/
Tags: теория чисел
Text
Л. М. БАТУНЕР, М. Е. ПОЗИН
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ
В ХИМИЧЕСКОЙ
ТЕХНИКЕ
6-е издание, исправленное
под общей редакцией проф. М. Е. ЛОЗИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ХИМИЯ»
Ленинградское отделение
1971
УДК 51166
3-14-1
74-71
Л. М- Батунер, М. Е. Позин, Математические
методы в химической технике, Изд-во«Химия»,
Л. 1971. 824 стр., 82 табл., 207 рис.
В книге показаны способы решения раз-
различных задач в химии и химической технике
с помощью высшей математики. Приведенные
многочисленные примеры взяты из лаборатор-
лабораторной и заводской практики и являются типич-
типичными. Аналогично этим примерам решаются
задачи, с которыми постоянно встречаются
химики в своей практической деятельности.
Книга рассчитана на широкий круг хими-
химиков и инженеров, занимающихся расчетами
химико-технологических процессов. Она может
служить пособием для студентов химико-тех-
химико-технологических вузов и для аспирантов.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Математика все шире внедряется в химическую практику —
математический анализ становится неотъемлемым средством хими-
' ческой науки и техники. В соответствии с этим пятое издание книги
существенно дополнено. Большинство глав расширено, в них включены
новые задачи и примеры.
Добавлены новые главы: Математическое моделирование химиче-
химической кинетики, Определители и матрицы, Линейное программирова-
программирование, Гиперболические функции, Эллиптические интегралы и функ-
функции. Эти главы также содержат типичные примеры из химии и
химической технологии.
В пятое издание книги внесены исправления и изменения в соот-
соответствии с замечаниями, полученными авторами как от советских
читателей, так и в связи с изданием переводов этой книги во многих
зарубежных странах. Авторы благодарят всех читателей, способ-
способствовавших улучшению книги. Все новые замечания и пожелания также
будут приняты с благодарностью.
Главы I-XX, XXI (% 3-19), XXII, XXIII (§ 2-9) и XXIV
(§ 4—17) написаны кандидатом технических наук доцентом
Л. М. Батунером.
Глава XXI (§ 1 и 2), § 1 гл. XXIII, гл. XXIV (§ 1-3) и
гл. XXV написаны доктором технических наук проф. М. Е. Позиным.
Авторы приносят благодарность Б. В. Филиппову за ценные со-
советы при просмотре дополнений к этому изданию.
Авторы
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Прошло уже более двухсот лет с тех пор, как химия перестала
быть наукой, только описывающей наблюдения над превращением
веществ. После того, как гениальный М. В. Ломоносов ввел в химиче-
химическую практику весы, знание математики стало необходимым для
каждого химика. Роль математики, как сильнейшего орудия химии,
усилилась с развитием физической химии, химической термодинамики
и кинетики, теории расчетов химической аппаратуры ь1 пр. Еще
1* 3
в 1741 г. М. В . Ломоносов, в своем сочинении «Элементы математиче-
математической химии», писал: «. . .если математики из сопоставления не-
немногих линий выводят очень многие истины, то и для химиков я не
вижу никакой иной причины, вследствие которой они не могли бы
вывести больше закономерностей из такого обилия имеющихся опытов,
кроме незнания математики».
Использование приемов высшей математики в решении химиче-
химических и химико-технологических вопросов позволяет получить наиболее
ценные результаты, достижение которых иными путями часто
оказывается невозможным.
Для химика важно умение пользоваться математическим ап-
аппаратом, он должен уметь выбрать из многочисленных методов и
приемов математики те, которые нужны для решения данной ин-
инженерной задачи, и правильно воспользоваться ими. Но это требует,
прежде всего, знания таких методов и приемов.
Авторы книги «Математические методы в химической технике» —
не математики, а химики, и эта книга не является ни учебником,
ни монографией по математике. Она написана с целью показать
химикам эффективность использования методов высшей математики
в их практической деятельности и дать им возможность освоить эти
методы. Понятно, что эта цель может быть достигнута только
путем изложения примеров решения конкретных задач химической
техники. Настоящая книга содержит много таких примеров, часть
которых составлена авторами, а часть заимствована из разных
трудов по прикладной математике, химии и химической технологии.
В книге приводятся основные важнейшие элементы высшей матема-
математики в том объеме, который может быть освоен и использован хи-
химиком. Авторы не стремились к строгости выводов рекомендуемых
в книге математических приемов, поскольку ими преследовались
лишь практические цели.
Глава I
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ
Методы дифференциального исчисления применяются, главным
образом, при рассмотрении таких явлений, при которых состояния
тел и их свойства непрерывно изменяются.
К какому бы роду явлений ни принадлежало рассматриваемое
нами явление, его исследование только тогда можно считать удовле-
удовлетворительным, когда достигаются два общих результата: i) когда
становится известным закон, выражающий общий ход явления, и
2) когда установлено, как протекает явление в каждый произвольно
взятый момент и чем оно определяется. Очевидно, что общий ход
явления и отдельные моменты его должны находиться в причинной
связи.
Достаточно знать общий закон, управляющий явлением, чтобы
путем вычисления определить отдельные его моменты и свойства;
точно так же с помощью вычисления можно вывести общий закон
явления, если известна закономерность для отдельных его фаз. До-
Достигается это с помощью методов высшей математики.
Так, например, исходя из общего закона действующих масс,
можно установить те формулы, которые показывают ход химического
процесса и определяют его конечное состояние. Точно так же, сделав
допущение, что тепловой поток прямо пропорционален разности
температур, можно дать способы вычисления распределения тепла
в любом проводнике тепла.
Каковы же те представления, которые дают возможность прила-
прилагать математические методы к рассмотрению различных процессов?
Каковы те вспомогательные средства, с помощью которых можно
безошибочно переходить от общего закона к частному случаю, и
наоборот?
Когда воздух, передающий звук своими колебаниями, претерпе-
претерпевает ряд попеременных разрежений и сгущений, когда при взрыве
газа температура быстро возрастает до определенного максимума,
а затем снова быстро падает, — всякий раз мы имеем дело с явле-
явлениями, картина которых в любой момент отличается от существо-
существовавшей в предыдущей. Чтобы уяснить себе эти явления, мы
обыкновенно разлагаем их на «элементарные составные части», на
целый ряд одиночных явлений, длящихся минимальное время, и до-
допускаем, что в течение означенного промежутка времени явления
протекают равномерно. Такой прием имеет весьма важное значение.
Приведем пример.
Скоростью тела, движущегося прямолинейно и равномерно,
называется путь, пройденный им в секунду. Но если тедо движется
неравномерно, то, чтобы получить представление о его скорости,
приходится прибегнуть к вспомогательному способу, состоящему
в том, что мы расчленяем процесс движения на ряд малых промежут-
промежутков и предполагаем, что в течение каждого из них явление идет
равномерно, т. е. с постоянной скоростью, причем от одного интер-
интервала к другому скорость изменяется скачками.
Совершенно аналогично поступаем и в других случаях. Если же-
желательно получить представление о действии силы тяжести, необ-
необходимо прибегнуть к допущению, что через одинаковые малые про-
промежутки времени эта сила сообщает падающему телу импульсы,
каждый раз сразу изменяющие скорость движения и притом таким
образом, что в течение всего промежутка времени скорость эта
остается постоянной.
Рассматривая расширение жидкости при нагревании, или сжатие
газа при изменении давления, или ход химической реакции, или лю-
любые другие процессы, мы обычно расчленяем их на отдельные эле-
элементы, что облегчает нахождение искомых закономерностей.
Описанный прием исследования явлений имеет поэтому характер
приближенного метода. Чем меньше взятые интервалы, тем больше
степень приближения.
Значительное число встречающихся на практике задач связано со
скоростью превращений или изменений с течением времени, как это
имеет место в периодических процессах, но часто переменной явля-
является скорость изменения какой-либо величины не относительно
времени, а относительно положения массы в пространстве, концентра-
концентрации и т. п. Так, например, для теплообменника непрерывного дей-
действия может быть установлен закон изменения скорости, с которой
передается тепло в каждой точке аппарата; закон трения определяет
переменные, влияющие на величину потери напора при движении
жидкости в трубопроводе.
При изучении зависимостей, описывающих различные процессы,
в первую очередь встает вопрос о нахождении скорости этих про-
процессов. Задача об определении скорости, с которой изменяется пере-
переменная величина, приводит к одному из важнейших понятий на-
науки — к понятию производной.
Представим себе, что по прямой линии движется точка М. Обо-
Обозначим через х — время, а через у — путь, пройденный точкой за
время х. Так как точка движется, то у будет изменяться с измене-
изменением х; у будет функцией от х, т. е. у = f (x). Если придать перемен-
переменной х приращение Ах, то у получит некоторое приращение Ау =
= f(x-\- Ах)—f(x). Рассмотрим промежуток времени от х до
6
\ Ах и вычислим среднюю скорость движения на этом промежутке.
Для этого путь, пройденный точкой, нужно разделить на величину
самого промежутка времени, т. е. Ау разделить на Ах:
Ау
Средняя скорость движения = -д—
Если теперь предположить, что Ах уменьшается, приближаясь
Ау -¦
при этом к нулю, то выражение -^- будет давать средние скорости
движения для уменьшающихся промежутков времени от х до
ж-f Дж, Предел, к которому стремится 4^-, если Ах стремится к О
(если он существует), выражает истинную скорость v, с которой
движется точка в момент времени х:
Дя-s-O
АИ.
Ах
Отметим, что необходимым условием существования этого пре-
предела является: Ау -> 0 при Ах -> 0; иначе -^- -> оо при Ах -> 0.
К нахождению подобного предела приводят многочисленные за-
задачи. Поэтому возникает необходимость изучить самостоятельно
процесс вычисления подобного предела и выявить его свойства.
Предел, рассмотренный нами, представляет собою некоторую но-
новую функцию от х, которая называется производной от исходной
функции и обозначается
Ау
у' или /' (х) = lim -г—
д*->-о ах
A)
Итак: производной функции у по независимому переменному х
называется предел отношения приращения функции Ау к соот-
соответствующему приращению независимого переменного Ах, при Ах ->-0.
Какой бы процесс ни описывался изучаемой нами функцией
у = f(x), производную у' с физической точки зрения можно пред-
представить себе как скорость, с которой протекает этот процесс.
Еслит — время, a Q — количество вещества, полученного в ре-
результате некоторой реакции к моменту т, то Q есть функция от т;
производная Q есть функция, выражающая скорость, с которой
протекает реакция.
Если т — время, a Q — количество электричества, протекающего
через- сечение проводника в единицу времени, то Q' есть иаменение
силы тока.
Наконец, если Q выражает собой переменную температуру на-
нагревающегося тела, то производная Q' есть скорость нагревания.
Если отвлечься от физического смысла переменных х та. у, то
производная от у по х выражает скорость изменения у в зависимости
от изменения х.
Производная имеет важный геометрический смысл.
Пусть кривая (рис. 1-1) представляет график функции?/ —f(x).
Найдем угловой коэффициент* касательной к этой кривой в неко-
некоторой точке Р (х, у), лежащей на этой кривой.
Возьмем накривой точку Р% (х -\-Ах, у -\- Ау), близкую к точке Р.
Угловой коэффициент хорды РРг будет, очевидно, tga = -^-. Если
теперь Ах (и Ау) начать приближать к нулю, то направление хорды
РРг будет приближаться к направлению касательной в точке Р.
Следовательно
tga' = \im-^- = V' B)
1
-" о
У
Л
Лх
их
ЛУ
А
/ x х+йх "
Рис. 1-1.
Рис. 1-2.
На основании определения производной, данного выше, мы видим,
что с геометрической точки зрения производная функции у = f{x)
в точке х = а есть тангенс того утла, который касательная к кривой
у = f(x) в точке х = а образует с положительным направлением
оси ОХ.
Из геометрического смысла производной следует, что если в ка-
какой-либо точке производная положительна, то сама функция возра-
возрастает в этой точке; если же производная отрицательна, то функция
убывает.
Отметим, что не всякая функция имеет производную. Для суще-
существования производной необходимо, чтобы отношение —¦ стремилось
к определенному пределу при Да; -*¦ 0. Для этого обязательно, чтобы
к кривой, изображающей функцию у =/(ж), можно было провести
определенную касательную (и притом непараллельную OY). На
рис. 1-2 изображен график функции, не имеющей производной
в точках А и В.
Операция отыскания производной некоторой функции назы-
называется дифференцированием этой функции.
* Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла, который эта
прямая образует с йоложительным направлением оси ОХ.
§ 2. ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
В настоящем параграфе мы установим правила дифференцирова-
дифференцирования и выведем основные формулы для производных от элементарных
функций.
1. Производная постоянной величины равна нулю. Это следует
из физического смысла производной: постоянная величина не меня-
меняется, скорость ее изменения равна нулю.
2. Производная степенной функции у = хп. Если х получает
приращение Ах, то у получит приращение
Предполагая п целым и положительным, преобразуем (х-\-Ах)п.
по формуле бинома Ньютона. Найдем
Ау = пх?1-1 ¦ Ах + . . .
причем точками обозначены слагаемые, содержащие Ах в степени
выше первой:
Переходя к пределу при Ах -> 0, найдем:
Отметим, что выведенная нами формула
справедлива также и для дробных и отрицательных п. Например
/ 1 V 1
(а;3)'=3а:2; (— ) = (аГ1)' = — 1 • ж = _ —-
(Vx)'J
Если объем газа V находится под давлением Р, то Р и V, как
известно, связаны зависимостью:
где Fo и Ро—первоначальные объем и давление.
Если эту зависимость решить относительно V
tr
то, взяв производную, получим скорость изменения объема в зави-
зависимости от изменения давления:
рг
Производная оказалась отрицательной. Это означает, что при
увеличении давления объем уменьшается.
3. Производная сннуса н косинуса. Пусть у = sin х; если at
получает приращение Ах, то у получит приращение
Ay = sin (х -\- Ах) — sin х = 2 cos ( х + —— J sin
2
Ay
—
•
T)
Ах
2
Если Да: —>- О, то первый множитель правой части стремится
к cos х, а второй множитель приобретает неопределенный вид — .Для
нахождения предела, к которому стремится второй множитель, вос-
воспользуемся следующей важной теоремой, доказываемой в теории
пределов.
Если угол х измерен в радианах и если ж->0, то
sin a:
х
Ах
•1
Отсюда заключаем, что
Следовательно
sin
Ах
1, когда Ах ->0.
- = cosz; (sin x)' = cos a;
Д-e-s-O "~
Аналогично можно показать, что
(cos х)'' = —sin а;
4. Производная алгебраической суммы нескольких функций равна
такой же сумме производных отдельных слагаемых. Если у = и(х);
z = v (ж); t = w(x), то
Например, если у = ж4 + cos х, то у'=4ж3 — sinx.
5. Постоянный множитель выносится за знак производной.
Если у = аи{х), где а — постоянное, то
у' = аи (х)
Например, если у = 4^, то у' = 20ж4.
6. Производная произведения. Пусть y~-uv, где и и у —
функции от х. Тогда
Ау — (и-\- Аи) (y-j-Av) — uv = v Au-\-u
Ау Аи Av Av
-—— = v — \-и ——Л-Аи -г—
Да: Ах Ах г Ах
Если Ax -> 0, то —-, -r^-, -т-^стремятся, соответственно, к у', и',
v', а Аи -> 0. Тогда имеем:'
у' = (uv)' = ы'у-j- ыу'
Примеры. 1) y = xsinx; у'= (х)' sin x+x (s\nx)'= smx-{-x cos г;
2) j/= sin г cos г; j/' = (sin«)' cos«+sin« (cos«)' = cos2 x—sin2 г.
7. Производная частного. Пусть у = — , где и и у — функции
от х. Перепишем это соотношение в виде u = yv н продифферен-
продифференцируем, применяя формулу для производной произведения. Найдем
I , , , U V'
u=yv-\-yv, откуда у =— у —
Заменяя здесь i/ на —, приходим к формуле
г/ =-
u'v — v'u
на
Пример, у = tg* =
1
COS X ' " COS2 X
Аналогично можно убедиться, что производная от ctg x равна —
8. Производная логарифма. Пусть J/=lgaa:- Тогда
COS2 X
1
Ау
Ах
Ах
Для исследования предела, к которому стремится это выражение,
когда Ах -> 0, примем
Аж 1
Тогда
Если Аж -> 0, то t неограниченно возрастает, и мы имеем!
Предел, стоящий в квадратных скобках, имеет важное значение
в науке и технике.
И
В теории пределов доказывается, что если t неограниченно воз-
/ 1 \'
растает, то (l+y) стремится к конечному пределу; этот предел
обозначают символом е:
lim A + 4-1 =(
t-*-oo
Приближенное численное значение е равно:
е = 2,71828 . . .
C)
D)
Таким образом, возвращаясь к отысканию производной лога-
логарифма, мы видим, что
Эта формула упрощается в том случае, когда за основание а
системы логарифмов принято само число е, т. е. если а = е. В этом
случае lgae = l, и мы имеем:
X
Система логарифмов, за основание которой взято число е, имеет
важные теоретические преимущества и называется натуральной
системой логарифмов. Натуральный логарифм числа х будем в даль-
дальнейшем обозначать In x.
Для натуральных логарифмов составлены таблицы, которые по-
помещены во всех полных математических справочниках. Укажем.фор-
мулу, связывающую десятичный и натуральный логарифмы одного
и того же числа:
In а = 2,303 lg a; lg a = 0,434 In a
Приведем еще следующие формулы, связанные с числом ег
*->-0
9. Производная обратной функции. Пусть мы имеем такую
функцию y — f(x), что, решая уравнение у — f(x)=O относительно х,
приходим к однозначной функции ж = <р(г/). В таком случае функ-
функции / и <р называются обратными. Найдем соотношение между про-
производными у' (х) и х' (у). По определению имеем:
j,' = lim -M- = lim -i- =
Следовательно
-о Аг ду->-о Az
»'(*)=¦
lim
Ах
_1_
х'
г'(V)
12
10. Производная показательной функции. Пусть у—а*. Тогда
1 1
*=lgay и *'(!,)=— lgae = -^lgae
Пользуясь формулой производной обратной функции, находим:
у' М =
*'(»)
¦ = ах1па
В частности, если а — е, то (е*)' = е*.
11. Производные обратных круговых функций. Пусть у =
= arcsin х, причем мы рассматриваем главное значение arc, т. е.
я п
Тогда
x^siny; x' = cosy = Vi — sin2 j/ —Y\ — x2
Перед корнем здесь следует брать знак +, так как при
—5"^г/^-^- косинус положителен. Отсюда заключаем:
у
J
1
х' У\—Хг '
Аналогично можно доказать, что
(arcsin г)' =
1-х*
12. Производная сложной функции (функции от функции). Вы-
Выведенные формулы не дают возможности находить производные от
таких функций, как
у = Ya2 — х2 ; y=\nsinx; y = arcsinex
и др. Подобного рода функции называются функциями от функ-
функции или сложными функциями. Действительно, первая из них есть
функция (корень квадратный) от подкоренного выражения, которое
само есть функция от х.
В общем случае пусть
у = у{и), а и=и{х)
причем и (х) и у (и) предполагаются дифференцируемыми функциями.
Тогда у является сложной функцией от х. Мы найдем:
Ах
Аи Ах > д.с+0 Ах да^
Аи
Ах
Переходя к пределу, найдем следующую формулу для производ-
производной сложной функции:
/(*) = »'(«)•«'(*)
13
т.е. производная сложной функции равна производной этой функ-
пда по промежуточному аргументу, умноженной на производную
этого промежуточного аргумента по основному.
Примеры.
~х
iVai — x* Vat — :
„. , , (sin г)' cos г
2 y = lnsin«; y' = ±-.—'—=—. = ctg«
sin г sin г б
3) y=arcsine*; y' = -
1
¦(**)' = ¦
В заключение приводим сводку основных формул дифференци-
дифференцирования:
1. y = C; y' = 0
2. y = xn; y' = nxn-1
3. y = sinx', y'=cosx
4. у = cos x; y' = —sinx
I
10. „ = ?
y'=-
'¦-i
COS2 X
1
5. y =
6. y = i
7. y = <
8. w=»i
9» y = uv' y'=u'v+uv'
1
= l4-z2
11. y =
12. v = <
13. y = t
14. y =
15. V =
16. г/ =
17. v =
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
К понятию дифференциала приводит нас задача о вычислении
приращения функции. Пусть кривая (рис. 1-3) есть график функ-
функции у =/(ж).
Рассмотрим на этой кривой две точки Р и Pt с абсцисоами х
и х -f- Ax. Приращение функции между этими точками равно Ау
и геометрически представляется отрезком LPL.
Заменим теперь дугу кривой РРг касательной РТ к этой кривой
в, точке Р и рассмотрим то приращение, которое получила бы функ-
функция, если бы точка описывала не дугу PPlf а отрезок касательной
РТ. Это приращение обозначают dy и называют дифференциалом
функции:
Условимся в дальнейшем приращение независимого перемен-
переменного Ах обозначать dx:
Ax = dx E)
Тогда из треугольника PLT имеем tg т == у'
dy = LT = PLtgr = y'dx F)
Т. е, дифференциал функции равен производной $п\ой функции,
умноженной на приращение независимого переменного.
Приведем выражения для дифференциалов некоторых рассмотрен-
рассмотренных нами функций:
d sin x = cos x dx< d cos x = — sin x dx
d\,gx =
d (xn) =
dx
x »
d ctg x = г
dx
dx
sin2 г
d In x = ^- и т. д.
Присоединим сюда также формулы для
суммы, разности, произведения и частного:
d (и + v — w)|= du -\-dv — dw
d (uv)=v du-\-udv
v du — и dv
G)
d[cf (x)]=c df (x),
Примеры.
1) d(.
o = 0 и т. д.
=\пхdx-\-х
Рис. 1-3.
A + ln x) dx
( а
\ а
а + х
(а + ё)*
dy*=-
dx
4)
dx +
x dx
Vi + x*
dx+ d
x"+ V'i
dx
15
5) y = sin2 (rer-a)
dy = 2sin (mx—a)d[sin (mx— a)] = 2 sin (mi-a) cos (mx—a) d (mx— a) =
= 2 sin (тг—a) cos (mx—a) mdx
Приведем еще одну часто употребляемую формулу, получаемую
при делении формулы G) на uv, а именно:
d (uv) du , dv
uv и ~^ v
Если рассмотреть вопрос с физической точки зрения, то диффе-
дифференциал функции равен тому приращению, которое получила бы эта
функция, если бы на участке от х до х -f- dx она изменялась с по-
постоянной скоростью, а именно с той скоростью, с которой функция
изменяется в точке х.
В технических приложениях обычно вместо приращения функции
рассматривают ее дифференциал. Это приводит к сильным упроще-
упрощениям в вычислениях. Однако следует помнить, что при этом совер-
совершается ошибка, которая будет тем меньше, чем меньше dx. Можно
показать, что эта ошибка приблизительно равна A (dxJ, где А — не-
некоторая постоянная. С уменьшением dx эта ошибка быстро стремится
к нулю.
Из формулы F), определяющей дифференциал, следует:
dx
(8)
Производную функции можно, таким образом, рассматривать как
отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого
переменного. Наряду со штриховым обозначением производной,
весьма употребительно также обозначение ее в виде отношения
дифференциалов (8)..
Метод применения дифференциального исчисления к изучению
различных процессов состоит в том, что данный процесс мы разби-
разбиваем на ряд коротких процессов, каждый из которых предполагаем
протекающим равномерно. При этом приращение функции, опреде-
определяющей ход явления, мы заменяем ее дифференциалом.
Так, например, тело при нагревании в течение промежутка вре-
времени dx получает приращение тепла, выражаемое дифференциалом
dQ; при сжимании газа dV является тем изменением объема, которое
вызывается приращением давления dP; в химическом процессе в те-
течение времени dx количество превращенного вещества выразится
дифференциалом dx от запаса вещества, способного подвергаться
превращению, и т. д.
16
§ 4. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Если от производной у' = f'(x), которая является функцией
от х, взять еще раз производную, то получим новую функцию, ко-
которая называется второй производной данной функции f(x). Вторая
производная обозначается следующим образом:
у" или /" (х) или . 2
Так как первая производная с физической точки зрения пред-
представляет собою скорость изменения данной функции, то вторая про-
производная, очевидно, выражает собою ускорение, с которым изменя-
изменяется данная функция.
Если от второй производной взять снова производную, то по-
получим третью производную, которую обозначают так:
у'" или /'" (х) или -|^-
Аналогично определяются производные любого порядка. Для
производной порядка п применяют следующие обозначения:
d"y
или /(п) или
dxn
Производные высших порядков обычно находятся путем последо-
последовательного дифференцирования.
Пример.
у<=х2 1пх; у' = 2xlnx-j-x
y" = 2lnx+3; j/'" = -jHT. д.
§ 5. ГРАФИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Зная геометрический смысл производной, мы можем, имея график
некоторой функции, построить график ее производной.
fix)
о
О
dx
1
Е-
i
,>?)
и
1 ,
а
е
/"
f .
1 >
9'
i'
/
к'
4 5 6 7 8 9 W
График исходной функции
3 4 5 6 7
1 2- >J__I—YX 8 9 W
e, it
График производной финкции
Рис. 1-4.
Пусть верхняя кривая, изображенная на рис. 1-4, есть график
функции у = f (х). Проведем в точках с абсциссами х = 1, 2, 3 ...
касательные к этой кривой и рассмотрим треугольники оа'а, оф'Ь,
огс'с и т. д.
2 Заказ 1706
17
Производные в точках о, ои о2 и т. д. будут равны величинам от-
резкова'а, b'b, с'с и т. д., так как стороны оа, оф', о2с', ¦ . ¦ равны
единице.
Если на нижнем графике построить точки с координатами @, а'а),
A, b'b), B, с'с) и т. д. и соединить эти точки плавной кривой, то эта
кривая и будет графически представлять собою производную данной
функции. При этом следует обратить внимание на то, что ординаты
второй кривой могут оказаться отрицательными.
§ 6. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Во многих случаях переменная величина и зависит от двух и боль-
большего числа независимых переменных; функция имеет вид:
u = f(x и z ) (9)
При наличии только двух независимых переменных функциональ-
функциональную зависимость и = f(x, у) можно представить геометрически по-
поверхностью в пространстве.
Если мы примем у за постоянное, то и станет функцией от одного
только х. Производная функции и, вычисленная при этом предпо-
предположении, называется частной производной от и по а; и обозначается ^*.
Аналогично производная от и, вычисленная в предположении, чте
меняется только у, а х сохраняет постоянное значение, обознача-
обозначали «
ется д- и называется частной производной от и по у.
ди „ -.
Геометрически -г~ есть тангенс того угла, который образует с по-
положительным направлением оси ОХ касательная к кривой, получа-
получаемой сечением поверхности и = f(x,y) плоскостью, перпендикуляр-
перпендикулярной оси OY и проходящей через точку, в которой вычисляется про-
производная. (Аналогично у. J
Частная производная выражает собою скорость изменения функ-
функции е предположении, что меняется только одно независимое пере-
переменное, а другие сохраняют постоянные значения.
Выражения -?-dx и ¦?- dy называются частными дифференциа-
ох оу
лами функции и (по х и по у); они с точностью до малых величин
высшего порядка относительно dx и dy равны тем приращениям, ко-
которые получает функция и, когда изменяется только одно из неза-
независимых переменных.
Если изменяются оба независимых переменных, то полное при-
приращение, которое получает при этом функция, с точностью до малых
величин высшего порядка относительно dx и dy определяется полным
дифференциалом функции, который обозначается du и который равен
сумме ее частных дифференциалов:
ди , , ди ,
du -
(Ю)
18
Первая частная производная функции и по х есть функция от х
иг/, и ее можно продифференцировать по х, оставляя у постоянным.
В результате получим вторую частную производную и по х, обо-
д2и
значаемую -г-y .
Если — продифференцировать по г/, считая х постоянным, то
полученная при этом производная обозначается
д2и
дхду
Таким же образом дифференцирование —— дает две частные про-
производные второго порядка
некоторых условиях
и
g ^
Можно доказать, что при
Т=-
дхду ' дудх
Применим понятие полного диф-
дифференциала к уравнению газового
закона:
PV
R
Построив прямоугольник (рис.
1-5) с высотой Р и шириной V,
получим, что площадь его А, разделенная на R, должна равняться Т.
Если Р и V получают бесконечно малые приращения dP и dV, то
полный дифференциал Т на основании A0) будет равен:
Рис. 1-5.
Приращение Т, вызываемое приращениями dP и dV, пропор-
пропорционально общему приращению площади прямоугольника, т. е.
сумме зачерненных прямоугольников и небольшого углевого ква-
квадрата.
Между тем дифференциал dT', как видно из уравнения, пропор-
пропорционален сумме зачерненных площадей
VdP + PdV
и отличается от истинного приращения на небольшую площадь, про-
пропорциональную произведению дифференциалов dP dV. Эта площадь
является бесконечно малой величиной высшего порядка по сравнению
с dP и dV. Она пропорциональна той погрешности, которую мы
допускаем, когда приращение функции заменяем ее полным диффе-
дифференциалом.
§ 7. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЛОСКОСТНОГО И ОБЪЕМНОГО
РАСШИРЕНИЙ
Пусть мы имеем прямоугольную плоскую пластинку незначитель-
незначительной толщины, обладающую, благодаря своему строению, различ-
различными по разным направлениям коэффициентами расширения, —
2* 19
например, пластинку кристалла ромбической системы, вырезанную
перпендикулярно к одной из главных осей, между тем как стороны ее
совпадают с двумя другими осями. Если ее нагревать, то она будет
расширяться неодинаково по двум главным направлениям, сохра-
сохраняя, однако, свою прямоугольную форму. Требуется определить
ее термический коэффициент расширения е.
Этот коэффициент равен производной от площади F по темпера-
температуре, отнесенной к единице площади. Таким образом
__ dF J_
E~'~dT' F
Площадь прямоугольника F со сторонами х и у равна:
Тогда:
,r dF , . OF ,
dF = —— dx 4- —— dy
дх ' ду
Деля обе части равенства на dt и замечая, что
dF _ dF _
~~дх~ ~~у' а ~df~x
получаем!
dF _ dx , dy
~iT~y~dt^x~dt
Положим х = у — 1; в таком случае последняя формула даст
нам искомый коэффициент расширения площади F:
dF dx dy
dt ~~~dT~T~~df
Так как -?- и —-—не что иное, как коэффициенты линейного
dt dt
расширения по двум главным направлениям, то, следовательно,
коэффициент плоскостного расширения равен сумме коэффициентов
линейных расширений по главным направлениям.
Производные от х и у по t найдутся из выражения тех зависимо-
зависимостей, которые определяют расширение по обоим направлениям,
например, в первом приближении:
Следовательно
dx
и для коэффициента плоскостного расширения получим:
Аналогично этому можно вывести коэффициент объемного расши-
расширения прямоугольного параллелепипеда, неодинаково расширя-
расширяющегося по трем осям, как это имеет место, например, в кристалле
ромбической системы, ребра которого направлены по трем главным
кристаллографическим осям. Если ребра соответственно равны х, у
и г, то объем
V = x-y-z
20
и для коэффициента объемного расширения в случае х = у = z = t
мы, как и выше, получим
dx dy dz
т. е. коэффициент объемного расширения для куба равен сумме-
коэффициентов линейных расширений.
Последняя формула остается в силе при всякого рода зависимо-
зависимостях х, у и z от t. В наиболее простом случае, когда
мы найдем:
Для изотропного тела а
мулу
= р=у, и мы получаем известную фор-
форdV
3а
т. е. коэффициент объемного расширения равен утроенному коэф-
коэффициенту линейного расширения.
§ 8. МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ
Говорят, что функция у = f (x) достигает максимума в точке
х = х0, если ее значение f(x0) в этой точке больше всех ее значений
в ближайших точках, т. е.
если Аг/ <^ Q для всяких Ля,
положительных и отрицатель-
отрицательных, достаточно малых по
абсолютной величине.
Аналогично говорят, что
/ (х) достигает минимума
в точке х = х0, если f(x0) ¦<
< / (х) для всех х, доста-
достаточно близких к х0
D
Л
Кривая ABCDE (рис. 1-6)
0
Рпс. 1-6.
представляет функцию у =
= /(#). Значения у вблизи
точек А а С меньше значений у в точках А и С, и функция в этих:
точках имеет максимум.
Точно так же, вследствие того, что значения у вблизи точек В
и D больше значений у в этих точках, функция в этой точке имеет
минимум. Обращаем внимание на то, что термины «максимум* и
«минимум» не обязательно выражают наибольшее и наименьшее-
значения, которые принимает функция.
Геометрически из графика видно, что если в точке максимума
или минимума существует определенная касательная, то тангенс угла
наклона кривой в этой точке равен нулю или бесконечности, и так
как этот наклон определяется производной f'(x), то для нахождения
точек максимума и минимума надо решить уравнение f(x) = 0,
а также найти те значения х, при которых f'(x) обращается в беско-
бесконечность.
21
Однако, определив эти значения х, мы найдем не только точки
максимума и минимума, но вообще все точки, в которых касатель-
касательная параллельна оси ОХ или оси OY. Но к этим точкам принадлежит
также такая точка, как Е, в которой функция не имеет ни макси-
максимума, ни минимума (называемая точкой перегиба). Так как в при-
приложениях, главным образом, приходится встречаться с такими
максимумами и минимумами, в которых f'(x) = О, то точки, в ко-
которых }'(х) = °о, мы рассматривать не будем.
Итак, решая уравнение f(x) = 0 относительно х, мы получим
точки, в которых можем предполагать наличие максимума или мини-
минимума.
Для исследования вопроса о том, имеется ли в полученной точке
максимум или минимум или же нет ни того, ни другого, можно при-
применять разные приемы. Простейший из них основан на геометри-
геометрическом смысле знака первой производной. Мы видели, что если
в какой-либо точке первая производная положительна, то функция
в этой точке возрастает, а если отрицательна, то функция убывает.
Пусть в точке, в которой первая производная равна нулю, вторая
производная оказывается положительной. Тогда первая производная
в этой точке будет возрастающей, а так как она равна нулю в этой
точке, то, следовательно, она переходит от отрицательных значений
к положительным. Но если первая производная обращается в нуль
в некоторой точке, переходя при этом от отрицательных значений
к положительным, то сама функция из убивающей становится воз-
возрастающей и, следовательно, в этой точке функция имеет минимум.
Аналогично можно доказать, что если в точке, в которой первая
производная равна нулю, вторая производная оказывается отрица-
отрицательной, то в этой точке функция имеет максимум.
Однако, пользуясь этим методом, мы не можем установить нали-
наличие или отсутствие максимума или минимума в точках, в которых
•одновременно f'(x) = 0 и f"(x) = 0.
Итак, если в некоторой точке
то в этой точке функция имеет минимум, а если в какой-либо точке
у'=0; у"<0
то в этой точке функция имеет максимум.
§ 9. НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДАВЛЕНИЯ
ПРИ ДВУХСТУПЕНЧАТОМ СЖАТИИ ГАЗА
Рассмотрим двухступенчатое обратимое адиабатное сжатие газа
от начального давления Р1 до конечного Р3. Если принять, что
производительность компрессоров в основном не зависит от проме-
промежуточного давления, отыскание оптимальных условий работы будет
заключаться в определении промежуточного давления Р2, для кото-
которого общий расход энергии является минимальным. Если газ посту-
22
пает с температурой Т1 и охлаждается до температуры Т между
ступенями сжатия, то работа выразится формулой:
w=
где W—работа, кГ-м;
N—количество сжимаемого газа, кмолъ;
R — универсальная газовая постоянная;
к — отношение теплоемкости при постоянном давлении к теп-
теплоемкости при постоянном объеме;
Тг— температура поступающего в компрессор газа, °К.
Если величина W должна быть минимальной, то производная
должна быть равна нулю, т. е.
1 ч l~fe 1 , , , ч fe-1 l~2fe I
к 1 х 2 \ к ) 3 * J
Решая это уравнение относительно Р2, получим
2ft-2
ft-i
ft :
ft-1
ft
откуда
A1)
Такое соотношение и выбирается для оптимального промежуточного
давления при двухступенчатом сжатии. В полученном выражении
для Р2 отсутствует величина к, и поэтому оно справедливо для лю-
любого политропического сжатия.
Решенная нами задача о компрессоре может быть обобщена на
случай трехступенчатого сжатия.
Для оптимальных значений двух промежуточных давлений по-
получим следующие значения:
и P3 =
§ 10. ЗАДАЧА ОБ ЭКСТРАКЦИИ УКСУСНОЙ КИСЛОТЫ
Рассмотрим экстракцию уксусной кислоты из разбавленного вод-
водного раствора бензолом. Общий объем бензола В распределяется
на три части, а именно Ъг, Ь2 и Ъ3, для трех последовательных экст-
экстрагирований кислоты из водного слоя.
Начальная концентрация уксусной кислоты в объеме а водного
слоя составляет х0. Примем, что при перемешивании не происходит
изменения объема и что закон распределения остается в силе после
каждой экстракции, т. е. у1 = кх,, у2 = кх2 и у3 — кх3, где у — ве-
весовая концентрация кислоты в бензоле, а индексы 1, 2, 3 относятся
к порядковому номеру экстракции.
Из материального баланса для первой экстракции имеем
откуда
ах0
Для второй экстракции:
Для третьей экстракции:
a-\-b2k
I (a-f 02&) |
Чтобы получить наиболее полное извлечение при данном коли-
количестве бензола, значение х3 должно быть минимальным. Так как а3х0
является постоянной величиной, то знаменатель в уравнении для х3
должен иметь максимальное значение. Обозначим знаменатель через
и и приравняем частные производные от и по Ь1 и Ь., нулю; замечая,
что i9 == 6Х -(- 62 + Ь3, получим
ди
дЬг
ди
дЬ»
откуда
(а+Ь2к)
[(а-\-Вк — Ъхк — b2k)k — (
— b1 — b2=b3 = b1 и B — b1 — b2^b3 =
Т. е. Ьх — Ь^ —
Нетрудно видеть, что этот результат является общим и, следо-
следовательно, для максимального извлечения вещества при экстракции
следует пользоваться равными количествами растворителя в виде
-отдельных порций, независимо от того, на сколько частей разделено
общее количество растворителя В.
§11. НАХОЖДЕНИЕ МАКСИМАЛЬНОЙ СКОРОСТИ ОКИСЛЕНИЯ
ОКИСИ АЗОТА
Газовая смесь состоит из окиси азота и кислорода. Требуется
таайти концентрацию кислорода, при которой содержащаяся в смеси
окись азота окисляется с максимальной скоростью.
В условиях практической необратимости скорость реакции 2N0 +
+ О2 = 2N0» выражается формулой:
-где х — концентрация N0 в любой момент времени;
у — концентрация 02;
к — константа скорости реакции, не зависящая от концентрации
реагирующих компонентов и зависящая только от темпера-
температуры.
24
Концентрации газов, будем выражать в объемных процентах.
Тогда
у = 100 — х и v = kx* A00—х) =
Найдем первую производную этой функции:
-^- = ?B00*-3*2) = О
Решая последнее уравнение, приняв во внимание, что к ^= 0г
находим: хх = 0, хг = 66,7%. Для того чтобы установить, какое
из полученных значений х соответствует максимальной скорости
окисления, найдем вторую производную функции:
-|^ = *B00-6*)
Подставляя значения хх и х2, находим, что при х = хх = 0 вто-
вторая производная больше нуля, т. е. скорость окисления минимальна
при концентрации окиси азота, равной нулю, что очевидно также из
физического смысла задачи. При х = хг — 66,7% вторая производ-
производная равна А; B00—6 ¦ 66,7), т. е. меньше нуля, следовательно, функ-
функция, т. е. скорость окисления, имеет максимальное значение.
Когда х = 66,7%, у = 100—66,7 = 33,3%, т. е. максимальная
скорость окисления окиси азота будет в том случае, если в газовой
смеси содержатся 33,3% кислорода, следовательно, при стехиометри-
ческом соотношении у : х = 0,5. Поскольку в процессе реакции
стехиометрическое соотношение сохраняется, то при содержании
в исходной смеси 33,3% кислорода скорость реакции будет отно-
относительно максимальной в течение всего процесса. Этот вывод спра-
справедлив для осуществления реакции окисления при любой темпера-
температуре, при которой реакция является практически необратимой, так
как полученный результат не зависит от величины константы ско-
скорости реакции к.
§ 12. СЛУЧАЙ, КОГДА В ГАЗОВОЙ СМЕСИ СОДЕРЖАТСЯ
ПОСТОРОННИЕ КОМПОНЕНТЫ
Решим задачу, аналогичную предыдущей, но для случая, когда
в газовой смеси, помимо окиси азота и кислорода, содержатся и дру-
другие компоненты, не принимающие участия в химической реакции
окисления окиси азота. Определим, при каком отношении у : х
скорость окисления максимальна.
Обозначим через z концентрацию компонентов газа, не участву-
участвующих в реакции. Остальные обозначения — те же, что и в предыду-
предыдущей задаче.
В этом случае х -{- у + z = 100% и у = 100 — z — х. Подста-
Подставляем это значение у в основное кинетическое уравнение;
v = kx* A00 — z — х) = А [A00—z) зР — х*]
где к — постоянная величина.
25
Находим первую частную производную этой функции по я и
приравниваем ее нулю:
-|j = к [2 A00-2) х—ЗхЦ = 0
Концентрации окиси азота и кислорода в смеси, выраженные
в объемных долях, будут:
Концентрация окиси азота = ¦
Находим корни последнего уравнения: % = 0, ж2=-§-A00 —z).
О
Подставив значения этих корней во вторую частную производную
Концентрация кислорода =
по х
-==k[2(iOO-z)—6x]
убеждаемся, что максимуму скорости окисления соответствует зна-
9
чение # = -^-A00 — г).
Так как у = 100 - г - х, то у = A00 - г) -J- A00- г) = i A00- г).
Следовательно, заданному условию максимальной скорости окис-
окисления отвечает отношение у : х = 0,5, т. е., как и в предыдущем
примере, стехиометрическое соотношение. Отсюда делаем вывод,
что максимальная скорость окисления окиси азота кислородом
будет иметь место при концентрации кислорода в смеси вдвое меньшей,
чем концентрация окиси азота, вне зависимости от того, присут-
присутствуют ли в смеси другие компоненты, не принимающие участия
в реакции, и в каких количествах.
§ 13. НАХОЖДЕНИЕ МАКСИМАЛЬНОЙ СКОРОСТИ ОКИСЛЕНИЯ
ПРИ СМЕШЕНИИ ГАЗА С ВОЗДУХОМ
Газ, содержащий окись азота, смешивается с воздухом. Опреде-
Определить, при каком содержании кислорода (в %) в полученной смеси
скорость окисления азота максимальна и какой объем добавляемого
к газу воздуха обеспечивает это количество кислорода в смеси,
Обозначим:
х — число объемов воздуха, добавляемого к 1 объему исходного
газа;
а — объемная доля окиси азота в исходном газе;
6 — объемная доля прочих (инертных) компонентов в исходном
газе;
с — объем кислорода, вводимого с воздухом на 1 объем исходного
газа;
п — объем азота, вводимого в смесь с воздухом.
Тогда а-\-Ь-\-с-\-п = \-\-х, причем а+6 = 1 и с + п — х. Так
как в воздухе 20,8% О2 и 79,2% N2, то п = -|Ц-с = 3,81с. Поэтому
— , с и с — 481 .
26
1+х 4,81 A+г)
Подставив эти концентрации в выражение для скорости окисле-
окисления окиси азота v = [NO]2 [O2] (см. две предыдущие задачи), полу-
получим:
или v = k -
4,81 A+х)в
Для определения значения х, при котором скорость окисления v
имеет максимум, при заданном а находим первую производную
от у по я и приравниваем ее нулю:
dv
dx
i—2x
4,81
= 0
Производная обращается в нуль при х = 0,5.
Таким образом, при х = 0,5, т. е. при добавлении к 1 объему
исходного газа 0,5 объема воздуха, состав газовой смеси будет
удовлетворять условию максимальной скорости окисления окиси
азота. Соответствующая этому концентрация кислорода в смесв
цолжна быть равной:
0,5
= 0,0693, т. е. 6,93%
4,81A+ж) 4,81A+0,5)
Итак, при смешении не содержащего кислорода нитрозного газа
с воздухом состав смеси, соответствующий максимальной скорости
окисления NO, получается при добавлении к газу вдвое меньшего
объема воздуха (для любого данного состава исходного газа); этим
обеспечивается концентрация кислорода в смеси, равная 6,93%.
При такой концентрации кислорода, вне зависимости от концентра-
концентрации окиси азота в исходном газе, имеет место максимальная скорость
окисления. Эта скорость, максимальная в начале процесса, будет
оставаться относительно максимальной в течение всего процесса,
если концентрация кислорода будет поддерживаться равной6,93%.
§ 14. ЗАДАЧА О НАИВЫГОДНЕЙШЕЙ ФОРМЕ СОСУДА
Требуется изготовить прямоугольный сосуд из прямоугольника,
вырезав углы его и загнув затем края, причем объем сосуда должен
быть максимальным.
27
Пусть стороны прямоугольника (рис. 1-7) равны а и Ь; высота
загнутого края пусть будет равна х; в таком случае объем V получен-
аого сосуда выразится так:
V=(a — 2x) (Ь —2ж)г= абж —2 (а+ 6)
Составим первую производную от V:
_?К- =йЬ--4 (а
Для нахождения максимума надо решить уравнение
12*2— 4(а + Ь)
Отсюда
X
Ь
X
X
1
. L
1
1
1
1
1
1
а
X
— ЗаЬ
6
— gfe-ffe2
A2)
Чтобы исследовать полученные ре-
решения, найдем вторую производную:
-^_=,24ж-4(а+6)
Рис. 1-7.
Подставляя сюда значения х из A2), пелучаем:
dx*
Отрицательный знак соответствует максимуму, положительный
минимуму. Поэтому максимальный объем получится, когда:
Ь —У а2 —
§ 15. ЗАДАЧА ОБ ИЗГОТОВЛЕНИИ КОНУСООБРАЗНОГО ФИЛЬТРА
Вырезать из круга сектор так, чтобы из него можно было сделать
конусообразный фильтр с максимальным объемом.
Для упрощения предположим, что радиус круга равен единице
(рис. 1-8), и обозначим центральный угол сектора, из которого
требуется сделать фильтр, через ф (в радианах).
Если радиус окружности основания конуса обозначить через г,
то должно быть:
Ф
Принимая высоту конуса равной h, найдем, что объем его равен!
A3)
28
Но А и г являются катетами треугольника, гипотенуза которого
представляет образующую конуса, по условию-равную единице,
откуда
Заменяя в формуле A3) г и А их значениями, получим:
12л
Будем искать максимум функции
A4)
По общему правилу, приравниваем производную нулю:
-=0
После упрощений это уравнение приводим
к виду
Рис-1-8-
Отбросив решения, не имеющие физического смысла, найдем:
Чтобы выразить искомую дугу в градусах, нужно определить х
из пропорции:
Ф : 2л = х: 360
где ж—искомое число градусов. Найдем:
,_.?.. 360=360 j/f
Отсюда получаем приближенное значение х = 294°. Следова-
Следовательно, вырезать нужно сектор с центральным углом, равным при-
приблизительно 360° — 294°=66°.
Максимальный объем фильтра VwaKC найдем из формулы A4):
п 2 | / 1 2я |/" 1
—-Т У Т^Т У Т
29
§ 16. О МИНИМАЛЬНОМ РАСХОДЕ МАТЕРИАЛОВ
ПРИ ИЗГОТОВЛЕНИИ РЕАКЦИОННЫХ АППАРАТОВ
I. Реакционный аппарат имеет форму открытого цилиндра. При
изготовлении аппарата материал идет на образование стенок и дна
цилиндра. Если г — радиус основания и А — высота цилиндра, то
сумма площади основания и боковой поверхности цилиндра выра-
выразится так:
Вместе с тем объем V цилиндра равен
Исключив отсюда h, получим:
2V
Задача заключается в том, чтобы при заданном объеме V цилинд-
цилиндра найти такое значение г, при котором поверхность F имеет минимум.
Дифференцируя последнее равенство по г и приравнивая первую
производную нулю, получаем
dF 2V
—т—= 2пг —
dr 7-2
= 0
откуда
Так как
h = -
то отсюда находим;
Поскольку вторая производная
iV
положительна, то при h — г поверхность аппарата будет минималь-
минимальной.
II. Реакционный аппарат имеет форму закрытого цилиндра.
Найти радиус цилиндра так, чтобы при заданном объеме V его
поверхность была наименьшей.
Пусть г — радиус основания, а А — высота цилиндра. Полная
поверхность цилиндра равна
Так как V = nr2h, то, исключив h, найдем:
. V
30
Дифференцируем это выражение по г и приравниваем производ-
производную нулю:
dF 2V n
dr г2
Отсюда следует, что
ИЛИ
Следовательно
Источник
света
I
§ 17. МАКСИМАЛЬНАЯ ОСВЕЩЕННОСТЬ
ДЛЯ ФОТОХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Процессы сульфирования и хлорирования органических соеди-
соединений часто осуществляются с применением света. Найдем, на какой
высоте х над площадкой следует поместить источник света, чтобы
освещенность площадки была мак-
максимальной. При этом предпола-
предполагается, что площадка не перпен-
перпендикулярна лучам (рис. 1-9).
Известно, что освещенность пло-
площадки обратно пропорциональна
квадрату расстояния ее от источ-
источника света и прямо пропорциональна
косинусу угла падения еветовых
лучей:
к
г*
Из рис. 1-9 находим:
Следовательно
а.
Рис. 1-9.
Площадка
cos i = ¦
а2 -|- ж2 у' аг _|_ Х2
Дифференцируем эту функцию по i и производную приравни-
приравниваем нулю:
з
J'=k (а2-|-д;2) 2 [1_3д;2 (а2_)-д;2)-1] = 0
Так как к и a2 -f- x2 не равны нулю, то множитель в квадрат-
квадратных- скобках должен быть равен нулю, т. е.
1 = 3я2 (a2~f ж2)-1
Положительный корень этого уравнения равен
-^-= о,7О7а
Так как вторая производная в этой точке отрицательна, то найденное
эначение х есть точка максимума и является искомой высотой.
31
§ 18. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Допустим, что нам нужно найти значение функции ф (х) — } >j
при некотором частном значении х = а. Пусть при этом ]1(а)=0;
/2 (а) = 0. Тогда наша дробь при х = а приобретает неопределенный
ВИд _, За значение этой дроби при х = а условимся принимать
следующий предел:
Иногда этот предел можно найти при помощи элементарных
преобразований дроби -т^г\. В других случаях предел можно найти,
применяя так называемое правило Лопиталя, которое заключается
в следующем: если при х = а функции ft(x) и f2(x) обращаются
в нуль или в бесконечность, то предел их отношения равен пределу,
к которому стремится отношение их производных, если этот послед-
последний предел существует.
Математически это правило выражается следующим образом.
Если
, = -— ИЛИ при х= а
f2(x) 0 оо
то
Если полученная дробь также неопределенная, то дифференци-
дифференцирование повторяют снова, пока не достигнут определенного значения.
§ 19. ЗАДАЧА ИЗ РАСЧЕТНОЙ ПРАКТИКИ ПО АБСОРБЦИИ
В расчетной практике по абсорбции, дистилляции, экстракции
и выщелачиванию встречается следующая функция:
Для случая абсорбции применительно к системам с постоянным
коэффициентом распределения у представляет долю растворяемого
вещества, поглощаемого в башне с п теоретическими тарелками,
ai — отношение скорости жидкости к скорости газа, разделенное
на коэффициент распределения.
Значение этой функции приходится отыскивать для значений х,
изменяющихся в пределах от 0 до очень больших чисел. Значение у
легко находится для любых значений х, за исключением того слу-
0 тэ
чая, когда х равно единице, приводящего к дроби -^-. Ь результате
применения правила Лопиталя находим предельное значение у
при х -> 1
~•'-х (и4-1) хП—1 _ п
lim-
что составляет искомое значение для у при х — 1.
Глава II
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 1. ДВЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ИНТЕГРАЛАМ
Для уяснения смысла интегрирования рассмотрим следующий при-
пример. Предположим, что тело движется по прямой линии с постоян-
постоянной скоростью w.
Пусть х представляет расстояние (в км), пройденное телом,
а т — время (в ч). Скорость w выражается производной —-, которая
в рассматриваемом случае является постоянной.
Время, необходимое для прохождения участка пути, например,
от 200 до 500 км, при постоянной скорости 50 км/ч, будет равно:
500—200 „
50
При переменной скорости расчет усложняется. Примем, что w
линейно зависит от х; пусть, например:
Время, необходимое для прохождения отрезка пути от 200 до
500 км, может быть вычислено приближенно при использовании
средней скорости, например, 17,5 км/ч, соответствующей 350 кило-
километру пути. При этом затраченное время составит:
jpO-200
17,5
- = 17,14 ч
Более точный результат получим, если, используя средние ско-
скорости, вычислим отдельно время прохождения участков пути от 200
до 300 км, от 300 до 400 км и от 400 до 500 км и сложим полученные
числа. На каждом из этих участков точка движется со "средней
скоростью 12,5 км, 17,5 км и 22,5 км; следовательно, первый уча-
участок будет пройден за 8 ч, второй за 5,71 ч и третий за 4,45 ч. Весь
путь будет пройден за 18,16 ч.
При дроблении 300-километрового пути на еще более мелкие
участки суммирование дало бы еще более точный результат. Точный
8 Заказ 1706
33
результат, очевидно, получим, если будем предполагать, что число
участков неограниченно возрастает, так что длина каждого участка
стремится к нулю.
Время Ат, необходимое для прохождения пути Ах, получается
делением Ах на w, что дает:
Чтобы получить все время, необходимое для прохождения пути
от 200 до 500 км, надо сложить все промежутки времени Ат. Полу-
Полученное при этом значение для времени будет тем точнее выражать
истинное значение времени, чем мельче будут отрезки пути Ах, на
которые мы разбили весь путь от 200 до 500 км. Если рассмотреть
не сумму всех Ат, а предел этой суммы, в предположении, что все
Ах стремятся к нулю, то этот предел даст нам точное значение иско-
искомого времени:
500- Ах
lim
2 As
0,05*
200
B)
Подобные пределы сумм называются в математике определен-
определенными интегралами и обозначаются так:
lim
Дл:-»-0
0-Л* 600
2 Ах f" dx
200 200
Численное значение этого интеграла оказывается равным 18,33 ч.
Рассмотрим другой пример, именно — инверсию сахара. При-
Применяя закон действующих масс к этому процессу, заключаем, что
количество сахара, инвертируемого в единицу времени, прямо про-
пропорционально количеству сахара в растворе.
Пусть а — первоначальное количество сахара в растворе и пусть
за время т инвертируется количество сахара х, т. е. к моменту вре-
времени т в растворе остается а — х сахара. Допустим, что в течение
промежутка времени от т до т + Ат реакция протекает равномерно
и пусть при этом количество инвертируемого сахара равно dx.
Для этого промежутка времени, по приведенному выше- закону,
скорость реакции пропорциональна наличному количеству сахара
а — х, и так как мы эту скорость считаем постоянной, то количество
инвертируемого сахара в этот промежуток времени будет равно
к (а — x)dx, где к— некоторый множитель пропорциональности.
Следовательно, мы имеем:
dx=k (a — x) dx
или
C)
Химический вакон получил математическое выражение, и нам
остается решить задачу, состоящую в нахождении функциональной
связи между jet, выраженной этим уравнением. Для нахождения
этой функциональной зависимости запишем уравнение C) так:
к а — х
Легко убедиться, что
т = -Мп
к а — x
В самом деле, дифференцируя E), получаем!
D)
E)
dx
к 1 ' к а—х к а—х
Решение химической задачи мы привели к математической задаче
нахождения функции по заданному ее дифференциалу. Эта задача
обратна той, которая ставится в дифференциальном исчислении, где
требуется найти производную или дифференциал по данной функций.
В дифференциальном исчислении отыскиваются бесконечно малые
изменения переменной величины, соответствующие бесконечно малым
изменениям другой величины на основании данного закона, связы-
связывающего эти две величины, т. е. когда известна функциональная
зависимость между этими величинами.
В решенной нами задаче были даны бесконечно малые изменения
одной величины, соответствующие бесконечно малым изменениям
другой, и требовалось найти функциональную зависимость между
этими двумя величинами.
Область математики, занимающаяся решением таких задач, носит
название интегрального исчисления.
§ 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Обозначим через / (х) производную от функции F (х). Будем счи-
считать функцию / (ос) заданной, а функцию F (х) искомой:
dF (x) = / (х) dx
F)
G)
Всякая функция F(x), удовлетворяющая G), называется перво-
первообразной функцией от/(я). Если Ь (х) есть первообразная от/(я),
то F (х) + С, где С — любая Постоянная, тоже будет первообразной
от f (х). Действительно, так ^ак производная постоянного равна
нулю, то производная от F (х) -\-С равна производной от F(x),
т. е. f(x)i
34
35
Можно показать, что если F(x) есть какая-либо первообразная
от f(x), то функция F (х) -\-С представляет собой общее выражение
всех первообразных от f(x).
Общее выражение всех первообразных от / (х) называют неопре-
неопределенным интегралом от f(x) и обозначают:
§f(x)dx=F{x)+C
(8)
Функция / (х) называется подынтегральной функцией, a f (x)dx —
подынтегральным выражением.
Из определения следует, что производная от неопределенного
интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал не-
неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.
В самом деле, из определения интеграла следует, что если:
f(x)dx =
dF
, то _«/(*)
ИЛИ
d | f(x)dx=f {x)dx
Последнее равенство показывает, что интегрирование и дифферен-
дифференцирование представляют собою обратные действия. Точно так же
Всякой формуле дифференциального исчисления
F' (х) = / (х); dF {х) = / (х) dx
соответствует формула интегрального исчисления:
Приведем таблицу основных интегралов. Таблица эта является
обращением таблицы основных производных:
(rm \
——\=xm-i-
Положив т—1 = /г, находим (при п^=— 1):
2.
3.
36
dlnx=-d~- I — =
X ' J X
= a*lnadx; d(^—\ = axdx; f а*й = -^-
Если а — е (основанию натуральных логарифмов), то
За.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
sinx = cosxdx, Jcos xdx=sin x-\-C
x = —sin a; da;, fsinxdx==—cos x -\- С
dtgx=-^r-, f df ^tgx + C
6 ces2 ж ' J cos2 ж 6 '
dctgx= r^x , \ —Г-; =— CtgX~\-C
6 Sin2 X ' J Sin2 X ^
d arcsina;=
шх= ,dx f fe
/1-Х2 ' J ^13
= arcsin ж + С
При изучении дифференцирования мы установили ряд простых
правил, с помощью которых можно легко найти производные любых
элементарных функций. Для интегрирования подобные общие пра-
правила не существуют, — можно лишь указать отдельные приемы
интегрирования, пользуясь которыми удается проинтегрировать
некоторые функции. Существуют элементарные функции, неопреде-
неопределенные интегралы от которых нельзя выразить через элементарные
функции.
Перечислим некоторые правила интегрирования.
1. Постоянный множитель можно выносить из-под знака инте-
интеграла:
§cf(x)dx=e$f(x)dx О)
2. Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической
сумме интегралов отдельных слагаемых:
|[м (x)-\-v (x) — w (x)\dx = | и (x) dx-\-J v (x)dx — jw (x) dx
A0)
Например
f
{
fL
3. Если нам известен интеграл
то, заменяя х линейной функцией ах-\-Ь, будем иметы
С / (ах + b) dx = -i- F {ax + Ъ) + С
dx--
(И)
37
Например
\ cos ах dx = — sin ах-4- С
J о ^
I
Г dx
¦J(a + *)«*
' — arctg — 4- С
а а '
¦ = arcsin \-C
A2)
A3)
A4)
A5)
A6)
A7)
A8)
4. J3o всех приведеннщх формулах х можно заменить какой-либо
функцией/ (х), так что каждая из Этих формул обнимает множество
частных случаев, соответствующих различным видам функции f(x).
Таким образом, имеем, например, следующие формулы:
<Z* ^ 1 , г
— х)п (п — l)(a — x)«-i "г
- = — 1п(о-
= J
По формуле B0) найдем:
I ^ж dx= \
С f sin ж dx С
)^ХёХ-)-Шх—-)
sinz
dcoax
—5-t
COS Ж
= — In cos ж4-С
A9)
B0)
B1)
B2)
B3)
5. Интегрирование по частям. Если и и v — функции от х, то
d (uv) = и dv + v du
откуда
ш; = Г и dv 4- J у du
ИЛИ
|иЛ> = иг;—j"y du B4)
Эта формула носдт название формулы интегрирования по частям.
С ее помощью мы сводим вычисление интеграла, стоящего в левой
38
части, к вычислению другого интеграла, — стоящего в правой части
Часто этот интеграл оказывается проще исходного.
Примеры.
1) J" In ж dx.
Полагая
находим:
du =
dx
Поэтому
2) J" хех dx.
Полагая
l 1пжйж=ж1п x— \ x = ж In ж — x-\-C
имеем:
du = dx, v = f ex dx = ex
[xe* dx = xex—
u = x, dv = smxdx
du — dx, v—\smxdx=—
Отсюда
Полагая
получаем:
Отсюда
f ж sin xdx=—хсозж-(-Г cos ж dx= —ж cos ж4-sin x-\-C
Нельзя дать общего правила, как нужно разлагать подынтеграль-
подынтегральное выражение на множители и и dv. Во всяком случае разложение
это следует делать так, чтобы можно было определить функцию v
и чтобы полученный новый интеграл был известен или, по крайней
мере, проще первоначального.
6. Интегрирование посредством замены переменных заключа-
заключается в том, что при вычислении интеграла
lf(x)dx
39
вместо переменной х вводится новая переменная t, связанная с х
некоторой зависимостью. Эту зависимость стараются выбрать так,
чтобы преобразованный интеграл был проще данного интеграла.
Общих методов для выбора подстановки указать нельзя, выбор этот
определяется математической структурой подынтегральной функции.
Примеры.
1) fsin2 xcosxdx.
Полагаем:
= <; cos xdx—dt
Тот же интеграл можно вычислить иначе:
\ sin2 х cos x dx = \ sin2 xd (sin x) --
2)
+ C
sin x
Полагаем:
dx
¦ — = t: dt = -
dx
2 cos2
dx
dx
sins
x x I x „ x
2 sm — cos — 2tg -^ cos2 —
При вычислении неопределенного интеграла мы получаем бес-
бесчисленное множество функций, отличающихся друг от друга постоян-
постоянным слагаемым. Для того чтобы из совокупности первообразных
функций выделить одну определенную, необходимо задать некоторое
дополнительное условие. Обычно это условие заключается в том, что
задается числовое значение искомой первообразной функции при
некотором значении незайисимого переменного. Это дает возмож-
возможность найти то числовое значение, которое следует придать произ-
произвольному постоянному.
Рассмотрим для примера свободное падение тел. Ускорение
прямолинейного движения равно производной от скорости w. Для
свободного падения:
Отсюда
Следовательно
dw
~dx~
B5)
Пусть в момент времени т = 0 вертикальная составляющая ско-
скорости движения равна w0. Из B5) вытекает:
Следовательно, функция
определяет скорость падения тела в любой момент т.
Рассмотрим еще пример с инверсией сахара. Мы нашли, что
1 dx
к а — х
Отсюда интегрированием получаем:
1 . 1
„-.. B6)
Значение постоянной С можно найти следующим образом: если
считать время от начала реакции, то при х — 0 количество инвер-
инвертированного сахара я = 0, откуда
1 1
к а '
Определяя отсюда С и подставляя его значение в формулу B6),
имеем:
1 I 4 4 4 п
т=.1-1п—-—4-1п—=4-in——
к а — х как а—х
B7)
На практике обыкновенно определяют С иначе. Опытным путем
находят количество сахара х1, инвертированного за время Ху', тогда
T1==i-b—
к a—
\-С
откуда легко определить С. Подставляя значение С в формулу B6),
имеем
-i-ln-i-
к а — х
1 , а — х
к а — Xi
откуда
к=-
i— Т
•In
B8)
40
§ 3. ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
В СЕПАРИРУЮЩЕЙ ЦЕНТРИФУГЕ
Найти форму поверхности жидкости в сепарирующей центрифуге
во время ее работы, а также угловую скорость, с которой должна
вращаться жидкость, чтобы достичь заданной высоты Zx.
41
В сепарирующей центрифуге жидкость вращается около оси
цилиндра с постоянной угловой скоростью w.
Примем ось цилиндра за ось Z, направив ее вертикально вверх.
За начало координат возьмем точку пересечения оси Z с основанием
цилиндра. В этой точке, следовательно, будут пересекаться оси X
и Y, которые расположатся в плоскости основания цилиндра. Оче-
Очевидно, что поверхность жидкости будет поверхностью вращения,;
так что в каждом вертикальном сечении этой поверхности, проходя-
проходящем через ось вращения, получится одна и та же кривая. Достаточно,
следовательно, исследовать одно из таких сечений.
Рассмотрим сечение поверхности
вращения координатной плоскостью
XZ и найдем наклон касательной
в точке Р (х, z) этого сечения.
На частицу Q, находящуюся в точке
Р (рис. Н-1), действуют две силы:
1) сила тяжести mg, направленная по
вертикали вниз и изображенная век-
вектором PL, и 2) давление жидкости,
действующее нормально к поверхности
и изображенное вектором PN. Вели-
Величины этой силы мы не знаем, но зато
известна равнодействующая сил PL и
PN. Именно, так как частица Q дви-
движется равномерно по окружности
радиуса х, то ее ускорение РМ направлено к центру и равно
т(о2х. Таким образом, зная величину и направление равнодейству-
равнодействующей и одной из составляющих, можно найти величину и направле-
направление другой составляющей — давления. Величина давления нас не
интересует, направление же давления PN позволяет сразу опреде-
определить направление касательной, которая перпендикулярна к PN.
Таким образом мы найден угол а, образуемый касательной с осью ОХ.
Рассмотрим треугольник MPN, в котором угол при точке N'„
как легко видеть, равен углу а. Из этого треугольника находим;
dz _ МР
— _tgcc—
G&X
Интегрируя, получаем:
8
dx =
2g
Так как при х = 0 координата z = z0 = OS, то постоянная С-
= zn и
B9)
Таково уравнение сечения поверхности; это — уравнение пара-
параболы.
42
Уравнение самой поверхности получим, подставив в B9) вместо х
величину Ух2 -f- Уа> выражающую радиусы окружностей, образу-
образующихся при пересечении параболоида плоскостями, параллельными
координатной плоскости XY. Мы придем к уравнению параболоида
вращения:
C0)
У стенки сосуда жидкость достигает высоты:
где г — радиус центрифуги.
Ниже будет показано, что между высотой h жидкости в непо-
неподвижном состоянии и только что определенными величинами z0 и zx
Существует простое соотношение:
C1)
Тогда, исключив из формул C0 и 31) величину z0, получим
следующее выражение для угловой скорости, с которой должна
вращаться жидкость, чтобы достичь заданной высоты z^
Покажем, что расстояние h — z0 вершины параболоида от уровня,
который имела жидкость до вращения, равно высоте zt—h подъема
краев жидкости над этим уровнем (рис. П-1).
Объем жидкости V = nr2h. G другой стороны, так как кривая
меридиана параболоида вращения, лежащая в плоскости XZ, имеет
уравнение
-¦я^ 2g(z — z0)
0J
ТО
Приравнивая оба значения V и выполняя интегрирование, по-
получаем:
или
U7-2 = 2!7-2 — ¦
43
Отсюда, приняв во внимание формулу C0), получим:
1 1
h 4(^г)
ИЛИ
h—zo = Zi —h
§ 4. ЗАДАЧА ОБ ИСТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ ИЗ СОСУДА
Сосуд, стенки которого образуют некоторую поверхность вра-
вращения с вертикальной осью, наполнен жидкостью до высоты h.
Пусть в дне этого сосуда сделано отверстие с площадью /, через
которое жидкость вытекает из сосуда.
Требуется определить время, необходимое для того, чтобы
жидкость опустилась до заданного уровня или вытекла полностью.
При этом мы принимаем, что в течение всего процесса не происхо-
происходит притока жидкости в сосуд и что разностью давлений воздуха
у поверхности и у выходного отверстия можно пренебречь.
Количество жидкости dQ, вытекающей за время dx со скоростью
wt через отверстие, очевидно, равно fw1 dr. Уровень жидкости, по-
поверхность F которой в течение времени dx будем считать неизмен-
неизменной, понизится за это время с некоторой скоростью w на высоту
w dx, а следовательно, объем жидкости в сосуде уменьшится на вели-
величину Fw dx. Эта величина должна равняться величине dQ.
Отсюда получаем
dQ = /wi dx = Fa> dx
или, сокращая на dx:
fw! = Fw C2)
По известному закону, скорость w^ истечения жидкости из отвер-
отверстия с площадью поперечного сечения / равна скорости, которую
приобретает свободно падающее тело, пройдя расстояние, равное
высоте столба жидкости над отверстием.
Введем теперь плоскую прямоугольную систему координат, взяв
за ось ОХ ось сосуда, а за ось OY — любую перпендикулярную
к ней прямую, лежащую в плоскости, с которой совпадала поверх-
поверхность жидкости в начале процесса (в момент т = 0). Ось ОХ напра-
направим вертикально вниз. Тогда в соответствии с вышеуказанным
законом мы получим для скорости истечения wL из отверстия в мо-
момент х следующее выражение:
i-*) C3)
где g — ускорение силы тяжести;
h — начальная высота столба жидкости (при т = 0);
х — уровень в момент т.
Подставив это значение для шх в формулу C2), получим для ско-
скорости w падения уровня в момент т выражение:
C4)
44
Взяв А и а; в сантиметрах, получим w в см/сек (при этом g при-
принято равным 981 см/сек2).
Если сосуд имеет форму вертикального цилиндра или призмы,
то F постоянно. Если же сосуд представляет собой тело вращения,
образующая которого имеет уравнение у — f(x) (рис. П-2), то
F = пу*.
Подставив в C4) -Д вместо w, получим!
L
или
dx = -
1 F dx
f VTg ' VT=~x
Это и есть уравнение, позволяющее
ответить на вопрос, поставленный в за-
задаче. Заметим, что истинная скорость
истечения веегда меньше теоретиче-
теоретической. В практических расчетах при-
принимают:
где ф — коэффициент истечения. Он зависит от жидкости и от формы
отверстия, через которое происходит истечение. Среднее значение <р
составляет 0,6—0,7.
Решим с помощью формулы C5) следующую задачу. Призмати-
Призматический или цилиндрический сосуд с поперечным сечением F см2,
имеющий в дне отверстие площадью в / см2, наполнен жидкостью
до высоты h см. Сколько времени (в секундах) нужно для того,
чтобы уровень понизился вследствие истечения на х см? Через
сколько времени вытечет вся жидкость?
Интегрируя обе части уравнения C5), находим:
dx
т= —
'*-* ' fVg
В начальный момент истечения понижение уровня жидкости
равно нулю. Значит, если т = 0, то х = 0; отсюда находим:
* 771'
Внося это значение С в формулу для т, получаем:
f Vg
Если учесть практический коэффициент истечения, то
45
Полагая х — h, мы получим время xh, за которое вытечет вся
жидкость: _
F V_2h
Если благодаря постоянному притоку уровень жидкости под-
поддерживается на одной и той же высоте h, то скорость истечения опре-
определится формулой
так как высота столба жидкости над отверстием будет здесь посто-
постоянно равна h.
Время, за которое первоначальный уровень жидкости понизится
на h, будет равно:
= Fx
Постоянную С здесь, очевидно, надо взять равной нулю. Время
Ху, за которое вытечет первоначальный объем жидкости, при не-
неизменном уровне, получим, полагая х = h:
Fh
7 ф/ V2gh
Мы видим, что ху вдвое меньше, чем xh.
Посмотрим, как изменится результат предыдущей задачи, если
в сосуд в каждую секунду будет притекать количество жидкости Qx.
Ум^вьшение объема жидкости в сосуде за элемент времени dx
составит теперы
Так как, согласно найденному выше, имеем! »
(h-x)dr
то
Отсюда, вводя практический коэффициент ф, получим;
Fdx
dx--
<PfV~2g(h-x)-Q1
Время т выразится следующим интегралом!
dx
Ф/ V2f(h~x)-Q1
Для вычисления этого интеграла положим!
Интеграл будем вычислять методом замены переменной]
, ЛП. A 2Z dZ
г гЬ|/Л х; dx
Возвращаясь к старой переменной х, найдем!
2F
[Ф l/X^
Постоянную С определяем из условия: х = 0 при т = 0. Это дает:
2F
_ [Ф ун + Vk in
ф2/
Окончательно для искомого времени т получаем следующее вы-
выражение:
Ф2/ Y2g
Уровень жидкости будет понижаться, пока
Qi<<ptV2g(h-x)
После того как будет достигнуто равенство
жидкость перестанет опускаться.
Если в начале процесса, когда ж=*0,
Ф/ V~2gh < (?i
жидкость в сосуде будет подниматься и поднимется на высоту ж,
удовлетворяющую равенству:
После этого подъем прекратится.
§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Пусть требуется найти интеграл!
dx
J («-*)
(ШЩ
47
Покажем сначала, что можно найти два числа а и Р, удовлетво-
удовлетворяющие равенству
1
Действительно
_= | н
(а — ж) (Ь — ж) а — ж ' Ь — х
аF-ж) + Р(а-ж)
а — ж ' 6 — ж (а — ж) (Ь — ж)
Если взять а и Р так, чтобы
(а — х){Ь — х)
C6)
то числитель последней дроби будет равен 1. Уравнения C6) оп-
определяют а и Р; решив их, получим:
1 о 1
6 —a » 6 —a
Таким образом
С dx Г I dx С I dx
J (а — ж) (Ъ — х) ~J Ь — а ' а — х J Ь — а ' b — i
In
= -г-^—[In F — ж)— In (а—г)] = —In
Ь — а ' ' Ь—а а—х
Аналогично вычисляется следующий интеграл:
Г А + Вх
) {п-х)[Ь-х)
где А и 5—постоянные числа.
Найдем два числа аир так, чтобы
А + Вх
¦+'
(а — х) (Ъ — х) а — х ' Ъ—х
Поступая, как и раньше, найдем, что
а Р аЬ+Ро—ж(а
а—х ' 6 —ж (а —ж) F —ж)
откуда аир должны удовлетворять уравнениям)
ab-\-$a=A
Решая эту систему уравнений, получаем:
А + Ва А + ВЬ
а—; Р
Ь — а
C7)
C8)
а — Ъ
C9)
Таким образом, мы находим
С А + Вх Г a dx Г р dx
J {а-х){Ъ — х) Х~) а—х +J й-ж
J (а—ж) F —ж) а —
6—ж
D©)
причем а и Р определяются формулами C9).
Примеры.
2)
\ (i-»7(?-«) &-1пA-ж)+3
Только что рассмотренный метод распространяется и на тот слу-
случай, когда в интегрируемом выражении знаменатель содержит более
двух множителей.
§ 6. ХИМИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ПРОЦЕССОВ ИОНИЗАЦИИ
При ионизирующем действии постоянного излучения в газовой
среде в 1 сек образуются q положительных и столько же отрицатель-
отрицательных ионов на единичный объем газа. Вследствие того что положи-
положительные и отрицательные ионы снова соединяются между собой,
количество их убывает.
Из общего количества п положительных ионов в каждую секунду
исчезает часть их в количестве, пропорциональном п2, поскольку
попарное соединение ионов протекает как необратимая бимолеку-
бимолекулярная реакция.
Дифференциальное уравнение этого процесса имеет следующий
вид:
dn
Коэффициент а зависит от природы и состояния газа. Решение
этого уравнения дает зависимость между количеством ионов п
и временем т.
Отделим переменные и проинтегрируем это уравнение:
dn
q —
Обозначив — = к2, получим:
— J_ Г dn
~ а J № — rfi
4 Заказ 1706
49
1 1
Разложим подынтегральное выражение j^—^ =" (fc-f re) {к — п)
элементарные дроби:
1 ... 1 ,1
Подставив в интеграл, получим:
Т=^_ГГ dn +f dn 1=-Lin^±^-+c
2afc LJ k + n ' J ft —re J 2afc A; —re
При т = 0 и гс = 0, поэтому С = 0 и, следовательно
fe —
Отсюда можно найти ш
§ 7. КИНЕТИКА АВТОКАТАЛИТИЧЕСКИХ РЕАКЦИЯ
Если во время реакции одно из взаимодействующих веществ
действует как катализатор, то такой процесс носит название авто-
автокатализа. Рассмотрим случай, когда превращаемое вещество дей-
действует как катализатор. Тогда константа скорости реакции зависим
от концентрации вещества, действующего как катализатор. Полагая
эту зависимость линейной, примем ее равной к -j- к' (а -*¦ ж). Тогда
для скорости реакции найдем:
их
Т
--[к + k' (а — х)] (а —ж)
Разделение переменных, интегрирование и подстановка z =
=а — х дают:
Г dx f" <fe
T J [k + k'(a-x)](a-x) ~~) [k + k'z]z
Разложим подынтегральное выражение на элементарные дроби!
kz
к'
k'z]z kz k(k + k'z)
Отсюда получим:
__ Г dz J_ Cdz_ k^_ С
X~ 3 (k+k'z)z ~ к J z "Г" к J
= -^ln, + f In
,_Lln
A;
Постоянную интегрирования С найдем из условия: х — 0 при
т = 0. Это нам дает:
Подставляя в формулу, определяющую т, вместо С ее значение,
получаем:
S П
" А; (а —г) (А; + А;'а)
В том случае, когда катализатором является получающееся в ре-
результате мономолекулярной реакции вещество, дифференциальное
уравнение принимает вид:
dx
Как и выше, имеем:
dz
т = -
[к + к' {a-z)]z
k + k'z LJ
1 n
1 С dz к' С
к + к'а 3 з к+к'а 3
dz
k + k' (a-z)
fc+й
r_d?_
' (a— z)]
, In
k + k> {a~z)
k-\-k'a a — x
Используем начальное условие: х=0 при T=0i
i7-ln—+C
a a '
Таким образом, окончательно имеем:
50
fc (а_
§ 8. ПОТЕРЯ ТЕПЛА В ОКРУЖАЮЩУЮ СРЕДУ
Цилиндрический бак диаметром 1,5 м и длиной 3,65 м, покрытый
асбестовой изоляцией толщиной 51 мм, расположен горизонтально
на эстакаде и применяется как приемник для выдержки продуктов
жимической реакции, осуществляемой периодически. Жидкость
Поступает в бак ири температуре 93° С и находится в нем в течение
о суток,
Используя приведенные данные, можно рассчитать цонечную
температуру жидкости и построить график для температуры жидкости
Ь вависимости от времени.
V 51
Коэффициент теплоотдачи для жидкостной ккал
пленки . . . а1 = 122'6 мъ-ч-гр
. . . _ ккал
Теплопроводность изоляции А = 0,15 —г
Коэффициент теплоотдачи поверхностью за ккпл
счет нонвекции и теплоизлучения . . . аг = 8,83'М2 .ч.
Плотность жидкости Y = 1018 кг/м3
Теплоемкость жидкости с = 0,6 ккал/кг-град
Изменение температуры окружающей среды (атмосферы) может
быть принято в соответствии с такой закономерностью
t = 12,76—9,44 cos (jtt/12)
где т—время, ч. Температура атмосферы н моменту загрузки
жидкости составляет 21,1° С.
Поверхность бака:
5 = п ¦ 1,5 • 3,65 + ^^- = 6,6я jh»
Часовая потеря тепла жидкостью:
r1 = ai5(r-7'CT)
Часовая потеря тепла изоляцией:
Г2 = ~i— (TVr — Т'иов)
где Г —температура массы жидкости, °С;
ТС1 — температура стенки бака, °С;
Тпов — температура наружной поверхности изоляции, °Gj
I — толщина изоляции, м.
Таким образом, имеем:
Скорость потери тепла_ Скорость теплоотдачи = Скорость потери тепла
жидкостью через изоляцию поверхностью
1С
aiS (Т - Тст) = — (Тст - Тпов) = а25 (Гпов-1)
Преобразуя первую часть этого равенства к виду
и подставляя в последнюю часть, мы получим
ИЛИ
62
_,,Г
0,15 ¦ 122,6
122,6 -8,83 -0,051 + 122,6 -0,15 + 8,83
= t + 0,2467" — 0,246< = 0,246?" + 0,754*
"Ъг-ft
,83- 0,15 J *• '
(I)
Рассматривая тепловое равновесие для жидкости, мы будем
иметь:
Скорость притока тепла=О
Скорость оттока тепла = а25 GПОВ —t)
Jrp
Скорость накопления тепла = Vyc
dx
Используя числовые значения соответствующих величин и под-
ставляя для ТаоЪ выражение (I), мы найдем:
_«_ 8,83 • 6,6п
2^.
Vyc
3,65
• 1018 ¦ 0,6
или
dT
= —0,0465 @,2467 + 0,754* — *)
90
+ 0,01147 = 0,0114* = 12,76 • 0,0114-
80 ¦
i 70
\ so
— 9,44 • 0,0114 cos (jtt/12) = 0,145—
—0,108cos (jtt/12) (II)
Выражение (II) представляет ли- s
нейное дифференциальное уравнение, Л 50
которое може.т быть решено с по-
помощью интегрирующего множителя
ео,ои4т в следующем виде:
J" ео.ошх dx +
+ 0,108 J е°.еш* cos (jtt/12) dx
20 40 SO SO 100 120
Время х ,</
Рис. 11-3.
Второй член правой части равенства может быть проинтегрирован
по частям; в результате получится:
0,108e°'0114i:
0,01142 + 0.2622 @'0114 C0S °-262т + 0.262 sin 0,262т)
Таким образом, для полного решения (II) будем иметь:
При граничных условиях, когда Т = 93° С при т = 0, найдем
9o_127fi , _0Л081О0114_ „
93-12,76+ 001142 + 02622 +C
откуда
С = 93-12,76 s 80,24
Итак, окончательно имеем:
7 = 12,76 + 0,175 cos 0,262т + 0,465 sin 0,252т + 80,24е-в-01ит (III)
Исследование (III) показывает, что второй член равенства может
изменить величину Т в пределах ±0,175. Третий член равенства (III)
для данных условий также представляет пренебрежимо малую вели-
величину. Поэтому для вычислений можно пользоваться упрощенным
уравнением
Т' 1276 + 8024001Ш (IV)
На рис. Н-3 изображен график зависимости Т от т, построенный
по уравнению (IV); через 120 ч температура жидкости в баке достиг-
достигнет Т = 34,0° С.
§ 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Рассмотренная в начале этой главы задача о вычислении времени,
в течение которого движущаяся точка проходит определенный уча-
участок пути, привела нас к необходимости вычислить предел некоторой
суммы при бесконечно возраста-
возрастающем числе слагаемых. Такие пре-
пределы сумм очень часто встречаются
при решении многих технических
задач. Они приводят нас к опреде-
определенным интегралам. Рассмотрим
ближе структуру определенного
интеграла.
Пусть при а г? х sg Ь нам задана
непрерывная функция у = / (х).
I Найдем площадь, ограниченную
кривой у = / (х), осью абсцисс
и двумя ординатами х = а и х = Ь.
Для этого разделим отрезок оси
ОХ от а до Ъ на п равных мелких
участков (рис. Н-4); длину каждого из этих участков обозначим Ах;
построим ординаты в полученных точках деления. Тогда вычисля-
вычисляемая площадь представит сумму площадей криволинейных трапеций,
основания которых — ординаты точек деления, а все высоты
равны Ах. Каждую из этих трапеций заменим прямоугольником,
построенным на основании Ах с высотой, равной ординате, соответ-
соответствующей произвольной точке промежутка Ах. (На чертеже эти
ординаты обозначены пунктиром.) Если абсциссы точек, в которых
мы строим ординаты, равны хх, х2, . . ., хп, то высоты этих прямо-
прямоугольников будут соответственно равны
ах, хг х3
Рис. П-4.
х„ Ь
нии п (числа промежутков) эта сумма будет стремиться к пределу,
который будет равен площади, ограниченной кривой у = / (х), осью
абсцисс и ординатами в точках х — а и х = Ь. В курсах интеграль-
интегрального исчисления доказывается, что при весьма широких предполо-
предположениях о функции / (х) (и во всяком случае для всех непрерывных
п
функций) выражение ?if(xt)Ax стремится к определенному пределу
при и->-оо. Предел этот и называется определенным интегралом
функции f (х) в пределах от а до Ы
ь п
а п -*- оо 1=1
С геометрической точки зрения интеграл выражает собою площадьt
ограниченную кривой у = / (х), осью ОХ и двумя ординатами х = а
и х — Ъ.
§ 10. СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПРЕДЕЛЕННЫМ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ
ИНТЕГРАЛАМИ
К вычислению определенных интегралов приводит всякая гео-
геометрическая и техническая задача, связанная с необходимостью
вычислять предел суммы бесконечно большого числа бесконечна
малых слагаемых.
Однако непосредственное вы-
вычисление определенного интеграла,
основанное на его определении D1)
как предела суммы бесконечно
большого числа бесконечно малых
слагаемых, обычно бывает весьма
затруднительным. Поэтому для вы-
вычисления определенного ипте-
грала применяют другой метод,
основанный на зависимости, кото- "
рая связывает неопределенный и
определенный интегралы.
х х+АхЬ
Рис. И-5.
Определенный интеграл Г f (x) dx выражает собою переменную-
а
площадь ABCD, зависящую от х (рис. П-5).
Положим:
Сумма площадей всех прямоугольников, которой мы прибли-
приближенно заменяем всю вычисляемую нами площадь, будет равна
Погрешность, которую мы при этом делаем, будет тем меньше,
че,м меньше Ах, т. е. чем больше мы возьмем число частичных про-
промежутков. Естественно ожидать, что при безграничном возраста-
М
тт - <М(Х) -О
Найдем производную —т~^ • Вспоминая процесс построения про-
производной, образуем А/; очевидно, А/ представляет площадь DCFE
Х+&Х
и выражается интегралом J f(x)dx. Будем для определенности
X
Считать функцию f(x) возрастающей. Тогда
55.
Площадь DCKE < площадь DCFE < площадь DMFE
или
/ (х) Ах < AJ < / (х + Ах) Ах
Деля на Ах, имеем:
Нх)< ~?Г</
Переходя здесь к пределу при Ах ->- 0, мы получаем
•откуда заключаем, что -^— = f(x).
Вспоминая определение неопределенного интеграла, мы видим,
что J (х), т. е. определенный интеграл
X
J / (х) их
а
•представляет собою одну из первообразных от f(x)i
х
J f(x)dx = F(x)
Остается только определить значение постоянной С. Заметим,
что если х — а, то левая часть этого равенства обращается в нуль,
так как площадь ADCB в этом случае вырождается в прямую АВ.
Следовательно
0 = F(a) + C, т. е. С = — F (а)
Отсюда
X
J f(x)dx = F(x)-F(a)
а
Так как х здесь может принимать любое значение между а и Ь,
1о. полагая х = Ь, найдем:
ь
J f(x)dx = F(b)-F(a) D2)
а
Это — основная формула интегрального исчисления. Она сводит
вычисление определенного интеграла к нахождению интеграла
неопределенного.
Определенный интеграл равен разности значений первообразной
функции при верхнем и при нижнем пределах интегрирования.
Можно показать, что сделанное выше предположение о том, что
/ (х) — возрастающая функция, — несущественно.
Чтобы показать практическое приложение этих выводов, решим
задачу, которую уже раньше решили при помощи неопределенных
¦интегралов, приводя их к определенным:
Отсюда!
их
Если значениям хх и х2 соответствуют значения хх и т2, то, со-
согласно последним выводам, можно написать:
f dx 1 Г, 1 ~|*« 1 , «-
х2
11. ЗАДАЧА О НАГРЕВАНИИ
Определить количество тепла, необходимое для того, чтобы на-
нагреть 10 кг железа, имеющего температуру 20° С, до 100° С, если тепло-
теплоемкость ct железа при температурах от 0 до 200° С определяете»
формулой:
с, = 0,1053+ 0,000142*
Прежде всего напомним, что теплоемкостью тела называют коли-
количество тепла, необходимое для того, чтобы повысить температуру
единицы массы этого тела на 1 град. Однако опыты показывают, чта
это количество тепла оказывается различным при различной темпе-
температуре тела. Поэтому под теплоемкостью мы будем понимать про-
производную:
dQ
где dQ — дифференциал количества тепла, которое необходимо сооб-
сообщить единице массы этого тела, чтобы нагреть его от температуры t
до температуры / -f- dt. (За единицу массы мы принимаем грамм,
а за единицу количества тепла — калорию.)
В поставленной задаче:
ct = -^2- = 0,1053 + 0,000142*
Поэтому количество тепла, потребное для нагревания 1 кг железа
от 20 до 100° С, будет:
100
Q= J @,1053 + 0,000142*) dt = [0,10531 + 0,000071*2]^° = 9,106 шал
20
Для 10 кз железа искомое количество тепла равно 91,06 ккал.-
§ 12. ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗОВ И ПАРОВ ИЗ ОТВЕРСТИИ
Состояние газов и паров при их истечении изменяется согласно
известному закону!
pJ = pi/1 = const D3)
где pi_, Vi и p, v — давления и объемы, соответственно, в начале
и в конце процесса;
п — показатель политропы.
57
Совершаемая при истечении газов и паров работа равна:
А = Г v dp
р
На рис. П-6 работа представлена площадью, заключенной между
кривой политропы и осью ОР. Вычислим эту площадь, которую обо-
обозначим через F. Примем следующие обозначения: х = р, y = v,
и=——; тогда у = схт, где с—постоянная. Мы найдем:
?= f ydx =
х,
m + i
*_f xf+1—gf+i
i m + i
Так как
\
р
V
j0fcpvn= const
1
1
то для площади получим следующее вы-
выражение:
m+i
+
Следовательно, для искомой работы имеем
такое выражение:
= J
Рис. П-6.
п-х
Кинетическая энергия вытекающего газа определится следу-
следующей формулой:
1 \ \
W = ~ mwz = -t..— w2
2 2 g
где m— масса, полученная из расчета 1 nr~~mg\
g—ускорение силы тяжести;
w—скорость истечения.
Так как W' = А, то для w отсюда получим следующее выражение:
D4)
Если площадь отверстия /, то количество газа или пара, проте-
протекающего через него в секунду, составит:
где -jj- — величина, обратная объему v, отнесенному к единице ве-
весового количества газа или пара.
Подставим сюда выражение для w из формулы D4) и выражение
для v из D3); найдем:
1/ „ п Pi\ ( P\~Z f P \~^~\
— f V 2g п, -^- (—) ~\~р~)
Найдем теперь величину давления р =*Ро< соответствующего
наименьшему сечению f = f0 отверстия сопла или насадки при по-
постоянном расходе G. Для этого мы должны определить максимум
функции под корнем:
Приравниваем ее производную к нулю:
dp
Решаем это уравнение относительно — i
или
п
п-Х
D5)
Значение давления р0, как видно, зависит только от показателя
политропы и и от начального давления рг газа или пара, но не зави-
зависит от /о-
Величина р0 носит название критического давления, а —* назы-
называется критическим отношением давлений. Чтобы убедиться в том,
что при полученном значении р = р0 функция ф (р) действительно
имеет максимум, Найдем ее вторую производную:
Так как ц>" (р0) <С 0> то найденное нами значение р^ соответствует
максимуму функции ф (р).
Критическому давлению р0 соответствует определенная ско-
скорость w0, которую можно получить из формулы D4)| подставив в нее
вместо р его значение из равенства D5). Найдем»
-РхЧ D6)
Эта скорость в сечении сопла или насадки называется крити-
критической скоростью; она представляет собой наибольшую скорость,
которая может быть достигнута с помощью малых отверстий.
59
Заменяя в уравнении D6) значения р1 и vt через р0 и v0, соот-
соответственно, из формул D3) и D5), имеем:
га+1
и
,-/;
га + 1
Пример. Для воздуха в количестве 1 кг при давлении 10 am
(ft «* 100000-^) и 27° С имеем ^ = RT1 = 29,27 B73 + 27) =
=8781 и, следовательно, значение ]/p1v1 = 93,7. Показатель сте-
степени га = 1,4. Таким образом:
Ро = 0,528-10=5,28 am
Щ = 3,38 • 93,7 = 316,7 м/сек
4 = 2,145 l/^- = i
-=2289 кг/м*-сек
§ 13. КОНСТАНТЫ СКОРОСТИ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ
При выявлении скорости химических реакций определяют кон-
концентрацию (или не относящиеся к ним другие величины) некоторых
реагентов, как функции времени при контролируемых, обычно изо-
изотермических, условиях. В дальнейшем задача заключается в том,
чтобы найти соответствующее уравнение, которое позволило бы
получать результаты при переходе к другим условиям работы.
Обычно такого рода уравнение находят путем подбора.
Часто с целью отыскания вида кинетического уравнения в пер-
первую очередь испытывается стехиометрическое уравнение реакции.
В том случае, когда этот путь не приводит к цели, составление кине-
кинетического уравнения па основе опытных данных представляет изве-
известные трудности (см. гл. III, стр. 112).
Рассмотрим реакцию аА + ЪВ -> сС + . . . при постоянном объ-
объеме и постоянной температуре. Кинетическое уравнение этой реак-
реакции имеет вид:
~
D7)
В этом уравнении для удобства постоянная величина объема реак-
реакционной системы V включена в к.
В уравнении D7) к, а и Ъ постоянные, которые должны быть вычис-
вычислены на основе экспериментальных данных. Метод их определения
может быть наиболее ясно описан при рассмотрении специального
случая, когда а = Ь и начальные количества реагентов равны мржду
собой. Тогда кинетическое уравнение примет следующий вид:
¦57- = *(иоо-*)п D8)
1. Метод дифференцирования. Производная dx/dx может быть
определена на основе опытных данных графическим или численным
способом (гл. XXIV). Так как
. dx
lz-dT-
•8
tgoc=n
Рис. П-7.
г
Рис. Н-8
то к и п могут быть найдены с помощью логарифмического графика
(рис. Н-7). При использовании двух точек на этой линии будем
иметь:
— x\)
(па()—х1)п
Если линия не является прямой, то реакция должна рассматри-
рассматриваться как сложный процесс.
2. Метод интегрированного уравнения. За исключением случая
когда п — 1, интеграл выражения D8) составляет:
/ 1 \
— (—) =(га —1
па0 — х
па0
Необходимо принять некоторое значение для н с целью построения
графика в координатах [1/(геа0 — х)\п~л и т. Если график рис. П-8
представляет прямую линию, то выбор значения п является пра-
правильным; величина к при этом вычисляется из тангенса угла наклона
линии. Отметим, что при п = 1 график строится в координатах
Ы (па0 — х) и г.
Изменения величины к в широких пределах для всех испытанных
значений п служат указанием на то, что реакция осложняется побоч-
побочными процессами.
61
3. Метод полураспада. Для 50% превращения, т. е. при х =»
« О,5т?яо, интегрированные уравнения кинетики принимают про-
простые формы:
их __ ,.,_ _,. _,„._ 1п2
¦?¦
2" — 1
пф\
D9)
Представим последнее равенство в таком виде:
2«-i л
— (га —i)lg гая0
Тогда график (рис. П-9)
для lg Ti /, относительно lg na0
ty ос* 7-rc
Рис. П-9.
200 300 400 500 600 700
Дабление р
Рис. Н-10.
/
1
{
с
f
/
о
К-
должен быть прямой линией, наклон которой 1 — и и величина к
определится из равенства
2"-1 — 1
&=¦
Этот метод имеет наибольшее значение в тех случаях, когда
реакция изучается при нескольких температурах или же при дру-
других Переменных условиях, которые вызывают изменение величины h
при сохранении порядка реакции.
Пример. В процессе димеризации бутадиена были произведены
измерения общего давления во время протекания реакции при 326° С
и постоянном объеме. Эти данные представлепы в первых двух столб-
столбцах табл. 11-1. Остальные величины в таблице были вычислены при
решении этой задачи.
Кинетическое уравнение реакции принято в таком виде:
Найдем значения ft и га с помощью указанных выше методов.
62
ТАБЛИЦА П-1
Т, лган
0
5 ¦
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
6S
70
75
80
85
90
р,
мм рт. ст.
632
611
592
573,5
558,5
545
533,5
523
514
505
497
490
484
478,5
473
468
463
458
453
р = 2Р-Р0
632
590
552
515
485
458
435
414
396
378
362
348
336
325
314
304
294
284
274
dp
eft
8,8
8.0
7,2
6,3
5,7
5,1
4,5
3,9
3,3
3,4
3,0
2,6
2,2
2,2
2,2
2,0
2,0
2,0
• • •
1000
р
1,58
1,695
1,81
1,94
2,05
2,18
2,30
2,42
2,525
2,645
2.76
2,87
2,98
3,07
3,18
3,29
3,40
3,52
3,65
Парциальное давление бутадиена
р=2Р-Р0
Метод 1. Производные —dp/dx вычисляются посредством фор-
формулы E7) (стр. 74). Приведем эти вычисления для трех точек при
»•= Ат = 5:
(^-) =0,1 (-3-632+ 4-590-552) = -8,8
V ах /о
^ЕЛ =0,1 (-632+552) = -8,0
Л^Л =0,1 F32-4-590 + 3-552.) =-7,2
и т. д. (см. табл. П-1).
Из графика для lg-p- относительно lg р (рис. П-10) имеем
]g10-lg2
lg 663 lg 296 lW
откуда
lg p - lg 663 lg 663 -lg 296
-¦^- = 2,28-10-
63
Метод 2. Принимая уравнение второго порядка, получим для
его интеграла
1 1 _
Т~~~632" Т
График для 1/р относительно х представляет прямую линию
(рис. 11-11), что подтверждает правильность предположения о том,
что п — 2. Наклон этой линии
3,50-1,58
84 — 0
3,0
2,6
22
1,8
Л
1
{
г
с/
У
10 = 2,28- 10"Б {мм рт.
Метод 3. Парциальное давление
достигает половины своего начального
значения при xi/2 = 69. Следовательно,
из D9) для реакции второго порядка
1
1
О 20 40 60 80
вреия т,</
Рис. 11-Ц.
т,/2Ро 69-632
= 2,28 • 10"Б {мм рт. ст)-1 мин~1
Сопоставляя уравнения кинетики, в ко-
которых движущая сила выражена через
давление и концентрацию
получим
кс = kRT = 2,28 • 10~5 • 62,4 • 599 = 0,85 л
dx
¦ мин~*
§ 14. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Основные свойства определенного интеграла следующие.
1. Если верхний и нижний пределы равны между собою, то опре-
определенный интеграл равен нулю:
а
J f{x)dx = 0
а
2. При перестановке местами пределов интегрирования опреде-
определенный интеграл меняет знак:
b a
J f{x)dx = - J f{x)dx
a b
3. Если мы имеем три числа a, b и с, то
b с с
J / (x) dx+ J f{x)dx= J / (x) dx E0)
u b a
Это, в сущности, значит, что площадь, заключенная между а и с,
равна сумме площадей между а и Ъ и между бис.
64
Формула E0) справедлива и тогда, когда Ъ не заключено между
а и с. Пусть, например, а < с < 6, тогда
J/(*)**+ J/(*)&= f / (*) dx
НО
ь с
f f(x)dx=- Г f(x)dx
dx=- J
Вычтя второе равенство из первого, найдем:
с Ь с
J f(x)dx= J J
«fa
Таким образом, формула E0) оказалась верной и для данного
случая.
Если подынтегральная функция / (х) при а < х <$ b отрица-
ь
тельна, то определенный интеграл j f(x)dx будет иметь отрица-
а
тельное значение. Например
J sinxdx = — (cos2n— cos я) = — 2
1С
Следовательно, при вычислении площадей кривых, расположен-
расположенных под осью ОХ, мы получим для величины соответствующего
интеграла отрицательное значение.
Отсюда становится понятным следующее.
а
Определенный интеграл J f(x)dx равен нулю, когда функция
-а
f(x) — нечетная, т. е. если f(x) — —f(x).
а
Например, J xndx = 0 (при п нечетном).
-а
§ 15. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ
Под средним значением функции / (х) на цромежутке [а, I ] пони-
понимают следующее число:
ь
5 Заказ 1706
65
Интеграл J f(x)dx выражает собою площадь криволинейной
а
трапеции APQE (рис. 11-12). Если построить прямоугольник АСВЕ,
равновеликий площади этой трапеции, то, очевидно:
J f(x)dx
E1)
Отсюда заключаем, что среднее значение функции есть орди-
ордината FD. Если абсцисса точки F есть с, то FD = / (с) и формулу E1)
можно записать так:
ь
J f(x)dx=(b-a)f(c) E2)
а
Формула E2) выражает так называе-
называемую теорему о среднем значении опреде-
определенного интеграла.
Пример. Определить среднее значе-
значение ут функции у = sin ах в интер-
интервале Го, -yj.
По правилу нахождения среднего зна-
значения имеем
У
с
р
х-а
D
{
F
1
В
X
Е '
Ут= ~
t = — = 0,6366
Рис. П-12.
т. е. ут не зависит от а.
Пример. Если тело, находящееся вблизи поверхности земли,
выходит из состояния покоя и начинает падать, то, как известно,
пройдя при падении путь S = Sv оно приобретает скорость wt =
= \f2gSt, где g = 9,81 м/сек2 — ускорение силы тяжести. (Сопро-
(Сопротивление воздуха в расчет не принимается.) Показать, что на нрой-
2
денном пути S1 средняя скорость wcp равна -у w\:
s,
Если взять среднюю скорость по отношению не к пути, а ко вре-
времени падения т^ то она окажется равной половине конечной ско-
скорости Wx = gxx, ибо здесь мы будем иметь:
Из этого примера можно видеть, что среднее значение непре-
непрерывно изменяющейся величины определяется не только совокуп-
совокупностью значений последней, но также и выбором аргумента, в зави-
зависимости от которого мы изучаем изменение нашей величины.
§ 16. СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ РЕАКЦИИ
Для инверсии сахара была выведена формула E):
1
= -т- In
к а — х
где а — количество вещества, присутствующего в начале реакции;
к — постоянное число.
Отсюда
я=аA-е-*Ч E3)
Определим зависимость скорости реакции, с которой совершался
этот процесс, от величины х.
Скорость реакции w находим дифференцированием функции E3)
по времени:
ах > k-r ¦ '
w =-3—= afce *"
dx
Исключая e~kz отсюда и из формулы E3), находим;
к> = Л (а — х)
В первом случае скорость реакции w выражена через продолжи-
продолжительность процесса, а во втором — через количество превращенного
вещества.
Определим теперь среднюю скорость реакции для обоих случаев.
Пользуясь формулой дл'я среднего значения функции, получим:
%х— т0 J
г — т0
1пи>0 —
2(x1-x0)
И здесь среднее значение изменяющейся величины зависит от
выбора аргумента.
Причина этого, на первый взгляд, странного факта такова: сред-
среднее значение функции у есть предельное значение среднего арифме-
арифметического из значений функции у, взятых через равные промежутки
аргумента х.
В самом деле, если между а = ж0 и Ъ-—хп вставить числа xlt
Ж2> • • ., хп_х так, что
Ь — а
х1 — х0 = х2 — х1^ . . . *=хп — хп_х= - ¦¦
66
5*
67
то среднее арифметическое значений у0 — ср (х0), у,
Уп-i — Ф (*n-i) будет равно:
= ц>
Ь — а
Если теперь вместо аргумента х ввести другой аргумент т, то
через равные промежутки времени его изменения функция у будет
принимать уже не те значения, причем может оказаться, что, напри-
например, интервал, где у принимает сравнительно большие значения,
относительно удлинится, и тогда среднее значение функции будет
бблыпим, чем в первом случае.
С чисто математической точки зрения подходящей заменой неза-
независимой переменной можно получить в качестве среднего значсвия
любое значение функции у в промежутке (а, Ь).
§ 17. СРЕДНЯЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ БЕНЗИНА
Для бензина зависимость теплоемкости с (при постоянном давле-
давлении) от температуры t выражается формулой:
с = 0,2237+0,0010228*
Найдем среднюю теплоемкость ст бензина для 1емнератур, лежа-
лежащих в интервале от 116 до 218° С:
218 218
Ст= 218-116 J Ы1 = Ш ] @,2237 + 0,0010228*) « = 0,3945
не
не
§ 18. ГРАФИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Рассмотрим графический способ построения первообразной функ-
функции F (ж). Для этой цели запишем F (х) в виде определенного инте-
интеграла с переменным верхним пределом:
F(x)= J f(x)dx
E4)
Если величину этого интеграла принять за ординату точки на
повой кривой, соответствующей абсциссе х, то эта кривая и будет
графиком первообразной функции F (х). Имея эту кривую, мы смо-
сможем графически получить величину интеграла E4) при любом х.
Изменение нижнего предела х0 в интеграле E4) равносильно
прибавлению к F (х) некоторого постоянного числа.
Допустим, что функция / (х) изображается ступенчатой линией
ABCDEFGH (рис. П-13). Пусть ординаты отрезков АВ, CD, EFt
68'
А 1
А 1
1
D
С'
1
1
F
2
г*
F
3
GH соответственно равны: 0,5; 1; 0,25 и —0,5. На ординате точки А
выбираем где-либо точку А', которую примем за начальную точку
кривой у = F (х). Так как функция у — / (х) имеет постоянное зна-
значение 0,5 в интервале АВ, то функция у = F (х) есть в этом интер-
интервале отрезок прямой А'С, образующей с ОХ угол, тангенс которого
равен 0,5. Точно так же в ип-
тервале CD функция у = F (х)
есть отрезок CD' прямой, про-
проходящей через точку С и об-
образующей с ОХ угол, тангенс
которого = 1. Таким же образом
построим отрезки D'F' и F'H',
. соответствующие последним
двум отрезкам графика функ-
функции / (х).
Тангенсы углов наклона
можпо графически определить
следующим образом: на оси
абсцисс влево от начала коор- Рис jj.13
динат отложим отрезок ОР,
равный единице в масштабе оси абсцисс^ Пусть отрезок АВ
проектируется на ось ордипат в точку V. Соединим точки Р
и V. Тангенс угла, который PV образует с осью ОХ, будет, очевидно,
равен ординате отрезка АВ. Для построения графика А'С нужно
через А' провести отрезок, параллельный отрезку PV.
Иногда пределы изме-
изменения хну бывают та-
таковы, что пользование
одинаковыми масштабами
для координатных осей х
и у является непрактич-
непрактичным. При этих обстоя-
обстоятельствах может быть вы-
выведено простое соотно-
соотношение между масштабом
~1 г з ? 5 6 7 8 построения графика кривой
Рис. И-14. У = / (я), расстоянием ОР
(называемым полярным рас-
расстоянием) и масштабом для измерения ординат интегральной кривой.
Пусть uxviuy — длины единиц масштаба на осях ОХ и OY для кривой
/ (х)' Р —длина полярного расстояния ОР и ut — длина единицы
масштаба, в котором строятся ординаты интегральной кривой. Для
того чтобы можно было пользоваться вышеуказанным построением,
при котором отрезок CD' параллелен PV, мы должны иметь: -^; = ^,
откуда:
E5>
69
Это равенство выражает зависимость, связывающую длину поляр-
полярного расстояния р с масштабами на координатных осях ОХ и ОY
и масштабом для измерения ординат интегральной кривой.
Из рис. Н-13 ясно, что их = иу = р = щ.
На рис. П-14 показано применение к любой функции этого
способа построения интегральных кривых.
Кривая у = / (х) заменяется ступенчатой линией, которая стро-
строится так, чтобы площади следующих друг за другом треугольников,
расположенных выше и ниже данной кривой, были приблизительно
равны между собой. После того, как ступенчатая линия построена,
откладывается полярное расстояние и применяется вышеизложен-
вышеизложенный метод.
Точность полученной таким образом интегральной кривой будет
зависеть от числа построенных треугольников и от того, насколько
строго выполнено условие равенства площадей.
На рис. И-14 длина масштабной единицы на оси ОХ принята
равной единице, а длина масштабной единицы на оси О Y равна 2.
Полярное расстояние равно 2,5.
Из формулы E5) имеем длину масштабной единицы для изме-
измерения ординат интегральной кривой:
§ 19. АБСОРБЦИЯ ХЛОРА ИЗ ВОЗДУХА
РАСТВОРОМ ЕДКОГО НАТРА
(ХИМИЧЕСКАЯ АБСОРБЦИЯ)
Газовая смесь, содержащая 50% хлора и 50% воздуха, обраба-
обрабатывается раствором едкого натра с целью удаления 99,5% хлора.
Скорость газового потока при 15,5° С и атмосферном давлении
составляет 113,4т м3/ч.
Процесс абсорбции предполагается провести в башне диаметром
0,3 м. Экспериментальные данные для абсорбции хлора из газовых
смесей представляются таким выражением:
с — общий коэффициент массопередачи в газовой фазе,
кмолъ/ч • м2 ¦ am;
а — поверхность насадки на единицу объема башни, м2/м3;
G — массовая скорость газа, кг/ч-м2.
Определить высоту насадочного слоя в башне.
Можно принять, что процесс абсорбции находится в зависимости
от сопротивления газовой фазы и парциальное давление хлора у
на поверхности раздела фаз равно нулю, так как хлор мгновенно
вступает в реакцию в жидкой фазе.
Мольная скорость потока воздуха в колонне:
*» = Щ- ёЬ ¦ ww=33-8 кмолъ[ч •м2
70
Мольная скорость хлора при поступлении в колонну:
33,8 кмолъ/ч -м*
Мольная скорость хлора при выходе из колонны:
33,8 • 0,005=0,169 кмолъ/ч ¦ м*
Будем рассматривать колонну по секциям и примем, что коэффи-
коэффициент массопередачи изменяется пропорционально отношению Р/рмв
Я „в = 0,5 — С»-»
где Р — общее давление в си-
системе;
Рыв— средняя логарифмиче-
логарифмическая разность давле-
давления воздуха в газе рв
и на поверхности фаз.
Так как парциальное давле-
давление воздуха на поверхности
раздела фаз равно 1 am, то
Г
Площадь ¦¦
i
Уг
Рис. П-15.
2Р
В пределах рассматриваемых
здесь концентраций эта раз-
разность будет приближенно сред-
средней арифметической. Тогда:
Р __=
Рмв Рв+1 2 — У
где у=грв/Р.
Высота насадочного слоя определяется графическим интегриро-
интегрированием (рис. П-15), причем в первую очередь правая часть этого
равенства должна быть вычислена для нескольких промежуточных
значений у. На выходе из колонны имеем:
В любой точке колонны мольная скорость потока хлора равна
G у
"И1
Для массовой скорости газа:
Найдем значения величин G, KGa и l!KGa A ~~у)г(у—у) для
нескольких промежуточных значений у (см. табл. П-2).
71
ТАБЛИЦА Н-2
Л« точек
У/(I-У)
71 (у/1-
= 33.8B9+^)
(J0.8
2
2-У
2 —у
1
KGa(l-y)*y
Вход
0,5
1,0
71,0
3380
660
1,33
440
0,0183
0,3
0,43
30,5
1975
426
1,18
250
0,2
0,25
17,7
1580
362
1,11
200
0,0272 0,0390
0,1
0,11
7,8
1242
301
1,05
157
0,0785
0,05
0,05
3,5
1100
292
1,02
148
1,49
Выход
0,005
0,005
0,35
990
250
1,00
132
1,52
Интегрирование проводится в пределах между у = 0,5 и 0,1.
Неудобным является иптегрирование для у < 0,1, так как интеграл
быстро возрастает при малых значениях у.
Площадь под кривой дает:
0,6
dy
- = 0,012
0,1
Таким образом, получим:
«1 = 33,8 -0,012 = 0,405 м
Для у < 0,1 могут быть использованы уравнения, которые при-
приб
у р
меняются для расчета абсорбции компонентов из разбавленных
смесей газов. Кроме того, Ау—у, так как у =0. Поэтому имеем:
При промежуточном значении у = 0,05:
Следовательно
35,6
0,1
*"~14В"Ш 0,005
Общая высота насадочного слоя:
2 = 0,405 + 0,75 = 1,15 м.
72
§20. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА МАСЛА, ПРОТЕКАЮЩЕГО
В ТРУБОПРОВОДЕ
Для дополнительной иллюстрации графического метода интегри-
интегрирования рассмотрим задачу об определении количества масла, про-
протекающего в трубопроводе, причем предполагаем, что жидкость
обладает большой вязкостью и распределение скорости по диаметру
трубопровода характеризуется функцией w — f (r).
Радиус трубопровода R, w — скорость движения масла на рас-
расстоянии г от центра. Выделим в поперечном сечении трубопровода
кольцевой полукруг толщиной dr и длиной пг (рис. 11-16). Площадь
этого элементарного кольца равна nrdr, и объем потока масла, про-
протекающего через это сечение, будет wnrdr м3/сек. Значение объема
потока для половины поперечного сечения трубо-
трубопровода получим интегрированием потоков жидко-
жидкости, проходящей через элементарные сечения, ра-
радиусы которых меняются в пределах от 0 до 7?. Так
как объемы потоков для обеих половин трубопро-
трубопровода одинаковы, то полный объем потока будет равен:
л
V = 2я J wr dr
Заменяя w через / (г), найдем:
E6)
Рис. П-16.
Возможность интегрирования этого выражения обычным методом
зависит от вида функции / (/•). Однако графически оно может быть
проинтегрировано очень легко. Для этого нужно построить график
функции /•/ (г) и умножить величину площади, ограниченной полу-
полученной кривой в пределах от г = 0 до г — R, на 2л. Так как г dr ==
= -у d (r2), то формулу E6) можно написать следующим образом:
Иптегрирование осуществляется графически, причем по оси ОХ
откладываются значения г2, а по оси OY — значения / (г).
Помимо графического метода вычисления интегралов, существуют
и другие приближенные способы нахождения интегралов, весьма
употребительные на практике. Так как определенный интеграл
геометрически выражает собою некоторую площадь, то его вычисле-
вычисление можно заменить вычислением площади соответствующей фигуры.
Если .график интегрируемой функции нанесен на клетчатую бумагу,
лричем площадь каждой клетки известна, то вычисление интеграла
Сводится к подсчету числа кпоток и их частей.
73
Для измерения площади, ограниченной замкнутой линией, можно
также пользоваться планиметром. При таком измерении нужно
обвести планиметром контур, ограничивающий измеряемую пло-
площадь, а также контур квадрата или прямоугольника с известной
площадью и сделать два отсчета на планиметре, после каждого
обвода.
Искомый интеграл получим, умножив площадь прямоугольника
на отношение двух отсчетов на планиметре.
§ 21. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
В тех случаях, когда подынтегральная функция в определенном
интеграле такова, что вычисление неопределенного интеграла затруд-
затруднительно или даже невозможно, пользуются приближенными мето-
методами вычисления. Эти ме-
методы позволяют найти при-
приближенно определенный
интеграл также и в тех
случаях, когда аналитиче-
аналитическое выражение подын-
подынтегральной функции не-
неизвестно, а задана лишь
у м0
м,
/
Уо
h
У,
h
Мг
Уг
h
Уз
h
^Ч*"——
У»
n-t.
h
А
/
h
к
Уп
a=x0 x, хг
кривая, соответствующая
подынтегральной функции,
Рис. Н-17. или известна лишь та-
таблица числовых значений
подынтегральной функции для некоторых значений аргумента.
Существует много методов для приближенного вычисления инте-
интегралов. Наиболее употребительны два: метод трапеций и метод Симп-
Симпсона.
Пусть нам требуется вычислить определенный ишеграл:
ь
jf(x)dx
а
где / (х) — непрерывная функция. Разобьем промежуток h — а
на п равных частичных промежутков точками а — х0, хх, х%, . . .,
xn-ii хп = Ъ (рис. П-17) и проведем в этих точках ординаты j/0,
Ун • • •> Уп-н Уп- Точки пересечения этих ординат с кривой соеди-
соединим последовательно хордами МОМХ, МхМг и т. д. За приближенное
значение определенного иптеграла примем сумму площадей полу-
полученных таким образом трапеций. Если принять
то для определенного интеграла получим следующее приближенное
значение:
ь
-у+2/1+ 2/2 + .
E7)
74
Эта формула называется формулой трапеций. Для
пользования ею необходимо знать значения подынтегральной функ-
функции в точках х0, хи х2, . . ., хп. Если подынтегральная функция
задана графически, то эти значения снимаются с чертежа, а если
она задана аналитически, то у0, ух, у2, . . ., уп находятся вычисле-
вычислением, путем подстановки в подынтегральную функцию абсцисс
Для получения формулы Симпсона промежуток интегрирования
b — а следует разбить на четное число In промежутков длины h
точками х0 = a, xlt х2,. . ., х2п_1, х%п = Ъ и провести в этих точ-
точках ординаты у0, у1л у2, . . ., у2п до
пересечения с кривой в точках Мо,
Ми М2,. . ., М2п (рис. И-18). Да-
Далее через точки М0М1М2 прово-
проводится парабола с осью, параллель-
параллельной оси О Y, через точки М2МлМц
проводится другая парабола, с осью,
параллельной оси OY, и так далее.
Дуга кривой M0Min заменяется,
таким образом, [дугами п парабол,
проходящими через точки M^i
Jft+i! -"«гл+г \К = • • • ч
п — 1), оси которых параллельны
оси О Y. Принимая за величину
интеграла площадь, ограниченную этими дугами парабол, осью ОХ
и крайними ординатами, мы получим формулу Симпсона:
ь
0
Уо
1
1
i
i
X,
, /
¦X
Уг
'г
X
Рис. П-18.
h
f(x) dx ==—
(J/2+2/4+. . .
E8)
При одном и том же числе частичных подразделений формула
Симпсона дает, как правило, значительно более точный результат,
чем формула трапеций.
§ 22. КИНЕТИКА АДИАБАТНЫХ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ
Если а — начальная мольная концентрация реагирующего ве-
вещества, а х — его убыль к моменту времени т, то в случае моно-
мономолекулярной необратимой адиабатной реакции х оказывается свя-
связанным с т следующим уравнением
dx
dx
= К(а-х)
E9)
причем К является уже не константой, а следующей функцией
температуры 7\,бс;
.-.'-*¦
75
Температура, которую принимает реакционная масса в момент,
когда прореагировало х моль/л, находится с последней величиной
в такой зависимости:
(а — х) qb = Q (Тк—Т) F0)
где q — тепловой эффект реакции;
Ъ — объем реакционной массы;
Q — теплоемкость, отнесенная ко всей реакционной массе;
Тк — конечная температура.
Найдем время, которое потребуется для того, чтобы температура
реагирующей массы повысилась от Тг до Т2-
Поскольку переменными являются х а Т, то, дифференцируя
равенство F0), найдем:
dT
dx
qb dx
~Q"~dx
Исключая отсюда и из исходного дифференциального уравне-
dx
dx
ния -J—, получим:
dT qb E-~
„,__е Т {а_х)
Используя уравнение F0), исключим отсюда (а—х):
dT Е~Т" ,т Т\
Разделяя переменные, получим:
_А_
dx = е'Е ¦ е т
После интегрирования находим:
А_
. т
dT
Этот интеграл невозможно выразить через элементарные функции.
Применяя формулу Симпсона, найдем его приближенное значение,
приняв за пределы интегрирования Тх и Т2- Разобьем промежуток
интегрирования Т2 — Тх на два частичных промежутка. Тогда
п — т—> а значения подынтегральной функции в точках 1%
Т2 будут:
А
Т,
т '
е
тк-
2А
т,+тг
Ti+T2
е
1 к
А
—
7fi
Подставив эти величины в формулу Симпсона, найдем!
А
Эта формула с успехом была применена при исследовании ско-
скорости каталитического разложения перекиси водорода в присут-
присутствии ионов иода.
Глава III
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. ПРОЦЕССЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Многие химические реакции и физические процессы характери-
характеризуются тем, что скорость изменения переменной величины пропор-
пропорциональна значению этой же переменной в первой степени. Такие
процессы называются процессами первого порядка.
Процессы эти описываются уравнением:
йх
dx
A)
В случае химической реакции входящие сюда величины означают:
х — количество вещества;
к — постоянная величина (константа скорости реакции);
т — время.
Рассмотрим следующие примеры.
а) Радиоактивный распад. Радиоактивный распад происходит
таким образом, что уменьшение количества атомов — dN за время dx
пропорционально числу N оставшихся атомов, т. е.:
—dN^KNdx B)
где % — свойственная данному веществу постоянная, называемая
константой радиоактивности.
Требуется вычислить с помощью уравнения B) количество N
атомов, не распавшихся к моменту т, если в момент т = 0 было No
атомов.
Разделим обе части уравнения B) на N и проинтегрируем левую
часть по N, а правую — по т; получим
f dN » Г
dx
откуда
78
C)
Значение постоянной интегрирования С находим из условия, чю
ири т = О N = iV0. Отсюда С = In iV0. Подставив это значение
в формулу C), получим:
. N
-=—Я,т; N^Noe-
,-Хт
D)
Особый интерес представляет определение времени т = t, в тече-
течение которого число атомов уменьшится вдвое. Для этого нужно
N 1
в формуле D) положить -г^—. —.
Тогда будем иметь
откуда
-¦4'—^
E)
Время t называют периодом полураспада. Например, для радона
Я, = 2,084-Ю (при измерении времени в секундах). Подставив
эту величину в формулу E), получим период полураспада радона
t — 3,15 суток.
б) Средняя продолжительность существования атома радиоактив-
радиоактивного вещества. Пусть No — число атомов радиоактивного вещества
в момент т = 0. Вычислим на основании предыдущего примера
среднюю продолжительность существования одного атома.
Количество атомов, сохранившихся в течение времени т и рас-
распавшихся в последующий промежуток времени dx, на основании
уравнений B) и D) равно:
Это выражение представляет собой количество атомов, имеющих
продолжительность существования, равную т. Для Того, чтобы полу-
получить среднюю цродоляштельносгь существования атома, нужно
это количество dN атомов умаожигь на время т, в течение которого
эти атомы существовали, проинтегрировать по т в пределах от т == 0
до т = оо и разделить на первоначальное количество атомов iV0.
Обозначив искомую среднюю продолжительность чё^ез Э, будем
иметь:
Так нак для радона % = 2,084 •IQ сек г, то средняя продолжи-
продолжительность существования атома радоне равна:
Э = 10е : 2,084 = 5,552 суток -= 133,26 ч
в) Изменение концентрации раствора. В резервуаре имеется
100 л раствора, содержащего б кг растворенного вещества (соли).
79
В него поступает чистая вода со скоростью 30 л]мин. Одновременно
из этого резервуара с той же скоростью удаляется раствор. Пере-
Перемешивание обеспечивает одинаковую концентрацию соли во всем
резервуаре. Сколько соли останется в резервуаре к моменту вре-
времени т?
Простейший способ составления дифференциального уравнения
для задач на скорость истечения заключается в написании очевид-
очевидного соотношения:
Приращение dg = приход — убыль
F)
где g—количество соли.-
Очевидно
Убыль g= (скорость истечения раствора) • (концентрация) • (время) G)
а также:
а
Концентрация = ~
где V — объем раствора, a g — общее количество соли ко времени т.
В данном случае количество поступающей соли равно нулю,
так как в резервуар поступает чистая вода.
Концентрация соли в удаляемом растворе равна —-, скорость
истечения раствора составляет 30 л/мин.
Следовательно
Убыль соли=30- -^-йт = 0,3?Л
так как объем раствора постоянен и равен 100 л.
Подставляя зти данные в F), получим:
dg = — O.Sgdx
Интегрирование при начальном условии g — Ъ при т = 0 дает
1п|- = -0,Зт
откуда:
г) Определение константы скорости реакции гидролиза двубром-
янтарной кислоты. Двубромзамещенная янтарная кислота, взя-
взятая в количестве 5,11 г, гидролизуется в воде, нагретой до определен-
определенной температуры, по реакции: СООН—СН2—СВ?4—СООН -f Н 2О =¦
« СООН—СНа—СО—СООН -j-2HBr. При этом количество кислоты
для различных моментов времени определяется следующими
цифрами:
Зремя т, мин 0
10 20 30 40 50 60
количество кислоты с, г 5,11 3,77 2,74 2,02 1,48 1,08 0,80
т, мин
10
20
30
40
50
60
с
~с7
0,738
0,536
0,395
0,290
0,211
0,157
—0,1319
—0,2708
—0,4034
—0,5376
—0,6757
—0,8041
к
0,031
0,031
0,031
0,031
0,031
0,031
Требуется вычислить константу скорости реакции к в предполо-
предположении, что эта реакция первого порядка, и установить, окажется ли
при этом к постоянной величиной.
Если с обозначает количество кислоты (в граммах), остающейся
ко временит, а с0 — начальное количество кислоты, то из уравнения
для процессов первого порядка (см. пример а, стр. 78) имеем In— =
— г. С°
КГ. ТАБЛИЦА Ш-1
2,303 lg -?-
Таким образом, к = °'
Подставляя вместо с и г их
значения, получим следующие
данные (табл. Ш-1).
Постоянство значений к свиде-
свидетельствует о том, что данная
реакция является реакцией пер-
первого порядка.
д) Задача о вентиляции цеха. Воздух в помещении цеха, име-
имеющего размеры 30 X 30 X 12 м3, содержит0,12% двуокиси углерода.
Сколько свежего воздуха (в м3) должно поступать в 1 мин для того,
чтобы через 10 мин содержание двуокиси углерода не превышало
0,06%? (Концентрация двуокиси углерода в свежем воздухе равна
0,04%.)
Допускаем, что смешение свежего воздуха с загрязненным про-
происходит медленно.
Примем следующие обозначения:
у— концентрация СО2 ко времени т, объемн. доли;
а — количество поступающего воздуха, м3!мин;
V— объем помещения, ма;
у0—начальная концентрация СО2, объемн. доли;
g — концентрация СО2 в свежем воздухе, объемн. доли.
На основании G) заключаем, что ко времени т
Приход СО2 за время dx — agdx
Так как загрязненный воздух выходит через неплотности в две-
дверях и окнах с той же скоростью, с какой поступает свежий воз-
воздух, то
Убыль СО2 эа время dv = aydx
Общее количество СОа ко времени т равно Vy.
Отсюда следует, что приращение СО2 за время dx равно d (Vy)
или V dy, так как V — постоянная величина.
Пользуясь зависимостью F), получаем:
Vdy = agdx — aydx (8)
Для решения зтого дифференциального уравнения и доказатель-
доказательства, что рассматриваемый процесс есть процесс первого порядка,
введем новую переменную х:
80
в Заказ 1706
81
Отсюда имеем dx = dy, так как g — постоянная величина. Тогда
уравнение (8) может быть наиисано в виде:
dx a
Разделив обе части этого уравнения на i и проинтегрировав,
получим:
dx а . а
— =_т<*т;1п*=-тт + С
¦ч .
При т = 0 у обращается в у0, а х в у0 — g; обозначим yo — g =
= х0. Тогда для С получаем значение С = 1пх0 и, следовательно-
откуда
х а
In = — -ft- X
V , х
а= In —
х х0
Возвращаясь к переменному у, имеем:
Уо—В
(9)
Подставим сюда следующие числовые значения: F = 10 800;
т=10; у = 0,0006; уо = 0,0012; ? = 0,0004. Находим:
= 1080 • 1,386 = 1500
На самом деле потребуется значительно меньшее количество
свежего воздуха, который, вопреки принятому допущению, смеши-
смешивается с загрязненным не немедленно, а постепенно, и в значитель-
значительной мере вытесняет его.
е) Закон охлаждения тела. Тело имеет температуру tlt а окру-
окружающая его среда — постоянную температуру t0, причем t0 <С tx.
Требуется найти закон охлаждения этого тела.
Во время охлаждения температура тела падает от t1 до t0. Допу-
Допустим, что в некоторый момент времени т температура тела равна t
и, следовательно, превышает температуру t0 окружающей среды
на f — t0. Известно, что бесконечно малое количество тепла —^dQ,
отданное телом в бесконечно малое время dx, пропорционально
разности температур тела и окружающей среды:
—dQ=k (t—t0) dx
где к — постоянная.
82
Количество тепла, отдаваемого телом при охлаждении от t до t0,
определяется формулой:
Q = mc{t—tQ) (Ю)
где т — масса тела;
с — его теплоемкость, которую будем считать постоянной.
Дифференцируя A0), получаем:
dQ — тс dt
Подставив это выражение для dQ в (9), найдем:
—mcdt = k(t—to)dx A1)
Написав уравнение A1) в виде
тс dt
к t — t0
= dx
и проинтегрировав, получим:
тс
Если т = 0, то t — tt, а поэтому
Вычитая A3) из A2), находим:
A2)
A3)
к t — t0
Решив это уравнение относительно t, найдем закон охлаждения тела:
ж) Задача о барометрическом давлении. Два пункта располо-
расположены вертикально один над другим на высотах hx и h.2 ~> 1гл над
уровнем моря. Пусть барометрические давления в этих пунктах
равны, соответственно, Ь± и Ь2ммрт. ст. Найти зависимость между
разностью высот h2 — hx и барометрическими давлениями на этих
высотах, если столб воздуха между обеими точками имеет всюду
одинаковую температуру 0° С и лишен водяных паров (изменением
ускорения силы тяжести с высотой пренебрегаем).
Как известно, давление, производимое газом, обратно пропор-
пропорционально его объему и, значит, пропорционально плотности газа.
Обозначим через р давление, которое производит воздух на
горизонтальную площадку, расположенную на высоте h над уровнем
моря, а через р -\- dp обозначим давление на такую же площадку
на высоте h -\- dh. Разность этих давлений dp равна, очевидно,
весу (отнесенному к единице поверхности) столба воздуха с высотой
6* 83
dh, который находится между обеими площадками. Поэтому, если v
есть плотность воздуха на высоте h, то мы будем иметь:
dp = —ygdh A4)
Если Yo обозначает плотность воздуха при давлении ра, то:
r
Ро
Подставив это значение у в A4), получим:
SYo Р
Пусть р1 и р2— давления на высотах Ах и h2. Проинтегрируем
левую часть этого уравнения в пределах от h = hx до h = h2, a npa-
йую — в пределах от р=р1 до р=Ра:
ь,
?Yo J P
p,
Получим:
P2
Так как показания барометра пропорциональны давлению воз-
воздуха, то вместо — можно подставить -г-
Рг Ь2
Таким образом:
Обозначив -^2- через к, получим:
о (О
или
ft^-ft,
У поверхности земли при температуре 0° С числовые значения р0
^Ye Для сухого воздуха:
Отс»да
Ро= Ю333 к
o = 1.293 к
, юззз-2.303 . г>1
>-hl=—Шз lgT7
При помощи этой формулы можно приближенно вычислить так
называемую ступень высоты, т. е. высоту (выраженную в метрах),
84
на которую нужно подняться, чтобы показание барометра измени-
изменилось на 1 мм. Для ее вычисления примем Ьг = 760 мм, тогда 6г
будет равно 759 мм. Мы найдем:
h2—Й! = 10,5 л«
з) Кинетика сушки. Твердый материал подвергается сушке воз-
воздухом в сушильном вращающемся барабане диаметром 1,5 л» и дли-
длиной 15 м. Барабан занолнеп по всей длине на одну треть площади
поперечного сечения; ось его образует некоторый малый угол с гори-
горизонтом. Материал поступает в аппарат с постоянной скоростью
и передвигается под влиянием силы тяжести. Исходный материал
содержит 2 масс. ч. воды на 1 масс. ч. сухого вещества. При выходе
из сушилки материал содержит 0,1 масс. ч. воды на 1 масс. ч. сухого
вещества. Между объемом высушиваемого материала и количеством
содержащейся в нем воды предполагается линейная зависимость.
Насыпная плотность поступающего в аппарат материала 500 пг.'м3,
а конечного продукта 330 кг/м3. Производительность сушилки 220 кг/ч
по готовому продукту. Скорость сушки принимается пропорциональ-
пропорциональной влагосодержанию. Требуется определить продолжительность
сушки.
Из условий задачи имеем, что производительность сушилки,
считая на сухое вещество, составляет:
220-0.9 = 198 кг/ч
Так как процесс является установившимся, то это количество
сухого вещества проходит в 1 ч через каждое сечение аппарата.
Пусть v обозначает объем 1 кг высушиваемого материала, а те —
массу содержащейся в нем воды. По предположению, v есть линейная
функция от те, т. е.:
v = am-\-b
где а и Ь — постоянные.
Далее, обозначим через w скорость движения материала в сече-
сечении на расстоянии х от места загрузки, а через F — площадь попе
речного сечения материала, которая составляет V3 площади сечения
аппарата. Плотность материала р равна —. Количество материала,
проходящего в 1 ч через любое сечение барабана:
wpF —198 кг/ч
dx 1
Заменив здесь w на -^-, а р на nm_i_h > мы придем к дифферен-
ат-\-Ъ
циальному уравнению:
dx
dx
198
A5)
Это уравнение содержит три переменных: х, т и те. Второе диф-
дифференциальное уравнение можно составить, исходя из того, что
скорость испарения пропорциональна влагосодержанию:
dm
dx
A6)
85
Мы при этом принимаем, что поток воздуха в барабане доста-
достаточно велик для того, чтобы считать влагосодержание в нем практи-
практически постоянным. Коэффициенты а и Ъ найдем, используя данные
о скорости движения материала при входе и выходе из сушилки.
Из условий задачи видно, что в 1 ч в сушилку поступает 198-3 кг
сырого материала. Так как насыпная плотность этого материала
равна 500 кг/м3, то, следовательно, объем этого материала будет
равен
198 ¦ 3 ,,
Площадь сечения аппарата, занимаемого материалом:
0,785 • 2,25
Отсюда следует, что скорость движения материала при посту-
поступлении в аппарат равна:
198-3-3
500 • 0,785 • 2,25
м/ч
Аналогично найдем скорость движения материала при выходе
из сушилки:
220-3 . ,„ ,
330-0,785-2,25 ~ U3 М/ч
Так как т = 2 у места загрузки и т = 0,1 при выходе из су-
сушилки, то, подставив эти данные в уравнение A5), получим:
2 = 335 Bа+ Ь)
1,13 = 335 @,1а + Ь)
Решив эти уравнения, найдем:
а=0,00154 и 6 = 0,00325
Следовательно
их
-г- = 335 @,00154т + 0,00325)
A7)
Для нахождения т используем уравнение A6):
— ¦— К &%
т
Из этого уравнения находим:
т = m§e
Внося это выражение для т в уравнение A7), получаем:
-^• = 335 @,00154m0e-feT +0,00325)
A8)
86
Интегрируя, имеем:
Для определения постоянной С используем краевое условие-
х — 0; при т = 0
С = 335
0,00154гга0
Подставив это значение в A9), получим:
*=335[о,ОО325т+ 0-00154ИО A_,-*x)j
B0>
Эта формула дает нам выражение длины аппарата х как функ-
функцию от времени сушки.
Из формулы A8) имеем:
Подставляем значение к в B0):
, = 335[0,00325т+0^
Решив это уравнение относительно т при заданном х = 15, по-
получим продолжительность сушки:
т = 10,6 ч
§ 2. ПРОЦЕССЫ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Реакцией второго порядка называется такая реакция, скорость
которой пропорциональна произведению концентраций двух реаги-
реагирующих веществ или, как особый случай, — квадрату концентра-
концентрации одного из реагирующих веществ.
Пусть сг и с2 — концентрации двух реагирующих веществ, ах —
концентрация одного из продуктов реакции, протекающей без изме-
изменения объема реагирующей массы. Если реакция эта — второго
порядка, то ее скорость определяется уравнением:
dx
B1)
Принимая а и b за начальные количества двух веществ, а за
единицу измерения — грамм-эквивалент вещества, имеем:
х — а — х и с2=Ь — х
Уравнение B1) получает вид:
L
= k{a-x)(b-x)
B2)
87
Перепишем это уравнение так:
их
(а — х) (Ъ — х)
= kdx
Разлагая левую часть на сумму двух дробей, приведем это
уравнение к виду:
a — b \ b—x a — x
Интегрируя это уравнение, имеем:
1
а — Ь
[In F —г)—In (а— х)] = кт
B3)
Подставив сюда х = 0 и т = О, получим:
1
а — Ъ
AпЬ — 1пя) =
Подставляя это значение С в B3), получим:
1
In
(а—х)Ъ
к (а — Ь) (Ь — х)а
Решая это уравнение относительно х, находим:
аЪ(еак--—еък~)
B4)
B5)
Существенное различие между процессами первого и второго
порядка состоит в том, что при реакциях и процессах первого порядка
постоянная к не зависит от принятой единицы измерения незави-
независимой переменной, в частности от концентрации, тогда как при
реакциях . и процессах второго порядка значение постоянной к
изменяется с выбором единицы измерения. Действительно, опре-
определим к, которое характерно для процессов первого порядка:
а — х
Если а я х заменить на па и пх, то к от этого не изменится.
Если же определить к из B4)
1
(а — х) Ь
х (а — Ъ) (Ъ — х) а
-In
B6)
то к изменится, если а, Ь и х заменить на па, пЪ и пх.
а) Установление порядка реакции. Найдено, что при взаимо-
взаимодействии 0,5638 моль гидроокиси натрия с 0,3114 моль уксусно-
дтилового эфира количества этих веществ в реакционной смеси
изменяются следующим образом:
0
393
669 1010 1265
Время т, сек . . .
Количество щелочи,
моль 0,5638 0,4866 0,4467 0,4113 0,3879
Количество эфира, . .
моль 0,3114 0,2342 0,1943 0.1589 0,1354
Требуется доказать, что это — реакция второго порядка.
Уравнение химической реакции представляется в виде:
СН3СООС2Н5 + NaOH = С2Н5ОН + CH3COONa
Если принять, что эта реакция практически необратима, то ско-
скорость образования спирта должна быть пропорциональна концен-
концентрациям как гидроокиси натрия, так и эфира.
Обозначим через а и Ь (в моль) начальные количества, соответ-
соответственно, щелочи и эфира и через х — количество спирта (в моль)г
образовавшееся ко времени т; тогда а — х и Ь — х будут оставшиеся
Количества молей щелочи и эфира, взаимодействующих в момент
времени т. Отсюда следует, что значения х будут удовлетворять
уравнению B2) при условии, что соображения о природе реакции
являются правильными.
Для того чтобы это проверить, поступаем, как в примерах для
реакции первого порядка.
Проинтегрируем уравнение B2), приняв за пределы интегриро-
интегрирования по т числа 0 и тх, а по х — числа 0 и хх:
После интегрирования найдем:
2,303 [lg («-*!)-lg F-*!)-lg-?] = (я-Ь) йтх
Вычисляя по этой формуле значения к при различных т1? соот-
соответствующих опытным данным, приведенным в условии настоящей
авдачи, убедимся, что величина к является постоянной, так как
расхождения отдельных ее значений не выходят за пределы экспе-
|Иментальной ошибки:
А:-105
393 669 1010 1265
.. 138 141 140 143
Это доказывает, что исследуемая реакция — второго порядка.
б) Реакции второго порядка в случае эквивалентного количества
Мшцеств. Рассмотрим, как изменится уравнение B4), которым мы
¦вльзовались для определения времени т продолжительности реак-
•Реи, если Ъ = а, т е. если в реакционной смеси находятся эквива-
эквивалентные количества веществ.
В случае а = Ь уравнение B2), из которого мы исходили при
получении B4). принимает вид
dx , . ,„ dx
—- = *(я-*J;
(я —
откуда, интегрируя, получим:
а — х
При а; = 0 т = 0, следовательно, С = — и
а — х а
' й:а (а — х)
В случае реакции и-го порядка уравнение реакции будет:
dx _
(е-*)""" т
После интегрирования получаем:
1
При г= 0 и т = 0
B7)
(и — 1) а"-1
Подставляя это значение С в B7), найдем:
,ст_ 1 Г 1 1_1
в) Экстракция серы кипящим бензолом. В лаборатории проведена
пробная экстракция серы кипящим бензолом из отработанной газо-
газоочистительной массы, содержащей 52% серы. Количество взятой
пробы 25 г, количество бензола 100 г.
При этом были получены следующие данные:
Время, мин 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Концентрация, г серы/100 г
бензола 0 2,15 3,4 4,32 5,10 5,73 6,32 6,78 7,04 7,42
Растворимость серы в бензоле при температуре кипения соста-
составляет 11,7 г/100 г бензола.
Найдем зависимость, которая представляла бы полученные ре-
результаты в пределах точности опыта (около 5%).
Сначала было принято, что скорость извлечения серы пропорци-
пропорциональна количеству остающейся нерастворенной серы, что пред-
предполагает процесс первого порядка. Для того чтобы это проверить,
была построена диаграмма (рис. Ш-1), на которой точками пред-
представлена зависимость логарифма числа, выражающего количество
нерастворенной серы, от времени. Если провести через эти точки
90
линию, то она окажется кривой, а яе прямой. Это означает, что
экстракция серы бензолом не является процессом первого порядка.
Предположим, что скорость извлечения серы пропорциональна
количеству нерастворенной серы, а также разности между факти-
фактической концентрацией раствора в данный момент и концентрацией
его в состоянии насыщения, т. е. что:
dW
dx
= — kW(S — c)
где W — количество нерастворенной серы ко времени т, е;
5 — концентрация серы в насыщенном растворе, г/100 г кипя-
кипящего бензола;
с — концентрация серы в растворе ко времени т, г/100 г.
Это дифференциальное уравнение содержит три переменных: W,
с, х. Но W и с связаны между собой в силу того, что общее количество
серы = с + W = 25-0,52 = 13 г.
Отсюда
И/= 13 — с и dW=— dc
Следовательно
— = * A3-е) A1,7-е)
Мы пришли к уравнению
вида B2).
В результате интегрирования
имеем:
2,303
ЦК-
JJ0
\о,ов
0,06
о
У
>
у
У
¦
i
1.1
1,0
0,3 &
0,8
20 40 'SO SO
Время^нши
Рис. Ш-1.
;,303 Tig A3 —c)-lg A1,7 —с) -lg —jpj-~\ = A3 —11,7) кх
Если эта зависимость действительно описывает данный процесс,
то, построив диаграмму для величины lg -Лг-=—-г- относительно т,
A1,7 — с)
мы должны получить при использовании опытных данных ряд точек,
лежащих почти на прямой линии. Такая прямая в действительности
и получается на графике с достаточной степенью точности.
г) Продолжительность реакции третьего порядка. Найти общее
выражение для определения продолжительности необратимой реак-
реакции третьего порядка, когда вещества А, В и С взяты в различных
количествах а, Ъ и с молей.
Имеем:
Интегрирование этого уравнения и последующее определение
Постоянной интегрирования из условия х = 0 при т = 0 приводит
к следующей зависимости:
1 [( а \Ь-с [ Ъ \с-а / с \а-Ь\
91
Решим аналогичную задачу для случая, когда вещества В и С
имеются в одинаковом количестве Ъ молей. Эта задача приводит
к уравнению;
Л?±. = к(а-х)(Ь-х)* C0)
Интегрируя, получаем:
Х- к(а-Ъ)г \ а-
Ь~х
Нетрудно убедиться, что
постоянная интегрирования
С равна:
1 fln ь | "-М
Таким образом, получаем
окончательно:
1
к (я — Ь)*
X
Х
b(b-x)f
Рис. 111-2.
Эта задача приводит к уравнению:
C1)
Допустим теперь, что все
три вещества взяты в рав-
равных количествах, т. е. что
а=Ь = с.
C2)
Интегрируя это уравнение с учетом начального условия, получим:
_ х{2а —
C3)
д) Экстракция горячего плава в тонком слое. Процесс экстра-
экстрагирования горячего плава состоит в следующем. Горячий пасто-
пастообразный плав поступает непосредственно из печи через желоб
яа вращающийся барабан (рис. Ш-2). Последний установлен внутри
камеры. Нижняя половина барабана омывается водой. Плав наби-
набирается барабаном в виде пленки, которая застывает, образуя корку.
Толщина слоя плава регулируется вторым прижимным барабаном.
?арабан при вращении подает застывший плав к воде, протекающей
через камеру; в этой камере происходит экстрагирование плава.
Пульпа с помощью шнека подается в смеситель, а оттуда в отстойник.
Плав представляет собою физическую смесь растворимых в воде
веществ с нерастворимой частью, причем объем последней изме-
32
няется в зависимости от количества содержащихся в ней растворимых
веществ. Примем эту зависимость линейной.
Таким образом, объем массы плава, подвергаемого экстрагиро-
экстрагированию, изменяется в соответствии с уравнением:
V=aw-\-b
где V — объем плава в расчете на единицу массы неизменного
остатка;
w — количество растворимых веществ, кг на 1 кг неизменного
остатка;
а — удельный объем растворимой части плава;
Ъ — удельный объем неизменного остатка.
Количество М неизменного остатка, проходящего в единицу
времени при вращении барабана, составляет (в кг/ед. времени):
M = upf C4)
где р — количество неизменного остатка в единице объема плава;
и — линейная скорость движения плава;
/ — поперечное сечение слоя плава на барабане.
Имеем:
dl
dx
М
Р/
или и =
M(aw-j-b)
f
C5)
где I — длина пути, проходимого частицей плава;
т — время;
Р== aw + b'
В процессе экстрагирования толщина слоя плава на барабане
является переменной величиной. Определим ее по правилам нахо-
нахождения среднего значения функции [см. формулу E1) гл. II]. Со-
гдасно этой формуле примем среднюю толщину слоя плава равной:
¦"ср —
Ал —
1п-
где Аг и А2 — соответственно начальная и конечная толщина слоя
плава.
Тогда поперечное сечение слоя плава:
•AcpS
где S — длина барабана.
Таким образом, уравнение C5) представится в следующем виде!
dl
dx
М \aw-]-b)
C6)
В это уравнение входят две неизвестных величины, а именно /
и w. Для его решения необходимо составить еще одно уравнение.
93
Этим вторым уравнением является кинетическое уравнение про-
процесса экстракции (см. § 2, стр. 91):
dw
^- = Лш(с0 —с) C7)
где w — содержание извлекаемого вещества в плаве в момент вре-
времени т;
с0 — концентрация насыщенного раствора при данной темпе-'
ратуре;
с — концентрация раствора в момент т;
к — константа скорости процесса.
Кроме того, из материального баланса для процесса экстрагиро-
экстрагирования имеем:
w -f- тс = ш0 C8)
где т — отношение массы жидкости к массе неизменного твердого
остатка в плаве;
w0 — начальное количество извлекаемого вещества в плаве.
Исключая w из C7) и C8), мы придем к следующему дифферен-
дифференциальному уравнению:
dc , [ w0 \
-г- — к —^-—с ) (со —
их \т ) ч
C9)
Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение B2), и полу-
получается из него при:
а = —— • Ь = с0
т >
Используя полученное на стр. 88 решение зтого уравнения,
найдем:
D0)
W,
hz
-со*"*
Умножив числитель и знаменатель правой части на —т, а затем
разделив на е т , получим:
Обозначив к(сп — ) = а, будем иметь:
\ т I
— w0
D1)
94
Из формулы C8) определим теперь w:
е« — 1 /
ш = ш0 —шосо -_ = ш0/ 1—
т \ сот }
Внося зто выражение для w в уравнение C6), приведем его
к следующему виду:
dl _ М Г / _ е« —1
dx ACDS I ° I „. wo
D2)
Умножая обе части на их и интегрируя, получим для I следу-
следующее выражение:
Полагая
найдем!
com
согга
еат = z; dx =
dx — \
dx
согга
f—ir
CqTTI
f—* л-~1Г.
J w0 ат a J
com
1 1
а к>о
In-
com
aw0 w0
Отсюда получим следующее значение для I:
М
-|(яшо+6) т—
сот
D3)
Постоянную интегрирования С" найдем из условия, что / = 0
при т = 0.
Тогда
1 =
_
AcpS
Следовательно
М
w0
ln 1- 11+С' = 0
com JJ
w0
95
Определим время, за которое частица экстрагируемого плава
опишет путь / == пЯ, равный половине длины окружности барабана,
Где д — радиус барабана.
Учитывая значение а из формулы D4), найдем:
/l — '
М
ср
aw0
к en —
w0
In-
wo—com
Щ —
hzt
C(.m | Wq—Cn me
—— In ——
~ V ml
(ш0
D5)
Формула D5) устанавливает функциональную связь между
радиусом барабана, производительностью его М и временем т.
§ 3. ОДНОВРЕМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ РЕАКЦИИ
Многие процессы могут быть легко изучены, если их рассматри-
рассматривать как результат двух или более простых процессов, происходящих
одновременно. Сущность этого вопроса сделается ясной после рас-
рассмотрения ряда частных примеров.
а) Определение констант скорости реакции радиоактивного рас-
распада. Радиоактивное вещество дает два продукта распада, каждый
с разной скоростью. Известно, что скорость образования каждого
продукта пропорциональна количеству присутствующего исходного
вещества.
Каждый продукт распада получается непосредственно из исход-
исходного вещества. Таким образом, процесс состоит из двух простых
реакций первого порядка, протекающих одновременно.
Примем следующие обозначения:
с — количество вещества, присутствующего ко времени т, г;
х — количество первого продукта распада ко времени т, г;
у — количество второго продукта распада ко времени т, г;
к1 — константа скорости первой реакции;
к2 — константа скорости второй реакции.
Найдем кх и к2 и выразим х, у и с в функции от времени т. Диф-
Дифференциальные уравнения для отдельных реакций могут быть
написаны в виде:
dx
D6)
Эти уравнения содержат три неизвестных: х, уме. Но сумма х,
у и с равна начальному количеству с0 исходного вещества:
D7)
96
Решим эту задачу для следующих условий:
с = Ю; * = 0; у = 0 при т = 0
е=5; г=4; (/ = 1 при т = 3
(т — в сутках; с, х и у — в ед. массы).
Разделим второе из уравнений D6) на первое с тем, чтобы
исключить dx. В результате получим:
dy_
dx
Интегрируя, имеем:
Для определения постоянной интегрирования С полагаем х—0.
Но при х — 0у--0; следовательно, С = 0. Таким образом, имеем:
D8)
т. е. количественное отношение двух продуктов процесса остается
постоянным и равно отношению констант скоростей элементарных
процессов. Это характерное свойство одновременно идущих про-
процессов имеет важное значение, так как оно дает возможность на
практике отличить параллельные (одновременно идущие) реакции
от обратимых или последовательных реакций.
Так как х = 4 при у = 1, то из D8) находим:
Сложим уравнения D6)!
D9)
E0)
Дифференцирование уравнения D7) дает:
d(x+y) — — dc
Следовательно, уравнение E0) можно записать так:
E1)
Мы пришли к уравнению вида A).
Отсюда видно, что превращение исходного вещества протекает,
как и при реакции первого порядка, причем константа скорости
равна сумме констант скоростей отдельных реакций.
Согласно условию задачи можем теперь написать:
•ilni=—з-
7 Заказ 1706
E2)
97
Из E2 и 50) находим значения кх и к2:
h = 0,185 и, Л2 = 0,046
Из E1) получаем выражение с через х-
Наконец, из D7) и D8) определим хну:
*—f-l 10—10( -^-
б) Определение констант скорости реакции образования ди-
динитробензола. При приготовлении динитробензола из мононитро-
мононитробензола и азотной кислоты найдено опытным путем, что если пользо-
пользоваться тремя эквивалентами азотной кислоты на один эквивалент
нитробензола в начале процесса, то по истечении 20 мин расхо-
расходуется половина нитробензола и что к тому же времени получа-
получающиеся орто-, мета- и пара-соединения динитробензола присутствуют
в весовых соотношениях, соответственно равных 6,4; 93,5 и 0,1.
Реакция образования каждого из этих трех веществ — второго
порядка, причем скорости реакций пропорциональны как концен-
концентрации нитробензола, так и концентрации азотной кислоты. Тре-
Требуется найти константы скорости всех трех реакций.
Пусть
с — число эквивалентов нитробензола, оставшегося ко вре-
времени т;
с' — число эквивалентов азотной кислоты, оставшейся ко вре-
времени т;
х, у, z — числа эквивалентов орто-, мета- и пара-продуктов ко
времени т.
Рассматриваемые три одновременно идущих процесса характери-
характеризуются следующей системой кинетических уравнений:
dy
dx
, i dz ,
-rft- = ^CC; -dT~k3CC
Далее, один эквивалент азотной кислоты расходуется на каждый
эквивалент любого из трех образующихся продуктов; то же имеет
место и в отношении нитробензола.
Отсюда имеем:
с = с0— {x + y + z) и с'=— с„ (x + y + z)
где с0 и с„ — начальные количества исходных реагентов (прит = 0).
Решение может быть осуществлено так же, как в предыдущей
задаче.
Разделив последовательно одно дифференциальное уравнение
на другое и проинтегрировав, получим:
х : у : z = к1: к2 : к3
Учитывая, что молекулярные массы орто-, мета- и пара-соединений
одинаковы, можно заменить отношение чисел эквивалентов отноше-
отношением массовых количеств. Поэтому
х: у : z = кг: к2 : А3 = 6,4 : 93,5 : 0,1
С другой стороны, суммируя три дифференциальных уравнения
и приравнивая х -{- у -{- z = и, получим:
du
Мы видим отсюда, что решение задачи сводится к решению урав-
уравнения вида B2).
в) Истечение воды из цилиндрического резервуара. Цилиндри-
'ческий резервуар диаметром 1,8 м наполнен водой; в определенный
момент в стенке резервуара открываются два отверстия для выпуска
воды. Уровень воды в резервуаре составляет 3 м. Одно отверстие
находится на 1,8 м, а другое на 2,4 м ниже начального уровня воды.
Коэффициент истечения равен 0,61. Диаметры верхнего и нижнего
отверстий равны, соответственно, 50 и 100 мм. Вывести уравнение
для определения продолжительности т понижения уровня воды до
определенного предела.
Обозначим через Н уровень воды в резервуаре в момент т. Вы-
Высота наполнения (в метрах столба воды) над верхним отверстием
будет: Н — 1,2, а над нижним отверстием: Н — 0,6. Скорость исте-
истечения из отверстий, как известно из гидравлики, подчиняется закону
где w — скорость истечения воды через отверстие, м/сек;
g — ускорение силы тяжести, м/сек2;
h — высота столба воды над отверстием, м.
Постоянная ср есть коэффициент истечения, который для идеаль-
идеальной жидкости, свободной от трения и поверхностного натяжения,
и идеального отверстия был бы равен единице, но в действительности,
найденный опытным путем, составляет примерно 0,61 для обыкно-
обыкновенных малых отверстий с острыми краями.
Обозначим скорость истечения из верхнего отверстия через шг,
а из нижнего — через w2. Тогда:
0,61 Vl -9,81 (Я -1,2)
0,61 /2-9,81 (Я-0,6)
E3)
Объем воды, вытекающей в 1 сек через каждое отверстие, будет,
соответственно, WjSx и ш%82, где Sxm S2 — площади отверстий (в м2).
Величина, на которую уменьшается высота слоя воды в резервуаре,
99
равна объему выходящей из него воды, разделенному на площадь
поперечного сечения резервуара. Следовательно, имеем:
dH_
d%
E4)
Вводя сюда вместо wt и w2 их значения из E3) и подставляя
числовые значения St и S2, иридем к уравнению:
dH 0,0061 VTdS
dx 4 • 3,24
Для интегрирования перепишем это уравнение в виде:
4 • 3,24 dH
=
о 0061 КТад
Ун—о.б
В начальный момент времени т = 0 высота наполнения Я = 3.
Следовательно, мы должны интегрировать левую часть этого уравне-
уравнения в пределах от 0 до т, а правую часть — от 3 до Я. Получим:
я
, 1 Г dH
0,0021 J ij///_li2+4j^ff-0,6
з
Эта формула и устанавливает искомую нами зависимость. Вычис-
Вычислим время, в течение которого уровень жидкости понизится от 3
до 1,5 м. Время это, очевидно, выразится следующим интегралом:
1
dH
0,0021
/Я-1,2 +4КЯ-0.6
Для вычисления этого интеграла умножим числитель и знаме-
знаменатель подынтегральной функции на 4 К Я — 0,6— YH —1,2
и затем представим интеграл в виде суммы двух интегралов. Мы
найдем:
г 1,5 г 1,5 г_
Г-1,2
11,5 1,5 ,
4 Г Ун-ofi н с Ун-и
J 15Я-8.4 J 15Я-8,
з з
dH
Полагаем в первом интеграле Н — 0,6 = х2, а во втором инте-
интеграле Н —1,2 = у2. Тогда получим следующие изменения в пре-
пределах интегрирования:
при #=3 х=
при Я= 1,5 х=
Следовательно
= 0,949 и у =
= 0,548
[0,949
_ Г
J
1,549
0,548
15x2 + 0,6
¦,-
2у*
+ 9,6
1,342
100
Эти интегралы просто вычисляются, если их привести к виду:
dx 1
-,—.„ = — arctg ex
(exJ + 1 a s
С этой целью представим дроби таким образом:
8x2 8 8 8_ 1 8_
15x2 + 0,6 '15 15 15 " 25x2 + 1 15 »
2j/2 2, 2_ = 2_ 1 2
15j/2 + 9,6 15 + 15 ~~ 15 ' 25_ 2 + 15
16 у +
Тогда интегралы приводятся к следующему виду:
т =
1
0,949
0,0021
1,649
0,548
Г /_8_ __J 8_\ _
J V15 " 25x2 + 1 15 J
Получим:
1
"I
1,342
0,0021 ||T5"arCtg5x~T5
0,949
1,549
8,5 2
— arctg-J/- — J
0,548'
1,342-
1
^- (arctg 4,745 —arctg 7,745) —0,506+ 0,826—
0,0021
— — (arctg 0,685 —arctg 1,6775)— 0,073—0,1791
0,0021
A,363 —1,442)+ 0,32—-^- @,601 —1,033) — О,10б1
Рассмотрим вторую задачу на истечение воды из резервуара.
В дне наполненного водой резервуара, представляющего собой
прямой цилиндр или призму, имеется прямоугольное отверстие со
сторонами а и Ъ, закрытое заслонкой. Пусть эта заслонка в момент
времени т = 0 начинает равномерно скользить вдоль сторон со ско-
скоростью w, открывая отверстие. На какую величину х1 опустится
уровень воды за время тх, в течение которого заслонка полностью
откроет отверстие (т1= — J, если первоначальный уровень воды —
Н, а площадь поперечного сечения резервуара — F.*
* В химической технике часто встречаются случаи истечения, подобные
рассмотренному в данном примере, относящиеся не только к истечению жидкос-
жидкостей, но и сыпучих материалов, например в дозирующих питателях. В последнем
случае задачу можно решить способом, аналогичным рассмотренному, с учетом
тех поправок, которые должны иметь место в силу некоторого отличия свойств
сыпучих тел от жидкостей.
101
Обозначим через х расстояние от уровня жидкости в момент т?
до уровня жидкости в начальный момент.
По аналогии с предыдущим примером [см. уравнение E4)] имеем
так как в момент т <[ тх отверстие будет представлять собой прямо-
прямоугольник со сторонами а и ил. Умножая на dx и интегрируя, мы,
получим
откуда
*1
F I = (paw Vlg I x dx
о о
—ч yaw Vlg _, _
"l/- 2 M 2
Решая это уравнение относительно хъ находим:
2F
&F
Решим еще одну задачу на истечение жидкости.
В тонкой вертикальной стенке призматического сосуда, напол-
наполненного водой, проделана щель — прямоугольное отверстие, горизон-
горизонтальные края которого находятся на расстоянии h и Н ^> h от уровня
воды, а ширина равна Ъ. Какое количество воды Q будет вытекать
через это отверстие за 1 сек, если уровень воды поддерживается
с помощью соответствующего притока на постоянной высоте?
Горизонтальные прямые, проведенные на стенке сосуда на рас-
расстояниях х и х -f dx от поверхности воды, выделяют на прямоуголь-
прямоугольном отверстии элементарную полоску с площадью bdx. Через эту
полоску будет протекать в 1 сек количество воды dQ = q>bv2gz dx.
Интегрируя это равенство в пределах от h до Н, мы и получим
общее количество воды Q, протекающее в 1 сек через отверстие;
я
Если h = 0, т. е. если прямоугольное отверстие начинается
у самого уровня воды и образует выемку или водослив, то
q = 4 фбЯ V2gH = 4 ф A VlgH
о о
где А — площадь прямоугольной щели.
102
§ 4. ОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ
Если два одновременно идущих процесса взаимозависимы и, про-
противодействуя друг другу, дают противоположные результаты, —
они являются обратимыми.
Пусть вещество С превращается в другое вещество X, причем
эта реакция — первого порядка. В то же время X переходит обратно
f С также в результате реакции первого порядка.
Через с и х обозначим эквивалентные количества С и X
в момент т.
Экспериментальные данные:
т = 0 5 оо
с = 10 7 3
х = 0 3 7
Требуется найти константы скоростей реакций kt и к2.
Уравнение F) материального баланса, составленного для веще-
вещества х, имеет вид:
— ktfc dx
E5)
Это уравнение содержит два неизвестных а: и с, но так как общее
число эквивалентов обоих веществ не изменяется ни в той, ни в дру-
другой реакции, то
где х0 и с0 — значения х и с при х = 0.
Исключив с из E5), получим:
—
х„) — (*! + к2) X
E6)
Это дифференциальное уравнение имеет два важных свойства.
Во-первых, из самого уравнения видно, что с увеличением х ско-
скорость реакции -т- будет уменьшаться, оставаясь при этом положи-
положительной. С другой стороны, из физико-химических соображений
следует, что система будет стремиться к состоянию равновесия.
При равновесии, т. е. когда скорости прямой и обратной реакции
равны, -^г=0. Обозначив х при равновесии через х<х>, получим:
Обозначив далее
-(Ai + ft2)a:oo=0
*1 + *.
E7)
преобразуем дифференциальное уравнение E6) в уравнение:
E8)
103
показывающее, что скорость реакции пропорциональна степени
отклонения системы от состояния равновесия и что это — процесс
первого порядка относительно переменной у, которая определяет
эту степень отклонения.
Чтобы найти константы скоростей реакций, необходимо сначала,
пользуясь экспериментальными данными, определить их отношение.
Затем находят их сумму, пользуясь уравнением E8). Зная сумму
и отношение констант, легко вычислить значения самих констант.»
а) Образование уксусноэтилового эфира. Уксусная кислота
и этиловый спирт вступают в реакцию с образованием уксусно-
уксусноэтилового зфира и воды:
СН3СООН + С2Н5ОН ^z? СН3СООС2Н5 + Н2О
Процесс обратим, причем протекающие в обоих направлениях
реакции — второго порядка.
Наблюдалось, что при условиях, когда:
Количество кислоты = 1
» спирта = 1
64 оо сутки
0,750 0,333 моль
0,750 0,333 »
эфира = 0 0,250 0,667
» воды = 0 0,250 0,667 »
Требуется составить уравнение кинетики этого процесса.
Как обычно, сначала составим общее уравнение для такого рода
процессов.
Обозначим через х, у, и и v количества молей, соответственно,
спирта, кислоты, эфира и воды в момент т; при т = 0 эти величины
будут, соответственно, х0, </„, и0 и v0.
Тогда дифференциальное уравнение скорости превращения спирта
представится в таком виде:
—-
E9)
Чтобы исключить у, и, и v, пользуемся стехиометрическими
соотношениями
из которых следует:
Пользуясь F0), приводим дифференциальное уравнение E9)
к виду
-—
где
104
F1)
F2)
Обозначим через ?оо значение х при равновесии. В этом случае
Вычитая (S1) из F3), получим:
§г°-х) F4)
Разложив правую часть уравнения F4) на множители, имеем:
Для решения этого уравнения используем уравнение E9), напи-
написанное для равновесного состояния. Из E9) при -г- = 0 находим:
F6)
Из этого выражения следует, что если известны предельные зна-
значения переменных, мы можем найти отношение констант скоростей
реакций. Кроме того, если мы не в состоянии получить даже из
опыта какое-нибудь одно из этих предельных значений, то тем не
менее можем сделать наши вычисления значительно более простыми,
введя зто отношение как одно из неизвестных.
Обозначим это отношение через т:
™=42" F7)
Теперь обратимся к дроби —, находящейся во втором множителе
правой части уравнения F5). Пользуясь значениями а и 6 из F2)
и вводя т из F7), находим:
Ъ_ 1
а т — 1
— 2т) х0 — у0 — тщ — mv0]
Из рассмотрения этой формулы следует, что если известны равно-
равновесные значения переменных и их начальные значения, то известно
также и — и уравнение F5) может быть написано так;
где
Уравнение F8) того же типа, что и уравнение B2); поэтому и реше-
решение уравнения F8) будет аналогично решению B4) уравне-
уравнения B2).
105
Пользуясь вышеприведенными данными для спирта и кислоты,
находим из F6):
= 4й3 или
т = —
Подставляя в уравнение F8) найденные значения постоянных,
приведем его к виду:
dx~ 4 \3 x)(x + 1>
б) Реакции окиси углерода. Рассмотрим реакцию первого по-
порядка в одном направлении, но реакцию второго порядка — в обрат-
обратном направлении.
Окись углерода разлагается на углерод и двуокись углерода
в присутствии большого избытка углерода по уравнению:
2С0
С + СО2
Существуют различные точки зрения на природу, механизм
и кинетику этой реакции. В данном случае мы будем исходить из
условного допущения, что скорость разложения окиси углерода
пропорциональна квадрату ее концентрации, между тем как обрат-
обратная реакция протекает как реакция первого порядка.
Эти скорости реакций обосновываются теоремой кинетической
теории газов, по которой скорость любой реакции зависит от вероят-
вероятности столкновения взаимодействующих молекул.
Принятые здесь положения относительно скоростей реакций
основаны на предположении, что реакции имеют место при постоян-
постоянной температуре и постоянном общем объеме.
Пусть х и у — концентрации, соответственно, СО и СО2 в мо-
момент т, выраженные в эквивалентах на единицу объема или, если
это удобнее, — в парциальном давлении. Тогда имеем:
L
F9)
Объем (или давление) исходной СО вдвое больше такового для
СО2, образующейся из нее. Из этого следует, что
(У-У о) G0)
х0—
Исключая у из F9) и G0), получим:
При равновесном состоянии имеем:
Вычитая G1) из G2), получим уравнение:
G1)
G2)
G3)
Если мы примем
<го получим с помощью уравнения F9)
174)
где т определяется из условий равновесия.
Этот прием более удобен, так как в большинстве случаев условия
равновесия изучены полнее, чем скорости реакции.
Учитывая, что на основании G0) dy = -^dx, и используя G4),
приводим дифференциальное уравнение G3) к виду:
Решение этого уравнения аналогично решению уравнения B2).
Рассмотрим случай, когда обратимая реакция протекает в одном
направлении как реакция третьего порядка, а в обратном направле-
направлении — как реакция второго порядка. Такие реакции, в частности,
встречаются при взаимодействии газов; например
2СО+О2 ^z± 2СО2
Пусть концентрации окиси углерода, кислорода и двуокиси
углерода будут, соответственно, х, у и г.
Тогда
Приравнивая, как и раньше, правую часть уравнения нулю,
получим:
"~ кг z2
Мы имеем также следующие стехиометрические соотношения:
Исключая у и z и вводя ?«, таким же способом, как в преды-
предыдущем примере, имеем:
dx _ h />
где
о— тУ, c =
106
107
Если начальные условия, так же как и условия равновесия,
известны, то Ъ и с легко вычислить. Переменные величины могут
быть теперь разделены:
dx
= -2--Л
Левая часть этого уравнения может быть разложена на част-
частные дроби таким образом:
Adx (Bx + C)dx
где
Подставив в это уравнение числовые значения величин, получим;
dg = k C0-г) dx — 0,3? dx G5)
По условию задачи при g = 0 -gf-=l кг/мин. Подставив эти
значения в уравнение G5), пайдем k = -^r.
Используя это значение к, получим:
После упрощения это уравнение принимает вид;
"oo ' "~oo
откуда А, В и С сразу же вычисляются и интегрирование произ-
производится обычным методом с помощью таблиц интегралов.
Любые другие случаи обратимых реакций могут быть исследо-
исследованы подобными способами, если только известий начальные усло-
условия и условия равновесия.
К уравнениям только что рассмотренного вида иногда приводят
также и не химические задачи. Если переменная уменьшается по
одной причине и увеличивается по другой, то дифференциальное
уравнение для этой переменной часто имеет вид дифференциального
уравнения обратимой реакции. Рассмотрим следующий пример.
§ 5. ЗАДАЧА О РАСТВОРЕНИИ СОЛИ
Предположим, что дно резервуара, рассмотренного в примере в
(стр. 79), покрыто слоем слежавшейся твердой соли. Примем поверх-
поверхность последней постоянной, а скорость растворения соли про-
пропорциональной разности между концентрациями действительного
и насыщенного раствора @,3 кг/л).
Остальные условия, приведенные в § 1 (пример в), сохраняются.
Требуется выразить общее количество растворенной соли как
функцию от времени, причем известно, что если вода в баке была бы
чистой, то скорость растворения составила бы 1 кг/мин.
Применяя уравнение F), получим:
dg = k (guac — g) dx — w-J^dx
где k — константа скорости растворения соли;
V — объем раствора в резервуаре A00 л);
g — количество чсоли в растворе в момент т, кг;
?нас — количество соли, которое должно находиться в растворе
заданного объема при его насыщении, равное 0,3-100 =
= 30 кг;
w — скорость истечения раствора C0 л/мин).
10!
Так как dg = d(g — 3), то
dx
G6)
Интегрируя G6), получаем:
По условию задачи при т = 0 g = 5, -поэтому
С = ]пE —3) = 1п2
откуда получаем искомую зависимость, связывающую g и т:
G7)
Анализ этой зависимости приводит, между прочим, к следующему
заключению. Подставив в G7) т = оо, получим g — 3. Это значит,
что при заданных условиях предельное количество соли, содер-
содержащееся в растворе, составляет 3 кг.
В приведенных примерах были использованы такие данные, что
предел, к которому стремилась переменная, мог быть найден непо-
непосредственно из опыта. Если такие данные отсутствуют, то задача
усложняется, во-первых, по причине возникновения чисто матема-
математических затруднений, во-вторых, потому, что данные сами по себе
недостаточны. Следующий пример дает один из возможных методов
решения такого рода задач.
§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТ СКОРОСТИ РЕАКЦИИ
ДИФЕНИЛХЛОРМЕТАНА С ЭТИЛОВЫМ СПИРТОМ
Дифенилхлорметан вступает в реакцию с этиловым спиртом
с образованием хлористоводородной кислоты и эфира. Предпола-
Предполагается, что реакция идет по схеме:
RCl+R'OH ;=? HC1 + ROR' G8)
109
т, мин
Количество НС1, моль
Желательно проверить это предположение и определить кон-
константы скоростей прямой и обратной реакции. Имеются следующие
данные:
. . 13 119 142 162 182 212
. . 0,00346 0,02680 0,0309 0,0343 0,0375 0,0418
Очевидно, что здесь равновесие не было достигнуто даже в каком-
либо приближении.
Количество спирта было настолько велико (около 21 моль), что
в процессе реакции оно оставалось практически постоянным. Началь-
Начальное количество дифенилхлормегана х0 = 0,09966 моль.
Примем следующие обозначения:
х — число молей дифенилхлорметана ко времени т;
у — число молей НС1, а также молей эфира ко времени т.
При т -> г,» у -*• г/оо-
Если реакция соответствует уравнению G8), то дифференциальное
уравнение задачи следующее:
—— = к\х—/с2г/2 G9)
где кх и А;2—константы.
Из стехиометрического соотношения имеем: х-\-у = х0, вслед-
вследствие чего х может быть исключен и уравнение G9) приобретает вид:
(80)
(81)
(82)
В состоянии равновесия у = у^ и -т- = 0:
0 = к1(х0-уоо)-к2у%о
Вычитая (81) из (80), получим:
Мы имеем также непосредственно из (81):
*! = -
Полагая
Р=
приведем дифференциальное уравнение (82) к следующему виду:
Интегрируя это уравнение, придем к следующей зависимости:
Сущность метода дальнейшего решения задачи состоит теперь
в том, чтобы, задаваясь значениями для неизвестного г/оо, построить
графики для lg относительно т.
У оо У
При этом, если одно из выбранных значений г/ю окажется дей-
действительно правильным и если гипотеза о природе реакции верна,
то в результате мы должны получить ряд точек, расположенных
настолько близко к прямой линии, насколько позволяет точность
экспериментальной работы. На рис. III-3 показаны результаты для
пробных значений гую, равных 0,070, 0,075, 0,080 и 0,083 и обозначен-
обозначенных знаками, соответственно, X, | , <[ и >.
Верхняя и нижняя кривые дают весьма незначительную вогну-
вогнутость, направленную, соответственно, вверх и вниз, хотя отклонение
от прямой линии здесь в каждом случае находится в пределах экспе-
экспериментальных ошибок.
110
Рис. Ш-3.
Определенные для четырех проб значения к2 составляют 0,0170,
0,0118, 0,0082 и 0,0064. Таким образом, первое значение превышает
последнее более чем в два раза.
На основе такого подбора данных можно прийти к единственному
заключению, что если реакция действительно протекает по уравне-
уравнению G8), то константа к2, вероятно, находится либо в интервале
между полученными наибольшими и наименьшими значениями,
либо вблизи от них.
Чем ближе к равновесным данные, полученные опытным путем,
тем более точно может быть определена к% этим методом, так как
дифференциальное уравнение (80) показывает, что влияние к2 воз-
возрастает с увеличением значения у.
Константа кг вычисляется легче: вышеприведенные данные вполне
достаточны для определения ее значения, так как kt является кон-
константой, которая оказывает большее влияние в начале реакции.
Нетрудно убедиться, что все четыре пробы дают почти одно и то же
значение йх.
§ 7. ОБРАТИМЫЕ РЕАКЦИИ
Явление обратимости химических реакций представляет интерес
также в том отношении, что оно приводит к взаимосвязи между
константой скорости реакции и термодинамикой. Рассмотрим
реакции:
ft. k,
44-В >- C + D; C + D >- А-\-В
Ш
Действительная скорость разложения вещества А, которое уча-
участвует в обеих реакциях, составляет:
j_.i^L= - (^и?\ л.~ (^л =к и^..а±.—к ^-.^i- (83)
При равновесном состоянии действительная скорость разложе-
разложения равна нулю, т. е.
(84) .
или
тлп
па \ I "ь
¦=К
(84а)
где К—константа равновесия, а индекс «р», относится к условиям
равновесия.
Подставляя в (83) величину К, получим:
1 dna 7 / M-aUb I ncrld \
~V' ~dx~ = ';i V ~V2 ~K ' ~~W~ )
(85)
Выразим зто равенство через х, которое представляет умень-
уменьшение количества вещества А:
|
(86)
или
Если величина g2 =
вляет:
KV
—4ay положительна, то интеграл предста-
предста(87)
- = — In -i—-—~——'
9 Bax— P + ?)Bax0— p —
Другие кинетические уравнения, где по крайней мере в одном
направлении изображена реакция второго порядка, имеют свои
решения в виде равенства (87) при надлежащих значениях a, P и у.
В табл. III-2 зти результаты обобщены для более общих случаев
химических реакций.
Для реакции первого порядка в обоих направлениях А -^2" В
с кинетическим уравнением
dx
— = кх (па0— х) — к2
х)
112
ТАБЛИЦА Ш-2
Обратимые реакции второго порядка
_ 1 , Bax-P-g)Bax0-|
Реакция
А + В <± С
A + B&.C+D
dx
dr
¦jry \KV (na0-x) -
¦b [*<--»•-
~("c0 + T)(nrf0+2")J
— \K (n -x)(n ~x)~
«
—1
К
К
K — i
3
KVi;:+
v
2nn+i
^ 2
К (па0 +
KVna0-
— ПcOn do
— nc0nd0
Kna0nbo —
— Vnc0
имеем
T —T0 = -
(88)
Для наиболее важного случая, когда пЬо = 0 и х0 — 0, из (88)
получим
"ПЯпН
т— т„ =
In-
¦^равн — X
О термодинамической совместимости. Выше было указано
(см. гл. II), что обратимая реакция а А + ЪВ ^± сС может иметь ско-
скорость для прямой реакции
где р и q не обязательно должны совпадать по своим значениям
со стехиометрическими коэффициентами а и Ъ. Константа термоди-
термодинамического равновесия определяется из (84а), поэтому для ско-
скорости обратной реакции имеем:
где s может быть найдена из равенства
{ССУ = (Сс)с (Са)Р'а
8 Заказ 1706 113
Например, в случае реакции
С0 + С12 ^г? С0С12
скорость прямой реакции была определена в таком виде:
dx =МСО) (CI2)V»
Следовательно, для скорости обратной реакции должно быть
Некоторые кинетические уравнения обратимых реакций полу-
получены экспериментально и они не находятся в соответствии с (84а),
как это видно из примера.
Пример. В табл. Ш-3 приведены данные для реакции между
йодистым метилом и диметил-/г-толуидином в растворе нитро-
нитробензола.
Стехиометрическое уравнение рассматриваемой реакции:
СНзСвН4ЩСН3J
Константа равновесия
СН3СвН4
Начальная концентрация каждого реагента составляет
0,05 моль/л; продукт реакции отсутствует к началу процесса.
Приведенные ниже четыре кинетических уравнения подлежат
проверке с тем, чтобы установить, какие из них являются пра-
правильными;
dx
7Г~Ма-*> (I)
dx
dx
(И)
(III)
(IV)
Решения этих уравнений:
1 ,
= — In
X "
к, = — -
x/a
— x/a)
114
Так как
X I
k,=.
ln
ln
p | x L 2p
a ' a \ a
_?.__?
а а
К =
@,05-xpJ
= 69,8
то
хр = 0,02946
Р 0,02946
0,05
= 0,589
Рассчитаем для первой точки значения констант скорости реак-
реакции с помощью указанных выше уравнений:
h = ~ln
1
10,2 1—0,175
10,175
= 0,0187
2 10.2 " 0,05A—0,175)
0,589
= 0,415
10,2 • 0,05 A—0,589J 0,052 @,589—0,175)
0,589
1п 0,589 + 0 175 A-2-0,589) =а
0,589—0,175
ТАБЛИЦА Ш-З
2-10,2-0,05 A—0,589)
Эти результаты, а также
значения для остальных то-
точек помещены в табл. Ш-З.
Отсюда видно, что уравне-
уравнение (IV), соответствующее
обратимой реакции, где она
в обоих направлениях вто-
второго порядка, наилучшим об-
образом удовлетворяет опытным
данным, несмотря на то, что уравнение (III) соответствует стехио-
стехиометрии. Постепенное уменьшение к2 в таблице типично в тех
случаях, когда для обратимой реакции принимается механизм не-
необратимого процесса.
т
10,2
26,5
36,0
78,0
X
а
0,175
0,343
0,402
0,523
0,0187
0,0158
0,0143
0,0096
кг
0,415
0,394
0,273
0,281
кг
8,89
4,15
3,25
1,78
к.
0,421
0,412
0,405
0,371
115
§ 8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Рассмотрим также процессы, являющиеся результатом двух более
нростых процессов, следующих один за другим. Примером таких
процессов могут служить превращения радиоактивных веществ.
Предположим, что какое-либо вещество, начальное количество
которого равно g0, превращается в другое вещество, а последнее,
в свою очередь, также изменяется, причем скорости этих двух реак-
реакций различны. Примем, что это — реакции первого порядка.
Пусть: g — количество исходного вещества ко времени т;
х — количество первого продукта, образовавшегося ко времени т
по первой реакции;
у — количество второго продукта, образовавшегося ко вре-
времени т.
Тогда х — у равно количеству первого продукта, получившегося
ко времени т.
По условию задачи в процессе протекания реакций скорость
изменения х пропорциональна g, т. е. пропорциональна g0 — х,
а скорость изменения у пропорциональна х — у. Поэтому диффе-
дифференциальные уравнения для х и у будут:
*te) ? к( )
Первое из этих двух дифференциальных уравнений может быть
сразу же проинтегрировано:
х — 8о (l ~ e~klX) (89)
Это значение х подставим во второе дифференциальное уравне-
уравнение. При этом лолучим:
1— e-klX) (90)
Полученное уравнение принадлежит к типу линейных уравне-
уравнений. Решение его мы дадим в гл. V, где будут изложены методы
решения линейных уравнений. Здесь же только приведем это решение;
(91)
Уравнение (91) является уравнением кинетики образования
конечного продукта в результате двух последовательных процессов
первого порядка.
Иногда возможно предпринять раздельное или независимое
исследование двух реакций и, следовательно, найти константы их
скоростей кг и &2.
Предположим, что исходное вещество — совершенно чистое и ко-
количество его равно единице, т. е. g0 = 1. Предположим также,
что полный анализ образца был сделан ко времени т, и оказалось,
что к этому времени содержание наличного количества первого
продукта равно 0,4, второго продукта 0,3, а следовательно, содер-
116
0,36
жание исходного неизменившегося вещества также 0,3. Примем»
qTo х = 3, т. е. пусть мы нашли с помощью анализа, что х — у =
= 0,4 и у = 0,3 при х = 3. Покажем, как может быть решено (см.
гл. XXV) трансцендентное уравнение (91) относительно постоян-
постоянной к2, если кх рассматривать как известную величину. Поскольку
первая реакция есть простой процесс первого порядка, то &х нахо-
находится непосредственно с помощью методов, рассмотренных в начале
этой главы.
Решим уравнение (91) относительно е~к'х, а множитель e~ktT
исключим путем подстановки его значения из (89).
Мы получим:
е-*«т = * lZ± + i—JL (92>
ffo^i to
В этом уравнении все величины,
кроме &2, известны. Для его нахо-
нахождения построим на миллиметровой
бумаге график функции е~к'х, рассма-
рассматривая &2 как переменную и при-
принимая х равной 3. Далее таким же
образом построим график правой
части уравнения (92). Мы получим
прямую линию, которая пересечется
с графиком функции е~к'х, вообще
говоря, в двух точках (рис. Ш-4).
Одна из этих точек будет иметь
сйоей абсциссой значение, равное
уже найденному значению кг. Дру-
Другая точка будет иметь своей абсцис-
абсциссой значение искомой &2.
После того, как первое при-
приближение для к2 найдено, можно
уточнить это значение, применяя метод последовательных прибли-
приближений, изложенный в гл. XXV. Для этого представим уравне-
уравнение (92) в виде:
0,35
0,34
0.33
0.32
03!
\
\
к
\
К
0,35 035 0.37 0.38 0.33
Рис. Ш-4.
0.Ф
kt=
2
го / у~х
и, подставив в его правую часть вместо &2 найденное приближенное
значение, получим второе приближение для к2, которое в ряде слу-
случаев оказывается более точным, чем первое. Подставляя это второе
приближенное значение для &3 снова в правую часть, получим третье
приближение. В ряде случаев (см. гл. XXV) этот процесс оказы-
оказывается сходящимся и позволяет определить к2 с любой степенью-
точности.
Применим этот метод к вышеприведенным числовым данным.
С помощью метода, изложенного в начале главы, мы получим кг =
= —In 0,3 = 0,4. Уравнение (92) обращается в
(93)
ИГ
Построением графика определяем первое приближение к корню;
= 0,35.
Запишем теперь уравнение (93) в виде:
Пстр
кг = 0,35.
я найдем второе приближение, подставляя в правую часть этого
уравнения &"' = 0,35. Мы найдем А;'22) = 0,34995. Подставляя это
второе приближенное значение снова в правую часть уравнения,
получим третье приближение к'23> = 0,34999.
При пользовании этим методом, конечно, нужно учитывать точ-
точность, с которой заданы постоянные, входящие в уравнение.
Покажем теперь, что в двух последовательных процессах пер-
первого порядка количество первого продукта возрастает до максимума
и затем падает до нуля. Найдем также максимальное количество
первого продукта и значение т, при котором этот максимум
достигается.
Вычитая (91) из (89), получим:
х—у=-
(94)
Для нахождения максимума х — у нужно приравнять производ-
производную от а; — у нулю; решая относительно т полученное при этом
уравнение, найдем:
При этом значении времени т достигается максимальное коли-
количество первого продукта.
Чтобы найти значение максимального выхода первого продукта,
подставим это значение т в формулу (94). Мы получим:
:
По этой формуле можно вычислить х — у, т. е. максимальный
выход первого продукта.
§ 9. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ И ОДНОВРЕМЕННО ПРОТЕКАЮЩИЕ
РЕАКЦИИ
В том случае, когда вещество участвует одновременно в несколь-
нескольких реакциях, действительная скорость его образования или
разложения составляет алгебраическую судшу его скоростей в эле-
элементарных реакциях.
118
Рассмотрим такую группу реакций:
А+в — ¦* С
С+А —->¦ D + E
D + E —->¦ С + А
Для общих скоростей будем иметь:
ra = ('ah + ('а) 2 + (га)з = hCaCb —
rb = -k1CaCb
г с — hCaCb —к2СаСс+kzCdCe
rd = к%СаСс
с + k2CdCe
При интегрировании этих уравнений некоторые переменные
могут быть исключены с помощью материального баланса.
Пример. Имеем следующие реакции:
Кинетические уравнения:
dx
Материальный баланс:
(95>
(96)
Для (95) получим:
na = naoe-^ (97)
Подстановка (97) в (95) и (96) дает линейное дифференциальное
уравнение первого порядка (гл. IV)
решение которого составляет (гл. V):
Таким образом
119-
Пример. Для реакций
А —+ В; А ^-* С\ А — ¦* D
н&иишем кинетические уравнения:
dx '
dnc
dnd ,
~dT=k3n"
Интегрирование первого уравнения дает:
па = паОе-^ (98)
При интегрировании остальных уравнений после подстановки (98)
шолучим:
Отметим, что количества образующихся веществ по-прежнему
шаходятся в таком же соотношении, как константы скорости реак-
реакций, т. е.
(пЬ—Чо): (пс — «со) : (пd — ndo) = h :к2: к3
Пример. Для вывода кинетического уравнения применительно
к реакциям со сложным механизмом рассмотрим реакцию образо-
образования НВг из его элементов, протекающую при 300° С по следую-
следующей схеме:
Вг2
Вг+Н2
Н + Вг2
Н + НВг
2Вг
В итоге имеем:
»- 2Вг
-> НВг+Н
НВг+Вг
> Н2 + Вг
> Вг2
—> 2НВг
(а)
(Ь)
(с)
(d)
(е)
420
В соответствии с (а) и (е) получим:
<*<Вг«) ь_„
(А)
Экспериментально показано, что количество атомарного водо-
водорода, присутствующего в любой момент, ничтожно мало и, таким
образом, действительная скорость его образования равна нулю:
- = ft2 (Вг) (На) -Аз (Н)'(Вга) -kt (H) (НВг) = 0
(В)
Скорость образования НВг составляет:
^Р =MBr) (H,)+*a(H) (Br2)-fc4(H) (НВг) (С)
Решая уравнения (А) и (В) относительно (Вг) и (Н), получим:
(Вг) (На)
v"; к3 (Вга) +ft4 (НВг) /
Подставляя эти значения в (С), найдем
-*4(НВгIАя(Вгя)+МНВг)
2кгк3 У -=i
(НВг)
(Вга)
Некоторые относительно простые комбинации реакций приво-
приводят к математическим уравнениям, которые не всегда могут быть
решены аналитически. Рассмотрим, например, реакции:
В и В + С —-* D
где
Материальный баланс:
121
Кинетические уравнения получим в таком виде:
dna
_
(99)
A00)
При использовании материального баланса и решения (99) отно-
относительно па аналитическое решение A00) для щ невозможно.
Другое затруднение, которое встречается при рассмотрении
сложных реакций, даже тогда, когда интегрирование возможно,
состоит в том, что решение усложняется настолько, что константы
скорости реакций не могут быть вычислены на основе эксперимен-
экспериментальных данных. В подобных случаях целесообразно работать с диф-
дифференциальными уравнениями, но не с их решениями. Используем,
например, выражение A00), пусть экспериментальные данные пред-
представляют измерения щ в зависимости от времени. Применив эти
данные, мы можем вычислить производные dnb'di. При подстановке
двух групп величин (dnb/dr, пь и т) в дифференциальное уравнение
неизвестные кх и кг могут быть определены методом последователь-
последовательных приближений (см. гл. V, § 16 и гл. XXV, § 6).
Изменяя условия эксперимента, представляется возможным упро-
упростить определение величины к. Например, если одна из реакций
второго порядка, то, применяя избыток одного из реагентов, мы
получим реакцию псевдопервого порядка. Подобным образом, если
одна из стадий реакции обратима, то имеется возможность исполь-
использовать только начальные данные, когда система смещена от равно-
равновесия настолько, что обратная реакция не имеет значения.
Пример. Для двух реакций
имеем:
— -> 1С; А+С —+ D
кх = 0,10 м3/кмоль ¦ мин
ft2 = 0,05 мв/кмоль • мин
Ао = 3-В0 = 0,9 кмоль/м3
Рассчитаем концентрацию четырех
в реакции, как функцию времени.
Материальный баланс:
веществ, участвующих
Кинетические уравнения:
АА
dB
— ЗВ) = 0,
(А — ЗВ)
122
Для определения последовательных значений А и В восполь>-
зуемся формулой Тейлора (гл. XIII)
г = Дт = 1 мин
причем
Примем
Тогда будем иметь:
М-~) = _о,1 • 0,9 • 0,3-0,05 • 0,9 @,9-3 • 0,03) = -0,6270
= —0,0270
f-~|- \ = —о,1. 0,9 • 0,3 = —
= —0,1 [0,9 • (—0,027) +0,3 (—0,027)] = 0,00324
dA 1
+ (А — ЗВ) —- =-0,1 [0,9 (-0,027)+ 0,3 (-0,027)]-
ат j0
- 0,05 [0,9 (-0,027 + 0,081) + 0] = 0,0008
Применяя формулу Тейлора, получим:
^1 = 0,9 + (—0,027)+ 0,5-0,0008+. . . = 0,8734
Bi = 0,3 +(—0,027) + 0,5 -0,0032 + . . . = 0,2746
Таким образом
= ¦~0'1' °'8734>2746 ~~ °'05l8734 (8734 ~~ 3"О>2746) = -°-0262
¦0,0241
Далее
-j— ) — —0,1 • 0,8734 • 0,2746 = —0,
j^-) =0,9000 + 2 (—0,0262) = 0,8476
#2 = 0,3 + 2 (—0,0241) = 0,2518
и
(—) = -0 1-08476 -0,2518-0,05 -0,8476 @,8476-3 • 0,2518) = -0,0253
V dt /2
A1L) =-01. 0,8476 • 0,2518 = -0,0214
\ dx /а
125
Продолжая, найдем:
А3 = 0,8734+2 (—0,0253) = 0,8228
В3 = 0,2746+2 (-0,0214) = 0,2318
и т. д. для других точек.
Кинетические уравнения для некоторых других сложных систем
даны в табл. Ш-4-
ТАБЛИЦА Ш-4
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
А
0,9000
0,8734
0,8476
0,8228
0,7988
0,7762
0,7542
0,7330
0,7128
0,6936
0,6750
0,6572
0,6402
в
0,3000
0,2746
0,2518
0,2318
0,2136
0,1978
0,1828
0,1702
0,1578
0,1478
0,1374
0,1292
0,1204
с
0
0,0532
0,0930
0,1274
0,1580
0,1828
0,2064
0,2224
0,2396
0,2502
0,2628
0,2696
0,2790
D
0
0,0012
0,0042
0,0090
0,0148
0,0216
0,0286
0,0372
0,0430
0,0542
0.0624
0,0720
0,0802
dA
dt
0,0270
0,0262
0,0253
0,0244
0,0233
0,0223
0,0216
0,0207
0,0197
0,0189
0,0182
0,0174
rB
at
0,0270
0,0241
0,0214
0,0191
0,0170
0,0154
0,0138
0,0125
0,0112
0,0102
0,0093
0,0085
I. Реакции
Кинетические
уравнения
11. Реакции
Кинетические
уравнения
X
A JU С В -
С
а + к2пь —
~ 'z
2А —-> В В —-* С
dna
dx
М8
dnb
dx
III. 1'еакцив 1А —- В IB —V С
Материальный nb0 = nc0 = 0
баланс пм-
Кинетячешда n"
уравнения
dx
dnb
dx
dnc
M?
V
V
I
}
Л'2»6
V
dx
IV. Реакции /1 —U В В —-, А В —-> С С —'-» Л
124
Материальный «ьо = гасо = 0
баланс «ао=гаа+ий + ис
йи,
Кинетически
dx
~dx~
X
уравнения
+ (*.
«ао = 0
ft,
V. Реакции Л+В —*
Материальный «со = ийо=исо==
баланс na — + n
dna
А + С —->
а
Кинетические " =—купапь —
уравнения йт
dx
dnd
~dx~'~
§ 10. ПРОЦЕССЫ СМЕШАННОГО ТИПА.
ПОЛУЧЕНИЕ ВОДЯНОГО ГАЗА
Рассмотренные процессы, а именно параллельные, обратимые
и последовательные, очень часто протекают совместно. Число воз-
возможных сочетаний весьма велико, но методы их анализа, в общем,
подобные вышеприведенным, могут быть использованы и в этом
случае для составления дифференциальных уравнений. Эти уравне-
уравнения, однако, не обязательно окажутся с разделяющимися перемен-
переменными или линейными.
Следующий пример дает представление о ходе решения, связан-
связанного с указанными процессами.
При пропускании водяного пара через раскаленный уголь полу-
получается водяной газ, который представляет собой смесь водяного
иара, двуокиси углерода и водорода.
Имеются следующие опытные данные по составу газовой смеси
Объемная доля пара
Объемная доля СО2
.1000 0,906 0,709 0,556 0,376 0,056
.0,000 0,041 0,100 0,123 0,099 0,0242
Требуется показать, что эти результаты достаточно хорошо
согласуются с предположением, что реакции протекаки в соответ-
соответствии с уравнениями:
С + 2Н2О = СО2 + 2Н2 (А)
С + Н2О = СО + Н2 Б
С + СО2=2СО (**)
125
а также с предположениями, что все три реакции — первого порядка
и что ни одна из них в условиях опыта не является в заметной сте-
степени обратимой.
Определить также отношение констант скоростей реакций.
Пусть &17 к2 ш к3 — константы скоростей, соответственно, реак-
реакций (А), (Б) и (В).
Двуокись углерода образуется в (А) и используется в (В). Обо-
Обозначив через х \\ у объемы пара и СО2 ко времени т, мы, па основе
сделанных предположений, получим дифференциальное уравнение
для переменной у:
dy
— = klX-k3y
A01)
С другой стороны, пар используется как в реакции (А), так и в (Б),
причем обе реакции идут одновременно и должны рассматриваться
на основе принципов, установленных для побочных процессов,
между тем как (В) — последовательная реакция.
При составлении уравнения A01) константа kt была выбрана
таким образом, чтобы она соответствовала скорости образования
одного объема СО2, образующегося из двух объемов пара. Следова-
аельно, дифференциальное уравнение для переменной х будет:
С целью исключения йт разделим A01) на A02):
dy к\Х — кду
A02)
(ЮЗ)
Разделив числитель и знаменатель на кг и приняв обозначения
пслучим из уравнения A03):
_dy_
dx
A04)
Это уравнение является линейным относительно у, и интегриро-
интегрирование его будет дапо и гл. V.
Значения с. и р могут быть найдены методом подбора, и, следова-
следовательно, отношения -г^- и -г^- становятся известными.
/ci h1
Можно было бы предположить, что реакция (А) ~ второго по
рядка, но это привело бы к такому дифференциальному уравнению,
которое не согласуется с экспериментальными данными. Следует
отметить, что эта реакция протекает на поверхности угля и отли-
отличается от гомогенных газовых реакций.
126
§ 11. ТЕРМОКИНЕТИКА ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.
РЕАКЦИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Пусть в аппарате периодического действия протекает процесс
при постоянной температуре по схеме
A->x + q A05)
где q — тепловой эффект реакции, ктл/молъ.
Общее количество тепла, выделяющееся при переработке одной
порции материалов (одной загрузки), обозначим через Q ккал. Коли-
Количество выделяющегося тепла изменяется со временем, причем оно
зависит от количеств взаимодействующих веществ.
Примем следующие обозначения:
а — начальная концентрация или количество вещества А;
х — концентрация или количество получаемого продукта X в любой
момент времени;
т — время;
тк — продолжительность процесса;
к — константа скорости реакции.
Для мономолекулярной реакции, как известно, имеем следующее
кинетическое уравнение:
J±=k(a-x) A06)
dx
Это уравнение надо проинтегрировать при начальных условиях:
х = 0 при т = 0
Решением уравнения (94) является функция
х = а A— е~кх)
Если тк—конечный момент времени, а хК — значение концен-
концентрации для этого момента, то
zK = a(l-6fftTK) A07)
Очевидно, что количество выделившегося или поглотившегося
тепла Q прямо пропорционально степени превращения А в ве-
вещество X и, следовательно
Q = (fxK=(fa(i— гГ*Тк) A08)
где ф — коэффициент пропорциональности.
Для любого момента времени т предыдущее равенство может быть
переписано так:
<2т = фаA— е-*-1) A09)
Разделив A09) на A08) и перенеся Q вправо, получим формулу,
выражающую закон тепловыделения и теплопоглощения в реак-
реакционном аппарате:
г, 1—е"*т
1-е
-At,,
127
Поскольку количество теплоносителя или охлаждающего агента
прямо пропорционально величине Q, то расход их должен меняться
во времени в соответствии с равенством:
1-
A11)
где
—расход теплоносителя или охлаждающего агента на весь
процесс;
W — количество теплоносителя или охлаждающего агента, рас-
расходуемого за время т.
Для аппаратов непрерывного действия будем иметь:
<?/ = <?¦
1-е
A12)
где 1К — конечная длина или высота аппаратов, равная произведе-
произведению скорости и времени.
Пример. Некоторый химический процесс, проводимый в аппа-
аппарате периодического действия, протекает согласно уравнению моно-
мономолекулярной реакции. Начальная концентрация исходного про-
продукта равна единице, степень превращения 0,96, константа скорости
реакции к = 0,000895 сек'1, а общее количество выделяющегося
тепла (при 96% -ном превращении) составляет 10 000 ккал.
Вычислить данные для построения графика тепловыделения и гра-
графика расхода охлаждающей воды, если известно, что процесс про-
проводится при постоянной температуре.
Продолжительность процесса, протекающего по уравнению моно-
мономолекулярной реакции, может быть найдена по формуле, приведен-
приведенной на стр. 81:
= -|- 2,303
к
1
0,000895
2,303 lg
1
1—0,96
3600 сек
Из A10) находим значение Qz для отрезков времени, соответ-
соответствующих 10, 20, 30, 40 и 50 мин с момента начала реакции:
А 2 71Й-0,000895-600 А 0 582
<?Ю = 10 000 „'„,„_„ ппп|„,..мпп = 10 000 - ^т- = 4350 ккал
<?20=
^ 2 718~0>000885'1а00
j 2 718~0>000895'зв00
j 2 718~0'000895800
^ 2 718~°'000895'зв0°
' 10 000 \ °:3® = 6850 ккал
^10000
1—0,04
1 — 0,2
1-0,04
1-0,116
= 8330 ккал
| 9 71R~0,000895-2400
<?4о = Ю000 ,_^'"о-о ооо895-збоо = Ю000 ] "'"" = 9200 ккал
А ') 71Й-0,000895-3000 ^(()
(?5о = 10000 1 ::L.L. „пп^.«.пп = Ю000 , "¦" , = 9700 ккал
2 718~°
1—0,04
128
Общий расход охлаждающей воды:
„. Q 10 000
= 1250 кг
C(t.A-tH) 1B0-12)
где fK = 20°C — конечная температура воды;
tH = 12° С — начальная температура воды.
Расход охлаждающей воды в каждый данный момент времени
определяется по формуле A11), соответственно чему можно найти
значение Wz для 10, 20, 30, 40 и 50 мин
с момента начала реакции:
= 1250
=544**
1У2о=125О
=857 кг
= 1250
= Ю40 кг
\
1 — 0,04
1—0,068
1 - 0,04
=1150 кг
-1214 кг
ш
1200
1Ю0
ЮОО
900
600
Чтоо
S 600
500
Ш
300
200
№
0
^
/
/
/
\-
1С
/
21
/
Ч
? Ж
1 41
т
5
мин
1 а
7 70
Рис. II1-5.
На основании полученных данных можно построить графики
тепловыделения и расхода охлаждающей воды (рис. III-5).
§ 12. ТЕРМОКИНЕТИКА ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.
РЕАКЦИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Для реакции второго порядка количество получающегося в любой
момент времени продукта в соответствии с формулой B5) на
стр. 88 будет:
аЪ {eak- — ebk-)
i где а и Ъ—количества или концентрации исходных веществ. Это
значение х и подставляется в уравнения A08) и A09):
ае к — be K
eakx — b
Закав 1709
129
Исключая из этих соотношений ф, получим!
Для аппарата непрерывного действия получим:
A13)
A14)
Пример. Рассмотрим кинетические и тепловые соотношения
реакции омыления уксусноэтилового эфира щелочью:
CH3COOC2H5 + NaOH = CH3COONa + C2H5OH
Ниже приведены опытные данные (табл. Ш-5).
ТАБЛИЦА Ш-5
т, мин от начала
опыта
10
20
30
65
80
8 суток
tt °с
30,0
30,2
30,1
29,8
30,0
20,0
Количество 0,01 н.
HCli употребленное
для торможения
реакции, мл
10
10
10
10
10
10
Количество 0,01 а.
NaOH, пошедшее
В обратное
титрование, мл
1,0
2,8
4,0
4,6
4,8
5,0
Поскольку эта реакция второго порядка, используем для опре-
определения константы скорости реакции формулу B6):
к =
2,303 1 (а — х)Ь
т (а — Ь) g (Ъ — х) а
где а = 15— начальное количество щелочи, мл;
6=10—начальное количество эфира, мл;
а — х —количество свободной щелочи, мл\
Ь—х —количество свободного эфира, мл.
Таким образом
2,303
О-ту)"
0,67
0,01
Ь — х
Вычисление занесем в табл. Ш-6.
Среднее Значение константы скорости реакции!
f кСр = 12,5
ТАБЛИЦА Ш-6
т, мин
10
20
30
65
80
8 суток
а — х
9,0
7,2
6,0 ,
5,4
5,2
5,0
Ь — х
4,0
2,2
1,0
0,4
0,2
0
0,67 аь~х
1,49
2,20
4,00
13,50
26,00
g ' ' ь — х
0,17
0,34
0,60
1,13
1,42
К
моль l • мин *
12,0
11,9
14,0
12,2
12,5
Тепловой эффект реакции равен разности сумм теплот образо-
образования продуктов реакции и исходных веществ:
~ 9CH8COONa
где
?CH»COONa = ?СНаСООН + 9нейтр
Следовательно
9о = 94.4С + 34.19Н — дсг = 94,4 • 4 + 34,19 • 8 — 540 = 110,4 пкал/шль
до = 94,4- 2 + 34,19 -4 — 209,4= 115,88 ккал/моль
С2Н5ОН = С2Н6О
q0 = 94,4 • 2 + 34,19 • 6 — 328 = 65,52 ккал/моль
Тепловой эффект реакции:
др = 65,52+115,88 + 12,9 — 68,4 —110,4=15,5 ккал/моль
Количество тепла, выделяющегося в любой момент времени:
Подставляя а=1,5Ъ, получим:
"к _ ebk\) Ъ A<5ei.56*, -ebkx)
^ ^ 1
130
181
мин
0
10
20
30
40
50
60
0,0415т
0
0,415
0,830
1,245
1,600
2,080
2,490
[ge0,04i5i
0
0,178
0,360
0,635
0,690
0,860
1,070
е0,0415т
1
1,50
2,29
3,50
4,80
7,25
11,70
li5e0,04i5t
1,50
2,20
3,44
5,25
7,50
10,90
17,60
e0,04i5t_ j
0
0,50
1,29
2,50
3,80
6,25
10,70
ТАБЛИЦА
i,5e«.«4i5t_ j
0,50
1,25
2,44
4,25
6,20
9,90
16,60
Ш-7
0
102
135
150
157
163
168
Считая на 1 кг этилацетата, найдем:
^Ш^^.{,^^_^5.
Так как
окончательно получим:
е0,0415х — j
Ю 20 30 40 50 60
Х,мин
Рис. III-G.
Vx — ьоо 15ео.0416т _1
Определяя @т, заполним следующую
расчетную табл. II1-7.
На основе этих данных строим график
тепловыделения, соответствующего кине-
кинетике реакции омыления уксусноэтилового
эфира щелочью (рис. Ш-6).
§ 13. ТЕРМОКИНЕТИКА ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.
РЕАКЦИЯ СЛОЖНОГО ХАРАКТЕРА.
КАТАЛИТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СЕРНОКИСЛОЙ СОЛИ
О-МЕТОКеИФЕНИЛДИАЗОНИЯ
Синтетическое производство гваякола из о-анизидина основано
на следующей схеме:
I. Получение сернокислого о-анизидина
ОСНз
н,о
ОСНз
I
V
¦ H2SO4.
II. Диазотирование сернокислой соли о-анизидина
ОСНз
_ 2
ОСНз
I
_ 2
III. Каталитическое разложение сернокислой соли о-метоксифе-
нилдиазония:
ОСНз
I
Л/
ОСНз
I
SOJ-+2H2O
катализатор
21
SO4
В качестве катализатора разложения о-метоксифенилдиазони.ч
применяется медный купорос.
Пример. Скорость разложения серпокислого о-метоксифенил-
дказония определялась по объему азога, выделяющегося при раз-
разложении соли диазония. Опытные данные для этого ороцесса
приведены в табл. II1-8.
ТАБЛИЦА IH-Si
т, мин
от начала
опыта,
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
24
30
со
Температура,
96
Количество
выделивше-
выделившегося азота,
ел.3
2,6
5,3
8,3
11,7
15,1
18,5
21,7
25,2
28,3
31,4
36,5
41,8
46,4
Количество
азота, приве-
приведенного
к нормальным
условиям,
еж"
2,5
5,0
7,9
11,1
14,3
17,5
20,6
23,8
26,8
29,7
34,6
39,6
44,0
Степень
разложения
соли
диазония,
%
5,7
11,4
18,0
25,2
32,5
39,3
46,8
54,1
61,0
67,6
78,7
90,1
100,0
0,029
0,031
0,033
0,036
0,039
0,042
0,045
0,048
0,052
0,056
0,064
0,076
132
В табл. II1-8 &[ есть константа скорости реакции, вычисленная
с помощью уравнения реакции первого порядка. Эта величина,
как видно, изменяется и не может характеризовать процесс.
133
Используем в данном случае следующее видоизмененное выраже-
выражение для константы скорости реакции, усложненной процессами
неизвестного характера:
2,3 , А В + х
I,
А — х
В
где т — время от начала опыта;
А — начальная концентрация исходного вещества, т. е. соли
диазония (выраженная в мл азота, выделившегося при пол-
полном разложении диазораствора);
В — величина, характеризующая особенности процесса;
х — количество вещества, вступившего в реакцию (количество мл
азота, приведенного к нормальным условиям при т).
Вычисляем величину к:
ТАБЛИЦА Ш-9
мин
2
4
6
8
1б
12
14
16
18
20
24
30
в
11
11
11
И
11
11
11
11
И
11
11
11
А
44
44
44
44
44
44
44
44
44
44
44
44
2,3
¦ЧА + В)
0,0210
0,0100
0,0070
0,0050
0.0040
0,0035
0,0030
0,0026
0,0023
0,0021
0,0017
0,0014
X
2,5
5,0
7,9
11,1
14,3
17,5
20,6
23,8
26,8
29,7
34,6
39,6
А В+х
А—х В
1,30
1,64
2,09
2,73
3,40
4,30
5,40
6,90
8,78
11,37
19,40
46,00
А В+х
1ёА-х В
0,114
0,215
0,318
0,436
0,532
0,633
0,732
0,840
0,950
1,056
1,288
1,662
k
0,0024
0,0022
0,0022
0,0022
0,0021
0,0022
0,0022
0,0022
0,0022
0,0022
0,0022
0,0023
Среднее значение константы скорости реакции!
к = 0,0022 мин'1
Тепловой эффект реакции разложения сернокислого о-метокей-
фенилдиазония Вычисляем следующим образом:
<7т <?н jS04 ~t~ 2<7гваякола <7диазос. 2? ц j(j
где q — теплоты образования исходных веществ и продунтов реак-
реакции, ккал/молъ. ¦ '
Для определения теплоты образования диазосоединения напи-
напишем уравнение реакции диазотирования о-анизидина:
ОСН3
ОСНз
2^V
2 2H So4
ОСНз
I
+ Na2SO4+4H2O + ?p
134
Теплоты образования по справочным данным:
j= 83,2 ккал/молъ; ?Na2SO4 = 326 ккал/молъ
дЯг0 = 68,4 ккал/молъ; 9H2so4 = 192,2 ккал/молъ
Теплоты образования о-анизидина и бме-метоксифенилдиазосуль-
фата (диазосоединения), принимая во внимание отсутствие данных
в литературе, определяем через теплоту сгорания этих соединений
по методу Караша:
где qcr — теплота сгорания моля органического вещества, ккал/молъ;
26,05 — тепло, выделяющееся при перемещении одного электрона
от углерода или водорода к кислороду, ккал/молъ- элек-
электрон;
п — число электронов в молекуле, перемещающихся при сго-
сгорании;
| — число одноименных заместителей в молекуле соединения;
Д — тепловая поправка на заместитель.
Для о-анизидина имеем:
га=4-
—2 = 35
Тепловые поправки:
Теплота сгорания о-анизидина:
?сг = 26,05-35+ 26 = 937,75 ккал/молъ
Теплота образования о-анизидина:
<7обр = 94.4С + 34Д9Н — дсг = 94,4 • 7 + 34,19 • 9—937,75 = 39,76 ккал/молъ
Для диазосоединения имеем:
-1—4=66
В литературе нет тепловой поправки на азогруппу, поэтому
определяем ее с помощью экспериментальных данных следующим
образом. Рассмотрим суммарную реакцию диазотирования анилина
с последующим сочетанием:
2CeH5NH2 + NaNO2+HCl > CeH5N=NCeH4NH2 + NaCl + 2H2O + 9
Тепловой эффект реакции получения ге-аминоазобензола экспе-
экспериментально определен В. В. Свентославским!
9= 43,2 ккал/молъ
Теплота сгорания п-аминоазобензола:
135
= 1574 ккал/молъ
Теплота образования га-аминоазобензола;
Яобр = 94,4 • 12 + 34,19 • 11 —1574= —68 ккал/моль
Теплота образования анилина составляет —6,6 ккал/молъ. Та-
Таким образом, тепловой эффект реакции образования ге-аминоазобен-
зола равен:
<7обр = [—68+97,7 + 2-68,41— [2 (—6,6) +83,2 + 39,3] = 57,2 ккал/моль
Следовательно, тепловая поправка на азогруппу равна:
57,2 — 43,2=14 ккал/молъ
Сумма тепловых поправок для диазосоединения:
14-2 + 19,5-2 = 67
Теплота сгорания:
qcr = 26,05 -66 + 67 = 1786,3 ккал/моль
Теплота образования диазосоединения:
?обр = 94,4 • 14 + 34,19 • 14 + 69,3 —1786,3 = 82,26 ккал/моль
Далее, для теплоты сгорания гваякола имеем:
?сг = 26.05га + 2 &
где
и = 4-7 + 8 — 4 = 32
ТАБЛИЦА Ш-10
ДОН =
Таким образом:
7сг = 26,05 • 32 + 23 = 858 ккал/моль
И
9обр = 94,4- 7 + 34,19-8 — 858=75 ккал/моль
Тепловой эффект реакции:
Яр = A92,2 + 2 • 75) — (83,26 + 2 • 68,4) = 122,14 ккал/моль
где
?HsSO4 = 192,2 ккал/моль; дн^0 = б8,4 ккал/моль
При использовании формулы (ИЗ) примем:
а = 5,56
где а — начальное количество воды;
Ь—начальное количество диазосоединения.
136
т,
мин
0
5
10
15
20
25
30
0,014т
0
0,070
0,140
0,210
0,280
0,350
0,420
lg (,0,014т
0
0,0304
0,0606
0,0910
0,1230
0,1520
01850
(,0,014-t
1
1,075
1,165
1,230
1,330
1,420
1,580
5Mе0,014т
5,5
5,61
6,40
6,75
7,30
7,80
8,45
е0,014т_1
0
0,075
0,165
0,230
0,330
0,420
0 530
5,5е0.01-''--1
4,50
4,61
5,40
5,75
6,30
6,80
7,45
«¦с
0
89,4
166,0
217,0
284,0
335,0
386,0
Тогда будем иметь:
{eb,btk-._t
Считая на 1 кг гваякола, найдем:
1000 ¦ 122,14 _ , е4."*т —1 _
- = С- 5,5-;:—
*т _i
= 5430
124
е4,5-1,44-0,0022т ^
g ge4,5-1,44-0,00221 J
e0,014i ^
= 5430
Результаты вычислений сведем
в табл. Ш-10.
На основе этих данных строим гра-
график тепловыделения (рис. Ш-7), соот-
соответствующего кинетике реакции разло-
разложения о-метоксифенилдиазония.
400
300
1200
too
/
/
J
А
/
/
5
А
г
|
5 Ю
15 20 25 30 35
хмин
Рис. Ш-7.
§ 14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ТРУБЧАТОГО РЕАКЦИОННОГО
АППАРАТА
Рассмотрим элементарный объем реакционного аппарата dV
длиной dz. При наличии химической реакции в этом случае для
материального баланса будем иметь:
Приток —У быль + Источник — Сток = Приращение A15)
Обозначим один из компонентов реакционной массы через А
и примем время реакции в рассматриваемом объеме dr.
Приток и убыль представляют собой количества вещостна при
иостуилении и выходе из рассматриваемой зоны реактора за
137
время dr. Они составляют изменение количества А в пределах между
элементарным объемом и окружающей средой.
Источник выражает массу компонента А, который появляется
внутри элементарного объема за время dt, а сток — количество
компонента А, исчезающего за этот же промежуток времени вслед-
вследствие химической реакции. Для установившегося состояния при-
приращение равно нулю.
Примем следующие обозначения:
F — скорость потока, кг/сек;
ха — число молей А, вступающего в реакцию в любой точке аппа-
аппарата на 1 кг жидкости, моль/кг;
гА — скорость убывания А в любой точке аппарата на единицу
объема, молъ'ма-сек;
па — число молей А в любой точке аппарата на 1 кг жидкости,
моль/кг;
пАо — число молей А при поступлении в аппарат на 1 кг жидкости,
моль! кг;
VR — объем реактора, м3.
Для промежутка времени dr материальный баланс относительно А
и объема dVR в соответствии с A15) и при учете того, что приращение
и источник равны нулю, составит:
FnA- FnA +
d(FnA)
dz
dz\ — i
A16)
ИЛИ
A17)
При установившемся состоянии F постоянная, и мы имеем:
•а.
dFnA = F • dnA = F ¦ dxA
A18)
Следовательно
Подставляя A18) в A17), получим:
F • dxA = гА ¦ dVr A19)
Пример. Смесь озона с кислородом проходит через трубчатый
реактор при 1 am и 100° С со скоростью 0,0155 м!сек.
Принимая, что в начальной смеси 10% озона, определить длину
реактора, которая необходима для 50%-го разложения озона.
Реакция может быть написана в таком виде:
203->302
Константа скорости реакции в уравнении
составляет!
138
к — 8,6 • 10~2 м^/кмолъ • сек
Используя A19), найдем объем реактора;
Скорость потока равна:
«+
"".«'¦?•'
A20)
0,0155 • 1 • 0,1 • 1
0,082 • 373
0,001557
- = 0,002976
кмолъ
кг питающей смеси
Из каждого моля О3, вступающего в реактор, образуется 3Д,
моля О2.
Общее число молей в питающей смеси составляет 0,02976 моль/кг
смеси. В точке, где х молей О2 на 1 кг питающей смеси оказы-
оказывается разложившимся, общее число молей будет равно:
Концентрация О3 равна:
с
"о, о.
nt(RT/P)
Скорость реакции:
0.086 ("р.оз-
¦ кмолъ/ма • сек
A21)
Подставляя A21) в A20), получим:
dx
F (ДГJ
0,086 (raOi 0,— xf ~~ 0.086P2
("о—у1
Примем следующие обозначения:
их A22)
п0 0 = а = 0,002976 кмолъ Оз/кз питающей смеси;
' ио=Ь = ОО2976 молъ/кг питающей смеси?
с = 0,5;
я= 0,002976/2= 0,001488.
После этого подынтегральное выражение представим в таком
виде:
(а-х)
139
Мы получим
(«-*)*
dx = l
(a— a
-dx
причем
— x Jo
= — c2 Ma — x)— 2a In (a — a;) il_T
ft2 = B,976 • 10-2J = 8|857.10-4;
a — x = 0,002976—0,001488 = 0,001488;
(a — zJ = 2,214-lO;
ft2 = B,976 • 10~2J = 8,857 • 10;
a — x = 0,002976—0,001488 = 0,001488;
(a — zJ = 2,214-lO'6;
2bcx = 2 • 0,02976 • 0,5 • 0,001488 = 4,428 • 10;
c2x2 = 0,25 A,488 • 10J = 0,5535 • 10"«;
2bc = 2 • 0,02976 • 0,5 = 0,02976;
In (a — x) = In 0,001488 = —6,511;
In a = In 0,002976 = —5,818;
Первый интеграл:
= 8,857 -
Второй интеграл:
С 2Ьсх
J (»-
Г—6,5
— ^=2,976 -Ю —6,511 + 5,818 +
2,976 • 10 2,976 ¦ 10'3
1,488 • 10 2,976 • 10
= 0,9136-10
~x)i
Третий интеграл:
\ 7ГС 1\2 dx = — 0,25 Го,ОО1488—0,002976 — 5,952 • 10 (—6,511 + 5,88) —
J \a — X)* |_
_/8,857-10-e\_ 8.857-IQ-e-T
4 1,488 • 10'3 / 2,976 • 10 J '
1аким образом, уравнение A22) может быть написано так:
Уп -
@,082. 373J
U,Uob •
Длина трубчатого реакционного аппарата с единичной площадью
поперечного сечения равна:
140
§ 15. ВЫСОТА (ДЛИНА) КОНТАКТНЫХ ЭКСТРАКТОРОВ
Для высоты экстрактора имеем:
A23)
где Z — высота; N — число ступеней экстракции; Н — высота,
эквивалентная ступени экстракции.
Рассмотрим схему экстракции, изображенную на рис. Ш-8.
Для бесконечно малой высоты dz поверхность фазового контакта
на единицу площади поперечного сечения колонны обозначим через
dS м2!м2 сечения колонны.
Скорость массопередачи при экстракции может быть предста-
представлена следующим образом:
A24)
где R — скорость потока рафинатной фазы, кмолъ/м2 • ч;
Е — скорость потока экстрактивной фазы, кмолъ/м2 • ч;
х — мольные доли извлекаемого материала в рафинатной фазе;
у — мольные доли извлекаемого материала в экстрактивной
фазе;
х — концентрация извлекаемого вещества в рафинатной фазе
при равновесии с экстрактивной фазой состава у;
у — то же в экстрактивной фазе при равновесии с рафинатной
фазой состава х;
Kr — коэффициент массопередачв в рафинатной фазе, кмолъ!м% X
X ч-мол. доля;
Ке — коэффициент массопередачи в экстрактивной фазе,
кмоль/м2-ч-мол. доля.
^- „ -»2
Обозначим поверхность фазового контакта через а -р-; следо-
следовательно:
A25)
Величина а объединяется с коэффициентами массопередачи
в виде KRa и КЕа.
Как рафинатная фаза, так и экстрактивная фаза изменяются
по высоте колонны. Но если взаимная растворимость обеих жидкостей
постоянна, то Я A — х) также остается постоянной. Поэтому
= R(l—x) d
х R dx
1-х 1-х
A26)
Если концентрация извлекаемого вещества изменяется значи-
значительно по высоте колонны, то величина Kr A — х)м должна быть
более постоянной, чем KR, причем A — х)и представляет среднее
значение концентрации вещества в рафинатной фазе.
141
Тогда уравнение A24) примет следующий вид!
Rdx KR-a(i—x)M(x — x-)dZ
1-х
ИЛИ
dx
KR-a(i-x)u.dZ
X ~~"
A27)
A28)
Интегрируя A28), получим число ступеней массопередачи
Расринат «i
х,,мольная
доля растбо-
/м/мого
>ы
1 t
R e
N
A29)
где
H,
R
KRa(l-x)
M
A30)
выражает высоту, экви-
эквивалентную ступени экс-
экстракции или массоперо-
дачи.
Для A — х)м имеем:
Л Экстракт
Рис. ш-8.
1-х
При умереняр разбав-
разбавленных растворах эта ве-
величина составляет
A—х)+(!—«:
Подставляя A31) в A29), найдем:
-fl
A31)
A32)
Интеграл этого уравнения вычисляется графически.
Если х принимается в массовых долях, то в правой части A32)
будет дополнительно
1 1п
2
где г — отношение молекулярных масс нерастворимой и раствори-
шЬй частей в рафинатной фазе.
Бели концентрации извлекаемого вещества выражаются так:
х' =¦
кг С
кг рафинатного остатка
142
у'
кг С
кг экстрактивного остатка
то для ступеней экстракции будем иметь:
dx' . 1 ,
0,10
U33)
0,05
1
/is
/
/
1
Равновесная
кривая у'-х
у
3
У
/
2
/
/
А
1
j
/()
7
bjo
Рис. Ш-9.
Кроме того, если равновесный и рабочий графики прямолинейны
в пределах рассматриваемых концентраций, то можно показать, что
в данном случае применимы средние логарифмические разности
конечных концентраций:
""=?- A34)
>м
и Д
Е
Здесь имеют место следующие эквивалентные соотношения:
R (х1-х2) = Е (У1-уг) = К RaZ (х-х)м~КЕ- aZ (у' -у)м A35)
Если для данной экстракционной системы действителен закон
Генри: у = тх и равновесный график есть прямая линия, проходя-
проходящая через начало координат, то аналогично случаю в процессах
абсорбции мы получим^
Уг
In
[
уг
тЕ
1-
где т—константа Генри.
R
тЕ
(Ш)
143
Пример. Определить число ступеней массопередачи (экстракции)
для процесса противоточной экстракции уксусной кислоты из вод-
водного раствора изопропиловым эфиром. Концентрация -уксусной
кислоты в начальном растворе составляет 30%; экстрагированная
жидкость содержит 2% уксусной кислоты.
Выразим х и I/ в массовых долях уксусной кислоты. Имеем:
Расчетная диаграмма изобра-
изображена на рис. III-9, откуда с по-
помощью рабочей и равновесной
линий находим значения х и х'
при различных значениях у.
Величина площади под кривой,
построенной на диаграмме:
х (абсцисса) и _ , (ордината)
в пределах от а; = 0,3 до х = 0,02,
составляет 8,40.
Поскольку взаимная растворимость изопропилового эфира и воды
для этих растворов совершенно незначительна, мы можем принять,
что величина
X
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,02
х'
0,230
0,192
0,154
0,114
0,075
0,030
0
1
х-х'
14,30
17,25
20,75
27,80
40,00
50,00
50,00
18 — мол. масса воды
60—мол. масса уксусной кислоты
= 0,3
Применяя формулу A32) с дополнением, получим число ступе"
ней экстракции:
Пример. Проведены опыты по экстракции диэтиламина из воды
с помощью толуола в насадочной колонне диаметром 0,15 м и высо-
высотой 1,2 м.
Насадочными телами являются кольца Рашига 12,7 мм. Скорости
потоков водного раствора диэтиламина я толуола составляют, соот-
соответственно, 6,2 и 0,92 м3/м2-ч. Температура экстракции 30,8° С.
Концентрации диэтиламина в водном растворе:
при входе в колонну 0,252 кмолъ/м3;
при выходе из колонны 0,231 кмолъ/м3.
Концентрации диэтиламина в толуоле:
при входе в колонну 0;
при выходе из колонны 0,137 кмолъ/м3.
При данной температуре коэффициент распределения диэтил-
диэтиламина (т. е. концентрация диэтиламина в воде, разделенная на кон-
концентрацию диэтиламина в толуоле) составляет 1,156.
Диспергированной фазой является толуол.
144
1) определить экстракционные характеристики насадки для дан-
данных условий;
2) вычислить концентрации потоков, выходящих из колонны
с высотой насадки 2,5 м.
1. Пусть водный раствор — рафинатная фаза, а толуольный
раствор — экстрактивная фаза. Тогда будем иметь следующие выра-
выражения:
т = _5- = -:4ен- = 0,865;
CR 1,156
CEi = 0,137; CEj = 0;
CRi = 0,252; CRt = 0,231
Из A35) получим:
где
Далее
^^кстракта_
Е ' М2 .ч
СЁ, = mCR, = °>865 ' °'252 = 0>217
С' = тСр = 0,865 • 0,231 = 0,200
,г. г \ - (СЕг-СЕ,)-(СЕ,-СЕ>
(LE-LE)M-- с' -СЕ
@,2-0)-@,217-0,137)
, 0,2-0
0,217 — 0,137
= 0,132 кмоль/м*
Таким образом, имеем
0,92 @,137 — 0) = К'Еа ¦ 1,2 • 0,132
откуда
1,2-0,132
• ч АС
Е
Применяя к рассматриваемому случаю формулу
найдем
Имеем
K'Ra = 0,865 ¦ 0,795 = 0,687
КЕа=СКЕа
где С—мольная плотность экстрактивной фазы, кмолъ/м3.
Ю Заказ 1706
145
Для указанных разбавленных растворов плотность и средня^
молекулярная масса экстрактивной фазы могут быть приняты такими
же, как для чистого толуола, соответственно, 856 кг/м3 и 92,1.
Следовательно, мольная плотность равна:
„__
856
92,1
кмоль
Таким образом
КЕа = 9,3 - 0,795 = 740 -= ^^ ¦
Мл ¦ Ч ¦ МОЛ. ДОЛЯ
Количество экстрактивной фазы:
Е = VE ¦ С = 0,92 • 9,3 = 8,55 -5^15.
Высота насадочных тел, эквивалентная ступени экстракции:
Н - Е 8'55 и- 1 16 М
С другой стороны, мы также получаем:
0,92
= 1,16 м
Е /ГЕа 0,795
Для характеристики насадки по рафинатной фазе имеем:
VE 6,2
К'па 0,687
= 9,0 м
2. Пусть СЯг — концентрация диэтиламина в воде, a CEl — кон-
концентрация диэтиламина в толуоле при выходе из колонны с высо-
высотой насадки 2,5 м.
Используя A36), получим:
6,2
mVE 0,865-0,92
= 7,78
N = Z = J^L — О ?77
Ян 9,0 ~°'277
Сн, = 0,252; СЕ| = 0
Следовательно
0,277 =
[in-^2. A-7,78)+7,78]
L н« J
откуда
146
1-7,78
= 0,224 кмоль/л
Материальный баланс для диэтиламина
или
откуда
0,92 (CEi -0) = 6,2 @,252-0,224)
CEt = 0,189
§ 16. ФИЛЬТРОВАНИЕ СУСПЕНЗИЙ
Перечислим наиболее важные факторы, влияющие на процесс
фильтрования суспензий: 1) перепад давления; 2) площадь фильтро-
фильтрования; 3) вязкость фильтрата; 4) сопротивление фильтрующего слоя;
5) сопротивление фильтрующей ткани и начального слоя осадка.
Движение жидкости через фильтрующий слой
В данных условиях мы имеем, в отличие от других случаев,
движение жидкости через фильтрующий слой при непрерывном
увеличении его высоты. Таким образом, если давление фильтрования
постоянное, то скорость потока будет постепенно уменьшаться и, на-
наоборот, если скорость потока должна быть постоянной, то давление
должно постепенно увеличиваться.
Вследствие того, что частицы, образующие при фильтровании
осадок, обычно достаточно малы, а скорость движения фильтрата
незначительна, мы имеем здесь почти всегда условия ламинарного
течения. Пеэтому для всех случаев процессов фильтрования дей-
действительна формула
1
А
dV
&Р
A37)
где А — общая площадь поперечного сечения слоя твердых частиц;
V — объем жидкости, протекающей за время tj
АР — перепад давления;
I — толщина слоя;
е — порозность;
\i — динамический коэффициент вязкости жидкости;
S — удельная поверхность насадочного материала.
Фильтрующие осадки могут быть несжимаемыми и сжимаемыми.
В случае несжимаемого осадка обусловливаемое им сопротивление
движению фильтрата почти не зависит от перепада давления в слое,
& также скорости образования его. С другой стороны, при сжима-
сжимаемом осадке увеличение перепада давления или скорости потока
способствует образованию более плотного осадка с большим сопро-
сопротивлением. Рассмотрим несжимаемые осадки, для которых в в A37)
может быть принята постоянной.
10*
147
Тогда величина , будет выражать свойства частиц,
из которых состоит осадок, и, следовательно, последняя должна
быть для данного материала постоянной. Таким образом, мы можем
написать;
1 dV АР
Т^Г A38)
получим
где
dx
5A
A39)
Формула A38) является основным уравнением фильтрования.
Постоянная г дает удельное сопротивление и численно равна пере-
перепаду давления, необходимому для получения единичной скорости
потока фильтрата, имеющего единидную вязкость, через слой осадка,
объем которого составляет единичный куб. Размерность для г
будет Ь~г.
Зависимость между толщиной осадка и объемом фильтрата
Формула A38) содержит переменные / и V и их взаимная связь
может быть найдена следующим образом.
Количество Твердого вещества в фильтрующем осадке (в кг)\
т = ({ — е) Alps
где ps — плотность твердых частиц.
Количество жидкости, остающейся в осадке!
т — еА1р
где р — плотность фильтрата.
Тогда, если / есть доля твердой массы в начальной суспензии,
то
/ A g) Alps Масса твердых частиц в фильтрующем осадке
1 —/ (V+eAl)p Масса фильтрата-)-масса жидкости в осадке
или
Следовательно
A—/) A-е) Alps^JVp+AeJlp
JV?
A[(i-J)(i-e)ps-Jep]
A40)
Обозначив объем осадка, образующегося при прохождении еди-
единичного объема фильтрата, через
/р
Подставляя в A38), найдем:
dV _ A* ¦ АР
dx r[iVv
A42)
A43)
Если сопротивление потоку к началу процесса равно нулю
и объем V фильтрата проходит в период времени т, то A43) может
быть проинтегрировано при условии, что зависимость между Р, V
и т известна. Рассмотрим следующие два важных случая.
а. Фильтрование проходит при постоянной скорости.
Имеем
Следовательно
или
dV
dx ~
V
X
X
V
V
— = consi
АЪ-АР
r[iVv
_ гци
' А*-АР
A44>
откуда находим, что разность АР прямо пропорциональна объему V.
б. Фильтрование проходит при постоянном давлении.
Интегрируя A43), получим:
F'2 А^АРх
гци
или
2Л2ДР
A45>
A46}
Отсюда видно, что для фильтрования при постоянном давлении
существует линейная зависимость между F2 и х или между -у- и V.
В формулах A45) и A46) было принято, что фильтрование про-
проводится при постоянном давлении за весь период процесса, т. е.
V = 0 при х = 0. Однако в большинстве случаев перепад давле-
давления АР в начале процесса постоянно увеличивается и давление при-
приводится к его конечному значению только через некоторое время х1г
в течение которого проходит фильтрат в количестве Vv Тогда после
интегрирования A43) получим:
1 А"- АР
2 ^ r\iv
Таким образом
A41)
148
149
или
т — xi
v-v.
r\iv
2 А* АР
.42 ДР
A47)
Нетрудно видеть, что между F2 и т, а также между
V-V,
У — У1 устанавливается линейная зависимость. Здесь т — хг пред-
представляет время, в течение которого фильтрование протекает при
постоянном давлении, и V—Vx — соответствующий объем получен-
полученного фильтрата.
Фильтрование суспензии с учетом совместного влияния ткани
и осадка
Гидравлическое сопротивление движению жидкости, оказываемое
тканью, не может быть определено, так как последняя всегда содер-
содержит в себе частицы осадка. Совместное сопротивление ткани с вклю-
включенными в нее твердыми частицами осадка значительно превышает
сумму их отдельных сопротивлений.
Предположим, что фильтрующая ткань и начальные слои осадка
по своему гидравлическому сопротивлению эквивалентны толщине L
осадка, получающегося при дальнейшей стадии процесса. Тогда,
обозначив через АР разность давлений по общей высоте фильтру-
фильтрующего слоя, получим в соответствии с A38) и A42);
1 | dV _ ар
А ' dx ~ гц (I -f- L)
м
dV
dx
А АР
А* АР
Это выражение мы можем проинтегрировать в пределах т=0,
V = 0 и т = т1, V — V1. при постоянной скорости фильтрования и
в пределах т = т1; V = V1 при постоянном давлении фильтрования.
Для постоянной скорости фильтрования имеем:
А* ¦ АР
vr\i
¦ИЛИ
-ИЛИ
А* АР
AL „
r\iL
А АР
r\x.v
Для постоянного давления фильтрования найдем:
A48)
A49)
A50)
150
ИЛИ
ИЛИ
r\iv
Т —
2A*AP
А*ЬР
r\iL
~A~W
A51)
Мы, таким образом, получили линейную зависимость между
^-тг- и V — Flf причем тангенс угла наклона пропорционален
удельному гидравлическому сопротивлению, как и в случае движе-
движения жидкости через слой осадка (формула A47)), с тем отличием,
что здесь линия на графике не проходит через начало координат.
Точка пересечения прямой с осью ординат дает возможность
определить эквивалентную толщину осадка за счет сопротивления
фильтрующей ткани, хотя такого рода результаты не могут быть
воспроизведены из-за того, что это сопротивление существенно-
зависит от начальных условий опыта.
Сжимаемые фильтрующие осадки
Вследствие гидравлических потерь на трение, возникающих
при движении фильтрата через слой осадка, мы здесь будем иметь
градиент давления. При взаимодействии твердых
частиц с жидкостью осадок будет уплотняться.
Поскольку уплотняющая сила, проявляемая жид-
жидкостью, распространяется к частицам по глубине
осадка, изменение ее будет происходить от нуле-
нулевого значения на свободной поверхности осадка
до максимального на фильтрующей ткани.
Уплотняющее давление, в действительности,
зависит от структуры осадка и природы контак*
тов между частицами, но оно может быть
выражено как функция разности давлений на поверхности.
осадка Р2 и на глубине z, т. е. Рг (рис. Ш-10). Для порозности.
в любой точке будем иметь:
Нетрудно видеть, что порозность уменьшается по мере пере-
перехода от свободной поверхности к фильтрующей ткани при одно-
одновременном увеличении гидравлического сопротивления. В этом
случае A38) примет следующий вид:
Рис. II1-10.
A dt rz[X dz
A52)
где гг — удельное сопротивление в данной точке. Это равенства
мы можем написать так:
A53>
151
1
А
dV
' dx
5A
4
i
dPz
dz
Бесконечно малая толщина слоя осадка dz должна быть связана,
с малым объемом фильтрата dV, проходящего во время его образо-
образования. Так как осадок сжимаем, то объем последнего, получающе-
получающегося при прохождении единичного объема фильтрата, не будет посто-
постоянным, однако его количество (масса) с почти не зависит от условий,
при которых образуется осадок. Имеем:
Из A53) найдем:
dV
IT
— ег)
A—
dPz
dV
dV
~dx
Ps
dP
г_
dP,
lie dV
dV
A54)
где
Удельное гидравлическое сопротивление г отнесено к потоку
фильтрата на единицу массы осадка, образующегося на единич-
единичной площади, в то время как г имело своей основой поток фильтрата,
проходящего через единичный объем осадка. Сопоставление A38)
и A54) показывает, что для сжимаемого осадка
cr — vr, r = r • —
с
и размерность для г будет Ь'г1?М~х =M~XL.
Для любого фильтрования суспензии из A54) имеем!
Pi
dx lie J ,
Так как по толщине осадка -т— является постоянной величиной
то получим:
dV
Pi
dx
A55)
}
Выше было показано, что гг есть функция разности давлений
Рг— Рг и что она не зависит от абсолютного значения давления.
Напишем
где г' не зависит от Рг.
152
Тогда
dP,
р,
dPz
Таким образом
dV А*
г-Рг)"
АР
^_ 1 (Pj — PzI'"' __ 1 АР1'"'
где
1-ге'
А* АР
V\ic? ' A —re') APn' ~ VyLcr" APn'
7"={l—n')?; 7=7" APn'
1-re'
A^AP
A56)
Выражение A56) может быть проинтегрировано таким же обра-
образом, как и для несжимаемого осадка, причем формула для несжима-
несжимаемого осадка здесь также остается в силе, если vr заменить величи-
величиной сг.
Оптимальный режим фильтрования суспензии
Оптимальная толщина лепешки на фильтрпрессе зависит от со-
сопротивления, оказываемого фильтрующим осадком, и от времени,
расходуемого на разборку и сборку аппарата. Получение более тон-
тонких фильтрующих осадков приводит к ускорению процесса фильтро-
фильтрования, но вместе с тем, здесь имеет место более частая разборка
фильтра и, следовательно, увеличенный расход времени на прове-
проведение процесса фильтрования. Для фильтрования при постоянном
давлении из A50) имеем:
rf.iv
где
и В2
х
т
постоянные.
AAP
A57)
Решая A57) относительно т, получим:
Обозначим через т' время для разборки и сборки фильтрпресса,
причем последнее не зависит существенно от толщины лепешки.
Общая продолжительность процесса фильтрования, при котором по-
получается фильтрат объемом V, будет т -j- т', и общая скорость фильт-
фильтрования составит:
*
dWch
Величина W$ будет максимальной, если -^р- = 0. Дифференци-
РУЯ ^ф по V и приравняв производную нулю, найдем:
153
откуда
и
V* =
Промывка осадка на фильтрпрессах
Для промывания осадков на фильтрпрессах могут быть приме-
применены «простой» и «полный» способы. При первом способе промывная
жидкость проходит по тому же пути в каналах осадка, по которому
проходила суспензия; в этом случае имеет место эрозия осадка.
По второму способу промывки жидкость поступает в отдельные
каналы, расположенные в так называемых промывных плитах, и про-
протекает через осадок по всей его толщине сперва в обратном направ-
направлении, а затем в том же направлении, что и фильтрат. Площадь
промывки вдвое меньше площади фильтрования и, кроме того, про-
промывная жидкость здесь должна пройти дважды через слой осадка.
Таким образом, скорость промывки составляет примерно четвертую
часть конечной скорости фильтрования.
Расчет фильтрования на основе опытных данных
Фильтрование суспензии производится на фильтрпрессе с 12 ра-
рамами; площадь рамы составляет 0,1 м2, толщина ее равна 25 мм. В те-
течение первых трех минут давление фильтрования постепенно увели-
увеличивается до конечного значения в 4 кГ/см2, причем скорость фильт-
фильтрования поддерживается постоянной. После начального периода
фильтрование проводится при постоянном давлении и по истечении
следующих 15 мин завершается образованием осадка. Затем следует
в течение 10 мин промывка осадка водой при давлении 3 кГ1смг по
способу «полной» промывки. Требуется определить объем фильтрата
и необходимое количество воды для промывки.
Предварительно было проведено фильтрование образца суспензии
на лабораторном листовом вакуум-фильтре площадью в 0,05 м2
при вакууме 500 мм ртп. ст. Объем фильтрата, собранного за первые
5 мин, составляет 250 мл, а в конце следующих 5 мин — 150 мл.
Осадок несжимаем. Сопротивление фильтрующей ткани на вакуум-
фильтре и фильтрпрессе принимается одинаковым.
На вакуум-фильтре процесс фильтрования проводится при посто-
постоянном давлении. Поэтому в соответствии с A50) имеем:
На' фильтрпрессе сперва получается фильтрат в количестве F:
при постоянной скорости фильтрования за время t15 после чего про-
процесс протекает при постоянном давлении. Пользуясь A49), найдем;
154
r\iv
Далее, из A50) имеем:
Данные опытного фильтрования
т = 5жмм; т =10 мин
А = 0,05 ж2; ДР = 0,7 кГ/см*
Подставляя эти величины, найдем:
2.0,05^-0,25 = -
0,43 + 2. 0,05 ±.04=
10
или
0,0625 + 0.025^ =
1 v гци
откуда
!=«.
r[iv
= 0,116
Объем фильтрата Vx, собранного в течение периода работы
фильтрпресса при постоянной скорости фильтрования, может быть
найден из равенства (при А ~ 24-0,1 = 2,4; АР = 4; т = 3):
или
откуда
VI+ 8,4^1 —600=0
Для периода фильтрования при постоянном давлении имеем
т—%х = 15 мин.
Мы можем написать
или
откуда
2 — 441) +16,8 (V — 21) = 400 -15
F2 + l6,8F-5204=0
Конечная скорость фильтрования в соответствии с A38) и A42):
4 ¦ 2,42
AL\ 0,116G1 + 2,4-3,5)
= 2,48 л/мин
155
Так как скорость промывки равна конечной скорости фильтро-
фильтрования, то скорость промывки ири 4 кПсм2 равна 0,62 л/мин; скорость
иромывки при 3 кГ/см2 равна 0,46 л/мин. Следовательно, расход
промывной воды в течение 10 мин составляет:
B = 0,46- ю = 4,6 .л
Комбинированное фильтрование
Суспензия, содержащая 0,9 кг твердого (плотность 3 кг/дм3)
на 1 кг воды, подается на барабанный фильтр, длина которого 0,6 м,
а диаметр также 0,6 м. Барабан делает один оборот за шесть минут
и 20% фильтрующей поверхности его находится в непосредственном
соприкосновении с суспензией в любой момент времени. Какова тол-
толщина осадка на барабане при вакууме 500 мм рт. ст., если скорость
получения фильтрата составляет 273 кг/ч, а порозность осадка 0,5.
Некоторое время спустя работа барабанного вакуум-фильтра при-
приостанавливается и процесс фильтрования осуществляется на фильтр-
прессе с поверхностью рамы в 0,1 м2. На разборку фильтра рас-
расходуется 2 мин, на сборку — также 2 мин, причем 2 мин требуются
дополнительно для удаления осадка с каждой рамы. Если фильтро-
фильтрование проводится при давлении 17,5 кГ/см2 с той же скоростью, кото-
которая была для вакуум-фильтра, то какое минимальное число рам
потребуется в этом случае и какова их толщина? Осадок принят
несжимаемым и сопротивлением фильтрующей ткани можно пре-
пренебречь.
Барабанный вакуум-фильтр. Фильтрующая поверхность
барабана:
А=я • 0,6 • 0,6 = 0,36я л»а
Толщина осадка:
Скорость фильтрования:
974
= ¦=?- = 0,00455
60
Объемная скорость образования осадка:
0,00455 • 0,9 • 4г • 4" = ,
и,э о 1,
= 0,00274 мз/мин
Продолжительность соприкосновения фильтрующей поверхности
с суспензией равна:
6-0,2=1,2 мин
Объем осадка, образующегося за один оборот барабана, соста-
составляет:
0,00274 -6 = 0,0164 м?
158
0,0164 • 1000
= 14,5 мм
0,36 • 3,14
Далее из A38) и A43) имеем:
dV АРА АРА*
dx r\x,l r\x,Vv
При постоянном давлении из A45) получим:
2
АН
или
откуда
@,00455 • бJ = К ¦ 0,66 @,36яJ 1>2
К = 0,00073
Фильтрпресс. Пусть фильтрпресс имеет п рам толщиной
мм.
Продолжительность полного цикла фильтрования составляет
где Тф — время фильтрования, мин.
Общая скорость фильтрования равна:
Ф
где ^ф — полный объем фильтрата в течение одного цикла.
Далее
„ объем рам фильтрпресса „„ -
* объем лепешки х единица объема фильтрата
Кроме того, имеем:
^1 = 0,00073 • 17,5 B- 0,1пJ тф = 1,66га262
откуда
тф=о.ооотз^Г-?- о.О1*2 = Ol005462
Таким образом, получим:
1,66ге6
0,00455 =
Упрощая, найдем:
откуда
0,005462+ 2п+4
f4=0,00365n6
4 + 0,005462
0,03656 + 2
157
Величина п является минимальной при -^- = 0, т. е. когда
@,03656 + 2) ОД 16-D-0,005462) 0,0365 = 0
или
0,00020762 + 0,0226- 0,1460= О
Решая это квадратное уравнение, получим;
б ==45 мм
Следовательно
« = 4,15
и минимальное число рам составляет 5.
§ 17. КИНЕТИКА ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СУШКИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Для того чтобы определить время сушки твердых тел, протека-
протекающей по кривой, изображенной на рис. Ш-11, воспользуемся сле-
следующими соображениями.
Напишем уравнение скорости сушки:
—L dx
'' Adx
A58)
кг испаряющейся влаги
Где ТУ-скорость сушки, ^ поверхности твердой массы-/'
L — количество твердой массы, считая на сухой остаток, кг;
кг влаги
х — содержание влаги в твердой массе, кг сух0Г0 оетатка!
А — площадь сушки, м%\
т—время, ч.
Интегрируя A58) в пределах от Хг до Х2, получим!
X,
1. Для периода сушки с постоянной скоростью, когда Хг и
Х2>А"крит и W = WnoCT, уравнение A59) принимает следующий
ВИД!
L A60)
AWn
2. Для периода сушки с убывающей скоростью, когда Хг и Х8 <
< А*кр, имеем два случая.
а) Общий случай. Для любого вида кривой сушки уравнение
A59) может быть проинтегрировано графически с получением соот-
соответствующего значения т.
158
б) Специальный случай. Величина W линейна относительно X,
как, например, в области CD на рис. Ш-11. В этом случае
\? = тХ+Ь A61)
щ — значение тангенса угла наклона прямолинейной части
кривой;
Ъ — постоянная.
Подстановка W в A59) дает;
Где
dX
Так как W1 =
и т=
то
A62) приводится к следующему
виду:
AW,
ср
A63)
э
§
|
ii
3
тА
1,80
1,35
0,90
0,45
О
In
A62)
I/
Id
\
1 1
/
/
с
/
•
где Wcp — средняя логарифми-
логарифмическая разность между Wi при
Хг и W% при Х2.
За неимением соответству-
соответствующих данных, часто кривая
скорости сушки может быть
принята прямолинейной между точками С и Е (рис. Ш-11).
Тогда
Н7_„/у у .. Wn0CT (X —X ) ..g,.
0 X' 0,1 0,2 0,3 0,4
x, кг влаги/кг твердого
Рис. Ш-11.
где X'—равновесное содержание влаги,
Х«
кг влаги
кг сухого остатка'
кг влаги
LKp -критическое содержание влаги, в8 сухого остатка;
кг
Wпост—постоянная скорость сушки, 2 ¦.
Таким образом, для A63) имеем:
¦ In-
A65)
Пример. Влажная твердая масса, сушке которой соответствует
кривая, изображенная на рис. Ш-11, имеет начальную влажность
25% и конечную 6%. Начальное количество влажного материала
159 кг, а площадь сушки противня составляет 0,1 .и2/3,65 кг сухого
остатка.
Определить время сушки.
159
Имеем:
При 25% -ной влажности
X °>25
1 1—0,25
При 6%-ной влажности
„ 0,06
a~l-0,06
влаги
= 0,064
кг сухого остатка
кг влаги
кг сухого остатка
При исследовании кривой найдем, что здесь процесс включает
в себя периоды постоянной и переменной сушки.
Период сушки с постоянной скоростью
Из приведенного графика имеем:
кг влаги
Xi = 0,333, Хкр = 0,200,
Используя A60), получим:
= 1,462
L (Xt — Х2) 39@,333 — 0,200)
AWn
1,462
= 3,54 ч
Имеем:
Период сушки с переменной скоростью
Хкр = 0,200 и Х2= 0,064
Воспользуемся формулой A59). Из кривой на рис. Ш-11 полу-
получаем следующие данные:
Строим кривую на гра-
графике, где ординаты и абс-
абсциссы, соответственно, i/W
и X. Величина площади
под кривой между X = 0,20
и X -=0,064 составляет 0,218.
Следовательно
т = 39-0,218 = 8,48 ч
Общая продолжительность процесса сушки:
т' = 3,54+ 8,48= 12,0 ч
Поскольку на графике между Х=0,20 и Х=0,10 имеем пря-
прямую линию, то, применив A63), получим:
X
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
w
1,462
1,300
1,170
1,018
0,880
1/W
0,682
0,768
0,854
0,984
1,135
X
0,10
0,09
0,08
0,07
0,064
W
0,732
0,474
0,454
0,342
0,312
1/W
1,365
2,115
2,200
2,920
3,200
X =¦
A(WmCT-WD)
,„!»« 39@,20-0,10) ¦ 1,462
~Й^Г= 1,462-0,732 1П 0,732- ~6'™
Графическое интегрирование между А' = 0,1 и X = 0,064 дает
с помощью A59) дополнительно 4,79 ч и, таким образом, общая про-
продолжительность для периода сушки с переменной скоростью
составляет
3,70+4,79 = 8,49ч
Представляя кривую сушки в виде прямой линии между С и Е,
мы получим для этого же периода в соответствии с A65) приближен-
приближенное значение
" ПО
х»-х-
39@,20—0,05)
1.4E2
In
0,2 — 0,05
0,064 — 0,05
= 9,5 ч
160
Зака., 17К
Глава IV
СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Математический анализ технических задач состоит из трех
частей: 1) перевод условий задачи на язык математики; 2) решение
полученной таким образом математической задачи; 3) оценка полу-
полученных результатов.
Первая часть работы заключается чаще всего в составлении диф-
дифференциального уравнения и является наиболее трудной. Для со-
составления дифференциальных уравнений нет общих методов, и навыки
в этой области могут быть приобретены лишь в результате изучения
конкретных примеров.
Практическая ценность дифференциальных уравнений обуслов-
обусловливается тем, что, пользуясь ими, можно установить связь между
основным физическим или химическим законом и часто целой груп-
группой переменных, имеющих большое значение при исследовании
технических вопросов.
Применение даже наиболее простого физического закона к про-
процессу, протекающему при переменных условиях, может привести
к весьма сложному соотношению между переменными величинами.
§ 1. ПРОЦЕСС ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ ПОТОКОВ
Рассмотрим для примера процесс взаимодействия двух потоков А
и В, при котором получается осадок, уносимый потоком С (рис. IV-1).
Реакция идет быстро, и перемешивание обеспечивает равномерность
состава содержимого в аппарате.
Пусть скорости потоков А в В равны, соответственно, а м3 и Ъ м3
в 1 мин. Если изменением объема, вследствие реакции, пренебречь,
то скорость потока С будет равна (а -\- Ъ) м3/мин.
Чтобы обеспечить надлежащее качество осадка, необходимо под-
поддерживать кислотность реакционной массы в аппарате равной п0 кг
кислоты на 1 м3 с допустимым отклонением до п0 — Р кг на 1 м3
раствора. Кислотность поддерживается исчезающе малым объемом
кислоты, вводимым с потоком А, причем как только концентрация
кислоты в растворе достигает п0, ввод кислоты автоматически пре-
прекращается и возобновляется при падении концентрации до п0—Р.
162
Для подбора автоматического регулятора подачи кислоты требуется
определить промежуток времени, в течение которого концентрация
кислоты может измениться от п 0 до п0—Р, а для этого нужно уста-
установить зависимость, связывающую концентрацию кислоты со вре-
временем после прекращения подачи кислоты. Очевидно, что при дан-
данных условиях может быть использовано уравнение материального
баланса:
Приход — убыль = приращение
Соотношение, которое связывает критическое время ткр и кон-
концентрацию п0—Р, дается относительно сложной формулой:
A)
Рис. IV-1.
где V— объем жидкости в аппарате.
Для того чтобы получить эту фор-
формулу, запишем основной материальный
баланс в виде дифференциального ура-
уравнения, которое затем проинтегри-
проинтегрируем.
С этой целью, начиная с момента
прекращения подачи кислоты (т. е.
с момента, когда концентрация равна
п0), общую продолжительность процесса
изменения концентрации разобьем на
ряд коротких промежутков времени Ат.
Пусть концентрация кислоты в аппарате в некоторый момент
составляет п кг/м3 и количество кислоты в нем равно Vn. Кислота
вытекает из аппарата со скоростью п(а -+- Ъ) кг/мин. За промежуток
времени Ат концентрация кислоты изменяется на An и становится
равной п -(- Аи. Изменение количества кислоты в аппарате выра-
выражается разностью между ее количеством, имеющимся ко времени
т -\- Дт, и количеством в момент времени т:
V (п + Ап) — Vn=V An
Убыль кислоты за промежуток времени Дт можно получить
также умножением средней концентрации за этот промежуток вре-
времени пср на объем вытекающей из аппарата жидкости (а +6) Дт.
Очевидно, что
"cp '
Ax=VAn
B)
Для того чтобы воспользоваться этим уравнением, необходимо
знать пср. Поэтому на практике для определения ткр можно пользо-
пользоваться следующим методом.
Примем п = п0; п -)- An = их; рассмотрим среднее значение
концентрации:
_ п-\-(п-\-Ап) _ An
«ср — ^ n + ~J-
11*
163
Подставляя это значение гаср в уравнение B), мы сможем опреде-
определить промежуток времени Атх, в течение которого концентрация
меняется от и0 до п±.
Повторяя тот же расчет для пх и полагая пср — п± + -?-, мы
di
найдем промежуток времени Ат2, в течение которого концентрация
меняется от пх до пх -f- An.
Эти вычисления следует повторять до тех пор, пока концентрация
кислоты не достигнет значения п0—Р. Тогда искомую величину
гкр получим, складывая промежутки вр?мени Atj -f- Ат2 + Ат3 +
¦+-...= ткр.
Очевидно., что чем большая точность желательна для ткр, тем
меньшие следует брать приращения Аи так, чтобы среднее арифме-
арифметическое значение п приближалось к истинному значению пср. Не-
Неудобство этого метода решения связано с тем, что здесь требуется
много работы для получения решения, которое является только при-
приближенным.
Хотя в химической технике имеется много процессов, для кото-
которых соотношение между переменными настолько сложно, что данный
последовательный метод решения является единственно практически
приемлемым, все же для многих случаев, как, например, для данной
задачи, можно получить точное решение с помощью дифференциаль-
дифференциального уравнения.
Уравнение B) может быть преобразовано;
An »ср ,_ , „ (з)
Дх---г<«+*>
An
Если Ат устремить к нулю, то «ср будет стремиться к п,
-т—, и уравнение C) обратится в дифференциальное урав-
уравнение:
dn
~dr~
(a + b)
Умножая обе части уравнения на —, получим:
dn
п
(а + Ь)
di
Проинтегрируем обе части этого уравнения. Пределы интегри =
рования получим из условия, что при п — нот =0 и при п = п —Р
т = ткр:
Ло-Р ткр
_ Г _^L _ Г <а+6) dx
Интегрирование дает:
о '
In
п0
п0-
1кр
Решая это уравнение относительно тцр и переходя к десятичным
логарифмам, получим формулу A).
164
§ 2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Уравнения, связывающие независимое переменное, некоторую
функцию его и производные этой функции, называются дифферен-
дифференциальными, уравнениями.
Установим некоторую терминологию, связанную с дифферен-
дифференциальными уравнениями.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок
старшей производной, входящей в уравнение.
Степенью дифференциального уравнения называется высший по-
показатель степени, в которой старшая производная входит в уравне-
уравнение после того, как уравнение освобождено от дробей и приведено
к рациональному виду.
Например:
!) -~- = у2 + х2 — дифференциальное уравнение первого порядка и первой
степени;
2)
-TT = f'\x)\ 1 + ( —г^- ) '— дифференциальное уравнение
Ах L \ dx J J
й
второго по-
рядка и второй степени.
Общее решение дифференциального уравнения содержит произ-
произвольные постоянные. Число этих постоянных равно порядку урав-
уравнения.
Если постоянным в общем решении придать частные числовые
значения, то получим частное решение дифференциального уравне-
уравнения. Например: у==Сх2 есть общее решение уравнения --,— = — ,
1 „
а г/= тг х —частное решение.
При решении технических задач, приводящих к дифференциаль-
ньгм уравнениям, важно бывает не только найти общий интеграл
уравнения, но также и определить значения постоянных, входящих
в этот интеграл, так, чтобы решение соответствовало данной задаче.
В случае уравнения первого порядка для этого достаточно одного
дополнительного условия (начального условия), обычно задаваемого
числовым значением функции при каком-либо частном значении
независимого переменного. В данном выше примере значение С = —
У
получено из условия: у = 1 при х = 3.
Уравнения, содержащие обыкновенные производные или диффе-
дифференциалы, называются обыкновенными дифференциальными урав-
уравнениями; уравнения, содержащие частные производные, называются
дифференциальными уравнениями с частными производными.
К обыкновенным дифференциальным уравнениям приводит изу-
изучение процессов, в которых все искомые величины являются
функциями лишь одной независимой переменной.
Так, например, в одноходовом противоточном теплообменнике,
работающем при определенных конечных условиях (рис. 1V-2),
165
Рис. IV-2.
достаточно с помощью только одной переменной определить поло-
положение материальной точки в теплообменнике, чтобы стали известны
все остальные переменные в этой точке на основе физических зако-
законов, контролирующих систему.
В непрерывнодействующей абсорбционной башне (рис. IV-3) со-
составы жидкости и газа изменяются по мере их прохождения через
^ башню, но если фиксируются конечные
'* Ц *- условия, то достаточно установить длину
пути, пройденного взаимодействующими
веществами, чтобы рассчитать свойства
как жидкого, так и газового потоков.
В каждом из этих случаев мы можем
рассматривать длину пути или время
контакта как независимую переменную,
поскольку определение ее в теплообменнике или в башне равно-
равносильно определению времени контакта между двумя потоками, дви-
движущимися относительно друг друга с известными скоростями.
Предположим теперь, что конечные условия i
в предыдущих примерах не являются установив- т
шимися.
Пусть скорость поступления холодного потока
в теплообменник или же скорость поступления
жидкого растворителя в башню изменяется со
временем по какой-либо известной закономерности.
В этом случае мы имеем условия неустановившегося
состояния, и для того чтобы определить процесс
в любой точке указанных аппаратов, необходимо
учитывать зависимость от двух независимых пе-
переменных, а именно: положения материальной
точки и времени, или скорости движения потока.
Тогда состояние системы в данный момент будет
уравнением, включающим в себя искомые переменные
и их частные производные.
К дифференциальным уравнениям с частными производными
могут приводить и установившиеся процессы.
h
\
J \
Рис. IV-3.
§ 3. МАТЕРИАЛЬНЫЙ БАЛАНС ПРОЦЕССА ПРОСТОЙ ПЕРЕГОНКИ
Рассмотрим для примера начальную стадию перегонки, схемати-
схематически изображенную на рис. IV-4.
Целью перегонки является очистка бензола и толуола от нелету-
нелетучих примесей, находящихся в небольшом количестве. В перегонный
куб загружают вначале 20 кмоль смеси бензола и толуола, в кото-
которой бензол составляет х1 = 0,32 мол. доли. Скорость питания смесью
равна 10 кмоль/ч, и расход тепла регулируют так, чтобы общее ко-
количество жидкости в перегонном кубе оставалось постоянным и
равным 20 кмоль.
166
Жидкость из куба в процессе перегонки не удаляется. Требуется
определить время, необходимое для получения дистиллята, име-
имеющего состав у = 0,4 мол. доли бензола.
Для малого промежутка времени di может быть принято, что
перегонка бензола происходит при постоянной скорости и приход
бензола за время йт будет равен:
Приход = 10 • 0,32 d%
а так как общее количество молей в перегонном кубе остается посто-
постоянным, то
Убыль = U)ydx
Приращение = d B0z2) = 20 dx2
где хг — содержание бензола в кубовой
жидкости, мол. доли.
Составляя уравнение для материаль-
материального баланса, получим:
откуда
20<fa2
з,2- юг/
D)
Для того чтобы проинтегрировать
это уравнение, нужно переменную у, вхо- Рис. IV-4.
дящую в правую часть, выразить через хг.
Смесь бензола и толуола подчиняется закону Рауля, согласно
которому парциальное давление любого компонента в парах над
смесью жидкостей равно давлению насыщенного пара этого ком-
компонента (при данной температуре), умноженному на его мольную
долю в жидкости, т. е.
где Хд — мольная доля чистого компонента А в жидкости;
РА — парциальное давление этого компонента в парах;
Рд — давление паров этого компонента.
Зная общее давление над смесью и парциальное давление легко-
легколетучего компонента А, мы можем определить содержание его
в парах, выраженное в мольных долях:
у Ра
где Р — общее давление.
Обозначим дополнительно к предыдущему:
Рв — давление паров чистого менее летучего компонента В;
Рв — парциальное давление иаров менее летучего компонента В.
167
По закону Рауля при принятых обозначениях имеют место
равенства:
Ра=рахА' Рв = рвA-ха)
С другой стороны, по закону Дальтона общее давление Р наров
смеси равно сумме парциальных давлений компонентов, т. е.
Следовательно
Y л
A" p —
Обозначая отношение давлений чистых веществ р~- — а< найдем:
В
аХ,
аХ,
1 + (о-1)ХА
E)
Последнее уравнение выражает аналитическую связь УА и ^а»
необходимую для построения кривой равновесия. Отношение давле-
давлений а называется относительной летучестью. Значение а в данном
случае можно принять равным 2,48.
При этих обстоятельствах
</=
Подставляя у в уравнения D) и упростив, получим:
B0+29,6*2)
F)
3,2 — 20,1*2
Пределы интегрирования устанавливаются из условия, что при
т = 0 х% = хх — 0,32, а к концу искомого периода времени т хг =
= 0,21; последнее получается при подстановке в уравнение F)
у = 0,4. Таким образом
0,21
0,32
B0+29,6*2)d*2 _,
3,2—20,1*2
0.32
0,2]
0,16
= 1,47 [* + 0,83 In A-0,16I8:1? = 1,47 • 0,11 +1,22 In -^ = 1,58 ч
§ 4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ БАЛАНС
Газ с примесью туманообразной смолы удаляется из аппарата
при 0,33 am и подается в резервуар при 1 am посредством поршне-
поршневого компрессора, работающего по адиабатному процессу. Газовая
смесь содержит 0,2 кг смолы на 1 кг чистого газа и поступает в ком-
168
прессор при 95° С. Будем считать, что газ обладает свойствами иде-
идеального газа.
Смолистый туман имеет температуру газа и теплоемкость
0,5 ккал/кг • град; он оказывает охлаждающее действие при сжатии
газовой смеси, уменьшая тем самым расход энергии по сравнению
с адиабатным сжатием идеального газа в пределах тех же давлений.
Теплоемкость газа при постоянном объеме составляет
3,5 ккал/кмоль-град. Средняя молекулярная масса газа 24. Рабочий
объем компрессора 0,01 м3. Требуется рассчитать минимальную ра-
работу, необходимую для сжатия газа. Согласно закону сохранения
энергии затраченная работа должна быть равна увеличению внут-
внутренней энергии газа и смолы. Обозначим через Р давление (в am,
кГ/см2 или кГ/м2), t — температуру (в °С) в какой-либо точке,
Т — абсолютную температуру в этой точке.
Количество газа, находящегося в рабочем объеме компрессора,
определяем по газовым законам, пренебрегая незначительным объ-
объемом смолы:
Количество смолы составляет 0,2-0,0026 «» 0,0005 кг.
При бесконечно малом ходе поршня процесс является обрати-
обратимым. Работа, затрачиваемая на изменение некоторого объема V
газовой смеси от V до V + dV, будет равна dW = PdV.
Увеличение внутренней энергии газа равно произведению его
количества на теплоемкость и на изменение температуры:
0,0026 -~-dT
24
Увеличение внутренней энергии смолы:
0,0005 • 0,5 dT
Применим к содержимому цилиндра компрессора, как к системе,
первый закон термодинамики:
Изменение внутренней энергии системы = теплу, полученному системой,
минус работа, совершенная системой.
Тепло, выделяемое системой, рассматривается как отрицатель-
отрицательное, а работа, совершенная системой,—• как положительная. При
бесконечно малом ходе поршня условия процесса сжатия газа могут
быть приняты постоянными и первый закон термодинамики выра-
выражается в дифференциальной форме так:
dJ=( 0,0026 • -Ц- + 0,0005 • 0,5 ) dT = 0,0006 dT
G)
169
При адиабатном процессе dq = 0, и уравнение G) принимает
вид:
(8)
427 • 0,0006 dT = —PdV
где 427 кГ • м/ккал — механический эквивалент теплоты.
Прежде чем интегрировать уравнение (8), следует исключить
одну из трех переменных величин. Пренебрегая давлением пара
смолы, воспользуемся соотношением между Р и V, имеющим место
для идеального газа:
PV= -jjL rt (9)
где G — масса V м3 чистого газа, кг;
М — средняя молекулярная масса газа;
R — универсальная газовая постоянная, кГ • м/кмолъ - град;
Т — абсолютная температура, °К.
Так как относительно изменений V еще ничего неизвестно, в то
время как начальное и конечное значения Р заданы, то лучше всего
заменить dV выражением, содержащим Р и Т.
Дифференцирование уравнения (9) дает:
После подстановки в (8) и некоторых преобразований получим:
Так как Т = 1\ = 368°К при Рг = 0,33 am и Т = Т2 при Р2 =
= 1 am, то интегрируем левую часть этого уравнения по Г в преде-
пределах от 368°К до Тг и правую — по Р в пределах от 0,33 до 1 am:
=0,089
dP
Р
368
0,33
После интегрирования получим:
откуда
°-351п -щ- = °.°891п 3
ооо
0,089
rp Qfift Q 0,35 /Q^® K"
Значение величины работы получаем интегрированием (8) в пре-
пределах от Г! = 368 до Г2=--485°С:
485 Vt
0,26 J df = — J p
368 0,01
W
= — W
Таким образом, работа на сжатие 0,01 м3 газа составляет:
I W\= +0,26 D85-368) =30,4 кГ. м
§ 5. ВЫПАРИВАНИЕ В НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ СОСТОЯНИИ
Раствор, содержащий 10% КОН (по массе), концентрируется до
25% при давлении 1 am в однокорпусном испарителе.
Во время выпаривания жидкость не удаляется и в аппарат посту-
поступает разбавленный раствор так, чтобы общее количество раствора
в испарителе было постоянным и составляло 4000 кг. Когда концент-
концентрация раствора достигает 25%, выпаривание прекращается, скон-
сконцентрированный раствор выгружается и испаритель снова загру-
загружается 10%-ным раствором. Температура греющего пара 120° С.
Коэффициент теплопередачи К для начальной стадии процесса
равен 2000 ккал/м2-ч-град и может быть принят пропорциональ-
пропорциональным квадрату разности температур конденсирующегося пара и кипя-
кипящей жидкости. Поверхность
нагрева А равна 55 м2.
Требуется определить про-
продолжительность периода выпа-
выпаривания.
Зависимость повышения тем-
температуры кипения раствора от
количества содержащегося в нем
КОН представлена на рис. TV-5.
Повышением температуры
(At) за счет гидростатического ^ " 10 ?о зо чо
давления жидкости пренебре- Со ерн<анае кон- "aLQ '°
гаем. Теплота испарения воды Рис. IV-5.
из раствора КОН принимается
постоянной в данных пределах концентраций и равной 550 ккал/кг
испаряемой воды.
Температура поступающего раствора 100° С. Пусть с — массовая
доля КОН в испарителе в момент т.
Для промежутка времени d% приход тепла составит КА At d%,
и по тепловому балансу количество испарившейся воды равно
КААЫх
550
кг.
Искомое дифференциальное уравнение может быть составлено
с помощью баланса по воде для промежутка времени d%. Так как
количество раствора в испарителе (вода плюс твердое вещество)
остается постоянным, то водный баланс складывается из следующих
частей:
„ ЛЛ KAAtdx
Приход = 0,9-
Убыль=
550
К A At dx
550
Приращение = d [4000 A — с)] = —4000 de
Подстановка в уравнение для материального баланса дает;
0,9
КА At d% KA At dx
550
550
= — 4000 dc
170
171
или
2,2 • 10'
A0)
В том случае, когда правую часть равенства надлежит интегри-
интегрировать аналитически, все величины должны быть выражены в виде
функции одной переменной. Выше было указано, что значения К
пропорциональны (Л*J, следовательно, величина К может быть заме-
заменена выражением a(AtJ, где а — постоянная, значение которой
может быть определено из усло-
условия, что К = 2000 для начала
М0\- i выпаривания при с = 0,1.
Известное соотношение между
90\- fl At в с может быть выражено
приближенно эмпирическим
уравнением по одному из опи-
70 \- I санных ниже способов (см.
гл. XXIV); однако здесь целе-
целесообразнее применить графиче-
графическое интегрирование.
Пределы интегрирования:
т = 0, с = 0,1 и т=т, с=0,25
Уравнение A0) после под-
2о\- у "•• становки А = 55, К = а (Л?)г
и интегрирования принимает
10\- вид:
80-
60-
50
W
30
о
0,25
0.1 0,2
Концентрация с
Рис. IV-6.
__ 220 Г
~~ 55а J
0,1
Значение интеграла может
быть определено графически.
С этой целью по данным табл. IV-1 строим кривую, выражающую зави-
зависимость между с и . .3 (рис. IV-6), и определяем площадь, ограни-
ограниченную кривой, осью абсцисс и конечными ординатами с = 0,1
и с = 0,25. Величина этой площади равна 6,1.
ТАБЛИЦА IV-1
с
0,10
0,13
0,16
0,19
0,22
0,25
Повышение
температуры
кипения
2,4
3,4
4,6
6,0
7,6
9,7
'кии
102
103
105
106
108
110
Д'=12°- 'кип
18
17
15
14
12
10
(ДО8
5830
4910
3380
2740
1730
1000
10»
(АО3
17,2
20,3
32,5
36,5
57,8
100,0
172
При с = 0,1 разность температур At = 18 и К" = 2000, откуда
2000
а ==-
182
- = 6,2
Следовательно, искомая продолжительность периода выпари-
выпаривания:
220 • 6,1 .
55-6,2
§ 6. НЕПРЕРЫВНЫЙ ПРОЦЕСС ИОННОГО ОБМЕНА
Рассмотрим следующий пример.
Из разбавленного отбросного раствора надлежит извлечь медь
с помощью ионного обмена. Концентрация CuS04 в растворе состав-
составляет 20 мг-экв Си++/л; скорость потока раствора 37 850 л/ч. Для осу-
осуществления данного процесса ионного обмена предусматривается
установка непрерывного действия, где раствор и регенерированный
ионит проходят через вертикальную башню в противоположных
направлениях. Степень обмена Си++ равна 0,99. Этот процесс может
быть осуществлен и на ленточном аппарате с перекрестно-противо-
точным движением фаз.
Регенерация ионита производится во второй башне при противо-
точном контактировании с 2 н. H2SO4.
В примере для расчета приняты:
Извлечение Си+ +. Скорость движения жидкости 2,2 л/см2 • ч;
скорость массопередачи 2,0 мг-экв Си++1ч-г ионита• мг-экв Сп++/л.
Регенерированный ионит содержит 0,30 мг-экв Си++/г ионита (я2),
причем его количество составляет 1,2 М, где М — минимальное
отношение количеств ионита и раствора.
Регенерация ионита. Скорость движения жидкости
0,17 л'см2-ч, скорость массопередачи 0,018мг-эквСи++'ч• г ионита х
X мг-экв Си+ + /л.
Степень использования кислоты 70%.
Равновесное состояние при ионном обмене Си++—Н+ для кон-
концентраций 20 и 2000 мг-экв катиона /л изображено на рис. IV-7
и IV-9.
Требуется определить скорость прохождения ионообменной массы
и ее количество в каждой башне.
1.Извлечение Си+ + . Известно, что скорость потока раствора
37 850 л/ч; концентрация раствора сг = 20 мг-экв Си+ + А/г, с2 =
0,01-20 = 0,20 мг-экв Сп++/л.
Количество обмениваемой Си++ составляет:
37 850 B0—0,20) = 750 000 мг-экв/ч
Величина х% = 0,30 мг-экв Си+ + /г ионита. На рис. IV-7 отмечаем
точку (с2, хп). При минимальном отношении количеств ионита и
раствора и бесконечно большой высоте башни рабочая линия про-
проходит также ч^рк! точку Р (три х — 4,9, соответствующую равновесной
173
концентрации cv Тогда минимальная скорость движения твер-
твердой массы будет равна:
750 000
=163 000 г/ч
4,9 — 0,3
Умножив на 1,2, получим:
163 000-1,2 = 196 000 г/ч
Баланс по меди дает:
750 000 = 196 (*i — 0,30)
Г+—Р-Ш
откуда
^1 = 4,12 мг-акв Си++/г ионита
Изобразим на том же графике
точку (с1, хг), после чего проведем
прямую линию, которая при данных
низких концентрациях является ра-
рабочей линией.
Количество ионита в башне мо-
может быть определено с помощью
кинетического уравнения A1), кото-
которое получается при составлении
материального баланса:
Vdc=-^-(c-c-)d(SZp) (И)
где V—количество жидкости, л/ч;
с—концентрация Си++ в растворе, мг-жв/л раствора;
с — концентрация Си++ в растворе при равновесии с твердой
массой, мг-экв/л раствора;
]±1—коэффициент массопередачи, мг-экв/ч-г ионита • мг-экв/л;
X—коэффициент массопередачи в жидкости, мг-экв/ч-м2 X
X мг-экв/л;
a — поверхность частиц ионита, м2/м3;
р — плотность ионита, г/см3;
SZp — количество ионита в башне, г;
S—площадь поперечного сечения башни, см2;
Z — высота башни, см.
Преобразуя это уравнение и интегрируя его, получим:
Для с на рабочей линии между сг и с2 имеем соответствующие
значения с', определяемые с помощью равновесной кривой при том
же значении х (табл. IV-2).
174
ТАБЛИЦА IV-2
с
с
1
с—с'
2в
2,4
0,0568
le
1,9
0,0710
12
0,5
0,0870
8
0,25
0,129
4
0,10
0,256
2
0,05
0,513
1
0,02
1,02
0,2
0
5,0
Строим кривую в координатах с (абсцисса) и г и вычисляем
С ~~* С
графически интеграл в пределах от сл до с3. Площадь под кривой
(рис. IV-8) составляет 5,72.
Подставляя это значение в уравнение A1), найдем!
37 850 • 5,72
2,0
= 108 300
И—
—.i
»—.
—Н
1
—¦
то
№00
800
400
СТО.
Рис. IV-8.
12 3 4
Рис. IV-9.
2. Регенерация ионита. Для обмена 750 000 мг-акв
Си+ + /ч требуется такое же количество мг/экв Н+/ч. При 70%-ном
использовании серной кислоты последняя должна содержать:
750 000
или
и
Имеем:
Кроме того
0,7
1071000
2000
750 000
536
[ = 0,30 и
¦¦ 1 071 000 мг-акв Н+/ч
= 536 л 2н. H2SO4/4
= 1400 мг-акв Си++/л
, ,„ мг-акв Си+ +
г ионита
175
Отмечаем на графике (рис. [V-9) точки (сг, xt) и (с2, хг) и прово-
проводим рабочую линию.
Интегрирование кинетического уравнения A1) в данном случав
(где как рабочая, так и равновесная линии являются прямыми)
дает:
V(c2-Cl)=-!j-SZp(c--c)m
A3)
где (с"— с)т — средняя логарифмическая разность движущих сил
на концах башни
с;—c1==120 —0 = 120
мг-экв Си++
с-—с2= 1700—1400 = 300-
И
, 300 — 120 мг-экв Си*
(с- - с)т = -^— = 196,5 ¦
In
300
120
Подставляя это значение в уравнение A3), найдем
750 000 = 0.018 (SZp)-196,5
откуда получаем количество ионита в регенерационной башне:
SZp = 212 000 г, или 212 кг
Содержание Си++ в выходящем из аппарата растворе увеличи-
увеличилось в
1400
20
раз
что равнозначно испарению из начального раствора 37 500 л воды/ч.
§ 7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В СТЕРЖНЕ
Сравнение рассмотренной ниже задачи с задачей по диффузии,
сопровождающейся химической реакцией (см. главу X, § 7), может
служить иллюстрацией математического подобия между совершенно
различными явлениями.
Расположенный горизонтально металлический стержень
(рис. IV-10) опирается своими концами на опоры. Расстояние между
опорами равно L м.
Левый конец стержня поддерживается при постоянной темпера-
температуре tx, а правый — при постоянной температуре t« ¦< tv
Стержень сделан из металла с теплопроводностью к в виде
бруска малой толщины с периметром поперечного сечения Р м и пло-
площадью сечения А м%. Коэффициент теплоотдачи от поверхности
стержня к окружающей среде (а кшл/м2 • ч • град) может быть при-
принят постоянным.
17fi
Температура окружающей среды равна ts. Требуется установить
соотношение между температурой стержня в любой точке и расстоя-
расстоянием этой точки от горячего конца.
Строго говоря, решение этой задачи приводит к дифференциаль-
дифференциальному уравнению с частными производными, так как температура
в поперечном сечении стержня не вполне постоянна и является функ-
функцией расстояния х и расстояния от поверхности стержня.
Однако, если стержень достаточно тонкий и если теплопровод-
теплопроводность его велика, то мы можем без существенной ошибки пренебречь
температурными градиентами в направлениях, перпендикулярных
к оси стержня, и принять температуру постоянной в каждой точке
поперечного сечения, перпендикулярного оси ОХ. При таком допу-
допущении температура является функцией только одного независимого
переменного х и распределение температуры может быть описано
обыкновенным дифференциаль-
ным уравнением. у/л dx
Исследуем процесс распро-
распространения тепла в элементар-
элементарном отрезке длиной dx на
расстоянии х от того конца
«тержня, температура кото- Рис- IV-10.
рого tv
Количество тепла, проходящего за время di через сечение стер-
стержня, находящееся на расстоянии х от начала стержня, согласно
теории теплопередачи, будет равно:
dt
dx
Количество тепла, прошедшее за время di через сечение, нахо-
находящееся на расстоянии х -\- dx от начала, будет равно:
dt
Участок стержня, заключенный между сечениями, отстоящими
от начала на расстояниях х и х -f- dx, вследствие теплопроводности,
приобретет за время d% количество тепла, равное разности указан-
указанных количеств, т. е.
За то же время потеря тепла от этого же участка в окружающую
ереду будет равна:
аР dx (t — ts) dx
Но так как изучаемый нами процесс является стационарным, то
d.4
"КА dx dx = аР dx (t — ts)dx
12 Зака.( 1706
ill
Окончательно мы приходим к следующему дифференциальному
уравнению
решение которого дано в гл. V.
Уравнение A4) аналогично уравнению (.4) гл. X. Несмотря на то,
что задачи, рассмотренные здесь и в § 7 гл. X, физически различны,
математически они тождественны, так как приводят к дифферен-
дифференциальным уравнениям одного и того же вида.
§ 8. ЭКСТРАКЦИЯ В ШНЕКОВЫХ (ВИНТОВЫХ) АППАРАТАХ
В шнековых аппаратах процесс экстракции может осуществляться
противоточным или прямоточным способом.
Переход извлекаемого вещества из сырья в растворитель можно
рассматривать как с точки зрения уменьшения его содержания в
сырье, так и сточки зрения увеличения концентрации в растворителе.
Будем искать выражение для концентрации извлекаемого вещества
по длине аппарата. Обозначив время соприкосновения раствори-
растворителя с обрабатываемым веществом через т, получим:
dc
—— =sfc (С —С)
dx K '
dx
= К(с'-с)
A5)
A6)
где с — концентрация извлекаемого вещества в растворе;
х — содержание его в обрабатываемой массе;
с — концентрация извлекаемого вещества, содержащегося на
поверхности обрабатываемой массы;
к и К — постоянные коэффициенты.
Будем считать, что с' и х связаны между собой линейно;
Подставив в A5) и A6) значение с', получим!
dc , ( х \
—-=к ( с )
dx \ a J
* tj_ \
dx \ а ]
A7)
A8)
Интегрирование этих уравнений дает решение, описывающее
процесс экстракции в шнековых аппаратах.
Обозначим через U и и, соответственно, количества обрабаты-
обрабатываемой массы и растворителя, поступающие за единицу времени
178
в аппарат (в ед. массы/ед. времени). Обозначим концентрации извле-
извлекаемого вещества в обрабатываемой массе и растворителе в точке
поступления последних в аппарат соответственно через х0 и с0.
Обычно с0 = 0. Количества вещества, отдаваемого обрабатываемой
массой и получаемого растворителем, равны между собой:
При со = О получим:
B0)
B1)
Подставив значение х в A8), получим:
dc I x0 и \
~?х= \~а aU~C~C)
Умножив обе части этого уравнения на — [-^тг
U+0*
, имеем:
х0 и _
a all
После интегрирования получим:
Постоянную интегрирования С найдем, исходя из того соображе-
соображения, что в начальный момент т = 0 концентрация с также равна
нулю. Это нам дает:
= 1п
х0
Отсюда
B2)
Далее, обозначив время пребывания растворителя в аппарате
через тс, а время пребывания обрабатываемой массы в аппарате
через %х, получим:
dc
dxr
f x \ dx „ I x \
-¦k[ с ) и —-з—=? I с )
\ a ) dxx \ a /
Разделив первое уравнение на второе, имеем:
dc
~dx~
К dxx
12*
179
Из соотношения B0) найдем:
dc
~dx
U_
и
Сравнивая между собой два последних равенства, получим;
к dxc
U_
и
К йт,
Коэффициенты к и К являются постоянными. Установим, в каком
случае они будут равны между собой. Это будет, например, если
ите=ихх B3)
Принимаем, что к — К = $(-^} , где А — поперечное сечение
аппарата, а Р — постоянная, зависящая от природы обрабатывае-
обрабатываемого вещества, растворителя и температуры.
Подставим эти значения к и К в B2), предварительно записав
это равенство следующим образом:
После подстановки получим:
Так как ux — V, где V—объем экстракционной системы по рас-
растворителю (воде), то
В «2 a uV в 1и
где 1 = —д длина аппарата.
Обозначив — через р, получим:
In I 1 —
или
Обозначив
Ыи
аА
и решая последнее уравнение относительно с, получим окончательно
следующее выражение для концентрации с извлекаемого вещества
по длине аппарата:
е=в;A_е-*.')
180
§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕРИ БЕНЗОЛА ПРИ ЕГО ХРАНЕНИИ
В СОСУДЕ, СООБЩАЮЩЕМСЯ С АТМОСФЕРОЙ
В цилиндрическом резервуаре хранится бензол. Паровое про-
пространство над бензолом имеет объем Fo = 250 м3; оно сообщается
с внешней атмосферой с помощью трубы. Максимальная и минималь-
минимальная суточные температуры составляют 37,8 и 10° С. Барометрическое
давление 760 мм pm. cm.
Требуется оценить максимально возможные потери бензола
в сутки.
Парциальное давление бензола может быть найдено из- формулы:
ig P = 7,962 —
1,781
B4)
где Р выражено в мм рт. ст., а Т— в °К.
Потеря бензола имеет место в то время, когда бензольно-воздуш-
бензольно-воздушная смесь в паровом пространстве воспринимает тепло из окружа-
окружающей среды и, расширяясь, выходит через трубу в атмосферу. При
понижении температуры свежий воздух засасывается в паровое про-
пространство и снова вытесняется уже в смеси с некоторым количеством
бензола при последующем повышении температуры.
В случае отсутствия какого-либо внутреннего источника тепла
максимальная потеря бензола будет иметь место при полном насы-
насыщении воздуха, находящегося над жидким бензолом, парами бензола
при температуре окружающей среды.
Потеря бензола обусловливается двумя процессами, протека-
протекающими одновременно, причем каждый из них вызывает увеличение
объема паро-воздушной смеси над бензолом. Первый процесс возни-
возникает в силу того, что присутствующая паро-воздушная смесь под-
подвергается простому термическому расширению; при этом увеличение
объема будет:
dV —V —
Второй процесс заключается в увеличении концентрации содер-
содержания бензола в паро-воздушной смеси с ростом температуры, со-
согласно формуле Bi).
Обозначим через у мольную долю бензола в паровом пространстве.
Тогда его объем, отнесенный к общему давлению, составит yV0.
При изменении состава паро-воздушной смеси вследствие увели-
увеличения давления пара бензола при повышении температуры коли-
количество испарившегося бензола dVy будет равно:
Следовательно
B5>
181
Изменение объема жидкости пренебрежимо мало по сравнению
с общим объемом паро-воздушного пространства, поэтому величина
Уо может быть принята постоянной. Мольная доля бензола у
равна -=^7Г> где Р — парциальное давление бензола при Т и
Для определения потери бензола необходимо установить коли-
количество бензола, соответствующее объему dV. Это соотношение вы-
вытекает непосредственно из газовых законов:
PdV
ЯГ
где dN — количество киломолей бензола, уносимого с dV м3 воздуха,
насыщенного парами бензола.
Так как
то
R = 850 кГ ¦ м/кмолъ ¦ град
dN ^ 0,0012 ~dV
Подставляем в это уравнение dV из B5), заменив Vo его зна-
значением 250 м3:
г = о,з(
PdT
PdP
B6)
Г2 ' 760Г /
Из приведенного выше соотношения B4) между Р и Т находим:
Определяя отсюда -=•, получим:
B7)
J_
Г
7,962 —
1пР
2,3
1,781
После подстановки этих значений в уравнение B6) имеем:
[2,3 G,962- 1'™1 ) dT p , \i\P \ "Л
е —-— I 7,962 I dP
Т'2 • 7fiA 1 7Й1 \ '' п о F
Интегрирование последнего уравнения в пределах от 7\= 283
до Г2 = 310,8° К при соответствующих значениях для Р, полу-
получаемых из уравнения B7), дает:
[/ 1,781 \ 1Г2=310,8
6 JT.-283
' 0.3 Гр9 (ЫР 1 \]f. , 0,3-7,962
760 • 1,781 • 2,3 L \ 2 4 ) Jp. + 760 ¦ 1,781 • 2 l^a ^lJ
182
После подстановки пределов получим:
N = 0,0268 кмолъ
Так как молекулярная масса бензола 78, то максимальная потеря
бензола в сутки равна 0,0268-78 = 2,1 кг.
§ 10. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ
В ГОМОГЕННОЙ СРЕДЕ
Рассмотрим необратимую реакцию в общем виде:
аА-\-ЪВ-\-сС ^ dD-\-eE-\-fF
B8)
где а, Ъ, с — стехиометрические количества молей взаимодейству-
взаимодействующих веществ А, В и С.
Пусть Na представляет число молей А, имеющихся в момент т;
dNA - А
тогда —2— выражает число молей А, вступающих в реакцию в еди-
единицу времени. С увеличением т величина Na уменьшается, следо-
dNA dN.
вательно, производная —^— отрицательна. Эта производная —-—t
очевидно, пропорциональна присутствующему числу молей веще-
вещества А, т. е. пропорциональна Na-
Уравнение B8) может быть написано и в таком виде:
A-j-(a-l) А + ЬВ+сС-> dD + eE + fF
Следовательно, дифференциальное уравнение, определяющее ско-
скорость превращения вещества А при постоянной температуре, примет
вид:
dN.
-^ = -KNA^C%Cc B9>
где С — концентрация в молях на единицу объема.
Уравнение B9) представляет собой общее уравнение скорости
реакции в гомогенных системах.
Если начальные количества вступающих во взаимодействие ве-
веществ известны, то с помощью уравнений для материальных балан-
балансов и стехиометрических соотношений представляется возможным
выразить все концентрации в виде функции от Na- Тогда переменные
Na и т вместе с их дифференциалами могут быть сгруппированы так,
что уравнение B9) оказывается возможным проинтегрировать.
В случае адиабатной реакции температура взаимодействующих
веществ будет изменяться и К, являясь функцией температуры,
становится переменной величиной. Зная теплоемкость веществ,
можно выразить температуру реакции в виде функции Na и, следо-
следовательно, получить К как функцию Na-
18*
При этих условиях аналитические приемы решения уравнения B9)
сложны и поэтому удобнее, написав уравнение B9) в виде
dN,
применить метод графического интегрирования.
Для частного случая, когда реакция протекает при постоянном
объеме V
= VdC,
уравнение B9)
принимает вид:
Жа
dx
-ксАс%с
C0)
Уравнение C0) определяет закон скорости реакции, приводимый
обычно в учебниках физической химии. Как видно, оно не применимо
к практически важному случаю реакции при постоянном давлении,
¦если только при этом не происходит изменение общего числа молей,
которое приводит к постоянному объему, или если изменением
объема за время dx можно пренебречь.
Определив из уравнения B8) стехиометрические соотношения
между реагентами и продуктами реакции, можно легко преобразо-
преобразовать уравнение B9) применительно к любому виду взаимодейству-
взаимодействующих молекул. Так, например, мы можем проследить образование
вещества D путем подстановки в уравнение B9) выражения
после чего уравнение B9) приводится к виду:
C1)
При использовании уравнений типа B9) и C1) могут возникнуть
некоторые трудности. Прежде всего, общая реакция, представляемая
уравнением B9), может быть обратимой, причем вещество А расхо-
расходуется при прямой реакции и образуется при обратной реакции.
Для того чтобы проследить за количественными изменениями любого
вещества во времени, уравнение B9) должно быть записано как для
прямой, так и для обратной реакции.
Дополнительные осложнения могут появиться еще в том случае,
когда стехиометрическая формула не соответствует механизму реак-
реакции. Так, например, во время реакции могут быть получены проме-
промежуточные соединения, которые впоследствии распадаются с образо-
образованием конечных продуктов.
184
В этом случае уравнение скорости составляется для контролиру-
контролирующей реакции, а входящие в него величины определяются из общего
стехиометрйческого уравнения.
Наконец, возможны превращения как реагентов, так и промежу-
промежуточных продуктов, в силу побочных реакций в дополнение к основ-
основной реакции. Если количества вещества, вступающего во взаимодей-
взаимодействие по этим побочным реакциям, значительны, то составление
уравнения для скорости превращения любого из реагентов произво-
производится на основе данных опыта.
§11. СИСТЕМА ОБРАТИМЫХ РЕАКЦИЙ,
ПРОТЕКАЮЩИХ ПРИ ПОСТОЯННОМ ОБЪЕМЕ
Рассмотрим обе обратимые реакции, протекающие по схеме
A ^zz В (а)
В ZZZ С (б)
Пусть в начале реакции имеется 1 моль исходного вещества;
обозначим через х, у, z число молей, соответственно, А, В и С, при-
присутствующих ко времени т.
Пусть /cj и к2 — константы скорости, соответственно, прямой
и обратной реакций (а), а /с., и /с4 — константы скорости прямой
и обратной реакций (б).
Согласно уравнению C0) скорость превращения А
dx
dx
и скорость превращения В:
dy _ .
В соответствии с указанным выше условием имеем:
•г+г/ + г=1
Дифференцируя уравнение C2) по т, получим:
Mv A~ dy
~7Z~ (o4)
C2)
C3)
Подставим вместо ,— его выражение из формулы C3):
,
кз)
Заменим z его значением A — х — у) и подставим у из уравне-
уравнения C2); после соответствующей перегруппировки получим
^ ^ ч) х -fe2fc4 = 0. C5)
т. е. линейное уравнение с постоянными коэффициентами, решение
которого будет дано в гл. V.
§ 12. РЕАКЦИЯ ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ ТРАНСПОРТИРОВАНИИ
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ВЕЩЕСТВ ПОД ПОСТОЯННЫМ
ДАВЛЕНИЕМ
При применении уравнения B9) к реакции, протекающей изо-
изотермически в условиях непрерывного процесса с постоянным давле-
давлением и изменяющимся объемом, возникает дополнительное ослож-
осложнение вследствие того, что время контакта представляет собой функ-
функцию скорости движения газа и длины реакционной трубки.
Для этих условий типичен следующий пример.
Для необратимой реакции второго порядка разложения ацеталь-
дегида
2СН3СНО >¦ 2СН4 + 2СО C6)
найдено значение константы скорости при 518° С:
К = 0,331 л/моль ¦ сек
Реакция осуществляется при давлении 1 am путем испарения
альдегида в сосуде, с последующей подачей паров в один конец
реакционной трубки, изготовленной из кварца, и удалением продук-
продуктов реакции из другого конца.
Содержимое реакционной трубки поддерживается при 518° С.
Требуется установить зависимость степени завершенности реакции
от длины реакционной зоны трубки.
Обозначим через Na, число молей альдегида, поступающего не-
непрерывно в реакционную трубку за один час, а через т — время
прохождения паров альдегида через реакционную трубку. Пусть
из общего числа молей Na, исходного альдегида некоторая часть,
равная Na моль, остается неразложенной по истечении какого-либо
промежутка времени с момента начала разложения.
Применение уравнений B9) и C0) дает:
dN,
dx
- = -KNACA
C7)
Для решения этого уравнения следует исключить одну из пере-
переменных, входящих в уравнение C7). Целесообразнее, однако, выра-
выразить переменные С а и т через переменный объем реакционной зоны,
который обозначим VR.
Пусть V есть общий объем неразложившегося альдегида и про-
продуктов ею разложения, соответствующих Na в любой момент после
начала разложения.
Пользуясь уравнением состояния идеального газа и стехиометри-
¦ческим уравнением C6), получим:
Если х — расстояние от входного конца трубки до некоторого
«е сечения (рис. IV-11), то объем трубки на протяжении длины х
¦будет Sx, где S — поперечное сечение трубки.
186
Следов а тельно
Примем, что скорость паров в любом сечении трубки является
постоянной; линейная скорость U массы газа, проходящего путь dx
за промежуток времени dx, будет равна
dx
dx
Sdx
C8>
-80 см-
х
откуда
Величина V представ-
представляет собой объем вещества,
образующегося поеле вво-
ввода в реакционную трубку
Na0 моль альдегида в еди-
. ницу времени, п может
рассматриваться как объем
газов, проходящих в
Уравнение C8) устанавливает зависимость между продолжи-
продолжительностью т контакта во время реакции в трубке и объемом,
трубки VR.
Остается выразить СА через Na-
Как известно
Рис. IV-11.
единицу времени через сечение I.
иА~ у
NAP
C9)
Подстановка уравнений C8) и C9) в уравнение C7) дает:
dN
K-NA
f P \
=~К \~rF)
N
Разделение переменных приводит к уравнению:
D0>
В задаче требуется определить мольную долю разложившегося
альдегида при заданном объеме реакционной трубки Vr, т. е. Na/Na<»
Обозначим
тогда уравнение D0) примет следующий вид:
187
Интегрируя левую часть этого уравнения по / в пределах от 1
до /, а правую часть по VR в пределах от 0 до VR, получим, прене-
пренебрегая незначительным изменением Р вследствие трения в трубке:
VR D1)
Эта формула дает возможность вычислить / для данной скорости
поступления альдегида в молях в единицу времени при использова-
использовании реакционной трубки с объемом Ffi.
Пусть внутренний диаметр трубки составляет 3,3 см, длина ее
80 см и скорость поступления альдегида 50 г/ч. Подставив в при-
приведенные выше формулы числовые данные, указанные в условии
задачи, мояшо получить:
N. =-
К = 0,331 л/моль ¦ сек
50
-=3,16- 10~4 моль /сек
3600 • 44
Здесь 44—молекулярная масса СН3СНО. Далее:
P=l am
Т= 518 + 273 = 791° К
R = 0,08206 л • атм/молъ ¦ град
л • 3,32 • 80
V
4 • 1000
== 0,683 л
К ( Р у 0,331 / 1 V
~~*Z UH *« = --ЗДбПг4 ( 0,08206-791 ) °-633 = -0,17
Сравнение D1) при этих числовых данных принимает вид:
3-J — 9,2 lg/ + / = -0,17
Решая это уравнение, получим / = 0,87, т. е. при прохождении
-через реакционную трубку 13% альдегида окажется разложенным.
Глава V
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Обыкновенные дифференциальные уравнения характеризуют со-
собой процессы, связанные только с одной независимой переменной
величиной. Дифференциальное уравнение, включающее в себя одну
зависимую и одну независимую переменные, может быть записано
в следующем общем виде:
I
У,
dy d*y
~dx' dx*
dny
dx"
¦)-
= 0
Всякая функция у (х), которая, будучи подставлена вместе со
своими производными в дифференциальное уравнение A), обращает
его в тождество, называется решением или интегралом этого урав-
уравнения.
В курсах дифференциальных уравнений доказывается, что общее
решение дифференциального уравнения порядка п содержит п про-
произвольных постоянных и, стало быть, имеет вид:
x,y, СиС2 . . .
B)
С геометрической точки зрения общий интеграл представляет
собою семейство некоторых кривых, зависящих от п параметров
и называемых интегральными кривыми данного уравнения.
Если в общем интеграле постоянным Clt Сг, . . . , Сп придать
какие-либо определенные числовые значения, то получим частный
интеграл (или частное решение) данного уравнения. С геометриче-
геометрической точки зрения частный интеграл представляет собой отдельную
интегральную кривую, входящую в состав семейства интегральных
кривых, определяемых общим интегралом.
Отыскание решений дифференциального уравнения часто бывает
связано с большими трудностями. Решения многих дифференциаль
ных уравнений не выражаются через элементарные функции.
Так, например, уравнение
не. имеет решения, выражающегося через элементарные функции.
189
В данной главе будут рассмотрены наиболее важные типы диф-
дифференциальных уравнений, имеющих приложения в технике, и ука-
указаны способы их решения.
§ 1. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ.
УРАВНЕНИЯ ОДНОРОДНЫЕ И ПРИВОДИМЫЕ К ОДНОРОДНЫМ
Любое дифференциальное уравнение первого порядка и первой
степени относительно -—- может быть представлено в виде:
Пример. Уравнение
dx
Mdx-\-Ndy =
C)
где М и N — функции от а; и у.
Укажем важнейшие методы решения уравнений этого типа.
а) Разделение переменных. Если уравнение C) может -быть
приведено к виду
fl(x)dx + f2(y)dy = 0 D)
то последнее называется уравнением с разделенными переменными
и его общим решением будет:
Постоянные, сопровождающие оба неопределенных интеграла
в левой части уравнения, могут быть объединены в одну постоян-
постоянную С.
К уравнению вида D) могут быть приведены уравнения следу-
следующего вида:
к (*) gl (У) dx + f2 (x) g2 (у) dy = O
Для приведения нужно разделить уравнение на g1(j/) f^x).
Пример.
Для разделения переменных нужно умножить это уравнение на dx
и разделить на (i+x2) 2 (i+y2) 2 :
xdx
¦ = 0
Интегрируя, находим общий интеграл:
2 =С
В некоторых случаях дифференциальные уравнения могут быть
приведены к уравнениям с разделяющимися переменными путем
замены переменных.
190
(ХУ2 -\-y)dx — xdy =
преобразуем, положив xy = z.
Тогда dz — xdy-\-ydx и уравнение преобразуется к виду:
X Z
После интегрирования получаем:
Отсюда
( "-г i z \ j , z dx
[-— ) dx-i dz = O
\ x ' x ) x
dx dz
~x z (z + 2i =°
Большинство уравнений, решенных нами в гл. III и IV, были
уравнениями с разделяющимися переменными.
б) Однородные уравнения. Функция / (х, у) называется однород-
однородной функцией п-ш степени, если при умножении х и у на t эта функ-
функция умножается на tn. Таким образом, если функция / однородна
относительно х и у, то
f(tx, ly)=tnf(x,y)
Если принять t = —, то эта зависимость может быть записана
в виде /A. — ) = ~jr f (x> У), откуда видно, что всякая однородная
функция степени п может быть представлена в виде:
Таким образом, если в уравнении
h (х, у) dx+f2 (х, y)dy=o
коэффициенты при dx и dy однородные функции степени п, то это
уравнение можно записать в виде:
или
191
Если положить у = их, то это уравнение приводится к уравнению
с разделяющимися переменными
du , du dx
х— |-в = ф (
dx '
или
ц> (в) — в
общий интеграл которого будет
или
Пример. Рассмотрим однородное уравнение
dy ^ у2
dx ху — х2
Полагая у = их, приведем уравнение к виду:
du , в2
du и
ИЛИ X -г— = -
dx ' "* в—1 "*"' dx и — 1
Разделяем переменные:
в—1 dx
и х
Интегрирование этого уравнения дает:
в — In в = In х—In С
откуда
ц у
In z + ln — — = 1пС
X X
Упрощая, получаем общий интеграл исходного уравнения:
в) Уравнения первого порядка и первой степени с линейными
коэффициентами. В уравнении
коэффициенты при dx и dy линейны относительно х и у. Обычно
такое уравнение может быть приведено к однородному с помощью
подстановок:
x = w-\-m\ dx = du
y = v-\-n; dy =dv
F)
где w и v — новые переменные;
тип — постоянные числа, которые выбираются так, чтобы они
удовлетворяли уравнениям
am -\- Ъп -j- с =
gm + hr,
G)
192
После такой замены уравнение E) приводится к однородному.
Пример. Применим этот метод к уравнению:
{*+3y + 4)dx+Bx + y+3)dy = 0 (8)
Уравнения G) в этом случае дают
откуда
и уравнение (8) приводится к виду:
Это уравнение является однородным; для его решения положим!
p = uw', dv = udw-{-w du
Мы найдем:
(w-\-3uw) dw-\-Bw-\-uw) (udw-\-w <2в) = 0
Разделив на w, получим:
dw . B-{-и) du
Интегрирование дает:
1пм? 7==
.ln + 1
2/21 2В+5 + /21 2
Для нахождения общего интеграла уравнения (8) следует вернуться к ста-
старым переменным, положив w = x-\-l; u= У~Х_. •
§ 2. ПГОЦЕСС ХЛОРИГОВАНИЯ ОРГАНИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ
Процесс хлорирования многих органических соединений может
быть представлен в общем виде уравнением:
где RHn — хлорируемое сырье;
п — число атомов водорода, замещаемых атомами хлора;
RCln — продукты хлорирования.
При хлорировании получаются моно-, ди- и трихлорзамещенные
продукты. Соотношение между их количествами может быть уста-
установлено на основании законов химической кинетики.
Примем следующие обозначения:
а — начальная концентрация хлорируемого продукта, мол. доли;
х — концентрация прохлорированного продукта, мол. доли;
у — убыль монохлорпроизводного, мол. доли.
13 Заказ 1706
193
с — концентрация хлора, мол. доли;
п — порядок реакции по хлору;
т — время;
к1 — константа скорости реакции «монохлорирования»;
&а — константа скорости реакции «дихлорирования».
Исходя из того, что реакции образования хлорзамещенных имеют
одинаковый порядок и протекают последовательно, можем написать
следующие кинетические уравнения:
dx
dx
±.
= к1сп (a — x)
Разделив второе уравнение на первое, получим:
dy_
dx
*-У) ,
а—я
ki(a-x)
Представим это уравнение в следующем виде:
(a — x) dy—(kx—ky) dx = 0
(9)
Уравнение (9) принадлежит к типу E). Для приведения этого
уравнения к уравнению с разделяющимися переменными применим
подстановку F)—G), в результате которой получим:
откуда
Подстановка х = w +a; у =* v -fa приводит уравнение (9)
к виду:
(—kw-\-kv) dw—w dv = 0
Сделаем еще подстановку:
v = uw\ dv = udw-\-w du
Тогда уравнение примет следующий вид
[.I_fcK7-|_fc {wu)\ dw— uw dw—w2 du= 0
или, после упрощений:
(—fc + feu— и) dw = wdu
Мы пришли к уравнению с разделяющимися переменными:
dw du
w (fc — 1) и— к
Интегрируя это уравнение, получим:
(fc—I) lnu; = ln[(fc—1) и—к]+С
194
Общий интеграл исходного уравнения получим, если вернемся
к старым переменным хну:
(fc-1) In («.-*) = In [A-fc) |зJ-+l] +C
При т = 0 имеем ж = 0, у = 0. Отсюда находим:
С = — A — к)Ыа
Подставляя это значение С в уравнение A0), получим:
A _ k) In —^— = In Г A - к) У—х- +1*1
' a — x L.4 х — а ' J
Потенциируя, находим:
(Ю)
¦¦A-к)
а — х
+ 1
Обозначим концентрацию непрореагировавшего продукта а — х
через хн, концентрацию монохлорзамещенных х — у через хи и ре-
решим последнее "уравнение относительно хи. Мы получим формулу,
позволяющую вычислить выход монохлорзамещенных по заданной
концентрации непрохлорированного сырья:
я*-*
1-fc
1-fc
(И)
Определим, при каком значении хн функция х„ имеет максимум.
Для этого найдем производную и приравняем ее нулю:
dx»
1 —fc
1-fc
=o
Отсюда определим хИ:
• Максимальное значение хм получим, подставляя это значение .тн
в формулу A1):
шах хм =
A2)
Из этой формулы следует, что максимальный выход монохлор-
производных зависит от соотношения констант скоростей реакций
кг : кх = к и начальной концентрации а хлорируемого вещества.
Вычислим максимальное содержание хлорбензола в хлориро-
хлорированной жидкости, которое может быть достигнуто при хлорировании
бензола, если известно, что соотношение констант скоростей реакций
образования полихлоридов и хлорбензола-^- =/с = 0,118.
13*
195
Для решения используем формулу A2). Начальная концентрация
(в мол. долях) хлорируемого бензола а = 1. Следовательно
0,118
maxzM=l- 0,118 1~0-118 =0,75 мол. доли
§ 3. РАСХОД РЕАГЕНТА ПРИ МАКСИМАЛЬНОМ ВЫХОДЕ
ЦЕЛЕВОГО ПРОДУКТА В СЛОЖНЫХ РЕАКЦИЯХ
Жидкий бензол подвергается хлорированию в аппарате периоди-
периодического действия. При условии, что реактор снабжен мешалкой,
обеспечивающей полный расход поступающего хлора, и выделя-
выделяющийся из аппарата газ представляет только хлористый водород,
определить количество хлора, необходимого для получения макси-
максимального выхода монохлорбензола. Процесс протекает изотерми-
изотермически при 55° С с отношением констант скоростей реакций
тричем klt к2, к3 относятся соответственно к реакциям
СвНв + С12 —> СвН5С1 + НС1
С6Н5С14-С12—> СвН4С12 + НС1
С6Н4С12-ЬС12 —> СвНзС13+НС1
Примем для расчета 1 моль бензола и введем следующие перемен-
переменные для определения состояния системы ко времени т:
р — мольная доля присутствующего хлора;
б
q—
г—
s—
t—
бензола;
монохлорбензола;
дихлорбензола;
трихлорбензола.
A3)
Тогда будем иметь
94
и общий расход хлора составит:
y = r + 2s + St A4)
Теперь примем, что объем реакционной массы V является посто-
постоянным. Таким образом, скорость реакций для бензола представляется
так
/In
A5)
а скорость образования каждого продукта будет равна:
~dr"~
V-j~ = k3ps
A6)
A7)
A8)
Время т может быть исключено, если мы разделим уравнения
A6) и A8) на уравнение A5). Следовательно
dr
dq
_
8?
A9)
Мы получили однородное дифференциальное уравнение первого
порядка, которое может быть решено путем подстановки.
Пусть
<- = vq
B0)
поэтому
dr
~dq~~V~
Подстановка B0)
ние A9) с
рованием
In 9 =
. dv
+*-w
и B1) в
последующим
дает:
inC-f
1пGУ-И
' B1)
уравне1-
интегри-
S) B2)
0,8
07
0,6
Щ 0,5
«8 0,4
| 0,3-
1 °'2
1 0.1
где С—постоянная интегриро-
интегрирования.
Освобождаясь от логарифмов,
найдем:
0 О? 0,4 0,6 0? 1,0 1,2 1,4 \6 1,8 2,0
Расход хлораt моль
Рис. V-1.
.-«(-?•+.)-¦'•
Для т = 0 имеем д=1, г = 0 и C = 8V'.
После преобразования B3) получим:
B3)
B4)
Аналогично из уравнений A5) и A7) можно показать, что
J96
dq 240? 8? B5)
При исключении г о использованием B4) выражение B5) приво-
приводится к дифференциальному уравнению, которое может быть решено
посредством интегрирующего множителя. Мы получим:
240 /о 1/, 1/ ч
s~~t—оТ;—_„ \29<?—239? +210? °) B6)
7 • 29•239 v '
Для любого значения q можно определить соответствующие значения
г и s из B4) и B6), а затем значение t из A3). Аналогично с помощью
A4) определяется общее количество расходуемого хлора. Эти стадии
расчета являются арифметическими и поэтому не приводятся
детально; результаты вычислений подытожены графически на
рис. V-1, где мольная доля каждого галоидизированного угле-
углеводорода изображена относительно общего количества расходу-
расходуемого хлора. Количество хлора, необходимого для максимального
выхода монохлорбензола в соответствии с диаграммой на рис. V-1,
составляет 1 моль хлора на 1 моль загружаемого бензола.
197
с
§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЙ ПРОЦЕСС ГИДРОЛИЗА ТВЕРДОГО ЖИРА
В РАСПЫЛИТЕЛЬНОЙ КОЛОННЕ
Твердый жир в количестве 3660 кг/ч в смеси с 1030 кг/ч горячей
воды под высоким давлением подается снизу в распылительную
колонну, работающую при температуре 232° С и давлении 42,18к/7с.и2.
При этих же условиях температуры и давления вода в количестве
1870 кг/ч распыляется при подаче в верхнюю часть камеры и опу-
опускается вниз в виде капель через поднимающуюся вверх жирную
фазу.
Глицерин образуется в жирной фазе вследствие реакции гидро-
гидролиза, экстрагируется опускающейся вниз водой и, таким образом,
2530 кг/ч конечного экстракта с содержанием
12,16% глицерина непрерывно выходит снизу
колонны. Одновременно 4050 кг/ч рафината,
состоящего из жирной кислоты и содержащего
0,24% глицерина, уходит сверху колонны.
Принимая, что эффективная высота колонны
22 м и диаметр 0,72 м, эквивалентное содержа-
содержание глицерина в твердом жире 8,53%, а отно-
относительное распределение глицерина между во-
водой и жирной фазой при заданных температуре
и давлении в колонне составляет 10,32, опреде-
определить изменение концентраций глицерина в каж-
каждой фазе по высоте колонны. Установить также,
какая часть высоты колонны требуется для
осуществления главным образом химической
реакции.
Рис. V-2. Реакция гидролиза псевдопервого порядка
и константа ее скорости составляет 0,17 сект1.
На рис. V-2 показана схема потоков для экстракта и рафината
в колонне, где протекает гидролиз. Через L обозначена скорость
движения рафината в кг/ч, а через G— скорость движения экстракта
в кг/ч\ с помощью индексов указывается положение материалов
по высоте колонны.
Примем следующие обозначения:
х — массовая доля глицерина в рафинате;
У — » доля глицерина п экстракте;
У — » доля глицерина в экстракте при равновесии с рафи-
натом для значения х;
г — массовая доля гндролизуемого жира в рафинате;
S — площадь поперечного сечения колонны;
а — межфазная поверхность на единицу объема колонны;
К — общий коэффициент массообмена;
пъ — коэффициент распределения;
к — константа скорости реакции;
р — масса жира на единицу объема колонны;
h — длина колонны, считая от ее основания;
198
tr
у) — количество жира на 1 кг глицерина, кг\
JJ — эффективная высота колонны.
Применительно к элементу колонны с высотой 6Л мы будем иметь:
количество глицерина, переходящего от жира к водной фазе
KaS(y'-yNh B7)
скорость расщепления жира вследствие гидролиза
kpSzbh
Таким образом, скорость образования глицерина составляет
kpSzbh/w B8)
Для баланса глицерина относительно элемента колонны с высо-
высотой 6А на рис. V-2 получим:
Баланс по глицерину в пределах между элементарным объемом
в нижней частью колонны представляется в таком виде:
C0)
Наконец, для распределения глицерина между фазами имеем;
C1)
Иэ последних двух частей равенств B9) и C1) вытекает, что
KaSmx =.
Подставляя C0) в B9), получим:
ап
dx
dy
C2)
C3)
Умножим равенство C3) на (KaSm'/LC) и подставим значение х
из C2):
kpS*Ka Г mz0 , mG , , П kpS / KaS dy \
Lit+— {y~yo) J —rl~ y~T)~
KaS dv d*y
dv d*y \
!h~ dh? /
KaSm
C4)
Уравнение C4) содержит следующие группы постоянных величин,
которые могут быть обозначены с помощью таких параметров:
mG
kpS
L '»
KaS
G
C5)
Подстановка последних в^,уравнение C4) дает после соответ-
соответствующего преобразования:
dh*
C6)
199
Мы получили линейное дифференциальное уравнение с постоян-
постоянными коэффициентами, для которого имеем следующее характери-
характеристическое уравнение:
mf+(p + q)m1 + pq = 0 C7)
Корни C7)
и поэтому частное решение представляется в таком виде:
<lh C8)
Правая часть C6) есть постоянная величина и, таким образом,
частный интеграл является постоянным и он равен правой части
уравнения C6), разделенной на коэффициент при у\
_ ryo—mzo/w
Ур — JZ7[ — 6 C9)
Полным решением рассматриваемого уравнения будет:
D0)
где А и В произвольные постоянные, которые должны быть вы-
вычислены из следующих граничных условий:
h~0', x=0
Из C2) и D0), соответственно, имеем:
г-1 dy
dh
Следовательно, при h — 0
А+В +
а при h = H найдем:
D1)
D2)
D3)
Выражения D2) и D3) представляют совместные уравнения отно-
относительно А и В. Произвольные постоянные наилучшим образом
вычисляются из этих двух уравнений^путем определения дополни-
дополнительной постоянной. Пусть
Q + rp-p
kpG
KaL
D4)
200
Подстановка этой постоянной в уравнения D2) и D3) дает:
В {ve-1H - re'?11) = С (е~Рн - „) D5)
и
А (ve-«H _ ге-РН) = С (г _ е-чН)
После подстановки значений А и В в уравнение C8):
D6)
и представления у0 через С в значениях других переменных с исполь-
использованием того факта, что у = у0 при h = 0, получим:
D8)
Подстановка этого значения у0 в C9),
а затем в уравнение D7) дает:
roz0
w (r — v)
X
X
,
D9)
у-глицерин на
границе фаз
0 0? 0,4 0,6 0,8 1,0
Массовые доли
Рис. V-3.
Уравнение D9) дает массовую долю
глицерина в экстрактивной фазе в зави-
зависимости от высоты колонны h.
С учетом растворимости воды в массе твердого жира, средних
значений для скоростей потоков, а также числовых данных задачи,
найдем:
L = 3880 кг; G = 1700 кг; у0 = 0,188
Кроме того
г = 4,55; р = 0,0605; q = 0,202Ka
250
V + Ка
Решая D9) для Ка при Н = 22 м, мы получим значение коэффи-
коэффициента массопередачи
/fa = 238 кг/лФ-ч
При использовании величины Ка = 238 значения у, у и % могут
быть определены с помощью D9), C2), C1) и C0), как функции
высоты колонны. Результаты арифметических вычислений предста-
представлены графически на рис. V-3. Из этого же графика следует, что хими-
химическая реакция фактически завершается в нижней части колонны
на протяжении 9 м, которая составляет 40% длины всей колонны.
201
§ 5. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
Напомним, что полным дифференциалом функции F (х, у) назы-
называется выражение -т-dx-{--j-dy — dF. Пусть нам надо- проинте-
проинтегрировать дифференциальное уравнение
М (х, y)dx + N(x, y)dy = O
про левую часть которого известно, что она является полным диф-
дифференциалом некоторой функции F (х, у). Тогда
и, очевидно, должно выполняться соотношение:
вМ __ 6N
ву ~~ вх
В этом случае наше уравнение можно записать так
dF(x, y)=0
а общий интеграл его будет:
F(x,y) = C
Значит, для того чтобы получить общий интеграл уравнения,
левая часть которого есть полный дифференциал некоторой функции
F (х, у), надо отыскать эту функцию и приравнять ее произвольному
постоянному.
Покажем на примере, как это делается. Левая часть уравнения (&у*х-{-2у3)Х
xdx-\-(Qxiy-\~Qyix-\-2y) dy =0 есть полный дифференциал, так как
А 1ST
-г—
ах
Значит, -~---=-
ох
А К*
z
у
У+2у
Интегрируя первое из этих соотношений по ж, считая у постоянной, полу-
получим F (х, у) = Ъугхг-\-2у%х-{-<$ (у), причем ф (у) здесь играет роль постоянной
интегрирования, так как, интегрируя по х, мы считали у постоянной. Диф-
dF
ференцируя по у, найдем -—- = 6х2у-|-6у2я + ф' (у). Приравнивая это значение
dF
для -g- выражению 6ж2у+6у2ж+2у, получим ф' (у)=*2у, откуда <р (у) =уг-\-С.
Значит, функция F (х, у), полный дифференциал которой равен левой части
уравнения, будет равна F (х, у)~Ъх^у^ + 2уэх-{-у^-\-С. Общий интеграл пред-
предложенного уравнения получим, приравнивая эту функцию произвольному
постоянному %2 + 3+2 С
§ 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Линейным называется дифференциальное уравнение, в которое у
и у' входят линейно (т. е. в первой степени и не умножаясь друг
на друга). Общий вид такого уравнения:
ir+Pv = Q E0)
где Р и Q — функции от х.
202
Наиболее употребительный способ решения этого уравнения
вызывается методом вариации произвольного постоянного. Он за-
заключается в следующем. Решаем сначала уравнение:
у'+Р(х)у =
Его общий интеграл будет:
у=Се~$Р(Хи
где С — постоянное.
E1)
E2)
Будем считать С функцией от жи постараемся подобрать ее так,
чтобы уравнение E2) удовлетворяло E0). Для этого дифференци-
дифференцируем первое иэ них по х
E3)
и подставляем уравнения E2) и E3) в E0). Получаем следующее
уравнение для определения С:
или
Отсюда находим функцию С:
где А — произвольная постоянная.
Подставляя это значение С в уравнение E2), получим общее реше-
решение предложенного уравнения E0) в виде:
-J P dX \ А I Г Л f P d" J 1
В качестве примера решим уравнение (90) гл. III:
О0щий интеграл уравнения -~ -f- k2y = 0 есть
E4)
E5)
Считая С функцией от т, подберем ее так, чтобы уравнение E5)
удовлетворяло E4). Мы имеем:
dx
dx
dy
Подставляя у и -~- в уравнение E4), найдем
203
откуда интегрированием получаем:
С = g0Jw -
* + а
где А — произвольная постоянная.
Подставляя это значение С в уравнение E5), получим общий
интеграл исходного уравнения:
Для уравнения (90) в гл. III мы имели следующие начальные
условия: при т = 0 должно быть у — 0. Отсюда следует, что
А = . " - и искомое частное решение задачи есть
В качестве второго примера решим уравнение A04) из гл. Hit
dy $y 1
dx ax a
Общий интеграл уравнения ^- — = 0 есть
у = Сх~
Считая С функцией от х, ищем производную:
[3 [3—w
Подставим у и -^- в исходное уравнение:
dC
1 "X
dx a
откуда
Р —а
Общий интеграл данного уравнения будет:
-+Ах<
204
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Нередко встречаются такие уравнения второго порядка, которые
не содержат у или х или и у и х. Надлежащими подстановками можно
такие уравнения свести к уравнениям первого порядка.
а) Первый случай. Уравнение не содержит у. Если при этом урав-
уравнение не содержит также и -г^, то оно может быть написано в таком
dx
виде
и решение его находится посредством двукратного интегрирования
правой части.
Если -f- входит в уравнение, то последнее имеет вид:
' dx
E6)
Подстановка -f- — p приводит уравнение E6) к уравнению пер-
перdx
вого порядка:
Допустим, что общий интеграл этого уравнения есть
Р=Ф(я, С)
Тогда общий интеграл уравнения E6) будет:
Нрнмер. Решим уравнение
d^y ,
~dx2"l
xdy
rr dy d*y dp
Пусть -?- = p, следовательно, -~ — -~.
После подстановки получим уравнение с разделяющимися переменными
dp
1-Р
-xdx
интегрируя которое, имеем:
После преобразований получим:
= dy_
dx
205
Вторичное интегрирование дает:
dx-\-C2
E7)
Интеграл в формуле E7) не может быть выражен черев конечное
число элементарных функций.
б) Второй случай. Уравнение не содержит х. Примем ва новую
функцию р = -У-, а за новое независимое переменное примем у.
Тогда
dy
diy
dp dy
dp
dx dy dx dy
и данное уравнение сводится к уравнению первого порядна.
Для примера рассмотрим уравнение
ч*
Указанные выше подстановки приводят к уравнению
УР
dy
в котором переменные будут разделены:
Pdp ^
Интегрирование дает:
Определим отсюда р:
Второе интегрирование приводит к общему интегралу!
±*~С ^-Дг-^ +С» =-J=*rln (у VcT+yCiyi-O+Ci
« V Ciy' — l У С\ и
§ 8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка назы-
называется уравнение следующего вида:
*)V-Q(x) E8)
Если Q (ж) ф 0, то уравнение называется неоднородным, если
О (х) — 0, то уравнение называется однородным.
206
Теория линейных дифференциальных уравнений отличается боль-
большей простотой, чем теория нелинейных уравнений, вследствие чего
эта теория разработана лучше, чем теория нелинейных уравнений.
С точки зрения приложений линейные уравнения представляют собой
наиболее важный тип дифференциальных уравнений; большинство
технических вопросов, решаемых в первом приближении, приводят
к линейным уравнениям.
Перечислим основные свойства линейных уравнений.
Рассмотрим сначала однородное уравнение
^ = 0
E9)
1. Если Ух(х) и у2(х) — два каких-либо частных интеграла од-
однородного уравнения E9), то функция:
У = С1у1(х)+С2уг{х)
F0)
где Сг и Сг — произвольные постоянные, также есть интеграл этого
уравнения.
2. Если ух (х) и у2 (х) — линейно независимые интегралы, т. е.
если ?%Щ- ф const, то функция F0) есть общий интеграл уравне-
ния E9).
Таким образом, для того чтобы найти общее решение уравнения
E9), достаточно найти два его линейно независимых частных решения.
Пример. y"-\-y~Q. Частные интегралы этого уравнения легко найти:
^ = 003*; у%~ sin ж; эти интегралы линейно независимы. Следовательно, об-
общий интеграл данного уравнения будет:
y — Ci cos х -(- С 2 sin х
Структура общего интеграла неоднородного уравнения опреде-
определяется следующей теоремой:
Общий интеграл неоднородного уравнения равен сумме общего
интеграла однородного уравнения и какого-либо частного интеграла
неоднородного уравнения.
Если у и z обозначают общий интеграл однородного уравнения
без правой части и частный интеграл неоднородного уравнения,
то общий интеграл У неоднородного уравнения будет:
Таким образом, решение неоднородного уравнения сводится
к следующим двум задачам:
1) к нахождению общего интеграла соответствующего однород-
однородного уравнения, для чего нужно найти два линейно независимых
интеграла;
2) к нахождению частного интеграла неоднородного уравнения.
Первую иэ этих задач в общем виде, т. е. для уравнения E9),
с коэффициентами, зависящими от х, разрешить нельзя. Мы не умеем,
207
как правило, находить интеграл однородного уравнения для случая,
когда его коэффициенты — произвольные функции от х.
Поэтому рассмотрим частный случай, для которого отыскание
частных интегралов не представляет затруднений. Это — тот слу-
случай, когда коэффициенты уравнения E9) не зависят от х и являются
постоянными числами. К уравнениям с постоянными коэффициентами
приводят важнейшие задачи техники.
§ 9. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Рассмотрим сначала однородное уравнение
В курсах дифференциальных уравнений доказывается, что для
нахождения частных интегралов уравнения F1) надо составить так
называемое характеристическое уравнение
и найти его корни.
а) Пусть его корни кх и к2 вещественны и различны. Тогда част-
частные интегралы уравнения F1) будут
и так как —=|4С, то эти интегралы линейно независимы. Общий
У А
интеграл уравнения F1) будет:
F2)
б) Пусть корни характеристического уравнения — комплексные
сопряженные числа:
*i = « + Р*; к2 = а — Pi-
Формула F2) в этом случае применима, но она неудобна для ре-
решения технических задач, так как содержит комплексные числа.
Оказывается, что от них можно освободиться. Общий интеграл урав-
уравнения F1) для случая комплексных корней характеристического
уравнения пишется так:
у = е*х (Ci COS f5a: + C2 sin
F8)
или
F4)
В последней формуле произвольными постоянными являются А
и ф.
в) Пусть характеристическое уравнение имеет равные корни
кг = /с2.
208
В этом случае уравнение F1) имеет линейно независимые
интегралы:
„! = •** и у2=хе^х
Общий интеграл уравнения F1) в этом случае будет!
Примеры.
а)
Характеристическое уравнение fca+l=0 имеет корни к-^ —
Общий интеграл на основании формулы F2) будет:
частные
F5)
б)
y = Ci cos х-\-С2 sin я
Характеристическое уравнение № — 3& + 2 = 0 имеет корни Jki
Общий интеграл на основании формулы B5) будет!
2; fc2 = l.
в)
Характеристическое уравнение № — 6&+9 = 0 имеет кратные корни
2 = 3. Общий интеграл на основании формулы F5) будет:
Перейдем теперь к методам нахождения частного интеграла
неоднородного уравнения.
В курсах дифференциальных уравнений доказывается, что если
известен общий интеграл однородного уравнения, то, применяя
метод вариации произвольных постоянных, можно найти частный,
а следовательно, и общий интеграл неоднородного уравнения.
Этот метод применим к любому линейному уравнению, независимо
от того, какой вид имеет правая часть уравнения.
Для некоторых частных видов правой части уравнения при на-
нахождении частного интеграла применим более простой метод, который
можно назвать методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим
его применительно к некоторым видам правой части уравнения.
а) Пусть правая часть уравнения есть многочлен степени и.
Тогда частный интеграл уравнения следует искать также в виде много-
многочлена степени и е неопределенными коэффициентами:
z = Anxn + An_1x"-i+ . . . +А0
Если среди корней характеристического уравнения имеется один
корень, равный нулю, то частный интеграл следует искать в виде!
. . .+Аох
14 Заказ 1706
209
Если два корня характеристического уравнения равны нулю, то
частный интеграл определяется в виде:
Для того чтобы найти неопределенные коэффициенты искомого
интеграла, надо подставить его в уравнение. Получим равенство
двух многочленов. Приравнивая коэффициенты при одинаковых сте-
степенях х в этом равенстве, получим систему линейных алгебраических
уравнений, из которой найдем искомые коэффициенты.
Пример.
Корни характеристического уравнения I и —I; общий интеграл однород
ного уравнения
у — С^ cos ж+ С2 sin х
Частный интеграл неоднородного уравнения отыскиваем в виде!
z =
Находим вторую производную:
Подставляя в уравнение, получим:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях л, получим систему
уравнений:
Отсюда
Аа=1; Л2=*1; 4i = — 6; 40=*—2
Частный интеграл неоднородного уравнения будет
— 6ж—2
и его общий интеграл:
y~Ci cos i + C2 sin ж-f хЪ-\-х* — §х — 2
б) Если правая часть уравнения имеет вид
е**Рп (х)
(где Рп(х)—многочлен степени п), то частный интеграл уравнения
ищем в виде;
F6)
Если число а — простой корень характеристического уравнения,
то искомый интеграл F6) следует умножить на х, а если а — дву-
двукратный корень, то частный интеграл F6) умножается на х2.
в) Если правая часть уравнения имеет вид
[Рп (х) cos f,x + Qn (x) sin
210
(где Рп(х) и Qn(x) —данные многочлены степени и), то частный ин-
интеграл уравнения следует искать в виде:
F7)
+ (Впз* + Bn-iX*-! + . . . + Во) sin fbl
Если комплексные числа а ± §i являются корнями характеристи-
характеристического уравнения, то искомый частный интеграл F7) следует умно-
умножить нах. -
Неопределенные коэффициенты находятся так же, как в случае а).
г) Если правая часть уравнения есть сумма функций Qx (x)
и Qi (x), то следует найти частный интеграл zx уравнения с правой
частью, равной Qt, и частный интеграл z2 уравнения с правой частью,
равной Qt. Частный интеграл уравнения с правой частью, равной
Q ? б
§ 10. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КАПИЛЛЯРАХ
Рассмотрим установившееся движение жидкости в капилляре,
радиус R которого мал по сравнению с длиной L; вследствие смачи-
смачивания у стенки капилляра возникает неподвижный слой.
На рис. V-4 изображен продоль-
продольный разрез капилляра с протека-
протекающей жидкостью. Скорость жидко-
жидкости w возрастает по мере удаления ее
слоев от стенки и приближения
к оси капилляра. Вообразим вну-
внутри потока жидкости плоскую пло-
площадку величиной F, параллельную
оси капилляра.
Вследствие разности скоростей
движущихся слоев жидкости между
ними появляется трение. Если пло-
площадку F взять так, как она показана
на рисунке, то верхние слои будут
действовать ускоряюще на нижние,
в то время как нижние будут тормо-
тормозить движение верхних.
Согласно закону Ньютона, действующая на площадку F сила /
равна:
///////////////////ш////////////////////
Рис. V-4.
где т] — коэффициент пропорциональности.
Рассмотрим теперь поток жидкости, имеющей форму полого
цилиндра с внутренним радиусом г и внешним радиусом г -\- dr
(рис. V-5). Пусть его ось совпадает с осью капилляра. В силу ма-
малости dr будем считать скорости частиц жидкости в этом полом
14* 211
цилиндре одинаковыми! длина цилиндра равна единице. На внутрен-
внутреннюю поверхность 2пг этого цилиндра действует в направлении дви-
движения сила:
dw
На наружную поверхность действует противоположно направлен-
направленная сила, величина которой будет равна:
Следовательно, сумма этих двух сил равна!
В случае установившегося движения сила трения по своей вели-
величине должна быть равна силе, которая передвигает полый цилиндр
вдоль оси. Последняя обусловливается
перепадом давления, убывающего в капил-
капиллярах линейно; поэтому перепад давления
на концах полого цилиндра с единичной
длиной равен р± — р2. Движущая сила
оказывается, таким образом, равной!
гч1г- -,
г——-
о--
Рис. V-5.
2nr(p1 —
Следовательно, мы имеем:
—r\2nd (г -?-") = (р! —ра) 2nr dr
Обозначим
d%w . 1 dw Pi —Pa
dr% ' r dr ц
dw
~dT
— У и
Pi —
тогда
dr ¦ r
Общий интеграл этого уравнения есть
С г
откуда
dw
~dT
с_
г
Pi — Рг
212
При следующем интегрировании получим:
w = Clnr- Pl~P2 r* + C
Так как при г = 0 скорость движения имеет конечное значение,
то С = 0. С другой стороны, для г = R имеем w = 0. Следовательно
w= Pi-Pi (да-г»)
4ti
Эта формула дает распределение скорости движения жидкости
по радиусу капилляра. С ее помощью может быть определен секунд-
секундный расход жидкости, протекающей через сечение капилляра.
Количество жидкости, протекающей в секунду через элементарное-
кольцо с центром на оси трубки, радиусом г и толщиной dr, соста-
составляет:
2nrw dr = 2я
(№ r)rdr
Интегрируя по г в пределах от 0 до R, найдем количество жидко-
жидкости, протекающей через сечение капилляра в единицу времени:
J
о
За время т расход жидкости будет равен:
Для капилляра длиной L получим:
Эта формула может быть использована для определения коэффи-
коэффициента вязкости жидкости т).
§ 11. УРАВНЕНИЕ, ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЕ СОСТАВ СИСТЕМЫ,
В КОТОРОЙ ПРОТЕКАЮТ ДВЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ РЕАКЦИИ
Найти уравнение для определения состава системы, в которой
протекают две последовательные реакции первого порядка; исходное-
вещество А превращается в В через промежуточное вещество Е.
Обозначим х, у, z — число молей, соответственно, веществ А,
Е, В в момент времени т. Примем, что х + у + z = const.
Напишем уравнения скорости превращений веществ:
dx
для вещества А: -у— =
В:
Е:
dz
ТГ
dy
dx
F8)
dx dz
Допустим, что при т = 0 значение х равно единице (т. е. рассмот-
рассмотрим превращение 1 моль исходного вещества А)
Тогда ''
F9)
Дифференцируя второе уравнение F8), получим:
d*z dy
Прибавляя и вычитая кхкгу и производя перегруппировку членов
получим: '
<j*z dz
от* от
Из F9) имеем: —(х -f- г/) = z — 1. Использовав это равенство
и учитывая, что dz = d (z — 1), приводим уравнение G0) к виду:
Это уравнение является уравнением второго порядка относи-
относительно z — 1 с постоянными коэффициентами. Его общее решение
будет:
l C-^ ftT G1)
Для определения постоянных интегрирования Сх и С4 поступаем
следующим образом.
Полагая в уравнении G1) т = 0, z = 0, имеем:
-1 = 0! +С, G2)
Далее, дифференцируя уравнение G1), получим:
dz
di
G3)
Из уравнения F8) следует, что ~ = 0 при т = 0; используя это,
из уравнения G3) найдем:
-*iCi-*2C2 = 0 G4)
Из уравнений G4) и G2) находим:
*1-/га '
*!-*,
214
Подставляя полученные значения Сг и С2 в G1), находим:
—Л,
Л —Л о
Эта формула определяет х -(- г/. Зная соотношение констант ско-
скоростей реакций кх и к2, можно, пользуясь методами, изложенными
в гл. III, найти х и у.
Очень часто встречаются такие уравнения, к которым вышеизло-
вышеизложенные методы не применимы. В таких случаях необходимо прибег-
прибегнуть к решению с помощью рядов, к графическому или числовому
способу.
Решения некоторых уравнений, представляемые с помощью ря-
рядов, встречаются настолько часто в прикладной математике, чта
их пришлось подвергнуть специальному изучению.
Сюда относятся, например, бесселевы функции, рассматриваемы»
в гл. XVI.
При решении прикладных задач с помощью дифференциальных
уравнений оказывается необходимым найти не столько общий инте-
интеграл уравнения, как его частный интеграл, удовлетворяющий некото-
некоторым добавочным условиям. Эти добавочные условия дают возмож-
возможность найти значения постоянных, входящих в общий интеграл.
В случае уравнения второго порядка общий интеграл содержит две-
произвольные постоянные; для их определения достаточно двух
условий. Например, если нам известны значения функции при двух
значениях независимого переменного (граничные условия), то отсюда
обычно можно определить обе произвольные постоянные. Геометри-
Геометрически это равносильно заданию двух точек, через которые должна
проходить искомая интегральная кривая.
В задачах, которые будут рассмотрены в дальнейшем, мы не огра-
ограничимся отысканием общего интеграла, а будем находить частные-
интегралы, удовлетворяющие некоторым граничным увловиям.
§ 12. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В СТЕРЖНЕ
В гл. IV было выведено дифференциальное уравнение, устанавли-
устанавливающее зависимость между температурой t в координатой х точки
нагретого стержня, отдающего свое тепло окружающей среде!
d*t
dx*
аР
(*-*•)
G6)
где ts — температура окружающей среды, °С;
а — коэффициент теплоотдачи от стержня к окружающей среде
(примем его равным 10 ккал/м2 • ч • град и постоянным);
Р — периметр стержня, м;
К — коэффициент теплопроводности, который принимаем рав-
равным 330 ккал/м • ч • град',
А — площадь сечения, м2.
Пусть ширина стержня равна W.
Если W достаточно велико по сравнению с толщиной стержня,
то периметр стержня Р будет равен 2W.
О-Р
Для краткости примем -у^-=а2-
Заметим, что при ts = const
d(t-ts
dt_
dx
dt
¦ ==—;— И
dH
dx dx " dx* dxi
Поэтому уравнение G5) может быть написано так:
Это — уравнение с постоянными коэффициентами. Его общий
интеграл будет:
t — ts = C^x^C%e-ax G6)
Используем это уравнение для построения кривой зависимости
температуры стержня от расстояния по его длине.
Постоянные Сх и С2 могут быть определены из граничных усло-
условий. Для данной задачи эти условия следующие.
Пусть температура в начальной точке стержня, т. е. при х = О,
поддерживается постоянной и равной t = tv а температура в конеч-
конечной точке, т. е. при х = L, равна t2.
Тогда из уравнения G6) находим:
h-ts^Cx + Cb tz~ts = CleaL = C2e'aL G7)
Из этих- уравнений можно выразить Сх и С2 через известные
величины. Решая уравнения G7) относительно Сх и С2, получим:
"L 2shaL '¦> 2shaL
Подстановка значений Сх и С2 в G6) дает:
t2— ts) sh ax-\- {ti — ts) sh a (L — x)
sh aL
t — t,
G8)*
(80)
Формула (80) дает возможность легко построить кривую темпе-
температуры в зависимости от х, так как значения гиперболического си-
вуса могут быть найдены из таблиц.
Подставим в эту формулу числовые данные:
^==72,5;
330; а = 10; а =
= 1,48! ? =
* Функция sh aL в формулах G8) есть гиперболический синус. Напомним,
Яго гиперболические синус и косинус определяются следующими формулами;
shz=-
сЪ.х =
ех-\-е-х
G9)
216
Из таблиц находим! sh aL = sh 1,48 = 2,083.
Формула (80) в этом случае принимает вид:
t = 47,9 shl#8z+95,8sh 1,48 A-я)
Соответствующие значения t и х приведены в следующей таблице
и представлены графически (рис. V-6):
t, ?С
х, м
0 ... .200,0
0,2 ... .156,3
0,4 ... .126,7
0,6 ... .108,4
х, м t, "С
0,8 .... 99,4
0,9 .... 99,2
1,0 ... .100,0
II
I
80
\
\
\
ч
0,2 01 0,6 0,8 1.0
Длина стержня х, м
Рис. V-6.
Интересно отметить, что при задан-
заданных условиях кривая проходит через
минимум около холодного конца стержня.
Чем больше значение а2 в уравнении G5),
тем более резким будет этот минимум.
При а2=0 уравнение G5) принимает вид -у~г — ^'< его °бщий
интеграл t = Ax-{-B. Интегральные кривые — прямые линии.
§ 13. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОБРАТИМЫХ РЕАКЦИЙ,
ПРОТЕКАЮЩИХ ПРИ ПОСТОЯННОМ ОБЪЕМЕ
Рассмотрим еще уравнение (см. гл. IV, § 11)
являющееся уравнением кинетики последовательных обратимых
реакций типа A <i В; В +t С.
Обозначая кг -f- к2 -\- к3 -\- ki = а; кхк3 -j- k2kt -f- k1ki = b, приведем
уравнение к виду:
d*x , dx , ,
1xT+a-dT+bx=k*ki
Корнями характеристического уравнения г2 + ar + b — 0 явля-
являются числа:
—а ± Va^ — Ab
Следовательно, общий интеграл однородного уравнения будет!
Частный интеграл неоднородного уравнения здесь равен -~
и общий интеграл:
(81)
217
Постоянные Сх и С2 определим из следующих начальных усло-
условий: при т = 0, х = 1; -^-=—кх. Подстановка т = 0 и х = 1 в (81)
дает:
(82)
Дифференцируем уравнение (81):
После подстановки т=0 в (83) получаем:
Из (82) и (84) находим:
U- | М4 .
(83)
(84)
М4
7 ' Ь
1
Подставляя эти значения Сх и С2 в общий интеграл (81), получим
частный интеграл предложенного уравнения, удовлетворяющий при
i\ л dx г
х — 0 начальным условиям я—1; -у-=—^i-
Обращаем внимание на то, что постоянные Сх и С2 выражаются
здесь через константы скоростей реакций.
§ 14. ОСАЖДЕНИЕ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ В ЖИДКОСТИ
При отстаивании суспензий имеет место медленное осаждение
твердых частиц под действием силы тяжести, причем вначале проис-
происходит свободное падение частиц. Требуется найти закон движения
частицы, оседающей в жидкости без начальной скорости.
Пусть в течение т сек точка проходит путь h, который мы будем
считать положительным при движении вниз. Если m — масса точки
и 8 — ускорение силы тяжести, то вес точки будет mg. Сопротивле-
Сопротивление, направленное вверх и пропорциональное скорости, будет
равно — kw.
Равнодействующая сил, приложенных к точке, будет поэтому
F — mg—kw
Но на основании закона Ньютона F = ma = m—r- » следовательно
ах
(85)
218
Интегрируя,
Так как ш =
mg—kw= m
получим:
In (mg-
0 при т = 0,
dw
Их"'
— kw) =
ТО
dw
mg — kw
~k т4-Г
m
m
In mg=С
Подставляя это значение С в (85), найдем:
т
mg — kw = mge m
Отсюда имеем:
dh
(86)
Так как w = -т— , то, интегрируя еще раз уравнение (86), находим:
mgx — kh = — •
Ho h — 0 при т = 0, следовательно
вследствие чего имеем:
-1/4-
mgx
Величины к и m по своему физическому смыслу положительны,
к
поэтому с возрастанием т величина е m будет уменьшаться; если т
велико, то этой величиной можно пренебречь в сравнении с едини-
единицей. Из уравнения (86) заключаем, что через достаточно большой
промежуток времени скорость осаждения можно считать практически
постоянной:
— ^ (87)
§ 15. СКОРОСТЬ ОСАЖДЕНИЯ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ В СУСПЕНЗИИ
Аналогично примеру, приведенному в § 5, гл. IV, решается
задача о скорости осаждения твердых частиц в суспензии. В данном
случае дифференциальное уравнение процесса имеет следующий вид:
dh
dx
Gт—7с)
где h — высота уровня суспензии;
т—время осаждения;
&—коэффициент пропорциональности;
D — средний размер частиц;
Yt ~ удельный вес частиц;
ус—удельный вес суспензии;
z — относительная вязкость суспензии*.
Вязкость суспензии рассчитывается по формуле Бачинского:
где гж — вязкость чистой жидкости, ф — объемная концентрация твердого ве-
вещества в жидкости.
219
Вычислим скорости осаждения в водной суспензии частиц крем-
кремнезема размером 10 мкм с удельным весом 2,54. Температура среды
20° С.
Запишем дифференциальное уравнение таким образом:
Тт—7с
Z
где 7с и z являются переменными величинами и могут быть выражены
как функции от h.
wo
во
so
it)
40 BO 80 WO 120
h
Рис. V-7.
V
woo 2000 woo mo mo
Z.ce/r
Рис. V-9.
WO
800 1200 iSOO Ш0 2400 2300 3200 3600 WO MOO Ш0
Т,сек
Рис. V-8.
Чтобы получить кривую зависимости между Лит, применим гра-
графическое интегрирование этого уравнения на основании данных
следующей таблицы:
ft, ММ
100
90
80
70
60
55
45
40
Отношение
Т : Ж,
кг/кг
0,391
0,434
0,488
0,558
0,652
0,711
0,868
0,978
Тс
1,222
1,247
1,278
1,318
1,370
1,403
1,496
1,555
Тт —Тс
1,320
1,293
1,262
1,222
1,170
1,137
1,046
0,985
2
2,20
2,52
3,00
3,73
5,10
6,70
10,40
14.90
г
Тт-Тс
1,67
1,95
2,37
3,05
4,36
5,45
9,95
15,12
Площадь
под
кривой
18,4
40,8
57,2
105,0
127,0
213,0
265,0
Вычисленное
время
осаждения,
сек
317
703
1160
1810
2130
3670
4570
220
На оси ординат (рис. V-7) откладываем величины —-z-_— в соот-
соответствии со значениями h в качестве абсцисс. Площадь между кривой
и отрезком на оси абсцисс, обозначающим пределы й, равна kDH.
Значение kD2, т. е. углового коэффициента прямой (рис. V-8),
построенной в координатах \ _п т, равно 0,058.
7т-7с
Z
На диаграмме (рис. V-9) представлена искомая кривая скорости
осаждения, полученная по расчету; кружки около кривой соответ-
соответствуют экспериментальным данным.
§ 16. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В -большинстве случаев решение дифференциальных уравнений
не приводится к нахождению интегралов; как говорят, не сводится
к квадратурам; для решения таких уравнений приходится приме-
применять приближенные методы. Рассмотрим, например, метод последо-
последовательных приближений в применении к дифференциальным уравне-
уравнениям первого и второго порядка.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
¦?-'<*»
(88)
при начальных условиях: у = у0 при х = х0. Правую часть f (х, у)
уравнения будем считать непрерывной функцией от х и у в некото-
некоторой окрестности точки х0, у0.
Будем находить решение этого уравнения при помощи процесса
последовательных приближений. В качестве первого приближения
примем у = у0; подставим в правую часть уравнения (88) у = у0
и найдем интеграл:
X
Эту функцию примем за второе приближение к искомому решению.
Подставив в правую часть уравнения функцию ух вместо у,
найдем второе приближение:
г/г
= Уо + j / (гь У1) dx
х„
Поступая дальше таким же образом, найдем ys, у±, . . ., уп.
В курсах дифференциальных уравнений доказывается, что последо-
последовательность функций yv уг, . . ., уп при п, стремящемся к бесконеч-
бесконечности, стремится к функции у (ж), которая будет решением уравне-
уравнения (88), удовлетворяющим условию у = у0 при х = х0.
221
Пример. Рассмотрим линейное уравнение:
Jf' = Jf — X (89)
К уравнениям этого типа приводят задачи о последовательных процессах
(гл. III, § 8).
Его решение, удовлетворяющее условию у = 0 при ж = 0, может быть
найдено методом, изложенным в § 6 этой главы. Этим решением служит функция:
___
_...
Решим это уравнение также методом последовательных приближений.
Примем jj=Oi подставим эту функцию в правую часть уравнения.
Мы получим
JL х
dx~
откуда найдем первое приближение:
_ _Ж2_
Для нахождения второго приближения подставим эту функцию в правую
часть данного уравнения:
dy
Интегрируя, найдем:
dx — Х Г
Продолжая таким же образом дальше, мы получим последовательность
функций, вмеющих своим пределом функцию 1 + z—е*.
Если вычисление интегралов, встречающихся при нахождении
последовательных приближений, оказывается затруднительным, то
эти интегралы находят приближенно, пользуясь формулой Симпсона
(см. гл. II)
или формулой:
А
12
(90)
(91)
Первая из них позволяет найти значение нового приближения
при х = х0 +' 2А, а вторая — при х = х0 + А, если известны зна-
значения подынтегральной функции в точках х = х0, х0 + А, х0 +
+ 2h.
Пример. Применим этот метод к уравнению (89), приняв zo = O, Уо — О>
Л = 0,25. Взяв за нулевое приближение у = 0, находим:
X
Ух = — J х dx
о
222
Применяя к этому интегралу формулы (90) и (91), находим значения функ-
функции ух в точках ж = 0,25 и х = 0,50:
1И @-25) = 2&- [5,0+8 (-0,25) - (-0,50)] = -0,031
Ух @,50) = -—- [0+4 (-0,25)+ (-0,50I = -0,125
Таким образом, функция, являющаяся первым приближением к искомому
решению, принимает в точках х = 0; ж = 0,25; ж = 0,50, соответственно, значе-
значения: 0; —0,031; —0,125.
Второе приближение определяется интегралом:
Применяя к этому интегралу формулы (90) и (91), получим:
Уг @,5) = ^—~ [0 + 4 (-0,281) + (-0,625)] = -0,146
О
0,25
12
[5.0+8 (-0,281) — (-0,625)] = -0,034
Аналогично можно найти третье приближение:
0,25
@.5):
[0+4 (-0,284) + (-0,646) ] = -0.1485
у» @,25) = ~- [0 + 8 (-0,284) — (-0,646I = -0.0239
Этот результат можно считать удовлетворительным, тан как, вычисляя
значения функции 1+ж—е* в точках i = 0,5 и г=0,25, получим довольно хо-
хорошее совпадение:
у @,5) = 1 + 0,50-ео-«>= 1,50—1,6487 «= -0,1487
У @,25) = 1 + 0,25 - ео,25 = 1>25 -1,2840 = -0,0340
Для нахождения значений искомой функции в точках ж = 0,75 и = 1
следует поступать так же, только в качестве начальных условий следует при-
принять у = —0,1487 при ж = 0,5.
Таким образом, можно найти приближенные значения искомого интеграла
для ряда равноотстоящих значений х.
Метод последовательных приближений может быть применен
к решению уравнений второго порядка. Пусть требуется решить
уравнение
dly
dx*
•¦ f (ж, у, у')
при начальных условиях: у = j/0, у' = у0 при х = ж0. Заменим
данное нам уравнение второго порядка системою двух уравнении
первого порядка с двумя неизвестными функциями. Для этого
223
dy
dz
положим -^- = z; ^Hr = -3-1 данное уравнение заменится такой
dx ах* а* *
системой
dz
которую надо решать при условиях у = у0; z = y't при х = #0.
В качестве нулевых приближений для искомых функций у и z
примем их начальные значения j/ и j/o> подставим их в правые части
системы:
dz
, dy ,
о, г/о); •jt=vo
Интегрируя эти уравнения по х, мы получим новые функции уг
и zv которые будут первыми приближениями к искомому решению:
у'о)
X
Подставим эти функции в правые части уравнений системы вместо
У и z:
dz
dx
= f (x, vi, ч); -?¦=*
Вычисляя интегралы от правых частей этих уравнений, получим
вторые приближения к искомому решению:
X X
22 = Уо + J /(*, Уь y[)dx\ yz =
Поступая таким же образом дальше, мы получим две последова-
последовательности функций yv у2, . . ., уп, ... и zv z2, . . ., г„, . • .,
первая из которых будет иметь своим пределом искомое решение.
у (х), а вторая — у' (х).
Пример. Решить уравнение
dx* a~"
при начальных условиях: y=i, у' = 0 при z = 0.
Заменим это уравнение системой
dz
dy_
dx
и в качестве нулевых приближений возьмем:
yo=i; zo=o
Подставляя эти приближения в правые части уравнений системы, получим:
¦ .
dx
dx
224
Отсюда иайдем:
гх = J dx = x; yt = 1 + J 0 dx = 1
о о
Подставим функции у± и г^ в правые части уравнений системы:
i?.
dx
Интегрируя эти равенства, получим вторые приближения:
s= j dx=x;
о
X „
с х*
J xdx=i-\——¦
Для нахождения третьих приближений подставим у% и z2 в правые части
уравнений системы:
dz
¦ ~x
Интегрируя еще раз, получим:
л
и
Поступая таким же образом дальше, мы получим для функции у ряд,
сумма которого будет искомым решением данного уравнения: у = сЪ.х.
§ 17. ХИМИЧЕСКАЯ РЕАКЦИЯ С ДИФФУЗИЕЙ
В ТРУБЧАТОМ РЕАКТОРЕ
В потоке идет диффузия вещества М. Этот поток входит в реактор,
где одновременно с диффузией осуществляется реакция первого
порядка
M-+N
Длина реактора L, площадь его
поперечного сечения 1 м2.
Константа скорости реакции к ч.
При условии, что скорость питания
w м3/ч, концентрация М равна с0, а ко-
эффициент диффузии М принимается
постоянным со значением D м2/ч, определить концентрацию М как
функцию длины реактора.
Примем х для обозначения расстояния по длине реактора и пусть
с есть переменная концентрация М при поступлении в аппарат
(х<^ 0), а у представляет концентрацию М в любом сечении реактора
(х >0), как показано на рис V-10.
Для материального баланса применительно к элементарной длине
Дя на расстоянии х от места поступления реагента будем иметь:
15 Заказ 1706 225
Рис- V-10.
Поток реагента М
Диффузия М
wy
dx
ос+Дх
—^-
dx
dx ' dx
Накопление в данном случае равно нулю, но приход должен пре-
превышать расход с тем, чтобы обеспечить протекание реакции в эле-
элементарном объеме.
i Скорость исчезновения М вследствие реакции будет куАх, так
как площадь сечения аппарата равна единице. С другой стороны,
это произведение величин может быть использовано как для харак-
характеристики потока у выхода из реактора, так и для расчета накопле-
накопления; мы можем записать уравнение:
^ + 1(-^)^]-„Д, (92)
После упрощения, деления на Ах и преобразования получим:
dx*
L
dx
(93)
Аналогично для входного сечения аппарата материальный ба-
баланс дает:
d2c dc
D w = 0 14/л
dx2 dx v '
Уравнение (94) может быть получено также из (93) путем удале-
удаления слагаемого для скорости реакции.
Выражения (93) и (94) являются линейными уравнениями вто-
второго порядка. Общим решением их в обоих случаях будет
причем
— wm — k =
w(i±a)
где a = Yi+4kD/w
Таким образом, имеем (см. § 8 гл. V):
и
exp
с = а + [5 (wx/D)
(95)
(96)
с четырьмя произвольными постоянными А, В, а и Й. Для четырех
граничных условий найдем:
(97)
(98)
225
при ж — —сю с =
при ж = 0 с = у
- dc dv
при х = 0 —=-Z_
dx dx
при
dx ^
(99)
A00)
Первое условие определяет состояние питающего потока, а вто-
второе обеспечивает непрерывность состава. Третье условие, преду-
предусматривая (98), необходимо учитывать для закона сохранения мате-
материи на границе, причем диффузия на обоих сечениях принимается
одинаковой. Последнее условие исключает диффузию в реакторе
Равенства (97), (98), (99) и A00), соответственно, дают:
а = с0
Исключим а и р из A01), A02) и A03):
&cq== л \1 —а)-|-.о (l-j-й)
Решая A04) и A05) относительно А и В, получим;
wla
где
(ЮЗ)
A04)
(Ю5)
Л
/ wla \
\ггбг)
К ¦= (о +1J exp (wLa/2D) — (а —1J exp (—wLa/2D) A08)
Подставляя эти значения А и В в (95), получим окончательный
результат
4-=
_2_
К
A09)
В том случае, когда диффузией можно пренебречь, т. е. когда D ->
-* 0, уравнение A09) приводится с помощью правила Лопиталя
к такому виду:
A10)
15*
для которых имеем
Глава VI
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХИМИЧЕСКОЙ
КИНЕТИКИ
В инженерной практике встречаются две группы технических
задач, отличающихся своей постановкой. К первой из них отно-
относятся задачи, в которых требуется получить численный результат
решения математической задачи для использования его в каком-либо
исполнительном органе. Во второй группе задач требуется ис-
исследовать характер какого-либо процесса, оценить влияние из-
изменения того или иног-о параметра на ход процесса, сопоставить
различные варианты однотипных конструкций. Для решения пер-
первой группы задач используются вычислительные — «счетно-
решающие» приборы и устройства, а второй — моделирующие
установки.
Наиболее важным классом машин непрерывного действия яв-
являются электронные машины, предназначенные для интегрирования
систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти машины
называются электронными интеграторами или электронными мо-
моделирующими установками. Последнее название объясняется
тем, что с помощью этих установок воспроизводятся математиче-
математические зависимости, описывающие (моделирующие) изменение
различных систем. В электроинтеграторах математические действия
осуществляются с помощью электрических решающих схем, а уча-
участвующие в решении задачи величины изображаются в виде напря-
напряжений.
Электронные интеграторы относятся к числу современных бы-
быстродействующих математических машин. Принципиальной осо-
особенностью электроинтеграторов является то, что они имеют в ка-
качестве независимой переменной текущее время, в частности, и при
решении дифференциальных уравнений, описывающих быстропроте-
кающие процессы.
Пример. С целью моделирования рассмотрим две последова-
последовательно идущие химические реакции первого порядка
А->В->С
A)
dx
dx
dy
dz
dx
B)
C)
D)
где х, у и z — концентрации веществ, соответственно, А, В и С.
Способ моделирования вытекает из основных понятий о модели-
моделирующей установке.
Основным для электронных моделирующих установок является
коэффициент усиления, изображаемый следующим образом
(рис. VI-1).
Люд
Выход ег
Рис. VI-1.
Рис. VI-2.
Усиление или отношение выходного напряжения к входному
напряжению обычно колеблется в пределах между 20 000 и несколь-
несколькими миллионами. Если выходное напряжение не превышает
100 в, то на входе оно будет меньше 5 мв. Вследствие большого коэф-
коэффициента усиления напряжение на входе усилителя, таким образом,
близко к нулю.
В структурной модели элементы независимы и соединяются
между собой при подготовке модели к решению каждой конкретной
задачи. Семейство решений представляется в виде диаграмм на
экране электронного осциллографа.
Начальные условия, т. е. начальные значения моделируемых
переменных величин, должны быть заданы на выходах интеграторов
модели в виде напряжений, с которых начинается отработка реше-
решения задачи. Сопротивления и емкости присоединяются к усилителю
для образования устройств, с помощью которых выполняются сло-
сложение, умножение и интегрирование.
Для сложения и умножения составляется цепь в таком виде,
как показано на рис. VI-2. Сила тока, проходящего через сопроти-
сопротивление, равна величине падения напряжения, разделенной на
сопротивление. Таким образом, имеем
ei — ео
для Rt Сила тока=—=
для R2 Сила тока = -
для Ra Сила тока = -
Ra
228
229
Поскольку вход усилителя присоединен к сетке лампы, то ток
не может пройти в усилитель. Поэтому сила тока, проходящего через
сопротивление Ra, равна сумме токов, идущих через i?x и i?2:
go — g
Ra
I
""
Кроме того, так как величина е0 принята равной нулю, то мы
можем написать
еп ел , еч
И
Ra
Начальные
Ra
E)
Рис. VI-3.
Рис. VI-4.
Для интегрирования используется схема, изображенная на
рис. VI-3.
Сила тока, проходящего через емкость, представляется здесь
выражением С (dE/dx), где С — величина емкости, а Е — напряже-
напряжение в емкости.
Составляя, по-прежнему, равенство для токов, получим
q d (gp~ ea) __ ^1 — gp I e2 — e
di R\ Rz
Так как ео = О, то
d(ea
di
_Г ei |_ ег "I
L RiC "Г Л2С J
о J
Процесс умножения осуществляется с помощью потенциометра
(рис. VI-4). '
Применяя эти принципы к решению задачи химической кине-
кинетики, начнем с уравнения B):
dx
230
Выходное напряжение интегрирующего усилителя пусть выра-
выражает значение концентрации х. Тогда напряжение у входного со-
сопротивления в соответствии с F) представляет — dxldx.
Отметим, что при составлении структурных схем из звеньев,
основанных на принципе отрицательной обратной связи, следует
Рис. VI-5.
учитывать, что каждое звено, нроизводя математическую опера-
операцию, дает результат с обратным знаком. Интегрирующий усилитель,
как ноказано на рис. VI-5, есть усилитель с включенной параллельно
емкостью и сопротивлением, ведущим к входному току. Должны быть
также предусмотрены провода от зажимов для «начальных условий»
с целью фиксирования значения х при т = 0.
Из B) имеем
dx , ,
Рис. VI-6.
С помощью потенциометра мы получим кхх из х. Условие, при
котором — dxldx должна быть равна ktx, получается путем соедине-
соединения точек, представляющих эти величины (см. рис. VI-5).
Использование емкости с 1 мкф и сопротивления в 1 Мом тре-
требует, чтобы время было выражено в секундах.
Структурная схема для у изображается подобным же образом.
Операции сложения и интегрирования выполняются посредством
таких же усилителей. Пусть выходная величина равна —у и, сле-
следовательно, сумма входных значений будет dyldx.
231
Согласно C):
ЮО
Рис. VI-7.
Напряжение, представляющее ktx, уже определено, и —к2у
получается из — у с помощью другого потенциометра, как изобра-
изображено на рис. VI-6, при использовании указанных сопротивлений
и емкостей.
Наконец, моделирование величины г выполняется в результате
приравнивания выходной величины третьего усилителя значению г,
а входной — производной dz/dx,
с учетом, что
Напряжение, соответствую-
соответствующее — к%у, уже определено. Эта
часть структурной схемы пока-
показана на рис. VI-7.
Решение обычно начинается
с того, что три переключателя,
которые шунтируют усилители,
открывают последовательно. Реше-
Решение получается в виде трех кри-
кривых, изображающих зависимость
напряжения от времени, которая
является аналогией для связи
между концентрацией и временем.
На рис. VI-8 представлены
кривые, полученные для началь-
начальных условий:
z=100, y = z = 0 при Й! = 0,4 и %2==0,3
Кинетические уравнения были
решены также аналитически и на
графике показаны расчетные точ-
; ки для сравнения.
Пример. При исследовании неизвестной реакции образования
карбида магния (Mg2C3) из хлористого магния и карбида кальция
232
\
W
Ал
/Л
V
А
/
/
/
Ч
\
ч N
• 5 10
время
Ряс. VI.-8.
Mgc,—* V«Mg«c,+v«c
в расплавленном состоянии были приняты следующие уравнения:
A)
Из шести соединений, участвующих в этом процессе, только
два — Mg2C3 и Mg — доступны для измерения. Молекулярные кон-
концентрации карбида магния и магния определялись с течением вре-
времени. Для анализа каждый раз ход реакции приостанавливался
70
во
50
40
30
«о 10]
I
I
V
A
<
A
A
Y
у
Ы
У
^>
,y*
Mg
+
1
О 1234 56789
Время
Рис. VI-9.
и расплавленная масса подвергалась гидролизу. Содержание про-
продуктов гидролиза, а именно, ацетилена и пропина, дает количества
образующегося и вновь разлагающегося карбида магния.
Для электронного моделирования процесса в соответствии с пред-
представленным в уравнениях A) его ходом необходимо составить диф-
дифференциальные уравнения. Принимая, что первая реакция следует
закону действующих масс, а остальные две реакции представляют
процессы разложения, мы получим следующие уравнения:
dx
~dT
B)
233
При этом ct обозначают молекулярные концентрации:
ci = [MgCl2]; c2 = [CaC2]; cs = [CaCl2]; c4=[MgCla];
c6=[Mg2Gs]; ce = [
Величины ki выражают константы скорости реакций.
Система кинетических уравнений B) по-прежнему программи-
программируется. Константы скорости реакций kh которые на моделирующем
устройстве устанавливаются с помощью потенциометра, подби-
подбирают таким образом, чтобы теоретические кривые для карбида магния
и магния совпали достаточно хорошо с экспериментальными точ-
точками.
На рис. VI-9 представлены результаты этих исследований (сплош-
(сплошные линии). Действительное разложение карбида магния к концу
реакции совершается медленнее, чем должно быть по расчету из
уравнений реакции. Это указывает на обратимость реакции. С по-
помощью электронного моделирующего устройства теперь предста-
представляется возможность простым способом проверить и при необходи-
необходимости изменить первоначально принятые соображения о механизме
реакции с учетом влияния побочных процессов. Так, например,
реакция разложения MgC2 должна быть принята обратимой в урав-
уравнении A). В этом случае (пунктирные кривые) удается еще лучше
приблизить к измеренным величинам рассматриваемый здесь ход
процесса.
Искомые константы скорости реакции могут быть определены
при использовании потенциометров.
Повторяя теперь эти исследования при других температурах,
мы сможем найти также зависимость значений констант скорости
реакций от температуры или установить возможное отклонение от
закона Аррениуса.
Глава VII
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ
Значительная часть физических, физико-химических и техноло-
технологических процессов описывается линейными алгебраическими диф-
дифференциальными уравнениями. Решение системы линейных диффе-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами сводится
после некоторых преобразований к решению алгебраических урав-
уравнений. Поэтому знание эффективных способов, применяемых для
решения этих уравнений, весьма важно для исследователя и ин-
инженера. Одним из таких способов является использование рассмот-
рассмотренного в этой главе метода определителей и матриц, относящегося
к элементам линейной алгебры.
§ 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МИНОРЫ
Определитель второго порядка
представляет собой число, равное разности произведений чисел,
стоящих на его диагоналях:
При решении систем, содержащих более двух уравнений, прихо-
приходится вычислять определители порядка выше второго. Например,
определитель третьего порядка записывается в виде:
с2
(А)
Выберем какой-либо элемент этого определителя; вычеркнем
в определителе столбец и строку, на пересечении которых располо-
расположен выбранный элемент. Получим определитель второго порядка,
235
называемый минором взятого нами элемента. Например, минором
елемента а2 будет определитель
63 С3 I
Предположим, что номера строки и столбца, на пересечении
котерых стоит выбранный нами элемент, представляют собой числа
или оба четные, или оба нечетные. В этом случае алгебраическим
дополнением взятого элемента называют его минор.
Если же номера строки и столбца, на пересечении которых рас-
расположен взятый элемент, представляют собой один — число четное,
а другой — число нечетное, то алгебраическим дополнением этого
элемента называют его минор, взятый с обратным знаком.
Алгебраическое дополнение какого-либо элемента определителя
принято обозначать той же буквой, что и сам элемент, но только
заглавной. Например, для определителя (А):
h ч
Ч
03
Пользуясь понятием алгебраического дополнения, можно свести
вычисление всякого определителя к вычислению нескольких опре-
определителей порядка на единицу ниже.
Имеет место следующая теорема.
Определитель любого порядка равен сумме произведений эле-
элементов какого-либо ряда (строки или столбца) на алгебраические
дополнения этих элементов.
Пользуясь этой теоремой, можно вычисление определителя
третьего порядка свести к вычислению трех определителей второго
порядка. Например, разлагая определитель третьего порядка по
элементам первого столбца, получим:
а%
из
С3
— o2
+ 03
h 4
62 C2
Если тот же определитель разложить по элементам третьей
строки, то мы получим:
О! О]. С!
0-2 Og
яз 6з
Применяя эту теорему к определителю четвертого порядка,
можно свести его вычисление к вычислению четырех определителей
третьего порядка.
236
ч
bi ci
— bs
01 61
Пример. Вычислить определитель, разлагая его по элементам
первой строки
2
11
5
4
4
3
0
21
15
= 2
4
3
21
15
-4
И
5
21
15
+ 0
1
5
4
3
= 2F0-63)—4A65 —105)+0C —20) = -6-240=-246.
Пусть задана система трех линейных уравнений с тремя неиз-
неизвестными:
Основным определителем D этой системы называется определи-
определитель, образованный из коэффициентов при неизвестных:
сц bt ct
а2 Ъ2 с%
оз 6з сз
Дополнительные определители системы получаются из основного
путем замены в нем какого-либо столбца свободными членами системы
63
а% d2
03 d%
4
й\ b\ d\
л2 b2 d2
аз °з ^з
Если основной определитель системы не равен нулю, то данная
система имеет единственное решение, которое находится по следу-
следующим формулам Крамера:
D >
Dy_
D
D
Пример. Решить при помощи определителей следующую
систему линейных уравнений:
8ж—5у~ 7z = 22
ix-\-5y — z = 6
Вычисляем основной и дополнительные определители:
3 2 1
-5 -7
5 -1
= 3-40-2-20 + 1-60=140
-5
5
-7
-1
— 2
8
4
-7
—1
+ 1
8
4
0
5
237
15
22
6
2
—5
5
1
—7
—1
= 15
—5
5
-7.
—1
— 2
22
6
-7
-1
+ 1
22
6
-5
5
= 15-40—2-20 + 1-140=700
D»=
3
8
4
15
22
6
1
—7
—1
= 3
2
6
—7
—1
= 15
8
4
—7
—1
8
4
22
6
= + 3 • 20-15 • 20-1 • 40= -280
2 15
= 3
-5
6
22
6
— 2
8
4
22
6
+ 15
8
4
—5
5
8 —5 22
= —3 • 140 + 2 • 40 + 15 • 60= 560
Неизвестные x, у, z находим по формулам Крамера:
700 ,. .. —280 „. 560
140 ~5' У~
140
140
140
§ 2. РАСЧЕТ НИТРУЮЩИХ СМЕСЕЙ
При расчетах нитрующих смесей обычно бывают заданными
следующие величины: общее количество смеси, которая должна быть
приготовлена, ее состав и состав всех исходных компонентов смеси;
искомыми величинами являются количества исходных компонентов,
входящих в состав смеси.
В наиболее общем случае нитрующая смесь составляется из трех
компонентов, в состав которых входят азотная и серная кислоты
и вода.
Примем следующие обозначения:
G — количество приготовляемой нитрующей смеси, кг;
I — содержание азотной кислоты в приготовляемой смеси, %;
т — содержание серной кислоты в приготовляемой смеси, %;
п — содержание воды в приготовляемой смеси, %;
Ga — количество компонента а, идущего на приготовление смеси, кг;
1а — содержание азотной кислоты в компоненте а, %;
та — содержание серной кислоты в компоненте а, %;
па — содержание воды в компоненте а, %;
Gb — количество компонента Ъ, идущего на приготовление смеси, кг;
1ь — содержание азотной кислоты в компоненте Ь, %
ть — содержание серной кислоты в компоненте Ь,
Щ — содержание воды в компоненте Ъ, %;
Gc — количество компонента с, идущего на приготовление смеси, кг\
1С — содержание азотной кислоты в компоненте с, %;
тс — содержание серной кислоты в компоненте с, %;
»с — содержание воды в компоненте с, %.
S88
%;
%;
Сумма количеств всех компонентов должна равняться количе-
количеству приготовленной смеси, т. е.
a +
Количество азотной кислоты, которое будет находиться в при-
приготовленной смеси:
Gl G
Количество серной кислоты в смеси:
Количество воды в смеси:
(г)
Решим совместно уравнения (б), (в) и (г); используя результаты
§ 1, получим:
111
= (la — h) (ma — тс) — (la ~ 1с) (™а—
Таким образом, имеем:
i h h
т mb mc
(la — h) (ma—mc) — (la~h) (ma —'
1 1 1
G
7 11
ma m mc
la — h) (ma — rnc)—(la — lc) (ma~mb)
.C-h) (ma — mc) — (la — lc) (ma-mb)
1
G
la
ma
_r
(lg — l) (mb — ma)—{lb — la)(ma-
Пример. Нитрующая смесь состава:
HNO3 . . - / = 16%
H2SO4. . . m
H2O . . . n =
расходуется в количестве 4250 кг.
239
Эта смесь Приготовляется из следующих растворов:
меланж
HNO3-*e = 85%, H2SO4—me =
олеум B0%-ный)
S-/6 = 0; H2SO4-m6 = 104,5%; Н2О-га6 = 0
отработанная кислота
HNO3-/c = 0; H2SO4-mc = 70%; НгО—nc = 3O?4
Требуется определить расход кислот, идущих на приготовление
нитрующей смеси данного состава.
Подставляя соответствующие значения в расчетные формулы,
получим следующие расходы веществ.
Расход меланжа:
Г _«чп @-16) G0-104,5)-@-0) G0-62)
Ga~425° 785-0) A0-70)-(85-0) A0-104,5) ~79°
Расход олеума:
Г — @-16) A0-70)-(85-0) G0-62)
G» = 425° (85-0) (Ю-70)-(85-0) A0-104,5) = 400 «*
Расход отработанной кислоты:
(85-16) A04,5 —10) —@ — 85) A0-62) _
(85 _ 0) (ш _ ?0) _ (85 _0) A0_ -
Проверяя общее количество смеси, имеем
G = Ga + Gb + Gc = 795 + 400 + 3055 = 4250 кг
что соответствует заданному количеству нитрующей смеси.
§ 3. ДАВЛЕНИЕ ПАРА ХЛОРИСТОГО МЕТИЛЕНА
Для хлористого метилена, применяемого в качестве охлажда-
охлаждающего средства, известны следующие три значения давления пара:
Pi = 0,0355 am при —309 С; G' = 243ОК)
р2 = 0,190 am при 0° С; G" = 273° К)
Рз = 1.020ат при 40° С; G = 313° К)
Требуется найти давление пара хлористого метилена при —15° С
и при 20° С. Используем следующую формулу:
л
(а)
240
где
т г
1 —11
я_ cpD—cPF
1,987
причем cpD и cpF — средние мольные теплоемкости вещества, соот-
соответственно, в парообразном и жидком состоянии при постоянном
давлении
Т — температура, °К.
Подставляя в (а) известные значения для Р и Т, получим три
уравнения с тремя неизвестными А, В и С.
Имеем:
7-3
Кроме того
—=?- = —41 • 152 ¦ 10"*; lg 74 = 2,38561; lg px = -1,44977
- -^- = -36,630 -КГ4;
1
s= 2,43616;
2 = -0,72125
_ i_ = 31,949 -Ю-*; ^7-3 = 2,49554; lg p3 = -0,00860
i з
Отсюда по-прежнему получаем:
к Pi
lgp2
-^ lgr2 1
В -
1
7"х
1
1
1
1
1
lg pi 1
]gP2 1
lgp3 1
Ig74 1
%7-2 1
lgT-з I
16 Заказ 1706
241
или
А =
(lg Pa-1.? Pi)
) -(lg p3-lg Pl) (lg r2-lg
Величина С определяется при подстановке найденных значений
А и В в одно из начальных уравнений. В итоге получаем:
0,72852 • 0,10993 — 1,45837 • 0,05055
¦ = 1995,6
4,522 • 10~4 • 0,10993 — 9,203 • 10 • 0,05055
В = —3,4426
2 = —0,72125 + 7,3099 + 8,3867 = 14,9754
C = lgP2+^ В
1 2
Таким образом
lgP= —
- 3,4426 lg T +14,9754
С п©мощью этой формулы окончательно найдем
Р=0,470ят при 209 С (Г=293С1К)
Р = 0,0867 am про —15Ч С (Г = 258" К)
§ 4. КИНЕТИКА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬ НО-ПАРА Л ДЕЛЬНЫХ
ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим смесь, состоящую из пг веществ с концентрациями
Av Az, • • ., Ат, и предположим, что каждое из них может вступать
во взаимодействие соответственно реакции первого порядка. Напри-
Например, при т — 4 схема взаимодействия веществ будет следующей
(аналогичную схему можно составить для любого значения m)i
242
Пусть константы скоростей реакций будут кц, причем первый
индекс относится к веществу, вступающему в реакцию, а второй —
к образующемуся продукту. Примем, что стехиометрические уравне-
уравнения выражают соотношения, при которых из одного моля исходного
вещества образуется один моль продукта. Тогда система из т сте-
хиометрических уравнений кинетики приобретает следующий вид:
A
dx
или
dAt
(г =
., т)
\-kmAm (i = l, ...,
A)
Эта система из т обыкновенных дифференциальных уравнений
с т зависимыми переменными решается в конечном виде.
Перепишем A) следующим образом:
dx
B)
где Kt! = —k4 при
и = Ъ k
lp
Будем искать частное решение в виде
C)
где постоянные Bt и % отыскиваются из условия удовлетворения
начальным условиям задачи и уравнению B). Подстановка C)
в B) с последующим исключением экспоненты дает систему одно-
однородных линейных уравнений относительно величины Bti
или
i = l, 2, . . ., т)
E)
O i?=j
|1 * = ,
Однородная система E) имеет не нулевые решения Bt только
в том случае, если определитель, составленный из коэффициентов,
равен нулю, т. е.
1*у-6уМ = 0 (б)
В развернутом виде это есть алгебраическое уравнение т-ш
«тепени относительно X, которое должно иметь, вообще говоря, т
различных корней. Обозначим эти значения К через %п где
16* 243
г = 1, 2, . . ., т. Для каждого кг мы будем иметь группу значений
Bj, которые являются решениями E) и определены с точностью до
произвольного множителя. Обозначим и-х через Bjr.
Как правило, с помощью одного только решения оказывается
невозможным удовлетворить начальным условиям концентрации.
Поэтому необходимо получить общее решение, которое для линей-
линейных дифференциальных, уравнений равно линейной комбинации
частных решений (см. гл. V). Пусть
= 2, В,
г-0
G)
где Q°r — неопределенные коэффициенты, которые могут быть най-
найдены из начальных условий.
Пример. Рассмотрим химическую реакцию, протекающую по
схеме:
(8)
т. е. две последовательно-обратимые реакции первого порядка.
Пользуясь изложенным выше методом решения, выпишем сна-
сначала уравнение F), которое в данном случае имеет следующий вид!
—&12 ^21~Ь^'2;>—^ —^32 ~ О
О —/''23 к32 — Х
Расписывая определитель в строку, получим:
Это алгебраическое уравнение имеет три решения:
(9)
где р = /с
'/ = [ Р — 4
Подстановка значений Хг в E) дает три уравнения, из которых
независимыми будут только два. Поэтому из них можно определить
только два неизвестных (например, В2г и В3г), а третье (В1г) остается
произвольным, которое можно положить равным единице.
244
Имеем
(Ю)
Тогда общее решение примет такой вид:
3 Ik- i\ \г
= >¦<??
з
(И)
Пусть при т = 0 имеем AY = А\ и At = Aa = 0, т. е. в начале
процесса присутствует только один реагент. Решения A1) будут
удовлетворять этому условию, если
3
A2)
Решая относительно Q% получим:
A3)
Подставляя A3) в A1), после упрощения окончательно получим:
Ал — А$ { . . 1 ^ 7i ~\ е ~г
A4)
245
Это решение, естественно, включает в себя частный случай реак-
реакций первого порядка, рассмотренных в гл. III, § 1. Нетрудно видеть,
что при kl2 = kv к2з = &2 и к21 = к32 = 0 выражения для At,
А 2 vi А3 совпадают с D), (82) и (85) в гл. III.
§ 5. ПОНЯТИЕ О МАТРИЦЕ
1. Квадратная матрица в-го порядка есть таблица пг элемен-
элементов (которые могут быть как действительными, так и комплексными
числами).
Символически квадратная матрица записывается в виде:
а'2п
а21я22
ал1ая2 апп
A)
где atj изображает элемент, расположенный в г-й строке и в j-m
столбце. Определитель, состоящий из тех же элементов, которые
содержатся в квадратной матрице ||а||, обозначается через \а\ и
называется определителем матрицы.
Следует отметить, что наравне с матрицами, элементами которых
являются числа, рассматриваются матрицы, элементами которых
могут быть и функции.
При определении матрицы необходимо подчеркнуть два обстоя-
обстоятельства: во-первых; понятие матрицы подразумевает, что ее эле-
элементы рассматриваются как единое целое, в некотором заданном
расположении; во-вторых, матрицы есть нечто большее, чем просто
таблицы, составленные из элементов, так как, пользуясь определен-
определенными правилами, их можно складывать и перемножать между собой.
Так, например, вектор трехмерного пространства представляется
тройкой чисел его компонент, расположенных в одну строку; напря-
напряженное состояние в точке сплошной среды можно охарактеризовать
девятью числами, расположенными в три строки и три столбца и т. д.
Кроме квадратных множеств, подобных A), имеются также прямо-
прямоугольные множества или матрицы с т строками и п столбцами.
2. Мы здесь перечислим основные свойства матриц, которые
впоследствии будут использованы для исследования практически
интересных задач.
a) Две матрицы |я| и [| Ь|| одного и того же порядка равны между
собой, тогда и только тогда, если их соответствующие элементы
равны между собой, т.е. ||а|| = |Ь|| при условии, что все alf —
= Ъц.
b) Если |а|| и ||Ь|| представляют матрицы одинакового порядка,
то их сумма | а \ -\- || Ъ || равна матрице || с |, каждый элемент кото-
которой есть Сц = а,ц -f Ъц.
Аналогичным образом имеем ||d|| = ||a|| — ||Ь|| при условии,
что dt) = ац — Ъц.
246
Так, например
ai я2
cY с2
di d%
c) Умножение матрицы \\a\\ на число приводит к новой матрице
||Ь||= ftlla'1, элементы которой равны Ъц=кац.
Например
aY a2 _|Ая1 каЛ
\ Ьг "\кЪх кЬ.2\\
d) Обозначив через М, N и Р матрицы, а через к и I числа,,
получим:
е) Две матрицы могут быть перемножены только в том случае,
когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
Матрицы, удовлетворяющие этому условию, называются конформ-
конформными матрицами. Произведение двух матриц ||а| и || Ь|| записывается
в виде:
11«Ы|Ь||=И
k-p
где си = ^а{кЬк}.
При этом, если ||а|| есть mp-матрица, а |Ь| — pn-матрица, про-
произведение j| а || и || Ъ || будет тог-матрицей.
Если матрицы квадратные и каждая из них порядка п, то эле-
элементы матрицы ||е||=|а|| -||6|| совпадают с элементами опреде-
опреде|||||Ь|. Например
рц
лителя |е|=|а
а2|| || Cl
Так как равенство матриц обусловлено равенством их элементов,
то отсюда следует, что в общем случае |Ь||-|а|| отличается от
|ffl| • ||Ь||. Поэтому, образуя произведение ||а|-||Ь|[, мы говорим,
что матрица ||Ь|| слева умножается на \\a\\ или что матрица \\a\\
справа умножается на || Ь||.
В том случае, если |а||-||Ь| =||Ь|| • |л||, матрицы \\a\\ и \\Щ
называются перестановочными или коммутирующими.
f) Умножение матриц ассоциативно и, следовательно, множи-
множители можно группировать как угодно:
Произведение п квадратных матриц, равных ||а|, обозначается
через || лЦ™, т. е.
Oaf = ||в||.||в||-1|в||. • -\\a\\
247
g) Единичной матрицей порядка в называется диагональная
матрица порядка п, все элементы которой, расположенные на глав-
главной диагонали, равны единице. Такая матрица обозначается через
Еп или просто Е, т. е.
И 1
Единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матри-
матрицей того же порядка. Таким образом, имеем:
1|а||Я=яца|1=||а||
h) Если М — квадратная матрица, а Э есть число, то матрица,
равная разности М — QE, называется характеристикой по отноше-
отношению к матрице М.
Так, например
\а1 ЧeI1 °||й1~е °2 1
м-вЕ=
I
||о il
62-
i) Если приравнять определитель характеристической матрицы
нулю, то получим алгебраическое уравнение относительно 6, назы-
называемое характеристическим уравнением. Так, например
1Г п
Квадратная матрица удовлетворяет собственному характеристи-
характеристическому уравнению:
\ч
г1
1 О
О О
о о
= 0
§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАТНОСТИ МАССООБМЕНА
В РЕКТИФИКАЦИОННЫХ АППАРАТАХ
Рассмотрим бинарную смесь, например бензола и толуола. Смесь
бензола и толуола подчиняется закону Рауля, согласно которому
парциальное давление любого компонента в парах над смесью
жидкостей равно давлению насыщенного пара этого компонента
(при данной температуре), умноженному на его мольную долю
в жидкости, т. е.
где хА — мольная доля чистого компонента А в жидкости;
Ра — парциальное давление этого компонента в парах;
Ра — давление пара этого компонента.
Зная общее давление над смесью и парциальное давление легко-
легколетучего компонента А, мы можем определить содержание его в па-
парах, выраженное в мольных долях:
_ рА
Уа- —
где Р — общее давление.
248
Обозначим дополнительно к предыдущему:
рв _ давление пара чистого менее летучего компонента В;
рв _ парциальное давление пара менее летучего компонента В.
По закону Рауля при принятых обозначениях имеют место
равенства:
Ра = рахА' Рв = рвA~ха)
С другой .стороны, по закону Дальтона общее давление Р паров
смеси равно сумме парциальных давлений компонентов, т. е.
Следовательно
Ра
хара
р
Обозначая отношение давлений чистых веществ -=— = а, найдем:
ахА
Последнее уравнение выражает аналитическую связь уА и хА,
необходимую для построения кривой равновесия. Отношение давле-
давлений а называется относительной летучестью. Значение а в данном
случае можно принять равным 2,48.
При этих обстоятельствах содержание легколетучего компонента
в парах будет
_ 2,48*
у 1 + 1.48*
или в общем виде для уравнений равновесной кривой имеем:
у—-
где А1 + /с2 = 1, А;ХА;3 >> 0.
Уравнение рабочей линии имеет следующий вид:
у = тх-\-Ъ
A)
B)
Задача состоит в том, чтобы найти число ступеней ректификации
между двумя значениями х, одно из которых соответствует составу
продукта, а другое дает точку пересечения равновесной кривой
с рабочей линией для пространства колонны над местом ввода ис-
исходной жидкой смеси. Такого же рода расчет необходим и для ниж-
нижней части ректификационной колонны.
Обозначим координату у точки 1 на диаграмме через d
(рис. VII-1).
Тогда координатами точки 2 будут:
, d
C)
249
Для точки 3 значение у мы получим из уравнения B) путем под-
подстановки величины х, найденной для точки 2. Таким образом, для
координат точки 3 имеем:
kid
— кф)
Повторяя эту операцию по ступеням, мы найдем координаты х
и у для точки 4:
d-j-кф
— кф) d + b
а также координаты х и у для точки 5\
d-\-kxb
D)
Мы можем теперь найти координаты для
х любой конечной ступени ректификации пу-
Рис. VII-1. тем повторения этого процесса; здесь имеется
определенная схема, по которой они полу-
получаются. Но способ образования координат ступеней массообмена
не является вполне очевидным и пока остается неизвестным.
Поэтому рассмотрим координату у в конце первой полной ступени
массообмена (точка 3):
i — k2b)d + b
Образуем матрицу
м=
(kim —
-ко.
.опустив знак деления и d в числителе и знаменателе.
Пользуясь правилом (е) для матричного произведения, найдем:
М-М =
\к\т — кф) b
-к
Сопоставляя это равенство с выражением D) для величины у,
найдем, что после введения множителя d у элементов первого столбца
эти выражения становятся идентичными. Если мы образуем
то получим после подстановки знака деления и d координату у
в конце третьей ступени массообмена.
?50
Применяя математическую индукцию, можно показать, что
-ft,
1
будет соответствовать координате у для конечной га-й ступени после
ввода знака деления и d.
Из правила (i) нам известно, что характеристическое уравнение
квадратной матрицы имеет следующий вид:
хт — кф — Э) п
— *2 1 —(
Последнее выражение представляет собой квадратное уравнение:
= 0
где
ci = —ftim-f- кф — 1; c2=ftim
Из правила (i) мы также знаем, что М удовлетворяет характери-
характеристическому уравнению, следовательно
Умножим обе части уравнения на М"~
Мп = — е
получим:
F)
Равенство F) можно рассматривать как разностное уравнение
относительно матрицы М. Прежде чем воспользоваться известным,
методом его решения, нам необходимо найти корни квадратного,
уравнения E). Они будут:
Обозначив эти корни через rt и г2, получим решение F) в таком
виде:
M G)
Так как гх и г2 являются числами, тори g должны быть квадрат-
квадратными матрицами. Обозначим их следующим образом:
Р =
Ри Pi 2
911 ?12
921 922II
Формула G) справедлива для любых значений и и, в частности,,
для п — 0 и п = 1. Если п — 0, то
а в случае ге = 1, имеем:
-к
1
0
гЬ
0
1
)
ь\\
1Г
Pll
Ра
1
Pi 2
Р22
Pll
Pa
Pi 2
P22
9ll
921
-I_f
912
fell
|9ii
21921
912
922
25*
Пользуясь правилами сложения матриц, умножения матрицы
на число и равенства матриц, получим следующие алгебраические
уравнения для рц и д{л
(8)
—к2 =
Эти уравнения могут быть решены попарно и мы получим:
I — кф — г\
Pli = "
Pl2=-
Р22 = "
Pai=-
Г 2 —Г
9ii = -
г2 —
—Ъ
ri—ri •
912 =
922 =
1-Г1
г2 —/-1
Общее решение G) разностного уравнения F) теперь может быть
написано так:
+|
ЙР21 Paall II921 92211
Применяя правила (а) и (Ь), найдем:
IKPai'f+ ?2irJ)
Отсюда следует, что если обозначить через е значение у для пол-
полных ступеней, то
) d + {Piir? + ?12rj)
Решая относительно п, получим:
где и — число ступеней массообмена в ректификационном аппарате.
Пользуясь формулами (8), это выражение можно привести к виду:
— e)
(9)
где p = (b~e) (d — kj
252
— 1) ~ kxmd.
Обозначив через dp состав продукта, а через ef координату на
оси х в точке пересечения линии q с рабочей линией для верхней
части колонны, получим:
е = е/т + Ъ
d = dpm + Ь
Подставляя эти значения в (9), найдем:
(id)
где rt и r2 — корни следующего уравнения:
Формула A0) может быть использована для расчета числа ступе-
ступеней Массообмена при ректификационных процессах, причем этот
расчет должен быть выполнен отдельно для верхней и нижней частей
аппарата.
Пример. Проиллюстрируем использование формулы A0) на
примере расчета процесса ректификации бинарной смеси бензола
и толуола, поступающей в колонну при температуре кипения. Из-
Известно, что для этой смеси равновесная кривая имеет следующее
уравнение (см. выше):
X
V~~ 0,41 + 0,59*
Предположим, что поступающая смесь, дистиллят и кубовый
остаток содержат, соответственно, 0,40, 0,995 и 0,005 мол. долей
бензола. Если флегмовое число составляет 3, то уравнения рабочих
линий над и под местом ввода исходной жидкой смеси, соответственно,
будут:
г/== 0,75а:+ 0,249
у «=1,8773*+0,001886
Характеристические уравнения, соответственно, имеют следу-
следующий вид:
82-1,160598 + 6,30750 = 0
92—1>565808 + 0,56469 = 0
Корни этих уравнений составляют:
п = 0,75132; /-2 = 0,40927
= 1,00250;
= 0,56330
Подстановка этих значений в формулу A0) дает число ступеней
$»ектификации 9,61 и 9,08, соответственно, для верхней и нижней
частей колонны. Эти данные совпадают с результатами, получающи-
получающимися при пользовании графическим методом расчета.
Глава VIII
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНИКЕ
Во многих случаях решение производственных и других задач
требует рассмотрения большого количества вариантов. Между тем
найти наилучшее, оптимальное решение, не рассматривая все воз-
возможные варианты, позволяет получившая развитие в последние годы
новая отрасль математики — линейное программирование *.
Предметом линейного программирования является разработка
различных математических методов для решения так называемых
экстремальных задач с линейными связями и ограничениями.
Линейное программирование дает возможность решать задачи
только такого типа, которые могут быть выражены в точной мате-
математической форме, когда все факторы, влияющие на решение, а также
само решение, могут быть выражены в цифровых показателях и когда
задача состоит в том, чтобы выбрать некоторую комбинацию аль-
альтернативных решений из более или менее значительного числа
возможных решений.
Методы линейного программирования основаны на теории линей-
линейной алгебры и линейных неравенств.
§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Рассмотрим основные свойства определителей.
Свойство 1. Если в определителе заменить строки соответству-
соответствующими столбцами, то значение этого определителя не изменится:
3 -4
7 11
= 3-11 — 7-(—4) = 61
3
-4
11
= 3 • 11 — 7 • (—4) = 61
1 Линейное программирование — раздел математики — не следует смеши-
смешивать с программированием (составлением программ) для решения задач ни
электронных цифровых вычислительных машинах.
254
Свойство 2. Определитель, у которого две строки или два столбца
равны между собой, равен нулю:
-8 5
-8 5
= -8-5-(-8)-5=0
Свойство 3. Если в определителе две строки или два столбца
поменять местами, то знак определителя изменится на противополож-
противоположный:
= 0,4-2 —1,1-3=—2,5
и
0,4
1,1
3
2
3
2
0,4
1,1
= 3-1,1 — 1-0,4 = 2,5
Свойство 4. Если все элементы какого-нибудь столбца или какой-
нибудь строчки умножить на некоторое число к, то значение опре-
определителя изменится в к раз:
2 ? =2
13 15
2,3 7 _
13,3 15 ~
Свойство 5. Если элементы двух строк или столбцов определи-
определителя пропорциональны, то такой определитель равен нулю;
= 2-15 — 13- 7 = —61
= 6-15—39-7 = —183
—17
-34
3,5
7
-17
—17-2
3,5
3,5-2
= —17- 7 —C4) -3,5 = 0
Свойство 6. Если каждый элемент какой-либо Строки определи-
определителя есть сумма двух слагаемых, то этот определитель равен сумме
двух определителей того же порядка; в одном определителе соответ-
соответствующая строка состоит из первых слагаемых, а в другом — из
вторых слагаемых, остальные строки этих двух определителей те же,
что и в заданном:
8 + 3
2
3 -7
= 16 + 23 = 39
Это свойство справедливо и для столбцов определителя:
-2
3
-2
3
= -25 + 2 = -23
Свойство 7. Если ко всем элементам какой-нибудь строки опре-
определителя прибавить соответствующие элементы другой строки,
умноженные на одно и то же число, то значение определителя не
изменится:
13
4
113 + 6-4 7 + 6-1
4 1
= —15
Это свойство справедливо и для столбцов определителя.
255
Свойство 8. Если все элементы &-го столбца определителя, кроме
одного aik, равны нулю, то такой определитель равен произведению
этого элемента на его алгебраическое дополнение:
Например
В
0
2
0
3
1
8
4
7
1
= -2-
3
8
4
1
1
3
1
7
2
8
0
0
4
= 4-
1
3
7
2
= 58
= -76
Свойством 8 удобно пользоваться для вычисления определителя,
так как для этого достаточно вычислить одно произведение aikAik.
Но этим свойством можно воспользоваться только тогда, когда у оп-
определителя все элементы какой-либо строки или какого-либо столбца,
кроме- одного, равны нулю. Поэтому сначала при помощи первых
семи свойств заданный определитель нужно преобразовать в опре-
определитель, у которого в каком-нибудь столбце или в какой-либо
строке все элементы, кроме одного* равны нулю, а потом использо-
использовать восьмое свойство и представить его в виде произведения этого
элемента на его алгебраическое дополнение.
Рассмотрим этот метод на примере вычисления следующего опре-
определителя:
1 2 6
—1 3 5
2-3 7
Сделаем так, чтобы в первом столбце все элементы, кроме первого,
стали нулями. Для этого прибавим к элементам второй строки соот-
соответствующие элементы первой строки, получаем определитель
1 2 6
О 5 11
2-3 7
который на основании свойства 7 равен исходному. Для наглядности
изобразим сделанное сложение стрелкой, идущей от первой строки
ко второй:
1 2
-1 3
2 -3
1 2
О 5
2 -3
6
11
7
Теперь прибавим к элементам третьей строки элементы первой,
умноженные на «—2»; получается
1 2 6 1
О 5 11 = О
2 + 1-(-2) -3 + 2 -(-2) 7 + 6-(-2)
О
2 6
5 11
-7 -5
256
Этот определитель на основании свойства 7 также равен исходному.
Теперь можно использовать свойство 8:
1
0
0
2
5
п
6
11
-5
5
—7
11
—5
Употребляя стрелки для пояснения сделанных сложений и про-
проставляя около них числа, на которые умножаются соответствующие
столбцы или строки, все сделанные преобразования можно записать
в следующем виде:
1
—1
1
2
3
-3
6
5
7
^
41+1 * ^ .
- 1
0
* 2
5
—7
2
5
_ м| о
11
-5
6
L1
7
— 52
1
0
0
2
5
-7
6
11
-5
§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА И РЕШЕНИЕ СИСТЕМ
ЧЕТЫРЕХ УРАВНЕНИЙ С ЧЕТЫРЬМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Система четырех уравнений с четырьмя неизвестными записы-
записывается в общем виде следующим образом:
а11х1 + а12х2 + а13а;3 + aUx4 —fil
Решение этой системы можно записать с помощью определителей
4-го порядка!
Знаменатель D есть определитель данной системы, он является
определителем 4-го порядка и составляется из коэффициентов данной
системы. Таким образом, имеем:
^11 ^12 ^13 ^14
^21 ^22 ^23 ^24
а31 а32 аЗЗ «34
^41 ^42 ^43 ^44
Такой определитель равен алгебраической сумме:
«22
«32
а42
«23
«33
а43
«24
а34
а44
— «21
«1
2 «1
«32 «Э
Й42 «4
— а41
а12
«22
а32
3 а14
3 «34
3 «44
а13
°23
«33
+ а31
а14
а24
а34
а12
а22
а42
а13 «14
а23 «24
а43 а44
17 Заказ 1706
257
Определители Dv D 2, D3 и ZL получаются, как известно, из
определителя D путем замены элементов соответствующих столбцов
свободными членами системы:
1
2
3
4
«11
«21
«31
Я41
«12
«22
«32
Я42
«12
«22
«32
«42
«13
3
«33
«43
h
ъ3
ь*
«14
«24
«34
«44
«14
«24
«31
«44
«11
«21
«31
«41
«11
«21
«31
«41
ь3
h
«12
«22
«32
«42
«13
«23
«33
«43
«13
«23
«33
«43
«14
«24
«34
«44
h
h
Если в определителе D вычеркнуть г-ю строку и у-й столбец и
умножить его на (—1)'+/, то получим алгебраическое дополнение Ац
элемента пц. Тогда выражение A) можно записать в следующем
виде:
D = «11 Лц + Я21А 21 + Я31Л31 + Й41 ^41
Когда определитель D выражается в виде такой суммы, то гово-
говорят, что он разложен по элементам первого столбца. Значение опре-
определителя можно подсчитать, разложив его не только по элементам
первого столбца, а и по элементам любого столбца:
Например, подсчитаем значение определителя
3
2
1
1
1
1
2
1
4
0
3
4
1
3
1
1
разложив его по элементам первого столбца и четвертого столбца.
Для этого вычислим значения соответствующих алгебраических
дополнений:
1
2
1
1
1
1
2
1
1
3
2
1
0
3
4
4
0
4
1
о
^j
1
1
1
1
3
1
1
1
3
1
0
3
4
4
0
4
= 14;
= 0;
Aa= (-1
= -9; 424 = (-l
= -8; 4и=(-1)
4+4
1
2
1
1
1
2
3
1
1
3
2
1
4
3
4
4
0
3
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
3
1
4
3
4
4
0
3
= 0;
= 10;
= 15
Вычислим определитель D, разложив его по элементам первого
столбца:
31^31+ «41^41 = з.14 + 2 -0 + 1 -0 + 1 -(—14) =28
Если разложить определитель D по элементам четвертого столбца
и подсчитать его значение, то получим тот же результат!
D= «14^14+ 4^24+ «34^34+ «44^44 = 28
Если этот определитель разложить по элементам любой другой
строки и подсчитать его значение, то получим то же число 28. Под-
Подсчет значения определителя облегчается, если сначала «сделать
нули» в каком-либо столбце или какой-либо строке.
Определители четвертого порядка тоже обладают всеми свой-
свойствами, о которых говорилось в предыдущем параграфе; поэтому
порядок вычисления определителя четвертого порядка состоит
в следующем: -
1) используя свойство 7, преобразуют определитель к такому
виду, чтобы в какой-либо строке или в каком-либо столбце, кроме
одного элемента аГ), все остальные стали бы нулями;
2) после этого, записав его в виде суммы произведений элементов
atj на алгебраические дополнения Ац, переходят к вычислению
Ац, которые являются определителями третьего порядка.
Пример. Вычислить значение определителя
D =
3 4 2 4
1-331
2-242
-1 7 18
Преобразуем этот определитель к таковому, у которого все эле-
элементы четвертой строки, кроме aiS, станут равными нулю. Для этого
к элементам первого столбца прибавим соответствующие элементы
третьего столбца; значение определителя от этого не изменится,
а мы получим определитель, у которого а41 = 0:
D=
3 + 2 424
1 + 3-331
2 + 4-242
—1+1 7 18
5 4 2 4
4-331
6-242
0 7 18
Теперь к элементам второго столбца прибавим соответствующие
элементы третьего столбца, умноженные на —7, получим опреде-
определитель, равный заданному, и у которого а41 и а42 равны нулю:
5 4 + 2-(-7) 2 4
4 -3 + 3-(-7) 3 1
6 -2 + 4-(-7) 4 2
0. 7 + 1-(-7) 1 8
5 —10 2 4
4 —24 3 1
6 -30 4 2
0 0 18
258
17*
259
Чтобы получить аи — О, нужно к, элементам четвертого столбца
прибавить соответствующие элементы третьего столбца, умноженные
на —8, получим:
5 —10 2 4 + 2-(—8)
Z>=
4 -24 3 1 + 3-(-8)
6 -30 4 2 + 4-(-8)
0 0 18 + l-(-8)
5 -10 2 -12
4 —24 3 —23
6 -30 4 -30
0 0 1 0
На основании свойства 8:
0=1. (—1L+3
5 —10 —12
4 —24 —23
6 —30 —30
Подсчитаем значение полученного определителя третьего порядка:
(-5)
Поэтому
5 —10 —12
0 56 49
1 -20 -18
2 —10 -12
4 24 -23
6 —30 —30
0
(-4)
5 -10 -12
4 -24 -23
1 —20 —18
0
90
56
78
49
1 —20 —18
Z> = —42
= !•(—1K
i+i
90 78
56 49
= 42
§ 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ л-го ПОРЯДКА
Определителем гс-го порядка
аШ
называется число, равное алгебраической сумм©
где Ап является определителем (п — 1) порядка, получаемого из ис-
исходного вычеркиванием первого столбца и i-ой строки и умножением
полученного определителя на (—1)ш:
12 • • • а1п
ai-i • • ¦ <Ч-ы\
ап2 • • • апп
Таким образом, определитель тг-го порядка, так же как опреде-
определители 2, 3 и 4-го порядка, определяются через определители низ-
низших порядков. Определители п-го порядка обладают теми же свой-
свойствами, что и определители 2, 3 и 4-го порядков. Поэтому для вычи-
вычисления определителя тг-го порядка вместо того, чтобы вычислять и
определителей (п — 1) порядка, нужно сначала преобразовать его
к такому виду, чтобы в каком-нибудь столбце или в какой-нибудь
строке все элементы, кроме одного, были равны нулю. На основании
&-го свойства такой определитель равен произведению этого неравного
вулю элемента на его алгебраическое дополнение, т. е. вычислить
придется один определитель (п — 1) порядка.
При помощи определителей и-го порядка можно найти решение
еястемы п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными.
Такие системы имеют вид:
... +аппхп = Ьп
Более сокращенно эту систему можно записать так:
(где i = 1, 2, . . ., и), или еще короче:
2^ = 6,; A = 1.2, ....*)
Если определитель этой системы фО, то неизвестные находятся
по формуле:
1 «и
ап\ • • • ап1-лЪпап1+1 • • • апп
• • • Чп
где I = 1. 2, . t ., п.
Знаменателями этих дробей является определитель системы,
а числителем - определители, получаемые иэ определителя системы
заменой ;-го столбца столбцом свободных членов.
Пример. Решить систему
;5=» 3
-5*5 = -2 ,
+ хь= 5
2*2
+4+ *5= 4
261
260-
Решение:
D
Кроме
3
2
5
1
4
—1
0
А
1
1
0
3
0
0
0
2
(i
= _
-1
0
1
1
0
0 3
0 0
0 0
1 0
0 2
3 -1
0 3
0 0
2 -3
L
\
3
0
0
0
2
2
3
3
0
0
1
0
1
1
3
—3
того
'
\
0
0
3
1 1
1 0
0
—1
1
3 1
0-2 0
0
0
2
5 0
1 -1
4 1
\
л
' О
1
1
3
3
0
0
1
0
1
—1
1
2
—5
0
1
-5
1
i
С
0
—1
1
2
-5
0
1
1
1
—5
1 =
1
1
=: ->
(-1) —
= 1 • (—1L+1
= (-1)-1-
— 0
= -34;
1
—5
#5
1
1
1
=
=
-34
-1
0 (
1 (
1 (
0 2
-1 2
-3 1
3 -1
) 3
) 3
) о
0
-1K+5
, «1
+ 2|
—1
0
1
1
0
-1
0
1
1
0
1
С
0
1
1
0
3 2
0 3
0 3
2 0
3 2
0 3
0 3
0 0
2 0
1
0
1
1
1
Т^зТ
3
0
2
Л
3
3
-2
5
1
4
3
0
0
0
2
3
0 -2
0
-1
1
5
1
4
-1
3
-3
2
—5
-1
3
3
0
0
—1
3
3
0
0
1
0
0
-1
1
2
—5
0
1
2
—5
1
|\
|) =
1
0
0
—1
1
з
о
5
1
4
2
1
1
1
=
=
-34
—5
1
1
1
-1
1
—5
1
\
X
1
Поэтому
= -34;
= -34;
262
«4-
D
4 =
§ 4. ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Одним из важных методов изучения процессов с многокомпо-
многокомпонентными продуктами и решения уравнений материальных балансов
является линейное преобразование.
Преобразование одного многокомпонентного продукта в другой
«нисывается линейным преобразованием в том случае, если каждый
компонент получающегося продукта выражается в виде суммы ли-
линейных функций от компонентов первоначального продукта. Ма-
Математически линейное преобразование записывается следующим
образом:
A)
где У~15 . . ., У„ — компоненты первоначального продукта, хг, . . .,
хп — компоненты конечного продукта, аХ1, . . ., а1п, а21, . . ., апп —
постоянные числа. Это преобразование можно рассматривать так же
как переход от системы переменных Yx, ?г, . . ., Yn к новой си-
системе переменных хг, х2, . . ., хп.
Преобразование A) можно записать и в матричном виде. Дей-
Действительно, в соответствии с правилом умножения матриц соот-
соотношение B):
1, «12.
•, аЧп
ат,
У
У
У
1
2
п
B)
эквивалентно линейному преобразованию A).
Пример. При смешении и чистых компонентов получаются п
сложных продуктов. Стоимость тонны каждого компонента соответ-
соответственно равна Yv Y2, . . ., Yn. Требуется определить стоимости
продуктов смешения, если известно, что на образование t-ro про-
продукта ушло пц тонн ;-го компонента. Ясно, что величины хг,
х2, . . ., хп, получающиеся в результате преобразования A) и B),
как раз и будут искомыми стоимостями конечных продуктов.
Если количество начальных и конечных компонентов различно,
то взяв за п наибольшее из них и дополнив нулями до п наимень-
наименьшее, можно свести задачу к преобразованиям A) или B). Действи-
Действительно, если в рассматриваемом здесь примере и есть количество
исходных веществ, т — количество конечных продуктов и, напри-
например т <^п, то необходимо взять хт+1 = 0, хт+2 = 0, . . ., хп = 0.
Очевидно, что и количества чистых веществ, участвующих в про-
процессе образования (т -\- 1)-го, (т + 2)-го, . . ., п-то конечных
263
продуктов (они в процессе смешения не образуются), мы также
должны положить равными нулю, т. е.
иш+Ы = 0, ат+1, 2 = 0, . . ., am+i, п = 0 ят+2.1 апп = 0
Преобразование A) в этом случае запишется в виде
. . . +alnYn
. . . +0-Yn
0 = 0-Г1Н-0-У2Н- • • • +O-Yn
а эквивалентное ему преобразование B) будетг
Матрицу
хт
0
0
__
«11.
«21.
"ml.
0,
0.
«12. • •
Я22. • •
«m2. • •
0, . .
0, . .
•, «in
•> агп
•> атп
., 0
., 0
Yi
Y*
•
Yn
•¦ а\п
а21> а22.
«nl, «rt2. •••,««
обычно называют матрицей преобразования. Каждому линейному
преобразованию можно поставить в соответствие определенную
матрицу. Каждой матрице соответствует вполне определенное линей-
линейное преобразование. Таким образом, изучение линейных преобразо-
преобразований сводится к изучению матриц.
§ 5. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Для приложения математики к экономике важным является
понятие обратной матрицы.
Квадратная матрица называется единичной, если она диагональ-
диагональная и все элементы диагонали равны единице. Единичную матрицу
условимся обозначать через Е.
Если аЪ = 1, то а по отношению к b будет обратным числом и,
конечно, если а обратно к Ъ, то Ъ обратно к а.
Найти матрицу, обратную матрице А, означает найти такую ма-
матрицу В, чтобы АВ равнялось Е, т. е. единичной матрице, или
найти такую матрицу Вх, чтобы ВХА равнялось Е.
264
В первом случае мы говорим о матрице В обратно-й справа, а во
втором случае о матрице Вх обратной слева.
Если определитель \А\ — 0, то матрица называется вырожденной,
в противном случае матрица называется невырожденной. Для того
чтобы произведение двух матриц было вырожденной матрицей,
необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из матриц сомножи-
сомножителей была вырожденной матрицей.
Если матрица А вырожденная, то у нее обратной матрицы быть
не может, так как определитель матрицы Е равен единице \Е\ = 1,
т. е. \Е\ невырожденная матрица. Из этого также следует, что выро-
вырожденные матрицы обратных матриц не имеют.
Таким образом, только невырожденная матрица имеет обратную
матрицу, причем единственную, при этом обратные матрицы справа
и слева совпадают.
Следует также ознакомиться с присоединенными матрицами.
Если дана невырожденная матрица А, то присоединенной к ней
матрицей Апр называется матрица того же п-то порядка, элементы
которой представляют собой транспонированные алгебраические
дополнения соответствующих элементов матрицы А:
А =
«11«12 •
«21«22 •
"Щ«П2 •
• • «in
• • «2п
• • «шг
• Arm —
, ЛПР
^11^21 • • • АМ
^12^22 • • • ^12
АщА^п . . . Апп
Если перемножить матрицу А на матрицу Ап~, то мы должны
получить какую-то матрицу С, элементы которой будут равны:
= \ А\
—0
Следовательно, сц равно нулю, если
i = ]; тогда
и равно | А |, если
С=А- Апр =
А\ 0 ... О
0\А\ ... О
о о ... М
265
Как видим, обратная матрица может быть получена из присоеди-
присоединенной, если все элементы присоединенной матрицы разделить на
определитель матрицы А\
Ап\
\А\
"пр
А
22
\А\
Умножая матрицу А на обратную матрицу АПр и, наоборот,
матрицу А„р на матрицу А, легко убедиться, что в том и другом
случае в произведении получится единичная матрица, а это значит,
что матрица Апр будет по отношению к матрице А обратной как
справа, так и слева.
Решение матричных уравнений с использованием свойств обрат-
обратных матриц можно проследить на примере. Дано матричное уравне-
низ:
1 2|*=|3 5|
3 4 1 || 5 9 I, где ж—матрица
Имеем:
1 2
3 4
= 4-6=—2
Следовательно, матрица невырожденная:
1 2
8 4
1 2
1 2
3 4 |Х~| 3 4
II3
б 9
или
1 О II II 1 2 р|| 3 5
О 1 |Г 1 3 4 1 I 5 9
1 2
3 4
3 5
5 9
Обозначим матрицу
1 2
3 4
через А и найдем ее присоединен-
присоединенную матрицу, для чего определим алгебраические дополнения:
Ли = (-1I+1-4 = 4; Л12= (-1I+2-3 = -3; 421=.(-lpi. 2 = -2;
Л22= (-1J+2-1=1.
Таким образом, присоединенная матрица Ап„ будет равна
I 4 ~21
„ . , а обратная матрица
4
—2
-3
-2
. 2
2
1
2
=
-2
3
2
1
—1
2
266
тогда
-2 1
3 5
5 9
2 2
Перемножив матрицы, получим:
«п = — 2-3+1-5 = — 1; «12 = — 2-5 + 1 -9 = —1
2/2, 2 2
Таким образом, искомая матрица
II 2 3
Далее посмотрим, какому же линейному преобразованию соот
ветствует обратная матрица. Если мы имеем матрицу
А =
составленную на основе системы уравнений
a2rt
и если мы нашли обратную матрицу
Л-1 —
•"пр —
&П2 • • • dnn
соответствующую системе уравнений
\-... + dlnZn
. . . + dnnZn
и при этом нам уже известно, что
1 0 ... О
О 1 . . .0
0 0 ... 1
267
следовательно
.. .+o-zn=z2
Из этого следует, что
Yl =
У2 =
Yn =
Таким образом, если прямая матрица давала нам систему коэф-
коэффициентов, при помощи которых переменные xt, х2, . . ., хп опре-
определялись через переменные Ух, У2, . . ., Уп, то обратная матрица
дает нам систему коэффициентов, цри помощи которых переменные
У1( У2, . . ., У„ определяются через переменные хх, х2, . . ., хп.
§ 6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОГО
БАЛАНСА В ПРОИЗВОДСТВЕННОМ ПЛАНИРОВАНИИ
Рассматриваемый здесь метод решения уравнения материального
баланса принято называть шахматной схемой, так как задача ста-
ставится и может быть решена только при полной взаимозависимости
составляющих.
Если обозначить через:
X I, X 2, . . ., Xп — валовые выпуски 1, 2, . . ., п отрасли про-
промышленности;
x x . ., х1п— количество продукта 1-й отрасли, которое рас-
расходуется в качестве сырья как для изготовле-
изготовления продукта этой же отрасли, так и для
2, 3, . . ., п отрасли и т. д.;
., х2п — количество продукта 2-й отрасли, которое
расходуется в качестве сырья как для изготовле-
изготовления продукта этой же отрасли, так и для
1,3, . . ., п отрасли и т. д.;
хп1, xni, . . ., хпп — количество продукта п-ш отрасли, которое рас-
расходуется в качестве сырья как для изготовления
продукта этой же отрасли, так и для 1, 2, 3, . . .,
(п — 1) отрасли;
Ух, F2, . . ., Yn — конечный спрос 1, 2, 3, . . ., п отрасли про-
промышленности, т. е. та часть валового выпуска,
которая уходит потребителю.
268
lv
х2
хп
21, хп,
Тогда схему баланса можно представить в виде следующей
системы уравнений:
лп—хпх —хга2 . . . —Х/щ— i n
В такую систему необходимо ввести постоянные коэффициенты.
Их место может быть занято так называемыми технологическими
коэффициентами, или, как их принято называть, нормами расхода
сырья, материалов и т. п. на изготовление единицы продукции.
Такие коэффициенты будут обозначать!
аХ1 — количество изделий, материалов и т. п. 1-й отрасли, которое
расходуется в качестве сырья, оборудования и т. п. для изго-
изготовления единицы продукции той же отрасли;
а12 — количество изделий, материалов и т. п^ 1-й отрасли, которое
расходуется в качестве сырья, оборудования и т. п. для
изготовления одной единицы продукции 2-й отрасли;
аы — количество изделий, материалов и т. п. 1-й отрасли, которое
расходуется в качестве сырья, оборудования и т. п. для
изготовления одной единицы продукции п-п отрасли;
а21 — количество Изделий, материалов и т. п. 2-й отрасли, которое
расходуется в качестве сырья, оборудования и т. п. для
изготовления одной единицы продукции 1-й отрасли;
а22 — количество изделий, материалов и т. п. 2-й отрасли, которое
расходуется в качестве сырья, оборудования и т. п. для
изготовления одной единицы продукции той же отрасли;
агп - и т. д.
Тогда в составленную выше систему уравнений вместо значений
xin х\г и т- Д- можно поставить произведение значений технологи-
технологических коэффициентов на валовые выпуски соответствующих
отраслей:
Подставим полученные произведения в нашу систему уравнений!
269
Группируем члены уравнений с одинаковыми значениями Х\
A - аи) Xt - ЧгХг ~, , . - а1пХп = Yr
— а22) Х2—. . . —
—а„„) Xn = Yn
Эту систему уравнений можно рассматривать, как линейное
преобразование переменных, т. е. переход от совокупности пере-
переменных Yt, Y2, . . ., Yn к совокупности X х, X 2, . . ., Хп-
Следовательно, данной системе уравнений можно сопоставить
матрицу:
A— all)
— 1
~а12 •••—а1и
—а22) • • •— а22
Используя свойство обратных матриц, можно осуществить пере-
переход от совокупности переменных Хх, Х2, . . ., Хп к совокупности
^и ^2) • • м Yn. Запишем матрицу, обратную матрице- В, в виде:
• dnn
... +dinYn
Тогда
. . . + dnnYn
Выясним, что же обозначают коэффициенты dtl при неизвестных
Yj. Если мы изменим конечный выпуск, например, только 2-й отрасли
на одну единицу, тогда F2 будет равен У2 + 1. При этом должен,
естественно, измениться и валовой выпуск 2-й отрасли. Если
Х[ ^duYy + д,хг (У, +1) +.. . + dlnYn
то изменение валового выпуска во 2-й отрасли должно произойти
На величину
Таким образом, элемент обратной матрицы dtj показывает, на
сколько нужно увеличить валовой выпуск продукции г-ой отрасли,
чтобы обеспечить увеличение конечного спроса /-ой отрасли на
одну единицу. Или иначе элемент обратной матрицы dtj (обычно
его принято называть коэффициентом полных затрат, а ац — коэф-
270-
фициентом прямых затрат) обозначает количество продукции г-ой
отрасли, которое обеспечивает увеличение валового выпуска /-ой
отрасли на единицу. Как видим, элементы обратной матрицы полу-
получили конкретный экономический смысл.
Далее следует показать, что выражение Х1г Х2, .. ., Хп по
указанным формулам равносильно выражению их по формулам
Крамера. Если определитель матрицы В обозначим через Д, то
элементы обратной матрицы можно выразить как частное от деления
соответствующего алгебраического дополнения на определитель
матрицы В:
= -!*- и
Тогда Хх можно будет определить по формуле:
X = Вп YL I B%
или
Если воспользоваться для определения Xt формулой Крамера,
то первоначальное уравнение будет иметь следующий вид:
— Чп
• • • A — апп)
— а12 . . . — аы
2A —°22) • • •—га
ann)
A—аи)—a12 • • • а1я
— a21 (I — a22) • • • а2я
— ап1 — art2- • • A—апп)
Для X / определитель числителя раскрывается, как известно,
по первому столбцу. Тогда
Х,=-
Как видим, выведенное уравнение аналогично уравнению, которое
составлено на основе использования свойств обратных матриц.
Пример. Необходимо увязать производство трех групп химиче-
химических заводов как по линии взаимных связей, так и по линии точного
выполнения заданной им программы на производство продукции
Для удовлетворения нужд потребителей (конечная продукция).
Увяжем группу заводов нефтехимической промышленности, кото-
которой задана программа на конечную продукцию У\ = 50 000 т,
химической промышленности, которой задана программа Y% =*
=» 30 000 т продукта, и группу заводов, изготовляющих ивделия
из пластмассы, которой задана программа на конечную продукцию
Y3 = 80 000 т изделий. При этом известны (найдены расчетом,
271
опытом и т. п.) прогрессивные величины норм расхода этих продук-
продуктов, как сырья для взаимного и собственного воспроизводства, т. е.
a1Jt =¦ 0,08 т/т— норма расхода нефтехимического продукта для
изготовления 1 т этого продукта на нефтехими-
нефтехимических заводах;
а12 = 0,04 т/т — норма расхода нефтехимического продукта для
изготовления 1 т продукта на химических за-
заводах;
а13 = 0,01 т/т — норма расхода нефтехимического продукта для
изготовления 1 т продукта на заводах пластмасс;
а21 == 0,07 т/т — норма расхода химического продукта для изго-
изготовления 1 т продукта на нефтехимических
заводах;
а22 =г 0,06 т/т — норма расхода химического продукта для изго-
изготовления 1 т продукта на химических заводах;
а23 = 0,02 т/т — норма расхода химического продукта для изго-
изготовления 1 т продукта на заводах пластмасс;
я31 = 0,09 т/т — норма расхода изделий из пластмасс для полу-
получения 1 т продукта на нефтехимических заводах;
а32 = 0,08 т/т — норма расхода изделий из пластмасс для получе-
получения 1 т продукта на химических заводах;
азз = 0,01 т/т — норма расхода изделий из пластмасс для полу-
получения 1 т продукта на заводах пластмасс.
Тогда валовые выпуски данных групп заводов (Xt — нефтехимии,
Х% — химии, Х3 — пластмасс) будут увязаны следующей системой
уравнений:
A— аи) Xi—
A—Я33) X3^Y3
Подставляем в систему известные нам значения а и У и опреде-
определяем валовые выпуски Х\
A - 0,08) Хг - 0,04Ха - 0,01Х3 = 50 000
«-0,07X1+ A —0,06) Х2 —0,02Х3 = 30 000
—0,08Х2 + A —0,01) Х3 = 80 000
Системе соответствует матрица
10,92 —0,04 —0,01 Ц
—0,07 0,94 —0,021
-0,09 -0,08 0,99j|
Находим определитель \В\ матрицы В,. С целью использования
для решения определителя | В | свойства алгебраических дополне-
дополнений) превращаем элементы второй и третьей строк третьего столбца
определителя в нули, для чего первоначально первую строку умно-
272
жаем на 2 и вычитаем иэ второй строки и вторично первую же строку
умножаем на 99 и прибавляем к третьей строке, а именно:
0,92 —0,04 —0,01
-1,91 1,02 0
—0,09 —0,08 0,99
-1,91
1,02
90,99 —4,04
0,92 —0,04 —0,01
-0,07 0,94 -0,02
—0,09 —0,08 0,99
0,92 —0,04 —0,01
1—1,91 1,02 0 =—0,01 (—1I+3
90,99 -4,04 0
= 0,01 [(-1,91) (-4,04) -90,99 • 1,02] «* 0,85
Далее находим значения алгебраических дополнений каждого
из элементов определителя матрицы В:
0,94 —0,02
—0,08 0,99
—0,07 —0,02
—0,09 0,99
—0,07 0,94
—0,09 —0,08
—0,04 —0,01
0,08- 0,99
0,92 —0,01
-0,09 0,99
0,92 —0,04
-0,09 -0,08
—0,04 —0,01
0,94 —0,02
0,92 —0,01
—0,07 —0,02
0,92 —0,04
Bi3=(-D1+3
Взз=(-1K+3
| -0,07 0,94
Определяем обратную матрицу:
0,93 0,04 0,01
= (—0,07) (—0,08) — (—0,09) • 0,94 = 0,09;
= —1 [(—0,04)-0,99—(—0,08) • @,01I = 0,04;
= 0,92 • 0,99 —(—0,09) (—0,06) =0,91;
= —1 [0,92 • (—0,08) — (—0,09) (—0,04)] =- 0,08;
= (-0,04) (-0,02) -0,94 (-0,01) =0,01;
= -1 [0,92 (-0,02) - (-0,07) (-0,01)] = 0,02;
= 0,92 • 0,94— (—0,07) (—0,04) = 0,86
0,85
0,07
0,85
0,09
0,85
0,85
0,91
0,85
0,08
0,85
0,85
0,02
0,85
0,86
0,85
11,094 0,047 0,012
0,082 1,070 0,024
0,106 0,094 1,010
Определяем валовой выпуск группы нефтехимических заво-
заводов — X л, группы химических заводов —X 2, группы заводов
пластмасс — Х3:
Xi = 1,094 • 50 000 Н- 0,047 • 30 000 + 0,012 ¦ 80 000 = 57 070 т
Х2 = 0,082 • 50 000 + 1,070 ¦ 30 000+0,024 • 80 000 = 38 120 т
Х3 = 0,106 • 50 ОООН-0,094 • 30000+1.010 • 80 000 = 88 920 т
18 заказ 1708
Глава IX
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
В ТЕОРИИ ХИМИКО-ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
К обыкновенным дифференциальным уравнениям приводятся
задачи, в которых требуется найти соотношение между зависимой
и независимой переменными в условиях, когда последние изме-
изменяются непрерывно. Однако при исследовании многих вопросов
химической технологии функция бывает задана только для опре-
определенного числа дискретных значений независимой переменной.
Примером может служить изменение состава жидкости (зависимая
переменная) при переходе от одной тарелки к другой в абсорбцион-
абсорбционной колонне. Независимой переменной здесь будет номер тарелки,
являющийся целым числом. Очевидно, что состав жидкости на та-
тарелке с номером 7,26 не имеет смысла. В подобных случаях решение
задачи приводит к так называемым уравнениям в конечных раз-
разностях.
Разностные уравнения имеют и другое важное применение:
ими пользуются при приближенном решении дифференциальных
уравнений (см. гл. XVIII — «Численное решение уравнений в част-
частных производных»).
§ 1. КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ
Пусть функция / (х) определена для следующего ряда равно-
равноотстоящих дискретных значений х:
x\ x-\-Ax; x-\-2 Ax; . . .; x-\-k Ax; . . ,
Обозначим величину функции в точке х-\- к Ах через у с соответ-
соответствующим индексом:
/ (х-\-к Ax) = yx+kt^x A)
Первой разностью функции в точке х называется приращение
у при переходе от точки х к точке х + Ах. Эта разность обозна-
обозначается Аух.
Следовательно
B)
274
Вторая разность, или разность второго порядка получается
подобным же образом, если воспользуемся приращением первой
разности:
Д гУ* = ДУ*+2 д* - АУ* = Ух+г д* — 2У+3)
Аналогично имеем:
Разностное уравнение есть соотношение между разностями сле-
следующего вида:
6 (Д„у, Д„-1У, . . ., Ду, У,х)=0 (о)
При подстановке B), C) и D) в E) получим эквивалентную форму
этого уравнения:
У (Ух+п Д*. УхЦп-l) Ах Ух+Ах' Ух, х) = 0 F)
Решение разностного уравнения есть зависимость между у и х,
которая тождественно удовлетворяет данному разностному уравне-
уравнению.
§ 2. РАЗНОСТНЫЕ ТАБЛИЦЫ
Рассмотрим таблицу разностей функции:
G
х у Ay Д22/ ДзУ
0 1
4
1 5 Ю
14 6
2 19 16
30 6
3 49
22
52
4 101
Как видим, разности третьего порядка постоянны и равны 6,
а разности четвертого порядка равны нулю. Это свойство имеет
место и в общем случае: разности п-то порядка полинома степени п
постоянны и равны йпп\, а разности более высокого порядка'равны
нулю. Это замечание позволяет сразу написать решение простейшего
разностного уравнения:
АпУ = а G)
Таким решением, очевидно, будет служить функция:
где с — произвольные постоянные.
18*
(8)
275
§ 3. ОПЕРАТОР Е*
Действие, которое сопровождается изменением значения функции
в соответствии с изменением приращения независимой переменной,
обозначим символом Е.
Таким образом
Еуо = У1
Аналогично имеем:
Уп = Еуп-i = Е (Еуп.%) = Егуы = ...Епу (9)
Равенство (9) показывает, что Еп применяется п раз для у0
с целью увеличить значение функции соответственно ге-кратному
увеличению приращения независимой переменной. Индекс п в Еп
может принимать любое положительное или отрицательное значе-
значение. Следовательно
E_if(xo)=f{xo-h) A0)
где индекс (—1) устанавливает, что функция уменьшается до ближай-
ближайшего нижнего значения независимой переменной. Оператор Е имеет
смысл только в том случае, когда находится перед функцией или
переменной. Он рассматривается как алгебраический символ и под-
подчиняется законам алгебры.
Поскольку знаки Е и А выражают действия с конечными разно-
разностями, которые подчиняются одним и тем же правилам алгебры, то
следует ожидать, что между ними существует связь. Действительно,
можно показать, что
Уп+1 = Еуп A1)
И
Уп*1 — Уп = Ьуп A2)
Подстановка A1) в A2) дает:
A3)
Последнее равенство может быть записано как тождество между
операторами в таком виде:
A4)
Это соотношение весьма важно, так как оно дает возможность
упрощать алгебраические выражения при использовании обыкно-
обыкновенных алгебраических действий. Так, например, если х независи-
независимая переменная, которая может принимать следующие значения:
«о» хо + h, х0 + 2h, и т. д., то
f(xo+h)=Ef(xo) A5)
В соответствии с формулой Тейлора имеем!
Ef (х0) = / (х0 + А) = / (х0) +hDf (х0)
(х0) +1^- Z>3/ (*0) + . . . A6)
* См. стр. 287.
276
где символ D представляет дифференцирование, т. е. d/dx. Из A6)
получаем:
[1 + ЛД+-^Г-+-^Г-+ • • •] /(*о)=Я/(*о) = A + Д)/(*о) (I7)
Выражения в квадратных скобках образуют ряд степенной
функции ehD. Уравнение A7) устанавливает связь между дифферен-
дифференциальным оператором и операторами для конечных разностей, т. е.
E=l + A = ehD A8).
Все три символа в равенстве A8) являются операторами и могут
быть обработаны как алгебраические величины. Для любого значе-
значения показателя степени т мы можем также написать:
Ет = A + А)т = emhD
A9)
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Если уравнение, связывающее у, Ау, А2у, . .'., Дпу, содержит
эти величины линейно, то оно называется линейным разностным
уравнением re-го порядка. Такое уравнение можно привести к виду:
АтУх+п+Ап-1Ух*п-1+ • • ¦
Это уравнение имеет много общего с линейными дифференциаль-
дифференциальными уравнениями.
Если Ф (х) — 0, то разностное уравнение
называется однородным.
Решения однородного уравнения следует искать в таком виде:
г, = р* (при
где р — некоторая постоянная, подлежащая определению. Напри-
Например, в случае уравнения второго порядка постоянную Р можно найти
следующим образом. Пусть дано уравнение:
лъУх+2 + АУх-и + АУх — 0 B0)
Полагая у = $х, получим:
Отсюда следует, что р должно быть корнем квадратного урав
нения
B1)
Если это квадратное уравнение имеет два действительных различ-
йых корня pt и р2, то общее решение уравнения B0) имеет вид:
где сх и с2 — произвольные постоянные.
277
Если рх = р2, то общее решение будет
$* B2)
Если корни уравнения B1) комплексные и сопряженные
Р = г (cos a + i sin а) B3)
то решением уравнения B0) будет функция:
у = тх {сх cos ах + с2 sin ах) B4)
Как и в случае линейных дифференциальных уравнений, общее
решение неоднородного линейного уравнения в конечных разностях
есть сумма общего решения соответствующего однородного уравне-
дия и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения.
Пусть, например, дано неоднородное уравнение:
Ух+г~5^+1 + 6^ = 3*2
Общее решение соответствующего однородного уравнения будет:
Частное решение неоднородного уравнения будем находить
методом неопределенных коэффициентов; для этого примем:
При подстановке в разностное уравнение найдем:
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х\
= 0
4&i + 2Ь2 + Ь3 — 5&i — 5Ь3 — 5&2 + 6&з = 0
Решая эту систему уравнений, найдем:
, 3 ' , 9 г, 15
bi = j; Ь2=2-; h= —
Следовательно, общее решение предложенного уравнения будет1
у
Щ-
§ 5. ПРОТИВОТОЧНАЯ ЭКСТРАКЦИЯ ЖИДКОСТЕЙ
Противоточная экстракционная установка состоит из М ступе-
ступеней (рис. IX-1). При установившемся состоянии в экстрактор п
поступает L моль экстрактного растворителя и R моль рафинатного
растворителя. После перемешивания и последующего отстаива-
278
ния рафинат направляется в экстрактор п + 1, а экстракт — в аппа-
аппарат п — 1.
Такого рода процесс имеет место в каждом экстракторе.
Исходный рафинатный раствор, идущий в экстрактор 7, состоит
из R моль растворителя, в котором на 1 моль содержится ¦ у0 моль
извлекаемого вещества А. Начальная масса экстракта, подаваемого
в аппарат М; состоит из L моль экстрактного растворителя, в кото-
котором на 1 моль содержится хм+1 извлекаемого вещества А. Рафинат
и экстракт представляют собой несмешивающиеся жидкости.
В каждом экстракторе достигается равновесное состояние, кото-
которое может быть выражено так:
*« = fry» B5)
Lx,
Определим зависимость между составом раствора для данной
Ступени экстракции и содержанием извлекаемого вещества в началь-
начальном растворе.
Из материального баланса для ступени п будем иметь:
B6>
B7)
/
Rn
Lx2
2
—m
Pw,
Ru ,
№
IX-1.
n
Ryn i j
—-^ H
Приход A^Ryn
Убыль А = Ryn -\- Lxn
Приращение должно быть равно нулю. Следовательно
Сопоставляя B5) и B6), получим:
Уп+i — (« + 1) Уп + «2/n-i = 0
где
R
Lk
Мы пришли к разностному уравнению, решение которого дает
искомую зависимость между уп, числом ступеней п и составами
начальных потоков рассматриваемой здесь экстракционной системы.
Ищем решение однородного уравнения в виде
где р определяется из уравнения:
Корни этсго уравнения:
= 1 и
27»
Общее решение уравнения B7) будет:
Постоянные сх и са могут быть определены из следующих краевых
УСЛОВИЙ!
У = У о при «=0
У-
ПРИ »
Для исходного выражения окончательно получим:
Уп — Уо _ «" — 1
§ 6. ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС В СИСТЕМЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ РЕАКЦИОННЫХ АППАРАТОВ
Реакторы, число которых М, снабжены мешалками (рис. IX-2).
В каждый реактор поступает L м3/ч раствора. Питающий раствор
Рис IX-2.
для первого реактора содержит с0моль/м3 вещества А. В реакторах
лротекает необратимая реакция по схеме:
А > В
Скорость, с которой вещество А вступает в реакцию, определяется
¦следующим выражением:
— ^Jl = (KVc)n моль/ч
где W — количество продукта реакции;
V — объем массы;
с — концентрация.
Константа скорости реакции К одинакова для каждого реактора.
Покажем, что максимальная концентрация вещества В, которая
может быть достигнута в реакционной системе, получается при
условии, что
ш общий объем
п=М
¦остается постоянным.
.280
Материальный баланс компонента А для реактора п
вляет:
соста-
еп+1 —
где
Придавая п значения 0, 1, . . ., М — 1, получим!
со
Наивысшая концентрация В в потоке жидкости, оставляющей
систему, будет в том случав, когда концентрация о# вещества А
в том же потоке является минимальной. Для минимального значения
этой величины, как известно, требуется, чтобы
м
дс
м
При этом
дс
'ш
-Кс0
Р(Квп
где
Сопоставляя B8) и B9), получим:
м
ер V d%
Так как
п-Х
, = -1?? = const
B8)
B9>
C0)
м
Отсюда следует, что
М-Х
п=х
281
Подставляя это значение dQM в C0), найдем:
М-1
-Кс„
Так как величины 01( . . ., бм-i независимы, то
Решая эти уравнения относительно 9„, найдем:
е„=ем («=i,2 м-1)
Отсюда следует, что
§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ТАРЕЛОК (СТУПЕНЕЙ МАССООБМЕНА)
В АБСОРБЦИОННЫХ КОЛОННАХ
При расчете числа тарелок абсорбционной колонны обычно вна-
вначале определяют число так называемых теоретических тарелок,
которые затем делят на к. п. д. тарелок. Этот метод дает неточный
результат, за исключением таких случаев, когда рабочая и равно-
равновесная линии являются параллельными.
Покажем, что определение числа тарелок в абсорбционной ко-
колонне можно осуществить путем решения некоторого линейного
разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффи-
коэффициентами.
Примем следующие обозначения:
уп — мольные доли растворимого в газе, оставляющем ге-ю та-
тарелку;
хп — мольные доли растворимого в жидкости, оставляющей п-ю
тарелку;
у1 — мольные доли растворимого в газе, поступающем в колонну;
у2 — мольные доли растворимого в газе, оставляющем колонну;
х2 — мольные доли растворимого в жидкости, поступающей в ко-
колонну;
шж — скорость поступления жидкости, кмоль/ч\
wr — скорость поступления газа, кмоль/ч;
г\ — коэффициент полезного действия тарелки (общий);
п — порядковый номер тарелки в колонне, считая снизу;
N — общее число тарелок в колонне;
Приравнивая количество поступающего на тарелку растворимого
газа количеству его при оставлении той же тарелки, получим:
и>гУп-1 + ^жхп*1 = ™тУп + %гл C1)
282
Исключим из C1) хп и xn+lt воспользовавшись для этого равновес-
равновесным соотношением:
уп = тхп + Ь C2)
Мы получим:
^Уп-1 + У'п+1 = ^Уп + У'п C3)
Далее, с помощью формулы для к. п. д. тарелки
П^Уп — Уп-1
У'п — Уп-1
исключим из C3) у' и у'п+х, где у' — равновесная концентрация.
Мы найдем, что линейное разностное уравнение, подлежащее
решению, имеет следующий вид:
где
Будем искать решение этого уравнения в виде
Уп= Р»
Тогда получим!
Корни этого уравнения будут:
Следовательно, общее решение уравнения C4) будет:
(85)
Постоянные сх и с2 определяются на основании граничных усло-
условий. Граничное условие у входа газа в колонну дает:
У1 = с1 + сг C6)
Прежде чем ввести второе граничное условие хп = ж2 при
п = N + 1 установим зависимость хп от п. Эта связь может быть
найдена путем исключения уп из C2), C3) и C5):
Из второго граничного условия получим:
Решая совместно C6) и C8), будем иметь:
„ _ У1—У2
C7)
№»)
i-UN
883
Для значения уп в формуле C7) имеем
г/i—Уп 1 —
_ i/' j TV
и концентрация растворимого в отходящем газе определяется фор-
формулой:
У1 —
L-N
Напишем это равенство в таком виде:
vi-yj 1 .. l-UN
У2—У2 i У1—У2 (t—X)kN
Решая C9) относительно N, получим:
C9)
АГ=-
D0)
v § 8. ХИМИЧЕСКАЯ АБСОРБЦИЯ И ДЕСОРБЦИЯ
В ТАРЕЛЬЧАТОЙ КОЛОННЕ
Газ для взаимодействия с жидкостью вводится в колонну снизу.
В тарельчатой колонне вследствие химической реакции непрерывно
•образуется новый газ. Реакция протекает в жидкой фазе в присут-
присутствии катализатора, циркулирующего в колонне в виде раствора.
Реакция первого порядка осуществляется в тот период, когда
реагирующий газ поглощается жидкостью на тарелках. Газовые
продукты реакции отделяются от жидкости восходящим потоком
газа и улавливаются непрерывно в отдельном абсорбере; остаток
подается снова в реакционную колонну.
Требуется найти выражение для концентрации продукта в газо-
газовой и жидкой фазах на любой тарелке.
Примем следующие обозначения:
Х — т-
](
ткН
хъ— растворимость чистого реагента — газа в жидкости, мол. доли;
к — константа скорости каталитической реакции в жидкой фазе,
кмоль В
Ч • МОЛ. ДОЛИ А • Л18 ЖИДКОСТИ '
Н — количество жидкости на тарелке, кмоль;
284 .
— общий к. п. д. тарелки для процесса десорбции,
Уп — Уп~1 '
т — константа растворимости, определяемая из соотношения
Уп = тхп;
п — порядковый номер тарелки, причем п — 1 принят для дна
колонны;
N — общее число тарелок;
у1 — концентрация взаимодействующего продукта в исходном газе,
мол.доли;
у2 — концентрация взаимодействующего продукта в отходящем
газе, мол. доли;
хг — концентрация взаимодействующего продукта в поступающей
жидкости, мол. доли;
х2 — концентрация взаимодействующего продукта в выходящей
из колонны жидкости, мол. доли;
шж — скорость поступления жидкости, кмоль/ч\
wF — скорость поступления газа, кмоль/ч.
Пусть в жидкости, насыщенной реагентом А, протекает реакция:
А > В
Скорость реакции будет;
кха кмоль В /ч- м3
Материальный баланс продукта реакции В для ге-й тарелки
составит!
wryn_i -f- iPyg.xn+l ~f~ кНха = wryn -)- южхп D1)
где Н в м3. Зависимость между составами оставляющих одну и ту
же тарелку газа и жидкости может быть получена из уравнения,
определяющего к. п. д. тарелки, и из уравнения равновесного
состояния:
„ _ Уп — Уп-1
Из. D2) и D3) находим:
У п —Уп-1
уп=тхп
1 1—
хп = —Уп г-
Уп-1
D2)
D3)
D4)
Исключая хп и хп^г из D1) с помощью D4), получим следую-.
щее разностное уравнение:
где
ткН . _ ти>г
Граничные условия, которым уравнение D5) должно удовлетво-
удовлетворять:
у—У! при п=0
285
т. е. газ, поступающий внизу колонны, содержит ух мол. долей В;
т. е. жидкость, выходящая из колонны, сразу же возвращается на
верх колонны и, таким образом, возможность протекания реакции
вне колонны исключена.
Следует искать решение однородного уравнения в виде:
Подставляя f>n в левую часть уравнения D5) без правой части,
получим:
.—1)] = 0 D6)
0.-1)]
Корни этого уравнения будут
и решение, таким образом, имеет вид:
D7)
Частное решение находим как решение неоднородного уравнения:
Подставляя в D5), найдем:
Общее решение уравнения D5):
|Л, «V
Первое граничное условие дает:
D8)
Прежде чем воспользоваться вторым граничным условием, нам
необходимо получить уравнение, в котором х выражалось бы через п.
Применяя для этой цели D4), найдем:
D9)
Подставляя в D9) п = 1 и n = N-\-l, мы, соответственно, будем
иметь:
"" ' E0)
E1)
—1 Т|
Приравнивая друг другу правые части E0) и E1), получим:
ахя N
сг = Т=Т- и „т, E2)
286
Из уравнения D8):
—2/1 = —
ахя
N
Таким образом, окончательное решение будет:
Для хп имеем:
E3)
E4)
E5)
§ 9. ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ, ИДУЩИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО
В БАТАРЕЕ РЕАКТОРОВ
Для некоторого химического процесса чистое вещество А в жид-
жидком состоянии должно поступать непрерывно в количестве 4540 кг/ч
в первый аппарат батареи, состоящей из двух одинаковых по разме-
размерам реакторов с мешалками; реакторы работают последовательно.
Определить объем аппаратов при максимальном выходе продукта В,
если температура в них поддерживается таким образом, что обеспе-
обеспечивается последовательный процесс:
A il> В ^ С
Константы скоростей реакций составляют кг = 0,1 мин'1 и к2 =
= 0,05 мин'1 при температуре реакционной массы, плотность кото-
которой постоянна и равна 960 кг/м3.
Пусть концентрации веществ Л, В и С при выходе потока из
любого реактора п равны, соответственно, С а, п, Св, « и Сс, «• Тогда
для материального баланса применительно к стадии п в соответствии
с общими понятиями об уравнениях в конечных разностях будем
иметь
Компонент А:
' ~ „т E6)
А, п-1
А, пх
где х продолжительность пребывания жидкости в аппарате;
Компонент В:
В, л-1
В, п
t — kX
E7)
Решение уравнения E7) выполняется обычным путем. Примем
= а и /с2х = р. Тогда (см. стр. 276)
или
где Кх — произвольная постоянная, а рх = 1/A+а).
F8)
287
Подстановка для СА, „ из уравнения E8) в E7) после преобра-
преобразования дает:
F9)
Общим решением уравнения E9) будет
где К2~произвольная постоянная и р, = 1/A + |3).
Для частного решения применим здесь метод обратных операто-
операторов. Рассмотрим уравнение в конечных разностях второго порядка
Частным решением этого уравнения будет
) (re) F0)
в соответствии с методом обратных операторов (см. стр. 287).
Оператор может быть представлен как произведение множителей
и разложен по частям. Таким образом, имеем:
1
1
Е*-АЕ+В (Я-РхНЯ-ра) E-pi E-pi
где а=1/(р1—р2).
Каждая составляющая последнего равенства может быть написана
в таком виде:
l-pi
i-p, L i-
A*
F1)
~E~-H "*" T^P2 Iх T- p2 ->"¦ A - P2J ' * • J F2)
Операторы F0) и F1) весьма удобны для отыскания частного ре-
решения, если ф\п) является полиномом по п, так как для разложе-
разложения потребуется только конечное число членов.
В том случае, когда Ф(п) = kQn, наиболее эффективным оказы-
оказывается другой способ. Имеем:
Еа" = a"+i = a-an
В общем виде
Етап = ат+п = а
F3)
при условии, что / (Е) может быть представлена как полином для Е.
Уравнение F2) является ключом к частному решению, когда
Ф(и) = кап.
таким образом, переписав F0) с Ф(п) = каг\ -—
F0')
288
используя F3), мы получим частное решение
ко?
Уп~
а^—Аа + В
при условии, что аг — А
Для частного решения E9), таким образом, мы можем написать
при использовании F3):
в, п-г
Тогда полным решением E9) будет:
w j§±fi F4)
Так как в реактор поступает чистое вещество (реагент) А при
и = 0, С а = С а, о и С в — 0, то
^i = с
л, о
После подстановки этих значений в уравнение F4) получим:
CD „ =
'А, 0
В,п~ р_
\\>х Ре)
F5)
Искомое условие должно дать максимальную величину концен-
концентрации Св, п для п = 2 при некотором значении т. Этот максимум
легче найти путем варьирования п при фиксированной величине т,
чем варьированием т при постоянном п. Продифференцируем F5)
и результат приравняем нулю:
dC
в, п
аС,
Мы получим:
Так как
Pl =
1
, о
1
1п р1~р? 1п
TO
1 + а 1+ОДт *
/ 1+0,05т
Л __
l + P ~ 0,05т
In A +0,05т)
Ы A + ОДт)
F6)
V 1 + 0Дт
Применяя для решения F6) методы, описанные в гл. «Приближенные
вычисления», найдем:
т = 0,456 мин
19 Заказ 1706 289
Таким образом, мы будем иметь
Объем реактора
Равновесное соотношение:
Объемная скорость питания
4540
= 0,456
UfLJi
±
Чп I
960 • 60
Оптимальный объем каждого реактора батареи составляет
4540-0,456
~~ 960 • 60
§ 10. ПРОЦЕСС ГИДРОЛИЗА ЖИВОТНОГО ЖИРА С ПОСЛЕДУЮЩЕЙ
ЭКСТРАКЦИЕЙ В РАСПЫЛИТЕЛЬНОЙ КОЛОННЕ
Животный жир в количестве 3877 кг/ч подвергается гидролизу
и экстрагируется в распылительной колонне при использовании
1707 кг/ч воды. Колонна работает в условиях противотока; процент-
процентное содержание гидролизуемого глицерина
8,53 масс. %, а количество глицерина в жир-
жирной кислоте, оставляющей колонну, равно
0,24 масс. %. Определить число теоретических
ступеней в колонне.
Материальный баланс дает концентрацию
глицерина в воде, равную 18,8%. Общее ко-
количество жирной фазы в колонне 5538,8 кг.
Коэффициент распределения Глицерина между
водой и жиром 10,32; константа скорости реак-
реакции 10,2 ч.
Для расчета числа теоретических ступеней
N рассмотрим схему тарельчатой колонны,
изображенной на рис. IX-3, где использованы
следующие обозначения:
L — количество жирной фазы, поднимающейся
в колонне, кг/ч;
G — количество водной фазы, опускающейся
в колонне, кг/ч;
Н — количество жирной фазы, приходящейся на одну ступень, кг;
х — массовая доля глицерина в экстракте;
z — массовая доля непрореагировавшего жира в рафинате;
w — количество жира, необходимого для получения 1 вгглицерина,кз;
к — константа скорости реакции псевдопервого порядка в значе-
значениях концентрации жира, ч.
Для баланса по глицерину применительно к п-ъ ступени имеем:
, кН
П*1 к 2-п*
1
I Ул
17- I
П' I
*i \хя., * дн
Рис. IX-3.
zn = Gyn + Lxn
F7)
Эквивалентный баланс по глицерину между ге-й тарелкой и основа-
основанием колонны дает:
F8)
F9)
где т — константа равновесия.
Подстановка zjw из F7) в уравнение F8) и исключение х при
использовании F9) дает:
mG
кН ( т
mG mG
= 0 G0)
Приравнивая mG/L = a, kH/L = |3, мы получим после преобразо-
преобразования G0):
( ^ ) G0
G2)
G3)
G4)
Уравнение G1) есть линейное уравнение в конечных разностях.
Вспомогательное уравнение составляет
Общим решением будет
Частное решение представляется в таком виде:
1
Уп=-
где
Так как С не зависит отгеи2? = 1 + А,то величина Е может быть
заменена единицей. Следовательно, уравнение G4) принимает такой
вид:
yn=-z-r. — = т.—: G5)
р(— а) а —1
Тогда общее решение уравнения G1) будет
а —1
G6)
при граничных условиях: п = 0, у — 0; п = N + 1; х — 0.
Подстановка этих значений для граничных условий в G6) дает:
И
§90
В итоге после упрощения получим:
У»т = ; 1 Ct -4- ,т I
а" w(a — 1) (_ (i_a_j-{5) (i-j-P)^ J
19*
G7)
291
Определим числовые значения а и |3:
__mG__ 10,32-1707
а~ L ~~ 3877 ~ '5l
„ АЯ 10,2-5538,8 14,6
V~ L- 3877* "
где 5538,8/iV = Я представляет количество жидкости, приходящейся
на ступень.
Таким образом, в соответствии с G7) мы получим
10,32 • 0,0853
3,54-4,54* —A4,
0,188= jvn —t "^ / 14 6
14,6 \JV
G8)
откуда методом подбора найдем:
• iV = 2.8
§ 11. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
Такие уравнения встречаются при решении инженерных задач
и они с трудом поддаются решению, а иногда и вовсе не решаются.
Однако нелинейные уравнения первого порядка могут быть решены
графически, а некоторые уравнения второго порядка решаются спе-
специальными подстановками. Эти методы рассматриваются ниже в от-
отдельности.
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Рассмотрим нелинейное уравнение первого порядка в конечных
разностях:
0 G9)
где А и В постоянные.
Расположим G9) так, чтобы его слагаемые были разделены соот-
соответственно их индексам:
п+1 = Уп — Ауп — В
(80)
Выбирая произвольно некоторый ряд значений уп, мы получим
из (80) соответствующий ряд значений уп+1. Таким образом, примени-
применительно к уп и yn+i может быть составлена таблица, и по ее результа-
результатам может быть построен график в прямоугольных координатах
для уп относительно уп+1. Кривая А В на рис. IX-4 представляет ура-
уравнение (80). Для того чтобы найти его решение строим диагональ
Уп — Уп+п которая на рис. IX-4 изображена линией РО. Начиная
с граничного условия у0 в точке А (координаты у0, г/х) и проведя
ординату, мы найдем точку С на диагонали, где у0 — ух. Из точки С
проводим обратно горизонтальную линию до пересечения с кривой А В
в точке D. Координаты точки D составляют (у v, y2) соответственно
уравнению F0'), с помощью которого вычисляется г/2. Продолжая
этот процесс ступенчатого построения графика до N-ш ступени, мы
292
получим значение yN+1 и, следовательно, значение у, соответству-
соответствующее любой величине п. Это метод разработан для всех уравнений
первого порядка при условии, что они могут быть приведены к та-
такому простому виду, какой имеет уравнение (80). Следует отметить,
что легче выбрать значения переменной для наиболее сложной части
уравнения и найти решение для другой переменной. Например,
проще выбрать ряд значений для уп и решить уравнение (80) для уп+11
чем принять значения для уп+1 и решить квадратное уравнение
Для уп.
Пример. Этиловый спирт в количестве 454 кг/ч подвергается
этерификации при взаимодействии с уксусной кислотой, расход
которой составляет 386 кг/ч. Реакция
осуществляется при 100° С в батарее
реакторов непрерывного действия с
перемешиванием, причем объем каж-
каждого аппарата 0,85 м3.
При условии, что равновесное со-
соотношение таково, что этерифици-
руется 75,2% кислоты, определить
число реакторов, необходимых для
60%-ной конверсии.
При 100° С константа скорости
реакции этерификации равна 4,76 X
X 10~4 моль'1 • мин'1, а для реакции
гидролиза эфира она составляет 1,63 X
X 10~4 моль х-мин 1. Плотность реак-
Рис. IX-4.
ционной смеси 925 кг/м3.
Для материального баланса применительно к реактору т в бата-
батарее из iV аппаратов с внутренним перемешиванием имеем:
,-*-дСлп, = гУ (81)
где СА< т— концентрация реагента А при выходе из m-го аппарата;
г — скорость реакции;
q — объемная скорость потока;
V — объем реактора.
Для реакции второго порядка
Л + Я ^rf C+D
скорость химической реакции будет
г = kiCA ¦ Св — к2Сс ¦ CD
(82)
Если перемешивание является полным, то концентрация компо-
компонентов на выходе из аппарата будет такой же, как внутри аппарата.
Поэтому равенство (81) принимает следующий вид:
А, ш-х
где 6 — время пребывания реакционной массы в аппарате.
(83)
293
Если концентрация В превышает таковую реагента А на коли-
количество с в начале процесса, то эта разность будет поддерживаться
во всей системе, т. е. в любом реакторе т концентрация реагента В
будет (CAim+ с).
Исходя из стехиометрических соотношений, можно записать, что
концентрация каждого продукта составляет (Са, о — Са,щ)-
Подставив значения этих концентраций для компонентов В, С
и D в (83), мы после преобразования получим:
СА,т-1 = СА,т+[Ь1СА,т{СА,т + с)~кг{САо-САуту\Ъ (84)
Выражение (84) есть нелинейное уравнение первого порядка
в конечных разностях, которое надлежит решить графически для
общего числа реакторов при 60%-ной конверсии уксусной кислоты.
Принимая, что питающая жидкость перемешивается равномерно,
мы получим для концентрации уксусной кислоты:
„ 386-865 _ *г 398-1000
-А, о- 386 + 454 л3 или Чо Ю00-60
моль
Л
Аналогично
Таким образом
Св 0= 10,18 моль/л
с =10,18—6,63 = 3,55 моль/л
„ 0,85 • 865 • 60
840
¦ = 52,6 мин
Подстановка этих значений в (84) дает:
— 1,63«КГ» F,63 —
в
7
. в
? 5
* 4
3
2
1
уксусная кислота /
в питании Г
А
- /
* 1 l I I I I
...т-0.376 (85)
Произвольные значения СА< т, при-
приведенные в таблице, были выбраны
и подставлены в уравнение (85) с тем,
чтобы получить соответствующие зна-
значения С А, т-1-
1 2 3 4 5 S 1
Сл.т(гМ
Рис. 1Х-5.
А, т
6,6
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
СА. т-\
8,27
7,43
6,05
4,70
3.38
2,09
Значения СА< т_х изображаются на диаграмме (рис. IX-5) отно-
относительно САгГП. Отметив состав питающей смеси 6,6 моль/л, опреде-
определим с помощью диаграммы число реакторов следующим образом.
Желательная конверсия принята равной 60%. Следовательно,
концентрация уксусной кислоты на выходе будет:
0,40 ¦ 6,63 = 2,65 моль/л
Число реакторов при этих условиях составляет 7.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
В настоящее время лишь незначительное число нелинейных
уравнений в конечных разностях могут быть решены аналитически
и они решаются только потому, что могут быть приведены к линей-
линейным уравнениям.
Пусть, например, мы имеем уравнение в конечных разностях:
Уп+2Уп—уп+1 \°v)
Представляя (86) в логарифмической форме, получим:
lg2/n+2 + lg#n = 2]g!/n+i (87)
Примем
Тогда (87) становится линейным уравнением второго порядка:
(88)
Решение (88) известными методами дает:
ИЛИ
Теперь примем
Таким образом
Cx=\gA и C2=]
294
Решение уравнения (86) стало возможным только после его линеа-
линеаризации.
Нелинейным уравнением в конечных разностях второго порядка,
которое встречается в инженерных задачах, является уравнение
Риккатти:
Уп+1Уп+Ауп+1 + Вуп + С = 0 (89)
где А, В и С — постоянные величины. Оно обращается в линейное
уравнение следующим образом.
Пусть
!/п = ип + б (90)
295
Подставим (90) в (89) и напишем результат в таком виде:
(91)
Если б выбрано так, что
то после разделения (91) на гг„+1и„ мы получим:
(В + 6)-
Подставим
«В+1
(92)
х =
уп—6
Тогда (92) примет такой вид:
*n*i + P*n + Q=0 (93)
Равенство (93) есть линейное уравнение в конечных разностях,
причем
Р Л + 6 1
*- в + 6 ч~ в+6
и решение его известно. Оно приводится к следующему оконча-
окончательному виду:
1
г/о—6
1
4 + В + 26
(94)
где постоянная К должна быть вычислена из граничных условий
задачи.
Пример. Бензольно-толуольная смесь, содержащая 60 мол. %
бензола, поступает непрерывно в ректификационную колонну.
Между кубом и питающей тарелкой имеется 9 тарелок и конечный
продукт содержит 98 мол. % бензола, в то время как жидкость
при выходе из куба содержит 2 мол. % бензола. Определить общий
коэффициент полезного действия колонны.
Питающая смесь поступает в колонну при ее температуре кипе-
кипения и относительная летучесть бензола по отношению к толуолу
постоянна и составляет 2,3. Флегмовое число 3,0.
Для расчета примем 100 кмоль питающей смеси и пусть
D — число киломолей дистиллята;
W ~ число киломолей кубового остатка.
Таким образом
и
откуда
296
60 = 0,98# + 0,02 A00—О)
= 60,4 кмоль и PF = 39,6 кмоль
Материальный баланс в пределах между основанием колонны
и любой ее тарелкой п составляет:
Lxn+1 = Gyn+Wxn (95)
где L — число киломолей флегмы, опускающейся вниз по колонне;
G — мольная скорость пара, поднимающегося вверх по колонне.
Так как относительная летучесть а постоянна, то для равновес-
равновесного соотношения будем иметь:
ахп
"" 1+1а-1)*в"
Подстановка (96) в (95) дает:
(96;
или
, хп+1 [•aG + (a-l)Wxn-] Wxw __
*»¦!*» +Т=Т ~L L(a-l) J *" ~ L(a-l) ~
Напишем
L=F + RD= 100 + 3 -60,4 = 281,2 кмоль/ч
Обозначив
в _ ^+ (« - i)_Wxu _ _2,3 • 4 • 60,4 + 1,3-39,6-0,02 _,
(97)
281,2-1,3
39,6-0,02
r
C=L(a-l) = 281,2-1,3
мы для (97) получим уравнение Риккатти:
хп+1хп+Ахп+1-Вхп^С = 0 .. (98)
Решение уравнения (98) может быть найдено таким образом. Пусть
2" = ^=6
где б получается из уравнения
или
Корни уравнения:
62-0,7456 = 0,0022
6 = 0,757 пли —0,003
Общее решение уравнения (98):
г -
хп-Ь
Х
В~Ь) А-В + 26
297
Выбирая корень б = —0,003 и подставляя значения граничных
условий, для которых при п = 0 имеем хп= 0,02, найдем
¦ АГ = 42,2
Значение п, соответствующее хп — 0,60, определяется из равен-
равенства
Имеем
п=7 тарелок
Исключая из этого числа куб колонны, мы получим общий к. п. д.
колонны М-= 67%.
§ 12. РЕКТИФИКАЦИЯ БИНАРНОЙ СМЕСИ В ТАРЕЛЬЧАТОЙ КОЛОННЕ
Бинарная смесь, состоящая из компонентов А и В, поступает
в ректификационную колонну непрерывного действия. Относитель-
Относительная летучесть смеси а постоянна.
Для тарелок, расположенных над местом подвода смеси, выве-
выведем разностное уравнение, которое выражает зависимость состава
жидкости от числа тарелок, если к. п. д.
тарелок составляет 100%.
Примем следующие обозначения:
хп — мольная доля легколетучего компо-
компонента в жидкой фазе на n-й тарелке;
xD — мольная доля легколетучего ком-
компонента в жидкой фазе на n-й та-
тарелке;
у„ — мольная доля легколетучего компо-
компонента в паре, находящемся в равно-
равновесном состоянии с жидкостью со-
состава хп;
Рис. IX-6. у„ — мольная доля легколетучего ком-
компонента в паровой фазе, оставля-
оставляющего n-ю тарелку; имеем уп = у„, если к. п. д. тарелки
100%;
L — мольная скорость жидкости, проходящей через колонну, рас-
расположенную над питающей тарелкой (зта величина принята
постоянной);
F — мольная скорость исходной смеси;
W — кубовый остаток;
V — мольная скорость потока пара, поднимающегося вверх по
колонне (принята постоянной);
D — мольная скорость продукта, выходящего из конденсатора.
Составим материальный баланс для легколетучего компонента.
На рис. IX-6 изображена ректификационная установка, где пункти-
пунктиром обозначена рассматриваемая часть аппарата. Имеем:
Vyn_1-Lxn-DxD = 0 (99)
298
Выражение (99) представляет уравнение рабочей линии на фазо-
фазовой диаграмме процесса ректификации.
Введем относительную летучесть
A—Уп)хп
A00)
Для той же диаграммы формула A00) соответствует уравнению
равновесной линии.
Комбинирование (99) и A00) дает:
Пусть
DxD(a-l)-aV
L(a-l)
1
L(a-i)
A01)
b =
a —1
DxD(a — 1) — aV
Dx
D
L(a-i)
Тогда A01) примет следующий вид:
*п?п-1 + ахп + bxn_y + с = 0
Равенство A02) есть уравнение Риккатти.
Вводя
L
v
х -fi
A02
(ЮН
получим
при условии, что
или
б=
— (a + b) ± К(а + Ь)а^
2
Решением линейного разностного уравнения будет
A04)
A05,
(ЮН
где К — произвольная постоянная.
Комбинирование A06) и A03) дает:
Ь) + \b-1-Ь)
A07,
299
Пусть пересечение равновесной и рабочей линий происходит
в точке хс и yt. Эта точка должна удовлетворять (99) и 100):
Vyi — Lxt — DxD = 0
а^ Уi A—*»)
A — Vi) xi
Исключив у{, получим:
4+(я + Ь)^ + с = 0 A08)
Уравнение A08) идентично A04), которое определяет значение б.
Следовательно
6 = xi
и смещение осей, которое требуется для линеаризации разностного
уравнения Риккатти, получилось путем принятия начала координат
в точке пересечения равновесной и рабочей линий.
Значение произвольной постоянной К в A07) зависит от условий
в нижней части колонны. Вычисление этой величины возможно
в том случае, когда известен состав жидкости, питающей тарелки.
§ 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В предыдущих параграфах было показано, что химические уста-
установки, состоящие из многих ступеней, могут быть исследованы
с помощью уравнений в конечных разностях, если производственные
условия являются стационарными. Однако в том случае, когда та-
такого рода установки подвергаются в своей работе ступенчатому
изменению, находятся в периоде пуска или выключаются, то составы
потоков реакционной массы, проходящей через эти ступени, изме-
изменяются со временем. Это приводит к появлению бесконечно малых
величин в дополнение к выражениям в конечных разностях, которые
в целом составляют так называемые «дифференциально-разностные»
уравнения. Следует отметить, что во многих случаях конечное
дифференциально-разностное уравнение, описывающее процесс, ста-
становится очень сложным для аналитического решения и тогда необ-
необходимо воспользоваться счетно-решающим устройством с целью
получения анализа по рабочим ступеням аппарата.
Аналитическое решение дифференциально-разностных уравнений
выполняется путем приведения их к уравнениям в конечных разно-
разностях на основе преобразования Лапласа. Полученное уравнение
решается с представлением итога к такому виду, чтобы можно было
показать, как изменяется со временем процесс при прохождении
реакционной массы в установке в течение переходного периода.
Пример. Система состоит из ./V аппаратов с мешалками, распо-
расположенных каскадно; объем каждого из них составляет v м3. При
условии, что в каждом аппарате сначала имеется чистая вода и
раствор соли с концентрацией х0 кг/м3 поступает в первый аппарат
со скоростью R м*/ч, рассчитать концентрацию на выходе из послед-
300
него аппарата как функцию времени, если эффективность перемеши-
перемешивания является 100%-ной.
Использовать полученный результат для сопоставлении переход-
переходного состояния всей системы, имеющей общий объем Nv = V
(постоянный). i
Для материального баланса по соли применительно к ге-й сту-
ступени имеем!
dxn /j^nv
Rxn_t-Rxn = v -rr- A09)
от
Преобразование Лапласа (см. гл. X) для уравнения A09)
с целью удаления производной дает»
Rxn-l — Rxn = vpxn
Решая это линейное уравнение в конечных разностях методом,
приведенным в § 12, получим!
- _ л( R \п
Вследствие того, что состав питания является постоянным, имеем:
х х°
Таким образом
- _х0 I R у
Хп~Т\1Г+^р~)
(НО)
N~ P \R+vp
Из таблицы оригиналов и изображений получаем!
Следовательно
_J I._ Г i"-1*-**
(in)
Интегрирование правой части A11) по частям (N — 1) раз дает:
Ь-г
р(р + а)
[
1I L a
~ a(N-i) + «(ЛГ-2)! •
Используя A12), мы из A10) получим!
aN + aN
A12)
301
или
X hi — X(\ — j
(из)
Это равенство есть решение первой части задачи.
Для второй части задачи, когда V = Nv, уравнение (ИЗ) при-
приводится к такому виду:
. (NR /FV^-1
GV
В частности, если Л7" = 1, то
и если
L
/?т \2 32 / Лт \з-|
(И5)
(
Вычисление (ИЗ), когда N -*-оо, затруднительно, но подстановка
V — Nv в уравнение A10) дает равенство
которое разлагается по биномиальному закону так:
у (jy + i)(.V4-2) / ^рл3
- % Г. f
v—pL
- Если Л'' велико, то выражение в квадратных скобках приближенно
может быть написано в виде:
Оригинал, изображения A17) может быть найден из таблицы
оригиналов и изображений и, таким образом, при N -*¦ °°:
где k = /
Равенства A14), A15), A16) и A17) графически изображены
на рис. IX-7 для того, чтобы показать зависимость концентрации
от изменения значений N. Мы можем сделать заключение о том,
что батарея из большого числа смесительных аппаратов, располо-
расположенный последовательно; подвержена таким же воздействиям в отно-
отношении изменения режима работы, как отдельный трубчатый аппарат
того же объема с поршневым потоком массы. Справедлив также
и обратный вывод: поток в трубе с незначительным обратным смеше-
смешением может быть представлен цепью смесительных аппаратов с та-
таким же общим объемом.
Пример. Уксусный ангидрид подвергается гидролизу в лабора-
лабораторной батарее смесительных реакторов, состоящей из трех сосудов
302
одинакового объема. В каждый реактор загружается 1800 мл рас-
раствора ангидрида с концентрацией 0,21 моль/л при 40° С и 600 мл/мин
раствора, содержащего 0,137 молъ/л уксусного ангидрида, непре-
непрерывно поступает в первый реактор.
Определить время, необходимое для работы системы реакторов,
чтобы привести их к установившемуся состоянию.
Константа скорости реакции гидролиза уксусного ангидрида
при 40° С составляет 0,38 мин'1.
Пусть мы имеем батарею, например, из п реакторов, располо-
расположенных последовательно. Для материального баланса примени-
применительно к т-ыу реактору примем
следующие обозначения:
д — объемная скорость потока;
V — объем каждого реакционного
аппарата;
С — концентрация ангидрида в рас-
растворе.
Если плотность жидкости и тем-
температура в каждом реакторе по-
постоянны, то будем иметь:
7,00
dx
Обозначим:
— = о — продолжительность
г,„ = кСт — скорость реакции.
Рис
пребывания материала в реакторе;
Таким образом
dCn
A18)
dx — 9 ~m v 9 ;
Так как все аппараты одинакового размера и батарея работает
в изотермических условиях, то -^i— = M (const)
Используя преобразование Лапласа для уравнения A18) в соот-
соответствии с гл. X:
мы получим:
)-Ст@)
A19)
РСт (р)-Ст @) + МСт (р) - j Cm_! (P) = 0
где Ст (р) — изображение.
Но. реакционная масса в аппаратах в начале процесса имеет
одинаковые составы и поэтому Ст @) = 0,21. Уравнение A19) может
быть представлено в виде дифференциального уравнения первого
порядка следующим образом:
9 (р + М) Ст(р)~Ст.1 (р) =0,219
A20)
303
Решая A20) методами, описанными выше (гл. X), мы получим:
0,219
U21)
где А — произвольная постоянная.
П 0 07 С
р
При т = 0 имеем С
0,137. Следовательно,
0,317
-о(Р)=-
в
0,137
Р
Р
0,219
A22)
откуда находим А. Подстановка в A21) и соответствующее преобра-
преобразование дают:
0,137 , 0,219
Ст (Р)'
0,137
pQm(p+M)n
1
)т J
A23)
Каждое выражение в квадратных
скобках может быть непосредственно
обращено в оригинал при использо-
использовании таблицы оригиналов и изо-
изображений, а первое слагаемое
может быть инвертировано при-
применением изображения (см. гла-
ву X).
Следовательно, решением будет
(QM)
Равенство A24) есть общее выражение для концентрации на выходе
из любого реактора в батарее из п смесительных аппаратов с одина-
одинаковыми объемами, причем каждый из них начинает работать с одной
и той же концентрацией.
В рассматриваемом здесь конкретном случае последний реактор,
который должен работать при установившемся режиме, является
третьим и так как
304
то
С3 = 0,014—0,014A+0,713т+0,254т2)
Таким образом
A+ 0,333т +0,056т2) е-о
0.пзт A25)
Равенство A25), которое дает Са — состав потока на выходе из
последнего реактора как функцию времени, — изображено графи-
графически на рис. IX-8. Этот график показывает, что лабораторная
батарея реакторов достигает установившегося состояния через
15 мин от начала опыта.
20 Заказ 17В6
Глава X
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Рассматриваемые в операционном исчислении методы дают воз-
возможность находить решения многих дифференциальных и интеграль-
интегральных уравнений, а также систем уравнений. Эти методы основаны
на так называемом преобразовании Лапласа и часто значительна
упрощают решения задач и сокращают вычислительную работу.
Операционные методы по существу сводят решение уравнения к оты-
отысканию функциональных преобразований в таблице. Однако в совре-
современном своем состоянии операционное исчисление применимо лишь
к линейным дифференциальным уравнениям (обыкновенным и с част-
частными производными).
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Рассмотрим зависимость между двумя функциями / (t) и F (р),
выраженную следующим образом:
F(P) = P J e-
(О
Здесь р, вообще говоря, — комплексная переменная величина,
а / (t) — функция, которая при отрицательных t равна нулю:
0 = 0; (t<0)
B)
Кроме того, относительно / (t). допустим, что для некоторой
области изменения переменных р интеграл A) существует. Преобра-
Преобразование, определяемое зависимостью A), будем обозначать следу-
следующим образом:
F(p) = Lf(t) C)
Функция / (t) называется оригиналом, а функция F (р) — изо-
изображением. Зависимость между f (t) и F (р) также записывается
в виде:
/ (t) = L'lF (р) D)
306
Символ L~l обозначает преобразование, обратное преобразова-
преобразованию C).
Сущность операционных методов состоит в том, что исследуется
не сама функция (оригинал), а ее изображение.
§ 2, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
Пусть имеем зависимость между функциями х (t) и у (р)
»(р) = р J e-P*x(t)dt
или в символической записи:
E)
dx
Найдем изображение производной, т. е. L —, выразив его че-
через у(р).
На основании равенства E) имеем:
e-pt(J^^dt =
Интегрируя по частям, получим:
Так как
то
где
\dt
о о
lim
t -* со
(в)
Формула F) определяет изображение производной —, если из-
известно изображение функции х и значение функции х при t — 0.
Для нахождения изображения производной второго порядка
примем, что
dx
dt
Тогда из формулы F) имеем:
„ dx . . . n
где хг есть значение производной — при t = и.
20*
G)
307
Аналогично для изображения производных высших порядков
получим:
L -др-=р3у — р»х0—ргч —
-^J" = Р1У — Р*Ч — pS^j _ р2 ^ _
(8)
где xs есть значение -^- при х = О.
Формула (8) имеет большое значение при решении линейных диф-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Пример. Решить дифференциальное уравнение
(9)
при начальном условии:
х = х0 при (= О
Применим преобразование E) к уравнению (9). Мы найдем:
Отсюда
У =
РЧ
р+а
Согласно принятой нами символике, переменная х отсюда выразится сле-
следующим образом:
Г-1 РХ0
Остается найти функцию, изображение которой есть
а- В конце
книги приведена таблица, в которой помещены оригиналы некоторых функ-
функций. Из формулы G) этой таблицы находим:
+
Следовательно
х = хое"а1
Пример. Решить дифференциальное уравнение
при начальных условиях:
-yj- -f- Ша1 = COS Ш
dx
(Ю)
По предыдущему, обозначим y = L{x) и заменим каждый член уравнения
A0) его изображением.
308
Из таблицы изображений (см. Приложение I, формула № 10) находим:
Рг
L cos Ш — -—-.——
р2 + @2
Учитывая формулу G), уравнение A0) преобразуем к виду:
Р2
— pxi + efiy =
Из этого уравнения получим:
"Г
(И)-
Обращаясь к таблице изображений (Лг»№ 10, 11 и 21), найдем оригиналы
функций, стоящих в правой части равенства A1), и найдем х:
х = х0 cos Ш -\-xi
sin at
sin Ш
Таким образом, переходя от оригинала к изображению при помощи пре-
преобразования E), мы операцию дифференцирования оригинала функции заме-
заменяем алгебраическими операциями над изображением, благодаря чему решение-
линейного уравнения с постоянными коэффициентами приводится к решению
алгебраическою уравнения.
§ 3. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Для того чтобы решить уравнение с постоянными коэффициентама
в общем виде
положим у = Lx и Фх{р) = Lf (t) и заменим в уравнении A2) про-
производные от х по t их изображениями на основании формулы (8),
Мы получим:
(Рп + aiP"-1 + . . . + ап) у = 0>! (р) + Ф2 (р) A3>
где
Если положить
in(P)=P"-aiP"-1+ ••
то уравнение A3) можно переписать так:
.,,„,_ <Di(p) , Ф2(Р)
in (P)
Ln(P)
= Lx(t)
A4)
Для решения уравнения A4) относительно х (t) мы должны найти
оригинал функции, изображение которой есть у (р):
309
Для этого нужно разложить дроби ' р и 2 /' на простей-
Ln (Р) <-т \Р)
шие дроби и затем найти в таблице преобразований соответствую-
соответствующие им оригиналы.
Пример. Проинтегрировать дифференциальное уравнение
-^f+ 3 -^—10* = 47 cos 3< -sin 3<
цри начальных условиях:
*@) = 3; ж'@) = -1
Берем изображения от обеих частей уравнения A5)!
A5)
A6)
L D7 cos 3< —sin 30 =
47p2—Зр
Следовательно, дифференциальное уравнение A5) при начальных усло-
условиях A6) заменяется следующим алгебраическим по отношению к неизвест-
неизвестной у:
/7п2 —Зр
10уЗр*8р У
47р2—Зр
P2 + 9
P2 + 9
-3p2 + 8p
Решая это алгебраическое уравнение,-получаем:
.. Зр«+8р8+74р2 + 69р
i (Р + 5) (р-2)
A7)
Остается по изображению у найти его оригинал х. Для этого разложим
уравнение A7) иа сумму простейших дробеД. „Так как для операционного исчи-
исчисления простейшими являются дроби, отличающиеся от простейших дробей
интегрального исчисления наличием множителя рв числителе, то расклады-
раскладываем с помощью обычных приемов дробь — :
V (Р2 + 9)(р + 5)(р-2)
где А, В, С, D — подлежащие определению числа.
Умножая на общий знаменатель, получаем:
р + 5 ^ р-2
+ С
(р-2) + D (Р2+9) (Р+5)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, получим систему
уравнений
A+C+D=3
— 2С roD = i
—Ш + ЗВ + 9С + 9D = 74
-10В -18С + 45?>=69
решив которую, находим А = —2, В = 3, С = 2, Z> = 3
Следовательно:
У —2р4-3 . 2 . Н
Р ~~ Р2 + 9 + Р + 5 + Р-2
Умножив обе части этого равенства на р, имеем:
.._ о Р2 I Зр___ , 2р_ ,__
" р2+9 ' р2 + 9 ' р + 5 ' Р—2
Пользуясь таблицей изображений, находим:
ж =—2cos 3<+sin3<+2e~5'+3e2'
§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ НЕКОТОРЫХ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Для нахождения изображения функции / (t) следует вычислить
интеграл, стоящий в правой части формулы E).
Найдем изображение функции, определенной следующим обра-
образом:
/(И
«о
Функцию эту в операционном исчислении называют единичной
и обозначают символом 1 (t). Мы имеем:
Таким образом, изображение единичной функции есть единица.
Найдем изображение постоянной величины:
Имеем при
Пусть
В этом случае
(ОО)
Ap-pt
e~at dt = p J
Отметим, что если f(t)=eat, то:
Leai=-
р+а
a>0)
p — a
-310
311
Найдем изображение функции tm. Интеграл E) при / (t) — lm
через элементарные функции не выражается. Интеграл этот детально
изучен и свойства его хорошо известны. Приведем некоторые из них.
Гамма-функция положительного аргумента п определяется следу-
следующим образом:
Г (п) = j
n-1e~x dx
Очевидно, что
ГA)= J e-*dz=l
A8)
A9)
Интегрированием по частям может быть установлено следующее
тождество:
ОЭ ОО СО ОО
r(n + l)=J xne~xdx = n§ xn-ie-xdx+(—xne-x) |=nj xn-le~x dx B0)
0 0 0 0
Сопоставляя уравнения B0) и A8), получим:
Г(п + 1)=пГ(п) B1)
Формула B1) выражает основное свойство гамма-функции. Из
этого свойства вытекает, что, если значения функции Г (п) известны
для всех п между любыми следующими одно за другим целыми
числами, то значение Г («) для любого положительного значения п
может быть найдено путем последовательного применения B1).
Интеграл A8) не имеет смысла при отрицательных п. Однако
формула B1) может быть использована для определения Г (п) для
неположительных значений п. Мы можем написать B1) в таком виде:
Г(в)=
Г(в
B2)
Если О <С п =$ 1, то правая часть этого равенства определена
посредством формулы A8); следовательно, формула B2) позволяет
определить функцию Г (п) для —1<«ssO.
Далее, мы можем найти Г (и) для —2 < п =5 —1, так как для
этих значений п правая часть B2) определена, и т. д. Таким образом,
имеем возможность определить Г (и) для любых вещественных
значений п.
Из формулы A9) имеем:
ГA) = 1
Пользуясь формулой B1), получим
ГB) = 1-ГA) = 1
ГC)=2-ГB) = 2-1
ГD) = 3-Г(.3) = 3-2-1
при условии, что п является положительным целым числом.
312
Отсюда видно, что удобно считать:
Последовательное применение формулы B2) показывает, что
гамма-функция становится равной бесконечности, если п есть нуль
или отрицательное целое число.
Сделав в основном интеграле A8) подстановку
получим:
Г(п) =
dy
При п — х1г имеем:
В курсах математического
анализа доказывается, что ин- |
теграл, стоящий в правой части
этой формулы, равен к я. Сле-
Следовательно
Рис. Х-1.
Г - ) =
Применяя этот результат совместно с B2), получим!
Г — 4 ) =
ф
= -2 У я
Далее имеем:
'(-*)-
г —4
и т. д.
На рис. Х-1 представлен график функции Г (и). В конце книги
приведена таблица значений функции Г (п).
Возвратимся к нахождению изображения функции / (t) — tn~
Подставив в интеграл A8) х = pt, получим!
ИЛЧ
B3)
313,
Сравнивая уравнение A9) с основным интегралом преобразова-
преобразования A), имеем:
Lt-^Щ
рп-1
Заменив п— 1 на т, получим:
t = X г- * -
рт ' м рт Г + )
В частности, если т есть целое число, то
B4)
и
. Г-1_—
i
Пользуясь таблицей изображений (№ 25), находим оригинал функции:
3 if
*-t
l~ 2 5
Решая относительно Уг, получим:
10
Из таблицы изображений (№ 14) находим значение оригинала функции:
в!
Пример. Решить систему дифференциальных уравнений
§ 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В химической кинетике и во многих других областях техники
анализ процессов часто приводит к решению системы линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для
решения такой системы методы операционного исчисления оказы-
оказываются весьма эффективными.
Применение этих методов к решению системы дифференциальных
уравнений ничем принципиально не отличается от рассмотренного
выше решения одного уравнения. В каждом дифференциальном
уравнении системы от оригиналов переходят к изображениям; при
этом система дифференциальных уравнений заменяется системой
алгебраических уравнений, которая решается обычным способом;
затем от полученных изображений искомых функций снова перехо-
переходят к оригиналам.
Пример.
dt
dxi ,.di
~dT^ d
Пусть начальные условия будут:
при t = 0
Положим Lx1 = yb Lx2 = y2 и в Данной системе перейдем от оригиналов
к изображениям. Получим:
Решаем одновременно эти два уравнения относительно
4Р + 3
У1~ (Р + 1)(ИР + 6) ~ Ч
при начальных условиях:
*@) = -2, у @) = 0, г@)
Примем:
Lx = X; Ly = Y\ Lz = Z
Составим операторные уравнения:
Решая эту систему относительно X, Y, Z. найдем:
v 2р 2р , 2р
5-3 р-2^ Р-1
Р-З ' р-1
Зр . 2р 2
" р-3 ' р-2 Р-1
Обращаясь к таблице оригиналов и изображений, получим:
314
315
§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Найдем функцию, дающую распределение температуры в полу-
•ограниченном твердом теле (область i>0 на рис. Х-2), которое
имело постоянную температуру t0 в начальный момент времени;
затем температура его поверхности была внезапно понижена до tc.
Эта температура на поверхности в дальнейшем поддерживается
Ееизменной.
Температура в этом теле зависит от двух аргументов: от временит
¦и от абсциссы точки х; поэтому дифференциальное уравнение для
.поля температур имеет вид:
!ь?~ B5)
При х —>¦ оо имеем:
дх дх%
еде ® — t — tc—избыточная температура.
Начальное условие:
при т=0 eO^i^oo имеем О = t0 — tc = At
Граничные условия:
при т>Ол=0 имеем Q = tc — tc = 0 \
О и х —> оо имеем
при
дх
•О
B6)
B7)
Рис. Х-2.
Идея решения этой задачи мето-
методом операционного исчисления заклю-
заключается в следующем.
Помножим уравнение B5) на e~pxdx
и проинтегрируем по т в пределах от О
до оо. Мы придем к обыкновенному
(не в частных производных) дифферен-
дифференциальному уравнению для функции
со
и = р\ Ое-Р^ dx
которая является изображением искомой функции д.
Интегрируя это обыкновенное уравнение, найдем изображение и
искомой функции д1. Затем с помощью таблицы для перехода от
изображения и к оригиналу д определим искомую функцию #.
Подвергнув указанному преобразованию соотношения B5) и B7),
получим:
B8)
При х=--0 имеем:
со
J дх
Выполним преобразование отдельных членов в этих формулах:
Интегрируя по частям левую часть формулы B8) и используя
условие B6), получим:
—
оо со
-/« dx =
B9)
О 0 0
Таким образом, дифференциальное уравнение для функции и
имеет следующий вид:
Й2Ц р р At
dz* a~U a~~
Граничные условия для функции и будут такие!
При х = 0 имеем и = 0
du
При х —» оо имеем —: > О
Общее решение уравнения B9) будет:
х у
а +С2е У а +At
Дифференцируя и по х, найдем:
Используя граничные условия, получим для Сх и Сг такие
значения:
С1 = о; С2 = — At
Подставляя эти значения С\ и С2 в общий интеграл, получим
изображение и искомой функции д:
316
Воспользуемся таблицей перехода от изображения к оригина-
оригиналам (см. Приложение I).
317
Из этой таблицы следует (№ 26), что изображению 1 — <
соответствует оригинал:
2 Yai
\ л J
dn
Отсюда для ¦& находим следующее выражение:
2 Ya~
-Иг/ •-
dn
Следовательно
2 Yar.
(? t \ (* 2
' ° с 1 е"п
Vn J
dn
Пример. Начальная температура стенки печи равна 20° С; эта
температура для наружной поверхности стенки остается постоянной,
в то время как температура внутренней поверхности печи мгновенно-
повышается до 600° С и после этого остается постоянной.
Определить время, необходимое для получения температуры 200° С
для плоскости, расположенной на расстоянии I = 46 см от наруж-
наружной стенки печи. Коэффициент температуропроводности стенки
а = 0,0042 см2/сек.
Применим формулу C0), положив в ней t = 200, tc — 20,
t,
600:
200-20==
2F00—;
Vn
e-n'dn
ИЛИ
Так как
то отсюда получим:
0,155
™~Vn ' iV^C
У a = /o,OO42 = 0,065
46
2 • 0,065 Vx Vx
Для определения из этого уравнения величины т, приведем вы-
выдержку из таблицы функции erfc.
3«5Т
1,1 • 105
1,2 • 106
1,3 • 105
1,4-106
332
347
361
374
1,070
1,020
0,981
0,946
0,1298
0,1497
0,1659
0,1800
При помощи интерполирования найдем;
т = 1,27-105 сев = 35 ч
§7. ДИФФУЗИЯ, СОПРОВОЖДАЮЩАЯСЯ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИЕЙ
При поглощении газа раствором процесс диффузии газа в раствор
сопровождается химической реакцией первого порядка, скорость
которой пропорциональна концентрации растворенного в жидкости
газа. Скорость диффузии в жидкости принимается пропорциональной
градиенту концентрации.
На рис. Х-3 представлен диффузионный слой жидкости, примы-
примыкающий к межфазной границе газ — жидкость. Требуется найти
функциональную зависимость, выражающую изме-
изменение концентрации растворенного газа по толщине
диффузионного слоя.
В любой плоскости, перпендикулярной к на-
направлению диффузии, условия процесса являются
одинаковыми. Выделим в пограничном слое эле-
элемент толщины dx, ограниченный плоскостями,
параллельными плоскости раздела фаз и проведен-
проведенными на расстоянии х и х + dx от этой плоскости;
составим материальный баланс для этого элемента.
Площадь элемента примем равной единице.
Скорость диффузии в точках плоскости, отстоя-
отстоящей от плоскости раздела фаз на расстоянии ж, бу-
будет равна:
„ dc
¦Х-
dx Рис. Х-3.
где D — коэффициент диффузии, ас — концентрация газа в жид-
жидкости на глубине х.
Так как концентрация уменьшается в направлении диффузион-
диффузионного потока, то коэффициент диффузии взят со знаком минус.
Количество газа, продиффундировавшего за время di через эту
площадку, будет равно:
Приход =—D —r- dx
318
319
Аналогично, количество газа, продиффундировавшего через про-
противоположную границу элементарного слоя, отстоящую от пло-
плоскости раздела фаз на х -\- dx, будет
-» [?+<(?)]*
так как концентрационный градиент в этой плоскости будет равен:
dc (x-\-dx) dc t dc
dx dx \ й
Во время диффузии через элементарный объем газ взаимодей-
взаимодействует с жидкостью со скоростью, пропорциональной его количе-
количеству, находящемуся в этом слое.
Так как объем рассматриваемого элемента равен dx, то количе-
количество диффундирующего вещества через элементарный объем полу-
получится умножением этого объема на концентрацию с.
Но скорость химической реакции пропорциональна концентра-
концентрации и, следовательно, равна кс, т. е.
dc
~Их ~кС
где к — константа скорости реакции.
Таким образом, количество диффундирующего газа, вступающего
в химическую реакцию, в элементарном объеме dx за время di
составит:
кс dx dx
Если процесс диффузии считать установившимся, то при соста-
составлении материального баланса по обычной схеме:
Приход— убыль = приращение
следует принять приращение равным нулю. Поэтому уравнение
материального баланса будет иметь следующий вид:
После упрощений это уравнение принимает вид:
d2c к
dx2 ~D~
Для решения этого уравнения обозначим jr- через о2; уравнение
примет вид:
с"(х)-аЧ{х)=0
Обозначим у (р) изображение функции с (х), которую будем счи-
считать оригиналом. На основании формулы G) найдем, что изображе-
изображение у (р) удовлетворяет следующему алгебраическому уравнению:
320
Решая его относительно у (р), получим:
Ра | хх ра
У (Р) = хо ¦
1 п
Пользуясь соотношениями 12 и 13 таблицы изображений и ориги-
оригиналов функций (см. Приложение I), найдем оригинал, т. е. функ-
функцию с (х):
с (х) = х0 ch ах -\—— sh ax
Здесь х0 = const есть значение функции с (х) при х = 0, а х1 —
значение ее производной, т. е.
^ = ^@)=-^-= const
Если xQ и Xi считать произвольными числами, то найденная нами
функция является общим интегралом уравнения. Эту функцию
можно представить в виде
Пусть нам известна концентрация газа в пограничном слое,
а также в слое, расположенном на расстоянии / от пограничного.
Допустим, что с = с1 при х = 0 и с = с2 при х = I. Тогда
Решая эти уравнения относительно кг и &2, получим:
гл c-tf>~al Слеа^ — сп
ИХ — -
2 sh al > 2 2 sh al
Подстановка кх и к2 в общий интеграл дает:
ska A-х) CaS
sh al
§ 8. РАСТВОРЕНИЕ СОЛИ В БАССЕЙНАХ
Дно бассейна покрыто слоем слежавшейся соли. Для промывки
дна бассейн залит водой. Найти зависимость между концентрацией
соли с в бассейне и временем т для точки, находящейся на расстоя-
расстоянии х от дна бассейна.
Возьмем уравнение диффузии в следующем виде:
дС
21 Заказ 1706
CD
321
Обозначим ск концентрацию соли в растворе на дне бассейна.
Найдем решение уравнения C1), удовлетворяющее условиям:
C2)
с = ек; ж = 0 при т>0 1
с = 0; ж>0 при т=0 j
Обозначим через и(х,р) изображение функции с(х, т)!
Lc (ж, т) = и (ж, р)
Тогда, переходя от оригинала с к изображению и в уравнении C1)
и учитывая C2), получим:
ffiu р
Мы получили линейное уравнение с постоянными коэффициентами
относительно функции и.
Общее решение уравнения C3) есть
и=Ае
+Ве
Так как концентрация не растет неограниченно при бесквнечном
возрастании х, то
Далее, так как с = ск при х = 0, мы должны иметь:
Следовательно
ск=А
и = ске
-VJ-
Для определения функции с по ее изображению и, примем а =—;
тогда
и = ске-
e-a V'p
Обращаясь к таблице оригиналов функций и их изображений,
используем зависимость № 26:
-L-le-aYp^t 2 ' g.n,dn
У л J
Отсюда для искомой концентрации с соли в бассейне получаем
следующее выражение:
С (X, X) = Ск
2а /т
1 —¦
e-n'dn
322
§ 9. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА АБСОРБЦИИ
На поверхности раздела жидкой и газовой фаз, как известно,
имеет место равновесное состояние, которое выражается согласно
закону распределения следующим соотношением:
где Ui — концентрация поглощаемого вещества в газе, мол. доли;
¦ xt — концентрация этого вещества в жидкости, мол. доли;
т — постоянная.
Принимая, что фазы безграничны в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном к поверхности раздела фаз, найдем выражение для скорости
абсорбции в зависимости от продол-
продолжительности контакта.
На рис. Х-4 изображена схема вза-
взаимодействия рассматриваемых фаз.
Дифференциальные уравнения,
определяющие концентрационные
профили, имеют следующий вид:
для газовой фазы
ду
Рис. Х-4.
для жидкой фазы
дх
дх
C5)
Граничные условия:
1. у = тх при zx — z
о ду дх п
О. -г— = — = 0 При 21 = 22 = 00,
4. у = у0 для всех значений zx при т = 0;
5. х = х0 для всех значений z2 при т = 0.
Применяя к уравнениям C4) и C5) преобразование Лапласа,
получим:
и
где А,г = -к~;
21*
<fa2
dz»
C6)
C7)
323
Тогда для граничных условий имеем:
dUr
при zi = z2 = (
dUy,
dz9
При Zi = 22 = 0
30 при zi=z2=
C8)
C9)
D0)
Соответствующими решениями уравнений C6) и C8) будут:
" ^ + Уа D1)
**' + *<> D2)
Третье граничное условие требует, чтобы А1 = Л2 = 0.
Подставляя уравнения D1) и D2) в C8) и C9), получим:
Решая эти уравнения относительно произвольных постоянных,
найдем:
Bi=-
_ Уо~тхо
т-
D3)
D4)
ДДг
Таким образом, для двух рассматриваемых здесь изображений
имеем:
," _,.. Уо—тхо -хг,
1+т-
— Ч
1 +
Для определения скорости абсорбции на поверхности раздела
фаз воспользуемся одним из этих выражений, а именно D3). Тогда
изображение для скорости абсорбции, выраженной в молях на еди-
единицу площади в час, будет:
RT
P
RT
.//¦
324
Переходя к оригиналу, получим:
Р у о — тхо
N —
1' п —
RT
Ы) +mbd
Общее количество абсорбируемого материала в любой момент
составит:
тхо
RT
1 у/. Ля У
Следовательно, коэффициент абсорбции
р
RT
§ 10. ТЕОРИЯ ПЕРЕХОДНОГО РЕЖИМА
В ДИФФУЗИОННЫХ АППАРАТАХ. АДСОРБЦИЯ
Скорость, с которой устанавливается равновесное состояние
диффузионных процессов, имеет большое значение при эксперимен-
экспериментальном определении эффективности работы диффузионных аппа-
аппаратов.
В случае ректификации и дистилляции с большим числом тарелок
очень важно иметь возможность предсказывать ход изменения состава
продукта со временем, так как нередко экономически оказывается
наиболее выгодным производить отбор продукта из колонны до уста-
установления равновесного состояния, т. е. при переходном режиме.
В таких диффузионных процессах, как адсорбция, ионный обмен,
а также теплообмен при рекуперации, рассматриваемые явления
вообще могут происходить только в условиях переходного режима
работы аппаратов.
Степень отклонения от равновесного состояния обусловливает,
кроме того, продолжительность цикла диффузионного процесса.
Для анализа переходного режима в диффузионных аппаратах
рассмотрим процесс адсорбции паров из газовой смеси в слое твер-
твердого адсорбента.
Примем следующие обозначения:
у — мольная доля адсорбируемого пара в газе;
х — мольная доля адсорбируемого пара в твердой массе;
у'— мольная доля адсорбируемого пара, находящегося в равно-
равновесном состоянии с твердой массой, содержащей х мол. долей
адсорбируемого пара;
п— число ступеней адсорбции, ¦
В. С. Э. '
z—высота аппарата, считая от места поступления газового потока;
325
в. с. а. — высота, эквивалентная одной ступени адсорбции (массо-
обмена), -—
КО, '
9 — время, необходимое для массообмена в объеме, соответ-
соответствующем одной ступени адсорбции;
Н
г —
h •
Н — количество твердой массы в аппарате;
t — время;
h — количество пара в аппарате;
G—массовая скорость газового потока, кг/м2-ч;
а — поверхность фазового контакта;
к — коэффициент пропорциональности.
Дифференциальные уравнения материального баланса с учетом
приведенных выше обозначений имеют следующий вид:
Н-?- = — ка(у — у)
Эти уравнения могут быть представлены в более удобном виде,
если использовать следующие величины:
z zka
~ в. с. a. G
Тогда получим:
h (в. с. а.)
G "
9 =
дх
ду
дп У У
В дальнейшем мы будем, кроме того, пользоваться следующей
безразмерной величиной для времени:
mt
7ё~
Следовательно, рассматриваемые дифференциальные уравнения
окончательно приводятся к виду
дх
дп
¦¦У —У
причем т определяется из равновесного соотношения:
у • = тх -\- Ъ
326
D5)
D6)
D7)
Система уравнений D5), D6) и D7) может быть представлена
следующим образом:
Положив
-^-=— (тх-\-Ъ — у)
an
U = en+-'(y — тх — Ъ)
найдем последовательным дифференцированием, что
D8)
D9)
E0)
дп
_ п
-~е
Гт-4^- — 4-
\_ дп дп
дп
дх д дх 1 _ п+ Г дх
+-~me
дп
дп
д дх
~дп" дх
-^^ (mx
y) = U E1)
Примем, что прит = 0 концентрация адсорбируемого пара в твер-
твердой массе распределена равномерно, т. е.
ж (га, 0) = х0 = const E2)
и что содержание пара в газе при его поступлении в аппарат по-
постоянно, т. е.
у @, х)=уо = const E3)
Дополнительные граничные условия могут быть получены при
использовании D5) и D6). Так при т = 0 мы имеем в соответствии
с D6)
-К—[У К 0)] = тхо-\-Ь — у (га, 0)
поэтому
Аналогично из D5) имеем:
— уо) е~п
E4)
~ [тх @, х)] = уо-тх @, х)—Ъ
Следовательно
тх@, х) = уо + Ъ — (уо—тхо—Ъ)еГ*
Наконец, вследствие E4) и E5), с учетом E1), найдем:
U (га, 0) = уо
U @, х) = уо — (
Применяя теперь преобразование Лапласа, получим:
E5)
E6)
E7)
L(U)=u (га, р) = р J e-PU (га, т)
327
Изображения производных будут
и в силу E2)!
~
дпдх ~Р dn Р \ дп /т=о ~~Р dn
Таким образом, изображение дифференциального уравнения E1)
мы нашли в следующем виде:
du -
dn
т. е. в виде обыкновенного дифференциального уравнения первого
порядка, решение которого есть:
п
й=Аер
Из граничного условия E7) имеем:
и = @, х) = у0 — (тх0 + b) = const
Следовательно
Оригинал этого выражения определяется с помощью таблицы
изображений и оригиналов. Предварительно разложим в ряд мно-
житель
Пользуясь упомянутой выше таблицей, получим:
E8)
Найденный в E8) ряд является разложением функции Бесселя
мнимого аргумента (гл. XVI). Таким образом, имеем:
U (»Л) = [г/о - (тх0 + Ь)]10 B V"w)
Подставляя в D8) и D9) значения их правых частей иэ E1),
получим:
т 1R =
= _ [у_ (ml0 + 6)] е-'«+^)/0 B /их
После интегрирования найдем:
г/о —
У (»¦ X)
г/о —
B /гаТ)
В этих уравнениях постоянные интегрирования являются функ-
функциями второй независимой переменной. Эти постоянные могут быть
определены из граничных условий E2) и E3):
(га)=
тх0
уо—(тхо + Ь)
тхо-\-Ъ
— (тхо-}-Ь)
0,01
г з ч б s ю го зо to во so юо гоо зоо soo
х
Рис. Х-5.
Следовательно, окончательные выражения для содержания пара
в твердом адсорбенте и в газовом потоке имеют следующий вид:
тх (п, х) —тх0
уо — (тхо-\-Ь)
у (га, х) — (т
г/о ~
S28
= е-п [е-чЛ 2
i L
п
0
(ИХ)
Ч
2 (вт)
7 L
E9)
F0)
329
со
Уравнения E9) и F0) воспроизведены для различных значений п
на рис. Х-5 и Х-6. На абсциссах этих диаграмм отложены значе-
значения т.; точки на осях ординат соответствуют левым частям E9) и F0),
причем первая из этих диаграмм дает возрастание концентрации
адсорбируемого пара в твердом адсорбенте, а вторая — уменьше-
уменьшение содержания пара в газовом потоке.
§ 11. АДСОРБЦИЯ ВЛАГИ ИЗ ВОЗДУХА СИЛИКАГЕЛЕМ
При адсорбции влаги из воздуха силикагелем найдено для вы-
высоты, эквивалентной ступени массопередачи (адсорбции):
DG \о,51
_ 1,42 / DG \о,
а \ ц }
F1)
где D — размер частиц силикагеля;
ц — вязкость воздуха.
Равновесное влагосодержание для силикагеля равно:
х = 0,55 — или р- = 1.82ZJ3
F2)
где х — содержание влаги в адсорбенте;
р' — парциальное давление водяного пара в газе, находящегося
в равновесном состоянии с влагой адсорбента, am;
р — давление водяного пара при данной температуре, am.
Величина р'/р есть относительная влажность газа при равно-
равновесном состоянии системы.
Для сушки воздуха при атмосферном давлении в соответствии
с законом Дальтона имеем:
м
- = 1.62J/'
F3)
где MG — средняя молекулярная масса воздуха;
Ма — молекулярная масса адсорбтива;
Р — общее давление A am).
Сопоставляя F2) и F3), получим:
где
1,62
m=l,122p
F4)
Для специального случая изотермической адсорбции водяного
пара силикагелем из F1) имеем:
ka
в. с. а.
= 0,703а
-о,Н
F5)
331
Из F1) и F4) найдем:
'"в Уадс h. (в. с. а.)
h ' G
Gm
l,i22Gp
: (в- с. а.) уадс (в- с. а.)
.0,703а
DG \— o,
Гаде
Гаде
\ |1 /
F6)
Пример. Воздух пропускается через слой силикагеля толщиной
0,3 м при 26,6° С с относительной влажностью 80% (Y0 = 0,0179 кг/кв
сухого воздуха). Фиктивная скорость воздуха 30,5 м/мин. Размер
частиц силикагеля в среднем составляет D = 0,00273 м\ насыпная
плотность силикагеля уадс ^ 625 кг/м3.
Определить:
1) влажность выходящего из аппарата воздуха по истечении 2 ч;
2) среднюю влажность выходящего из аппарата воздуха за пе-
период времени, равный 2 ч;
3) распределение влаги в слое адсорбента к концу периода вре-
времени, равного 2 ч;
4) среднее содержание влаги в адсорбенте к концу 2-часового
периода работы аппарата.
1. Имеем:
Уадс = 625 кг/ж*; 7возд=Д45 кг/л*
G = 30,5 • 1,145 = 35 кг/.и2 . мин
1*возд = 111 • Ю~5 кг/м ¦ мин
Из справочных таблиц найдем величину удельной поверхности
силикагеля:
Следовательно
DG ^ 0.00273 • 35 • 105
IX 111
«^87,4
Давление водяного пара при 26,6° С:
р = 0,0345 am
Из F5) получим:
кп 1
а = -я-= = 0,703-930-0,1025 = 67
G в. с. а.
Используя F6), найдем:
* = TiT = О.^Э 8- с°о^345 ¦ 930 ¦ 0,1025 = 0,145 мин-1
гп Ь25
332
Таким образом
=Р*= -^-=0,145 -120= 17,4
го
п = az = ~ = 0,305 • 67 = 20,5
Из рис. Х-6 имеем:
откуда
у-=0,34
= 0,34-0,0179 = 0,0061 кг воды/кг сухого воздуха
0,006 г
0,003
0,004
0,003
0.00?
0.001
о
1
/
1
1
/
0,2
20 40 ВО 60 100 120
Рис. Х-7.
0,1
-
Ч
s
\
\
0 0,10 Ш5 0,20 025 030
Рис. Х-8.
2. Для определения средней влажности воздуха при выходе из
аппарата необходимо проинтегрировать значения конечных влаж-
ностей за период, равный 2 ч. Величина У вычисляется для различ-
различных отрезков времени таким же образом, как в разделе Is
t, мин
У/Уо
0
20
40
60
80
100
120
0
2,90
5,80
8,74
11,60
14.50
17,40
0
0
0,003
0,016
0,065
0,185
0,340
0
0
0,00005
0,00029
0,00116
0,00331
0,00610
Графическое интегрирование значений У относительно t дает
(рис. Х-7):
У=0,0010 кг влаги/кг сухого воздуха
3. Распределение влаги в слое адсорбента в конце 2-часового
периода работы аппарата найдем с помощью диаграммы, изображен-
изображенной на рис. Х-7. Имеем:
* = 120 мин; t =
Из F2) получим:
о = 0,0179
хо = 0,55 -0,80 = 0,44
333
Значения х/х0, соответствующие величинам п = az, определяются
из диаграммы на рис. Х-5 для постоянной абсциссы т = 17,4,
а именно:
2, л n=*az x/x0 х
0
од
0,15
0,20
0,25
0.30
0
4,1
8,2
12,3
16,4
20,5
1,00
1,00
0,92
0,78
0,57
0,30
0,440
0,440
0,405
0,344
0,250
0,132
Распределение влаги в слое адсорбента показано графически
на рис. Х-8.
4. Среднее значение влажности в слое адсорбента к концу 2-ча-
2-часового периода работы можно найти путем графического интегриро-
интегрирования значений х относительно г; оно составляет
хср = 0,348 кг влаги/кг сухого воздуха
§ 12. РЕКУПЕРАЦИОННАЯ УСТАНОВКА ДЛЯ БЕНЗОЛА
Пары бензола должны быть адсорбированы из воздуха на реку-
перационной установке при пропускании воздуха сверху вниз через
слой силикагеля при 21° С и атмосферном давлении.Массовая скорость
воздуха 36,6 кг сухого воздуха/м2 -мин. Период работы адсорбента
желательно установить в течение 60 мин с минимальной степенью
извлечения бензола из воздуха, равной 90%. Воздух при поступле-
поступлении в аппарат содержит 0,90 объемн. % бензола. Размер (диаметр)
частиц силикагеля в среднем составляет 0,0039 м. Порозность ад-
адсорбента равна 0,5, насыпная плотность уадс = 665 кг/ма.
Для адсорбции до 20% адсорбтива от массы силикагеля количество
поглощаемого бензола прямо пропорционально парциальному да-
давлению р бензола в воздухе согласно уравнению х = 1,67 —. Давле-
Давление бензола р равно 0,125 атм при 21° С. р
Определить:
1) толщину слоя адсорбента;
2) содержание бензола в силикагеле наверху, посредине и внизу
слоя адсорбента по истечении 60 мин.
1. Имеем:
/>=» 0,0039 м; а =665 м*/м*
Ивозд=Ш • 10~5 кг/м ¦ мин; G = 36,6 кг/м* • мин
Таким образом
DG 0,0039 • 36,6 • 105
и ц *- 111
Ш F1) получим:
а = 0,703а
¦ 129
= ojO3 • 665 • 0,0825 = 38,6
334
Для отыскания значения р определим величину т следующим
образом. Так как по закону Дальтона
,_1В7Р'. г- - У'Р ' 29 — *Р
*-Ш —, Р ^8 Ш
то
Г Р-78 р
х * Р • 29 • 1,67 ~ ' Р
Аналогично F6) имеем:
В_ т — Gm _ 1,60 ¦ 36,6 • 0,125
гв Гаде (в. с а.) уадс(в. с. а.)Р
- ^^-36.G-0,125
Следовательно
т = Р* = 0,42 -60 = 25,2
Имеем:
Y
-— = 0,1 (при 90%-ном извлечении бензола)
'о
Из диаграммы на рис. Х-6 при t = 25,2 получим:
« = az = 36
Таким образом
z = -?- = 0,935 *(«1,0л
оо,6
2. Для определения содержания бензола в указанных выше ме-
местах слоя адсорбента воспользуемся формулой:
«о» 1,67 -j- = ^i^009 = 0.120 т/кг адсорбента
Из предыдущего имеем:
a = 38,6; т = 25,2
Верх Середина Низ
z 0 0,500 1
az 0 19,300 38,6000
х/х0 (рис. Х-5) .... 1,000 0,830 0,0790
х 0,120 0,099 0,0095
§ 13. СИНТЕЗ ХЛОРИСТОГО ВИНИЛА
Используя приведенные ниже данные, получить приближенное
аначение для диаметра труб, устанавливаемых в реакторе с неподвиж-
рым слоем катализатора, который используется для синтеза хлори-
хлористого винила из ацетилена и хлористого водорода. В трубах находится
335
катализатор — хлористая ртуть, осажденная на частицах углерода
размером 0,25 мм. Теплота реакции должна быть использована для
образования пара при 121° G. Температура внутренней поверхности
труб поддерживается равной 150° С. Теплопроводность катализа-
катализатора К = 6,0 ккал/ч-м-град. Теплота реакции при температуре
слоя катализатора АН = 2570 ккал/кмолъ. Насыпная плотность
катализатора у = 2880 кг/м3.
Скорость реакции является функцией температуры и концентра-
концентрации, но для предварительной оценки примем (на основе опытных
данных), что скорость реакции выражается в виде:
г = r0 A-|- AT) кмоль в 1 ч на 1 кг катализатора
где г0 = 0,12, А = 0,0133, а Г — температура
(в °С) над уровнем 93° С (т. е. Т = t — 93, где
t — температура катализатора).
Максимально допустимая температура ката-
катализатора, при которой еще обеспечивается его
удовлетворительное действие, составляет 265° С
(т. е. Т = 172° С).
Рассмотрим схему на рис. Х-9, которая ил-
иллюстрирует дополнительные обозначения, не-
необходимые для описания процесса:
G — скорость потока, кг/ч-м2 поперечного
сечения реактора;
R — радиус трубы, м;
х — радиальная координата;
z — осевая координата от. начала поступления реакционной массы;
Ср — теплоемкость газа, ккал/кг-град.
Составляя тепловой баланс применительно к элементарному
объему, изображенному на рис. Х-9, получим:
Рис. Х-9.
дТ
Приход = — 2пхК —— 8z + 2nx8xGCpT -j-2nx8x8zy ДЯг
ОХ
Убыль = -
~-
-2яхХ -^-1 8z + 2nx8xGCp
F7)
F8)
Приращение равно нулю, так как процесс протекает в установив-
установившемся состоянии. Но
Приход—У бы ль = Прира щение
Разделив все члены равенства на 2nXx8x8z, найдем:
дгТ , 1 дГ GCp дг у!!,Нг
- = 0
F9)
дхъ ' х дх к dz 'г X
Мы получили дифференциальное уравнение в частных производ-
производных, устанавливающее зависимость между температурой и разме-
размерами реактора. Для предварительной оценки примем, что темпера-
336
тура катализатора достигает максимума для всех значений радиусов
при одной и той же величине z. Тогда для данного радиального се-
сечения слоя катализатора dT/dz будет равна нулю, несмотря на то,
что температура изменяется с изменением х. Температура макси-
максимальна на оси трубы и не должна превышать 265° С. Следовательно,
на оси трубы dT/dx будет также равна нулю, но эта производная
имеет конечное значение для всех радиусов, величина которых больше
нуля. Таким образом, дифференциальное уравнение F9) в част-
частных производных становится обыкновенным дифференциальным
уравнением в каждом сечении z = const, т. е.
dT
dx
.у АНг0
G0)
Выражение G0) легко может быть приведено к бесселевому урав-
уравнению нулевого порядка с последующим решением методом, описан-
описанным в § 6. Но для этого необходимо еще использовать преобразо-
преобразование Лапласа.
Представим G0) в виде
Используя G) и F), получим:
?) = - 4- [Р2Т (Р)~РТ @) -
dx2 I dp
С помощью F) найдем:
G1)
= -р2Т' (р) +2рТ (р)-Т @) G2)
G3)
G4)
G5)
Подставляя изображения G2), G3), G4) и G5) для соответству-
соответствующих величин в уравнении G1), мы получим после упрощения:
Мы также имеем:
Далее в соответствии с F) этой же главы:
- т' (р)
Г(Р)= —
G6)
где Q = уАНг0А/К и Р — yAHrjX. Уравнение G6) может быть
решено с помощью интегрирующего множителя (см. гл. V). В этом
случае получим:
QP
22 Заказ 1706
G7)
337
Для перехода к оригиналам используем таблицу изображений
и оригиналов, тогда
T=CIO(XVQ)~ G8)
где С —произвольная постоянная интегрирования, которая может
быть вычислена так:
получим
при х = 0 J0(xVQ) = l и Т = 172* С
172 = С L
G9)
Но 4 = 0,0133; 1/4=96,5 и G=172 + 96,5 = 268,5. Далее!
п_ 2880-2570-0,0133-0,12
V — =1500
и
Уравнение G8) приводится к виду:
Г = 268,5/0C8,8г)-9б.5
Для границы x~=R имеем Т = 56° С. Таким образом
56 = 268,5/<) C8,8s) —96,5
или
(80)
Из таблицы бесселевых функций (см. ниже, стр. 798)
38,8Д = 1,4
откуда
¦] /{
^ = -^-gr==0,036 м или 36 мм
имеем
Глава XI
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
§ 1. ПОНЯТИЕ О СКАЛЯРЕ И ВЕКТОРЕ. СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ
ВЕКТОРОВ И УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СКАЛЯР
В технике приходится встречаться с величинами двух родов.
Одни из этих величин вполне определяются своим численным зна-
значением, — такие величины называются скалярами. Примерами ска-
скаляров являются температура, плотность, энергия. Другие величины
характеризуются, кроме своего численного значения, также и напра-
направлением. Величины эти называются век-
векторами. Таковы, например, сила, ско-
скорость, ускорение.
Векторы принято изображать напра-
направленными отрезками. Обозначают век-
векторы начальными буквами латинского ал-
алфавита, напечатанными жирным шриф-
шрифтом, или обыкновенными буквами, но со
стрелками над ними. Два вектора считаются равными, если они
имеют одинаковую длину, параллельны и одинаково направлены.
Для сложения двух векторов А ж В (рис. XI-1) совместим на-
->- -v -*-
чало вектора В с концом вектора А. Вектор С, соединяющий на-
-*- ->-
чало вектора А с концом вектора В, называется геометрической
суммой векторов А я В:
В
Рис. ХМ.
Очевидно, что
A)
B)
т. е. геометрическая сумма не зависит от порядка слагаемых (за-
(закон переместительности).
Геометрическая сумма трех векторов А, В и С получается
путем прибавления к сумме А + В вектора С. Нетрудно убедиться,
что сложение векторов подчиняется закону сочетательности:
22*
339
Геометрическая сумма равна нулю, если при построении слага-
слагаемые векторы образуют замкнутый многоугольник (рис. XI-2).
Для того чтобы вычесть В от А, следует к А прибавить — В,
как показано на рис. XI-3. Если на векторах А и В построить
параллелограмм, то одна из его диагоналей будет суммой А + В,
а другая — разностью А — В этих векторов (рис. XI-4).
Рис. XI-2.
Рис. XI-3.
Под произведением вектора а на скаляр п понимают вектор
А = па, длина которого равна произведению длины вектора а на
абсолютную величину числа п и который имеет то же направление,
что и вектор а, или прямо ему противоположное, в зависимости
от того, является ли скаляр положительным или отрицательным
числом.
Г
Рис. XI-4.
Рис. XI-5.
Векторы, имеющие длину, равную единице, называются единич-
единичными векторами, или ортами. Единичные векторы, направления
которых совпадают с направлениями осей координат, называются
основными и обозначаются i, j, k.
->
Вектор i есть единичный вектор, имеющий направление оси ОХ;
¦*¦ ->-
вектор 7 имеет направление оси OY, а вектор к имеет направление
оси OZ (рис. XI-5).
340
Если А х, А у и Аг — проекции вектора А, соответственно, на
оси OX, OY и OZ, то
7=~1Ах+7Ау + кАг C)
Векторы iAx, lAy, кАг направлены по координатным осям, и
их сумма равна вектору А. Эти три вектора называются компо-
нентами вектора А.
Если нам известны длина | А \ вектора А и углы, которые он
образует с осями координат, то его проекции на оси координат выра-
выражаются следующим образом:
АХ=\~А\ cos {A, X)
Ау = \~А\ cos (A, Y)
Лг=| Л | cos (Л, Z) J
Если, наоборот, даны три компонента вектора, то вектор А одно-
однозначно определяется как диагональ параллелепипеда, построенного
на векторах iAx, jAy и kAz. При этом длина вектора А будет
рарна
Ml = VAX+Ay+Al E)
а его направление определяется тремя косинусами, которые могут
быть найдены из уравнений D) и E).
§ 2. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Скалярным произведением двух векторов называется произве-
произведение их длин на косинус угла между ними.
Скалярное произведение двух векторов А и В есть скалярная
-*- -*-
величина; ее обозначают А-В:
А-Ъ=\Ъ\\В\сов(А, В)
F)
Перечислим основные свойства скалярного произведения.
1. Скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных век-
векторов равно нулю.
2. Скалярный множитель можно выносить из-под знака скаляр-
скалярного произведения:
(тА-В)=т (А-В)
3. Скалярное произведение не изменяется от перестановки
местами сомножителей А и В (закон переместительности):
А- В = В- А
G)
341
4. Для скалярного произведения справедлив распределительный
закон:
{А-\-Ъ)-С= А-С + В -С
5. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его
длины А • А = | А |2. В частности
Отсюда следует:
= АХВХ+ АуВу+ АгВ
§ 3. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
(8)
(9)
А*в
Векторным, или внешним, произведением двух векторов А ж В
•называется новый вектор, направленный перпендикулярно к их пло-
плоскости в такую сторону, чтобы при взгляде с конца этого вектора,
вращение от первого вектора ко второму на наименьший угол вокруг
вновь полученного вектора происходило таким же образом, как
и вращение от оси ОХ к оси OF вокруг оси OZ
в выбранной системе координат. Так как вы-
выбранная нами система координат правая,
то вращение это должно совершаться про-
против часовой стрелки (рис. XI-6).
Длина этого вектора равна площади парал-
параллелограмма, построенного на данных векторах,
т. е. произведению длин векторов-сомножите-
векторов-сомножителей, умноженному на синус угла между ними.
Векторное произведение обозначается так:
М*А ~АхВ = С
Рис, XI-6. Перечислим основные свойства векторного
произведения.
1. От перестановки местами сомножителей векторное произведе-
лше меняет свое направление на противоположное:
= — ВхА
2. Если векторы А и В параллельны, то А X В = 0.
В частности
A0)
0 A1)
3. Скалярный множитель можно выносить из-под знака вектор-
шого произведения:
342
4. Для векторного произведения имеет место закон распредели-
распределительности:
5. Векторные произведения основных единичных векторов даются
следующей таблицей:
= — к;
A2)
6. Если векторы А и В заданы своими проекциями на оси ко-
координат
то векторное произведение АхВ определится следующей формулой^
=Т (АуВг ~ АгВу) +Т( АгВх - АхВг) + к( АхВи - АуВх) A4).
Это выражение можно представить более компактно в виде опре-
определителя третьего порядка:
АхВ =
->-
i
Ах
вх
->-
;
Ау
By
->-
к
Аг
Вг
A5)
j 4. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ
Рассмотрим важнейшие виды произведений трех векторов.
а) Произведение вектора и скалярного произведения двух дру~
->-->--*¦ ->- -к
гих векторов, т. е. А (В- С). Здесь В-С — скаляр, следовательно,.
-*¦->->- -*-
А (В-С) есть вектор, параллельный А.
Порядок умножения играет здесь
существенную роль: векторы А (В-С)
и (А - В) С вообще не равны между
собой.
б) Скалярно -векторное произведе-
вне. Рассмотрим произведение А X
X (В X С). Если на векторах А, В и С
построить параллелепипед, то произ-
произведение А -(В X С) будет предста-
представлять собою скаляр, равный объему этого параллелепипеда,.
взятому со знаком плюс, если векторы А, В пС образуют правую*
34*
¦систему осей, и со знаком минус, — если левую (рис. XI-7). Ска-
лярно-векторное произведение не меняется при циклической пере-
перестановке векторов сомножителей:
A6)
При перестановке местами только двух сомножителей скалярно-
векторное произведение меняет свой знак. Например
в) Двойное векторное произведение. Рассмотрим произведение:
Это произведение представляет собой вектор, лежащий в пло-
•скости векторов В и С и перпендикулярный к вектору А. Его можно
представить следующим образом:
A7)
При перестановке местами сомножителей двойное векторное про-
произведение меняется.
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРНОМУ АРГУМЕНТУ
Рассмотрим переменный вектор А, изменяющийся в зависимости
¦от времени t. Будем откладывать этот вектор из фиксированной
точки, например, из начала
координат (рис. XI-8). Рас-
Рассмотрим два значения этого
вектора, соответствующие двум
близким моментам времени т
ит + Ат. Разность векторов А X
->-
X (т + Ат) и А (т) будет некото-
рым вектором А А, имеющим на-
у чалов точке В и конец в точке С.
Частное -г— представит собою
опять некоторый вектор, напра-
направленный по прямой ВС. Если
Ат приближать к нулю, то век-
Рис. XI-8.
АЛ *
тор -г— будет стремиться к не-
которому пределу. Предел этот называется производной вектора А
по скалярному аргументу т и обозначается -г—. Вектор этот напра-
влен по касательной к кривой, описываемой концом вектора А.
344
Если материальная точка перемещается по некоторой траектории,
то радиус-вектор этой точки г будет некоторой функцией времени т.
Производная -т- есть вектор скорости движения!
dr
17 ""W
Так как производная вектора есть опять переменный вектор,
зависящий от времени, то от него также можно взять производную.
Эта производная будет вектором, который называют второй произ-
производной данного вектора.
Вторая производная по времени радиуса-вектора движущейся
точки есть вектор ускорения:
dV" _ du _->
!т? ~~ ~dx~ ~ п
Все основные свойства дифференцирования функции у = / (ж)
сохраняются при дифференцировании вектора по скалярному аргу-
аргументу.
d ,-*-.-*¦ du da
-г— (иа) = а — \- и —;—
dx v ' dx n d%
dA
dB
dx
В последней формуле порядок множителей в правой части не
может быть изменен.
§ 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ
Пусть нам задана некоторая скалярная функция ф (х, у, z) коор-
координат точки, определенная в некоторой части пространства или во
всем пространстве (например, температура в этой точке или давле-
давление). В таком случае говорят, что в этой части пространства задано
скалярное поле.
Если в поле отметить все точки, в которых функция сохраняет
постоянное значение, то эти точки образуют поверхность уровня.
Уравнение поверхностей уровня:
Ф {х, y,z) = C A8)
345
При перемещении по поверхности уровня функция ф не меняется.
Если же переместиться по направлению нормали к поверхности
уровня, то в этом направлении функция ф (х, у, z) будет изменяться
¦быстрее, чем в любом другом направлении. Построим в точке М(х, у, z)
поля вектор, перпендикулярный к поверхности уровня, проходящей
через эту точку, направленный в сторону возрастания функции ф
в имеющий своими проекциями на оси координат:
дф
дх
дф
~дТ
Вектор этот называется градиентом скалярного поля:
дх
A9)
Вектор-градиент имеет направление быстрейшего возрастания
¦функций в данной точке, а длина его равна скорости изменения
функции ф (х, у, z) в этой точке.
Скорость изменения функции ф в любом направлении, исходящем
из некоторой точки М, равна проекции вектора-градиента в точке М
на это направление.
Для обозначения градиента иногда применяют символический
дифференциальный оператор, называемый «набла». Вектором-набла
называют символический вектор, который обозначается:
B0)
С помощью этого вектора градиент можно представить следу-
следующим образом:
VP == ^ ~~з 1~ / ' ' ' ~ ™ —а— B1)
Будучи применен к скалярной функции ф, дифференциальный
оператор у дает градиент функции ф.
§ 7. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. ДИВЕРГЕНЦИЯ. ВИХРЬ
Если в каждой точке некоторой области пространства нам задан
вектор А, то говорят, что в этой области пространства задано век-
векторное поле. Например, в трубе определено поле скоростей частиц
текущей жидкости. Векторное поле наглядно изображается вектор-
векторными линиями. Векторной линией называется такая линия, в каж-
каждой точке которой вектор, соответствующий этой точке, направлен
по касательной к векторной линии.
Рассмотрим некоторые основные понятия, связанные с векторным
полем. При изучении этих понятий будем приписывать векторам поля
некоторый физический смысл: будем считать, что векторное поле
есть поле скоростей текущей жидкости.
346
Выделим в векторном поле поверхность S (замкнутую или не-
незамкнутую). Вычислим объем жидкости, протекающей через эту
поверхность за единицу времени. Для этого разобьем поверхность
на малые элементы А5г, А52, . . ., ASn. Объем жидкости, протека-
протекающей через элемент AS за единицу времени, будет, очевидно, равев
A; cos Ф,А51? где А( — вектор поля, взятый в какой-либо точке эле-
мента поверхности AS,, а фг — угол между вектором А{ и нормалью.
к элементу AS,. Через всю поверхность S за единицу времени про-
протечет объем жидкости, приближенно равный:
4f cosqj,-
?-1
Если п увеличивать до бесконечности, уменьшая при этом размеры
дой элементарной площадки до нуля, то объем жидкости будет:
lim
А{ cos
Пределы подобного вида называются интегралами по поверх-
поверхности S и обозначаются следующим образом:
B2)
lim "V Ai cos фг Д5г = Г Г A cos ф dS
Интеграл B2) называется потоком вектора А через поверхность S.
Поток вектора может быть записан еще следующим образом:
A cos (fdS= (A-n)dS =
s ¦ s
= AndS=\ [Ax cos (nx)-\-Ay cos (ny)-\-Az cos (nz)]dS
s s
где п— единичный вектор нормали к поверхности; Ах, Ау, Аг,
Ап — проекции вектора А, соответственно, на оси координат
и на нормаль к поверхности; (пх), (пу), (nz) — углы этой нормали
с осями координат.
Возьмем какую-нибудь точку поля Р, окружим ее малым объе-
объемом V, поверхность которого обозначим S; вычислим поток вектора
через эту поверхность S. Рассмотрим предел, к которому стремится
отношение этого потока к объему V при условии, что объем V стяги-
стягивается в точку Р.
Предел этот называется дивергенцией, или расходимостью вектора:
И*
dS
div A = lim тт-
V-o *
B3)
347
Если вычислить этот предел, то окажется, что
j- "t дАх . дАи . дА7
, , -— г , - B4)
дх ' ду ' dz '
Дивергенцию можно рассматривать как скалярное произведение
вектора А и символического вектора у (набла):
div A = у ¦ А
Действительно, вычисляя это скалярное произведение по фор-
формуле (9), получим:
-* дАх . дАи . дА, ,. ¦+¦
V А = —-?. А г- А s- = div A
v дх ' ду г dz
Пусть поле вектора А есть поле скоростей несжимаемой жидкости,
причем в начале координат имеется источник жидкости обиль-
обильности е; в этом случае дивергенция вектора А, вычисленная для
начала координат, будет равна +е.
Если в начале координат имеется не источник, а сток, то дивер-
дивергенция в этом случае будет равна —е. Вообще дивергенция поля
скоростей текущей жидкости в данной точке есть относительное
изменение плотности элемента жидкости, отнесенное к единице
времени.
Основная теорема, связанная с понятием дивергенции, — теорема
Остроградского — заключается в следующем.
Пусть области V пространства задано поле некоторого вектора А.
Обозначим через S поверхность, ограничивающую этот объем.
Формула Остроградского устанавливает зависимость между тройным
интегралом, взятым по объему, и интегралом, взятым по поверх-
поверхности S:
/а /9 /а , ^ л /а
B5)
Объемный интеграл от дивергенции вектора равен потоку вектора
через поверхность, ограничивающую этот объем.
Рассмотрим в векторном поле какую-либо кривую L. Линейным
интегралом вектора А вдоль кривой L называется следующий криво-
криволинейный интеграл, взятый по кривой L:
(Axdx+Aydy-\- Az dz)
B6)
Если кривая L замкнутая, то линейный интеграл B6) называется
циркуляцией вектора А по кривой L. Понятие линейного интеграла
аналогично понятию работы. Если точка перемещается по кривой L
под действием силы А, проекции которой на оси координат равны
348
Ах, Ау, Az, то линейный интеграл B6) представляет собой работу,
совершенную этой силой.
Линейный интеграл B6), вообще говоря, зависит не только от
конечной и начальной точек интегрирования, но также и от кривой,
по которой производится интегрирование. Интегралы B6), взятые по
разным кривым, соединяющим данные фиксированные точки, —
различны.
Однако, если подинтегральное выражение в линейном интеграле
B6) есть полный дифференциал dcp некоторой однозначной функции
<Р (ж, у, z):
Ах dx -f- Aydy-\- Azdz = i
B7)
то интеграл B6) не зависит от вида кривой L, а зависит только от ко-
конечной и начальной точек пути интегрирования. В этом случае
интеграл B6) равен разности значений функции ср (ж, у, z) в конеч-
конечной и начальной точках:
ylt
ф(ж0, i/0, z0)
Условие B7) будет выполнено, если вектор А удовлетворяет сле-
следующим условиям:
dz
dAz
dx
дАх
dz
дх
B8)
Если проекции вектора Ах, Ау, Аг удовлетворяют условиям B8),
то вектор А называется потенциальным. В этом случае эти проекции
являются частными производными функции ф по координатам
л„=
ду
dz
B9)
и, следовательно, вектор А можно рассматривать как градиент ска«
лярного поля, образованного функцией Ф (х, у, г):
А=grad ф
Отметим еще, что независимость линейного интеграла B6) от пути
интегрирования равносильна равенству нулю интеграла по любой
замкнутой кривой, проведенной в векторном поле. Отсюда следует,
что циркуляция потенциального вектора по замкнутому контуру
равна нулю.
Допустим, теперь, что вектор А не потенциальный. Тогда левые
части в равенствах B8) не равны нулю.
Рассмотрим вектор, проекции которого на оси координат равны:
дАу дАг dAz 0Ax dAx дАу
dz
дУ
дх
дАх
dz
дАх
ду
дх
349
Этот вектор называется вихрем, или ротором, вектора А и обозна-
обозначается так:
?J9Av дА0
к
C1)
ду dz j ' V dz dx
Очевидно, что вихрь потенциального вектора равен нулю:
rot grad ф = 0 C2)
Если вектор А есть вектор скорости текущей жидкости, то век-
вектор rot А для некоторой точки является удвоенной угловой скоростью
вращения бесконечно малого объема, окружающего эту точку, в пред-
предположении, что этот объем в данный момент времени затвердел.
Вихрь можно выразить при помощи символического вектора-
набла. Применяя формулу A4), легко проверить, что вектор-вихрь
можно рассматривать как векторное произведение вектора-набла
на вектор А:
rot 2= у X 1 C3)
Основная теорема, связанная с понятием вихря, есть теорема
Стокса.
Пусть S — некоторая поверхность, ограниченная контуром L
и целиком расположенная в поле. Теорема Стокса устанавливает
связь между циркуляцией вектора по кривой и интегралом, взятым
по поверхности S.
Циркуляция вектора А по замкнутому контуру равна потоку
вектора rot А через поверхность, ограниченную этим контуром:
{Axdx+Aydy+Azdz)= Г Г rotn AdS
C4)
§ 8. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ
Рассмотрим движение сжимаемой жидкости, плотность которой
->¦
р (х, у, z, т) меняется со временем. Пусть W есть вектор скорости
этой жидкости.
Выделим в потоке этой жидкости-неподвижный объем V, ограни-
ограниченный поверхностью S. Если на поверхности выделить элементар-
элементарную площадку dS, то за единицу времени через эту площадку вытечет
количество жидкости, масса которой равна:
pWndS
За то же время через всю поверхность S из объема вытечет коли-
количество жидкости с массою:
>WndS C5)
С другой стороны, масса жидкости, содержащейся в объеме F,
равна:
За единицу времени эта масса изменится на
Следовательно, за единицу времени из объема V вытечет коли-
количество жидкости, равное
Приравнивая правые части формул C5) и C6), получим:
Применяя к интегралу, стоящему в левой части этого равенства,
формулу Остроградского, получим:
Так как объем V взят произвольно, то отсюда следует:
= 0 (87)
Это — основное уравнение гидродинамики, известное под назва-
названием уравнения неразрывности. Для случая несжимаемой жидкости
имеем р = const, следовательно
C8)
Если поток не имеет вращения, то
Из § 7 известно, что в этом случае W есть градиент некоторой
скалярной функции ф, так что
В случае несжимаемой жидкости из уравнения C8) имеем
350
351
и, следовательно, функция ср должна удовлетворять уравнению:
v-(v<p)=o
или
div grad ф = 0
Это уравнение определяет потенциал скорости для несжимаемой
жидкости, находящейся в движении; оно называется уравнением
Лапласа.
§ 9. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ
Пусть точки некоторого твердого тела имеют различную темпе-
температуру и (х, у, z). В теле будет происходить распространение тепла.
Выделим в этом теле некоторую элементарную площадку dS. Пусть
X — коэффициент теплопроводности и и — единичный вектор нор-
нормали к площадке dS. Из теории теплопроводности известно, что коли-
количество тепла, протекающего через площадку dS за время dx, равно:
Q = K dS dx | gradn и {х, у, z) |
Выделим в данном теле некоторый объем V, ограниченный за-
замкнутой поверхностью S. За время dx объем V отдает окружающему
его пространству количество тепла:
или, применяя оператор у:
dQ = —dx Г Г Я, gradn м
C9)
Подсчитаем ту же величину другим путем.
Если р — плотность вещества, ас — теплоемкость, то на увели-
увеличение температуры элемента dV на du необходимо затратить коли-
количество тепла, равное
ср —— dx dV
Следовательно, тепло, теряемое всем объемом V за время dx,
выразится следующим образом:
Приравнивая правые части формул C9) и D0), найдем:
S V
Применим к левой части этого равенства формулу Остроград-
Остроградского B5) i
J J J[ePl™div(bgradM)]dF = O D1)
v
В силу произвольности взятого нами объема V отсюда следует,
что подынтегральное выражение должно быть равно нулю
ср ——= div (X grad и)
ОХ
D2)
D3)
Запишем это уравнение подробно, считая, что % является постоян
ной величиной. В этом случае div (К grad и) = % -div grad и =
D2) записывается так:
где
ср
D4)
D5)
D6)
Выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле D4), обо-
обозначается символом:
д%и д%и д%и
дх% ' 9i/2 dz2
Этот символ называется оператором Лапласа. Следовательно,
уравнение D4) можно записать так:
-|^- = Й2у2м D7)
Это уравнение называется уравнением теплопроводности. Это же
уравнение будет характеризовать процесс диффузии, если через и
выражать концентрацию (вместо температуры) и через № — коэффи-
коэффициент диффузии (см. гл. XVIII).
Приложения понятий векторного анализа и дополнительные при-
примеры, условия которых выражены в векторной форме, даны также
в гл. XII и XVIII.
352
23 Заказ 1786
Глава XII
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКЕ
§ 1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ.
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
При рассмотрении процессов, связанных с несколькими незави-
независимыми переменными, оказывается необходимым обобщить понятия
производной и дифференциала, введенные при изучении процессов,
связанных с одним независимым переменным.
В этой главе излагаются основные свойства частных дифферен-
дифференциалов и производных и иллюстрируются некоторые важные при-
приложения их.
Если в функции, содержащей п переменных
ю = /(ж1, х2, . . ., хп)
переменным х2, х3,. . ., хп придать постоянные значения, то w станет
функцией только одного независимого переменного xv.
Эта функция может иметь производную, определяемую методами,
применяемыми к функциям от одной независимой переменной. Такая
производная называется первой частной производной от / или от w
по хх и обозначается символом (¦—?- ] „ или ——. Таким же
Л оxt /х *„ дх\
путем определяются частные производные относительно каждой
иэ остальных переменных х2, х3,. . ., хп.
В случае и ^> 2 мы не имеем возможности пользоваться геометри-
геометрическим представлением функции и производных, аналогичным тому,
какое применяется при п = 1 и п — 2. \
Символ частной производной (~^-)х х указывает:
1) на функцию /, которая дифференцируется;
2) на переменную хи по которой производится дифференциро-
дифференцирование;
3) на переменные, которые при дифференцировании считаются
постоянными.
354
Индексы опускаются, если нет необходимости подчеркивать,
какие переменные принимаются за постоянные. Символ функции /
часто заменяется зависимой переменной w, и производная обозна-
dw
чается ——.
дх\
dw dw x
Частные производные —— -г— сами являются функциями
r dXi охп
переменных хх, х2,. . ., хп. Если их продифференцировать вторично
по одной из переменных, то получим частные производные второго
порядка. Если частную производную ^- продифференцировать
по переменной хг, то найдем частную производную, которую обозна-
обозначают следующим образом:
дх2
Пусть, например
Тогда
дх
dw
Отсюда могут быть найдены четыре частные производные второго
порядка:
~дх \~дх /
П (П -
_д_
дх \ ду
дхду
д2и>
= 2ХП(П — 1
A)
B)
Сопоставление уравнений A) и B) показывает, что
ду дх дх ду
т. е. что частные производные второго порядка не зависят от порядка
дифференцирования.
Можно доказать, что зто утверждение справедливо для любой
функции, если только соответствующие частные производные не-
непрерывны.
В гл. I мы определили частные дифференциалы для функции,
зависящей от двух независимых переменных следующим образом:
Здесь индекс при частных дифференциалах dj и dxu обозначает
переменную, относительно которой производится дифференциро-
дифференцирование.
Аналогично определяются частные дифференциалы для функции
от п переменных w = / (хх, х2,. . ., ха):
Qw dw
х' dxx 1> • • • ' *п ~ дХп п
Если придать переменным х2, х3,. . ., хп постоянные значения
и дать переменной хх бесконечно малое приращение Ахк, то прира-
приращение AXlw, которое получит при этом функция w, будет отличаться
от частного дифференциала dx,w на бесконечно малую величину
второго порядка относительно Axv
Следует особо подчеркнуть, что если в случае одного независи-
независимого переменного символ ¦— представляет собою дробь (отношение
дифференциала функции к дифференциалу независимого неремен-
неременного), то символы частных производных —^ и -— уже не явля-
являются дробями.
Сумма всех частных дифференциалов функции
w=f(xb х2, . . ., хп)
называется полным дифференциалом этой функции и обозначается
dw.
dw = —— dxx -j- —— dx2 -J- . . . -| dxn C)
ox\ dx2 axn
Полный дифференциал функции отличается от полного прираще-
приращения этой функции на бесконечно малую величину второго порядка
относительно приращений независимых переменных.
В технических задачах часто полное приращение функции заме-
заменяется ее полным дифференциалом.
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
Если в функции
w=f(xlt х2< ... ., хп)
переменные хх, х2,. . ., хп являются функциями одной независимой
переменной t
*«=/«№
356
то их дифференциалы dxu dx2, . . ., dxn будут равны:
dx2=-
dt
dt
dfn'
""»- dt
Подставляя D) в C), получим:
dw='
dt
14)
JL.*Z!L~\
dxn dt
dt
Отеюда получим:
dw _ df
dt
_^f_,dx2_. I df
dx2' dt ' ' * ' ' 9xn
dt
E
Так как аргументы хъ х2,. . ., хп первоначальной функциг
являются функциями t, то w представляет собой функцию только
одного переменного t, и производная w no t уже не является частно?
производной. В том случае, когда аргументы х1: х2,. . ., хп функ-
функции w сами по себе являются функциями других переменных
w носит название сложной функции этих переменных.
Примем, что в функции w = / {хх, х2,. . ., хп) аргументы т,
х2,. . ., хп являются функциями двух переменных t и s:
F)
Найдем полные дифференциалы этих функций:
вх , , дх
G)
Подстановка G) в C) дает:
df dxi . df dx2
dxi ds 9x2 ds
• " * ' 9xn ds
(8)
357
Ho w представляет собой функцию от t и от s; эта функция может
быть получена путем исключения хъ х2,. ¦ ., хп из функции w =
— / (xw • •> хп) ПРИ помощи уравнений F):
w=f[<t>l(t, •). Фв (*.»). • • ..Ф„ (*,*)] = /•(«,«)
Полный дифференциал этой функции будет равен!
dw dw dF dF
dt ds dt ds
0)
Сравнивая формулы (8) и (9), мы получим частные производные
функции w по t и s, если приравняем коэффициенты при dt и ds.
Для коэффициента при dt найдем:
dw df dxi . df
dx2
df dxn
дхп ' dt
(Ю)
Следует обратить внимание на обозначения в формуле (8). Нет
g df df df
необходимости ставить индексы при -—, -г-Ц. . ., -^-, указывающие
на те переменные, которые мы принимаем за постоянные, так как
дифференцирование функции / производится по одному из ее аргу-
аргументов хх, хг,. . ., хп, а остальные должны быть приняты постоян-
постоянными. По аналогии с этим также нет надобности писать индексы
dx\ dxn dx\ dxn „ , r
у -Tj-,. . ., -— и —,. . .,— по той причине, что при дифференцирова-
дифференцировании по одному из аргументов предполагается, что другой сохраняет
постоянное значение.
Формулы C), E) и A0) являются основными при дифференци-
дифференцировании сложных функций. Отметим некоторые часто встречающиеся
частные случаи этих формул.
Первый случай: w = / (х) и х = F (и).
Применение формулы E) дает первую производную:
dw df dx
du dx du
Вторая производная имеет вид:
dw \ d*w df d*x , dx d I df \
dx du* du du
Первая производная -у- сама по себе — функция х, и при диф-
дифференцировании по.и ее надо опять рассматривать как сложную
функцию от и. Мы находим:
Отсюда имеем:
d
du
dx
dx* ' du
du.2
df_
dx
358
Пример.
dw
dx
=и2 — 2
dx
= 2m
da
¦ 2m = 2nu (m2 — 2)"-i
dx*
¦ = п (п — 1
- = 2
JLJf-=2nx"=i + Bu)* n (n-i
Второй случай: w = f(x) и x — F (и, v).
Применяя формулу A0), получим две первые частные производ-
производные:
dw dw dx dw dw dx
du ~~ dx ' du ' dv dx dv
dw d I dx \ . dx d I dw \
~dx "du \du )~^ ~du~ "du \~dx )
(H)
Производную -г- (-г-) следует отыскивать как производную от
сложной функции; применяя формулу A0), получим:
d I dw \ _ d*w Jx_
~du \~dx~ ) ~~ dx* ' ~du
После подстановки в уравнение A1) имеем:
dw_ d*x
~dx ' du*
дх
du
d*w
dx*
Таким же путем получаются остальные две частные производ-
производные второго порядка:
d*w dw d*x . dx dx_ d*w
dudv
dx du dv
dw d*x .
~dx ' dv* '
du d~v" dx*
Пример.
и x=u* —
dx
Отсюда найдем:
дх*
du
d*x
du*
d*w
du*
d*w
du dv
d*w
dv*
dv
d*x
dv*
d*x
dudv
= 0
359
Третий случай: w = / {х, у); х = Fx {и); у = F2 {и).
Здесь мы будем иметь только одну производную первого порядка,
так как, после исключения х и у, w станет функцией лишь одной
переменной и.
Пользуясь формулой E), получим:
dw dw dx . dw dy
du dx du * dy du
Применяя формулу E) к каждому слагаемому правой части,
получим вторую частную производную:
dw d*x . dx d t dw \ . dw d*y . dy d I dw \
~dx" du* ~т~Цп "du \~dx~ ) ~*~dy" "dui"* ~du "du \~dy~)
( '
dw
dw
Ho —- и ^- являются функциями от ж и у, и формулу E)
можно применить к каждой из них; мы получим:
( 3w\ I dw\
\ dx ) dx , \ dx J dy _ d*w
d ( dw_\ _
"du\~dx)~"
dx
dx
du
dx_
du
dy
dy
_
du
dy_
du
dx*
dxdy
dx .
dx
d*w dy
dy dx "du
du
du \ dy
Подстановка в формулу A2) дает:
v_ dw_ d*x d*w I dx у ¦ p d*w dx_ _dy_ _dw_ d*y d*w I dy
2 ^ dx ' du*+ dx* ' \~du ) + dxdy ' du ' du + dy ' du* + dy* \ du
Пример.
du
S^- = 2a: • 3u2 + ly ¦ 2u =
du
du
dw
= 0;
"' dx-dy
- = l2xu+ I8u* + 4y + 8u2
.. . л
Четвертый случай: w — f{x,y), где х — \
основании A0) имеем:
dw dw dx dw dy
~du~ ~дх"~дп ~т~~ду"~дп
На
A3)
В этом случае у не зависит от и и, следовательно, -^- = 0. Да-
Далее, вследствие того что х есть функция только одной переменной
dx dx
и, вместо — следует писать -т—.
360
Следовательно, формула A3) принимает следующий вид:
. dw dw dx
~дп dx ' du
Таким же образом получим:
Далее найдем:
dw dw dy
~dv~~~dy~"dv
du*
__ dw d*x dx d I dw \
dx ' du* ~f~ "du ' ~~du \~dx~)
и
Но ^- есть функция от х и у и на основании формулы E) имеем:
а / dw \ _ d*w dx_
Ни \~дх ) dx* "du
d*w dw d*x , d*w
аи2
dx* \ du
По аналогии получим:
d*w _ dw d*x d*w I dx -
dv* Z=~dy" dv* "• d~y*" \~dv .
и
dx dy
dudv du ' dv "dxdy
Пример. Требуется упростить уравнение
где а и 6 — постоянные, а Ф—функция от ж и у, вводя вместо ж и у новые
независимые переменные и и у, связанные с х и у зависимостями:
откуда
Дифференцируя функцию Ф, находим
\ ди Jv \ dx Jy du \ dx Jy
f d(& \ /Й\
ax I -— ) = и ( —— )
\ дх Jy \ du Jv
\ dx )y и
Таким же путем получим:
аФ
Подставляя это выражение в исходное уравнение, приведем его к виду:
/ аФ \ , / аФ \ .
и ( —— ) +у ( —— ) =0
\ du Jv \ dv jи
Пятый случай: w = f(x,y); x = F1(u,v); y = F2(u,v).
361
Применяя формулу AQ), получим две первые частные произ-
производные:
dw__dw_ dx_.dw dy_
~du ~dx ' ~дп "¦" "я^Г * я„
dw
ЮГ
ду
dw dx . dw dy
dx ' dv ' dy ' dv
A4)
A5)
Вторые частные производные получаются путем дальнейшего
дифференцирования уравнений A4) и A5):
d^w dw д*х , дх д ( dw \
du* ~~ dx du* ~ ди ди \ dx J
dw
dy
ди ди \ ду
dy d f dw \
• I 1
\ j
Но -^- и — t будучи функциями х и у, могут быть продиффе-
продифференцированы с помощью формулы A0); дифференцируя, получим:
дх
~Ъ~п \~dx~ ) §ж2 '~дп~ "г" дх ду
д
да
(dw \ 92u; dx (Pw dy
~ду~) = dy dx ' ~du~ ~* dy* "du
A7)
Подстановка A7) в уравнение A6) дает:
d%w dw d^x d^w I dx \2 d^w
' = ~dx" dui "т" 9ж2 ' \дп) +2 дхду
dw d2y ^^ d2w / dy \2
"r" dy ' du2 ~f~ дуг ' \~gu J
du*
дх
ди
ди
A8)
Очевидно, что для
получим выражение, аналогичное урав-
уравнению A8); надо лишь в уравнении A8) и заменить на и. Третья
частная производная второго порядка получается в результате при-
применения формулы A0) либо к A4), либо к A5):
62U> __ dw д2х дх д ( dw \ dw d*y ду д f dw \
)и dv дх dudv ' dv ди \ дх j ¦ dy ди dv dv ди \ ду )
du
„ д I dw \ d I dw \ ,._,
Подставляя сюда выражения для — I-=j-) и — (-—- j из A7),
придем к окончательной формуле:
ди dv
du dv
dw
dx
1
¦ 1
, д*у
' dudv
d2w dx
dx2 du
dw
dx
dv
1 дхду
1 dyi
L^y
«У
ди
dx
ди
ду
dv
dy dx . dy dx~\
du dv J
~r
A9)
Воспользуемся еще одним примером, из рассмотрения которого
станет понятно, почему в некоторых случаях бывает необходимо
в обозначении частных производных указывать те переменные, кото-
которые при дифференцировании принимаются за постоянные.
302
Возьмем известные из термодинамики однокомпонентных систем
уравнения:
P = fi(v,T) B0)
) B1)
где v — объем;
р — давление;
Т — абсолютная температура;
S — энтропия.
Подставляя значение v из уравнения B1) в B0), получим р как
функцию только S и Т, а именно:
S, T),
, Т)
Будем искать частную производную от р по Т при постоянной S.
На основании выведенных формул мы получим:
dT
dv
дТ
Если f1 заменить зависимой переменной р и опустить индексы,
то эта формула примет вид:
dp dp dv . 9p
iF ~~ЮГ"~ЬТ~"г aF
B2)
Здесь два члена —¦ взаимно уничтожаются, и мы приходим
к формуле "я^*"Б^'=:0> которая вообще неверна.
Это объясняется тем, что частные производные -г|г, стоящие в ле-
левой и правой частях формулы B2), вычислены при разных пред-
предположениях. Поэтому в подобного рода примерах не следует опускать
у частных производных индексы, указывающие на то, какие пере-
переменные принимаются за постоянные.
С другой стороны, если пользоваться только уравнением B0),
не прибегая к уравнению B1), то в обозначении частной производ-
„ dp „
нои —jr можно опустить индекс, так как единственной второй неза-
независимой переменной, кроме Т, является v и поэтому переменную v
следует считать постоянной при дифференцировании по Т.
§ 3. ПЕРЕХОД ОТ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ
к цилиндрической системе координат
Формулы дифференцирования сложных функций имеют приложе-
приложения при преобразованиях различных дифференциальных зависи-
зависимостей, связанных с преобразованиями координатных систем (см
стр. 468).
Рассмотрим переход от прямоугольной к цилиндрической системе
координат. Соотношение между этими двумя системами видно из
363
рис. ХП-1. Цилиндрическими координатами точки Р являются:
х, г и Ф, где г — длина перпендикуляра из точки Р на ОХ, а Ф —
угол, образованный этим перпендикуляром и плоскостью XOY.
Между декартовыми и цилиндрическими координатами точки имеют
место следующие соотношения:
х = х; г — гзтФ ]
\ B3)
>
Цилиндрическая координатная система весьма удобна, в част-
частности, при изучении вопросов теплопередачи и массопередачи
в цилиндрических телах, оси которых совпадают с ОХ.
Общее уравнение теплопроводности в не-
неустановившемся состоянии в прямоугольной
системе координат х, у, z
вид:
dt I дЧ , дЧ
имеет следующий
Рис. XI1-1.
дЧ
Посмотрим, как изменится это уравнение
при переходе к цилиндрической системе коор-
координат.
Переход этот осуществляется по формулам:
у=гсо$Ф; z = r ътФ
Следовательно, здесь имеет место пятый случай замены перемен-
переменных, рассмотренный в § 2. Для выражения производных от t по
старым переменным у и z через производные от t по новым перемен-
переменным г и Ф следует воспользоваться формулами A4), A5) и A8), за-
заменяя в них w, х, у, и, v, соответственно, на t, г, Ф, у, z.
Вычислим сначала частные производные от г и Ф по у и г:
дг
ду
. дг
= созф; _ =
B5)
Из рис. ХП-1 находим:
> = -^, откуда
Отсюда имеем:
дФ
Ф = arete; —
ё У
дФ
dz
соэФ
B6)
Вычислим теперь частные производные второго порядка:
дФ
_
ОФ СО82Ф
д ( г \_
ду \У* + ** 1
2yz
(У2 + **J
If
(
dz W2 + z2
B7)
364
Подставим найденные частные производные в формулу A8),
изменив, соответственно, обозначения переменных;
dy2 dr' dy2 ~^~ dr*'\dy
dz* — дг '
" дг* \Ъ1
d*t dr d<b_
' ЬПф "ду" dy
m d_r_ №
+ 2dr~m'dl'~dz
dt
дЧ
"it) B8>
dФ V ....
Складывая эти выражения, получим:
№ . d4
dy* ~т" dz*
dr L dy* ^ dz* J ^ dri L\ % / + V dz J ] + i dr
dф
дФ
L\ % / \ dz ) J
ay ' ду "т" 5z ¦ 5z J~r йФ L %2
Подставляя в эту формулу вместо производных от г и Ф по у и г
их значения из формул B5)—B7), получим:
Уравнение теплопроводности в цилиндрической системе коорди-
координат записывается следующим образом:
— —_L_L d2,* I дЧ \
~' "йГ^Тг"' ЗФ2 "Т" 9г2 /
C0)
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИИ
Если зависимость между независимым переменным х и функцией
от него у задана аналитическим выражением, не разрешенным отно-
относительно у, т. е. если задано уравнение / (х, у) = 0, то говорят, что
это уравнение определяет у как неявную функцию от х.
Вышеописанные методы весьма удобно применяются при диффе-
дифференцировании неявных функций с двумя переменными. Дифферен-
Дифференцирование функции / (х, у) = 0 дает:
Отсюда получаем формулу для производной неявной функции:
dy_
dx
EL
dx
C1)
Аналогичные соотношения могут быть получены для функции
с любым числом переменных. Если мы имеем функцию / (хх, хг,
х3,. . ., хп, z) = 0 и если мы примем хг, х2,. . ., хп за независимые
365
переменные, a z — за их функцию, то частная производная от z
по xk выразится следующими образом:
dz
Of
дхъ
df
дг
C2)
Пусть, в частности, мы имеем функцию:
f(x, у, г) = 0
На основании формулы C2) получим:
дх
(IL\ (МЛ
= \ дх )у, , I dz \ \ ду }х,
/df\ ; \OyJx @f\
\ ду Jx. г )
AL\
(Вх\ _ \dz Л, у
(_0f_\ > \8z)y I df \
\ dz )Xtg \ dx Jy, z
Перемножая эти формулы, придем к следующей зависимости:
ду
§ 5. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ОДНОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ
Экспериментально установлено, что физическое состояние одно-
однородной жидкости определяется заданием двух из трех переменных
величин, фигурирующих в уравнении состояния: температуры t,
объема v и давления р. Между этими переменными существует зави-
зависимость:
/(А М) = 0 C4)
Уравнение C4) называется уравнением состояния жидкости.
Так как три переменных р, v, t связаны одной зависимостью C4),
то одну из этих переменных можно рассматривать как функцию
двух других.
Применим формулу C3) к уравнению состояния C4). Мы получим;
(dp_\(dv_\
\ dv )\ ot J
ар
,
или
(Ё2
\ dv
/Л dt Jp ¦ (J>1\ \ at Jv ( dv \
\ dp )v \ dp J t
C5)
Воспользуемся этой формулой для определения величины давле-
давления, развивающегося при нагревании жидкости, которая занимает
весь объем закрытого реакционного сосуда. Пусть жидкостью
является вода, нагреваемая от 40 до 50е С. Пренебрегая расширением
866
сосуда, этвт процесс можно считать протекающим при постоянном
объеме. После интегрирования по t равенства C5) получим:
.-«-J
dV
^Л
dp)t
¦dt
C6)
Используя определения коэффициента объемного расширения а
и коэффициента сжатия р"
V \ dt Jp
r v \вр It
формулу C6) можно переписать следующим образом:
C7)
Подынтегральная функция в формуле C7) зависит от давления
и от температуры, и уравнение C7), строго говоря, есть интеграль-
интегральное уравнение, так как искомое давление содержится под знаком
интеграла. Однако в рассматриваемом интервале изменения темпера-
температуры коэффициенты аир, являющиеся функциями t и р, с доста-
достаточной степенью точности могут быть приняты постоянными.
Если а = 0,3-10-» aped"* и р = -38-10"в
t2 = 50е С, то, решая уравнение C7), получаем:
0,30 • 10
am
-1
*! = 40° С,
г 38-10-е х— 38
§ в. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ПО ПАРАМЕТРУ
Пусть подынтегральная функция в определенном интеграле,
кроме переменной интегрирования х, зависит еще от некоторого
параметра с. В этом случае определенный интеграл также будет
аависеть от этого параметра:
Ф (с) = J f(x,c)dx
Функция Ф (с) представляется площадью aedb (рис. ХП-2).
Если с дать приращение Ас, то Ф (с -f- Ac) будет равно площади
Aefb, а АФ будет представлять собой заштрихованную площадь cefd.
367
Часто бывает нужно вычислить скорость изменения Ф в зависимости
от изменения с, т. е. —гг- ота производная —— равна:
Если пределы интегрирования а и Ь также являются функциями с,
то приращение Ф представится заштрихованной площадью
(рис. ХП-3).
кУ
e
с
y=f(x,c+ic)
f
d
X
Ъ+йЬ
Рис. ХИ-2.
Рис. ХН-3.
В этом случае —^ определяется следующей формулой:
ъ
dc
9f (x- c)
—
da
Дифференцирование определенного интеграла по параметру при-
применяется, например, в задаче отыскания максимума и минимума
при выполнении технико-экономических расчетов.
§ 7. ПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ В ТЕРМОДИНАМИКЕ
В § 5 гл. V было показано, что выражение
М (х, у) dx + N (x, у) dy C8)
является полным дифференциалом некоторой функции и (х, у), если
выполняется следующее условие:
ду
dN_
дх
C9)
368
Метод нахождения функции и (ж, у), полный дифференциал кото-
которой равен М (х, у) их + N (х, у) dy, изложен там же.
Если функция и зависит от трех независимых переменных, то ее
полный дифференциал du равен:
ди
ди
—
D0)
Пусть нам задано выражение:
М (х, у, z) dx + N (x, у, z) dy + P (x, у, z) dz
Как и в случае двух независимых переменных, можно показать,
что для того чтобы уравнение D0) было полным дифференциалом
некоторой функции и (х, у, z), необходимо и достаточно выполнение
следующих условий:
дМ
dN
дх '¦>
дМ
dz
дР
дх >
dN
dz
дР
D1)
Аналогичные соотношения могут быть получены для функции
с любым числом независимых переменных.
В § 7 гл. XI было установлено, что криволинейный интеграл
х, у) dx + N (x, y)dx
взятый между точками (х±, у{), (х2, у2), не зависит от пути интегри-
интегрирования, если подынтегральное выражение есть полный дифферен-
дифференциал du некоторой функции и (х, у). Величина интеграла в этом
случае оказывается равной:
Аналогично, если нам дан криволинейный интеграл, взятый по
пространственной кривой L между точками (хи уи zt) и (х2, у2, z2)
J М (х, у, z)dx + N {x, у, z)dy + P (х, у, z) dz
L
то он не будет зависеть от пути интегрирования, если подынтеграль-
подынтегральное выражение есть полный дифференциал du некоторой функции
и (х, у, z), т. е. если выполняются условия D1). В случае выполнения
этих условий интеграл будет равен:
В качестве примера рассмотрим некоторое количество однородной
жидкости. Ее физическое состояние определяется значениями любых
двух переменных величин из следующих трех: давления, объема
и^температуры. Между этими тремя величинами р, v и Т существует
функциональная зависимость; будем считать риг; независимыми
переменными: тогда эта зависимость может быть представлена
в виде: Т = / (р, v).
24 заказ 1706
369
Совокупность значений р и v дает некоторую точку на плоскости
pv; каждой такой точке соответствует значение Т (рис. ХП-4).
Дифференциал Т
есть полный дифференциал. Если состояние системы, определяемое
точкой А, изменится так, что оно будет определяться точкой В, то
температура в точке В может быть найдена из формулы:
TB = f(P» "в)
Для отыскания значений работы, совершаемой системой в резуль-
результате изменения ее состояния при переходе от А к В, требуются допол-
дополнительные данные. Считая рассматриваемый
здесь процесс обратимым, работу системы вы-
vB
числим с помощью интеграла Wa~b — \pdv,
"А
который представляется геометрически пло-
площадью под кривой на диаграмме р — v. Так
как из точки А можно перейти в точку В по
разным кривым, то, следовательно, и площади
между этими кривыми и осью v будут различ-
различны.-Значение работы W зависит, таким обра-
образом, не только от положения точек А и В, но
также и от пути АВ.
Экспериментально найдено (хотя непосредственно из диаграммы
р — v это не видно), что количество тепла Q, проходящего через
границы системы во время изменения ее состояния в пределах А — В,
также зависит от пути, по которому изменяется это состояние.
Следует отметить, что, несмотря на то, что количества тепла
и энергии, связанные с изменением состояния от А до В, зависят как
таковые от пути, пройденного системой, разность их не зависит
от пути.^ Утверждение, что изменение Q — W, где Q — поглощенное
системой тепло, a W — совершенная системой работа, определяется
только состоянием системы в А и В, равнозначно утверждению, что
изменение разности Q — W характеризует изменение некоторой
функции состояния системы. Этой функцией является внутренняя
энергия U:
Рис. ХП-4.
= F {pB, vB) - F (рА>
Мы можем также написать:
!
L
D2)
D3)
Если из точки А описывается замкнутый путь в плоскости pv
(на рис. ХП-4 этот путь представлен пунктирной линией), то криво-
370
линейный интеграл от dU по этому пути может быть напи-
«ан так:
I
' = иА-иА=о
D4)
Для краткости этот криволинейный интеграл называется цирку-
циркуляцией и обозначается символом ф, где I — замкнутая кривая.
Циркуляция полного дифференциала всегда равна нулю {см. гл. XI).
Перейдем к рассмотрению другой функции состояния системы —
к энтропии. Энтропия определяется только переменными, характери-
характеризующими физическое состояние системы, и при переходе системы
«т А в В изменение энтропии не зависит от пути этого перехода.
При этом
AS,
где dQ0$p — количество тепла, проходящего через границы системы
в течение обратимого процесса, а Т — абсолютная температура.
Для бесконечно малого изменения состояния:
dQo6p
и dQo6p =
Заменив dQ и dW в уравнении D3) их значениями, получим урав-
уравнение
dU = T dS — pdv D5)
содержащее функции точки и полные дифференциалы.
При интегрировании уравнения D5) получим U, как функцию
двух переменных, а именно S и у. Выразив это соотношение
уравнением
U = fv(S,v) D6)
нетрудно видеть, что
ои \ .„ юи \ dv
D7)
при сопоставлении с уравнением D5) имеем!
\dS
р
Если уравнение D6) известно для данной массы любой однород-
однородной жидкости, то, очевидно, свойства Т, р и U могут быть вычислены
йля любого физического состояния жидкости, которое определяется
независимыми переменными S и у. Поэтому уравнение D6)
называется основным уравнением. Функция U иногда называется
«термодинамическим потенциалом энтропии и объема».
24*
37L
§ 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
В ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Любые два свойства достаточны для определения состояния одно-
компонентной системы, и если S и v оказываются неудобными, то
можно рассматривать, например, S и р путем введения нового свой-
свойства Н, выражаемого через U, р и v уравнением:
Полный дифференциал dH будет равен;
dH = dU + pdv + vdp
Подставляя вместо dU его значение из уравнения D5), получим!
dH = TdS+vdp D8)
B = fH(S,p) D9)
Очевидно
Сопоставление с уравнением D8) показывает, что
Величина Н известна под названием энтальпии, или тепло-
теплосодержания.
С практической точки зрения более удобным является выбор
температуры и объема или температуры и давления в качестве не-
независимых переменных.
При выборе Т и v определяется новое свойство F, выражаемое
через U, Т и S уравнением F = U — TS.
Дифференцирование дает:
dF = dU — T dS — SdT
Подставляя вместо dU его значения из уравнения D5), получим:
dF = —SdT—pdv E0)
Таким образом, F является функцией Г и у, что может быть
записано так
F = fF(T,v)
откуда имеем:
Сопоставление с уравнением E0) показывает, что
г-* и
Функция F называется свободной энергией и, как видно, является
термодинамическим потенциалом, когда температура и объем —
независимые переменные.
При выборе р и Т в качестве независимых переменных характе-
характеристическая функция при этих переменных выразится уравнением
Ф = ?7— TS + pv
дифференциал которой будет равен:
d<b = dU — T dS — S dT + pdv + v dp
Заменив dU его значением из уравнения D5), получим:
Et).
С другой стороны, имеем
р)
откуда, после сопоставления с уравнением E1), вытекает, что
r-S и
Функция Ф представляет собой термодинамический потенциал,,
когда температура и давление — независимые переменные. Она на-
называется изобарным потенциалом, а иногда — свободной энергией.
§ 9. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
И ИХ ПРОИЗВОДНЫМИ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНЫХ
ОДНОФАЗНЫХ СИСТЕМ
Практический интерес к только что рассмотренным термодинами-
термодинамическим функциям обусловливается теми упрощениями, которые
они вносят в расчет различных тепловых и энергетических эффектов,
сопровождающих физико-химические процессы. Большое значение
имеют таблицы этих функций; здесь мы приводим методы расчета
последних на основе величин, которые могут быть непосредственно'
измерены.
Рассмотрим метод расчета изменения внутренней энергии в зави-
зависимости от объема при постоянной температуре.
В этом случае требуется найти производную ( -т—) к&к функцию-
от v. Если функция U известна при Т — Та и v — vA, то ее значе-
значение при Т — Тв и v = vb определится следующим образом:
372
373-
Для того чтобы найти (-=—) как функцию от у, будем исхо-
исходить из уравнения:
U = fo{S,v) E2)
Так как для определения состояния системы достаточно любых
двух переменных, будем рассматривать S как функцию Т и yi
5 = Ф(Г, 17) E3)
При подстановке в уравнение E2) вместо S ее значения из урав-
уравнения E3), U становится функцией Г и у может быть продифферен-
продифференцирована по у при постоянной температуре. Это дифференцирование
дает:
/ du \ _ / аи \ / ds \ ,f аи \ ( dvч
\ dv )T~~\~dS~)v\~dv~jT''\~dv~)s\'dv1
Но (¦д-) =1, следовательно
/ dU \ _fdU\fdS\ <f аи \
\ dv )т~ \~ЫГ) v\~dv~ ) т~> \~dv~ )
Из уравнения D7) имеем
(МЛ-т и ( ди
\es h~ \~fo
поэтому
s
~ P
аи
Из уравнения E0)
as
= — SdT— pdv
и, так как dF есть полный дифференциал, то на основании уравне-
уравнения C9):
°L\ -( дР \
dv JT \ дТ H
Подстановка в уравнение E4) дает:
ви \ i dp
) Т\
VB
E5)
"А
Производная l-gfr) легко вычисляется из данных о соотношениях
между р, v и Т для рассматриваемого вещества, а интеграл полу-
получается как площадь под кривой построенной по значениям величин,
находящихся в скобках, относительно у; все величины отнесены
к температуре Т.
374
Следует отметить, что такое вычисление допустимо только при
изотермическом изменении U. С помощью только одних данных
о соотношении между р, v и Т невозможно вычислить изменение U
с изменением температуры.
Пример. Вычислим величину изменения энтальпии системы
в зависимости от давления при постоянной температуре.
Вместо того чтобы применить тот же метод, который был принят
для вывода уравнения E5), начнем непосредственно с уравне-
уравнения D8):
dH=T dS + vdp
Разделив на dp и учитывая принятое ограничение (постоянство
температуры Т), получим:
Но из уравнения E1) известно, что
(/ф = — S dT + v dp
Так как ЙФ есть полный дифференциал, то
Подстановка в уравнение E6) приводит к
Величина изменения энтальпии при переходе системы от состоя-
состояния при Т, рл к состоянию Т, рв определяется уравнением:
Рассмотрим теперь процесс изменения теплоемкости в зависи-
зависимости от давления при постоянной температуре. Из определения
теплоемкости имеем:
л
Но dQ — T dS, следовательно
С -
dS
°ьр \ Г d I dS \ "]
dp )т = Т L~dp~ \1РГ )р]
875
Далее, S, в свою очередь, — функция р и Т, и, так как порядок
дифференцирования не имеет значения, мы можем написать:
ЗГ )р]т Т\_дТ\др
Подставляя вместо (-д—) ее значение из уравнения E7), по-
получим:
/ос.
§ 10. ВЫВОД СООТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ПЕРВЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ДЛЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Выше были введены десять важных термодинамических величин,
а именно: р, v, T, S, U, H, F, Ф, Q и W. Теплоемкости Ср и Cv сюда
не входят, так как они определяются производными, содержащими
-основные величины.
Будем рассматривать частные производные'(—М , где х, у, z—
\ @Х / z
любые из перечисленных выше термодинамических величин. По-
Поскольку этих термодинамических величин десять, то общее число
таких частных производных равно числу размещений из 10 элементов
по три, т. е. 720.
Каждая из этих величин может быть выражена как функция
других двух величин. Любая из 720 производных может быть пред-
представлена как функция трех других производных. Согласно теории
¦сочетаний число таких соотношений между производными дости-
достигает 11 миллионов. Нет никакой необходимости в том, чтобы все эти
соотношения были перечислены, но вместе с тем чрезвычайно важно
иметь метод, с помощью которого можно было бы вывести любые
из этих соотношений.
Для вывода этих соотношений введем понятие о якобиане.
Пусть заданы две функции и и v двух независимых переменных х
и У\ будем предполагать, что эти функции дифференцируемы по х
и по у. Якобианом этих функций называется следующий опре-
определитель:
дх
*L
дх
Якобиан функций и и v принято обозначать следующим образом:
D (u,v) ,, .
-оЩ) или /("'У)
Если в якобиане E9) поменять местами функции v и и или же
переставить местами аргументы х и у, то якобиан изменит знак на
противоположный:
D(u, v) _ D (v, и) _ D (у, и) _ D (и, у)
D (у, х) D (у, х)
D (х, у)
Кроме того:
D (х, у)
D (и, и)
= 0
D {х, у)
Для системы функций и (х, у) и v (x, у) двух независимых пере-
переменных якобиан ^ ("' ^ во многих отношениях играет ту же роль,
D (ж, у)
как и производная -^- по отношению к функции z (x) одной незави-
независимой переменной.
Пусть у есть функция от двух независимых переменных х и z.
Рассмотрим две функции:
у = у (х, z)
и z =
Частную производную -j- можно рассматривать как якобиан
D (и z) тг „
у' ' . Действительно
(ду_\ (ду_\
\ дх Л V dz Л
—
дх
—
dz
\ дх }г \ dz
0
1
дх
Пусть и и v — две функции независимых переменных х и у,
если вместо хну ввести две новые независимые переменные аир,
связав их с х и у зависимостями
х = х(а, Р); у = у(а, Р)
то имеет место следующая, основная в теории функций нескольких
независимых переменных, зависимость:
D (и, у) __ D (и, v) D (я, У)
D (a, p) Z> (х, у) ' D (а, Р) (W>
Эта формула является обобщением правила дифференцирования
сложной функции в случае одной независимой переменной.
В качестве следствия формулы F0) имеем следующую формулу,
важную для дальнейшего:
JLLVjJL
D (а, Р)
376
F1)
377
Отсюда:
L
дх
Пусть дано уравнение
D(!/,z) . D(x, г)
D (a. P) ' D ("a, P)
F(x, у, z) =
*62)
Мы можем по нашему усмотрению выбрать любые две переменные
(х, у или z) в качестве независимых переменных, а третью рассматри-
рассматривать как их функцию. Вычислим произведение
(_ду_\(дх_\ (д^\
\ Эх )г\ dz )у\ ду )х
Заменяя сомножители, входящие в это произведение, отноше-
отношениями определителей F2), будем иметь:
Итак
ZJ
/>
D
(U,
(a,
(*,
(a.
*)
P)
z)
P)
ZJ
Z5
Z5
z>
(*.
(a,
(z,
(a,
»)
P)
Ю
P)
U
D
D
D
(«,
(a,
(a,
X)
P)
X)
P)
Зг Л \ dz I у \ dy )x
F3)
В качестве второго следствия рассмотрим зависимость:
dU=TdS — pdv
Обозначив через х и у любые две термодинамические переменные,
получим отсюда:
дх
эх
i у \ дх iу \ их /у
Выражая частные производные посредством якобианов, приведем
эту зависимость к виду:
или
Соотношение
D
D
(U,
(*.
У)
У)
D
D
= TJ
(S,
(S,
У)
У)
У)
n D{v*
— vJ(v,y)
У)
У)
dv
1L\
dS )v
являющееся условием того, что dU ееть полный дифференциал,
может быть написано так:
D (Г, S)
Д(р, у)
D(S v)
D(v,S)
Меняя местами независимые переменные в правой части, найдем:
J(T S) = J(p,v) F4)
378
Еще одно соотношение получается из равенства
которое с помощью уравнения F2) может быть написано так;
D (г, у) D (z, x)
di=-DTx^Tdx+-DTyT^rdy
F5)
Если x, у и z выразить в виде функции двух других термодина-
термодинамических переменных, то, воспользовавшись зависимостью F0),
получим отсюда следующую формулу:
/ (ж, у) dz + / (у, z)dx+J (г, х) dy = 0 F6)
Будем теперь рассматривать х, у и г как функции двух новых
переменных, например, переменных и и w, тогда из формулы F6)'
найдем следующую зависимость:
'«*•»(?).+'<*¦>(¦?¦).+'<¦¦•>(•?).-''
Заменяя здесь частные производные на якобианы на основании
формулы F1), мы получим:
J(x,y)J(z,w)+J{y,z)J(x,w) + J(z,x)J(y,w)=O F7)
При х = р, y = v, z = T и w = S формула F7) дает важное со-
соотношение
/(р, v) J(T, S) + J (v, T)J(p,S) + J{T, p)J{v,S) = 0 F8)
причем в качестве независимых переменных, по которым берутся
частные производные во входящих сюда якобианах, могут быть
взяты любые термодинамические переменные.
Формула F7) делает возможным систематическое решение задачи,
поставленной в начале этого параграфа.
Примем р и Т за независимые переменные и рассмотрим пере-
переменные U и Н как функции от р и Т.
Тогда найдем:
ви
D (U, Н)
Н D(v H)
г аи_\ (он_\
\др )А от ),
D (U, Н) . D (у, Н)
D (р. Т) 1 Dip Г)
( dU
i\dT
I dv \ t дН \ I дН \ / dv
\Тр )т\~от~)р~\~~др~)Л ат"
Из формулы E8) имеем
дП
аР
F9)
G0)
379
и из определения Ср и Н в сочетании с первым законом следует:
Далее, из формулы D5) имеем:
Но из равенства dQ = T dS видно, что:
-\ -С -т(Л
ат )v~ р~ Кат)р
Заменяя в формуле G2) Т (-^г) через Ср, получим:
(ди\ -г J dv
Единственной величиной в формуле F9), которая нами еще не
определена, является (— J . Для ее определения рассмотрим фор-
формулу D5). Из нее следует:
dp )т~1 \ др )Т Р\др
„ / dS \ I dv \
Последнее соотношение после замены 1-т— I на ~\~g~f) на
основании формулы E7) принимает вид:
Заменим в формуле F9) частные производные
ви\ I ан \ (дн \ (аи
дР )т' { ат V \др )т' \ат )р
их выражениями на основании формул G0) —G3). Мы найдем:
*
G4)
После преобразований эта формула принимает следующий вид:
G5)
380
Метод, примененный для вывода формулы G5), отличается гро-
громоздкостью и требует некоторого опыта в обращении с термодина-
термодинамическими уравнениями. С целью упрощения вычислений может
быть использована таблица, которая содержит значения / (х, у),
выраженные через величины р, v, T и S.
Введем следующие обозначения:
/ {v, T)= —J (T, v) = a
J (p, v) = J (Г, S)= -J (и, p)=-J (S, Г) = 6
J(p, S)=-J(S,p) = k
J(p, T)=-J(T,p) = l
J {V, S)= —J {S, v) = m
G6)
В этих обозначениях формула F8) принимает следующий вид:
lm = 0 G7)
Значение / (х, у) находится из таблицы на пересечении строки,
. соответствующей переменной х, со столбцом, соответствующим пере-
переменной у. Эти значения / (х, у) получаются из выражений для dV,
dH, dF и т. д. в форме якобианов.
Так, например, dH = TdS -\- vdp принимает вид:
J(H,y) = TJ(S, y)+vJ(p, у)
где у—любая термодинамическая переменная.
При у = Т имеем:
/ (Я, T) = TJ (S, T) + vJ (p, T)=-Tb + vl
Таким же образом из dQ = TdS получаем:
J{Q,P) = TJ{S,p)=-Tk
С помощью указанной таблицы выразим (——) через произ-
производные, включающие в себя р и Т в качестве независимых пере-
переменных.
Сначала выразим (*?—J посредством якобианов:
( ЭН\ ' . / (Я, Т)
К др )т J(P,
Г)
Вместо якобианов подставляем их значения из таблицы на
стр. 382
J(H,T) -Tb.+.vl _ %Ъ
J{p,t)- I / +v G8)
Из таблицы, а также из уравнения G6) видно, что b = J(p, v)
и l = J(p,T). Поэтому
( дН\ TJ (р
\др )т J (р,
TJ (р, у)
Г)
381
о
II
g
"**
• ••
со.
S *N
8
И
S *ч
и
ее
'
та.
<* *ч
8
'
1
S
X)f
о-
е
со
Еч
G,
И
G,
5-.
со
1
b—pb
СО
1
6ч
Тк—рЬ
-as
о
о.
о
g
6ч
Т
в
со
|
ts
со
1
1
1
1
g
6ч
g
6ч
g
в
О
vd—
6ч
¦g
ts
G,
ts
G,
Еч
О
«
i
6ч
g
G,
О
—vk
.о
со
g
G,
со
-as
r
1
S
G,
О
-О
S
1
i
-as
со
—Tpm
-pTm
1
Еч
G,
со
Еч
о
—pm
в
—Tb—p
g
j
G,
6ч
1
—Tpm
^s
6ч
1 a
"^ 1
2.
^r
1 --^
co. u
Еч 1
о
+
+
g
6ч
1
—Тк
*
—Spa
g
6ч
Tb—p
со
1
й
G,
4-
о
++о.
—' S с*э
Еч ^^
ts
1 +
—Sb—pm\
-Ра
ts
со
G,
<*,
G,
I
J
со
1
О
it
а.
i
со _i_
.. Д^
Г|
xs-
f +
-as
со
•s
+
ts
со
со
G
— Трт
о
6ч
-О
6ч
«о
+ Трт
_
6ч
со
Еч
т
Трт
о
-Tb
g
Еч
1
6ч
1
О-
Трт
о.
t
3
а,
со
¦Spa
G,
Трт
Трт
5
о,
а.
о
t
ь
•
Но, с другой стороны
J (р., у)
1рГ7):
dv
следовательно
Выразим теперь Г ——\ через производные, в которых незави-
симыми переменными являются v и S.
Из формул G7) и G8) имеем:
дН
Tb
ТЪп
Искомое выражение может быть получено из этой формулы и из
таблицы на стр. 382. Мы имеем:
Так как
( дН\ _ TJ (р, у) J (v, S)
\др)т J(p,v)*+J(v,T)J(p,S)~i~
G9)
то, подставляя зти значения в формулу G9), получим:
т(9р\ 4v( 9pY + y( 9Т\ ( др
\ дР )т
(_((
\ dp Jv^K дТ иЛ дУ Js
Пример. Определить соотношение между дифференциальным
дроссель-зффектом ц = (—=-) , теплоемкостью при постоянном
\ ор /Н
давлении Ср и производной ( — \ == Ф.
Из таблицы на стр. 382 имеем:
,,-BL\ . J (г. н) -
•* \др)н J(P,H)
"р \дТ )р J (T, р) —
Tb — vl
Tb4-vl
(80)
др )т J (Р, Т) I
Из этих соотношений легко установить зависимость;
Ф \ др )т
383
382
Пример. Пользуясь таблицей на стр. 382, выразить (-gj-)H че"
рез наименьшее число производных, содержащих р и Т в качестве
независимых переменных:
J(U,H) —Tvk — p(Tm — vb)__
V dv
J (v, H)
Tm — vb
__ ~TvJ(p,S)—pTJ(v,
TJ{v, S) — vJ (p,v)
(81)
Если за независимые переменные принять р и Т, то якобиан
/ (у, S) приводит к четырем производным, а остальные якобианы —
каждый к одной производной. С целью исключения некоторых произ-
производных воспользуемся формулой G7). Так как независимыми пере-
переменными являются р и Т, то
J(v, S) = m = b* + ak = J{p, v)Z + J(v, T)J(p, S)
Внося это значение для J (v, S) в формулу (81), найдем:
/ аи \ . TvJ{p, S)-pTJ(p, v)*-pTJ(v, T) J(p, S) + pvJ(p, v)
\ dv )н~ TJ(p,v)Z + TJ(v,T)J(p,S)-vJ(p,v)
Ho
J{p, S) =
TJ(v, T)J(p, S)-vJ(p, v)
д(р, S) _( dS\ _ Cp
\dT )p
d(p,
J ^ ' l> d(p,T) \dp )t
Искомое выражение для (-?—j получим, внося зти значения
для якобианов в формулу (82).
Пример. Найдем выражение для зависимости изменения фуга-
тивности / от температуры при постоянной энтальпии через произ-
производные Ср, ( — j и через основные термодинамические переменные.
Так как таблица на стр. 382 не содержит фугативности, то зна-
значение последней получим из ее определения:
Производные
и
384
дФ
дТ /н RT \дТ /н
определяются из таблицы:
/ дФ \ /(Ф,
\дТ )н~ J{T,
Я) _ -T(Sb~v
Н)
Tb-vl
(84)
Из формулы (80) имеем:
откуда
J
J
(Я,
(р.
Т)
Т)
Тк
( ан \
\ др )т
Uv-Ф
h— v
ср
т
и
,1
—Tb + vl
1
т
Подставляя зти выражения для к и Ь в формулы (83) и (84),
найдем:
' In /
/ д In / \ ^ 5ФН + 1;С
V ат )н~~ -фнлг
Пример. Определить дифференциальный дроссель-зффект для
идеального газа, уравнение состояния которого:
pv = RT
Примем за независимые переменные р и Т. Тогда
отсюда:
l=J(p, T) = i
ТЬ—vl
Х~- Тк =
Допустим теперь, что уравнение состояния газа есть pv = CRT\
где С — коэффициент сжимаемости, определяемый опытным путем
и являющийся функцией температуры и давления.
В зтом случае:
¦-(¦SO.
СЛ , RT
1?
дТ
1 = 1
Следовательно:
25 заказ 1706
Глава XIII
РЯДЫ
§ 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОМЫВКИ ОСАДКА
Бесконечные ряды находят широкое применение в технических
расчетах. Результаты анализа многих процессов часто выражаются
в виде ряда; разложение функции в ряд позволяет найти ее числен-
численное значение. Ряды имеют большое значение в решении обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений, а также при решении уравнений
с частными производными и в приближенных вычислениях.
Рассмотрим последовательную промывку осадка с использова-
использованием каждый раз свежей воды. Начальная пульпа содержит а кг
воды с х0 кг растворенной соли на 1 кг воды.
При каждой промывке пульпа подвергается интенсивному пере-
перемешиванию со свежей водой, которая поступает в количестве Ь кг.
После перемешивания раствор отстаивается и сливается,
а в пульпе остается а кг воды. Если концентрация раствора после
ге-й промывки равна хп, то
ахо = ах\ -\- Ъхх
откуда концентрация раствора после первой промывки:
Концентрация после ге-й промывки равна!
/ а \п
Общее количество растворенной соли, извлекаемой промывной
водой, будет:
Это количество после п промывок выражается многочленом сте-
а
пени п относительно
а-\-Ъ '
С увеличением числа промывок, т. е. при п, стремящемся к оо,
количество соли, остающейся в пульпе, будет стремиться к нулю,
386
а количество извлеченной соли будет стремиться к ах0, и мы полу-
получаем следующее равенство:
A)
-* 2 Ыг)"
Правая часть полученного равенства представляет собою беско-
нзчный ряд. ~—
В общем случае рядом называется выражение:
где ип — числа, закон построения которых нам задан.
Так как в рассматриваемом примере а и Ь — положительные числа
—^- является правильной дробью, то Г—ттг)
A)
и, следовательно,
, д^
стремится к нулю с увеличением п. Сумма п членов ряда A) стре-
стремится к определенному пределу, когда п стремится к бесконечности.
Ряд A) называется сходящимся.
§ 2. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ
Бесконечный ряд
•• + ««+••• B)
называется сходящимся, если сумма первых его п членов Sn = u1 -f-
-\- и 2 -\- . . . -\- ип стремится к пределу S, когда число п возрастает
до бесконечности. Число S в этом случае называется суммою
этого ряда.
Если же Sn при безграничном возрастании п не стремится ни
к какому пределу, то ряд называется расходящимся.
Для наших приложений важны исключительно сходящиеся ряды
(хотя расходящиеся ряды также находят себе применение при реше-
решении технических задач); поэтому займемся установлением при-
признаков, по которым можно было бы судить о сходимости или расг
ходимости ряда.
Прежде всего, напомним, что ряд а -\-aq -\- aq* -\- . . ., изуча-
изучаемый в элементарной математике и называемый геометрическим
рядом, будет сходящимся (ибудет"иметь сумму т^—), если \q\ •< 1;
он будет расходящимся, если |д|5=„1..
В случае, если ряд знакопостоянный, то о его сходимости или
расходимости можно судить по следующим признакам.
1. Признак сравнения. Пусть даны два знакопостоянных ряда
+ + + + ;; + причем
и
ип
v2
+ ;;„ + •
причем
и1 + и% + . . . + ип + • • • и Vi + v2 + . . . + ;;„ + » р
члены второго ряда больше или равны соответствующим членам пер-
первого ряда: мх^ vu u2 =s v2,. . ., ип s? vn ,. . . Если второй ряд сходится,
25*
387
то и первый сходится, и если первый ряд расходится, то и вто-
второй расходится. Например, гармонический ряд 1+ -s- + -q-+T~b-• •
> 2/ о 4
расходится, так как ряд с меньшими членами 1+т+(т~Ьт
видно расходится.
1 1
Ряд 1 + "от ~Ь "от + • •• при s<Sl также расходится, что сле-
следует из сравнения его с гармоническим рядом.
2. Признак Даламбера. Если ряд B) знакопостоянный и если
отношение Un+1 при бесконечном возрастании п стремится к пре-
ип I
"я+1
стремится
делу, меньшему 1, то данный ряд B) сходится; если
к пределу, большему 1, то данный ряд B) расходится; если этот
предел оказывается равным 1, то, пользуясь данным признаком
нельзя решить вопрос о сходимости ряда.
Если члены ряда имеют произвольные знаки, то справедливо
следующее утверждение:
Ряд щ _[- и* + • . . + и„ + . . . будет сходящимся, если схо-
сходится ряд \и±\ -\-1 иг | + . . . +1 ип | -\- . . ., составленный из абсо-
абсолютных величин его членов.
Если данный ряд знакочередующийся, то имеет место признак
Лейбница; знакочередующийся ряд их — иг + и3 — щ + . . . будет
сходящимся, если члены его монотонно убывают и стремятся к нулю.
Отметим, что из сходимости ряда иг -\-и2 -{-... же следует схо-
сходимость ряда \и1\ -\-1 и2 | -\- . . . Поэтому, если дан ряд, члены кото-
которого имеют любые знаки, и если этот ряд сходится, то могут быть
два случая:
1) Ряд \иг\ +|иа| • • ч составленный из абсолютных величин
членов данного ряда, сходится, — в таком случае данный ряд назы-
называется абсолютно сходящимся.
2) Ряд | их | _[-1 1 + • • . расходится. В таком случае данный ряд^
ui + иг + • • • называется условно сходящимся.
Примеры.
1111
1. Ряд 1 ^-+-7 к~~\~Та • • • сходится и притом абсолютно, ибо
Z 4 о 1Ь
ряд 1-}- — -{- — -}--^--}-—_-}- , , , также сходится. Оба эти ряда—геометри-
ряда—геометрические ряды со знаменателем, абсолютная величина которого меньше 1.
111
2. Ряд 1 o""t~ 7~~г" • • ¦ также сходится (по признаку Лейбница),
но уже условно, так как ряд 1+-7Г+-5-+-Г+-. • расходится (как гар-
моыичвския).
888
3. ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С РЯДАМИ
Если ряды
сходятся и если суммы их, соответственно, равны А и В, то, склады-
складывая ряды почленно, получим новый ряд
сумма которого равна А -\- В.
Частичные суммы Ап и Вп (т. е. суммы п членов каждого ряда)
определяют со сколь угодно малой погрешностью суммы А и В при
достаточно большом п, а следовательно, Ап -\-Вп определяют сумму
А -\- В с любой степенью точности. Таким образом, последователь-
последовательность сумм
А3+В3=(а1-\.Ь1)-\.(а2-\-Ьг)-\-(а3
имеет предел А-\-В.
оо оо
Если ряды У а{ и 2 ^ абсолютно сходящиеся, то в каждом из них
i=i «-1
без влияния на суммы можно изменить произвольно порядок в рас-
расположении членов, а следовательно, при суммировании двух абсо-
абсолютно сходящихся рядов не обязательно суммирование соответ-
соответственных членов *.
Например, суммируя абсолютно сходящиеся ряды
не обязательно брать сумму в виде:
Удобнее эту сумму представить так:
Сказанное относительно суммы двух рядов целиком распростра-
распространяется на разность их.
Если все члены сходящегося ряда умножить на постоянное
число с, то получим новый ряд, сумма которого равна произведению
числа с на сумму первоначально данного ряда.
Так, если
а«= А
п=\
* Отметим, что для условно сходящихся рядов это утверждение неверно.
G89
то
При умножении двух абсолютно сходящихся рядов друг на друга
следует применять правило умножения конечных сумм: произведе-
произведение двух рядов равно сумме ряда, который получим, если каждый
член первого ряда умножим на каждый член второго и полученные
произведения сложим.
Перемножая два абсолютно сходящихся ряда
мы получим ряд:
C)
D)
.имеют большое практическое значение. Многие функции могут быть
представлены как суммы степенных рядов; экспериментальные дан-
данные часто выражаются посредством многочленов или бесконечных
степенных рядов. Сумма степенного ряда представляет собой непре-
непрерывную функцию х в пределах сходимости ряда.
Применяя признак Даламбера для определения сходимости ряда,
найдем, что степенной ряд D) сходится, если отношение —а"я
I ап-1х
стремится к пределу, меньшему 1, при возрастании п до беско-
а,
§ 4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Степенные ряды:
нечности. Если при этом
«п-1
имеет своим пределом F, то для
сходимости ряда достаточно, чтобы F\x\ было меньше 1.
Это будет выполнено, если х заключается в пределах;
Число — называется радиусом сходимости ряда. Если I х\ ]> ——,
г р
то ряд будет расходящимся. При х— ±-у ряд может оказаться как
сходящимся, так и расходящимся.
Операции сложения, вычитания, умножения и деления можно
производить со степенными рядами по правилам действий с много-
многочленами, расположенными по возрастающим степеням, при условии,
что | х | <^ р .
390
Можно показать, что степенной ряд можно дифференцировать
почленно и можно интегрировать почленно между любыми преде-
пределами аи Ь, удовлетворяющими условию
¦ -j < а < b < у , где -у —
радиус сходимости ряда. При этом радиус сходимости рядов, полу-
полученных дифференцированием или интегрированием данного степен-
степенного ряда будет тот же, что и радиус сходимости данного ряда.
Одной из важнейших задач анализа является отыскание такого
степенного ряда а0 -\- ах (х — а) -\- а2 (х — аJ -\- . . ., сумма кото-
которого равнялась бы данной функции / (а:). Не для всякой функции
это возможно сделать. Если такое представление возможно, то коэф-
коэффициенты искомого разложения в ряд определяются следующим
образом:
Таким образом, если искомое разложение возможно, то оно имеет
следующий вид:
E=
E)
Ряд, етоящий в правой части этого равенства, называется рядом
Тейлора. Отметим, что не всякую функцию можно разложить в ряд
такого вида. Для возможности такого разложения, в первую очередь,
необходимо, чтобы функция и все ее производные существовали
при х = а. Например, функции In (х — а) и ~\fx — а не могут быть
разложены в степенные ряды, расположенные по степеням х — а.
Однако даже если функция и все ее производные существуют при
х = а, то отсюда еще не следует, что ее можно представить в виде
ряда указанного вида. Исчерпывающе этот вопрос разрешается
в теории функций комплексного переменного.
Если в ряде Тейлора положить а = 0, то получим частный слу-
случай — ряд Маклорена:
11 21 31
Приведем разложения в ряды важнейших элементарных функций
с указанием областей их сходимости:
(-оо<*<оо)
~Х ЗМ 51 • • Ф (
=1-2Т+тг---- <-°°<*<°°>
391
+
ch*=1+-fT+lr+
arcsina:=a:+
2-3
aretg*=«—J-+-^---^-
Чем меньше \х\, тем меньше членов следует брать в этих рядах
для вычисления числовых значений / (х) с желаемой точностью.
Если значение \х\ весьма мало, то достаточно ограничиться только
одним или двумя первыми членами, отбросив все остальные. Таким
образом можно получить весьма простые приближенные формулы
для вычисления / (х).
Приведем некоторые, наиболее часто встречающиеся приближен-
приближенные формулы:
cos х
х2
i ——
A ±х)п *» 1 ±пх; tgx^x
а* «^ 1 + х In а; In A ± а;) *=« ± х
Если нам известны значения функции / (х, у) и всех ее частных
производных при х=ажу=Ьж если эту функцию можно пред-
представить как сумму некоторого степенного ряда, расположенного
по степеням х — а ш у — Ь, то значение функции в точке х, у опре-
определяется следующим рядом:
_„) JL+ {У_Ъ) -|L
причем частные производные вычисляются в точке (а, Ь).
Ряд, стоящий в правой части формулы G), называется рядом
Тейлора для функции двух независимых переменных. Формула G)
является обобщением формулы E) на случай функций, зависящих
от двух независимых переменных.
Аналогичные ряды могут быть получены для функций, зависящих
от любого числа независимых переменных.
392
§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ К РЕШЕНИЮ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Если дифференциальное уравнение у' = / (х, у) не приводится
к квадратурам (т. е. к вычислению неопределенных интегралов), то
во многих случаях решения этого уравнения могут быть получены
посредством степенных рядов.
Если мы ищем интегральную кривую уравнения у' = / (х, у),
проходящую через точку (а, Ь), то следует искать решение в виде
ряда Тейлора, расположенного по степеням х — а:
(8)
Задача сводится к отысканию коэффициентов у (а), у' (а) ...
этого ряда. Но у (а) = Ь, согласно начальному условию, а у' (а),
у" (а) . . . могут быть найдены из самого дифференциального уравне-
уравнения и из уравнений, которые получаются из него дифференци-
дифференцированием по х.
Пример. Найдем интеграл уравнения
^-=*+"* О)
удовлетворяющий условию" у = Ь при х=а. Мы имеем:
Дифференцируя данное уравнение, найдем:
dx*
Подставив эти значения в формулу Тейлора (8), получим:
+ -|j-(«2+4ab2 f 6 + 36*) (х-а
В частности, если принять в=1, Ь = 0, то решение A0) обращается в
6 (*-
A0)
2!
i
1
3!
1
4!
Разложение в степенной ряд искомого интеграла можно получить
иначе. Если мы ищем интегральную кривую, проходящую через
точку (а, Ъ), то полагаем
и подставляем этот ряд вместе с производной у' в дифференциальное
уравнение. В полученном при этом тождестве приравниваем
393
коэффициенты при одинаковых степенях х — а. Получим систему
уравнений, из которой можно, вообще говоря, определить коэффи-
коэффициенты искомого разложения аь а2,. . .
Пример. Решим уравнение (9) этим методом. Ищем интегральную кри-
кривую, проходящую через точку @, а0).
Предполагая, что искомая функция у может быть разложена в степенной
ряд, ищем решение уравнения (9) в виде
откуда
У2 = а§ + 2в0в1* + Ba0a2 + а\) х* + Bа0а3
Подставляя эти выражения в уравнение (9), получим:
Приравнивая коэффициенты при х С одинаковыми показателями степеней
будем иметь:
2а2=1+2а0ах
4a4 = 2aoa3-j-2aia2 и т. Д.
Выражая значения аь а2, а3, . . . через а0, получим:
.о . 5.1 _ _А . ал с . 5 «
_ в 1 з 1
а5-а„+ 2 ао+2О и т- Д-
Подставляя эти значения аъ а2, а3, . . . в A1), находим решение уравне-
уравнения (9):
A2)
Еели мы выберем произвольную постоянную а0 так, чтобы кривая, со-
соответствующая функции A2), проходила через начало координат, то из A1)
получим ао = О. Следовательно, решение уравнения (9), удовлетворяющее
начальному условию у —0 при х = 0, будет:
Особенно удобен этот метод в применении к линейным уравнениям.
394
При получении решения в виде ряда, естественно, возникают
вопросы, связанные со сходимостью полученного ряда. Мы не можем
здесь касаться этих вопросов. Отметим лишь, что даже не всякое
линейное уравнение можно решить этим методом.
§ 6. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ РАСХОДОМЕР СО СВОБОДНЫМ СЛИВОМ
В этом измерительном приборе расход пропорционален высоте
слоя жидкости. Такого рода приборы используются для контроля
работы автоматически регулируемых запорных устройств, а также
в качестве расходомеров и дозеров.
Пусть отверстие свободного слива ограничено вертикальными
ребрами DR = а и CF — a -f- h, горизонтальным гребнем CD = b
и кривой SR, уравнение которой от-
относительно осей, показанных на
рис. XIII-1, необходимо установить
таким образом, чтобы была обеспечена
пропорциональность расхода.
Обозначим Q расход жидкости че-
через свободный слив и примем, что ли-
линия MN, проведенная для удобства
расчета и практического пользования
на расстоянии от а/3 от гребня, является
началом отсчета. Тогда будем иметь:
Рис. XIII-1.
A3)
где к — коэффициент пропорциональности.
Известно (см. гл. II § 4), что расход через полоску сечением bdz,
расположенную на dz ниже уровня жидкости, составляет
У 2gz-bdz. Следовательно, расход Q1 через прямоугольное отвер-
отверстие CDRO будет
a+h
A4)
а расход Q% через отверстие ORSF равен:
л
Qi=2g J Vh^yxdx
о
Приравнивая Q сумме Q1 и @2, получим;
A5)
A6)
S95
Это соотношение действительно для всех неотрицательных значе-
значений h.
Положив h = О, найдем
откуда
Подставляя это значение к в A6), получим:
A7)
A8)
Задача состоит в том, чтобы найти х как функцию от у при усло-
условии, что равенству A8) удовлетворяют все положительные значе-
значения а и А. Так как характер функциональной зависимости между х
и у не предопределен, то естественно принять для х бесконечный ряд,
включающий в себя у, и определить коэффициенты таким образом,
чтобы A8) было удовлетворено. С этой целью потребуем, чтобы пра-
правая часть A8) была выражена в виде ряда:
16
-lie ¦"•'¦*•+Ж''1*'-"-
A9)
Очевидно, что x\fh— у может быть представлено рядом, кото-
который после интегрирования относительно у с последующей подста-
подстановкой пределов дает ряд, идентичный с правой частью A9).
Установлено, что это условие удовлетворяется, если
х=А1+А2у11*+АзУ'1' + А4у'''+А5у1!'+ . . . B0)
где Аи А2, А3,. . . — постоянные коэффициенты, значения которых
должны быть определены.
h
xyh—ydy, получим:
J" xVhZIydy=A1 j" Vh^ydy + Аг j" Vhy-y*dy +
ooo
B1)
396
Интегрируя B1) почленно, будем иметь:
J
При сопоставлении B2) с A9) найдем:
B2)
2 ..
Следовательно
Но
B3)
W> U" U< .
arctgu=u 3- + -5 -+...;
Таким образом, окончательно получим
tj; If к»
B4)
Уравнение B4) и есть уравнение кривой SPR,
§ 7. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
При решении дифференциальных уравнений и при рассмотрении
других задач математического анализа приходится пользоваться
также и не степенными рядами. Особенно часто применяются так
называемые тригонометрические ряды. Под тригонометрическим
рядом мы понимаем ряд
os 2х-\-
-\-biSin2x-\- . .
.. -j- ancosnx-\-
-\-bnsinnx+ ..
x-\-
B5)
расположенный по синусам и косинусам кратных дуг.
Так как каждый член этого ряда есть периодическая функция
с периодом 2л, то и сумма ряда имеет тот же период.
Пусть на промежутке — п < х < п нам задана функция у —
= f (х). В курсах математического анализа доказывается, что если
функция может быть представлена в виде ряда B5), то коэффициенты
этого ряда должны иметь следующие значения:
B6)
ak = — \ / (х) cos кх dx; bk = — \ / (х) sin кх dx
397
Разложение функции в тригонометрический ряд упрощается,
если функция / (х) является функцией четной или нечетной,
Если / (х) — четная функция, т. е. если / (х) = / (—х)
(рис. ХШ-2), то она может быть разложена в ряд по одним только
косинусам:
f (x) = a0-\-a1cosx+aicos2z+a3 cos3s + . • • B7)
Коэффициенты этого ряда имеют следующие значения:
=^-^f(x) cos kxdx
B8)
о
Если / (x) — нечетная функ-
функция, т. е. если / (х) = —/ (—х)
(рис. XII1-3), то она может быть
разложена в ряд по одним только
синусам
/ (х) = Ъ\ sin ж+62 sin 2ж+Ьз sin Зя+. ..
B9)
У
АУ
-п
Рис. ХШ-2.
Рис. ХШ-3.
причем:
2 Г
=— I / (х) sin kxdx
C0)
Выше мы видели, что для возможности разложения функции / (х)
в степенной ряд, расположенный по степеням х — а, необходимо,
чтобы функция была непрерывна в точке а и имела в этой точке
производные всех порядков. Для возможности представления функ-
функции тригонометрическим рядом нет необходимости требовать ее
непрерывности на промежутке от —я до я, так как коэффициенты
разложения выражаются посредством интегралов от функции / (х).
Можно показать, что если функция / (х) удовлетворяет на про-
промежутке от —я до я следующим условиям:
1) если она имеет на этом промежутке конечное число точек
разрыва (или непрерывна), причем все эти точки разрыва первого
рода *; 2) если она имеет на этом промежутке конечное число точек
* Если в точке х функция / (х) имеет разрыв, то этот разрыв называется
разрывом первого рода, если при подходе к этой точке слева и справа функ-
функция / (х) стремится к определенным, конечным пределам.
398
максимума и минимума (или совсем их не имеет), то тригонометри-
тригонометрический ряд B5), соответствующий функции/ (х), имеет своей суммой
/ (х) во всех тех точках промежутка — я <[ х <[ я, в которых
функция / (х) непрерывна.
В точках разрыва сумма ряда B5) равна полусумме предельных
значений функции / (х) при подходе к этой точке слева и справа.
Если в ряд B5) вместо х подставить число, лежащее вне основного
промежутка —я <[ х <[ я, то, ввиду периодичности всех членов
тригонометрического ряда, сумма его будет представлять собою
функцию, являющуюся периодическим повторением с периодом 2я
функции i (х).
Пример. Разложим функцию
f(x) = l-x C1)
в ряд в промежутке от —я до п. Подставляя C1) в формулу B8), получим:
1 С
ап—— \ A— х) cos
— x)smnxdx = — (—i
Следовательно, функция C1) разлагается в следующий ряд:
1
-^- sin 4^
Отсюда можно получить такое разложение:
*=2J sin x—— sin 2я + —зшЗя— — sin 4*+ . .Л
C2)
C3>
Если функция задана лишь на промежутке 0 <[ х <[ я, то при-
приведенные выше соображения позволяют по нашему выбору разлагать
данную функцию в ряд, содержащий только одни синусы или одни
косинусы. Если желателен ряд с косинусами, то функция опре-
определяется в интервале от —я до 0 так, чтобы было / (—х) = / (х)\
тогда коэффициенты ап определяются из формул B8). Если желате-
желателен ряд с синусами, то функция определяется так, чтобы было
/(-*)"=-/(*)
и коэффициенты Ъп определяются из формулы C0).
Пример. Функцию / (х) = 1 @ < х < я) разложить в ряд по синусам.
Тогда при — я<х<0 мы должны принять f (х) = — 1. Коэффициент Ьп най-
йем из формулы C0):
2 f .
sin nx dx
399
При п нечетном мы имеем 6„ = , а при п четном Ьп = 0. Таким образом
в данная функция разлагается в следующий ряд:
/(я)
- • Л
C4)
Если построить графики отдельных слагаемых, входящих в квадратную
скобку формулы C4), то получим ряд синусоид. В результате графического
сложения этих синусоид получим прямую, па-
параллельную ОХ. На рис.ХЩ-4 построены гра-
графики частичных сумм ряда C4):
-г
у = sin х;
= sin х-\- — sin Зя
о
1 1
у = sin х -\- — sin Ъх-\- — sin 5 л;
о о
Рис. ХШ-5.
Эти кривые при увеличении п стремятся к
„ я
прямой линии У=~г-
г Если требуется разложить в тригонометрический ряд функцию,
заданную на промежутке (—I, I), то вместо ряда B5) мы полу-
получим ряд
00
/ ппх . ппх \
( ога cos—j- -f brasin —j— J
C5)
400
коэффициенты которого определяются следующими формулами:
C6)
-I
ппх
cos —;— dx
C7)
-I
= у I / (x) s
-i
. пях _,
sm —j- dx
C8)
Пример. Разложить в тригонометрический ряд функцию / (х), равную
двум в интервале от — 2 до 0 и равную х в интервале от 0 до 2.
На рис. ХШ-5 изображен график этой функции.
В соответствии с формулами C6), C7) и C8) имеем:
* . „ ппх If ппх ,
«л=^г \ 2cos—— dx+— \ *cos—— dx
ап = 0 при четном п и ап= —— при нечетном п.
i > , ппх , , 1 С .
пш
2
—
-2 О
При подстановке коэффициентов в ряд получаем следующее разложение:
,, . 3 4 / пх , I
11.
-ir(sin
Если в ряд, стоящий в правой части, подставить вместо х нуль, т. е.
абсциссу точки разрыва данной функции, то правая часть обратится в
3 4 Л > 1 I I I \
Т "я«Ч "•"Т'1" 25 "+"• ' ' )
Так как сумма тригонометрического ряда в точке разрыва непрерывности
равна полусумме предельных значений функции при подходе к этой точке
справа и слева, то это выражение должно быть равно единице. Отсюда можно
получить сумму ряда, стоящего в скобках:
25
2fi Заказ 1706
Глава XIV
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
Аналогично круговым, тригонометрическим функциям, которые
часто вводятся с помощью некоторых соотношений в окружности,
гиперболические функции удобно связывать с некоторыми соотно-
соотношениями для гиперболы.
В курсах дифференциального исчисления доказывается, что пло-
шадь сектора POQ (рис. XIV-1) составляет
В прямоугольных координатах
в силу того, что
Рис. XIV-1.
,n , . У xdy — ydx
dQ = d arctg — = ?—-i—
ь x X% — y*
мы имеем:
dA — — (xdy — ydx)
Li
где хну — прямоугольные координаты точки Р.
Рассмотрим окружность с единичным радиусом и гиперболу
на рис. XIV-2. Обозначим через и площадь сектора ОРАР' при
О А — 1, выразим прямоугольные координаты х и у точки Р через и.
С расширением этого сектора точки Р и Q перейдут, соответственно,
в Р' и Q'. Таким образом, дифференциал площади и равен удвоенной
площади элемента POQ, т. е.
du = x dy — у dx
A)
Так как для окружности и гиперболы справедливы следующие
соотношения:
= 1 И *2 — у2 =
492
то подставляя в A) сначала значение у из уравнения окружности,
а затем значение у из уравнения гиперболы, будем иметь:
для окружности
для гиперболы
f ~X2 - VT^A dx =
dx
_ Г —dx _
arc cos x
eu (eu_2x) = _1
x = '- = ch и
0'
Рис. XIV-2.
Таким образом, мы имеем:
ch u =
Выражая у через и, получим:
для окружности
еи + е-"
= VI— cos2 u=sin м
2
у=У
1/
-у
для гиперболы
xt — 1 = У ch2 и — 1
4 *¦
^ 4
еи_е-и
-—1—=shM
(а)
26*
403
следовательно
sh и =
еи— е-«
ch2u — l = .sh2u
По аналогии с круговыми функциями имеем:
^, sh и
cth и —
sch u=
ch и
1
th и
1
csch и =
ch u
1
shu
§ 2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
сЬ2м—sh2 м=1
sch2 u=l— th2u
csch2 и = cth2 и — 1
sh (—u) = —sh u
ch (—u) = ch и
th (—м) = Ш и
sch (—M) = sch и
csch (—u) = cshM
cth(—u) = cth и
sh (u + f) = sh uchy-j-ch ush t>
sh (u— y) = sh uchi;—ch MSht>
ch (u -\- v) — ch и ch i» + sh и sh i>
ch (u — u) = ch и ch у — sh u sh t>
sh2u = 2 ch ush и
-r- sh и = ch и
du
—— ch и = sh и
du
Jsh udu=ch и
f ch udu=sh и
F)
(la)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
(8)
(9)
A0)
A1)
A2)
A3)
A4)
A5)
A6)
A7)
A8)
A9)
i ф i
M2 . M4 . U«
++
sh гм = i sin u
ch ш = cos и
B0)
B1)
B2)
B3)
Формула (la) была выведена в § 1. Для получения B) восполь-
воспользуемся определением гиперболических функций
= sch2 и
Формула D) может быть выведена следующим образом:
sh (—и) — = —sh"
Li
Чтобы получить A0) сложим (а) и (б) (см. § 1):
e" = ch м-fshu \
е~и = ch и — sh и )
Затем из (б) найдем:
sh (u + v) =4- [е"+°-е-'"+1')] = 4" (A°-rt-«)
Z Li
Применяя B4), найдем:
sh (u + v) = — [(ch u+sh u) (chi> + shi>) — (chu—sh u) (chy —shy)] =
— sh и ch i>+ch и sh t>
Формулы A6) и A9) определим следующим образом:
= chu
B4)
d , d eu — e~u ea-
—;— Sh U = —r— == „
du du 2 2
Отсюда имеем:
J ch и du = sh и
Далее для B0), B1), B2), B3) имеем:
sh«=у (*«-*-") =
«3
«3 „5
404
405
Мы можем использовать эти ряды для функций sh и и ch и и в том
случае, когда и является мнимой величиной. Пусть и = iv, тогда
....
sh (и,)==
• =1Нп~+тг~ • • •=соя"
п~
Из B2) и B3) имеем:
~
B5)
Кроме того, приведем дополнительно следующие соотношения:
B6)
arcsh'—=ln
о
, х ,
• arcsh — = ± In
> а
х 1 а-\-х х . а±Уа2_|_х2
arcth — = — In —!— • arccsch — = In !
a 2 a — x » а ж
sin (я4- iy) = sin s ch y-\-1 cos л; sh у
cos (s-f-?y) = cos л; ch у — г sin ж shy
sh {x-\-ty) = sh x cosy-\-i chxsmy
ch (x-\- iy) = ch x cos y-\-1 sh x sin у
B7)
B8)
B9)
C0)
C1)
§ 3. ОСАЖДЕНИЕ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ В ЖИДКОСТИ
Пусть твердая частица осаждается в жидкости, причем сопроти-
сопротивление, направленное вверх, пропорционально квадрату скорости,
предельная скорость (см. гл. V, § 14) равна v, а начальная скорость
равна нулю.
В данном случае дифференциальное уравнение движения частицы
имеет следующий вид:
т dw ,
• —— = т — Xw2
g dx
Условия задачи:
п dw .
u>T=0 = 0. w = v при -:— = 0
j = 0 где w = ¦
d_H_
dx
dw
Выразим коэффициент % через v. Так как при ~ = 0 постоянная
скорость w = v, то имеем:
т — Яу2 =
406
или
Дифференциальное уравнение примет вид!
dw *
Отделяя переменные, получим:
1J d,W
Интегрирование этого выражения дает [см. формулы B6) и B7)]:
v arcth —=
Так как и?|т=0=0, то С = 0 и
n dH
Подставляя —г— вместо w и снова интегрируя, найдем:
C2)
C3)
Постоянная интегрирования Сх здесь также равна нулю, так как
#=-=0 при т = 0.
Исключим из C2) и C3) величину т следующим образом:
C4)
Формулы C2), C3) и C4) дают полные решения поставленной
задачи.
§ 4. ЗАДАЧА О КАПИЛЛЯРНОСТИ
Явление капиллярности характеризуется следующими законо-
закономерностями.
1. На граничной поверхности, отделяющей жидкость от газа,
существует поверхностное натяжение, одинаковое по величине в лю-
любой точке.
2. На границе этой поверхности и твердой стенки поверхность
жидкости образует угол с поверхностью твердой стенки, величина
которого зависит только от свойств стенки, жидкости и газа.
407
Подставляя в C3), будем иметь:
Рассмотрим пластинку MKNL, погруженную вертикально
в жидкость (рис. XIV-3). Под действием сил поверхностного натяже-
натяжения смачивающая пластинку жидкость поднимется, а не смачива-
смачивающая опустится. Требуется определить форму поверхности жидкости.
Найдем уравнение, которому она подчиняется. Рассмотрим случай,
Рис. XIV-3.
когда пластинка очень длинная (KN = ML велика). В этом случае
кривые пересечения (АВ и А'В') поверхности жидкости и вертикаль-
вертикальных плоскостей, перпендикулярных пластинке, можно считать
одинаковыми, т. е. поверхность жидкости можно считать составлен-
составленным из семейства одинаковых линий АВ. Таким образом, задача
стала плоской и для определения
уравнения поверхности достаточно
найти уравнение плоской кри-
кривой АВ.
Рассмотрим систему коорди-
координат XOY так, как показано на
рис. XIV-3. Так как поверхность
находится в равновесии, то ее
уравнение найдем из условия ра-
равенства нулю суммы всех сил, дей-
действующих на каждый элемент по-
поверхности.
Возьмем на поверхности жид-
жидкости полоску ABA'В' шириною
А А' = 1 см. Выделим из этой
полоски элемент PQP'Q', причем
PQ = AS и РР' — 1; следовательно, площадь полоски составляет
AS см2. Рассмотрим теперь столбик жидкости PQP'Q'RSR'S', огра-
ограниченный элементарной поверхностью. Примем следующие обозна-
обозначения (рис. XIV-4):
Т — поверхностное натяжение, т. е. сила, направленная по каса-
касательной к поверхности жидкости, дин/см2;
0 — острый угол между касательной и вертикалью в любой
точке Р',
408
а — фиксированный угол контакта между жидкостью и пластинкой}
г _ радиус кривизны, PD, кривой АВ в точке Р, см;
р — плотность жидкости, г/см3.
В соответствии с закономерностью 1 поверхностные натяжения Т
на обоих концах элементарной поверхности равны между собой.
Вследствие этих натяжений результирующая сила, нормальная
к элементарной поверхности, составит:
2Г cos < PKD = IT sin < PDK = 2Г sin
Д9
Предельная величина этой силы, считая на единицу площади,
равна:
2Г sin —
lim -
Д8->-0
. 9
,. т sinT
= lim — • —т—
Д9-0 г Д9
г
Вертикальная составляющая рассматриваемой силы, а именно
— ASsin 0, поддерживает столбик жидкости PQP'Q'RS'R'S' высо-
высотой у и с поперечным сечением AS sin 0; вес этого столбика
равен у AS sin Qpg.
Поэтому уравнение равновесия имеет вид
— AS sin G = у AS sin Gpg
или
T
~=pgy
Обозначим pg/T через 4/с2, т. е.
Для радиуса кривизны имеем следующее известное соотношение:
Используя эти равенства, мы получим дифференциальное уравнение
кривой капиллярности:
C5)
Для решения этого уравнения сделаем следующие подстановки
(см. гл. V):
409
pdp
Ay dy
Тогда получим:
После интегрирования будем иметь:
1 2.
Так как р = -^-==0 нри у = 0, то С1 = —1; следовательно
dx
С2 _
C6)
Пусть h0 есть высота, которую жидкость достигает на пластинке,
т. е. значение у при х = 0. Для а: = 0 имеем р = —cotg а. Подста-
Подстановка этих значений в C6) дает формулу для h0:
sin а = -
откуда
Возвращаясь к C6), возведем в квадрат обратные величины обеих
частей уравнения:
___ 4у
Р (С
Р = -
С2 _
При извлечении квадратного корня мы выбрали его отрицатель-
отрицательное значение по той причине, что тангенс угла наклона здесь отри-
отрицателен. Отделяя переменные, получим:
dx=-
¦ dy = ¦
dy
Интегрируя, найдем (см. гл. V):
Так как y = h0 при ж = 0, то
=— V~&—h\-f--i arcsch -^i
Таким образом, уравнение кривой капиллярности имеет следу-
следующий вид:
х = У* - hi + -I"
Z
-^ - /с» - г/2 + ?. arcsch ¦?
или
41G
Иуг__угЛГЩ = 1- ( arcch - - arcch 4~
C7)
§ 5. КРИТИЧЕСКАЯ УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ЦЕНТРИФУГИ
Рассмотрим вращение центрифуги, расположенной на горизон-
горизонтальном валу длиной 2L (рис. XIV-5). Общий вес центрифуги с на-
нагрузкой составляет т кГ/м; угловая скорость вращения ш рад /сек.
При медленном вращении силы упругости преобладают над центро-
центробежной силой и возвращают вал в начальное положение. Если же о>
постепенно возрастает, то скорость вращения может достигнуть
такого значения, при котором вал деформируется, принимая форму
кривой, вращающейся вокруг своей начальной оси. В этом случае
говорят, что вал подвергается разрушению; скорость о>с, соответ-
соответствующая состоянию разрушения вала, называется критической.
Расположим ось х так, чтобы
она совпала с начальным положе-
положением вала, а ось у проведем через
среднюю точку на горизонтальной
линии вала. Обозначим через у0
максимальное отклонение вала,
т. е. расстояние его средней точки
от оси х. Найдем критическую уг-
угловую скорость сос и соответству-
соответствующее уравнение кривой вала.
Дифференциальное уравнение линии изгиба вала имеет тот же
вид, что и для линии изгиба балки, находящейся под распределенной
нагрузкой:
Е1У™ = —<ь2у C8)
g
где Е — модуль Юнга, кГ/м2;
I — момент инерции, м*.
Обозначив d/dx через D, получим:
Рис. XIV-5.
где
k —
gEI
C9)
D0)
Общее решение C8) будет (см. гл. V):
y = c1chkx-\- c2 sh kx -f- c3 cos kx -j- C4 sin kx D1)
Мы должны определить четыре постоянных; но две из них, ввиду
симметрии относительно оси у, могут быть опущены. Так как у
остается неизменным при переходе от а; к —х, то имеем:
y = ci ch kx — с2 sh kx-\-cs cos kx — сц sin kx
Вычитая это равенство из D1), получим:
с2 sh fex-j-c4 sin kx = 0
Это выражение действительно для всех значений х в пределах
от —L до L; поэтому с% = с^ = 0. Тогда D1) примет следующий вид:
у = сх ch kx -f- с3 cos kx
D2)
411
После дифференцирования D2) получим:
у' = к {сх sh kx — с3 sin kx) D3)
У" = k{c1ch.kx—c3 cos kx) D4)
Уравнение D3) удовлетворяет условию, что вал имеет горизон-
горизонтальное положение в средней своей точке, т. е. у' = 0 при х = 0.
Рассмотрим теперь два случая.
I. Подшипники эластичные. Предположим, что подшипники
сконструированы так, что они качаются и позволяют валу на его
концах образовать угол с линией, параллельной оси х (жирная
линия на рис. XIV-5). Мы имеем два условия: у' — 0 при х = L
и у" = 0 при х = L; второе условие вытекает из того, что кривизна
вала на концах равна нулю. Используя эти условия для D3) и D4),
получим:
ex cosh xL + с3 cos kL = 0 D5)
сг cosh kL—с3 cos kL = 0 D6)
Складывая D5) и D6), имеем сг cosh kL = 0 и так как cosh kL =Ф* 0,
то ci = 0. Вычитая D6) из D5), получим с3 cos kL = 0.
Тогда либо с3 = 0 и уравнение D2) примет вид у = 0, т. е. вал
остается прямолинейным, либо cos kL = 0 и, следовательно, наи-
наименьшим значением к будет --. Таким образом, для сос имеем:
Подставляя сх=0 и
47)
в уравнение D2), получим у =
= c3cos —=-. При х = 0 имеем у = у0- Следовательно, с3 = ув и урав-
уравнение линии изгиба вала будет иметь следующий вид:
y= y0cos-
пх
D8)
II. Подшипники жесткие. В этом случае подшипники устроены
так, чтобы вал на своих концах оставался в горизонтальном поло-
положении (пунктирная линия на рис. XIV-5). Здесь мы имеем следующие
§ва условия:
у = 0 при x = L; у' =0 при х=Ь
Подставляя эти значения в D2) и D3), получим:
ex cosh kL -\- c3 cos kL = 0 D9)
Сх smb. kL —cs sin kL = 0 E0)
Эти уравнения образуют систему двух однородных линейных
уравнений с неизвестными сг и с3. Они имеют очевидное решение
ci = сз == 0,, что дает у = 0 для случая^ когда вал остается прямо-
прямолинейным. Единственное условие, при котором уравнения D9)
412
и E0) имеют решение, отличное от сх = с3 = 0, характеризуется
тем, что определитель из коэффициентов равен нулю, т. е.
ch kL cos kL
sh kL —sin kL
= 0
или
? = O E1)
Решая методом подбора это уравнение, получим kL = 2,365.
Следовательно, значение критической скорости сос мы найдем,
подставив в D9) к=
E2)
Отношение значений критической угловой скорости с жестко
укрепленными концами вала и критической угловой скорости с гиб-
гибкими концами дает нам:
юс _B,365K / 4,73у
Решая D9) относительно сх и подставляя результат в D2),
получим:
cosfeL u , \ е3 (ch kL cos fcc—-cos fc? ch kx)
ch kL
При х = 0 имеем у = у0, следовательно
y0 ch kL
°3~ ch fe?—cos kL
и уравнение линии кривизны вала в данном случае примет вид:
ch kL cos Ая-cos kL ch fcc
ch kL —cos kL
E3)
§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТЫ ИОНИЗАЦИИ ГАЗОВ
В гл. II § 6 мы получили для процесса ионизации следующее
дифференциальное уравнение:
dn
-г о~=С[ ^Т
где а—константа ионизации.
Интегрируя, как и ранее, это уравнение, найдем:
-г- arcth -^- = ах + С
Так как при т = 0 п = 0, то С = 0, и мы имеем:
п*=к thfeciT
E4)
413
При т, стремящемся к бесконечности, th кат будет стремиться
к единице и, таким образом, для установившегося состояния мы
имеем (см. выше):
E5)
Опытным путем установлено, что при ионизации газа в электри-
электрическом поле возникает ток, причем зависимость силы тока / от напря-
напряжения Е соответствует кривой. Эта кривая может быть разбита
на четыре отдельных участка.
На участке 1 между силой тока / и разностью потенциалов Е
имеет место прямая пропорциональная зависимость в соответствии
с законом Ома; этот участок называется «областью закона Ома».
Участок 2 соответствует-так называемому «току насыщения». Все
образовавшиеся в газе ионы доходят до электродов, и поэтому сила
тока насыщения не зависит от приложенной разности потенциалов
и является мерой энергии, затраченной на ионизацию газа. На уча-
участке 3 наблюдается постепенное возрастание силы тока по мере
повышения разности потенциалов. Участок 3 называется «областью
ударной ионизации». При дальнейшем повышении разности потен-
потенциалов участок 3 переходит в участок 4 — «область пробоя газа».
Пусть для данного ионизирующего агента мы имеем на 1 см3
газа q положительных и q отрицательных ионов в секунду; обозна-
обозначим через е заряд одного иона. Если ток протекает через поле между
двумя пластинками, то в 1 сек 1/е положительных ионов будет пере-
передвигаться к отрицательному электроду и 1/е отрицательных ионов —
к положительному электроду, т. е. в 1 сек в газе будет убывать 1/е
положительных и столько же отрицательных ионов. Так как число
убывающих ионов не может быть больше числа образующихся ионов
за тот же период времени, то имеем 1/е =s; qv или 1 =s; qev. Следо-
Следовательно, сила тока насыщения будет ls — qev.
Пользуясь равенством E4) и приведенными выше опытными дан-
данными, мы можем экспериментально определить значение а следу-
следующим образом.
Газ подвергается непрерывному воздействию ионизирующего
агента в электрическом поле, создаваемом вращающимся сектором,
причем это поле является нулевым при начальном вращении сектора
и достаточно большим, чтобы произвести полное насыщение при
дальнейшем повороте сектора. Результирующий ток за полный цикл
этого периодического процесса измеряется электрометром. Пусть Т
есть время одного оборота сектора, Т1 — часть этого промежуточ-
промежуточного времени, в течение которого электрическое поле не воздействует
на газ и Т2 — Т — Т1 — продолжительность действия электриче-
электрического поля. Тогда в начале процесса число ионов в 1 см3 составит
п1 = k th каТ^ и, следовательно, общий заряд, воспринимаемый
электрометром, будет для Т:
niev = kev th каТг
где е — заряд каждого иона; v — объем газа.
414
За время Тг имеем IsT2.
Таким образом, сила тока /, измеряемого электрометром, со-
составляет:
Так как e =
v, то
Наконец, пусть Т2 = гТ, где г<1, так что 711 =
х=каТ1. Тогда имеем:
— г)Т и пусть
(l-r/8)r=
и
th«= s\ ' th»
(/-/¦) /s x~mx E6)
Следовательно, если /, /s и г известны, то х из E6) может
быть найдено методом подбора. Далее, зная величины е и v, мы
получим q = Is/ev, а так как x—kaTl = TlV~aq, мы найдем иско-
искомую величину:
чП
evx*
E7)
Глава XV
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ
§ 1. СПРЯМЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА
Рассмотрим уравнение эллипса:
где а —О А — большая площадь и Ь — ОВ — малая площадь
(рис. XV-1).
Пусть ОР' есть радиус окружности с центром в начале коорди-
координат О, Ф — угол между ОР' и положительным направлением оси г/,
а Р (х, у) точка пересечения пер-
У\ пендикуляра P'Q к оси X с эллип-
q сом. Тогда непосредственно из
\
чертежа видно, что
X — OQ—
и в соответствии с A):
=— К<*2— s2 = 6cos© №
п v '
Найдем длину дуги S эллипса,
заключенную между точками В и Р.
Мы будем иметь:
Рис. XV-1.
Ф
= f
о
COS2 Ф
так как dx — a cos Ф йФ и dy — —Ъ sin Ф^Ф, причем верхний
предел интегрирования есть значение Ф, соответствующее точке
Р (х, у). Подставляя вместо cos2 Ф выражение 1 — sin2 Ф, получим!
ф ф
ф
= а Г 1/ 1—°^~
Ф
=ejyr=
C)
416
где /с =
Уа* —
— эксцентриситет эллипса, величина которого
меньше единицы. Интеграл C) не берется в элементарных функциях
от Ф и определяет собой новую функцию, обозначаемую
через Е (к, Ф):
ф
Е(к, Ф)= J Vi —
D)
Вследствие своего происхождения Е (к, Ф) носит название эллип-
эллиптического интеграла. Следует отметить, что Е (к, Ф) представляет
собой функцию двух аргументов: параметра к, которое называется
модулем эллиптического интеграла, и верхнего предела Ф, называ-
называемого амплитудой эллиптического интеграла.
Согласно принятой в настоящее время классификации эллип-
эллиптических интегралов, функция Е (к, Ф) называется эллиптическим
интегралом второго рода.
Из чертежа и из формулы C) следует, что полная длина эллипса
равна
= 4а f
- к*
ф йФ =
к, -^
E)
Это значение функции Е (к, Ф) при Ф = — называется полным эллип-
тическим интегралом второго рода и обозначается через Е (к)
или просто Е:
= Е(к)= J Vl— А2
F)
В гл. XIII было показано, как вычисляются интегралы типа D)
и F) с помощью бесконечных рядов; значения эллиптических ин-
интегралов приведены в таблицах, используемых в расчетной
практике.
Пример. Дан эллипс х% •$¦ г/2 = 6. Определить общую длину
эллипса, а также длину дуги между точками с координатами х = 1-
и х — 1,5.
Полуоси эллипса составляют
Следовательно
Vai — 62
=Уг
= -Чг- = 0,8165
Общая длина эллипса:
L = АаЕ (к) = 4 V&
@,8165)
В таблицах эллиптических интегралов значения Е {к) связаны
тригонометрической функцией arcsin к.
27 Заказ 1706
417
В данном случае имеем:
arcsin 0,8165 = 54° 44'
Далее находим:
Е (sin 54°) = 1,2681 и Е (sin 55°) = 1,2587
После интерполирования получим:
Е (sin 54° 44') = 1,2612
и
? = 4/б"-1,2612 = 14
При определении длины дуги между г=1 и ж = 1,5 имеем:
Так как 1 = о8шФ, то
/б"
Ф]х=1 = arcsin ~- = 24° 6'
Следовательно
ФЬ-1,5= arcsin-^-=37° 46'
@,8165; 37° 46')-? @,8165; 24° 16')]
Для вычисления этих двух эллиптических интегралов необходимо
произвести двойное интерполирование данных таблицы.
Удобнее производить расчеты при помощи таблицы:
ф
35°
37° 46'
40°
45°
0,5928
0,6715
54° 44'
0,5866
0,6285
0,6624
60°
Ф
0,5833 || 20°
24° 6'
0,6575 || 25°
45°
0,3456
0,4296
54° 44'
0,3444
0,4124
0,4273
60"
0,3438
0,4261
Таким образом, имеем окончательно:
s]%Z\'b=V& @,6285—0,4124) =0,529
§ 2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА
Рассмотрим колебания жесткого маятника (рис. XV-2), который
представляет собой груз весом т, сосредоточенный в одной точке
и подвешенный на нерастяжимом и невесомом стержне длиной L.
Величина угла, в пределах которого совершаются колебания,
равна 2а. Пусть груз в момент т находится в точке Р (х, у), а 0 обозна-
обозначает угол между АР и осью у. Очевидно, что —а =? 9 ^ а. Если s
есть длина дуги, отсчитываемая от точки 0, то производная
62s/dxa представляет собой касательную составляющую ускорения,
которая в соответствии с уравнением Ньютона пропорциональна
касательной составляющей силы веса — т sin 0.
Таким образом,
_._=m8me G)
При малых значениях а мы можем, как известно, принять sin 9
равным 9. Тогда, вследствие того, что s = Ld, уравнение G) при-
приводится к линейному дифференциальному уравнению второго по-
порядка, решение которого соответствует гармоническим колебаниям
с периодом 2л I/ —, не зависящим от а.
Однако здесь мы не будем пользоваться этим упрощающим пред-
предположением, а попытаемся решить нелинейное уравнение G).
Пусть v =
ds_
dx
тогда
Ч
cPs
Их*
'¦s dv dv ds f dv \
[2 dx ds d% \ ds )
dy
Кроме того, мы имеем sin0 = — и,
стало быть, уравнение G) принимает сле-
следующий вид:
dv _ dy
V~d7==~g'd7
Умножая обе части равенства на ds,
мы получим обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение первого порядка с
переменными у и v. Интегрируя его,
найдем:
У2
— == — gy + Ci
Обозначим через h максимальную высоту точки Р над осью х,
причем h < 2L. Поскольку v = 0 при у = 0 имеем 0 = —gh -f- Съ
т. е. Ci = gh. Следовательно
Рис. XV-2.
или
ds
* = ¦?¦= ±V2g(h-y)
Но ds — o,yfl- и, так как (из рис. XV-2)
ТО
ds = ¦
L
Ldy
VlLy-yi
27*
419
Отсюда найдем!
dx=±
V
g
Если движение тела направлено вверх и, таким образом, dy
остается положительным, то это равенство берется с плюсом; тогда
получим:
Уг
dy
]У~Уг=_к- С
J^> 2g J УК-ZJ.
т. е. время, необходимое для перехода от точки Рг (xt, j/j)
к Р2 {х& yt).
Если же движение тела направлено в противоположную сторону,
то dy будет отрицательным и выражение для dx мы должны взять
со знаком минус. В этом случае
]у-т__ 4=- Г
У~Уг V2g J
dy
4=- Г
V2g J Vhy -
Уг
и,
Vh~T -V2Tf-
У1
Таким образом
хЛв-У1---Лв-У1
1У~У, >У-У»
и мы нашли, что интервалы времени, необходимого для движения
по одной и той же дуге в противоположных направлениях, равны
между собой. В частности, время, необходимое для движения по дуге
от точки О до любой точки Р (х, у) (или от Р до О), равно:
V2g J VK=j-
_»2
Произведем замену переменных. Пусть
у = h sin2 Ф
(8)
тогда
т == •
ф
dy = 2h sin Ф cos Ф dФ¦, Vh—у = У7Г cos Ф
2ft sin Ф cos Ф
VJT соэФ
sin2 Ф
Ф
1_ 2L_ С
— fcsin*O ^27 J
с
лГ.
J I/ 1—
о Г
J
где /с = I/ -57- < 1; верхний, предел Ф соответствует точке Р (х, у).
420
Интеграл в этом выражении есть функция, которая носит назва-
название эллиптического интеграла первого рода; она обозначается
через F (к, Ф):
ф
Таким образом, имеем:
(9)
A0)
и
tin;=<"Л:=/¦§- v (fc- ф2) - р №. Ф1)].
где yi — h sin2 Фх и y2 — h sin2 Ф2.
Выразим /с и Ф через первоначальные переменные. Так как
(из чертежа) h = L A — cos а), то
1 —cos а . а
__=sin_
и
*—/I -/т
— cosO
sin ¦
-cos а
. а
sin —
_
(И)
A2)
Обозначив через Т период колебаний маятника, получим:
В том случае, когда верхний предел интеграла (9) равен —, функция
называется полным эллиптическим интегралом первого рода; ее
обозначают через К:
Таким образом
A3)
A4)
Значения эллиптических интегралов (9) и A3) для различных к
и Ф также имеются в справочных таблицах.
Пример. В вибрографе для записи горизонтальных колебаний
фундамента центрифуги маятник (рис. XV-3), состоящий из рычага
с грузом на конце, может качаться вокруг горизонтальной оси пол
421
действием собственного веса и спиральной пружины. Период коле-
колебаний маятника Т = 2 сек. Требуется найти: а) длину маятника
для 2а = 120° и б) время, необходимое для того, чтобы этот маятник
опустился на 30° по дуге, считая от наивысшей точки.
а) Мы имеем а = 60°, Т = 2 сек. Следова-
Следовательно
к— ' а — 1
и из A4) найдем
откуда
i
2К 4
A)
2-1,6858
9,81
- = 0,85 м
Рис. XV-3.
B • 1,6858)*
б) При 0 = 60° величина Ф, очевидно, со-
составляет 90°; при 0 = 30° мы также из A2)
имеем
. 0
sin—¦
sin Ф = -
sin 15° 0,2588
sin 30°-
0,5000
-=0,5176
откуда
Ф=31°10'
Пользуясь формулой A0), получим:
= °'337
§ 3. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА
Если в формуле (9) мы сделаем подстановку х = sin Ф, то получим
другой вид эллиптического интеграла первого рода:
F (к, Ф) = ^
dx
A5)
422
Аналогично, подставляя х = sin Ф в D), мы получим эллипти-
эллиптический интеграл второго рода в следующем виде:
A6)
Эллиптический интеграл второго рода можно записать в таком
виде:
ф
ф
Следует отметить, что подынтегральные выражения A5) и A6) пред-
представляют собой рациональные функции от i и корень квадратный
из многочлена 4-й степени, т. е. каждый из этих интегралов является
частным случаем следующего интеграла:
[R {x,
a4) dx
A7)
где R — символ рациональной функции ее двух аргументов.
Некоторые интегралы типа A7) могут быть представлены через
элементарные функции. К ним относится интеграл типа
dx
*" J \/Га.()х4-\-а1х3-{-а2Х2-\-а3х-\-а$
Однако в общем случае интеграл A7) включает в себя две функ-
функции A5) и A6) и эллиптический интеграл третьего рода, который
имеет следующий вид:
dx
1-Х2) A—
где п — постоянная.
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Рассмотрим графики (рис. XV-4) подынтегральных выражений
эллиптических интегралов первого и второго рода:
У 1— ^8
ф
Мы видим, что первая функция имеет период я с осями симметрии
Ф = 0, ± —, ± я, . . ., причем ее значения колеблются в пределах
от минимума, равного единице, до максимума, зависящего от вели-
величины к. Аналогично функция y—yl — /с2з1п2Ф имеет период я
с осями симметрии Ф = 0, ± —, ± л, . . ., но здесь максимум равен
единице, а от модуля к зависит минимальное значение.
Вследствие периодичности и симметрии этих графиков и так как
эллиптические интегралы F (к, Ф) и Е (к, Ф) представляются гео-
геометрически площадями под соответствующими отрезками кривых,
для табулирования F (к, Ф) и Е (к, Ф) необходимо иметь данные
только для значений Ф в пределах от 0 до 90°.
§ 5. ЯВЛЕНИЕ КАПИЛЛЯРНОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ
ВЕРТИКАЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ
В гл. XIV, § 4, мы рассмотрели теорию капиллярности и полу-
получили дифференциальное уравнение, описывающее зто явление:
C5)
где р — плотность жидкости, g — ускорение силы тяжести, Т—по-
Т—пои с= 21/ —— .
верхностное натяжение жидкости
У
А в
^-4
2 2
Рис. XV-4.
О D
Рис. XV-5.
к
Мы решили зто дифференциальное уравнение для случая, когда
одна вертикальная пластинка частично погружена в большой объем
жидкости. Было найдено, что высота подъема жидкости на пластинке
определяется формулой:
hn = c
-sin a
где а — угол в точке соприкосновения жидкости с пластинкой.
Предположим теперь, что мы имеем две вертикальные пластинки
АС ш BD, погруженные в жидкость на расстоянии 2а друг от друга
(рис. XV-5). Найдем уравнение, описывающее форму поверхности
жидкости между пластинками. Как и ранее, задача фактически пло-
плоская, поэтому достаточно найтн форму поверхности в плоскости ух,
т. е. решить уравнение C5) с учетом новых физических условий.
Начало координат наметим между пластинами на одинаковом рас-
424
стоянии от них. Пусть г/0 есть координата точки поверхности на оси у,
a h — максимальная высота подъема жидкости между иластинами.
Как и ранее, примем у'~р, уР = р-г-\ таким образом, имеем:
pdp 4
Откуда, интегрируя, найдем:
1 ^_ 2У2
Y\.-\-pi °г
где Сг — постоянная интегрирования.
Так как р = -^- = 0 при у — уа, то
тельно
1 2 , .
Отметим, что поскольку /) = ctga при
Ом?
= —1 y~ и> следова-
'о) A8)
y = h, то из A8) имеем
A9)
В соответствии с формулой на стр. 424. Отсюда видно, что h, макси-
максимальная высота подъема жидкости между пластинками, всегда
(больше А о, т. е. высоты капиллярного подъема жидкости на внешних
стенках пластинок при условии, что у0 =^=0.
Решая A8) относительно р, получим:
Или
dy
dx
dy
При извлечении корня квадратного мы выбрали положительное
dy
значение для -?-, рассматривая только правую часть кривой капил-
капиллярности ввиду ее симметричности относительно оси у.
При интегрировании последнего уравнения сделаем подстановку
#а — у\ = с2 cos2 Ф, откуда
B1)
425
Тогда
или, учитывая B0)
у dy = — с2 cos Ф sin Ф
— !/o) — (у2 — Но) — с2 cos Фет Ф
с2 cos Ф sin Ф йФ \ с2 —2с2 sin2 ф
2с2 cos Ф sin Ф
Далее, примем
где, очевидно, к<^1. Следовательно
2 V1/1
OS9- Ф
B1)
B2)
с2 — 2е2 sin2 Ф
°rVl — kZsm*O
_ / ск с
""VI F
ск
т
— /с2 sin2 ф
I — А-2 sin2 Ф
0^
4- -?- Vi—№ sin2 Ф
Я
Таким образом, поскольку ф = — при у = у0 или при х — х0,
интегрирование между пределами дает:
( f Г
J V 2 к ) J /1_/C2sino ^ fc J
ф
Vi
—ki siu2 ф
J
Ф
*-=±\{1-^Ш-Пк,<Ъ)\-\
Величины к и Ф в этом выражении зависят от г/0, которое нам пока
неизвестно. Но мы знаем расстояние между пластинками, равное 2а,
т. е. известно, что х = а при у = h и поэтому Фх — значение Ф
для х = а — дается формулой
cos Ф, =
в соответствии с уравнениями A9) и B0). Следовательно
я=(т ~
[K~F {к> ф)] ~ т[Е {к) ~
B4)
B5)
Мы можем продолжить решение следующим образом. Сначала
методом подбора находим значение к из B5), в котором с = 2 1/ — ,
426
а Ф1 определяется из B4). Затем из B2) получаем г/0 и, наконец,
формулы B3) и B0) дают значения хну, выраженные через пара-
параметр Ф.
§ 6. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
ПРИ КОЛЬЦЕВОМ ТОКЕ
Для покрытия некоторых предметов пленко-образующими веще-
веществами применяется электрическое поле, создаваемое кольцевым
током.
Рассмотрим, как изменяется напряженность электрического поля
в любой точке внутри и вне токопроводящего кольца. Воспользуемся
законом Ампера, согласно которому интенсивность магнитного поля
в любой точке Р составляет
/sin a ds
г2
B6)
где ds — длина дуги кольцевого сегмента, по которому протекает
ток силою I, г — расстояние от Р до ds, а — угол между PQ и ds.
Исследуем два случая.
1. Точка Р внутри круга
Предположим, что ток / проходит по замкнутому кольцу ради-
радиуса а и точка Р находится на расстоянии b от центра окружности
(рис. XV-6), причем Ь ¦< а. Обозначим через 0 угол между PQ и ли-
линией, проходящей через О и Р.
Если As = QA есть длина дуги
окружности, то угол APQ будет
А0. Из центра в точке Р опишем
радиусом г дугу, пересекающую
РА в точке В и обозначим че-
через C угол между QB и As. Так
как QB перпендикулярна PQ и а
есть угол между PQ и AS, то угол
а = 90° — р. Отсюда As-sin a =
= As-cos p. Ho As-cos p равно
приближенно г А0. Таким образом
/ДО
/
дает приближенное значение на- Рис. XV-6.
пряженности поля в точке Р, обу-
обусловленное током в дуге As. Если мы будем суммировать такие вы-
выражения по кругу и устремим As -*¦ 0, то получим интеграл
B7)
вначение которого и дает полную напряженность поля в точке Р.
427
Из треугольника OPQ, согласно закону косинусов, имеем;
а2 = 62 + г2 — гЬг cos A80° — 0) = Ь2 + /-2 + 2br cos e
Решая зто квадратное уравнение относительно г, найдем:
cos2
=_6cos0± Va2 — Ь2 sin2 0
Так как г величина положительная, то мы должны выбрать
знак плюс. Подставляя в B7) выражение для г, получим:
Jd0
,
V a% —62 sin2 0—
- 6 cos 0
Умножая числитель и знаменатель подынтегрального выражения
на (У а? — b2 sin2 0 -f b cos 0), будем иметь:
2«
#1 = _L_ С (/a2_i2si
== fl2^_b2 Г /a»
asins 9 <$
2it
Причем I cos0d0 = O. Далее, ввиду того, что график у =
= Yа% — b2 sin2 0 является симметричным (см. § 4), мы можем на-
написать:
где ki~-~ < 1. Разделив числитель и знаменатель коэффициента
интеграла на а2, мы окончательно получим:
а 1-К\
B8)
Для &! = (), т. е. для случая, когда точка Р располагается в цен-
центре круга, мы найдем, — так как Е@) = — , —известную формулу:
Li
Если кг устремится к единице, что соответствует положению Р
на проводнике, то Е (к{) также будет стремиться к единице и Ях
становится равным бесконечности в соответствии с формулой B6),
выражающей закон Ампера.
42 8
2. Точка Р вне круга
В данном случае b > а (рис. XV-7). Обозначим по-прежнему
угол OPQ через 0, As = QA, Д0 = ^.APQ; проведем дугу QB из
точки Р радиуса г. Так как As sin a = As-cos (a — 90°) = г А0
то мы снова имеемз
В силу того, что lim
Aff2
ДО
dH,
B9)
в
Кроме того, поскольку Е и F представляют точки пересечения
линии ОР с окружностью, a D есть точка соприкосновения с окруж-
окружностью касательной, прове-
проведенной из Р, мы имеем
два выражения для ра-
диуса-вентора г, а именно,
когда точка, например О,
находится на окружности
между D и Е или, положим, г t ^^— ^ 2-С^. р
в О' между D и F. Если ОС
перпендикулярна г, то ОС =
= b sin 0, PC = b cos 0,
QC = (?'CW — &2sin20.
Следовательно, мы полу-
получим для точки Q
г = PC — QC = 6 cos 0 — УЖ-
И ДЛЯ ТОЧКИ (?']
r = PC + <?'С = Ъ cos 9+/а2 — 62 sin2 0
Так как sin -==: 0PZ> = -^. то угол 0 изменяется в пределах
между ± arcsin -g-; тогда, подставляя в B9) значение г и произведя
суммирование по окружности, мы получим, приняв из удобства
Рас. XV-7.
= arcsin yi
Г "•
/9
icosO—
fe2sin2()
и
о
&cosO— Iх a2—i2sin26
429
Приведем, в первую очередь, знаменатель к рациональному виду,
затем в третьем и четвертом интегралах заменим 0 на —0, а во вто-
втором и третьем интегралах изменим порядок интегрирования. Мы
получим:
, Г 9,
Я2= -2_ 2 J
Lo
(bcosB+Vai — fe
в,
— J (б cos 9 — ]Лг2 — 62 sin2 6)d9—
, j
— J F cos 9— Va2 — 62 sin2 9) d9+ J (b cos 0-f- Уа* — 62 sin^ 9 ) rf9 =
/Г I"*
!_а2 J ~
He сразу видно, что этот интеграл эллиптический, так как здесь
6 ?> а. Но если мы положим Ь sin 0 = a sin Ф, то будем иметь:
fecos9d9=acos<P
—№ sin2 9 = я cos Ф
Л2~ 62_а2 —
cos Ф • a cos Ф йФ
6 cos 9
4/ С cfi — я2 sin2 ф
J У 1 — 4r sin2 Ф
C0)
Наконец, примем &2 = тг<5/, тогда
Я =_JL_ Г k2-klsm*O 41 } А»-1 + 1-Аг|зщгф ,т
2 b(l-*»pJ /1-*1йп«Ф bd-*S)oJ Kl-AjsitfO
4/
C1)
При fc2 ->¦ 0, т. е. когда точка Р удалена в бесконечность, фор-
формула C1) показывает, что Н2, как и следовало ожидать, равна нулю.
В том случае, когда кг стремится к единице, выражение C1) стано-
становится неопределенным, но из C0) легко видеть, что Я2 равна беско-
бесконечности.
Глава XVI
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение:
Ч1х^ + Х ~d
A)
где п — постоянная величина.
Это уравнение называется дифференциальным уравнением Бес-
Бесселя. Поскольку последнее представляет собой уравнение второго
порядка, то оно имеет два линейно независимых решения. Однако
решения эти в общем случае через элементарные функции не выра-
выражаются. Лишь в случае, когда п равно целому числу с половиной,
оказывается возможным выразить их через элементарные функции.
Покажем, как это сделать. Подставим в уравнение A):
Тогда это уравнение примет вид:
B)
Если, например
то уравнение B) становится уравнением с постоянными коэффи-
коэффициентами
общий интеграл которого будет:
cos ж
431
Следовательно, при п = ± — , общий интеграл уравнения A)
будет:
cos х
где Ci и Сг — произвольные постоянные.
При п, не равном целому числу с половиной, решение уравнения
Бесселя A) находим в виде степенного ряда, расположенного по сте-
степеням х.
§ 2. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
БЕССЕЛЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
Будем искать решение уравнения A) в виде ряда:
Отыщем число р и коэффициенты а такими, чтобы зтот ряд удо-
удовлетворял уравнению A). Мы имеем:
„ =
s-0
s-0
У" = S о* (Р + *) (Р + « -1) *?+
s-0
Подставляя зхи ряды в уравнение A), получим!
s=0
s=0
Для того чтобы зто равенство было тождеством, необходимо,
чтобы коэффициенты при х?, х?+1,. . . были равны нулю. При-
Приравнивая нулю коэффициент при х9, найдем
откуда:
— «2)=о
Р = ±п
Примем сначала, что р = -\-п.
Если приравнять нулю коэффициент при xt+1, то придем к ра-
равенству
из которого заключаем, что аг = 0. Приравнивая нулю коэффициент
при ?р+ * (s ^ 2), придем к соотношению
которое позволяет выразить коэффициент as искомого разложения
через предшествующие ему коэффициенты:
432
Отсюда видно, что, поскольку ах == 0, то все коэффициенты а
<t нечетными номерами будут равны нулю. Для коэффициентов с чет-
таыми номерами мы получим такие выражения:
ч
ао
(» + 2)
ав= —
12 (в+ 3) 2»-3!(в
= (-!)•
Подставляя зти коэффициенты в исходный ряд, мы получим:
. «У , AУ (т)" ^ 1
2!
(в+ 2) 3!(в
(в + 2)(в
Ряд в квадратных скобках сходится при всяком значении х.
Полученная функция, т. е. у, удовлетворяет данному дифферен-
дифференциальному уравнению при любом выборе оставшегося неопределен-
неопределенным коэффициента о0. Из соображений симметрии обычно принимают:
1
а° 2"Г(в
Если п — целое число, то
Полученная таким путем функция обычно обозначается /„ (х)
и называется Бесселевой, или цилиндрической, функцией первого
рода порядка п
* Г. AУ , AУ 1
2!
(в + 2)
или, сокращенно:
/„(*) =
s=0
/ X \n+2s
C)
Если принять р = —п, то таким же путем можно получить вто-
второе решение уравнения A), которое обозначается /_„ (х):
S-0O
X
s-0
Г(*+1)Г(в-в
Если п—число дробное, то числа
1ны от нуля
28 Заказ 1706
1
от-
Г(«+1) Г(«—в-,
личны от нуля при любых s. Функции /„ (х) и /_„ (х) в этом случае
433
линейно независимы, т. е. одна из них не получается из другой умно-
умножением на некоторую постоянную. Таким образом, при п дробном
мы можем написать общее решение уравнения A) в таком виде:
у = AJn (x) + BJ_n (x) D)
При п целом функции /„ (х) и J_п (х) оказываются линейно зави-
зависимыми друг от друга и формула D) уже не дает общего интеграла
уравнения Бесселя. Действительно, коэффициенты при первых г?
слагаемых ряда /_„ (х) обращаются в нуль. Поэтому
Приняв
получим:
2 1 Л)Г+П I х \2Г+п
Г(Г + п + 1)Г(г + 1) (г) =(-1)Я '"
(X)
E)
г=0
Таким образом, функции /„ (х) и J _п (х), как было сказано выше,
линейно зависимы при целом п.
Следовательно, для построения общего интеграла уравнения A)
нужно найти новый частный интеграл этого уравнения, линейно
независимый от /„ (х).
§ 3. ФУНКЦИЯ БЕССЕЛЯ ПОРЯДКА п ВТОРОГО РОДА
Для отыскания частного интеграла уравнения A), линейно неза-
независимого от J'„ (х) в случае целого п, рассмотрим функцию:
sin гея
[cos гел/„ (х) —J_n (x)]
F)
Так как эта функция линейно зависит от функций /„ и /_л, то
она является решением дифференциального уравнения Бесселя
порядка п. При п целом эта функция принимает неопределенный вид,
так как sin пл = 0, а выражение в квадратных скобках также обра-
обращается в нуль вследствие равенства E). Можно, однако, с помощью
правила Лопиталя раскрыть эту неопределенность, найдя величину
предела выражения F) при г, стремящемся к целому числу (см.
гл. I, § 18). Обозначим этот предел через Yn (x):
Yn (Х) = Jim Г-М*) cos ги-/_,(*)-!
r->nL sm«i J
434
Приведем лишь окончательный результат вычислений;
Vrt=l
-П+2г (ге_г-_1
m-J
где у — постоянная Эйлера:
= lim
n -*¦ oo
=0,577215
Наличие логарифмического слагаемого в функции У„ (ж) пока-
показывает, что зта функция при х = 0 обращается в бесконечность.
Таким образом, общее решение уравнения Бесселя в случае
целого п имеет вид:
CJ
где Сг я С2 — произвольные постоянные.
Функция У„ носит название функции Бесселя второго рода.
§ 4. ЭКВИВАЛЕЙТНЫЕ ФОРМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВЕССЕЛЯ
На практике часто встречается дифференциальное уравнение:
17)
Примем:
z = kx
Тогда при подстановке в G) получим уравнение Бесселя
,.*+(,.-,..) , =
решение которого будет:
где А и В — произвольные постоянные.
Возвращаясь к старому независимому переменному, получим
решение дифференциального уравнения G):
y=AJn(kx)+BYn(kx)
Имеется много дифференциальных уравнений, решения которых
выражаются через функции Бесселя. Так, например, с помощью
надлежащей замены переменной можно показать, что уравнение
<&у . a dy
28*
435
имеет решение:
J = AJn (х Vb) + BYп (х
и Л и В—произвольные постоянные.
§ 5. БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ МНИМОГО АРГУМЕНТА
Рассмотрим дифференциальное уравнение:
d*y . 1 dy
= 0 (8)
Это уравнение можно получить из уравнения G), если принять
к = i. Следовательно, решением уравнения (8) будет функция Jn(xi).
Обычно в качестве канони-
канонического решения зтого уравне-
уравнения берут функцию
W
0,8
0,6
В,2
V
1
х
Kf(x)
\
\
\
<
у
/
/
/
/
60
III)
30
20
Ю
0
2 3 к
г
Рис. XVI-1.
/„ (х) = i~HJn (ix)
которую называют модифици-
рованной функцией Бесселя
первого рода порядка п.
В качестве второго интегра-
интеграла уравнения (8) обычно берут
функцию Кп (х), определяемую
следующим образом:
Кп(х) =
sin гея
[/-«<*)-/„(*)]
Общее решение уравнения (8) можно написать в таком виде:
где А и В — произвольные постоянные.
На рис. XVI-1 приведены графики функций /0 (х) и Ко (х). Из них
видно, что/0 @) = 1; Ко @) = оо; при стремлении а; к бесконечности
/0 стремится к бесконечности, а Ко стремится к нулю.
§ 6. РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ /„ (х)
Между тремя функциями Бесселя Jn_y (x), Jn (x), Jn+1 (x),
индексы которых отличаются на единицу, существует простая линей-
линейная зависимость. Ее легко получить, исходя из разложения зтих
функций в ряды. Дифференцируя почленно ряд C), получим:
5-0
Г (s)r(re+s+l)
/ X \« + 2
УК1)
S-1
/ X \f!+2s-l
Заменив в последней сумме
s = r
ЯОЛуЧИМ!
Г"»0О
2 1 IV
Tir + ihiU
+ 1+2г
Таким же образом можно показать, что
Сложив уравнения (9) и A0), получим!
A0)
A1)
Подставим в уравнение (И) и = 0 и воспользуемся E), тогда
получим!
A2)
При умножении (9) на х~п~х имеем:
Следовательно
Подобным же образом можно показать, что
Вычитая уравнение A0) из (9), получим:
2™ I — Т -L Т
~Z~ • п — Jn-l~t-Jin-l
A4)
Полученные нами рекуррентные формулы для функций Бесселя
полезны тем, что они сводят вычисление бесселевых функций с боль-
большим номером к вычислению бесселевых функций с меньшим номером.
Например, имея таблицу значений J0 (х) и J\ (x), можно с помощью
формулы A4), полагая в ней п — 1, составить таблицу значений
функции /2 (х)}
Зная /х и /г, можно найти /3 п° формуле
и т. д.
43Z
Функции Yn (х), In (х) и Кп (х) были определены раньше с но-
ыощью функций /„ (х). Для этих функций имеют место следующие
рекуррентные зависимости:
h-l И —Ai+l (x) = — In (x)
In+I(x)=xn ~хп1п(х)
A5)
/я+1 (*) = *»-?- [х-*1я(х)]
Рекуррентные формулы для Кп (х) имеют следующий вид:
Kn-i (х) - Кп+1 (х) = ~~ кп (х)
Kn_i (x) ~f #л+1 (х) = — 2К'п (х)
К'0{х) = -К1 (х)
§ 7. БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ /„ (х), ИНДЕКС КОТОРЫХ РАВЕН
ЦЕЛОМУ С ПОЛОВИНОЙ
A6)
Подставив в ряд C) п——, получим:
s=oo
s=0
Далее, так как
и при целом s
то имеем:
X Vs+'/г
)
Применяя формулы
2'/гГ П\ V 31 ' 51 • * • /
¦ /3 \ _Уя
\2) 2
sm
найдем, что
438
Подобным же образом можно показать, что
/
/ ,, (х) — 1/
- '« v ' У лх
cos
л
Таким образом, при п =— функции Бесселя выражаются через
элементарные.
Так как функции Yn (х) и /„ (х) выражаются через /„ (х), то
Уч.л (х) и /i/, (x) также могут быть выражены через элементарные
функции.
Подставив в рекуррентную формулу A4) п = — , получим:
-^=J-'U(x)+J*u{x)
Отсюда
Полагая в A4) п = ^~, найдем:
х /«
откуда
Аналогично можно показать, что вее функции Бесселя, номе}>
которых равен целому числу с половиной, выражаются через эле-
элементарные функции.
§ 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ПО ФУНКЦИЯМ БЕССЕЛЯ
В приложениях функций Бесселя к технике часто возникает
необходимость разложить произвольно заданную функцию F (х)
в ряд по функциям Бесселя.
Существует несколько видов таких разложений; для нас пред-
представляет интерес рассмотреть одно из таких разложений.
В теории функций Бесселя доказывается, что функция Бесселя
/„ (х) имеет бесконечное множество положительных корней. Рас-
Расположим эти корни в возрастающем порядке и обозначим их аъ
В приложениях часто возникает задача о представлении произ-
произвольно заданной функции F (х) в ряд следующего вида:
F (х) =
+ C2/n (а2х) + С3/„ (а3х) + . . .
или
F (х) = 2 CsJn (asx)
s=l
Не ставя перед собой задачи исследовать возможность такого
представления, мы покажем лишь, как вычислить коэффициенты
43»
этого разложения, если предположить, что такое представление
возможно.
Предварительно установим одно весьма важное свойство функ-
функции Бесселя, а именно, свойство их ортогональности. В § 4 было
показано, что уравнению
удовлетворяет функция y = Jn(ax). Если в этом уравнении сделать
подстановку J/ = -?r, то мы нридем к уравнению
которое, очевидно, имеет решение:
u=Y~x~Jn(ax)
Подобным же образом убедимся, что функция
v=Vxfn(bx)
удовлетворяет уравнению:
,2 Г -¦-¦Ч'
Помножив уравнения A7) и A8), соответственно, на v и на м,
вычтем из одного произведения другое; мы получим;
(б2— a?)uv~u"v — v"u A9)
Проинтегрируем обе части равенства A9) по а; в пределах от
О до а;
X X
(Ь2 — a2) I uv dx= \ lu"v — v"u)dx
j j
HO
следовательно
F2
= 4-x(vu'-uv')
д: д:
— a2) I uv dx=\—(vu'—uv')dx=(vu'—uv')
т. e.
-440
X
F2 - fl2) J"
Если мы теперь носледнее равенство продифференцируем по Ъ
и в полученном выражении положим Ъ — а, то получим:
Za J xJ\ (ax) dx=x [ахГ* (ах) -/„ (аж) /^ (ах) - аг/„ (аж) /^ (ах)] B1>
о
Полошим теперь в формуле B0) х = 1:
1
F2 _fl2) j xJn (Ях) jn {Ъх) ax=aJn (b) J'n (a) ~bjn (a) J'n (b)
(i
До сих пор мы считали а и b произвольными числами. Пред-
Предположим теперь, что а и Ь — два неравных между собой корня уран
нения:
/»(*)=о
Тогда мы получим:
1
j
и так как афЬ, то
х/„ (ax)/„ (Ьх) <te=
B2>
Свойство функций Бесселя, выражаемое этим равенством, назы-
называется ортогональностью. Это свойство позволит нам найти коэф-
коэффициенты Cs искомого разложения
F (х)=
B3>
S-1
где as — положительные корни уравнения /„ (а) = 0.
Для того чтобы получить значения коэффициентов этого раз-
разложения, умножим обе части B3) на xjn (a^c) и проинтегрируем
в пределах от х = 0 до х = 1, тогда на основании B2) получим:
1 1
j xjn (akx) F (x) dx=Ck$ xj\ (aftx) dx
о о
Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, может быть
вычислен с помощью формул B1) и A3):
Таким образом, имеем:
Jn+1 \as)
xJn
F {х) dx
Задачи, решаемые с иомощыо' разложения функции в ряд по
функциям Бесселя, рассматриваются в гл. XVII.
44L
§ 9. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В КЛИНОВИДНОМ СТЕРЖНЕ
Рассмотрим задачу, приводящую к уравнению Бесселя.
Медный клин имеет в поперечном сечении форму треугольника
(рис. XVI-2).
Основание этого клина поддерживается при постоянной темпе-
температуре tx; при этом тепло, вследствие конвекции и излучения, те-
теряется в окружающее пространство, имеющее температуру ?,. Коэф-
Коэффициент теплопроводности клина равен Я. Требуется определить
зависимость между температурой некоторого сечения клина и рас-
расстоянием от его конца.
Обозначим через t температуру сечения клина на расстоянии х
«т его конца и для упрощения примем, что изменением температуры
в направлении, параллельном
основанию, можно пренебречь.
Для вывода дифференциаль-
дифференциального уравнения составим тепло-
тепловой баланс применительно к эле-
элементу клина толщиной dx.
Площадь сечения клина будет
пропорциональна х, т. е. равна
|i;r, где р — коэффициент пропор-
пропорциональности. За единицу времени через сечение х в этот элемент
за счет теплопроводности поступит количество тепла:
д = — Арх —— ккал/ч
За то же время через сечение х -\- dx в элемент поступит тепла:
Рис. XVI-2.
Следовательно, количество тепла, поступающего в единицу вре-
времени в рассматриваемый элемент клина за счет теплопроводности,
будет равно:
При этом мы пренебрегаем членом, содержащим произведение
дифференциалов.
Поверхность элемента клина будет равна Pdx, где Р — постоян-
постоянная величина, характеризующая зависимость периметра сечения
от длины ребра х. Если а — коэффициент теплоотдачи от поверх-
поверхности ребра к воздуху, то количество тепла, отданного элементом
клана в атмосферу, равно:
<fy=a (t — t2) P dx
Напишем уравнение теплового баланса:
dt
alt —to) Pdx=/J>\ —
Разделив обе части уравнения на dx, получим:
аР , d( , йЧ
или
где
dt
аР
Полагая y = t —12, приведем это уравнение к виду:
dx
B4)
Это дифференциальное уравнение можно привести к уравнению
Бесселя следующим образом. Если сделать замену переменного
z = 2 l^mx, мы придем к уравнению
dz
B5)
которое является частным случаем уравнения (8) при п — 0.
Так как общий интеграл уравнения B5) будет
то, возвращаясь к старому независимому переменному х, получим
общий интеграл уравнения B4) в следующем виде:
t _ t2 = AI0 B
BK0 B V
B6)
Из таблиц функций Бесселя находим, что Ко (lYmx) стремится
к бесконечности, когда х стремится к нулю, а из физинеских сообра-
соображений ясно, что температура t клина должна оставаться конечной;
следовательно, постоянная В = 0.
Допустим, что температура основания клина tx поддерживается
равной 100° С, а температура окружающей среды t2 = 40° С. Если
т = 0,3 и если длина клина равна 0,3 м, то формула B6) дает:
442
Постоянную А определим из условия t = 100° С, если х = 0,3.
Отсюда имеем:
100—40= Л/о @,6)
Из таблицы функций Бесселя имеем /0 @,6) = 1,09. Значит
100-40 = 1,09^
откуда
Л = 55
Следовательно, решение задачи дается следующей формулой:
i = 40 + 55/о B V(X3x)
443
Значения температур вдоль клина получаются простым вычисле-
вычислением с помощью табл. XVI-1 функций Бесселя.
ТАБЛИЦА XVI-1
X
0,
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
1,095 Vx
0,
0,345
0,388
0,490
0,548
0,600
;, A,095 /*)
1,000
1030
1,040
1,065
1,080
1,090
t, °G
95,0
96,8
97.2
98.5
99 4
100,0
§ 10. ПОТЕРЯ ТЕПЛА ЧЕРЕЗ СТЕНКУ ПЕЧИ
Потеря тепла происходит за счет его перехода к воздуху от листо-
листового металла, покрывающего изоляцию печи. Металлическое покры-
покрытие представляет собой сталь толщиной 0,015 ж с теплопроводностью
400 ккал/м-ч-град. Коэффициент теплоотдачи от стенки к воздуху
составляет 12 ккал/м2-ч-град. Диаметр головки болта 50 мм. Тем-
Температура окружающей среды 70° С; температура головки болта
постоянна и равна 150° С. Считая, что тепловые потери обусловли-
обусловливаются только теплопроводностью стержня болта, определим темпе-
температуру наружной металлической стенки в нескольких точках на
расстоянии до 1 м от болта.
Для составления необходимого дифференциального уравнения
введем следующие переменные величины: температуру и координаты
положения точки. Так как температурная функция симметрична
относительно головки болта, то для определения положения точки
может быть использована переменная г, т. е. радиальная длина
от центра болта. Из теплового баланса для кольцевой поверх-
поверхности имеем:
q = \a2nr —
где q — скорость притока тепла для радиуса г;
% — теплопроводность;
а — толщина металлической стенки.
При г -|- dr скорость отдачи тепла будет:
= — %а2лг
~J"i"y~ \ — ^а %пг "Г" )dr-\-a (t — t
i 2jv dr
где а — коэффициент теплоотдачи;
t и t0 — температуры, соответственно, металла в данной точке
и окружающей среды.
При постоянных значениях Я и а получим:
a(t-t0)
dr
%а
= 0
B7)
Пусть y — t—tQ и Р = а/Яа, тогда из уравнения B7) будем иметь:
О B8)
Решение B8) есть
? = <?!/„ (г /Ю + С2К0 {г /р) B9)
В этом случае слагаемое /0 (г у f5) не имеет физического смысла,
так как оно увеличивается с возрастанием положительных значений
переменного и не может представлять температуру при больших
расстояниях от болта^ которая, очевидно, уменьшается, достигая
ассимптотически величины 20° С. Следовательно, будем иметь:
t-20 = C2K0(r Vf)
Из приведенных выше формул найдем:
C0)
При подстановке в уравнение B8) левая часть его приобретает
следующий вид:
-г VJ Кг {г V1) + гЦК2 (г V Р) -г V Р Кх (г VJ) - г^К0 (г V Р)
Из A6) видно, что сумма первого и третьего членов равна сумме
второго и четвертого членов и, таким образом, это выражение равно
нулю. Следовательно, использование Ко (г|/^) в качестве решения
B8) оправдывается.
Переходя к численному решению, найдем:
12
40 • 0,015
= 20
)==-^р = 0,025 м
ТАБЛИЦА XVI-2
г, л»
0,05
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
г /20
0,223
0,446
0 892
1,785
2,6^
3 57
4'J
К„ (г /20)
1,65
1.04
0,493
0.155
0,051
0,018
0,006
t, °с
128
106
87
75,5
718
70,6
70,2
444
445
dr
Таким образом, имеем;
150 —70 = С2Я0 @,025 /20) = С2Я0 @,116) = 2,ЗС2
откуда С2 = 34,8. Окончательно получим:
г-70 = 34,8К„('- /20)
Приведенная выше табл. XVI-2 дает температуры, вычисленные
для различных значений г.
§ И. ЦИЛИНДРИЧЕСКОЕ ФИЛЬТРОВАНИЕ
Пусть в промываемом на патронном фильтре осадке с общим
коэффициентом фильтрования к имеется центральное отверстие
с радиусом г0. Будем принимать, что у концов фильтрующего ци-
цилиндра, вследствие недостаточной очистки
их, жидкость течет через поры осадка
вертикально.
Напоры жидкости у верхнего и ниж-
нижнего концов цилиндра примем, соответ-
соответственно, равными hx и /г2, а коэффи-
коэффициенты фильтрования кгшк2.
Процесс фильтрования происходит сле-
следующим образом: через среднюю (глав-
(главную) часть фильтра длиной I фильтрование
протекает горизонтально. У верхнего
края фильтра имеется часть этого филь-
фильтра длиною 1Ъ через которую фильтро-
фильтрование будет проходить вертикально;
такая же часть будет у нижнего края
фильтра; длину ее будем считать рав-
равной /2.
Выделим в средней (главной) части
фильтра кольцо толщиной dr и высотой /.
Это кольцо ограничено сверху и снизу
линиями равных напоров h, которые обу-
обусловливают цилиндрическое фильтрование
к стенке аппарата (рис. XVI-3).
Пользуясь приведенными в гл. XVII (стр. 469) рассуждениями,
найдем объемы втекающей и вытекающей жидкости через цилиндри-
цилиндрические поверхности кольца за единицу времени. Разность этих объ-
объемов будет:
d I dh
Рпс. XVI-3.
2nkl
dr
('#)
dr
Кроме того, через верхнее основание кольца на линии равного
напора h за единицу времени втекает объем
dr
а через нижнее основание на линии равного напора h с той же пло-
площадью втекает объем:
2 яг/с 2 —^— dr
В последних двух выражениях величины
kihi-h __ ,. Ла-Л
h
h
представляют собой скорости фильтрования жидкости через верхний
и нижний слои осадка с высотами 1Х и 12.
Складывая последние три выражения, получим изменение объема
жидкости внутри элементарного кольца за единицу времени. Это
изменение объема вследствие несжимаемости жидкости равно нулю;
следовательно
kl
dh
dr V dr ) ' "r ^ ' -¦=¦ J2
Полученное уравнение приведем к виду
C1)
й
r dr
kl
U
А-2
kl
2 — h
U
или же
&h I dh 1 / кг к2 \ 1 / kjhr кф2 \
!?>"Т~Т dr kl\h ~Г h ) ы \ h "*" h 1
к*—2- \ = о
dr2 "Г г а!г kl\lt l l2 J ' hi \ 1г ' /2
Преобразуем последнее уравнение следующим образом:
=0
dr2 ~ r dr
Если обозначить
J
C2)
L
kl
то уравнение C2) примет вид:
d*h I dh
где | и Ho — постоянные числа.
Введем в уравнении C3) новую искомую функцию
тогда это уравнение приобретает вид
C3)
r dr
446
C4)
447
который является частным случаем уравнения (8) при п — 0. Сле-
Следовательно, общий интеграл уравнения C4) будет:
S = CjJ0 (VI г) + С2Кв (VI г)
C5)
— модифицирован-
модифицировангде Сг и С2—постоянные, /0(Ver) и K
ные функции Бесселя нулевого порядка.
Определим постоянные в полученном решении.
При г = оо в рассматриваемом слое имеется лишь вертикальное
фильтрование, обусловленное разностью напоров, фильтрования же
по направлению радиуса не происходит, т. е.
dr
Следовательно, уравнение неразрывности C1) представится
в виде
1л
откуда
или
Ma
т. е. при r — оо имеем S — 0.
В § 5 было отмечено, что при х, стремящемся к бесконечности,
10 (х) неограниченно возрастает. Отсюда следует, что в общем инте-
интеграле C5) должно быть Cj = 0, т. е.
(VI г)
C6)
Для определения постоянной С2 найдем скорость фильтрования
у стенки фильтра:
dr 2nral
где V — расход фильтрата.
С, другой стороны, дифференцируя выражение C6) и исполь-
используя A6), найдем:
dh_
dr
= -C2VlK1(Vlr)
где К1 — функция Бесселя первого порядка.
Из двух последних выражений вытекает, что у стенок фильтра
Таким образом, из уравнения C6) получаем следующее оконча-
окончательное выражение для напора *
, „- УКр (VI г)
(Vlr0)
C7)
пользуясь которым можно построить кривую напоров в рассматри-
рассматриваемом фильтре.
Допустим, что из экспериментальных исследований известно Яо.
Применяя уравнение C7) к стенке фильтра, т. е. полагая г = г0,
можно определять расход фильтрата:
2nkrolVl(Ho-}
К0(Пг0)
где h 0 — напор в патронном фильтре.
C8)
* V берется с отрицательным знаком (см. гл. XI).
а следовательно
2лгок1
С2= —
V
448
29 заказ 1706
Рассмотрим еще уравнение
D)
Глава XVII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ
Уравнение, содержащее частные производные, называется диф-
дифференциальным уравнением с частными производными. Таковым
является, например, уравнение
дхду
= 0
A)
Дифференциальные уравнения с частными производными широко
используются при решении технических задач, в которых искомые
переменные величины представляют собой функции нескольких
независимых переменных.
Обычно задача состоит в том, чтобы найти соотношение между
переменными и, х в у, установив для него функциональную зависи-
зависимость вида и = / (х, у), которая удовлетворяет некоторому дифферен-
дифференциальному уравнению с частными производными и дополнительным
частным условиям данной задачи.
Уравнение A) можно решить следующим образом.
Интегрируя уравнение A) по х, получим:
ди
дУ
= к {»)
После интегрирования уравнения B) по у найдем*
« = J/l (У)
B)
;) C)
Функция C) является решением уравнения A), независимо от
вида функций /3 (у) и/2 (х), которые являются произвольными.
В то время как общее решение обыкновенных дифференциальных
уравнений содержит произвольные постоянные, решение дифферен-
дифференциальных уравнений с частными производными включает в себя
произвольные функции.
450
причем функцию и мы рассматриваем как функцию от х и от у.
Общее решение его:
где Сх и С2 — любые функции, не зависящие от х. Заменяя Сг
на /х (у), а С2 на /2 (у), напишем E) в виде:
С геометрической точки зрения решение дифференциального
уравнения с частными производными, в случае двух независимых
переменных, представляет собою некоторую поверхность. Решения
C) и F) уравнений A) и D) представляют собою совокупность бес-
бесчисленного множества интегральных поверхностей. Для того чтобы
получить определенное решение уравнения с частными производ-
производными, следует использовать дополнительные данные относительно
искомого решения. Эти дополнительные данные в технических
задачах обычно определяются физическим смыслом решаемой задачи.
Общих методов для нахождения решений уравнений с частными
производными не существует. Лишь для отдельных частных случаев
разработаны методы, позволяющие отыскивать решения этих урав-
уравнений. Рассмотрим простейшие из этих случаев.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим уравнение
Р {х, у, и) -!?-
¦/,u)—=R(x, у, и)
G)
Для его интегрирования следует решить систему обыкновенных
дифференциальных уравнений:
dx
Q
du
Пусть интегралы этой системы будут:
ф (X, у, U)=C1 И Я|5 (Ж, у, U) = С2
Образуем уравнение:
Ф [ф (ж, у, и), я|5 (х, у, мI=0
(8)
(9)
(Ю)
где Ф — произвольная функция своих аргументов.
Функция и, определяемая зависимостью A0), будет удовлетворять
исходному дифференциальному уравнению G).
29*
451
Пример. Рассмотрим уравнение:
ди
Образуем систему:
ди
A1)
A2)
dx __ dy du
хи ~ уи ~~ ху
Первое уравнение этой системы
dx du
имеет решение у=Схх. Подставив это выражение для у во второе уравнение
системы
получим:
dy _ du^
уи ху
Cxdx __ du
Общее решение этого уравнения будет:
Таким образом, интегралы системы A2) имеют следующий вид:
Мы получим решение данного уравнения A1), если свяжем эти инте-
интегралы произвольной зависимостью:
Ф (ху — и2, — ^=0, или u* =
где ф —произвольная функция от —.
Аналогичные формулы имеют место и для прочих граней. Общее
количество растворенного вещества, поступающего через три грани
параллелепипеда, будет равно
шхс dy dz -j- Wye dx dz ~\- wzc dx dy
в общее количество вещества, вышедшего через три противополож-
противоположные грани, будет:
Изменение количества веще-
вещества, вызванное изменением кон-
концентрации с, составит!
дс
dx dy dz
Подставляя найденные выра-
выражения в общее уравнение мате-
материального баланса, найдем;
х
дс . д (wxc)
Si ' дх '
Рис. XVII-1.
¦ d(wyc) ¦ d(wzc)
-Г ,, "Г
dz
A3)
Уравнение материального баланса в дифференциальной форме
A3) математически тождественно с уравнением неразрывности,
имеющим важное значение в гидродинамике (см. гл. XIX).
§ 3. УРАВНЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОГО БАЛАНСА
В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Рассмотрим неустановившееся движение несжимаемой жидкости,
содержащей растворенное вещество, через какой-либо аппарат.
Пусть wx, wy, wz представляют составляющие скорости по осям
координат. Обозначим через с концентрацию растворенного вещества
(в весовых единицах на единицу объема), а время — через т.
Выделим в аппарате элементарный объем, представленный на
рис. XVII-1 в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz. Скорость
потока в направлении, указанном стрелкой, будет wx, и количество
вещества, поступающего через левую грань, равно wxcdydz. Коли-
Количество вещества, выходящего из параллелепипеда у противополож-
противоположной грани, будет:
д {wxc)
дх
dx dy dz
§ 4. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Рассмотрим процесс передачи тепла в неустановившемся состоя-
состоянии, когда температура в каждой точке нагреваемого тела меняется
со временем.
Обозначим через х, у, z — координаты точки, t — температуру,
т — время. Будем считать, что изучаемое нами твердое тело изо-
изотропно, так что теплопроводность X, теплоемкость с и плотность у
постоянны. Выделим в нашем теле элементарный параллелепипед
с ребрами dx, dy, dz и с гранями, параллельными координатным
плоскостям.
За время dx на нагревание этого элементарного параллелепипеда
потребуется количество тепла, равное:
dQ = су -jp— dx dy dz di
452
453
С другой стороны, согласно теории теплопроводности, общее коли-
количество тепла, поступающего в параллелепипед через обе грани,
перпендикулярные ОХ, будет равно
дЧ
X —- dx dy dz dx
дх2
Совершенно так же мы найдем, что через грани, перпендикуляр-
перпендикулярные OY и 02, в элементарный параллелепипед поступает следующее
количество тепла:
32(
X —-=- dx dy dz dx
ду2
дЧ
X 2 dx dy dz dx
Таким образом, за время dx через все грани параллелепипеда
поступает количество тепла:
«-*[?+¦&+¦&>***
Приравнивая полученные нами два выражения для dQ, получим
следующее уравнение теплопроводности:
at
дх
_ X Г дЧ . d*t . дЧ I
A4)
Обозначая выражение, стоящее в скобках, через у2? или At
(см. стр. 353), запишем уравнение A4) следующим образом:
dt х „ at X ..
= — у2*, или -—= —Д(
дх су v дх су
A5)
Символ Д, или у2, называется оператором Лапласа. Он обозна-
обозначает следующую операцию:
v2==a4S-+-5t+5- (i6)
Уравнение теплопроводности A4) решено для многих случаев,
имеющих практическое значение.
Прежде чем перейти к изложению способа решения уравнения
A4), рассмотрим еще один пример составления дифференциального
уравнения с частными производными.
Рассмотрим жидкость, движущуюся с постоянной скоростью w
в направлении оси ОХ в пространстве, внутри которого имеется
источник тепла. Составим дифференциальное уравнение теплопро-
теплопроводности для этого случая.
Количество тепла, поступающего через левую грань элементар-
элементарного параллелепипеда в направлении ОХ за время dx, вследствие
теплопроводности и за счет физического тепла, вносимого с потоком
жидкости, составит:
cywt dy dzdx — X —— dy dz dx
dx
454
Физическое тепло вычисляется относительно произвольно при-
принятой начальной температуры t = 0.
Для того же промежутка времени dx количество тепла, входящего
в параллелепипед через противолежащую грань, будет равно
-^dxj— Я (— +-g-s-dxjjdydxdx
Общее количество тепла, входящего через две грани, перпенди-
перпендикулярные ОХ, будет равно
Совершенно так же, как и в предыдущей задаче, мы получим
следующие выражения для приращения тепла за счет теплопровод-
теплопроводности в направлениях OY и OZ:
Сумма двух последних величин будет равна изменению коли-
количества тепла в параллелепипеде, которое, как мы видим, составляет:
су — dx dy dz dx
Следовательно
э* . г дЧ дЧ , 32* \ at ¦
дх \ дх2 ' ду2 dz2 1 ' дх
Если изучаемый процесс установившийся, т. е. если температура
» dt
является функцией только положения точки, но не времени, —
равно нулю и уравнение A7) приводится к виду!
w =ауЧ
дх
X
где а = коэффициент температуропроводности.
су
§ 5. УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРОВАНИЯ
Уравнение движения жидкости в фильтрующем слое имеет следу-
следующий вид:
w= —к
dh
Is
к — коэффициент фильтрования;
h — напор жидкости в слое, находящемся на расстоянии S
от места начала фильтрования;
dh
-Qg — градиент изменения напора жидкости по направлению филь-
фильтрации. При этом скорость w и напор h рассматриваются
как непрерывные функции от S.
455
Проекции скорости на три оси координат будут:
— к — — —к dh — A- dh
A8)
где кх, ку и кг — коэффициенты фильтрования в направлениях,
соответственно осям х, у и z.
Выделим в фильтрующем слое элементарный параллелепипед
с ребрами dx, dy и dz. В § 1 гл. XIX показано, что полное прира-
приращение массы жидкости в этом параллелепипеде за единицу времени
равно:
dz
— \dxdy dz
A9)
Масса
вляет:
жидкости, содержащейся в элементарном объеме, соста-
состаN — р9 Да; Ау Дг
где 0 — порозность фильтрующей массы.
Если фильтрующая масса, а также и жидкость сжимаемы, то
плотность жидкости, порозность фильтрующей массы и вертикаль-
вертикальный размер элементарного объема будут переменными величинами.
Примем направление фильтрования за направление оси OZ и про-
продифференцируем по т обе части последнего равенства:
dN
B0)
Высота элементарного объема изменяется в соответствии с изме-
изменением вертикальной составляющей сжимающего усилия аг в филь-
фильтрующей массе:
d (Дг) = — а Дг daz
или
^=-аАг-& B1)
где а — коэффициент сжимаемости в направлении OZ.
Естественно считать, что объем V твердой массы в параллелепипеде
остается постоянным, так как сжимаемость ее отдельных зерен мала
по сравнению с сжимаемостью жидкости и изменением порозности.
Следовательно
ДУ = A — 9) Ах Дг/ Дг = const
или
откуда:
dQ _ d{Az)
1 — 6 = Az~~
dx
1—6 d(Az)
dz dx
B2)
Вертикальная составляющая сжимающего усилия az и давление
щидкости р находятся в равновесии с внешними силами. Величина
ip + ог) может быть приравнена собственному весу всей массы
|г фильтре, тогда:
р-\-аг = const или daz=—dp B3)
Между плотностью жидкости и ее давлением имеется зависи-
зависимость:
dp D dp ,о/ч
¦—- = рро \?^)
dx dx
уде р _ коэффициент сжимаемости, или величина, обратная объем-
объемному модулю упругости;
р0 — начальная плотность, обычно принимаемая при атмосфер-
атмосферном давлении.
Пользуясь формулами B1) и B3), найдем для скорости изменения
толщины слоя фильтрующей массы и для скорости изменения пороз-
5НОСТИ следующие выражения:
dx
dx
B5)
B6)
Подставляя B4), B5) и B6) в уравнение B0), получим:
или
Приравнивая это выражение A9), получим после предельного
перехода и разделения на dxdydz:
д jpwx)
дх
1 (РИ>г)
dz
При этом разностью между р0 и р, как бесконечно малой величи-
величиной, мы пренебрегаем.
Для установившегося движения ~— = 0, следовательно
(pwx
дх
дх
9{pwy) d(pwz)
ду ~Т~ dz
ИЛИ
• = 0
456
B8)
457
Проекции скорости могут быть выражены через гидравлические
градиенты A8). Компоненты градиента плотности выразим так:
др
др
др
dh
B9a)
B9b)
B9c)
Подставляя в B8) эти величины, а также выражения для проекций
скорости из формул A8) и предполагая фильтрующую среду изотроп-
изотропной, получим:
V2
— 4г- =0
C0)
Коэффициент к сокращается; предположим коэффициент р на-
настолько малым, чтобы можно было пренебречь вторым членом этого
уравнения по сравнению с первым. Тогда мы получим следующее
приближенное дифференциальное уравнение установившегося дви-
движения жидкости в гомогенной и изотропной фильтрующей среде:
a2ft a2ft . a2ft _
a.r2 "i~ a»2 ~i dzi~ ~
C1)
Для неустановившегося движения жидкости через фильтрующую
массу уравнение B7) преобразуется следующим образом:
др
ИЛИ
Существенно отметить, что полученные дифференциальные урав-
уравнения фильтрования C1) и C2) с математической точки зрения
тождественны уравнениям теплопроводности и диффузии.
§ 0. СФЕРИЧЕСКОЕ ФИЛЬТРОВАНИЕ
Имеется сферический сток с радиусом г0 (рис. XVII-2). Все линии
стока пересекаются в одной точке. Поверхности равных напоров h
являются концентрическими сферами. При изучении сферического
фильтрования удобно пользоваться сферическими координатами г,
Ф, 1)з, которые связаны с декартовыми координатами соотношениями:
х = г sin ф cos я|), y = r sin q> sin ip, z = /-cosq>
Выделим элементарный объем, ограниченный тремя парами бес-
бесконечно близких координатных поверхностей (рис. XVI1-3). Обозна-
Обозначим через Wr, W^ и W^ проекции скоростей жидкости на направле-
458
иия координат. Через левую грань выделенной ячейки за единицу
времени втекает масса жидкости:
pWrr sin ф dip r dq
где г sin ф di|> и г dy — длины сторон левой грани. Через правую
грань за то же время вытекает:
pWrr sin ф <%• ^ф + —— (pWrr sin
dq>) dr
Накопление массы жидкости в ячейке равно разности обеих масс:
а . , ,. . , , ,.
(рИ/Т^) Sin ф dr аф аяр
Через верхнюю грань за единицу
времени втекает масса жидкости
pW9 dr r sin ф dip
а через нижнюю грань вытекает:
pWv dr r sin
— {pW9 dr r sin ф
Следовательно, накопление массы
за единицу времени равно
— (pW9 sin ф) г dr dtp Л|)
Рис. XVII-2.
Через переднюю грань за единицу времени втекает масса
d, а через заднюю грань вытекает
Следовательно, накопление массы равно
dr r
r dtp)
Складывая полученные три выражения, найдем:
¦ д (pWrr*\ . д (Pw<r sin Ф) д
\dr d<p
Заметив, что объем выделенной ячейки равен dr r sin ф dty r dy,
найдем, что приращение массы жидкости за единицу времени будет:
ар , . , ,,
—— dr r sin ф оф г alb
дХ Т Y У
Приравнивая два выражения для приращения массы и сокращая
полученное равенство на dr r sin ф ^ф г ^ф, мы получим уравнение
неразрывности в сферических координатах:
а (pWv sin ф)
l а(Рву2)
r2 dr
'r
sin ф
г sin ф
ая|5
др
дх
C4)
459
Элементарные перемещения dSr, dS^, dS^ в направлениях коор-
координат г, ф и г|э будут соответственно равны:
dSr = dr; dSy = rd(f; dS^ = г sin <p dty
Проекции скорости фильтрования на эти направления будут
иметь вид:
W-ф
Подставляя эти выражения в уравнение неразрывности C4)
и полагая р = const, получим:
IF
C6)
Рис. XVII-3.
Мы получили уравнение фильтрования, которое является урав-
уравнением Лапласа в сферических координатах.
Так как в данном случае имеем одномерное фильтрование, то
уравнение C6) представится в виде:
Интегрируя данное уравнение, получим!
Второе интегрирование дает:
C7)
C8)
460
На основании формул C5) и C7) получим значение постоянной Сг\
C9)
к
Но
W =
где V — объем жидкости, протекающей через поверхность сферы
радиуса г0 за единицу времени.
Отсюда для Су получаем следующее выражение:
V '
Далее определим постоянную С2.
Положим, что при г = г0 напор равен h0. Подставляя в формулу
C8) h = h0, г = г0 и заменяя Сх найденным его значением, получим:
V
Теперь подставим значения обеих постоянных в уравнение C8):
D0)
Полученная зависимость позволяет определить напор h в любой
точке области фильтрования.
Положим, что на известном расстоянии R от стока напор h = Н.
Тогда фильтрационный расход определится на основании D0):
ТЛ Ank(H-h0)
R
¦ и
Так как при большой величине R величиной — можно пре-
пренебречь по сравнению с —, то расход с достаточной точностью
определяется по формуле:
V = inkro(H-ho)
При вытекании жидкости из источника, т. е. при Сх <^ 0, вместо
D0) получается зависимость:
r0
Отсюда определяется расход
V =
Ank (ho —
го
I
R
или же при относительно большой величине Ri
V = 4nkro(ho—H)
461
§ 7. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ДЛЯ СЛУЧАЯ БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ
Решим общее уравнение теплопроводности применительно к пла-
пластине бесконечной длины. Задача состоит в том, чтобы найти решение
дифференциального уравнения A4), которое удовлетворяло бы неко-
некоторым заданным условиям. Представим себе, что в пластине, распро-
распространяющейся бесконечно в направлениях OY и OZ, имеющей
начальную температуру ?1? внезапно стенки охладились до темпера-
температуры окружающей среды t0. Какова зависимость
между температурой и временем от начала охлажде-
охлаждения для различных точек внутри пластины?
Начало координат поместим в точке на одной из
стенок; расстояние между стенками пластины обо-
обозначим 2R (рис. XVI1-4).
Тепло теряется через обе стенки и, так как пла-
пластина распространяется бесконечно в направлениях
OY и OZ, то, очевидно, теплопередача совершается
только вдоль ОХ. Следовательно, —г и — равны
-dx
—
нулю и уравнение A4) принимает вид:
dt
D1)
Начальные и краевые условия, вытекающие из
формулировки задачи, таковы:
Рис. XVII-4.
г = ?! при т = 0
t = tQ при т=оо
t = 10 при х = О
t = t0 при x = 2R
Введем новую переменную А, связав ее с t зависимостью:
t-t0
Д =
h-t0
Если переменная t меняется от tt до t0, переменная Д меняется
от 1 до 0. Уравнение D1) принимает вид:
ад
Начальные и краевые условия задачи будут!
д = 1 при т = 0
д = о при т = оо
Д = о при х = 0
Д = 0 при x = 2R
D2)
D3)
D4)
D5)
462
Требуется найти решение уравнения D2), удовлетворяющее усло-
условиям D3)—D6).
Примем, что А может быть представлена в виде произведения qnjj,
где ф является функцией только от х, а гр зависит только от т. Пола-
Полагая в уравнении D2) А = (рф, приведем его к следующему виду!
У-гг=а
или
ф
dx
По определению функция г|з. не зависит от х; следовательно, при
изменении х правая часть уравнения остается постоянной. Аналогич-
Аналогично левая часть остается постоянной при изменении т; следовательно,
обе части уравнения равны одному и тому же постоянному числу.
Обозначая эту постоянную через —А:2, получим два уравнения
которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Общие интегралы этих уравнений следующие:
<р = Cl cos кх + С2 sin кх, D7)
i|)=C3e~afe2x D8)
Искомая функция А определяется как произведение функций
D7) и D8):
Д = фг|з = С3е
~ак2т
cos кх + С2 sin кх)
Функция эта уже удовлетворяет условию D4); она будет также
удовлетворять условию D5), если принять, что Сх =0. Поэтому
решение, удовлетворяющее условиям D4) и D5), будет:
где С^С3С2.
Для того чтобы удовлетворить условию D6), надо потребовать,
чтобы множитель sin кх обращался в нуль при х = 2R. Это приводит
к уравнению
которое позволяет определить к. Именно, мы имеем: к
п — любое целое число.
Таким образом, мы пришли к решению:
пп
27Г' где
sin
2R
D9)
463
Остается подчинить это решение также условию D3).
В решении D9) можно положить п равным любому целому числу,
например, п = 1, п = 2, ... Но исходное уравнение D2) является
линейным дифференциальным уравнением, и сумма любого числа его
решений также будет его решением.
Следовательно, если всевозможные решения D9), каждое с различ-
различным значением п, сложить, то полученная сумма будет также реше-
решением уравнения D2), и мы можем написать:
Д =
4Л2
sin-
ппх
юг
ИЛИ
4Д* g.n &*_
4Я2
sm—+..
E0)
где Ах, А2 и т. д. — посто-
постоянные величины, которые
мы подберем так, чтобы удо-
удовлетворить условию D3). Это
условие дает:
= Ax sin
2пх
Рис. XVII-5,
Rin Д- + • • • E1)
Постоянные Аи А2,
A9, ... могут быть опреде-
определены путем почленного
сравнения этого ряда с три-
тригонометрическим рядом, да-
дающим разложение функции
/ (х) = 1 по синусам в ин-
интервале от 0 до 2R-
Этот ряд имеет вид:
пх
E2)
Сравнивая разложения E1) и E2), находим, что Ап равно -v-
при п нечетном и Ап = 0 при п четном.
Следовательно, Ап может быть записано следующим образом!
464
Подставляя эти значения Апв формулу E0), получим в конечном
итоге:
"9
где
E3)
. На рис. XVII-5 даны графики зависимости А от^-д для
некоторых значений г.
Теплосодержание пластины может быть выражено интегралом от
произведения температуры и теплоемкости. Если через Е вбозначим
отношение теплосодержания полосы, считая от температуры *,,,
к количеству тепла, теряемого при охлаждении всей полосы от /
до t0, то
Д dx
Значение Е легко получается почленным интегрированием ряда
E3) по ж в пределах от 0 до 2R:
-(-г)"'. 1 -9Ш2
25
-25
E4)
Ряд, стоящий в правой части, сходится быстро, и поэтому при
приближенных расчетах можно ограничиться лишь одним первым
членом этого ряда; формула E4) в атом случае принимает вид:
Эта зависимость Е от г изображается прямой линией па полуло-
полулогарифмической сетке.
§ 8. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С НЕРАВНОМЕРНО
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАЧАЛЬНОЙ ТЕМПЕРАТУРОЙ
Рассмотрим случай, аналогичный приведенному в предыдущем
примере, отличающийся, однако, тем, что до внезапного охлаждения
наружной поверхности тела до t0 температура полосы tx не одинакова
во всех точках, а является некоторой функцией г|э (х) положения
точки. Таким образом, функция ij) (x) характеризует начальное рас-
распределение температур. Ход решения этой задачи тот же самый,
что и в предыдущем примере до стадии определения постоянных.
В качестве нового переменного введем ? = t — ?0. Дифференци-
Дифференциальное- уравнение D2) сохраняется, если А заменить на ?; также
остаются и условия D4), D5) и D6).
30 Заказ 1706 465
Если обозначить ф (х) = гр (х) — t0, то условие D3) принимает
вид: Z, = ф (х) при т = 0. Положив в решении E0) т = 0, получим:
ф 2j sin ~
E5)
Для определения коэффициентов Аи А2, ... нужно разложить
в тригонометрический ряд по синусам на промежутке от 0 до 2R
функцию f (x). Мы имеем:
ППХ
2Я
J ф {х) s
. ППХ ,
F6)
ф (ж) = Т 2ism IF J ф {х) sm ~W
n-1 0
Сопоставляя два разложения E5) и E6) одной и той же функции
Ф (х), получим:
2Д
Л I
,
Отсюда получаем искомое решение задачи в следующем виде'
=-я 2 е si
ппх
2Д
ф
ппх
Нетрудно показать, что это решение приводится к виду E3) для
Ф (х) = 1, так как
2Л
§ 9. ВЗАИМНАЯ ДИФФУЗИЯ ДВУХ ГАЗОВ
Коэффициент диффузии для двойной газовой смеси устанавли-
устанавливается экспериментально путем измерения скорости взаимной диф-
диффузии двух газов, введенных с противоположных концов в цилиндр,
разделенный тонкой перегородкой на две равные части. Перегородка
быстро удаляется, и газы диффундируют в течение некоторого про-
промежутка времени.
Затем диафрагма снова устанавливается и газы в каждой части
цилиндра тщательно перемешиваются и анализируются. При отсут-
отсутствии конвекции коэффициент молекулярной диффузии получается
путем сравнения результата с решением основного дифференциаль-
дифференциального уравнения диффузии, которое имеет следующий вид:
др_
дХ
:D
E7)
где р — парциальное давление одного из газов, a D — коэффициент
диффузии.
466
Для решения уравнения E7) удобно заменить величину р некото-
некоторой новой Шременной, которая изменялась бы от 1 до 0 с увеличе-
увеличением т от нуля до бесконечности. Обозначим через р0 начальное пар-
парциальное давление. Если обе части цилиндра имеют одинаковый
объем, то р будет изменяться в пределах от р0 до — р0.
Определим в соответствии с этим новую переменную Р:
E8)
Подставляя в уравнение E7), приведем его к виду:
_
дх*
Если газы чистые и находятся под одинаковым давлением Ро
в обеих половинах, то концентрации будут симметричны относи-
относительно средней точки в цилиндре и решение нужно найти только для
одной половины цилиндра. Расположим начало координат в центре
и положим, что длина цилиндра равна 2R.
Тогда начальные и краевые условия будут»
Р = 1 при т = 0 E9)
Р = 0 при т=оо. F0)
Р = 0 при ж = 0 F1)
дР
— = 0 при x=R
дх
F2)
Последнее условие вытекает из тех соображений, что в конце
дР
цилиндра диффузия не происходит и поэтому —- = 0. Уравнение
F8) тождественно с уравнением D1) теплопроводности, которое мы
решали в предыдущем параграфе. Изменились только начальные и
краевые условия. Записав решение уравнения E8) в виде
Р = Cse~DaH (Cx cos ax-\- C2 sin ax)
определим постоянные так, чтобы удовлетворить условиям E9)—
F2).
Из условия F1) следует, что Сг = 0.
Из условия F2) имеем:
cosai?
. Bп~1)п
= 0; а = —————• п —
—
целое число
Условие F0) уже выполнено.
Придавая п всевозможные целые значения и складывая все полу-
полученные таким образом решения, будем иметь:
4Л2
2Л
re-l
30*
467
Подставляя сюда т = 0 и учитывая условие E9), найдем:
Bn — 1) пх
2R
n-l
Сравнивая это разложение с полученным выше разложением E2)
единицы но синусам, получим:
Ап~
nBn — 1)
Следовательно, для функции Р получаем следующее выражение
1 "9 (т) ~W . Зпх
—У Дт
2 / Я»
Sin
¦+-..
которое математически совпадает с решением E3) уравнения тепло-
теплопроводности для бесконечной пластины.
Если обозначим массу одного из исходных газов, оставшуюся
в той половине цилиндра, в которую он был введен, через F, то
~\Т> 'Жг
| 1
Пользуясь этой формулой, можно определить продолжительность
выдержки, необходимой для приготовления газовой смеси требуемой
степени однородности.
§ 10. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ДЛЯ СЛУЧАЯ БЕСКОНЕЧНОГО ЦИЛИНДРА
Решение уравнения A4) в случае задачи о теплопроводности или
диффузии в цилиндре бесконечной длины подобно решению анало-
аналогичной задачи о бесконечной пластине. Разница в решении заклю-
заключается лишь в том, что вместо тригонометрического ряда- исполь-
используется ряд по бесселевым функциям. Примем ось цилиндра за ось ОХ.
Рассматриваемую задачу удобнее решать не в декартовых, а в ци-
цилиндрических координатах. Если в уравнении теплопроводности
dt
дх
— а ( дЧ I д2{
A4)
перейти к цилиндрическим координатам, то, как зто было показано
в гл. XII, мы придем к следующему уравнению;
at
дх
dr
F3)
Это же уравнение может быть получено и непосредственно, если
рассматривать тепловой поток в бесконечно малом элементе цилиндра.
Рассмотрим бесконечно малый объем цилиндра dn dr dx
(рис. XVII-6), где г — расстояние точки от оси цилиндра, х — рас-
расстояние ее вдоль оси от начальной плоскости, Ф — угол между
радиусом и определенной плоскостью, проходящей через ось, и dn —
длина бесконечно малой дуги rdG). Пользуясь обычным приемом соста-
составления теплового баланса, получим тепловой поток в направлении ж:
—к -г— dr dn в сечении х
дх
И
—X ( — \- dx J dr dn в сечении x-\-dx
Приращение количества тепла в направле-
направлении х:
дЧ
К . „ dx dr dn
ox*
В радиальном направлении, на расстоянии
г от оси цилиндра, количество тепла, протека-
протекающего через элементарную площадку, равно;
—X —т— dx dn = —К -^г— г dx йф
д.г дг
Рис. XVII-6.
Количество тепла, проходящего через площадку на расстоянии.
г + dr от оси, будет:
Приращение тепла в радиальном направлении составит;
Пренебрегая членом, содержащим (drJd<t>dx, получим:
Ч 1 at
Аналогично найдем, что приращение тепла в рассматриваемом
элементе в направлении изменения п будет:
X дЧ
468
Общее приращение количества тепла в рассматриваемом элементе,
таким образом, равно
дЧ , дЧ , 1 at , 1 дЧ
46»
Так как это выражение должно быть равно изменению тепло-
теплосодержания нашего элементарного объема, то мы находим:
откуда
дх
дЧ
дЧ
дг
Мы снова получили уравнение F3).
При распространении тепла в цилиндре может и не быть радиаль-
радиальной симметрии в распределении температуры. Это зависит от того,
распределена ли начальная температура симметрично или несим-
несимметрично вокруг оси. Для упрощения задачи примем, что начальная
температура / (г) является функцией только г. Допустим, что поверх-
поверхность цилиндра быстро охлаждается до температуры t0 и для любого
последующего момента времени температура распределяется сим-
симметрично вокруг оси цилиндра. В этом случае
дЧ
= 0;
дЧ
дх*
= 0
и следовательно
— — ( дЧ i ?L\
дх'~~а\!г* *~ г "IF)
F4)
С целью упрощения граничных условий без изменения диффе-
дифференциального уравнения, обозначим, как и раньше, t — 10 через g.
Когда t уменьшается с течением времени от tx до t0, 2j изменяется
в пределах от / (г) до 0.
Таким образом, начальными и граничными условиями будут:
а = / (Г) ПРИ Т = О
I = О при т = оо
I = 0 при г = R
F5)
F6)
F7)
Будем решать уравнение F4) тем же методом, каким мы решали
уравнение теплопроводности в случае бесконечной пластины.
Примем ? = UF, где U является функцией только г, a F — функ-
функцией только т. Уравнение F4) при этом преобразуется так;
или
dF
U —— = а
dx
dF
d47
d47
dU
nF rlT ==7/~ drZ Г -ГГ
U
dU
rU ' dr
Левая часть этого уравнения не зависит от г; правая часть не за-
зависит от т; следовательно, каждая из них равна одной -и той же
постоянной — кг.
470
Мы приходим к двум обыкновенным дифференциальным урав-
уравнениям:
и
dr* ~r r ' dr
Первое из этих уравнений имеет следующий общий интегралг
Второе уравнение после умножения на г2 приводится к уравне-
уравнению:
^ ^
Это есть уравнение Бесселя (см. гл. XVI). Его решением является
функция /0 (кг). Таким образом, определяемая нами функция Ь,
имеет следующий вид:
? = Cie-fe2aV0(fcr) F8)
Найденная нами функция ? удовлетворяет не только дифферен-
дифференциальному уравнению F4), но также и условию F6). Она будет
также удовлетворять и условию F7), если мы выберем к так, чтобы
jo(kR)=O F9)
В теории функций Бесселя доказывается, что уравнение /0 (х) =¦
= 0 имеет бесчисленное множество корней. Значения этих корней
можно найти из таблиц бесселевых функций.
Уравнение F9) определяет, таким образом, бесчисленное мно-
множество значений к:
к\, /с2, ^3) • • •
Подставляя эти значения к в F8), получим бесчисленное множе-
множество решений исходного уравнения F4), каждое из которых будет
удовлетворять условиям F6) и F7). Так как уравнение F4) линей-
линейное, то сумма этих решений, умноженных на произвольные постоян-
постоянные, также будет решением. Мы пришли, таким образом, к следую-
следующему решению:
? = 2 Ane-k«mJ0(knr) G0)
Нам остается только удовлетворить условию F5). Подставляя
в G0) т = 0, получим:
/ (г) = AXJO (к1Г) + A2J0 (k2r) + Л3/0 (fcgr) + . . . G1)
Коэффициенты Ап могут быть найдены путем сравнения этого
ряда с рядом, образованным в результате разложения функции / (г)
471
в ряд по бесселевым функциям. В теории функций Бесселя доказы-
доказывается, что разложение это имеет следующий вид:
/(«¦)=
n=co R
2/0 (V)
n=l
г/ (г)
G2)
где Л — радиус цилиндра.
Сравнивая G1) и G2), определим Ап, подставляя которые в G0),
получим:
G3)
Чтобы применять эту формулу к решению задач, необходимо
иметь таблицы для функций /0 (х) и J\ (х), а также таблицы корней
функции /0 (х).
В простейшем случае, когда / (г) = 1, интеграл, стоящий в пра-
правой части формулы G3), имеет следующее значение:
rJ0(knr)dr = -jLj1(knR)
Окончательное решение для случая / (г) = 1 будет!
n=l
где Л„.й, как и раньше, есть n-й положительный корень уравнения
70 (А„Д) = 0.
§ 11. СУШКА БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ
ПРИ ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТИ
Приведенные выше методы решения задач, связанных с тепло-
теплопроводностью, могут быть использованы при решении некоторых
задач, связанных с диффузией.
Для примера рассмотрим распределение влаги в бесконечной пла-
пластине, подвергаемой сушке с обеих сторон при постоянной скорости
р кг/ч-м2. Как известно, скорость диффузии влаги в твердом теле
пропорциональна градиенту влажности. Пусть толщина пластины
равна 2R. Поместим начало координат в любой точке на поверх-
поверхности пластины, а ось ОХ направим перпендикулярно к этой по-
поверхности.
В теории диффузии доказывается, что если с — влажность мате-
материала (в кг воды на 1 ма объема массы) и D — коэффициент диффузии
воды в материале, то
дс дгс
-дх—°-Ы* М
472
- Пусть начальное содержание влаги равно сх и она равномерно
распределена в пластине. Граничные и начальные условия будут
иметь вид:
c = ci при т = 0
_ дс
-р = Р при х=0
ох
D
Яг
=— Р при x=2R
Продифференцируем уравнение G4) по х
дЧ
дх дх
== D
дх*
дс
дс „
заменяя —— на р, найдем:
озс -
др
дх
G5)
Дифференциальное уравнение не изменилось по своему виду, но
условия теперь будут иные:
р = 0 при т = 0 G6)
э = —- при х=0
, = -1-
D
при x=2R
G7)
G8)
Уравнение G5) при условиях G6), G7), G8) может быть решено
тем же методом, какой мы применяли для решения задач по тепло-
теплопроводности и диффузии. Мы приведем лишь окончательный ответ.
Искомая функция с имеет следующий вид:
2DR
+4Й-2 ¦>«-•>•+«¦
R2 ППХ
cos~w
G9)
где постоянная интегрирования С1 представляет собой начальное
содержание влаги в пластине. С возрастанием т сумма ряда умень-
уменьшается и распределение влагосодержания приближенно характери-
характеризуется при достаточно большом т параболической зависимостью с
от х. Для любого процесса сушки величина с не может быть отри-
отрицательной, поэтому формула G9) справедлива для значений т, не
превосходящих некоторой границы.
§ 12. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ УСТАНОВИВШЕМСЯ СОСТОЯНИИ
Решение задач на теплопроводность при установившемся состоя-
состоянии сводится к решению уравнения A4), в котором следует поло-
dt г,
жить — = и.
473
Для примера рассмотрим распространение тепла в квадратной
пластине (рис. XVII-7), одна сторона которой имеет температуру tlt
а температура остальных трех сторон поддерживается постоянной
и равной t0. Пластина имеет небольшую толщину б, причем -^- == 0.
Пусть стороны квадрата имеют длину R. При установившемся,
режиме и плоской задаче уравнение A4) примет вид:
дЧ
дЧ
Применяя тот же прием, что и в § 7, обозначим А =
и будем искать решение в виде А = соЭ, где со зависит только от у,
а Э от х. Мы придем к двум обыкновенным
дифференциальным уравнениям:
е
со
Рис. XVII-7.
где а — постоянная величина.
Определив из этих уравнений со и Э
и подставляя их значения в А = соЭ,
получим:
Д = (Аеау -\-Ве~ау) (С sin ax + D cos ax)
Краевыми условиями являются (см.
рис. XVII-7):
(80)
(81)
(82)
(83)
Д = 0 при х = 0
Д = 0 при x=R
Д = 1 при у —О
Д = 0 при y=R
Из условия (80) следует, что Z) = 0.
В силу условия (81) sin aR = 0, откуда аЯ = пп и a = -^L,
где п — любое целое число. Вследствие этого (83) дает
Ае
откуда
Таким образом
—е
Sin
ППХ
Придавая п всевозможные целые положительные значения и обра-
образуя сумму зтих решений, найдем:
474
Используя (82), получим:
Значение В'п определяется путем сравнения с разложением E2):
#л = "
пп A—е-2)
Таким образом, искомое решение имеет следующий вид:
l = —L F^ri Sin-R-
НИ
¦ sin
+ . . .
Дифференцируя по у, получим температурный градиент в напра-
направлении у. После подстановки у = 0 и интегрирования по х находим
количество тепла q, распространяющегося от нагретой стороны
пластины:
§ 13. ЗАДАЧА О МАССОПРОВОДНОСТИ
Пусть сосуд с единичным поперечным сечением и высотою h
заполнен раствором соли (рис. XVII-8). Этот сосуд с-содержимым
погружен в емкость с большим количеством , i ^ \ х h
воды, так что открытый край сосуда нахо-
находится непосредственно под поверхностью
воды. Примем, что верхний край сосуда
всегда находится в соприкосновении с чистой
водой. Здесь протекает процесс диффузии
соли в соответствии с законом Фурье —
Фика:
дс , дЧ
---=:ft"^r (84)
где с — концентрация соли в растворе;
к — коэффициент диффузии;
т — время;
х — высота слоя раствора в сосуде.
Граничные условия процесса:
дс
Рис. XVII-8.
при х=0
при x=h
дх
= 0
(85)
(86)
475
Начальное условие:
при т = 0 с = с0 (87)
Будем искать частные решения уравнения (84) в виде:
с = е*х+Р* (88)
где аир — постоянные величины.
Подставив эту функцию в уравнение (84), получим после сокра-
сокращений:
Следовательно, если р связана с а этой зависимостью, то функция
{88) будет решением уравнения (84) при любом значении а.
Для дальнейшего удобно вместо а писать (pi (i — мнимая еди-
единица ).
Тогда р = — Лф2 и мы получаем следующее решение:
Функция, сопряженная с этой функцией, также будет решением.
Следовательно, мы имеем два решения уравнения (84):
Полусумма и полуразность этих решений
ilfx ± e~ilfx)
-i. e-k
также являются решениями уравнения (84).
Используя формулы Эйлера -
и e'?xi-e-'fXi =
получим следующие решения уравнения (84):
ae~kfZx cos ф? и beVх sjn ц,х
где а и Ъ — постоянные величины. Сумма этих решений также будет
решением. В итоге имеем решение уравнения (84) в виде:
с = (я cos фж -f- Ъ sin cpx) e"klfH (89)
Теперь остается определить значения постоянных а и Ъ примени-
применительно к условиям (85)—(87).
Первое условие (85): —- = 0 при х = 0.
Дифференцируя интеграл (89), получим:
дс
~дх
= (— аф sin
cos щ) e~k<f H
Используя граничное условие, найдем 6=0.
Второе условие (86): с = 0 при х — h.
Для того чтобы функция (89) удовлетворяла второму условию,
мы должны иметь:
cos фй = о
Следовательно, второе условие удовлетворится, если ф будет
равно одному из следующих чисел:
Ф2 =
2Л
5я
Bга -1) п
Подставим эти значения ф последовательно в интеграл (89). Взяв
сумму полученных таким образом функций, помноженных на неко-
некоторые постоянные, получим следующее решение:
пх
Зпх .
(90)
которое удовлетворяет первым двум условиям (85) и (86).
Коэффициенты al, a2, ... в (90) подберем такими, чтобы было
удовлетворено третье условие: с = с0 при т = 0. Подставляя в (90)
с = с0ит = 0, найдем:
Последнее уравнение должно быть справедливо для всех значе-
значений х в пределах от 0 до h.
Из теории тригонометрических рядов известно, что коэффициенты
аг, а2, . . . этого разложения определяются следующим образом
(гл. XIII, формулы 24—26):
2с0
ап=
2е0
2 = —
(-1)"-14е0
Bга — 1)п
cos
Подставив эти значения «1? а2, ... (в 90), получим решение,
удовлетворяющее всем условиям задачи:
(91)
476
Функция (91) определяет концентрацию соли в зависимости от
времени и от высоты слоя жидкости в сосуде.
Формула (91) служит основой для решения целого ряда задач
по диффузии.
Определим количество вещества G, продиффундировавшего через
некоторое горизонтальное сечение раствора в сосуде к моменту
времени т. Допустим, что площадь этого сечения равна единице.
Тогда количество соли, продиффундировавшей через это сечение за
477
время dx, будет— k~d%; находя -^- из формулы (91) и беря
в ряде только два первых члена, получим:
[С % \'у,
-VW)
smlh~e
Интегрируя это выражение по т в пределах от 0 до т, получим:
Определим, далее, количество соли Gu вышедшей из сосуда эа
время т. Подставив в (92) х — h, получим:
(93)
Покажем еще, как на основании формулы (93) определить коэф-
коэффициент к, если известны Gx, cQ и т. Ограничиваясь в формуле (93)
одним первым членом, разрешим полученное при этом равенство
относительно к:
8c0h
= 1-е
' 4/l2
ki
4ft2
¦fee
8c0h
Окончательно
fc=
5—
J12T
In li-
Ilo истечении достаточного промежутка времени достигается
равновесное состояние, когда концентрация соли в любых частях
сосуда становится постоянной. Это происходит в том случае, когда
емкость сосуда достаточно велика и жидкость на его дне поддержи-
поддерживается в состоянии насыщения при непосредственном соприкоснове-
соприкосновении с твердой солью.
Найдем выражение для концентрации диффундирующего вещества
в различных частях сосуда после того, как процесс диффузии уста-
аовился.
В этом случае -~ = 0 и из уравнения (84) получим:
4^=о
Интегрируя последнее равенство, найдем:
С=гпХ-\-Ъ
(94)
478
где а и Ъ — постоянные, которые можно определить эксперимен-
экспериментально.
Формула (94) показывает, что при установившемся процессе
концентрация будет изменяться линейно по высоте сосуда.
§ 14. КИНЕТИКА ИОННОГО ОБМЕНА В ПРОЦЕССАХ ВОДОПОДГОТОВКИ
Рассмотрим процесс водоподготовки, который состоит в удалении
из воды ионов металлов путем обмена их на ион натрия, которым
заряжена ионообменная смола. Обратная реакция осуществляется
при регенерации ионита посредством обработки его раствором пова-
поваренной соли.
Скорость ионного обмена при постоянной температуре и постоян-
постоянной скорости потока, согласно экспериментальным данным, пропор-
пропорциональна произведению концентрации, например, ионов кальция
в воде и квадрату концентрации натрия в смоле.
Таким образом, имеем:
для скорости прямой реакции
для скорости обратной реакции
Суммарная скорость реакции:
(95)
(96)
•MVa9JP (97)
Где р — содержание кальция в смоле, эквивалент на ед. массы;
v — содержание натрия в смоле, эквивалент на ед. массы;
q — содержание натрия в воде, эквивалент на миллион ед.
массы воды;
и — содержание кальция в воде, эквивалент на миллион ед.
массы воды;
гх — эквивалент извлекаемого из воды кальция/ед. массы-ед.
времени;
г2 — эквивалент кальция, переходящего из смолы в раствор/ед.
массы-ед. времени;
гп — суммарная скорость понижения жесткости воды, эквива-
лент/ед. массы-ед. времени;
<уа — коэффициент активности для иона натрия в растворе (при
низких концентрациях 7а = !)•
Найдено, что константы скорости реакции не зависят от скорости
Потока, но возрастают с уменьшением размеров частицы ионообмен-
ионообменной смолы, а именно:
MM ki
479
0,5
0,7
1.0
1,4
2,86
2,29
1,91
1,62
Константа равновесия для данной реакции
К = -^ = 241 000
Таким образом, в период понижения жесткости воды скорость
обратной реакции пренебрежимо мала.
Переменные и, v, p и q являются функциями расстояния х и вре-
времени т. Будем находить выражения для и и у в зависимости от а; и т.
Для элементарного слоя ионообменной смолы толщиной dx на рас-
расстоянии х с единичной площадью сечения, расположенного нор-
нормально к направлению потока,- имеем
ди
(98)
Последний член равенства (98) представляет собой изменение
содержания кальция в воде для свободного пространства ионообмен-
ионообменной смолы, которое достаточно мало по сравнению с количеством
протекающей воды. Пренебрегая этой величиной, получим
(99)
дх G дх
Здесь унас — насыпная плотность ионообменной смолы, кг/м8;
ув — плотность воды;
G — массовая скорость воды, кг/м2-мин;
vf — объем, занимаемый водой в смоле.
Так как при ионном обмене кальций заменяется натрием в экви-
эквивалентном отношении, то будем иметь:
A00)
Р—Po = vo—
или
dv
дх
1L
дх
При сопоставлении (95), (99) и A01) найдем:
ди
~дх
dv
~дх
A01)
A02)
где
а=— Ю».
и 6 = —кл
Математически задача свелась к интегрированию системы двух
дифференциальных уравнений A02) в частных производных с двумя
неизвестными функциями и и у.
Требуется найти такое решение этой системы, для которого
и @, х) =
v(x, 0) =
(ЮЗ)
Для получения этого решения заметим, что из уравнений A02)
следует
д (Ьи) д (av)
дх
дх
а это означает, чтв
av dx-\-budx
есть полный дифференциал некоторой функции / (ж, т). Если найти
эту функцию, то и и v определяется формулами
J_.iL.
а ' дх >
дх
A04)
Легко составить дифференциальное уравнение, которому удо-
удовлетворяет функция / (х, т). Если в A02) заменить их выражениями
через / при помощи формул A04), то мы придем к уравнению
- 52/ _ д.
дх дх ' дх \ дх
определяющему функцию /. Это уравнение запишем в виде:
df д I 1
A05)
Найдем, при каких дополнительных условиях нужно интегриро-
интегрировать это уравнение. Положив в первом равенстве A04) т = 0, на
основании второго условия A03), найдем:
A06)
A07)
A08)
dx)r=<TaV*
Интегрируя это равенство по х, имеем:
f (x, 0) = avox-\-ci
где сг — произвольная постоянная.
Точно так же из второго уравнения A04) находим:
-д— ) = bu0; f @, т) = Ъщх + с2
ох /х=о
480
Полагая в условии A07) х = 0, а в условии A08) т = 0, найдем
сх = с2. Значит, уравнение A09) нужно интегрировать при условиях
A09)
A10)
481
f (х, 0) = uvqX-{-c; /@, х)=Ьийх-{-с
Интегрирование уравнения A05) по т дает:
а . . . . df a
/=--
дх
31 Заказ 1706
Здесь Ф (х) означает произвольную функцию, зависящую только
от х. Для нахождения этой функции положим в последнем уравне-
уравнении т ~ 0. Тогда, используя A06) и A09), получим:
0 Ф (x) — avox—c
Отсюда определяем функцию Ф (х):
1
"о
Уравнение A10) обращается, таким образом, в следующее обык-
обыкновенное дифференциальное уравнение:
av0
df ¦
dx
а
>ох+с +
1 ,
"о
или J*l==IV+-i. + J__J- (in)
Jl
Интегрируя это линейное относительно х уравнение, найдем его
общее решение:
fv0 — In (/—avox—с) = 1|з (т)
где ij) (т) — произвольная функция одного т.
Для нахождения функции 1]з (т) положим х = 0 и воспользуемся
вторым условием A09). Найдем:
1|э (т) = buovox + cv0—In buox
Следовательно, функция / определяется следующим неявным урав-
нением:
A12)
fv0—In (/— uVqX—с) = buovox + «>0—In bu0 x
Для нахождения зависимости, определяющей функцию v, вос-
воспользуемся уравнением A11). Принимая во внимание первую зави-
зависимость A04), найдем:
, ..11
f=avax-\-c-\-
и v0 v
Внесем это выражение для / в формулу A12). Мы получим следующее
уравнение, определяющее функцию vi
— 1 = —buov,f
A13)
Функцию и можно выразить через функцию v следующим образом.
Продифференцируем равенство A13) по т и на основании уравнения
A02) заменим -~ • — на Ьи.
После ряда преобразований получим!
JL _Л МЛ
A14)
5 = — buovox = kiuovoi
Тогда из (ИЗ) и A14) получим:
Уравнения (ИЗ) и A14) дают окончательные решения систе-
системы A02).
Для упрощения примем:
A15)
—
v0
С целью ускорения расчетов для практических задач построена
диаграмма (рис. XVII-9) в соответствии с уравнениями A16), где
переменные представлены в виде безразмерных групп г, S, Sir и и/и0
Пример. Желательно определить остаточную жесткость воды
после того, как ионообменный фильтр проработал в течение 16 ч;
рода проходила через слой ионита толщиной 0,912 м со скоростью
46,35 л/мг-мин. Начальная жесткость воды соответствует 300 частям
углекислого кальция на миллион частей воды, что составляет
6,0 кг-экв иона кальция на миллион кг воды. Начальное содержание
заменяемого натрия в ионообменной смоле эквивалентно 57 250 г
€аСО3/.и3.
Насыпная плотность ионита 450 кг/м3; размер зерен ионита 1,0 мм.
Имеем
7нао = 450 кг/мЗ; я=0,912 м
н'Ц
E7 250 \ / 2 \
<? = 16,35 кг/м2-мин
0,00255 кг-акв Na+/«8 смолы
ио = 6,О кг-акв иона Са2+ на миллион кг воды
т = 16-60 = 960 мин
Из A15) получим:
ЮДунас^Ф _ Ю6 • 450 • 1,91 • 0,002552 • 0,912
G 16,35 ~61'6
S = к-^и^ъХ = 1,91 • 6,0 • 0.00255 • 960 = 28,1
Используя A16), будем иметь:
—r = In 28,1 +28,1— 31,3 = 0,14
ИЛИ
= 0,62
482
31*
483
Далее:
L
I
OK
>
NnVS
ш\
\щ
IWv
Щ
\\\
\ V
m
\ >
\
\
\\
h
ч
4
4
S
V
V
\
V
\
I
\
\
\
i
ч
4
ч
4
ч
4
\4
S'
Д
V
\^
\ ^
\
\
\
\
V
\
ч '-
Чч^">>
ч^
ч
Чч
ч
s Ч
\ s
ч \
\ S
к \
N \
к \
\ \.
к\
\ ч
\ s
\
^ >
\ s
V
\
V
\
\
Г"
[|
чч
ч
s
s
s
ч
к
к
\
гч
>
а»
>^
s
ч
ч
S
V
ч
ч
s
««,
ЯМ
¦м.
1
?!
"Ч
Ч
s
ч
Ч
ч
ч
ч
S
ч
Ч
z
•*»
S
ч
ч
ч
1
•т
т
s«,
Ч
ч
4
s
ч
=
s
у
V
1
=т-
ч
ч
ч
ч^
ч
-5».
^»
V
h
*\
ч
ч
ч
S
ч
S
ч
0
ООН J ~п = -
09 .,
Ж\\
0СС?,
?' "
¦?/
•PS.
ч
6s
ч
^S ¦
> ,
^ С1 -
• »
N
ч^
у
ч
ч
s
ч
ч
4
ч
ч
ч
ч
S,-
^ч
Ь*ч
*^
4
-^1
•т
"¦
1 т
¦ ••
: «
;~
¦¦*
¦ ъ
4h
Ч
ч
s
« i
¦в.
«.
S
ч
S,
—
?=
h^.
"^
ч
ч
ч
"«»
=
—
—^
^^
-~
*~«
в.,
'ч
ч
Ч
ч
V.
-—
Мм
ЯШ
¦н
II
^ —
--»
^»
^-^^
ч^
ч
"Ч
ч
¦
ч
О)
Ь О5
| >
S 3 8 S 8
»0 ю
§
С54 <5Г
J_
_1_
Z
1,0356
2,61
= 0.397
Следовательно, искомая величина и состави-т и = 0,397 -6,0 =
= 2,38 кг-экв Са++ на миллион кг воды, оставляющей ионообменный
фильтр в конце 16 ч.
Так как г = 31,3 и S = 28,1, то Sir = 0,898. Значение и/и0, со-
соответствующее этим данным, равно 0,36 (см. график на рис. XVII-9).
Пример. Определить константу скорости реакции кг для ионо-
ионообменного фильтра. Толщина слоя ионообменной массы 0,912 м
с насыпной плотностью унас = 450 кг/м3. Максимальная ионообмен-
ионообменная емкость составляет 57 250 г СаСО3 на 1 м3 смолы. Вода, содержа-
содержащая начальную жесткость в количестве 300 частей углекислого
кальция на миллион частей воды, проходит через фильтр со ско-
скоростью 16,35 л/м^-мин в течение 14,1 ч, причем конечная жесткость
воды составляет 7 частей СаСО3 на миллион частей воды.
Имеем:
ио=6,00; ио = 0,00255; G = 16,35 кг/м* • мин
и
Щ
= 0,0233; т = 846 мин
6 • 16,35 • 846
10в. 450 • 0,00255 • 0,912
= 0,79
На графике (рис. XVII-9) точка пересечения S/r = 0,79 с и/и0 =
= 0,0233 дает значение г = 32.
Таким образом, искомая величина составляет!
32 • 16,35
106 • 450 • 0.002552 • 0,912
= 1,95
§ 15. ГРАФИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ДИФФУЗИИ
И ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ СОСТОЯНИИ
Графические способы позволяют получить приближенные реше-
решения таких задач, аналитическое решение которых представляет
большие трудности. Эти способы могут быть применены без знания
формальных методов решения дифференциальных уравнений с част-
частными производными.
Рассмотрим уравнение теплопроводности A17) для бесконечной
пластины:
dt дЧ
где t есть температура в точке с абсциссой х, т — время и а — коэф-
коэффициент температуропроводности (тепловой^ диффузии). Пусть Ат
представляет малое, но конечное приращение времени и Ах пред-
представляет также малое, но конечное приращение х.
485
Обозначим через Aj малое приращение t при постоянном значе-
значении х и через &xt — приращение t при постоянном значении т.
dt
Заменим теперь в уравнении A17) частные производные
дх
dt ATi Д*«
—, соответственно, через -г1- и —^—.
Обозначим через A\t разность между двумя последовательными
значениями Д^, обусловленную изменением х на Ах. Тогда уравне-
уравнение A17) может быть написано так:
или
Дт (А*)»
A17а)
Обозначим через tntm температуру точки, имеющей абсциссу
пАх в момент времени mAt (рис. XVII-10).
Тогда
' = *л, m+l
= (tn+1, m—tn, m) - (tn, m—«„_!, m)
Подставляя эти значения в уравнение A17а), получим!
Дт
;л, m+l — 'л, m— <
(А*)»
A18)
При решении конкретной задачи мы можем принять 8а Ах и Дт
произвольные малые числа. Выберем Ах и Д? так, чтобы было
Дт
аТд^=Т
Тогда уравнение A18) приводится к виду!
1
A19)
'л, m+l *
-g" 1*л+1, т—2in, m+ *л-1, ml
ИЛИ
*л, m+l — ~2 Cn+l, m+ 'п-1, т)
A20)
Из этого соотношения заключаем, что температура в любой точ-
точке х для момента времени т есть средняя арифметическая
температур двух соседних точек, имеющих абсциссы х — Ах и х -\-
-f Ах, причем эти температуры соответствуют моменту времени
т — Дт.
Так, например, на рис. XVII-10 новая температура средней точки
х = пАх по истечении времени (т + 1) Дт есть средняя арифмети-
арифметическая температур в точках (тг — 1) Ах и (п 4- 1) Ах, вычисленных
для момента времени тАх. Ясно, что зта температура может быть
получена графически путем проведения отрезка прямой линии через
486
точки, соответствующие температурам точек (тг — 1) Ах и (п -\- 1) Дх
в момент времени пгДт и деления зтого отрезка пополам.
На рис. XVII-11 показано применение этого метода для решения
задачи по охлаждению бесконечной пластины. Пластина симметрична
относительно центральной плоскости, поэтому достаточно будет
подвергнуть рассмотрению только ее половину, толщину которой
Дх=-~-).
Поскольку Ах выбрана, прира-
приращение времени Дт определится из
формулы A19).
Начальная температура пла-
пластины представляетсягоризонталь-
ной прямой кс.
Температура наружной поверх-
поверхности пластины понижается мгно-
мгновенно до t0. Эта температура пред-
представляется на чертеже точкой 0.
*1/'
•Х —
-лх-
Рис. XVII-10.
Рис. XVII-11.
Следуя приведенному выше правилу, температуру плоскости В,
по истечении промежутка времени Дт, находят как среднюю ариф-
арифметическую двух начальных температур плоскостей А и С. Эта
температура изображается точкой Ь на прямой oz.
Новое значение температуры для плоскости С определяется точ-
точкой z, расположенной посередине между ряс. Распределение тем-
температуры ко времени Ат идет по ломаной линии ozc. В течение следу-
следующего промежутка времени температура плоскости С падает да
значения d на прямой линии be. В течение зтого промежутка времени
температура центральной плоскости D не изменяется, так как на рас-
расстоянии Ах вправо от центральной линии температура будег такой
ate, как и для плоскости С, и новая точка с будет лежать посередине
487
между 2 и z'. В конце третьего промежутка времени темиература
плоскости В определится точкой /, расположенной на прямой od.
Температура центральной плоскости в конце третьего промежутка
времени определяется горизонтальной линией, проведенной через d,
поскольку точка, соответствующая d на плоскости, расположенной
на расстоянии Ах вправо от центральной линии, имеет ту же орди-
ординату, что и d.
Этот процесс может быть продолжен, причем каждая точка дает
температуру для двух или более последовательных значений пгДт.
Так, например, на центральной плоскости точка с дает темпера-
температуру для значений времени 0, Дт и 2Дт; точка е соответствует тем-
температуре для отрезка времени ЗДт и 4Дт, точка g — для 5Дт и 6Дт
и т. д. Температура для любого момента времени и для любой пло-
плоскости лучше всего получается путем проведения плавной кривой
через точки на графике t — т, при зтом пгДт, выражается в единицах
времени, так как Дт есть известное приращение времени, полученное
из уравнения A19).
В качестве численного примера рассмотрим охлаждение беско-
бесконечной пластины стали толщиной 0,3 м, имеющей начальную тем-
температуру 700° С; наружные плоскости ее мгновенно охлаждаются
и их температура поддерживается равной 100° С. Требуется опре-
определить значение температуры в среднем сечении, параллельном
наружным плоскостям, по истечении 15 мин. Плотность стали у =
= 7800 кг/м3, теплоемкость с = 0,14 ккал/кг- град и коэффициент
теплопроводности Я, = 39 ккал/м-ч-град.
Приращение Дх примем равным 0,025 м. Коэффициент темпе-
температуропроводности вычисляется из формулы:
39
0,14 • 7800
= 0,036 м*/ч
Соответствующее значение Дт получается из уравнения A19):
Дт= ;'"~:;с =0,0087 ч или 0,522 мин,
& • и,щь
Таким образом, для построения графика необходимо построить
15
0,522
•¦ 29 интервалов
Построение диаграммы показано на рис. XVI1-12; на средней
линии даны точки, соответствующие значениям т. Точки на
рис. XVII-13 показывают температуру среднего сечения в зависи-
зависимости от значений т.
Из графика видно, что по истечении 15 мин температура сред-
среднего сечения будет 382° С.
В рассмотренном примере начальная температура распределяется
симметрично относительно средней линии. Если это условие не имеет
488
« 3
Рис. XVII-12.
800
К700
|ш
%500
400
300
5 10
Время, мин
Рис. XVII-13.
15
места, то построение графиков ведется для всей полосы и линии,
пересекающие среднее сечение, уже не будут горизонтальными.
Рассмотрим еще задачу о взаимной диффузии двух газов в цилин-
цилиндрическом сосуде, аналитическое решение которой дано выше
(стр. 466).
Примем, что перегородка в середине цилиндра, имеющего длину
125 см, разделяет равные количества гелия и метана, находящихся
под давлением 5 am. Перегородку удаляют, и газы начинают диф-
Рис. XVII-14.
фундировать друг в друга. Допускаем, что перемешивание идет
только за счет молекулярной диффузии; требуется определить время,
необходимое для получения средней концентрации метана 0,7 мол.
доли для одной половины и 0,3 для другой. Коэффициент диффузии
может быть принят равным 0,131 см*/сек.
Построение диаграммы показано на рис. XVII-14; здесь
каждая половина цилиндра разделена на шесть частей — Ах =
= 10,42 см.
Очевидно, что содержание обоих газов в середине цилиндра при
удалении перегородки станет мгновенно равным 0,5. Построение
диаграммы для каждой половины цилиндра начинается с середины
цилиндра. Построение диаграммы показано для обеих половин
цилиндра, хотя ясно, что система симметрична относительно своего
центра и достаточно было бы привести только одну поло-
половину.
Используем уравнение A19), заменяя в нем коэффициент темпе-
температуропроводности а коэффициентом диффузии D.
490
Найдем:
(А*J
ID
10,42
2 • 0,131
==414 сек
Так как среднее содержание метана должно быть в одной части
цилиндра 0,7, построение диаграммы продолжается до тех пор, пока
площадь под кривой будет равна 0,7 первоначальной площади.
Таким образом, находим, что число интервалов составляет го.
Отсюда определяем продолжительность диффузии:
20-414
Глава XVIII
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Уравнения в частных производных, которые получаются при
рассмотрении инженерных задач, могут быть решены аналитически
лишь в редких случаях. В тех случаях, когда эти методы не могут
быть использованы, применяются численные методы решения ука-
указанных уравнений. Один из возможных численных методов решения
уравнения в частных производных состоит в замене производных
отношениями конечных разностей, в результате чего дифферен-
дифференциальное уравнение обращается в разностное уравнение.
§ 1. ЗАМЕНА УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
УРАВНЕНИЕМ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
Приведение уравнения в частных производных к разностному
уравнению наиболее просто выполняется посредством ряда Тейлора.
Рассмотрим дифференциальное уравнение (см. гл. XVII);
дх*
дГ
дх
A)
Разложим функцию Т (х, т) в степенной ряд по т, считая х по-
постоянным:
дх.
B)
Поскольку Ат мало, то членами ряда Ат2 и более высокими
степенями можно пренебречь и в первом приближении вместо ——
можно взять:
Аналогично
дГ
дх
т
т
4-Дт)
Дт
Ах, т)
— 1
-Т
(х,
(*.
х)
т)
Ах
C)
D)
4С2
д*Т
Для получения первого приближения 2 используем два сле-
следующих разложения в ряд:
а*
У(ж-Дж, т) = У(ж, т)-Дж—-
дх*
Если сложить эти формулы и отбросить члены, содержащие Ах
в степени выше 2, то получим:
¦ (х—Ах, х)
Т {х + Ах, х)—2Т(х,
Предположим, что отыскивается ре^
шение дифференциального уравнения A)
в области S, представленной на
рис. XVIII-1.
Покроем эту область сеткой прямо- "''
угольников со сторонами Аж и Ат и бу-
будем находить функции Т в узлах этой "
сетки.
Примем следующие обозначения:
E)
п-1
Tm, n — значение
Тт+1, п *
Т в точке (х, х)
(х+Ах, х),
(х, т + Дт)
(х, т + 2Дт)
(х+Ах,
m-l iri m'l
Рис. XVIII-1.
При этих обозначениях формулы C)—E) примут следующий
вид:
F)
V ат )тп Дт
' m, n
7+1» л "-^ т, п I ^ т-\, п
Ах
G)
Подставим выражения для производных F) и G) в данное диф-
дифференциальное уравнение A). Мы придем к следующему уравнению
в конечных разностях
Тт+1, п — 2Тт, П4" Тт-1, п __ СУ ^т, п+1— Тт, п
Аж2 Я, ' Дт
решая которое относительно ТтгП+1, найдем:
г Уm-l, л + Ш - 2) Ут, л + Ут+1,,
1 т, п+1— jfl
Gа)
где
М=
ус
Дт
4ЭЗ
Если известны значения функции Т в точках (тп — 1, п), (тп, п),
(тп + 1, п), то по формуле G') можно найти значение Т в точке (тп,
п + 1).
Пусть требуется найти лучшее приближение к -т—, чем в ура-
уравнении C). Разложим Т (х, т + 2Ат) в ряд:
Т (х, т+2 Дт) = Г (х,
дх*
3 дх3 ¦ ' ' '
Вычитая отсюда равенство B), умноженное на 4, и пренебрегая
членами, содержащими Дт в степени выше второй, получим:
д? _ 4Гт, л+1 — ЗГт, л — ^т, я+2
5т 3 Дт <8)
Приближение (8) является улучшением по сравнению с уравне-
уравнением C).
Далее, пусть требуется найти приближение в конечных разностях
ДЛЯ
дх дх
-. Используем ряд Тейлора:
дТ
дх
^
(9)
Заменив
дТ
~дх~'
дТ
дх
и
в (9) их соответствующими при-
например, -jr— и - выраже-
выражениями из формул C) и EI, найдем:
ах
+l + 2Ут, п—
A0)
Подобные методы могут быть использованы для получения при-
приближений к производным более высоких степеней.
Пример. Плоская керамиковая плита толщиной 4,0 см подвер-
подвергается сушке с двух сторон. Начальное содержание равномерно
распределенной влаги (с{) составляет 0,500 г/см3. Распределение
влаги внутри массы происходит за счет диффузии; коэффициент
диффузии D = 0,25 см2/ч. Известно, что при данных условиях сушки
процесс протекает за период постоянной скорости сушки со скоростью
0,1 г/ч-см2 воды до тех пор, пока поверхностное содержание влаги
остается выше 0,22 г/см3.
Желательно заранее установить продолжительность периода по-
постоянной скорости сушки, количество испаряющейся воды и рас-
распределение влаги внутри керамиковой пластины к концу периода
постоянной скорости сушки. Решение задачи сводится к тому, чтобы
определить время, необходимое для получения содержания поверх-
поверхностной влаги 0,22 г/см3 при соответствующем распределении ее
концентрации внутри высушиваемого образца.
494
Для материального баланса по воде применительно к бесконечно
малому элементу пластины имеем
дЧ
Jдс
дх* D дх
при краевых условиях (см. стр. 474):
дх Js
=-0,1 при х =
/"=— d(^-\ =+0Д при x=
Где р — материальный поток.
Уравнение A1) идентично A). Обозначив
A1)
A2)
A3)
м=
получим по аналогии с Gа):
/>Дх
ст+1, п+ (М — 2\ ст, п+Ст-1, п
Заменим в условии A2) производную — выражением с:
„ _ D (с0, „—су п)
где Fn поток влаги ко времени п Ат.
Отсюда находим:
1, п
од
A4)
A5)
A6)
Подобное соотношение мы найдем и для другой стороны плиты.
Вследствие симметрии мы можем принять для расчета половину
толщины образца.
Пусть М = 2 и Аж = 0,25. Тогда будем иметь:
Для нахождения ст>л+1 используем формулы A4) и A6):
ео,п=с1,л-О.1ОО A7)
ст+1, л + ст-1, п
ст. л+1—
A8)
При т = 0 (тг = 0) имеем с0H = 0,500 в соответствии с началь-
начальными условиями; между тем,,уравнение A7) дает 0,400. Примем сред-
среднее значение с0H =0,450. Значение с для последующих моментов
времени мы будем вычислять с помощью формулы A7). Результаты
приведены в табл. XVIII-1.
495
ТАБЛИЦА XVIII-1
N> отрезка
времени
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Время
0
0,125
0,250
0,375
0,500
0,625
0,750
0,875
1,000
1,125
Со
х = 0
@,450)
0,375
0,3375
0,3125
0,2907
0,2720
0,2548
0,2392
0,2246
0,2109
с
= 0,25
0,500
0,475
0,4375
0,4125
0,3907
0,3720
0,3548
0,3392
0,3246
0,3109
М = 2; Дж=0,25
ж = 0,5
0,500
0,500
0,4875
0,4688
0,4532
0,4376
0,4236
0,4099
0,3972
0,3849
= 0,75
0,500
0,500
0,500
0,4938
0,4844
0,4751
0,4649
0,4552
0,4952
0,4357
ct
я=1,0
0,500
0,500
0,500
0,500
0,4969
0,4922
0,4868
0,4805
0,4942
0,4673
см
е6
= 1,25
0,500
0,500
0,500
0,500
0,500
0,4985
0,4961
0,4931
0,4893
0,4853
с.
я = 1,5
0,500
0,500
0,500
0,500
0,500
0,500
0,4993
0,4981
0,4964
0,4942
-
= 1,75
0,500
0,500
0 500
0,500
0,500
0,500
0,500
0,4997
0,4991
0,4981
Се
ж=2,0
0,500
0,500
0,500
0,500
0,500
0,500
0,500
0,500
0,4997
0,4991
с»
= 2,25
0,500
0,500
0,500
0,500
0,500
0,500
0,500
0,4997
0,4991
0,4981
Поверхностная влажность 0,22 г/см2 достигается по истечении
1,125 ч. Распределение влаги в высушиваемой пластине дано в ниж-
нижней строке. Количество испаряющейся воды составляет 0,1 X 1,125 =
= 0,1125 г/см2.
Отметим, что в табл. XVIII-1 концентрации для середины плиты
получены при использовании формулы A8), причем вследствие сим-
симметрии ст+1„ принято равным cm_ln. Следует также отметить, что для
избежания ошибок округления приняты значения с большим
числом цифр, чем в исходных данных. Для окончательных величин
числа с тремя значащими цифрами являются достаточными.
§ 2. ТЕПЛООБМЕН В РЕГЕНЕРАТОРЕ
ДЛЯ ХОЛОДИЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Регенератор тепла предусматривается в холодильной установке
для сжижения воздуха. Аппарат состоит из колонны, заполненной
медными сферическими телами.
Требуется вычислить температуры воздуха и медных шаров в те-
теплообменнике в зависимости от расположения последних по высоте
аппарата и от времени при следующих условиях работы:
1) начальная температура медных шаров и воздуха внутри реге-
регенератора — 118° С A15° К);
2) в аппарат подается «теплый» воздух (рис. XVIII-2) при —79° С
A94° К) и 50 am; плотность воздуха 368 кг/м3. Скорость движения
воздуха Go = 9780 кг/м2-ч. Примем следующие обозначения!
а — поверхность теплообмена для шаров A30 m2/ms объема реге-
регенератора);
ср — теплоемкость воздуха при постоянном давлении @,23 ккал/кг X
X град);
с — теплоемкость шаров @,067 ккал/кг-град).
496
/ — перозность @,345 м3/м3);
а — коэффициент теплоотдачи между насадочными шарами и во8-
духом A00 ккал/мг-ч-град);
G — массовая скорость потока воздуха, кг/м2-ч;
L — высота насадки в регенераторе A,45 л*);
т — время, ч;
Т — температура газа, °К;
1>в — плотность воздуха, кг/м3;
у — плотность медных шаров (8900 кг/м3)'%
8 — температура медных шаров, °К.
Индексы:
тп — для отрезков длины;
п — для отрезков времени.
Упрощающие предпосылки:
1) тепловые свойства остаются постоянными;
2) радиальный температурный градиент в медном шаре незна-
незначителен;
3) теплоотдача между шарами в местах соприкосновения, а также
в воздухе за счет теплопроводности отсутствует;
4) свойства воздуха (скорость, плот-
плотность, температура и др.) не зависят
от радиального положения;
5) плотность воздуха обратно про-
пропорциональна абсолютной темпера-
температуре;
6) падением давления можно пре-
пренебречь;
7) изменением содержания массы
воздуха в любой части аппарата можно
пренебречь;
8) стенки аппарата являются адиа-
адиабатными с незначительной теплоем-
теплоемкостью.
Разделим регенератор по вы-
высоте на определенное число равных
отрезков с длиной AZ, как показано на рис. XVIII-2. Рассмотрим
объем, заключенный между плоскостями тп и тп + 1 к моменту
времени гаДт.
I. Энергетический баланс в конечных разностях для воздуха
в рассматриваемом объеме составляет:
Рис. XVIII-2.
, n-Gm+1,
„-a \Za
/|> „-9т+!/г> „) =
Дг
г, п]
A9)
Так как ув изменяется пропорционально 1/Т и давление остается
постоянным, то правая часть уравнения A9) равна нулю.
32 заказ 1706
497
Кроме того, пренебрегая изменением содержания воздуха в аппа-
аппарате, получим:
Обозначив
для уравнения A9) будем иметь:
Gocp
aa Az
„ n~Tm+*/i, n)
B0)
II. Составим энергетический баланс в конечных разностях для
воздуха и медных шаров, содержащихся в рассматриваемом объеме:
GoCp(Tm,n — Tm+i,n) — ¦
Обозначив
At
, AZ(l-/)ye
Gocp At
B1)
для уравнения B1) получим:
em+V2, n+l~9m+i/j, n—Jf Cm, n —Ущ+l. n) B2)
Формула B0) содержит Гт+v., «• Приближенно будем иметь:
Т.
Тт+1, п ~f* Ут, п
z- « 2
Тогда формула B0) может быть представлена в таком виде:
Комбинируя уравнения B2) с B3), найдем:
B3)
B4)
Выражения B3) и B4) являются рабочими формулами.
Для того чтобы выбрать подходящие значения для модулей М
и N, воспользуемся некоторыми соображениями. Из рассмотрения
формулы B3) заключаем, что Ттпи Гт+1 „не будут отрицательными,
если М ^Vjj. Удобные значения N могут быть получены,
если исключить Tm+Vn из формул B3) и B4):
г, 1+1
N
B5)
Следовательно
498
Значение, выбранное для М, фиксирует Д?; значение, выбранное
для N, фиксирует, в свою очередь, Дт, если S.Z установлена. Пусть
М = N = 1, что удовлетворяет указанным выше условиям. Тогда
.„ 9750-0,23
AZ= 100-130
_ 0,175 A - 0,345) • 8900 - 0,067 _
9750-0,23 ида*
L = 1,45
AZ 0,175
= 8,28 студеней
Выражения B3) и B4) принимают, соответственно, следующий
вид:
"m+l, я = V3 B9m+t/-, „ + Гт> „)
"т+* / i, n+i = /а (^"т. я + ^"т+1, я)
При /г=0 имеем:
9т, 0= 1559 К для всех т
Тт, о=1559К для т>0
При т = 0 будет:
Го> „=1959 К для всех т
В расчетах с конечными разностями желательно принять
„ 195 + 155
B6)
B7)
: 175S К
и
То, „=1952 К
для всех последующих отрезков времени (п > 0). С целью уменьше-
уменьшения объема расчетных работ вычтем из обеих частей формул B6)
и B7) величину 155. Тогда новыми переменными будут
9' = 9 —155
Г = Т-155
с граничными условиями:
9т, 0 = 0; Го, о = 2О; Г;, „ = 40 (п > 0)
и
Ут, 0 = 0 (л*>0)
Вычисления начинаются с использования уравнения B7):
и т. д.
32*
499
После того как температуры медных насадочных тел для всех
ступеней (т + 1/2) и при п = 1 определены, применим равенство B6)
для расчета температур воздуха при п = 1:
r;,i = i/3B-10+40) = 20
К, 1 = 1/зB-0+20) = 6,
T'i, 1 = 1/3 B -0 + 0,082) = 0,027
2%, 1 = 1/з B • 0+.0,027) =0,009
Далее из уравнения B7) имеем:
е!/2, 2 = 1/2 D0+20) =30
е=/г, 2 = 1/з B0 + 6,65) = 13,35
2 = i/2 @,082 +0,027) = 0,0545
(о,О27+0,009)=o.ois
Применяя формулу B6), получим:
е; i/tt 2=
T'i, 2 = 1/3 B • 13,55+33,3) =20,0
T'i, 2 = 1/3 B -0,0545 + 0,683) = 0,264
Г|, 2 = i/з B • 0,018 + 0,264) = 0,100
Из уравнения B7) найдем:
е;/2]3=1/2D0+зз,з)=зб,б
е;/2_ з=1/2 (зз,з+2о,о) =26,7
е;3/2> 3 = 1/2 @,683 + 0,264) =0,473
e*V2, з = 1/г @,264+ 0,100) = 0,182
Определяем температуры воздуха для п = 3:
T'i, 8 = Ve B-36,6+ 40) = 37,7
^2, з = 1/з B-26,7+ 37,7) = 30,4
У;, з = 1/зB-0,473 + 2,7) = 1,2
Т'и, з = 1/зB-0.182+1,2)=0,5
Далее, из уравнения B7) для и = 4 имеем:
вз/2, 4 = х/г C7,7+ 30,4) = 34,0
,,, 4 = 1,9
вн,,. 4 = V2 A,2 + 0,5) =0,9
500
-ч
ТАБЛИЦА
f-i"
и
Еч"
«. ее
8ч
Ф
е-Г
8
О
О
о
о
о
о
-
о
о
о
о
о
о
о
о
о
B0)
о
о
0,01
о
0,03
о
00
о
о
о
0,25
о
0.74
о
0,22
о
6,65
о
о
ем
о
0.031
0,10
0,02
0.26
0.05
0.68
0.16
OS'O
4,18
1,48
9,62
4.43
20,00
13,35
33,30
S
9
ем
0.062
0,50
0,18
о
ем.
0.47
2,70
5
5,70
2,95
11,30
6,90
20,00
14,81
30,40
26,70
37,70
36,60
со
0,093
1,80
0,90
3,60
о
6,90
4.20
12,30
8,50
20,0
15,70
28,70
25,20
35,80
34,00
39.30
38,90
0.124
4,40
2,70
7,80
5.20
13,00
9,60
19,90
16,10
27,50
24,30
34,00
32,20
37,50
36,70
39,10
38,60
ю
0.155
8,60
6,10
13,60
10,40
19,90
16,50
26,70
23,70
32,70
30,70
36,70
35,70
38,80
38,39
39,70
39,50
о
CD
0.186
S
S
ЕГ
S
S
ЕГ
I
I
S
а
а
501
Таким образом, из уравнения B6) получим:
27, 4 = 1/з B-38,9+40) = 39,3
Ti, 4 = 1/з B • 34,0+39,3) = 35,8
T'i, 4 = 1/зB-1,9+6,9) = 3,6
.^s, 4 = 1/з B -0,9+3,6) = 1,8
Из уравнения B7) найдем:
e;/j5 = i/2 D0+37,7) = 38,6
6'/«, 5 = 1/г C7,7+35,8) =36,7
e;./si5=v2C,6+i,8)=2,7
Далее, из уравнения B6) будем иметь:
Т'х, 5 = V3B-38,6 + 40) = 39,l
Т'г, 5 = 1/з B • 36,7 + 39,1) = 37,5
Наконец:
Ц, 5 = 1/з B -5,2 + 13,0) = 7,8
Гц, .= Ча B -2,7 + 7,8) = 4,4
б'./г,в = 1/2 D0+39,1) = 39,5
е;/<6 = 1/г C9,1+37,5) = 38,3
в;а/г6 = 1/2 G,8+4,4) = 6.10
и
Т[, в=1/з B -39,5+40) = 39,70
Т2, в = х/з B • 38,3 + 39,7) = 38,80
Т'ч, в = Vs B • 10,4+19,9) = 13,60
2Г8,в= 1/зB-6,1+13.6) = 8,60
Полученные результаты сведем в табл. XVITI-2.
§ 3. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ РЕКТИФИКАЦИЯ
С ВОЗВРАТОМ ФЛЕГМЫ
В процессе периодической ректификации условия работы колонны
изменяются со временем. При расчете состава продукта необходимо
учесть количество жидкости в аппарате, к. п. д. тарелки, изменя-
изменяющуюся теплоту парообразования и прочие обстоятельства. В общем
случае эти факторы исключают возможность аналитического реше-
решения задачи, но метод конечных разностей позволяет почти всегда
найти приближенный ответ на поставленные вопросы.
502
Рассмотрим периодическую ректификацию бинарной смеси, состо-
состоящей из компонентов А и В, в колонне с Р действительными тарел-
тарелками и кубом. Желательно найти возможность предсказать состав
продукта во время процесса дистилляции (рис. XVII1-3). Примем
следующие обозначения:
С — содержимое конденсатора в любой момент, моль;
D — скорость получения продукта, моль/ч;
Е° — к. п. д. тарелки;
F — доля загруженной жидкости, уходящей в виде продукта;
Н — количество жидкости, нахо-
находящейся на тарелке, моль;
L — екорость жидкости, стекаю-
стекающей с тарелки, моль/ч;
Р — число действительных таре-
тарелок;
R — флегмовое отношение, LID;
S — количество жидкости в кубе
для любого момента времени,
моль;
х — время, ч;
V — скорость пара, моль/ч;
х — мольная доля легколетучего
компонента в жидкости;
у — мольная доля легколетучего
компонента в паровой фазе;
у— мольная доля легколетучего
компонента в паровой фазе,
находящейся в равновесном состоянии с жидкостью.
Индексы:
D — продукт;
m — номер тарелки, считая снизу колонны;
Р — верхняя тарелка;
п — число приращений AF;
s — куб.
Материальные балансы:
для куба
Рис. XVIII-3.
as
дх
для тарелки тп
д
'"дтГ
-Ьп)-(Vm-Vm_x) = -?- (Hm)
B8а)
B86)
B9а\
Lmxm) — (Vmym —
"я7 Wmxm)
B96)
503
для конденсатора
дС
d)xd=-^(Cxd)
C0а)
C06)
при условии, что материал в кубе, на каждой тарелке и в конден-
конденсаторе однородного состава.
Отметим, что тарелка 1 имеет своим источником питания куб,
а тарелка Р — конденсатор. В общем случае скорость пара и стока,
а также содержимое колонны в молях являются функциями времени
и точки пространства.
Примем некоторые упрощающие предположения:
1) содержимым конденсатора можно пренебречь;
2) жидкость в молях на тарелке и коэффициент полезного дей-
действия постоянны и одинаковы для всех тарелок;
3) сток в молях и скорость парообразования не зависят от рас-
расположения тарелок.
Тогда уравнения B8а) и C0а) приводятся к следующему равен-
равенству:
dx
Значение т удобно заменить переменной Fi
So-S
F=-
Тогда получим
и выражения B8)—C0) преобразуются к виду:
jT = If"
(хь п-х„ n)-
~xm, n)-
{ys, n-*s, п)]
(Ут.п-Ут-1, п)\
(Ур, п-Ур-i. n)]
C1)
C21
C3)
C4a)
C46)
C4b)
где
yP=xD; yQ=ys
Кроме того, используем сведения о составе загружаемого сырья,
о равновесном соотношении
а также выражения для к. п. д. тарелки:
Ут-1 — Ут = Е<т {Ут~\~Ут)
504
Уравнения в конечных разностях, эквивалентные уравнениям
C4а, б, в), получаются путем замены производных конечными раз-
разностями.
В итоге имеем:
Я+1
!'"+1 (l/AF)—n
AFS0(R+l)
Л
ry —
-рГГ1[-(хт+1, п —хт, п) — (Ут, п — Ут-1,п)
ХР, п+
Н
Г R
L Л +
р> п~Хр' п~ХР< п)~(Ур, п~Ур-1, п) J +
n C5a';
n,n C56)
*P.n
C5b)
Выбор подходящего значения для AF должен быть обусловлен
физическими соображениями. Естественно предположить, что этот
метод расчета является устойчивым, если масса в молях данного
компонента, вносимого с любым потоком, поступает на тарелку
и оставляет ее во время изменения AF в количестве, которое меньше
его мольного содержания на тарелке. На этом основании мы можем
написать:
m ^г <36)
Использование уравнений в конечных разностях рассмотрим
на конкретном примере.
Пример. Пусть требуется разделить эквимолекулярную смесь А
и В в колонне периодического действия, имеющей три тарелки и куб.
К. п. д. тарелки Е° = 0,5, а к. п. д. куба равен 1. Относительная
летучесть системы а = 2. Содержимое для каждой тарелки соста-
составляет 5 моль; содержимым конденсатора можно пренебречь. Куб
загружается через флегмовую линию жидкостью в количестве
115 моль при температуре кипения. Флегмовое отношение 4. Опре-
Определить состав продукта в зависимости от количества отгоняемой
жидкости в кубе.
В соответствии со способом, применяемым для загрузки куба,
сперва жидкость на тарелках колонны имеет одинаковый состав
(х = 0,5), So = 100 и Н = 5. Приращение F, AF, принимается
равным 0,005, которое удовлетворяет критерию C6). Расчетные
формулы приводятся к следующему виду:
х*,п+1= 200_га
хт, n+l = 11 ъ№ IЬ (хт+1, п — хт>п) — (Ут,п — Ут-1, п)]+хт,п
ХР. п+1 = 1/2 [4/5 (Ур, п~хР, п)~(Ур, п-Ур-i, п)\ +ХР, п
.ахт
Ут~
In
-1 — Ут)п=0,5 (Ут-1-Ут)п ДЛЯ
C7а)
C76)
C7в)
C8)
C9)
D0)
505
После этого расчеты выполняются следующим образом:
1. В таблице записываются значения величин при начальных
условиях (п = 0).
2 Д
1Ц| . .., xPl используются выражения
( )
2. Для отыскания
C7а, б, в).
3. Для определения у при п = 1 применяется уравнение C8).
4. Величины z/s> У и, •••> Ург вычисляются с помощью уравнений
C9) или D0).
5. Этот процесс повторяется для п = 2 и последующих интер-
интервалов.
Результаты подобных расчетов, произведенных для рассматрива-
рассматриваемого примера, представлены в табл. XVIII-3.
ТАБЛИЦА XVIII-3
п
0
1
2
3
4
5
F
0
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
¦
0,5
0,496
0,492
0,488
0,484
0,480
ys
0,667
0,664
0,660
0,657
0,653
0,649
X,
0,5
0,5
0,499
0,508
0,523
0,533
0,667
0,667
0,666
0,670
0,686
0,695
У1
0,667
0,665
0,662
0,664
0,670
0,672
хг
0,5
0,5
0,526
0,550
0 570
0,595
У
г
0.667
0,667
0,690
0,710
0,726
0,746
Уг
0,667
0,666
0,676
0,687
0,698
0,709
Хз
—Хр
0,5
0,567
0,604
0 629
0,666
0,674
Vp
0,667
0,724
0,754
0,772
0,800
0,865
уР =
= xD
0,667
0,695
0,715
0,730
0 749
0,757
Материальный баланс для конечного, пятого приращения дает
57,1 моль легколетучего компонента в колонне и дистилляте. В на-
начальной загрузке это содержание составляет 57,5 моль. Полученная
ошибка незначительна.
Глава XIX
ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ И МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТИ
Достоверность обобщений, получаемых экспериментальным путем,
значительно выросла, когда были разработаны принципы моделиро-
моделирования изучаемых явлений, основанные на соблюдении условий,
обеспечивающих их подобие. Работы М. В. Кирпичева и его школы
в области подобия тепловых процессов привели к созданию общей
теории подобия и обеспечили широкие возможности для проникнове-
проникновения методов теории подобия в различные отрасли инженерной
практики, в частности и в химическую технологию. Теория подобия
дает возможность изучать сложные процессы и теоретически и экспе-
экспериментально. Только чистое экспериментирование, без теоретических
обобщений, не позволяет распространить выводы, полученные таким
путем, на другие, не исследованные случаи. Только теоретический
метод не в состоянии охватить всего многообразия условий физи-
физического процесса и, кроме того, весьма часто приводит к неразреши-
неразрешимым математическим уравнениям.
Основные процессы химической технологии протекают, главным
образом, вследствие движения вязких (сжимаемых и несжимаемых)
жидкостей, а также в результате теплообмена и диффузии, и при
моделировании их особое значение приобретает гидродинамическое,
тепловое и диффузионное подобие. Поэтому прежде чем перейти
к изложению теории подобия и метода анализа размерности, рас-
рассмотрим уравнения гидродинамики, теплообмена и диффузии.
§ 1. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Рассмотрим неустановившееся движение жидкости, при котором
скорости и давления в каждой точке потока меняются с течением
времени.
Выделим в потоке движущейся жидкости элементарный парал-
параллелепипед с ребрами dx, dy и dz (рис. XIX-1).
Вследствие неразрывности потока, весь объем выделенного парал-
параллелепипеда будет постоянно заполнен движущейся жидкостью.
При этом масса поступающей и выходящей из параллелепипеда сжи-
сжимаемой жидкости в общем случае будет различна, что обусловлено
непостоянством величин скорости w и плотности р.
507
Через левую грань А, параллельную плоскости YOZ, жидкость
движется под влиянием составляющей скорости wx, параллельной
оси ОХ. Будем считать эту составляющую, а также плотность р
постоянными во всех точках этой грани и равными их значениям
в точке Ai
u>x—F\ {х, v, z, т)
p = F2(x, у, z, т)
где т—время.
Рис. XIX-1.
В этот же момент времени для противоположной правой грани В
эти величины будут равны
Через площадку dy dz левой грани за единицу времени вытекает
количество жидкости, выраженное в единицах массы, равное:
dMXi = pwx dy dz
Масса жидкости, вытекающая через противоположную грань
за это время, будет;
dMxt=
-^ {-9Wx) dx~\
dy dz
Таким образом, приращение массы жидкости за единицу времени
в параллелепипеде, вызванное различием значений wx и р на левой
и правой его гранях, равно:
~
508
Для направлений, перпендикулярных к осям OY и OZ, получим
аналогично выражения для &Му и АМг.
Полное приращение массы жидкости в параллелепипеде за еди-
единицу времени будет равно;
ДМ
-^- (ри>х) + jy- (ри>у) + g7 (Р^) J
dx dy dz
При неразрывности потока изменение массы в объеме dx dy dz
вызвано изменением плотности жидкости в этом объеме. Следова-
Следовательно
АМ= — -?- dx dy dz
Приравнивая друг другу два полученных выражения для АЛ/,
находим:
Поделив на dx dy dz и перенеся все члены в левую часть равенства,
получим;
Полученное уравнение носит название уравнения неразрывности,
или сплошности.
В частных случаях уравнение неразрывности принимает следу-
следующий вид;
1. Для капельной жидкости (р = const)
dw,.
dw,
дх
или в векторной форме:
div w = 0
Отсюда следует, что при неразрывном движении жидкости объем
ее, втекающий в некоторую ограниченную часть пространства, равен
объему, вытекающему из него за это же время.
2. Для однородного газа [р = F2 (t)]*
или
¦J- + P diva>=0
509
3. Для установившегося движения (^- =
-^ (р«-г)=о
или
div (ра>)=0
Из уравнения A) при условии — = 0 находим, что для данного
пространства в условиях установившегося движения жидкость не
изменяет своей массы, т. е. массы
втекающей и вытекающей жидкости
равны между собой.
О Р\ У
Рис. XIX-2.
Рис. XIX-3.
Переходим к выводу уравнения движения, который основан на
известном законе механики: сила равна массе, умноженной на уско-
ускорение.
В любой точке движущегося потока должно иметь место равно-
равновесие сил, обусловливающих движение. Такими силами являются
сила тяжести, силы давления (перепад давления) и силы трения.
Выделим в жидкости, находящейся в движении, элементарный
параллелепипед с объемом dV и с ребрами dx, dy и dz.
Найдем проекции на ось ОХ (рис. XIX-2) силы тяжести, силы
давления и силы трения, действующих на этот элементарный объем.
Для силы тяжести, приложенной в центре тяжести элемента dV,
имеем:
gxpdV = gxpdxdydz B)
где gx — проекция ускорения силы тяжести (м/сек2) на ось ОХ.
Обозначим удельное давление жидкости р кГ/м2. Тогда сила
давления жидкости на верхнюю грань элемента будет равна р dy dz.
На нижнюю грань действует сила, равная
Здесь -?- dx есть изменение гидростатического давления в направле-
ОХ
нии оси ОХ по всей длине ребра dx. Эта сила действует против напра-
510
вления движения жидкости. Проекция равнодействующей сил да-
давления:
pdy dz—(p + j^
: = -i- dx dy dz
C)
Действие силы трения рассмотрим вначале на примере движения
ллоского ламинарного потока, в котором проекция скорости wx
зависит только от у. В этом случае сила трения возникает только
на боковых гранях элемента.
Направления и величины сил трения показаны на рис. XIX-3.
В сечении у имеем силу трения, равную —Sdx dz и направленную
против движения, так как скорость движения жидкости здесь меньше,
чем в самом элементе. В сечении у -\- dy сила трения равна
и направлена в сторону движения, поскольку в этом случае скорость
движения жидкости больше, чем в самом элементе.
Проекция равнодействующей этих сил будет:
-|—— dyjdxdz—S dx dz = -y— dxdydz D)
где S—сила трения на единицу поверхности.
Но по закону Ньютона S ~\i —г*-, где ц — вязкость среды.
Подставляя это значение S в выражение D) для проекции, полу-
получим:
dy r dy*
В общем случае, когда скорость wx изменяется во всех трех
направлениях, проекция силы трения на ось ОХ будет равна:
дх*
¦ + -
.dV
a')
где символ у2, называемый оператором Лапласа, обозначает сумму
вторых частных производных от проекции скорости на ось ОХ (см.
стр. 454).
Складывая проекции B), C) и D'), получим проекцию на ось ОХ
равнодействующей всех сил, приложенных к объему dVi
7 E)
Эта равнодействующая равна произведению массы элемента dV
Dwx
на его ускорение dr :
дх
дюх
дх
dwx
dz
dV
F)
511
Символ *"* называется полной, или субстанциональной, про-
производной и>х по т.
Эта производная расшифровывается следующим образом: скорость
изменения wx в данной точке характеризуется частной или местной
(локальной) производной wx по т
dwx ,. wx (Л/, т + Дт) — wx(M, х)
dx ~ Дт _ 0 Дт
где М означает какую-либо постоянную геометрическую точку в про-
пространстве.
Чтобы охарактеризовать изменение wx для данной частицы
жидкости за промежуток времени Дт, следует за приращение wx
взять разность между значениями функции wx в момент т + Дт
в том положении частиц М', в котором она находится в этот момент,
и значением функции wx в момент т в начальном положении ее М.
Предел отношения этого приращения к Дт при Дт -> 0 и называется
субстанциональной производной.
Связь между частной и полной производными заключается в том,
что, когда мы составляем полную производную от функции
w (х, г/, z, т), мы считаем х, у, z функциями от т, так как частица,
имевшая в момент т координаты х, у, г, за время Дт переместится
по некоторой кривой.
Рассматривая w (x, у, z, т) как сложную функцию от т, получим:
dx
vwx . dwx dx , dwx dy . uwx c**
"= ** ' dx~"dx' dt/ "dx'" я* "л* =
dwx
dx
dwx
дх
dx
dw,
dz
dwx
dz
dz
"dx
т. е. выражение, -стоящее в квадратных скобках формулы F).
Сравнивая формулы E) и F), найдем:
дх
~Pgx dx
дх
dz J
dx+ll\ дх*
dz*
G)
Аналогичным путем получаются уравнения для равнодейству-
равнодействующих проекций сил на оси OY и OZ:
P-Jtr+P\wx-Q^- + Wy
d2w,,
dwu dwu
dy*
dw,
-
dW*- + Wl ^
dwz
~дх-^и/у~ЬТ^Шг~аГ
(8)
(9)
512
Уравнения G), (8) и (9) образуют систему дифференциальных
уравнений движения несжимаемой жидкости Навье — Стокса; эта
система справедлива как для ламинарного, так и для турбулентного
движения. "
Если (а постоянно, то уравнения G), (8) и (9) можно заменить
одним векторным, а именно:
-*¦
dw
ИЛИ
Р -^ + Р К grad) w—fp —gradp + \i
dw -*•+¦¦*¦ \
•—+ (w, grad) w = g— — gradp + v
(A)
где v = — — коэффициент кинематической вяйкости, мг]сёк.
Применяя к каждому члену уравнения (А) векторную операцию
«вихря», упростим это уравнение. Операция «вихрь» определяется
-*•
следующим образом (см. гл. XI): для любого вектора N:
rotJV
\ dx dy
д
dNx
где i, j и к—единичные векторы, направленные по осям коорди-
координат х, у, z.
Вследствие того, что в уравнении (A.)g — постоянный вектор,
имеем:
Далее:
dp
Произведя операцию «вихря» йад grad p, получим:
g grad p)
в уравнении (А) исключается; о"но приобретает следующий вид: '
dw ¦¦¦*---*¦ -*¦¦.-'¦-
rot —— -f- rot (w, grad) w = у rot v2w
Уравнения Навье — Стокса могут быть выведаны и для снима-
снимаемых жидкостей. Первое из этих уравнений (относящееся к оси
имеет следующий вид: . .'..¦..-
dwx
Р I »*
dx
1 д I dwx
ЬТ
dwz
d*wx
33 Заказ 1706
A0)
513
Подобна© же уравнения ииегот место для направлений OY и OZ.
Уравнение G) для несжимаемой жидкости получается из уравне-
уравнения A0), если учесть, что при р = const уравнение неразрывности
будет;
dwx , dwy . dwz
дх ~*~~dy •" dz ~
К этим уравнениям присоединим еще уравнение теплового ба-
баланса.
Поступающее в рассматриваемый единичный объем тепло при
установившемся состоянии равно такому же количеству отходящего
тепла. К данному объему, так же как в уравнении G), тепло под-
подводится вследствие теплопроводности и с помощью материальных
частиц, протекающих через единичный объем при одновременном
его охлаждении. Если температура t этого объема не изменяется
со временем, то общее количество подведенного тепла должно рав-
равняться нулю, и если учесть наличие источника тепла с интенсив-
интенсивностью qi (ккал/м3), то мы придем к следующему уравнению:
dt
dt
dt
дП
где с — теплоемкость, у — плотность, Я — теплопроводность.
В левой части уравнения A1) представлено количество тепла
в единичном объеме, которое используется для нагревания на dt
частиц, протекающих через параллелепипед с ребрами dx, dy, dz.
Это тепло покрывается за счет подвода тепла из окружающей
среды (первый член правой части уравнения) и за счет источника
тепла qt. Разделив обе части уравнения на су, получим
dt
dt
dt
или в векторной форме:
(w,
84
—
дЧ
где а — коэффициент температуропроводности.
Уравнения A), G), (8), (9) и A2) образуют систему из пяти диф-
дифференциальных уравнений с частными производными.
Эти уравнения совместно с граничными условиями полностью
описывают процесс движения вязкой жидкости.
Вблизи стенки поток является ламинарным, следовательно,
передача тепла происходит в результате теплопроводности, и по изве-
известному уравнению имеем:
A3)
где dF
поверхность теплообмена;
нормаль к dF;
—?-) —температурный
градиент жидкости непосредственно
у стенки.
В такой же мере следует иметь в виду начальные условия, как,
например, распределение скорости и температуры в поперечном
сечении трубопровода у места входа.
Количество передаваемого тепла выражают обычно с помощью
коэффициента теплоотдачи а ккал/м2-Ч'град. Пользуются следу-
следующей формулой Ньютона:
Q F
или
-—=9 = а (tF —tQ) F кпал]ч
A4')
Несмотря на то, что коэффициент теплоотдачи а не входит в диф-
дифференциальные уравнения A)—A3), он все же является весьма полез-
полезным в тепловых расчетах и постоянно применяется в практической
работе. Дифференцируя A4'), мы получим!
A5)
где tF — температура стенки;
t0 — температура жидкости.
Таким образом, имеем!
A6)
Эта зависимость позволяет коэффициент теплоотдачи а ввести
в систему дифференциальных уравнений для конвективной тепло-
теплопередачи.
Так как температурный градиент (j—j в формуле A6) зависит
от температур стенки и жидкости и от толщины пограничного слоя,
т. е. от характера (режима) движения, то коэффициент а, следова-
следовательно, зависит от всех тех величин, которые содержатся в уравне-
уравнениях A)—A3).
§ 2. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ
Непреодолимые трудности, встретившиеся при решении многих
задач с помощью дифференциальных уравнений с частными производ-
производными, приведенных в § 1, заставили инженеров искать необхо-
необходимые решения экспериментальным путем.
По опытным данным, полученным на одном аппарате, делались
приближенные выводы о возможной работе другого, — такого же,
но более крупного аппарата, что привело к идее моделирования
процессов и аппаратов, получившей свое выражение в теории
подобия.
33*
515.
Теория подобия — это учение о подобии явлений. В случав гео-
геометрического подобия двух фигур отношение всех соответственных
размеров этих фигур постоянно. Треугольники подобны между собой,
если их соответственные углы равны, а сходственные стороны про-
пропорциональны, т. е. если
A7)
Здесь А — коэффициент пропорциональности или константа подо-
подобия. Таким образом, условие A7) является математической форму-
формулировкой геометрического подобия двух треугольников.
В двух кинематических системах будет иметь место кинемати-
кинематическое подобие, если их сходственные частицы нередвигаются по гео-
геометрически подобным путям в промежутки времени, отличающиеся
постоянным множителем, т. е. в этом случае мы можем говорить
о-подобии движения, например, двух потоков жидкости. При дина-
динамическом подобии многоугольники сил, построенные для пары сход-
сходственных частиц, расположенных подобным образом в пространстве
и во времени, должны быть подобны, т. е. различаться лишь мас-
масштабом.
Понятие подобия можно также распространить на тепловые
и физико-химические процессы.
Используя это понятие, можно решить многие практически важ-
важные задачи. Из геометрии известно, что, используя свойства подобия
треугольников, можно определить высоту башни или ширину реки,
не произведя непосредственных измерений их.
Для использования понятий о подобии необходимо найти условия
подобия рассматриваемых явлений. При этом возникают следующие
вопросы:
1. Возможно ли известные опытные данные, например такие,
которые связаны с температурным полем, полученные путем изме-
измерения в одном аппарате (на модели), перенести в точности на другой
аппарат (производственный)?
2. Каковы условия, при которых допустим такой перенос или
пересчет?
3. Как следует, поступить, чтобы полученные во время опыта
на модели данные были правильно применены для производственного
аппарата?
Перенос опытных данных с модели на производственный аппарат
принципиально возможен в таких случаях, где имеется подобие
обоих процессов. Разумеется, это подобие не должно ограничиваться
только геометрическими формами; все другие величины, которые
влияют, например, на теплопередачу, должны в модели и в про-
производственном аппарате находиться в определенных отношениях
подобия.
Отыскание условий подобия производится следующим образом.
Мы сравниваем такие два случая, при которых потоки для всех
величин, встречающихся в уравнениях A)—A6), подобны. .
а) Таковыми являются координаты х, у, z производственного
аппарата, которые относительно х', у', z' модели могут быть равно-
равномерно увеличены.
Следовательно, мы сопоставляем потоки, которые проходят через
геометрически подобные тела или вокруг них. Тогда все отрезки
границ потока 1г, l2, 1& ¦ • • производственного аппарата, соответ-
соответствующие 1[, 1%, 1'3, ... модели, будут в определенной пропорции
увеличены:
l
A8)
Углы между соответствующими отрезками остаются неизмен-
неизменными.
При строгом соблюдении геометрических условий подобия, неров-
неровности (шероховатости) поверхностей по форме и величине в произ-
производственном аппарате и в модели должны быть подобны. Однако
практически это условие вряд ли может быть выполнено.
б) Поле скоростей в производственном аппарате и модели должно
быть подобно. В соответственных точках с координатами х', у', z
и х, у, z отношение
Ш A9)
w
w
должно быть одинаковым, и кроме того, направление соответству-
соответствующих скоростей для производственного аппарата и модели должно
быть одно и то же (равенство углов). Нельзя, следовательно, пы-
пытаться найти подобие между ламинарным и турбулентным потоками,
так как распределение скоростей в обоих потоках принципиально
различно.
Можно сравнивать только ламинарные потоки между собой
и турбулентные потоки между собой.
[ в) Следующей важной величиной является температурный гра-
dt dt dt
B0)
B1)
B2)
B3)
B4)
диент -г—, -т—,
dx dy
ным, т. е.
-г-. гас
dz
dt'
dx'
dt
Hi
пределение
dt'
dy'
dt
~dv
rp
at'
dz'
dt
dz
Отсюда и из A8) имеем:
dt' = .
— At dt
где
t Al=
Интегрируя уравнение B1), получим:
t'~t'0=At(t-t0)
ИЛИ
= At
517
где температуры t'o и t0 представляют произвольные постоянные
интегрирования для соответственных, но произвольно выбранных,
точек х'о, г/о, z0 и х0, z/0, z0. В модели и производственном аппарате
температуры t'o и t0 могут быть выбраны, например, у входа в трубо-
трубопровод или на большом расстоянии от стенки в зависимости от целе-
целесообразности. В уравнение подобия температурных полей входят,
таким образом, не собственно температуры, а их разности по отно-
отношению к температуре произвольно выбранной точки.
Из уравнений A8), B0) и B1) следует;
dt'
дх'
dt
дх
At
At •
0"l
дх"
x2"
_ Ai
B5)
Во многих случаях имеет значение соблюдение подобия градиен-
градиентов концентраций в материальных потоках, проходящих через аппа-
аппараты. Условия подобия концентрационных и температурных гра-
градиентов аналогичны.
г) Статическое давление входит в дифференциальные уравнения
ар
в виде градиентов
5х
и т. д.; по аналогии с температурным полем
можем написать условия подобия для поля давления!
»
д) Подобие полей физических свойств среды обусловливает сле-
следующие постоянные соотношения для всех соответственных точек
производственного аппарата и модели:
а' р'
— =А- — = Ап
а
-=лх
B7)
Следует отметить, что при выполнении условий подобия не все
масштабные множители (числа) B0)—B7) могут быть произвольно
выбраны; здесь после выбора некоторых немногих величин опре-
определяются остальные. Это становится ясным из следующего
примера.
Если увеличить скорость движения жидкости в трубопроводе
вдвое, т. е. если положить Aw = — = 2, то перепад давления ;>¦—;>„,
вследствие трения, возрастает, как известно, пропорционально
квадрату скорости, т. е. Ар = ^Еу~ = 4, и нам» очевидно, следует
принять Ар = 4 и масштабный множитель Ар в данном случае опре-
определяется через подобие скоростных полей.
518
Пользуясь этими соображениями, приходим к заключению, что
число независимых масштабных множителей по сравнению с при-
приведенными в уравнениях A8)—B7) может существенно сократиться
в силу дополнительных условий.
Если две системы подобны, то отношение любых сходственных
величин в пределах каждой системы, характеризующих то или иное
ее состояние, является безразмерным и постоянным для обеих систем.
Пусть, например, физическое состояние одной из систем характе-
характеризуется некоторыми величинами Rv R2 . . . Rn, а другой, подобной
й ., /"„. Тогда условие подобия
ей, системы
величинами г
требует равенства:
1; г2,
Иначе говоря, отношения сходственных величин в одной системе
равно их отношениям в подобной системе. Эти постоянные безраз-
безразмерные отношения называются инвариантами подобия и обозна-
обозначаются символом i.
Инварианты подобия, являющиеся отношением простых одно-
/ „ р,
родных величин, например, линейных размеров-з-, давлении —,
вязкостей — и т. п., называются симплексами подобия.
Инварианты подобия могут быть выражены и более сложными
безразмерными отношениями, составленными из нескольких простых
параметров, например
">р
В этом случае они называются критериями подобия. Критерии
подобия могут быть определяющими и неопределяющими.
Определяющими критериями являются такие, у которых вели-
величины заданы наперед условиями однозначности. Критерии, содержа-
содержащие искомую величину, называются неопределяющими. Выводы
и описание критериев подобия изложены ниже.
В основе теории подобия лежат три теоремы, которые формули-
формулируются следующим образом:
1-я теорема. Если физические процессы подобны друг другу,
то одноименные критерии подобия этих процессов имеют одинаковую
величину,
2-я теорема. Уравнения, описывающие физические процессы,
могут быть представлены в виде функциональной связи между кри-
критериями подобия.
3-я теорема (теорема Кирпичева — Гухмана). Для того чтобы
физические процессы были подобны друг другу, необходимо и доста-
достаточно, чтобы эти процессы были качественно одинаковы *, а их
одноименные определяющие критерии — численно одинаковы.
* Качественно одинаковыми называются такиэ процессы, математическое
«писание которых во всем совпадает, кроме содержащихся в них именован-
именованных чисел.
519
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛООБМЕНА
ДЛЯ МОДЕЛИ
Дифференциальные уравнения теплообмена для модели мы напи-
напишем в соответствии с уравнениями § 1 этой главы, причем все входя-
входящие величины снабдим штрихами, з отличие от величин для про-
производственного аппарата.
Полагая qt = q\ = 0, получим (для оси ОХ')\
д(р'ш'х)
дх'
дг'
B8)
Подобные уравнения можно составить и для проекций на оси OY'
и OZ'. Аналогично уравнению A2) имеем:
, at'
а'=—¦
(—\
\ дп' )
C0)
C1)
В эти уравнения мы можем, согласно соотношениям B0)—B7),
подставить х' = Atx, w' = Aww, p' = Afp, где величины без штриха
относятся к производственному аппарату. Таким образом, получаем
из уравнения B8):
At
Из уравнения B9) следует:
C2)
дшх
др
C3)
Аналогичные уравнения получаются и для направлений OY и OZ.
Из уравнения C0) имеем:
at
AxA
xAt
дч
Уравнение C1) дает:
C4)
C6)
520
Будем считать подобными только такие процессы, для которых
масштабные значения Ah Aw, As и т. д. таковы, что множители,
стоящие перед скобками в уравнениях C2)—C5), одинаковы, т. е.
ApAw
At
At
Am-?L =
C6)
C7)
C8)
Следовательно, если численные значения Аг, Aw, А удовлетво-
удовлетворяют уравнениям C6)—C8), то в уравнениях C2)—C5) масштабные
множители могут быть сокращены и для модели остается система
дифференциальных уравнений, которые полностью идентичны урав-
уравнениям для производственного аппарата, а именно — уравнениям A),
G), (8), A0) и A2).
Следовательно, интегралы дифференциальных уравнений для
аппарата и модели также будут идентичны. Это означает, что только
в этом случае распространение потоков со скоростными и темпера-
температурными полями на протяжении модели и производственного аппа-
аппарата осуществляется одинаково.
Отсюда вытекает следующее важное положение.
Подобными процессами теплообмена в установившемся состоянии
при отсутствии источников тепла являются только такие, у которых
масштабные множители удовлетворяют пяти уравнениям C6)—C8).
Таким образом, из числа масштабных множителей пять выра-
выражаются через остальные при помощи уравнений C6)—C8).
Теперь представим уравнения C6)—C8) в более удобной форме —
в виде уравнений в критериях подобия.
§ 4. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ
Из уравнений C6), выведенных из уравнения гидродинамики,
имеем:
At
или
А1
А
Подставив вместо Af, Aw и т. д. их значения из уравнений B7),
получим:
owl p'w'V wl w'V ,„„.
-L_eJL—_ иди __ = __ (з9)
где v' — кинематическая вязкость.
Равенство комбинации — для модели и производственного аппа-
аппарата выражает, таким образом,необходимое условие подобия потоков.
521
wl
Инвариант — называется критерием Рейнольдса и обозна-
обозначается Re:
wl
= Re
Из уравнений C6) также имеем
А А% Л
**о **w р
Ai A[
откуда аналогично предыдущему:
Р— Ро _ у' — Ро
D0)
Этот критерий подобия назван именем Эйлера:
Р-Ро
= Eu
Из тех же уравнений C6) выбираем третье равенство:
_ \AW
Отсюда следует, что
[Ш? \i'w'
Умножая на равенство C9) и учитывая, что — =-^?-, получим:
Р —Ро . gis = р' —Ро g^'3
р v2 р' v'2
где р0 — начальная плотность.
Этот критерий называется критерием Грасгофа:
Р-Ро
• = Gr
В тех случаях, когда подъемная сила обусловливается разностью
температур, мы имеем:
-?=?•> =Р(г0-г)
где р — коэффициент расширения.
В соответствии с этим
Для идеальных газов р определяется из уравнения состояния
идеальных газов:
1
522
Таким образом
Gr =
gl4T0-T)
При использовании данных, полученных на модели, должны быть
удовлетворены для всех соответственных точек на модели и в про-
производственном аппарате три условия
Re' = Re, Eu' = Eu и Gr' = Gr D1)
или, иначе!
Re = idem,* Eu = idem, Gr = idem
Однако теория и практика показывают, что при однородных
потоках в модели и производственном аппарате устанавливаются
такие профили скоростей, которые подобны между собой. Поэтому,
для того, чтобы убедиться в подобии процессов, нет необходимости
проверять наличие условий D1) для всех сходственных точек. Если,
например, в трубопроводе вдоль его оси найдено, что Re0Cb = ReoCb
(где ReOCb=^??s—j для производственного аппарата и модели, то
соответственно этому Re = idem также и для остальных точек сече-
сечения потока. Однородными потоками называются такие, которые
имеют, например, турбулентный режим движения, подобные началь-
начальные условия (профиль скоростей при входе в аппарат) и подобные
краевые условия. Последнее условие в отношении скорости движения
всегда выполняется по той причине, что скорости у стенки как в мо-
модели, так и в производственном аппарате всегда равны нулю, т. е.
1#ст = 0 И ltfCT = 0.
Остальные условия подобия — геометрическое подобие (включая
и шероховатость) и др., естественно, должны быть также выполнены.
Возникает вопрос: возможно ли вообще соблюдение условий подобия
и в положительном случае — при каких обстоятельствах.
Если, например, при протекании жидкости в трубопроводе (твер-
(твердые границы) появляются свободные, поверхности жидкости, то для
их учета было бы необходимо ввести дополнительные условия подо-
подобия, определяемые физическими законами их образования. Это важно
например, в процессах выпарки с образованием пузырьков пара,
где число, форма и величина пузырьков в модели и в производствен-
производственном аппарате, вообще, зависят скорее всего не от масштаба длины А1
в выпарных аппаратах, а от давления, поверхностного натяжения
и т. д. Таким образом, при свободных поверхностях невозможно
одновременно выполнить все условия подобия. То же самое произой-
произойдет, когда свойства вещества, как, например, (х, р и др., не являются
постоянными, а изменяются с температурой вдоль потока.
Для потоков, где эти трудности не имеют места, число условий
подобия можно еще дополнительно сократить, исходя из следую-
следующих соображений. Вдоль потока перепад статического давления,
idem
: то же самое.
523
определяемый из уравнения D0), Ей = ¦
будет изменяться
Р — Ро
pw2
вследствие: 1) превращения потенциальной энергии в кинетическую
(р—Ро)ш» 2) трения (р—рв)тр и 3) изменения высоты столба жидко-
жидкости в промежутке между рассматриваемыми поперечными сече-
сечениями (р—ро)ц.
Первая часть перепада давления (р—po)w прямо пропорцио-
пропорциональна квадрату скорости, вследствие чего эта доля критерия Эйлера
при подобных полях давления и скорости для модели и производ-
производственного аппарата становится равной:
p'w'
D2)
Вторая часть перепада давления при турбулентном режиме, как
известно из гидравлики, составляет
или
I уи>% i .
тр d 2g d T
(P—Po)Tp
D3)
и является функцией критерия Рейнольдса.
При ламинарном режиме имеем:
(Р-Ро)тр=- ri — di .
Умножив числитель и знаменатель на wp, получим:
(Р~ Ро)тр = 32
ИЛИ
4i- = 4" Р»я/л (Re)
- = -J /л (Re)
D3')
т. е. другую функцию критерия Рейнольдса.
При подобных потоках с-т- = -тт-исКе = Re' и эта часть крите-
критерия Эйлера оказывается равной для модели и производственного
аппарата.
Так как статическое давление само по себе в большинстве случаев
не оказывает существенного влияния на образование потока, то мы
можем пренебречь величиной (р—ро)н- Это может быть сделано
применительно ко всем потокам несжимаемых жидкостей. То же
остается в силе и для газов при не очень большом повышении давле-
давления, так как сжатием вдоль потока (изменением плотности) можно
пренебречь. Из уравнений D2), D3) и D4) следует, таким образом,
что для таких подобных потоков условие Eu = idem неизбежно
выполняется, поскольку Re = idem. Условия подобия D1) сокра-
сокращаются тем самым до двух, а именно:
Re = idem и Gr = idem
524
§ 5. ТЕПЛОВОЕ ПОДОБИЕ
Чтобы сделать, аналогично предыдущему, дифференциальные
уравнения теплоотдачи для модели и производственного аппарата
идентичными, необходимо иметь равные коэффициенты в уравне-
уравнении C7):
Отсюда следует:
wl
ере
w'l'
Заменив —- через а (коэффициент температуропроводности),
получим критерий подобия Пекле:
Таким образом, условием теплового подобия для модели и про-
производственного аппарата является:
Ре = idem
В этом случае образуются подобные температурные поля до
стенки, при условии, что температуры стенки, как внешние условия,
включаются в то же температурное подобие. На это обстоятельство
указывает соотношение коэффициентов из уравнения C5):
или
л — •"*
а — л
al a'V
Это — так называемый критерий Нуссельта
D4)
D5)
пользование которым весьма облегчает расчеты по теплопередаче.
Его численные значения для всех потоков с одинаковыми Re, Gr
и Ре равны между собой и зависят только от значений этих величин.
Следовательно, при геометрически подобных границах потоков:
Nu = f (Re, Gr, Pe) D6)
Где / — неизвестная еще функция. Последняя, однако, может быть
определена опытным путем; при этом, согласно D6), для геометри-
геометрически подобных аппаратов только три величины оказывают влияние
на критерий Нуссельта, что представляет большое упрощение по
сравнению со множеством значений, характеризующих потоки
и среду.
525
Вместо критериев Re, Gr, Ре можно ввести и другие, которые
получаются в результате иного комбинирования уравнений C6),
C7) и C8).
Весьма удобным является критерий Прандтля, а именно:
Re
wl
~wT
V
Этот критерий содержит только физические константы веществ,
находящихся в движении, в то время как в критерии Re, Gr, Ре вхо-
входят также размеры аппарата и характеристика потока.
Следовательно, можно написать:
Nu=/0(Re, Gr.Pr)
гДе /о — другая, устанавливаемая опытным путем, функция.
Критерий Нуссельта зависит также и от геометрической формы
аппарата. В общем критерий Нуссельта связан также с величиной,
выражающей отношение длин —. За 10 принимается характерная
длина, например диаметр трубопровода, а за I — размеры границы
потока.
Вводя симплекс геометрического подобия -=- , получаем:
'о
r) D7)
Nu=/, 4-
e, Gr
или
или
Nu=/2(-^-,
^fJ-jL-, Ре, Рг, Gr)
D8)
D9)
Формулы D7), D8) и D9) выражают одну и ту же закономерность.
В практической работе предпочитают то уравнение, которое является
более удобным для расчета.
Часто искомой величиной служит коэффициент теплоотдачи а
от стенки к какой-либо среде. Из уравнений D5) и D8) находим:
Приведенные выше уравнения действительны только в том случае,,
если величины К, с, р, и. и др. по длине потока остаются постоян-
постоянными, так как только при этом обеспечивается постоянство масштаб-
масштабных множителей. Вследствие того, что температура влияет на р, X, |л,
строгое выполнение условий подобия бывает очень редко. Все же
влияние температуры не столь велико, особенно, когда при расчете
берут значения физических величин для средней температуры.
526
Для обобщения результатов опытов эти результаты обрабаты-
обрабатываются так, чтобы можно было их выразить в критериях подобия.
Функциональная зависимость между этими критериями предста-
представляется в виде степенной функции, например:
Nu = CRe"Prm
где С, тип — постоянные и отвлеченные числа. Такие зависимости
не могут быть найдены теоретически, — они определяются экспери-
экспериментально. Приемы нахождения такого рода зависимостей заклю-
заключаются в следующем.
Допустим, например, что зависимость между Re и Nu выражается
уравнением:
Nu = CRe"
Изображая эту зависимость графически на логарифмической
сетке, получим прямую линию:
Для упрощения представим это уравнение в таком виде
обозначив lg Nu через У, а lg С и lg Re, соответственно, через А
и X. Величина га есть тангенс угла наклона прямой к оси ОХ.
Из соотношения Nu = С Re" находим постоянную С = к-^-.
Если точки, соответствующие экспериментальным данным, удо-
удовлетворяют этому уравнению, т. е. если все точки практически укла-
укладываются на прямую, то сделанное предположение о стеиенной зави-
зависимости следует признать справедливым. Если вместо прямой полу-
получается кривая линия, то ее заменяют ломаной, и тогда применительно
к отдельным ее участкам значения Сига различны. Если, например,
при всяких прочих неизменных числах Pr, Gr, у- в уравнении D8)
необходимо отыскать влияние на теплоотдачу числа Re, то, имея
в виду степенной вид функции, можно написать
где
I I
Cfe= CPrmGrr ( -f-
\ 'о
или, логарифмируя, имеем:
Это уравнение представляется в виде прямой линии в коорди-
координатах lg Nu и lg Re. Построив зту прямую по результатам опытов,
находим числовые значения lg Ck и показатель га. Аналогично могут
быть найдены числовые значения т, г и q.
527
§ 6. ДИФФУЗИОННОЕ ПОДОБИЕ
Экспериментально установлено, что скорость диффузии компо-
компонента А в неподвижном газе или жидкости выражается следующей
зависимостью:
GA = — D grad cA E0)
где Ga — скорость диффузии» или поток массы на единицу цлощади;
D — коэффициент диффузии;
сА — концентрация массы диффундирующего компонента А.
Для мольных соотношений будем иметь:
= —DgiadCA
E1)
где Na — мольная скорость диффузии компонента А;
С а — мольная концентрация, т. е. число молей А на единицу
объема среды.
При идеальном гаэе зависимость между парциальным давлением
и мольной концентрацией представляется в таком виде:
Ра—ьаН1 (о2)
Таким образом, для диффузии газа при постоянной температуре
получим:
E3)
Формулы E0), E1) и E3) справедливы в том случае, когда кон-
концентрация диффундирующего компонента мала.
Рассматривая с точки зрения кинетической теории взаимную
диффузию двух газов А и В в направлении оси z, получим:
1 , дпА -
где пА — мольная плотность газа А;
w0 — общая скорость газовой смеси в направлении оси г;
\а — средняя длина свободного пробега молекул А;
Va— средняя мольная скорость газа А.
Аналогично для В имеем:
1 , дпВ -
При постоянном общем давлении:
пА + пВ ~ COIlSt = п
E4)
E5)
или
?28
дпА дп^
F6)
Исключая w0 из E4) и E5) при использовании E6), найдем:
nBNA ~ nANB = - J {П
дпА
dz
E7)
Для случая одинаковой и противоточной молекулярной диффузии
двух газов должны быть Na — —Nb и поэтому:
А 3 '
Обозначив коэффициент диффузии
получим для E8)
или в общем виде:
NА — —D grad nA
дпА
dz
пА + пВ
дп.
E8)
E9)
F0)
Последнее выражение идентично E1), так как мольная концен-
концентрация С а и мольная плотность гад равнозначны.
При диффузии газа А через неподвижный газ В имеем Nb = ®
и из E7) найдем:
ЭпА
dz
ИЛИ
NА — D grad nA
пв
где коэффициент диффузии D определяется с помощью E9).
Выражение F1) может быть представлено в таком виде:
или
F1 >
F2)
F3)
где рв — парциальное давление неподвижного газа В;
р — общее давление газовой смеси, которое принимается по-
постоянным.
Если парциальное давление рА диффундирующего компонента А
мало и рн приближенно равно р, то F3) может быть заменено равен-
равенством E3):
34 Заказ 1708
529
Для установившейся молекулярной диффузии в направлении
одной оси при конечном отрезке z из E1) после интегрирования
найдем
D (С, —с, )
и аналогично из E3):
N
А~
D
RT
F4)
F5)
Эти результаты для диффузии в жидкости и газе действительны,
как было указано выше, при условии, что концентрация или пар-
циальное давление диффун-
дирующего компонента малы.
Полученные выражения
аналогичны
одномерной
us
КонВеииий
dS
таковым для
теплопровод-
теплопроводности в твердых телах при
установившемся состоянии.
Однако для диффузии
в неподвижном слое со зна-
значительным парциальным да-
давлением диффундирующего
компонента должны при-
применяться F2) или F3). Из F3) для одномерной диффузии имеем:
dPA
F6)
Диффузия
Рис. XIX-4.
p
Рв
D
RT
dz
При постоянном общем давлении Ра-\~ Рв — р, откуда
_
dz ~ dz
Следовательно, уравнение F6) может быть записано так:
N Р_ D , dpB
А рв RT -dz
После интегрирования от рвг до рвг найдем:
F7)
RTz
ИЛИ
N -_2-
Л RT
Рв,
D
RT
F8)
где р в — средняя логарифмическая разность парциальных давле-
давлений для неподвижного газа В.
Рассмотрим теперь объем V внутри жидкости, поверхность кото-
которого S (рис. XIX-4). Если массопередача компонента А имеет место
530
вследствие диффузии, то в любой точке на поверхности будет про-
происходить движение массы со скоростью GA на единицу площади
я в соответствии с уравнением E0) можем написать:
GA — —D grad cA
где сА — концентрация или плотность вещества А.
Для скорости накопления вещества А внутри объема будем иметь
(см. гл. XI):
V
Интенсивность прохождения вещества А через поверхность за счет
конвекции при скорости w для жидкой массы в соответствии с фор-
формулой Остроградского — Гаусса (см. стр. 348) будет:
S V
Скорость выхода вещества А через поверхность за счет диффузии
составляет:
§GAdS= f div GAdV
8 v
Подставляя значение 6гд из E0), получим для правой части по-
последнего равенства:
При постоянстве массы диффундирующего компонента А мы
должны иметь
v v v
или для бесконечно малого объема:
дсл -^
F9)
Это уравнение подобно уравнению непрерывности C7) в гл. XI;
здесь имеется дополнительный член Dy2cA, описывающий молеку-
молекулярную диффузию.
Выражение F9) может быть записано в таком виде (см.
стр. 511, 512):
DcA
div w =
G0)
где символ Dcjdx по-прежнему есть полная, или субстанциональная,
лроизводная с а по т, т. е.
Dc . дс .
dx
34*
531
Если жидкость несжимаема и, следовательно, плотность жидкой
смеси постоянна, то div w = 0 и G0) примет следующий вид:
дс л -*
G1)
дх '
Последнее равенство есть основное уравнение массопередачи
в потоке жидкости. При установившемся состоянии будем иметь:
w • ycA=D^cA G2)
При двух потоках с геометрически подобными границами мы
можем найти условия подобия массопередачи. Пусть W± — харак-
характерная скорость, / — характерная длина и р — плотность жидкой
смеси.
По-прежнему введем безразмерные группы величин:
и>'=—— и т. д.; х' = — и т. д.
Т = '
L ">
Тогда G1) может быть представлено в безразмерном виде:
дх'
ИЛИ
дх'
D
G3)
Для данных граничных условий решение G3) зависит только
от DIWXL.
Обратное отношение WXLID есть аналог критерия Рейнольдса
WxLh. Этот критерий дает меру относительных величин массо-
массопередачи за счет конвекции и массопередачи посредством диффузии.
Отмечая справедливость равенства
WjL
D
V
найдем, что условием полного подобия для движения жидкости и
массопередачи в двух случаях принудительной конвекции при гео-
геометрически подобных границах является равенство чисел Рей-
Рейнольдса и отношение xlD. Величина v/D известна под названием кри-
критерия Шмидта Sc и является аналогом критерия Прандтля в тепло-
теплопередаче. Подобно критерию Прандтля, он включает в себя только
величины физических свойств жидкости.
Обращаясь к E0), мы можем для массопередачи выделить мно-
множитель GAL/D • Аса, где Аса — общая разность концентраций; для
532
вольных отношений —NaLID-ACa- Эти безразмерные группы вели-
величин аналогичны критерию Нуссельта в теплопередаче.
Из уравнений G) и G3) мы можем заключить, что для массо-
йередачи посредством принудительной конвекции в геометрически
подобных системах:
GAL
NAL
-=/(Re, Sc)
G4)
D-AcA D-ACA
Если по аналогии с теплопередачей примем для коэффициента
массопередачи
'А
дс,
то безразмерные величины для коэффициента массопередачи в урав-
уравнении G4) могут быть написаны так:
Sc)
G5>
Для диффузии газов в вычислениях обычно используют величину
парциального давления вместо значения концентрации. В этом
случае
а^=^- G6>
Для критерия Нуссельта получим:
a GLRT
D
¦. f (Re, Sc)
G7)
Еще одна комбинация параметров для таассопередачи имеет
следующий вид:
п N ' ад
~ПУ~ G8)
¦ Ас
• АС
Эта безразмерная группа величин является аналогом критерия
Стантона в теплопередаче.
В соответствии с уравнением G4) мы можем написать:
Для газообразных веществ будем иметь:
' / (Re, Sc)
G9)
(80)
Критерий
массопередачи
ции к потоку
нарной струе,
гой сторонЫл
St выражает отношение действительной скорости
при комбинированном процессе диффузии и конвек-
массы компонента А, распространяющегося в лами-
имеющей скорость Wv Критерий Нуссельта, с дру-
представляет отношение действительной скорости
533
массопередачи для данных условий к гипотетической скорости
массопередачи, имеющей место при чистой диффузии с концентра-
концентрационным grad Aca/L.
Экспериментальное изучение рассматриваемого здесь вопроса
с последующей обработкой результатов приводит к критериальным
формулам для массопередачи, приведенным в табл. XIX-1 с графиком
(рис. XIX-5).
«г
0,1
ШВ
0,06
т
0,03
0,02
от
0,002
6
--
—¦
4
4v.,
,-"
X
У
«=;
-,
14 >
ia,
к
i-
¦—.
s
2 3 4 56 610 20 3040 6060100 гт 400 600 1000 2000 4000 10000 2000040000
Рис. XIX-5.
ТАБЛИЦА XIX-1
Кри-
Условия движения потока
Внутри труб .....
Движение газов через
пучок труб
Газовый поток, омыва-
омывающий сферическое
тело
Движение газов парал-
параллельно плоским стен-
стенкам
Движение жидкостей
через насадку ....
Движение газов через
насадку .
Re
Re
Re-Sc2/3
Re
Re/e
Re
aGp
GM
Sc '3 —
Sc0,56
aodp ¦ 10
5
/D.io-i=
M
Пределы Sc
0,6—3000
0,6—2,6
0,6-2,7
0,6—2,1
164—10 690
0,6
Здесь 7д— безразмерный комплекс величин = / (Re, Sc);
a^ — коэффициент массопередачи для жидкостей,.
моль/мг-ч-мол. доля;
aG — коэффициент массопередачи для газов, молъ/м2 -ч X
X (моль/ед. объема);
ау — коэффициент массопередачи для газов, молъ/м2-ч X
X (масса Л/масса 5);
dp — диаметр частиц;
Р — давление;
Gm — скорость газа, кмолъ/м2-ч;
Ьм— скорость жидкости, кмолъ/м2-ч;
е — порозность насадки.
§ 7. ДИФФУЗИЯ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ.
УВЛАЖНЕНИЕ ВОЗДУХА
Определить скорость испарения воды из сосуда, установленного
в виде дна для газохода, через который проходит воздух со ско-
скоростью 6 м/сек. Площадь поперечного сечения квадратного сосуда
0,09 м2; температура поверхности воды 37,8° С. Температура воздуха
при 1 am 60° С, парциальное давление водяных паров в воздухе
0.0315 am. Средняя молекулярная масса воздуха 28,7. Плотность
воздуха:
Вязкость воздуха:
[1 = 0,0195 спз или 0,07 кг/м-ч
Длина стенки сосуда 1 = 0,Зм.
Критерий Рейнольдса:
Iwy _ 0,3 • 6 • 1,05 • 3600 _
В ~ ц 0,07
Коэффициент диффузии D для паро-воздушной смеси при 25,9° С
составляет:
D =0,258 см2/сек
В пересчете на 60° С получим:
2 =0,306 см2 /сек или 0,11 м*/ч
¦ = 0.608
Критерий Шмидта:
Sc = -4-=-
0,07
1,05-0.11
Из рис. XIX-5 и табл. XIX-1 найдем (линия 4)
¦ ср
= 0,0037=
Sc
ТМ
534
535
причем
ff
=790
Парциальное давление водяных паров на поверхность воды
при 37,8°С:
РЛ,= 0,0475 am
Парциальное давление водяных паров в газовом потоке:
pAG = 0,0315 am
Парциальное давление воздуха на поверхности раздела фаз:
рш = 1—0,0475 = 0,9525 am
Парциальное давление воздуха в газовом потоке:
PBG = 1 —0,0315 = 0,9685 am
Следовательно, среднее парциальное давление воздуха будет:
0,9685 + 0,9525
Рв. ср —"
-=0,961 am
Коэффициент массопередачи составляет:
0,0037G
0,0037 • 790
0,00377 м 0,0037 790
аг = гг— гг — 4,18 кмоаъ/м* • ч • am
Рв. cpSc/s 0,961- 0,608 /з
Количество испаряющейся воды в соответствии с уравне-
уравнением G6):
NA = aG ¦ АрА = 4,18 @,0475 — 0,0315) = 0,67 нмолъ/м? ¦ ч
Скорость испарения воды:
L = 0,67 • 0,09 • 18,02 = 0,98 кг/ч
По опытным данным эта величина составляет 0,865.
§ 8. ДИФФУЗИЯ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ.
ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ПОДОБИЯ
Опытным путем для скорости испарения воды с поверхности
влажных круглых дисков различных диаметров найдено следующее
выражение:
-JUlL. = з,3 • 10"' (ud)«-Be
Рд — Pb
где w — скорость испарения, г воды/сж2-сек;
рд — давление водяных паров при температуре на поверхности
диска, мм рт. ст.;
рь — парциальное давление водяных паров в воздушном потоке,
мм рт. ст.;
и — скорость воздуха, см/сек;
d — диаметр диска, см.
536
Температура воздуха при атмосферном давлении была 25° С.
Преобразовать эту эмпирическую формулу к критериальному
виду, — приняв показатель степени для критерия Шмидта Sc рав-
равным -5-, — с тем, чтобы сделать данное выражение полезным для
расчета скорости испарения других жидкостей с поверхности диска.
Имеем:
Рд — Рь = дРат • 760; w г Н4O/cJt2 • сек = N А • 18.02 моль
Таким образом, получим:
NA • 18,02d
Кроме того
откуда
-Л
ДР
ат •
=3,3
3,3 • 1Q-7 ¦ 760 {ud)»>*« ^_ 1,39 ¦ 10-5 (ud)<><™
? 18,02d d
Далее из табл. XIX-1 найдем:
.ср„./, 1,39-10
D
Sc'/>AfcpPB. ср _
иу
1,39 • 10-5
. cp
day
(Y/ЦH-11
V (duy/ц)»-
Для условий опыта при Мср = 29, ц = 0,00018 ш, Sc=0,60, Y =
= 0,001186 г/см3, Л.сР = 0.95 am будем иметь:
o,/8
1.39-10-^0.60/'-29-0,95
\в.«
0,001186Re0>44
0,527
Re0,41
§ 9. ТЕПЛО-ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ СУШКИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
ГАЗОМ, ПРОХОДЯЩИМ ЧЕРЕЗ СЛОИ МАТЕРИАЛА
Рассмотрим слой твердой массы, через который проходит газ
с влажностью Ух при скорости Gc кг сухого газа/ж2 • ч. Максимальная
скорость сушки PFMaKc будет в том случае, если газ при выходе
из аппарата насыщен парами жидкости при температуре адиабат-
адиабатного насыщения и имеет, следовательно, влажность Уон*
W^o^GaiY^-Yj) (81)
где W — количество испаряющейся влаги, кг влаги/л2-ч.
Обычно газ уходит с влажностью Уа, и скорбеть сушки в любой
момент времени будет!
- " '" ~* ¦ (82)
I
537
Для бесконечно малого сечения слоя материала, где влажность
газа изменяется на dY и конечная его влажность составляет Y,
скорость сушки равна:
dW = GcdY = aYdS (YaII - Y)
(83)
тде aY — коэффициент массопередачи в газовой фазе, кг испаря-
испаряющейся влаги/л*2-ч- AY;
S — поверхность контакта фаз, м2/м2 поперечного сечения слоя
материала.
Обозначим через а поверхность фазового контакта на единицу
объема слоя материала, толщина которого zc\ тогда получим:
dS = a dzc
Уравнение (83) примет следующий вид
dY
JT
у
откуда имеем:
yadzc
(84)
(85)
(86)
где N — число ступеней массопередачи в газовой фазе рассматри-
рассматриваемого слоя материала.
Средней движущей силой для процесса испарения влаги будет
средняя логарифмическая разность величин Yau — Yх и Уан — Y2-
Сопоставляя уравнения (81), (82) и (86), получим:
W
Y.2-Y,
А __
(87)
Последнее равенство дает скорость сушки W при условии, если
гх.уа и N известны. Величина Л^ установлена для следующих специаль-
специальных случаев.
1. Сушка твердого материала без пор
Размер частиц от 2,00 до 0,075 мм, применительно к высоте
слоя материала г> 11,5 мм. Для этого случая постоянная скорость
сушки определяется с' помощью уравнения (81). Выражение (87)
может быть использовано как для постоянной, так и для переменной
скорости сушки. Величина а изменяется с содержанием влаги, и по-
поэтому более удобно определять число ступеней сушки посредством
эмпирической формулы:
0,332
dpG \ 0,216
(88)
где dp — диаметр частиц, м;
7нас — насыпная плотность, кг сухого мате риал а/л*3;
G — массовая скорость газа, кг газа/л*2 -ч;
ц — вязкость газа, кг/м-ч;
X — содержание влаги в твердой массе;
dpG/\j. — критерий Рейнольдса.
Пример. Лепешка кристаллического осадка подвергается сушке
воздухом, проходящим через слой этого материала.
Частицы лепешки не обладают пористостью, их средний диаметр
0,203 мм. Вследствие нерастворимости осадка в воде равновесная
влажность его ничтожно мала. Толщина слоя осадка составляет
17,8 мм; 7нас материала 1360 кг сухой массы/лг3. Начальная влаж-
влажность осадка 2,5%, а конечная 0,1%. Скорость прохождения
воздуха через слой материала 853 кг сухого воздуха/ж2 -ч при 32,2° С
и 50%-ной влажности.
Определить время сушки.
Имеем:
¦" ' -=0,0256 кг воды/ кг сухой массы
1—0,025
= 0,001001 кг воды/кг сухой массы
^2 = -;—7ГННГ
1 —0,001
С помощью диаграммы I — d найдем
У1 = 0,0158 кг воды/кг сухого воздуха
YaH = 0,0190 кг воды /кг сухого воздуха
Для среднего значения потока воздуха имеем;
Применяя (81), получим:
И\,ака = 853 @,0190—0,0158) = 2,74 кг испаряемой воды/ж^ . ч
Вязкость воздуха при средней температуре —'¦—-^—- =28° С
составляет:
ц = 0,018 спз или 0,0425 кг/м-ч
Таким образом, для критерия Рейнольдса имеем:
„ dpG 0,000203-867,85 ...
Re = —= О0421 = 4\14
Используя (88), получим число ступеней сушки:
,г
0,332 • 4,
. (X ¦ 1360 - 0,
0,000203d'35
Скорость сушки в соответствии с (87) будет!
538
539
Следующая таблица дает значения скорости сушки W (в кг
воды/л2»ч) в зависимости от X (в кг воды/кг сухой твердой массы)
соответственно последней формуле:
X
W
. . . 0,0256 0,02 0,015 0,010 0,008 0,006 0,004 0,002 0,001
. . . 2,722 2,720 2,680 2,605 2,560 2,438 2,240 1,830 1,360
По этим табличным данным
на рис. XIX-6 изображена
кривая скорости сушки. Про-
Продолжительность сушки опреде-
определится при нахождении пло-
площади под кривой, постр оенной
в координатах 1/W относи-
относительно X:
W5 0.010 0,015
Рис. XIX-6.
ОМ 0,025"
dX
w
хг
Величина площади под этой кривой составляет 0,0097. Так как
—р = 1360-0,0178 = 24,2 кг сухой твердой массы/.и2
то время сушки составляет:
т = 24,2 • 0,0097 = 0,235 ч или —14 мин
• 2. Сушка пористых тел
Размер частиц от 3,0 до 20,0 мм применительно к высоте слоя
материала от 10,0 до 65 мм.
Во время сушки при постоянной скорости газ уходит ненасыщен-
ненасыщенным, и эта скорость процесса определяется посредством (87). Вели-
Величина ау может быть найдена из формулы
aY = }DGc/Sc/' (89)
причем jD, в свою очередь, вычисляется с помощью кривых на
рис. XIX-5. Величина поверхности контакта фаз может быть прирав-
приравнена величине поверхности частиц. При сушке твердых тел возду-
воздухом критерий Шмидта Sc = 0,6.
Пример. Гранулы влажного пористого катализатора, имеющие
форму цилиндров диаметром 13,45 мм и высотой 12,85 мм, подвер-
подвергаются сушке в аппарате при пропускании воздуха через слой
материала. Катализатор в слое высотой 50,8 мм, считая на сухой
остаток, расположен на ситчатых противнях. Скорость прохождения
воздуха равна 3900 кг сухого воздуха/л*2 • ч при 82° С, влажность воз-
воздуха 0,01 кг воды/кг сухого воздуха. Насыпная плотность катализа-
катализатора 605 кг сухого материала/л*3, а поверхность его частиц составляет
282 мг/м3 слоя катализатора.
540
Определить скорость сушки, а также влажность и тзмпературу
воздуха при выходе из аппарата в течение периода постоянной ско-
скорости сушки.
Имеем:
Yi = 0,01 кг воды/кг сухого воздуха
Из диаграммы I—d находим влажность воздуха в состоянии
насыщения
УаН = 0,031 кг воды/кг сухого воздуха
при соответствующей температуре адиабатного насыщения:
Средняя скорость воздуха:
С = 3900 + 3,900 °-01+°-03t = 3978 кг/м*. ч
Средняя вязкость воздуха:
ц = 0,019 спя или 0,0685 кг/м-ч
Поверхность частицы катализатора:
/ = 0,785 • 0.013452 -2+3,14 • 0,01345 • 0,01285 = 0,00083 ->t2
Диаметр сферической частицы с такой же поверхностью соста-
составляет:
3978
Найдем число Рейнольдса:
^= 945
И- 0,0685
Кривая б на рис. XIX-5 дает:
/D = 0,06
Критерий Шмидта Sc для системы воздух — водяной пар:
Sc = 0,6
Используя (89), получим:
0,06-3900
0,6/з
воды/ле2 . „. ду
Число ступеней сушки равно:
330-282-0,0508
= 3900
=1'21
Максимальная скорость сушки в соответствии с (81):
e = Ge (YaH - Yi) = 3900 @,031 - 0,01) = 82 кг воды/жЗ • ч
641
Применяя (87), получим
W
Y2-0,0i
82 0,031—0,01
откуда:
W=57,5 кг испаряемой воды/ж2 •ч
Влажность воздуха при выходе из сушилки:
V2 = 0,0162 кг воды/кг сухого воздуха
С помощью диаграммы / — d определяем температуру выходя-
выходящего из аппарата воздуха:
Так' как
t = 66,5s С
-— = у„ге = 605 «0,0508 = 30,8 кг сухой твердой массы/л2
то из уравнения материального баланса имеем для скорости сушки:
¦^-=W-r- = -^— = i,87 кг воды/кг сухого катализатора • ч
§ 10. ПОВЕРХНОСТНОЕ ИСПАРЕНИЕ ВЛАГИ ПРИ НЕПОДВИЖНОМ
ВОЗДУХЕ
Слой воды с поверхностью 1 X 1 л*2 находится в соприкоснове-
соприкосновении с воздухом при температуре 21,1° С и относительной влажности
50%. Температура поверхности воды составляет 32,2° С.
Определим количество воды, испаряющейся в 1 ч с квадратного
метра ее поверхности, считая воздух неподвижным. Молекулярные
массы воздуха и воды принимаются, соответственно, равными 29 и 18.
Давление равно 1 am.
Для воздуха при 21,1° С и 50%-ной относительной влажности
Рводы = 0,0126 к
Рвозд = 1,033^0,0126 = 1,02 кГ/см?
для воздуха при 32,2° С в состоянии насыщения
Рводы = 0,0485 кГ/см*
Рвозд = 1,033—0,0485 = 0,985 кГ/см?
Значения для плотности, вязкости, теплопроводности :i тепло-
теплоемкости воздуха возьмем при средней температуре 26,6° С:
Y= 1,185 кГ/мз или р = 0,1205 кг-сек^/м*
(X = 0,0655 кг/м-ч или 18,6 «Ю кг/м-сек
X = 0,022 ккал/м • ч • град
С,, —0,24 ккал/кг-град
542
Для критериев Грасгоффа и Нуссельта в данном случае имеем:
0Г = ^2~ \y^~i)
где ymf и yms обозначают плотности смеси, соответственно, над поверх-
поверхностью и у самой поверхности жидкости
Nu=<?(Gr-Pr)
причем на основе опытных данных можно принять
Nu = 0,75 (Gr.Pr)'/4.
Подставляя соответствующие величины, получим:
9,81 • I3
Gr=
/ 18,6-Ю"? V
\ 0,1205 /
0,24 • 18,6-10'7-3600-9,81
Рг=
Таким образом
Коэффициент теплопередачи а равен:
a = 56,2J'/l--°^p- = ^7 ккал/м*.ч-град
Используем для влагообмена (массопередачи) следующее выра-
выражение
где D — коэффициент диффузии;
Sc —критерий Шмидта.
Разделив критериальное уравнение массопередачи на крите-
критериальное уравнение для теплообмена, получим:
ам1
D
"~ V Рг ) V СрцрК / V CppD )
Решая для ам, найдем:
aD
ам
После подстановки значения а будем иметь:
„ 1.24Р / А, У/.
543
Тогда
Для коэффициента диффузии D из таблиц имеем:
D = 0,0992 м*/ч
^ 1,24-0,0922/ 0,022 \Ч* 16,3
м /'/«.0,022 V 0,24• 1,185• 0,0922
Здесь имеем случай диффузии одного гаэа — водяного пара —
в газовую среду, т. е. воздух, где действительна такая зависимость
для массы испаряющейся воды:
При подстановке числовых значений получим:
„ _ 16,6 • 1,033 @,0485 — OjOi26) • 10 000 Q.Q246 кмоль
A°2 + 0985) ^ 4/ *
Так как 1 = 1 м, то величина масеопередачи составит
N = 0,0246 • 18 «=» 0,443 кг/м* • ч
§11. КОНДИЦИОНИРОВАНИЕ РЕАКЦИОННОЙ СМЕСИ В ПАРОВОЙ ФАЗЕ.
ПРИГОТОВЛЕНИЕ ВОЗДУШНО-ПАРОВОЙ СМЕСИ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО
ПАРОФАЗНОГО КАТАЛИТИЧЕСКОГО ОКИСЛЕНИЯ ТОЛУОЛА
При проектировании опытной установки для исследования про-
процесса, включающего в себя парофазное каталитическое окисление
толуола, предусматривается возможность непрерывного пригото-
приготовления смеси толуола с воздухом, содержащей 5 мол. % толуола
при 32,2° С и 1 am. Производительность аппарата по воздуху 111 кг/ч.
Способ приготовления смеси состоит в адиабатном охлаждении воз-
воздуха испаряемым толуолом в башне, наполненной насадочными седло-
седловидными телами, размером 37,5 мм. Определить размеры насадоч-
ной части аппарата.
Молекулярные массы, соответственно, воздуха и толуола соста-
составляют 29 и 92,1. При 5%-ной концентрации толуола в смеси содер*-
жание толуола на 1 кг воздуха Y't равно:
v> 5_ 92,1 _ кг толуола
•~ 95 " 29 ~ и'1Ь'Э кг воздуха
Кроме того, имеем:
tGt — 32,2s С, Св = 0,24 ккал/кг • град, СА = 0,30 ккал/кг • град
Теплосодержание смеси:
CSt = 0,24+0,30 • 0,1675 = 0,29 ккал/кг • град
Ииеем: :
G, - 'нач = (Ги„ - П)
= 32Д - г.нач = Г вач- 0,1675)
544
Значения гнач и Унач определяем методом подбора; последние
составляют:
t -Ч12°СиГ 017Q пг толуола
1нач-б1,г и и гнач_ид/и кг воздуха
Теплота парообразования толуола при температуре насыщения
Хиач = 102 ккал/кг. Для чистого воздуха
П=о
получим:
102
«G,-31.2 = @,1700-0)-^
Таким образом, температура, до которой поступающий в аппарат
воздух должен быть нагрет, составляет:
tGi = 103,5° С
Температура циркулирующего толуола гнач == 31,2° С.
Учитывая, что наименьший диаметр башни принимают мысленно
равным восьмикратному размеру насадки, получим:
D = 37,5 • 8 = 300 мм= 0,3 м
Площадь поперечного сечения башни
F = 0,785 -0,32= 0,073^2
s 0,073
Удельный объем воздуха:
т, 22,4 * + 273 1 22,4 103,5 + 273
М
273
29
273
= 1,07
лез
кг воздуха
Скорость потока воздуха:
1520-1,07
3600
= 0,452 м/сек
Пользуясь эмпирической формулой для коэффициента масео-
масеопередачи применительно к системе воздух — вода, получим для
максимальной плотности орошения 33 200 кг/м2-ч:
kYa = Q,5G's°'a9L'0'iS =0,5'1520°-se-33 200O'48 = 13110 кг толуола/л.»• ч ДУ
Для других паро-воздушных систем значение N изменяется
обратно пропорционально величине критерия Шмидта в степени 0,5.
Критерий Шмидта для системы воздух — вода составляет Sc = 0,60,
а для системы воздух — толуол Sc = 2,0. Следовательно, имеем!
kYa =
Кроме того
°'1700-°
0>1700 —0,1675
1520
35 Заказ 1706
545
откуда высота слоя насадки:
Z—0,9 м
Общая высота башни должна включать в себя дополнительно
0,150 м для распыления жидкости, 0,150 м для насадки над распы-
распылителем, улавливающей частицы жидкости (брызги) из газа, и
0,300 м для пространства под решеткой, поддерживающей насадку.
Таким образом, высота башни составляет 1,5 м.
§ 12. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ПРОТОЧНОЙ ЭКСТРАКЦИИ
Процесс экстрагирования — процесс диффузионный. Движущей
силой диффузии является разность концентраций растворенного
вещества в соприкасающихся слоях жидкости; вследствие этого
растворенное вещество перемещается в сторону меньшей концен-
концентрации.
В экстракционных процессах диффузии почти неизменно сопут-
сопутствует движение либо жидкости — растворителя, либо экстрагиру-
экстрагируемой массы, или той и другой. Эти факторы влияют существенным
образом на процесс экстрагирования. Поэтому уравнение диффузии
оказывается недостаточным для характеристики экстрагирования
в проточной системе. В нашем случае имеет место движение жидко-
жидкости — растворителя.
Дифференциальное уравнение для диффузии в движущейся среде
имеет вид:
дЧ , дЧ . дЧ \ дс дс , dc lnn.
-w+H*rw*-dx-+wy-d7+w*^f (90)
где с — концентрация вещества в растворе;
D — коэффициент диффузии.
Это уравнение описывает распределение концентрации в движу-
движущейся среде и аналогично дифференциальному уравнению конвектив-
конвективной теплопередачи.
Так как, кроме концентрации, переменной является еще ско-
скорость, то уравнение (90) должно рассматриваться в совокупности
с дифференциальными уравнениями движения жидкости и неразрыв-
неразрывности (сплошности) потока при экстрагировании.
Уравнение движения в данном случае (жидкость несжимаемая)
имеет вид:
Эи>х
дт; "^ „ — ,
dv / f№m.. /Mi/i Я2|„ \
(91)
тт dWx п
При установившемся движении -~ = О.
Для вывода уравнения неразрывности применительно к проточной
экстракции примем следующие обозначения:
с — концентрация извлекаемого вещества в жидкости, кг/м3;
z — содержание извлекаемого вещества в обрабатываемой массе,
кг/м3;
546
V — количество проходящей через аппарат жидкости, мя1м2'Ч}
т — объем жидкости на единицу площади сечения аппарата и на
погонный метр длины (или высоты) аппарата, м3/м2-м;
п — объем обрабатываемой массы в том же выражении, мя/м2-м.
Обозначим через dx бесконечно малое приращение пути х, про-
проходимого потоком вдоль аппарата за время Дт. Рассмотрим часть
аппарата между точками х и х + dx.
Через с обозначим среднее значение с в течение времени Дт.
Тогда -cVAx представляет собой поступающее через сечение
в точке х за время Дт количество извлекаемого вещества и с -f- do
равно среднему значению с в точке х X dx в течение времени Дт.
Отсюда (с + dc)VAx равно количеству извлекаемого вещества,
выходящего через сечение в точке х + dx за время Дт.
В результате вычитания находим, что увеличение количества
извлекаемого вещества в пределах пространства между сечениями
в точках х и х + dx за промежуток времени Дт составляет — VdcAn.
Допустим, что с' — среднее значение концентрации с в пределах
пространства, соответствующего отрезку пути dx к моменту т.
Тогда тс'dx выражает количество извлекаемого вещества, содер-
содержащегося в жидкости в этом пространстве к моменту и.
Пусть z' равно среднему значению концентрации г для обрабаты-
обрабатываемой массы в пространстве, соответствующем отрезку dx к мо-
моменту т.
Тогда nz'dx равно количеству извлекаемого вещества, содержа-
содержащегося в обрабатываемой массе для этого пространства к моменту
времени т.
Ко времени х -\- Аи величина с' становится равной с' X Дс' и г*
принимает значение г' -\- Az'. Поэтому выражение
[т (с' + \с') + п (г' +Дг')] dx
представляет собой общее количество извлекаемого вещества ко вре-
времени т + Дт.
Следовательно
[т (с' + Дс') + и (г' + Az')] dx — (mc' + nz') dx = [m Дс' +п Дг'] dx
есть увеличение количества извлекаемого вещества за промежуток
времени Дт.
Приравнивая вновь полученное выражение первоначальному,
ПОЛуЧИМ!
V dc Дт + т Ac' dx+n Дг' dx = 0
Разделим это уравнение на dxA-v и каждый из этих множителей
устремим к нулю. После предельного перехода найдем окончательно:
дс , дс dz
— -\-m-—\-п — =
дх di дх
(92)
Это уравнение и есть уравнение неразрывности (или сплошности)
для рассматриваемого здесь процесса проточного экстрагирования.
35* 547
Таким образом, мы имеем систему из трех дифференциальных
уравнений, описывающих процесс проточного экстрагирования.
Для одномерного движения эти уравнения будут:
дс _ п
w дх
dw
~dx
, дс
dp
—
дх
d2w
дс
(93)
(94)
(95)
Совместное решение этих уравнений даст искомую формулу для
описания процесса проточного экстрагирования. Введем масштаб-
масштабные множители в соответствии с теорией подобия:
л
v
V
HL- a ¦ n> - A ¦ P' - A ¦ g' - A ¦ P' -
m ""' n
dc' ш dc
dz' ф аз
dx' ' ~dx~
Из этих уравнений имеем:
dx'
дс' дс
dw' dw _
~faT "' ~a7~ Agrau w
dc' = 4grad cx ^r dc = ¦
Далее:
icxAtdc=Acdc
,, . at' . . , - ,
йс =^grad CT-^—dc~ AgTadc^Axdc=Acdc
dx' .
dz' =
dw' = 4grad w -j^- dw =
X dz=Az dz
Aldw= AWx dw
wAl
Из уравнений A7) —B0) получаем:
ax'
ac
a^
ac'
af
dc
Их
dw'
"to7"
dw
dx
Ac
A'c
""'
аа;'г Лс
dz'
dx' Az
dz Az
~~dx
dx'2 AWx
d'zu> Af
dx*
Дифференциальные уравнения диффузии для модели напишем
в соответствии с уравнениями (93)—(95), причем входящие сюда
величины, в отличие от величин для производственного аппарата,
снабдим штрихами:
, dc' d*c'
w = D
. dw'
дх'
dp' , 32ш'
дх' т dx'
В эти уравнения мы можем, согласно вышеприведенным соотно-
соотношениям, подставить
х' = Ajx; w' = Aww; x' = Атх; с' = Асс
z' = Azz; p' = Лрр; т' = Атт; п' — Апп; D' = ADD
где величины без штриха относятся к производственному аппарату.
Таким образом, для модели получаем из уравнения (93):
Ас дс Ас d2c
At дх D Af dx*
Уравнение (94) дает:
Из уравнения (95) имеем:
. т, Ас dc , . Ап
А. дх ^ ^ Л? dxi
dc
По аналогии с теплопередачей можем написать выражение для
коэффициента экстракции ссэк
dc'
, _ dx'
аэк М ~~Э ~Т
тогда:
D
дх
«эк dK А[АС с — с0
Принимая во внимание только такие процессы, для которых зна-
значения масштабных множителей перед производными можно было бы
сократить, мы получим:
Ai Ai
А
firп
-Л Л - р - A
548
(97)
549
АЛЛ
AD
(98)
(99)
Следовательно, если масштабные множители удовлетворяют соот-
соотношениям (96)—(99), то в дифференциальных уравнениях зти мно-
множители могут быть сокращены и для модели остается система диффе-
дифференциальных уравнений, которые полностью идентичны уравнениям
производственного аппарата.
Представим соотношения (96)—(99) в более удобной форме.
Из (96) имеем:
"¦-
4т
Отсюда следует
wl
w'V
D'
D
т. е. имеем аналог критерия подобия Пекле1
Ре'=-
Из (97):
или
¦--.= и>'1'/ =Re
м- W
Из (98) получаем:
или
Ух = F't'
Критерий подобия Фг характеризует кратность обмена раство-
растворителя.
Далее:
АпАг
или
550
А,г-г- — -
Vct V'c't' _.
nlz nlz z
Критерий подобия Ф2 характеризует степень экстрагирования.
Имеем также:
а Ал . Ау
или
т'с'
Критерий подобия Ф3 характеризует коэффициент распределения
растворенного вещества между двумя фазами.
Далее
А
ИЛИ
т. е. получаем аналог критерия Нуссельта. Его численные значения
для всех потоков с одинаковыми Re, Ре' и др. равны между собой
и зависят только от значений этих величин.
Следовательно, при геометрически подобной границе потоков:
Nu' = /0(Re, Ре', Фь Ф2 Ф3)
где /о — функция, устанавливаемая экспериментально.
Вместо критерия Ре можно ввести и другой, который получается
в результате иного комбинирования уравнений (96)—(99). Весьма
удобным является аналог критерия Рг', а именно;
Ре'
D
Pi' = sss __
Re ^г_ D
v
где v — кинематическая вязкость.
Этот критерий содержит в себе только физико-химические постоян-
постоянные вещества, находящегося в движении.
Тогда уравнение проточной экстракции можно написать так:
Nu' = / (Re, Рг', Фь Ф2, Ф3)
где / — другая функция.
Искомой величиной служит коэффициент экстракции аэк на по-
поверхности раздела фаз!
Nu'?>
где аэк — коэффициент экстракции, м3/м2-ч=м[ч;
I — характерный линейный размер, м;
D — коэффициент диффузии, м2/ч.
Зависимость между критериями подобия обычно представляется
в виде степенных функций; в данном случае имеем:
Nu' = i|;Rea • Рг'" • Ф{ • Ф^ • Ф|
где а|з, a, b,c, d и е являются постоянными и отвлеченными числами,
определяемыми экспериментально.
551
§ 13. АНАЛИЗ УСЛОВИЙ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОХИМИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ, ПРОТЕКАЮЩИХ В ТОНКОМ СЛОЕ
Рассмотрим процесс диазотирования; для успешного, его проведе-
проведения требуется ускоренный отвод тепла от реакционной массы и не-
непрерывное удаление из сферы реакции образующихся продуктов.
Эти условия могут быть выполнены при наличии максимально раз-
развитой поверхности теплообмена и аппарата непрерывного действия.
Для осуществления этих условий исходные вещества, как, напри-
например, анилин, соляная кислота и раствор нитрита натрия непрерывно
подаются в два кольцевых канала 1 и 2, расположенные один над
другим (рис. XIX-7); к ним присоединены патрубки 6 и 7. Из этих
каналов потоки распределяются по радиальным канавкам (лоткам) 3.
Аппарат снабжен рубашкой 4 с патрубками 5 для охлаждения реак-
реакционной массы водой или рассолом.
Процесс диазотирования протекает по мере движения реакцион-
реакционной массы по канавке (лотку) в тонком слое.
В данном случае имеем процесс теплопередачи в сочетании с хи-
химической реакцией или же химическую реакцию, протекающую
в тонком слое при одновременной теплопередаче. Количество тепла,
отводимого от реакционной массы, примем пропорциональным гра-
градиенту концентрации вновь образующегося продукта и тепловому
эффекту реакции (тепловыделению).
Рассмотрим в реакционной массе две единичные площадки, парал-
параллельные дну лотка и расположенные на расстояниях h и h -f- dh
от уровня реакционного слоя. Количество тепла, выделяющегося
через эти площадки за время dx, будет:
где q — тепловой эффект реакции, ккал-ма/кг-ч;
с — концентрация вновь образующегося вещества, кг[м3;
-?- — концентрационный градиент, кг/м-м3.
Если рассмотреть элементарный столбик реакционной массы,
основания которого совпадают с упомянутыми выше единичными
площадками, то количество тепла, выделяющегося из этого объема
за время dx, будет равно:
То же количество тепла, очевидно, пропорционально количеству
образующегося в этом объеме вещества, т. е. пропорционально dc dh.
Из дифференциального уравнения скорости химической реакции
(где к — константа скорости реакции, м31пг-ч;
А и В — концентрации исходных продуктов, кг/м3) следует;
dcdh = k (А—с) (В —с) dh dx
Рис. XIX-7.
Отсюда находим:
где а0 — тепло-диффузионный коэффициент пропорциональности
кг' м2/ккал • ма.
552
553
Последнее уравнение можно представить в виде:
№с к_
d№ ~ auq ' [С}
В результате мы получили дифференциальное уравнение второго
порядка, устанавливающее функциональную зависимость между h
и с.
Данный процесс характеризуется, кроме того, уравнением тепло-
теплопроводности в движущейся среде [см. формулу A2), стр. 514]:
№ dt
где а = коэффициент температуропроводности жидкости, м?/ч.
На границе жидкой пленки и стенки аппарата имеет место тепло-
теплоотдача. Поэтому на основании формулы A6) имеем:
О = —Л
\dh)
t—u
где а — коэффициент теплоотдачи от реакционной массы к стенке,
ккал/м2-ч-град;
dt
-тг — температурный градиент;
t0 — температура стенки, °С;
t — температура жидкости, °С.
При диазотировании в тонком слое режим движения жидкости
в радиальных канавках (лотках) может быть ламинарным или вол-
волновым.
В том и другом случае уравнение одномерного движения имеет
вид [см. формулу G)]:
dw
дР
В итоге получим следующие дифференциальные уравнения,
описывающие термохимический процесс диазотирования в тонком слое
die = _к_
dW aoq
d4 dt
dw
и условие на границе:
554
dp
A00)
A01)
A02)
A03)
Совместное исследование этих уравнений методами подобия дает
критериальное уравнение тепло- (или термо-) кинетики непрерыв-
непрерывного процесса диазотирования в тонком слое и, вообще, физико-
химических процессов, протекающих в подвижных слоях или плен-
пленках жидкости.
Вводя масштабные множители, получим следующие критериаль-
критериальные зависимости (§ 12)
(I)
(И)
wxp
= Re
1
Fr- Eu
причем критерий Фруда характеризует силу тяжести, а критерий
Эйлера — перепад давления.
Далее имеем:
—=Ре' (III)
Ш
(IV)
где к — постоянная, характеризующая скорость реакции, ч—1;
h — толщина слоя реакционной массы, м;
а0 — тепло-диффузионный коэффициент пропорциональности,
кг • жг ',
з- = кг/ккал • м;
ккал• м3
q — тепловой эффект реакции, ккал-мя/кг-ч.
Критерий Di характеризует реакционнопроводность взаимодей-
взаимодействующей среды, отнесенную к количеству тепла, отводимого с 1 л*2
поверхности теплообмена в час, при протекании процесса в движу-
движущемся слое жидкости.
Наконец:
at
Nu =
—
При геометрически подобной границе потоков:
Nu = /0[Re(Fr-Eu), Pe\ Di]
где /0 — функция, устанавливаемая экспериментально.
Критерий Ре' можно заменить более удобным критерием Прандтля:
Рг' =
Ре'
Re
Тогда получим:
Nu = /[Re(Fr-Eu), Pr'. Di]
Приводя критериальную зависимость к степенной функции,
находим:
(Fr-En)"Pr' 1>i2
где \|з, m, n, r, z — постоянные и отвлеченные числа, устанавлива-
устанавливаемые экспериментально.
555
Искомой величиной является коэффициент теплоотдачи а на
поверхности раздела жидкости и внутренней стенки рубашки:
а =
h
Этот процесс с целью определения расхода v должен быть рас-
рассмотрен дополнительно с гидродинамической точки зрения. Мы имеем
здесь установившееся прямолинейно-параллельное течение вязкой
несжимаемой жидкости при наличии одной твердой плоской стенки
и одной свободной границы, причем вторая жидкость — газ на сво-
свободной поверхности имеет сравнительно малую плотность.
В теории динамики вязкой несжимаемой жидкости доказывается,
что в этом случае на свободной поверхности раздела нормальная
составляющая напряжения должна быть равна постоянному давле-
давлению, а касательная составляющая должна обращаться в нуль.
Таким образом, вдоль свободной границы давление не будет зависеть
от х, т. е.
It
дх
= 0
A04)
Следовательно, здесь перепада давления вдоль течения не может
быть и само течение'может происходить при наклоне твердой стенки
к горизонту, т. е. под действием силы тяжести. Для решения задачи
обратимся к уравнениям G) и (8) данной главы, а также C8), выве-
выведенному в главе XI.
Так как траектории всех частиц строго прямолинейны и парал-
параллельны между собой, то имеем:
wQ = 0, шг es 0
При этом предположений из уравнения неразрывности:
A05)
A06)
Таким образом, единственная проекция вектора скорости и вдоль
всей траектории будет оставаться постоянной и может изменяться
только в поперечном к траекториям направлении.
С учетом A05) и A06) дифференциальные уравнения движения
жидкости упростятся:
*wx , d*w.
jL.2r
P дУ
A07)
556
Обозначим угол наклона твердой стенки (дна) к горизонту через а
и выберем ось х параллельно направлению стенки (рис. XIX-8).
Так как проекция силы тяжести на ось х будет равна
gx = gsina
то первое уравнение A07) при учете A04) и предположении, что
скорость wx не зависит от координаты z, представится в виде:
g
, , = —- sin a
dy2 v
В силу условия прилипания имеем
wx = Q при г/ = 0
и так как на свободной границе сила у
вязкости на единицу площади должна
обращаться в нуль, то соответственное
граничное условие для скорости будет
представляться в виде:
A08)
A09)
- = 0 при v =
A10)
Рис. XIX-8.
Общее решение дифференциального уравнения A08) имеет вид
(см. гл. V):
wx = —-?-sin
На основании граничных условий A09) и A10) получим:
gh .
= —— sin a
v
Таким образом, решение рассматриваемой задачи будет предста-
представляться в виде:
Максимальная скорость имеет место на свободной границе:
u>MaKc = -^rsina A12)
Расход v равен:
С j I ghs .
v = \ wx dy = — • -— sin а
A13)
§ 14. КИНЕТИКА ИОННОГО ОБМЕНА
В ионообменной колонне протекают в основном три процесса,
а именно: проточная экстракция, реакция обменного разложения,
сопровождающегося диффузией, и фильтрование, т. е. движение
жидкости через слой ионита.
557
Будем исходить из основных положений о кинетике химических
реакций для случая двух противоположно направленных реакций
второго порядка (см. гл. Ш). Уравнение скорости реакции в этом
случае будет [формула F5), гл. IHls
или
d (с dx)
dx
= kf (c) dx
где к—постоянная величина, характеризующая' природу реакции;
/(с) = (сю-с)(с+р); р = Соо+4-
Количество вещества, вступающего в реакцию ионного обмена
в элементарном объеме за время dx, составит!
g=—d (с dx) = kf (с) dx di
Составляя материальный баланс таким же образом, как для
диффузии, сопровождающейся химической реакцией (см. гл. X),
получим уравнение:
где D — коэффициент диффузии.
Упрощая, придем к дифференциальному уравнению второго
порядка!
ixT=irfV A14>
Как и для проточной экстракции (см. стр. 546), имеем дополни-
дополнительные дифференциальные уравнения, описывающие процесс ион-
ионного обмена в колонне:
dc
dw
dp
a = — D
dc
dx
с — с0
Применим метод масштабных множителей для приведения диффе-
дифференциального уравнения ионного обмена [формула A14)] к крите-
критериальному виду!
' = Atx; к' = Akk; D'=ADD
Таким образом, для модели из дифференциального уравнения
получаем!
&с _ Akk. Acf (с)
dx* ADD
ИЛИ
Отсюда находим
№ k'V*
т. е. критерий, характеризующий реакцию обменного разложения,
сопровождающуюся диффузией.
Обозначим критерий ионного обмена через Uo, тогда
0= D
Следовательно, критериальное уравнение рассматриваемого здесь
процесса, вытекающее из представленных выше дифференциальных
уравнений, принимает следующий вид:
где а|з, а, Ъ, с, d, e, h — постоянные и отвлеченные числа, устанавли-
устанавливаемые экспериментально.
§ 15. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИОНООБМЕННЫХ ФИЛЬТРОВ
Соображения, приведенные в § 14, могут быть использованы для
моделирования ионообменных фильтров. С этой целью рассмотрим
ионообменную реакцию:
te[H] ^r^- KaT[Na] + HCl
?58
Так как степень завершенности процесса ионного обмена предста-
представляет собой заданную максимально возможную величину, то кри-
критерий подобия Ф3 может быть опущен в экспериментальных иссле-
исследованиях.
Дополнительно к предыдущим приняты следующие обозначения:
w — фиктивная скорость жидкости, м/сек;
1 — конечная высота слоя ионита, м;
у — кинематический коэффициент вязкости раствора, м2/сек;
[I —динамический коэффициент вязкости раствора, кг/м-сек;
V — объем раствора, профильтрованного до «проскока», мэ/мг-сек\
с — концентрация извлекаемого вещества в жидкости, кг/мэ;
2 —содержание извлекаемого вещества в твердой массе, кг/мэ;
т — объем жидкости на единицу сечения фильтра и на 1 л* высоты
аппарата, m3/m?'~m;
559
n — объем ионита на единицу сечения фильтра и на 1 л* высоты
аппарата, ms/m2 ¦ м;
а — коэффициент массопередачи, ма/м2'сек или м/сек;
d — диаметр фильтра, м;
D — коэффициент диффузии, м2/сек;
х — время, сек;
ур — плотность раствора, кг/м3;
7ИСТ — истинная плотность катионита КУ-2, кг/м*;
Унас — васыпная плотность катионита КУ-2, кг/л*3;
GK — масса катионита, кг; .
ун к — объем набухшего катионита с раствором, м3.
Коэффициент массообмена а, входящий в критерий Нуссельта,
определяется по формуле:
<х =
F-Acx
где G — количество поглощенного вещества, кг\
F — поверхность зерен катионита, м2;
А" — средняя движущая сила ионообменного процесса;
т — время фильтрования, сек.
Значения Ас вычисляются по формуле:
Ас=.
2,303 lg
ао — г
где г — динамическая емкость до «проскока» для единицы объема
катионита, кг/м3;
а0 — статическая емкость, отвечающая состоянию равновесия,
отнесенная к единице объема катионита, кг/м3.
Значения вычисленных критериев подобия представлены
в табл. XIX-2.
Зависимость A15) может быть найдена путем обработки экспери-
экспериментальных данных.
Определение коэффициента а. Используя экспериментальные
значения критерия Nu при переменных величинах Re, получим;
lgNu = lgC+algRe
Изобразим зависимость между Re и Nu графически на логарифми-
логарифмической сетке (рис. XIX-9); значение показателя степени равно:
а = 0,92
Определение коэффициента Ъ. Определяем экспериментально Nu
при переменных значениях Рг. Имеем:
Из графика на рис. XIX-10 найдем:
с = -2,90
Ми
100
80
60
to
Nu
100
SO
60
го
Y/
10 20 Ы 60 80100 Re
Рис. XIX-9.
—Ч-
И
ш
oil 1
..... !J
и
ClI
ь
-Ц
::::=J
1
1
г * 6 в ю го ф,
Рис. XIX-11.
6-ю3 ю-ю3 Рг
Рис, XIX-10.
60
40
20
10
я
в
it
?
°/
г/о
п\
1 \
1 \
г
/
I
\1
1
ч
]
1
1
0,2 0,3 ОЛ 0,6
Рис. XIX-12.
2Ф,
560
36 Заказ 1706
ТАБЛИЦА XIX-2
MM
п/п
13
14
15
16
I».-10"
У-10"
До
0,025 н.
1
2
3
4
0,0013
0,0033
0,0066
0,0099
4,28
3,78
3,38
3,18
2,3
2,3
2,3
2,3
1,8
1,8
1,8
1,8
967
870
780
750
0,575
0,575
0,575
0,575
18,5
16,4
14,6
13,8
1000
1000
1000
1000
15,8
17,3
18,5
19,1
0,05 н.
5
6
7
8
0,0013
0,0033
0,0066
0,0099
4,20
3,43
3,34
3,18
2,7
2,7
2,7
2,7
1,19
1,19
1,19
1,19
440
390
360
356
1,15
1,15
1,15
1,15
18,3
14,8
14,5
13,8
1000
1000
1000
1000
15,8
17,5
18,4
19,1
0.1 н.
9
10
11
12
0,0013
0,0033
0,0066
0,0099
4,1
3,4
ЗД
2,94
3,2
3,2
3,2
3,2
1,2
1,2
1,2
1,2
230
189
186
160
2,3
2,3
2,3
2,3
17,8
14,8
13,5
12,8
1002
1002
1002
1002
16
18,4
19,2
19,7
0,2 н.
NaCl
NaCl
NaCl
NaCl
fe.108
Re
Pr
Nu
14 500
5150
2 250
1500
18,8
16,7
14,8
14
78
180
346
472
4,2
11,1
17,2
22.3
10
25
50
75
5100
5100
5100
5100
3,04
7,05
13,6
18,5
18,6
16,8
15,1
14,5
0,220
0,248
0,280
0,295
2 440
6 270
10 500
12 500
6750
2320
1100
720
18,5
15,1
14,7
14,0
166
360
715
975
7,38
17,2
34,4
47,5
10
25
50
75
4350
4350
4350
4350
5,52
12,0
23,6
32,7
8,7
7,5
6,9
6,8
0,256
0,318
0,322
0,340
3520
8220
16 800
22 600
3450
980
520
320
18,1
15
13,7
13,0
321
870
1350
1980
12,4
31,8
58,3
123,0
10
25
50
75
3680
3680
3680
3680
9,04
22,0
38,0
55,5
4,4
3,6
3,5
3,0
0,530
0,640
0,700
0,740
5 000
12 800
23 400
49 500
0,0013
0,0033
0,0066
0.0099
3,5
2,97
2,97
2,72
3,9
3,9
39
39
1,21
1,21
1,21
1,21
110
90
83
82
4,6
4,6
4,6
4,6
15,2
12,9
12,9
1,18
1006
1006
1006
1006
17.5
19,7
19,7
20,4
1460
510
250
170
15,4
13,0
13,1
11,9
586
1268
2560
3320
34,0
72,0
134,0
17,2
10
25
50
75
3060
3060
3060
3060
13,5
29,6
59,4
77,0
2,4
1,7
1,6
1,5
1,27
1,50
1,50
1,64
Примечание.
= 2,36 м'/кг; 4 = 0,36 м, Тист=1400
с=800 кг/м'; а„=
562
26,8 пг/м'\ G=10.10-3 кг; d=9-1
36*
23-10-6
т=2,28; п=0,56.
11300
24 000
44 500
5 700
563
Определение коэффициента с. Определяем экспериментально Nu
при переменных значениях Фх. Производя аналогичные построения,
найдем из графика на
м рис. XIX-11:
с = —6,20
Определение коэффициента d.
Из графика на рис. XIX-12
находим:
.г.
Z
<^
Z
no3 W 6WS-I0W г-ш"
Рис. XIX-13.
Определение коэффициента h.
Определяем Nu при перемен-
переменных значениях критерия ион-
ионного обмена Uo. Пользуясь
графиком на рис. XIX-13, по-
получим:
t ¦ ¦ Таким образом, критери-
610 Uo альное уравнение процесса
ионного обмена между раство-
раствором хлористого натрия и смо-
смолой имеет следующий вид:
( Wl \0,92 / v \-2,90 / Ft \-6,20 / VcX \6,40 / /с/2 \
Nu=n—) Ы Ы) Ыг) (—)
Полученное уравнение позволяет определить характер и степень
влияния переменных факторов на данный процесс ионного обмена
и, следовательно, установить рациональный режим работы фильтра.
§ 16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ ВЕЛИЧИН В КРИТЕРИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ
Определение функций и показателей степени в критериальных
уравнениях покажем на примере абсорбции.
Частные коэффициенты скорости абсорбции для газовой и жидкой
фаз даются следующими критериальными уравнениями!
d \g
— м/сек
Уравнение для общего коэффициента абсорбции, выраженного
в кг/м2-ч-мм рт. ст., имеет вид:
К=
3600 Af
22,4 • 760
d \Ч 3600Я
760
564
или
?»-
{)m М
4,73/2
Н
где /х и /2 — искомые величины;
к, I, т, п, р, q — показатели степени критериев подобия;
М — молекулярная масса поглощаемого газа;
Н—константа Генри, кг/ж2-ат;
Rer — число Рейнольдса для газа (Rer = — V
Яеж — число Рейнольдса для жидкости
Ргг —число Прандтля для газа f Ргг = -^ 1;
Ргж — число Прандтля для жидкости
Dr—коэффициент диффузии для газа, м2]сек;
D.M — коэффициент диффузии в жидкой фазе, ж2/сек;
d — эквивалентный диаметр насадки, м;
h—высота элемента насадки, ж;
vr — кинематическая вязкость газовой фазы, мг/сек;
vx — кинематическая вязкость жидкости, м^/сек.
Определение коэффициента к. Определяем экспериментально
общие коэффициенты скорости абсорбции К при переменном значе-
значении Rer.
где
Re
А =
» Д. 2
1
А
Reri
А
R<
А
R<
1
1
1
+
1
Кж
1
А'ж
1
^ж
Имеем три уравнения с тремя неизвестными: А, к, ¦р—. При со-
вместном решении этих уравнений находим, что к определяется иа
уравнения;
Р =
Негз
D
1
к2
к3
Величина:
A=.
к
Re*
_j___l A__
Кж ~ KX Re*
Определение коэффициента т. Определяем К при переменных
значениях
h *
Вследствие того, что А зависит от -г-, мы должны для каждого
из значений -г- найти А из трех значений К.
Предположим, что f-r-J и (х) с°ответствУет Ai и ^2-
Получаем*
0,21 l/i
0,211/i
1
1
Рг/
(*:
/ d >
/2
Составляя отношение
логарифмируя и определяя из полу-
ченного при зтом уравнения т, найдем;
Определение коэффициента /. В данном случае К определяется
при переменных значениях Рг, которые могут быть получены путем
испытания какого-либо другого газа. Однако при этом изменяются
не только Рг, но также М и DT. Значение А зависит от Ргг, поэтому
необходимо для различных газов установить А из трех значений К.
Предположим, что для одного газа, для которого известны Ргх, Drl,
Mlt найдено Аг, а для другого газа, для которого известны Ргг2,
Dri, Мг, найдено А2.
Таким образом
0,211/i
DTi
566
откуда
At Mt
g Аъ Мъ
Dr
'
Dr
Ptr
Определение коэффициента fv Если I и m известны, то значе-
значение функции /х легко определяется из уравнения:
-^)m M
где А — среднее значение этой величины (поскольку коэффициенты
k, I, m вычислены по нескольким значениям А).
Определение коэффициента п. Величина К находится при пере-
переменных значениях Г1еж, т. е. при изменении плотности орошения.
Имеем:
для Re
¦ж,
для Re,
для Re,,
#3 =
1
кг
1
1
•+•
1
¦+
1
1
Tip"
Е
Re"
ж2
Е
где
Показатель степени п, при решении этих уравнений, опреде-
определяется из соотношения
(ал—l) = z(i—
где
567
Величина!
E =
1
Kr
1
l
i
ж2
E
Определение коэффициента д. При переменных значениях -г-
находим К и определяем значения Е.
, Пользуясь вышеуказанным способом, получим:
Определение показателя степени р. Переменной величиной здесь
является Ргж. При этом одновременно с Ргж, который изменяется
при пользовании другим газом, изменяются DM и Н.
Следовательно
.
-
Рг
Определение функции /2. При наличии известных показателей
степени р и q эта функция определяется так:
Пример. В трубе диаметром 32 мм с переменной высотой от 320
до 1280 мм при отекании воды по внутренней поверхности аппарата
создавалась пленка. Процесс абсорбции М. Д. Кузнецовым изучался
применительно к NH3, SO2 и НС1 в смеси с воздухом.
Использованы следующие физические константы.
Коэффициенты диффузии в воздухе:
DS02 = 8,9 • 10"в м^/сек
Коэффициенты диффузии в воде;
2>NH3 = 7,3-10~6 м^Iсек
568
Константы Генря:
ffNHs = 526 nzjxfl • am
^HCl= ^21 кг/м,з • am
Hso = 105 кг /лФ • am
Кинематическая вязкость воздуха:
vBo3fl = 22,5-10"e мЧ /сек
Кинематическая вязкость воды:
= 3,6 • 10-3 М2/Ч
Применив вышеприведенную математическую обработку к опыт-
опытным данным, М. Д. Кузнецов получил:
к ==0,752; г = 0,628; т = 0,066; h = 0,0445
п=0,324; р=0,165; q=0,503; /2=471.
Используя эти величины, находим:
ЛГГ = 0,0445 -^-Re».'6?Pr»'62 ^-^-V'oee м/се!1
4)°'Б°3 M/ceK
§ 17. МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТИ
Многие процессы, встречающиеся на практике, бывают настолько
сложными, что не могут быть непосредственно описаны дифферен-
дифференциальными уравнениями. В таких случаях весьма ценным математи-
математическим приемом для выявления соотношения между переменными
величинами служит анализ размерности. Этот метод анализа процес-
процессов не дает полных сведений о соотношении между переменными,
которое, в конечном итоге, должно быть выявлено экспериментально.
Тем не менее этот метод позволяет значительно сократить объем
экспериментальных работ.
Таким образом, эффективное использование метода анализа раз-
размерности возможно только при комбинировании его с эксперимен-
экспериментом; причем должны быть известны все факторы или переменные
величины, влияющие на исследуемый процесс.
Анализ размерности дает логическое распределение величин
по безразмерным группам.
В общем виде функциональная зависимость N может быть пред-
представлена так
или
= f{w. L. р, ц, g,p, . . .)
= f (пь п2, ns, . , ., nk)
A16)
569
Сюда входят, включая и величину N, (к -f- 1) величин. Они могут
быть переменными, постоянными, размерными и безразмерными.
Однако в данном случае требуется, чтобы для численных величин,
входящих в уравнение, характеризующее физическое явление, была
принята одна и та же система основных единиц измерения. При соблю-
соблюдении этого условия уравнение остается справедливым при произ-
произвольно выбранной системе единиц измерения. Далее, эти основные
единицы должны быть независимыми по своим размерностям,
а число их таким, чтобы имелась возможность представить через них
размерности всех других величин, входящих в функциональную
зависимость A16).
Такими единицами измерения могут быть какие-либо три вели-
величины, входящие в уравнение A16) и являющиеся независимыми друг
от друга в отношении размерности. Приняв, например, за единицы
измерения длину L и скорость w, мы тем самым имеем заданными
единицу длины L и единицу времени Т — — . Таким образом, для
третьей единицы измерения нельзя принимать какую-либо величину,
размерность которой содержит лишь длину и время, как, например,
ускорение, так как единица этой величины уже является заданной
в результате выбора единицы длины и скорости. Следовательно,
дополнительно должна быть выбрана какая-либо величина, в раз-
размерность которой входит масса, например, плотность, вязкость,
сила и т. п.
На практике, например, при гидравлических исследованиях,
оказывается целесообразным принять следующие три единицы изме-
измерения; скорость w0 какой-либо частицы потока; какую-либо длину,
например, диаметр трубопровода D или его длину L; плотность р0
выбранной частицы.
Размерность этих единиц измерения:
\ = MJcen;
] — m и [р] =
Таким образом, уравнение для размерностей в соответствии
с уравнением A16) может быть представлено в следующем виде:
[PoF; [щ] - [wop [Lufl [pofl
Значения величин Nt и щ, взятых в системе основных единиц
(метр, секунда, кГ-сила), можно выразить безразмерными числами:
N
Щ
Следовательно, вместо уравнения A16) можно написать уравне-
уравнение, в котором все величины выражены в относительных единицах
(по отношению к w0, Lo и р0)!
п2
nk
570
Так как пх, п2, п3 представляют собой, соответственно, w0, LQ
и Ро, то первые три члена уравнения превращаются в три единицы
и функциональная зависимость принимает вид:
я = /A, 1, 1, я4, я5, я6, . . . ,nk)
Итак, функциональная зависимость в общем случае между к -\- 1
размерными величинами N и п{ (w, L, р, [X, g, . . .) выражается как
соотношение между (к -)- 1 — 3) величинами п и nt (i = 4, 5, . . . к),
каждая из которых есть безразмерная степенная комбинация вели-
величин, входящих в функциональную зависимость.
Эта теорема называется я-теоремой; она позволяет при исследо-
исследовании определить связь не между самими переменными, а между
некоторыми, составленными по определенным законам безразмер-
безразмерными их отношениями.
Безразмерные числа я носят характер критериев подобия, как это
видно из следующего примера.
Пример. Функциональную зависимость для силы сопротивле-
сопротивления Т кГ, которую испытывает пластина при обтекании ее жидкостью
в направлении ее длины, можно представить в виде!
,S,p,\i, g, p.-J-, 6°)
Требуется определить эту зависимость в критериях подобия.
Основные единицы:
w — скорость обтекания;
S — площадь пластины;
р — плотность жидкости.
Величина -=- есть отношение высоты пластины к ее длине, 8° —
угол наклона пластины к направлению потока.
Таким образом, величины -=- и 8° безразмерны, остальные шесть —
размерны; три из них: w, S и р приняты за основные. В соответ-
соответствии с я-теоремой здесь возможны только три безразмерных
соотношения. Следовательно
п = /( 1,1, 1, п4, лБ, пв,
или
wxSvpz
/ 1, 1, 1.
_
Учитывая равенство размерностей для числителя и знаменателя,
найдем показатели степеней
или
= (м/сек)х
{кГ. сек
571
откуда
1 = г (показатели слева и справа при кГ)
0 = x-{-2y — 4z (показатели при метрах)
0= —х+2z (показатели при секундах)
решение этих уравнений дает:
2=1; х=1; у—\
Аналогично получим:
zi= 1 i xi = 1 и ^i = 0,5
z2 = 0; а;2 = 2 и j/2 = — 0,5
Отсюда имеем:
Т ц г/5
Очевидно, значения я4 и я6 являются критериями Рейнольдса
и Эйлера. Величина яБ представляет собой критерий Фруда:
учитывающий влияние сил тяжести. Обычно в качестве критерия
Фруда принимают более удобную для расчетов обратную величину:
Искомая функциональная зависимость имеет вид:
Отсюда можно сделать вывод, что, исследуя данный процесс при
некоторых размерах, скоростях и т. п., мы можем установить, как
он будет протекать при других, размерах и скоростях в том случае,
если безразмерные отношения, составленные из этих переменных,
для обоих случаев будут одинаковыми.
Следовательно, выводы, полученные из опытов с телами данных
размеров, движущихся с данной скоростью и т. д.. будут, очевидно,
справедливы и для любых других размеров-тела, скорости и т. д.
при условии равенства безразмерных отношений л с теми, которые
наблюдались при опытах.
Пример. Внутри греющей трубы куба ректификационной ко-
колонны (рис. XIX-14) протекает теплоноситель со средней скоростью
w0 м/сек. Диаметр трубы d, а длина /.
572
Температура теплоносителя при входе в трубу составляет t0T.
Температура стенки трубы постоянна по ее длине и равна tc <^t0T.
Найти уравнение подобия для теплоотдачи в трубе.
Средняя тепловая нагрузка поверхности трубы, т. е. количество
тепла, передаваемое через единицу площади в единицу времени
(см. стр. 475), равна:
2
<?= г-^4г ±dx (U7)
2
I J дг
о
где
— теплопровод-
теплопроводность тепло-
теплоносителя;
•& = t — tc — разность ме- ¦*?,
жду темпера- I
турами теп- *
лоносителя и
стенки трубы, к
Распределение разности *а
температур •& и скорости w I
в потоке описывается еле- *—
дующими дифференциальными
уравнениями:
rot
->
(w grad ft)
(w grad) w
div w
= ay2ft
= v rot у2 '
= 0
Рис.
&
XIX-14.
A18)
A19)
A20)
В качестве граничных условий задают Ъ, I, v, a, 7^, а также рас-
распределения температуры и скорости на твердых и жидких границах
потока:
При х—0 и
При г = — и
Li
— имеем w = w0 и ft = 10T — fc = Af
имеем u; = 0 и Q—te — ic = 0
A21)
Из уравнений A19), A20) и граничных условий для скоростей
A21) следует, что
w = fi(r, х, v, d, w0) A22)
Из уравнения A18) и граничных условий для температуры A21)
следует, что
ft=/2(r, x,w, a, d, At) A23)
Подставив A22) в A23), получим:
Ф = /а {г, х, a, v, d, w0, At) A24)
57.5
Подставив A24) и A17), найдем величины, от которых зависит
средняя тепловая нагрузка поверхности трубы:
i
q = г- \ -т- h (г, х, a, v, d, w0, At)\ d dx = XTh (v, a, d, w0, At, T) A25)
I J L or -ir=-r
о 2
Уравнение A25) содержит п = 6 размерных величин, для опре-
определения которых использовано к = 3 первичных единицы измерения:
метр, секунда, градус:
[d] = .w; [a] = [v] = л12/сев; [шо] = м/сек\ At —град; ¦. = град[м
К?
Следовательно, безразмерная форма уравнения A25) должна
содержать п — & = 6 — 3 = 3 критерия подобия.
Для получения уравнения подобия уменьшим метр, секунду
и градус, соответственно, в L, Т и 6 раз и перепишем A25) в новых
/ m сек град \
единицах [^-j-, — и—g—J:
jrL,a±.L,d*L,wojr. A* ¦ в,
Положив d •?,= !, г^0 —- = 1 и Дг -0 = 1, получим:
A26)
1 ? 1 о
=T' Y = l^ и9=
Подставив L, Т и 8 в A26), найдем:
дГ
u;od' u;od ' Х> 1; Ь d У
Заменив /4 на / и учитывая, что -|т =а, перепишем последнее
уравнение так:
или
Nu = /fRe, Pe, 4-^^fRe, Рг, 4^ A27)
§ 18. КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ ПРИ КОНДЕНСАЦИИ ПАРОВ
Рассмотрим плоскую стенку с толщиной, равной еаинице, рас-
расположенную под углом Ф к горизонтальной оси (рис. XIX-15).
Пусть на расстоянии х от верхнего конца этой стенки толщина
слоя жидкости составляет s. Сила ускорения, действующая на
элемент массы конденсата в направлении оси х на расстоянии
s — у, будет
(s — у) dxyg sin<J>
где у — плотность жидкости;
g — ускорение силы тяжести.
574
Тормозящая сила состоит из задерживающего усилия со стороны
газа или пара на свободной поверхности конденсата и из задержи-
задерживающего усилия внутренней граничной пленки рассматриваемого
элемента жидкости. Эта сила равна
¦dx
^ ду
где [X — вязкость.
Для равновесных условий имеем:
(s—y) dxyg sinO = |
где w — скорость жидкости
Рис. XIX-15.
Таким образом
ду
¦dx
Рис. XIX-16.
yg sin Ф
При у = 0 имеем wu = 0; следовательно С = 0. Количество
жидкости G, проходящей над поверхностью, равно
С р?81пФ_ / J_ 4-1 ф = ^?8шФ_ /? _ ^Ч ==
EJ
и средняя скорость жидкости будет:
yg sin
Для вертикальной стенки имеем:
)=1 И Wpn =
Зц.
575
Так как в данном случае жидкость получается в результате
конденсации пара, то на верхнем конце стенки толщина слоя пленки
равна нулю и по мере приближения к основанию последняя увели-
увеличивается.
При установившихся условиях разность значений массовых ско-
скоростей жидкости на отрезках длин х и х -\- dx зависит от конден-
конденсации паров над малым элементом поверхности по длине dx (рис. XIX-
16). Если толщина слоя жидкостной пленки увеличивается от s до
s -f- ds, то увеличение массовой скорости потока жидкости
составит:
д
9s
in Ф$3
Зп
y2g sin Ф$2 ds
Обозначим температуры пара и стенки, соответственно, через tn
и ?ст, тогда для количества тепла, передаваемого за счет теплопро-
теплопроводности, будем иметь:
М*п-*ст)-у-
где К — коэффициент теплопроводности конденсата.
Таким образом, скорость конденсации на рассматриваемой пло-
площадке стенки равна:
t
где г — теплота парообразования жидкости.
Следовательно
dx
v п с ' sr
sin
\i
После интегрирования получим:
Имеем:
(tn — гст) х = yig sin <Ds4 _ г
g sin Фгу2
Коэффициент теплоотдачи а при х — х равен %]s, поэтому
а=У -Ш1
и
Nu
__ ах __ */" y2gsin<t>rx3
Л г 4AЛ (tn — iCT)
Это выражение дает значения а и Nu для отдельных точек при
х — х.
576
Среднее значение коэффициента теплоотдачи для всей поверх-
поверхности стенки между х = 0 и х = х равно:
аср=— I а&Е=— Kx-^dx=— К-?—• =
J J т
о о
Для вертикальной поверхности sin Ф = 1 и поэтому
§ 19. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ДЛЯ СТРУП ИЗ ЖИДКОСТНЫХ
КАПЕЛЬ
В этом случае мы будем рассматривать поток жидкости, выте-
вытекающей из распылительной трубы или сопла с образованием струи
из жидкостных капель. Представляет интерес определение среднего
диаметра капель жидкости в струе.
Примем
do = f(t, Ц, <Т, g, d, w)
где d0 — средний диаметр капель;
w — скорость движения жидкости в трубе;
d — диаметр открытого конца трубы;
а — поверхностное натяжение жидкости.
Используя у, d и w в качестве основных величин, получим:
Для d0
для ц
для а
Для g
я2 = ,—обратное число Рейнольдса
зт3 = —_ _ обратное число Вебера
я4 = -s-j — обратное число Фруда
Таким образом, окончательно будем иметы
ИЛИ
/(Re, We, Pi)
37 Заказ 1706
«7T
§ 20. ПРИНУДИТЕЛЬНАЯ КОНВЕКЦИЯ ПРИ ВЫСОКОЙ СКОРОСТИ
ПОТОКА
Если при движении жидкости происходит частичный обмен
между тепловой энергией и направленной кинетической энергией,
например, при истечении газа из сопла или диффузора, то мы не
можем придавать теплу независимые размерности. В этом случае
возможно применить такой же метод анализа размерностей, как и
для принудительной конвекции в трубе, но с использованием только
четырех основных единиц измерения [X, L, т и t.
Теперь мы должны принять
q — f(At, А,, ср, у, ц, d, w0, tcp)
Выбирая следующие основные величины с учетом указанных выше
единиц измерения, получим
д* х d и,
t ML 1x4 L L/x
В результате анализа размерностей найдем:
для q
лх = -^Tj- — критерий Nu
для ср
Для у
для ц
CpAt
или
IcpAt
— механический коэффициент тепла
лз=
Atl
для tc
'ср
~АТ
AtX
или
At
Отметим, что пх • л2 = 1 Re • Рг и л 2 • л4 = Рг; новым здесь является
безразмерное отношение л2 или его обратная величина, которая
более удобна для пользования.
Таким образом
е'Рг'^Гд7' if)
ср .
Физический смысл критерия wlllcp At становится ясным из того,
что y wo выражает кинетическую энергию, отнесенную к единице
массы потока, в то время как IcpAt есть мера изменения энтальпии
на единицу массы при повышении температуры на At.
Значение нового критерия может быть обосновано также извест-
известным уравнением для сжимаемого потока идеального газа при отсут-
отсутствии теплоотдачи и работы трения:
1ср + — w2 = const
Li
В связи с этим можно утверждать, что w\\1 Icp указывает порядок
величины колебаний температуры, которые имеют место в потоке
вследствие явлений сжатия. При низких скоростях эта динамиче-
динамическая температурная разность обычно мала по сравнению с измеря-
измеряемой разностью At. Однако при высокой скорости потока они могут
быть одного порядка. Для идеального газа мы можем написать
/с* = ^1
R
Следовательно
где ао =
IcnAt = -
7-1
t,
ср
—скорость звука в газе при температуре tcp.
Таким образом, отношение wl[IcpAt равно (у—1)-|?-Ма2, где
Ma = wjao — критерий Маха для потока в данной точке. В ито-
итоге имеем!
= /(lte, Рг, Ma, -^
\ 'ср
Используя другие основные величины, например At, cp, у, d,
w0, мы получим для лх
Я __ «
Щ Atywocp'
и соответственно
— критерий Стаитона (St)
St
= Ф ( Re, Рг, -Л ; St =
Nu
Re-Рг
При наличии высоких температурных разностей следует учесть
изменения физических констант с температурой. Поэтому в допол-
дополнение к А* вводится еще одна величина tcp — средняя температура
массы жидкости. Тогда
Nu = /(Re, Рг, Af/tcp)
Опытным путем установлено, что для случая турбулентного
потока в длинной трубе с Re 3> 2100 и для жидкостей с числом
Рг^=0,5 коэффициенты скорости теплоотдачи могут быть вычислены
из следующего выражения:
Nu = 0,023Re°'8Pr°-4
37* 579
Для ламинарных потоков и вязких жидкостей имеем:
0,14
Nu = 0,027
(U V
_±_ )
ЙСТ /
ReO.8pjO.S3
где (х и (хст — вязкости соответственно при средней температуре
массы и температуре стенки.
§ 21. СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ
Примем, что тепловой поток q для случая теплоотдачи конвек-
конвекцией от вертикальной стенки зависит от следующих переменных
величин, включая и высоту стенки L\
q = 1(M, $g, У, Кср, ц, L)
где Р — коэффициент расширения жидкости.
Эта зависимость между восемью величинами приводит к соотно-
соотношению между тремя безразмерными группами при использовании
М, L, т, t и h в качестве основных единиц измерения, причем
h — количество тепла.
Выберем следующие величины
Соответственно t h/Lrt M/L* M/Lx L
с размерностями
Тогда будем иметь:
для q
qL aL „ ,т
п1 = ~Ш~ = ~Т критерии Nu
для Pg
для ср
=
„
критерии Gr
Иср
я3 = ~y~ — критерий Рг
Таким образом, для теплоотдачи свободной конвекцией от вер-
вертикальной стенки получим
Nu = /(Gr, Рг)
Для ламинарного потока с произведением Gr«Pr в пределах
от 104 до 108 практически найдено
Если Gr-Pr> Ю9, то Nu пропорционален величине (Gr-Pr)'/».
В этом случае могут быть использованы следующие формулы:
для газов Nu=0,12Gr'^3Pr'/s
для жидкостей Nu = 0,17Gr1/:iPr^'
§80
Для теплоотдачи конвекцией от горизонтальных цилиндров в кри-
критериях Nu и Рг используется значение диаметра и при Gr -Pr < 108
имеем
Nu = 0,47Gr'/*Pr>/4
§ 22. РАСХОД ЭНЕРГИИ ДЛЯ ВЕНТИЛЯТОРА
Рассмотрим серию геометрически подобных вентиляторов. Пусть п
и d, соответственно, скорость вращения и диаметр колеса, a v объем
потока. Примем, что расход энергии N на вращение вентилятора
есть функция у, \а, п, d, v или
f(N, у, ц, п, d, i>) = 0
По-прежнему имеем шесть переменных величин при трех основных
единицах измерения и, следовательно, анализ должен завершаться
тремя безразмерными отношениями.
Выберем у, п и d в качестве первичных единиц. Для ях устана-
Лг
вливаем г .
Приравнивая размерности числителя и знаменателя, найдем:
N
Я1 =—адБ—коэффициент расхода энергии
Для п2 получим д> ^ Са
и а2 = 1, Ь2 = 1, с2 = 2.
Таким образом,
и2 == —^— обратное число Рейнольдса
Для ns имеем —-—г—— .
В результате получим:
N
пд?
¦'(*¦
р J
Отметим, что здесь поток газа принят несжимаемым.
Так как движение газа при его прохождении через вентилятор
является сильно турбулентным, то эффект изменения вязкости
будет пренебрежимо мал по сравнению с инерционными явлениями.
581
Поэтому мы можем не учитывать изменения, связанного с числом
Рейнольдса, и для практических целей пользоваться упрощенным
выражением
N
D*Ny ~yb r
ц J I g
П-а
J
§ 23. РАСХОД ЭНЕРГИИ НА ПЕРЕМЕШИВАНИЕ ЖИДКОСТЕЙ
В РЕАКЦИОННЫХ АППАРАТАХ
Для подобия в двух смесительных системах требуется:
1. Геометрическое и граничное подобие, при котором отношения
величин для рассматриваемых систем должны быть равны между
собой.
2. Кинетическое подобие, где скорости в соответственных точках
должны быть в таком же отношении, как скорости в других соответ-
соответственных точках. Таким образом, пути движения жидкости должны
быть подобными.
3. Динамическое подобие, которое требует, чтобы отношение
сил в соответственных точках было равно отношению сил в других
соответственных точках.
Если граничные условия фиксированы, то мы можем выразить
одну переменную," например, мощность Р через другие независимые
переменные
Р = Ф(Д ц, g, у, N)
где Р — диаметр;
N — скорость вращения мешалки.
Представляя эту зависимость в виде произведения степеней,
получим;
P = K(Danbfy?Nt)
При использовании единиц измерения L, М и Т найдем:
MV Г f M \bf L\'fU\tf I У]
Приравнивая друг другу размерности в обеих частях равен-
равенства, будем иметь:
для L: 2 — а—Ъ-\-е— 3/
для М: 1 = b -+- /
для Т: — 3=— Ъ — 2е — /
Выразим эти значения через Ъ и е, тогда получим:
/=1-6
а = 2 + Ь — е +3 — 36 = 5 — 26 — е
/ = —6 —
582
Г / D2Nv \-Ь I DN2 \~e~i
= К (DbyN*) I '- \ ( J
или
или
Критерий Рейнольдса D2N/\i здесь представляет отношение
силы инерции к силам вязкости, а критерий Фруда — влияние
силы тяжести. Для трехлопастных мешалок К = 41.
§ 24. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИСКОМЫХ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ МОДЕЛИ
ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
Для процесса охлаждения воды воздухом спроектирован новый
тип трубчатого теплообменного аппарата. Данные о гидравлическом
сопротивлении потоку воды в таком теплообменнике отсутствуют.
Предполагается испытать модель теплообменника, длина которого
составляет 1/10 длины производственного аппарата. Скорость воды
в производственном аппарате 756 л/мин при средней температуре
49° С.
1. Какая скорость воздуха при 15,7° С и давлении 1 атм в мо-
модели может создать условия, подобные таковым в производственном
аппарате?
2. Если перепад давления в модели для скорости потока, уста-
установленной в 1, равен 760 мм вод. ст., то какой перепад давления
будет в производственном аппарате?
Для воды при 49° С:
v = 0,0567 -10-5
р = 987 кг/
Для воздуха при 15,7° С:
v = 0,147-10"
р = 1,22 кг/м?
где v—вязкость; р — плотность.
1. Для динамического подобия производственного аппарата в мо-
модели необходимо, чтобы числа Рейнольдса были равны между собой.
Величины, входящие в критерий Рейнольдса, представлены
в табл. XIX-3.
Из равенства чисел Рейнольдса получим:
10-0,756-0,147-10-4
У 100 • 0,0567 • 10-5 — 2-° •*' /мин
Таким образом, скорость воздуха в модели должна быть равна
2,0 мя/мин.
2. Если между моделью и производственным аппаратом суще-
существует динамическое подобие, то должны быть равны между собой
числа Эйлера (табл. XIX-4).
583
ТАБЛИЦА XIX-З
Величины
Длина
Объемная скорость по-
потока, ма/мин ....
Скорость
Кинематическая вяз-
вязкость, м^/сек ....
Число Рейнольдса . . .
Модель
L
Q
~&
0,147 • 10-4
г Q i
ь ?2 • 0,147 • 10-4
Производственный аппарат
10L
0,756
0,756
0.0567 ¦ 10-5
0,756 1
10 100?2 * 0,0567 • 10
ТАБЛИЦА XIX-4
Величины
Длина
Перепад давления, мм
Скорость
Плотность, кг/м* . . .
Число Эйлера
Модель
L
760
2,0
?2
1,22
760g
1,22 B,0/?2J
Производственный аппарат
10?
АР
0,756
100?2
987
bPg
987 @,756/100^2J
Так как числа Эйлера равны между собой, то имеем:
а"=
760 • 987 ¦ 0,7562
1 22 • 202 ¦ МО2
==°> мм вад. ст.
Мы нашли величину перепада давления в производственном
аппарате, которая соответствует перепаду давления 760 мм вод. ст.
для модели.
Глава XX
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Теория вероятностей в абстрактной форме отражает закономер-
закономерности, присущие случайным событиям массового характера. Нельзя,
например, судить о качествах данной партии продукта без предвари-
предварительного испытания. С другой стороны, если положить в основу
результаты пробных испытаний многих партий продукта, то с извест-
известной степенью вероятности можно предвидеть качества и неиспытан-
неиспытанной партии. Таким образом, произведенные в большом количестве
испытания выявляют некоторые новые закономерности, служащие
основой для предвидения.
При большом количестве испытаний, каждое из которых дает
случайные результаты, взаимно уравновешиваются влияния слу-
случайных факторов и вступают в действие главные, постоянные при-
причины, которые проявляются в некотором постоянстве средних
чисел.
Если испытания, в результате которых может появиться изу-
изучаемое случайное событие, могут быть повторены в одних и тех же
условиях неограниченное число раз, то такое случайное событие
называется массовым или статистическим или, наконец, стохасти-
стохастическим.
Изучение «случайных» событий составляет предмет теории веро-
вероятностей.
Вероятностью события называется отношение числа благоприят-
благоприятствующих событию случаев к числу всех возможных!
Число благоприятствующих случаев
р~~ Число всех возможных случаев
Разумеется, что при подсчете случаев ни один из благоприят-
благоприятствующих или возможных случаев не должен быть упущен; кроме
того, эти случаи должны быть равновозможными и несовместимыми,
т. е. взаимно исключающими друг друга.
585
Понятие «равновозможность», очевидно, необходимо для правиль-
правильной оценки вероятности.
Вероятность, обычно обозначаемая буквой р, заключена между
нулем и единицей: O^p^l.
Вероятность события А обозначается р (А). Если из общего
числа п равновозможных и несовместимых случаев появлению собы-
события А благоприятствуют т случаев, то вероятность этого события:
РЙ = 7 A)
Событие, которое должно произойти обязательно, называется
достоверным. Его вероятность р — — = 1. Если же ни один из
случаев не благоприятствует появлению события, оно будет невоз-
0 Л
можным и его вероятность р == — = U.
Практически к категории достоверных часто
Рис. ХХ-1.
относят события, для которых
к категории невероятных относят события,
для которых OsSpsg.0,01.
Иногда число благоприятствующих на-
наступлению события случаев и число всех
возможных случаев бывают бесконечно боль-
большими.
Предположим, что материальная точка падает на площадь,
имеющую контур АВСА (рис. ХХ-1). Пусть эта точна с одинаковой
вероятностью может упасть на любую геометрическую точку, нахо-
находящуюся в пределах рассматриваемой площади. Здесь число всех
возможных случаев бесконечно. Число случаев, благоприятствующих
попаданию точки в область, ограниченную внутренним конту-
контуром аЪса, также бесконечно. Принимают, что вероятность попадания
точки в область аЪса пропорциональна площади аЪса и обратно
пропорциональна площади АВСА. Поэтому эту вероятность есте-
естественно определить как отношение этих площадей;
Площадь abca
*" Площадь АВСА
Вероятность события можно определить по вероятности другого
события, которое противоположно первому. При этом полагают,
что противоположное событие представляет собой появление одного
из всех остальных возможных событий, за исключением выбран-
выбранного.
Если производится большое число испытаний и результатом каж-
каждого испытания является возникновение одного из п равновозмож-
йых событий, то каждое из них должно появляться приблизительно
одинаково часто. Если при этом появлению события А благоприят-
благоприятствует т из п равновозможных случаев, т. е. если вероятность собы-
580
тия А равна — , то при большом числе N испытаний событие А
должно появиться М раз, причем приблизительно:
п
B)
Отношение числа появлений события А к общему числу испы-
испытаний, равное -др-, называется относительной частотой или просто
частотой события А. Из формулы B) следует
М т
N п
т. е. частота события приблизительно равна его вероятности. Чем
больше число испытаний, тем точнее это приближенное равенство.
На этом основывается возможность применения теории вероят-
вероятностей к познанию явлений природы. Однако не следует забывать,
что математические приемы оценки этих явлений всегда требуют
практической проверки. В конечном счете только практический
опыт ведет к познанию объективной реальности. Как бы велика
ни была вычисленная вероятность события, оно может не случиться
при практической проверке, так как возможны и маловероятные
события.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
При вычислении вероятности события часто приходится пользо-
пользоваться основными зависимостями теории соединений. Различают
три основных типа соединений.
1. Размещения — это соединения, отличающиеся друг от
друга составом входящих в них элементов или порядком их рас-
расположения.
2. Перестановки — соединения, содержащие одни и те
же элементы и отличающиеся друг от друга только их порядком.
3. Сочетания — соединения из данного числа элементов,
отличающиеся друг от друга входящими в них элементами. Таким
образом, если два сочетания различны, то в одном из них содержится
котя бы один элемент, не содержащийся в другом.
Число размещений из п элементов по т обозначается символом
АЦ и находится по формуле:
Как следует из определения, перестановки, по существу, пред-
етавляют размещения из п элементов по п. Поэтому число переста-
перестановок, обозначаемое символом П„, равно
так как
587
Число перестановок из п элементов, среди которых встречается
г одинаковых элементов одного рода, s одинаковых элементов другого
рода, t одинаковых элементов третьего рода, равно:
ге!
Например, число перестановок из п элементов, среди которых
имеется т одинаковых элементов одного рода и п — т элементов
другого рода (т. е. всего два сорта элементов), равно!
П
т\(п — т)\
Число сочетаний из п элементов по т обозначается символом С™.
Из каждого сочетания зтого типа, переставляя всеми способами его
элементы между собой, получают Пт = т\ размещений.
Проделав эту операцию со всеми сочетаниями, получим всего
Пт размещений из п по т.
Поэтому
Отсюда, принимая во внимание предыдущие формулы, получим:
т Ат ге (ге — 1) . . . (ге
т\
т\ (ге — т)\
При вычислениях с факториалами больших чисел можно пользо-
пользоваться следующей формулой Стирлинга для приближенного вычисле-
вычисления факториалов больших чисел!
ге 1 ^к У2пе~п и" 2
Если по этой формуле вычислить 10!, то мы получим 3 598 696,
тогда как на самом деле 10! = 3 628 800. Ошибка составляет 0,8%.'
Относительная погрешность формулы Стирлинга тем меньше, чем
больше п.
При вычислениях по формуле Стирлинга естественно пользо-
пользоваться логарифмами!
lgV2n -nlge+fn + j
При вычислении вероятности событий пользуются следующими
теоремами.
I. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна
единице. Пусть А1ш А2 — два противоположных события. Если из Ъ
возможных случаев событию Ах благоприятствуют ах случаев,
а событию А 2 благоприятствуют аг случаев, то flj -j- a% = Ь и
588
следовательно
C)
II. Теорема сложения вероятностей. Вероятность наступления
при некотором испытании какого-либо одного (безразлично какого
именно) из событий Alt А2, . . ., Ап равна сумме вероятностей этих
событий, если каждые два из них несовместны между собой.
Пример. Химический завод получает сырье из трех рудни-
рудников — № 1, 2 и 3, причем сырье доставляется из каждого рудника
в среднем одинаково часто. Для завода желательно получить очеред-
очередную партию сырья либо из рудника № 1, либо из рудника № 2.
Требуется найти вероятность зтого события.
Вероятность того, что прибудет партия сырья из рудника № 1,
равна -5- ; такова же вероятность получения сырья из рудника № 2;
искомая вероятность прибытия партии сырья из рудника № 1 или
№ 2 будет равна
i_-L— —
з" з = з
т. е. сумме вероятностей прибытия сырья из рудника № 1 и из руд-
рудника № 2.
III. Сумма вероятностей событий, образующих полную си-
систему, равна единице. Рассмотрим п событий: Alf A2, . . ., А„, при-
причем при каждом отдельном испытании совершается одно и только
одно из них.
Такую совокупность событий называют полной системой. Так,
например, любая пара противоположных событий представляет
собой полную систему.
Из понятия о полной системе следует, что два события в этой
системе несовместны. Так как в каждом испытании должно насту-
наступить одно из событий Аи А2, . . ., Ап, то, по теореме сложения}
Р {Ai) + P (А2>-\ +Р (Ап)=*Р(Аь либо Аъ либо . . ., либо Ап) D)
Правая часть равенства D) равна единице, так как она выражает
вероятность достоверного события.
Следовательно
Р(Аг) + Р(Аъ)+ . .. +Р(Л„) = 1 E)
IV. Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного
наступления двух зависимых друг от друга событий равна произве-
произведению вероятности первого события на (условную) вероятность
второго, вычисленную в предположении, что первое событие состоя-
состоялось.
Пусть появлению результата В благоприятствуют т случаев
из п возможных, а появлению результата А в т таких операций,
в которых наступает результат В, благоприятствуют I случаев.
58Э
Следовательно, случаев, благоприятствующих появлению обоих
результатов, будет I.
Имеем:
Р(А и B) = ±-a2L.L..
п п т
>Р(В).РВ(А)
F)
Вероятность Рв (А) носит название условной, поскольку собы-
событие А рассматривается при условии наступления события В.
Понятно, что порядок появления результатов АшВ может быть
изменен. Поэтому наряду с вышеприведенной формулой можно
написать
Р(А и В)=Р(А)-РА(В)
откуда получаем:
Пример. Проверкой установлено, что получаемая заводом-
потребителем с сернокислотного завода башенная серная кислота
в 9о случаях из 100 является кондиционной (событие А), причем
в 70% кондиционных партий концентрация кислоты равна 76%
(событие В). Найти вероятность того, что завод-потребитель получит
в очередной партии 76%-ную кислоту.
Искомой величиной является Р (А и В), так как для того: чтобы
серная кислота была 76%-ной, нужно, чтобы она была кондиционной
(событие А) и 76%-ной (событие В). Имеем по условию:
Следовательно
Р (А и В) = 0,96 -0,70 = 0,672
V. Вероятность совместного наступления любого числа взаимно
независимых событий равна произведению вероятностей этих со-
событий. Предположим, что появлению события А благоприятствуют
т1 случаев из п± возможных, а появлению независимого от А собы-
событий В благоприятствуют т2 случаев из п2 других возможных. Тре-
Требуется найти вероятность совпадения этих двух событий.
Поскольку события А и В независимы между собой, то каждый
из /Bj случаев может совпасть (комбинироваться) с любым из т2
случаев и, таким образом, число случаев, благоприятствующих
наступлению обоих событий, составляет т1т2 из пхп2 возможных.
Отсюда находим, что вероятность появления обоих событий
равна:
Р(А и В) =
п1 ге2
G)
590
Теорему умножения, очевидно, можно применить и к сложному
событию, состоящему из совмещения трех или более событий.
Таким образом, вероятность повторения событий к раз при к
испытаниях равна fe-й степени вероятности событий при условии, что
вероятность события р не меняется при испытаниях.
Пример. Для трех аппаратов вероятность остановки на протя-
протяжении 1 ч составляет: для I аппарата 0,2, для II — 0,15 и для
III — 0,12. Какова вероятность бесперебойной работы всех трех
аппаратов на протяжении 1 ч.
Здесь бесперебойность работы аппарата — событие, противопо-
противоположное работе с остановкой. Поэтому вероятности бесперебойной
работы для отдельных аппаратов составят:
Р^О.8; Р„ = 0,85 и Рш = 0,88
Так как работа каждого аппарата не зависит от работы других
аппаратов, то, применяя теорему умножения, найдем:
р\. п,ш = 0,8-0,85-0,88 = 0,5984
Пример. Для двух аппаратов вероятность бесперебойной работы
на протяжении одного часа составляет для I — 0,75, а для II — 0,8.
Какова вероятность того, что оба аппарата будут бесперебойно
работать на протяжении 3 ч?
Вероятность бесперебойной работы каждого аппарата на протя-
протяжении 3 ч, соответственно, определяется по теореме умножения:
р, = 0,76 • 0,75 • 0,75 = 0,422
Р„ = 0,8-0,8-0,8 = 0,512
Вероятность бесперебойной работы обоих аппаратов на протяже-
протяжении 3 ч определяется снова по теореме умножения:
Р (I и II) = ff,422- 0,512 *=» 0,216
VI. Если Р обозначает вероятность появления события при
каком-либо испытании, то вероятность Рт,п того, что оно по-
появится т раз при п испытаниях, выражается формулой:
или
Рщ, п —'
. рт A _ р)п-т
(9)
ml (n — m)\
Вероятность того, что событие не совершится при одиночном
испытании, равна 1 — Р. Вероятность, что оно не совершится ни
разу при п испытаниях, равна A — Р)п.
Вероятность того, что событие случится подряд при первых т
испытаниях, а после зтого при остальных п — т испытаниях
вовсе не произойдет, равна
рт и р\п~т
591
Последнее выражение есть также вероятность того, что событие
произойдет т раз и не совершится п — т раз и при другом порядке
появления и непоявления событий.
В соответствии с теоремой сложения вероятностей имеем:
Рт,п =
A—
Число слагаемых в правой части этого равенства, согласно
теории соединений, равно числу сочетаний из п элементов по т.
Следовательно, вероятность того, что событие совершится т раз при
п испытаниях и не совершится п — т раз, будет равна:
т1>"A-РГ->" (Ю)
Этой формулой можно пользоваться и при т = п и при т = 0,
условившись под символом 0! понимать 1.
Правая часть формулы (8) представляет собой общий член разло-
разложения бинома Ньютона. Поэтому, если мы будем придавать числу т
появлений события А значения п, п — 1, п — 2, . . ., 3, 2, 1, 0,
то получим соответствующие выражения вероятностей:
Рп,п — Рп вероятность появления события А во всех испытаниях;
Рп_х, п = nPn~1q . . . вероятность появления события А во всех п испыта-
испытаниях, кроме одного; здесь q = i — P;
Рг.п = С%Р2Яп~2 ¦ ¦ • вероятность появления события А в двух испытаниях;
Рьп^пРя"'1 ¦ ¦ • • вероятноиь появления события А водном испытании;
Р0>п = дп вероятность непоявления события А ни в одном испы-
испытании.
Л1ри п независимых испытаниях достоверно появление события А
либо п, либо п — 1, . . ., либо 2, либо 1 раз, либо ни разу, а это
означает, что
Р/г, п~\-Рп-Ь п~\-Рп-г, пЛ~ • • • +^2. n-\-Pl, п-\~ Ро, л=1
Таким образом, известная формула разложения бинома Нью-
Ньютона
дает распределение вероятностей между всеми единственно возмож-
возможными и несовместимыми результатами проведения п независимых
испытаний на появление события А.
Биноминальное распределение вероятностей позволяет определить
не только вероятность появления интересующего нас события задан-
заданное число раз при п независимых испытаниях, но также и вероят-
вероятность того, что число т случаев появления этого события заключено
в заданных границах между числами тг и mt.
Покажем это на ряде примеров.
Пример. Появление колонии микроорганизмов данного сорта
в определенных условиях оценивается вероятностью 0,8. Какова
вероятность, что из 5 случаев эта колония микроорганизмов по-
появится не меньше 4 раз?
592
Имеем:
ге==5, Р=— и ? = —• m Ss 4, т. е. принимает значение 4 или 5.
5 5 '
Искомая вероятность:
Р{т^4)=Р (или 4 или 5) = P4,
Пример. Вероятность того, что расход воды на некотором пред-
предприятии окажется нормальным (не больше определенного числа
литров в сутки), равна -г. Найти вероятность того, что в ближайшие
6 суток расход воды будет нормальным в течение 0,1,2, 3, 4, 5, 6 суток.
Обозначив через Pm>e вероятность того, что в течение т суток
из шести расход воды будет нормальным, и полагая Р = —, найдем
по формуле (9):
6!
. в =
0!6!
4096
Мы видим, что вероятность Ро, „ не иметь нормального расхода
воды ни в один из шести дней, или, что то же, каждый день из шести
иметь перерасход воды, практически равна нулю. Вероятность
перерасхода воды в течение пяти или шести дней (Pbe + POi e)
также практически равна нулю. Наиболее вероятным будет пере-
перерасход воды в течение одного дня из шести:
Пример. Длительной проверкой качества стандартных ампул
с жидкостью установлено, что из каждой сотни не имеют дефектов
38 заказ 1706 ' 593
75 штук. Составить биноминальное распределение вероятностей
пригодности для взятых наудачу 6 ампул.
Имеем:
1215
4096
540
= 0,297
= 0,132
Эти результаты показывают, что наиболее вероятным оказывается
наличие пяти-пригодных ампул из шести и что практически можно
рассчитывать на пригодность не менее трех ампул, поскольку
Р{т>2} = 0,963
Графическое представление зтого рас-
распределения дано на рис. ХХ-2.
Биноминальное распределение, как мы
видели, позволяет, в частности, установить,
какое число появлений события А наиболее
вероятно. В предыдущем примере таким
числом оказалось 5.
Покажем, что отыскание такого числа
может быть выполнено непосредственно без
составления полного биноминального рас-
распределения.
Определим максимальное значение в формуле(9) вероятности Рт^ „,
которую условимся обозначать Рт. Для зтой цели подставим в зту
формулу q вместо 1 — р и найдем Рт_х и Pm+1i
Рт-1=-
п\
(т
qn-m+iptn-i
(т
(« — т — 1)!
Если значение Рт максимальное, то
594
или
Рпч-г
Произведя деления и сокращения, получим:
га —т+1
т
Из (И) следует!
т-1
Рщ =
Рт+1 п—т
(И)
A2)
g
' р
или
но
(re—m+l)p>mg
(re+l)p>m
Следовательно
т<р (ге + 1)=гер + р
Из уравнения A2) аналогично находим!
или
т ^ пр — q
Таким образом, наибольшая вероятность получится, если т
заключено между числами пр — q и пр-\-р:
Разделим все члены этого неравенства на ш
A3)
Числа р и q оба меньше единицы, число же п больше единицы,
а при большем п величины — и — представляют собою малые
правильные дроби. Таким образом, мы видим, что для того т, при
котором Рт наибольшее, отношение — весьма близко к р.
Так как — есть частота появления события при п испытаниях,
то полученный результат можно сформулировать так! при большом
числе п испытании частота появления события — весьма близка
п
т г\ -
к его вероятности! —?*=: р. ото свойство частости носит название
«закона больших чисел».
Пример. Данные длительной проверки качества выпускаемых
Стандартных изделий показали, что в среднем брак составляет
7,5%. Определить наиболее вероятное число вполне исправных
изделий в партии из 50 штук.
38* 595
Обозначая вероятность выпуска исправного изделия через р,
будем иметь q = 0,075 и р = 1 — q = 0,925. Так как здесь п = 50,
то искомое число можно найти из неравенства A3): 50-0,925 —
— 0,075 s?ms? 50 -0,925 + 0,925 или
46,175 s? m <? 47,175
Отсюда наивероятнейшее число исправных изделий равно 47.
§ 3. РЕДКИЕ СОБЫТИЯ (формула Пуассона)
Если р обозначает очень малую вероятность того, что событие
произойдет при каком-либо испытании, то вероятность Р^ „, что
оно случится т раз при очень большом числе испытаний п, прибли-
приближенно равна:
Обозначим: Я, = пр\ тогда р = —. Поэтому в соответствии с фор-
формулой A0) искомая вероятность равна:
%т в(в—1)(в — 2) . . . (в—т + 1) / , М" Л _ *¦ V" _
т\' п™ \ ~) V п ) ~
д У я —1 _ ге—2 re — т+1 / LVfl—— V
<=и * в " " * re \ ге/\ ге/
ml
V"
Поскольку =1 , то для Рт,п получаем такое выраже-
выражение:
С заметно отличными от нуля вероятностями можно ожидать
только случаи, соответствующие небольшому числу т наступлений
события в п испытаниях. Поэтому т будем считать конечным и
небольшим.
Поскольку, кроме того, п велико, то множители 1 ,
1 , . . . , 1 можно приближенно считать равными еди-
единице.
Так как 4- = р близко к нулю, то выражение ( 1 J при-
приближенно также можно считать равным единице. Поэтому
696
Известно, что
lim fi_JLV =
Следовательно, при достаточно больших п можно считать, чт»
Тогда
Ptn, n — ¦
Пример. Зерна порошка в количестве N штук рассыпаны в бес-
беспорядке на поверхности, имеющей S единиц площади. Показать, что
вероятность нахождения т зерен порошка иа поверхности площадью»
в а единиц равна:
(т)
aN
S
ml
A5)
Вероятность того, что поверхность площадью dS содержит одно
JLTJ С
зерно, равна —=- = р- Если выбранная поверхность содержит а
единиц площади, то мы можем предположить, что каждая пло-
площадка dS есть испытание и, следовательно, число таких испытаний.
а
составит
dS
п.
Таким образом, вместо пр в формулу A4) мы дблжны подста-
подставить -^-, после чего получим формулу A5).
Пример. Вероятность изготовления нестандартного продукт»
в некотором производстве равна 0,004. Найти вероятность того, что-
в партии из 1000 единиц окажется пять нестандартных.
Имеем: пр = 1000-0,004 = 4, а т = 5.
Подставляя эти значения при т в формулу A4), найдем Р5; 1000 =
= 0,1563.
§ 4. ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА И ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
При больших значениях п и т формула A0) приводит к чрез-
чрезмерно громоздким вычислениям. В зтих случаях для вычисления Рт
удобнее пользоваться следующей приближенной формулой, выво-
выводимой в полных курсах теории вероятностей:
D ~ 1 / 2р<? V ге "")
V2nnpg
ИЛИ
597
где
2pg ' n
Для быстрого, вычисления значения Рт служит таблица функ-
ции
через которую вероятность Рт выражается следующим образом:
Таблица функции ср приведена в конце книги в приложении IV.
Пользуясь формулой A6), можно решить и более сложный во-
вопрос о нахождении вероятности того, что частота наступления
события будет заключаться в намеченных пределах m1^m^mk.
По теореме сложения вероятностей, вероятность того, что собы-
событие произойдет т1 или т2, или т3, . . ., или mk раз, равна:
"Чг
(а)
Заменяя Ртх, Рт„ ... их значениями по формуле A6) и выпол-
выполнив вычисления, можно найти искомую вероятность.
Для практических приложений представляет интерес задача
о нахождении вероятности того, что частота наступления события
будет отличаться от вероятности этого события в ту или другую
сторону не более чем на заданную величину. Опираясь на формулу
A6), можно доказать весьма важную в теоретическом и практиче-
практическом отношениях теорему Лапласа.
Вероятность, что при большом числе предстоящих испытаний
отклонение частоты события — от известной его вероятности р не
п
превзойдет по абсолютному значению некоторой величины г, т. е.
вероятность неравенства
¦приближенно равна!
- — Р
hr
2 Г -t>
Уп J
dt
где
Л =
2Рд
698
Определенный интеграл в последней формуле зависит от своего
верхнего предела hr. Обозначим его Ф (х):
Ф(*)= 2 С*""
У п J
dt
A7)
Функцию Ф (х) называют функцией Лапласа или интегралом
вероятностей. Таблица значений этой функции приведена в конце
книги в приложении V.
При помощи функции Лапласа искомая вероятность выражается
следующим образом:
Р — —;
:Ф(И A8)
Теорему Лапласа используют при решении следующей прак-
практически важной задачи.
Пусть известно, что вероятность наступления некоторого собы-
события при отдельном испытании равна р. Сколько испытаний нужно-
произвести для того, чтобы с практической достоверностью можна
было утверждать, что уклонение частоты наступления события —
от его вероятности р по абсолютной величине не превосходит некото-
некоторого заданного числа г? Условимся считать событие практически
достоверным, если его вероятность не меньше 0,99. Мы имеем!
Ф(Лг-)=0,99
Пользуясь таблицей значений интеграла A7), данной в Прило-
Приложении V, находим:
Уклонение частоты от вероятности по условию задачи должно
быть не больше г; следовательно
т. е.
Отсюда находим, что
пр — nr ^ m
1,82
!? Пр + ПГ
подставляя это значение г в по-
Так как hr — 1,82, то г = ft
лученное выше неравенство, найдем, что число т наступлений собы-
события при п испытаниях с практической достоверностью будет заклю-
заключаться в следующих границах:
1,82
пр т—п.
1,82
Если в этой формуле заменить h его значением, то мы получим,
что т будет заключено в следующих границах:
пр—2,58 Упр A — р) ^ т sS «Р+ 2,58 Vnp A — р) A9)
Пример. Опытным путем установлено, что при этоксилировании
n-нитрохлорбензола на производстве одна из каждых двадцати
серий может дать недоброкачественный га-нитрофенетол. Сколько
серий следует предусмотреть в проекте, чтобы 500 из них оказались
удачными и тем самым проектная мощность доброкачественного
продукта была бы обеспечена?
В данной задаче вероятность р доброкачественности данной
«ерии равна —. Число доброкачественных серий равно 500; число
п серий, предусматриваемых проектом, неизвестно. На основании
¦формулы A9) найдем, что га должно удовлетворять неравенству:
Определяя отсюда га, найдем:
Следовательно, для того, чтобы с практической достоверностью
>(т. е. с вероятностью, не меньшей 0,99) быть уверенным, что 500
серий будут доброкачественными, в проекте нужно предусмотреть
540 серий.
До сих пор речь шла о предстоящих испытаниях при известной
вероятности события р. Однако справедлива и обратная теорема
-Лапласа, позволяющая оценить неизвестную вероятность события
на основании ряда произведенных наблюдений.
Вероятность того, что неизвестная вероятность события р отли-
отличается от наблюденной частоты — не более чем на величину г, т. е.
вероятность неравенства
•равна:
тде
hr
v\
я J
dt
B0)
Аналогичным путем из формулы B0), задавшись вероятностью
Р = 0,99, можно получить границы вероятности события, если
известно число испытаний га и число т случаев, когда событие на-
наблюдалось:
m 2,58 лГ т\п — т) т . 2,58 лГ т(п — т)
——— I/ ^————— ^^ Р ^^ — —г" ——• I/ ———^^—¦
п п V п п ' п V п
B1)
Формула B1) — приближенная и дает хороший результат лишь
в том случае, когда га велико и отношение — не очень близко к нулю
или единице.
Пример. При 62 сериях синтеза 8-оксихинолина по методу Скра-
упа произошли три взрыва. Дать с вероятностью 0,99 заключение
о вероятности этого события.
Задача решается по формуле B1):
J
62
62
62 "~~
-0,02
, 3 ¦ 2,58
: 62 "•" 62
sS0,12
62
Поскольку вероятность не может быть отрицательной, то отсюда
следует, что с вероятностью 0,99 можно сделать заключение о том,
что вероятность взрыва меньше, чем 0,12. Однако этому результату
_, т
нельзя особенно доверять, так как — мало.
В заключение приведем следующую теорему, позволяющую на-
находить вероятность будущих событий.
Если событие, о вероятности которого нам ничего неизвестно,
случилось т раз при га испытаниях, то вероятность того, что при
следующих гах испытаний оно случится тх раз, равна:
B2)
ml mil
{n — m)\(nl — ml)\
Пример. Для производства ванилина получена партия из 100 би-
бидонов гваякола, качество которого неизвестно. Из 10 бидонов взяты
пробы, и испытания их дали хорошие результаты. Можно ли счи-
считать, не производя обследования остальных бидонов, всю партию
хорошего качества?
Чтобы это установить, найдем вероятность того, что событие,
имевшее место 10 раз подряд, повторится и при следующих 90 испы-
испытаниях.
В этой задаче т = п = 10; т1 = гах = 90. Подставляя эти дан-
данные в формулу B2), получим:
11I901 01
10190! ' 101! ' 0!0!
101
_0109
•600
Эта вероятность очень невелика. Вполне понятно, почему обще-
общесоюзный стандарт в правилах приемки требует взятия проб от каж-
каждого бидона.
601
§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К КИНЕТИКЕ
СМЕШЕНИЯ И ЭМУЛЬГИРОВАНИЯ
Пусть смеситель загружен веществами А и В, имеющими поверх-
поверхность раздела (рис. ХХ-3). Назначение аппарата состоит в том,
чтобы увеличить первоначальную поверхность раздела между
слоями. Это действие можно рассматривать как перемещение частиц
в трехмерном пространстве.
Количественное соотношение между величиной поверхности раз-
раздела S в данный момент и продолжительностью перемешивания т
характеризует кинетику процесса перемеши-
перемешивания.
Допустим, что за время т была развита
поверхность раздела, отношение которой к мак-
максимально возможной поверхности раздела обо-
обозначим Yx. При этом полагаем, что характе-
характеристики перемешиваемых веществ, как-то:
вязкость, удельный вес и т. п., а также режим
процесса, остаются постоянными.
Приращение величины поверхности раздела
пропорционально разности между максималь-
максимальной и фактической поверхностью раздела (про-
(процесс первого порядка), а следовательно
Начальная поверхность
раздела
Рис. ХХ-3.
где \ — коэффициент пропорциональности.
Обозначив
представим зависимость B3) в следующем виде;
ZM = ZZ (i-l)
Отсюда следует, что
Я,=2оA-в*
Согласно B4) имеем»
B3)
B4)
B5)
Для преобладающего большинства случаев перемешивания отно-
отношение первоначальной величины поверхности раздела к макси-
максимально возможной будет пренебрежимо малым; поэтому можно
принять Y0 = 0.
Отсюда следует, что
Z0^i
вследствие чего зависимость B5) можно переписать так!
Я, = A-БГ
Возвращаясь к переменной Ут, получим*
602
: = 1п-
Положив
будем иметь:
Величина S поверхности раздела в момент времени т будет равна;
5 = 5рA-е-«) B6)
где Sp — максимально возможная поверхность- (при т = оо). Хотя
формула B6) представляет собой выражение кинетической законо-
закономерности для процесса перемешивания,
все же очевидно, что сама по себе эта
формула недостаточна для определения S,
потому что значение Sp не может быть
определено экспериментально.
Так как перемешивание рассматри-
рассматривается как процесс перемещения частиц
уф *--
м----
и
м
, = 31
:Щ:
&V
1
]_
1
1
л
/1
/
/
/
1
А
А-
"ч
1
Рис. ХХ-4.
AS
Рис. ХХ-5.
в трехмерном пространстве, то для оценки этого процесса вели-
величинами, которые могут быть найдены экспериментально, необхо-
необходимо основываться на степени распределения исходных ве-
веществ во всем объеме загрузки. Другими словами, мы должны
быть в состоянии оценить полноту перемешивания путем наблюде-
наблюдения за распределением элементов поверхности раздела во всей
массе материала. Если объем всей загрузки разделить на большое
число элементарных равных объемов A v (рис. ХХ-4), а поверх-
поверхность — на п равных элементов AS (рис. ХХ-5), то результат пере-
перемешивания может быть выражен величиной, характеризующей
равномерность распределения элементов развитой поверхности раз-
раздела среди этих элементарных объемов. Кроме того, для этой цели
достаточно, чтобы в любой части элементарного объема присутст-
присутствовал по крайней мере один элемент поверхности раздела.
Пусть п будет большое, но определенное число. По мере увели-
чения поверхности раздела величина AS = — возрастает. Вероят-
Вероятность Ui того, что элемент поверхности ASL будет находиться
603
в некотором определенном элементарном кубике, пропорциональна
величине ASt, следовательно, Ut = kASh где к — коэффициент
пропорциональности.
Так как все элементы поверхности раздела равны между собой,
а элементарный объем является случайно выбранным, то это соот-
соотношение остается справедливым для всех элементов поверхности
раздела, независимо от их номера, т. е.
где i может изменяться от 1 до п.
Вероятность того, что по крайней мере один из элементов данной
поверхности раздела попадет в кубик А и, оценивается в соответствии
с рассмотренными теоремами теории вероятностей. Применяя эти
теоремы (§ 3) к рассматриваемой системе, найдем, что вероятность
того, что по крайней мере один из элементов данной поверхности
попадет в кубик Аи, выразится следующим образом:
JX
B7)
При п -> оо правая часть равенства B7) стремится к
,-fts
1-е
Отсюда следует, что
P = i— е'ка
Заменяя здесь S его выражением из формулы B6), найдем!
P = i-e~kSP г'е B8)
Формула B8) дает вероятность попадания в случайно выбранную
часть объема загрузки по крайней мере одного из элементов поверх-
поверхности раздела, полученной при перемешивании в течение вре-
времени т.
Формула B8) остается справедливой, если в ней Р заменить
вероятностью Рх, определяющей ту часть общего количества элемен-
элементарных объемов, которая состоит из кубиков, содержащих по край-
крайней мере один из элементов поверхности раздела. Следовательно
Pt = l-«"*S" W B9)
Обозначим через х число кубиков вещества А в системе, имеющей
объем V. Тогда
V:x=v
будет обозначать число единиц объема, содержащих вещество А.
Очевидно, что полнота перемешивания может быть оценена
числом v единиц объема, который содержит распределенный мате-
материал А.
604
Предположим, что для определения kSp и с в уравнении B9)
были взяты образцы объемом Fo.
Согласно уравнению B8) вероятность отсутствия одного из ком-
компонентов смеси в любой части объема Fo определяется выражением:
Вероятность отсутствия одного из компонентов смеси в объеме v
будет:
[М"!)]/У
Следовательно, можно записать:
C0)
где (Рх)е является значением той доли общего числа объемов и,
которая состоит из объемов v, содержащих компонент смеси А.
Таким образом, в том случае, когда (РГ)Е принимается как ко-
конечное значение для удовлетворительного результата перемешива-
перемешивания, можно получить искомое время, необходимое для достижения
этого результата, решая относительно т уравнение C0), в котором
значения kSp и с уже были определены путем взятия пробы Vo.
Уравнения B9) и C0) применимы к любым смесительным систе-
системам, так как при работе всех смесительных устройств и систем
преследуется одна цель — увеличение поверхности раздела фаз
и предусматривается возможность перемещения компонентов по-
поверхности раздела к отдельным составляющим объема загрузки.
Ниже приведены примеры пользования уравнениями кинетики
перемешивания.
§ 6. ПРОЦЕСС СМЕШЕНИЯ ПРИ ПРОМЫВКЕ МАСЛА ВОДОЙ
При рафинировании масла часто бывает необходимо про-
промывать его водным раствором соли для того, чтобы удалить из него
растворимые в воде примеси, причем соль служит для высаливания
масла во избежание его потерь.
Пусть 1,89 м3 масла должны быть промыты 0,340 м3 водного
раствора, содержащего 10,0 кг поваренной соли. Методом для опре-
определения содержания воды в отбираемых пробах смеси может быть
анализ на ион хлора.
В конце первой минуты перемешивания отобрано некоторое число
проб смеси объемом Fo = 25 см3 каждая. Найдено, что 0,2 этих
проб содержат не менее 10 мг NaCl. В конце пятиминутного пере-
перемешивания доля проб, содержавших не менее 10 мг NaCl, соста-
составляла 0,75.
Условием удовлетворительности перемешивания является нали-
наличие не менее 10 мг NaCl в пробах, составляющих по своему коли-
количеству 0,9 v, т. е. 0,9 общего количества проб объемом v. Здесь и
является частным от деления общего объема смеси на количество
605
10-миллиграммовых порций хлористого натрия, содержащегося
в загрузке. Какой промежуток времени потребуется, чтобы выпол-
выполнить эти условия?
Для решения этой задачи пользуемся уравнением B9):
0,75 = l-e-feSP'
Из этой системы уравнений находим:
1
In-
In
~°.2 _и _ х" 1-0,75
Отсюда имеем:
Следовательно
Пусть
1-е-"
1-е-»"
In 4
= 6,22
1— е~с In 1,25
1 _ е" = 6,22 — 6,22е-е
ИЛИ
После преобразования получим:
уь -6,22^ + 5,22 = 0
Уъ—У — 5,22^ + 5,22 = 0
Разлагая левую часть этого уравнения на множители, будем
иметь:
0/-1) О/4 + У3 + У2 + У-5,22)= 0
Так как г/=т^1, то решение задачи сводится к решению уравнения
один из корней которого, очевидно, лежит в пределах между
1 и 2.
Решая это уравнение методом, изложенным в гл. XXV, найдем
у — 1,109. Следовательно, е~° = 1,109 и
In 1,25 0,0969
fe5p - Т=^Г - 2'3
Далее, так как общий объем смеси равен 1,89 + 0,34 = 2,23 ж3,
то
и = 2,23 см3/10 мг
Подставляя найденные нами величины в формулу C0), придем
к уравнению:
2,23
09 = 1— [в2-045A-1,109т)] 25
Для решения этого уравнения запишем его так:
2,045 • 4#- A -1Д09Ч = Ь 0,1
или
1,109^ = 13,62
т = 25,2
Отсюда найдем:
Итак, для получения заданной степени смешения потребуется
приблизительно 25-минутное перемешивание компонентов.
§ 7. ПРОЦЕСС СМЕШЕНИЯ ГАЗОВОЙ САЖИ С УГЛЕКИСЛЫМ
КАЛЬЦИЕМ В СМЕСИТЕЛЬНОМ АППАРАТЕ
В смесительном барабане, имеющем постоянную скорость враще-
вращения, смешиваются 0,062 ж3 газовой сажи с 0,10 ж3 углекислого
кальция. Опробование содержимого, которое было произведено
после того, как барабан сделал 10 оборотов, показало, что 20%
проб, объемом в 1 см3 каждая, содержали не менее 1 мг СаСО3.
Пробы такого же объема были взяты после 20 оборотов и показали,
что 86,5% проб содержат не менее 1 мг СаСО3. Удовлетворительная
степень перемешивания характеризуется 95%-ным наличием объем-
объемных единиц v, содержащих по меньшей мере 1 мг СаСО3, где v опре-
определяется как частное от деления общего объема загрузки на общее
число миллиграммов присутствующего углекислого кальция.
Насыпной вес углекислого кальция 320 кг/м3. Требуется опреде-
определить необходимое число оборотов барабана для достижения заданных
условий перемешивания.
Пользуясь формулой B9), мы можем написать:
0,865 = 1—e"feSp(l"8 """>
После преобразования зтих уравнений получим
1
1пТ^О2
1_е-юо
In
1
1-0,865
откуда находим с = —0,2075.
Подстановка этого значения в формулу
In
1
1-0.2
дает kSp= -0,0319.
607
Значение v для данного случая будет:
Применяя формулу C0), получим
0,00508
U,oO == 1 — {_" J
откуда т — число оборотов, необходимое для получения заданной
степени смешения, оказывается равным 47.
Глава XXI
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ОШИБОК
§ 1. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН
Случайной величиной называется количественный результат
опыта, результат которого нельзя точно предсказать. Пусть, напри-
например, из партии, содержащей 10 000 изделий, наудачу отбирается
100 и определяется число х бракованных изделий. Число х есть
случайная величина. Случайной величиной также будет ошибка,
которую делает экспериментатор при измерении той или иной ве-
величины.
Случайная величина называется непрерывной, если она может
принимать любые значения, принадлежащие некоторому числовому
интервалу. Если же случайная величина может принимать лишь
некоторые определенные числовые значения, то ее называют прерыв-
прерывной или дискретной.
Количество бракованных изделий в некоторой партии предста-
представляет собою дискретную случайную величину; ошибка измерения
является непрерывной случайной величиной.
При обработке статистических материалов, в частности резуль-
результатов экспериментальных наблюдений, большое значение имеют
средние величины.
Если величины х определяют некоторое свойство совокупности,
то средней величиной будет такое значение х, при замене на которое
отдельных значений х это свойство совокупности не изменится.
Из этого следует, что средние значения величин могут определяться
различными способами, выбор которых обусловлен связью между
усредняемыми величинами и тем свойством, которое они определяют.
Рассмотрим важнейшие средние и их свойства.
Средняя арифметическая. В общем виде средняя арифметиче-
арифметическая значений хг, х2, . . ., xk, имеющих веса или частоты в;,
пг, . . ., nk, определяется равенством:
. • •JTnk
39 Заказ 1706
A)
609
Это — средняя арифметическая взвешенная. Если вес или ча-
частота каждого значения xt одинаковы, то х является простой
средней арифметической: (
Пример. Смешиваются равные объемы v трех газов, имеющих
разные плотности: ух, у2, у3. Найти плотность смеси.
Исходим из того, что вес смеси равен сумме весов отдельных
газов, а объем смеси равен сумме их объемов, т. е. Sv; тоща
откуда
- Y1+V2 + V3
7 3
Полученное значение у является средней арифметической отдель-
отдельных значений плотностей газов.
Пример. Смешиваются разные объемы vx, v2 и v3 трех газов,
плотности которых соответственно равны уг, у2 и у3. Найти плот-
плотность смеси, если ее объем v = vx + v2 + vs.
В этом случае
откуда
A)
Полученная таким путем у является средней взвешенной арифме-
арифметической.
Очевидно, что среднюю взвешенную всегда можно представить
в виде средней арифметической; обозначив всей = 2ni значенийх,
расположенных в любом порядке, через ж'11, х(г\ . . ., х(п\ получим:
B)
Из равенства B) следует, что
2i'" = m или
откуда
2
т. е. сумма отклонений значений х от их средней арифметической
равна нулю. Если каждое из отклонений наблюдалось nt раз, то
2МЖ/ — х)=0.
Важным свойством средней арифметической является следующее:
сумма квадратов отклонений значений х от их средней арифметиче-
610
ской х меньше суммы квадратов отклонений их от любой другой
величины а, т. е.
или
где а^=х.
Средняя арифметическая является статистической характери-
характеристикой некоторой совокупности. Кроме этого, в тех случаях, когда
наблюдению (измерению) подвергается постоянная величина, сред-
средняя арифметическая является приближением к истинному значению
зтой величины. Например, если измеряется размер кусков мине-
минерала, то средний арифметический размер является лишь статисти-
статистической характеристикой, так как величина кусков не имеет постоян-
постоянного значения. Если же измеряется плотность этого минерала, то
средняя арифметическая ряда частных значений является не только
их статистической характеристикой, но и приближенным значением
постоянной величины — плотности.
Если из очень большой совокупности случайных значений вели-
величины х сделать произвольную выборку части этой совокупности, то
средняя арифметическая х значений, попавших в выборку, прибли-
приближенно равна средней арифметической всех значений совокупности.
Это позволяет определять среднюю, пользуясь лишь некоторой долей
большого количества частных значений, что существенно экономит
время, затрачиваемое на измерения и вычисления. Например, если
требуется найти средний размер зерен осадка, нет необходимости
измерять все зерна, а можно ограничиться измерением лишь части
их. Естественно, что чем больше будет количество измеренных зерен,
тем больше вычисленная средняя будет приближаться к среднему
размеру всех зерен.
При наличии большой совокупности случайных значений изме-
измеряемой величины вычисление средней взвешенной по формуле A)
становится весьма громоздкой операцией. В этом случае проще
пользоваться равенством:
c= a + -
nl (xi — a)
где а — произвольно выбранное число. Величину а следует выби-
выбирать так, чтобы разности {xt — а) были возможно меньше, т. е. а сле-
следует взять приблизительно равным средней арифметической х,
оцениваемой предварительно приближенно, на глаз, без вычис-
вычислений.
Пример. В первом столбце табл. XXI-1 приведены данные ана-
лизоь содержания сульфата магния (в %) в слое некоторого место-
месторождения калийных солей. Образцы для анализов отобраиы из одной
39*
611
скважины с различных глубин, указанных во втором столбце. Найти
среднее содержание сульфата магния в слое соляной породы, харак-
характерное для данной скважины.
ТАБЛИЦА XXI-1
% MgSO4
(*,)
3,15
2,98 ¦
3,18
3,24
3,02
3,08
3,06
3,16
2,99
3,10
3,13
8,20
3,21
-3,06
3,09
Глубина,
м
289—295
295—300
304—308
308—312
318—323
323—325
327—329
329—334
335-340
340-343
352-359
362—365
365—369
385—387
396—403
6
5
4
4
5
2
2
5
5
3
7
3
4
2
7
64
х.-а
0,05
. —0,12
0,08
0,14
-0,08
-0,02
-0,04
0,06
—0,11
0,00
0,03
0,10
0,11
—0,04
—0,01
п^х.—а)
0,30
-0,60
0,32
0,56
-0,40
-0,04
—0,08
0,30
-0,55
0,00
0,21
0,30
0,44
-0,08
—0,07
0,61
"Л
18,90
14,90
12,72
12,96
15,10
6,16
6,12
15,80
14,95
9,30
24,91
9,60
12,84
6,12
21,63
199,01
Так как результат каждого анализа (я,-) характерен для опреде-
определенных пределов глубины скважины, то число метров глубины,
заключенное в этих пределах, может быть принято за вес или ча-
частоту nt отдельных значений xt. Величины nt приведены в третьем
столбце таблицы. Просматривая результаты анализов, принимаем
ориентировочно а = 3,10 и вычисляем значения xt — аи nt (xt — а),
помещенные в четвертом и пятом столбцах. Затем находим 2fy = 64
и 2иг-(ж/ — а) = 0,61. Искомое среднее: ,
0,61
64
= 3,11%
Тот же результат можно получить, вычислив ntxt (шестой стол-
столбец) и разделив 2иА = 199,01 на ^"; = п = 64.
Медиана. Медианой (Me) называется такое среднее значение,
которое делит совокупность значений величин xt на две равные по
количеству членов части, причем в одной из них все значения xt
меньше медианы, а в другой — больше.
Если расположить все члены совокупности в ряд в возрастающем
порядке, то при нечетном числе членов, т. е. при п = 2т + 1,
медианой будет значение среднего члена ряда, т. е. Me = хт+1.
Если же число членов ряда четное, т. е. п = 2т, то за медиану
принимается среднее арифметическое двух значений хт и жт+1,
находящихся в середине- ряда, т. е. Me = т m+1.
612
Если в данном ряде члены, достаточно удаленные от медианы,
подвергаются малым изменениям, то медиана при этом не меняется,
в то время как средняя арифметическая изменится. Поэтому, если,
как это часто бывает, значения xt, находящиеся на концах ряда,
не точны, — в качестве средней лучше пользоваться медианой,
а не средней арифметической. Поясним это следующим примером.
Пример. Определим среднее значение давления окислов азота
над нитрозой определенного состава, если измерения, произведенные
при неизменной температуре методом струи, дали следующие резуль-
результаты (в мм рт. ст.), расположенные в возрастающем порядке:
?1 = 3,12 ?7 =3,34 ?i3
Х% = 3,14 ?8 = 3,35 ?14
?з = 3,26 ?9 = 3,35 ?15
, ц
?в = 3,34 ?i2 = 3,
?17 = 3,69
Оценивая результаты измерений, можно предположить, что зна-
.чения х, находящиеся в начале и в конце возрастающего ряда,
имеют относительно меньшую точность. Однако нет оснований для
того, чтобы отбросить какие-либо из них, поскольку нет явных
признаков их ошибочности. При этих условиях значение средней
арифметической х =¦ 3,37 оказывается менее надежным, чем меди-
медианы, значение которой Me = хв = 3,35 и следует считать средним.
Мода. Модой (Мо) называется наиболее вероятное значение
случайной величины или то значение этой величины, частота которого
наибольшая.
Мода применяется для характеристики наиболее часто встреча-
встречающихся значений в совокупности случайных величин.
Пример. Ситовой анализ молотой руды дал следующие резуль-
результаты (табл. XXI-2).
TABЛИЦА
Крупность
зерен,
мкм
Более 800
800—750
750-700
700—650
650—600
600—550
Выход,
0
2,0
0,7
0,9
1,2
1,9
2,8
Крупность
зерен,
JAKM
550-500
500—450
450—400
400-350
350—300
300-250
Выход,
*
3,8
5,0
6,5
8,9
14,2
24,9
Крупность
зерен,
мкм
- 250—200
200—150
150-100
100—50
Менее 50
Выход,
13,6
5,9
2,8
1,4
3,5
Очевидно, что одним из характерных признаков качества раз-
размола будет размер зерен наибольшей фракции, т. е. фракции зерен
300—250 мкм. Величина зерен этой фракции является модой, которая
в данном случае служит одним из критериев работы размольной
машины.
613
Средняя логарифмическая. Многие естественные процессы под-
подчиняются логарифмическому закону. В этих случаях кривая распре-
распределения имеет логарифмический характер и величиной, характе-
характеризующей среднее значение, является средняя логарифмическая.
Средняя логарифмическая двух величин есть отношение их раз-
разности к разности их натуральных логарифмов:
¦«•ср. лог- laXl._laX2-
In-2-
Х2
Смысл средней логарифмической и ее вычисление покажем на
следующем примере.
Пример. Скорость мономолекулярной химической реакции харак-
характеризуется уравнением -?- = —Кх, где х — концентрация веще-
вещества, убывающая в результате реакции, т — время, К — константа
скорости реакции. Найти среднюю концентрацию вещества за время
от тх до т2, если его концентрация в момент хг равна хх.
Проинтегрировав заданное уравнение, получим зависимость,
из которой может быть найдена концентрация вещества в любой
момент времени
\ — Кх
где х0 — концентрация вещества при
т = 0, или
1—= #T
X
или:
Рис. XXI-1.
х — х$е C)
Зависимость между х и х вы-
т ражается кривой (рис. XX1-1), ко-
которая является кривой изменения
(распределения) концентрации во
времени.
Средним значением х за время от хх до т2 будет такая величина хср,
произведение которой на хг — т2 равно площади, заключенной
между кривой, осью абсцисс и ординатами при тг и т2. Величину же
заштрихованной площади дает интегрирование функции х = / (т)
в пределах от хг до т2.
Поэтому
или
2 — тх) = J xdx
va -a
J dx = f x dx
D)
.614
откуда
xdx
¦¦-cp-
т. е. среднее значение может быть определено как отношение инте-
интеграла функции к интегралу независимой переменной.
Подставив в правую часть формулы D) значение х из уравне-
уравнения C) и проинтегрировав, получим:
Но
поэтому
2 — 4) = ~K-x0(e-K'Zl— e
1 1 Xq I , Zq
т2 = —In—- и 1;! = —In —
К х2 К хх
E)
х2
F)
Из формулы C) следует
хо
поэтому
х0
G)
Подстаьляя эти выражения для т2 — та и e~Kxt — e~Kz' в форму-
формулу E), найдем
1 1 1
откуда
ср
Полученное значение хср является средним логарифмическим
в пределах от хх до х2, или средним логарифмическим величин хг
и х2.
Заметим, что средняя логарифмическая величин всегда меньше их
средней арифметической.
Когда значения двух величин хг и х2 мало отличаются друг
от друга, их средняя логарифмическая без большой погрешности
может быть заменена средней арифметической, причем ошибка тем
меньше, чем меньше разница между хг и хг. Практически, если при
хх > х2 отношение — < 2, погрешность от замены средней лога-
логарифмической средней арифметической не превышает 4,4%.
615
Допустимость приближенной замены средней логарифмической
близких по значению величин х1 и хг их средней арифметической
можно показать следующим образом.
Полагаем —= -73—; из этого равенства следует:
х\—
06
Так как разность жх — хг значительно меньше суммы агх + хг,
то а намного меньше единицы и тем меньше, чем ближе между собой
значения хх и хг. Поэтому можно воспользоваться приближенными
равенствами:
1пA+об) = об и 1пA — а)=— а
откуда
1+06
In
Тогда
ху — хг
l-=i- 1П
1+06
1—а
1-а
2а
:2а
т. е. при рассмотренных условиях средняя логарифмическая при-
приближенно равна средней арифметической.
Пример. Воздух нагревается в паровом трубчатом подогревателе
от 20 до 40° С. Температура насыщенного греющего пара 120° С.
Вычислить среднюю движущую силу теплопередачи от пара к воздуху.
Разность температур между паром и воздухом: начальная
120 — 20 = 100° С, конечная 120 — 40 = 80° С. Известно, что движу-
движущая сила теплопередачи определяется как средняя логарифмиче-
логарифмическая начальной и конечной разности температур. Однако, так как
100
—т- < 2, то можно воспользоваться проще вычисляемой средней
80
х - 100 + 80 ПА0 ^
арифметической и считать движущую силу равной —^— = 90 С
(средняя логарифмическая равна 89,7° С).
Средняя квадратическая. Средней квадратической п положи-
положительных или отрицательных величин хг, х2, . . ., хп называется
положительное значение квадратного корня из суммы квадратов
этих величин, деленной на их число:
Пример. Газ поступает в газохранилище по двум трубам, диа-
диаметры которых dt и d2- Линейная скорость движения газа в трубах
одинакова и равна v. Если заменить разные трубы одинаковыми,
то каков должен быть их диаметр d при условии, что общее коли-
количество поступающего газа и линейная скорость его движения должны
остаться прежними?
616
При данной скорости объем W проходящего по трубе газа
пропорционален квадрату ее диаметра (w = -^-div\ Поэтому из
условий задачи имеем
откуда
Пример. Газ поступает в газохранилище по двум трубам, име-
имеющим диаметры dt и d2; линейные скорости движения газа в трубах
соответственно равны vt и v2. Если заменить обе трубы двумя но-
новыми трубами одинакового диаметра, то каким должен быть этот
диаметр d, чтобы общая пропускная способность труб и линейная
скорость газа в каждой трубе остались прежними?
Из условий задачи имеем
откуда
у Фч+х
d —
В двух последних примерах величина d является средней
квадратической.
Средняя геометрическая. Средней геометрической п положитель-
положительных величин xt, x2, . . . п
корня n-й степени из их произведения:
р. геом= +?/ ххх%, . . . , хп (8)
Среднйя геометрическая (или средняя пропорциональная) двух
положительных неравных величин всегда меньше их средней ариф-
арифметической.
Среднюю геометрическую удобнее вычислять из формулы, кото-
которая получается логарифмированием формулы (8);
Таким образом, логарифм средней геометрической равен средней
арифметической логарифмов частных значений величины.
Пример. В результате медленного окисления основного вещества
в растворе, циркулирующем в аппаратуре цеха, постепенно нака-
накапливается вредная примесь. В 1-м столбце табл. XXI-3 дано содер-
содержание примеси в растворе, определявшееся в начале каждых суток
в течение недели. Вычислить средний суточный процент роста кон-
концентрации примеси.
617
Обозначим через х, х2,
х7 — процент роста концентрации
примеси за 1-е, 2-е, . . ., 7-е сутки, а через х — средний суточный
процент роста этой концентрации. Тогда х находится из равенства:
A00 + х2) . . . A00 + х7)
или
) A00 + *2) . . . A00 + х7)
Величина 100 +- х является средней геометрической чисел
A00 + ?i), A00 +- х2) и т.д., приведенных во втором столбце
табл. XXl-З; в третьем столбце помещены их логарифмы. Средняя
арифметическая этих логарифмов равна логарифму 100 +- х:
lgA00 + *) = 2,0060 + 2.0107+ ¦ . ¦ +2,1418 = 14,4068 ^
2,0582
ТАБЛИЦА XXI-3
Отсюда:
Концентрация
примеси,
г/л
36,2
36,7
37,6
40,2
44,3
52,2
66,7
92,4
100+ xf
101,4
102,5
106,9
110,2
117.8
127,8
138,6
lgdoo+x,)
2,0060
2.0107
2,0290
2,0422
2,0711
2,1065
2,1418
14,4073
=114,3; * = 14,3%
Пример. В реакционной камере
взаимодействуют два компонента
находящегося там газа; концен-
концентрации этих компонентов т1 и тг
поддерживаются постоянными пу-
путем непрерывного питания камеры
реагирующими газами и отвода
продукта реакции. Изменением ре-
режима питания реакционной ка-
камеры требуется создать условия,
при которых концентрации взаи-
взаимодействующих газов были бы
одинаковыми (т), но все прочие условия и, в частности, скорость
процесса остались бы прежними. Каково должно быть значение т?
Скорость реакции при прочих равных условиях пропорциональна
произведению концентраций реагирующих компонентов т1-т2. При
равенстве концентраций взаимодействующих веществ скорость реак-
реакции пропорциональна т-т,т. е. т2. Из условия задачи пг1-тп2 — пг2,
откуда:
Величина т является средней геометрической величин т1 и тг.
Средняя гармоническая. Средней гармонической п положитель-
положительных величин хг, х2, . . ., хп называется величина Н, обратное зна-
значение которой равно среднему арифметическому обратных значений
величин жх, жа, . . ., хп, т. е.:
Н
618
Следов атель но
Средняя гармоническая используется в тех случаях, когда при-
приходится иметь дело с величиной, зависящей от обратных значений
частных величин.
Средняя гармоническая всегда меньше средней геометрической,
а следовательно, и меньше средней арифметической.
Пример. Газовая смесь состоит из трех газов, кинематические
вязкости которых vx, v2 и v3. Определить кинематическую вязкость
смеси, если доли каждого компонента смеси соответственно равны
тх, пг2 и т3.
Кинематическая вязкость газовой смеси может быть вычислена
по приближенной формуле:
Таким образом, искомая величина средней вязкости равна:
//tj . ш2 | 771з
Л>1 V2 V3
В данном случае vcp есть средняя гармоническая взвешенная.
Если бы смесь состояла из равных объемов трех газов, то средняя
вязкость была бы равна простой средней гармонической:
Vj
V3
Пример. Смешиваются две жидкости, теплосодержания которых
Qx и Q2, а температуры tx и t2. Найти среднюю температуру t смеси,
полагая, что теплоемкости обеих жидкостей остаются в пределах
температур от tx до t2 постоянными.
Обозначим массы жидкостей через тх и т2, а теплоемкости сг и с2.
Тогда
а температура смеси
или
J_ = i_
t
t . C1 + C2
h
619
Следовательно, искомая температура смеси t есть средняя взве-
взвешенная гармоническая температур смешиваемых жидкостей, причем
«весом» является теплосодержание этих жидкостей.
Если бы их теплосодержание было одинаковым (Qx — Q2 = Q),
то средняя температура определялась бы из равенства
т. е. была бы простой средней гармонической.
Пример. Электрическая печь питается током, подводимым парал-
параллельно по двум проводникам, сопротивления которых г1 и г2. Каково
их среднее сопротивление г?
Средним сопротивлением двух проводников при параллельном
включении называется такое сопротивление, которое будет иметь
два проводника с равным сопротивлением, обеспечивающие прежнюю
силу тока. Если электродвижущая сила равна Е, то постоянство
силы тока обусловливает равенство:
Е
_
Е
_
Е
_
Е
_
Следовательно
и г = .
т. е. средним сопротивлением параллельно включенных проводников
является средняя гармоническая их сопротивлений.
Пример. Руда состоит из трех минералов, содержание которых
ralt п2 и 713 масс. %, а их плотности соответственно dlt d2 и d3 г/см9.
Найти среднюю плотность d руды.
Так как nt + п2 4- п3 = 100%, то
»1 , П2
di "г d2
100
_L — _i_ (Hi. 4- -5l 4- i*
d 100 \ di T d2 T *
откуда
т. е. плотность руды есть взвешенная средняя гармоническая плот-
плотностей минералов. Если бы руда содержала равные массовые
100 Л
доли минералов, т. е. если пх = п2 — п3 = —, то
В этом частном случае средней плотностью руды явилась бы
средняя гармоническая простая. Если бы содержание минералов
в руде было дано не в массовых, а в объемных долях, то средняя
620
плотность руды равнялась бы средней взвешенной арифметической
плотности отдельных минералов, причем «весом» служили бы
объемные доли минералов.
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Рассмотрим вопрос о значениях, которые может принимать неко-
некоторая величина х в зависимости от случайных, т. е. не поддающихся
учету причин. При этом каждое значение х{, полученное в результате
единичного испытания, является случайной величиной, вероятность
появления которойр{. Зависимость между значением случайной вели-
величины и ее вероятностью называется распределением этой величины.
Допустим, что при большом количестве N испытаний дискретная
величина х принимает значения хг, х2, . . ., хп соответственно mlf
тг, . . ., тп раз. Тогда среднее значение х равно:
. . +тпхп
Когда N велико, относительные частоты —-,
,. .., ^- прибли-
приблипоявления значений
женно равны вероятностям рх, рг, . . .,рп
ж1 , хг, . . ., хп (см. § 1 гл. XX). Поэтому при большом числе испыта-
испытаний среднее значение х мало отличается от
Величина ^jP(Xt называется вероятным значением случайной вели-
величины х или ее математическим ожиданием и обозначается М (х):
М (х) = 2 Pi4
Таким образом, математическое ожидание М (х) является теоре-
теоретической величиной, к которой приближается среднее значение х
случайной величины х при большом числе испытаний.
Приведем без доказательств некоторые свойства математического
ожидания.
Очевидно, что если случайная величина постоянна (х = А), то
математическое ожидание равно ей самой:
М(А)=А
Математическое ожидание произведения случайной величины на
постоянный множитель равно произведению математического ожида-
ожидания случайной величины на этот множитель:
М{Ах)=АМ(х)
Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме
их математических ожиданий:
М(х+у+ . . . +z) = M(x) + M(y)+ . . . +M(z)
621
Математическое ожидание произведения независимых случайных
величин равно произведению их математических ожиданий:
М (xyz) = М(х)М {у) М (z)
Математическое ожидание квадрата отклонения случайной вели-
величины от ее математического ожидания М (х) называется дисперсией
величины х и обозначается а2:
а*~М [х—М (x)f
Дисперсия играет важную роль при статистических расчетах.
Она является мерой рассеяния значений х около их математического
ожидания. Пользуясь приведенными выше свойствами математиче-
математического ожидания, нетрудно показать, что дисперсия случайной вели-
величины равна математическому ожиданию ее квадрата без квадрата
ее математического ожидания, т. е.
(fl = M[x—M {x)]* = M(x2)— М*(х) (9)
Если появление некоторого события в каждом испытании имеет
вероятность р, то математическое ожидание частоты т этого события
при п испытаниях равно:
М(т) = пр (Ю)
Из (9) и A0) следует, что дисперсия частоты?
Для редких событий, т. е. для малыг р, величиной р2 можно
пренебречь, и
02 = гар
Для бесповторной выборки дисперсия частоты!
N — п
= пр A — р)
N
Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме
их дисперсий.
Положительное значение квадратного корня из дисперсии назы-
называется средним квадратическим отклонением или стандартом.
§ 3. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И КРИВАЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Приведенные выше формулы для средних значений случайной
величины, ее математического ожидания и дисперсии относились
к случаю, когда случайная величина дискретна и число возможных
ее значений конечно. Если же случайная величина непрерывна, то
Множество значений, которые она может принимать, бесконечно;
вероятность каждого отдельного значения такой величины равна
нулю.
622
Для определения понятий математического ожидания и дисперсии
непрерывной случайной величины нужно ввести новое понятие —
плотности распределения.
Обозначим через X некоторую непрерывную случайную величину,
которая может принимать любые числовые значения из промежутка
(а, Ь).
Пусть х есть некоторое число из зтого промежутка. Определим
вероятность dP того, что величина X принимает значения, заключен-
заключенные между х и х -\- dx. Эта вероятность, очевидно, пропорциональна
dx (при бесконечно малом dx) и зависит от х. Поэтому положим:
dP = ф (х) dx
Функция ф (х) называется плот-
плотностью распределения вероятностей
случайной величины X, произведе-
произведение ф (х) dx — элементом вероятно-
вероятности. Кривая у — ф (х) называется
кривой распределения вероятностей
данной случайной величины.
Важнейшее свойство этой кривой
состоит в следующем: вероятность
того, что случайная величина при-
примет значение, принадлежащее про-
промежутку (хг; х2), равна площади,
ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и двумя ордина-
ординатами, проведенными в точках х — хх и х = хг (рис. XXI-2).
Это непосредственно следует из того, что произведение ф (х) dx
выражает вероятность Р (х <^ X <^ х -f- dx) и в то же время при-
приближенно выражает площадь между кривой распределения, осью
абсцисс и ординатами в точках х и х -\- dx.
Отсюда следует, что если нам известна плотность распределения
Ф (х) случайной величины, то вероятность того, что значения, при-
принимаемые этой величиной, будут заключены в промежутке между
хх и х2, равна следующему интегралу:
Рис. XXI-2.
Для всякой кривой распределения должно быть
оо
]"ф (х) dx=l
так как этот интеграл выражает вероятность того, что величина
х примет любое числовое значение между —оо и -f°°! T- е> вероят-
вероятность достоверного события.
Знание плотности распределения ф (х) позволяет нам опреде-
определить математическое ожидание непрерывной случайной величины
623
следующим образом. Пусть распределение случайной величины х
характеризуется плотностью распределения ф (х). Разделим отрезок
аЪ изменения х, на котором определена эта функция, на элементар-
элементарные отрезки длины Ах (рис. XXI-2). На основании определения
Ф (х) вероятность того, что случайная величина х примет какие-
либо значения из отрезка (х, х + Ах), равна ф (х) Ах. Следовательно,
приближенно математическое ожидание будет равно:
М (х) *» 2 Щ И Дж
X
Если устремить промежутки Ах к нулю, то сумма обратится
в пределе в интеграл, и мы найдем, что
М (ж) = J «р (х) dx
(И)
где Ф (х) — плотность вероятности случайной величины.
Математическое ожидание представляет собой то постоянное для
данных условий число, около которого будут колебаться средние
арифметические, подсчитанные по результатам многочисленных на-
наблюдений. Так, например, при вполне устойчивом технологическом
процессе математическим ожиданием действительного качества про-
продукта будет то качество, на которое этот продукт рассчитан.
Известно, что качество продукта в отдельных партиях при этом
будет различным. Но если взять большое число проб из некоторого
числа п образцов, то окажется, что: 1) средние арифметические зна-
значения, характеризующие качество продукта, подсчитанные по этим
пробам, колеблются около постоянного числа М (х), являющегося
математическим ожиданием качества продукта, и 2) с увеличением
числа п образцов в пробе средняя арифметическая приближается
к математическому ожиданию, т. е. случайные колебания как бы
затухают при увеличении числа наблюдений.
Пример. При сушке продукта в сушильном аппарате берется
проба из 10 образцов. Вероятности получения в пробе образцов,
выходящих по содержанию влаги из контрольной зоны с границами
± -j-8 F — допуск) от середины допуска (назовем такие образцы
«внезональными») даны в табл. XXI-4.
ТАБЛИЦА XXI-4
Число х «вне-
зональных»
образцов в
пробе из 10
штук
Вероятность
получения
данного чи-
числа
0
0,24
1
0,38
2
0,26
3
0,10
4
0,02
5
~0
6
~0
7
~0
8
~0
9
~0
10
'~0
10
ДР (xfc)-1.00
624
Математическое ожидание числа внезональных образцов будет
равно!
М (х) = 0,24-0 + 0,38• 1+0,26-2 + 0,10-3 + 0,02-4 = 1,28 шт.
Пусть пробы по 10 штук отбирались по 10 раз в день при двух-
двухсменной работе, т.е. примерно через каждые 1,5ч. Аппарат был
отрегулирован на середину допуска. Были получены по дням сле-
следующие распределения проб (табл. XXI-5), по числу «внезональных»
образцов за 5 дней работы аппарата.
ТАБЛИЦА XXI-5
Дии работы
аппарата
1
2
3
4
5
Сумма за 5
дней . . .
Число «внезональных» образцов в пробе
0
2
1
2
3
3
И
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Число проб, имеющих данное число
«внезональных» образцов
3
5
4
4
4
20
3
2
2
2
3
12
1
2
1
1
—
5
1
—
1
—
—
2
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
_
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
10
—
—
—
—
—
Число
проб
за
день
10
10
10
10
10
50
Среднее
число
«внезо-
«внезональных»
образцов
в пробе
1.6
1.5
1,5
1,1
1.0
1,34
В последней графе помещены средние числа «внезональных» образ-
образцов за каждый день работы аппарата. Эти средние колеблются около
математического ожидания. Однако средняя за все пять дней работы
аппарата A,34) ближе к математическому ожиданию, чем средние за
отдельные дни.
Пример. Пусть непрерывная случайная величина х распределена
равномерно в пределах от а до Ъ. Тогда ф (х) постоянна и равна
Ъ— а
Ъ-а J b-a L 2 Ja 2
a
a+b
Этот результат можно было предвидеть сразу.
§ 4. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Если плотность распределения вероятностей случайной величины
имеет вид
ф(*)= *
Уп
то говорят, что случайная величина распределена нормально.
40 Заказ 1706 625
Кривую распределения (см. рис. XXI-4)
У = _ е-нг <-х-аJ
Ул
называют кривой нормального распределения, или кривой Гаусса.
Нормальный закон распределения имеет чрезвычайно широкое
распространение в природе, так как это предельный закон, к кото-
которому приближаются многие другие законы распределения при опре-
определенных условиях. А. М. Ляпунов показал, что если случайную
величину можно рассматривать как результат суммарного воздей-
воздействия многих независимых факторов, то закон распределения такой
случайной величины будет близок к нормальному.
Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной вели-
величины, подчиняющейся нормальному закону распределения. Мате-
Математическое ожидание определяется формулой A1). Следовательно,
для нормального распределения:
Положим х—a
М(я) = ?=г
-оо
z. Тогда получим:
оо оо
h С _h,z, , . ah С _л,2, ,
х) = ,_ \ ze а г dz-\ —г \ е п z dz
У л J /я J
Первый из этих интегралов равен нулю, так как его подынтег-
подынтегральная функция четная, а пределы интегрирования симметричны
относительно начала координат. Второй же интеграл равен ~-,
как это показывается в курсах анализа. Следовательно
М(х)=а
Точно так же можно показать, что дисперсия величины, подчи-
подчиняющейся нормальному закону распределения, будет равна
02 =
1
и, значит, среднее квадратическое отклонение связано с параметром h
следующей зависимостью:
Отсюда следует, что уравнение кривой нормального распределе-
распределения может быть записано в следующем виде:
оУ2л
626
Если математическое ожидание а равно нулю, то это уравнение
упрощается и принимает вид:
20»
о У 2я
§ 5. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОШИБОК
Результаты опытного измерения величин никогда не бывают
вполне точными, а всегда имеют некоторые погрешности. Эти по-
погрешности или ошибки опыта вызваны причинами, определенным
образом изменяющими результаты измерения, хотя бы и по неиз-
неизвестному нам закону. Такими причинами могут быть, например,
неисправность прибора, внешние условия опыта, искажающие его
результаты, и т. п. Ошибки, возникающие по этим причинам, назы-
называются систематическими ошибками и могут быть учтены или даже
в достаточной мере устранены.
Ошибки, имеющие место в результате большого количества
разных случайных, не поддающихся учету причин, называются
случайными ошибками.
Пользуясь закономерностями, характерными для больших сово-
совокупностей случайных величин, можно в среднем учесть погрешность
опыта, вносимую случайными причинами, и степень точности резуль-
результата опыта.
Допустим, что при измерении величины А, повторенном п раз,
получен ряд значений
ai, <г2. • • •> ап
случайные ошибки которых соответственно равны
XI, ХЪ . . ., Хп
Очевидно
. . . А = а„—х„
A3)
Установим аналитическое выражение для закона распределения
случайных ошибок измерений. Обозначим через dp вероятность того,
что ошибка измерения заключена между х и х -\- dx:
dp = ф (х) dx
Примем, что эта вероятность должна удовлетворять следующим
условиям:
1) она должна убывать при возрастании абсолютной величины
числа х, так как большие ошибки менее вероятны, чем малые;
2) она должна быть четной функцией от х, так как ошибки,
одинаковые по абсолютной величине и имеющие противоположные
знаки, равновероятны;
3) при всех значениях х она должна быть положительной;
40*
627
4) хотя, теоретически, возможны ошибки, имеющие хколь угодно
большую абсолютную величину, но практически ошибки, которые
можно совершить при измерении, не превосходят некоторого пре-
предела хм- Следовательно, искомая функция должна практически обра-
обращаться в нуль при | х | > хм;
5) так как появление ошибки, заключенной между —хм и -{-хм,
является событием достоверным, то сумма всех вероятностей, соот-
соответствующих этому промежутку, должна быть равна 1. Если на оси
абсцисс откладывать величину ошибки х с учетом ее знака, а на оси
ординат — значение функции ф (х), то на плоскости получим кри-
кривую, обладающую свойствами:
1) при отрицательных х она возрастает, а при положительных х
убывает;
0,5 1,0 1.5
Рис. XXI-3.
2,0
2) она симметрична относительно оси ординат;
3) расположена выше оси абсцисс;
4) при | х | > хм она практически совпадает с осью абсцисс.
Вероятность совершить ошибку, заключенную между х та х -\- dx,
геометрически равна площади, ограниченной этой кривой, осью
абсцисс и двумя ординатами, проведенными в точках с абсциссами
х ш х -\- dx. Так как появление ошибки, заключенной между —хм
и Хм, является событием достоверным, то
5) площадь кривой, заключенной между х = хм и х — —хм,
равна 1.
Всем этим требованиям, кроме четвертого, удовлетворяет функ-
функция Гаусса, определяющая закон нормального распределения!
ф (*) = \?— е
628
или
Однако при достаточно больших значениях \х\ эта функция
практически равна нулю.
Опыт показал, что случайные ошибки измеренря действительно
подчиняются нормальному закону распределения.
Выясним физический смысл параметра А. Этот параметр характе-
характеризует точность измерений, так как от него зависит характер группи-
группировки ошибок вблизи нуля. Действительно, сопоставляя кривые
(рис. XXI-3) при А = 1, А = 2, А = 3, можно видеть, что вероят-
вероятность ошибки, заключенной между —dx и -{-dx при А = 2 вдвое,,
а при А = 3 втрое больше, чем при наблюдениях, характеризу-
характеризующихся коэффициентом А = 1. По этой причине коэффициент А
называется мерой точности.
Пользуясь нормальным законом распределения ошибок, можно-
ответить на ряд вопросов, возникающих в измерительной практике.
§ 6. НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ИЗМЕРЯЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Пусть при измерении некоторой величины, неизвестное истинное-
значение которой есть х, получен следующий ряд значений:
Х1> ХЪ> • • •> хп
Тогда ошибки этих значений соответственно равны:
X — Xi, X — Х2, . . ., X — Хп
Предполагая, что ошибки измерения подчинены нормальному
закону распределения, найдем, какое значение для неизвестной изме-
измеряемой величины будет наивероятнейшим.
Вероятность того, что ошибка измерения будет заключена между
х — xt и х — xt -\- dx, окажется равной:
-4г е-"' (*-**)' dx
Условимся говорить, что это есть вероятность того, что при изме-
измерении сделана ошибка х — xt. Применяя теорему умножения вероят-
вероятностей, найдем, что вероятность того, что при п измерениях будут
сделаны ошибки х — хг, х — хг, . . ., х — хп, определится формулойг
_±
/я
{dx)n
ИЛИ
e-h> E (x-xtY
Нам надо определить, при каком значении х это выражение
будет иметь максимум. Это, очевидно, будет в том случае, когда
62»
показатель степени у числа е будет иметь минимум, т. е. при мини-
минимуме суммы:
Известно, что для нахождения этого значения х нужно приравнять
нулю первую производную:
2 2 (*-*/) =0
Определяя отсюда х, найдем:
. . .хп
Мы нашли, что наивероятнейшим значением измеряемой величины
является среднее арифметическое из полученных результатов изме-
измерений:
§ 7. ОЦЕНКА МЕРЫ ТОЧНОСТИ И СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОИ
ОШИБКИ ОТДЕЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Согласно нормальному закону распределения, вероятность того,
что в процессе измерений получены ошибки, заключенные между
х — xt и х — хс + dx (i = 1, 2, . . ., п), равна:
h dx у -h« S С"*,-)'
Определим, при каком h зта вероятность будет наибольшей.
Прологарифмируем предварительно выражение (А) и, взяв затем
производную по h, приравняем ее нулю. Мы придем к уравнению
-*»)» = 0
из которого найдем h:
A4)
Знаменатель подкоренного выражения мы вычислить не можем,
так как истинное значение х измеряемой величины нам неизвестно.
Обозначим через х среднее арифметическое измерений и установим
связь 2 (х — xiJ с легко вычисляемой суммой квадратов отклонения
отдельных наблюдений от их арифметического среднего 2(ж — xtJ.
Для этого обозначим через | разность между истинным значе-
значением х и средним арифметическим х
A5)
€30
и найдем ее приближенное значение. Очевидно
или
Возводя последнее равенство в квадрат, получим
= 2 (*-*<)*+2 S (*-**) (*-*/)
*.
V V
Сумма 2j 2j будет содержать как положительные, так и отрица-
• i
тельные слагаемые, причем если п велико, то число положительных
и отрицательных слагаемых будет приблизительно одинаково; зна-
значит, при большом числе наблюдений второй суммой можно прене-
пренебречь. Таким образом
2 (*-*/)• =
A6)-
Составим ту же сумму 2 (х — хд2 несколько иначе. На основа-
основании формулы A5) х~Ъ>-\-х и, следовательно
Возводя в квадрат и суммируя по всем i от единицы до п, получим;
/ *v> *v> \2 ?2 I *)? I f v • i I ^^* ^.^ *, \ ti
\X— X[)° — ga -j- && \-l> — •*¦( 1 ^— Vх — Х1/
2j (X —^t) =nS2 + 2s2j (^""^O + ij \X~ Xl)
или, учитывая, что 2 ix — xi) — 0;
2_j(x — хЛ* = nif + 7, [x — xiI A7)-
Исключив из системы уравнений A6) и A7) величину |, найдем:
5-^J A8)
Подставляя это выражение в знаменатель подкоренного выраже-
выражения формулы A4), найдем:
h =
* Суммирование идет по всем i и / от 1 до п, кроме членов i = /.
A9)
631
Пользуясь этой формулой, можно найти выражение для среднего
квадратического отклонения и для дисперсии отдельных измерений.
Вспоминая, что величины о и h связаны зависимостью A2)
/2=-
1
получим:
O =
-*,)»
Формула A9) определяет то значение меры точности h, при кото-
которой вероятность получения данной системы ошибок будет наибольшей.
Зная меру точности, можно
решить целый ряд практи-
практически важных вопросов по
оценке точности измерений.
Пусть для заданной се-
серии наблюдений найдено их
среднее арифметическое х,
вычислена по формуле A9)
мера точности h и построен
график функции нормаль-
нормального распределения:
Г-5
Рис. XXI-4.
Определим, пользуясь
этим графиком (рис. XXI-4),
какова вероятность, что ошибки отдельных наблюдений не пре-
превосходят по абсолютному значению заданной величины г, т. е.
заключаются в пределах от —г до -{-г.
На основании изложенного выше эта вероятность изображается
площадью ABCDE, т. е. интегралом:
г
J V П.
Учитывая четность подынтегральной функции h и производя
замену переменной интегрирования h% = t, получим следующее
выражение для искомой вероятности:
Vn J
dt
B1)
Вспомним функцию Лапласа Ф (х), уже встречавшуюся нам при
изучении биноминального распределения:
dt
632
Искомая вероятность B2) выразится через эту функцию следу-
следующим образом:
Р(\х — а
B2)
Таблица функции Ф приведена в конце книги.
§ 8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ В ЖИДКОСТИ
В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ИХ РАЗМЕРОВ
Рассмотрим твердую частицу произвольной формы с объемом V
и поверхностью А. Диаметр Dc шара с тем же объемом находится
из уравнения:
Он равен:
Величина Dc называется номинальным (условным) диаметром
частицы. Площадь поверхности этого шара равна Ас == nD2c. Рас-
Рассмотрим отношение К = А : Ас. Величина 1/Я называется сферич-
сферичностью данной частицы. Для специального случая сферической
частицы Я = 1, но для других форм Я > 1. •
Если номинальный диаметр частицы установлен каким-либо
способом (например, максимальным линейным размером частицы)
и обозначен через Dp, то объем V и площадь поверхности А могут быть
выражены так:
где Фи — объемный коэффициент;
Фа — поверхностный коэффициент.
Эти коэффициенты определяются формулами!
М&У
В химической технике мы обычно встречаемся со смесью частиц
различных размеров. Рассмотрим сперва N частиц одинаковой формы,
но с разными диаметрами Dp. Введем понятие «среднего диаметра»
частиц. В приложениях приходится встречаться с различными опре-
определениями этого понятия.
Средним вероятным диаметром частицы называется такое
число Dcp B, которое обладает следующим свойством: половина ча-
частиц имеет диаметр меньший, чем Z>cp в, а половина — больший,
чем Dcp B.
Другие средние диаметры для смеси частиц определяются
следующим образом:
633
Средний арифметический диаметр Z)cp. а =
/
Средний геометрический диаметр Dcp г = \^DPlDp2Dpb.
Yfl'
Средний поверхностный диаметр Dlp. s = —^—.
V пз
Средний объемный диаметр Dlp. v = ¦
..D
N
Средний диаметрально-поверхностный диаметр Dcp. ds =
уср. а
Средний диаметрально-объемный диаметр Dlp. л> = ¦
Средний пвверхностно-объемный диаметр Z)cp> so = -.
пз
^ср. v
Предположив, что распределение размеров частиц для смеси
следует нормальному закону Гаусса, введем величину х, равную
отклонению диаметров частиц от их среднего арифметического:
Покажем, как найти число частиц, для которых эти отклонения
находятся в заданных границах.
Число частиц, отклонение размеров которых от среднего арифме-
арифметического заключено между х и х -\- Ах, будет равно:
-2L
Ул
B3)
Число частиц с отклонением размеров, превышающим некоторое
число х0, определяется путем интегрирования выражения B3):
оо
У я J ^
х0
Число частиц, отклонения диаметров которых меньше числа х0,
будет:
^^ = -f [1 + Ф
Подставляя х = 0, получим, что число частиц с диаметром, превы-
N
шающим значение Z>cp а , равно -^-, что естественно в силу симме1рич-
ности распределения отклонений.
634
В некоторых случаях оказывается более удобным определить
величину х иначе, а именно принять
х = In Dp — In ?>cp. г; Dp = <Н*Д.р. г B4)
и искать количество частиц, для которых величина х оказывается
расположенной в заданных границах.
Можно показать, что число частиц, для которых величина х
имеет значения, не превышающие заданного числа х0, определяется
формулой:
Зная количество частиц, для которых х заключено в данных
границах, мы можем легко найти массу этих частиц.
Масса частиц, для которых величина х заключена между х
иг-f dx, равна:
Это выражение можно привести к следующему виду:
B5)
где
Отсюда общая масса частиц будет равна!
ИЛИ
Таким образом, доля массы тех частиц, для которых величина х
заключена в пределах от х до х -{- dx, будет:
dM
м
dy
B6)
Доля массы тех частиц, для которых х меньше некоторого х0,
определится формулой:
— \
гл J
-h'y'
dy
635
§ 9. НАИБОЛЬШАЯ ВОЗМОЖНАЯ ОШИБКА. ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ
Пользуясь формулой B2), найдем вероятность того, что ошибка
измерения по абсолютной величине не превзойдет За:
Р(|аг—*|<За) =
—=) =
=) = Ф B,13) = 0,997
2 )
—=)
V2 )
Вероятность того, что случайная ошибка по абсолютной величине
превзойдет число За, будет равна:
Р(|х-х1>3а) = 1—0,997 = 0,003
Эта ошибка ничтожно мала. На этом основании в измерительной
практике применяют следующее правило трех сигм: прак-
практически все ошибки измерения заключены между —За и За.
Число За принимают, таким образом, за верхнюю границу оши-
ошибок измерения.
Однако следует обратить внимание на условность этого правила.
Ошибки, большие трех сигм, возможны, но они встречаются крайне
редко — в среднем в трех случаях на тысячу. На этом основании
число А = За называют наибольшей возможной ошибкой.
§ 10. ВЕРОЯТНАЯ ОШИБКА ИЗМЕРЕНИЙ р
Вероятной ошибкой измерений называется такая величина, для
которой с одинаковой вероятностью можно ожидать, что действи-
действительные ошибки по абсолютной величине окажутся как меньше ее,
так и больше. Иными словами, при большом числе наблюдений при-
приблизительно половина отклонений | х — х{\ окажется меньше р, а поло-
половина отклонений — больше р.
В соответствии с этим определением вероятную ошибку можно
найти из формулы B2), полагая в ней Р = -? и r = pi
ftp
Согласно таблице
Ар = 0,477
/о V (х—хМ / У tx — xA
к l) л к
JTZI =0.67, |/ „_1
Площадь LMCNP на рис. XXl-4 равна половине всей площади,
ограниченной кривой и осью абсцисс.
636
§ 11. ТОЧНОСТЬ СРЕДНЕГО АРИФМЕТИЧЕСКОГО
Процесс обработки измерений не может считаться законченным
после того, как найдено наивероятнейшее значение измеряемой
величины и различные ошибки измерений. Необходимо еще оценить
точность полученных результатов, т. е. найти меру точности, сред-
среднюю квадратическую, вероятную и наибольшую возможную ошибки
среднего арифметического.
Поскольку результаты измерений хх, х2, . . ., хп представляют
собой случайные величины, то их среднее арифметическое х является
также случайной величиной. Эта случайная величина распределена
нормально. Не останавливаясь на выводах, приведем лишь формулы,
которые позволяют оценить точность среднего арифметического.
Пусть h есть мера точности отдельного измерения, определяемая
формулой A9). Обозначим через Н меру точности среднего арифме-
арифметического. Можно показать, что Н и h связаны зависимостью:
или, на основании A9)
2 2 (*-
B7)
т. е. мера точности среднего арифметического больше меры точности
отдельных измерений и пропорциональна квадратному корню из
числа измерений.
Если число измерений увеличить, например, в 4 раза, то точность
среднего арифметического увеличится вдвое.
Вероятность того, что среднее арифметическое отличается от
истинного значения на величину, меньшую г, т. е. вероятность
неравенства
\х— х|
выразится интегралом:
Нг
г я J .
B8)
Средняя квадратическая ошибка а0 среднего арифметического
связана с мерой точности таким же соотношением, как и в случае
ошибок отдельных наблюдений; она определяется формулой:
/
2<*-<
1=1
B9)
где а — средняя квадратическая ошибка отдельного измерения.
637
Вероятная и наибольшая возможная (при Р = 0,997) ошибки
среднего арифметического соответственно равны
2
ro = O,675crof=a~q"tJo и Ао = 3о"о C0)
При записи среднего арифметического принято указывать его
среднюю квадратическую ошибку.
Обработку серии измерений следует проводить в следующем
порядке:
1) определить среднее арифметическое;
2) найти среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения;
3) определить наибольшую возможную ошибку А отдельного
измерения и убедиться, что среди результатов измерений нет таких,
которые отличались бы от среднего арифметического более чем на А.
Если бы таковые оказались, их следует отбросить и начать обработку
сначала;
4) определить среднюю квадратическую ошибку а0 среднего
а рифметическ ого.
Остальные характеристики (r0, Ao, h и Я) находятся только
в случае необходимости.
§ 12. ПРИМЕРЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
1. Обработать шестнадцать измерений, приведенных во 2-м столбце
табл. XXI-6, представляющих собой результаты анализа раствора
на содержание в нем MgCl2.
ТАБЛИЦА XXI-6
Исходны
по пор.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
з данные
г/л
Х1
102
98
99
100
97
140
95
100
98
96
102
101
101
102
99
102
1632
Первая (
х—х^
0
4
3
2
5
—38
7
2
4
6
0
1
1
0
3
0
0
)бработка
(х-*.J
0
16
9
4
25
1444
49
4
16
36
0
1
1
0
9
0
1614
Вторая обработка
X,
102
98
99
100
97
—
95
100
98
96
102
101
101
102
99
102
1492
х—зс^
—2,53
1,47
0,47
—0,53
2,47
—
4,47
—0,53
1,47
3,47
—2,53
-1,53
—1,53
-2,53
0,47
—2,53
0,15
6,4
2,2
0,2
0,3
6,1
—
20,0
0,3
2,2
12,0
6,4'
2,3
2,3
6,4
0,2
6,4
73,7
638
Находим среднее арифметическое:
1632
16
= 102,0
В 3-й столбец заносим отклонения отдельных измерений от сред-
среднего арифметического, а в 4-й — их квадраты *.
Далее вычисляем по формуле B0) наибольшую возможную ошибку
отдельных наблюдений:
Сопоставляя ее с цифрами 3-го столбца, видим, что шестое на-
наблюдение приходится отклонить, как недоброкачественное C8 Ъ>
> 31).
Производим в столбцах 5—7-м вычисления заново:
= 99,47
Все числа 6-го столбца — менее 6,6, и, следовательно, все пятнад-
пятнадцать оставшихся наблюдений должны быть учтены.
По формуле B9) вычисляем среднюю квадратическую ошибку
арифметического среднего:
73,7
= 0,6
Результат обработки можно записать одним из следующих
способов:
х = 99,5 ± 0,6
г= 99,5A ±0,006)
я =99,5 с точностью 0,6%
Найдем вероятные ошибки отдельных измерений и среднего ариф-
арифметического, а также меры их точности.
Для вероятной ошибки отдельных измерений находим следующее
значение:
г = 0,675ст = 0,675 • 2,21 = 1,5
Вероятную ошибку среднего арифметического найдем по фврмуле
C0):
г0 = О,6750о = 0,675 • 0,6 = 0,4
* Сумма 2 (я— xi) Должна быть равна нулю, что является контролем
правильности вычислений.
639
Меру точности отдельных наблюдений и меру точности среднего
арифметического определим по формулам A9) и B7):
2-73-7
= 0,309
H = hVn =0,309 Kl5 =1,20
Кривая распределения вероятностей имеет уравнение:
°'309 „-(я-вв.6I-0,309
е
m (r\—
т/
Эта кривая представлена на рис. XXI-4.
2. Пробными испытаниями установлено, что относительная ошибка
газоанализаторов данного типа равна 12%. Сколько дублирующих
газоанализаторов надо поставить, чтобы обеспечить относительную
точность результатов в 10, 5, 3 и 1%?
Ошибка среднего арифметического равна:
Отсюда
Wo /
C1)
Соответственно заданным точностям, получим:
l,4; = 5,8; п3 = 16; пх = 144
Таким образом, следует взять, соответственно, 2, 6, 16 и 144
газоанализатора.
3. Точность планиметра, с помощью которого определяется пло-
площадь замкнутой кривой, составляет 6%. Сколько раз надо повторить
измерение площади, чтобы точность среднего арифметического полу-
полученных измерений была равна 2%?
Применяем формулу C1):
»=(-§•) =9 раз
4. Точными приемами установлена величина давления в авто-
автоклаве 104,2 am. При испытании манометра для давления получены
следующие значения:
109,9;
104,1;
105,3; 103,6; 104,4; 104,5;
102,1; 103,5; 103,7 и 103,9
Выяснить, нет ли в этих измерениях постоянной ошибки и, исклю-
исключив ее, определить точность измерения манометром.
Отличие среднего арифметического из показаний A03,7) от точ-
точного значения A04,20), очевидно, и будет постоянной поправкой
640
манометра (±0,5). Находим среднюю квадратическую и вероятную
ошибку наблюдения:,
с =
r^j a = 0,6
Эти ошибки и характеризуют точность определения давления
манометром.
5. Произведено несколько испытаний специальной стали, пред-
предназначенной для колонны синтеза аммиака. Получены следующие
данные временного сопротивления:
г = 35; 40; 38; 37; 41; 34; 42 и 37 кГ/мм*
Определить с вероятностью 0,999 низшую границу временного
сопротивления.
Произведя обычную обработку, находим:
z = 38,0
и
h= 1 / v-" = V тЛтг =0,25 кГ/млР
J/ 2 2 (z-Zi)* У 2-56
Из таблицы функции Ф находим, что при Р = 0,999 будет
hr = 2,33, откуда
адз__
0,25 ~9"
Следовательно
z = 38 ±9,3
Низшая граница временного сопротивления будет:
2 = 28,7 кГ/мм*
§ 13. О НЕРАВНОТОЧНЫХ НАБЛЮДЕНИЯХ
1-й случай. Пусть даны два ряда измерений, причем все измере-
измерения и первого и второго ряда произведены с одинаковой точностью.
Если каждый ряд содержит одинаковое число измерений, то резуль-
результаты обработки рядов будут равноточны; если же число измерений
в рядах не одинаковое, то результаты обработки рядов будут не
равноточны.
Это следует из того, что в формулу средней квадратической ошибки
арифметического среднего ,
B9)
ао =
Vn
входит число измерении п.
41 Заказ 1706
641
2-й случай. Если даны два ряда измерений, но измерения каж-
каждого ряда произведены приборами разной точности, то арифмети-
арифметические средние рядов будут не равноточны, даже в том случае, если бы
число измерений в каждом ряду было бы одинаковым, так как в фор-
формулу B9) входит число а.
Сущность обработки рядов неравноточных измерений заключается
в том, что после введения некоторых коэффициентов, называемых
«весами», обработку неравноточных измерений производят так же,
как и равноточных.
Рассмотрим числовой пример, относящийся к первому случаю.
Допустим, что диаметр отверстия регулирующего клапана
определялся четырьмя группами измерений, представленными
в табл. XXI-7, причем для каждой группы измерений определены
арифметические средние.
ТАБЛИЦА ХХ1-7
№ по пор,
1
2
3
4
5
6
7
8
Сумма ....
п
х
1-я группа
107,10
107,68
107,45
107,62
107,68
107,08
107,44
107,28
859,33
8
107,416
2-я группа
107,57
107,45
107,07
107,35
107,17
107,46
644,07
6
107,345
3-я группа
107,51
107,57
107,16
107,48
429,72
4
107,430
4-я группа
107,41
107,00
214,42
2
107,210
Так как все измерения равноточны, то для нахождения среднего
арифметического нужно сложить данные всех 20 измерений и сумму
разделить на 20. Дальнейшую обработку нужно проводить так же,
как и при обработке равноточных измерений.
Предположим теперь, что задаются только арифметические сред-
средние каждой группы и число измерений в ней. В этом случае обра-
обработку результатов следует проводить путем введения «весов» наблю-
наблюдений.
«Весом» наблюдений в данном случае можно считать количество
измерений в каждой группе, ибо «вес» — это степень доверия
к результатам наблюдения, а эта степень, очевидно, тем больше, чем
больше наблюдений в группе. Таким образом, в рассматриваемом
случае можно считать веса пропорциональными числу наблюдений
в группе. В данном примере мы имеем четыре средних арифметиче-
арифметических с разными весами:
107,416 с весом 8
107,345 » » 6
107,430 » » 4
107,210 » » 2
642
Окончательная средняя арифметическая, называемая «общей
арифметической серединой» или «взвешенной средней», будет:
-_ 107,417 • 8 +107,345 • 6+107,430 • 4+107,210 • 2 .„_„
Х 8 + 6 + 4 + 2 =Ю7,38
Если мы имеем п арифметических средних хх, х2, . . ., хп с соот-
соответствующими весами glt gt, ¦ ¦ ., gn, то общая арифметическая сере-
середина находится по следующей формуле:
• • • +gn*n
gl+g2 + ¦ ¦ ¦ + gn
2
hi
S Si
C2)
Рассмотрим теперь второй случай нахождения общей арифмети-
арифметической середины, когда число измерений неизвестно, но заданы сред-
средние квадратические ошибки результатов измерений. Здесь опять-таки
надо начать с установления «весов» каждого результата.
Найдем математическую связь между «весом» и средней квадра-
тической ошибкой результата.
Из формулы B9), выражающей среднюю квадратическую ошиб-
ошибку о0 среднего арифметического через среднюю квадратическую
ошибку а отдельного измерения и число п измерений, можно по-
получить:
Если отдельные измерения обладают одинаковой точностью, то
средним арифметическим отдельных групп наблюдений следует при-
приписывать веса, обратно пропорциональные квадратам их средних
квадратических ошибок. Так как средняя квадратическая, вероятная
и наибольшая возможная ошибки пропорциональны друг другу,
то в качестве весов средних арифметических можно взять числа,
обратно пропорциональные квадратам любых этих ошибок.
Пример. Угол смачивания при осуществлении процесса аэрации
флотируемой пульпы измерен 3 раза (сделано три группы наблюде-
наблюдений); по каждой группе вычислены средние квадратические ошибки;
результаты представляются в следующем виде:
30° 15' 30" ± 40"
30° 15' 15" ± 20"
30° 15' 20° ± 10"
Требуется найти общую арифметическую середину х.
В качестве весов каждой группы наблюдений можно принять
любые числа, обратно пропорциональные числам 402,202 и 102, т. е.
1600
1
400
1
100
41*
643
Следовательно, можно принять:
По формуле C2) находим взвешенное арифметическое среднее;
30"-1 + 15"-4 + 20'-16 oQ,r/)r.
1+4+16 ~3° 15 19>5
§ 14. О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ И О ДИСПЕРСИИ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Пусть случайная величина представляет собой линейную функ-
функцию независимых случайных величин х и у:
где а и Ъ — постоянные величины.
Обозначив средние значения z, x и у через z, x и i/, а их средние
квадратические отклонения, соответственно, через ог, ох, ау, можно
показать, что
z = ax-\-by
01=020^+680»
В частности, если z = x-\-y, то мы имеем:
C3)
C4)
Пример. Предположим, что х может принимать значения 10, 11,
12, а I/ может принимать значения 6, 8, 10. Следовательно, х = 11
и I/ = 8, и мы имеем:
Если z = х + I/, то z может принимать девять значений, которые
получаются путем прибавления трех значений х к каждому из трех
значений у, а именно:
16 18 20
17 19 21
18 20 22
Отсюда следует, что z—19; это подтверждается равенством
z = x + y.
Точно так же
2_ 32-+22+2-12+0 + 2-
г Г'
Г
10
3
что подтверждает формулу C4).
644
Если z — x—у, то значения для z будут
4 5 6
2 3 4
0 1 2
и, стало быть, z = 3 в соответствии с z = x — у. В этом случае для
дисперсии получим:
9
10
3
что подтверждает формулу C4).
Формулы C3) и C4) обобщаются на случай линейной функции
любого числа случайных величин.
Предположим, что хг, х2, . . ., х„ — независимые случайные вели-
величины, средние значения которых соответственно равны: xt, х3, . . .,
хп. Обозначим дисперсии этих величин через а\, of» • • -, <*«¦
Рассмотрим некоторую линейную функцию
z = k1x1-\-k2x2-\- . . . +кпхп
этих величин, которая также будет некоторой случайной величиной.
Можно показать, что среднее значение величины z будет
. , + кпхп C5)
а дисперсия величины z определится по формуле:
<• C6)
Формулы C3) и C4) .являются частными случаями формул C5)
и C6). Отметим некоторые частные случаи этих формул.
1. Пусть
Тогда
?=z1 + *2+ . . . +хп- a| = of + 0l+ . . . +a» C7)
2. Если все величины хг, х2, . . ., хп обладают одной и той же
дисперсией а2, то дисперсия их суммы z = хх + х2 + . . . + хп будет:
0| = ш2 C8)
Среднее квадратическое отклонение аг в этом случае будет равно:
аг = оУп C9*
3. Пусть z есть среднее арифметическое п случайных величин
04л
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение величины z
определяется по формулам:
"* n* > z n
4. Если o1 = a2= . . . =on = o, то
D0)
<"! = —-• ог = —r— D1)
Отсюда, между прочим, следует, что если хг, х2, . . ., хп —
результаты измерений какой-либо величины, то точность среднего
арифметического в \/~п раз больше точности отдельных измерений,
что было получено ранее.
Пример. Для одной и той же величины имеются 250 наблюде-
наблюдений с средней квадратической ошибкой 3 и 400 наблюдений с сред-
средней квадратической ошибкой 5.
Вычислить среднюю квадратическую ошибку для среднего ариф-
арифметического каждой серии наблюдений и среднюю квадратическую
ошибку разности между этими средними.
Средние квадратические ошибки для средних первой и второй
серий наблюдений будут:
К250
5
УШ
= 0,19
= 0,25
Средняя квадратическая ошибка разности между двумя средними
будет:
= +
1^400
= 0,31
Предположим теперь, что z есть произвольная функция несколь-
нескольких случайных величин. Для простоты допустим, что z есть произ-
произвольная функция двух случайных величин х и у:
2=ф (X, У)
Обозначим, как и раньше, хну — средние значения величин х
и у, а о\ и о\ — их дисперсии.
Мы можем найти приближенные выражения для среднего значе-
значения z и для дисперсии of, применяя следующий метод линеаризации
функции ф (х, у).
Разложим эту функцию в степенной ряд по степеням х — х
и У — У, причем ограничимся лишь первыми степенями этих разностей:
'-у) ' D2)
Здесь (-jr-) и (-г-) означают частные производные функции ф,
вычисленные при х = х и у = у. Формула D2) дает уже линейную
зависимость между z и х, у.
Применяя формулы C5) и C6), найдем для среднего значения z
и дисперсии а\ следующие выражения:
* D3)
Эти формулы и решают вопрос о нахождении среднего значения
и дисперсии нелинейной функции двух случайных величин.
Следует подчеркнуть, что эти формулы — приближенные, так
как при их выводе была использована приближенная формула D2).
Пример. Радиус цилиндра х = 2,1 ± 0,1 см, его высота у =
= 6,4 ± 0,2 см.
Определить объем цилиндра и его среднюю квадратическую
ошибку. Среднее значение объема находим по формуле:
V = nxiy = 3,14 • 2,12 • 6,4 = 88,7
Дисперсию определим, применяя формулу D3):
ш г о,О4 = 73,93
Извлекая квадратный корень, найдем среднюю квадратическую
ошибку определения объема цилиндра:
а = 8,6
Следовательно
V= 88,7 ±8,6
Пример. Показатель преломления для стекла призмы
. 1
sin
sin-i-
где А — угол призмы;
D — угол минимального отклонения.
Результаты нескольких измерений А и D дают:
А = 60° 5,2' ± 0,2'
> = 46Ч 36,6' ±0,4'
Определить показатель преломления призмы для известной длины
волны света.
Так как
646
647
то
sin —
sinJA
-US-'*»
Применяя D3), найдем для средней квадратической ошибки:
1 . . . „. 1.1
дп
Та
cos -| A
sitfi-Л
. 1
. 1
2 sin2 -i-
dn
dD
"" 2" ^ sin 23° 18,3'
"l— cos Л " 1 —cos 60s 5,2
cos 53° 20,9'
~ 2 sin 30е 2,6'
= —0,79
Ho
и
aA= ±0,2'= ±0,000058 рад
0D= ±0,4'= ±0,000116 рад
Следовательно, на основании формулы D3)
о% = @,79 • 0,58 • Ю-*J + @,60 • 1,16 • 10"*J = 0,65 • 10"»
откуда
Следовательно, коэффициент преломления призмы можно пред-
представить в виде;
п = 1,60246 ± 0,00008
§ 15. КРИТЕРИЙ х2
В технологической практике часто приходится встречаться с за-
задачами следующего рода. Некоторое испытание производится не-
несколько раз, причем известна теоретическая частота появления
некоторого события при этом испытании. Однако на практике фак-
фактическая частота оказалась несколько отличной от теоретической.
Важно установить, можно ли объяснить имевшее место расхождение
между частотами случайными причинами? Пусть, например, извест-
известно, что процент брака при выпуске некоторой продукции в сред-
среднем равен а.
Если среди выпускаемой продукции процент брака окажется
равным р =ф= а, то можно ли это расхождение объяснить случайными
причинами или это расхождение существенно и вызвано улучшением
648
или ухудшением технологии производства этой продукции? Для
решения этого вопроса поступают следующим образом.
Построим некоторую величину, которую можно было бы принять
за меру расхождения между фактической и теоретической частотой.
Эту величину называют критерием значимости.
Определим вероятность того, что в силу случайных величин,
критерий значимости примет значения, равные или большие того
значения, которое получено из опыта. Если эта вероятность ока-
окажется малой, то это будет означать, что мала вероятность того, что
в силу случайных причин критерий значимости примет то числовое
значение, которое для него получено из опыта, или превысит его.
Следовательно, критерий значимости достиг этого значения не в силу
случайных причин и расхождение между теоретической и фактической
частотами существенно.
Если же эта вероятность окажется немалой, то расхождение
между теоретической и фактической частотами следует признать
случайным.
Вопрос о том, какую вероятность нужно считать малой, не может
быть решен методами математики; он зависит от характера рассма-
рассматриваемой задачи. Часто при решении подобных вопросов вероятность
считают малой, если она меньше 0,05 (пятипроцентный уровень зна-
значимости). Однако следует иметь в виду, что при этом в одном из
каждых 20 случаев мы будем утверждать наличие эффекта, не суще-
существующего в действительности. Если такой процент ошибки считается
слишком большим, следует принять более высокий, например,
1%-й уровень значимости.
Если нам нужно определить, случайно ли отличается частота по-
появления некоторого события от ожидаемого значения, то применяют
так называемый %2 критерий. За меру расхождения между теорети-
теоретической и наблюдаемой частотой принимают число:
где Ф — фактически полученное значение частоты;
Е — ожидаемая частота.
Суммирование производится по всем исходам опыта.
Не рекомендуется применять критерий %2 в тех случаях, когда
какое-либо Е меньше 5.
После того, как %2 найдена, нужно из таблицы величины %2
(см. приложение в конце книги) определить вероятность того, что
в силу случайных причин %2 примет значение, равное или большее
того, которое найдено из опыта.
Таблица функции %г составлена по двум аргументам. Одним из
них является вероятность р, а другим — так называемое «число
степеней свободы». Под числом степеней свободы понимают число
классов, значения которых можно задать произвольно. Иными сло-
словами, это есть общее число классов минус число ограничений, нало-
наложенных на изучаемую систему.
649
Если найденная по таблице вероятность мала (например, меньше
0,5 или меньше 0,1), то расхождение между опытной и теоретической
частотами нельзя считать случайным.
Отметим, что критерий %2 применяется также и при сравнении
опытных частот, полученных в результате нескольких опытов.
Пример. Прочность безопасного стекла испытывается с помощью
стального шарика, который падает на стеклянный лист с определен-
определенной высоты.
В одной серии испытанию подвергались 10 листов, причем 5 из
них были разбиты, в другой серии из 20 листов другого состава
не выдержали испытания 14 листов. Можно ли считать, что прочность
стекла обусловливается различием состава или же различие в резуль-
результатах опытов по сериям объясняется случайными причинами?
Так как испытанию подвергались 30 стекол и из них оказались
разбитыми 19 стекол, то вероятность того, что стекло окажется
разбитым, равна 19/30, а вероятность того, что оно не разобьется,
равна 11/30. Следовательно, теоретическое число разбитых стекол
в первой серии равно -^ • 10 = 6,33, а во второй серии -^- ¦ 20 =
= 12,66. Теоретическое число уцелевших стекол в первой партии
равно -дтг-Ю = 3,66, а во второй партии ¦^-•20 = 7,33.
Вычисляем критерий %2:
ТАБЛИЦА XXI-8
¦^-
E—6,33J ¦ A4 —12.66K
6,33
12,66
E —3,66J . F —7,33J
3,66 ' 7,33
Число степеней свободы находится как число классов, значения
которых могут быть заданы произвольно. В нашем случае мы имеем
два класса — класс разбитых и класс уцелевших стекол; однако
произвольно мы можем задать численность только одного из них,
в результате чего определится численность второго класса. Если
общее число образцов составляет 30 листов и 19 из них оказались
разбитыми, то количество уцелевших должно быть 11. Поэтому число
степеней свободы равно единице. Обращаясь к таблице %2 для одной
степени свободы, находим, что вероятность нашей гипотезы составляет
около 0,29. Так как зта вероятность не мала, то на основе проведен-
проведенных опытов нельзя утверждать, что здесь имеется различие свойств
испытываемого состава стекла.
Пример. При отсчетах по шкалам измерительных приборов по-
последние цифры показаний обычно оцениваются лишь приблизительно
в долях деления шкалы.
При этом часто можно отметить предпочтение, которое даже опыт-
опытные наблюдатели оказывают одним цифрам перед другими. В табл.
XXI-8 приводится распределение 200 случаев оценки последней
цифры одним из наблюдателей при отсчете по измерительному при-
прибору в долях деления шкалы.
Табл. XXI-8 обнаруживает, что цифры 0 и 8 встречаются значи-
значительно чаще, чем другие. Вопрос заключается в том, имеем мы здесь
650
Цифры
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Наблюденные
численности
2
35
16
15
17
17
19
11
16
30
24
200
Математические
ожидания
численностей
3
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
200
уклонения
4
15
—4
—о
о
о
—1
-9
-4
10
4
0
(Ф — ЕJ
Е
5
11,25
0,80
1,25
0,45
0,45
0,05
4,05
0,80
5,00
0,80
24,90
дело с систематической ошибкой в отсчете или нет. Этот вопрос,
естественно, решается сравнением наблюденного распределения с те-
теоретически допускаемым равномерным, при котором вероятность
получения любой из цифр 0, 1, 2, . . ., 9 равна —г.
В графе 4 таблицы указаны значения уклонений наблюденных
численностей от их математических ожиданий и в графе 5 сделаны
подсчеты %г. Число степеней свободы равно 9. Из таблицы вели-
величины %* находим, что значению %2 = 24,9 соответствует вероятность
меньшая, чем 0,01. Следовательно, расхождение между частотами
нельзя считать случайным.
Пример. Ниже приведены данные выпуска сверхплановой про-
продукции по сменам (в условных единицах):
Смена
А
В
С
Проверим, можно ли считать расхождение между количеством
сверхпланового выпуска по сменам случайным.
Так как среднее число по сменам равно 5, то для критерия %2
находим:
Число классов в данном примере равно 3; мы можем произвольно
задать численность только двух из них, так как численность третьего
класса при этом определится. Поэтому число степеней свободы
равно двум.
651
Из вышеприведенных данных найдем, что соответствующее зна-
значение вероятности близко к 0,09. Эту вероятность нельзя считать
малой; поэтому расхождение между данными выпуска сверхплановой
продукции можно считать случайным.
Решим ту же задачу, но с иными числовыми величинами:
Смена
А .
В .
С .
2
14
14
Критерий %2 в этом случае равен
V2- B-ЮJ ! A4-ЮJ , A4-10J _
Х 10 ' 10 > 10 ~9>Ь
При двух степенях свободы этому значению %2 соответствует
вероятность, меньшая 0,01. Следовательно, есть основание считать
различие в выпуске сверхплановой продукции по сменам неслу-
неслучайным.
Пример. В табл. XXI-9 приведены некоторые данные о процессе
размалывания бумажной массы в аппарате. Испытшвались четыре
различных метода загрузки аппарата.
ТАБЛИЦА XXI-9
Метод загрузки
Количество циклов
Количество засорений
Ожидавшееся количество засорений
5
6,4
10
9
9
7,2
13
10
10,4
Всего
40
32
32
Проверим гипотезу, что нет связи между частотой случаев засоре-
засорения и методом загрузки, т. е. что частота случаев засорения не за-
зависит от метода загрузки. Согласно этой гипотезе, частота засорения
должна быть одинакова при любом методе, т. е. должна равняться
32
— = 0,8 на цикл.
Вычисляем
F,4 -5)г
6,4
G,2 -9J ¦ A0-10,4J
7,2
= 0,77
Число степеней свободы равно трем, так как число классов равно
четырем и при общем количестве засорений 32 численность только
трех классов может быть заполнена произвольно.
Обращаясь к таблице %2 (см. приложение) для трех степеней
свободы, видим, что вероятность приблизительно равна 0,85. Эта
вероятность не мала. Следовательно, приведенные данные хорошо
согласуются с гипотезой, что частота засорений не зависит от метода
загрузки,
652
Пример. Допустим, что в первой выборке в 1000 изделий было
20 случаев брака; в другой выборке в 500 изделий было 15 случаев
брака.
Оправдывается ли с достаточной уверенностью предположение,
что совокупности, представляемые этими двумя партиями, различны?
Всего на 1500 изделий мы имеем 35 случаев брака; вероятность
брака равна j^~- = 0,0233. Теоретическое число бракованных изде-
изделий в первой и второй выборке соответственно равно 23,3 и 11,6.
Вычисляем величину у?:
„,,_ B3.3-20J ¦ A5-11.6J , (976,7 - 980J ¦ D88,4-485J
"Т" 4 4а ' ппа п "Т~ /оо / ^»
23,3
11,6
976,7
488.4
Число степеней свободы — единица.
Из таблицы (в приложении) находим, что этому значению %г
соответствует вероятность 0,2; эта вероятность не мала. Следова-
Следовательно, расхождение можно признать случайным.
§16. КРИТЕРИЙ F И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ПРОВЕРКЕ ГИПОТЕЗ
Рассматриваемый здесь критерий применяется при сравнении
точности двух рядов измерений, при проверке устойчивости техноло-
технологического процесса и т. п. Функция F есть отношение выборочных
дисперсий!
Значения этой функции для уровней значимости 0,5 и 0,1 табу-
табулированы при соответствующих степенях свободы каждой из двух
дисперсий (см. приложение). При сравнении двух дисперсий обычно
в числителе критерия F содержится большая дисперсия.
Пример. При определении содержания хлора в полимерном
соединении использованы два метода анализа, результаты которых
приведены ниже (в %):
Метод А
27,5
27,0
27,3
27,6
27.8
Метод
27,9
26,5
27,2
26,3
в
27,0
27,4
27,3
26,8
Предположим, что нет различия между методами анализа в отно-
отношении воспроизводимости устойчивости анализов. Для проверки
этой гипотезы воспользуемся критерием F. При выполнении расчетов
мы будем вычитать 27% из каждого значения в столбце А и 20% —
в столбце В. Это не влияет на дисперсию.
653
Имеем:
= 1,34
хв = 399,48
A n-i
Таким образом!
- = 0,093; ав =
v 0,266
n — l
= 0,266
В таблице значений F (см. приложение) находий F = 6,09 при-
применительно к вероятности в 0,05 при 7 степенях свободы для о\
и 4 степенях свободы для о!.
Так как полученное значение F = 2,86 значительно меньше
табличного, то наше предположение при данных условиях не опро-
опровергается.
§ 17. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА
Английский химик В. Госсет, писавший под псевдонимом «Стью-
дент», получил закон распределения, носящий теперь его имя.
Предположим, что случайные величины и и v независимы друг
от друга, причем и распределена нормально, a v — по закону %2
с к степенями свободы. Тогда величина
to = —==
D4)
имеет следующую плотность распределения, которая известна под
названием «закона Стьюдента»:
/(')=-
ft+1
где Г (¦ "Г ) и Г (—-j —гамма-функции (см. стр. 312).
Отсюда видно, что это распределение зависит только от к.
Распределение Стьюдента довольно близко к нормальному, осо-
особенно если к не мало. На рис. XXI-5 приведены для сравнения кри-
кривые нормального распределения 1 и распределения Стьюдента 2
при к = 4. Различие между этими кривыми существенно лишь при
малых п. Если к ^ 20, то распределение Стьюдента практически
совпадает с нормальным распределением. Поэтому при решении
задач распределением Стьюдента следует пользоваться лишь при
&20
654
Для совокупности, распределенной с отклонением ol!n от ее
среднего X, будем иметь:
Так как (п — 1) <т2/<т0 имеет распределение по закону %2 с (п — 1)
степенями свободы, то из D4) получим:'
Уп
_
х- X ,г-
Vn
n — i
4 3 -2 -I 0 I
Рис. XXI-5.
Таким образом, критерий Стьюдента t есть отношение отклонения
среднего х данной выборки, состоящей из п индивидуумов, от истин-
истинного значения X всей совокупности к стандартному отклонению alyn.
Значения t табулированы.
Пример. В нижеследующей таблице представлены результаты
анализа процентного содержания пластификатора до (I) и после (II)
обработки массы в печи:
(I) (П)
17,5 17,0
17,8 17,0
17.4 17,4
17.5 17,0
17,7 17,3
2 * 87,9
-=^1 17.58
n
5V 1545,39
85,9
17.18 = 5
1475,89
B*)'
= /0,027
655
Если в приемах исследования не было постоянных различий,
то следует ожидать, что в случае отсутствия потерь разность между
значениями в сериях должна в среднем равняться нулю.
Требуется установить, значимо ли отличается их среднее от нуля.
Величина t равна:
*=-
17,58 — 17,18
0,4
0,027 . 0,032 O.I09
= 3,67
Обращаясь к таблице Стьюдента, найдем, что при к — 8 (из 5
анализов 4 независимы для каждой из двух групп) величина 3,355
соответствует вероятности 0,01 и поэтому имеем меньше одного
случая из 100 для утверждения, что случайные образцы из отдельной
выборки будут отличаться друг от друга на 0,4%.
Таким образом, предположение об отсутствии потерь не является
обоснованным.
§ 18. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Если для оценки неизвестного параметра 0 мы определим вместо
одного два значения А и В таким образом, что здесь имеется вероят-
вероятность 1 — а осуществления неравенства А <[ 9 <^ В, то i и В назы-
называются 100 A — а)%-ными доверительными пределами, а интервал
между ними является 100 A — а)%-ным доверительным интервалом.
Так как вероятность того, что этот интервал не включает в себя 9,
составляет а, то при обратном утверждении мы рискуем ошибиться
на 100 а%. Следует подчеркнуть, что мы не утверждаем, что 0 имеет
вероятность 1 — а для попадания в область между данными преде-
пределами. Значение 0 есть просто неизвестная постоянная, и поэтому мы
не можем относительно нее сделать такого рода предположения.
Любая статистическая характеристика является приближенной.
Поэтому она может иметь определенный смысл лишь в том случае,
когда указываются границы возможной погрешности оценки или,
иначе говоря, указывается интервал, о котором с известной вероят-
вероятностью можно утверждать, что он покрывает оцениваемое нами,
вообще говоря, постоянное значение параметра. Предположим, на-
например, что мы желаем по данным выборки оценить характеристику
X центра группирования нормальной генеральной совокупности,
среднее квадратическое отклонение которой мы считаем известным.
В этом случае величина х подчинена нормальному закону
с центром X и дисперсией о2/ге.
Следовательно, величина t=-
n
есть нормированное
отклонение нормально распределенной случайной величины х от
центра группирования. Если мы имеем
Р(\ t\>Q = a, то P(
при любом значении X.
$56
Далее, заметим, что неравенство
х — Х
Vn<ta
равносильно неравенству
Неравенство
х — Х
равносильно неравенству
В силу того, что
Уп
Аналогично найдем равносильными:
*< Х ^~ '~
Следовательно, утверждение, что -^— Vn попадет между
и ta равносильно утверждению, что мы будем иметь:
—ta
У п
Мы можем теперь написать
есть 100 A —а)%-ный
т. е. интервал между х -+?=- их + -
У п V п __
доверительный интервал для неизвестного среднего х, если диспер-
дисперсия а2 известна.
Рассмотренный выше доверительный интервал имеет конечные
границы. Иногда приходится решать задачи определения вероят-
вероятности 1 — а для значений, которые только больше или только меньше
чем X. Такие интервалы называются односторонними доверитель-
доверительными интервалами.
Предположим, что мы выбираем значение t2a таким образом,
что Р (| *|>*2а)- Тогда, вследствие симметрии нормального распре-
распределения, будем иметь:
42 Заказ 1706
657
или
= i_a и
= 1—а
На основании изложенного выше можем написать:
. p('x-2h
\ V
Таким образом, интервалы со значениями больше, чем х
и меньше, чем х + —I? являются искомыми односторонними
100A — с?)%-ными доверительными интервалами для неизвестного
среднего X:
Доверительные интервалы могут быть применены к любой нор-
нормально распределенной переменной с известным стандартным откло-
отклонением. Например, если мы имеем две выборки пг и пг из нормальной
совокупности со средними Z, и Z, и дисперсиями о\ и of, то d —
— хх — х2 будет нормально распределенной со средней б — Хг — Х2
и с дисперсией о| = а\/п1 + аЦпг. Следовательно, если о\ и а\
известны, то двусторонним доверительным интервалом для б будет:
Пример. В течение продолжительного срока при анализе данного
материала на содержание железа установлено стандартное отклоне-
отклонение 0,12%. Если 6 анализов дают среднее содержание железа 32,56%,
то 95%-ный доверительный интервал для истинного содержания
железа в образце определится так:
или
32,56-1,96 -^<Т<32,56 +1,96
32,46 <Х< 32,66
~-
где *а=*о,о5 == 1,96 (из таблицы, см. Приложение).
Если мы заинтересованы только в установлении нижнего предела
для возможного содержания железа в образце, то при tZa = tOilo =
= 1,645 будем иметь:
или
658
32,56-1.645 ^г
Кб
Я > 32,48
§ 19. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Получение экспериментальных данных часто имеет целью вы-
высказать некоторое суждение относительно совокупности по опытным
данным, которые получены для отдельных образцов. Пусть, напри-
например, мы желаем определить, дает ли новый технологический процесс
увеличение выхода продукта по сравнению со старым.
Использование экспериментальных данных для ответа на вопросы
такого рода называется испытанием или проверкой гипотез. Простей-
Простейший случай испытания статистической гипотезы состоит в следующем.
Мы принимаем, что рассматриваемая совокупность может быть
описана некоторой функцией распределения, которая зависит от
одного неизвестного параметра 0. Тогда на основании исследования
образца х1,. . ., хп, взятого из этой совокупности, мы желаем либо
принять, либо опровергнуть гипотезу о том, что 0 имеет некоторое
частное значение 90.
Испытание статистической гипотезы в общем производится так:
1) по результатам наблюдений или измерений х,,. . ., хп вы-
вычисляем соответствующие статистические данные для отдельных
образцов;
2) принимая, что гипотеза верна, определяем вероятность откло-
отклонения статистических величин от ожидаемого значения;
3) если таким образом полученная вероятность меньше некото-
некоторого малого значения доверительной вероятности а, то мы гипотезу
опровергаем.
Например, если на основании испытания выборки с величинами
«j,. . ., хп, имеющими нормальное распределение с известной диспер-
дисперсией а2, мы желаем проверить гипотезу, что среднее X = Х.о, то
мы должны определить вероятность среднего отклонения от гипо-
гипотетического среднего (х — Хо) и отклонить гипотезу, если эта вероят-
вероятность мала. Такого рода испытания часто сводятся к испытанию
значимости, и если гипотеза отклоняется, то говорят, что истинная
величина 0 сильно отличается от гипотетического 0О при уровне
значимости а.
Для того чтобы прийти к определенному заключению хотя бы
вероятностного характера, мы делаем гипотетическое депущение
о равенстве 0 = 0О. Такого рода вспомогательные гипотезы об от-
отсутствии интересующего нас различия между параметрами часто
называют «нулевыми гипотезами», так как мы никогда не утверждаем,
что 0 = 0О, а только полагаем, что эта величина не отличается зна-
значимо от 0О.
Необходимо отметить, что в каждом случае доверительные пре-
пределы для параметра 0 определяют испытание гипотезы 0 = 0О,
так как если 0О не попадает в область между этими пределами, то
мы можем с 100 а%-ным риском или при уровне значимости а
заключить, что 0 ^= 0О.
При испытании гипотез могут быть ошибки двоякого рода. Во-
первых, отклонение гипотезы возможно тогда, когда она верна;
42* 659
мы уже определили вероятность такой ошибки путем выбора уровня
значимости а. Во-вторых, ошибка возможна и при утверждении
неверной гипотезы.
Пусть, например, гипотеза, которая подлежит испытанию, со-
состоит в том, что с изменением некоторого процесса выход продукта
не увеличивается. Тогда, принимая, что выход увеличивается, когда
в действительности этого нет, мы совершаем ошибку первого рода,
но утверждение, что выход не увеличивается, когда фактически
имеет место обратное явление, приводит к ошибке второго рода.
График вероятности ошибки второго рода в зависимости от воз-
возможных значений 0 называется кривой рабочей характеристики
испытания. Такие кривые очень важны при определении объема
испытания, необходимого для отклонения неверных гипотез.
Рассмотрим подробнее задачу испытания гипотезы о том, что
неизвестное среднее X равно некоторому значению Хо на основании
результатов наблюдения хх,. . ., хп. По-прежнему имеем:
t ~x — X лГ
t = — У п
в качестве нормированной переменной нормального распределения.
Предположим, что t выбрана таким образом, что
P(\t\>ta) = a
Тогда, если абсолютное значение to = у п превышает ta,
мы отклоним гипотезу X = Хо, утверждая, что разность X — Хо
значима при уровне 100а %. Если же неизвестное среднее X дей-
действительно равно Хо, то
причем а есть вероятность отклонения гипотезы, когда она досто-
достоверна, или утверждения, что разность х — Хо значима, когда гипо-
гипотеза недостоверна.
Теперь предположим, что гипотеза неверна и что X действительно
равно некоторому другому значению Xj. Тогда мы желаем исследо-
исследовать вероятность того, что t0 будет иметь абсолютное значение,
меньшее, чем ta, или что гипотеза не будет отклонена, когда она
неверна (ошибка второго рода).
В этом случае величина
будет нормированной переменной нормального распределения,
которая может быть представлена так:
¦Уп = -
\. — Х0
где
660
d=-
Таким образом
Следовательно
Отметим, что с увеличе-
увеличением п и при постоянном
d величины
—ta — dVn и t^ — dVn
уменьшаются (или возра-
возрастают при отрицательных
значениях d) и, следова-
следовательно, вероятность того,
что tx попадет между ними,
приближается к нулю. Это О
означает, что для больших п
вероятность того, что невер-
неверные гипотезы не будут от- р XXi_6
клонены (т. е. ошибка вто-
второго рода) очень мала.
На рис. XXI-6 и XXI-7 изображены графики зависимости
Р (| го| < О от ^ ПРИ а — 0.05 и а = 0,10 и нескольких значе-
значениях п, т. е. зависимости вероятности того, что гипотеза X = Хо
не будет отклонена от d. Эти
кривые представляют рабо-
рабочие характеристики испы-
испытания.
При d = 0, т. е. когда
X = Хо, вероятность того,
что гипотеза не будет откло-
отклонена, равна
1 — а = 0,95 или 0,99
Пример. Для химического
процесса очень важно, чтобы
раствор, используемый в ре-
реакции, имел рН, равный 8,30.
2J)
Рис. XXI-7.
Метод определения рН дает значения, которые распределяются по
нормальному закону около истинного рН раствора со стандартным
отклонением о = 0,02. Шесть определений рН раствора, получен-
полученные для частного случая проведения процесса, представляют еле
дующие величины:
8,29; 8,30; 8,31; 8,30; 8,32; 8,34
А. На основании этих измерений мы желаем испытать гипотезу
о том, что раствор в этом частном случае имеет рН = 8,30. Примем
уровень значимости а = 0,05. Тогда (см Приложение):
«а = 1.96
661
Мы получили число, которое является стандартным нормальным
¦отклонением в сторону увеличения по абсолютной величине с вероят-
вероятностью 0,05. Таким образом, величина ?а, равная 1,96, должна
встретиться всего 1 раз из двадцати, если испытываемая гипотеза
правильна.
Для данной выборки имеем:
п = б, 5 = 8,31; ст = 0,02
Испытанию подвергается Хо = 8,3.
Следов ательно
Таким образом, на основании данной выборки мы не должны
¦отклонить при 5%-ном уровне вероятности гипотезу, что истинная
рН была равна 8,3.
Б. Рассмотрим другой вопрос. Предположим, очень нежела-
нежелательно, чтобы гипотеза рН = 8,30 была принята в том случае, когда
истинная рН больше 8,33 или меньше 8,27.
Тогда, выбрав а = 0,05, определим необходимое число измерений
рН для того, чтобы при условии х 5= 8,33 или х sg 8,27 вероятность
яе отклонить гипотезу была меньше, чем 0,05.
Так как вероятность того чтобы не отклонить гипотезу умень-
уменьшается при увеличении разности х — Хо, то мы должны учесть
•случай Х1 — 8,33 (или же Хх — 8,27). Имеем:
.,_ 8,33-8,30
0.02
-=1.5
Для определения наименьшего значения п воспользуемся следу-
следующим выражением:
Р (-ta-dVn<t<ta-dVn) =
= Р(—1,96 —1,5 /Й<*<1,96 —1,5 /п)<0,05
где t — стандартизованная нормальная переменная.
Решаем методом подбора п с последующим определением вероят-
вероятности по таблицам. Так, например, для п = 5 вероятность равна
'0,0823, а для п — 6 вероятность составляет 0,0431. Следовательно,
наименьшее число измерений, которое гарантирует требуемое усло-
условие, равно 6.
С уменьшением значения d объем (п) выборки быстро возрастает.
Например, если бы требовалось получить ту же гарантию против
возможности принятия того, что истинное значение рН было больше
8,31 и меньше 8,29, то необходимое число измерений будет 52. Во
многих случаях такое число измерений выходит за пределы реальных
возможностей. Поэтому мы должны либо принять меньшую
гарантию против неверных гипотез, либо должны разработать более
точный метод измерения (анализа) с меньшим стандартным откло-
отклонением о. Это может привести к следующему вопросу.
•662
В. Какая точность требуется для метода определения рН, если
мы должны иметь вероятность Р < 0,05 для того, чтобы не принять
гипотезу рН = 8,30 на основании шести измерений при условии, что
действительная рН больше 8,31 или меньше 8,29?
По-прежнему, используя а = 0,05, получим из выражения
Р (-1.96-d
наименьшее значение
Так как
то будем иметь:
или
= 1,47.
-й /б)<0,05
0,01
0,01
>1.47
о<0,0068
Таким образом, для данных условий потребуется метод измере-
измерения рН со стандартным отклонением, меньшим 0,0068.
В предыдущем испытании гипотеза X = Хо одинаково опровер!-
галась как в случае X < Хо, так и в случае X > Хо. Однако мы
часто заинтересованы в том, чтобы, при возможности, отклонить
нулевую гипотезу, если X >> Хо, но остаемся безразличными к тому,
опровергается ли эта гипотеза, если X < Хо.
Действительно, в последнем случае принятие нулевой гипотезы
может оказаться более приемлемым. Например, исследуя влияние
изменения процесса, предназначенного для увеличения выхода про-
продукта, мы могли бы испытать гипотезу о том, что выход не изменяется,
но нам остается только отклонить эту гипотезу в случае увеличения
выхода. Для практических целей уменьшение выхода является менее
пригодным, чем неизменный выход, и поэтому испытываемая нулевая
гипотеза заключается в том, что выход не изменяется.
Естественно при таких обстоятельствах отклонять нулевую гипо-
гипотезу X = Хо только тогда, когда действительное значение (не абсо-
абсолютное значение) t0 больше, чем tia, причем t^ выбирается таким
образом, чтобы
P{\t\>ha) = 2o.
Для вероятности не отклонить гипотезу X = Хй при X = Хг
будем-иметь:
Р (Ч<Ч*) = Р (h<h«-<l Vn)
Пример. Предположим, что в примере на стр. 661 важным было у
чтобы рН не превышала намного значения 8,30. Тогда следовало бы
испытать гипотезу X = 8,30 против X > 8,30. Так как t = 1,22
меньше ti@ 05) = tOilo= 1,645, то мы еще не имеем основания
отклонить её.
663
Пусть мы желаем, чтобы вероятность не отклонить нулевую
гипотезу при X ^ 8,33 была меньше или равна 0,05. Тогда мы
должны иметь п достаточно большим настолько, чтобы
(h<h«~d
= р
Ш5 — 1,5 /п)г?0,05
По-прежнему найдем, что при п = 4 вероятность равна 0,0877,
а для п — Ъ она составляет 0,0437. Следовательно, пяти определений
будет достаточно для односторонней гарантии.
Рассмотренные выше случаи могут быть применены для любой
переменной, распределенной по нормальному закону. Например,
даны две выборки с известными стандартными отклонениями; мы
можем испытать гипотезу 6 = 0 или Хх = Х2 путем расчета
с последующей обработкой полученного результата.
Пример. Используя упомянутый на стр. 658 метод анализа на
содержание железа, для которого отклонение 0,12%, мы получим
четыре определения для каждой из двух выборок. Среднее содержа-
содержание железа для одной выборки 36,45%, а для другой — 36,82%.
Для испытания гипотезы о том, что между содержанием железа
в двух образцах нет существенной разницы, определим;
36,82—36,45
<т|
0.0144
0,0144
4
= 4,36
Так как tOr 01 = 2,576, то
б
Or 01 мы отклоняем гипотезу о равенстве
между выборками и заключаем, что здесь имеется разница в содер-
содержании железа для двух образцов.
Пример. Используя тот же метод анализа на содержание железа,
определим число анализов п = п^ = ге2 Для ДВУХ образцов, содержа-
содержащих — 30% железа, с целью получить вероятность 0,05 для гаранти-
гарантирования 5% уровня значимости применительно к односторонней
разности 0,3% в содержании железа между образцами.
Имеем:
где
Для п — 2:
(—1,96 + 2,5<*< 1.96 + 2,5) =0,2946
Аналогично для п = 3, 4 и 5 вероятности, соответственно, будут
€,1357; 0,0570 и 0,0233. Следовательно, для каждого образца потре-
потребуется пять определений.
Глава XXII
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
§ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Способ наименьших квадратов применяется в тех случаях, когда
искомые величины хх, х2,. . ., хп не могут быть измерены непосред-
непосредственно или представлены в виде явных функций измеренных вели-
величин. Пусть, например, известно, что между двумя величинами г и к
должна существовать линейная зависимость вида:
где х и у — неизвестные параметры этой зависимости.
Если заданную зависимость иллюстрировать графиком и замерить
несколько пар значений гик
к . . . —2,0 1,0 3,0 5,0 7,0
г . . . 0,1 1,5 2,0 3,4 3,9
то можно составить пять уравнений:
0,1 = — 2х+у
1,5= х-\-у
2,0= Зх+у
3,4= Ьх+у
3,9= 1х-\-у
для определения наивероятнейших значений параметров х и у.
Для нахождения п неизвестных величин достаточно произвести
п серий наблюдений, чтобы составить число уравнений, необходимое
для определения неизвестных. Обычно же число серий увеличивают
и получают системы т уравнений с п неизвестными (т^> п).
Избыточные измерения обеспечивают контроль и предохраняют
от грубых ошибок, дают возможность вывести более точные резуль-
результаты и позволяют оценить ошибки как отдельных измерений, так
и окончательных выводов.
В то же время, вследствие неизбежных случайных ошибок изме-
измерений, избыточные наблюдения приводят к различным невязкам.
Вместо однозначного решения задачи мы получаем несколько реше-
решений, которые необходимо увязать между собой.
665
Способ наименьших квадратов и дает возможность подобрать
такие значения неизвестных в системе уравнений:
/1 = « ..
A)
при которых эти противоречия были бы возможно меньшими.
Система т линейных уравнений относительно п неизвестных
в случае, когда число уравнений больше числа неизвестных (т >> п)
и уравнения несовместны, называется системой условных урав-
уравнений.
§ 2. ПРИВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ К СЛУЧАЮ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Если правые части уравнений A) нелинейны, то задачу линеари-
линеаризируют. Для этого следует из каких-либо п уравнений данной си-
системы найти грубо приближенные значения для неизвестных.
Обозначим эти приближенные значения неизвестных xlt x2,. . ., хп
и положим:
*l = *i + gi; X2 = x2 + l2; ... хп = хп+1п
Числа ?, являются поправками, которые нужно прибавить к гру-
грубым значениям неизвестных хъ х2,. . ., хп, чтобы получить наиболее
вероятные их значения.
Подставив эти значения в данную систему уравнений, получим:
z' = l, 2,
т.)
B)
Разложим левые' части этих уравнений в ряды Тейлора (см.
гл. XIII — «Ряды») и ограничимся членами с первыми степенями.
Получим:
* = 1, 2, . . ., т)
C)
Эта система, определяющая поправки к найденным выше прибли-
приближенным значениям неизвестных, является линейной. В силу этого
в дальнейшем ограничимся лишь рассмотрением линейных систем
условных уравнений вида A).
§ 3. ПРИВЕДЕНИЕ УСЛОВНЫХ УРАВНЕНИЙ К НОРМАЛЬНЫМ
Обозначим искомые наивероятнейшие значения неизвестных
через Жц х2,. . ., хп.
При подстановке зтих значений в условные уравнения, они,
вообще говоря, удовлетворяются не точно: в правых частях мы полу-
666
чим некоторые отличные от ft числа, которые обозначим через-
<4xi + biX2-\- . . . +bixn — h = li («=1.2, • • ., m) D>
Будем искать неизвестные xlt x2,. . ., xn, исходя из следующего-
требования: сумма квадратов правых частей равенств D) должна
принимать минимальное значение. Мы приходим к решению задачи
на минимум для следующей функции:
1=1 1=1
Приравнивая нулю частные производные от этой функции
xlt хг,. . ., хп, придем к следующей системе уравнений:
Собирая вместе члены, содержащие хи х2,. . ., хп, получим:
1-1
п
1=1
п
<=i
2
1=1
п
E)
2
<=i /
Полученная система п уравнений с п неизвестными называется
системой нормальных уравнений и служит для отыскания наивероят-
нейших значений неизвестных, при которых сумма квадратов не-
невязок (ошибок) в уравнениях будет минимальной. Отсюда и название:
«способ наименьших квадратов».
Введем следующие обозначения:
667
Тогда система нормальных уравнений примет следующий вид;
[аа]Х1 + [аЪ]хг + . . . + [al]xn=[af]
[Ьа]х1-\-[ЬЬ]х2 + • • п
Мы имеем п уравнений с п неизвестными, решив которые, получим
наивероятнейшие значения искомых величин.
§ 4. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ ДЛЯ НАЙДЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ
Средняя квадратическая ошибка неизвестного xk, найденного
по способу наименьших квадратов, определяется по формуле:
Gk(n-r
= 1, 2,
п)
(8)
В этой формуле ii |2 есть сумма квадратов правых частей услов-
условных уравнений после подстановки в них найденных из нормальных
уравнений наивероятнейших значений неизвестных.
Величина G^ равна отношению определителя, составленного
из коэффициентов нормальных уравнений
[аа] [аЬ] [ас] . . . [ab]
[бе] [bb] [be] . . . [Ы]
[са] [сЪ] [се] . . . [cl]
[la] [lb] [lc] . . . [Щ
Исходные данные
1
Jvli по пор.
1
2
3
4
5
—
2
°i
5.7
3,6
4Д
8,4
llvO
32,8
я
bi
-4,1
1,9
8,2
3,1
5,2
14,0
4 '
и
—1,4
9,1
22,7
18,3
26,0
74,7
5
—0,1
14,6
35,0
29,8
42,2
121,5
121,5
Первое нормальное уравнение
6
Ч
32,5
13,0
16,8
70,6
1210
253,9
7
ai'i
-25,1
6,8
33,6
26,0
37,2
98,9
8
at*t
—8,0
32,8
93,1
153,7
286,0
557,6
9
<V<
—0,6
52,6
143,5
25\>,3
464,2
910,0
9Ю.0
к тому минору, который получается из него путем вычеркивания
строки и столбца, имеющих номер к.
Доверительные границы найденных значений и их характери-
характеристики можно получить следующим образом. По доверительной веро-
вероятности а и значению к = п — тиз таблицы Стьюдента (см. при-
приложение) найдем значение fa. С вероятностью а можно утверждать,
что истинное значение неизвестной xt отличается от найденного
методом наименьших квадратов не больше чем на величину ?а[х,.
Пример. Решить методом наименьших квадратов систему урав-
уравнений:
5,7* — 4.4.-7==—1,4
3,6г+1,9г/= 9,1
4,1*+8,2;/= 22,7
/= 18,3
ИДг+5,2г/= 22,0
Для составления нормальных уравнений и для оценки точности
корней, составим табл. ХХП-1.
Для контроля вычислений в таблицу введены дополнительные
столбцы 5, 9 и 13, содержащие суммы коэффициентов нормальных
уравнений и их произведения. Итоговые числа A21,5; 910,0; 626,9)
получаются суммированием по вертикали и горизонтали и должны
быть равны друг другу. Небольшие расхождения F26,9 и 626,8),
конечно, не играют роли.
Полученные нормальные уравнения
253,9г+98,5г/ = 557,6
98,5х+126,8^ = 401,5
имеют корни:
о= 1,381; !/о =
ТАБЛИЦА XXII-1
Второе нормальное уравнение
10
-25,1
6,8
33,6
26,0
57,2
98,5
и
Ч
19,4
3.6
67,2
9,6
27,0
126,8
12
bih
6,2
17,3
186,1
56,7
135,2
401,5
13
v<
0,4
27,7
287,0
92,4
219,4
626,8
626,9
Оценка точности
14
Vo
7,88
4,97
5,66
11,60
15,20
15
—9,21
3,97
17,15
6,48
10,88
н;
ИЛ
0,07
0,16
0,11
0,22
0,83
—
17
ч
0,00
0,03
0,01
0,05
0,01
0,10
668
669
Для оценки их квадратичных ошибок в столбцах 14—17
табл. ХХП-1 вычислены 2 if = 0,10. Находим величины Gx и Gy>
входящие в формулу F):
253,9 98,5
98,5 126,8
126,8
22 500
127
~
Следовательно, по формуле F):
0,10
177E-2)
/"одо
¦ = 0,014
89,3
= 0,019
§ 5. ПРОВЕДЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ ЧЕРЕЗ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ
Решить систему уравнений, приведенных на стр. 665 или, что
то же, провести через указанные на рис. ХХП-1 точки наиболее
близко проходящую к ним
прямую.
Составляем нормальные
уравнения и решаем их:
у =
Рис. ХХП-1.
14г+5г/=10,9
Имеем: х = 0,432 и
= 0,971.
Следовательно, уравнение
искомой прямой будет:
г = 0,432А + 0,971
§ 6. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ СИСТЕМ
При проведении кристаллохимических исследований измерены
углы (рис. ХХП-2):
у—^ АО В = 32°-20' 23" при относительном весе gi = l
у= ^ ВОС = А0°-1А' 5(Г » » » g2 = l
z=^COD = 30°-42' Ж » » » #з = 1
Более точное измерение углов дало:
х-\-у=^ АОС— 72° 35' 09" при относительном весе gi = 5
z=^ AOD=m°iT Ы" » » » #2 = 5
= 70°57'25" » » » ?з = 5
670
Требуется найти наивероятнейшее значение ^ А ОВ, ^ ВОС
и ^ COD.
Запишем первоначальную (условную) систему уравнений:
/ = 722 35' 09"
j/ = 32s 20' 23";
р = 40<Ч4'50"; г+!/-)-г=103а 17'51"
г = 30^42'30"; j/ + z = 70S 57'25°
Примем за новые неизвестные следующие
величины:
|1 = г — 32 s 20'23"
1з = г-30^4230 Рис. ХХП-2.
Мы придем к следующей системе условных уравнений:
Приписывая первым трем уравнениям веса, равные 1, а послед-
последним трем — веса, равные 5, получаем табл. ХХП-2 для составления
нормальных уравнений:
ТАБЛИЦА ХХП-2
g
1
1
1
5
5
5
а
(
0
(\
1
1
0
ь
о
(
(!
(
1
1
с
II
0
1
п
1
1
goo
1
0
0
5
5
0
Igaal=
= + 11
gab
0
0
0
5
5
0
[gab] =
= + 10
0
0
0
0
5
0
[goc] =
= + 5
gbb
()
1
0
5
5
5
[gbb] =
= + 16
gbc
0
0
0
0
5
5
[gbcj =
= + 10
gcc
0
0
1
0
5
5
[gcc) =
= + 11
go/
0
0
0
-20
40
0
1 go-i 1 =
= 20
gbf
0
0
0
—20
40
25
[gb/] =
= 45
get
0
0
0
0
40
25
l.gc/] =
= 65
Система нормальных уравнений будет:
llii + 10ia+ 5|3-20 = 0
lO&i Н- 1б?2 Н- Ю|з—45 = 0
G)
671
Решая эту систему, получим:
i = -0",357; ?2 =
з = 0",982
Следовательно
а=32920'22",643
0 = 4СЧ4' 52",320
z = 30s42' 30",982
Для оценки найденных значений по формуле F) вычислим опре-
определитель системы G) и его диагональные миноры.
Имеем:
U 10 5
16 10
И
10
5
Dy=
10
16
10
11
5
5
10
11
5
И
= 366;
= 96; Дг =
10 И
= 76;
11 10
10 16
= 76
Далее, находим невязки и взвешенную сумму их квадратов;
gi = -0?,4; Еа=-2",3; 6,= 1'.0; 14=6",0;
1б = 5",0; &>=-1*,7
2 Л?? = 70,34
1 86
gi
g2
336
= 0,29
ga 336
|i*=5",0; ц#=6',6; цг = 5\0
Доверительные границы найдем таким образом. Положим, что
нас удовлетворяет вероятность а = 0,8. Тогда по а = 0,8 и it =
= т — п = 3 в таблице Стьюдента, приведенной в приложении,
находим:
^ =1.638
Следовательно
*<Ji* = 8",2: taiiy = Q",l; «ацг = 8",2
Окончательно, с вероятностью 0,8, получим:
32220'14"<*<32s20'31"
409 14' 43"<»<40? 15' 02"
Ж 42' 22"<г<309 42' 40"
§ 7. ЗАКОНОМЕРНОСТЬ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ ДРОБЛЕНИЯ
И ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ В ЗАДАННЫХ УСЛОВИЯХ
Зависимость между числом оборотов (скоростью вращения) шаро-
шаровой мельницы и ее производительностью по опытным данным
составляет;
G, т/ч ... 4,0 5,0 7,0
N, об/ч . . 140 240 650
672
Выбирая (см. гл. XXIV — «Эмпирические формулы») тот , или
другой вид' зависимости, например N = xGy, мы можем составить
несколько уравнений для определения х и у: •
140 = х?У
240 = х5У
650 = г?»
Эта система уравнений приводится к линейным уравнениям
относительно неизвестных lg x и у:
lgl4O=lga: + 0lg4 илп lg ж+ 0,6021» —2,1461 = 0
lg24O=lga:+0lg5 или lg x + 0,6990»— 2,3802=0
lg65O=lga:+0lg7 или lg x + 0,8451»—2,8129 = 0
Способ наименьших квадратов позволяет найти наиболее вероят-
вероятные значения lg x и у.
Составляем табл. ХХП-3 для образования нормальных урав-
уравнений:
ТАБЛИЦА XXII-3
а
1
1
1
Ъ
0,6021
0,6990
0,8451
аа
1
1
1
[аа] = 3
аЬ
0,6021
0,6990
0,8451
[ab] = 2,1462
ЪЪ
0,3625
0,4776
0,7142
[66] = 1,5543
а/
—2,1461
—2,3802 •
—2,8129
[а/] = -7,3392
—1,2800
—1,6600
-2,3712
[6/] =
= -5,3112
Находим нормальные уравнения:
3 lg х+2,1462» — 7,3392 = 0
2,1462 lg x-\- 1,5543» —5,3112 = 0
Решая эти уравнения, получим:
х = 2,53
» = 2,86
§ 8. КОНСТАНТЫ СКОРОСТИ РЕАКЦИИ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ
ТЕМПЕРАТУРАХ
Опытным путем определены значения константы скорости реак-
реакции к при шести различных температурах t. Зависимость константы
скорости реакции от абсолютной температуры Т выражается пока-
показательной функцией вида:
(Т = t + 273)
,43 Заказ 1706
E
Найти численные значения коэффициентов к0 и -—.
Логарифмируя, приводим функцию к линейному виду:
\а.к=
т
В первом и втором столбцах табл. ХХИ-4 приведены результаты
наблюдений (к и t). Определяем значения In к = 2,303 lg к и вносим
их в третий столбец. По данным t вычисляем величину -=- (четвертый
столбец).
ТАБЛИЦА XXII-4
ft
3,23
7,80
15,43
24,21
37,95
60,09
(
400
452
493
528
561
604
Id h
1,1725
2,0541
3,7363
3,1867
3,6362
4,0958
16,8816
l
т
1,486 • 10
1,379 • Ю'З
1,306 • Ю-»
1,248 • 10-з
1,199 • 10*8
1,140-10-з
7,758 • 10-3
D-Г
2,208 • 10-е
1,902 • 10-е
1,706 • 10-6
1,558 • 10-е
1,438 • 10-6
1,300 • 10-е
10,112 • 10-е
1,742 • 10'3
2,833 • 10-з
3,574 • 10
3,977 • 10
4,360 • 10-s
4,669-Ю-з
21,155-Ю-з
лвыч
3,73
8,39
14,96
24,27
36,56
59,70
Положив In ко==Хх и—— =хъ приходим к шести условным урав-
уравнениям:
хх 4-1,486
хх +1,306
хг +1,199 •
= 1>1725; хх + 1,379 • 10-Зг2 = 2,0541
= 2,7363; хх +1,248 • 10"Зг2 = 3,1867
= 3,6362; хх +1,140 • lOa:2 = 4,0958
Так как число неизвестных равно двум, то число нормальных
уравнений также должно равняться двум. Для составления этой
системы находим следующие величины:
[аа] = б; И] = 7,758-10-3
[а/] = 16,8616; [66] = 10,112-10-е
[6/1 = 21,155.10-»
Используя эти величины, получим окончательно следующую
систему уравнений:
16,8816 = 6 In к0 — 7,758 • 10-3
П.
21,155 • 10=7,758 • W8 In к0 — Ю.Ц2 • 10"e ~
?1
674
Решая эту систему, находим:
-*а=^§- = 8328 и xt = In *0= 13,582
откуда:
Таким образом, зависимость константы скорости изучаемой
реакции от температуры выражается формулой:
8328
T
Значения к, вычисленные по этой формуле, даны в последнем
столбце табл. ХХИ-4.
Ь*
Глава XXIII
КОРРЕЛЯЦИЯ В ХИМИИ И ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ
§ 1. ПАРНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ
Когда две переменные величины X и У зависят друг от друга так,
что каждому значению одной из них соответствуют вполне опре-
определенные одно или несколько значений другой, то между ними
имеется функциональная связь. Эта связь может быть выражена
уравнениями
У = /(Х) или х = ср(У)
причем вид этих уравнений определяется характером существующей
зависимости.
Иногда приходится иметь дело с такими переменными величинами,
между которыми существует зависимость, но эта зависимость не
является вполне определенной: каждому значению одной из величин
(например, X) соответствует некоторая совокупность значений дру-
другой (например, У), причем распределение У меняется определенным
образом при изменении X. В этом случае связь, существующая
между переменными X и У, называется корреляционной связью.
Корреляционная связь величин заключается в том, что при
задании одной из них устанавливается не одно точное значение,
а вероятности различных значений другой. Таким образом, зависи-
зависимость обнаруживается не между самими величинами, а между каж-
каждой из них и соответствующим ей математическим ожиданием
другой.
Корреляционная связь устанавливается на основе статистических
методов анализа. Она является промежуточной между точной зави-
зависимостью, даваемой функциональной связью, и совершенной неза-
независимостью переменных.
Примерами корреляционной связи могут служить зависимости:
между содержанием А12О3 и SiO2 в боксите данного месторождения;
между среднегодовыми температурами или количествами атмосфер-
атмосферных осадков и концентрациями солей в соляных озерах и т. п.
Во всех таких случаях мы имеем парные значения соответству-
соответствующих друг другу величин X и У: (X г, YJ, (X2, У2),. . „, (Xп, Yn).
Если изобразить их на диаграмме в координатах X — Y, то полу-
получится система точек, например, такая, как на рис. ХХШ-1.
676
Здесь каждому значению X не соответствует вполне определенное
значение Y, но очевидна тенденция к расположению точек определен-
определенным образом, полосой, что дает возможность установить некоторую
связь, а именно корреляцию X и У.
Если нанести на диаграмму средние значения У, (обозначены
крестиками), соответствующие каждому значению X(, и провести
прямую А В, «наилучшим» образом выравнивающую систему этих
средних значений, то будет получена функциональная зависимость
?=аХ + Ъ ¦ * A)
являющаяся уравнением прямой АВ и приближенно отражающая
« о»'
/о
•V
.. . . оу . v*- * •
• • i*"V* о . • • • • •
Jfc^f . X • « • .О* • •
/4"""х" • • /* о. • • •
Рие. ХХШ-1.
связь между X и У. Линия АВ называется линией регрессии У по X.
Для данной задачи линия регрессии оказалась прямой.
Для того чтобы прямая АВ «наилучшим» образом выравнивала
средние значения У, ее необходимо провести так, чтобы сумма квад-
квадратов расстояний от нее (измеренных параллельно оси У) всех точек
была наименьшей, т. е. меньше, чем от любой другой прямой. Все
значения У, полученные из проведенной таким способом линии
регрессии, имеют наибольшую корреляцию с действительно наблю-
наблюдавшимися.
Аналогичным путем находится линия регрессии X по У, прибли-
приближенное уравнение которой будет:
X = cY-\-d B)
На диаграмме эта линия CD выравнивает средние значения Xt
(отмечены кружками).
677
В общем случае уравнения регрессии имеют вид
и линии регрессии изображаются кривыми. При этом наиболее
удобным является отыскание корреляционной связи в форме пара-
параболических зависимостей, например:
?=а+ЬХ+сХ* + . . ,
Уравнения A) и B) соответствуют наиболее распространенному,
но частному случаю линейной корреляционной связи, когда линии
регрессии прямые.
Если между X и Y существует не функциональная, а корреля-
корреляционная связь, то понятие о «наилучшем» значении Y, соответству-
соответствующем данному значению X, теряет смысл и заменяется понятием
о наиболее вероятном значении Y из совокупности наблюденных его
значений. Чем «теснее» расположены эти значения Г, тем ближе они
к наиболее вероятному значению, тем определеннее связь
между X и Y.
Наиболее важным показателем этой связи служит коэффициент
корреляции г, характеризующий степень линейной связанности 1иУ.
Абсолютная величина г всегда меньше единицы; когда она равна
единице, X и Y связаны функциональной линейной связью (прямые
регрессий Y по X и X по Y совпадают); когда г = О, между X и Y
линейной корреляционной связи не существует. В этом случае пря-
прямые, выраженные уравнениями A) и B), идут соответственно парал-
параллельно осям ОХ и OY. Однако здесь может существовать корреляция
с нелинейной регрессией.
_Если_имеется ряд значений X,. и соответствующий ему ряд Yt,
а X и Y средние арифметические значения, то
являются отклонениями от средних, а средние квадратические
отклонения будут:
Коэффициент корреляции выражается следующими формулами,
легко выводящимися одна из другой:
C)
678
Последняя формула, несмотря на свою громоздкость, часто ока-
оказывается наиболее удобной для вычисления.
Представленные выше в общей форме линейные уравнения регрес-
регрессии A) и B) приводятся к следующему виду!
Y — Y = r—?-(X — X) или у = г —
D)
— Y) или х=г
°у
E).
Уравнение D) является уравнением прямой регрессии У по X,
а E) — уравнением прямой регрессии X по Y.
Уравнение D) определяет наиболее вероятное значение Y по за-
заданному X, а уравнение E) — наиболее вероятное значение X по
заданному Y. Важно отметить, что значение Y в D) не может быть
получено путем решения E) относительно Y. Нельзя также
получить X из уравнения D).
Угловые коэффициенты r-'иг- прямых D) и E) определяют
о* °у
наклон линии регрессии на диаграмме в координатах х — у и назы-
называются коэффициентами регрессии У по I и I по У. Произведение
этих коэффициентов равно г2. Очевидно, что прямые регрессии Y
по X и X по Y совпадают лишь в том случае, когда г = ±1.
Пример. Сырье, поступающее на завод из близлежащего карьера,
содержит два полезных компонента — минералы А и Б. При этом
в партиях сырья с повышенным содержанием А обычно обнаружи-
обнаруживается и более высокое содержание Б, так что имеются основания
ожидать, что эти величины находятся в связи друг с другом.
Анализы 10 образцов сырья, поступившего в разное время из
разных мест карьера, приведены в табл. ХХШ-1. Найдем коэффи-
коэффициент корреляции.
ТАБЛИЦА ХХ1П-1
М образца
%А
°/оБ
1
67
24
2
54
15
3
72
23
4
64
19
5
39
16
6
22
1,
7
58
20
s
43
16
9
46
17
10
34
13
679
Обозначим процент минерала А через X, процент минерала Б —
через У. Имея в виду для вычисления г воспользоваться форму-
формулой C), составляем предварительно табл. ХХШ-2.
ТАБЛИЦА ХХШ-2
X
67
54
72
64
39
22
58
43
46
34
499
У
24
15
23
19
16
И
20
16
17
13
174
4489
2916
5184
4096
1521
484
3364
1849
2116
1156
27175
Y'
576
225
529
361
256
121
400
256
289
169
3182
XY
1608
810
1656
1216
624
242
1160
688
782
442
9228
X + Y
91
69
95
83
55
33
78
59
63
47
(X+YJ
8281
4761
9025
6889
3025
1089
6084
3481
3969
2209
48813
Последние два столбца этой таблицы составлены для проверки
вычислений. Так как?(Х + УJ=2Х2+2^2 + 2^XY, то итог
последнего столбца должен равняться сумме итогов третьего и чет-
четвертого и удвоенного итога пятого столбцов. Проверка
27175 + 3182 + 2-9228 = 48813
показывает, что вычисления сделаны без ошибки.
Последовательно находим:
у. -.
Ю
: 17,4
-D9,9)* = 15,09; ^ =
-A7,4J = 3,93
9228
10
— 49,9-17,4
- = 0,92
15,09 • 3,93
Полученный коэффициент корреляции г = 0,92 достаточно высок,
что указывает на наличие тесной связи между X и У, т. е. между
содержанием минералов А и Б в сырье. Найдем уравнения регрессии,
которые позволяют вычислять наиболее вероятное содержание одного
из минералов, если известно содержание другого. Определим, на-
например, регрессию Y по X.
Коэффициент регрессии У по X;
3,93
15 09
= 0,24
Согласно D), уравнение регрессии Y по X:
Y =17,4 + 0,24 (X— 49,9)
680
или
У = 5,42 + 0.24Х
В табл. ХХШ-3 вычисленные по этому уравнению значения Увач
сопоставлены с заданными значениями У, найденными в результате
анализов; совпадение получилось удовлетворительным.
ТАБЛИЦА ХХШ-3
X
Y
*выч
67
24
22
54
15
18
72
23
23
64
19
21
39
16
15
22
11
И
58
20
19
43
16
16
46
17
16
34
13
14
При вычислении корреляционной связи двух переменных, пред-
представленных большими рядами чисел, предварительно составляется
корреляционная таблица. В такой таблице каждая строка и каждый
столбец являются распределением численностей переменных. Каж-
Каждый столбец чисел соответствует значениям X, заключенным в неко-
некоторых пределах, и называется иксовым строем игреков, а каждая
строка чисел соответствует значениям У, заключенным в некоторых
пределах, и называется игрековым строем иксов. Порядок постро-
построения корреляционной таблицы и использование ее для дальнейших
вычислений рассмотрим на следующем примере.
Пример. Концентрация рапы в бассейнах. Имеются два испари-
испарительных бассейна для концентрирования озерной воды, содержащей
систему солей морского типа. В качестве бассейнов используются
лагуны, отделенные от озера естественными косами и дамбами.
Из испарительных бассейнов рапа периодически перекачивается
в садочные бассейны, в которых происходит ее дальнейшее концен-
концентрирование и кристаллизация солей.
Испарительные бассейны I и II соединены между собой постоянно
открытым проливом. Вследствие различного профиля дна, различ-
различного рельефа берегов (что создает неодинаковые условия воздушных
течений над зеркалом испарения), а также вследствие неравномерной
фильтрации озерной воды через перемычки, проникновения почвен-
почвенных вод и других причин, концентрация рапы в каждом из бассейнов
обычно несколько различается. Поскольку концентрация рапы
в каждом испарительном бассейне зависит от многих, в том числе
и от некоторых уже указанных неопределенных факторов, установить
точную функциональную зависимость между концентрациями в I
и во II бассейнах не представляется возможным. Тем не менее дли-
длительные наблюдения показали, что между этими величинами имеется
известное соответствие, и это позволяет найти корреляционную связь.
В табл. XXIII-4 представлены результаты пятилетних наблюде-
наблюдений, относящихся к периодам испарительного сезона (апрель —
681
ТАБЛИЦА ХХШ-4
\^ X
У Nv
80—100
100—120
120—140
140-160
160—180
180-200
200—220
220—240
240—260
260—280
280—300
300-320
"x
X
V
nxv
s
sv
08—09
1
1
2
70
—6
—12
72
—11
66
80—100
2
1
3
90
—5
-15
75
-16
80
100—120
3
3
2
8
110
-4
-32
128
-33
132
120—140
1
2
4
1
8
130
—24
72
—34
102
140—160
2
2
10
5
2
1
22
150
-2
—44
88
-60
120
160—180
1
4
16
12
8
41
170
—1
-41
41
-60
60
180—200
1
3
7
28
24
4
1
68
190
0
-50
200—220
4
17
43
18
3
85
210
1
85
85
-1
—1
220—240
6
15
36
11
1
69
230
2
138
276
55
110
240—260
1
2
2
14
15
4
38
250
3
114
342
52
156
260—280
3
7
13
2
25
270
4
100
400
64
256
280—300
2
6
4
1
13
290
5
65
325
43
215
300—320
1
1
2
4
310
6
24
144
17
102
320—340
1
2
3
330
7
21
147
13
91
4
9
И
19
34
67
93
75
39
26
7
5
389
379
2195
1489
Y
90
НО
130
150
170
190
210
230
250
270
290
310
и
-6
—5
-4
-3
о
—1
0
1
2
3
4
5
—24
-45
-44
-57
-68
—67
75
78
78
28
25
-21
V*2
144
225
176
171
136
67
75
156
234
112
125
1621
t
-19
—28
-34
-32
—22
19
69
144
108
109
34
31
ы
114
140
136
96
44
-19
144
216
327
136
155
1489
682
683
сентябрь). В течение этого времени было произведено 389 одновремен-
одновременных определений концентрации рапы в обоих бассейнах. Концентра-
Концентрация рапы (общее содержание солей в г/л) в бассейне I обозначена
через X, в бассейне II — через Y.
В каждой ячейке численности (левая верхняя часть таблицы)
помещено число, показывающее частоту значений X и У, находив-
находившихся в определенных пределах. Так, число 24 показывает, что
из всех 389 наблюдений было 24 случая, в которых концентрация Y
находилась в пределах 200—220 г/л, а концентрация X — 180—
200 г/л.
В столбце пу находятся суммы численностей каждой строки,
а в строке пх — суммы численностей каждого столбца. Таким обра-
образом, имеются два суммарных распределения — одно (в строке пх)
по отношению к концентрации рапы в бассейне I и другое
(в столбце пу) по отношению к концентрации рапы в бассейне II. Оче-
Очевидно, что итоги строки пх и столбца пу равны (Епх=Ипу = 389).
Построив основную корреляционную таблицу, производим даль-
дальнейшие вычисления, результаты которых записываем в две вспомо-
вспомогательные таблицы. Их удобно разместить справа и снизу от основ-
основной таблицы (в дальнейшем будем их называть «правой» и «нижней»
таблицами).
В столбце Y правой таблицы и в строке X нижней таблицы за-
записываем срединные значения Y и X для соответствующих интерва-
интервалов концентраций.
Например, для значений Y в интервале 160—180 срединным зна-
значением будет 170; для значений X в интервале 120—140 срединное
значение — 130.
При вычислениях с большими числами работа упрощается, если
взамен X и Y ввести новые аргументы:
Х-А
и и= -
Y-B
где Д — интервал значений X и Y, выбранный при составлении
корреляционной таблицы, а А и В — произвольные начала, от кото-
которых измеряются X и Y. При этом за начало А, от которого изме-
измеряется X, принимают некоторый произвольный признак, близкий
к среднему арифметическому ряда X, а за начало измерений В —
признак, близкий к среднему арифметическому ряда У. Таким
образом, единицей измерения v и и является выбранный интервал
значений X и Y.
В рассматриваемом случае интервал значений X и Y при соста-
составлении корреляционной таблицы был выбран равным 20. Поэтому
Д = 20. В качестве А принимаем значение X = 190, а в качестве В —
значение Y = 210. Тогда
Х-190 У-210
и и=-
20
20
684
Вычисляем по этим формулам величины уйми вносим их в ниж-
нижнюю и правую таблицы. Затем вычисляем nxv, nxv2, п„и и ПуЫ%\
эти величины нужны для определения средних значении и их квад-
ратических отклонений.
В столбце t оравой таблицы находятся суммы произведений чисел,
заключенных в каждой ячейке численности одной строки, на соот-
соответствующее значение условного аргумента v. Например, t = —22
получено следующим образом:
1-(-3)=- 3
5-( —2)=—1<Г
16- ( — 1) = —16
7-0 = 0
4-1=4
1-3 _= 3
ч -22
Аналогичные величины находятся в строке s нижней таблицы —
суммы произведений чисел ячеек численности одного столбца на
соответствующее значение условного аргумента и. Далее вычисляем
произведения tu (последний столбец правой таблицы) и произведе-
произведения sv (последняя строка нижней таблицы). Равенство сумм ^tu=
= 2 sv — 1489 служит контролем правильности вычислений.
Теперь последовательно находимг
средние значения и и v
-21
389
-0,0540; i> =
= -^. = 0,9743
389
средние квадратические отклонения ан и о0
Пользуясь формулой C), которая в принятых обозначениях
приводится к виду
rxy — rvu —
находим коэффициент корреляции:
1489
— 7, sv — vu — ?, tu — vu
-@,9743) (-0,0540)
2,166-2.035
°'880
685
Далее имеем!
X = v& + А = 0,9743 • 20 +190 = 209,486
7=~иА + В = ( -0,0540). 20 + 210=208,92
= 0,880
2,035 • 20
¦ 0,829
ах ооА ----'- 2,166-20
Следовательно, уравнение регрессии У по X будет
Y = 208,92 + 0,829 (X —209,486)
ТАБЛИЦА XXIII-5
70
90
110
130
150
170
190
210
230
250
270
290
310
330
yf"
93,2
109,8
126,4
143,0
159,6
176,1
192,7
209,3
225,9
242,5
259,0
275,6
292,2
308,8
100,0
103,3
127,5
125,0
155,5
180,7
195,3
209,8
225,9
237,4
261,2
276,2
295,0
296,7
—6,8
6,5
—1,1
18,0
4,1
—4,6
-2,6
-0,5
0,0
5,1
—2,2
—0,6
-2,8
12,1
_ или, окончательно!
Подставляя в это уравнение значе-
значения X t концентраций в бассейне I (X х=
= 70; Х2 = 90 и т. д.), получим
приближенные значения У*ыч (У5ЫЧ =
= 91,5; YT4 = 108,2 и т. д.) соот-
соответствующих средних величин концен-
концентраций в бассейне II (Ylt У2 и т. д.).
Табличные значения концентраций
ylt Уа,. . . определяются по фор-
формуле!
Значения У приведены в «правой» таблице (табл. ХХШ-4),
an — численности каждой ячейки столбца i.
В табл. ХХШ-5 сопоставлены результаты наблюдений (У,)
и вычислений по уравнению регрессии (У,?ыч).
Вероятная ошибка коэффициента корреляции г при большом п
определяется по формуле!
\ т-2
0,6745 -~=-
Для рассмотренного примера
г=0,880 ±0,008
Значения У находятся путем вычисления средних из игрековых
строев. Поэтому средняя квадратическая ошибка при вычислении У
определяется как средняя арифметическая квадратов квадрати-
ческого отклонения этих строев. При этом численности строев служат
весами квадратов их квадратических отклонений. Другими словами,
средний квадрат ошибки (Sy) при вычислении У является средним
арифметическим квадратов отклонений отдельных точек диаграммы
от линии регрессии У по X (причем зти отклонения измеряются
по направлению, параллельному оси OY).
686
Когда средние арифметические игрековых строев точно совпадают
с линией регрессии У по X, средняя квадратическая ошибка вычисле-
вычисления У равна:
Sy = OyVl-r* F)
Здесь Vi — г2 является показателем недостоверности значе-
значений У, вычисленных по уравнению регрессии.
Для рассмотренного выше примера г = 0,880 и при допущении,
что регрессия линейна!
320
% 280
? 240
1
^200
I
120
/
/
У
Б
/
о
А
Б
А
/*
л
4
/
—ц-
on
60 100 ПО 180 220 260 300 очи
Концентрация в бассейне ПХ), г/л
Рис. XXIII-2.
Это значит, что изменчивость строев концентраций рапы в бас-
бассейне II, соответствующих определенным концентрациям в бас-
бассейне I, составляет около 0,5 средней изменчивости всех концентра-
концентраций в бассейне II. Следовательно, зная, какова концентрация рапы
в бассейне I в данное время, невозможно уверенно предсказать,
какой будет концентрация рапы в это же время в бассейне II.
Однако для некоторого, сравнительно большого периода времени
можно с достаточной уверенностью предсказать среднюю концен-
концентрацию рапы в бассейне II, соответствующую какой-либо определен-
определенной концентрации в бассейне I.
Для многих целей можно ограничиться использованием прибли-
приближенного значения коэффициента корреляции, которое быстро опре-
определяется графическим методом. Этот метод заключается в следующем..
По координатным осям ОХ и OY откладываются интервалы зна-
значений переменных. Затем в каждом интервале X наносится точка,
соответствующая среднему взвешенному значению У для данного
интервала X; эти точки размещаются посредине интервалов X.
687
На рис. ХХИЬ2 нанесены такие средние точки (обозначены кре-
крестиками) для рассмотренного выше примера корреляции между
концентрациями рапы в двух бассейнах. Проводится прямая, наи-
наилучшим образом соответствующая этим точкам, т. е. с учетом весов,
приписанных каждой средней точке, и положения центральной
точки (X, У). Эта прямая А А — линия регрессии У по X. Анало-
Аналогично строится прямая ББ — линия регрессии X по У по средним
значениям X (отмечены кружками).
Затем определяются наклоны линий регрессии а — ( -г=-) и
\ о, л. IA
f) = \~Jv'j и коэффициент корреляции г вычисляется как квадрат-
корень из отношения -т-. Для рассматриваемого примера
ныи
а = 0,86, 6 = 1,04, г = 1/ ' ¦ = 0,91. Совпадение со значением
/" = 0,880, вычисленным ранее, достаточно хорошее.
§ 2. КОРРЕЛЯЦИЯ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ
При изучении связи между тремя переменными две из них (напри-
(например, Xj и Х2) принимаются за независимые переменные, а третья
(У) — за функцию.
Пример. Рассмотрим табл. ХХШ-6 экспериментальных данных
о вязкости раствора, содержащего два склонных к осмолению веще-
вещества: Х1— концентрация вещества Alt г/л; Х2 — концентрация
вещества Аг, г/л; У — вязкость раствора, ens.
ТАБЛИЦА ХХШ-6
25,8
15,8
18,1
13,3
20,1
10,1
17,1
21,0
23,7
11,2
10,2
16,4
15,9
8,0
26,0
2,4
7,5
15,9
хг
98
116
104
99
153
98
103
112
ИЗ
80
87
138
98
102
155
107
142
110
у
14,8
9,7
11,3
26,0
44,7
21,0
25,2
13,7
38,5
5,8
17,7
40,0
17,1
3,0
37,3
9,7
36,3
21 2
Xt
10,7
6,4
16,9
12,2
13,4
15,0
13,8
17,8
20,4
7,9
16,0
12,8
20,7
29,6
13,8
35,4
9,3
Средние 15,731
хг
8
83
105
96
90
24
153
82
82
66
118
135
104
96
92
120
105
104,914
Y
4,5
4,0
20,2
20,5
18,9
26,4
25,4
9,4
21,1
9,2
41,1
31,3
28,5
38,8
9,0
13,7
16,2
20,894
«88
Изучение корреляционной зависимости между переменными X и
Х2 и У можно начать с нахождения уравнений парных регрессий
между переменными X j и У, Х2иУ, X х и X 2, а также соответству-
соответствующих коэффициентов корреляции. Обозначая
= Y-Y
находим:
2 *f = 1600,136; 2 Х1хг = 1537,594; 2 *2 = 23554,743
2^=1016,476; 2*2^ = 5742,783; 2 ^2 = 4785,779
Применяя формулы D) и E), найдем:
а) уравнение парной регрессии вязкости по первому компо-
компоненту
У-20,894 = 0,635 (Xi-15,731); 1-^=0,3673
G)
б) уравнение парной регрессии вязкости по второму компоненту
У-20,894 = 0,244 (Хя —104.914); г ¦¦
в) уравнение парной регрессии второго компонента (Х2) по
Первому (Хх):
Х2-104,914 = 0,961 (Xi-15,731); г^^ =0,2504
Однако эти уравнения не дают полного представления о взаимной
связи между обоими компонентами и вязкостью раствора. В самом
деле, при составлении уравнения G) фактор X1 нами не был изоли-
изолирован. А между тем, факторы X j и X 2 связаны друг с другом неко-
некоторой корреляционной зависимостью (с коэффициентом корреляции
0,25). Поэтому для полного изучения линейной зависимости между
X!, Х2 и У нужно составить такое уравнение регрессии, которое
позволило бы исключить влияние фактора Х2, корреляционно свя-
связанного cXj.
Это позволяет сделать теория множественной рег-
регрессии.
§ 3. МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ
При изучении множественной регрессии мы ограничимся пред-
предположением, что эта регрессия линейная, определяемая зависи-
зависимостью:
Г = о'+Ь1Х1 + ЬД1 (8)
С геометрической точки зрения это уравнение определяет пло-
плоскость в пространстве переменных X 15 X 2, У. Для определения вхо-
входящих сюда параметров а, Ь1 и 62 применим способ наименьших
квадратов. Потребуем, чтобы сумма квадратов отклонений факти-
фактических аппликат #{ от аппликат Y(, вычисленных по уравнению
регрессии, которую обозначим через /, было наименьшим:
44 Заказ 1706
689
Подставим в (9) значение У из (8), причем для упрощения опустим
индекс i у переменных у, X х и X 2.
Функция / будет иметь минимум, если а, Ьг и Ъг удовлетворяют
системе уравнений:
Дифференцируя функцию / по переменным а, Ьг и Ъ2 запишем эту
систему в следующем виде:
2 (Юа)
1 XiX2 A06)
2 XI (Юв)
Для решения этой системы разделим уравнение A0а) на п\
получим:
2 »Хя=-а 2 Z2+ *i 2 Xi
Подставив это значение для а в формулу (8) и в уравнения A06)
и (Юв), найдем, что формула множественной регрессии с тремя
переменными имеет следующий вид
Y-y = b1(X1-Ti) + b2(X2-J2) (И)
причем коэффициенты Ьг и Ъ2 множественной регрессии находятся
из следующей системы линейных уравнений:
A2)
h 2
bl 2 *1*2+62 2 *!=
где приняты следующие обозначения:
Отметим важный физический смысл коэффициентов множествен-
множественной регрессии. Например, коэффициент Ьг в формуле A1) отвечает
на вопрос, на сколько единиц в среднем изменяется У1( если X г
изменяется на одну единицу в предположении, что X 2 при этом
сохраняет постоянное значение.
Таким образом, формулы множественной регрессии позволяют
исключить влияние фактора X 2, корреляционно связанного с фак-
фактором Xj, и изучить влияние X х на У, так сказать, в чистом виде.
Применяя эти формулы к примеру предыдущего параграфа,
получим
6i = 0,4278; Ь2 = 0,2159
Соответственно зтим данным уравнение регрессии A1) будет:
Y - 20,894 == 0,4278 (Xi -15,731) + 0,2159 (Х2 -104,914)
690
Для оценки тесноты связи между переменными в случае множе-
множественной корреляции вводится коэффициент множественной корреля-
корреляции R, который определяется следующей формулой:
2 2
A3)
Здесь yt — значения переменной Y, взятые из корреляционной
таблицы, а У| — значения переменной У, вычисленные по корреля-
корреляционной формуле.
Для рассмотренного выше примера формула A3) дает R = 0,59.
Этот коэффициент корреляции оценивает силу связи между перемен-
переменной У и переменными X х и X а.
Выше мы видели, что парные коэффициенты корреляции У по X,
в У по X г соответственно равны:
i = 0,37;
гух, и R
гдХг, что, впрочем,
Можно показать, что всегда R s
ясно и из физических соображений.
Из формулы A3) можно получить следующее выражение для
коэффициента множественной корреляции через коэффициенты пар-
парных корреляций!
/ г2 _1_ />2 О/* г ' Г
A4)
i-r
§ 4. ЧАСТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ
При исследовании зависимости переменной У от переменных X г
и X 2 иногда бывает нужно установить степень влияния каждой
из переменных X х и X 2 на переменную У.
Для оценки этого влияния в статистике применяют частные коэф-
коэффициенты корреляции. Не останавливаясь на выводах, приведем
формулы, выражающие зти коэффициенты.
Пусть изучается корреляционная зависимость между функцией У
и аргументами X t и Х2, корреляционно связанными друг с другом.
Начнем с вычисления парных коэффициентов корреляции ryXl,
rgXi и rXlXl. Для примера, рассмотренного в § 2, зти коэффициенты
были следующими!
гух, = 0,3673; гух% = 0,5409; т^Хх = 0,2504
Частные коэффициенты корреляции, обозначаемые туХх.Хг>
и ryXi.Xl, определяются по следующим формулам:
1г —г г \Ъ
,УХх-Х, /J Г2 \П Г2 \
\Гухг ryx,rx,xj
Г2 =
yx,-Xi l\—r
44*
A5)
691
ни^кт1аТя РР^Ц **- оц^ивает степень вли-
AnKrntf Y Р ^ переменную Y при условии, что влияние второго
фактора л 2 на г исключено.
В обозначении частного коэффициента корреляции этот исклю-
исключенный фактор поставлен в индексе после точкиГ
Для рассмотренного выше примера
§ 5. ПОГЛОЩЕНИЕ ОКИСЛОВ АЗОТА С ОДНОВРЕМЕННЫМ
ОТВОДОМ ТЕПЛА
Поглотительная установка работает под давлением для получе-
получения азотной кислоты. Процесс абсорбции окислов азота сопрово-
сопровождается выделением тепла. Для понижения температуры имеется
водяной холодильник. Отвод тепла происходит также за счет кон
векции и излучения в окружающую среду. Некоторое количество
окислов азота уходит вместе с газами. Эту потерю азота будем счи-
считать зависимой переменной Y.
Определим зависимость Y от температуры, поступающей в холо-
холодильник воды А 1 и от температуры воздуха X 2.
Данные об этих трех переменных собраны за 139 дней и при-
приведены в табл. XXIII-7. Начальные точки и масштабы переменных
взяты так, чтобы таблица содержала только целые числа. Примем:
>
Здесь %12- значение, которое величина Y имела бы, если бы
Хг и Х2 были постоянными и равнялись своим
средним значениям;
Ьп. 2 — скорость изменения Y при увеличении X,, если бы
А2 была постоянна;
ъуг. 1 —скорость изменения Y при увеличении Х2, если бы
Х1 была постоянна.
Требуется найти значения этих трех коэффициентов, наиболее
соответствующие имеющимся опытным данным.
Таблица наблюдений (с условными нулевыми точками для пере-
переменных) за 139 дней имеет следующий вид (см. стр. 693) *. "
Находим средние
5Г1 = 2,92; Х2 = 0,0072; 7=10.64
а также суммы, которые входят в уравнения A2), определяющие
коэффициенты множественной регрессии,-
! =2270,1; 2*!=Ю525; 2 У2 = 83 340
2 ЧУ = 8477; 2>& = 17 329,5; 2 *!*• = 3530,1
* Таблица приведена не полностью.
«92
ТАБЛИЦА XXITT-T
Дни
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Итого . . .
Y
-20
—9
-18
-6
О
—5
-20
-Ы9
—4
1479
—6
1
1
Л
2
—5
2
5
|
406
Хг
-И
—3
-2
—1
—3
-10
-20
+14
-14
1
х,х,
66
О
—2
1
-6
50
-40
70
14
3533
XiY
120
-9
-18
6
-6
25
-40
95
21
12 797
Х2У
220
27
36
6
9
50
400
266
56
17 340
Уравнения для коэффициентов регрессии примут вид:
= 2270b»i 2 + 35306ff2 x
= 3530V. 2+ Ю 5256^2. 1
или
Отсюда находим:
ЬУ1. 2 = 2,454; Ьу2_ ! = 0,8234
Уравнение, определяющее Y, принимает вид:
(Y-y) = 2,454 (Zi-Xi) +0,8234 (Х2-Х2)
Y = 3,4665 + 2,454Xi + 0,8234Х2
Коэффициент множественной корреляции, оценивающий тесноту
связи, устанавливаемой этим уравнением, находим по формуле A3):
Я = 0,65
Парные коэффициенты регрессии имеют в нашем примере следу-
следующие значения!
2 »*1 8477
2270
12 329
10 525
= 3,734
= 1,646
Эти коэффициенты регрессии значительно больше соответству-
соответствующих частных коэффициентов ЪуЛ г и Ьу2Л. Это вполне объяснимо.
Подсчитаем коэффициент корреляции между X, и X „ по формуле
(стр. 678):
2
3530
J/" 2*12*1 ^2270-
: 0,7222
693
Так как г12 довольно близок к единице, то это говорит о наличии
сильной связи между X г и X 2. Это определяется природой процесса.
Условия погоды, вызывающие понижение температуры воздуха
Х2, повлекут и снижение температуры охлаждающей воды Xt.
Поэтому для парных коэффициентов регрессии Y по X мы полу-
получили большие значения, чем для соответствующих частных коэф-
коэффициентов регрессии.
Для парных коэффициентов корреляции в рассматриваемом при-
примере получаем следующие значения:
2 = 0,72;
1 = 0,62;
Частные коэффициенты корреляции находим по формулам A5):
гу\. 2 = 0,35; /j,2.1 = 0,26
Мы видим, что частные коэффициенты корреляции меньше, не-
нежели соответствующие парные коэффициенты.
§ 6. КОРРЕЛЯЦИЯ С ЧЕТЫРЬМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Рассмотрим пример связи между четырьмя переменными. Пусть
качество некоторого продукта зависит от температуры, давления
воздуха и давления содержащегося в нем пара. В табл. ХХШ-8 при-
приведены результаты 88 наблюдений *, причем принято!
X j — температура +20° С;
X 2 — давление воздуха — 610 мм рпг. ст.)
Xз — давление пара, мм рпг. ст.;
Y — качество продукта в условных единицах — 60.
ТАБЛИЦА ХХШ-8
Хг
4,8
1,6
7,3
19,0
20,4
15,6
9,4
х„
23,8
21,4
21,1
19,1
16,4
22,0
25,0
Х3
1,11
0,83
1,35
2,84
4,31
2,90
1,66
у
14,4
13,0
15,4
13,6
13,1
14,2
16,4
X,
20,7
14,8
13,4
14,5
14,1
16,0
18,5
Х2
6,8
8,5
4,3
8,4
11,7
12,6
10,6
Хз
3,48
2,78
2,13
2,59
2,14
2,53
3,12
у
7,9
9,1
9,9
8!0
10,3
10,8
11,1
Определим средние значения переменных:
JTi = 18,099; температура . . .—1,901
Х2 = 20,818; давление 630,818
Xj= 3,222; давление пара . . . 3,222
Y =13,250; качество 73,250
* Таблица приведена не полностью.
Приняв X lt X г, X g за аргументы, a Y за функцию, напишем урав-
уравнение регрессии в следующем виде;
Y = Н- h № -?i) + ь2 (Х2 -Г2) + 63 (Х3-Хз) A7)
Можно показать, что коэффициенты регрессии определяются
с помощью системы уравнений:
h 2 *i*2 + h 2 *2 + 6з 2 *2*з = 2 "Х2 ¦ A8)
h 2*1*3+62 2*2*3+ 63 2*3 =2^3
Для рассматриваемого числового примера эта система уравнений
имеет вид!
1884,5106i+ 480,82262+322,06663= 151,941
480,822bi+3235,33162+ 81,969Ь3 = 877,881
322,0666!+ 81,96962+ 65,872Ь3= 20,841
Для решения системы A8) можно применить любой метод, изве-
известный из курса алгебры. Одним из наиболее удобных методов, при-
пригодных для решения симметричных систем линейных уравнений,
является метод, предложенный Фишером. Этот метод состоит в сле-
следующем.
Составляем и решаем следующие три системы линейных уравнений
С11 2 *!+ С12 2 *1*2+с13 2 *1*3= 1
Сц 2*1*2 + «12 2*! + С13 2 *2*3 = 0
си 2 *1*з+с12 2 *2*з + <Чз 2 *з = 0
С21 2 *1 + С22 2 *1*2 + «23 2 *1*3 = 0
2 *! + С23 2 *2*3 = 1
2*2ЯЗ + С23 2*3 = 0
С31 2 *? + С32 2 *1*2 + С33 2 *1*3 = °
С31 2 *1*2 + С32 2 *2 + С33 2 *2*3 = 0
С31 2 *1*3 + С32 2 *2*3 + «33 2 *3 = i
С21
A9а)
A96)
A9в)
694
левые части которых одинаковы и совпадают с левыми частями
данной системы уравнений A8).
Найдя числа с(/, получим неизвестные 6lt Ъъ и Ь3, удовлетворя-
удовлетворяющие системе уравнений A8) посредством следующих формул:
h = сц 2 **i + ci2 2 ^*2+С1з 2 ^*з
62 = С21 2 У*1 + С22 2 ^*2 + С23 2 УХ3 B°>
6з=С31 2 ^*1 + С32 2^*2+С33 2 УХЪ
С95
Для данного примера числа ctj имеют следующие значения:
сц = 0,003249; c13 = c2i= —0,000083; с13 = с31 = —0,015782
с22 = 0,000321; с23=сз2 = 0,000006; с33 = 0.092333
Коэффициенты bj, b2, b3, определяемые по формулам B0), имеют
следующие значения:
6i = 0,1056; 62 = 0,2692; Ь3=—0.5349
Подставив эти коэффициенты, а также найденные выше значения
средних в уравнение A7), получим следующее уравнение множе-
множественной регрессии:
Y = 13,250+0,1056 №-18,099) + 0,2692 (Х2-20,818) -0,5349 (Х3-3,222)
Коэффициент корреляции R находится по формуле A3):
Я = 0,47
§ 7. ПОГЛОЩЕНИЕ ОКИСЛОВ АЗОТА С ОТВОДОМ ТЕПЛА И УЧЕТОМ
КРЕПОСТИ КИСЛОТЫ В АБСОРБЦИОННОЙ БАШНЕ
Возвратимся к примеру, рассмотренному в § 5, и предположим,
что функция Y, кроме X х иХ 2, зависит еще от третьего аргумента Х8,
представляющего собой крепость кислоты в поглотительной башне.
Определим коэффициенты в уравнении
в котором обозначения имеют тот же смысл, что и прежде: ау 123 —
значение, которое имела бы величина Y, если бы X и X 2 и!3 под-
поддерживались постоянными и равными их средним значениям, Ь х 23 —
определяет скорость возрастания у при увеличении X г приХ2 ЙХ3,
постоянно равных их средним значениям.
Аналогично определяются Ъу2 13 и Ьуз 21.
Мы не приводим всего числового материала, касающегося аргу-
аргумента Xs. Приведем лишь значения сумм квадратов и сумм произ-
произведений, необходимых для определения коэффициентов:
2^=1479; 2у2 = 99 077; 2 у* = 83340,014
2-^1= 406; 2Х1= 3456; 2*1 = 2270,1295
2Х2= 1; 2 Х1=Ю 525; 2^2=10524,9928
2хз = 70; 2Х1 = 36364; 2*1 = 36328,7482
2*^1 = 12 797; 2^1 = 8477,0431
2 YX2 = 17 340; 2 Ух* = 17329,3597
2*^3= 12 931; 2^»
696
2 -У А = 3533; 2 *1*з = 3530,07914
2 ^2^з = 5365; 2 *2*3 = 5364,4964
2 *з^1 = 1943; 2 *з*1 = 1788,5396
Теперь требуется решить три системы трех уравнений:
«1 2*1 + С2 2*1*3+ СЗ 2*1*2 =1. 0, 0
2 2 2 = °. 1. 0
=0, 0, 1
2*2*1+с2
(А)
(В)
(С)
Первая система уравнений имеет в правых частях (А), (В) и (С)
соответственно 1, 0, 0; решения этой системы будут с1Х, с12 и с13.
Вторая система имеет в правых частях 0,1 и 0; ее решения будут с21>
с22 и с23. Третья система имеет в правых частях 0, 0, 1; ее решения
будут с31, с32 ис33.
Для решения этих уравнений приведем здесь следующий прием,
который дает возможность устранить случайные ошибки.
Вписываем уравнения в строки А', В' и С табл. XXIII-9. Под-
Подставляя вышеуказанные значения, получим строки А", В" и С".
Подразумевается, что все цифры в столбце сг являются значениями
коэффициентов при сх в соответствующих уравнениях, аналогично
в столбцах с 2 и с3. Правые части уравнений временно увеличены
в 10* раз, чтобы избежать в дробных уравнениях чрезмерно больших
количеств нулей после запятой. Затем записываем значения А" еще
раз в строку А'"; под ними записываем частные от деления их на
коэффициент при сх, взятый с обратным знаком (здесь это — 2270,
1295). Обозначаем эти величины через D. Далее, записываем значе-
значения В" еще раз в строку В'". Умножаем А'" на коэффициент при с2,
стоящий в строке D (здесь — 0,76583279). Получаем значения Е.
Складывая их с В"', получаем значения F. Деля F на коэффициент
при его первом члене, взятый с обратным знаком (т. е. на
—34 997,3536), получаем (G).
Затем записываем значения С" еще раз в графу G'". Умножаем А"'
на коэффициент при с8, стоящий в графе D (т. е. на —1,55501223);
получаем значения Н. Кроме того, умножаем F на коэффициент
при с3, стоящий в графе G, и получаем значения I. Складывая G",
Н и I, получаем значения J. Деля последние на коэффициент при с8
D833, 3424), получим значения К.
Три числовых значения К, стоящие в правой части таблицы,
являются решениями для с31, с32 и с33, умноженными на 10*.
В G б
р 31 32 33
Возьмем значения G и, подставляя в столбце с3 решения для с
31,
3
сз2 и сзз> получим значения Llt L2 и L3. Отсюда сразу получаем
значения L[, L2 и L3, являющиеся решениями для с21, с22 и с23.
Теперь подставляем решения с2 и с3 в D, получая величины Mlt
М2 и М3; от последних приходим к величинам Mj, М2 и М3, которые
являются решениями для сп, с12 и с13.
697
I
ТАБЛИЦА ХХШ-9
Строки
А'
В'
С*
А"
В" „ . .
С*
А"'
D
В'"
Е
F
G
Gm
Н
I , .
•i
2-х
2 xsxi
2 хгх1
2270,12950
1738,5396
3530,07914
2270,12950
—1,00000
1738,5396
-1738,5396
0,0000
3530,07914
—3530,07914
«5
2 xixs
24
2 -2*3
1738,5396
36328,7482
5364,4960
1738,5396
—0,76583279
36328,7842
—1331,4306
34997,3536
—1,0000
5364,4960
—2703,4502
—2661,0458
«а
2*1*2
2 *3*2
2-1
3530,07914
5364,4960
10524,9928
3530,07914
—1,55501223
5364,4960
—2703,4503
2661,0457
—0,076035630
10524,9928
—5489,3261
—202,3343
Первая
системах 104
10 000
0
0
10000
0
10 000
—4,4050351
0
—7658,3279
—7658,3279
0,218825915
0
—15550,1223
582,3058
Вторая
системах 10*
0
10000
0
0
10 000
0
0
0
10 000
0
10 000
-0,28573589
0
0
-760,35630
Третья
система х 10*
0
0
10 000
0
0
10 000
о о о о
0
0
10 000
0
0
1
к ........
и.
L2 ........
и
ц
ц
L,'
Mi
м2
М8
щ
М*2
М3
0,0000
—1,0000
-1,0000
—1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
0,0000
—1,0000
—1,0000
-1.0000
1,0000
1,0000
1,0000
—0,0127435
—0,2279864
0,1204768
4833,3424
1,00000
0,2354659
0,0119615
0,1573148
4,8155366
0,2446251
—3,2172607
—14967.8165
—3,0967838
0,2188259
0,0166400
-4,4050351
0,2078282
760,35630
—0,1573148
0,2857359
0,2976974
0
0,0166397
10 000
2,0689607
0,0
-0,1573148
0
—3,0967839
Сводим полученные решения в табл. XXIII-10 (все значения
умножены на 104).
или
ТАБЛИЦА ХХШ-10
1
2
3
1
9,2078282
0,0166397
—3,0967839
2
0,0166400
0,2975974
—0,1573148
3
—3,967838
—0,1573148
2,0689617
Подобно исходным уравнениям эта таблица симметрична; с21 =
= С12> С31 ~ С13» С32 = С23-
Хорошей проверкой правильности решения явится подстановка
в С" решения для сг. В левой части уравнения мы получим:
C530,07914 • 9,207822 + 5364,4960 • 0,0166397 —
— 10524,9928 • 3,0967839) • 104 = 0,00000025
Эта величина достаточно близка к ожидавшемуся значению,
равному нулю.
Теперь вычислим коэффициенты регрессии:
&1.23 = С11 2 Vxl + С12 2 Vх» + С13 2 V4 =
- (9,20782282 • 8477,0431 + 0,0166397 • 12186,1799 —
- 3,0967839 • 17329,3597) • 10"* = 2,4592651
Ьз. 21 = С21 2 Vxi + С22 2 Vх» + С23 2 Vх* = 0,1042687
&2.31 = «31 2 Vxx + «32 2 Vх» + сзз 2 Vх* = 0.7685143
Полезной проверкой последних операций явится подстановка
значений в уравнение:
bl.23 2 ^1 + Ьз.21 2 Х*Х3 + Ь2.13 2 Х* = 2 УХ*
После подстановки числовых значений получаем:
17329,356 = 17329,3597
Расхождение в 0,003d. незначительно и им можно пренебречь.
Отметим, что мы сохранили чрезмерное количество значащих
цифр; однако лучше опустить последние цифры в самом конце рас-
расчета, а не в начале его.
Окончательный вид уравнения регрессии:
(Xa-Xa) + Ьз.21 (Х3-Х3)
V —
1479
139
2,459265 (х-*|) +0,768514 (х-
+ 0,104269 (Х-^
или, наконец:
У = 2,459Xt +.0,768Х2+0,104Х3 + 3,399
700
§ 8. ЗАВИСИМОСТЬ СКОРОСТИ КОРРОЗИИ ОТ НЕСКОЛЬКИХ
ФАКТОРОВ
Образцы стали, содержащие серу, фосфор и медь, испытывались
на коррозию в растворе лимонной кислоты.
На основании 39 проб были получены следующие парные коэф-
коэффициенты корреляции:
Переменные г
KS 0,205
КР 0,277
КСи -0,504
SP . ...¦ 0,810
SCu 0,663
РСи 0,369
Принятые здесь обозначения выражают: К — скорость коррозии;
Р — содержание фосфора; S — содержание серы; Си — содержа-
содержание меди.
Каждый из этих коэффициентов корреляции (например, 0,277
между содержанием фосфора и скоростью коррозии), как известно,
не дает представления об их взаимной связи. При увеличении содер-
содержания фосфора возрастает количество меди и серы, влияющих на
скорость коррозии, причем первая уменьшает, а вторая увеличивает
ее величину. Поясним, как определить частный коэффициент кор-
корреляции между скоростью коррозии и содержанием фосфора в пред-
предположении, что количества серы и меди в стали постоянны.
Припишем изучаемым переменным какие-либо индексы; пусть,
например, скорость коррозии определяется индексом 1, а содержа-
содержания фосфора, серы и меди определяются, соответственно, индексами 2,
3, 4. Составим всевозможные «тройные» коэффициенты корреляции,
определяющие силу связи между двумя какими-либо переменными,
в предположении, что из остальных двух переменных одно является
постоянным.
Применяя формулу A5), найдем, например, что r12 s:
761
Таким образом, найдем следующие коэффициенты корреляции:
Переменные г
KS.Cu 0,8500
KS.P -0,0344
KP.Cu 0,5853
KP.S 0,1933
KCu.P —0,6900
KCu.S —0,8870
SP.Cu 0,8126
PCu.S —0,3828
SCu.P 0,6681
Исключаемые переменные здесь отделены точками.
Эти коэффициенты корреляции позволяют установить, что вли-
влияние, например, фосфора на скорость коррозии при постоянном
содержании меди больше, чем при переменном ее содержании, а вли-
влияние фосфора на скорость коррозии при постоянном содержании
серы меньше, чем при переменном ее содержании!
Частный коэффициент корреляции, составленный в предположе-
предположении, что устранено влияние на коррозию двух переменных, может
быть вычислен по следующей формуле:
_ Г12.4~ Г13.4Г23.4
'12.34 — Tj Й8 Г7~, Гг Г
Это есть частный коэффициент корреляции, вычисленный в пред-
предположении, что устранено влияние переменных 3 и 4.
Произведя вычисления, мы получим следующие значения частных
коэффициентов корреляции для нашего примера:
Переменные г
KS.CuP 0,7922
KP.SCu —0,3428
KCu.SCu -0,8970
Таким образом, в результате применения метода корреляции
к опытным данным мы получили возможность установить характер
и степень влияния количества серы, фосфора и меди, содержащихся
в стали, на коррозию последней в растворе лимонной кислоты.
§ 9. НЕЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ
При нелинейной корреляции между двумя переменными обычно
ограничиваются рассмотрением соотношений вида:
Y = a + bX + cX* + dX* + . . . + кХп
Если степень п многочлена, стоящего в правой части этого равен-
равенства, известна, то определение коэффициентов а, Ь, с,. . ., к может
быть осуществлено методами множественной регрессии.
702
Пример. Данные о разности потенциалов дары электродов Sb — Н
в растворах с различной концентрацией водородных ионов пред-
представлены в следующей табл. XXIII-11.
Средние значения величин Y, принадлежащие к одним и тем же
концентрациям водородных ионов, располагаются, как видно из
рис. XXIII-3, на параболе второй у
степени. Параболическая линия ре- g
грессии характеризуется уравне-
уравнением:
Если положить X = Хг и X2 =•
= Хй, то это уравнение можно за-
записать в следующем виде:
253JD
f«—•*«) 2.0 3.0 4.0 5,0 6,0 7,0 6,0
x
Тем самым задача сведена к оп- рИс. ХХШ-3.
ределению коэффициентов множе-
множественной регрессии. Эти коэффициенты Ъх и &2 вычисляем по фор-
формулам.
ТАБЛИЦА XXIII-11
ЛГ=рН
2,2
2,2
3,0
3,0
4,2
4,2
5,0
Y = разность потенциалов,
«в
255,38
255,34
255,12
255,12
255,09
255,10
255,01
Х = рН
5,0
6,0
6,0
6,8
6,8
8,0
8,0
Y= разность потенциалов,
лее
255,00
255,61
255,41
255,91
255,74
256,71
256,72
Пользуясь данными таблицы, найдем:
Х1==Х = 5,029; Х2 = X* = 28,960; ? = 255,519
?я? = 51,429; 2 *i*2 = 519,552; 2*1^= 11'424
2*1 = 5899,923; 2*20 = 131,532; 2^2=4.341
Подставляя эти величины в систему уравнений A2) и решая эту
систему, получим:
6i=—0,85446; 62 = 0,10657
Следовательно __. I
Y= 255,519—0,85446 (X — 5,029) +0,10657 (X* — 28,960)
Коэффициент корреляции, вычисленный по формуле A4), оказы-
оказывается равным!
г = 0,990
703
Пример. В табл. XXIII-12 приведены опытные данные о содер-
жчкии смолы в выходящем из центробежного эксгаустера газе У
в зависимости от температуры Х3 поступающего газа и от скорости
вращения рабочего колеса Хг. Рассматривая эту таблицу, можно
сделать следующие выводы:
ТАБЛИЦА ХХШ-12
X,
0
50
50
100
100
100
300
300
300
350
375
400
400
509
500
600
X,
0
2 500
2 500
10 000
10000
10000
90 000
90 000
90 000
122 500
140 625
16 000
16 000
250 000
250 000
460 000
xs
14,5
16,0
18,5
3,0
18,0
19,0
12,5
25,5
28,0
5,0
5,5
8,0
23,0
18,5
24,5
26,0
Y
60,0
61,0
65,0
30,5
63,5
65,0
44,0
52,0
54,5
30,0
25,0
23,0
54,0
36,0
53,5
57,0
X,
675
700
750
800
800
800
825
850
850
850
1100
1100
1100
1200
1500
Средние
591,1
Хг
455 625
490 000
562 500
640 000
640 000
640 000
680 625
722 500
722 500
722 500
1 210 000
1210 000
1 210 000
1440 000
1 440 000
494 980
X,
17,0
17,5
24,0
17,0
24,0
29,0
28,0
22,0
24,5
8,0
20,0
19,0
18,0
18,0
21,0
18,41
г
33,5
24,0
44,0
33,0
39,0
53,0
38,5
39,5
36,0
8,5
30,0
29,0
26,5
24,5
26,5
40,95
1) с увеличением числа оборотов рабочего колеса содержание
смолы в выходящем газе уменьшается и зависимость между ними
лишь приближенно линейная;
2) при низких температурах поступающего газа содержание
смолы на выходе понижается.
В соответствии с этим целесообразно представить данные опытов
уравнением такого вида:
где Y — содержание смолы в выходящем газе, г7100 м3;
Х1 — скорость вращения рабочего колеса, об!мин;
t — температура поступающего газа, °С.
Примем Х2 = X? и Х3 = t, причем для упрощения вычислений
вместо Х1 будем брать Хг — 2400 об1мин. Мы придем к следующему
уравнению множественной регрессии:
Вычисляя суммы, суммы квадратов и суммы произведений,
получим:
У, у = 1269,5; 2*i = 18325; 2*2 = 15 344 375; 2*з = Ь72,5
2 У2 =58 510,75; 2^1 = 642750; ? № = 499 783 125
784
С12 = С21 =
2 № = 24 374,25; 2 *? = 14344 375; 2*1*2 = 14882171875
2*2*3 = 308076 562,5; 2*з = 12019'25
—5,811666 ¦ 109 • 1,446468 ¦ 103 — 2,336613 • 104 ¦ 2,470061 • 107
4,861067 • 1021
= —1,610600-10"9
В итоге будем иметы
«и = +2,350385 • 10"в; с12=—1,610600 • 10'9;
c2i = —1.610600-10; с22 = +1,230265 • 102;
C3i = —1,046452-Ю; сз2 = +5,008897-10"9;
Для коэффициентов регрессии получаем следующие значения:
&! = — 0,055721
Ь2= +0,000019893
Ьз=+1,20297
Уравнение регрессии представляется в следующем виде:
У- у = -0,05572 (Xi —Xi) +0,00001989 (Х2—Х2) + 1,203 (Х3—Х8)
или
У = 41,8274—0.05572Х! + 0,00001989Xf +1,203*
«и = —1,046452 • 10"8
Сгъ = +5,008837 • 10"»
Сзз= +7,748477 • Ю
45 Заказ 1706
В частном случае он может иметь вид:
Глава XXIV
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Опытное изучение какой-либо неизвестной закономерности у —
= / (х) дает результаты наблюдений в виде таблицы соответственных
значений xt и у,. По зтим же значениям можно построить кривую
зависимости у от х. Эту же зависимость можно приближенно пред-
представить некоторой эмпирической формулой у = q> (x). Очевидно, что
выбор той или иной эмпирической формулы диктуется требованием
наилучшего приближения q> (x) к / (х) в некотором интервале зна-
значений а^ж^р.
Функцию / (х) можно выразить различными эмпирическими фор-
формулами. В некоторых задачах в качестве q> (x) берут функцию, для
Которой в заданном интервале aagzsSjp наибольшее значение
величины | / (х) — ф (х)\ будет меньше, чем при выборе любой другой
эмпирической формулы. Более удобно производить оценку прибли-
приближения по методу наименьших квадратов. В этом случае функцией,
дающей лучшее приближение, считается такая функция, для которой
величина
имеет наименьшее значение. Так как обычно бывают известны зна-
значения функции лишь для отдельных значений xt в заданном интер-
интервале, то искомую эмпирическую формулу у = ф (ж) подчиняют
требованию: сумма
должна иметь наименьшее значение из всех возможных.
§ 1. СТЕПЕННЫЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Во многих случаях ход изучаемого явления хорошо описывается
степенной, показательной функцией или же многочленом. Многочлен
степени п имеет следующий вид:
706
A)
При п — 1 многочлен
или
= а-\-тх
геометрически изображается прямой линией.
При п целом и большем единицы уравнение A) представляет
кривую параболического типа; ее вершина находится в точке (/, к).
Частными формами зтого уравнения являются:
у^тх"; у — а-^тх"
При п <С 0 уравнение A) представляет кривую гиперболического
типа. К частным случаям относятся:
xy = Ьх 4- aw или 1 = 1
x ' у
Функциональная зависимость, характеризующаяся дифферен-
дифференциальным уравнением ~г-=- ку, изображается показательной функ-
CL3C
цией вида:
или
= аеьх
Такие функции в химической практике встречаются весьма часто.
В более сложных случаях иногда оказывается удобным пред-
представить эмпирическую зависимость в форме:
Если эмпирическую функцию ф (х) взять в виде многочлена
степени п
у(х) = ао + а1х + а2х2-{- . . . +а„я" B)
то, увеличивая степень зтого многочлена, обычно можно добиться
любой степени приближения и даже полного совпадения между
опытными данными и формулой. Если имеется п -\- \ пар соответ-
соответственных значений аргумента ж и функции у, то всегда можно подо-
подобрать ф (х) в форме такого многочлена ге-й степени, чтобы он принимал
заданные значения yt ари заданных значениях аргумента xt. Для
этого следует решить систему п + 1 уравнений yt — ф (xt) с /г -f-1 не-
неизвестными, из которой, вообще говоря, можно определить постоян-
постоянные коэффициенты а0, ах, а2,. . ., ап. Необходимо отметить, что нет
нужды стремиться к полному совпадению всех данных с эмпириче-
эмпирической формулой, так как в силу погрешности опытных данных такое
совпадение иногда даже уменьшает точность формулы.
45* 707
§ 2 ВЫБОР ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ. МЕТОД ВЫРАВНИВАНИЯ
В некоторых случаях выбор типа эмпирической формулы может
быть произведен на основе теоретических представлений о характере
изучаемой зависимости или об изменении измеряемых величин.
В других случаях приходится подбирать формулу, сравнивая кри-
кривую, построенную по данным наблюдений, с типичными графиками
формул. Такие графики приведены в справочниках. Иногда оказы-
оказывается, что эмпирическая кривая похожа на несколько кривых,
уравнения которых различны. С другой стороны, нередки случаи,
когда та или иная эмпири-
эмпирическая формула достаточно
точно выражает зависимость
$о\—(-\)—1—1—|—|—|—|—|—| между заданными числен-
численными значениями величин, но
типичный график этой фор-
формулы совершенно не похож
1,8
1,6
1,2
1,0
Ч IVl3"'—I—I—I—W на экспеРиментальнУю КРИ"
_\_у??. ' gj вую. Это может иметь место,
'°~ '" когда экспериментальная
кривая и график формулы
го\—\—|—|—,—X I \.—I—I I построены для разных проме-
промежутков изменения аргумента.
Изменение численных зна-
значений коэффициентов, вхо-
дд дящих в формулу, часто рез-
резко меняет вид ее графика.
10 15 "~20 Is Выбор масштаба координат-
координатных осей отражается на фор-
Рис. XXIV-1. ме построенной кривой, что
также может привести к ка-
кажущемуся отличию экспериментальной кривой от графика вполне
соответствующей ей формулы.
Поэтому, прежде чем определять численные значения коэффи-
коэффициентов в выбранной эмпирической формуле, необходимо проверить
возможность ее использования методом выравнивания. Лишь после
этого можно перейти к отысканию тех значений постоянных коэффи-
коэффициентов, которые дадут наилучшее приближение опытных и вычи-
вычисленных величин.
Метод выравнивания заключается в преобразовании функции
у = ф (х) таким образом, чтобы превратить ее в линейную функцию.
Достигается это путем замены переменных хжу новыми переменными
X *= i|> (х, у) ж Y = ? (х, у), которые выбираются так, чтобы получи-
получилось уравнение прямой линии:
Y=A+BX C)
Вычислив значения Xt и Yt по заданным xt ж у{, наносят их на
диаграмму с прямоугольными координатами (X, Y). Если построен-
708
ные таким образом точки располагаются вблизи прямой линии,
то выбранная эмпирическая формула у = q> (x) подходит для харак-
характеристики зависимости у = / (х).
Пример. При изучении скорости химической реакции получены
данные табл.. XXIV-1 (т — время от начала опыта, у — количество
вещества в реакционной смеси к моменту т).
ТАБЛИЦА XXIV-1
1
3
6
9
12
У
57,6
41,9
31,0
22,7
1,7604
1,6222
1,4912
1,3560
15
18
21
24
у
16,6
12,2
8,9
6,5
is У
1,2201
1,0864
0,9494
0,8129
Эти данные представлены на рис. XXIV-1 (кривая т, у). Пред-
Предполагая, что реакция мономолекулярна, проверить возможность
применения для ее характеристики формулы у = ае6т.
Выравнивание производим путем логарифмирования!
In у — In а + Ьх или lg у = lg a
2,303
Вычисляем значения 'g у и наносим на диаграмму точки в коорди-
координатах (т, lg у). Эти точки хорошо укладываются на прямую линию,
что доказывает применимость к данному случаю формулы у = ае6т
и мономолекулярный характер реакции.
§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ, ВХОДЯЩИХ
В ЭМПИРИЧЕСКУЮ ФОРМУЛУ. СПОСОБ СРЕДНИХ
После того как установлена пригодность выбравной формулы
для выражения изучаемой зависимости переменных, необходимо
определить численные значения входящих в формулу коэффициентов.
Наилучшие результаты дает использование способа наименьших
квадратов (см. гл. XXII).
Однако этот способ громоздок, и во многих случаях его можно
заменить более простым способом средних, дающим менее точные,
но вполне удовлетворительные результаты.
Способ средних заключается в следующем: использовав метод
выравнивания и получив линейную зависимость
Y=A+BX
C)
составляют условные уравнения Yt — A -\-BXt, число п которых
равно числу имеющихся соответственных значений Xt и У";. Услов-
Условные уравнения разбивают на две приблизительно равные группы
709
и уравнения, входящие в каждую из этих групп, складывают. Полу-
Получают два уравнения
k+i
k+i
из которых находят неизвестные коэффициенты А и В.
Группировку условных уравнений перед их суммированием
можно произвести различными способами, причем каждый из них дает
несколько отличающиеся значения коэффициентов. Лучшим спосо-
способом группировки будет тот, который приводит к решению, дающему
наименьшую сумму квадратов отклонений вычисленных значений
функций от опытных. Этот лучший способ может быть выбран только
путем сравнения результатов вычислений по всем возможным спо-
способам группировки, что является очень длительным делом. Поэтому
обычно группируют уравнения в последовательности опытных дан-
данных, разбивая их на равные или приблизительно равные группы.
Считается, что этот прием чаще всего дает наиболее удовлетворитель-
удовлетворительные результаты, хотя теоретически обосновать это нельзя.
Отметим, что способ средних тем более надежен, чем больше
имеется опытных точек, числу которых соответствует число условных
уравнений.
Пример. Найти по способу средних численные значения коэффи-
коэффициентов, входящих в формулу для скорости реакции по данным
предыдущего примера.
Имеется 8 пар значений т и lg у. Разбиваем их на две равные
группы и составляем для каждой группы по 4 условных уравнения
Ь
¦ %h а затем суммируем их:
1 ' 1,2201 =lg a + 15-
' 2,303
1,7604 = lge+3
1,6222 = lg a + 6
1,4912 = lg a + 9
1,3560 = lg a + 12
2,303
1
2,303
_J
2,303
1
2,303
1,0864 = lg a + 18
0,9494 = lg a + 21
0,8129= lg a + 24
2,303
I. 6,2298 = 4 lg a + 30-
1
II. 4,0688 = 4 lg a + 78-
1
2,303 " "" " --ь- . ¦- 2,303 "
Решая систему двух уравнений I и II с двумя неизвестными,
lg а и Ь, находим:
lg о = 1,89525 а = 78,56
и
6 = -0,1037
Таким образом, эмпирическая формула, выражающая скорость
наученной реакции, будет:
710
В табл. XXIV-2 измеренные значения у сопоставлены с вычислен-
вычисленными по этой формуле.
ТАБЛИЦА XXIV-2
т
У
Увыя
3
57,6
57,57
в
41,9
42,19
9
31,0
30,92
12
22,7
22,66
15
16,6
16,60
18
12,2
12,17
21
8,9
8,92
24
6,5
6,53
§ 4. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
ГРАФИКОВ И ОТЫСКАНИЯ ПО НИМ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
1. Зависимость вида у = ах"
Логарифмируя эту формулу, найдем:
Если при нанесении на график значений lg а; и lg у построенные
точки располагаются приблизительно на прямой линии, то это ука-
указывает на то, что переменные х и у действительно связаны зависи-
зависимостью данного вида.
Пример. Результаты опытов по испытанию пены в присутствии
0,25% лаурилсульфата приведены в табл. XXIV-3. Здесь у — ско-
скорость потока жидкости, проходящей через слой пены, мл1мип, а х —
©бъем жидкости, содержащейся в пене, мл.
ТАБЛИЦА XXIV-3
у
а.бо
5,00
7,00
7,70
9,30
11,30
12,20
X
2,20
3,80
7,00
7,70
11,50
15,20
18,00
0,5563
0,6990
0,8451
0,8865
0,9685
1,0531
1,0864
lg*
0,3424
0,5798
0,8451
0,8865
1,0607
1,1818
1,2553
Увыч
[по фор-
формуле D)]
3,59
4,95
7,10
7,51
9,52
11,19
12,39
Д, %
-0,3
-1,0
1.4
—2,5
2,4
-1,0
1,6
Дер = 1,5
Увыч
[по фор-
формуле E)]
3,65
4,99
7,10
7,50
9,45
11,17
12,25
Д, %
1,4
-0,2
1,4
-2,6
1,6
-1,2
0,4
Дер = 1,3
На рис. XXIV-2 представлен график зависимости между у а х,
из которого видно, что зависимость эта нелинейная. На логарифми-
логарифмической сетке (рис. XXIV-3) эта зависимость обращается в линейную.
Следовательно, можно принять;
711
Подставляя сюда данные табл. XXIV-3, находим семь уравнений:
0,5563 = lg~a + 0,34246
0,6990 = lg a + 0,57986
0,8451 = lg a + 0,84516
0,8865 = lg a + 0,88656
0,9685 =lg a + 1,06076
1,0531 =lg a + 1,18186
1,0864 =lg a + 1,25536
Складывая отдельно первые три и последние четыре уравнения,
получим:
2,1004 = 3 lg a + 1,76736
3,9945 = 4 lg в+ 4,38436
К -
12\
8
ув
4
'2 T~ 6 в Ю 12 14 16
х
Рис. XXIV-2.
3 4 5 6 7 69101214т
I
Рис. XX1V-3.
Из этой системы найдем;
я = 2,256; 6 = 0,5887
Следовательно, эмпирическая формула принимает вид!
187 D)
Если для одной группы возьмем первые четыре уравнения, а для
другой группы — последние три уравнения, то после суммирования
получим:
2,9869=4 lg я+ 2,65386
3,1080=3 lg я+3,49786
откуда найдем!
я = 2,315; 6 = 0,5759
Новая эмпирическая формула будет:
5!' E)
Средние отклонения в 1,5 и 1,3% показывают, что порядок груп-
группирования опытных данных лишь незначительно влияет на резуль-
результаты вычислений.
Пример. В табл. XXIV-4 дана зависимость коэффициента тепло-
теплоотдачи а (в ккал/м2-ч-град) от горизонтальной стенки к кипящей
712
воде в зависимости от разности температур At стенки и кипящей
воды. Обозначим At = х и а = у.
ТАБЛИЦА XXIV-4
У
3185
5 390
6 860
10 045
12 740
¦
X
6,10
7,50
8,88
11,10
12,20
Is у
3,5031
3,7316
3,8363
4,0017
4,1052
Sg«
0,7853
0,8751
0,9484
1,0453
1,0864
«выч
3150
5000
6 410
16400
12 300
Д, %
—1,09
—7,23
—6,40
3,55
-3,46
Дер = 4,34
На логарифмической сетке (рис. XXIV-4) получаем линейную
зависимость рассматриваемых величин и, таким образом, имеем!
lg У = lg a + blgx
Используя данные табл. XXIV-4, напишем
следующие уравнения;
3,5031 = lg я + 0,78536
3,7316 = lg я+0,87516
3,8363 = lg я + 0,94846
4,0017 = lg a + 1,04536
4,1052 = lg я + 1,08646
Складывая эти уравнения по группам,
найдем 31в5
11,0710 = 3lg я +2,60886
8,1069 = 2 lg я+2,13176
откуда а =119,8; 6 = 1,853.
Эмпирическая формула имеет следующий вид!
10045
,6X0
5390
/
г
1
I
/
6.1 7,5 вЛО I/JI22
Рис. XXIV-4.
2. Зависимость вида у = ахь +-с
Логарифмируя это выражение, получим!
Это есть линейная зависимость между
!g (У — с) и lgx
Определение коэффициентов следует начать с нахождения с.
Для этого отметим крайние точки (хг, ух) и (х2, у2) и найдем из чер-
чертежа значение у3 для х3 = ух1х2- Так как координаты этих трех
точек удовлетворяют уравнению кривой, то г/х — с = ах\, у% — с =
= ах\, уь — с = ах%.
713
Возводя зависимость х3 =
получим:
в степень Ъ и умножая на я,
ах% = у ах?ах?
ИЛИ
Уз — с = У(Уг — с) (г/2 — с)
Решая это уравнение относительно с, найдем:
ТАБЛИЦА XXIV-5
0,10
0,28
0,80
1,38
2,56
4,10
Ж
250
500
900
1200
1600
2000
у—0,048
0,052
0,232
0,754
1,332
2,512
4,052
Jg (у—0,048)
-1,2840
—0,6345
—0,1238
0,1245
0,4000
0,6072
lgM
2,3979
2,6990
2,9542
3,0792
3,2041
3,3010
^выч
0,102
0,273
0,808
1,426
2,552
4,020
Д, %
2,0
-2,5
1,5
3,3
—0,3
-2,0
Дер = 1,9
Пример. Зависимость меж-
между количеством раствора у,
уносимого из выпарного ап-
аппарата, и производительностью
его х приведена в табл.
XXIV-5, где у дано в %, а
х — в кг!ч на 1 мя парового
пространства испарителя.
1,0
0
7
0,3
0.2
0,1-4
Ю00 1500 2000
т
Рис. XXIV-5.
^ /
300 500 1000 2000
I
Рис. XXIV-6.
Найти эмпирическую формулу, определяющую зависимость
между у я х.
Приведенные в табл. XXIV-5 данные графически характери-
характеризуются параболой (рис. XXIV-5), причем на логарифмической сетке
714
график заметно отличается от прямой (рис. XXIV-6). Будем искать
эмпирическую формулу вида у — ахь + с для изучаемой нами зави-
зависимости. Выберем на графике (рис. XXIV-6) две крайние точки,
например: х = 250; у = 0,1 и х — 2000; у = 4,10. Пользуясь при-
веденными выше формулами, находим xs — ~\хххг = у 250-2000 =
= 707. На графике этому значению х соответствует ys = 0,507,
Подставим эти величины в приведенную выше формулу для с:
0,1-4,10—0.5072
-=0,048
У1 + У2—2Уз 0,10+4,10—2-0,507
Найдя с, мы сможем заполнить 3, 4 и 5-й столбцы табл. XXIV-5.
Подставляя данные 4 и 5-го столбцов в формулу
получим шесть уравнений:
—1,2840 = lg a + 2,39796
—0,6345 = lg a + 2,69906
—0,1238 = lg a + 2,95426
0,1245=lge + 3,07926
0,4000 = lg a + 3,20416
0,6077 =lg a + 3,30106
Суммируя уравнения по три, найдем;
—2,0423 = 3lg a +8,05116
1,1322 = 3 lg в+ 9,58436
Решая эти уравнения, получим:
а =5,789 -10"' и 6 = 2,071
Искомая эмпирическая формула будет:
i • 10-7 + 0,048
3. Зависимость вида у = а\.0ьх
Логарифмируя это выражение, получим линейную зависимость
между х и lg у:
lg У = lg а + Ьх
Пример. Найти эмпириче-
эмпирическую формулу, определяющую
зависимость между атмосфер-
атмосферным давлением р (в мм pm. cm.)
и барометрической высотой h
(в км), на основании сле-
следующих результатов опыта
(табл. XXIV-6).
Эти данные изображены на
графике (рис. XXIV-7, а).
715
V
760,0
674,8
598,0
528,9
466,6
410,6
360,2
й
0
1
2
3
4
5
6
ТАБЛИЦА
igP
2,8808
2,8292
2,7767
2,7234
2,6689
2,6134
2,5565
XXIV-6
Рвыч
760,0
672,5
595,1
526,6
466,0
412,4
364,9
Искомую зависимость между h и р возьмем в виде!
р=а- io6ft
или (рио. XXIV-7, б)
lgp = lg a + bh
Полагая h = 0, находим коэффициент а\
а = 760
Так как нам осталось определить только Ъ, то мы можем объеди-
объединить все опытные данные в одну группу. Получим
2 lgP = 211ge + bS/j = 7-2,8808 + 6 ?й
ст.
^300
%.200
юр
0
\
1
ч
i
\
7
-
•
s
б
600,
, йбоо
1.507
^300
РПП
к,
?
-
1 4
) в
или
откуда
Рис. XXIV-7.
19,0489 = 20,1656+216
Ь = —0,0531
Таким образом, эмпирическая формула, удовлетворяющая опыт-
опытным данным, имеет вид;
р=7бб-10"°>0531а
ТАБЛИЦА XXIV-7
V
3615
3650
3605
3445
3320
2890
2685
1360
925
0,00
0,61
1,04
1,68
2,71
5,13
7,86
21,50
31,00
3,5581
3,5623
3,5569
3,5372
3,5211
3,4609
3,4289
3,1335
2,9661
УцЫЧ
3724
3621
3551
3449
3292
2948
2604
1399
908
Д. %
3,0
—0,8
-1,5
од
-0,8
2,0
-3,0
2,9
-1,8
Дср = 2,0
716
Эта формула совпадает с формулой для барометрической высоты,
выведенной теоретически (см. гл. III, § 1).
4. Зависимость вида у — \0а+Ьх.
Так как lg у = а + Ьх, то при наличии зависимости данного
вида х и lg у будут связаны линейной зависимостью.
Пример. Найти эмпирическую формулу, определяющую зависи-
зависимость между количеством поглощенного бензола в синтетическом
каучуке х (в %) и сопротивлением разрыву у (выраженным в услов-
условных единицах) на основании следующих результатов опытов
(табл. XXIV-7), изображенных на рис. XXIV-8.
'2400
2000
№00
еоо
600
\
\
А
\
\
ч
то
у 2000
то
да
N
\
S
\
0 6
х
Рис. XXIV-8.
32
0 6
Рис. XXIV-9.
3?
Из рис. XXIV-9 видно, что зависимость у от я на полулогарифми-
полулогарифмической сетке является линейной. Таким образом, имеем;
Подставляя сюда табличные данные, получим следующие урав-
уравнения;
3,5581=0 + 0,006
3,5623 = 0 + 0,616
3,5569 = 0 + 1,046
3,5372 = 0 + 1,686
3,5211 = 0 + 2,716
3,4609= а + 5,136
3,4289 = 0 + 7,866
3,1335 = о + 21,50б .
2,9661 = 0 + 31,006
Отсюда имеем!
17,7356 =5в +6,046
12,9894 = 40 + 65,496
Решая эти уравнения, получим
а = 3,5710; 6 =—0,01977
717
и, соответственно, эмпирическую формулу:
Пример. При опытных работах по сушке получены следующие
данные:
х . . . О 20 40 60 80 100
у . . . 29,5 18,4 11,9 8,6 5,0 3,3
где х — время, сек;
у — содержание влаги, в % от массы сухого остатка.
Найти эмпирическую формулу по приведенным выше данным
для процесса сушки.
На рис. XXIV-10 изображен график этой зависимости, из кото-
которого видно, что с изменением х переменная у изменяется нелинейно.
На полулогарифмической сетке
(рис. XXIV-11) эта зависимость
обращается в линейную; поэтому
имеем:
30
2Ь
26
24
22
20
1в
16
4
10
в
в
4
г
о
к
\
\
\
\
\
\
го 4С
Рис.
Пользуясь
табл. XXIV-8.
\
\
\
' 60 60 100
X
XXIV-10.
опытными
\
' 20 40 00 60 100
X
Рис. XXIV-11.
данными, составим следующую
ТАБЛИЦА XXIV-8
У
29,5
18,4
11,9
8,0
5,0
3,3
X
0
20
40
60
80
100
1,4698
1,2648
1,0755
0,9031
0,6990
0,5185
Увыч
28,7
18,6
12,0
7,82
5,0
3,3
д, %
2,7
1,08
0,84
2,50
0
0
Аср = 1Д8%
718
Напишем уравнения:
Имеем:
1,4698 = а+ОЬ
1,2648 = а + 20Ь
1,0755 = а+ 406
0,9031= а +606
0,6990 = а + 806
0,5185 = а +1006
3,8101= За+ 606
2,1206 = За+ 2406
Решая эти уравнения, получим!
а = 1,4568; 6 = —0,00938
Следовательно:
5. Зависимость вида у == \0а+Ьх + в
Логарифмируя это выражение, получим:
Прежде всего найдем с. Для этого выбираем на кривой крайние
точки хг, уг и xit y2. Вычисляем среднее арифметическое хг и х2
и определяем по кривой у?. Так как все три точки лежат на кривой,
то имеем:
yi-c = 10a+bXl Ig(y1-c)=a
Так как
то
т. е.
ИЛИ
г ' 2
а + Ьх3 = ~[(а+Ьх1) + (а + Ьх2)]
, 1 „. ,
Уз — c=V(y\ — с) (г/2 — с)
Отсюда:
Пример. В табл. XXIV-9 приведены опытные данные о раствори-
растворимости натриевой соли хлорноватистой кислоты в воде у (в г/100 г
воды) в зависимости от температуры х (в °С).
719
ТАБЛИЦА XXIV 9
и
5,00
7,40
10,50
14,00
19,30
24,30
X
10
20
30
40
50
60
У + 4,82
9,82
12,22
15,32
18,82
24,12
29,32
1? (у + 4,82)
0,9921
1,0871
1,1853
1,2747
1,3824
1,4672
Увыч
5,02
7,44
10,45
14,20
18,88
24,71
А, %
0,4
0,6
-0,5
1,4
-2,2
0,9
Дер = 1.0
26
20
16
16
У К
10
в
6
4
с
/
г
/
/
/
с
/
)
1
1
30
20
to)
9
6
7
6
О 10 20 30 40 5060
х
Рис. XXIV-12.
/
с
/
1
Уу
/
/
J
А
/
V
¦У
10 20 30 40 50 60
i
Рис. XXIV-13.
На рис. XXIV-12 изображен график, соответствующий данным
табл. XXIV-9. График зависимости у от х на полулогарифмической
сетке (рис. XXIV-13, 1) показывает, что связь между этими пере-
переменными нелинейная. Если же у заменить переменной у — с, то
график, построенный по новым данным, близок к прямой линии
(рис. XXIV-13, 2).
Для отыскания значения с выбираем на кривой (рис. XXIV-12)
точки; х1 = 10, ух = 5,00; х2 = 60, у2 = 24,50. Далее находим:
10+60
=35;
= 12,15
Применяя полученную выше формулу для с, найдем:
у% 5,00-2i,50 —12.152
5,00 + 24,50—2-12,15
= -4,82
Следов ательно
i720
Подставляя сюда данные табл. XXIV-9, получим:
0,9921 = я +106
1,0871 = а+206
1,1853 = а+306
1,2747 = а
1,3824 = а
1,4672 = а + 606
Складывая отдельно первые три уравнения, а затем вторые три,
получим систему двух уравнений, из которой найдем:
з = 0,8973; 6 = 0,00955
Искомая эмпирическая формула будет:
у — /[00.8973+0.00955Л! _ ^g2
или
у = 7,894е°'1939*—4,82
6. Зависимость вида у = а + Ьх + схг
Подставим в это уравнение вместо хну какие-либо их значения хг
и ух иэ данной экспериментальной зависимости:
Вычтем это равенство из первого:
Разделив обе части этого равенства на х — xlt получим
уравнение
в котором зависимость между ——— и х является линейной.
Пример. Имеются следующие опытные данные:
у . . . 0,59 0,95 1,43 2,05 2,78 3,65
х . . . 0 20 40 60 80 100
Где у — процентное содержание воды в смеси эфира с водой;
х — температура кипения, °С.
Требуется определить эмпирическую зависимость между этими
величинами. На рис. XXIV-14 представлена кривая, построенная
по приведенным выше данным. Для ее выпрямления используем
формулу:
!L=J!l.=a+cX
X — Xi
Выбираем точку: хх = 0, ух = 0,59 и составляем табл. XXIV-10
и график на рис. XXIV-15.
46 Заказ 1706 721
ТАБЛИЦА XXIV-10
У
0,59
0,95
1,43
2,05
2,78
3,65
X
0
20
40
60
80
100
У—Vi
0
0,36
0,84
1,46
2,19
3,06
ж,
0
20
40
60
80
100
У—У1
X Ж,
0,0180
0,0210
0,0243
0,0274
0,0306
Увыч
0,590
0,940
1,415
2,02
2,74
3,60
А, %
0
1,053
1,05
1,46
1,29
1,40
Дер = 1.04
Для
3,0
25
ЧЛ
0
in
0J5
0
i определения
а
и
с
напишем уравнения!
0,0180 = а + 20б
0,0210 = а+406
0,0243 = а+ 606
0,0274= а + 806
0,0306 = а +1006
S V , г I-VT,
/
/
/
>
0,030
0,020
0,015
птп
Ю 20 30 40 50 60 70 ВО 9бЮвЮ " 10 30 50 70 ВО Щ
I X
Рис
XXIV-14.
Рис
,.
XXIV-15
Складывая эти уравнения по группам, получим
0,0633 = За+1206
0,0580 = 2я +1806
откуда
Следовательно
или
722
а = 0,0143; 6 = 0,00016
У~~°'59 = 0,0143 + 0,00016*
у = 0,00016*а + 0,0143л + 0,59
7. Зависимость вида у= * **
Переписывая это уравнение
==a-\-bx
У — У\
видим, что оно выражает линейную зависимость между
Пример. Примем следующие данные:
х 0 5 10 15 20 25
у 29,18 25,68 22,84 20,55 18,68 17,08
где х—температура, °С;
у — объем воздуха (измерен-
(измеренный при t °C и
760 мм рт. ст.), со-
содержащегося в воде, мл.
и х.
30
26
26
24
У
22
20
W
\
\
\
\|
\
\
230
Z26
222
2J6
Ю 15
х
Рис. XXIV-16.
25
/
/
/
/
/
/
/
/
1
1
1
i
2J0
2JK
202
f,9B
ISO
w
№
t,76
'Л Ю"~ 15 20 25
Рис. XXIV-17.
. Найти эмпирическую формулу, выражающую зависимость рас-
растворимости воздуха в воде от температуры.
Строим на графике точки, отвечающие всем данным опытов.
Мы получили кривую (рис. XXIV-16).
, Принимая жг = 5 и г/х = 25,68, вычислим отношение x~Xl- для
у—^i
четырех точек (табл. XXIV-ll):
У
¦ 22,84
20,55
18,68
17,08
к
10
15
20
25
5
10
15
20
1/^25,68
-2,84
—5,13
-7
-8,6
ю—5
у—25,68
—1,76
—1,95
-2,14
—2,32
ТАБЛИЦА
"выч
22,84
20,55
18,65
17,06
xxiv-H
А, %
0
0
0,16
011
46*
723
Строим график: на оси ординат откладываем
х-ъ
-, а на оси
у -25,68
абсцисс х. Зависимость выражается прямой линией (рис. XXIV-17);
У—Ух
= а-\-Ьх
Значения коэффициентов а и Ь определяем из уравнений:
-1,76= а+ Ю6
—1,95= a+ 156
-3,71 = 2a+ 256
Решая, получим:
—2,14= a+ 206
—2,32= a+ 256
—4,46 = 2a+ 456
я = —1,386; d = — 0,0375
Эмпирическая формула, дающая зависимость между раствори-
растворимостью воздуха в воде и температурой, принимает следующий вид!
у=-
ж —5
—1,386 — 0,0375ж
8. Зависимость вида
+ 25,68
V~~ а^-Ьх
Записывая это уравнение в виде
1 а i *,
У х
1 1
получим линейную зависимость между переменными — и —.
У X
Пример. В табл. XXIV-12 приведены данные о равновесном со-
состоянии системы: уксусная кислота — диацетат-а-пропиленгликоль.
Здесь х и у представляют мольные доли уксусной кислоты, соответ-
соответственно, в жидкости и в парах при атмосферном давлении
(рис. XXIV-18).
ТАБЛИЦА XXIV-18
V
0,572
0,748
0,836
0,888
0,923
0,947
0,967
0,980
я
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
1
V
1,748
1,337
1,196
1,126
1,083
1,036
1,034
1,020
t
X
10,000
5,000
3,333
2,500
2,000
1,667
1,429
1,250
^выч
0,570
0,479
0,837
0,889
0,923
0,948
0,966
0,980
A, %
уравнение
F)
-0,4
0,1
0,1
0,1
0,0
0,1
-0,1
0,0
Дер = 0,1
уравнение
(8)
-0,7
—ОД
0.1
0,1
—од
—0,1
-0,2
-0,2
Дер = 0,2
724
На рис. XXIV-18 нанесены точки с координатами —,—. Они
расположены приблизительно на прямой линии. Следовательно,
эмпирическую зависимость нужно искать в виде!
Подставляя в это уравнение значения табличных данных, по-
получим:
1,748 = я'+ 10,0006' 1,083 = в' +2,0006'
1,337 = я'+ 5,0006' 1,056= я'+1,6676'
1,196 = я'+ 3,3336' 1,034= а'+1,4296'
1,126 = я'+ 2,5006' 1,020 = а'+ 1,2506'
Суммирование по группам дает:
5,407 = 4я'+20,8336'
4,193 = 4я'+6,3466'
Решая последние уравнения, найдем:
я'=0,9153! 6'=0,0838
Следовательно
Решая это уравнение относительно у, получим!
1 = 0,9153 +
0,0838 + 0,9153*
(в)
Мы можем сопоставить полученные здесь результаты с формулой,
выведенной в гл. IV (стр. 168):
v=
G)
а ' \ а
где а — относительная летучесть.
Для вычисления а воспользуемся следующими опытными данными
(табл. XXIV-13).
ТАБЛИЦА XXIV-13
Темпе-
Температура,
"С
110
116,5
Давление паров,
мм рт. ст.
уксус-
уксусная
кис-
кислота
410
700
диаце-
тат-«-
пропи-
лен-
гликоль
32,5
63,2
«
12,62
11,08
аср= 11,85
±
X
V
0,8
0,7
OJS
-
/
/
(
JA
X
г»
ц
И
1
0,2 0,4 0,6
Рис. XXIV-18.
,1,5
?
','
7,0
725
При сравнении этих двух формул имеем:
-. 1 _ 1
~ 11,85
11,85 — 1,00
ТАБЛИЦА XXIV-14
а
6 =
а —1
= 0,084;
= 0,9156
а 11,85
Следовательно, для уравнения G) найдем:
X
^= 0,0844 + 0,9156л:
(8)
Как видно из двух последних столбцов табл. XXIV-12 эмпирическая
«формула хорошо согласуется с теоретической.
22
20
/в
10
1
/
/
/
/
/
¦
I 23456789 10
X
Рис. XXIV-19.
0.11
0.Ю
009\
оме
fjO07
006
0M5
0,04
/
/
/
/
/
/
/
Ш 02 03 0,4 05 OB
Рис. XXIV-20.
Пример. При опытном исследовании процесса адсорбции SO2
силикагелем получены следующие данные:
V . . . . О 8,8 13,7 17,0 18,9 20,4
ж .... О 2 4 6 8 10
где у — количество адсорбированного SO2, % от массы силикагеля;
х — содержание SO2 в исходном газе, объемн. %.
Найти функциональную зависимость, соответствующую этим
данным. График на рис. XXIV-19 дает кривую. Для ее выпрямления
воспользуемся формулой
и построим прямую, изображенную на рис. XXIV-20.
Имеющиеся данные представим в следующем
(табл. XXIV-14).
Для определения а и Ь напишем следующие уравнения:
виде
О,1135=о,5Оа + б
0,0730 = 0,25а + Ъ
0,0589 = 0,1б7а + Ъ
0,0530 = 0,125а+ 6
0,0490 = 0,10а+ 6
526
V
0
8,8
13,7
17,0
18,9
20,4
X
0
2
4
6
8
10
1
У
0,1135
0,0730
0,0589
0,0530
0,0490
1
X
0,50
0,25
0,167
0,125
0,10
Увыч
8,9
13,75
16,80
18,80
20,40
д, %
1,13
0,37
-1,18
-0,53
0,00
Дср = 0,64
Суммируя по группам, получим
0,2454= 0,917а+ 36
0,1020 = 0,225а+ 26
худа находим:
а = 0,159; 6 = 0,033
Эмпирическая формула принимает такой вид:
v=
0,159 + 0,033ж
9. Зависимость вида у = а -\- Ьх -\-
Иногда значительная часть точек, изображающих результаты
измерений, на графике располагаются на прямой линии, в тб время
как остальные точки располагаются на кривой.
В этих случаях часто оказывается возможным связать изучаемые
переменные зависимостью вида:
у = а + Ъх+iQc+dx
Пример. Найти эмпирическую формулу, связывающую перемен-
переменные ушх, значения которых помещены в табл. XXIV-15.
ТАБЛИЦА XXIV-15
У
15,22
15,45
15,70
15,95
16,37
16,83
17,50
X
500
450
400
350
275
200
125
_
—
—
—
16,32
16,69
17,06
8=у—у'
_
—
—
—
0,05
0,14
0,44
_
—
—
-1,3010
—0,8539
—0,3565
5ВЫЧ
0,002
0,004
0,008
0,016
0,048
0,145
0,440
Увыч
15,22
15,47
15,72
15,97
16,37
16,84
17,50
д, %
0,0
0,1
0,1
0,1
0,0
0,1
0,0
Дер = од
727
График, изображенный на рис. XXIV-21, состоит из двух частей:
прямолинейной и криволинейной. Для прямолинейной части гра-
графика, охватывающей первые четыре точки, примем:
\f = а+Ьх
Подставляя сюда опытные данные, составим следующие четыре
уравнения:
15,22 = а + 5006;
15,45 = а + 4506;
17
\
\ \
ч
ч
ч\
ч\
\
V
1
N
15,70= а+ 4006
15,95 = а+ 3506
0,5
0Л
аз
о,г
0,1
0,08
"ЮО Ш 300 400 500
x
Рис. XXIV-21.
0,05
\
\
\
(
\
-А
\
100
150
200
р
250 300
Рис. XXIV-22.
Складывая эти уравнения попарно, получим
30,67 = 2а + 9506
31,65 = 2а+7506
откуда, после решения, имеем:
а = 17,67; 6 = -0,0049
Таким образом, уравнение прямой имеет вид;
у' = 17,67 -0,0049ж
Найдем отсюда значения у', соответствующие значениям х, рав-
равным 275, 200 и 125, и внесем их в третий столбец таблицы. Им соот-
соответствует пунктирная линия на графике. Разность б = у — у'
относительно х дает на полулогарифмической сетке прямую линию
(рис. XXIV-22). Следовательно, можно приняты
728
Подставляя сюда значения lg S и ж из табл. XXIV-15, найдем:
—1,3010 = с+275й
—0,8539 = с+200й
-0,3565 = c + l25d
Складывая первые два уравнения, получим:
—2,1549 = 2с+475<*
Решая это уравнение совместно с третьим, найдем:
с = 0,448; d = 0,00641
б = 100-4448-0,00641 X
Так как у = у' + Ь, то искомая эмпирическая формула будет:
у = 17,67 — 0,0049а; + 1оо.*44в-о,оомг*
§ 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
ДЛЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Рассмотрим несколько примеров отыскания эмпирических фор-
формул, которые получаются из формул, рассмотренных выше, путем
некоторого преобразования одной или обеих переменных.
Таким образом
200
150
100
У80
W
60
50
IB
шш
150 200 J00 400 600 вОО
X
Рис. XXIV-23.
100 150 200250300*400500 700600
X
Рис. XXIV-24.
Пример. Имеется группа опытных данных, выражающих зависи-
зависимость у от х\
у . . . 50 126 169 191 214 234
х . . . 121 248 342 414 510 700
Требуется определить эту зависимость в виде эмпирической
формулы.
Если нанести эти опытные данные на логарифмическую сетку
(рис. XXIV-23), то полученные точки расположатся на кривой,
близкой к параболе. Следовательно, можно принять:
lg^ = a + 6 lg х-\~с lg2 х
729
Подставим сюда вместо жиг/ координаты (х', у') какой-либо
точки графика:
lgy' = a + blg
Отсюда находим:
Следовательно,
Величина Y линейна относительно lg x (рис. XXIV-24). Выберем
точку: х' = 121 и у' = 50. Тогда постоянные коэффициенты а' и Ъ'
найдем из уравнения:
Данные для расчета приведены в табл. XXIV-16.
ТАБЛИЦА XXIV-16
У
50
126
169
191
214
234
X
121
248
342
414
510
700
Igy
1,6990
2,1004
2,2279
2,2810
2,3304
2,3692
lgy—
— lg 50
0,4014
0,5289
0,5820
0,6314
0,6702
lg*
2,0828
2,3945
2,5340
¦ 2,6170
2,7056
2,8451
lg*—
—lg 12!
0,3117
0,4512
0,5342
0,6248
0,7623
Igy—lg50
lg«—Igl2i
1,2880
1,1722
1,0895
1,0106
0,8792
Рвыч
50
127
168
191
213
235
A, %
0,0
0,8
-0,6
0,0
-0,5
0,4
Дер = 0,4
При совместном решении двух суммарных уравнений
3,5497 = За' + 7,54556'
1,8898 = 2а' +5,55276'
а' = 3,4779; 6' =-0,9123
получим:
ТАБЛИЦА XXIV-17
В
0,965
0,900
0,815
0,670
0,600
0,460
0,320
t
17,0
19,5
22,5
26,5
85,5
28,5
32,0
35,0
95,5
57.29В+12
67,29
63,56
58,69
50,39
46,37
38,35
30,33
соз E7,295+12)
0,3861
0,4452
0,5197
0,6376
1,9886
0,6900
0,7842
0,8631
2,3373
^выч
0,972
0,899
0,806
0,673
0,601
0,461
0,317
Д. %
0,7
-од
-1,1
0,4
0,2
0,2
-0,9
Дер = 0,5
—1,6990
= 3,4779 — 0,9123 lg х
или
откуда:
lg ж—2,0828
Ig у = -5,5447 + 5,3780 lg х - 0,9123 lg2 *
у_ JQ-5,5447+5,3780 lg *-0,9123 lg! x
0.9
ав
Q7
=,0,5
«а
7 Ш 21 23 25 27 29 31 J? 35
t
Рис. XXIV-25.
730
Пример. В табл. XXIV-17 даны значения плотности суспензии
(в условных градусах) В при различных температурах t, °C.
При построении графика по
опытным данным (рис. XXIV-25)
будем принимать значения плот-
плотности В в радианах. Построим
график изменения cos 57,295 от-
относительно ?,где 57,29 есть коэффи-
коэффициент перевода радианов в граду-
градусы. Этот график оказывается кри-
криволинейным. Поэтому строим гра-
график изменения cos E7,295 + а)
относительно t, где а имеет раз-
размерность градусов угла и опреде-
определяется методом подбора таким об-
образом, чтобы получить прямую
линию. После нескольких проб на-
додим, что а = 12 удовлетворяет
этому условию. Постоянные коэффициенты а и Ъ для уравнения
cos E7,295 + 12) =a-\-bt
определяем из двух суммарных уравнений
1,9886 =4а + 85,56
2,3373 = За+ 95,56
решение которых дает:
а = —0,0791; 6=0,02696
Эмпирическая формула будет:
cos E7,29В +12) = -0,0791 +0,02696*
Рассмотрим еще один прием нахождения эмпирической формулы,
используемый при определении зависимости между удельным весом
раствора и его температурой,
§ 6. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ПЛОТНОСТЬЮ РАСТВОРА
АЛЮМИНИЕВЫХ КВАСЦОВ И ЕГО ТЕМПЕРАТУРОЙ
Кривая на рис. XXIV-26 изображает изменение плотности рас-
раствора алюминиевых квасцов A2 г/л) в зависимости от темпера-
температуры t° С согласно опытным данным, приведенным в табл/ XXIV-18.
731
ТАБЛИЦА XXIV-18
кг/дм3
1,0064
1,0056
1,0046
3,0166
1,0036
1,0022
1,0004
3,0062
1, °С
10
15
20
25
30
35
МО
10,0
15,3
22,0
28,7
38,0
50,0
а
0,0
0,3
2,0
3,7
8,0
15,0
lga
0,568
0,903
1,176
1,398
1,477
1,544
Вычисленные значения
a
0,1
0,4
1,5
3,7
7,9
15,0
НО
10,1
15,4
21,5
47,0
28,7
37,9
50,0
116,6
т
1,0064
1,0056
1,0047
1,0036
1,0022
1,0004
А, %
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,00
Дср = 0,00
Исследование графика показывает, что он был бы линейным,
если бы значениям плотности у = 1,0004, 1,0022 и другим соответ-
соответствовали температуры не 35, 30,. . ., 10, а / (t) = 50, 38,. . ., 10,
т. е. если бы имела место линейная
W070,
1,0060
1ДM0
У/;Ш0
1,0030
t.0020
/ДНО
1,0000
'Ю 15 20 25 30 35 40 45 50
t и f(tj
Рис. XXIV-26.
j зависимость между у ж f (t):
y=a + bf(t)
Здесь неизвестными являются
постоянные а и Ь, а также функ-
функция / (t), значения которой поме-
помещены в третьем столбце таблицы.
Постоянные а и Ъ найдем, ре-
решая следующие два уравнения:
1,0064 = я + 10*
1,0004= я-f 50Ь
откуда
Таким образом
а = 1,0079; Ь =-0,0001504
= 1,0079-0,0001504/@
(9)
В четвертом столбце табл. XXIV-18 даны значения a = / (t) — t.
Дополнительный график рис. XXIV-26 показывает, что на лога-
логарифмической сетке а я t связаны между собой линейно. Следова-
Следовательно
lg a = lg m + re lg t; a = mtn
Постоянные т жп могут быть найдены вполне удовлетворительно
с помощью данных табл. XXIV-18, соответствующих точкам при 25,
30 и 35° С.
732
Последние три строки таблицы дают:
0,568 = lgm+l,398re
0,903 = lgm-f 1,477га
1,176 = lgm + l,544re
Решая третье уравнение совместно с уравнением
I,471 = lgm-f2,875n
полученным путем сложения первых двух, найдем:
т = 5,86-10'6; ге = 4,15
Следовательно
a = 5,86 • i
и
Внеся эту функцию / (t) в формулу (9), найдем:
V = 1,0079—0,0:01504 (* + 5,86 • 10~6f4.i5)
§ 7. ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ,
ОБРАЗУЮЩИХ ПРЯМУЮ ЛИНИЮ С ВЫСТУПОМ
График, изображенный на рис. XXIV-27, согласно данным
табл. XXIV-19 показывает, что при значениях х < 3 и х > 8,5 мы
имеем линейную зависимость у от х.
Полагая, что в данном случае пра-
правая часть уравнения прямой линии
должна быть дополнена величиной 8,
получим:
b+8
в
где а и Ъ — постоянные коэффициенты;
6=
(Ю)
УЗ
г
i
Ю 12
Рис. XXIV-27.
В этом выражении X есть значе-
значение х, отвечающее максимальному от-
отклонению у от прямой линии: у' =
= а + Ь х; это максимальное отклонение
равно а/2. Постоянная п опреде-
определяется методом подбора на основании эмпирических данных.
Используя первые три и последние три точки графика, находим
уравнение прямой:
у' =
В третьем столбце табл. XXIV-19 приведены значения у', полу-
получающиеся из этого уравнения. Четвертый столбец содержит
733
ТАБЛИЦА XXIV-19
У
0,30
1,10
1,60
2,30
3,30
3,80
4,00
4,15
4,60
5,10
5,90
Ж
0,50
2,00
3,00
4,00
5,00
5,75
6,50
7,50
8,50
9,50
11,0
у'
0,285
1,089
1,626
2,162
2,698
3,100
3,502
4,038
4,575
5,111
5,915
у—у'
0,138
0,602
0,700
0,498
0,112
5,75— X
5,25
3,75
2,75
1,75
0,75
0,00
—0,75
-1,75
-2,75
-3,75
-5,25
1,3 E,75—ж)
6,825
4,875
3,575
2,275
0,975
0,00
—0,975
-2,275
-3,575
—4,875
-6,825
е1,3E,75-ж) = л
920
- 131,5
35,7
9,7
2,6
1,0
0,4
0,1
0,0
0,0
0,0
е1,3 (ж—5,75)=в
0,0
0,0
о!о
0,1
0,4
1,0
2,6
9,7
35,7
131,5
920
А + В
920
131,5
35,7
9,8
3,0
2,0
3,0
9,8
35,7
131,5
920
а
0,002
0,011
0,039
0,142
0,462
0,700
0,462
0,142
0,039
0,011
0,002
y'+s
0,287
1,100
1,665
2,304
3,160
3,800
3,964
4,180
4,614
5,122
5,917
разности у — у', обозначенные символом б. Максимальное значение
р — у — у' составляет 0,7, следовательно, а = 2-0,7 = 1,4. Этот
максимум соответствует X = 5,75. С помощью нескольких проб
найдем п = 1,3. Полученные значения п, а и X подставляем в фор-
формулу A0). Получим:
1.4
«1,8
= 0,017 + 0,5362* +
1,4
е1,8 (ДГ-5,75) _]_<>-1,3 (ДГ-5,75)
Такого рода эмпирические формулы широко используются при
обработке экспериментальных данных о вязкости разбавленных
растворов солей, а также о теплопроводности разбавленных раство-
растворов глицерина.
Из табл. XXIV-19 видно, что опытные и вычисленные значения у
совпадают вполне удовлетворительно.
§ 8. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТОМ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ РАСТВОРА ГЛИЦЕРИНА И ТЕМПЕРАТУРОЙ
Зависимость между коэффициентом теплопроводности (в ккал X
X см/сек'См-град) разбавленных растворов глицерина и темпера-
температурой t выражается следующим соотношением:
Х — a + bt. Ю~8
где а и Ъ зависят от процентного содержания с глицерина в растворе.
На рис. XXIV-28 изображен график зависимости & от с в соответ-
соответствии с данными, представленными в табл. XXIV-20.
Исследование этого графика показывает, что точки, соответ-
соответствующие значениям с = 0, 5, 10, 45, 50, 60 и 65, лежат на прямой;
734
линия, проведенная через точки, соответствующие значениям с = 15,
20, 25, 30, 35 и 40, образует выпуклость, а точки, соответствующие
с = 70, 75, 85 и 90, удаляются от прямой линии. В соответствии
с этими наблюдениями полагаем:
400\ 1 т-ч . i \т-т-^ь60
где
зго
№\
Щ
О ¦
гоо
юо
120
во
1
ч
л.
\
1
W
А
3
_-
3
.А-
/
У
=5
\
•
s
——1
А
10
W
06
"J gn(C-e)_j_ ел(ё-С)
И
б2 = io«+w
Из графика имеем, что для с = 0
(вода) величина Ъ — 367. Отсюда сле-
следует, что для точек, соответствующих
с = 5, 10, 45, 50, 55, 60 и 65, вели-
величина / равна 367. В то же время угло-
угловой коэффициент g есть среднее зна-
значение угловых коэффициентов линий,
связывающих водную точку с каждой
из указанных выше семи точек; это
значение составляет —4,638. Таким
образом
V = 367— 4,638с
Приведенные в табл. XIX-20 и изображенные в нижней части
графика значения б получены при вычитании Ъ' из Ъ\ они действи-
действительны даш точек, обозначающих концентрации с в пределах от 0
йо 65. .
Воспользуемся соотношением;
д а
1 е«(С-с)+е«(с-с)
причем а примем равным 26.
735
Рис. XXIV-28.
0*
з ¦
«
to
to
g
«
TH
to
r
4,
t
о
1
27,5-
¦a
О
О
367
со
о
896
CD
О
О
47
0,0
о
47
3
со
ш
с-
см
о
о
о
367
о
367
со
о
344
CD
О
345
чН
23
О'О
Я
ш
со
ш
оо
Т
00
343
ш
342
со
чН
322
CD
чН
323
чН
см
ю
см
чН
0,9
со
чН
45
СМ
ю
17
со
со
со
320,
о
317
со
о
301
1—
о
302
S
ш
0,17
CD
Ш
75
чН
m
CM
чН
to
CM
297
m
300
T
281
c_
о
282
чН
О
ч-Ч
оо.
чН
см
со
0,35
S
см
05
чН
ш
оо
CD
СМ
274
о
см
284
262
_
о
263
чН
О
см
см
СМ
ч-Ч
см
0,70
42
чН
35
о
ш
см
о
см
чН
о
251
ш
см
263
о
см
CD
СО
СМ
со
240
см
о
см
см
чН
12
см
1,42
70
о
8
о
ш
см
1
см
CD
on
227
8
234
со
см
212
оо
т
213
со
о
чН
оо
ч-Ч
СМ
со
2,86
8
о
05
Т
ш
1
см
ч-Ч
СО
204
ш
со
?,17
чН
чН
00
ч^Ч
СО
чН
186
ю
о
S
Irt
5,76
чН
О
75
-ч
ю
с
-а
ч
со
181
183
СО
О
160
со
чН
161
о
0,8
см
ш
12
11,6
CD
О
45
см
ш
-17
оо
о
см
S
ч-Ч
-3
159
со
см
136
о
СО
137
см
чН
о
см
1
чН
чН
СО
см
со
см
о
о
ш
со
ю
—22
о
см
о
135
S
133
со
см
со
чН
чН
Ч-Ч
I
114
CD
чН
см
со
о
о
47
47,0
о
о
85
со
ш
—27
см
оо
111
я
116
чН
чН
CD
СМ
см
о
со
чН
СО
о
со
94,6
о
о
ш
1П
I
in
-32
чН
CD
§8
s
s
о
CO
s
in
oo
1,6
чН
о
191
чН
"^
о
о
25
m
in
-37
CD
65
s
CD
О
CM
CD
О
о
о
in
t—
c-
7,8
чН
О
385
ч.
еч
о
о
95
т
ш
—42
СМ
о
S
о
о'
8
о
со
чН
со
со
см
чН
11,0
о
о
777
г-
1"
о
о
ш
со
т
ш
—47
о
19
ш
8
со
чН
о 1
со
CD
чН
II S
чН
со
35,2
о
о
3130
8
чН
со
о
о
S
оо
ш
—52
см
-27
1П
00
оо
1
ч-Ч
1
о
о
со
50
50,4
о
о
6320
о
CD
О
о
75
оо
ш
-57
о
1П
8
о
Постоянная С есть значение концентрации с, отвечающей макси-
максимальному бх. Из графика находим, что С равно 27,5. Методом под-
подбора определяем п = 0,14.
Следовательно
26
°1 е0,14 B7,5-С)_|_е0,14 (с-27,5)
Значения б2 в таблице получаем посредством вычитания Ь' из Ъ
для второй группы значений с. Дополнительный график на
рис. XIX-28 показывает, что на полулогарифмической сетке между б3
и с имеется линейная зависимость:
Для получения уравнения прямой используем следующие точки
с = 75, 85 и 90. Складывая уравнения
lgll,0=M+75i>
и решая полученное суммарное уравнение совместно с уравнением
найдем в итоге:
или
б2 = 0,01064 -10°
Таким образом, имеем:
Ъ = 367 — 4,638с +
ев,14 B7,5-<:)_ре0Д4
-5J-+ 0,01064 • 1Q0.04084C (Н)
Значения Ь, вычисленные по формуле A1), дают отклонения,
главным образом, в сторону увеличения (табл. XXIV-20).
Исправляя, вычтем единицу из первого члена A1), который
станет равным 366. Теперь распределение ошибки является более
равномерным и приводимая ниже формула
736
^Де0М1с-*,ь> +0,01064 • 100.0»^ A2)
вполне удовлетворительна.
§ 9. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА
Пусть функция у = / (х) задана таблицей. Часто оказывается
необходимым вычислить значение функции при значении х, не поме-
помещенном в этой таблице. Эта задача называется интерполированием.
Интерполирование табличных значений, разность между кото-
которыми мала, производится, обычно, с помощью пропорций, как,
747
47 Заказ 1706 °'
например, при вычислении логарифмов. Если же табличные разности
значительны и быстро изменяются, то интерполирование можно
осуществить путем нахождения приближенного аналитического пред-
представления данной функции. Рассмотрим интерполяционную
формулу Лагранжа. Пусть при х = аи а2). . ., ап функция прини-
принимает, соответственно, значения уи у2,. . ., уп. Лагранж нашел выра-
выражение для многочлена степени п — 1, который принимает те же
значения при х = alt а2,. . ., а„, что и заданная нам функция.
Этот многочлен имеет следующий вид:
" ** 1
— а2) (ж —а3
(х — ап)
— a2) (a1 — a3) . . . (a! — an)
(x — ai) (ж — a3) . . . (ж —а„)
I
(a2-
+ Уп
-ai) (аг — a3) . . . (a2 — an)
(x — aj) (ж —a2) . . . (ж — an_i)
(а„ —aj) (а„ —a2) . . . (an — an_i)
Для упрощения расчетов по этой формуле рекомендуется следу-
следующий прием вычислений.
Заполняется таблица (табл. XXIV-21) — левая часть позволяет
находить числители, а правая — знаменатели отдельных членов
формулы Лагранжа. Способ заполнения таблицы легко уяснить
при рассмотрении ее.
ТАБЛИЦА XXIV-21
Числитель
J/1
Уг
Уз
и
\
X— «i
х — ах
х — aj
а.
х — я2
\
х —¦ а2
х — а2
X — Яд
X — Я3
\
ж —а3
а4
х — а4
Ж— 34
ж — ац
\
Знаменатель
а2
а2
а,
\
а2—aj
а3 —а!
а4 —ах
а,
а1—а2
\
aa — а2
й4 —а2
аз
ai—a3
а2 — а3
\
а4 —а3
а4
a-^ — ui
а2 — я4
аа —а4
\
+
-
Для нахождения коэффициента при у1 в формуле Лагранжа
нужно произведение выражений, помещенных в ячейки строки «г/j»
левой части таблицы, разделить на произведение чисел, находя-
находящихся в строке ах правой части таблицы. Аналогично находятся
и остальные коэффициенты.
§ 10. КОЭФФИЦИЕНТ СЖИМАЕМОСТИ АЗОТО-ВОДОРОДНОЙ СМЕСИ
В табл. XXIV-22 приведены опытные данные о зависимости
между коэффициентом сжимаемости азото-водородной смеси
/ (N2 : Н2 = 1 : 3) и давлением Р.
Вычислим значение / при
Р = 400 am. Для удобства заме-
заменим / на /' = 10 000 (/ - 1), а Р
на Р' = Р/100.
Обычно при интерполировании
достаточно иметь четыре значения
определяемой функции — по два
с обеих сторон от места искомого
значения в таблице. В со-
соответствии с этим составляем
табл. XXIV-23.
ТАБЛИЦА XXIV-23
1
0,9609
1,0264
1,1024
?
1,2679
1,3561
1,5280
ТАБЛИЦА
Р, атм
100
200
300
400
500
600
800
1'
-391
264
1в24
?
2679
3561
5280
XXIV-22
Р'
1
2
3
4
5
6
8
\. P'
264
1024
2679
3561
2
\
2
CSl
2
3
1
\
1
1
5
л
—1
\
—1
В
—2
CS)
-2
P'
2
3
5
\. 1 6
2
\
1
3
^
\
5
*>
CS]
\
6
—4
—3
\
+
682,7
1786,0
2468,7
-
44,0
593,5
637 5
Таким образом при Р' = 4 имеем:
/'=2468,7-637,5 = 1831,2
т. е. при Р = 400
/=1,1831
Числа в столбцах под знаками + и — вычислены следующим
образом:
1 (-1) (-2)
264 (_1)(_3)(_4) =-44,0
1024 —.—zn—?гг:
47*
739
2679
3561
2 • 1 • — 2
3-2 —1
2-1 •—1
4-3-1
=1786,0
= —593,5
1831,2
Опытным путем найдено, что при Р — 400 атм коэффициент
сжимаемости азото-водородной смеси / = 1,1833. Пользуясь дан-
данными для шести пар значений / — Р, мы получили бы по формуле
Лагранжа / = 1,1833.
§ 11. ПЛОТНОСТЬ РАСТВОРА ФОСФОРНОЙ КИСЛОТЫ
Определим плотность 26% раствора Н3РО4 при 20° С, пользуясь
следующими данными:
у (плотность)
х{% Н3РО4)
1,0764
14
1,1134 1,2160
20
35
1,3350
50
Применим формулу Лагранжа, причем интерполирование произ-
произведем для дробной части с последующим прибавлением 1 к получен-
полученному результату. Имеем:
„ , п , nrt7fi, B6-20) B6-35) B6-50) ,
* = 1,0+0,0764 A4_2Q) A4_з5) A4-50) +
+ 0,1134
B6 — 14) B6—35) B6-^-50)
B0—14) B0—35) B0—50)
B6-14) B6-20) B6 -,50)
C5-14) C5-20) C5-50)
B6—14) B6 — 20) B6—35)
E0 —14) E0-35) E0-2U)
= 1,0 - 4 • 0,0764+-=! • 0,1134+
64
175
0,2160—-?- • 0,3350 = 1,1528
Действительное значение плотности 26%-ной Н3РО4 составляет
1,15-29 ке/дм3.
§ 12. СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ЭМПИРИЧЕСКИХ
ФОРМУЛ ДЛЯ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ
Некоторые вопросы приводят нас к задаче о нахождении эмпири-
эмпирической зависимости, связывающей три переменных х, у и z.
Для определенности будем считать х и у независимыми пере-
переменными, a z — их функцией.
Общий метод решения таких задач состоит в следующем. Считая х
постоянным, свяжем z с у зависимостью
740
X
1
2
3
4
2
t
't
5
г
0,9091
0,3125
0,1587
0,0961
0,1111
0,3571
0,1754
0,1042
1,2500
0,3846
0,1852
0,1087
1,3510
0,4032
0,1916
0,1116
ТАБЛИЦА
а
0,5
2,0
4,5
8,0
XXIV-24
ь
1,2
2,4
3,6
4,8
которую определим, применяя какие-либо из вышерассмотренных
методов. Числа а и & в этой зависимости являются функциями от хг
которые нужно найти эмпирически. Некоторые приемы нахождения
эмпирических формул для
трех переменных даны в ра-
разобранных ниже примерах.
В табл. XXIV-24 приве-
приведены данные о зависимости
между тремя переменными.
Нанеся на диаграмму
значения z относительно у
для четырех значений х, мы
получим кривые, предста-
представленные на рис. XXIV-29, /.
На рис. XXIV-29, II даны
прямые линии, которые полу-
получаются при установлении
между — и — линейной за-
z у
висимости вида:
1 , Ь
— = <н—
z У
Фиксируя х, вносим сю-
сюда табличные значения у и
z. Для каждого х получим
систему четырех уравнений с двумя неизвестными а и Ъ. Решая их
относительно а и Ъ, найдем для них значения, помещенные в послед-
последних двух столбцах таблицы.
Строя график а в зависимости от х (рис. XXIV-29, IV), убе-
убеждаемся, что зависимость между ними'нелинейная, однако на лога-
логарифмической сетке (рис. XXIV-29, ///) находим прямолинейную
зависимость. Следовательно
lga=lgm-\-nlgx
Последнее выражение может быть написано так:
IV
Рис. XXIV-29.
Находя значения т и п способом, описанным выше, получим:
т = 0,5; п=2
Таким образом
а = 0,5^2
Из рис. XXIV-29, IV легко видеть, что между Ъ и х имеется
линейная зависимость
b=f-\-gx
и в соответствии с методом, указанным на стр. 709, определяем по-
постоянные / = 0 и g = 1,2. Значит:
Подстановка значений а ш b в уравнение
-=a-\
z у
дает
или окончательно:
§ 13. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ПЛОТНОСТЬЮ РАСТВОРА
И ТЕМПЕРАТУРОЙ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ КОНЦЕНТРАЦИЯХ СОЛИ
В табл. XXIV-25 приведены опытные данные о зависимости менаду
плотностью В, выраженной в условных единицах, и темпера-
температурой t (в °С) при различных концентрациях С (в г/л) соли в раз-
разбавленных растворах.
го гг 24 ге 26 эо зг 34 эв зв w 42
t
Рис. XXIV-30.
2022 24 26 26 30 32 34 36 3d 40 42
t
Рис. XXIV-31.
Построим графики плотности В относительно температуры t для
четырех концентраций С; мы получим кривые (рис. XXIV-30).
На рис. XXIV-31 видно, что при построении графика для Bi отно-
относительно t мы получим прямые; отсюда имеем:
742
ТАБЛИЦА XXIV-25
Д, %
2,957
2,800
2,643
2,429
2,243
2,086
8,744
7,84)
6,986
23,570
5,900
5,031
4,351
15,282
20,8
24,9
29,0
74,7
33,7
38,0
41,0
112,7
С = 35,97
13,29
—0,2181
2,964
2,810
2,645
2,447
2,249
2,100
0,2
0,4
0,1
0,7
0,3
0,7
2,457
2,343
2,200
2,071
1,843
1,700
6,037
5,490
4,840
16,367
4,289
3,397
2,890
10,576
21,0
24,0
28,0
73,0
31,1
36,0
39,4
106,5
С = 29,96
9,662
—0,1729
2,451
2,343
2,188
2,061
1,843
1,680
-0,2
0,0
-0,5
-0,5
0,0
—1,2
1,98
1,80
1,70
1,51
1,28
1,08
3,920
3,240
2,890
10,052
2,280
1,638
1,166
5,084
20,4
24,5
28,0
72,9
32,0
37,0
40,9
109,9
С =23,97
6,614
—0,1343
1,97
1,82
1,69
1,52
1,29
1,07
—0,5
1,1
-0,6
0,7
0,8
-0,9
1,46
1,36
1,23
1,02
0,70
0,615
С= 17,97
2,132
1,850
1,513
5,495
1,040
0,490
0,378
1,908
20,5
24,0
27,1
71,6
32,9
38,7
40,4
112,0
3,951
- 0,0888
1,46
1,35
1,24
1,00
0,69
0,572
0,0
0,7
0,8
2,0
1,4
7,0
743
Разделим значения В и t на две группы применительно к каждой
величине С. Совместное решение суммарных уравнений дает числа а
и Ь, приведенные в табл. XXIV-25.
Переходя к установлению зависимости между а я С строим
(рис. XXIV-32) зависимость, связывающую lg С и lg а. Из
рис. XXIV-32 видно, что эту зависи-
йй
/5
/
?
?
/
/
/
/
20 25 30 35 40
С
Рис. XXIV-32.
мость можно считать линейной:
lg a = Ig^m + n lg С
¦0,08
-aw
-0,12
¦0,14
-0,1В
¦0,18
-0.20
/8 20 24 28 32
С
Рис. XXIV-33.
\
\
N
\
\
\
\
\
N
В табл. XXIV-26 представлены данные, необходимые для
вычисления т и п.
ТАБЛИЦА XXIV-16
а
13,29
9,662
6,614
3,951
С
35,97
29,96
23,97
17,97
lg a
1,1235
0,9851
2,1086
0,8205
0,5967
1,4172
is с
1,5560
1,4766
3,0326
1,3797
1,2546
2,6343
а
выч
13,29
9,674
6,566
3,983
А. %
0,00
0,12
—0,79
0,81
= 0,43
Совместное решение суммарных уравнений дает нам lg m =
= 1,5778 или т = 0,02644 и п = 1,736, следовательно
а=0,2644 W3(i
Ha рис. XXIV-33 представлена зависимость между Ъ и С. Эта
зависимость может быть принята за линейную:
744
В табл. XXIV-27 даны величины, с помощью которых могут быть
определены / и g.
ТАБЛИЦА XXIV-27
ъ
—0,2181
-0,1729
—0,3910
—0,1343
—0,0888
-0,2231
с
35,97
29,96
65,93
23,97
17,97
41,94
Ьвыч
—0,2166
-0,1745
—0,1326
—0,0906
А, %
0,7
-0,9
1,3
-2,0
Дср =1,2
При совместном решении суммарных уравнений найдем/ = 0,0352
и g = —0,006999. Таким образом
6 = 0,0352 —0.006999С
Подстановка выражений для а и & в уравнение
дает окончательно:
?2 =0,026440736-}- @,352—0.006999С)'
§ 14. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ РАСТВОРИМОСТЬЮ ОКИСИ ХЛОРА
В ВОДЕ И ЕЕ ПАРЦИАЛЬНЫМ ДАВЛЕНИЕМ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ
ТЕМПЕРАТУРАХ
Для иллюстрации другого способа отыскания эмпирической
формулы, связывающей три переменных, рассмотрим зависимость
между растворимостью S окиси хлора
(в г/100 г воды) и парциальным давле-
давлением р (в мм рт. ст.). Опытные дан-
данные представлены в табл. XXIV-28.
Изотермы, приведенные на рисунке
XXIV-34, дают на логарифмической сетке
графики зависимости между S и р в виде
прямых линий (рис. XXIV-35). Поэтому Р ^
примем
lg Р = lg а + 6 lg s
Составим
для t = 0:
1,6990 = 3 lg a + 3,47826
1,3010 =lg a + 1,52636
Аналогично находим системы уравне-
уравнений и для остальных трех температур!
3,46, 10 и 20° С. рис. XXIV-34.
20
10
16
/4
12
два следующих уравнения
Ю
15 20 Я 30 35
S
745
ТАБЛИЦА XXIV-28
igS
, %
1
о
10
20
Z = 09 С
1
5
10
20
7,6
16,7
23,7
33,6
0,0000
0,6990
1,0000
1,6990
1,3010
0,8808
1,2227
1,3747
3,4782
1,5263
0,01757
2,0025
1,02
4,94
9,95
20,00
2,0
—1,2
—0,5
0,0
* = 3,46° С
1
5
10
20
6,5
14,78
21,3
30,2
0,0000
0,6990
1,0000
1,6990
1,3010
0,8129
1,1697
1,3284
3,3110
1,4800
0,02579
1,9579
1,00
4,96
10,11
20,00
0,0
-0,8
0,1
0,0
1
5
10
20
5,2
12,3
17,4
24,2
0,0000
0,6990
1,0000
1,6990
1,3010
«=10
0,7160
1,0899
1,2405
3,0464
1,3838 ~
°С
0,03472
1,9948
0,93
5,19
10,35
20,00
—7,0
3,8
3,5
0,0
3,5
8,0
11,1
15,4
0,0000
0,6990
1,0000
1,6990
1,3010
г=2С
0,5441
0,9031
1,0453
2,4925
1,1875
0 С
0,07163
2,0597
0,95
5,19
10,19
20,00
—5,0
3,8
1,9
0,0
Аср = 1,9
2,5 5,0 7,5 Ю,0 125 150 17,5 i
t
Рис. XXIV-36.
746
Находим на графике (рис. XXIV-36) значения а и Ъ относи-
относительно t. Нетрудно видеть, что четырех точек достаточно для того,
чтобы построить кривую Ъ — t, которая переходит в прямую линию
для большей части заданного предела температур. Между тем, зна-
значения й быстро изменяются с возрастанием Ъ, и здесь требуются
еще три дополнительные точки, — обозначенные на графике тре-
треугольниками, — для определения кривой. Последние находим интер-
интерполированием по методу Лагранжа (см. § 9).
§ 15. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬЮ ФИЛЬТРА
И ПРИМЕНЯЕМЫМ ВАКУУМОМ ПРИ РАЗЛИЧНОЙ КРУПНОСТИ
ЧАСТИЦ ПРОМЫВАЕМОГО ОСАДКА
В табл. XXIV-29 приведены опытные данные о зависимости
между производительностью фильтра w (в кг жидкости в 1 ч на 1 м2)
и величиной вакуума р (в мм рт. ст.) при различных значениях
размера d (в см), частиц промываемого на фильтре осадка.
ТАБЛИЦА XXIV-29
d
0,250
0,313
0,344
р
50
75
100
125
50
75
100
125
50
75
100
125
W
3114
3811
4402
4976
4847
5936
6853
7662
5883
7205
8320
9302
d
0,375
0,438
0,500
р
50
75
100
125
50
75
100
125
50
75
100
125
W
6 998
8 579
9 886
И 075
9 535
11680
13 486
15 073
12 537
15 252
17 616
19 694
Построив логарифмические графики для d относительно w при
постоянных значениях вакуума р, мы получим прямые линии
(рис. XXIV-37). Следовательно, формула, связывающая d и w при
постоянном р, будет:
lgd= lg a-\-b lg ш; d=awb
Изображенные на рис. XXIV-37 прямые линии параллельны
между собой, и поэтому значение Ъ не зависит от р. Разделив опыт-
опытные данные для каждого р на две группы, получим значения коэф-
коэффициентов а и Ъ.
Результаты этих вычислений даны в табл. XXIV-30.
747
Примем Ь равным 0,5. Тогда имеем:
пб
05
0,3
а/.
1
i
я
К
я
3000 5000
0,006
0,005
от
0,003
олвг,
1—<
*-•
50 60 70 дО 100 150
Р
fOOOO 1500020000
W
Рис. XXIV-37.
где а есть неизвестная функция от р. Для ее нахождения построим
на логарифмической сетке график зависимости а от р; получим пря-
прямую линию (рис. XXIV-37). Следовательно, можно принять:
ТАБЛИЦА XXIV-30
lg a=lgm-{-n lg р; a = mpn
где п — отрицательная величина.
Разделив данные табл. XXIV-30.
на две группы, составим два сум-
суммарные уравнения. Решение их даст:
га = 0,0119; п = — 0,25
Таким образом, имеем:
в = 0,0119р"°.25
Подставляем полученное выражение для а в формулу
V
50
75
100
125
а
0,00449
0,00405
0,00378
0,00356
ь
0,498
0,499
0,498
0,501
Найдем:
или
Если показатель степени Ъ оказался бы не одинаковым для всех
значений р, то эмпирическую зависимость Ъ от р пришлось бы искать
таким же образом, как и для а.
748
§ 16. ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА
Нередко при обработке числового материала приходится встре-
встречаться с формулами, имеющими периодический характер.
Если Ахр есть период функции у = f (ж), то
Так, например, если х есть угол (в радианах), то sin а; и cos a;
имеют период Ахр = 2я, поскольку sin (ж + 2я) = sin x
и cos (х + 2я) = cos х.
Другой пример: пусть у есть температура, значения которой
повторяются через каждые 24 ч. Тогда, если х изображает время
(в часах), то периодическая функция имеет период Ахр = 24. Обозна-
Обозначим через 8 угол (в радианах), тогда однозначная ограниченная
периодическая функция от б периода 2я может быть пред-
представлена бесконечным тригонометрическим рядом (см. гл. XIII)
в таком виде:
У=1 F) =
9 — e2cos26+
-f b1 sin 6 -f b2 sin 28 +
+ 6nsin пв+ . . .
Соответственно эмпирическая формула периодического характера
включает в себя конечное число членов его, определяемое необходи-
необходимой степенью точности функции.
Если^ функция у — f @) известна, то коэффициенты ря§а могут
быть найдены следующим образом (см. гл. XIII)
2it
2
J ydB
2л
2л
J ycosA6d6
ak=-
Тригонометрический ряд может состоять только из косинусов
или же только из синусов угла х, выраженного в радианах. Для
доказательства справедливости этого положения напишем;
Ук = ak cos fc6 + bk sin kQ =
sinfc6 I
j
749
Обозначим
Тогда
yk=Ck (cos Фк cos /c0 + sin Фк sin /c6)
или
yk=Ckcos(kB — Фк)
Последняя формула является уравнением волны, называемой
к-й гармоникой с амплитудой Ck и фазой Фк; период этой волны
2я
-г—, так как мы здесь имеем:
составляет
Для к = 1, 2, 3, ... графики носят названия, соответственно,
основной волны, второй, третьей и т. д. гармоники. Таким образом,
тригонометрический ряд можно написать и в таком виде:
у = о0 + Сх cos F — 0>i) + С2 cos B6 — Ф2) +
в-Ф3)+ . . . 4-
6-®rt)+ . . . A3)
В дальнейшем мы будем пользоваться этим тригонометрическим
рядом.
Если для периодической функции значения у известны при раз-
различных значениях х, то эмпирическая формула, удовлетворя-
удовлетворяющая опытным данным, может быть найдена путем вычисления а0
амплитуд и фаз основной и последующих гармоник Clt Фг,
Сг, Ф2,. . .
Определим период Ахр функции для полного цикла изменения у.
Переменная х может обозначать не только значения угла, но и зна-
значения любых других величин; наиболее часто эта переменная в пери-
периодической функции обозначает время.
Для того чтобы выразить значения угла через переменную х,
необходимо определить период функции, т. е. Ахр.
Имеем:
Q = mx A4)
Выражая 8 в градусах
т = ПГ~ A5)
или в радианах:
Ахв
750
Разделим а; на тг равных промежутков для всего периода и обо-
обозначим ординаты кривой через у0, ylt y2,. . ., соответственно точкам
#о> xi' хъ-> ¦ • • Тогда а0 будет выражать среднее значение тг ординат,
a ak и bk — удвоенные средние значения произведений, образу-
образующихся при умножении каждой ординаты на cos kQk или sin kQk:
A6)
2
) = — {y0 cos
sinkQ)=—
yn.x cos
+yn-i sin
A7)
A8)
§ 17. СУШКА ВОЗДУХОМ
Найти зависимость между температурой воздуха в сушилке у
и временем х в течение суток на основании результатов опыта, при-
приведенных в табл. XXIV-31.
Используя величину периода функции хр + 24, найдем из A5):
360 ,г
Согласно A4) имеем:
6=15*
Период времени сушки, считая от полудня, разделен на тг = 24
равных промежутка; в соответствии с A6):
¦ • • +У2з)
Применяя формулу A7), получим:
12
cos
Аналогично, пользуясь A8), имеем:
-rr-
sin
. . . +у2з sin 15ж23)
i>2 = 'iir(.Vosin30a;0 + J/isin30a;1-)- . . .
x_,s)
751
752
к
а
t- СМ1Я 1ЯСО ¦*< СМ СМ^-гЧ СО1Я СЯсО 0»ОМ!0ЯОЮИ0>00
coin кг ¦* смо t^ ¦* тчобю"сао:1>-я"юЯсо cri сос-^ ejcb" о"
cno:03o:o50:ooooooti>E-cococococoootrooca5
"
О to О CM 1O
CM 1O ЮФО
"^ СЧ 00 -?н О
" ^ "
О О
CM Nt|
о t>T см" ^ о ю" о ea" о об ю со" о со t>^ ю" со со" о со г-" эт ю ю*
-^000500-* Sf С~ 1>- СО СО СОЮСОЮСО СО СО 00 t-к*
^ С С СО СО
I I I ! I
I I
>О с
_>ooooooooo
СООЮОЮСЙОООЩ
О ОО -»ч с
I I I I
С1 С1
ll
, --00- .
I I I I I
'd
ooVo'd
7 i i i i
oir'
ЮСЙЮОЛСЙ
III!!
н OOO О О
00000ОС-1ЛСО-
I I I I I II II I
)ОООн005003фтнООООсООнОО:ОФО^ОСО
JinOOtDOOtDCDOOLOQinOOtDCDOtDOOOiO
do'dode-нс
i i* - •• « л •> - - - ;
ОООООчгчООООО
I I I I I I II II I
<|'<рЮсС>?'-?О?С>Ю'<рсО*г
I I ! I I I I I I I I
юоюооаэсооаэсооою
^ NO_Ni/3I>OOOl00500t>lO C<l
ОООО|ООООО
с^ ca ю_ ю in о_ см са о -^ см in^ os с- о_ о см !>•_ см о ю_ см о» оо
^^^^"ГГ^"^"*^^"""
см"
о
ю
см
СП
ел
Для получения различных произведений и их сумм
в табл. XXIV-31 даны соответствующие значения. Из сумм, при-
приведенных в этой таблице, имеем:
24
= 142,50
12
==11,88
Далее:
= 11,882 + 8,942 = 14,9
8 44
1=37°
Подобным же образом получим:
21,55
' 12
-2,47
12
-=1,8
= —0,21
< 5 12 Ю го
Рис. XXIV-38.
c2=l,802 + (-0,26J = 1,8
Эмпирическая формула в соответствии с A3) будет:
у = 80.0+ 14,99 cos A5z—37) +18 cos C0*—353)
Вычисленные с помощью этой формулы значения у дают отклоне-
отклонения не выше 0,1° С (табл. XXIV-31).
В этом случае удовлетворительное совпадение расчетных величин
с опытными данными достигнуто при использовании двух гармоник.
Однако во многих других случаях может оказаться необходимым
применение значительно большего числа гармоник. На рис. XXIV-38
изображен график периодической функции температуры от времени.
Здесь каждая ордината этой функции есть сумма средней ординаты
а0 = 80,0 и-ординат первой и второй гармоник.
§ 18. ТИПИЧНЫЕ ГРАФИКИ НЕКОТОРЫХ ФОРМУЛ
В Приложении приведены данные, облегчающие выбор вида
эмпирической формулы. Первая графа таблицы содержит графики
функций, помещенных во второй графе. Для каждой функции по-
построено несколько кривых, соответствующих разным значениям
48 Заказ 1706 753
постоянных коэффициентов. При выборе формулы следует учиты-
учитывать, что эмпирическая кривая может быть подобна лишь части
типичной кривой для некоторых пределов аргумента. Это является
достаточным для применимости формулы в данных пределах.
В третьей графе таблицы указаны приемы замены переменных,
приводящие к выравниванию, а в четвертой графе — вид получаемой
после выравнивания линейной зависимости. В последней графе даны
примечания, относящиеся к методам определения постоянных коэф-
коэффициентов, к приемам преобразования формул и вторичного
выравнивания.
Глава XXV
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 1. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
ПРИБЛИЖЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН
При всех технических расчетах имеют дело с величинами, полу-
получаемыми в результате тех или иных измерений или наблюдений. Так
как никакие измерения не могут дать точного значения измеряемых
величин, то при расчетах пользуются приближенными значениями
зтих величин, имеющими большую или меньшую степень точности.
Степень точности измерения зависит, главным образом, от совершен-
совершенства измерительного прибора и от надежности операции измерения.
Так, погрешность измерения температуры раскаленного тела опти-
оптическим пирометром достигает десятков градусов, а термометром
сопротивления можно измерять температуру в пределах от 0 до 100°
с точностью до тысячных долей градуса.
В технике инженерных вычислений весьма редко приходится
пользоваться приемами и формулами, дающими точные решения.
В большинстве случаев методы решения уравнений, приводящие
к точным результатам, либо слишком сложны, либо вообще отсут-
отсутствуют. Обычно пользуются методами приближенного решения задач.
Естественно, что применение неточных методов и неточных зна-
значений исходных величин приводит к неточным, приближенным
результатам. Полученный при решении той или иной задачи резуль-
результат имеет ценность лишь в том случае, если известна степень его
точности. Решение любого вопроса путем экспериментальных и вы-
вычислительных операций может быть совершенно обесценено, если
неизвестна погрешность числа, выражающего искомый результат.
Абсолютное значение разности между приближенным и точным
(истинным) значениями величины называется абсолютной погреш-
погрешностью приближенного значения. Если приближенное значение
обозначим числом а, а точное — числом А, то абсолютная погреш-
погрешность А числа а равна:
— А\ A)
Отсюда следует, что:
48*
B)
755
Например, если точное значение величины равно 1728, а ее при-
приближеннее значение равно 1730, то абсолютная погрешность
последнего числа равна:
11730-17281 = 2
если же взято приближенное значение 1700, то его абсолютная по-
погрешность равна:
|1700 — 1728| = 28
Число 1700 является приближением точного значения величины
(числа 1728) по недостатку, а число 1730 — по избытку.
Абсолютную погрешность приближенного числа, как правило,
вычислить невозможно, ибо неизвестно истинное значение вели-
величины А. Действительно, если мы измеряем какую-либо величину,
например температуру тела, мы не можем вычислить, чему равна
абсолютная погрешность, так как истинная температура тела неиз-
неизвестна. Мы можем судить о точности зафиксированной температуры,
лишь оценивая точность измерения. Если мы убеждены, что ошибки
при измерении температуры не больше 0,1°, то можно считать, что
абсолютная погрешность не превосходит 0,1°. Это и есть предельная
абсолютная погрешность.
Лишь в редких случаях, когда известно точное значение вели-
величины, можно вычислить значение истинной абсолютной погрешности.
Например, если известно, что за некоторый период времени с по-
помощью механического пресса выдавлено 2007 деталей, то, округлив
это число до 2000, можно найти истинную абсолютную погрешность
последнего числа:
А = | я — А\— А — а — 2007 деталей — 2000 деталей = 7 деталей
Абсолютная и предельная абсолютная погрешности являются
числами именованными; они выражаются в тех же единицах, как
и определяемая величина.
В подавляющем большинстве случаев приходится иметь дело
с предельной абсолютной погрешностью, обозначаемой а. Абсолют-
¦ ная погрешность приближенного числа всегда меньше или, в крайнем
случае, равна предельной абсолютной погрешности, т. е. А^а.
Если известны приближенное значение а числа А и его предель-
предельная абсолютная погрешность а, то число А заключено между
ах —а — а и а2 = а + а. т. е.
а^=а — а < А < а-{-а = а% -. —
В этом случае говорят, что а является приближенным значением
числа А с точностью до а. При этом
О2+О1
C)
Пример. Известно, что температура в печи не выше 1150 и не
ниже 1140°. Правильно ли утверждение, что температура в печи
известна с точностью до 10°?
750
Зная, что температуры 1150 и 1140° являются приближениями
истинной температуры в печи по избытку и по недостатку, можно
утверждать, что / = ——i = 1145° является приближением
истинной температуры с предельной абсолютной погрешностью
а = ^ = 5°. Температура в печи может быть принята рав-
ной 1145±5°, и, следовательно, она известна с точностью до 5°,
а не до 10°.
Абсолютная погрешность недостаточно характеризует точность
измерения. Например, чтобы судить о качестве взвешивания, недо-
недостаточно знать, что предельная абсолютная погрешность равна 1 г.
Если тело весит несколько десятков килограммов, то абсолютная
погрешность 1 г указывает на высокое качество взвешивания; такая
же абсолютная погрешность, когда тело весит 2—,3 г, указывает
на полную негодность результата взвешивания. Очевидно, что для
суждения о степени точности измерения необходимо сравнить вели-
величину абсолютной погрешности с измеряемой величиной, т. е. найти
величину относительной погрешности. Относительной погрешно-
погрешностью у числа а, являющегося приближенным значением величины А,
называется отношение абсолютной погрешности этого числа к самому
числу, т. е.:
Относительная погрешность является отвлеченным числом, и ее
значение не зависит от размерности измеряемых величин. Абсолют-
Абсолютная же погрешность одного и того же измерения может выражаться
различными числами, в зависимости от выбора единиц измерения.
Относительная погрешность обычно не может быть найдена по
той же причине, по которой не может быть найдена абсолютная
погрешность. На практике имеют дело с предельной относительной
погрешностью б, т. е. с наименьшим числом, больше которого не
может быть относительная погрешность у =5 8.
Предельная относительная погрешность числа а есть отношение
предельной абсолютной погрешности этого числа ' к самому
числу, т. е.:
•-т »
Предельная абсолютная погрешность равна произведению при-
приближенного числа на предельную относительную погрешность:
а = аб. Так как приближенное значение величины А заключено
между а — а и а + а, то, заменив а на аб, получим, что приближен-
приближенное значение числа А заключено между а A ¦+• 6) и а A — б).
Предельную относительную погрешность часто выражают в про-
процентах (%) или в промиллях (%о). Обычно предельная абсолютная
и предельная относительная погрешности называются просто абсо-
абсолютной и относительной погрешностями, так как с истинными
757
значениями абсолютной и относительной погрешностей почти не
приходится встречаться. В дальнейшем под абсолютной и относитель-
относительной погрешностями мы будем понимать предельные погрешности.
Пример. Определить относительную погрешность взвешивания
1 л воды, если в результате взвешивания получено 999,847+0,002 г\
с _ а _ 0,002
2 999,847
0,000002 = 2
или 2.iO°/.o
Пример. Опытным путем найдено, что величина газовой постоян-
постоянной равна R = 1,986 кал/град. Зная, что относительная погрешность
этого значения равна 0,1% , найти пределы, между которыми заклю-
заключается R.
Имеем: а = 1,986; б = 0,001; абсолютная погрешность а = аб «=>
«* 0,002; следовательно, R меньше 1,988 и больше 1,984.
При определении относительной погрешности температуры при-
принято исходить из величины температуры в абсолютной шкале. Ввиду
того, что в разных шкалах нулю отвечают различные температуры,
относительные погрешности температуры данного тела, измеренной
в разных шкалах, будут различны. Например, если температура
близка к нулю по шкале Цельсия и измеряется с точностью до 0,1°,
то вычисленная обычным способом относительная погрешность будет
очень велика. Эта погрешность будет значительно меньше, если
пользоваться шкалой Фаренгейта.
Пример. Найти относительную погрешность измерения темпера-
температуры тела, если установлено, что t = 4,2±0,1°С:
8=
0,1
4,2 + 273,15
«*0,0004 или 0,04%
§ 2. ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ
Любые измеряемые и вычисляемые величины характеризуются
числами. Эти числа есть приближенные значения величин. Неопыт-
Неопытные вычислители, стремясь получить более точный результат', часто
оперируют с приближенными величинами, сохраняя в числах излиш-
излишнее количество знаков. На такие вычисления, лишь кажущиеся
более точными, затрачивается много лишнего труда и времени.
Степень точности любого измерения или вычисления должна
соответствовать той цели, для которой оно предназначено. Так, при
определении плотности газа, собранного в газовой бюретке с водя-
водяным затвором, необходимо из общего давления влажного газа вы-
вычитать величину давления паров воды, которая, например,
при 25° С равна 23,756 мм рт. ст. Однако нет смысла использовать
это число при подсчете суточного расхода воды, уносимой газом
из мокрого газгольдера с водяным затвором.
Для этой цели следует воспользоваться округленным числом 23,8
или 24, и результат вычисления будет достаточно точным.
Число округляется путем отбрасывания одной или нескольких
цифр справа. Если первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9,
758
то предшествующую цифру следует увеличить на единицу (правило
дополнения).
Таким образом, например, последовательные приближенные зна-
значения газовой постоянной R, выраженной в кал/град, равняются:
1,9866; 1,987; 1,99; 2,0; 2
Степень точности результата измерения или вычисления характе-
характеризуется числом значащих цифр, которыми считаются цифры от 1
до 9, а также нули, стоящие между ними или сохраненные при округ-
округлении числа. Так, в числе 2,0 — две значащие цифры, так как нуль,
стоящий после запятой, указывает на то, что данная величина выра-
выражена с точностью до десятых долей единицы.
Если в результате измерения температуры некоторого тела запи-
записана величина 57,3°, то это означает, что температура определена
с точностью до 0,05%. Если же измерение производилось с точностью
до 0,005%, то следует считать, что измеренная температура
равна 57,30°.
В первом случае точное значение температуры тела находится
между 57,25 и 57,35°; во втором — между 57,295 и 57,305°.
Цифры, которые при округлении числа не были заменены нулями,
называются верными цифрами. Так, если величина, определенная
числом 43 714, выражена округленным числом 44 000, то в последнем
числе две первые цифры являются верными.
Пример. Производительность фасовочной машины, заливающей
жидкий продукт в тару, равна 2987 банок в смену. Вместимость
каждой банки 1 кг, и заливка производится с точностью до 10 г.
Какое количество продукта заливается в тару в течение смены?
Число банок 2987 является точной величиной. Тем не менее это
число целесообразно округлить, например до 3000. Общее коли-
количество продукта равно 2987 кг. Если пользоваться округленным
числом 3000, то вес продукта будет вычислен равным 3000 кг и допу-
допущенная при этом погрешность: 3000 — 2987 = 13 кг. Между тем,
погрешность веса продукта в каждой банке 0,01 кг, и для 2987 банок
это составит
0,01-2987 = 29,87 кг
т. е. больше, чем в 2 раза превышает погрешность, допущенную
округлением числа банок до 3000.
Числа от 1 до 9 называются числами первого порядка, от 10
до 99 — второго, от 100 до 999 — третьего и т. д. Числа 1, 10, 100
соответственно называются единицами первого, второго и третьего
порядка. 0,1, 0,01, 0,001 называются единичными десятичными
дробями первого, второго и третьего порядка.
Большие и малые числа удобно записывать в виде произведения
числа единиц на 10 в степени, обозначающей порядок величины.
Так, 248 = 2,48-102, 24 800 = 2,48-Ю4, а 0,006248=2,48-10-*
и т. д.
759
Очевидно, что величину постоянной Планка удобнее записать:
h = 6,624 -10 27 эрг -сек, чем в виде числа, имеющего перед первой
значащей цифрой 27 нулей.
Такой способ записи позволяет одновременно фиксировать число
верных цифр. Если в числе 2 480 000 верными являются лишь две
первые цифры, то его следует писать так: 2,5-10е; если верны три
цифры, то 2,48-106; при четырех верных цифрах 2,480-10е. Число
О,00072 записывается 7,2 -10~4, если в нем две верные значащие
цифры и 7,20 -10 при трех верных значащих цифрах и т. п.
При округлении числа путем отбрасывания нескольких десятич-
десятичных знаков или замены их нулями (по правилу дополнения) допу-
допускается погрешность, не превосходящая половины единицы послед-
последнего из оставленных знаков. (Если при округлении числа правило
дополнения не используется, то погрешность не превосходит единицы
последнего оставленного знака).
Например, если число 6279 округляется до 5300, то абсолютная
погрешность последнего числа, равная 21, меньше — -102; при округ-
лении числа 0,48715 до 0,487 абсолютная погрешность, равная
0,00015, меньше-i-10.
Li
Если величина А выражается приближенным числом а, в котором
п верных знаков, причем первой значащей цифрой является Z, то
предельная относительная погрешность б числа а не превосходит
2 • Z ¦ К)" ' Т- е-
1
2•Z • 10"-1
F)
Так, для предыдущих примеров в первом случае относительная
погрешность, равная -—^0,004 = 0,4%, меньше ¦—-1—— =
= 0,01 = 1%; во втором случае относительная погрешность, равная
10-* = 0,03%, меньше
g^^=0,00125^0,125%.
Для чисел, первая значащая цифра которых равна единице (на-
(например, 0,010237), относительная погрешность при округлении их:
до 2 верных знаков не превышает 5,0%
» 3 » » » d 0,50%
» 4 » » » » 0,050%
Для чисел, первая значащая цифра которых равна 9, относитель-
относительная погрешность при округлении их:
до 2 верных знаков не превышает 0,56%
» 3 » » » » 0,056%
» 4 » » » » 0,0056%
Следовательно, для большинства технических расчетов пользова-
пользование числами, имеющими всего три значащие цифры, дает вполпе
достаточную точность; во многих случаях можно ограничиться
760
двумя значащими цифрами, а использование чисел с четырьмя знача-
значащими цифрами необходимо лишь в редких случаях.
Если известна предельная относительная погрешность численного
значения и величины, то можно сделать заключение о числе верных
знаков.
Именно, число верных знаков п равно по меньшей мере 5+1»
если S — наибольшее численное значение показателя, при котором
выполняется неравенство:
rv-S
10"
G)
Практически, при малой величине первой значащей цифры число
верных знаков можно с достаточным основанием принимать на еди-
единицу больше, чем установленное таким способом.
Пример. Плотность вещества найдена равной 0,92 г/см9.
В этоы числе две верные цифры. Найти его предельную относитель-
относительную погрешность:
1
8 =
1
2-г-ИУ1'1 2-9-Ю2
i ^0.005 =
Пример. Путем измерения и последующего вычисления объем
газгольдера определен равным V = 481 ж3 с относительной погреш-
погрешностью 1%. Найти число верных знаков.
Подставляя в неравенство (Z -\-\) б ^ 10~s величины Z — 4
и б = 0,01, находим S = 1. Число знаков, за верность которых
можно ручаться, п = S + 1 = 2. Следовательно, V = 48-10 м3.
Пример. Установлено с относительной погрешностью 0,5%, что
удельная теплоемкость вещества при 15° С равна 0,2386 кал/г -град.
Оценить число верных знаков.
Из неравенства (Z -{-1) 8 ^ 10"s, при Z = 2 и б = 0,005, опре-
определяем S = lnn=S-{-l = 2.
Поэтому С — 0,24 кал1г-град.
Поскольку при любых расчетах исходные величины выражены
приближенными числами, очевидно, что и результаты расчетов будут
приближенными, имеющими ту или иную погрешность.
Погрешность результата вычисления, естественно, тем больше,
чем больше погрешность исходных величин, и может быть найдена,
если известны погрешности этих величин. Следует помнить, что
в подавляющем большинстве случаев результат вычислений не может
быть точнее чисел, из которых он получен. Забывая об этом, вычисли-
вычислители иногда стремятся получить в результате больше значащих
цифр, чем имеется в исходных числах.
Знание погрешности результата вычисления очень важно. Оно
позволяет не только оценить точность полученной расчетной вели-
величины, но часто сократить вычисления, а также выбрать необходимые
для расчета исходные данные с такой степенью точности, чтобы
погрешность результата не превышала требуемой.
761
§ 3. ПОГРЕШНОСТЬ СУММЫ, РАЗНОСТИ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ,
ЧАСТНОГО, СТЕПЕНИ И КОРНЯ
Абсолютная погрешность приближенных чисел может быть как
положительной, так и отрицательной. Поэтому при сложении этих
чисел возможна взаимная компенсация погрешностей, в результате
которой абсолютная погрешность суммы может оказаться меньше
суммы абсолютных погрешностей слагаемых. Во всяком случае абсо-
абсолютная погрешность суммы не может быть больше суммы абсолют-
абсолютных погрешностей слагаемых, т. е. если а — абсолютная погреш-
погрешность суммы а = ах + а2 + • • • + ап и ai> a2>- • •» «« — абсолют-
абсолютные погрешности приближенных величин at, a2,. . ., ап, то
Таким образом, за абсолютную погрешность суммы следует при-
принять сумму абсолютных погрешностей слагаемых.
Относительная погрешность б суммы а вычисляется по формуле:
8 = ^-81 + ^-82 + ... + ^8я (8)
Из этой формулы следует, что относительная погрешность суммы
находится в пределах между наибольшей и наименьшей из относи-
относительных погрешностей слагаемых. Докажем, например, что относи-
относительная погрешность суммы не превосходит наибольшей относитель-
относительной погрешности слагаемых. Допустим, что слагаемое ak имеет
наибольшую относительную погрешность 8к. Заменив в фор-
формуле (8) все относительные погрешности б1; б2). . ., б„ наибольшей
из них 8k, получим:
Если порядок относительных погрешностей слагаемых одинаков,
то слагаемое, которое является самым большим, оказывает наиболь-
наибольшее влияние на величину относительной погрешности суммы. Из фор-
формулы (8) видно, что, если, например, слагаемое аг больше, чем дру-
другие, то множитель — при бх будет также больше множителей — ,
— и др.
При сложении приближенных чисел следует ограничивать число
знаков в каждом слагаемом так, чтобы все слагаемые заканчивались
на ©дном и том же разряде. Если, например, складываются дробные
чисЯа, то следует во всех слагаемых сохранять одинаковое число
знаков после запятой.
Допустим, что требуется найти сумму следующих цифр, все знаки кото-
которых верны:
а = 872,35 + 91,316 + 4,0422+0,76654
Так как тысячные доли первого слагаемого неизвестны, то нет смысла
оставлять цифры этого и следующих разрядов во всех остальных слагаемых,
762
Следует их отбросить, округлив числа по правилу дополнения, и произвести
сложение так: 872 35
9l',32
4,04
0,77
968,48
В полученном результате верность последней цифры сомнительна. Поэто-
Поэтому необходимо сумму округлить, приняв ее равной 968,5.
Если число слагаемых не больше десяти, то абсолютная погреш-
погрешность суммы не превосходит пяти единиц последнего разряда, сохра-
сохраненного во всех слагаемых. Отбросив последнюю сомнительную
цифру суммы (по правилу, дополнения), допускаем новую погреш-
погрешность, также не превосходящую пяти единиц последнего разряда.
- Следовательно, округленная сумма будет иметь абсолютную погреш-
погрешность в одну единицу оставшегося разряда, т. е. все цифры будут
верными.
Значит, число верных цифр суммы, в крайнем случае, лишь на
единицу меньше числа верных цифр в наибольшем из слагаемых.
Часто же эти числа одинаковы.
Чтобы получить сумму с п верными-цифрами, следует наибольшее
из слагаемых взять с га -f-1 (или с п) верными цифрами, а в осталь-
остальных слагаемых отбросить (по правилу дополнения) все цифры, сто-
стоящие правее разряда, отвечающего последней из оставляемых цифр
в наибольшем слагаемом.
Пример. Найти общий вес контактного аппарата с точностью
до 5% по следующим данным:
Вес корпуса . . , 1483 кг
» катализатора 862 »
» изоляции 217 »
Так как суммарный вес требуется знать с точностью до 5%, то
он может быть выражен числом с двумя верными цифрами. Следо-
Следовательно, согласно вышеприведенному правилу, в наибольшем v.s
слагаемых нужно сохранить максимально три цифры; соответственно
этому следует суммировать веса остальных частей аппарата, взятые
е точностью до десятков килограммов:
1480 пг
860 »
220 »
2560 кг «* 2600 пг
В ответе следует сохранить две цифры, округлив его до 26-Ю2 кг.
Нетрудно видеть, что в данном случае число взятых цифр суммы
равно числу верных цифр в наибольшем из слагаемых. Поэтому с рав-
равным успехом можно было суммировать следующие округленные
числа: 1500 кг
900 »
200 »>
2600 кг
Вычитание можно рассматривать как алгебраическое сложение,
поэтому абсолютная погрешность разности определяется так же,
как и абсолютная погрешность суммы, — она равна сумме абсолют-
абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.
Если уменьшаемое значительно больше вычитаемого, то относи-
относительная погрешность разности практически будет такой же, как
и относительная погрешность большей величины, т. е. уменьшаемого.
Число верных знаков разности в этом случае будет совпадать или
окажется на единицу меньше, чем число верных знаков уменьша-
уменьшаемого. Таким образом, число верных знаков разности в рассматрива-
рассматриваемом случае определяется по тому же правилу, как и число верных
знаков суммы.
Например, разность 3728,56 и 4,1328 равна:
3728,56
—4,13 B8)
3724,43
В этом примере абсолютная погрешность уменьшаемого равна
0,005, а вычитаемого 0,00005; абсолютная погрешность разности
равна 0,005 +0,00005 ^ 0,005, т. е. практически совпадает с абсо-
абсолютной погрешностью уменьшаемого. Так как разность мало отли-
отличается от уменьшаемого, то и их относительные погрешности
практически равны и число верных знаков в разности такое же, как
и в уменьшаемом.
В тех случаях, когда уменьшаемое и вычитаемое отличаются
на небольшую величину, а разность, поэтому, оказывается сравни-
сравнительно малой, относительная погрешность разности сильно возрастает
по сравнению с относительными погрешностями исходных чисел.
Например, разность чисел 538,5 и 537,5 равна 1,0. Абсолютная
погрешность исходных чисел равна 0,05, а их относительная погреш-
погрешность меньше 0,01%. Абсолютная же погрешность разности будет
0,05 +0,05 = 0,1, а ее относительная погрешность равна:
t
М
т. е. в -^г- = 1000 раз больше относительной погрешности исход-
исходных чисел.
В полученной разности можно ручаться за верность лишь одной
цифры; для того же, чтобы получить в разности четыре верных знака,
необходимо, чтобы исходные числа содержали по 6—7 верных зна-
знаков. В инженерной практике с такими точными величинами почти
не приходится иметь дела.
Изложенное показывает, что возможны случаи, когда разность
окажется меньше, чем ее абсолютная погрешность, и не будет иметь
ни одной верной цифры. Например
0,98 ± 0,01
0,97 ±0,01
0,01 ± 0,02
764
Поэтому, во избежание потери точности при вычислениях, не сле-
следует применять формулы, в которые входит разность близких вели-
величин. Если же избежать вычитания невозможно, следует по возмож-
возможности увеличить точность исходных данных, учитывая, что относи-
относительная погрешность разности во столько раз больше относительной
погрешности исходных чисел, во сколько раз сама разность меньше
каждого из них.
Наиболее точные результаты дают также приемы расчетов, с по-
помощью которых разность двух близких величин определяется непо-
непосредственно, без предварительного вычисления этих величин. Приемы
эти весьма разнообразны. Некоторые из этих приемов иллюстри-
иллюстрируются следующими примерами.
Пример. При пропускании 10,3 л воздуха, загрязненного хло-
хлором, через навеску активированного угля, равную 57,48 г, объем
воздуха уменьшился до 9,9 л, а вес угля повысился до 58,69 г. Срав-
Сравнить относительные погрешности количества содержавшегося в воз-
воздухе хлора, вычисленного: 1) по изменению объема воздуха, 2) по из-
изменению веса активированного угля и 3) полученного путем прямого
определения, с помощью которого количество хлора, содержащегося
в 10,3 л загрязненного воздуха, найдено равным 1,214±0,001 г.
Количество хлора, равное разности объемов загрязненного и очи-
очищенного воздуха, выражается числом:
10,3—9,9 = 0,4 л
Абсолютная погрешность измерений объема воздуха до и после
очистки равна 0,5 -Ю л. Следовательно, абсолютная погрешность
разноети объемов равна 0,05 -)- 0,05 = 0,1 л, а относительная по-
погрешность искомой величины (количество хлора):
Вес угля известен с точностью до 0,5-Ю г; абсолютная погреш-
погрешность разности весов равна 0,01 г, а сама разность (келичество
хлора):
58,69—57,48=1,21 г
Следовательно, относительная погрешность искомой величины,
определяемой таким путем, будет:
0,01
1,21
1
121
Относительная же погрешность прямого определения количества
хлора равна:
0,001
1,214
0,1 «/о
Как видно, наименее точным является определение искомой вели-
величины по разности объемов, так как эти исходные данные имеют
765
большую погрешность. Более точным является результат, получа-
получаемый из разности весов угля, — эти исходные данные имеют меньшую
погрешность. Наконец, наиболее точный результат дает прямое
определение исходной величины, не связанное с нахождением раз-
разности близких чисел. Этот третий способ дает результат в 250 раз
точнее, чем первый, и в 10 раз точнее, чем второй.
Пример. Сравнить точность двух одновременных определений
количества жидкости, вытекшей из напорного резервуара в реак-
реакционный аппарат в течение определенного промежутка времени.
Первое определение выполнено с помощью поплавкового измерителя
уровня, каждое деление которого соответствует 10 л емкости напор-
напорного резервуара; начальное показание измерителя 4875 л, конечное —
4810 л. Второе определение путем непосредственного замера объема
вытекшей жидкости дало величину 58,5 л.
Измеритель уровня дает показания с точностью до 5 л, поэтому
разность показаний измерителя, равная 4875 — 4810 = 65 л, имеет
абсолютную погрешность Юли относительная погрешность такого
измерения составляет — *=»0,15, или 15%.
Абсолютная погрешность второго определения (непосредствен-
(непосредственного замера) равна 0,5 -0,1 = 0,05 л, и следовательно, относительная
погрешность этого определения соответствует K'Q к ^ 0,001,
58,5
или
0,1%. Таким образом, второе определение приблизительно в 150 раз
точнее.
Пример. Определить объем оболочки мягкого газгольдера шаро-
шаровой формы, если известно, что его наружный диаметр dm = 2,010 м,
а внутренний диаметр dB = 2,008 м. Толщина оболочки 1 мм.
Решение 1. Вычисляем наружный FH и внутренний FB
объемы газгольдера:
H = —.2,0103 = 4,25^3;
= —• 2,0083 = 4,24 лгз
Полученные значения объемов имеют по три верные цифры.
Искомая величина равна разности:
V — FB = 0,01 мя
Этот результат весьма неточен, его предельная относительная
погрешность равна 100%.
Решение 2. Находим поверхность шара S по одному из диа-
диаметров (например, dn): S = я-2,0102 = 12,7 м2. Искомый объем обо-
оболочки равен произведению ее поверхности на толщину: 12,7 -0,001 =
= 0.0127 м3. Более точные вычисления дают 0,01267 м3. Таким
образом, этот способ решения, где исключено вычисление разности
двух близких чисел, значительно точнее первого.
Вообще, если требуется найти разность двух значений функ-
функции / (а;) при значениях аргумента х, отличающихся на малую вели-
величину Ах, следует вычислять эту разность как произведение /' (а;) -Да;,
766
где / (х) — производная функции. Это следует из основной формулы
дифференциального исчисления:
f{x + Ax) — f(x) t**f (х)-Ах
Обозначив в предыдущей задаче объем газгольдера функцией
/ {^) =-?- cZ3, найдя ее производную /' (d) = —d2 и умножив по-
последнюю на разность Ad аргументов при двух значениях функции
(Ad = 0,002), получим искомую величину объема оболочки газголь-
газгольдера, не прибегая к прямому вычислению разности объемов:
Уи - VB = /' (d) ¦ Ad = -5- . 2,0102 • 0,002 = 0,0127 -и3
Изложенное показывает, что при необходимости вычислить ряд
мало отличающихся значений какой-либо величины целесообразно
вычислить непосредственно только одно из этих значений и те по-
поправки, которые нужно к этому значению прибавить, чтобы получить
остальные значения.
Истинная величина произведения двух чисел А^ и,А2, выражен-
выраженных приближенными значениями аг и а2, относительные погреш-
погрешности которых бг и 62, равна:
ИЛИ
Так как 6t и 62 — малые величины, то произведение 6\б2 весьма
мало по сравнению с суммой бх + б2 и им можно пренебречь.
Тогда
= а1аг A + 6i + 82 + 6i62)
Отсюда видно, что относительная погрешность произведения
равна 81 = б2, т. е. относительная погрешность произведения равна
сумме относительных погрешностей сомножителей.
Так как деление есть умножение делимого на величину, обратную
делителю, то относительная погрешность частного также равна сумме
относительных погрешностей делимого и делителя.
При нескольких последовательных действиях умножения и деле-
деления относительная погрешность полученного результата прибли-
приближенно равна сумме относительных погрешностей отдельных чисел.
Поэтому, чем больше произведено действий умножения и деления,
тем больше относительная погрешность вычисленного результата.
Для того чтобы относительная погрешность результата к дей-
действий умножения и деления не превысила заданной величины б,
необходимо, чтобы относительная погрешность исходных чисел была
менее -у-.
К У
Число верных цифр результата нескольких (не превышающих
десяти) последовательных действий умножения и деления на одну,
767
иногда на две цифры меньше наименьшего количества верных цифр
в исходных числах.
Поэтому, для получения результата с п верными цифрами, необ-
необходимо, чтобы исходные числа имели по п -\- 1 или п -\- 2 верные
цифры.
Пример. Объем газа, измеренный с точностью до 0,01 л, равен
3,43 л. Плотность газа 5,66 г\л известна с точностью до 0,01 г!л.
Найти массу измеренного объема газа.
Масса газа равна произведению 3,43-5,66. Так как в исходных
числах по три верных знака (все цифры верны), то в их произведе-
произведении будут только две верные цифры. Следовательно, искомая
масса газа:
3,43-5,66=19 г
В этом произведения верны лишь две первые цифры. Действи-
Действительно, истинное значение объема газа заключается между преде-
пределами 3,42 и 3,44 л, а истинное значение плотности — между 5,65
и 5,67 г!л. Поэтому истинное значение искомой массы газа находится
между пределами 3,42-5,65 и 3,44-5,67, т. е. между числами 19,3230
и 19,5048. Следовательно, найденное число действительно имеет
только две верные цифры, и нет смысла писать произведение
3,43-5,66 = 19,4138 со всеми знаками.
Пример. Найти газовую постоянную R с погрешностью, не пре-
превышающей 3%, пользуясь формулой PV = RT, если известно, что
при 0° С (Т = 273,15° К) и нормальном давлении (Р = 10 333 кПм2)
объем 1 кг воздуха равен 0,7733 м3.
Чтобы величина R имела погрешность не более 3%, ее достаточно
выразить числом с двумя верными знаками. Следовательно, точность
исходных величин (Р, V и Т) можно ограничить тремя верными
цифрами. Поэтому:
PV 10 300-0,773
273
= 29
Если относительная погрешность числа а равна б, то относитель-
относительная погрешность степени аа выразится суммой из п слагаемых,
каждое из которых равно б, т. е. произведением пб.
Если показатель степени п отрицателен, относительная погреш-
погрешность степени а" будет равна |и| б.
Извлечение корня n-й степени из числа а равносильно возведе-
возведению числа а в степень — . Поэтому погрешность корня равна —-б,
т. е. выражается частным от деления погрешности числа на пока-
показатель корня.
Так как возвышение в степень сильно уменьшает точность резуль-
результата, то измерение величин, которые при дальнейших вычислениях
возвышаются в степень, должно производиться с особой тщатель-
тщательностью. Наоборот, величины, из которых извлекаются корни, могут
быть взяты с меньшей точностью.
768
Пример. С какой относительной погрешностью и со сколькими
верными знаками следует определить длину стороны фильтрующей
поверхности плоского вакуум-фильтра квадратной формы, если
поверхность фильтрации должна быть равной S = 1,50 м?.
Искомая длина стороны фильтра I—\f S. Относительная по-
погрешность числа, выражающего площадь S, равна 6S= г— =
= 0,006.
Поэтому относительная погрешность искомого числа должна быть
не более:
с "В
0/ = -— =
0,006
= 0,003 ^ 0,3%
Так как первая значащая цифра числа / равна 1, т. е. Z = 1, то
число (Z + 1) б; = 2-0,003 = 0,006 < 10~г. Следовательно, длину I
следует взять с тремя верными знаками. Значит, I = у 1,50 =
= 1,22 м.
Если выразить величину I числом, содержащим только два вер-
верных знака, т. е. числами 1,2 или 1,3 м, то величина поверхности
фильтрации может колебаться в широких пределах, от 1,22 = 1,4 ж2
до 1,32 = 1,7 м2, что не соответствует заданному условию, согласно
которому этими пределами являются 1,49 и 1,51 мг. По этому усло-
условию истинное значение стороны квадратного фильтра должно лежать
между следующими пределами
V 1,49 = 1,220656 ... и Vl~51 = 1,228821 . . .
что доказывает достаточность трех знаков для выражения искомой
величины.
§ 4. ПОГРЕШНОСТЬ ФУНКЦИЙ
При отыскании какой-либо величины лишь в редких случаях
представляется возможным или практичным производить непосред-
непосредственное ее измерение; очень часто приходится измерять одну или
несколько других величин, находящихся в определенной законо-
закономерной связи с искомой величиной. Так/ при определении эквивалент-
эквивалентного веса натрия, вместо того, чтобы получать хлористый натрий
из взвешенных количеств натрия и хлора или разлагать навеску
NaCl на ее составные части, предпочитают определять количество
серебра, замещающее натрий, и затем уже, зная точный состав хло-
хлористого серебра, косвенным путем находить искомую величину.
При измерении сопротивления с помощью компенсационного
мостика находят искомую величину не прямо, а вычисляя ее из
отношения длин ветвей мостика. Измерение Силы тока с помощью
тангенс-бусоли не производится непосредственно, силу тока вычис-
вычисляют из тангенса угла отклонения и т. д.
Для нахождения погрешностей, имеющих место во всех этих
случаях, могут служить методы, изложенные в этой главе; они дают
49 Заказ 1706
769
указания для целесообразной постановки опытов и для критического
рассмотрения результатов.
Пусть у — искомая величина, а х — величина, полученная не-
непосредственным измерением; предположим, что у и х связаны зави-
зависимостью:
Если х является приближенным значением величины, точное
значение которой есть х + Ах, то разность | Ау\ = | / (Х+Ах) — f (x)\
равна абсолютной погрешности функции / (х).
Мы можем считать Ах малой величиной (иначе измерение не дости-
достигало бы цели) и поэтому вправе заменить приращение функции Ау
ее дифференциалом dy:
Если а есть предельная абсолютная погрешность аргумента,
то Ах г? а и Ау^ а; 1Х), где а f U) — предельная абсолютная по-
погрешность функции. Отсюда следует, что предельная абсолютная
погрешность функции приближенно равна произведению абсолютного
Значения ее производной на абсолютное значение погрешности
аргумента:
а/ ix) — I /' (х) • а | (9)
Относительная погрешность функции равна отношению ее абсо-
абсолютной погрешности к значению функции, т. е.
а/,
.== а
/' (х)
A0)
Формула A0) применяется очень часто при критическом сравне-
сравнении пригодности результатов, полученных различными путями.
Пример. При определении эквивалентного веса натрия найдено,
что х вес. частей хлористого натрия осаждаются в виде хлористого
серебра одной вес. частью серебра, находящегося в виде соли в рас-
растворе. Предположим, что нам заранее известны эквивалентные веса
серебра и хлора и что они равны соответственно А и В. В таком
случае эквивалентный вес натрия у получится из пропорции:
(у-\- В) : А = х: 1 или у — Ах — В
Относительная погрешность согласно формуле A0) будет:
А
«„=
или
f
f
(х)
(X)
А
а
а
=
Ах—В
В нашем примере
У + В 22,997 + 35,457
22,997
= 2,54
770.
Погрешность на 0,0001 в определении х дает для у погрешность
Приблизительно в 2,5 раза большую, т. е. 0,00025. Поэтому невы-
невыгодно, чтобы В было значительно больше у. В случае ВаС12, когда
137 36
у = —ф— (эквивалентный вес Ва), мы имеем
У + В
= 1,52
и, следовательно, тот же метод в случае осаждения серебром ВаС12
значительно точнее.
Пример. Предположим, что ко времени т химическое разложение
характеризуется значением х. В таком случае константа скорости
разложения у (обычно обозначаемая через К) будет представлена
в виде:
где т — время, соответствующее х; а ц> (х) — функция, зависящая
от природы протекающей реакции.
Чтобы найти у, нужно определить т и х, но в то время, как т
определяется настолько точно, что погрешности его определения
можно не принимать во внимание, определение х влечет за собой
обыкновенно очень заметную погрешность а (вследствие, например,
неточности, допускаемой при титровании). Поэтому:
— ср' (х) ¦ а
При большом ряде наблюдений значения а рассматриваются
обыкновенно как равные друг другу, и погрешности констант ско-
скорости реакции у, вычисленных из данных наблюдения, пропорци-
' () т
, а их вероятность пропорциональна
ональны , а их вероятность пропорциональна ,
Поэтому, чтобы получить точное значение у, недостаточно взять
среднюю из всех полученных г/, но нужно умножить каждое значе-
значение у на соответствующее ему , (т. е. «вес» одного наблюдения),
г
сложить эти произведения и разделить на сумму всех , .
Таким образом, получится формула:
ф' (х2)
+ ¦ ¦
При вычислении по этой формуле каждое отдельное измерение
подвергается оценке по степени его вероятности (значимости). Оче-
Очевидно, что в данном случае безразлично, вводим ли мы в вычисления
относительную погрешность ;
погрешность с^.
49*
= ^- или, что проще, абсолютную
771
Согласно A0) относительная погрешность растет, с одной стороны,
пропорционально абсолютной погрешности измерения а, а с другой
f (х)
стороны — пропорционально отношению -. ; . Следует стремиться
/ (х)
по возможности уменьшать оба множителя. Для а это достигается
_ /' (х)
большей точностью измерения, а для выбором условий опыта,
/ \х)
при которых значение этой величины достигает минимума. Но по-
последнее условие выполняется, когда
d
dx
f(x)
f{x)\>
Этому условию нужно по возможности удовлетворять, если нет
веских причин, устраняющих возможность его выполнения. Как
следует поступать в отдельных случаях, — видно из следующих
примеров.
Пример. Измерение сопротивления компенсационным мостиком.
Искомое сопротивление вычисляется по формуле:
где w — введенное сопротивление;
/ — длина мостика;
х — значение координаты контакта в положении, дающем нуле-
нулевой ток.
Имеем
i Г (х) _ i
A~ХJ' / (х) ' X A-Х)
и, наконец:
/' (*) =
Г
2х-1
\ f(x) J ' X*(l-XJ
Это выражение обращается в 0, когда х~ —. Поэтому одинаковая
ошибка установки (например, 0,1 мм) вызовет наименьшую по-
погрешность в конечном результате при установке на отсутствие тока
вблизи середины мостика, и это условие необходимо по возмож-
возможности выполнять, определяя величину сопротивления, введенного
в цепь для сравнения.
Пример. Измерение силы тока тангенс-бусолъю. Искомая сила
тока пропорциональна тангенсу угла отклонения х, т. е.
Здесь
/'(*) =
= f{x) = C tgx
f (х)
1
cos* х >
( г («) у
/ (х) sin х • cos x
sin2 x — cos2 x
sin* x. cos* as
772
Это выражение обращается в нуль, когда sin a; = cos x, т. е. для
угла в 45°. Следовательно, вблизи этого значения угла погрешности
измерения оказывают наименьшее влияние на конечный результат.
Пусть у = f (x, w, v,. . .) есть функция нескольких аргументов х,
w, v,. . .; абсолютная погрешность у выражается через погрешности
аргументов следующей формулой:
ду , ди ду
а относител ьная погрешность будет равна:
GCy 1 ду 1 ду 1 ду
У у у дх х у дш ^ у dv v''
Последняя формула дает возможность проанализировать влияние
погрешностей, получающихся при измерении каждой из величин х,
w, v. . ., причем в каждом отдельном случае нужно поступать, как
уже указано в двух предыдущих примерах. Но очень часто погреш-
погрешности, обусловленные aw, av,. . ., настолько незначительны по срав-
сравнению с влиянием а^., что ими можно пренебречь. Так, строго говоря,
у X
в примере с компенсационным мостиком в функции y — w __ x надо
считать неточными и w и I, так что
l 1 1
Эта формула вполне выясняет влияние погрешностей аргументов
на погрешность у. Величины w и I вообще определяются настолько
точно (калиброванием магазина сопротивлений и мостика), что их
можно считать установленными раз навсегда и на их погрешности
можно вовсе не обращать внимания.
То же самое относится и к примеру на стр. 771. Если не только х,
но и время т и начальная концентрация а (равная значению х при
т =0) заметно неверны, то
S/ (х, т, а)
df (х, X, a) df (x, х, а)
¦ az-\ а„
дХ
да
или, полагая у = — f (х, а):
1 S/ (х, а) , 1
дх
1 df (x, а)
7 да
Чтобы в данном случае иметь суждение о значимости погрешности
каждого отдельного определения, нужно знать погрешности с^,
а, и а..
Так как абсолютная погрешность аргумента равна произведению
его относительной погрешности на абсолютную величину аргумента,
а = бх |х|, то из формулы A0) имеем:
Г (х)
fy U) =
(И)
773
Отношение производной некоторой функции к самой этой функ-
функции равно производной логарифма этой функции
/' (х)
/И
d In / (х)
dx
= [In/(*)]'
ПОЭТОМУ1
din f{x)
dx
Итак, относительная погрешность функции равна произведению
абсолютного значения аргумента на производную логарифма функции
и на относительную погрешность аргумента.
Применим эту теорему для определения относительной погреш-
погрешности некоторых часто встречающихся функций.
а) Погрешность логарифмов. Пусть / (х) = In х. Согласно E)
-абсолютная погрешность логарифма:
a=\\nx\-bf{x)
Так как Aпх)'——, то, используя формулу (И), получим:
а = I In х I
1
х- In х
т. е. абсолютная погрешность натурального логарифма равна отно-
относительной погрешности числа.
Так как In а: = 2,303 lg x и lg x = 0,434 In x, то абсолютная
погрешность десятичного логарифма равна приблизительно половине
относительной погрешности числа.
Следует учитывать, что при пользовании таблицами десятичных
логарифмов числа будут определяться с относительной погреш-
погрешностью, равной —т^-, где п — число знаков мантиссы логарифмов,
приведенных в таблице. Так, при пользовании трехзначными табли-
таблицами логарифмов числа определяются с относительной погреш-
ностью в -ттрр т. е. с тремя верными знаками. Пятизначные таблицы
дают результат с пятью верными знаками. Поэтому, например, нет
смысла пользоваться пятизначными таблицами логарифмов для вы-
вычислений, в которых заданные числа имеют только три верных знака.
б) Погрешность тригонометрических функций. Пользуясь общей
формулой A1), нетрудно определить абсолютные погрешности три-
тригонометрических функций. Они равны:
astn д; = I cos ж | адг; асоз х = | sin x | ах
tttg х
A2)
Здесь ах — погрешность аргумента, т. е. угла х, выраженного
в радианах.
774
Так как sin x и cos x всегда меньше единицы, то из приведенных
формул следует, что абсолютная погрешность синуса и косинуса
меньше абсолютной погрешности их аргумента, а абсолютная по-
погрешность тангенса и котангенса больше абсолютной погрешности
аргумента. Поэтому, например, при нахождении угла по тангенсу
погрешность всегда меньше, чем при определении его по синусу.
Погрешность тангенса наиболее велика для углов, близких к пря-
прямому, так как для таких углов cos x очень мал; погрешность котан-
котангенса, наоборот, велика для малых углов, когда мало значение sin x.
Поэтому малые углы не следует вычислять по их котангенсу, а боль-
большие (близкие к 90°) — по тангенсу.
Из формул A2) следует, что
fsin *= |ctg з I a,; 6COS ^ =! tg x | ax и т. д.
Пример. Сравнить абсолютные погрешности определения угла,
близкого к 60°, при пользовании пятизначными таблицами логариф-
логарифмов синусов и логарифмов тангенсов.
Если / (х) — lg sin x, то, согласно (9):
IX)
* /' И 0,434 ctg х
При пользовании пятизначными таблицами af
= 0,000005;
ctg60o = J-|-. Поэтому ах = в-00000! = 0,00002 радиана.
0,434
Если / (х) = lg tg x, то
с^и, sinscoss 0,000005
0,434
0,434
VJ
-=0.000005 радиана =1"
Таким образом, при пользовании таблицами логарифмов танген-
тангенсов погрешность будет в 4 раза меньше, чем при пользовании табли-
таблицами логарифмов синусов.
в) Погрешность сложных вычислений. При сложных вычисле-
вычислениях, заключающихся в нескольких последовательных операциях,
например при вычислениях по формулам, обычно решается одна
из двух следующих основных задач. Или требуется определить
погрешность результата на основании известной точности исходных
величин, или, наоборот, при необходимости получить результат
с заданной точностью, определяется нужная точность исходных
данных. Решение этих задач основывается на использовании рас-
рассмотренных выше правил для элементарных математических опе-
операций:
а+b а
" а —6
«6 (а > Ь)
77»
i= I n I. a
a
"?7~ \*\
и т. д.
Исследовать точность вычислений необходимо лишь тогда, когда
имеются сомнения в возможности получения результата желаемой
степени точности. Обычно вполне достаточно вести вычисления
с числом знаков на один больше, чем их требуется в результате,
а затем округлять результат до нужного количества знаков. В тех-
технических расчетах очень часто приходится использовать эмпири-
эмпирические коэффициенты, точность которых весьма мала. При этом
вообще не имеет смысла вести вычисления больше, чем с двумя-тремя
знаками.
Пример. Вертикальный цилиндрический резервуар наполнен
жидкостью. Определить время, необходимое для опорожнения резер-
резервуара через круглое отверстие в днище.
Данные для расчета: диаметр резервуара Z> = l±0,01 м, высота
уровня жидкости Н = 2 ±0,02 м, диаметр отверстия в днище d =
= 0,03±0,001 м. Коэффициент расхода а = 0,61 ±0,02.
Расчет ведется по формуле:
X—
Определим прежде всего относительную погрешность резуль-
результата 6t и число верных знаков для т, которые можно получить при
данных условиях. Для этого вычисляем относительные погрешности
исходных величин:
0,01
ioo=i%; 6Н =
0,02
ioo=i%; 6d=
0,001
100=3,3%
100 = 3,3%
Примем значение g = 9,81 м!секг. Тогда 6g = 0,56 (см. стр. 760).
Численные множители 2, входящие в числитель и знаменатель
формулы, — точные числа и их погрешность равна нулю:
6Т = 2 • 1 + -| -1+3,3 + 2- 3,3 + -|- 0,56 = 12,68 я* 13%
При такой погрешности искомый результат в лучшем случав
может содержать одну верную цифру. Вычисление дает;
т=-
0,61 • 0.032 •
• 1200 сек = 20 мин
776
Ответ: т = 20 A ±0,13) мин или т=20±2,6 мин.
Итак, истинное время опорожнения резервуара находится в пре-
пределах от 17,4 до 22,6 мин. Разность этих пределов составляет более
5 мин. Поэтому нет смысла давать ответ в следующем виде
X =. ¦
0,61 • 0,032 . уг . 9,81
= 1164 сек
т. е. производить вычисление с точностью до 1 сек.
Пример, Найти погрешность вычисления объема газа при темпе-
температуре около 100° С по заданному его объему при 0° С. Вычисление
ведется по формуле:
VV( )
где
Уо —объем газа при 0° С;
t — температура газа, °С;
a = -=5—коэффициент объемного расширения газа.
Относительная погрешность результата вычисления по приведен-
приведенной формуле равна:
1 - • at
l + at
л-at
Так как бх = 0, а 6а, = 6a + 8t, то
at
= 6Fo+T+VF' + 6<) = 6^+a27F°
Допуская, что погрешности измерения Fo, а и t не превышают
1%, получим:
6^ = 1+0,27A
Пример. С какой точностью должны быть известны величины
Уо, а и t в предыдущем примере, чтобы погрешность вычисления
объема газа не превышала 1%?
При решении предыдущей задачи установлено, что
Если принять, что величины Уо, а и t измерены с одинаковой
погрешностью б, то
б?< 6+0,27 F+6)
или
6V< 1,546
Следовательно, для того чтобы бу было меньше 1%, достаточно,
чтобы погрешность исходных величин не превышала ^- =0,65%.
Пример. Вычислить теплоемкость твердого тела на основании
данных измерения по способу смешения, т. е. по формуле!
77»
где М — масса тела, Мг — масса воды, М2 — масса калориметра
с мешалкой, с — теплоемкость калориметра, Т — температура тела,
tQ — температура воды в калориметре до погружения тела, t —
окончательная температура воды.
Результаты измерения этих величин:
М = 165,4 ±0,1 г; Мг = 440,3 ± 0,2 г; М2 = 187,5 ± 0,1 г
с = 0,094 ±0,001; Г = 99,93±0,0049; to = llfi ±0,05°-; t = 14,6 ±0,05°
. _
fi _ 0,2 + 187,5-0,001 + 0,094-0,1 . 0,05 + 0,05 ,
Х / /Л О I Г\ ЛИ/ л Пгт'к 1 ,( / ? J . л
0,1
440,3+0,094-187,5
Приближенный подсчет дает
fi rxj °'4 I 0|1 I °'1
х 460 "¦ 3 "¦ 160
14,6 — 11,6 ' 165,4 ' 99,93—14,6
Т — t
¦ ШL + 0,05
"Т" OQ
0,05
= °'04 = 4/о
3 ' 160 ' 85
Таким образом, вычисление ж следует вести не более, чем с тремя
знаками, сохранив в окончательном результате не больше двух
знаков.
Вычисление дает:
г_ D40,3 + 0,094-187,5) A4,6-11,6) D40 + 17,7)-3 пппо
165,4(99,93 — 14,6) 165-85,3 '
Ответ: х = 0,098 A ± 0,04) - 0,098 ± 0,004.
Анализируя подсчет погрешности результата, видим, что для
ее уменьшения требуется увеличить точность измерения температуры
воды в калориметре.
Пример. При расчете абсорбционной колонны методом графиче-
графического интегрирования возникла необходимость вычислить площадь S
треугольника по двум сторонам и образованному ими углу, вели-
величины которых выражаются приближенными числами: а = 12 см,
Ь = 10 см, А =38°. Найти абсолютные погрешности, которые можно
допустить при измерении этих величин так, чтобы искомая площадь
была определена с точностью до 0,5 см2:
1 1
S = — ab sin A = — -12-10-sin38? «* 37 см*
6S = ба + бь + 6gin A = —- -|—-—\-o,A ctg A
где аа, аь и аА — абсолютные погрешности величин a, b и А.
Так как площадь должна быть определена с точностью до 0,5 см2,
то as < 0,5. Допуская, что относительные погрешности измеряемых
величин равны, получаем:
А 1 S
Г -4 — "§- 6S
•-^• = и,054сл
о]
1
ab < j¦
-= 0,045 см
л
38° =
= 12'
Таким образом, определение площади с указанной выше точ-
точностью требует измерения сторон треугольника с точностью
до 0,5 мм, а угла между ними — с точностью до 12' или 0,2°.
Пример. При определении сопротивления электролита с помощью
компенсационного мостика подвижной контакт передвигается по гра-
градуированной шкале до положения, при котором гальванометр пока-
показывает отсутствие тока. Сопротивление г вычисляется по формуле:
Rx
где R — известное сопротивление, включенное в цепь с помощью
магазина сопротивлений; а — длина градуированной шкалы, х —
расстояние от начала шкалы до подвижного контакта, при котором
погрешность определения сопротивления, являющаяся следствием
погрешности при измерении длины х, оказывается наименьшей.
Пользуясь формулой A0), имеем:
(—У
V а — х )
Rx
(а — х) х
Если погрешность с^ при измерении длины считать постоянной,
то относительная погрешность Ьг определяемого сопротивления будет
наименьшей, когда знаменатель (а — х) х имеет наибольшее значе-
значение. Этот знаменатель достигает наибольшего значения при х= -^.
Поэтому для получения наиболее точного результата сопротивле-
сопротивление R следует выбрать так, чтобы ток исчезал при положении кон-
контакта, возможно более близком к средине шкалы.
§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРИБЛИЖЕННЫХ ФОРМУЛ
При вычислении значений сложной функции часто заменяют
эту функцию другой, более простой, дающей искомый результат
с некоторой погрешностью. Эти приближенные формулы получаются
обычно путем разложения в ряд данной функции. В гл. XIII были
указаны некоторые важнейшие из этих формул. Приведем наиболее
часто встречающиеся приближенные формулы.
В этих формулах величины х и у — малые числа, и чем меньше
их абсолютные значения, тем меньше погрешность формулы:
A ± х)п = 1 ± пх
A3)
A4)
779
i — x
1-х
i-У
1-х
i + V
1
=l-x+y
¦=i—x—y
A5)
A6)
A7)
A8)
A9)
B0)
B1)
Формулы A4) —B1) следуют из A3). Из этой же формулы
следует, что если Ь <^ а (Ь значительно меньше а), те
B2)
B3)
B4)
„._„ ~~- B5)
Далее:
B6)
е*=1+ж; а* = 1 + ж1па B7)
Для весьма малых углов, величина которых х выражена в
рядианах
sina: = ;r; tgx=x\ cosa;=l
или, с меньшей погрешностью:
х3 х3 х2
6 * 3 • 2
Примеры вычислений по приближенным формулам*:
A3) 1,033* = A + 0,088L = 1 + 4 • 0,033 =1,132
A4) 1,033 • 0,98 = A + 0,038) A —0,02) = 1 + U.U33 — 0,02 = 1,01
B8)
B9)
* С левой стороны указан № формулы.
780
A5)
A6)
B1)
B2)
1
1
1,0033 1+0.0033
0,993 1—0,007
= 1—0,0033 = 0,9967
0,985 1 —0,015
\/Hm=Vi+0,033=1+
1-0,007+0,015=1,008
0,033
>/,85= (8-0,15) 3 =83 --g-'
=« 1,011
_2_
30,15 =
B4)
= 2—i--4-0,15= 1,988
3 4
1^629 = 1^252 + 4 = 25 + -j~
= 25.08
Пример. Вычислить площадь сечения кольцевого пространства
между цилиндрической стенкой контактного аппарата и расположен-
расположенной внутри катализаторной коробкой. Внутренний диаметр аппарата
D = 800 мм, наружный диаметр катализаторной коробки d ==
= 760 мм.
Искомая площадь может быть вычислена по формуле:
Однако, так как заданные численные значения D и d не являются
абсолютно точными, то погрешность результата будет меньше, если
преобразовать эту формулу так, чтобы избежать вычитания близких
чисел (см. § 3). Обозначим через а расстояние между наружной
стенкой катализаторной коробки и внутренней стенкой контактного
аппарата (а = 20 мм). Тогда D = d + 2а:
5=-^- [(d + 2aJ— ^2] = -v- Da2 + 4ad)=n (a^ + ad)
Т-ак как а значительно меньше d (a < 0,03d), то величиной а2
по сравнению с ad можно пренебречь. Поэтому
S = Kad= 3,14- 760-20 = 48- 103 мм*
Пример. Привести к 0° G показание ртутного барометра, равное
738 мм при 24° G. Коэффициент расширения латунной шкалы баро-
барометра а1 = 0,00002; коэффициент расширения ртути а2 = 0,00018.
Формула для подсчета h0 имеет вид:
Преобразуем эту формулу, пользуясь формулой B1):
ло = Ml + (ai — a2) t] =ht A — 0,00016*)
h0 = 738 A—0,00016 • 24) = 735 мм
781
Вычисление по непреобразованной формуле дает h0 = 735,178,
а по преобразованной h0 — 735,166. Так как погрешность h0, вы-
вычисленная, как указано в § 4, равна приблизительно 0,1%, то ре-
результат должен быть записан тремя значащими цифрами, т. е. h0 =
= 735. Следовательно, пользование приближенной формулой не дает
дополнительной погрешности.
Пример. Уровень жидкости в резервуаре измеряется рейкой.
Показание рейки 155 см. Найти относительную погрешность этого
измерения, допуская, что рейка может быть опущена в резервуар
не строго вертикально и что при этом нижний конец рейки на 10 см
отклоняется от точки, которую он занимает при вертикальном поло-
положении рейки.
Обозначим длину рейки (показание) h = 155 см, а отклонение
а = 10 см. Очевидно, что вследствие отклонения рейки от вертикаль-
вертикального положения результат измерения окажется больше истинного
значения высоты уровня жидкости. Абсолютная погрешность равна
разности между показанием рейки и фактической отметкой
уровня жидкости. Значение уровня может быть определено из прямо-
прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза h и один из кате-
катетов а.
Другой катет, определяющий фактический уровень, равен:
Пользуясь формулой B4), имеем:
а2
Следовательно, абсолютная погрешность есть -^т-, а поэтому
искомая относительная погрешность будет т^ж- Подставляя за-
заданные числовые значения, получим:
a* 1
2 • 1552
¦«=0,002 = 0,2%
Таким образом, эта погрешность, обусловленная не строгой вер-
вертикальностью рейки, оказывается меньше, чем погрешность самого
отсчета по рейке (если все знаки числа 155 верны, то его относитель-
относительная погрешность около 0,3%).
§ 6. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
При решении химико-технических задач, связанных, в частности,
с химической кинетикой, с обработкой экспериментальных данных
и др., нередко возникает необходимость решения различных урав-
уравнений. Точное решение некоторых уравнений с одним неизвестным,
в частности алгебраических уравнений высших степеней, предста-
782
вляет в ряде случаев большие трудности, а иногда и вообще невоз-
невозможно. В этих случаях можно воспользоваться способами прибли-
приближенных решений, получая результаты с точностью, удовлетворя-
удовлетворяющей поставленной задаче. Ниже рассматриваются три таких
способа — метод касательных (метод Ньютона), метод линейной ин-
интерполяции (regula falsi) и метод повторения (итерации). Любой
из них требует предварительной грубой оценки корней уравнения.
Пусть имеется уравнение / (х) = 0, причем / (х) — непрерывная
функция. Положим, что можно подобрать такие значения а и Ь,
при которых / (а) и / (Ь) имеют разные знаки, например / (а) > 0,
/ (Ь) >• 0. В таком случае существует по крайней мере один корень
уравнения / (х) = 0, находящийся между а и Ь. Суживая интервал
значений а и Ь, можно найти корень уравнения с требуемой точ-
точностью.
а) Графическое нахождение корней уравнения. Для решения
уравнения высших степеней очень удобно пользоваться графическим
методом. Пусть дано уравнение:
xn + axn-1 + bxn-*Jr . . . + pa:+д = 0
где a, b,. . ., р, q — заданные числа.
С геометрической точки зрения уравнение
представляет собой некоторую кривую; мы можем найти любое
число ее точек, вычисляя значения у, соответствующие произволь-
произвольным значениям х. Каждая точка пересечения кривой с осью ОХ дает
значение одного из корней данного уравнения. Поэтому нахождение
корней уравнения сводится к определению точек пересечения соот-
соответствующей кривой с осью ОХ.
б) Метод касательных. Рассмотрим сначала уравнение 3-й сте-
степени, например:
Уравнение соответствующей кривой будет:
Достаточно взять х = 10, чтобы хъ намного превосходило оба
следующих за ним члена; поэтому, если мы придадим х очень боль-
большое значение, хъ будет сильно превосходить эти члены и отсюда
можно заключить, что для положительных значений х, больших 10,
величины у также будут лежать над осью ОХ. Когда же х получает
большие отрицательные значения, то у — отрицательно и кривая
лежит под осью ОХ. Составим следующую табличку соответственных
значений х и у:
х=-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3
=-5; 7; 7; 1; -5; -5; 7
783
Из этих данных следует, что кривая пересекает ось ОХ между
точками х — 2 и х = 3, а также между а; = 0 и г = 1 и, наконец,
между х = —2 и х = —3, так как во всех этих случаях ордината
меняет свой знак.
Теперь попытаемся найти значения корня между 0 и 1. Полежим
а:=0,0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4
и определим соответствующие у:
у = 1; 0,301; —0,392 . . .
Отсюда мы заключаем, что значение корня находится между
0,1 и 0,2.
Очевидно, что можно продолжать такой прием и дальше, уточняя
значение корня, но, чтобы избежать необходимых для этого довольно
длинных вычислений, можно применить другой метод.
Предположим, что
=¦/(*)
кроме того, обозначим величину корня, лежащего между 0,1 и 0,2,
через ?, так, что:
Так как мы нашли, что корень лежит между 0,1 и 0,2, то можно
взять в качестве первого приближения число 0,1. Таким образом
где ах = 0,1 и hx — необходимая поправка.
Разложим функцию / (ах + hx) в ряд Тейлора по степеням hx:
f {Ч + hx) = / (ai) -Hi/' (ax) 4~|L /" (а{) + . . .
Так как все производные функции / (?), начиная с производной
четвертого порядка, равны нулю, то
(?)=/ («
/'" («i) = 0
Ограничиваясь линейным относительно hx представлением, мы
с некоторым приближением найдем
откуда
/(«i)
В рассматриваемом
откуда приближенно
784
1 Г Ы
нами случае
0,301
hl 6,97
Ьл = 0,043
т. е. новое приближенное значение корня равняется 0,1 -+- 0,043
= 0,143 = а%. Затем полагаем
и для приближенного нахождения h2 пользуемся формулой:
h /(Д2)
2 /' («2)
Отсюда для данного уравнения находим
. 0,001924 -род».,
h2~ 6,93865 ~а00028
что даст значение корня 0,14328.
Продолжаем поступать также, т. е. полагая
? = 0,14328 + ha = t
,_ /(»з).
находим:
/' («в)
= —0,0000026
Отсюда для искомого корня получаем следующее значение:
I =0,1432774. . .
Значение корня с точностью до 8 знаков равно:
г=0,14327732
Следовательно, использованный нами приближенный способ дал
результат, верный до шестого десятичного знака включительно.
Этот способ был предложен Ньютоном.
Как мы видели, этот способ сводится к следующему. Сначала
находят грубое, приближенное значение ах искомого корня х и на-
находят первую поправку hx по формуле:
/' («i)
Затем вычисляют более точное значение корня:
1 /' («1)
Далее, таким же способом может быть найдено еще более точ-
точное значение а3 и т. д., пока результат не будет отвечать требу-
требуемой степени точности.
И, вообще:
пп+1==ап /Ы
Заметим, что ряд последовательных приближений сходится, т. е.
корень х уравнения может быть найден с любой точностью, если
этот корень не кратный [т. е. f (z) =fi 0,], если первое приближенное
56 Заказ 1706 785
значение ах искомого корня мало отличается от истинного значения
корня и если, кроме того, / (ax) и /" (ах) имеют одинаковые знаки.
Пример. Требуется найти корень уравнения:
Составляем следующую табличку:
*= —2; —1; 0; 1; 2; 3; 4; 5
2/=-16; 1; 4;-1; -8; -И; -4; 19
Как видно, кривая пересекает ось ОХ между абсциссами —2
и —1, между 0 и 1 и между 4 и 5; поэтому между каждой парой этих
чисел заключается по одному корню уравнения.
fix)
X
Вычисляем корень, лежащий
между 4 и 5. Мы найдем
х= 4. 4,1; 4,2; 4,3
у=— 4; —2,510; —0,872; 0,497
корень лежит между 4,2 и 4,3.
За первое приближение примем:
ах = 4,25
Согласно формуле C0) най-
найдем первую поправку:
, __ /(«1) _
/'
Рис. XXV-1.
0,015625
18,1875
= —0,000859
Второе приближение к корню равняется:
а2 = 4,249141
Находим далее
/Ы
0,0000083933
18,172
= — 0,00000046 . . .
откуда
3 = 4,24914054
в) Метод линейной интерполяции. По способу линейной интер-
интерполяции приближенным значением корня уравнения / (х) == 0 будет:
=a —/(а)
Ь — а
flb)-f(a)
где а и Ь — грубые приближения, причем / (а) и / (?>) имеют разные
знаки. Геометрически способ линейной интерполяции равносилен
замене кривой у =*= / (х) хордой, соединяющей точки [a, f (a)]
и [b, f (b)] (рис. XXV-1), а способ Ньютона равносилен замене той же
дуги касательной.
786
Пример. Решить уравнение / (х) = х3 — 2х — 2 = 0 способом
линейной интерполяции.
Так как / A) = —3, а / B) = -\-2, то корень х находится между 1
и 2. Поэтому
2 — 1
}2-(-3)
«1=1,60;
Следовательно, искомый корень находится между 1,6 и 2. Сле-
Следующее приближение: • •
?2 = 174; /(га) =-0,212
Берем еще одно приближение к корню, лежащее между 1,74 и 2:
#3=1,74—( — 0,212)'
2-1,74
2 —(—0,212)
= 1,765
Так как / (а;3) = +0,020, то зто приближенное значение корня
дает достаточную точность решения уравнения.
г) Способ повторения (итерации). Этот способ заключается
в том, что подлежащее решению уравнение / (х) = 0 преобразуют
в новое уравнение х — ф (х) и, задаваясь первым приближением xlt
последовательно находят более точные приближения х2 = ф (а;1),
хз = Ф (xi) и т- Д- Решение может быть получено с любой степенью
точности, при условии, например, что в интервале между первым
приближением и корнем уравнения | ер' (ж) | < 1. Для выполнения
этого условия иногда требуется предварительное преобразование
уравнения, например замена его обратной функцией.
Пример. Найти решение уравнения / (х) = — — In х = 0 спосо-
о
бом повторения.
Из заданного уравнения находим х = 3 In x = ф (х).
Задаемся приближенным значением х1 = 4. Последовательно
находим!
ж2 = 31п4 =4,158; ж8 = 4,500
х3=3 In 4,158 = 4,275; х9 = 4,512
ж4 = 3 In 4,275 = 4,359: xlo = 4,521
хь = 3 In 4,359 = 4,416; хп = 4,527
ж6 = 4,455; *12 = 4,530
ж, = 4,482; ж13 = 4,533
хи = 4,533
В значении корня хи все знаки верные.
50*
787
д) Отделение корней. Не всегда удается легко определить пре-
пределы, между которыми лежат корни уравнения. Рассмотрим следу-
следующий пример.
Пр. Пусть дано уравнение:
Составляем табличку значений х и у\
х=0; 1; 2; 3 . . ,
у = Т, 1; 1; 13 ...
Соответствующая кривая
как выяснится дальше, пересекает ось ОХ в двух точках, лежащих
между точками с абсциссами х = 1 и х — 2, между тем из таблички
этого не видно. Из нее ясно лишь, что кривая достигает своего ми-
минимума между х = 1 и х = 2, но неизвестно, лежит ли этот минимум
выше или ниже оси ОХ. Чтобы выяснить этот вопрос, нужно вы-
вычислить минимум. Пользуясь методом, изложенным в гл. I, прирав-
приравниваем нулю первую производную
откуда:
f (х) =3*2-7 =
Нас интересует первое из этих значений:
Находим:
Так как уг отрицательно, то, значит, кривая, проходя под
осью ОХ, пересекает ее в двух точках между х = 1 и х = 2; следо-
следовательно, в этих пределах лежат два корня уравнения.
Перейдем теперь к их нахождению. Так как минимум лежит
близко к х = 1,5, то мы составляем следующую табличку:
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
У . . . 0,097 —0,056 —0,125 —0,104 0,013
Один корень лежит между 1,3 и 1,4, другой — между 1,6 и 1,7.
Вычислим второй из них, пользуясь уже знакомым нам методом
Ньютона:
/(z) = ?3-7*4-7
Г (х) =3*2 -7
783
Полагая 0^ = 1,7, найдем:
0,013
1,67
= —0,008
Первое приближение равняется 1,7 = 0,008 = 1,692. Дальней-
Дальнейший ход вычисления остается прежний.
е) Число действительных корней уравнения. Рассмотрим алгеб-
алгебраическое уравнение четвертой степени х* + а^ + а2ж2 + aix +
+ а0 = 0. Обозначим его левую часть через у. Если х — очень боль-
большое по абсолютной величине положительное или отрицательное
число, то у также делается очень большим числом, притом положи-
положительным, так как первый член х* становится значительно больше
остальных членов. Поэтому кривая, соответствующая этому уравне-
уравнению при больших положительных и отрицательных значениях х,
лежит над осью ОХ. Если же она пересекает эту ось и вследствие
этого переходит в область отрицательных значений у, то она необ-
необходимо должна пересечь ось ОХ в другом месте, чтобы опять попасть
в область положительных значений у, т. е. это уравнение имеет
или 4, или 2, или ни одного действительного корня. Это утверждение
справедливо для всех уравнений 4-й степени.
Иначе обстоит дело с уравнениями 3-й степени.
Выше было указано, что кривая
при больших положительных значениях х проходит над осью ОХ,
при больших отрицательных значениях х — под осью. Это проис-
происходит от преобладающего влияния х3, которое будет положительным
при положительном х и отрицательным при отрицательном х. Сле-
Следовательно, кривая неизбежно должна хоть раз пересечь ось ОХ.
Если же она пересекает ее больше одного раза, то она должна пере-
пересечь ее в 3 раза, т. е. рассматриваемое уравнение, как вообще всякое
уравнение 3-й степени, имеет 1 или 3 действительных корня.
Обобщая эти выводы, можно сказать, что уравнение нечетной
степени должно иметь один действительный корень или любое не-
нечетное число их; уравнение четной степени имеет всегда четное число
действительных корней или не имеет вовсе. Исключением будет
тот случай, когда кривая касается оси ОХ. Тогда в точке касания
совпадают две точки пересечения.
Из элементарной алгебры известно, что квадратное уравнение
имеет два корня, уравнение 3-й степени — три. В курсах высшей
алгебры доказывается, что всякое уравнение га-й степени имеет
п корней. Среди этих корней могут быть кратные и комплексные
корни.
Геометрически это означает, что кривая
789
+ . . . +px+g
пересекается с осью абсцисс не более, чем в п точках.
ж) Трансцендентные уравнения. Часто уравнение, составленное
в процессе решения той или иной технической задачи, оказывается
трансцендентным, т. е. содержащим логарифмы, тригонометрические
функции и др. При этом из условий задачи невозможно заранее
предвидеть, будет ли уравнение трансцендентным. Ниже приводится
задача, решение которой приводит к трансцендентному уравнению.
Пример. Гомогенное твердое тело, имеющее форму шара, рас-
растворяется в химически активной жидкости, причем на растворение
одного моля твердого вещества расходуется один моль растворителя.
Требуется составить уравнение для определения коэффициента ско-
скорости растворения твердого вещества.
Пусть г0 обозначает радиус шара в начале процесса при т = О,
а г — радиус этого же тела в момент времени т. Обозначим через V
объем 1 моль растворяемого вещества, через х — число молей ве-
вещества, растворившегося ко времени т, и через а — начальное число
молей растворителя.
Скорость растворения в момент т пропорциональна поверхности
фазового контакта S и количеству оставшегося к моменту т раство-
растворителя а — х. Так как объем шара равен — яг3, то объем х моль
О Л
растворившегося вещества равен Vx = --л (r30 — г3); откуда
V ° 4я )
Поверхность S шара к моменту т равна 4яг2 или
Скорость процесса растворения будет равна
dX
—
(a-x)
откуда
dx
-- ЫК di
» 4я ; (а
(здесь ,ЙС — коэффициент пропорциональности — искомый коэффи-
коэффициент скорости растворения).
Для интегрирования этого уравнения сделаем следующие под-
подстановки:
, . . 3F =6. а __bx=zz3
я0 — ай =
ao—z
dx = —-
790
Тогда получим:
dx
¦ = ЫКх
(ао — ЬхK (а~х)
Подставив принятые выше значения в подынтегральную функциюг
получим:
dz
= _!. Г dz I 1 T_if
"~ П2 J П — Z ~*~ «2 3 П2
i — z) (r$ + nz + zi)
Первый из этих интегралов равен jln(n—z). Второй ин-
интеграл преобразуем следующим образом:
1 Г 2z + п &_ 3 Г &
^=- + С
КЗ
Исходный интеграл оказывается, таким образом, равным:
Г dz _ 1 /rc2 4-rcz + :
J П» — Z3 П2 П — Z ' ]
Возвращаясь к старому переменному х, получим:
Т
Г (an — ab) 3 -\-(ап— ,
In
(a0 —
(ao — ab) 3 — (а0 —Ьж)
+ VI arctg
+ С =
Для определения постоянной интегрирования С следует перемен-
переменные величины взять при т = 0, т. е. положить х = 0 и г = г0.
Полученное нами уравнение относительно искомой величины К
не является трансцендентным. Я легко вычисляется, если входящие
в это уравнение буквы заменить их численными значениями. Но
если К задано и требуется определить х, то относительно х это урав-
уравнение трансцендентно, так как содержит х под знаками
трансцендентных функций — логарифма и арктангенса. Транс-
Трансцендентные уравнения решаются рассмотренными выше приближен-
приближенными способами.
ЛИТЕРАТУРА
А б е л ь с о н И. Б., Максимум и минимум, ОНТИ, 1935.
А р и с Р., Анализ процессов в химических реакторах, Изд. «Химия», 1967.
Батунер Л. М., Процессы и аппараты органического синтеза и биохими-
биохимической технологии, Изд. «Химия», 1966.
Батунер Л. М., Теория переходного режима в диффузионных аппаратах.
Адсорбция. Труды ЛХФИ, вып. IV, Госхимиздат, 1958.
Батунер Л. Ж., Гидродинамика пленочного аппарата для диазотирования,
Труды ЛХФИ, вып. IV, Госхимиздат, 1958.
Батунер Л. М., Горбачева Н. А., Моделирование ионообменных
фильтров, Труды ЛХФИ, вып. IV, Госхимиздат, 1958.
Батунер Л. М., Федоров К. С, Методы расчета промывки осадков,
Оборонгиз, 1939.
Безикович Я., Приближенные вычисления, Гостехиздат, 1949.
Бесков С. Д., Техно-химические расчеты, Госхимиздат, 1950.
Боев Г. П., Теория вероятностей, Гостехиздат, 1950.
Б р а й н е с Я. М., Подобие и моделирование в химической и нефтехимиче-
нефтехимической технологии, Гостоптехиздат, 1961.
Бронштейн Ж. Н., С е м е н д я е в К. А., Справочник по математике,
Гостехиздат, 1959.
Б о р е в и ч 3. И., Определители и матрицы, Изд. ЛГУ, 1965.
В а т с о н Д. М., Теория Бесселевых функций, ИЛ, 1949.
В е й л а с С, Химическая кинетика и расчеты промышленных реакторов,
Изд. «Химия», 1964.
Виньерон А., Обработка результатов физико-химических наблюдений,
ОНТИ, 1936.
Воскресенский К. Д., Сборник задач по теплопередаче, Госэнерго-
издат, 1951.
Г е л ь п е р и н Н. И., Выпарные аппараты, Госхимиздат, 1947.
Г е л ь п е р и н Н. И., Дистилляция и ректификация, Госхимиздат, 1947.
Г н е д е н к о Б. В., X и н ч и н А. Я., Элементарное введение в теорию
вероятностей, Гостехиздат, 1946.
Грей Э., Мэтьюз Г. Б., функции Бесселя и их приложения в физике
и механике, ИЛ, 1949.
Д и т к и н В. А., Прудников А. П., Справочник по операционному
исчислению, Высшая школа, 1965.
Додж Б. Ф., Химическая термодинамика в применении к химическим про-
процессам и химической технологии, ИЛ, 1950.
Жаворонков Н. М., Гидравлические основы скрубберного процесса
и теплопередача в скрубберах, «Советская наука», 1944.
3 е г ж д а А. П., Теория подобия и методика расчета гидротехнических моде-
, лей, Госстройиздат, 1938.
Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям,
ИЛ, 1951.
Калихман И. Л., Линейная алгебра и программирование, Изд. «Высшая
школа», 1967.
Карапетьянц М. X., Химическая термодинамика, Госхимиздат, 1953.
792
Карман Т., Б и о М., Математические методы в инженерном деле, Гостех-
яздат, 1948.
Каряелевич Ф. И., Садовский Л. Е., Элементы линейной ал-
алгебры и линейного программирования, Изд. Физматгиз, 1963.
Касаткин А. Г., Основные процессы и аппараты химической технологии,
Госхимиздат, 1955.
К а ф а р о в В. В., Процессы перемешивания в Жидких средах, Госхимиздат,
1949.
К а ф а р о в В. В., Основы массопередачи, Изд. «Высшая школа», 1962.
К и р п и ч е в М. В., Теория подобия, Изд. АН СССР, 1953.
Кирпияев М. В., Михеев М. А., Моделирование тепловых устройств,
Изд. АН СССР, 1936.
Крамере X., ВестертерпК., Химические реакторы, расчет и упра-
управление ими, Изд. «Химия», 1967.
Крылов А. Н., Лекции о приближенных вычислениях, Гостехиздат, 1954.
Кузнецов М. Д., Определение коэффициентов скорости абсорбции по ме-
методу подобия, ЖПХ, № 1 A948).
Кузьмин Р.О., Бесселевы функции, ОНТИ, 1935.
Левин В. И., Г р о с б е р г Ю. И., Дифференциальные уравнения мате-
математической физики, Гостехиздат, 1951.
Л е в и ч В. Г., Физико-химическая гидродинамика. Изд. АН СССР, 1952.
Лурье А. И., Операционное исчисление и его приложения к задачам меха-
механики, Гостехиздат, 1951.
Лурье М. Ю., Сушильное дело, Госэнергоиздат, 1948.
Лыков А. В., Теория теплопроводности, Гостехиздат, 1952.
Лыков А. В., Теория сушки, Госэнергоиздат, 1950.
Маркушевич А. И., Ряды, Гостехиздат, 1947.
Михеев М. А., Основы теплопередачи, Госэнергоиздат, 1949.
М и х е л ь с о н Н. С, Краткий курс высшей математики, Гостехиздат, 1950.
Островский Г. М., Волин Ю. М., Методы оптимизации химических
реакторов, Изд. «Химия», 1967.
Павлов К. Ф., Р о м а н к о в П. Г., Носков А. А., Примеры
и задачи по курсу процессов и аппаратов химической технологии, Изд.
«Химия», 1969.
Партингтон Д. Р., Высшая математика для химиков, ГНХТИ, 1930.
Пиаджио Г., Интегрирование дифференциальных уравнений, Гостехиз-
Гостехиздат, 1933.
Плановский А. Н., Специальная аппаратура промышленности органи-
органических полупродуктов и красителей, Госхимиздат, 1940.
П о з и н М. Е., Копы л ев Б. А., Бельченко Г. В., Те-
Терещенко Л. Я., Расчеты по технологии неорганических веществ,
Изд. «Химия», 1966.
Ра мм В. М., Абсорбция газов, Изд. «Химия», 1966.
Роберте С., Динамическое программирование в процессах химической
технологии и методы управления, Изд. «Мир», 1965.
Романков П. Г., Рашковская Н. Б., Сушка в кипящем слое,
Изд. «Химия», 1964.
Романков П. Г., Гидравлические процессы химической технологии,
Госхимиздат, 1948.
Романовский В. И., Элементарный курс математической статистики,
Госпланиздат, 1939.
Рыжик И. М., Градштейв И. С, Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведенпй, Гостехиздат, 1951.
Седов А. И., Методы подобия и размерностей в технике, Гостехиздат,
1954.
Семе нд я-ев К. А., Эмпирические формулы, Гостехиздат, 1933.
Скарборо Дж., Численные методы математического анализа, Гостех-
Гостехиздат, 1934.
Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. I, II, Гостехиздат, 1948,
т. III, 1949.
793
Daniels Г.,
— London,
D a v i e s 0. L.,
Справочник по математике для обогатителей, под ред. СИ. П о л ь к и н а,
Металлургиздат, 1951.
.Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, Гостехиздат, 1950.
Уиттекер Э., Робинсон Г., Математическая обработка результатов
наблюдений, Гостехиздат, 1933.
Федоров Н. Е., Аналитические расчеты сушильных установок, Изд.
«Пищевая промышленность», 1967.
,Фр'енкель И. 3., Гидравлика, Госэнергоиздат, 1947.
X а л ь д А., Математическая статистика для инженеров, ИЛ, 1956.
Э й г е н с о н Л. С, Моделирование, Промстройиздат, 1949.
Эмануэль Н. М., Кнорре Д. Г., Курс химической кинетики, Изд.
«Выси ая школа», 1962.
Яковлев К. П., Математическая обработка результатов измерений, Гостех-
Гостехиздат, 1953.
A m a d u г J., H a m m e s G. G., Chemical kinetics. Principles a. Selected
Topics, N. Y., 1966.
Mathematical Preoaration for Physical Chemistry, N. Y
1928.
Statistical Methods in Research and Production with Special
Reference to the Chemical Industry, London, 1949.
Denbigh K. G., The Principles of Chemical Equilibrium, N. Y., 1955.
Frost A. A., Pearson K. G., Kinetics a. Mechanism, N. Y., 1961.
Hitchcock F. L., Robinson C. S., Differential Equation in Applied
Chemistry, N. Y., 1936.
J e n s о n V. G., Jeffreys G. V., Mathematical Methods in Chemical
Engineering, London — N. Y., 1962.
К a s t e n P. R., Amundsen N. K., Ind. Eng. Chem., 44, 1704 A952).
Levenspiel 0., Cheirical Reaction Engineering, N. Y. — London, 1962.
M e 1 1 о r J. W., Higher Mathematics for Students of Chemistry and Physics,
N. Y., 1946.
Mickley H. S., Sherwood Т.К., Reed C.E., Applied Mathe-
Mathematics in Chemical Engineering, N. Y., 1957.
Munro W. D., Amundsen N. R., Ind. Eng. Chem., 43, 1481 A950).
S i r k H., Mathematik fiir Naturwissenschaftler und Chemiker, Dresden und
Leipzig, 1950.
Smith D. A., Chem. Eng. Progr., 45, 703 A949).
Stubbings G. W., Engineering Formulae, their Meaning and Derivation.
London, 1943.
Try ball R. E., Mass-Transfer Operations, N. Y., 1955.
Wan der Waerden, Mathematische Statistik, Berlin, 1957.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Таблица изображений и оригиналов некоторых функций *
формул
1
2
S
4
6
6
7
О
О
9
10
11
12
13
Изображение
а
Т
ге!
рп
рп
1
Р2
1
~ 2
Р
Р
Р + а
1
1
Р (Р + а)
Р2
ар
Р2
ар
Оригинал
f(t)
а
t
tn
rn
Г A-я)
1
/я7
2 VT
/i"
а
t 1 . е"а^
а д2 1 a2
cos а <
sin а <
cos h at
sin Л а?
i
Примечание
— постоянная
ге_— целое
число i=0
ГA — re) —
гамма-
функция
* Более полную таблицу см. в книге Б. А. Д и т к и н а, П. И, К У а а е ц о в а, справоч-
справочник по операционному исчезновению, 1951.
795
Продолжение
ПРИЛОЖЕНИЕ П
формул
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
796
Изображение
F(p> = ?./(<>
(р + а) (р + Ь)
Р2
Р (Р + а) (р + Ь)
1-е"
Оригинал
/С)
-at
a—b
ae-at—be-bt
a — b
e~bl cos at
e~bt sin at
te-<"
tn-ig-at
e~at (\— at)
t
la
sin at
-i— (sin at — a t cos at)
-i^3 at-
3a
at
3 sin V3
~V3 at jj
ab ' a (a — 6)
b(b — a)
2 У t
V.
n J
Примечание
Гамма-функция
X
1,00
1
2
3
4
1,05
6
7
8
9
1,10
1
. 2
CO.
4
1,15
6
7
8
9
1,20
1
2
3
4
t,25
Г (X)
1,00000
0,99433
0,98884
0,98335
0,97844
0,97350
0,96874
0,96415
0,95973
0,95546
0,95135
0,94740
0,94359
0,93993
0,93642
0,93304
0,92980
0,92670
0,92373
0,92089
0,91817
0,91558
0,91311
0,91075
0,90852
0,90640
X
1,25
6
7
8
9
1,30
1
2
3
4
1,35
6
7
8
9
1,40
1
2
3
4
1,45
6
7
8
9
1,50
Г (ж)
0,90640
0,90440
0,90250
0,90072
0,89904
0,89747
0,89600
0,89464
0,89338
0,89222
0,89115
0,89018
0,88931
0,88854
0,88785
0,88726
0,88676
0,88636
0,88604
0,88581
0,88566
0,88560
0,88563
0,88575
0,88595
0,88623
X
1,50
1
2
3
4
1,55
6
7
8
9
1,60
1
2
3
4
1,65
6
7
8
9
1,70
1
2
3
4
1,75
Г (х>
0,88623
0,88659
0,88704
0,88757
0,88818
0,88887
0,88964
0,89049
0,89142
0,89243
0,89352
0,89468
0,89592
0,89724
0,89864
0,90012
0,90167
0,90330
0,90500
0,90678
0,90864
0,91057
0,91258
0,91467
0,91683
0,91906
Л
1,75
6
7
8
9
1,80
1
2
3
4
1,85
6
7
8
9
1,90
1
2
3
4
1,95
6
7
8
9
2,00
Г (х)
0,91906
0,92137
0,92376
0,92623
0,92877
0,93138
0,93408
0,93685
0,93969
0,94261
0,94561
0,94869
0,95184
0,95507
0,95838
0,96177
0,96523
0,96877
0,97240
0,97610
0,97988
0,98374
0,98768
0,99171
0,99581
1,00000
797
ПРИЛОЖЕНИЕ 111
X
¦ 0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1.6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
Jo (ж)
+ 1,0000
0,9975
0,9900
0,9776
0,9604
+0,9385
0,9120
0,8812
0,8463
0,8075
+0,7652
0,7196
0,6711
0,6201
0,5669
+0,5118
0,4554
0,3980
0,3400
0,2818
+0,2239
0,1666
0,1104
0,0555
0,0025
—0,0484
0,0968
0,1424
0,1850
0,2243
—0,2601
0,2921
0,3202
0,3443
0,3643
—0,3801
0,3918
0,3992
0,4026
0,4018
-0,3971
0,3887
0,3766
0,3610
0,3423
—0,3205
0,2961
0,2693
0,2404
0,2097
Л (ж)
—0,0000
0,0499
0,0995
0,1483
0,1960
+0,2423
0,2867
0,3290
0,3688
0,4059
+0,4401
0,4709
0,4983
0,5220
0,5419
+0,5579
0,5699
0,5778
0,5815
0,5812
+0,5767
0,5683
0,5560
0,5399
0,5202
+0,4971
0,4708
0,4416
0,4097
0,3754
+0,3391
0,3009
0,2613
0,2207
0,1792
+0,1374
0,0955
0,0538
+0,0128
—0,0272
—0,0660
0,1033
0,1386
0,1719
0,2028
-0,2311
0,2566
0,2791
0,2985
0,3147
Бесселевы
Го (*)
— оо
— 1,5342
1,0811
0,8073
0,6060
-0,4445
0,3085
0,1907
—0,0868
+0,0056
+0,0883
0,1622
0,2281
0,2865
0,3379
+0,3824
0,4204
0,4520
0,4774
0,4968
+0,5104
0,5183
0,5208
0,5181
0,5104
+0,4981
0,4813
0,4605
0,4359
0,4079
+0,3768
0,3431
0,3070
0,2691
0,2296
+0,1890
0,1477
0,1061
0,0645
0,0234
—0,0169
0,0561
0,0937
0,1296
0,1633
-0,1947
0,2235
0,2494
0,2723
0,2920
функции
Yt (ж)
— оо
—6,4589
3,3238
2,2931
1,7809
-1,4715
0,2604
0,1032
0,9781
0,8731
—0,7812
0,6981
0,6211
0,5485
0,4791
—0,4123
0,3476
0,2847
0,2237
0,1644
—0,1070
-0,0517
+0,0015
0,0523
0,1005
+0,1490
0,1884
0,2276
0,2635
0,2959
+0,3247
0,3496
0,3707
0,3878
0,4010
+0,4102
0,4154
0,4167
0,4141
0,4078
+0,3979
0.3846
0,3680
0,3484
0,3260
-1-0,3010
0,2737
0,2445
0,2136
0,1812
П (ж)
+ 1,000
1,003
1,010
1,023
1,040
1,063
1,092
1,126
1,167
1,213
1,266
1,326
1,394
1,469
1,553
1,647
1,750
1,864
1,990
2,128
2,280
2,446
2,629
2,830
3,049
3,290
3,553
3,842
4,157
4,503
4,881
4,294
5,747
6,243
6,785
7,378
8,028
8,739
9,517
10,37
11,30
12,32
13,44
14,67
16,01
17,48
19,09
20,86
22,79
24,91
и (х)
0,0000
+0,0501
0,1005
0,1517
0,2040
0,2579
0,3137
0,3719
0,4329
0,4971
0,5652
0,6375
0,7147
0,7973
0,8861
0,9817
1,085
1,196
1,317
1,448
1,591
1,745
1,914
2,098
2,298
2 517
2,755
¦ 3,016
3,301
3,613
3,953
4,326
4,734
5,181
5,670
6,206
6,793
7,436
8,140
8,913
9,759
10,69
11,71
12,82
14,05
15,39
16,86
18,48
20,25
22,20
X
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
16
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
43
4,4
4,5
4,6
4,7
43
4,а
798
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5-,6
5,7
5,8
5,9
6,0
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,-7
7,8
7,9
8,0
8,1
8,2
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
10,0
J, (х>
-0,1776
0,1443
0,1103
0,0758
0,0412
—0,0068
+0,0270
0,0599
0,0917
0,1220
+0,1506
0,1773
0,2017
0,2238
0,2433
+0,2601
0,2740
0,2851
0,2931
0,2981
+0,3001
0,2991
¦ 0,2951
0,2882
0,2786
+0,2663
0,2516
0,2346
0,2154
0,1941
+0,1717
0,1475
0,1222
0,0960
0,0692
+0,0419
—0,0146
0,0125
0,0392
0,0653
—0,0903
0,1142
0,1367
0,1577
0,1768
—0,1939
0,2090
0,2218
0,2323
0,2403
—0,2459
J, (х)
—0,3276
о,з:т
0,3432
0,3460
0,3453
—0,3414
0,3343
0,3241
0,3110
0,2951
-0,2767
0,2559
0,2329
0,2081
0,1816
—0,1538
0,1250
0,0953
0,0652
0,0349
—0,0047
+0,0252
0,0543
0,0826
0,1096
+0,1352
0,1592
0,1813
0,2014
0,2192
+0,2346
0,2476
0,2580
0,2657
0,2708
+0,2731
0,2728
0,2697
0,2641
0,2559
+0,2453
0,2324
0,2174
0,2004
0,1816
+0,1613
0,1395
0,1166
0,0928
0,0684
+0,0435
Уо(х)
-0,3085
0,3216
0,3312
0,3374
0,3402
—0,3395
0,3354
0,3282
0,3177
0,3044
—0,2882
0,2694
0,2483
0,2251
0,1999
—0,1732
0,1452
0,1162
0,0864
0,0562
—0,0259
+0,0042
0,0338
0,0628
0,0907
+0,1173
0,1424
0,1658
0,1872
0,2065
+0,2235
0,2381
0,2501
0,2595
0,2662
+0,2702
0,2715
0,2700
0,2659
0,2592
4-0,2499
0,2383
0,2245
0,2086
0,1907
+0,1712
0,1502
0,1279
0,1045
0,0804
+0,0557
Yt (х)
+0,1479
0,1137
0,0792
0,0145
+0,0101
—0,0238
0,0568
0,0887
0,1192
0,1481
—0,1750
0,1998
0,2223
0,2422
0,2596
-0,2741
0,2857
0,2945
0,3002
0,3029
-0,3027
0,2995
0,2934
0,2846
0,2731
—0,2591
0,2428
0,2243
0,2039
0,1817
—0,1581
0,1331
0,1072
0,0806
0,0535
—0,0262
+0,0011
0,0280
0,0544
0,0799
+0,1043
0,1275
0,1491
0,1691
0,1871
+0,2032
0,2171
0,2287
0,2379
0,2447
+0,2490
7„(х)
27,24
29,79
32,58
35,65
39,01
42,69
46,74
51,17
56,04
61,38
67,23
73,66
80,72
88,46
96,96
106,3
116,5
127,8
140,1
153,7
168,6
185,0
202,9
222,7
244,4
268,2
294,3
323,1
354,7
389,4
427,6
469,5
515,6
566,3
621,9
683,2
750,5
824,4
905,8
995,2
1094
1202
1321
1451
1595
1753
1927
2119
2329
2561
2816
U (х)
24,34
26,68
29,25
32,08
35,18
38,59
42,33
46,44
50,95
55,90
61,34
67,32
73,89
81,10
89,03
97,73
107,3
117,8
129,4
142,1
156,0
171,4
188,3
206,8
227,2
249,6
274,2
301,3
331,1
363,9
399,9
439,5
483,0
531,0
583,7
641,6
705,4
775,5
852,7
937,5
1031
1134
1247
1371
1508
1658
1824
2006
2207
2428
2671
X
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
8,0
8,1
8,2
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
10,0
799
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
hr
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
9,8
9,9
1,0
1,1
1.2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
-,7
2,8
2,9
t,o
U
0
1,1284
1,1172
1,0841
1,0313
0,9615+
0,8788
0,7872
0,6913
0,5950
0,5020
0,4151
0,3365"
0,2673
0,2082
0,1589
0,1189
0,0872
0,0627
0,0442
0,0305+
0,0207
0,0137
0,0089
0,0057
0,0036
0,0022
0,0013
0,0008
0,0004
0,0003
0,0001
0,0001
Функция q
1
1283
1148
0797
0250
9538
8700
7778
6816
5855"
4930
4068
3291
2610
2028
1545+
1154
0845"
0606
0426
0294
0199
0132
0085+
0054
0034
0021
0012
0007
0004
0002
0001
0001
2
1279
1122
0751
0186
9459
8610
7683
6719
5760
4840
3987
3219
2547
1976
1502
1120
0818
0586
0411
0283
0191
0126
0082
0052
0032
0020
0012
0007
0004
0002
0001
0001
(hr) = -
3
1274
1095
0702
0120
9379
8520
7587
6622
5666
4752
3906
3147
2485+
1924
1460
1086
0892
0566
0396
0272
0183
0122
0078
0050
0031
0019
ООН
0007
0004
0002
0001
0001
z
4
1266
1065-
0652
0052
9298
8430
7491
6526
5572
4664
3826
3076
2425
1873
1419
1053
0766
0546
0382
0262
0.76
0116
0075"
0047
0029
0018
ООН
0006
0004
0002
• 0001
0001
h2r*
для
5
1256
1033
0600
9983
9215+
8338
7395+
6429
5479
4576
3747
3007
2365+
1824
1378
1021
0741
0528
0368
0252
0169
0111
0071
0045+
0028
0017
0010
0003
0003
0002
0001
0001
hr через 0,01 *
6
1243
0999
0546
9912
9132
8246
7299
6333
5386
4490
3668
2938
2307
1775"
1339
0990
0717
0510
0355"
0242
0162
0106
0068
0043
0027
0016
0010
0006
0003
0002
0001
0001
7
1229
0962
0490
9840
9047
8154
7203
6237
5293
4404
3591
2870
2249
1727
1300
0959
0694
0492
0342
0233
0155+
0102
0065+
0041
0025+
0015+
0009
0005+
0003
0002
0001
0000
8
1212
0924
0433
9767
8962
8060
7106
6141
5202
4319
3515"
2804
2192
1680
1262
0930
0671
0475"
0329
0224
0149
0097
0062
0039
0024
0015"
0009
0005
0003
0002
0001
0000
9
1193
0884
0374
9692
8875+
7967
7010
6045+
5110
4235"
3439
2738
2137
1634
1225"
0901
0549
0458
0317
0215+
0143
0093
0060
0037
0023
0014
0008
0005
0003
0001
0001
0000-
* Допустима линейная интерполяция.
800
ПРИЛОЖЕНИЕ V
2 С -
Функция Ф (Лг)=—у=- е v dt для Лг через 0,01 *
К я J
hr
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
0
0,00000
0,11246
1,22270
0,32863
0,42839
0,52050
0,60386
0,67780
0,74210
0,79691
0,84270
0,88020
0,91031
0,93401
0,95229
0,96611
0,97635
0,98379
0,98909
0,99279
0,99532
0,99702
0,99814
0,99886
0,99931
0,99959
0,99976
0,99987
0,99992
0,99996
0,99998
0,99999
0,99999
1
01128
12362
23352
33891
43797
52924
61168
68467
74800
80188
84681
88353
91296
93306
95385
96728
97721
98441
98952
99309
99552
99715
99822
99891
99935
99961
99978
99987
99993
99996
99998
99999
99999
2
02256
13476
24430
34913
47747
53790
61941
69143
75381
80677
85084
88679
91553
93807
95538
96841
97804
98500
98994
99338
99572
99728
99831
99897
99938
99963
99979
99988
99993
99996
99998
99999
99999
3
03384
14587
25502
35928
45689
54646
62705
69810
75952
81156
85478
88997
91805
94002
95686
96952
97884
98558
99035
99366
99591
99741
99839
99902
99941
99965
99980
99989
99994
99997
99998
99999
Далее, j
4
04511
15695
26570
36936
46623
55494
63459
70468
76514
81627
85865
89308
92051
94191
95830
97059
97962
98613
99074
99392
99609
99753
99846
99906
99944
99967
99981
99989
99994
99997
99998
99999
при hr =
5
05637
16800
27633
37938
47548
56332
64203
71116
77067
82089
86244
89612
92290
94376
95970
97162
98038
98667
99111
99418
99626
99764
99854
99911
99947
99969
99982
99990
99994
99997
99998
99999
6
06762
17901
28690
38933
48466
57162
64938
71754
77610
82542
86614
89910
92524
94556
96105
97263
98110
98719
99147
99443
99642
99775
99861
99915
99950
99971
99983
99991
99995
99997
99998
99999
7
07886
18999
29742
39921
49375
57982
65663
72382
78144
82987
86977
90200
92751
94731
96237
97360
98181
98769
99182
99466
99658
99785
90867
99920
99952
99972
99984
99991
99995
99997
99999
99999
= 3,23, Ф (hr) = 1,00000
8
09008
20094
30788
40901
50275
58792
66378
73001
78669
83423
87333
90484
92973
94902
96365
97455
98249
98817
99216
99489
99673
99795
99874
99924
99955
99974
99985
99992
99995
99998
99999
99999
9
10128
21184
31828
41874
51167
59594
67084
73610
79184
83851
87680
90761
93190
95067
96490
97546
98315
98864
99248
99511
99688
99805
99880
99928
99957
99975
99986
99992
99996
99998
99999
99999
* Линейная интерполяция допустима при hr> 1,5.
51 Закав 1706
801
ПРИЛОЖЕНИЕ VI
Критерий X2
Число
степеней
свободы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
р = 0,99
0,00015
0,02
0,11
0,29
0,55
0,87
1,23
1,64
2,08
2,55
3,05
3,57
4,10
4,66
5,22
5,81
6,40
7,01
7,63
8,26
8,89
9,54
10,19
10,85
11,52
12,19
12,87
13,56
14,25
14,95
0,98
0,0006
0,4
0,18
0,42
0,75
1,13
1,56
2,03
2,53
3,05
3,60
4,17
4,76
5,36
5,98
6,61
7,25
7,90
8,56
9,23
9,91
10,60
11,29
11,99
12,69
13,40
14,12
14,84
15,57
16,30
0,95
0,0039
0,10
0,35
0,71
1,14
1,63
2,16
2,73
3,32
3,94
4,57
5,22
5,89
6,57
7,26
7,96
8,67
9,89
10,11
10,85
11,59
12,33
13,09
13,84
14,61
15,37
16,15
16,92
17,70
18,49
0,90
0,015
0,21
0,58
1,06
1,61
2,20
2,83
3,49
4,16
4,86
5,57
6,30
7,04
7,79
8,54
9,81
10,08
10,86
11,65
12,44
13,24
14,04
14,84
15,65
16,47
17,29
18,11
18,93
19,76
20,59
0,80
0,064
0,44
1,00
1,64
2,34
3,07
3,82
4,59
5,38
6,17
6,98
7,80
8,63
9,46
10,30
11,15
12,00
12,85
13,71
14,57
15,44
16,31
17,18
18,06
18,94
19,82
20,70
21,58
22,47
23,36
0,20
1,64
3,21
4,64
5,98
7,28
8,55
9,80
11,03
12,24
13,44
14,63
15,81
16,98
18,15
19,31
20,46
21,61
22,76
23,90
25,03
26,17
27,30
28,42
29,55
30,67
31,79
32,91
34,02
35,13
36,25
0,10
2,70
4,60
6,25
7,77
9,23
10,64
12,01
13,36
14,68
15,98
17,27
18,54
19,81
21,06
22,30
23,54
24,76
25,98
27,20
28,41
29,61
30,81
32,00
33,19
34,38
35,56
36,74
37,91
39,08
40,25
0,05
3,84
5,99
7,81
9,48
1,07
12,59
14,06
15,50
16,91
18,30
19,67
21,02
22,36
23,68
24,99
26,29
27,58
28,86
30,14
31,41
32,67
33,92
35,17
36,41
37,65
38,88
40,11
41,33
42,55
43,77
0,02
5,41
7,82
9,83
11,66
13,38
15,03
16,62
18,16
19,67
21,16
22,61
24,05
25,47
26,87
28,25
29,63
30,99
32,34
33,68
35,02
36,34
37,65
38,96
40,27
41,56
42,85
44,14
45,41
46,69
47,96
0,01
6,63
9,21
1,34
3,27
5,08
16,81
18,47
20,09
21,66
23,20
24,72
26,21
27,68
29,14
30,57
32,00
33,40
34,80
36,19
37,56
38,93
40,28
41,63
42,98
44,31
45,64
46,96
48,27
49,58
50,89
802
Критерий Стьюдента
ПРИЛОЖЕНИЕ VU
Число
степеней
свободы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
оо
Р = 0,3
1,963
1,386
1,250
1,190
1,156
1,134
1,119
1,108
1,100
1,093 .
1,088
1,083
1,079
1,076
1,074
1,071
1,069
1,067
1,066
1,064
1,063
1,061
1,060
1,059
1,058
1,058
1,057
1,056
1,055
1,055
1,03643
0,2
3,078
1,886
1,638
1,533
1,476
1,440
1,415 •
1,397
1,383
1,372
1,363
1,356
1,350
1,345
1,341
1337
1,333
1,330
1,328
1,325
1,323
1,321
1,319
1,318
1,316
1,315
1,314
1,313
1,311
' 1,310
1,28155
0,1
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,796
1,782
1,771
1,761
1,753
1,746
1,740
1,734
1,729
1,725
1,721
1,717
1,714
1,711
1,708
1,706
1,703
1,701
1,699
1,697
1,64485
0,05
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,201
2,179
2,160
2,145
2,131
2,120
2,110
2,101
2,093
2,086
2,080
2,074
2,069
2,064
2,060
2,056
2,052
2,048
¦ 2,045
2,042
1,95996
0,02
31,821
6,965
4,541
3,747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,718
2,681
2,650
2,624
2,602
2,583
2,567
2,552
2,539
2,528
2,518
2,508
2,500
2,492
2,485
2,479
2,473
2,467
2,462
2,457
2,32634
0,01
63,657
9,925
5,841
4,604
4,032
3,707
3,499
3,355
3,250
3,169
3,106
3,055
3,012
2,977
2,947
2,921
2,898
2,878
Г.861
2,845
2,831
2,819
2,807
2,797
2,787
2,779
2,771
2,763
2,756
2,750
2,57582
51*
803
ПРИЛОЖЕНИЕ VIII
Число
степеней
свободы
ДЛЯ
меньшей
дисперсии
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
1
161
4052
18,51
98,49
10,13
34,12
7,71
21,20
6,61
16,26
5,99
13,74
5,59
12,25
5,32
11,26
5,12
10,56
4,96
10,04
4,75
9,33
4,60
8,86
4,49
8,53
4,41
8,28
2
200
4999
. 19,00
99,01
9,55
30,81
6,94
18,00
5,79
13,27
5,14
10,92
4,74
9,55
4,46
8,65
4,26
8,02
4,10
7,56
3,88
6,93
3,74
6,51
3,63
6,23
3,55
6,01
3
216
5403
19,16
99,17
9,28
29,46
6,59
16,69
5,41
12,06
4,76
9,78
4,35
8,45
4,07
7,59
3,86
6,99
3,71
6,55
3,49
5,95
3,34
5,56
3,24
5,29
3,16
5,09
4
225
5625
19,25
99,25
9,12
28,71
6,39
15,98
5,19
11,39
4,53
9,15
4,12
7,85
3,84
7,01
3,63
6,42
3,48
5,99
3,26
5,41
3,11
5,03
3,01
4,77
2,93
4,58
Критерий F для
[ уровней
Число степеней свободы
5
230
5764
19,30
99,30
9,01
28,24
6,26
15,52
5,05
10,97
4,39
8,75
3,97
7,46
3,69
6,63
3,48
.6,06
3,33
5,64
3,11
5,06
2,96
4,69
2,85
4,44
2,77
4,25
234
5859
19,33
99,33
8,94
27,91
6,16
15,21
4,95
10,67
4,28
8,47
3,87
7,19
3,58
6,37
3,37
5,80
3,22
5,39
3,00
4,82
2,85
4,46
2,74
4,20
2,66
4,01
7
237
5928
19,36
99,34
8,88
27,67
6,09
14,98
4,88
10,45
4,21
8,26
3,79
7,00
3,50
6,19
33
5,62
3,14
5,21
252
4,65
2,77
4,28
2,66
4,03
2,58
3,85
значимости 0,05 и 0,01
для большей дисперсии
8
239
5981
1937
99,36
8,84
27,49
6,04
14,80
4,82
10,27
4,15
8,10
3,73
6,84
3,44
6,03
3,23
5,47
3,07
5,06
2,85
4,50
2,70
4,14
2,59
3,89
2,51
3,71
9
241
6022
19,38
99,38
8,81
27,34
6,00
14,66
4,78
10,15
4,10
7,98
3,68
6,71
3,39
5,91
3,18
5,35
3,02
4,95
2,80
4,39
2,65
4,03
•2,54
3,78
2,46
3,60
10
242
6056
19,39
99,40
8,78
27,23
5,96
14,54
4,74
10,05
4,06
7,87.
3,63
6,62
3,34
5,82
3,13
5,26
2,97
4,85
2,76
4,30
2,60
3,94
ч
2,49
3,69
2,41
3,51
12
244
6106
19,41
99,42
8,74
27,05
5,91
14,37
4,68
9,89
4,0Э
7,72
3,57
6,47
3,28
5,67
3,07
5,11
2,91
4,71
2,69
4,16
2,53
3,80
2,42
3,55
2,34
3,37
16
246
6169
19,43
99,44
8,69
26,83
5,84
14,15
4,60
9,68
3,92
7,52
3,49
6,27
3,20
5,48
2,98
4,92
2,82
4,52
2,60
3,98
2,44
3,62
2,33
3,37
2,25
3,19
24
249
6234
19,45
99,46
8,64
26,60
5,77
13,93
4,53
9,47
3,84
7,31
3,41
6,07
3,12
5,28
2,90
4,73
2,74
4,33
2,50
3,78
2,35
3,43
2,24
3,18
2,15
3,00
40
251
6286
19,47
99,48
8,60
26,41
5,71
13,74
4,46
9,29
3,77
7,14
3,34
5,90
3,05
5,11
2,82
4,56
2,67
4,17
2,42
3,61
2,27
3,26
2,16
3,01
2,07
2,83
100
253
6334
19,49
99,49
8,56
26,23
5,66
13,57
4,40
9,13
3,71
6,99
3,28
5,75
2,98
4,96
2,76
4,41
2,59
4,01
2,35
3,46
2,19
3,11
2,07
2,86
1,98
2,68
СО
254
6366
19.50
99,50
8,53
26,12
5,63
13,46-
4,3&
9,02
3,67
'6,88
3,23
5,65
2,93
4,86
2,71
4,31
2,54
3,91
2,30
3,3&
2,13
3,00
2,01
2,75
1,92
804
805
Графики формул и приемы их выравнивания
ПРИЛОЖЕНИЕ IX
Типичные кривые
Формула
Способы выравнивания
Линейные
уравнения,
получаемые
при выравнивании
Примечания
у
(график дан
для а = const)
X=\gx
= lga+bX
II
у = аеЬх
(график дан
для а = const)
III
У =
a-\-bx
g +
+ 0,43436a;'
IV
x
a-\-bx
V
y=c-\-axb
Если b известно:
Если Ь неизвестно,
находят с (см. примеча-
примечание) и тогда
Х=\ах
r lte)
= lga-\-bX
Кривые, аналогичные кривым
формулы I, но смещенные в на-
направлении оси OY.
Для определения с на заданной
кривой берут две точки с произ-
произвольными абсциссами х\ и а;2
и соответственными ординатами
Ух и у2 и третью точку с абсцис-
абсциссой х3 = VxiX2 и ординатой у$;
У1У2—У3
°
VI
у — с-\-аеЬх
(график дан для
с = const и а<0)
Находят с (см. приме-
примечание) и тогда
Y = lg(y-c)
y = lga +
+ 0,43436а;
Кривые, аналогичные кривым
формулы II, но смещенные в на-
направлении оси OY. Для опреде-
определения с на заданной кривой бе-
берут две точки с произвольными
абсциссами х\ и а;2 и соответствен-
соответственными ординатами у\ и у2 и третью
\
точку с абсциссой х3 =
У1У2—У3
и ординатой ад «
Продолжение приложения IX
Типичные кривые
Формула
Способы выравнивания
Линейные
уравнения,
получаемые
при выравнивании
Примечания
VII
У—У1
x — X\
где хх и уг— координаты
произвольной точки за-
заданной кривой.
При выборе значений
х, образующих арифме-
арифметическую прогрессию с
разностью h,
После определения бис нахо-
находят а из уравнения
где и—число заданных значе-
значений х
(+
-\-%chx
у.
VIII
c + dx
У—У1
где xi и у\ —координаты
произвольной точки за-
заданной кривой
Вместо коэффициентов а, Ъ, с
и d определяют А и В и пред-
представляют эмпирическую формулу
, X — Хл
в виде y = i
IX
Введением новой переменной
' = уг приходят к формуле VII
= аеЬх+сх2
или
g^g +
+ 0,43436а;+
+ 0,4343са;2
Введением новой переменной
= lgy приходят к формуле VII
XI
У = -
Введением новой переменной
= — приходят к формуле VII
XII
а + Ъх
Введением новой переменной
= — приходят к формуле VII
XIII
, b
Введением новой переменной
Z=— приходят к формуле VII
00
о
Типичные кривые
У
0
У
0
У*
0
\
1 X
X
\
Формула
XIV
y = a + b\gx +
+ С Ig2 х
XV
у = ахъесх
XVI
у=аеЪхе
(график дан для
Ъ<0)
Способы выравнивания
При выборе значений
х, образующих арифме-
арифметическую прогрессию с
разностью h,
X = Mgx
Y-Mgy
1 1
Линейные уравне-
уравнения, получаемые
при выравнивании
У=0,ШЗкс-\-ЬХ
Продолжение приложения IX
Примечания
Введением новой переменной
Z = lg х приходят к формуле VII
После определения Ь и с нахо-
находят а из уравнения
'?lgy = nlgti + b'2ilgx +
+ 0,4343с 2 ж.
где п—число заданных значе-
значений X
Введением новой переменной
2 = lg у приходят к формуле V
* У
XVII
Введением новой переменной
— Ygy приходят к формуле VI
pdx
XVIII
у = аеЪх -\- се1
(график дан для
6<0 и d<0)
При выборе значений
х, образующих арифме-
арифметическую прогрессию с
разностью h,
у_ У1
У '
-у У 2
~'
где у,у\ и уг — ординаты
точек кривой для ка-
каких-либо трех последо-
последовательных значений
абсцисс х, xi и ж2
еЬп . edh
Приведенное в предыдущей
графе линейное уравнение позво-
позволяет определить коэффициенты
bud, после чего для определе-
определения а и с вновь производят вы-
выравнивание с помощью переменных
получая линейное уравнение
Y'=e+aX'
XIX
у = а + bx + cedx
(график дан для
а = const и
6 = const)
При выборе значений
х, образующих арифме-
арифметическую прогрессию с
разностью h,
g )
+ 0,4343Аг
После определения коэффици-
коэффициентов с vi d производят новое
выравнивание, принимая
Y' — y~ cedx
и получая линейное уравнение
Y' = a + bx,
из которого определяют а а. Ь
ass.
§
о
и о
Шь |§
°1
« Я §
III
Г
НН « И со
X
m И
o «
6
N
&
' (D ^ Ш С1н
^ S-e- «в
Г а й о ^
, Я Ч В о м
sligvgEll
X
s S
sb §
¦g s w «
+1
о
vo
о
А О
-i§Jf Se
ев
5 со
+
+
не
e
+
+
N Л W И Ы в
ш| о a ft о s
ЕВ И §*© v о-
« 51 : +
X + + е
X о« 1
a
п со
S ев
ftft
la
От
о
ПЕРЕВОД НЕКОТОРЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ И ДРУГИХ ЕДИНИЦ
В ЕДИНИЦЫ СИ
Сила 1 к/1 = 9,81 н
кГ н
1 —^=1 мм вод. ст. =9,81 -^г
Давление, напряжение . . .
1 ат = 9,81-104-^- = 98,1-^-
Динамический коэффициент
вязкости
Работа, энергия, количество
теплоты
Поверхностное натяжение
Энтальпия
Теплоемкость
Мощность
Теплопроводность
Коэффициент теплопередачи
1 спа — i- Ю
н ¦ сек
1 ^-^ = 9,81 дж
= 4,1868-103 5яс = 4,1868
л»2 л»2
, дин-см дж
1 J 1U
=4,19
кг
кдж
{__ккал
кг ¦ град кг ¦
1 'М =9,81 вт
сек
1 л. с. = 736 вт
ккал , ,„ 1
1 .. 1ИС*4_.3=1,16
1
м • ч ¦град ' м¦ град
вт
= 1,16-
м2¦ч • град ' м2¦град
812
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к пятому изданию . . .
Из предисловия к первому изданию
Глава I
Дифференцирование
§ 1. Производная •. б
§ 2. Производные элементарных функций 9
§ 3. Дифференциал 14
§ 4. Производные высших порядков 17
§ 5. Графическое дифференцирование 17
§ 6. Частные производные 18
§ 7. Коэффициенты плоскостного и объемного расширений 19
§ 8. Максимум и минимум функции 21
§ 9. Нахождение оптимального промежуточного давления при двух-
двухступенчатом сжатии газа 22
§ 10. Задача об экстракции уксусной кислоты 23
§ 11. Нахождение максимальной скорости окисления окиси азота ... 24
§ 12. Случай, когда в газовой смеси содержатся посторонние компоненты 25
§ 13. Нахождение максимальной скорости окисления при смешении газа
с воздухом 26
§ 14. Задача о наивыгоднейшей форме сосуда 27
§ 15. Задача об изготовлении конусообразного фильтра 28
§16.0 минимальном расходе материалов при изготовлении реакционных
аппаратов 30
§ 17. Максимальная освещенность для фотохимических процессов ... 31
§ 18. Раскрытие неопределенностей 32
§ 19. Задача из расчетной практики по абсорбции 32
Г л а в а II
Интегрирование
§ 1. Две задачи, приводящие к интегралам 33
§ 2. Неопределенные интегралы 35
§ 3. Форма поверхности жидкости в сепарирующей центрифуге ... 41
§ 4. Задача об истечении жидкости из сосуда 44
§ 5. Интегрирование некоторых рациональных дробей 47
§ . 6. Химическая динамика процессов ионизации 49
§ 7. Кинетика автокаталитических реакций 50
§ 8. Потеря тепла в окружающую среду 51
814
§ 9. Определенный интеграл 54
§ 10. Связь между определенным и неопределенным интегралами ... 55
§11. Задача о нагревании 57
§ 12. Истечение газов и паров из отверстий 57
§ 13. Константы скорости химических реакций 60
§ 14. Свойства определенных интегралов 64
§ 15. Среднее значение функции 65
§16. Средняя скорость реакции 67
§ 17. Средняя теплоемкость бензина 68
§ 18. Графическое интегрирование . . . . ¦ 68
§ 19. Абсорбция хлора из воздуха раствором едкого натра (химическая
абсорбция) 70
§ 20. Определение количества масла, протекающего в трубопроводе 73
§ 21. Приближенное вычисление определенных интегралов 74
§ 22. Кинетика адиабатных химических реакций . 75
Глава III
Приложения интегрального исчисления
§ 1. Процессы первого порядка 78
а) Радиоактивный распад 78
б) Средняя продолжительность существования атома радиоактив-
радиоактивного вещества 79
в) Изменение концентрации раствора 79
г) Определение константы скорости реакции гидролиза двубром-
янтарной кислоты 80
д) Задача о вентиляции цеха 81
е) Закон охлаждения тела 82
ж) Задача о барометрическом давлении 83
з) Кинетика сушки 85
§ 2. Процессы второго и третьего порядка 87
а) Установление порядка реакции 88
б) Реакции второго порядка в случае эквивалентного количества
веществ 89
в) Экстракция серы кипящим бензолом 90
г) Продолжительность реакции третьего порядка 91
д) Экстракция горячего плава в тонком слое 92
§ 3. Одновременные процессы. Параллельные реакции 96
а) Определение констант скорости реакции радиоактивного рас-
распада 96
б) Определение констант скорости реакции образования динитро-
бензола, 98
в) Истечение воды из цилиндрического резервуара 99
§ 4. Обратимые процессы ЮЗ
а) Образование уксусноэтилового эфира 104
б) Реакции окиси углерода 106
§ 5. Задача о растворении соли 108
§ 6. Определение констант скорости реакции дифенилхлорметана
с этиловым спиртом 109
§ 7. Обратимые реакции Ш
§ 8. Последовательные процессы ' 116
§ 9. Последовательные и одновременно протекающие реакции .... 118
§ 10. Процессы смешанного типа. Получение водяного газа 125
§ 11. Термокинетика химических процессов. Реакция первого порядка 127
§ 12. Термокинетика химических процессов. Реакция второго порядка 129
815
§ 13. Термокинетика химических процессов. Реакция сложного харак-
характера. Каталитическое разложение сернокислой соли о-метоксифе-
нилдиазония 132
§ 14. Определение длины трубчатого реакционного аппарата 137
§ 15. Высота (длина) контактных экстракторов 141
§ 16. Фильтрование суспензий 147
§ 17. Кинетика периодической сушки твердых тел 158
Глава IV
Составление дифференциальных уравнений
§ 1. Процесс взаимодействия двух потоков 162
§ 2. Общие сведения о дифференциальных уравнениях 165
§ 3. Материальный баланс процесса простой перегонки 166
§ 4. Энергетический баланс 168
§ 5. Выпаривание в неустановившемся состоянии 171
§ 6. Непрерывный процесс ионного обмена 173
§ 7. Распространение тепла в стержне 176
§ 8. Экстракция в шнековых (винтовых) аппаратах 178
§ 9. Определение потери бензола при его хранении в сосуде, сообща-
сообщающемся с атмосферой 181
§ 10. Общие уравнения для химических реакций в гомогенной среде 183
§ 11. Система обратимых реакций, протекающих при постоянном объеме 185
§ 12. Реакция при непрерывном транспортировании взаимодействующих
веществ под постоянным давлением 186
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Глава V
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Разделение переменных. Уравнения однородные и приводимые
с однородным . 190
а) Разделение переменных 190
б) Однородные уравнения 191
в) Уравнения первого порядка и первой степени с линейными
коэффициентами 192
Процесс хлорирования органических соединений 193
Расход реагента при максимальном выходе целевого продукта
в сложных реакциях 196
Непрерывный процесс гидролиза твердого жира в распылительной
колонне 198
Уравнения в полных дифференциалах 202
Линейные уравнения первого порядка 222
Некоторые типы уравнений второго порядка 205
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка .... 206
Уравнения с постоянными коэффициентами 208
Движение жидкости в капиллярах 211
Уравнение, определяющее состав системы, в которой протекают две
последовательные реакции 213
Распространение тепла в стержне 215
Решение уравнения для обратимых реакций, протекающих при
постоянном объеме 217
Осаждение твердых частиц в жидкости 218
Скорость осаждения твердых частиц в суспензии 219
Приближенное решение дифференциальных уравнений 221
Химическая реакция с диффузией в трубчатом реакторе 225
816
Глава VI
Математическое моделирование химической кинетики
228
Глава VII
Определители и матрицы
§ 1. Определители и миноры 235
§ 2. Расчет нитрующих смесей 238
§ 3. Давление пара хлористого метилена 240
§ 4. Кинетика последовательно-параллельных химических реакций
первого порядка 242
§ 5. Понятие о матрице 246
§ 6. Определение кратности массообмена в ректификационных аппаратах 248
Глава VIII
Линейное программирование в химической технике
§ 1. Основные свойства определителей 254
§ 2. Определители нетвертого порядка и решение систем четырех уравне-
уравнений с четырьмя неизвестными 257
§ 3. Определители и системы n-го порядка 260
§ 4. Линейное преобразование 263
§ 5. Обратная матрица 264
§ 6. Математическое решение уравнения материального баланса в про-
производственном планировании 268
Глава IX
Метод конечных разностей и его применение
в теории химико-диффузионных процессов
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
§ 5.
§ 6.
§ 7.
§ 8.
§ 9.
§ Ю.
§ И.
§ 12,
§ 13,
Конечные разности 274
Разностные таблицы г 275
Оператор Е 276
Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами 277
Противоточная экстракция жидкостей 278
Физико-химический процесс в системе последовательно располо-
расположенных реакционных аппаратов 280
Определение числа тарелок (ступеней массообмена) в абсорбцион-
абсорбционных колоннах 282
Химическая абсорбция и десорбция в тарельчатой колонне . . . 284
Химические реакции, идущие последовательно в батарее реакторов 287
Процесс гидролиза животного жира с последующей экстракцией
в распылительной колонне 290
Нелинейные уравнения в конечных разностях 292
Графическое решение 292
Аналитическое решение 295
Ректификация бинарной смеси в тарельчатой колонне 298
Дифференциально-разностные уравнения 300
817
Глава X
Операционное исчисление
§ 1. Основные понятия — 306
§ 2. Преобразование производных 307
§ 3. Общий случай решения линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами 309
§ 4. Нахождение изображений некоторых элементарных функций . . 311
§ 5. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами 314
§ 6. Приложения операционного исчисления 316
§ 7. Диффузия, сопровождающаяся химической реакцией 319
§ 8. Растворение соли в бассейнах . . 321
§ 9. Вывод уравнения коэффициента абсорбции 323
§ 10. Теория переходного режима в диффузионных аппаратах. Адсорб-
Адсорбция 325
§ 11. Адсорбция влаги из воздуха силикагелем 331
§ 12. Рекуперационная установка для бензола 334
§ 13. Синтез хлористого винила 335
Глава XI
Элементы векторного анализа
§ 1. Понятие о скаляре и векторе. Сложение, вычитание векторов
и умножение вектора на скаляр 339
§ 2. Скалярное произведение двух векторов 341
§ 3. Векторное произведение двух векторов 342
§ 4. Произведения трех векторов 343
§ 5. Дифференцирование вектора по скалярному аргументу 344
§ 6. Скалярное поле. Градиент , 345
§ 7. Векторное поле. Дивергенция. Вихрь 346
§ 8. Уравнения гидродинамики 350
§ 9. Уравнение теплопроводности и диффузии 352
Глава XII
Дифференцирование функций нескольких переменных и его применение
в химической термодинамике
§ 1. Частные производные и дифференциалы. Полный дифференциал . 354
§ 2. Дифференцирование сложных функций 356
§ 3. Переход от прямоугольной к цилиндрической системе координат 363
§ 4. Дифференцирование неявных функций 365
§ 5. Уравнение состояния однокомпонентных систем 366
§ 6. Дифференцирование определенных интегралов по параметру . . . 367
§ 7. Полные дифференциалы в термодинамике 368
§ 8. Преобразование независимых переменных в термодинамических
системах 372
§ 9. Соотношения между термодинамическими функциями и их произ-
производными для однокомпонентных однофазных систем 373
§ 10. Вывод соотношений между первыми производными для термодина-
термодинамических величин . 376
818
Глава XIII
Ряды
§1. Исследование промывки осадка 386
§ 2. Сходимость рядов 387
§ 3. Основные действия с рядами 389
§ 4. Степенные ряды 390
§ 5. Применение рядов к решению обыкновенных дифференциальных
уравнений 393
§ 6. Пропорциональный расходомер со свободным сливом 395
§ 7, Тригонометрические ряды 397
Глава XIV
Гиперболические функции
§ 1. Определение основных гиперболических функций 402
§ 2. Дополнительные формулы 404
§ 3. Осаждение твердых частиц в жидкости 406
§ 4. Задача о капиллярности 407
§ 5. Критическая угловая скорость вращения центрифуги 411
§ 6. Определение константы ионизации газов 413
Глава XV
Эллиптические интегралы и функции
§ 1. Спрямление эллипса 416
§ 2. Эллиптический интеграл первого рода 418
§ 3. Эллиптические интегралы второго и третьего рода 422
§ 4. Эллиптические функции 423
§ 5. Явление капиллярности между двумя параллельными вертикаль-
вертикальными стенками 424
§ 6. Напряженность электрического поля при кольцевом токе .... 427
1. Точка Р внутри круга . . 427
2. Точка Р вне круга 429
Глава XVI
Бесселевы функции и их применение
§ 1. Дифференциальное уравнение Бесселя 431
§ 2. Решение дифференциального уравнения Бесселя с помощью рядов 432
§ 3. Функция Бесселя порядка п второго рода 434
§ 4. Эквивалентные формы дифференциального уравнения Бесселя^ 435
§ 5. Бесселевы функции мнимого аргумента " 436
§ 6. Рекуррентные формулы для /„ (х) 436
§ 7. Бесселевы функции /„ (х), индекс которых равен целому с полови-
половиной 438
§ 8. Разложение функций в ряды по функциям Бесселя 439
§ 9. Теплопроводность в клиновидном стержне 442
§ 10. Потеря тепла через стенку печи 444
§ 11. Цилиндрическое фильтрование 446
819
Глава XVII
§ 10.
§ И.
§ 12.
§ 13.
§ 14.
§ 15.
Дифференциальные уравнения с частными производными
Простейшие примеры уравнений с частныии производными . . . 450
Линейные уравнения с частными производными первого порядка 451
Уравнение материального баланса в дифференциальной форме 452
Уравнение теплопроводности 453
Уравнения фильтрования 455
Сферическое фильтрование 458
Решение уравнения теплопроводности для случая бесконечной
пластины 462
Бесконечная пластина с неравномерно распределенной начальной
температурой 465
Взаимная диффузия двух газов 466
Решение уравнения теплопроводности для случая бесконечного
цилиндра 468
Сушка бесконечной пластины при постоянной скорости 472
Теплопроводность при установившемся состоянии 473
Задача о массопроводности 475
Кинетика ионного обмена в процессах водоподготовки 479
Графические способы решения задач по диффузии и теплопровод-
теплопроводности при неустановившемся состоянии 485
Глава XVIII
Численное решение уравнений в частных производных
§ 1. Замена уравнения в частных производных уравнением в конечных
разностях 492
§ 2. Теплообмен в регенераторе для холодильной установки 496
§ 3. Периодическая ректификация с возвратом флегмы 502
Глава XIX
Теория подобия и метод анализа размерности
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
§ 5.
§ 6.
§ 7.
§ 8,
§ 9.
§ Ю.
§ И.
§ 12.
§ 13.
§ 14.
§ 15.
820
Движение вязкой жидкости
Теория подобия
Дифференциальные уравнения теплообмена для модели
Гидродинамическое подобие
Тепловое подобие
Вузионное подобие
рузия в турбулентном потоке. Увлажнение воздуха
Диффузия в турбулентном потоке. Вывод уравнения подобия . .
Тепло-диффузпонные процессы сушки твердых тел газом, проходя-
проходящим через слой материала
Поверхностное испарение влаги при неподвижном воздухе ....
Кондиционирование реакционной смеси в паровой фазе. Пригото-
Приготовление воздушно-паровой смеси для непрерывного парофазного
каталитического окисления толуола
Вывод уравнения проточной экстракции
Анализ условий моделирования теплохимических процессов, про-
протекающих в тонком слое
Кинетика ионного обмена
Моделирование ионообменных фильтров
507
515
520
521
525
528
535
536
537
542
544
546
552
557
559
§16. Определение постоянных величин в критериальных уравнениях 564
§ 17. Метод анализа размерности 569
§ 18. Коэффициент теплоотдачи при конденсации паров 574
§ 19. Поверхностные явления для струй из жидкостных капель .... 577
§ 20. Принудительная конвекция при высокой скорости потока .... 578
§ 21. Свободная конвекция 580
§ 22. Расход энергии для вентилятора , . .. ' 581
§ 23. Расход энергии на перемешивание жидкостей в реакционных аппа-
аппаратах 5S2
§ 24. Определение ископаемых параметров для модели при исследовании
производственных процессов 583
Глава XX
Теория вероятностей
§ 1. Общие понятия 585
§ 2. Основные теоремы теории вероятностей 587
§ 3. Редкие события 596
§ 4. Теорема Лапласа и интеграл вероятностей 597
§ 5. Применение теории вероятностей к кинетике смешения и эмульги-
эмульгирования 602
§ 6. Процесс смешения при промывке масла водой 605
§ 7. Процесс смешения газовой сажи с углекислым кальцием в смеси-
смесительном аппарате 607
Глава XXI
Вероятностные методы в задачах теории ошибок
§ 1. Средние значения величин 609
§ 2. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины . . . 621
§ 3. Плотность распределения и кривая распределения 622
§ 4. Нормальное распределение 625
§ 5. Закон распределения ошибок 627
§ 6. Наивероятнейшее значение измеряемой величины 629
§ 7. Оценка меры точности и средней квадратической ошибки отдельных
измерений 630
§ 8. Распределение твердых частиц в жидкости в зависимости от их раз-
размеров 633
§ 9. Наибольшая возможная ошибка. Правило трех сигм 636
§ 10. Вероятная ошибка измерений р 636
§ 11. Точность среднего арифметического 637
§ 12. Примеры обработки экспериментальных данных 638
§ 13. О не равноточных наблюдениях 641
§ 14. О среднем значении и о дисперсии функции нескольких независи-
независимых случайных величин ... 644
§ 15. Критерий х2 648
§ 16. Критерий F и его применение при проверке гипотез 653
§ 17. Распределение Стьюдента 654
§ 18. Доверительные пределы 656
§ 19. Статистическая проверка гипотез 659
821
Глава XXII
Способ наименьших квадратов
§ 1. Общие положения 665
§ 2. Приведение нелинейных уравнений к случаю линейных уравнений 666
§ 3. Приведение условных уравнений к нормальным 666
§ 4. Доверительные границы для найденных значений 668
§ 5. Проведение прямой линии через заданные точки 670
§ 6. Измерение углов при определении кристаллографических систем 670
§ 7. Закономерность для процессов дробления и измельчения,в заданных
условиях 672
§ 8. Константы скорости реакции при различных температурах .... 673
Глава XXIII
Корреляция в химии и химической технологии
§ 1. Парная корреляция . . . .- 676
§ 2. Корреляция трех переменных 688
§ 3. Множественная регрессия 689
§ 4." Частные коэффициенты корреляции 691
§ 5. Поглощение окислов азота с одновременным отводом тепла .... 692
§ 6. Корреляция с четырьмя переменными 694
§ 7. Поглощение окислов азота с отводом тепла и учетом крепости ки-
кислоты в абсорбционной башне 696
§ 8. Зависимость скорости коррозии от нескольких факторов 701
§ 9. Нелинейная корреляция 702
Глава XXIV
Эмпирические формулы
§ 1. Степенные и показательные функции 706
§ 2. Выбор эмпирической формулы. Метод выравнивания 708
§ 3. Определение коэффициентов, входящих в эпирическую формулу.
Способ средних 709
§ 4. Основные способы построения экспериментальных графиков и оты-
отыскания по ним эмпирических формул 711
§ 5. Специальные методы нахождения эмпирических формул для двух
переменных 729
§ 6. Зависимость между плотностью раствора алюминиевых кваецов
и его температурой 731
§ 7. Эмпирическая формула для опытных данных, образующих прямую
линию с выступом 733
§ 8. Зависимость между коэффициентом теплопроводности раствора
глицерина и температурой 734
§ 9. Интерполяционная формула Лагранжа 737
§ 10. Коэффициент сжимаемости азото-водородной смеси 739
§ 11. Плотность раствора фосфорной кислоты , 740
§ 12. Специальные методы нахождения эмпирических формул для трех
переменных 740
§ 13. Зависимость между плотностью раствора и температурой при раз-
различных концентрациях соли . . . . N 742
§ 14. Зависимость между растворимостью окиси хлора в воде и ее пар-
парциальным давлением при различных температурах 745
§ 15. Зависимость между производительностью фильтра и применяемым
вакуумом при различной крупности .частиц промываемого осадка 747
822
§ 16. Эмпирические формулы периодического характера 749
§ 17. Сушка воздухом 751
§ 18. Типичные графики некоторых формул 753
Глава
Приближенные вычисления
§ 1. Абсолютная и относительная погрешность приближенного значения
величин 755
§ 2. Округление яисел 758
§ 3. Погрешность суммы, разности, произведения, частного, степени и
корня 762
§ 4. Погрешность функций 769
§ 5. Применение некоторых приближенных формул . , . 779
§ 6. Приближенное решение уравнений 782
Литература 792
Приложение I. Таблица изображений и оригиналов некоторых функ- -»-
ций 795
Приложение II. Гамма-функция 797
Приложение III. Бесселевы функции 798
Приложение IV. Функция <р (hr) — e'h'r2 для hr через 0,01 . . . 800
V я
hr
9 Г*
Приложение V. Функция Ф (hr) = —г=-\ е~1'dt для hr через 0,01 801
Приложение VI. Критерий %2 802
Приложение VII. Критерий Стьюдента 803
Приложение VIII. Критерий F для уровней значимости 0,05 и 0,01 804
Приложение IX. Графики формул и приемы их выравнивания .... 806
Опечатки
Лев Менделевич Батунер,
Макс Ефимович Лозин
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНИКЕ
Издательство «Химия»,
Ленинградское отделение
Невский пр., 28
с. 824
Редакторы: А. М. Протасов, Б. В. Филиппов,
Ю. К. Кузнецов
Техн. редактор 3. Е. Маркова
Корректоры: Л. А. Любович, В. Б. Генгут
Сдано в набор 14/VII 1970 г.
Подписано к печати 1/XII 1970 г.
Бумага типогр. № 2, 60x90'/ie. Печ. л. 51,5.
Уч.-изд. л. 44,73. М-58231. Тираж 10 500 экз.
Цена 2 р. 34 к. Заказ 1706.
Ленинградская типография № 14 «Красный Печатник»
ГлаЕпслиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР.
Московский пр., 91.
Стр.
7
70
70
98
119
337
795
Строка
10 снизу
6 снизу
17 снизу
7 сверху
8 сверху
3 и
6 сверху
1 снизу
Напечатано
Q
У
113,4 Г м*/ч
¦ ¦ ¦ — с'о (х + У + z)
Га-^СаСь-...
dT/dz
исчезновению
Должно быть
Q'
У'
113,4 мЗ/ч
•'•c'0 — {x + y + z)
Гс= к\СаСъ — • . •
dT/dz
исчислению
Зак. 1706