охлаждающей воде, включающий пристенный коэффициент
теплоотдачи (раздел IV. 4).
Рещение уравнения (IV. 20) операционным методом с
помощью преобразования Лапласа [40] дано в [23]. Оно
аналогично по форме решению для нестационарного поля температур
в бесконечном цилиндре [12; 40, стр. 105]:
с»
0 - /ftli* - Yj Anh {?" -£-) ехР (- sn*) (IV. 22)
Полученный ряд быстро сходится. При больших числах Рей-
нольдса и Dan/d « 10 можно ограничиться одним членом ряда
при х >(1 — 2) Dan; при Re3 < 10 это можно сделать, уже
начиная с х я? 0,2 Dan.
Начиная с некоторых значений z
0 _ Л/о (|i -£-) ехр (- sz) (IV. 23)
где коэффициент \х является корнем характеристического
уравнения Bi = KcrR/kr = \*> [h(\i)/h(\i)]y табулированного,
например в [40]; Bi —критерий Био; /0 и J\ — функции Бесселя
первого рода нулевого и первого порядка.
116

Величина $ определяется формулой
:i+V"
т^
4а2
где a = Xi/CpG^/m.
По формуле (IV. 23) можно найти отношение избыточных
температур на произвольном радиусе и на оси в любом сечении
слоя:
-£&-'•("*) ^
Из этого выражения легко определить константу \х на основе
измерений температур по сечению слоя.
Отношение избыточных температур на оси аппарата (г == 0)
в двух точках по длине
!Ц2~^ - ехр [- I (хш - хх)] (IV. 25)
где
, ,_ CPG ж //CnG\2 ^2 я
8.-^1»—^-+ л/Ыг) +"*пег (IV*26)
при параллельном движении потоков тепла и газа
и
CPG ж If CPG \2 tf х
^-ixr+V(ixr)+-Fir <IV'27)
при встречном движении потоков тепла и газа.
В соответствии с формулой (IV. 25) коэффициенты gi и g2
равны тангенсу угла наклона температурных прямых в
полулогарифмических координатах 1п(^ц — tx)—х. Они
определяются по опытным данным, полученным при движении газа в
аппарате в разных направлениях, но при одинаковых скоростях.
Коэффициенты теплопроводности рассчитывают на основании
соотношений (IV. 26) и (IV. 27):
х'-с*£*йг и if-?"• (IV-28)
В зернистом слое без движения газа (G = 0)gi=g2 и
ЯгА/=[№Ш2.
С увеличением скорости газа конвективный член в
уравнении (IV. 19) становится значительно больше Я/ -j^\ поэтому
измерить коэффициенты теплопроводности описанным выше
методом при Кеэ > 10 практически невозможно.
Подкоренное выражение в формуле (IV. 26) можно
разложить в ряд. При Re9 > 20 и Dan/d > 10 первое слагаемое
подкоренного выражения больше второго, и с достаточной
точностью можно ограничиться тремя членами ряда. После
117

преобразований получаем (опуская индекс при |)
; *Г ( 2|i\»
*~ CpG \Dan) ч
или
где
является поправкой, характеризующей влияние продольной
теплопроводности в зернистом слое на процесс распространения
теплоты.
Из формул (IV. 30) и (IV. 31) следует, что определение Кг
требует знания величины т. Из формулы (IV. 26) можно
выразить эту величину в виде:
Выведенные формулы позволяют найти величины т и Кг на
основании опытных данных при Re9 > 10. При больших
скоростях газа (Re3 > 100—200) поправка ц близка к 1 и формула
(IV. 30) упрощается:
V-cpo(^l)26 (iv. зз)
По формуле (IV. 33) обработаны опытные данные в работах
Яги и сотрудников [8, 27, 34].
Опытное определение коэффициентов теплопроводности
в зернистом слое
Опыты проводились в соответствии со схемой, приведенной
на рис. IV. 4, в. Подробное описание установки и методики
проведения опытов дано в '[1, стр. 350; 23]. Аппарат был
изготовлен из медной трубы внутренним диаметром 64 мм, стенки
которой охлаждались водой. Высота зернистого слоя в аппарате
составляла 250 мм. Электронагреватель был выполнен в виде
спирали из нихромовой полосы и устанавливался сверху слоя.
Опыты проводились при продувании газа в обоих направлениях
с одной и той же скоростью при двух или трех значениях
начальной температуры газа.
В опытах использовали: песок (d = 0,4 мм); стеклянные
шары (d = 7,4 мм); катализатор — шары (d = 5,94 мм) и
таблетки (9,1 X 10,2 мм); фарфоровые кольца 8X8 мм. Пороз-
ность исследованных слоев е = 0,36—0,536.
Графики температур по оси трубы в.полулогарифмических
координатах обрабатывали в соответствии с формулой (IV. 25);
(IV. 29)
(IV. 30)
(IV. 31)
118

20
и15
4
* ю
5с
г
0 ^
/
/
1
> Щ
~"$
i
0,0J
0
_ -• ——
о-/
• -2
i
0,05
Re^
на основе температур,
замеренных у стенки трубу, по формуле
(IV. 24) и таблицам функции
Бесселя определяли константу
IX. Коэффициенты
теплопроводности слоя в продольном и
поперечном направлениях
рассчитывали по формулам (IV. 28). Их
значения зависят от разности
(Ei — Ы- При уменьшении
скорости газа эта разность умень-
Рис. IV. 5. Коэффициенты теплопроводности в зернистом слое из песка (а) и
катализатора (шары, d = 5,94 мм) (б):
шается; поэтому значения Кг и h становятся надежными лишь
при значении G « 7-Ю"3 кг/(м2-с). Отношение h/Kr может быть
вычислено и при малых G, вплоть до нуля. При больших
значениях G и встречном направлении потоков газа и теплоты
падение температуры по оси трубы происходит на малой длине и
получить надежные значения ^ трудно. Поэтому независимое
определение величин Кг и Ki оказалось возможным только при
Re3 < 10.
Опытные данные при Re3 > 150 обрабатывали по формуле,
(IV. 33). В интервале Re3 = 10—150 использовали формулу
(IV. 30);.величину т, входящую в нее, рассчитывали на основе
опытных данных по выражению (IV. 32); предварительное
значение Кг определяли по формуле (IV. 17) и значению
коэффициента В, найденному при Re3 > 150. При этом предполагалось,
что коэффициент В сохраняет постоянное значение во всей
исследованной области Re3.
На рис. IV. 5 показаны некоторые опытные значения
коэффициентов теплопроводности в зависимости от Re3. Анализ
полученных данных позволяет сделать следующие выводы:
коэффициенты теплопроводности в продольном и поперечном
направлении при Re3 <C 10 равны и несколько выше
коэффициентов теплопроводности при неподвижной газовой среде;
119

Рис. IV. 6. Конвективные
составляющие коэффициентов теплопроводности
в зернистом слое.
/ — шары; 2—таблетки; 3—кольца.
коэффициенты теплопроводности в поперечном направлении
в области Re3 < 20 — 40 практически не зависят от Re3;
в переходной области Re3 = 20 — 200 коэффициенты
теплопроводности зависят от Re3 и при Re3 > 200 перенос теплоты
в основном пропорционален скорости газа; в области Re3 > 100
для всех типов исследованных слоев из шариков и таблеток
Можно .принять А,оАг =10,5 и для фарфоровых колец ХюАг =
= 16.
На рис. IV. 6 полученные данные перестроены в координатах
{%г — Ко)АгРг — Re3. Закономерность, выраженная формулой
(IV. 17), хорошо соблюдается для всех исследованных
вариантов при Re3 > 100, причем для элементов округлой формы
коэффициент В = 0,076, для катализаторов-таблеток В = 0,114 и
для колец В = 0,15.
На рис. IV. 7 представлены значения т ч= Ki/kr. При Re9 >
>10 значение т заметно отличается от 1, зернистый слой по
теплопроводности приобретает свойства анизотропности. При
увеличении Re3 до 1000 значения т близки к 5. На рис. IV. 7
г Р
I Г _—i—
V я о^^ ° о-2
\^>^ "-3
Г ■ . . . I i i
Ю
ю2
10*
Яе9
Рис. IV. 7. Отношение т = Ki/Xr:
1 — шары (d—7,4 мм); 2—шары (d=5,94 мм); 3—таблетки (d»9,l мм); кривая—по
Формуле (IV. 34) при £j=0,5.
120

построена зависимость, полученная на основе формулы (IV. 17):
Х0/Хг+ Bi ЯеэРг
m=s ЛоДг + В-ResPr (IV'34)
Значение коэффициента 5/ для продольной теплопроводности
принято в соответствии с результатами измерений
коэффициентов продольной дисперсии при больших значениях Re9
(раздел III. 6): Bi = 0,5. Опытные данные на рис. IV. 7
подтверждают это значение.
Определение коэффициентов теплопроводности
в зернистом слое при больших числах Рейнольдса
В работе [23] определены коэффициенты радиальной
теплопроводности в зернистом слое вплоть до значений числа
Рейнольдса для газового потока, продувающего слой, Re3 = 3-103.
Организация эксперимента при больших значениях Re9 по схеме
нагревания и охлаждения всего потока газа требует
значительных мощностей нагревателя и холодильника и ведет к
усложнению техники экспериментов. Поэтому в работе [33] применен
метод линейного источника теплоты; при этом нагревается
только небольшая часть потока газа, а холодильник отсутствует
вовсе.
При решении дифференциального уравнения (IV. 15) в
прямоугольных координатах предполагалось, что линейный
источник перпендикулярен плоскости ху и проходит через начало
координат. Получена зависимость
в которой 0 = t — t0 — избыточная температура потока за
источником теплоты (/0 — температура газа вдали от источ-
ника); ftm — температура на оси х (при у = 0); R' = д/я2 + ту2\
b = %rlCPG\ m — h/kr.
Практически удобно измерять температуры в направлении,
перпендикулярном источнику теплоты (по оси у) при
фиксированном значении х. При обработке полученных данных и
нанесении их на график в полулогарифмических координатах в
соответствии с формулой (IV. 35) величина 1/& определяется как
тангенс угла наклона прямой. Значение т определяют по
рис. IV. 7.
Опыты проводили на установке, схема которой показана на
рис. IV. 8. Рабочий участок с сетчатым дном заполняли
стальными полированными и стеклянными шарами при средней по-
розности е = 0,4. На входе в слой устанавливали
электронагреватель из нихромовой спирали, намотанной на фарфрровый
стержень диаметром 3 мм. Ограждение нагревателя
предотвращало боковое излучение и обеспечивало ширину плоской струи
нагретого воздуха ~7 мм. Температуру воздуха в слое
121

~220
ъъж
V
Рис. IV. 8. Схема рабочего участка
для определения коэффициентов
теплопроводности в зернистом слое
при больших числах Рейнольдса:
/ — электронагреватель,
2—автотрансформатор, 3—сетка, 4—зернистый слой;
5—термопара в трубке с прорезями;
6 — потенциометр.
измеряли в Стационарном тепловом режиме в направлениях,
перпендикулярных нагревателю, через каждые 10 мм при помощи
передвижной дифференциальной термопары; температура Ъщ
в опытах не превышала 10 °С." Воздух подавался от линии
сжатого воздуха через фильтр. Для получения больших значений
Re3 использовали установку с замкнутой циркуляцией воздуха
при давлении 6,1 бар. В этом случае температуру в слое
измеряли системой неподвижных термопар, присоединенных к
многоточечному автоматическому потенциометру. В опытах
использовали стеклянные (d = 19,6 мм) и стальные шары (d = 10,8;
25,8 и 44,3 мм). Размеры рабочих участков 200 X 200 мм; 203 X
X 305 мм и D = 482 мм. Опыты проведены в диапазоне Re3 =
= 102 —4-104.
При Re9 > 103 величина Кг для стеклянных шаров
становится пропорциональной Re9 с коэффициентом
пропорциональности в формуле (IV. 17) В = 0,09. Разницу значений Хг для
стальных и стеклянных шаров нельзя объяснить только
разницей в значениях Я0. На рис. IV. 9 показаны опытные значения
дополнительной составляющей коэффициента теплопроводности.
Кп/К = К/К - (К/К + В Re9Pr)
при В = 0,09 и АюАг = 15, найденные для стальных шаров. Там
же построена зависимость по формуле (IV. 18). Несмотря на
большой разброс опытных точек, соответствие расчета и опытов
Рис. IV. 9. Составляющая
коэффициентов теплопроводности в слое
стальных шаров, связанная с
процессом теплопередачи через шары.
Линия—по формуле (IV. 18).
122

можно считать удовлетворительным. При Re3 > Ю3 %тп
становится больше Хо и до Re3 = Ю4 составляет ~10% от
суммарного значения Хг> в то время как величиной Х0 можно пренебречь
уже при Re3>5-103. При Re3>5-104 теплопроводность слоя
определяется только конвективным теплопереносом. Расчет по
формуле (IV. 18) для стеклянных шаров показывает, что при
Re3=103—104 ^тп составляет 8—2% от К\ поэтому
обнаружить эту составляющую опытным путем трудно. Для стальных
шаров формулу (IV. 18) можно упростить, а именно:
ЯТПДГ = 0,5(1 ~e)Nu *
Результаты экспериментальных определений
коэффициентов теплопроводности в зернистом слое
Радиальная теплопроводность. Результаты определений КГ9
полученные различными авторами, обработаны нами в
соответствии с зависимостью (IV. 17) и сведены в табл. IV. 1 отдельно
для элементов зернистого слоя различной геометрической
формы: шары, цилиндры, кольца Рашига и седла Берля.
Данные по теплопроводности слоя из нерегулярных частиц в
области больших значений Re3 в литературе отсутствуют, кроме
отдельных измерений [13]. Коэффициент В для них можно
принимать по данным для радиального коэффициента диффузии.
В тех случаях, когда значение порозности е в литературе не
указано, для расчета В и Re9. принималось значение е по
«нормальным» данным с учетом отношения Dau/d = n (раздел 1.4).
Рассмотрение данных табл. IV. 1 приводит к выводу, что
наиболее точные методики измерения дают результаты, близкие
к полученным в наших работах, описанных выше. Отклонение
результатов от средних, наиболее достоверных данных не
превышают ±10% Для слоя из шаров. На рис. IV. 10 результаты
Определения коэффициента В, собранные в табл. IV. 1,
представлены в зависимости от отношения диаметра аппарата Dan/d.
В работах [38, 44] предложены формулы для слоя из таблеток,
аналогичные формуле (III. 39). В среднем опытные данные для
цилиндров и таблеток можно описать зависимостью (рис. IV. 10):
В = 0,14/(1 +30/я2) (IV. 36)
На рис. IV. 10 построена также кривая по формуле
В = 0,09/(1 + 10/AZ2) (IV. 37)
которая удовлетворительно описывает опытные данные для
шаров при п > 5.
Для зернистого слоя из колец Рашига В = 0,15—0,30.
Продольная теплопроводность в зернистом слое. Приводим
наиболее достоверные опытные данные по коэффициентам
продольной теплопроводности. В работе [27, вторая ссылка] для
различных элементов зернистого слоя с d -= 0,9—6,0 мм в
интервале Re3 =1 — 40 получены значения Bi = 0,65 — 0,75.
123

*»i
^
9
<o
й
tf>
*>
c*
ИЯХ
в
8
esj
в
w
В
В
в
о
ю
в
О,
в
м слое
сто
и в зерни
.в
о
в
о
а
плопро
8
2
|>ициен
О
В
о
и
льно
радиа
в
и
лен!
0>
w
о>
А
в
о
г
ьта'
ч
Резу
. 1
ь
Литер;
тура
о?
«ясо
£8=
^ Я f*
Я
ь- 1
«<
>
05
"3
«1
И
О. А
S*
00
2
S
И
со I
Q
3
а
V
разм
я, мм
so
ев О
ИСТИ
нтов
га
ракт
эле
се
X
ев
*"8
S'ее Я*«»
Ml *8
а > > >
1
§
л о
о
ft
CU
3
£§
В г^
1
•2 *
О -N
ч
о
Е-
о
в о
eg
со —
1
I
о
1
1
8 8
о о
csf со
Ь- 00
3 8
о о
о _
Я 8
1 |
1 1
Ю 00
CN —
h*-
СО
©"
5 со
о
со
00
8
о
1
о
со
1-*
§
о
о
оо
со
о о
§
1
1
о
1 1
г
CN
8
о
N.
тр
О
о
§
*-4
1
1
О
*-н
ч—)
о*
г
8
о
со
*—t
о
О
N-
о
о
ю
CN
<*
О*
о
о>
—0,055
м
о
о
о
1
1
о
&
о
1
ю
&
о
70/22
о
1
1
(N
8
О
8
CN
1
1
1
52/25
»—•
■
1
о
о
(О
О
X
ю
со
1
1
Ч
W
3
§
1
1
^
8
О
1
I
1
О
оо
1
О*
3
t^
8
О
о
р-
-в»
00 Ю
СО" CN
А
Ч
СО
н
U
со
of
I
fi
о"
о"
ч
6
I
си
к
в
ю
U
I
05 ет
S
со"
ю" оо
cq CO rj« CN СО
CN CO" CN" CN CO"
\ $
со
CN S3
I 8 g
о" оон*
« ч и: ч м я ч
5 со а> ее <В л со
н н н н н а. н
U U U U U (Г U
124

s w
00
CO
CO Ю Ю
о
<v
4
CO
о
Pu
Ed
s
4
я
sr
CO
о
4
о
•я
a
о
к
я
о-
со
СЧ ^н ^н
S > > >
I 3
о со
с? о"
о
о о
О СМ
00 СО
I I
1 s
о ю
О CN
со <о
V «
Я
8
§
Sf
Си
(N
Ю
Ю
^ со со
СО ''f Tf
ю
ю
оо~
1
4,5
«ф
1
1>-
ел
СМ
О
о
^ N О
о" о о"
о
о*
I I
I
о
ю
S 8
о> со
till
I- I
о
Ю Ю© -н
CSI лО Ю
СМ
00
S
*-*
3
8
""н
CN CO
rf 00*
*""4
fe
6$
О)
Р.СМ
к
СМ
со"
Я
09
О
О
о- s
ч к
К О
со
со"
,-Г л
Р.
о
ч
г
3
J. I I
Я"5-
Р<©
«-•
gco
я
«=(
а
К
ч
Я
со о
со* со*
р.
о
СО
аталис
к
1
Я
н
си
ч
СО
н
ю
о
*-'
• •>
S
о*
я
аблетк
н
00
дсч
Я .«
Л —4
чел
е-
и
ч
а>
^ю
05
03
go*
окис
5,7; 5
со »
s£
§1
*" со
gS
CO W
н
ч
р.
»я
я
6-
и
Я
я
Си
си
00
к > >
дел
си
о
Я
СО
и
Я
ы
со
a
sr
а>
ч
о
X
X
Я
И
о
си
V
Я
Я
со
Си
си
«
со
Я
■Я
о
ч
и
1
1
6>
СМ
О
о
|
о
со
ю
^н
о
1
1
со
о
S
со
1
8 8
CN
о
о
о
1
3
»ч
52;
о
СО
со
*—•
о
1
1
СМ
О
8
00
|
S
1
•ф
ю
00;
»-н
a
~ t> см
СО СО м
9 5 3
л л ч
Ч Ч fet
о о <и
tt ^ и
125

г
0,15f
П'Ваа/d
Рис. IV. 10. Коэффициент В в формуле (IV. 17) по данным табл. IV. 1:
1 — по формуле (IV. 36) для цилиндров и таблеток; 2—по формуле (IV. 37) для шаров;
3 — по данным [44]; 4-— по данным [38].
В разделе IV. 6 будет показано, что использование при
обработке опытов метода I (стр. 113)'и приведенных там формул
в этом интервале Re3 приводит к завышению Bt на 30—40%,
поскольку в схеме эксперимента принята квазигомогенная модель
зернистого слоя, не учитывающая разницу температур фаз ц
межфазный теплообмен. Введение поправок на основе рис. IV. 24
дает значение Bi = 0,47 — 0,53, что хорошо соответствует
нашим данным, описанным выше. В работе [45] продольная
теплопроводность изучалась совместно с межфазным теплообменом
методом циклического нагрева слоя шаров с d = 0,5—6,0 мм.
Несмотря на тщательно разработанную методику эксперимента,^
при Re3 > 10 разброс опытных точек вокруг среднего значения
Bi = 0,5 значителен.
При Re3 < 1 экспериментальные трудности определения h
также очень велики. В работе [29], результаты которой
приведены в [1], наблюдалось резкое увеличение h уже при
минимальных расходах газа через слой; в среднем получено %i «
« 1,5Х0э при Re3 = 0— 1. Следует обратить внимание на то, что
в наших опытах наблюдалось аналогичное явление (рис. IV. 5, а).
Увеличение коэффициента %i при вязкостном режиме течения в
зернистом слое по сравнению с коэффициентом Х0э для непроду-
ваемого слоя можно объяснить неравномерностью
распределения газа по сечению, связанной с неравномерностью порозности
и температуры в слое. При движении газа вниз, навстречу по-
току теплоты возможно даже образование застойных областей.
В работе [29] показано, что h зависит не только от Re3, но и от
диаметра элементов слоя. Следовательно, резкое увеличение д/
при Re3 = 0 — 1 нельзя объяснить вкладом конвекции в
процесс переноса теплоты или разницей температур газа и слоя, как
это делается в [29], поскольку в этих случаях критерий Re3
однозначно характеризует процесс (см. также стр, 162),
126

Коэффициенты продольной теплопроводности при
нестационарном поле температур. Теплоемкость элементов зернистого
слоя значительно выше теплоемкости газа, текущего через слой.
Поэтому изменение температур при нестационарных во времени
процессах переноса теплоты в зернистом слое определяется
балансом теплоты между фазами (см. раздел IV. 5).
Специфические эффекты увеличения коэффициентов
дисперсии, связанные с неравнодоступностью объемов зернистого слоя
(раздел III. 4), не имеют значения в случае теплопереноса
в слое, продуваемом газом, поскольку составляющая
теплопроводности А,эАг, не зависящая от Re3, имеет существенное
значение. При движении жидкости в слое эта составляющая
относительно мала (табл, IV. 1 [34]). В соответствии с зависимостью
(III. 41) в области Re3 < 50 и Рг > 50 В/ « 2,0. Более точные
значения можно найти по этой зависимости с заменой Sc на Рг
и учетом А,о.
IV. 4. Теплопередача от труб,
заполненных зернистым слоем.
Пристенное сопротивление теплопереносу
Общие положения
В технике часто необходимо подводить (или отводить)
теплоту к газу (жидкости), текущему по трубе, которая заполнена
зернистым слоем. Примером могут служить контактные
аппараты для проведения каталитических реакций и аппараты для
термической переработки твердого топлива. Обычно нужно знать
распределение температур в самом зернистом слое и
необходимый для отвода определенного количества теплоты размер
поверхности теплообмена или (при заданной поверхности)
разность между средней температурой газа в трубе и температурой
среды, омывающей трубу снаружи.
Распределение температур в слое определяется
коэффициентом теплопроводности зернистого слоя, а теплоперенос от слоя
к наружной среде — коэффициентом теплопередачи К. В
отличие от процесса переноса теплоты в незаполненных трубах при
турбулентном режиме течения, здесь сопротивление
теплопереносу из ядра потока к стенке трубы* нельзя принимать
сосредоточенным лишь в пограничном слое.
Как было показано в разделе IV. 3, составляющая
коэффициента теплопроводности зернистого слоя, пропорциональная
критерию Рейнольдса, приобретает существенное значение при
Re3 > 50 вследствие развития конвективного перемешивания
в слое с постепенным повышением степени турбулизации потока.
Вблизи от стенки трубы интенсивность турбулентных вихрей
уменьшается и пограничный слой на стенке должен быть в
значительной части ламинарным. Кроме того, число точек контакта
127

с зернами на единицу поверхности стенки меньше, чем между
зернами соседних в радиальном направлении рядов (см.
раздел 1.4), что также должно привести к повышению
сопротивления теплопереносу у стенки трубы в области малых
значений Re3, где теплопроводность в значительной мере определяется
переносом теплоты через твердую фазу и числом точек контакта
между зернами. Следует отметить, что на существование
пленочного сопротивления при теплопередаче из аппаратов с
зернистым слоем не всегда обращалось внимание. Во многих
работах, посвященных этому вопросу, тепловое сопротивление
определялось при бесконечно большом коэффициенте теплоотдачи
на границе слоя (критерий Био Bi = КстОап/2Хг = оо).
Наиболее подробная модель пристенной теплоотдачи в
зернистом слое предложена в работе Яги и Куний [27, третья
ссылка]. Общий коэффициент пристенной теплоотдачи
представлен как сумма конвективной составляющей а£т и постоя н
ной составляющей а°т, не зависящей от скорости* газа.
Конвективная составляющая найдена на основе теории ламинарного
пограничного слоя на стенке и плохо соответствует опытным
данным. Постоянная составляющая рассчитывается, исходя из
модели пристенного слоя как квазигомогенной среды.
В работе [46] предложена упрощенная модель пристенной
теплоотдачи в зернистом слое. Особенностью коэффициента
пристенного теплообмена в зернистом слое является то, что он
отнесен к А/ст — разнице температуры стенки и температуры,
полученной экстраполяцией профиля температуры в слое на стенку
[48]. Таким образом, дополнительное термическое сопротивле-^
ние конвективному теплопереносу в пристенной зоне относится
к бесконечно тонкой пленке на стенке; коэффициент а£т
определяется как величина, обратная этому термическому
сопротивлению. Разница температур Д/Ст вызывает дополнительный
тепловой поток между стенкой и зернами, прилегающими к ней.
При рассмотрении этого потока приходится отказаться от
модели слоя как квазигомогенной среды и учитывать, что
движущая разница -температур в этом случае больше Д/Ст, так как
зерна имеют конечные размеры. Поскольку а£т должен быть
отнесен к А/Ст, то из термического сопротивления теплопереносу
между стенкой и зернами нужно вычесть термическое
сопротивление общему потоку теплоты у стенки в полосе шириной 0,5 d
(от стенки до центров первого ряда зерен). В соответствии
с этим получена формула [46]
NUcT в 0,5ЯгДост-0,5ЯгДг (IV* 38)
где %о ст — коэффициент теплопроводности у стенки в полосе
0,5 d, аналогичный коэффициенту Х0э (раздел IV. 1)*
При температуре ниже 300 °С величина Ко ст определяется,
в основном, контактным теплопереносом. Для- зерна, имеющего
128

одну точку контакта с плоскостью, величина эквивалентной
газовой прослойки в зоне контакта Фст вдвое меньше, чем для
контакта двух шаров по формуле (IV. 2) при 9 = 90°. График
зависимости Фст, приведенный на рис. IV. 1, показывает, что
значения Фст и Ф близки в слое при е = 0,4; последняя же получена
при условии, что шар имеет две точки контакта с другими
шарами в одном направлении, а поток теплоты проходит между
Шарами расстояние, равное d. Поскольку Фст относится к потоку
теплоты на расстоянии только 0,5 d, то Хо ст можно принять
равным 0,5 Яоэ. При этом в первом приближении не учитывается
разница в порозности внутри слоя и у стенки. Формула (IV. 38)
принимает вид
КЦст-ЯгД0эЛг/2Яг <IV'39>
При Re = 0 Яг = Л0э и Ш2т = 2Л0э/Лг.
При Re-»ooA,r-»oo и Щт~+\9/К-
Очевидно, что даже при Л0ст = ^0э NuJ!T Ф оо, если Re Ф0.
Коэффициент пристенной теплоотдачи определяется суммой
NuCT = Nu2T + Nu«T (IV. 40)
в которой конвективная составляющая Nu£T должна находиться
опытным путем.
Конвективная составляющая пристенной теплоотдачи зави-_
сит от порозности слоя е, которая определяет средние скорости
газа в слое и в пристенной области, а также число точек
контакта элементов слоя со.стенкой на единицу ее поверхности:
чем меньше е, тем больше число контактов и сильнее турбули-
зируется поток газа у стенки. С учетом этого, в качестве
характерной скорости в слое нужно принять v = и/г, а в качестве
определяющего размера d9 = 4 е/а, так же, как это сделано при
рассмотрении гидравлического сопротивления зернистого слоя.
Поскольку db входит как в Nu9 ст, так и в Re3, зависимость
между которыми для конвективной теплоотдачи близка к
линейной (см. табл. IV. 2), то для простоты поверхность стенки
можно не учитывать при расчете поверхности элементов слоя
в единице его объема, даже при малых отношениях Dan/d.
Обзор методов определения пристенных коэффициентов
тепло- и массообмена в зернистом слое
В настоящее время имеются многочисленные опытные
данные по пристенному тепло- и массообмену в трубах с зернистым
слоем. Ниже дано описание основных методов, использованных
в работах разных исследователей.
I. Определение пристенной теплоотдачи на основе
результатов опытов по общим коэффициентам теплопередачи от труб
с зернистым слоем /С. При расчете аСт необходимо знать
5 Зак. 1274
129

коэффициенты теплопроводности в слое %г. Вывод уравнения
связи между этими тремя величинам^ изложен ниже.
II. Определение пристенного коэффициента теплоотдачи при
одномерном потоке теплоты по радиусу аппарата [31] совместно
с коэффициентом теплопроводности (раздел IV. 3, метод II,
стр. 114). Разница температур А/Ст определяется
непосредственным замером профиля температуры в слое.
III. Определение аст одновременно с Хг по результатам
измерения температур в трубе с зернистым слоем, нагреваемой
снаружи (раздел IV. 3, метод IV, стр. 114). Обычно измеряют
поле температур на выходе из слоя, и на основе формулы
(IV. 24) находят константу \х, а затем определяют критерий Био
И Кет
Кс?* 1/аст + /?ст+1/ао
где а0 — коэффициент теплоотдачи на внешней стороне трубы;
Rct — термическое сопротивление стенки трубы.
IV. Непосредственное определение пристенного коэффи-.
циента массоотдачи рст в условиях, когда перенос вещества по
радиусу слоя не оказывает существенного влияния на процесс
[27, первая ссылка]. На внутреннюю поверхность трубок
диаметром 10—16 мм и длиной 50—150 мм наносили тонкий слой
р-нафтола на длине (4—13) Dan. Концентрацию р-нафтола
в воде определяли на выходе спектрофотометрически.
Растворимость р-нафтола в воде невелика и поэтому сколько-нибудь
заметного изменения поверхности трубки во время опыта не
происходит, а концентрация р-нафтола на выходе далека от
равновесной. Из-за высокого значения критерия Шмидта Sc
(~1100) сопротивление переносу вещества сосредоточено
у стенки трубки. Даже при Re3 =' 10 это сопротивление
составляло ~97% от общего.
Аналогия тепло- и массообмена позволяет считать
полученные таким образом величины Nu£T «= PCTd/Dr равными
конвективным составляющим пристенной теплоотдачи в формуле
(IV. 40).
В работе [47] применен электрохимический метод
исследования пристенной массоотдачи, который является локальным
методом исследования. Подробнее о нем см. в разделе IV. 5,
стр. 143.
Связь коэффициентов теплопередачи и теплопроводности
в трубах с зернистым слоем
Общий коэффициент теплопередачи от потока газа
(жидкости) , текущего по трубе с зернистым слоем
К~*С}/8МЛ (IV. 41)
где S — внутренняя поверхность трубы; Д/л — среднелогарифми-
ческая разница температур газа и охлаждающей среды при
tx = const»
130

Массовую скорость газа принимают постоянной по сечению
зернистого слоя, как это было уже сделано при решении
уравнения (IV. 19). В разделе П. 9 показано, что величина G
несколько отклоняется от среднего значения вблизи стенки трубы,
обычно в сторону увеличения. Однако значение и даже знак
этого отклонения зависят от таких фадторов, как плотность и
характер упаковки зерен у стенки, а также профиль
температуры газа в поперечном сечении зернистого слоя; поэтому
вводить какое-либо уточнение в предположение о постоянстве
массовой скорости по сечению трубы не имеет смысла. Таким
образом, при G = const средняя по сечению температура потока
совпадает со среднекалориметрической.
Средняя по сечению температура определяется на основе
решения уравнения (IV. 19) путем интегрирования выражения
(IV. 22). Полученная формула
б - т Г" в > . *п <*Р <-bi*> (IV. 42)
аналогична по форме решению для средней температуры
бесконечного цилиндра в процессе охлаждения [12, 40].
Начиная с некоторого значения х, можно ограничиться
одним членом ряда:
6«=£exp(-g*) (IV. 43)
Значение коэффициента В в зависимости от Bi приведено
в [40, табл. 6.12]. Для коэффициента \ получены формулы
(IV. 29) и (IV. 31).
С другой стороны, среднюю температуру потока можно
определить на основе теплового баланса трубы:
Интегрируя это уравнение по длине трубы, получаем:
§=^(-с^^г) <™«>
После логарифмирования выражений (IV. 43) и (IV. 44)
приравниваем их правые части (при х = L)
7w7 -75— e IL — In В
или в развернутом виде с учетом (IV. 29):
-JLJL — Jz_JLJiL -i 4Bi2
CPG Dan — CPG Z)an D^ m |i8 (|if + Bi«) UV,4°'
Это и есть уравнение связи между общим коэффициентом
теплоотдачи К и пристенным коэффициентом теплоотдачи -/Сет,
входящим в Bi, с учетом продольной теплопроводности в
зернистом слое, которая отражена в величине т = Я//Яг.
б*
131

Рис. IV. 11. Поправка на продоль
ную теплопроводность,
рассчитанная по формуле (IV. 49) при
Л0ДГ=10, для разных значений
п — Dan/d.
Введем критерии
Re=Gd/nf
№0 = Kd/XT;
Res = 4G/[ia;
Nu09 = WsAr
после подстановки которых в формулу (IV. 45) получаем
уравнения связи в безразмерном виде:
Nuo--^
Nuo9 = —
D„Jdt
•п-
4L
А
Re Pr In В
^eRe9PrlnJ5
(IV. 46)
(IV. 47)
В опытах по теплообмену трубы с зернистым слоем легко
определяется величина Nu09; величины К и U рассчитываются
по формулам, приведенным в разделе IV. 3. Переписав
уравнение (IV. 47) в явной форме относительно ji, получаем:
^ V ягдг d9 п
е Re9 Рг
4LdB ЯГДГ т|
(IV. 48)
(с = —1пВ).
Расчет \i по формуле (IV. 48) требует последовательных
приближений, поскольку величины г) и с, входящие в формулу,
зависят от \i. После расчета \i определяют Bi = КстОап/2Хг и аСт.
При малых числах Рейнольдса (Re3 < 100) и большой длине
трубы (L/Dan > Ю) вторым членом подкоренного выражения
в формуле (IV. 48) можно пренебречь.
На рис. IV. 11 показаны значения поправок rj, рассчитанные
по формуле (IV. 31) в безразмерном виде:
!l""l-ReW^]m
(IV. 49)
При расчете использованы данные по теплопроводности и
пристенной теплоотдаче в зернистом слое, рекомендованные
в разделах IV. 3 и IV. 4, и принято Х0/Хг = 10. Из рис. IV. И
следует, что при Dan/d > 10 и Re > 50 влиянием продольной
теплопроводности можно пренебречь. При Re < 50 неучет
продольной теплопроводности может привести к значительным
132

ошибкам в определении аСт в опытах по общей теплоотдаче от
труб с зернистым слоем. Вывод приведенных выше
зависимостей без учета продольной теплопроводности предложен в
работе [49].
Опытное определение пристенного коэффициента теплоотдачи
в зернистом слое
Опыты [46]—проводили для проверки метода расчета
пристенной теплоотдачи на основе модели процесса, описанной
в этом разделе. Исследовали теплоотдачу труб, заполненных
слоями шаров. Труба диаметром Dan = 33 мм охлаждалась
снаружи водой с температурой 5—15 °С, труба Dan = 12 мм
обогревалась кипящей водой. Трубы продувались снизу вверх
воздухом с температурой 20—30 °С. В опытах использовались шары
из стекла, силикагеля, стали и свинца (d = 2,5—19,6 мм). По-
розность слоев г = 0,39 ~ 0,68, отношение п = DaJd = 1,7—9,5
(9 вариантов). Для повышения точности определения
температурного напора применяли малые отношения высоты слоя L
к диаметру трубы £>ап и тщательно измеряли среднюю
температуру воздуха на выходе из слоя.
На основе результатов опытов рассчитывали общую
теплоотдачу трубы по формуле (IV. 41) и Nuoa; эквивалентные
диаметры для слоев db определяли без учета поверхности стенки
Рис. IV. 12. Результаты определения пристенных коэффициентов теплоотдачи
в слое шаров:
/, 4, 5—шары из стекла и силикагеля; 2, 3, 5,7, 8, f—шары из стали и свинца; для /,
2, 7—принято Nucr< 9=Nu09, так как при /t<3-4 слой нельзя считать квазигомогенным
даже приблизительно;
/ — по формуле (IV. 52); // — по формуле (IV. 50) при ^Лг85*6' ^—то же при
А0эЛгв1б; /7~"АЛЯ № 10 табл# IV' 2; ^-Аля № 9 табл« Iv' а*
133

трубы. Пристенную теплоотдачу рассчитывали по методу,
изложенному на стр. 132, необходимые для расчета Хг определяли
по формулам, рекомендованным в разделе IV. 3, стр. 123. Для
нетеплопроводных шаров принята величина Ло эДг = 5, для
теплопроводных %о эДг = 15.
На рис. IV. 12 показаны результаты проведенных опытов.
Там же построены зависимости по формулам (IV. 39) и (IV. 40)
при постоянных значениях Nu£T = 1 >5А,0 э/Яг, пересчитанные на
йэ при е = 0,4. Конвективную составляющую пристенной
теплоотдачи определяли по формуле (IV. 52). Несмотря на разброс
опытных точек, связанный с погрешностью методики
исследования и различием в структуре слоев, полученные данные
подтверждают предложенную упрощенную модель процесса
пристенного теплообмена в зернистом слое. Для инженерных
расчетов применима формула при Re9 = 40—2-103;
NuCT< э-J-2jj± + 0,09 ReJ8 Рг'/з (IV. 60)
Результаты экспериментальных определений пристенных
коэффициентов тепло- и массообмена в трубах
с зернистым слоем
Большое число экспериментальных работ посвящено
определению общих коэффициентов теплопередачи труб с зернистым
слоем при течении газов [27, третья ссылка; 50—53] и
жидкостей.
В работе [26] проведена обработка опытных данных
предыдущих исследователей по методике, изложенной в разделе IV. 4,
стр. 132. Для обработки отобраны опыты с зернистыми слоями
из нетеплопроводного материала при п > 6; теплопроводность
стенки и величина ао были настолько велики, что принималось
аСт « Кет. Величины %г находили по данным [23]. Результаты
расчета пристенной теплоотдачи в диапазоне Re9 = 150 — 4000
выражены зависимостью:
NuCT э — 0,155 Re0/5 Рг1/з (IV. 51)
Результаты основных работ, появившихся позднее,
пересчитаны на принятые в формуле (IV. 51) критерии Re9 и NuCT. э =
= аСт^эДг и собраны в табл. IV. 2, а также приведены на
рис. IV. 13.
Из рис. IV. 13, а следует, что зависимости для пристенного
массообмена лежат несколько ниже зависимости для
массообмена между элементами слоя и газом; при Re3 « 3-Ю3 все они
близки между собой. Данные работы [53] при Re9 < 103 лежат
значительно выше данных для межфазного массообмена.
По-видимому, это связано не только со структурой слоя из таблеток
вблизи стенки, но и с возможными погрешностями методики.
Результаты работы [27, первая ссылка], совпадающие с изме-
134

Рис. IV. 13. Результаты определения пристенных коэффициентов массо-
отдачи (а) и теплоотдачи (б) в трубах с зернистым слоем:
1-8 — номера по табл. IV. 2.
/ — по формулам (IV. 71) и (IV. 72); II —по формуле (IV. 71); ///—по формуле (IV. 61).
рениями пристенной теплоотдачи при больших. Re9,
представляются на'м наиболее надежными.
' На рис. IV. 13, б проведено сравнение зависимостей для
пристенной теплоотдачи в зернистом слое, построенных по
формулам табл. IV. 2. При Re3 > 103 все они близки к зависимости
для меж(|»азного массообмена. Результаты работ [50, 51]
получены для слоев из стальных шаров, в которых контактная
составляющая пристенной теплоотдачи велика. Между тем
зависимости 5 и 8 лежат ниже зависимостей для массообмена, а при
Re9 = 30 отличаются от остальных на порядок. Такую разницу
можно объяснить погрешностями в замерах температуры газа
на выходе из слоя. Использование относительно длинных
135

СУ
о
ч
а
«у
ВТ
о
ч
В
со
о
н
Я
«У
Я
сг
да
о
я
3
№
Я
СУ
Н
и
s
а.
Б
к
в
и
&
к
«5S
S о со
5* °
>»2 *
ой н
С во 3
я «>
« 2 s
со 2
ев В
лен!
«и
«:
<у
а
в
о
3
н
cd
н
уль
ю
Р
а
су *
Я ^
S 3
ч а
:g
£ £
£ о.
° м
S К
ак
а> ы
аракт
слоя
X
%8
3
Я
в*
ев
«=[
О
О
о
о
со
S
а
а
су
я
cf
Я
■е-
■е-
о»
о
£
3
:8
• ' Я
я 2 53
i Я о,
СП. Н
.. я
§8
в
S я х
£« су 3
О cd S CQ
£ ч я _
Г О О) ccj
й Н ЛЯ
Он
I
Я Я
СУ
* о
Си су
Он
1*1
28S§
§ се а к
£
о
п
1
м
СУ
я
я
СУ
Л. О Л
О Л СУ
су г*
00
о
о о
8
С*
ю
со
So
°<уЛ
с*
о"
о
о
оо
-?
2
I
8
а.
i
со
I
е£Г§
id
IIII
<Ь I
osJL
°Ч.о
38
1! «
•.о
88
II II
3
я
со
3
CCJ
CvJ
ч
а
я
&
§2
Bs
со е(
Я*
СЧ
со
136

w
в I
ti*
a
1
я
£
8
s
s
8
cu
s
CO
fct
H
о
о
ч
e
4>
н
3
н
я
О)
Я
ег
я
•в*
•в-
о
•^ оо
•? о л
I 0)
о **
§
с*
с*
©
СО
л
0)
со
СО 0)
со со
о о о
о о* о"
+ + +
г^. ю о
и СО (О
л
%
о*
+
о -«
ю .
s 8
а. а>
о
I
8
4
§ I 1
I I I
о о о
I
CO S
II II
g О
со8
и и
8
II II
о
(N
1
. I
Н
I
I
CN
II II
*
Я
о,
со
со
со"
о
со"
со
о
Я
В
§
So
62
а*Ч
B*CN
-СО -н
3
R
о
tf
3
Ч
СО
н
о
Я
Р-
СО
3
1
Ы
О
6
Я
CQ
О
3
я
ш
о
*
*-•
со
со
Я
S3
ч
JC0
Н
О
ож
ю
ю
со
Я
и
Я
§
я
«
ч
6
Я
Я,
со
с*
Я
а
о
е
Si
§11
I*"8
м Он
с В
2 £
я 55
Я
3"1
s I
8«Т
3
со
<эо
ф
137

рабочих участков привело к тому, что эта температура, особенно
при малых скоростях газа, была близка к температуре стенки
трубы, и ошибка в ее замере на 1—2°С могла привести к
завышению величины А/л в несколько раз. Результаты работ [31, 38]
наиболее близки к зависимостям, построенным на рис. IV. 12.
Следует обратить внимание на то, что критерий Nu£T# э
может меняться в широких пределах в зависимости от
теплопроводности элементов слоя, их формы и структуры слоя у стенки.
Как показано выше, лри Re9 -> 0 Nu°T э увеличивается, что
может привести к увеличению общего значения NuCT. э, особенно
при близких значениях коэффициента теплопроводности вблизи
стенки и внутри зернистого слоя. В работе [54] собраны
данные по пристенному тепло- и массообмену в зернистом слое,
среди которых есть подтверждающие это соображение.
В результате рассмотрения имеющихся данных по
пристенному тепло- и массообмену мы рекомендуем следующие
формулы:
Re9 — 1 - 30; Ni4 9 — 0,26 Re^Sc7'
Re9- 1 - 104; NuCT> 9--|Ь*- + 0,09 Re*8 Pr*
Re9 — 30 - 104; Ni4# э — 0,09 Re°'8Sc'/j (IV. 52)
С учетом сделанных выше замечаний постоянная
составляющая в формуле (IV. 50) может отличаться от рекомендованной,
в особенности для элементов слоя, отличных по форме от шаров.
Расчет общего коэффициента теплоотдачи трубы
с зернистым слоем
При известных Хг и NuCT, расчет общего коэффициента
теплопередачи трубы с зернистым слоем без внутренних источников
теплоты может выполняться по общей формуле (IV. 46), в
которой величины [х и В определяются в зависимости от Bi. Если
критерий Био отнести к аст, тсе. рассчитывать теплоотдачу от
слоя к внутренней поверхности трубы, то:
Bl-~2XT "Т"я7л (IV-53)
Поправка на продольную теплопроводность т|, входящая
в формулу«(IV. 46), определяется по рис. IV. 11 при А,0Дг = 10
или по формуле (IV. 49) при других значениях этого отношения.
Для зернистого слоя, продуваемого газом, при Re > 50 и
достаточно большой длине трубы формулу (IV. 46) можно
упростить: Nu0 = (WM (\i2/n)- С учетом соотношения (IV. 53)
т. е. это отношение является функцией только Bi. В работе [36]
получено выражение для термического сопротивления теплопе-
138

редачи к трубе с зернистым слоем при постоянном тепловом
потоке на поверхности трубы: 1//С = 1/аСт + R/4%r9 из которого
следует:
"N%T в 1 + 0,25 Bi (IV. 55)
Формула (IV. 55) при Bi < 3 дает результат, близкий к
полученному по (IV. 54). Однако рекомендовать ее для всех
случаев теплопередачи трубы с зернистым слоем, как это делается
в [38, 39], нельзя.
Без учета продольной теплопроводности произведение %х
в соответствии с формулой (IV. 29) можно записать так
^ = ^-^-^ = ^2Fo (IV. 56)
где х/и — условное время прохода газа через зернистый слой.
Критерий Фурье можно представить в безразмерном виде:
^ KIK d Ax
RePr Am Яап
С учетом выражения (IV. 56) решение задачи о
температурном поле в трубе с зернистым слоем (IV. 42) полностью
совпадает с известными решениями для нестационарного охлаждения
(нагревания) цилиндра бесконечной длины [40] при граничных
условиях третьего рода. Поэтому для расчета температур в
зернистом слое можно пользоваться графиками и таблицами,
приведенными в [22, 40], в широком диапазоне значений Bi и Fo.
Например, при больших значениях Re и п = Dan/d = 10 Fo «
« 0,04 L/Dan.
На рис. IV. 14 показаны результаты расчета отношения
Nuo/NUct по формуле (IV. 54) в зависимости от Re и п и в
соответствии с данными по К и NuCT, рекомендованными в
разделах IV. 3, стр. 123 и IV. 4, стр. 138. В области ЯбАг = 5—15
результаты расчета практически одинаковы. Из рис. IV. 14
следует, что только при Re > 103 термическое сопротивление тепло-
переносу у стенки трубы становится соизмеримым с термическим
сопротивлением теплопереносу из ядра потока к стенке. При
Re < 103 и п > 10 основное сопротивление теплопереносу
находится в самом зернистом слое.
В работах [1; 27, третья ссылка] проведено сравнение
результатов расчета общих коэффициентов теплоотдачи с
опытными данными разных исследователей. Несмотря на то, что при
этом приняты разные данные по NuCT, соответствие расчетов и
опытов в обоих случаях удовлетворительное при Re > 100. Это
подтверждает вывод о том, что пристенное сопротивление
обычно не является основным в процессе теплоотдачи от труб с
зернистым слоем при п > 5— 10.
В работе [52] найдено, что п Nu0 = KDan/K максимально
при п = 8. Уменьшение значения при п < 8 объясняется
уменьшением Яг, а при п > 8 — увеличением термического
139

Рис. IV. 14. Доля термического
сопротивления пристенной
теплоотдаче от общего сопротивления
теплоотдаче трубы -с зернистым ,
слоем при различных значениях
tt = Am/d в соответствии с
формулой (IV. 54).
Re •
сопротивления теплопереносу в ядре потока. Однако из
полученной выше зависимости п Nuo = |i2VAr следует, что эта величина
растет монотонно, стремясь к постоянному значению при больших
п. Что касается величины Nu0, то из рис. IV. 14 и формулы (IV.54)
следует ее монотонное уменьшение с увеличением п (при
постоянном Fo); только при п < 3 резкое увеличение порозности
ведет к уменьшению NuCT и Nu0. Наши опыты [46] и расчеты
[27, третья ссылка] подтверждают эти выводы.
В трубах с зернистым слоем, по которым течет жидкость
с Рг S> 1, основное термическое сопротивление связано с
пристенной теплоотдачей, поскольку величины Кг/К и NuCT,
входящие в формулу (IV. 53), зависят от Рг в разной степени (см.
[27, третья ссылка]).
Если критерий Нуссельта для общей теплоотдачи трубы
с зернистым слоем вычислять по диаметру трубы Dan и
эффективной теплопроводности зернистого слоя A,r(Nu* = /фапАг), т0
из формулы (IV. 44) получаем: Nu* = — (l/Fo)ln9.
При Fo > 0,1 можно ограничиться одним членом ряда:
Nu* = fx2— (l/Fo)ln5. При Fo > 1 Nu* « \x2 и в случае Bi =
= со Nu* = 5,78; такое значение Nu* было получено в работе
[56]. Приведенные выше формулы можно применять и для
расчета теплообмена с плотным слоем при безградиентном (стерж-
неподобном) его движении по трубе (при п > 10) без продувки
газом или при параллельном движении газа. При этом в
первом приближении коэффициенты теплопроводности и
пристенной теплоотдачи принимаются такими же, как для
стационарного слоя, а в критерии Fo учитываются водяные эквиваленты
обеих движущихся фаз.
IV. 5. Тепло- и массообмен между зернистым слоем
и потоком газа (жидкости)
Общие положения
Перенос теплоты и вещества от поверхности зерен к потоку
газа (жидкости), проходящему сквозь слой, определяет во
многих случаях скорость и устойчивость процессов, идущих между
Щ
$0,6
i
1 0,2
L
г
1 —
i
5
\. __
i
140

твердым веществом и газом. Примерами таких процессов могут
рлужить сжигание топлива в слое, нагревание материала в шахт-'
ных и доменных печах, некоторые процессы гетерогенного
катализа, сушка в слое. В определенной степени процессы
адсорбции и ионообмена, размытие хроматографических полос также
зависят от интенсивности тепло- и массопереноса в зернистом
слое.
Величина потока теплоты q (Вт/м3) или вещества g
[(кг/(м3-с)] в единице объема слоя пропорциональна величине
движущих сил переноса: разности температур Д/ поверхности
зерна и потока или, соответственно, разности концентраций
ДС (кг/м3)
q » сшД/ и g a= РаЛС
где а[Вт/(м2-К)]—коэффициент теплообмена; а — поверхность
элементов слоя в единице объема слоя; Р(м/с)—коэффициент
массообмена.
Можно различать средние по поверхности слоя
коэффициенты тепло- и массообмена и локальные, изменяющиеся по
поверхности зерна.
Значения коэффициентов обмена в зернистом слое зависят
от формы элементов слоя. Исследования для отдельного шара
проводились многократно [57, 58]. В книге Кутателадзе [59,
стр. 186] рекомендуется формула:
Nu = 2 + 0,03 Re0'54 Рг'/з + 0,35 Re0'68 Рг,/з (IV 57)
Ниже рассмотрены некоторые теоретические решения для
зернистого слоя, образованного из шаров.
Точное решение задачи о переносе теплоты и массы к слою
шаров представляет большие трудности. Авторы
опубликованных работ обычно исходят из решения для одиночного шара,
вводя в него коррективы, связанные с обтеканием шара в
ансамбле соседних шаров. В разделе II. 2 была
рассмотрена задача обтекания шара в слое с расчетом перепада
давления при течении жидкости в режиме преобладания сил вяз*
кости и дано описание модели, предложенной Хаппелем [60],
в виде шара со сферической оболочкой, двигающегося в
жидкости. В работе [61] эта модель применена к решению задачи
переноса тепла и массы в области преобладания сил вязкости.
При обтекании шара в частично заполненном объеме (е < 1)
отношение диаметра шара к диаметру эквивалентной сферы
имеет вид:
ys=d/d' = (\-B)lh (IV. 58)
Используя решение для диффузионного потока на сферу
с «тонким» диффузионным слоем (PrL^> 1), автор [61] получил
141

зависимость:
N"°°1-26[2-3Y1+3v'-2^FRe'/3Pr'/i (IV-69>
В области е = 0,2 — 0,9 функция, зависящая от у, в
формуле (IV. 59) близка к 1/е.
В работе [62] та же модель использована для расчета тепло-
и массообмена в слое э области Re = 102— 103 и Рг = 0,6—3,0,
где при ламинарном ' гидродинамическом пограничном слое
нельзя пренебрегать силами инерции и влиянием отрывного
обтекания кормовой части сферы. Для средней по поверхности
величины получена зависимость:
Nu — 0,93 [е - 0,75 (1 - в) (е - 0,2)П,/з ReVa Рг,/з (IV. 60)
Зависимости по формулам (IV. 59) и (IV. 60) характерны
для процесса теплоотдачи при ламивдрном пограничном слое
на поверхности тела. Однако при Re3-:->0 (Re3 < 10 и Рг « 1)
зависимость (IV. 60) должна переходить в предельное значение
критерия Нуссельта. Для шара в свободном потоке Numin = 2.
В некоторых теоретических решениях [63] аналогия
теплообмена шара в слое и в свободном потоке применена для
нахождения Numin. При этом считается, что зона теплового влияния
шара в слое ограничена эквивалентной сферой и Numin =
= 2/[1-(1-8)'/»]. При 8 = 0,4NumIn= 12,7, Nua.mm = 5,65.
Такой подход к определению Numin не учитывает характер
температурного поля и реальную геометрию пространства вокруг
шара в слое.
Более обоснованным представляется подход к
рассматриваемому вопросу с точки зрения внутренней задачи теплообмена
в системе каналов сложной формы. Имеются теоретические
решения при Рг « 1 для каналов с простой формой сечения [64].
Например, при граничных условиях третьего рода получено:
Nu9. mirf = 3,7 — для круглого сечения (труба), 3,0 —для
квадратного сечения и 2,7 — для сечения, имеющего форму
равностороннего треугольника. При граничных условиях второго рода
эти величины несколько больше. По мере усложнения формы
сечения каналов и увеличения доли угловых зон Nu9. min
уменьшается. Для зернистого слоя можно'ожидать Nu8. min « 2 при
условии равномерного распределения газа по сечению слоя, что
реально осуществимо только в правильных укладках
одинаковых элементов. В работе [65] теоретически получено значение
Nu9. mm = 2,6 для кубической укладки шаров.
Сравнение полученных теоретических решений с опытными
данными, приведенное на рис. IV. 18, показывает, что несмотря
на малое соответствие расчетных моделей сложной физической ^
картине процессов переноса в зернистом слое, они дают
удовлетворительные результаты при Рг » 1 и Рг « 1, Re > 10, когда
существует аналогия процессов переноса в слое и к отдельным
его элементам в свободном потоке»
142

Обзор методов определения коэффициентов тепло-
и массообмена в зернистом слое
Опубликовано очень большое число экспериментальных
работ по исследованию тепло- и массообмена в зернистом слое
в широком интервале чисел Рейнольдса, выполненных
различными методами; приводим описание наиболее
распространенных из них.
I. Определение коэффициентов массообмена в 'зернистом
слое при стационарном режиме. Доказанное [66—68]
приближенное подобие процессов массо- и теплообмена позволяет с
достаточной точностью применять коэффициенты переноса,
полученные в результате обработки опытов по массообмену, также
для процессов теплообмена в зернистом слое.
Процессы массообмена относительно легче воспроизвести
в широкой области определяющих параметров при
стационарном режиме. Движущие силы массообмена определяются
разностью равновесных и действительных концентраций вещества,
переносимого с твердой поверхности в газовую (жидкую)
фазу; количество переданного вещества можно определить по
убыли массы зерна или по изменению концентрации в потоке.
Работы по исследованию массообмена в стационарном режиме
можно разбить на четыре группы.
1. Измерение коэффициентов массообмена в режиме
постоянной скорости сушки. Этот метод теоретически • и
экспериментально обоснован Федоровым [69]. Количество испаренной
с поверхности пористых элементов воды определяют
взвешиванием элементов или по влажности газа на входе и выходе из
слоя. Температуру поверхности принимают равной температуре
мокрого термометра или измеряют непосредственно. По
разности температур одновременно определяют-и коэффициент
теплоотдачи. В работе [70] подробно рассмотрены недостатки
метода сушки.
2. Измерение скорости возгонки материала, из которого
изготовлены элементы слоя, в поток газа. Часто применяются
зерна из нафталина. Описание этого метода дано в разделе ниже,
стр. 148.
8. Измерение скорости растворения зерен в потоке
жидкости. Зерна изготавливают из слаборастворимых в жидкости
веществ, чаще всего бензойной кислоты и (J-нафтола. В
качестве жидкостей используют воду или водно-глицериновые смеси'
с повышенной вязкостью. Из-за низкого значения коэффициента
диффузии в жидкости равновесное насыщение обычно не
достигается, даже при малых расходах жидкости. Это позволяет
вести опыты при малых значениях Re9.
4. Измерение коэффициентов массообмена в зернистом слое
по силе тока, текущего с поверхности элементов слоя в
жидкость, которая является раствором электролита. Метод
называется электрохимическим [71]. Он является локальным
143

методом исследования, поскольку -в качестве датчиков-катодов
используют отдельные зерна, анодом можетслужить подводящий
трубопровод. Подмешивая в электролит раствор NaOH в
разных соотношениях, можно обеспечить значения Sc= (1,5—60) X
X Ю3. Электрохимический метод пригоден также^для измерения
локальных по поверхности зерна коэффициентов массооб-
мена.
II/ Определение коэффициентов теплообмена в зернистом
слое при стационарном режиме. Стационарный режим
теплообмена обеспечивается, если все элементы слоя — постоянные
источники теплоты. Возможны два способа нагревания слоя.
1. Индукционное нагревание ,слоя из металлических
элементов соленоидом/ окружающим рабочий участок. Тепловой поток
определяется по нагреванию газа. Трудности осуществления
этого метода связаны с необходимостью обеспечения
равномерного тепловыделения в слое и определения средней температуры
поверхности зерен, в которых циркулируют высокочастотные
электрические токи.
2. Прямое нагревание слоя включением его в электрическую
цепь. Определение средней температуры на поверхности зерен
в этом методе также представляет значительную трудность,
поскольку основное количество теплоты выделяется в местах
контакта зерен между собой.
III. Определение коэффициентов теплоотдачи методом
локального моделирования теплообмена в зернистом слое. Этот
метод позволяет ограничиться одним или несколькими зернами-
калориметрами, в которые вмонтированы электронагреватели.
Калориметры изготавливают из высокотеплопроводного
металла, обычно меди; для измерения температуры поверхности
достаточно одной термопары; тепловой поток определяют по
мощности электронагревателя.
Метод локального моделирования теплообмена позволяет
проводить опыты при больших числах Рейнольдса.
Использование калориметра, встроенного в шар, позволяет измерить
локальные по поверхности шара коэффициенты теплоотдачи.
Разновидностью метода локального моделирования
теплообмена в зернистом слое является-метод регулярного режима
охлаждения калориметров, который имеет некоторые
преимущества перед методом стационарного охлаждения [72].
IV. Измерения коэффициентов теплообмена при
нестационарном тепловом режиме зернистого слоя. Преимуществом этих
методов является то, что средние коэффициенты теплообмена
находятся по результатам измерения температур газа на входе
и выходе из слоя без измерения температур элементов слоя и
количества переданной теплоты. Используют два основных
режима нестационарного нагревания (охлаждения) зернистого
слоя потоком газа, текущего через слой: при ступенчатом и при
периодическом (синусоидальном) изменении температуры газа
на входе в слой,
144

1. Задача прогрева зернистого слоя газом, имеющим
постоянную -температуру на входе, решена во многих работах
[73—75]. Систематизация и анализ этих'решений содержится
в работе [76]. Обычно задачу рассматривают при
следующих упрощающих предположениях: внутреннее термическое
сопротивление элементов слоя мало по сравнению с внешним
сопротивлением теплообмену (Bi-^О); расход газа равномерен
по сечению слоя; продольная теплопроводность мала по
сравнению с конвективным переносом тепла. В этом случае
дифференциальные уравнения в безразмерном виде можно
представить так
dQ/dY*=T-Q (IV. 61)
dT/dZ = Q-T (IV. 62)
где Т = (/сл_— tH)/(to— U) — температура элементов слоя; 0 =
= (t — tH)/(to — tH)—температура газа: ^ — постоянная
температура газа на входе в слой; /н — начальная температура
зернистого слоя;
аах _ Nu9 4x
Y—c^-Ri;pr"57 (IV*63)
— число единиц переноса теплоты [77]; Z = (aa/CMGM)x = mx—
безразмерное время; См и GM — удельная теплоемкость и масса
элементов слоя в 1 м3; G — массовый расход газа, кг/(м2-с).
Шуман [73] дал решение уравнений (IV. 61) и (IV. 62)
в виде рядов, по которым построил зависимости 9 и Т от Z при
разных значениях Y [76]. В работе [75] получено
приближенное решение для больших значений критерия Y
9 - о,5[ 1 - Ф (УУ - Vz~)] (IV. 64)
где Ф —интеграл вероятности, или функция Крампа.
Из формулы (IV. 64) следует, что температурная кривая газа
на выходе из слоя большой длины L состоит из двух
симметричных ветвей с точкой перегиба при Z\ = Y и 0i = 0,5; время
прохода тепловой волны через зернистый слой, соответствующее
этой точке:
Ti = £f^-L (IV. 65)
Дифференцируя выражение (IV. 64), получаем:
По формуле (IV. 66) легко определить коэффициент
теплоотдачи в зернистом слое из графика температуры газа на
выходе. На основе решения Шумана получены [78] формулы для
Y и 0ь пригодные при любых значениях Y. В работе [79]
показано, что при Y > 2, с погрешностью менее 0,5%
Y-W8+ <««(.*.£
6 Зак. 1274
145

Там же разработана методика определения коэффициентов
теплоотдачи при Y < 2 и получены формулы для определения
координат точек перегиба кривых Шумана и производных в этих '
точках в зависимости от Y. Показано, что использование
упрощенной методики нахождения, величины dQ/дх по результатам
измерения температуры газа два раза в процессе прогрева
(охлаждения) слоя [78, 80] допустимо только при Y > 10— 15.
При малых Re3 влиянием продольной теплопроводности
пренебречь нельзя. В работе [81] предложен приближенный метод
учета этого влияния. Рассмотрено «размытие» фронта тепловой
волны при а-> оо, связанное только с влиянием продольной
теплопроводности. Для значений т, близких к ть получена
формула
где а/ = h/CuGu.
В соответствии с (IV. 66) найдено значение YT = L2/a/n,
характеризующее дополнительное фиктивное термическое
сопротивление теплообмену в слое. Отношение истинного значения Y -
к значению YKP, полученному в опыте без учета Я/, в
критериальном виде таково:
Л i + l-k N"3 (IV67)
YKp ^ e Яг (Re9Pr)2 *1V'D''
На рис. IV. 15 показан результат расчета по формуле (IV. 67)
при АюДг = 5 и 10 и значениях h и Nu9, рекомендованных в раз-„
делах IV. 3, стр. 123, и IV. 5, стр. 165. Уже при Re9 < 100
поправка на продольную теплопроводность становится заметной,
а при Re9 < 40 она соизмерима с результатами определения
Nu3 без учета Я/, и обсуждаемый метод не может дать
удовлетворительных результатов.
Дополнительная погрешность определения коэффициентов
теплоотдачи в зернистом слое связана с флуктуациями скорости
газа в слое и различием в плотности упаковки зерен по сечению
слоя, что также ведет к «размытию» фронта тепловой волны и \
занижению опытных значений Nu3 [81, 82].
В работе [78] показано, что влиянием внутреннего
термического сопротивления зерен на -опытные величины Nu» можно
пренебречь при отношении Y/Bi > 12. В работе [83] численным
методом найдено, чтсГ при Y/Bi > 60 погрешность расчета
температур в слое без учета внутреннего термического
сопротивления зерен не превышает 2%.
2. Решения задачи теплопереноса в зернистом слое при
периодическом (синусоидальном) изменении температуры саза на
входе даны в работах [45, 84—89]. Часто принимаются те же
упрощающие предположения, что и при решении задачи
прогрева слоя, Отношение амплитуды температурных колебаний
146

Рис. IV. 15. Отношение истинных значений
коэффициентов межфазного теплообмена в
зернистом слое к значениям, найденным без учета
продольной теплопроводности в
нестационарном режиме.
Расчет по формуле (IV. 67) при 8=0.4: 1 — KJX —5;
газа на входе и выходе можно в этом случае представить в
критериальном виде
In-
В-1 + (У/сот,)2 (IV*68)
где Y и ti определяют по формулам (IV. 63) и (IV. 65); со —
угловая частота колебаний температуры, радиан/с.
По формуле (IV. 68) легко определить Y и Nu3 на основе7
измерений амплитуд температур газа на входе и выходе из
слоя.
При малых числах Рейнольдса влиянием продольной
теплопроводности в зернистом слое пренебречь нельзя. В работе [45]
получено решение с учетом величины Я/, которое можно
представить в критериальном виде:
Л («то2 , ,_х, %il%v da
In
В
i^ + ((DTl)'-Mk
Re3Pr eZ,
(IV. 69)
Второе слагаемое в этой формуле учитывает вклад
продольной теплопроводности в размытие тепловой волны, проходящей
через зернистый слой. Введя фиктивную величину YT,
учитывающую этот вклад, в соответствии с формулой (IV. 69),
получаем отношение истинного значения критерия Y по формуле
(IV. 63) к значению YT:
Y __ Nu3 4А/Дг
YT (Re3Pr)2 e
(IV. 70)
Отношение истинного" значения Y к значению YKP,
полученному без учета А,/, можно найти, исходя из формулы (IV. 69):
оно полностью совпадает с формулой (IV. 67), график которой
построен на рис. IV. 15. Из него следует, что при Re3 = 40
влияние теплообмена в слое и продольного теплопереноса на
уменьшение амплитуды температурных колебаний соизмеримы,
а при Re3 < 10 основную роль играет продольный перенос.
Измерения коэффициентов теплоотдачи в слое при Re3 <S 10
рассматриваемым методом не могут дать точных результатов, зато
изменения h вполне надежны.
Формула (IV. 69), полученная для малых значений со, не
позволяет определить из опыта одновременно Nu3 и Я/. Поэтому
обычно [86, 88] для обработки опытных данных используются
6*
147

точные решения задачи, которые дают зависимости амплитуды
колебания температуры и сдвига фазы при прохождении газа
через зернистый слой от величины со. Опыты проводят при
разных значениях частоты колебания* полученные результаты
обрабатывают с использованием ЭВМ. Техника машинного счета
позволяет применять сложные схемы эксперимента, ускорить и
повысить точность обработки опытных данных. Однако
надежность полученных результатов определяется, главным образом,
точностью измерений исхрдных величин и правильным выбором
схемы эксперимента в нужном диапазоне определяющих
параметров. Например, использование рассмотренного выше
циклического метода не позволило получить надежные данные по Nib
при Re3< 10 [45, 87].
Опытное определение коэффициентов межфазного массообмена
в зернистом слое [90]
Аппарат, в котором производили измерения, представлял
собой цилиндрическую трубу диаметром 100 мм с подачей газа
снизу вверх. Некоторые замеры вели в стеклянной трубе
диаметром 60 мм. Коэффициент массоотдачи определяли по убыли
массы элементов зернистого слоя, сформированных из
нафталина. Эти элементы совершенно одинаковые по фор-ме и
размерам с остальными элементами засыпки из невозгоняющегося
материала — металлическими шарами d = 3,2—19,3 мм,
таблетками катализатора d = 6,6 и 9,1 мм и керамическими
кольцами d = 8 мм, укладывались в один или два ряда в верхней
I
ю2
W
1
-
-
г/
■А
1 III |.||,|
1
У11
1 1 1 1 1 lll'l
п
4 i i i i in |
1 К
"^А
о
i
?2
1 1 1 11 11 1
ГС
Г
1
1*
Re3
Рис. IV. 16. Результаты опытов по возгонке различных элементов зернистого
слоя из нафталина,
148

половине засыпки, высота которой L была близка к диаметру
аппарата Dan; 8 = 0,334—0,477 [1, стр. 390; 90]. Исследовано
8 вариантов слоев.
Как было показано в разделе III. 1, вследствие упаковки
элементов слоя в группы с различным коэффициентом пустот газ
движется по слогЬ с флуктуациями скорости. Такие флуктуации
должны вызвать колебания в интенсивности массоотдачи по
отдельным зернам. Действительно, наши опыты с определением
убыли массы каждого отдельного зерна показали, что эта убыль
различна с колебанием ±4% вокруг среднего значения (в
области Re3 > 100). При обработке опытов коэффициент
массоотдачи рассчитывали, как усредненный по суммарной убыли массы
на весь ряд. Проверкой корректности метода локального
моделирования массообмена одним рядом возгоняемых шариков
являются опыты с двумя рядами таких шариков, уложенными один
на другой. Движущая сила переноса вещества, определяемая
с учетом наличия нафталина в газе на входе в слой, для второго
ряда меньше, чем для первого. Расчеты коэффициентов
массоотдачи р в этих опытах показали, что в обоих рядах р
практически одинаков.
Окончательная обработка эксперимента сводилась к
выражению результатов опыта в безразмерных параметрах, в
которых в качестве характерного линейного размера системы принят
эквивалентный диаметр для зернистого слоя. -
Диффузионный критерий Нуссельта [91] рассчитывали по
формуле
Nu'9=$d9/Dr
где йъ = 4е/а — эквивалентный диаметр для зернистого слоя
(е — порозность слоя, а — поверхность элементов в 1 м3 объема
слоя).
Результаты эксперимента показаны на рис. IV. 16. В
интервале значений Re9 = 0,2 — 2000 все опыты (99 с воздухом и 31
с водородом) укладываются в однозначную зависимость*со
средним рассеянием опытных точек ±8 для опытов с воздухом и
±20% для опытов с водородом.. Анализ полученных данных
позволяет описать их следующими зависимостями
Re9 > 30; Nu9 — 0,395 Re°'64 Sc'A (IV. 71)
Re9 = 30-2; Nu9 = 0,725Re°'47 Sc/j (IV. 72)
Re9 < 2; Nu9 = 0,515 Re°*85 Sc7' (IV. 73)
Определение коэффициентов межфазного теплообмена
в зернистом слое при больших числах Рейнольдса [33]
Метод определения коэффициентов теплоотдачи в процессе
регулярного режима охлаждения твердых тел-калориметров
подробно разработан Кондратьевым [72].
149

Использовались калориметры следующих размеров:
диаметром 20 и 45 мм из электротехнической меди и диаметром 40
и 60 мм из отожженной стали. В каждый калориметр был
вмонтирован электронагреватель и термопара хромель — алюмель.
Масса нагревателя составляла 1—2% от общей массы
калориметра.
Одна опытная установка работала по разомкнутому циклу,
воздух подавали от линии сжатого воздуха при давлении до
6 бар. Вторая установка работала по замкнутому циклу с
использованием циркуляционной газодувки. Контур заполняли
воздухом от линии или углекислым газом (из баллонов). Опыты
проводились при давлении газа от 1 до 11 бар и 7—33 °С.
В опытах использовали стальные шары диаметрами 40; 44,3
и 60 мм и стеклянные диаметром 19,6 мм. Шары засыпали
в рабочие участки на поддерживающую решетку
неупорядоченно слоем высотой L и зажимали сверху аналогичной
решеткой. В трубу 40 X 40 см шары укладывали в упаковки, близкие
к правильным: кубической и ромбоэдрической с использованием
долек деревянных шаров, чтобы исключить влияние стенок.
Исследовано 10 вариантов слоев в диапазоне е = 0,33—0,67 и
Dan/<i = 1,67 г—24,6. В каждом слое укладывалось до 18 шаров-
калориметров.
Графики изменения температуры, калориметров, полученные
в опытах и записанные на ленте потенциометра, обрабатывали
затем с целью определения темпа т = —д(1пф)/5т
охлаждения калориметров в каждом опыте. Для этого кривые
перестраивали в полулогарифмических координатах lgd — т. Полученные
таким образом графики во всех случаях представляли собой
прямые линии с постоянным углом наклона, тангенс которого
равен темпу охлаждения
т-2-31^^ (IV. 74)
т2 - Ti '
где fy и ®2 — избыточные температуры (или показания
потенциометра), взятые на прямой при значениях времени ti и t2.
Для проверки надежности данных по теплоотдаче,
полученных в нестационарном режиме, были проведены сравнительные
опыты в стационарном режиме охлаждения двух калориметров
диаметром 45 мм. Сравнение результатов показало, что
коэффициенты теплоотдачи, найденные двумя методами, отличались не
более, чем на ±5%.
При локальном моделировании теплообмена в зернистом
слое необходимо учитывать дополнительный перенос теплоты от
калориметра излучением и теплопроводностью к соседним
шарам через прослойки газа вблизи точек контакта (см.
раздел IV. 1). Для получения конвективной' составляющей общей
величины а' необходимо ввести соответствующие поправки.
Коэффициент теплоотдачи излучением ал рассчитывали по
известным формулам [12] в соответствии с коэффициентом излучения
150

калориметров. Последний был найден по методу охлаждений
в камере спокойного "воздуха [72]. Контактную теплоотдачу
калориметров, помещенных в слои стальных и стеклянных шаров,
определяли расчетным и опытным путем. Поправка на
контактный теплоотвод не превышала 8% от опытных значений а'.
После введения поправок опытные данные по конвективной
теплоотдаче усреднялись для каждого опыта. При этом
значения для отдельных калориметров, включая расположенные
у стенки, отличались от среднего не более, чем на ±8%. При
первоначальной обработке опытные данные были выражены
в критериях Re и Nu = ad/Xr. В этих координатах результаты
для разных вариантов сильно отличаются друг от друга; это
вполне естественно, поскольку они получены при значениях по-
розности слоев от 0,33 до 0,67.
В основу обобщения опытных данных для различных
значений е и отношений диаметров трубы и шара п = DaJd
положены следующие представления о характере процесса
межфазного теплообмена в зернистом слое при больших числах Рей-
нольдса для газового потока:
I. Основной признак предельно неупорядоченной засыпки —
постоянство порозности по высоте; поэтому средняя скорость
газа, текущего сквозь зернистый слой, отнесенная к свободному
сечению слоя, v = и/г характеризует гидродинамическую
обстановку вокруг шара в слое.
II. Процесс теплоотдачи от шара в слое к газовому потоку —
внешняя задача теплообмена. В отличие от обтекания
одиночных тел в данном случае на формирование пограничного слоя
влияют соседние шары. Они разбивают пространство вокруг
шара на отдельные зоны, дробят поток на струи, создают
вихревые зоны в кормовых областях. Чем плотнее укладка шаров,
тем больше число контактов каждого шара с соседними и тем
сильнее выражено влияние последних, приводящие к
уменьшению средней толщины пограничных слоев. Следовательно, по-
розность влияет не только на скорости газа в слое, но и на
толщину пограничных слоев, образующихся на поверхности шаров.
Поэтому эквивалентный диаметр для зернистого слоя йъ = 4е/а
может служить геометрическим масштабом процесса
теплоотдачи шаров в слое и характеризовать среднюю толщину
пограничных слоев. В данном случае использования йэ при больших
Res не связано с рассмотрением течения газа в слое как
внутренней задачи движения по ряду криволинейных каналов, а
означает только, что определяющий размер для зернистого слоя
не равен размеру его элементов, а зависит от геометрии
свободных зон между ними.
III. При определении йъ площадь поверхности аппарата
вводится в величину а с коэффициентом 0,75 (см. раздел 1.1). При
больших Re3 трение потока о поверхность, параллельную
линии тока, играет незначительную роль в общем сопротивлении
при движении в слое. Эта поверхность не турбулизирует и не
151

Рис. IV. 17. Результаты
определения коэффициентов
теплоотдачи в слое шаров при
больших числах Re3:
/ — по формуле (IV. 71); 7/—по
формуле (IV. 76).
дробит поток; наличие стенки аппарата влияет только на
среднюю порозность слоя. По этой причине поверхность трубы в
величине а не учитывали, независимо от значения п. Таким
образом, слой с любым значением п уподобляется фиктивному
бесконечному слою с той же порозностью е.
На основании принятой модели теплообмена в зернистом
слое шаров можно выделить следующие основные параметры,
характеризующие процесс:
^=4г = Т(тЬгКе и Nu^-W37TNu <IV-75>
Результаты обработки опытных данных в этих параметрах
показаны на рис. IV. 17. Опытные точки для всех исследованных
.вариантов обобщаются ,одной зависимостью в интервале Re9 =
= 5-Ю3 — 5-105
Nu9 — 0,287 Re°'67 Рг'/з (IV. 76)
со средним отклонением опытных точек на ±5%. Только
результаты, полученные в трубе 40 мм, лежат выше этой зависимости
в среднем на 10%. Это объясняется наличием в кубической
укладке шаров узкого сечения для прохода газа emin = 0,215, в
котором скорость значительно выше средней. Во всех остальных
вариантах значение етт отличалось от е не более, чем на 20%,
и к ним применима использованная модель процесса
теплоотдачи в неупорядоченном слое.
На рис. IV. 17 проведено сравнение данных по теплообмену
с зависимостью по формуле (IV. 71), полученной при Re3 <
< 2-Ю3 для массообмена в зернистом слое из элементов
разной формы. Это сравнение показывает, что формула (IV. 71)
применима вплоть до значения Re3 « 5-Ю5 в широком
интервале е = 0,33—0,67 независимо от отношения диаметров
аппарата и элементов слоя.
Формулу (IV. 76) можно представить с учетом (IV. 75)
в виде:
Nu — 0,328 (1~e*,l Re0'67 Рг'/з (IV. 77)
б
Здесь зависимость интенсивности теплообмена в слое шаров
от е представлена в явном виде.
152

Результаты экспериментальных определений коэффициентов
массо- и теплообмена в зернистом слое
Ежегодно публикуется значительное число работ по
определению коэффициентов массо- и теплообмена в зернистом слое
из элементов различной формы. Полученные опытные данные
выражаются в безразмерной форме как функции критериев Рей-
нольдса .и Прандтля. По методу обработки данные различных
авторов отличаются величинами определяющего размера и
характерной скорости, входящими в критерии подобия. Скорости
газа (жидкости) относятся ко всему сечению аппарата или
только к незаполненному. В качестве характерного размера
системы чаще всего принимается средний размер элементов слоя.
Если в работе имеются данные о порозности слоя и размеры
элементов слоз, то не представляет трудностей рассчитать
величины Иеэ и Nu9. Предложенные авторами обобщенные
зависимости в табл. IV. 3 пересчитаны на принятые нами параметры
с учетом бывшей в опытах порозности е. При отсутствии
сведений о значениях е, последние принимались по средним данным,
приведенным на стр. 15, с учетом формы элементов слоя и
отношения Dan/rf.
На рис. IV. 18 и IV. 19 показаны опытные данные различных
исследователей в сравнении с зависимостями по формулам
(IV. 71), (IV. 72) и (IV. 73). Подробный анализ работ по массо-
обмену в зернистом слое, проведенных до 1965 г., содержится
в [1, стр. 398; 90].
Зависимости, полученные в опытах по возгонке нафталина
в воздух, при Re9 > 100 (рис. IV. 18, а) близки к формуле
(IV. 71).
Имеется довольно большое число исследований массо- и
теплообмена в зернистом слое методом сушки пористых
элементов, пропитанных водой. Разброс опытных точек получается
обычно большим, однако средние данные близки к зависимости
(IV. 71) и несколько ниже нее (рис. IV. 18, а). Ряд работ Тодоса
и сотрудников [112] посвящен изучению массо- и теплообмена
в системе шаров, уложенных в геометрически правильные
укладки или дистанционированных (8 = 0,48—0,78). Обработка
полученных данных в координатах Ntu — Re3 совместно с
данными для плотных слоев не приводит к единой зависимости
[1, стр. 406]. Поэтому тепло- и массообмен в дистанционирован-
ном слое шаров рассмотрен отдельно.
Исследования по растворению элементов слоя в жидкостях,
выполненные до 1954 г., были обработаны ранее [90]; в области
Re9 = 4 —2000 их результаты близки к зависимостям (IV. 71)
и (IV.72). Результаты основных, более поздних, работ
приведены на рис. IV. 18, б. При Re3 > 10 они также близки к этим
зависимостям. При Re9 < 10 — 20 в соответствии с теоретиче-*
скими представлениями о процессах переноса в ламинарном
пограничном слое при больших значениях критерия Шмидта Sc
153

ш
'в .
70
U
h
1 sJj*
«*^ Х- III
/(
1
3
1 1 1
к
^
f 10
Re3
Рис. IV. 18. Коэффициенты массоотдачи в зернистом слое, найденные
методами:
а—-возгонки нафталиновых элементов; б —растворения в жидкости и электрохимическим
методом.
/ — [92] 2—193], 3—[94]; 4—195] и 5—[96] —испарение жидкости из элементов слоя;
в — [1081. 7 —11091, 5 —1711, Р— [1101
/—по формуле (IV. 71); // — по формулам (IV. 71) и (IV. 72); /// — по формуле (IV. 59) при
е—0,4; /V—по формуле (IV. 60) при е=0,4.
критерий Nu^ пропорционален Re^ вплоть до Re3 ===== 0,01. В
исследованиях [109] кроме воды применяли раствор пропилен-
гликоля; при этом Sc = 950 — 70 600.
Исследования, проведенные электрохимическим методом
[71, 110] при Sc = 1500 — 60 000 дали такие же результаты, как
и при растворении элементов слоя (рис. IV. 18,6).
В работе [113] электрохимическим методом подробно
исследованы флуктуации коэффициентов массоотдачи а слое шаро$
154

при Re3 = 3 — 300. Среднеквадратичные отклонения получены
равными 10—3%, причем в области Re3 > 30 они не
превышали 7%. Средние данные соответствуют результатам
работы [71].
При малых значениях Re3 возможно влияние естественной
конвекции на массообмен в зернистом слое, особенно при
течении жидкости. В работе [108]. показано, что при Re3 < 1
значения р различны при разном направлении потока воды в слое
элементов из (3-нафтола и бензойной кислоты. При движении
воды снизу вверх интенсивность массоотдачи в несколько раз
ниже, чем при движении воды сверху вниз. Влияние
направления потока можно объяснить только эффектами свободной кон«
векции, которые проявляются при разнице удельных весов
чистой жидкости и пограничных с элементами, слоев жидкости,
насыщенных примесью растворенного вещества. При движении
растворителя сверху вниз более тяжелые пограничные слои
жидкости стекают вниз быстрее основного потока, повышая
скорость растворения; при движении снизу вверх раствор может
скопиться в пространстве между зернами и затруднить
перенос.
Рассматривая процесс естественной конвекции в
пространстве между зернами как внутреннюю задачу массообмена,
можно ввести критерий Архимеда, характеризующий
интенсивность этого процесса, в виде
gd\ p -р
Агэ = —«
э v2 р
где р* — плотность жидкости, насыщенной до равновесия
растворимым веществом; р — средняя плотность жидкости в
зернистом слое.
Обрабатывая свои данные по растворению поваренной соли
в воде, а также частично данные [108], авторы [114] получили
зависимость для Nu^ при* естественной конвекции, которая в
наших параметрах имеет вид:
Миэ«0,09(Агэ8с)1/з (IV 78)
В работе [110] электрохимическим методом найдена
зависимость для шара в плотной укладке (е = 0,26), мало
отличающаяся от зависимости для одиночного шара. Пересчитанная
на наши параметры, она имеет вид:
Ar3Sc = 2.105-4.107
Nu3 = 0,32(Ar3Sc)v* (IV 79)
Зависимость границы влияния естественной конвекции на
принудительную от значения Re3 найдена такой: Ar3Sc <
<3-105Re3. Это соотношение хорошо соответствует
результатам исследований возникновения естественной конвекции в
трубах и каналах [64, стр. 350], для которых граничное значение
155

о
о
ч
о
S
о
н»
О '
№
зер
09
№
й>
3
\о
©
О
ч
в
...в
* S
« 5
1 I
81
л
о
м
S
и
CD
eg
v
«
таты опре
*в
ч
>»
09
О
А,
1
1 * 1
а ее
р
ч
к
Б
«i
i.
1 ag
ИЯ
К о
К °
s
ч
л»
**
на я
ость
1/3
Met
5и s
•2 * 55
Е« л
ч
1*
S
•
?
К
Размеры
аппарата,
мм
я
СО К я
К 0 я
исти
>В СЛ
еры,
&2Я
акте
мен
раз
Д5Й
К 1
ло tx 1
«во
1
а
се
си
CD
D,
3
О
В
о*
се
в
о
я
в
В
в
си
о
о
о
ч
в
си
н
е
в
CD
о*
•в
а
в
в
о
в
в
S
fe 8
8
W
CD
*
О
Н
В м
s<5
о.О
б д
Iя
к
«в >»
О ВС
S СО
w й
еи«
С
S 3 «о Э cn
8.8 1.1".
«й о
g в «*
«si
S ч в
6
&
"л CD
О*
8 §8 Ь
о* о о
<Ч
С*
1
I
§
а
о.
CD
В
В
в
в
о
<эц
в
ч
CD
О
0*
в«гЗ.
CN О
О -•
. о
ю I
1Ь
$5 9
0,4
0,33-0,
0,43-0
IIII и II
во в в
S
адьное
в
о
CN
О
I
о
о
s
ь*
ZZ
7,9;.
ю
Oi
«
CO
3,9;
°l
t^
#i
CO"
•*
5
8
i
10,3
1Л
o>
«*
00
6,4;
CN CO
156

о
я
о
олидисперсные ел
15 вариантов
я
+
3
on
о
<»>
ч
ОС
!
о"
+ +
о
100-
о
1
0,24-
500 1
II
и
С)
- "*
О
СО
• f»
9; 33,6
о
,_н
• «ч
О)
с©
102}
>х
R
ч
Си
«
Си О
cd я
о
Ctf
о
ю
1
1
2
N
со
о
S
II
а
се
(N
2
N
СО ч* Ю
о о о
су
3
s s
s §
1 в
1
СУ СУ g Я
« * S§
© о «у
Н Н t*
8 **
о л су
^ CN
о о
2L *
о S 2
• N. ^
7 1 1
СО N»
CD
со *r
Ч* CN |
о"
со о ©ю
N СО CN CN
II II II II ,
Q Q Q
см
00 05 О
СО ч* Ю
00 О) О
cd
аз
СУ
S
хо
о
о
ч
Я
X
о.
•я
3
я
cd
я
о
я
Я"
cd
н
о
я
f
S cd
О Л
X <U
8»
к
И Я
и со
с
о
о
о
Ю
1
1
о
CN
9
о
1
со
со
о*
CN©
77
go
Q
СУ
i
3
п
се
я
3
а.
3 о
я ю
1
5«?cn
В5~
я 1
O.CN
* со
a t
-
я
о
a
&
S cd
8 Й*
X CD
3 § s
я 3
§£«
с
8 §s
с* «-
N. Tf*
i—« »—»
4 o
о
1 1
1 1
1
oo
cox
IIII
go
Q
cd
Си
<v
s
я
13
о
к
о
о
со О
*CN
я 1
cu^h
«2 о
a
CN
3
я
я
а>
я
а>
0)
8
S
я
я
Я
8
ю
О
&
*—•
1
cd
X
5
О
Л
3
&
&
с
8
Ю
СО
СУ
*
О
Н
со $
су /v-
о
о-°
о
CN
1—Ч
9 1
-N.
И II
gO
Q
О
СО
Я
2
я
а.
cd
a
со
о
1
о
о
CN
О
1
1
о
юю
CN *-*
II II
gO
Q
tf
3
я
л
В6]5
Зоо
Q.Tf
*о
a
«<ф
N
00
СУ
о
н
1
о
о
1
1
CN
со
ю
о
1
1
о"
1
IIII
g^
Q
as H
я Я
ш я
о я
я
аГ ч
Р
су wo
S су cn
3 ш 1
о.о"э
« сто
a
ю
С5
со
СУ
о
н
ю
ю
о
со
о
X
о4
1
00
с>£
со
о
1
00
со
о"
в
1
§3
IIII
8->
С)
1
о
яю
(Уд*
22
я
cd 3
5§
з 5
си>*
Л О*
a
СО
167

2
« 10
/]
0
- J' J л
< ■ g/ ■ ■. I
-. 1 I L-L-J
"M
& I
■-/
A-3
A-4
o-5
x-ff
+-7
•-*
_ L L—L.-.I.J
* to
wz
10'
-Яеэ
nr

GrPr«2-105. В экспериментах с возгонкой нафталина
величины Ar9Sc значительно ниже граничных.
Сравнение формул (IV. 78) и (IV. 79) показало, что в
интервале Ar3Sc = 2-105 — 4« 107 они дают результаты, отличающиеся
не более, чем на 20%.
Основные данные по теплообмену в зернистом слое собраны
в табл. IV. 3 и разделены на группы по методам исследования.
На рис. IV. 19, а показаны результаты опытов по
теплообмену в стационарном режиме и при локальном моделировании.
Только зависимость / сильно отклоняется вверх при Re3 > 100;
по-видимому, авторам [70] не удалось преодолеть трудности
измерения температур элементов слоя, о которых говорилось
выше.
В большинстве работ, выполненных методом локального
моделирования теплообмена, использовался один
шар-калориметр. В работе Дентона и соавт. [100] вводилась поправка на
контактный и лучистый теплоотвод от калориметров, а также
потери теплоты по проводам. Эта поправка определялась по
мощности нагревателя при скорости газа, равной нулю, и
разнице температур калориметра и газа в опытах. При этом
конвективная составляющая теплоотдачи принималась равной
Numin = 2. Для средних значений Nu3 получены зависимости,
близкие к формуле (IV. 71), с отклонением для шаров большего
диаметра до 25%.
В исследованиях Ешара [101] обогреваемые шары
закладывали в полидисперсные слои из шаров разных диаметров,
взятых в разных соотношениях (15 вариантов). Несмотря на
большой интервал значений е = 0,24 — 0,44, использование
авторами критериев подобия, пропорциональных Re3 и Nu3,
позволило обобщить все 'опытные данные единой формулой.
Наличие постоянной составляющей в этой формуле можно
объяснить влиянием неучтенной поправки на контактный и лучистый
отвод тепла от калориметров.
Теплоотдача шаров в правильных увдадках при е = 0,26 и
0,4 [102, 115] на 20—30% выше, чем получаемая по формуле
(IV. 71). Объясняется это тем, что в таких укладках имеется
узкое сечение для прохода газа (i|5min = 0,093), которого нет
в неупорядоченно загруженном слое.
Исследования теплообмена в слое шаров, расположенных
в правильной кубической укладке и дистанционированных
(е=Х),48 — 0,78), привело авторов [112] к выводу, что
Рис. IV. 19. Коэффициенты теплоотдачи:
а—слой шаров в стационарном тепловом режиме; метод локального моделирования
теплообмена; 1—9 — номера табл. IV. 3; / — по формуле (IV. 71);
б—слой дистационированных шаров [1051; II —по формуле (IV. 80); III—по данным [111];
в—зернистый слой, нестационарный режим; /—7—опытные данные [1061, пересчитанные
с учетом продольной теплопроводности; 8 — [871; 11—16-номера табл IV. 3;
12'—зависимость 12, но пересчитанная с учетом продоль.нрй теплопроводности; /—по формулам (IV. 71)
№

интенсивность теплоотдачи обратно пропорциональна е. В работе
[105] изучены кубические дистанционированные слои при е =
= 0,48—0,93; получена зависимость Nu от е несколько более
сильная, чем установленная в [112]. На рис. IV. 19,6 показаны
результаты, полученные в [105] при разных значениях е. Там
же построены линии: II — по формуле
8 Nu Рг~'/з = 0,33 Re0'64 ' (IV. 80)
и III — для стационарного и кипящего слоев [111].
Из рис. IV. 19, б следует, что формула (IV. 80) хорошо
описывает теплообмен в дистанционированном слое шаров (без
соприкосновения их между собой) при е = 0,5 — 0,9 и Re > 100.
Значительное число исследований теплообмена в зернистом
слое выполнено в нестационарном режиме нагревания
(охлаждения) слоя. Выше подробно анализировались возможные
погрешности этих методов исследования. В работах [106, 107] при
проведении опытов в режиме прогрева слоя температуру газа
на выходе измеряли только в одной точке на оси аппарата, что
также могло привести к ошибкам в определении средних
коэффициентов теплоотдачи. Однако основную роль в отклонении
полученных зависимостей вниз при Re3 < 100 (рис. IV. 19, в)
играет продольная теплопроводность, не учтенная в методике
обработки опытных данных. Пересчет данных [106] по формуле
(IV. 67) при ЯоАг = 15 для стальных шаров и Л<ДГ = 5 для
песка привел к хорошему совпадению опытных точек с
зависимостью (IV. 71). Аналогичная коррекция формул, полученных
в [107], показана на рис. IV. 19, е. Таким образом, занижение
данных по теплообмену в зернистом слое при Re3 < 100
связано с влиянием- продольной теплопроводности,
неравномерности распределения скоростей и возможных погрешностей
экспериментов, а не с особенностями закономерностей процессов
переноса в переходной области течения газа [106].
Метод циклического прогрева зернистого слоя дает
надежные результаты при больших Re3 (рис. IV. 19, в). Однако в
соответствии с анализом метода, приведенным выше, при Re3 < 10
достаточно точных данных получить не удалось [87], несмотря
на тщательную теоретическую разработку методов
исследования.
Определение коэффициентов тепло- и массообмена при очень
малых критериях Рейнольдса имеет значение для расчетов
процессов хроматографии, адсорбции и катализа с использованием
мелких частиц. В последние годы предпринимались попытки
уточнить противоречивые данные в этой области. В работе
[116] найдено, что в условиях опытов можно пренебречь
влиянием продольной диффузии в слое и внутренним сопротивлением
частиц. В работе [117] сопротивление диффузии в пористых
частицах оценивалось по данным других исследователей и в
интервале Re3 = 3—100 получено постоянное значение Nu3 =
= 8,33. Несмотря на сходство методик проведения опытов
W

Рис. IV. 20. Коэффициенты' теплоотдачи
в зернистом слое при малых числах Рей-
нольдса:
/ — [116]; 2— [119J; 5—теоретическое решение [120]
при 8=0.4; 4 —расчетная зависимость [118] при
5 = 10; 5—по формуле (IV. 81) при ^/^=10 и
8=0,4: б—область опытных данных, собранных
в [118]; /—по формуле (IV. 73).
в этих работах (нестационарная сорбция), получены совершенно
разные данные (рис. IV. 20). Возможно, это связано с тем, что
авторы использовали длинные (100 мм) успокоительные участки
на входе, что привело к уменьшению амплитуды концентрации
на выходе, и без того очень малой при высокой степени
поглощения примесей в области малых чисел Рейнольдса. Даже
небольшие погрешности измерения этой концентрации в условиях
неточной оценки внутреннего сопротивления и Ь/ могут привести
к искажению результатов.
Ранее опубликовано значительное число работ, в которых
коэффициенты массообмена вычисляются на основании решений
задач нестационарной сорбции и ионообмена в предположении,
что скорость процесса определяется переносом вещества из
потока к поверхности зерен. Большинство из этих работ приводит
к зависимостям, удовлетворительно согласующимся с
формулами (IV. 71) и (IV. 72). Подробнее эти работы здесь не
рассматриваются, поскольку процессы сорбции и ионного обмена
гораздо сложней нестационарного теплообмена и указанная
выше согласованность результатов может быть истолкована
лишь как подтверждение того, что в исследованных процессах
скорость переноса действительно определяется массообменом на
поверхности зерен.
Данные по теплообмену в зернистом слое при Re3 = 0,05—10
и Рг « 1 собраны в работе [118]; на рис. IV. 20 они показаны
в виде области экспериментальных точек. Большинство из них
получено по результатам измерений Я/ методом создания
встречных одномерных потоков газа и теплоты [29]. Отличие
полученных значений U отЯ0э при Re9 < 1 интерпретируется как
результат влияния межфазного теплообмена, и на основе
«видимых» значений %i определяются коэффициенты теплоотдачи.
В работе [119] определяли поля температур на выходе из
трубы с зернистым слоем, обогреваемой паром. Коэффициенты
теплоотдачи находили путем сравнения этих полей с
161

расчетными, полученными из рассмотрения двухфазной модели
слоя, но без учета К0, естественной конвекции и флуктуации
скорости. Расчеты показали незначительное влияние а на
распределение температур в рассматриваемой модели при Re9 < 1.
Авторы [118] объясняют чрезвычайно низкие значения
коэффициентов теплоотдачи при Re3 < 1 на основе модели
течения газа по отдельным каналам, мимо обширных плохопроду-
ваемых областей зернистого слоя. На основе опытных данных
найдена относительная длина этих каналов £, которая оказалась
обратно пропорциональной диаметру зерен. Из этого следует
постоянство длины каналов для всех исследованных слоев, что
противоречит представлениям о подобии гидродинамических
процессов в зернистом слое. Расчетная зависимость при | = 10
плохо соответствует опытным данным (рис. IV. 20), но близка
к другому теоретическому решению [120], полученному из
модели внешнего массообмена шара в слое с использованием
представления об эквивалентной сфере по формуле (IV. 58), но без
учета постоянной составляющей переноса в пределах этой сферы
за счет молекулярной диффузии.
По нашим представлениям основную роль в процессах
переноса в зернистом слое при очень малых Re3 играют флуктуации
скорости и неравномерность распределения потока по сечению
слоя, которые вызывают неравномерность полей температур.
В разделе И. 9 показано, что при ламинарном течении массовая
скорость в зернистом слое пропорциональна е5 и Т~!\ В
экспериментах упомянутых выше авторов могли действовать оба
этих фактора.
В работе [121] теоретически и экспериментально показано,
что эффективность теплообмена в системе параллельных
каналов при ламинарном режиме течения в сильной степени зависит
от отклонений в размерах этих каналов, которые
характеризуются среднеквадратичной величиной (стандартом) а, а также
от рода граничных условий теплообмена. Даже при относительно
небольших значениях а, эффективное значение Nu3 получается
в несколько раз ниже, чем для одиночного канала. Этим, в
частности, объяснено отличие опытных данных, полученных на
системе параллельных каналов компактного теплообменника, от
предельного значения Nu9 min. В зернистом слое флуктуации по-
розности могут привести к образованию застойных зон и
исключению из активного теплообмена значительной части зерен: при
этом возникает разница температур зерен по сечению слоя, что
еще больше усложняет картину переноса теплоты. В результате
действия этих факторов полученное в опыте значение Nu9
является не только и не столько функцией критерия Re9, сколько
самой схемы и техники эксперимента и граничных условий
теплообмена.
Так, полученные в работе [29] значения Xi почти одинаковы
при одинаковых скоростях газа в слое; следовательно,
температурное поле в опытах было одинаковым при разных размерах
№

зерна. Это свидетельствует о том, что продольный перенос в слое
определялся постоянным значением V, неравномерности
распределения скоростей имели одинаковый характер во всех опытах.
Ганн [45] показал, что определение значений Nu из опытов,
проведенных в условиях, когда процесс лимитируется
продольным переносом, а не межфазным теплообменом, приводит к
зависимости (в наших параметрах):
Эта зависимость следует из формулы (IV. 70) при Y = YT,
т. е. в случае подмены одной величины другой. Формула
удовлетворительно описывает опытные точки, лежащие в очерченной
области на рис. IV. 20.
Следует обратить внимание на то, что в принятой модели
процесса [29] изменение опытных значений ^sb 1,5 раза ведет
к изменению расчетного значения Nu3 почти на три порядка.
Таким образом, наиболее надежные данные при Re3 < 1
можно получить только в опытах по массообмену при малой вы-
^ соте слоя и малых значениях критерия Ar3Sc, в условиях, когда
влияние неравномерности распределения скоростей на средние
коэффициенты массоотдачи минимальны. Этим условиям
соответствуют наши опыты по возгонке нафталиновых шаров,
уложенных в один ряд (см. стр. 148). Наблюдавшееся уменьшение
Р при Re3 < 2 также можно объяснить флуктуациямй скорости
газа. Полученные данные отражают реальную структуру
зернистого слоя и его аэродинамику без искажения последней
самим процессом массопереноса, идущим при граничных условиях
первого рода.
При Sc S> 1 процессы обмена в зернистом слое можно
рассматривать с позиций внешней задачи даже при Re3 < 1. В этих
условиях усреднение коэффициента обмена, реализуемое в
эксперименте, эквивалентно нахождению его среднего значения для
всех элементов слоя [12], поскольку изменение движущей
разности концентраций (температур) по длине слоя невелико.
Средний коэффициент обмена, найденный при флуктуациях скорости
жидкости в зернистом слое, не должен сильно отличаться от
такового, найденного при среднем значении скорости, поскольку
при ламинарном течении зависимость коэффициента обмена от
скорости слабая (Nu3 ~ Re9/s). Этим можно объяснить хорошее
совпадение опытных данных при Sc ^> 1 с теоретической
зависимостью вплоть до Re3 = 0,01 (рис. IV. 18, б).
В обзоре Баркера [115] собрано большое число данных по
теплообмену в зернистом слое. Среди них есть,отдельные
измерения, которые дали значения коэффициентов теплоотдачи,
отличающиеся от большинства других в 5—10 раз [1, стр. 414].
Получены они преимущественно в аппаратах промышленных
масштабов с малым отношением высоты к диаметру, часто
с плотным движущимся зернистым слоем. Причина таких резко
163

к-
2,5r
Щ
\\
OfiV
о\ 1 1 I •
Ofl 0,4 0,6 0,8
е
заниженных данных заключается, в неравномерном
распределении потока газа по сечению. Это относится и к твердой фазе,
если она движется. Неравномерность часто связана с условиями
ввода и вывода потоков из аппарата. Действительные разности
температур и активная поверхность теплообмена в этих
условиях могут оказаться значительно меньше расчетных. В том
случае, когда равномерность движения газа и твердой фазы
обеспечена, коэффициенты тепло- и массообмена в неподвижном
и плотном движущемся слое одинаковы [122].
Баркер [115] сравнивал зависимости, полученные разными
авторами, в координатах / — Re, где / = Nu/RePr,/a — так
называемый фактор теплообмена. В такой обработке не учитывается
порозность зернистого слоя е, поэтому обобщения собранных
данных достичь не удалось [1, стр. 414]. Рассмотрим
зависимость интенсивности тепло- и массообмена в зернистом слое от
е, вытекающую из формулы (IV. 71). Для этого представим ее
с учетом соотношений (IV. 75) для слоя шаров в виде:
Nu = 0,457-^ Ц Reo.64 Pr1^ (IV. 82)
На рис. IV. 21 показаны графики для коэффициентов К\ =
= 0,457(1 — е)°'36/е и К2 = 0,33/е, входящих в формулы (IV. 82)
и (IV. 80). При изменении е от 0,3 до 0,6 значение К\
уменьшается в ~2,5 раза. При е > 0,5 — 0,6 зависимость (IV. 82),
полученная для плотного зернистого слоя, переходит в
зависимость (IV. 80), полученную для дистанционированного слоя.
В работе [123] сделана попытка обобщить данные по тепло-
и массообмену в плотных, дистанционированных и кипящих
слоях с единой позиции внешней задачи с учетом
максимальных скоростей потока в узких сечениях зернистого слоя и
степени его турбулентности,, Измерение степени турбулентности
Рис. IV. 21. Зависимость интенсивности меж*
фазного теплообмена в слое шаров от пороз-
ности в соответствии с формулами (IV. 80) и
(IV. 82).
164

в правильных укладках [123] не дало четкой зависимости ее от
8 и не позволило с этой точки зрения классифицировать
опытные данные других исследователей.
Рекомендуемые зависимости для коэффициентов
тепло- и массообмена между зернистым слоем
и потоком газа (жидкости).
Дополнительные вопросы межфазного тепло- и массообмена
Полученные в наших работах опытные данные, а также
рассмотрение обширного опубликованного экспериментального
материала, позволяют рекомендовать .следующие формулы для
расчета коэффициентов тепло- .и массообмена в стационарном
зернистом слое с непосредственным контактом между зернами.
I. В области Re3 = 30 —5-105 и Рг = 0,6 — 6-104
независимо от формы элементов слоя:
Nu3 = 0,395 Re°'64PrVs
Для частиц резко нерегулярной формы можно ожидать
отклонений от этой зависимости, главным образом в сторону
уменьшения, до 50%.
II. В области Re3 = 30 — 2 и Рг = 0,6 — 10 независимо от
формы элементов слоя:
Nu3 — 0,725 Re°'47 Рг,/з
III. В области Re3 = 2 — 0,1 и Рг = 0,6— 10 независимо от
формы элементов слоя:
Nu9 = 0,515 Re°'85Prv>
. IV. В области Re3 = 30 — 0,01 и Рг = 102 — б-Ю4:
Nu9=l,2Re3/3Pr,/j
V. При естественной конвекции в зернистом слое в области
Ar3Sc = 105 — 5-107:
Nu3 = 0,32(Ar9Sc)Vl
При Ar3Sc<3-105 Re3 влиянием естественной конвекции
можно пренебречь.
Коэффициенты тепло- и массообмена в упорядоченных
укладках при наличии узкого сечения для прохода газа на 20—
30% выше, чем для неупорядоченного слоя. Коэффициенты
тепло- и массообмена в дистанционированных слоях шаров при
е < 0,9 в области Re3 = 100— Ь105 определяются по формуле:
Nu-^S-Re^Pr1*
8
Локальные коэффициенты тепло- и массообмена в зернистом
слое измеряли в работах [71/102, ИЗ, 124]. Какие-либо
165

Рис. IV. 22. Локальные коэффициенты
NilaScf^-^O массо'отдачи в , вертикальной
плоскости, проходящей через центры
соседних шаров:
i—Res=40, 2—300;, 5—3000.
Воздух
зависимости предложены не были, качественно результаты этих
работ совпадают. Ниже приводятся результаты определения
коэффициентов массообмена с помощью испарения нафталина
в воздух [124].
Стальные полированные шары диаметром 19 мм
укладывались в шестигранный аппарат по 7 штук в каждом ряду. Всего
таких рядов было 10. В центре второго сверху ряда укладывали
шар с тремя вставными нафталиновыми стаканчиками
диаметром 4,25 мм.
По убыли массы нафталина рассчитывали коэффициенты
массоотдачи (см. стр. 149) для разных положений стаканчиков
в двух вертикальных плоскостях, проходящих под углом в 30°
друг к другу через центр аппарата, при трех значениях Re3 =
= 40, 300 и 3000.
Результаты измерений в виде локальных значений критерия
,Nu9Sc"",/3 в зависимости от места на поверхности шара
представлены на рис. IV. 22 в полярных координатах. Отложенные
значения представляют собой среднее арифметическое 4—5
опытов, проведенных в одинаковых условиях. Графики указывают
на большую неравномерность в значениях локальных
коэффициентов массоотдачи по поверхности шара. В точках контакта
эти значения минимальны, в наиболее свободно обдуваемых
частях поверхности — максимальны. Суммирование полученных
локальных коэффициентов по поверхности шара дает средний
коэффициент массообмена, который удовлетворительно
совпадает с расчетом по формуле (IV. 71) при Re9 = 300 и 3000.
Имеющиеся данные по локальным коэффициентам тепло- и
массообмена можно использовать при рассмотрении процессов
горения в слое топлива, экзотермической реакции на твердом
катализаторе с большим тепловым эффектом. Области контактов
между зернами с пониженными значениями коэффициентов
переноса представляют собой очаги процесса на верхнем
температурном режиме и, по-видимому, повышают устойчивость
процесса в плотном зернистом слое. Неравномерность локальных
коэффициентов переноса должна влиять на процессы сорбции,
166

ионного обмена и на характер перехода реакции из внешне'диф-
фузионной во внутридиффузионную и кинетическую области.
Относительно аналогии процессов внешнего теплообмена для
тел различной формы отмечено [90], что интенсивность тепло*
обмена в зернистом слое и поперечно-обтекаемом пучке труб
шахматного расположения определяется в широком интервале
изменения параметров.близкими зависимостями Nu = /(Re, Pr).
На рис. IV. 23 проведено сравнение тепло- и массообмена шара
в зернистом слое и свободном потоке и цилиндра в пучке труб
и свободном потоке. Критерий Rec рассчитан по скорости
свободного потока или по скорости в узком сечении ис = и/^тт,
где г|5т1п — относительное значение узкого проходного
сечения в пучке труб или «просвет» между шарами в слое. В
качестве определяющего размера принят диаметр шара или
цилиндра.
При построении зависимостей на рис. IV. 23 использовались:
формула (IV. 57) для одиночного шара при Рг = 0,7; формулы
(IV. 71) и (IV.72) при е = 0,4 (ipmtn = 0,174); зависимость для
одиночной трубы [125], полученная при турбулизированном
потоке; формулы для шахматного пучка труб [12,59].
В области Rec > 100 все зависимости близки между собой.
Это* свидетельствует о том, что теплообмен в слое и пучке
складывается из отдельных актов теплоотдачи элементов при
реальной скорости потока в узком сечении, а также об аналогии
процессов внешнего теплообмена для тел разной формы. В области
Rec < 100 (TRe3 < 20 для слоя) происходит расслоение линий.
Если для одиночного шара существует минимальное значение
Numin = 2, то для слоя аналогичное значение Numin отсутствует,
о чем подробно говорилось на стр. 162. Необходимо также
Рис. IV. 23. Аналогия процессов внешнего теплообмена.
/ —шар в свободном потоке; 2—шар в слое; 5—труба в свободном потоке; 4—труба
в шахматном пучке.
167

обратить внимание на нарушение аналогии рассматриваемых
процессов при Rec > 105. В то время как для одиночного шара,
трубы и пучка труб [12] в этой области зафиксирован кризис
обтекания, связанный с образованием турбулентного
пограничного слоя и сопровождающийся увеличением показателя степени
при Rec в критериальных зависимостях примерно до 0,8, в
зернистом слое подобного явления нами не обнаружено (рис. IV. 17).
Это можно объяснить тем, что в слое существует сильная турбу-
лйзация потока и это ведет к более ранней и постепенной тур-
булизации пограничных слоев на поверхности шаров,
значительная часть которых находится в зоне вихревых следов за
соседними шарами.
IV. 6. Описание процессов теплопереноса
в зернистом слое
с учетом разницы температур фаз
При описании процессов теплопереноса в зернистом слое
в данной главе так же, как и в подавляющем большинстве
исследований других авторов, зернистый слой без источников
теплоты рассматривается как квазигомогенная, среда, в которой
температуры отдельных фаз равны между собой. Такой подход
в некоторых случаях может привести к искажению реальной
картины процессов переноса, например, при встречном
движении потоков теплоты и теплоносителя при нестационарных
процессах.
Применение электронно-вычислительной техники в
последние годы позволило решать численными методами многие за:
дачи, связанные с процессами переноса в зернистом слое, при
расчете этих процессов в промышленных аппаратах и при об-,
работке опытных данных, полученных на экспериментальных
установках. При этом появилась возможность использовать
двухфазные модели зернистого слоя, учитывающие разницу
температур между обеими фазами й теплообмен между ними. Ниже
рассмотрены некоторые задачи, связанные с методами
экспериментального исследования теплопереноса в зернистом слое и
требующие учета гетерогенной структуры слоя.
Дифференциальные уравнения энергии в общем случае,
записанные отдельно для обеих фаз стационарного зернистого
слоя, в цилиндрических координатах имеют вид (без внутренних
источников теплоты в слое)
г л „дВ -и г г ае а* (дЩ 4- 1 дв } а* дЩ пп (т m n\r *ъ
cpP*eW±cpGdZ~Xr УдТ + Т-дГ)-^ а?"шаа(г'"в) (IV,83)
СмРм(1-в)!£-Л0(^ (IV.84)
где 8 и Т—безразмерные температуры газа (жидкости) и
элементов слоя; я* и xf~ конвективные составляющие соответ-
168

Рис. IV. 24. Отношение \х величины кон*
вективной составляющей продольной
теплопроводности, найденной на основе
квазигомогенной модели зернистого слоя,
к истинной величине Xf и отношение А
температур твердой и газовой фаз
зернистого слоя при встречных
одномерных потоках газа и теплоты:
rvc9
ствующих коэффициентов теплопроводности в зернистом слое;
Рг и рм — плотности газа (жидкости) и твердой фазы.
Уравнения (IV. 83) и (IV. 84) записаны для случая, когда
внутренним термическим сопротивлением твердой фазы можно
пренебречь, что обычно осуществляется в условиях эксперимента.
Для газа можно пренебречь первым членом уравнения (IV. 83)
по сравнению с первым членом уравнения (IV. 84).
В [126] рассмотрена одномерная задача переноса теплоты
в слое при встречном движении потоков газа и теплоты в
стационарном режиме (см. раздел IV.3, стр. ИЗ).
На основе решения уравнений (IV. 83) и (IV. 84) определено
отношение «видимой» величины конвективной составляющей
продольной теплопроводности я£, найденной при обработке
опытных данных на основе решения уравнения (IV. 15), к
истинной величине д,*. На рис. IV. 24 показаны результаты расчета
величин |i = ^Af и Л = в/Т [126] при Рг = 0,7, 8 = 0,4,
ЯоДг = 8 и 13, что соответствует условиям опытов [27, первая
ссылка].
Из рис. IV. 24 следует, что разница температур фаз в
рассматриваемом процессе составляет заметную величину;
использование квазигомогенной модели приводит к завышению
конвективной составляющей примерно на 40%. -
В работе [30] рассмотренная выше задача решена
численным методом; на основе этого решения, собственных опытных
данных по Я/ и данных [27, первая ссылка] в интервале Re3 =
= 10 — 40 получены расчетные значения А = 0,8 — 0,4.
Одномерные задачи переноса теплоты в слое при
нестационарном режиме рассмотрены в разделе IV. 5, стр. 144,
применительно к методам определения коэффициентов теплообмена.
Показаны пределы применимости квазигомогенной модели
зернистого слоя и влияние продольной теплопроводности на
полученные решения в некоторых предельных случаях. Подробнее эти
задачи решены в литературе, цитируемой в этом разделе.
При решении задач нестационарной адсорбции в зернистом
слое используются уравнения (IV. 83) и (IV. 84) с заменой
температур 0 и Г концентрациями С и Ст, коэффициентов
1,50г
1.25\
П^~
1,00}
А
0JSV
0,50
' 0 Ю 20 30 40 50
169

teMnepaTyponpoBOAHOCTtf — коэффициентами диффузии,
коэффициента теплоотдачи а — коэффициентом массоотдачи (3. Члены
уравнения (IV. 84) с коэффициентом Х0 исключаются.
Для одномерного потока массы в зернистом слое
^"fh^ll--^-^ <IV-85>
Уравнение (IV. 85) решается при условии на границе
раздела фаз, полученном в результате решения задачи
нестационарной диффузии внутри зерен, или введением в него величины
(1 — е) dgjdx, где g — количество адсорбированного вещества;
определяют его по кривым адсорбции [127].
Имеются аналитические решения для концентрации в потоке,
текущем через трубу с зернистым слоем, при подаче вещества
на вход в виде импульса [U6], ступенчато [127] и в виде
синусоидального возмущения [45].
Решение дифференциальных уравнений для двухмерного
зернистого слоя представляет значительные трудности. В работе
[128] получено численное решение с учетом экзотермической
реакции в слое с сильным тепловым эффектом, однако
расчетная разница'температур фаз не превышает 2°С при
максимальной разности температур слоя и стенки трубы 52 °С.
Определение коэффициентов теплопроводности в зернистом слое на
основе двухфазной модели [44] дало результаты на 4% выше, чем
для квазигомогенной модели, >в интервале Re3 = 40 — 500.
При отсутствии внутренних источников теплоты температуры
отдельных фаз в обогреваемой трубе с зернистым слоем при
стационарном режиме могут заметно отличаться только вблизи
стенки^ Интенсивность межфазного теплообмена при Re3 > 10
значительно выше теплопереноса за счет контактной
теплопроводности между зернами слоя, и в соответствии с уравнением
(IV. 84) величина (Т — 0) мала в ядре потока, где значения
производных малы.
Граничные условия третьего рода на стенке трубы по
формуле (IV. 21) должны быть записаны отдельно для обеих фаз,
а критерии Био примут вид:
Bir = <TD/2^ и В1т*-а°т/)/2Я0
Расчет отношения Bir/BiT по этим формулам в соответствии
с зависимостями по теплопроводности и пристенной
теплоотдаче, рекомендованными в разделах IV. 3 (стр. 123) и IV. 4
(стр. 138), показал, что при А,оАг=Ю и Re3 = 10—1000
Bir/BiT==l,0—0,4. Таким образом, в этом интервале Re3
температура зерен ближе, чем температура газа, к температуре
стенки трубы. Однако, этот результат сильно зависит от
величины ас°т.
Современная вычислительная техника позволяет решить
системы уравнений, описывающие процессы тепло- и массопере-
носа в зернистом слое при любых граничных и начальных уело-
170

виях с учетом внутренних источников теплоты. При этом можно
пользоваться зависимостями для Л0> ^, Я?, c£r, а£т и а,
приведенными в данной главе.
Литература
1. Аэров М. Э., Тодес О. М. Гидравлические и тепловые основы работы
аппаратов со стационарным и кипящим зернистым слоем. Л., Химия,
1968.
2. Вареафтик Я. Б. Теплофизические свойства веществ. М. — Л., Госэнерго-
издат, 1956.
3. Чудновский А. Ф. Теплофизические характеристики дисперсных
материалов. М., Физматгиз, 1962.
4. Дульнев Г. Я., Заричняк Ю. П. Теплопроводность смесей и
композиционных материалов. Л., Энергия, 1974.
5. Миснар А. Теплопроводность твердых тел, жидкостей, газов и их
композиций. Пер. с франц Под ред. Э. Э. Шпильрайна. М., Мир, 1968.
6. Горелик А. Г. и др. — ТОХТ, 1974, т. 8, № 3, с. 394.
7. Kunii D., Smith J. М. — AIChE J., 1960, v. 6, № 1, p. 71.
8. Yagi S., Kunii D., Wakao ^V. — Int. Develop, in Heat Transfer. ASME,
Colorado, 1961, part IV, p. 742.
9. Krupiczka R. — Int. Chem. Eng., 1967, v. 7, № 1, p. 122.
10. Никитин В С, Антонишин Я. В. — ИФЖ, 1969, т. 17, № 2, с. 248.
11. Коуа 7\, Kunii D. — Kagaku kogaku, 1971, v. 35, № 8, p. 887.
12. Исаченко В. Я., Осипова В. Л., Сукомел А. С. Теплопередача. Л.,
Энергия, 1965.
13. Бахуров В. Г., Боресков Г. К. — ЖПХ, 1917, т. 20, с. 721.
14. Argo W. В., Smith J. M. — Chem. Eng. Progr., 1953, v. 49, № 9, p. 443.
15. Yagi S., Kunii D. —AIChE J., 1957, v. 3, p. 373.
16. Босворт P. Ч. Л. Процессы теплового переноса. Пер. с англ. Под ред.
Ю. А. Сурийова. М., Гостехиздат, 1957.
17. Chen. I. С, Churchill S W. - AIChE J., 1963, v. 9, № 1, p. 35.
18. Саттерфилд Ч. Н. Массопередача в гетерогенном катализе. Пер. с англ.
А. Р. Брунцеховского. М., Химия, 1976.
19. Комбарну М. Л., Брюн Е. Л.— В кн.: Тепло- и массоперенос. Минск,
1972, т. 9, ч. II, с. 141.
20. Straus У. М. — J. Fluid Mech., 1974, v. 64, № 1, p. 51.
21. Бояринцев Д. Я. —ЖТФ, 1950, т. 20, № 9, с. 1084.
22. Гребер Г., Эрк С, Григуллъ У. Основы учения о теплообмене. Пер. с нем.
Под ред. А. А. Гухмана. М., ИЛ, 1958.
23. Аэров М. 5., Умник Н. Я.—ЖТФ, 1951, т. 21, № И, с. 1345.
24. Я'арийский Д. Л., Шейнин Б. И. — Теплофизиха высоких температур,
1969, т. 7, № 3,с. 433.
25. Cation /., Edwards D. К. —J. ASME, 1967, ser. С, v. 89, № 4, p. 18.
26 Аэров M. 3., Умник Я. Я. — ЖТФ, 1951, т. 21, № И, с. 1351.
27. Yagi 5., Wakao N. — AIChE J., 1959, v. 5, № 1, p. 79; Yagi 5., Kunii D,
Wakao N. Ibid., 1960, v. 6, № 4, p. 543; Yagi 5., Kunii D. Int. Develop,
in Heat Transfer. ASME, Colorado, 1961, part IV, p. 750.
28. Ranz W. E. — Chem. Eng. Progr., 1952, v. 48, № 5, p. 247.
29. Kunii D., Smith J. M. — AIChE J., 1961, v. 7,№ 1, p. 29.
30. Beveridge G. S. G., Haughey D. P.— Int. J. Heat Mass Transf, 1972, v. 15,
№ 5, p. 953.
31. Yagi 5., Kunii D. — AIChE J., 1960, v. 6, № 1, p. 97.
32 Pruschek R. — Forsch. Geb. Ingenieurwes., 1963, Bd. 1, № 1, S. 2; Zeh-
ner P., Schlunder E. U. — Chem.-Ing. Techn., 1973, Bd. 45, № 5, S. 272.
33. Аэров М. Э., Наринский Д. Л, Шейнин Б И. — ТОХТ, 1968, т 2, № 4,
с. 575
34. 'Yagi SM Kunii £>., Endo К. — Int. J. Heat Mass Transf., 1964, v. 7, № 3,
p. 333.
171

35. Kwong S. S., Smith /. M. — Ind. Eng. Chem., 1957, v. 49, № 5, p. 894.
36. Quinton J. H.,Storrow /. A. — Chem. Eng. Sci., 1956, v. 5, № 6, p. 245..
37. Calderbank P. #., Pogorski L. Л. — Trans. Inst. Chem. Eng., 1957, v. 35,
p. 195.
38. De Wasch A. P., Froment G. E. — Chem. Eng. Sci., 1972, v. 27, № 3, p. 567.
39. Tsang T. Я., Edgar T. F.y Hougen J. 0. — Chem. Eng. J., 1975, v. 11,
№ 1, p. 57.
40. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М., Высшая школа, 1967.
41. Campbell I. M., Huntington R. L. — Petr. Ref., 1958, v. 31, p. 123.
42. Baddour R. /\, Yoon C. /. — Chem. Eng. Progr. Symp. Ser., 1961, v. 57,
№ 32, p. 35.
43. Coberly C. A.f Marschall W. R. — Chem. Eng. Progr., 1951, v. 47, Nfe 3,
p. 141.
44. Olbrich W. £., Potter О. Е. — Chem. Eng. Sci., 1972, v. 27, № 9, p. 1723.
45. Gunn D. /., De Suza J. F. C. — Chem. Eng. Sci., 1974, v. 29, № 6, p. 1363.
46. Яарийский Д. А. и др. — ТОХТ, в печати.
47. Smith /. W.t King D. Я. —Canad. J. Chem. Eng., 1975, v. 53, № 1, p. 41.
48. Бондарева А. /(., Тодес О. M.— ИЖФ, 1960, т. 3, № 1, с. 105.
49. Аэров М. а, Умник Я. Я — ЖТФ, 1951, т. 21, № 11, с 1364.
50. Аэров М. 3., Батищев Я. Ф. — Кинетика и катализ, 1960, т. 1, № 3, с. 478.
51. Гельперин Я. И., Каган А. М.— Хим. пром., 1963, № 8, с. 620.
52. Schumacher R. — Chem.-Ing. Techn., 1960, Bd. 32, № 9, s. 594.
53. Olbrich W. £., Potter О. Е. — Chem. Eng. Sci., 1972, v. 27, № 9, p. 1733.
54. Hennecke F. W.y Schlunder E. U. — Chem.-Ing. Techn., 1973, Bd. 45, N2 5,
S. 277.
55. Hanratty T. J. — Chem. Eng., Sci., 1954, v. 3, № 5, p. 209.
'56". Ветров Б. Я., Тодес О. М. — ЖТФ, 1956, т. 26, № 4, с. 800.
57. Ram W. E. — Chem. Eng. Progr., 1952, v. 48, p. 141, 173.
58. Rome P. N., Claxton K. T.t Lewis /. B.-— Trans. Inst. Chem. Eng., 1965,
v. 43, № 1, p. 14.
59. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. М. — Л., Машгиз, 1957.
60. Happel /. AlChE J., 1958, v. 4, № 3, p. 197; 1959, v. 5, № 2, p. 174.
61. Pfeffer #. — Ind. Eng. Chem. Fund., 1964, v. 3, p. 380.
62. Kusik С L., Happel /. — Ind. Eng. Chem. Fund., 1962, v. 1, p. 163.
63. Zabrodsky S. S. —Int. J. Heat Mass Transf., 1963, v. 6, № 8, p. 989.
64. Петухов Б. С. Теплопередача и сопротивление при ламинарном течении
в трубах. М., Энергия, 1967.
65. S<j>rensen I. P., Stewart W. £. — Chem. Eng. Sci., 1974, v. 29, № 4, p. 818.
66. Кафаров В. В. Основы массопередачи. Изд. 2-е. М., Высшая школа, 1972.
67. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория тепло- и массопереноса. М. — Л.,
Госэнергоиздат, 1963.
68. Берд Р., Стьюарт Б., Лайтфут Е. Явления переноса. Пер. с англ. Под
ред. Н. М. Жаворонкова. М., Химия, 1974.
69. Федоров И. М. Теория и расчет процессов сушки во взвешенном
состоянии. М., Госэнергоиздат, 1955.
70. Дьяконов Г. /(., Семенов Г. Л. —Изв. АН СССР. ОТН, 1955, № 7, с. 109.
71. Jolls К. R., Hanratty Т. /. —AlChE J., 1969, v. 15, Кя 2, p. 199.
72. Кондратьев Г. М. Регулярный тепловой режим. М., Гостехиздат, 1954.
73. Schumann Т. Е. W. — J. Franklin Inst., 1929, v. 208, p. 405.
74." Жуховицкий А. Л., Забежинский Я. Л., Тихонов А. Я— ЖФХ, 1945, т. 19
№ 6, с. 253.
75. Thomas С. —Ann. N. Y. Acad. Sci., 1948, v. 49, p. 161.
76. Серов Е. Я., Корольков Б. П. Динамика процессов в тепло- и массо-
обменных аппаратах. М., Энергия, 1967.
77. Кэйс В. М., Лондон А. Л. Компактные теплообменники. Пер. с англ. Под
ред. Ю. В. Петровского. М., Энергия, 1967.
78. Караваев Я. Л1, Майков В. Я. —Изв. АН СССР. ОТН, 1956, № 6, с. 89.
79. Нарийский Д. А. — Теплоэнергетика, 1970, № 3, с. 40.
80. Ветров Б. Я., Тодес О. М.-ЖТФ, 1955, т. 25, № 5, с. 1217.
81. Наринский Д. Д., Аэров М. 3. — ТОХТ, 1972, т. G, № 1, с. 140.
82. Биксон Я. М Тодес О. ЛТ. — ДАН СССР, 1950, т. 75, № 5, с. 727.
172

83. Handley D., Heggs P. J. — Int. J. Heat Mass Transf., 1969, v. 12, № 5,
p. 549.
84. Meek R. M. G. — Int. Develop, in Heat Transfer. ASME, Colorado, 1961,
part JV, p. 770.
85. lindauer C. C —AlChE J., 1967, v. 13, № 6, p. 1181.
86. Goss M. /., Turner G. A —Ibid., 1971, v. 17, № 3, p. 590.
87. Littman #., Barile R. G., Pulsifer A. H. — Ind. Eng. Chem. Fund., 1968,
v. 7, № 4, p. 554.
88. Asbjornsen О. Л., Wang В. —Chem. Eng. Sci., 1971, v. 26, № 5, p. 585.
89. Главачка В. — ИФЖ, 1975, т. 28, № 4, с. 604.
90. Аэров М. Э.у Умник Я. Я. — ЖТФ, 1956, т. 26, К° 6, с. 1233.
91. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической
кинетике. Изд. 2-е, М., Наука, 1967.
92. Жаворонков Я. M.f Гильденблат И. Л., Рамм В. М.— ЖПХ, 1960, т. 33,
с, 1790.
93. Von der Decken С. В. е. а. — Chem.-Ing. Techn., 1960, Bd. 32, Кя 9, S. 591.
94. Bradshaw R. D.t Bennet C. O. —AlChE J., 1961, v. 7, № 1, p. 48.
95. Bradshaw R. £>., Myers J. £. — AlChE J., 1963, v. 9, № 5, p. 590.
96. Petrovic L. /., Thodos Q. — Ind. Eng. Chem. Fund., 1968, v. 7, № 2, p. 274.
97. Baumeister £., Bennet C. O. — AlChE J., 1958, v. 4, № 1, p. 69.
98. Glaser M. В., Thodos G. — Ibid., 1958, v. 4, № 1, p. 63.
99. Glaser H. — Chem.-Ing. Techn., 1962, Bd. 34, № 7, S. 468.
100. Denton W. Я., Robinson C. Я., Tibbs R. 5. —Res. group U. K. Atomic
Energy, 1963, AERE-R4346.
101. Jeschar R. — Arch. Eisenhuttenwes., 1964, Bd. 35, № 6, S, 517.
102. Wadsworth /. Л. — Int. Develop, in Heat Transfer. ASME, Colorado, 1961,
- part IV, p. 759.
103. Lydersen A. — Diss. Techn. Hochschule. Trondheim, 1950.
104. Baldwin D. £.— D. Ph. Thesis. Carnegie Inst. Techn., 1961.
105. Забродский С. С, Житкевич Л. К. — В кн.: Тепло- и массообмен в
технологических процессах и аппаратах. Минск, 1966.
106. Лебедев П. Д., Петров-Денисов В. Г. — В кн.: Тепло- и массоперенос. —
М. —Л., Энергия, 1966, т. V, с. 111.
107. Линдин В. М., Казакова Е. Л.— Хим. и нефт. маш., 1965, № 6, с. 23.
108. Dryden С. £., Strand D. Л., Withrow A. E. — Chem. Eng. Progr., 1953,
v. 49, № 2, p. 191.
109. Wilson E. /., Geankoplis C. /. — Ind. Eng. Chem. Fund., 1963, v. 2, № 1,
p. 126; 1966, v. 5, № 1, p. 9.
110. Karabelas A. /., Wegner 7\ #., Hanratty T. /. — Chem. Eng. Sci., 1971,
v. 26, № 10, p. 1581.
HI. Gupta S. N., Chaube #. В., Upadhyay S. M — Chem. Eng. Sci., 1974, v. 29,
№ 3, p. 830.
112. Gupta A. 5., Thodos G. — AIChEJ., 1963, v.. 9, № 6, p. 751; Ind. Eng.
Chem. Fund., 1964, v. 3, № 2, p. 218.
113. Брандес Э. Н. и др. — ТОХТ, 1973, т. 7, № 3, с. 395.
114. Комаровский А. Л., Стрельцов В. В.— Труды Новочеркасск, политехи,
ин-та, 1962, вып. 132, с. 57.
115. Barker /. /. — Ind. Eng. Chem., 1965, v. 57, JSfe 4, p. 43.
116. Wakao JV., Tanasho S. — Chem. Eng. Sci., 1974, v. 29, № 9, p. 1991.
117. Miyauchi Г., Kataoka #., Kikuchi T. — Ibid., 1976, v. 31, № 1, p. 9.
118. Kunii £>., Suzuki Af. —Int. J. Heat Mass Transf., 1967, v. 10, № 7, p 845.
119. Cybulski A. e. a.-*Chem. Eng. Sci., 1975, v. 30, № 9, p. 1015.
120. Nelson P. Л., Galloway T. R. — Ibid., 1975, v. 30, № 1, p. 1.
121. Наринский Д. Л. — Теплоэнергетика, 1971, № 2, с. 52.
122. Гусев И. В., Никитина Я. Я., Аэров М. .9. — ЖТФ, 1956, т. 26, с. 2005.
123. Galloway Т. #., Sage В. Я., —Chem. Eng. Sci., 1970, v. 25, № 3, p. 495.
124. Аэров М. 9. и др. — ЖТФ, 1959, т. 29, № 7, с. 924.
125. Эйеенсон Л. С —Изв. АН СССР. ОТН, 1937, № 3, с. 353.
126. Наринский Д. Л. -ИФЖ, 1971, т. 20, JVfe 2, с. 344.
127. Ikeda К. е. a. —Chem. Eng. Sci., 1973, V. 28, № 1, p. 227.
128. De Wasch A. P., Froment G. F. — Ibid., 1971, v. 26, № 5, p. 629.
173

Оглавление
Предисловие 3
Глава I. ГЕОМЕТРИЯ ЗЕРНИСТОГО СЛОЯ 5
1.1. Обобщенные характеристики 5
1.2. Слой из шаров одинакового диаметра (монодисперсный
слой) ' 7
1.3. Слой из элементов различной формы и размеров .... 12
1.4. Структура слоя вблизи стенки аппарата 15
Литература 19
Глава II. АЭРОДИНАМИКА СТАЦИОНАРНОГО ЗЕРНИСТОГО СЛОЯ 21
II. Д. Общие соотношения при движении жидкости в
стационарном зернистом слое 21
Критерии подобия . 21
Течение в цилиндрической трубе 24
Обтекание шара 25
Обтекание совокупности нескольких и многих тел . . 29
II. 2. Течение в зернистом слое в условиях преобладания сил
вязкости 33
Капиллярная модель (внутренняя задача) 34
Модель на основе ансамбля шаров (внешняя задача) 38
II. 3. Течение при одновременном воздействии сил инерции и
вязкости 42
II. 4. Техника эксперимента при определении основных
параметров и гидравлического сопротивления зернистого слоя 47
Порозность слоя 47
Удельная поверхность зернистого слоя 50
Линейные размеры элементов зернистого слоя ... 52
Диаметр аппарата для загрузки зернистого слоя . . 53
Высота зернистого слоя 53
Измерение перепада давлений и расхода потока ... 53
II. 5. Результаты определения гидравлического сопротивления
зернистого слоя при течении в условиях преобладания
сил вязкости 54
Монодисперсный слой шаров 54
Монодисперсный зернистый слой из тел регулярной
формы (несфероидов) 55
Монодисперсный слой из частиц нерегулярной формы 56
Полидисперсные системы 58
II. 6. Результаты определения гидравлического сопротивления
зернистого слоя в условиях существенного влияния и
преобладания сил инерции ... 59
Типичные измерения для слоя шаров 59
Уравнения для коэффициента сопротивления в
зернистом слое из элементов сферической формы с
гладкой поверхностью в области Reэ < 2000 .... 62
174

Уравнения для коэффициента сопротивления в
зернистом слое из шаров с гладкой поверхностью в
области Re9 > 2000 . 64
Уравнения для коэффициента гидравлического
сопротивления в зернистом слое из цилиндров (таблеток,
гранул) и седлообразных элементов ... 64
Уравнения для коэффициента сопротивления в зернй-
стоем слое из колец 65
Уравнения для коэффициента гидравлического
сопротивления зернистого слоя из частиц нерегулярной
формы (моно- и полидисперсных) 65
П. 7. Гидравлическое сопротивление зернистого слоя с
упорядоченным расположением элементов в нем 67
II. 8. Сопоставление гидравлического сопротивления зернистого
слоя с гидравлическим сопротивлением составляющих его
элементов . ' 69
II. 9. Распределение скоростей газа в реальном зернистом слое 71
Плоское и пространственное течение жидкости.
Гидравлическое моделирование в зернистом слое ... 71
Распределение скоростей в зернистом слое с
различной порозностью, структурой упаковки и
переменной температурой газа 72
Экспериментальное определение скоростей газа
(жидкости) в зернистом слое. Профиль скоростей в
цилиндрической трубе 74
Литература 78
Глава III. ВНУТРЕННЯЯ ГИДРОДИНАМИКА СТАЦИОНАРНОГО
ЗЕРНИСТОГО СЛОЯ 82
III. 1. Флуктуации скорости потока в стационарном зернистом
слое 82
III. 2. Диффузионный перенос вещества в зернистом слое . . 84
Коэффициенты диффузии и дисперсии 84
III. 3. Отдельные составляющие массопереноса в зернистом
слое . ... 88
IIL4. Коэффициенты продольной дисперсии в зернистом слое 89
Модели массопереноса в зернистом слое .... 89
Релаксационный коэффициент диспепсии 91
Влияние неравномерности распределения по сечению
и флуктуации скорости потока на коэффициент
продольной дисперсии 92
Безразмерная форма коэффициентов дисперсии ... 92
III. 5. Экспериментальное определение коэффициентов
поперечной диффузии 93
III. 6. Экспериментальное определение коэффициентов
продольной дисперсии 98
Литература 101
Глава IV. ТЕПЛО- И МАССООБМЕН В СТАЦИОНАРНОМ
ЗЕРНИСТОМ СЛОЕ 103
IV. 1. Теплопроводность в зернистом слое с неподвижной
газовой (жидкой) фазой 103
IV. 2. Естественная конвекция в зернистом слое и ее влияние
на коэффициент теплопроводнрсти 107
IV. 3. Теплопроводность в зернистом слое с движущейся
газовой (жидкой) фазой (при вынужденной конвекции) 111
Общие положения . . . .... 111
Обзор методов определения коэффициентов
теплопроводности в зернистом слое с движущейся
газовой (жидкой) фазой » . 113
175

Методика совместного определений радиального и
продольного коэффициентов теплопроводности в
зернистом слое 116
Опытное определение коэффициентов
теплопроводности в зернистом слое 118
Определение коэффициентов теплопроводности в
зернистом слое при больших числах Рейнольдса . . .121
Результаты экспериментальных определений
коэффициентов теплопроводности в зернистом слое . . .123
IV. 4. Теплопередача от труб, заполненных зернистым слоем.
Пристенное сопротивление теплопереносу 127
Общие положения 127
Обзор методов определения пристенных
коэффициентов тепло- и массообмена в зернистом слое . . .129
Связь коэффициентов теплопередачи и
теплопроводности в трубах с зернистым слоем 130
Опытное определение пристенного коэффициента
теплоотдачи в зернистом слое 133
Результаты экспериментальных определений
пристенных коэффициентов тепло- и массообмена в трубах
с зернистым слоем 134
Расчет общего коэффициента теплоотдачи трубы с
зернистым слоем 138
IV. 5. Тепло- и массообмен между зернистым слоем и потоком
газа (жидкости) 140
Общие положения 140
Обзор методов определения коэффициентов тепло- и
массообмена в зернистом слое 143
Опытное определение коэффициентов межфазного
массообмена в зернистом слое ........ 148
Определение коэффициентов межфазного теплообмена
в зернистом слое при больших числах Рейнольдса 149
Результаты экспериментальных определений
коэффициентов массо- и теплообмена в зернистом слое 153
Рекомендуемые зависимости для коэффициентов
тепло- и массообмена между зернистым слоем и
потоком газа (жидкости). Дополнительные
вопросы межфазного тепло- и массообмена 165
IV. 6. Описание процессов теплопереноса в зернистом слое с
учетом разницы температур фаз 168
Литература 171
Михаил Эмануилович Аэров
Оскар Моисеевич Тодес
Дмитрий Александрович Наринский
Аппараты со стационарным зернистым слоем
Гидравлические и тепловые
основы работы